ПРЕДИСЛОВИЕ

КО ВТОРОМУ ТОМУ

Этот том составляет единое целое с первым. Согласно плану, изложенному в предисловии к первому тому, глава 4 посвящена компактным пространствам, глава 5 —связным пространствам, глава 6 — локально связным пространствам и глава 7 —ретрактам, окрестпостпым ретрактам и другим родственным вопросам (например, гомотопии). Последние две главы носят более специальный характер: глава 9 посвящена некоторым проблемам разбиения сферы ^,,, связанным с понятием кого- мотоинп, а глава 10 —топологии плоскости. Глава 8, связанная с теорией групп, носит вспомогательный характер, однако некоторые изложенные в пей результаты важны с топологической точки зрения; например, представляет интерес изучение пространств, стягиваемых относительно окружности, и группы целочисленных мер, определенных на открыто-замкнутых подмножествах данного пространства.

Некоторые параграфы можно опустить без ущерба для понимания последующего. Таков, например, § 46, посвященный теории размерности и являющийся продолжением §§ 25 — 29 тома 1. Однако автор считает, что особая красота этой теории 1! используемых в ней методов является достаточным оправданием для се включения в монографию. То же относится к §51, посвященному теории кривых. Кроме того, § 48, в котором излагается теория неприводимых пространств и неразложимых пространств, в какой-то мере занимает изолированное положение в этом томе. Однако в последнее время эти вопросы приобрели интерес благодаря работам Бинга, Моиза и других (некоторые их результаты упоминаются в приложении к французскому изданию этой книги).

Английское и русское издания существенно отличаются от французского тем, что метрические сепарабельные пространства не являются в них главным объектом исследования. Они заменены (везде, где это было возможно и целесообразно) более общими топологическими пространствами. Так сделано, например, в §§ 41—44 (о компактных пространствах), написанных заново, в §§ 46, 47 (о связных пространствах), в §§ 49,

50 (о локально связных пространствах). Добавлен ряд новых утверждений в различных частях книги; приложение, имеющееся во французском издании, растворено в основном тексте.

В конце книги приводится обширный список литературы, содержащий известные монографии и учебники по топологии.

Я выражаю глубокую благодарность коллегам, помогавшим мне в подготовке этой монографии. Среди тех, которых я упоминал в предисловии к первому тому, я хочу еще раз поблагодарить Р. Эпгелькипга и пани Карлович. Я также выражаю глубокую благодарность профессорам Хилтону, Беднареку и Делеку и доктору Кпркору за цепные замечания.

Я особенно благодарен профессору М. Я. Антоновскому за большой труд, который он взял па себя, переводя этот том па русский язык. Мне хочется также выразить благодарность издательству «Мир» за издание моей «Топологии».

К. Куратовский

ГЛАВА 4

КОМПАКТНЫЕ

ПРОСТРАНСТВА

।

Компактность

Определения. Условия Бореля, Лебега, Рисса, Кантора и Больцано—Вейерштрасса. Лемма Александера. В § 5, VII, т. 1 было дано следующее определение:

Определение 1 '). Топологическое пространство Я’ называется компактным, если оно удовлетворяет следующему условию (называемому условием Бореля — Лебега)):

каждое открытое покрытие содержит конечное подпокрытие.

Другими словами, если. Л'= U G/, где Gt открыто для " t

каждого / £ Т (множество Т произвольно), то существует конечная система /ь . .., /„, такая, что Jk’=Gtl U •■■ U Gt .

Определение 2. Топологическое пространство .У называется счетно-компактным, если оно удовлетворяет условию (называемому условием Бореля)):

(Г) каждое счетное открытое покрытие содержит конечное подпокрытие.

Очевидно, что компактное пространство является счетио- компактпым, тогда как обратное неверно (это видно па примере пространства порядковых чисел а < О; см. § 20, V, 2°). Однако для метрических пространств компактность и счетная компактность эквивалентны (см. §21, IX, теорема 2).

*) Это определение по существу принадлежит П. С. Александрову и П. С. Урысопу. Эти авторы называют б и ко мп акт но стыв то, что мы называем здесь компактностью (термин «компактное пространство» использовался ими в смысле счетной или секвенциальной компактности). См. Александров и Урысои [1]. См. также Александров и Хонф [1, гл. II, § 1 ], Вьеторис [1].

Классическими примерами компактных пространств являются интервал У, куб Уп и, вообще, каждое замкнутое и ограниченное подмножество евклидова пространства У11 (см. п. VI). С другой стороны, пространство целых чисел п пространство Д действительных чисел являются, очевидно, некомпактными.

Легко видеть, что следующее условие (называемое условием Рисса [2, т. 2, стр. 21]) эквивалентно (и двойственно) условию Бореля — Лебега:

если Ft замкнуто для каждого / £ Г и П Ft = 0, то существует конечная система /ь . .., /,„ такая, что

Pt, Я ... П Ftii = 0.

Легко показать, что следующие два условия эквивалентны условию (1), а значит, и (2):

если семейство [GJ является открытым покрытием пространства -К и направленным множеством относительно включения с (т. е. для каждой пары tx и К существует такое /3, что Gt, с Gt, и Gt, с GtX то существует такое t, что

G( = 5P;

если Ft = Ft N= 0 и семейство {Fj является направленным множеством относительно включения =э (г. е. для каждой пары t\ и ^2 существует такое К, что Ft, с Ft, и Ft, с Р^, то

t

Условие Бореля (Iх) эквивалентно следующему условию Кантора [1]:_

(2х) если Fn = Fny= 0 для п = 1, 2, ... и F^K^ то

FiH Р.2П ... =# 0.

Импликация (2Х)=Ф(1Х) была выведена в § 20, V (замечание к теореме 3). Для того чтобы показать, что (Iх) ^ (2х), допустим, что предположения условия (2х) выполняются. Пусть къ ..., km— произвольная конечная система положительных целых чисел и / — наибольшее из них. Тогда /Д ["] ... П Fkm = Р] У= 0. Положим Gn = ^ — Fn- Тогда Gt^ U . •. U Gkm У= Ж, и, согласно (Iх), отсюда следует, что G[ U G2 U .. . т. е. Рх Г) Fa П • • • =/= 0.

Замечание 1. Легко видеть, что условие (4) можно следующим образом выразить при помощи логических символов:

Пусть задано семейство {ф< (х)} функций высказывания, таких, что множества Ft — E<P/(.v) замкнуты и для каждой

пары индексов tp t2 существует такой индекс ty что q^ (х)=> =$>Ф,(х) Л Ф6(х); тогда

(ОЛ УфДх) = V ЛфДх).

t XX t

Аналогично, условие Кантора можно выразить следующим образом:

Пусть задана бесконечная последовательность функций высказыванм фДх), ф2(х), .... таких, что фп(х)=>фп_,(х) и множества Ьфл(х) замкнуты; тогда

Л Уф„(х) = V ЛфЛ*)-

П Xх п

Эквивалентно: если Ф«(х)=^ ф„+1 (х) и Еф„(х) открыто, то X

Л V ф„ (х) = V Л ф„ (х).

X пп X

Замечание 2. Следующее утверждение также эквивалентно условию Кантора:

если А„ #= О для п= 1, 2, .. ., то Ls А„ =/= 0.

Действительно, Ls Ап = D^nU/lnii U (см. § 29, IV, 8).

Замечание 3. В метрических пространствах (и, более общо, в ^‘-пространствах) условие Кантора эквивалентно следующему условию Больцано — Вейерштрасса (называемому также секвенциальной компактностью; см. § 20, V):

каждая бесконечная последователеность точек р\, pz, ... содержит сходящуюся подпоследовательность; lim рк = р, где гг^оо 11

k\<k2<

иными словами,

) множество Л1 точек накопления множества А непусто при условии, что множество А бесконечно.

Замечание 4. Отметим (без доказательства), что следующие условия эквивалентны компактности '):

если {СД — трансфинитная последовательность убывающих замкнутых непустых множеств, то П Fa ^ О'»

а

’) См. Куратопскпй п Сершшекии [I, стр. 173]; Понтрягин [4, стр. 80, теорема 4]; Александров п Урысои [I, гл. I, § 2.7].

для каждого бесконечного подмножества Е прог гран- стен Л' существует точка р порядка /: (г. е. такая точка р, что для каждой ее окрестности G мы имеем G П /7 = Е).

Покажем, чТо в определении I вместо открытых множеств можно ограничиться множествами данной открытой предбазы.

В дальнейшем будет удобно называть покрытие существенно бесконечным, если оно не содержит никакого конечного покрытия пространства (следовательно, компактные пространства —это пространства, не имеющие существенно бесконечных открытых покрытий).

Л е м м а Л л е к с а и д с р а '). Пусть А — открытая, предбаза топологического пространства Л'. Предположим, что имеется существенно бесконечное открытое покрытие Л". Тогда найдется такое существенно бесконечное открытое покрытие Л’, которое содержится в А.

Док аз ателье тв о. Обозначим через ЭД совокупность всех существенно бесконечных открытых покрытий Л". По предположению ЭД Л7- 0. Покажем вначале, что ЭД обладает следующим свойством: если {Ри} — монотонная трансфинптиая последовательность (т. е. Pu с: Р ( при а < ft) элементов из ЭД, то ^U Р,,^ £ ЭД.

Очевидно, ч то UP, является покрытием Л’. Это покрытие существенно бесконечно, ибо в противном случае оно содержало бы конечное покрытие 6zi, . .., G„, и, следовательно, существовала бы конечная система индексов щ, . .., «„, такая, что G^P . Обозначим через р наибольшее из а,- (1 ^ / ^ п\ Тогда (Д^Р^ для каждого / = I, . . ., и, и отсюда следует, что Рр не является существенно бесконечным.

Из доказанного свойства ЭД следует (см. т. 1, введение, § 3, XI), что ЭД содержит максимальный элемент. Обозначим его через Р. Таким образом, если множество Н открыто и не принадлежит Р, то Р(](Н) не является существенно бесконечным покрытием; тогда существует конечная система Gb ..., Gn, такая, что

n\JGvUG.,\J ... UGn = ^ и G^P для 1=\,...,п.

Покажем, что семейство открытых множеств, не принадлежащих Р, является фильтром, т. е. ^Н и G — открытые множества)

если Щ^Р и П-,^Р, то ^Н^Н2^Р,

*) См., например, Келлн [1).

II

если Н ^Р и II с G, то G^P.

Условие Н;^Р, /=1, 2, влечет за собой (см. (8)) существование множеств Gia, ..., Ghn , таких, что

///U^/.iUG'/^U ... U «/.„^.ЗГ и Ghl£P.

Отсюда следует, что

(WiD^UUG/.^^.

поэтому (//1П^2)(Л так как Р является существенно бесконечным покрытием.

Таким образом, (9) доказано.

Пусть теперь Н^Р. Можно предположить, что (8) выполняется. Поэтому если И с G, то мы имеем

GUG,UG2U ... UG;1 = ^,

откуда следует, что G Р.

Покажем, что из (9) и (10) следует, что А П Р является покрытием ЛУ.

Пусть ХоЕ^. Так как Р есть покрытие пространства .У, то существует G^P, такое, что x0£G, а так как А есть пред- база Л', то существует конечная система Нь ..., Нп элементов А, такая, что

ХоЕ^П ... пн„^о.

Отсюда, согласно (9) и (10), следует существование такого I, что //(Е Р. Тогда х0Е Ht 6 А П Р и, следовательно, А П Р есть покрытие ^.

Наконец, поскольку покрытие Р существенно бесконечно, таким же является и покрытие А П Р.

Нормальность и другие свойства компактных пространств. Вначале докажем два элементарных свойства компактных пространств.

Теорема 1. Всякое компактное иод множество ^-пространства замкнуто.

Доказательство. Пусть множество ЛсЯ" компактно. Мы должны показать, что А* — Л открыто, т. с. что для всякой точки Ь^.Т — Л существует открытое множество G, такое, что

Е G <щ Л’ — Л.

Так как .Я является ^"Пространством, то для каждой точки х£А существует пара открытых множеств Ux и 1/Л, таких, что

b^Ux, x£Vx и UxnVx = 0.

Следовательно, семейство множеств Л П V х, где х^А, есть открытое покрытие множества Л (рассматриваемого как пространство). Так как А компактно, то существует конечное множество точек хь ..., х„, такое, что

А = (Л п Vx,) и •.. и (Л П Vx^, т. е. ЛсУХ1и и У^.

Положим G = U х П • • • П U х • Множество G открыто и

Ь^Ос.Г-А."

Теорема 2. Всякое замкнутое подмножество компактного пространства компактно.

Доказательство. Пусть F = F с Я' и [GJ, / СТ, — покрытие F, причем множества Gt открыты относительно F.

Тогда существует открытое (относительно Я”) множество Нь такое, что Gt = F П Щ. Следовательно, семейство множеств 11ц где t^T, с добавленным множеством П = Я'— F является открытым покрытием Я'. Так как Я' компактно, то существует конечная система индексов tb ..., tn, такая, что Ж = ЯО Иц U ... U/Л,,- Следовательно, F=GI1U . . . UG(a.

Теорема 3. Всякое компактное JVnpocTранет во нормально.

Эта теорема является непосредственным следствием (с применением теоремы 2) следующей леммы.

Лемма. Пусть Л и В —два компактных непересекающихся подмножества пространства Я’, и пусть R — семейство открытых множеств, такое, что для каждой пары точек а^А и b F В существует множество G^R, такое, что aFG и b^G. Тогда в R существует конечная система (ti/), где /=1, ..., k и j=V, ..., mk, такая, что■"

Лс(с!п ... пс',,)и ... u(G?n ... псу и

ВП[(сТп ... пё1,)и ... U(G?n ... пё^Л = О.

Доказательство. Пусть а £ Л —данная точка. Для каждой точки b обозначим через G ^ элемент из R, такой, что а С G (6) и b ^Я? — G (6). Так как семейство множеств ^Я' — G (й)),

где b^R, является открытым покрытием компактного множества В, то существует конечное множество (/?ь . .., ЬД где г = г(о) зависит от а, такое, что

Gc^-G^Ju •U[^ —GCM] =

= .^-[G(/h)n DG^al-

Иначе говоря, полагая

Нх (a)=G (£,), ..., НДа^ОДг) и И Н = НХИ П • • • П НДа\

получаем а С И (а) и В П Нх (а) П .. . ^НДа^О.

Следовательно, {//(tz)}, а^А, есть открытое покрытие компактного множества Л. Таким образом, существует конечное покрытие Н (аД ..., Н (аД множества А. Полагая С^НДа^ и ml = r^al\ получаем формулы (1) и (2).

Замечание I. Компактное пространство не обязано быть ни наследственно нормальным, ни совершенно нормальным.

Это вытекает из следующих утверждений:

существуют вполне регулярные ^-пространства, которые не являются нормальными (см. § 14, II);

каждое вполне регулярное ^-пространство гомеоморфио подмножеству компактного пространства (см. § 16, V, теорема 5);

каждое совершенно нормальное пространство является наследственно нормальным (см. § 14, VI).

Следствие 1. Пусть Ль ..., А,п — конечная система компактных подмножеств некоторого ЭДпространства АП. Пусть R, в соответствии с прежними нашими предположениями, — семейство открытых множеств, обладающее следующим свойством отделимости: если

ИГПЛ = О, х£Аг и y^As,

то существует G £R, такое, что

xGG и y^G.

Тогда R содержит конечное семейство R*, обладающее указанным свойством отделимости.

Доказательство. Если пг = 2, то следствие непосредственно вытекает из леммы в предположении, что R* есть семейство всех множеств G/.

Следовательно, если ЛгПЛ5 = 0, то существует конечное семейство Rr.4CLR, такое, что для каждых х£Аг и y£As существует G£Rr,s, удовлетворяющее (4).

Пусть R* — объединение всех Rr , „ таких, что ЛГПД = О; тогда R* — искомое семейство.

Следствие 2. Пусть Ж есть компактное, ^-пространство со счетной открытой базой. Тогда .Т метризуемо.

По теореме 3 пространство .^ является нормальным, а по метризационной теореме Урысоиа (см. § 22, II, теорема 1) каждое нормальное ^-пространство со счетной базой метризуемо.

Замечание 2. По определению нормальности если множества А и В замкнуты и не пересекаются, то существуют открытые пепересекающисся множества G и Н, такие, что

(5)(5)AclG и BczH.AclG и BczH.

(5)

(5)

AclG и BczH.

AclG и BczH.

Если пространство компактно, то это утверждение можно усилить следующим образом.

Следствие 3. Пусть ТЕ есть компактное Jrnpoci ранет во, и пусть В — его открытая база. Пусть, далее, Bs обозначает семейство конечных объединений элементов В. Если множества А и В замкнуты и не пересекаются, то существуют непе- ресекающиеся множества G£BS и НТВ,, удовлетворяющие (5).

Доказательство. По теореме 3 пространство Ж нормально. Следовательно, существуют открытые непересекаю- щиеся множества Go и //0, удовлетворяющие (5). Так как В — открытая база ТЕ, то существует покрытие множества А, состоящее из элементов В, содержащихся в Go, и поскольку А компактно, это покрытие можно предполагать конечным. Обозначим через G объединение элементов этого покрытия. Множество И определяется аналогично.

Следствие 4. Пусть .97 — компактное совершенно нормальное ^[-пространство. Пусть множество G открыто, а множество F замкнуто. Тогда существуют две бесконечные последовательности G[, Go, ... и Н[, Н^такие, что

GG„cC„+b Gn^Bs,

п

II

P^fVk, ^^п^ Нп^В$

(где Bs — то же, что и в следствии 3).

Доказательство. Так как .Е совершенно нормально, то G^UEMI • ... где Еп замкнуты. Определим Gn по индукции следующим образом. Так как Ft компактно, существует G^B^,

такое, что EcG) и Gxc_G. Так как Fn\JGn-.x компактно, существует Gn£Bs, такое, что (Fn U G„_|) с Gn и G„C2G. Следовательно, (6) выполняется.

Для доказательства (7) представим F в виде F = Qj П Q2 П ■ • ■, где Qn открыты. Пусть множество Пх С Bs таково, что FcHxcQx, и вообще пусть HnFB., F с Н „cQ, и Нпс.Нп_х.

Теорема 4. Если, компактное пространство имеет счетную открытую базу, то семейство множеств, одновременно замкнутых а открытых, счетно.

Доказательство. Пусть Rx, R.>, . .. — открытая база рассматриваемого пространства. Для данного открытого множества G положим G = Rk, U Rk, U •••• Если G замкнуто, то мы имеем G = Rki U . .. U Rk,t для некоторого п. Положим o(G) = = (/<щ . .., knY Так как a(G)#o(GT) при G^=GX, а множество всех конечных систем положительных целых чисел счетно, то теорема доказана.

Теорема 5. Пусть .7’ — Л U В, где Л и В компактны; тогда .7" компактно.

Доказательство. Пусть {GJ — покрытие .Т. Так как Л п В компактны, существуют две конечные системы их, ..., ип и щ, . . ., и,п, такие, что

ЛсП'^и ... UG„rj и BcG^U ... UG^.

Отсюда Л'a G,4 U ... U GUn U G^ U . . • U С„,„.

Теорема 6. (Обобщенная теорема Бэра1).) Пусть .7’ — компактное ^-пространство (или, более общо, счетно-компактное И^пространство), и пусть E = Nx\3N<z\j ..., где Nn нигде не плотны. Тогда Е является граничным множеством.

Доказательство. Пусть G — произвольное открытое непустое множество. Мы должны показать, что

G-E^Q.

Определим бесконечную последовательность открытых множеств Go, G х, ..., такую, что

G0=G и 0^Gncz Gn_x — Nn для «=1,2,....

') Чех [6, стр. 838]. Ср. Сикорский [1, стр. 256, примечание]. Ср. также § 34, IV (случай полных метрических пространств),

Доказательство проведем по индукции. Пусть /1^1. 'Гак как М„ нигде не плотно и G;i_j^O (по предположению), существует открытое множество Н п, такое, что Q=£Hn с Gn_x — Nn. Так как пространство Я' регулярно (по теореме 3), существует открытое множество G п, такое, что Q=£Gnc: Нп. Отсюда вытекает формула (9). Следовательно, по свойству Кантора (I (2')) мы имеем П 6^0. Отсюда получается (8), так как

ОО ОООО

n Gnc П (G-Nn)= G— U Nn = G — E.

п —I1л = 1

Следующее утверждение будет использовано позже.

Следствие 5. Пусть .Т — компактное совершенно нормальное <7i-пространство. Пусть В — открытая база ЯГ и А — некоторое F „множество.

Тогда существует последовательность Gb G2, . . . в В, такая, что

(И)лсио„,

UG,tc=|JG„UA

Доказательство. Положим

Л = К, U ^ U .... где Fk = Fk.

Пусть в соответствии с (7)

Л = HXV\H^ - ... где Ик открыты и /Д+1с/Д.

Следовательно, FkaHk, и, поскольку Fk компактно, существует конечная система множеств G*, . .., Gmk в В, такая, что

Fk с G? U ... U С^к и G^Ht для l^t^/zz^.

Расположим множества Gt, где ^=1, 2, ..., l^t^m^, в бесконечную последовательность Gb G2, . .. . Покажем, что условия (11) и (12) выполняются. Соотношение (11) есть прямое следствие (13) и (15).

Для того чтобы доказать (12), рассмотрим для данного к произвольное ]>к. Согласно (15) и (14),

G’i с Hj с Нк, откуда G^ с Нк

для достаточно большого п. Поэтому (G„ U G,HU . . .) с Hk и, следовательно,

П GJJG^i и ...сНу откуда П G„U G„+1 U ... с Q Hk = Л;

следует отсюда в силу соотношения (см. § 4, III (9))

Цо n = U G „ иП GnUG„ + IU ... . ппп

Замечание 3. Условия, появляющиеся в определениях ^-пространств, регулярных и вполне регулярных пространств, могут быть усилены следующим образом с помощью понятия компактности.

Если ,Т есть ^-пространство и Л, В —два непересекаю- щнхся компактных под множества пространства Л', то существуют два непересекающихся открытых множества G и Н, таких, что Лс G и В с Н.

Это следует из леммы к теореме 3.

Если Л’ регулярно, Л компактно, F замкнуто и Л П Е = О, то существует такое открытое множество G, что AcG и СПЕ = 0.

В самом деле, для каждого х^Л существует такое открытое множество Gx, что x^Gx и ОлПЕ = 0. Так как Л компактно, существуют такие Х|, . .., хп, что Л с GX] U • • • U Gx и G^U • • - U Gx„ П F = 0."

Если Л' является вполне регулярным J{-пространством, С компактно и F — такое замкнутое множество, что FE\C — Q, то существует непрерывное отображение f: Л"FJ, такое, что

f(x) = O для х£С и f(x)=l для x^F.

Доказательство. Так как пространство ,Т вполне регулярно, для каждой точки р £ С существует непрерывное отображение fp: Ж->3, такое, что /р(р) = 0 и /р(х)=1 для x^F. Обозначим через / интервал 0^/<1/2. Очевидно, семейство {/р'(^)} есть открытое покрытие С. Поэтому в силу компактности С существуют такие рх, ..., рп, что

и ... и/₽;'(/).

Положим /г(х) = min Ч₽[ (х), . .., fPn(x)j. Легко видеть, что Функция Ч определенная условием: щ-/(х) есть наибольшее из

2 Зак. |90

двух чисел h(x) — -^ и ^> является искомым отображением пространства .У в ‘J.

III. Непрерывные отображения.

Теорема 1. Образ компактного пространства при непрерывном отображении компактен.

Доказательство. Пусть пространство .^ компактно и /: У —>У непрерывное отображение на. Пусть (GJ —открытое покрытие У. Тогда {f '(G/)] есть открытое покрытие пространства У. Так как .'Г компактно, существуют /ь . .., такие, что

-т - Г (G/,) U ■ ■ • и / 4 (G/J, откуда У = G,, U • ■ • U Gt,.

Теорема 2. Каждое непрерывное отображение компактного пространства в ^-пространство есть замкнутое отображение.

Доказательство. Пусть У компактно и отображение /': У-> У непрерывно. Пусть множество ВаУ замкнуто. По теореме II, 2 множество F компактно. Следовательно, по теореме 1 множество /"(/•’) компактно и потому, согласно теореме 11, 1, замкнуто (так как “У есть ^'Пространство).

Т е о р е м а 3. Всякое взаимно однозначное и непрерывное отображение компактного пространства в ^-пространство есть гомеоморфизм.

Эта теорема следует из теоремы 2, так как всякое взаимно однозначное замкнутое отображение есть гомеоморфизм (см. § 13, XIII).

Теорему 3‘- можно обобщить следующим образом.

Пусть задано отображение f: У-> У; обозначим через В множество тех значении Д которые принимаются точно в одной точке х^У, т. е.

^BMrViB состоит из единственной точки].

Теорема 3. Пусть У компактно, У есть ^-пространство и отображение р. У—>У непрерывно. Тогда сужение i \f-'(В1) есть гомеоморфизм.

Это следует из того факта (см. § 13, XIII, теорема I), что если отображение f непрерывно и замкнуто, то для любого CczУ сужение ^="flf-1(C) замкнуто (а если С = В, то g, очевидно, взаимно однозначно),

Замечание 1. Предположение компактности пространства Я' существенно. Так, например, х-=е,х есть непрерывное взаимно однозначное преобразование пространства 0^х<2л па окружность |z|=l, не являющееся гомеоморфизмом. (См. также следствие 4а ниже.)

Более того, можно определить два не гомеоморфных пространства ПТ и У, таких, что каждое из них может быть получено из другого с помощью непрерывного и взаимно однозначного отображения ’).

Именно, пусть Д' есть объединение открытых интервалов (Зи, Зп+1) и изолированных точек вида 3/1 +2, где /1^0. Пространство У получается из ТГ заменой точки 2 на точку 1. Отображение f: ПТ->У определяется условиями: ^фф = х для х^2 и f(2)=l.

Отображение у: УПТ определяется следующим образом:

у для х еД 1,

= | Т~ ^ для 3<х<4,* х — 3 для х^5.

Теорема 4 2). Пусть ПТ — компактное ^-пространство и F — непустое замкнутое подмножество в ПТ Тогда существуют компактное П'гпространет во У, точка уй^.У и непрерывное отображение f: ЯТ-*У, такие, что ЦР^ = ^уф и f есть гомеоморфизм множества ПТ — F на множество У — (//0).

Именно, пространство У есть пространство разбиения (с фактортопологией, см. § 19, I) пространства ПТ, состоящее из множества F и одноточечных подмножеств пространства ПТ- Г.

(Следовательно, У получается из ПТ путем «отождествления» точек, принадлежащих FT)

Доказательство. Очевидно, рассматриваемое разбиение является полунепрерывным сверху (каким бы пи было ^-пространство ПГ\ т. е. для каждого замкнутого множества Л с//' объединение всех элементов разбиения, которые пересекают Л, замкнуто. Отсюда следует (по теореме 5 из § 19, 11), что нормальность ПТ влечет за собой нормальность У. Так как пространство У есть непрерывный образ ПТ (по теореме 2, § 19, И),

') См. Куратовский |2|. Но этим вопросам см. также де Гроот [3). '9 Для метрического Д' ср. с теоремой 1 из § 22, IV.

то У — компактное пространство (по теореме 1), и доказательство завершено.

Следствие 4а. Пусть .ОТ — компактное {^-пространство и G с .ОТ — открытое множество. Тогда существуют (компактное) ^-пространство У и непрерывное отображение {: У->У, такие, что f | G есть взаимно однозначное отображение G на У.

Доказательство. Пусть а £ G — фиксированная точка; положим в теореме 4

Р = (аШ.0Т-С).

Замечание 2. Обратим внимание па следующие свойства непрерывных отображений компактных пространств (или, более общо, непрерывных замкнутых отображений топологических пространств).

Пусть УТ компактно, У есть ^-пространство и f: УТ —► У — непрерывное отображение на. Справедливы следующие утверждения:

если V с^У, то V с/1Г(И|;

если Vi U П2 с У, ^'(П^ и f-I(V2) отделимы, то отделимы V] и У2-

Доказательство. (!) Мы имеем

У = ?ГХ^^^ГЧу)\, откуда Ус ЛГИ-

Но по теореме 2 f [/""' (/)| = / [/~' (V)].

Согласно (i) и § 3, III (13), мы имеем

V. п f |f^(Vi)J n V2 - f iPTvJ n Г1 (V2)].

По предположению p'(V|) П ^' (V2) = 0, следовательно, Ci П V2=0. Аналогично У1ПУ2 = 0.

IV. Прямые произведения.

Теорема 1 *). Пусть У? — произвольное топологическое пространство, и пусть пространство У компактно. Тогда проекция произведения УТ X У на УТ-ось есть замкнутое отображение УТ ХУ на УТ.

Эквивалентно: если G открыто в УТ X У, то множество Q всех точек х^УТ, таких, что (х) X У с G, открыто в УТ.

‘) Для ^’-пространств см. § 20, V, теорема 7.

Доказательство. Докажем теорему во второй формулировке. По определению топологии произведения множество G имеет вид G = U {Gt X Ht), где Gt открыты в ^, a Ht открыты t

в 2/. Пусть х0 — фиксированная точка Q, т. е. (х0) X У cl G. Тогда для каждого у£У существует индекс t{y\ такой, что (хо, l^ GGt^^ X Яну) с G. Следовательно,

Хц £ Gt (у), у £ Н t (у) и Gt (у) X Н) (у) ст G.

Так как семейство UhtirtV гДе У пробегает У, есть открытое покрытие пространства У, то существует конечная система уь • • •, Уш такая, что

'2/ = /-/,^) U №(,„).

Положим R(xo) = Gt^ П • •• П Од-/,,). Тогда Я(х0) открыто, x0ERW (согласно (1)) и, согласно (2) и (1),

^(х^Х^с^Сц,^ Х/Лд^О ... U^Gt^XHt^CLG.

Отсюда R(x0)clQ. Так как R(x0) открыто и содержит х0, из этого следует, что Q открыто.

Следствие 1а. При тех же предположениях проекция на .Т-ось Р„-множества из Ж X У есть Ра-множество в пространстве .V.

Следствие 1Ь. При тех же предположениях пусть ф(х, у) — функция высказывания, определенная на .Т X У. Тогда если множество Еф(х, у) замкнуто (соотв. типа Рф, то таковым х, у

является и множество ЕУф(х, у); если Еф(х, у) открыто х ух, у

(соотв. типа 0^, то таковым будет и множество ЕДф(х, у).

X у

В самом деле, Е Уф(х, у) есть проекция Еф(х, у) на .У-ось х ух, у

(см. § 2, V, теорема 1).

Замечание 1. В этом же направлении имеет место следующее утверждение (принадлежащее Уоллесу)1).

Пусть Я" и У— два (произвольных) топологических пространства, А и В —два компактных подмножества в УТ и У соответственно, a U — открытое подмножество в ЯХУ, содержащее Л X В. Тогда существуют два открытых подмножества G и Н пространств Я? и У, таких, что Асг G, В cl И и G X Н cl U.

В качестве приложения следствия 1Ь рассмотрим следующее утверждение.

*) См. Келли [1].

Следствие 1с. Пусть РР компактно и совершенно нормально, У — некоторое Л^-пространство и отображение f: ПР ->У непрерывно. Тогда множество В} точек х, таких, что

СС ^ x^\t (х') ^ [ (х)],

есть G^-множество.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Соглаено (3), /Д = Е Д {[/ (х) = / (х')] —> =>(х = х')}. Так как множество Е [f (х) = И-И] замкнуто (см. § 15, IV, теорема 3), то множество точек (х, х'), удовлетворяющих условию в скобках { }, является (/„-множеством (объединением открытого и замкнутого множеств). Из этого следует, что Bs также является (/„-множеством.

Замечание 2. Предположение относительно компактности У, сделанное в следствии 1а, можно заменить более слабым предположением: У есть объединение счетной последовательности компактных множеств: ^='KIUH2U ... .

Действительно, если S^/MJ/xU .. ., где Р, = Р, с ПР X У, то мы имеем

v <х, //> е s v v«.t, и> е р.^ис у,,.), у £ ?/ri, m у

откуда

Е V«x, y^Sb U )Е V «х, у^РД,х чТ *мп. m | х yi YrnJ

и для данных п и m множество в скобках { } замкнуто по теореме 1.

Замечание 3. Напомним, что проекция открытого множества есть открытое множество (каково бы ни было пространство 3/). Но проекция (/„-множества может и не быть (/„-множеством. Действительно, проекции (/„-множеств произведения У X Я являются аналитическими множествами в Я (см. § 38, IV).

Теорема 2. Пусть f: П7—>У, где У — компактное J.t-npo- странство. Отображение f непрерывно тогда и только тогда, когда множество / = E(WM) замкнуто (в .Т X 3/).

X у"

Доказательство. Необходимость этого условия была доказана в § 15, V (теорема 2), ибо У есть ^-пространство.

Для того чтобы доказать его достаточность, предположим, что F = Р а У. Мы должны показать, что /'~‘ (Р) замкнуто в ПТ. Согласно теореме 1, достаточно показать, что множество f-1 (Р) есть проекция множества / f](^' X Р) Е (у — К-^НУ € Р) на

Д'-ось. Но это следует из очевидного соотношения

l-v е /• (о) -=- (Их) е /-'1 - v (// = /(-V)) (// с /-).

v

Замечание 4. Без предположения компактности пространства .У теорема перестает 61ять верной, как показывает следующий пример: /Z’ = ,c/, У^И, /'(.v) =l/x при л-# О и /(0) = 0.

'Г е о р е м а 3. Прямое произведение Л’ X У двух компактных пространств есть компактное пространство.

Д о к а з а т е л ь с г is о. Легко видеть, что всякое измельчение существенно бесконечного покрытия есть существенно бесконечное покрытие. Так как для всякого покрытия произведения Л' X У существует измельчение, состоящее из множеств вида G X П, где G открыто в У, а // открыто в У, то достаточно показать, что каждое покрытие С = (G, X Н^ пространства У X У содержит конечное подпокрытие.

Обозначим через R семейство всех открытых подмножеств Q пространства Л1, таких, что для подходящей системы индексов 1Ь . . ., ta мы имеем

Q X ?У с= (Г7Х| X ///,) U ... U (С/„X Н(„У

Покажем, что R есть покрытие пространства Л". Пусть луС.?'. Так как (л-п)Х?/ — У и У компактно, то (ад) X У содер- жится в конечном подпокрытии покрытия С:

(ад) ХУ ci^Gp X Я/,) U ... U(G,„ X ///„).

По теореме 1 существует открытое множество Q, содержащее ад и удовлетворяющее (4). Следовательно, R есть покрытие У. Так как У компактно, то мы имеем У = Q, U • • • U Qk- Согласно (4),

Q,X:yc(GX,X///,,1)U ...^я i<k.

Следовательно, кк "/

У X У = и (Qi X У} а и и Gt. . X Hi, j.

Замечание 5. Произведение двух счетно-компактных регулярных пространств может и не быть счетно-компактным *).

Однако произведение компактного пространства и счетнокомпактного пространства есть счетно-компак тное пространство ),

Напомним, что счетное произведение счетно-компактных ^‘-пространств есть счетно-компактное пространство (§ 20, V, теорема 4).

Замечание 6. Теорему 3 можно легко распространить на произведение любого конечного числа сомножителей. Менее элементарным путем ее можно распространить, как мы покажем ниже, на произвольное число сомножителей.

Теорема 4. (Теорема Тихонова о произведении1).) Произведение 3 = П^/ компактных пространств .Tt есть компактное

ЩТ

пространство. В частности, обобщенный куб У^11 компактен при любом а.

Доказательство. Пусть Л —открытая предбаза пространства 3, состоящая из множеств (см. § 16, I (1))

6\.О = Е(^6С), где /^7 и множество GcTt открыто.

Предположим, что 3 11с является компактным. Тогда по лемме Александера (п. I) найдется существенно бесконечное покрытие U gz Л.

Обозначим через К, семейство множеств, определенных условием

GEV^^EU.

Предположим, что существует такое t ^Т, что Vt есть покрытие .^. Так как ,Т t компактно, то мы имеем

^, = Gj U • • • U Gn, где Gt £ Vt, т. е. Gt, g^U для I < п.

Согласно (5), отсюда следует, что

и ton О. = и Е (V 6 GJ = Е V ^ EG^E (V € U GJ =

ii 33

= E(Ve^j=3-

Следовательно, U содержит конечное покрытие пространства з.

Таким образом, мы можем предположить, что, каково бы ни было t ^ТVt не есть покрытие ПУ Это означает, что существует такое J £ 3, что

СЕУ^Ч0, т. е. ®t,oEU^4G.

Так как U есть покрытие пространства 3 и ^с А, то существует пара V, G), такая, что 'tE^Va^U- Но это находится в противоречии с соотношениями (5) и (8), поскольку

^^t.Q^^G. тогда как ^\,a^U=^>^G.

Следствие. Следующие свойства пространства.^ топологически эквивалентны-.

.К — вполне регулярное З^-пространство;

.V — подмножество обобщенного куба Н^а;

.К — подмножество компактного ^^-пространства.

Доказательство. Импликация (i)=>(ii) имеет место согласно § 16, V (теорема 5); (ii) =^-(iii), так как 2/К|< является компактным /^-пространством по теореме 3 и § 16, V (теорема 4); (iii)=>(i), так как всякое компактное /^-пространство является по теореме 3 и. II нормальным и, следовательно, вполне регулярным, а последнее свойство наследственно (§ 14, I, теорема 2).

Из теоремы 4 вытекает следующая ')

Теорема 5. Пусть (7’, X, И — обратный спектр (см. § 3, XIII, стр. 36), и пусть Х( компактно для каждого t^T. Тогда предел обратного спектра Lim (Г, X, f), обозначаемый также Lim (Лф ful^, компактен.

Болес того, если Xt#=0 Оля каждого t^T, то этот предел не пуст.

Замечание 7. Можно доказать следующую интересную теорему).

Каждое компактное ^-пространство есть предел обратного спектра Lim ^Рр где Pt есть симплициальный полиэдр

(см. § 28, стр. 317), а f^—симплициальное отображение Р, -*?^.

Добавим, что каждый полиэдр Pt есть нерв некоторого открытого конечного покрытия пространства ^ (см. § 28, стр. 326).

V. Компактификация вполне регулярных (/1-пространств. Компактное пространство У называется компактификацией пространства Ж, если Я' гомеоморфно всюду плотному подмножеству пространства 2/.

Например, Я и Ух являются компактификациями <f.

') Доказательство см., например, в книге: Стнпрод и Эйленберг [1, теорема 3.6].

В § 16, V (теорема 5) было показано, что для всякого вполне регулярного ,Т|-нрострапства V существует обобщенный куб Я*"- (при подходящем а), который является компактификацией .Т.

Более точно, ^t,, ^ <1>, где <1> Л/г, и требуемый гомеоморфизм V /Г >26, где '26 ^---(<7Ф)м |, определяется условием:

(!) [Да')] (q ) ~ q (л) для каждого q^'b и х£_:Г.

11оложим

(З.Г-ЙЛ.

Следовательно, ^.Т есть компактификация пространства .7’ (называемая компактификацией Стоуна — Чеха1^.

Мы увидим, что эту компактификацию можно рассматривать как максимальную (среди ^'Пространств)).

Обозначим через ргф(№) для to £ 26 проекцию to па ф-ю ось, т. е. (ем. § 3, VIII)

рг^п^пДф).

Мы имеем

рг1рД = Ф,

так как, согласно (3) и (1),

(ргф- >) (х) = рг,,. [( (л-)] - [; (х)] (ф) = ф (л-).

Формула (4) дает

Ф ^ > ' = рг(|| для каждого ф(ЕФ,

так как ф Д ' = рг,р ■ V у-' prq„ согласно § 3, III (20).

Отсюда следует

Лемма 1. Пусть отображение j: ,Т->Я непрерывно. Тогда функция рЯ"'- ^Г^^^ имеет непрерывное продолжение f; 26 >Д, а именно /* = prf.

Другими словами, отождествляя .^ с Д^’), мы имеем

fcf: 26 ->Я.

Лемму 1 можно обобщить следующим образом.

') См. Чех [(>], где приводятся многочисленные свойства 0.7"; Стоун М. |2].

См. также Уодмен [1|; Скляренко [1, стр. 36]; Эпгелькпнг [I, стр. 231]; де Фрис [I]; Скляренко н Эигелькннг [1],

Лемма 2. Пусть Т — произвольное множество, и пусть отображение f: У-АЯ'Х^ непрерывно. Отождествим У с ЦУ). Тогда мы имеем

/СГ: ^ ->^9Т\^, где Г непрерывно.

Действительно, обозначая /-го координату f через [ь мы получаем ^с/*: ЗВ—>£7, откуда следует, что составное отображение f\ Имеющее f* своей /-Й координатой (см. § 3, VIII (7)), удовлетворяет (7).

Теорема. Пусть У — вполне регулярное ^-пространство, У — компактное ^-пространство и V- У -* У — непрерывное отображение. Тогда, отождествляя У с ^^Х -мы имеем

f с g: $У->У, где g непрерывно.

Доказательство. Так как У является вполне регулярным сТрпрострапетвом, то (по теореме 3 п. II) его можно рассматривать как подмножество куба ^9T\et для подходящего множества Т. Таким образом, f: У -»(НЦ^. Применяя соотношение (7), положим ZT = 7* IР-^7- Отсюда следует, что fag. Наконец, g: [V^ -> У, так как из непрерывности g и компактности У следует, что

g (р.У) = g (У) с ^Fj = ЦУ) с У - У.

Замечание. Компактификация, определенная выше, является максимальной в следующем смысле. Для любой заданной компактификации У пространства У (где У есть ^-пространство) существует непрерывное отображение р.Т в У, которое тождественно па У.

Сказанное является по существу другой формой предыдущей теоремы. Действительно, пусть h — топологическое вложение пространства У в У и hah*-. $У->У. Отождествляя х с ИЦ), мы получим требуемое отображение ^У в У.

VL Связь с метрическими пространствами.

Теорема I. Всякое компактное метрическое пространство является полным, вполне ограниченным и сепарабельным.

Полнота компактных метрических пространств была доказана в § 33, II. По теореме I из § 21, IX каждое компактное метрическое пространство является вполне ограниченным, следовательно, сепарабельным (по теореме 3 из § 21, VIII).

Теорема 2. Полное метрическое пространство компактно тогда и только тогда, когда оно вполне ограничено.

Доказательство. Так как всякое компактное, метрическое пространство вполне ограничено (по теореме 1), то нам нужно показать, что пространство ЯГ счетно-компактно, в предположении, что Я' полно и вполне ограничено.

Пусть Л — произвольное бесконечное подмножество пространства Я’. Согласно I (3'), достаточно показать, что Л'^О.

Так как пространство Я' вполне ограничено, то мы имеем

.^ = Ft и . • • U Fm„, где Ft-Ft и Ь^<^.

Так как множество Л бесконечно, то существует последовательность /г,, /г2, . .., такая, что множества Л П F\x, ЛПЕ^.П П/цф бесконечны. По теореме Кантора о полных пространствах (§ 34, II) существует точка р, принадлежащая каждому множеству Е^ П • • • П Ft для /г = 1, 2, ... . Так как диаметр этого множества меньше 1//г, то отсюда следует, что шар с центром в точке р радиуса 1//г имеет бесконечное пересечение с множеством Л. Следовательно, р £ А4.

Замечание 1. Можно показать, что всякое некомпактное метрическое пространство гомеоморфно некоторому неполному пространству. Следовательно, метрическое пространство Я компактно тогда и только тогда, когда всякое метрическое пространство, гомеоморфное Я, является полным 1).

Следствие 2а. Подмножество пространства &"(п<$п) компактно тогда и только тогда, когда оно замкнуто а ограничено.

Доказательство. Если множество Лей9" компактно, то А замкнуто по теореме I п. II и ограничено по теореме 1 этого пункта.

С другой стороны, если множество Лей9" ограничено, то А является подмножеством некоторого куба С е Й9". Так как С компактно, то, если А замкнуто, оно компактно (по теореме 2 п. II).

Замечание 2. Всякое вполне ограниченное метрическое пространство Я изометрично подмножеству некоторого компактного метрического пространства.

По теореме Хаусдорфа (см. § 33, VII, стр. 420) пространство Я изометрично подмножеству полного пространства ЯГ. Замыкание Я (относительно .^”) является вполне ограниченным и полным, следовательно, компактным (по теореме 2).

Теорема 3. Для До-пространств свойство быть компактным it метризуемым инвариантно относительно непрерывных отображений.

Доказательство. Пусть .У — компактное метрическое пространство, ^ — некоторое сТТ-прострапство и f: Я'—>У — непрерывное отображение на. Мы должны показать, что пространство У метризуемо (компактность У есть следствие теоремы 1 п. III). Так как У нормально (по теореме 3 п. II), то остается показать (согласно метризационной теореме Урысона, см. § 22, II, стр. 249), что У имеет открытую счетную базу. Определим эту базу следующим образом. По теореме 1 пространство ЯГ сепарабельно. Следовательно, оно содержит открытую счетную базу /?[, /?2, . .. . Пусть Si, S2, . . . — последовательность всех конечных объединений множеств Rb Докажем, что семейство множеств

Qn = y-U^-Sn\ п=\, 2, ....

есть открытая база пространства У. Пусть множество G с У открыто и у^ G. Покажем, что существует такое и, для которого

y^Qn^G.

Действительно, множества f~'(у) и [~‘(У — G) компактны и не пересекаются, поэтому (вследствие нормальности ^) существует такое и, что

ГЧу^8п и S„nr'(2/-G) = 0, т. е. 5псГ’(С).

Отсюда ^-r1(G)GZ.^-S,lc:^-r!(y)) т. е.

Г1 (2/ - G) с Я' -Sn^ Г’ (У - (у)),

и, следовательно, У — G czf^ — 8Д а У — (у), что дает соотношение (2).

Замечание 3. Теорему 3 можно усилить следующим образом. Компактное ^^пространство, являющееся непрерывным образом сепарабельного метрического пространства, метризуемо *).

Следствие За. Каждое из следующих условии необходимо и достаточно для того, чтобы ^-пространство ЯГ было компактным и метризуемым:

.?' гомеоморфно замкнутому подмножеству гильбертова куба ОС = 8*"’,

(И) .У является непрерывным образом канторова дисконтинуума ^ {при условии Я"О=0У

Доказательство. Предположим, что метрическое пространство Я" компактно. Тогда оно сепарабельно и по теореме Урысопа (§ 22, II, теорема 1) .T=YclSC. Отсюда Y компактно и, следовательно, замкнуто. С другой стороны, если ЯС = Y = Y cl ОС, то Y, а, следовательно, .5Г компактны.

Доказательство второй части следствия сводится к доказательству того, что если F (=т^0) есть замкнутое подмножество ОС, то F есть непрерывный образ ^. Согласно следствиям 6а из § 16, II и 2 из § 26, II, существуют отображения g; Y>->ОС и А: У? -> g-1{Fy оба непрерывные и на. Следовательно, и g ° /г: О -> F — непрерывное отображение па.

Теорема 4. (Теорема Вейерштрасса.) Всякая непрерывная действительная функция f, определенная на компактном пространстве Я", ограничена и достигает своих точных нижней и верхней граней.

Это следует из того факта, что Ц.^ — замкнутое и ограниченное подмножество в О (по теореме 1 п. III, теореме I п. II и теореме 1 этого пункта).

Следствие 4а. Всякое непустое компактное метрическое пространство Я' содержит две точки а и Ь, такие, что

\а — Ь\ = б {Я).

Это вытекает из теоремы 3 § 4 и теоремы 4, так как расстояние является непрерывным отображением пространства Я X Я' в У.

С л е д с т в и с 41). Если А компактно, В замкнуто и А П В=0, то р(Л, В^>0 {мы предполагаем, что А 0= 0 ¥= ВУ

Доказательство. Очевидно, что р(Л, В) = inf р(.г, В).

х^ Л

Так как р (х, В) представляет собой непрерывную функцию, определенную на компактном множестве, то существует такое х0, что inf p(.v, B') = p{xQ, В), а так как х0£В, то мы имеем р(.г0, В)>0. Это завершает доказательство.

Следствие 4с. Пусть {Ft\ где t ^Т, — семейство замкнутых подмножеств компактного метрического пространства, такое, что ПЛ^О; тогда существует е>0 {называемое коэффициен-

том .Тсбега снеге.мы {/',}), такое, что всякое .множество /1 диаметра <т. не пересекается хотя бы с одним из множеств Pt.

Доказательство. Заметим, что в силу компактности пространства мы имеем Р,^ ... П М(1 = О для подходящей системы индексов /,, ./„. Положим

Ии, .х„) шах |.v;- хД где xkEPt

и обозначим через с нижнюю границу /' (заметим, что /: Pt X ... XiPn><i’ непрерывно1). Так как Р^ П ... П/д„==0, мы имеем в>0.

Предположим, что Л П Л, =^ 0 для каждого t^T. Пусть хи Е Я fl l;ik. Тогда б(Л)>6(л-„ . .., хп)>е.

Следующее утверждение двойственно следствию За.

С л е д с т в и е 44. Пусть С — открытое покрытие компактного метрического пространства Я*. Тогда существует число е>0, такое, что всякое покрытие пространства Я’, состоящее из множеств диаметра < е, есть измельчение С.

Теорема 5 (Гейне1)). Если .метрическое пространство Я,' компактно и отображение {: Я‘-><? непрерывно, то f равномерно непрерывно. Это означает, что для каждого е>0 существует 6>0, такое, что

I Л" — х' |<6 влечет за собой | /(х) — /(х') |<в.

Доказательство. Предположим, что справедливо противное. Тогда существуют две последовательности Х|, x>, . .. и х', х'„ . . ., такие, что

|А'„“<|<^

Так как пространство компактно, то можно предположить, что последовательность хь хъ ... сходится: limx„ = x. Отсюда

И1пх'=х и liin / (л:,,) = / (х) = Иш/"(лг^),

ио это противоречит неравенствам (2).

Замечание 4. Теорему 5 можно легко доказать, используя логические символы. Положим (для данного е>0)

Фа (х, х') = {[ 1 х - х' | =С 1/»] => [ I f W ~ / (-И I < е1 )•

Мы должны показать, что в формуле Д V Л фЛ-П х') (которая

истинна по предположению) кванторы Д и V можно пере- х гг

ставить. Далее, так как множество Е ф1:(х, х') открыто, то X, х'

множество Е ДфДх, х') также открыто (согласно следствию 1Ь, X х'

п. IV), и так как

ЛфЖ х')=ФЛФп+1(х, х'),х'X*

то, согласно I (iii),

Л V fA Ф„ (х, х')) =N ММп Уе х')\.х п \ х') и х \х')

Теорема 6 '). Пусть Я" — сепарабельное метрическое пространство. Если Я разреженно, то существует разреженная метрическая компактификация Я.

Доказательство. Так как Я' счетно (см. § 23, V), его можно рассматривать как подмножество в е/У* (пространстве всех иррациональных чисел между 0 и 1). Далее, так как всякое метрическое сепарабельное разреженное множество есть множество типа Од (§ 24, III, теорема 1) и всякое Об-подмножество пространства е/У* гомеоморфно замкнутому подмножеству в ОДР (§ 36, II, следствие), то мы можем предположить, что Я замкнуто относительно о/У*. Другими словами, обозначая через Я" замыкание Я относительно 9, мы имеем Я — Я ^сЖ.

Замыкание Я" и есть требуемая компактификация Я. Это следует из того факта, что Я — Я cl Я (множеству рациональных чисел), и следовательно, Я' счетно; таким образом, Я' компактно и счетно и потому разреженно (согласно следствию 4 из § 34, IV).

Замечание 5. Более общо, для всякого полного сепарабельного нульмерного пространства ЯУ существует метрическая нульмерная компактификация 2/, такая, что разность У —Я счетна.

Справедливость этого утверждения можно доказать, заменяя в приведенном выше рассуждении множество 9V" множеством ^ с исключенными из него концами выброшенных интервалов, гомеоморфным

Если ^’ — компактное метрическое пространство, то утверждение I (4) можно сформулировать более точно следующим образом.

') Теорема Кнастера — Урбапнка [1]. Детальный анализ затрагиваемых здесь вопросов можно найти в книге Семаденп [!, гл. 4].

Теорема 7. Пусть .07 — компактное метрическое пространство и {/д} — направленное семейство замкнутых множеств относительно включения zd (см. I (4)). Тогда

б(П FtyWt).

Иначе говоря,.

(AW^j^^n F^>ey

Доказательство. Пусть b^F^^e для каждого /. Тогда существуют х и х', такие, что

х Е Ft, х' ^Fb | х - V | > е.

Положим

Kt~ Е (хЕ^)(х'Е^)(|х-х'|>е). X, х'

Ясно, что Kt замкнуто в .^ X .^. Семейство {/(J направлено относительно В самом деле, пусть заданы tx и /2, и пусть Д, с Ftl П Ftl; тогда Kt, cz Kt, П Ktv

Так как ^Х^” компактно, то отсюда следует (согласно I (4)), что П Ft 0. Пусть (х0, Xg) Е П КР т. е. (х0, х') £ Kt для каждого t. Тогда, согласно (6),

/0СП^, х'ЕП^ и |х0-х'|>е.

Следовательно, б(П^>8.

Замечание 6. Вторая часть вышеприведенного доказательства есть простое применение формулы I (i). А именно:

Л V, {(I X - х'\> е) (х е Ft) (х' Е Ft)) ^

s ^V Л {(I х - х' |> е) (х Е Ft) (х' Е Ft)) =

S V (| х - х' | > eVx, х' Е П ^Л х, xfVt )

Известно (см. IV, теорема 2), что если /: ^ -> $У, где 3/ компактно, и если /= е (,/==^(х)) замкнуто, то ) непрерывно. х. у '

Если пространство 3/ предполагается метрическим, то имеет место более точное утверждение.

3 Зак. 190

Теорема 8. Пусть /1 с: Ж и f: А —>У, где <У — компактное метрическое пространство. Тогда

®(х) = б[/П((х)Х 3/)],

где <о(х) обозначает колебание f в точке х (см. § 21 (6)), т. е.

<о(х) = т[6[/М)],

где {Gf} — семейство всех открытых окрестностей х.

Доказательство. Положим Ft — f(Gt). Семейство {FJ направлено относительно включения zd. Действительно, пусть tx и t2 заданы, и пусть Gt, = Gt, Л Gt,. Тогда Gt, есть открытая окрестность х и

НМ с ИМ Л ИМ с нм л им.

Применяя теорему 7, мы имеем, согласно (3) и (8),

(о(х) = д[ПЙМ|-

L t I

Для доказательства формулы (7) остается показать, что имеет место следующее утверждение (справедливое для произвольных топологических пространств ^ и 3/):

(Ю)(х0, у№ = уо£(Ш

t

где {GJ есть семейство всех открытых ^окрестностей точки х0.

Предположим сначала, что (х0, y^SJ. Тогда для каждого t и каждого открытого Н, содержащего tjo, существуют X! 6 Gt и У1ЕН, такие, что (хь у^ 6I, т. е. yx=f (хД откуда ух EHG^ и, следовательно, Уо^ЦО^.

Таким образом, УобП/М). t_

Далее, предположим, что (х0, Уо)^/- Тогда существуют £ и открытое Н, содержащее Уо, такие, что (Gt X Я) Q / = 0. Отсюда следует, что Уо^ИМ, ибо в противном случае существовало бы У € Н fl / (G(), следовательно, у = /(х) для некоторого x^G,; но тогда (х, y)6(Gf X Я)Л/.

Теорему вложения Урысона можно усилить следующим образом.

Теорема 9 '). Пусть Ж = Ж ст 3^, и пусть f: ^’-►^-непрерывное отображение на. Выберем о так, что

^[/"'(у)]^ для каждого у^.

Тогда существует вложение 1г: У -> 9^\ такое, что

|/if(x) —х|<а для каждого х^г?.

Сначала докажем следующую лемму.

