Книга
← К списку книгЗагрузка разделов…
активнаАктивные записи участвуют в каталоге и синках. Неактивная книга скрыта, но не удалена из базы.
Книга
ПРЕДИСЛОВИЕ
В целях развития у учащихся интереса к математике во многих городах и сельских местностях проводятся математические олимпиады: школьные, районные, городские, областные.
Если разрешить участвовать в этих олимпиадах учащимся, не прошедшим должной подготовки в школе под руководством учителя или самостоятельно, то нередко после неудач они не только не заинтересовываются математикой, но, напротив, часто теряют веру в свои силы и вряд ли скоро возьмутся за решение трудных и даже просто занимательных задач.
Поэтому очень важно организовать для учащихся, наиболее интересующихся математикой, в школе или в объединении нескольких школ математические кружки, чтение лекций учителями, научными работниками ближайших высших учебных заведений и исследовательских институтов и инженерами предприятий. Экскурсии на выставки, на предприятия, где в той или иной степени удастся показать практическое применение математики, также будут способствовать повышению интереса к занятиям математикой.
На кружковых занятиях основной целью следует считать решение интересных и оригинальных задач, расширяющих и углубляющих знания учащихся, получаемых на уроках. Однако каждая задача, особенно на первых занятиях кружка, не должна содержать нагромождения многих трудностей логического, смыслового и вычислительного характера. В противном случае у учащихся очень быстро пропадет интерес к математике. Если же умело поддерживать любознательность учеников, предлагая им задачи, соответствующие их знаниям, помогая в необходимых случаях, то это привьет им вкус к самостоятельному мышлению и поможет развитию их математических способностей.
Предлагаемый сборник, по замыслу автора, может служить первым шагом для перехода от упражнений и задач школьных задачников к задачам повышенной трудности. Решение их возможно на основании тех знаний, которые дают школьные программы по арифметике, алгебре и геометрии в IV—VIII классах.
В сборнике имеются сходные по содержанию задачи с постепенным усложнением их условия; такие задачи могут рассматриваться как тренировочные.
Сборник содержит более 800 задач (с решениями и ответами), которые в большей своей части предлагались на ежегодных математических олимпиадах, организуемых с 1949 года Московским
городским институтом усовершенствования учителей для учащихся V—VII классов, а с 1963 года и VIII класса. Собрать эти задачи помогли автору работники кабинета математики МГИУУ, которым автор приносит свою благодарность.
Частично в сборник включены задачи и из различных других задачников.
Задачи в сборнике распределены по классам, предметам и отдельным «типам». Распределение задач по «типам» во многих случаях очень условное, оно исходит из существующей практики.
Решение арифметических задач часто сопровождается в настоящем сборнике геометрической иллюстрацией. Построение графиков движения в ряде случаев помогло наглядно показать решение таких задач, которые часто оказываются трудными для учащихся.
Однако выбор методов решения большинства задач определялся программой соответствующего класса. Многие арифметические задачи решены или двумя способами (арифметическим и способом составления уравнения), или одним из них. Считаем, что арифметический способ решения задач весьма полезен, он во многом способствует развитию математического мышления, хотя не всегда является обязательным, способ же решения задач составлением уравнений является обязательным, так как предусмотрен действующей программой.
Автор надеется, что настоящий сборник окажет помощь учителям математики и прежде всего начинающим работать в школе при организации кружковой работы в IV—VIII классах.
Подробные решения большинства задач, по мысли автора, помогают тем учащимся, которые будут самостоятельно, без помощи учителя, пользоваться сборником.
Критические замечания и пожелания по содержанию сборника автор просит направлять по адресу: Москва, 129846» ГСП-18, 3-й проезд Марьиной рощи, 41, издательство «Просвещение», редакция математики.
Автор
КЛАСС*КЛАСС*
КЛАСС*
КЛАСС*
Примеры
а)а)Решить уравнения:Решить уравнения:1.1.1-1-■\'О 549]12. 3° 1425._ 3‘ 55 ^ 1 85■ ^Зв^Т/•■\'О 549]12. 3° 1425._ 3‘ 55 ^ 1 85■ ^Зв^Т/•,1455ТГ = Т',1455ТГ = Т'2.2.12 — - iz 5.12 — - iz 5.'/81\", 2 . / - 54,685 15 “Ц5 98«А/125\21 Х 5/•'/81\", 2 . / - 54,685 15 “Ц5 98«А/125\21 Х 5/•2 _ 4115*2 _ 4115*3.3.3,253,25~22'0,75~22'0,75.R 2 _£16 315 1.R 2 _£16 315 1
а)
а)
Решить уравнения:
Решить уравнения:
1.
1.
1-
1-
■\'
О 549]12. 3
° 1425._ 3‘ 55 ^ 1 85
■ ^Зв^Т/•
■\'
О 549]12. 3
° 1425._ 3‘ 55 ^ 1 85
■ ^Зв^Т/•
,145
5ТГ = Т'
,145
5ТГ = Т'
2.
2.
12 — - iz 5.
12 — - iz 5.
'/81\"
, 2 . / - 54,68
5 15 “Ц5 98«А/125
\21 Х 5/•
'/81\"
, 2 . / - 54,68
5 15 “Ц5 98«А/125
\21 Х 5/•
2 _ 4
115*
2 _ 4
115*
3.
3.
3,25
3,25
~22'
0,75
~22'
0,75
.R 2 _£
16 315 1
.R 2 _£
16 315 1
4,98- 120,12:[8,008-(4,0025--^^7^-11 + + 0,03= 1,01.
[( 30,01 ~ *:9 + 97,785) • 8- 488,84 ] : 7 = 45,6.
2 • [0,2 - 0,02: (0,002 + 0,0002 • х)] = 0,3.
50,32 - 21,32: [(20 + 9,744: х) • 0,5 - 1,63] = 48,27.
[(2 - х): 1,5 + 17,4:29]: (25 -0,16)- 0,005 = 0,4.
Восстановить цифры и знаки действий:
9. 123,.7.348,2.42.9,748 .3..4979. 123,.7.348,2.42.9,748 .3..4973 . 5, 6 7 .
9. 123,.7.
348,2.4
2.9,748 .3..497
9. 123,.7.
348,2.4
2.9,748 .3..497
20 ., . ■ . 9
. 9 6, 8 8 9
11.11.' ' 3 4 ‘' ' 3 4 ‘19.19.. . 4
11.
11.
' ' 3 4 ‘
' ' 3 4 ‘
19.
19.
2 3 .
..241...
...
.1....
..8..7.3...О..0.2. . . 3 .. . . 9 . . ...8..7.3...О..0.2. . . 3 .. . . 9 . . .237 • . 1 . . . = = 7 . . .065
..8.
.7.
3...О
..0.2. . . 3 .
. . . 9 . . .
..8.
.7.
3...О
..0.2. . . 3 .
. . . 9 . . .
Какую цифру надо поставить вместо звездочки в четырехзначном числе 777», чтобы получилось число, делящееся на 6?
Число 82»» делится на 90. Найти делимое.
При делении некоторого числа на 45 цифру тысяч 3 в делимом приняли за 9, а цифру единиц 9 за 4 и получили в частном 438 и в остатке 44. Найти верное частное и остаток.
При делении некоторого числа на 105 цифру тысяч 6 в делимом приняли за 0, а цифру десятков 0 за 6 и получили в частном 389, а в остатке 16. Найти верное частное и остаток.
При сложении нескольких чисел ученик из-за небрежности допустил ошибки: цифру единиц 9 он принял за 3, цифру сотен 7 он принял за 1, а цифру тысяч 6 он принял за 5. У ученика получилось в сумме 72 438. Найдите верную сумму.
Между некоторыми цифрами 12345678 9, написанными в указанном порядке, поставить знаки сложения и вычитания так, чтобы получилось число, равное 100.
Найти быстро сумму всех четных чисел от 2 до 100.
Если от задуманного числа отнять 11, то получившееся число разделится на 11. Если от задуманного числа отнять 7, то полученное число разделится на 7, Если от задуманного числа отнять 13, то полученное число разделится на 13. Найти задуманное число.
в) Вычислить:
l + ^'t't-iSr-s-ilTfj^ii-
ll + e^^lO^-S^Kl^-
Q1 ^ 120е 120200 , /д7 11о?71^.
15 187 5 1432431 +^37 2Q 37 2g J .
:2^. 100 + 50:21 41-
24-‘т& + 24:2т + 184-(154-154)
61059919 \5Qj6_ (92323 \
* \1121118 382У *1010Z 174040/
Л 3 , 17 :3125 \
;55 \ 48:6250 /
Перед решением следующих примеров надо повторить распределительный закон умножения, правила прибавления и вычитания суммы и разности; определение и примеры взаимно простых чисел; повторить нахождение их наименьшего общего кратного; заметить, что два последовательных числа взаимно просты.
Найти быстро результаты:
36.37.38.39.40.36.37.38.39.40.254 • 399 - 145
36.
37.
38.
39.
40.
36.
37.
38.
39.
40.
254 + 399 • 253
5932 • 6001 - 69
5932 + 6001-5931
423 134-846 267-423 133
423 133 • 846 267 + 423 134
203042 Т 56 Т 72 ' 90 ' 110 ~ 132
1-2'2-3'3-4~4-5'5-6‘6-7’7-8т
т 8-9 т 9 -10
411!1!1 I 1 I 1!1 I
10- 1111 • 1212 • 1313-1414-1515-16
16 • 17 ~ 17 • 18 ' 18 • 19 ' 19 • 20
5-77-9 ~ 9-1111 -1359-61
л»72.72,72.,72
*d*2 • 9~*9 • 1616 • 23 *** * * ~^~ 65 • 72
44 10 101 • -1--I
tt. ivivi V Hl 111 ~ 222 2223-7 • 11 • 13-37 /
oqq (।5732\
40. ооо •222222 - 3.7.37 j
(111444 \
т 3 т 9 т 27 .749 343 I 80 808 080
2 2_ 2. , 2 ’L /*91919191
+ 3 + 9 + 2717 +49 343 /
/12-31_-12._Ч25 + А + _5_+А\
47 1ЧЯ I728985.13169 т 94 |
'I 4-5-^—А. ' 6+А + _=_ + Л ХX7289851316991 /
v 505 505 505
Х 711711711
Найти х из следующих равенств:
48е (25-26 + 26-27 + 27-28 + 28-29 + 29-30) * 150 + + 1,03 : [10,3 • (х—1)]= 11.
49 (_2l|।22\ \ 11 • 13 ~ 13- 15 ~ 15-17 ~ 17-19 ~ 19-21 ) А
X 452 - [2,04 : (х + 1,05)]: 0,12 = 19.
Делимость чисел
Найти наименьшее число, которое при делении на 2 дает остаток 1, при делении на 3—2, на 4—3, на 5—4, на 6—5, на 7—6, на 8—7, на 9—8, на 10—9.
Найти наибольшее трехзначное число, при делении которого на 4 получается в остатке 3, а при делении на 5 — в остатке 4, а при делении на 6 — в остатке 5,
Найти все числа, большие 25 000, но меньшие 30000, которые как при делении на 131, так и при делении на 1965 дают в остатке 125.
Найти все числа, большие 10 000, но меньшие 15 000, которые как при делении на 393, так и при делении на 655 дают в остатке 210.
При делении данного числа на 225 в остатке получилось 150. Разделится ли данное число нацело на 75 и почему?
На складе имеются ножи и вилки. Число тех и других больше 300, но меньше 400. Если ножи и вилки вместе считать десятками или дюжинами, то в обоих случаях получается целое число десятков и целое число дюжин. Сколько было ножей и вилок на складе, если ножей было на 160 меньше, чем вилок?
Изменятся ли при делении с остатком частное и остаток, если делимое и делитель увеличить в 3 раза? (Ответ подтвердить примером.)
При делении одного числа на другое получилось в частном 18 и в остатке 24. Как изменится частное и как остаток, если делимое и делитель уменьшить в 6 раз? (Ответ подтвердить двумя примерами.)
Доказать, что если сумма двух чисел есть число нечетное, то произведение этих чисел всегда будет числом четным.
Докажите, что если даны три каких-нибудь числа, из которых ни одно не делится на три, то или сумма
всех этих чисел, или сумма двух каких-нибудь из них должна делиться на 3.
Даны три последовательных натуральных числа, из которых первое — четное. Докажите, что произведение их кратно 24.
Для устройства елки купили орехов, конфет и пряников — всего 760 штук; орехов взяли на 80 штук больше, чем конфет, а пряников на 120 штук меньше, чем орехов. Какое наибольшее число одинаковых подарков для детей можно сделать из этого запаса?
Три автобуса в 6 ч утра отправились с одной и той же станции по трем различным маршрутам и совершают рейс туда и обратно: первый автобус — за I ч 30 мин, второй — за 1 ч 50 мин и третий — за 1 ч 10 мин.
По совершении каждого рейса автобусы через 10 мин отправляются в следующий рейс по тому же маршруту. Через сколько часов: 1) первый автобус отправится одновременно со вторым, 2) второй автобус — с третьим и 3) все три автобуса одновременно отправятся с конечной станции?
Отец и сын решили перемерить шагами расстояние между двумя деревьями, для чего отошли одновременно от одного и того же дерева. Длина шага отца — 70 см, сына — 56 см. Найти расстояние между этими деревьями, если известно, что следы их совпали 10 раз.
Если сложить несократимую дробь с единицей, то вновь полученная дробь будет также несократима. Почему?
Если правильная дробь несократима, то дробь, дополняющая се до 1, также несократима. Почему?
Доказать, что из любых 11 чисел всегда можно выбрать два таких числа, разность которых кратна 10.
Доказать, что произведение НОД и НОК двух данных чисел равно произведению этих чисел.
Наименьшее общее кратное двух чисел, не делящихся друг на друга, равно 630, а наибольший общий делитель их равен 18. Найти эти числа.
35 28
Даны дроби -™- и -^-. Найти наименьшее из 1 оУО
всех чисел, при делении которого на каждую из данных дробей получатся целые числа.
Даны дроби -~ и •—•. Найти наибольшее из всех чисел, при делении на которое каждой из данных дробей получаются целые числа.
Делимое разделили на удвоенный делитель и получили 13,375. Когда же делимое разделили на удвоенное частное, то получили 4. Найти делимое и делитель.
К числу 10 справа и слева приписать по одной цифре так, чтобы получилось число, кратное 36.
К числу 13 справа и слева приписать по одной цифре так, чтобы получилось число, кратное 45.
Метрическая система мер в задачах
Медный кубик, ребро которого 0,5 см, весит 1,1 г. Сколько весит медный куб, ребро которого равно 800 мм> (Ответ округлить до 0,1 т.)
Из соснового дерева сделан кубик весом 8 г. Ребро кубика равно 2,5 см. Какой объем занимают 4,8 г соснового дерева? (Ответ округлить до 0,1 куб. м.)
Длина ребра куба полметра. Этот куб разрезали на кубики, длина ребра каждого из них равна 2 мм. Кубики затем уложили в один сплошной ряд. Чему равна его длина?
Ребро куба равно 2 дм. Этот куб разрезали на кубические миллиметры, а затем выложили их в один сплошной ряд. Какой длины получился этот ряд?
В летний дождь выпало 5 мм осадков. Сколько стоила бы искусственная поливка таким количеством воды поля в 725 га, если стоимость 1 л при искусствен^ ной поливке равна 0,0005 коп?
Тюк прессованного сена имеет длину 86 см, ширину 4 дм и высоту 35 см. Какая часть грузоподъемности 50-тонного железнодорожного вагона используется при погрузке сена, если в него вмещается 650 тюков и если 1 куб. м прессованного сена весит 3,5 ц? (Ответ дать с точностью до 0,01 вагона.)
Высчитано, что 1 кв. м овсяного поля в течение лета испаряет около 240 л воды. Сколько это составляет кубических метров на 1 га? Сколько времени могла бы течь эта вода струей по 1 л в секунду?
Определить земли, еслиОпределить земли, еслиСредний вес дождевой капли -^г. число капель дождя, упавших на 1 кв. м дождь дал слой воды толщиной 2,2 мм.
Определить земли, если
Определить земли, если
Задачи на части
От города А до города В 590 км. Часть этого пути идет в гору, часть — горизонтально и часть — под гору.
Путь под гору в 4 раза меньше горизонтального и на ПО км меньше, чем в гору. Найти длину пути в гору, горизонтально и под гору.
Группа туристов проехала на пароходе, на автобусе и прошла пешком — всего 475 км. На пароходе туристы проехали на 160 км больше, чем прошли пешком, а на автобусе — в 5 раз больше, чем прошли пешком. Сколько километров проехали туристы на пароходе, сколько на автобусе и сколько прошли пешком?
Сумма двух чисел 495. Одно из чисел оканчивается нулем. Если этот нуль зачеркнуть, то получится второе число. Найти эти числа.
Сумма двух чисел 37,75. Если первое слагаемое увеличить в 5 раз, а второе слагаемое — в 3 раза, то новая сумма окажется равной 154,25. Найти эти числа.
Л4атери было 28 лет, когда у нее родился сын. Сколько лет матери и сколько лет будет сыну в 1972 году, если в 1966 году сын был моложе матери в 4,5 раза?
Сестра моложе брата на 9 лет. Сколько лет будет сестре и сколько брату в 1978 году, если в 1970 году брат был в 2,5 раза старше сестры?
В двух ящиках было 43,25 кг сахара. После того как из первого ящика переложили во второй 4,75 кг, в первом осталось 0,73 того, что стало во втором. Сколько сахара было первоначально в каждом ящике?
На двух складах было 60 т угля. На первый склад еще доставили 7,5 т угля. После того количество угля на втором складе составило 0,875 того, что стало на первом складе. Сколько угля было первоначально на каждом складе?
Тремя тракторами вспахано 116 га. 0,75 площади,
2
вспаханной первым, равны у площади, вспаханной вто-
рым; третьим вспахано в полтора раза больше, чем первым. Сколько гектаров вспахано каждым трактором?
В двух корзинах 140 яблок. Сколько яблок в каждой корзине, если 0,3 количества яблок в первой корзине в три раза меньше, чем 0,36 количества яблок во второй корзине?
За 8 альбомов, 3 линейки и 4 циркуля заплатили 2,7 руб. Альбом в 4 раза дороже линейки, а 5 линеек стоят столько же, сколько 2 циркуля. Найти цену альбома, линейки и циркуля.
На 19,8 руб. купили 9 кг яблок, 8 кг груш и 5 кг слив. Цена яблок в 1 у раза меньше цены груш, а 3 кг яблок стоят столько же, сколько 4 кг слив. Найти цену 1 кг яблок, груш и слив.
В два сосуда А и В одинакового веса налита вода, причем вес сосуда А с водой составляет у веса сосуда 6 с водой.
Если содержимое сосуда В перелить в А, то вес последнего вместе с водой превысит вес сосуда В в 8 раз. Найти вес каждого сосуда и количество воды в каждом из них, зная, что в В первоначально было на 50 г больше воды, нежели в А.
Пионеры школы собрали за два дня 630 кг металлолома. Сколько лома собрано в каждый день, если 0,45 того, что собрано в первый день, равны 0,36 того, что собрано во второй?
За две книги уплатили 1 руб. 35 коп. Сколько стоит каждая книга, если 0,35 цены первой книги равны 0,28 цены второй книги? (Решение проверить.)
Два мотоцикла вышли из города В в одном направлении: первый — в 8 ч утра, второй — в 10 ч 50 мин. После того как второй мотоцикл догнал первый, они еще продолжали путь в течение 2 у ч. В момент остановки оказалось, что второй мотоцикл обогнал первый на 30 км. В котором часу второй мотоцикл догнал первый и какое расстояние прошли мотоциклы до этого, если скорость первого мотоцикла равна 0,6 скорости второго.
Два мальчика решили купить конструктор. Число 5
денег второго составляло $- числа денег первого.
3
У первого недоставало -^ суммы денег, которую надо было заплатить за конструктор, а у обоих вместе было на 1,4 руб. больше, чем стоил конструктор. Сколько стоил конструктор?
Какое число нужно вычесть из числителя дроби 52 367
-47533 и прибавить к знаменателю этой дроби, чтобы ’17 .
после сокращения получить -^- ?
14 157
Дана дробь -^у^ . Какое число надо вычесть из знаменателя и прибавить к числителю, чтобы после сокращения получить 1 у ?
Сумма числителя и знаменателя дроби равна 7
4140. После ее сокращения получилось -jg. Какова дробь до ее сокращения? (Решение проверить.)
Знаменатель дроби на 3521 больше числителя.
4
После сокращения дроби получилось -ц-. Какова была дробь до ее сокращения? (Решение проверить.)
Разность двух чисел равна 0,7. Если большее из них увеличить в 5 раз, а меньшее оставить без изменения, то разность будет 75,1. Найти эти числа.
Разность двух чисел равна 44у. Если меньшее з
из них увеличить в 7 раз, то разность будет Ю-j^-. Найти эти числа.
Среднее арифметическое двух чисел равно 10,01. Найти каждое из них, если одно из них в 5,5 раза меньше другого.
Сумма двух чисел равна 0,25. Частное тех же чисел также равно 0,25. Найти эти числа.
Разность двух чисел равна 0,6. Частное от деления меньшего на большее также равно 0,6. Найти эти числа.
V. Задачи на движение
а) Встречное движение
В 9 ч 25 мин, утра пешеход отправился из А в Б. Идя с одинаковой скоростью, он прибыл в Б в 13 ч 15 мин. На следующий день в 11 ч утра он отправился
из Б в Л, идя равномерно, но несколько скорее, чем он шел накануне, прибыл в А в 14 ч 40 мин. Зная, что расстояние между пунктами 12 км, определить, на каком расстоянии от А находится то место, через которое он проходил в один и тот же час в каждый из этих дней?
Длина шоссейной дороги между двумя колхозами 44 км. В 6 ч утра из первого колхоза выехал почтальон на велосипеде. В 7 ч 8 мин, навстречу ему, из второго колхоза выехал на лошади колхозник. В 9 ч утра они встретились. Скорость колхозника меньше скорости почтальона на 2,5 км. Найти скорость каждого.
7
НО. -^ расстояния между двумя городами составляют 75,25 км. В 5 ч 36 мин утра из Л в 6 выехал велосипедист. В 7 ч 15 мин утра из 6 в Л выехал другой велосипедист, который проезжал в час на 0,75 км более первого. Найти скорость каждого, если они встретились в полдень.
Расстояние между пунктами Л и Б 114 км. В 6 ч из пункта Л вышла по направлению в Б грузовая машина, а в 6 ч 45 мин навстречу ей вышел автобус со скоростью на 8 км(ч больше, чем скорость грузовой машины. Встреча произошла в 7 ч 30 мин. Найти скорости грузовой машины и автобуса.
В 8 ч 20 мин утра из Москвы в Ленинград вышла легковая машина, а в 9 ч 30 мин из г. Калинина также в Ленинград вышел автобус со скоростью, меньшей скорости легковой машины на 36 км]ч. Легковая машина догнала автобус в 10 ч 50 мин. Найти скорости легковой машины и автобуса. Между Москвой и Калинином 160 км.
Я еду в поезде, который идет со скоростью 40 км в час, и вижу, как в течение 3 сек мимо моего окна в противоположном направлении проходит скорый поезд, имеющий в длину 75 м. С какой скоростью шел встречный поезд?
Поезд за четверть минуты проходит мимо телеграфного столба, а за 50 сек—мост длиной 0,7 км. Вычислить среднюю скорость движения поезда и его длину,
Петя и Коля, живущие друг от друга на расстоянии 840 м, в 9 ч утра вышли навстречу друг другу. После встречи каждый из них продолжил движение
в том же направлении. Петя, дойдя до дома Коли, тотчас повернул обратно, а Коля, дойдя до дома Пети, тоже повернул обратно. В котором часу произошла первая встреча мальчиков и в котором вторая? Петя шел все время со скоростью 50 м в минуту, а Коля 70 м в минуту.
Зина и Валя, живущие друг от друга на расстоянии 1200 м, сговорились выйти навстречу друг другу в 9 ч. Зина вышла в 9 ч, а Валя задержалась на 5 мин. После того как они встретились, каждая из них продолжала движение, и, дойдя до дома, подруги вернулись обратно. В котором часу произошла первая встреча и в котором вторая, если скорость Зины 40 м в минуту, а скорость Вали 60 м в минуту?
Из городов А и В выехали навстречу друг другу две машины: из А— «Волга» в 7 ч 20 мин утра и из В — «Москвич» в 7 ч утра. В котором часу произошла встреча машин, если известно, что «Волга» весь путь от А до В проходит за 2 ч 42 мин, а «Москвич» — за 3 ч 36 мин?
Из А и В, расстояние между которыми 43,8 км, вышли навстречу друг другу два автобуса. До места встречи первый автобус, следовавший из А, прошел на 11,4 км больше второго автобуса, шедшего из В. Какова скорость каждого автобуса, если первый шел до встречи 0,75 ч, а второй вышел на 25 мин позже, чем первый?
Два автобуса одновременно вышли из пунктов А и В навстречу друг другу. Через 7 ч езды между ними оказалось расстояние 136 км. Найти расстояние между А и В, если все расстояние один может проехать за 12 ч, а другой за 10 ч.
Два автомобиля одновременно вышли из пунктов А и В навстречу друг другу. Через 4 ч езды между ними оказалось 140 км. Найти скорость каждого автомобиля, если один все расстояние может проехать за 6 ч, а другой за 5 ч.
Из города А в город В вышла грузовая машина. В то же время из города В в город А вышел автобус. Встреча произошла на расстоянии 150 км от города А. Найти расстояние от А до В, если известно, что грузовая машина может пройти весь путь от А до В за 8 ч 30 мин, а автобус — за 7 ч 30 мин.
Из двух городов вышли одновременно навстречу друг другу два автомобиля. Первый за 2,4 ч прошел 9
-^ всего расстояния между городами, а второй за 2 ч прошел 14Q- этого расстояния. С какой скоростью шел каждый автомобиль, если до места встречи второй прошел 351 км?
Два автомобиля вышли одновременно навстречу друг другу из двух пунктов. Один из них может пройти все расстояние между этими пунктами за 3 ч 20 мин, а другой — за 2 ч 48 мин. Найти скорость каждого автомобиля, если через 1 ч 15 мин между ними было 50 км.
Из двух городов, расстояние между которыми 560 км, вышли два автомобиля навстречу друг другу и встретились через 4 ч. Если скорость первого автомобиля уменьшить на 15%, а скорость второго увеличить на 20%, то встреча произойдет тоже через 4 ч. Найти скорость каждого автомобиля.
Первую треть пути автомобиль прошел со скоростью 54 км/ч, а вторую — со скоростью 45 км/ч и третью — со скоростью 60 км/ч. Найти среднюю скорость движения автомобиля на всем пути. (Ответ дать с точностью до 0,1 км/ч.)
Первую четверть пути велосипедист ехал со скоростью 20 км/ч, вторую и третью четверти всего пути — со скоростью 24 км/ч и последнюю четверть — со скоростью только 12 км/ч. Найти среднюю скорость движения велосипедиста на всем пути. (Ответ дать с точностью до 0,1 км/ч.)
б) Движение в одном направлении
Два самолета вылетели одновременно из Москвы в одном и том же направлении: один — со скоростью 350 км/ч, другой — со скоростью 280 км/ч. Через два часа первый уменьшил скорость до 230 км/ч. На каком расстоянии от Москвы второй самолет догонит первый?
Моторная лодка должна выйти из А и прибыть в В к определенному моменту. Если она будет ехать со скоростью 35 км/ч, то опоздает на 2 ч, если она будет делать по 50 км/ч, то придет на 1 ч раньше срока. Каково расстояние между городами Л и 6? Сколько часов лодка должна была затратить на прохождение пути?
Мотоциклист выехал в 8 ч утра из города Д к аэродрому В. Если он будет двигаться со скоростью 40 км/ч, то опоздает к прибытию самолета на 30 мин, а если скорость его будет 50 км)ч, то он приедет к аэродрому В за 2 ч до прибытия самолета. Найти расстояние между Д и В и время прибытия самолета в пункт В.
Из города Д в одном и том же направлении выехали два велосипедиста, первый в 8 ч, а второй в 8 ч 30 мин утра. То расстояние, которое первый велосипедист проезжает за 5 ч 15 мин, второй проезжает за 4 ч 40 мин. На отдых в пути каждый велосипедист останавливался на 45 мин. В котором часу второй велосипедист догнал первого?
Один мотоциклист выехал из А в В, делая в час по 60,9 км; через 2 ч из Д в В выехал другой мотоциклист со скоростью 40,6 км(ч. Во сколько времени первый мотоциклист совершит путь из Д в В, если второй приехал в В на 7 ч позднее первого?
Колхозник выехал из пункта Д в 4 ч 30 мин утра и приехал в город, когда было без 10 мин 8 ч утра; если бы он проезжал в час на 1,2 км меньше, то ехал бы до города 3-|- ч. Сколько километров от Д до города?
В 8 ч утра из пункта Д вышел автобус, а в 9 ч из того же пункта Д по той же дороге вышла легковая машина. Автобус, идя без остановки, прибыл в пункт В в 2 ч дня, а легковая машина — в 1 ч 30 мин дня. На каком расстоянии от пункта Д легковая машина догнала автобус, если известно, что скорость ее на 20 км)ч больше скорости автобуса?
Чтобы доставить донесение за 2 ч 40 мин из А в В, расстояние между которыми 70,5 км, нарочный ехал сначала на велосипеде со скоростью 12,75 км!ч, а затем на мотоцикле со скоростью 67,5 км[ч. Сколько времени ехал нарочный на велосипеде и сколько на мотоцикле?
Пешеход и велосипедист отправляются одновременно и по одной дороге из города А в город В, лежащий в 70 км от А. Пешеход идет со скоростью 3,75 км!ч, велосипедист—15 км]ч. Через сколько времени между ними будет расстояние, равное 30 км, и какое расстояние до В останется тогда проехать велосипедисту и пройти пешеходу?
Почтовый поезд вышел со станции в 7 ч 25 мин утра и шел со скоростью 40,5 км/ч.
В 8 ч 7 мин в том же направлении отправился с этой станции скорый поезд. С какой скоростью должен идти скорый поезд, чтобы догнать почтовый на расстоянии 210,6 км от станции?
На прохождение пути между двумя пристанями пароходу необходимо на 40 мин больше, чем катеру. Скорость катера 40 км]ч, а парохода — 30 км[ч. Найти расстояние между пристанями.
В 8 ч 30 мин утра из двух пунктов выходят два автомобиля по одному направлению. Автомобиль, идущий позади, проходит все расстояние между двумя пунктами отправления в 2у«/, передний же автомобиль движется в 2 ~- раза медленнее заднего. Когда второй автомобиль догонит первый?
Если турист проедет между городами Л и В на велосипеде, то он затратит на этот путь на 2 ч 20 мин меньше, чем если бы шел пешком. Скорость его движения на велосипеде 12 км)ч, а пешком 3,6 км!ч. Найти расстояние между городами А и В.
Из двух железнодорожных поездов один затрачивает на прохождение пути между двумя городами 2 ч 48 мин, другой — 4 ч 40 мин. Скорость первого поезда больше скорости второго на 26 км/ч. Определить расстояние между двумя городами.
Два спортсмена состязались в беге на одно и то же расстояние. Стартовали они в один и тот же момент из одного пункта. Один пробежал всю дистанцию за 1 мин 15 сек, а другой за 1 мин 20 сек. Сколько метров в минуту в среднем пробегал каждый спортсмен, если через 48 сек после старта между ними было 20 м?
Расстояние между пристанями по реке 43,2 км. Моторная лодка, идя по течению реки, затрачивает на этот путь 2 ч 24 мин. Сколько времени затрачивает эта лодка на этот же путь, идя против течения, если скорость течения 1,8 км)ч>
Пароход, идя против течения реки, прошел расстояние между Пристанями за 9 ч. Сколько времени понадобится пароходу на обратный путь, если расстояние
между пристанями равно 113,4 км, а скорость течения реки 1,9 км/ч^ (Ответ дать с точностью до 1 ч.)
Моторная лодка, идя по течению реки, затрачивает на путь от пристани А до пристани В 32 ч, а на обратный путь 48 ч. За какое время проплывает плот от пристани А до пристани 6?
Пароход прошел расстояние между двумя пристанями, двигаясь по течению реки, за 4,5 ч. На обратный путь пароход затратил 6,3 ч. Скорость течения реки составляет 40 м в минуту. Найти расстояние между пристанями.
5
Велосипедист проехал у пути и еще 40 км и ему осталось 0,75 пути без 118 км. Как велик его путь?
Возвращаясь домой из Москвы на поезде, пассажир по рассеянности проехал свою станцию, а когда сошел на следующей, то рассчитал, что поезду осталось 13
проити yj- всего своего маршрута, а пассажиру придется проехать обратно до своей станции 14 км. Какова длина всего маршрута поезда, если станция, на которой жил пассажир, удалена от Москвы на расстояние ~ всего маршрута?
Расстояние между А и В автомобиль должен был проехать за 10 ч. Сначала он ехал со скоростью 40 км/ч*, когда до половины пути осталось 100 км, то, чтобы прийти вовремя, автомобиль увеличил скорость на 20 км/ч. Найти среднюю скорость автомобиля.
Из города А в город В приехали два товарища. Один из них 4 ч ехал на велосипеде со скоростью 15 км/ч и 6 ч на автомобиле. Второй 3 ч ехал на поезде и 2 ч на автомобиле (скорости автомобилей одинаковы). Скорость автомобиля в 2 раза меньше скорости поезда. Чему равно расстояние от А до 6?
Поезд должен был пройти расстояние между пунктами А и В за II ч 15 мин. Выйдя из А, поезд сначала двигался с меньшей скоростью и прошел 0,4 всего пути за 5 ч. Но затем увеличил скорость на 10,8 км/ч и пришел в В без опоздания. Найти расстояние между Л и 6.
Поезд должен был пройти 720 км за 14 ч 24 мин. Пройдя 0,75 этого пути, он задержался из-за ремонта
на 16 мин. С какой скоростью поезд должен продолжать путь, чтобы прийти к месту назначения в срок?
Мальчик и девочка измерили одно и то же расстояние в 143 м шагами. Так как длины их шагов различны, то их следы совпали 20 раз. Шаг девочки 55 см. Найти длину шага мальчика.
Два приятеля, живущие один в пункте Л, другой в пункте В, совершили в один и тот же день прогулку. Первый вышел в 10 ч 36 мин из пункта А и пришел в 16 ч 21 мин в пункт В. Второй вышел в 10 ч 30 мин из В и пришел в А в 15 ч 06 мин. В какое время они встретились?
VI. Задачи на работу
Один рабочий может выполнить работу за 4 ч, а другой за 6 ч. Сколько времени должен работать третий рабочий, если его производительность равна средней производительности первых двух?
Для наполнения водного бассейна устроено два водопроводных крана, из которых первый, действуя один, мог бы наполнить бассейн за 4 ч 30 мин, а второй— за 6 ч 45 мин. Сначала был открыт только первый кран на то время, в течение которого оба крана могли бы наполнить бассейн. После этого, не закрывая первый кран, открыли второй кран. Через сколько времени после открытия второго крана наполнился бассейн?
Чтобы выкачать из цистерны нефть, поставили два насоса различной мощности. Если бы действовали оба насоса, то цистерна оказалась бы пустой через 12 мин. Оба действовали вместе в течение 4 мин, после чего работал только второй насос, который через 24 мин выкачал всю остальную нефть. Во сколько минут каждый насос, действуя отдельно, мог бы выкачать всю нефть из цистерны?
Плавательный бассейн наполняется двумя трубами за 48 мин, если открыть сразу две трубы. Через одну трубу бассейн может наполниться за 2 ч. Найти объем бассейна, если известно, что за 1 мин через вторую трубу поступает воды на 50 куб. м больше, чем через первую.
Работа была поручена двум рабочим. Первый рабочий может выполнить эту работу за -^ч. Сначала работал первый рабочий, а через 8 мин 40 сек, приступил к работе второй; после этого через •—• ч работа была выполнена. Во сколько времени один второй рабочий может выполнить эту работу?
Чтобы наполнить ванну вместимостью 166 л за 22 мин, сначала открыли кран с горячей водой, через который в 1 мин вливается 6,75 л. Затем этот кран закрыли и открыли кран с холодной водой, через который в 1 мин вливается 8,5 л. Сколько времени был открыт каждый кран?
Разные задачи
Школьник прочитал книгу за 3 дня. В первый день он прочитал 0,2 всей книги и еще 16 страниц, во второй день 0,3 остатка и еще 20 страниц. В третий — 0,75 нового остатка и последние 30 страниц. Сколько страниц в книге?
Колхозник продал картофель трем покупателям: первому —-^ часть его и еще Ю кг, второму—рр остатка и еще Ю кг, а третьему — последние 50 кг. Сколько картофеля продал колхозник?
Туристы совершили переход на велосипедах в три дня. В первый день они прошли у всего пути без 2 км. Во второй день — половину оставшегося пути без 3 км и в третий — -|- оставшегося пути и еще 6 км. Сколько километров проехали туристы за три дня?
Если к задуманному числу прибавить 0,43 его, а затем от полученного результата отнять 0,58 задуманного числа и еще 4,04, то получим 30,3. Найти задуманное число.
Если от задуманного числа отнять 0,3 его, к полученному результату прибавить 0,4 задуманного числа, а затем еще 2,78, то получится 25. Найти задуманное число.
Я задумал число. Если его увеличить в 2,5 раза, к результату прибавить 1,75 и полученную сумму раз-
делить на 0,8, то получится 37,5. Какое число я задумал?
Я задумал число, вычел из него 1,05, разность умножил на 0,8, к произведению прибавил 2,84, полученную сумму разделил на 0,01 и получил 700. Какое число я задумал?
Одно число больше другого на 406. Если большее число разделить на меньшее, то в частном получится Зив остатке 66. Найти эти числа.
Сумма двух чисел равна 640. Если разделить большее число на меньшее, то в частном получится 7 и в остатке 64. Найти эти числа.
В двух ящиках было 155 кг муки. Когда из первого пересыпали во второй 20 кг, то в первом осталось jg того, что стало во втором. Сколько муки было первоначально в каждом ящике?
В двух мешках находится 140 кг муки. Если из первого мешка переложить во второй у муки, находящейся в первом мешке, то в обоих мешках будет поровну. Сколько килограммов муки в каждом мешке?
Два мальчика имели вместе 43 коп. Когда первый израсходовал 5 коп., а второй—13 коп., то остав- 2
шиеся деньги первого составили у оставшихся денег второго. Сколько денег у каждого было первоначально?
Площадь двух участков земли равна 24,25 га. Если от первого отрезать 3,5 га и прирезать их ко второму, то в первом все-таки окажется больше на 0,6 га. чем станет во втором. Как велик каждый участок?
В двух бутылях 12 л чернил. Если из первой отлить 4 л, а во вторую долить 2,5 л, то во второй станет на 1,25 л больше, чем в первой. Сколько чернил было в каждой бутыли?
В одном баке 400 л бензина, в другом — 900 л. Каждый час из первого бака выливают 20 л, а из второго— 10 л. Через сколько часов в первом бакс останется бензина в 4 раза меньше, чем во втором?
Ч Для нумерации страниц словаря потребовалось 2322 цифры. Сколько страниц заключал в себе словарь?
Предполагается, что все без исключения страницы книг занумерованы: 1, 2, 3 и т. д.
Страницы справочника по математике перенумерованы, на последней странице стоит число 710. Сколько потребовалось цифр для нумерации всех страниц?
Ученик перенумеровал страницы своей тетради. Для этого он решил писать номера страниц только с одной стороны, ставя нечетные номера: 1; 3; 5 и т. д. Всего он написал 104 цифры. Сколько всего страниц в тетради и сколько раз ученик написал цифру 7?
На школьной викторине было предложено 30 вопросов. За каждый правильный ответ на вопрос участнику турнира засчитывалось 7 очков, а за неправильный ответ с него списывалось 12 очков. Сколько верных ответов дал один из участников, если при окончательном подсчете оказалось, что он набрал 77 очков?
Для экскурсии надо собрать деньги. Если каждый экскурсант внесет по 75 коп., то на расходы не хватит 4,4 руб. Если каждый внесет по 80 коп., то останется 4,4 руб. Сколько человек принимает участие в экскурсии?
Две бригады получили задание убрать картофель с двух одинаковых по площади участков. Первая бригада убирала ежедневно по 3,2 га, но через несколько дней ей еще оставалось убрать картофель с 4 га. Вторая бригада работала на 2 дня больше первой, но ей все же осталось еще убрать 0,4 га, так как она убирала только по 2,8 га в день. Чему равна площадь участка, который должна была убрать каждая бригада?
Два пионерских отряда обязались собрать по одинаковому количеству макулатуры. Первому отряду, который собирал в среднем по 24 кг в день, через несколько дней оставалось собрать еще 30 кг. Второй отряд собирал ежедневно по 28 кг и к тому же он работал на 2 дня дольше первого, поэтому он перевыполнил свое обязательство на 46 кг. Сколько макулатуры обязался собрать каждый отряд?
Если сестра отдаст брату 1,6 руб., то у обоих станет денег поровну. Если же брат даст сестре 0,5 руб.,
1 Предполагается, что все без исключения страницы книг занумерованы: 1, 2, 3 и т. д.
то у сестры станет денег в 2,5 раза больше, чем у брата. Сколько денег у брата и сколько у сестры?
Когда Колю и Петю спросили, сколько денег каждый из них накопил на покупку книг, Коля ответил: «Если я дам Пете из своих денег 25 коп., то у нас будет денег поровну. Если же мне Петя даст из своих денег 1 руб; 40 коп., то у меня будет денег в 2,5 раза больше, чем у него». Сколько денег накопил каждый мальчик?
В одном бидоне молока в 3 раза больше, чем в другом. Когда в больший бидон долили 6 л, а в другой 7 л, то в первом оказалось молока в 2 раза больше, чем в другом. Сколько молока в каждом бидоне?
Если из первой корзины переложить 20 апельсинов во вторую, то в обеих корзинах апельсинов окажется поровну; если из второй корзины переложить 20 апельсинов в первую, то в первой станет в 3 раза больше, чем во второй. Сколько апельсинов было в каждой корзине?
Если из второго вагона 5 пассажиров перейдут в первый, то в вагонах пассажиров станет поровну; если же из первого вагона 8 пассажиров перейдет во второй, то во втором вагоне станет в 2 раза больше, чем в первом. Сколько пассажиров было в каждом вагоне?
Написаны подряд все натуральные числа от 1 до 100 включительно. Сколько раз написана цифра 0? 1? 5?
Какое наибольшее и какое наименьшее семизначное число можно написать четырьмя нулями и тремя единицами?
Написан натуральный ряд чисел. Числа одно от другого не отделены. Какая цифра стоит на 1001-м месте?
Найти четыре последовательных четных числа, сумма которых равна 4052.
Сумма шести последовательных чисел равна 1275. Найти эти числа.
Сумма пяти последовательных чисел равна 875. Найти эти числа.
Найти такие шесть чисел, из которых каждое следующее больше предыдущего на 0,4. Их среднее арифметическое равно 3.
Найти семь таких чисел, из которых каждое следующее меньше предыдущего на 0,2. Их среднее арифметическое равно 6,6.
Представить 1 -~ в виде суммы трех дробей, числители которых равны 1.
Представить дробь у в виде суммы двух других дробей с разными знаменателями, числители которых равны 1.
Найти четное четырехзначное число, две средние цифры которого образуют число, в 3 раза большее числа тысяч и в 2 раза большее числа единиц этого числа.
Увеличится или уменьшится неправильная дробь, если к ее числителю и ее знаменателю прибавить одно и то же натуральное число? Почему?
Увеличится или уменьшится правильная дробь, если к ее числителю и ее знаменателю прибавить одно и то же натуральное число? Почему?
Как изменится частное, если к делимому прибавить его половину, а из делителя вычесть 0,4 его?
Сумма 0,4 первого числа и 0,4 второго числа равна 0,75. Чему равна сумма 0,15 первого числа и 0,15 второго числа?
5 5
Разность между -^ первого числа и -^ ВТ0‘
25%, то периметр не изменится. Найти площадь прямоугольника.
В связи с изменением сезонных цен на овощи и фрукты цены на яблоки были повышены на 0,2 первоначальной цены, а спустя некоторое время снижены на 0,2 цены. Подешевел или вздорожал этот товар по сравнению с первоначальной ценой?
В трех районах города 12 000 жителей. Сколько 2 жителей в каждом районе, если известно, что -g- числа жителей первого района равны 0,5 жителей второго 2
района и у числа третьего района?
Трем братьям 58 лет. Сколько лет каждому, 321
если лет младшего равны -^- лет среднего и равны у лет старшего?
Два ученика купили себе по книге. Первый из- 5о 2
расходовал на это у своих денег, второй у своих денег. До покупки книг у первого было на 12 коп. меньше, чем у второго, а после покупки стало поровну. Сколько денег было у каждого до покупки?
От Москвы до Тулы поезд шел со скоростью 90 км/ч, а обратно со скоростью НО км)ч. Найти среднюю скорость поезда в оба конца.
Совхоз предполагал уложить виноград в ящики, по 9,375 кг в каждый, но, взяв ящики большего размера, положил в каждый ящик по 12,5 кг. Ящиков для этого потребовалось на 40 меньше, чем предполагали. Сколько килограммов винограда собирался отправить совхоз?
V—VI
КЛАСС
АРИФМЕТИКА
I. Задачи на совместную работу
15 рабочих первой бригады могут построить деревянный дом в 18 дней, 20 рабочих второй бригады — в 12 дней, 30 рабочих третьей бригады могли бы построить тот же дом во столько дней, во сколько дней его построили бы 3 рабочих первой и 24 рабочих второй бригад, работая вместе. Для постройки были приглашены 12 рабочих первой бригады, 16 рабочих второй бригады и 15 рабочих третьей бригады, которые работали вместе до окончания работы. За работу они получили 2970 руб. Сколько дней продолжалась постройка и сколько денег получил каждый?
7 легких тракторов могут вспахать некоторое поле за 10 дней, а 4 гусеничных могли бы вспахать то же поле за 7 дней. Во сколько времени 8 легких и 5 гусеничных тракторов, работая одновременно, могли бы вспахать другое поле, площадь которого относится к площади первого, как 41 : 12?
Один рабочий может выполнить заказ за 6 дней, а другой — за 15 дней. Сначала работал первый рабочий, а затем закончил работу второй. Заказ был выполнен за 9 дней. Сколько деталей было изготовлено, если первый сделал на 150 деталей больше, чем второй?
Одна машинистка может перепечатать некоторую рукопись за 5 ч 20 мин, а другая — за 4 ч 40 мин. Однажды, работая вместе, они напечатали 90 страниц. Сколько страниц напечатала каждая машинистка?
Два насоса при одновременной совместной работе могут выкачать воду из котлована за 12 ч. Производительность одного насоса в полтора раза меньше производительности другого. Во сколько часов была бы
выкачана вода из этого котлована, если бы сначала половину всей воды выкачал первый насос, а затем второй— остальную воду?
II. Задачи на движение
Велосипедист ехал с дачи в город со скоростью 8 у км/ч и должен был прибыть в город в 9 ч 40 мин утра. Не доезжая 15 км до города, он встретил знакомого, ехавшего той же дорогой из города, и, чтобы поговорить с ним, поехал обратно со скоростью этого знакомого. Проехав так вместе 3,75 км, он оставил знакомого, повернул опять к городу и, двигаясь с прежней скоростью, прибыл в город в 10 ч 37 мин утра. В котором часу знакомый велосипедиста выехал из города?
Пароход, идя вверх по течению реки, проходит расстояние между городами А и В за 4 ч 30 мин, а обратно — за 3 ч. Во сколько времени при тех же условиях проплывает то же расстояние бочонок, брошенный по течению реки в месте Л?
Поезд должен пройти расстояние между двумя городами в определенный промежуток времени. Через 5
7 ^- ч после выхода его с места отправления, когда до конечного пункта оставалось еще 259,2 kmv машинист рассчитал, что если поезд будет двигаться с прежней скоростью, то придет на конечный пункт с опозданием на 1,8 ч, а для того, чтобы прийти без опоздания, он должен на остающемся участке пути двигаться в 1 у раза быстрее, чем раньше. Определить расстояние между этими городами:
По двум параллельным железнодорожным путям едут навстречу друг другу два поезда, каждый равномерно, но с различными скоростями. Длина первого поезда 130,75 м, длина второго поезда 117,75 м. Промежуток времени, в течение которого оба поезда шли при 7
встрече один мимо другого, был равен 3 уу сек. Если бы поезда шли в одну сторону и если бы первый поезд нагнал второй, то они шли бы один возле другого 28,4 сек. Какова скорость каждого?
Пароход прошел расстояние между двумя пристанями по течению реки за 10 ч, а в обратном направ-
лении — за 15 ч, делая в час на 8 км меньше. Сколько километров между пристанями?
Моторная лодка может проплыть 28 км/ч по те* чению и только 20 км/ч против течения. Какое расстояние прошла лодка по течению, если она отправилась в 10 ч 30 мин утра, а возвратилась, нигде не останавливаясь, в 4 ч 30 мин того же дня?
Один велосипедист выехал в 6 ч 05 мин утра из А в В, а вернулся по той же дороге в 11 ч 26 мин того же утра. Зная, что из А в В он ехал со скоростью 18 км/ч, а обратно со скоростью 16 км/ч и что в В он задержался ^ч, определить расстояние между А и В.
Из одного и того же города в одном направлении выехали два велосипедиста с разной скоростью. То расстояние, которое первый велосипедист проезжал за 12
5у ч, второй велосипедист проезжал за 4уч. Второй велосипедист выехал через 1 ~ часа после первого. Через сколько часов после выезда второй велосипедист догонит первого?
Из города А в город В выехал всадник со ско- 5
ростыо 10 км/ч. Через у ч после выезда всадника вслед за ним выехал велосипедист и ехал со скоростью 12 км/ч. В город В велосипедист приехал на 5 мин позже всадника. Определить расстояние между городами.
Из двух пунктов, расстояние между которыми равно 22,4 км, одновременно выезжают два мотоциклиста. Если они поедут навстречу друг другу, то встретятся через полчаса после выезда. Если же поедут в одном направлении, то второй догонит первого через 3,5 ч после выезда. Найти скорость каждого мотоциклиста.
Если бы колхозник, отправляясь на железнодорожную станцию, шел со скоростью 3,5 км/ч, то он при.1
шел бы на станцию через у ч после отхода поезда. Если же он будет проходить по 4,2 км/ч, то придет за 20 мин до отхода поезда. Какое расстояние должен пройти колхозник до станции?
В 6 ч утра из А в В вышел пешеход. В 10 ч того же дня из В в А выехал велосипедист и встретил
пешехода в 1 ч дня. Расстояние АВ равно 62 км. Найти скорость каждого, если их отношение равно 0,28.
Расстояние между двумя портами 301 км. Из первого порта в 0 ч 45 мин вышел пароход во второй порт. В 3 ч 5 мин из второго порта вышел другой пароход, который проходил в час на 6 км больше, чем первый. Пароходы встретились в то же утро в 7 ч 25 мин. По скольку километров в час проходил каждый пароход и где находилось место их встречи?
Два автомобиля, выходя одновременно навстречу друг другу из двух городов, могут встретиться через 6 ч. Скорость одного из них в 1 у раза больше скорости другого. На сколько часов позже по сравнению с другим автомобилем должен выехать первый автомобиль, чтобы встретиться на середине пути между городами?
Водитель автобуса должен был проехать от пункта А до пункта Б за определенное время. Пройдя первую треть пути с намеченной скоростью, водитель на остальной части пути увеличил скорость на 20%, а потому прибыл в пункт Б на 20 мин раньше срока. Сколько времени затратил водитель на весь путь от А до Б?
Первую половину пути от Л до Б грузовая машина проходит со скоростью 32 км]ч. На вторую половину пути машина затрачивает времени на 20% меньше, чем на первую. Найти среднюю скорость движения машины на всем пути от А до Б. (Ответ дать с точностью до 1 км/ч.)
Поезд проходит данное расстояние за 10 ч. Но если бы он проходил в час на 10 км больше, то ехал бы всего 8 ч. Определить данное расстояние и скорость поезда.
Пройдя половину пути, пароход увеличил скорость на 25%, благодаря чему прибыл на конечный пункт на полчаса раньше срока. Сколько времени затратил пароход на весь путь?
Решить уравнения
2 : Я(3,72 - 0,02х) ■ -£1: 4 + 2,81 - = 0,2.
О о/ J О J 10
0,9 + Яз,25 - (б 4- - 0,025x1 • 0,б] : 0,751:
: 6 = 1,2.
[(7 + 0,004х): 0,9]: 24,7 - 12,3 = 77,7.
Г (б 4 - -nV2-) -2,8 + 1,751: 0,05 = 235.
.53 ] „ 24-Т6Т = Т5-.53 ] „ 24-Т6Т = Т5-[0,72 -(10- ^) • 0,625]: 0,225 = 0,7.
.53 ] „ 24
-Т6Т = Т5-
.53 ] „ 24
-Т6Т = Т5-
242. Гз,25 ——242. Гз,25 ——5625 - 2,5х) • О0,75
242. Гз,25 ——
242. Гз,25 ——
[(0,001х + 2): 0^3] • 0,01 - 11,2 = 22,2.
(1 — 0,021 : 0,06): 0,13х = [2 у - (2 -у - у)] : у 1
(0,66 - 0,012: 0,2): (1 - 1 у • 0,4) =
= 2 -у х: (3,125-5,6:2 у).
IV. Задачи на проценты
В одном из городов Грузии часть жителей умеет говорить только по-грузински, часть — только по-русски. По-грузински говорят 85% всех жителей, по-русски — 75%. Сколько процентов всех жителей говорит на обоих языках?
При проверке влажности зерна она оказалась равной 16%. 200 кг зерна просушили, после чего зерно стало легче на 20 кг. Найти влажность зерна после просушки (с точностью до 0,1%).
Число коров на одной молочной ферме на 12,5% меньше, чем на другой, но средний удой каждой коровы на 8% выше. На какой ферме получают молока меньше и на сколько процентов?
Объем строительных работ увеличивается на 80%. На сколько процентов нужно увеличить число рабочих, если производительность труда будет увеличена на 20%?
В связи с введением рационализаторского предложения время, необходимое для изготовления некоторой детали машины, уменьшилось на 20%. На сколько процентов увеличилась производительность труда?
В бассейн проведена труба. Вследствие засорения ее приток воды уменьшился на 60%. На сколько процентов вследствие этого увеличится время, потребное для заполнения бассейна?
Заработок рабочего повысился на 20%, а цены на продукты и другие товары снизились на 15%. На сколько процентов рабочий теперь на свой заработок может купить больше продуктов и "товаров, чем прежде?
Ширину прямоугольника увеличили на 3,6 сти, а длину уменьшили на 16%. В результате площадь нового прямоугольника оказалась больше прежнего на 5%. Найти ширину нового прямоугольника.
Длину прямоугольника уменьшили на 2,4 см, а ширину увеличили на 30%. В результате площадь нового прямоугольника оказалась на 4% больше прежнего. Найти длину нового прямоугольника.
Две противоположные стороны прямоугольника удлинили на 10%, а две другие укоротили на 10%. Как изменилась площадь прямоугольника?
Каждую сторону квадрата увеличили на 20%. На сколько процентов увеличилась площадь квадрата?
Изготовлены два куба — один из меди, другой из стали. Ребро медного куба на 20% больше ребра стального куба. На сколько процентов медный куб тяжелее по сравнению со стальным? (Удельный вес меди на 10% больше удельного веса стали.)
Из дуба и стали изготовлены две треугольные пластинки одинаковой толщины, но основание первого (из дуба) треугольника на 20% больше основания второго и высота первого треугольника на 50% больше высоты второго. На сколько процентов вес стальной пластинки больше веса дубовой? (Удельный вес дуба в 10 раз меньше удельного веса стали. Площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту.)
При обработке деревянного бруса его длина уменьшилась на 2,5%, ширина на 7,2% и толщина на 2,8%• Сколько процентов от первоначального объема бруса составили отходы при обработке? (Ответ дать с точностью до 0,1 %.)
На сколько процентов увеличится объем куба, если каждое его ребро увеличить на 10%?
На сколько процентов увеличится полная поверхность куба, если каждое его ребро увеличить на 20%?
Общий сбор пшеницы в колхозе «Звезда» больше, чем в колхозе «Луч» на 26%, хотя площадь под пшеницей больше только на 5%. На сколько процентов
урожай пшеницы с 1 га в колхозе «Звезда» больше, чем в колхозе «Луч»?
На утреннем концерте 40% всех посетителей были школьники, 36%—женщины и остальные посетители — мужчины. На вечерний концерт пришло мужчин на 75% больше, чем на утренний, женщин на 37,5% больше, а школьников на 75% меньше, чем на утренний концерт. Как и на сколько процентов число посетителей на вечерний концерт изменилось по сравнению с числом посетителей на утреннем концерте?
Слиток сплава серебра с цинком весом в 3,5 кг содержал 76% серебра. Его сплавили с другим слитком и получили слиток весом в 10,5 кг^ содержание серебра в котором было 84%. Сколько процентов серебра содержалось во втором слитке?
5 л сливок с содержанием жира 35% смешали с 4 л 20-процентных сливок и к смеси добавили 1 л чистой воды. Какой жирности получилась смесь?
К 200 куб. см 15-процентного раствора соли добавили 300 куб. см 40-процентного раствора той же соли и 250 куб. см чистой воды. Каково процентное содержание соли в полученном растворе?
Из двух сплавов с 60-процентным и 80-процент- ным содержанием меди требуется получить сплав в 40 кг с 75-процентным содержанием меди. Сколько килограммов каждого сплава следует взять для этого?
Нержавеющая сталь представляет сплав железа с хромом и никелем. Сколько хрома и сколько никеля надо сплавить с 67,6 кг железа, если хрома в сплаве должно быть 15%, а никеля в 30 раз меньше, чем хрома?
Сколько граммов 8% серной кислоты можно получить из 200 г жидкости, содержащей 62% серной кислоты?
До какого веса надо выпарить 800 г 10-процент- ного раствора соли, чтобы довести ее содержание до 16%?
Сколько граммов воды надо прибавить к 50 г 35-процентной Соляной кислоты, чтобы получить 10-процентную кислоту?
Древесина только что срубленного дерева содержит 64% воды. Через неделю количество воды стало уже 48% от веса дерева. На сколько уменьшился при
атом вес дерева, если только что срубленное оно весило 7,5 ц. (Ответ дать с точностью до 0,1 ц.)
