МНОЖЕСТВА И ФУНКЦИИ (ПРОДОЛЖЕНИЕ)

Надуманные множества. Повторю еще раз, что я понимаю математически под структурированным (или структурируемым) множеством. Лучше всего выразить это с помощью допустимых в нем операций: выделение подмножеств по заданным свойствам, образование пересечений, объединений, дополнений. В математическом отношении это очень немного. Если в математике говорят об универсальном множестве, то требуют по меньшей мере, чтобы оно вместе с каждым множеством V содержало также множество D (V) всех подмножеств этого множества V. Из них снова образуют подмножества, скажем, множество всех подмножеств V, мощность которых равна 2, или множество всех конечных подмножеств и, разумеется, множество D(D(И)) подмножеств D(У).

Такие применяемые в математике универсальные множества очень ненаглядны, и потому пользоваться ими в дидактике следует весьма осторожно. «Ненаглядность» происходит не от бесконечности, как думают некоторые; другие бесконечные множества, как, скажем, множества натуральных чисел, или целых чисел, или четных чисел, или десятичных дробей, являются на определенной стадии обучения вполне наглядными. А множество всех подмножеств некоторого множества V таковым не является, даже в том случае, когда V конечно.

Для множества небольшой конечной мощности было бы полезно выписать все его подмножества. Однако это далеко не то же, что увидеть все эти подмножества объединенными в новое множество и применить к нему обычные теоретико-множественные операции. Я никогда не видел в школьных учебниках заданий такого рода: «Что собой представляют D (V) f) D <W\ D (V) U D D (V) \ \ D(IF), если V и W— данные множества?». Но лишь такими вопросами можно проверить, действительно ли D (V) воспринимается как множество. Очевидно, авторы учебников сами не верят, что школьники могут ответить на подобные вопросы, т. е., что они достигли такой степени абстракции, которая лежит далеко за пределами школьного курса.

В математических универсальных множествах можно и должно ставить вопрос, является ли данное множество элементом другого множества. Этот вопрос существен с точки зрения математики. В «Малой вселенной» этот вопрос даже не может быть поставлен, ибо

в нем элементами множества являются вполне ощутимые объекты. На более высокой ступени обучения постановки этого вопроса избегнуть нельзя, но этого не следует делать слишком формально и догматично. Его можно ставить лишь тогда, когда соответствующие отношения достаточно прозрачны.

Пары чисел и их классы эквивалентности, приводящие к множеству рациональных чисел, могут служить подобным примером. Исходя из кольца целых чисел Z, определяют, как уже неоднократно упоминалось, поле рациональных чисел Q с помощью упорядоченных пар чисел (а, 6), таких, что Ь у= 0, и отношения эквивалентности со, определяемого условием

(а, Ь) оо (с , d) ad = be.

Переход от чисел к парам чисел также не обходится без проблем. Конкретно, в «Малой вселенной» это невозможно; в ней можно, пожалуй, образовать упорядоченные пары различных объектов, но не множество этих пар: чтобы составить одну такую пару, приходится подчас разрушить другую. Пары же из двух одинаковых элементов в этой «Малой вселенной» вообще невозможно соста

вить явно.

По-видимому, некоторые методисты не уяснили себе всех этих обстоятельств. Уже само множество пар чисел содержит некоторую абстракцию. Но затем идет образование классов с помощью от

ношения эквивалентности; наконец, нужно рассмотреть множество этих классов, а в особых случаях нужно еще образовать подмножества этого множества. Это кажется крайне абстрагирующим усилием, но в действительности дело обстоит не так уж плохо.

Каждый отдельный класс эквивалентности, называемый рациональным числом, полностью определяется одной из принадлежащих ему пар чисел; тем самым такие классы более конкретны, чем подмножества вообще; так как классы эквивалентности не пересе

классом эквивалент-классом эквивалент-каются друг с другом, то и множество классов эквивалентности более доступно пониманию, чем множество всех подмножеств. Класс эквивалентности представим одним из своих членов; на практике имеют дело не с классом, а с одним из его представителей. В части I

классом эквивалент-

классом эквивалент-

уже говорилось: вычисления производят не с

ности дляности дляа считают, что парыа считают, что пары

ности для

ности для

а считают, что пары

а считают, что пары

..., (-6, -8), (-3, -4), (3, 4), (6, 8), ...

являются одним и тем же элементом. Таким путем вообще можно избежать рассмотрения больших подмножеств в качестве элементов вновь образуемых множеств. Я не утверждаю, что в этом есть необходимость; однако, во всяком случае, нет необходимости выдумывать ненужные или почти ненужные множества.

Ступени абстракции в понятии множества. Вышесказанное позволяет сделать вывод о большом дидактическом многообразии форм появления понятия множества. По сравнению с этим многооб-

разием весьма шаткими представляются утверждения, что на каждом этапе можно использовать в обучении теорию множеств. С одной стороны, в развитии понятия множества мы имели виды объектов «Малой вселенной», элементы которой можно выложить последовательно один за другим. С другой стороны, мы имели полностью аксиоматизированную и формализованную теорию множеств, объекты которой существуют лишь формально. И чего только нет между этими кр айностями!

Вслед за видами предметов «Малой вселенной» идут множества, нарисованные на бумаге. Затем — воображаемые виды в «Малой вселенной» и фигуры на бумаге. С ними можно выполнять простейшие конкретные или воображаемые операции. Следующим этапом могут быть простым способом описываемые множества, элементы которых — точно описанные и легко вообразимые множества, как, скажем, определенные множества окружностей на плоскости; здесь также могут быть допущены лишь легко описываемые операции. То, что может быть легко осознано и доказано чисто формальным способом, без ссылок на наглядность, довольно долго остается ограниченным простейшими фактами, вроде транзитивности включения

АсВКВсС^АсС

или того факта, что произведение взаимно однозначных отображений также взаимнооднозначно. Высокие требования к возможности абстракции возникают всегда, когда дело доходит до восприятия множеств в качестве элементов других множеств. При этом попытки конкретизации большей частью оказываются несостоятельными. Встречающиеся здесь трудности абстракции можно, пожалуй, лучше всего пояснить на известном примере доказательства теоремы о том, что никакое множество V не может быть равномощно множеству D (V) своих подмножеств. Вот ход доказательства (от противного):

Предположим, что существует отображение / множества V на D (V), и опровергнем это предположение. Для любого х € V имеем fx € D (V) и для любого U £ D (V) существует u € V такое, что fa = U. Построим множество

U-<x^V\x^fx)^D (V).

Пусть и таково, что fu = U. По определению

х € U ~ (х € V Л х { fx).

В частности,

и с и ~ и £ fa = и,

а это и есть противоречие, доказывающее теорему.

$Едва ли можно найти что-либо проще

. pg аг $1. этого примера. И все же каждый, кто ра-

П ।^" ботал со студентами первого семестра,

S2знает, с каким трудом усваивается такое

рис jдоказательство; тот, кто размышлял об

’этом, понимает, почему это так, хотя здесь

нет ничего общего с бесконечностью; теорема верна и для конечных множеств.

Приведенное выше доказательство проводится чисто формально и не является наглядным. А этого, во всяком случае, достаточно, чтобы нс излагать его в школе, не говоря уже о том, что оно было бы в школьном курсе чужеродным телом.

Рассмотрим теперь доказательство другого теоретико-множественного предложения— теоремы о несчетности множества точек отрезка.

Пусть имеется отрезок Sf, допустим, что множество его точек счетно (рис. 1), и перенумеруем его:

av а^ а^ ... .

Докажем, что это невозможно. Построим точку отрезка Sp которая не получила номера. Для этого выберем отрезок S2 cz Sn который не содержит точки ах\ затем выберем отрезок S3 cz S2,который не содержит точки tz2 и т. д. Таким путем мы получим последовательность отрезков

Sj zd S2 zd S3 ... ,

причем всякий раз at £ S/+1.

Эта последовательность вложенных друг в друга отрезков имеет некоторую общую точку с, причем эта точка с не совпадает ни с аъ ни с а2, ..., ни с какой-либо иной точкой ар последовательности, ибо с € Sp+1, а ар £ S^f, это противоречие и доказывает теорему.

Приведенное доказательство настолько наглядно, что его можно объяснить даже 12-летнему школьнику (хотя я ни в коем случае не рекомендую делать это). Несмотря на рассуждения о бесконечности, оно гораздо нагляднее, чем доказательство предыдущей теоремы. Но его можно предпочесть обычному весьма неудачному доказательству с помощью излюбленного диагонального метода. Это доказательство не только проще и нагляднее, но и показывает самое важное в числовом континууме: что пересечение последовательности вложенных друг в друга отрезков непусто.

Неудобные множества. Я уже неоднократно упоминал неудачные примеры множеств, обнаруженные в учебниках. Я назвал бы их неудобными множествами. Так, я уже основательно занимался множествами букв; ими можно пользоваться с некоторыми оговорками, но лучше бы избегать их, ибо они часто служат причиной недоразумений. Почти так же опасны множества бессмысленных символов. Множество месяцев без «р» кажется невинной забавой;

однако переход от него к множеству названий месяцев, не содержащих буквы «р», является небольшим, но опасным шагом: сколькими различными названиями можно обозначить один и тот же месяц!

В «Малой вселенной» объекты изображались на карточках; автору нравилось говорить не только о множествах объектов, но и о множестве карточек, на которых эти объекты изображены, — чтобы добиться взаимно однозначного соответствия. Возможно, что читатель уже почувствовал, сколь опасно такое нарушение определений в «Малой вселенной».

Знаменательно, что слово «множество» в различных языках переводится весьма разнообразно. Заглянув в словарь, можно понять, что подразумевают под словом «множество» в повседневной жизни и на каких примерах вводятся «множества» в обучении математике. Так, по-голландски «множество» понимается обычно как «собрание» или «коллекция», и потому не удивительно, что почти в каждом учебнике теория множеств начинается с рассмотрения коллекции почтовых марок. Едва ли нужно разъяснять, что это плохой пример; коллекционеры имеют привычку собирать лишь по одному экземпляру каждой марки. Вместе с недоразумениями при использовании диаграмм Венна это является неудачной подготовкой к освоению понятий теориии множеств.

Соответствующее французское слово имеет также значение «объединение» — и из этого вытекает чрезмерное злоупотребление диаграммами Венна во французской литературе. В немецком языке «множество» ассоциируется с количеством и приводит подчас к примерам вида «множество из 5 кг сахара». Из американской литературы я уже упоминал о множестве из пяти долларов, представленного одной пятидолларовой купюрой, заключенной в фигурные скобки, и о множестве из десяти заповедей — на двух каменных табличках, также в фигурных скобках. В англоязычной литературе встречаются и примеры, которые я теперь рассмотрю подробнее; скажем, множество оценок в переводном свидетельстве Марии или множество средних дневных температур в Ньюпорте в 1960 г.

Разумеется, эти множества являются допустимыми, т. е. допустимой бессмыслицей. Что, собственно, имеет в виду автор, вводя в рассмотрение подобные множества? Может быть, он хотел показать средний балл Марии или среднюю температуру; но в этом множества ему нисколько не помогут. Возможно, что Мария имеет в свидетельстве одни лишь тройки и четверки; тогда множество имеет вид {3; 4}, но по этим данным нельзя вычислить средний балл: нужно знать еще, сколько раз встречается в свидетельстве каждая оценка.

Во втором примере точно так же вряд ли все 366 дневных температур окажутся различными. Поэтому недостаточно иметь множество, нужен весь перечень ежедневных температур. Думается, что и автор придерживается того же мнения; но так как в английском обиходном языке такой перечень чисел, в котором встреча-

ются и равные между собой, называется «сет», то в англоязычной литературе постоянно встречаются примеры множеств с повторяющимися элементами. Мне повсюду приходилось после докладов отвечать на трудный вопрос, как рассматривать такие множества с повторяющимися элементами. Удивительно, что и учебники, не содержащие ошибок в этом отношении, обходят эту трудность молчанием, хотя она, разумеется, постоянно обнаруживается в аудиторных занятиях.

Выход из этой дилеммы может быть найден лишь с помощью понятия функции. Я предпочитаю сделать это заранее. Рассматривая свидетельство Марии, я могу найти в нем нечто более важное, чем множество, а именно функцию, — это является одним из аргументов в пользу изучения функций ранее множеств. В свидетельстве указаны предметы и по каждому предмету — оценка. Каждому предмету соответствует цифра, и такое соответствие называется функцией; в нашем случае это функция, которая отображает множество предметов на числа 1, 2, 3, 4, 5. Точно так же обстоит дело и с перечнем дневных температур: каждому из 366 дней 1960 г. ставится в соответствие определенное число — средняя температура в этот день. С помощью этой функции / действительно можно выполнить некоторые действия, например найти среднюю величину

где xv ..., хп — отдельные предметы в переводном свидетельстве или дни в 1960 г.

Точно так же можно определить средний вес для яиц в данной корзине. Я взвешиваю и записываю: яйцо № 1 — ... граммов, яйцо №2 — ... граммов и т. д. Здесь и появляется слово «последовательность»; в самом деле, функция, отображающая {1; ..,; и} на V, называется последовательностью длины п в V (аналогично отображение N на V является бесконечной последовательностью в V). В последовательности же могут быть одинаковые элементы; существуют даже последовательности, состоящие из одного и того же элемента, или константы.

Подобный же вопрос, который часто возникает, заключается в допустимости выражений вида

{а; а; 6}.

То, что этот вопрос вообще может быть поставлен, свидетельствует о все еще существующих ножницах между школьной и университетской математикой. В высшей математике он вообще не возникает. Встречаются, пожалуй, множества вида {я}, а также вида {а; 6}, однако множества вида {о; Ь; с} и т. д. встречаются редко. Если же встречаются выражения вида {о; Ь}, то обычно — в

высказываниях вида «Пусть D — множество {0; 1}», и тогда а и b по определению различны.

Как вообще могут появиться такие множества {а; а; Ьр Скажем, в типичном школьном примере, в качестве множества решений кубического уравнения х2 (х — 1) = 0, где встречаются два корня, равные нулю; корень нуль считается дважды. Но запись 10; 0; 1} не помогает, поскольку она обозначает то же самое, что {0; 1}. Это снова пример, показывающий, как можно усложнить жизнь, применяя обозначения не для тех целей, для которых они предназначены. Это Затруднение можно преодолеть, говоря о последовательности корней, но тогда будет чересчур искусственно. А почему бы не поступить, как в высшей математике, когда говорят, что корни многочлена az (где i — 1, 2, ... , п) имеют кратность тр Зачем для школьной математики изобретать другие обозначения — лишь бы свести все к теоретико-множественной терминологии?

Дедуктивность в теории множеств. Сколь далеко простирается дедуктивность в теории множеств, зависит от того, сколь далеко продвижение в самой теории множеств, а также от количества взаимосвязей, которые мы хотим установить между основными понятиями теории множеств. Логически можно было бы все свести к отношению включения С С его помощью можно определить отношение, объединение и операции U , П • Хотелось бы знать, в каком возрасте ребенок может эти определения воспроизвести, отыскать их самостоятельно и применить в дедуктивной схеме, — это различные степени понимания. Ребенок может понять схему вида «Если а € А, то a 6 В» до того, как он достигнет ступени понимания дедукции. Такое предложение может быть верным описанием отношения «А cz В», хотя оно и не свидетельствует об умении доказывать, что ((А cz В) Д (В cz Q) -> (A cz С), или другие законы алгебры множеств.

Доказательство транзитивности знака «cz» является, собственно, лишь переводом транзитивности знака «->» на теоретикомножественный язык. Какие же высказывания и к каким можно свести? Будет ли логическая транзитивность обоснована с помощью теоретико-множественной транзитивности и с помощью диаграмм Венна или теоретико-множественная транзитивность будет обоосно- вана с помощью абстрактного рассуждения, опирающегося на логическую транзитивность? Или мы вообще попадем при этом в порочный круг?

К соотношению между теорией множеств и логикой высказываний мы еще вернемся. Выяснится, что все это не так просто, как кажется; напротив, это настолько утонченно, что, по-моему, не следовало бы даже излагать на первом семестре в университете.

Однако это не значит, что дедуктивную ступень следует исключить вообще. Скажем, введение пустого множества можно оправдать требованием неограниченной выполнимости операции образования пересечений. Тот факт, что пустое множество входит

в любое множество, тесно связан с обычной интерпретацией понятия «->»; при этом р -^ q верно всегда, когда р неверно; таким образом, (х € А) (х С В) верно всегда, когда Л = 0; а ведь (х С Л) -Цх С В) — это как раз и есть определение того, что Л а В. А уж следует ли обосновывать интерпретацию записи р -^ q тем, что пустое множество входит в любое множество, или, наоборот, едва ли можно сказать определенно.

Со сказанным выше связано то, что пустое множество имеет лишь одно подмножество; поэтому выражение 2" для числа подмножеств данного множества, содержащего п* элементов, остается в силе и для /2 = 0.

Различие между элементом а и одноэлементным множеством {а} следует мотивировать; однако едва ли при этом можно доказать что-либо. Впрочем, я не думаю, что в начальной (или даже в средней) школе можно продвинуться существенно дальше. Если в основаниях теории множеств вводится слишком много дедуктивных структур, то тем самым впадают в ту же ошибку, которая часто пронизывает обучение геометрии: интуитивно ясные вещи доказывают такими методами и с такими тонкостями, потребности в которых на данной стадии обучения школьник не ощущает. Однако эти соображения не исключают, разумеется, обучение дедуктивным зависимостям на более высокой ступени обучения и в приложениях теории множеств.

Склонность некоторых уже в раннем периоде вести изучение теории множеств дедуктивно вполне понятна; каждый математик болезненно воспринимает необходимость жертвовать тем, что он считает оправданной строгостью. Но, как и всегда в математике, существует выход: скрыть все изобилие дедуктивной системы при изложении школьнику математики. Ведь наряду с этим есть еще задачи, дающие поле свободного оперирования. Если хотят определить, что автор желает привести преподавателям и учащимся, пользующимся данным учебником, то разъяснение могут дать задачи. Соответствуют ли задачи теоретической части и при этом теория не оказывается чужеродным телом или, напротив, решение задач требует от учащегося лишь соответствующего подбора параметров, входящих в общие формулы? Между этими крайностями есть, разумеется, много переходных ступеней. Подбор задач является особенно важным и характерным в курсах, имеющих своей целью обучение математической системе; а то, что плохо укладывается в систему, но является необходимым, можно хорошо изложить с помощью задач. Если основная часть курса требует высокой степени абстракции или дедукции, то задачи могут показать уровень, достижение которого автор считает необходимым.

Может быть, это слишком высокое требование, ибо вообще нелегко составить осмысленные задачи по теории множеств; это вытекает из необходимости сочетать в задачах свойства осмысленности и дидактической доступности. Соблазнительная ошибка кроется и в теоретико-множественной алгебре: я имею в виду запись дистри-

бутивных законов для объединений и пересечений; запись А \ (6 \ С) в иной форме; вычисление (А х В) \ (С х£>), если A zd С и В id D и т. д. Это совсем неплохие задачи; опасность кроется лишь в«ит. д.». Упражнениями можно добиться чего угодно; правила для выполнения упражнений здесь проще, чем в обычной алгебре, причем в теоретико-множественной алгебре записывают все необходимые скобки, — скажем, как (Л J В) f| С, так и (А П В) (J С (но не (а + 6) с, a ab + с). Если кому-либо теоретико-множественная алгебра после соответствующих упражнений покажется слишком простой, можно ввести всевозможные усложнения. Существуют же примеры введения в заблуждение школьников и в обычной алгебре, вроде деления на нуль, — подобного этому не может быть в теоретико-множественной алгебре, хотя с помощью некоторой хитрости можно такое сконструировать. Скажем, определяют разбиение {Ах, ..., Лл} некоторого множества V следующим образом:

V = Аг U ... U Ап> причем At f) Aj = 0 для i + j и все At ^ 0.

Теперь можно придумать задачи на разбиение, кажущиеся очень простыми, хитрость которых заключается в том, что обычно забывают проверить третье условие. Скажем, если {Ах, ..., Ар) и {Вх, ..., В^} являются разбиениями одного и того же множества V, то является ли множество всех At f| Bj также разбиением V?

Теоретико-множественная алгебра является в математике попросту забавой; я опрашивал многих математиков и не нашел ни одного, кто применял бы правила теоретико-множественной алгебры, кроме как для наглядности. Однако я знаю, что теоретикомножественная алгебра вместе с логикой может быть использована для весьма обширных приложений, настолько обширных, что для решения их придется воспользоваться помощью ЭВМ.

Однако трудность заключается не в самой теоретико-множественной алгебре, а в ее взаимосвязях с приложениями. Речь идет не собственно о решении проблем теоретико-множественной алгебры, а о том, как свести реальные задачи к задачам теоретико-множественной алгебры.

В обучении арифметике встречаются задачи такого рода: «У Ганса есть 5 фишек, он получает еще 3. Сколько у него теперь?» Чтобы решить задачу, школьник должен не только уметь сложить 5 и 3; он должен еще знать, какую операцию следует выполнить в данных условиях. Способность, развиваемая такими задачами, гарантирует применимость вычислений.

А вот задача о множествах: «Пусть А — множество взрослых людей, В — множество лиц мужского пола; что такое A f] 5?» Сравним эту задачу с предыдущей. Не плохо ли это? То, что требуется здесь, соответствовало бы такой формулировке первой задачи: «У Ганса есть 5 фишек, он получает еще 3; сложи 5 и 3».

Да, это плохо.

Рис. 2Рис. 2- Теоретико-множественная символика. Я часто слышу жалобы учителей на то, что у школьников вызывают затруднение теоретико-множественные символы £, ^, cz, П , (J , \- При этом я обычно лишь пожимаю плечами. Но, ознакомившись с мно

Рис. 2

Рис. 2

гочисленными учебниками, я начинаю понимать, в чем дело. Теперь я удивился бы, если бы школьники не испытывали затруднений с этими символами. Что делать бедным ученикам (да и бедным учителям) с задачами, изображенными на рисунках 2—4?

И что, если заменить знак объединения знаком пересечения или симметрической разности?

Разумеется, этих трудностей легко избежать. Более серьезных проблем можно ожидать в случае применения записи

{х£ V | F (X)}.

Трудно поверить, насколько некритично применять подобную форму записи, большей частью не размышляя, что же она означает. Грубые ошибки в применении этой формы записи очень часты, в том числе и в научной литературе. Поэтому я должен рассмотреть эту форму записи подробнее.

Прежде всего, не является ли первая часть, х С V, излишней? Почему требование х £ V не просто объединено с требованием, чтобы х обладал свойствами F (х)? Ведь «х £ V» — это свойство , и с помощью

G (х) - F (х) (х 6 V)

можно также записать все выражение в форме

{х I G (х)}.

Что же кроется за соглашением, по которому первый член должен иметь форму х g V, где «х» — связанная переменная, а V — некоторое множество?

Это очень тонкий вопрос, и я не уверен, что смогу правильно разъяснить его. Допустим такую запись:

{X I Ф (X)}.

Я покажу, что при этом появляются различные трудности. Ф (х) должно здесь быть свойством (предикатом) от х. Рассмотрим свойство х £ х. Оно выглядит странным, но в математике встречаются еще и не такие странности. Мы получаем множество

и = {х | х £ х},

т. е. множество всех множеств, не являющихся элементами себя самого. А это ведет к известному парадоксу Бертрана Рассела. Из и С и вытекает и ^ и и, наоборот, из и £ и вытекает и £ и.

Можно избежать парадокса, если не допускать {х | Ф (х)}. Всегда должно быть {х £ V | F (х)}, т. е. если выбирать элементы, из которых составляется множество, по некоторому свойству, то их нужно брать из некоторого наперед заданного множества V, Тогда можно действительно избежать этого парадокса.

Если определить

и = {х £ V | х ^ х}, то, хотя можно из и £ и вывести и £ и, но из и £ и можно всегда вывести лишь и £ V, а это не ведет к противоречию.

Это и есть объяснение, почему «нужно» записывать {%е vi^(x)}.

Допустимо ли указывать некоторый вид записи, не объясняя причин? Должен сказать, что я считаю такой путь весьма обычным. Я хотел разъяснить читателю, зачем это нужно, но я не ожидаю, что он в состоянии пересказать это своим школьникам. Однако если он сам не понимает этого, то не должен обязывать школьников вводить непонятную форму записи. Школьник не должен думать, что математика подобна правописанию, где правила произвольно устанавливаются авторитетом учителя.

Теперь вернемся ко второй части записи: {х С V I F (х)}. Здесь F должно быть свойством, записанным так, чтобы читатель понял, что имеется в виду. В простейшем случае {х £ R | х < 3} это ясно, однако, в более сложных случаях дело обстоит запутаннее, и притом не только в школьных учебниках и тетрадях учеников, но иногда и на более высоком уровне, ибо автор не всег-

да продумывает, что он хочет сказать той или иной формулой. Можно ли записывать множество степеней двойки в виде

{х 6 N | х = 2”, п = 1, 2, ...}?

Или множество чисел, кратных семи, в виде

{х £ N | х = 7у, у £ Np

Но это не годится. В фигурных скобках стоит переменная (т. е. п или сортветственно у, которая не связана, или, во всяком случае, характер связи не очевиден.

Что понимается под «х кратно семи» или «х делится на семь»? Такие предложения связаны с квантором существования; «х делится на семь» означает существование некоторого у, удовлетворяющего условию х = 7у. Первая из этих формулировок (т. е. «х кратно семи») неявно включает квантор существования в наречии «кратно», хотя в других условиях наречие может подразумевать квантор общности. Точно так же высказывание «х является степенью двойки» подразумевает и утверждение «существует некоторое п со свойством х = 2”».

Упомянутые выше множества можно точно описать так:

{х € N | V п € N х = 2"},{х С N | V у 6 N х = 7у}.

Чтобы понимать все это, требуются существенно продвинутые вперед знания в области математики. Но я не думаю, что средний учащийся достигает такой степени понимания.

Может быть, все же есть выход? Некоторые написали бы

{2Л| п € N^{7у I У € N^,однако это совершенно новая форма записи, требующая отменитьприменение фигурных скобок. Ведь фигурные скобки здесь указы-вают, что речь идет о множестве значений функции, в данном слу-чае функций Чп^м^ и Ту^7у. Хорошее обозначение длямножества значений функции было бы желательным, но это ужедругой вопрос.

Дальше будет еще хуже. Если однажды допустить подобную запись, то все пойдет кувырком. Таким путем мы придем к выражениям, вроде

{ах2 + Ьх + с | ^ах + b ^ 0},{/(х) С А | Щх) | €В\ Л},

где уже никто не разберет, какие переменные являются связанными: а, Ь, с или х — в первом случае и /, х, А — во втором. Это весьма печально, но нельзя не признать, что подобное вольное обращение

со способом обозначений простирается подчас до математической литературы весьма высокого уровня.

В некоторых учебниках эта проблема осознана. Там вышеупомянутые множества были бы обозначены:

{х | х есть степень двойки},{х | х делится на семь}.

Однако неясно, почему выражение «множество всех х, удовлетворяющих...» нужно еще формализовать, а выражение «х есть степень двойки» и «х делится на семь» не нужно.

Другим примером неверного употребления фигурных скобок, обычно встречающимся и в сугубо научной литературе, является обозначение последовательности действительных чисел х0, хь ... через

и I i € ЛГ}.

С большой натяжкой так можно было бы обозначить множество. А последовательность следовало бы задать с помощью Т, е л^. Мы уже указывали на различие между множеством и последовательностью; это особенно заметно, если появляются последовательности с одинаковыми членами.

Нетрудно предсказать, что случится, если ввести обозначение {х € V | F (х)} и в высшую школу: на начальных ступенях это будет разъяснено и применено в случае весьма простых свойств F, но коль скоро эти свойства будут усложняться, формализация прекратится и множество будет описываться обиходным языком. Поэтому нужно обдумать, оправдано ли применение записей вида

Vx^V\F(x)Y

Особенно ясным становится, что символ будет операционным лишь в сочетании с квантором существования, если отказаться от таких смехотворных случаев, как

{х | х является планетой}.

Следует ли здесь применять фигурные скобки, зависит от того, сколь далеко желают пойти в формализации логики. К этому мы еще вернемся.

Наглядное изложение функций и отображений. Функции и отображения весьма естественно возникают еще до каких-либо определений (я большей частью употребляю оба эти понятия как синонимы). С этим мы уже встречались. Отображения 3 +, 3 —, 3 • числовой прямой на себя являются наглядными, и эта наглядность может быть еще усилена многочисленными стрелками от прообразов к образам; можно изобрести аппарат для сложения и вычитания, подобный счетной линейке, и аппарат для умножения;

можно говорить о них, не конструируя их реально, но называя их машинами или автоматами, и различными способами использовать возникающие при этом функции, не разъясняя, что такое функция или отображение. Это не только возможно, но даже необходимо. Предоставить школьнику после того, как он ознакомился с тысячами функций, конструировал их, находил их обращения, придумать и сформулировать, что такое функция, что такое обращение функций, — было бы полезным видом активного математического мышления.

Я уже раньше подчеркивал, сколь важно вообще дать школьнику возможность сознательно анализировать свою собственную математическую деятельность; создание новых фундаментальных математических понятий, таких, как понятие функции, может характеризовать переход его мышления на новую, более высокую ступень.

В предыдущих примерах я не упоминал другого рода понятия функции, который столь же естественно представляет реальную действительность. Я имею в виду такие примеры, как цену в качестве функции количества товара, скидку в качестве функции от суммы счета, процентные деньги в качестве функции времени, пройденный путь в качестве функции времени (автомобиль, поезд, самолет), массу некоторого вещества в качестве функции его объема, возраст в качестве функции даты, температуру в качестве функции времени. Все это примеры теоретических и эмпирических функций, с которыми можно делать многое.

К этим классическим примерам можно добавить еще много других, о которых часто забывают: объем коробки или поверхность— как функции одного или нескольких ее измерений, синус и косинус (сложилась плохая традиция, что их рассматривают как функции лишь тогда, когда вся тригонометрия уже пройдена, хотя это особенно легкие и полезные примеры), логарифмическая функция (здесь тоже не следует ожидать, пока будет изучена теория логарифмической функции), сила света в качестве функции расстояния от источника света, высота цилиндрического столбика жидкости в качестве функции количества этой жидкости, продолжительность дня в качестве функции календарной даты. Подобрать примеры функций — это в самом деле пара пустяков, тогда как удачные примеры множеств приходится искать днем с огнем.

Другая группа примеров не столь наглядна. Есть, правда, не столь явный, но действенный способ повышения наглядности — графическое представление. В традиционном школьном преподавании математики примерно с 20-х гг. и до последнего времени функция и ее графическое представление были почти синонимами.

Каждый преподаватель университета знает, какую борьбу приходится выдержать на первом семестре, чтобы отделить в сознании студентов понятие функции от ее наглядного графического изображения. Кажется, поэтому у некоторых педагогов графические представления, пользуются дурной славой; некоторые едва

Рис. 5

Рис. 6

Рис. 7

упоминают о них, а многие приводят лишь довольно поздно, когда о функциях говорится уже много времени. Впрочем, это вполне естественно, если вместо математики настраиваются говорить на занятиях о невзаимосвязанных отдельных математических системах. При этом как раз и отсутствуют многочисленные побуждения к понятию функции (о некоторых я уже упоминал), которые рекомендуется сделать наглядными с помощью графика. Нетрудно сформулировать прикладные задачи ко всем этим примерам, которые столь же естественно решаются с помощью графиков.

Я подчеркнул важность графиков перед тем, как перейду к функциям и отображениям, изучение которых нельзя начинать с графиков. Пространные объяснения, предпосылаемые переходу к математическому понятию, могут привести к недоразумениям, но это не всегда имеет место. Дидактически следует предпочесть многостороннее рассмотрение понятия одностороннему, хотя любителей систематичности такой подход вряд ли обрадует.

Я уже упоминал о другой конкретизации отображения, именно о системе стрелок. Она может идти, как на рцсунке 5, от одной диаграммы Венна к другой; однако мы уже упоминали и о стрелках, изображающих функции 3 +, 3 —, 3 • на числовой прямой. Система стрелок особенно пригодна для изображения преобразований на плоскости; одновременно она наглядно показывает понятие вектора (рис. 6). Чтобы наглядно показать поворот плоскости,, предпочитают криволинейные стрелки (рис. 7). Отражение опять- таки показывают прямыми стрелками различной длины (рис. 8). Все это бесспорно, но едва ли важно.

Собственно, трудности начинаются, когда несколько отображений, скажем элементы некоторой группы, хотят охватить на одном наглядном чертеже; при этом некоторые создают себе много трудностей. С преобразованиями на плоскости это проходит легко. На рисунке 9 видно непосредственно, какие стрелки относятся к одному отображению и какие — к другому.

Могущие встретиться трудности я попытаюсь объяснить на примере, часто встречающемся в литературе. Известна ^ж

так называемая четверная группа (или группа Клейна). Ее можно представить абстрактно следующей таблицей:Рис. 8

/ Более конкретно ее можно представить с /помощью перестановок четырех символов 1, 2,

'3, 4, взяв отображения е, а, Ь, с множества этих

Рис. 9 символов на себя, определяемые следующим образом:

d - 1, al = 2, bl = 3, cl = 4,d - 1, al = 2, bl = 3, cl = 4,c2 - 2, a2 - 1, b2 = 4, c2 = 3,c2 - 2, a2 - 1, b2 = 4, c2 = 3,c3 - 3, a3 - 4, ЬЗ = 1, сЗ - 2,c3 - 3, a3 - 4, ЬЗ = 1, сЗ - 2,c4 = 4, a^ = 3 M - 2 c4 - 1.c4 = 4, a^ = 3 M - 2 c4 - 1.

d - 1, al = 2, bl = 3, cl = 4,

d - 1, al = 2, bl = 3, cl = 4,

c2 - 2, a2 - 1, b2 = 4, c2 = 3,

c2 - 2, a2 - 1, b2 = 4, c2 = 3,

c3 - 3, a3 - 4, ЬЗ = 1, сЗ - 2,

c3 - 3, a3 - 4, ЬЗ = 1, сЗ - 2,

c4 = 4, a^ = 3 M - 2 c4 - 1.

c4 = 4, a^ = 3 M - 2 c4 - 1.

Рис. 10Рис. 10Рис. 11Рис. 11

Рис. 10

Рис. 10

Рис. 11

Рис. 11

Это же можно представить более наглядно. Начертим квадрат и перенумеруем его вершины (рис. 10). Пусть теперь а означает симметрию квадрата относительно его вертикальной оси симметрии, b — симметрию квадрата относительно горизонтальной оси симметрии, с — центральную симметрию и с — тождественное преобразование. При этом безразлично, применяются ли эти преобразования лишь к вершинам квадрата, или ко всему квадрату целиком, или ко всей плоскости; однако нужно указать, что имеется в

виду.

Можно понять, что для педагога эта наглядность недостаточно кон

кретна. Хотелось бы не удовлетвориться возможностью представить отображения а показать их непосредственно. Я вижу картинки вроде рисунка 11. Это кажется

более наглядным, но в действительности является заблуждением. Школьнику внушают, что имеется четыре различных квад-

Рис. 12Рис. 12Рис. 14Рис. 14

Рис. 12

Рис. 12

Рис. 14

Рис. 14

рата; учитель, за которым я наблюдал, именно так и понял это; он говорил о четырех различных квадратах и, следовательно, не осознавал, что взаимно однозначные отображения, из которых хотят составить группу, следует отнести к одному и тому же множеству.

Наоборот, вполне конкретным представлением будет, если изобразить квадрат (рис. 12) и сказать: а меняет местами точки, расположенные по одной горизонтали, b — по вертикали, с — по диагонали. Здесь тоже можно изобразить стрелки; если есть возможность — лучше цветные: одним цветом— горизонтальные стрелки, другим — вертикальные, третьим — диагональные (рис. 13). Этого вообще-то достаточно. Но некоторым и этого мало. Тогда по углам квадрата ставят учеников, обозначают эти углы буквами (как ранее — цифрами) и описывают отображения следующим образом (рис. 14):

а: меняются местами ученики, стоящие в А и 5, а также в В и Г\ Ь: меняются местами ученики, стоящие в Л и 5, а также в Б и Г; с: меняются местами ученики, стоящие в Л и Г, а также в Б и Б.

Это возможно, но не вполне конкретно. Пусть школьников, стоящих в углах квадрата, зовут Алла, Борис, Вера и Григорий, чтобы было ясно, кто в каком углу должен стоять. Указания о перемене мест учениками можно сформулировать, как выше с точками; однако, чем чаще это будем проделывать со школьниками, тем настойчивее станут попытки упростить формулировки, и в конце концов мы придем к:

Алла *-* Борис, Вера *-* Григорий;

Алла Вера, Борис Григорий;с: Алла Григорий, Борис «->Вера.

Эти три отображения вместе с тождественным отображением также образуют группу; это тоже четверная группа, но определенная совсем другим способом. Разумеется, мы можем поступить и так; нужно лишь в каждом случае отдавать себе отчет в том, что именно мы делаем.

Вариацией этой темы может быть следующая формулировка: имеются четыре блока: два треугольных и два круглых, два синих и два красных. Можно определить отображения:

а; замена формы;

Ь; замена цвета;

замена формы и цвета.

Вместе с тождественным отображением мы вновь получаем ту же абстрактную группу. Это тоже допустимый пример, если воспользоваться тем же определением.

Что же при этом происходит? Блоки располагаются симметрично (рис. 15), и одновременно выполняется замена формы или цвета:

а: меняются местами верхние блоки с нижними;

меняются местами левые блоки с правыми;

меняются как верхниеблоки с нижними,так и левые с правыми.

Таким образом мы снова возвращаемся к исходной группе. Стоит дать себе труд проанализировать, что здесь произошло. На определенной стадии обучения, чтобы объяснить, что такое функция /, достаточно сказать, что / ставит одним объектам в соответствие другие; однако до этой стадии такое соответствие нужно конкретизировать, чтобы оно было понято. Конкретизация обычно имеет место в оптическом пространстве. Как же можно конкретизировать отображение? Отражение плоскости еще весьма просто, стоит лишь взглянуть в зеркало, расположенное перпендикулярно этой плоскости. Чтобы иметь еще большую конкретность, берут вместо плоскости кусок бумаги конечных размеров и переворачивают его. При параллельном переносе его можно сдвигать. С начерченными фигурами, скажем с квадратом, получается сложнее. В таком случае можно прийти к идее расставить объекты в точках подлежащего преобразованию множества; отображение / будет теперь указанием заменить объект, находящийся в %, объектом fx; f является правилом замены.

Какие же объекты можно использовать? Ну это уж совсем неважно; ничего не зависит от того, будут ли они из дерева или из металла, живыми или мертвыми, f есть правило замены; замена дерева или металла может требовать большей или меньшей работы, живым объектам можно что-то приказать, тогда как мертвые нужно передвигать руками. Только и всего.

Это не важно, но все же не хотелось бы лишь переставлять игральные фишки. Можно ведь конкретизировать замену. Итак, в различных точках подлежащего преобразованию множества, скажем, в углах квадрата, устанавливают явно различающиеся объекты. Это делается лишь для того, чтобы ясно осознать, как действует замена, будь заменяемые объекты деревянными или металлическими, красными или зелеными, круглыми или треуголь-

ными, живыми или мертвыми. Если / — правило замены, то важно лишь следующее: то, что было в х, переходит в fx.

Это неудобно, ибо чересчур абстрактно. «Как всегда» за этим скрывается некая переменная, которая позволяет сделать обобщение. А нельзя ли конкретнее? Дадим фишкам или тому, что там есть, имена; скажем, красный, лиловый, зеленый, желтый или Алла, Борис, Вера, Григорий. Расположим их; это — «основное расположение». Тогда обо всем можно говорить куда проще; скажем, при отображении (а) меняются местами Алла с Борисом и Вера с Григорием, и аналогично — при отображениях (6) и (с).

Так формулировать удобнее. Однако это верно лишь для основного расположения. Если одно из отображений уже выполнено, то основное расположение изменилось, и что же теперь? Сохраняется либо, например, правило «а меняет местами объекты, расположенные на СВ и на СЗ, а также объекты, расположенные на ЮВ и на ЮЗ», либо правило «а меняет местами Аллу с Борисом и Веру с Григорием».

Эти правила различны. Перемена мест выполняется поэтапно, но определяющим было «основное расположение». До сих пор было безразлично, каков вид фишек или имена объектов. Теперь каждый получает свой «дом» (такое наименование встречается в литературе); можно сказать также, что каждое место получает своего определенного «съемщика», который, впрочем, может путешествовать. Теперь качества фигурок относятся к местам, на которые действует отображение.

। ( ’Можно начать с другого конца. Мы хотим конкретизировать отображения. Только что мы связывали отображенные объекты с занимаемыми ими местами; теперь мы будем исходить из множества объектов, которые должны где-то находиться. Скажем, лев, слон, верблюд должны с помощью отображения / подвергнуться циклическому преобразованию. Следовательно, / «преобразовывает» льва в слона, слона — в верблюда, верблюда — в льва. При этом неважно, находятся ли звери в Африке или в трех различных зоопарках. Или речь может идти о четырех блоках; двух треугольных и двух круглых, двух красных и двух синих, и эти блоки преобразовываются друг в друга, изменяя форму или окраску или и то, и другое.

При такой конкретизации нужно вообще представить себе множество различных предметов, а / — правило преобразования, по которому предмет х преобразовывается в предмет /х.

Эго подходящая конкретизация. Но достаточна ли она? Может быть, в этой конкретизации чего-то не хватает, если мы лишь представляем себе предметы? Конкретные предметы находятся ведь где-то вообще, и, чтобы сделать их обозримыми, нужно эти предметы упорядочить осмысленным образом, скажем, как на рисунке 15.

Чтобы еще усилить конкретность, можно обозначить места их расположения: скажем, справа вверху — СВ (северо-восток) и т. п. Но можно уже предвидеть, чем кончится эта трагедия. И это действительно трагедия заблуждений.

Давайте разберемся. Речь идет о двух видах конкретизации отображений (независимо от прежних графиков или систем стрелок):

Перемены мест и преобразования

Множество, в котором выполняются отображения,—это множество мест.| множество объектов.

Правило / указывает, что

объект, находящийся в х,I объект х превращается

перемещается в fx.|в fx.

Обе конкретизации вообще применимы, если уяснить, что объекты, находящиеся на I места расположения объ- определейных местах,|ектов

не должны играть существенной роли. Необходимо ясно подчеркнуть: то, что происходит с объектом под действием f, зависит

не от вида объекта, а лишь I не от места расположения, от занимаемого им места.| а лишь от самого объекта.

Здесь к весьма опасному заблуждению может привести установление предварительной связи между объектами и занимаемыми ими местами в форме

начального расположения. | симметричного положения.

Полная конкретизация понятия отображения, т. е. относительно места и объекта (если не говорить о графиках и стрелках), едва ли возможна. Школьник, который должен конкретно осознать понятие отображения, окажется перед альтернативой, абстрагировать ли

занимаемые места от I объекты от занимаемых объектов,I ими мест,

т. е. характеризовать

места без указания объектов. | объекты без указания мест.

Из психологических соображений вряд ли можно сомневаться, что второй способ предпочтительнее и должен предшествовать первому. «Фишка», «треугольник», «круг» следует различать раньше, чем «здесь», «там», «справа», «слева». Однако дидакты, которые конкретизируют отображение с обеих точек зрения, предпочитают начинать с первого способа. Это не удивительно: первьш способ восприятия — очевидно, по аналогии с геометрией — ближе к математике.

Рис. 16Рис. 16Почти все теоретико-групповые эксперименты в школе неудовлетворительны в этом отношении. Здесь царит неясность, простирающаяся от легких заблуждений до грубых ошибок. Две точки зрения, которые следовало бы резко разграничивать, объединяют как в формулировках задач, так и в их решениях. Грубые ошибки, которые при этом допускают, я хотел бы разъяснить на примере.

Рис. 16

Рис. 16

Пусть трое детей — Алла, Борис и Вера— расставлены по кругу (рис. 16) и шесть отображений т, а, б, в, п, л заданы так:

т — тождественное преобразование;

а — Б и В меняются местами;

б — А и В меняются местами;

в — А и Б меняются местами;

п — каждый переходит на соседнее место справа; л — каждый переходит на соседнее место слева.

Такое задание отображений содержит путаницу, так как при описании а, б и в речь идет о перестановке объектов (независимо от занимаемых ими мест), а при описании пил — о переходе с места на место (независимо от того, какие объекты стоят на этих местах). Эта путаница проявляется в том, что, хотя для указанных отображений и можно составить таблицу умножения, группы не получается, так как нарушается условие ассоциативности.

Автор этого примера смешал два вида отображений. Эти отображения вместе можно рассматривать лишь на множестве пар (лицо, место), где лицами являются Алла, Борис и Вера, а места соответствуют 12 часам, 4 часам и 8 часам на циферблате. Множество, где действуют эти преобразования, состоит из девяти элементов, а действующая на нем группа преобразований — из 6 • 6 = 36 элементов, образующих прямое произведение двух симметрических групп перестановок трех элементов.

Из многих педагогов, занимающихся этой областью, лишь немногие чувствуют, сколь она опасна. Я особо подчеркиваю, что пионер в этой области, Золтан Дьенеш, ведет себя здесь безупречно. Кто однажды понаблюдает за ним во время экспериментов, будет удивляться также и осторожности великого искусника, с которой он ведет своих учеников как бы по канату, переброшенному над пропастью. Это ученики, находящиеся на нулевой стадии изучения. Но этот путь непригоден для руководства более взрослыми, которые обычно находятся на более высокой стадии.

Более взрослые воспринимают «групповые игры» Дьенеша гораздо менее инстинктивно, и это объясняет недостатки в практической работе и в разъяснениях, даваемых самим Дьенешем, недостатки, простирающиеся от ошибочных формулировок до грубых противоречий.

Уже при рассмотрении диаграмм Венна мы обнаружили опасность «конкретизации во что бы то ни стало», которой учитель угрожает школьнику, а автор учебника — учителю. И хотя ошибка является лишь формальной, ее влияние распространяется и на содержание. Чтобы избежать таких ошибок, нет необходимости сразу же проводить формальный анализ вроде вышеприведенного. Некоторые как бы интуитивно чувствуют эту ошибку. Различие между двумя конкретизациями отображений известно разве что специалистам по кристаллографии. В кристаллах определенные атомы расположены на определенных местах; следует ли рассматривать симметрию кристаллов как отображения, которые меняют атомы или занимаемые ими места? И то, и другое допустимо, и лишь смешение ведет к заблуждению. Кристаллографы знают дидактические трудности, к которым оно приводит.

Подобная трудность возникает в связи с понятиями ковариантности и контрвариантности. В восприятии, которое я назвал координатным, по выбору определяли начало и эталонную меру для точек на прямой и описывали сложение и вычитание как преобразование координат. Следовательно, если числа на прямой представить как пронумерованные фишки, то имеют место не перемещения, а преобразования. При этом едва ли можно избежать необходимости рассматривать отображение субстрата, т. е. прямой, в определенной системе координат и тем самым оказаться в болоте противоречий. Поэтому я предлагал постоянно закрепить числа на числовой прямой (объектное восприятие). В данном случае это, однако, едва ли выполнимо. Здесь, когда объектами должны быть не числа, а как бы фишки, восприятие отображения как переобра- зования настолько естественно, что о нем следует хотя бы упомянуть, чтобы предостеречь от него.

Кристаллографы и очень опытные математики могут преодолеть эти затруднения интуитивно. Но, чтобы правильно повлиять на авторов учебников и учителей, совершенно необходимо провести анализ вроде вышеприведенного.

Можно думать, что все это не относится к обучению. Это верно, если ограничиться обучением отображениям и теоретико-групповым вопросам на нулевой стадии, если мы удовлетворимся, что школьник осознает изоморфными две группы, группу замен и группу превращений (точнее сказать, они не изоморфны, а антиизоморфны, но лишь с помощью сомнительных искусственных приемов руководителю может удастся убедить школьника в отсутствии изоморфизма). Должны дети воспринимать изоморфизм как некое чудо или у них должно зародиться неясное чувство более сложных зависимостей?

Мне кажется, что границы возможностей этого материала здесь ясны. Для работы на нулевой стадии требуется по меньшей мере, чтобы школьники могли в достаточной мере абстрагировать места от объектов и объекты от занимаемых ими мест. Для продвижения на более высокую ступень необходимо, чтобы школьник мог

провести анализ вроде приведенного выше (хотя нет необходимости, чтобы он смог его сформулировать). А чтобы некто мог преподавать этот материал, нужно потребовать, чтобы он в совершенстве овладел таким анализом.

Далее автор упоминает дополнительные трудности, с которыми Дьенеш связывает этот материал. Речь идет о группе взаимно однозначных отображений множества V на себя, которая является однотранзитивной, т. е. такой, что каждой паре элементов (х, у) из V соответствует ровно один элемент f из G такой, что fx = у. В V определяется групповая операция и устанавливается изоморфизм G и V.

Применяя этот метод установления изоморфизма между V и G к разобранным выше примерам, автор получает таблицу умножения в группе, составленную из переставляемых имен, но отмечает, что трудно понять, как функционирует такое соответствие. По его мнению, этого не понимают многие, ведущие преподавание в этой области. Он считает главным здесь, что такой переход от одной трактовки отображений к другой дидактически весьма утомителен.

Определение функции. Я еще вернусь позднее к обозначению функции; здесь мне хочется рассмотреть определение функции. Разумеется, я имею в виду не формальное «определение», а скорее процесс определения, психологические и педагогические предпосылки понятия функции и ее операционное определение, т. е. способ обращения с этим понятием. Скорее следовало бы говорить не об определении, а о представлении функции.

Хотя выражение «функция» восходит к Лейбницу, едва ли у Лейбница встречалась функция в нашем понимании, а обозначения функции не было и в помине; то, с чем оперировали Ньютон и Лейбниц, а также их ученики, мы назвали бы ныне величинами. Величины х,у, 2,... изменялись, но не независимо, а в некоторой взаимозависимости. Если величине х придать приращение dx, то у тотчас изменится на dy и отношение dy к dx становится новой величиной, расширяющей набор имеющихся величин. Взаимосвязь между величинами х, у, 2, ... лишь в редких случаях точно обозначалась, если речь не шла об особых или специфических взаимосвязях. Именно так рассматривал вопрос анализ в XVIII в.; и поскольку в это время была создана аналитическая механика, то этот стиль и поныне господствует в механике: путь определяется через время, скорость— через время и, если требуется, даже скорость — через путь и путь — через скорость, причем всегда мыслится путь, пройденный некоторой материальной точкой, и мгновенная скорость этой точки в данный (переменный) момент. Этот способ, применяющийся в некоторых областях физики (разумеется, не во всех и тем более не в современных), весьма наивен, но практически удобен.

Математикам следовало бы уделять этому методу больше внимания и пользоваться им по мере надобности. К сожалению, в прошлом веке, главным образом благодаря работам Якоби, этот метод был связан с понятием функции. В результате появился непо-

нятный запутанный язык, которым математики теперь уже более не пользуются.

Несовершенные языки могут быть прекрасным средством для объяснений. С помощью рисунка на доске и указания пальцем лектора — вроде «эта точка», «та точка» — слушатели, мыслящие теми же представлениями, что и лектор, могут, скажем, ясно понять нечетко сформулированные математические рассуждения. Но обычно этому туманно-интуитивному языку предпочитают более надежный формализм.

Символы функций мы впервые встречаем у Эйлера и Далам- бера в работах о колебаниях струны. Там встречаются и первые дифференциальные уравнения, решения которых выражаются с помощью произвольных функций. Лишь с XIX в. в учебниках появляются систематические разъяснения понятия функции, которые, скажем, гласили: функция — это закон, по которому каждому числу из некоторой данной области ставится в соответствие определенное число. В геометрии XIX в. это же понятие появляется под названием отображения или преобразования; но лишь в XX в. было замечено, что функции являются отображениями особого вида. Ныне эти наименования употребляются почти как синонимы.

В приведенном выше определении функции встретилось слово «закон». Но что такое закон? Ладно, скажем вместо этого «соответствие». Едва ли что-то изменится. Функция (или отображение) R в S определена, если для каждого элемента R известен соответствующий ему элемент в S. Следовательно, функция—не что иное, как подмножество множества пар, первый элемент которых принадлежит R, а второй S, т. е. подмножество из (R, S), которое должно удовлетворять некоторым условиям. Иначе говоря, функция из R в S есть особое отношение между R и S; подмножество (R, S) некоторые также называют отношением.

Теперь одно замечание об «отношении». Еще недавно отношением считалось нечто вроде «... старше, чем...», т. е. схема, которая паре субъектов (скажем, Ивану и Марье) ставила в соответствие высказывание (Иван старше, чем Марья). Такое отношение логически соответствует теоретико-множественному отношению, коль скоро субъекты ограничены множествами R и S; пары, удовлетворяющие отношению истинности, образуют теоретико-множественное отношение; но, разумеется, логическое и теоретико-множественное отношения — это не одно и то же. Можно лишь сожалеть, что математики заимствовали название «отношение» у логиков, которым оно столь необходимо.

Последний абзац был не просто растеканием мыслью по древу. Под «законом» подразумевается именно логическое отношение, которое, если оно соблюдается, каждому элементу из R сопоставляет элемент из S. Любопытно, что это логическое отношение можно преобразовать в теоретико-множественное, однако это не больше, чем любопытно. Теоретико-множественное определение функции вов-

се не точнее, чем исходное, если «закон» понимают как логическое отношение с известными свойствами.