Лемма. Если а удовлетворяет условию (11), то существует т] > О, такое, что

11 / ОО - f (V) | < т)] =^ [ I х - х' | < а].

Следовательно, если ВаУ и б (В) < г], то б I/-1 (В)] < а.

Доказательство леммы. Предположим, что такое -q не существует. Тогда существуют две последовательности хь х,„ ... и Хр Ху такие, что

(М)|Щ.)-/«)!<(/"■

|.г„-<|>о.

Поскольку .^ компактно, можно предположить, что эти последовательности сходятся:

limxfc = x и lim х'= х'.

к-> оок-> оо

Так как f непрерывна, то отсюда вытекает, что

lim/(x^-ftx) и lim f(x') = f(x');

к-^ оок->оо

следовательно, согласно (14), f(x) = f(x').

Положим у = Цх\ Тогда х, х' £/~' (у) и |х — х | < сг, согласно (11). Но это несовместимо с (15) и (16).

Доказательство теоремы 9. Пусть т] удовлетворяет условию (13), и пусть Со,..., G,„ —открытое покрытие пространства У, такое, что

2/ = G0U ... UG„„ d(GJ<r1/2, Gt ^ 0.

Пусть xz£f-l(GJ. Рассмотрим х-отображение, определяемое системами {Go, .. ., G,„} и (х0х,„} (см. § 28, VI):

х (//) = *о (у) • *о + ... + Х,п {у) ■ хт, где

= —7—Г(У’и Ft = y-Qt.

у (У. ^о)++(>((/, Fm> t<

Покажем, что

| xf (х) — х | < а.

Пусть задано х. Обозначим через <0, ..., ik систему всех индексов, таких, что x^/~‘(GZ/). Тогда точка х/(х) принадлежит симплексу xz ... xlk. Обозначим через S симплекс xx1q ... x[k. Тогда d(S)<a. Так как условие Дх) £ G^ П О1щ влечет за собой, согласно (17), неравенство 6(GZ/ U G,^ < г], то отсюда |f (xZ/)-f(xzJ|<ri, а это, согласно (13), даст | х^ - xzJ < a. С другой стороны, /(х) и f(xZ/) принадлежат GZ/, поэтому |х —xZ/|<a. Следовательно, d(S)<a, откуда вытекает (18), так как х и х/(х) принадлежат S.

Далее, обозначим через h гомеоморфизм 1У в 9*’, достаточно близкий к х (см. § 22, II, теорема 2), точнее, такой, что

| h (у) — х (у) | < о — | xf (х) — х | для каждого х ^ ^ и у^У.

Отсюда следует неравенство (12), ибо, согласно (19), мы имеем

| й((х)-хК1 /г/(х)-х/(х)| + |х/(х)-х|<а.

Лемма *). Пусть .Т — топологическое пространство, У — некоторое ^-пространство и f: Ж —>У — непрерывное отображение. Пусть, далее, {(/,}, t^T, — база окрестностей некоторого множества Л (э^ 0) в пространстве .И (^это означает, что для любого открытого множества G тз Л существует такое / С Т, что AcUtcG\ Тогда‘'

П H^) = fm илч<А^т{t^T /

Доказательство. Очевидно, достаточно доказать, что П ци^НА\ пли, что то же самое, для любого у (ЦА) tc-т

существует такое t, что y^f(Ut).

Пусть y^f(A); тогда А П Д’ (у) = 0, т. е. А с ГП — f-1 (у). Так как У есть ^-пространство и f непрерывно, то множество -У —f-1(y) открыто. Следовательно, существует такое t, что AdUtcrr-r4y\ Поэтому П/П("1(У) = О, т. е. УШи«\

Теорема 10. Пусть F —компактное подмножество метрического пространства .И, 2/ — некоторое ^-пространство и V. -V -» У — непрерывное отображение. Обозначим через Sk обобщенный шар с центром в F радиуса \(к, т. е.

s^EHx, П<МЬ\ X

!) Этой формулировкой я обязан пани Карлович.

Тогда

nHs?)=f(n sA = m.

Доказательство. Так как последовательность Sb S2, ... есть база окрестностей множества F, то

n Hsj = ^n t-1/

С другой стороны, так как Sfe с S^ и f(Sk) замкнуты, то f(s7)<=f(S?) = f(sfe)<=f(sfe-1),

II потому

пет= nк-1к-1

VII. Инварианты отображений с малыми прообразами точек. Квазигомеоморфизм. Пусть .^ — метрическое пространство, и пусть задано отображение f: 57-*'2/. Назовем комножествами отображения / полные прообразы отдельных точек пространства 2/, т. е. множества /-1 (у) (обозначаемые также через / (у)). Положим

6f = sup б [Г (у)], где у^.

Определение 1 *). Свойство Р пространства 57 называется инвариантным, относительно отображений с малыми комножествами, если существует число а>0, такое, что Н^ обладает свойством Р, каково бы ни было непрерывное отображение /, удовлетворяющее условию df<a.

Замечание. Очевидно, что всякий инвариант отображений с малыми комножествами есть топологический инвариант. Обратное не верно (даже для компактных пространств). Например, неравенство dim ■#"</! не является инвариантом отображений с малыми комножествами; но, с другой стороны, свойство dim^^n является таким инвариантом (для компактного^1 см. § 45, IV, следствие 9).

Следовательно, доказать инвариантность некоторого свойства относительно отображений с малыми комножествами — это, вообще говоря, больше, чем показать, что оно является топологическим инвариантом.

Определение 2 ). Два компактных метрических пространства 57 v и ^2 называются квазигомеоморфными, если

существуют непрерывные отображения У1 па Я\ и .^^ на Ух с произвольно малыми компожсствами, или, другими словами, если для всякого е>0 существуют два непрерывных отображения па: /р Я\->Я\ и ^х Я\->Я’Х, таких, что 6/,<е и df2<e.

Так, например, шар квазигомеоморфен объединению двух шаров, имеющих единственную общую точку ’).

Проблема доказательства инвариантности относительно отображений с малыми компожсствами может быть сведена к рассмотрению отображений g, таких, что | g (х) — х | < е для достаточно малого е. Именно, справедлива следующая

Теорема ). Пусть Я' = Я-' с: 8*». Всякое топологическое свойство Р, инвариантное относительно непрерывных отображений g: Я'—>8*“, таких, что | g (х) — х | < е для всех х^У, инвариантно относительно непрерывных отображений [: У-*У, таких, что 6f<e.

Доказательство. В соответствии с теоремой 8 п. VI пусть /г — гомеоморфизм пространства У в Э^\ такой, что | hf (х) — х | <е. Положим g — h^j. Тогда по предположению множество gC?’) обладает свойством Р. Так как g^y^ гомео- морфно f (У) и свойство Р топологическое, отсюда следует, что f(.^) также обладает свойством Р.

Замечания и примеры. 1. Для двух заданных компактных метрических пространств Я’ и У рассмотрим следующий коэффициент:

т(.^, 2У) = inf df, где f: У-> У — непрерывное отображение.

Таким образом, т^Я’, У) — это наибольшее число, такое, что для всякого непрерывного отображения f: У->У существуют две точки х, и х^, удовлетворяющие условиям

f(x,) = f(x2) и | х, - х21 > т (.^, У).

Очевидно, что пространства Я' и У квазигомеоморфны тогда и только тогда, когда т^Я/, У) = Ъ = х(У, У\

Пусть бп есть «-мерный шар, определенный уравнением |р|^1, а <Уп есть «-мерная сфера радиуса 1. Тогда)

<R У \ — 2а + 2 — I'' 2п2 + 2«

В Как мы видим, квазигомеоморфность не влечет аа собой гомеоморфность. Однако в. классе замкнутых ориентируемых 2-многообразий эти два понятии эквивалентны. См. Форт [2, стр. 53|,

Хорошо известную теорему Борсука — Улама'), утверждающую, что для всякого непрерывного отображения сУп в ^п существуют две диаметрально противоположные точки на ^п* которые переходят в одну и ту же точку ^*п, можно выразить следующим образом:

для каждого компактного X <= <fn.

Пусть J — тор и отображение f: 62->J* непрерывно. Тогда) существует комножество диаметра ^1/6.

VIII. Связь с булевыми кольцами). Напомним, что (непустое) множество А, в котором определены операции сложения и умножения, называется кольцом, если оно является абелевой группой по сложению, а умножение ассоциативно и дистрибутивно по отношению к сложению.

Кольцо А называется булевым кольцом, если оно содержит элемент 1, такой, что 1 -а = а, и если а-а = а для каждого а.

Булевым кольцом является, например, семейство всех подмножеств данного множества, если умножение понимается как пересечение, а сложение —как симметрическая разность.

Для любого булева кольца очевидны следующие соотношения:

ab=*ba и а + а = 0, откуда — а = а.

Непустое подмножество / булева кольца А называется идеалом (ср. § 1, VII), если

№, ь^П^а + ЬКП;

а € I =^ (ab) СI для каждого Ь.

Если В с: А, то множество элементов вида

а^Н- ... + а„х„, где «1ап£В,

есть наименьший идеал, содержащий В (говорят, что он порожден. множеством В).

') См. Борсук [7, стр. 177]; см. также § 57, I и § 59, V.

Можно доказать (с помощью аксиомы выбора), что всякий идеал (=7^= Л) содержится в некотором максимальном идеале I А.

Очевидно, 0^/ и 1£Л — 1.

Легко видеть, что если / есть максимальный идеал и а £ А — I, то каждый элемент из А имеет вид

I + ах, где 1^1 и х 6 А. Следовательно,

(«6 А-^ = V(1 -ax^L

Отсюда мы выведем следующую лемму.

Лемма. Если / есть максимальный идеал булева кольца Л, то

(аСЛ-/)^(1+ае/).

Доказательство. Очевидно, что

(1 — tzx)(l +a)=l+a + a(l + a)x=l+a+(tz + аа) х = 1 + а.

Следовательно, если а С А — I, то мы имеем (согласно (3)) 1 — ах£1. Поэтому 1 + а£/ (согласно (2)).

Обратная импликация следует непосредственно из (3).

Теорема (М. Стоуна). Пусть А — булево кольцо и М —семейство всех его максимальных идеалов. Введем топологию в Af, взяв в качестве открытой базы пространства М множества вида

Оа = Е (а 6 А — /), где а пробегает А.

В этой топологии пространство М становится компактным нульмерным ^-пространством.

Доказательство. Покажем прежде всего, что

60Пбй=6а„.

Согласно (5) и (2), мы имеем

KG^ab^A-I^^a^A-IKb^A-I^I^GanGi,.

Обратно, пусть I^Gaf\Gb. Тогда, согласно (5), а,Ь^А — 1 и, следовательно,

1 =/, + йХ] = 4 + Ьх2, где zb 12^1.

Поскольку 1 £ А — I, из (7) следует, что

(<Р2 + ЦЬхг + z2«M + abxxXi) ^А — 1.

Так как / — идеал, то из этого следует, что abEA — 1, откуда IE Gab (согласно (5)).-

Это завершает доказательство формулы (6).

Из формулы (5) вытекает, что пересечение двух множеств вида (5) снова есть множество того же вида. Следовательно, множество Л становится топологическим пространством, если семейство множеств, указанных выше, принять за открытую базу множества Л.

Покажем теперь, что это пространство есть ^2-прост ранет во.

Пусть /, I 6 Л и аЕ1 — I. Тогда в силу (5) I £ Ga и / Е Gi+a, так как (1 + а)^(Д —7) (согласно (4)). Кроме того, согласно (6),

6оПб1+о = 60 = 0.

Докажем далее, что Л компактно. Пусть

Л = U Gb, где В с Л.

Пусть I — идеал, порожденный множеством В.

Мы имеем 1 £ 7. Действительно, предположим, что 1^7. Тогда существует максимальный идеал 1 зэ 7 и 7£Л (по определению Л); с другой стороны, для каждого b ^ В имеем bEL откуда f^Gb. Но это противоречит соотношению (9).

Так как 1 £ 7, то

(Ю)1 = В^, + ... + Ьпхп.

Покажем, что '

(и)л = о6,и ... ие»„,

чем завершим доказательство компактности Л.

Пусть /^Л. Так как 1(/, то существует (согласно (10)) /г^н, такое, что bk^f. Из этого вытекает, согласно (5), что IEGbk. Следовательно, равенство (11) доказано.

Наконец, пространство Л нульмерно, т. е. содержит базу, состоящую из открыто-замкнутых множеств. Такой базой является семейство множеств Ga, где аЕА. Мы имеем

M-Ga = GHa

вследствие равенства (8) и тождества Оо U Сп+а = М, которое следует из (4) и (5); именно,

I ^ Ga = a £ 7 = 1 -\- а Е А — I = 16 Gi+a.

Замечание. Булево кольцо А изоморфно кольцу G всех открыто-замкнутых подмножеств пространства М.

Этот изоморфизм определим, положив

1^=0а) где а£ А;

иначе говоря,.

H^) = G,

f (а + b) = [f (а) - / (6)] + [f (6) - f (а)],

Hab) = fUWW,

a^b=^f(a)^f (b).

Доказательство. Для того чтобы доказать (13), достаточно (так как G„ — открыто-замкнутое множество) показать, что для всякого F^G существует такое а, что F=Ga.

Далее, так как множество F компактно и открыто-замкнуто (в Л!), то F есть конечное объединение множеств Gx. Следовательно, мы должны показать, что Ga\} Gb = Gc для некоторого определенного с. В действительности мы покажем, что

Оа11 Gb = Gc, где с = а + b + ab.

Так как из включения I £ Ga следует, что а£ А — I, то с £ А— I (поскольку а = са\ откуда I ^ Ос. Таким образом, GaC2Gc, и, следовательно, Оа U GbczGc.

Обратно, если 7^(GaU GA, то мы имеем а, b ^.1, откуда с^/ (согласно (1) и (2)), и поэтому ?^,GC. Это завершает доказательство соотношения (17).

Чтобы доказать (14), заменим в (17) а на a + ab и b на b-Vab. Очевидно, что

(а + ab^b 4- ab^ = О и (а + ab) + (6 + ab^ ~а + Ь.

Отсюда, согласно (17), следует, что

Ga+ ab U Gb+ab — Ga+ь-

Применяя (6) и (12), мы получаем

Ga+6 = (Ga П G1+f)) U (G6 П Gi+ti) = (Go — G„)U(G,- Ga).

Это соотношение эквивалентно (14). Соотношение (15) эквивалентно (6). Наконец, из равенства Ga = Gb, согласно (18), следует равенство Ge+6 = 0, откуда а + Ь = 0, и потому а~Ь.

Диадические пространства).

Определение). Пространство называется диадическим, если оно является непрерывным образом обобщенного капто- рова дисконтинуума Dm (где О — двуэлементное множество {О, 1}).

Согласно следствию 2Ь п. VI, всякое компактное метрическое пространство есть непрерывный образ канторова дисконтинуума if = О*» и, следовательно, является диадическим. Легко показать, что всякое компактное (/..-пространство веса ш^Ко (ср. § 5, XI, замечание 3, стр. 59) есть непрерывный образ замкнутого подмножества пространства О'". Однако оно не обязательно является диадическим (см. пример ниже).

Теорема I. Всякое семейство непересекающихся открытых подмножеств пространства D"x счетно.

Доказательство. Очевидно, можно предполагать, что элементы рассматриваемого семейства принадлежат базе пространства D™. Следовательно, можно считать, что они имеют вид

<')пеД''-И,

где t, Е Т, Т ~ т, jt = 0, 1 для i = 1, ..., п.

Назовем число п длиной множества G, а систему /ь .. ., /„ — системой отмеченных индексов. Легко видеть, что два непере- секающихся элемента базы должны иметь общий отмеченный индекс и различные проекции на соответствующие оси. ■ Для доказательства теоремы достаточно показать, что при любом заданном/г всякое семейство непересекающихся множеств длины п счетно. Будем рассуждать по индукции. Для п=1 наше утверждение вытекает из только что указанного свойства пересекающихся элементов базы.

Предположим, что оно верно для n—I. Пусть О —семейство множеств длины п. Предположим, что О несчетно. Пусть G0EG. Ни один элемент семейства О не пересекается с Gu, следовательно, каждый из них имеет общий с Ga отмеченный индекс. Поэтому G = G1U...UG(» где элементы Gt имеют общий отмеченный индекс. Так как О несчетно, то можно предположить, что Gx также несчетно; пусть / — общий отме-

ченный индекс элементов Ох. Тогда либо для / = 0, либо для i=l существует несчетное семейство Н^Оь такое, что проекция элементов Ht на /-ось есть (/). Из этого следует, что любые два элемента семейства Нх имеют еще другой общий отмеченный индекс и их проекции па соответствующую ось не пересекаются. Пусть К, получено из Нх отбрасыванием (в равенстве (1)) индекса / (и соответствующего верхнего индекса/). Тогда К\ несчетно, по это противоречит тому, что длина его элементов равна (и—1).

Замечание 1. Из приведенных выше рассуждений видно, что теорема 1 верна для всякого прямого произведения пространств со счетной базой).

Замечание 2. Теорема 1 следует также из того, что £>™ является компактной топологической группой и, следовательно, допускает меру Хаара ).

Заметим, что всякая компактная топологическая группа является диадической).

Следствие 1. В диадическом пространстве всякое семейство непересекакмцихся открытых множеств счетно.

Пример. Пусть ^ — одноточечная компактификация несчетного дискретного пространства (см. X, теорема 5), и пусть открытые множества определяются как дополнения к конечным множествам. Очевидно, что 57 есть компактное не диадическое ^-пространство.

Замечание 3. Из существования недиадических компактных пространств следует, что Dm при ш > Ко содержит замкнутые подмножества, которые не являются не только ретрактами D”, но и непрерывными образами D'".

Заметим, что замкнутое подмножество пространства Dm может быть непрерывным образом D™ и в то же время не быть его ретрактом ).

Для заданного прямого произведения Z= П ^обозначим через лт„ где Т'сТ, его проекцию на частичное произведение Z'= П ^(т. е. л.,, ставит в соответствие каждому отображению z^Z его сужение (zir'^Z').

Теорема 21). Пусть дТ\ — сепарабельное пространство Ц^Т\ и пусть У есть ^-пространство, точки которого являются Gb-множествами. Положим Z = П^, и пусть отображение f: Z-+V непрерывно. Тогда существуют счетное множество Т'аТ и непрерывное отображение f'; Z'—>^, такие, что [ = ['»лт„

Доказательство. Для каждого г £ Z множество f-1 [/ (г)] есть множество типа Сь. Поэтому оно содержит счетное пересечение элементов базы пространства Z, содержащих г.

Следовательно, существует счетное множество Т^аТ, такое, что

если лГ(г)(х) = лГ(г) (г) для x^Z, то /(х) = /(г).

Определим по индукции последовательность Zo, Zb ... счетных подмножеств пространства Z, таких, что

йг^= П

где

Гг = и U Г (г).

/ = о ^Zj

Пусть Zo = (zo), где г0— произвольная точка пространства Z (которое можно предполагать непустым). Далее предположим, что Zo, ..., Zk удовлетворяют условию (3). Согласно (4), множество Тк счетно, и, следовательно, произведение П ^/ содержит счетное всюду' плотное подмножество. Отсюда следует, что существует счетное множество Zk+V, удовлетворяющее (3) при i = k.

Положим Т' = 7'oU7’1(J .... Чтобы доказать существование такого f, что f = /' °лг„ остается доказать, что для произвольных лу и х2 из Z имеет место импликация

[лг (х,) = лг (х2)] => [/ (х,) = / (х2)].

(Заметим, что лг есть открытое отображение, и потому отображение V непрерывно.)

Предположим, что f(xl)^=f(x2). Пусть f/, и U2 — открытые подмножества в 3/, такие, что

Hx^Uy, №U2 и UvnU2-0.

') Теорема Глисона. См. Исбелл [2, стр. 130]. Аналогичная теорема имеется в работах: Мазур [1] и Эпгелькпиг [б].

Так как Xi£f 4Ut) при i= 1, 2, то xt принадлежит произведению вида П И), где 1)‘ открыто в .Tb Ut = yt для всех, за КТ

исключением конечного числа, индексов t^T « П (7< с:/~'(I/z).

КТ

Если предполагать, что левая часть (5) справедлива, то можно считать, что U\ = U^ при t^T'. Тогда, согласно (3), существует точка z^(Z0U Z, U ...), такая, что zt£U't для t^T', и из этого следует, согласно (2) и (4), что f (zj = /(z) = f (z2) всякий раз, когда z^ = z* для t^T' и z\ = х\ для t^T — Т.

Так как zz £ П Ut, то U y^U-^ О, что противоречит (6).

Теорема 3. Пусть f u Z такие -же, как выше. Если У — вполне регулярное ^-пространство веса ш, то можно предположить, что Т' имеет мощность ш.

Доказательство. По предположению У можно рассматривать как подмножество пространства 9"х (ср. с теоремой 5, § 16, V, стр. 163). Напишем 9"х = П 1$, где ls=9 и

S = тп. По теореме 2 существуют счетное множество TsczT и отображение fp П ^f-^9, такие, что л, °/ = fs°лг (где л$

есть проекция 9"х на Д). Для завершения доказательства положим Т' = U Т5, и пусть ^ — отображение, имеющее в ка- честве своей s-й координаты Д°лг .

Теорема 4 ’). Всякое диадическое пространство У? веса in есть непрерывный образ D"x.

Доказательство. Так как пространство У? диадично, существуют кардинальное число н^ш и непрерывное отображение /: DXx->^. Положим О" = П Dz, где Dt — D и Т = п. По КТ

теореме 3 существуют Т'сТ и /': П 0(->У, такие, что =кг

Т' = т и / = /' = лг, где f' непрерывно. Очевидно, что /' — требуемое отображение пространства О'" на У?.

Следствие 2). Всякое диадическое пространство со счетной локальной базой (см. § 5, XI, стр. 59) есть непрерывный образ канторова дисконтинуума ^.

') Ср. Шанни [1]. По поводу приведенного здесь доказательства см. Пелчпиский и Энгелькинг [1].

Это следствие из теоремы 2.

Замечание 3. Из теоремы 3 и. VI следует, что если ^-пространство есть непрерывный образ ^, то оно компактно и * мстризуемо и потому имеет счетную базу. Следовательно, если диадическое пространство имеет локальную счетную базу, то оно имеет счетную базу.

Замечание 4. Легко видеть, что совокупность всех диадических пространств есть наименьшая совокупность с/г-про- страпств, содержащая конечные пространства (или, эквивалентно, содержащая метризуемые компактные пространства) и замкнутая относительно взятия прямого произведения и непрерывных отображений.

Теорема 5 *). Всякое замкнутое О ь-под множество диадического пространства диадично.

Доказательство. Очевидно, достаточно показать, что всякое бд-множество А, замкнутое в О"1, есть ретракт пространства О"’. По теореме Веденисова (§ 14, VI, стр. 141) существует непрерывное отображение f: D'”—*^, такое, что f~'(0) — А. Положим D™ = П Df. По теореме 2 существуют счетное мно- t^T

жество Т' czT и непрерывное отображение fp П Dt-»9, такие, что f = f1"nr. Поэтому Л = )^'(0)Х П Dr Так как f~‘(0) есть ретракт произведения П Dt, то из этого следует, что Л есть ретракт Dm.

Замечание 5. Теорему 5 нельзя распространить на замкнутые подмножества диадических пространств.

В самом деле, рассмотрим подмножество F пространства D*\ состоящее из точек, имеющих по крайней мере одну координату, равную 1. Тогда F замкнуто, но не диадично, так как оно гомеоморфно одноточечной компактификации дискретного пространства мощности N,.

Замечание 6. Как указывалось выше, пространство D*1 содержит компактификацию дискретного пространства мощности К,. Это утверждение можно обобщить следующим образом:■

') См. Ефимов [3]. По поводу приведенного здесь доказательства см. релчипский и Уигелькинг [1]; более сил.иые результаты ем. и работе Уигелькинга (5|.

Теорема 6'). Пусть ЯГ — диадическое пространство. Если наименьшая мощность базы в точке х^ЯГ равна ш(^ Но), то существует дискретное множество МаЯГ, такое, что М = ш и Л1 U {х} компактно.

Отсюда следует) (ср. замечание 3), что все замкнутые подмножества диадического пространства ЯГ диадичны тогда и только тогда, когда пространство Я' метризуемо.

Локально компактные пространства.

Определение. Пространство называется локально компактным в точке р, если существует компактная окрестность точки р, или, другими словами, если существует открытое множество G, такое, что х £ G и G компактно.

Пространство называется локально компактным, если оно локально компактно в каждой своей точке.

Примеры. Евклидово п-мерпое пространство локально компактно. Всякое дискретное пространство локально компактно.

Теорема 1. Всякое замкнутое подмножество локально компактного пространства локально компактно.

Доказательство. Пусть Е = ЕаЯГ и х£ F. По предположению существует открытое множество G, такое, что x^G и G компактно. Таким образом, GQF открыто в F и множество G П F П F есть замыкание Gf\F относительно F. Это множество является замкнутым подмножеством компактного множества G и, следовательно, само компактно (но теореме 2 п. II). .

Теорема 2. Всякое локально компактное З^-пространство вполне регулярно.

Более того, если множество С а.У компактно, множество Fa ЯГ замкнуто и C6\F = Q, то существует непрерывное отображение fi ЯГ-* 9, такое, что

f(x) = O при х^С, f(x)=l при x£.F и f"1 ([0, а]) компактно для каждого а<\.

Доказательство. Для каждого х^С пусть Gx — открытое множество, такое, что x^.Gx и Gx компактно. Пусть хь ..., хк — конечное множество точек, такое, что С с G =

*) Доказательство см. в работах: Ефимов [3] и Энгелькинг [5].

= G, U • • - UG^. Ясно, что G компактно и является ^-пространством (ср. II, теорема 5), следовательно, оно нормально (по теореме 3 п. II). Поэтому существует непрерывное отображение g: G->9, такое, что

^(х) = 0 для х^С и ц(х)= 1 для х 6 [(G П F) U (G — G)J.

Положим f(x) = g(x) при х^С и /(х)= 1 при x^G. Очевидно, отображение / непрерывно и удовлетворяет условию (1). Наконец, если /(х)<1, то x^G, и, следовательно, при а<1 множество /~1 ([0, я]) есть замкнутое подмножество (компактного) множества G и потому компактно.

Теорема 3. Всякое открытое подмножество локально компактного ^-пространства локально компактно.

Доказательство. Пусть II а.Т открыто и х^Н. По предположению существует открытое множество G, такое, что x^G и G компактно. По-теореме 2 пространство Я регулярно. Поэтому существует открытое множество U, такое, что х £ U и U с G П Н. Следовательно, U открыто относительно Н и U компактно, поскольку UgG.

Теорема 4. Пусть Я-— регулярное ^-пространство и /1 ст Я". Если /1 локально компактно, то Л локально замкнуто в Я’.

Следовательно, Л есть разность двух замкнутых множеств, и потому множество Л — Л замкнуто.

Доказательство. Пусть р С А. По предположению существует компактная относительно А окрестность U точки р. Следовательно, существует окростность Е точки р (относительно Я'\ такая, что U = Е П А (можно .положить Е = = (.^' — А — [/) U U). Так как U замкнуто, это означает, что А локально замкнуто в точке р (см. § 7, V, теорема 2).

Вторая часть теоремы есть следствие первой части (см. § 7, V, следствие).

Теорема 5. (Теорема Александрова об одноточечной компактификации Д) Всякое локально компактное Jo-пространство Я1 гомеоморфно подмножеству Ло компактного ^-пространства Я", такому, что Я'* — Ло состоит из единственной точки.

Если пространство Ж метрическое сепарабельное, то Ж — тоже метрическое сепарабельное.

Доказательство. По теореме 2 пространство ^* вполне регулярно, и, следовательно, согласно теореме 5 § 16, V, про- странстро Ж можно рассматривать как подмножество компактного JVnpocTpaHCTBa С (с обобщенному кубу). Кроме того, можно предположить, что Ж всюду плотно в С, т. е. С = Ж. По теореме 5 множество С — Ж замкнуто, поэтому, согласно теореме 4 п. III, существуют компактное Дг-пространство Ж*, точка р^Ж* н непрерывное отображение f: С—» Ж*, такие, что f(C — .^) = (p) и f есть Гомеоморфизм Ж на —(р).

Это завершает доказательство первой части теоремы.

Если ^' — метрическое сепарабельное пространство, то по теореме Урысона С можно считать замкнутым подмножеством гильбертова куба. Так как .У есть непрерывный образ компактного метрического пространства С, то JT* метризуемо по теореме 3 п. VI.

Замечание 2. Другое доказательство первой части теоремы 6, связанное с известным процессом присоединения бесконечно удаленной точки к евклидову пространству сТ", состоит в следующем.

Пусть р — точка, не принадлежащая .У. Положим Ж* = Ж U (р) и определим топологию в ^", взяв в качестве элементов открытой базы Ж*

открытые подмножества Ж, .

множества вида (р)О(Ж — F), где РсЖ компактно.

Мы должны показать, что Ж* компактно. Пусть {GJ, t^T,— открытое покрытие Ж*. Пусть р £ Gt„. Тогда Ж — Gt, компактно, и поэтому {О,} содержит конечное покрытие Gtv, .... Gt пространства Ж — Gt0- Отсюда следует, что G;o, Gtt, ..., 6'^ есть покрытие Ж*.

Замечание 3. Согласно теоремам 3 и 5, понятия локально компактного ^-пространства и открытого подмножества компактного ^-пространства топологически эквивалентны.

Эта эквивалентность непосредственно приводит к следующим утверждениям:

Теорема 6 т). Если Ж — локально компактное ^-пространство, то существует взаимно однозначное непрерывное отображение пространства Ж на некоторое компактное J* ^простран- ство. '

Это вытекает из следствия 4а п. III.

Теорема 7. Если Ж и У — локально компактные ^-пространства, то .УХ У — тоже локально компактное 3 .2-пространство.

Это следует из инвариантности компактности и открытости по отношению к прямому произведению (см. IV, теорема 3, и § 15, VII, теорема 1).

Замечание 4. Относительно бесконечных прямых произведений справедливо следующее утверждение:

Произведение П-^/ есть локально компактное ^'простран- t

ство тогда и только тогда, когда каждое .У2 есть локально компактное ^-пространство и все ^, за исключением конечного числа, компактны (^ предполагаются непустыми).

Теорема 8. Если .У — локально компактное метрическое сепарабельное пространство, то существует последовательность компактных множеств Fx, F2, ..., такая, что

^ = Fv\jF2U ... и F„cInt(F„+1).

Следовательно, .У — U Int(F„), и потому семейство ^ (.У) п = 1

всех компактных подмножеств .У конфинально с последовательностью Fу, Р2т. е. каждый элемент из ^ (.^) содержится в некотором члене указанной последовательности.

Это вытекает из следствия 4 п. II, так как для каждого открытого подмножества X компактного метрического пространства .У* существует последовательность открытых множеств Gb G2, ..., такая, что

x=g,ug2u... и G„cG„+1.

Следовательно, множества FX = GV F2 = G2, ... образуют требуемую последовательность компактных множеств.

Замечание 5. Отметим следующую интересную теорему.

Если пространство .У паракомпактно, пространство У локально компактно и отображение f: .У->У непрерывно и

Г-11

замкнуто, то Fr [ f (г/)] компактно для каждого у^Ух\

Замечание 6. Локально компактное пространство может не быть нормальным.

Примером (принадлежащим Л. Н. Тихонову) является пространство Е(«<Й)ХЕ(К®) с выброшенной точкой (Q, со)

(ср. § 14, V, замечание 1, и и. II, замечание 1).

Пространство 2Т

Компактность пространства 2К. Напомним, что топология в пространстве 2Т (называемая экспоненциальной) определялась заданием открытой предбазы этого пространства как совокупности всех множеств

B(G) = EO'^G) И CIH^EU^H^O),

где G п Н — открытые подмножества пространства ^, a F пробегает 2Г (см. § 17, I).

Отсюда следует, что совокупность всех множеств

B)G0, Gb..., Gn) = E(Fc:Go)(iFnGl^O)..AFnG^O),

где Go, ..., Gn открыты, есть база пространства 2Г.

Теорема 1 '). Если пространство FT компактно, то пространство 2Г также компактно.

Доказательство. По лемме Александера (см. § 41, I) мы должны показать, что всякое покрытие пространства 2х, элементы которого принадлежат какой-нибудь открытой пред- базе пространства 2Г, содержит конечное подпокрытие. Поэтому пусть (в соответствии с (1))

2с=ид(баиис(я$),

где Gt и Н _, открыты в .V.

Положим /7о = ^-11Я,. Тогда для каждого s мы имеем

ЕоГхН^О, т. с. А0^С(Я$), откуда ЯЕ U#(G,). t

Следовательно, существует такое 4, что

Fo^B^Gt,), т. е. FoczGfM откуда .Т - Gt, с SC — Fo= U Hs.

Так как множество .Т — Gt„ компактно, то существует конечная система индексов sb . .., sn, такая, что

^-G/oc:/7SiU ... U/Д.

*) См. Вьеторпс [2] в Фринк [1, теорема 15].

Покажем, что

2T = fi(G<0)UC(/fSi)U UC(//SJ,

завершив тем самым доказательство.

Пусть F£2T. Необходимо рассмотреть два случая:

F с Gt; тогда F ^B(Gtt).

FgFGt„ т. е. /'(] (^ — GJ^O. Тогда, согласно (4), существует такое /, что F f] /7S/^0, т. е. F^CQdSjy

Таким образом, в обоих случаях F принадлежит правой части равенства (5).

Справедлива также обратная

Теорема 2). Если пространство 2Ж компактно, то и FE компактно ^ предполагается ^-пространством').

Доказательство. Пусть FT = (J Gt, где Gt открыто. Тогда 2r-(0) = UC(G<). Так как 2г~(0) компактно, то 2r-(0)=C(GG)U ... UC(G,J. Пусть xoEJT. Тогда (x0)EC(GZ/) для некоторого /^п; это означает, что xoEGtp Следовательно, ^=G,_U ... UG,„.

Замечание 1. Стоит заметить, что если пространство 2х метризуемо, то пространство FF компактно (Майкл Э. [1, стр. 164]).

Замечание 2. Если FT — счетное бесконечное компактное подмножество пространства S’, то пространство 2Тгомеоморфно объединению капторова дисконтинуума ^ с множеством центров смежных интервалов. (Теорема Пелчинского [1, стр. 85].) Между прочим, это утверждение показывает, что гомеоморфизм пространств 2г’ и 2У не влечет за собой гомеоморфизм пространств Ж и У ).

Замечание 3. Для произвольного топологического пространства FT обозначим через ^ (.2Д множество всех его компактных подмножеств. Так как &’(.£’) cz 2Г, то (экспоненциальная) топология ^ (..У) определяется естественно.

Можно показать (Майкл Э. [1]), что ^ (.У) обладает следующими интересными свойствами (соответствующими свойствам пространства 2Т, сформулированным в § 17): ^(.У) регулярно, соответственно вполне регулярно, соответственно компактно тогда и только тогда, когда таковым является пространство FT.

Замечание 4. Пусть .2' есть (/[-пространство. Пространство Я’ локально компактно тогда и только тогда, когда 2Г локально компактно ’).

Случай компактного метрического пространства .^. В § 21, VII мы для любого метрического пространства ЯГ обозначали через (2r)m метрическое пространство всех замкнутых подмножеств ЯГ\ (хаусдорфово) расстояние dist(Л, В) между двумя множествами Л^О и В=й=0 определялось как точная верхняя грань чисел р(х, В) и р(у, Л), где х £ А, у£В\ пустое множество определялось как изолированная точка пространства (2т)т.

Теорема. Пусть ЯГ — компактное метрическое пространство. Тогда

2 top'2

Именно, тождественное отображение 2r—>(2Т)Г11 есть гомеоморфизм на.

Более общо,

где [^ (,^)]ш обозначает множество ^ (^) с хаусдорфовым расстоянием.

Доказательство. 1. Сначала покажем, что каждое открытое множество Н в [</ (,У)]т открыто в ^ (.У) (в его экспоненциальной топологии). Очевидно, достаточно доказать, что каждый шар с компактным центром А:

(0) Z? = Е [dist (Л, F)<e], где В 0 и F^, F

открыт в.2ж.

Поскольку А вполне ограничено (см. § 41, VI, теорема 1), для каждого k = 1, 2, ... существует конечная система точек aS, ..., а^ множества Л, такая, что для каждого х^А и к мы имеем |а, — х|< \[к при некотором z (см. § 21, VIII, теорема 1). Пусть

G = E[|x-a*|<e- \jk^,

G = Е [р (х, Л) < в].

X

Покажем, что (ср. I (2))

R=UB^G,G\G^ =

= Де^сО^по^о)... (/ПС^О), завершив тем самым доказательство.

Во-первых, пусть F^R- Тогда dist(X, F)<& — 1/й для некоторого к. Отсюда следует, что

хСЛ=фр(х, F)<e — \]к

и

y^F^y, Л)<е-1/^.

Из соотношений (5) и (2) видно, что F с: G. С другой стороны, для х = ак, согласно (4), существует элемент y^F, такой, что | у — ак | < е — 1/к. Это означает (ср. (1)), что F П G| ¥= О для 7=1, 2пк. Таким образом, F принадлежит правой части равенства (3).

Обратно, предположим, что F cG и F П С? ф 0 для некоторого к и всех 7=1, 2, ..., пк. Тогда, согласно (2), мы имеем

y€F=^p(y, Л) <е.

С другой стороны, пусть х^А и / таково, что | ак — х|< \)к. Так как F ПС? ^ 0, то существует y^F, такой, что (ср. (1)) | у — ак | < е — \]к. Тогда | у — х | < в и, следовательно, р (х, F) < в. Таким образом,

х ^ А => р (х, F) < е.

Соотношения (6) и (7) дают F^R.

Далее мы должны показать, что для всякого открытого множества Н в 2Т множество H^V^V^ открыто в [^ (.^)]т. Мы можем, конечно, ограничиться случаем, когда Н принадлежит предбазе пространства 2Т.

Случай 2а. Н = Е (F с: G), где G открыто в JF (и G =/= ^).

F

Пусть множество А компактно и содержится в G. Пусть в = р (Л, JF — G). Согласно следствию ЗЬ, § 41, VI, в > 0. Остается показать, что

RC2H, т. е. F^R^FcG

(где R определяется формулой (0)).

Предположим, что p^F—G. Тогда р(р, Л)^е и, следовательно, dist(F, Л)^е и F^R.

Случай 2b. Н = Е (F fl G ^= 0). Пусть множество А ком- пактпо и Л П G =# 0. Пусть а £ А П G. Положим е = р (а, .У — G). Отсюда следует, что R а Н. Это завершает доказательство теоремы.

Замечание 1. Легко показать *), что если Ж — компактное метрическое пространство, то условия

Jim dist(Fn, F) = 0 и lim Fn = F n-> con->oo

эквивалентны, каковы бы ни были замкнутые непустые множества Fn и F. Следовательно,

причем топология в (2’'Д индуцируется операцией Lim.

Заметим, что гомеоморфизм между пространствами (2т)т и ^^l нс имеет места для некомпактных метрических пространств (см. § 29, IX).

Замечание 2. Для каждого непустого компактного подмножества F c<f обозначим через ц (F) первую (или последнюю) точку F. Тогда отображение ц: 2"^ —> Д непрерывно. Более общо, ц: ^(cf)-*# непрерывно.

Доказательство. Пусть Fb F^*# $*) и ц (FJ ^ ц (F2)- Тогда

F2]<dist(Ft, F^.

Семейства подмножеств пространства .^. Операции над множествами. Напомним, что если множество К замкнуто, a G открыто, то множество Е (^ с К) замкнуто, a E(Fc:G)

FF

открыто в 2Г, каково бы пи было топологическое пространство ^ (см. § 17, II, теорема 1).

Если Я’ есть ^^пространство, то множество Е (-4 gz F) замк- F

нуто в 2Т, каково бы ни было множество А ед Ж (§ 17, II, теорема 2). Для компактных пространств мы имеем еще ряд утверждений.

Теорема 1. Пусть .У — компактное Ff2-пространство. Тогда если А является О^-множеством, то таким же является множество Е (F <= Л).

1) См. Хаусдорф [1]; см. также § 29, IX.

Доказательство. Рассмотрим эквивалентность

F ^ А = М (х^ЕПх^АГ-Ар

X

Множество E(x£F) замкнуто в ^ X 2Т (это верно для х, F

всякого (Тг-пространства ^, см. § 17, IV, теорема 1). Следовательно, eue^^eАГ — Л) есть F,,-множество, а потому и его х, F

проекция на 2г-ось есть ^-множество (согласно следствию 1а из § 41, IV); но это означает, что Е (F ф Л) есть ^-множество.

F

Теорема 2. Пусть .Г — компактное метрическое пространство. Тогда если А есть множество проективного класса СЛ, то таким является и множество Е^аЛ\

F

Доказательство, основывающееся на эквивалентности (1), совершенно аналогично предыдущему доказательству.

Замечание, Аналогичное утверждение для случая, когда множество А типа Fo, не верно. В самом деле, если АГ = 9 и А = A/i (множество рациональных чисел), то Е^сЛ не есть F

множество типа F„; более того, оно даже не является аналитическим множеством (см. § 43, VIII, следствие 3).

Теорема 3 ). Пусть АГ ~ компактное метрическое пространство. Тогда семейство Р всех совершенных подмножеств пространства АГ есть О^-множество в пространстве 2х. ■

Сначала покажем, что имеет место следующая лемма (справедливая для любого регулярного (/[-пространства АГ^.

Лемма. Если G с.АГ — открытое множество, то множество Е [(А Л О) = (х)] есть пересечение замкнутого множества с откры- X, F тым множеством в АГ X 2Т.

Доказательство леммы. Так как множество Е (хЕ F) х, F

замкнуто в АГ X 2х (см. § 17, IV, следствие 5), то множество E[U)c(FnG)]= Е^Е^Л Е (*EG) х, Fх, Fх, F

есть пересечение замкнутого множества с открытым.

С другой стороны, (х)представляет собой непрерывное отображение (согласно следствию За из§ 17, III), и поэтому (х) U (^— G)— тоже непрерывное отображение (как ■ объединение двух

непрерывных отображений; см. § 17, III, теорема 4). Поскольку множество Е^/7 с Я) замкнуто в 2х X 2х (так как ^ регулярно, см. § 17, IV, теорема 1), отсюда следует, что множество

Е [(fnG)c(x)] = Е [F er (X) и (^ - G)] х,Гх. Г

замкнуто в .^ X 2х.

Это завершает доказательство леммы.

Доказательство теоремы 3. Обозначим через Р семейство всех совершенных подмножеств пространства ^. Пусть 01, 02, ...—открытая база пространства Ж. Условие F £ 2^ — Р эквивалентно существованию точки х и индекса п, таких, что FV\Gn = ^x\ т. е.

2® - р = Е V V К/7 Л Gn) = (х)] = и Е V К/7 Л G^- (х)]. F п хп F х

По лемме Е [(^ П 0„) = (х)] есть /^-множество, а потому и X, Р

множество Е V [(^ П G^ = (х)] типа Fo. Следовательно, 2^ — Р Р X

есть Яо-множество.

Следствие За1). Пусть Ж — компактное метрическое пространство. Тогда семейство всех счетных замкнутых подмножеств пространства Ж есть множество проективного класса СА в 2»

Доказательство. Обозначим через U семейство всех несчетных замкнутых подмножеств пространства Ж. Так как каждое F^U содержит совершенное непустое подмножество (по теореме Кантора—Бендиксона, см. § 23, V), то

U = EW^ K^FMWF К

По теореме 3 множество Е (0#^с F)(K С-Р) есть О6-мно- F, К

жество. Следовательно, U как проекция О6-множества есть аналитическое множество (см. § 38, I).

Замечание. Рассматриваемое семейство необязательно является аналитическим (см. § 43, VII, следствие 3).

Теорема 4. Пусть Ж —компактное метрическое пространство. Тогда семейство N всех нигде не плотных замкнутых подмножеств пространства Ж есть Оа-множество в 2х.

*) Теорема Гуревича [4].

Доказательство. Пусть G^ G-^, ...—открытая база пространства Я' {Gn9=^- Тогда

2^-A^=EV(G,1c=^ = UE(G,ic/7).V n.а F

Так как Е(С„<щ/7) замкнуто, то 2Т — N есть множество типа Fa. р

Теорема 5. Пусть Я’ есть П^-пространство. Пусть Л с 2® и 5 = 8(Л) {объединение элементов Л). Если Л открыто, то S открыто. Если Л компактно и Я7 регулярно, то S замкнуто.

Доказательство. Допустим, что Л открыто в 2^. Не ограничивая общности, можно предположить, что Л есть элемент базы пространства 2^. Пусть Go Gn — система открытых множеств (в Я’\ такая, что (ср. § 17, I)

{F 6 Л) ^ {F cG0H? П G, ^ 0). .. {F П Gn ^ 0)

и 0 9= Gt с Go для I = 1, . . ., п.

Докажем, что S = Go.

Очевидно, что S с: Go- Обратно, пусть Xq^Gq1, обозначим через Xt любую точку G( для z = 1, ..., п. Тогда множество F = {x0, X], ..., хп{ есть элемент Л и, следовательно, x0^S. Таким образом, GocS и S = Go, что завершает доказательство первой части теоремы.

Теперь пусть множество Л компактно. По определению

(xes)s V {x^FX

F^A

и, согласно теореме 1 из § 17, IV, множество Е {х £ F) замк- х, F

нуто в Я’ X Л. Так как S есть проекция этого множества на .£’-ось, то из этого следует (в силу компактности Л), что S замкнуто (см. § 41, IV, теорема 1).

Замечание 1. Из теоремы 5 следует, что если Л есть счетное объединение компактных множеств, то таким же является и множество 8 (Л) (например, если Л есть ^-множество, а 2Т компактно).

Однако подобная теорема не имеет места для О6-множеств. Это видно на следующем примере.

/12 п \

Пусть Я' — 9, F„ — \—, — , ..., — и Л — семейство всех Еп, п=\, 2 Очевидно,Л есть дискретное подмножество про

странства 2^ и, следовательно, множество типа 66 (см. §24, III, теорема 1а). Множество 8 (Л) есть множество всех рациональных чисел (в П{ и, следовательно, не является (/^-множеством,

Замечание 2. Семейство W всех вполне упорядоченных (по отношению <) замкнутых подмножеств пространства У есть множество проективного класса С А в 25’.

Для того чтобы доказать это утверждение, воспользуемся тем очевидным фактом, что подмножество У не является вполне упорядоченным тогда и только тогда, когда оно содержит убывающую последовательность элементов. Поэтому, обозначая через ^[V^, Т2), • • •] произвольную точку пространства У8», мы имеем

2 r - IV = Е V Л (F € F^(^>^+^_Р < п, к

Отсюда следует, что множество 2r — W аналитическое.

Замечание 3. Легко показать, что для любого ^-пространства семейство всех множеств, состоящих не более чем из п элементов, замкнуто (при фиксированном и) в пространстве 2х.

Отсюда следует

Замечание 4. Семейство всех замкнутых конечных множеств есть Ра-множество в пространстве 2х.

Более того, оно всюду плотно в 2Ж (см. § 17, II, теорема 4).

Теорема 6. Пусть пространство ^ компактно и Ft = Ftcz.S7 для каждого t £ Т. Предположим, что семейство А = (РД конечномультипликативно, т. е. для каждой конечной системы индексов tx, ..., tn существует такое t^T, что Ft= НщС\ ... f\Ft. Тогда ( Q FA 6 А.

с т I

Доказательство. Положим Z = f) Ft. Мы должны пока- t

зать, что если G открыто в 2х и Z С G, то существует такое t, что F^G. Очевидно, можно предположить, что G принадлежит базе, рассмотренной в I (2). Другими словами, для данной системы открытых множеств Go, .... Gn (в У"), таких, что

ZaG0 и Z П Gz 0 при z = 1, ..., п,

мы должны показать, что для некоторого t^T

Ft а Go и Ftf\Gty=0 при 1=1, ...,п.

Предположим, что это неверно. Так как соотношение Ftr\Gty=0 следует из соотношений Z f) Gt У= 0 и Z a Ft, то паше предположение означает, что для каждого / мы имеем Ft ф Go, т. с. FtV\H ^ 0, где И = .Т — Go. Поэтому для любой конечной системы индексов tb ..., tn мы имеем (FnClH^Cl . • ■ . .. f) (Ft П Я) ^ 0; по предположению существует такое t, что

"FtvV\ ... nFtn=Ft,

следовательно,

Отсюда вытекает, согласно условию Рисса (см. § 41, I (2)), что ГЖЛД)^0, т. е. Z ф Go вопреки (2).

Неприводимые множества. Насыщенные множества. Множество F называется неприводимым множеством (соответственно насыщенным множеством) семейства множеств А, если F £ А и из соотношений ХщЕ и X с F (соответственно X с F) следует, что Х^А').

Из теоремы 6 п. III вытекает

Теорема 1. Пусть Л' — компактное пространство и Ас 2Т — вполне упорядоченное убывающее семейство множеств

(1)Fo с Fi с ... с Fac ..., а<у.

Тогда (QF^^A. V а У

Теорема 2). Пусть пространство Л7 компактно. Тогда всякое замкнутое семейство С с 2Y содержит неприводимый элемент.

Доказательство. Пусть Fo — произвольный элемент С. Если Foue является неприводимым, то существует F, £ С, такое, что Ft cFan F^ Fo. Продолжая таким образом, мы определим с помощью трансфинитной индукции последовательность (1), считая, что F„+I удовлетворяет условиям F„+I^C и Fa+lcFn^= Fa+1 (при условии что Fa не является неприводимым), и полагая Fx = П F^, если к есть предельное порядковое число. Так как множество С замкнуто, то в силу теоремы 1 отсюда следует, что Fa£ С при каждом а. Ясно, что, начиная с определенного а0, последовательность {FH} не может продолжаться. Следовательно, Fa„ — неприводимый элемент С.

Замечания. Если J^ — компактное метрическое пространство, то можно ограничиться последовательностями (1)тнпа со).

В связи с этим стоит заметить, что следующее утверждение можно доказать аналогичным способом (см. Лелек [I]).

Пусть ЛЕ — топологическое пространство со счетной открытой базой, и пусть А — семейство замкнутых подмножеств простран-

ства .F, такое, что для всякой последовательности (1) типа у = со пересечение Т^о П-^"i П ... содержит элемент семейства А. Тогда- каждое множество, принадлежащее А, содержит множество, неприводимое в А.

Очевидно, последнее утверждение остается справедливым, если не предполагать, что пространство Я7 имеет счетную открытую базу, а ввести условие (ПЛЛ€^ для всякой последовательности (1) подмножеств из Я" (каково бы ни было порядковое число у). Это по существу было показано при доказательстве теоремы 2.

Операции 6(F) и p(Fh F2). Пусть -V — компактное метрическое пространство. Так как .Т ограничено, то ограничен и диаметр 6(F) для каждого F <= .^ (напомним, что 6(F) есть точная верхняя грань всевозможных расстояний между точками множества F; см. § 21, III).

Теорема 1. Функция б: 2Г—>Д непрерывна.

Болес точно (ср. п. II, замечание),

6(LiF„)<liminf6(F„),

lim sup б (F„) б (Ls Fn).

Доказательство. Пусть p и q таковы, что (ср. § 41, VI, следствие 2d)

6(LiF„) = | p-q | и p^UFn, q ^ Li Fn.

Тогда существуют две последовательности рь Рз, ... и qb q2, • • ., такие, что .

p = limp„, q = iimqn, pn£Fm qn^Fn. tltl

Поэтому

I Pn- ^K^(Fn) и lim| P„-?„| = | p — q \, откуда

I p-q КI im inf 6 (Fn).

На основании (3) отсюда следует (1).

Далее, предположим, что

lim sup б (Fn) = Пт б(F^) и d(F6J = | pkn - qkn\, где Pkn^Fkn и qknEFkn.

Очевидно, можно предположить, что последовательности рк? рка, ... и qfe, q^ ... сходятся (в противном случае мы

заменили бы последовательность Fkv, F^, ... последовательностью с требуемыми свойствами). Положим

Y\mpkn = p и 11m ^ = <7, откуда p£LsFn и q£LsFn.

Отсюда следует, что

I p-q K6(LsF„) и lim| р^ —p^J =| p-q |.

На основании (5) отсюда следует (2). Итак, доказательство теоремы 1 завершено.

Далее, напомним, что p^Fb F^ обозначает точную нижнюю грань всех расстояний | xv — х2|, где х, £ Fb х2 С Р2 (см. §21, IV). Если Fx и Fi — переменные замкнутые подмножества компактного метрического пространства ^, то р есть действительная функция, определенная на прямом произведении 2V X 2Г.

Теорема 2. Функция р: 2х Х^-*'^ непрерывна.

Более точно (в предположении, что F„C2r и Нп£2ж\ мы имеем

p(LsF„, Ls^nXliminf р(Д„, Нп\

lim sup р (JFn> Н^ < р (Li F„, Li Нп\

Доказательство. Положим

liminfp(F„, Ff„)=limp(F6 , Hk ), p(F6 , Hk y=\pk -qk \ где

P^^n и qkn£Hkn.

Очевидно, можно предположить, что последовательности рк, рк? ... и qk, qk, ... сходятся, т. е. выполнено (6). Тогда.

p(LsF„, Ls^„)^| р — <71 = lim | р^ —p^J,

что на основании (10) дает (8). Далее, положим

p(LiF„, Litf„)=4p-p|, p£LiF„, q№

Тогда

p = limp„, pn£Fn, q = Yimqm qn£Hn.

Поэтому

I p-q |™lim| pn-qn\ и | pn-qn |>p(F„, Hn)

и, следовательно,

| p — p |^> lim sup p(F„,//„).

Из (11) и (12) вытекает (9).

§ 43. Полунепрерывность

Полунепрерывность и предположение компактности пространства .У1). Напомним (см. § 18, I), что отображение F: 2/—>2'т, где .2" и 2/— топологические пространства, называется полунепрерывным сверху, если для всякого замкнутого множества ЛсУ множество Е[/-'0/)ПЛ=#=0] замкнуто в У.

и

Заменяя в этом определении слово «замкнутый» словом «открытый», мы получим определение полунепрерывности снизу.

Более точно, F называется полунепрерывным сверху в точке у0, если

каково бы ни было открытое множество G; F называется полунепрерывным снизу в точке у0, если

y0£F^2KHu0EF-42K\

каково бы ни было замкнутое множество К.

В § 18 был сформулирован ряд свойств полунепрерывных отображений. Сейчас мы сформулируем еще ряд свойств, в предположении, что пространство У компактно, а ^ — произвольное уД-иространство.'

Сначала заметим, что если отображение /: У—>У непрерывно, то f — замкпутое отображение (см. § 41, III, теорема 2). Отсюда и из теорем 5 и 5а § 18, III вытекает следующее утверждение:''

Теорема 1. Если отображение f: У->У непрерывно, то отображение р1: 2?/-»2г полунепрерывно сверху.

-1

В частности, /: У-^ полунепрерывно сверху.

Теорема 2. Пусть отображение Q: У->2тхУ определено соотношением Q (у) = У X (у). Если пространство У компактно, то отображение Q полунепрерывно сверху.

Отображение Q полунепрерывно снизу при любом пространстве У.

Доказательство. Пусть Л с.. Об X У — замкнутое множество. Мы имеем

[QG/W^OHVP, yW А;

что означает, что множество Е [Q (//) П Л^О] есть проекция многу

жества Л па 3^-ось. Это множество замкнуто, так как пространство Д’ компактно, а множество Л замкнуто (ср. § 41, IV, теорема 1). Следовательно, отображение Q полунепрерывно сверху.