Только что добытый каменный уголь содержит 2% воды. После некоторого времени он впитывает в себя еще некоторое количество воды и содержит уже 15% ее. На сколько увеличивается при этом вес 25,75 г только что добытого каменного угля? (Ответ дать с точностью до 0,1 т.)
Когда 40 рабочих цеха включились в бригаду коммунистического труда, продукция цеха увеличилась на 20%; когда же 60 % всех рабочих цеха стали работать по-новому, продукция цеха увеличилась в 2,5 раза. Сколько рабочих в цехе и во сколько раз увеличится продукция цеха, когда все рабочие станут передовиками производства?
Молоко одной коровы содержит 5% жира; молоко же другой — 3,5%, но удой ее на 30% выше первой. Сколько надо взять молока от первой коровы, чтобы получить жира на 5,4 кг больше, чем дает молока за то же время вторая корова?
Цена за вход на стадион 1 руб. 50 коп. с человека. Когда цену понизили, количество посетителей увеличилось на 50%, а сбор увеличился на 25%. На сколько копеек понижена плата?
Пионер, собирая деньги на радиоприемник, обратился за помощью к отцу и двум его братьям; они помогли ему. Выяснилось, что первый дядя дал 25% того, что было собрано без него, включая накопления мальчика. Второй дядя и отец дали соответственно 33—% и 50% того, что было собрано без них, включая накопления мальчика. Сколько стоил радиоприемник, если у пионера было 10,4 рубля?
Два брата купили за 80 руб. радиоприемник и за 200 руб. телевизор. На покупку радиоприемника стар-
2 ший брат отдал 20% своих денег, а младший—22-д % своих денег. На телевизор старший брат дал 60% своих денег, а младший—44 у % своих денег. Сколько денег было у каждого брата?
Найти возраст брата и возраст сестры, если 62,5% возраста брата больше 75% возраста сестры на
2 года, а 50% возраста брата больше 37,5% возраста сестры на 7 лет.
5
Одно из слагаемых составило — другого. Сколько процентов от суммы составляет меньшее слагаемое? (Решение задачи объяснить, ответ дать с точностью до 0,1 %.)
Вычитаемое составляет-у^ уменьшаемого. Сколько процентов вычитаемого составляет разность? (Решение задачи объяснить, ответ дать с точностью до ОД %.)
Один рабочий обтачивает за неделю 960 деталей и израсходовал на это 12 резцов, другой рабочий на обточку 640 таких же деталей израсходовал 10 резцов. Кто экономнее расходовал резцы и на сколько процентов?
Три бригады начали одновременную пахоту. Установленная планом ежедневная норма первой бригады так относится к норме второй бригады, как 5:4, а второй к третьей, как 2: 1,5. Первая бригада увеличила ежедневную норму на 10%, вторая бригада на 20%, а третья, как и первая, на 10%. В результате к одному сроку первая бригада вспахала на 14 га больше второй бригады. Сколько гектаров вспахала каждая к этому сроку?
За I квартал завод выполнил 26% годового плана, а количество продукции, выполненное за II, III и IV кварталы, пропорционально числам 6,5:7,8:9,1. Определить, на сколько процентов перевыполнил завод план, если во II квартале завод дал продукции в 1 ~ раза больше, чем в первом.
Задачи на части
Одно число больше другого на 16. Найти эти 5з
числа, если уу одного числа равны -ут другого.
5
Найти два числа, если известно, что у одного з
равны -^ другого и если одно больше другого на 12?
96
Найти два числа, если уу одного равны у другого и если их сумма равна 172.
Сумма трех чисел равна 136,5. Если первое число умножить на 8, второе на 4, третье на 6, то полученные произведения окажутся равными. Найти эти числа.
Самое большое из трех неизвестных чисел больше самого малого на 2,4. Если одно из них умножить на 12, другое на 15 и третье на 10, то полученные произведения окажутся равными. Найти эти числа.
Найти два числа, если их сумма равна 10,5 и частное от деления одного из них на другое равно 10,5.
Найти два положительных числа по таким данным: их разность равна 0,125 и частное при делении меньшего числа на большее равно 0,125.
Сумма трех чисел 254,772. Если в одном из чисел перенести запятую на две цифры вправо, то получится большее из чисел, а если перенести в том же числе запятую влево на одну цифру, то получится меньшее из чисел. Найти эти числа.
Сумма трех чисел 3898,32. Если в одном из чисел перенести запятую вправо на одну цифру, то получится большее из данных чисел, а если в этом же числе перенести запятую влево на одну цифру, то получится меньшее из данных чисел. Найти эти числа.
Продано некоторое количество муки двух сортов, причем средняя продажная цена оказалась 34 коп. за 1 кг. Количество проданной муки первого сорта соста-
5АЛ
вило -^ количества второго сорта. Мука первого сорта продавалась по 46 коп. за 1 кг. Найти цену муки второго сорта.
Из колхоза в город, до которого 48 км, отправились одновременно колхозник на лошади со скоростью 7 км]ч и письмоносец на велосипеде со скоростью 13 км[ч. Через сколько часов остаток пути для письмоносца будет в 3 раза меньше, чем остаток пути для колхозника?
Разные задачи
Восстановить пропущенные цифры:
. , 3 .297.. . , .
. . , 42, . 7
. . . 6 V / / *
4. . 8 3, 5
977,6 : 3,. 5 = 3.., 8.
В двух сосудах находится по 540 л воды. Из первого сосуда вытекает 25 л в минуту, а из второго 15 л в минуту. Через сколько минут во втором сосуде останется воды в 6 раз больше, чем в первом?
К делимому прибавили 10, а делитель умножили на 10, частное, однако, не изменилось. Найти первоначальное делимое. Чему может быть равен делитель?
Указать такое натуральное число, начиная с которого 12 последующих чисел являются составными.
Найти такое смешанное число, чтобы от деления его целой части на -^- получилось в частном 150, а от
7деления его дроби на -^- получилось в частном 2.
Найти такое смешанное число, чтобы от деления его целой части на -^- получилось в частном 200, а от деления его дроби на -~у получилось в частном 5.
Найти смешанное число такое, что от деления его целой части на -—^ получается 900, а от деления дробной части на -^ получается 15.
Быстро установить, что дроби
232323232323Л
99 > 9999 ’ 999999 Равны межДУ собой.
Найти дробь, равную у, чтобы сумма числите* ля и знаменателя ее равнялась 72.
Найти несократимую дробь, зная, что произведение ее числителя и знаменателя равно 550 и что эта дробь может быть выражена конечной десятичной дробью.
Шестизначное число имеет крайней левой цифрой 5. Откинув эту цифру слева и написав ее в конце справа, получили число, которое в 4 раза меньше первоначального. Найти первоначальное число.
Шестизначное число оканчивается цифрой 2. Откинув эту цифру в конце числа и написав ее в начале числа, получим число, в 3 раза меньшее первоначального. Найти первоначальное число.
В 12 ч дня часовая и минутная стрелки совпадают. Через какое наименьшее число минут стрелки вновь совпадут?
Если товар сначала подорожал на 10%, а затем подешевел на 10%, то когда цена его была ниже: до вздорожания или после снижения?
Если к задуманному трехзначному числу прибавить 12 и получившееся число разделить на 7, то в остатке получится 5. Если к тому же задуманному числу прибавить 14 и получившееся число разделить на 9, то остаток от деления будет 5. Если же к задуманному числу прибавить 18 и полученное число разделить на 13, то в остатке опять будет 5. Найти задуманное число.
Если от задуманного трехзначного числа отнять 11 и получившееся число разделить на 11, то в остатке получится 4. Если же от того же задуманного числа отнять 8 и получившееся число разделить на 8, то остаток от деления будет равен 4. Если же от задуманного числа отнять 7 и получившееся число разделить на 7, то остаток опять будет равен 4. Найти задуманное число.
Из восьми внешне совершенно одинаковых монет 7 — золотых; одна монета — фальшивая, несколько легче остальных. Требуется при помощи не более чем двух взвешиваний на чашечных весах, не пользуясь гирями, найти фальшивую монету. Как это сделать?
Брат и сестра измерили шагами длину и ширину огорода прямоугольной формы. Когда брат шел по длинной стороне, а сестра по короткой стороне прямоугольника, они сделали вместе 270 шагов. Потом брат шел по короткой стороне, а сестра по длинной стороне огорода, и тогда они сделали вместе 290 шагов. Длина шага брата равна 0,8 л/, а длина шага сестры равна 0,6 м. Найти площадь огорода.
Две машинистки напечатали рукопись. Одна ма* шинистка в час печатала в среднем 12 страниц, а дру* гая—10 страниц. Сколько страниц в рукописи, если известно, что первая машинистка начала работу на 4 ч раньше, чем вторая, и что они закончили работу одновременно, причем первая машинистка напечатала вдвое больше страниц, чем вторая?
Две машинистки получили за работу всего 25 руб., причем одна перепечатала текст, а другая таблицы. Страниц текста было в 2,5 раза больше, чем страниц
таблиц, но страница таблиц была оплачена на 66-|-% дороже страницы текста. Сколько денег должна получить каждая?
Куплено библиотекой на равные суммы несколько одинаковых книг по физике и несколько одинаковых книг по математике, причем книг по физике куплено на 20 экземпляров меньше, чем по математике. Сколько куплено книг по физике и по математике, если книга по физике стоила 63 коп., а по математике 35 коп.?
Магазин продал кусок ткани в течение четырех дней. В первый день было продано у всего куска и еще 5 лд, во второй — 20% остатка и еще 10 ти, а в третий день — 25% нового остатка и еще 9 ^ и в четвертый день3 того, что осталось после продажи в третий день, и остальные 13 м. Сколько метров было в куске?
База отпустила четырем столовым картофель. Первой столовой отпущено 12,5% всего картофеля и еще 10 кг, второй —^ остатка и еще 40 кг, третьей — 40% нового остатка, четвертой столовой — 75% третьего остатка и остальные 57 кг. Сколько картофеля отпущено всем четырем столовым?
В хозяйстве есть куры и овцы. Сколько тех и других, если известно, что у всех вместе 19 голов и 46 ног?
Участок под клубникой имеет форму прямоугольника, длина которого в 3 раза больше ширины, окружен оградой, отстоящей от сторон участка на 2 м. Площадь, ограниченная оградой, на 128 кв. м больше площади самого участка. Определить длину всей ограды.
В кошельке десять 2-копеечных и 3-копеечных монет. Сколько тех и других монет в отдельности, если всего было 26 коп.?
В класс принесли партию учебников и задачников, всего на 14 руб. 64 коп. Стоимость одного учебника 42 коп., а задачника 24 коп. Сколько принесли учебников и сколько задачников, если всего принесли 46 книг?
В магазине было два куска ткани. Цена ткани первого куска 6 руб. 50 коп. за метр, второго — 5 руб. 50 коп. за метр. Сколько метров ткани было в каждом куске, если вместе в них было 70л<и стоили они 425 руб.?
Имеются два куска ткани различного сорта. Первый кусок, ценой по 3 руб. за метр, стоит на 7 руб. 50 коп. дешевле второго; второй кусок материи стоимостью по 4 руб. 50 коп. за метр, короче первого на 1,5 м. Найти стоимость каждого куска.
Сколькими нулями оканчивается число, равное произведению первых 100 натуральных чисел, т. е. произведению 1 • 2 • 3 •.. 4 • 100. (Решение задачи объяснить.)
Какой цифрой оканчивается произведение всех нечетных двузначных чисел? всех нечетных пятизначных чисел?
Пионерский отряд должен прибыть из города А в город В через 8 дней. Спустя два дня после выхода его из города А в город В вышел второй отряд, который должен прибыть в В через 5 дней. Через сколько дней второй отряд догонит первый?
Два путника, выйдя одновременно из А, прибыли в В. Первый путник первую половину времени, затраченного на переход, шел по 5 км]ч, а затем делал nd 4 км]ч. Второй же путник первую половину пути прошел со скоростью 4 клг(ч, а затем шел по 5 км]ч. Кто из них раньше прибыл в В?
Двое одновременно отправились из А в В. Первый поехал на велосипеде, второй — на автомобиле со скоростью, в 5 раз большей скорости первого. На полпути с автомобилем произошла авария, и оставшуюся часть пути автомобилист прошел пешком со скоростью, в 2 раза меньшей скорости велосипедиста. Кто из них прибыл раньше в В?
АЛГЕБРА
Задачи на вычисление
Найти быстро результат:
^2 (т + ^2) • (^3 ~ п6) (^2 — ^)Л1 С
— т- '~> где т = 4, п =16.
т2 + п2
а2 (а + &2) (а4_ biO) (а2—&), где а = 5, & = 25.
Вычислить 0,001 а?№— 500 а263, если а равно наи^ большему двузначному отрицательному числу; b равно наименьшему целому числу, заключенному между —2,5 и —5,3.
Написать частное от деления разности четвертых степеней чисел х и у на произведение суммы их первых
степеней на сумму их квадратов. Вычислить, подставляя числа: 1) х = —1; у = 2; 2) х = 0; у = —0,5; 3) х = —5; у = —6.
Вычислить 8-^3 х2у3 — 0,02х3у2, если х равен наибольшему целому числу, заключенному между числами —9,3 и —15,1, а у— наименьшему простому числу в третьем десятке натуральных чисел.
Показать, что пятая степень удвоенной разности чисел х и у на 6 меньше 5, если х = 0,5; у = 1.
Найти число, обратное частному от деления разности квадратов чисел х и у на сумму кубов тех же чисел, если х = —11; у = — 1.
Вычислить утроенное частное от деления разности кубов чисел а и х на квадрат суммы тех же чисел, если а = —9; х = —1.
D54х4-0,99х-0,0199
Вычислить -; сначала при х •=
ЮООх3—1г
—0,02, а затем при х = +0,1.
ол 1 d9а2 — За + 1
Вычислить —27^7]—, один Раз считая а равным наибольшему целому отрицательному числу и второй раз при а =— -~.
о53а5 - 1000а3 - 8,9896л о
Вычислить т—5-5—-А при а = —0,2, а
а4 — За2 — 4г
затем при а = —2.
Вычислить -- сначала при х, равном
4х2 — 4х + Ir г
наибольшему отрицательному двузначному числу, а затем при х, равном 0,5.
Что больше и на сколько: 2 или девятая часть куба утроенной суммы чисел а и Ь, если а ~ —2 и b = 1?
Что больше и на сколько: утроенная разность квадратов чисел а и х или удвоенная разность квадратов тех же чисел, если а равно наибольшему двузначному отрицательному числу и х— наименьшему двузначному отрицательному числу?
Написать: 1) полусум-му четвертых степеней чисел а и b и 2) квадрат полусуммы квадратов тех же чисел.
Установить: числовое значение какого из двух выражений больше, подставив: 1) а = —1; b = 0,5; 2) а = 0,2; 6 = — 3; 3) а = 3; b = 0.
Что больше и на сколько: полусумма кубов чисел а и х или куб полусуммы тех же чисел, если а — наименьшее четное число, заключенное между — 19,5 и —13,5, и х — наибольшее нечетное отрицательное двузначное число.
Вычислить:
/ 1648,131 313 \/ 131 3131648\
\ 1751686868 /\ 686 8681751 /*
Вычислить:
/ 1284,212 121 \/212 1211284\
\ 1391656565 )\ 656 5651391 /*
Какой цифрой оканчивается каждое из следующих выражений, если произвести указанные действия:
а) 33 + 43 + 53; б) З13 + 1013 + 1813; в) 1423 + 2323 4- 7023;
г) 214 + 344 + 464; д) 155 + 265 + 395; е) 23"+I;
ж) 32"+1; з) 42ге+1; и) 57"+2?
Вычислить:
(2710 — 5 • 814 * З12 + 4 • 98 • З8): (41 ■ З24);
(10I2 +511 • 29 —513 • 28): (4 • 55 • 106); •
(12 • 52п+1 - 8 • 52п + 4 • 52п~') : (4 • 52"-2);
(36 • 18” - 8 • 2”~4 • 9n - 3n+1 • 6n+1): 18n-‘.
При каком значении х многочлен 7,4% — 8—* — [—5,6х 4- (—2,4% 4- 7) — 11,92] равен 0?
При каком значении х многочлен 4,3 4- [—3,4% — (8х 4- 6) —2,3]— (2,6х— 1,2) равен нулю?
Найти число по следующим данным: а) оно делится без остатка на 5; б) если его умножить на цифру единиц, то получится число, на 363 большее суммы цифр искомого числа.
Написать общую формулу чисел, которые как при делении на 3, так и при делении на 4 дают в остатке 1. (Ответ объяснить.)
Написать общую формулу числа, которое как при делении на 6, так и при делении на 8 дает в остатке 5»
Задачи на доказательство
Доказать, что сумма двух нечетных последовательных чисел делится на 4.
Доказать, что разность квадратов двух последовательных нечетных чисел делится на 8.
Доказать, что разность между квадратом нечетного числа и единицей делится на 8.
Доказать, что сумма четырех последовательных натуральных чисел не может быть простым числом.
Написать в общем виде произведение трех последовательных натуральных чисел и объяснить, что оно во всяком случае делится на 6, а может быть даже на 24.
Доказать, что два натуральных числа а и b обладают следующим свойством: либо а, либо Ь, либо а + + Ь, либо а — b делится на 3.
Доказать, что если два числа при делении на 3 дают в остатке 1, то произведение их дает при делении на 3 тот же остаток 1.
Доказать, что если при делении на 3 одно из двух чисел дает остаток 1, а другое — остаток 2, то произведение их дает при делении на 3 остаток 2.
Если одно из чисел при делении на 9 дает в остатке 5, а другое при делении также на 9 дает в остатке 4, то их произведение при делении на 9 дает в остатке столько же, сколько дает произведение остатков.
Примечание. Результат получится тот же, если числа 5 и 4 в условии заменить другими числами, например 3 и 7; 5 и 8 и т. п. На этом свойстве основана проверка произведения натуральных чисел при помощи цифры 9.
Доказать, что разность трехзначных чисел, из которых одно написано теми же цифрами, что и другое, но в обратном порядке, делится на 9 и 11.
Даны два четырехзначных числа, у одного из которых вторая и третья цифры — нули, и другое — написанное теми же цифрами, но в обратном порядке. Доказать, что разность делится на 27 и 37.
Написать в общем виде четырехзначное число, цифра сотен которого равна 0. Показать затем, что разность между этим числом и числом, записанным теми же цифрами, но в обратном порядке, а) делится на 9; б) не делится на 111.
Доказать, что (п + 2) (п2 + п + 6) делится на 6.
Доказать, что два последовательных нечетных числа — числа взаимно простые.
Доказать, что числа:
175 + 244— 1321 п 2) 216 + З40 + 539 + 2-47 кратны 10;
10n + 8 кратно 18; 4) 55n~2 + 3 кратно 4.
Примечание. В упражнениях 3) и 4) п натуральное.
Доказать, что при любом натуральном п дробь 14/г + 3
21п + 4 несократима.
Показать, что
(100 —а) (100 —&) = 100 [(100 — а) — Ь^Л-аЬ
и что двузначные числа, близкие к 100, удобно пере* множать так: 86-97 = (86 — 3) • 100 + 14 • 3 = 8342; 14 = 100 — 86; 3 = 100 — 97.
Доказать, что: 1) два числа (10а + Ь) и (10а + + с), т. е. такие числа, у которых число десятков одинаковое, можно перемножить по формуле 10а[(10а + Ь) + + с] + be; 2) два числа (10а+ 6) и (10а + а), у которых число десятков одинаковое, а сумма единиц (Ь + с) равна 10, можно перемножать по формуле 100а(а4-1) + + Ьс, т. е. число десятков а надо умножить на следующее за ним число (а + 1), и к произведению приписать произведение единиц.
Доказать, что численная величина выражения
(х2— ах + Ь)2 + 2(х2— ax-Vb^ax — 6) + (ах— &)2 не зависит от а и Ь.
Доказать, что численная величина многочлена (х3 4- ах— Ь)3 — 3(х3 + ах— Ьр^ах — Ь) + + 3 (х3 + ах — &) (ах— 6)2— (ах— 6)3— — (х6 + 5х3 + 25) (х3 — 5) постоянна.
Общий раздел
Найти условие, при котором разность между данным двузначным числом и числом, написанным теми же цифрами, но в обратном порядке, представляет точный квадрат натурального числа.
Найти общую формулу числителя и знаменателя таких дробей, которые после уменьшения как числителя на 1, так и знаменателя на 1 и после сокращения обра- 1 щаются в -^.
Найти общую формулу числителя и знаменателя таких дробей, которые после увеличения их числителя и
знаменателя на 1 и после сокращения обращаются
1 в -3
Может ли сумма трех последовательных натуральных чисел быть числом простым?
Написать все двузначные числа, которые увеличиваются на 36, если переставлять местами цифры этих чисел.
Написать все двузначные числа, которые увеличиваются в 8,5 раза, если между цифрами этих двузначных чисел вставить нуль.
Решить уравнения:
а) 4х - 1 = 7; б) | 4х - 1 | = 7; в) | 4х - 1 | = -5;
г) |х-2| + 2х = 2; д) |х —8|4-х=5; е) |х —3|—х=7;
ж) | 2х — 111 + х = 8; з) | 5х — 2 | + х = 10;
и) |х — 3| + |х + 2| = 7; к) | Зх — 4| + х = 4;
л) | х | = 3 (х — 3); м) | х — 41 — | 2х + 31 = 2;
н) |х + 4| + |х—1| = 5.
Найти все целые числа, удовлетворяющие каждому из неравенств, и отметить их точками на числовой прямой:
а) | х ]^5; б) | х — 8 |^0; в) |х — 3,5 |<2; г) |х|>5; д) |х — 41>5; е) |х + 1|>3; ж) 12х| — 3,4>0;
з) 3 < | х | < 7; и) | Зх — 1 | < —5; к) |7х + 1 | + 6 > 0.
Доказать, что 4343— 1717 делится без остатка на 10.
Найти быстро, что больше: А или В? л л t 5 . 6 । 3 . 7 д —4+g-+g2-+ 8з + 84;
°8828384
Если х может принимать любые числовые значения— отрицательные, нуль, положительные, то при каких X X2 > X3?
Какое из выражений больше и на сколько:
16 • 0,253п*2: (—0,5 • 0,253п”4) или
Каким натуральным числом может быть здесь /г?
Какое из выражений больше:
-4 • О,б2""7 * (12 • О,б10-2")
или
Какими натуральными числами могут быть выражены п и х?
ГЕОМЕТРИЯ
I. Задачи на вычисление
Один из внешних углов равнобедренного тре* угольника равен 80°; найти угол между основанием и высотой, проведенной к боковой стороне треугольника.
Один из внешних углов равнобедренного треугольника равен 32°. Найти угол между основанием этого треугольника и высотой треугольника, проведенной из вершины угла при основании.
В треугольнике АВС из вершины С проведены биссектрисы внутреннего и внешнего углов. Первая биссектриса образует со стороной АВ угол, равный 126°, Какой угол образует с продолжением стороны АВ вторая биссектриса?
В равнобедренном треугольнике угол между биссектрисой угла при вершине и биссектрисой угла при основании равен 130°. Найти углы треугольника.
В треугольнике АВС проведены биссектриса ВМ и высота BD. В треугольнике ВМС проведена высота МК. ВМ образует с BD угол в 20°, а с МК угол в 50°. В каком отношении находятся внешние углы треугольника АВС?
Угол между высотой прямоугольного треугольника, проведенной из вершины прямого угла, и биссектрисой прямого угла равен 12°. Найти острые углы данного прямоугольного треугольника.
Один из углов прямоугольного треугольника равен 32°. Из вершины прямого угла проведены медиана, биссектриса и высота. Найти углы: а) между медианой и биссектрисой; б) между биссектрисой и высотой.
Один из внешних углов равнобедренного треугольника равен 118°. Чему равен угол между высотами, проведенными из вершин меньших углов?
Один из внешних углов равнобедренного треугольника равен 40°. Чему равен угол, образованный высотами треугольника, проведенными к его боковым сторонам?
Внешние углы треугольника пропорциональны числам 6, 7 и 11. Найти угол между высотами этого треугольника, проведенными из вершин его меньших внутренних углов.
В треугольнике АВС АВ = ВС; АС = 10 см. Из точки D, середины АВ, проведен перпендикуляр DE к стороне АВ до пересечения с ВС в точке Е, и точка Е соединена с А. Периметр треугольника АВС равен 40 см. Найти периметр треугольника АЕС.
На плоскости расположены 7 точек так, что никакие три из них не лежат на одной прямой. Через каждые две данные точки проводят прямые линии. Сколько всего проведено прямых линий?
Сколько всего диагоналей можно провести в многоугольнике, имеющем 103 стороны. Ответ объясните.
В многоугольнике (выпуклом), имеющем 100вершин, вершины пронумерованы по движению часовой стрелки (1, 2, 3, ...). Диагональю, соединяющей 42-ю и 81-ю вершины, многоугольник разрезан на два многоугольника. Сколько сторон имеет каждый из полученных многоугольников?
В многоугольнике, имеющем п сторон (п>5), вершины пронумерованы по движению часовой стрелки (1,2,3,..., п). Через 1-ю вершину проведены все диагонали. Затем от данного многоугольника отрезаны два треугольника с вершинами 1, 2, 3 и с вершинами 1, п, п—1. Сколько всего диагоналей можно провести в оставшемся многоугольнике?
П. Задачи на доказательство
Доказать: если две стороны и медиана, проведенная к одной из этих сторон, одного треугольника соответственно равны двум сторонам и медиане другого треугольника, то такие треугольники равны.
Доказать, что если угол, биссектриса и высота, проведенные из вершины этого угла, одного треугольника соответственно равны углу, биссектрисе и высоте другого треугольника, то такие треугольники равны.
Три населенных пункта А, В и С расположены так, что пункт В находится на 3 км к северу от Д, С — в 5 км к северо-западу от А. Три других населенных пункта К, М и N расположены так, что пункт К находится в 3 км к северо-востоку от N и М — в 5 км к востоку от N. Сделать чертеж и доказать, что расстояние между пунктами В и С такое же, как между пунктами К и М.
Три населенных пункта В, С и D расположены так, что С находится в 7 км к юго-западу от В, а поселок D — в 4 км на восток от В. А, К и М— три других поселка, причем поселок М находится в 4 км к югу от поселка К, а поселок А — в 7 км к юго-востоку от М. Сделать чертеж и доказать, что расстояние между пунктами С и D такое же, как между К и А.
Если медиана треугольника является в то же время его. биссектрисой, то треугольник равнобедренный. Доказать.
Угол при вершине равнобедренного треугольника равен 36°. Доказать, что одна из биссектрис этого треугольника делит данный треугольник на два равнобедренных треугольника.
В прямоугольном треугольнике один из углов равен 30°. Доказать, что в этом треугольнике отрезок перпендикуляра, проведенного к гипотенузе через ее середину до пересечения с катетом, втрое меньше большего катета данного прямоугольного треугольника.
На одной стороне угла А отложены отрезки АВ и АС, а на другой — отрезки ABV = АВ и АС^ = АС. Доказать, что отрезки ВСх и В^С пересекаются на биссектрисе угла А.
В прямоугольном равнобедренном треугольнике сумма расстояний от произвольной точки гипотенузы до катетов равна длине одного из катетов. Доказать.
Внутри тупоугольного треугольника АВС через вершину тупого угла А проведены до пересечения с ВС отрезок AD, который составляет с АВ угол, равный углу С, и отрезок АЕ, который составляет с АС угол, равный углу В. Доказать, что треугольник ADE равнобедренный.
В треугольнике АВС на продолжении стороны АВ отложен отрезок ВМ, равный стороне ВС. Точки М и С соединены отрезком прямой. Доказать, что прямая МС параллельна биссектрисе угла АВС.
В равностороннем треугольнике АВС проведена высота BD и продолжена за вершину В до точки К так, что КВ = С А. Точка К соединена с точками А и С. Доказать, что сумма углов АВС и АКС равна прямому углу.
В прямоугольном треугольнике АВС на гипотенузе АВ взяты точки К и М так, что АК = АС, ВМ = ВС. Доказать, что Z.MCK = 45°.
В прямоугольном треугольнике АВС к гипотенузе АВ проведена медиана CD. Через ее конец — точку D проведена прямая, перпендикулярная к медиане, до пересечения с катетом АС в точке Е и продолжением катета ВС в точке F. Отрезок EF в точке М разделен пополам. Точка М соединена с С. Доказать, что СМА-АВ.
В треугольнике АВС биссектриса угла А пересекает сторону ВС в точке D. Через точку D проведена прямая до пересечения со стороной АС в точке Е так, что угол CDE равен углу ВАС. Доказать, что отрезки BD и DE равны.
Доказать, что если в треугольнике медиана равна половине стороны, к которой она проведена, то один из его углов равен сумме двух других.
В равнобедренном треугольнике АВС на продолжении основания ВС за точку С взята точка D. Доказать, что угол АВС больше угла ADC.
Внутри треугольника АВС взята точка М. Доказать, что угол ВМС больше угла ВАС.
В разностороннем треугольнике АВС проведена биссектриса BD. Из вершины С проведена прямая, параллельная BD, до пересечения с продолжением стороны АВ в точке F. Доказать, что треугольник ВСЕ—равнобедренный.
III. Задачи на построение
На прямой АВ найти точку, сумма расстояний которой от двух данных точек М и N была бы наименьшей.
Дана прямая АВ и точки М и N. Найти на АВ такую точку, чтобы разность ее расстояний от точек М и N была наибольшая.
Начертите разносторонний треугольник MNP, Найдите при помощи циркуля и линейки на стороне MN точку, одинаково удаленную от прямых NP и МР. (По* строение объясните.)
В треугольнике найти точку, равноудаленную от всех его сторон.
Дан угол А и точки В и С, расположенные на одной стороне угла. Найти (построением) такую точку М, чтобы она находилась на одинаковом расстоянии от сторон угла и чтобы МВ = МС.
Дан угол А и точки В и С, расположенные одна— на одной стороне угла и другая — на другой. Найти (построением) такую точку X, чтобы она находилась на одинаковом расстоянии от сторон угла и чтобы ВХ = = ХС.
Внутри данного угла найти точку, находящуюся от сторон данного угла на расстоянии, равном а. Указать два способа решения.
Через точки А и В провести две прямые так, чтобы угол между ними делился данной прямой MN по* полам.
Дан угол АВС и точка М внутри него. Найти на сторонах данного угла такие точки D и В, чтобы ZxMDB имел наименьший периметр.
Построить равнобедренный треугольник по высоте, проведенной на боковую сторону, и отрезку боко* вой стороны, заключенному между основанием высоты и вершиной угла при основании.
Построить равнобедренный треугольник по ос* нованию и высоте, проведенной на боковую сторону.
Построить прямоугольный треугольник по высоте, проведенной на гипотенузу, и биссектрисе прямого угла.
Построить равнобедренный треугольник по данному периметру и высоте, опущенной на основание.
Построить треугольник по углу Л, стороне с и сумме сторон а и Ь.
Построить прямоугольный треугольник по катету и разности между гипотенузой и другим катетом.
Построить треугольник по стороне, прилежащему к ней углу, и разности других сторон.
Построить треугольник по Ь, ha и а + с.
Построить треугольник по двум сторонам и высоте, проведенной к одной из этих сторон.
Построить треугольник по двум сторонам и медиане, проведенной к одной из этих сторон.
Построить равнобедренный треугольник по его боковой стороне а и высоте ha, проведенной к ней.
Построить прямоугольный треугольник по высоте, проведенной из вершины прямого угла, и одному из катетов.
VII
КЛАСС
АЛГЕБРА
I. Разложение на множители, сокращение дробей
а3 + 2а2 —3. 446. а3 + а2 + 4. 447. х3-7х-6.
а5 + а + 1. 449. а3 - 6а2 - а + 30.
ab (а — Ь) — ас (а + с) + Ьс (2а + с — д).
bc(a+d)(b — с)—ac(b + d)(a — c) + ab(c + d)(a — b).
(а — х) у3 — (а — у) х3 + (х — у) а3.
а (Ь + с)2 + b (с + а)2 + с (а + b^ — ^abc.
(х2 + 4х + 8)2 - Зх (х2 + 4х + 8) + 2х2.
(х2 + 6х — I)2 + 2х2 + х4 + 2 (х2 + 6х — 1) (х2 + 1).
аЧ [2 (х - 1) - 63] + 2 [2 + (63 - 2) х] - №.
п[п2 — 4(а + п) + х(а — га)] — а(х — 4)(х + 4). х4 + а2х2 + а48ап+2 + ап_1
Ч0В‘ х3 + а3 1 У‘ 16а"44 + 4а”+2 +а" ‘
460~ 3x2 + 1461 хЧ-4
(3х2 + 3х-3)2 ‘ WI* а(х2 + 2) —2ах —(х—I)2—1
,fi9 я4 + 64 -х12-128х6 + 4096
х(га + 2)2-4(я-х)-га2-8 •’ (х3 - 4х2 + 8х - 8)2 *
Вычислить:
ЛЙЛ 219 - 273+ 15 - 49 - 94
69‘210+1210
д6- 5 • 415 - 99 - 4 • З20 • 89
4hd• 5 • 29 • 619 - 7 • 229 • 27е '
Составление уравнений и их решение
На доске написано уравнение 5(... + 3х)(х + + 1)—4(1 +2х)2 = 80, причем в ответе сказано, что х = 2. Найти недостающее число.
В задачнике предложено для решения уравнение: 3(2у + ...) (Зу + 2)—2(3у+1)2 = 43, причем второе слагаемое в первой скобке случайно пропущено.
Найти недостающее число, если в ответе указано, что У = 1-
Решить уравнения:
дао 5 — х . 7 __ х — 1.1
* 4х2 — 8х * 8х 2х (х — 2) ' 8х — 16 *
469.
-ЬЧ + .-^-Ь-^.
бах2 + 4ах — 9х — 6 = 0.
9ах3 - 18х2 - 4ах + 8 = 0.
Каковы должны быть значения а и 6, чтобы выражение а (2х + 3//) + b (2х — бу) обращалось в нуль при х= 1, у = 1? Указать какие-нибудь две пары таких значений а и Ь.
Двузначное число в сумме с числом, записанным теми же цифрами, но в обратном порядке, дает квадрат натурального числа. Найти все такие числа.
Турист, идущий из деревни на железнодорожную станцию, пройдя за первый час 3 км, рассчитал, что опоздает к поезду на 40 мин, если будет двигаться с прежней скоростью. Поэтому остальной путь он проходит со скоростью 4 км]ч и прибывает на станцию за 45 мин до отхода поезда. Каково расстояние от деревни до станции?
Пешеход, идущий к поезду, пройдя за первый час 3,5 км, рассчитал, что, двигаясь с такой скоростью, он опоздает на 1 ч. Поэтому он остальной путь проходит со скоростью 5 км,ч и приходит за 30 мин до отхода поезда. Определить, какой путь должен был пройти пешеход?
Турист выехал на велосипеде из Д, чтобы прибыть в В в назначенное время. Проехав первые 10 км за 40 мин, он рассчитал, что, продолжая движение с той же скоростью, он приедет на 24 мин раньше назначенного срока. Если же он уменьшит свою скорость на 3 км,ч, то даже в этом случае он прибудет в В на 10 мин раньше срока. Чему равно расстояние между А и В?
Из города М. в город N вышел автобус со скоростью 40 км]ч. Через четверть часа он встретил ехавшую из города N легковую машину, делавшую в сред- 54
нем по 50 км]ч. Эта машина доехала до города М и через 15 мин после того выехала обратно в город N. Не доезжая 20 км до города N, машина обогнала автобус. Найти расстояние между городами М и N.
Пловец плывет вверх против течения Невы. Возле Республиканского моста он потерял флягу. Проплыв еще 20 мин против течения, он заметил свою потерю и вернулся догонять флягу; догнал се он возле моста Лейтенанта Шмидта. Определить скорость течения Невы, если расстояние между мостами 2 км.
Самолет летел сначала со скоростью 780 км}ч. Когда ему осталось пролететь на 680 км меньше, чем он пролетел, он изменил скорость и стал лететь со скоростью 830 км[ч. Средняя скорость его на всем пути оказалась равной 800 км)ч. Какое расстояние пролетел самолет?
Из города Д в город В вышел автобус со скоростью 48 км(ч. Через полчаса его обогнал мотоциклист, ехавший со скоростью 60 км]ч. Мотоциклист прибыл в город В и через 12 мин после того выехал обратно по направлению к городу Д. На расстоянии 12 км ст города В он встретил автобус. Найти расстояние от Д до В.
Из двух городов, расстояние между которыми 63 км, вышли одновременно два пешехода и встретились через 9 ч. Определить среднюю скорость каждого пешехода, зная, что, если бы первый шел в 1,5 раза скорее, а второй — в 2 раза скорее, они встретились бы через 5 ч 15 мин.
Мотоциклист со скоростью 62 км]ч отправился из пункта М через некоторое время после выезда авто* буса, скорость которого 55 км)ч. Разница во времен# выходов такова, что к месту назначения, пункту К, они должны прибыть одновременно. Пройдя у пути от М до К, автобус уменьшил скорость до 27,5 км]ч, а потому мотоциклист догнал автобус уже на расстоянии 124 км от К. Найти расстояние от К до М.
Автомобиль в 8 ч утра вышел из Д и, идя со скоростью 64 км/ч, должен был прибыть в В к определенному сроку. В 11 ч произошла неожиданная остановка на 50 мин из-за ремонта шоссе. После этой остановки автомобиль отправился по другой дороге, вследствие чего его путь увеличился на 31 км. Хотя после остановки
автомобиль шел уже со скоростью 70 км)ч, он все же опоздал в В на 1 ч 5 мин. Какое расстояние проехал автомобиль, чтобы прибыть из А в В?
Пароход шел по течению реки со скоростью 24 км!ч. При движении парохода обратно (против течения) от него отделился плот. Когда с этого момента пароход прошел против течения 15 км, этот плот оказался на расстоянии 20 км от него. Определить скорость парохода в стоячей воде.
Узнать, через сколько минут после того, как часы показывали 4 ч, минутная стрелка догонит часовую?
Несколько девочек, все различного возраста, собирали в лесу белые грибы. Собранные грибы они разделили так: самой младшей дали 20 грибов и 0,04 остатка, следующей за ней по возрасту — 21 гриб и 0,04 нового остатка, третьей — 22 гриба и 0,04 следующего остатка и т. д. Оказалось, что все получили поровну. Сколько было собрано грибов и сколько было девочек?
Несколько мальчиков ловили рыбу. Весь улов они разделили так: первый получил 2 штуки и 0,1 остатка, второй — 4 штуки и 0,1 второго остатка, третий — 6 штук и 0,1 третьего остатка, четвертый — 8 штук и 0,1 нового остатка и т. д. Оказалось, что все получили поровну. Сколько штук рыбы было распределено? Сколько было мальчиков?
Некто оставил завещание, согласно которому старший сын получает из полного наследства 100 франков и 0,1 остатка, второй — 200 франков и 0,1 нового остатка, третий—300 франков и 0,1 следующего остатка и т. д. до последнего. Доли всех сыновей оказались равными. Найти размер оставленного наследства и число сыновей. (Старинная французская задача.)
Крестьянка продала из принесенных ею на рынок яиц первому покупателю половину всех яиц без 6. Второму — третью часть остатка без 6. Третьему — четвертую часть остатка без 6. После того у крестьянки осталась не проданной еще половина всех принесенных на рынок яиц. Сколько яиц принесла на рынок крестьянка и сколько продала она каждому покупателю? (Старинная задача.)
По окончании спектакля в театре 174 зрителя разошлись пешком, остальные разъехались на 18 авто-
бусах, причем в каждый автобус вошло на 5 человек больше, чем в нем было мест для сидения. Если бы зрители, уехавшие на автобусах, входили в каждый автобус по числу мест для сидения, то понадобилось бы еще 3 автобуса, но в последнем осталось бы 6 мест свободных. Сколько всего зрителей было в театре?
На двух чашках весов, находящихся в равновесии, лежат дробинки двух разных калибров, но на каждой чашке только одного калибра. Всего дробинок 195. Если снять с одной чашки весов 11 дробинок, то для сохранения равновесия надо с другой чашки переложить на первую 2 дробинки. Сколько дробинок каждого калибра лежит на весах?
Отцу и матери вместе 80 лет. Их детям в это время было 13 лет, 10 лет и 6 лет. Через несколько лет сумма лет детей составила 59% суммы лет отца и матери. Сколько стало лет отцу и сколько матери, если известно, что отец старше матери на 4 года?
Пете дали стакан черного кофе. Он отпил ~ ста
кана и долил молоком. Затем опять отпил ~ стакана и о
вновь долил молоком. Выпив затем -=- стакана, он под- 0
считал, что в оставшейся части кофе только на 28 куб. см больше, чем молока. Найти объем стакана.
Ученик задумал число, приписал к нему справа 2 и к полученному числу прибавил 14. К полученному числу приписал справа 3, а затем прибавил 52. Разделив полученное таким образом число на 60, он получил в частном число, на 6 большее задуманного числа, а в остатке двузначное число, написанное одинаковыми цифрами и притом такими, что число десятков равно как раз задуманному числу. Найти задуманное число.
Если к некоторой сумме денег прибавить через
1 1
год ее, а в следующий —— новой суммы, то первоначальная сумма за два года увеличится на 16900. Найти первоначальную сумму.
Число А составляет 92% от числа В. Если В увеличить на 700, то оно будет больше А на 9% от увеличенного В. Найти эти числа.
1П. Составление систем уравнений и их решение
Путь от Л до В идет 3 км в гору, 6 км под гору и 12 км по ровному месту. Весь путь мотоциклист проделал за 1 ч 7 мин. Обратный путь, во время которого он ехал в гору, под гору и по ровному месту с той же скоростью, что и от А к В, он проделал за 1 ч 16 мин. Определить скорость мотоциклиста в гору, под гору, если на ровном месте он ехал по 18 км]ч.
Путь между городами А и В идет сперва по шоссе, а потом по грунтовой дороге. Двигаясь по шоссе со средней скоростью 45 км/ч, а по грунтовой дороге со скоростью 30 км]ч, автомашина прошла путь из А в В за 8 ч 40 мин. На обратном пути машина увеличила скорость по грунтовой дороге на 2 км)ч, а по шоссе уменьшила скорость на 5 км(ч и прошла путь от В до А за 9 ч. Определить длину всего пути от А до В и длину Шоссе.
Моторная лодка прошла по течению реки от пристани Пашково до пристани Иваньково и затем против течения от пристани Иваньково, мимо пристани Пашково, до пристани Васильево и затратила на весь этот путь 9 ч 20 мин. После этого лодка за 9 ч прошла путь от пристани Васильево до пристани Иваньково и от пристани Иваньково до пристани Пашково. Определить расстояние от пристани Пашково до пристани Василь* ево, если скорость лодки в стоячей воде 10 км/ч, а скорость течения реки 2 км[ч.
В трех сосудах налита вода. Если ~ воды первого сосуда перелить во второй, затем у воды, оказавшейся во втором, перелить в третий и, наконец, -^ воды третьего перелить в первый, то в каждом сосуде окажется по 6 л. Сколько было воды в каждом сосуде?
В трех сосудах налита вода. Если у воды первого сосуда перелить во второй, затем у воды, оказавшейся во втором, перелить в третий и, наконец, -у воды третьего перелить в первый, то в каждом сосуде окажется воды по 9 л. Сколько было воды в каждом сосуде?
Из двух баков начали одновременно отпускать бензин: из первого ежедневно по 16,5 т, а да второго по 11,4 т. К тому времени, когда из второго бака отпустили весь бензин, в первом еще осталось 25 т. Если бы из первого отпускали по 10 т, а из второго по 6 т, то бензина в обоих баках хватило бы на один и тот же срок. Сколько бензина было в каждом баке первоначально?
Завод выпускает радиоприемники стоимостью по 80 руб. и по 64 руб. Первая партия стоила 5760 руб., а вторая 6560 руб. Во второй партии более дорогих при- емйиков было выпущено вдвое меньше, чем в первой, а всего во второй партии было на 17 приемников больше, чем в первой. Сколько приемников выпустил завод в обеих партиях вместе?
Антикварный магазин, купив два предмета на общую сумму 360 руб., продал их, получив 25% прибыли. За сколько был продан каждый предмет, если на первый была наценка 50%, а на второй 12,5%?
Имеются два куска ткани; 1 м ткани первого куска стоит 8 руб., а 1 м ткани второго куска — 12 руб. Стоимость всей ткани составляет 1200 руб. Если цену 1 м первого куска поднять на 30%, а второго — на 25%, то 7
вся ткань стоила бы больше на -^ ее новой стоимости. Узнать длину каждого куска.
Найти два двузначных числа, обладающих следующими свойствами: а) если к большему искомому числу приписать справа нуль и за ним меньшее число, а к меньшему приписать большее число и затем нуль, то при делении первого из образовавшихся таким образом двух пятизначных чисел на второе получим в частном 2 и в остатке 590; б) разность между утроенным большим числом и учетверенным меньшим равна 23.
IV. Задачи на доказательство
Доказать, что при любом натуральном п выражение — Q — равно целому числу.
Доказать, что при любом натуральном п выра- 10”+ 2
жение —g— равно целому числу.
Доказать, что разность между кубом какого- либо целого числа и самим числом делится на 6.
Доказать, что при всяком целом п число п (п 4- + 1) (2n + 1) всегда делится на 6.
Доказать, что сумма двух нечетных последовательных чисел делится на 4 и всякое число, делящееся на 4, есть сумма двух нечетных последовательных чисел.
Доказать, что разность квадратов чисел, не делящихся на 3, делится на 3.
Доказать, что разность четвертых степеней двух чисел, из которых первое при делении на 5 дает остаток 1, а второе — 2, кратна 5.
Доказать, что число вида п5 — 5п3 + 4/г, где п— натуральное число, делится на 120.
Доказать, что число вида п4— 4п3— 4п2+16п, где п — положительное четное число, большее 4, делится на 384.
Доказать, что разность между квадратом числа, которое не делится на 3, и единицей делится на 3.
Доказать, что (м— 1)[(п2 + Зп + I)2— 1] делится на 120 при любом натуральном п.
Доказать, что п3 + Зп2 — п— 3 делится на 48 при нечетном значении п.
Если разность двух нечетных чисел делится на 5, то какой цифрой оканчивается разность кубов этих чисел?
Доказать, что сумма квадратов трех последовательных целых чисел при делении на 3 дает остаток 2.
Доказать, что дробь, числитель которой — произведение четырех последовательных натуральных чисел, а знаменатель — произведение трех последовательных четных чисел, сократима на 24.
Доказать, что дробь -^г^гт^гу ПРИ любых натуральных п > 2 правильная сократимая.
Доказать, что разность квадратов двух последовательных целых чисел есть число нечетное.
Доказать, что произведение четырех последовательных чисел, увеличенное на 1, есть точный квадрат.
Доказать, что произведение четырех последовательных четных чисел, увеличенное на 16, есть точный квадрат.
Доказать, что произведение трех последовательных целых чисел, сложенных со вторым из них, равно кубу этого числа.
1) Доказать, что разность между трехзначным числом и числом, записанным теми же цифрами, но в обратном порядке, не может быть квадратом натурального числа.
Найти условие, при котором разность между данным двузначным числом и числом, написанным теми же цифрами, но в обратном порядке, представляет точный квадрат натурального числа.
Некоторое число есть произведение трех последовательных натуральных чисел. Сумма частных, полученных от деления этого числа на каждый из трех составляющих его множителей, равна 74. Найти число.
V. Разное
Найти два числа, зная их сумму 168 и общий делитель 24.
Если 4373 и 826 разделить на одно и то же число, то получим соответственно остатки 8 и 7. Чему равен делитель?
При каком условии разность двух дробей равняется их произведению? (Решите задачу в общем виде и приведите числовые примеры.)
При каком условии сумма двух дробей равняется их произведению? (Решите задачу в общем виде и приведите числовые примеры.)
Какие целые числа можно прибавлять к числителю и знаменателю дроби, не изменяя ее величины?
Какие две дроби дают произведение в 7 раз меньше, чем их сумма?
Шестизначное число начинается слева цифрой 1. Если эту цифру перенести с первого места слева на
последнее место справа, то вновь полученное число будет втрое больше первоначального. Найти первоначальное число.
Даны формулы: А = ^Ц В = ^±2^;
v е лх — у »х+у+р '
X
С = —у.Как изменятся числовые значения А, В. С,
у2’’’
если каждое из чисел х, у, р умножить на н(/г#=О)?
Построить четырехугольник, вершины которого лежат в точках с координатами: (2; 1); (6; 8); (6; 1); (2; 8). Чему равна площадь этого четырехугольника? (За единицу принять отрезок, равный 0,5 см.^
Вершины прямоугольника лежат в точках с координатами: (3; 2); (11; 2)} (11; 7). Построить прямоугольник и вычислить его площадь. (За единицу принять отрезок, равный 0,5 см.^
Найти такие правильные дроби, из которых каждая от уменьшения числителя и знаменателя на 1 обра- 1
щается в -g-.
Найти двузначное число, равное утроенному произведению его цифр.
Квадрат двузначного числа содержит четное число десятков. Найти цифру единиц этого двузначного числа.
Квадрат двузначного числа содержит нечетное число десятков. Найти цифру единиц двузначного числа.
Четырехзначное число, в котором цифра десятков есть нуль, а цифра единиц равна разности между цифрами тысяч и сотен, есть точный квадрат. Какое это число?
Четырехзначное число, в котором цифра сотен есть нуль, а цифра единиц равна сумме цифр тысяч и десятков, есть точный квадрат. Какое это число?
Существуют ли два последовательных натуральных числа, сумма цифр каждого из которых делится на 116?
Существуют ли такие два последовательных натуральных числа, сумма цифр каждого из которых де* лится на 125?
Дана система!
ут7 = 3, где х>0; t/>0; z>0.
Что больше: г или х?
Дана система:
Г х + у + г = 28;
I 2х — у = 32, где х > 0; у > 0; z > 0.
Что больше: х или у?
ГЕОМЕТРИЯ
Задачи на вычисление
Существует ли такой выпуклый многоугольник, у которого внешние углы пропорциональны числам 3:3:2:2?
Существует ли такой выпуклый многоугольник, у которого отношение суммы внутренних углов к сумме внешних равно 15:4?
В треугольнике АВС проведены ВК— биссектриса и BE — высота (^ и f лежат на АС). Угол ВКЕ равен 70°. Найти разность между углами С и А.
В треугольнике ABC Z.C—ZA = 60°, BD — биссектриса, BE — высота (точки D и Е лежат на АС). Найти DE, если BD = 10 см.
Основания трапеции равны 3 см и 2 см. Диагонали ее равны 4 см и 3 см. Найти площадь трапеции.
Основания трапеции 4 см и 9 см. Диагонали трапеции 5 см и 12 см. Найти площадь трапеции.
Определить площадь трапеции по двум диагоналям 17 см и 113 см и высоте 15 См.
В треугольнике АВС сторону АВ разделили на 5 равных частей. Обозначили точки деления, начиная от вершины А, буквами Ki, Кг, Кз, К^. Через каждую точку деления провели прямые параллельно АС и точки пересечения их со стороной ВС обозначили буквами Afi, Мг# М3, Mit считая от вершины С. Найти сумму площадей
четырехугольников /Ci^^THf и К3К4М4М3, если b = = 24 см, Нь = 25 см.
Две окружности внешне касаются в точке С. АВ — общая касательная, где А — точка одной окружности, а В— точка другой окружности. Меньший из углов треугольника АВС равен 30°, меньшая сторона—- 15 см. Найти длину большей стороны треугольника.
По углам вписанного в окружность треугольника определить углы треугольника, образованного касательными к этой окружности в вершинах этого треугольника.
По углам при основании вписанного в окружность треугольника определить угол между его основанием и касательной к окружности в вершине треугольника.
Задачи на построение
Построить треугольник, середины сторон которого находились бы в данных точках.
Дан треугольник АВС, вершина которого С не помещается на чертеже. Провести медианы из вершин А и В этого треугольника.
Вершина С треугольника АВС оказалась вне чертежа. Провести прямую, перпендикулярную АВ и проходящую через точку пересечения медиан треугольника. (Точка пересечения медиан не дана.)
В треугольнике АВС вершина В недоступна. Построить медиану к стороне АС.
На местности отмечены два направления (непараллельные), на которых находятся пункты С и D. Точка пересечения этих направлений недоступна. Из этой точки опустить перпендикуляр на CD.
В равносторонний треугольник вписать другой треугольник так, чтобы его вершины лежали на сторонах данного треугольника, а стороны были бы перпендикулярны к сторонам данного. Доказать, что вписанный треугольник равносторонний.
В данный треугольник АВС вписать ромб так, чтобы угол АВС был общим углом ромба и треугольника.
В квадрат ABCD вписать новый квадрат так, чтобы одна из его вершин находилась в точке М, данной на стороне АВ.
В треугольнике АВС провести прямую, параллельную АС, так чтобы AD + ЕС = DE, где D и Е — точки пересечения искомой прямой с боковыми сторонами треугольника.
Построить ромб, чтобы вершины его острых углов находились в данных точках А и В и меньшая диагональ равнялась стороне.
Дана окружность и вне ее прямая. На окружности даны две точки А и В. Найти на ней точку С, чтобы прямые АС и ВС образовывали бы с данной прямой равные углы.
Дана окружность, центр которой недоступен. (Другими словами, центр нельзя использовать при построении.) Построить прямую, касающуюся этой окружности в данной точке.
Построить треугольник по двум сторонам и медиане, проведенной к третьей стороне.
Построить треугольник по медианам та и ть и высоте На.
Построить равнобедренный треугольник по высоте и медиане, проведенным к боковой стороне.
Построить прямоугольный треугольник по медианам та и тс, если с — гипотенуза.
Построить треугольник по трем его медианам.
Построить треугольник по двум данным углам при основании и данному его периметру.
Построить треугольник по основанию с, медиане тс, высоте Нс.
Построить равнобедренный треугольник по высоте Нь, опущенной на основание, и высоте На, опущенной на боковую сторону.
Построить треугольник АВС, если известны угол С, высота Нь и периметр его 2р.
Построить треугольник по углу А, высоте На и биссектрисе того же угла 1А.
Построить прямоугольный треугольник по гипотенузе и радиусу вписанного круга.
Построить равнобедренный прямоугольный треугольник по сумме гипотенузы с высотой, опущенной на нее.
Построить прямоугольный треугольник по острому углу а и сумме S гипотенузы и катета, прилежащего к углу а.
Построить прямоугольный треугольник по острому углу а и сумме S гипотенузы и катета, противолежащего углу а.
Построить параллелограмм ABCD по стороне АВ, углу А и сумме стороны ВС с диагональю АС.
Построить прямоугольник по стороне и сумме диагонали с другой стороной.
Построить параллелограмм по стороне, сумме диагоналей и углу между ними.
Построить параллелограмм по данному его углу и диагоналям (di и d^.
Построить параллелограмм по стороне АВ, тупому углу АВС и высоте, проведенной к стороне АВ.
Между сторонами данного угла поместить отрезок данной длины так, чтобы его концы отсекали на сторонах данного угла равные отрезки.
Построить параллелограмм по стороне а, высоте На и диагонали d.
Построить параллелограмм по основанию, высоте и тупому углу между диагоналями, обращенному к основанию.
Построить параллелограмм по данному основанию, диагонали и углу между диагоналями, обращенному к этой стороне.
Построить параллелограмм по его высотам (Hi и /72) и острому углу.
Построить прямоугольник по большей стороне и перпендикуляру, опущенному из середины этой стороны прямоугольника на диагональ.
Построить ромб по углу, образованному диагональю со стороной, и сумме (т) его диагоналей.
Построить трапецию, если даны: большее основание (а), средняя линия (Ь), углы аир при меньшем основании.
Построить равнобедренную трапецию по высоте, острому углу и средней линии.
Построить трапецию по основаниям, боковой, стороне и углу, который образуется продолжениями боковых сторон.
Из данного треугольника прямыми, параллельными большей стороне, вырезать трапецию так, чтобы
средняя линия ее равнялась отрезку т, а высота — отрезку к.
Построить квадрат по разности (т) между диагональю и стороной.
Найти геометрическое место середин хорд, проведенных в окружности через данную внутри нее точку.
Найти геометрическое место оснований перпендикуляров, опущенных из данной точки А на прямые, проходящие через точку В.
1П. Задачи на доказательство
Дан ромб. Построены биссектрисы его внешних углов до взаимного пересечения. Определить вид образовавшегося четырехугольника и доказать, что его периметр в 2 раза больше суммы диагоналей ромба.
Доказать, что если биссектрисы углов при основании равностороннего треугольника продолжить до взаимного пересечения и из середины полученных отрезков восставить к ним перпендикуляры, то основание треугольника рассечется на три равные части.
В треугольнике АВС сторона ВС продолжена за точку С. Проведены биссектрисы углов ACD и АВС. Доказать, что угол Е, образовавшийся при пересечении биссектрис, равен 0,5 Z_A.
В А АВС на большей стороне АВ отложен отрезок BD = ВС. Доказать, что CD делит угол С на два угла, из которых один равен полусумме углов ВАС и А СВ, а другой — их полу разности.
Доказать, что сумма расстояний от какой-нибудь точки М, взятой внутри равностороннего треугольника, до его сторон постоянна и равна высоте треугольника.
На продолжении основания равнобедренного треугольника взята точка. Доказать, что разность расстояний этой точки до боковых сторон равна высоте треугольника, опущенной на боковую сторону.
Дан треугольник АВС, в котором АС = 0,5(ЛВ-ь -V ВСу Доказать, что прямая, проходящая через точку пересечения медиан и точку пересечения биссектрис, параллельна АС.
В равнобедренном треугольнике АВС проведена биссектриса CD угла С, затем из точки D, лежащей на Л6, проведен отрезок DE, параллельный АС до
пересечения с ВС в точке Е. Из точки D проведен еще перпендикуляр DF к CD (В лежит на ДС). Доказать, что DM равен 0,25 CF, если М— пересечение DE с высотой треугольника.
Биссектрисы треугольника АВС пересекаются в точке О. Через точку О проходят две прямые, которые параллельны прямым АВ и АС и пересекаются с ВС в точках D и В. Доказать, что периметр треугольника OED равен отрезку ВС.
Из вершины треугольника АВС опущены перпендикуляры АМ и АР на биссектрисы внешних углов В и С. Доказать, что отрезок МР равен половине периметра треугольника АВС.
В параллелограмме ABCD точка М— середина ВС, a N—середина CD. Доказать, что прямые АМ и AN делят диагональ BD на три равные части.