Многие не верят этому. Они считают, что «закон» и «соответствие» — нестрогие понятия, а «подмножество» более строго; однако это лишь самообман. Подмножества данных множеств определяются соотнесением символов «да» и «нет» элементам данного множества. Значит, в действительности это особые функции, имеющие не более двух значений. И все это достаточно шатко. Никто не знает точно, что такое подмножество. В основаниях математики понятие подмножества выявляет коренную неясность теории множеств. Предпочтение определения функции с помощью отношений есть самообман; при этом лишь убеждают себя, что такой подход больше в духе экстенсионалистских тенденций современной математики.

Как же теперь дидактически ввести понятие функции? Идти ли по первому пути («закон, по которому ...») или по второму («подмножество, которое...»)? Рассмотрим примеры некоторых функций: функция «номерной знак автомобиля ...». Я должен сначала образовать все пары (автомобиль, номерной знак) и установить, что чему принадлежит; грубо говоря, я вначале должен все возможные номерные знаки примерить ко всевозможным автомобилям и затем убрать несоответствующие? Или просто объявить, что каждому автомобилю соответствует один номерной знак, и это соответствие называется «номерной знак для ...»? Единственным аргументом против второго способа является его пугающе простая формулировка, тогда как математика, по старой пословице, —это искусство усложнять простые вещи.

«Мать...», «трижды...», «верхняя грань...» — эти функции показывают все ту же наглядную структуру отображения, соответствия, которые лишь затемняются обобщенным понятием отношения, будь то логического или теоретико-множественного вида.

Это был первый пункт моих рассуждений. Пунктом вторым является сочетание функций, вывода их друг из друга. Лишь с точки зрения отображений это можно разумно мотивировать; если же исходить из отношения вообще, то это совершенно непонятная операция.

Но самым важным является третий пункт. Определение функции через отношение по форме и по содержанию нигде не применяется. Я убедился в этом, просмотрев большое количество учебников. После того как функция однажды определена формально через отношение, можно забыть это определение и ни разу не вспомнить, где его можно применить. Кроме разве одного исключения — в самих учебниках; в некоторых есть даже задачи, чтобы поупражняться в этом определении, но с окончанием подобных упражнений определение можно похоронить окончательно.

Это снова роковой результат неверной дидактики: нечто, что, очевидно, не может быть применено разумным образом, развивается с целью упражнений в самостоятельный раздел школьной математики, не имеющей ничего общего с настоящей математикой. Это

печальная история: подобная тема, коль скоро ее ввели однажды, стала традиционной и ее никак не удается искоренить.

Где встречаются отношения? Так как некоторые дидакты считают, что понятие отношения более фундаментально и всеобще, чем понятие функции, и так как по их дидактическим воззрениям фундаментальное и всеобщее следует развивать, они выводят функции из отношений. Вследствие этого они подробно изучают отношения. Где же действительно можно обнаружить отношения? Примеры найти достаточно просто. Однако отношения, в противоположность функциям, не играют роли в приложениях. В некоторых языках отношение означает также родство, поэтому авторы учебников обращаются к родственным отношениям и основательно эксплуатируют их; нельзя не согласиться, что это весьма продуктивная область. Конечно, это не является серьезной математикой или серьезным приложением математики; это не имеет ничего общего и с математическим моделированием; это лишь подтасовка, фальсификация математических структур.

Причина, по которой отношение едва ли играет важную роль, лежит глубже. С точки зрения естествознания отношение имеет чисто регистрирующий характер. Отношение «отец — сын» является лишь перечнем всех пар «отец — сын», аналогично обстоит дело с отношением «<» в упорядоченном множестве. Но науку интересуют не описательные перечни, а зависимости между молнией и громом, между курением и раковыми заболеваниями, между ростом отца и ростом сына (является ли рост сыновей большим, чем рост отцов). Речь идет не об отношениях «отец — сын», не о перечне пар «отец — сын», а о взаимосвязях между свойствами пары. Вообще говоря, интересуются, скажем, зависимостью между двумя аспектами (курение и рак, солнечные пятна и магнитные бури). Зависимость описывается не отношением, а тем, что обычно называют корреляцией. Это означает, что надо не ограничиваться регистрацией типа «да — нет», а тщательно подсчитывать, сколь часто соединены «курящий» или «некурящий» с «заболевшим» или «незаболевшим» раком, не регистрировать, кто чей сын, а подсчитать, как часто данный рост отца соответствует данному росту сына. Как функция охватывает причинную структуру мира, так корреляция — стохастическую. В этом контексте отношение ничего не обозначает.

Нужно ли загодя разбирать отношения? Я согласен, что это может быть любопытной игрой в родственные отношения, но связи с какой-либо математикой я здесь не вижу. Конечно, это прекрасное упражнение: исследовать, почему отношение «брат» транзитивно, а отношение «сводный брат» нетранзитивно; или отношение «брат» свести с помощью кванторов к отношению «дети — родители».

Конечно, в какой-то момент можно исследовать такие свойства отношений, как рефлексивность и транзитивность, но это невозможно, пока у нас не будет убедительных иллюстраций к этим свойствам. Стоит еще заметить, что многие функции имеют свои особые названия, тогда как едва ли можно найти столь важное отношение, которому стоило бы дать особое название.

Конечно, отношения встречаются в математике, но знаменательно, что случаи, когда отношения действительно нужны, никак нельзя считать иллюстрацией важности понятия отношения. Таковыми, например, являются комбинаторные задачи, которые мы раньше упоминали в другой взаимосвязи, скажем: «Сколько диагоналей имеет Ai-угольник?»

Здесь мы встречаемся с отношением инцидентности между множеством А из п вершин и множеством В из т диагоналей. Каждый из п элементов множества А инцидентен (п — 3) элементам множества В; каждый из т элементов множества В инцидентен двум элементам множества А; поэтому

п (п — 3) = 2m,

(п — 3) п откуда следует, что т = -—

Или: куб имеет 8 вершин (множество Л), 12 ребер (множество В). Каждый из восьми элементов множества А инцидентен трем элементам множества В; каждый из 12 элементов множества В инцидентен двум элементам множества Л. Проверяем:

8 • 3 - 12 • 2.

Здесь отношения оказываются в осмысленном контексте. Это, конечно, не является необходимой причиной для раннего введения отношений и не служит аргументом для подробного рассмотрения отношений. Во всяком случае, для введения функций не требуются отношения. Функции могут даже предшествовать множествам.

В разделе «Экскурс к категориям» критикуется встречающаяся в некоторых учебниках манера определять упорядоченные пары (а, 6) как множества вида

{я, {й, 6}}

и отмечается неоперациональность такого определения. Определения должны быть операциональными: фундаментальные определения, которые можно тут же забыть, никуда не годятся. Объекты следует определять с помощью правил их употребления; хотя это и не всегда удается, но каждое ул успение в этом плане следует рассматривать как шаг вперед.

Схема определений через свойства универсальности и дуализа- цию обобщается в теории категорий; категория же состоит из объектов и морфизмов.

Тем, кто догматически верит в необходимость сведения всех проблем математики к теории множеств, автор рекомендует продумать проводимые в этом разделе рассуждения.

Спорный вопрос о функциях. Из высшей математики я знаю «функцию» как синоним или почти синоним «отображения». Слово «функция» предпочитают в том случае, когда значениями (образами) являются числа или векторы.

До определенного времени я не знал иной терминологии. Поэтому я был ошеломлен реакцией на одну статью, которую я написал однажды для газеты; у меня сложилось впечатление, что статья оказалась неудачной. Суть дела выяснилась позже на курсах усовершенствования. Там, к моему неописуемому удивлению, я услышал, в чем была величайшая проблема при обучении множествам и функциям. Проблема заключалась — я едва мог поверить — в том, должна ли функция из Де В быть определена всюду на А. Некоторые, прочитавшие мою статью, молчаливо исходили из того, что я рассматривал эту проблему, ибо какую же еще проблему я мог рассматривать? Мою статью читали, исходя из такой точки зрения, и это было равносильно катастрофе.

Терминология, по которой функция из А в В есть отношение, которое каждому элементу из А ставит в соответствие не более одного элемента из В, идет из определенных школьных учебников. По этому определению функция может даже оказаться пустой. До последнего времени я и не слышал о таком определении. Оно сотворено школьной математикой, чтобы удовлетворить определенные потребности (или мнимые потребности) этой школьной математики, — так мне рассказали.

Как, скажем, следует сформулировать задачу:

«Построй график функции f такой, что / (х) = — (х € 7?)»?

X2

Мой ответ гласил: «Именно так, как она здесь сформулирована».

— Но тогда мы не должны считать верным ответ школьника «не существует функции /из R в R такой, что / (х) = —?

X2

— Нет, — отвечал я, — это хоть и верное утверждение, но оно не решает задачу. Мы ведь не требовали «построй график функции / из R в R, который удовлетворяет условию / (х) = —»? Функция

X2

/ из А в В состоит из трех частей: из множеств А и В и части [Д, В]. Если хотят построить функцию, то нужно искать все три части. Во всяком случае, существует много функций, являющихся решением вышеназванной задачи; можно ведь взять в качестве А любую часть множества /?\{0}. Чтобы избежать этого, можно было оговорить «функцию с определенным свойством», означающую, скажем, функцию с максимально возможной областью определения. Есть еще многозначность относительно В, которым может быть любое множество между {х € Л | х > 0} и самим R. Можно оговорить, что В берется минимальным или что В произвольно.

В высшей математике терминологией в этих условиях было бы: «Пусть / — функция, для которой / (х) = — там, где это выражение

X2

имеет смысл ^х 5 /?)».

Другая интерпретация, по которой функция из Л в В не должна быть везде определена, является заманчивой, и было бы приятно, если бы кто-то на ранней стадии развития математики пришел к мысли отличать таким образом функцию от отображения. Однако этого не произошло, и я не знаю, разумно ли ныне менять всю терминологию лишь для того, чтобы было удобнее формулировать некоторые школьные задачи. Как бы то ни было, проблемы обучения теории множеств — немалые проблемы, но плохо, если одно лишь их существование отвлекает внимание математиков от действительно важных проблем.

Обозначение функции* За последнюю четверть века язык математики существенно изменился, — это значит изменился как язык формул, так и язык вокруг формул. А теперь некоторые удивляются, почему этого изменения так долго ожидали. Но ведь и математики не выбрасывают старую обувь, пока не убедятся, что новая не жмет им ноги. Традиционные обозначения и выражения используются, пока только это возможно (и даже немного дольше); новшество признается лишь тогда, когда старое изживет себя.

Функция традиционно обозначалась через / (х), или у = f (х), или F (х, у) = 0 (и часто не было очевидно, что является функцией чего). Это традиционное обозначение было бесспорным, пока математики рассматривали одновременно только одну функцию. Однако в функциональном анализе, в теории гомотопий1 и постепенно во все новых областях исследований рассмотрение отдельных функций заменяется изучением множеств, колец, идеалов функций. Я уже разъяснял это и относящиеся к нему проблемы в ч. I, с. 27.

Как же выразить, что функция принадлежит некоторому множеству Л? f (х) € Л означает нечто иное, а (у = f (х)) С Л или (F (х, у) = 0) € Л — явная бессмыслица. Единственный выход — обозначить функцию через /, а ее принадлежность к Л — через f € Л. Это один из многих аргументов против допустимости прежнего плохо продуманного обозначения функции. Функция, ставящая человеку в соответствие его мать, называется «мать ...» вместо прежнего «мать икса»; функция, ставящая некоторому х в соответствие f (х), называется f; функция, ставящая х в соответствие log х, называется log и т. п.

Но как же назвать функцию, преобразующую х в х2 — Зх + 2? Как выразить, что переменная х в этом выражении — связанная переменная? Часто это делают описательно, скажем так:

Пусть / — функция, определяемая равенством

/ ^ = х2 — Зх + 2.(1)

яГомотопия — одно из специальных понятий топологии (прим. ред.).

Это затруднительно, и едва ли возможно так поступать в течение длительного времени. Другие предпочитают писать:

х х2 — Зх + 2.(2)

Логики привыкли к X по Чёрчу:

(Хх) (х2 — Зх + 2).(3)

Мне больше нравится по Расселу:

х(х2 — Зх + 2),(4)

причем из соображений типографского характера я предложил бы • «надеть» ^ на стрелку, т. е. писать

Тх (х2 — Зх + 2),(5)

— предложение, с которым читатель уже мог освоиться. Область изменения переменной можно задать попросту:

^з <х <41 (х2 — Зх + 2),

что невозможно в обозначении (2). Символ (3) имеет тот недостаток, что необходимое для обозначения переменной X зря используется для синтаксической цели. Символ (5) больше похож на обычный способ связи переменных, который применяется в у и А, тогда как (1) и (2) ненормальны и негибки, как показывают следующие примеры.Yx (х + fl)

— перенос на вектор а. ^ у (х + а)

— часто применяющееся отображение, которое вектору а ставит в соответствие перенос вдоль а. По методу (1) это следовало бы сформулировать так:

Пусть Та определено через Тах = х + а для всех х € R.

Тогда Т определено через Та = Та для всех а € R.

По способу (2) это же отображение следовало бы обозначить так:

а -> (х -> х + а),что ненаглядно, особенно если выражения будут более сложными.

Вот еще подобный пример. Пусть G — группа. Тогда Ххаха-1

— важный гомоморфизм, который отображает группу G на группу ее внутренних автоморфизмов.

Еще пример. / — функция действительной переменной

L f (X - а)

та же функция, перенесенная вправо на расстояние а;

W (х — а)

преобразование сдвига функций на а,

— отображение, которое каждому а ставит в соответствие сдвиг на а.

Способ обозначения путем превращения выражения в знак функции будет необходим еще долго. Я предложил вышеуказанное; лучших предложений я пока не знаю. Точно так же нужно надолго обусловить приемлемый способ обозначений, который прекратит нынешнюю путаницу с фигурными скобками; там я тоже внес предложение, которое не стану здесь повторять.

Насколько это связано с обучением? Нужно ли вводить в школе особые знаки, вроде Т? Ответ прост. Я привел три примера применения знака Т, особенно для итеративного применения. Преимущества знака Т перед другими обозначениями хорошо проиллюстрированы этими примерами. Я считаю, что следовало бы ввести в обучение такой или подобный знак там, где он является операционным символом в смысле приведенных примеров. И, как всегда, нужно избегать изложения неоперационного формального материала.

ПАДЕНИЕ ГЕОМЕТРИИ

Высокомерие предшествует падению.

(Немецкая пословица.')

Раннее изучение Евклида сделало меня ненавистником геометрии, что, я надеюсь, может служить мне некоторым извинением, если кто-либо в этом зале (а мне хорошо известно, что некоторые считают Евклида второй по святости книгой после Библии и рассматривают его как один из аванпостов британской конституции) окажется шокированным тоном, которым я ранее отозвался о нем, как о школьном учебнике; и все-таки, несмотря на эту антипатию, которая стала для меня второй натурой, всякий раз, когда я продвигался достаточно далеко в каком-либо математическом вопросе, — я обнаруживал, что я, в конце концов, прикасался к геометрическому дну.

(Сильвестр. Собр. соч., ч. II, с. 660.)

В течение нескольких последних лет были сделаны определенные усилия с целью заменить «Начала» Евклида в наших школах, но большинство опытных учителей рассматривают эту книгу как лучшее основание геометрического мышления из всех опубликованных до сих пор. (Раус Болл. Краткая история математики, 1888, с. 51.)

Геометрию долгое время считали синонимом математики. Были, конечно, и другие ветви — алгебра, тригонометрия, исчисление бесконечно малых, механика, — но все это было скорее собранием случайных, плохо обоснованных формул, тогда как геометрия —

идейно законченной системой, где одно строго логично вытекало из другого и все сводилось в конце концов к определениям и аксиомам. Геометрия казалась самой истиной.

Но это преклонение перед геометрией ныне исчезло. Паш и Гильберт показали своими системами аксиом неполноту древней геометрии. С другой стороны, системы аксиом по Пашу — Гильберту были настолько сложны, что их можно было знать, проводить на их основе исследования обоснований, но не заниматься на их основе геометрией и, разумеется, не преподавать по ним геометрию.

Геометрия была не только основной частью дедуктивной науки; она была старейшим и образцовым примером дидактики. Древнейший урок, о котором до нас дошло письменное свидетельство, был пробной лекцией, которую якобы провел Сократ в присутствии Менона для его раба, хотя эта лекция могла быть и выдуманной. Однако не случайно, что предметом этого пробного урока Сократа была именно геометрия. Геометрия и поныне является прекрасным предметом для применения сократического и эвристического методов; лишь еще теория вероятностей может также служить для этой цели.

Дедуктивная структура традиционной геометрии не всегда рассматривалась как дидактический успех. Есть люди, считающие причиной этого то, что геометрия недостаточно дедуктивна. По моему мнению, причина заключается в том, что дедуктивность не изучается эвристическим методом, как у Сократа, а школьникам ее изучение просто навязывают. Во всяком случае, сегодня многие проповедуют отмирание геометрии, причем среди тех, кто должен был бы приобщать молодежь к культурному наследию, многие радуются, что геометрия должна отправиться на свалку. Традиционной геометрии, если она где-то еще и существует, уже недолго осталось жить. Что же будет? Этот неотложный вопрос и побудил меня вынести его в название главы. Падение геометрии — может быть, она приговорена к смерти, и мы хотим, по крайней мере, обставить эту смерть торжественно? Справедливо ли она приговорена? Были у нее только обвинители или также и защитники? Не пора ли подумать о переоткрытии методов?

Если ныне беспокоятся о судьбе обучения геометрии, если ныне боятся, что геометрия исчезнет из обучения, то не нужно искать оправданий для геометрии, которые приводят противники обновления обучения геометрии. Голоса тех, кто требовал этого обновления, уже затихли. Опаснее тс, кто надеется спасти прежнюю геометрию путем усиления ее дедуктивной структуры; это совершенно безнадежное предприятие. Геометрия—это не только дедуктивность.

Что же такое геометрия? На такие вопросы можно по-разному отвечать на различных этапах. На высшем этапе аксиоматически организованная геометрия — это часть математики, которая лишь по историческим причинам называется геометрией. Но, памятуя о

том, что я разъяснял, исходя из принципов воспитания, я хотел бы вначале выяснить, что такое геометрия на низшем, нулевом этапе. Едва ли следует сомневаться, что я должен ответить: восприятие пространства.

И коль скоро мы говорим о воспитании ребенка, то это восприятие пространства, в котором ребенок живет, дышит, движется, которое он должен узнать, исследовать и освоить, чтобы лучше в нем жить, дышать и двигаться. Или мы уже настолько привыкли к этому пространству, что не понимаем, насколько оно важно и для нас, и для тех, кого мы воспитываем? Ах, да, может быть, оно и важно, возразят мне, но не для геометрии; геометрия — это ведь математика, и она требует более прочных обоснований, чем реальное пространство, которое является объектом интересов физиков, а для истинного математика оно вообще подозрительно.

Геометрия — наука о пространстве, о физическом пространстве! Как старомодно звучит это! Вряд ли можно поверить, что современный математик отважится на такое высказывание. Если уж физическое пространство столь важно, то нужно предоставить его физикам. Мы-то ведь математики. Мы — создатели математических структур, и, если физики или кто-либо еще хотят использовать его, пусть возьмут себе. Но на зыбком песке реальности нельзя построить математическую систему, и математику следует оберегать от соприкосновения с недедуктивной заразой. Математическая система превыше всего, и если система требует, чтобы геометрия начиналась с изучения аффинной плоскости, то физическое пространство с его твердыми телами, расстояниями, движениями может быть лишь препятствием на пути к хорошей математике.

Это одна из философий, и она может быть хорошей философией. Занимаясь построением дедуктивной системы, можно закрыть глаза на соблазнительную реальность, можно забыть, как в действительности выглядит треугольник, забыть, что можно сделать его из дерева и перемещать куда угодно. Но существуют и другие занятия, кроме построения дедуктивной системы; существуют школьники, которые никогда не строят свою дедуктивную систему, а лишь воспроизводят таковую, поскольку вынуждены изучать математику. Мы не должны ожидать и тем более требовать, чтобы и они усвоили эту философию.

Однажды я наудачу записал ряд вопросов, которые пришли мне в голову и которые можно поставить, если хотят исследовать пространство:

— Почему при перегибании листа бумаги получаются прямые складки?

— Почему бумажный рулон жесткий?

— Почему, завязывая полоску бумаги узлом, получают правильный пятиугольник?

— Как образуются тени?

— Как выглядит пересечение шара и плоскости, пересечение двух шаров?

— Какая кривая служит терминатором на Луне?

— Почему радиус можно отложить вдоль окружности ровно шесть раз?

— Почему отрезок является кратчайшей линией между двумя точками?

— Почему плоскость можно замостить равными треугольниками, а равными пятиугольниками нельзя?

— Как измеряют большие расстояния на Земле, диаметр Земли, расстояния до небесных тел?

— Как выглядит куб, если смотреть на него вдоль диагонали?

— Что больше: поверхность шарового сегмента или боковая поверхность цилиндра, описанного около этого сегмента?

— Как проходит кратчайший путь светового луча, отраженного от зеркала?

— Как действует калейдоскоп?

— Как вписать в тетраэдр шар максимального радиуса?

— Какие замкнутые кривые имеют одинаковую ширину по всем направлениям?

— Как изменится уровень жидкости в сосуде, если добавить определенное количество жидкости?

— Как относятся между собой истинные и кажущиеся измерения (длина, ширина, высота) некоторого тела?

— Почему, если разложить куб на шесть пирамид с вершинами в центре куба и «вывернуть» их на внешние стороны граней, возникает (ромбо) додекаэдр?

— Как можно измерить угол наклона прямой к плоскости углом между двумя прямыми?

— В каждой ли плоскости существует горизонтальная (вертикальная) прямая?

— Какие автоморфизмы допускает квадратная решетка в плоскости?

— Сколько точек на окружности единичного круга может содержать плоская решетка, если внутри этой окружности содержится лишь нулевая точка?

— В чем разница между левой и правой винтовой резьбой?

— Что такое жесткое перемещение на сфере?

— Почему выпуклый многогранник жесткий?

— Почему стол на четырех ножках может качаться? Чем он отличается в этом отношении от стола на трех ножках?

— Почему дверь подвешивают на двух шарнирах (петлях)? Как следовало бы установить еще третий?

И, наконец, старый вопрос:

— Почему зеркальное изображение заменяет правое левым, но не низ и верх? Что будет, если перед зеркалом не стоять, а лежать на боку?

Стоит заметить, что я здесь не поставил ни одного вопроса, необходимого для практической деятельности. Без такого ограничения было бы еще легче их найти. Среди вопросов нет и очень простых; это вопросы принципиальной важности, ответы на которые, впрочем, нс требуют творческих способностей. Они могут в какой-то степени разъяснить, что означает геометрия как восприятие пространства тем, кто этого не знает или не верит в это. Я уже раньше разъяснял, как важно, чтобы изучаемая математика была тесно связана с реальной действительностью. Только так можно обеспечить длительное влияние математики на обучающегося. Мы, математики, не забываем нашу математику, так как это наше основное занятие. Обычно же все, что не связано с повседневной жизнью, улетучивается из памяти. Для большинства людей математика не может быть целью; то из математики, что изучалось без связи с повседневной жизнью, будет забыто, а потому неэффективно. Геометрия же, если ее изучение начинается с восприятия пространства, тесно связана с действительностью, о которой мы помним постоянно. Так воспринимаемая геометрия может быть прекрасным средством обучать математике, увязанной с повседневной жизнью.

Я не могу утверждать, что описываемое здесь восприятие геометрии является новым. Наоборот, математики и дидакты давно уже подымали голос за такое построение геометрии — против дедуктивного. Я упомяну лишь о замечательных «Элементах геометрии» Клеро издания 1741 г. В Голландии такое построение геометрии пропагандировала в своих работах 20-х гг. Татьяна Афанасьева- Эренфест, сотрудница и супруга знаменитого физика Пауля Эрен- феста. Ее «Сборник упражнений для геометрической пропедевтики», изданный в Гааге в 1931 г., и поныне может служить сокровищницей геометрических упражнений. Ее идеи не распространились широко, но их воздействие оказалось длительным. Можно представить себе упреки, которые вызвала в те годы ее пропаганда. С одной стороны: «Это экспериментальная физика, а не математика». С другой: «Как же учитель сможет поддерживать порядок, если дети будут ходить по классу, подсчитывать шаги, измерять, заниматься с клеем и ножницами?» Ее требование начинать геометрию с восприятия пространства едва ли принимали тогда всерьез; ныне же это чуть ли не само собой разумеется в голландской школе. «Как можно говорить детям о шаре, если они еще не могут толком дать определение прямой линии?» — возражали в те годы. Ныне же все обучение математике пронизано ее требованием не доказывать на ранних этапах изучения геометрии таких вещей, в которых каждый может убедиться невооруженным глазом.

Татьяна Эренфест вовсе не отвергала дедуктивность. Она была знакома с математической аксиоматикой и пользовалась ею, но,

будучи физиком, она знала и о глубоком проникновении теории пространства в физику. Целью ее геометрии была вполне дедуктивная система, находившаяся под влиянием аксиоматики Гельмгольца. И в этом отношении она была ближе к сегодняшнему дню, чем ее современники; подобная аксиоматика и сегодня нам ближе, чем построения Паша — Гильберта.

Зачем нужно обучение геометрии? Цели и задачи обучения геометрии едва ли отличаются от целей и задачобучения математике вообще. Однако акценты здесь расставлены иначе.

С одной стороны, геометрия в большей степени служила для упражнения ума, чем другие части математики. Особенно важной представляется тесная связь геометрии с логикой. Верные выводы учит делать именно геометрия, тогда как алгебра большей частью тренирует подстановку в формулы и преобразование выражений. С другой стороны, в геометрии почти полностью отказывается служить такой важный критерий, как практическая полезность. Прагматическая программа в геометрии ограничивается небольшой группой теорем (скажем, Пифагора), несколькими очевидными предложениями о подобных фигурах и несколькими формулами о периметрах, площадях и объемах. Прагматизм не требует логической системы в геометрии, как это предписывают традиции со времен Евклида. Но аргументы полезности ни в коей мере не являются поводом для упразднения геометрии как учебного предмета, поскольку преподается множество гораздо более бесполезных вещей; геометрию упрекают не за ее логическую систему, а потому, что считают эту систему недостаточной.

Если хотят изложить школьнику геометрию в виде строгой логической системы, то лучше действительно отказаться от изложения вообще. Существуют более убедительные системы, чем геометрическая. Обучение геометрии может иметь смысл, если только используются связи геометрии с привычным пространством.

Если педагог упустит это, то он упустит незаменимую возможность: геометрия является одной из лучших возможностей обучения математизировать реальную действительность.

Геометрия предоставляет возможность делать открытия — мы увидим это на примерах. Конечно, можно исследовать и царство чисел, можно учиться думать в процессе счета, но открытия, которые делаются глазами и руками, более убедительны и более неожиданны. Фигуры в пространстве являются, пока в них нуждаются, незаменимым средством, чтобы вести исследования и делать открытия.

К этому нужно еще кое-что добавить. В 1956 г. я выразился так:

— Геометрия в качестве логической системы является мощным средством дать детям почувствовать силу человеческого разума, т. е. силу их собственного разума.

Я добавлял еще: «Если геометрия такова, то она является примером разрыва между идеалом и действительностью; примером, равных которому мы не знаем».

Я не знаю, придет ли ребенок, занимающийся математической проблемой, к выводу, что математика является продуктом человеческой гениальности; но я совершенно уверен, что математика является средством заставить ребенка отказаться от мысли о собственной умственной неполноценности.

Конкретный материал. Я цитирую Дину ван Хиле:

«Применение конкретного материала в начальной стадии обучения геометрии часто понимают превратно. Как те, кто поддерживает идею обучения на конкретном материале, так и те, кто отвергает его применение, называют его «экспериментальным методом». Следовательно, они видят применение конкретного материала, как шаг от обучения геометрии в теоретическом плане к обучению экспериментальной науке. Но на вводной ступени геометрия вообще не является наукой! Когда школьники покрывают плоскость равными треугольниками, они не выполняют чего-либо, что можно назвать экспериментом в смысле экспериментальной техники. Им даже не приходит в голову вопрос, подходят ли отдельные треугольники друг к другу; они заканчивают построение, когда общая структура усвоена, и не повторяют его с помощью других треугольников».

В самом деле, если экспериментальная геометрия означает, что школьник экспериментирует, то его математическая деятельность должна большей частью представлять собой экспериментирование, как у творчески работающих математиков. Если вспомнить об экспериментальной физике, то это совсем не так. Может быть, экспериментальную геометрию представляют себе так, что школьник обтягивает круг ниткой или взвешивает шаровой сегмент, чтобы определить, чему равна длина окружности или объем. Таким нелепым и бесперспективным занятиям предавались, пожалуй, раньше; их апогеем было составление набора формул. Введение же в геометрию, которое мы здесь имеем в виду, — это занятия на нулевой стадии, которые должны подготовить следующие стадии. Отношение детей к конкретному материалу здесь совсем не то, которого можно ожидать на уроках физики; оно совершенно отлично от реальности физической лаборатории, — это подтверждает пример из предыдущей цитаты.

Другое, весьма типичное, заключается в следующем; на первом уроке геометрии в классе Дины ван Хиле (возраст учащихся — 12 лет) дети должны были нарисовать тротуар с квадратными плитками. Один из детей нарисовал тротуарные камни с канавками между плитками, а в канавках песчинки. Краткого замечания оказалось достаточно, чтобы ребенок понял: такие детали не имеют отношения к геометрическому контексту.

Со времени Татьяны Эренфест к вводным урокам геометрии всегда намечается конкретный материал; но, разумеется, ныне это далеко не все: перегибание листков бумаги, вырезывание, склеивание, рисование, раскрашивание, измерение, паркетирование рассматриваются как геометрическая деятельность.

Важно, как применяется материал. Это не должна быть просто игра. Дина ван Хиле формулировала: смысл конкретного материала в том, что ребенок действует с ним, размышляя. «При вопросе, как изготовлено нечто, действуют и голова и руки совместно». Если на этой стадии даются определения, то они часто оказываются генетическими, т. е. указывают, как изготовляется определяемое. Если позднее нечто определяют другим способом, то обратная связь с ранее данным генетическим определением не должна опускаться. В конкретном материале должны быть корни последующего логического развития.

То, что обучение геометрии начинается с конкретного материала в реальном пространстве, вполне естественно. Я уже упоминал, что этот прием у нас теперь вошел в практику. Это совсем не традиционно. Евклид приступает к стереометрии лишь в 11-й книге. Любопытно, что те, кто больше всех критикует Евклида, в то же время больше всех подражают ему. Раньше было принято начинать планиметрию на седьмом году обучения, стереометрию — на десятом или на одиннадцатом. Школьники, хорошо усваивавшие планиметрию, нередко не могли справиться со стереометрией. Их пространственное воображение оказывалось подавленным из-за слишком частых и слишком односторонних упражнений по планиметрии.

Как следует работать с конкретным материалом, очень хорошо разъяснила Дина ван Хиле в своей диссертации.

Эксперименты Дины ван Хиле. Эксперименты проводились с двумя параллельными классами (I класс гимназии, седьмой год обучения, возраст — 12 лет).

Были показаны кубы различных размеров и из различного материала.

На полом демонстрационном кубе дети знакомятся с понятиями ребра и вершины. Подсчитывают количество ребер и вершин. Отмечают, что куб ограничен шестью квадратами. Учатся рисовать эти квадраты — составлять развертку куба. Изготавливают такой куб. Знакомятся с геометрическими инструментами. Как получить прямой угол? Дважды складывают листок бумаги — получается прямой угол.

На каркасной модели куба натягивают нитки—диагонали. Диагонали оказываются двух родов, они получают наименования. На картонном кубе изображают диагонали граней, подсчитывают их, измеряют. А как точно измерить пространственную диагональ куба? Крышка картонного куба откидывается, в руках у учительницы оказывается диагональная плоскость — прямоугольник, который можно вынуть из куба. Школьники рассматривают его и видят, как можно изготовить такой же и как измерить пространственную диагональ. Все это школьники выполняют своими ру-

ками. Подсчитывают, сколькими способами можно «вложить» диагональную плоскость внутрь куба. > , . <

Школьники изготавливают из картона правильный тетраэдр и учатся строить равносторонний треугольник. Какие же треугольники имеются в чертежном наборе? Не равносторонние, а прямоугольные.

Учительница показывает детям схему правильного октаэдра, в который вставлена одна из диагональных плоскостей; дети изготавливают такой октаэдр.

Затем рассматривается симметрия. Правая половина вазы изображается на доске. Дети понимают, что от них требуется, дорисовывают другую половину и проверяют построение с помощью зеркала. Анализируя этот метод, дети приходят к систематическому построению симметрии на плоскости. Затем рассматриваются другие симметричные фигуры и тела.

Как найти центр окружности? Окружности измеряются и сравниваются. Обсуждаются вопросы о точности измерения, округлении, оценке погрешности. В окружность вписывается правильный шестиугольник; отношение длины окружности к диаметру больше чем три. С помощью описанного квадрата показывают, что это отношение меньше чем четыре. Однако результаты некоторых измерений могут и не совпадать.

Берут четыре одинаковых карандаша и раскладывают в виде четырехугольника (не квадрата). Строят различные виды ромбов. Показывают также шарнирную модель ромба. Бумажный ромб складывают — и говорят о двух осях симметрии. Формулируют другие свойства ромба.

От ромбов переходят к построениям. Вначале в тетрадях располагают ромбы заданных размеров произвольно, потом — в указанном расположении (одна вершина задается, две другие должны лежать на данной прямой, четвертая — зеркальное отображение первой от той же прямой).

Затем систематически выполняются упражнения в отражении плоских фигур, выполняются основные геометрические построения. Изображаются и анализируются разнообразные красивые фигуры.

Изготовляются модели правильных шестиугольных призм, правильных восьмиугольных пирамид. Вводятся такие понятия, как «высота», «средняя линия». Выполняют много упражнений с ромбоидом, особенно при построениях на ограниченном куске плоскости.

Несколько уроков посвящается углам. Вместо строгого определения показывают понятие угла просто движением рук. Для рассмотрения углов используются часы. Вводится транспортир. Раз- ясняются понятия, связанные с углами, —этим и заканчивается первый триместр.

В диссертации Дины ван Хиле дается и описание второго триместра. Мы ограничимся здесь лишь изложением содержания курса.

Первый урок начался обсуждением понятия равенства фигур. Учительница привела пример: в классной комнате стоят равные стулья (а ведь по традиции в геометрии говорят лишь о равных треугольниках). После некоторых ошибочных заключений (например, «одинаковый объем») школьники усвоили понятие равенства — как «предметы, которые невозможно различить».

Одна из столбовых дорог ведет через равные плитки. Все школьники проводят по линейке совершенно одинаковые прямые. Обсуждаются различные примеры; параллельные прямые тоже содержатся в этих примерах, причем они не обязательно горизонтальные или вертикальные.

Второй урок. Учительница показывает, как с помощью чертежных инструментов проводят параллельные линии. Она показывает, как строить ромб; дети воспроизводят построение.

Третий урок. Учительница приносит наборы равных правильных многоугольников из картона. Детям предлагается замостить (паркетировать) плоскость этими многоугольниками. Можно ли это сделать, пользуясь треугольниками, четырехугольниками, пятиугольниками, шестиугольниками, восьмиугольниками? Если можно, надо сделать чертеж (для построения пятиугольника можно пользоваться транспортиром).

Четвертый урок. Учительница приносит наборы неправильных многоугольников из картона.

Пятый урок. Почему нельзя замостить плоскость правильными пятиугольниками?

Шестой урок. Паркетирование треугольниками можно видоизменить так, что они будут содержать только одну систему параллельных прямых. При этом обнаруживаются различные структуры. Одинаковые углы отмечают одинаковым цветом. Устанавливают сумму углов треугольника. Рассматривают три вида углов в каждой вершине «паркета». Затем то же — для четырехугольников. Как можно заранее определить сумму углов четырехугольника? Почему паркетирование правильными пятиугольниками невозможно?

Седьмой урок. В паркетировании плоскости треугольниками встречаются параллелограммы. Обсуждаются свойства параллелограмма. Отмечаются параллелограммы различных размеров. Обсуждается возможность увеличения размеров рассматриваемых параллелограммов. Трапеция. Возможно ли паркетирование шестиугольниками? Сумма углов больше, чем 360°, но иногда удается. Может быть, и для пятиугольников иногда получится? Невыпуклый четырехугольник.

Восьмой урок. Составляются логические деревья для полученных ранее выводов о сумме углов (не всякими пятиугольниками можно замостить плоскость). Структуры паркетирования рассматриваются заново. Обнаружение «лестниц» и «пил» (рис. 17и 18).

Девятый урок. «Лестница» и «пила» как средства упорядочения отношений между углами и параллельными прямыми.

Десятый урок. Логическое упорядочение отношений между параллельностью, «лестницей» и «пилой»; сумма углов треугольника.

И—17-й уроки. Увеличение размеров в паркетирова- нии; вращения, систематический

пересчет плоских фигур. Пло- рис# 17рис. jg

щади. Подобие. Систематизирующие определения.

На этом заканчивается собственно эксперимент во втором триместре. В третьем триместре снова вернулись к кубу. Диагональная плоскость делит его на две призмы. Школьники самостоятельно изготавливают модели этих, призм. Учительница показывает правильную пирамиду, основание которой совпадает с основанием куба, а высота равна половине ребра куба. Сколько таких пирамид составят куб? Как изготовить такую пирамиду? Какова длина ее ребер? И школьники изготавливают пирамиду.

Объемы изготовленных призм и пирамид. На каждую грань куба наклеивают упомянутую выше пирамиду. Какое тело получится? Объем ромбододекаэдра. Правильные и полуправильные многогранники.

Курс П. ван Альбада. На первом году (для 12-летних) давался вводный курс, который ниже будет описан более подробно. Затем следовали три года систематических занятий геометрией, а планиметрия всегда во взаимосвязи с пространством. Никогда не доказывались самоочевидные вещи. Геометрия рассматривалась при этом как исследование метрических свойств пространства. На пятом году повторяли и упорядочивали теорию, причем число недоказанных предложений резко сокращалось. Пучки и связки прямых и плоскостей рассматривались как пример плоской неевклидовой геометрии — чтобы установить, какие предложения евклидовой геометрии остаются в силе, возможно ли и как именно доказать их в общем виде.

Вводный курс вначале привел к осознанию и установлению понятия симметрии; затем следовали простейшие задачи начертательной геометрии; далее — вопросы перспективы (на какой высоте находился при съемке фотограф? Где было Солнце, где — телеграфные столбы?). Построение третьей проекции по двум данным. Про-

екции правильных многогранников. Построение теней. Правильные многоугольники. Плоские плитки для паркетирования. Изготовление моделей. Геодезические линии на конусе и цилиндре. Раскраска карт. Построение графов.

Примыкание, Пространство с его телами более конкретно, чем плоскость с ее фигурами. На плоскости больше применяется логический анализ; пространство же конкретнее и более удобно для творческой деятельности. Фигуры можно нарисовать, а тела приходится конструировать.

Есть одно исключение на плоскости — паркетирование. Основная психологическая идея примыкания действует здесь так же, как и в пространстве, и по меньшей мере столь же конкретно осуществляется. Это является моторным восприятием. Психологам известно, сколь сильна у юной личности моторность, сколь важными являются для нее моторное восприятие и моторная память.

Ребра некоторой сети примыкают друг к другу. Призмы и пирамиды заполняют куб, диагональная плоскость вкладывается в куб; тетраэдр, образованный диагоналями граней, входит в куб; шесть пирамид, заполняющих куб, будучи вывернутыми наружу, составляют ромбододекаэдр. Не удивительно ли смыкается все друг с другом в мозаичном паркете? Видны сквозные прямые, развернутые углы, звезды, параллельность.

Все подогнано друг к другу. Спрашивают ли дети, почему? За редчайшими исключениями, не спрашивают! Все эти чудеса нашего привычного пространства словно бы не производят впечатления. Однако они действуют медленно, но превосходно. Большим достоинством в педагогике является терпение. В один прекрасный день ребенок спросит: «Почему?» — и до этого не должно начинаться систематическое изучение геометрии. Если это систематическое изучение начнется раньше, можно нанести непоправимый ущерб. Сигналом к изучению геометрии и является слово «почему?». Только самые недальновидные начнут проговариваться заранее. Чудеса примыканий должны подготовить систему изучения геометрии. Они не становятся лишними и после достижения этой фазы, поскольку остаются материалом для геометрического мышления. Школьник должен помнить об этих чудесах и на каждой фазе обучения по-новому рассматривать старые проблемы.

Если примыкание должно стать главной идеей, то пространство следует признать вместилищем твердых тел. Скажем, в аффинной геометрии нет этой проблемы. Когда я обратил на это внимание одного учителя, который уже некоторое время преподавал геометрию, исходя из аффинной точки зрения, он был весьма удивлен. Он признался, что никогда не замечал этого. Он не замечал, сколь далеко отстоит аффинность от пространства твердых тел. Он позволил автору учебника, который не заставил его задуматься, надуть себя. Однако, может быть, автор учебника тоже не знал этого, может быть, он тоже никогда не задумывался над этим. Какой огромный дедуктивный опыт становился ненужным, если на-

Рис. 19

чать заниматься аффинной геометрией! И она заведомо не должна быть началом обучения геометрии.

Между вводными курсами ван Альбада и Дины ван Хиле, сколь бы неклассическими они ни были, есть существенное различие. Огромное количество материала у ван Альбада побуждает ребенка думать кинестетически, руками и глазами. Весьма характерно обилие элементов начертательной геометрии в этом курсе, — это, я думаю, важное открытие ван Альбада; если мы вообще хотим заниматься начертательной геометрией, то скорее следует делать эю на первом году обучения геометрии, чем на предпоследнем или последнем: ведь в начале изучения геометрии характерны конкретность и наглядность мышления.

Наши предшественники, у которых стереометрия следовала за планиметрией, не замечали, что начертательная геометрия проще, чем дедуктивная плоская геометрия.

У Дины ван Хиле мы шаг за шагом наблюдаем стремление к отделению дедуктивности от моторных и визуальных впечатлений. В мозаике треугольников дети видят сумму углов треугольника, в мозаике четырехугольников — сумму углов четырехугольника. Затем ставится вопрос: нельзя ли по сумме углов треугольника предсказать, чему равна сумма углов четырехугольника? Сначала вопрос не разрешается; вообще непонятно, как можно по треугольникам судить о четырехугольниках. Но можно обнаружить в мозаиках структуры. Структуры создаются — и не напрасно. Большинство осознает это десять дней спустя. Они должны доказать равенство углов, образуемых параллельными прямыми, и они вводят в бесструктурную фигуру структуру (рис. 19).

Совсем по-другому выполняется пересчет в кубе. У него 8 вершин, из каждой исходят 3 ребра, всего 24 ребра. Но непосредственный пересчет дает 12 ребер. Значит, число 24 найдено неверно. Что именно неверно, школьника не интересует. Он еще не пришел к мысли, что неверным может быть не только результат, но и само рассуждение. Не достигает цели предлагаемый Диной ван Хиле подсчет кратностей элементов куба; другие учебные примеры показывают, что это правило не переносится на иные случаи. Структура

соотношений между вершинами и ребрами куба совсем другого рода, чем геометрические примыкания; она требует совсем другой ступени абстракции. Здесь требуется структурирование не с помощью вспомогательных линий; если хотят понять эту структуру, то в соотношение между ребрами и вершинами нужно ввести совсем Другую форму наглядности — не ту, которая требовалась для рассмотрения твердых тел в пространстве.

Дедукция. Можно организовать исследование пространства для ребенка различными способами. Я подробно воспроизвел подход Дины ван Хиле, поскольку он является наиболее аналитичным. Период, в течение которого изучался ее курс, показывает постоянный, хотя и не непрерывный рост способности ребенка к логическому упорядочению своей деятельности. На нулевом этапе ребенок думает, так сказать, руками, глазами и кинестетическим чувством. Наблюдателю, знающему, что такое математика, деятельность ребенка предстает как математика. Когда учительница показывает диагональную плоскость куба, школьнику удается построить пространственную диагональ; наблюдатель же может интерпретировать заключительную деятельность как приведшую к самостоятельному построению диагонали. И все же это нулевой этап. На этом этапе ребенок может долго заниматься геометрией, пока он не придет к овеществлению своей деятельности. Многие прекрасно справляются на этом этапе, но так и не могут подняться выше. Причина в том, что их слишком рано пытаются продвинуть на следующий этап, подменяя его алгоритмами.

Я не раз подчеркивал, что сократический дидакт не вводит геометрических объектов на этом этапе с помощью определений. А там, где пользуются дидактической инверсией, дедуктивность начинают с определений. (В традиционной геометрии определяют даже, что такое определение — еще более высокая ступень учебного процесса.) Сократический дидакт отвергает это. Как можно определять нечто, коль скоро не знают того, что определяют? Это верно и вообще, но особенно верно в математике, где определение имеет особый смысл. В математике определение служит не для того, чтобы объяснить людям, что хотят понимать под тем или иным словом. Определения — это звенья в дедуктивной цепочке. Но как же можно ковать отдельное звено, пока не известно, для какой цепочки оно предназначено?

Если Дина ван Хиле показывает своим ученикам куб, ромб, параллелограмм, называет примеры равных фигур, то ученики вообще понимают, что она имеет в виду, так же как они узнают стул, бутылку, куклу, хотя все это никогда не «определялось» и все предметы такого рода не были известны им заранее. Разумеется, школьник не всегда будет уверен, является ли квадрат в тоже время и ромбом или ромб параллелограммом. Учитель может, пожалуй, ввести определения, которые разрешат подобные сомнения; однако тем самым он низведет математику до чего-то, что, как, например, правописание, подчинено произвольным правилам.

Если ребенок знает, что такое ромб или параллелограмм, то он может визуально определить свойства этих фигур. Многие из этих свойств ученики перечислят в свободной беседе: в параллелограмме противоположные стороны равны и параллельны, противоположные углы равны, а соседние углы дополняют друг друга до развернутого; диагонали, пересекаясь, делятся пополам; параллелограмм имеет центр симметрии, его можно разложить на конгруэнтные треугольники, равными параллелограммами можно замостить плоскость — вот целая куча визуальных свойств, которые могут быть упорядочены. Я уже разъяснял, как здесь начинается дедуктивное построение; эти свойства не вводятся, а развертываются из локальных начал. Свойства параллелограмма должны быть дедуктивно связаны друг с другом; некоторые должны считаться исходными, из которых выводятся остальные. Так появляются определения; и тогда можно понять, почему квадрат является в то же время и ромбом, а ромб — параллелограммом. Так ребенок учится определениям и узнает, что определение — нечто большее, чем просто описание, что это — средство дедуктивного упорядочения свойств некоторой вещи.

Как я уже подчеркивал, такая стратегия не совпадает с тем, что считают верным сторонники системного подхода. Как можно рассуждать о чем-либо, пока это не определено? Но ведь творчески работающий математик именно так и делает — и такой стиль можно разрешить также детям. Определения не задумываются заранее, чтобы нечто вывести из них, а как раз и являются последним штрихом упорядочения. И это тоже не следует утаивать от ребенка.

Открыть ребенку «секрет», в котором он может разобраться сам, — также плохая дидактика, это преступление. Кто не наблюдал 6-летних «открывателей» и «изобретателей», кто не знает, как они потом злятся, если секрет разглашается слишком рано? Иначе обстоит дело с 12-летними: они настолько привыкли к готовым решениям, что требуют решения без всяких проб и попыток. Хорошее обучение геометрии может означать многое: обучить упорядочению предмета и понимать, что означает упорядочение; обучить образованию понятий и понимать, что означает образование понятий; обучить определениям и понимать, что такое определение, почему упорядочение, дедукция, определение лучше, чем другие методы. Но традиционное обучение ведется иначе. Вместо того чтобы предоставить ребенку возможность упорядочить свои пространственные представления, материал преподносится в заранее упорядоченной структуре: все понятия, определения, дедукции заранее продуманы учителем, который знает, для чего нужна каждая деталь, или даже автором учебника, который все свои секреты тщательно вводит в структуру предмета.

Дедуктивность Евклида. То, что Сократ рассматривал с рабом Менона, было деятельностью на нулевой ступени, но деятельностью, содержащей в себе зародыш дедуктивности. В курсе Дины ван Хиле заметно даже стремление к логическому упорядочению.

Ниже я разъясню на примерах локальное упорядочение; полагаю, что и сегодня многие дидакты рассматривают его как необходимое и пользуются им. Это старая традиция геометрии, в которой воспитаны многие.

Сравнение с современным уровнем строгости является ложным масштабом для оценки аксиоматики Евклида. «Начала» Евклида были в античной математике единственными в своем роде, но их методы скорее следует считать пригодными для монографий. Еще задолго до Евклида существовал обычай предварять математические сочинения некоторым количеством принципов, назывались ли они аксиомами, гипотезами, постулатами, допущениями, определениями или как-то иначе. Это всегда было набором высказываний, приспособленных к данному сочинению, так как они как раз в этом сочинении использовались; и было в порядке вещей, что известные откуда-то факты применялись, не будучи переформулированными заново.

Подобные наборы принципов в качестве введения к математическим сочинениям давались и до Евклида, по меньшей мере со времен Гиппократа, если не Фалеса, —об этом свидетельствуют высказывания о соотношении площадей кругов, из которых выводились квадратуры гиппократовых луночек или простейшие высказывания о симметрии, которые предшествовали у Фалеса более сложным. Позднее мы видим, что небесной механике или вычислению размеров небесных тел и расстояний до них, или сочинениям по спрямлению дуг, или законам рычага также предпосылают подобные принципы.

Евклид в своих «Началах» предпосылал отдельным разделам математики также и принципы, найденные им в литературе. «Начала» были объединением логически упорядоченных разделов математики, но не представляли собой логического упорядочения математики в целом. Возможность глобального упорядочения существовала тогда, быть может, лишь в качестве шаткой философской идеи — если не переоценивать рассуждений Аристотеля по этому вопросу, —но математически эта идея нигде не была реализована. Даже то, что ближе всего подходит к современной аксиоматике — учение Евдокса о величинах в 5—6-й книгах «Начал», — как аксиоматика действительного числа неполно, поскольку оно дает лишь систему описания величин, а не их построения.

Чтобы усвоить упорядочение в целом и аксиоматику в современном смысле, потребовался бы компилятор с более глубоким пониманием, чем Евклид. Идея полноты системы аксиом геометрии

была, очевидно, чуждой грекам. Ведь ими ничего не создавалось; геометрическая действительность лишь описывалась определениями, постулатами и т. п., а описывалось ими как раз то, что в данный момент считалось существенным; если выяснялось, что чего-то не хватает, то можно было проверить, как это имеет место в действительности. Это и было строго дедукцией, но исходившей из меняющихся, а отнюдь не из твердо установленных основных принципов. С появлением «Начал» ситуация изменилась, во всяком случае, психологически; если столь авторитетный труд был однажды создан, то в древности его легко было канонизировать.

Евклид упорядочил действительность — и это было сделано верно и незыблемо. Всякая критика, раздававшаяся то тут, то там по адресу «Начал», была лишь комментариями, а отнюдь не созданием чего-то нового. Казалось, что дедукция в «Началах» выводится из определенных принципов с образцовой строгостью. А то, что позднее излагалось при обучении «по Евклиду», было лишь ослабленной формой евклидовой дедуктивности; если и следует порицать что-либо в логике этой системы, то только не тот факт, что используется лишь локальное упорядочение, а скорее то, что себе (и Евклиду также) приписывается более значительная заслуга.

' О линейной алгебре. Между тем научились обосновывать геометрию алгебраически. Уже у греков излагалась алгебра в геометрическом одеянии; и даже такое явно геометрическое, как конические сечения, имело алгебраическое происхождение. Начиная с Декарта в геометрии была признана настоящая алгебра, хотя и рассматривали метод Евклида как самый истинный. Но, чем больше плодов приносили алгебра и анализ, тем больше склонялись к.пере- смотру построений Евклида, и, чем больше в них просматривалось слабых мест, тем более очевидной становилась предпочтительность так называемой аналитической геометрии.

Гильбертовы «Основания геометрии» едва ли оказали противодействие этому. Они еще яснее показали, сколь много не хватало у Евклида и сколь многих трудов стоило восполнить это. Была же конечным итогом подхода Гильберта координатизация и алгебраи- зация геометрии! Зачем же нужны были такие трудности и почему геометрию не ввести с самого начала как «аналитическую геометрию»? Ведь это имело бы еще одно преимущество, заключающееся в том, что полная строгость алгебры и анализа автоматически перенеслась бы в этом случае и на геометрию.

О векторном пространстве линейной алгебры* «Аналитическая геометрия» начиная с Декарта учит применять систему координат, определять точку тройкой чисел, плоскость линейным уравнением между координатами, прямую парой таких уравнений, расстояние по теореме Пифагора, выражать углы с помощью геометрических соотношений как функции координат — и эта техника оказалась особенно целесообразной в анализе и в механике.

Что может быть более очевидным, чем задавать точку тройкой чисел (или, если говорить об п-мерном пространстве, набором из п

чисел), задавать гиперплоскость по определению линейным уравнением, расстояние между двумя точками £ь ...» ^ и т^, ...,!]„ задать по определению формулой

и вообще определить геометрические образы и взаимосвязи с помощью уравнений между координатами?