Если множество Л открыто, то открытым будет и множество Е [Q (у) А Л =?fcO], так как формула (1) означает, что (ср. §2, V(l))

E[QG/)A^o] = UE[(x, у) 6 Л],

и* У

и Е(х, У^Л открыто ДЛЯ ВСЯКОГО X. и

Замечание. Для некомпактного пространства .Т отображение Q может не быть полунепрерывным сверху. Пример: .^' = cf, У = 3\ рассмотрите множество

А = Е (х = \ДД (0 < у < 1).

х, U

Теорема 3. Пусть П = ОсИ’ХУ и /7(//) = Е[(х, у^ D^

X (горизонтальное сечение\ Тогда F полунепрерывно сверху.

Доказательство. Пусть К = К ел .V. Так как отображение Q из теоремы 2 полунепрерывно сверху, то таким будет и Q A О (ср. § 18, V, теорема 2). Так как КХУ замкнуто в Д-ХУ, то замкнуто и множество

E[(Q(i/)A£)A(KX2/)^o].

Остается показать, что это множество совпадает с множеством Е [^7(1/)П А ^О]. Но это вытекает из соотношении у

((х, oKDMKHx, уШоткхУ^

=(Х, Z/)6[Q(Z/)AHA^X2/)], следовательно,

YF (у) А К ^ 0] ^ у [X с (F (у) А ЮИ

-V[(x, ?/)еС(//)ПОП^Х^)>

= [Q(//)AOA^X 2/)^0].

Теорема 4. Пусть F; У-*^. Отображение F полунепрерывно сверху тогда и только тогда, когда замкнуто множество

D- Е [х^ Е(г/)].

у

Доказательство. Вели отображение F полунепрерывно сверху, то /) замкнуто (но теореме 1 из § 18, III, которая справедлива для любого регулярного пространства .'/').

Обратно, если I) замкнуто, то наше утверждение следует из теоремы 3, так как (х, у) £ 13 = х £ F (у).

В § 18, V, стр. 189, было показано, что пересечение двух полунепрерывных сверху отображении полунепрерывно сверху, если пространство .2" нормально. Мы хотим распространить эту теорему на пересечение произвольного семейства полунепрерывных сверху отображении в предположении компакт- поетп пространства Я'.

Сначала мы докажем лемму, соответствующую (в конечном случае) лемме из § 18, V, стр. 188.

Лемм а ’). Пусть Т — произвольное множество, Я’ — компактное ,7->-пространство и Ft; для каждого 1^Т. Положим F(y) = [}Ft(y).

Тогда для каждого открытого множества G а Л' мы имеем

г^г^ип^^г'7-), и t

где объединение распространяется на все семейства U, состоящие из открытых множеств U (, имеющих G и качестве их общего пересечения и таких, что, за исключением конечного числа индексов, Ut — Я'.

Док а з а тс льств о. 1. Пусть у £ /•' 1 (2е), т. о. (П /Д (у)) с G или, эквивалентно, П U7i ЬА — И) =•= 0. Так как пространство /С компактно, а множества FM^-G замкнуты, то существует (ср. с условием Рисса, §41, I (2)) конечная система индексов tb ..., 4, такая, что

(/•;,(//)“«) п Г\а«МА-а>».

Так как множества Fi^y) — G замкнуты, то существует, согласно (4), система открытых множеств Vt , ..., Vt, такая, что (см. § 14, [II, стр. 131)

1/,_П ... ("1^ = 0 и F,.(y)- G с V,,

') .Чтя лечил, а также приведенные далее георема и следствии принадлежат гНп-елькиигу [1].

■■.in/^1, 2, . к. Пусть U — семейство всех множеств

U, L G U Vp. при i ;•= 1, 2, . . ., /? ц Ut -= /С при / У= /,. Очевидно,

n ut - и,^ ... n Uth - (G и Vt^ п • • • П (G U Vy) = G,

сот.ааспо ncpBoii части соотношении (5). Согласно второй части этого соотношения, /•’,(//) с Uh т. е. у £ Ft 1 (2,;0 для каждого IС ^"» и. следовательно, у принадлежит правой части соотношения (3).

2. Предположим теперь, что у принадлежит правой части равенства (3). Тогда существует семейство U открытых множеств U,, таких, что П^,-G и yEPt'^'Y т. е. /• Д//) с ^

для каждого /^7'. Следовательно,

Р (у) = П Р, (у) с П Д = G, т. с. у £ F1 (2,;). t /

Теорема 5. Пусть пространство .Т и отображение F такие же, как в лемме. Если каждое Ft полунепрерывно сверху в точке у», то и. отображение F полунепрерывно сверху arofi точке.

Доказательство. Пусть множество G открыто и /Ж Г'(‘Л- Мы должны показать, что //ое rnt|F-,(2f-)|. Применим лемму' и рассмотрим семейство U, такое, что У.Е Р/Ч^'1') для каждого U tEU и, кроме того, Ut = .E, за исключением тех /, которые принадлежат конечной системе /,, . .., /,.. 'Гак как Fy полунепрерывно сверху в у0, отсюда следует, что у. Е bit | Ft'' (‘Ч'1} |, и поэтому

у.Е П ьи|дД2^)| = rnt ГП /-/ЛзЛ .

Согласно равенству (3), Q Pt-' с F 1 Е^‘\ откуда у.ЕШ \F -l(2u)\.

Теорема 6. Пусть пространство Я", компактно и Fp. :4-->2ri, i =H\ !. Положим !■' (у)^ /'.(у^Х 1р(у). Тогда если F. и 1р полунепрерывны сверху в точке уп, то и отображение F полунепрерывно сверху в этой точке.

До к а з а т е л ь с т в о. 'Гак как

РО^ X FvbA = VF0^ X .? ,] п [.Со X FtUAA

и пересечение двух отображении, полунепрерывных сверху в точке г/о, снова есть отображение, полунепрерывное сверху в z/o, то при доказательстве можно ограничиться частным случаем, когда Fi (//) = • Тх.

Пусть G с .Т^ X -^i — открытое множество, такое, что ^оЫХ.УчсС. Мы должны определить (ср. § 18, HI, теорема 3) открытое множество Н а У, содержащее /;0, такое, что

!l№FMX.rtcG.

Далее, вследствие компактности .Т х существует открытое множество иаУ0, такое, что (ср. § 41, IV, теорема 1)

F^X^yczU X.^cG.

Следовательно, /^(//п) с С/, и так как F^ полунепрерывно сверху в //о, то существует открытое множество // с V, содержащее //0, такое, что

yEH^F^cU.

Очевидно, что из соотношений (8) и (7) следует (6).

Теорема 7. Пусть -Vh Е( и F — такие же, как в теореме 6. Если отображения F^ и Ех полунепрерывны снизу в точке у^, то и отображение F полунепрерывно снизу в этой точке.

Доказательство. Пусть множество К с Уф X Н\ замкнуто; предположим, что

у^Е^Х т. е. ШХ FWK-

Мы должны показать, что у0 ^ Е^Ч^Ч- Другими словами, мы должны определить открытое множество U с У, содержащее у^ такое, что

и^\р-Ч^Ч = ^ т. е. ШХЕШК

для каждого у^ U.

Согласно (9), для / = 0, 1 существуют элементы х^Е^у^, такие, что (х(), х^ ^ К- Следовательно, существует открытое множество V/ с Утакое, что

(Н)XjEVj и (Vq X V[) П К = 0.

Из этого следует, что

XtEVjttFMX

откуда

Fр т. e. г/0^ Eyl (2Tr v/\

Так как Fj полунепрерывно снизу в точке //0, то !1иС Ff' ^Т VfY Следовательно, существует открытое множество Uj с 2/, содержащее //0 и такое, что

U^F?'^ ^'М, т. с. /WnVWO

для каждого y^Uj.

Положим U = UVXU?. Из соотношения (13) следует, что для y^U

откуда в силу (11) получаем (10).

Следствие 1. Пусть .У jt Fj и F — такие же, как в теореме 6. Если отображения Ео и Ех непрерывны в точке ут то и отображение F непрерывно в этой точке.

Следствие 2. Если пространства .Ео и .Ех компактны, то операция произведения К X L есть непрерывное отображение пространства 2Го X 2Г| в 2Т,ХХ'.

Замечание. Теоремы 6 и 7 и вытекающие из них следствия можно распространить на бесконечные прямые произведения.

Случай компактного метрического пространства Я'.

Пусть .Т — компактное метрическое пространство и F; :У->2Т.

Теорема I1). Отображение F является полунепрерывным сверху тогда и только тогда, когда

(0)(lim//„ = //)=^(Ls F(yn) с F(y));

другими словами, F полунепрерывно сверху тогда и только тогда, когда из соотношений

V\myn = y, Нтхл = х и xn^F(,yn>

вытекает соотношение

x^F(yY

Эта теорема следует из теоремы 4 п. I, так как импликация (1)=Ф(2) означает, что множество D замкнуто.

Теорема 2. Отображение F полунепрерывно снизу тогда и толькп тогда, когда

(lini у„ = уА^иЦу^-А F(yn)),

n.'iii, другими словами, тогда а только тогда, когда из соотношении

lini у„ у и х^ F(y')

вытекает существование последовательности xh ль, . .., такой, что

liiii.v„~A" и ХцЕР^Л

Доказательство. Пусть М — МсТ и N — Е [/; (//) сМ]. у

Предположим, что (3) выполняется, и пусть lirnуп —У и ШУнУ^М; тогда уп^ N и y^N. Но, согласно (3), мы имеем

/-'(/pcLi /;(//„)с:/И, откуда у£М.

Следовательно, множество N замкнуто, а это означает, что отображение F полунепрерывно снизу.

Далее, предположим, что соотношение (3) неверно. Тогда мы имеем

Vwy„- = y, x^F(y) и x^Li F(yn).

Следовательно, существуют открытое множество G и последовательность /,’[<//.,< . ... такие, что x^G и G П F (ук) = 0. Положим М •-=.?’- G. Из этого следует, что Уь ^N и y^N; поэтому множество N незамкнуто, а это означает, что отображение F не является полунепрерывным снизу.

Замечание 1. Теоремы 1 и 2 легко можно локализовать: отображение /•' полунепрерывно сверху (соотв. снизу) в точке у тогда и только тогда, когда выполняется высказывание (0) (соотв. (3)).

Теорема 3. Отображение F полунепрерывно снизу тогда п только тогда, когда множесгво

/и Е {р [х, FUA\ <п)

открыто для каждого ц>0.

Доказательство. I. Предположим, что отображение F полунепрерывно снизу. Пусть

(.V, y)^J}}, lim.vrl = .v и limyn = ^.

ап

Мы должны показать, что для достаточно большого в имеет место включение (хп, у^^/ц, т. е.

Р [х„, А (//„)] <ib

Из включения (х, y^J^ следует, что существует элемент x'£F(yY такой, что | х — х' | < 1]. 'Гак как отображение /■' иолу- пепрерывпо снизу, то мы имеем xz = lim х' и х'С А (?/„)•

Следовательно, | х'— xn|<t] при доста точно больших //, п (7) доказано.

Далее, предположим, что отображении1 F не является полунепрерывным снизу в точке у. Тогда

х € А (у)- Li F(y„) и у lim уп.

Следовательно, существуют число 1] > 0 и последовательность кх<к.,< ..., такие, что

р|х, F V.lk,^^0' откуда (*> Vk^lxv

Так как (л-, у)Е/п, то из этого следует, что множество /ч не является открытым.

Теорема 4. Если отображение F полунепрерывно сверху, то и отображение б - F полунепрерывно сверху.

Доказательство. Пусть lim у„~-у. Мы должны доказать, что

liin sup 6 [F (</„)] -С б\F (//)],

где 6(Д) обозначает диаметр множества /1 (заметим, что так как пространство .?' компактно, то 1Цу,б и Щу) ограничены).

Допустим, что соотношение (8) неверно. Тогда можно предположить, что

Нтб[А(щ,)]->б[А(д)].

Так как множество F(y„) компактно, то существую т (см. §11, VI, следствие 2d) а;1 и х'п, такие, что

x^fo.a и ФДМЧа-,,--а-;,!.

Выберем kt<k->< ... так, чтобы последовательности х. п v' кп

сходились:

lim А". "А" И lilHA< — А-'.

Из соотношении (10) п (11) вытекает, что х п х' принадлежат l.s/■"(//„) и, следовательно, по теореме 1 принадлежат 1: (у). 11оутому | х — х' | б [А (//)].

С другой стороны, на основании (11), (10) и (9)

| - У | = lim | xk^ - х^ | = lim 6 |F (///;J j > d [E (z/)], и мы пришли к противоречию.

HI. Разбиения компактных пространств. Напомним (см. § 19, I), что если задано семейство D замкнутых непустых и пепере- секающихся подмножеств пространства Я', объединение которых есть Я’ (называемое разбиением пространства .2Д, то топология в D (называемая фактортопологией) определяется с помощью следующего соглашения: множество AclD открыто (в D) тогда и только тогда, когда S(A) открыто (в Я’).

Отображение Р; ЯГ-> D, называемое проекцией, определяется условием [D = Р (х-)] = (л: С D £ D).

Легко видеть, что отображение Р непрерывно.

Разбиение D называется полунепрерывным сверху (снизу), если для всякого открытого (замкнутого) множества ВаЯ’ объединение всех D^D, содержащихся в В, открыто (замкнуто); это эквивалентно условию, что Р — замкнутое (открытое) отображение.

Добавим, что понятие полунепрерывности можно локализовать (в D^D, см. § 19, стр. 194).

Теорема 1. Если пространство ЯГ компактно, то разбиение D (в его фактортопологии) компактно.

Если, кроме того, разбиение D полунепрерывно сверху и Я’ есть ^^-пространство, то разбиение D тоже является J'.ynpo- странством (и, следовательно, D — нормальное пространство).

Доказательство. Компактность разбиения D следует из непрерывности проекции Р: ЯГ-> D (по теореме 1 из § 41, III).

Если .^ есть ^"Пространство, то ЯГ нормально (по теореме 3 из § 41, II). Следовательно, если разбиение D полунепрерывно сверху, то D также нормально, ибо нормальность есть инвариант относительно полунепрерывных сверху разбиений (ио теореме 5 из § 19, II).

Замечание 1. Из теоремы 1 видно, что если D — полунепрерывное сверху разбиение компактного Я'^-пространства, то существуют компактное Я^-пространство У (а именно D) и непрерывное отображение f: Я'—>У (а именно Р), такие, что элементами разбиения D являются прообразы f (у) точек у^У.

Существует единственное (с точностью до гомеоморфизма) пространство У, удовлетворяющее этому условию; это означает,

что если отображение fp ^->^! непрерывно и элементы раз-1

биения D совпадают с множествами fj (у), где у^У\, то пространство Ух гомеоморфно пространству У.

Именно, сложное отображение g = f\a f есть гомеоморфизм У па Ух (ибо для А = АаУ мы имеем £(Л) = £(Л) в У,).

Теорема 2. Пусть УТ и У — компактные ^-пространства и F: У-> 2х — полунепрерывное сверху отображение, такое, что

(ОF (//) Л F (у') = 0 при у^у'

и

.^= U 1Чу\

и с-у

Тогда соотношение (ii) определяет полунепрерывное сверху разбиение пространства У\

Доказательство. Пусть множество ЛсУ замкнуто. Мы должны показать, что объединение U всех/Ду), таких, что А Л F (у)#=0, замкнуто. Итак,

х £ U = V [х 6 F (у)] [А Л F (у) 0] V [х € F (у)] [х' 6 F (у)] [V 6 Л]. уи. X'

По теореме 1 из§ 18, III множества Е [хб/Ду)] и Е [х'£ F (у)] X, их’, у

замкнуты. Следовательно, в силу компактности пространств УТ и У множество U замкнуто (см. § 41, IV, следствие 1Ь).

Теорема 3. Если У’— компактное ^-пространство и }: У’ -* У — непрерывное отображение на, то разбиение

полунепрерывно сверху.

Это следует из теоремы 2 и теоремы 1 п. I.

IV. Разбиения компактных метрических пространств. В этом пункте мы будем предполагать, что У" — компактное метрическое пространство.

Теорема 1. (Александров1).) Всякое полунепрерывное сверху разбиение D пространства УТ (в своей фактортопологии) гомеоморфно компактному метрическому пространству.

') См. Александров [4]. По поводу проблем, связанных с метризуемостью и паракомпактностью разбиения D, см. также Архангельский [1, 2].

Доказательство. По теореме I п. III разбиение D являе гея лгиространством.

Кроме того, D является непрерывным образом компактного метрического пространства .‘Г. Следовательно, D компактно и метрпзуемо (ио теореме 3 из § 41, VI).

Теорема 2. Каждое из следующих условна является необходимым а достаточным для тосо, чтобы разбиение D пространства .Т было полунепрерывным сверху:

(О (/)ЛкЩ,^0)Д>(1.й/)„с:/)) Ude I), Dn^D\

если нослсдов.тгелвность D\, Dz, ..., I)n, . . . сходится, то ее предел содержатся в единственном элементе разбиения D.

Доказательство. I. Предположим, что разбиение D полунепрерывно сверху. Тогда, согласно замечанию к теореме 3 из и. IИ, сущеетпуют компактное (метрическое) пространство У и непрерывное отображение /’: .'Г- >У, такие, что каждое BED ।

имеет вид П - / (//), уЕ'У-

Предпо южнм далее, что .v С (I) П 13 Иц). Отсюда

V 6 И//) П Li 7 Ш, т. С*.

/ (.V) - у и .V ----- lim х„, где / (х„) = уп.

Положим

х' 6 Ls /)„, т. е. х' — lim х' , где / (х', 4 = il .

Mi,i должны показать, что x'^D, т. е. что [(х') = у. Так как отображение { непрерывно, то мы имеем

I (хг) - lim j (.v'J = Iiin y^= lim /' (xk^ =Цх) = //•

('.ледова | (1лыю, x'£((y), т. e. x'^D. Это завершает доказательство.

Ясно, что (i)-=>(ii).

Предположим, что выполняется условие (ii). Мы должны показать, что разбиение D полунепрерывно сверху; это означает, что если множество В а ,Т замкнуто, то замкнутым являе тся п обз.сдииение всех О, таких, что D П В ^ 0. Другими словами, предположим, что

v„C/4,„ lim х„ = ,r Е D, DaE\B=#0;

мы должны показать, что D Q В ■=/= 0.

Так как пространство 2г' компактно, то можно сшгать, что последовательность Вх, В,, ... сходится: lini/)„ - /.. Iio нре.д- положешпо 1. содержится в единственном элементе пространства В. Более того, L Г) /> Д- 0, так как семейство всех >лемеп- тов пространства 2Д имеющих общие точки с Д, замкнуто (по теореме 1 из § 17, II) и, следовательно,

(/Д П /^ 0) ^ (/. П В Д 0)->(/) П В -/-- 0).

Теорема 3. Для того чтобы разбиение В пространства Д’ было полунепрерывным снизу, необходимо и достаточно следующее условие;

(iii) (/)nLi/)„ Д--())=>( Дс Li/),,) ДдеВ,В„^.В\

Доказательство. I. Необходимость. Пусть В П Li Вп ДО. Тогда

х^В, л —Нп1л-,д и х^В^.

Пусть х'^П. Мы должны показать, что х' £ Li Д„, в предположении, что разбиение В полунепрерывно снизу; что о ша- чает, что, каково бы пн было открытое множество G, содержащее х', мы имеем Вп П G =Д 0 для и > щь

Теперь обозначим через U объединение всех В'^В, таких, что В' П С =Д 0- Так как В полунепрерывно снизу, то U открыто. Так как х' £ В П G, то мы имеем В a U, и, согласно (5), существует такое щь что В,г f] U -ДО для //>//„. Из этого следует, что ВпС7.и (так как элементы разбиения В не пересекаются). По это означает, что B,L П G Д= 0.

Достаточность. Предположим, что В не является полунепрерывным снизу. Это означает, что существует открытое множество В, такое, что объединение I) всех таких BGB, для которых В П В Д= 0, не является открытым.

Следовательно, существуют такие х и В, что

x^BcU, x^=lini.r„ и x„(U.

Обозначим через Вп такой элемент В, что х^В,,. Следовательно, Д^ПД—0. Так как В a U, то мы имеем В П G "/-"<); положим ХобДПД'- Поскольку адЕД, тогда как В„ П С I), то мы имеем x()^LiD,t, н поэтому В Д Li В„.

С другой стороны, х ^ /9 П Li Вп (согласно (6)). Следовательно, импликация (iii) не выполняется.

V. Непрерывные разбиения компактных пространств. Напомним, что разбиение В произвольного топологического

пространства .7’ называется непрерывным, если оно полунепрерывно одновременно сверху и снизу (см. § 19, стр. 194).

Из этого определения следует, что D — непрерывное разбиение тогда п только тогда, когда проекция Р: .V-> D есть отображение, одновременно замкнутое и открытое.

'Георема I. Пусть У — компактное ^^пространство и j: У—> У — непрерывное отображение на. Разбиение D пространства У на прообразы отдельных точек пространства У непрерывно тогда и только тогда, когда отображение j открыто.

Доказательство. 1. Предположим, что разбиение D пе- - 1

прерывно. Тогда отображение/: У —>2Ж непрерывно (здесь топологии в D п в 2Г совпадают, см. § 19, стр. 196) и, согласно теореме 5 из § 18, III, отображение / открыто.

2. Предположим, что отображение / открыто. Пусть G а У — произвольное открытое множество; обозначим через U обгьедп- пение всех / (//), таких, что / (//) Г) G 0. Очевидно, U = /“' / (G), и так как /(G) открыто, а / непрерывно, то из этого следует, что множество U открыто. Это означает, что D полунепрерывно снизу. По теореме 3 п. Ill D также полунепрерывно сверху, следовательно, разбиение D непрерывно.

Замечание. В п. VII мы покажем, что всякое полунепрерывное разбиение компактного метрического пространства содержит элементы непрерывности.

Следующая теорема будет использована ниже (в § 46, VI):

Теорема 2'). Пусть У — компактное метрическое пространство и /: У —> У — непрерывное отображение на. Если все множества f (//) счетны (ила, более общо, содержат изолированные точки), то существует последовательность замкнутых множеств Ft, Р2, ..., такая, что

U Н^п)— ^ 11 1\^п есть гомеоморфизм при п=\, 2

Доказательство. Нам достаточно определить последовательность Г„-множеств /11, /12, ..., такую, что

U /Ш = 2/

*) Ср. Александров [10, стр. 283].

п сужения / |/1т взаимно однозначны, так как если мы положим Am = U Ат, где А1т замкнуты,

то требуемая последовательность Fb F2, ..., Fn, ... получается в результате расположения двойной последовательности (/1^) в простую последовательность.

Далее, пусть /?|е R2, ...—счетная открытая база пространства .7’; положим

A4 = Evk„(U(//) = wL

Так как множество Е [/?,„ n F = (х)], согласно лемме из § 42, III, является F„-множеством (в пространстве .7’ X 2е), то таким

Г -1I

является и множество Е |/?тП/ (//) = (х)| (в пространстве FTX Уу

-1

поскольку отображение / открыто, и поэтому / непрерывно (па основании следствия 2 из § 13, XIV). Проекция этого множества на .7’-ось есть множество Лт (по формуле (3)), и поэтому Лш также есть F„-множество (согласно следствию 1а из § 41, IV).

Для доказательства утверждения (I) возьмем у^У. По пред-

-1‘

положению множество f (у) содержит изолированную точку, скажем х. Следовательно, существует такое т, что

-1

Rm П Н1А = U), когда х£Ат и уЕЦЛт\

Наконец, докажем, что отображение Л Ал взаимно однозначно. Пусть х£Ат, х' С Лт и ^х^ = ^х'\ По определению А,„ существуют у и у', такие, что

Rm^fUA = W и /?тПДу') = (-И-

Поэтому y = f(x) и y' = f{x'\ а так как Цх^ = ^х'\ то и у = у'. Заменим у' па у во втором из равенств (4). Мы увидим, что х = х', и тем самым доказательство будет завершено.

Примеры. Отождествление точек.

Пусть .V обозначает n-мерный шар и D — его разбиение, один элемент которого — граница гУп_у шара .7", а другие элементы — одноточечные множества (х), гдеТогда

разбиение D полунепрерывно сверху и гомеоморфно сфере &А (в этом случае мы говорим, что точки сферы ^п_х отождествлены).

Пусть Я"--^,;, отождествим пары диаметрально противоположных точек. Тогда разбиение D гомсоморфпо п-мерному проективному пространству. При этом D — непрерывное разбиение сферы SFn.

Положим Я"—Я2. Отождествим диаметрально противоположные точки вертикальных сторон квадрата Я". Получаемое таким образом разбиение пространства Я"2 есть лист Мёбиуса.

Отождествляя течки вертикальных сторон, имеющие одну и ту же ординату, мы получаем цилннбрическую поверхность.

Если мы, кроме того, отождествим точки горизонтальных сторон, имеющие одну и ту же абсциссу, то получим поверхность тора.

Всякое (непустое) компактное метрическое пространство Я можно рассматривать как полунепрерывное сверху разбиение канторова бисконтинуума (б.

В самом деле, согласно следствию 21) из §41, VI, пространство Я есть непрерывный образ ^ и, следовательно, го- меоморфно разбиению пространства ^ па прообразы отдельных точек пространства Я.

I. Связь полунепрерывных отображений с отображениями класса 1.

Теорема 1. Вели Я" — компактное метрическое пространство, то всякое полунепрерывное отображение F: Я->'1^ есть (В-измеримое) отображение класса 1 (т. е. прообразы открытых множеств есть F „-множества).

Доказательство. Так как Я' — компактное метрическое пространство, то этими свойствами обладает и пространство 2Г; следовательно, 2е имеет счетную открытую базу. Так как совокупность множеств вида Е(Л' CZ (!) или вида Е(К П В Я- 0) (где кк

множество СсЯ открыто) есть предбаза пространства 27' (см.

§ 42, I), то достаточно доказать, что прообразы множеств, принадлежащих этой предбазе, являются ^.-множествами (ср. § 31, П, теорема 1). Другими словами, мы должны доказать, что в предположении полунепрерывпости отображения /•’ каждое из множеств

E[E(//)c:G],

EVHyW- ^0]

И

есть F„-множество.

В пашем доказательстве мы воспользуемся следующим представлением множества G (ср. § 41, II, следствие 4):

f/^/V^UA^U где /<„ замкнуто и К^ с hit (/<,г + 1).

Спач 1ла предположим, что F полунепрерывно сверху. Тогда по определению множество (1) открыто и, следовательно, является /•'„-множеством.

Кроме того, из (I) следует, что

Е |/? (//) П </ ^0]= UE[/;(y)QA',t^0], и" 1 и

н так как Е |/; (//) П Кп "^ 0] замкнуто, то (II) есть ^-множество.

Далее, предположим, что отображение /•’ полунепрерывно снизу. Тогда множество (ii) открыто по определению. Кроме того, если F(y)c2 (i, то в силу формулы (I) и компактности /; (у) существует такое п, что /■'(у) с: ДД. Следовательно,

Е [/Ду) с с] ^и Е [/Ч'^

и так как множество Е|/Ду)сд /<„] открыто, то (1) есть /Д-мио- жество.

Следствие I. Пусть У — метрическое, а .'Г — компактное метрическое прост ранет по. Пели отображение F: У—*1!^ полунепрерывно, то .множество точек разрыва отображения F есть множество первой категории.

Следовательно, если пространство У полно, то множество точек непрерывности отображения F, т. е. множество точек у, таких, что (ср. замечание I и. II)

(lim уп = у) =^> (Lim F (у^ = F (у)),

всюду плотно в У.

Доказательство. Первая часть следствия вытекает из теоремы 1 §31, X, утверждающей, что множество точек разрыва функции класса I есть множество первой категории. Вторая часть вытекает из известной теоремы Вара, утверждающей, что в полном пространстве дополнение множества первой категории всюду плотно (см. § 34, IV).

Замечание. Следствие I может быть доказано при более общих предположениях, именно: У — топологическое пространство, .У — метрическое пространство и F (у) компактно для каждого у^У (см. Форт [ 1 ]).

Следствие 2'). Пусть, как в теореме 3 п. I, I) — замкнутое подмножество произведения У X У (где У — компактное, а У — метрическое пространство) и F(y) — eeo горизонтальное сечение, т. е.

F(//) = E[(x, y)CD\

Тогда если Р — борелевское подмножество пространства. 2Т, то множество В ~ЕЦЧу^Р! есть борелевское подмножество и пространства У.

Доказательство. Так как /’ — полунепрерывное сверху отображение (по теореме 3 п. I), то F есть отображение класса 1 и, следовательно, множество F~I(P)~B есть борелевское множество.

Следствие З2). Семейство Рх замкнутых счетных множеств и семейство Р> замкнутых множеств, не содержащих иррациональных чисел, не являются борелевскими множествами пространства 2г/.

Доказательство. Пусть А — аналитическое пеборелев- ское подмножество пространства 9 (ср. § 38, VI). Определим замкнутое подмножество D пространства У2 так, чтобы из (2) следовало

Е[^ (у) 6 P\V-9-A = EVM-A С p2L

иу

Это соотношение завершит доказательство, так как из следствия 2 будет вытекать, что множества Рх и Р, не являются борелевскими.

Пусть /: ГЖ -> А — непрерывное отображение на, такое, что оно принимает каждое свое значение несчетное число раз (ср. § 39, VII, замечание 1; заметим, что последнее предположение относительно f при доказательстве того, что множество Р2 не является борелевскнм, можно опустить). Положим

/) = Ё ['/ = /'где х£9 и у £9.

X, у

Так как f непрерывно, то множество Е [// = /(*)] замкнуто в р#1 X 9, т. е.

Е[у = /(.г)]=/)П(^Хс7).

X, и

') См. Куратовскии и Марченскип (1, стр. 1С0).

См. Гуревич [4].

Таким образом, соотношения х^сИВ и (.г, t/) ^ D дают у — Цх), откуда у Л. Другими словами, если уЕ‘/ — Л, то из включения (.г, iA^D следует включение х £ Я — оА^, т. е. F (у) с: CZ сс/ — е/f \ И поэтому F (у) £ Р^.

Обратно, если у Е Л, то множество f АА несчетно, а потому несчетно множество F (//), так как f (у) с F (у). Следовательно,

Это завершает доказательство соотношения (3) (так как Р-с Pv\

Следствие 4'). Всякое полунепрерывное сверху разбиение D компактного метрического пространства Я' содержит элементы непрерывности.

Более точно, семейство всех элементов непрерывности есть всюду плотное Оц-множество в D (в его фактортопологии\

Доказательство. Согласно замечанию из п. III, существует непрерывное отображение /: .Т-»2/, такое, что элементы -1 рассматриваемого разбиения совпадают с множествами Ну\ где у^Я (здесь 2/ можно отождествить с D\ Так как отобра-

жеине /: "У->ЧЖ полунепрерывно сверху (ср. § 19, IV, теорема 2), то остальная часть доказательства вытекает из следствия I.

VIII. Примеры отображений класса 2, не являющихся отображениями класса 1.

Граница (т. е. отображение F, определяемое условием F (К) = К (VF — К для К Е 2Ж) есть отображение 2Г в 2^ класса 2 (предполагается, что Я/ — компактное метрическое пространство).

Отображение F есть композиция двух полунепрерывных отображении: отображения пересечения и отображения замыкания дополнения (по теореме 1 из § 18, V и следствию из § 18, VI), т. е. композиция двух отображении класса 1 (согласно теореме 1 п. VII) и, следовательно, есть отображение класса 2 (по теореме 1 из § 31, III).

Кроме того, граница может и не быть отображением класса 1. Например, в случае, когда .У есть канторов дисконтинуум, легко видеть), что F разрывно в каждой точке К(#=0).

’) См. Куратовекцй [13, стр 176, теорема VII]. Ср. также Хилл [1].

Производная .множества 1\ (т. е. множество всех точек накопления множества /<) есть отображение класса 2 '). Кроме того, если У— ‘6, то это отображение разрывно в каждой точке /( У 0, так как всякое конечное множество имеет пустую производную, но (если оно непусто) является пределом бесконечных множеств, т. е. множеств, имеющих непустые производные; аналогично, всякое бесконечное множество есть предел конечных множеств.

Предыдущие примеры показывают, что среди многозначных отображений (в отличие от действительных функции действительного переменного) очень простые и важные отображения не являются ни непрерывными, ни даже класса I.

Добавим, что в силу следствия 3 и. VH характеристические функции, определенные на 2// для семейства счетных .замкнутых подмножеств пространства <7, не являются В-измеримыми.

IX. Замечания о селекторах. Пусть задано многозначное отображение Л: .7->2г, где /•'(//) 7= 0 для каждого //£ 7; отображение / : У - > .’"Г называется селектором отображения F, если / (//) 6/; (//) Д^я каждого у^У.

Можно показать), что если У — метрическое пространство, У — полное сепарабельное пространство и F — полунепрерывное отображение, то существует селектор класса 1.

Это утверждение вытекает из следующей общей теоремы:

Пусть L — алгебра подмножеств пространства У (т. е. если Л и В — элементы L, то Л U В, Л Л В и У—Л—также элементы L\ Обозначим через L„ счетно-аддитивное семейство, порождаемое L ^т. е. семейство всех счетных объединении злементов L\ Предположим, далее, что У — полное сепарабельное пространство и F: У -> 2х — такое отображение, что F (//) 7= 0 для каждого у^У и

Е [/7 (//) Л G У 0] 6 La,

каково бы ни было открытое множество О с У.

Тогда существует селектор f: У—>У, такой, что

f”4G^La, каково бы ни было открытое множество Ос: У.

Эту теорему можно применить к Л-измеримым отображениям, к измеримым (по Лебегу) функциям, к отображениям со свойством 15эра и т. д. (см. замечание ниже). Среди разнообразных приложений этой теоремы отметим следующее утверждение:

*) См. Куратонекий [26, стр. 1571.

Для всякого полного сепарабельного пространстве Д’ существует функция выборе [: |2'г — (0)| —► .'Z' класса 1, т. е. )'(/1)£Л для всякого О^Л = Лс.?'; f можно считать непрерывной, если <liin.7’ = 0.

Элементарное рассуждение показывает, что для .?”== г72 непрерывной функции выбора не существует (конечно, для Д'= Н существует непрерывная функция выбора)1).

Замечание. Напомним, что отображение /": Д ■ > Д' называется В-нзмеримым класса а<Н, если / 1 (G) есть борелевское множество аддитивного класса а для всякого открытого множества (i с Д', пли, эквивалентно, если 1 Л МД есть множество мультипликативного класса а для всякого замкнутого множества К с Д'-

Обобщение понятии полупепрерывпостп сверху и снизу приводит к следующим определениям:

Отображение Д: Д -~> 2^ будем называть отображением, класса а , соответственно класса и, если множество

Е {/■ М <= О

есть множество аддитивного класса а для открытого G, соответственно множество

Е^С^с/О И

сеть множество мультипликативного класса а для замкнутого К.

Следующее утверждение, касающееся ^-измеримости селекторов, вытекает из теоремы, сформулированной выше.

Пусть пространство Д метрическое, а пространство Д' полное сепарабельное. Если F: Д -> 2х — отображение класса а_ (где а > 0) и F (у) =Д 0, то существует В-измеримый селектор j: Д—> Д', Hy^ Ftjf), класса а.

Наконец, нашу теорему можно применить к отображениям, измеримым в следующем смысле. Пусть L — счетно-аддитивное (следовательно, счетно-мультипликативное) поле подмножеств Д (например, поле измеримых по Лебегу подмножеств интервала). Отображение /: Д—> Д' (где Д' — топологическое пространство) называется L-измеримым, если

/'-1 (G) £ L, каково бы пи было открытое множество ВсДЛ

') Различные условия, из которых вытекает существование непрерывного селектора, см. в работе Майкла Э. [8]. Ср. также, дли банаховых пространств Лиидешитраус [I ]. Но этим вопросам см. также Дэн и Куратов- ский [ 1 ] и Майкл Э. [4, стр. 374],

Конечно, отображение F: У->2? является /.-измеримым, если множества

Е {/-'(£/) П G =^ 0} и Е {/ (у) П К У 0} vи

принадлежат L для любого открытого в У множества G и замкнутого в ^ множества К-

Отсюда вытекает следующее утверждение:

Если У —полное сепарабельное пространство, Г-. У—>2Т есть L-измеримое отображение и F (у) У- 0, то существует L-измеримыи селектор V- -^, / (//) С F {!))■

§ 44. Пространство У-0

I. Компактно-открытая топология пространства Ут. Пусть У и ^ — произвольные топологические пространства. В пространстве Ут введем топологию, называемую естественной, или компактно-открытой, следующим образом.

Определение). Для С с У и II с. У положим

Х\С, Н> = Е\КС^Н\, КУ\

f

Компактно-открытая топология пространства Ух определяется соглашением, что совокупность множеств Г (С, Н\ гбе С компактно и II открыто, образует открытую иредбазу пространства У^.

Теорема 1. Если множество F а У замкнуто, то множество Г(С, F) для любого С а У также замкнуто (в У^.

Доказательство. Ясно, что

fO4C, F)^{f(x)£F для каждого х£С}^

= V С Г [(х), /•'] для каждого х£С}. Следовательно,

3/г-Г(С, F)^ U Г [(х), У — F\.

Так как (х) компактно и У — F открыто, то Г[(х), У — F) открыто (по определению), а потому открыто и Ух — Г(С, /-').

Теорема 2. Если пространство У регулярно, то пространство Ут также регулярно).

Д о к а з а т е л ь с т в о. ПустЕ1 /СГ(С, //), где С компактно п // открыто. Определим открытое множество G в пространстве У, такое, что

^VkC,GH и Г(СТ7Г)сГ(С, Н\

Так как НС) с: И, то в силу регулярности пространства У отсюда следует, что для каждого х 6 С существует открытое множество G х, такое, что

Hx^Gx и G,cH.

Так как множество f(С) компактно, то его покрытие (GJ содержит конечное подпокрытие GK? . . ., Gxn- Положим G = GXl U . .. U Gxn- Тогда, согласно (3),

НС ^ G и G = GXx U • • • U GXn с И.

Первое из соотношений (4) дает первое из соотношений (2), а, согласно второму, Г(С, G)cF(C, /7); так как Т’(С, G) замкнуто (по теореме 1), мы получаем второе соотношение (2):

Г(С, G)cF(C, G) = F(C, 6)сГ(С, Н\

Из (2) мы легко выводим, что пространство У16 регулярно).

Замечание 1. Можно также доказать, что

(а) если У есть ^'^-пространство, то У6 тоже ^-пространство );

(Р) если У и У — сепарабельные метрические пространства, то пространство Ух нормально (и Паже наследственно нормально^.

В действительности можно доказать при тех же предположениях, что пространство Ух наследственно является пространством Лппделёфа и наследственно сепарабельно).

Но регулярное пространство Лппделёфа (т. е. пространство, в котором каждое покрытие содержит счетное подпокрытие; ем. § 5, VII, стр. 56) является нормальным (см. § 14, II, теорема I); кроме того, если пространство У метрическое (следовательно, регулярное), то пространство У6 регулярное (по теореме 2) и регулярность наследственна (см. § 5, X, стр. 58).

Замечание 2. Интересно отметить, что пространство У57 может и не быть нормальным, даже если пространство У компактно ).

Замечание 3. Пусть .Т, 3/ и 2 — топологические пространства и отображение g: У > £ непрерывно. Положим ¥</) = £' 7 для любого / £ Ух. Тогда отображение у: ус->-^х непрерывно.

Это утверждение есть следствие соотношения у~'(Г(С, /7)) ^= = Г(С, g-vUO\ которое само следует из соотношения [д>7 (С)с//] = ^|/(C|cT*:l7/)J для любого fE^v-

II. Совместная непрерывность и связанные с ней проблемы. В и. II —IV мы будем предполагать, что пространство Vf имеет компактно-открытую топологию.

Теорем а I. Пусть задано р Я' -> У\ положим w (f, л) = / (.v). Если Я- — компактное ^-пространство, а У — произвольное пространство, то отображение w: У$Х.Т->Я непрерывно.

Болес того, компактно-открытая топология является слабейшей топологией пространства Ух, в которой w непрерывно.

Доказательство. Пусть множество И аУ открыто. Мы должны показать, что множество

^Чн^Еи^ЕПАh X

открыто в У® X Я’, или, другими словами, для каждого ^(^о) 6 Н существует множество Q, открытое в Ук X Я', такое, что

kUx^Q

и

Qcm-'(/7), т. е. [(/, x)EQ]=>№E/7L

Так как /о непрерывно и пространство Я' регулярно (ср. § 41, II, теорема 3), то существует открытое множество G в Я', такое, что__

x^G и /„(G) с Я, т. е. №40, Н\

Положим

Q = \4G,mxG.

Из этого следует, что Q открыто в Ух X Я’ и включение (1) выполняется.

Соотношение (2) также верно, поскольку включение (/, x)£Q означает (согласно (3)), что f(G)c/f и x^G, следовательно, /(х) ^ Н. Это завершает доказательство первой части теоремы.

Для доказательства второй части предположим, что ,7 — топология пространства У®, в которой отображение w непрерывно. Мы должны показать, что любое множество G, открытое

в компактно-открытой топологии пространства ЗЯ, открыто в топологии J. Очевидно, можно предположить, что G принадлежит нредбазе пространства ЗЯ, рассмотренной в и. I; таким образом, положим С = Г(С, //), где множество С с Л' компактно, а множество II с 'Я открыто.

Пусть /6 Г (С, //), т. е. ЦО с II. Для данного х^С существуют (в силу непрерывности w) два открытых множества Vх в пространстве .7’ и Wx в пространстве ЗЯ (относительно сТ-то- пологии), таких, что

х Е Их, ДЕ ^х и w U', х') Е Н Для всех х' Е Их и Д' £ W х.

Так как множество С компактно, то покрытие {ИА} содержит конечное покрытие Vxv, . . . , Их множества С. Положим W = = Wx П • • • П WXit. Очевидно, множество W открыто в пространстве ЗЯ (относительно ./-топологии) и ДЕ^-

Кроме того, 1ИсГ(С, //). Действительно, предположим, что j'EW и х'^С. Тогда существует такое /г^/z, что x'^Vx^ так как Д'£ WXp то из этого следует, что w (f', х'^Н, т. е. (Цх')^ II. Таким образом, f'(C)czH, т. е. ГЕП(С, Я).

Теорему I можно обобщить следующим образом:

Теорема 2’). Пусть [ и JF — такие же, как в теореме 1, а У — некоторое ^-пространство. Пусть F Q', К) = ЦЮ- Тогда отображение F: ЗЯХ2Г—>2У/ непрерывно.

Доказательство. Пусть заданы Ц^УТ и /<ОЕ2Г. Пусть множество W сгО открыто и ^(КоДЕ^ ■ Мы должны определить два открытых подмножества И пространства ЗЯ и U пространства 2Г, таких, что

ДоЕ^, K^U и UO^W для всех ДЕИ и K^U.

Очевидно, можно считать, что W принадлежит открытой нредбазе пространства 2У/. Следовательно, можно предположить, что либо

О W=E<BcG\

в либо

И7=Е(вЛО#=0, в

где множество G ст .7’ открыто.

Дли метрических пространств теоремы 2 — 6 были доказаны по французском издании этой книги (более простым способом); см. гл. IV, и. VI и VII (см. также замечание Чассара, там же, стр. 502). Приведенными здесь формулировками этих теорем я обязан проф. Энгелькиигу.

Сначала рассмотрим случаи (i). Тогда }0(К^аО, т. с. для каждого хЕЮ мы имеем fo(,x)EG. Так как отображение w непрерывно (по теореме 1), то существуют открытое множество KjC'^r и открытое множество НхаУ’, такие, что

?oEVx, хЕНх и f(x')EG для всех f С Vx и х'Е Нх.

Таккак {//^ — открытое покрытие (компактного) множества Ко, то существует конечное подмножество хь ..., xk множества Ко, такое, что KoaHXiU ... UHXk. Положим

П = 1\П П Vxk и и=Е^ксню...инчу

Первое и второе из соотношении (4) непосредственно следуют из (6) и первой части соотношения (5). Для доказательства последнего соотношения (4) положим jEV и KEU. Тогда, согласно (6),

/61\П...П1\ и К с Нх_ U ... U Нч.

Пусть х'ЕЮ тогда существует такое /, что х'ЕНхр и так как j 6 VXp то, согласно последней из формул (5), мы имеем ИЮ EG. Таким образом, ЮЮ6 и HK^EW, согласно (i).

Далее рассмотрим случай (ii). Так как io^Kc^E VV, то МЮ) П G У= 0; следовательно, существует х0 С Ко, такое, что ^(ЮЕС. Так как отображение w непрерывно (по теореме 1), то существуют открытые множества V с У^ и Hc.f', такие, что

loEV, Хо^Н и f(x) EG для всех f Е V и хЕН.

Положим U = Е(/( П Н + 0). Очевидно, множество U от- к

крыто в пространстве 2Т, и, так как хоЕКоГ\Н, мы имеем KoEU. Следовательно, первые два из соотношений (4) верпы. Чтобы доказать последнее, предположим, что f Е V и KEU, т. с. К П И ^ 0. Пусть xEKf\H. Тогда, согласно (8), ](ЮЕй, и, следовательно, НЮ ПО #= 0; это означает (согласно (ii)), что fWEW.

Замечание. В теореме 2 (так же как и в теореме 1) предположение компактности пространства .V не может быть опущено (ср. Аренс [1]). Однако его можно заменить предположением локальной компактности.

Следствие. Пусть задано отображение j: .V X У—» %", положим

ЮЬ К, Ц = ЦК, L) = E Vl2 = Hx, у)] (х ЕЮ (У ELYZ Х.Ч

Если Ж и ?J — компактные J.,-пространства, S — произвольное J^-прост ранет во, то отображение у: ЗДхУ х 2V X 2У-> 2Z непрерывно.

В частности, отображение тр 2^X^->2Z, определяемое равенством

т\(К, у) = Е V [г = f(x, //)] (х £ К\Z к

непрерывно (при фиксированном f).

Доказательство. Положим

^(f, My-=f(M( для K^xy и М62^х?/ п

а(К, U = KXL при К^^ и L^^.

Тогда у является составным отображением:

y(t К, LW'VL а(К, T)L

Так как отображение ф непрерывно (по теореме 2) и отображение а непрерывно (согласно следствию 2 из § 43, I), то непрерывно и отображение у.

Теорема 3. Пусть .Т— компактное ^-пространство непроизвольное ^-пространство. Тогда множество

Ф = Е LHM1

f. х.И

замкнуто в пространстве Ут X УТ X У.

Доказательство. Покажем, что дополнение множества <D открыто. Пусть (/о, х0, уА принадлежит этому дополнению, т. е. /о (-Vo) =й= //о- Так как 3/ есть ^'Пространство, то в У существуют открытые множества U и V, такие, что

WU, y^V и ППП = 0.

Так как отображение /д непрерывно, а пространство .^ регулярно, то существует открытое множество Сс.Т, такое, что x0^G и ^(G^cU. Для завершения доказательства достаточно показать, что

(Ю)(f0, х0, yoK^G, (/)Х G X V,

т. с.

ыоу^и, xoeg, y.ev, п

(И)(И)[Г(6\ U)X G X 1/]ПФ = 0,[Г(6\ U)X G X 1/]ПФ = 0,

(И)

(И)

[Г(6\ U)X G X 1/]ПФ = 0,

[Г(6\ U)X G X 1/]ПФ = 0,

т. С.

VU (ё)с (7) U ЕСА (// е V)} [/ (.г) =л //]•

Остается доказать только соотношение (II). Если x^G и f(G)c:U, то Цх^Ц, откуда, согласно (9), Цх^У, тогда как y^V. Таким образом, Дх)=У=у.

При тех же предположениях относительно пространств УТ и Я справедливы такие следствия:

Следствие 4. Множество Е Г/Ч'^) = 3/] замкнуто в прост

ранстве ^.

В самом деле, Е Н(-П = 3/] = П Е V \и = /(v)]. Iи ! <

Следствие 5. Если F — F, то множество EffMEE’] f. х

замкнуто в пространстве Я^ X .Т..

В самом деле, Е [/(^) Е Е] = да-1 (F), где ш (/, х^ЦхУ так

Л X

как w непрерывно (по теореме 1), то это завершает доказательство.

Следствие 6. Пусть множество G открыто, а множество F замкнуто (о Я'У Тогда множества

ЕШу^сд И Е[Г1 (/OcG]

открыты соответственно в пространствах Я*6 X Я и Яг.

Первая часть этого следствия вытекает из соотношения эквивалентности

[ / W С]V {[// = /СО] (.г Е .^ - «)},

так как множество точек (/, х, уУ удовлетворяющих условию в фигурных скобках, замкнуто (по теореме 3, ср. также с теоремой 1 § 41, IX).

Аналогично, вторая часть (на основании следствия 5) вытекает из соотношения эквивалентности

I/"1 (/•’) ^ G] - у {[/ (.V) Е FA Ух Е.Т- С)}.

Замечание. Большую часть теорем этого раздела, Ci|>op- мулпроваипых для компактных пространств, можно распространить па локально компактные пространства.

III. Операция сужения. Обратные спектры. Пусть /Е^г. Обозначим через рс операцию сужения: Рс(/) = / IC для данного Сс.Т; таким образом, рс: ‘Зт -> У-.

Теорема 1. Рели множество С компактно, то операция сужения Рс непрерывна.

Доказательство. Мы должны показать, что если множество ФсУ; открыто, то множество р^ДФ) открыто в пространстве Нг. Очевидно, можно предположить, что Ф имеет вид Ф = Г(С|, Н\ где

Г(Сь //) = Е [^(С.) с //],g^^,

а множество С\ с С компактно. Поэтому

/ 6 Рё1 (Ф) =ЦПСК Ф = (/1 С) (С,) с И (С,) с Н,

т. с.

р~‘(Ф)=Г(С„ Н\

Это завершает доказательство.

Положим, как раньше, f\C = pc^y и для Фс^? пусть Ф|С = рс(Ф), т. е. <1> |С есть множество всех элементов g ^^c вида /?-= / I С, где КФ.

Теорема 2. Следующее соотношение эквивалентности верно для любого множества Ф ст З/Д

Д Е Ф) [(/I С) Е Ф| С для любого компактного Ссг.ту

Доказательство. Импликация слева направо есть прямое следствие теоремы 1.

Для доказательства обратной импликации допустим, что /(1^Ф. Мы должны определить компактное множество Сс.Р, такое, что

(3)-(3)-Мс£ф|с.

(3)-

(3)-

По предположению существуют две конечные системы Сь .. . , С„ и НхНп (соответственно компактных и открытых множеств), такие, что

(4)(4)ДЕГ(СЬ дап ПГ(С„, Н^ЗЛ-Ф.

(4)

(4)

Положим С = C| U • ■ ■ U Сп и напишем для сокращения ^о=/оI С. Для доказательства соотношения (3) достаточно, очевидно, показать, что

^€Г(Сь я,) л... ПГ(С„, я„)<=з/(--(ф|С).

Так как С,-<= С, то мы имеем ^(С,) = f0(Cz), а так как (согласно (4)) jo^T^Cj, Н^, то из этого следует, что ди(С;) с Я,-, откуда goCHG, Яi).

С другой стороны, если ££Ф|С, то ц = )1 С для некоторого /^Ф, а из этого следует, согласно (4), что для некоторого i ^ п мы имеем Н'ЧСЬ Hi), т. е. ^С^Щ. Но это означает, что g(Ci)qtHi и, следовательно, g^V(Cf, Ht).

Следствие 2а. Если Фо и Ф, — два замкнутых подмножества пространства ^, то

(Фо = Ф1)=[(Фо I С) = (Ф( | С) для каждого компактного Сс^].

Теорема 3. Пусть f: ГЕ—'#, где ГЕ— метрическое пространство (или, более общо, ГЕ есть ^-пространство, обладающее k-свойством; см. ниже). Если сужение f | С непрерывно, каково бы ни было компактное множество С с ГЕ, то отображение f непрерывно, т. е. f^^.

Другими словами (ввиду теоремы 2),

(f £ S/^^Kf I С) С ^ для любого компактного С с ГЕ).

Доказательство. Доказательство будет основано на следующем ^-свойстве подмножеств метрического пространства:

(к) если множество ДПС замкнуто для любого компактного С, то множество А замкнуто 9-

Действительно, предположим, что множество А не замкнуто; тогда существует точка Ро^А, такая, что рп = Нт рп, где рп^А для п=1, 2, ... . Обозначим через С множество (ро, pv, ..., pm •••)• Очевидно, множество С компактно, а множество ДПС не замкнуто.

Остается показать, что если f| С непрерывно для любого компактного множества С с „Е, то f непрерывно (на ГЕ), т. е. что множество f~4F) замкнуто для каждого F, замкнутого в 2/. Положим A = j"4F). Очевидно (ср. § 3, III, (14)), что

ДПС = Г1(С)ПС = ()|С)-1(С).

По последнее множество замкнуто (потому что/| С непрерывно), а из этого в силу ^-свойства вытекает, что замкнуто множество Л.

Замечание. Эту теорему можно также применить к случаю, когда .У и 3/ являются ^‘-пространствами.

Для каждого .Т обозначим через ^(.Т) семейство всех компактных подмножеств пространства ,Т (см. § 42, I). Очевидно, что ^{.Т} упорядочено отношением включения и, более того, является направленным множеством (так как если C^E^W и C.^Vn то (C,UC2)E^(.n C,cC,UC2 и С2 С С] и С2).

Определим отображение лс„с, для Со <= Ci условием

яс,с, (£) = £ I Содля £ Е 2/с'.

Следовательно, лсх = рс, если W компактно. Ясно, чтолсс(£) = £ и

ЯСоС, 0 Яс,С, = ЛСос2 ДЛЯ CgCClCC?.

Таким образом, [^(.У), 3/с, л] является обратным спектром (ср. § 3, XIII). Обозначим через L предел этого обратного спектра:

L= Lim {Vе, лСоС|}.

С, Со сп С]

Теорема 4. Если Ж — метрическое пространство (или, более общо, JE обладает к-свойством\ то ^х = L.

Именно, отображение р, имеющее рс своей С-й координатой, есть гомеоморфизм пространства 3/v на L.

Доказательство. Отображение р есть гомеоморфизм, так как по теореме 2 (для Ф с 3/р) мы имеем

(f ЕФ)={рс(Л Е Рс(Ф) для каждого СЕ^(-О.

а последнее условие эквивалентно включению р (Л Е Р (Ф) (по теореме 3 из § 16, VI, где вместо S, 3 и Т мы подставляем соответственно p(f), р(Ф) и ^(Д'))-

Остается показать, что р есть отображение на L.

Пусть {£с)ЕС. Мы должны определить f£^T так, чтобы

f\C = gc для каждого С^ (.V\

Требуемое отображение / получается, если предположить, что

f(x) = gM (.г) для каждого х^^.

Равенство (9) верно вследствие того, что ^с (х) --= ц( d (х) для каждого х^С. Кроме того, по теореме 3 отображение /" непрерывно (т. е. f Е -Уг), т<н< как, согласно (9), i \ С = gc (^ У1', а эго означает, что отображение /' непрерывно на .любом компактном подмножестве пространства .?’.

Теорема 5. Если У — вполне регулярное Т^-пространство, то и У1' — так we вполне регулярное .Тепростраистао.

Доказательство. Пусть ^^.-^А н пусть <1>0 — открытое множество в У1-, содержащее /V Мы должны определить непрерывное отображение

у: У^-уН, такое, что y(fo) = O и у(/)= I для /(£ф(|.

Очевидно, мы можем считать, что <i>0= Г(С, //), где Сс/?' компактно и Н с У открыто. Тогда /Ц (С) компактно и содержится в И. Поэтому (см. § 41, И, замечание (iii)) существует непрерывное отображение

у: У >У, такое, что кЫС) = 0 и й^У-П)^!.

Обозначим через у (/) последнюю точку множества g{(CY Следовательно, у: У3 > У. Покажем, что у — непрерывное отображение. Очевидно, aV(C) = (g[ | С)(С). Положим

F(^ = gf(C) при }^УТ и П(и) = £н(С) при и^Ус.