Доказать, что биссектрисы внешних углов параллелограмма при пересечении образуют прямоугольник, диагональ которого равна сумме двух соседних сторон параллелограмма.
Доказать, что биссектрисы внутренних углов параллелограмма при пересечении образуют прямоугольник, диагональ которого равна разности двух соседних сторон параллелограмма.
Диагонали параллелограмма ABCD пересекаются в точке О. Доказать, что точки пересечения биссектрис каждого из треугольников ABO, ВСО, CDO, DAO служат вершинами ромба.
Диагонали ромба ABCD пересекаются в точке О. Доказать, что точки пересечения биссектрис каждого из треугольников АВО, ВСО, CDO, DAO служат вершинами квадрата.
На сторонах параллелограмма вне его построены квадраты. Доказать, что центры построенных квадратов являются вершинами нового квадрата.
Дан ромб ABCD с острым углом в 60°. Прямая MN отсекает от сторон АВ и ВС отрезки МВ и NB, сумма которых равна стороне ромба. Доказать, что A MDN равносторонний.
Вершины ромба ABCD соединены с серединами сторон: А — с серединой стороны ВС, В — с серединой стороны DC, С — с серединой стороны DA, D — с серединой стороны АВ. Доказать, что образованный пересече-
нием проведенных отрезков четырехугольник — параллелограмм.
Дан прямоугольный треугольник ABC, Z__C = = 90°, на его катетах построены квадраты ADKC и СВНЕ. Доказать, что сумма расстояний точек D и Н от прямой АВ равна длине гипотенузы АВ.
Дана равнобедренная трапеция ABCD (AD — большее основание), диагонали которой АС и BD взаимно перпендикулярны и пересекаются в точке О. Через вершину В проведена прямая, параллельная диагонали АС, а из вершины С опущен на эту прямую перпендикуляр СЕ. Определить вид четырехугольника ОВЕС.
Доказать, что в четырехугольнике середины диагоналей и точка пересечения прямых, соединяющих середины противолежащих сторон, лежат на одной прямой.
Две окружности пересекаются в точках А и В. Через точку А проведена прямая, пересекающая окружности в точке С и О, и через точку В — прямая, пересекающая окружности в точках Е и F (точки С и Е — на одной окружности, D и F—на другой). Доказать, что zLCBD = ZL£XF.
В окружность вписан равносторонний треугольник АВС. Точка М— произвольная точка этой окружности, находящаяся от ВС по другую сторону, чем точка Л. Доказать, что ВМ + МС = АМ.
Доказать, что из всех прямоугольников, вписанных в окружность, квадрат имеет наибольший периметр.
Доказать, что из всех треугольников, имеющих данное основание и равные углы при вершине, равнобедренный имеет наибольший периметр.
Треугольник АВС равносторонний: Ai — середи* на стороны ВС; В^— середина стороны AC; Ci— середина стороны АВ. Доказать, что AiCt касается окружности, проходящей через А^В^С.
Через точку К, лежащую на окружности О, про* ведена хорда КА (дуга КА больше 90°) и касательная МКР. Прямая, проведенная через центр О перпендикулярно радиусу ОА, пересекает хорду АК в точке В и касательную МР в точке С. Доказать, что отрезок КС равен отрезку ВС.
В данный круг вписан прямоугольник. Середины сторон последовательно соединены отрезками. Доказать,
что периметр образовавшегося четырехугольника равен удвоенному диаметру данного круга.
В квадрате ABCD из точки D как из центра проведена внутри квадрата дуга через вершины А и С. На AD как на диаметре построена внутри квадрата полуокружность. Отрезок прямой, соединяющей произвольную точку Р дуги АС с точкой D пересекает полуокружность AD в точке К. Доказать, что длина отрезка РК равна расстоянию от точки Р до стороны АВ.
Доказать, что радиусы окружностей, описанных около равных треугольников, равны.
Доказать, что если через точку касания двух окружностей проведена внутри их какая-либо секущая, то касательные, проведенные через концы этой секущей, параллельны.
Две окружности пересекаются в точках А и В. Через точку А проведены прямые, пересекающие одну окружность в точках Сь С^ С^ ... и другую в точках Dx. Da, D^ ... В точках С и D строятся касательные к окружностям. Доказать, что эти касательные пересекаются под одним и тем же углом.
Две окружности внешне касаются, к ним проведена общая внешняя касательная. На отрезке касательной, заключенной между точками касания, как на диаметре построена окружность. Доказать, что она касается линии центров первых двух окружностей.
VIII
КЛАСС
АЛГЕБРА
I. Задачи на составление уравнений
Поезд вышел со станции А по направлению к станции В в 13 ч. В 19 ч ему пришлось остановиться из-за снежного заноса. Через 2 ч путь удалось расчистить, и, чтобы нагнать опоздание, машинист повел поезд со скоростью, превышающей первую скорость на 20%. В результате поезд пришел в В с опозданием на 1 ч. На следующий день поезд, шедший по тому же расписанию (из А в В), попал в занос на 150 км дальше от А, чем первый поезд. Простояв 2 ч, он тоже пошел со скоростью на 20% большей, чем скорость до остановки, но нагнал лишь 0,5 ч. Каково расстояние от А до В?
Два поезда отправляются одновременно из А в В навстречу друг другу. Скорость первого поезда на 10 км]ч больше скорости второго поезда. Поезда встречаются на расстоянии 28 км от середины АВ. Если бы первый поезд отправился из А на 45 мин позже второго, то поезда встретились бы на середине АВ. Найти расстояние АВ и скорость обоих поездов.
Два рабочих должны были по плану работать одинаковое число дней. Если бы первый работал на один день меньше, а второй на 7 дней меньше плана, то первый заработал бы 36 руб., а второй — 32,4 руб. Если бы, наоборот, первый работал на 7 дней меньше, а второй на 1 день меньше своего плана, то второй заработал бы на 16,2 руб. больше первого. Сколько заработал каждый в действительности?
Бассейн наполняется водой двумя кранами. Сначала первый кран был открыт одну треть того времени, какое нужно было бы, чтобы наполнить бассейн, открыв только второй кран. Затем, наоборот, второй кран был открыт одну треть того времени, которое требуется для наполнения бассейна одним первым краном. После этого
13 оказалось наполненным -jg- бассейна. Вычислить, сколько времени нужно для наполнения бассейна каждым краном в отдельности, если оба крана, открытые вместе, наполняют бассейн за 3 ч 36 мин.
Три парохода совершают рейс между пристанями А и В. Первый пароход проходит в час на 3 км больше, чем второй, а весь рейс совершает на 2 ч быстрее второго. Второй пароход проходит в час на 3 км больше, чем третий, а весь рейс совершает на 3 ч быстрее третьего. Определить скорость третьего парохода и расстояние между А и В.
Две машины выехали одновременно из одного пункта и едут в одном направлении. Одна машина идет со скоростью 50 км]ч. другая — 40 км/ч. Спустя полчаса из этого же пункта и в том же направлении выехала третья машина, которая обогнала первую на полтора часа позже, чем вторую. Определить скорость третьей машины.
Два пешехода вышли одновременно навстречу друг другу — первый из А, второй из В и встретились через 3 ч. За сколько времени прошел расстояние АВ каждый, из них, если первый пришел в В на 2 у ч позже, чем второй пришел в Д?
Два пешехода вышли одновременно навстречу друг другу из А и В*. первый пошел из А в В, а второй— из В в А. Каждый идет с постоянной скоростью без остановок и, придя в свой конечный пункт, немедленно поворачивает обратно. Когда они встретились во второй раз, то оказалось, что первый пешеход прошел на 4 км больше, чем второй. Продолжая идти дальше, первый пешеход прибыл в А через 1 ч после второ?! встречи, а второй в В — через 2,5 ч после этой встречи. Определить скорость первого.
Из пунктов А и 6, расстояние между которыми 60 км, должны были выйти одновременно навстречу Друг другу два пешехода. Однако второй задержался в В и потому вышел с опозданием. Пешеходы встретились в 20 км от В и после встречи продолжали идти каждый в свою сторону. Первый пришел в В раньше, чем второй дошел до А, причем время между прибытием первого в В и второго в А в два раза меньше того вре-
мени, на которое второй задержался в В перед началом пути. На другой день они вышли навстречу друг другу одновременно и встретились через 6 ч 40 мин. Определить скорость первого пешехода.
Турист прошел весь путь от А до Б и обратно за 3 ч 41 мин. Дорога из А и Б идет сначала в гору, потом по ровному месту, затем под гору. На каком протяжении дорога тянется по ровному месту, если скорость ходьбы туриста в гору 4 км(ч, по ровному месту — 5 км/ч, под гору — 6 км)ч. Расстояние от А до Б равно 9 км.
Катер вышел из пункта А одновременно с плотом, плывшим по течению реки, и прошел по течению реки 13у км, а затем, не останавливаясь, — 9 у км в обратном направлении, где и встретился с плотом. Найти собственную скорость катера, если скорость течения реки равна 4 км)ч.
Велосипедист отправился из города А в город В, отстоящий от А на 60 км; затем он выезжает обратно с той же скоростью. Сделав через час после выезда 20минутную остановку, он продолжает путь, увеличив скорость на 4 км)ч. Какова была первоначальная скорость велосипедиста, если известно, что на обратный путь от В до А он употребил столько же времени, сколько и на путь от Л до В?
Имеется лом стали двух сортов с содержанием никеля в 5% и 40%. Сколько надо взять лома каждого из этих сортов, чтобы получить 140 кг стали с содержанием никеля в 30%?
По окружности длиной 60 м равномерно и в одном направлении движутся две точки. Одна делает полный круг на 5 сек скорее, чем другая, при этом они встречаются каждую минуту только один раз. Найти скорость каждой точки.
По окружности длиной 3,6 м равномерно и в одном направлении движутся две точки, которые сходятся через каждые 12 сек. Найти скорость каждой точки, зная, что одна из них пробегает всю окружность на 2 сек быстрее другой.
Два велосипедиста выехали одновременно из одного и того же пункта по кольцевому треку в противоположных направлениях, и через две минуты
встретились. От пункта встречи они поехали в одном направлении, и через три минуты один догнал другого. За какое время каждый велосипедист проходит всю окружность трека?
Два велосипедиста одновременно выехали из одного пункта и поехали по кольцевому треку в противоположном направлении и через одну минуту встретились. От пункта встречи они поехали в одном направлении, причем один уменьшил свою скорость в 2 раза. За какое время каждый велосипедист проходит всю окружность трека, если вторая встреча произошла через две минуты после первой?
Два тела движутся равномерно по окружности в одну сторону. Первое тело проходит окружность на 2 сек быстрее второго и догоняет второе тело каждые 12 сек. За какое время каждое тело проходит окружность?
Два поезда выехали одновременно навстречу друг другу из городов А и В и встретились через 6 ч. Первому поезду, чтобы пройти 0,4 пути от А до В, надо на 2 ч больше, чем второму для прохождения пути от В до А. За сколько часов каждый поезд проходит весь путь от А до В?
658» Велосипедист проехал 96 км на 2 ч быстрее, чем предполагал. При этом за каждый час он проезжал на 1 км больше, чем предполагал проезжать за 1 ч 15 мин. С какой скоростью он ехал?
Два мальчика стартовали по беговой дорожке длиной 50 м с интервалом в одну секунду. Мальчик, стартовавший вторым, догнал первого в десяти метрах от линии старта, добежал до линии финиша и с той же скоростью побежал обратно. На каком расстоянии от линии финиша он встретил первого мальчика на своем обратном пути, если известно, что эта встреча произошла через 10 сек после старта первого мальчика?
Из пункта А в пункт В против течения реки выехала моторная лодка. В пути сломался мотор, и пока его чинили 20 мин, лодку сносило вниз по реке. Определить, на сколько позднее прибыла лодка в пункт В из-за поломки мотора, если известно, что обычно путь из А в В лодка проходит в полтора раза дольше, чем путь из В в А.
Расстояние от Л до В—100 км. Из А вышли одновременно две машины. Скорость первой машины больше скорости второй на 10 км]ч. Первая машина останавливалась в пути на 50 мин. Какова скорость первой машины, если она пришла в В не позже, чем вторая машина.
Двое рабочих грузили на машины дрова. Они начали работать одновременно, и до перерыва второй нагрузил дровами 8 машин. После перерыва они работали еще два часа, и за это время второй нагрузил на 2 машины больше, чем первый нагружал в час, а первый на 12 машин меньше того, что оба вместе нагрузили до перерыва. Сколько всего машин нагрузили оба рабочих за все время работы?
Двое рабочих получили одинаковое задание: изготовить определенное число деталей за определенный срок. Первый выполнил задание в срок, а второй выполнил в срок только 90% задания, не додав столько деталей, сколько первый делал за 40 мин. Если бы второй рабочий делал в час на три детали больше, он выполнил бы задание на 95%. Сколько деталей должен был изготовить каждый рабочий?
Три бригады, работая одновременно, выполняют норму по изготовлению деталей за несколько часов. Если бы первые две бригады работали в 2 раза медленнее, а третья бригада — в 4 раза быстрее, то норма была бы выполнена за то же время. Известно, что первая и вторая бригады при совместной работе выполняют эту норму в 2 раза быстрее, чем вторая с третьей. Во сколько раз первая бригада делает в час деталей больше, чем третья?
Поле площадью 980 га обработано тремя брига* дами, работавшими последовательно одна за другой, причем каждая из них затратила на работу разное число дней. Первая бригада обработала 70 га, вторая—• 280 га, а третья — остальную часть поля. Если бы первая бригада работала столько дней, сколько затратила на работу вторая, а вторая — сколько затратила первая, то они обработали бы одинаковую площадь. Если же вторая бригада работала бы столько дней, сколько затратила третья, а третья — сколько затратила вторая, то они также обработали бы одинаковую площадь. Сколько
дней работала каждая бригада, если известно, что три бригады, работая одновременно, могут обработать все поле за 14 дней?
Теорема Виета
Пусть а и р — корни уравнения х2 + рх + q = О и пусть имеет место соотношение
(а2 + Р) (Р2 + а) = а2 + р2 + а2р2.
Доказать, что между коэффициентами р и q существует зависимость:
р3 4- р2 _ ^pq _ з^ = о.
Пусть Xi и х2— корни уравнения х2 + рх + q = 0 и имеет место соотношение:
(х2 - х2) (х. - х2) + х2х2 = х2 + х2\1Д/ \1Д/1д
Доказать, что между коэффициентами р и q существует зависимость:
,93 + р2 — 3pq — q = 0.
При каком значении а сумма кубов корней уравнения (2а + 1)х2 + (2а + 1)х + 2а2 = 0 равна 3?
При каком значении Ь сумма кубов корней квадратного уравнения (ЗЬ—1)х2 + (36— 1)х + Ь2 = 0 равна — 1?
В уравнении (а2 — 5а + 3)х2 + (За— 1)х + 2 = 0 определить а, если известно, что отношение корней равно 2.
В данном уравнении 4х2—15х + 4/п2 = 0, найти т так, чтобы один корень был квадратом другого.
Найти сумму квадратов корней уравнения ах2 + + Ьх + с = 0, не находя его корней.
Найти сумму кубов корней данного уравнения ах2 + Ьх + с = 0.
Не решая уравнения ах2 + Ьх + с = 0, найти
В уравнении х2 + kx + 7 = 0 найти к, если Xi— — х2 = 1.
Не решая уравнения Зх2 — 5х — 4 = 0, вычислить х^+х^з, где Xj и х2 корни его.
Радикалы
Упростить:Упростить:677. У а2 + 6а+ 9 + Уа2 - 6а + 9.677. У а2 + 6а+ 9 + Уа2 - 6а + 9.678.679.680.681.678.679.680.681.а2 + 1а2 + 1, <2 =# 0 .а>0 и а ^ Ь., <2 =# 0 .а>0 и а ^ Ь.а — Ье ]Л13 — ^аЗЬ + ab2а — Ье ]Л13 — ^аЗЬ + ab21 <Х<2.если1 <Х<2.если\у х-1Х2а b\у х-1Х2а b1+(х + У1 + х2)2 •683. У 2 + У з • Кг + Уг+ Уз х1+(х + У1 + х2)2 •683. У 2 + У з • Кг + Уг+ Уз х684. Упростить следующее выражение:684. Упростить следующее выражение:Ух + 2 Ух — 1Ух — 2 Ух — 1Ух + 2 Ух — 1Ух — 2 Ух — 1
Упростить:
Упростить:
677. У а2 + 6а+ 9 + Уа2 - 6а + 9.
677. У а2 + 6а+ 9 + Уа2 - 6а + 9.
678.
679.
680.
681.
678.
679.
680.
681.
а2 + 1
а2 + 1
, <2 =# 0 .
а>0 и а ^ Ь.
, <2 =# 0 .
а>0 и а ^ Ь.
а — Ье ]Л13 — ^аЗЬ + ab2
а — Ье ]Л13 — ^аЗЬ + ab2
1 <Х<2.
если
1 <Х<2.
если
\у х-1
Х2а b
\у х-1
Х2а b
1+(х + У1 + х2)2 •
683. У 2 + У з • Кг + Уг+ Уз х
1+(х + У1 + х2)2 •
683. У 2 + У з • Кг + Уг+ Уз х
684. Упростить следующее выражение:
684. Упростить следующее выражение:
Ух + 2 Ух — 1Ух — 2 Ух — 1
Ух + 2 Ух — 1Ух — 2 Ух — 1
где 1 ^х<2.
Решить уравнения:
Ух^г + Ух^З7.
Ух^+Т + Ух^Тг = 2.
Ух2-4х + 4+ Ух2 + 1 + 2х= У4 + 4Х + Х2.
Ух2-4х + 4- Ух2-6х + 9= ]/х2-2х+ 1.
х2 + 4х - 16 У2х + 20 = 0.
Ух2-4х + 3+У—х2 + Зх-2= Ух2-х.
УГ+5 + У2^х = х2-25.
Решить неравенство:
УГ+2 + Ух^5> У5^х.
Доказать, что
У 10 + 1/24 + /40 + УбО = /2 + /3 + У 5.
Упростить:
/2+/3+/4
У~2 + /3 + /б + /"8 + 4 '
Выделив полный квадрат из подкоренного выражения, извлечь корень:
а) Уб - 1/20; б) У 7 + 1/48; в) У11 - 6 У 2;
г) У28- 10 /3; д) Уп —2 Уй^Т;
е) Уа — х — 2 Уа — х — 1.
Решить уравнения: а) х2+УЗ = |/4 + 2УЗ; б) х2 + УГ - 2 = |/з^2УТ
Упростить:
V2~/3
В задачах № 698 — 700 следует использовать формулу сложного радикала, которую надо вывести на занятиях математического кружка:
2-2 е
Формула верна при А^УВ. Применение указанной формулы дает сумму „простых” радикалов только в том случае, когда Л2 —В —точный квадрат.
Вычислить:
/_,*.
1 + У7-/24.У7 + /24-1
sV3 +У^б-К 13+У48.
2+^L_=- +.
/2 + У2 + /З/2-V2-/3
Освободиться от иррациональности в знаменателе дроби:
2 + /3
IV. Уравнения и системы уравнений 702. х2 — 2х +у2 — 4у + 5 = 0.
Найти значения х, у и z, для которых выполняется равенство:
4х2 + 9у2 +16z2 - 4х - бу - 8z + 3 = 0.
х4 - 5х3 + Юх2 - Юх + 4 = 0.
4 ^2~.к3-22х2+17 /2х-6 = 0.
х2 + Ух2 + 20 = 22.
707.708.709.710.711.712.707.708.709.710.711.712.]^8х + 4 - ]^8х-4 = 2.
707.
708.
709.
710.
711.
712.
707.
708.
709.
710.
711.
712.
4, fT + 3
ух +2 ь /7 + Уз7-/б _ У2+/б-Ух
V 2х + 6V х + 4*
а 6
— Ьх\ — ах *
х 2а 8а2
х — ах + а х2 — а2"
При каких значениях а выражение (х — 1) (х — 2)
будет равняться (а— 1)(а — 2)?
Найти все действительные х, у и z, удовлет- (х + у + г = 3;
воряющие системе: 1 л „ нl2xy-2y-z2 = 4.
f(x- 1)(2х + у) = 0;
Цу + 1)(2у-х) = 0.
|х(х-2у)(х-1) = 0; 716. fх3 —у3= 19(х —у);
| JL = 1 ±IX3 + у3 = 7 (х + у).
I х у 1 3 *
((х2 + ху 4-у2) Ух2 + у2 = 1480;
I (х2 — ху + у2) Ух2 А-у2 = 520.
Найти целые решения: 15(х4 + у4) = 17(х2 + у2); | х2 — ху + у2 = 7.
(|х+1 | + |у-1 | = 5; h х + 1 | = Ay - 4.
^20« f -I Г_3х2 + "1/"£2t£ — л.
К X + у + V Зх ~и’ ' ху — 54 = х + у.
721.721.Ху2х + уХу2х + у
721.
721.
Ху2х + у
Ху2х + у
-^=1,2;
y + z
-^-=1,5.
I X + 2
723. (х2 + ху + х= 10;I у2 + ху + у = 20.723. (х2 + ху + х= 10;I у2 + ху + у = 20.722. (х2 + ху + у2 = 4;
723. (х2 + ху + х= 10;
I у2 + ху + у = 20.
723. (х2 + ху + х= 10;
I у2 + ху + у = 20.
I х + ху + у = 2.
724. ( х2 + у Уху = 336;
у2 + х Уху = 112.
725. Найти целые положительные решения системы:
| х2 + 5у2 + 4z2 + 4ху + 4yz = 125;
|х2 + 3у2 —4z2 + 4xy —4yz = 75.
В области действительных чисел
найти корни:
726.
х Ух + у Уу =341;
. х У у + у Ух = 330.
727. j
[ Зх + ху — у2 — Зу = 0;
lх2 — 5х + 2у2 —12 = 0.
728.
xt + х2 + х3 = 6;729.
х2 + х3 + х4 = 9;
х3 + х4 + х5 = 3;
х4 + х5 + х3 = — 3;
х5 + х6 + х7= —9;
х6 + х7 + х8= —6;
х7 + х3 + Х( = — 2;
х8 + х, + х2 =2.
’ Х[ + х2 + х3 + х4 = 10; х2 + х3 + х4 + х5 = 9; х3 + х4 + х5 + X! = 8; х4 + х5 + х| + х2 —7;
‘ Х5 + X] + х2 + х3 = 6.
V. Графики
Построить графики:
730. у = | х + 3 |.
731. у=Цг.
х — 2
732.» |х22|.
733. z/ = |x2-4|.
734. у = |4-х2| + 2.
735. у = |х2-3х-
181.
736. у = 5х2 + 14| х | — 3.
737. у = 4х2-8|х
1-5.
738. у = \х | — х.
739. у = х + ^.
740. у= У(х+ I)2- ]/(х-
I)2
741. y = |x-2| + |x-3|.
у = \ 1 — х | — | х — 2 | — | x — 31.
у = (x + 1)(|x | — 1).
y = |x-1 |(|x|-1).
y = |x—l|-|x + 2|.
^= ^ - У +гх.
x — 2
( —2x2, если | x |< 1;
у = { 0, если | x | = 1;
11 x I, если | x |> 1.
|0,5x—1, если x>3;
z/= { 0, если |x|<3;
[—(x + 3)2, если x^—3.
Решить уравнение
VI. Разное
Разложить на множители:
(6 - с)3 + (с - а)3 + (а - &)3.
а3 + 63 + с3 —Забе.
(а + b + с)3— а3 — Ь3 — с3.
Доказать тождество:
а3 + Ь3 + с3 = ЗаЬс, если а + b + с « 0.
Доказать тождество:
(х4- 1)(х4-3)(х4-5)(х4-7)4-15 == (х 4- 6) (х 4- 2) (х2 + 8х + 10).
Доказать, что сумма трех последовательных степеней числа 2 делится на 7.
Доказать, что при всяком нечетном х выражение х3 + Зх2— х — 3 делится на 48.
Доказать, что при всяком нечетном п выражение я12—п8— и4 + 1 делится на 512.
Доказать, что сумма кубов трех последовательных целых чисел делится на 9.
Доказать, что сумма квадратов пяти последовательных натуральных чисел не является квадратом целого числа.
Доказать, что если два числа при делении на третье число дают одинаковые остатки, то их разность делится на это третье число.
Доказать, что полусумма квадратов двух четных чисел равна сумме квадратов двух целых чисел.
Доказать, что если нечетное число есть сумма квадратов двух разных чисел, то и половина его есть также сумма квадратов.
Упростить:
а3 4- 63 + с3 — ЗаЬс
а2 + Ь2 4- с2 — ab — Ьс — ас *
Решить уравнение:
(х - 4) (х - 5) (х - 6) (х - 7) = 1680.
Доказать, что (х—1)(х — 2) (х — 3) (х — 4) 4+ 1,001 > 0 при любых значениях х.
Решить уравнение в целых положительных числах:
х2 — у^ = 105.
В уравнении х2 4- (2 — а)х— а — 3 = 0 найти а так, чтобы сумма квадратов его корней была бы наименьшей.
В уравнении х2 — ах 4- а—1 = 0, где а — действительное число, найти а, при котором х24-х| принимает наименьшее значение.
ПО. Найти наименьшее значение выражения х4 + х2 + 5
(х2+1)2 *
В нашем распоряжении имеется изгородь длиной в 200 м. Требуется огородить этой изгородью участок земли в виде прямоугольника наибольшей площади. Найти отношение сторон этого прямоугольника и
площадь его.
В квадрат со стороной а вписать квадрат, имеющий наименьшую площадь. Чему равна его сторона?
а + ~~ Целое число (а нс целое). Доказать,что я3 + ~з тоже целое.
X2 + —-уX4 + Ц-
Дано у =и г =.
х4X2X4
Найти выражение для z через у.
Х Х2ПХ Х2ПДоказать, что если у =— , то
Х Х2П
Х Х2П
у2 + 1„,
= 2^—» каково оы ни было п.
Доказать, что уравнение (х— а) (х— 6) + (х — — 6) (х — с) + (х— с) (х — aQ =0 имеет действительные
корни.
Показать, что уравнение (а2 + 62 + с2)х2 + 2(а-Ь + b + с)х + 3 = 0 не может иметь действительных корней, если из чисел а, b и с по крайней мере никакие два не равны между собой.
Найти все пары значений х и у, при которых выполняется равенство: j/x2 — у2 = х — (Уу )2.
Найти все пары значений х и у, при которых выполняется равенство: Ух2 + у2 = (Ух)2 — у.
Известно, что 6 = -^-; х = У\—; у = у- ;
’аА-с 1 b-V с ' у а А-с 1
г = —. Доказать, что у = —. a-vbу х + г
Вычислить: -И—гттгА—Н—тт +
а8 + Ьв 1 а4 + Ь* 1 а2 + Ь2 * а + b
, 1
Найти А и В, если известно соотношение:
Зх 4-3 т4 . В
х2 + х — 2 х — 1 ‘ х + 2 *
ГЕОМЕТРИЯ
Замечательные точки и линии в треугольниках
Если две биссектрисы углов треугольника равны, то треугольник равнобедренный.
Доказать, что во всяком треугольнике биссектриса лежит между медианой и высотой, проведенными из той же вершины.
На сторонах АВ и ВС треугольника АВС построены вне его квадраты: BCKL и BAED. Доказать, что отрезок DL, соединяющий вершины квадратов, в два раза больше медианы треугольника АВС, проведенной из вершины В.
На двух сторонах АВ и ВС треугольника АВС построены квадраты BCEF и BALD и вершины квадратов D и F соединены между собой. Доказать, что продолжение высоты BN треугольника АВС делит отрезок DF пополам.
Построить треугольник, зная точки, в которых продолжения высоты, медианы и биссектрисы, проведенных из одной вершины треугольника, пересекают описанную около него окружность.
Построить треугольник, зная точки, в которых продолжения его высот пересекают описанную около него окружность.
Построить треугольник АВС, зная три точки, в которых продолжения его биссектрис пересекают описанную около него окружность.
Из точки, лежащей вне данного круга, опустить перпендикуляр на данный диаметр или его продолжение. (Задачу решить только с помощью линейки.)
На отрезке АС взята точка В и на АВ и ВС построены по одну сторону от АС равносторонние треугольники ABD и BCDV. Затем точка С соединена с О и А с Dv Середины отрезков CD и AD^— М и N — соединены с В. Доказать, что &MBN равносторонний.
В равнобедренном прямоугольном треугольнике АВС проведена биссектриса острого угла В, которая пересекла катет АС в точке L; на отрезках CL и LA как на
сторонах построены два квадрата. Доказать, что площадь одного квадрата в два раза больше площади другого.
Вершина А квадрата ABCD соединена с точкой О — серединой ВС, вершина В — с точкой Е— серединой СО, вершина С—с точкой N— серединой AD и вершина D — с точкой К — серединой АВ. Точки пересечения проведенных прямых L, М, R и Р служат вершинами четырехугольника LMRP. Доказать, что его площадь равна пятой части площади квадрата A BCD.
Треугольник АВС — равносторонний. АМ = ВК =
CL = ^-. ^М лежит на АС, К на АВ, L на ВС.) Ка* кую часть площади треугольника АВС составляет площадь треугольника DEF, полученного при пересечении AL, ВМ и СК?
В четырехугольнике ABCD точка Е, середина АВ, соединена с вершиной D, a F, середина CD, — с вершиной В. Доказать, что площадь четырехугольника EBFD в два раза меньше площади четырехугольника ABCD.
Доказать, что для всякой точки внутри треугольника справедливо равенство hQ-a + hb-b + hc* c = 2SAbc, где h — расстояние этой точки до соответствующей стороны.
Точка, лежащая внутри параллелограмма,' соединена со всеми его вершинами. Доказать, что суммы площадей противолежащих треугольников, на которые разбивается параллелограмм, равны между собой.
Дан выпуклый четырехугольник ABCD. На продолжении стороны АВ откладывается отрезок ВМ = АВ; на продолжении стороны ВС — отрезок CN = ВС, на продолжении стороны CD — отрезок DP = CD и на продолжении стороны DA — отрезок AQ = AD. Доказать, что площадь четырехугольника MNPQ в пять раз больше площади четырехугольника ABCD.
Через произвольную точку, взятую внутри треугольника, проведены отрезки прямых, параллельных сторонам данного треугольника. При этом треугольник разбивается на три параллелограмма и три треугольника. Доказать, что произведение площадей параллелограммов в восемь раз больше произведения площадей треугольников.
Через точку М, лежащую внутри угла, проведена прямая, отсекающая от этого угла наименьший по площади треугольник. Доказать, что отрезок этой прямой, заключенный между сторонами угла, делится в точке М пополам.
Площадь равностороннего треугольника, построенного на гипотенузе прямоугольного треугольника, вдвое больше площади последнего. Определить углы прямоугольного треугольника.
В трапеции ABCD ^AD |1 СВ) диагональ BD перпендикулярна AD; О — точка пересечения диагоналей. Z_CAD = ZCAB. Определить стороны этой трапеции, если OD = 1 дм, ВО = 2 дм.
Точка касания окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, делит гипотенузу на отрезки т и п. Доказать, что площадь треугольника равна тп.
В прямоугольном треугольнике точка касания вписанной окружности делит гипотенузу на отрезки 5 см и 12 см. Найти катеты этого треугольника.
Построить прямоугольный треугольник по гипотенузе с, если известно, что медиана, проведенная к гипотенузе, есть среднее геометрическое его катетов.
Найти отношение радиусов вписанного и описанного кругов для равнобедренного треугольника с углом а при основании.
П. Подобие треугольников
Одна из диагоналей четырехугольника, вписанного в окружность, является диаметром окружности. Доказать, что проекции противоположных сторон четырехугольника на вторую диагональ равны между собой.
Дана прямоугольная трапеция ABCD, в которой Z_C = 2_В = 90°. На AD как на диаметре построена окружность, которая пересекает ВС в точках М и N. Доказать, что ВМ • МС = АВ • CD.
Две окружности касаются внешним образом в точке А; ВС — их общая внешняя касательная, пересекающая линию центров в точке К. Через К проведена прямая MN, перпендикулярная к ВС. Прямые АВ и АС пересекают MN в точках Р и Е. Доказать, что КР = КЕ.
Трапеция разбивается диагоналями на 4 треугольника. Определить площадь трапеции, если площа-
ди треугольников, прилежащих к основаниям трапеции, равны Si и S2.
Определить отношение площади трапеции ABCD к площади AAOD, где О — точка пересечения диагоналей трапеции, если основание AD = а, ВС = Ь.
Найти расстояния от точки пересечения медиан треугольника АВС до сторон ВС = а и АС = Ь, если известно, что сумма этих расстояний равна к.
Доказать, что если из концов какого-нибудь отрезка АВ провести два параллельных между собой отрезка ДД1 = а и BBV = b и через точку Ci — пересечения BAV и АВ{ провести С^С || ВВ^ то c^-^^ + y* (Этим свойством удобно пользоваться для графического решения некоторых задач на совместную работу, для нахождения общего сопротивления на участке, состоящем из двух или несксгльких параллельных соединений, 11,1 \
ит-п-)
Через точку пересечения диагоналей трапеции ABCD проведена прямая параллельно основаниям ВС и AD до пересечения с боковыми сторонами в точках Е и F. Доказать, что EF — среднее гармоническое оснований, т. е.
ВС AD
В прямоугольном треугольнике биссектриса прямого угла делит гипотенузу в отношении 1 : 3. В каком отношении делит ее высота?
Доказать, что в любой трапеции точка пересечения продолжений боковых сторон, точка пересечения диагоналей и середины ее оснований лежат на одной прямой.
В выпуклом четырехугольнике ABCD дано, что площадь треугольника ODC (О — точка пересечения диагоналей) есть среднее пропорциональное между площадями треугольников ВОС и AOD. Доказать, что ABCD — трапеция.
В треугольнике АВС проведены высоты AD и BE. Доказать, что А АВС подобен A DEC.
В правильном треугольнике АВС со стороной, равной 3, через точку А и середину высоты BD проведена прямая до пересечения с ВС в точке F. Найти длину AF.
В треугольнике АВС точка Л4 — середина ВС. Биссектриса угла АМВ пересекает сторону АВ в точке Е, а биссектриса угла АМС пересекает сторону АС в точке D.
Доказать, что треугольник AED подобен треугольнику АВС.
Найти ME2 + MD2, если МС = 8 см, a DC ;AD = = 3:5.
Три окружности касаются попарно внешним образом. Две окружности имеют радиусы, равные 3, а одна 1. Найти площадь треугольника АВС, если А, В и С — точки касания.
В окружность, радиус которой равен R, вписан равнобедренный треугольник, боковая сторона которого в два раза больше основания. В этот треугольник вписана окружность. Найти радиус этой окружности.
Две окружности радиусов 1 см и 3 см касаются внешним образом. Найти расстояние от точки касания окружностей до их общей касательной.
Боковая высота равнобедренного треугольника делит его площадь в отношении 1 к 3. Определить меньшую из площадей, если основание треугольника 48.
Метрические соотношения в треугольнике и круге
Доказать, что если в треугольнике высота есть средняя пропорциональная между отрезками, на которые делится соответствующая ей сторона основанием высоты, а углы, прилежащие к этой стороне, острые, то треугольник прямоугольный.
Через произвольную точку общей хорды двух пересекающихся окружностей проведено в этих окружностях по хорде. Доказать, что концы двух последних хорд лежат на одной окружности.
Две окружности радиусов R и г касаются внешним образом в точке К, а их общая внешняя касательная касается окружностей в точках А и В. Определить стороны треугольника АВК.
Разные задачи
На сторонах равнобедренного прямоугольного треугольника с катетами b построены квадраты, их центры соединены. Найти площадь полученного треугольника.
Доказать справедливость формулы:
ha г *
где г — радиус круга, вписанного в данный треугольник, a hai hb, hc — его высоты.
В данный прямоугольный треугольник вписать прямоугольник, диагональ которого была бы наименьшей (одна из вершин прямоугольника совпадает с вершиной прямого угла данного треугольника).
Перпендикуляры, опущенные из двух вершин прямоугольника на его диагональ, разделили ее на три равные части. Одна сторона прямоугольника равна V 2. Найти другую сторону.
Основание AD прямоугольника ABCD в 3 раза больше его боковой стороны. Точки Е и F делят AD на три равные части. Доказать, что Z BEA + Z BFA + + Z BDA = 90°.
В правильном многоугольнике сумма перпендикуляров, проведенных из точки, взятой внутри него, на стороны многоугольника, равна его апофеме, умноженной на число сторон. Доказать.
На сторонах прямоугольного треугольника построены подобные многоугольники, причем стороны треугольника являются сходственными сторонами этих многоугольников. Доказать, что площадь многоугольника, построенного на гипотенузе, равна сумме площадей, построенных на катетах.
Стороны правильного треугольника, квадрата и правильного шестиугольника равны между собой. Определить отношение площадей этих многоугольников.
Найти отношение площади правильного шестиугольника, вписанного в круг, к площади правильного шестиугольника, описанного около этого круга.
Площадь равнобедренной трапеции, описанной около круга, равна Q. Острый угол трапеции равен 30°. Найти боковую сторону.
В прямоугольном треугольнике с углом в 30°, проведена биссектриса этого угла, которая пересекает катет ВС в точке D. На отрезках BD и CD построены подобные многоугольники, в которых BD и CD являются сходственными сторонами. Найти отношение площадей построенных многоугольников.
Основания трапеции а и Ь. В трапеции проведен отрезок, параллельный основаниям и делящий площадь трапеции на равные части. Найти длину этого отрезка.
Выпуклый четырехугольник разбит диагоналями на 4 треугольника, площади которых выражаются целыми числами. Доказать, что произведение этих четырех чисел является квадратом целого числа.
Равнобедренная трапеция с углом при основании 60° имеет боковую сторону, равную 2 см. Найти ее площадь, если в нее можно вписать две касающиеся друг друга окружности, каждая из которых касается оснований трапеций и одной из ее боковых сторон.
В равнобедренную трапецию, меньшее основание которой равно единице, вписана окружность радиуса единицы. Найти площадь трапеции.
В параллелограмме со сторонами а и b и углом между ними а проведены биссектрисы углов. Найти площадь четырехугольника, полученного пересечением этих биссектрис.
Найти третью сторону треугольника, если даны две стороны а и b и известно, что медианы, проведенные к этим сторонам, пересекаются под прямым углом.
В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, в 1,5 раза меньше радиуса описанной окружности около этого треугольника. Найти отношение основания к боковой стороне.
Точка С лежит внутри угла в 60°. Ее расстояния от сторон угла а и Ь. Каково расстояние от вершины угла до точки С?
Дан прямоугольный треугольник АВС, катеты которого АС = 3, ВС = 5. На биссектрисе прямого угла А СВ берется точка М. Зная, что угол МАС равен а, найти угол МВ С.
На отрезке АВ, равном а, точка С — середина; на АС и на ВС как на диаметрах по одну сторону от АВ
построены полуокружности. С центрами в точках Л и В радиусами, равными ДВ, проведены дуги до их взаимного пересечения в точке Е, находящейся по ту же сторону от АВ, что и полуокружности. Проведена окружность, которая касается построенных дуг и полуокружностей. Найти расстояние от центра этой окружности до АВ.
На отрезке АВ как на диаметре построен полукруг. На отрезках АО и ВО (радиусах данного полукруга) по одну сторону от АВ построены два полукруга. Найти радиус круга, касающегося всех трех построенных полукругов, если АВ = 4я.
Вписать в данную окружность трапецию по ее высоте и боковой стороне.
Даны две окружности радиусов гх и г2 и точка М на одной из них. Построить третью окружность, касательную к данным, причем одной из них в данной точке М.
Построить треугольник по высоте Нь и двум медианам та и тс, проведенным из других вершин.
Построить треугольник по двум сторонам и биссектрисе угла, заключенного между ними.
В правильный треугольник, сторона которого а, вписаны три равных круга, касающихся друг друга. Каждый из них касается двух сторон данного треугольника. Определить радиусы этих кругов.
В прямоугольном треугольнике острый угол равен 15°. Доказать, что произведение катетов равно квадрату половины гипотенузы.
Доказать, что во всяком четырехугольнике, вписанном в круг, произведение диагоналей равно сумме произведений противоположных сторон. (Теорема Птолемея.)
РЕШЕНИЯ. ОТВЕТЫ
1. 76.
5. 67,23.
2 9 —
у 16 ’
6. 1990.
3. 1 ^ .4. 0.
7. 2,4.8. 0,47.
9.
123,475 + 348,274 _ 259,748
10. -305,678
208,789
96,889
731,497
Первый сомножитель легко найти: 235 038:3 = = 78 346, а второй сомножитель 341.
Единиц второго сомножителя может быть 1 или 6 (так как произведение 4 только на 1 и на 6 оканчивается на 4), но так как произведение 1 на трехзначное число не дает четырехзначного, то единиц должно быть 6, а не 1. Теперь найдем цифру десятков первого сомножителя. Произведение единиц дает 24, значит, десятков в 1-м сомножителе 0 или 5. При умножении сотен 2-го сомножителя, т. е. числа 2 на первый, получается четырехзначное число, причем первая цифра 1 (и при умножении десятков второго сомножителя на первый получается тоже четырехзначное число, начинающееся с 1). Нетрудно видеть, что сотен первого сомножителя 5, а не 6, и десятков 0, а не 5, так как иначе в произведении на месте десятков тысяч не будет 1.
13. 405-205 и 405-207. 14. 234 785-3215.
15. 57 125 • 743.
16. 888 • 888 или 978 • 888.
17. 396 • 376.
18. 9374 • 82.
19. 7286 • 575.
20. 237-31 245.
21. 0 или 6.
22. 8280.
1)„438х 45, 2190 + 1752 197101)„389х105, 1945 ^389408451)„438х 45, 2190 + 1752 197101)„389х105, 1945 ^3894084519 710 + 44= 19 754 (неверное делимое).
1)„438
х 45
, 2190 + 1752 19710
1)„389
х105
, 1945 ^389
40845
1)„438
х 45
, 2190 + 1752 19710
1)„389
х105
, 1945 ^389
40845
13 759 —верное делимое.
13 759 : 45 = 305 (частное), остаток 34.
40 845 + 16 = 40 861 (неверное делимое).
46 801 —верное делимое, частное 445, остаток 76.
74 044, так как искомая сумма на 1606 больше того, что получил ученик.
1 +2 + 3 — 4 + 5 + 6 + 78 + 9 = 100;
12 + 3 — 4 + 5 + 67 + 8 + 9= 100;
123 — 4 — 5 — 6 — 7 + 8 — 9= 100;
123 + 45 —67 + 8 — 9 = 100;
123 + 4 —5 + 67 — 89 = 100;
123 — 45 — 67 + 89 = 100.
2+100= 102 — сумма крайних членов или сум- са членов равно отстоящих от крайних членов.
102-25 = 2550 — сумма 25 пар чисел, т. е. сумма всех четных от 2 до 100.
Задуманное число делится на 7, на 11 и на 13, таким наименьшим числом является 7-11-13=1001. Задуманным числом может быть любое число, большее 1001 в целое число раз.
5. Число 1591 = 37-43, а 1517 = 37-41.
2. Число 2173 = 53-41, а 1643 = 31-53.
12.
10.
2. Прежде чем производить указанные действия, следует сократить некоторые из данных дробей:
3535 _ 1 . 1001 _ 11 . 187 _ 17
88375 — 25 ’ 136515 ’ 25323 '
0. Три из данных дробей необходимо предварительно сократить:
6105 _ 55 . 9919 _ 109 , 2323 _ 23
11211101’ 18382 — 202 ’ 404040*
ос п п <17 : 312517-6250. 1
5.0. Дробь -^6250" = -3125 7 8- = 4 т
I способ Указание.
254 • 399 — 145 = 254 • 399 — 399 + 399 — 145 =
= 253 • 399 + 254.
II способ
254 • 399 — (399 — 254) = 254 • 399 — 399 + 254 =
= 253 • 399 + 254.
1.
1.
-^. Представим каждую из данных дробей в виде , „ill.
разности двух дробей, например, -^ =-^ — у;
1 _11 .< _ 1L п
3056 ’42 — 67и т. Д.
9
-jq . Решение аналогично № 39.
»1ЯП П2ло о 29
20 .42. 305 .43. 3-^-.
-ту. Сначала 10 101 умножим на каждое из трех слагаемых, при этом сократим каждую из полученных дробей.
з
-j^-. 46. 20. Нетрудно видеть, что делимое, стоящее в скобках, равно у, а делитель 4, следовательно, 1„ - 80 808 08080.- лпл
частное равно у. Дробь ^ 979 j91 = у- • 47. 404.
1,01. 49. 15,95.
Если прибавить к искомому числу единицу, тогда полученное число будет делиться на 2, на 3, на 4, на 5, на 6, на 7, на 8, на 9, на 10.
Таким наименьшим числом является 10-9-4*7 = = 2520, а искомое число на 1 меньше, т. е. 2519.
959
52* НОК (131, 1965)= 1965.
Если 30 000 разделить на 1965, то в частном получим 15 и в остатке 525.
1965-15 = 29 475; 29 475 +125= 29 600 (наибольшее искомое число)4
29 600; 27 635; 25 670 — искомые числа.
13 965; 12 000; 10 035.
Да, так как 225 делится на 75 и 150 делится на 75, следовательно, остаток равен нулю. Данное число можно записать так: 225-х + 150, где х— частное. На основании делимости суммы ясно, что данное число делится на 75.
Так как число ножей и вилок (вместе) кратно 10 и 12, значит, оно делится на НОК (10 и 12) = 60. Между числами 300 и 400 только 360 делится на 60.
Ножей 100 штук, а вилок 260.
Частное не изменится, а остаток увеличится в 3 раза.
Частное не изменится, если делимое и делитель уменьшить в одно и то же число раз, а остаток уменьшится в 6 раз и станет равным 4.
Сумма двух чисел — число нечетное, следовательно, одно слагаемое — четное, а другое — нечетное. Произведение четного числа на любое целое число есть
число четное.
1) Если каждое из трех слагаемых при делении на 3 дает остаток 1 или 2, то сумма этих слагаемых делится на 3.
Если каждое из двух слагаемых при делении на 3 дает остаток 1, а третье — 2, то, значит, сумма одного из первых двух слагаемых и третьего разделится на 3.
Если каждое из двух слагаемых при делении на 3 дает остаток, равный 2, а третье—1, то сумма любого из первых двух и треть- г, его делится на 3.“ пряников '
Из трех последовательных натуральных■,
чисел обязательно одно ^. конфет цо кратно 3, а из двух последовательных четных —■ одно кратно 4. Следова- тельно, произведение этих орехов , t трех чисел делится и на 3,1
и на 2, и, кроме того,Рис. 1
на 4, т. е. на 3-2-4 = 24.
Из рисунка 1 видно, что пряников было 200 штук, орехов 320, а конфет 240. НОД (200, 240, 320) = 40. Наибольшее количество подарков 40.
1) 1 ч 30 мин + 10 мин = 1 ч 40 мин = 100 мин (период обращения 1-го автобуса).
1 ч 50 мин + 10 мин = 2 ч = 120 мин (период обращения 2-го автобуса).
1 ч 10 мин + 10 мин = 1 ч 20 мин = 80 мин (период обращения 3 го автобуса).
НОК (100, 120)= 100 6 = 600 (600 мин, т. е. через 10 ч 1-й и 2-й автобусы выйдут одновременно).
НОК (120. 80)= 120-2 = 240, 24 0 мин = 4 ч. Через 4 ч 2-й и 3 й автобусы выйдут одновременно со станции.
НОК (100; 120; 80)= 120-5-2 = 1200;
1200 мин = 20 ч Через 20 ч 1-й, 2-й и 3-й автобусы выйдут одновременно.
70 = 2 • 5 • 7; 56 = 2 • 7 - 4.
НОК (70,56) = 70-4 = 280. Через каждые 280 см следы отца и сына совпадают.
280-10 = 2800 ^смУ 2800 см = 28 м — расстояние между деревьями.
Наибольший общий делитель числителя и знаменателя несократимой дроби равен 1, значит, НОД суммы числителя и знаменателя со знаменателем равен 1, т. е. и вновь полученная дробь несократима.
НОД числителя и знаменателя несократимой дроби равен 1, следовательно, НОД разности знаменателя и числителя со знаменателем тоже равен 1.
Среди любых 11 чисел всегда имеются по крайней мере два таких числа, которые оканчиваются одной и той же цифрой (так как цифр всего 10), а, значит, разность этих двух чисел оканчивается нулем, т. е. разность кратна 10.
Так как НОК — это произведение первого числа на недостающие множители второго числа, то во втором числе невзятыми оказались множители, которые уже есть в первом числе (т. е. их НОД). Значит, произведение НОК на НОД равно произведению данных чисел.
630 : 18 = 35 (5-7 — произведение различных множителей данных чисел.) Так как одно число не делится на другое, то эти числа могут быть только 5-18 = 90 и 7-18= 126.
НОК (35; 28)= 140; НОД (396; 297) = 99, значит, 140
-$д— наименьшее из всех чисел, при делении которого
о 3528
на каждую из дробей -^- и -™ получатся целые числа.
тт -14035 .с , лХ 14028 ]С
Действительно, -gjp:-^-= 16 (целое),= 15 (целое).
НОК (15 и 35)= 105; НОД (8 и 18) = 2; значит, 2,8
-yog-— наибольшее число, при делении на которое -уд и 4|- дают в частном целые числа. Действительно, ОО
ТЁГ'Тбб"= 28 (целое), 35-: у^ = 27 (целое).
1) 13,375-2 = 26,75 —частное;
26,75 • 2 = 53,5 — удвоенное частное;
53,5 -4 = 214 — делимое;
214 :26,75 = 8 — делитель.
4104; 8100; 9108. 73. 9135; 5130.
« 4,5 т.
~ 9,4 куб. м.
31,25 км.
8 км.
181,25 руб.
«0,55.
«667 ч.
26400.
190 км, 320 км, 80 км.
45 км, 205 км, 225 км.
Первое число больше второго в 10 раз: 450 и 45.
1) 37,75-3= 113,25 — утроенная сумма данных чисел или сумма утроенного первого числа с утроенным вторым числом.
154,25 — 113,25 = 41 — удвоенное первое число.
41:2 = 20,5 — первое число.
37,75 — 20,5 = 17,25 — второе число.
I способ (арифметический)
1 — возраст сына в 1966 году, тогда возраст матери в 1966 году составит 4,5 таких единиц.
4,5—1 =3,5 (части) составляют 28 лет.
28 :3,5 = 8 (лет) сыну в 1966 году.
1972—1966 = 6 (лет) прошло с 1966 года.
8 + 6 = 14 (лет) сыну в 1972 году.
14 + 28 = 42 (года) матери в 1972 году.
II способ (алгебраический)
х лет сыну в 1966 году, 4,5х лет матери в 1966 году, тогда 4,5х — х = 28; откуда х = 8.
14 и 23.
I способ (арифметический)
1 — стало во втором ящике, тогда 0,73 — стало в первом ящике.
1 +0,73 =1,73 (части) приходится на 43,25 кг.
43,25:1,73 = 25 (кг) стало во втором ящике.
25 — 4,75 = 20,25 (кг) было во втором ящике.
43,25 — 20,25 = 23 (кг) было в первом ящике.
II способ (алгебраический)
х кг стало во втором ящике и 0,73х кг стало в первом ящике, тогда х + 0,73х = 43,25; откуда х = 25.
28,5 г и 31,5 г.
I способ
2
1 часть — 0/75 площади, вспаханног! первым, или у площади, вспаханной вторым.
1 :0,75= 1у (части) приходится на площадь, которую вспахал первый трактор.
1 Гу =1,5 (части) приходится на площадь, которую вспахал второй трактор.
1 у • 1,5 = 2 (части) приходится на площадь, которую вспахал третий трактор.
116 : ^1,5 + 1 у+ 2^ = 24 (га) приходятся на 1 часть.
24- 1у = 32 (га) вспахал первый трактор.
24- 1,5 = 36 (га) вспахал второй трактор.
24 • 2 = 48 (га) вспахал третий трактор.
II способ
Если х — первое число, а у — второе число, то 0,75х = у у; откуда х : у = 8 : 9.
8-1,5= 12 (частей) составляют площадь, вспаханную третьим трактором.
g^g^g = 32 (га) вспахал первый трактор.
-Щ^- = 36 (га) вспахал второй трактор.
32 • 1,5 = 48 (га) вспахал третий трактор.
III способ (алгебраический)
Если х га вспахал первый, тогда га вспахал второй и 1,5 х га третий, откуда х +1 -^ х + 1,5х = 116, получим х = 32.
1) 0,3-3 = 0,9 количества яблок первой корзины равны 0,36 количества яблок второй корзины.
1 часть — количество яблок первой корзины, тогда 0,9 : 0,36 = 2,5 (части)— количество яблок второй корзины.
140 :(1 + 2,5) = 40 (яблок) в первой корзине.
140 — 40 = 100 (яблок) во второй корзине.
0,24 руб.; 0,06 руб.; 0,15 руб.
Примем за единицу стоимость одной линейки, тогда стоимость одного альбома составит четыре такие единицы. Пять линеек стоят столько же, сколько два циркуля, на стоимость двух циркулей приходится пять единиц, значит, стоимость одного циркуля составит 2,5 единицы (5:2 = 2,5).
0,8 руб.; 1,2 руб.; 0,6 руб.
50 г весит каждый сосуд, 200 г воды в сосуде В, 150 г воды в сосуде А.
999
1)0,45 =-7>а-;0,36 = -=?-•,оллома, собранного
XVХиXV
9
в первый день, равны -^- лома, собранного во второй день, значит, -^ лома, собранного в первый день, равна •^ лома, собранного во второй день. За 1 примем -^ лома, собранного в первый день, тогда вес лома первого дня составит 20 единиц (1:т^- = 20), а второго дня 25 единиц (1 :^- = 25).
20 + 25 = 45 (ед) приходится на 630 кг лома.
630:45= 14 (кг) приходится на 1 часть.
14*20 = 280 (кг) собрали в первый день.
14*25 = 350 (кг) собрали во второй день.
60 коп., 75 коп.
I способ
Скорость второго мотоцикла 1, тогда скорость первого мотоцикла 0,6.
5
10 ч 50 мин— 8 ч = 2 ч 50 мин, 2-^ ч шел первый до выхода второго.
0,6 • 2-|- = 1,7 (части) составляет расстояние, пройденное первым мотоциклом до выхода второго из В.
1—0,6 = 0,4 (части) догоняет за час второй первого.
1,7:0,4 = 4-^ (часа) за столько времени второй мотоцикл догонит первый.
10 ч 50 мин + 4 ч 15 мин = 15 ч 5 мин (в такое время второй догнал первого).
0,4 • 2-^-=1 (часть) приходится на 30 км, следовательно, скорость второго мотоцикла 30 км/ч.
30 • 4 -у = 127,5 (км) — на таком расстоянии от В второй мотоцикл догнал первый.
II способ
х км/ч — скорость второго мотоцикла, 0,6 х км/ч— скорость первого мотоцикла, отсюда (х — 0,6 х) • 2,5 = 30; х = 30.
30 км/ч— скорость второго мотоцикла,
18 км/ч — скорость первого мотоцикла.
5
18 -2 g- = 51 (клг) —расстояние, пройденное первым до выхода второго.
30—18=12 (км/ч)—на 12 км второй приближается к первому за час.
51 :12 = 4,25 (ч)— за столько времени второй догонит первого.
30*4,25 = 127,5 (км) —на таком расстоянии от В второй догонит первого.
9 руб. 60 коп.
1) 17 + 83 =100 (частей) приходится на числитель и знаменатель полученной дроби.
52 367 + 47 633 =100 000 (эта сумма числителя и знаменателя дроби не изменится, если цз числителя вычесть любое число и его же прибавить к знаменателю).
100 000:100 = 1000 (приходится на 1 часть, это и есть то число, на которое сокращали полученную дробь).
1000-17 = 17 000 (числитель полученной дроби).
52 367—17 000 = 35 367 (искомое число).
57 843.101. Искомая дробь ™™ .
Знаменатель больше числителя на 7 частей
П — 4 = 7.
Число 3521 состоит из 7 равных частей.
3521:7 = 503 (приходится на 1 часть, т. е. дробь сократили на 503).
4-503 2012
11-5035533 *
Разность увеличилась на 75,1—0,7 = 74,4 за счет увеличения уменьшаемого в пять раз. Значит, 74,4 равно учетверенному уменьшаемому. Отсюда большее число 74,4:4 = 18,6, а меньшее 18,6 — 0,7 = 17,9.
50-^- и 5 4- Ю5. 3,08; 16,94.
147’
Большее слагаемое—1 часть, тогда меньшее слагаемое — 0,25 части.
1+0,25=1,25 (части) большего слагаемого составляет сумма.
0,25 : 1,25 = 0,2 — большее число.
0,25 — 0,2 = 0,05 — меньшее число.
1,5 и 0,9.
I способ
13 ч 15 мин — 9 ч 25 мин = 3 ч 50 мин — затратил пешеход на путь от А до Б.
14 ч 40 мин — 11 ч = 3 ч 40 мин — затратил пешеход на путь от Б до Д.
12 : 3-|- = 3 -—- ^км/ч^ — скорость на пути от А до Б. 9з
12 : З-д = 3 -ур (км/ч-) — скорость на пути от Б до А.
11 — 9-утр = 1 + (ч)— шел он в первый день до 11 ч.
^ • 1 += 4-^- (кл<) —прошел пешеход до 11 ч ZoZO
утра в первый день.
22 I
12 — 4 "23 =72g (кл«) — расстояние, которое ему осталось пройти с 11 ч.
Далее можно считать, что два пешехода выходят одновременно (в 11 ч) из двух пунктов навстречу друг другу, скорости которых даны.
33102
3-gg + 3 -jy ^= 6 253- (кл/ч) — на столько километров в час они сближаются.
7 -^ . 6 25f= 1 -уд vn — через столько времени они встретятся.
3151
3 23 . 1 -ро=3-цд- (/си) — прошел пешеход с 11 ч до встречи, когда шел от Д до Б.
5122
3 ^уд+4 "23=8,4 (кл<)— на таком расстоянии от А находится то место, через которое он проходил в один и тот же час каждый из этих дней.
II способ
Построим график движения (рис. 2).
За единицу расстояния (1 км^ удобно принять Ю.о, а за единицу времени (1 ч)— 12 мм.
Из этого графика нетрудно увидеть, что искомый пункт находится на расстоянии 8,4 кл/ от А.
7,5 км(ч и 10 км(ч.
ПО. 1) 75-^-:— =129 (/си) — расстояние от А до В.
32
12 —5 5-= 6-у (ч) ехал первый велосипедист до встречи со вторым.