Это становится еще привлекательнее, если геометризировать алгебру с помощью понятия вектора. Это было бы, в противоположность евклидовой геометрии, соразмерным с геометрией алгебраическим исчислением.

Как геометрический образ, вектор, обозначенный одной буквой х, имеет в данной системе координат некоторые координаты 11, • ••, *^п и потому легко может быть отождествлен с упорядоченным набором этих координат. Итак, назовем упорядоченный набор из п чисел

X - (51, ..., 5J вектором.

Векторы можно умножать на скаляры: ах = (а^, ..., а£), можно складывать друг с другом:

(^ь+ (Пъ Пл) = (£1 + Пь ^П + Пл),

можно образовывать их скалярные произведения:

* • у = 5 • п/.

1=1

и все это геометрически возможные операции.

Но этот метод имеет все же один недостаток. Точки или векторы — объекты геометрические, а наборы из п чисел, которыми они задаются, таковыми не являются; они зависят от несущественной в геометрическом отношении системы координат. Это нужно учитывать; нужно указывать, как преобразуются координаты при переходе к новой системе. Это — неизбежное дополнение всякого векторного или тензорного исчисления.

Построена сложная система, чтобы удовлетворить этому требованию; в 20-х и 30-х гг. она выродилась в настоящую вакханалию верхних и нижних индексов, поднимания и опускания их и т. п. Остатки этого сохранились еще в физике, которая всегда была консервативной.

Широкое использование векторного исчисления было большим шагом вперед по сравнению со старой «аналитической геометрией»; для поколения студентов 20-х гг. это было настоящим открытием. Повод для нового подхода исходил на этот раз не от собственно

геометрии, а если и от геометрии, то косвенно. Скорее этот повод исходил из геометрического анализа, который, в свою очередь, находился под влиянием абстрактной алгебры. С начала XX столетия в анализ вошли геометрические понятия, особенно после того, как определенные множества функций стали называть пространствами функций. Это были бесконечномерные пространства; их элементы можно было понимать как векторы, однако координатные методы геометрии векторов оказались явно недостаточными. Аксиоматика векторного пространства вошла тогда и в векторные пространства аналитического происхождения; лишь в середине 30-х гг. она была принята в геометрии. Так возник метод, который ныне называется линейной алгеброй.

Векторное пространство V над действительным или комплексным полем — или вообще над полем К — определяют как аддитивно записанную коммутативную группу, на которую элементы К воздействуют как эндоморфизмы, т. е. с помощью следующих аксиом:

{а + Ь) + с = а + (Ь + с); ' а + b = b + а\ а + 0 = 0 + а;

а + (—cl) = 0;

у (а + b) = ^а + уЬ; - (а + Р)<? = ас + Рс;

а фс) = (оф) • с;

1 • а = а'

для любых a, by Су С V, а, р, у С К.

Определяют линейную зависимость подмножеств V, понятие базиса, размерность, V, может быть, ограничиваются пространствами двух или трех измерений, определяют, что такое параллельность, линейные многообразия, плоскости, полупространства и т. д.

Это векторное пространство есть субстрат того, что называют аффинной геометриейу основополагающими понятиями которой служат инцидентность и параллельность. В ней не существует понятия расстояния; максимально, что существует в этом смысле, — это отношение параллельных отрезков. Пожалуй, в n-мерном векторном пространстве можно еще установить отношения п-мерных объемов, т. е. аксиоматически определенную функцию объема вектора — набора из п чисел; к этому мы еще вернемся.

Дальнейшее просто: записать аксиомы как для пространства векторов и предоставить учащимся механически выводить следствия. При этом возникают, однако, затруднения с преподаванием физи-

ки, поскольку выясняется, что следствия не связываются в сознании учащихся с геометрической действительностью. Едва ли можно поверить, что эта взаимосвязь часто опускается. Она не требует непосредственных геометрических восприятий, но многим и эю кажется чрезмерным. Спешат представить себе алгебраическую модель ft-мерного векторного пространства над полем К как множество упорядоченных ft-ок (^, ..., £J с элементами из К и ранее заданными операциями — и забывают несравненно более важную действительную модель: V состоит из стрелок, которые исходят из постоянной точки О обычного пространства, ^а — стрелка, которая в у раз длиннее, чем а, точнее в | у | раз длиннее, и имеет то же направление, если у ^ 0, и противоположное, если у ^ 0; а + b —стрелка, получаемая из стрелок а и b по правилу параллелограмма (рис. 20).

а + b — b + а

дает для линейно независимых векторов а и b известное свойство параллелограмма; для линейно зависимых а и b это свойство очевидно. Из рисунка 21 видно, что

(а + Ь) + с = а + (Ь + с)

говорит нечто о поведении треугольника при параллельном переносе— например, что если две стороны треугольника смещены на вектор ft, то и с третьей стороной происходит то же; это доказывается теоремами о конгруэнтности или принципами геометрии движений. Аксиомы же второй группы, напротив, естественным способом связаны со свойствами подобия в элементарной геометрии.

Первым геометрически важным нетривиальным следствием аксиом векторного пространства является понятие объема. В ft-мерном векторном пространстве определяют функцию п векторов, называемую определителем, значение которой

det (аг, ..., а^

дает для векторов alt ..., ^«ориентированный» объем образованного ими гиперпараллелепипеда (при определенном нормировании). Если раньше (по меньшей мере, со времен Кронекера) подчеркивалась взаимосвязь между определителем и объемом, то ныне некоторые учебники при введении определителей даже не упоминают слова «объем», и почти все вводят их без какой-либо геометрической мотивировки.

Автор далее подробно рассматривает аксиоматическое определение объема как функции F от п векторов, удовлетворяющей требованиям наглядности. Эта функция F;

линейна относительно любого из своих аргументов;

F (яь ..., а^ = О, если для каких-либо I Ф j оказывается at = а^\.

(2') антисимметрична.

К условиям (1) и (2) или к(1) и (2') присоединяется условие нормировки (3) : F (^, ..., е^ = 1.

Можно показать, что функция Fсо свойствами (1) — (3) существует и определяется однозначно; это и есть определитель, который по способу его введения можно интерпретировать как ориентированный объем (причем этот объем может оказаться и отрицательным).

В разделе «О скалярном произведении» указывается, что для дальнейшего развития геометрии (введения длин отрезков и измерения углов) нужно ввести понятие скалярного произведения с известными аксиомами

(ах, у) = а (х, у),

(X + У, Z) = (х, 2) + (у, 2),(х, у) = (у, х),

| х|2 = (х, х) > О при х #= 0).

Анализируется связь понятия скалярного произведения и проекции и отмечается, что далее следует перейти от векторного пространства со скалярным произведением к соответствующему аффинному пространству. Тем самым возникает евклидово пространство. Отмечено, что такой подход противоречит в известной мере евклидову, поскольку предполагает сделанным выбор единицы длины, что влечет за собой замену характерной для евклидовой геометрии группы подобий группой перемещений. Показано построение геометрических понятий на векторной модели геометрического пространства.

В разделе «Измерение углов в векторных пространствах» отмечается, что понятие угла между векторами можно ввести с помощью скалярного произведения, но указывается, что в тригонометрии необходимо более тонкое понятие угла, которое можно ввести лишь на ориентированной плоскости. Описывается вывод формулы сложения тригонометрических функций на основе умножения матриц, а также с помощью комплексных чисел.

В разделе «Ревизия понятия угла в векторных пространствах»

показано, как ввести тригонометрические функции с помощью матрицы поворота и вывести отсюда аддитивность меры угла. Отмечается, что угол является поворотом, который записывают аддитивно вместо мультипликативной записи. Отмечается, однако, что любая попытка ввести такой подход в школу должна быть мотивирована в глазах учащегося, поскольку для него логарифмы, синусы и косинусы уже являются, так сказать, конкретными объектами. Критикуется подход к этим вопросам, предлагаемый Ж- Дьедонне.

Линейная алгебра как геометрия. Я показал выше, как для того, чтобы освободить геометрию, все более стремятся представлять ее в аналитической форме, как это привело к векторному исчислению и, наконец, через геометризацию анализа и алгебры к линейной алгебре. Сейчас все большее распространение имеет точка зрения, согласно которой линейная алгебра сделала геометрию излишней, т. е. что линейная алгебра и есть геометрия.

Выше было показано во всей широте, как много геометрии содержится в линейной алгебре и как следует ее использовать, чтобы мотивировать само преподавание линейной алгебры. Чтобы пояснить важность изучения линейной алгебры, достаточно упомянуть линейные дифференциальные уравнения и стохастические процессы. Очевидно, что многие авторы учебников, вплоть до университетских, не знакомы с этими связями линейной алгебры, не знают ее приложений, но все же хотят ее к чему-либо приложить и предназначают для этого геометрию. То, что геометрия должна играть иную роль, а именно мотивировать введение понятий линейной алгебры, остается без внимания.

Недавно я присутствовал на конференции, посвященной преподаванию геометрии в школе. На ней почти не обсуждалось само преподавание геометрии, а речь шла в основном о преподавании оснований геометрии, т. е. о преподавании аксиоматического упорядочивания геометрии в целом, и притом, разумеется, подготовленного заранее. Лишь меньшинство понимало, что преподавание геометрии стоит приложения усилий и что любому изложению оснований геометрии должно предшествовать знакомство с самой геометрией. Большинство же было убеждено, что геометрия может излагаться лишь с точки зрения ее оснований, а все остальное не следует принимать во внимание.

Нет сомнения, что линейная алгебра весьма пригодна для того, чтобы возвести на ее фундаменте систему оснований геометрии. Это является также часто формой, в которой линейная алгебра выдается за геометрию. На самом деле это лишь святая ложь. Поскольку линейная алгебра должна представлять основания геометрии, она излагается школьнику, и поскольку он должен заниматься алгеброй, то при решении задач ему приходится иметь дело с сомнительным месивом, из которого с трудом удается извлечь крохи геометрии. Геометрия допускается лишь в пределах, определяемых методами линейной алгебры, причем даже это немногое до тошноты вымолочено и выщелочено. Старые задачи на построение

треугольников были, разумеется, не слишком интересны; но так называемые геометрические задачи линейной алгебры не более интересны и, кроме того, они малосъедобны.

Принципиальная ошибка состоит в том, что геометрию стараются подчинить определенной системе в математике. Единственным местом, куда ее можно включить, является линейная алгебра, и поскольку она желанна сама по себе, то внушили себе, что если включить линейную алгебру в преподавание, то она окажется там на что-то пригодной. Какие части геометрии излагать при этом и как их излагать, ставится в зависимость от того, насколько и как они включаются в систему. Это означает, что следует начинать с аффинной геометрии, пренебрегая поразительными свойствами реального пространства. Еще того хуже: при таком закостенелом подходе школьникам не позволяется изучать пространство и находящиеся в нем тела, упорядочивать предметы, искать определения и дедуктивные рассуждения.

Ни одна из перечисленных проблем не подходит для такого построения. Возможно, что допускается вычисление с помощью линейной алгебры пересечения сферы с плоскостью или двух сфер, 'однако для того, чтобы открыть, что эти пересечения являются окружностями, нужно знать, что такое реальная сфера в реальном пространстве. Разумеется, можно с помощью алгебраического доказательства убедиться, что радиус окружности равен длине стороны вписанного в нее правильного шестиугольника, однако такое доказательство может понравиться лишь тому, кто стремится затемнить все существенное. Линейная алгебра не только совершенно непригодна для того, чтобы открыть возможность замощения плоскости конгруэнтными треугольниками; с ее помощью это утверждение почти невозможно доказать. Можно было бы проиллюстрировать почти на всех разобранных выше примерах, насколько бессильны в них методы линейной алгебры.

Геометрия, которую можно изучать в школе с помощью линейной алгебры, является лишь отработанным паром. Ее высшим пунктом было бы доказательство того, что две различные прямые не могут иметь более одной общей точки. Может быть, с ее помощью можно еще дать безвкусное доказательство того, что три медианы треугольника пересекаются в одной точке. Единственной областью, где применение методов линейной алгебры осмысленно, является учение о центрах тяжести и выпуклых телах, но и эти области остаются без внимания, поскольку они не укладываются в какую-либо систему математики.

С помощью линейной алгебры можно постигать основания геометрии, но, разумеется, это должны быть основания, которые школьник может развивать, если он хорошо знаком с геометрией, причем основания геометрии не могут заменить саму геометрию. Однако читателю должно быть ясно, что эти основания геометрии выглядят весьма искусственными. Искусственными, поскольку понятие угла, по сути дела, отсутствует среди основных понятий и его

приходится с определенным трудом реконструировать. Понятие угла является одним из даров геометрии, которым нельзя пренебрегать, «трансцендентным» вспомогательным средством для получения важнейших результатов, которые лишь с большим трудом выводятся алгебраико-аналитическими методами.

На самом деле с понятием угла дела обстоят еще печальнее. С помощью линейной алгебры невозможно доказать, что сумма углов треугольника равна л. Лишь с большой затратой труда удается доказать, что эта сумма равна л с точностью до слагаемого, кратного 2л, поскольку линейная алгебра имеет дело лишь с углами по модулю 2л. Существуют люди, желающие на этом основании запретить использование углов иного вида. По Евклиду, сумма углов семиугольника равна 10 прямым углам, а по мнению «тригоно- метров», она равна л по модулю 2л. Отсюда не следует, что одни правы, а другие нет, но лишь то, что, как говорилось выше, существуют различные понятия угла.

Не надо думать, что все, кто хочет включить геометрию в линейную алгебру, желают ей зла. Напротив, они даже хотят «спасти» ее. Сами они изучали геометрию по системе, о которой сегодня знают, что это была лишь кажущаяся система. Желая спасти геометрию, они стремятся включить ее в какую-либо пригодную для этого систему; при этом они не уклоняются от того, чтобы выбросить все, что не укладывается в это прокрустово ложе. Они считают, что если геометрия хочет сохранить свое положение в математическом образовании, ей следует стать строгой. Систематики знают лишь один уровень строгости и думают, что все, что находится ниже него, — надувательство, а все, что выше него, — ненужные тонкости. Этим требованиям они хотят подчинить и геометрию.

На самом же деле притязания систематиков, как уже отмечалось, неправомочны. Их система также является лишь кажущейся, но не в этом следует их упрекать. Хуже то, что они аргументируют, опираясь на систему, и не представляют себе, что тот, кто хочет аргументировать, опираясь на систему, должен сначала аргументированно построить ее. Чтобы иметь возможность интерпретировать геометрию как линейную алгебру, надо, и притом не только автору учебника, знать саму геометрию.

«Спасение геометрии» с помощью аксиоматики. Некоторые боятся интерпретирования геометрии линейной алгеброй. И все же они хотят конкурировать со строгостью линейной алгебры. В качестве противоядия они рекомендуют основания геометрии, аксиоматическую систему в смысле Паша — Гильберта, либо модернизированную по Артину, либо как-то еще, — можно придумать разнообразные системы аксиом; однако если не знать хода мыслей автора, то трудно объяснить, почему одна система пригодна для обучения лучше другой.

Линейная алгебра также предлагает систему аксиом для геометрии. Почему этой системой недовольны? Неясно, что могут

возразить против линейной алгебры аксиоматические «спасатели» геометрии. Не то, что она предлагает аффинный подход, не то, что она несправедлива к понятию угла, не то, что с помощью линейной алгебры нельзя открыть ни одного геометрического факта, не то, что доказательства геометрических предложений с помощью линейной алгебры неудовлетворительны. Все это едва ли является решающим фактором, ибо системы аксиом, которые они рекомендуют, обладают практически такими же недостатками. Сторонники линейной алгебры в качестве замены собственно геометрии правы, когда они возражают приверженцам аксиоматического метода, что линейная алгебра достигает того же, но еще и является универсальным аппаратом, который можно применять не только в геометрии по прихоти создателя той или иной аксиоматики.

Но чего же, собственно, хотят эти «спасатели»?

Если я правильно понимаю, их неудовольствие вызывает тот факт, что линейная алгебра исходит из действительных чисел, — а для геометрии это порочно. Я не был бы математиком, если бы не понимал этих угрызений совести. Но школьники, от которых также предполагается проявление подобных тонких чувств, ведь не математики, да большинство ими и не станет. Конечно, можно заниматься геометрией без чисел — это еще до нас практиковали древние греки, — и потому мы до сих пор говорим «квадрат» вместо второй степени. Можно и обосновать геометрию без чисел, как это показали Штаудт, Паш и Гильберт. Но то, что это возможно, еще не означает, что это необходимо.

Сторонники аксиоматики в геометрии вносят свою лепту и в линейную алгебру, ибо если однажды формулируется аксиома, то цель этого заключается не в полезности геометрических предложений, а в алгебраизации геометрии, т. е. в том, чтобы показать, что эта аксиоматически построенная геометрия может быть описана с помощью линейной алгебры через геометрически определяемое поле: это поле конструируется в рамках геометрии. Такой путь до сих пор и приводил к линейной алгебре. Начинали издалека. Не фиксируя заранее поля, конструировали его, исходя из аксиом; скажем, аффинные аксиомы дают сложение для независимых векторов (рис. 22) и неявно для зависимых (рис. 23); векторы образуют группу; эндоморфизм, переводящий единицу в а (рис. 24), можно интерпретировать как левое умножение на а, и, таким образом, на прямой (0—1) (рис. 24) возникает некоммутативное тело, если принять аксиому вроде аксиомы Дезарга. Следующая геометриче-

Рис. 22Рис. 22Рис. 23Рис. 23Рис. 24Рис. 24^ У7474

Рис. 22

Рис. 22

Рис. 23

Рис. 23

Рис. 24

Рис. 24

ская аксиома, аксиома Паппа — Паскаля, делает это тело коммутативным (т. е. полем) и с помощью геометрических аксиом порядка получаем упорядоченное поле. Еще один шаг, топологическая аксиома — и мы получаем поле действительных чисел.

Не прекрасно ли это? Мне это настолько нравится, что в течение 35 лет я постоянно излагаю это в лекциях; но, однако, нравится мне, по-видимому, недостаточно, во всяком случае, не до безумия. Я против того, чтобы это называли геометрией и преподносили 11—12-летним детям в качестве геометрии. Я-то преподношу это слушателям, которые уже знают, что такое геометрия, в лекции, и это небольшой отрывок, а в остальном дается геометрия, которая известна слушателям. Но что может означать этот кусочек из оснований геометрии в школьном преподавании? Какие функции он должен там выполнять? Поле рациональных чисел школьники освоили оперативно, может быть с помощью числовой прямой для наглядности. Если же у них возникает потребность в новом обосновании поля рациональных чисел, то это можно сделать четко и ясно — ввести аксиомы упорядоченного (архимедовски) поля, — а не путем экскурсии в девственный лес, в тропических джунглях которого цветут 10 или 20 геометрических аксиом, и где в конце концов, когда уже выберешься из чащи, возникают как мираж аксиомы поля.

Классическими являются аксиомы Гильберта. Люди, не многое знающие о геометрии, считают, что эти аксиомы в какой-то мере обязательны, что от них нельзя отойти. Ведь Гильберт доказал, говорят они, что геометрию можно координатизировать и алгебра- изировать с помощью поля действительных чисел. Такое убеждение ошибочно; Гильберт сформулировал аксиомы так, что все это получается, но можно было бы сформулировать их и иначе.

Наиболее впечатляющее в системе аксиом Гильберта и многих последующих системах — это, пожалуй, их достаточная сложность. Большое количество аксиом, одни из которых столь тривиальны, что легко забываются при перечислении, а другие столь сложны (особенно аксиомы порядка), что их с трудом удается запомнить. Все в целом настолько запутано, что работать с этой системой очень нелегко; невозможно сделать в этой системе какие-либо геометрические открытия, и лишь с большим трудом удается проводить доказательства. Строгая дедуктивность наполовину увязла в аксиоматике, а дедуктивная структура оказалась весьма схематичной. «Легко показать, что ...» и «мы опускаем доказательство, которое очень длинно, но не содержит новых идей». Это — честное признание, и оно справедливо; аргументирование в такой системе аксиом выглядело бы плачевно.

Это не упрек Гильберту и его последователям, которые устремляли свои усилия в этом направлении. Эта система аксиом создана не для того, чтобы с ней работать.

Существуют также простые и ясные системы аксиом — скажем, аксиомы группы, аксиомы поля, аксиомы проективной плоскости.

Однако аксиомы евклидовой геометрии преследуют совсем другие цели. Ведь каждый разумный человек пользуется евклидовой геометрией без всякой аксиоматики. Там, где рассматривают систему аксиом геометрии, речь идет совсем о другом: о размышлениях по поводу самих аксиом, об исследовании их взаимосвязей, об их зависимости или независимости, об их полноте.

Аксиомы евклидовой геометрии предназначены не для того, чтобы с их помощью пользоваться евклидовой геометрией, а для метагеометрических исследований, для исследования самих основ геометрии. Конечно, каждый настоящий математик понимает это. Если он излагает учащимся подобную аксиоматику, чтобы заниматься геометрией с учетом этой аксиоматики, то это опять-таки старая двойная мораль: одна — для Юпитера, другая — для быка. Я, как математик, могу себе позволить заниматься математикой без аксиоматики, ибо для меня это предварительный этап аксиоматического упорядочения материала. Если это достигнуто, то дело за школьником: он может в рамках системы аксиом более или менее механически делать выводы, т. е. заниматься деятельностью, которую настоящий математик заменяет словами, вроде «легко показать, что...» или «мы опустим доказательство». Есть, конечно, разумные математики, не требующие от школьника ненужных упражнений и удовлетворяющиеся тем, что он повторяет общие фразы, вроде «легко показать, что...», но, конечно, всякий раз на нужном месте.

Самое существенное относительно такой аксиоматики автор приберег на конец: упорядочение предмета, ведущее к аксиоматике, освобождение от связи с упорядочиваемым предметом, благодаря чему система аксиом становится самостоятельной в логическом отношении, и, наконец, воссоздание этой связи, когда показывают, что система аксиом полностью описывает упорядочиваемый предмет. Аксиоматика геометрии лишь тогда может стать осмысленным предметом обучения, когда школьнику тоже разрешается подобная деятельность. Но это вряд ли имеет место.

Автор подобной аксиоматики, предназначенной для школы, либо считает, что аксиоматизация приемлема для Юпитера, но неприемлема для быка, либо с помощью мысленного эксперимента устанавливает, что она слишком сложна для школьника. Действительно, школьник, ни разу не проделавший упорядочения предмета в малом, заведомо не сможет справиться с глобальным упорядочением. Созданные системы аксиом имеют самостоятельную ценность. Они могут быть предметом использования для лиц, овладевших опытом аксиоматизации. Если школьник разобрался в аксиоматизации на простом материале, то он и в сложной системе аксиом обнаружит этапы, которые ему же встречались, сможет разобраться в системе и понять ее, как если бы сам ее построил. Если же он никогда не занимался аксиоматизацией, то система аксиом геометрии будет для него еще одним явно неудобоваримым куском.

Геометрическая аксиоматика в обучении. Ниже я скажу еше

об аксиоматике вообще, но кое-что по этому вопросу должен оговорить уже сейчас: аксиоматика имеет ценность практическую и ценность педагогическую. Практическую ценность можно для геометрической аксиоматики исключить. Школьнику можно продемонстрировать в системе аксиом четкость выражений и последовательную дедуктивность. По содержанию современная аксиоматика геометрии едва ли далеко ушла от евклидовой; ее язык несколько более формализован и в известных мне вариантах освобожден от идиом и синтаксиса разговорного языка. Не то чтобы я не одобрял этого; на аксиоматическом этапе это допустимая строгость. Едва ли можно говорить в этих системах о последовательной дедуктивности; вместо нее господствует, как уже говорилось, «легко видеть, что...».

Следующее, чему можно выучиться — хотя и не на аксиоматике, а в процессе аксиоматизации, — это освобождение от онтологических связей — анонтологизация. Гильберт выразил это классически, сказав «мы представляем себе...», что объектами системы аксиом являются некоторые неопределенные предметы и столь же неопределенные соотношения между ними, неявно определяемые этой системой. Сюда входит в геометрии и относительность системы аксиом; это значит, что вместо евклидовой геометрии можно мыслить себе другие геометрические системы, — осознание этого факта имеет большое значение в процессе обучения. Но школьник должен заучить этот факт не формально, а осмыслить в процессе реального построения модели «геометрии» иного рода. Аксиоматика позволяет построить модель системы аксиом и понять, как можно перевести евклидову геометрию на язык алгебры.

Я исследовал, может ли и какие именно желательные результаты «в себе» и «для себя» дать аксиоматика геометрии, чтобы с других позиций ответить на вопрос: нужно ли и как именно следует преподавать аксиоматику геометрии?

Пожалуй, ясно, что я здесь могу не ограничиваться аксиоматикой геометрии и что я не рассматриваю аксиоматику просто как венец классической формы обучения математике. С другой стороны, математикам известна ценность аксиоматического метода, так как именно аксиоматика продвинула развитие математики в нашем веке и позволила математике пронизать все науки. Следует ли обучать аксиоматике в школе? Если на этот вопрос нужно ответить, поскольку он поставлен в большинстве проектов последних лет, я отвечу: нет. В школе столь же мало приемлема специально построенная аксиоматика, как и специально построенная математика вообще.

Но то, что так высоко ценит настоящий математик, следует рассматривать и в школе, — это процесс аксиоматизации.

После локального упорядочения школьник должен изучить и глобальное упорядочение и, наконец, научиться освобождаться от онтологических связей. Но для этого он должен знать область, которая подлежит упорядочению, и связи, которые предстоит устранить, должны быть прочными. Это — сильное требование. Школьник, который не упражнялся в самостоятельном упорядочении, видит лишь малорасчлененные зависимости, а связи с действительностью непривычны и слабы. Разумеется, все требования, которые я сформулировал, сохраняются, если школьнику преподносят готовую систему аксиом, из которой он должен прилежно делать выводы; можно натаскать его в этом искусстве, но не довести до понимания аксиоматики. Таким путем лишь увеличивают объем денатурированной школьной математики.

г Все вышеприведенные примеры геометрической аксиоматики чересчур сложны для школьного преподавания. Сложность существующих систем геометрических аксиом еще до их глубокого дидактического исследования является аргументом против требования изучать в школе аксиоматику геометрии. Но этот аргумент недостаточен. Можно представить себе, что некто предложит простую систему аксиом, специально разработанную для целей обучения. Я считаю это абсолютно исключенным. До сих пор шли чересчур традиционными путями. Лично я допускаю решение в круге идей модели пространства Гельмгольца — Ли.

Столь сложная система аксиом, как применяемая в геометрии, совершенно необозрима для того, кто еще не знает иного применения зависимостей. Он не просматривает смысла отдельных аксиом ни в отношении взаимосвязи между ними, ни в отношении выводов, которые можно из них сделать. Если ученик оставит школу с таким аксиоматическим опытом, у него останется лишь впечатление, что аксиоматика служит только для того, чтобы усложнять простые вещи. Маловероятно, чтобы он что-нибудь усвоил о существе аксиоматики. Я полагаю, что мы, математики, не должны способствовать еще большему распространению неверного понимания математики широкой публикой.

Я еще не рассматривал обычных вариантов геометрической аксиоматики с дидактической точки зрения. Я не могу, разумеется, с порога отвергнуть эти проекты по причине того, что они преподносятся мне догматически, без всякой дидактической мотивации, — даже такой недостаток не дает мне этого права. Я не могу оценить того, что автор называет успешным экспериментированием по такому проекту, но это не освобождает меня от обязанности провести мысленный эксперимент, чтобы установить, как можно прийти к такой системе аксиом.

При этом быстро выясняется, что построение системы аксиом требует столь широкого кругозора в области геометрических зависимостей, из которого нельзя исходить в школе, даже у самых способных учащихся. В некоторых подобных проектах об этом говорится явно — во всяком случае, в проектах, предназначенных для

посвященных, к которым не могут и не должны относиться школьники. Все это спокойно преподносится, ибо исходным принципом является не система аксиом, появляющаяся в процессе аксиоматизации, а изложение готовой системы аксиом, системы, изобилующей неожиданностями, которые должны функционировать самостоятельно (разве что не прилагается гарантийное обязательство, как к некоторым изделиям промышленности, и потому вся привлекательность системы пропадает).

Собственная цель геометрической аксиоматики — освобождение от онтологических связей — заведомо не достигается в этих опытах, ибо система аксиом вводится в готовом виде. Школьнику дают понять, что он может забыть все, что знал раньше или доказывал о точках и прямых. Он должен отныне ограничиться высказываниями, сформулированными в аксиомах, и лишь в рамках этих аксиом действовать в дальнейшем. В истории математики подобные веяния были, пожалуй, мотивированы. Современная геометрическая аксиоматика появилась после успехов неевклидовой геометрии, после сомнений в истинности евклидовой геометрии; аксиоматика действительных чисел была вызвана к жизни парадоксами понятия предела — подобных примеров можно привести немало.

А какие сомнения могут заставить школьника изменить свой взгляд на геометрию? Можно рассказать ему, что в воззрениях древних не все благополучно, но можно ли заставить его пережить эти сомнения? Я допускаю, что на этот вопрос можно ответить утвердительно. Но разработать это было бы, вероятно, важнее, чем предложить готовую систему аксиом геометрии.

Обычный аргумент таков: мы говорим школьнику, что это как бы игра, правилами которой и служат аксиомы. Школьник знает, что такое правила игры. Он любит играть, и соглашается соблюдать правила, так как не хочет срывать игру. Но этот аргумент хуже всего приемлем для системы аксиом геометрии: зачем же играть в такую сложную игру, если есть куда более простые? Самым же губительным в этом аргументе является его равносильность объявлению педагогического банкротства: сказками о том, что детей приносят аисты, вместо истины школьники сыты по горло. И это вовсе не безобидная сказка. Школьник уже «привык», что обучение в школе — бессмысленная игра, и что если он играет хорошо, то вознаграждается отличными отметками, а в заключение — аттестатом зрелости. Но, возможно, он до сих пор особо выделял математику; возможно, он верил, что за математикой с ее неумолимой строгостью, которую он с трудом постигает, скрывается нечто более важное, чем за правилами склонения и хронологией. Нужно ли отнимать у школьника эту последнюю веру? Конечно, математика в каком-то отношении игра. Но эти слова звучат по-разному из уст того, кто дошел до них своим разумом, и того, кто лишь повторяет услышанное из третьих уст, не понимая смысла этих слов.

Кое-что из вышесказанного о полной системе аксиом геометрии относится и к частям этой системы, скажем к аффинной гео-

метрии. Но кое-что оказывается и неверным. Во всяком случае, частные проблемы намного проще. Однако школьник должен знать аффинную геометрию, чтобы рассматривать ее аксиомы, — это неизбежно. Нельзя упорядочивать область, которая не изучена. Знание же аффинной геометрии не вытекает прямо из знания евклидовой геометрии. Недостаточно только дать школьникам указание: «Теперь будем работать без циркуля». Школьник должен еще и сам поработать без циркуля, чтобы понять, что это означает. Кроме того, приходится затрачивать усилия, чтобы убедить его в необходимости такого ограничения. Едва ли возможно разъяснить школьнику, что означают построения с помощью циркуля и линейки, — во всяком случае, я не видел ни одной книги, гдеэто пытались бы сделать в какой-то мере сносно. Может быть, легче всучить школьнику (обычно запрещенный) прибор для проведения параллельных линий. Но что такое аффинная геометрия, он может понять не из невнятных рассуждений, а путем применения инструментов, и — я хотел бы подчеркнуть—лучше изучать аффинную геометрию не на плоскости, а в пространстве.

Однако переход к освобождению от онтологических связей для аффинной геометрии не проще, чем для евклидовой. Чтобы дать школьнику понять его, следует идти совсем в другом направлении.

Почему нужно так держаться за геометрическую аксиоматику? Никто не сомневается, что в школе можно рассматривать аксиоматику: аксиоматику группы, аксиоматику меры, линейное упорядочение, циклическое упорядочение, понятие угла — и затем аксиоматику в смысле процесса аксиоматизации. Уже с первого урока математики школьник может встретиться с группой, понятием меры, операциями с углами. Не сложнее осознать и общность в многочисленных моделях подобных систем аксиом, и внутренние соотношения между ними, чем в примерах полной индукции открыть полную индукцию; еще проще задача из многих запутанных свойств параллелограмма выделить формальное определение параллелограмма.

Выявляя и формулируя в таких моделях общие свойства, школьник выбирает некоторые, из которых может вывести остальные; при этом школьник занимается превосходной математической деятельностью, имеющей длительную и широко применимую ценность. Он изучает глобальное упорядочение — не внутреннее упорядочение отдельной системы, а упорядочение целой категории систем, рассматриваемых сверху, он изучает процесс аксиоматизации. Освобождение от онтологических связей перестает быть проблемой. При абстрагированном процессе аксиоматизации исчезают взаимосвязи, которые должны исчезнуть, они постепенно стираются (как в обучении счету постепенно стирается разница между камешками или стульями, или цветами, которые вначале складывают конкретно). Потом можно довести это стирание до сознания школьника. Но при этом мы можем быть уверены, что он завершил процесс,

который во*все не гарантируется обучением геометрической аксиоматике, что школьник завершил процесс освобождения от онтологических связей.

Прискорбно, что в многочисленных публикациях об аксиоматике в школе ни разу не упоминается дидактическая ценность самого процесса аксиоматизации. Это кажется мне недостатком веры в математику и в личные качества подростков: активная роль в математике отводится лишь настоящему математику, который знает все свойства математики и знает, как ими пользоваться. Процесс аксиоматизации передоверяется специалистам. Школьник должен изучать аксиоматику; специалист знает, для кого она предназначена.

Существуют многочисленные области, в которых можно изучать аксиоматику; но геометрия, во всяком случае, не входит в эти области. А не могли бы мы подвести школьника, когда он однажды ознакомится с аксиоматикой вообще, и к геометрической аксиоматике? Прежде чем поставить этот вопрос, следует объяснить, какая цель имеется в виду.

Ответ, что без аксиоматики нет геометрической строгости, что школьник должен изучать и геометрическую строгость, я отклоняю. Что означает строгость, зависит от контекста; тот, кто хочет оправдать геометрическую аксиоматику потребностью в строгости, должен сначала указать геометрический контекст, который не был бы адекватно воспринят в смысле локального упорядочения. Такие контексты существуют, но обычно программы по аксиоматике едва ли подходят к ним. То, что школьник должен изучать нечто (скажем, аксиоматически-геометрическую строгость), верно лишь тогда, когда «должен» исходит из потребности школьника, а не учителя. Как может возникнуть такая потребность, показывает мысленный эксперимент. Последним звеном в этом мысленном эксперименте могло бы быть сомнение в надежности рассматривавшейся до того геометрии. Но я не вижу, где это сомнение может появиться в нынешнем обучении.

За геометрическую аксиоматику в школе говорит тот факт, что освобождение от онтологических связей не может быть полностью изучено при абстрагирующей аксиоматизации. Как мы видели, там оно легко, слишком легко. При непростой абстрагирующей геометрической аксиоматике и, сверх того, при наглядной связи с геометрией несравненно труднее. Поэтому имеет смысл рассмотреть процесс аксиоматизации в геометрии заново.

Это был один аргумент, хотя и не решающий. Вообще я не считаю аксиоматику в школе необходимой, поскольку аксиоматика в школе вообще курьез. Несмотря на это, я хотел бы разъяснить, как я представляю себе в настоящий момент геометрическую аксиоматику в школе. Я основываюсь на голландском эксперименте (П. ван Альбада).

В пространственной геометрии Евклида обращаются к геометрии на сфере, которую можно даже, идентифицируя диаметральные

точки, свести к эллиптической плоскости. В этой эллиптической геометрии пытаются доказать предложения, известные в евклидовой плоскости. Записывают, для каких предложений это достигается, для каких оказывается неверным. Далее пытаются вывести одни предложения эллиптической геометрии из других, чтобы освоиться в эллиптической геометрии; пытаются доказать предложения, верные для той и другой геометрии, не уточняя, о какой из геометрий идет речь. Так возникает проблема, знакомая школьнику из абстрагирующей аксиоматики; ищется возможность одновременного построения евклидовой и эллиптической геометрий. Я не продумывал в подробностях, как эта проблема решается в школе; как уже сказано, я ориентировался на проблему пространства в смысле Гельмгольца — Ли.

(Замечу, что в этом проекте нельзя заменить эллиптическую геометрию гиперболической. Модель гиперболической геометрии слишком искусственна и плохо поддается синтетическому рассмотрению; а работать без модели, как это делали Бойяи и Лобачевский, было бы для школы неоправданным риском.)

Я упомянул описанный здесь метод, так как из него естественно вытекает процесс аксиоматизации геометрии тем же способом, каким он напрашивался математикам XIX в. Здесь мы находим счастливую возможность повторить историю, причем в качестве объекта сравнения применить эллиптическую геометрию, которая по историческим причинам так долго упускалась из виду.

Но я повторяю: мое предложение не означает, что в школе нужно рассматривать аксиоматику геометрии. И напротив, это не означает, что я отвергаю современную геометрию для школы. Совсем не так; геометрия, пронизанная от начала до конца понятием группы, должна быть в школе, и я убежден, что, следуя собственному сознанию математической строгости, можно лучше и успешнее преподавать геометрию, чем если следовать предписаниям хмурящих брови аксиоматиков.

Аксиоматика и традиционная дедуктивность. От приверженцев аксиоматики постоянно исходят упреки: в традиционно рассматриваемой геометрии тоже ведь есть аксиоматика, и притом плохая, при которой аксиомы замалчивают или берут как бы с потолка. Почему бы не делать этого как следует? Живи честно — проживешь дольше ...

Утверждение, что традиционная дедуктивность и аксиоматика в основе своей неразличимы, с одной стороны, верно, с другой — ошибочно. Верно постольку, поскольку необоснованны притязания приверженцев аксиоматики, что они ничего не замалчивают и не берут с потолка. В аксиоматике, как известно со времен Паша и Гильберта, синтаксис и семантика обиходного языка подразумеваются без всяких оговорок. Вводят определение: «deux droit... sont paralleles» (прилагательное), а затем делают высказывание

об «une parallele» (существительное) и проектируют «рага11ё1етепЬ>а (наречие). Вводят определение: «droit ... secant», но обычно употребляется «recontrant». Конечно, на данном уровне все это оправдано. Но существуют же и другие уровни.

Можно вступить в противоречие с широкой неопределенностью языка; поэтому нужно аксиомы и другие высказывания формализовать словесно. Для такой формализации опять-таки есть различные уровни; на очень высоком уровне можно в заключение формализовать и дедукцию. Аксиоматизация, следовательно, вовсе не высшее достижение; существуют уровни и выше, и ниже ее. Аксиоматика — не абсолютное достижение абсолютной аккуратности. На каждом уровне — своя честность и своя аккуратность. К соответствующей определенному уровню честности и аккуратности нельзя принудить школьника, если он еще не достиг этого уровня. Однако именно это постоянно пытаются сделать — разумеется, лишь с кажущимся успехом. Геометрическая аксиоматика особенно опасна в этом отношении. Ведь всяческие построения «с высшей точки зрения» так легки и так коварны; автор подобной системы рассчитывает, что благодаря аксиоматическому методу все само собой обойдется, т. е. обойдется без понимания школьника. Я знаю, что в нашем учебном процессе так бывает часто, но разумные педагоги как раз и хотят избавиться от этого. Аксиоматика же грозит опасностью увязнуть еще глубже.

С дидактической точки зрения есть, я думаю, большая разница между аксиоматикой и традиционной дедуктивностью. Я уже заранее разъяснил ее терминами «глобальное упорядочение» и «локальное упорядочение». Каждому известно, что проходит довольно много времени, пока средний ученик научится обозревать все доказательство в целом. Рассматривая одну конкретную теорему, научиться видеть ее взаимосвязи с другими теоремами еще сложнее. Если же ученик с большим трудом и достигает такого уровня, ему тотчас пытаются навязать глобальное упорядочение (конечно, это явное навязывание, когда школьнику предлагают нечто, не убедившись, что он уже достаточно к этому подготовлен).

И еще. Школьник с течением времени знакомится с двумя видами определений. В основе описательного определения лежит известный объект, свойства которого описываются; алгоритмически- конструктивное или творческое определение показывает, как из уже известных объектов создаются новые. Неявное же определение с помощью аксиом, играющее такую важную роль в современной математике, является описательным и в то же время творческим, хотя и не алгоритмическим. Этими предметными и дидактическими особенностями отличается аксиоматический метод от традиционно-

дедуктивного. В традиционно-дедуктивном методе упорядочение идет локально, лишь до некоторых, не вполне ясных, расплывчатых границ. При аксиоматическом методе границы устанавливаются четко или, по крайней мере, считается, что это возможно и осуществимо. Я уже разъяснял, что это требование весьма некритично.

Локальное упорядочение — медиатрисы. Как же спасти геометрию, если, как это представляется, не удается ни с помощью линейной алгебры, ни с помощью аксиоматики?

Это забавный вопрос. Никто не спрашивает, как спасти физику или зоологию, которые избавлены от аксиоматизации. Или, если кто-то задаст такой вопрос, можно скорее подумать, что он хочет спасти физику или зоологию от когтей математики, чем для математики.

Дети учатся вычислять, сколько стоят три фунта сахару, если задана цена одного фунта; или чему равна площадь прямоугольника, стороны которого известны. Понятия, встречающиеся при этом, не входят ни в какие системы аксиом. Применяя математику, никогда не оглядываются на системы аксиом; и прикладную математику следовало бы спасать скорее от, чем для чистой математики. Вообще-то это не единственная область, которую следовало бы защитить от аксиоматического догматизма. И школьники тоже нуждаются в защите.

Дидакты, которые преподносят школьникам хорошо отлаженный формально-аксиоматический аппарат, часто гордятся, что школьникам нет ничего милее, чем оперировать в рамках этой системы. Это тепличная математика, выросшая вовсе нс из потребностей практики. Один из показательных примеров практического применения математики, который можно убить аксиоматикой, есть теория вероятностей. Геометрия будет спасена, если школьник освоит ее в процессе собственной деятельности; сфабрикованная же искусственно, она в процессе обучения задыхается.

Я разъяснял ранее, как следует преподносить школьнику начала геометрии, чтобы он научился упорядочению образов и явлений в пространстве с помощью геометрических представлений и их свойств. На более высокой стадии обучения он будет упорядочивать эти представления и свойства с помощью связей логического порядка: на еще более продвинутой стадии предметом исследования станут сами системы логических связей.

Рассмотрим пример. Серьезнейшим из детских впечатлений некоторых математиков, опубликовавших свои автобиографии, была теорема о перпендикулярах к серединам сторон треугольника, пересекающихся в одной точке. Это, в самом деле, удивительная теорема. Школьники легко сами обнаружат ее справедливость, если задание сформулировать в менее симметричной форме: «Начерти перпендикуляры к серединам сторон АВ и ВС, пересекающиеся в

точке 714, а затем посмотри, как пройдет перпендикуляр к середине стороны ДС». Проанализируем, как это проделал бы и как рассуждал бы при этом учащийся.

Доказательство основывается на свойстве медиатрисы отрезка XY. Медиатриса — это множество точек (иногда говорят: геометрическое место точек), равноудаленных от X и от Y; это свойство может быть установлено, исходя из симметрии. Точка М лежит на медиатрисе стороны АВ, а потому

МА = МВ.(1)

Точно так же точка 714 лежит на медиатрисе стороны ВС, а потому

МВ = МС.(2)

Из этих равенств вытекает, что

МА = МС,(3)

а потому точка М лежит и на медиатрисе стороны АС.

Это доказательство является целым собранием неожиданностей. Равенства (1) и (2) получают, рассматривая свойство медиатрисы в одном направлении, а с равенством (3) приходится поступить наоборот. Во-первых и во-вторых, точка М лежит на медиатрисах, а потому равноудалена от концов соответствующих сторон; в-третьих, точка М равноудалена от концов, а потому лежит на медиатрисе.

Это, по-моему, первое убедительное появление логического комплекса, который знаменуется такими выражениями, как «обращение», «необходимо и достаточно», «тогда и только тогда».

Следующая неожиданность связана с транзитивностью равенства отрезков. Это кажущееся нам тривиальным свойство транзитивности школьнику нужно четко осознать, если он хочет понять доказательство. Это опять-таки, как мне кажется, первый пример транзитивности некоторого отношения и первый пример его эффективного применения.

Третьей неожиданностью является то, что для доказательства такого симметричного высказывания о трех медиатрисах в треугольнике его необходимо представить в несимметрической форме. Очень важно усвоить, что высказывание «три прямые пересекаются в одной точке» означает то же, что и «одна прямая проходит через точку пересечения двух других». Это первый пример методической парадигмы, которая действует и в высших разделах математики.

Четвертой и, пожалуй, самой большой неожиданностью является то, что для доказательства теоремы об инцидентности2 (три

прямые проходят через одну и ту же точку) приходится пользоваться метрическими свойствами, т. е. конгруэнтными отрезками. Чтобы понять истинную основу этого явления, требуются весьма глубокие исследования.

Наконец, нельзя пренебречь и тем, что теорема ведет к замечательному построению окружности, описанной около треугольника.

Теорема о медиатрисах треугольника — не только жемчужина геометрии, но и богатый кладезь геометрических идей — прекрасный пример того, что я назвал локальным упорядочиванием. Оно представляется возможным, коль скоро школьники осознали медиатрису как геометрическое место точек, равноудаленных от концов отрезка. Им не нужно доказывать это важное свойство-доказательство не способствовало бы пониманию теоремы об описанной окружности; кроме того, сомнительно, следует ли рекомендовать доказательство столь очевидного факта, как эквидистантность точек от медиатрисы, на столь ранней стадии обучения. Уже продвинувшихся в изучении Геометрии может быть целесообразно спросить, почему медиатриса отрезка XY является геометрическим местом точек, одинаково отстоящих от X и от Y. Их можно даже спросить, почему равенство расстояний транзитивно (из этого вытекает понимание, что же, собственно, означает равенство). Можно также спросить, почему медиатрисы сторон треугольника вообще пересекаются. Такое построение обучения несовместимо с восприятием математики как искусственно построенной системы.

Это стремление понять и объяснить факты и явления в математике или в любой другой науке вполне в духе любознательности — естественного чувства школьника.

Вопрос о том, почему медиатрисы пересекаются в одной точке, такой же, как вопросы, почему звонит (или иногда: почему не звонит) электрический звонок, почему желудок переваривает пищу, но не переваривает свои ткани, кто совершил убийство. «Почему» требует причины или обоснования. И всякий раз ответ не является окончательным. Можно продолжать спрашивать: «А почему медиатриса является геометрическим местом эквидистантных точек?», «Почему равенство транзитивно?», «Почему электрический ток возбуждает электромагнит?» и т. д. В каждом ответе таится зародыш нового вопроса. Это, очевидно, бесконечная цепочка, но еще Аристотель считал, что первоосновой для нее являются принципы, а первопричиной — божество. Является ли эта цепочка конечной или бесконечной, не так уж важно, если только можно избежать порочного круга. Практике повседневности и науке можно задавать вопросы лишь до определенных пределов. Чтобы починить звонок, не обязательно знать уравнения Максвелла, а чтобы

заниматься уравнениями Максвелла, не требуется квантовая теория поля.

Я знаю, что математики поступают иначе. Они придумали аксиоматический трюк: превратить порочный круг из порока в добродетель. Теперь уже не спрашивают, что такое точки и прямые; вместо четких определений этих понятий рассказывают, как выполнять с ними те или иные операции. Но ведь так, собственно, и поступают в каждой науке: каждая наука покоится на неявных определениях; математика лишь — единственная наука, которая превращает их в высшую степень дедуктивности. Ведь если некоторая система аксиоматизирована, то все связи с реальностью становятся ненужными, и в процессе анонтологизации система становится автономной.

Мы опять приходим к аксиоматике и можем яснее различать, что она собой представляет. Математический текст можно начинать с аксиом, так как это завершенная математика. Математика как вид деятельности не допускает этого. Вообще то, чем мы занимаемся, создавая и применяя математику, является деятельностью по локальному упорядочению. Начинающим вообще недоступно большее.

Локальное упорядочение не является чем-то недопустимым или постыдным. Это всеми признанная установка созревшего математика, занимающегося чистой и прикладной математикой, даже если он не публикует своих упражнений. Оперировать внутри системы аксиом геометрии весьма обременительно, путь от аксиом к важным предложениям слишком длителен. Доказательство заменяется убежденностью, что оно возможно, но едва ли стоит связанных с этим хлопот. Применяя локальное упорядочение, можно удовлетвориться до некоторого, вообще говоря, переменного горизонта очевидности.

Не кто иной, как сам Гильберт, создатель современной геометрической аксиоматики, применял локальное упорядочение в своих лекциях по геометрии. Другим примером может служить «Введение в геометрию» Г. С. М. Коксетера; автор в каждом случае точно знает, где лежит горизонт ясности, каким уровнем строгости характеризуется предмет; знает, что для доказательства теоремы Морлея о трисектрисе не нужно опускаться до аксиом, тогда как теорема Сильвестра о коллинеарных точках требует определенных аксиоматических основ, так как в ней играют роль свойства порядка.

Локальное упорядочение — стереографическая проекция. Чтобы разобрать на другом примере, что такое геометрия и что такое локальное упорядочение в геометрии, я прибегну к высшим разде-

лам. Известно, что при стереографическойnлам. Известно, что при стереографическойnв прямоугольном к гипотенузе; сле-в прямоугольном к гипотенузе; сле-

лам. Известно, что при стереографическойn

лам. Известно, что при стереографическойn

в прямоугольном к гипотенузе; сле-

в прямоугольном к гипотенузе; сле-

проекции окружности переходят в окружности (или прямые) и углы сохраняются. Как доказать это?

Пусть сфера о касается плоскости е в точке южного полюса S (рис. 25). Из точки северного полюса N сфера а проектируется на плоскость е; точки Р, Q, R сферы о отображаются в точки Р', Q\ R' на плоскости е; прямые РР\ QQr RR' проходят через точку N.

Сначала покажем, что Р, Q, Р', Q' ле

жат на одной окружности. Действительно, треугольнике NSP'SP — высота, проведенная довательно, |MS|2 = |МР| • |МР'|.

Если вместо точки Р взять точку Q, то

|WS|2 - |WQ| • |W|,

откуда и следует, что Р, Q, Р', Q' лежат на одной и той же окружности р.

Окружности риг пересекаются в двух точках; при этом окружности риг лежат на сфере т. Следовательно, три точки сферы о вместе со своими отображениями лежат на одной сфере.

Пусть теперь с — окружность на о* и с' — кривая, изображающая эту окружность на плоскости 8. Выберем на с точки Р. Q, R; тогда через Р, Q, R, Р' проходит сфера т, на которой лежат также Q' и R'; т пересекает плоскость 8 по окружности с*, на которой лежит и точка Q', — и это верно для любой точки Q, лежащей на окружности с; следовательно, вся окружность с1 содержится в окружности с*. Если же рассматривать стереографическую проекцию в обратном направлении, то выясняется, что с* = с . Значит, с*—окружность, а потому окружность всегда переходит в окружность.

Теперь об инвариантности углов. Что подразумевается под этим? Под углом между двумя пересекающимися в точке Р кривыми понимается угол между касательными к ним, проведенными в этой точке. Возьмем на сфере о две кривые: хх и х2, проходящие через точку Р\ их изображениями в стереографической проекции будут Xi и х2; угол между xt и х2 в точке Р должен перейти в равный ему угол между кривыми Xi и х2 в точке Р'.

Можно заменить хх и х2 двумя кривыми, соприкасающимися в точке Р с xv и х2. Можно считать хг и х2 окружностями, проходящими через точку S. Итак, хх и х2 пересекаются в точке Р под тем же углом, что и в точке S. Наконец, Xj и х2 соприкасаются в точке S; точно так же соприкасаются х! и х2. Значит, х2 и х2 пересекаются в точке Р под тем же углом, что и xi и х2 в точке Р'.

Не прекрасно ли вышеприведенное доказательство? Конечно,

это можно было бы сделать и сложнее, как, например, в книге Д. Гильберта и С. Кон-Фоссена «Наглядная геометрия». Можно сделать и иначе: рассматривать стереографическую проекцию как инверсию на сфере с центром N и радиусом NS. Можно даже доказать теорему алгебраически, и если это сделать умело, то будет несложно и может дать новые соображения.

Теперь о критике, которую также нельзя опустить.

Вначале нужно обратить внимание на особые положения различных точек и окружностей. Если точка Р совпадает с N, то ее образом следует считать «новую», бесконечно удаленную точку. Если окружность на сфере а проходит через точку Р, то ее образом будет прямая.

Окружность на сфере о может вместе со своим образом лежать в некоторой плоскости. Если (в конце рассуждения) точка Р совпадет с S, то рассуждение показывает, что равенство углов остается в силе. Но с окружностью, проходящей через точку S, нужна осторожность, чтобы показать, что она вместе со своим образом лежит на сфере.

Далее, почему прямая, проходящая через точку N (не параллельно плоскости е), пересечет сферу еще раз? Почему касательные к сфере о в точке N параллельны плоскости 8? Почему прямая NS перпендикулярна плоскости е? Почему сфера т пересекает плоскость е по окружности? Почему углы, под которыми пересекаются две окружности в точках Л и В, равны?

Смешные вопросы. Все это видно невооруженным глазом. Но, если вы не верите, — мы докажем это. Скажем, последнее утверждение.