Следовательно,

F; У^-у^', U; Ус-у^ н F^V-UtyAh-

По теореме 2 п. П отображение U является непрерывным, и так как но теореме 1 п. III отображение рс непрерывно, то и /; непрерывно. Отсюда следует, что отображение у непрерывно (см. замечание 2, § 42, И).

Очевидно, у(/о) = 0. Наконец, пусть / ^<Г>0; тогда существует х Е С, такое, что )(х)^//, и потому цЦх^Х. Таким образом, у (Л- 1.

IV. Связь между пространствами Утх'т и ^У^У. Пусть g: У X - у У', положим

Л(х)-Д(х, П.

Таким образом, отображение j, рассматриваемое как функция от I, ставил' в соответствие каждому 1^,7 отображение, для которого х является независимой переменной (ср. § 20, VII).

Т с о р с м а 1 '). Лели отображение g непрерывно, то непрерывно и отображение f, т. е.

^.^^fe^y.

Доказательство. Пусть множество Q открыто в пространстве .'/т Мы должны показать, что множество / 1 (Q) открыто в Д. Мы можем, конечно, считать, что Q имеет вид Q — Г (С, //), где множество С компактно в Л', а множество II открыто в ЗЛ Следовательно, для данного IM£f 1 (Q) мы должны определить открытое множество U в пространстве J, такое, что

t0EU и u^tVqY

Далее, мы имеем

к€Г'($)1 (h Е QY^Ut UI £ Н для каждого лД С].

Так как /oEf~'(Q), то отсюда на основании (1) следует, что

^(.v, t^^H для каждого х^С, т. е. С X (/0) ел д~' (/7).

Так как отображение g непрерывно, то множество р~ЦН^ открыто в Л’ X Т и потому является обведи.юанем произведении Gs X Us открытых множеств (в пространствах Л’ и Д соответственно):

Л/У-СКсХ uv

Так как множество С X (/ц)с д'(//) компактно, то покрытие {(ДХ U3 содержит конечное подпокрытие:

С X (/u) g=(G\ , X Us) и U ((Ъп х Us^, где Р. £ /Д,А •.. Л U.v

Положим U ---- Us П ••• П Us. Тогда ti}£U и множество U открыто в пространстве Д.

Для доказательства второй части соотношения (3) допустим, что / £ U. Так как С ел Gs [J ... U G s , то мы имеем для каждого

ПЦС,^ X ДЛ)и ... ЩГД„ X U,.) ст К-ЦП\

т. е. g (х, ПЕЛ> откуда /, (.v')^/Z, и вследствие (-1) /E/'(Q).

Обратной к теореме I является следующая

'Г е о р е м а 2. Пусть Л’ — регулярное локально компактное пространство. Тогда если отображение } непрерывно, то непрерывно и отображение g.

Это означает (в силу теоремы 1), что

(6)(6)

(6)

(6)

Доказательство. Пусть множество Н открыто в пространстве 3/. Мы должны показать, что множество Ц"'иП открыто в пространстве АГ X Д. Таким образом, для заданного g(x0, t{>)^H мы должны определить два открытых множества G (в АЗ и U (в Д), таких, что

x0^G, t^U и GxUcr-'W.

Так как f, с= 3/г и 1(„У^ = бУ0, У)^Н, то существует открытое множество Gti в пространстве А’, такое, что xu6Gu и ^(G^cr/f. В силу регулярности и локальной компактности пространства .У сущепвует открытое множество G, такое, что x0^G, множество G компактно и G с Go. Отсюда следует, что

^сЦС^сН, т. е. 1иОУ(], //).

Положим

и = Г'\ЛО,НУ т. е. I 6 U = ^ 6 T(G, П\

Так как отображение / непрерывно и множество T(G, //) открыто (по определению компактно-открытой топологии), то множество U открыто. Кроме того, t0£U, согласно (8). Для доказательства второго соотношения (7) допустим, что x^G и t^U. Мы должны показать, что д(х, 1)£Щ т. с. что /Дх)£/Л По включение t^U, согласно (9), означает, что Ь£УС, HY а так как Г((7, Я)сГ(О, Я), то f(^F(G, Н\ т. о. [Дх^Н для каждого x^G.

Замечание!1). В связи с формулами (2) и (6) следует отмстить, что, поставив в соответствие каждому g^AVXT отображение Л(^УГ> определенное формулой (1), мы зададим гомеоморфизмв ууу. Этот гомеоморфизм становится

отображением па при выполнении условии теоремы 2. Таким образом, для регулярного и локально компактного пространства А' выполнено соотношение

(Ю)ЛХТ-УЛТ.

Замечание 2. Подобным же образом следующие утверждения, которые были доказаны для топологии непрерывной

сходимости (см. § 20, VII, теоремы 1 и 2, и VIII, теорема 3), могут быть доказаны для открыто-компактной топологии:

(П)(12)(П)(12)^^ х ^^ — ^^ ^ ^^^ х ^^ — ^^ ^ ^

(П)

(12)

(П)

(12)

^^ х ^^ — ^^ ^ ^

^^ х ^^ — ^^ ^ ^

при условии, что А и В замкнуты в A (J В и A Л В = 0;

^нзо^^г

top

при условии, что / непрерывно, ^ компактно и /(^) есть ^"Пространство.

Замечание 3. Наконец, можно доказать (ср. § 21, X, теорема 8) следующую формулу:

^с21ХУ

top

при условии, что ^ компактно. А именно, поставим в соответствие каждому f^y* его график.

Лемма. Пусть отображение f: 3 —*■ Эт непрерывно и множество С с: Ж компактно. Положим и (t) = | С. Тогда v: 3^У0 непрерывно.

Доказательство. Пусть A с.3 и t^A. Покажем, что у(/)Ео(Л). Так как / непрерывно, то из t^A вытекает, что Ь^ЦЛУ Положим Ф = /(Л) в III (2). Тогда (f, | С) Е Ф I С. Этим завершается доказательство, ибо Ф|С = и(Л).

Теорема 3. Если ТЕ — метрическое пространство {или, более общо, Зч" прост ранет во, обладающее Р-свойствому то справедливо соотношение (6).

Доказательство. Принимая во внимание теорему 1, мы должны лишь доказать, что если f непрерывно, то и g непрерывно; для этого достаточно показать, что g\C X 3 непрерывно для каждого компактного С а ЕЕ (ср. III (6)).

Напишем (как выше) у(/) = /ДС. Так как / непрерывно, то (согласно лемме) и и непрерывно, т. е. и6(Ус)^, и на основании теоремы 2 (где ТЕ следует заменить на С и g па g \ С X 3) g\Cx3 непрерывно.

Замечание 4. Предположение о том, что 3 — метрическое пространство, можно опустить, так как произведение простран-

7 Зак. ИЮ

ства, обладающего /е-свойством, и компактного пространства обладает /г-свойством ).

V. Топология равномерной сходимости пространства 30. Напомним, что для данного произвольного множества У и метрического пространства 3/ через Ф(.Я, 3/) мы обозначаем семейство всех ограниченных отображений f: У—*У. Это семейство можно рассматривать как метрическое пространство, определив расстояние следующим образом (см. § 21, X, стр. 228):

I fi — I = sup Г ff (х) — (х) |.

X

Добавим, что сходимость в пространстве Ф^, 3/) совпадает с равномерной сходимостью (см. следствие 1а, § 21, X).

Топология пространства Ф)У, У), индуцированная определенным выше расстоянием, называется топологией равномерной сходимости.

Теорема 1. Если У компактное, а У — метрическое пространство, то Ух сгФ^У, У), и, следовательно, пространство У1 метрическое (s топологии равномерной сходимости).

Эта теорема есть непосредственное следствие того факта, что если отображение f: У—>У непрерывно, то множество ЦУ) ограничено (см. § 41, VI, теорема 1).

Замечание 1. Если .2’— компактное метрическое пространство, то равномерная сходимость непрерывных отображений совпадает с непрерывной сходимостью, которая означает (см. § 21, X, теорема 5), что

)('Iim хп = х^ [Um ЦЦп) = /(х)|.

Теорема 2. Если У — компактное, а У — метрическое пространство, то топология равномерной сходимости пространства У1 совпадает с его компакт но-от крыт ой топологией.

Доказательство. 1. Сначала покажем, что каждое множество, открытое is топологии равномерной сходимости, открыто в компактно-открытой топологии. Очевидно, достаточно доказать, что для каждого /о £30 11 любого е>0 существуют две системы С,, ..., Сп и Hv, ..., Н п (множества Ct с У компактны, a ЩсгУ открыты), такие, что

Ь е [Г (С„ Щ) п ... п Г (с„, ЯД] с к (Ц 8), где К Um R) — шар с центром в точке /0 радиуса е, т. е. К Um е) = Е I / - /о I < е.

f

Так как пространство .Т компактно, а отображение f0 непрерывно, то существует конечное открытое покрытие .Т = = G0U •.. U Gm такое, что д [Л>(G4)] < е/2 и G, ф 0 для z = 1, .... п. Выберем xt £ G[ и положим

GZ = GZ и H^KVfoUiY е/2] = Е [ I I/— fo(xz) I < е/2]. У

Далее, так как d [f0 (Сг)] < е/2, то для x£Cz мы имеем неравенство | f0(x) — fa(xi) | < е/2 и, следовательно, f0(x)^Hh т. е. А>€ T(CZ, Н t\ Это верно для каждого i== 1, . .., п. Таким образом, доказательство первой части соотношения (3) завершено.

Для доказательства второй части предположим, что fE^(Cz, HtY Тогда для каждого x£Ct мы имеем Цх^Р^ и, согласно (4), | f (х) — f0(xz) I <е/2. Так как 6 [f0 (Cz)] < е/2, то

f (х) - fo (х) КI f (х) - /о (xz) | + | f0(xz) - f0W | < e.

Поэтому f^K(f0, e).

. Пусть множество G открыто в компактно-открытой топологии пространства 2/Л Мы должны показать, что оно открыто в топологии равномерной сходимости1). Не ограничивая общности, можно предположить, что G = T(C, Я).

Пусть /0£Г(С, HY Мы должны определить такое число е > О, что

|f — /0|<е влечет за собой f С 1 (С, Я).

Положим

е = inf р ff0 (х), У — Я], где х^С.

Так как fo(x)£H для каждого х^С, то p[fn(x), 3/— Я] > О, а так как множество С компактно и р — непрерывная функция х (ср. §21, IV, (5)), то р достигает своей нижней грани на множестве С (см. § 41, VI, следствие 2с). Следовательно, е>0.

Пусть |f — fol<e. Допустим в противоположность (5), что f ^Г(С, Я), т. с. что f(x0)E2/ — Я для некоторого х0£С. Тогда

p[fo(xo), 3/- Я] ^| fo(xo)-f (хо) ]<е.

По это противоречит равенству (6).

Замечание 2. Из теоремы 2 следует, что топология равномерной сходимости в случае, когда пространство .Я компактное, а пространство Я метрическое, есть топологический инвариант (опа не зависит от метрики пространства 2/); в случае.

когда .V — компактное метрическое пространство, это утверждение следует также из соотношения (2).

Теорема 3. Если ТЕ — компактное, а У — полное {метрическое} пространство, то пространство У^ полно в своей топологии равномерной сходимости.

Это непосредственное следствие теоремы 2 из § 33, V.

Замечание 3. Напомним, что если .V — компактное метрическое пространство, а У — сепарабельное, то пространство Ух сепарабельно (см. § 22, III).

Теорема 4. Преть У — компактное метрическое пространство, а .Т — произвольное пространство. Пусть Л с JE; положим Н {[) = } (Л). Отображение Н: ут—^У' непрерывно (в топологии равномерной сходимости пространства У^).

Более точно, (list [/7 (/), Н (g)] ^Д | / — g |, где f, й^УТ

Доказательство. Мы имеем

dist[//(/), /7(g)] = dist[f(H), gM)]^J/-g|,

так как (ср. § 21, X, стр. 231) для каждого y^f{A} существует у' ^g (Л), такой, что \y-y'\^\f-g\; именно, у' = й{х\ где х £ Л — такой элемент, что y = f{x}.

Замечание 4. Можно показать, что для компактно-открытой топологии пространства Уг теорема 4 не верна.

Следствие 4а. Пусть У —компактное метрическое, а .Е — произвольное пространство. Пусть Л сгТЕ и ВсгТЕ. Тогда множество

Е[ЙЛ)ЛЙВ) = 0]

открыто в пространстве У1.

самом деле, множество Е {К?\Е = 0} открыто в простран-

К, L

стве 2У X 2У, ибо пространство У нормально (ср. § 17, V, теорема 1).

Замечание 5. Теорему 4 и следствие 4а можно выразить в следующем более общем виде.

Пусть ТЕ — произвольное множество и У — метрическое пространство. Для Ас^-Т обозначим через Ч^ множество элементов ^Ф^, У}, таких, что /(Л) компактно, и положим H{h = fkA\ Тогда отображение И1. XVД >^ {У} непрерывно (ср. с теоремой из § 42, II), а множество (7) открыто в ^дП^д.

Для доказательства этого утверждения заметим, что экспоненциальная топология пространства ^(3/) совпадает с его топологией, определяемой хаусдорфовым расстоянием (согласно § 42, II), и множество Е (Д П L = 0)(/(, L С 9^) открыто К. L в пространстве ^ (3/) X ^ (3/).

VI. Гомеоморфизмы.

Теорема I '). Если ^ — совершенно нормальное компактное ^-пространство и У — произвольное ^-пространство, то множество Ф всех гомеоморфизмов f: ^—>3/ есть G«множество в пространстве 9®.

Доказательство. Очевидно,

(f^I^^V [f(x)-f(x')](x^x').

Далее, множество Е [/(х) = f(х')] замкнуто (по теореме 3 н. II), а множество Е (х=/=х') открыто (по теореме 2 § 15, IV);

X, х' следовательно, их пересечение есть ^-множество, а поэтому и Ф как проекция, параллельная компактной оси, является f„-множеством (в силу следствия 1а § 41, IV).

Замечание. Предположение компактности существенно2).

Лемма. Пусть 5Е — компактное пространство, У = 9*\ Л и В — два замкнутых непересекающихся подмножества пространства Ж. Пусть f£9v и е>0. Тогда существует ц £ 3/г, такое, что

Ж)пЛл) = о и \g-t\<6.

Иначе говоря,

Ё1ЖЙНвР0] = 3/т.

a

Доказательство. Положим f (х) = [f (х), Г(х), . ..], где Т\х^д. Пусть п такое, что 2"""<е. Определим g следующим образом:

1)

gz(x) = fz(x)

для 1 ^ п.

2)

„«+1 /

р(х, /1)

g

Л) + р Щ, В)

3)

^z(x) = 0 ДЛЯ

1 > п + 1.

Ч См. Куратовский 125, стр. 270].

2) Ср. Робертс [3, стр. 12(>].

Следовательно, д"+1(х) = 0 для х^А, откуда z/" 11 = 0 для у^й(Л\ Из этого следует, что z/!+1 = 0 для у^/ДЛ).

С другой стороны, для у Ей (В) мы имеем z/I+l = l. Это завершает доказательство первого соотношения (1). Второе можно доказать следующим образом:

1 (х) — /(х) | = S 2”г | g1 (X) — (х) 1 = < = 1

- S 2“%Z(x)-/'(^)k2“n<e.

Теорема 2. Пусть .Т — сепарабельное метрическое пространство, У — компактное метрическое пространство и для любой пары замкнутых непересекающихся подмножеств Л и В пространства ST справедливо равенство (2) (таким является, например, случай У = ПКа\ Тогда множество элементов пространства У^, которые не являются гомеоморфизмами, есть множество первой категории в пространстве ^.

Более точно, если F — замкнутое подмножество пространства .Т и равенство (2) справедливо для любой пары замкнутых непересекающихся подмножеств Л и В множества F, то множество всех fС^т, таких, что f\F не является гомеоморфизмом, есть множество первой категории в пространстве Ух,

Доказательство. Пусть Rb R2, ...— счетная открытая база по отношению к F. Положим

= Е [Ж Л g^F-R^ = 0]

для каждой пары индексов k, I, таких, что Rk <= Rb

Так как пространство 3/т полное (по теореме 2 из § 33, V) и так как множества Фн всюду плотны (согласно (2)) и открыты (в силу следствия 4а и. IV), то их пересечение Ф есть 66-множество, дополнение которого есть множество первой категории (по теореме Бэра). Наконец, если / £ Ф, то ДДДЛ ПИЛ — R/) = 0, каково бы ни было RkcRt. По из этого следует, что j\F есть гомеоморфизм (по теореме 3 из § 22, I).

VII. Случай локально компактного пространства /Г. В этом пункте мы будем предполагать, что .Т и .У — метрические про* странства, причем пространство АТ локально компактно,

По теореме 8 из § 41, X мы имеем

^«^U^U...,

где Ft с Int(F(+1) и множества Ft компактны.

Отсюда следует, что для каждого компактного множества С ст //' существует такой индекс I, что С ст F{. Другими словами, семейство с6 ).Т) всех компактных подмножеств пространства //' конфинально с последовательностью {^i, F2, .. -

Fb ...}.

Из этого вытекает по теореме 2 п. III, что

(ютытийлтд

для каждого подмножества Ф пространства ?/г (снабженного компактно-открытой топологией).

Теорема 1. Пространство Ут (в своей компактно-открытой топологии) метризуемо. Метрика этого пространства может быть задана формулой

1 + |(Шй)-(д1Д)1 ‘

Доказательство. Вначале покажем, что

Уж ст У^ X У' X ... .

top

Доказательство аналогично доказательству теоремы 4 из п. III. Положим рДП = ДРр тогда рр УХ—>У’1. Положим р = = (Pi, Р2, • • •); тогда р: 3/r->3/,'‘ X У’1 X ... и, согласно (1),

(f6^A[p,(n€p7N]^[p(D€pW

Это означает, что р есть гомеоморфизм, и, таким образом, (4) доказано.

Далее, так как пространство yFl метризуемо (ср. V (1)), то расстояние между двумя элементами f = (fh f2, ...) и р = = (ф, &л • •■) пространства У^ХУ^’Х ... можно положить равным (ср. § 21, VI, стр. 222)

i = I

Это завершает доказательство теоремы 1.

Кроме того, при помощи этих рассуждений, как и в случае теоремы 4 п. III, получается следующая

Теорема 2. ^v.==Lim (У*, где я^Др) = g| Ft для

i.Kk' ’

Определенное выше отображение р есть требуемый гомеоморфизм. Из (3) легко получаем, что

(7 = lim ^ \= [(/ | F^ = lim (К | К,) для / = 1, 2, ... 1

= [(f|C) = lim (ffeI С) для каждого компактного С1;

Iк -> ооJ

Him хА-=х\=ф I lim Д (хА) = f (х)1;

\&->оо/ I/г-> ооJ

это означает, что сходимость в пространстве 3^г есть непрерывная сходимость.

Теорема 3. Если пространство 3/ сепарабельно, то пространство ^т также сепарабельно. Если пространство У полно, то полно и пространство 3^г.

Первое утверждение следует из (4), так как пространство ^Fi сепарабельно (см. замечание 3 п. V).

Для доказательства второго утверждения воспользуемся формулой (4) и тем фактом, что произведение З/^'X З^ 'X ... полных пространств (см. теорему 3 п. V), метризованное по формуле (6), является полным пространством (см. теорему 2 из § 33, III), Кроме того, р есть изометрическое отображение пространства ЗД па замкнутое подмножество произведения ^!1 X V" X ... (по теореме 2).

Теорема 4. Пусть заданы последовательность множеств 0=/=Ф6 с 3/т> где к—\, 2, . ... и последовательность натуральных чисел пт\, тъ ,.., такие, что

Ф/г | Ft = Фт; | Ft для к>пи и / = 1, 2

Тогда существует сходящаяся последовательность ft, f2> •••, где Д€Ф„.

Более точно, существует отображение f^^, такое, что

Rx^ — tuU^ для xS.Fi и k>mt, откуда f^ lim fk (согласно (7)).

k > ОО

/Доказательство. Очевидно, можно предположить, что mt<mv<.... Во-первых, определим последовательность f , )т? . . ., такую, что

(10L

и

Lz+|(^) = /m;W ДЛЯ X^Ff

Проведем рассуждение по индукции. Пусть fm — произвольное отображение, удовлетворяющее условию (11) при /=1. Предположим, что условие (11) выполняется для данного <(^1). Положим в равенстве (9) й —mz+1. Из этого, согласно (11), вытекает, что (fmJ Z7;) 6 (^|^. Следовательно, суще

ствует такое fm^ , что (И) справедливо для / + 1 (т. е.

И ?'ni\F‘ = F'nl4.AFi’ T1 е- спРавсДлив0 равен- 1т II т I /III *Г 1 I

ство (12).

Этим завершается определение последовательности / ,

Далее, из (12) следует существование отображения f, такого, что

fUW^U) для x^F, и 1=1,2,....

Так как F( с Int(/:';+1), то отображение f непрерывно, т. е.

Остается определить fk для ml<k<mlv\ (если к<гпь то ^ — произвольный элемент ФД. Теперь, согласно (9) и (11), мы имеем (/mJ ^z) ^ (^ | ^z)- Следовательно, можно считать, что

1^Фк и fjx) = /m;(x) для x^F,

и соотношение (10) следует из (12)—(14).

Замечание. Если пространство Ж не является локально компактным, то пространство У® {с компактно-открытой топологией') не метризуемо *). Однако оно является псевдометрическим (ср. § 21, XV, стр. 241) относительно семейства псевдометрпк фс, таких, что

О» g) = max|f(x)-£(x)| и С^^Гух^С

Если пространство .Т сепарабельно и локально компактно, то семейство ^(^) можно заменить семейством Fх, F2, ...; из этого вытекает метризуемость пространства #r (см. § 21, XV, замечание 2).

9 См. Мрунка [I, стр. 274]. Ср. также Аренс [I] и Аренс и Дугуидьп [I].

VIII. Топология поточечной сходимости пространства У.

В § 16 мы определили топологию (называемую также тихоновской) в прямом произведении П ^i- топологических про-

X "

странств Ух (где У — не обязательно топологическое пространство). В частном случае, когда все пространства У х совпадают, т. е. УХ = У, множество всех отображений f: У-*У, обозначенное символом (^r)sot, становится топологическим пространством. Если же ограничиться непрерывными отображениями f (предполагая пространство .£’ топологическим), то пространство У6 снабжается указанным способом топологией, называемой топологией поточечной сходимости.

Это название связано с тем фактом, что сеть (см. § 20, IX) {/J сходится к g тогда и только тогда, когда {/Дх)} сходится к g(x) в каждой точке х £ У (случаи счетного произведения см. в §20, IV).

Легко показать, что множества V^F, Н\ где F — конечное подмножество пространства У, а Л —открытое подмножество пространства У, образуют базу указанной топологии пространства У. Из этого следует, что топология поточечной сходимости слабее, чем компактно-открытая топология пространства У6.

§ 45. Вопросы теории размерности (продолжение)

Настоящий параграф является продолжением § 25 — 28 первого тома. Здесь будет использовано понятие компактности, изученное в предыдущих параграфах этой главы.

В § 45 пространство Я' предполагается сепарабельным метрическим ’).

Отображения порядка к. Точка у называется значением отображения / порядка /г, если множество ГЧ'А состоит из к элементов. Говорят, что отображение имеет порядок ^ к, если каждое его значение имеет порядок =С/г.

Лемма 1. Пусть Ло, . . ., Аг — система непересекающихся подмножеств пространства У и f — отображение пространства У порядка k~^r. Предположим, что

Д = ИЛ)Л л/ш.

Тогда сужение ft = f | [Л; f] f-1 (S)] имеет порябок ^k — r.

Кроме того, если мы положим С( = р'ЦА^ — А,-, то сужение f\C{ имеет порядок У k — 1.

Доказательство. Предположим, что уб/ГЛ/П/ '(S)l Так как (ср. § 3, II (13))

НЛАГ1(Д)1 = ВПНЛ) = В,

то существует система из (г + 1) точек х0> ..., хг, такая, что

х0ЕЛ0, .... хг£Аг и y = f(xa) = . .. = f(xr).

Поскольку множества Ло, . .., Лг не пересекаются, множество Д'1 (у)ПЛ,- состоит не более чем из к —г точек, и тем же свойством обладает множество

Г1 (у) Я л, л Г1 (б), т. е. f;4iA

почти по той же причине.

Аналогично, если у £ ((Ci) = f (Л() Л f (-^ — Л,), то у есть точка порядка «С к — 1 отображения /|.?’ — Л/ и, следовательно, отображения HQ-

Теорема 21). (Гуревич.) Если непрерывное отображение f порядка ^к ^к^ 1) отображает компактное пространство АГ, то

dim/■(.?") ^ dim АГ + k — 1.

Более общо, если Ло, ..., Лг (0 ^ г ^ к) — система непересе- кающихся замкнутых множеств, то

dim(/(A0)n .Л/(Лг))^ dim At + k-r- 1.

Доказательство. Первая часть теоремы будет доказана по индукции. Пусть dim.?" — п.

В случае, когда либо п = — 1, либо k — 1, утверждение очевидно. Предположим, что оно имеет место для п~ 1, каково бы ни было значение к, и что оно также имеет место для пары п н ка- 1.

Пусть y^V^) и S — открытый шар с центром в точке у. Мы хотим определить окрестность Е точки у в Ц-ЗА), такую, что

EcS и dim Fr(£) ^ п + кй — 2.

По теореме 1 из §27, II существует открытое множество G в н-мсрном пространстве АГ, такое, что

f~'(i/)cG, 6с^\$\ и dim (G — G)O — 1.

') См. Гуревич [I, стр. 1М]. Ср. Пасами 11 ], Судзуки [1, стр. 201], Вайнштейн и Каждаи [I]. ВаГппитсГш [2, стр. 431] и [3, стр. 19].

Положим E~f(G). Тогда

Fr(G) = Fr[f(G)J - f (G) П №-№ с

с П«) 0/WW) с f (G) П =

потому что f (.^) — f (G) <= f (^ — G) (ср. § 3, III (3)).

Точка у^Е, так как /“’(у)с G и, следовательно, yEf(G)c:£.

С другом стороны, y^Fr(£), поскольку

.^-Gc.G-r'Cy^T^W-vl;

ио тогда Ц.Т — G) с: / (.^) — у, и поэтому у ^/(.^ - G) л> Fr(£). Таким образом, Е есть окрестность точки у. Наконец, мы получаем (ср. § 3, III (13))

/(G)nH^-G) = HGnr‘H^-G)| =

-/[(G-G)nr7(^-G)UGnr7(^-G)b

= H(G-G)nr7(^“G)] и U ^тЛГ7(^’-С)|, m=l

представляя множество G в виде объединения

G = FX^F^ где Fm = Fm.

По предположению из неравенства dim(G — G)^n — 1 вытекает неравенство

dim / |(G — G) П Г7 (^ - G)| С п + к0 - 2;

тот факт, что отображение f имеет порядок ^/гп — 1 па множестве G П f'K'E~ G) (по второй части леммы 1 при At = 5F— О'), влечет за собой неравенство

dim/l^fir'H^-Ol^^ + ^-S.

По теореме сложения (§ 27, I теорема 1) из этого неравенства вытекает неравенство

dim [HG)P/(^- G)Kn + /e0-2,

и, следовательно,

dim Fr (G) ^ n + ka — 2.

Вторая часть теоремы 2 есть следствие первой ее части, так как, согласно лемме 1, (1) и (2), мы получаем

dim В = dim f |/lz f] f-1 (В)] <

dim [Л, П Г"' (B)] + k — r — 1 ^ dim At + к — r — 1.

Параметрическое представление n-мерных совершенных компактных пространств на канторовом множестве^1). Согласно следствию За § 41, VI, каждое компактное пространство имеет параметрическое представление на множестве 8” (т. е. явл.яется непрерывным образом 8”). Этот факт можно сформулировать более точно следующим образом:

Теорема 1. Если совершенное подмножество Р компактного пространства Ж п-мерно (или, более общо, Р удовлетворяет условию D„ из § 27, III), то существует непрерывное отображение множества ^ на .V, такое, что каждая точка множества Р имеет порядок ^и+1.

Кроме того, если Ф — множество функций f, таких, 4Tof^JE^ и f(^) = ^, то подмножество V множества Ф, состоящее из функций, имеющих точки порядка >п + 1 в Р, есть множество первой категории в Ф.

Доказательство. Так как Ф — непустое (§ 41, VI, следствие За) и замкнутое (§ 44, II, следствие 4) подмножество полного пространства Ж"6 (§ 44, VII, теорема 3), то достаточно доказать вторую часть теоремы 1, ибо по теореме Бэра подмножество первой категории не может заполнять полное пространство.

По определению Чг каждой функции f £ ^г соответствуют положительное целое число / и система точек х0, •••, ^п+ь такие, что

Цх^-Цх^Р и \xi-xJ\>\jl при KKjCn+l.

Пусть Чт; — множество функций /, для которых существует система точек х0, ..., x„+i, удовлетворяющих соотношению (1); тогда

и у,.

г-1

Идея доказательства состоит в том, чтобы показать, что множество 4rz нигде не плотно в Ф.

*) См. Куратовский [27, стр. 285].

Так как Чг, замкнуто, то, как легко видеть1), наша задача — показать, что Чг, есть граничное множество, т. о. каждому элементу /£Ф и каждому е>0 соответствует отображение Д, такое, что

ГЕФ-^

и

lf-ГКе.

Так как отображение / равномерно непрерывно па пространстве ^, последнее можно разбить па непересекающиеся замкнутые части таким образом, что

^ = C0U ... UCm, d[f(Cz)]<e/2 и д(С,)<1//.

Пусть С, —открытый шар с центром /(Cz) радиуса е/4. Тогда

^ = G0U ... U G,„, /(Cz)cGz^0, 6(Cz)<e.

Так как Р — совершенное множество, то из условия О,г вытекает (ср. § 27, III, теорема 5(5)) существование системы замкнутых множеств Нь таких, что

^ = Яои ... UGm, 0^Я,с=С;, Р П ^0П - - - П /Л„+1 =0

для любых различных индексов io, ..., 1п+ь

Пусть Г — непрерывная функция, такая, что Г (Cz) = Нь Так как

№ = Г(с0)и ... иГ(ст)=^,

то /’ принадлежит множеству Ф. Допустим в противоположность (2), что ГЕ^Т/. Пусть х0, .-., х„+1 —система точек, удовлетворяющих условию (1) (в котором / заменено па f). Так как 6(CZ)<1//, то ин одно множество Cz не содержит двух различных точек, принадлежащих этой системе; поэтому существует система различных индексов /0, ..., /л+1, такая, что Xj^Ct / = 0, . .., п + 1. Следовательно, Г UiVEr^Ci^ Hip и так как Г (х0) = Г (ху) £ Р (ср. (1)), то

ГийКРПН(оп ... п н1п^х

вопреки (5).

') Например, определяя *Ру через логические символы: (/£'Fz)=s V Л {(0<;< ]^п+ !)=$■

^Uxi-xt\>\ll\ lHxd = HxiKP^.

Таким образом, условие (2) доказано этим противоречием. Отсюда получаем неравенство (3). Действительно, на основании (4) и (5) имеем

t^^tkC^Gt н r^EHiCGi

для любого х С С{ и, следовательно, согласно (4),

|f(x)-r(x)K6(Gz)<e.

Из теоремы 1 вытекают следующие три теоремы:

Теорема 2. Совершенное компактное пространство имеет размерность ^.п тогда и только тогда, когда оно имеет параметрическое представление порядка «^ п 4- 1 на множестве ^.

Это вытекает из предыдущей теоремы (если мы положим Д-Р) и теоремы 2 п. I.

Теорема 3. Для компактного') пространства Д условие D„ эквивалентно неравенству dim ^ ^п.

Доказательство. Принимая во внимание теорему 4 из § 27, III, достаточно показать, что из условия D„ вытекает неравенство dim Д' < п.

Пусть До — совершенное подмножество пространства Д’, такое, что множество Д — До счетно (теорема Кантора — Бен- днксопа, § 23, V). Так как открытое множество Д' — .?’ц имеет размерность ^0, то мы получаем (ср. § 27, I, теорема 1) dim.^ = dim^n (за исключением случая, когда .^> = 0, который можно опустить, так как при этом dim.^^O). Следовательно, остается только показать, что dim До s^ п, или, согласно теоремам 1 и 2 п. I, что До удовлетворяет условию D„. Пусть

^0=л,и ... ил„

— разбиение иа множества, которые открыты в Д\> Пусть С,— открытое множество в Д, такое, что Л, = Gz-П .^о. где i= 1, .... т, и пусть Оо = Д — .^о", тогда

.^=G0U • •• UGm.

Поэтому из свойства D„ пространства Д вытекает существование системы открытых множеств Но, ..., Н„„ такой, что

Д-Дои ... ид„„ H^Gi И Д/0П ... П/Д„и = 0.

Полагая В, = Hi П До, мы получаем Во = О и

До=В1и ... UBm, ^сзЛ,, б,0П ... ПВ,„ы=°-

Эти соотношения вместе с (6) показывают, что ^0 удовлетворяет условию D„.

Теорема 4. Пусть Рх, Р2, ...—последовательность совершенных множеств в компактном пространстве Ж. Тогда существует непрерывное отображение множества 55 на Ж, такое, что каждая точка множества Pt(i=Y, 2, ...) имеет порядок dim Pt + 1.

Доказательство. Пусть Ф имеет тот же смысл, что и в теореме 1, и пусть Чг — множество функций /^Ф, не удовлетворяющих условиям теоремы 4. Мы имеем Ч; = Ч^ |J Чг2 U . .., где 4rz — множество функций ^СФ. обладающих точками порядка >dimPj + l на множестве Pf

Так как Чг; — множество первой категории в Ф (согласно теореме 1), то же самое верно для Чг. Поэтому Ф — Чг =^ 0.

Перейдем к рассмотрению параметрического представления замкнутых множеств (не обязательно совершенных).

Лемма 5. Всякое замкнутое подмножество F совершенного компактного пространства Ж1 содержится в совершенном множестве Р, таком, что dim Р = dim У7.

Следовательно (если подставить вместо ТС гильбертов куб 9^°\ отсюда вытекает, что всякое компактное пространство топологически содержится в совершенном компактном пространстве той же размерности.

Доказательство. Если рх, р2, ...—последовательность изолированных точек в F и Pt — совершенное множество, такое, что pt^Pt, б(Р^<\!1 и dimP; = 0, то множество

P = PUPiUP2U ...

совершенно и dimP = dimF по теореме сложения (§ 27, I, теорема 2).

Теорема 6. Всякое п-мерное компактное пространство имеет параметрическое представление порядка п + 1 на нульмерном компактном пространстве').

Более общо, теорема 4 остается верной, если отбросить предположение, что множества Pt совершенны (но сохранить предположение, что множества Pt замкнуты), а множество 55 заменить нульмерным компактным пространством 55й, выбранным надлежащим образом.

*) См. обобщение у Робертса [2, стр. 565],

Доказательство. Рассмотрим пространство РЕ как подмножество пространства ^к°, и пусть Pi — совершенное множество (в У*0), такое, что

Р;сР: и dim Pz = dim Р*.

Пусть / в соответствии с теоремой 4 есть непрерывное отображение ^ на 5*”, такое, что каждая точка множества Р\ имеет порядок ^dimPz+1. Положим Й"о = /-1(^); тогда /|Й"0 —требуемое отображение Й"о иа

Теорема 7. Если О есть п-мерное открытое под множество компактного пространства РЕ, то существует нульмерное компактное пространство ^0 и непрерывное отображение f пространства ^о на РЕ, такое, что каждая точка множества G имеет порядок ^« + 1.

Доказательство. Если Рь Р2, ...—последовательность замкнутых множеств, такая, что O = P|UP2U •••> то остается только применить вторую часть теоремы 6.

Замечания. При п = 0 из теоремы 2 следует, что всякое нульмерное совершенное пространство гомеоморфпо капторову множеству^. Все эти пространства имеют один и тот же топологический тип и обладают всеми топологическими свойствами пространства ^ (например, свойством однородности).

Для счетных компактных пространств РЕ справедлива следующая

Теорема Мазуркевича — Серпинекого). Если Ж"№ есть последняя производная (ср. § 24, IV) пространства РЕ и п есть число элементов в ^№, то пространство РЕ гомео- морфно вполне упорядоченному подмножеству сегмента типа to*1 • п + 1.

Следовательно, топологический тип счетного компактного пространства характеризуется парой (а, п\ Отсюда вытекает, что счетные компактные пространства могут быть расположены по Ki топологическим типам.

Однако существуют с различных топологических типов разреженных пространств, которые являются метрическими сепарабельными, но не обязательно компактными).

Теоремы о разбиении. Тот факт, что всякое п-мерное пространство удовлетворяет условию D„, является весьма частным случаем следующей теоремы:

Теорема 1 *). Пусть задана последовательность замкнутых множеств Р{, Р^, ... в компактном) пространстве .%', Тогда всякому разбиению на открытые множества .V = Go\} . .. U Gm соответствует разбиение на замкнутые множества

^ = Р^...^Р,,о где F^Gi и

dim(/->/ П Fi() П ... П P.J ^ dim Р/- г

для любых целых чисел / = 1, 2, ..., r^dimPy + 1 и 1й< ... < ir tn.

Доказательство. Согласно теореме 6 п. II, существуют нульмерное компактное пространство ^о и непрерывное отображение /, такие, что /(^0) = .^ и каждая точка множества Ру имеет порядок ^dimP/ + 1. Так как множества ГНор открыты, то из разбиения

^o = F'(Go)U и Г'(Gm)

следует существование системы неперссекающихся открытозамкнутых множеств Ду, таких, что

^0 = ли ... ил« и

Положим Ft = f(Ду). Тогда

^ = PoU ... UPm И FiCGi.

Наконец, положим Qj = f"V (Pj); тогда сужение / I Q/ имеет порядок ^ dim Р/ + 1; отсюда по теореме 2 п. I (при /г = dim Ру+1) и по условию dim At = 0 получаем неравенство dim|FAonQ/)n ... nfH,vnQ/)]<dimP/-r.

Но это неравенство завершает доказательство теоремы, так как (ср. § 3, III (13))

НЛПГ^ = Н^)ПР7 = Р,ПРу.

Следствие). Всякое компактное п-мерное пространство для любого е>0 можно разбить на конечное число замкнутых множеств, таких, что диаметр каждого из них < е и любое

') См. Куратовекин [27, стр. 290]. Частный случай (когда последова' дельность Pi, Р2, ... конечная) см. у Ментора [1, стр. 170].

пересечение г множеств имеет размерность ^ п — г + 1 (г = 1, 2, .. ., п + 2).

Доказательство. Достаточно положить

^ = Р1 = Р2 = ... и d(Gz)<e.

Замечания. Это следствие более просто выводится из первой части теоремы 6 п. II. Пусть ^0 — нульмерное пространство и / — требуемая функция. Разобьем £Д па достаточно малые непересекающиеся замкнутые множества Ло, ■ ■ •, Л,п так, что 6 [/(Л£)] <е; тогда требуемое разбиение имеет вид

^ = НЛ0)и ... UM„).

Кроме того, если вместо числа е рассматривать сходящуюся к О последовательность еь е2, ..., то получится последовательность разбиений, удовлетворяющих условиям следствия и таких, что (/+ 1 )-е разбиение есть подразделение /-го разбиения. Для этого необходимо только подразделить множества Ло, . .., А,п.

я-мерная степень, «-мерная степень пространства АГ (обозначается Д^АТ^ определяется1) как точная нижняя грань таких чисел е, что существует система открытых множеств Go, •Gm, удовлетворяющих условиям

^=GoU ... UGm,

d(Gz)<8,

G<0 Л • • • Л Gin = О для i0< <i„Cm.

Другими словами, неравенство г/„(.^')<е имеет место тогда и только тогда, когда существует система открытых множеств, удовлетворяющих условиям (1) —(3).

В частности, неравенство Дх(/Г')<г означает, что пространство АГ можно разбить на конечное число непересекающихся открыто-замкнутых множеств диаметра <е.

Условие (3) можно заменить следующим условием:

G,on ... ПС<п = 0 для /0< ... <ln^m.

Можно также брать множества Gz замкнутыми вместо открытых (см. § 14, III).

Теорема 1. Если пространство АГ компактно, то условие эквивалентно условию D„ и, следовательно, условию dim^^n (ср. II, теорема 3).

') Ср. с поперечником Урысопа [5, стр. 353].

Доказательство. Применяя условие Drt к покрытию пространства ^’ открытыми множествами диаметра <е, получаем dnVX^ = 0.

С другой стороны, пусть ^ = Ло U ••• U Лт-разбиение на открытые множества. Согласно следствию 4d, § 41, VI, существует число е>0, такое, что всякое множество диаметра <е содержится по крайней мере в одном из множеств Л;. Предположим, что </„+1(^) = О, и рассмотрим множества Go, Gm, которые удовлетворяют условиям (1) —(3), где и заменено на (н+1). Пусть /; — множество индексов /, таких, что GjCAb и пусть Яо —объединение всех G j, таких, что j£I0, и, вообще, пусть Д;+, — объединение всех G j, таких, что /СЛ+1-(^oU ...U Л). Из этого следует, что

^ —//oU ... U^m, Hi^Ai и Д,0П ... П/Лп+1 = 0,

а это показывает, что Ж1 удовлетворяет условию D„.

Если £ —подмножество пространства ^, то условие с/„(£)<е означает, что существует система множеств Ло, ..., Лт, открытых в £ и удовлетворяющих условиям

£ = лои...илт, 6(Ла<е и Л,0П ... ПЛ/^О.

Пусть Go, ■••, Gm —система открытых множеств, подобная системе Ло, ..., Л„( и такая, что Л; = £Г1С/ и d(G;)<e (ср. § 21, XI, теорема 2); тогда условие dn(E)<z эквивалентно существованию открытых множеств Go, ..., Gm, удовлетворяющих условиям (2) и (3), а также включению Е cz G0U ... U Gm. Кроме того, условие (3) можно заменить условием (4).

Замечание. Предположение компактности пространства Ж не может быть опущено. В самом деле, существует множество АссГ3 размерности 2, такое, что для каждого е>0 найдется непрерывное отображение множества Л в одномерный полиэдр, при котором образ каждой точки имеет диаметр <е. Таким образом, с/2(Л) = 0. Более того, Л является Са-мпожеством (см. Ситников [2, 4]).

Теорема 2. Предположим, что пространство Ж1 компактно. Тогда семейство всех замкнутых множеств F, таких, что dn(F)<&, открыто в пространстве 2Г для каждого е>0.

Иными словами, функция dn^ полунепрерывна сверху в пространстве 2Г.

Доказательство. Если Г —система открытых множеств GoG,n, удовлетворяющих условиям (2) и (3), то семейство

Фг = Е(/?с GoU ... UGJ

открыто в 2Г (ср. § 17, II, теорема 1). То же самое верно для семейства■

Е[4(Л<е] = 0Фг.гг

Теорему 2 можно обобщить следующим образом:

Теорема 2'. Если пространство 97 компактно, то множество

Е [^№П ... П^)<е]

открыто в пространстве (2Т)Й.

Доказательство. Для доказательства этого утверждения достаточно положить

Фг= Е (F,n ... n^czGoU ... U Gm)

и применить теорему 1 из § 17, V вместо теоремы 1 из § 17, II. Отсюда вытекает, что множество Фг открыто в пространстве (2»)й.

Теорема 3. Если пространство 97 компактно, то существует множество F £2Д такое, что dn(F) = dn(97) и из условий Х^^’ и XcF9=X следует, что d^X^d^Fy, это означает, что множество F неприводимо по отношению к своей п-мерной степени.

Доказательство. Так как множество Е [dn(F)^ дД97^\ F

замкнуто, то оно содержит неприводимый элемент (согласно теореме 2 из § 42, IV).

Т е о ре м а 4. Если пространство97компактно, то Е (dimF^n) F

есть бумножество в пространстве 2®. Следовательно, функция dimF есть функция второго класса на пространстве 2х.

Доказательство. Утверждение теоремы вытекает из соотношения

Е (dim F < n) = Е VU। (F) = 0] = П Е [4+. (F) < 1/Л]

и из того, что множество Ep„+1(F)<^ по теореме 2 открыто.

Множество E(^J^dimF^n) есть разность двух G6-mho- F

жеств. Следовательно, оно есть Ро6-множество, и поэтому размерность замкнутого множества F, рассматриваемая как функция от F, есть функция второго класса Бэра.

Применение теоремы 2х вместо теоремы 2 дает следующую теорему.

Теорема 4х. Если пространство Я' компактно, то множество

Е [dim(F,H ... П^Хн]

ИFk

есть О^-множество в пространстве (2^.

Замечания, (i) Функция dim Г есть предел возрастающей последовательности полунепрерывных сверху функций l\k(F).

Доказательство. Пусть АД/7) обозначает наименьшее целое число п^ — 1, такое, что существует система открытых множеств Go, ..., Gm, удовлетворяющая условиям

FglGoU ... UG„„ ДС/Ку и G,- П ... ПС,- =0

для любого множества индексов /0< . .. <1пЛЛ5^т.

Таким образом, условие АД/ф^и эквивалентно условию dn+i (F) < \]k. Следовательно, по теореме 2 функция АД/7) полунепрерывна сверху. Положим dirnF = /i; тогда \к (/*)>«—! для достаточно больших значении /г, так как в этом случае d^F')'^ \)k. С другой стороны, из условия D„ вытекает неравенство АД/7)^/!, а из этого следует, что

п = dim F = lim Ад (Д).А->оо

(Н) Множество E(dimF^fi) не обязательно типа Fn и, следовательно, функция dim/7 не обязательно первого класса.

Например, если ЯГ = 9, то семейства Fo и Fb состоящие из 0-мерных и 1-мерных множеств F соответственно, всюду плотны в пространстве 2V Поэтому Fq не может быть ^-множеством, согласно теореме Бэра (§ 34, IV).

(iii) Если ЯГ — метрическое сепарабельное пространство, то функция f(p) = dimp.Т является функцией второго класса.

Доказательство. В самом деле, согласно теореме 2 из § 25, III, множество Е(dimp.^Дп) является Ол-множе- р

ством (которое не обязано быть ^„-множеством).

Теорема 5. Если пространства ЯГ и Я компактны, то множество

ЕкШгЧуМ

) У

открыто в пространстве Я1' для любого е>0.

Множество Е Л (dirn[/ '(//)|^л} есть 6 ь-множество.

Доказательство. Пусть Ф;/= Е {dn Г/-'Cz/)l< eL Включение / 6 Ф.у означает, что существует система открытых множеств Go, • .., G,„, удовлетворяющих условиям (2), (3) и включению f”l(//)cG0U ••• U Gm. Так как множество пар У, у), удовлетворяющих этому включению, открыто (§ 44, II, след- ств’ие 6), то открыто и множество Е[/€<!,»1, а также множество ЕЛ(/€ФУ) (Д’- § 41, IV, следствие 1Ь).

Наконец, дЬнш[гЧ//)<4 ^лкмИг'с^о] = УУ

у к <

к и VК >

что доказывает вторую часть теоремы.

Теорема 6. Пусть Л и В — компактные множества; тогда из неравенств дДЛ)<г, дп^В^<г и dim (И П В) ^ п — 2 следует неравенство dn(A[) В)< е.

Доказательство. По предположению существуют две системы открытых множеств Ло, At и Во, ..., Вт, такие, что

ЛсДШU Л, 6(Л.)<е,ЛоП ... ПЛ„ = 0,

BclBqU ... U В„„ ЦВ^Ке,В^П ... П Bin = 0.

Используя теорему III, 1 в случае, когда Я' = А и Р{ = Р2 = = . . . = А П В, получаем, что существует такая система замкнутых множеств И*, . . ., А*, что

л = л*и ... ил;, л;<=л, и

dim (В Q Л*о П •ЛЛ;^<н-г-2

для любого г^п — 1.■

Эта же теорема, примененная к случаю .Т = В, влечет за собой существование системы замкнутых множеств В*р . .., В*т, такой, что

в = в*и ... ив;, в^в;

ил;оппл;гпв:;оппв;п_г_, = о

(где множества ВПЛоП ... ПЛ играют роль В; и где 0^ ^г ^п — 1).

Таким образом, получается разбиение

лив = л;и ... ил;ив;и ... ив;

на замкнутые множества диаметра <е, такие, что не существует точки, общей для (н + 1) из этих множеств. Следовательно, с/„(ЛиВ)<е.

Замечание. Условие (Пт(ЛПВ)^п —2 нельзя заменить условием Л-|(^ПВ)^е.

Теорема 7 *). Если пространство ЯГ компактно, то дп(Я) есть точная нижняя грань чисел е, для которых существует непрерывное отображение f пространства ЯГ, такое, что

dim/(^’)^n — 1,

б[/“'(?/)]<е для любого yEtUEY

Болес точно, если dn(TE)<R, то существует непрерывное отображение f, удовлетворяющее условию (ii), пространства Я* в (п — 1)-мерный полиэдр; с другой стороны, если f — непрерывное отображение, удовлетворяющее условиям (i) и (ii), то dn(.!E)<e, для компактного пространства ЯГ.

Доказательство. Предположим, что t/n(.^)<e. Тогда существует система открытых множеств Go, .... Gm, удовлетворяющих условиям (1) — (3). Пусть р» ... р,п есть ш-мерный симплекс. Отображение

f (-'И ~ ^0 (я) ■ Ро 4* • • • 4* ^от (^) ‘ Pmi где

j (и —о ^х' ЕЕ ~ бр

Я’-О^+ ... + р(х, ЯГ-О„д

(т. е. отображение х, ассоциированное с системами р0, ..., рт и Со, . .., Gm\ является требуемым отображением (ср. § 28, VI, теорема 4).

С другой стороны, пусть / — отображение, удовлетворяющее условиям (i) и (ii). Так как множество /(.^) компактно, то, согласно (ii), существует (ср. § 41, VI, лемма) число ц>0, такое, что из соотношений f(^) = //oU • •• UHm и д [И^ <т] вытекает б[/~'(Я;)|<е.

Согласно условию (i), можно считать, что множества Ht открыты и /Л0П ... ГШ„ = 0. Если мы положим Gt = f~' (Hi), то будут удовлетворяться условия (1) —(3); следовательно, dnm<e.

Следствие 8. Если пространство 57 компактно, то

соотношение dim^^n есть инвариант отображении с малыми прообразами точек!), а именно прообразами точек диаметра < dn (^);

в случае, когда) ^cz^», условие dim^ ^п эквивалентно существованию для каждого е>0 е-сдвига пространства 37 в п-мерный полиэдр);

степень dn(37) есть точная нижняя грань чисел т^, З/)), где 3/ пробегает множество всех компактных пространств размерности < п.

Используя следующую теорему, коэффициент dn можно определить с помощью dx.

Теорема 9). Для компактного пространства Ж степень dn(37) есть точная нижняя грань чисел е, таких, что существует система замкнутых множеств Ль ..., Ап, обладающих следующими свойствами;

+ ) ^ = Л] U ... U Ап и dx(At)<e для i= 1, .... п.

Более точно, условие dn(37)<e, эквивалентно существованию разбиения такого вида.

Доказательство. Пусть сначала dn(57)<e. Воспользуемся индукцией. При n = 1 существование требуемого разбиения очевидно. Покажем, что такое разбиение существует для числа п при условии, что оно существует для числа п— 1.

Так как dn(.y)<&, то существует система замкнутых множеств Fo, ..., Fm, такая, что

= FoU UF,„,ПЛп = 0, 6(^)<e.

Пусть F - объединение всех пересечений из п множеств, принадлежащих этой системе. Так как эти пересечения попарно не пересекаются, то dx(F)<e. В соответствии с теоремой 2 пусть S —открытый шар с центром F достаточно малого радиуса, такого, что dx(S)<e. Из условий

^-S = (^0-S)U0(^-5), 6(FI — S)<e

И

Д,П ... n^-ScF — S = 0 вытекает, что

Таким образом, согласно предположению,

Я- S = /12 и • • ■ и Ап, At= Ab dx<AA<v, для z = 2, ...,/i.

Полагая Л] = S, получаем разбиение ( + ).

Обратно, предположим, что система замкнутых множеств Аь ..., Лп удовлетворяет условию ( + ).

Итак, для каждого I существует разбиение множества At на замкнутые пепересекающиеся множества

Ai = Ai (J . .. (J Л‘ч, где б(Д/)<е при

Таким образом, ^ = U А^ есть разбиение пространства АС па к /

замкнутые множества, никакие (п+1) из которых не имеют общей точки. Следовательно, t/„(.^’)<e.

Из теорем I и 9 вытекает такое следствие:

Теорема 10. Если, пространство .Е компактно, то dim ZE < п тогда и только тогда, когда для каждого е > О существует система замкнутых множеств Ль .... Лп, удовлетворяющая условию ( + ).

V. Размерностное ядро компактного пространства. Множество N называется размерностным ядром (ср. § 27, V) n-мерного пространства ^', если N есть множество всех точек р, таких, что dimp^ = n. В общем случае размерностное ядро метрического сепарабельного пространства имеет размерность ^n—1, по не обязано быть /i-мерным (именно, если пространство слабо /z-мерно; ср. § 27, VI). Однако если пространство компактно, то имеет место следующая теорема Менгера ):

Теорема. Размерностное ядро N компактного п-мерного пространства АС является п-мерным в каждой из своих точек.

Таким образом, dim /V = п.

Доказательство. Предположим противное, т. с. что p^N и dimpIV<n. Пусть е>0. Тогда существует открытое множество G, такое, что

P^G, 6(G)<e и dim [V f) Fr (G)] < n — 2.

В соответствии с § 27, IV пусть Р есть (/^-множество, такое, что

MHFr(G)<=P и dim Р <и-2.

Из включения (2) вытекает, что N П [Fr (G) — Р] = 0. Поэтому

dim^.^^n—1 для х С [Fr (G) — Р].

Следовательно, существует семейство открытых множеств, таких, что каждой точке х£ [Fr (G)—P] и каждому положительному числу к соответствует множество Н этого семейства, удовлетворяющее следующим условиям:

х^Н, 6(Я)<е//г и dim Fr (Я) ^ п — 2.

Так как Р есть (?6-мпожество, то множество Fr (G) — P есть ^„-множество. Следовательно, в указанном семействе можно выбрать последовательность Яь Я2> •■•> такую, что (ср. § 41, II, следствие 5)

U?/m<=UGnUFr(G) и Fr(G)-P<=U//m; ntmщ

отсюда

Fr(G)-U/P„<=P,

следовательно,

dim [Fr(G)-U^J <«-2,

I>п 1

согласно (2). Положим

Q = G U U Нт.

Тогда из (1) и (4) следует, что p^Q и d(Q)^2e. Мы покажем, что

dim Fr (Q)^n — 2,

откуда получится требуемое противоречие, так как, согласно предположению, p^N и, следовательно, dimp.^ = n.

Из (5) следует, что

Fr(Q)=Q-Q-(G-Q)U(U77m-Q)c:

с (G - G - U Нт^ U ( [U Нт U Fr (G)J - G - U Нт ) с

<= IFr(G)- и /-fml U U Рг(Я„,),

Iт I т

поскольку

UHm-UHm^UlHm-H^-.UTWmV tn tnm

Наконец, согласно (6) и (4) (ср. § 22, I, теорема 2),

dim Fr (Q) < dim [ |Fr (G) - U G„j U U Fr {Hm)) < n - 2.

VI. Отображения с /г-мерными прообразами точек.

Теорема I1). Пусть f — непрерывное отображение компактного пространства НГ. Если для всех у^ЦИГ') удовлетворяется условие dim/"1 (у)^/г, то

dim f(HT) Д dim ЯГ — /г.

Доказательство. Пусть dim.^ = n и dim/(.£■) = «г. Мы покажем, что

m^n — k.