13
12 —7у = 4-^- (ч) ехал второй велосипедист до встречи с первым.
-|-'4-|- = 3-^- (кл/) — на столько больше проехал з
второй, чем первый за 4 у ч.
129-3-^-= 125 -^ (кж) — проехали бы оба вместе за то же время, если бы и второй ехал со скоростью первого.
233
6) 6 у + 4 у = 11 2q- (ч) — за столько времени первый
сипедиста.
3
11"у + у= 12 (лл//^)~ скорость второго велосипедиста.
33
1) 6y~6 = ^-(<z) —шла грузовая машина до выхода автобуса.
8--4-= 6 (кл«) прошел автобус больше, чем грузо- 3 вая машина за -^ ч.
114 —6 = 108 (/сл<) прошли бы они, если бы скорости были равными.
7у —6 = 1 у (ч) шла грузовая машина.
7-х-—6-r = v to шел автобус.
7244 х '
31
1 у+у = 2у (ч) — за столько времени грузовая машина может пройти одна 108 км.
108 : 2у = 48 (кл</ч) — скорость грузовой машины.
48 + 8 = 56 (к.и/ч) — скорость автобуса.
1) Юу — 8у=2у to шла легковая машина.
Юу — 9у = ly to шел автобус.
2 у — 1 у = 1 у (ч) — на столько времени больше в пути была легковая машина, чем автобус.
36 • 2 у = 90 (кл)— прошла легковая машина за счет большей скорости.
160 — 90 = 70 (кл) — прошла легковая машина, так как в пути была на 1 ч 10 мин больше, чем автобус.
70 : 1 у = 60 (к.и/ч) — скорость грузовой машины.
60 + 36 = 96 (клг/ч)— скорость легковой машины. 113. 1) 75:3 = 25 (л//сек)— скорость второго поезда относительно моего поезда.
/25 • 3600,/
м]сек =—10qq Kv^ = 90 км1ч.
90 — 40 = 50 (км)ч)—скорость второго поезда. 50
1) 0,7 :-^ууу = 50,4 (клг/ч) — скорость поезда.
50,4 • 4/60 =0,21 (км) — длина поезда 210 м.
I способ
50 + 70 = 120 (л«) — на столько сближались мальчики в минуту.
840:120 = 7 (мин) — через столько времени они встретились в первый раз.
9 ч + 7 мин = 9 ч 7 мин— во столько времени произошла первая встреча.
840-2 = 1680 (л^) —такое расстояние они пройдут вместе от первой встречи до второй.
1680:120 = 14 (мин) — через столько минут после первой встречи мальчики встретятся вновь.
9 ч 7 мин + 14 лгин = 9 ч21 мин — во столько времени мальчики встретятся второй раз.
II способ
На горизонтальной оси откладываем время 1, а на вертикальной расстояние 5. Координаты точки О (9 ч, 0 л<). Зная скорости мальчиков, можно построить графики их движения, точки пересечения которых дадут ответ задачи, т. е. 9 ч 7 мин и 9 ч 21 мин. Можно легко найти, на каком расстоянии ot дома Пети (Или Коли) происходили встречи.
9 ч 15 мин, 9 ч 39 мин.
710
1) 1 :2-цу=2т- части пути от Л до В проходит „Волга" за 1 ч.
35
1:3-5=-^- части всего пути от Л до В проходит „Москвич" за 1 ч.
4+ + -^ = тт части пути от Л до В проходят обе машины за час.
515
"уд" • "з"= "54 части пути от Л до В прошел „Москвич" за 20 мин.
549
1 — "54" = "54* части пути от Л до В прошли обе машины с 7 ч 20 мин до момента встречи.
49 35
: 54" = 1 >4 (ч). Через 1,4 ч после выхода „Волги"
машины встретились, т. е. в 8 ч 44 лгин.
1) 43,8—11,4 = 32,4 (кл)— двойное расстояние, пройденное вторым автобусом.
32,4:2=16,2 (кл<)—расстояние, пройденное вторым автобусом.
16,2+11,4 = 27,6 (км) — расстояние, пройденное первым автобусом.
27,6:0,75 = 36,8 (км^ч)—скорость первого автобуса.
45 мин — 25 мин = 20 мин — время движения второго автобуса.
16,2 : у = 48,6 {км/ч) — скорость второго автобуса.
1 —все расстояние от А до В.
17
(1 : 12 + 1 : 10) • 7 = 1 -gy всего пути проехали оба автобуса за 7 ч.
1?17
1 lio — 1 = "60 всего пути составляют 136 км.
136:-Ц- = 480 (кл<) —путь от А до В.
300 км.
12
1) 1 :8-2=-]у всего пути проходит грузовая машина за час.
12
всего пути проходит автобус за час.
пх 2.264
77+75"= j7 . i5 всего пути проходит автобус и легковая машина за час.
1 . 777 15 = —^— (ч) ~ через столько времени машины встретились.
150 . —= -jy- (км/ч) — скорость грузовой машины.
^- • 8 у = 320 (к^)~ расстояние от А до В.
40,5 км/ч*, 35,1 км/ч.
84 км/ч\ 100 км/ч.
I способ
560:4 = 140 (км/ч)—сумма скоростей автомобилей.
0,85 скорости первого и 1,2 скорости второго равны 140 км, значит, 0,15 скорости первого равны 0,2 скорости второго, а поэтому, если скорость первого обозначить 1, то скорость второго составит 0,15:0,2 = 0,75 таких единиц.
140 :(1 + 0,75) = 80 (км/ч)— скорость первого автомобиля.
80 • 0,75 = 60 /км/ч^ — скорость второго автомобиля.
II способ (алгебраический)
х км/ч— скорость первого автомобиля, (140 — х) км/ч—• скорость второго автомобиля, тогда
0,85х + 1,2(140 — х) = 140, откуда х = 80.
1 :(у:54 + у:45 + у :бо) «52,3.
18,5 км}ч.
1) 350 — 280 = 70 (км)ч) — на столько первый самолет уходит от второго за час.
70-2 = 140 (км]ч)— на столько первый самолет ушел от второго.
280 — 230 = 50 (км/ч)—на столько километров в час второй самолет стал сближаться с первым.
140:50 = 2,8 (ч)— через столько часов второй догонит первый после того, как изменилась скорость первого.
2 + 2,8 = 4,8 (q) — столько времени они летели до тех пор, пока второй догнал первый.
280-4,8 = 1344 (км)— на таком расстоянии второй самолет догнал первый.
1) 50 — 35 = 15 (км!ч)— разность скоростей.
50-1 = 50 (км)— на столько больше р1асстояния АВ пройдет лодка за назначенное время, делая по 50 км/ч.
35-2 = 70 (км)— столько километров не дойдет лодка до В, делая по 35 км[ч.
50 + 70 = 120 (км)— на столько больше пройдет лодка за назначенное время, идя с большей скоростью.
120 : 15 = 8 (ч)— назначенное время.
8 — 1=7 (ч) шла лодка со скоростью 50 км/ч.
50-7 = 350 (км)— расстояние от А до В.
500 км; в 8 ч вечера.
^30. Примем за 1 тот путь, который проходит первый велосипедист за 5 ч 15 мин, а второй за 4 ч 40 мин.
1:5-^- = -^- этого пути проходит первый велосипедист за час.
1 :44 = ТГ этого пути проходит второй велосипедист за час.
8,5 — 8 = 0,5 (часа) ехал первый до выхода второго.
412
2?' "2 = зГ ПУТИ в вь,бранных единицах проехал первый за 0,5 ч.
с\ з 41„1
о) 74-2f = 77 • На ^ этого пути проходит за час второй больше, чем первый.
21
"2f: 42 =4 ^ч\ Через 4 ч второй догонит первого, т. е. в 13 ч 15 мин.
1) 60,9 — 40,6 = 20,3 ^км]ч^— на столько первый опережает второго за час.
7— 2 = 5 (ч)— на столько первый был в пути больше второго.
40,6-5 = 203 (^)—на столько опередил первый мотоциклист второго к моменту прибытия в В.
203:20,3 = 10 (ч)— за столько времени первый прошел расстояние от А до В.
1) 7 ч 50 мин — 4 ч 30 мин = 3 ч 20 мин был в пути колхозник.
315
3-^-— 3-^- = — (ч) — на столько времени колхозник был в пути меньше на самом деле, чем по предположению.
з
1,2 • З-j = 4,5 (кл) прошел колхозник за счет боль-
з
шей скорости за 3-^- ч.
4,5 : ^2 = 10,8 (км/ч) — скорость колхозника.
10,8 • Зу = 36 (км) — расстояние от А до города.
1) 14 ч— 8 ч = 6 ч шел автобус.
13 ч 30 мин — 9 ч = 4 ч 30 мин была в пути легковая машина.
20*4,5 = 90 (км)— на такое расстояние прошла легковая машина больше автобуса за 4,5 ч (за счет большей скорости).
6 — 4,5 = 1,5 (ч)— на столько часов автобус был в пути больше легковой машины.
90 : 1,5 = 60 (км^ч)— скорость автобуса.
60 + 20 = 80 (км^ч)—скорость легковой машины.
9 — 8=1 (ч)— на столько времени раньше вышел автобус и за это время до выхода легковой машины прошел 60 км.
60:20 = 3 (ч)—через столько времени после выхода легковой машины она догонит автобус.
80-3 = 240 (км)— на таком расстоянии от пункта А легковая машина догонит автобус.
I способ 32
12 -^ • 2 -g- = 34 (км)проехал бы нарочный, если
все 2 ч 40 мин ехал на велосипеде.
70,5 — 34 = 36,5 (км)— расстояние, которое проехал он на мотоцикле за счет большей скорости.
67,5—12,75 = 54,75 (км[ч)— разность скоростей мотоцикла и велосипеда.
2
36,5 :54,75 = у (ч) он ехал на мотоцикле. 22
2 -д — у = 2 (ч) ехал на велосипеде.
II способ (рис. 3)
АВ = 70,5 км; ON = 2 ч 40 мин. Через точку N(t = = 2 у ч^ проведем MN || АВ; ВМ || ON. OD — график движения велосипедиста (скорость его известна и вышел он из А).
Чтобы построить график движения нарочного на мотоцикле, найдем две его точки, одной из которых возьмем М ^2-|-; 70,5^, а другой — точку К (точка К на рисунке 3 не показана), где К — точка, в которой был мотоциклист за 20 мин до приезда в М. Следовательно, находясь в точке К, мотоциклист проедет еще 22,5 км I67.5 • 4) ■
Точка пересечения графиков движения велосипедиста и мотоциклиста покажет, что велосипедист был в пути 2 ч, а остальные 40 мин ехал на мотоцикле.
I способ
15 — 3,75 = 11,25 (км(ч) — на такое расстояние велосипедист опережает пешехода за час.
2
30 : 11,25 = 2y (<z) — через столько времени расстояние между велосипедистом и пешеходом будет 30 км.
2
15 • 2 -g = 40 ^км^ проехал велосипедист.
70 — 40 = 30 (км1) осталось проехать велосипедисту.
30 + 30 = 60 (кл<) осталось пройти пешеходу.
II способ (рис. 4)
Зная скорости пешехода и велосипедиста, строим графики движения. Из рисунка видно, что между ними
будет 30 км (MN) через 2 ч 40 мин; в это время пешеходу останется пройти расстояние МР = 60 км, а велосипедисту NP = 30 км.
1) 210,6:40,5 = 5,2 (ч)— пройдет 210,6 км поч товый поезд.
7
8 ч 7 мин — 7 ч 25 мин = 42 мин = -у ч — на столько времени скорый поезд был меньше в пути, чем почтовый.
5,2 — 0,7 = 4,5 (ч)—столько времени надо скорому поезду, чтобы пройти 210,6 км.
210,6 :4,5 = 46,8 (км/ч)— скорость скорого поезда.
I способ
40 — 30=10 (км/ч)—разность скоростей катера и парохода.
22
30 • у = 20 (км) — пройдет пароход за у ч.
20 : 10 = 2 (ч) — за столько времени катер пройдет все расстояние.
40-2 = 80 (км) — расстояние между пристанями.
II способ
Пароход проходит 1 км за уу ч = 2 мин.
Катер проходит 1 км за уу ч= 1,5 мин.
Пароходу на 1 км пути надо на 2—1,5 = 0,5 (мин) больше, чем катеру, а на весь путь 40 мин.
Значит, весь путь между пристанями 40:0,5 = 80(кл).
5
1) 1:2у = -рр расстояния между двумя пунктами проходит второй за час.
-jy : 2 -|у = у^- того же расстояния проходит первый автомобиль за час.
5173
-рр —По”“То того же Расстояния нагоняет в час второй автомобиль, догоняя первый.
1 : -у = 3 у (ч), т. е. за 3 ч 20 мин второй автомобиль догонит первый.
8 ч 30 мин -Ь 3 ч 20 мин =11 ч 50 мин, т. е. в II ч 50 мин первого нагонит второй.
(Решение аналогично № 137.)
2"з * ("з/Г 12)= 1$ (км).
26: (1:2у- 1:4у)= 182 (км).
1) 1 : 1у = у всей дистанции проходил первый спортсмен за 1 мин.
3
1 : 1 у = у всей дистанции проходил второй спортсмен за 1 мин.
^ — у = -^ на такую часть дистанции первый спортсмен опережает второго за 1 мин.
4
48 сек = у мин.
-^г • 4- = 4=- — на такую часть дистанции опередил первый второго за 48 сек.
20: -^- = 500 (м) — вся дистанция.
500 • у = 400 (м/мин) — скорость первого спортсмена.
з
500 • у = 375 (м/мин) — скорость второго спортсмена.
1) 43,2:2,4 =18 (км/ч)—скорость моторной лодки по течению.
18 — 1,8-2=14,4 (км/ч)—скорость лодки против течения.
43,2:14,4 = 3 (ч)—затратит лодка на этот же путь, идя против течения.
1) 113,4:9=12,6 (км/ч)—скорость парохода против течения.
12,6+ 1,9-2 = 16,4 (км/ч) —скорость парохода по течению.
113,4 :16,4 ^ 7 (ч)—понадобится пароходу, чтобы пройти это расстояние по течению.
>: [(-в -=192
4,5 ч = 270 мин\ 6,3 ч = 378 мин.
40 "{ 1 • [(гТо"~"зТз"): 2^ } = 75 600 (м), или 75,6 км.
52
1) 1—у = у всего пути осталось пройти, когда
еще не были пройдены 40 км (рис. 5).
5.
7D ^Окм е
|—™. I^-|^=н5
А I „118км, 3
Рис. 5
у — у = 41" всего пути приходится на CD.
118 — 40 = 78 {км} приходится на CD.
78 : ^|-= 168 {км} — расстояние от Л до В.
1) 1 — (у^"^) = 4 всего расстояния, что составляет 14 км (рис. 6).
L™
3 1^км2^
11
24Рис. 6
2) 14!у=112 {км} — длина маршрута поезда.
1) 40 + 20 = 60 {км/ч}—скорость автомобиля на второй части пути {ВС, CD, DE} (рис. 7).
100км 100км п100км 100км пЕ—4Е—4
100км 100км п
100км 100км п
Е—4
Е—4
2Рис. 7
100-2 = 200 {км}—это расстояние {BD} он шел со скоростью 60 км/ч (но не только это!).
200 : 60 = 3 у (ч) потратил автомобиль на прохождение 200 км.
12
10 — Зу = 6 у (ч) — потратил на два равных отрезка (АВ и DE), которые он шел с различной скоростью.
Время движения обратно пропорционально скоростям, если тела проходят равные пути (АВ и. DEy.
:= "4Q : -^- = 3:2.
+ 2 = 5 (частей) приходится на бу ч.
(
2\
бу : 51 • 3 = 4 (ч) он шел со скоростью 40 км]ч.
40-4 = 160 (км)—длина пути на первом участке (АВ), а значит, и на участке DE.
160 + 100 + 100 + 160 = 520 (км) —расстояние между А и В.
520 : 10 = 52 (км{ч) — средняя скорость.
1) 15-4 = 60 (км) —проехал первый товарищ на велосипеде.
Второй товарищ ехал 3 ч па поезде, скорость которого в 2 раза больше скорости автомобиля, значит, за 3 ч он прошел такое же расстояние, что и первый за 6 ч на автомобиле.
А так как они проехали одно и то же расстояние (от Д до В), значит, такое расстояние, которое проехал первый на велосипеде, — 60 км — второй проехал на автомобиле за 2 ч.
60 : 2 = 30 (км]ч) — скорость автомобиля.
30-6=180 (км)—расстояние, которое проехал первый на автомобиле.
180 + 60 = 240 (км) — расстояние от А до В.
1) 11,25 — 5 = 6,25 (ч)—шел поезд с увеличенной скоростью.
1 — 0,4 = 0,6 всего пути поезд шел с увеличенной скоростью.
0,6:6,25 = 0,096 всего пути проходил поезд в час после увеличения скорости.
0,4:5 = 0,08 всего пути проходил поезд в час первоначально.
0,096 — 0,08 = 0,016 всего пути составляют 10,8 кмл
10,8 :0,016 = 675 (км) — весь путь.
1 —весь путь.
I—0,75 = 0,25 всего пути осталось пройти после остановки.
720-0,25 = 180 (/см) осталось пройти после остановки.
14,4-0,25 = 3,6 (ч) должен был ехать поезд последнюю четверть пути.
4[
3,6—^- = З-^-(ч) — за столько времени поезд должен пройти последнюю четверть пути, чтобы прийти вовремя.
180 : 3 -i- = 54 (км/ч) — с такой скоростью поезд должен продолжать путь.
1) 143:20 = 7,15 UY
л< = 715 см — наименьшее расстояние, на котором следы совпадали один раз-.
715 = 5-11-13.
Шаг девочки 5-11=55 (cmV а шаг мальчика мог бы быть только или 13 см, или (11-13) —143 см, или (5-13)—65 см (в противном случае их шаги на расстоянии 7,15 м совпадали бы более одного раза). Очевидно, реальной длина шага мальчика может быть только 65 см.
Встреча произошла в 13 ч 6 мин. (Рис. 8.)
4,8 ч.
1,08 ч.
1) 1 : 12 =-^ цистерны выкачивают оба насоса в одну минуту.
-^--4 = -|- цистерны выкачивают оба насоса за 4 мин.
1 — з = "з ЦистеРны выкачал второй насос за 24 мин.
21
у Г 24 = уг цистерны выкачал второй насос за 1 мин.
-пт — -5с=т5- цистерны выкачал первый насос за 1 мин.
^ 1 : -—- = 36 (мин) — за столько времени второй насос может выкачать всю нефть в цистерне, работая отдельно.
1 : -~-= 18 (мин) — за столько времени первый насос может выкачать всю нефть в цистерне, работая отдельно.
12000 кдб. м.
22 мин.
1) 6,75-22 = 148,5 (л) налилось бы в ванну, если бы все 22 мин был открыт кран только с горячей водой.
166— 148,5 = 17,5 (л) не долили воды.
8,5 — 6,75 = 1,75 (л)—на столько больше в одну минуту наливалось воды через кран с холодной водой, чем с горячей.
17,5:1,75=10 (мин)—работал кран с холодной водой.
22—10= 12 (мин)—был открыт кран с горячей водой.
1) 1 —0,75 = 0,25 нового остатка составляют 30 страниц (рис. 9).
4 нового остатка
*^^^^^^^^—-^ новый остаток
30 стр.
Рис. 9
30:0,25= 120 (страниц)—новый остаток.
120 + 20 = 140 (страниц) составляют 0,7 остатка;
1_0,3 = 0,7 (рис. 10).
140:0,7 = 200 (страниц) — остаток.
200+ 16 = 216 (страниц) составляют 0,8 книги; 1—0,2 = 0,8 (рис. 11). '
0,3 остатка 20стр0,3 остатка 20стр216 : 0,8 = 270 (страниц) — столько страниц в книге.
0,3 остатка 20стр
0,3 остатка 20стр
> остаток
120 стр
Рис. 10
0,2 всей 16стр.0,2 всей 16стр.книгикниги200стр200стр1 бея книга1 бея книга
0,2 всей 16стр.
0,2 всей 16стр.
книги
книги
200стр
200стр
1 бея книга
1 бея книга
Рис. 11
160 кг.
1) 1— у —у второго остатка составляют 6 км.
6 : у = 54 (кл«) проехали туристы в 3-й день.
54 — 3 = 51 (кл1)—половина первого остатка.
51 :0,5 = 102 (лети) —первый остаток.
102 — 2 = 100 (км) — ^ всего пути (1 — у = т)’
100 : у = 150 (км) — весь путь.
I способ
30,3 + 4,04 = 34,34 ^ составило бы полученное число, если бы не отнимали 4,04.
За 1 примем искомое число 1 +0,43 — 0,58 = 0,85 (0,85 задуманного числа составят 34,34).
34,34 :0,85 = 40,4 — искомое число.
II способ (рис. 12).
20,2.
I способ
37,5-0,8 = 30 (число больше задуманного в 2,5 раза и еще на 1,75).
30—1,75 = 28,25 (число больше задуманного в 2,5 раза).
28,25: 2,5 = 11,3 — задуманное число.
II способ
(х • 2,5 + 1,75) : 0,8 = 37,5; х = 11,3.
I способ
700-0,01 = 7 — полученная сумма.
7 — 2,84 = 4,16 — произведение.
4,16:0,8 = 5,2 — задуманное число без 1,05.
5,2 + 1,05 = 6,25 — задуманное число.
II способ
[(х —1,05)-0,8 + 2,84]: 0,01 = 700; х = 6,25.
406 — 66 = 340 (на столько одно число — делимое— должно быть больше второго, чтобы при делении не было остатка).
Теперь задача сводится к нахождению чисел по следующим данным: одно число больше другого в 3 раза, разность между ними равна 340.
Ответ. Большее число 576, меньшее —170.
72; 568.
За 1 примем количество муки, которое стало во 12
втором ящике, тогда в первом стало —.
Общее количество муки в двух ящиках не меняется.
1212
1 + "ig" = 1 Тд" частей приходится на 155 кг.
12
155: l-jg- = 95 (кг) стало во втором ящике.
95 — 20 = 75 (кг) было во втором ящике.
155 — 75 = 80 (кг) было в первом ящике.
1) 140:2 = 70 (кг)—по стольку муки станет в каждом мешке.
За 1 примем количество муки, находящееся первоначально в первом мешке.
1 I 7
1 — у = g- — такая часть муки осталась в первом мешке, что составляет 70 кг.
70 :-g- = 80 (кг) было в первом мешке первоначально.
140 — 80 = 60 (/сг) было во втором мешке первоначально.
1) 43—(5 + 13) = 25 (коп.) осталось у обоих мальчиков.
За 1 часть примем количество оставшихся денег 2
у второго, тогда у первого у.
22
l+y = 1 у (частей) приходится на 25 коп.
25 : 1 у = 15 (коп.) стало у второго мальчика.
15 + 13 = 28 (коп.) было у второго первоначально.
43 — 28 = 15 (коп.) было у первого мальчика первоначально.
1) 24,25 — 0,6 = 23,65 (га)—удвоенная площадь измененного второго участка.
23,65:2 = 11,825 (га) стала площадь второго участка.
11,825 — 3,5 = 8,325 (га) была площадь второго участка.
24,25 — 8,325 = 15,925 (га)—площадь первого участка.
1) 12 — 4 + 2,5= 10,5 (л) столько стало в двух бутылях вместе.
10,5— 1,25 = 9,25 (л) стало бы в двух бутылях, если бы во второй стало столько, сколько стало в первой.
9,25:2 = 4,625 (л) стало в первой бутыли.
4,625 + 4 = 8,625 (л) было в первой бутыли.
12 — 8,625 = 3,375 (л) было во второй бутыли.
Надо показать учащимся на ряде примеров, что если уменьшаемое и вычитаемое увеличить в несколько раз, то и разность увеличится во столько же раз.
Поэтому, чтобы сравнять остатки бензина в первом и втором баках, надо уменьшаемое (400) и вычитаемое (произведение 20 на число часов) увеличить в 4 раза.
Тогда получим другую задачу: в первом баке было 1600 л, а во втором 900 л. Из первого отливают каждый час по 80 л, из второго — по 10 л. Через сколько часов в обоих баках останется бензина поровну?
1600 — 900 — 700 (л)—на столько в первом баке больше, чем во втором.
80—10 = 70 (л в час)—на столько каждый час выливают из первого больше, чем из второго.
700 : 70 = 10 (ч)—через столько часов будет выполнено требование как измененной задачи, так и первоначальной.
II способ
Значительно проще объяснение решения задачи, если составить уравнение:
4(400 — 20х) =900—Юх, где х— искомое число часов. Решение уравнения производится путем использования свойств равенств.
1) От 1 до 9 страницы включительно 9 цифр.
2322 — 9 = 2313 (цифр) для нумерации всех страниц, кроме первых девяти.
От 10 до 99 страницы включительно 2-90, т. е. 180 цифр.
2313—180 = 2133 (цифр)—на нумерацию всех страниц, кроме первых 99.
2133:3 = 711 (стр.) перенумеровали по 3 цифры в каждой.
711 + 99 = 810 (стр.) в словаре.
Для нумерации 9 страниц надо 9 цифр, для нумерации последующих 90 страниц потребуется 180 цифр (90-2 = 180).
Для нумерации остальных 611 страниц (710 — 9—■ — 90 = 611) надо 1833 цифры (611-3 = 1833).
Значит, всего для нумерации справочника потребовалось 2022 цифры • (1833 + 9 + 180 = 2022).
1) Для написания всех нечетных однозначных чисел понадобилось 5 цифр (1; 3; 5; 7; 9).
104 — 5 = 99 (цифр) ушло на написание нечетных двузначных и трехзначных чисел.
В одном десятке 5 нечетных двузначных чисел, а в девяти десятках 45 нечетных двузначных чисел, для нумерации которых потребовалось 90 цифр.
99 — 90 = 9 (цифр) ушло на написание нечетных трехзначных чисел, из которых меньшее (нечетное) 101, а большее 105. Отсюда в тетради 106 страниц.
1) 7-30 = 210 (очков) набрал бы ученик, если бы на все вопросы ответил верно.
210 — 77 = 133 (очка) потерял он за счет нерешенных задач.
7 + 12 = 19 (очков) —разница между одним верным и одним неверным ответом в очках (или теряет он на каждой нерешенной задаче).
133 : 19 = 7 (вопросов) было решено неверно.
30—7 = 23 (вопроса) было решено верно.
1) 4,4-2 = 8,8 (руб.)—разность сумм, собранных в двух случаях.
0,8 — 0,75 = 0,05 (руб.)—разность на одного человека.
8,8:0,05 = 176 (чел.).
1) 2,8-2 = 5,6 (га) убрала вторая бригада за 2 дня.
5,6 + 0,4 = 6 (га) осталось убрать второй бригаде в тот момент, когда первой осталось убрать 4 га.
6 — 4 = 2 (га) — на столько в этот момент второй бригаде осталось убрать больше, чем первой.
3,2 — 2,8 = 0,4 (га)—на столько первая бригада собирала в день больше, чем вторая.
2 :0,4 = 5 (дней) работала первая бригада.
3,2 • 5 4- 4 = 20 (га) — площадь участка.
150 кг.
1) 1,6-2 = 3,2 (руб.)—на столько денег у сестры больше, чем у брата.
0,5-24-3,2 = 4,2 (руб.)—на столько денег у сестры будет больше, если брат отдаст ей свои 0,5 руб.
Примем за единицу количество денег, оставшихся у брата, тогда количество денег сестры составит 2,5 таких единиц.
1 = 1,5 (частей) приходится на 4,2 руб.
4,2: 1,5 = 2,8 (руб.) стало у брата.
2,8 4- 0,5 = 3,3 (руб.) было у брата.
3,3 4- 3,2 = 6,5 (руб.) было у сестры.
1) 25-2 = 50 (коп.) —на столько у Коли больше денег, чем у Пети (рис. 13).
д50коп.
I"— "... „.„„|^=i
п
Г '■ in ——..,—— |
Рис. 13
К 1частьК 1частьЗа единицу примем количество денег, оставшихся у Пети после того, как он отдал 1 руб. 40 коп. Коле, тогда деньги Коли составят 2,5 таких единиц (рис. 14)?
К 1часть
К 1часть
1» ^руб. 50коп 1, У руб. Ач А 11
/7 । и—^1
1 часть 1ЛРуб
К 1часть 3,3руб.
N""™1"И,— Г . ■ -—*-11
П Ь—■^I -.^
2,5 части
Рис. 14
1,4-2+ 0,5 =3,3 (руб.) приходится на 1,5 части (2,5—1 = 1,5).
3,3:1,5 = 2,2 (руб.) приходится на 1 часть.
2,2 + 1,4 = 3,6 (руб.) было у Пети.
3,6 + 0,5 = 4,1 (руб.) было у Коли.
За единицу примем количество молока во втором бидоне, тогда в первом было 3 такие части (рис. 15).
было1 t1ибыло1 t1иСтало[ у—н16лСтало[ у—н16лУ Величин п82раза,станет поровну111 6л'- 11У Величин п82раза,станет поровну111 6л'- 11
было
1 t1и
было
1 t1и
Стало
[ у—н1
6л
Стало
[ у—н1
6л
У Величин п82раза,станет поровну
111 6л
'- 11
У Величин п82раза,станет поровну
111 6л
'- 11
7лРис. 157лРис. 15П ।111I 7л 1 7лП ।111I 7л 1 7л
7л
Рис. 15
7л
Рис. 15
П ।111
I 7л 1 7л
П ।111
I 7л 1 7л
Если количество молока во втором бидоне увеличить в 2 раза, то молока в обоих бидонах станет поровну, а количество молока второго бидона составит 2 части плюс 7-2 = 14 (л).
3 — 2=1 (часть) составляет 8 л (14 — 6 = 8). Столько молока было во втором бидоне.
8-3 = 24 (л) молока было в первом бидоне.
I способ
В первой корзине апельсинов больше, чем во второй на 40 штук.
часть — стало апельсинов во второй корзине после второго перекладывания, тогда в первой корзине апельсины составят 3 такие части (рис. 16).
Было:
1 часть + 20 ап. + 20 ап. + 20 ап. + 20 ап. = 3 части, отсюда 2 части составят 80 апельсинов, а одна — 40 апельсинов. Во второй корзине стало 40 апельсинов, а было там 40 + 20 = 60 (апельсинов). В первой же корзине было 60 + 40 = 100 (апельсинов).
II способ
Пусть в первой корзине было х апельсинов, тогда во, второй (х— 40) апельсинов. Во второй корзине стало (х— 60) апельсинов, а в первой (х + 20) апельсинов, тогда х + 20 = 3(х — 60); отсюда х = 100.
I способ
Во втором вагоне больше, чем в первом, на 10 человек (рис. 17). За одну часть принимаем число пасса- 124
жиров первого вагона после того, как оттуда 8 чел. перейдут во второй вагон, тогда число пассажиров второго вагона, после перехода в него 8 чел. из первого, можно принять за 2 части.
5 пассажиров перешли 6 /610 Вагон 5
I ' |Г--5"
? | .U__.*V_-A
5.5
1 часть1 часть1 часть1 частьРис. 17Рис. 178 пассажиров перешли во Пои вагон / частьд
1 часть1 часть
1 часть1 часть
Рис. 17
Рис. 17
первого на 6. 2 4- 4 + 6 = 12 (на столько второе, третье, четвертое числа больше первого).
2) 4052— 12 = 4040 — учетверенное меньшее число.
3) 4040: 4 = 1010 — меньшее число.
^052'
'It—'■I
271£4
2Z7I|—1—1
6 1271।—1—1—1
Рис. 18
Искомые числа: 1010; 1012; 1014; 1016.
210; 211; 212; 213; 214; 215.
173; 174; 175; 176; 177.
I способ
Сумма всех шести чисел 3-6=18, далее решение аналогично решению № 190.
2; 2,4; 2,8; 3,2; 3,6; 4 — искомые числа.
способ
3-2 = 6 — сумма третьего и четвертого чисел. 2)6 — 0,4 = 5,6 — удвоенное третье число.
5,6 : 2 = 2,8 — третье число.
2; 2,4; 2,8; 3,2; 3,6; 4 — искомые числа.
I способ. См. решение № 193.
II способ
— четвертое число.
; 7; 6,8; 6,6; 6,4; 6,2; 6 — искомые числа.
4+4+|.
1П„ 21 , 1„.21 . 1
1961 7п + 7п. ’ П 4’ 7428 '
Из условия следует, что число единиц (четное) в полтора раза больше числа тысяч, отсюда число единиц должно быть не только четным, но и делящимся на 3, т. е. единиц 6. Искомое-число 4126.
Уменьшится. Пусть дана дробь -у, причем а>Ь, получим ^^ • У этих Двух дробей разность числителя
и знаменателя равна а — Ь. Обе дроби неправильные, т. е. большие единицы, первая больше 1 на ——, а вторая на •^^ * У этих дробей числители равны, а знаменатель второй дроби больше, значит, - ^— _а—Ьа^та
больше —, а это и значит, что -7-7— меньше -г-.
b + пг ’о -V tnb
Разность знаменателя и числителя данной дроби равна разности знаменателя и числителя полученной дроби. У первой дроби до 1 не хватает столько же долей, сколько и у второй, а доли у второй дроби мельче, значит, вторая дробь ближе к единице. Значит, если к числителю и знаменателю дроби прибавить одно и то же число, то дробь увеличится.
К делимому прибавить его половину — это значит увеличить делимое в 1,5 раза.
Из делителя вычесть 0,4 его — это значит делитель будет равен 0,6 прежнего.
Частное увеличится в 2,5 раза (1,5: 0,6 = 2,5).
I способ
0,75:0,4 = 1,875 — сумма первого и второго числа.
1,875-0,15 = 0,28125— сумма 0,15 первого и 0,15 второго числа.
II способ
2
0,4 : 0,15 = 2 у. В 2 у раза первая сумма больше второй.
0,75 : 2 — = 0,28125 — сумма 0,15 первого и 0,15 второго числа.
III способ
OJS • 0,15 = 0 28125,
0,4’
4
12
Если произведение двух сомножителей — число нечетное, то оба сомножителя нечетные, а сумма двух нечетных чисел — число четкое.
1) 23 664 — 22 032 = 1632 — учетверенный первый сомножитель.
1632 :4 = 408 — первый сомножитель.
23 664 : 408 = 58 — второй сомножитель.
1) 1 часть — делитель, 165 таких частей — делимое, 154 части — полученное делимое.
154 = 11 (частей) приходится на 143.
143:11 = 13 — делитель.
165-13 = 2145 — делимое.
1) 194— 150 = 44 (яблока) — на сколько яблок из второй корзины продали больше, чем из первой корзины.
За единицу примем количество яблок, оставшихся во второй корзине, тогда в первой корзине количество
Осталось150 я 5л
Ч^ябл.
Осталось^дд яблока
Рис. 19 оставшихся яблок составит 3 единицы, а 44 яблока составят 2 части (3— 1 =2).
44:2 = 22 (яблока) осталось во второй корзине.
194 + 22 = 216 (яблок)—по стольку яблок было в каждой корзине.
I способ
Периметр прямоугольника 18 см, значит, сумма двух смежных сторон прямоугсльника 9 см. Сумма ОД одной стороны с 1,25 другой стороны равна тоже 9 см, значит, 0,2 одной стороны равны 0,25 другой стороны.
Примем за 1 часть 0,2 одной стороны или 0,25 другой стороны, тогда 1 . 0,2 = 5 (частей) приходится на одну сторону, а 1 :0,25 = 4 (части) приходится па другую сторону прямоугольника.
(4 + 5) = 1 (см) приходится на 1 часть.
1-5 = 5 (см) и 1-4 = 4 (см)—стороны прямоугольника, а площадь его 20 кв. см.
II способ
Пусть х см — одна сторона прямоугольника, тогда (9-х) см — другая сторона.
0,8*4- 1,25(9 — *) = 9; отсюда х = 5.
1 — первоначальная цена.
1 4-0,2 = 1,2 — цена после повышения.
1,2-0,8 = 0,96 — цена после снижения, т. е. яблоки подешевели по сравнению с первоначальной стоимостью на 0,04.
2
За единицу примем у числа жителей первого района (рис. 20). Тогда число жителей первого района
1
|Ц-и-,.4 2
1
t
Рис. 20
составляет 1 у части, второго района — 2 части, а третьего района — 2 у части, а число жителей всех трех районов составляет 6 частей ^1у + 24-2у), что равно 12 000 жителей. На одну часть приходится 12 000:6 = = 2000 (жителей). В первом районе 2000- 1,5 = 3000 (жителей), во втором 2000-2 = 4000 (жителей), а в третьем 2000-2,5 = 5000 (жителей).
16 лет; 18 лет; 24 года.
1) 1 —у = у (такая часть денег осталась у первого).
1 — 3" = "^ (такая часть денег осталась у второго).
Примем за единицу оставшееся количество денег у каждого из учеников (рис. 21), тогда до покупки книг у первого было 2у, а у второго 3 такие же части
13
3—2—=— части составляют 12 коп. /44
31
Б) 12:^-= 16 (коп.) составляют -^ денег второго.
1б:-|-= 48 (коп.) было у второго ученика.
9nt
1
*—1,1 ■ 1 I1\3
3
Рис. 21
48—12 = 36 (коп.) было у первого ученика.
I способ
Пусть путь от Москвы до Тулы 198 км, тогда туда поезд весь путь прошел за 2,2 ч, обратно за 1,8 ч, а в оба конца за 4 ч, значит, его средняя скорость 396:4 = = 99 (км(ч).
II способ
S ог — путь от Москвы до Тулы, тогда 2S : (Лк+ак) км[ч
или 2 . |-jjy+ до") к,м[ч — средняя скорость поезда.
1500 кг.
1) jg; i8 — такую часть работы по постройке дома может выполнить один рабочий первой бригады в день.
^-j^- — такую часть работы по постройке дома может выполнить один рабочий второй бригады в день.
Тб^+1?б^ = 4’“такую часть работы по постройке дома могли бы выполнить трое рабочих первой бригады и 24 рабочих второй бригады.
1:у = 9 (дней)—за столько дней 30 рабочих третьей бригады могут построить дом.
сх 12,16,151. а
15718 +ЙИ2 + 30^9 = 6 ВСеИ Раб°ТЫ П0 П0СТР°“- ке дома могут выполнить в день 12 рабочих первой бригады, 16 рабочих второй бригады и 15 рабочих третьей.
1 : у = 6 (дней) за столько времени был построен дом.
2970 • 15;f8 =66 (руб.) получил каждый рабочий первой бригады.
2970 • -эд612 = 74,25 (руб.) получил каждый рабочий второй бригады.
2970 • 30°, 9- = 66 (руб.) получил каждый рабочий третьей бригады.
11 -| дня.
13
1) т=- • 9 = -г- всего заказа мог выполнить вто- ' 10о
рой рабочий за 9 дней или оба рабочих, если бы у них была одинаковая производительность.
1—0,6 = 0,4 всего заказа выполнил первый рабочий за счет большей производительности.
"^ —~^" —Jo • На 0,1 заказа первый рабочий выполняет в день больше, чем второй.
0,4: 0,1 =4 (дня) работал первый рабочий. 12
у • 4 = у заказа выполнил первый рабочий за 4 дня.
21
1 — у = у заказа выполнил второй рабочий.
у-у = у заказа составляют 150 деталей.
150:-^ = 450 (деталей) — весь заказ.
42 и 48 страниц.
1) 1 : 12 = -jy всего котлована могут выкачать оба насоса за час.
Производительности насосов относятся как 1:1,5.
Значит, чтобы узнать, сколько из приходится на
первый насос и сколько на второй, надо разделить на две части в отношении 1 : 1,5.
"j^* *• (1 + 1,5) = -—- всего котлована выкачивает первый насос за час.
-^-•1,5 = 0,05 всего котлована выкачивает второй насос.
0,5 : -§о = 15 (^)—за столько времени первый насос выкачивает 0,5 котлована.
0,5:0,05 = 10 (ч) —за столько времени второй насос выкачивает 0,5 котлована.
10+15 = 25 (ч)—во столько времени была выкачана вода из котлована.
1) 10 ч 37 мин —9 ч 40 мин = 57 мин = -^ ч. На столько времени задержался в пути велосипедист из-за того, что он встретил знакомого.
3 -|-: 8 у = -^- (ч) затратил велосипедист на путь в 3,75 км, когда поехал опять по направлению к городу.
1991
*2020 ^Т W за столько времени велосипе
дист со знакомым проехали 3,75 км по направлению от города.
3,75 : у = 7,S ^км!ч^ — такова скорость знакомого»
14
15 : 8 у = 1 у (^) — за столько времени проехал велосипедист 15 км.
9 ч 40 мин — 1 ч 48 мин = 7 ч 52 лшн — во столько времени произошла встреча велосипедиста со знакомым.
15:7,5 = 2 (ч)—столько времени шел знакомый до встречи.
7 ч 52 мин — 2 ч = 5 ч 52 мин утра — в такое время выехал знакомый из города.
12
1) 1:4"2" = у пути проходит пароход против течения за час.
1 : 3 = у пути проходит пароход по течению за час.
121
у — y=-g—на такую часть пути пароход по течению проходит больше в час, чем против течения.
"§":2=-^у расстояния между Л и В приходится на скорость реки, т. е. такую часть расстояния АВ проплывает бочонок за час.
I : —^ = 18 (ч) — за столько времени проплывает бочонок это расстояние.
1) 259,2 : 1 у = 201,6 (к,и) прошел бы поезд за это же время с прежней скоростью.
259,2 — 201,6 = 57,6 (км1)—на столько километров больше прошел на самом деле.
57,6:1,8 = 32 (км/ч)—первоначальная скорость.
55
32 • 7 jg =234 (км) прошел поезд за 7 -^ ч.
234 4- 259,2 = 493,2 (кл/) — весь путь.
1) 130,75+ 117,75 = 248,5 (.и)—сумма длин поездов.
7
248,5:3-^ = 78,75 (м/сек) — сумма скоростей этих поездов.
248,5:28,4 = 8,75 (м/сек) — разность скоростей этих поездов.
78,75 — 8,75 = 70 (м/сек)—удвоенная меньшая скорость.
70:2 = 35 (м/сек)—меньшая скорость.
35 + 8,75 = 43,75 (м/сек) — большая скорость.
Скорости парохода обратно пропорциональны времени, затраченному на этот путь.
у1 е у2 ю * 15 — 3 • 2-
3 — 2=1 (часть составляет 8 kai).
8-3 = 24 (км/ч) —скорость по течению.
24-10 = 240 (км) — расстояние между пристанями.
6 :(^ + ^ = 70 (кл)~ весь путь.
I) Ц ч 26 мин — 6 ч 5 мин = 5 ч 21 мин велосипедист был в пути.
5 ч 21 мин— 15 мин = 5 ч 6 мин = 5,1 ч велосипедист был в движении.
Время, затраченное на путь от Л до В и от В до Л, обратно пропорционально его скоростям на этих участках.
^АВ • ^ВА = "Jg" е "Yq 8.9.
8 + 9 = 17 (частей) составляют 5,1 ч.
5,1 : 17 = 0,3 (ч) приходится на 1 часть.
0,3-8 = 2,4 (ч) шел от Л до В.
18-2,4 = 43,2 (км) —расстояние от Л до В.
Скорости этих двух велосипедистов обратно пропорциональны времени, за которое они прошли одно и то же расстояние.
9 — 8=1 (часть)—на такую часть второй приближается к первому за каждый час.
8 • 1 у = 12 (частей) — составляют то расстояние, на которое ушел первый велосипедист за 1 -^ ч.
12: 1 = 12 (ч) —через столько времени второй догонит первого.
513
1) -g-—^ =-^-(ч) — на столько времени всадник был больше в пути, чем велосипедист.
33
10--^- = 7,5 (км) проехал всадник за -^ ч.
12— 10 = 2 (км/ч) —на такое расстояние приближался велосипедист к всаднику за час.
13
7-g-: 2 = 3-j (ч) столько времени был в пути велосипедист.
12 • 3 -^ = 45 (км) — расстояние между городами.
1) 22,4:0,5 = 44,8 (км/ч)—сумма скоростей мотоциклистов.
22,4 : 3,5 = 6,4 (км/ч) — разность скоростей.
44,8 + 6,4 = 51,2 (км/ч)—двойная большая скорость.
51,2:2 = 25,6 (км/ч) —большая скорость.
44,8 — 25,6 =19,2 (км/ч)—меньшая скорость.
1) 3,5 • ~ = 1,75 (кля) —такое расстояние до станции не дошел бы колхозник, если бы шел со скоростью 3,5 км/ч.
4,2 • ^- = 1,4 (км) прошел бы лишних, если бы шел со скоростью 4,2 км/ч.
1,75 + 1,4 = 3,15 (км) —разница этих расстояний.
4,2 — 3,5 = 0,7 (км/ч) —разность скоростей.
3,15:0,7 = 4,5 (ч)—время, затраченное на путь со скоростью 4,2 км/ч.
4,5 + 0,5 = 5 (ч) шел со скоростью 3,5 км/ч.
3,5-5= 17,5 (kaz) —расстояние до железнодорожной станции.
1) 13 — 6 = 7 (ч)—время движения пешехода до встречи с велосипедистом.
13— 10 = 3 (ч) —время движения велосипедиста.
1 —скорость велосипедиста, тогда скорость пешехода 0,28.
0,28-7 = 1,96 — столько частей составляет расстояние, пройденное пешеходом.
1-3 = 3 (части) приходится на путь, пройденный велосипедистом.
3 + 1,96 = 4,96 (части) приходится на 62 км.
62:4,96 = 12,5 (км/ч) —скорость велосипедиста.
12,5-0,28 = 3,5 (км/ч) —скорость пешехода.
1) 7 ч 25 мин — 45 мин = 6 ч 40 мин шел первый пароход до встречи со вторым.
7 ч 25 мин — 3 ч 5 мин = 4 ч 20 мин шел второй пароход до встречи с первым.
6 • 4-~ = 26 (км) — на такое расстояние прошел больше второй за счет большей скорости.
301 —26 = 275 (км)—прошли бы оба парохода вместе за то же время, если бы у них были одинаковые скорости, как у первого.
6 ч 40 мин + 4 ч 20 мин =11 ч— за такое время первый пароход мог бы проехать 275 км.
275:11 = 25 (км/ч)—скорость первого парохода.
25 + 6 = 31 (км/ч)—скорость второго парохода.
22
25'бу = 166 у (кл)—на таком расстоянии от первого порта они встретились.
1 —скорость второго автомобиля, тогда 1 у— скорость первого.
1 :6 = у всего расстояния проходили оба автомобиля за час.
1 + 1 у = 2 у (части) приходится на у.
у. 2у = ^ всего пути проходит второй автомобиль за час.
у : уу = 7 (ч) — за столько времени проходит второй автомобиль половину пути.
112
-уу • 1 у = уу всего пути проходит первый автомобиль за час.
121
у : ур = 5 у (^) —за столько времени первый автомобиль проходит половину пути.
5,25 = 1,75 (ч)—на столько часов позже должен выйти первый автомобиль.
1—намеченная скорость, 1—весь путь, тогда 1—намеченное время движения. 1,2 — увеличенная скорость.
1 — у = у — оставшаяся часть пути.
у . 1 у = у —время движения на оставшемся пути.
у + у = у —время, которое затратил автомобиль на прохождение данного пути.
1 —у=у предпблагаемого времени составляют 20 мин.
В первых четырех действиях величины пути, скорости и времени движения выражаются в условно принятых единицах.
у : у = 3 (ц) — предполагаемое время.
12
3 - j = 2 у (<0~ столько времени затратил водитель на весь путь.
Длина пути в данной задаче может быть произвольная, примем ее за 320 км. Тогда первую половину пути машина пройдет за 160:32 = 5 (ч), а вторую за 5-0,8 = 4 (ч), значит, весь путь — за 9 ч. Следовательно, средняя скорость движения 320 : 9 « 36 (км,ч).
Можно предложить учащимся взять вместо 320 км какое-нибудь другое число.
1 — все расстояние.
у—— = 0,025 всего расстояния составляют 10 км.
10 : 0,025 = 400 (км) — все расстояние.
400 : 10 = 40 (км/ч) —скорость поезда.
4,5 ч. Задача решается так же, как и задача № 233.
1.238. 145 4 • 239. 498 425.
4.241.0,0011. 242.1-^-.
243.1000 000.244. 2-^-.245.0,615.
1) 100% — 75% = 25% всех жителей не говорят по-русски.
2) 85%—25% = 60% говорят по-русски и по-гру^ зински.
1) 200-0,16 = 32 (кг) составляет вес воды в 200 кг сырого зерна.
32 — 20 = 12 (кг) составляет вес оставшейся воды в зерне.
200 — 20 = 180 (кг) стало весить зерно.
12: 180 — 6,7% составляет влажность после просушки.
Пусть на второй ферме 1000 коров и удой коровы в среднем 10 л. значит, общий удой 10 000 л. Тогда на первой ферме 875 коров, средний удой коровы 10,8 л, общий удой 9450 л. Общий удой на первой ферме составляет 9450 : 10 000 = 0,945 = 94,5% удоя второй, т. е, на 5,5% меньше, чем на второй.
Учащимся надо предложить взять за исходные данные и другие числа, чтобы убедиться, что результат получится тот же.
Решение этой задачи, а также задач № 249—252, 255, 263 очень хорошо объясняется, если ввести буквенные обозначения. Тогда, например, решение задачи № 248 будет таким. На второй ферме а коров, средний удой одной коровы b л, общий удой ab. На первой ферме 0,875 а коров, средний удой одной коровы 1,08 6 л, общий удой 0,945 ab л. Отношение общего удоя на первой ферме к удою на второй
0,945 ab : ab = 0,945 = 94,5 %.
1) 100% +80% = 180% = 1,8 (объем строительных работ по сравнению с первоначальным).
100% +20% = 120% = 1,2 — производительность
труда по сравнению с первоначальной.
1,8 : 1,2 = 1,5 = 150% —составляет количество рабочих, необходимых теперь по сравнению с первоначальным, т. е. на 50% надо увеличить число рабочих.
1) 1 —0,2 = 0,8 прежнего времени необходимо теперь для изготовления той же детали.
1 :0,8 = 1,25 = 125% —такова теперь производительность труда по сравнению с прежней, т. е. производительность труда увеличилась на 25%.
1) 100%—60% = 40% = 0,4— такую часть составляет оставшийся приток воды.
2) 1 : 0,4 = 2,5 (раза) — во столько раз увеличится время, необходимое для наполнения бассейна, т. е. увеличится на 150%.
Примем для простоты вычислений прежний заработок рабочего за 10 руб., и пусть он покупает только один какой-то продукт по 1 руб. за килограмм, т. с. 10 кг. После повышения на 20% заработок рабочего стал 12 руб., а цена продукта после снижения цены на 15%—0,85 руб. за 1 кг. Теперь рабочий может купить уже 12:0,85—14,1 (кг), т. е. на 4,1:10 = 0,41=41% больше, чем прежде.
Площадь измененного прямоугольника составляет 1,05 площади первоначального. Так как длина нового равна 0,84 прежнего, то ширина нового составляет 1,05:0,84 = 1,25 ширины прежнего, отсюда первоначально ширина была 3,6:0,25=14,4 (сл^). Значит, ширина нового прямоугольника 14,4 + 3,6 = 18 (сл<).
9,6 см. 255. Уменьшилась на 1%. 256. Увеличилась на 44%. 257. ^ на 90,1%. 258. ^ на 456%.
~ 12,1%.
1 — ребро куба, тогда объем куба 1 куб. ед.
1 +0,1 = 1,1 — ребро нового куба.
1,1 • 1,1 • 1,1 = 1,331 —объем нового куба.
1,331 — 1 = 0,331 (куб. ед.^ — на столько кубических единиц увеличился объем куба.
0,331:1 =33,1%—на столько процентов увеличился объем куба.
1 —ребро куба; 1,2 — ребро нового куба. Решение задачи запишем формулой.
(1,2-1,2-6) : (1 • 1 - 6) = 1,44 = 144%, т. е. поверхность куба увеличилась на 44%.
Сбор пшеницы с 1 га равен частному от деления общего сбора (а) на площадь поля в гектарах (б). Тогда решение задачи можно записать формулой
4-=1,2= 120%.
Значит, урожай пшеницы с 1 га в колхозе «Звезда» больше, чем в колхозе «Луч», на 20%. Можно предложить учащимся вместо букв брать произвольные числа (см. решение задачи № 248).
1) 40% + 36% = 76% составляют женщины и дети.
100% —76% =24% составляют мужчины.
24% +24% -^- = 42% составляют мужчины на вечернем концерте.
40%—40%--4= 10% составляют школьники па вечернем концерте.
з
36% + 36% •-g- = 49,5% составляют женщины на вечернем концерте.
42% +49,5% + 10% = 101,5% от числа посетителей на утреннем концерте составляет число посетителей на вечернем концерте, т. е. на вечернем концерте посетителей было больше, чем на утреннем, на 1,5%.
1) 3,5-0,76 = 2,66 (кг) серебра в первом слитке.
10,5-0,84 = 8,82 (кг) серебра в 10,5 кг сплава.
8,82 — 2,66 = 6,16 (кг) серебра во втором слитке.
10,5 — 3,5 = 7 (кг)— вес второго слитка.
6,16:7 = 0,88 = 88% серебра содержалось во втором слитке.
1) 5-0,35= 1,75 (л) жира в 5 л сливок.
4-0,2 = 0,8 (л) жира в 4 л сливок.
1,75 + 0,8 = 2,55 (л) жира в смеси.
5 + 4 + 1 = 10 (л) — вес смеси.
2,55: 10 = 0,255 = 25,5% —жирность смеси.
20%. 267. 10 кг и 30 кг. 268. 12 кг и 0,4 кг.
1) 200-0,62 = 124 (г)—столько крепкой (100%) серной кислоты содержится в 200 г 62-процентной кислоты.
2) 124:0,08 =1550 (г)—столько 8-процентной кислоты можно получить из 200 г 62-процентной серной кислоты.
500 г. 271. 125 г.
1) 7,5-0,64 = 4,8 (q) содержится воды в только что срубленном дереве.
7,5 — 4,8 = 2,7 (q) содержится сухой древесины в дереве.
100% —48% = 52% веса дерева через неделю составляют 2,7 ц сухой дрёвесины.
2,7:0,52 «5,2 (q) весит дерево через неделю.
7,5 — 5,2 = 2,3 (q)—на столько уменьшился вес дерева за неделю.
«3,9 т.
1) 250% — 100% = 150%—на столько процентов увеличится продукция.
40 рабочих увеличивают продукцию на 20%.
х рабочих »» на 150%.
х =-^^-=300 (рабочих) увеличивают продукцию на 150%, они же составляют 60% числа всех рабочих.
300:0,6 = 500 (рабочих) было в цехе.
500 рабочих — увеличение на у%.
300»» на 150%. у = 250%.
250% + 100% = 350%, т. е. продукция увеличилась бы в 3,5 раза.
275. Каждые 100 кг молока, надоенного за какой-то срок от первой коровы, содержат 5 кг (5%) жира.
Каждые 130 кг молока, надоенного за тот же срок от второй коровы, содержат 4,55 кг жира (130-0,035).
Каждые 100 кг молока от первой коровы содержат больше жира, чем 130 кг молока от второй коровы на 0,45 кг (5 — 4,55).
Чтобы иметь от молока первой коровы жира на 5,4 кг больше, чем от молока второй за один и тот же срок, надо иметь (5,4:0,45), т. е. 12 удоев молока по 100 кг, значит, 1200 кг.
Входная плата за двух человек была 3 руб., теперь вместо каждых двух человек стадион посещают трое (число посетителей увеличилось на 50%) и платят 3 руб. + 75 коп. = 3 руб. 75 коп. (общий сбор увеличился на 25%), т. е. один билет теперь стоит 1 руб. 25 коп, (3,75 : 3), значит, плата понижена на 25 коп.
Первый дядя дал ~ того, что собрали без него, т. с. ~ всех денег (рис. 22).
Взнос
I дяди
Рис. 22
Второй дядя дал ~ денег, собранных без него» т. е. ~ всех денег (рис. 23).
Взнос
В дяди
Рис. 23
Взнос отца
Рис. 24
Отец внес 50% денег, собранных без него, т. е. ~ всех денег (рис. 24).
5* Т *60 всех Денег дали отеД и °$а ДЯДИ.
1—-57г = -нк- всех денег составляют 10,4 руб.
'6060
13
10,4: -gQ- = 48 (руб.) стоил радиоприемник.
2
1) 20% денег старшего и 22 у % денег младшего составляют 80 руб.
4
60% денег старшего и 44 у % младшего составляют 200 руб.
На 2 приемника ушло бы:
4
40% денег старшего и 44 у % денег младшего и составили бы 160 руб.
Сравним эту запись с тем, сколько у них ушло на телевизор.
60%—40% = 20% денег старшего составляют 200—160 = 40 (руб.).
40 : 0,2 = 200 (руб.) было у старшего.
2
80 — 40 = 40 (руб.) составляют 22 у % денег младшего.
22 у % = q2^n =у‘, 40 : -2- = 180 (руб.) было у млад- УУ • 1UU УУ
шего брата.
62,5% возраста брата больше 75% возраста сестры на 2 года. 50% возраста брата больше 37,5% возраста сестры на 7 лет, значит, 100% возраста брата больше 75% возраста сестры на 14 лет, отсюда 37,5% возраста брата составляют 12 лет.
12 : 0,375 = 32 (года) брату.
32—14= 18 (лет) составляют 75% возраста сестры. 18:0,75 = 24 (года) сестре.
Пусть второе слагаемое 1, тогда первое сла-
5, 5
гаемое а сумма 1 -у .
-у от 1 -у составляют -у-0,294 = 29,4%.
Следовательно, меньшее слагаемое составляет — 29,4% от суммы.7
Пусть уменьшаемое 1, тогда вычитаемое-^,
6 /.76 \
а разность —^1 - — =—).
-у от -jy составляет у « 85,7%.
1) 12:960=эд- часть резца расходует один рабочий на изготовление одной детали.
10:640 = -^ части резца расходует второй рабочий на изготовление одной детали.
уу : уу = 0,8 = 80%, т. е. первый рабочий расходовал резцы на 20% экономнее, чем второй.
1:11 = 5 : 4;
11:111 = 2:1,5 = 4:3; отсюда 1:11:111 = 5:4:3.
5 + 5 • -^ = 5 у частей составляет новая ежедневная нормы I бригады.
14
4 + 4 • у = 4 у части приходится ежедневно на новую .норму II бригады.
13
3 + 3 • -[q=3 — части ежедневной нормы III бригады.