Рассмотрим симметрию относительно плоскости л, проходящей через середину отрезка АВ перпендикулярно к нему; при этом точки А и В меняются местами, а окружности, проходящие через точки А и В, остаются инвариантными. Но симметрия сохраняет величину углов.

Почему окружность х, проходящая через точки Л и В, остается инвариантной при симметрии относительно плоскости л? Действительно, почему? Окружность переходит, разумеется, в окружность; точка ее пересечения с плоскостью л остается инвариантной, А и В заменяются друг другом; тремя точками окружность определяется однозначно. •

Почему при симметрии «разумеется», что окружность переходит в окружность? Потому что сфера переходит в сферу, плоскость в плоскость, а окружность — это пересечение сферы и плоскости. Потому что они определены свойствами расстояний, а расстояния при отражении сохраняются. Почему расстояния остаются инвариантными? Я могу ответить теоремами о конгруэнтности. В конце концов вопросы иссякнут. А если не иссякнут, я перестану отвечать. Этого я не должен стыдиться. Таков обычный прием в повседневности и в науке.

Почему SP перпендикулярно к NP'^ Как вы попали в свое

время в V класс гимназии? Да ведь это же Фалес! (это непереводимо; каждая нация имеет своего «Фалеса»). К сожалению, ответы скоро становятся бессмысленными, даже в форме «как вы в свое время выдержали экзамены на аттестат зрелости». Ибо ни в линейной алгебре, ни в какой-либо аксиоматической системе нельзя прийти к чему-то вроде «Фалеса». Это ни о чем не говорит, ибо вокруг «Фалеса» еще столько интересного, что это не исключается из рассмотрения даже в высшей школе.

Почему ^S| = ^Р| • \NP' |? У Евклида это подготовка к рассмотрению теоремы Пифагора, но теперь известны другие, более изящные доказательства этого свойства. Можно, скажем, доказать его, исходя из подобия треугольников.

Теперь нечто серьезное. Как из \NP\ • IMP'] = |MQ| • |MQ'| вывести, что Р, Q, Р', Q' лежат на одной окружности? Более известно обратное; доказательство, опять-таки с помощью подобия треугольников, протекает аналогично.

Затем: почему две пересекающиеся в точках А и В окружности лежат на одной и той же сфере? Возьмем кроме А и В еще точку С на ^ и D на х2. A, В, С, D лежат на некоторой сфере. Вместе с тремя точками эта сфера содержит и каждую из окружностей, проходящих через эти три точки.

Каждый раз одно и то же: спроси меня что-нибудь! Есть люди, включающие в доказательство все, что можно спросить по ходу доказательства, либо подготавливающие ответы вспомогательными теоремами (леммами). Это опять-таки метод, убивающий геометрию.

Я уже говорил об инвариантности углов. Какое понятие угла я имел в виду? Так, как я формулировал, могла речь идти о прежнем понятии угла по Евклиду, и это тоже было верно. Но верно и большее. Вместо кривых можно взять ориентированные кривые, а вместо пар кривых — упорядоченные пары кривых. Угол будет тогда углом между упорядоченной парой векторов, — на плоскости это угол, определенный с точностью до слагаемого, кратного 2л. А как же в пространстве? Там ведь можно с помощью движения изменить направление угла. Но касательные векторы к сфере — это не произвольные векторы в пространстве; поэтому угол между ними определен с точностью до слагаемых, кратных 2л, причем при поворотах сферы сохраняется инвариантность углов2.

Нужно, пожалуй, теперь обратить внимание, что углы между хп х2 в обеих точках пересечения не одни и те же, а противоположно направленные.

Упорядочение поля — вопросы ориентации. Там, где геометрический метод превосходит алгебраический, нужно им пользоваться.

Можно перечислить преимущества геометрического метода так же, как и его недостатки.

Что бросается в глаза: изображают или представляют себе фигуру, чтобы провести рассуждение, которое, к сожалению, может оказаться и ложным. Желают воспользоваться конкретной фигурой (чертежом), чтобы установить общие свойства; для большей уверенности изображают фигуру по возможности в общем виде: если треугольник, то неравнобедренный; если параллелограмм, то не прямоугольник, и, само собой разумеется, различные точки изображают несовпадающими между собой. И тогда наглядно выясняется то, что показать алгебраически было бы гораздо сложнее: что углы треугольника столь же «общи», как и стороны; что параллелограмм является «общим» и в отношении диагоналей; что если две определенные точки фигуры различны, то и другие пары точек (прямых) тоже различны; если же они совпадают, то другие пары тоже совпадают.

Но «общий» треугольник, который изображают на чертеже, может быть остро- или тупоугольным; если изображают треугольник определенного вида, легко высказать нечто более общее, чем следовало бы. Может быть, свойства общих фигур нельзя переносить на изображаемые фигуры; если, скажем, две точки вспомогательной прямой совпадают, то прямая становится неопределенной; может быть, «обобщенная» фигура лишь кажется таковой; скажем, если это существенно, располагается ли точка С на прямой АВ между А и В или вне этого отрезка?

Таковы преимущества, но в то же время и слабые места геометрического метода:

овладение случаями вырождения;наглядность свойств ориентации;

К ним примыкает третье:

действия с углами.

Все это, если вообще возможно при алгебраическом способе, требует кропотливых тонкостей. С другой стороны, геометрический метод неизбежно вызывает величественную небрежность (в качестве курьеза я упомяну, что всегда молчаливо принималось, что парабола имеет не более одного фокуса, пока Хайош не доказал этого).

Вернемся к вопросам ориентации. В треугольнике АВС биссектриса угла С пересекает противоположную сторону в точке D. Вписанная в треугольник ЛВС окружность касается стороны АВ в точке Е (рис. 26). В каком порядке расположены точки D и Е на стороне АВ?

Конечно, это можно попросту вычислить, но такой путь не представляется разумным. Лучше разобраться в сути дела. Пусть,

для определенности АС > ВС и, следовательно, В > А. Треугольник МОЕ прямоугольный, угол Е прямой, поэтому угол МОЕ острый, он меньше угла А ОМ.

Но АСО = BCD; значит, ADC > ВОС,

злотому EDC = ВОС, а это и есть случай,

когда точка Е лежит на отрезке DB (а нерис 26

на АО).

Подобные рассуждения часто используются в геометрических доказательствах; обычно они не являются сложными, потому что ведь многое можно просто увидеть, хотя иногда и допускаются недосмотры.

Все же желательно, чтобы вопросам ориентации на плоскости и в пространстве уделялось больше внимания; почему это важно, я уже разъяснял и вернусь еще к этому. Нет, на занятиях не следует рассматривать полную, аксиоматически обоснованную теорию упорядочения. Речь идет не о том, чтобы вести сложные дедуктивные рассуждения, а о том, чтобы осознать наглядные, но не всегда сознательно воспринимаемые факты.

Понятия ориентации, которые упоминал Евклид, ограничивались упорядочением величин (длин, углов, площадей). То, что на прямой возможна ориентация, Евклид осознает неявно, когда он различает для отрезков, продолжены они через один или другой конец, однако говорит об этом без определений, аксиом или постулатов. Об ориентации на плоскости у Евклида нет ни слова, хотя астрономы, пользуясь геометрией на сфере, весьма подробно учитывали подобные тонкости.

В начальной стадии создания геометрии считалось достижением рассматривать фигуры, изображенные на рисунках 27 и 28,

которые отличаются друг от друга лишь свойствами ориентации, как равнозначные; во времена Паша, на

оборот, считалось достижением отказаться от традиций Евклида и тщательно осознать вопросы ориентации.

Гильберт примкнул к Пашу. Сегодня мы формально поступили бы несколько иначе. Паш и Гильберт исходили из понятия «между». Это — тройное отношение (В лежит между А и С) — первое нетривиальное утверждение об этом отношении требует четырех аргументов, и это весьма затруднительно; понятия и доказательства, связанные с отношением «между», весьма трудоемки.

Более приспособленным к современным

Рис. 28Рис. 28

Рис. 28

Рис. 28

понятиям является линейное упорядочение, «до и после» или, если угодно, «левее и правее», двуместное соотношение, о котором [можно высказать нетривиальное утверждение с тремя аргументами, а именно транзитивность: если А левее В, В левее С, то А левее С. ,

На прямой, скажем в аффинной плоскости, можно наглядно различить две (взаимно противоположные) ориентации. Прямая с такой ориентацией называется «ориентированной» или «направленной». Каждой прямой соответствуют две ориентированные прямые; из этого понятия можно

вывести понятия полупрямых и отрезка; для каждой точки А на направленной прямой имеется «полупрямая точек левее А» и «полупрямая точек правее А». Отрезок АВ состоит из точек, лежащих между А и В, т. е. правее А и левее В (или правее В и левее А). Подмножество точек плоскости называется вы

пуклым, если вместе с двумя данными точками оно содержит и все точки, лежащие между ними.

Для взаимосвязи ориентации различных прямых требуется, чтобы:

1) При параллельном проектировании точек прямой на прямую ориентированная прямая перешла в ориентированную прямую. Итак, если (рис. 29) ориентация прямой g такова, что А левее В, В левее С, С левее D ..., то на прямой g' должно быть А' левее В', В' левее С', С' левееD' ... . Это требование д* в* с' в* заменяет сложную аксиому Паша.

'Л/ 2) Прямая g наглядно разбивает плос

кость на две части. Это выглядит так (рис. 30): возьмем ориентированную вспомогательную прямую h, которая пересекает g, скажем, в точке D. h— (или соответственно /г^) — подмножества точек прямой К левее (и соответственно правее) точки D. Проекцию в направлении прямой g обозначим л^; прообразы множества hr (соответственно hv^ при этой проекции являются множествами, на которые прямая разбивает плоскость.

Это разбиение на «полуплоскости», очевидно, зависит от выбора вспомогательной прямой. Из того, что параллельное проектирование ng переводит ориентированные прямые в ориентированные, следует, однако, что вспомогательная прямая не играет роли. Легко выясняется также, что две

точки вне прямой g тогда и только тогдаЛ

лежат в разных полуплоскостях, когда со-4

единяющий эти точки отрезок пересекает л прямую g. Каждая полуплоскость выпук- У ла, но перестает быть выпуклой, если при- П соединить к ней хотя бы одну точку другой У полуплоскости.

Если встать на прямой g, раскинуть ру

ки в стороны вдоль этой прямой и таким —L Г\ Г\.„>. д образом ориентировать прямую слева на- /

право, то одна из определяемых этой пря-Рис. 31

мой полуплоскостей окажется впереди, дру

гая — позади вас. Тем самым можно ориентировать плоскость.

Плоскость также можно ориентировать двояко: вы можете встать «по другую сторону плоскости» (в пространстве) и то, что раньше было передней и задней сторонами от прямой g, поменяется ролями. Можно, однако, охарактеризовать ориентацию плоскости и независимо от вашего расположения в пространстве. Плоскость называется ориентированной, если для каждой из ее ориентированных прямых установлено, какая из полуплоскостей является передней и какая — задней; при этом может быть так, что если прямая g пересекает прямую h сзади наперед, то h пересекает g спереди назад (рис. 31); «глазки» находятся на передней стороне. Можно показать, что аффинная плоскость допускает ровно два способа ориентации, т. е. если об одной из двух ориентированных прямых известно, которая пересекает вторую сзади наперед, то можно однозначно определить это и для любой другой пары прямых. Это можно доказать и геометрическим путем, но удобнее сделать это алгебраически. В ориентированной аффинной плоскости берется начало О. Достаточно рассмотреть прямые, проходящие через точку О. Каждый вектор я 5^ О определяет ориентированную от —а к а прямую, на которой ая располагается левее |3б?, если только а < [3. Упорядоченная пара направленных векторов а, b называется положительной, если ориентированная прямая от —b к b пересекает прямую, ориентированную от —а к а сзади наперед; в противном случае эта пара называется отрицательной. Затем выясняется, что

если (а, 6) > 0 и а > 0, то

(аа, 6) > 0, (я, оф) > 0, (—а, Ь) < 0,

(а, —Ь) < 0, (6, а) < 0.

Далее, так как b и b + оса лежат по одну сторону от прямой, ориентированной от —а к а, то, если

(а, Ь) > 0, то (а, b + аа) > 0.

Далее рассматриваются базисные прямые, вводится понятие единицы площади и (очень кратко) условия ориентирования пространства, причем знак тройки Van а^ ^з) сводится к знаку объема (я^Лз)-

Упорядочение поля — циклическое ориентирование. На ориентированных прямых имеет место линейное упорядочение. В пучке полупрямых (или ориентированных прямых), исходящих из точки О, также имеет место упорядоченность, но не линейная. Ее называют циклической. Она известна по циферблату часов или по годичному циклу. Имеет смысл вопрос о том, родился ли Кастор раньше Поллукса или наоборот; но бессмысленно спрашивать, бывает ли 3 часа раньше, чем 9 часов в полусуточном цикле, или бывает ли пасха раньше рождества. Можно, пожалуй, сказать, что верен порядок 3 часа, 6 часов, 9 часов, но нс наоборот. Но и порядок 6 часов, 9 часов, 3 часа тоже верен.

Среди п\ упорядочений п предметов ах ,... , ап ан, ..., а. , а. ,, ..., а( *

Qi , ..., Qi , Qi , ..., Qi

называют циклически эквивалентными. С помощью этого понятия циклической эквивалентности можно построить циклические классы эквивалентности. Циклически ориентировать любое множество означает: циклически ориентировать каждое его конечное подмножество.

Тройку (множество из трех элементов) а, 6, с можно циклически ориентировать (упорядочить) двояко: acb = cba = Ьас или же abc= = bca = cab. Циклическое упорядочивание множества Z определено полностью, коль скоро оно определено для любых троек. Однако это циклическое упорядочение троек не может быть произвольным; необходимо выполнение критерия совместимости:

если abd и bed, то acd (и abc\(*)

Циклически упорядоченное множество можно преобразовать в линейно упорядоченное, так сказать, разрывая его на элементе и: каждый! элемент а считается левее и и, далее, а левее b тогда и только тогда, когда aba соответствует циклическому упорядочению.

Свойство (*) определяет транзитивность в множестве Z.

Дальнейшие рассуждения приводят к выводу, что ориентация плоскости характеризует также «направление вращения», но это не имеет ничего общего с вращением в смысле евклидовой геометрии: речь идет лишь об аффинной геометрии, о циклическом порядке в связке (пучке). Наше привычное пространство ориентировано, если задана ориентированная плоскость и указана ее «задняя» сторона; или иначе: на плоскости задано направление вращения и стрелка, «прокалывающая» плоскость снизу вверх (рис. 32). В качестве иллюстрации автор ссылается на винтовые нарезки и штопоры, а ориентацию пространства называет также ориентацией винта.

Рис. 32Рис. 32Упорядочение поля — понятие угла. Уже говорилось о том, что существуют различные понятия угла. Некоторые дидак- ты хотят убедить нас, что лишь одно из этих понятий является верным. Любовь к порядку похвальна, но не настолько, чтобы запрещать важные понятия, не укладывающиеся в принятую систему. Такое отношение нехарактерно для математики.

Рис. 32

Рис. 32

Мы сопротивлялись, пока не привыкли, что существуют различные виды понятия числа, и стали тщательно различать их. Если, вместо осознания различных понятий угла, запретить их все, кроме одного, мы не научимся различать их—и запрет не поможет.

Евклид определял угол как наклонение двух линий (также и кривых); он имел в виду полулинии, иначе рассматриваемый угол неотличим от смежного ему угла. Однако Евклид не вполне последователен; в последующих определениях он говорит о прямых, ограничивающих угол, считая, что угол как бы является частью плоскости.

Евклид не рассматривает нулевого угла, развернутого угла и углов, больших, чем тупой угол. Считая угол частью плоскости, он должен был допустить все это. Если же угол — лишь неупорядоченная пара полупрямых, то не имеет смысла для одной пары полупрямых различать два угла.

У Евклида углы сравниваются, складываются, вычитаются. О равенстве углов говорится так же, как о равенстве отрезков; если угол понимается как часть плоскости, равенство углов следовало бы понимать в смысле наложимости. Евклид позволяет себе складывать углы, получая суммы более двух и даже четырех прямых углов; то, что получается, уже не является углами в их первоначальном смысле. Отсутствие углов, больших, чем тупые, ведет к всяческим трудностям, например в теореме о центральных и вписанных в круг углах, если вписанный угол прямой или даже тупой. Однако чувствуется, что понятие угла у Евклида достаточно прочное.

В гониометрии известно другое понятие угла: угол рассматривается как центральный для некоторой окружности (скажем, с радиусом, равным 1); в этом случае углы и дуги соответствуют друг другу; углы измеряются дугами, причем 360° соответствуют 2л. Для углов имеется естественная мера — полный круг, составляющий 360° или 2л, чего нет для отрезков; меры углов поэтому являются отвлеченными числами. В единичном круге можно изобразить перекрывающиеся дуги; таким путем получаются дуги, длина которых больше 2л. Но обычно пользуются вычислениями с дугами по модулю 2л.

При таком определении угла нельзя исходить из пары полупря- л Зл

мых. Там нельзя было различить — и —, потому что кто укажет,

имеется ли в виду «внутренняя» дуга или «внешняя». Чтобы решить этот вопрос, берется упорядоченная пара полупрямых и уславливаются, что соответствующая дуга начинается слева от а и кончается справа у Ь. Но понятия «слева» и «справа» имеются лишь у ориентированной плоскости. Лишь на ней можно измерять угол гониометрически, и именно дугой единичной окружности, которая в смысле циклического ориентирования пробегает пучок полупрямых от а к Ь.

Гониометрически угол является, следовательно, функцией пары ориентированных полупрямых на ориентированной плоскости. —,лЗял

Если обратить ориентацию, то угол — превратится в — или в ——.

Если плоскость не ориентирована или если мы рассматриваем пространство, то такие углы вообще неразличимы, а — то же самое, что 2л — а. Тогда лучше считать, что мера углов меняется от О до л. Значит, Евклид был последователен, не допуская углов, больших, чем тупые; ему следовало бы вначале ориентировать плоскость — весьма произвольная и к тому же малоестественная процедура. Как мы поступаем в повседневной жизни? Если нужно повернуть у перекрестка налево или направо, это всегда называют поворотом под прямым углом; при обычном математическом ориентировании плоскости, по которой мы движемся, один угол (налево) должен называться поворотом на 90°, а другой (направо) — на 270°. Но я не рекомендовал бы объяснять путешественнику, спрашивающему дорогу, что он должен повернуть у светофора на 270° или на —90°. Кроме того, правило перестает действовать, коль скоро мы выходим в пространство.

В так называемой аналитической геометрии встречается опять- таки новое понятие угла. Здесь рассматривается угол, образованный двумя прямыми (а не полупрямыми), но это не так уж плохо. Если бы речь шла о неупорядоченной паре прямых, то мы действительно не могли бы отличить нужный угол от смежного ему угла. Однако здесь мы имеем угол упорядоченной пары прямых. Его можно следующим образом свести к углу упорядоченной пары полупрямых: на прямых g и h, проходящих через точку О, рассматриваются взаимно противоположные полупрямые g\ g” и соответственно hv и hr. Все четыре (гониометрических) угла: (g+, h^. (g\ hr), (g*, ^+) И (gr hr) — имеют смысл; они отличаются друг от друга лишь на л. Упорядоченная же пара (g, h) однозначно определяет угол по модулю л.

Это ясно видно по формуле определения угла между двумя прямыми, например для

ииу = ax

и

и

у = Ьх;

Ь — аtg ф =.

Y 1 + ab

Здесь используется тангенс, который имеет период л; поэтому угол ср определен лишь с точностью до слагаемых, кратных л. Если поменять местами прямые, то как тангенс угла между ними, так и сам угол меняют знаки.

В школьном курсе стереометрии пользуются еще одним понятием угла, а именно углом между неупорядоченной парой прямых. Эти углы принимают значения от 0° до 90°.

Сведем все введенные понятия угла в следующую таблицу:

Понятие угла

гониометрическое

в элементарной геометрии

в аналитической геометрии

в стереометрии

означает угол между

упорядоченной

неупорядоченной

упорядоченной

неупорядоченной

парой

лучей

лучей

прямых

прямых

на

ориентированной

неориентированной

ориентированной

неориентированной

плоскости, который принимает значения

по mod 2л

от 0° до 180°

по mod л

от 0° до 90°

Слова «гониометрическое» и т. д. следует понимать с известными ограничениями. В стереометрии можно, например, работать с углом между неупорядоченной парой лучей, а если пространство ориентировано, то можно говорить даже об угле между.скрещивающимися лучами по mod л — такие лучи переводятся друг в друга винтовым движением, согласованным по направлению с ориентацией пространства.

Хотя в элементарной геометрии величины углов могут принимать значения лишь от 0° до 180°, Евклид рассматривает суммы таких углов, которые превышают 180°, но нс превосходят 360°. Но если что-то повернулось вокруг оси два с половиной раза, то угол поворота равен 900°, — это уже относится к кинематике, но не только к ней. Когда рассматривают синус и косинус числового аргумента, областью определения этих функций является вся числовая ось, причем они имеют период 2л. Если хотеть рассматривать аргумент как угол, то нужно допустить углы с величинами от —оо

до +°°- Мы назовем такие углы аналитическими, поскольку они играют роль в анализе в связи с изучением тригонометрических функций. Позднее мы вернемся к связи между гониометрическим и элементарно-геометрическим подходами к понятию угла и обнаружим, что аналитические углы на самом деле не имеют отношения к анализу.

Далее обсуждаются приборы для измерения углов различного вида: обычный транспортир для изменения элементарно-геометрических углов, круговой транспортир для измерения гониометрических углов и счетчик оборотов для измерения аналитических углов. Рассматривается поведение углов при движениях и симметриях ориентированных плоскости и пространства. Для аналитических углов указана конструкция, основанная на рассмотрении циклически упорядоченного пучка лучей, выходящего из одной точки, и универсальной накрывающей этого многообразия лучей. Множество таких углов образует упорядоченную аддитивную группу.

На транспортире конкретно видно, как измеряются углы. Это, так сказать, изогнутая линейка. На ней стоят такие же числа-отметки, как и на линейке; углы измеряют такими же числами, как и отрезки. Линейку мы идеализировали как числовую прямую. Если мы соглашаемся признать правомерность множества действительных чисел в форме числовой прямой, то нет никаких причин, почему нельзя ввести аналитическое понятие угла таким же образом, каким введено множество действительных чисел. Если действительные числа признаются как наглядная мера для измерения отрезков, то можно столь же наглядно измерять действительными числами и аналитические углы. Если рассматривать действительные числа как бесконечные десятичные дроби, то такая же процедура измерения, которая ставит десятичные дроби в соответствие длинам отрезков, может быть применена и к измерению углов.

То, что здесь говорится, является глубокой математической истиной. А именно верно следующее:

Пусть G — дедекиндово упорядоченная группа, т. е. упорядоченная группа, для любого разбиения которой на нижний класс Gw и верхний класс G+ (причем а £ G_ A b £ G+ а <b^ либо в нижнем классе имеется наибольший элемент, а в верхнем классе нет наименьшего, либо в верхнем классе имеется наименьший элемент, а в нижнем классе нет наибольшего. Тогда группа G изоморфна аддитивной группе действительных чисел.

Если предположить, что отрезки измеряются действительными числами, то легко показать, что аналитические углы образуют дедекиндово упорядоченную группу, а потому также могут быть измерены действительными числами.

Однако можно так же, как мы видели ранее при упорядочении алгебры, обойтись в этом контексте без формальной теории действительных чисел и потребовать с помощью «аксиомы транспортира» ограничения полем, в котором и углы тоже измеряются элементами этого поля. -

Как бы то ни было, это фундаментальное аналитическое понятие угла едва ли имеет что-то общее с анализом. Исходя из гониометрических углов, можно определить аналитические углы как бесконечнолистное накрытие системы, и это элементарный процесс, который не имеет ничего общего с пределами, дифференцированием и интегрированием. С другой стороны, если действительные числа как-то признаются пригодными для измерения отрезков, то нет ни малейшего основания запрещать пользоваться ими для измерения углов. Такие процессы измерения, будут ли они формализованы с помощью бесконечных десятичных дробей или с помощью дедекиндовых сечений, ведущие к измерению отрезков действительными числами, ведут также и к измерению углов; если же желают избежать всего этого, то есть выход в виде аксиомы транспортира.

Я уже отмечал, что углы элементарной евклидовой геометрии нельзя так просто отождествлять с аналитическими углами. Дело обстоит сложнее. У Евклида не было отрицательных углов, и потому он мог удовлетвориться углом между неупорядоченными полупрямыми; ему не требовалось и ориентировать плоскость. Евклид исходит из углов от 0° до 180° и продолжает их в одну сторону. То, что из этого вытекает, является лишь половиной системы аналитических углов; окажутся они положительными или отрицательными, нельзя определить без ориентирования плоскости; однако тогда мы определяем меру угла по ее абсолютной величине.

Система аналитических углов выполняет, во всяком случае, одну важную функцию, а именно, что половина этой системы — положительная — воспроизводит углы элементарной евклидовой геометрии. При этом аналитические углы до 180° непосредственно реализуются геометрически как наклон между двумя полупрямыми (неупорядоченными и неориентированными); большие углы встречаются как абстрактные суммы таких углов.

Это примерно похоже на то, как если бы располагали лишь конкретными отрезками длиной до 100 см, а большие отрезки мыслили бы как суммы таких отрезков. В системе углов элементарной геометрии углы можно, пожалуй, неограниченно складывать, но не вычитать; вычитание нельзя интерпретировать как прибавление отрицательной величины, так как отрицательных углов в этой системе не существует.

Отсутствие в этой системе в качестве исходных величин сверх тупых углов также неудобно. Я уже упоминал теорему о центральных и вписанных углах; неудобными являются и невыпуклые многоугольники: если распространить на них теорему о сумме углов многоугольника, то приходится допускать и сверхтупые углы. Для определения сверхтупого угла требуются, в свою очередь, упорядоченные пары полупрямых, а это означает, что можно говорить о сумме углов многоугольника, лишь указывая порядок обхода вершин этого многоугольника; сумма углов треугольника будет равна 180° или —180°, в зависимости от того, обходится ли он согласованно с ориентацией плоскости или наоборот. Следовательно,

если складывают углы между парами упорядоченных полупрямых в ориентированной плоскости (так же, как Евклид складывал свои углы между неупорядоченными парами полупрямых), то получают систему аналитических углов, в которой сложение возможно неограниченно (со значениями от —оо до +°°) и где вычитание можно понимать как прибавление отрицательной величины, а потому, следовательно, и вычитание становится неограниченно выполнимым.

Эта система аналитических углов является, как мы видели, бесконечнолистны.м накрытием системы гониометрических углов.

По меньшей мере три понятия угла имеют практическое, а потому и дидактическое значение. Математики, которые склонны к порядку, стремятся иногда ограничиться одним из этих понятий, исключив остальные. Это в духе древних греков, которые ограничивались натуральными числами и не признавали дробей. Разумеется, в повседневной жизни и в расчетах они пользовались дробями, но в чистой математике дроби были запрещены. Столь же шизофренично действует математик, который желает признавать лишь гониометрическое понятие угла, но вынужден говорить и об угле зрения, под которым он видит предмет, а если он поворачивает ключ в замке, то знает, конечно, что полоборота не то же, что полтора оборота. То, что существуют инструменты, с помощью которых можно измерять углы, — аргумент скорее против, чем в пользу рассмотрения их в обучении. Самой подозрительной является для него циклическая ориентация в пучке полупрямых и связанное с этим понятие угла, которое я назвал аналитическим. Дьедонне1 поочередно называет эти понятия непрочными, трансцендентными и смешными — три определения, которые по меньшей мере противоречат друг другу. Циклическая ориентация, которую мы рассмотрели, весьма разумна, если ориентируют лишь плоскость, но она полезна и для многих других целей; я не знаю, что здесь может быть смешного или трансцендентного.

Аналитические углы получаются путем бесконечнолистного накрытия системы гониометрических углов; это вполне естественный процесс, в котором нет ничего смешного или непрочного и который совсем не является аналитическим или кинематическим. Этот процесс совершенно не зависит от того, над каким полем мы его осуществляем.

Далее автор полемизирует в том же духе с Дьедонне и приходит к выводу, что ни одно из понятий угла — элементарно-геометрическое, гониометрическое и аналитическое — не может быть опущено в обучении. Затем эти три понятия сравниваются относительно операций, которые можно выполнять с углами: складывать, вычитать (не имеет смысла перемножать углы), увеличивать или уменьшать в п раз, двигать и отражать. Существует, по мнению автора, много форм анализа, выполнимых уже на низшей стадии обучения. •

хДведонне Ж- Линейная алгебра и элементарная геометрия. М.» 1972.

. Групповой подход в геометрии — критический анализ. В одном из своих докладов я отмечал, что группы (а также и отображения) не оказали заметного влияния на школьное обучение — с тех самых пор, как Ф. Клейн в начале нашего столетия ратовал за них. Я предупреждал об обычных ошибках, которые показывали, сколь недостаточно еще разработана дидактика отображений. В конце концов я нашел целесообразный, как мне казалось, путь, с помощью которого можно ввести группу движений.

За последние десять лет многое изменилось: группы стали модой, значение которой иногда преувеличивают. А предупреждение об ошибках не помогло; появились даже новые ошибки. Наконец, позитивные предложения кажутся теперь целесообразными.

Как же получилось, что советы Ф. Клейна так нескоро осуществились даже в Германии, где его ценили как крупного специалиста? Я уже упоминал, что изложение Ф. Клейном «Элементарной математики с точки зрения высшей» велось со столь высокой точки зрения, с которой элементарной математики совсем не было видно; что в настоящее время понятия «школьной» и «высшей» математики стали почти неразличимыми. Ф. Клейн в своей «Эрлангенской программе» формулировал алгебраическую теорию инвариантов известных подгрупп проективной группы вообще, но применительно к очень узкой области, а все это — от определения меры по Кэли до пентациклических координат, даже на низшем уровне, — очень далеко от школьной математики. По собственной интерпретации Клейна, в «Эрлангенской программе» центр тяжести взаимосвязи различных геометрий друг с другом выясняется с помощью теории инвариантов, принципов переноса и т. д.; то, что в рамках одной геометрии, и тем более обычной евклидовой, можно что-то делать с группами, едва ли подчеркивалось у Клейна.

В этом направлении действовал, по крайней мере в Германии, авторитет «Оснований геометрии» Гильберта, в некоторых отношениях весьма консервативного труда, продлившего жизнь евклидовых методов по меньшей мере на пол века. (Следует отметить, что сам Гильберт в одном из приложений пользовался совсем другим методом изложения — теоретико-групповым изложением геометрии.)

Отсутствовало также независимое осмысление предмета и метода элементарной геометрии. Все оставалось традиционным, хотя кое-где применялись и отображения. В 1958 г. я отмечал, что еще

никто не разработал систематического курса элементарной геометрии, исходя из идеи отображения, и что даже в дидактике отображений до сих пор еще не решены важные проблемы.

Фундаментальной проблемой я назвал следующую: нужно опасаться, что школьник воспримет отображение как изъятие с плоскости какой-либо фигуры и перенос ее на другое место в этой же плоскости (причем размеры и форма остаются неизменными или подвергаются гомотетии или аффинному преобразованию). Тот, кто так воспринимает, впадает в ошибку: то, что при этом происходит, не есть группа отображений, а лишь в лучшем случае группоид. Это «свободное передвижение фигур в плоскости» не то же самое, что отображение плоскости на себя. Если хотеть составить группу из отображений, то нужно задать некоторое множество, скажем плоскость, которое при любом отображении однозначно переходит в себя. Изъятие квадрата с места (^ и наложение на Q2 есть отображение /Qi в Q2; с помощью отображения g, которое переводит Q3 в Q4, можно составить gf лишь тогда, когда Q2 = Q3. Существенный признак группы — неограниченная возможность сопоставления — здесь отсутствует. Мы получаем множество отображений, одни из которых оказывается возможным сопоставлять, а другие — нет, т. е. получаем группоид (или категорию). Здесь случайно оказывается, что отображения, ограниченные на квадраты, можно распространить на всю плоскость, так что этот группоид образуется из группы путем ограничения ее элементов, но это вообще не всегда бывает так.

Конечно, те, кто считает, что отображение f переносит ровно один квадрат на другое место, заблуждаются; то, что изъято и перенесено на другое место, есть не некая ограниченная фигура, а вся плоскость целиком — и тогда это действительно группа. Но вся плоскость—чересчур абстрактный объект; ее рассматривают как субстрат для многих отдельных конкретных квадратов, не осознавая, сколь опасно это ограничение. Перенос отдельной фигуры действительно гораздо нагляднее, чем отображение всей плоскости, и это более наглядное легко затмевает менее наглядное. )

Модели, весьма полезные вообще, могут быть в этом отношении особенно опасны. Как выясняется, должно быть совершенно ясно, какое множество отображений рассматривается. Разумеется, можно наглядно показать отображение субстрата на некотором подмножестве, скажем вращение пространства вокруг вертикальной плоскости путем вращения стула вокруг вертикальной же оси, случайно проходящей через центр стула; но целесообразнее распространить движение и на другие объекты; можно, например, вращать и соседний стул около этой же оси, а не около оси нового стула. Тогда можно также предостеречься от того, что при сопоставлении изображений оси не будут мыслиться жестко связанными с объектами. Я уже анализировал опасность переноса и преобразования на конкретной модели (см. с. 20). Ошибки этого рода в литера-

туре относятся к последним годам. Напротив, уже в 1958 г. я обращал внимание на ошибки, когда отображения плоской фигуры на другую фигуру считают возможным объединять в группу. Теперь болезнь распространилась; возможно, этому способствуют работы Пиаже, в которых такие ошибки встречаются на каждом шагу.'

Вот часто встречающийся пример: вставание и усаживание как обратные операции, которые порождают группу преобразований. Где здесь множество, подлежащее преобразованию? Ясно, что оно состоит из двух состояний одного лица: стоять или сидеть. Однако отображение «садиться» определено лишь для состояния «стоять», а отображение «вставать»—только для сидящих; эти отображения невозможно сопоставить. Или, если воспринимать так, что вставание стоящих (или усаживание сидящих) не изменяет состояния данного лица, то эти два отображения не являются взаимно однозначными; это будет бинарная операция между двумя элементами: а (вставание) и s (усаживание) — с сопоставлениями

я2 = a; s2 = s; as — а\ sa = s, а это вовсе не группа.

Другой разновидностью этой же модели является «открытая» и «закрытая» дверь; иногда ее усложняют состояниями «полуоткрытая» и «полузакрытая».

Та же ошибка встречается, когда автор пытается отобразить некоторую фигуру на себя и «наглядно» показывает на рисунках различные промежуточные стадии друг за другом; как ученик, так и учитель, пользующийся подобной книгой, легко вводятся в заблуждение, когда считают, что это различные фигуры, одна из которых отображена на другую. Подобный пример я уже рассматривал.

Разумеется, допустимо рассматривать группу отображений некоторой фигуры на себя, например восемь автометрий квадрата (отражения от горизонтальной, вертикальной и двух диагональных осей симметрии; вращения на 0°, 90°, 180°, 270°). Но если это делают, то так и говорят об этом, говорят ясно и четко, распространяются ли эти отображения на всю плоскость, или только на площадь квадрата, или только на его вершины. Ограничение площадью квадрата имеет свои преимущества; на изображенный (неподвижный) квадрат можно наложить подвижной листок с квадратом, который по желанию поворачивают или переворачивают. Вершины подвижного квадрата или четыре его четверти обозначают буквами, чтобы лучше проследить за их перемещениями (конечно, буквы следует изобразить и на «оборотной» стороне). Впрочем, это не очень целесообразно и может даже ввести в заблуждение. Ибо что при этом происходит с буквами? Следует ли их тоже зеркально отображать или они остаются неизменными? Впрочем, лучше вместо букв раскрасить каждую четверть (или хотя бы вершины) в различные цвета.

Отмечается далее, что если школьники будут долго заниматься отображениями на себя фигур, то у них захиреет способность рассматривать отображения всей плоскости, подобно тому как при

традиционном преподавании геометрии пространственное представление подавляется длительным изучением планиметрии. Указывается, что группы стали сейчас модным объектом изучения в школе. Многие понятия теории групп можно было бы ввести на раннем этапе обучения в игровой форме. Однако такой «нулевой уровень» был бы полезен лишь в случае, если бы за ним следовало изучение на более высоком уровне. Хотя экспериментаторы и утверждают, что на таком материале дети учатся математизировать, здесь скорее речь идет о формализации, а не о математизировании. В частности, указывается на опасность формализации идеи изоморфизма с помощью групповых таблиц.

Указывается, что наглядные изображения групп, восходящие к Дьенешу, применимы лишь для иллюстрации, но не для определения понятия группы. Отмечается опасность создания «детских» вариантов серьезных областей математики. Описывают психологические эксперименты, связанные с формированием понятия группы. Говорится, что зачастую формальный аппарат бинарных операций подавляет усвоение сути понятия группы.

В разделе «Что такое структура?» обсуждаются группы автоморфизмов структур и указывается роль этого подхода к понятию группы в школьном преподавании. Показано, что такие группы, как группа целых чисел, положительных чисел и т. д., естественно истолковываются как группы автоморфизмов некоторых структур. В конце этого раздела автор приходит к выводу:

Что же придает группам их превалирующее значение в математике? Ответ прост: группы важны потому, что автоморфизмы любой структуры образуют группу и потому, что по автоморфизмам некоторой структуры можно узнать многое о самой структуре. Это — основное, что касается групп и что делает их столь универсальными, применимыми повсюду в математике. Это важный и простой принцип, и если школьнику и следует что-либо знать о группах, то этот принцип является альфой и омегой теории групп.

В разделе «Дидактика группы перемещений» обсуждаются дидактические вопросы, связанные с использованием групп в геометрии. По мнению автора, следует начинать с рассмотрения осевых симметрий, которые являются более простыми преобразованиями всей плоскости, чем вращения и параллельные переносы. Для изложения параллельных переносов рекомендуется рассмотреть преобразования бесконечной решетки. Отмечается полезность классификации перемещений плоскости как образца локального упорядочивания материала с помощью теоретико-групповых средств.

Наконец, в разделе «Теоретико-групповая геометрическая аксиоматика» автор пишет, что, по его мнению, теоретико-групповая аксиоматика геометрии должна развиваться не в гильбертовом направлении, а в рамках идей Гельмгольца. Указываются различные варианты такой аксиоматики.

АНАЛИЗ

Студенты I семестра имеют еще право верить в иррациональные числа, с благодарностью и некритично воспринимать комплексную область как неизбежное вспомогательное средство, без предвзятости рассматривать каждый предельный переход и относиться к бесконечному как к таблице умножения.

(Э. Нетто. «Элементарная алгебра», 1904. Предисловие.) Должны ли мы уже во вводных лекциях по высшему анализу пытаться обсуждать необходимые фундаментальные понятия с достаточной основательностью... Известную пословицу «Кто платит дешево, покупает дорого» я считаю в данном случае подходящей. Я пришел к убеждению, что усилия, без которых никак нельзя освоить математику, не увеличиваются при усилении логической строгости методов доказательства.

(Л. Принсгейм. Годовой отчет германского математического союза, № 7 (1897/98), с. 142—143.)

Начало. В этой главе не будет идти речь ни об обучении технике дифференцирования и интегрирования, ни о действиях с рядами. Я не собираюсь также упрятать анализ в уголок обширного пространства, которое под именем «Топология» или «Смешанные структуры» больше подходит к системе математики. Еще меньше, чем другие разделы, следует рассматривать анализ как некую структуру, которая пробуждает благоговейное удивление, но больше, чем другие области, — как инструмент, использование которого вскоре понадобится изучающим. Для этого необходимо нечто иное, чем знание словесных выражений, определяющих открытое множество, предел, дифференциальное отношение и интеграл; в такие понятия следует вжиться геометрически и численно, даже если их нельзя явно и безупречно определить.

Нет необходимости перечислять, сколь многими способами может школьник вжиться в основные понятия и методы анализа; но когда я просматриваю учебники, во мне растет подозрение, что некоторые авторы никогда не проникались ими или, во всяком случае, не настолько осознавали, чтобы это отразилось в их методике. Иногда можно найти в этих учебниках полученные из вторых рук приложения анализа; нужно лишь опасаться, что они не оказывают воздействия на учащихся, так как появляются слишком поздно.

Я слышал однажды, как некто с большим подъемом защищал предложение вводить дифференциальное отношение как скорость; он гордился действенностью такого способа. Однако он был гораздо дальше от успеха, чем ему казалось: он видел действительность лишь через узкую щелку. Но учащегося бесполезно заставлять смотреть лишь сквозь щелки: это негодный метод обучения. Почему бы

многосторонний подход, который столь хорошо зарекомендовал себя в начальном обучении, не предпочесть здесь — ведь и здесь мы тоже близки к реальной действительности?

Что представляют собой дифференциальное отношение и интеграл некоторой функции, полностью зависит от того, что представляет собой сама функция — к этому понятию существует очень много подходов.

Численный подход. Во-первых, функцию можно задать численно, скажем в виде таблицы. Можно составить к ней и таблицу разностей, т.е. разностей между данным в таблице числом и предыдущим, — процесс, полезный для интерполяции. Если сравнить между собой таблицы данной функции, выполненные с большим и малым шагом, то можно заметить зависимость разности от шага, которую легко исключить: нужно лишь разделить каждую разность на шаг, т. е. на разность аргументов, — иначе говоря, заменить разности на отношения разностей, чтобы получить нечто, не зависящее от шага. В конце концов, достаточно поставить вопрос: что произойдет, если шаг, уменьшаясь, будет стремиться к нулю, чтобы подойти к дифференциальному отношению? Затем возникает новый вопрос: как из таблицы дифференциальных отношений вновь получить исходную таблицу значений функции? Для этого составляют таблицу сумм, точнее, таблицу сумм, умноженных на шаг. Это можно сделать и с исходной таблицей, а не только с той, которая представляет отношение разностей. С помощью предельного перехода таким путем можно прийти к таблице интегралов.

Чтобы показать эти процедуры, берут подходящие таблицы — логарифмов, квадратов, синусов — с целью открыть интересные закономерности; подходят также функции, возникающие в конкретных задачах, чтобы показать с их помощью образование дифференциальных отношений или интегралов. Разумеется, в задачах этого рода надо действительно выполнять вычисления, а не только говорить о них. Для этого необходим, по крайней мере, арифмометр, но подробное построение таблицы лучше выполнять с помощью ЭВМ, причем школьник будет упражняться и в программировании составления таблицы. В заключение можно предложить введение в интерполяционные методы.

Графический подход. Если функция задана графически, то ее наклон и площадь (под кривой) являются графическими интерпретациями дифференциального отношения и интеграла. В противоположность численному подходу, где эти понятия воспринимаются лишь как туманные пределы, здесь они появляются перед глазами в готовом виде, и учащийся лишь в дальнейшем должен будет их анализировать и воспринимать как пределы — прекрасный пример математизации индуктивного материала.

Наклон графика понимается как наклон касательной, а касательная — как предельное положение секущей. Или: наклон графика в данной точке — это предел среднего наклона в стягивающихся к этой точке интервалах; площадь фигуры, ограниченной кривой

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

A

9,00

2,1

97225

97336

97447

97558

97669

97780

97891

98002

98113

98224

111

,01

2,1

98335

98446

98557

98668

98779

98890

99001

99112

99223

99333

111

,02

,03

2,1

99444

99555

99666

99777

99888

99999

00109

00220

00331

00442

110

2,2

00552

00663

00774

00885

00995

01106

01217

01327

01438

01549

110

,04

2,2

01659

01770

01880

01991

02102

02212

02323

02433

02544

02654

111

9,05

2,2

02765

02875

02986

03096

03207

03317

03428

03538

03648

03759

110

,06

2,2

03869

03979

04090

04200

04311

04421

04531

04641

04752

04862

110

,07

2,2

04972

05083

05193

05303

05413

05523

05634

05744

05854

05964

110

,08

2,2

06074

06184

06294

06405

06515

06625

06735

06845

06955

07065

110

,09

2,2

07175

07285

07395

07505

07615

07725

07835

07945

08055

08165

109

9,10

2,2

08274

08384

08494

08604

08714

08824

08934

09043

09153

09263

110

,11

2,2

09373

09482

09592

09702

09812

09921

10031

10141

10250

10360

110

,12

2,2

10470

10579

10689

10799

10908

11018

11127

11237

11347

11456

110

,13

2,2

11566

11675

11785

11894

12004

12113

12223

12332

12442

12551

109

,14

2,2

12660

12770

12879

12989

13098

13207

13317

13426

13535

13645

109

9,15

2,2

13754

13863

13972

14082

14191

14300

14409

14519

14628

14737

109

,16

2,2

14846

14955

15064

15174

15283

15392

15501

15610

15719

15828

109

,17

2,2

15937

16046

16155

16264

16373

16482

16591

16700

16809

16918

109

,18

2,2

17027

17136

17245

17354

17463

17572

17681

17789

17898

18007

109

.19

2,2

18116

18225

18334

18442

18551

18660

18769

18877

18986

19095

108

9,20

2,2

19203

19312

19421

19530

19638

19747

19855

19964

20073

20181

109

,21

2,2

20290

20398

20507

20616

20724

20833

20941

21050

21158

21267

108

,22

2,2

21375

21483

21592

21700

21809

21917

22026

22134

22242

22351

108

,23

2,2

22459

22567

22676

22784

22892

23001

23109

23217

23325

23434

108

,24

2,2

23542

23650

23758

23867

23975

24083

24191

24299

24407

24515

109

9,25

2,2

24624

24732

24840

24948

25056

25164

25272

25380

25488

25596

108

,26

2,2

25704

25812

25920

26028

26136

26244

26352

26460

26568

26675

108

,27

2,2

26783

26891

26999

27107

27215

27323

27430

27538

27646

27754

108

,28

2,2

27862

27969

28077

28185

28292

28400

28508

28616

28723

28831

108

,29

2,2

28939

29046

29154

29261

29369

29477

29584

29692

29799

29907

107

9,30

2,2

30014

30122

30229

30337

30444

30552

30659

30767

30874

30982

107

,31

2,2

31089

31196

31304

31411

31519

31626

31733

31841

31948

32055

108

,32

2,2

32163

32270

32377

32484

32592

32699

32806

32913

33021

33128

107

,33

2,2

33235

33342

33449

33557

33664

33771

33878

33985

34092

34199

107

,34

2,2

34306

34413

34520

34627

34734

34841

34948

35055

35162

35269

107

9,35

2,2

35376

35483

35590

35697

35804

35911

36018

36125

36232

36338

107

,36

2,2

36445

36552

36659

36766

36873

36979

37086

37193

37300

37406

107

,37

2,2

37513

37620

37727

37833

37940

38047

38153

38260

38367

38473

107

,38

2,2

38580

38686

38793

38900

39006

39113

39219

39326

39432

39539

106

,39

2,2

39645

39752

39858

39965

40071

40178

40284

40390

40497

40603

107

9,40

2,2

40710

40816

40922

41029

41135

41241

41348

41454

41560

41667

106

,41

2,2

41773

41879

41985

42092

42198

42304

42410

42517

42623

42729

106

,42

2,2

42835

42941

43047

43154

43260

43360

43472

43578

43684

43790

106

,43

2,2

43896

44002

44108

44214

44320

44426

44532

44638

44744

44850

106

,44

2,2

44956

45062

45168

45274

45380

45486

45591

45697

45803

45909

106

9,45

2,2

46015

46121

46226

46332

46438

46544

46649

46755

46861

46967

105

,46

2,2

47072

47178

47284

47389

47495

47601

47706

47812

47918

48023

106

,47

2,2

48129

48234

48340

48446

48551

48657

48762

48868

48973

49079

105

,48

2,2

49184

49290

49395

49501

49606

49712

49817

49922

50028

50133

106

,49

2,2

50239

50344

50449

50555

50660

50765

50871

50976

51081

51187

105

9,50

2,2

51292

51397

51502

51608

51713

51818

51923

52028

52134

52239

105

Рис. 33

линией, — это предел площадей аппроксимирующих многоугольников. Речь идет об ориентированной площади: под осью абсцисс, при отрицательных значениях функции, площадь считается отрицательной; при обращении пути интегрирования знак площади изменяется; следствием этого соглашения является формула

которая имеет смысл и верна даже в тех случаях, когда а, Ь, с не удовлетворяют соотношению а < b < с. Аппроксимирующий многоугольник может иметь вид «лестницы» (рис. 33, а) или кусочно-линейной функции (рис. 33, б).

То, что дифференцирование и интегрирование — взаимно обратные операции, можно показать двумя способами, и от школьников следует потребовать понимания обоих способов, ибо оба доказательства парадигматичны для многочисленных приложений дифференциального отношения и интеграла. Во-первых, следует показать, что дифференцирование интеграла с переменным верхним пределом приводит к исходной функции, и во-вторых, что интегрирование дифференциального отношения воспроизводит исходную функцию с точностью до постоянного слагаемого.

х

Пусть / — заданная функция; тогда приращение J f (£)d£ а

между х и х + Ах является площадью под кривой / между х и х + Ах, т. е.

хЧ-Ах

J t&W X

если разделить эту площадь на Ах, то получится приближенное значение / в промежутке от х до х + Ах, а предел этого отношения при условии Ах-> О даст точное значение f (х) (рис. 34).

Наоборот, дифференциальное отношение /' (х) функции / в течке х приближенно выражается так:

ff (х)Н*+ M — f № .

следовательно, f' (х) • Ах « f (х + Ах) — f (х), а потому при интегрировании от а до b (рис. 35)

ь

f {' (х) dx = f (6) — f (а). а

Такие правила, как

-у = 1/—dx dy

при строго монотонной зависимости между х и у

Иdzdz dy

dx dy dx

наглядно очевидны. Почти очевидно и интегрирование по частям при монотонной зависимости (рис. 36):

ьв

J ydx + ^ xdy ЬВ аА.

аЛ

Как показать, что С— есть логарифмическая функция In,

1

было указано в первой части. Основание таких логарифмов называется е; следовательно, In е = 1.

Если In х — у, то — — -— и если х = еу, то — = еу. dx хdy

Это означает, что показательная функция с основанием е не из* меняется при дифференцировании.

Вообще из

х «У, у loga х

вытекает

aJ)Рис. 37aJ)Рис. 37dy _1

aJ)

Рис. 37

aJ)

Рис. 37

dx x log a

~ = x log a = a^ log a. dy

Чтобы проинтегрироватьфункцию, нужно рассмотреть

1 2 — X221 2 — X22линейнуюее графикьчто J ydxатрапеции,линейнуюее графикьчто J ydxатрапеции,(рис. 37). Из у = сх вытекает, представляет собой площадь равную ~ (6 — а) с, например

1 2 — X2

2

1 2 — X2

2

линейнуюее графикь

что J ydxатрапеции,

линейнуюее графикь

что J ydxатрапеции,

откуда далее снова следует:

что, разумеется, можно доказать непосредственно. Исходя из этого, можно переходить ко всевозможным функциям Т^ха с рациональным а — с помощью интегрирования по частям и правил дифференцирования обратной и сложной функций, а если пользуются логарифмами, то с любым действительным показателем а. Однако я нахожу более важным вначале наглядно убедиться, что для а > —1

F (х) = j ^

во всяком случае является кратным от xa+I: определяемый функцией у — ха график инвариантен по отношению к линейному отображению, преобразующему х в рх и у в рау, и потому площадь умножается на pa+1 так, что

F (рх) = p«+i . F (х).

В частности, при х = 1, заменяя р через х, получим:

F (х) = F (1) • х^1.

Далее автор приводит еще несколько примеров дифференцирования и интегрирования, рассматривает и комментирует общеизвестные формулы (например, для поверхности тел вращения).

Скорость как подход. В предыдущих примерах переменная, по которой велось дифференцирование или интегрирование, мыслилась как отрезок; функция, которую нужно было дифференцировать или интегрировать, была явно или неявно задана в виде графика; речь шла о длине дуги, площади или объеме.

Если более обще функция связывает некоторые физические величины, то дифференциальное отношение и интеграл могут иметь определенный физический смысл. Наиболее известным примером в этом отношении является скорость движения как дифференциальное отношение пути ко времени; однако я редко находил в учебниках рассмотрение вопроса, как по графику скорости автомобиля определить пройденный им путь. Если дифференцировать скорость по времени, получится ускорение или скорость изменения скорости.

Есть и совсем другие процессы, в которых рассматривается скорость, например скорость истечения жидкости из сосуда, сила электрического тока при разряде конденсатора, скорость органического роста или скорость роста капитала, скорость распада радиоактивных веществ. Во многих из этих процессов измерительные инструменты регистрируют расход, рост и т. д. кумулятивно, так сказать в виде аналог-интегратора.

Большое значение имеет механическая работа как интеграл от силы вдоль пути. Если сила сообщает материальной точке т в точ- d^x

ке х ускорение —, то работа превращается в кинетическую эпер- dt2

гию. Если материальная точка за время от /0 до ^ перемещается из х0 в ^ и ее скорость изменяется от и0 до иъ то она накапливает кинетическую энергию:

( md — dx.

Подынтегральное выражение можно записать в форме

и интеграл будет

1т(и2—У2),

что является приращением кинетической энергии; если положить и0 = 0, то для кинетической энергии получится известное значение:

— где т — масса и и — скорость.

Аналогично автор разбирает «Плотность как подход», где рассматривается также плотность вероятности.