Очевидно, теорема верна для m= — 1; следовательно, можно предположить, что она имеет место для числа т — 1. Так как Д (ПС) #= О, то можно также предположить (ср. IV, теорема 3), что пространство Я' неприводимо по отношению к своей «-мерной степени. Пусть Av и А2 — два замкнутых множества, таких, что

/(^) = Л,иД, А^К-ПМ и dim(An Д№«-1.

Из среднего неравенства следует, что

Г\Л1) ^ НГ ^ гЧл,), откуда

dAr'wRd.A.'H и дДгЧл^адп

Так как ^ = Д* (Д) U/-‘(А)- т0> согласно теореме 6 п. IV, dim [Д1 (Л,) П f~4A2)\>n-I, т. е. dimf~'(Д П Д) >n - I.

С другой стороны, так как dim(Hl П А^т — 1, то, согласно предположению,

dim(Лl П Д)^ dim f”' (Л] П Д) — к.

Отсюда мы получаем, что

т — I Д п — 1 — k.

Следствие 22). Если пространство НГ компактно и f — открытое отображение пространства ЯГ, такое, что множества ДЧу) счетны, то

dim / ^ЯГ^ = dim НГ,

*) См. Гуревич [1, стр. 164].

См. Александров [10].

Доказательство. Из теоремы 1 следует, что dim .^ ^ ^ dim /(.У), а, согласно теореме 2 из § 43, V, существует последовательность замкнутых множеств Fx, F2, ..., такая, что fm^f^uf^u ...

и HFt) гомеоморфпо Ft, следовательно, такая, что dim f ^Fi) = dim Ft ^ dim УС.

Отсюда по теореме об объединении (§ 27, I, теорема 2) следует, что

dim f (^) ^ dim УС.

Замечание. Предположение счетности множеств f~'(у) lie может быть заменено) условием dim/~1 (//) = 0 (которое означает, что отображение f 0-мерно).

В самом деле, для каждого компактного пространства У положительной размерности существует \-мерное компактное пространство УС и открытое 0-мерное отображение f пространства УС на У).

Теорема 3. Пусть заданы три компактных пространства УС, Ух и У2 и два отображения ft: УС-*УЬ i= 1, 2. Определим отображение f: УС ->УхХ У2, положив f(x) = [/Дх), /Дх)]. Если dim/~'(z)^fe для всех г^УхХУ2, то

dimf-'^^dim 3<2 +А для каждого УХ^УХ.

Доказательство. Зафиксируем точку ух^Ух. Положим "-ЖШ Из соотношений

{А (х) = у2}={ [fi (х) = z/,] [АДх) = .%]} = {/(*) = (уь й)}

следует, что Л 1 (to)cf~* (yi, Уг), поэтому dim Л ЧУ2)^к. Из теоремы 1 (с заменой УС на ^'(у^ и f на ^) получаем

dim f^' (ух) — А ^ dim h [f™1 (у,)| < dim Уу

VII. Пространство i^S'Y при г ^ 2 dim Я' + 1.

Теорема 1. (Теорема вложения Мепгсра и Нёбелиига ').) Всякое п-мерное метрическое сепарабельное пространство топологически содержится в кубе Я2пЛЛ:

если dim^ = rt, то ГГ<=.Я2п+х.

top

Более точно), если замкнутое множество Ес .96 удовлетворяет условию D„ и если r^2n+ 1, то функции ^кЯ'^, такие, что сужение f\E есть гомеоморфизм, образуют остаточное множество {т. е. дополнение множества первой категории) в пространстве )ЯГ)Х-

Доказательство. Если А и В — два замкнутых пепере- секающихся подмножества из Е, то обозначим через ФДД семейство функций gEk9r)x, таких, что

z?M)nFC6) = o.

Так как множество Е удовлетворяет условию D„ и r^2n + 1, то теорема 4 из § 28, VII показывает, что

Флд = (^Т

Отсюда по теореме 2 из § 44, VI непосредственно следует вторая часть теоремы 1.

Для того чтобы получить первую часть теоремы из второй, положим Е = ,96 и воспользуемся тем фактом, что пространство кЯ')х полно (ср. § 33, V, теорема 1) и потому каждое его остаточное подмножество не пусто (по теореме Бэра).

Замечания, (i) В теореме I показатель степени 2п + 1 не может быть уменьшен. В самом деле, существуют п-мерные пространства, не гомеоморфные никакому подмножеству куба Я1п. Например, доказано), что таким пространством является объединение всех граней размерности не более п (2п + 2)-мерного симплекса.

Теорему Менгера и Нёбелиига можно усилить следующим образом):

Пусть N п — подмножество куба П2"'7') точки которого имеют самое большее п рациональных координат. Из условия dirnjr = n следует включение Я"аПп.

Следовательно, пространство Nn имеет самый высокий топологический ранг среди всех метрических сепарабельных пространств размерности не более п.

Сначала мы докажем следующее утверждение:

Если dim ^’^/7, то множество Ф функций g, таких, что

ОШ^.

является остаточным О6-множеством в пространстве ^П2*1*^.

Доказательство. Пусть п + 1 ^ tn ^ 2п + 1 и задана система tn рациональных чисел г rm и tn целых чисел ц< ... <im (^2п + 1); тогда множество точек

/ I2п-Ц\I.i,„

х = \х , ..., х J, где х 1 = rh .. ., х m = г,п,

есть (2и + 1 — т)-мерное линейное многообразие.

Для переменных т, гх, .... гт и /]1т получается последовательность Llt Ц, ... линейных многообразий, такая, что

Так как dim Ь^^п, то множество Е [# (^Д П £/< = 0] всюду плотно в пространстве G^2"4 ’) (согласно замечанию к теореме 3 из § 28, VII). Но это множество и открыто в указанном пространстве (ср. § 17, II, теорема 1 и § 44, V, теорема 4); следовательно, Ф есть остаточное С6-множество, согласно следующему соотношению:

Ф-Е[/?№см„]=Е ^mn иКК L6-1Ф-Е[/?№см„]=Е ^mn иКК L6-1/^ = 0 = П Е[ятп^ = о]..6=1 я/^ = 0 = П Е[ятп^ = о]..6=1 я

Ф-Е[/?№см„]=Е ^mn и

КК L6-1

Ф-Е[/?№см„]=Е ^mn и

КК L6-1

/^ = 0 = П Е[ятп^ = о].

.6=1 я

/^ = 0 = П Е[ятп^ = о].

.6=1 я

Так как множество гомеоморфизмов также остаточно, то гомео- морфпзмы, удовлетворяющие условию (1), составляют остаточное множество в пространстве ^Н‘2п*хТ. Поэтому jEczN^ top Остается только показать, что dim Nn^n.

Обозначим через Rk,m подмножество из Н”\ точки которого имеют /? рациональных и (т —/г) иррациональных координат; тогда

Nn— Ro, 2n + lU ••• U Rn, 2n + b

Так как объединение (п+1) нульмерных множеств имеет размерность ^п (ср. § 27,1, теорема 1), то остается только показать, что *)

dim^, m = 0(0^^^/и)

Пусть гь г2, ,.. — последовательность рациональных чисел, содержащихся в интервале 01, и пусть Z/*, ...,/* — множество точек (х(1), .,., х*"4), для которых х^'^г/, ..., х^ = г/&, а все остальные координаты иррациональны. Тогда

где суммирование распространяется на все системы ix< ... ... <ik^tn и /ь ..., jk.

Пространство Z^...'/^ гомеоморфио (т — куй степени пространства о/У* (всех иррациональных чисел в интервале Д') и, следовательно, самому с/^; поэтому оно имеет размерность 0. Кроме того, оно замкнуто в Rk,m, так как каждая точка х множества Z/p J^ — Z/*p ^J^ имеет в дополнение к координатам хх = Г[хxik = rik по крайней мере одну рациональную координату и, следовательно, x^Rk]m.

Множество Rk,m имеет размерность 0, так как оно есть объединение последовательности 0-мерных множеств, замкнутых в Rk,m (§ 26, III, следствие 1).

Теорема 2 (теорема о компактификации)). Всякое п-мер- ное пространство топологически содержится в некотором п-мер- ном компактном пространстве.

Более точно, если пространство Ж удовлетворяет условию D„, то гомеоморфизмы h, такие, что dim h ^ЗГ) ^ п, образуют остаточное множество в пространстве {Зг)х.

Доказательство. Положим H^ = f^y, функционал Н непрерывен в пространстве ^З^”. согласно теореме 4 из § 44, V. По теореме 4 п. IV (если Ж там заменить на Зг^ отсюда следует, что

cp=E[dirnfW<«]

есть б6-множество в пространстве (Дг)г.

') См. Менгср [1, стр. 147].

Так как пространство .7" удовлетворяет условию D,t, то множество Ф всюду плотно в пространстве (Н^^ (согласно теореме 3 из § 28, VII). Следовательно, оно является остаточным множеством в этом пространстве (Борсук [16, стр. 97]) и таковым является пересечение Ф с множеством всех гомеоморфизмов, ибо последнее множество является остаточным, согласно теореме 1.

Замечания. (I) Замечание (ii) к теореме 1 в сочетании с теоремой 2 приводит к следующему заключению.

Существует п-мерное компактное пространство, имеющее наивысший топологический ранг среди всех метрических сепарабельных пространств размерности ^.п.

Таковым является п-мерное компактное пространство, которое топологически содержит множество Nn.

(ii) Теорему 2 можно обобщить следующим образом ’).

Если dim .У ^ п, то множество гомеоморфизмов g, таких, что dim gVV)^n и для любого х С Л' размерность пространства .Т в точке х равна размерности множества gW) в точке g^x\ есть остаточное множество в пространстве (Нгу.

Следствие 3. Неравенство dim SV ^ п и условие D„ эквивалентны.

Доказательство. Условие Dzl вытекает из неравенства dim.^’^n, согласно теореме 4 § 27, III. Обратно, из условия D„, согласно теореме 2, следует, что пространство Й" го- меоморфио подмножеству некоторого множества размерности нс более п, а потому dim?T’^n.

Легко видеть, что доказательство теоремы 1 по существу опирается па следующее утверждение (которое является прямым следствием теорем § 28, VII, 4 и § 44, V, 4а).

Теорема 4. Если Л и В — два замкнутых непересекаю- щихся п-мерных множества, причем .V = Л U Д то совокупность всех функций g, удовлетворяющих условию

есть всюду плотное открытое множество в пространстве НГ^.

Теорема 4'. Пусть в метрическом сепарабельном пространстве iV заданы I + 1 замкнутых множеств Ло, ..., Л,

1) Доказательство см. Куратовскнй [34, стр. 13]. Ср. также Гуревич |2, стр. 430].

9 Зак. 190

размерности ^ п; тогда множество Ф функций, g, удовлетворяющих условию

dimtiWO niG4J]<dimM0n ... ПЛ),

является остаточным О^-множеством в пространстве ^r>f.

Доказательство. По теореме 4' из п. IV множество

Е [dim^H ... n^^dim^on ... ПЛ)]

есть б6-мпожество в пространстве (2^ )г+1. Так как операция ^(Л) (если ее рассматривать как функцию от g^ непрерывна (§ 44, VI, теорема 2), то множество Ф является О6-множеством в пространстве {Нг)х. Наконец, оно всюду плотно в этом пространстве по теореме 5 из § 28, VII.

Теорема 5. Пусть Ло, Ль ... — последовательность замкнутых множеств в пространстве Ж. С топологической точки зрения пространство Ж можно рассматривать как всюду плотное подмножество такого компактного пространства Ж*, что если Л* обозначает замыкание А в Ж*, то

dim^H ... H^-dim^H ...Л А^

для любых индексов iQ, ..., it (/^0).

Следовательно, условие компактности в теореме III, 1 можно опустить.

Доказательство. По теореме 2 из § 44, VI множество гомеоморфизмов Ч7 является остаточным в пространстве (сД10)17, а потому, согласно теореме 4', таким же является множество Ф(/о, ..., i^ функции g, удовлетворяющих условию

dim^^^H ... H^^JJ^dim^H ... Л Л(Д-

следовательно, таким будет и Г = ЧгЛПФ(г0, .,., ц\ где (о, ..., it пробегают все системы неотрицательных целых чисел. Пусть у^Г. Предположим, что Ж* = g(Ж'), и отождествим Ж с g^‘\ Тогда

dim^^jn ... ng^z)| = dim^ion ... ПЛД

Поэтому, согласно (5),

dim [FW Л ... Л £№] = dim (Л,„ Л ... Л А^,

откуда вытекает равенство (4).

Теперь рассмотрим вторую часть теоремы 5.

Пусть Ро, Ро ••• — последовательность замкнутых подмножеств пространства У и Go, ..., Gm —такая система открытых множеств, что 'Р = О0и ... U Gm. Положим

Q^-T-Gb тогда QoD .. • Л Q„e = 0.

По доказанному пространство Ж можно рассматривать как всюду плотное подмножество компактного пространства Л", такого, что

dimP^dimP, и Qq Л . . • Л Q*„ — 0

(последовательность До, А, . .. мы заменили на Qo, ..., Qm, Ро, Ph ...). Положим Ut = .T*— Q*; тогда

Gou ... Ut/rt=r-(Q;n ... nQ*mW.

Так как множества Ut открыты, то, согласно теореме 1 из п. III, существ е г система замкнутых множеств Ц70) ,.., Wm (в JP*), такая, что

.‘Г-ГоЛ 11Гга, WiCUt,

dim (р; Л Wi0 Л ... Л W^ < dim Р, - /

для любых / = 1, 2, ... , I ^ dim Р/ + 1 и z0< ... < it < in.

Положим F^.i'^Wb Тогда

Poll ... UPm = ^D(r0U ... UW^-TR/M,

Ft = .T Л Wi cz .T Л Ut = .T Л -V - Q* = A’ - Q*.

а так как Q; замкнуты в .(Г, то, согласно (6),

-^ HQ*i = Qb откуда .Т — Qi = Ж— Qi = Gi,

и, следовательно, Fid Gi в соответствии с (9). Наконец, согласно (8) и (7), имеем

dim (Р/ Л Р<0 Л ■ • • Л Fi^ С dim (Р? Л ^<0 Л ... Л W^ ^ dim Р, -1.

Теорема 6 *). Пусть в метрическом сепарабельном пространстве Я" заданы два замкнутых множества Л и В размерности ^ п, таких, что пересечение ДПР компактно. Тогда функции g, удовлетворяющие условию

(ю)Нд)лЖ) = 5(/1лв),

образуют остаточное множество в пространстве (,Уг'):с.

') См. Куратовский [34]. См. также Морита [1],

Доказательство. Положим S^ = E[p(x, ЛП S) < 1//г] и

Лк = А — Sk; тогда Лк Л В = О и А — В = A] U А2 U ... . По теореме 4 множество Ф/г = Е [т ^А^ Л g (В) = 0] открыто и всюду к

плотно в пространстве (<7Г)Т; поэтому множество Ф = Ф,Л Л^Л — остаточное в том же пространстве.

Пусть g С Ф. Докажем, что выполняется равенство (10). Имеем

gM) = и яШ и [Ж) - и Ж)] =kк

= иЖГ)иПкМ)-£Ш]с= кк

с UЖдиА тС^Х) с и МЙи A №)•

кккк

Так как (ср.§41,VI,теорема10)А g (Sa) = gfA ЗЛ =

к\ J

— g(A{\BY мы получаем

КА) Л Лй) С и iMJfl Ж)и^(Л Л BY

и потому

Mni^czg^AnBY

ибо предположение ^6Ф1ПФ2П ■ •■ означает, что u7wnFW=o.

к

Следующая теорема представляет собой приложение теоремы 4.

Теорема 7 ')■ Пусть в кубе 9 задана последовательность множеств Ль Л2, ... размерности ^.п. Тогда для каждого е>0 существует последовательность гомеоморфизмов /?0, hb..., таких, что

КАА^З', hAA^hAA^O (если j 9= i\

1Гц (х) — х | < в.

Доказательство. Каждой точке х — [х1, х2, ...] множества Л, поставим в соответствие точку fi(x) = [i, х1, х2, . ..] пространства ^"^V Очевидно, что ^ — гомеоморфизм и множества В{ = Ь(А}) попарно не пересекаются и открыто-замкнуты в своем объединении S = S0U Si U • •• • Так как dimB^/?, то из этого следует, что dimS^/z.

Пусть # —функция, равная /, 1 на В, для / = 0, 1Тогда g£A5r)s и, следовательно, согласно теоремам 1 и 4, существует гомеоморфизм h^(Sr)s, такой, что

|Л —д-|<е и h (В{) (\h(,Bi) = 0 при j i.

Таким образом, достаточно положить ht(x) = Н^Дх) для х С At.

VIII. Пространство (<^г)г при r>dim^.

Теорема Гуревича1). Если dim ^$^ га, то существует функция g; .Y->3', никакое значение которой не принимается более чем в пг точках, где пг — наименьшее целое число, удовлетворяющее условию пг утф

Более общо, если V fe — множество значений порядка >/г функции g, то

dim Гц, ^ и — й(г — га) при к ^ у^ф •

Более того, множество Т6 функций g, удовлетворяющих условию (1), и, следовательно, множество 'Го П '^ П • • • являются остаточными в пространстве (<*7Г)\

Доказательство. Пусть Rx, R^, ... — база пространства ^, и пусть g: Ж -> FT и y^Vh. Тогда существует система из таких (/г+1) различных точек х0, . ., хк, что y = g(,Xo) = ... ^gixk). Следовательно, существует система индексов S=*(t0, ..., /*), такая, что множества Rio, ..., Rik не пересекаются и

./6й№)П ... ng^cz^yn ... пщЖД откуда

hcyg^n Л^(К).

Это счетное объединение замкнутых множеств; поэтому из предположения, что функция g не удовлетворяет условию (1), вытекает существование системы S, такой, что

dimf^rf^)!! ... f\g(Ri^\>n- k(r -га).

Другими словами, если g^Arkt то существует система S, удовлетворяющая условию (3). Если Г5 есть множество функций g, удовлетворяющих условию (3), то

Так как Г5 —граничное множество (по теореме 6 из § 28, VII) и ^-множество (IV, теорема 4, и § 44, V, теорема 4), то ЧД — остаточное множество.

Пример. Если dim.^=l (например, в случае, когда.Т — некоторая кривая), то Ж можно отобразить на плоскость таким образом, что ни одна из точек плоскости не будет накрываться более чем двумя точками .^ и при этом множество точек плоскости, которые накрываются двумя точками множества Я’, имеет меру 0.

IX. Пространство ^дг^ при r^dim.^.

Теорема Гуревича1). Если dim .V ^ п, то существует функция g; ^->9Г, такая, что

dim [g-1 (</)] ^п — г для каждого y^gY^Y

Более того, если пространство Я' компактно и dim.^^n, то множество функций g, удовлетворяющих условию^, является остаточным (Ц-множеством в пространстве (Зт}х.

Доказательство. Так как всякое пространство содержится в некотором компактном пространстве той же размерности (VII, теорема 2), то достаточно установить справедливость второй части теоремы.

Вначале рассмотрим случай, когда г = п. Так как множество g-1 (у) компактно, то условие dim [g-1 (//)] = 0 эквивалентно (IV, теорема 1) условию ф [g-1 (t/)J = 0, которое означает, что

rfit^'^Kl/^

для й = 1, 2, . .. .

Наконец, условие (2) эквивалентно существованию разбиения множества g-I(g) на конечное число замкнутых непересекаю- щихся множеств диаметра < 1/6 (ср. п. IV). Если множество функций g, удовлетворяющих условию (1), обозначить через 'Г, а множество функций g, удовлетворяющих условию (2), — через ЧД, то

Так как множество ЧД всюду плотно (теорема 7 из § 28, VII) и открыто (IV, теорема 5), то Чг — остаточное (/^-множество.

Теперь рассмотрим случай, когда г < п. Поскольку Чг есть О6-множество (IV, теорема 5), остается только показать, что оно всюду плотно.

*) См. Гурспич [5]. В случае, когда ^ — полиэдр, первая часть теоремы становится элементарной. См. также БодтянскиЙ И Солтан [1],

Пусть /: У —» У и е>0. следующим образом:

Определим функцию /,: У —>0п

для I

для

г <1

^ п.

Как мы только что показали, существует функция g,: У-> У с О-мериыми прообразами точек, такая, что | g, — /, |<е.

Положим g(x) = [g* (х), .... g'(x)|. Тогда

g: ^-*gr и | g — f| <е.

Наконец, gE^, так как условие (1) непосредственно следует из теоремы 3 п. VI, если положить

3/, = ^. У2 = У~Г,

h = g, Г2 = (СИО’ следовательно, f = gv

ГЛАВА 5

СВЯЗНЫЕ

ПРОСТРАНСТВА

Связность

Определение. Общие свойства. Монотонные отображения. Говорят, что пространство связно ), если оно не содержит такого множества X, что

О^Х^.Г и А П .^ - А = 0;

иными словами, если не существует множества X, удовлетворяющего условию 0 Ф X =^ и имеющего пустую границу.

Теорема 0. Пространство связно тогда и только тогда, когда оно не является объединением двух нспересекающихся замкнутых непустых множеств.

В самом деле, если пространство можно разбить таким образом на множества А и У, то условие (I) выполняется; обратно, если А удовлетворяет условию (I), то .V = X U Л' — А есть разложение пространства ^ на два нспересекающихся замкнутых и непустых множества.

Отсюда следует, что множество С (лежащее в данном пространстве) связно тогда и только тогда, когда всякое подмножество А множества С, такое, что 0 ^= А ^= С, удовлетворяет условию СП АПС- А ^= 0; другими словами, С нельзя разбил, на два непустых нспересекающихся множества А и У, замкнутых в С, или на два непустых отделимых множества А и У, т. е. удовлетворяющих условиям

С = A U У, (А Л У) U (А Л Г) = 0, Х^О^У.

Открытое связное множество называется областью.

Теорема 1. Если множество С связно и С П Л^0^=С — Л, то СПГг(Л)^0.

Действительно, О^СПСПЛПС— Л с С Г| Л р ,У- А = = С'ПЕг(Л).

Теорема 2. Если множество С не связно, то существует открытое множество G, такое, что

СПС =^0=^C-G и СПЕг(О) = 0.

(Пространство предполагается метрическим; более общо, можно считать, что оно наследственно нормально.)

Доказательство. Допустим, что X и У удовлетворяют условиям (2); положим

С = Е[р(х, ЛС)< р(х. У)].

X

Тогда

X с G и СПУ = 0, следовательно, (X U У) П (С — С) = 0.

Теорема 3. Связность есть инвариант непрерывных отображений.

Доказательство. Если /(С) = ХиУ, где X и У — два пепсресекающихся замкнутых непустых множества, то

с = г^С)=гЧх№Чу),

причем множества f-’(X) и р1 (У) также не пересекаются, замкнуты и непусты.

Примеры и замечания. Пространство Y действительных чисел связно. Это простое следствие аксиомы Дедекинда.

Множество, состоящее из одной точки, и пустое множество связны.

Легко видеть, что не существует других связных подмножеств Д (содержащих более одной точки), кроме следующих: замкнутые или открытые интервалы, замкнутые или открытые лучи, интервалы без одной концевой точки.

Так как пространство 9 связно, то связным является и график Е Г//= /(х)], где отображение /: 9 —v^ непрерывно, х. у

а ^ — произвольное пространство, так как этот график гомеоморфов У (см. теорему 1 из § 15, V).

Следствие За. Пространство АХ связно тогда и только тогда, когда каждая непрерывная функция f: ,£’->-Д обладает свойством Дарбу (т. е. переходит от одного значения к другому, принимая все промежуточные значения).

Доказательство. Пусть пространство Ж связно и отображение / непрерывно; тогда по теореме 3 множество /С^’) связно и в силу предыдущих замечании отсюда сейчас же следует, что / обладает свойством Дарбу.

Если пространство ДА несвязно, то Л' = A U В, где А и В — непересекающиеся замкнутые непустые множества. Положим /(х) = 0 для х^А и f(x)=\ для х^В. Тогда функция / непрерывна, но не обладает свойством Дарбу.

Теорема 4. Мощность вполне регулярного связного пространства С, содержащего более чем одну точку, не меньше с.

Доказательство. Пусть а и b — две различные точки пространства С. Тогда существует непрерывная функция V- С-3, такая, что / (а) = 0 и f (6) = 1. Согласно следствию За, g с /(С), что завершает доказательство.

Замечание. Существуют (бесконечные) счетные связные ^-пространства ’).

Теорема 5. Если С — связное метрическое сепарабельное пространство (содержащее более одной точки), то dirnpC^=0 для каждого р^С.

Действительно, в противном случае существовала бы открытозамкнутая окрестность точки р, отличная от С.

Теорема 6. Пусть f: 9 —> if" — функция первого класса Бэра, такая, что f(x)^f(xx>) и Цх')£Цхх') для каждого открытого интервала хх'. Пусть У = ^(д). Тогда У связно.

Доказательство. Допустим, что F — открыто-замкнутое подмножество пространства У и 0 =/= F + У. Положим A = f-1(F). Из связности g следует, что Fr (Л) = А П g — А + 0. Так как f — фупкция первого класса, то сужение /|Рг(Л) имеет точку непрерывности а (§ 34, VII). Поскольку F и У—F, а, следовательно, А и g — А удовлетворяют тем же предположениям, можно считать, что а^А и потому а£А()д — А.

Множество A = pv(F) содержит окрестность точки а относительно множества Ег(Л), так как функция /|Ег(Л) непрерывна в точке а и F — окрестность Ца); поэтому существует число е>0, такое, что из условий х^Рг(Л) и |х — «|<е следует, что х^А. Пусть b — точка множества д — А, такая, что

| и — b |<e (в соответствии с_условием a^g — Д). Следовательно, 6^Рг(Л), откуда b^g — Л. Пусть cd — (открытый) интервал, смежный к Л и содержащий Ь. Один из концов этого интервала, скажем с, лежит между а и Ь; это дает: | с — а | < е, а так как с£Рг(Л), то из этого следует, что с С Л, и поэтому f(c)^F. Но это противоречит формуле

f (с) «с цд-Л) = ff~(y~F) = ^-F.

Из теоремы 6 вытекает следующая

Теорема 7. Пусть g: д -*W — действительная функция. Если g — функция первого класса, обладающая свойством Дарбу, то множество С = Е [у = §(■<)] связно1).

х, у

Доказательство. Из свойства Дарбу вытекает), что каждому х соответствуют две последовательности [х'} и [х"}, сходящиеся к х, одна из которых возрастает, а другая убывает, такие, что

Пт g^ = gU) = lim g^.п->оога -> оо

Следовательно, составное отображение /(х) = [х, g(x)] удовлетворяет условиям теоремы 6. Отсюда вытекает, что множество С = Цд) связно.

Из теоремы 7 непосредственно следует

Теорема 8. Если производная dg(x)/dx конечна для любого х, то множество Е IУ = — ^—1 связно).

уJ

Более того, будучи G&-множеством (ср. § 31, VII, теорема 1), это множество является топологически полным пространством (§ 33, VI).

Замечания. Теоремы 7 и 8 позволяют определить связные множества, обладающие целым рядом замечательных свойств (ср. VI, (Hi))).

Для функций, нс являющихся функциями первого класса, условие Дарбу (как легко доказать) остается необходимым для связности графика, по не является более достаточным.

В самом деле, рассмотрим функцию Чезаро (второго класса)

® (х) = 1 im sup а‘+ “п , где 0 < х < 1

и х = (0, ащ., ... )2 — двоичное разложение х.

Функция ® принимает каждое значение между 0 и I в любом интервале. Следовательно, она удовлетворяет условию Дарбу, а потому этому условию удовлетворяет и функция g(x), определяемая следующим образом: g(x) = 0, если х = ®(х), и g (х) = ®(х) в противном случае. Отсюда следует, что прямая линия у — х не пересекает множество Е Vy= g(x)J, а потому это множество не связно *).

Определение. Непрерывное отображение f: АЕ -*дУ называется монотонным, если прообраз /-1 (С) каждого связного множества С с 2/ есть связное множество2).

Таковы, например, действительные функции действительного переменного (определенные на интервале), монотонные в обычном смысле.

Теорема 9. Если прообразы точек при замкнутом отображении V- Е -тУ связны, то отображение j монотонно.

Доказательство. Пусть множество С с 3/ связно. Пусть А и В — два отделимых множества, таких, что /-1(С) = Ли В. Отсюда следует, что если у ЕС и Д1 (g)f) А 0, то Д'(у) с: Л. Пусть М — множество всех точек у ЕС, таких, что Д1(у)сЛ. Тогда Л = Д'(Л1).

Аналогично, существует множество N, такое, что В = Д1 (N\ Так как множества Л и В отделимы, то М и А —тоже отделимы (ср. § -11, III, замечание 2 (ii)). Следовательно, из предположения связности множества С = М U N вытекает, что либо М = 0, либо N = 0, и поэтому или Л = О, или В = 0.

Операции над связными множествами.

Теорема 1. Если С — связное подмножество объединения МЦ N двух отделимых множеств М и N, то либо С П М = 0, либо CE\N = б.

Ч Йонсс [1]. Олиако множество торис [1, стр 173)

А Ср Уайберн 11, стр 127] См. понятия монотонного отображения).

Е [i/”<o(x)J связно как доказал Вье-

1акже Уоллес [1, стр. 136] (обобщение

Доказательство. Действительно, в противном случае множество С было бы объединением множеств С () М и С () N, которые непусты и отделимы.

Теорема 2 ). Пусть {Ct\ — семейство связных множеств. Объединение [J Ct связно при условии, что существует множе- t

ство Со, нс отделимое от любого множества С(.

Доказательство. Пусть объединение U С, есть все про-

t

странство .Т. Предположим, что .V = М U N, где М и N — открыто-замкнутые и пепересекающиеся множества. Покажем, что либо М — 0, либо N = 0. Согласно теореме 1, можно предположить, что Со П Л1 = 0; тогда Со с N, и поэтому N есть (открытая) окрестность множества Со. Так как множества Со и Ct неотделимы, отсюда следует, что Ct П N + 0, и потому, согласно теореме 1, С^ П VVI — 0 для любого t. Следовательно, М = 0.

Теорему 2 можно также вывести из следующей теоремы 2':

Теорема Т. Пусть {Ct) — направленное семейство связных множеств Ито означает, что для каждой пары tb t2 существует такое t3, что Ctl с: Сц и Ct, с СнЕ Тогда объединение S = lj Ct t

связно.

Доказательство. Предположим, что S = MU^, где М и N — отделимые множества. По теореме 1 для каждого / либо Ct С2 М, либо Ct с N. Пусть Ct, 0. Очевидно, можно предположить, что С<„с:Л4; следовательно, Ct.^XN. Покажем, что S а М, завершив тем самым доказательство.

Пусть / — произвольный индекс, и пусть /' — такой индекс, что Ct,с Ct- и Ct с: Cf. Первое включение дает Ct- ф N. Отсюда Ct'C.M, и потому Ctc:M. Из этого следует, что S с: Л1.

Следствие 3. (i) Объединение связных множеств, имеющих общую точку, представляет собой связное множество.

) Если С связно и С с X сС, то X связно.

(Hi) Если каждая пара точек пространства содержится в некотором связном множестве, то все пространство связно.

Доказательство. (i) вытекает непосредственно из теоремы 2.

Чтобы доказать (ii), положим X=M(JjV, где М и N отделимы. Согласно теореме 1, можно считать, что С с: М. Отсюда

вытекает, чтоСсМ и, следовательно, С 0^ = 0. Так как ХсС, то мы получаем X Л N = 0, а отсюда N = 0.

Теорема 4 *). Если С — связное подмножество связного пространства Я’ и если М и N— два отделимых множества, таких, что Я' — С = М\) N, то множества CUM « С U N связны.

Более того, если С замкнуто, то С U М и С U N также замкнуты.

Доказательство. Предположим, что С U М = A U В, где А и В отделимы. Покажем, что либо Л = 0, либо В = 0. В соответствии с теоремой 1 можно предположить, что С Л Л = 0, откуда ЛсМ, так как ЛсСЛМ. Поскольку множества М и N отделимы, множество Л отделимо от N, а следовательно, и от N\}B, ибо Л и В отделимы (ср. § 6, V, теорема 4). Соотношение

Я" = C\j М \j N = A\j В \j N

даег разложение связного пространства на два отделимых множества А и В U N. Следовательно, одно из них пусто, что и завершает доказательство.

Наконец, если С замкнуто, то

СЦМ = С и м = (С и М) л (С и м и ^) = с и м,

так как М Л N = 0.

Следствие 5). Пусть А и В — два замкнутых ^или два открытых) множества. Если множества ЛЛВ и ЛЛВ связны, то множества А и В также связны.

Доказательство. Пусть A U В — все пространство Ж\ положим в теореме 4

М = А-В, N = В- А и С = ЛЛВ.

Так как множества А —В и В—А отделимы (ср; § 6, V, теорема 2), то множества

л = ллви(л-в) и в = ллви(в-л)

связны.

Теорема 6. Если Е не является объединением п связных множеств, то существуют п + 1 попарно отделимых множеств Ль ..., Л„+1, таких, что

Е = Л| U ... U Лп+ь Л, #= 0 для l^i^rt + 1.

*) Кнастер и Куратовский [2, теорема VI |.

Доказательство. При п=1 утверждение, очевидно, верно; предположим, что оно верно для п — I. Таким образом, Е = Л, U .. . U Лп и Л/ являются попарно отделимыми непустыми множествами. По предположению одно из них, скажем Л„, не связно, т. е. существуют два отделимых непустых множества Л„ и Лп+|, таких, что Лп = Л„и Лп+1; отсюда следует требуемый результат.

Теорема 7 (обобщенная теорема 4')). Если C!t ..., Сп — связные подмножества связного пространства Ж, а М и N — два отделимых множества, таких, что

ж-(с.и ... ис„)=мим,

то множество С^ ... UC^UM состоит из п связных множеств (различных или совпадающих).

Доказательство. Предположим, что существует разложение на п + 1 попарно отделимых, непустых множеств (ср. с теоремой 6):

с,и ... ис„им = л,и ... и л„+1.

Ни одно из множеств Л; не отделимо от N для i^n+1, ибо в противном случае существовало бы разложение

^ = л,и(л,и ... ил;_,илг+1и ...ил„+1ило

на два отделимых непустых множества, вопреки связности пространства Ж. Множества М и N отделимы, следовательно, Л/ <£ М, и потому Л/ПС/^О для некоторого /^п. Так как С] — связное подмножество объединения отделимых множеств Л], ..., Лп+Ь отсюда следует, что С/ед Л;.

Наконец, мы заключаем, что каждое из множеств Л,, ..., Л„+1 содержит (непустое) множество, принадлежащее системе (Сь ..., Сп\ что, очевидно, невозможно.

Теорема 7'. Всякое связное пространство, содержащее более одной точки, есть объединение двух связных множеств, отличных от всего пространства и содержащих более одной точки ).

Доказательство. Если для каждого х множество Ж — х связно, то существует разложение Ж = (.У — х,) U ^Ж — хг\

') См. Кнастер и Куратовский [5; стр. 648]. Ср. также (в случае п = 2) Уайберн [3, стр. 181].

где лц =И= х2. С другой стороны, если существует такое х, что Д' —х не связно, то Я- — x = M\JN, где М и N отделимы и непусты; поэтому (ср. с теоремой 4) Я' = (х U Л4) U (х U N\

Замечание. Однако существуют пространства, называемые бисвязными, которые не допускают никакого разложения на два связных непересекающихся собственных подмножества, содержащих более одной точки.

Рассмотрим следующий пример). Соединим точку (у, у) с каждой точкой канторова множества <? прямолинейным отрезком (рис. 1). Если этот отрезок содержит конец интервала, смежного с ^, то возьмем все его точки с рациональными ординатами; в противном случае берем точки с иррациональными ординатами. Все эти точки образуют требуемое бневязпое множество.

Определенное так бисвязное пространство Я" имеет точку р, называемую «точкой дисперсии», /1 1 ) а именно точку I у, у I, такую, что Я? — р не содержит никакого связного множества (имеющего более

Рис. 1одной точки). С помощью ги

потезы континуума можно доказать, что существуют бисвязные пространства, не обладающие этим свойством ).

Добавим, что множество всех рациональных точек (т. е. точек с рациональными координатами) гильбертова пространства становится бисвязным при присоединении одной точки).

Теорема 8. Если С — связное пространство и (GJ — открытое покрытие С, то каждую пару точек можно соединить цепью со звеньями, принадлежащими этому покрытию, т. е. каждой

паре^х, у) соответствует конечное множество индексов tt, .. ., /;1, таких, что

x^Gf, Gf.f\Gf =^0 для 1 ^/csC«, y^Gf.

Доказательство. Пусть х — фиксированная точка и Е — множество всех точек у, которые можно соединить с точкой х цепью. Наша задача показать, что Е = С. Так как Е + О (поскольку х^Е^ и так как Е, очевидно, открыто, задача сводится к тому, _чтобы показать, что множество Е замкнуто.

Пусть р^Е и p^Gt. Так как Gt открыто, то существует точка y^EC\G(. Если цепь Gtx, ..., G< удовлетворяет условию (1), то цепь Gtv ..., Gt , Gt соединяет точку х с точкой р. Следовательно, р^Е, и потому Е = Е.

Отсюда непосредственно вытекает

Теорема 9. При тех же предположениях относительно С и (GJ каждой паре непустых множеств (Л, В) соответствует неприводимая цепь между /1 и В, т. е. существует система множеств Rx, ..., R„ (п>0), принадлежащих семейству (GJ, такая, что если мы положим Rn = A и Rn + X = B, то условие RtП Re + 0 эквивалентно неравенству | i — г' | ^ 1.

Теорема 10. Если при предположениях теоремы 8 индексы t пробегают множество натуральных чисел, то существует перестановка кх, к2, ... этого множества, такая, что

(G* U ... U Gfe ) П Gb =# 0 для п = 1, 2

при условии, что множества Gk непусты.

Доказательство. Пусть /et = 1. Для п>0 пусть кп+х — наименьшее положительное целое число, удовлетворяющее условию (2) и отличное от чисел /гь ..., кп.

Такое целое число существует, так как в противном случае множество Gt U U Gkn было бы открыто-замкнутым и отличным от всего пространства.

Мы хотим показать, что последовательность {/?„} содержит псе положительные целые числа.

Предположим, что это неверно, и пусть lx, U, .. . — последовательность (конечная или бесконечная) положительных целых чисел, не принадлежащих последовательности {/гД. Так как пространство связно, то из этого вытекает, что

(Gfe,UGfe,U ...)n(G/,UG/,U ...)=#0,

Следовательно, существуют два индекса п и т, такие, что

Gfe„ П Gtm 0.

Ю Зак. 190

По определению &„+1 отсюда следует, что ^„+I </,„ и аналогично kn+1<lm и т. д. Но это невозможно, так как последовательность ^h^ пеограпичена.

Теорема 11. Прямое произведение Ж = fl Ct связных про- т странств связно.

В частности, евклидово пространство ^", пространство Фреше и гильбертов куб 9^ связны.

Доказательство. Если (xb yj и (х2, У^~ две точки пространства С! X С2, то множество (б?! X yj U (*2 X С2) связно как объединение двух связных множеств, имеющих общую точку (х2, у\\ Таким образом, пространство С! X С2 связно, согласно следствию 3 (Ш).

Итак, произведение двух связных пространств (а следовательно, любого их конечного числа) связно.

Рассмотрим теперь общий случай, когда Т произвольно.

Можно считать, что С/ =^ 0 для каждого t £ Т.

Пусть /о — фиксированный элемент Ж (например, точка (О, 0, . ..), если Ж — гильбертов куб). Поставим в соответствие каждой конечной системе S = (/1, . .., /„) произведение Ks множеств Ct для / £ S и одноэлементных множеств (f0(/)) Для t^S. Иначе говоря, если f С Ж, мы имеем

ш>[М)=/о(о для /$я

Прежде всего заметим, что Ks связно. Это вытекает из связности (только что доказанной) множества Ls = Ct X ... X Ctn и того факта, что Ks можно получить из этого множества с помощью непрерывного отображения, а именно с помощью отображения h: Ls->Ks« гДе Ь*1^» ..., xt^ = xtl, если tt £ S, и h‘(xtl^J-foW, если /^S.

Ясно, что (S с S')=^>(Ks с Ks'), а из этого следует, что семейство всех Ks направлено; это означает, что для любой пары Si и Х, существует S3, такое, что $! с S3 и S2 с: S3 (а именно S3 = SiUS2). Следовательно, по теореме 2' объединение t/ = U АГs связно, а потому связно и 67 (согласно следствию 3 (ii)). Остается показать, что О = Ж, т. е. что для всякого открытого непустого множества Q с: Ж мы имеем и п Q 0.

Очевидно, можно считать, что Q принадлежит базе пространства Ж. Следовательно, мы можем предположить, что существуют S = (6b ...,/„) и множества Gtc открытые отно-

сителыю С/, (для FES), такие, что Q есть произведение этих множеств и множеств С, при t^S:

Q = nGh где Gt = Ct для t^S. t

Пусть f 6Q —такой элемент, что f(O = fo(O для t^S.

Согласно (3), f^Ks- Следовательно, f С ^П Q-'

Лемма. Пусть отображения fp У~*.V непрерывны для < = 1, ..., п {где Ж есть ^-пространство). Положим F (у) = = (/1 (//), ..., fn (У))- Тогда отображение F: ‘Унепрерывно (заметим, что F (у) есть множество, составленное самое большее из п элементов, а не конечная последовательность).

Доказательство. Чтобы доказать непрерывность F, достаточно показать, что прообраз F-1 (65) всякого открытого множества 65 из 2Г есть открытое множество в ЗЛ Очевидно, что область изменения ® можно ограничить открытой предбазой пространства 2Г. Таким образом, мы должны показать, что множества

Е^^сЯ] И Е[Я(//)П//^0] УУ

открыты в 3/ для каждого множества Н, Открытого в 3/.

В первом случае мы должны показать, что если F{y,})czH, то существует Q, открытое в 2/, такое, что ijo^Q и F{Q)C2H. Но включение F {г^ а Н означает, что h {yo) £ Н для каждого /^н. Так как отображение f, непрерывно, существует открытое в 3/ множество Qf, такое, что yo^Qi и fAQ^cH. Остается положить Q = QIU ••• U Qn-

Во втором случае мы должны показать, что если F (у0) П Н + 0, то существует открытое множество Q, такое, что y0€Q и F{y)RH^0 для каждого y£Q. Соотношение F (у0) П Н + 0 означает, что существует i^n, такое, что fAy0KH. Пусть множество Qt определено, как выше. Очевидно, остается положить Q = Qt.

Теорема 121). Если С — связное ^-пространство, то семейство Fn 2е всех подмножеств, составленных не более чем из п элементов, связно.

Следовательно, семейство F всех конечных подмножеств пространства С связно.

') См. Майкл Э. [1, стр. 165].

Доказательство. Положим в лемме .^ = С, У — С" и ТАхХ1 ..., Хп^х^ Тогда F(xb ..., xn) — подмножество в С, составленное из элементов хь ..., хп. Очевидно, F: Cn-*Fn есть непрерывное отображение на (так как отображения fz непрерывны по теореме 1 из § 15, И). Так как пространство С" связно (по теореме 11), то связно и Fn (по теореме 3 и. I).

Так как Z7 =/^i U ^2 U ••• и Fk с: Fk+b то F связно, согласно теореме 2.

Следствие 13. Если С — связное ^^-пространство, то таким, же является пространство 2е.

В самом деле, 2е = F (по теореме 4 из § 17, II).

Теорема 14. Семейство С всех замкнутых связных подмножеств нормального пространства Ж замкнуто в 2Г').

Доказательство. Пусть Л с: Ж — несвязное замкнутое множество. Тогда Д = Af U А7, где А4 и N замкнуты и М?\М = 0, М =/= 0 =^ N. Так как пространство Ж нормально, существуют два открытых множества G и И, таких, что McG, NcH и СП/7 = 0. Обозначим через V семейство всех замкнутых множеств F, таких, что

FC2GUH и КрС^О^КПД.

Очевидно, V открыто в 2^. Кроме того, Л 6 К, и никакое связное множество F не удовлетворяет условию (4), т. е. ИПС = 0. Следовательно, множество 2r — С открыто.

Компоненты. Множество называется компонентой пространства, если оно насыщено относительно свойства быть связным); другими словами, С — компонента, если С связно и если для любого связного множества С, из включения С с С] вытекает, что C = Cf.

Легко видеть (см. теорему 2 и следствие 3 п. II), что справедливы следующие утверждения:

Теорема 1. Компоненты являются непересекаюсцимися замкнутыми множествами.

Теорема 2. Всякое непустое связное множество содержится в одной и только в одной компоненте пространства.

Теорема 3. Если С —компонента множества Л и если С с В с Л. то С есть компонента множества В.

') См Майкл Э. [1, стр. 166, теорема 4.13.5].

Теорема 4. Всякое открыто-замкнутое множество F есть объединение семейства компонент пространства. В частности, если множество F связно и непусто, то оно — компонента.

Доказательство. Действительно, в силу теоремы 1 п. II не существует компоненты С, такой, что С {\ F д =р= (L — F.

Теорема 5. Пусть РЕ — связное пространство. Если Л — связное множество и С — компонента множества РЕ — А, то множество РЕ — С связно.

Доказательство. Предположим, что

РЕ - С = М U N, (44 П IV) U (44 П Ю = 0.

Наша задача — показать, что либо 44 = 0, либо N = 0. Так как

AcJ-C = MUN,

то, согласно теореме 1 п. II, можно считать, что А П 44 = 0, откуда следует, что

А П (С U 44) = 0, и поэтому С с: (С U 41) с РЕ — А.

Так как множество С U 44 связно (по теореме 4 п. II), то из этого двойного включения следует в соответствии с определением компоненты, что C = CU41, откуда 41 = 0.

Из теоремы 5 вытекают такие следствия:

Теорема 6. Если пространство РЕ связно, то всякая конечная система S {содержащая по крайней мере два элемента') непересекающихся связных подмножеств содержит по крайней мере два элемента X и У, обладающих следующим свойством;

(Р) Существует связное множество, не пересекающееся с X {соответственно с У), которое содержит все элементы S, отличные от X {соответственно от У).

Доказательство. Пусть S = (C0, Сь ..., С„); воспользуемся индукцией. При п = 1 утверждение очевидно; предположим, что оно имеет место для n—1 (^ 1).

Покажем, что существует число k>0, такое, что множество С^ обладает свойством (Р).

Предположим, что множество Сх не обладает этим свойством. Тогда существуют по крайней мере две компоненты А и В множества РЕ — СЬ содержащие множества системы S; пусть А — та компонента, которая не содержит Сй.

Пусть /и„ ...,mj — последовательность индексов множеств Сь содержащихся в Л. Тогда

1</<п-1,

0 7^ Щ|, .... 0 =5^ Шу,

если г =/= пц, .. ., г =^ rrij и г^.п, то Сг с .7" — А.

Так как множество Я' — А связно (по теореме 5) и система

S* = (X- Л, Стх, Стг, Ст/)

содержит не более п элементов (согласно (1)), то по предположению существует индекс s^/, такой, что множество Ст обладает свойством (Р) по отношению к системе S*. Следовательно, существует связное множество К, такое, что

(^-Л)ист1и ■U С„.л_, U Cm^+l U ... \дСт^К^Я-Ст<

Согласно (3), CqC2 К для каждого q Ф ms. Это означает, что множество Ст. обладает свойством (Р) (по отношению к системе 5).

Наконец, ms>0, согласно (2); следовательно, ms есть искомый индекс /г.

Теорема 7. Пусть S — бесконечное семейство непересекаю- щихся связных множеств в связном пространстве ЯГ. Если So и St — два произвольных элемента S, то в Я — Su или Я — St имеется связное множество, содержащее бесконечно много элементов из S.

Доказательство. Пусть Су (для / = 0, 1) — компонента множества Я? — Sy, содержащая Si_y. Из условия S/ с: Ci—jсд ЯГ — S,_y вытекает двойное включение

сЯ-С^уСЯ-Sy,

из которого в свою очередь следует, что

Я-С^усС,.

так как множество ЯС — Cv_y связно (по теореме 5).

Предположим, что Со содержит только конечное число элементов из S. Тогда существует бесконечно много элементов S, содержащихся в ЯГ — Сп и, следовательно, согласно (4), в Ср Таким образом, множество ЯГ — Sv содержит связное множество, а именно Ср которое содержит бесконечно много элементов семейства S.

Теорема 8. Пусть '£ = П Ж „ \ = {V} € S м С, — компонента $' в Ж^ Тогда С = ПСt — компонента в %, t

Доказательство. Так как С, связно для каждого t, то С связно по теореме 11 п. II, и, очевидно, 1£ С. Пусть D — связное множество, такое, что СсОс». Покажем, что D — С.

Пусть Dt — проекция D на .^. Тогда Dt связно и Ct cr Dt. Так как С, — компонента ^„ то Dt = Ct. Следовательно, П Dt = С. t

Но С с: D сП Dt. Таким образом, D = C. i

Теорема 9. Пусть f: Ж -> У — монотонное непрерывное отображение на. Множество С является компонентой множества De У тогда и только тогда, когда р1 (С) — компонента множества f~' (О).

Доказательство. Очевидно, что

из f-1 (С) с Е с: /"' (D) следует Ccf(£)cz/).

Далее, если предположить, что С — компонента D и Е связно, то

C = f(£), откуда rVC^F'f^eE и ГЧ^ = Е,

т. е. ГЧС) есть компонента множества FVD\

Обратно, если предположить, что f-1 (С) — компонента f-1 (О), и если Н — такое связное множество, что С с Н с D, то

г'(С) с Г'(/7) с Г1 (О), и так как множество f-1 (H^ связно, то

f-1 (С) = f~ (//), что дает С — Н.

Следовательно, С есть компонента D.

IV. Связность между множествами. Пространство называется связным между /1 и В, если не существует открыто-замкнутого множества F, такого, что А с F и F П В = 0 *).

Связность между двумя множествами есть симметричное отношение, ибо множество Ж — F открыто-замкнуто, ВсЖ — F и (Ж - F) П А = 0.

Легко доказать следующие утверждения.

Теорема 1а. Если пространство Л' связно между Л и В, то Л #= О =Д В, а если Л Л, и В cl В^, то Л' связно между Л । и В ।.

Теорема 11). Если Л' связно между Л и В, то оно связно и между Л и В.

Если Л П В =^ 0, то Л' связно между Л и В.

Теорема 1с. Связное пространство связно между любой парой своих непустых подмножеств.

Теорема 1(1. Если подмножество пространства, связно между Л и В, то и все пространство обладает этим свойством.

Теорема 2. Метрическое ^сепарабельное^ пространство имеет размерность 0 тогда и только тогда, когда не существует пары непересекающихся замкнутых множеств, между которыми оно связно (§ 26, II, теорема 2); оно имеет положительную размерность в точке а. тогда и только тогда, когда оно связно между а и некоторым замкнутым множеством В, не содержащим а.

Теорема 3. Если пространство не является связным ни между Л и Во, ни между Л и В^, то оно не является связным между Л и В0\д Вх.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть Fj, где j = 0, 1, — такое открытозамкнутое множество, что Л clFj и Ej(\Bf = O. Положим F = Ео П /Д Тогда множество /•"открыто-замкнуто и удовлетворяет следующим условиям:

АсР и Fn(/3oU«i) = O.

Теорема 4. Пусть Ло, .. ., Лп — такая система множеств, что пространство не является связным, между любой парой множеств Л;, Л/, где i ¥= j; тогда существует система открытозамкнутых непересекающихся множеств Fn, ..., Fn, такая, что

М' = Fo U . . . U Еп и Л,: с Ft для t = О, . .., п.

Доказательство. Воспользуемся индукцией. Для п = 1 утверждение очевидно. Достаточно доказать его для п> 1, предполагая, что оно верно для п— 1.

Положим А, = А; для Кп — 1 и Л„_| = Л„_| U А„. Согласно теореме 3, пространство не является связным между любой парой At, Л/ для / #= j. Таким образом, по предположению существует система непересекающихся замкнутых множеств Fo, ..., Fn-], такая, что

ЛА = То U .. . U /щ-1 и Л; с р\ для I = 0, ..., п — 1.

Так как пространство не является связным между Л,г _х и Ап, то этим свойством обладает и множество F' v (ср. с теоремой Id). Следовательно, существуют два иеперссекающпхся замкнутых множества /;„_| и Fm удовлетворяющих условиям

F— F п—\ U А(1—1 cz Ьп—х и An cz Fn.

Положим F^F} для ;</i —1. Соотношение (1) следует из (2) и (3).

Теорема 5. Если пространство нс является связным между А и В, то функцию f, равную 1 на А и 0 на В, можно непрерывно продолжить на все пространство тик, чтобы она принимала только два значения 0 и 1.

Обратно, если 1 — непрерывная функция с целочисленными значениями, и если множества ЦЛ) “ ЦВ) не пересекаются, то пространство не связно между А и В.

Доказательство. Во-первых, характеристическая функция открыто-замкнутого множества F, такого, что А с F и F П В = 0, есть искомое продолжение Д

Во-вторых, если положить F = Д [/ (Л)], то А с F и F П В = О, так как

л<=г'[/(л)] и F^Bc2r4fWWrlU^A = r'\HA^fWA = o.

Теорема 6. В любом пространстве со счетной открытой базой существует такая последовательность FF^, . . . открытозамкнутых множеств, что каждой паре точек р, q, между которыми пространство не является связным, соответствует индекс п, такой, что Еп содержит р, но не содержит q.

Доказательство. Пусть R\, R2, . . . — база пространства, состоящая из открытых множеств. Если пространство ие связно между Ri и Rj, то обозначим через Ец открыто-замкнутое множество, такое, что R^Fu и Fp П R/ = 0. Расположим множества Ер в простую последовательность Fb F2, ... . Это и есть искомая последовательность. Действительно, если F — открыто- замкнутое множество, такое, что p^F и q^E7 — F, то существуют множества R, и Rp такие, что p^Rp czF и q^ Rjcz .Е — F. Это означает, что Е не является связным между Ri и Rj. Следовательно, существует такое п, что pFR.aF^ и q Д R/c:.}' — Fn.

Замечание 1. Если пространство компактно, то в качестве семейства {/Д} можно взять семейство всех открыто-замкнутых множеств. Указанное семейство счетно, согласно теореме 4 из § 41, II.

Замечание 2. Теорему 6 можно обобщить следующим образом. Если Ж — пространство бесконечного веса ш, т. е. если оно имеет открытую базу В мощности ш, то существует такое семейство С мощности ^ш, состоящее из открыто-замкнутых множеств, что для любой пары точек р, q, между которыми пространство не связно, найдется элемент из С, содержащий точку р, но не содержащий точку q.

Теорема 7. Подмножество Е наследственно нормального пространства Ж связно между двумя подмножествами А и В тогда и только тогда, когда не существует открытого множества G (в Ж), такого, что

ЕПРг(С) = 0, AcG, 0^6 = 0.

Доказательство. Если такое множество G существует, то множество Е П G открыто-замкнуто в Е. Обратно, если F открыто-замкнуто в Е, то множества F и E — F отделимы и существует (по теореме 3 из § 14, V) множество G, такое, что

F С2 G и G П Е с F, откуда Е П G — G = 0.

Теорема 8. Если пространство Ж связно, то всякое собственное замкнутое подмножество А связно между своей границей (т. е. между множеством А П Ж — А) и каждой своей точкой.

Если метрическое сепарабельное пространство Ж имеет положительную размерность в точке а, то существует число в>0, такое, что всякое замкнутое множество А, содержащее а и имеющее диаметр < в, связно между а и А П Ж — А.

Доказательство. Предположим, что F — замкнутое подмножество множества Л, такое, что множество A — F замкнуто, a^F и F С\Ж — А = 0. Тогда имеет место разложение

Ж = F U [(И - F) U Ж - Л]

на два пепересекающихся непустых замкнутых множества (причем 6(E) < в).