Теперь I: II: Ш = 5у: 4 у: 3-^-= 55: 48: 33.
55 — 48 = 7 (частей) составляют 14 га.
-—у5 =110 (га) вспахала первая бригада.
—у8 = 96 (га) вспахала вторая бригада.
—?— = 66 (га) вспахала третья бригада.
II: III: IV = 6,5: 7,8: 9,1 = 5:6:7.
26% • 1 у = 32,5% годового плана дал завод во втором квартале.
32,5% -.5 = 6,5% приходится на 1 часть.
6,5% -6 = 39% дал завод в третьем квартале.
6,5%-7 = 45,5% дал завод в четвертом квартале.
26% + 32,5% + 39 % + 45,5 % = 143 % годового плана фактически выполнил завод, т. е. перевыполнил план на 43%.
I способ
351
*[б : 32" — 1 у — во столько раз первое число больше второго. 1 — второе число.
1 -|- — 1 = у второго числа составляет 16.
16 ". у = 80 — второе число.
80 • 1 у = 96 — первое число.
И способ
Пусть х —первое число, у —второе. 53
sk* х = -гк • у, т. е. можно считать, что это написано 32lb v
равенство произведений крайних и средних членов пропорции, отсюда х .* у == 6 :5.
16*616*5 ОЛ
х = -7—г- = 96; у = -7—=- = 80.
6 — 5’ -'6 — 5
I и II способы см. № 285.
III способ 5
Обозначить через единицу у первого числа, тогда 31
первое число будет равно 1 у, а второе 1 у.
1 у — 1 у=-у (составляют 12).
12: -у = 45 (составляет I часть).
45 • 1 у = 72 — первое число.
45 • 1 у = 60 — второе число.
88 и 84.
Первое число меньше второго в 2 раза (8:4 = 2), т. е. первое число составляет у второго. 1/3 \
Третье число меньше второго в 1 у раза |6 : 4 = g-j, 2о
т. е. третье число составляет у второго. Значит, числа 12
находятся в отношении I: II: III = у : 1 : у = 3:6 :4.
3 О1 г
= 31,5 — первое число.
31,5 • 2 = 63 — второе число.
63 • у = 42 — третье число.
6; 4,8 и 7,2.
1 — меньшее число; 10,5 —большее число.
1) 1 + 10,5= 11,5 (части) приходится на сумму чисел, т. е. на 10,5.
2) 10,5:11,5 = ^2) 10,5:11,5 = ^меньшее число.меньшее число.
2) 10,5:11,5 = ^
2) 10,5:11,5 = ^
меньшее число.
меньшее число.
21441
• 10,5 = -^— большее число.
' 23’46
4- и -^- I ио
Искомые числа: 0,252; 2,52; 252.
х — меньшее число, тогда х + Юх + ЮООх = 254,772;
х = 0,252.
35,12; 351,2; 3512.
29 коп.
I способ (см. замечание к № 174).
48-3 = 144 (км) должен пройти письмоносец, чтобы остаток его пути был таким же, как у колхозника.
13-3 = 39 (кл0 должен проезжать письмоносец в час, чтобы остаток его пути был таким же, как у колхозника.
39 — 7 = 32 (км). На 32 км проезжал бы письмоносец в час больше колхозника.
144 — 48 = 96 (км). На 96 км больше проехал бы письмоносец, чем колхозник.
96:32 = 3 (ч). Через 3 ч остаток пути для колхозника будет в 3 раза больше, чем для письмоносца.
II способ
За 1 примем часть пути, которую осталось пройти почтальону, тогда колхознику осталось 3.
3—1=2 части составляют путь, на который отстал колхозник.
13 — 7 = 6 (км/ч)—из-за этих 6 км/ч колхозник отстал на 2 части.
6:2 = 3 (км/ч) дают отставание в 1 часть.
13 + 3 = 16 (км/ч) —если бы велосипедист шел с этой скоростью, он за то же время прошел бы все 48 км.
48:16 = 3 (ч)—через столько времени остаток пути почтальона будет в 3 раза меньше остатка пути колхозника.
2,36 • 50,4. 297. 40,5 • 2,07.
_ 97760 | 325
975300,8
2600
2600
0
I способ
25—15=10 (л)—на столько из первого сосуда вытекает больше, чем из второго за 1 мин.
1 —остаток в первом сосуде.
— остаток во втором сосуде.
— 1 =5 — разница остатков.
10 : 5 = 2 (л), если бы на 2 л больше вытекало из первого сосуда, то там ничего не осталось бы.
25 + 2 = 27 (л) — по стольку надо выливать из первого сосуда в минуту, чтобы за это же время там ничего не осталось.
540 : 27 = 20 ^мин^ —через столько времени в первом сосуде останется в 6 раз меньше, чем во втором.
II способ (см. замечание к Задаче 174).
540-6 = 3240 (л)—столько должно было быть в первом сосуде, чтобы через столько же времени в обоих сосудах осталось поровну.
25-6 = 150 (л)—по стольку надо было бы для этого выливать каждую минуту из первого сосуда.
3240 — 540 = 2700 (л) —на столько во втором сосуде меньше, чем в предполагаемом первом сосуде.
150— 15 = 135 (л)—на столько из второго сосуда выливали бы меньше, чем из первого.
2700 : 135 = 20 ^мин^ —через столько времени в первом останется в 6 раз меньше, чем во втором.
способ — графический. (См. стр. 15 книги Островского и Кордемского «Геометрия помогает арифметике».)
Указание. Делитель умножим на 10, значит, чтобы частное не уменьшилось, надо делимое тоже увеличить в 10 раз, а его увеличили на 10 и частное не уменьшилось.
Если первоначальное делимое принять за 1 часть, то увеличенное делимое будет содержать 10 частей, т. с.
к делимому добавлено 9 частей. Эти 9 частей составляют 10, значит, 1 часть, а следовательно, и первоначальное делимое равно -—■= 1 —-. Делитель может быть любым, нс равным 0.
Очень легко решение объясняется уравнением: х х + 10
— = -j-0, где х — первоначальное делимое, а — произ
вольный делитель (не равный 0).
В первой сотне таких чисел не может быть, так как здесь в каждом десятке не менее чем по два простых числа. В первом десятке второй сотни тоже несколько простых чисел. А вот во втором десятке второй сотни есть такое число 114, следующие за ним 12 чисел: 115; 116; 117; 118; 119; 120; 121; 122; 123; 124; 125; 126 —составные.
,7
150 • gg = 35 — целая часть искомого смешанного числа.
?7
• -gg = -^ — дробь искомого числа.
4 — искомое число.
11 4-. 304. 32 4 •
4015
___ 232323 . 23232323
9999 = 99* "999999 = 99 ’ следовательно, все эти дроби равны между собой.
30
-^. Задача сводится к делению 72 в отношении 5:7.
Дробь у, известно, что «6 = 550.
550 = 2-5.5. 11.
Так как дробь должна быть выражена конечной де* сятичной, то число 11 не может быть множителем зна* менателя, т. е. дроби могут быть
* * * * _ п рр. И-2 22 „
5-5.2“ 50U’22, 5 • 5 — 25 —
11 • 5 • 5275,-
137Д
308n 1) oabcde больше abcdeS в 4 раза, значит, 4-5 = 20; е = 0.
SabcdO больше abcdOS в 4 раза, значит, abcdOS • 4= = 5abcd0; d = 2.
а6с205 • 4 = 5abc20;
205-4 = 820; с = 8.
а6 8205 • 4 = 5а6 820;
8205 - 4 = 32820; 6 = 2.
028205 - 4 = 5о2820;
28 205-4 = 112 820; а= L
Первоначальное число 512820.
857 142 — искомое число.
Часовая стрелка за минуту делает gj1^- оборота,
1,
минутная стрелка за минуту--^ оборота.
За минуту минутная стрелка делает на ^.уд" оборота больше часовой
/ 11_ 11 \
\6012-6060-12
а до следующего совпадения стрелок минутная стрелка сделает на целый круг больше, значит, минутная стрелка.
115
догонит часовую через 1 : "720"= 65-ур ^мин\
Если первоначально товар стоил 1, то после повышения цены на 10% товар стоит 1,1 первоначальной цены. После удешевления на 10% товар стал стоить 1,1-0,9 = 0,99, т. е. дешевле первоначальной стоимости на 1%.
Если к задуманному числу прибавить 12, а затем отнять 5, то полученное число будет больше задуманного на 7, значит, и задуманное число делится на 7.
Если к задуманному числу прибавить 14, а потом отнять 5, то полученное число будет больше искомого на 9,
*) Sabcde— шестизначное число, записанное в десятичной системе счисления, где е — число единиц, d— число десятков, с—чис* ло сотен и т. д.
известно, что оно делится на 9, значит, и искомое число делится на 9.
Если к задуманному числу прибавить 18, а затем отнять 5, то получим число, большее задуманного на 13, а так как оно делится на 13, то и задуманное число делится на 13.
Значит, наименьшее из чисел, удовлетворяющее условию 7-9-13 = 819, — искомое трехзначное число (819 — единственное число, так как все остальные числа, кратные 819, уже не трехзначные).
Если от задуманного числа отнять 4, то оно разделится на И, на 8 и на 7. Задуманное число 11 «8-7 + + 4 = 620. Другого числа быть не может, так как произведение 616 на любое целое число не будет числом трехзначным.
Сначала положим на каждую чашку весов по 3 монеты. При этом может быть два случая: или они будут в равновесии (значит, фальшивая монета находится среди оставшихся двух, обнаружить ее легко, положив на чашки весов по одной из этих монет), или же в равновесии монеты не будут, тогда фальшивая монета среди трех монет, вес которых меньше. Положив из этих трех две на чашки весов, получим или равновесие, тогда фальшивая — оставшаяся третья, или неравновесие — тогда фальшивая монета та, что легче.
1) 270 + 290 = 560 (шагов) сделали оба, пройдя весь периметр огорода.
Количество шагов брата (Б) и сестры (С) на одном и том же расстоянии обратно пропорционально длине шагов:
5 :С= oj: о^=3:4,
зТТ = 320 (шагов) сделала девочка, пройдя длину и ширину огорода.
560 • 3
3 + 4 = 240 (шагов) сделал мальчик, пройдя длину и ширину огорода.
0,6-320= 192 (л<) длина и ширина огорода вместе.
0,6-270 = 162 (.и) прошла девочка, если бы прошла 270 шагов одна.
192—162 = 30 (лг) прошел мальчик лишних за счет более длинного шага.
0,8 — 0,6 = 0,2 ^—на столько шаг мальчика длиннее шага девочки.
30:0,2 = 150 (шагов) сделал мальчик в первый раз.
0,8*150 = 120 (л0 — длина прямоугольника.
192—120 = 72 (л/)—ширина прямоугольника.
120-72 = 8640 (кв. л?)—площадь прямоугольника.
1) 12 : 2 = 6 (стр.) —по стольку страниц должна была печатать первая машинистка, чтобы напечатать столько же, сколько и вторая.
6-4 = 24 (стр.) напечатала бы первая машинистка за 4 ч.
10 — 6 = 4 (стр.) —на столько вторая машинистка в час печатает больше, чем первая по предположению.
24:4 = 6 (ч) работала вторая машинистка.
6 + 4=10 (ч) работала первая машинистка.
10-6 = 60 (стр.) напечатала вторая машинистка.
12-10=120 (стр.) напечатала первая машинистка.
120 + 60 = 180 (стр.) —такова вся рукопись.
Пусть количество страниц таблиц составляет 1, тогда количество страниц текста составит 2,5. Если страница текста, оплачивалась 1, то страница таблиц опла- 22
чивалась на — больше, т. е. 1 у.
22
1 у • 1 = 1 у составляет стоимость всех таблиц.
1-2,5 = 2,5 составляет стоимость всех страниц текста.
25 руб. надо разделить между машинистками в отношении
II = 1 у :2,5 = 2:3.
25 • 2
2 у = 10 (руб.) получила машинистка за таблицы. 25 * 3
2 + 3 = 15 (руб.) получила машинистка за текст.
1) 0,35-20 = 7 (руб.) —на столько больше стоили бы книги по физике, чем по математике, если бы их было столько же, сколько и по математике.
0,63 — 0,35 = 0,28 (руб.)—на столько одна книга по физике стоила больше, чем книга по математике.
7:0,28 = 25 (книг) было по физике.
20 + 25 = 45 (книг) было по математике.
12
1) 1— "з" = "з" приходится на 13 л/.
13: у = 19,5 (л*) продали в 4-й день.
зн-тЧ-
з
19,5 + 9 = 28,5 (л*) —-4 нового остатка.
з
28,5 : -^- = 38 (л<) — новый остаток.
1-4=4.
38+ 10 = 48 (л*) —у остатка.
48: у = 60 (л«) — остаток.
1-1=5
60 + 5 = 65 (лг) — у всего куска.
65:-$- = 78 (.и) было во всем куске.
720 кг. 321. 15 кур и 4 овцы.
1) 2-2 = 4 (кв. я)— площадь квадрата (рис. 25).
1I
1 часть 1 1 часть 1 Участь
11
/часть |!
! 1
Z///1
Рис. 25
4-4= 16 (кв. л^)—площадь четырех квадратов.
128—16= 112 (кв. л/) — площадь оставшейся части или площадь восьми равных участков шириной 2 я, а длиной в 1 часть.
112:8 = 14 (кв. л)—площадь одного такого участка.
14:2 = 7 (.и)—длина одного такого участка или такова ширина данного участка.
7-3 = 21 (л) —длина данного участка.
7 + 2 + 2=11 (л?) — длина меньшей стороны ограды.
21 + 2 + 2 = 25 (л/) — длина большей стороны ограды.
(11 +25)-2 = 72 (л<)—длина всей ограды.
I способ
2-10 = 20 (коп.) было бы в кошельке, если бы все монеты были по 2 коп.
26 — 20 = 6 (коп). На 6 коп. на самом деле больше, чем мы предположили.
3 — 2=1 (коп.) разница в стоимости одной монеты.
6:1=6 (монет) по 3 коп.
10 — 6 = 4 (монеты) по 2 коп.
II способ
Пусть двухкопеечных монет было х шт., тогда трехкопеечных монет было (10 — х) шт., отсюда 2х + 3(10— — х) = 26, х = 4.
I способ
24-46 = 1104 (коп.) стоили бы все 46 книг, если бы каждая стоила 24 коп.
14,64—11,04 = 3,6 (руб.) На 3 руб. 60 коп. стоят Дороже книги, чем 46 книг по 24 коп.
42 — 24= 18 (коп.). На 18 коп. один учебник- стоит дороже, чем один задачник.
360 : 18 = 20 (шт.) было учебников.
46 — 20 = 26 (шт.) было задачников.
II способ
Пусть было х учебников, тогда (46 — х) задачников, 0,42х + (46 —х) -0,24 = 14,64;
х = 20.
1) 5,5-70 = 385 (руб.) стоила бы вся ткань, если бы один метр стоил 5,5 руб.
425 — 385 = 40 (руб.)—на столько дороже оба куска ткани на самом деле.
6,5 — 5,5=1 (руб.)—разница в цене одного метра.
40 : 1 = 40 (л0 было ткани по 6 руб. 50 ксп.
70 — 40 = 30 (л0 было ткани по 5 руб. 50 коп.
I способ
3-1,5 = 4,5 (руб.) стоят 3 л/ первого сорта.
4,5 + 7,5=12 (руб.). На 12 руб. дороже второй сорт, чем первый.
4,5 — 3= 1,5 (руб.). На 1,5 руб. дороже 1 м. второго сорта, чем 1 лг первого сорта.
12 : 1,5 = 8 (ж) второго сорта.
8 + 1,5 = 9,5 (л^) первого сорта.
3-9,5 = 28,5 (руб.) стоит первый сорт.
4,5 - 8 = 36 (руб.) стоит второй сорт.
II способ
Пусть будет во втором куске х л<, тогда (х+1,5) м в первом куске. Составим уравнение: 3(х + 1,5) +7,5 = = 4,5 х; получим: х = 8.
8 чисел (5, 15, 35, 45, 55, 65, 85, 95) при умножении на четное число дают числа, оканчивающиеся одним нулем, а произведение этих 8-ми чисел и 8 четных чисел оканчивается восьмью нулями.
Три числа (25, 75 и 50) при умножении на число, делящееся на 4, дают числа, оканчивающиеся на два нуля, а их произведение оканчивается шестью нулями.
Числа 10, 20, 30, 40, 60, 70, 80, 90, 100 при умножении на любое число, кроме уже рассмотренных, дают на конце столько нулей, сколько их в указанном сомножителе, а их произведение оканчивается 10 нулями.
Произведение 1-2-3- ... -100 оканчивается на 24 нуля.
5, так как произведение любого нечетного числа на 5 дает число, оканчивающееся на 5.
Через 3 ~- дня.
I способ
Первый путник половину времени, затраченного на весь переход, шел по 5 км)ч, поэтому он прошел больше половины пути, а второй с этой скоростью прошел только половину пути, поэтому первый пришел в В раньше, чем второй.
II способ
Пусть S км — путь от А до В.
Первый путник затратил на весь путь / ч, значит,5-T + 4'T=S; 4.^ = 5; / = ^, T. е. t = ^4.
5595
Второй же путник был в пути -g : 4 + -g-: 5= ^- (ч); 2595
-$- ч меньше -^ч, значит, первый прибыл в В раньше.
I способ
За время, которое автомобилист потратил на вторую половину пути, велосипедист проезжает весь путь от А до В. Значит, велосипедист прибыл в В раньше, чем автомобилист.
II способ
Велосипедист на путь от А до В, равный S км, идя со скоростью V км[ч, затратил у ч.
Автомобиль на первую половину пути затратил •^у =7^7- W, а на вторую -у:у = у (ц), т. е. столько, сколько велосипедист затратил на весь путь, значит, велосипедист прибыл в В раньше автомобилиста.
Так как т2— п ~ 16— 16 = 0, а знаменатель не равен нулю, то дробь равна нулю.
0. 334. 6 249 975 при а = —10; 6 = —5.
—3; 0,5; 11. 336. 10 590 580 при х = —10; у = 23.
—11,1. 339. —24,84.
1) 0; 2) при х = 0,1 выражение теряет смысл, так как деление на нуль невозможно.
1) — у; 2) при а=—^-выражение теряет смысл.
1) у; 2) при а = — 2 выражение теряет смысл.
1) —18 при х = —10; 2) при х = 0,5 выражение теряет смысл.
2 больше девятой части куба утроенной суммы чисел а и Ъ на 5.
При а = —10 и х = —99 удвоенная разность квадратов чисел а и х больше утроенной разности квадратов этих же чисел на 9701.
a' + b' . (a2W\2
—g— > I—2—) в0 всех тРех случаях.
ю/ а + х\3tz34-x3
При а= —18 х= —11; I—2—) больше—2— на 532,875.
1648 _ 16. 131313_ 13/16 . 13 \ /1316 \
1751 “ 17’ 686868— 68’\17 ‘ 68 / \ 6817/
1 /1С , 13 \1/131С\1/ 169 о-с\231
=—^16 + ^-).-^^-16) = -^^-256) = -273.
Q4Q 1284 _ 12 . 212121 _ 21( 12 I 21 \ V
139113 ’ 65656565 * к 1365 J Х
Х к 6513;325 •
а) 6; б) 7; в) 1; г) 3; д) 0; е) 2, или 4, или 6, или 8; ж) 3 или 7; з) 4; и) 5.
а) 8; б) 57; в) 330; г) 315. 352. 0,2. 353. —0,2.
Так как число делится без остатка на 5, то оно может быть записано или 10а + 0, или 10а + 5, где а — натуральное число. Но (10а+ 0)-0 = 0, следовательно, (10а + 5) - 5 = 363 + а + 5, отсюда а = 7, поэтому искомое число 75.
12а + 1, где а — любое натуральное число.
24а + 5, где а — любое натуральное число.
Пусть 2а + 1 и 2а 4- 3 — последовательные нечетные числа, где а — нуль или любое натуральное число.
(2а 4-1)4- (2а 4- 3) = 4а 4- 4 = 4 (а 4- 1), один из сомножителей делится на 4, значит, и все произведение делится на 4.
(2м 4- I)2—(2м—1)2 = 8м, где п — натуральное число. Один из сомножителей 8, значит, 8м делится на 8.
(2м + I)2—1=4м(м+1); м(м+1)—произведение двух последовательных натуральных чисел, из них одно — или м, или м 4- 1 делится на 2, значит, 4м (м + 1) делится на 8.
м 4* (м 4” 1) 4” (м 4” 2) 4- (^ 4- 3) = 4м 4- 6 = = 2(2м4-3).
2 (2м 4-3) во всяком случае делится на 2, т. е. 2 (2м 4- 3) не простое число.
Из трех последовательных натуральных чисел по крайней мере одно кратно 2 и одно кратно 3, значит, произведение кратно 6. Пусть первое число четное 2м,
тогда произведение трех последовательных чисел будет: 2n(2n + 1) (2п + 2).
Один из сомножителей по-прежнему делится на 3. Представим произведение следующим образом: 2-2п(п + 1) (2л. + 1), где л и л + 1 —два последовательных натуральных числа, значит, одно из них четное. Итак, среди множителей рассматриваемого произведения имеются 2-2-2-3, т. е. оно кратно 24.
Если а не делится на 3 и b не делится на 3, то могут быть следующие случаи:
Каждое из чисел а и b при делении на 3 дает в остатке 1, т. е. а = ЗА + 1, b = Зт + 1, следовательно, а — 6 = ЗА + 1 — 3m — 1 = 3 (А — т) делится на 3.
а и b при делении на 3 дают остатки, равные 2, т. е. а = ЗА + 2, b = Зт + 2, тогда а — b = ЗА + 2 — — 3/71 — 2 = 3(А — т) делится на 3.
Одно из чисел а или b дает при делении на 3 остаток 1, а другое — 2, например: а = ЗА + 1, b = Злг + 2, а + b = ЗА + 1 + 3m + 2 = 3(m + А + 1) делится на 3.
(За + 1) (36 + 1) = 9а6 + За + 36 + 1 = 3(3а6 + 4-а+ 6)4-1; 3(3а6 + а + 6) делится на 3, значит, 3(За6 + а + 6) + 1 при делении на 3 дает остаток 1.
(За + 1) (36 + 2) = 3(3а6 + 2а + 6) + 2;
(Заб + 2а + 6) делится на 3;
3(3а6 + 2а + 6) + 2 при делении на 3 дает остаток 2.
Пусть а, 6 и с однозначные, причем а += О, тогда 100а + 106 + с —(100с + 106 + а) = 100а + 106 + с—■ — 100с— 106 — а = 99а — 99с = 99 (а — с).
Один из сомножителей полученного выражения делится на 9 и на 11, следовательно, все это произведение разделится на 9 и на 11. В частном случае, если а = с, то произведение 99 (а — с) = 0, т. е. делится на 9 и на 11.
1000а + 6—(10006 + а) = 999(а — 6), где а и 6 — однозначные числа, причем а =А 0, 6 ¥= 0.
Один из сомножителей 999 делится как на 27, так и на 37, следовательно, 999 (а — 6) делится на 27 и 37.
1000а + 10с + d — первоначальное число, 1000//+ 100с + а — число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке.
1000а + 10c + d— (1000d+ 100с + а) = 9(111а — — Юс— ИМ).
Один из сомножителей делится на 9, значит, и произведение делится на 9.
9 на 111 не делится.
(111а—Hid) делится на 111, но Юс на 111 (и на 37) не делится, значит, (111а—Hid—Юс) не делится на 37 и, следовательно, на 111.
(я 4- 2) [я (п 4- 1) + 6] = я (я 4-1) (я4-2) 4-6 (я 4-2). Каждое из слагаемых делится на 6, значит, и сумма делится на 6.
Пусть последовательные нечетные числа 2я 4- 1 и 2я 4- 3 имеют наибольший общий делитель d, тогда разность этих чисел (2я 4-3) — (2я 4- 1) = 2 должна делиться на d, что возможно лишь при d = 1, так как данные числа нечетные.
Пусть наибольшим общим делителем чисел 14я 4-3 и 21я 4- 4 является d, тогда и разность этих чисел 21Я4-4—(14я 4-3) = 7я 4-1 также делится на d, поэтому и число, в два раза большее 14я 4- 2, делится на d, но по предположению 14я 4- 3 делится на d, поэтому и разность 14я 4-3— (14я 4- 2) = 1 делится на d, т. е. d = I, а дробь -^ + 4 несократима.
(100 — а) (100 — Ь) = 100(100 — а — Ь) 4- ab =
= 100 [(100 —а) — 6] 4- ab.
1) (Юа 4-6) (Юа 4-с) = 100а2 4-Юас 4-Юаб 4-] 4- Ьс = Юа(10а 4- с 4- 6) 4- Ьс = 10а[(10а 4- 6) 4- с] 4- Ьс.
Пример: 23-28= (23 4- 8)-20 4- 3-8=620 4- 24=644.
2)(10а 4- 6) (10а 4- с) = 100а2 4- Юаб 4- Юас + Ьс =»
= 100а2 4- 10а (Ь 4- с) + Ьс = 100а2 4- Ю0а 4- Ьс = = Ю0а(а 4- 1) 4- 6 с.
Пример: 23-27= 100-2-3 4-21 =621.
Доказанные формулы дают правила для устного умножения указанных двузначных чисел.
Данное выражение представляет квадрат суммы чисел х2 — ах + Ь и ах — 6, т. е. (х2— ах4-б4-ах — 6)2= = х4.
Данное выражение представляет собой разность куба разности двух чисел х3 + ах — 6 и ах — Ь и разности кубов чисел х3 и 5, т. е. [(х3 4- ах — 6) — (ах— 6)]3— —[(х3)3 —53] = х9 —х94- 125 = 125.
Разность (Юх 4- у) — (Юу 4- х) = 9(х — у) пред* ставляет произведение двух сомножителей, из которых 9 = З2. Значит, второй сомножитель тоже должен быть
квадратом целого числа. Но по смыслу задачи О^х— — у < 9. Следовательно, искомое условие выполняется: 1) если обе цифры двузначного числа одинаковы, а также 2) если х— у равно 1 или 4, т. е. цифра десятков больше цифры единиц на 1 или на 4.
Пусть дана дробь у, тогда ^_ р = у, отсюда b — 2a — 1, где а — натуральное число, большее 1.
Если данная дробь 4-, то ? + * =4", значит, 6 = За 4“ 2.
а + (а + 1) + (а + 2) = За + 3, что делится на 3, т. е. не является простым числом.
Пусть искомое число 10а + Ь, тогда 10а + b— — (106 + а) = 9а — 96 = 9(а — 6), т. е. чтобы число от перемены цифр местами увеличилось на 36, надо, чтобы разность а — 6 равнялась 4, отсюда, если 6 = 1, то а=5; если 6 = 2, то а = 6; если 6 = 3, то а = 7; если 6 = 4, то а = 8; если 6 = 5, то а = 9.
Искомые числа: 15, 26, 37, 48, 59.
Дано двузначное число 10а + 6; если вставить между цифрами этого числа нуль, то получим 100а + 6, отсюда уравнение: (10а + 6) -8,5 = 100а + 6, т. е. 6 = 2а, значит, искомые числа: 12, 24, 36, 48.
а) 2; б) 2 и — 1,5; в) нет решения; г) |х— 2| = = 2— 2х, т. е. 2 — 2х > 0, х < 1; х— 2=2 — 2х и х— 2 = = 2х — 2, откуда х = 0 и х = 1 у. О т в е т: х = 0; д) нет корней; е) —2; ж) 3 и бу; з) 2 и —2; и) —3 и 4.
Рассмотреть случаи х > 3, х^ — 2, —2<х-<3;
к) 0 и 2; л) 4,5; м) —5 и —у; н) —4^х^1.
а) — 5^х^5; б) 8; в) — 2<х —3,5<2, т. е. 1,5<х<5,5; г) х>5; х<—5; д) х —4>5, т. е. х>9, и х —4< — 5, т. е. х< — 1; е) х>2 и х< — 4; ж) х > 1,7; х<-1,7; з) 3<х<7; —7<х<—3; и) нет решения; к) |7х+1|>—6, х —любое число.
Очевидно, что 434 оканчивается той же цифрой, что и З4.
43« = 4340.43з = (434)Ю . 433.
(434)10 оканчивается 1.
433 оканчивается 7, значит, и 4343 оканчивается 7.
74 оканчивается 1.
716 = (74)4 оканчивается 1.
717 оканчивается 7, поэтому 1717 оканчивается 7.
4343—1717 оканчивается на 0 (7 — 7 = 0), следовательно, 4343—1717 делится на 10.
А > В. 387. При х < 0 и при 0 < х < 1.
Первое выражение больше второго на 30.
Второе выражение больше первого на 12.
50°. 391. 74°.
Пусть СК — биссектриса внутреннего угла, а СЕ — биссектриса внешнего угла, тогда СК -L СЕ, т. е. △ СЕК прямоугольный, в котором Z ЕКС = 54°, значит, Z Е = = 36°.
Пусть дан А ЛВС, в котором АС — основание, а биссектрисы углов А и В пересекаются в точке О, тогда Z АОВ = 130°. В A BOA Z ABO + Z ВАО = 50°, значит, Z АВС + Z ВАС = 100°, а третий угол треугольника АВС равен 80°, поэтому Z ВАС = 80°, a Z АВС = 20°,
10:11:15. 395. 33°; 57°.в
13°; 13°. 397. 62°. 398. 40°.к
1) 6 + 7 + 11 = 24 (части)Л
составляет сумма внешних углов / \ треугольника./\
ох 360° • 6 ппо„ /\
—24— = 90 — ОДИН из внеш- В А.\
них углов, а с ним смежный внут- / ^^Af ренний тоже равен 90°, а значит, два/.//\
других угла будут меньшими угла- / ^/^\
ми треугольника. Высоты, прове- //^\
денные из вершин этих углов, сов- дС
падают с катетами, следовательно, Рис 26 угол между высотами равен 90°.
АВ = ВС =15 см (рис. 26); АЕ + ЕС = BE + + ЕС = 15 см; РАЕС = 10 + 15 = 25 ^см\
21.
J03^100 = 5150 (диагоналей).
Один многоугольник имеет вершины за номерами 42 , 43, .... 81, следовательно, у него 40 вершин и 40 сторон. Другой многоугольник имеет вершины за номерами 1, 2, 3, ..., 42; 81 100,следовательно,
у него 42 + 20 = 62 вершины и 62 стороны.
^ ~ ^ ^п ^
1) £х ВКЕ = А ВХК\ЕХ (по катету и гипотенузе), значит, ZBKC= ZBXKXCX (рис. 27).
А ВКС = А ВХКХСХ, значит, ZC= ZCxk ВС = ВХСХ.
Рис. 27Рис. 27
Рис. 27
Рис. 27
АЛВС= АЛ^Д (ВС = В1С1; ZABC= ZAXBXCX,
407. А АВС = A KNM, (рис. 28).407. А АВС = A KNM, (рис. 28).следовательно, ВС = КМследовательно, ВС = КМ
407. А АВС = A KNM, (рис. 28).
407. А АВС = A KNM, (рис. 28).
следовательно, ВС = КМ
следовательно, ВС = КМ
408. A BDC= А КМ А, следовательно, (рис. 29).408. A BDC= А КМ А, следовательно, (рис. 29).DC-AKDC-AK
408. A BDC= А КМ А, следовательно, (рис. 29).
408. A BDC= А КМ А, следовательно, (рис. 29).
DC-AK
DC-AK
Рис. 29Рис. 29
Рис. 29
Рис. 29
Пусть АК = КС и Z1 = Z2 (рис. 30). Продолжим ВК на отрезок KE = ВК, соединим Е с А и С, Z\AKE=ZXBKC, значит, АЕ = ВС, Z2 = Z3. Д АВЕ} Z1 = Z3, значит, АЕ = АВ, а АЕ = ВС, т. е. АВ = ВС.
Биссектриса угла при основании делит данный треугольник на два равнобедренных треугольника.
1) О —середина ВС (рис. 31), Д АВО равносторонний (ЛВ = 0,5 ВС = ВО, Z В = 60°), значит, ZBAO = 60°.
Z О АХ = Z ВАС - Z ВАО = 90° - 60° = 30°.
Z ВОЛ = 60°, значит, Z АОХ = 30°; Z BOX = 90° (ХО1.ВС\ Значит, Д АХО — равнобедренный, АХ = ОХ.
£х ХОС} АО = 0,5 ХС и АХ = 0,5 ХС, поэтому АХ = у АС, следовательно, и ХО = ^АС.
1) Д АВХС = Д ЛВС, (ЛВ = ЛВ,; АС = ЛС,; ZA — д - о ■-
общий). Значит, ВС = ВХСХ и°i Ct
Z ВСХА = Z ЛСВ, (рис. 32).Рис. 32
Д ЛСС, равнобедрен
ный, следовательно, ZACCX = ZACXC, а значит, и ZOCC, = ZOC,C, поэтому ОС = ОСХ.
ДЛОС = ДЛОС,, значит, ZCAO= ZOACX, т. е. ЛО — биссектриса ZCACX.
Треугольники АКМ и МЕВ равнобедренные (рис. 33).
ZADE— ZB+ ZBAD, так как ZADE внешний к треугольнику ABD (рис. 34). Аналогично ZAED =
= ZC + ZEAC, значит, ZADE= ZAED, т. e. A A DE равнобедренный.
A
Рис. 33Рис. 34Рис. 33Рис. 34
Рис. 33Рис. 34
Рис. 33Рис. 34
Рис. 36Рис. 36Рис. 35Рис. 35
Рис. 36
Рис. 36
Рис. 35
Рис. 35
ZABC равен удвоенному Z1 (рис. 35), а так как /4 = 0,5Z ABC (BD — биссектриса Z ЛВС), значит, Z4 = ZL Это соответственные углы при BD и МС
и секущей АМ, следовательно, BD\\MC.
1) ZABD — внешний угол по отношению к А АВК (рис. 36). АВ = ВК по условию; ZAKB = = ZBAK, следовательно, Z ABD = Z АКВ + Z ВАК = =2ZAKB, значит, ZAKB = 15°
ZABD = 30° (BD — биссектриса угла равностороннего треугольника ЛВС).
ZAKB= ZBKC= 15° (так как А АКВ = А ВКС).
ZABC+ ZAKC = 60° + 2- 15° ==90°.
417. 1) А ВМС; (рис. 37) Z ВМС =~ --417. 1) А ВМС; (рис. 37) Z ВМС =~ --180°- ZB180°- ZB22ZBMC-V ZAKC =
417. 1) А ВМС; (рис. 37) Z ВМС =~ --
417. 1) А ВМС; (рис. 37) Z ВМС =~ --
180°- ZB
180°- ZB
2
2
350°-(ZA + ZB)
135°.Z МСК = 180° - 135° = 45°.418. В прямоугольном A FCE135°.Z МСК = 180° - 135° = 45°.418. В прямоугольном A FCEследовательно, в том же △ FCE
135°.
Z МСК = 180° - 135° = 45°.
418. В прямоугольном A FCE
135°.
Z МСК = 180° - 135° = 45°.
418. В прямоугольном A FCE
ZFCM=ZF(1)
ZDCE=ZF.(2)
(Как углы с соответственно перпендикулярными сторонами.)
В А АВС из того, что CD = AD, следует
ZDCE=ZA. (3)
Из равенств (1), (2), (3) следует:
ZFCM = ZA. (4)
В А ЛВС
ZABC= ZCBN =
= 90°- Z А.(5)
22(рис. 38) MF = МС,(рис. 38) MF = МС,В &CBN ZBNC=X§0°-(,ZFCN+ ZCBN\ а на основании равенств (4) и (5) ZBNC = 180° — (ZA + 90° — - /Л) = 90°, т. е. СМ1АВ.
2
2
(рис. 38) MF = МС,
(рис. 38) MF = МС,
1) Отложим на АВ (рис. 39) отрезок АК = АЕ и соединим точки К с Е и К с D.
& AKD = ZX AED, так как ДО —общая, ZKAD= ZDAE (ДО — биссектриса ZBAC), АК = АЕ (по построению).
Из равенства этих треугольников следует:
KD = ED, т. е. A KED — равнобедренный; из равенства этих же треугольников следует, что ZKDA = ZADE. Значит, в AKDE DO является биссектрисой ZKDE.
Докажем, что A KBD — равнобедренный.
ZBKD к А АКD внешний, значит, ZBKD= ZKAD + ZKDA; ZBKD = Z1 + Z3.
ZEDC= ZBAC = 2Z\.
ZKDC = 2 Z3 + 2 Zl.
Z KDC — внешний к £\KBD, значит, ZKDC= ZKBD-V ZBKD, отсюда ZKBD= ZKDC- ZB/(O = 2Z3 + 2Z1 - (Zl + + Z3)= Z1 + Z3, t. e. ZKBD=ZDKB, следовательно, AKBD — равнобедренный, т. e. KD = BD, а так как KD=ED, то ED = BD.
I способ
Z1 = Z2 (рис. 40),
Z3= Z4, следовательно, Z ABD = Z2+Z3=Z1+Z4 = -= ZA + ZD.
II способ
С —центр круга, проходящего через точки А, В и D, откуда следует, что Z ABD = 90°, т. е. Z ABD = Z А + + ZD. л
Рис. 40Рис. 41Рис. 40Рис. 41
Рис. 40Рис. 41
Рис. 40Рис. 41
ZACB= Z АВС,угол) (рис. 42), следовательно,ZACB= Z АВС,угол) (рис. 42), следовательно,Рис. 42Рис. 42
ZACB= Z АВС,
угол) (рис. 42), следовательно,
ZACB= Z АВС,
угол) (рис. 42), следовательно,
Рис. 42
Рис. 42
Z АСВ> ZADC (рис. 41), но следовательно, Z АВС > Z ADC.
ZBMC > Z BNC (внешний ZBNC> ZBAC (внешний угол), ZBMC> ZBАС.
Рис. 43
Z2=Z3 (BD — биссектриса угла) (рис. 43), Z3=Z4 (накрест лежащие углы), Z2 = Z1 (соответственные углы).
Отсюда, Z1 = Z 4, а следовательно, BF = ВС.
I случай
Пусть М и N лежат по разные стороны от АВ, кратчайшее расстояние между ними есть отрезок MN, следовательно, искомая точка X лежит на пересечении АВ с MN.
Всякая другая точка Хх прямой АВ не обладает этим свойством, так как
MX1 + XxN>MN.
II случай
М и N лежат по одну сторону от АВ (рис. 44). Строим Л4Ь симметричную М относительно АВ, после чего задача сводится к I случаю.
Если MNLAB, то искомая точка X — есть точка пересечения прямой MN с АВ.
I случай
Точки М и N (рис. 45) лежат по одну сторону от прямой АВ (и притом на разных расстояниях от нее). Тогда точка X прямой АВ, для которой разность расстояний от точек М и N наибольшая, есть точка пересечения прямой АВ с продолжением отрезка MN. Тогда
ХМ — XN = MN. Всякая другая точка Xv прямой АВ не обладает этим свойством, так как ХхМ — ХхМ <МЫ (свойство сторон треугольника).
Если М и N находятся на одинаковом расстоянии от АВ, задача не имеет решения.
II случай
Точки М и N (рис. 46) лежат по разные стороны от АВ. Тогда искомая точка X есть точка пересечения MXN с АВ, где Мх — точка, симметричная точке М относи-
тельно АВ. Если точки М й Ы находятся по разные стороны от АВ и на одинаковом от нее расстоянии, то задача не имеет решения.
Искомая точка лежит на пересечении биссектрисы угла ЫРМ и стороны МЫ.
Искомая точка лежит на пересечении биссектрисы угла А со срединным перпендикуляром к ВС.
Искомая точка лежит на пересечении биссектрисы угла А со срединным перпендикуляром к ВС.
Если АВ = АС, то любая точка биссектрисы угла А удовлетворяет условию задачи.
Искомая точка — это точка пересечения биссектрисы данного угла с прямой, параллельной одной из сторон данного угла и находящейся от нее на расстоянии, равном а.
Предположим, задача решена и точка X — искомая (рис. 47), тогда ZAXM = ZMXB. Если построить точку Bv, симметрич- д
ную В относительно МЫ, то Вх будет лежать на АХ. Отсюда построение: соединяем м А с точкой В] (симметричной В) и продолжаем ЛВ, до пересечения с МЫ в точке X.
Прямые АХ и ВХ иско
мые, так как образуют равные углы с МЫ. Задача имеет решение, если Л и В лежат по разные стороны от МЫ.
Если Л и В (рис. 48) находятся на равном расстоянии от МЫ и если АВ1_МЫ, то таких прямых можно
провести бесконечное множество, так как лучи, исходящие из любой точки прямой МЫ и проходящие через А И В, образуют равные углы с МЫ.
Задача не имеет решений в следующих случаях: 1) А и В расположены по одну сторону от МЫ (или одна из точек лежит на МЫ); 2) А и В расположены по разные стороны от МЫ на одинаковом от нее расстоянии, но АВ не перпендикулярна к МЫ.
(Рис. 49.) См. решение задачи № 424.
ввРис. 51Рис. 51
в
в
Рис. 51
Рис. 51
Задача сводится к построению прямоугольного треугольника АСЕ (рис. 50) по двум катетам (двум дан-
ным отрезкам). Полученный угол С —угол при основании АС равнобедренного треугольника, поэтому строим при точке А угол, равный С. Треугольник АВС искомый.
Задача сводится к построению прямоугольного треугольника (рис. 51) по катету (данной высоте) и гипотенузе (данному £ основанию). Полученный треугольник АЕС достраиваем до искомого равнобедренного.
Задача сводится к пост-
роению прямоугольного треугольника СЕК (рис. 52) по катету (данной высоте) и гипотенузе (данной биссектрисе).
мый (рис. 53). АК = МС = КВ,мый (рис. 53). АК = МС = КВ,решение, так как все опера-решение, так как все опера-
мый (рис. 53). АК = МС = КВ,
мый (рис. 53). АК = МС = КВ,
решение, так как все опера-
решение, так как все опера-
Строим Z АСЕ = Z ECD = 45°. Треугольник ADC искомый.
Анализ. Пусть задача решена и £хКВМ иско-
Продолжив КМ в обе стороны на получим равнобедренный треугольник АВС, в котором известно основание (периметр искомого треугольника) и высота (на чертеже она не указана).
Построение. Строим равнобедренный треугольник по основа-
нию АС, равному данному периметру, и высоте, восставленной к АС из его середины.
Построив срединные перпендикуляры к АВ и ВС (геометрические места точек, равноудаленных: 1) от В и А; 2) от 5 и С), найдем вершины К и М искомого треугольника.
Доказательство не представляет затруднений.
Исследование. Если 0<Н<р, где р — полупе-
риметр, задача имеет одно ции однозначны и выполнимы. Если Н^ р, то задача решения не имеет.
Анализ. Предположим, что задача решена и А АВС — искомый (рис. 54). Отложим на продолжении АС отре-
зок CD = ВС = а, тогда A BCD — равнобедренный, а в A ABD: AD—b + сг, АВ = с; ZBAC=ZA.
Построение. Строим A ABD по двум сторонам а + b и с и углу А, заключенному между ними. Построим г. м. т., равноудаленных от В и D, найдем вершину С искомого треугольника АВС.
Рис. 55Рис. 55к отрезку CD пересечения ск отрезку CD пересечения с
Рис. 55
Рис. 55
к отрезку CD пересечения с
к отрезку CD пересечения с
Исследование. Задача имеет единственное решение, если а + Ь>с.
Пусть △ ЛВС —искомый (рис. 55). Продолжим катет ВС за точку С и отложим BD = с, получим BD = АВ, тогда CD = с — а.
Ь. ACD можно построить, так как он прямоугольный и в нем известны катеты АС = b и CD = с — а.
Построение. Строим прямоугольный треугольник ACD по двум катетам. Проводим перпендикуляр к AD через середину AD до пересечения с продолжением CD в точке В. Д АВС — искомый, что нетрудно доказать.
Исследование. Задача имеет единственное решение, если с — а < Ь.
Пусть Д АВС — искомый (рисунок 56), в котором AD = А В — ВС.
Z А — острый. Строим Д ADC (по двум сторонам Ь, с — а и углу А, заключенному между ними). Проводим через его середину перпендикуляр до продолжением AD в точке В, тогда В
соединяем с точкой С и получаем искомый Д АВС.
Пусть Z А — тупой (рис. 57). Решение аналогично решению задачи № 438.
Допустим, задача решена и Д АВС построен (рис. 58). Продолжим СВ на BE = АВ = с. Задача сво-
Рис. 59Рис. 59
Рис. 59
Рис. 59
дится к построению треугольника (АСЛЕ) по двум сторонам АС, СЕ и высоте, опущенной на СЕ.
Построение. Строим Z^CAE. СЕ = а + с, на расстоянии ha проводим прямую MN || СЕ, с центром в точке С проводим дугу радиусом, равным Ь, до пересечения с MN в точке А. Получаем А АСЕ. Через середину отрезка АЕ проводим к нему перпендикуляр до пересечения с СЕ в точке В. Zx АВС — искомый.
Доказательство. АВ = BE — с; СЕ = а + с; значит, СВ + АВ — а + с. AC = b, ADA. СВ, AD = = ha.
Исследование. 1)
если ha < b < а + с, так как дуга с центром в точке С
радиусом b пересекает MN в двух различных точках; А СА^В^ и А САВ ^-д
искомые (рис. 59).^—
Если b = ha, то/\11
задача имеет решениеУ \
и притом только одно:В У \ ha
А АВС — прямоуголь-У \
ный с углом С = 90°./ а \ ч
Если b < ha, то сq
задача не имеет ре-Рис 60
шения.
СВ = а (рис. 60), КМ || СВ на расстоянии, равном ha. С центром в точке С проводим дугу радиусом b до пересечения с КМ. А ЛВС — искомый.
Задача имеет одно решение, если b равно ha\ два решения, если b>ha\ нет решения, если b<ha (см. задачу № 440).
Задача сводится к построению треугольника по трем сторонам ^; та\ Ь^.
Задача сводится к построению прямоугольного треугольника по катету и гипотенузе. Строим BD ± MN и откладываем BD = h. С центром в точке В (рис. 61) радиусом а проводим дугу до пересечения с MN в точке А. Отложим АС = а. Треугольник ЛВС —искомый.
Задача сводится к построению прямоугольного △ BDC (рис. 62) по катету h и гипотенузе а. Затем проводим АС ± ВС до пересечения с продолжением BD в точке А.
а3 +За2 — а2 —3 = (а — 1)(а2 + За + 3).
(а3 + 8) + (а2 - 4) = (а + 2) (а2 - а + 2).
х3 — х — 6х — 6 = (х + 1) (х + 2) (х — 3).
а5 + а4 — а4 + а3 — а3 + а2 — а2 + а + 1 =
= (а5 + а4 + а3) — (а4 + а3 + а2) + (а2 + а + 1) =
= (а2 + а + 1) (а3 — а2 + 1).
а3 - 6а2 + 12а - 8 - 12а + 8 + 30 - а =
= (а - 2)3 - (а - 2) - 12а + 36 = (а - 2) [(а - 2)2 -
- 1]- 12 (а — 3) = (а — 2)(а — 3)(а — 1)- 12(а-3) =
= (а - 3) [(а - 2) (а -1) -12] = (а - 3) (а2 - За -10) =
= (а-3) (а2—5а + 2а —10) = (а —3)[а (а —5)+ 2 (а —5)] = = (а + 2) (а — 3) (а — 5).
Рассмотрим выражения а — Ь, а + с и 2а + с — Ь,
увидим, что 2а + с — Ь = (а — Ь) + (а + с), поэтому последний член Ьс(2а + с — Ь) представим в виде суммы двух слагаемых:
аЬ (а — Ь) — ас (а + с) + Ьс (а + с) + Ьс (а — Ь) =
= (а — Ь) (аЬ + Ьс) + (а + с) (Ьс — ас) = Ь (а — Ь) (а + с) + + с (а + с) (Ь — а) = (а — Ь) (а + с) (Ь — с).
(Ь — с) + (а — Ь) = а — с;
Ьс (а + d) (Ь — с) — ас (b + d) (Ь — с) — ас (Ь 4- d) (а — Ь) 4- + аЬ (с + d) (а — Ь) = (Ь — с) [Ьс (а + d) — ас (b + d)j 4- + (а — Ь) [аЬ (с 4- d) — ас (Ь + d)] =
= с(Ь—с) [аЬ + bd—аЬ — ad]+a(a—Ь) [Ьс + bd —be—cd] = = cd (Ь — с) (Ь — а) + (а — Ь) ad (b — c) =
= (Ь — с)(а — Ь) (ad — cd) = d (Ь — с) (а — Ь) (а — с).
(а — х) 4- (х — у) = а — у;
(а — х)у3 — (а — х) х3 —^х — у) х3 + (х — у) а3 =
= (а — х) (у3 — х3) 4- (х — у) (а3 — х3) =
= (а — х) (х — у) (а2 + ах + х2 — х2 — ху — у2) =
= (а - х) (х - у) [(а2 - у2) + (а - у) х] = = (а - х) (х - у) (а - у) (а + х + у).
а (Ь + с)2 + Ь (с + а)2 + с (а + Ь)2 — 4аЬс = = аЬ2 + аЬс + ас2 + аЬс + Ьс2 + Ь2с + а-с + а-b = = аЬ (с + Ь) + ас (с + Ь) + Ьс (с + Ь) + а2 (Ь + с) = = (Ы- с) (Ьс + а2 + аЬ + ас) = (Ь + с) (а + с) (а + Ь).
Обозначим х2 + 4х + 8 = у, тогда у2 —Зху+2х2= = (у — 2х) (у — х) = (х2 + 2х + 8) (х2 + Зх + 8).
(х2 + 6х-1)2 + (х2+ 1)2 + 2(х2+6х-1)(х2+1)-1 = = (X2 + 6х - 1 + х2 + I)2 - 1 = (2х2 + 6х)2 - 1 = = (2х2 + 6х - 1) (2х2 + 6х + 1).
2а2х2 - 2а2х - а2Ь3х + 4 + 2Ь3х - 4х - Ь6 = - (2а2х2 - а2Ь3х - 2а2х) + (2Ь3х - Ь6 - 2Ь3) - (4х-2Ь3-4)= = а2х (2х - Ь3 - 2) + Ь3 (2х - Ь3 - 2) - 2 (2х - Ь3 - 2) = = (2х - Ь3 - 2) (а2х + Ь3 - 2).
п3 — 4аа — 4а2 + апх — п-х — ах2 + 16а = = п1 — 4ага — 4а2 + апх — п2х — ах2 + 16а + 4ах — 4ах = = (16а — 4ах — 4/г2) + (4ах — ах2 — п2х) + (и3 — 4ап + ахп) = = 4 (4а — ах — п2) + х (4а — ах — п2) + а (га2 — 4ага 4- ах) = = (4а — ах — га2) (4 + х — га).
дк» я4 + 2ах2 4- а4 — а2х2 (х2 + а2)2 — а2х2 х + а3 ~ ТТа3 “
(х2 + а2 — ах) (х2 + а2 + ах) _ х2 + ах + х2
(х + а) (х2 — ах + а2)— х + а
аП~1 (8а3+ 1)= (2а + 1) (4а2~2а + 1) _
* а" (16а4 + 4а2 + 1) а (16а4 + 8а2 + 1 - 4а2) ”
(2а+1) (4а2-2а+1) =(2а + 1) (4а2 - 2а + 1)
а [(4а2 + I)2 — 4а2] а (4а2 + 1 — 2а) (4а2 + 1 + 2а) — 2а + 1
а (4а2 + 2а + 1) *
460 ^~^2Л-Л-х2 _ ^х2-\)2-х2 _ 9(х2 + х-1)29(х2 + х-1)2”
(х2 — 1 + х) (х2 — 1 — х) _ X2 — X — 1
9(х2 + х-1)2— 9(х2 + х-1) е
U2 + 2)2 - 4х2=
а (х2 + 2 — 2х) — (х2 — 2х + 2)
(х2 + 2 — 2х) (х2 + 2 + 2х) _ х2 + 2х + 2
(х2 + 2 — 2х) (а — 1)а—1
п4 + 64 + 16п2 — 16п2_
х (п2 + 4п + 4) — 4/г + 4х — п2 — 8
(а2 + 8)2— 16п2
п2х + 4/гх + 4х — 4/г + 4х — п2 ~ 8 —
(п2 + 8)2- 16/г2=(п2 + 8)2~ 16п2
п2х + 4пх + 8х — 4/г — /г2 — 8 х (/г2 + 4п + 8) — (4/г + /г2 + 8)
(/г2 + 8 + 4/г) (/г2 + 8 — 4/г) /г2 — 4/г + 8
(4/г + п2 + 8) (х — 1)х—1
(х6 —64)2(х6-64)2
WOe [(х3 - 8) - 4х (х - 2)]2 (х - 2)2 [(х2 + 2х + 4) - 4х]2
= -^жй^йгйр = <х + 2)2 (х2 + 2х + 4)2-
д . 219 • З9 + 218 • З8 • 5 • 3 _ 219 • З9 + 218 • З9 • 5 _
4о4. 29.39-210 + 220-31а39 -219 + 220-3*°
_218-39(2 + 5) _ 7 _ 1
Пусть пропущено число к.
3(2y + &)(3z/ + 2) — 2(3у + I)2 = 43; так как у=1, то 3(2-1+6)(3- 1+2)-2(3-1 + 1)2 = 43, откуда 6 = 3.
х ф 0; х ^ 2. Решая данное уравнение, приходим к равенству 5х —4 = 5х —4; это равенство верно при любых значениях х; но так как х + 0 и х =# 2, то данному уравнению удовлетворяют любые числа, кроме 0 и 2.
Сложим данные дроби, получим: х — а2х + а = 1, причем х ф ± Ь, откуда (1 — а2) х = 1 — а.
при а=1 х —любое число, кроме ± Ь;
при а= — 1 нет решения;
при а ф ± 1 и b ^ ± -^; х = ууу;
при b = ± 77— нет решения.
1) При b = 1 х —любое число, кроме а;
при b= — 1 нет корней;
при а = —ГТТ нет К0Рней>
при b ф ± 1 и при а ^ -уту; х = - ууу.
Разложим на множители левую часть уравнения:
(Зх + 2)(2ах-3) = 0; 2 з
Xi = — у; х2 — 271 если а ^ 0.
Разложив на множители левую часть уравнения, получим:
(ах — 2) (9х2 — 4) = 0, откуда xi = ~ > если а =+ 0,, 2х2;з= ±у.
Так как х=1, у=1, то а(2- 1+3-1) + + b (2 - 1 — 3 - 1) = 0, 5а — b = 0; b = 5а. Например, а = 1, 6 = 5; а = — 0,2, b= — 1.
Если двузначное число 10а+ 6, то число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке 106 + а, в их сумме 10а + 6 + 106 + а = 11 (а + 6).
Если 11 (а + 6) является квадратом натурального числа, то а + 6 = 11.
Значит, так как а 5^= 1,Значит, так как а 5^= 1,а = 2, то Ь = 9, а = 3, то b = 8, а = 4, то 6 = 7, а = 5, то b = 6,
Значит, так как а 5^= 1,
Значит, так как а 5^= 1,
т. е. искомые числа 29 и 92, 38 и 83, 47 и 74, 56 и 65.
Пусть х км — расстояние от А до В, тогда за -^ ч турист прошел бы путь со скоростью 3 км/ч, а чтобы прибыть к сроку, ему надо затратить (у — у) ч.
Турист шел первый час со скоростью 3 км/ч, затем х—з.,з
—-— ч со скоростью 4 км/ч и еще у ч ожидал на станции отхода поезда, следовательно,
х 2. . х — з , з_Л
у —у =14^Ну, отсюда х = 20.
21 км должен был пройти пешеход.
2
Сначала турист шел со скоростью 10: у = = 15(кл/ч), а потом 12 км/ч (15 — 3=12).
Пусть расстояние от Л до В х км. Если турист, пройдя 10 км, будет и дальше идти с той же скоростью 15 км/ч, то на оставшуюся часть пути, т. е. (х — 10) к.«, х — 10о -ь2
он затратит —— ч и придет на 24 мин = у ч раньше срока, значит, он мог бы на оставшуюся часть пути 10 . 2\ затратить I—ч.
Если же турист (х—10)к.м будет идти со скоростью 12 км]ч, то затратит - ™- ч, и все же придет на 10 мин = =у ч раньше срока, т. е. мог бы затратить 1~2 +у) ч> значит,
—iT"^ =~У2~ + Т- 0ТСЮДа Х==24-
Пусть расстояние от М до N х км. Автобус с момента встречи легковой машины прошел расстояние, равное (х — 10 — 20) км со скоростью 40 км/ч, сле- х-30 довательно, затратил на этот путь —^— ч.
Автобус за четверть часа прошел 40 • 0,25 = 10 (к.и), значит, легковая машина прошла с момента встречи
с автобусом расстояние (10+ х — 20) к.и со скоростью х — Ю
50 км/ч, т. е. затратила на движение ——— ч, но так jc * 30
как она еще 0,25 ч была в городе М, то —^— = «=-^=^ + 0,25; отсюда х=160.
х км!ч — скорость реки.
у км/ч — собственная скорость пловца.
S км
V км'ч
t ч
I. Движение фляги
2
X
2
X
II. Движение пловца а) против течения
у (у - л")
У-Х
1
3
б) по течению
^+^) (4_4)
У-V х
21
х 3
Пловец проплыл по течению реки больше, чем против течения, на 2 км, следовательно,
(у+^ (4 - 4) - 4 (у -х)=2-
2у _ 2ух 3 ’2у _ 2ух 3 ’т. е. х = 3.т. е. х = 3.Решив это уравнение, в котором во всяком случае у ^ 0, получим:
2у _ 2ух 3 ’
2у _ 2ух 3 ’
т. е. х = 3.
т. е. х = 3.
Значит, скорость реки 3 км/ч, а собственная скорость пловца может быть любым числом, большим 3.
х км — расстояние, которое осталось пролететь самолету,
(х + 680) км — расстояние, которое пролетел самолет, (2х + 680) км — все расстояние.
отсюда х = 1660.отсюда х = 1660.х + 680 , х _ 2х + 680
отсюда х = 1660.
отсюда х = 1660.
“780г"830800
Самолет пролетел расстояние 1660-2 + 680 = 4000 (к^).
До того как мотоциклист обогнал автомобиль, машина прошла 24 км (48 • 0,5 = 24). Это расстояние
24 км мотоциклист проехал за 0,4 ч (24:60 = 0,4). Мотоциклист выехал позже автомобиля на 0,1 ч (0,5 —0,4 = 0,1).