О вероятности не нужно знать ничего сверх того, что предполагает здравый человеческий рассудок. Подкрепим это рассмотрением одного из многих примеров:

— Некто А приходит в случайное время между 18.00 и 20.00 в ресторан ужинать; он проводит в ресторане 45 минут. Какова вероятность застать его там в любой данный момент?

— Некто В имеет такую же привычку. Какова вероятность, что

Рис. 38Рис. 38А и В встретятся в ресторане? Сколько времени они проводят в ресторане (в среднем) вместе?

Рис. 38

Рис. 38

Один приходит в (18 + 2х) часов, другой — в (18 + 2у) часов. Заштрихованная на рисунке 38 область показыает совокупность пар (х, у), для которых встреча со.25

стоится; эта площадь составляет 1 — — 64 всей площади квадрата. Именно такова вероятность встречи А к В.

Время, которое А и В проводят в ресторане вместе, составляет при этих условиях — —2 |х —у| часов. Эту функцию еле- 4

дует проинтегрировать по заштрихованной области, чтобы получить среднее совместное проведенное в ресторане время; однако проще вычислить это элементарно, без интегрирования (далее автор при

водит рассуждения, в результате которых выясняется, что среднее время совместного пребывания А и В в ресторане равно ^ часа).

Градиент как подход. Если температура меняется вдоль оси и равна / (х) в точке х, то — — температурный градиент; это важно, dx

потому что тепло распространяется в сторону, противоположную градиенту, со скоростью, пропорциональной градиенту. Если составить для зависящей от х и от t температуры f (х, /) баланс в момент времени / вдоль интервала от х до (х + Ах), то получим в точке х скорость истечения тепла: . ,

4^ о,

дх

а в точке (х + Ах) — скорость притока тепла:

к— (х + Ах, /)дх

и, следовательно, сальдо скорости притока тепла для интервала [х, х + Ах]:

.df , . А,х ,df , ,х ,д2/ , ,х А

к— (х + Ах, /) — к— (х, /) ^ к— (х, /) Ах.

дхх' дхх 1 дх2Х

Это сальдо, с другой стороны, пропорционально скорости повышения температуры в точке х, что приводит к известному уравнению теплопроводности:

£ = ^

dt дх2’ характеризующему и другие диффузионные процессы.

Далее автор рассматривает соответствующие уравнения в частных производных для двух и трех измерений.

Это играет роль в школьном курсе физики; однако математик охотно предоставляет эту часть математики физику, так как школьный курс анализа ограничивается функциями одной переменной.

Далее автор рассматривает возможный подход к рассмотрению понятий анализа, исходя из понятия градиента; этот подход, по мнению автора, может быть «целью и исходным пунктом для особенно привлекательного рассмотрения». В целях наглядности рассмотрение ограничивается случаем двух независимых переменных.

Емкость как подход. Другим примером применения понятий анализа являются встречающиеся в физике под всевозможными наименованиями емкости.

Емкость конденсатора — это заряд, необходимый для повышения потенциала, т. е.

С — —' ~ dV'

где V — потенциал конденсатора, е — накопленный заряд и С — емкость (возможно, зависящая от V).

Зарядный ток

jdedt

производит изменение потенциала

d_V_ J_. de “ С ’

задаваемое уравнением

dV _ dV d£dt de dt ’

и, следовательно,

Наглядным примером понятия емкости может быть следующая картинка: имеется сосуд с сечением f (х) на высоте х. Сколько жидкости следует добавить, чтобы поднять уровень от высоты х до высоты х + Ах?

Отношение количества долитой жидкости к достигнутому повышению уровня (в пределе при Ах -> 0) есть способность к заполнению. Это предел

л?4-Дл:

Дх->оАх JX

т. е. просто / (х).

Подобно этому определяют теплоемкость — как предел отношения добавленного количества теплоты к повышению температуры (при этом существенно, при каких условиях повышается температура; в газах, например, при постоянном давлении или при постоянном объеме, или еще как-либо). Теплоемкость на единицу массы известна также как удельная теплоемкость.

Особенно интересный пример этого рода представляет собой работа, необходимая для увеличения скорости. Пусть и — скорость, Е — кинетическая энергия тела с массой т, тогда

Е = —тх?

2

и, следовательно,

Мы настолько привыкли к постоянным емкостям, что с трудом уясняем себе, что при возрастании и повышение скорости на ту же величину требует все большей работы (более известно, что тормозной путь автомобиля пропорционален квадрату скорости).

честве отношения дифференциалов нас интересует -честве отношения дифференциалов нас интересует -Следует еще упомянуть логарифмическое отношение дифференциалов. Если длина / стержня зависит от температуры Тэ то в ка- dl

честве отношения дифференциалов нас интересует -

честве отношения дифференциалов нас интересует -

dT

Аналогично получают модуль упругости стержня длины /, под- 1 dl вергающегося растяжению о, как у • —.

Так называемые приложения. Поскольку обучение анализу вообще связано с приложениями, метод обучения таков, что производная и интеграл определяются математически и в лучшем случае упоминают о связи производной со скоростью. Так называемые приложения рассматриваются позднее, при изучении дифференциальных уравнений. Из общих соображений ясно, что я отвергаю эти методы и почему. Такие приложения появляются слишком поздно; уже подход к анализу должен быть связан с приложениями, уже основным понятиям следует обучать во взаимосвязи с приложениями. Однако само собой разумеется, что я не собираюсь переоценивать эти приложения.

Простейшими приложениями могут служить равномерно ускоренное движение в свободном падении, на наклонной плоскости, по параболической траектории. Затем идут многочисленные примеры дифференциальных уравнений, приводящих к показательной функции.

Прозрачнейшими формами постановки задач являются те, в которых рассматриваются процессы, при которых некоторая величина, скажем популяция или капитал, или радиоактивное вещество, постепенно увеличивается или уменьшается приблизительно

пропорционально наличному количеству, т. е. AQ ^ aQM; следовательно,

^ = aQ, Q = Q . eat.dt

Далее приводятся различные связанные с такими процессами примеры приложений, которые автор считает целесообразным рассматривать непосредственно в процессе изучения основных понятий анализа: поглощение излучения, барометрическое давление, изменяющееся с высотой, натяжение приводного ремня и т. п., а при рассмотрении дифференциальных уравнений второго порядка — колебания, приводящие к линейному уравнению вида

d^x . dx .v

т- + Р^+рх = К.dt

Порядки величин. Сколь часто физик говорит о порядках величин, столь часто математик избегает этого выражения. В преподавании математики, разумеется, школьник должен понимать, что х3 растет быстрее, чем х, а ^ — быстрее любой степени х; однако я имею в виду нечто иное.

Для наглядного понимания дифференциального отношения и интеграла наглядность сравнения порядка величин является предварительным условием.

То, что функция / может быть так аппроксимирована линейной функцией /*, что

/ (х) — /* (х)

стремится к нулю быстрее, чем х — х0, заключено в определении дифференциального отношения, ибо

1ЙДДД»! — f' (х0)

х —х0

стремится к нулю, а потому

f М — f (х0) — Л (х0) (х — х0)

стремится к нулю быстрее, чем х — х0; если предположить двукратную дифференцируемость, то, даже разделив на (х — х0)2, мы получим все еще ограниченную величину. Школьник должен видеть это не только в виде формулы, но и на графике, где изобра

жены функции и касательные к ним.

То же относится, разумеется, и к производным высших порядков: если функция / дифференцируема в точке х0 к раз, то f (х0) можно аппроксимировать многочленом ^-й степени f* так, что

f w — f* to

стремится к нулю быстрее, чем (х— х^к. До самого последнего времени этот факт

отсутствовал почти во всех университетских курсах анализа, тогда как всевозможным «остаточным членам» уделялось много Zвнимания.

/Насколько хорошо аппроксимируется

интеграл гладкой функции площадями под графиками нижних или верхних ступенчатых функций или иных кусочно-линей- *- ных функций (рис. 39 и 40)? Пусть шаг

Рис. 40разбиения равен к; изменение функции / в

каждом интервале длины к имеет нс более, чем тот же порядок; погрешность величины интеграла, подлежащего вычислению при замене функции / в каждом частичном интервале константой, имеет порядок не более к2; суммарная погрешность по всем интервалам имеет порядок не более к.

А как же с кусочно-линейной аппроксимацией? Какую погрешность мы допустим, заменяя функцию / в интервале длиной к линейной функцией, т. е. заменяя, например, кривую хордой? Хорда всегда параллельна некоторой касательной, построенной в том же интервале, а потому порождает ошибку более высокого порядка малости, чем к, и, если f дважды дифференцируема, то имеет порядок не более чем к2; следовательно, порядок погрешности для одного интервала длины к не более к\ а для всего интеграла в целом — не более к2.

Итак, точность аппроксимации удивительным образом улучшается на целый порядок, если не тупо применять суммы Дарбу, а пользоваться аппроксимирующими многочленами. Применение к интегрированию специальных функций (скажем, х2) весьма иллюстративно.

Примыкающий вопрос: нельзя ли улучшить аппроксимацию, пользуясь многочленами более высокой степени? Ответ на него ведет к теории интерполяции. Аналогичный вопрос: нельзя ли при численном дифференцировании в таблицах применить подобный прием для повышения точности?

Сколь хорошо аппроксимируется отношение sin х к х вблизи х = 0? На рисунке 41 это можно увидеть, если сравнить площадь сектора АОР с площадью треугольника POP’. Погрешность имеет порядок х3. Каков порядок | Р'А |? Из подобия треуголь-

/V ников АРВ и АР'Р усматриваем, что

/V l^'A, имеет порядок | РР'\2 (или х2).

•/LA Дифференциалы. При составлении диф- °?’ г ференциального уравнения, приводящего к

\/ барометрической формуле, мы считаем, что

\/при переходе от высоты х к высоте х+Дх

давление уменьшается на вес воздуха, заключенного в этом слое, т. е. на хрАх. Для р можно подставить давление в самом слое. Однако это давление не постоянно, оно меняется от р до р + kp. Что же следует подставить вместо р,

если

Др л? —хрАх?(**)

Это не играет роли. Изменение р на интервале (х; х + Ах) имеет тот же порядок, что и Ах; какое бы значение между х и х + + Ах ни взять для р, разница будет иметь порядок (Ах)2; после деления обеих частей равенства на Ах

Др

— « — хр,

Дх

получаем погрешность порядка Ах, которая исчезает при переходе

к пределу, так что

dp

— — —хл. dx

Это происходит во всех случаях, когда мы приходим к дифференциальному уравнению с реальными данными, всегда по одной и той же схеме. Формула вроде (**) означает равенство с точностью до остатка высшего порядка. Вместо этого можно записать также

Ар = —хрАх + ...

или

^p = —хрАх + О (Ах),

где отточие или 0 (Ах) означает нечто, стремящееся к нулю быстрее, чем Ах.

Классической формой записи является dp = —zpdx.

При этом имеют в виду «бесконечно малый» интервал (х; х 4- dx) содержащий массу воздуха xpdx, и записывают, что изменение давления равно dp. Ясно, что р зависит от х. Деление на dx приводит к дифференциальному уравнению:

dp

— = — хр. dx

Много литературы посвящено обсуждению вопроса, нужно ли и как именно вводить дифференциал в школьном обучении. Но вся дискуссия не имеет смысла, коль скоро мы не обсудили, для какой цели должны служить дифференциалы; бесцельные дифференциалы можно спокойно опустить. Если dx и dy встречаются только в фор- dy.

ме ^ или под знаком интеграла, то вопрос о том, что означает dx и dy по отдельности, имеет столько же смысла, что и вопрос о значении отдельных букв «1», «О», «g» в символе log. Можно, пожалуй,

рассказать еще, что запись производной в форме отношения дифференциалов особенно целесообразна для цепного правила и подстановок:

dz dz dye dx dy dx’ ф(6)b

J f (x) dx = J f [ср (и)] ^du, где x = <p (a).

ф(а)a

Вычисления с дифференциалами оказываются целесообразными, если дифференциальное уравнение

dx g (у)

решают путем преобразования к виду

f (x)dx = g(y)dy:

j* f (x)dx = ^g (y)dy, и если

W = j/ d)d| и G (y) =<n)dr],

ab

то равенство

F (x) = G (y)

служит решением уравнения. Однако это можно было бы получить и без дифференциалов с помощью правила подстановки

(У) 7 = / (х):

dx

Jg W^ = ^§ ^^^ = ^ f Wx>

что, впрочем, едва ли лучше проясняет суть дела.

Далее автор упоминает, что дифференциалы являются важной составной частью так называемых дифференциальных форм и очень кратко упоминает о функционалах, обещая вернуться к ним в дальнейшем.

В дидактической дискуссии о дифференциалах едва ли имеют в виду подобные приложения — если вообще думают о приложениях, а не ограничиваются чисто словесным описанием дифференциала.

Как же получается, что дискуссия о дифференциалах оживает все снова и снова? Причиной волнений является физика, где бодро и весело говорят о бесконечно малом времени, бесконечно малом пути, бесконечно малой работе и такие бесконечно малые величины делят друг на друга с необходимыми оговорками.

Я показал, однако, — надеюсь, достаточно ясно, — что дело не в физике. Если математизировать реальные величины с помощью анализа, дифференциалы появляются сами собой. Две величины: х и у — изменяются взаимозависимо друг от друга; вместо того что-

бы сказать, что малые изменения \х и Ду соответствуют друг другу и ^ стремится к ^, говорят о бесконечно малых изменениях dx и dy и об их отношении —. Вместо

dx

^p ^ —иp^x>

где р берется в какой-то точке интервала (х; х + Ах), сразу же говорят, что - <

dp = —npdx, связывая с этим наглядную идею: бесконечно малое изменение р выражают с помощью этого отношения через бесконечно малое изменение х. Так поступают физики; пожалуй, так поступают и математики, если берутся за дело в тиши кабинета. Так физик преподает физику, в сознании своей правоты или неправоты, в зависимости от того, владеет ли он математикой уверенно или подавлен ею.

Среди математиков, которые в состоянии обучать математике так, как физики ее применяют, есть лишь немногие, которые считают желательным, чтобы студент познакомился с этим, и еще меньше тех, кто имеет мужество так преподавать. В гимназии чувствуется сильное давление университетской математики в направлении абстрагирования, которое уводит от применений анализа. К связанному с прикладными вопросами анализу как в школе, так и в университете ведут подходы, которые показаны выше, и общей для всех этих подходов является идея дифференциала.

Если хотеть наглядно и во взаимосвязи с приложениями обучать анализу, то не нужно ставить вопрос, следует ли и как именно рассматривать дифференциалы; при этих методах они появляются сами собой. На этой стадии нет нужды разъяснять, что такое дифференциалы, так же как не нужно аксиоматически или еще как- либо разъяснять, что такое геометрическая фигура и как ее следует понимать. Я понимаю, что учителям математики трудно преподавать нечто, не разбитое тщательно на определения, исходные данные, утверждения, доказательства; как это делается, можно поучиться у физиков.

Я избегал рассматривать в примерах дифференциалы, так как не хотел провоцировать читателя неортодоксальным содержанием, прежде чем объяснил суть дела в дидактике, которую я представляю в области изучения дифференциалов. Не так уж важно, рассматривать ли в цепочке рассуждений маленький промежуток от s до s+ As или бесконечно малый от s до s + ds и вместо соотношения

Т (s + As) — Т (s) pgAs • е2 писать равенство

'Т (s + ds) — Т (s) = yigds • е2,

однако вторая форма лучше. Студенту следует обучиться этому уже у преподавателя математики, чтобы не сидеть с разинутым ртом на

лекции по физике; школьник должен быть подготовлен к этому заранее. Совершенно нетерпимо, когда математик преподает математику без ее приложений, а физик применяет математические методы, не излагавшиеся математиком.

Величины и функции. Эта шизофрения имеет глубокие корни. Разрыв возник в конце прошлого столетия и продолжает расширяться вследствие современного развития, особенно вследствие проникновения теоретико-множественной терминологии и новых формулировок в математику. Если мы, математики, будем все более методично и неэвристично преподавать математику, то люди, которые ее применяют, станут сами давать своим ученикам ту математику, которую они считают нужной.

Я говорил уже, что различия лежат глубже; речь идет вовсе не о том, что один ведет изложение на языке «эпсилон — дельта» и дает четкое определение предела, а другой говорит о бесконечно малых и о дифференциалах. Различия начинаются уже в определении понятия функции и в ее теоретико-множественной интерпретации, а также во все более и более различающихся ныне способах обозначения функции. Вероятно, читатель уже заметил, что способ обозначения в приведенных мной примерах мало связан с духом, в котором я характеризовал современную математику.

Не следует теперь думать, что я разом отрекаюсь от всего, что хвалил ранее в отношении понятия функции. Пожалуй, я еще раз покажу, сколь опасно догматически втискивать все в одну систему, скольких математических и дидактических ценностей можно при этом лишиться.

Мы рассматривали примеры таких дифференциальных отношений, как —, где давление дифференцировалось по высоте, высота dx

столбика дифференцировалась по температуре, работа — по пути (хотя можно было дифференцировать и по скорости), в — заряд dV

dV

дифференцировался по потенциалу, в — потенциал — по заря- de

ду. Это математика, и математическая терминология физиков (по обстоятельствам) — весьма полезный метод.

Математик дифференцирует функцию. В математике запись — de становится все менее употребительной; чаще пишут V', и это означает, что V дифференцируется по своему аргументу, как бы он ни назывался; при задании заранее некоторой функции на нас ни в коем случае не накладывается обязанность определить, как выглядит буква в скобках, обозначающая аргумент в записи функции V. dedV -

—- вместе с —, собственно, невозможно, ибо как же можно вос- dVde

принимать V, с одной стороны, как знак функции, а с другой стороны, как аргумент (что бы это могло значить!) и «перевернуть» все с головы на ноги.

Теперь же и, V, /, р, х, е, как они встречались в примерах, указывают не на функции; вся функциональная терминология не подходит к этому контексту. Это скорее то, что мы называли величинами. Мы мыслим себе при этом нечто вроде «черного ящика»: снаружи на нем есть циферблаты, на которых мы можем нечто установить; назовем это нечто величинами. Показания не являются независимыми друг от друга; если я изменяю показание на одном из циферблатов, то одновременно изменяются и некоторые другие, а иные остаются неизменными, т. с. независимыми от этого изменения. Таким «черным ящиком» описывают работу некоторых машин; в конечном счете весь физический мир можно тоже рассматривать как «черный ящик».

К величинам такого «черного ящика» можно присоединить связанные с ними другие: сумму или произведение двух величин, квадраты или логарифмы каких-то величин. Можно также пронаблюдать, как изменение величины х на dx вызывает изменение величины у на dy, и зафиксировать ~; это опять-таки величина, которая имеет особое название, например скорость, мощность, упругость и т. п. Если и и и — две такие величины, можно зафиксировать величину ^du, которая вообще является путем, пройденной системой — «черным ящиком».

Конечно, функциональные зависимости играют здесь роль, но они нс явные и, вообще говоря, не находят отображения в обозначениях. Если х изменится, то изменится и у, но это не выражено явно. Можно составить отношение —, но это не обязательно означает, dx

что у является функцией, ах — аргументом. Можно с тем же успехом составить и отношение — (величину, обратную —1 Значения dy \dx)

величин не изменяются: х— это путь, /— время, и— скорость; именно путь, время, скорость некоторой системы, которую при этом рассматривают, скажем некоторой материальной точки. Мож- dx

но также составить —, если система допускает изменение массы, dm

х при этом столь же мало является функцией /, как и функцией пи Можно, пожалуй, ввести функции, чтобы представить именно эти зависимости. Пусть р, V. Т — давление, объем, температура (некоторого газа). Тогда можно дифференцировать р по V при постоянном Т или V по Т при постоянном р и т. п.; зависимость одной величины от других нс задается в явном виде, а связана определенными условиями.

Теперь выясняется, почему весь этот метод пользуется у математиков дурной славой. Это — смешение двух восприятий (и способов обозначений): восприятия величин и восприятия функций. Как следует в случае необходимости выразить зависимость х от t или р, I/, Т друг от друга? В физической литературе встречаются р (Ю, Р (Л и другие подобные обозначения, где в первом случае

подразумевается р как функция V при постоянном Т, а во втором — р как функция Т при постоянном V. Однако это противоречит современным представлениям о понятии функции. Теперь ведь «р» — это знак функции и «р» — определенная математическая функция, тогда как аргумент в скобках ничего не обозначает, а лишь занимает место.

Само по себе это было бы нс плохо. Можно было бы удовлетвориться тем, что старое восприятие величин противоречит новому восприятию функций, и пользоваться обоими способами, тщательно различая их. К сожалению, старый способ записи, которым все еще пользуются физики, несовершенен, р называют давлением; р^ — давлением при объеме V; р (Т) — давлением при температуре Т. А как же быть, если объем при определенных условиях функционально зависит от температуры? Следует ли писать тогда р (У), или р (Т), или р (V (7))? Каждый математик, когда-либо занимавшийся термодинамикой, с ужасом вспоминает об этой путанице. Конечно, речь идет не о функциях. Физик, перед глазами которого встает реальная картина явления, точно знает, что имеется в виду; точно так же, как геометр, имея в виду некоторую фигуру, выразится яснее, чем некто, который хочет трусливо избежать всяких связей с реальностью.

Один пример из геометрии. Кривая в пространстве определена с помощью вектор-функции действительной переменной, т. е. с помощью отображения t некоторого числового множества в пространство. В прежних курсах геометрии и еще ныне в механике переменная точка кривой обозначается через х; х (s) может быть зависимостью от одного параметра, х (t) — от другого; если применить преобразование ф параметра s по /, то можно получить помимо х (s) еще форму записи х (ф (s)), обозначающую то же самое; и бедный студент, слушающий от 9 до 10 часов математику, а от 10 до 11 часов физику, имеет лишь короткую переменку, чтобы переключиться с одного на другое, ибо доценты, воплощающие университетскую шизофрению, до сих пор нс могли найти времени, чтобы единообразно решить эту проблему.

Сколь это ни соблазнительно, но ныне уже нельзя оправдать, что одной и той же буквой х в одном и том же контексте пользуются двояко: обозначают некоторую величину и зависимость этой величины от другой величины, стоящей в скобках — просто потому, что не следует обозначать разные вещи одной и той же буквой. Иногда может оказаться целесообразным последовательно, обозначить зависимость величины х от величины s через х (s), а зависимость величины х от величины t через х (<), но это никак не подходит для обозначения функции.

Если мы хотим указать, как давление или объем зависит от температуры, можно выбрать знак функции ф или ф и написать: р = ф (У), р = ф (Г) или, в еще более общем виде, р = X (V, Т). Но не следует вместе с водой выплескивать из ванны и ребенка. Можно позволить физику и себе самому особо

целесообразное различие одних величин от других и соответствующую форму записи дифференциальных отношений.

Итак, если х и / являются координатой и временем, то —— dt скорость; если вышеприведенная зависимость координаты от времени задана функцией Д то есть

x = t (Л,

то зависимость скорости от времени задастся через Д, т. е.

dt

Однако это еще нс вес. Прежний способ записи, при котором р могло означать как величину, так и обозначение функции (именно эту самую величину как функцию другой величины), имел, во всяком случае, то преимущество, что он алгоритмически ставил функции в соответствие величинам. Я уже разъяснял выше: то, что для каждой функции, выражающей зависимость одной величины от другой, нужно вводить новую букву, весьма неэкономично. Нельзя ли придумать что-нибудь более целесообразное?

Напомню, как преобразовывают выражения, содержащие х, в обозначения функций:

х -> X2.

Это обычное обозначение функции «квадрат ...». Я предлагал вместо этого запись

Нельзя ли и здесь поступить так же? Если х и t — величины, а именно: х есть координата данной материальной точки в момент Д то запись

t ->- х

могла бы означать функцию f, выражающую х через Д или, иначе,

X = / (О-

По моему способу записи я бы предложил:

Это нс прямое следование принципу, по которому выражения преобразовываются в обозначения функций, ибо х — ведь не выражение, в котором встречается t\ связь между х и t неявна, она заключена в «черном ящике». Но мое предложение означает все же маленький шаг, выходящий за обычные формы записи.

Итак, можно было бы обозначить давление как функцию температуры в виде

как функцию объема в виде

как функцию того и другого в виде

^[г, v^P

(конечно, тогда Y т р не одна функция, а различные функции для каждого фиксированного значения V; однако так повелось издавна).

Теперь, например, можно записать:

^ = (W,

T((x) = Y$ xY(s.

Нужно, пожалуй, привыкнуть к этим обозначениям (хотя я сам здесь не везде последовательно применял их). Между тем можно употреблять и другие более привычные формы. В упомянутые функции нужно ведь вообще что-то подставлять, т. е. нужно «устанавливать циферблаты», или, иначе, величины заменять числовыми (или векторными) значениями. Значение хдля времени /0 можно указать, как

Для скорости это обозначение уже стало привычным;

dx\

di )t=f0употребляется часто. Следовательно, возможно было бы, например,(YfX) (t^ = ^t=t0 *

\dt ft=ta

Подобные искусственные формы можно, я думаю, использовать и для частных производных — известного щекотливого пункта.

То, что я здесь пишу, ни в коем случае не окончательно. Это следует понимать скорее как предложение ко всем компетентным и заинтересованным лицам еще раз основательно обсудить затронутые вопросы. Вычисления с величинами, метод и символика дифференциалов и дифференциальных отношений — весьма ценные инструменты. Мы нс можем себе позволить отбросить эти методы, как не можем предложить физику заменить хорошую старую обувь новой, которая жмет. Мы должны сделать, то, что часто делали математики в истории: так интерпретировать формализм, что сможем с полной ответственностью считать его разумным.

Здесь может быть много тонкостей, но для школьного обучения нужно установить, что мы так обучаем школьника анализу, чтобы он мог наиболее целесообразно пользоваться им, используя дей-

ственные обозначения и понятия. Теоретико-множественная строгость может привести здесь лишь к катастрофической блокаде.

Непрерывность и сходимость. Это, собственно, неверно — объединять непрерывность и сходимость; я имею в виду, что это было бы ошибочно дидактически. Логически же эти понятия тесно связаны, но это можно показать лишь после анализа и формализации; родство этих понятий может быть конечной целью некоторого этапа обучения, но едва ли может быть началом этого этапа. Можно доказать сходимость последовательности, ряда, даже функции, без того, чтобы определить, что же такое сходимость. Понятие непрерывности можно привить наглядно, однако очень трудно доказать непрерывность до того, как понятие непрерывности в какой-то мере проанализировано. Доказательства сходимости на нс слишком высокой стадии обучения проводят на специально подобранных последовательностях и так, что предел нс только вычисляется, но и проводится оценка, сколь далеко нужно продвинуться, чтобы не превысить заранее заданную границу погрешности. Можно попытаться поступить так же с непрерывностью функции, но это было бы лишь первоначальной стадией: показать непрерывность линейной или квадратичной функции, прежде чем дать общее определение непрерывности функции. Непрерывность как раз существенна как общее свойство, так как из непрерывности мы можем вывести другие общие свойства, например интегрируемость. .

После сказанного едва ли сомнительно, что наглядное понятие непрерывности можно широко использовать в анализе. Поэтому спрашивается, уместны ли здесь тонкости высшего порядка. Прежде всего, зачем вообще нужна непрерывность в школьном курсе анализа? Скоро выясняется, что непрерывность и дифференцируемость попросту несущественны; то, что постоянно играет роль, и притом важную роль, — это равномерная непрерывность и равномерная дифференцируемость.

Скажем, чтобы доказать, что непрерывная функция интегрируема, нужно знать, что при малом приращении аргумента приращение функции может быть сделано равномерно малым; лишь тогда можно сделать вывод, что разность площадей, ограниченных ступенчатой фигурой и кривой, будет сколь угодно малой при стремлении к нулю шага разбиения интервала интегрирования. После этого можно по Гейне — Борелю или по Больцано — Вейерштрассу показать, что каждая непрерывная на замкнутом промежутке функция также и равномерно непрерывна на этом промежутке; однако, я полагаю, до сих пор никто не отваживался доказать или хотя бы упомянуть эту теорему в школе.

Значит, если интегрируемость непрерывной функции — единственная цель, которая имеется в виду при введении понятия непрерывности, то мы должны понимать, что эта цель едва ли достижима в школе. Было бы более осмысленно сразу сформулировать понятие равномерной непрерывности, что к тому же легче, чем фор* мулировка непрерывности. .

Аналогично обстоит дело и с дифференцируемостью. Вместо нее важную роль играет равномерная дифференцируемость, т. е. требование, чтобы

I I

было равномерно малым на х при малом К (т. е. для каждого е > О существует такое 6 > О, что вышеприведенное выражение меньше, чем е, для любого h при условии \h\ < 6), или чтобы

х^ — х2

равномерно сходилось к f’ (х), если xv х2 сходятся к х. Этим свойством мы много раз пользовались неявно, когда заменяли дифференциальное отношение отношением разностей (скажем, в доказательстве того, что интеграл от производной равен исходной функции с точностью до постоянного слагаемого — см. с. 94, — ив многочисленных аналогиях и приложениях этого факта, и, конечно, во всех случаях, когда говорилось о порядке величин (см. с. 101).

Конечно, равномерная дифференцируемость / следует из непрерывности производной от f, которую вообще предполагают при таких доказательствах; однако и этот факт требует знания леммы Гейне — Бореля. Здесь тоже было бы уместнее сразу говорить о равномерной дифференцируемости. В этой части даже и дидактика высшей школы неудовлетворительна; однако я не хотел бы останавливаться на подобных тонкостях.

Если по каким-либо причинам будет решено ввести в школе понятие непрерывности или равномерной непрерывности, не следует, во всяком случае, огорошивать школьника определением в стиле «эпсилон— дельта». Даже в университете мы констатируем, что если это делают, то большинство студентов оказывается не в состоянии проверить выполнение условия в каждом отдельном случае. С другой стороны, я должен констатировать, что в настоящий момент в дидактике понятия непрерывности многое еще нс ясно; совершенно отсутствует логический анализ дидактической ситуации.

Трудности понятия непрерывности кроются именно в кванторах и в порядке следования кванторов различного вида. Поэтому обсуждение этого вопроса было бы более уместно в главе 19, посвященной логике.

Непрерывность f наглядно означает: малым изменениям х соответствуют малые изменения / (х). В таких словах, как «малый», «большой», «мало», «много», «короткий», «длинный», может быть заключен квантор, однако в формальном языке не всегда ясно какой. Слова «всегда», «иногда», «везде», «кое-где» ясно указывают на квантор общности или квантор существования; то же, что первое «малым» в определении непрерывности скрывает квантор общности, а второе «малые» — квантор существования, не заметно в словесной формулировке; чтобы понять это, нужен логический анализ. То, что

кванторы подразумеваются в словах «малый» или «мало», видно несколько яснее в точной формулировке: «Достаточно малым изменениям х соответствуют сколь угодно малые изменения / (х)» или «Если х изменяется достаточно мало, то / (х) изменяется сколь угодно мало». Однако и от этих формулировок предстоит еще довольно длинный путь к осознанию, что сначала нужно задать «сколь угодно малое», чтобы потом определить «достаточно малое».

Наглядное определение непрерывности таит в себе две трудности формализации: во-первых, выявление скрытых кванторов и, во-вторых, установление порядка следования кванторов различного вида. Хорошая дидактика должна, во всяком случае, отделить эти две трудности друг от друга. Весьма вероятно, что в определении непрерывности школьники впервые встретятся с существенно важным использованием кванторов.

Универсальные кванторы, как в

а + b = b + а для всех а, Ь, являются совершенно несущественными. Даже перестановка кванторов:

для каждых а и b существует такой х, что а + х = b совершенно несущественна, потому что квантор существования здесь, как вообще большей частью в школьной математике, алгоритмичен: «существует» можно исключить, так как здесь то, что «существует», может быть сразу указано (в данном случае это издавна называется разностью а — by. Неалгоритмические кванторы встречаются скорее вне математики, чем в рамках школьного курса математики. В школьном же курсе утверждение о существовании опирается обычно на построение объекта, тогда как примеры из повседневной жизни напоминают о поиске парадигматической иголки в стоге сена, которую, хотя она и существует, нельзя найти.

Чтобы школьник смог разобраться в весьма сложных логических (и прежде всего психологических) структурах, вроде определения непрерывности, учителю (или автору учебника) необходимо помочь ему понять трудности обращения с кванторами.

Школьник должен вначале познакомиться с кванторами, и особенно с неалгоритмическими кванторами и их отрицаниями, научиться обнаруживать скрытые кванторы и понимать существенность порядка их следования. Я уже говорил, что это довольно

Алгоритмичность понимается здесь не в том смысле, который логики называют алгоритмом. Теорема о том, что непрерывная функция, принимающая на концах промежутка значения разных знаков, обращается внутри этого промежутка в нуль, ассоциируется у каждого вместе с графиком функции и алгоритмическим существованием нулевого значения; лишь если проанализировать понятие непрерывности, можно понять, что оно охватывает очень много функций, едва ли соответствующих некоторому графику и никоим образом не гарантирующих алгоритма существования нулевой точки. Напротив, едва ли можно наивно считать существование бесконечного множества алгоритмичным, даже если оно задано с помощью алгоритма (прим, автора).

длинный путь и его не следует начинать с конца, где все трудности собираются вместе.

Если я говорю здесь о кванторах, то, конечно, не имею в виду хорошо формализованного логического языка. Школьник должен ведь учиться формализовать обиходный язык, если он хочет уточнить наглядное определение непрерывности. Кванторы, с которыми он должен познакомиться, называются «каждый», «все», «везде», «всегда», «некоторый», «где-то», «иногда» и т. п. Со скрытыми кванторами школьник должен сначала ознакомиться там, где они встречаются в простом виде или, во всяком случае, без осложнений, связанных с порядком следования.

В высказывании

что готовится долго, то будет хорошо школьник должен узнать квантификацию существования в слове «долго» (существует временная граница, начиная с которой «будет хорошо»);

в высказывании

тебе долго придется ждать, пока...

он должен узнать квантификацию общности (т. е. после любого времени ожидания то-то и то-то еще нс произойдет);

в высказывании

этого не может сделать даже сильнейший мужчина он должен осознать, что высказано превосходной степенью о возможностях всех сильных мужчин;

в высказывании

этого не помнит даже старейший

он должен осознать нечто о памяти всех старых людей;

в пословице

много собак — смерть зайцам

слово «много» должно говорить о достаточно большом количестве собак, которых не сможет избежать заяц;

в высказывании

он может многое себе позволить школьник должен осознать «сколь угодно много» как универсальную квантификацию.

Во всех этих примерах речь шла об одном, хотя и скрытом кванторе. Если же в рассмотрении одновременно участвуют несколько кванторов, то школьник должен вначале уяснить себе порядок их следования на примерах, где кванторы представлены явно:

и 1 Всегда здесь кто-то былкто-то здесь был всегда

(для каждого / существует х так, что лицо х в момент / было здесь,— существует %, так что для всех / лицо х было здесь).

Или с частично скрытым квантором:

Каждый имеет (одну) мать все (вместе) имеют одну мать (для каждого лица х существует лицо у, так что у является матерью х, — существует лицо у, так что у является матерью каждого лица х).

Школьник должен уметь также составлять отрицания подобных высказываний.

Существенные простые кванторы, которые в вышеприведенных примерах были скрыты, встречаются в школьной математике не. слишком часто. Вот некоторые примеры:

1^2 — иррациональное число

(не существует целых р, q таких, что р2 = 2g2);

хделится наб или -

х есть число, кратное пяти

(существует целое у такое, что х = 5у);

х — степень двойки

(существует целое у такое, что х = 2у). Как уже отмечалось, даже на уровне, высшем, чем школьный, иногда отсутствует способность узнавать в этих структурах кванторы, хотя всему этому далеко до сложности определения непрерывности. Однако даже среди структур с двумя и тремя кванторами, следующими друг за другом, встречаются случаи, понятийно более простые, чем определение непрерывности. Возьмем, скажем,

функция / положительна для большого аргумента.

Очевидно, в слове «большого» скрыт квантор, но какой именно и только ли один? Что, собственно, имеют в виду этим высказыванием? Имеют в виду нечто вроде функции Yx х2 или нечто вроде синуса? Хотят высказать нечто обо всех больших х или только о некоторых больших х? Нужно уточнить это:

функция / положительна для всех больших аргументов

или

функция f положительна для некоторых сколь угодно большихаргументов.

Это совершенно различные последовательности кванторов. В первом случае:

существует некоторое а, такое, что для всех b > a f (b) > 0.

Во втором случае:

для каждого а существует некоторое b > а такое, что / (6) > 0.

Еще сложнее обстоит дело с высказываниями: функция / принимает большие значения для всех больших значений аргумента и функция / принимает большие значения для некоторых больших значений аргумента.

В первом случае говорят также:

/ бесконечно велика, при х->оо, во втором:

f неограничена при х-^оо.

В первом случае парадигмой может служить %2, во втором случае — Тх х sin х. Сравнивая с предыдущим примером, будем всякий раз добавлять вначале квантор «для любого Л4», а в конце поставим М вместо 0, т. е. f (b) > М вместо / (Ь) > 0:

для каждого М существует некоторое а такое, что для всех b > a f (b) > М и

для каждого М и каждого а существует некоторое b > а такое, что / (b) > М.

Ко всему этому не следует забывать и об отрицании высказываний.

Я хотел разъяснить, какие упражнения могут предшествовать анализу понятия непрерывности; не следует исключать и примеры нематематического характера, скажем как при взаимоотношениях скрытых кванторов в

кто много приносит, принесет кое-что некоторым. Или в

можно дурачить многих людей короткое время, а также некоторых — длительное время, но нельзя дурачить всех людей — долго.

Или в известном определении:

специалист — это тот, кто знает все больше и больше о все меньшем и меньшем и в конце концов знает все ни о чем.

Еще пример: много малых составляют большое.

Это, собственно, нечто вроде предварительной формулировки аксиомы Архимеда: для любых данных а и b существует натуральное п такое, что па > Ь.

Особенно поучительна пословица малые причины — большие последствия.

Это, очевидно, отрицание непрерывности в причинном процессе и, собственно, как показывает теория кванторов, отрицание самого

причинного процесса. Высказывание вообще еще не совсем ясно, поскольку остается вопрос, какой вид квантора заключен в словах «большом», «сколь угодно большое» или «заданное большое».

В первом случае подразумевается:

существуют сколь угодно большие последствия, которые происте-кают от сколь угодно малых причин.

Во втором случае:

существуют последствия, величина которых превышает данную положительную меру и которые проистекают от сколь угодно малых причин.

Если представить себе, что причины изменяют величину х, а последствия сказываются на величине у. причем задана функция /, которая значению х ставит в соответствие значение у, то вышеприведенная пословица означает либо

малому изменению х может соответствовать сколь угодно большое изменение у, либо

малому изменению х может соответствовать изменение у, превосходящее заданную положительную границу е.

Если / непрерывна, то как первое, так и второе должно быть запрещено, и этот запрет распространяется на любое положительное число е, причем он становится все строже с уменьшением е. «Малое изменение х» имеется здесь в виду сколь угодно малым, т. с. меньше любого 6 > 0:

для каждого б > 0 существуют изменения х меньшие, чем на б, которым соответствуют изменения у на 8 или более.

Это должно быть запрещено при непрерывности / для любого е > 0, ибо для непрерывной функции

для каждого 8 > 0 существует такое 6 > 0, что каждое изменение х на величину, меньшую 6, вызывает изменение у на величину, меньшую 8.

Школьник должен привыкнуть при этом и к отрицанию кванторов.

Отсутствие непрерывности иллюстрируется графиками, скажем графиком тарифов почтовых сборов или налогов, а также отображениями более общего вида. Всяческие причинные связи между величинами могут, напротив, служить иллюстрацией непрерывности. Вспомним стрельбу по мишени: малое отклонение направления выстрела соответствует малому отклонению попадания, в противоположность воздействиям, которые зависят от причины не непрерывно.

Если школьник в процессе формализации продвинулся настолько, что уже познакомился с символикой кванторов, то ему следует по возможности побольше применять эту символику.

Прежде всего, отрицание кванторов будет лучше усвоено, скажем, при переходе от

~| V6 > 03 (хь х2) (| х, — х21 < 6 Д | f (xj — f (х2)| > в

К

36 > 01 3 (xv х^ (| Xt — х21 < 6ДI f (xj — / (х2) | > е),

К

36 > О V(xb ^Klx, —х2|< бД^х,) —f(x2)| >е),

К

36 > О V (Xi, х2)“| (| X, — х21 < 6) V ""W (Xi) — f (х2) | > е),

К

36 > О V(x2 х2) (| х, — х21 < 6) (I f (х,) — f (х2) | < е).

Но школьник должен работать не только на формализованном языке. Он должен изучить многочисленные двусмысленные правила перевода:

для малых и верно F (и)

может означать, что

для каждого достаточно малого и верно F (и)

или

для некоторых сколь угодно малых и верно F (и), что соответственно формализуется как

ЗаМи < aF (и)

или как'

МаЗи < aF (и).

Это — понятие равномерной непрерывности, которое было выведено выше. Я уже разъяснял, что это и есть форма, в которой применяется понятие непрерывности. Можно еще показать, как это понятие (равномерной) непрерывности зависит от области определения, т. е.

что Тх%2 и соответственно Х^х*1 непрерывны как функции на конечном интервале и соответственно для х > а (причем а > 0), но эта непрерывность утрачивается, если допустить, что х неограниченно растет или соответственно х > 0. Квантификация над хъ х2 совместно ведет к квантификации лишь для х2; если же потребовать непрерывности в каждой точке, то нужно записывать новый Мх — квантор в самом начале.

Что из всего этого можно предложить в школе? Сколь далеко можно идти за пределами наглядного и не анализируемого далее понятия непрерывности? Этими разъяснениями мы хотели показать, что логически проанализированное и более или менее формализованное понятие непрерывности лежит в другом контексте, а вовсе нс в анализе. Это понятие, если вообще говорить о нем, следует рассматривать на логической основе, во взаимосвязи с логикой и для углубления изучения логики. Для анализа же, как он изучается в школе, формализованное понятие непрерывности несущественно. Степень формализации понятия непрерывности зависит от глубины понимания школьником логики, и именно в этой взаимосвязи следует рассматривать понятие непрерывности.

«ДА» или «НЕТ» в отношении формализованного понятия непрерывности имеет различные нюансы; в обучении математике, соответствующем характеру учащихся, логика может играть или не играть роль; в соответствии с этими крайностями непрерывность может быть формализована логическими символами или учащиеся будут довольствоваться наглядными представлениями. Во всяком случае, наглядное понятие будет введено в начале изучения непрерывности и, если даже в дальнейшем будет уточнено, послужит исходным пунктом для этого. Но даже если восторжествует формализация, наглядное рассмотрение непрерывности следует использовать там, где оно достаточно или наиболее целесообразно. Это относится прежде всего к учителю и автору учебника, которые, если они хотят быть полезными школьнику, должны все же знать все нюансы формализации.

В заголовке этого раздела речь идет и о сходимости. Я уже говорил, что сходимость в школьном курсе анализа является алгоритмическим феноменом. Предел и его приближения членами последовательности задаются явно. Попросту констатируют, что а есть предел последовательности а^ и доказывают это, уменьшая \а — аД. Едва ли возникает необходимость определять, что такое предел последовательности вообще. Скорее заметна необходимость определения, и притом неалгоритмического, для непрерывности. Если однажды непрерывность более или менее формализована, то новое рассмотрение понятия предела может быть оправдано. Оно имеет такую же логическую структуру; | а — аД должно быть сколь угодно малым для всех достаточно больших п;

для каждого е > 0 существует такое N, что для всех п^ N выполняется неравенство \а—аД < е.

Как известно, непрерывность f в точке х0 также можно формализовать:

если Иш хЛ =~ х0, то lim f (хД = / (х0), т. е. для каждой последовательности хп, сходящейся к х0, соответствующая последовательность / ^хД должна сходиться к / (х0).

Это совсем не простое дело — применение квантора всеобщности по всем сходящимся к х0 последовательностям. Это особенно заметно, если хотят доказать эквивалентность определения непрерывности на языке 8 — би определения с помощью предела. Наиболее целесообразно сделать это в следующей форме:

е — 6 — непрерывность -> Игл — непрерывность;

И (£ — § — непрерывность) ->- И (Ит — непрерывность).

Построение анализа в школьном обучении — фундаментальное. Каким путем и до какой степени можно систематизировать обучение анализу? Я хотел бы сначала разъяснить, что требуется для ответа на этот вопрос, на примере

ъ

а

С помощью этого интеграла можно было бы ввести логарифмическую функцию еще до того, как пойдет речь о собственно анализе.

При этом предполагается:

Существование площади, ограниченной гиперболой, горизонтальной осью и двумя ординатами, с

Обычной аддитивностью площади и

Неизменностью этой площади при умножении в направлении первой оси на р и в направлении второй оси на р”1.

Из этих предположений следует, что площадь между постоянной и переменной ординатами является логарифмической функцией.

Следующим шагом, теперь уже в анализе, является введение аппроксимирующего многоугольника. Условие (1) сохраняется в виде:

Г. Существование соответствующей площади.

Теперь можно доказать (2) и (3), если принять, что

. Площадь аппроксимирующего многоугольника сходится к площади, ограниченной кривой линией.

Следующим шагом было бы наглядное выяснение свойства (2'), как следствия (равномерной) непрерывности интегрируемой функции. Требования гласят теперь:

1". Существование соответствующей площади.

2". Непрерывная функция / может быть с точностью до заранее заданного 8 > 0 аппроксимирована «ступенчатой» (или кусочнолинейной) функцией.

6ь

3". Если g (х) ^ f (х) для всех х, то J g (x)dx ^ Jf (x)dx. аа

Действительно, если f аппроксимируется с помощью fs с точностью до 8, то из

/в М — 8 < / (х) < fg (х) + 8

можно вывести, что

е (x^dx — е (6 — а) ^ у (x)dx ^р6 (x)dx + е (6 — а),е (x^dx — е (6 — а) ^ у (x)dx ^р6 (x)dx + е (6 — а),ььь

е (x^dx — е (6 — а) ^ у (x)dx ^р6 (x)dx + е (6 — а),

е (x^dx — е (6 — а) ^ у (x)dx ^р6 (x)dx + е (6 — а),

ааа

и, следовательно, нужную сходимость 66

lim J fe (x)dx = Jf (х) dx. е~*° аа

До сих пор всегда предполагалось, что функция Д подлежащая интегрированию, имеет интеграл; значение и свойства интеграла могли быть выведены; интеграл мог быть определен как предел. Чтобы убедиться в существовании интеграла, скажем для непрерывной функции, нужно предпринять нечто фундаментально новое. Предел нс существует теперь с самого начала, а должен быть вначале создан, и это делается, скажем, искусственным приемом — с помощью фундаментальных последовательностей. Нужно рассматривать последовательность площадей аппроксимирующих многоугольников как фундаментальную последовательность и нужно знать, что такая последовательность сходится. Выполнения второго условия можно потребовать аксиоматически, но и для первого условия нужен весьма сложный аппарат. Оценка площадей аппроксимирующих многоугольников не представляет, впрочем, трудностей на основе (равномерной) непрерывности интегрируемой функции. Но вот что хуже: аппроксимирующие многоугольники не образуют последовательности в обычном смысле; они нс являются членами некоторой последовательности с натуральными номерами; их множество несчетно.

Этой трудности можно избежать, если допустить нс произвольные аппроксимирующие многоугольники, а лишь многоугольники двух видов: нижние и верхние «ступенчатые» многоугольники. С их помощью образуют нижние и верхние суммы Дарбу; для нижних берется верхняя грань, для верхних — нижняя грань; из равномерной непрерывности опять-таки следует, что эти грани совпадают; их общее значение и является по определению значением интеграла функции. Вместо сходимости фундаментальной последовательности здесь требуется лишь характеристическое свойство действительных чисел — существование верхней (соответственно нижней) точной грани ограниченного сверху (соответственно снизу) множества. Однако это совсем не естественное ограничение аппроксимирующих многоугольников, которое мы здесь потребовали, и оно отомстит нам при различных обстоятельствах — скажем, если мы захотим доказать теорему о замене переменной х в Jf (x)dx.

Этого тоже удастся избежать окольными путями, и нередко, рассматривая и анализируя в университетских учебниках, как это проделано, некоторые удивляются изобретательности автора, нашедшего тонкости, которых учащийся не замечает, нс говоря уже о том, что он должен понимать их. Поэтому я считаю, что в школе

едва ли следует идти дальше существования интеграла непрерывной функции — факта, требующего доказательства, но принимаемого в школе без доказательства.

Аналогично обстоит дело с теоремой, которая позволяет вычислить интеграл с помощью первообразной. Если известно, что f (х) = = F* (х), то мы получаем:

ь

J f (^dx = F {Ь) — F (а). а

При наглядном доказательстве этого факта пользуются тем, что отношение разностей функции F равномерно сходится к дифференциальному отношению, хотя это и неверно вообще, но верно, когда дифференциальное отношение F' = f непрерывно. Я уже указывал, что «правильным» понятием дифференцируемости является равномерная дифференцируемость; это как раз то, что всегда требуется. Однако эквивалентность непрерывной и равномерной дифференцируемости вообще доказать непросто, и такое доказательство, разумеется, не требуется в школе.

Однако можно поступить и иначе. Пусть опять

f (х) = F' (х) и / непрерывна.

Если мы опять позволим себе предположить, что

G (х) = J f (х) dxа

существует, то путем дифференцирования, без каких-либо трудностей, очевидно, получим:

G' (%) = f (х) и, следовательно,

(F — G)' = 0.

Теперь нужен лишь тот факт, что функция Н с тождественно равной нулю производной постоянна, — чтобы заключить, что F и G совпадают с точностью до постоянного слагаемого, т. е. действительно

ь

J / (x>dx = F (6) — f (а). а

Мы использовали здесь основополагающую теорему:

Функция, имеющая на интервале (а, Ь) тождественно равную нулю производную, постоянна на этом интервале.

Каждый, кому когда-либо приходилось преподавать анализ, знает, что эта теорема является краеугольным камнем теории. Она настолько наглядна, что единственное, чего не понимают, — это то обстоятельство, что ее еще нужно доказывать. Это можно сде-

лать, скажем, с помощью теоремы о среднем, которая является своего рода монстром; она, собственно, применяется так, как если бы ничего больше о среднем значении не требовалось. Ее можно даже избежать, но здесь мы не будем в это вдаваться.

Можно понять, почему не удается так легко доказать теорему о постоянстве функции с тождественно равной нулю производной: нужно ведь использовать, что функция определена на всем интервале; утверждение перестает быть справедливым, если хотя бы в одной точке интервала функция не определена. Топологическое свойство, отличающее поле действительных чисел от других полей, должно быть использовано; значит, где-то должна использоваться сходимость фундаментальных последовательностей или существование точной верхней грани.

Можно облегчить себе жизнь тем же искусственным приемом, которым я уже не раз пользовался. Я говорил, что непрерывность следует всякий раз понимать в смысле равномерной непрерывности, а дифференцируемость — в смысле равномерной дифференцируемости. Если / дифференцируема в этом смысле в интервале [б?, ЬЗ и ее производная равна нулю, то известно, что для каждого е > 0 существует такое 6 > 0, что

f (^ + ^) — f W < gh

для любого h при 0 < h < 6 и любом х в интервале (а, b — h\

Если выбрать целое п столь большим, что — ф— а) < 6, и раз- п

бить интервал [а, ЬЗ на п равных частей последовательностью а = х0 < хг < х^ < ... < хп = Ь, то

/ (хи1) - / (X.) I

следовательно,

I f (^+i) — f МI < Ае = ^(Ь — а)е

и после суммирования по I:

ПФ) — Ца)\ <2 1Ж+1) — Hxi)\ = Ф — о)е,

1=0

что верно для любого (сколь угодно малого) е, и, следовательно

f Ф) = f (а).

Это верно и для концов любого частичного интервала, из чего и следует постоянство f.

Итак, теорема о постоянстве функции / с тождественно равной нулю производной доказана в предположении равномерной диффе-

ренцируемости; в действительности, однако, здесь нет дополнительного ограничения, ибо если /' = 0, то /' непрерывна и, следовательно, непрерывно дифференцируема, следовательно, по ранее упомянутой теореме, равномерно дифференцируема.

Насколько важна равномерная дифференцируемость, сколь явно она подтверждает наглядность анализа, можно показать еще на одном примере.

Невооруженным глазом видно, что функция f с везде положительным дифференциальным отношением монотонно возрастает. Как доказать это? Из V (х0) > 0 вытекает лишь, что для малых положительных значений h

f (x0 — h) <f (x0) < f (x0 + A).

Из этого никак не следует, что везде в окрестности х0

f Ui) < f W, если хт < х2.

Также и условие /' (%) > 0 для всех х (в данном интервале) не заключает в себе прямо свойства монотонности. Опять-таки речь пойдет о теореме о среднем или иных вспомогательных средствах. Однако теорему легко доказать, если дифференцируемость снова понимать равномерной; доказательство проходит подобно предыдущему.

В заключение я хотел бы предложить: если в школьном преподавании наглядного анализа хотят упорядочить материал в целом, то главное — это всегда рассматривать непрерывность и дифференцируемость в смысле равномерной непрерывности и равномерной дифференцируемости или принимать без доказательства, что непрерывная функция в замкнутом конечном интервале равномерно непрерывна и что непрерывно дифференцируемая функция равномерно дифференцируема. Тогда теоремы об интегрируемости непрерывной функции и о взаимоотношении дифференцирования и интегрирования вытекают без труда. Если хотят формализовать понятие непрерывности, то следует делать это в логическом, лучше всего в символически логическом, контексте.