Теорема 9. Если в метрическом пространстве множества Сь С2, . . . связны, а£ Li Сп и 6 £ Li Сп, то множество Е =

= a U & U С, U С2 U • • • связно между а и Ь.

Доказательство. В противном случае в Е существовало бы открыто-замкнутое множество F, такое, что а £ F и b^E-F. Так как «СЕЛ Li С„, то F Л С„ ^ 0 для достаточно П->со

больших значений п, следовательно, CnaF (поскольку Сп связно,

a F отделимо от Е — F). Но тогда Li Сп с F, откуда следует, что b £ F.

Пример. Пусть

Сп = Е [( — 1 < х < !)(// = !/«)], « = (—1,0), b = (+1,0).

X, у

Множество Е связно между а и Ь, однако а и 6 принадлежат двум различным компонентам множества Е.

Более того, Е — ^b) связно между а и множеством В точек (1, 1/п), н = 1, 2, ..., но оно не связно между а и любой отдельной точкой множества В (ср. также § 47, II, теорема 1).

Пусть ^’ есть ^-пространство. Введем сокращенное обозначение

(хо « х,) = (.^’ связно между х0 и х^.

Очевидно, что отношение х0 ^ м есть отношение эквивалентности.

Теорема 10. Отношение x0~xv мультипликативно.

Это означает, что если задано семейство пространств {Д’/}, t^T, то для каждой пары точек X и D пространства Д" = ПД"/ t справедливо соотношение

G-V)^ Л(^ «П

t

Доказательство. Вначале предположим, что для данного / = /0 соотношение V « lV не имеет места. Тогда существуют два открытых множества Gf и Нь таких, что

Gzn^ = 0, G,UH, = ^ь '^Gb \^НЬ

Пусть 65 —прямое произведение множества Gt на множество всех осей Д>, где t'^t. Аналогично определим ■&. Тогда

65П^ = 0, 650'^ = ^, ^65, DG^-

Это означает, что соотношение J « I) не имеет места.

Далее предположим, что V *< 1/ для каждого t. Мы должны показать, что $ * V.

Рассмотрим случай, когда Т конечно: Т = (1, 2, ..., и), и применим индукцию. Очевидно, наше утверждение верно для // = 1. Предположим, что оно верно для п— 1. Положим lv = (V, • .., ^-l, 1Д). По предположению

(V, •(V, •.., V"-1) в Я\ X X

Поэтому

^ h) В (J1г-1) X жп И IV « V в Жх х .,. X #V\ X (^),

Отсюда вытекает, что

в №,...,Г')Х WM-X^-jX^)),

и, следовательно, в ,^, X Д'2 X ... X 57 п.

Это завершает доказательство в случае конечного Т.

Рассмотрим общий случай, когда Г произвольно, и предположим, что V га I)' для каждого / £ Т, тогда как соотношение J га у не верно. Тогда в .^ существуют два открытых множества № и ■$, удовлетворяющих условиям (2). По определению топологии в .Т (ср. § 16, Г) существует конечная система индексов tb ..., tn> такая, что

^ П G, с ®,

t

уде Gt открыто в 57t и Gr = 57f, если i'^tt для каждого i^n. Определим точку Хо^.Т условием

, f V для t = ti, i ^п,

to = 1 ,,

I V для других t.

Тогда to£ ПО/, откуда №£№. Покажем, что to га у в .2С; это и t

приведет пас к противоречию (с условиями (2)).

Итак, пусть

( 571 для / = /z, I ^ п,

Я = ПК/, где Kt = \/

II (У ) для других t.

Как показано выше,

(V1,..., V»)~^ч,..;, у'») в 57ч х ... х 571r,

а из этого вытекает, что to « У в Я и, следовательно, в 57.

Теорема 11. Отношение xQ « xv замкнуто.

Иначе говоря, множество 5 — Е (х0~ х ) замкнуто в пространстве 57 X 57.

Доказательство. Пусть (х^ х^^. Тогда существует открыто-замкнутое множество Л, такое, что х0£Д и х^Л, т. е. (xt), Xi) Е [Л X (..У — Д)]. Далее, если хЕА и х' Е-^~ Л, то 57 не связно между х и х'. Отсюда

[Л Х1Г- Л)]Г)б = О и, следовательно,

(х„ х.) Е [Л X (.^ - Л)] с .Г X 57 - 8.

Поэтому множество 57x757 — ^ открыто,

Теорема 12. Пусть 37 — наследственно нормальное пространство и Л cl 37. Множество Л связно между х1 и х2 тогда и только тогда, когда каждое открытое множество ОтэЛ связно между этими точками.

Доказательство. Очевидно, что если Л связно между Xi и х2, то между этими точками связно и G (это верно для произвольного пространства .^).

Предположим теперь, что Л не связно между xt и х2. Тогда существуют два отделимых множества Рх и Р2, таких, что X] £ Р) и Х2ЕР2- Так как пространство ^ наследственно нормально, существуют открытые множества G, и G2, такие, что Pvc:G\, РгсС, и Gln02 = 0 (ср. § 14, V, теорема 1). Очевидно, множество G = G1UG2 несвязно между X! и х2.

V. Квазикомпоненты. Квазикомпонентой точки р называется пересечение всех открыто-замкнутых множеств, содержащих точку р ’). Другими словами, это множество всех точек х, таких, что пространство связно между р и х.

Ясно, что квазикомпоненты — это классы эквивалентности, определяемые отношением х, « х2. Их семейство есть фактор- семейство 37 (ср. § 2, VII, стр. 18).

Легко устанавливаются следующие утверждения.

Теорема 1. Компонента точки р содержится в квазикомпоненте точки р.

Обратное утверждение, вообще говоря, неверно (как показывает пример из п. IV). Однако оно верно для компактных ^-пространств (см. § 47, II, теорема 2).

Теорема 2. Квазикомпоненты представляют собой не- пересекающиеся замкнутые множества.

Теорема 3. Для всякого ^-пространства 37 существуют обобщенный канторов дисконтинуум Dm (где D — двуэлементное множество (0, 1)) и непрерывное отображение f: 37->Dm, такое, что квазикомпоненты пространства Д' совпадают с прообразами точек при отображении f.

В частности, если 37 имеет счетную открытую базу, то Dm можно заменить канторовым дисконтинуумом ^Y

‘) См. Хаусдорф [2, стр. 248].

Доказательство. Пусть Д = {^<}, t £ Т, — семейство всех открыто-замкнутых подмножеств пространства ДС, и пусть f — его характеристическая функция; это значит (см. § 3, VII), что j'(x)=l, если x£Ft, и /<(х) = 0, если х^.Т — Ft. Пусть m = Т — кардинальное число множества Т. Следовательно, f; ,T->DW. Очевидно, f непрерывно для каждого t^T, а поэтому непрерывно и f.

Далее, если х ~ х', то ^ (х) = ^ (V) для каждого t£T; следовательно, )(х) = )(х'). Обратно, если отношение х ~ х' не выполняется, то для некоторого t мы имеем x^Ft, тогда как х' £Я' — Ft, т. е. f(x)=l и ^(ху) = 0, откуда f(x)^f (ху).

Это завершает доказательство первой части теоремы.

Теперь заметим, что вместо семейства А можно рассматривать подсемейство {Fj, t^TQ, со следующим свойством: для всякой пары точек х, х', такой, что х~х' нс имеет места, существует / £ То, такое, что х С Fb тогда как х' £ Л' — Fb

В частности, если .Р имеет счетную базу, то можно предположить, что множество То счетно (по теореме 6 из п. IV); это завершает доказательство второй части теоремы.

Теорема 4. Всякое метрическое сепарабельное пространство .V топологически содержится в таком компактном пространстве Л'*, что две различные квазикомпоненты пространства Ж всегда содержатся в двух различных квазикомпонентах пространства Я** *).

Более того, в функциональном пространстве (<7^°)' гомеоморфизмы f, такие, что множество ЯР^ЦЯ-д удовлетворяет указанным выше условиям, образуют остаточное множество.

Доказательство. Пусть Fb F^, ...—последовательность открыто-замкнутых множеств, рассмотренных в теореме 6 п. IV (пространство Я' не предполагается связным). Согласно следствию 4а § 44, V и теореме 2 § 44, VI, множество Ф„ гомеоморфизмов [, таких, что

(0) и

является остаточным в пространстве (9^ . Следовательно, этим свойством обладает и множество Ф = Ф1 Г1 Фя А • ■• •

Пусть f£<V. Пусть р и q — две точки, принадлежащие двум различным квазикомпонентам Р и Q пространства Ж. Тогда существует такой индекс п, что

P^.Fn и q£.V-Fn, откуда Цр)£ЦРп) и f <q> Е f {■P-F^.

Так как

= ЦК = ПлК ^-1^

и 1£Фп, то в силу тождества (0) Ж* не связно между f(p) и /(^); поэтому эти точки принадлежат двум различным квазикомпонентам пространства Ж*.

Теорему 10 п. IV можно переформулировать следующим образом.

Теорема 5. Пусть \ = {\1} —точка произведения Z = П Жь кт и пусть Q — квазикомпонента точки й в Z. Тогда 9 = П0<, где Q( —квазикомпонента точки V в Ж(.

Va. Пространство квазикомпонент. Обозначим через К(^') фактортопологию пространства Ж(«, где х0 ~ хх означает, что пространство Ж связно между х0 и х, (в соответствии с п. IV). Другими словами, множество ОсУДу открыто в б(^), если объединение всех квазикомпонент в G открыто в пространстве Ж (см. § 19, I).

Кроме 6(^’), рассматривается еще другая топология семейств з всех квазикомпонент (обозначим ее Q(.T)).

Именно, в качестве открытой базы топологии Q(.^’) берутся все множества вида

Е(ЛсР),

где К — открыто-замкнутое множество в Ж и /1 — квази-компонента пространства Ж1).

Следующие два утверждения очевидны.

Теорема 1. Топология Q^) слабее, чем ^.(Ж).

Другими словами, тождественное отображение есть взаимно однозначное непрерывное отображение СП Ж) на Q^).

Теорема 2. Множества вида Е^ИстТ) открыто-замкнуты А

в Q (Ж). Следовательно, С^Ж) нульмерно и вполне регулярно.

Замечание. Очевидно, что если каждая квазикомпонента пространства Ж состоит из одной точки, то К (Ж) гомео- морфно Ж. Следовательно, если Ж имеет положительную раз-

') Ср. де Гроот [2], где рассматривается случай метрического сепарабельного пространства Ж. Общий случай см. Майкл Э. [10, стр. 15]. См. также де Фрис [I, гл. 3] и Лелек [3, стр. 81].

мерность (а такие пространства, безусловно, существуют; см. п. VI), то топологии К (/7’) и Q (.7") различны.

Теорема 3. Обозначим через Р(х) квазикомпоненту, содержащую х. Тогда (естественное) отображение Р: Я' —> QC T) непрерывно.

Это вытекает из соотношения эквивалентности

(Р (x)cFHx£F),

где F — открыто-замкнутое множество.

Теорема 4. Если Я" — компактное Дг-пространство, то таким же является и пространство С (Я'). Более того, пространства К(Я) и Q(.T-) гомеоморфны.

(В этом случае квазикомпоненты Ж совпадают с компонентами, см. § 47, II, теорема 2.)

Доказательство. По теореме 3 п. IV существует непрерывное отображение f: Я"—>В"\ такое, что ^(Я') совпадает с разложением пространства Я" на прообразы точек f(y), где у^ЦЯ"). Отсюда следует (по теореме 2 из § 19, II), что ^(Ж) гомеоморфно tV^'Y

Так как й(Я') компактно, то компактно и Q(^T) (по теореме 1).

Теорему 3 п. V можно усилить следующим образом.

Теорема 5. Для всякого ^-пространства Я’ существует взаимно однозначное непрерывное отображение g: Q (Я') —> Dm (для подходящего ш).

-I

Именно, (g(A) = у) s= (f (у) = Л) для каждого A^Q(.T').

Доказательство. По теореме 3 отображение g взаимно однозначно. Остается показать, что g непрерывно. Так как Dm имеет открыто-замкнутую базу, достаточно показать, что если множество G открыто-замкнуто в D"\ то g-1 (G) открыто в Q(Я’).

Далее, так как /' непрерывно, то множество /~' (G) открыто- замкнуто в .Я. Покажем, что

GiCg-'to^UcrW,

это завершит доказательство.

Пусть A£g~x(G). Тогда g(Z)CG. Положим g(A) = y. Тогда А = Цу) и 4cf"'(G). Обратно, если А с f-1 (G), то $(A)cG и g(/i)EG. Следовательно, A£g-1(G).

VI. Наследственно несвязные пространства. Вполне несвязные ■пространства.

Определения. Пространству называется наследственно несвязным (или дисперсным), если оно нс содержит никакого связного множества, состоящего более чем из одной точки, другими словами, если каждая его компонента состоит из одной точки.

Пространство называется вполне несвязным (или нигде не связным), если оно не связно между любой парой точек, другими словами, если каждая квазикомпонента состоит из одной точки.

Следующее утверждение очевидно.

Теорема 1. Всякое нульмерное пространство вполне несвязно, а всякое вполне несвязное пространство наследственно несвязно.

Теорема 2. Любое слабо одномерное пространство (т. е. такое, что множество N точек, в которых оно имеет положительную размерность, нульмерно; ср. § 27, VI) наследственно несвязно *).'

Доказательство. Если С — связное множество, содержащее более одной точки, то dimpC>0 для каждой точки р^С (ср. с теоремой 5 п. I). Поэтому С с V и, следовательно, dim N > 0.

Следующая теорема очевидна.

Теорема 3. Всякое пространство, допускающее взаимно однозначное непрерывное отображение во вполне несвязное пространство, само вполне несвязно.

В частности, слабо одномерное множество, определенное в § 27, VI, является вполне несвязным Оь-множеством положительной размерности).

Действительно, это множество допускает взаимно однозначную проекцию на капторово множество.

Замечания, (i) Существуют вполне несвязные пространства произвольной конечной или бесконечной размерности.

Действительно, капторово множество У есть взаимно однозначный непрерывный образ метрического сепарабельного пространства произвольной размерности (конечной или бесконечной )).

') Мецгер [I, стр. 204].

Более того, существуют полные сепарабельные вполне несвязные пространства произвольной размерности’).

Существуют (.полные сепарабельные) наследственно несвязные пространства, которые не являются вполне несвязными ).

Доказательство. Пусть Е — слабо одномерное Од-множество в компактном пространстве (например, множество, определенное в § 27, VI). Пусть dima£ = l. Тогда, как легко показать (ср. § 42, II, теорема 8), существует точка b а, такая, что множество Е U (Ь) связно между точками а и Ь. Кроме того, множество Е U (Ь) наследственно несвязно, так как оно слабо одномерно.

(iji) Помпейю определил функцию g на Д, производная g' 'которой конечна в каждой точке и принимает нулевое значение в любом интервале, ио не постоянна ни в одном из них. Эту функцию можно задать с помощью формулы )

Х= 2 ^(у-аЯ™ где а„ = (2/г+1)/2т+1,

й и ш — целые числа, удовлетворяющие условиям п^Т + к и Q^k^2m-1.

Согласно теореме 8 п. I и теореме 1 § 27, VII, множество С = Е k/ = ^Wl является связным 6в-множеством.

х. у

Пусть g'(a)=^0. Множество Л = С — Я U(a, 0) связно между точками р^[а, 0] и q — \a, бДа)].

Предположим противное, а именно, что М и V —отделимые множества и

Д = мил^, Р^М и q ^N.

Пусть be такой интервал, что

b<a<c, N[)bc = 0 и g' (b) = 0 = g'(c).

Обозначим через V, подмножество из N, проекция которого лежит в интервале Ьс; тогда множество Ад отделимо от N — Vb а также от множества Я и, следовательно, от множества N — Nt U М U Я. Так как

Cc:^lU(^-^1UЛlU^)

и р^М, g^N, то это противоречит связности множества С.

') Теорема Мазуркевича [14]. По поводу /.-проблемы Урысона см. Ма- зуркевич [12, стр. 324]. См. также Кнастер [8].

Из этого следует (ср. § 26, III, теорема 3), что множество С — 3 имеет размерность 1 в каждой своей точке.

Заметим далее, что из тождества С П 3 = 3 следует, что С — 3 вполне несвязно. Следовательно, множество Л наследственно несвязно (не будучи вполне несвязным) (см. Куратов- скин [11]).

(iv) Пространство называется экстремально несвязным, если замыкание всякого открытого множества открыто (см. Стоун М. [3]).

Очевидно, всякое экстремально несвязное регулярное пространство имеет открытую базу, состоящую из открыто-замкнутых множеств (а именно из замыканий открытых множеств), следовательно, оно нульмерно. Обратное неверно.

VII. Разделители. По определению (ср. § 6, V) множество С разделяет пространство .Ж" между множествами А и В (является разделителем между А и в), если Т — С не связно между множествами А и В, другими словами, если существуют два множества М и N, такие, что

^-C = MUN, (М ПЛОЩОМ) = 0, Ac*!, BcN.

Множество С (коротко) называется разделителем пространства .Т, если существует пара замкнутых множеств Л и В, между которыми пространство Ж связно, а множество .V — С не связно.

Если пространство .Т связно, то С является разделителем тогда и только тогда, когда множество .У — С не связно (так как всякое связное пространство связно между любой парой своих точек).

Множество С называется неприводимым разделителем между точками а и Ь, если С — разделитель между этими точками, по любое множество X, такое, что X с С X, таковым не является.

Множество С называется вполне неприводимым разделителем, если С — неприводимый разделитель между любой парой точек, которые разделяются множеством С (и если существует по крайней мере одна пара таких точек).

Говорят, что множество С локально разделяет пространство, если оно разделяет некоторое содержащее его открытое множество, т. е. если существуют открытое множество G и два множества Л и В, замкнутых в G, таких, что A U В U С cz G и множество G связно между А и В, а множество G — Q — нот.

И*

Теорема 1. Если D = .T, то каждый замкнутый разделитель представляет собой разделитель между парой точек, принадлежащих D.

Доказательство. Действительно, если М и N — два непустых открытых множества, таких, что .V — С = М VI N и М П ^ = 0, то М П D #= 0 N П D.

Теорема 2. Замкнутое множество С разделяет пространство между Л и В тогда и только тогда, когда существуют два замкнутых множества Р и Q, таких, что

^ = P^Q, C = PV\Q, A?\Q-B=B?\P.

Болес того, если множества Л, В и С не пересекаются, то двойное тождество можно заменить включениями Лег Р и В с Q.

Доказательство. С одной стороны, если удовлетворяется условие (0, то можно считать, что

P = MUC и Q-NUC.

С другой стороны, если Р и Q удовлетворяют условиям (ii), то можно предположить, что

M=^-Q и Ы = Ж-Р.

Теорема 3. Пусть ЛЕ — наследственно нормальное пространство. Если множество Е разделяет всякую пару множеств, принадлежащих системе Л,, ..., Aa, то множество Е содержит замкнутое, множество F, обладающее тем же свойством.

Доказательство. По предположению и согласно теореме 4 п. IV,

Ж - Е = X, и • •. и Хп, Л, с Хь

где множества Xt не пересекаются и открыты в FT — Е. В соответствии с теоремой 4 § 14, V существует такая система непере- секающпхся открытых множеств G h ..., Gn, что Х;СгЕ;. Достаточно положить F = Я'— (G|U . .. (J G п\

Теорема 4. Всякое множество G, являющееся общей границей двух компонент А и В его дополнения, есть неприводимый разделитель между каждой парой точек (а, Ь), таких, что а^ А и Ь£ В.

Доказательство. С одной стороны, множество С = = Л П Я' — А разбивает пространство на два отделимых множества А — С и Я" — А — С, одно из которых содержит точку а.

а другое — точку b. С другой стороны, если X с С ^ X, то при условии с^С — Х множество A J (с) U В связно и соединяет гонку а с точкой b вне X. Поэтому множество X не является разделителем между точками а и Ь. Таким образом, множество С — неприводимый разделитель между точками а и Ь.

Разделение связных пространств). В и. VIII —XI пространство Х' предполагается связным метрическим и сепарабельным.

Если множество С —замкнутый разделитель между точками а н Ь, то, согласно VII (i), существуют два открытых множества М и N, таких, что

XE-C-M'dN, MV\N = 0, а^М, b^N.

Вообще говоря, существует много разложений, удовлетворяющих условиям (I); так обстоит дело, например, в случае пространства, состоящего из трех сегментов ас, Ьс и de, имеющих только одну общую точку с.

Теорема 1. Преть С —семейство замкнутых непересекаю- щихся связных разделителей между точками а и Ь. Если мы поставим в соответствие каждому множеству С С С пару открытых множеств М(С) и N (С\ удовлетворяющих условиям (1), и положим А (С) = М (С) U С, то семейство F всех множеств Л (С), где С^С, строго монотонно).

Более того, если С =£ D, то либо Д(Д)сМ(С), либо A^cM^D).

Доказательство. Пусть С =/=£) —два элемента семейства С. Так как множества XI (С) и N(С) отделимы и D — связное подмножество их объединения, то одно из них содержит В, тогда как другое не пересекается с ним. Предположим, что В с М (С). Покажем, что тогда М (В) с М (С).

Во-первых, С с N (В). Действительно, иначе имело бы место включение СсМ(О) (по указанным выше причинам). По из условий

.r = M(C)UCU^(C) и .^ = A1(Z))U/)U NW вытекает, что

.r = M(C)UM(D)UCU£U(W(C)nAI(£)), •

а так как 1) с М (С), то из включения С ст Л/(D) следует разложение пространства

Ж = [М (С) U М (О)] U [W (С) П N (/))]

па два непустых непсресскаюшихся открытых множества (со- держащих соответственно а и ЬУ что противоречит предположению связности пространства. И так, СсМфУ

Теперь рассмотрим разложение

.T-M^CWNWUCUDUWtC^Mm^-

4M(C)U W(/))]IJ|W(C)nM(/))],

которое также следует из соотношении (2).

Оба члена второго объединения суть вспсресекаюшиеся открытые множества, в первое из них непусто; поэтому

V (С) И Л/(/))=--О, откуда Л1(/))сМ(СЖ,

а так как СПМ(/^) = 0 (ибо С ст N (/))), то

M^D^cMtCy

Это дает

A ф) = D U М (D) с Л1 (С) ст Ini [Л (С)],

так как Л/(С) — открытое подмножество множества А (С). Аналогично, если мы предположим, что D с N (С), то

С ст М (/)), и по симметрии

Л(С) ст Л/(О) ст Int [Л (Z))],

что и завершает доказательство.

Теорема 1 в сочетании с теоремой 1 из § 24, VII и тем фактом, что из условия С v= D следует соотношение Л (С)^ A(D), приводит к следующему утверждению.

Теорема 2. Элелшнтм С семейства С можно снабдить такими индексами у, что 0<у<Л и что из условия и<у следует М (С„) с: Л (С„) ст М (C,z).

Отсюда следует, что если u<i/<z, то См разделяет С„ и Cz.

Теорема 3. За исключением счетного множества элементов семейства С, каждый элемент С £ С удовлетворяет следующим условиям:

Int [Л (С)] == М (С), следовательно, Рг[Л(С)] = С,

C^Fr[M(a = F''r^(O);

в семействе С существуют (Эве последовательности фп} и {£„}, такие, что

С = П М Ш П N фф = Q Л ф^ П [^Л М,

М (С) и N (С) связны.

Доказательство. Согласно теореме 2, имеет место включеннс

и Int [Л (С„)1 с М «ф с hit [Л (Су)].

В соответствии с теоремой 4 § 24, VII положим hit [Л(СУ)] = U hit [Л (С,,)].

Отсюда следует, что.

hit^O-AHC,,), и, следовательно,

Fr [Л(Су)]== Л (Су) - Int [/1 (Су)] -С„.

В силу (3) из § 24, VIII (5) вытекает, что

С = hr [Л (С)] = Л (С) - hit [Л (С)1 -

= Тифло] - Int [Л (С)] - Fг [hit (Л (О)] = Fr [М (О].

Соотношение (5) следует из (3) и § 24, VIII (9):

С, = Q (Int (Л (£„)] - .4 (О с Q М фпф П N (£„) с

с П л фпф П [^Ж)] = с

так как Л ф,) с: М (/)„_[) ио теореме 2.

И, маконец, как мы увидим, из (5) следует (6).

Пусть М (С) = At, IJ Мй, где М( — пепересекающиеся открытые множества и «^41,. Покажем, что М2 = 0.

Так как множества М (С) п N (С) отделимы, а 37 и С связны, то множества С U М (С) и С U N (С) связны (по теореме 4 ri. II), Па том же основании множества C’UV(C)U4/| и С U N (С) U М2 связны. Но так как множество CUV(C)U41| соединяет точки и и Ь, а Еп — разделитель между этими точками, то из этого следует, что Е„ П [С U N (С) U М j # 0. Так как множество Л (/:’„) предшествует множеству Л (С), то Еп П N (С) = 0. По тогда £„ПЛ1|^() и, следовательно, ЕпПЛ1-2 — 0. Так как множества AL и 4flUAf(C) отделимы, то множество Л/olJC связно и, согласно последнему равенству, не пересекается с Еп. Из гклю- чения СсЛ1(/;Д которое получается из (5), следует, что

AJ2 (J С ед N (Еп), и тогда М2 с: N фп).

С другой стороны, согласно теореме 2,

M2ciA(C)cM(Dn), и потому

М2 С П м (Dn) n^ (£„) = С,п

а так как С П М2 = 0, то из этого следует, что М2 ~ 0.

Теорема 4. Во всяком семействе непересекающихся замкнутых и связных разделителей каждый разделитель, за исключением самое большее Ко из них, разделяет пространство на два связных множества и является их общей границей; следовательно, он является вполне неприводимым разделителем.

Доказательство. Пусть р\, р2, .. . — последовательность точек, всюду плотная в пространстве.

По теореме 1 и. VII рассматриваемое семейство можно разложить в (счетную) последовательность подсемейств Сц разделителей между точками р( и р(. Поэтому наша теорема вытекает из утверждений (4) и (6), ибо неприводимость есть следствие теоремы 4 п. VII.

Теорема 5. Пусть в пространстве .^ задано семейство С разделителей между точками а и Ь, не пересекающихся, замкнутых, связных и снабженных индексами в соответствии с теоремой 2. Тогда существует непрерывное отображение f пространства .Т на У, такое, что f (а) = 0, f(b)=l и для каждого индекса у .

либо f~! (Оу) — А(СУ), либо [~'(0у) = Г) Л(С2),

в соответствии с тем, существует ли индекс, непосредственно следующий за у, или нет.

■ Доказательство. Пусть F" — семейство множеств Лу = = Л(С„), где 0<//< 1, пополненное множествами Ло = («) и /1] = .^'. Рассмотрим функцию Д определенную в § 24, IX, теорема 3. Очевидно, j (а) = 0 и f(b)=l, если не существует индекса, непосредственно предшествующего 1. В противном случае если г — индекс, непосредственно предшествующий 1, то необходимо только изменить определение функции f па множестве .Т — Лг, а именно

Используя* теорему 5, многие свойства семейств С можно вывести из соотношений (13) —(18) § 24, IX. В част-

пости, справедливо следующее утверждение (в силу (3) и § 24, IX (17)):

Теорема 6. Соотношение С,, = Г' (//) имеет место для всех, за исключением самое большее Ко, множеств Су.

Разделяющие точки. Как и в п. VIII, предположим, что Я" — связное метрическое сепарабельное пространство. Пусть S(a, &)—множество всех точек, разделяющих точки а и Ь. Эти точки можно снабдить индексами в соответствии с теоремой 2 и. VIII; таким образом, из условия и <у< г следует, что точка ри разделяет точки рп и р2.

Из теоремы 4 п. VIII вытекает следующая

Теорема 1 *). Множество Я’ — (х} либо связно, либо представляет собой объединение двух связных множеств для каждой точки х, за исключением самое большее счетного множества этих точек.

Теорема 2. Если множество Л связно, то каждая точка множества /flS(«, /)), за исключением первой и последней (если они существуют}, разделяет множество Л.

Отсюда в силу теоремы 1 п. VII вытекает следующее утверждение:

Теорема 3 ). Каждая точка связного множества Л, являющаяся разделяющей точкой пространства (за исключением счетного множества таких точек}, является также и разделяющей точкой множества Л.

Замечание. Отметим без доказательства следующее утверждение:

Если С — семейство невырожденных непересекающихся связных множеств, каждое из которых содержит разделяющую точку пространства, то С счетно ).

Теорема 4. Если множество С представляет собой топологический предел (ср. § 29, VI) последовательности Сь С2, ... непересекающихся связных множеств, то множество C(]S(a, b} содержит самое большее две точки. Следовательно, множество точек множества С, разделяющих пространство, счетно.

Доказательство. Предположим, что ри, ри, р2^С и u<y<z. Тогда рп^М(ри} и pzE;N(Pti} (ср. VIII, теорема 2).

’) См. Зарапкевич и Куратовский [I].

Так как множества М (р(/) и Я(ру> открыты, то из условия р„ С Lim Сп следует, что для достаточно больших п

П-> ОО

C^M^^O^C^N^,откуда .С„ПЕгЛ4(р;/) = 0, т. е. р„^Сп.

Следовательно, множества Сп пересекаются.

Теорема 5. Существует непрерывное отображение f: Я* —> Я, такое, что множество точек, в которых f взаимно однозначно, пополненное подходящим счетным множеством, совпадает с множеством S (a, b^ U « U А.

Именно, { есть функция из теоремы 5 и. VIII, где С—■ семейство множеств, сводящихся к отдельным точкам и разделяющих а и Ь.

Доказательство. Если р — точка, отличная от а и Ь, в которой функция / взаимно однозначна, то существует число у, такое, что p — f '(у) и О -Д /у Д- 1. Поэтому

я--Р = гЧ^-и^ГЧ111-м)

есть разбиение на два открытых множества, одно из которых содержит а, а другое Ь. Отсюда следует, что р^8(а, Ь).

С другой стороны, в каждой точке множества S(a, Ь), за исключением счетного подмножества, функция [ взаимно однозначна, согласно VIII (7).

Теорема 6 (Леинес *)). Если Я* = S (я, Л) U « U Ь, т. е. если каждая точка, отличная от а и Ь, разделяет пространство между и и Ь, то существует взаимно однозначное непрерывное отображение. } пространства Г на Я.

Доказательство. Предположим, что / (ри) = у, Ца) = 0 и /иЛ" 1- Так как очевидно, что функция /' взаимно однозначна, остается только показать, что она непрерывна, т. е. множество / '(G) открыто (в пространстве Я") при условии, что G — открытый интервал в Я. Но это следует из соотношений (ср. VIII, теорема 2)

ГХ^У~1А = МкРи> и Г' (//I -.'/)= Жру\ так как множества М (ру) и И(рф открыты.

*) См. Леннес [1]. где эта теорема доказана при дополнительных предположениях. Ср. также Хаусдорф |1| и §2 статьи Киаслера и Куратов- ского [2J, где щупаются пространства лого шца (гам они названы связными пространствами, неприводимыми между а и Ь).

Замечания. Очевидно, что условие теоремы 6 эквивалентно такому условию: каждой точке х соответствуют два замкнутых множества /1 и В, таких, что

Я = 3U В, а еЛ, Ь^В, А{\В — (х\ .

Оно также эквивалентно следующему предположению: точка а и Ь нельзя соединить никаким собственным связным подмножеством пространства.

Доказательство. Предположим, что p^VB — а — /Д — точка, не отделяющая и от Ь. Тогда существует связное множество С, такое, что а, b б С В. В самом деле, если множество д—р несвязно, то существуют два открытых множества G и Н, такие, что

.d'-p = GUIl, G(\H = 0, Н^О и a, b^G,

ибо р пе отделяет точку а от точки Ь.

Таким образом, множество С^р^Щт есть связное собственное подмножество (ср. II, теорема 4) пространства, соединяющее точки а и Ь. '

Уникогерентность. Дискогерентность.

Определение. Топологическое пространство ::Г называется уникогерентным, если оно связно и если для каждой пары Л, В замкнутых связных множеств, таких, что .Z = Л U В, пересечение А П В связно.

Пространство /Г называется днекогерентным, если для любой пары замкнутых множеств А и В, таких, что

= H|J/j и ААД В,

пересечение Л П В несвязно.

Согласно теореме 5 и. II, если сиязмос пространство не является дискогереитным, то существуют два замкнутых связных множества Л и В, имеющих связное, пересечение и удовлетворяющих условиям (1).

Очевидно, что всякое дискогерсптпое пространство связно.

Примеры. Интервал 9 упикогерентен, а окружность ВА дискогерентпа. Позже мы увидим, что <Г уппкогереитпо для всякого п, a af п уникогерентпо для «^2.

Теорема I. Связное пространство сК' дискогерентно тогда и только тогда, когда дополнение любого замкнутого связного подмножества С связно.

Доказательство. Если

(Г) .Т-С-М UM, (M№RMH и M^O^N, то множества Л = С U М и В = С U N замкнуты,

Л =7^ Д' ^ В и Л Л В = С.

С другой стороны, если замкнутые множества Л и В удовлетворяют условиям (I) и если пересечение Л П В связно, то (19 справедливо при условии, что М = Д’ — Л и N = Я" — В. Таким образом, (замкнутое и связное) множество С является разделителем пространства.

Теорема 2. Если пространство Ж дискогерентно, а множества С и D замкнуты, связны и таковы, что

Д’ = С U D и С=А Я’ ^ D,

то множества Л = Д' — С и В = Д’ — Л связны, удовлетворяют соотношению (1) н Л = Д'— В.

Доказательство. Множество -Т — С связно по теореме 1. Следовательно, связно и множество Л = У — С. Отсюда вытекает, что множество Д'— Л связно, а поэтому связно и множество В = Д' — Л.

Согласно соотношению (2), Д' — С с D ^ Д’, откуда У — Сс: с: D =Л= Д’; следовательно, Л Д". Так как 0^=-Д — Сс1п1(Л) = — Д’— Д'— Л, то из этого следует, что В =#= У. Тогда

Л U В = Л U ЛГ^Л = Д’.

Наконец, в соответствии с § 8, VIII

Д' - в = Д' - у// - д = Д' - Д' - у -С = У — С= А.

Теорема 3. Свойства уникогерентности и дискогерентности инвариантны относительно непрерывных монотонных отображений .

Доказательство. Пусть /: Д' -> У — непрерывное монотонное отображение на. Пусть Л и 8 —два замкнутых связных множества, таких, что /'(Д') = Ли8. Тогда Д’= Д1 M)Uf~* (8) и множества /"'(Л) и /~'(8) замкнуты и связны. Следовательно, если пространство Д' уникогерептно, то множество

г1 (Л Л 5) = Г1 (Л) п Г1 (В)

связно, п потому связно множество

лпя = Нг’(лпв)|.

Таким образом, пространство f (Я') уникогерентно.

Если пространство Я." дискогерептно, то множества /“' (Л П S) и ЛИЛ несвязны. Следовательно, пространство / (Д’) дискоге- реитно.

*Х1. «-мерная связность). Понятие связности можно следующим образом уточнить.

Пусть Я" — метрическое сепарабельное пространство (содержащее более одной точки). Говорят, что Я' не более чем п-мерно связно, если существуют два замкнутых множества М и N, таких, что

.-Z’ = M|JM, М^Я’^К н dim(MnA0<n- 1;

другими словами, если существует открытое множество G, такое, что

О^С, G^.T и dimFr((?Xn- 1, или если существует замкнутое не более чем (/г — 1)-мерное множество, разделяющее пространство Я".

Наименьшее целое число, обладающее этим свойством (конечное пли бесконечное), называется размерностью связности пространства Я’ и обозначается <\сЯ"\

Таким образом, если йсД’<оо, то существует замкнутый разделитель размерности dc.-Z’ —1, но не существует замкнутого разделителя размерности de Д’ —2.

Далее, положим dc(p) = 0 и dcO=— 1.

Легко установить, что de Я" ^ dim Я" и что условие dc.T^ 1 эквивалентно предположению, что пространство Я’ связно и содержит более одной точки.

Компактные пространства Я', удовлетворяющие условию de Я' = dim .Я, называются канторовыми многообразиями.

Замечания. Если пространство представляет собой объединение двух кубов, имеющих только одну общую вершину, то dc=l; если они имеют только одно общее ребро, то de = 2; наконец, если они имеют только одну общую грань, то de = 3.

Отсюда видно, что число de Д’ позволяет выразить более точно геометрическую идею более или менее «сильной» связности полиэдра, состоящего из двух кубов, в соответствии с тем, соединяются ли они по грани, ребру или вершине.

Из теорем 6 и 3 § 45, IV вытекают следующие две теоремы.

Теорема 1. Если Ж — компактное пространство, неприводимое по отношению к своей п-мерной степени, то de .Т ^ п.

Теорема 2. Во всяком компактном пространстве размерности содержится замкнутое множество F, такое, что de F ^ п; следовательно, в нем содержится, в частности, компонента размерности ^п'\

Многие теоремы теории связных множеств можно обобщить и переформулировать таким образом, чтобы они стали теоремами о размерности связности. Сформулируем некоторые из них без доказательства.

Теорема 3. Если С — множество, содержащее более одной точки, то условие de С ^ и эквивалентно существованию двух множеств М и N, таких, что

.С - М U N, С — М ^O^C-N,

dim [(М nW)U(MflM)R'n- 1, а также существованию открытого множества G, такого, что (4) СПС V=0¥=C-G, dim [СП Fr(G)] га — 1. Теорема _ 4. Если deC^n, CaM\}N и если dim [(Л4 ПМ) U(М П М)] С» — 2, то либо СсМ, либо CcN Теорема 5. Если \СД — семейство таких множеств, что de Ct ^ п, и если оно содержит такое множество Cq, что dim (Со 0 Ct)^ и — 1 для каждого t, то dc^UC^^ra, Теорема 6. Если С с: Е с С и de On, то deE^n.

■ Теорема?. dc(^ — С)^ dc^ —dim С—1.

Теорема 8. Если %-C~M\)N, (М П N) U(^V ПМ) = 0 и dcC<dc.^, то dcC<dc(CUM) и dcC <dc(CU^).

Теорема 9. Если А и В — два замкнутых множества, таких, что de (/4 П В) ^ de (/4 U В), то de (А П B)^dc А и de (Л П В) ^ de В.

Теорема 10. Если f — непрерывное отображение (связного') компактного пространства Т, такое, что dim/~'(y)^/? для каждого у, то

dcf(^)> dc^-fe.

*ХП. n-мерная связность между двумя множествами. Пространство .V называется п-мерно связным между двумя подмножествами А и В (записывается: dcA в Ж = п\ если /г —наименьшее целое число, такое, что существуют два замкнутых множества М и N, удовлетворяющих условия^

.^ = MUAf, Л п ^ = 0 == ZJ п М, dim(Af П М) ^ « — 1;

это означает, что существует замкнутое множество размерности ^/г — 1, которое разделяет Ж между А и В.

Можно доказать следующие утверждения ’):

Теорема 1. Множество С пространства Ж не более чем п-мерно связно между двумя подмножествами А и В тогда и только тогда, когда существует открытое множество G, такое, что

АсС, аПВ = 0, dim [С П Fr (G)] и — 1.

Теорема 2. Если 4сд,, вЖ^п и бсд^в Ж ^п, то с!сд,ил,. В Ж и.

Теорема 3. Во всяком компактном пространстве из п-мер- ной связности между двумя замкнутыми множествами А и В вытекает п-мерная связность между парой точек а £ А и Ь^В.

Более точно, если в компактном пространстве заданы два подмножества Л и В третьего подмножества С, то существуют две точки а £ А и Ь^В, такие, что

' dcA в С < dca. 6 (С U « 1Ш

Теорема 4. dima.^^n тогда и только тогда, когда dca вЖ^п для всякого замкнутого множества В, такого, что а^Ж-В..

Теорема 5. dim Ж ^ п тогда и только тогда, когда Лсл<вЖ^.п для любых замкнутых непересекающихся множеств Л и В.

Если Ж компактно, то dim /27^ п тогда и только тогда, когда йса-ьЖ<.п для любых точек а =# Ь.

Теорема 6. Если С — подмножество компактного пространства, то каждой точке а^С соответствует точка b #= а, такая, что

йса,ь (С J b) = dima С при условии dirnaC<oo,

*) См. примечание 1 на стр. 173 и стр. 268—269.

Теорема 7). Каждое сепарабельное метрическое пространство можно компактифицировать без увеличения размерности связности между любой пирон точек.

Более того, множество гомеоморфизмов f: K'^fJ^, таких, что размерность связности пространства Л’ между точками р и q равна размерности связности множества ](Л') между Цр) и f(q) для любой пары точек р, q^.V, представляет собой остаточное множество в пространстве (ff^.

Континуумы

Определение. Непосредственные следствия. Компактное связное ^"пространство называется континуумом). Предполагается, что все пространства, рассматриваемые в § 47, являются Д^-простраиствами.

Теорема 0. Компактное метрическое пространство Л‘ есть континуум тогда и только тогда, когда2) каждой паре точек а, Ь^Л- и каждому числу е>0 соответствует конечная система точек

р0 = а, рь . . ., рп_ь ра=Ь, где \pt-piH\<e.

Доказательство. Условие необходимо, так как множество Е(а, е) точек, которые можно соединить с точкой а «цепью» со звеньями <е, замкнуто и открыто; оно совпадает с пространством .Т, если Л’ связно. Условие достаточно, так как если Л" = Л U В — разложение компактного пространства Л- на два непустых иепересекающихся замкнутых множества, то р(Л, В)>0, и, следовательно, нс существует цепи, соединяющей а и Ь, со звеньями длины <р(Л, В).

Следующие утверждения вытекают непосредственно из соответствующих теорем о связных множествах § 46.

Теорема 1. Объединение двух континуумов, имеющих общую точку, есть континуум (ср. § 46, II, следствие 3 (i)).

Теорем а 2. Если Л и В — два таких компактных множества, что Л U В и Л f) В — континуумы, то Л и В — континуумы (ср. § 46, II, следствие 5),

Теорема 3. Если С — подконтинуум континуума .Т и если М и N — два отделимых множества, таких, что .К — С = MU К, то множества С. U М и С U N — континуумы (ср. § 46, II, теорема 4).

Теорема 4. Прямое произведение (конечное или бесконечное') континуумов есть континуум (§ 46, II, теорема 11).

Теорема 5. Непрерывный образ континуума есть континуум (§ 46, I, теорема 3).

Теорема 6. Компоненты компактного пространства представляют собой континуумы (§ 46, III, теорема 1).

Связные подмножества компактных пространств.

Теорема 1. Всякое компактное пространство обладает следующим свойством:

(М) Если пространство связно между двумя замкнутыми множествами Л и В, то оно связно между некоторой парой точек а и Ь, где а^Л и Ь^ВХ\

Доказательство. Предположим, что пространство Я’ ис связно между любой парой точек а и К где а^Л и Ь^В. Пусть МаЬ — открыто-замкнутое множество, такое, что

аЕМпЬ и Ь^М0Й.

Для данной точки Ь^В семейство {/Ип6}а€л есть открытое покрытие (компактного) множества Л; следовательно, существует конечное подмножество Л' множества Л, такое, что {Маь}ард- ~ тоже открытое покрытие Л. Положим для Ь^В

мь= и маЬ.

Множество Мь есть открыто-замкнутое подмножество пространства Я’ и АсгМь, тогда как Ь^Мь. Далее, семейство {. /’ — М^ь^ в есть открытое покрытие (компактного) множества В; следовательно, существует конечное множество В' с: В, такое, что (Я — МД,^, тоже покрывает В.

Таким образом, открыто-замкнутое множество f] Mh со- ь с в'

держит Л и не пересекается с В, что приводит к противоречию.

Теорема 1'. Всякое компактное наследственно нормальное пространство обладает следующим свойством: если

Ч Ср. Ма !уркевнч [ 1J.

подмножество Е связно между двумя множествами А и В (где /IU В с Е), то существует пара точек а^А, Ь^В, такая, что множество Е U a U b связно между а и Ь.

Доказательство. Пусть G — семейство всех открытых множеств G, таких, что EDFr(G) = 0. Предположим, что множество EUaU& не связно между а и b для любых а^А и b £ В; это_значит (ср. § 46, IV, теорема 7), что каждой паре точек а Е А и Ь^В соответствует открытое множество G, такое, что

a£G, b^G и (Е U о U 6) ПГг (G) = 0.

т. е. G £6.

Согласно лемме § 41, II, существует множество

Н - (G\ П ... П G}) U ... U (G? П • • • П G^, где о' Е О,такое, что АсН и В^Н = 0. Так как (ср. § 6, II (8) и (9))

Рг(Я)сиРг(О'),

то отсюда вытекает, что ЕПРг(Я) = 0. Следовательно, Е не связно между Л и 8.

Теорема 2!). В компактных пространствах (или в пространствах со свойством (М)) квазикомпоненты связны и поэтому совпадают с компонентами.

Доказательство. Предположим, что квазикомпонента Q точки р не связна. Тогда существуют (ср. § 46, I, теорема 2) открытое множество G и точка q, такие, что

p^G, q^Q-G и QnFr(G) = 0.

Последнее равенство означает, что пространство не связно между р и любой точкой множества Fr(G). Следовательно, из свойства (М) вытекает, что пространство не связно между точкой р и множеством Fr(G). Поэтому существует открытозамкнутое множество F, такое, что

p^F и EAFr(G) = 0.

') Более прямое доказательство см. Шура-Бура [1]; см. также Куратов- ский [50, стр. 227].

Отсюда следует, что p£Ff\G и q^.Ж — (У Л G); кроме того, F Л G — открыто-замкнутое множество, так как

ЖСсЕПС=Е nG-FrWrlGMFttGWnG.

Таким образом, пространство не связно между точками р и q.

Теорема 3. Если компактное пространство {или пространство, обладающее свойством (М)) связно между двумя замкнутыми множествами А и В, то существует компонента С, такая, что С Л А=А=0=#С п В.

Доказательство. Пусть {а, Ь) — такая пара точек, что а^А, Ь^В и пространство связно между а и Ь; тогда С — компонента (и, следовательно, квазикомпонента) точки а.

Теорема 4'). Во всяком компактном метрическом пространстве предел сходящейся последовательности связных множеств есть связное множество.

Это вытекает непосредственно из теоремы 14 § 46, II.

Теорема 5. Если Сь С2, ... — последовательность континуумов, такая, что

С]=>С2=> ... =>Сп^ .

то пересечение С\ fl С2 Л ... Л Сп Л ... есть континуум.

Доказательство. Действительно, из условия (2) по теореме 1 § 42, IV следует, что С1ЛС2П • •• принадлежит замыканию семейства всех подконтинуумов множества Сь Но по теореме 14 из § 46; II это семейство замкнуто.

Замечание. Если в некотором полном пространстве Сх о С^ ... — убывающая последовательность замкнутых связных множеств, такая, что lima(Cn) = 0, то пересечение

Ci Л С2 Л ... есть континуум2).

Доказательство. Предположим, что

П С„ - A U В,

Л = Л, В = В, AV=0V=B, Af\B — 0.

Пусть G — открытое множество, такое, что

ЛсС и СЛ5 = О.

Так как множество С„ связно, то из условия С„ П Е У- 0 У= С„ — G следует, что Сп П Fr (0)7^0. Положим Fn = Сп П Fг (О). Так как

Г1 —5 ^2 —1 ■ • • >0 7^ ^ п = /' п

И

ЦРаХ^ЦС^, откуда lim a(Fn) = 0,

то, согласно § 34, II,

П^О, т. е. ПСпПНг(С)^0. пп,

Но это противоречит условиям (3) и (5).

Таким образом, установлено, что множество П Сп связно. п

Компактность этого множества вытекает из условия аП CnJ = O, которое означает, что множество f] Сп вполне ограничено (ср.

§ 41, VI, теорема 2).

Теорема 6. Если С^ С2, ... — последовательность подконтинуумов компактного метрического пространства, такая, что Li Сп + 0, то множество Ls С(1 есть континуум.

П-^ОО.П-> ОО

Доказательство. Согласно следствию из § 29, VIII, Ls С„ есть объединение пределов сходящихся подпослсдова- П-^оо

тельностей (С* ]. Так как эти пределы связны (по теореме 4) и содержат множество Li Сп (ср. § 29, II, теорема 5), то их

объединение связно (ср. § 46, II, теорема 2).

Теорема 7. Если f — непрерывное отображение континуума Ж, то существует подконтинуум С континуума ,‘Е, неприводимый по отношению к свойству: быть таким континуумом, что № ='

Доказательство. Это утверждение — следствие теоремы 2 из § 42, IV и того факта, что семейства континуумов и замкнутых множеств X, таких, что / (Л) = f (JT), замкнуты в пространстве 2Т (ср. § 44, II, теорема 2).

Теорема 8. Пусть Е — подмножество компактного метрического пространства. Если c\imtt Е > 0 (где а —некоторая заданная точка Е), то существует точка b =^ а, такая, что E^W связно между а и Ь1).

9 Теорема Meurepa [1, стр. 207].

Доказательство. Пусть Во — замкнутое множество в £, такое, что а^Е—В0 и £ связно между а и Вп (ср. § 46, IV, теорема 2); положим в теореме 1 Л = а и B — BQ.

Теорема 9. Если компактное метрическое пространство (или пространство, обладающее свойством (М)) имеет положительную размерность в точке р, то точка р лежит в некотором связном множестве (содержащем более одной точки).

Доказательство. Согласно теореме 8, пространство связно между р и некоторой точкой q + р. Квазикомпонента точки р, совпадающая со своей компонентой, содержит точку q.

Замкнутые подмножества континуума.

Теорема 1 ). Если А —собственное замкнутое подмножество континуума 3' и если С — компонента множества А, то

С Л Д' - Л 0, т. е. СПРг(Л)^0.

Доказательство. Действительно (ср. II, теорема 3), множество А связно между каждой точкой а С А и множеством Л П Д'— Л (§ 46, IV, теорема 8).

Теорему I можно обобщить следующим образом:

Теорема 2. Если X — произвольное собственное подмножество континуума 3" и С — компонента множества X, то

С п 3- Д 0, т. е. СПРгШ^О.

Доказательство. Пусть а^С. Очевидно, можно предположить, что а^Е — Х. Рассмотрим семейство А всех открытых множеств G, таких, что 3'— XcG и a^G. Обозначим через Са компоненту точки а в 3'— G. По теореме 1 имеем С0 П G 0.

Так как ЗА — XcG, то 3 — G с X. Следовательно,

CQ с: С, откуда С П G ф 0.

Так как семейство А направлено по включению то, т. с. для каждой пары множеств Gx и О2 существует множество G3, такое, что G^cCj и G3cG2 (а именно С3 = С[ПС2), то направленным будет и семейство всех множеств СПб, где G£A. Так как множества СПС компактны и непусты, то

(согласно § 41, I (4)) их пересечение F непусто. Очевидно, пересечение всех множеств G, где G £ А, равно Я' — X, откуда 0^ Р-С^Я^Х.

Теорема 3. Если А — собственное замкнутое подмножество континуума, то всякая компонента А содержит по крайней мере одну компоненту границы А.

Следовательно, мощность семейства компонент множества А не превосходит мощности семейства компонент Fr(/1).

Доказательство. Если С — компонента множества А, то по теореме 1 СГП'г(Л)^0. Пусть D — такая компонента Fr(A), что С П О ф 0. Так как D с: Fr (А)с А, то D с: С.

Теорема 4. Пусть Я' и Кс Я' — континуумы, a G — такое открытое множество, что K^G и О=/=Я". Тогда существует такой континуум С, что КаС aG и К Ф С.

В частности, если Я" — метрическое пространство ^содержащее более одной точки'), то каждая точка пространства Я' принадлежит некоторому континууму (содержащему более одной точки') произвольно малого диаметра.

Доказательство. Заменим в теореме 1 А на G и обозначим через С компоненту множества G, содержащую К,.

Следующая теорема вытекает непосредственно из теоремы 4.

Теорема 5'). Если К — собственный подконтинуум континуума Ж, то существует континуум С, такой, что

КсС и К^С=А Я".

Теорема 6 (Серпинский [5]). Никакой континуум нельзя разложить в объединение счетного семейства непустых непере- секающихся замкнутых множеств.

Доказательство. Предположим, что пространство Ж — такой континуум, что

Я' = (J А„,

где множества А„ замкнуты, не пересекаются и по крайней мере два из них непусты. Определим последовательность континуумов Сь С2, .... таких, что

C^tdC^ .... С„ПАп-0 и СД^О;

*) См также п. VII и § 48, VI, теорема 1,

это приводит к противоречию, так как

П с„ n U Л„ - 0, откуда П С„ = °,

вопреки теореме Кантора."

Маша задача свелась к доказательству существования такого континуума С, что СПЛ, = 0 и по крайней мере два из элементов последовательности С П А2, СПЛ3, ... непусты (С будем обозначать через С,, а для того чтобы определить С2, будем рассматривать С) как все пространство, и т. д.).

Но, очевидно, можно предположить, что Л, ^= О (так как в противном случае можно было бы считать, что С = .^'). Пусть Л,„=#0 при т^\. Пусть F — замкнутая окрестность множества Лт (т. е. Am П Д' — F = 0), такая, что ГОЛ^О, и пусть С — компонента множества F, такая, что СПЛт#=0. Так как У7 П Л| = 0, то СИЛ] = 0. С другой стороны, согласно теореме 1,

С П Д' — F^ 0, откуда С <£ Ат, т. е. С —Л„, =Д0,

а так как

С-Л,„с(СПЛ2)и и(СПЛт_1)и(СПЛтИ))и ....

то существует такой индекс п + гм, что СП^п^О.

Замечания, (i) Из теоремы 6 вытекает следующая

Теорема 6а. Если компактное пространство допускает разложение на (непустые) непересекающиеся континуумы Сх, С2, .... то каждый континуум С п — компонента этого пространства.

Доказательство. Действительно, в противном случае существовал бы континуум К, такой, что К тэ Сп и К ^ Сп, и ряд

^ = (^ncI)u(^nc2)u

содержал бы по крайней мере два непустых члена.

В теореме 6 предположение компактности существенно. Пострд/1М пример связного локально компактного пространства Е, дойускающего разложение в ряд непересекающихся замкнутых связных множеств (рис. 2). Пусть Е — объединение 1) сегментов х = 2-п, 0^//^1, п = 0, 1, 2, ...; 2) сегмента х = 0, 0<у^ 1, из которого выброшены точки с ординатами 3/2П; 3) дуг р = 2~,!, л/2^9^2л (в полярных координатах)1).

') См. Серпинский [9, стр. 5] и [6, стр. 188]. Ср. также Кнастер и Ку- ратовскнй [3, стр. 58],

Множество Е можно гомеоморфно отобразить на замкнутое

связное множество, лежащее в трехмерном евклидовом пространстве. Однако на плоскости нс существует замкнутого

связного множества, допускающего разложение в ряд неиере- секающихся замкнутых связных множеств ').

С другой стороны, на плоскости можно построить замкнутое связное множество, допускающее разложение в ряд неперосокаю- щихся (несвязных) замкнутых множеств ).

Точка р называется достижимой из множества Л, если существует такой континуум С, что

p^CcAUp и С р.

Так, например, если Е — кривая y = sin(l/x), 0<|х|^1, попол

ненная сегментом |у]^1, х = 0, то только концы этого сегмента достижимы из множества <Е2 — Е, а все остальные

точки этого сегмента недостижимы.

Теорема 7 (УрысонД). Если Е есть Р0-множество в компактном метрическом пространстве д', то множество Еа точек, достижимых из множества ,д’ — Е, является аналитическим.

Доказательство. Действительно (ср. §41, IV, следствие 1Ь),

(X с Еа) ^ (х е £) (V КС + x^ Д [(у Е С) (у + X^ Ф (у Е -^ - £)]П \ с IиU

где С пробегает компактное пространство (ср. II, теорема 4) подконтинуумов пространства А-.