Обозначим через х км расстояние от А до В. Автобус до встречи с мотоциклистом проехал (х—12) км х 12
со скоростью 48 км)ч, т. е. затратил —^— ч. Мотоциклист до встречи с автобусом проехал (х+12) км со скоростью 60 км/ч, затратив на это —$$— ч. Мотоциклист выехал на 0,1 ч позже автомобиля и еще был х12 х 12 в пункте В 12 мин, т. е. 0,2 ч, значит, —^— =—^—Н + 0,1 +0,2; отсюда х = 180.
63 : 9 = 7 (кл/ч) — скорость сближения пешеходов.
Если скорость одного из них х км/ч, то скорость другого (7 — х) км/ч. Если бы скорость первого увеличить в 1,5 раза, то она стала бы равной 1,5х км(ч, а если скорость второго увеличить в 2 раза, то она стала бы равной 2 (7 — х) км/ч, тогда их скорость сближения была бы равна 63:5,25= 12 (км/ч), отсюда уравнение: 1,5х+ 2 (7—х)= 12; значит, скорость одного 4 км/ч, а другого 3 км/ч.
Обозначим расстояние между М и К через х км.
Мотоцикл должен идти со скоростью 62 км/ч, а автобус со скоростью 55 км/ч, значит, разница во времени равна (-Д---Д) ч.
Мотоцикл догнал автобус в 124 км от К, т. е. про/1 пх — 124
ехал (х — 124) км, затратив —^— ч*
2
Автобус проехал ух км со скоростью 55 км[ч за ууД-ч, а потом (ух—124^ км со скоростью 27,5 км!ч
124fax Ух-1241
за —275—ч^ т- е- автобус затратил I у^Н275— / 4
до того% как его нагнал мотоциклист.
Разница во времени движения автобуса и мотоцикла равна
I — х — 1241
2х , 3 хх~ 124
\ 165 +27,562/ Ч’
следовательно,
х х _ 2х . 3х- 124
5562 “ 165 +27,562
отсюда х = 414 (км) — расстояние от К до М.
До остановки автомобиль ехал 11 — 8 = 3 (ч), значит, он уже проехал 64-3= 192 (км).
Пусть расстояние от остановки до В равно к км, тогда все расстояние от А до В по первой дороге равно (х + 192) км. Автомобиль должен был проехать это расстояние за -^у^-^. После этой остановки он проехал (хА-^Х)км со скоростью 70 км[ч и затратил на этот путь —7Q— ч, значит, на весь путь от А до В он затра- /о , 5 . х + 31 \192 + х. 1
тил 3 + -^-Н—— ч, что больше —^— ч на 1 -777 ч,
\ о /V /0412
потому
1924- х о 5 . х + 31 . 1л А А
~64—= 3 6" + -7О^ 0ТСЮДа Х=144*
Автомобиль прошел 192 + 144 + 31=367 (кл).
Если скорость плота х км/ч (т. е. скорость течения реки), то скорость парохода в стоячей воде (24 — х) км!ч, а против течения (24 — 2х) км]ч.
Плот прошел расстояние в 5 км (20— 15 = 5) со ско- 5
ростью х км/ч за — ч. Пароход прошел 15 км со скоростью (24 —2х) км(ч за ^z^x ч> а так как это время по условию задачи равно времени движения плота на участке в 5 км, то
515, о
— = —тг-> отсюда х = 4,8.
х24 —2х ’’
24 — 4,8 = 19,2 (км]ч) — скорость парохода в стоячей воде.
В 4 часа между минутной и часовой стрелками у оборота, значит, ответ на вопрос задачи полуда1 . М 1\9
чается из формулы: у .—[jTeoj ’ т* е* чеРез ^ П мин
минутная стрелка догонит часовую (см. решение задачи №. ЗЮ). Можно было бы составить уравнение
уу+20 = х, где х — время, через которое совпадут стрелки.
Если девочки собрали всего х грибов, то, когда младшая взяла 20 штук, осталось (х —20) грибов и младшая девочка взяла еще 0,04(х —20) грибов, т. е. всего 20 + 0,04(х — 20).
После того как младшая девочка взяла грибы, осталось [х — 20 — 0,04 (х — 20)] грибов.
Когда вторая девочка взяла 21 гриб, то осталось [х — 20 — 0,04 (х — 20) — 21] грибов, значит, эта девочка всего взяла {21 + 0,04[х — 20 — 0,04(х — 20) — 21]} грибов, а так как они получили поровну, то
20 + 0,04 (х - 20) = 21 + 0,04 [х - 20 - 0,04 (х - 20) -21], отсюда х = 120.
Значит, всего собрали 120 грибов, а так как каждая получила по 20 + 0,04 • 100 = 24 (гриба), то девочек было 120:24 = 5.
Всего рыб было 162. Первый мальчик получил 2 + 0,1 • 160= 18 (рыб), а так как все получили поровну, то мальчиков было 162: 18 = 9 (чел.).
Завещание — 8100 франков, а каждый сын получил 100 + 0,1-8000 = 900 (франков). Значит, сыновей было 8100 : 900 = 9.
х яиц было у крестьянки. (0,5х — 6) яиц продала крестьянка первому покупателю, после чего у нее осталось (0,5х + 6) яиц.
у^-х + б) —6 продала крестьянка второму покупателю, после чего у нее осталось 0,5х + 6 — у х — 2+6 = = уХ+ 10.
0,25 (у х+10^ — 6 яиц продала крестьянка третьему покупателю. Всем трем покупателям она продала половину яиц, значит,
0,5х - 6 + у (0,5х + 6) - 6 + 0,25 (у х + ю) - 6 = 0,5х.
Отсюда х = 54.
Первому она продала 54-0,5 — 6 = 21 (яйцо).
Второму покупателю она продала 33 • у—6=5 (яиц),
Третьему покупателю она продала 28 • 0,25 — 6=1 (яйцо).
Пусть в автобусе было х мест для сидения, тогда в каждый из 18 автобусов вошло по (х + 5) человек, т. е. всего 18 (х + 5) пассажиров.
Если бы в каждый автобус входило по х человек, то понадобился бы 21 автобус (18 + 3 = 21), а в них поместилось бы 21 х человек, что больше, чем было всего пассажиров 18 (х + 5) на 6 человек, значит,
21х — 6 = 18 (х + 5); х = 32.
В автобусе было 32 места, а уезжало в каждом автобусе по 37 человек, значит, уехали всего 666 человек (37 • 18), а так как 174 человека разошлись пешком, то в театре было 840 зрителей (174 + 666 = 840).
Пусть на одной чашке весов х дробинок, а на другой тогда (195 —х) дробинок.
Если снять с одной чашки 11 дробинок, то для сохранения равновесия со второй чашки надо переложить 2 дробинки, значит вес 11 дробинок первой чашки равен весу 4 дробинок второй чашки.
Так как весы находились в равновесии, то число дробинок первой чашки относится к числу дробинок второй чашки, как И к 4, т. е.
На первой чашке было 143 дробинки, а на второй 195- 143 = 52.
Пусть через х лет сумма лет детей составит 59% суммы лет отца и матери.
Через х лет детям будет (13+ х) лет, (10+ х) лет и (6 + х) лет, а отцу и матери вместе будет (80 + 2х) лет. Сумма лет детей [(13 + х) + (10 + х) + (6 + х)] лет составляет от (80 + 2х) лет 59%, т. е.
13 + х+10 + х + 6 + х 59 е .р
80 + 2х100’ X-IU'
Отцу и матери стало 80 + 2- 10= 100 (лет), но так как отец старше матери на 4 года, то ему 52 года, а ей 48 лет.
Пусть в стакане х куб. см кофе. Когда Петя 14
отпил -^х куб. см, то там осталось ух куб. см кофе, затем он опять отпил у стакана, значит, и у имевшегося
4
там кофе, т. е. он оставил после этого кофе у, а именно 4416,
"5 Х* *5=*25Х Куб- СМ*
В третий раз он отпил у стакана, т. е. осталось 92
у стакана, а значит, и у имевшегося там кофе. После 32
третьего раза в стакане осталоськуб. см
кофе ^х. у).
После второго раза (чистого) кофе осталось ~| х куб. см, 9-/169х\
значит, мальчик долил ^ х куб. см молока 1х — 25 =>
о2
а так как в третий раз осталось у имевшегося в стакане кофе, то и молока осталось т^куб. см v-=t^ .
Y125\25 5125;
По условию задачи кофе осталось на 28 куб. см больше, чем осталось молока, значит,
^?£1§£ — 28е х = 250
1251252б’ Х 2DU1
Пусть задуманное число х. Приписав к нему справа 2, ученик получил 10х + 2, а после прибавления 14, 10x4-16. К этому числу приписано справа 3 и прибавлено 52, значит, получено 10(10x4- 16)4-3 4-52.
Разделив это число на 60, в частном ученик получил число х4-6, а в остатке Юх 4-х, т. е. Их. На основании зависимости между делимым, делителем, частным и остатком имеем уравнение:
10 (Юх 4-16) 4- 3 4- 52 = 60 (х 4- 6) 4-11х.
Задуманное число х = 5.
Пусть х руб. — первоначальная сумма. За год к ней прибавится -^ руб. и получится (х 4- ^-) руб.
За второй год сумма увеличится на -^ I х + -y^l руб.» значит, за два года первоначальная сумма увеличится наРУб-, что составит 16 900.
Из уравнения
-^+-^- + -^-= 16 900 найдем х = 97 344.
Пусть х— второе число, тогда первое число 0,92х, если второе число увеличить на 700, то оно будет равно (х + 700) и разность между ними (х + 700 — 0,92х) составит 0,09 от (х + 700), значит,
х + 700 — 0,92х = 0,09 (х + 700), откуда х = 63 700 - второе число.
63 700 • 0,92 = 58 604 — первое число.
Пусть скорость мотоциклиста в гору х км/ч, а под гору у км/ч. Тогда на путь от Л до В он затратил СЗ 126 \7
— Н—^Ч—I ч, что по условию задачи составляет 1^ ч, 3 . 6 . 12,7
значит, -+7 + —=1—.
(
12 б 3 \
"[g+yH) «, ЧТО
составляет 1 — Ч) т. е.+т + у= 1.
Получим систему:
I х ~ у ~ 1860
I А 1 А+2=1'А
( 18 Т х т у 1 15
Решив систему, получим х=12; у = 30, т. е. скорость мотоциклиста в гору 12 км/ч, а под гору 30 км/ч.
Расстояние от Л до В 330 км, а длина шоссе — 210 км.
Пусть расстояние от Пашкове до Васильево х км, а от Пашково до Иваньково у км.
Скорость лодки по течению 12 км/ч (10 + 2=12), а против течения 8 км/ч (10 — 2 = 8).
В первый раз лодка прошла у км со скоростью 12 км/ч, т. е. затратила -^ ч и (х + у) км со скоростью
8 км/ч, затратив - ^9 ч. Весь этот путь она прошла
(
у . х + и \Л 1
ч, что по условию составляет 9 у ч, зна-
цит У 4- * + -9 1
ЧИТ, |2 -Г 8 у з •
Во второй раз лодка прошла (х + у) км со скоростью 12 км/ч и у км со скоростью 8 км/ч, т. е. на весь путь она затратила I—[2'8/ ч* что составляет 9v, значит,
х + У । У _п
1281
Получили систему двух уравнений:
у । х + у _п 112 +89 3у । х + у _п 112 +89 3х + у12х + у12+ 1 =9+ 1 =9( х = 8I У = 40( х = 8I У = 40
у । х + у _п 1
12 +89 3
у । х + у _п 1
12 +89 3
х + у
12
х + у
12
+ 1 =9
+ 1 =9
( х = 8
I У = 40
( х = 8
I У = 40
Пусть в первом сосуде х л воды, во втором — у л воды, тогда в третьем —(18 —х —у) л.
Если из первого сосуда перелить во второй у л, то в первом останется у л, а во втором станет ^у + -у) л. Затем из второго взяли у имеющейся там воды, значит, осталось во втором yly + у! л. В третьем сосуде 18 — х — у + у 1у + уII л, но из него взяли 13 Г1 /х \ 1
у часть, значит, там осталось у 118—х —у+у 1у + у11 л, а так как в каждом сосуде стало по 6 л, то у ly + у)= 6 и у[18-х-z/ + y^+ у)] = 6
2, х Q
з з —®f х = 8
у[18-Х-у+ у ^ + -2)]=61 »°
В первом сосуде первоначально было 8 л, во втором — 5 л, в третьем тоже — 5 л.
12 л; 8 л; 7 л.
Пусть в первом баке было х г бензина, тогда в нем останется 25 т через ^^- дней. Если во втором баке было у т, то весь бензин отпустят через -уру дней, х — 25у
а по условию задачи 165 = уру.
Если из первого бака опускать по 10 т ежедневно, то бензина хватит на -уу дней.
Если же из второго бака отпускать по 6 т, то бен- иху
зина хватит на ^- дней, а по условию задачи — = ^.
О10о
Получим систему:
х — 25 у
16,5 НЛ ( х = 190 х _ у 1 у = 114 106
Если завод в первой партии выпустил х приемников по 80 руб. и у приемников по 64 руб., то 80х + + 64у = 5760.
Во второй партии по 80 руб. было выпущено + приемников.
В первой партии всего выпущено (х + у) приемников, значит, во второй (х + у+17) приемников. Приемников по 64 руб. во второй партии выпущено (х + у + 17 — у), значит, 80 • у + 64 ^х + у + 17 — ^ = 6560.
Получим систему двух уравнений:
х = 36У = 45х = 36У = 4580х + 64у = 5760
х = 36
У = 45
х = 36
У = 45
80-у+ 64(х + у + 17 - у) = 6560
В первой партии завод выпустил 36 + 45 = 81 (приемник), во второй партии 81 + 17 = 98 (приемников), а всего 81 + 98 = 179 (штук).
Сначала найдем прибыль, которую получил магазин за два предмета 360-у = 90 (руб.).
х руб. — стоимость первого предмета для магазина,
у руб. — стоимость второго предмета для магазина, тогда
р + У = 360р=120
|y + f = 90 1^ = 240
Первый предмет продан за 120 + 120 • у = 180 (руб.), а второй за 240 + 240 • у = 270 (руб.).
8 + 8 • 0,3 = 2,4 + 8 = 10,4 (руб.) — новая цена 1 м первого куска.
12 + 12-0,25=12 + 3=15 (руб.) —новая цена 1 м. второго куска.
Если за 1 принять новую стоимость всей ткани, то 25 прежняя стоимость 1200 руб. составит -^ новой стоимости (1 — -^-)> следовательно, новая стоимость всей ткани равна 1200 :"Ц"= 1536 (руб.).
Пусть в первом куске х м, а во втором у м, тогда f 8х+12у=1200 |х = 90 1 Ю,4х + 15г/= 1536 1 ^ = 40
Пусть х — большее число, у — меньшее число. По смыслу задачи х и у — натуральные числа.
Если к числу х приписать справа нуль, то получим Юх. Приписывая затем к числу Юх двузначное число у, получим ЮООх + z/. Если к у приписать двузначное число х, то получим Ю0г/ + х. Приписывание к нему нуля даст число Ю00у+Юх.
Составим систему:
| ЮООх + у = 2 (1000г/ + Юх) + 590 Г х = 21
( Зх — 4г/= 23\ у =10
508; 509. 10" — представляет собой число, выраженное единицей с п последующими нулями, следовательно, сумма цифр числа 10" + 8 равна 9 (а числа 10"+ 2 равна 3), значит, 10"+ 8 делится на 9 (а 10"+ 2 —на 3), т. е.
10п + 810" + 2
—9— и —зцелне числа.
лг3 — н =/2 (/г2 — 1) = (лг — 1) лг (/г Ч-1).
Из трех последовательных чисел одно делится на 3 и хотя бы одно делится на 2, значит, произведение делится на 6.
п(п+1)(2/г+1) = /г(п+l)(n + n+1).
п (м + 1) — произведение двух последовательных целых чисел. Из двух этих чисел одно делится на 2.
Если один из множителей произведения n(fi+l) делится на 3, то произведение п(п+ l)(2fi +1) делится на 6.
Если ни одно из чисел п и п + 1 не делится на 3, то одно из них при делении на 3 дает остаток 1, а другое 2 (так как эти числа отличаются друг от друга на 1), следовательно, их сумма (2/г+ 1) разделится на 3, т. е. П(п+ 1)(2/г + 1) делится на 6.
a) (2fi+ 1) + (2п + 3) = 4fi + 4 = 4 (/г + 1); 4(/г+1) делится на 4.
Число, кратное 4, может быть представлено так: 4m = (2m — 1) + (2m + 1),
(2m — 1) и (2m + 1) — нечетные последовательные числа (при целом т).
1) Возьмем два числа, которые при делении на 3 дают остаток 1 (а и b — произвольные целые числа). (За + I)2 - (36 + I)2 = (За + 1 + 36 + 1) (За + 1 — 36 — 1) =
= (За + 36+2) (За - 36) = 3 (а - 6) (За + 36 + 2).
Возьмем два числа, которые при делении на 3 дают остаток 2.
(За + 2)2 - (36 + 2)2 = (За + 2 + 36 + 2) (За + 2 - 36 - 2) = = (За + 36 + 4) (За - 36) = 3 • (а - 6) (За + 36 + 4).
Еще возьмем два числа, из которых одно при делении на 3 дает остаток 1, а другое — остаток 2.
(За + 1 )2 - (36 + 2)2 = (За + 1 + 36 + 2) (За + 1 ~ 36 ~ 2) = = (3а + 3 + 36)(3а-36 — 1) = 3 (а + 1 + 6) (За — 36 — 1).
Во всех случаях одним из сомножителей является число 3, значит, произведение делится на 3.
(5а + 1 )4 — (56 + 2)4 = [(5а + 1 )2 — (56 + 2)2] X
X [(5а + I)2 + (56 + 2)2] = [(5а + I)2 - (56 + 2)2] X
X (25а2 + 10а + 1 + 2562 + 206 + 4) = [(5а + I )2 — (5 6 + 2)2] X X (25а2 + 10а + 2562 + 206 + 5) = [(5а + 1 )2 — (56 + 2)2] X X 5 (5а2 + 2а + 562 + 46 + 1).
Так как один из сомножителей 5, то произведение делится на 5 (а и b — произвольные целые числа).
га5 — 5га3 + 4га = га (га4 —5га2 + 4)=п (п4—п2 — 4га2 + 4) = = п [га2 (га2 — 1) — 4 (га2 — 1)] = га (га2 — 1) (га2 — 4) = (га — 2) X X (га — 1)/г(га + 1) (га + 2) — это произведение пяти последовательных натуральных чисел. Среди этих чисел одно во всяком случае делится на 5, одно на 4, одно на 3 и, кроме того, хотя бы одно на 2, а это и значит, что произведение делится на 120 (5 • 4 • 3 • 2 = 120).
га4 — 4га3 — 4га2 + 16га = га (га3 — 4га2 — 4/г + 16) = = га [га2 (га — 4) — 4 (га — 4)] = га (га — 4) (га2 — 4) = = (/г — 4) (га — 2) га (га + 2).
По условию га = 26; где 6 — натуральное число, и притом 6^3. Тогда имеем:
(26-4) (26-2) 26 (26 + 2) = 16(6 - 2)(6 - 1) 6 (6 + 1).
Среди четырех последовательных натуральных чисел одно во всяком случае делится на 4, одно на 3 и, кроме того, одно на 2. Значит, рассматриваемое произведение во всяком случае делится на 16 • 4 • 3 • 2 = 384.
(За ± I)2 — 1 = 9а2 ± 6а + 1 — 1 = 3а(3а ± 2) делится на 3, так как один из сомножителей 3.
(га - 1) (га2 + Зга + 1 - 1)(га2 + Зга + 1 + 1) = = (га — 1) га (3 + га) (га2 + Зга + 2) = (га — 1) га (га + 3) X X (га2 + 2га + га + 2) = (га — 1) га (га + 3) [га (га + 2) + (га + 2)] = = (га — 1) га (га + 1) (га + 2) (га + 3) — произведение пяти последовательных натуральных чисел, значит, оно делится на 120 (2.3.4-5= 120).
га3 + Зга2 - га - 3 = га2 (га + 3) — (га + 3) = (га — 1) X X (га + 1) (га + 3), га = 26 + 1;
(26 + 1 - 1) (26 + 1 + 1) (26 + 1 + 3) = 86 (6 + 1) (6 + 2) делится на 48.
(2а + 1) — (2/га + 1) = 2а + 1 — 2m — 1 = 2а — 2m = = 2(а —m), где а и m — натуральные числа.
Так как дано, что разность двух нечетных чисел делится на 5, то так как 2 не делится на 5, значит, разность натуральных чисел а и m делится на 5, но тогда 2 • (а — т) кратно 10.
(2а + I)3 — (2m + 1)3 = (2а + 1 — 2m — l)[(2m + I)2 —
— (2а + 1)(2т + 1) + (2т + I)2] = 2 (а — /га) [(2т + I)2 — — (2а + 1)(2т + 1) + (2т + I)2].
2(а — т) кратно 10. Следовательно, разность кубов, данных в условии нечетных чисел, всегда оканчивается нулем.
га2 + (га+1)2 + (га + 2)2 = 3(га + 1)2 + 2.
Слагаемое 3(га + I)2 делится на 3, значит, 3(и+ 1)2+2 при делении на 3 дает остаток 2.
_ _ „ n (n + I) (п+2) (п+3) _ п (п + 1) (п + 2) (п + 3)
5221 2k (26 + 2) (26 + 4)Sk(k + 1) (6 + 2)
Числитель как произведенйе четырех последовательных натуральных чисел делится на 24 (см. задачу № 516).
Знаменатель — произведение 8 на произведение трех последовательных чисел, т. е. на число, кратное 6 (см. задачу № 510), значит, знаменатель делится на 48, следовательно, дробь можно сократить на 24.
-9„ п' — 2n2 +1 — п2 _ (n2 — I)2 — п2 _
5261 и4 — (n2 +2п + 1) — n4 — (n + I)2
(п2 — 1 + n) (п2 — 1 — п) n2 + п — 1 (я2 + n + 1) (п2 — и — 1)п2 + п + 1 *
га2+ га—К га2+ »+•!, следовательно, эта дробь правильная.
(га+- I)2 —га2 = 2га+-1.
(га + 1) (га + 2) (га + 3) (га + 4) + 1 = (га + 1) X
X (га + 4) (га + 2) (га + 3) + 1 = [(га2 + 5га) + 4] [(га2 + 5га) +
+ 6] + 1 = (га2 +- 5га)2 + 10 (га2 + 5га) + 25 = [(/г2 + 5га) + 5]2 =
= (га2 + 5га + 5)2.
(га — 1) га (га + 1) + п = га (га2 — 1 + 1) = га3.
528а. Пусть трехзначное число 100а + 106+■ с, тогда 100с + 106 + а — число, написанное теми же цифрами, но в обратном порядке.
Разность этих чисел 100а + 106 + с — 100с — 106 —
— а = 99а-99с = 99(а-с) = 9- 11 • (а-с) = З2 - 11 X
X (а — с); 11 • (а — с) не может дать квадрата числа, так как а — с =# 11 (а ^ 9, с ^ 9).
5286. Юх + у — (10у +-х) = 9(х — у);
х —у=1; х — у = 4; х —у = 9.
Пусть х(х+1) (х + 2) —искомое число.
х (х + 1) (х + 2) ■ х(х + 1) (х + 2) . х(х+ 1) (х + 2) _ „.
хх +1х + 2—
(х + 1) (х + 2) + х (х + 2) + х (х + 1) = 74;
х2 + 2х - 24 = 0;
^1 = 4; х2<0. Искомое число 4- 5 -6= 120.
Так как каждое из чисел делится на 24, то их можно представить как 24а и 246.
24а+ 246 = 168.
а + 6 = 7, следовательно, 24 содержится в одном числе 1 раз, 2 раза или 3 раза, а в другом тогда 6 раз, 5 раз или 4 раза, т. е. искомые числа 24 и 144; 48 и 120; 96 и 72.
Если от 4373 отнять 8, а от 826 соответственно 7, то получим числа 4365 и 819, которые делятся без остатка на одно и то же число. Чтобы найти это число, надо каждое из этих чисел разложить на простые множители: 819 = 7-9-13; 4365 = 5 • 9 • 17. Числа имеют два общих делителя 3 и 9. Условию задачи удовлетворяет только 9, так как 9>8 и 9>7.
I способ
г-,а с ас
Пусть -у — у= умножим обе части равенства на bd, получим:
ad — be = ас, разделим обе части равенства на асг d Ь .
— — — =1, т. е. мы получили, что если разность дробей равна их произведению, то разность дробей, обратных данным, равна 1.
Например, 5у —4у=1; иначе -у- — -у-=1, значит, разность им обратных дробей 29" и -gg- удовлетворяет условию задачи, действительно, 77 _ 49 .77 _ 49
2936 — 29 • 36 ’29 ‘ 3629 • 36 *
II способ
„ а с асad—bcac
ПУСТЬ -b--d=-bd' т- е- ~м—=М-
Так как знаменатели равных дробей равны, то равны и числители: ad — bc = ac, откуда (a + 6)c = ad и, окончательно,
*7 = '7Ту- Вывод. Если ~ —-^ = ~j-, то первая дробь может быть произвольной, числитель второй равен числителю цервой, а знаменатель второй равен сумме числителя и знаменателя первой.
Обратно: если Даны две дроби у и "7= -а“ь > то f-Z=S' Действительно, ==
_ aM-ab —ab _ а2 _ а а — с b (a + b) b (а + b) b а + b b d *
Примечание. Имея в виду основное свойство дроби, с может равняться ак, тогда d = (а + Ь) к, где к — произвольное натуральное число.
888888
Примеры: 33 + 83из *п ’
55-4_ 520_240-140_ 520
712-47487-487 * 48 *
I способ
_ а . с ас«
Пусть y + y^TJ» умножим обе части равенства на bd
ad + be = ас — и разделим обе части на ас, получим: ~ + ™=1> т- е- получили, что сумма дробей, обратных
искомым, равна 1.
Возьмем две дроби, сумма которых равна 1, напри-
13 213 211213
13 2
13 2
мер, ту + "[J= 1: тогда им обратные дроби — и
удовлетворяют условию задачи, действительно,
13 । 13 — 169 . 13 13 — 169
11222 ’ 11 ‘ 222 '
II способ
Рассуждая так же, как и при решении предыдущей задачи (см. II способ), получим необходимое и достаточное условие, при котором сумма двух дробей равна их произведению: одна дробь — произвольная, больше 1 (а Лс ас ah
Цт^)’ другаяилиу^-^уу.
7777
Примеры: т+- = -.-,
9 , 63 _ 252 + 315 _ 567 _9-63
5 ' 285-285-285-28 *
Дана дробь ^\ прибавим к числителю т, а к знаменателю п, величина дроби не должна измениться:
-г = -г-;— ", ab -Van = ab + bm; ап = Ьт. о и + п
T^"^’ т’ е’ к числителю можно прибавить т^к-а, а к знаменателю n = k-b, где к — натуральное число.
I способ
Пусть будут дроби у и ~; тогда их сумма ~ +
, b ay-Vbxab
+ у =’ а произведение — , а так как сумма
должна быть в 7 раз больше произведения, то ^"^"^ = ~-\ ay + bx = 7ab, разделим обе части равенства на ab, получим "^^^^7, т. е. сумма дробей, обратных данным, должна быть равной 7.
Возьмем два произвольных числа, сумма которых равна 7.
2 + 5 = 7;
24 + 44 = 7.'44
Числа, им обратные, удовлетворяют условию задачи, т. е.
°' 2 * 510 ’2*510 1
7 что меньше -у^ в 7 раз.
4 । 44-28.44 . 4-4
9 * 199-19 ’9 * 199-19 *
II способ
Применяя метод решения задач № 532; БЗЗ (II спо* Соб), получим: первая дробь 4 — произвольная, удовле* „,се ак
сверяющая условию 7а > Ь, вторая -^ = 7^7^ = уа ^ ^ g •
„3.33 I 363
Пример: и + з.7_и — ц + ю ~ но •
33963„
■н - То = но’ что меньше -По в 7 ₽аз'
536. 1. См. решение задачи № 308.
Пусть 100 000+ х —искомое число, тогда (100 000 + + х) • 3 = Юх + 1, откуда х = 42 857, значит, искомое число 142 857.
соч их Ану _ п (х + р)
Оо / •—7 Г"
пх — пу п\х — у)
„х А- у
Если в дроби - _2у каждое из чисел х и у умножить на п, то величина дроби не изменится.
хпуп + рпуп + рпхп хп + уп + рп
х^п2+ РУп2 +^хп2 —
п (х + у + р) —
_ п2 (ху + ру + рх^ _п (х + у + р)
_ п (ху + ру + рх>хАуАр ’
хи + ру + рх
значит, если у дроби х +^+"^ каждое из чисел х, у и р умножить на п, то новая дробь будет равной п,В.
П^Х^ ПХ^хг
-^- = —^, т. е. если в дроби -^ каждое из чисел х и р умножить на п, то новая дробь будет равна пС.
АВ = 6-2 = 4 (ед.); АВ = 2 см (рис. 63), СВ = = 8—1 = 7 (ед.); СВ = 3,5 см, SABCD = 2 • 3,5 = 7 (с.и2).
AD = 7 - 2 = 5 (ед.) (рис. 64).
ЛО = 2,5 см, АВ = 4 см,
АВ= 11-3 = 8 (ед.).
$abcd = 4 • 2,5 = 10 (см2).
-^-4=1; & = 2й-1; а = 2, 3, ...
Из условия следует, что 10а + & = За6; где а и b — натуральные числа, причем однозначные.
Отсюда а = 36 Ь_ 10 . Подбором находим, что искомые числа 15 и 24.
Квадрат двузначного числа (10а + 6)2 = 100а2+ + 20а6 + 62 = 2а(5а + 6) • 10+ 62.
Первое слагаемое — четное число десятков, значит, и 62 должно содержать четное число десятков, т. е.
0^62<10, откуда 6 = 0; b = 1; 6=2; 6 = 3;
20 < 62 < 30, откуда 6 = 5; 40<62<50, откуда 6 = 7;
60 < 62 < 70, откуда 6 = 8;
80 < 62 < 90, откуда 6 = 9.
Значит, цифрой единиц двузначного числа может быть 0; 1; 2; 3; 5; 7; 8; 9.
Пусть дано двузначное число 10а+ 6, тогда его квадрат 100а2 + 20а6 + 62. Так как число десятков — число нечетное, то
10< 62<20, откуда 6 = 4;
30<62<40, откуда 6 = 6;
50<62<60, нет значения 6;
70<62<80, такого значения 6 нет, так как 6 натуральное. Значит, при 6 = 4 и при 6 = 6 квадрат двузначного числа содержит нечетное число десятков.
Пусть число abOd, r%ed = a — b; 1000а+ 1006 + + d = 1000а + 1006 + а - 6= 1001а+ 996= 11 (91а+ 96). По смыслу задачи а^О.
И (91а + 96) будет точным квадратом, если 91а+ 96, где а и 6 — однозначные числа, равно произведению 11 на квадрат какого-либо числа. Из значений а= 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 только при а = 9 получим 11 • (91 -9+ + 96) = 99(91 + 6), откуда следует, что 6 = 8; 99(91 + + 8) = 992. Искомое число 9801.
1089 и 3025.
Пусть сумма цифр одного числа равна 232, а сумма цифр другого, следующего за ним числа 116, так как первое число меньше второго на 1, т. е. от прибавления 1 к меньшему числу его сумма цифр изменится (уменьшится) на 116. Это может быть в том случае, если на конце числа стоят девятки, и их должно быть 13, так как сумма цифр всех этих девяток равна 117, значит, перед девятками должны быть любые цифры, но их сумма должна быть равна 115 (на I меньше, чем 116). Например,
99999999999979999999999999 и
99999999999980000000000000.
Ответ. Любые два числа, на конце одного 13 девяток, а сумма остальных цифр на 1 меньше числа, делящегося на 116, тогда другое число оканчивается на 13 нулей, а сумма его цифр делится на 116.
Да, на конце одного из них стоит 14 девяток, а впереди стоят любые цифры, сумма которых равна 124 или любому числу, которое при делении на 125 дает остаток 124, тогда на конце следующего числа, на единицу большего, чем первое, будет стоять 14 нулей. Например,
9999999999999799999999999999 и
9999999999999800000000000000.
Заметим, что из второго уравнения следует, У>х.
{
л i л2 — 2х
z = 2х + 2у;у = —— *>
2 = Зу — Зх; 2 = Зу — Зх;
z = 3 ^z ~ 2х) — Зх; z=12x;2>х.
Так как z>0, то х + «/<28, отсюда:
х + у < 28; f х + у < 28;
2х —«/ = 32; ( у — 2х — 32.
х + 2х — 32 < 28; х < 20, но х + у < 28, поэтому
у = 2х — 32>0, х>16, 16<х<20;
«/<28 —х; 8 <«/<12; отсюда х>у.
Да, его внешние углы 108°, 108°, 72°, 72° (равнобедренная трапеция).
Сумма внутренних углов многоугольника 2d(n — 2), а сумма внешних углов 4d, М^п-^15
значит, ^—- = —, откуда п = 9,5; число сторон не может быть дробным, значит, такого многоугольника не может быть.
Рис. 66Рис. 66(Рис. 65.) Zl + Z2 = 70° (Z ВКЕ — внешний к ZZABKY Zl + Z3=110° (из ZxBKCY значит, Z з - Z 2 = 40°.
Рис. 66
Рис. 66
(Рис. 66.) 1) ZBCA-ZA = 60°= ZBCN.
ZBNC = 180°-60°-2Z2= 120°-2Z2.
ZBNC внешний к Д ANO, значит, ZBNC = 2ZV, 120° — 2Z2 = 2Z 1, отсюда Zl + Z2 = 60°.
Z\BDC; ZD= 180° - (Z2 + 60° + Zl) = 60°. DE = = 0,5 BD = 5 ^cmY
Пусть дана трапеция ABCD (рис. 67). Проведем ED^AC до пересечения с продолжением ВС
в точке Е. В треугольнике BED стороны равны 3 см, 4 см и 5 см, значит, ZBDE = 90°, поэтому и ZAOD=90°.
Рис. 6?Рис. 6?
Рис. 6?
Рис. 6?
взаимно перпендикулярны.взаимно перпендикулярны.Рис. 70Рис. 70
взаимно перпендикулярны.
взаимно перпендикулярны.
Рис. 70
Рис. 70
т. е. диагонали трапеции 5двсо=0,5 АС • BD = 6{кв. см).
30 кв. см.
(рис. 68.) 1) А АСЕ;
АЕ = %.
ABED; ED = 112.
AF^ED = BC-VAD = = 120.
sabcd = 900 (кв. ед.).
I способ.
Треугольник АВС (рис. 69) разбит на 25 равных, значит,
равновеликих треугольников, поэтому площадь каждого из них -~ SABC = -~ • -^^- = 12 (кв. см); Зк^лыь+ + Sk^m^m» = 7 • 12 + 3 • 12 = 120 (кв. см).
II способ.
Достраиваем данный треугольник до параллелограмма (рис. 70), тогда нетрудно доказать, что площадь
К3К4М4М3 равна площади МХМ2Р2РХ, а, значит, искомая площадь равна площади К\К2Р2РХ.
"^искомая
0,25
паралл
24-255
120 (кв. см).
24-25224-252300.300.
24-252
24-252
300.
300.
III способ. (Рис. 71.)о _АС-НЬ^АВС—2
Расстояние между параллельными прямыми АС, КХМХ и т. д. равно 5 см. Нетрудно убедиться, что К^М4 в 2 раза меньше, чем К3М3, а отрезок К?Мз в 3 раза
Рис. 71Рис. 72
больше КаМ4 (из точек деления ВС следует провести прямые, параллельные АВ), поэтому
К^М4 = 24 : 5 = 4,8 (ел), тогда К3М3 = 9,6 см, К2М2 = = 14,4 см, КХМХ = 19,2 см.
о। с4,8 + 9,6 г , 19,2 + 14,4 г 1/\
^HiK^Mi + О^К^М» =220=120 (Кв. СМ).
АО А. АВ (рис. 72), значит, ZOAC = 60°, т. е. ДОЛС равносторонний, следовательно, ZAOC = 60°, a ZBOXC — 120° (односторонние при ЛОНВОО, ZACB = = 180° —(Z ОСЛ + ZBCOX) = W. Значит, CS - наименьшая сторона прямоугольного треугольника АВС, Z В АС = 30°, значит, ВС = 0,5 АВ; АВ = 30 см.
Пусть ZA'=a, ZB'=$, ZС'=у (рис. 73), тогда wC^' = 2p, а А'В'С' = 360° - 2р.
z двс = ЗбО°-2р^2р = 180о _ 2р
Аналогично, ZBAC= 180° — 2а; ZACB= 180° — 2у.
ZA = ZCBE = a. (ZA вписанный; ZCBE составлен касательной и хордой), Z АСВ = у (рис. 74). ZE=^—a по свойству внешнего угла.
Соединим данные точки Р, Q и R (рис. 75). Отрезки PQ, QR и PR — средние линии искомого треугольника, поэтому через точки Р, Q и R проводим
Рис. 75
прямые, соответственно параллельные QR, PR и PQ. Полученный треугольник АВС искомый.
Разделим АВ пополам: АК = КВ (рис. 76\ Проведем К1ДВС и /СЛТЦЛС. Точки М и L —середины соответственно ВС и АС, значит, АМ и BL — медианы.
Строим треугольник АВС\, симметричный треугольнику АВС относительно АВ (рис, 77). В треугольнике АВСХ строим точку пересечения медиан, затем
Рис. 7SРис. 7S
Рис. 7S
Рис. 7S
строим точку, ей симметричную относительно АВ. Прямая, соединяющая эти две точки, и будет искомой.
С
Рис. 79Рис. 79
Рис. 79
Рис. 79
(рис. 80), тогда(рис. 80), тогда
(рис. 80), тогда
(рис. 80), тогда
Проведем AD\\BC и СПЦДВ (рис. 78). Разделим АС пополам (ДО = ОС). Соединим О с D и про
должим за точку О, это и будет медиана к АС.
Пусть точка А недоступна (рис. 79). Соединим С и О. В треугольнике ADC проведем высоты CF и DE соответственно на стороны AD и АС. Из точки О — пересечения высот опустим перпендикуляр на CD, получим МО, это и есть искомая высота.
Предположим, что за-
дача решена и AKMN искомый ZBKM = 180° —^ZAKN + ZNKM) = ЗОР.
/\КВМ прямоугольный, значит, ВМ = 0,5 КВ, а так как A AKN = А КВМ, то ВМ = АК = 0,5 КВ, значит,
АК = ^АВ.
Строим АК = Л’С = ВМ = у АВ, точки К, М и N соединим, △ KMN — искомый.
Покажем, что стороны △ KMN перпендикулярны к сторонам △ АВС.
BL = LK = ^AB. Рассмотрим &LBM: ZB = 60°, BL = ВМ = у АВ, значит, &LBM—равносторонний, отсюда Z BLM = 60°, поэтому ZKLM = 120°, а так как KL = LM = у АВ, то Z LMK = 30°, следовательно, 2.КМВ = У)°-\- + 30° = 90°, т. е. КМЕСВ.
Аналогично MNEAC и KNEAB.
II способ (метод подобного преобразования) (рис. 81).
Проведем BD — биссектрису Z АВС (рис. 82). Из точки D проведем ED\\BC и DF^AB. BFDE — искомый ромб.
Отложим отрезки CL = DN = АК = ВМ .и полученные точки М, L, N и К соединим (рис. 83).
KMLN — искомый квадрат.
△ MBL = △ NLC = A KND = А АМК
(прямоугольные треугольники по двум катетам):
МВ = LC = ND = АК — по построению,
BL = CN = KD = AM, так как АВ = ВС = AD = CD. Значит, ML = LN = KN = КМ, т. е. KMLN — ромб.
Zl + Z2 = 90°. Z1 = Z3 (из равенства треугольников АКМ и KND), следовательно, Z2+Z3 = 90°, т. е. ZMKN = 90°, значит, KMLN — квадрат.
Предположим, что задача решена, т. е. В£||ЛС и AD + ЕС = DE (рис. 84). Отложим DO = AD, тогда ОЕ = ЕС. В Ах ADO: ZD АО = ZDOA = ZOAC.
Следовательно, АО — биссектриса угла ВАС. Аналогично СО — биссектриса угла ВС А.
Рис. 85Рис. 85Проведем биссектрисы углов Л и С до их взаимного пересечения в точке О. Через точку О проведем £)£||ЛС.
Рис. 85
Рис. 85
Рис. 84
Теперь нетрудно доказать, что DE — искомая прямая. Действительно, AD = DO ^ZDOA= ZOAC = ZDAO) и OE = EC (Z EOC = Z OCA = Z OCE\ значит, DE = = AD + CE.
Задача имеет единственное решение и всегда возможна.
Соединим данные точки Л и В (рис. 85). Построим равнобедренный △ АВС по основанию АВ и углам при основании, равным 30°. Полученный треугольник АВС достроим до ромба.
ACBD — искомый ромб, у которого CD = АС.
Делим kj АВ (рис. 86) пополам ^AD=vjDB'). Из полученной точки D опускаем на / перпендикуляр, точка пересечения его с окружностью и является искомой точкой С.
Так как vjAD = v>DB, то ZACD = ZDCB и ZKCM = = ZMCL, CMLKL, значит, Z^KMC = Z\ MCL, следовательно, ZCKM = ZCLM.
Пусть точка M — данная точка на окружности, из которой надо провести касательную (рис. 87).
С центром в точке М произвольным (не большим диаметра данной окружности) радиусом проведем дуги до пересечения с дугой данной окружности в точках А и В. Середину АВ соединим с точкой М и через М проведем прямую ME, параллельную АВ, ME — искомая касательная.а
Анализ. Пусть ' д 1
А АВС искомый (рис. 88), ' т '
тогда АС = Ь; ВС = а; СО = т; СО — медиана. Продолжим СО за точку О на отрезок OD, равный СО, и полученную точку D соединим с В и А. В треугольнике CBD ВС = а, BD = b, CD = 2m.
Построение. Строим треугольник КМЕ по трем сторонам (рис. 89): КЕ = а, ME = b, КМ = 2т. Затем
точку Р —середину КМ — соединяем с Е и продолжаем на отрезок PL = РЕ. Точки К и L соединяем. Треугольник KLE искомый.
Задача имеет единственное решение и возможна, если существует треугольник КМЕ, т. е. если для отрезков а, Ь, 2 т верно соотношение: каждый из них меньше суммы двух других и больше их разности.
574. Анализ. Задача574. Анализ. Задачасводится к построению прямо
574. Анализ. Задача
574. Анализ. Задача
угольного треугольника АЕК по катету АК, равному Н„ и гипотенузе АЕ, равной та (рис. 90).
Построение. Строим прямоугольный треугольник АЕК (рис. 91): ОЕ — треть от та. С центром в точке О и радиусом 2
равным — ть проводим дугу до пересечения с прямой ЕК в точке В. Отложим ЕС = BE. Треугольник АВС искомый.
Можно было для построения данного треугольника продолжить медиану BF за точку F на отрезок, равный ть, и строить прямоугольный треугольник по катету, равному На, и гипотенузе, равной 2ть.
Анализ. Пусть треугольник АВС (рис. 92) искомый и AD и АЕ — данные высота и медиана. Задача сводится к построению прямоугольного треугольника AED по катету AD, равному данной высоте, и гипотенузе АЕ, равной данной медиане.
Построение. Строим прямоугольный треугольник AED (рис. 93). ОЕ — треть АЕ. С центром в точке О и радиусом АО проводим дугу до пересечения с ED в точке С. Получаем ЛС —основание равнобедренного треугольника. К АС проводим срединный перпендикуляр > пересечения с ED в точ- В. Треугольник АВС ис- мый. Задача возможна, ли Н<т.
Анализ. Задача сводится к построению треугольника АРО (рис. 94), где ЛО —половина гипотенузы или отрезок, равный СО; РО = ^СО\ АР = ^АЕ.
Построение. Строим треугольник АРО по трем 12
сторонам: ЛО = /ис; РО = ^тс и АР = -^та. Продол
ВВжаем РО за точку Р на 2 отрезок СР, равный -у тс, отрезок АР за точку Р на отрезок РЕ) равный ~ига)
В
В
а отрезок АО за точку ОL
на отрезок ОВ, равный АО.
Треугольник АВС искомый.Е
Анализ. Пусть тре-Рис. 95
угольник построен (рис. 95).
Продолжим медиану, например, BD на у ее (за точку D)
и полученную точку Е соединим с А и С. Так как AD = DC и OD = DE, то АЕ = ОС = ^ЕС.
В треугольнике АОЕ каждая сторона равна ^ одной из медиан искомого треугольника.
Построение. Строим ZXKLM (рис. 96) по трем /222\
сторонам \КМ = -^Шх, KL = -^m3l ML = -^mA.
Продолжаем KL на отрезок LN = ^m3.
ML делим пополам в точке Р и от точки Р откладываем PS = т2. SN пересекает КР в точке F, К соединим с S. A SKF — искомый. Задача имеет решение и
222
единственное, если из отрезков -^Шх, -^т2^ -^^ можно построить треугольник.
Предположим, что треугольник построен, тогда, если основание продолжить в обе стороны на отрезки, равные его боковым сторонам, и полученные точки соединить с вершиной данного треугольника, то нетрудно построить полученный таким образом треугольник (основание — периметр, а углы соответственно равны -j внутренних углов).
Построение (рис. 97). Строим треугольник CKD по стороне CD, равной 2р, и двум прилежащим к ней углам (zC = ^ ZЛ; ZD = -^ZB^. Через середины отрезков СК и KD проводим к ним перпендикуляры до пересечения с CD в точках L и М.
A LMK — искомый. Задача имеет единственное решение, если Л + В < 180° и, значит, ^^^ < 90°.
579. На прямой отложим отрезок АВ = с (рис. 98). Проведем прямую DE, параллельную АВ и находящуюся от нее на расстоянии, равном hc.
Из точки О (середины АВ) проведем дугу радиусом тс и до пересечения с DE в точке С. Д АСВ — искомый.
Задача имеет решение, если mc^hc. При mc = hc Z\ ABC — равнобедренный.
| тс
Указание. Сначала можно построить прямоугольный треугольник по гипотенузе (А6) и катету ^ h^, затем симметричный ему, относительно гипотенузы. (Рис. 99.)
1) ZC —острый. Строим прямоугольный треугольник СВК (рис. 100) по катету КВ, равному й6, и острому углу С, тогда сторона СВ является стороной искомого треугольника (а). Строим отрезок СЕ = 2р — а.
Срединный перпендикуляр к BE пересекает СЕ в точке Л. Треугольник ЛВС —искомый.
2) ZС —тупой. Прямоугольный треугольник СВК
Строим прямоугольный треугольник по катету AN = ha и гипотенузе AD = Ia (рис. 101).
Затем строим ZDAB = ZDAC = ^ZA.
ДЛВС — искомый. Задача имеет решение, если ha<lA и если Z ADC>.
I с и о с о б
Анализ. Пусть треугольник построен (рис. 102).
Тогда Z ВО А = 135°, так как Z В + Z А = 90°, -^- + -^- = 45°. Задача сводится к построению тре-
угольника ABO по основанию (гипотенузе), углу при вершине 135° и высоте, опущенной на основание (радиус вписанного круга).
Построение (рис. 103). На АВ = с строим сегмент, вмещающий угол в 135°. (В этом частном случае задача решается очень просто, если доказать, что дуга искомого сегмента равна четверти окружности, описанной около квадрата со стороной ЛВ.) На расстоянии г проводим прямую А'В^ параллельную АВ, до пересечения
с дугой сегмента. Затем с центром в полученной точке О и радиусом г проводим окружность. Соединим О с В и с Л и построим ZOBC = ZOBA и ZOAC = = ZOAB. Треугольник ЛВС —искомый.
Если г^Н сегмента, то задача имеет решение (г = Н — треугольник равнобедренный), если г>Н — нет решения.
II способ
Известно, что в прямоугольном треугольнике г = р — с, отсюда г = — (а + b + с) — с и а + b = 2г + с. Построение прямоугольного треугольника теперь можно свести к построению его по сумме катетов и гипотенузе. Эта задача в свою очередь сводится к построению треугольника по стороне (2г + с), углу, равному 45° и прилежащему
к этой стороне, и противолежащей стороне, равной с. A DBA (рис. 104) построен по:
DA = 2r + c,
Z BDA = 45°,
АВ = с.
ВС X AD даст искомый △ АСВ. Для доказательства вычислим радиус (х) круга, вписанного в △ АВС.
х = у(а + 6 + с) — с = у (а + 6) — ус =
= 1(2г + с)--^с = г.
Высота в равнобедренном прямоугольном треугольнике равна половине гипотенузы. Значит, делим
данный отрезок на три равные части, 2
у данного отрезка равны гипотенузе искомого треугольника.
Анализ. Пусть треугольник АВС искомый (рис. 105). Продолжим АС за точку А на отрезок AD, равный гипотенузе АВ, получим отрезок DC, равный данному отрезку S. Задача сводится к построению прямоугольного треугольника BCD по катету CD, равному S, и острому углу
BDC, равному 0,5а.
Анализ. Пусть А АВС искомый (рис. 106). Продолжим катет ВС за точку В на отрезок BD, равный гипотенузе АВ, получим отрезок CD, равный сумме
катета с гипотенузой. Задача сводится к построению прямоугольного треугольника ACD по катету CD и прилежащему к нему углу CD А, равному 45° — ~ (угол АВС внешний к равнобедренному треугольнику ABD\
Анализ. Пусть ABCD—искомый параллелограмм (рис. 107). Продолжим ВС на отрезок СЕ, равный диагонали АС; таким образом, ВЕ = ВС + АС. Задача сводится к построению
треугольника АВЕ по двум сторонам АВ и BE и углу, заключенному между ними и равному 180°— ZA. Затем для нахождения третьей вершины параллелограмма
надо из О — середины АЕ провести перпендикуляр к АЕ до пересечения с BE в точке С.
Рис. 108Рис. 108
Рис. 108
Рис. 108
Продолжим ВС прямоугольника ABCD на СЕ = = АС (рис. 108). Задача сводится к построению прямоугольного △ АВЕ по катетам АВ и BE. Затем строим ZEAC = ZE, т. е. получим точку С.
Анализ. Построим параллелограмм и рассмотрим в нем треугольник, образованный диагоналями и одной из сторон его.
Отложим на DO (рис. 109) отрезок ОЕ = О А и соединим точку £ с Л. Z SO Л —внешний к △ ОЛ£, следовательно, Z £ = у Z ВО А. Задача сводится к построению А АВЕ по двум сторонам АВ и BE (данная и полусумма диагоналей) и углу BE А, противоположному данной стороне.
т
Построение (рис. 110). На АВ = а строим сегмент, вмещающий половину данного угла. Из точки В про- 1.
водим дугу радиусом у т до пересечения с дугой сегмента, Полученную точку пересечения соединяем с А и В. Через середину ЕА проводим перпендикуляр до пересечения с BE в точке О. О —точка пересечения диагоналей. Достраиваем А АОВ до параллелограмма. Параллелограмм ABCD — искомый.
Задача имеет два решения, если Ясегм > у > а. Если
у = Ясегм - одно решение, шения.
Пусть параллелограмм построен (рис. 111), тогда в Д KLN-. LN — данная диагональ, ZД —данный и
ДО = у КМ — медиана.
Видим, что задача сводится к построению тре
угольника по основанию, углу при вершине и медиане, проведенной из вершины этого угла.
Построение (рис. 112). На отрезке АС, равном d^ строим сегмент, вмещающий данный угол. Затем из
точки О (середины АС) радиусом yd2 проводим дугу до пересечения с дугой сегмента в точке В. Полученный треугольник АВС достраиваем до параллелограмма ABCD.
Задача имеет решение, если -у-<-у-^ Ясегм. Если -^г<4г или -у->Ясегм, то задача решения не имеет.
Анализ. Задача сводится к построению прямо-
угольного треугольникаугольного треугольникаAED по катету ED, равному данной высоте, и острому углу, противолежащему данному катету, равному 180°- ZABC (рис. 113). После построения △ ADE на его катете АЕ от точки А откладываем отрезок, равный АВ, а затем проводим ВСЦАВ и СОЦ АВ.
угольного треугольника
угольного треугольника
ааРис. 115Рис. 115На сторонах данного угла отложим произвольные, но равные отрезки АВ = АС (рис. 114). Точки В и С соединим. Продолжим ВС за точку В и отложим СК = а. Из точки К проведем КМ параллельно АС до пересечения с АВ в точке М, затем из точки М проведем ME параллельно ВС. ME — искомый отрезок.
а
а
Рис. 115
Рис. 115
Рис. 114
Анализ. Задача сводится к построению прямоугольного треугольника по гипотенузе (данной диагонали) и катету (данной высоте).
Построение. Строим прямоугольный треугольник BED по катету DE, равному На, и гипотенузе BD, равной d (рис. 115). На полученном катете BE от точки В откладываем АВ, равный а, точку А соединим с точкой D.
Достроим полученный треугольник ABD до параллелограмма ABCD. Задача возможна, если Ha^d, и имеет одно решение, если Ha = d (рис. 116).
Задача имеет два решения, если Ha<d, так как от точки В отрезок, равный а, можно откладывать и вправо и влево, при этом получим различные параллелограммы.
Если Ha>d, то задача не имеет решения.
сегмент,сегмент,вмещаю-вмещаю-(рис. 117). В треугольнике(рис. 117). В треугольникеаасегмента в точке Е. Соединимсегмента в точке Е. Соединим
сегмент,
сегмент,
вмещаю-
вмещаю-
(рис. 117). В треугольнике
(рис. 117). В треугольнике
а
а
сегмента в точке Е. Соединим
сегмента в точке Е. Соединим
Предположим, что задача решена и параллело-
грамм ABCD искомый AOD: AD — данное основание, ZAOD дан
ный, OK = ~h, следо
вательно, задача сводится к построению треугольника по основанию, углу при вершине и высоте, опущенной на основание.
Построение. На отрезке AD = а строим
щий данный угол К (рис. 118). На перпендикуляре к AD отложим отрезок, равный 0,57г, и через полученную точку проведем прямую, параллельную AD до пересечения с дугой
точку Е с точками А и D. Полученный треугольник AED достраиваем до параллелограмма; ABCD — искомый параллелограмм.
Задача имеет решение, если у<Ясегм; если же
А гг
-2>Нсегш то решения нет.
Анализ. Параллелограмм ABCD искомый (рис. 119), в нем даны сторона AD, диагональ BD и угол AOD. Задача сводится к построению △ AOD по
треугольника рассмо-треугольник АВЕ углу АВЕ, равномутреугольника рассмо-треугольник АВЕ углу АВЕ, равномуРис. 122Рис. 122
треугольника рассмо-
треугольник АВЕ углу АВЕ, равному
треугольника рассмо-
треугольник АВЕ углу АВЕ, равному
Рис. 122
Рис. 122
двум сторонам AD и 0,5 BD и углу, противолежащему
стороне AD. Построение такого трено в предыдущей задаче.
Строим прямоугольный (рис. 120) по катету BE = hv и 90° — а. Проводим BF1.AB, откладываем BF = А2, CF || АВ, ВС || АЕ. ABCD — искомый параллелограмм.
На произвольной прямой откладываем отрезок AD
(рис. 121), равный данной стороне прямоугольника, О —середина AD. На OD как на диаметре строим окружность. С центром в точке О и радиусом, равным данному перпендикуляру, проводим дугу до пересечения
с окружностью в точке Е. Из точки А проведем перпендикуляр к AD. DE пересекается с этим перпендикуляром в точке В. A ABD достраиваем до прямоугольника ABCD.
Анализ. Пусть ABCD — искомый ромб (рис. 122). Отложим ОЕ = ВО, т. е. АЕ = 0,5 (BD + АС).
Так как А ВОЕ равнобедренный и прямоугольный, то ZBEO = 45°. Следовательно, задача сводится к построению треугольника по стороне (полусумме диагоналей) и двум прилежащим к ней углам (45° и данному).
Построение. Строим A PLM: MP = ^-\ ZP = 45°; ZM = ZF (рис. 123). Через середину PL проводим перпендикуляр к PL до пересечения с РМ. Получим точку пересечения диагоналей ромба. Достраиваем A LOM до ромба.
Пусть ABCD — искомая трапеция (рис. 124), OF — ее средняя линия. Проведем EF\\AB. Задача сводится к построению A DEF по основа
нию ED, равному разности между большим основанием и средней линией, и двум углам, прилежащим к ней (углы равны соответственно 180° —а и 180° —0).
Построение (рис. 125). Строим A EFD (ED = а — Ь, ZE= 180° —р, ZD= 180° —а). От точки D откладываем
AD = а. Из точки А проведем AB || EF. Отложим GF = FD и из точки С проведем ВСЦА2). ABCD — искомая трапеция.
Проведем высоты трапеции (рис. 126). Задача сводится к построению прямоугольного △ АВЕ по катету BE, равному данной высоте, и противолежащему острому углу. Затем разде- ।-1 лим пополам полученную ги-
6 потенузу и проведем отре-
1зок, параллельный катету
АЕ и равный данной сред-
*ней линии. При точке L
\\строим угол KLC, равный
\данному углу. Из точки В
Л^\?\^\проводим прямую, парал
лельную АЕ. ABCD — иско- 6 Смая трапеция.
\601. Анализ. Прове-
\ дем СЕ || АВ (рис. 127). В тре- V угольнике ECD известны СЕ, равная боковой стороне, ED, / \ равная разности оснований, .,2? и Угол ECD, равный дан-
ному углу. Таким образом,
Рис. 125задача сводится к построе
нию этого треугольника. Построение. На отрезке PN, равном разности оснований, строим сегмент (рис. 128), вмещающий данный угол а. С центром в точке Р радиусом, равным
боковой стороне с, проводим дугу до пересечения с дугой построенной окружности в точке М. Точку М соединяем с N. Откладываем КР = b и проводим KL\\MP и ML\\PN. Трапеция KLMN искомая.
Задача имеет решение, если а <180°, причем решение может быть единственным, если РМ пересечется с окружностью в одной точке (△ MPN и полученная трапеция равнобедренные). Если же РМ пересекает окружность в двух точках, то два решения; если нет
точек пересечения, то решения не будет. Решения нет, если высота сегмента больше боковой стороны трапеции. Задачу можно было решить и не используя построение сегмента, вмещающего данный угол (построение
треугольника по двум сторонам и углу, противолежащему одной из них).