Построение анализа в школьном преподавании — тригонометрические функции» При нашем методе введения логарифмической функции ее дифференциальное отношение дано, так сказать, по определению. Тем самым оно задано (по правилу дифференцирования обратной функции) и для показательной функции. Из

ха = еа1п*

можно по цепному правилу определить дифференциальное отношение и для этой функции. Это хорошо укладывается в систему анализа.

С гониометрическими функциями дело обстоит иначе. Синус и косинус были уже определены геометрически; никак нельзя ожидать, чтобы они без всяких оговорок вошли в систему анализа. Синус и косинус соответствуют углу по рисунку, причем, что такое угол,

можно "видеть. Правда, мы уже’показали, как можно аксиоматизировать эту главу. Требуется транспортир: функция со, которая гомоморфно отображает мультипликативную группу комплексных чисел с модулем 1 (или группу поворотов вокруг начала координат) на аддитивную группу действительных чисел по модулю 2л.

Почему 2л? Что такое вообще 2л? Пока что это не более чем мера полного угла. В практике тригонометрических таблиц это обычно называется 360°. Было бы не так уж бессмысленно дать полному углу меру 1; тогда измерение углов можно было бы определить так, чтобы углы отображались на действительные числа по модулю I.

Почему же 2л? Да потому, что мы хотим измерять углы соответствующими дугами окружности, а 2л по определению есть длина окружности круга единичного радиуса. Длины дуг кривых определяют с помощью интегралов, но это не основание, по которому данная тема относится к анализу. Однако вскоре выяснится связь измерения углов дугами и числа 2л с анализом.

До сих пор мы знаем лишь геометрически, что собой представляют длины дуг; но если мы определим длины дуг более четко, то окажется, что отношение «хорды к дуге» при хорде, стремящейся к нулю, стремится к единице. Это значит (рис. 42):

v sin2x . hm= 1, х-*о 2х

так что

I = L /х=0I = L /х=0d sin хdx

I = L /х=0

I = L /х=0

Значит, измерение углов дугами единичного круга имеет следствием равенство единице производной синуса при х = 0. Это более глубокая причина, по которой углы в анализе измеряют дугами единичного круга (и это аналогично тому, что делает натуральные .d In х 1

логарифмы натуральными: = —

dx х

Обращение f функции измерения углов со задается с помощью

/ (/) = cos t + i sin t,

причем / является даже гомоморфным отображением аддитивной группы действительных чисел (вместо отображения по модулю 2л) на мультипликативную группу комплексных чисел с модулем 1; тогда действительные числа нужно понимать как «угол поворота». Будет ли теперь f построена так, что t окажется длиной дуги единичного круга, измеренной в положительном направлении? Мы до сих пор выполнили ведь лишь одно необходимое условие, а именно,

что отношение хорды к дуге стремится (при уменьшении хорды) к единице.

Что, собственно, представляет собой длина дуги кривой? В нее вписывают многоугольник, стороны которого уменьшают- /ся, стремясь к нулю, и определяют длину

"дуги как предел периметров вписанных

рис 43многоугольников (рис. 43). Вместо сумми-

ис'рования длин хорд можно в пределе ин

тегрировать длины касательных векторов. Если (плоская) кривая задана уравнениями

Х1 " fo (0> хъ ™ ft V)»

то ее длина от /0 до tx равнато ее длина от /0 до tx равна/ dx2\2V#// dx2\2V#/• dt.• dt.

то ее длина от /0 до tx равна

то ее длина от /0 до tx равна

/ dx2\2

V#/

/ dx2\2

V#/

• dt.

• dt.

Если здесь положить f1(t) = cos/, f2(0=sin^ ^о = 0, к = L

то подынтегральная функция будет равна единице и длина дуги действительно будет равна t.

Таким образом гониометрические функции освобождаются от геометрических определений, но все еще не воспринимаются алгоритмически. Такое восприятие требует более глубокого рассмотрения.

Автор вновь ссылается здесь на свою книгу, написанную совместно с Н. Wasche (см. прим, на с. 123), и схематически намечает возможный путь алгоритмического введения тригонометрических функций на основе формулы Эйлера.

Построение анализа в школьном преподавании — бессистемное. Я смог показать кое-что из анализа, ценное для школы: как возможно провести упорядочение в целом; нужно ли действительно проводить это упорядочение в целом, зависит от целей обучения в данный момент. Я хотел лишь указать, что никак не уместно для осуществления при действующей в школе системе. Сюда относится, собственно, все, что я охватил как графический подход в широком смысле: определение объемов тел с данными поперечными сечениями, особенно тел вращения, поверхности — как отношение дифференциалов объема, поверхности тел вращения. Соответствующие понятия, такие, как объем и криволинейная поверхность, даже не определены; более того, мы кое-что доказали об этом, после того как (из лучших побуждений) определили специально для этого случая. Все это вообще допустимо. Почему бы не позволить себе вычислить поверхность шарового сегмента без того, чтобы определить вычисление площади поверхности вообще?

Но все это — локальное упорядочение. Так же обстоит дело и с другими примерами, которые я рассматривал, — скорость, плотность, градиент, а также примеры из механики и кинематики.

Везде были сформулированы теоремы и проведены доказательства, касающиеся вещей, которые не определялись или, в лучшем случае, определялись специально для этого случая.

Движение, сила, давление, напряжение, колебания, сила тока, цепная линия — они не входят ни в одну математическую систему, и ввести их в физическую систему — это большая работа, которая, собственно, едва ли предпринята. Цепная линия показывает форму бесконечно тонкой нити, подвешенной в двух точках; нить должна быть деформируемой, но нерастяжимой. Что это может значить? Если кто-нибудь не поверит мне в выводе условий равновесия для бесконечно малого участка цепной линии, то я лишаюсь каких-либо математических средств, чтобы убедить его, умалчивая об аксиомах.

Но ведь это же относится к любому применению математики. Тому, кто основывается только на аксиомах, математика не поможет вычислить стоимость десятка яиц, если известна цена одного яйца. Точно такого же характера многочисленные примеры, которые я приводил, — математическая действительность. Все это следует исключить, когда включают в систему. Недавно я читал о стремлениях улучшить обучение анализу, строя его более строго. Я же полагаю, что анализ может быть полезен в школе только в непосредственном приближении к жизни. Больше абстрактного без большего приближения к жизни в качестве противовеса приводит лишь к не связанной с действительностью и потому не имеющей ценности математике.

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И СТАТИСТИКА

Я прекрасно вижу, что истина одна и та же как в Тулузе, так и в Париже.

(Из письма Паскаля к Ферма. 29 июля 1654 г.)

Исчисление вероятностей, урок 1. 1) Почти невозможно дать удовлетворительное определение понятия вероятности...

Исчисление вероятностей выявляет противоречие в терминах, которые служат для того, чтобы эту вероятность определить. Если бы я не боялся употребить здесь слишком часто повторяемые слова, я сказал бы, что исчисление вероятностей учит нас главным образом одной вещи: узнать, что мы ничего не знаем.

Вот и все.

(Н. Poincare, Calcul des probability, 1896, p. 1, 274.)

Евдокс: Этот аргумент меня трогает; быть может, в один прекрасный день я решусь написать похвальное слово Игре.

(Е. Borel, Traits du calcul des probability et ses applications IV, том 3, 2-е издание, 1952.)

Здесь по первоначальному проекту должна была следовать глава о приложениях математики. Но я уже достаточно часто включал рассуждения о приложениях. Чтобы быть последовательным, пришлось бы многое повторить. Нет, я еще не исчерпал эту тему. О линейном программировании в качестве приложений я едва упомянул; о численных методах говорилось лишь вскользь. Стоило бы посвятить главу и вычислительным машинам, но эту главу лучше написали бы коллеги, которые проводили эксперименты по обучению с применением ЭВМ, чем я, который никогда не видел класса, работающего с этими вещами.

Остается открытой еще одна обширная область, в которой я компетентен, — и я вынес ее в название этой главы. Я в самом деле рассматриваю теорию вероятностей как образец прикладной математики, и это, во всяком случае, может быть близкой к действительности и связанной с действительностью математикой, т. е. тем, что всегда понимают под приложениями.

Некоторые не одобряют этого или, по крайней мере, видят в реальной действительности угрозу для математики. Вот передо мной такой «асептический» учебник теории вероятностей для 14— 16-летних учащихся. Автор пишет:

«Все учебники теории вероятностей говорят о таких нематематических объектах, как фишки, игральные кости, рулетки, приходы клиентов, подброшенные монеты, игры, результаты, неразличимые предметы (1) и т. п. Некоторых учащихся эти объекты и такая терминология привлекают (и я тоже принадлежал к их числу), а другие лишь теряются. Иногда такие объекты встречаются не только в примерах и задачах, но также в теоремах и в доказательствах. Конечно, это не ошибочно (это способствует повышению интереса к теории вероятностей), ибо эти объекты легко описываются математическим языком, скажем если определенным пространствам вероятностей дать именно эти имена.

Однако для начинающих как раз хорошо, если математическую теорию вероятностей и реальный мир ясно различают. Скажем, в обороте «симметричная игральная кость подбрасывается» должно быть ясным, имеется ли в виду событие реального мира или описание некоторого пространства вероятностей».

Я уже обсуждал требование учить школьников отделять друг от друга математику и реальную действительность. Да, говорил я, школьник должен этому научиться, в конце концов это пойдет на пользу и пониманию математики, и пониманию действительности. Математика и действительность не должны преподноситься школьнику раздельно. Он непременно должен научиться самостоятельно отделять их друг от друга, поскольку взаимосвязи между математикой и действительностью настолько глубоки, что отделение не повредит ни одной из сторон. Но, конечно, это вовсе не для начинающих, как рекомендует процитированный выше автор; начинающий должен, разумеется, изучать не оторванную от реальной действительности математику, которая ему ничем не будет полезна

в реальной действительности. Это принципы, которые уже плодотворно проявились в начальном обучении; они верны и для обучения теории вероятностей.

Связи с реальной действительностью вводят некоторых в заблуждение, говорит этот автор. Но некоторых приводит в замешательство и невозможность деления на нуль, и то, что умножение обычно выполняют начиная с младших разрядов, а деление — со старших, что не все функции оказываются линейными, что (ab^ = = апЬп, но ат • ап = amVn. Мы же не можем устранить эти трудности для всех. Едва ли сомнительно, что школьники, обученные хорошо подогнанной и не связанной с действительностью математике, ничего так не отвергают, как связанную с действительностью математику, которую они никак не могут осилить с помощью формальных правил и которая вместо этого требует от них самостоятельного мышления. Это плохая педагогика — идти на поводу у тех, которых связь с действительностью вводит в заблуждение, и уж совсем плохо, если и другим приходится за них расплачиваться, когда обучение ведется в расчете на тех, кого легко «ввести в заблуждение».

Во всяком случае, я считаю, что ни принцип отделения математики от действительности, ни ориентация на группу школьников не дают основания учителю обучать теории вероятностей, отделенной от действительности. Необходимо избегать вызывающей недоразумения строгости и боязни уклонения от формального изложения. Едва ли найдется математик, ведущий преподавание и свободный от этого заблуждения. В этом отношении процитированный выше автор прав: во многих учебниках по теории вероятностей мир нематематических объектов является лишь фиговым листком, прикрывающим наготу математики. После реалистической мотивации авторы этих учебников как можно скорее спешат в надежный порт математического формализма и отправляют действительность в карантин примеров и задач. Цитированный же выше автор честнее: он радикально проводит отделение математики от действительности, настолько радикально, что действительность не допускается даже в наморднике. Остается лишь один вопрос: зачем же преподавать теорию вероятностей? Есть ведь другие, более интересные области математики.

Пожалуй, можно представить себе, что теория вероятностей требует весьма немногого от технически формализованной математики. Если овладеть действиями с дробями, можно уже весьма далеко продвинуться в теории вероятностей; зачатки алгебры позволяют сформулировать теоретико-вероятностные принципы в общем виде; теория действительных чисел и анализ оказываются совершенно излишними, но, если позволить себе в этом отношении небольшую роскошь, можно весьма глубоко проникнуть в теорию вероятностей, глубже, чем когда-либо пытались в школе. Если хотеть аксиоматизировать теорию вероятностей, то это можно сделать с помощью системы аксиом, простейшей из всех, которые

существуют в математике. Если хотеть применять теорию вероятностей, то не нужно вставлять между математикой и действительностью сложную теорию; теорию вероятностей можно применять почти так же непосредственно, как и элементарную арифметику, т. е. с помощью моделей, которые каждый может понять сразу.

То, что с таким простым математическим аппаратом в теории вероятностей можно достичь столь многого и разнообразного, говорит в пользу математики (и в пользу теории вероятностей). Чтобы объяснить кому-либо, что такое математика и каковы ее возможности, наиболее убедительные примеры можно подобрать именно в теории вероятностей.

Я охотно делаю это с помощью вопросов, с которых начинается теория вероятностей (несмотря на многочисленных предшественников), с помощью двух задач, которые, говорят, поставил еще шевалье де Мерэ перед Паскалем. Уже в то время — то ли из опыта, то ли на основании вычислений — было, очевидно, известно, что можно с успехом держать пари, что при четырех бросаниях игральной кости появится не менее одно?! шестерки. От этого было близко к утверждению, что при 24 бросаниях пары костей должна быть по меньшей мере одна пара «6 — 6» (т. е. вероятность появления пары «6 — 6» при 24 бросаниях более 0,5). Однако шевалье де Мерэ заметил, что это не так, т. е. что «6 — 6» выпадает менее чем в половине серий из 24 бросаний пары костей; он объявил этот факт скандальным и пожаловался Паскалю, что математика обман

чива.

Расчет, который можно найти в записях Паскаля, весьма прост. Вероятность появлёния шестерки при одном бросании (как и вероятность появления любого другого заранее указанного числа очков) равна —; вероятность «нешестерки», следовательно, равна 1 — 6

= —; вероятность четырех, «нешестерок» составит — ; собы- 66\ 6 /

тие «по меньшей мере одна шестерка» противоположно выпадению четырех «нешестерок» и имеет вероятность, равную 1 — —

\ 6 /

« 0,516, т. е. немногим больше половины, а потому чаще происходит, чем не происходит.

Аналогично при бросании пары костей вероятность «не 6 — 6» 35

равна —, а вероятность «не менее одного раза «6 — 6» при 24 броса- 36

(35)

ниях» равна 1 ——— « 0,491, т. е. немногим меньше половины.

36

Если де Мерэ делал ставки на то, что при 24 бросаниях пары костей по меньшей мере один раз выпадет «6 — 6», то он в соответствии с правилами математики проигрывал деньги. Так происходит со всеми, кто клевещет на математику.

Второй вопрос де Мерэ относился к так называемой проблеме раздела ставки. А и В условились сыграть партию из нескольких отдельных игр; в каждой отдельной игре шансы обоих игроков на выигрыш равны; ставку забирает тот, кто первым выиграет пять игр. Однако обстоятельства сложились так, что партию пришлось прервать, когда А уже выиграл четыре игры, а В — три игры. Как следует разделить ставку при условии, что партия не может быть продолжена?

Одни считают справедливым разделить ставку в отношении 4 : 3, другие — в отношении (5 — 3) : (5 — 4). Кто прав? Оказывается, ни тот, ни другой, говорит Паскаль в качестве третейского судьи.

Предположим, что партия продолжается; играются еще две игры. При этом могут быть четыре (равновероятные!) возможности; следующие партии могут выиграть:

А и А,

А и 6, В и А, В и В..

мои школьные годы1 называли тройным правилом: если можно предпочтительно (т. е. с вероятностью более 0,5) надеяться, что при четырех бросаниях кости появится по меньшей мере одна шестерка, т. е. одна определенная возможность из существующих шести возможностей, то при 36 возможностях на двух костях появится нужная комбинация (именно «6 — 6») в одном из 24 бросаний, так как ведь 6 : 4 = 36 : 24. А во второй задаче, где даны числа 3, 4, 5 и нужно нечто разделить, это следует сделать в отношении 4 : 3 или (5 — 3) : (5 — 4). Бедный де Мерэ, так прочно веривший в математику, которую он изучал — и был за это наказан! Вероятно, его дела были бы лучше, если бы он совсем не изучал математику, ибо тогда у него были бы шансы вместо той математики, которую он изучал, изучать сразу прикладную, созданную им самим.

Здесь де Мерэ скорее не историческая фигура, а парадигма, основатель плодовитого рода всех тех «де Мерэ» нашего времени, которые изучают некую математику, чтобы не уметь применять ее. Кому из нас не приходилось хоть раз играть роль Паскаля, когда кто-то излагал ему задачи своей «непонятной» математики?

Я люблю проблемы де Мерэ не только как жемчужины в истории математики, но и потому, что они показывают много знаменательного для обучения и изучения математики. Издавна тройное правило (позднее — линейная функция) было важным математическим инструментом в физике, химии, астрономии, экономике и вообще везде, где человек хотел объяснить и упорядочить наблюдаемые явления. Это удобные средства для экспериментальной науки — подгонять наблюдаемые величины под линейную функцию; и даже до всякого наблюдения линейная функция является самой удобной математической моделью. Она освобождает от необходимости заново продумывать ситуацию, и ею охотно пользую! ся.

Конечно, издавна известно о существовании обратной пропорциональности; но еще Платон по меньшей мере в трех местах выражает удивление обычных людей, что не все функции линейны, в следующих примерах: площадь круга как функция периметра, гипотенуза прямоугольного треугольника как функция катетов, среднее геометрическое как функция крайних членов непрерывной пропорции. Разве ныне не каждый рассматривает зависимость освещения данным источником от расстояния г пропорциональной г"2 как само собой разумеющееся? Еще Орезм предполагал кусочно-линейную зависимость, которая исчезает (т. е. обращается в нуль) на некотором определенном, зависящем от силы источника расстоянии.

Мы уже указывали, что традиция обучения элементарным вычислениям, которой противостоит математика вычислений с дробями, является примером уклонения от связанной с действитель*

J Напоминаем читателю, что автор родился в 1905 г. (прим. пер.).

костью математики к изучению вопросов математической техники вроде линейной и квадричной функций, решения треугольников, тригонометрии, методов дифференцирования и интегрирования.

Новый учебный материал не улучшил этого: множества, отношения и логика также изучаются как формальный аппарат. Обучение новой математике может оказаться еще хуже, чем обучение старой.

Что является в математическом и воспитательном отношении самым существенным в наших двух примерах? Не законченная математика, которая требуется для их решения, а вновь или заново открытая математика, которая требуется, чтобы прийти к решению, и беспрецедентная новизна проблемы. Конечно, исторически она была решена Паскалем, но история отнюдь не является старым хламом. Ученик имеет ведь тоже свою историю, в которой должны стоять такие проблемы, но и не как достопримечательности трехсотлетней давности, не как кусочки стройной теории вероятностей с готовыми анализом и синтезом, а как новые, никогда нс слышанные и нс решавшиеся проблемы.

Прекрасная дедуктивная система теории вероятностей не гарантирует, что эту теорию можно применить. Ошибки, которые здесь возможны, совсем иные, чем в технической части математики. Кому не приходилось обдумывать эти ошибки, тот никогда не научится избегать их. Откуда он может знать, что вероятность родиться 12 июля и вероятность того, что два человека родились в один и тот же день года не только одна и та же, но методы решения этих задач имеют своим источником, так сказать, изоморфные схемы? Зачем имярек изучал теорию вероятностей, если он, как и каждый, кто ее не изучал, уверен, что второе событие намного вероятнее первого? Если в обществе 60 человек задать вопрос, какова вероятность, что среди присутствующих найдутся двое, у которых один и тот же день рождения, то каждый раз выясняется, что эта вероятность очень сильно недооценивается. Математику, который проведет такой опыт, гарантирован публичный успех волшебника, если при опросе выяснится, что среди присутствующих есть даже несколько пар или трое людей с одним и тем же днем рождения.

При оценке вероятности могут ошибаться даже опытные специалисты в этой области (теории вероятностей и статистики). Одним из удивительных случаев является традиционное осуждение Менделя за статистические индексы. В своих известных генетических опытах с горохом Мендель рассматривал семь пар признаков, всякий раз один рецессивный, а другой доминантный признак, которые мы, как обычно, обозначим через a, b, с, d, е, f, g и соответственно Л, В, С, D, Е, F, G. Случаю было угодно, чтобы среди 33 различных сортов, которые он приобрел у торговцев семенами, для каждого из семи признаков встретилась не менее чем одна пара сортов, отличающаяся как раз в этом признаке. «Знаменательное совпадение, — сказали статистические критики,—

которое весьма маловерятно! Значит, — решили они, — Мендель, пожалуй, плутует, как всегда считают статистики, если некто утверждает, что чего-то добился, а они вычислили, что это имеет очень малую вероятность». Это суждение о Менделе подтвердили и крупнейшие статистики; ныне оно включено чуть ли не в каждую книгу о Менделе. Лишь недавно Б. Л. ван дер Варден тщательно подсчитал, какова, собственно, вероятность того, что среди 33 сортов для каждого из семи признаков есть хотя бы одна пара, которая отличается именно этим признаком. Получилось 97,5%. То, о чем сообщал Мендель, было, следовательно, отнюдь не невероятно, а, наоборот, в высшей степени вероятно.

Вычислить это можно с помощью совершенно элементарных средств; заслуга ван дер Вардена заключается в том, что ему пришла мысль проверить вычисление, вместо того чтобы охать и ахать вслед за первыми статистическими критиками.

То, что выдающийся статистик может все же грубо ошибаться, показывает, что с теорией вероятностей дело обстоит не так уж просто. Там, где лежит отпечаток действительности, точность должна пониматься в неформальном отношении.

С самого начала развития теории вероятностей существовали спорные проблемы, т. е. задачи, которые различными учеными решались по-разному, пока тщательный анализ не показывал, кто из споривших прав. Это были отнюдь не второстепенные математики, которые дезавуировались неверными решениями, в чистой математике нет аналогичных явлений. Была, например, проблема ящичков Бертрана. Имеется три ящика с двумя отделениями в каждом; в отделениях одного ящика лежит по золотой монете, в отделениях второго — в одном золотая, в другом серебряная, в отделениях третьего — по серебряной монете. Одно из отделений одного из ящиков открывается наудачу. Какова вероятность, что в другом отделении того же ящика окажется монета из другого металла?

Пусть, скажем, открыв случайно одно отделение, мы увидели золотую монету; тогда ящик с двумя серебряными монетами сразу исключается, остается выбор между двумя лишь возможностями, и кажется, что вероятность «смешанного» ящика, которая априори была равна стала теперь равна -~. Спрашивается: как может открывание одного отделения изменить вероятность? Однако вопрос этот сформулирован плохо: вероятность того, что данный ящик «смешанный», была и остается равна -^. Кто не верит, пусть побьется об заклад. Он будет наказан материально за свое недоверие — весьма примечательный метод наказания.

Пусть наши ящики обозначены Л, В, С, отделения в них — индексами 1 и 2; в отделениях Лп Л2, Вх лежат золотые монеты, в отделениях В2, Съ С2 — серебряные. При открывании одного отделения имеется шесть вариантов (возможностей), и лишь в двух

из них, именно в Вт или В2, второе отделение ящика будет содержать монету из другого металла. Пусть, скажем, в открытом наудачу отделении оказалась серебряная монета; это значит, что открытое отделение оказалось В^ или С1? или С2; и лишь в одном из этих трех случаев (именно В^ второе отделение будет содержать монету из другого металла. Это настолько ясно, что с трудом понимаешь, как можно было раньше (до этого рассуждения) придерживаться другого мнения. Однако эта же проблема возникает очень часто в других интерпретациях и очень часто решается неверно.

Вот еще пример. Среди 20 лиц по жребию распределяется два выигрыша, причем никто не вправе получить оба. Значит, каждый знает, что еще хотя бы одно лицо (кроме, может быть, его самого) получит один из выигрышей. Жребий брошен, но результаты пока еще не известны; однако один из участников — назовем его А—обращается к распорядителю лотереи: «Я не прошу сказать, выпал ли жребий на меня; но я знаю, что еще хоть одно лицо кроме меня получит выигрыш; назовите мне это лицо». Распорядитель соглашается и называет одно выигравшее лицо. Можно ли утверждать, что шансы А на получение выигрыша упали теперь с ~ до ~? Изменилась ли вероятность выигрыша для А после получения им дополнительной информации?

Сомнение при решении этого вопроса вполне оправдано, однако аргумент, породивший сомнение, оказывается необоснованным: шансы А на получение выигрыша не изменились. Помимо основного жребия существует ведь еще (неявно) и второй: распорядитель лотереи назвал лишь одного из двух выигравших; в случае если А не выиграл, распорядитель случайно назвал лишь одного из двоих выигравших. Пусть, скажем, одним из двоих выигравших оказался В, и его-то называет распорядитель; тогда вероятность того, что выиграли А и В, составит -~; вероятность ^20

того, что В выиграет с кем-то еще (не с Л), равна —; вероятность г2

того, что в последнем случае распорядитель назвал именно В, а не второго выигравшего, составит лишь половину этого числа, т. е. —. Наконец, условная вероятность того, что при этом выиг- рал и А (когда распорядитель назвал выигравшим В\ равна частному

1 . 1 +9С2 * С2 ’

1

т. е. действительно опять-таки

В этих и им подобных парадоксах очень важно осознать, что кроме явно заданной «лотереи» есть еще и другая, неявная, и каким соотношением эти две лотереи связаны. Если отделить теорию вероятностей от реальности, если наложить запрет на «реалистичные объекты», то не нужно вообще решать подобные задачи; проблемы возникают именно тогда, когда хотят применять теорию вероятностей; но если не касаться этих проблем, то возникает вопрос: зачем, собственно, нужно обучать теории вероятностей и изучать ее?

Этими примерами я хотел показать, сколь трудна теория вероятностей. Это не означает, что ее нужно делать трудной для других. Математика — это ведь искусство делать трудное легким; этому, как уже известно из всех разделов математики, служат общие схемы, которые мы стараемся строить аксиоматически. Только это не всегда удается; со многими из этих схем мы действуем непроизвольно, не осознавая этого явно (мы еще вернемся к этому вопросу в следующей главе).

Но для математизации реальных ситуаций существуют такие мысленные схемы —и пр и этом никто не думает об аксиоматизации и формализации. Такой образ действий мы ранее назвали тактикой и стратегией; попытка каталогизировать его и в области чистой математики, и в области прикладной математики была бы безнадежным предприятием. Можно предупредить кого-либо: «Внимание, будет задача по теории вероятностей, лотерея описана не полностью, кроме явного есть и неявный выбор!» Это может оказаться полезным; но прежде чем предупредить кого-то, нужно испытать эту ошибку на собственном опыте — и наиболее действенно, когда сам предупреждающий однажды впал в подобную ошибку. Такие ошибки бывают и на низших стадиях обучения. Мы еще не раз встретимся с ними.

Без конца пытаются предотвратить ошибки с помощью различных рецептов и мнемотехнических правил. Теория вероятностей имеет свою собственную систему, математическую статистику, которая учит нас оценивать вероятность по выборкам. Поразительно, что эта область математики, которая должна служить образцом свободной мыслительной деятельности, превращается в свою противоположность, в систему жестких правил. Люди, которые оправдывают свою догматическую дидактику — что школьники якобы любят систему и не желают ничего иного, кроме как действий по определенной системе, — могут сослаться на свой опыт преподавания теории вероятностей и статистики.

Почти все учебники математической статистики, предназначенные для приложений к естественным и гуманитарным дисциплинам и для студентов соответствующих специальностей, построены по типу поваренной книги или сборника рецептов: напичканы непонятными методами и формулами. Однако человеческий ум более терпелив, чем желудок. Непонятный поварской рецепт не так легко повторить; но в большинстве случаев лишь неудовлетворитель-

ная оценка, к которой, однако, на высшем этапе уже не прибегают, служит возмездием за неверно применяемую и не связанную с действительностью математику.

Речь идет о порицаемых приложениях математики, часто именно о кажущихся приложениях, где считают, что можно для несущественных и нерешаемых вопросов собрать числовой материал, подлежащий математической обработке. Это особенно часто происходит в общественных науках, в психологии и педагогике. Проводят эксперименты с подопытными лицами, не убедившись в том, что параметры, которые могут варьироваться, сколько-нибудь существенны, и не являются ли другие параметры, которых не рассматривают, гораздо важнее; так приходят, скажем, к тому, что подробно исследуют малые изменения непригодных в принципе методов обучения. Яркий пример этого рода указали П. Зуппес и др.

- Хотели исследовать, какие факторы имеют решающее значение при решении текстовых задач (например, ключевое слово, преобразование единиц, количество действий и т. п.). Исследователи приняли во внимание и фактор повторяемости (т. е. не требует ли данная и следующая за ней задача выполнения одних и тех же действий). При статистическом анализе выяснилось, что именно этот фактор намного превосходит все другие и в большинстве случаев является решающим. Если бы этот фактор не был принят во внимание, то статистический анализ других факторов дал бы вводящий в заблуждение результат. Обнаружение же этого фактора привело к особенно ценному выводу о том, что весь метод исследования не имеет смысла.

Я убежден, что во многих педагогических и психологических экспериментах ситуация такая же; плохо теоретически обоснованные и очень часто даже небрежно практически проводимые эксперименты подвергают математической «обработке», которая не имеет никакого смысла, если не ошибочна вообще. Рассматривая «рецептурные книги», применяемые для собранного таким образом числового материала, можно понять, что речь идет о рецептах, по которым без понимания соответствующих разделов математики ничего нельзя сотворить, либо даже о рецептах, точное соблюдение которых может привести к несусветной чуши.

Печально, что даже математики, занимающиеся подобными педагогическими экспериментами, вдруг забывают, что они математики и в качестве таковых должны уметь, быть вправе и даже обязаны понимать и проверять применяемую ими математику. Но здесь-то и сказывается, что они никогда не знакомились с приложениями в тесной взаимосвязи с самой математикой. Очевидно, в их голове все уложилось так, как если бы математика

была изолирована от всего остального и действовала лишь по заранее установленным каналам.

Мы наметили здесь две крайности в обучении: теория вероятностей в качестве абстрактной системы, оторванной от реальной действительности, и теория вероятностей в качестве системы готовых правил вычислений, в которые остается лишь подставлять числовые данные. Эти крайности кажутся диаметрально противоположными, но они естественным образом дополняют друг друга. Ибо как же еще можно вводить приложения математики наряду с абстрактной теорией, как не по готовым правилам вычислений.

Все это выглядит приемлемо лишь в одном единственном учебнике: попеременно теория и задачи, практические задачи и теория для очистки совести. Квалифицированный педагог пропускает теорию и начинает с задач.

Я уже неоднократно разъяснял, сколь важно, чтобы школьник учился математизации. Жаль только, что те, кто это понимает, ограничиваются для теории вероятностей лишь словесным признанием этого факта; я уже не говорю о тех, для которых теория вероятностей оказывается лишь разделом теории множеств или теории меры. Так как теория вероятностей является прекрасным примером применения теории множеств и теории меры, ее и преподают как теорию множеств или теорию меры, хотя при этом теряется вся прелесть теории вероятностей; да еще считают это прогрессивным. Однако это так же архаично, как рассмотрение сферической тригонометрии в качестве области, в которой можно прекрасно пользоваться тригонометрическими формулами.

Правильно понимаемая теория вероятностей является прекрасной возможностью показать школьникам процесс математизации — и это не только прекраснейшая, но, вероятно, первая и последняя возможность после элементарной арифметики, вслед за которой плохо усвоенная дедуктивность делает непонятными другие ветви математики.

Я многие годы читал теорию вероятностей на первом семестре и боюсь того, что она будет окончательно погублена в школьном преподавании, как это уже бывало в многочисленных экспериментах. Есть немало специалистов по теории вероятностей и статистике, которые разделяют мои опасения.

Здесь я хотел бы рассказать о моем опыте преподавания теории вероятностей на первом семестре (для математиков и физиков). Речь идет о 10—12 часах лекций и таком же количестве сдвоенных часов упражнений. Разумеется, я обучаю теории вероятностей не как теории меры, а как практической математике, надеясь, что студенты смогут применить это на практике лучше, чем изучаемое в других курсах. Я хочу рассказать здесь не о содержании курса, а лишь о своем опыте, который может быть частично перенесен в университетское и школьное преподавание.

Разумеется, я не начинаю рассказывать студентам, что такое вероятность. Для этого нет ни малейшей необходимости — точно

так же, как в начале изучения геометрии не нужно объяснять, что такое точка. Причина, по которой такие объяснения излишни, лежит в теории вероятностей глубже, чем в геометрии. В теории вероятностей эта причина скорее логическая, чем онтологическая (как в геометрии). Каждый вопрос теории вероятностей можно интерпретировать как вопрос о ставках при заключении пари. Вместо вопроса о том, считает ли некто одну вероятность выше другой или как он оценивает данную вероятность, можно предложить заключение пари.

Бихевиористические определения вместо логических разрешены и допустимы в теории вероятностей, ибо каждое отклонение от логического обоснования наказывается материальными потерями. Это как раз и убедило де Мерэ — еще до того, как он обратился за разъяснениями к Паскалю.

Хотя и не с определений, но я начинал теорию вероятностей с примеров, однако и это кажется мне теперь ошибочным. В этом я убедился на одной из конференций по обучению математике в начальной школе. Участникам конференции (разбитым на группы по четверо) было предложено разработать одну из около 40 перечисленных проблем для проведения урока в начальной школе. Моя группа выбрала «Тото». Каждый ребенок у нас знает, что это такое. Этимологически «Тото» является сокращением слова «тотализатор», и это — организация ставок на распределение призовых мест лошадей на бегах; ныне популярны также ставки на результаты матчей футбольного чемпионата. Играющие заполняют формуляр из 13 строк, соответствующих 13 матчам, и трех колонок (выигрыш, проигрыш, ничья). Затем ставки распределяются в качестве выигрышей между тремя группами победителей: тех, кто верно угадал исходы всех матчей; тех, кто допустил одну ошибку, и тех, кто допустил две ошибки. Остальные не получают ничего.

Итак, мы выбрали «Тото». Мы решили разработать урок для учащихся в возрасте 10—11 лет. Урок должен был начаться с вопроса к детям, что такое «Тото». Но как задать следующий вопрос? Скажем, какова вероятность, что наш заполненный случайным образом формуляр окажется все же верным? Разумеется, нет. После нескольких неудачных попыток мы решили вообще исключить слова «вероятность» и «случайно». «Учитель» должен предложить детям начертить тотоформуляр и заполнить его по собственному усмотрению. Затем сравнить каждый формуляр с формуляром учителя; чей совпадет, тот и «выиграл». Конечно, весьма вероятно, что не выиграл никто (возможно, окажутся одинаково заполненные формуляры, и это также заслуживает обсуждения). Следующий вопрос: может быть, в классе из 100 учащихся найдется «выигравший»? или из 1000? из 10 000? и т. д. Педагоги моей группы были убеждены, что дети в возрасте 10—11 лет настолько хорошо знакомы с «Тото», что они бы утвердительно ответили лишь для случая миллиона участников.

Следующие шаги могли бы иметь более математический характер. Следовало конкретно рассмотреть «Тото»для одного матча, для двух матчей и т. д. и в конце концов установить, что называется вероятностью угадать результат всех 13 матчей.

Этот мысленный эксперимент обогатил меня ценным опытом. Теперь я поступаю в первом семестре аналогично: предлагаю студентам «угадать» вероятность. Я делаю это с помощью первой из приведенных выше проблем де Мерэ или, скорее, с помощью метода, поводом к которому она послужила. Мой первый вопрос: сколько раз нужно бросать игральную кость, чтобы поставить на появление хотя бы одной шестерки? Я ставлю этот вопрос как в начале, так и в конце первого часа занятий. Студенты отвечают: три. Тогда я провожу эксперимент: несколько серий из трех бросаний. Результаты записываются. Это, собственно, необязательно. Иногда шестерка выпадает уже при первом или втором бросании; тогда возникает вопрос, нужно ли продолжать серию.

Это — первое указание, что предположение о равенстве шансов на появление хотя бы один раз шестерки в серии из трех бросаний неверно. Затем мы подсчитываем вероятность появления хотя бы один раз шестерки при одном, двух, трех, ... бросаниях кости естественным путем, который ведет к выражению

6^6 6^66 Т 66

Мы рассматриваем также квадратичную и кубичную схемы, которые отображают два или три бросания. Это сразу приводит к мысли, что условие «хотя бы один раз шестерка» целесообразно заменить логически эквивалентным «не без шестерки». Я считаю это первым убедительным примером — разумеется, не самой эквивалентности понятий «существует некоторый х со свойством...» и «не все х лишены этого свойства ...», а полезности таких слово- замен, как «иногда» и «не никогда» или «где-нибудь» и «не нигде», «кто-нибудь» и «не никто» и т. п., которые должны рассматриваться на занятиях по логике. Как известно, в теории вероятностей термин «хотя бы один» понимается через его отрицание «ни од

ного».

Это понятие, которое ведет школьника к переоткрытиям, следует ввести, а не выводить из теории меры. После такой подготовки вто

рой вопрос де Мерэ о двух шестерках является, собственно, стандартной задачей. В качестве изюминки я рассказываю еще об

объявлении одного игорного дома, заимствованном у Муавра:

«За появление события,«За появление события,1

«За появление события,

«За появление события,

вероятность которого —, выплачивается

лишь 28-кратная ставка; однако организаторы утверждают, что это честно, оправдываясь тем, что одновременно предлагают пари

на равных (т. е. 1 : 1) на то, что это событие произойдет хотя бы раз в 28 играх».

Я имею обыкновение задавать в этой связи вопрос, можно ли бросать не одну кость четырежды, а четыре кости сразу, и спрашиваю, что при этом означает «хотя бы один раз». В традиционном курсе обычно не подчеркивают, что задачи теории вероятностей обычно можно интерпретировать различным образом. Чтобы вжиться в применение теории вероятностей, учащийся должен научиться видеть в различных словесных формулировках истинную суть проблемы. Изоморфизм проблем является в математике столь же важным, как и их математическая сущность, — и этому можно научиться нс на формальных определениях, а лишь практически столкнувшись с подобными изоморфными задачами.

Один пример такого рода я уже упоминал. Если предложить сравнить вероятность того, что сегодня как раз день рождения случайно выбранного лица с вероятностью того, что два случайно выбранных лица имеют один и тот же день рождения, то не искушенные в математике люди сочтут, что второе событие намного реже и, следовательно, намного менее вероятно. Если же затем предложить им сравнить вероятность появления шестерки при однократном бросании кости с вероятностью появления дублета при бросании пары костей, то едва ли многие удержатся сразу же дать оценку. Им нелегко разъяснить изоморфизм этих задач, если пренебречь числовыми расчетами.

Другой пример. Многие считают, что в обычных телефонных номерах цифра 0 встречается чаще других, ибо часто слева (т. е. в начале номера) добавляются дополнительные нули. И наоборот, часто считают, что при нумерации страниц книги частота распределения цифр одинакова. Даже студентам первого семестра неясно, в чем здесь дело. Поэтому полезно предложить им. подсчитать частоту появления цифр 0 и 1 в обычной записи чисел от 1 до 100 или, скажем, до 100 000.

Одна из первых задач, которую я рассматриваю со студентами первого семестра, — это вероятность выпадения различных сумм очков на трех игральных костях. Это — исключительно полезное упражнение — показать студентам, как систематически записать возможные комбинации. Подсчет показывает, что вероятность ш м/27\

выпадения 10 и 11 очков одинакова и составляет —(или —L

как и вероятность для 9 и 12 очков. Как объяснить такую симметричность? После нескольких попыток разобраться в этом кто-то предлагает «объяснение»: если кость перевернуть, то число х очков заменится (на противоположной грани) числом (7 — х) очков; если перевернуть все три кости, то сумма s заменится суммой (21 — s); а поэтому суммы s и (21 — s) появляются с равной вероятностью. Ладно, говорю я, на противоположных гранях наших костей действительно изображены пары 1 и 6, 2 и 5, 3 и 4. Но у древних этрусков на противоположных гранях костей были пары 1 и 2, 3 и 4, 5 и 6. Если взять такие кости, то получатся ли такие же вероятности сумм очков? Окажутся ли вероятности появления 10 и 11, 9 и 12 и т. д. одинаковыми?

Реакция на этот вопрос из года в год одна и та же. Одни улыбаются, другие откровенно смеются, но если я предлагаю голосовать, то подавляющее большинство — за постоянство результата. Однако, если я требую объяснения, то все студенты смущаются, как тот молодой человек, которого спросили на экзамене, была ли Троянская война до или после всемирного потопа. В одной группе учителей математики, где я предложил эту задачу о трех костях, смущение было столь велико, что никто не отважился ответить.

Есть явные причины, почему это вызывает смущение. Чувствуется, что распределение значений на гранях кубика не должно влиять на результат, но нелегко понять, как может повлиять аргументация, связанная с переворачиванием костей. Я думаю, что очень полезно проанализировать эту ситуацию. Аргумент с переворачиванием костей напоминает рассуждение: «если х2 — — Зх + 2 = 0 и если Земля круглая, то х = 1 или х = 2».

Это годится для формальной логики, но не тогда, когда аргументы должны вскрывать существенные обстоятельства. Вышеприведенное заключение могло бы гласить: так как при одном бросании х очков и (7 — х) очков имеют одинаковую вероятность, то сумма s очков на трех костях имеет такую же вероятность, как сумма 21 —s очков. Несущественно, что переход от х к (7 — х) выполняется на каждой кости путем ее переворачивания, и потому операционно неверно ссылаться на такую конкретизацию функции Тх(7 — х). Нетрудно найти и другие подобные примеры неверных доказательств, однако этот пример особенно поучителен.

Скелетом элементарной теории вероятностей является простейшая комбинаторика. Грубые ошибки в простых задачах комбинаторики встречаются часто, даже у первокурсников, которые должны знать всякие разделы математики. Собственно математика, которая требуется для решения таких комбинаторных задач1, весьма проста. Речь идет о том, чтобы математизировать эти задачи, которые обычно предлагаются в отнюдь не математической формулировке, — а в школе наши студенты не слишком утруждали себя решением подобных задач. Трудность заключается в многообразии обличий, в которых могут появляться изоморфные задачи.

Число упорядоченных пар (л, Ь) из элементов двух конечных

множеств Л, В, мощности которых соответственно равны а и Ь, есть а • Ь. Объединение этих множеств, если они не содержат общих элементов, содержит а -V Ь элементов. Это ясно как день каждому, но это может быть бесполезной абстрактной теорией, если понимание сути произведения и объединения множеств не отработано путем упражнений.

Возьмем следующий пример. Имеются три комнаты с двумя кроватями в каждой; требуется так разместить три пары друзей, чтобы каждая пара оказалась в одной и той же комнате. Сколькими способами можно это сделать?

Студенты правильно начинают рассуждать, что три пары можно 31 = 6 способами распределить по комнатам; что пару в первой комнате можно двумя способами расположить в имеющихся кроватях; то же относится ко второй и третьей парам, итого 6 + 2 + + 2 + 2 = 12 способов. Но если студент университета дает такое решение, значит, что-то было не так в школьном обучении; что именно, мы уже подробно рассмотрели выше. Это можно исправить не путем преподавания не связанной с реальной действительностью теории множеств, а лишь предлагая школьникам разобраться в сложных ситуациях, где существенную роль играет комбинаторика. По традиции такие ситуации ищут в рамках теории вероятностей, но они нередко встречаются и за ее пределами.

Такую технику действий требуют иногда конечные группы. Если, скажем, хотят определить число автоморфизмов симметрической группы подстановок из четырех элементов, то можно исходить из того, что автоморфизм определяется воздействием на шесть 2-циклов (/, /), что элементы (1, 2) могут перейти в любые другие, что фиксация (1, 2) фиксирует также (3, 4) и что (1, 3) может перейти в (1, 3), (1, 4), (2, 3), (2, 4), что и определяет полностью автоморфизмы. Если все эти шаги будут выполнены правильно, некоторые студенты все же думают, что всего существует 6 + 4 (а не 6 • 4) автоморфизмов.

В моем курсе для первого семестра я систематически и логически связанно рассматриваю многочисленные комбинации. Я начинаю с описания или изображения общеизвестной доски Гальтона, прямоугольного равнобедренного треугольника, расположенного основанием вниз, с гвоздями, и нумерую эти гвозди, начиная с верхнего, который считается нулевым рядом; следующие два — нулевой и первый первого ряда, далее ниже — нулевой, первый и второй второго ряда и т. д. Сверху на гвоздь нулевого ряда падают шарики и отклоняются с равной вероятностью влево или вправо так, что падают на нулевой или первый гвоздь первого ряда, которые, в свою очередь, отклоняют их влево или вправо и т. д. В результате зигзагообразных движений шарики собираются в ячейках нижнего ряда. Я не демонстрирую конкретной доски, но каждый может ясно представить себе, что большинство шариков группируется в центральных ячейках нижнего ряда и лишь немногие шарики падают в фланговые ячейки. Я связываю это рас-

пределение шариков с известной кривой Муавра—Лапласа, о которой будет идти речь лишь в самом конце курса.

Чтобы математически осмыслить распределение шариков, мы представляем себе один шарик, который, попадая на каждый очередной гвоздь, превращается в два, причем один из них отклоняется влево, а другой — вправо. На гвоздях следующего ряда каждый шарик также превращается в два и т. д. Для каждого гвоздя записывается число падающих на него шариков; это приводит к треугольнику Паскаля, который и строится таким путем численно. Его построение описывается рекуррентно; число шариков для 6-го шарика м-го ряда обозначается С^; треугольник Паскаля определяется рекуррентной формулой

и некоторыми начальными условиями.

Отсюда выводится выражение

Ск — п*

Числа Сп можно рассматривать и как коэффициенты в формуле разложения бинома. Отмечается также свойство

5 с'=2".

Г=1

Итак, число зигзагообразных путей сверху до 6-го места м-го ряда есть Ск. Что же это за зигзагообразные пути? Чтобы проделать путь длины я, шарик должен п раз встреть!вся с выбором «влево — вправо». Зигзагообразный путь является отображением Ф множества чисел {1, ..., п} на множество {влево, вправо} с двумя возможными результатами выбора. Путь Ф оканчивается у 6-го гвоздя n-го ряда после п выборов, среди которых ровно 6 раз «вправо», т. е. Ф — прообраз для «вправо» — имеет мощность 6. Итак,

Ск равно числу отображений множества {1, ..., п} в{влево, вправо} с 6 прообразами для «вправо».

Зигзагообразный путь Ф полностью определен, если заданы Ф-прообразы для «вправо», ибо остальные числа по необходимости будут прообразами для «влево». Итак,

Сп равно числу подмножеств, содержащих 6 элементов из{1. .... nY

Такие подмножества по традиции называются сочетаниями из п элементов по 6; это выражение следует упомянуть, но в дальнейшем надо избегать его.

Задания — закрасить к из п окружностей! или вытянуть 6 карт из колоды, содержащей п карт, —могут служить примерами

образования подмножеств, содержащих к предметов из данных п предметов. Теперь я еще должен знать, играет ли роль порядок закрашивания окружностей (или вытягивания карт). Если порядок не играет роли, то математическое описание процедуры следующее: «берется подмножество из к элементов». Если же порядок играет роль, то я должен сказать: «берется последовательность из к элементов (без повторений), т. е. множество {1, ..., к^ взаимно однозначно отображается в данное множество из п элементов». Такие последовательности по традиции называются размещениями из п элементов по к.

Задача «рассадить к лиц на п стульев» относится к тому же типу. Ее решают, однозначно отображая множество лиц в множество стульев. Если я интересуюсь лишь тем,, какие стулья заняты, но не интересуюсь, каким именно лицом, то речь идет о подмножествах (т. е. о сочетаниях), но не о подпоследовательностях (т. е. о размещениях). Это зависит от того, подразумевается ли выбор подмножества или подпоследовательности (т. е. неважен порядок расположения элементов или важен).

Часто порядок выбора оказывается несущественным. Вероятность получить три карты одной масти из пяти при раздаче колоды, содержащей 52 карты, является частным от деления количества благоприятных случаев на общее количество (равно-) возможных случаев — и при этом несущественно, ищем ли мы подмножества или подпоследовательности: вторая интерпретация добавит как в числителе, так и в знаменателе множитель 5!, который затем сократится. Это оказывается парадигматичным для положения вещей во многих проблемах.

Эту ситуацию необходимо уяснить не только на примерах, но также и абстрактно. Пусть V — конечное множество, Р^ — множество его подмножеств, содержащих к элементов, Sk — множество подпоследовательностей, содержащих к различных элементов из V; пусть ф — «отображение забывания», которое подпоследовательности из V ставит в соответствие множество ее элементов. Ф всегда отображает к\ элементов Sk на один элемент из Рк. Мы допускаем, что элементы Sk образуются путем к -кратного вытягивания из урны V. Пусть А — подмножество из Sk; вероятность получить элемент из А равна частному

количество элементов А

количество элементов S. *к

Пусть образ ф для А обозначен В. Если теперь подмножество А таково, что вместе с некоторой подпоследовательностью из V оно содержит и все подпоследовательности, отличающиеся от рассматриваемой лишь порядком расположения элементов, то про-

образом В снова окажется А; А содержит в й! раз больше элементов, чем В, и вышеприведенное частное можно также вычислить как

число элементов В частное

число элементов

Итак, в каких случаях можно заменить комбинаторное вычисление Sfe вычислением Р^ Если с самого начала рассматривать лишь те множества последовательностей, которые вместе сданной последовательностью содержат и все последовательности, получающиеся из нее перестановкой элементов. Это и есть точный смысл выражения «не зависит от порядка расположения элементов».

В примере с тремя картами одной масти из пяти для колоды, содержащей 52 карты, это было именно так: каждая группа в пять карт, содержащая три карты одинаковой масти, считается «благоприятной» независимо от того, в каком порядке сданы эти пять карт.

Язык множеств и отображений, который я здесь использовал, является превосходным инструментом, чтобы выяснить различие между тем, что ранее названо сочетаниями и размещениями. Комбинаторика может быть в школьном преподавании первым глубоким и убедительным примером применения множеств и отображений; ее место, разумеется, не только в старших классах гимназии в систематическом курсе теории вероятностей. Например, разбиение множества S, содержащего п элементов, на попарно не пересекающиеся подмножества Sn содержащее ^, элементов, S2, содержащее /?2 элементов, ..., Sp, содержащее кр элементов (причем ^i + ^2 + ••• А- кр = п\ можно сформулировать яснее как отображение f множества S в {1, ..., р}, причем прообраз I состоит из kL элементов. Известно и количество таких отображений,

равноеравноеп\

равное

равное

k-^l kjl ••• кр\

Это доказывается путем постепенного выбора множества прообразов для первого элемента, из остатка — для второго элемента и т. д. и, наконец, для р — 1-го элемента.

Проанализируем, что будет, если колоду из 52 карт разложить на четыре кучки по 13 карт в каждой. В соответствии с вышеизложенным мы должны взять отображение Ф, которое каждому х € {1, 2, ...,52} ставит в соответствие одно из чисел 1, 2, 3, 4 (или N, Е. S, W) так, что Ф (х) = i (I € {1, 2, 3, 4}) ровно для 13 значений х.

Обычно все же карты раздаются игрокам по определенному отображению Фо, скажем Фо (%) = х (mod 4). Однако карты перед раздачей тасуются, т. е. подвергаются перестановке л; поэтому истинная функция Ф является произведением Фо л двух отображений: л и Фо. Здесь существует два метода: случайная раздача карт (выбор Ф) или сначала тасование колоды (выбор л), а затем раздача по определенному правилу Фо; легко показать, но всегда нетривиально понять, что эти методы эквивалентны.

Если мы теперь оставим комбинаторику и обратимся собственно к теории вероятностей, то столкнемся с первыми важными понятиями — стохастической зависимостью, независимостью и с условной вероятностью. По моим наблюдениям, эти понятия не представляют трудностей для учащихся; их можно ввести и проиллюстрировать с помощью многочисленных разнообразных примеров. Хотя этот опыт весьма распространен, он часто вызывает серьезные сомнения со стороны тех, кто чувствует себя связанным необходимостью аксиоматического построения курса. Я согласен, что при аксиоматическом построении эти понятия трудны, так как остаются немотивированными. Зависимость, независимость и условная вероятность могут быть осмысленно мотивированы лишь в реалистичном контексте. Именно ради этого в дидактике приходится отказаться от аксиоматического построения курса.

Я ввожу понятия с помощью урны, в которой находятся жетоны с числами 1, ..., 100. Я рассматриваю подмножества чисел, кратных 4, 5, 10 и 20, и исследую их зависимость и независимость. Как можно использовать высказывание, что вытянутое число делится на 4, если требуется, чтобы оно делилось на 10 (или на 20)? Как изменится вероятность того, что х находится в Л, если я ограничиваюсь лишь теми х, которые принадлежат В^

Если условная вероятность равна первоначальной вероятности, т. е.

Р (х С А | х С 6) = Р (х С Л),

то Л и 6 называются независимыми. С другой стороны, условная вероятность вычисляется по формуле

Р(х€Д|х€В) = ^^-^-.

Поэтому критерий независимости принимает вид

В (х С Л П В) = В (х С Л) • В (х С В).