Замечание. Примеры замкнутых множеств, лежащих в У\ показывают, что Ен может быть неборелевским множеством )., ' ' '

Если Е — компактное подмножество плоскости, то Еа — боре- левское множество (см. Мазуркевич [28, стр. 153]).

■) См. Мазуркевич [11] п Мур [6].

IV. Разделение компактных метрических пространств. Из теоремы 3 п. II вытекает следующая

Теорема 1. Если .Е — компактное пространство, то множество С является его разделителем тогда и только тогда, когда существует компонента Q пространства .Е, содержащая две точки, между которыми множество .Е — С не связно.

В этом случае, очевидно, С П Q — разделитель множества Q.

Однако разделитель компоненты пространства .Е не обязательно является разделителем .Е.

Теорему 1 из § 46, VII можно усилить следующим образом.

Теорема 2. Во всяком компактном пространстве ТЕ существует последовательность точек рь р^, ..., такая, что каждый замкнутый разделитель F является разделителем между парой точек Qy, pj), между которыми пространство .Е связно.

Более точно, если {Qn} — семейство компонент, всюду плотное в семействе всех компонент пространства .Е, и если Р = = {рп} — такое счетное множество точек, что P?\Qn=Qn для п—\, 2, . .., то каждому замкнутому разделителю F соответствуют три индекса I, j, к, таких, что pit pj^Qk и F разделяет пространство между pt и Pj.

Доказательство. Согласно предположению, существуют два открытых множества М и V и компонента С пространства .Е, такие, что

.E-F = MUN, M^N-0,

епм^о^епл^.

Так как множество С — предел последовательности, содержащейся в семействе {Q,,}, то существует такой индекс к, что

Q4 ПМ#=0^QZi П N.

Наконец, из условия Р П Qit = Qk вытекает существование двух индексов I и /, таких, что /^6Q/«nT4 и Pj^Qkf\N. Согласно (I), множество F — разделитель пространства между точками pt и рг

Теорема 3 (Уайберп [11, стр. 151]). Если .Е — континуум, то множество 8 (а, Ь) всех точек, разделяющих пространство .Е между точками а и Ь, есть объединение 6ь-множества с некоторым счетным множеством.

Доказательство. Согласно теореме 5 из § 46, IX, множество 8 (а, Ь) после удаления из него некоторого счетного

множества точек совпадает с множеством точек, в которых непрерывное отображение пространства Я' взаимно однозначно, а последнее является Ой-множеством (ср. со следствием 1с § 41, III).

Теорема 4. Множество всех точек, разделяющих Я", есть множество типа 6^.

Доказательство. Это следует из теорем 2 и 3.

Замечание. Если Я" не компактно, то 5(н, Ь} может быть иеборелевским множеством. Пусть Л'— подмножество ■квадрата Я2, состоящее из основания квадрата и вертикальных сегментов с абсциссами, принадлежащими некоторому множеству D, всюду плотному в Я, Положим а = (0, 0) и А = (1, 0). Тогда S^a, Ь} — Я — В.

Теорема 5 (Мур *)). Во всяком континууме Я {содержащем более одной точки} существуют по крайней мере две точки, которые его не разделяют.

Доказательство. Покажем, что для каждой точки р существует точка у^р, которая не разделяет пространство Я. Пусть ро, рх, р> ... — последовательность точек, всюду плотная. в Я, где ри = р и Pi^Pj для 1=Яр Можно считать, что точки рп разделяют пространство Я при п>0.

Пусть ф —0, ix, z2, ...—некоторая последовательность индексов, и пусть Ап = Я, Лх, Л2, ... —последовательность открытых множеств, определяемая следующими условиями:

/„ — наименьший индекс >in_x, такой, что pin £ Л„-ь (11) Ап — открытое множество, такое, что

Ап —Ап\) р,п и Р1п_^Я- Ап.

(Существование множества Л„ вытекает из того факта, что Я — pt допускает разложение на два непустых- пепересекаю- щихся открытых множества; то из них, которое не содержит точки Pi v обозначается через Л„.)

Так как множество Л„ —континуум (ср. § 46, II, теорема 4), то из условий

Pitt€Anp\ /„_] и Гг(Л„_1) = р,п_), откуда 4,ПЕг(Л„_,)=0, следует, что Я„с4-| (ср. § 4G, I, теорема 1).

') См. Мур (3. стр. 340, теорема 2] и |4] Обобщения см. и п. VI. Ср. также Мачуркевпч [8J, Неман [2, стр. 433]. Бинг [6. стр. 501] и Курагои- ский [5, стр 113].

Поэтому ЛА АП ••• АО (ср. § 41, I, замечание 4). Пусть

т/СМАЛП • ••), откуда q^ptn Для п = 0, 1

Пусть М и N — два таких открытых множества, что

.Т - q = /И (J N и М fl N = 0.

Покажем, что одно из них пусто. Предположим, что существует бесконечно много индексов /„, таких, что р{ ^N', тогда, согласно (1), (2) и (3),

(Ми^)ПРг(Лп) = 0.

Так как множество Л4 U q — континуум (ср. § 46, II, теорема 4), то из условия (Л4 U q) П А АО (ср. (2) и (4)) по теореме 1 из § 46, I следует, что

М U q cl Л„, откуда М U q <= А, ПА П • ■ . •

Если МАО, то существует точка рАА но в этом случае если /7 удовлетворяет условиям 1п > к ^ 1п~ъ то рк£ М с: Лп (согласно (5)), а потому к^1„_х, рк^Ап_х и in не является наименьшим индексом >tn-i. удовлетворяющим условию pf ^Лп_ь что противоречит условию (1). Следовательно, М = 0.

V. Дуги. Простые замкнутые кривые. Дугой называется пространство, гомеоморфное интервалу 9. Пространство, гомеоморфное окружности xAi/Ai, называется простой замкнутой кривой.

Всякий интервал содержит точно две точки, которые его не разделяют, а потому этим свойством обладает и каждая дуга. Эти две точки называются концами дуги («дуга аЬ» — это дуга с концами в точках а и Ь\

Теорема 1. Если каждая точка х метрического континуума .Т, за исключением двух точек а и Ь, является разделителем, то Я'— дуга 1\

Доказательство. Пусть а А а: А 6 и /Е — x = M\}N, где М и N — два непустых, непересекающнхся открытых множества. Пусть а^М. Тогда b^N, так как в противном случае, обозначив через у (в соответствии с теоремой 5 п. IV) ту точку множества /V, которая не разделяет континуум N U х, мы получили бы, что множество

.7'-// = (VUx)-//U(AlUx)связно вопреки предположению.

') Ср. с примечанием к теореме Ленпеса (§ 46, IX, теорема 6). См, также Мур [3, стр. 3'|0].'

Так как каждая точка х есть разделяющая точка между точками а и Ь, интервал 9 представляет собой непрерывный взаимно однозначный образ Ж (теорема 6 из § 46, IX). Следовательно, как компактное пространство, Я’ гомеоморфпо этому интервалу (ср. с теоремой 3 из § 41, III).

Теорема 1'. Если метрический континуум Ж содержит две точки а и Ь, такие, что каждой точке х соответствуют два замкнутых множества Л и В, удовлетворяющих условиям

Ж = АМВ, а^А, Ь^В и AftB = x,

то Я’ — дуга г).

Доказательство. Действительно, каждая точка х 6 Я' — а — b является разделителем.

Замечание. Условия, данные в теоремах 1 и 1', являются не только достаточными, но также н необходимыми для того, чтобы метрический континуум был дугой. Вообще, так как все дуги имеют один и тот же топологический тип, всякое топологическое условие, достаточное для того, чтобы пространство было дугой (и выполняющееся хотя бы для одного пространства), является одновременно и необходимым.

Теорема 2 (Мур)). Если любая пара точек разделяет метрический континуум Ж, то Я' — простая замкнутая кривая.

Доказательство. Покажем, во-первых, что для каждой точки а множество Ж —а связно. Действительно, и противном случае существовали бы два континуума Р и Q, таких, что

Ж-PHQ и PQQ = a.

Следовательно, согласно теореме 5 п. IV, существовали бы две точки р^Р, q^Q, p9=a=p=q, такие, что множества Р—■ р и Q — q связны. Но в этом случае множество

iP-p-q^^P-p^^Q-q^

было бы связно (так как а £ (Р — р) f) (Q — q)) вопреки предположению.

По предположению каждая точка х Ж а есть разделитель множества Ж — а. Согласно теореме 4 из § 46, VIII, среди этих точек х имеется некоторая точка Ь, разделяющая множество Ж —а на два непустых связных отделимых множества Л4 и N. Следовательно,

Ж-а-Ь = М\Ж

*) Ср. Серпинский [2] и [4], Страшевич [1].

Отсюда вытекает, что Af = MUaU6, так как предположение а^М повлекло бы за собой существование разложения (связного) множества Ж — b па два отделимых множества М и N\Ja. Аналогично А = АЦ_аиб.

Покажем, что М и N — две дуги ab.

Предположим, например, что Л1 не является дугой ab. Тогда по теореме 1 существует точка х £ М, такая, что М — х связно. Следует различать два случая в соответствии с тем, является ли N дугой ab или нет.

Если N не является дугой ab, то существует точка yEN, такая, что N — у связно. Но тогда множество

Ж-х-уЦМ-хШК-д)

связно вопреки предположению. ,

Если N — дуга, то каждая точка yEN определяет разбиение множества N на два связных множества ау — у и by —у, что приводит к тому же противоречию, так как множество

Ж -х- у = (М - х) U (ау - у) U (бу - у) связно.

Следующие два утверждения вытекают непосредственно из теоремы 2'.

Теорема 2'. Если каждой паре точек а, b метрического континуума Ж соответствуют два замкнутых множества Л и В, таких, что

Ж = А{) В, А П В = (а, б) и Ач^Ж ^ В, то Ж — простая замкнутая кривая ’).

Теорема 2". Если не существует связного подмножества, разделяющего метрический континуум Ж, то Ж — простая замкнутая кривая ).

Теорема 3. Пусть в компактном метрическом пространстве задана последовательность {С\}, п=1, 2, ..., связных множеств, содержащих точки а и Ь и таких, что каждой точке х Е П Сп соответствует разбиение Сп = Л„ J Вп, удовлетворяющее п

') Полое ограничительное условие, получающееся из теоремы 2' в предположении, что /1 и В — континуумы, принадлежит Янишевскому [1].

следующим условиям:

(0я € At. Ь^Вп, х 6 Л П Вп;

(И)Нт д(Д„ПВ„) = 0;

П->ОО

(Hi)А„+1сА„, Вп+1сВ„;

тогда пересечение П Сп есть дуга ab. п

Болес общо, вместо предположения компактности рассматриваемого пространства можно считать, что оно полно и lim а(Сп) = 0.

Доказательство. Так как С„+1 = Д„+1 U В„+1с Л„ U Вп = Сп, то пересечение П Сп есть континуум (ср. II, замечание к тео- п реме 5) и

ПСп+1 <= пСп влечет за собой П Сп = П С„.пппп

Пусть (для фиксированного х)

л — П Ап, В — п Вп.пп

Покажем, что Л и 8 удовлетворяют теореме 1' /Дели Ж = П С„\ ___\п j

Так как Л„+1 cl Апс Ап, то Л = П Аа, откуда следует, что мно- п

жество А замкнуто. Множество В замкнуто по той же причине. Из включений Ап+1 с Ап и Вп+1 с Вп следует, что

пс„ = п(л„ив„)=-пл„ипв„-лив.

пппп

Наконец, хС ГК^л П В^ = А П В, и так как д(ЛПВ) = 0, то А П В = х.

VI. Разбиение компактных пространств на континуумы.

Теорема 1 ■). Разбиение компактного пространства Ж на компоненты полунепрерывно сверху.

Доказательство. По теореме 3 из § 46, V существует такое непрерывное отображение f пространства Ж в обобщенный канторов дисконтинуум D™, что квазикомпоненты Ж (следовательно, и его компоненты; см. II, теорема 2) совпадают с прообразами точек при отображении /. Так как пространство Ж"

') с;^. Врауэр [3]. См. rqpj^e Цсдеццсов [1].

компактно, то его разбиение на прообразы точек при непрерывном отображении полунепрерывно сверху (по теореме 3 из § 41, III).

Из теоремы 1 вытекают два следствия.

Следствие 2. В разбиении компактного пространства на счетное семейство Сь С2, ... непустых непересекающихся континуумов имеется по крайней мере одно открытое множество Сп ').

Доказательство. Согласно теореме 6а п. III, континуумы Ск являются компонентами пространства, а по теореме 1 указанная выше функция f отображает пространство на счетное замкнутое множество; пусть у — изолированная точка этого множества; тогда f~' (у) — искомый открытый континуум.

Следствие 3. Всякое замкнутое множество F, являющееся объединением семейства компонент компактного метрического пространства, представляет собой пересечение последовательности открыто-замкнутых множеств.

Доказательство. Пусть /: Ж -»^ — рассматривавшееся выше отображение; положим А = ЦР). Тогда

А = А, F = f-1(A) и dimH — O.

Следовательно, в 8” существует (ср. § 26, I, следствие 1Ь)такая последовательность {Gn} открыто-замкнутых множеств, чтод-от^п ....

Поэтому f~'(Grt) открыто-замкнуто и

Д-ГЧ^-Г'^ПГ’^П ....

Теорема 5 п. IV допускает следующее обобщение.

Теорема 4. Если С — собственное связное подмножество метрического континуума Ж, то в множестве Ж — С существует точка, не разделяющая Ж 2).

Доказательство. Так как в случае, когда С = Ж, тео- рема_очевидна (ср. § 46, II, следствие 3 (И)), то предположим, что С #= Ж. Пусть /: Ж- 3/ — такое непрерывное отображение континуума Ж на континуум 2/, что множество f(C) состоит из одной точки у0, а при у ^ уй множество f-1 (у) состоит из одной точки множества Ж — С (ср. § 22, IV, теорема 1). Согласно

теореме 5 из п. IV, существует точка ух + ул, такая, что множество У — tj\ связно. Следовательно, множество ГЧЯ — у^-=' = .Т — рл(ух} также связно.

Сформулируем без доказательства следующее обобщение теоремы 5 и. IV.

Теорема 5. Пусть метрический континуум Я’ представляет собой объединение (по крайней мере двух} связных множеств Ср тогда существуют два индекса tx Ф t2, таких, что множества U Ct и U Ct связны ').

В доказательстве теоремы 7 мы используем следующую теорему ).

Теорема 6. Если D — полунепрерывное разбиение компактного метрического пространства Я", то семейство F компонент элементов разбиения D само является полунепрерывным разбиением.

Доказательство. Пусть Do, Fx, ...—последовательность множеств, являющихся элементами семейства F, такая, что

ТоПЬ1Т„^О.

Мы должны показать, что

Ls Fn с= F,.

Пусть Drt (« ^ 0) — элемент разбиения D, компонентой которого является Fn. Согласно (1), Do Г| Li Drt =^ 0, откуда следует, что Ls Dn ед О0, так как разбиение D полунепрерывно.

Поэтому Ls Fn с. Do. Согласно (1) и теореме 6 из п. II, Ls Fn — континуум. Но так как Fo — компонента множества Do и Ls Fn — подконтинуум множества Во, имеющий общие точки с Fo (согласно (1)), то из этого следует включение (2).

Теорема 7. Всякое непрерывное отображение ] компактного метрического пространства Я" можно представить в виде композиции двух непрерывных отображений к и g

Hx) = gHx}, х^Я',

где отображение к монотонно, а отображение g имеет нульмерные прообразы точек.

Более точно, если к (в соответствии с теоремой 6} —непрерывное отображение, прообразы точек которого суть компоненты

') Эйзенберг [2]. См. также Лелек I1J.

прообразов точек отображения [, то отображение g, определенное равенством

WЦ(!/) = f\/i"' (l/)\, где у^Н^З-

непрерывно и

(1)dim g-' (2) = 0 для z£JVV\

Доказательство. Вначале заметим, что правая часть равенства (3) состоит пз одного элемента, ибо множество h" ' (у) содержится в одном прообразе точки отображения /’.

Отображение g непрерывно, поскольку (ср. § 41, IV, теорема 2) множество

Е [г = g (у)] = Е V [г = f (х)] [х с 1г"' (//)] = /Д ~г х

= Е, V и = / (х)] [// == h (х)],

как проекция замкнутого множества, замкнуто.

Для доказательства соотношения (4) рассмотрим континуум С, такой, что

Ссц-Цгу

Покажем, что континуум С состоит только из одной точки. Из (3) и (5) следует, что

/Г1 (С) сГЧ \lf 1 (С)] = Гб (С) с r'g Iff"' (г)] = Г' (г).

Так как функция h монотонна (по теореме 9 из § 46, I), то множество /г"1 (С) — континуум и, следовательно, подконтинуум компоненты Q в множестве / 1 (z). Так как отображение h постоянно па Q и, следовательно, па If"'^С\ то множество С = h\lf 1 (С)| состоит только из одной точки.

Т о орем а 8. Пусть G — открытое подмножество континуума .F и р — изолированная точка множества Fr(G’). Тоеда р достижима из множества G.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Обозначим через С компоненту точки р в G и положим F = Fr(G) — (р). Так как топка р изолирована в Fr(G), то множество F замкнуто.

Рассмотрим сначала случай, когда СПС^О. Согласно теореме 4 и. III (где мы положим Д’= С, К = (р) и G П F = 0), существует такой континуум С», что СотЦр'Т pGCu^-G — F н, следовательно, Со — (j^cG. Итак, в этом случае точка р достижима из множества G.

13 Зак. 190

Теперь рассмотрим случай, когда С П F = О, т- <?• когда С f] Fr (G) = (р). Остается показать, что СПСт^О (т. е. что С не сводится к точке рй, Обозначим через U объединение всех компонент множества G, имеющих общие точки с F. Так как F замкнуто и разбиение множества G на компоненты (по теореме 1) полунепрерывно сверху, то множество U замкнуто. Поскольку каждая компонента множества G имеет общие точки с Fr(G), а следовательно, с Fr(G) (ибо Fr(G)cFr(G)), то С и и = G.

Отсюда вытекает, что CflG^O, ибо иначе GaU и, следовательно, GclU, а тогда CaU\ но последнее означает, что СПВ^О вопреки нашему предположению.

Это завершает доказательство.

Пространство 2^. Согласно теореме 14 § 46, II, семейство С всех подконтинуумов компактного пространства Д’ замкнуто в пространстве 2®. Имеет место также следующий аналогичный результат:

Теорема 1. Если А и В —два подмножества компактного пространства Ж, то семейство множеств Х^^, связных между множествами А и В, замкнуто.

Доказательство. Множество X не связно между множествами Л и В тогда и только тогда, когда существует открытое множество G, такое, что (ср. § 46, IV, теорема 7)

ЛсС, В (1 G = О и VnFr(G) = 0.

Так как семейство множеств X, удовлетворяющих этим условиям для данного множества G, открыто (ср. с теоремой 1 § 17, II), отсюда непосредственно следует требуемый вывод.

Теорема 2. Пусть F — монотонное семейство замкнутых множеств в компактном метрическом пространстве Ж. Если F — континуум (в 2^), то F — дуга.

Доказательство. Пусть Е — элемент семейства F, М и N— такие подсемейства F, состоящие из множеств X, что

ХсЕ^Х, соответственно ЕсХ^Е.

Предположим, что Е не является ни первым, ни последним элементом F; тогда M=A=0#=N. Более того, семейства (И и N отделимы, так как из условия L = LimX„ следует, что либо П->оо

LcE, либо EcL, в соответствии с тем, выполняется ли включение Хп^М или Xn^N для всех п.

Таким образом, легко видеть, что, за исключением первого и последнего элементов, каждый элемент F есть разделяющая точка. Следовательно, семейство F — дуга в силу теоремы 1 п. V.

Теорема 3. Если Л и С — два {непустых) метрических континуума, таких, что ЛсС#=Л, то существует монотонное семейство континуумов, образующее в пространстве 2е дугу с концами в точках Л и С ').

Доказательство. Сначала покажем, что если 0<es^ sadist (Л, С), то существует континуум ЛР, такой, что

ЛсЛРсС и dist (Л, Лк) = е.

Пусть S — множество таких точек х, что р(х, Л)^е и х^С, и пусть Лр — компонента множества S, содержащая Л; тогда ЛЕ = С в случае, когда е=й1з1(Л, С), и Ле f| {X — S^^O в противном случае (ср. III, теорема 1); по если р £ Ле П {X — S), то р{р, Л) = е и, следовательно, dist(Л, Ле) = е.

В случае, когда dist(Лe, С)>0, поступаем апалЬгичным образом: определим множество ЛР.е, заменяя Л па Ле в определении множества Л, далее определим Ле,е,е и т. д.

После конечного числа шагов обязательно получим континуум, расстояние которого до С не превосходит е, ибо в противном случае существовала бы бесконечная последовательность точек пространства 2е, расстояния которых друг от друга были бы ^е (по это невозможно, так как пространство 2е компактно).

Таким образом, каждому числу е>0 соответствует конечная система континуумов

Вп= Л <= Вх cz В2 cz ... сВп = С,

где dist(B1_I, В^е^г для i=l,..., п. Следовательно, существует монотонное (счетное) семейство D континуумов, такое, что A^D, C^D и для каждой пары Db D2£D и каждого е>0 в В> существует система Во, Вь ..., Вп, такая, что

BQ = Db Bn = D2 и dist(B/_I, В А <6 с.

Поэтому семейство D есть континуум (в 2е, ср. п. I), и его элементы — тоже континуумы (и С).

Следовательно, согласно теореме 2, это семейство — дуга, так как оно монотонно.

С л е д с т в и с 4. Если С — метрический континуум, то каждую пару Л, /1 элементов, принадлежащих 2е, можно соединить дугой в 2е ’).

Волос точно, если Л £ 2е и А=^С, то существует монотонное, семейство замкнутых подмножеств множества С, образующее в пространстве 2'-' дугу с концами Л и С.

Доказательство. Пусть р^.Л. В пространстве 2е существует дуга А с концами в точках р и С (по теореме 3). Семейство В всех множеств Л U X, где X 6 А, монотонно, содержит Л и С и, как непрерывный образ А (ср. § 17,111, следствие 4а), представляет собой континуум п, следовательно, дугу (по теореме 2).

Для того чтобы вывести первую часть теоремы из второй, рассмотрим две дуги: дугу Д), соединяющую Л с С, и дугу Д, соединяющую В с С. Пусть Е — первый элемент дуги А^ (ориентированной от В к С\ принадлежащий Д>; тогда иоддуги Вп дуги Аи и В, дуги А( с концами Л, Е и соответственно В, Е образуют дугу, соединяющую Л с В.

Замечание. Следствие 4 допускает такое обобщение.

Если С — метрический. континуум, то пространство 2е представляет собой непрерывный образ континуума, который получается соединением точки (1/2, 1/2) с каждой точкой канторова множества 'd (ср. § 46, II, замечание)). Заметим, что с 2е ).

Полуконтинуумы. Разрезы пространства.

Определение 1. Пространство, любую пару точек которого можно соединить континуумом, называется полуконги- нуумом.

Объединение всех континуумов, содержащих данную точку р, называется конституантой этой точки. Следовательно, конституанта точки р — это наибольший полукоитинуум, содержащий точку р. Ясно, что два различных полуконтипуума не пересекаются.

Теорема 1. Всякий полуконтинуум связен.

Конституанта точки р содержится в компоненте точки р; поэтому разбиение пространства на конституанты является измельчением его разбиения на компоненты.

Ч Ср. Кох [1).

Теорема 2. Всякий локально компактный {но не компактный) метрический полуконтинуум Я" есть объединение возрастающей {счетной) последовательности континуумов.

Доказательство. Любое локально компактное пространство гомсоморфно некоторому компактному пространству с одной выброшенной точкой (§ 41, X, теорема 5); поэтому мы должны показать, что если С —континуум п р — такай точка С, что С — р — полукоптппуум (гомеоморфный Д/), то существует последовательность континуумов Къ Kt, . . ., удовлетворяющая условиям

C-p = ^lU^2U ■ • • и К\ с К2 cz . . . .

Пусть q^C — p, Slt — открытый шар с центром в точке р диаметра — |q —р| и Кп — компонента точки q в С — 8п. Так как С — р есть полукоитипуум, то каждой точке х £ С — р соответствует континуум Qr, такой, что .v, q С Q.r с С — р, и, следовательно, Qx <= К,г для достаточно больших значений п. Отсюда следует условие (I).

Определение 2. Говорят, что множество разрезает пространство (или является разрезом пространства), если его дополнение не является полуконтинуумом. Говорят, что множество Е разрезает пространство Я" между точками а и Ь, если эти две точки принадлежат двум различным конституантам множества Я'— Е (это означает, что они принадлежат Я' — Е, но их нельзя соединить континуумом вне Е). Говорят, что множество Е неприводимо разрезает пространство Я" между точками а и Ь, если никакое его собственное замкнутое подмножество не разрезает Я" между этими точками.

Ясно, что если Е разделяет пространство между точками а и Ь, то оно разрезает пространство между этими точками.

Обратное неверно. Так, например, замыкание кривой у = sin (l/.v), 0<xs^l, рассматриваемое как пространство, разрезается точкой (0, 0) между точками (0, + 1) и (0, — 1), но не разделяется между этими точками.

Однако открытое множество разделяет компактное пространство между точками а и b тогда и только тогда, когда оно разрезает пространство между ними.

Действительно, всякое компактное пространство, связное между двумя данными точками, содержит континуум, соединяющий их (П> теорема 3 и I, теорема 6),

Теорема 3'). Метрический континуум С представляет собой простую замкнутую кривую, если его не разрезает никакой подконтинуум.

Наследственно разрывные пространства.

Определение. Пространство называется наследственно разрывным («poiietiforme»), если оно не содержит никакого континуума, состоящего более чем из одной точки, иными словами, если всякая конституанта пространства сводится к одной точке.

Очевидно, что всякое наследственно несвязное пространство наследственно разрывно. Для компактных (метрических) пространств следующие понятия совпадают: наследственная разрывность, наследственная несвязность, полная несвязность и нульмерность.

Действительно, всякое пространство положительной размерности связно между двумя пепересекающимися замкнутыми множествами (§ 46, IV, теорема 2) и, следовательно, содержит как компактное пространство континуум, соединяющий эти множества (согласно теореме 3 и. II).

Существуют также наследственно разрывные, связные (полные сепарабельные) пространства'1). Так, например, если # —функция Помпейю (§ 46, VI, (iii)), то множество

С = еЬ/ = ^7М'|

связно по теореме 8 из § 46, I и наследственно разрывно, поскольку производная dg(x)fdx имеет точки разрыва во всяком интервале (и, следовательно, С не может содержать ни дуги, ни континуума, имеющих более одной точки).

Простой пример (полного сепарабельного) пространства, наследственно разрывного и связного, можно построить путем сгущения сингулярности функции, определенной следующим образом: q> (х) = sin (1/х) при х^Он ср (0) — 0. Так, если

ЩО-Ё^—-

где (nJ — последовательность рациональных чисел, то множество Е[// = Ф(х)] связно (по теореме 7 пз § 46,1) и наслед- х. у

ствснно разрывно, так как функция ф разрывна в каждой точке гп 3).

') Доказательство см. Куратовский [5, стр. Н9|.

-) Первый пример пространства такого вида был дан Мазуркевпчем [6]. а) См. Куратовский И Серпинскпп 12, tip. 301>|,

§ 48 *). Неприводимые и неразложимые пространства

Пространство Ж предполагается метрическим сепарабельным.

Определение. Примеры. Общие свойства. Пространство называется неприводимым между точками а и Ь, если оно связно и если эти две точки нельзя соединить никаким замкнутым связным множеством, отличным от всего пространства; другими словами, если пространство неприводимо относительно свойства быть замкнутым связным множеством, содержащим точки а и b ).

Точка а называется точкой неприводимости пространства.

Примеры. 1. Всякий интервал неприводим между своими концами.

Кривая «sin(I/x)», определенная условиями

y = sin(l/x) при 0<|x|s^l и — I ^ у ^ 1 при х = 0, является неприводимым континуумом между точками [— 1, sin( — 1)] и [1, sin 1].

Ес «половина», состоящая из точек с абсциссами ^ О, неприводима между точкой (1, sin 1) и каждой точкой (0, у), где - 1 <У< 1.

2а. Если ф —функция, определенная в § 47, IX (2), то множество

Е [у = ф(х)1 [0^х^ I]

х, II

есть неприводимый континуум.

Кривая г=1+(1/0), 0^1 (г и 0 —полярные координаты), пополненная окружностью r= 1, является неприводимой между точкой г = 2, 0=1 и каждой точкой окружности.

Пусть Со — капторово множество, расположенное па оси х, а С, — то же множество, расположенное па прямой у=1 (плоскости х, у). Соединим каждую точку множества Со с соответствующей точкой множества С, вертикальным отрезком и добавим смежные интервалы к Со длины 1/3, 1/3, ...и смежные интервалы к С1 длины 1/З2, 1/3, ... . Полученный таким образом континуум (на рис. 3 слева) неприводим между каждой точкой с абсциссой 0 и каждой точкой с абсциссой 1.

') Ср. Куратовскип [-1] и [10].

Соединим прямолинейным отрезком каждую точку х интервала 01 па оси х, абсциссу которой можно записать без цифры 1 в системе счисления с основанием -1, с точкой (или с двумя точками) прямой у=1, абсциссу которой можно получить из абсциссы х, заменяя в разложении последней цифру 2 па цифру 1 |). Этот континуум (на рис. 3 справа) неприводим между темп же точками, что и континуум в примере 4.

Рис. 3

Если Ж — континуум, то семейство всех подконтинуумов, содержащих две данные точки а, Ь^Ж, замкнуто в пространстве 2е (ср. § 47, II, теорема 4). Отсюда на основании теоремы I § 42, IV вытекает следующее утверждение:

Теорема I ). Всякий континуум, соединяющий две точки а и Ь, содержит неприводимый между ними континуум.

Пример «левой половины кривой sin (1/х)» (пример 2) с вы- брощеипон точкой (0, 0) показывает, что связное локально компактное пространство допускает отбрасывание подмножеств, неприводимых между двумя данными точками (точки (0, 1) и (0, - 1)).

Теорема 2. Если Ж — континуум и f — непрерывное отображение Ж, такое, что f (Ж) неприводим между двумя точками, то Ж содержит континуум С, неприводимый между двумя точками и такой, что }(С) = }(Ж).

') Этот пример принадлежит Кнастеру. См. также Уилсон [1].

Доказательство. Пусть С — континуум, неприводимый по отношению к свойству / (С) = / (Д') (ср. § 47, IF, теорема 7); если а и b — две такие точки С, что /(Д') неприводим между /(«) и /(/;), то С неприводим между а и Ь.

Теорема 3. Если Д’— неприводимый континуум между точками а и b и f — непрерывное монотонное отображение Д’, то f (Д') — неприводимый континуум между /(zz) и ЦЬ).

Доказательство. Пусть С —континуум, такой, что /(</), /(6)^Сс/(Д/). Поскольку / монотонно, множество /"‘(С) —континуум. Так как а, Ь^Г'^С), то /''(£) = Д' и С =//-I (С) =

Теорема 4'). Если Д — континуум и а —тикая точка Д', что Д" не является объединением двух собственных подконтинуумов, содержащих точку а, то а — точка неприводимости Д’.

Связные подмножества неприводимых пространств. Пусть Д’— неприводимое пространство между точками а и Ь.

Теорема 1. Если С — связное подмножество пространства Д’, соединяющее точки а и Ь, то С неприводимо между а и Ь.

Доказательство. Если /’ — связное подмножество, содержащее точки а и Ь, то F-Д’. Следовательно, если предположить, что F замкнуто в С, т. е. F — F П С, то из этого следует, что F = С.

Теорема 2. Пространство Д’ не является объединением двух замкнутых связных подмножеств Л и В, таких, что а^Л^В и А^Д’^В.

Доказательство. В противном случае од ю из этих множеств содержало бы точку Ь, а потому обе точки а и Ь, по это противоречило бы неприводимости пространства Д’.

Теорема 3. Пусть С —замкнутое связное множество. Если множество Д'— С несвязно, то оно представляет собой объединение двух открытых связных множеств, одно из которых содержит точку а, а другое — точку Ь.

Таким образом, если а^С, то множество Д'— С связно.

*) Доказательство см. Кура товекип [10, стр. 270].

Доказательство. Предположим, что множество Д' —С несвязно; тогда существуют два открытых множества Р и Q, таких, что

a?-c = PUQ, pnQ = o, P^O^Q.

Согласно теореме 4 из § 46, II, множества А = С U Р и В = = С (J Q связны и замкнуты; из этого следует, что

(I) Д’ = ЛиВ, ЛПД = С и А^АГ^В.

Отсюда по теореме 2 а^С. Таким образом, вторая часть теоремы доказана.

В силу соотношений (I) ни множество Л, пи множество В нс могут содержать обе точки а и Ь. Пусть а С А и Ь^В. Поскольку множество Л замкнуто и связно, его дополнение Q, как только что было показано, связно н b С Q- По соображениям симметрии множество Р также связно и и^Р.

Теорема 4. Рели Л и В —два замкнутых связных множества, таких, что а С А и Ь^В, то множество Д' —(Лив) связно.

Доказательство. Можно предположить, что ЛрВ = 0, так как в противном случае ЛиВ = Д'. Множество С = Д' — А связно по теореме 3. Допустим, что

С — В = U (J И, U f) И = 0, U и И открыты.

Мы должны показать, что

либо U = 0, либо V = 0.

Согласно теореме 4 из § 46, II, множества B\jU_ и В U V связны, а потому связны множества B\jU и В ЩИ. Так как

Д' = Л и в и Д' — Л — В и Л п в = о, то

ЛПД'-Л-В^о, т. С. лп^ис^о.

Следовательно, либо ЛП^=^О, либо ЛПП=^0. Предположим, например, что АПР^АО. Тогда множество Л U 0 U В связно. Так как а, b ^(Л U U U В), то из этого следует, что

A (J <7U В = Д', откуда .Т -A-BC.U.

К так как И cz С — В = Д' — Л — В, то V cz U.

Поскольку U П V = 0 и V открыто, отсюда вытекает, что И = 0.

Теорема 5. Если замкнутое множество С связно, то связно и множество lnt(C).

Доказательство. Можно считать, что Ст^.Е и, следовательно, что а^.Е — С. Следует различать два случаи.

Если .Е — С связно, то связно и .Е — С, а так как а ^:Г~ С, то множество Ini (С) = .Е — .Г — С связно по теореме 3.

Если .Е — С нс связно, то .Е — С = Р U Q есть объединение двух связных множеств и а^Р, b^Q. Полагая в теореме 4 Л=Р и B = Q, мы заключаем, что множество Int(C) = = .Е — kF U Q) связно.

Теорема! 6. Если С — замкнутое связное множество и д£Ег(С), то множество С нигде не плотно.

Доказательство. Множество .Е — С связно по теореме 3. Следовательно, если мы положим Л = С и В = If — С, то из теоремы 2 следует, что .Е — С = .Е.

Теорема 7. Если С — замкнутое связное множество и а^С, то множество .Е — С неприводимо между точкой b и каждой точкой множества Ег(С).

В частности, если С нигде не плотно, то пространство .Е неприводимо между точкой Ь и каждой точкой множества С.

Доказательство. Множество .Е — С связно по теореме 3. С другой стороны, если Л — замкнутое связное множество, b^Fd.E — C и F П Ег (С)#0, то множество С \j F связно, откуда вытекает, что С U F = .Е. Поэтому Е — С cz. F и, следовательно, F = Е — с.

Замкнутые связные подобласти. Как и выше, пусть .^’ — пространство, неприводимое между точками а и Ь. Пусть D — семейство всех замкнутых связных областей, содержащих точку а; кроме того, пусть 0 £ D. Напомним, что по определению (ср. § 8, VIII) D — замкнутая область, если

(0)D = Е - Ё^Т).

Теорема 1. Если О + D^D, то D неприводимо между точкой а и каждой точкой Ег(7)). (Последнее множество не пусто, за исключением случая D = E.^

Доказательство. Если В^=.‘Г, то множество Е — D связно и содержит точку Ь. Следовательно, согласно тео-

реме 7 и. II, множество О = ;Г — Э' — П связно между точкой а и каждой точкой множества Fr фГ — D).

Но D — замкнутая область, поэтому Fr фЕ — /)) — Fr (D) (ср. § 8, VIII).

Теорема 2. Семейство D строго монотонно.

Доказательство. Покажем, что

если О|, D2TD и D{ 7^ D2 ф Int(O|), то О, cz Int (О2).

Условие D2 ф Int ( Dv) эквивалентно соотношению D2 0 Ф — D\ 0, а из негоследует, что D2 U :(' — Dt = Ф (ибо Р\ ф Ф и поэтому b^if — Dp таким образом, множество Ф — Dt связно по теореме 3 п. II). Итак,

Ф — Ф — Die. D,, откуда Dv cz D2, согласно (0).

Так как D2 неприводимо между точкой а и каждой точкой множества D2 П Ф — D2 (по теореме 1), то из условия Dv ф D2 следует, что

D, f) Ф — D2 = 0, откуда D{ cz Ini (D2Y

Теорема 3. Семейство D, упорядоченное отношением Dt cz D2 Ф Db не имеет дыр.

Иначе говоря, если семейство D разложено па два подсемейства Dt и D2 так, что каждый элемент из Dx есть подмножество любого элемента из D2, то либо в D2 существует первый элемент, либо в D, — последний элемент. В самом деле, таким элементом будет множество 5, где 5 — объединение всех элементов из Dv (5 — замкнутая область; ср. § 8, VIII).

Сочетая теоремы 2 и 3 с теоремой 2 из § 24, VII, получим следующее утверждение:

Теорема 4. Элементы D семейства D можно снабдить индексами, образующими замкнутое подмножество Jc.H, таким образом, что

[//i < Lli\ [^.vi с ^Фь Ф ОД.

Теорема 5. Пусть Е—семейство {пополненное пустым множеством) всех замкнутых связных областей, содержащих точку Ь. Тогда Е совпадает с семейством множеств Ф — D, где D^D.

В других обозначениях

Е - (Еи), Ну - 7'~=7),„ "Г^Х _ Dn.

Волге общо, сели с —точка неприводимости пространства, то семейство F замкнутых связных областей, содержащих с (пополненное пустым множеством), совпадает либо с D, либо с Е.

Первая часть теоремы очевидна, а вторая часть вытекает из следующего утверждения.

Лемма1). Если пространство Я" неприводимо как между точками а и Ь, так и между точками с и d, то Я’ неприводимо либо между точками а и с, либо между точками b и с.

Доказательство. Предположим, что пространство Я' не является неприводимым пи между точками а и с, пн между точками b и с. Тогда существуют два замкнутых связных множества К и f-, таких, что

сЕКОЕ, а^К, bEU К^Ж^Е

Так как Я' неприводимо между точками с и d, то

d С U‘-К) П (Я' - L) = Я' - (К U L), откуда К U L ^ . Е.

По это противоречит предположению, что пространство Я" неприводимо между а н Ь, так как a, ЬЕ(Е.ШЯ

Замечание. Обозначим через а порядковый тип семейства D (и, следовательно, множества Г); порядковый тип а', обратный к и, есть тип семейства Е. Если | а | — «абсолютное значение а», не зависящее от «знака» порядка (мы условимся, что I « I I а* I), то из теоремы 5 следует, что [ а | однозначно определяется неприводимым пространством (т. е. независимо от выбора его точек неприводимости).

Все пространства в примерах 1—5 п. I имеют один и тот же тип | а |, а именно тип интервала Я'2). Как будет показано в п. VII, каждому подмножеству J = J с. Я соответствует пространство того же типа, что и /.

Пусть

I и — множество таких точек х, что Dy неприводимо между точками а п .V,

]у -- множество таких точек х, что Ен неприводимо между точками b и .г.

') См. Ионеяма [I, теорема 3. стр. 48].

-) Просгр.-иктна этого типа называют также пространствами пша Л.

Теорема 6. Для Dg и Ед выполняются следующие условия;

Рг(Оу) = Рг(Еу)-ОуПЕу = /уП/у;

если ух < z/2, то DU1 П /У1 = 0 = ЕН1 Г) /У1 и DUl П Е!h = 0;

если yv<y2, то /У1Г)/У..= О = /У| П/у, и /у, Г)/У: 0;

если yv<y2<y3, то IgsnJUx = O.

Доказательство. Соотношение (1) —прямое следствие теоремы 1. Условия (2) и (3) следуют из (1).

Согласно (2), Eti2f\JUl = 0, следовательно, /У| с: Д’ — Еу, с Ои;, если у2 < у^, то DU1 П /У) = 0, откуда следует, что /У1 П /у, = 0.

Теорема 7. Д' = U (/у U IyY

У

Иными словами, каждой точке р соответствует замкнутая область, неприводимая либо между точками а и р, либо между точками b и р.

Доказательство. Так как семейство D не имеет дыр, следует рассмотреть два случая в соответствии с тем, существует ли наименьший элемент D^D, такой, что p^D, или существует наибольший элемент D^D, такой, что р£.Д' — В.

В первом случае предположим, что D неприводимо между точками аир; тогда существует такое связное множество С, что

а, р^С, С = СсПГС.

Множество Д' — Д’ — С есть собственное подмножество D (как подмножество С); более того, согласно теоремам 5 и 6 и. II, оно принадлежит семейству D. Поэтому

р £ Д’ - ДС - Д' - С с Д' - С,

откуда следует, что p^Fr(C). Следовательно, множество Д' — С есть замкнутая область, неприводимая между точками b и р (согласно теореме 7 п. II).

Во втором случае предположим, что Е = Д' — Е. Тогда ЕСЕ. По соображениям симметрии можно допустить, что в Е не существует наименьшего множества, содержащего точку р. Поэтому пусть

Е С Е, р^Е^Е^ Е.

Отсюда следует, что

D = Д' — Е с Д' — Е Д= D и потому р^Д’ — E^D,

согласно определению множеств D. Следовательно, p^Fr(F) и F неприводимо между точками b и р.

Следствие1). Если существуют два замкнутых множества, неприводимых между точками а и р, то существует только одно замкнутое множество, неприводимое между точками b и р.

Это следствие вытекает из теоремы 7 в сочетании со следующим утверждением:

Лемма. Если D — замкнутая область, неприводимая между точками а и р, то D является единственным замкнутым множеством, неприводимым между этими точками.

Доказательство. Предположим, что

«, р£.Г = F ф D, откуда F П "Е — D 0.

Так как множество F связно, то связно и множество F U Д' — /), а поскольку I) ^= .Т, отсюда следует, что b^^' — D, а потому F (J .F' — D = Я-. Таким образом,

Ж -D С F, откуда

D = Д' — Д' — D с F и, следовательно, F = D.

Теорема 8. Если У\<у%, то Ои,Г\ ЕИ, = DH1 —Dv, и множество DU1 — Dy, связно.

Доказательство. Имеем

Dy, П Е!(1 = Dy, f) Д D!h = DH1 Dy,, где последнее равенство является следствием включения Dy, с Int(By!).

Действительно, пусть Лсг1п1(В) и В = В. Тогда

Л П Д' - Л с: .D — Л — Д' - В с (Д' - Л) - (Д' - В) = В^Л, откуда

В п Д^ = (Л п Д' - Л) и ((в - Л) ПД'-Л) cz В-Л cz

с В п -^Л = В л д"'"^.

Следовательно, В Л Д' — Л = В — Л.

Так как я —точка неприводимости Dg, (по теореме 1), то из теоремы 3 и. II следует, что Du, —Dy, связно, а потому связно множество Dy, — Du,.

Ч См. Янншевский [2]. Ср. это следствие с примером 3 из п. I.

Слои неприводимого пространства. 11одставпм D вместо F в и. X § 24 п рассмотрим функцию у. Прообразы точек ц*х Щ угон функции назовем слоялш Tt пространства :Г, неприводимого между точками а и Ь.

Согласно теореме 2 из § 24, X,

т^ц-чп- п Dzn п ^,„ о</<|.

Г(/)<г и<.х(П

Слои не зависят от выбора точек неприводимости пространства .V.

Если /) < К и, то Ч' сводится к одному слою (ЛС однослоино\ Если D> Ко, то разбиение па слои дает линейное расслоение (частичное упорядочение) пространства .4" на непустые замкнутые множества.

Теорема 1. Пусть h: ‘V -> У — непрерывное отображение-, если множества 1Г1 (,0^ связны и содержат точку а для всех, за исключением самое большее К», значении t, то каждый прообраз точки при отображении h есть объединение некоторых прообразов точек при отображении у.

Доказательство. Это утверждение представляет co6oii следствие теоремы 4 § 24, X (согласно теореме 2 из § 24, IX и VIII (5), 1Г1 (О/) можно считать замкнутой областью).

Теорема 2. Слои неприводимого континуума являются континуумами.

Доказательство. Если у(/) V-0 и Г(/) ^ 1, то в / имеются две такие последовательности, что

V (О lim иП1 и!L <б ид.(.[ и I (О 1 iin еу, z[L/>z]l\.p

Отсюда (ср. § 24, X, теорема 2) получаем

т.-луж.. и D^nc^D.^^n

Так как но теореме 8 и. Ill DZ(i П EU(t — континуумы, то, согласно теореме 5 § 47, П, континуумом будет и множество Т(.

Если у(/) = 0 или Г(/)=1, то

П Еи = .П или П П. Е

и на основании теоремы 1 л. III и теоремы 5 § 47, II Т( — континуум.

T е о р о м а 3. Разбиение неприводимого континуума на слои является самым мелким аз всех линейных полунепрерывных разбиений на континуумы ]).

Другими словами, если h: бР —> Я — непрерывное отображение на и каждое множество //"'(/), где 0 дД / ^ ], есть континуум, то этот континуум представляет собой объединение некоторых слоев континууми бР.

Д о к а з а т с л ь с т в о. Пусть

//(«Wo, HhHv

Так как пространство бР компактно, множества 1Г (/) связны и, следовательно, отображение /г монотонно, можно применить теорему 4 из § 47, VI. Другими словами, если С —связно, то связно п /г '(С). Поэтому множество h l(ltltt) (соответственно множество h ‘(/Д,), если tv<P) есть континуум. Так какому принадлежат точки а и Ь, он совпадает с пространством хР. Следовательно, можно предположить, что /0 —О и /[ —1.

Пусть 0</<1. Как только что было доказано, множество h '(О/) связно. Болес того, это множество содержит точку а. Применяя теорему 1, мы приходим к требуемому заключению.

Замечания. Согласно теореме 2 из § 24, IX, все слои Ть за исключением (бесконечного) счетного их числа, удовлетворяют условию

Слои такого вида называются слоями кохезни. Слои Tt является слоем кохезин, если / — точка непрерывности обеих функции д-ДО/) и д-Д/!). Однако слон кохезин Tt не обязательно должен быть слоем непрерывности).

Так, например, вертикальный сегмент кривой sin(l/x) (см. и. I, пример 2) является слоем разрыва, будучи в то же время слоем кохезин.

В примере 4 вертикальные сегменты континуума — слои разрыва; те из них, которые содержат концы интервалов, смежных к капторовскому множеству, не являются слоями кохезин.

Легко видеть, что в примере 5 имеется всюду плотное множество индексов /, таких, что Tt не являются слоями кохезии; это слои вида V или Д. Все другие слои представляют собой слои непрерывности.

Кнастер [7] доказал, что существует неприводимые континуум, такой, что 1 = 9 а каждый его слой является слоем непрерывности, содержащим более одной точки.

Однако, как показал Моиз [2], случай, когда все слои являются дугами, невозможен (более сильный результат см. п. V, замечание 3)').

С другой стороны, существует такой континуум, что все слои гомеоморфны (они представляют собой псевдодуги); см. Андерсон [1].

Наконец, напомним, что, согласно следствию 1, § 43, VII, множество таких индексов t, что Tt — слой непрерывности, об- ра мует всюду плотное С^-множество в интервале 9.

Теорема 4. Tt — [J UuVJuY

Доказательство. Пусть у (0 ^У^ Г (О- Тогда I^DyCZ П Dz,

п, согласно теореме 6(2) п. III, для н<у(/)

1и с V - Da с Еи, откуда Д с: Q Е„.

Следовательно, ItJczTt (ср. (1)), и по соображениям симметрии Отсюда получаем

и9и U 1и> Tt.

Так как слои попарно не пересекаются, то это включение в сочетании с теоремой 7 п. III дает и обратное включение.

Теорема 5. д^1 ^t-t) = В^щ-Цщ, Щ~х (Л -/) = Егщ- h- щ- Следовательно, оба эти множества связны (не пересекаются и открыты).

Доказательство. Введем сокращенные обозначения: у (/) = у и Г(/)=Г. По теореме 4 имеем

g~4^-t) = U Д'= U O/J-

t’ < tи < v

Покажем, что

и и,ЛШ = 1\-Ц. и < V

Пусть и<\. По определению у существует такое щ, что !(<щ<Х- Поэтому, согласно теореме 6 (2) п. III,

Д«, 0^ = 0, откуда Ju cz .Т - EU1 cz Du,

н, следовательно,

U и к с DUl.

С другой стороны, О„,П/у = 0, откуда DO| = D„, -/Y с Ov -/у. Таким образом, lu U /„ cz Пу — Ц, и, следовательно,

и (/и U 7И) cz OY —/у.

и<\

Для доказательства обратного включения предположим, что p^Dy — /Y и P^1U\3J„ (ср. с теоремой 4). Покажем, что «<у. Если р^1и, то и # у (так как р^/у) и OY не может быть собственным подмножеством Пи. Следовательно, и<х- Если р£к, то из предположения р^Пу — 1у по теореме 6(1) п. III следует, что р^.к — Ev Так как р £ Еи, то Еу cz Еи Еу, откуда и<\.

Теорема 6. Tt = /Y (/) U (йгюПДую) Uкуу

Доказательство. Положим, как раньше, v(0 = V и Г(/) = Г. Взяв пересечение объединений А’ = OY U Ду и А" = Пу U Дг и используя условия

Dy R Пу = Пу, ЕуПЕу = Еу и ОуПДгсОгЛДу, которые следуют из неравенства у^Г, получим

^ = Оуи(йгПДу)иДг, откуда

= (Ду - /Y) и (/у и Цк П Ду) и /г) и (Дг - 7г).

Элементы этого объединения не пересекаются, так как, согласно теореме 6 (1) п. III,

Пу Г| 7 г cz 7)у Л Дг cz Пу Л Ду cz /Y и

ДгЛ/у<= Дг Л Оу cz £г Л Or cz/г.

По теореме 5 имеем

_ ср _ ^Dy _ /y) и (£,, _ /r)] = /Y и (Ог п Лу) и Jv.

Т соре м а 7. Пусть Л' — континуум и }: Я--> А — непрерывное отображение на. Если все сдои (у), 0 ^ у ^1, — нигде не плотные континуумы, то существует связное множество С, содержащее точно по одной точке из каждого слоя.

Следовательно, если а^С^ '(0) и Л Е С П / ’ (1), то С нс- прнао<)цлги пи отношению к свойству: быть связным множеством, соебиняюи^нм точки а и Ь1).

Неразложимые пространства2).

Определение. Пространство Я' называется неразложимым, если оно связно и не допускает представления в виде объединения двух замкнутых связных множеств, отличных от ЯЕ

Примеры. 1. Простейший пример неразложимого континуума можно построить следующим образом3).

Континуум состоит из

всех полуокружностей с ординатами ^0 с центром (1/2,0), проходящих через каждую точку капторова множества У;

всех полуокружностей с ординатами </0, имеющих для н>1 центр в точке (5/(2 • 3"), 0) и проходящих через каждую точку множества Д, лежащую в интервале 2/3"^л'^1/3" *.

Доказательство того, что построенное множество неразложимо, будет дано в замечании к теореме 8 и. VI.

Если точку ('/а, 7г) выбросить из континуума примера 1, то получится неразложимое пространство (ср. с теоремой 3)4), имеющее следующую особенность. Дуга, соединяющая точку (0, 0) с выброшенной точкой (7э, 7Д насыщена относительно свойства быть замкнутым связным собственным подмножеством (рис. 4 — 5).

Пусть Е — множество чисел интервала Я, которые в системе счислении с основанием 5 можно представить без цифр 1 и 3. Положим

/Д = Е (.V е Е) (2/5"11 < X < 1/5") и Д, = Е [(1 - .г) 6 /Д].

Искомый континуум представляет собой объединение

') Теорема Кнастера [6, стр. 277].

Д Неразложимые континуумы были открыты Брауэром |1 ], который опроверг гипотезу (ШГщф.тпса) о том, что всякая общая Гранина двух плоских областей неразложима. Как мы увидим ниже, они раесматрппаются во многих типологических вопросах. Но поводу применения неразложимых континуумов и теории топологических групи см. Данциг [1], Вьеторпе [4], Хеемерт [ I ].

Кроме Брауэра, примеры неразложимых континуумов были сообщены Данжуа [I] и Иоиеяма [1, стр. 60] (пример принадлежит Ваде).

:|) Это построение принадлежит Кнастеру [1]. Оно получается упрощением построения Яншневского [ 1, стр. 36], которое в свою очередь тесно связано с упомянутым примером Брауэра.

В Ясно, что это пространство гомеоморфно замкнутому плоскому множеству, которое получается из континуума примера I с помощью инверсии с центром в точке (1/2, 1/2). См. Кнастер и Куратовскпй [2, стр. 43, рис. II].

всех полуокружностей с ординатами ^д 0 с центром в точке 7/10 • 5", проходящих через все точки Еп;

всех полуокружностей с ординатами ^0 с центром в точке 1—7/(10-5"), проходящих через все точки /•'„ (/z0) *).

Существенное различие между континуумами примеров 1 и 3 состоит в том, что первый континуум имеет только одну композаиту (в смысле и. VI), содержащую достижимые точки,

Рис. 4-5

тогда как второй континуум — две (одну — композаиту точки 0, а другую — точки 1).

Заме ч а и и е 1). (1) Объединение композаит неразложимого плоского континуума, содержащих достижимую точку, есть множество первой категории в этом континууме.

1) Семейство композаит неразложимого плоского континуума, содержащих более одной достижимой точки, (не более чем) счетно.

Замечание 2. Много примеров неразложимых континуумов можно получить при помощи следующей теоремы):

Всякое компактное пространство размерности ^ 2 содержит неразложимый континуум.

Замечание 3. Всякий неприводимый континуум, такой, что I-= У и каждый слой есть слой непрерывности (содержащий более одной точки; ср. IV, замечания), содержит неразложимые континуумы).

') Этот пример также принадлежит В. Кнастеру.

а м е ч а и и е 4. Существуют наследственно неразложимые континуумы, т. е. континуумы, всякий подконтинуум которых неразложим ').

Болес того), в пространстве всех подконтинуумов квадрата Ц- множество всех наследственно неразложимых континуумов есть всюду плотное Сумножество и, следовательно, остаточное множество.

Этот факт кажется весьма удивительным: среди подконтинуумов квадрат;! наиболее сингулярные континуумы наиболее часты.

Ясно, что наследственно неразложимый континуум не содержит дуг).

Замечание 5. Тот факт, что в пространстве всех подконтинуумов компактного пространства неразложимые пли наследственно неразложимые континуумы образуют О6-множество, следует непосредственно из их определений (ср. § 17, IV, теорема 1; § 17, 111, следствие 4а; §41, VI):

{С разложим}у (С = К U С ^ L),

К, L

(С не является наследственно неразложимым} =

= V (К С)(К разложим), к

где С, К и L — элементы пространства континуумов.

Теорема 1. Никакое замкнутое связное подмножество С неразложимого пространства не является его разделителем.

Доказательство. Если

н; - С = М U N, M^O^N, MV\N- О,

где 44 и N — открытые множества, то множества С U 44 и С II N замкнуты и связны, поэтому (ср. § 46, II, теорема 4)

r = (CUM)U(CU^, GUM^^^CUN.