На основании треугольника (рис. 129) отложим CD = m. Проведем DE\\BG и EF\\AC. Через любую точку отрезка EF проведем к нему перпендикуляр и на построенном перпендикуляре отложим по обе стороны от EF отрезки, равные 0,5й. Через полученные точки проведем прямые, параллельные AG. RKLP — искомая трапеция.
Анализ. На диагонали АС (рис. 130) отложим отрезок AD = АВ, тогда треугольник ABD равнобедренный, ZA = 45°, ZABD = ZBDA = 67°30', а смежный
даннойданнойс ним ZBDC = 112° 30'.
данной
данной
Задача сводится к построению треугольника В DC по CD = т и прилежащим углам 45° и 112° 30'. Затем построим на ВС квадрат.
из центра пополам.из центра пополам.Искомым геометрическим местом точек будет окружность, диаметр которой равен расстоянию между данной точкой и центром данной окружности, так как перпендикуляр, опущенный окружности, делит каждую хорду
из центра пополам.
из центра пополам.
Геометрическим местом оснований перпендикуляров, опущенных из данной точки А, на прямые, проходящие через точку В, является окружность, проходящая через А и В, диаметром ее служит отрезок АВ.
I способ (рис. 131).
Z АВС + Z BAD = — 180° (сумма углов, прилежащих к одной сторбне ромба).
2ZKBA-V2ZKAB = = 180° (сумма углов, смежных с углами ромба, прилежащих к одной стороне ромба).
Z КВ А + ZKAB = 90°, значит, Z АКВ = 90° (из А АКВ). Аналогично покажем, что ZL= ZM = ZN = 90°, т. е. KLMN — прямоугольник, в нем АС = KL = MN и BD = = KN = ML, значит, PKlmn = ^KL + 2KN = 2 AC + 2BD = = 2(AC + BD), t. e. PKlmn больше AC + BD в 2 раза.
II способ
KL || AC и МАНИС, следовательно, KL\\MN. Аналогично KN\\ML.
Рис. 132Рис. 132ВВРис. 133Рис. 133ZDCB =ZDCB =Z A+ Z AC В2Z A+ Z AC В2
Рис. 132
Рис. 132
В
В
Рис. 133
Рис. 133
ZDCB =
ZDCB =
Z A+ Z AC В2
Z A+ Z AC В2
BDZAC, значит, BDLKL, но тогда и KN LKL. Итак, в четырехугольнике KLMN противоположные стороны
параллельны и углы прямые, следовательно, это прямоугольник.
1) Из построения (рис. 132) следует, что АК = = КО, значит, и ZOAK^ = ZAOK.
Z OAK = ^Z ВАС; Z OAK = 30°, ZAOK = 30°.
Z OKL — внешний к A AOK, ZOKL= ZAOK + + ZOAK = 60°.
Аналогично Z OLK= = 60°.
Следовательно, AKOL—равносторонний: OK = OL =
= KL, а так как АК = OK и OL = LC, то АК = KL = LC.
608.(Рис. 133.) 1) ZACD — внешний к △ АВС, значит, 2Z1 = ZA + 2Z2; Z\ = = ^ZAW,
Z ECD — внешний к A BEC:
Z\ = ZE-V Z2;
ZE= Zl-Z2;
ZE = ^Z A-V Z2- —Z2; ZE = ^ZA.
(Рис. 134.) 1) ZDCB = = 180°-zB ; zв = 180° - — (ZA + ZACB), отсюда
ZACD = ZCDB — ZA. Заменим ZCDB равным ему ZDCB, получим ZACD = ZDCB — ZA. Прибавим к обеим частям последнего равенства по ZACD,
значит, 2ZACD = ZACD + ZDCB — ZА, отсюда ZACD- /acd+zdcb-za, так как
ZACD A- ZDCB = ZACB,
610. (Рис. 135.)
, e,c।e„AC • MD, AB• ME ,
ABC — ^ЛЛ1С •^AMB "гOBMC ~2*2*
।ВС • MFАС/х,г\. IfP.ЛуГПХ
Ч2= “’ ^D+ МЕ+MF^*
оАС ту
АВС ” “У" е
Отсюда MD-V ME A-MF = Н»
ВВ
Рис. 136Рис. 137
Пусть на продолжении АС дана точка О (рис. 136). Ее расстояния от прямых АВ и ВС соответ-
ственно равны МО и ОЕ. Из точки С опустим перпендикуляр СР на МО. КМРС — прямоугольник, следовательно, КС = МР. Треугольник СРО равен треугольнику СОЕ, следовательно, ЕО = ОР. Значит, МО — ОЕ = = КС.
Пусть в треугольнике АВС (рис. 137) М — точка пересечения медиан, а К — точка пересечения биссек
трис.
Площадь треугольника АМС равна -^ площади треугольника АВС.
Площадь треугольника АКС равна -^ площади треугольника АВС т. к. SABC = Рг> АС = 0,5 ^АВ + ВС), значит, АС = у Рдвс- Отсюда MF = = КЕ, значит, AfBC IIЛС, где MFA.AC и KELAC.
1) Продолжим FD до пересечения с ВС в точке К (рис. 138). £.CDF = ACDK (СВ —общий катет; Z1 = Z 2), значит, KD = DF.
DE — средняя линия △ FKC, поэтому DE = 0,5СВ.
DM = 0,5DE = 0,25CF.
1) ZABO = ZOBC = ZBOD, значит, BD = OD (рис. 139).
ZACO = ZOCB = ZCOE, значит, OE = CE.
P^0DE = OD + OE + ED = BD + CE + ED = BC.
Отложим на продолжении BM отрезок МК = ВМ (рис. 140) и на продолжении СР отрезок ОР = СР; соединим К с А и А с О. Д АВМ = Д АМК и Д АСР = = Д АРО (по двум катетам), значит, Z К = Z. ABM = Z1,
т. е. АКII ВС, аналогично АО ||ВС. КАО — прямая, параллельная ВС. ВСОК — трапеция, в которой МВ = КМ и СР=РО, т. е. МР — средняя линия трапеции, значит, МРЦВС. Так как ВМ = МК и КО ||Л1Р||ВС, то ВЕ = АЕ
и AF = ЕС, т. е. в прямоугольных треугольниках АВМ и АРС ME и РЕ — медианы, значит, ME = 0,5 АВ и РЕ = 0,5АС, а ЕЕ - средняя линия треугольника АВС, поэтому МР = ^РАВС.
В треугольнике АВС (рис. 141) АМ - медиана, ВО-другая медиана этого же треугольника (АО = 0С>, значит, BF = ^ ВО = м
= 1 1 rd- 3 ' 2 503 •
Аналогично из A ACD гчг BD покажем, что DE = —у , г?1? BD значит, и EF = —у, т. е. BE = EF = ED.
а) К К ВС + -V Z LCВ = 180° (односторонние углы при KB\\CL и секущей ВС) (рис. 142).
^ZKBC + ^ZLCB =Рис- 142
= 90°, т. е. Z МСВ + Z МВС = 90°,значит, в
АхВМС ZM = W.
Аналогично можно показать, что ZN= ZP= ZR = 90°, т. е. NMRP— прямоугольник.
б) Z1 = Z 2 (CR — биссектриса внешнего угла параллелограмма).
Zl = Z3 (внутренние накрест лежащие углы).
Значит, Z2=Z3, т. е. OR = ОС = OD = ^CD.
Аналогично покажем, что NE = ЕВ = АЕ = -^ АВ.
Отсюда NR = NE + ЕО + OR = BE + ВС + ОС = ВС + АЗ.
a) ZDAB-V ZABC = 180° (рис. 143), значит, Z 1 + Z 2 = 90° (ЕВ и AE — биссектрисы Z ABC и Z DAB), следовательно, в A ABE ZBEA = 180° — (Z1 + Z2) = 90° и с ним вертикальный ZFEL = 90°.
Аналогично покажем, что все углы четырехугольника LEFK равны по 90°, т. е. LEFK — прямоугольник.
б) Теперь покажем, что диагональ ЕК = ВС — АВ. Рассмотрим А МВЕ; в нем Z1 = Z3, так как Z1 = = Z4 (BE — биссектриса), Z4=Z3 (внутренние накрест лежащие), значит, МВ = МЕ.
Таким же образом KN = ^ CD = ^ АВ. MN = ВС = = ME + EK + KN, или ВС = ЕК + АВ, ЕК = ВС-АВ.
Рис. 144
Z\CMD= ZXABK (рис. 144), так как АВ = CD- противоположные стороны параллелограмма; ZBAK = = ZMCD, как половины равных углов ZBAC и ZACD; ZABK= ZMDC, как половины равных углов ZABD и ZBDC.
Из равенства этих треугольников следует, что ВК = = MD. Из равенства А ВЕС и Z^AND следует, BL = = ND, а так как ZKBL= ZMDN (половины противо-
положных углов параллелограмма), то △ KBL = Zk NMD, т. е. KL = MN.
Таким же образом покажем, что KN = ML, т. е. докажем, что KLMN — параллелограмм. Соединим О — точку пересечения диагоналей параллелограмма ABCD — с точками К и L.
Рассмотрим △ АВО, в нем АК и ВК — биссектрисы углов, следовательно, и КО — биссектриса ZBOA, аналогично LO — биссектриса ZBOC.
ZKOL = 99° (биссектрисы двух смежных углов).
Так же докажем, что ZLOM = 90°. Итак, два угла, ZKOL и ZLOM, имеющие общую сторону LO и не
покрывающие друг друга, — прямые, следовательно, КОМ — диагональ параллелограмма KLMN. Аналогично докажем, что LON — диагональ. Так как диагонали в параллелограмме KLMN взаимно перпендикулярны, следовательно, это ромб.
Из того, что 1) диагонали ромба делят его углы пополам и 2) LA, МА, МВ и NB — биссектрисы углов Z^LOM и ZXMON (рис. 145), следует:
ME делит пополам ZAMB.
△ LAM = Д MBN, а, значит, МА = ВМ, то тогда ME ± АВ. А так как MNKL —
ромб, то MOA.LN, следовательно, АВ || ДА^, аналогично CD\\LN и Z BAD = 90°.
Поэтому ABCD — прямоугольник. Теперь докажем, что это квадрат. Точка А как точка пересечения биссектрис Д LOM находится на одинаковом расстоянии от всех его сторон, отсюда АЕ = AF, но тогда AB = AD. В прямоугольнике ABCD две соседние стороны равны. Значит, ABCD — квадрат.
Из рисунка 146 1) Д ОХВО2 = Д О3СО2(О,В = = СО3; О2В = О2Су ZOvBO2 = 90°+ ZMBN= ZDCB -V + 90° = Z О2СО3.
Следовательно, O1O2 = O3O2 и Z0!02B = ZO3O2C, Z OtO2O3 = Z OXO2B + 90° - Z O3O2C = Z BO2C = 90°.
Аналогично O2O3 = O3O4 = O4Oi и, следовательно, OxO2OaO4 — квадрат.
На рисунке 147 △ ADM = △ BDN (AM = BN, AD = BD, ZA= ZDBN = 60°). Значит, MD = DN и ZADM=ZBDN, ZADB= = 60°, следовательно, Z MDN = 60°, поэтому
△ MDN — равносторонний.
A M ВA M ВРис. 146Рис. 147Рис. 146Рис. 147воположные углы ромба, АК=СМ = 0,5АВ), следовательно, ZADK= ZMBC (рис. 148)воположные углы ромба, АК=СМ = 0,5АВ), следовательно, ZADK= ZMBC (рис. 148)Рис. 148Рис. 148A AKD = Z\ BMC (AD = BC по условию, Z К AD = Z BCM — проти-
A M В
A M В
Рис. 146Рис. 147
Рис. 146Рис. 147
воположные углы ромба, АК=СМ = 0,5АВ), следовательно, ZADK= ZMBC (рис. 148)
воположные углы ромба, АК=СМ = 0,5АВ), следовательно, ZADK= ZMBC (рис. 148)
Рис. 148
Рис. 148
Аналогично докажем, что A ABL = A CND, откуда следует, что ZTND=ZSLB. '
Теперь из равенства A BLS и AxNTD получим равенство противоположных углов S и Г четырехугольника PSQT.
Аналогично ZTPS=ZTQS, следовательно, PSQT— параллелограмм.
Проведем CL ± АВ (рис. 149). △ DFA = A ALC, так как ZV = Z2, как углы с соответственно перпендикулярными сторонами; AD = АС (стороны квадрата), следовательно, DF = LA.
Аналогично А НВМ = A CLB, следовательно, BL = = НМ.
Значит, DF + НМ = AL + LB = АВ.
ZCOB = 90° (по условию),
Z ОВЕ = 90° (АС || BE; ВО 1 АС),
ZCEB = 90° (С£ ± ЕВ), значит, СЕ ВО — прямоугольник (рис. 150).
Рассмотрим A DCB и А СВА, они равны, так как СВ — общая, CD = АВ (равнобедренная трапеция), ZDCB=ZCBA (утлы при £^основании равнобедренной
/ х.трапеции), значит, Z DBC =
С АА\= Z АС В = 45° (Z СОВ = 90°),
/ х./'\\поэтому СО = О В, следова-
/ ys.\х.тельно, ОСЕВ — квадрат.
/ / \ \ х.626. Пусть ABCD (рис.
1/ хД х. 151) — данный четырехуголь- 1/ х ник и точки N, Р, М, R —
DАсередины сторон его; £ —се-
Рис 150редина АС и F- середи
на BD; /( — пересечение MN и PR; FP || DC; FP = 0,5Z)C (из A DBC); ER || DC; ER = 0.5DC (из A CAD).
Следовательно, REPF — параллелограмм с диагональю RP; К —лежит на RP, значит, EKF — прямая.
Рассмотрим △ AEF и △ CBD (рис. 152), в них / D = ZF, как вписанные углы, опирающиеся на одну
Рис. 151Рис. 152
и ту же дугу АтВ; ZC=ZE, как вписанные углы, опирающиеся на дугу АпВ.
К так как сумма внутренних углов любого треугольника равна 180°, то ZEAF= 180°— ZE— ZF и ZCBD = = 180°— ZC—Z.D и они равныо
между собой: ZEAF = ZCBD.
ZMBC (рис. 153) во вся- /^ гАх^^Хм ком случае меньше 60°, так как / / | \ /К опирается на дугу МС< 120°. От- / / I |\ ложим Z ABD = ZMBC. £\ABD — I Г J^\ Il = £xBMC так как AB = ВС — сто- I /\l 1
роны равностороннего △ АВС и \ //\ I /
углы, прилежащие к ним равны:
Z ABD = Z МВС — по построе- \~~/
нию,
Z ВАМ = ZBCM — как впи
санные, опирающиеся на одну иРис. 153
ту же дугу ВМ. Тогда BD = ВМ
и AD = MC. А так как в △ BMD ZBMD = 60° (опирается на дугу в 120°), то DM = ВМ.
Теперь BM + MC=DM + AD и ВМА- МС = АМ.
Так как квадрат и прямоугольник вписаны в одну и ту же окружность, то условие задачи, очевидно, равносильно такому: доказать, что из всех прямоугольных треугольников, вписанных в данную окруж-
ность, наибольшую сумму катетов имеет равнобедренный прямоугольный треугольник.
В такой редакции задача по содержанию сходна с задачей 630 и решения их могут быть очень близки.
Рис. 154Рис. 154Однако мы дадим различные решения: в решении задачи 630 будет использовано г. м. т., из которых данный отрезок виден под данным углом, задача 629 будет решена без ссылки на это г. м. т.
Рис. 154
Рис. 154
В данную полуокружность впишем равнобедренный прямоугольный треугольник ЛОВ (рис. 154). Затем, взяв на полуокружности произвольную точку D, соединим ее с точ
ками А и В. Получим прямоугольный треугольник ADB. Докажем, что АО + OB > AD + DB. Продолжим АО на отрезок ОЕ = АО; точка О одинаково удалена от точек А, В, Е; значит,эти точки лежат на окру ж- ности с центром в точкеЛ
О и радиусом АО. Про- / U должим AD до пересече- /\\
ния с этой окружностью/ |\
Рис. 155Рис. 155в точке С, которую соединим с В. ZE = 45°, что следует из построения, тогда и ZC = 45°, как вписанный, опирающийся на ту же дугу, что и Z Е, значит, △ BDC — прямоугольный равнобедренный, BD = DC; ЛЕ — диаметр, АС — хорда той же
Рис. 155
Рис. 155
окружности, следовательно, АЕ>АС, или АО +
+ ОВ> AD + DB.
Пусть равнобедренный △ АВС и треугольник ADC (рис. 155) такие, что у них основание АС — общее и углы при вершинах равны (ZB= ZD). Значит, эти
треугольники можно рассматривать вписанными в сег-
мент, вмещающий данный угол и построенный на отрезке АС. Докажем, что Рдвс> Рапс-
Продолжим АВ за точку В на отрезок BF=AB = BC и AD на отрезок DE = DC. Соединим точки F и Е с точкой С.
/ АВС — внешний к равнобедренному △ FBC, значит, ZF = ^ ZABC, по той же причине ZE = ^ ZADC, отсюда ZE= ZF.
Точки А, С, F одинаково удалены от В, поэтому лежат на окружности с диаметром ABF. Эта окружность пройдет и через точку Е, так как отрезок АС виден из точек F и Е под равными углами. ABF — диаметр, ADE — хорда, значит, АВ + BF> AD + DE.
Используя то, что BF = ВС и DE = DC и прибавляя к обеим частям неравенства по АС, получим: АВ + + ВС + АО AD + AC + DC, или Рдве > Рапс-
Д АХВХС — правильный (рис. 156), так как ZC= = 60° (Д ЛВС — равносторонний) и АХС = СВХ = ^ АВ.
Пусть точка О — центр окружности, описанной около Д АХВХС, тогда ОАХ = ОВХ = ОС, поэтому Д АХОВХ = = Д АХОС = Д ВХОС (по трем сторонам), следовательно, ZBXAXO = 30°, значит, ОАХ является в равностороннем треугольнике АХВХС биссектрисой, а поэтому и высотой, т. е. АХО ± ВХС.
В треугольнике АВС; С, Л! — средняя линия, значит, СХАХ || АС, поэтому АХО ± Л^, т. е. АХСХ — касательная к окружности.
ZCKA (рис. 157) измеряется ^ о КтА (угол, составленный касательной и хордой).
ZCBK измеряется .^ ^F + v AE (уг0Л с вершиной
внутри круга).
kj KF + kj AE = k^ Km А, так как kj AE = kj FmA = = 90°, значит, ZCKA= ZCBK, t. e. KC = CB.
Рис. 158Рис. 158Пусть АВСВ\рис. 158)— один из вписанных прямоугольников, его диагонали АС = = BD — диаметры круга. Середины сторон четырехугольника ABCD соединены и получен четырехугольник KLMN. Докажем, что KLMN — ромб.
Рис. 158
Рис. 158
В △ ABC*. KL —средняя. линия, значит, KL = ~ ДС, т. е.
половине диаметра круга. Аналогично докажем, что каждая из сторон четырехугольника KLMN равна половине диаметра круга. Значит, KLMN — ромб, его периметр 4KL = = 4. 1 ДС = 2 АС.
1) Если Р совпадает с С —концом дуги АС, тогда точка К тоже совпадает с точкой D и РК = CD = СВ.
Если точка Р совпадает с точкой А, тогда и точка К совпадает с точкой А и РК = 0, расстояние от А до АВ тоже
равно 0.ДD
Пусть теперь точ-Рис. 159
ка Р находится между
А и С (рис. 159). Расстояние от Р до АВ определяется длиной PM (РМ ± АВ>.
Соединим точку А с точками Р и К. Докажем, что А АМР = А АРК.
ZKDA измеряется -^ w АпК (ZKDA — вписанный угол построенной полуокружности).
Этот же ZKDA измеряется иЛтР (центральный угол), следовательно, о АпК содержит в 2 раза большее число градусов, чем w АтР.
ZMAP измеряется ^-vj АтР (угол, составленный касательной АМ и хордой АР), a ZMAK измеряется •^w АпК (угол, составленный касательной АМ и хордой АК.) или vj АтР, но тогда ZMAK равен удвоенному ZMAP, отсюда в свою очередь следует, что ZPAK= ZMAP.
Прямоугольные треугольники АМР и АРК равны по равным острым углам МАР и РАК и общей гипотенузе АР, значит, МР = РК-
A АОС = A АХОХСХ (рис. 160), так как АС = AtCx (А АВС = A АХВХСХ), ZAOC= ZЛ1OICI, ZAOC = 2ZB, ZAXOXCX = 2ZBX. Треугольники АОС и АХОХСХ равнобедренные, значит, они равны, следовательно, АО = Я^.
N А Рис. 160Рис. 161
Пусть В —точка касания (рис. 161), а ЛЭ —произвольная секущая, проходящая через точку В; AN и DM — касательные, проведенные через А и D. Соединив точки А, В и D с центрами окружностей, получим два равнобедренных треугольника АОВ и BCD; в них Z\ = Z2, значит, Z3=Z4, поэтому ZMDB=ZBAN, следовательно, AN\\DM.
ZC2ACX = ZDXAD2 (вертикальные углы), а так как это углы вписанные (рис. 162), то w СхтС2 содержит столько же градусов, сколько и w DxnD2, а значит, и дуги, .дополняющие их до полной окружности, содержат одинаковое количество градусов; следовательно, ZKi =
= ZK^ (полуразности дуг, заключенных между их сторонами, содержат одинаковое количество градусов).= ZK^ (полуразности дуг, заключенных между их сторонами, содержат одинаковое количество градусов).Рис. 162Рис. 162Пусть две окружности внешне касаются в точке Е
= ZK^ (полуразности дуг, заключенных между их сторонами, содержат одинаковое количество градусов).
= ZK^ (полуразности дуг, заключенных между их сторонами, содержат одинаковое количество градусов).
Рис. 162
Рис. 162
центров, проведем к этимцентров, проведем к этимРис. 163Рис. 163(рис. 163). Эта точка, как известно, находится на линии ~окружностям внутреннюю
центров, проведем к этим
центров, проведем к этим
Рис. 163
Рис. 163
касательную (значит, через точку £ и к тому же перпендикулярно к OOJ и внешнюю АВ. Эти касательные пересекаются в точке С. По свойству касательных, проведенных к окружности из внешней точки, имеем АС = СЕ = ВС; следовательно, точки А, В, Е лежат на окружности с центром в точке С и диаметром АВ. А так как ее радиус СЕА_ООХ, значит, эта окружность касается ООХ.
Пусть расстояние между Л и В S км, а средняя скорость по расписанию у км/ч, тогда все расстояние поезд должен был проехать за -~ ч. Первый поезд
проехал 6 ч, пройдя 6v км, затем 2 ч простоял, а оставшийся путь (S — 6v) км проходил со скоростью 1,2 и км/ч, значит, затратил на этот путь —j-^y ч* Следовательно, на весь путь от А до 6 поезд затратил ^6 + 2 + ”y^ ) ч, что на 1 ч больше -~, т. е. имеем
первое уравнение -у+1 = 6 + 2 + ^ ^ . Второй поезд прошел до остановки (6у + 150) км и шел этот путь со скоростью у км/ч, т. е. затратил ч. Затем поезд
стоял 2 ч, а оставшийся путь (8 — 6у — 150) км шел со скоростью 1,2 у км[ч, т. е. на эту часть пути затратил S — би — 150
1,2о Ч’
„«/6о + 150 ,
Значит, на весь путь второй поезд затратил I—-h
+ 2 4Y2v) ч’ что больше — на 1,5 ч, отсюда
S . . к 6о +150 . о . S-6O- 150 второе уравнение —+ 1,5 =-Н2 4^.
Таким образом, получена система двух уравнений с двумя неизвестными. Ее решение у = 50; 8 = 600, т. е. расстояние между Л и В равно 600 км.
Скорость второго поезда 70 км/ч, первого 80 км!ч„ а расстояние АВ = 840 км.
I получит 37,5 руб., II —45 руб.
Пусть первый кран наполнит весь бассейн за х ч, а второй за у ч, тогда они вместе за час наполнят (—+ -Ц часть бассейна, а за 3-S- ч (4г4—весь \х ' у)5 \х ' у)5
,.18 { 1 . 1 \.
бассейн, т. е. -5-^— + —
Первый кран был открыт -|- ч, а в час он наполняет -^
,у
часть бассейна, значит, он всего наполнит -^ часть бассейна.
х1
Второй кран был открыт -5- ч, а в час он наполняет — dУ
часть бассейна, значит, второй кран всего наполнит ~-
часть бассейна, вместе по условию они наполнили таким 13
образом значит,
у,х_13
Зх3^18
I.L=А
х•"у18
V = a; 1 + а = -^-; 6а2-13а + 6 = 0; ах = ^\
п = — • (Л-—- (—] = —•у- 2^
“2 3 ’ U/1 2 ’ U/2 3 ’ л 2 ’3 '
Подставим полученные соотношения между х и у в урав- 1115
некие — Н— ^т^ и получим:
( xt = 9;/ х2 = 6;
I У1 = 6;I у2 = 9.
Пусть х км[ч — скорость третьего парохода, а у ч — его время на рейс от А до В, тогда расстояние от Л до В ху км. Скорость первого парохода (х + 6) км/ч, а время его (у —5) ч, ЛВ = (х + 6) • (у —5). Скорость второго парохода (х + 3) км/ч, его время (у —3) ч, а путь ЛВ = (х +3) • (у—3).
Отсюда система:
| (х + 6) • (у - 5) = хуI (х + 3) • (у - 3) = ху
Решив систему, получим х = 12, у = 15, т. е. скорость третьего парохода 12 км/ч и весь путь от Л до В он проходит за 15 ч. Расстояние равно 180 км (12 • 15 = 180).
(/ + 0,5) ч шла вторая машина до того, как ее догнала третья, (/ + 2) ч шла первая машина до того, как ее догнала третья, и/ км — расстояние, которое прошла третья машина до того момента, когда она догнала вторую машину.
40 (/ + 0,5) км — то же самое расстояние, но проделанное второй машиной. Значит, у/= 40 (/+ 0,5).
50 (/ + 2) км — расстояние, пройденное первой машиной.
у (/+ 1,5) км — расстояние, пройденное третьей машиной до того момента, когда она догнала первую машину.
Отсюда у(/ + 1,5) = 50 (/ + 2).
Получим систему:
( у/= 40 (/ + 0,5)
I у(/+ 1,5) = 50(/ + 2)
Решив эту систему, получим / = 1, значит, о = 60 км/ч. 645. I способ
Пусть S км — расстояние, х ч — время, за которое проходит это расстояние второй пешеход,
(х + 2,5) ч — время, за которое проходит это расстояние первый.
Получим уравнение:
(тГ25+4) • 3 = S’ 0ТСЮАа (тГ25+4) • 3 = L
Решив это уравнение, получим х = 5, т. е. первый пешеход проходит расстояние за 7,5 ч, второй — за 5 ч.
х км прошел второй пешеход от Л, а (х + 4) км прошел первый пешеход от В до встречи во второй раз. Тогда скорость первого пешехода х км/ч, а второго — х + 4,
км1ч‘
Первый пешеход прошел расстояние (2х + 4-+х + 4) км» второй (2х + 4 + х) км. Каждый из них затратил соответственно времени:
2х + 4 + х + 4 (2х + 4 + х) * 2,5
хх + 4
Отсюда х = 4, т. е. скорость первого пешехода 4 км/ч* 647. х км1ч — о^^^ъ первого пешехода, у км/ч —
22
скорость вторе го пешехода, тогда 6yx + 6-gt/ = 60.
Отсюда х + у = 9.
Второй пешеход задержался в В перед началом пути
на (4"~'4) 41 ВРемя мея(ДУ прибытием первого в В ./4020 \/4020\
и второго в Л равно I—ч, что меньше II ч
в два раза.
~/ 4020 \ „4020-.
Отсюда I —— 2= —, значит, 5х = 4у.
\ У~ 7*У
4.4.Рис. 164Рис. 164[ 5х = 4у Решив систему ।
4.
4.
Рис. 164
Рис. 164
CD = x, AC + BD=^—x (рис. 164).
2х,9 — х.9 — х„ 41
54 + 6 -d 60 *
Отсюда х = 4.
х км]ч — собственная скорость катера.
отсюда х = 22у.отсюда х = 22у.>4.4 'Ц-=4 х + 4 ‘ х — 44
отсюда х = 22у.
отсюда х = 22у.
Пусть х км/ч — первоначальная скорость велосипедиста, тогда
60. , 1 . 60 — х
— = 1 + з" + -х + 4 ; отсюда х = 20.
0,4х +0,05 (140-х) = 0,3- 140.
Ответ: 100 кг и 40 кг.
Пусть V, м/сек и V2 м/сек — скорости точек, 6060
тогда у сек и у сек — время, за которое каждая из них сделает полный оборот, отсюда -рр-=5. 60V) м — расстояние, которое проходит первая точка за 1 мин, т. е. за 60 сек1, 60V2 м — расстояние, которое проходит вторая точка за 1 мин, т. е. за 60 сек, отсюда 60У1 м больше 60V2 м на полный оборот, т. е. на 60 м, значит, 60/, — 60V2 = 60. Получили систему двух уравнений с двумя неизвестными:
6060
601^! — 60И2 = 60.
Решая эту систему, получим: 1^ = 4 м/сек, V2 = 3 м/сек. 653. V] = 0,9 м/сек, V2 = 0,6 м/сек.
Пусть первый велосипедист проходит всю окружность трека за х мин, а второй — за у мин. Получили систему двух уравнений:
3__ 3_ = .
. X У
Решая эту систему, получим: х=2,4; у =12.
Пусть один из велосипедистов может пройти всю окружность трека за х мин, а другой — за у мин. Получили систему:
=1; х ' у ’
|/U 2у ) U
Решая систему, получим: х=1,5; у = 3.
4 сек и 6 сек.
V, и V2 — скорости, aS — все расстояние. Получаем систему двух уравнений с тремя неизвестными:
6У, + 61Z2 = S;6У, + 61Z2 = S;2S 95V,2S 95V,2S .15К2 ’2S .15К2 ’V - S~6Ki •S. _ S .51/! 1 15К2 ’V - S~6Ki •S. _ S .51/! 1 15К2 ’S5^1S5^1112S5(S — 61/,)2S5(S — 61/,)”2 — 13 -^- + 30 = 0, откуда”2 — 13 -^- + 30 = 0, откудаSИ.SИ.Ю;Ю;vt -3-vt -3-
6У, + 61Z2 = S;
6У, + 61Z2 = S;
2S 9
5V,
2S 9
5V,
2S .
15К2 ’
2S .
15К2 ’
V - S~6Ki •
S. _ S .
51/! 1 15К2 ’
V - S~6Ki •
S. _ S .
51/! 1 15К2 ’
S
5^1
S
5^1
1
1
2S
5(S — 61/,)
2S
5(S — 61/,)
”2 — 13 -^- + 30 = 0, откуда
”2 — 13 -^- + 30 = 0, откуда
S
И.
S
И.
Ю;
Ю;
vt -3-
vt -3-
Подставим полученное значение времени (10 ч и 3 ч) во второе из составленных уравнений, получим.’у- = 15 ч.
552
При — = 3 ч — выражено числом отрицательным. Значит, первый поезд проходит все расстояние за 10 ч, а второй за 15 ч.
Велосипедист ехал со скоростью х км/ч, значит,
95
96 км он проехал за — ч-. Собирался он проезжать 96 км за (у- + 2^ ч, т. е. он должен был ехать со скоростью -^-— км/ч. Отсюда уравнение:
Решая это уравнение, получим: х=16.
Пусть скорость первого мальчика Vx м/сек, а скорость второго — У 2 м/сек, тогда 10 м первый ^10„10
мальчик пробежал за у- сек, а второй за у- сек. А так как первый стартовал на 1 сек раньше, то yjЁ7= ’ Вторая встреча произошла через 10 сек после выхода первого или через 9 сек после выхода второго, а вместе за это время они прошли двойную длину беговой дорожки, т. с. 100 м, значит, 10/. + 9/2 == = 100.
Получили систему:
10И1 + 9У2 = 100;ю ю .
Решая эту систему, получим: V, = 4, т. е. первый мальчик до второй встречи с другим мальчиком пробежал 4-10 = 40 (л/), следовательно, ему осталось до финиша 50 — 40= 1Ъ (л^).
Пусть VM — собственная скорость лодки; Vp — скорость течения реки; S — весь путь; тогда скорость по течению VM + V р, а против течения VM — VP. На путь от А до В лодка тратит -у -^у ^, а на путь от В до А
S
V Vv ч> отсюда ' Л1 т v р
VM~Vp VM + VP
Из этого уравнения найдем, что VM = 5VP.
Когда чинили мотор, лодка шла со скоростью реки 20 мин, значит, она прошла у Vp км, т. е. лодке понадобилось опять (после починки) пройти это расстояние 1ур ^vp со скоростью Vм — Vp, на что ушло -у~ = ку'"- V = ।vm vpр vp
^ТГ^)" Значит, всего из-за починки лодка потеряла 115
"3 +"ПГ = "ПГ ^’ Т- е- 25 АШК‘
Если х км/ч — скорость первой машины, то (х—10) км/ч — скорость второй машины, отсюда х>10. Первая машина затратила на путь от А до В, включая /100 , 5\100„
и остановку,Ьт-И, а вторая машина——^ ч. По
100 . 5100
условию задачи — + у < — 10 * Знаменатели положительные, значит, х2—Юх—1200 ^0, т. е. —30^х^40, а так как х>10, то 10<х^40. 662. х машин нагружает первый за час, тогда после перерыва он нагрузил 2х машин. Второй после перерыва нагрузил (х + 2) машин, а за час он нагружал -г 2 2 машин> значит, до перерыва он работал 8: Х^~=
= ж^2 (ч). Первый до перерыва работал столько же часов, а в час он грузил х машин, значит, всего до перерыва первый погрузил 2 машин. Оба до пере- (16х, „\
x + 0 + 81 машин, что на 12 машин меньше, чем 2х машин, т. е. того, что нагрузил первый после перерыва. Отсюда уравнение: "^ + 8 = 2х + 12, х = 2. Оба до перерыва нагрузили ^^ + 8=16 (машин); после перерыва первый нагрузил 2-2 = 4 (машины\ второй после перерыва 2 + 2 = 4 (машины), значит, всего нагрузили 24 машины.
I способ
Пусть каждый должен был изготовить х деталей, а э-а час V деталей, значит, все детали должны быть готовы через у дней. Второй выполнил 0,9х деталей за у дней, значит, в день он изготовлял 0,9х : -у = 0,91Л
Второй недодал 0,1х деталей, что составляет у V, л 12 I/ 20V
отсюда 0,lx = yV; х = —у-.
Если бы второй делал в час (0,9V + 3) детали, то х ,^(0,9 V+3)х
за у дней он бы изготовил р—;— деталей, что составило бы 95% задания, т. е. 0,95х.^ == 0,95х;
отсюда V = 60, а из первого уравнения х = 400.
II способ
Время работы, т. е. заданный срок: х:(0,1х: v = = 6у (ч). Второй в час делал 0,9х : 6~ = -^-х, урав- (2?\2
уу х+ 3) • 6 у = 0,95х; отзюда х = 400.
Скорость работы первой бригады в 4 раза больше, чем скорость у третьей бригады.
6 дней, 12 дней, 18 дней.
(а2 + р) (р2 + а) = а2 + р2 + а2р2;
а2р2 + а3 + Р3 + аР = а2 + р2 + а2р2;
а3 + Р3 + ар = а2 + Р2;
а + Р=— р; а-Р = р;
(а + р)3 - Зар (а + р) + ар = (а + р)2 - 2ар;
— р3 —Зу( —р) + р = р2 —2^;
р3 + р2 — 3pq — 3<7 = 0.
(Хр х2) (^1*2) + Х^Х2 = ^1 + ^2?
уЗ у 2 у2 у у уЗ у2 у2 — у2 । у2X3 + X3 = X2 + Х]Х2 + X2;
-p3-3q(-p) = p2-q;р3 + р2 — 3pq — q = 0.
По теореме Виета х1Ч-х2= — 1; х,х2 = 2ц +1 ;
х3 + х3 = 3;
(Xj + хг) (xi — х1хг + х2^ = 3>(Xj + х2) [(Xj + х2)2 — ЗХ[Х2] = 3;
2 ± /10
x!+x2=-l; xt • х2 = 36 _-1 ;
X3 + X3 = (X, + х2)3 - Зх,х2 (X, + Х2) = - 1 - ^р- (-1).
По условию сумма кубов корней данного уравнения равна — 1, поэтому:
— 1 — qi6 . (— 1) = — 1; отсюда 6 = 0.
Если х — один корень, то второй корень 2х, по теореме Виета.
х *2х~ а2-5а + 3 ' 2х2— а2-5а+3’ отсюДа _1 “ За .
Х 3(а2-5а + 3)’
(1 - За)2 _ I . „ _ 29(а2 —5а + 3)2а2-5а + 3'3'
Пусть корни х и х2, тогда х-х2 = /п2; х3 = т2; т=±]/х3; х + х2 = ^-.
з
Х1 2 * Хг 2 '
(Xj не подходит в области действительных чисел.)
- 2
672. I способ
х, • х2 = -^,IЬ
1+Х2= ~ «
'2'222-2 •-2 •с 62 — 2асс 62 — 2асааа2а2
'2
'2
2
2
-2 •
-2 •
с 62 — 2ас
с 62 — 2ас
а
а
а2
а2
II способ
Пусть Xj и х2 корни уравнения ах2 + Ьх + с = 0, тогда
ах2 + Ьх, + с = О
+
ах2 + Ьх2 + с = О
673. xf + x3673. xf + x3674. 4+4х1 х2674. 4+4х1 х211-2АЛ-А)_ 2с+ Х2 - а ч а) а ’„2 । у>_ Ь^-2ас Л2 а2 е— 63 4- ЗаЬс а3 *х| + xf b2 — Sac11-2АЛ-А)_ 2с+ Х2 - а ч а) а ’„2 । у>_ Ь^-2ас Л2 а2 е— 63 4- ЗаЬс а3 *х| + xf b2 — Sac2 2х,х22 2х,х2с2с2
673. xf + x3
673. xf + x3
674. 4+4х1 х2
674. 4+4х1 х2
11-2АЛ-А)_ 2с+ Х2 - а ч а) а ’
„2 । у>_ Ь^-2ас Л2 а2 е
— 63 4- ЗаЬс а3 *
х| + xf b2 — Sac
11-2АЛ-А)_ 2с+ Х2 - а ч а) а ’
„2 । у>_ Ь^-2ас Л2 а2 е
— 63 4- ЗаЬс а3 *
х| + xf b2 — Sac
2 2
х,х2
2 2
х,х2
с2
с2
243
Х[ + Х2 = —6
Х1 - Х2 = 1
х’х2 + х^2 = x,x2(xj + х2) = х1х2[(х, + х2)2—2xtx2
196
27 ’
]/(а + 3)2 + /(а-3)2 =| а + 31 +1 а-3 |.
1)а<—3; — а — 3 — а + 3 = — 2а;
- 3 а<3; а + 3- а + 3 = 6;
а 3; а + 3 + а — 3 = 2а.
аг +1
а4 — 2а2 + 1 4- 4а2
u V 4а22(я2+1)И _ 2|а|а (а2 + 1) а
аУ7Н=ТТ7
2|а|
1) 2 при а>0;
2) — 2 при а<0.
679.
/а(аг-2аЬ + 6Ч /а(а-Ь)г ^а^а-Й'
1) "7=-, если а >6;
680. V(yx- 1 + 1)2 + /(/х- 1 -7F =
= I /х^Т + 1I + I /х^Т- 11 = /Г=Т + 1 -- Ух^Т + 1=2.
-„I Кг + I +Ух — I . Кл:+ 1 —Кг— 1 _
Кх2-1
Кх«-1
Кх+ 1 +Кх - I
Кх + I — Кх - I
a4tfSaba4tfSab:4-d2)2 _ . = a24-624-V («2~^2)2
a4tf
Sab
a4tf
Sab
4a2b2Sab
Sab a2 4- b2 4- a2 — b2 aSab a2 4- b2 4- a2 — b2 aSaba2 4- b2 — a2 4- b2Saba2 4- b2 — a2 4- b22aZ>К1 4- x2 4-х2aZ>К1 4- x2 4-хb ’b_ a *b ’b_ a *682.682.a2 + b2+\a2-b2\
Sab a2 4- b2 4- a2 — b2 a
Sab a2 4- b2 4- a2 — b2 a
Sab
a2 4- b2 — a2 4- b2
Sab
a2 4- b2 — a2 4- b2
2aZ>
К1 4- x2 4-х
2aZ>
К1 4- x2 4-х
b ’
b_ a *
b ’
b_ a *
682.
682.
I случай: — 1<х<2. I II случай: х>2.
2 — х + х+1=х + 2; х = 1. I х — 2 + х + 1 = х + 2; х = 3.
Нет решения.
х2+4х + 4- 16 У2х + 16 = 0;
х2-4х + 4 + 8х- 16 У^ + 16 = 0;
(х - 2)2 + 8(х - 2 У^х + 2) = 0;
^x-2f + 8(V7 - УТУ = 0.
Сумма двух неотрицательных чисел равна нулю, значит, каждое слагаемое равно нулю, отсюда х = 2.
/(х-3)(х- 1) + У-(х-2)(х- 1) = Ух(х-1); х= 1; при этом все подкоренные выражения равны нулю. Других корней в этом уравнении не может быть, так как нет значения х, при котором все подкоренные выражения будут одновременно положительными.
Нет решений.
Составим систему неравенств:
х + 2^0;
х-5>0;
5 — х^О.
Общее решение х = 5.
У10 + 2 Уб" + 2 УТО+2 УТб =
= /2 + 3 + 5 + 2 /273 +2 /ГТ + 2 /3^5 =
= /(/2" + /3"+ УГ)2 = УТ + Уз" + У5".
fiq4 /2 +Кз +КТ
(Кг + Кз +/4) +Кг"(Кг + Кз +УТ)
= —У2"- 1.
1+К2
а) У5"- 1; б) 2+ Уз"; в) 3- УТ; г) 5- Уз ; д) | /«- 1 - 11; е) | У а - х - 1 - 1 |.
696.
а) х2 + УЗ" = У(1 + УЗ")2;
х2+ УЗ"= 1 + У§";
х= ± 1.
б) х2+У2-2= У(У2-1)2;
х2 + У2-2 = У2 - 1;
х= + 1.
ftQ7 V7-4/3 - V(2ч-Т^з")2 /7-4/3 • /Т+Т/з , Уг-Уз" • /г + /з1
0. 699. ]/б + /Г. 700. V5".
7П12(2 + /з)=(/3+1)2=
' 2(/б-/з" + /2 - 1)2(/з"+1)(/2-1)
_ /3+1_ (/§~+1)(/2+1)
2 (/2-1)2‘
х2 - 2х + 1 + / - 4у + 4 = 0; (х- I)2 + (у - 2)2=0; х = 1; у = 2.
(2х — I)2 + (Зу— I)2 + (4г — I)2 = 0; отсюда, так как сумма квадратов трех чисел может равняться нулю в том и только в том случае, когда каждое из них равно нулю, т. е. х = 0,5; У = у; 2 = 0,25.
I способ
Разделим каждый член данного уравнения на х2 (х в данном уравнении не равен нулю), получим: х2-5х+10-4+4 = 0; (х2+4)-5(х+|) + 10 = 0;
(1 + ^_5(х + |) + 6-0;
х + -^ = 3 X! = 1; х2 = 2;
2
х + —= 2; это уравнение не имеет действительных корней.
II способ
Умножим обе части на х, получим:
х5 — 5х4 + Юх3 — Юх2 + 4х = 0.
(х- 1)5-(х- 1) = 0; (х- 1)[(х- I)4- 1] = 0;
(х—1)[(х—1)2+1][(х—I)2—1] = 0.
х=1; х = 2; х = 0, но корень х = 0 посторонний.
4 )/2х3 - 20х2 + 12х V2- 2х2 + 5х /2 - 6 = 0;
2х УТ (2х2 - 5х У2 + б) - (2х2 - 5х /2 + б) = 0;
(2х У2 —_l) (2х2 — 5х_/2^ + б) = 0. Отсюда х1 = У2 ;
3/2/2
x-i = —^-\ х3 = —.
Можно это уравнение решить несколько иначе, введя новое неизвестное у = хУ2, тогда данное уравнение примет вид: 2/—11/+17у —6 = 0, левую часть которого разложить на множители: (2у — 1)(/ — 5у + 6) = 0.
Введем вспомогательное неизвестное: #=/х2 + 20, получим уравнение: / + z/ = 42; ух = — 7 — посторонний корень; у2 = 6, отсюда х = ± 4.
Обе части уравнения возведем в куб, воспользовавшись формулой: (а — 6)3 = а3 — д3 — ЗаЬ (а — 6). Получим: 8х + 4— 8х + 4 — 3]//64х2 — 16 • 2 = 8; х=±0,5.
Данное_уравнение приводится к квадратному относительно Ух , решив которое получим: х( = 8; х2=27.
Область допустимых значений х^0. Возведем обе части уравнения в квадрат, затем умножим обе части уравнения на 2(х + 3)(х + 4)>0 и разложим на множители полученный многочлен:
(х —2 /з)(/3 + 1)(х + 2/3- /2х) = 0.
Получим х = 2]/3, третий сомножитель положителен при любом х^0 (этот многочлен можно рассматривать как квадратный трехчлен относительно Ух).
х#=у; х#=^-; значит, а и b не нули. Получаем уравнение: а (1 — ах) = 6(1 — Ьх\ или х (а2 — 62) = = а — Ь.
а = Ь ^ 0; х —любое число, кроме -^ и у.
а = — 6; нет решения.
а =^ ± Ь; а ^ 0, 6 =/= 0, тогда х = -^^-.
При условии х±а ^ 0 имеем: х,=3а; х2= —2а.
Проверяем: За ± а ^ 0 при а =/= 0.
Ответ: хх = За; х2 = — 2а при а ^= 0.
Если а = 0, то уравнение не имеет решения.
(х — 1)(х — 2) = (а — 1) (а — 2); х2-3х + 2 = а2 - — За+ 2; х2 — Зх — а2 + За = 0; х2 —Зх+ а(3 —а) = 0; х( = а; х2 = 3 — а.
у4=У19;у4=У19;Уб=- V19.Уб=- V19.
у4=У19;
у4=У19;
Уб=- V19.
Уб=- V19.
Из первого уравнения z = 3 — х — у, это значение подставим во второе уравнение, получим: 2ху —2у— —(3 —х —у)2=4; (х2 —6х + 9) + (у2 — 4у + 4) = 0; (х-3)2 + + (у — 2)2 = 0, откуда х = 3; у = 2, а следовательно, z = —2.
714.
х-1; у = 0,5.
у = — 1; х = 0,5.
у= — 2х; х = 0; у = 0.
х = 2у; это соотношение новых корней не дает.
Первое уравнение представляет собой произведение трех сомножителей, равное нулю, отсюда xt = 0; х2=1; х3 = 2у. Значение хх не является корнем второго уравнения. Если х=1, то у=—3; если х = 2у, то у = -0,375; х = — 0,75.
716.
( (t - у) (х2 + ху + у2 - 19) = 0;
I (х + у) (х2 - ху + у2 - 7) = 0.
х = у, тогда 2х(х2 —7) = 0
| Х[ = 0; ( х2= У? ; х3 = — УТ;
I У1 = 0; 1у2=У7; \у3=-уТ.
х = — у; х4 = — У19;| х3 = У19;
х =5^ у; х #= — у; ( х2 + ху + у2 = 19; I х2 - ху + у2 = 7.
Отсюда ху = 6, значит,( х2 + 2ху + у2 = 25; f (х + у)2 = 25;t х2-2ху + у2= 1;|(х-у)2=1.
а)(х + у = 5; б) ( х + у = 5; в)|х + у=—5;
( х — у=1; 1х —у=—1; (х —у=1;
г) ( х + у = —5;
х-у= -1;
Итак, данная система имеет 9 решений.
^У^ = ^ 12х2-25ху+12^ = 0; х = ^у, 4
Х = ^У-
хЦу, (A^l^)/-^ + у2 = 1480.
±-^-У2-4у=148°; У3=±8.64; t/=±8;
если %i = 6, то У1 = 8; если х2= —6, то ih=—6.
х = у у, (-у- У2 + у У2 + у2) У -^- + у2 = 1480.
у = ± 6; Г х3 = 8; Г х4 = —8;
I Уз = 6; I у4= -6.
Введем вспомогательные неизвестные:
Г х2 + у2 = а;
I ху = Ь.
Тогда данная система примет вид:
1 5(а2-2У2) = 17а;
1 а — Ь = 7.
Решая эту систему, получим:
а, = 5;( а2 = 19,6;
6,= -2;(&2=12,6.
Теперь имеем две системы:
( х2 +у2 = 5; ( x2 + t/2=19,6;
1 ху — — 2; t xz/=12,6.
Первая из этих систем имеет 4 решения: (2; — 1), (—2; 1), (1; —2) и ( — 1; 2), а вторая не дает целых корней.
( ^i ^ 8; Г х2 == 5;
о о
1У1 = 2; 1.У2 = 2.
Заменим y^- = z, тогда z2 —22+1=0; 2=1. Получаем систему:
3* — 1.
х + у — ’
ОтсюдаОтсюдаху — 54 = х + у.
Отсюда
Отсюда
Xj = 6;( х2 = —4,5;
У\ = 12; lt/2=-9.
Напишем дроби, обратные данным:
Х + У — 1 .хуг 2 ’■ У*2 — 5•хуг 6 1
x + z _ 2. хуг 3 *
Числители дробей разделим почленно на знамена-
тели, получим:
yz 1 xz 2 ’
1 . J_ = _5 е
xz'xy 6 ’
\ yz ' ху 3 *
Сложим все три уравнения и разделим обе части уравнения на 2:
—+—+—=1.
ху xz 1 уг
с каждым из пре-с каждым из пре-хг/ = 2;xz = 3;t/2 = 6.хг/ = 2;xz = 3;t/2 = 6.Сравнивая последнее уравнение дыдущих, получим:
с каждым из пре-
с каждым из пре-
хг/ = 2;
xz = 3;
t/2 = 6.
хг/ = 2;
xz = 3;
t/2 = 6.
ху 2 ' xz 3 ’ yz 6 ’
Перемножив все эти уравнения, получим (xyzf = 36, отсюда xyz = ± 6.
Ответ:Ответ:х2= -1;У2 = — 2;22 = —3.х2= -1;У2 = — 2;22 = —3.
Ответ:
Ответ:
х2= -1;
У2 = — 2;
22 = —3.
х2= -1;
У2 = — 2;
22 = —3.
X] = 1;
91 = 2;
2i = 3;
( х2 + 2ху + у2 — ху = 4;
" I (* + у^ + ху = 2.
1 (х + yf - ху = 4;
\ x-Vy-Vxy = 2.
(х + yf + (х + у) = 6. Решим квадратное уравнение относительно (х + у).
(х + у)2 + (х + у) - 6 = 0; (х + у), = —3; (х + у)2 = 2.
Заметим, что эти два уравнения не составляют систему.
Получим систему:
[ х + ху + у = 2;( ху = 5;
1о или <, о
(х + у=— 3.1х + у=—3.
Эта система не имеет действительных решений.
I х + ху + у = 2; (ху = 0;(Х] = 2; J х2 = 0;
’ 1 х + у = 2.I х + у = 2. 1 у, = 0. I у2 = 2.
(х^-2; (x-il.
, а2 - 1 з ,
х—Л8; у = 2. В левой части первого уравнения вынести Ух, а во второй "Уу и разделить одно уравнение на другое, что возможно, так как в правой части каждого из уравнений не нули.
Сложим оба уравнения:
2х2 + 8у2 + 8ху = 200;
х2 + 4у2 + 4ху = 100;
(х + 2у)2= 100;
х + 2у = 10.
х + 2у=—10 не удовлетворяет условию задачи, так как х>0, у>0.
Теперь опять вернемся к данным уравнениям: вычтем из первого уравнения второе
2у2 + 8z2 + Syz = 50;
у2 + 4yz + 4z2 = 25;
(y + 2z)2 = 25;
y + 2z = 5, так как y>0, z>0, то y + 2z^—5.
|x + 2y=10; x+10 —4z=10; x = 4z;
[y + 2z = 5. z=l; x = 4; y = 3.
Так как y>0, то 5 —2z>0; z<2^; 0<z<2-^-.
Z( = 1; z2 = 2;
x, = 4; x2 = 8;
i/i = 3; y2=l.
Х[ = 25; у, = 36; x2 = 36; y2 = 25.
Второе уравнение умножим на 3_и сложим с первым, получим куб суммы чисел Vх и Vti> а левая часть первого уравнения — сумма кубов этих же чисел.
Левая часть первого уравнения легко раскладывается на множители: (у + 3) (х — у) = 0.
Данная система распадается на две:
f у + 3 = 0;Г х — у = 0;
4х4—3;4У4 з ♦4х4—3;4У4 з ♦1 х2 —5х + 2у2— 12 = 0 и I х2 —5х + 2у2 — 12 = 0.
4
х4—3;
4
У4 з ♦
4
х4—3;
4
У4 з ♦
1 Х[ — 2;| х2 — 3;( х8 —— 3;
ОтветМо { о \„
I У1 — 3. I у2 — 3. I Уз — 3.
Сложим все уравнения, сократим на 3, получим х, + х2 + х3 + х4 + х5 + х6 + х7 + х8 = 0, а так как х, + х2+ + х3 = 6; х4 + х5 + х6= — 3; Xt + х7 + х8= —2, то 6 — 3— —2 —х, = 0; xt= 1.
АналогичноАналогично1 + (х2 + х8 + х4) + (х5 + х6 + х7) + х8 = 0;
Аналогично
Аналогично
х2 + х3 + х4 = 9;
х5 + х6 + х7= —9.
Отсюда 1+9 —9 + х8 = 0; х8= — I.
Ответ: xv=\; х2 = 2; x3 = 3; x4 = 4; x5=—4, x6 = —3; x7 = —2; x8 = — 1.
x^l; x2 = 2; x3 = 3; x4 = 4; x5 = 0.
I способ (рис. 165)
у = x — биссектрисса 1-го и 3-го координатных углов; у = х + 3 — построенная прямая смещается влево на 3 единицы.
у = | х + 31 — все значения у = х + 3 при х < — 3 (отрицательные значения у) отображаются симметрично относительно оси ох.
II способ (рис. 166)
1)х<—3;2)х>-3;
У= — х — 3; у-х + 3.
(Рис. 167.)
(Рис. 168.)
у = х2 — парабола, проходящая через начало координат.
у = х2 —4 —парабола, все точки которой спущены на 4 единицы вниз по сравнению с у = х2 (рис. 169).
Если х2 — 4>0; х2>4; |х|>2, то у = х2 — 4, т. е.
при |х|>2; у = |х2 —4| = х2 —4.
Если х2 — 4 < 0; |х|<2; то
у = 4 — х2, т. е. у = | х2 — 4 | = 4 — х2.
(Рис. 170).
Рис. 167
(Рис. 171.)
(Рис. 172.)
(Рис. 173.)
(Рис. 174.)
х<0; у — — х — х = — 2х.
х ^ 0; у = х — х = 0.
(Рис. 175.)
у = | х + 1 | — | х — 1 | (рис. 176).
Г) х < — 1; у = — х— 1 — (— х + 1) = — х — 1 + х — 1 = —2; 2) — 1 ^х< 1; у = х + 1 — (— х+1) = х+1+х — 1 = 2х; 3) х ^ 1; у = х + 1 — (х — 1) = х + 1 — х + 1 = 2.
(Рис. 177.)
х < 2; у = — х + 2 — х + 3 = — 2х + 5;
2 ^ х < 3; у = х — 2 — х + 3 = 1;
х > 3; у = х — 2 + х — 3 = 2х — 5.
742. (Рис. 178.)
х< 1; у = 1 — х — (— х + 2) — (—х + 3); у = х — 4.
1^х<2; у = — 1 + х — (—х+ 2) — (—х + 3);
у = Зх — 6.
2^х<3; у = х— 1 — х + 2 — (— х + 3); у = х — 2.
х ^ 3; у = х — 1 — (х — 2) — (х — 3); у = — х + 4.
Рис. 169Рис. 170
Рис. 171
Рис. 174Рис. 174
Рис. 174
Рис. 174
Рис, 176
(Рис. 180.) 1) х <0, тогда у = ( — х + 1)( — х — 1) = = х2 — 1.
0^х< 1, тогда у = (— х + 1)(х — 1) = — (х — I)2.
х>1, тогда у = \х — I)2.
(Рис. 181.) 1) х < — 2, тогда у = (—х+1)(—х — — 2) = — (х — ПГх + 2^
— 2^х<1, тогда z/ = (—х+1)(х + 2) = = -(х- 1)(х + 2).
х^1, тогда у — {х— 1)(х + 2).
Рис. 178
Рис. 179рис. 180
Рис. 181
Рис. 182
Рис. 185
(Рис. 182.) 1) х<2, тогда у = 2х—1.
х > 2, тогда у = 2х + 1.
(Рис. 183.) 1) х<0, тогда у — — х2 — 1.
2) х > 0, тогда у = 1 — х2.
(Рис. 184.) 749. (Рис. 185.)
I способ (аналитический)
Так как х=#0, то х3 + 4х — 16 = 0; (х3 — 8) + (4х — 8) = 0; (х - 2) (х2 + 2х + 8) = 0; х = 2.
Рис. 186
Уравнение х2 + 2х + 8 = 0 не имеет действительных корней.
II способ (графический)
4
Преобразуем уравнение -4“+ 1 = — и построим графики функций У~ — + 1 и У~— (рис. 186). Абсциссы точек пересечения графиков дадут корни уравнения.
Так как (с — а)3 = — (а — с)3 и а —с = (Ь —с) + + (а — 6), то (6 — с)3 — [(6 — с) + (а — 6)]3 + (а — 6)3 = = -3(6-с)2(а-6)-3(6-с)(а-6)2= -3(6-с)(а - - 6)(а-с).
Выделим полный куб двучлена:
о3 + 63 + с3 — ЗаЬс = (а + б)3 + с3 — За26 — Заб2 — ЗаЬс = = [(а + 6) + с] (а2 + 2аб + Ь2 — ас — 6с + с2) — Заб(а+6+с) = = (а + 6 + с) (а2 + 62 + с2 — ab — ас — 6с).