Итак, независимость может быть сформулирована как справедливость правила произведения. Это, кроме того, имеет смысл и для В (х С В), что показывает симметричность понятия независимости относительно Л и 6.v

Это один из подходов, но существуют и многие другие. У меня создалось впечатление, что тесная зависимость между независимостью и условной вероятностью способствует более быстрому пониманию. Тот, кто любит систематизацию, охотно отделит одно от другого и начнет с независимости; взаимосвязь же появится как поразительный факт позднее.

Я предпочитаю здесь широкий подход. Во всяком случае, я должен признать, что условную вероятность, как таковую, я лишь иллюстрирую в своем курсе действительно несложными задачами, тогда как независимость появляется, конечно, все снова и снова.

Если Л и В независимы и, следовательно,

Р (х с А П 6) = Р (х с Л) • Р (х с 5), то, само собой, верно и

Р (х С А П В) = Р (х £ Л) • Р (х С В) и т. д., т. е. как Л, так и его дополнение А независимы от В и от его дополнения В. Если

Р (х С Л) - а, Р (х С В) = р, то при условии независимости Л Q В и т. п. имеем таблицу вероятностей:

А

А

в

ар

(1-а)р

в

а (1 - Р)

(1 — а) (1 — 0)

Я иллюстрирую это парой «дождь — прогноз дождя», которая может принимать значения (да, да), (да, нет), (нет, да) и (нет, нет). Здесь желательна полная вероятность по главной диагонали (т. е. первый и четвертый варианты); для остальных двух вариантов желательны нули. Если это удается, то мы имеем случай полной зависимости; однако это едва ли удается осуществить; мы должны быть довольны, если вместо нулей получаются достаточно малые числа. Другой крайностью является полная независимость, где, как в вышеприведенном примере, вероятности вычисляются по правилу произведения; прогноз погоды оказывается тогда непригодным, вероятность дождя одна и та же, независимо от того, предсказали дождь или нет.

Отсюда можно перейти к таблицам с более чем двумя строками и столбцами и к формулировке стохастической зависимости переменных и и v, принимающих, скажем, значения 1, ..., к и соответственно 1, ..., I. Они разлагают данное множество на подмножества At (i = 1, ..., k), где и принимает значение /, и В5 (j = = 1, ..., /), где v принимает значение /. Независимость и и v означает, что и и v независимо друг от друга принимают все свои возможные значения и, следовательно, всегда

р (2 е At п В;) = р (г € ла . Р кг ^ В^.

Я считаю, что можно начинать и с другого конца, с двух множеств: А и В, из которых образуют множество [Л, В"} пар; в А (и соответственно в В) имеются подмножества X и У, для которых определена вероятность. Тогда в [Л, В] определена вероятность

Р ((х, у) с [X, KJ) = Р (X е X) . Р (у с YY

Если снова разложить [Л, 6] по первому и второму множителям, то мы получим множества [Ль 6] и [Л, В^ и из

Р ((х, у) е [До В] п [Д, В^ = Р Цх, у) с [Д,., в^ =

= P (x Ui) • Р Ь £ BJ = Р ((х, у)) cz [Ab В]) • Р ((х, у) €€ [Л, В^

вытекает их независимость. ■

В то время как при первом подходе мы структурировали данное множество с помощью двух разбиений, теперь мы исходим из двух множеств и образуем их произведение, которое затем само оказывается структурированным с помощью двойного разбиения; если раньше мы обнаруживали независимость в такой таблице, то теперь построим дважды структурированную таблицу по принципу стохастической независимости. Возможны оба приема; но, как я уже подчеркивал, дидактически лучше начинать со структурирования данного, т. е. с анализа, чтобы затем следовало построение структуры.

Мы имеем данные о погоде и о ее прогнозе и структурируем пары, как это происходит ежедневно: один раз — в отношении погоды, другой раз — в отношении прогноза.

Мы имеем данные о росте отцов и сыновей и структурируем эти данные один раз по отцам, другой раз по сыновьям. Это вполне естественно. Но уже не столь естественно, когда мы структурируем результаты бросаний пары костей; сначала — по первой кости, затем — по второй кости. Ибо здесь можно сразу прикинуть все возможности, и мы сразу склоняемся к синтезу. Мы комбинируем каждый результат бросания одной кости с результатом бросания другой и — сознательно или бессознательно — применяем правило произведения. Здесь сразу используется взаимосвязь двух полей вероятности, еще до того, как будет проведен анализ. Это разумно, и лишь фанатики системы будут возражать против этого. Но все это должно выполняться не только интуитивно.

Можно мыслить себе игру с двумя костями, которые связаны короткой или длинной нитью. Элементы пары неотделимы теперь друг от друга; теперь следует исходить из множества пар, структурировать их относительно первой и относительно второй кости, наблюдать вероятности, а затем проверить, выполняется ли правило произведения и в какой мере.

Это особенно иллюстративный пример, и я охотно пользуюсь им. Никто не усомнится, что две кости, связанные очень длинной нитью, или, наоборот, совершенно отделенные, бросаемые даже в разных комнатах, дают совершенно независимые результаты; однако, чем нить короче, тем более взаимозависимы результаты. В том-то и заключается невысказанная причина приложимости теории вероятностей: мы часто, даже в большинстве случаев, считаем (и притом справедливо) верным априори, что два множества или две стохастические переменные независимы друг от друга.

Дают ли две кости, бросаемые в Утрехте или Амстердаме, независимые результаты, не нужно даже проверять. Разумеется, эта уверенность не является врожденной; но где-то в нашем раз-

витии мы прошли чудесную стадию введения в науку и приобрели неотъемлемую уверенность в стохастической независимости. Это значит: если все же хоть раз случится, что бросания костей в Утрехте и Амстердаме дадут зависимые результаты, мы попытаемся спасти правило и начнем искать тайную связь, обман или фальсификацию результатов бросаний. Раньше ломали голову по поводу философии: почему природа наделила нас способностью поиска причинной связи. Но, собственно, гораздо удивительнее, что существует столь много возможностей применить такое математически полезное правило, как правило произведения в теории вероятностей.

Если теория вероятностей должна иметь хоть какие-то связи с объективной реальностью, то практическая полезность стохастической независимости должна ясно проявляться. Для этого школьник должен знать, что такое стохастическая независимость, не в аксиоматическом смысле, не только в математизированной формулировке понятия, айв любой возможной связи с реальной действительностью. Как я уже отмечал, вполне понятно, почему то или иное понятие представляет дидактические трудности, если оно не достаточно усвоено в практическом смысле.

Я хотел бы не упустить и трудностей другого рода. Из года в год я испытываю во время занятий знаменательное разочарование. Речь идет о следующей задаче:

«Урна содержит числа 1, 2, 3, 4, которые вытягиваются в случайной последовательности сериями по четыре вытягивания. За каждое число, совпадающее с номером его вытягивания в серии, уплачивается выигрыш в один гульден. Требуется определить математическое ожидание выигрыша».

Мои студенты всегда решают задачу, выписывая всевозможные перестановки из цифр 1, 2, 3, 4 и соответствующего размера выигрыша:

1234;

4

2134;

2

3124;

1

4123;

0

1243;

2

2143;

0

3142;

0

4132;

1

1324;

2

2314;

1

3214;

2

4213;

1

1342;

1

2341;

0

3241;

1

4231;

2

1423;

1

2413;

0

3412;

0

4312;

0

1432;

2

2431;

0

3421;

0

4321;

0

(Я имею также обыкновение спрашивать, почему нет варианта с выигрышем в 3 гульдена.) Сумма всех выигрышей составляет 24 гульдена, и математическое ожидание выигрыша равно одному гульдену. Любопытная история!

А нельзя ли вычислить это проще? Конечно, можно! Среди 24 перестановок число 1 окажется на первом месте в шести (т. е. 24 : 4) случаях; точно так же число 2 на втором месте, число 3 на третьем и число 4 на четвертом месте окажутся ровно в шести случаях.

Стоит заметить, что перед этим я доказал студентам общую теорему о математическом ожидании суммы стохастических переменных, т. е. что математическое ожидание суммы равно сумме математических ожиданий слагаемых; при этом я подчеркивал, что она верна как для зависимых, так и для независимых стохастических переменных. Но никто не приходил к мысли, что эту теорему можно применить к четырем переменным: xv х^ х3, х4, которые с равной, хотя и взаимозависимой вероятностью принимают значения 1, 2, 3, 4 или, более того, к частичным выигрышам

у, = /0 для xt (= I,[1Л

чтобы вычислить математическое ожидание общего выигрыша

Если я указываю на это, мне отвечают: «Но ведь переменные взаимозависимы». Если же я напоминаю об общности теоремы, то мои оппоненты соглашаются, но где-то в глубине сердца у них все-таки остается сомнение в том, что здесь все верно.

Следующая задача появляется не ранее чем через педелю.

«Урна содержит две монеты по 25 центов, две — по 10 центов и две — по 5 центов. Играющий имеет право случайным образом вынуть для себя три монеты. Сколько можно уплатить за это право? Иначе говоря, чему равна «цена игры»?»

И снова студенты рассматривают все 20 вариантов (т. е. подмножеств по три элемента из имеющихся в урне шести) с соответствующими суммами и получают математическое ожидание в сумме 20 + 10 + 5, т. е. ничего иного, как если бы в урне было лишь по одной монете каждого достоинства. И снова все соглашаются, что этот метод неудачен; однако я уверен, что большинство все же сохраняет в глубине сердца сомнение, подсказываемое логикой, — сомнение, не поддающееся разумному объяснению.

Что-то было не так в моем преподавании, и опыт подсказал мне, что именно. Следовало начинать не с общей теоремы, а с частного примера; теорему же доказать сначала для этого частного случая, а уже затем — в общем виде. В перечне перестановок (1, 2, 3, 4) ясно видно, что, например, единица шесть раз оказывается на первом (и вообще на каждом) месте; двойка — шесть раз на втором месте, тройка — шесть раз на третьем, четверка — шесть раз на четвертом; обобщение этого рассуждения и представляет собой нужной доказательство. Общее же доказательство с помощью букв и формул лишь вуалирует этот факт.

Ныне я делаю это по-другому — и успех не заставил себя ждать. Пример куда убедительнее, чем общее доказательство; общее доказательство, проведенное формально, можно понять, лишь поняв суть дела на примере.

Однако классический метод традиционной философии обучения математике с самого начала заключается в том, что педагог вначале доказывает общую теорему, а уже потом учащийся подставляет в нес численные значения параметров. Но владение общей теоремой лишь в редких случаях может гарантировать умение ее применять, и слишком раннее владение может даже помешать навыкам ее применения.

(Я должен сказать — хотя это и секрет, — что даже специалисты по теории вероятностей и статистике, абстрактно знающие теорему о математическом ожидании суммы, подчас не могут применить ее в конкретных случаях, так как они не осознали ее.)

Для закона сложения дисперсий требуется, разумеется, независимость переменных. Это можно хорошо уяснить на предыдущих примерах.

Я вообще формулирую этот закон несколько иначе. Я говорю о мере рассеивания (квадратном корне из дисперсии) и говорю, что рассеивания складываются «по теореме Пифагора».

Это не только удобный оборот речи; он имеет своей глубокой основой замечательное поведение рассеивания. Статистики вообще из чисто технических соображений патологически преувеличивают роль дисперсии, тогда как во всех приложениях естественным и целесообразным является применение меры рассеивания. Специалисту в области естественных наук гораздо ближе мера рассеивания и ее сложение «по теореме Пифагора». Ему также привычнее находить сумму рассеиваний п независимых стохастических повторений xv ..., хп *

d^ = VHd^,

1

которая в V п раз больше, чем рассеивание самого х, и затем рассеивание среднего значения *

D

I п у у п

которое в Vп раз меньше, чем рассеивание самого х.

Этот «закон квадратного корня из и», который всегда применяется в естественнонаучных приложениях теории вероятностей, является бросающимся в глаза феноменом? Есть, однако, авторы учебников, которым это еще никогда не бросалось в глаза. Я считаю, что школьники и студенты должны научиться понимать этот закон, а не ждать, пока физик-теоретик (или руководство по физическим экспериментам) познакомит их с этим законом и даст рецепт пользования им.

Многие математики не согласятся с этим. Математическое ожидание и мера рассеивания — это лишь два параметра некоторого распределения; лучше поскорее перейти к высшим моментам и к

преобразованию Фурье или к особым семействам распределений, которые действительно зависят только от двух параметров. Напротив, те, кто применяет теорию вероятностей в статистике или в естествознании, знают, что эти параметры содержат всю полезную и даже вообще всю существенную информацию. Я люблю подчеркивать математическое ожидание и меру рассеивания, и я ограничиваюсь, насколько возможно, этими двумя инструментами.

Одно важное применение закона квадратного корня отсутствует почти во всех учебниках. Ежедневное число рождений в стране, число щелчков счетчика Гейгера — Мюллера в секунду, число молекул в кубическом миллиметре некоторого газа, число электронов в миллиампер-секунду — все это рассеяно вокруг среднего значения N с мерой VN (коль скоро N ^1). Теоретико-вероятностное обоснование этого явления должно быть разъяснено в любом университетском курсе, возможно даже и в школе. Мы, математики, не можем сделать это достаточно просто и предоставляем это физикам. Поэтому весьма печально, что почти во всех современных учебниках по теории вероятностей лишь едва упоминается о физических приложениях. В последовательностях наблюдений мера рассеивания удобна как мера ошибок наблюдений, даже если их распределение не подчиняется нормальному закону. Теория ошибок все еще является наиболее важным и наиболее частным приложением теории вероятностей; эти приложения не должны отсутствовать ни в одном курсе теории вероятностей, в том числе и в школе. Мы не можем себе позволить перепоручить теорию ошибок сборнику рекомендаций для физической лаборатории. Если мы все же делаем это, то могут произойти истории вроде следующей.

Один из таких рецептов-рекомендаций требовал 400 раз вытянуть карту из колоды в 52 карты и подсчитать число вынутых карт пиковой масти. Такие последовательности по 400 вытягиваний следовало повторить по 10 раз. И хотя по этому рецепту действовали тысячи студентов, никто не показал в отчете менее 75 или более 125 карт пиковой масти, ибо по инструкции результаты, выходящие за границы За, следовало отбрасывать. Но и рассеивание для десяти последовательностей по 400 экспериментов должно укладываться в указанные инструкцией границы; а так как границы выбраны неудачно, некоторым студентам надо вместо 4000 тратить время на 40 000 вытягиваний, либо попросту сплутовать. Когда мы обсуждали этот эксперимент с физиками, они согласились, что это не чистая математика, но все же — считают они — это не идеальная, а вполне земная математика, которой будущие физики-экспериментаторы должны заниматься.

Закон больших чисел (для конечного рассеивания), без сомнения, является важным вопросом несколько продвинутой теории вероятностей. Его легко доказать, он снова показывает важность математического ожидания и меры рассеивания, и он является подлинным исходным пунктом, если стремиться к выводам принципов

математической статистики; в этом отношении он удобнее, чем центральная предельная теорема. Лишь после того, как учащийся поймет закон больших чисел, могут быть дидактически оправданы центральная предельная теорема и нормальный закон распределения1, и тогда-то можно спокойно переходить к доказательству этой теоремы.

Если я хочу объяснить существо предмета, то возвращаюсь к доске Гальтона. Она иллюстрирует сумму п независимых экземпляров стохастической переменной, принимающих с равной вероятностью значения 0 и 1. Здесь напрашивается метод доски Гальтона: взять за математическое ожидание переменной — и

взять эту точку за начало отсчета. Чтобы последовательность сходилась, естественно измерять Sxz — ^п мерой рассеяния V п

и принять эту величину за единицу измерения. Стохастическая

Sxz п сходимость переменной будет напоминать кривую нор-

мального распределения, воспроизводимую доской Гальтона.

Вслед за этим я рассказываю студентам, что закон нормального распределения верен не только для доски Гальтона, но и в весьма широких пределах для любй суммы большого количества стохастических переменных. При ближайшем рассмотрении выявляются три случая нормального распределения: во-первых, в качестве закона, проявляющегося при сознательном сложении стохастических переменных, во-вторых, в качестве закона ошибок наблюдений благодаря неосознанному суммированию элементарных ошибок отдельных наблюдений, и в-третьих, в качестве закона

природы, скажем распределение длин кленовых листьев или скоростей газовых молекул.

Если бы я имел больше времени, я бы еще рассмотрел в своем курсе вопросы теории игр и стохастических процессов. Я взял бы, скажем, такой пример из теории игр. Игрок Л записывает одно из чисел 1, 2, 3, 4, 5, а игрок В должен угадать это число. Если записано число I и В угадает его, он получает от A i пфеннигов (центов, копеек); если не угадает, не получает ничего; при этом, разумеется, В уплачивает за каждую игру определенную сумму.

Существенной является здесь правильная стратегия как для Л, так и для В. Если А часто записывает пятерки и В их угадывает, то А должен часто платить по 5 пфеннигов; если же он избегает пятерок, то В вскоре заметит это, перестанет называть пятерки, ограничится лишь числами 1, 2, 3, 4 и его шансы на выигрыш повысятся.

Я имею обыкновение называть его по имени Муавра (прим, автора).

Эта проблема была известна в теории вероятностей еще в начале XVIII в. Она была решена лишь после открытия Дж. фон Нейманном принципа минимакса: Л может (и должен) играть так, чтобы минимизировать максимальное математическое ожидание выигрыша В. В данном случае этот принцип легко реализовать, и задача решается с помощью простейшего подсчета.

Принцип стохастических процессов также можно объяснить на примерах простейших игр; скажем, приведенная выше проблема разделения ставки является стохастическим процессом. В обучении математике стохастические процессы вообще являются ценной возможностью для упражнения в операциях с матрицами.

Теория вероятностей настолько близка к приложениям, что она может даже похвастать собственной теорией применения,— я имею в виду математическую статистику.

Нужно ли на первом семестре или уже в школе заниматься математической статистикой? Принцип статистических выводов может быть введен на ярких и простых примерах, которые ни в коей мере не требуют рафинированной теоретико-вероятностной техники. Схематического чертежа или двукратной дихотомии достаточно, чтобы разобраться и глубоко проанализировать схему из двух гипотез. Связывать статистический вывод с нормальным распределением нет никакой необходимости; это могло бы даже ввести в заблуждение.

Если желательно несколько усложнить проблему, можно выбрать пример вроде следующего. Имеются две внешне неразличимые урны; в одной (назовем ее «белой») — три четверти белых шариков и одна четверть черных; в другой (назовем ее «черной») — одна четверть белых шаров и три четверти черных. Испытуемый может вынуть и осмотреть последовательно 10 шариков из данной урны (всякий раз с возвращением) и должен угадать, является ли данная урна «белой».

Если вынуто много белых (черных) шариков, то мы скажем, что урна скорее всего «белая» («черная»). Это ясно. Но что означает «много»? Вероятность вынуть из «белой» урны х белых шариков оказывается следующей:

х - 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0,000 0,003 0,016 0,058 0,146 0,250 0,287 0,188 0,056

Пусть, например, мы решаем назвать урну «белой», если среди 10 вынутых для осмотра шариков больше шести белых, и «черной», если белых шариков шесть или меньше. Тогда следующая таблица позволяет определить вероятность справедливости сделанного вывода:

Вероятность

«Черная» урна

«Белая» урна

названа «черной» .

99,7%

22%

названа «белой»

0,3%

78%

Решение о выборе стратегии зависит от последствий выбора. Предположим, что урна продается за 100 немецких марок. Если она окажется «белой», то ее можно перепродать с прибылью в 10 марок; цена же «черной» урны равна нулю. Пусть, далее стоимость «пробы», т. е. вынимания каждого шарика для осмотра, составляет 10 пфеннигов (= 0,10 марки).

Составим баланс. Если при такой стратегии урна все же окажется «черной», мы теряем 100 марок (с вероятностью 0,3%); математическое ожидание потери (убытка) составляет 0,30 марки и еще одну марку за 10 пробных шариков.

Если же урна окажется «белой», то мы выиграем 10 марок (с вероятностью 78%) и математическое ожидание выигрыша составит 7,80 марки (минус одну марку за 10 пробных шариков). Окончательный расчет противопоставляет математическое ожидание выигрыша 6,80 марки математическому ожиданию убытка 1,30 марки. Как следует поступать в конкретных случаях, зависит от априорной вероятности, от соотношения частот настоящих («белых») и фальшивых («черных») урн на рынке1.

Эти рассуждения допускают разнообразное варьирование. Но я ни в коем случае не рекомендую тренировать студентов первого семестра, и тем более школьников, в технике статистических расчетов. Многие учебники, в которых излагается математическая статистика, написаны так, словно они рассчитаны на подготовку будущих статистиков. Статистика в том виде, в каком она обычно преподается, является досадным источником математических недоразумений. Как я уже упоминал, математической статистикой, созданной для критичного рассмотрения числовых данных, часто злоупотребляют и вместо критичного отношения стараются привить навыки механических действий. Если мы обучаем статистике людей, которые не должны стать статистиками-профессионалами, то мы должны воспитывать в них критичное отношение, для которого необходимо показать принципиальные основы, а не обвораживать изящной техникой вычислений. Это, разумеется, общее правило в обучении математике, с которым согласится каждый. Поэтому трудно понять философию тех, кто готов обучать школьника целой куче технических операций в статистике; такая философия представляет опасность для обучения осмысленной математике.

Понятно, что я в процессе обучения использую теоретико-мно-

Автор ссылается здесь на более подробное изложение этого в своей книге «Вероятность и статистика» («Wahrscheinlichkeit und Statistik», MOnchen, 2. Aufl. 1968, S. 87).

жественные понятия и теоретико-множественную терминологию столь часто, сколь это возможно и нужно, но при этом поле вероятностей всякий раз конкретизируется урной с нумерованными жетонами или разноцветными шариками. Каждая задача формулируется как задача про урны. В урне имеются разнородные объекты, из них формируются частичные урны. При умножении полей вероятностей составляются пары урн.

Если из некоторой урны п раз вынимаются шарики с возвращением, то это понимается как вынимание по одному шарику из п урн, являющихся копией первой урны, либо как вынимание одного элемента из гиперурны —декартова произведения этих п урн-копий. При этом совершенно безразлично, имеется ли в виду конечное поле вероятностей или бесконечное; скажем, то, что вынимается из урны с действительными числами, — не какие-то определенные числа, а, как в физических наблюдениях, числа в определенных границах; вероятность того, что результат вынимания даст число в заданных границах xD х2, можно во многих случаях представить как интеграл

р(СЖ

и, чтобы понять это, вовсе не требуется знакомство с интегралом Лебега.

Я не подвожу в своем курсе к аксиоматике понятия вероятности, но тем не менее должен поставить вопрос об аксиоматике. Но какая аксиоматика имеется здесь в виду? Теоретико-множественная, подобная колмогоровской? Однако, как справедливо подчеркнул Колмогоров, теория вероятностей — это больше, чем теория меры; схема теории меры является для теории вероятностей не более чем пустой оболочкой.

Автор заканчивает главу рассуждениями об аксиоматическом построении теории вероятностей, ссылаясь, в частности, на основополагающую работу А. Н. Колмогорова «Основные понятия теории вероятностей» (немецкое издание, 1933 г.), выражая сомнение в том, что столь глубокое построение курса приемлемо для школы. Однако, по мнению автора, не следует препятствовать введению элементов теории вероятностей в обязательные программы средней школы; но при этом не следует ограничиваться выделением лишь двух часов в одном из старших классов гимназии и, поддерживая идею А. Энгеля, пронизывать элементами теории вероятностей уже изучение дробей в младших классах, считая такое приближение к реальной действительности весьма полезным.

Известны многие прекрасные опыты введения теории вероятностей уже на ранних стадиях обучения; но большинство из мне известных исчерпывали себя уже после десяти или двадцати уроков.

В подходе А. Энгеля удается добиться непрерывности изучения теории вероятностей. Я полагаю, что школьник, уже в ран-

нем возрасте достаточно интенсивно занимавшийся понятием вероятности, легче перенесет абстрактную, далекую от реальной действительности «математизацию» в старших классах и, может быть, даже сможет усвоить ее. Точно так же ему, вероятно, пойдет на пользу изучение теории вероятностей в старших классах, если уже в младших была введена описательная статистика. Да и сама по себе описательная статистика является ведь весьма полезной, и трудно понять, почему она давным-давно не введена в школьные программы.

Не следует допускать, чтобы, как это имеет место ныне, даже так называемые образованные люди не знали, как следует понимать графическую статистику. Я уже указывал прекрасный учебник по этому предмету.

ЛОГИКА

Сорокалетний мужчина ищет заместителя для пешеходных прогулок по предписанию врача. Гарантируется высокий гонорар.

(Объявление в швейцарской газете.)

Сначала мне показалось, что это ваш брат. Когда вы приблизились, мне казалось, что это вы сами. Теперь оказалось, что вы и есть ваш брат.

^(Разговор при встрече.)

Почему собака машет хвостом? Потому что собака очень тяжела и хвост не может махать собакой.

Если женятся на своей собственной вдове, это не кровосмешение.

(Из юридического курса о наказаниях.)

До рождества Христова годы считали в обратном порядке.

(Из лекции по истории.)

Чему равен радиус окружности, длина которой 22 см, если можно считать, что л = Зу?

(Из лекции по математике.)

У кошки четыре лапы; нет кошки, у которой пять лап; значит, кошка имеет девять лап.

Три мальчика + две девочки = пятеро детей = = двум мальчикам + трем девочкам.

Что такое логика? Познакомившись с этими примерами, каждый скажет: «Это нелогично!» — и попытается логическим путем найти в них противоречия. Однако они не имеют ничего общего с тем, что называют логикой в учебниках математики.

Среди эпиграфов нет такого примера, как:

Ни один император не является трубочистом, встреча с трубочистом предвещает счастье; значит, встреча ни с одним императором не предвещает счастья.

Такие примеры уже имеют нечто общее — и даже весьма много общего — с тем, что издавна содержится в учебниках логики. Но они и созданы лишь для того, чтобы оправдать существование этой логики. Сборники задач, которые пришлось разработать и которые хотели проверять такой логикой, являются ужасным свидетельством того, что происходит, когда некоторый предмет обучения изолируют от всей системы и от реальной действительности. Формальная логика за последние сто лет сильно изменилась, но примеры, которыми мы иллюстрируем ее нынешнюю форму, не намного улучшились. Для этого есть свои причины.

Логика имеет нечто общее с мышлением; если мы делаем самый процесс мышления предметом нашего мышления, то мы называем это логикой.

Я знаю: то, что я здесь излагаю, звучит страшно старомодно. Все специалисты по формальной логике сожрут меня живьем или, по меньшей мере, выразят сожаление. Ведь логика, скажут они, — это изучение формальной системы. И все же я отваживаюсь на это. Я отваживаюсь назвать логикой нечто, что так называет каждый — также и формальную логику, даже если и не рассматривается формальная логика непосредственно.

- Схематизация и формализация. Мышление выражается словесно; при этом часто произносят слова беззвучно, лишь про себя. Но мы не отождествляем мыслей с их словесным выражением, как это иногда делают формалисты и бихевиористы; ведь одна и та же мысль может быть различными способами выражена словами, будь то на одном языке или на разных языках. Однако мысль и ее словесное выражение тесно связаны между собой. Если мы делаем мышление предметом нашего мышления, то пользуемся логикой; при этом едва ли можно избежать словесного выражения мышления — мы выражаем наше мышление о процессе мышления опять-таки словесно. Пожалуй, на чем-то может быть поставлено ударение.

Выше мы многократно анализировали понятия и доказательства (вспомним, например, теорему о перпендикулярах, проведенных к серединам сторон треугольника), чтобы обнаружить их логическую структуру и выражающиеся ими мысленные схемы, не размышляя относительно каких-либо выводах относительно математического языка. С другой стороны, мы анализировали словес-

ные структуры (например, различйые прилагательные при слове «группа») с выводами относительно рассмотренных слов. Все это относится к логике. Однако для дидактики целесообразно различать эти две вещи. Я предлагаю говорить о схематизации там, где мышление рассматривается в узком смысле как предмет математической деятельности, и о формализации там, где словесные формулировки принимают математический характер так, что становится заметным стремление к математически безупречному языку.

Я хотел бы также четко отделить одно от другого и хотел бы, чтобы в моих разъяснениях всякий раз было ясно, о чем идет речь, ибо невозможно сначала аккуратно рассмотреть одно, а затем другое. Существует процесс схематизации, при котором словесные выражения являются средством, но не предметом исследования, и существует процесс формализации, при котором язык математически анализируется языковыми средствами, которые могут выражаться на том же или на другом языке. Это верно и для учебного процесса: логика ни в коем случае не означает лишь символической логики, а применение логических символов вовсе не означает, что мы занимаемся логикой.

Логические схемы. То, что можно ныне считать надежным в логических схемах, основано на анализе мыслительной деятельности, при котором его, так сказать, разлагают на атомы. В традиционной логике исходили из простых примеров повседневного мышления и под известным влиянием определенного языка строили определенные схемы; в последнее время больше ориентируются на язык, развившийся из математического мышления. Разумеется анализируется не реальное, а идеализированное мышление, однако в этом нет ничего из ряда вон выходящего; мы всегда рассматриваем в математике идеализированные модели реальной действительности. Если же мы желаем применить результаты наших исследований — а применение и является предметом обсуждения на занятиях, — то возникает вопрос, применимо ли то, что изучено при анализе идеализированного мыслительного процесса, к использованию и для улучшения реальных мыслительных процессов. Насколько далеко простирается действенность идеализированного мыслительного процесса, нужно всегда проверять мысленным экспериментом. Ясно, что самый лучший анализ и синтез идеализированного мыслительного процесса не помогают, если этот процесс не укладывается в рамки реальности.

Конечно, дело не всегда обстоит столь уж плохо. Однако может случиться, что результаты схематизированных действий окажутся дидактически бездейственными, так как ход рассуждений будет развиваться по совсем другой, более удобной схеме, которая не совпадает с интересами логика. И все же то, что делает логик, может быть весьма ценным. Если человек и не пожелает мыслить по данной схеме, ее можно «привить» вычислительной машине.

Нет, это не шутка. Подоплекой, а в иных случаях даже основной целью схематизации в течение последнего столетия является

идея придать математике такую форму, в которой с ней могла бы справиться вычислительная машина.

Вообще-то нет уверенности, что это есть лучшая форма обучения человека; напротив, это весьма маловероятно. Но стоит подумать, как следует обучать, скажем, обслуживанию автозаправочной станции человека и совершенно по-другому компьютер. Но коль скоро мы обучаем людей, а не ЭВМ, то может быть лишь преимуществом, если мы всемерно используем, что наши школьники все же люди, а не автоматы.

Мы уже говорили о том, что обучение отдельным частным результатам анализа долгое время считалось высшей дидактической премудростью; элементы анализа могут оказаться важными, но лишь при условии, что школьник может самостоятельно овладеть ими.

Как бы ни выглядели найденные нами логические схемы, всякий раз возникают вопросы:

являются ли схемы достаточными,

и, если они окажутся достаточными, являются ли они целесообразными, ибо может ведь случиться, что путем других группировок, более крупными блоками, придут к другим понятиям.

Но и это еще не все основные вопросы, так как схемы ведь нужно применять, чтобы учить и учиться, а для этого нужно знать: как ввести несхематизированное в рамки схемы?

То, что говорит нам формальная логика относительно форм мышления, может быть достаточным в следующем отношении: ряд математических выводов, если он вообще пригоден, можно подвергнуть такой схематизации и можно проверить, действует ли он; при этом можно убедиться, укладывается ли он в схему. Это и будет почти все возможное. Схемы, конечно, могут быть в следующем смысле недостаточны: их едва ли можно применять, чтобы заполнить пробелы в математических выводах, чтобы решить поставленную математическую задачу, чтобы поставить задачи себе самому или кому-то другому. Возможно, логические схемы достаточны, чтобы осознать, правильно ли построено определение, но они не помогают предпочесть то или иное определение для упорядочения некоторого поля. Возможно, что удастся проанализировать или доказать очень простые математические факты, применяя к ним все логические схемы в произвольном порядке, но с их помощью никак нельзя осуществить глобальное упорядочение.

До сих пор мы едва ли занимались чем-либо, кроме изолированных логических схем, — их ведь так легко формализовать, а тенденция математической логики как раз и заключается в формализации. Но логические схемы, которыми приходится заниматься в действительности, не являются изолированными, как это бывает в формаль-

ной логике, и мышление в них протекает гораздо более сложно. Большей частью приходится рассматривать более крупные логические комплексы, которые гораздо труднее формализовать, и чем ближе мы подходим к глобальному, тем больше логическая тактика уступает место логической стратегии.

Я ни в косм случае не хотел бы утверждать, что в будущем каждая логическая стратегия заменится формализацией, но известные и формализованные к настоящему моменту логические схемы ограничены восприятием отдельных элементов или даже тем, что считается последним этапом расчленения на составные элементы.

То, что на низших ступенях рассуждений было стратегией, может быть на высших — тактикой. Скажем, рекомендации «если ты должен доказать что-то, предположи сначала, что это неверно» или «если нечто не известно, назови это иксом» являются до упорядочения логики или соответственно алгебры стратегиями, которые вообще должны позволить осуществить то упорядочение поля, которое затем будет названо логикой высказываний или соответственно элементарной алгеброй. Коль скоро эти упорядочения осуществлены, то глобально действующие стратегии станут тактиками. Исходя из этой поэтапной зависимости расположения границы между тактикой и стратегией, было бы, вероятно, полезным привести примеры стратегии на высших этапах, чтобы показать, сколь мало помогает там формализация.

Вспомним, скажем, доказательство существования наибольшего общего делителя двух целых чисел: пи п^. Издавна известен алгоритм Евклида: большее число пг делят на меньшее гц с остатком п3:

^i = 91^ + ^з-

Затем повторяют это действие с числами п2, п3:

п^ = q^n3 + и4

и т. д.; последний, не равный нулю остаток и является наибольшим общим делителем d, в чем можно убедиться, выполняя действия в обратном порядке, причем для d получается выражение

d = х1п1 + х2п2.

При последовательном делении числа пх и п2 последовательно заменялись меньшими числами. Путем линейного комбинирования мы оказываемся внутри аддитивной группы целых чисел Н, порожденной данными числами пх и n2; d является наименьшим положительным элементом в этой группе.

Теперь обратим доказательство — и это характерно для многих подобных доказательств, — и оказывается, что мы вдруг ввели аддитивную группу Н и ищем в ней наименьший положительный элемент d. d по построению имеет форму d = ххпх + х^п^ следовательно, каждый делитель / чисел пх и п3 является также делителем d. Теперь остается лишь показать, что d является делителем

чисел nt и п^ но существенно легче показать, что d является делителем всех элементов из Н — опять-таки типичное рассуждение.

Можно сказать так: данное число у (^Н) разделим на d с остатком г;

у = qd+ г;

здесь у £ Н, d £ Нэ qd € Н, г = у — qd € Н и число г, как остаток от деления на d, меньше самого d, а поэтому г = 0.

Но можно сделать это еще изящнее; если не каждый элемент у € Н делится на d, то рассмотрим наименьший «нарушитель» (т. е. число, не делящееся на d) — число к. Итак, к £ Н не делится на d и является наименьшим положительным числом из всех таких чисел; но тогда к — d тоже входит в Н и тоже не делится Had, причем к — d < к. Но, с другой стороны, так как d было наименьшим положительным элементом из Н, то число к — d является меньшим «нарушителем», чем само к. В этом доказательстве заключены три стратегии, которые применимы и в других случаях. Стоит заметить еще, что важный числовой алгоритм Евклида и даже вообще деление с остатком ныне почти исчезли в качестве способа доказательства. Об этом стоит пожалеть; в учебном процессе следовало бы пользоваться обоими методами — понятийным и индуктивным.

Принципы минимума являются ценными стратегиями в теории чисел. Скажем, при отыскании нормального вида квадратичных форм с целыми коэффициентами или при построении базисов абелевых групп пользуются этими принципами. Существуют понятие эквивалентности и определенные операции, которые преобразуют объекты (т. е. квадратичные формы) в им эквивалентные. Представители классов эквивалентности (нормальные формы) характеризуются определенными уравнениями и неравенствами с параметрами (коэффициентами). Можно показать, что каждый объект эквивалентен одному из объектов-представителей, причем с помощью операций, сохраняющих эквивалентность, отклонения от нормальной формы постепенно уменьшаются, пока не исчезнут окончательно.

Так поступали в давние времена. Теперь говорят: я заменяю некоторый объект ему эквивалентным так, что его отклонение от нормальной формы становится минимальным, — и показывают, что всякое возможное отклонение можно еще уменьшить. Если некоторый объект с минимальным отклонением от нормальной формы еще не является нормальной формой, то рассматривают наименьший «нарушитель» и поступают, как показано выше. Только здесь объекты не являются упорядоченными по величине, как целые числа; приходится довольствоваться частными упорядочиваниями — опять-таки парадигматическая идея.

То, что строго монотонное отображение числовой прямой на себя обязательно является непрерывным, можно нудно доказывать с помощью «эпсилон — дельта». Ныне же поступают так: топологическая структура множества действительных чисел определяется их

структурой порядка (именно потому, что определяемые порядком интервалы образуют топологический базис); структура порядка при строго монотонном отображении по определению инвариантна; следовательно, инвариантна и топология, и, следовательно, такие отображения непрерывны.

Стратегии, которые здесь обнаруживаются и которые позволяют из логической зависимости структур делать заключения об определенных свойствах автоморфизма, имеют большое значение.

Автор приводит специфические примеры из проективной геометрии и из теории множеств, которые, по его мнению, дают представление о том, что предвзятое мнение может иметь ослепляющее воздействие.

Если анализ схемы мышления доведен до отдельных разобщенных схем, то они могут быть достаточны лишь в ограниченном отношении, но не в смысле целесообразности, которую мы можем апробировать лишь практикой.

Это не означает, что разобщенные схемы не имеют ценности. Я еще вернусь к тому, что они означают в учебном процессе. Но это еще не все. Я не могу требовать от учителя, чтобы он преподавал такую логику, которой не овладели сами логики и которая существует лишь в той полуосвоенной деятельности, которой они занимаются; нельзя этого требовать и от авторов учебников. Но я все же хочу обратить внимание на эти проблемы: каковы наши стратегии и можем ли мы осознать их настолько, что они окажут влияние на преподавание? Может быть, мы можем даже так сформулировать их, что и другие смогут использовать их в учебном процессе.

Схематизация, Как уже сказано, с дидактической точки зрения схематизация гораздо важнее, чем сами схемы. Многие из наших схем еще едва осознаны. Не является ли это скорее полезным в дидактическом отношении, чем вредным? То, что нами не осознано, мы не можем сознательно распространять. Схемам, которые лишь неявно уложились в нашем сознании, мы не готовы, к счастью, обучать других. Мы можем явно обучать лишь систематизации, но не собственно схемам. К сожалению, при этом отдельно вести учет по каждой ступени не удается. Схема мышления может быть уже нормализована так, что учитель пользуется ею автоматически, тогда как для школьника она оказывается целым событием. Вот некоторые примеры.

Логикой издавна занимаются в процессе обучения математике, будь то в смысле схематизации или формализации. Каждый учитель то тут, то там обучает логике. Это может делаться более или- менее систематически, но не существует другого дидактически оправданного пути к логическим понятиям, кроме пути логической разведки, т. е. пути анализа ситуаций, которые должны быть в этом случае мыслительными ситуациями. Но мыслительные ситуации в повседневной жизни бывают часто слишком простыми, и, как мы уже подчеркивали, слишком простые ситуации не следует пы-

таться математизировать; более сложные ситуации часто оказываются доступнее, так как в них обнаруживаются более математизируемые шаги.

Нам неоднократно встречались такие ситуации в примерах, и мы проводили логический анализ, как его должны проводить школьники. Я напомню теорему о перпендикулярах к серединам сторон треугольника с множеством поводов к логическому анализу. Там можно учиться на многом:

«необходимое и достаточное» — пара;

если |Л1Л| = |Л1В|, то точка М лежит на перпендикуляре, про-веденном через середину отрезка АВ;

если точка М лежит на перпендикуляре, проведенном через середину отрезка АВ, то |7ИЛ | = |Л4В|;

значение транзитивности отношения;асимметризация симметричных высказываний;

доказательство инцидентности метрическими средствами.

«Необходимость — достаточность», однажды сформулированные, а также транзитивность совершенствуются в разнообразных приложениях и становятся тактикой, а для учителя они уже давно служат тактикой с высшей точки зрения. Но это не дает учителю права требовать той же схемы мышления и от ученика. Наоборот, исходя из таких ситуаций, школьник должен скорее выработать у себя мысленную схему «необходимо-и-достаточно» и схему транзитивности, чтобы в конце концов, может быть, научиться их формализовать. Другие схемы могут надолго или даже навсегда оставаться неформализованными. Примерами этого могут служить третья и четвертая стратегии — обе они представляют собой едва ли формализуемые на школьном уровне схемы.

Лучше всего издавна известны в школьном обучении схемы мышления в геометрии. Например, структурируются геометриче- кие рассуждения — на определения, теоремы, условия, утверждения, доказательства; при построениях известны и некоторые другие аспекты. Геометрия является в то же время образцом бездействия навязанных схем. Это важные и типичные для математики вообще схемы, но они не имеют ценности для школьника, который не испытал потребности в схематизации на собственном опыте и потому не чувствует необходимости схематизации. Кроме того, нет ведь никакого смысла диктовать схему упорядочения неизвестного материала или материала, совсем не требующего упорядочения. Но традиционная дидактика часто идет еще дальше; пытаются ввести формализацию, в ходе которой хотят определить, что такое определение, теорема, условие, утверждение, доказательство, построение.

Доказательство от противного. Я хочу все же рассмотреть подробно одну схему мышления, именно доказательство от противного.

Наряду с обращением доказательство от противного является традиционным логическим предметом обучения геометрии. Это, собственно, удивительно. При логически элементарном характере школьной геометрии можно было думать, что доказательство от противного в геометрии, которое рассматривается в школе, является излишним. Если обратиться к учебникам, то наше предположение подтверждается. Доказательства от противного часто лишь кажутся таковыми. Вот тому пример.

Нужно показать, что через три точки Л, 5, С, не лежащие на одной прямой, проходит не более одной плоскости. Допустим, что существуют две такие плоскости: а и р. Разумеется, была введена аксиома, по которой две плоскости, имеющие две общие точки Р и Q, имеют вместе с ними и общую прямую PQ. Здесь можно использовать следствие: прямые АВ, ВС и АС целиком принадлежат как плоскости а, так и плоскости р. Возьмем любую четвертую точку D € а, не лежащую ни на одной из этих прямых; хотя бы одна из прямых DA, DB и DC не окажется параллельной соответственно ВС, АС или АВ; пусть, для определенности, DA пересекает ВС в точке Е. Но точка Е лежит на ВС и, следовательно, принадлежит плоскости Р; точка А также принадлежит плоскости Р, а потому и вся прямая АЕ принадлежит плоскости р. А так как точка D лежит на прямой АЕ, то и точка D принадлежит плоскости р. Точно так же можно показать, что любая точка плоскости а принадлежит и плоскости р, а отсюда и следует, что плоскости а и р совпадают.

Является ли это доказательством от противного? Разумеется, нет. Но обычно его рассматривают как доказательство от противного. При этом начинают так: «Пусть аир — две различные плоскости, проходящие через точки А, В, С...». Вполне естественна склонность поступать именно так. Но в действительности предположение а Ф р нигде не используется в ходе доказательства. Точно так же можно при любом доказательстве сделать особое предположение, которое, как выяснится к концу доказательства, ложно. Но эта ложность нигде в ходе доказательства не используется. По этой причине нельзя считать проведенное доказательство доказательством от противного.

(Приведенное выше доказательство содержало еще исследование, зависящее от того, не являются ли DA, DB или DC параллельными противолежащим сторонам. Это выглядит как вывод от противного, но легко может быть исключено. Разумеется, существуют геометрические системы, в которых это утверждение неверно, однако мы придерживаемся здесь рамок обычной геометрии.)

Другой пример. Чтобы показать, что известные прямые на плоскости параллельны друг другу, предполагают, что они непараллельны и выводят из этого противоречие.

Является ли это доказательством от противного? Я полагаю, нет. Параллельные определены негативно, как прямые, не пересекающиеся между собой. Прямой метод показать, что это пересече-

ние не имеет места, — это предположить, что такое пересечение налицо. Я не назвал бы это настоящим доказательством от противного. Подобный пример: чтобы доказать, что V^— иррациональное число, допускают, что |/ 2 = — при целых р и q.

q

Когда из «Если |РЛ| = |РВ|, то точка Р лежит на перпендикуляре, проведенном через середину отрезка АВ» выводят: «Если точка Р не лежит на перпендикуляре, проведенном через середину отрезка АВ, то \РА | ^ \РВ\», то это тоже не является доказательством от противного. Переход от одного из этих высказываний к другому происходит по контрапозиции (если р -> q, то q~>p\ а хотя этот принцип является основой доказательства от противного, сам по себе он еще не является таким доказательством, р -> q означает, что из истинности р вытекает истинность q-, но тогда без всяких искусственных выводов ясно, что из ложности q немедленно вытекает и ложность р. Конечно, как и все простые вещи, можно усложнить и это, скажем с помощью цепочки. Дано, что р -** q\ предположим, что q неверно, т. е. q; утверждается, что р. Предположим, что верно р, т. е. само р; тогда из условия вытекает q, что противоречит предположению. Поэтому р неверно, т. е. р. Здесь, чтобы подвести к доказательству от противного, потрачено много слов впустую ради того, что гораздо проще, чем доказательство от противного..

Любопытно, что учебники, рассматривающие доказательство от противного, часто даже не упоминают о схеме контрапозиции.

В одном учебнике я нашел объяснение; при доказательстве от противного начинают с того, что перечисляют все мыслимые, относительно утверждения теоремы, допущения; все они поочередно исследуются. По мысли этого автора, будет доказательством от противного доказательство некоторой теоремы о треугольнике, если сначала проверяется, верна ли она для остроугольного треугольника, затем для прямоугольного и, наконец, для тупоугольного. Разумеется, это не есть доказательство от противного, хотя исследование различных случаев может завуалировать доказательство от противного. При доказательстве от противного рассматривается только одно предположение, именно, что утверждение теоремы неверно. Логически доказательство от противного основывается на контрапозиции, т. е. на эквивалентности:

р -> q и q -> "р.

Цитированный же автор имеет в виду метод, основанный на эквивалентности:

^Р V q) г] И [(р г) Д (р г)].

Это, конечно, тоже не есть доказательство от противного — больше того, это грубая ошибка, если, для того чтобы доказать нечто, предполагают это верным. Не стоит разъяснять, что то,

что еще только требуется доказать, нельзя заранее предполагать верным.

Если начать с требуемого высказывания1 р и шаг за шагом заменять его эквивалентными высказываниями q, rt s, т. е. так, что р *-> q; q <-* г; г <-► s, причем истинность s очевидна, то истинность р доказана. Это, собственно, даже больше, чем требуется. Чтобы обосновать доказательство, можно ограничиться требованиями р q, q г, г ч- s.

Если допустить ложное высказывание, то это может дорого обойтись. Это верно, что рано или поздно мы столкнемся с противоречием. Если же, исходя из р, мы никогда не придем к противоречию, то р, во всяком случае, непротиворечиво, и мы можем спокойно принять его как истинное. Однако здесь мы не можем быть уверены в непротиворечивости; для этого следовало бы для каждого метода вывода показать, что из р не вытекает противоречия, но ведь проверить можно лишь некоторые методы.

Откуда же берется это «допустим, что утверждение верно»? Может быть, из анализа фигур геометрических построений, где начинают с «Допустим, что АВС — искомый треугольник». Или из текстовых задач: «Пусть искомое число фишек равно х». Затем для неизвестного х получают уравнение Ф (х) = 0, откуда, скажем, находят х = 13. Обычно это означает лишь, что если решение существует, то оно должно быть равно 13. Действительно ли число 13 решает задачу, нужно еще проверить. Даже если бы математические аргументы были обратимы, можно было еще думать, что некоторые числа в условии задачи не учтены и не использованы в форме математических условий.

Что же такое действительно доказательство от противного? На это еще труднее ответить, чем на вопрос, что такое доказательство. Точно объяснить это можно только с помощью формальной теории доказательств, но там опять-таки вследствие жесткой формализации можно получить совсем не те ответы, которые ожидаются. Нужно все же больше следовать своим чувствам, если хотят рассказать, что такое доказательство от противного; но тогда нужно принять во внимание, что исследования различных случаев могут маскировать доказательство от противного.

Место, где вводится доказательство от противного, можно найти, листая учебник и замечая, где в некоторой фигуре поблизости от сплошной прямой появляется пунктирная. В тексте можно прочитать нечто вроде «Допустим, что прямая проходит через точку Р...», и, чтобы сделать это допущение наглядным, автор пытается его якобы изобразить. В той стадии, когда школьник еще колеблется, стараясь понять соотношение между логикой и наглядностью, это является весьма сомнительной иллюстрацией доказательства от противного.

Как я уже говорил, все доказательства от противного можно

^ Т. е. с того, которое требуется доказать (прим. пер.).

исключить из элементарной геометрии. Нужно ли исключить их и из учебного процесса?

Отнюдь нет. Это вряд ли удастся. Доказательства «от противного» растут и множатся как головы у гидры: на месте каждой отрубленной головы вырастают семь новых. Однако роль доказательств от противного совсем не та, которую им приписывают авторы учебников. Доказательство от противного является и должно являться выражением свободной активности школьников.

Аргументация «от противного» является общеизвестной деятельностью («Петер, очевидно, дома, ибо иначе засов не был бы отодвинут»); школьник затрудняющийся, оставшись наедине с предложенной задачей, начинает самостоятельно искать аргументы типа «...если бы это было не так, то должно было бы быть...».

Доказательство от противного имеет прежде всего эвристическую функцию. Я покажу это еще на одном примере.

Я рисую квадратную решетку на плоскости (т. е. множество точек с целыми координатами). Вокруг каких точек существует нетривиальное вращение плоскости, преобразующее решетку в себя? Разумеется, вы укажете эти точки: узлы решетки, середины сторон и центры квадратов (клеток). Но как обосновать, что это решение полное? Невольно начинают так: «Пусть, скажем...»

Пусть, скажем, Р—точка, лежащая на линии решетки АВ и притом ближе к Л, чем к В; тогда Р ближе к Л, чем к какому-либо другому узлу решетки, а потому для точки А не найдется точки, в которую могла бы перейти точка А при вращении. Если же Р лежит внутри квадрата ABCD и не на перпендикуляре, проведенном через середину стороны АВ. то... '

После всего этого пытаются, конечно, исключить обходные пути и избежать выводов, полученных путем рассуждений от противного. Доказательства от противного являются, так сказать, черновыми. А учебник геометрии или урок геометрии тщательно отрабатываются, пока не будут подготовлены набело; доказательство от противного не подходит для них. Если учитель захочет рассказать школьнику, что такое доказательство от противного, то он должен не приводить примера, а постараться поймать школьника на таком доказательстве и довести до его сознания то, что он делает бессознательно.

Однако преобразовывать по известной схеме каждое доказательство от противного в прямое доказательство, чтобы очистить геометрию от небрежностей и затем насильственно вводить немотивированное доказательство от противного лишь потому, что школьник должен хоть раз увидеть его, — бессмысленно. Доказательство от противного должно быть пережито школьником раньше, чем оно показано ему.

От схематизации к формализации. В недавно упомянутых примерах речь шла о мыслительной схеме, и язык там играл второстепенную роль. Но раньше встречались уже примеры, где главным был язык. «Величайший поэт среди художников и величайший

художник среди поэтов» показывает логические ходы, таящиеся в языке; наш язык пока еще не стал математическим, и правильно понимать его означает формализовать в математическом направлении; лишь когда это сделано, известно, собственно, где расположены определения и как протекают выводы. Конечно, то, что рассказывают традиционным математическим языком, можно формализовать еще больше, и иной раз это оказывается полезным; но от еще не математизированного языка гораздо более далекий путь к формализации.

Я должен еще раз подчеркнуть, что нет смысла преподавать логический формализм, независимый от материала, которому он должен придавать форму. Это, разумеется, относится к любому формализму, но логический формализм в этом смысле особенно опасен. Можно так натренировать учащихся, что они будут увлеченно и уверенно решать труднейшие задачи, и можно даже гордиться такими успехами обучения.

Я сказал «можно», но это происходит и на самом деле. Это стерилизованная математика, если такую деятельность, которую с успехом может выполнить и ЭВМ, вообще можно назвать математикой.

Если я говорил об ужасающих сборниках задач старой логики, то я должен добавить, что и сборники задач по новой логике им не уступают. В этом заключается проклятие изоляции. Логика может быть полезна, если она не применяется только внутри себя самой. Логикой как самоцелью пусть уж занимаются логики. Школьник же должен научиться распознавать логические схемы и формы в теоремах и доказательствах, должен научиться применять логические схемы в формулировке этих форм. Но прежде всего он должен научиться извлекать пользу из этой логики в словесных ситуациях нематематического характера. Многочисленные примеры логико-языковых ситуаций не случайно приводились там, где говорилось о математике как о дисциплине ума.

Логика традиционно представляла собой упражнения в силлогизмах, а за несколько веков лишь немногие заметили, что с одними силлогизмами далеко не уедешь. Ведь силлогизм лишь формализует структуру «субъект — предикат» и не позволяет даже сделать такой вывод, как:

Лошадь — животное;

значит, голова лошади есть голова животного.