(а + 6)3 + 3 (а + б)2 • с + 3 (а + 6) • с2 + с3-а3- 63— с3 = (а + б)3 + 3 (а + б)2 • с + 3 (а + 6) • с2 — (а3 + б3) = = (а + 6) [(а + б)2 + 3 (а + 6) с + Зс2 — а2 + ab — 62] = = (а + б) [а2 + 2аб + б2 + Зас + 36с + Зс2 — а2 + ab — б2] = = (а + 6) [Заб + Зас + 36с + Зс2] = 3 (а + 6) (аб + ас + 6с + + с2) = 3(а + 6) [а(6 + с) + с(6 + с)] = 3(а + 6)(6 + с) (а + с).
а3 + б3 + с3 = (а + б)3 + с3 — Заб (а + 6) = (а + 6 + + с) [(а + б)2 — (а + 6) с + с2] — Заб (а + 6) = — Заб (а + 6) = = Забе; а + 6 = — с.
(х + 1)(х + 7)(х + 3)(х +5) + Г5 = (х2 + 8х + 7)(х2 + + 8х+ 15)+ 15 = ^(г/ + 8)+ 15 = (у + 5)(у + 3). Но у = х2 + 8х + 7. Тогда (х2 + 8х + 7 + 5) (х2 + 8х + 7 + 3) = = (х2 + 8х + 12) (х2 + 8х + 10) = (х + 2)(х+6) • (х2+8х+10).
2^ + 2fe+i+2*+2 = 2ft(l+2 + 22) = 2%.7 делится на 7.
х3 + Зх2 - х - 3 = х2 (х + 3) - (х + 3) = (х + 3) X Х(х-1)(х+1).
Если х = 2а—1, где а —натуральное число, то (2а - 2) • 2а (2а + 2) = 8 (а - 1) а (а + 1).
(а — 1) • а(а + 1) — произведение трех последовательных натуральных чисел, это произведение делится на 6, а 8а(а+1)(а—1) делится на 48.
пУ2 — п& — п4 + 1 = п6 (а4 — 1) — (а4 — 1) = (п4 — - 1)(а8 - 1) = (га4 - I)2(n4 + 1) = (и4 + 1) (n2 + I)2 • (и2- 1)2 = = (и4 + I) (п2 + I)2 • (/г - I)2 • (п + I)2, п = 2а - 1. [(2а — I)4 + 1] [(2а — I)2 + 1]2(2а — 1 - I)2 (2а — 1 + 1)2 = = [(4а2 - 4а + 1 )2 + 1 ] (4а2 - 4а + 2)2 (2а - 2)2 • 4а2 = [(4а2 - - 4а)2 + 2 (4а2 - 4а) + 2] • 4 (2а2 - 2а + I)2 - 4 (а - I)2 • 4а2 = = 2 [2 (2а2 - 2а)2 + (4а2 - 4а) + 1] • 4 (2а2 - 2а + I)2 • 4 X X 4 (а — I)2 • а2.
(а—1)а —произведение двух последовательных натуральных чисел, значит, оно делится на 2, поэтому (а—1)2а2 делится на 4. Итак, данное выражение делится на 2 • 4 • 4 • 4 • 4, т. е. на 512.
(и — I)3 + и3 + (и + I)3 = га3 — Зп? + Зп — 1 + п3 + + n3 + 3n2 + 3n+ 1 =Зп(п2 + 2).
Зп(п2 + 2) делится на 3, остается доказать, что п(п2 + 2) делится на 3.
Если п делится на 3, то все доказано.
Если п = 36 + 1,
(36 + I)2 + 2 = 962 + 66 + 1 + 2 = 962 + 66 + 3 = 3(362 + + 26 + 1), т. е. ив случае, если п при делении на 3 дает в остатке 1, то Зп(и2 + 2) делится на 9.
Если и = 36+ 2, то (36 + 2)2 + 2 = 962 + 126 + 4 + + 2 = 962+ 126 + 6 = 3(362 + 46 + 2) делится на 3, т. е. в случае, если п при делении на 3 дает в остатке 2, Зи (и2 + 2) делится на 9.
Пусть пять последовательных чисел а —2, а — 1, а, а+1, а+ 2, где а —целое число, тогда сумма квадратов этих чисел
(а — 2)2 + (а — I)2 + а2 + (а + I)2 + (а + 2)2 = а2 —4а + 4+ + а2 — 2а + 1 + а2 + а2 + 2а + 1 + а2 +4а + 4 = 5а2 + 10 = = 5 (а2+ 2).
Чтобы 5 (а2+ 2) было квадратом целого числа, надо, чтобы (а2 + 2) делилось бы на 5, т. е. а2 + 2 оканчивалось или нулем, или 5. Тогда число а2 должно иметь крайней справа цифру 8 или 3, но нет целого числа, квадрат которого оканчивается на 8 или на 3.
Пусть даны два числа а и Ь, которые при делении на с дают остатки, равные г, тогда
а = с • q + г иb = ср + г.
Составим разность чисел а и 6: a — b = cq + r — ср — г = = cq — ср = с (д — р) — делится на с.
2а, 2Ь, где а и Ь— целые числа —два четных числа
120P+W = 2а2 + 262 = (а + ьу + (а _ 6)2
2п 4- 1 = а2 4- Ь2^г, at b — целые числа, а У= 6) 2п 4-1 __ а2 4- Ь2 __ 2 (а2 4- Ь2) _ / а 4- b \2/ а - b \2
224\ 2 )2 / *
а + b 4- с.
Можно использовать результат № 752.
Если учащиеся знакомы с делением расположенных многочленов, то можно рекомендовать разделить многочлен, стоящий в числителе, на многочлен, стоящий в знаменателе.
I способ
(х2 — 11 х + 28) (х2 — 11 х + 30) = 1680.
Обозначим х2 — Их 4- 28 через у, тогда у (у 4- 2) = 1680,
у2 4-2у - 1680 = 0.
ух = 40; У2= — 42;х2— 11x4-28= — 42;
х2- 11x4-28 = 40;х2-11x4-70 = 0;
х2 —Их—12 = 0;D<0.
х, = 12; х2= — 1.х, = 12; х2= — 1.Нет решения.Нет решения.
х, = 12; х2= — 1.
х, = 12; х2= — 1.
Нет решения.
Нет решения.
II способ
В левой части равенства — произведение четырех последовательных целых чисел.
1680 = 5 • 6 • 7 • 8, или 1680 = (-5) (-6) (-7)(-8), значит, наименьший из сомножителей х —7 = 5; xt = 12, или х — 7 = — 8; х2 = — 1.
766. (х2-5х4-4)(х2-5х4-6)4-1,001=(х2-5х4-4)24- 4- 2(х2-5x4-4)4- 1 4-0,001 =(х2-5x4-4 4- I)24-0,001 = = (х2 — 5х 4-5)2 4- 0,001 >0.
(х — у)(х4-у) = 105. Так как х и у целые положительные, то х>у, а, значит, х —у<х4-у.
х-у<УТ05~ 10.
х —у —делители числа 105, не превосходящие 10, т. е. х —у=1; х-у = 3; х — у = 5; х —у = 7.
Отсюда получаем системы уравнений:
( х-у= 1;
х 4-у =105, откуда х, = 53; у, =52.
| х-у = 3;
( х4-у = 35, откуда х2= 19; у2=16.
х-у = 5;
х4-у = 21, откуда х3=13; у3 = 8.
( х-у = 7;
( х4-у=15, откуда х4=11; у4 = 4.
( х, 4-х2 = а — 2;
Хх • х2 = — а — 3.
х2 4- х| = (х, 4- х2)2 — 2x^2 = (а — 2)2 4- 2 (а 4- 3) = а2 — 2а 44- 10 = (а- 1)24-9.
При а = 1 х^ + х^ принимает наименьшее значение.
х2 + х2 = (х, + х2)2 — 2х, • х2 = а2 — 2 (а — 1) - = (а-1)2 + 1.
Наименьшее значение ху + х2 принимает при а=1.
77ft , _ х4 + х2 + 5 _ (х2 + I)2 — (х2 + 1) + 5 _ .1.
U‘ У (х2+1)2(х2+1)2х2+1 *
+ (х2 + ^2 — это выражение представляет собой квадратный трехчлен относительно z = у-; у = 5г2 — z +
+ 1=т^-Я+^-
19 к 1 л л 111
Ут1п= 20 ПРИ ®z —у = 0; z = 0,l; отсюда 72-77=70
При х = ± 3 у имеет наименьшее значение, равное 0,95.
Пусть АВ = х (рис. 187), тогда Д£>=100 —х, а площадь равна х(100 —х).
S = х (100 - х) = - х2 + ЮОх = - (х2 - ЮОх) = = - (х2 - 2 • 50х + 2500 - 2500) = - [(х - 50)2 - 2500] = -(х-50)2+ 2500.
Smax = 2500 при х = 50, т. е. наибольшую площадь из данных прямоугольников имеет квадрат со стороной в 50 м.
Рис. 187Рис. 187Рис. 188Рис. 188
Рис. 187
Рис. 187
Рис. 188
Рис. 188
AK = BL = CM = DN = x (рис. 188), BK = CL = = DM = AN = а — х.
Нетрудно доказать, что таким образом построенный четырехугольник KLMN является квадратом, площадь которого равна х2 + (а — х)2 = у.
Рассмотрим полученную функцию и найдем ее наи
меньшее
значение
#mln = тг ПРИ х = ^> т- е- точки К» L, М и N находятся на середине сторон АВ, ВС, CD и AD, то полученный квадрат имеет наименьшую площадь.
773. а3 + ^г=(а + ^-)(а2-1+^) =773. а3 + ^г=(а + ^-)(а2-1+^) =целое число.целое число.
773. а3 + ^г=(а + ^-)(а2-1+^) =
773. а3 + ^г=(а + ^-)(а2-1+^) =
целое число.
целое число.
Например, 1) а=\\ а + -^- = 2; а9+-~з' = 2;
2) я = 2-2) я = 2-3; a+^- = 2-V3 + ^T = 2-V3q-
2) я = 2-
2) я = 2-
х2 + -^
774. ^+ 1 = ^ ..- ^
X2 Н2"
у-1= х2-
1х2
- 1
2х2
21
X25"
X2
2х2
21
Отсюда -yzy = x4;
2 = -Г~г
^у *
Решение аналогично предыдущему, т. е. сначала вычисляем у+1 и у—1, затем находим ^^ ■
Зх2 — 2 (а + b + с) х + ab + Ьс + ас = 0;
D = (a+6 + c)2 — Sab — Sbc — Зас = а2 + 62 + с2—ab — ас — bc =
777. Для того чтобы выполнялось условие данной задачи, дискриминант должен быть числом отрицательным.777. Для того чтобы выполнялось условие данной задачи, дискриминант должен быть числом отрицательным.= 0,5 (а2 — 2ab + b2 + b2 — 2Ьс + с2 + с2 — 2ас + а2) == 0,5 [(а - ЬУ + (6 - с)2 + (с - а)2] > 0.
777. Для того чтобы выполнялось условие данной задачи, дискриминант должен быть числом отрицательным.
777. Для того чтобы выполнялось условие данной задачи, дискриминант должен быть числом отрицательным.
D = (а + b + с)2 — 3 (а2 + Ь2 + с2) = = - 2а2 - 262 - 2с2 + 2ab + 2ас + 2Ьс = = — (2а2 + 2Ь2 + 2с2 — 2аЬ — 2ас — 26с) = = - [(а - 6)2 + (а - с)2 + (6 - с)2] < 0,
если из чисел а, 6 и с по крайней мере два не равны между собой.
По условию у^О. Возведем обе части равенства в квадрат, получим: ху = у2 или у(х —у) = 0.
1) у = 0, тогда х^О; 2) х = у, причем оба положительные.
По условию х^О и, кроме того, х>у.
Возведем обе части данного равенства в квадрат, получим: ху = 0.
Если х = 0, то у^0; 2) если у = 0, то х^О.
7RA 2X2 = 2ас • ( а I _ _£) _
* х 4- z (6 4- с) (а 4- 6) '\6 + с-*а + 6/
^ас, 2ас2xz 2ас
а2+с2+(а+с)6а + с’ х+г а2+с2+2ас
Зх 4™ 3 Дх Н- 2Д 4“ Вх — ВЗх 4™ 3 Дх Н- 2Д 4“ Вх — В782. Приведем к общему знаменателю правую часть данного равенства и увидим, что знаменатели дробей, стоящих в левой и правой частях, одинаковы, значит, равны и числители дробей, отсюда и найдем Д и В.
Зх 4™ 3 Дх Н- 2Д 4“ Вх — В
Зх 4™ 3 Дх Н- 2Д 4“ Вх — В
(х4-2)(х-1) -(х4-2)(х-1)’
Д + В = 3;
2А — В = 3, получим: А = 2, В=1.
Опишем окружность около данного треугольника АВС (рис. 189) и из точки С проведем: 1) медиану CD, 2) биссектрису CF, 3) высоту СК.
Продолжим CF до пересечения с окружностью в точке Е, соединим точку Е с точкой D.
Так как Z АСЕ = ZECB, то \j АЕ = \j ЕВ, а так как AD = DB, то ED ± АВ.
Точки D и К — проекции концов СЕ на АВ лежат по разные стороны от точки F во всех случаях, кроме
равнобедренного △ АВС, когда точки D, F и К совпадают.
I способ
Продолжим АВ на отрезок ВО = АВ (рис. 190). Соединим О с С.
В Д АОС: АМ = МС; АВ = ВО, значит, МВ — средняя линия, т. е. ВМ = ^ОС.
Д£)В£ = ДОВС <DB = OB; BL = BC; ZDBL = = Z о ВС = 90° + Z ОВЕ), значит, ОС = DL и ВМ = ^ DL.
II способ
Повернем Д BDL около точки В на 90° по часовой стрелке, получим Д ОВС.
АВО — прямая и АВ = ВО, значит, ВМ =у ОС=-~ DL.
1) Проведем DM\\BF (рис. 191) и продолжим BN до пересечения с MD, соединим М с F.
DB 1 АВ, МВ 1 АС, значит, ZMBD=ZBAC (углы с соответственно перпендикулярными сторонами).
Z DBF + Z АВС = 180°, но и Z MDB+ Z DBF = = 180°, значит, ZABC= ZMDB.
Рис. 190
Так как DB = АВ, то △ MDB = Д ABC, DM = = ВС = BF, следовательно, DBFM — параллелограмм и DK = KF.
Пусть Д ЛВС —искомый (рис. 192), а ВМ — высота, BL — биссектриса, ВК — медиана этого треугольника. Так как BL — биссектриса ZABC, то ZABL= ZLBC, эти углы вписанные, а значит, и и Л£ = и CL. Сое-
Рис. 192Рис. 192Соединим точку L с О прямую, параллельную OL ность в точке В.Соединим точку L с О прямую, параллельную OL ность в точке В.
Рис. 192
Рис. 192
Соединим точку L с О прямую, параллельную OL ность в точке В.
Соединим точку L с О прямую, параллельную OL ность в точке В.
диним L с центром О окружности, описанной около данного треугольника, тогда OL пересекается с АС в точке N, где AN = NC и 01ДВМ (высота). Отсюда построение.
Через данные три точки пересечения продолжений медианы (/<), биссектрисы (L) и высоты (М) с окружностью, описанной около искомого треугольника, строим эту окружность. Ее центр—О. и из точки М проведем, и пересекающую окруж-
Это та вершина треугольника, из которой проведены медиана, биссектриса и высота.
Соединим В с К. Через точку N (пересечение OL с ВК^ проведем АС ± ВМ. Треугольник АВС — искомый.
Пусть △ АВС — искомый (рис. 193), около него описана окружность. Его высоты СС1? ВВХ и ААЬ пересекающиеся в точке К» продолжены и пересекают окружность в точках D, F и Е. Соединив эти точки, получим A EDF. Докажем, что BF — биссектриса ZEFD.
ZBAE=ZBCD, как углы с соответственно перпендикулярными сторонами <CDLAB, CBLAEY значит, kJ BD = к> BE, а д тогдаZ DFB = Z BFE,
т. е. BF делит пополам ZEFD.
Аналогично доказывается, что CD — биссектриса ZFDE и ЛЕ —биссектриса ZDEF.
Построение. В условии задачи даны точки D, Е и F. Соединяем их и описываем около ADEF окружность. Проводим биссектрисы Z^DEF. Продолжая их до пересечения с окружностью, получим вершины Л, В и С искомого А ЛВС. Точка К — пересечение биссектрис Z^DFE — есть в то же время точка пересечения высот АЛВС.
Докажем для примера, что ССХ1.АВ.
ZACXC измеряется ■— ^AF + oCF + \jBD\
Из того, что ЕА — биссектриса Z DEF, следует \jAF = = vjAD, точно так же k^FC = wEC, vjBD = wBE. Отсюда ^ЛВ + ^ВС+^ВВ=^£С + ^В£+^ЛВ = 180°, значит, ZАСХС = 90°, т. е. ССХА_АВ.
Примечание. То, что BF биссектриса ZEFD, можно доказать другим способом.
/АСХС изм. у (wBO + оЛС) и ZДЛ^изм. 1 (^ВВ+^ДС). ZACXC = ZAAxCt следовательно, \_jBD + kjAC = \^ВЕ + v^AC, отсюда ^BD = xjBE. Но тогда ZDFB = ZBFE, т. е. BF — биссектриса ZEFD.
Эта задача вполне сходна с предыдущей. В анализе ее решения надо продолжить биссектрисы искомого ADEF (рис. 193) до пересечения с описанной окружностью и доказать, что FBA_ ЛС, DC У АВ и ЕА ± ВС» Построение проводится в следующем порядке:
1) строится АЛВС, 2) описывается около него окружность, 3) проводятся в нем высоты и продолжаются до пересечения с окружностью. Так будут получены вершины D, Е и В —искомого треугольника.
Соединим точку А с концами данного диаметра ВС (рис. 194), точки пересечения прямых АВ и АС с окружностью (точки D и Е) соединим с 6 и С. Получим ZBDC = ZBEC = 90° (вписанные углы, опирающиеся на диаметр), значит, в АЛВС BE и ВС —высоты, которые пересекаются в точке М, следовательно, и третья высота этого треугольника пройдет через точку М. Отсюда Л/V —высота АЛВС, т. е. ANLBC.
1) ZABD = 60° (рис. 195); ZCBDX = 60°, значит, ZDBC= ZABDX = 120°.
АВВС= АЛВВ1(ЛВ = ВВ; BC=BDX; ZABDX^ = ZDBC= 120°).
Следовательно, Лй, = CD; Z1 = Z2; MC = ND..
А ВМС = Z\BNDX (NDX = MC; BDX = BC; Z1 = Z2). Значит, BN = BM; ZNBDX= ZMBC.
ZMBC + ZDXBM = 60°; ZNBDX+ ZDxBM = 60°, T. e. ZNBM = 60°.
В A.NBM: NB = BM, ZNBM = 60°, следовательно, ZkNBM — равносторонний.
S2AL1(ABV (BC1^2\2 o
792, S,LC1\ CB)\ BC )2 по теореме
о биссектрисе внутреннего угла.
793. I способ
BKDE — параллелограмм (рис. 196), так как ВК = = DE и BK\\DE, поэтому PR\\ML, AOCN — параллелограмм, т. е. LP || RM, значит, LPRM — параллелограмм.
Z\AKD = ZxABO = = ANCD = Z\BCE по двум катетам, следовательно,
ZRCE=Z ADR,но ZADK+ + Z MDC = 90°, значит, Z MDC + Z RCE = 90°, значит, ZCMD = 90°и ZLMR = = 90°, т. е. LPRM — прямоугольник.
Так как AN = ND и ЛО || JVC, то ML = MD. Но АР = DL (из равенства пря-
моугольных треугольников ALD и АВР по гипотенузе и острому углу), значит, LM = LP, т. е. LPRM — квадрат, следовательно (обозначив АВ = a; LP = х), Sabcd • StpRM = #2 "• х2-
Проводим через точку D прямую параллельную NC до пересечения с продолжением BE в точке F. Из предыдущего следует LP = DF = RF = х, а из равенства треугольников DEF и ERC (по гипотенузе и острому углу) RE = EF = 0,5х.
Из прямоугольного △ DEF: ^У = х2 + (-$-) отсюда а2 = 5х2 и а2". х2 = 5 : 1.
Итак, SABCD : SLPRM = 5:1.
II способ
После того как доказано, что BE\\KD и ЛОЦСМ и AL = LP; BP = PR; CR = RM и DM = ML надо провести медиану BL в А АВР (рис. 197) и аналогично в треугольниках BRC, CMD и DAL, а также диагональ РМ. Затем применить способ решения задачи 798. Квадрат ABCD оказался разбитым на 10 равновеликих треугольников. Для большей ясности даем другой чертеж.
SDEF: SABC = 1 : 7 (рис. 198).
Медиана треугольника делит его на два равновеликих треугольника, поэтому (рис. 199)
$EBFD ~ ^EBD + §BDF = "2" ^ABD + "2 $DBC =
= у ^Sabd + SDBc) = "2 $abcd’
1) Соединим О с Л, В и С (рис. 200).
n\ с ^ 1 Нь е о ^ * ha . с * he ♦ о
Z1 ° ДОС- 2• ^ ВОС ~2’ °АОВ —2’ йАВС —
^ + -^; 2SABC = bhb + aha + chc.
(Рис. 201.) S1 + S2 = ^- + ^- = |(A1 + A2) = = -^ • Н = у 8ДВСО (В —высота параллелограмма); St+ + S2 = S3 + S4.
Рис. 201
Проведем диагональ BD (рис. 202) и соединим точки В и Q. 2\QAB и &ABD равновелики, так как QЛ = = AD, а вершина В—общая. Треугольники QMB hQBA — тоже равновелики (Q — общая, В А = МВ), следовательно, SAqm = 2Sabd, аналогично
Spivc = 2Sbdc, т. е. Вдул + SNcp = 2Sabcd
Проведя диагональ АС, докажем, что
Sbmn + Sqdp — 2S^5cd> тогда SpQMN - ЗЗддсд.
Сначала докажем, что ZB = a, ZC = ^ ZA = y
(рис. 203).
В aeod = ЛЕ • AD • sin А;
Q DO • ОМ • sin a ^DOM- 2’
S0FBK = BF•BK• sin B;
Q OF • OE sin p ^efo- 2’
Smolc = MC e CL • sin C; q OL • KO • sin у ^OKL—2*
°AEOD °OFBK °MOLC = о 9.9.9
°D0M °EFO °OKL
Рис. 202Рис. 202Пусть через M (рис. 204) проведены два отрезка ED^EM = MD) и какой-нибудь FN(FM^MN). Докажем, что SBDE< SBFN.
Рис. 202
Рис. 202
Проведем EP\\BD, АЕМР= /^FMD. Следовательно, Semp = SFmd и SFMD < SMEN. SBDE состоит из SBFME и $FMDt а SBFN из той же SBFME и SMEN, но так как Sfmd ^ SMEN) значит, и SBDB<,SBFN.
5
1) -/5Д = 2 (рис. 205). Пусть АВ = с, ВС = а, АВС
AC = b, CE = h, ВЕ = х.
с с2/зе с2]/з
2) SABD = —4—; значит, 8ДВС = ——
5) △ ВСЕ; если х = -^, то tg В = -уу- = С 4. с" = = /У; ZB = 60°, то ДЛ = 30°. Если х = ^-, то ZB = 30°, ZX = 60°.
1) ЛО — биссектриса ZBAD (рис. 206), значит, АВ : AD = ВО : OD = 2:1; пусть AD = х, тогда АВ = 2х.
Д ABD прямоугольный, 4х2 — х2 = 9; х=У^З; AD=V^; AB = BC = 2V”5.
A BDC; CD = /21.
803. I способ (рис. 207).803. I способ (рис. 207).
803. I способ (рис. 207).
803. I способ (рис. 207).
n2 + 2nr + г2 + m2 + 2mr + r2 = m2 + 2nni+n2; nr + r2 + mr =•
= mn; SABC = nr + mr + r2 = mn.
Воспользуемся результатом задачи № 803 и найдем площадь этого треугольника; она будет равна 60 кв. см (рис. 208).
Таким образом, 0,5ВС-ЛС = 60. (г + 5) (г + 12) = 120; где г —радиус вписанного круга. Отсюда г = 3, а катеты ЛС = 8 и ВС = 15.
Анализ. Пусть треугольник АВС построен, тогда а : СО = СО'. Ь, т. е. ab = -^-, но SABC = 5^- = с^ с * Нс
==~8"==’~2— ’ отсюда ^ = "4 ’ Те е* ^ меньше гипотенузы АВ в 4 раза, значит, задача сводится к построению прямоугольного треугольника по гипотенузе и высоте, проведенной на гипотенузу (рис. 209).
Построение. На отрезке АВ равном с строим как на диаметре полуокружность (рис. 210), а затем проводим прямую, параллельную АВ, на расстоянии, равном 0,25с. Точка пересечения этой прямой с дугой окружности и будет вершиной прямого угла. Треугольник АВС искомый.
1) Пусть М — центр вписанного, а О —центр описанного круга (рис. 211), тогда ЕМ = r, a BO = AO = R.
ZMAE = ^\ АЕ = гс^^.
ZABE = 90°-a; ZAOE = 180°-2а к^АОЕ внешний к Z^ABOY
+ а
\ ПАЕГ *2
А АОЕ; АО = ^(У8б^2аГ = sin (180°-2а) 1
. а
г sin (180°-2а) •
1) Пусть диагональ АС = 2R. Покажем, что проекции сторон AD и ВС на диагональ BD равны (рис. 212).
Рис. 213Рис. 213
Рис. 213
Рис. 213
Д AAtDoo Д АВС, так как они прямоугольные и ZADAX = ZACB вписанные и опирающиеся на одну и ту же дугу. Значит, AXD : AD = ВС : АС, отсюда
(1)(1)A1D = ^^
(1)
(1)
Д ВССХ со Д ADC, так как они оба прямоугольные и ZCXBC=ZDAC, значит, BCV: ВС = AD : АС,
отсюда
6С, = ^с.(2)
Из (1) и (2) следует, что AXD = BCV
Д CDM со Д АВМ (рис. 213), так как они оба прямоугольные и ZCDM = = Z АМ В, так как каждый
из этих углов в сумме срис. 214
ZCMD равен 90° VZAMD пря
мой), значит, ВМ'. АВ = CD ". СМ, отсюда ВМ • СМ = = АВ • CD.
1) MN\\BO ЦСО], так как все три прямые перпендикулярны к ВС (рис. 214).
Д АК.Е со Д АСОЬ а так как AOv = COt, то АК=КЕ.
Д АКР со Д АВО, так как АО = ВО, то АК = КР. Из 2) и 3) следует, что КР = КЕ.
I способ (рис. 215).
5двс = SDgc> значит, 8Дво = Soco*
ox ^ODC _ 00 _ ^AOD . о2 — СО .С
сПЛ 9’ ^ODG ^ВОС * ^AOD» ^ODC —
6ВОС^АВО
= У5ЗД. $abcd — Sj +52 + 2УЗЗД ^УЗДУ^-
II способ
Пусть ОЕ = h{\ OF = h2\ ВС — а\ AD = b.
n\ с ^а. A-b^ ^h\-V h^ ah\ 4- ah^ + bh\ + bh^ ^ABCD —22*
Q\ Q ^^1 , Q bH^
A BOCco A AOD, значит, -т^-г"» «h2 = bhx.
Умножим обе части равенства ah2 = bhx сначала на ah2, а потом на bhv;
(а/г2)2 = abh^ ah2 = Vabhxh2 = 1/2S, • 2S2 =
= 2 ys,.S2;
bhx = 2 VS! • S2.
ex c 2S[ + 2}^5^2 + 2 \TS]S2 + 25г c 1
W °ABCD~2O|
+ 2 Узд + s2 = (Уз? + У5Г)2.
1) SABcd = -^- -(Л + /0(рис.216).
ЛВОС ^ A AOD; ^ = -^; h = —.
ox e° +6 (н A_bH\ Н(а + ьу
ЗДо = ^--^+—)=•
ДХ T _ aH . SABCD _ ^a + 6)2
} ^A0D 2 ’ SA0Q a^ ‘
Пусть О — пересечение медиан (рис. 217). BLVLAC; OK LAC’, OMLBC; ОК = у; ОМ = х.
1) А ОКВ^ ABBXLV: ^- = у!
ОК = у; BLX = N\ SABC = ^.
2) Аналогично SABC =
ССх = с (рис. 218).
А АССХ со ААВХВ: ^- = 4.
А ВССХ со А ВААХ: 44- = -. '1 Ad а
q^ v4C । ВС с । с е с । с e 1 1 । 1
"АВ"*"АВ — "a^"b' 1 — Т'Т • ~с~ Т^Т'
На основании полученного в предыдущей задаче результата имеем (рис. 219):
AD AB 3
Рис. 219Рис. 219-DG = BC =— (теорема о биссектрисе внутреннего угла треугольника); АЕ : ЕС = АВ2: ВС2, значит, АЕ : ЕС = 9 : 1 (рис. 220).
Рис. 219
Рис. 219
Рис. 220
О — пересечение диагоналей (рис. 221). Через точку О проведем KL || AD. Из подобия △ ABD и Z^KBCh
рассекаются BC\\KL\\DAрассекаются BC\\KL\\DAКО ВК m
рассекаются BC\\KL\\DA
рассекаются BC\\KL\\DA
AD АВ *
Из подобия △ ACD и △ COL:
CD AD • w
В К CL/1Х /пхКО OL~Ab~~CD' значит> из (О и (2) следует -55 = ^5 >В К CL/1Х /пхКО OL~Ab~~CD' значит> из (О и (2) следует -55 = ^5 >т. р.т. р.Проведем через точку О и М — точку пересечения продолжений боковых сторон — прямую, пересекающую ВС в точке Е и AD в точке F. Стороны угла AMD а пропорциональные отрезки
В К CL/1Х /пхКО OL
~Ab~~CD' значит> из (О и (2) следует -55 = ^5 >
В К CL/1Х /пхКО OL
~Ab~~CD' значит> из (О и (2) следует -55 = ^5 >
т. р.
т. р.
KO = OL. (Это также следует из решения задачи 814). Пучок прямых МА, MF, MD рассекает параллельные прямые ВС, KL, AD на пропорциональные отрезки:
AFКОBE
-ррг => а так как КО = OL, то ВЕ = СЕ и
Г ULtСу С
AF = FD. Прямая ОМ проходит через середины оснований трапеции.
s s
По условию -^2A— оос (рИС- 222).
^ODC ^AOD
SB0CBOS0DCОС
■ Q = 7777", -q= -57г > следовательно, в треуголь-
^ODCUUAODAU
никах ВОС и AOD т^^^) и к тому же Z ВОС =
е. ABCD — трапеция.е. ABCD — трапеция.
е. ABCD — трапеция.
е. ABCD — трапеция.
= ZAOD, значит, £х ВОС оо Z\ АОD, тогда ZOBC =
= Z ODA, отсюда ВС || AD, т.
A ADC со Д ВЕС (прямоугольные и С — общий угол, оПо\ AC CD
рис. 223); -^- = -gy, т. е. стороны, заключающие общий угол С, пропорциональны, значит, А АВС со A DEC.
I способ (рис. 224)
A KFN со A AFC-, АС = 3; MN = 1,5; KN = 0,75; AC ;RN= = AF:KF = ^; 0,75 = 4:1; отсюда АК: AF=S: 4.
A AKD; AD=\,5; /СО = 0.5BD = 0,75 ]/3; АК найдем по теореме Пифагора: Л/< = 0,75 )/7; АК : AF=3 : 4; значит, AF = )/7.
II способ
П А КРМ^ /х лиг- FN _KN . FN _ KN
ZxKFN co A AFC, pc дс , FN + NCAC
FN 0,75г*», A c л 31^3
FN + l,& — 3 ’ F^ -°»^» AN —2 .
AF=y 1+^=V7.
1) MD — биссектриса ZAMC (рис. 225), значит, CD : AD = MC : AM; ME — биссектриса Z AMB, значит, BE : AE = BM : AM. А так как MC = BM, to CD : AD = = BE : AE, а отсюда и AC : AD = AB : AE, т. e. A ADEco co A ABC.
ААРис. 227 радиус окружности,Рис. 227 радиус окружности,
А
А
Рис. 227 радиус окружности,
Рис. 227 радиус окружности,
Из подобия рассмотренных треугольников следует: ВС : ED = АС : AD = 8:5; ВС = 16 см, значит, ED = 10 см.
AEMD; ZEMD=\№ -0,5 = = 90°, т. е. треугольник EMD прямоугольный, значит, ЕМ2 + MD2 = = ED2 = 100.
(Рис. 226.) 1) О1О2 = 6; OVO3 = 4; О2О3 = 4; значит, ВС||О,О2 и А ВСО3со А ОхО2О3 и коэффициент подобия равен 0,25. А так как ОхО2 = б, то ВС = 1,5.
В А АОхОз АО3= ^7, значит, АО3 = 0,25У7, т. е. А/< = 0,75^7.
ох о ВС-АК 9 У?" , дч
Здвс =g“ —[б~ ^к6‘ е^'
1) Пусть АО —радиус дан- пой окружности (рис. 227), a ED — который требуется найти: АО = R;
ВС = х; BD = ^ ; АВ = 2х.
A ABD; AD = ^^-
х/15 _ 2х® .2 R *’х/15 _ 2х® .2 R *’Я/154Я/154X =X =824. (Рис. 229.)BD-AD . CD-AD2"2824. (Рис. 229.)BD-AD . CD-AD2"2AC-DF2AC-DF24) Sadc4) Sadc144 V^ (^s- e^-)-144 V^ (^s- e^-)-
х/15 _ 2х® .
2 R *’
х/15 _ 2х® .
2 R *’
Я/154
Я/154
X =
X =
824. (Рис. 229.)
BD-AD . CD-AD
2"2
824. (Рис. 229.)
BD-AD . CD-AD
2"2
AC-DF2
AC-DF2
4) Sadc
4) Sadc
144 V^ (^s- e^-)-
144 V^ (^s- e^-)-
2/? : 2х = 2х : AD; AD = ^-; К
Л0 = -1|^.
△ ABD, BE — биссектриса Z ABD; 44 = 44 du LD
15/?
— ог
Проведем из центра меньшей окружности прямую ВК, параллельную касательной DF (рис. 228). В треугольнике ОВК‘. ZK = 90°, ОК = OF — KF = 2 см; ОВ = 0А +АВ = 4 см, значит, ZKBO = 30°; ZC = = ZKBO = 30°, BD=\ см, значит, ВС=2см, АС=Зсм, а из треугольника АЕС находим, что АЕ=0,5АС= 1,5 см.
Можно эту задачу решить, рассматривая подобие △ BDC и △ OFC.
О Sabd : Sadc = 3:1 =
= BD ;CD; BD;CD = 3:1.
AEBCc^>AFDC: CF : CE = CD : BC = 1 : 4; CE = = 24, значит, CF = 6, a AF = 42.
△ ADC прямоугольный; DF2=AF • FC; DF=6 /Т.
= V 16х2 - 9х2 = х /7. SADc = х2 найдем из прямоугольного= V 16х2 - 9х2 = х /7. SADc = х2 найдем из прямоугольногоРис. 231Рис. 231
= V 16х2 - 9х2 = х /7. SADc = х2 найдем из прямоугольного
= V 16х2 - 9х2 = х /7. SADc = х2 найдем из прямоугольного
Рис. 231
Рис. 231
Обозначим CD = х, тогда BD = Зх, АВ = 4х. Из пря- ^гольного треугольника ABD найдем_ AD: AD = AD-CD = xVl - к = x2VT.
222 *
треугольника ADC, в котором АС = 48, значит, х2 = 288.
825. Прямоугольные треугольники АВК и ВКС подобны (рис. 230), так как АК : ВК = = ВК : КС, значит, Р угол А равен углу К ВС, а угол С равен углу АВК, следовательно, угол АВС равен 90°.
Через точку М общей хорды EF двух пересекающихся окружностей проведены в одной окружности хорда АВ, а в другой —СО (рис. 231). Соединим А с С
и О, В с С и О. Надо доказать, что около четырехугольника ACBD можно описать окружность. АМ • МВ = = ЕМ • MF — СМ • MD по свойству хорд, пересекаю-
щихся внутри круга. Тогда в треугольниках АМС и BMD'. СМ : МВ = МА : MD и углы, заключенные между
пропорциональными сторонами, равны, значит, АхАМСсо с\э △ BMD. Отсюда ZABC= ZCDA. Проведем окружность через точки С, А и D. Эта окружность пройдет и через точку В. В самом деле, если бы точка В оказалась внутри окружности, то Z АВС должен быть больше ZADC; если вне окружности, тогда Z АВС < < ZADC. Остается одно: точка В лежит на окружности, проведенной черезРис. 232
232); DK-L АВ; СК ± ООЬ232); DK-L АВ; СК ± ООЬА, С и D.
232); DK-L АВ; СК ± ООЬ
232); DK-L АВ; СК ± ООЬ
В ZABMВ ZABM1) АМЦОО, (рис.
В ZABM
В ZABM
AM = R + r; BM = R-r; Z ABM = 90°; AB = V^R + r^-^R-rf = 2 V"Rr.
AC = CK = CB=VRr.
A ABM oo A CDK (перпендикулярность сторон), отсюда KD-.KC = AB\AM; KD = KC* ^=VRrX
2Vr7 _ w
X R-VrR + r •_
В A DKC CD = ^-^^7-^ (по теореме Пифагора).
Тогда AD = AC - CD = -2^Д-.
A ADK — прямоугольный, AK=y===r. Анало- 2RVT
гично, BK = T/ A— ■.
УЯ + г
828. (Рис. 233.)
I способ
A ABC; AB = BC=b; AC = bV2.
0,03= AC= b V2.
02В = AC = b V2 (ЛВО2С — квадрат).
02B 1 ОА-
Рис. 233Рис. 233
Рис. 233
Рис. 233
А ОхОгВ равновелик А АВО2, аА ОхОгВ равновелик А АВО2, аликликввААРис. 234Рис. 234
А ОхОгВ равновелик А АВО2, а
А ОхОгВ равновелик А АВО2, а
лик
лик
в
в
А
А
Рис. 234
Рис. 234
сх сOtO3-O2B Ь /2 -Ь /2,2,, .
Sovos> = —^=2= Ь ^Кв- ед‘^
II способ
А ОаО2В равнове- А ВСО2, значит.
Soto2o3 = b2.
829. 5дос + 5лов + + Sboc = Вдвс(рис. 234.)
Ьг , сг , аг
С1 >
^АВС
Ьг сг 2S^" + "2S^ +
■ ar -I.
«оС1 >
20 АВС
bh2 ch^ ahv ’ ^2 h3 ‘ hv ’ hx ' h2 h3 r * 830. Проведем СЕ ± AB (рис. 235).
CDEF — искомый прямоугольник, так как взяв любую другую точку К на гипотенузе, получим прямоугольник, диагональ которого СК > СЕ.
831. I случай (рис. 236)
Пусть ВС = ^2; АВ = у, тогда EO ± AC; BD ± АС; AO = OD = DC = x.
Из прямоугольного треугольника АВС:
V2 = УЗх-х
II случайПусть АВ = V2; ВС = у; получим у=1.Ответ: 2 или 1.II случайПусть АВ = V2; ВС = у; получим у=1.Ответ: 2 или 1.
II случай
Пусть АВ = V2; ВС = у; получим у=1.
Ответ: 2 или 1.
II случай
Пусть АВ = V2; ВС = у; получим у=1.
Ответ: 2 или 1.
1) AB + CD = ВС + AD (свойство сторон описанного четырехугольника), АВ = CD (рис. 238).
BE A. AD; BE = уAB(ZА = 30°).
SABCD = BC^AD • BE = AB^CD -^ab=^ AB^ Q^AB1-, AB=V^.
1) Пусть BC = a, тогда AB = 2a, АС = а"\ЛЗ (рис. 239).
Так как ДО — биссектриса ZCAB, то CD : BD = = АС: АВ = /3:2.
Si: S2 = СО2: ВО2 = 3:4, где S, — площадь многоугольника, построенного на CD, a S2 —площадь многоугольника, построенного на BD. 839. I способ (рис. 240). Пусть высота трапеции EBCF равна Нь а высота трапеции AEFD равна Н2; искомый отрезок EF = x.
Площади этих трапеций равны, значит, Sx = ^-^--Hx =
b + х у q —2л 2 — о2.
А площадь данной трапеции равна: S = —^ 6- (Hv + 772),
отсюда Нх + Я2
= 2S! . 2S2 .
а 4-х •" b 4-х ’
= S I•
— а 4- х ’ b 4- х 1
2Sа 4- b
; нх
2St
; я2
так
как S = 2S1 = 2S2,
2S2 . 2S =
6 + x * a 4- b 2S TO rr = a-Vb
2
а 4- b
1-х ‘ b 4- х ’
х
а2 + Ь2
2
II способ (рис. 241)II способ (рис. 241)
II способ (рис. 241)
II способ (рис. 241)
Н . b-а = Н_. Нх * х — а Нх ’
В
Рис. 241Рис. 242
Рис. 243Рис. 243
Рис. 243
Рис. 243
(Рис. 242.) Пусть 8дов — S^ S bqc — S2; S^oc ~ ^з» Saod = S4 и Sp S2; S3; S4 —целые числа.
q _ АО • Н2 . Q _ ОС • Н2 .
О1 -2’2’
_ ОС • Нх . о _ АО • Нх . 32 * ^2 ’’
sx.s3 = ^.ao.h2Ax
X ОС• Нх = S2’S^i
S1.S2.S3-S4 = (S1.S3)2.
(Рис. 243.) 1) BE = /3 (из △ АВЕ), ВЕ = КМ.
АВ + КМ = ВК + АМ = 2+ /3.
ох с _ВК + АМ рр_2 + УТ л/к
л) ^АВКМ —2 О£2* d‘
1) ВМ = 0,5; AF = AR; BF = BM (рис. 244).
△ АВЕ; АВ^АЕ^ВЕ2; если AK-x, то (x+0,5)2 = = 4 + (x — 0.5)2; отсюда x = 2.
AB = AF + FB = 2,5.
SABCD = ^±^-. BE = AB • BE = 5.
BMCBMCРис. 244Рис. 245Рис. 244Рис. 245
BMC
BMC
Рис. 244Рис. 245
Рис. 244Рис. 245
1) ВОД_АЕ как биссектрисы внутренних односторонних углов при BC\\AD и секущей АВ, значит, / ВРА = 90° и ZEPO = 90° (рис. 245). Аналогично можно показать, что все углы четырехугольника PEFO прямые, т. е. PEFO — прямоугольник.
^АРВ; BP = bsm^.
Д ВОС; BO = asin-J.
РО = (a-b)sin-J.
Аналогично OF = ОС — CF = = (a-6)cos|.
SPEF0 = (а- ЬУ sin ^ cos у.
1) Пусть АС = Ь, ВС — а медианы, проведенные к этим сторонам,
Е взаимно перпендикулярны, CF — третья Рис 246 медиана. Д АВО прямоугольный, значит, OF = 0,5 АВ; CF = 1,5 АВ (рис. 246).
2) Продолжим CF на отрезок EF, равный CF, и соединим точки А и В с точкой Е; получим параллелограмм АЕВС, в котором: СЕ2 + АВ2 = 2 (АС2 + ВС2), откуда АВ = дГа t— .
«Уз 2 '«Уз 2 '2)3)4)б)II2)3)4)б)IIBE = 0,5a-Vb.ЛАВЕ; АЕ = BE- ctg60'BE = 0,5a-Vb.ЛАВЕ; АЕ = BE- ctg60'AD = AE + ED = -^^-AD = AE + ED = -^^-а-У2Ь2Уз *аУз 2а+ Ьа-У2Ь2Уз *аУз 2а+ Ь2УЗ 22УЗ 2△ ACD; по теореме Пифагора: АС =△ ACD; по теореме Пифагора: АС =32 У а2 + ab + 6а32 У а2 + ab + 6аззспособспособ
«Уз 2 '
«Уз 2 '
2)
3)
4)
б)
II
2)
3)
4)
б)
II
BE = 0,5a-Vb.
ЛАВЕ; АЕ = BE- ctg60'
BE = 0,5a-Vb.
ЛАВЕ; АЕ = BE- ctg60'
AD = AE + ED = -^^-
AD = AE + ED = -^^-
а-У2Ь
2Уз *
аУз 2а+ Ь
а-У2Ь
2Уз *
аУз 2а+ Ь
2УЗ 2
2УЗ 2
△ ACD; по теореме Пифагора: АС =
△ ACD; по теореме Пифагора: АС =
3
2 У а2 + ab + 6а
3
2 У а2 + ab + 6а
з
з
способ
способ
1) Пусть ВО —радиус описанного круга; если КВ = 2, то ВО = 3, а ОК = 1 (рис. 247).
Д ЛО^С; АК = 2 ]/2, так как ЛО = 3.
ААВК; АВ = 2 УЗ.
АС: АВ^4 У2:2УЗ=-^~.
I способ (рис. 248).
А В КС; ВК = 0М КС*
Около ABCD можно описать окружность, так как ZB+ Z.D= 180° (диаметр окружности ЛС). Обозначим радиус окружности через R. Соединим точки В и D. Это будет хорда, стягивающая дугу в 120°. Из △ В DC найдем BD = У a2+ ab + Ь2, а с другой стороны BD =
n i/oпа г> 2Уа2 + аЬ + Ь2
= R У 3; вычислив R, определим AC — 2R =-=.
1) KM ± AC; ML ± BC; KMLC — квадрат (рис. 249).
Пусть ML = x; тогда BL = 5 — x; обозначим ZMBL = ^.
ABML; ctgp = ^; ctgp = -^ = |-l.
A AKM; ctga="^'* ctga= -у*; отсюда x =
1 + ctg a "
5) ctg p =-y+-|-ctg a.
Рис. 250
Рис. 249
848. 1) BK = AB = a; KO = x (рис. 250); тогда ВО =
А Е О
Рис. 251
В ОР = х + ^',4
ОС2 = (х + |)2~4. (2)
Из (1) и (2) получим: x = 0,3a; КО = 0,За; а значит,
849. I способ (рис. 251).
АЕ = а; FK = x.
А ЕКО; КО = VEK?-EO2 = У(а + х)2-а2 = = ]/2ax + х2.
3) FO = ко + KF; F0 = АО = 2a; 2a = "\/2ax + x2 + x; (2a — x)2 = (У2ах + x2)2; 4a2 = 6ax; a #= 0, x = ^-.
II способ) (рис. 252)
О A = R; O'A' = г; для нахождения точки T проводим АА'. △ АТО равнобедренный, значит, ZA= ZT. Продолжим ОТ и найдем центр О'.
Д А'О'Т равнобедренный, так как ZA'TO' = ZT и ZTA'O' = ZA (внутренние накрест лежащие углы.) Итак, О'Т = О’ А* и, значит. О' — центр искомой окружности.
В ДЛОВ ОВ = ±ОА, так как А АОВ оо А АСА' и С'А = ^АС.
Итак, ОВ = у R.
Но Д АОВ = Д MPN, так как MN = АО и ZM= ZA (углы с взаимно перпендикулярными сторонами).
Следовательно, NP = OB = ^R-
A'P = A'N + NP;
2r = R + ±R = ^.
~2R
Следовательно, г = —.
Построим хорду АВ, равную боковой стороне трапеции а (рис. 253). На АВ как на диаметре построим окружность. С центром в точке В и радиусом h проводим дугу до пересечения с построенной окружностью в точке С. Точки А и С соединим и АС продолжим до
пересечения с данной окружностью в точке D. Из В проведем BE ||AD. Трапеция ABED искомая.
(Рис. 254.) Соединим центры данных окружностей О] и О2 и точку М с центром той окружности, на которой она находится (О2).
।—- От точки М на МО2 отло-
^жим отрезок, равный ра-
”*диусу другой окружности,
Рис. 254Рис. 254и полученную точку К сое-
Рис. 254
Рис. 254
Рис. 253
дикуляр до пересечениядикуляр до пересеченияРис. 255Рис. 255диним с Ор К отрезку OtK проведем срединный перпен- с О2М в точке О3. О3М — радиус искомой окружности, а О3 —ее центр.
дикуляр до пересечения
дикуляр до пересечения
Рис. 255
Рис. 255
852. 1) Строим прямоугольный треугольник AOF по катету OF — ^Hb и гипотенузе АО=^тв (рис. 255).
) Продолжим АО до точки К на ОК = у та.
3) С центром в точке О радиусом, равным -^тС1 проводим дугу до пересечения с AF в точке С. Соединяем /< с С и продолжаем на ВК = КС. А АВС искомый.3) С центром в точке О радиусом, равным -^тС1 проводим дугу до пересечения с AF в точке С. Соединяем /< с С и продолжаем на ВК = КС. А АВС искомый.2
3) С центром в точке О радиусом, равным -^тС1 проводим дугу до пересечения с AF в точке С. Соединяем /< с С и продолжаем на ВК = КС. А АВС искомый.
3) С центром в точке О радиусом, равным -^тС1 проводим дугу до пересечения с AF в точке С. Соединяем /< с С и продолжаем на ВК = КС. А АВС искомый.
853. Анализ.
Пусть Д АВС искомый (рис. 256), в нем: АС = Ь, ВС= = аи СЕ—биссектриса, равная 1С. Построим точку Вь симметричную точке В относительно СЕ, и проведем ЕЕХ\\ВВХ,д
тогда ВхС = а и АВХ = Ь — а./Г\
Так как СЕ — биссектри- ^ /£ ^\. са, то АЕ : ЕВ = АС : BC—b : a. y/A7'"'--~ySs's. ЕЕХ\\ВВХ, значит, АЕХ : ВХЕХ =/ / /
= АЕ : ЕВ = b : а; отсюда А Е, в,с
АЕХ : ВХЕХ = Ь : а.
Задача сводится к то-Рис- 256
му, чтобы построить отрезок
АВХ = Ь — а, разделить его точкой Ех в отношении 6 к а и построить прямоугольный треугольник ЕХЕС.
bb
b
b
Построение. (Рис. 257.) 1) АС = Ь; СВх = а; значит, АВХ = Ь — а. Отрезок АВХ разделим в отношении b к а; получим: АЕХ ; ЕХВХ = b ". а.
На СЕХ как на диаметре строим полуокружность. С центром в точке С радиусом, равным 1С, проводим дугу до пересечения с окружностью в точке Е. А соединяем с Е.
Строим угол ЕСВ, равный АСЕ и сторону а. £\ АВС искомый.
Пусть FM = г, тогда FK = 2r, DE = 2г (рис. 258). Д ADF; Z FAD = 30°; AD = DF ctg 30° = г УЗ; ЕС = г УЗ;
AC = AD + DE + EC; a = 2r /3 + 2r; 2r(/3 + 1) = a.r = a = a^ ~02(/3+l)4'
855. Пусть (рис. 259).855. Пусть (рис. 259).с — гипотенуза △ АВС, АС и ВС — катетыс — гипотенуза △ АВС, АС и ВС — катеты8 АВС8 АВСАС. ВС2АС. ВС2Построим А ВСЕ = А АВС; ЕК^-АВ. А так как ЛАВЕ = 30°, то ЕК =Построим А ВСЕ = А АВС; ЕК^-АВ. А так как ЛАВЕ = 30°, то ЕК =Рис. 260856. Строим угол ABF,равный углу CBD (рис. 260).1) Из подобия треугольников ABF и BCD: AB;BD = AF; CD; AB-CD = BD- AF.Рис. 260856. Строим угол ABF,равный углу CBD (рис. 260).1) Из подобия треугольников ABF и BCD: AB;BD = AF; CD; AB-CD = BD- AF.
855. Пусть (рис. 259).
855. Пусть (рис. 259).
с — гипотенуза △ АВС, АС и ВС — катеты
с — гипотенуза △ АВС, АС и ВС — катеты
8 АВС
8 АВС
АС. ВС
2
АС. ВС
2
Построим А ВСЕ = А АВС; ЕК^-АВ. А так как ЛАВЕ = 30°, то ЕК =
Построим А ВСЕ = А АВС; ЕК^-АВ. А так как ЛАВЕ = 30°, то ЕК =
Рис. 260856. Строим угол ABF,
равный углу CBD (рис. 260).
1) Из подобия треугольников ABF и BCD: AB;BD = AF; CD; AB-CD = BD- AF.
Рис. 260856. Строим угол ABF,
равный углу CBD (рис. 260).
1) Из подобия треугольников ABF и BCD: AB;BD = AF; CD; AB-CD = BD- AF.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 3
V класс
Примеры 5
Делимость чисел9
Метрическая система мер в задачах . . . . 11
Задачиначасти 12
Задачинадвижение14
Задачинаработу21
Разныезадачи .. . 22
V—VI класс
Арифметика
Задачинасовместную работу28
Задачина движение29
Решить уравнения31
Задачинапроценты32
Задачиначасти36
Разные задачи37
Алгебра
Задачи на вычисление41
Задачи на доказательство43
Общий раздел45
Геометрия
Задачинавычисление47
Задачинадоказательство48
Задачинапостроение50
VII класс
Алгебра
Разложение на множители, сокращение дробей 53
Составление уравнений и их решение . ... —
Составление систем уравнений и их решение . 58
Задачи на доказательство60
Разное 61
Геоме три я
Задачина вычисление63
. Задачина построение64
III. Задачина доказательство67
VIII класс
Алгебра
Задачи насоставлениеуравнений71
Теорема Виета76
Радикалы 77
Уравненияи системыуравнений79
Графики. . 81
Разное—
Геометрия
Замечательные точкии линии в треугольниках 84
Подобие треугольников86
Метрические соотношения в треугольнике и круге88
Разные задачи89
Решения и ответы92
Галина Ивановна Зубелевич
СБОРНИК ЗАДАЧ МОСКОВСКИХМАТЕМАТИЧЕСКИХ ОЛИМПИАД
Редактор И. С. Комиссарова. Художник Б. Л. НиколаевХудожественный редактор Е. Н. КарасикТехнический редактор Л. Я- МедведевКорректоры К. А. Иванова, Н. М. Данковцева
Й
дано в набор 11/ХП 1970 г.Подписано к печати 27/IX 1971 г. 84Х108’/3г
^еч. л. 9,5. Усл. л. 15,96.Бумага типографская № 2. Уч.-изд. л. 13,09
Тираж 200 тыс. экз. Заказ 1069. (Тем. пл. 1971 г. № 328—70)
Издательство «Просвещение» Комитета по печати при Совете Министров РСФСРМосква, 3-й проезд Марьиной рощи, 41
Ордена Трудового Красного ЗнамениЛенинградская типография № 2 имени Евгении Соколовой ГлавполиграфпримаКомитета по печати при Совете Министров СССР. Измайловский проспект, 29.
Цена без переплета 35 коп. Переплет 10 коп.
1 Часть задач этого раздела может быть решена в IV классе,
например: № 4—28; 36—38; 50; 54; 56; 72—75; 82—84; 86—89; 92; 105;
113; 115; 127; 128; 131; 149; 150; 159; 163—168; 175—177; 184—194;
206; 312—314; 321; 323; 327; 328 и некоторые другие.
3 тт 4
рого числа равна у. Чему равна разность между у первого числа и у второго числа?
203. Доказать, что если произведение двух чисел есть число нечетное, то сумма этих чисел всегда будет числом четным.
204. Произведение двух чисел равно 23 664. Если второй сомножитель уменьшить на 4, то произведение станет равным 22 032. Каковы эти числа?
205. Частное двух чисел равно 165. Если делимое уменьшить на 143, то частное станет равным 154. Каковы эти числа?
206. В двух корзинах было поровну яблок. После того как из одной корзины продали 150 яблок, а из другой—194, в первой корзине осталось в три раза больше, чем во второй корзине. Сколько яблок было в каждой корзине?
207. Периметр прямоугольника равен 18 см. Если его длину уменьшить на 20%, а ширину увеличить на
II способ
4®5‘ 5 • 29 • 219 • З19 — 7 • 229 • З18 — 5 - 228 - 3,9 - 7 - 229 - 318
_ 229 • З18 (5 • 2 —З2) _2-1_9
228 - З18 (5-3-7-2)12“
466. Пусть недостающее число т, тогда 5(т + Зх)Х X (х+ 1) — 4(1 +2х)2 = 80. Подставим значение х = 2, получим уравнение относительно т; 5(т + 6)-3 — — 4(1+4)2 = 80; отсюда т = 6.
Kl 4- x2 (1 4- x2 4- 1 4- x2 4- 2x Ki 4- x2 )
x 4- V^l 4- x2
" /Г+х2" (24- 2x2 4-2x Kl 4-x2)
x 4- Kl 4- x2
2 V 1 4- x2 (1 4- x2 4- x Kl 4- x2 )
x 4-1^1 4- x2 1
2 Kl 4-x2 -/1 4-x2 (K"l 4-x2 4-x)2(1 4-x2)
683. Нетрудно убедиться, что все подкоренные выражения положительны, тогда
Уг+ Уз • Кг + У 2 + Уз И4- (г + У2 + УУ) == У2 + УУ Иг + Уг + УУ Кг - Уг + УУ == У2 + УУ У4-(г + УУ) == У 2 + уу • У2 - уу = уу^у = 1.
3) а = 5 + 2Уб; а + 1 = 5 + 2/б + —^ =
7«5+2/6
= 5 + 2 1/6 + 5-2^=10; а3 + -^-= 10(102-3) = = 10-97 = 970.
2) A ABD co Д BFC
AD;FC = BD; BC;
AD-BC = FC • BD.
\ СБОРНИК . \ ЗАДАЧ j \ московских /
«МАТЕМАТИЧЕСКИХ/ \ опимпидд /
Г. И. ЗУ БЕЛЕВИЧ
СБОРНИК ЗАДАЧ
МОСКОВСКИХ
МАТЕМАТИЧЕСКИХ ОЛИМПИАД (с решениями)
ПОСОБИЕ ДЛЯ УЧИТЕЛЕЙ 5 — 8 КЛАССОВ
Под редакцией К- П. Сикорского
Издание 2-е, переработанное
ИЗДАТЕЛЬСТВО «ПРОСВЕЩЕНИЕ* МОСКВА 1971
51(07)
3 91
Зубелевич Г. И.
3-91 Сборник задач московских математических олимпиад (с решениями). Пособие для учителей 5—8 классов. Под редакцией К. П. Сикорского, изд. 2-е, переработ. М., «Просвещение».
304 с. с илл.
Сборник содержит задачи, предлагавшиеся на математических олимпиадах, которые проводит Московский институт усовершенствования учителей для учащихся V—-VII классов, и задачи для учащихся VIII классов, составленные автором и частично заимствованные.
Составленный из задач, несколько повышенной трудности, сборник может служить хорошим пособием для подготовки к олимпиадам и для занятий в математических кружках.
6-5328-706-5328-7051(07)51(07)
6-5
328-70
6-5
328-70
51(07)
51(07)