Прежние логики знали, пожалуй, о существовании отношений, но из философских соображений не придавали им значения. Такие выводы можно формализовать лишь с помощью функций и многозначных предикатов.

По традиции логика связана с геометрией; если присмотреться поближе, станет ясным, что силлогизмы не очень помогают; однако никто не догадался использовать эту связь и, наоборот, приспособить логику к геометрии. Геометрия всегда была эксперименталь

ным полем для логики. Если просмотреть учебники и методики хотя бы начала 60-х гг., то никто не усомнится, что геометрия действительно представляет собой материал для логических упражнений; в алгебре о логике нс было и речи.

В алгебре школьнику преподносят хорошо действующую систему правил преобразований данных выражений с заранее определенной целью. В геометрии нет таких надежных схем. Волчьи ямы в алгебре (скажем, деление на нуль или умножение обеих частей неравенства на отрицательное число) исключаются не путем логического анализа, а с помощью специально предусмотренных правил.

В классической школьной практике слово «алгебра» можно объяснить как «руководство к заполнению схем» или, еще резче, «...заготовленных бланков». Заготовленный текст запечатлен в глубинах памяти школьника; он должен написать лишь то, что должно стоять в оставленных промежутках. Результат напоминает восприятие телефонного разговора, когда мы слышим только одного из собеседников: «Да... да-а... нет... да... три... нет». При хорошей сообразительности удается, может быть, по тону и по выражению лица говорящего догадаться, о чем говорит второй собеседник. Ежегодно, просматривая выпускные работы гимназистов, я поражаюсь догадливости учителя, который знает, какую заготовку заполняет школьник в каждом конкретном случае. Ибо это и есть проклятие алгебры: существуют несколько, даже много заготовок, и взаимопонимание не достигается, если один считает, что данный формуляр представляет собой налоговую декларацию, а другой считает его бланком для почтового перевода.

В геометрии тоже имеются заранее заготовленные бланки, но их не удается заполнять механически; здесь дело зашло не так далеко, как в алгебре. Это одна из причин, по которой геометрия предпочтительнее в качестве логических упражнений в школе, чем алгебра.

Геометрическое доказательство, которое хоть куда-то годится, является последовательным рассуждением. Задача же по алгебре — это лишь упражнение в заполнении пробелов. Чтобы школьники при решении задачи по алгебре получили такую логическую практику, как в геометрии, учитель должен предъявить к решению алгебраических задач такие же формальные требования, как и к геометрическим доказательствам (и это отнюдь не исключено, ибо тот, кто решает алгебраическую задачу, занимается ведь и доказательством). Разумеется, для школьника было бы скучно воспроизводить весь хранящийся в глубине памяти формуляр дословно (а учителю было бы скучно читать это). Но этого и не требуется. Так же как начиная с Виета (примерно с 1600 г.) существует алгебраическая символика, так начиная с Пеано (примерно с 1900 г.) существует символика логическая. К счастью, она теперь прививается. Если мы ее применяем, то это не значит, что мы занимаемся логикой, но это может облегчить логические рассуждения.

Весьма поучительно исследование формуляров, которые находятся перед глазами школьников, когда они решают алгебраическую задачу. Я перепечатываю два примера, заимствованных у ван Дор- молена1. Речь идет о двух решениях следующей задачи:

«Доказать, что функция Зх2 + 12х имеет минимум. Найти этот минимум и значение х, при котором он достигается».

Решение I.

' Зх2 + 12х = 3 U + 2)2 + 4 имеет минимум 4, который достигается при х = —2. Обоснование: (х + 2)2 должно быть равно нулю; -^ х = —2; если это выражение равно нулю, умножаем его на 3 — все еще 0, затем прибавляем 4 и получаем минимум, за который можно принять число 4.

Решение II.

Выражение Зх2 + 12х есть квадратное уравнение. Вынося за скобку 3, мы не изменим выражение. В скобках будет тогда х2+4х, что не равно (х + 2)2; это было бы равно, если бы прибавили 4. Чтобы не изменить величину, нужно вычесть 4; эту величину (—4) нужно также умножить на 3, тогда получится 3 (х + 2)2 — 12, и это равно Зх2 + 12х. Выражение имеет минимум, равный — 12, ибо квадрат всегда положителен или равен нулю. Так как этот квадрат умножается на 3, то он по меньшей мере равен нулю; именно при х = —2 мы получаем 3 (—2 + 2)2 — 12, и это будет—12. Итак, значение квадрата всегда положительно, при умножении на 3 он остается положительным, а потому минимум равен —12.

Это, как мне кажется, поучительные примеры. Логический ход рассуждений перемежается с бихевиористическим. Почему? Потому, что так требует установленный порядок, — вполне естественный ответ в алгебре. Школьнику внушают формулу, и это означает, что формализация, как это часто бывает, вводится слишком рано, не в качестве заключительной фазы учебного процесса, а еще до достижения той стадии, содержание которой подлежит формализации.

В геометрии это несколько сложнее. Если логику отождествляют со схематизацией, то геометрия ближе к логике, чем алгебра. Алгебра традиционно формализована гораздо сильнее, чем геометрия; в геометрии гораздо больше ссылаются на мыслительные схемы, тогда как в алгебре можно далеко продвинуться путем овладения языком. Это является также причиной, по которой ныне часто отказываются от тягостной геометрии с ее трудно поддающимися обучению мыслительными схемами и пытаются так алгебраизировать геометрию, чтобы ею можно было овладеть, как и алгеброй, с помощью языка. Это — желание избежать трудностей, которое сказывается, коль скоро школьнику приходится применять математи-

х Автор ссылается на статью J. S. ten Brinke в журнале Euclides 45 (1960), с. 327—336.

ку, после того как он ознакомился с ней лишь в форме бессодержательных словесных упражнений.

Поскольку геометрия вызывает склонность к схематизации, а алгебра — к формализации, то можно понять тесную связь геометрии с логикой, коль скоро формализация еще не признана математической и ценной в математическом отношении деятельностью. Вместе с возрастанием роли символической логики упало признание логического статута алгебры. Однако никого не удивляет, что мы здесь многократно заимствовали примеры схематизации из геометрии, тогда как примеры формализации чаще относились к алгебре.

Формализация в области высказываний» Если записывают уравнение вроде

х2 — Зх + 2 = О,

то школьники склонны воспринимать это как х — 1 и х = 2

(причем «и» лишь произносится, но не записывается). Учитель, принимающий это буквально, замечает: «х = 1 и х = 2 не может быть верным одновременно». Тогда привычный к таким поправкам школьник отвечает: «Я считаю, что может быть х = 1 или х = 2». Учитель заключает проблему моралью: «Если ты считаешь «или», то так и следует написать».

Я спросил бы учителя: «Почему вы предлагаете писать слово «или», если уже много десятилетий для этого применяется знак V? Вы же не предлагаете писать словами «корень из, скобка, а плюс бе, скобка закрывается, в квадрате»?» Но это еще не все: «х = 1 и х = 2» — тоже верный ответ, спрашивается лишь почему. В процессе обучения геометрии учитель математики считает своей задачей мешать своему коллеге — учителю родного языка. Там полагается ставить вопросы и давать ответы полными предложениями. В алгебре же, наоборот, он довольствуется любым бессвязным набором слов, можно даже сказать, восклицаний. Ибо в алгебре существует формуляр, предписывающий, что следует делать. Если учитель пишет: х2 — Зх + 2 = 0, то школьник уже знает, что он должен определить значения х, удовлетворяющие этому уравнению; если уравнение имеет вид х2 — Зах + 2а2 = 0, то школьник будет определять, чему равен х, но, упаси боже, не а. Однако в таком случае нельзя запрещать и школьнику считать, что учитель может удовольствоваться в качестве ответа полусловом. Ответ «х = 1 и х = 2» является верным, если школьник подразумевает под этим «х = 1 есть решение и х = 2 тоже решение». Или

[(х = 1)(х2 — Зх + 2 = 0)] Л [(х - 2)(х2 — Зх + 2= 0)],

что эквивалентно записи

[(х = 1) v (х = 2)] -> (х2 — Зх + 2 - 0).

Единственное, что при этом может ответить учитель и что было бы целесообразным, — это задать вопрос: «И никаких других решений?» Ибо лишь после этого можно записать:

(х2 — Зх + 2 = 0) -> [(х = 1) v (х = 2)].

Я хотел бы пояснить этим, что может означать логическая символика. Я вовсе не требую, чтобы каждое алгебраическое вычисление записывалось с помощью логической и теоретико-множественной символики, ибо даже в тиши кабинетов и в математических работах мы этого не делаем. Но из текста должно быть по меньшей мере ясно, что из чего вытекает и связана ли данная переменная квантором существования или всеобщности либо она свободна. Не следует на каждом шагу называть логические законы или математические аксиомы и леммы, оправдывающие этот шаг, не следует повторять все условия или, скажем, представлять решение уравнения в форме цепочки равенств между множествами, записанными с помощью фигурных скобок. Но четкая формулировка с помощью логических символов облегчает и делает возможными такие рассуждения, как приведенные выше относительно ш» и «или».

В традиционном обучении алгебре решение уравнений выполняется путем последовательной, шаг за шагом, замены данного уравнения ему эквивалентными. Это совершенно неестественный метод, изобретенный школьными педагогами, чтобы уберечь своих учеников от ошибок. Этот метод возможен лишь в простейших случаях; но даже и тогда он часто оказывается слишком сложным. Естественный путь заключается в том, что из данного уравнения

V х + 1 + Кх+4=]/"х + 9 выводятся следствия, которые шаг за шагом постепенно приводятся к виду, решаемому явно, скажем

(Зх + 28) х = 0.

Решение выполняется не на основе эквивалентности, а данное уравнение рассматривается лишь как необходимое условие; следовательно,

Ух + 1 + Ух + 4 = Ух + 9 -> (Зх 4- 28) х = 0.

Затем делают проверку, подставляют вместо х полученные значения, чтобы убедиться, удовлетворяют ли они уравнению и какие именно, т. е. исследуют, насколько верна стрелка и в обратном направлении.

Разумеется, при решении квадратных уравнений с числовыми коэффициентами проверку можно опустить, ибо известно, что по общему правилу все решения такого уравнения могут быть найдены по формуле и как именно. Но это — исключение. Каждый знает, как можно вообще облегчить себе жизнь, считая данное уравнение лишь необходимым условием. Это особенно понятно, если уравнение

возникло из реальной задачи, и, следовательно, если вначале математизируется реальная проблема. Но часто мы отнюдь не уверены, что учтены все условия, а потому вполне нормально, если затем некоторые из математически допустимых решений отвергаются как «физически неприемлемые»; это означает лишь, что математический «перевод» физической проблемы оказался неполным. И конечно, вполне естественно, что школьника следует приучить к критическому анализу полученных математическим путем решений.

Если уравнение решают с помощью эквивалентности, то промежуточный текст оказывается излишним. Но, во всяком случае, нужно указать, что является неизвестным, которое школьник должен определить, ибо почему это обязательно должно быть обозначено через х? (х — эпидемия прежней символики уравнений перешла теперь и на теоретико-множественную символику; в 999 случаях из 1000 речь идет о множестве таких х, которые ...). Из текста должно также вытекать, чем должно быть решение; если их окажется несколько, то должно быть ясно видно «н» и шли».

Если решение уравнений протекает не в прокрустовом ложе эквивалентности, то требуется больше. Нужно ясно указать, что из чего следует, заменяется ли одно равенство другим с помощью конъюнкции или дизъюнкции и т. п. Все это можно коротко и точно выразить с помощью логической символики. Однако это не означает, что логико-символический аппарат автономен. Если используются символы, то ясно, что они означают. То, что из р -> q и q -> г можно заключить, чдо р ~+ г, нет необходимости формулировать в общем виде, и при использовании таких выводов не обязательно ссылаться на общие правила, так как стрелки означают ведь нечто вполне определенное. Для отрицания конъюнкций и дизъюнкций не требуется общих правил, ибо это есть осмысленные операции. Конечно, и здесь не нужно преувеличивать. Определенные правила выявятся в процессе применения; этим можно воспользоваться и сформулировать их в общем виде. Но не стоит заходить далеко, вырывать логическую символику из осмысленного контекста и развивать в виде бессмысленной самостоятельной области.

Я обещал разъяснить, почему абстрагирование логики от ее осмысленного содержания дидактически невозможно на школьном уровне. Я должен был, собственно, сказать: мне не известен ни один удачный эксперимент такого абстрагирования (исключая логику, которая с самого начала отделена от какого-либо содержания и преподается именно в таком виде). Собственно, проблема здесь, я полагаю, еще не изучена, может быть, даже не замечена. Она заключается в том, что символико-логический метод представляет резкие отличия от логических обычаев обиходного языка.

Известно, что математики придают слову «или» более определенный смысл, чем в обычном обиходном языке,—это всегда неразделительное «или»; известно, что математики позволяют себе считать высказывание «все элементы х из V обладают свойством F (х)» верным даже тогда, когда множество V пусто. Известно, что в обиходе высказывание считается неверным, если оно говорит о данном предмете меньше, чем о нем известно или должно быть известно («8 + 4 = И или 12» считается неверным и даже рассматривается как ошибочное, хотя с формальной точки зрения оно является верным).

Импликация. Гвоздем проблемы является импликация «если..., то...», которая задается стрелкой. Из высказываний р и q образуются составные высказывания р V 9, Р Л q иногда также с использованием отрицания р V ?, М? и т. п. Известно, что подразумевается под V («или») и под Л («и»). Относительно же « -> » дело обстоит иначе. Хотелось бы воспринимать р q как высказывание, если р п q — высказывания. Это не сложно, если «р = идет дождь» и «q = на улицах мокро»; тогда образуется правильно понимаемое высказывание «если идет дождь, то на улицах мокро». Сложнее, если «р = идет дождь» и «q = (2 • 2 = 4)» или «q = (2 • 2 = 6)». Когда в обиходной речи (даже в математически обиходной речи) употребляется «если—то», имеют в виду не взаимосвязь вроде «или» или «и», а как бы хотят сказать: «если я знаю, что это произошло, то могу сделать заключение, что то тоже произошло». Но такое неясное утверждение малопригодно для формализации, и, кроме того, действительно существует потребность рассматривать предложения типа «если ..., то ...» как нечто равноценное предложениям типа «или» и типа «и».

В математике часто встречаются определения, в которых заключен критерий действенности предложения типа «если—то». Например:

А а В означает, что каждый элемент А является и элементом В; формализованно:

А (= В означает Чх (х € Д)->(х € В).

Как же здесь понимать «-»>? Формально можно ответить: не иначе, как путем составления таблицы истинности для «->■». Нужно определить значения р -> q для не определенных конкретно р и q, т. е. функции этих р и q без учета их конкретного содержания. Это действительно весьма формальная точка зрения. Для «р впереди q», или «р позади q», или «р вместе с q» нельзя, конечно, определить значения, не зная, что такое р и q\ я не знаю даже, имеют ли эти выражения смысл (можно возразить, что это несущественно, ибо «если идет дождь, то 2 • 2 = 4» тоже не имеет смысла; и действительно, на это нечего ответить).

Если же отказаться от выяснения содержания р и q. то единственное, что остается и от чего нельзя отказаться, — это их значения истинности. Дизъюнкцию и конъюнкцию можно удовлетворительно объяснить с помощью таблиц истинности. Почему же не сделать этого и для «->»? Мы уже условились, что «р -> 7» тогда и только тогда считается неверным, когда р верно и (несмотря на это) q ложно. Иначе говоря, (р ->- q) эквивалентно р V q. Это весьма разумно, но все же имеет такие последствия, как то, что высказывания

если Земля — планета, то 2-2 = 4, если Солнце — планета, то 2 • 2 = 4, если Солнце — планета, то 2 • 2 = 5.

считаются верными. Это неплохо, но можно сказать, что все это бесплодные истины, ибо посылка и заключение являются своеобразными высказываниями, относительно которых и без того известно, истинны они или ложны. Иначе обстоит дело, если р и q сами зависят от переменных. В этом случае известна зависимость между множествами и высказываниями, а именно: для любого множества V высказывание, содержащее переменную х,

Pv : х 6 V

верно тогда и только тогда, когда х € V; переменная х должна перемещаться в определенном универсальном пространстве (7. Тем самым устанавливается соответствие между логическими операциями Д, V, Iй теоретико-множественными операциями fl, U, \- Его можно проиллюстрировать с помощью диаграмм Венна, но ошибочно мнение некоторых авторов учебников, что здесь речь идет не об иллюстрации, а о доказательстве, — это порочный круг.

Далее автор истолковывает импликацию с помощью включения подмножеств, дает теоретико-множественное истолкование другим логическим отношениям и операциям.

Логически все обстоит прекрасно и симметрично, но психологически порочно. Трудно привыкнуть к тому, чтобы переводить на теоретико-множественный язык не только знаки объединения, пересечения, отрицания, но также и знак «->», притом как множество, а не как отношение между множествами. Это связано с нестатичным операциональным характером, присущим импликации «если-то».

Лошадь — животное;

значит, голова лошади есть голова животного.

Подставляем 3. Тогда 2х = 6.

Эти «значит» и «тогда» записываются не с помощью символа, «->», а с помощью значка «Н». Запись р -^ q читается: «если р, то q»; это предложение на том же языке, к которому относятся pwq. Если применяется знак «Н», то мы оказываемся над этим языком;

p \— q может, скажем, означать, что если предположить р верным, то q тоже будет верно или даже что q можно вывести из р.

Правда, если установлено р Н 9, то можно также утверждать и р -> q; если q верно при условии наличия р, то можно показать, что р -> q, безусловно, верно. Однако р -^q выполняет совсем другие задачи, а не только подтверждает зависимость q от р. Если р ложно, то мало смысла писать р Н q\ в то же время р -> q сохраняет значение и в случае, когда р случайно ложно, а именно в этом случае р -^ q истинно. Более того, это условие может быть полезным.

Приведем следующий пример:

(Л cz В) означает Vx [(х С Л) -> (х € В)].

Если Л пусто, то х € Л всегда ложно; значит, (х С Л) -> (х С В)

всегда истинно, а потому Л cz В справедливо. Итак, пустое множество является подмножеством любого другого. Это весьма целесообразное свойство. Оно само собой напрашивается, коль скоро пустое множество вообще допустимо.

При теоретико-множественной интерпретации логической терминологии Аристотеля пустого множества не возникает; «Все квирксы — кворксы» может быть у него верным, лишь если существует хоть один квиркс, и это верно также для «все квирксы — квирксы». Для нас, наоборот, второе высказывание верно, как бы мы ни понимали слово «квиркс», а первое верно, если квирксы вообще не существуют.

Все летающие слоны откладывают яйца рассматривается современными логиками как тривиально верное, ибо летающих слонов не существует; Аристотель не согласился бы с этим. Если бы существовал хоть один летающий слон, мы были бы согласны с Аристотелем; высказывание было бы тогда уже не тривиально верным, следовало бы проверить, откладывает ли этот летающий слон яйца. Но поскольку множество летающих слонов пусто, мы можем с полным правом выдумать их.

Те, которые, если заболит голова, сразу бегут к врачу образуют некоторое множество; в него входят и люди, у которых никогда не болит голова.

Те, которые, когда лгут, краснеют включает также тех, кто никогда не лжет.

Кто при окрике не остановится, будет застрелен грозит также тем, кого не окрикнули.

Температура воды— 20°

означает, что, если в нее опустить термометр, то ртуть остановится на отметке 20°, — это определение утверждает, что температура воды равна 20° даже и в том случае, если я вообще не опущу термометр в воду.

Разумеется, неверно, что нужно делать такие заключения. Обиходный язык имеет свои правила, и эти правила тоже можно оправдать, но не в строго формализованной системе. Высказывания обиходного языка нельзя заменить их значениями истинности, и взаимосвязи между высказываниями нельзя найги по таблицам истинности. Все это намного сложнее, чем в сильно формализованном искусственном языке, который недостаточен даже для математической деятельности.

Весьма неприятно, что формально-логическое применение импликации столь отлично от обиходного языка. Некоторые путают, и долю этих некоторых можно считать достаточно большой. Часто бывает, что в импликациях делают ошибки, когда они встречаются в зависимых предложениях, как, скажем, в одной из частей определения; даже весьма очевидные ошибки, такие, как утверждение, что х2 + х + 5 = 0->х = 1, является ложным (в области действительных чисел), часто можно найти в учебниках.

Более утонченным является нечто вроде

V(a, 6)([V х{(х2 + ах + b = 0) -> [(х = 1) V (х = 2)]} [(а = -3) Л (6 = 2)]).

Если из х2 + ах + b = 0 следует, что х = 1 или

х = 2, то должно быть а = —3 и b = 2.

Это высказывание неверно, так как, например,

х2 + 1 = 0 ->[(х = 1) V (я = 2)] является верным.

Я уже обращал внимание на ошибки, встречающиеся во всей учебной литературе при использовании фигурных скобок для «множества таких х, что ...». С импликацией в придаточных предложениях происходит нечто подобное. В то же время выражение «множество таких х, что...» совершенно безопасно, если оно встречается в неформализованном языке. Однако такие выражения совершенно несовместимы с требованиями формализованного языка. Желание выразить формализованным языком то, что не усвоено, является хвастовством и псевдоученостью.

Я столь подробно остановился на этих вещах, потому что некоторые авторы учебников не понимают, сколь они трудны и как долго нужно готовиться, перед тем как начать преподавать этот предмет.

Нечто вроде символики импликации будет хорошо действовать в простых контекстах, именно там, где не очень далеко отходят от

обиходного языка. Однако отделить логический формализм от содержания, чтобы оперировать им, не оглядываясь на смысловое содержание, бессмысленно, коль скоро мы так ограничиваем импликации. Я не утверждаю, что этому невозможно научить школьника, но тогда его придется учить чисто формально, и это останется формальным без всякого содержания, если даже и будет действовать. Однако, зачем нужно такое обучение, остается неясным.

Я отнюдь не против того, чтобы показать школьнику таблицу истинности для р -> q, чтобы логически показать эквивалентность р -> q и р V Я» но не следует требовать, чтобы это было для школьника и психологически эквивалентно, ибо психологически это неэквивалентно и для нас, занимающихся математикой.

Развивая мысли о синтаксисе алгебраического языка в разделе «Формализация — структура математического языка», автор считает все известные ему попытки формализации синтаксиса математического языка совершенно неудовлетворительными. Если связи между сложными выражениями формализованного языка не будут показаны в процессе обучения — а на школьном уровне сделать этого не удается, — то автор считает нецелесообразным преподнесение этих тонкостей школьникам без необходимых разъяснений.

Если школьник должен будет изучать формализацию — а я уверен, что в будущем формализация станет важным видом деятельности математиков, — то он должен вжиться в примеры возникновения формализации, прочувствовать на своем опыте потребность в этом, а не просто познакомиться с конечным результатом. Эти осознанные действия с языком должны, кроме того, внести вклад и в обучение самому языку.

Я уже упоминал бросающийся в глаза аспект алгебраического языка формул, — это структурирование с помощью расстановки скобок. Эта их роль понятна лишь немногим. Если верить учебникам, скобки для того и существуют, чтобы раскрывать их и вводить вновь. То, что нечто подобное скобкам должно играть роль средства структурирования и при формализации, почти не упоминается в весьма примитивных фрагментах формализованного языка; едва ли можно увидеть намного больше, чем фигурные скобки для «множества таких х, что ...», да и это лишь еще один очень плохой пример, ибо здесь весьма неосмотрительно применен знак препинания, чтобы выразить взаимосвязь переменных.

Я уже указывал, что обиходный язык знает совсем другие средства синтаксического структурирования: флексии, предлоги, сослагательное наклонение, придаточные предложения и довольно произвольную пунктуацию. Еще чаще синтаксическая структура определяется по смыслу. Только смысл, а не синтаксическая структура указывает, что в выражении «горячие сосиски и лимонад» скобки должны быть поставлены иначе, чем в выражении «спелые яблоки и груши». В математике же нельзя отбросить скобки в надежде, что их место определится по смыслу. В математике всегда боль-

ше используются формальные методы. 4 • (5 + 3) имеет не меньший смысл, чем 4 • 5 + 3, и в данном случае нужно точно знать, какой вариант имеется в виду, а это можно указать только путем введения скобок.

Коренным образом отличаются обиходный и математический языки в действиях с переменными, т. е. с многозначными именами. Было бы безнадежной затеей дать каждой вещи особое имя; поэтому помимо имен собственных люди издавна придумали так называемые имена нарицательные; словом «камень» можно назвать каждый камень, словом «мышь» — каждую мышь; если потребуется, можно различать этот камень и тот камень, эту мышь и ту мышь. Так должны были вести преподавание первые геометры: «соединим эту точку с той», «пересечем эту прямую той окружностью». Затем придумали помечать точки буквами, а прямым, параллелограммам, окружностям давать алгоритмические имена (названия). В алгебре придумали значки для неизвестной величины и ее степеней, переняли из геометрии обозначения неопределенных величин буквами. Применение переменных стало ныне в математике единообразным. Если переменная «камень» может обозначать только камни, а переменная «мышь» — только мышей, то переменные а, Ь, с, ..., х, у, г, ... Л, S, С, ..., а, р, у, ... применяются универсально, причем ограничения вводятся лишь от случая к случаю (во всяком случае, переменная « + «» может означать только сложение, переменная «>» — только отношение порядка).

Автор приводит примеры обозначений переменных и связей между ними, применяемых в математике, причем указательную связь (этот, тот) считает не относящейся к математике и не формализуемой.

При подготовке учителей мы исходим из аксиомы, что тот, кто обучает, должен знать больше, чем только то, чему он обучает. Это «больше» относится не только к объему материала. Учитель должен знать то, чему он обучает, еще и в форме, отличной от той, по которой он обучает. Он должен владеть не только большим объемом материала, но и более высокой логической формой понимания этого материала. А для этого он должен почувствовать логическую глубину материала. В этом ему может помочь логика, если она будет изучена глубже, чем только доказательства от противного, обращение теоремы, эквивалентность и т. п. Учитель математики не должен преподавать логику, а должен пользоваться логикой, уметь помочь школьнику осознать ту логику, которой тот пользуется.

От учителя следует потребовать большего: чтобы он стоял выше им самим избранного метода изложения материала и чтобы он сам осознал этот метод. И даже выполнению самого этого требования может помочь логический анализ. Не в тривиальном смысле, т. е. потому, что это есть логическая структура, которая определяет избранный метод, а потому, что в процессе логического анализа может быть осознана ступень сознания и определено ее логическое отношение.

ПОСЛЕСЛОВИЕ

Когда начинающий учитель приступает к преподаванию математики, возникающие перед ним затруднения относятся большей частью к «технологии» его профессии. Он должен научиться доступно излагать новый материал, привлекая необходимые наглядные пособия, умело проводить опрос по ранее пройденным темам, следить за тем, чтобы весь класс активно работал, индивидуализировать задания, с тем чтобы сильные ученики не скучали, а слабые не чувствовали, что материал для них недоступен. Ему необходимо овладеть правильной организацией повторения, аккуратным и наглядным расположением записей на доске, умением составить контрольные работы и многим иным, без чего невозможно полноценное преподавание.

Другой, не менее важной стороной деятельности учителя является то, что на практике ему приходится осваивать и совершенствовать классное руководство, воспитательную работу, учиться поддерживать дисциплину на уроках, организовывать экскурсии, вовлекать учащихся в художественную самодеятельность, находить контакт с родителями, и много иных аспектов, являющихся общими как для учителей всех специальностей, так и для преподавателей математики, и в органической связи с предыдущими аспектами составляющие единый процесс' обучения.

В этот начальный период подготовка к самим урокам носит локальный характер — по каждой теме надо продумать последовательность изложения материала, выбрать поясняющие примеры и задачи, подготовить раздаточный материал и т. д. Ответы на возникающие вопросы учитель в подавляющем большинстве случаев находит в конспектах недавно прослушанных им лекций по методике математики, учебниках и учебных пособиях по этой дисциплине, на занятиях в институтах усовершенствования учителей, обсуждениях на методических объединениях. Большую помощь оказывают ему статьи в журналах «Математика в школе» и «Квант».

По мере накопления опыта учитель овладевает методикой организации урока, учится формировать отношения с учащимися, его уроки становятся полноценными. Теперь уже у мыслящего преподавателя возникает потребность посмотреть на преподаваемый им предмет с более общих позиций. Развитию этой потребности способствуют и происходящие время от времени (пожалуй, дажеслиш-

ком часто) изменения учебных планов и программ, замена одних учебников другими, смена одних тенденций в преподавании математики иными, зачастую противоречащими ранее действовавшим.

Все это ведет учителя к размышлениям над содержанием излагаемого им курса школьной математики, в ходе которых он приходит к таким глобальным вопросам, как цель и смысл преподавания математики в школе, связь школьной математики с действительностью и прикладными вопросами, отношение школьной математики к современному уровню математической науки, роль традиции в школьной математике, выбор должного уровня научности и строгости изложения, выбор общих принципов методики преподавания математики и т. д. В этот период учитель задумывается над тем, какие цели стоят перед преподаванием математики в школе, какие навыки умственной деятельности должны приобретать учащиеся в ходе занятий математикой, взвешивает, что важнее — приобретение конкретных знаний или общее умственное развитие, пытается понять, должен ли курс школьной математики развертываться в виде сухой последовательности определений и теорем или следует вскрывать перед учащимися движущие пружины развития этого курса, его связи с жизнью и приложениями, жизненные истоки возникновения математических понятий, следует ли строить курс школьной математики строго аксиоматически или нужно давать место и интуиции учащихся.

Перед учителем математики встают и более частные вопросы методики ее преподавания: роль теоретико-множественных понятий (множества и операции над ними, отображения, бинарные отношения и т. д.), идей современной алгебры, аксиоматики в школьном курсе геометрии и алгебре, выбор необходимого уровня развития умений и навыков и соотношение между ними и общими идеями курса и т. д.

К сожалению, в современной методической литературе можно не так много найти книг и статей, содержащих квалифицированные и практические полезные ответы на эти фундаментальные вопросы, причем большинство из них давно превратились в библиографическую редкость. Мы имеем в виду книги А.Я. Хинчина «Педагогические статьи», Я. С. Дубнова «Беседы о преподавании математики», статью В. Л. Гончарова «Математика как учебный предмет», многие статьи Б. В. Гнеденко в журнале «Математика в ндколе». Ряд полезных мыслей содержится в книге А. А. Столяра «Педагогика математики», хотя, на наш взгляд, он преувеличивает роль математической логики в школьном курсе математики. Связи школьной математики с классической математической наукой освещены в книге Ф. Клейна «Элементарная математика с точки зрения яысшей», а связи с современной математикой — в книге Н. Я. Виленкина, К. И. Дуничева, Л. А. Калужнина и А. А. Столяра «Современные основы школьной математики». Однако в этих книгах вопросы методики преподавания играют подчиненную роль.

Следует полагать, что никто из тех, кто всерьез думает над лро-

блемами школьной математики, не пройдет мимо книги известного голландского математика Г. Фройденталя «Математика как педагогическая задача», представляющая собой яркое, незаурядное явление в обширной литературе по методике математики. Ес автор — известный голландский математик, написавший много научных работ и книг по теории групп Ли, топологии, теории топологических групп и другим областям теоретической математики.

Вот уже более 30 лет в круг его интересов попали вопросы обучения математике. Данная книга является в известном смысле слова подведением итогов его размышлениям по трудным проблемам: как преподавать математику в условиях массового обучения, чем руководствоваться при отборе содержания школьного курса математики и выборе методики его изложения, на каком уровне следует вести преподавание математики, как раскрывать перед учащимися такие фундаментальные понятия, как число и множество, функция и отображение, производная и интеграл, вероятность и логические операции. Большое внимание уделяется в книге вопросам, связанным с попытками перестройки школьного курса математики на теоретико-множественной основе. По этим и многим другим вопросам автор высказывает ряд глубоких замечаний, складывающихся в стройную концепцию преподавания математики, направленного на овладение не только конкретными утверждениями, но и духом этой науки. Книгу отличают высокий научный уровень изложения, яркий образный язык, разносторонняя культура автора. Во многих случаях исследование доводится до конкретных методических рекомендаций, но еще большую ценность имеют мысли автора по общим проблемам преподавания математики.

Вряд ли можно сомневаться в том, что высказываемые и убедительно доказываемые автором общие принципы преподавания, проведенный им анализ отдельных вопросов, указания на возможные ошибки в изложении тех или иных разделов курса окажут неоценимую помощь читателям. Следует отметить, однако, что чтение данной книги требует достаточно высокого математического уровня — без этого многие замечания автора окажутся непонятными. В отдельных местах при переводе сделаны примечания, которые должны облегчить понимание текста там, где это потребовалось. В некоторых случаях приводится сокращенный перевод авторского текста, замененный кратким изложением его содержания. Ответственность за выбор этих мест и полноценность изложения лежит в основном на авторе послесловия.

Весьма полезным для читателя является сделанное автором в начале книги краткое изложение истории развития математики, показывающее, что «математика возникла как полезная деятельность, причем сегодня она полезнее, чем когда-либо». Нельзя не усмотреть в этих словах полемики с утверждениями некоторых современных математиков, считающих, что главное в математике — ее развитие по внутренним законам, изучение проблем, возникающих внутри математики и отрицающих роль и важность приклад-

ных вопросов для возникновения и развития математических теорий. Как известно, особенно характерна такая точка зрения на математику для группы ученых, пишущих под совместным псевдонимом «Николя Бурбаки», и их последователей. Однако, в отличие от некоторых математиков классического направления, Г. Фройденталь отнюдь не считает, что содержание математической науки и стиль ее изложения должны оставаться неизменными. Он далек от выдвигаемых некоторыми математиками обвинений ряда разделов современной математики в формализме — ведь математическая наука должна развиваться в гармоническом сочетании прикладных и абстрактных аспектов.

Во второй главе книги перед читателем развертывается картина происшедшего за последнее столетие изменения стиля, принятого в изложении математики. На ряде примеров показано, как произошел переход от нечетких формулировок и двусмысленных обозначений, применявшихся в начале XX века, к строгим понятиям и однозначным обозначениям с явным выделением кванторов, с усилением роли формализации и аксиоматизации. Сравнивая алгоритмическую и понятийную математику, автор отмечает, что несправедливо принижать одну из них, возвеличивая другую, считать одну из них современной, а другую — устаревшей. Обсуждая роль прикладных разделов математики для школьного преподавания, он высказывает мнение, что современные аспекты прикладной математики будут играть более важную роль, чем прежние, особенно подчеркивая роль статистики.

Чрезвычайно интересными являются разделы книги, посвященные анализу роли и места математики в школьном преподавании, ее значению для формирования мышления, воспитания навыков умственной работы. Рассматривая содержание школьного курса математики, автор подчеркивает наивность и ошибочность мнений некоторых зарубежных методистов (имея в виду, по-види- мому, Ж- Папи и его последователей), полагавших, что в восьмилетней школе можно излагать, например, элементы теории групп. Указывается, что на самом деле речь идет лишь о знакомстве с отдельными группами. Резко критикует автор попытки ввести понятие функции без учета связей с ранее изучавшимися разделами математики, без раскрытия связи этого понятия с соотношениями в реальном мире. В то же время проводится четкая грань между прикладным и утилитарным подходами к изучению математики и отмечается, что в первую очередь в школе надо изучать математику, имеющую богатые связи с другими науками и с техникой, поскольку еще Я. А. Коменский отмечал, что «то, чему учат, должно иметь много связей». Разумеется, эти связи должны быть естественными, ибо искусственные связи в дидактическом отношении бесполезны.

Много внимания уделено в книге методам преподавания математики. Автор является убежденным сторонником сократовского метода преподавания, при котором изучаемые вопросы излагаются

не догматически, а возникают и обсуждаются в процессе совместных рассуждений учителя и школьников (одним из вариантов этого метода обучения является так называемое проблемное обучение). Резкой критике подвергается «антидидактическая инверсия», при которой конечный результат математического изучения действительности, например система аксиом, принимается за исходную точку преподавания. Такой метод преподавания позволяет, разумеется, дать систематическое изложение материала, но оставляет скрытым от учащегося происхождение положенных в основу утверждений, происхождение излагаемой стройной системы определений и теорем, прикладные вопросы, лежавшие в основе построения данной теории. В результате ученик лишь формально заучивает материал, а внутренняя связь понятий остается скрытой от него. Как отмечает автор, такая «антидидактическая инверсия» характерна для большинства учебников. При этом требование стройности изложения приводит к тому, что некоторые понятия даются с самого начала в максимальной общности, хотя для последующего использования важно не само общее понятие (например, отображение множеств), а его частные случаи (например, числовые функции и геометрические преобразования).

По нашему мнению, эти замечания полезно иметь в виду не только при написании школьных учебников, но и при составлении пособий для высшей школы (например, не начинать с изложения понятия векторного пространства над произвольным полем, а сначала разобрать пространства над хорошо знакомыми студентам полями действительных и комплексных чисел).

Можно полностью согласиться с мнением автора, что дидактическая одаренность должна проявляться в том, чтобы разъяснить учащимся, как еще до проведения исследования попытаться предугадать его результат. Только написанные таким методом книги позволят построить дидактически осмысленное обучение, которое не было бы злейшим врагом сократовского метода.

Наряду с сократовским методом автор детально разбирает метод переоткрытий. Он считает, что в школе следует излагать не завершенную математику, а математику как вид деятельности. Весьма подробно исследован важнейший вопрос об оптимальном уровне строгости изложения. Здесь выдвинута важная идея о том, что для школьного обучения вполне достаточно локального упорядочивания материала, а не систематического построения фрагмента теории (к этой точке зрения в настоящее время склоняются многие математики, интересующиеся школьным преподаванием этой науки).

Большую часть книги составляют размышления о преподавании некоторых разделов школьной математики. Тщательному анализу подвергнуто понятие числа. Автор отмечает, что это понятие имеет много различных аспектов: порядковое число, количественное число, числовая мера, компонент вычисления. Остроумной критике подвергнута распространенная в западной методике математики точ-

ка зрения, что первичным является понятие конечного множества, а понятие натурального числа вторично. Автор разворачивает построенную на этой базе теорию, а потом неожиданно для читателя указывает, что все это является лишь красивым обманом, поскольку само понятие конечного множества нельзя определить, не опираясь на понятие натурального числа, т. е7в конечном счете на принцип математической индукции. Он показывает, что:

мнение, будто количественное число, т. е. рассмотрение, основанное на понятии мощности, достаточно для обоснования понятия натурального числа, математически ложно;

количественный аспект целых чисел несуществен по сравнению с порядковым аспектом;

количественный аспект недостаточен для дидактики натуральных чисел.

Разумеется, отсюда не следует, что теоретико-множественные рассмотрения должны быть полностью изгнаны из арифметики. Ведь в любом учебнике арифметики введение натуральных чисел сопровождается картинками, на которых изображены две курицы, два арбуза и т. д., а операции над натуральными числами-картинками, на которых показано, как три воробья прилетают к двум воробьям и т. д. Ясно, что здесь речь идет о некоторых операциях над множествами. Дело лишь в том, насколько явно будет вводиться теоретико-множественный язык и — будет ли понятие конечного множества положено в основу всего изложения.

Мы считаем, что простейшие теоретико-множественные операции (объединение попарно непересекающихся множеств, удаление из множества его части) могут и должны рассматриваться в начальной школе (не надо только приписывать эти операции Кантору — они были, по сути дела, известны еще до возникновения понятия натурального числа). Эти понятия являются полезным промежуточным этапом при переходе от реальных объектов к натуральным числам — понятие о числе 5 возникает в конечном счете из рассмотрения множества пальцев на руке. Пропуск этого этапа ведет к тому, что учащиеся могут овладеть навыками счета, но не знать при решении текстовых задач, нужно ли складывать числа или вычитать их, — ведь правильный выбор зависит от того, есть ли в их головах соответствующая теоретико-множественная модель. Не надо лишь обманывать себя и приписывать этим теоретико-множественным моделям особо высокую научность.

В книге отмечено, что теоретико-множественные модели нужны еще в одном месте школьного курса математики — при изучении комбинаторики.

Важнейшим аспектом понятия числа автор считает меру. При этом он указывает, что хотя количественное число может служить мерой множества, но то, что измеряется, почти никогда не является множеством (например, сутки не являются множеством часов). Весьма оригинальным является предложенное автором обозначение меры как функции: вместо 3 кг = 3000 г он предлага-

ет писать: кг 3 = г 3000, поскольку задание единицы измерения определяет на множестве скалярных величин числовую функцию, значениями которой являются меры. В отличие от взглядов многих методистов, автор считает вполне допустимыми операции умножения и деления величин и указывает различие подходов к этому вопросу математика и физика: математик допускает лишь умножение и деление мер величин, а физик из килограмма и метра создает новую величину — килограммометр. Указано, что эта операция допускает строгую математическую трактовку, основанную на понятии тензорного произведения, а также, что распространенное среди университетских математиков недоверие к понятию именованного числа основано на недоразумении, поскольку именованные числа допускают строгую аксиоматизацию на основе скалярной величины. Разумеется, совершенно не нужно предлагать такую аксиоматику школьнику, но ее существование должно учитываться при разработке изложения соответствующих тем.

Важнейшим методом изучения чисел автор считает числовую (точнее говоря, координатную прямую). При этом отмечаются различные аспекты этого понятия: прямая как линейка с отметками; прямая, на которой нанесена шкала с заданным началом отсчета и единицей меры, причем числами называются точки этой прямой; прямая, как застывший субстрат, на котором числа действуют как операторы.

В связи с изучением числовой прямой автор отмечает два возможных подхода к введению математических понятий: их конструирование и их описание. Он считает, что важнее не строить действительные числа, отправляясь от рациональных, а формулировать их свойства, на основе которых можно возвести все здание математического анализа. Автор предлагает известную аксиоматику, основанную на понятии архимедовски упорядоченного поля.

На наш взгляд, эта аксиоматика слишком громоздка. Более отвечающей сути дела является восходящая к Евклиду аксиоматика, определяющая понятие положительного действительного числа и основанная лишь на одной операции сложения (аксиомами являются существование, коммутативность и ассоциативность сложения, неравенство а + b а, линейность отношения порядка, основанного на сложении, безграничная делимость на натуральные числа и аксиома непрерывности, например, в форме существования разделяющего числа).

Дальнейший анализ понятия числа связан с переходом от наглядных методов к алгоритмизации. Отмечается, что в развитии понятия числа можно различать следующие фазы: наглядное оперирование, алгоритмическое оперирование, упорядочение в целом путем введения понятия поля и включения в систему математики. Прослеживается весь этот путь развития понятия числа, причем отмечается вновь, что использование диаграмм Венна для обоснования арифметики часто приводит к ужасающим нелепостям, связанным с тем, что авторы не различают элементов множеств и обозначения этих элементов. Указано, что неверной является тенден-

ция изображать множества состоящими обязательно из разнородных объектов, поскольку обычно приходится пересчитывать как раз множества, составленные из однородных объектов (одинаковые ложки, монеты и т. д.). Эта критика более развернуто аргументируется в последующих разделах книги, посвященных роли понятия множества в школьной математике.

В связи с этой критикой надо отметить , что, конечно, на практике встречаются множества, элементы которых практически неразличимы, причем пересчитывать приходится чаще всего именно такие множества. Но дело в том, что обычно мы работаем не с множествами, а с несколько более сложным объектом — множеством, разбитым на классы эквивалентности, причем элементы из одного и того же класса считаются неразличимыми. Для таких «расслоенных множеств» легко определить операции сложения и вычитания, отличающиеся от соответствующих операций над обычными множествами (сложение ближе всего к так называемому дизъюнктному сложению множеств). Именно с такими множествами и операциями над ними мы имеем дело, складывая и вычитая числа, записанные в десятичной системе счисления.

Особое внимание уделено развитию понятия числа на основе алгебраического метода, при котором новые числа вводятся как неизвестные компоненты операций (например, 3 как такое число х, что 7 + х = 4). Разумеется, при этом встает вопрос о существовании числа с требуемыми свойствами, но если принять без доказательства это существование, дальнейшая теория развивается наиболее естественным образом именно при таком подходе. В связи с этим ведется обсуждение преподавания алгебры, причем указывается: в первую очередь школьник должен понять, что алгебра не игра с буквами, а буквы могут принимать определенные числовые значения (аналогичные взгляды всегда проповедовал В. Л. Гончаров). Тщательному анализу подвергнуты различные смыслы, которые имеет знак равенства и т. д. Говоря о введении показательной и тригонометрических функций, автор указывает на связь этих функций с гомоморфизмами важнейших групп школьной математики: аддитивной группы действительных чисел, мультипликативной группы положительных чисел и группы вращений плоскости.

Как уже отмечалось выше, резкой критике подвергнута попытка построить всю школьную математику на основе понятия множества. На наш взгляд, критический анализ соответствующих разделов книги будет способствовать установлению правильных взглядов у читателей на этот вопрос.

В связи с происходящими сейчас спорами о преподавании геометрии и обсуждениями различных учебников большой интерес для многих читателей должна представлять глава, посвященная «падению геометрии». Автор считает, что основное внимание7долж- но быть уделено (во всяком случае, на первых этапах изучения геометрии) не аксиоматическому построению теорий, а наглядному

изучению геометрических фактов. Прежде чем заниматься доказательством геометрических теорем, полезно обсудить с учащимися такие «наивные» вопросы, как:

— Почему при сгибании листа бумаги получается прямая линия, а при повторном сгибании — прямой угол?

— Какая линия является пересечением сферы и плоскости или двух сфер?

— Почему плоскость можно замостить конгруэнтными треугольниками, но нельзя сделать этого с помощью конгруэнтных пятиугольников?

— Какая из фигур имеет большую площадь: сегмент сферы или охватывающий его цилиндр?

— Почему сферу можно двигать по самой себе? И т. д.

Эти вопросы если и не имеют утилитарного значения, то размышления о них будут способствовать геометрической интуиции в значительно большей мере, чем упражнения в выводе теорем из данных аксиом. В книге подробно рассказывается о различных экспериментах, имевших целью развитие геометрической интуиции, которые были проведены ван Хиле, Э. Кастельнуово, ван Албада, Афанасьевой-Эренфест и др. К сожалению, на русском языке нет подробного описания этих экспериментов и книг упомянутых авторов, — на наш взгляд, они были бы весьма полезны.

Автор подвергает глубокому анализу различные пути, предлагавшиеся для «спасения геометрии»: алгебраизацию геометрии, доходящую до утверждения, будто геометрия занимается изучением векторных пространств с заданным в них скалярным произведением, введение различных аксиоматик, использование теоретико-группового подхода и т. д. Он вскрывает допускаемые при этом дидактические и математические ошибки. Весьма интересным является проведенный анализ понятия угла, показывающий, что на самом деле мы имеем дело в школьной математике не с одним, а с различными понятиями (угол между прямыми и угол между лучами, ориентированные и неориентированные углы, аналитические углы, используемые в тригонометрии и т. д.). Отсюда следует, что попытки свести все эти понятия «к одному знаменателю» вряд ли окажутся успешными.

Столь же детально проанализированы вопросы, касающиеся преподавания математического анализа в школе. Автор является сторонником широкого использования графических представлений, понимаемых в весьма широком смысле слова, физических иллюстраций изучаемых понятий. Он считает, что в школе должно найти место и понятие дифференциала, а производную следует рассматривать как «дифференциальное отношение». Говоря о введении понятия функции он подчеркивает, что надо начинать с функциональной связи величин (а не со стрелок, связывающих две диаграммы Венна), что математический анализ является мощным орудием познания действительности и именно эта его сторона наиболее важна для школьного курса математики. Тонкости же

сдедует оставить в стороне, а теоретико-множественный пуризм вообще может привести здесь лишь к катастрофическим последствиям.

Автор рассматривает дидактическое различие понятий непрерывности и предела функции и считает, что связь этих понятий должна оказаться результатом обучения, а не его исходным пунктом. При этом непрерывность функции можно усмотреть наглядно, что мешает дальнейшей формализации этого понятия. Говоря о кванторах, автор высказывает мнение, что их надо сначала разбирать на жизненных примерах, поскольку для школьников наиболее трудно понять, что означают в различных формулировках такие слова, как «для всех», «существует» и т. д. В качестве способа преодоления ряда трудностей в преподавании анализа предлагается усилить требования к функциям, рассматривая вместо непрерывности равномерную непрерывность, вместо дифференцируемости равномерную дифференцируемость и т. д. Однако, на наш взгляд, эти предложения, равно как и предлагаемое автором обозначение функции, следует считать спорными. Решение об их ценности может быть вынесено в результате педагогического эксперимента.

Последние две главы книги посвящены теории вероятностей, статистике и математической логике. И здесь автор считает, что строгому изложению материала должно предшествовать «наивное» овладение им. Прежде чем вводить теоремы о вероятностях, надо обсудить со школьниками: что вероятнее — выбросить 6 очков или четное число очков; насколько вероятно, что в аудитории из 50 человек двое празднуют рождение в один и тот же день; какова вероятность выигрыша в «Спортлото» и т. д.

Из сказанного виден широкий диапазон обсуждаемых в книге вопросов. Однако автор стремится не столько давать на эти вопросы однозначные ответы, сколько заставить читателя самостоятельно задуматься над ними и искать наилучшие пути для их разрешения. И в этом стремлении возбудить собственную мысль читателя заключается еще одна привлекательная сторона данной книги. Мы думаем, что она понравится большинству читателей.

Москва, март 1982. Н. Я* Виленкин»

СОДЕРЖАНИЕ

Множества и функции(продолжение)5

Падение геометрии35

Анализ91

Теория вероятностейистатистика127

Логика158

Послесловие182

Ганс Фройденталь

МАТЕМАТИКА КАК ПЕДАГОГИЧЕСКАЯ

ЗАДАЧА

Сокращенный перевод с немецкогоА. Я- Халамайзера

Титульный редактор Н. Я. ВиленкинРедактор В. И. ЕфимовХудожественный редактор Е. Н. КарасикХудожник Б. Л. НиколаевТехнический редактор М. И. СмирноваКорректор А. А. Гусельникова

ИБ № 7106

Сдано в набор 23.08.82. Подписано к печати 24.01.83. Формат 60x90Vie- Бум. типограф. № 1.

Гарнит. литерат. Печать высокая. Усл. печ. л. 12. Усл. кр. отт. 12. Уч.-изд. л. 12,28. Тираж 39 000 экз.‘Заказ № 4 23. Цена 1 руб. 10 коп.

Ордена Трудового Красного Знамени издательство «Просвещение» Государственного коми-тета РСФСР по делам издательств, полиграфии и книжной торговли. Москва, 3-й проездМарьиной рощи, 41.

Саратовский ордена Трудового Красного Знамени полиграфический комбинат Росглавполи- графпрома Государственного комитета РСФСР по делам издательств, полиграфии и книжной торговли. Саратов, ул. Чернышевского, 59.

2 Параллельно (франц.).

В первых трех случаях ставку получит А; лишь в четвертом случае ее получит В. Поэтому А имеет три шанса на получение ставки против одного шанса у В. А это и означает, что ставку следует разделить в отношении 3:1.

Я уже говорил, что если мне нужно кому-то объяснить, что такое математика и каковы ее возможности, то охотно рассказы

ваю эти две истории. Есть и другие возможности: скажем, ирра

циональность ]/"2, мощность континуума, полная (математическая)

индукция, существование бесчисленного множества простых чисел,

теорема о перпендикулярах к серединам сторон треугольника.

Все это прекрасные примеры, но, за исключением последнего, да

лекие от действительности, чересчур абстрактные, чтобы показать,

что математика, несмотря на свою трансцендентность, отражает

реальный мир.

Есть и еще одна причина, по которой я предпочитаю проблемы

де Мерэ: они вдруг и совершенно неожиданно освещают большую

проблему математического воспитания.

Шевалье де Мерэ был, без сомнения, образованным челове

ком, он, безусловно, изучал математику своего времени, но потер

пел фиаско, попытавшись применить ее. Более того, он вначале

Г.ФРОЙПЕНТАЛЬ

иштнишпщгомшязда

H. FREUDENTHAL

МАТИЕМАТ1К

PADAGOGISCHE

■Е

Band 2

4

ERNST KLETT VERLAO STUTTGART • 1977

Г.ФРОИДЕНТАЛЬ

МАТЕМАТИКА

ПЕДГОГИЧЕШЯЗАДАЧА

Часть II

ПОСОБИЕ ДЛЯ УЧИТЕЛЕЙ

Под редакцией

Н. Я. Виленкина

МОСКВА «ПРОСВЕЩЕНИЕ* 1983

ББК 74. 262

Ф 91

Рецензент:

действительный член Академии наук УССРпрофессор Б. В. Гнеденко

Сокращенный перевод с немецкого А. Я- Халамайзера

Фройденталь Г.

Ф91 Математика как педагогическая задача: Книга для учителя / Под ред. Н. Я. Виленкина; сокр. пер. с нем. А. Я- Халамайзера. Ч. II. — М.: Просвещение, 1983. — 192 с., с ил.

Настоящая книга представляет собой сокращенный перевод второй книги Г. Фройденталя, где автор продолжает излагать свои мысли о математическом образовании.

Предназначена для учителей математики средней школы.

Первая часть издана в 1982 г.

ББК 74.26251ББК 74.262514306010400—356

ББК 74.26251

ББК 74.26251

Ф 57 — 83

103(03) — 83

© Ernst Klett Verlag, Stuttgart, 1973.

© Перевод на русский язык. Издательство «Просвещение», 1983 г.