Теорема 2. Связное пространство ^ неразложимо тогда и только тогда, когда всякое связное подмножество либо всюду плотно, либо нигде не плотно, или тогда и только тогда, когда всякое замкнутое связное собственное подмножество нигде не плотно.

Доказательство. Предположим, что Я" = A U В, где А и В — замкнутые связные множества, такие, что А^.Г^В. Следовательно, ни множество А, ни множество В не являются нигде не плотными (или всюду плотными).

Обратно, пусть С — связное множество, которое нс является ни всюду плотным, пи нигде не плотным, т. е. С^ЛЕ^Я' — С. Так как множество Я'— С связно (по теореме 1), то пространство Я' разложимо, ибо Я' = С\ЗЯ — С.

Теорема 3. Всякое всюду плотное связное подмножество неразложимого пространства неразложимо.

Доказательство. Пусть С — всюду плотное связное множество, и пусть D — связное подмножество множества С. Согласно теореме 2, нам нужно доказать, что /) либо всюду плотно, либо нигде не плотно в С. По D по теореме 2 либо всюду плотно, либо нигде не плотно в пространстве (т. о. в С), поэтому требуемое заключение следует из теорем 2 и 4 § 8, VI.

Теорема 4. Если ЯЛ — континуум и f —такое непрерывное отображение Я', что ЦЯ"') неразложимо, то Я" содержит неразложимый подконтинуум.

Таким является каждый континуум, неприводимый относительно условия ЦС^^Я'У

Доказательство. Если А и В —два подконтинуума С, такие, что

А ^ С ^ В и С = A U В, то

fM)^f(C)^f(B) и f(C) = f(A)Uf(B).

VI. Композанты.

Определение. Множество С всех точек пространства Д’, которые можно соединить с точкой р замкнутым связным собственным подмножеством пространства Я", называется компо- зантой •) точки р.

Примеры и замечания. 1. Композанты несвязного пространства совпадают с его компонентами (ср. § 46, III).

Если пространство ЯЛ связно, то множество ЯЛ — С совпадает с множеством точек х, таких, что пространство неприводимо между точками р и х.

Если пространство связно, по р нс является пн одной из сто точек неприводимости, то C^-.V.

Таким образом, очевидно, что понятие композаиты точки р не представляет никакого интереса, за исключением того случая, когда р — точка неприводимости пространства.

Легко доказать (Куратовскип [5]), что комиозаита точки О в примере 1 и. V состоит из бесконечной последовательности полуокружностей, проходящих через концы интервалов, смежных к Й”. Эта комиозаита представляет собой взаимно однозначный непрерывный образ полупрямой х^О. Все другие композаиты этого континуума — взаимно однозначные непрерывные обра им всей прямой.

Семейство композапт данного континуума строго транзитивно в смысле категории), т. е. если множество, обладающее свойством Бэра, есть объединение некоторых композапт, то либо это множество, либо его дополнение (по отношению к континууму, рассматриваемому как пространство) является множеством первой категории).

Теорема 1. Если С — комиозаита точки р, то существует последовательность замкнутых связных множеств К\, Кг, •••, такая, что

С^КШ^и .... Р^Кп, Кп^А\

Д о к а з а т е л в с т в о. Пусть Rx, R2, . .. — элементы открытой базы пространства, которые не содержат точки р. Пусть Кп — комиозаита точки р в множестве А' — Rn. Тогда

Р^Ки = Кп^А-", следовательно, Кп^С и К\ U Kt U ... сС.

Обратно, если х£С и Q — замкнутое связное множество, такое, что р, xf^Q^ А", то существует множество Rn, не пересекающееся с Q. Следовательно, QczA’ — Rn, откуда QczKn и хЕКп; наконец, Ccz/^UftsU ...

Т е о р е м а 2. Если комиозаита С не является всюду плотной, то она замкнута. Поэтому она насыщена относительно свойства быть замкнутым связным собственным подмножеством пространства.

Следовательно (ср. § 47, III, теорема 5), всякая комиозаита континуума есть всюду плотное множество.

До к а з а т е л ь с т в о. Предположим, что С + А’; тогда СсС, так как С — замкнутое связное собственное подмножество пространства.

Заме ч а и и я. 1. Пример 2 п. V показывает, что существуют множества, удовлетворяющие условиям теоремы 2.

2. Существование множества, насыщенного относительно свойств, указанных в теореме 2, тесно связано с существованием неразложимых подмножеств. Имеют место следующие две теоремы ’):

Теорема 2'. Если в связном пространстве ,Т подмножество S насыщено относительно свойства быть замкнутым связным собственным, подмножеством пространства .4', то множество .4—S неразложимо.

Теорема 2". Всякое связное пространство, содержащее два непересекающихся множества, насыщенных относительно указанных выше свойств, неразложимо.

Теорема 3. Если С — композанта континуума ‘Г, то множество :Е — С связно.

Доказательство. Можно предположить, что пространство Д’ неприводимо между точками а и b и что С — компо- запта точки а (ср. пример и замечание 1). Пусть

ж-с^муж млм-о = млм, ь^м.

Покажем, что N = 0.

Так как множества М п N отделимы, то (ср. § 14, V, теорема Г) существует открытое множество G, такое, что

^MczG и G П А7 = 0, откуда (6 - G) Л (М U М) - 0.

Пусть К — композанта точки b в G. Предположим, что М =# 0 п, следовательно, G + Л', тогда К — G ^ 0 (согласно теореме 2 из § 47, III). Пусть

pEK — G; тогда р С G — G с .Т — (М U М) = С, согласно (3) и (2). Таким образом, существует континуум Р, такой, что а, р£Рс.С. Так как Ь, р^К, то множество К U Р — континуум, соединяющий точки а и Ь; отсюда

К\}Р=Ж и потому Nc^KUP.

Так как М с: G, то, согласно (3), N Л К с N П G = 0, а так как РаС, то на основании (2) имеет место соотношение N П /' с с N Л С = 0. Следовательно, N = 0.

По теореме 2 дополнение композанты континуума всегда есть граничное множество. В связи с этим сформулируем следующую теорему:

Теорема 4. Пусть С — комнозанта континуума Ж. Если Ж — С не является граничным множеством, то оно есть неразложимая область.

Доказательство. Предположим, как раньше, что пространство Я’ неприводимо между точками а и b и что С — ком- позанта точки а.

Пусть Q = Я" — Я" — С. Предположим, что Я' — С не является граничным множеством, т. е. Q^= Я".

Так как множество Я- — С представляет собой континуум, содержащий точку b (по теореме 3), то множество Q — также континуум (согласно теореме 3 п. II). Отсюда следует, что QcC. В самом деле, если мы предположим, что Q ^ 0 и, следовательно, что Ж — С=#Я", то а £ Я" — Я' — С с: Q (так как Ж неприводимо между точками а и й) и QcC, поскольку Q ^Ж. Отсюда вытекает, что Я' — С а Ж — Q и

Я" -СстЖ -(^ = Ж - Я’ - Я' -Сс Ж - С, и потому

Ж-C = Ж-Q.

Это показывает, что .7" — С — замкнутая область.

Предположим, что множество Ж —С разложимо. Пусть М п N — два континуума, таких, что

Ж - С -MUN п 4И Ж —С V= N.

Тогда

М — С 0 + N — С.

Действительно, из равенства N — С = 0 следует включение Я" — С с Я-’ — N; следовательно, согласно (5),

Ж — С с Я" — С — N с: М, а потому Ж — С с М вопреки неравенству (5).

Рассмотрим два случая в соответствии с тем, будет ли Q = 0 или Q 5^ 0. В первом случае Ж — С = Ж = М U N. Пусть а £ М. Но тогда из (6) следует, что М = Ж, что противоречит неравенству (5).

Теперь рассмотрим второй случаи. В этом случае, как мы уже показали, a£Q. Поскольку пространство связно, из равенства

ж = ж -ж - с и ж - с = q и м и n

(ср. (5)) следует, что Q П (М U А) ^ 0. Можно предположить, что Q П М ^ 0. Поэтому множество Q U М есть континуум, соединяющий точку а с некоторой точкой множества М — С (согласно (6)). Следовательно,

Q UAf = .^, т. е. Ж—QczM, и потому Ж — QcM,

а из равенств (4) и (5) следует, что Ж — С = М вопреки неравенству (5).

Теорема 5. Композанты неразложимого пространства попарно не пересекаются.

Доказательство. Пусть Р — ком поза ита точки р, a Q — композанта точки q. Предположим, что а С Р A Q и b^P — Q. Таким образом, существуют три замкнутых связных множества Л, В и С, таких, что

р, а С Л ^ Ж, р, b С В # Ж, q, а^С + Ж.

Следовательно, Л U В U С — замкнутое связное множество, соединяющее точку b с точкой q. Отсюда

Л U В U С = Ж.

Из этого следует, что пространство разложимо. Этот вывод очевиден, если ЛАВ = Ж; с другой стороны, если Л А В + Ж, то из соотношения Ж = (ЛАВ)АС следует искомое разложение.

Из теоремы 1 в сочетании с теоремой 2 п. V вытекает следующая теорема:

Теорема 6. Всякая композанта неразложимого пространства есть Fa-множество первой категории ).

Нижеследующая теорема вытекает из теоремы Бэра.

Теорема 7. Всякое полное неразложимое пространство содержит (бесконечное) счетное множество композант.

Каждая точка этого пространства есть точка неприводимости.

Более точно, множество точек х, таких, что пространство неприводимо между точками а и х, есть всюду плотное Gy множ ест во.

Замечания. (!) Первую часть теоремы 7 можно усилить следующим образом:

Во всяком неразложимом континууме существует совершенное множество (мощности с), содержащее не более одной точки из каждой композанты').

Из теоремы 7 вытекает следующее утверждение:

Теорема 7'. Полное связное пространство -В неразложимо тогда и только тогда, когда Я" содержит три точки а, b и с, между любой парой которых оно неприводимо, или, эквивалентно, если любая точка пространства Я’ есть точка неприводимости.

Доказательство. Необходимость этого условия следует из того факта, что пространство содержит ио крайней мере три композанты. Для доказательства достаточности предположим, что К и L замкнуты, связны и

Я? = КиВ, k^.v^l.

Если а, b и с —любые три точки пространства Я’, то либо К, либо L (либо оба) содержат две из этих точек. Таким образом, пространство .7/ не является неприводимым между ними.

Теорема 8. Всякое связное пространство, содержащее композиту, являющуюся граничным множеством, неразложимо.

Следовательно (ср. с теоремой 7), полное связное пространство неразложимо тогда и только тогда, когда оно содержит композиту, являющуюся граничным множеством.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть р — точка, композанта которой Р есть граничное множество, т. е. Я' — Р = Я". Если пространство разложимо, то

.7’ = HUB, А В,

где Л п В замкнуты и связны.

Пусть р^Л. Тогда ЛсгР, откуда

.t’-Pc.f-AcB, и поэтому Я' — Я" — РаВ, что противоречит неравенству В^РЯ".

Замечание. Из теоремы 8 в сочетании с замечанием 2 (стр. 216) вытекает, что континуум из примера 1 п. V является неразложимым.

Теорема 9. Континуум .7", неприводимый, между точками а и Ь, неразложим, тогда и только тогда, когда он содержит

*) См. Мазурксвич [13],

полуконтинуум S, являющийся всюду плотны.м граничным множеством, содержащим точку а ').

Доказательство. Пусть S — композапта точки а. Ясно, что сформулированное условие необходимо (ср. с теоремами 2 и б).

Для доказательства достаточности нужно (согласно теореме 8) только показать, что композапта С точки b есть граничное множество, или что С fl Д’ = 0 (так как S всюду плотно).

По если CH'S^O, то существуют два континуума К и Л, таких, что

a ^KczS, b С LcC п Д' П 7^0.

Так как пространство неприводимо между точками а и Ь, то из этого вытекает, что

К U /■ = .7’, следовательно, Д’-^сТ-Д'с/, и Д' —Ser/..

По предположению Д’ — S = Д', следовательно, L = .E, а так как LciC, то из этого следует, что а £ С. По это противоречит предположению, что Д' неприводимо между точками и н Ь.

VII. Неразложимые подмножества неприводимых пространств.

Теорема 1. Если С — неразложимое замкнутое подмножество пространства В", неприводимого между точками, а и Ь, то С — либо замкнутая область, либо нигде не плотное множество. В первом случае (если С ^ 0) в семействе D (рассмотренном в и. III) имеется такое множество 1), что I) и В\дС образуют скачок.

Дока з а т е л ь с т в о. По теореме 5 и. 11 множество Л ^= .7" — —/Г — С связно. Поэтому, согласно теореме 2 п. V, множество Л либо всюду плотно, либо нигде не плотно в С.

В первом случае .Е — .Е — С = С, а это означает, что С — замкнутая область.

Во втором случае множество Л нигде не плотно (в Д’), а потому оно пусто (как открытое множество), следовательно, Я^С^жЕ.

Теперь рассмотрим вторую часть теоремы. Пусть С — неразложимая непустая замкнутая область. Если С = Д', то достаточно предположить, что D = 0. Поэтому пусть С + .Е. Тогда .’гыбо а^.Е —С, либо 6 £.7’ — С. По соображениям симметрии можно предположить, что а £ 6Е — С. Согласно теореме 3 и. II,

множество Ж — С состоит из двух замкнутых связных областей, одна из которых, скажем D, содержит точку а, а другая либо пуста, либо содержит точку Ь. Так как D П С ф 0, то множество D U С связно и принадлежит D (ибо оно является замкнутой областью; ср. § 8, VIII). Пусть

D*£D, DaD’ciDUC.

Покажем, что либо D* = D, либо D* = D(}C.

Согласно теореме 1 п. III, « — точка неприводимости множества D*. Следовательно, по теореме 3 п. II множество D" — D связно. Так как D* — D — замкнутая область относительно множества D*, которое само представляет собой замкнутую область, то D* — D — замкнутая область (ср. § 8, VIII). Поэтому D* — D как подмножество С является его связной п относительно замкнутой подобластью. Поскольку С неразложимо, то из теоремы 2 п. V следует, что либо D* — D = 0, либо D‘ — D = С. В первом случае D* = D, а во втором

D (J С = D U D* — D с D U D* = D’, следовательно, D‘ = D\JC.

Обратно, имеет место следующая

Теорема 2. Если элементы Dy, и Dyi семейства D образуют скачок, то множество Du, — Dy, неразложимо.

Доказательство. По теореме I п. III и теореме 3 п. II множество Dyi —Dy, связно. Пусть А и В —два замкнутых связных множества, таких, что Dy, — Dy, = Л U В. Покажем, что одно из них совпадает с Dy, — Dlh.

Пусть Л* — Ж — Ж — Л и В* = Ж — Ж — В. По теореме 5 и. II множества Л* и В* связны. Более того, множество Л\3 В = = Dy, — Dy, есть замкнутая область (как замкнутая область, относительно замкнутая в замкнутой области Dy,),

Л (J В = Ж - Ж - (Л О),

откуда (ср. § 8, VII (I))

Л* U В* = Л U В = D„, - D„,.

Если Dy, =/= 0, то либо D,h П Л* ^ 0, либо Dy, П В* ^ 0. Можно предположить, что имеет место первое неравенство. Следовательно, (Dy, U Л*) Е В. Это же включение выполняется при условии, что Dy, = 6, а А* означает то из множеств Л* и В*, которое содержит точку а.

По предположению

либо Dti, U Л* = ОЦ1, либо Dn, U А* = Dy,.

В первом случае

Dy. = D,b U DU1 - DUx = DU1 UA’UB’ = DH1 U B*.

Следовательно,

Dy, — DU1 с: В* с: В, и потому Dg, — D„x = B.

Во втором случае

DV1 - DUx с A’ cA, откуда D01 - DHl = A.

Из теорем l и 2 вытекает следующая

Теорема 3. Семейство D имеет порядковый тип интервала тогда и только тогда, когда рассматриваемое неприводимое пространство не содержит замкнутого неразложимого подмножества, не являющегося граничным множеством.

Замечание. Если F —замкнутое подмножество 9, содержащее точки 0 и 1, то существует неприводимый между точками 0 и 1 континуум, для которого J = F (другими словами, такой, что D подобно F).

Действительно, необходимо только заменить каждый интервал, смежный к F, континуумом из примера 3 п. V, подходящим образом уменьшенным и имеющим тс же концы, что и соответствующий интервал.

В частности, для всякого непустого неразложимого континуума пара (0, 1) совпадает с множеством J.

Теорема 4. Слои континуума Я’, неприводимого между точками а и Ь, совпадают с множествами, насыщенными относительно свойства быть континуумом, являющимся объединением (конечной или бесконечной) последовательности нигде не плотных континуумов и неразложимых континуумов.

Доказательство. Пусть / — непрерывное монотонное отображение, такое, что f(9') = 9. Пусть С — нигде не плотный континуум, Я' — С = Ж. Покажем, во-первых, что /(С) состоит из одной точки.

Предположим, что f(C) = a$, где 0^а<р^1. Множества Д'(Оа) и /-|(Р1) —континуумы (ср. § 47, VI, теорема 4), один из которых содержит точку а, а другой —точку b и которые имеют общие точки с С; поэтому

f-|(Oa)UCUr‘(pi) = .^, откуда Ж - С с Г' (Oa) U Г' (Р1): следовательно, ,Д — С с/-| (Oa) U/~* (РО. и так как Я' — С = Я', то отсюда мы получаем, наконец, что Ж = /-| (Oa) U/' (РО; это противоречит формуле f(9’) = 9.

Таким образом, /(С) состоит только из одной точки, и Ц8)=Цр) при условии, что 5 —полуконтииуум и объединение последовательности нигде не плотных континуумов. Так как каждый неразложимый континуум К по теоремам 1 и 6 и. VI является замыканием некоторого полуконтинуума S такого вида, то отсюда следует, что )UO”kpY Наконец, из итого вытекает, что если Q — континуум, являющийся об'ьединением последовательности нигде не плотных континуумов и неразложимых континуумов, то PQ) также состоит только из одной точки; другими словами, Q содержится в одном слое (теперь необходимо только подставить функцию g из и. IV вместо функции IV

Обратно, согласно теореме 4 и. IV,

7’т = U (^ U V == U (4 U 4),

где // пробегает (счетное) множество индексов, такюс, что y^J и хП) <YjJ ^СЛ'VY Гак как каждое из множеств /у и /у есть либо нигде не плотный континуум, либо неразложимы., континуум (ср. с теоремой 4 и. VI), то слой Т( является объединением последовательности нигде не плотных континуумов и неразложимых континуумов. А так как каждое множество такого вида, как мы показали, содержится в одном слое и слои попарно не пересекаются, то из этого следует, что слой насыщен относительно указанных свойств.

Теорема 5. Слои неприводимого континуума, имеющего порядковый тип интервала, совпадают с нигде, не плотными насыщенными континуумами *) (т. е. с нигде не плотными континуумами, нс являющимися собственными подконтинуумами никаких других нигде не плотных континуумов).

Доказательство. Всякий нигде не плотный континуум (как мы только что показали) содержится в одном слое. С другой стороны, так как пространство не содержит никакого неразложимого континуума, не являющегося нигде не плотным множеством, то каждый слой по теореме 4 представляет собой объединение последовательности нигде не плотных континуумов; таким образом, он и сам является нигде не плотным континуумом.

Теорема 6. Всякий неприводимый между двумя точками континуум, который не содержит никакого нигде не плотного

') Многие спойства нигде не плотных насыщенных континуумов изложены в статье Куратовскиго [10, § 2].

подконтинуума {состоящего более чем из одной точки), является дугой ').

Доказательство. Рассматриваемый континуум нс содержит никакого неразложимого подконтинуума (состоящего более чем из одной точки), потому что всякий неразложимый континуум имеет нигде не плотный подконтинуум (состоящий более чем из одной точки; ср. с теоремой 2 п. V). Следовательно, согласно теоремам 3 и 5, слои представляют собой нигде не плотные подконтинуумы, т. е. отдельные точки. Поэтому функция g (из п. IV) есть гомеоморфизм.

Теорема 7 ). Всякое дискогерентное разложимое пространство Ж, неприводимое между точками а0 и ах, представляет собой объединение двух неразложимых множеств Ло и Ль таких, что

Ло = Ж - А, и АХ = Ж — ЛО.

Доказательство. В соответствии с теоремой 2 из § 46, X пусть Ло и Л| —два связных множества, удовлетворяющих условию (1) и таких, что Ло¥= Ж ^ Л,. Пусть «оЕ^о и а^Л]. Предположим, что

Л^ВоОВ], BoV=Ax^=Bx, где Во и В, —замкнутые связные множества. Пусть ах£Вх. По теореме 1 из § 46, X множество Я' — Во связно. Но

Д — So — Ло — Bq U Л, Во = Лд — Bq U Bi — Во и

Ло — Во =Л= О =Л= В] — Во, следовательно,

О Ло — Во П Вх — Во с: Ло П В].

Поэтому множество ЛоиВ] связно, атак как «оЕ^о и ах£Вх, то Ло11В| = .^', т. е. Ж—Аос;Вх, и поэтому Ах = Ж — Ло с: Вь вопреки неравенству АХА В;.

Пространства, неприводимо связные между множествами А и В. Пространство Ж называется неприводимо связным между множествами А и В, если оно связно между Л и В,

') Теорема Янишевского (1]. См. также § 47, V, теорема 1. Ср. Хол- лет [[].

но никакое подмножество вида Д'U Л U й ни для какого F = = F =# Ж не является связным между Л и В, другими словами, если пространство неприводимо относительно свойства быть замкнутым множеством X, таким, что X U Л U В связно между А и В.

Теорема 1. Если пространство Ж неприводимо связно между А и В, то множества А и В отделимы и не пусты, а пространство Ж связно.

Следовательно, если Л =# 0 #= В, то связность пространства Ж между А и В можно заменить в определении просто связностью.

Доказательство. Мы должны показать, что пространство связно, так как остальная часть теоремы есть прямое следствие § 46, IV, 1а. Предположим, что

^■ = .440U^b МоПА^-О, М^М^Ж, где /-0,1.

Последнее неравенство вытекает из предположения, что множество Af/LMU6 не является связным между А и В, и поэтому М[ не является связным между Л Q Af / и ЙПА1/. Отсюда вытекает, что

Mi-PjUQi, Pt^Pj,Q^Qh P/GQ/^O, ЛПР/ = 0=5П<2/.

Предположим, что Р —Poll Pi и Q = QollQi- Тогда

Ж-PUQ, Р = Р, Q = Q, PGQ = 0 и У1ПР = 0-йЛ9,

а это означает, что пространство не связно между Лий.

Теорема 2. Пространство, неприводимо связное между множествами А и В, неприводимо между любой парой точек а^А, Ь^В.

Доказательство. Если С — замкнутое связное множество, такое, что а, Ь^С, то множество С U A U В, очевидно, связно между Лий; следовательно, С = Ж.

Замечание. Обратная теорема, вообще говоря, неверна (она имеет место в компактных пространствах; ср. с теоремой 2 п. IX).-

Для того чтобы доказать это, рассмотрим пример 2 п. V. Построенное там пространство неприводимо между точками а = (0, 0) и 6 —(1, 0). Тем не менее оно не является неприводимо связным между этими точками, так как последовательность полуокружностей с центром (1/2, 0), проходящих через точки (З-", О), где п = 0, 1, ... (при п = 0 точка (1/2, 1/2) полу-

окружности выбрасывается), образуют замкнутое множество, связное между точками а и Ь.

Теорема 3. Если пространство неприводимо связно между Л и В, то оно также неприводимо связно между любой парой Ль Вх, где 0 =# At с А и 0 =# В[ с В.

Доказательство. Так как Ai =А б ч^ В; и пространство связно, то оно связно между А, и Bt; с другой стороны, если F U A U В не связно между А и В, то F U At U Sj также не связно между At и S|.

Теорема 4. Если пространство Ж неприводимо связно между А и Во — Во, а также между А и Bi = Bt, то Ж неприводимо связно между А и SoUSi-

Доказательство. Согласно теореме 1а из § 46, IV, пространство Д'связно между А и ВоОВДтак как BqCiBoUBi). С другой стороны, пусть F = F ^ Ж. Тогда множество F U A U Bj, / — О, 1, не связно между А и В/ и поэтому отлично от Ж; таким образом, F\}Bj=# Ж. Из этого вытекает, что множество ^F U Bq) U A U В\ не связно пи между А и В,, ни между А и Во (по соображениям симметрии); следовательно, согласно теореме 3 из § 46, IV, это множество не связно также между А и BoUBp

Теорема 5. Если пространство Ж неприводимо связно между замкнутыми множествами А и В, то множество Ж — (Л U В) связно и всюду плотно в Ж.

Доказательство. Предположим, что множество Д’ —(ЛОВ) не связно. Пусть G и Н — два открытых множества, таких, что

.г-(лив)=сид, опд = о, G^O^H.

Так как множество G\} А\3 В = Ж — Н ^ Ж замкнуто, то оно не связно между Л и В. Отсюда следует, что

GIJ4UB = PUQ, O = pnQ = ЛПВ = ВПО,дилив = 1ги/, o = ivnz = nnr = Bnz,где множества Р, Q, W и Z замкнуты.

Следовательно, Ж = (Р U И7) U (Q U Z) есть разложение пространства на два замкнутых пепересекающихся множества, ибо рп/ = [р(ШП д)]и[вл(гпл)] =

Ч(РПС)Г1(гпя)]иКРП0)А(гпю]~о,

причем одно из них содержит множество В, а другое — множество А. Так как пространство связно, то из соотношении

Ж = A U ^'-(ЛиВ) UB и А П В = О следует, что

А П.^-(4UВ) 0 #= В ПГДАЦВ).

Поскольку множество Ж — (Л U В) связно, множество Ж — (Л U В) U A U В связно между А и В. Отсюда по предположению следует, что

Ж — ^1)8) = Ж.

Теорема 6. Если два замкнутых множества Ej, j = 0, 1, неприводимо связны между множествами Aj — Aj и ВОПВЬ то объединение Ей\дЕх неприводимо связно между Ло и Л,1).

Доказательство. Так как множество BoUBi связно, то достаточно показать, что для любого данного множества

B-BcBqUB^B

множество В U Ло U Л] не связно между Ло и Л,.

Но из условия B^BoUBi следует, что либо Е^Ео#=Ео, либо BPB1^Bi- Предположим, что В Р Во #= Во; тогда множество (В П Во) U Ло U (Во П Bi) не связно между Ло и В0П Вь т. е.

(ВПВо)и Лои(ВоПВ1) = М 1Ж М = М, N = N,О = МПМ = МПВ! = /УПЛо.

Отсюда следует, что

В U Ло U At - (В П Во) U Ло U (В П В,) U At с М U (N U В,), где М П (А/ U В,) = 0, AqczM (так как ЛоП^ = О) и Л^УРВ,. Эти соотношения показывают, что множество ВОЛоКЛ] не связно между Ло и Лр

Неприводимо связные компактные пространства.

Теорема 1. Всякое компактное пространство, связное между двумя замкнутыми не пере се кающимися множествами А и В, содержит замкнутое множество С, неприводимо связное между множествами С П А и С Р В.

Доказательство. Согласно теореме 1 из § 47, VII, семейство замкнутых множеств В, связных между множествами Л и В, замкнуто. Замкнуто также и семейство F замкнутых

■) Ср. Клайн [3, стр, 315),

множеств X, таких, что множество X U Д U В связно между Д и В, ибо X (J A U В — непрерывная функция переменного X (ср. § 17, III, следствие 4а).

Пусть С — неприводимый элемент семейства F. Тогда С связно между С П А и СП В, так как в противном случае

С = ЛЮ, СПЛсЛ1 = М, CUBclN = N, M(\N = O, и разложение

с ил и вим) и (вило

на два замкнутых пепересекающихся множества противоречит соотношению C^F.

Кроме того, если Н = Н с: С ¥= Н, то множество Н U (С П Л) U U (СП В) не связно между СПЛ и С П В, так как И U Л (J В не связно между Д и В.

Теорема 2. Компактное пространство Ж неприводимо связно между двумя замкнутыми непересекающимися множествами А и В тогда и только тогда, когда Ж неприводимо между любой парой точек а, Ь, где а Е А и Ь£В.

Доказательство. Согласно теоремам 1 и 2 п. VIII, достаточно показать, что если пространство Ж неприводимо между любой парой точек а^Л и b£B, а С — замкнуто и неприводимо связно между ЛРС и В Р С, то С —Ж.

Пусть «ЕЛ ПС и^ЕВПС. Так как множество С замкнуто, связно (согласно теореме 1 п. VIII) и соединяет точку а с точкой Ь, то С = Ж.

Теорема 3. Если неразложимый континуум Ж неприводимо связен между двумя замкнутыми множествами До и Д^ то существует композанта С, такая, что С Р (Ло U Др = 0.

Доказательство. Пусть Во, Bi, ... — база континуума Ж, и пусть Sjn, j = 0, 1, есть объединение компонент множества Ж — Rn, пересекающихся с множеством Ду. Объединение

S^S/oUS^U ...

совпадает с объединением композант пространства, пересекающихся с множеством Ар действительно, если К —такой континуум, что ВРЛу^О и К ^= Ж, то существует такое число п, что Kd'-Pn и, следовательно, К SinGL Sj,

Таким образом, достаточно показать, что Sy — множество первой категории, или, так как Sу есть Во-множество (согласно (1)), что Sy — граничное множество, т. е.

Ж-Sj = Ж.

Но каждая композанта, содержащаяся в S]_;, всюду плотна в пространстве (ср. VI, теорема 2), поэтому

sH-.r.

Так как пространство Ж неприводимо между любой парой точек ао€^о> й^Ль то из этого следует, что

•5оП5] = О, значит, S\_jC.SC — Sj, откуда S|_yC^" —Sy, а это на основании (3) дает (2).

Теорема 4. Если Eq и Ех — два неразложимых континуума и Ай и Ах —два замкнутых множества, таких, что ЕОПЁХ = = A0\J Ах и Еj (где / = 0, 1) неприводимо связны между множествами Ло и Ль то объединение Eq\3Ex неприводимо между двумя точками.

Доказательство. Согласно теореме 3, существует композанта Су множества Е;, где / = 0, 1, такая, что

Су П (4 U 4) = 0, следовательно, Су ПДоП^! = 0.

Пусть a^Cj. Континуум Е] неприводим между а} и каждой точкой множества ДоП^ь а потому (по теореме 2) неприводимо связен между а; и £0П5ц

Отсюда следует, согласно теореме 6 п. VIII, что множество CoUCi неприводимо между точками а0 и ах.

X. Дополнительные замечания. Цепь — это конечная совокупность открытых множеств Оь ..., Gn, таких, что С/ПСу^О тогда и только тогда, когда |<~/1^1- Если d(Gz)<e при i=I, ..., п, то цепь называется е-цепью. Континуум называется змеевидным, если для каждого положительного е его можно покрыть е-цепью ').

Сформулируем без доказательства следующие интересные утверждения о змеевидных континуумах:

Змеевидный континуум неприводим между любой парой своих точек.

Всякий подконтинуум змеевидного континуума змеевидный.

Всякие два змеевидных наследственно неразложимых континуума (содержащих более одной точки) гомеоморфны. Эти континуумы называются псевдодугами (см. Моиз [1, стр. 583]). Таким является, например, континуум Кнастера, упомянутый в замечании 4 п. V.

*) По поводу определений и большинства дальнейших теорем см, Бинг [7]. Ср. также Баррет [1], Берджесс [4], Фугейт [1, 2], Скори [1].

Псевдодуга обладает свойством неподвижной точки (см. Гамильтон [1]).

Всякий змеевидный континуум топологически содержится в плоскости.

Существуют наследственно неразложимые континуумы всех размерностей (см. Бинг [8]; бесконечномерный случай см. Келли [2]).

Совокупность топологических типов (плоских) наследственно неразложимых континуумов имеет мощность с (см. Бинг [9]).

Существует монотонное открытое отображение f; ^г-^ «У^, такое, что все прообразы точек t-X ^ являются псевдодугами (см. Андерсон [1]).

Псевдодуга гомеоморфна каждому своему подконтинууму (содержащему более одной точки) ).

Всякий разложимый континуум, гомеоморфный каждому своему подконтинууму (содержащему более одной точки), есть дуга (Хендерсон [2]).

В пространстве всех подконтинуумов квадрата псевдодуги, а также однородные континуумы образуют остаточное множество. Псевдодуга однородна (см. Бинг [4], Моиз [3], Бинг и йонес [1]).

Всякий однородный змеевидный континуум (содержащий более одной точки) есть псевдодуга (см. Бинг [10]).

Отсюда следует, что на плоскости существует однородный континуум, отличный от простой замкнутой кривой (вопрос был поставлен Кнастером и Куратовским [1, стр. 223]). Напомним, что по теореме Мазуркевича всякий плоский однородный и локально связный континуум есть простая замкнутая кривая 2).

Прямое произведение п змеевидных континуумов топологически содержится в efn+l (Беннет [1]).

Каждый змеевидный континуум представляет собой непрерывный образ псевдодуги (Мёдушевский [1], Лехнер [1]).

Каждый змеевидный континуум представляет собой предел обратного спектра дуг, причем проекции являются непрерывными отображениями на 3).

ГЛАВА 6

ЛОКАЛЬНО СВЯЗНЫЕ ПРОСТРАНСТВА

§ 49. Локальная связность

Точки локальной связности.

Определение. Топологическое пространство называется локально связным в точке р (л. с. в точке р) *), если всякая открытая окрестность G точки р содержит некоторую ее связную окрестность; другими словами, если С —компонента точки р в G, то p^Int(C). Если пространство метрическое, то это означает, что для каждого е>0 существует связная окрестность Е точки р, такая, что д(Д)<е.

Замечание. В сформулированном выше определении можно ограничиться окрестностями G, принадлежащими открытой базе В пространства.

Действительно, пусть p^G, где G — произвольное открытое множество. Тогда существует элемент R£.B, такой, что р £ RclG. Пусть С —компонента точки р в R, a D — компонента точки р в G. По предположению pCInt(C); ноСсО, откуда Int(C)c c:Int (О) и, следовательно, p£Int(£>). Это означает, что пространство л. с. в точке р.

Локальная связность — топологический инвариант (по определению). Это свойство является локальным, а именно справедлива следующая

Теорема 0. Если G открыто и p^G, то G л. с. в точке р тогда и только тогда, когда пространство .V л. с. в точке р.

Доказательство. Пусть пространство .Т л. с. в точке р. Пусть р^Н, где Н — множество, открытое относительно G, т. с. Н открыто и Н с(}. Пусть С — компонента точки р в Н. По предположению /? С Int (С), т. с. р^.Т — С, откуда р^С — — G — C. Но это означает, что р — внутренняя точка множества С относительно G. Следовательно, G л. с. в точке р.

Обратно, пусть G л. с. в точке р. Пусть Н — открытое множество и р^Н. Так как множество G П Я открыто, то р — внутренняя точка своей компоненты в G П Н и, следовательно, своей компоненты в Н. Таким образом, Я' л. с. в точке р.

Теорема 1. Множество точек, в которых метрическое пространство локально связно, есть Gf,-множество.

Доказательство. Это множество есть бесконечное пересечение GinG2n • ■• множеств Gn, где G„ — объединение всех множеств Int(E), таких, что Е связно и б(Е)<1/«.

Теорема 2. Метрическое пространство локально связно в точке р тогда и только тогда, когда для каждого е>0 существует т)>0, такое, что из условия |х —рКц следует существование связного подмножества С, такого, что х, р^С и д(С)<е.

Доказательство. Если пространство л. с. в точке р, то существует связная окрестность Е точки р, такая, что д(Е)<е, поэтому остается положить С = Е и обозначить через ц радиус сферы с центром в точке р, содержащейся в Е.

Обратно, если условие теоремы выполнено, то каждому х, такому, что |х — р Кц, поставим в соответствие связное множество Сх, такое, что х, р^Сх и 6(СД<е. Положим Е = U Сх\ тогда p£Int(E) и б(Е)^2е.

Теорема 3. Если р СЛоИЛ « каждое из множеств Ао и Л[ л. с. в точке р, то в точке р л. с. и множество ЛоиЛ,.

Доказательство. Пусть Е ] — связная окрестность точки р в А], где / = 0, 1. Тогда

p^Aj-Ej, т. с. р^Ао~E0)UHi - Е,).

Так как

(Ло - Ео) U (Л, - Е^ => [Ло - (Ео U Е,)] U [Л, - (Ео U Е,)] =

= (ЛоиЛ,)-(ЕоиЕ1), то

/^(ЛдТлачЁдТЁГ),

откуда следует, что множество EqUE, есть связная окрестность точки р в множестве ЛоСМц

Теорема 4. Если Я"] л. с. в точке a^i = Q, 1), то прямое произведение Ж0 X Я\ л. с, в точке (а0,

Доказательство. Пусть G — открытое подмножество произведения ^oX^i, содержащее точку (а0, а,). Пусть Нj — открытое множество (в такое, что (ср. с теоремой 3 § 15, I) а^Н^Ж, и HoXH^G.

Пусть С/— компонента точки а, в Н]. По предположению a/€lnt(C/), откуда (ср. § 15, III (2)) имеем

(«о, а^ Е Int(Co) X Int(Ci) = Int(C0 X C J и Co X C[ с Ho X Hx a. Q. Следовательно, Co X Cx — содержащаяся в G связная окрестность точки (а0, а() (как прямое произведение двух связных множеств; ср. с теоремой 11 из § 46, II).

Очевидно, теорему 4 можно распространить на любое конечное число множителей. Если число множителей произвольно, то справедлива следующая

Теорема V. Пусть 3= П-^t, где все Жь за исключением конечного числа, связны. Пусть й = {Т}ЕЗ- Если Жх л. с. в точке V для каждого t, то 3 л. с. в точке \.

Доказательство. Пусть множество G с: 3 открыто, i)EG и С — некоторая компонента точки $ в G. Нам нужно показать, что ^^Int(C). Согласно замечанию к определению, можно считать, что С = Пб/, где Gt открыты в Ж{ и, t

за исключением конечной системы индексов, скажем /,, ..., tn, Gt = ^t и Ж1 связны.

Для каждого t^T обозначим через С( компоненту точки ^ в Gt. Тогда, согласно теореме 8 из § 46, HI, С = П Сь Для t^T

t'^th где 4 = 1, ..., п, мы имеем Ое = Же. Отсюда Ср = Жг (ибо Же связно). Следовательно, Int (С) = П Int (Ct) (ср. § 16, III (3)). Но ^Е Int (С;), поэтому Hint (С). '

Замечание. Предположение связности пространств Жь за исключением конечного числа индексов, существенно. Это видно на примере, где Жп состоят из элементов 0 и 1 для п = 1, 2, ... . Тогда Ж, X Ж^ X ... — канторов дисконтинуум.

Примеры, (i) Пространства ^n и Д" локально связны в каждой точке для любого п (конечного или бесконечного).

(И) Всякая изолированная точка есть точка локальной связности.

(Hi) Кривая sin(l/x), определенная следующим образом: у = sin (1/х) для 0 <| х |$^ 1 и — 1 ^у ^ 1 для х = О, не является л. с. пи в одной точке оси у.

Континуум, получающийся в результате соединения сегментами точки (0, 1) с точками 0 и 1/п, п — 1, 2оси х, не является л. с. ии в какой точке 0 «^ г/< 1 оси у.

Аналогично, если точка I у, у I соединяется с каждой точкой канторова множества ^ (см. § 46, II, замечание), то получающийся в результате континуум не является л. с. ни в одной

/ 11 \

точке, за исключением (у, yj.

В п. VII будет показано, что неразложимый континуум не является л. с. ни в одной точке.

Отрезки, соединяющие точки l/(n—1), п = 2, 3, .... оси х с точками (l/n/г, 1/n), к=\, 2, ..., вместе с отрезком 01 оси х составляют континуум, который л. с. в начале координат. Однако не существует никакой малой окрестности этой точки, которая была бы связной и открытой.

Существуют связные и локально связные пространства, не содержащие никакой дуги *) и даже вполне не совершенные ).

П. Локально связные пространства.

Определение. Пространство, локально связное в каждой точке, называется локально связным.

Пространство Я' в п. II предполагается локально связным.

Из теорем 3 и 4 п. I вытекают следующие теоремы:

Теорема 1. Конечное объединение замкнутых л. с. множеств локально связно.

Теорема 2. Конечное прямое произведение л. с. пространств локально связно.

Теорема 3. Всякое открытое подмножество л. с. пространства локально связно.

Действительно, локальная связность — локальное свойство (ср. с теоремой 0 п. I).

Теорема 4. Всякая компонента открытого подмножества G пространства Ж — открытое множество) и, следовательно, область).

В частности, всякая компонента пространства Я’ есть открыто-замкнутое множество.

*) См. Мур [10].

Действительно, pCInt(C), если С — компонента точки р в G.

Обратно, справедлива следующая

Теорема 4'. Если всякая компонента каждого открытого подмножества G данного топологического пространства открыта, то пространство локально связно.

Более того, здесь можно ограничиться множествами G, принадлежащими некоторой открытой базе пространства.

Теорема 5, Пусть Ж — наследственно нормальное пространство, и пусть А и В — два отделимых множества. Если А связно, то существует область R, такая, что

AcR и RHB = 0.

Если оба множества А и В связны, то существуют две области R и S, такие, что

AaR, BcSuRnS = 0.

Доказательство. Так как пространство Ж наследственно нормально, существует открытое множество G, такое, что ЛсС и СП5 = 0. Пусть R — компонента G, содержащая А, а в £лучае, когда В связно, пусть S —компонента множества Ж — G, содержащая В. Согласно теореме 4, R и S —области.

Теорема 6. Семейство компонент открытого множества в л. с. пространстве со счетной базой счетно.

Действительно, любое семейство непересекающихся открытых множеств в таком пространстве счетно (ср. § 24, I, теорема 2).

Теорема 7. Семейство компонент компактного л. с. пространства конечно.

Поэтому каждое компактное локально связное ^-пространство есть объединение конечного числа локально связных континуумов. ■

Это утверждение следует из теоремы 4.

Теорема 8. Всякое л. с. пространство Ж имеет базу, состоящую из областей.

Если пространство Ж регулярно, то всякое открытое множество G есть объединение областей:

G = U Rt, где Rt с= G.

Если Ж — метрическое сепарабельное пространство, то для каждого е>0 существует такая последовательность областей Ri, R2, ..., что

6(B„)<e для /г = 1, 2, .

всякое открытое множество G есть объединение

G = U Rfe,л где Rk„c:G.

п = 1"

Доказательство, 1. Пусть 5 —открытая база пространства Ж. Тогда семейство С всех компонент элементов из В есть требуемая база, состоящая из областей.

Если пространство Ж регулярно,_то G есть объединение открытых множеств Gs- таких, что GscG. Следовательно, G есть объединение всех компонент множеств Gs. Обозначим через (BJ семейство этих компонент.

Если В счетно, то и С счетно (так как каждый элемент В имеет счетное семейство компонент). Кроме того, если В = = (G[, G2, . ..) и пространство Ж метрическое, то можно предположить, что условия (i) и (ii) выполняются, когда Rn заменено на G„ (ср. § 22, II). Отсюда легко получаем, что С = = (Bi, В2, ...) —требуемая база, удовлетворяющая (i) и (ii).

Теорема 9. Всякая область С относительно множества Е имеет вид С = Е(\Н, где Н —область.

Доказательство. Пусть G —открытое множество, такое, что C = Ef\G, и пусть Н — компонента множества G, содержащая С.

Теорема 10. Пусть Л и В —замкнутые множества, такие, что множества Л()В и ЛПВ локально связны-, тогда А и В локально связны..

Доказательство. Можно считать, что АиВ = Ж. Так как множество А — В —Ж — В открыто, то множество Л л. с. в каждой точке множества А —В. Поэтому нам нужно показать, что Л л. с. в каждой точке р^ЛЛВ.

Пусть G — открытая окрестность точки р. По предположению компонента С множества Л П В Г) G, содержащая точку р, открыта относительно этого множества. По теореме 9 (для Ж = G и В = ЛЛВЛС) существует область Н, такая, что Н с G и С = Л (] В П Н. Объединение и пересечение множеств Н П Л и Н Л В (замкнутые в Н) связны, так как

(//лл)и(//пв)=ял(лив) = д и

(ВЛ'4)П(ВЛВ) = ДПЛПВ^С,

и поэтому множества Н П Л и Н^В связны (§ 46, II, теорема 5). Так как множество ДЛЛ есть связная окрестность

точки р относительно множества Л, содержащаяся в G, то Л л. с. в точке р.

Теорему 10 можно следующим образом обобщить.

Теорема 10а. Если Ж = FXU • • ■ U Fn, F s = F; и Е;0Ек л. с. (для /#=/?), то множества Fj локально связны.

Доказательство. Положим

A = F, и B = F^ ... UFy-1UF/+1U ... U^.

Так как множества Р,ПРк л. с., то А Г) В л. с. по теореме 1. Следовательно, множество А л. с., согласно теореме 10.

Теорема 11. Если множество F замкнуто и л. с., а С — компонента множества Ж — F, то Ж — С и С (J F локально связны.

Более того, если S — объединение некоторых компонент множества Ж — F, то Ж — S и S U F локально связны.

Доказательство. Это утверждение есть следствие теоремы 10, так как

r = (^-S)U(SUF) и (^ — 5)0(511^) = ^, поскольку S — открыто-замкнутое множество.

Теорема 12. Пусть F и S —непустые множества, удовлетворяющие условиям теоремы 11. Если пространство Ж связно, то каждая компонента С множества Ж — S содержит компоненту множества F.

Следовательно, множество Ж — S имеет компонент не больше, чем F (если F связно, то связно и Ж — S).

Доказательство. Так как F с Ж — S, то мы должны показать, что CAF^O. Допустим, что С А ^ = 0, т. е. что С с; Ж — F. Пусть R есть компонента множества Ж — F, содержащая С. По определению множества S каждая компонента Ж — F, не содержащаяся в S, не пересекается с S. Следовательно,

R П S = 0, т. е. R с Ж — S, откуда R cz С, так как /?АС#=О и С — компонента множества Ж — S.

Таким образом, мы получаем С = R; это означает, что С открыто-замкнуто (как компонента замкнутого множества Ж — S и открытого множества Ж — F). Но это несовместимо со связностью пространства Ж.

Теорема 131). Если {АА — семейство компонент множества А, та

1п1(л)=и 1ш(ла.

Доказательство. Очевидно, что Int^/ljdnt (.4). С другой стороны, пусть р^1п!(Л), At — компонента точки р в А и G — компонента точки р в 1п1(Л). Так как G связно, то G о At. Поскольку пространство^ л. с. и G открыто, G с: Int (Л() и, наконец, р£1п!(Л().

Теорема 142). Пусть R — область в метрическом сепарабельном пространстве-, тогда существует последовательность областей Rb R2, ..., такая, что

r=RaUR2U... и R„clU

Доказательство. По теореме 8 существует последовательность областей Qb Q2, . . ., такая, что

/?=qiuq2u...,

Qn с R.

Так как R связно, то можно предположить (ср. § 46, II, теорема 10), что

(Q,U.-.UQ„)nQ„+i^O для п=1, 2

Множества Q| и Ж — R замкнуты и не пересекаются (ср. (5)), поэтому они отделимы, и, согласно теореме 5, существует область R\, такая, что

QxdRx и R, cz R.

Продолжаем построение по индукции. Пусть

Q,U... UQ„c/? и R„cR;

тогда множество /?nUQ„+i связно (согласно (6)) и отделимо от Ж — R (согласно (5) и (7)). Поэтому в соответствии с тео- ргмой 5 существует область /?л+ь такая, что

R« U Qn+i с Rn+v и R„+1cR.

Следовательно, условия (7) выполняются для п=1, 2, ... . В сочетании с (4) из них вытекает условие (3).

Теорема 15. Пусть пространство Ж регулярно. Если F — компактное подмножество области R, то существует область Q, такая, что F с Q и Q с R.

') Ср. Хаусдорф [2, стр. 331].

А Ср. Уилдер [3, стр. 650].

Доказательство. Так как ^-' — регулярное пространство, то существует открытое покрытие Д = {С/} области R, такое, что G< —область и Gt с R (по теореме 8). Так как множество F компактно, мы имеем F с: G^ U .. . (J Gt. Соединим Gt1 с каждым Gtp где l<j^n, конечной цепью элементов семейства А (ср. с теоремой 8 из § 46, II). Объединение этих цепей есть требуемая область Q.

Теорема 16‘). Если F — компактное под множество открытого множества G, то F пересекает только конечное число компонент множества G.

Более того, если пространство .Е компактно, то все компоненты множества .E — F, за исключением конечного числа, содержатся в G.

Доказательство. Так как компоненты множества G открыты, среди них имеется конечное число Rb ..., Rn таких, что F с R[ (J • ■• U Rn- Поэтому если R — компонента G, отличная от Rb ..., Rn, то ТП/^О.

Для доказательства второй части теоремы положим .Е — F = G и .E — G = F*. Так как FcG, то из этого вытекает, что F* с: G*. Следовательно, F* пересекает только конечное число компонент множества G”, а это означает, что все эти компоненты, за исключением конечного числа, не пересекаются с F* и, следовательно, содержатся в G.

Теорема 17. Если пространство .Е связно между множествами М и N, то оно содержит компоненту С, такую, что

+ n^V.

Доказательство. Допустим противное. Пусть S — объединение компонент, пересекающихся с М; тогда М с S и К П S = 0. Так как множество S открыто-замкнуто, то пространство .Е нс связно между М и N.

Из теоремы 17 следует, что всякое л. с. пространство обладает свойством (М) (ср. § 47, II, теорема 1).

Теорема 18. Квазикомпоненты л, с. пространства совпадают с его компонентами.

Доказательство. Пусть С и Q — соответственно компонента и квазикомпонента точки р. Очевидно, CcQ. Так как С открыто-замкнуто, то Q с С, откуда Q = С.

Теорема 19. Если л. с. пространство Ж связно и С — компонента произвольного множества Х-^Ж, то

СПЖ-Х=# 0.

Доказательство. Пусть р^С. Можно предположить, что р б Ж — Ж — X = Int (X). Пусть Со — компонента Int(X), содержащая р. Так как множество Int(X) открыто, то открытой множество Int (X) —Ср, как объединение компонент Int (X), отличных от Со. Тогда Со П ^ — ХЖО, ибо в противном случае соотношение

Ж = ^Ж- Х и [Int (X) - Со]} и Соозначало бы разбиение (связного) пространства на два непу-стых отделимых множества. Так как Со с: С, то СП Ж — Х^О.

Множество С (Л)).

Пусть ^" — произвольное метрическое пространство (л. с. или ист) и Л — подмножество Ж. Обозначим через /ДЛ) множество всех тех точек х^Л, для которых существуют открытые множества G произвольно малого диаметра, содержащие х и такие, что G П Л связно.

Теорема 20. Множество С(Л) есть множество типа G6.

Доказательство. Действительно, Т(Л) = ЛПС1ПС2П--., где Gn — объединение открытых множеств G, таких, что СП Л связно и 6(G)< 1/п.

Теорема 21. Если Л локально связно, то AczL(A).

Теорема 22. Если AcBczL(A), то В локально связно.

Доказательство. В самом деле, из включений G П Л с G П В ед G П ЛсС П Л следует, что множество GHS связно (при условии, что С П Л связно).

Теорема 23. Если Э — полное пространство, А— локально связное подмножество Ж и f: А-* У — непрерывное отображение, то существует непрерывное продолжение g: В-*^ отображения f, где В —л. с. G^множество.

Более того, ЛсСсС (Л).

Доказательство. Действительно, согласно теореме 1 из § 35, I, существуют бд-миожество А*, содержащее А, и продолжение /*: Л*-* У отображения /. Остается положить

Л = Л'П/ДЛ) и § = ПВ.

*) См. Эйлеиберг [7, стр. 83].

Свойства границы).

Теорема I. Пдеть (ДД — семейство произвольных множеств в л. с. пространстве тогда.

Fr(U^)cUFrM;j.

Более точно, если pEFiVU ДЛ —иРг(ЛД то Ж не является л. с. в точке р.

Доказательство. Если бы пространство .^ было л. с. в точке р, то существовала бы связная окрестность Е точки р, такая, что

Е с Ж - LJFrM,), так что р 6 I nt (Е) Л Fr ^(J Л,).

Но тогда (ср. § 7, II, следствие 1а)

I nt (£) Л и Л,^ 0 ^ I nt (Е) - и Д/.tt

и, таким образом,

EDU Л^О^Е-U At.ti

Следовательно, существует такой индекс /0, что

Е П Ato ф 0 ^ Е - At„ откуда Е Q Fr (Л,„)^0,

так как Е связно (ср. § 46, I, теорема 1). Но это противоречит условию (2), ибо

Е с Ж - иРг(Да с .2’ - (J Fr (ДДtt

Замечание. Соотношение (!) характеризует л. с. пространства. Действительно, всякое пространство, не являющееся л. с., содержит бесконечную последовательность пепересекающихся открытых множеств, не удовлетворяющих соотношению (I)).

Теорема 2. Если G,, G2, ...—последовательность непере- секающихся открытых множеств в л. с. метрическом пространстве, то

Ls Gn с Ls Fr(G„).

Доказательство. Если pELsG„, то р^.Ж — Оп для каждого п (так как множества Gn не пересекаются). Таким образом, р^Ж — U Ол, и из включения Ls G„c|jGn выте-

ПП->ООП

кает, что

Р €(Ж - U Gn = Fr (U GA с (JF^),пrt\ н / п

согласно теореме 1. Следовательно,

Ls G„c= (J Fr (G„),л*>00U

откуда

Ls Gn = Ls Gm+nCL U Fr(G„)

для любого m (ср. § 29, IV, теорема 7). Таким образом (ср. § 29, IV, теорема 8),

Ls G„c ft U Fr(G„)= Ls Fr(G„). n*>oom=l n — mn->oo

Теорема 3. Если А — подмножество л. с. пространства и С —компонента А, то Fr(C)c Ег(Л).

Более того, если р Е Fr (С) — Fr (Л), то пространство не является л. с. в точке р.

Доказательство. Пусть

р € Fr (С) - Fr (Л) = С П Ж^С-^А Л ^A\

Тогда

р Е Л - (Л Л Ж - Л) с Ж - Ж — А.

Если бы пространство Ж было локально связным в точке р, то существовала бы такая связная окрестность Е точки р, что

ЕаЖ — Ж — Л и, следовательно, р Е Int (Е) Л Fr (С);

отсюда (ср. § 7, II, следствие 1а, и § 46, I, теорема 1) имеем

Int(E) Л С =Л= 0 =# Int (Е) — С и ЕЛС^О^Е-С.

По это противоречит предположению, что С — компонента множества Л, так как из условий ЕсА и Е Л С ^ 0 следует, что Е с: С, поскольку Е связно.

Теорема 4. Пусть А — подмножество л. с. пространства. Если Ег(Л) локально связно, то локально связно и А.

Доказательство. Это утверждение следует из теоремы 10 п. II, так как

Л 0^-/1и лпД’ - Л = Ег(Л).

Разделение локально связных пространств. Пусть Ж — л. с. регулярное пространство.

Теорема I. Если F — замкнутое множество, не разделяющее множества М и N, не пересекающиеся с F (это означает, что Л’ — F связно между М и N), то существует область R, такая, что

/? П А1 =А 0 ^/? Q Л^ и R^F = Q.

Доказательство. Согласно теореме 17 п. II, существует компонента С множества Д’ — F, такая, что С П М =# ^О^СПУ. Пусть р£СГ\М и q^CDN. Согласно теореме 15 п. II, существует область R, такая, что р, q С R и R с С, откуда следует соотношение (1).

Теорема 2. Множество G точек множества ^ — (MVIN), не разделяющих пространство между М и N, открыто в ^-{МОЮ.

Доказательство. Пусть x£G, и пусть R — связное множество, такое, что R ПМ =#0^R f) N и x£.T — R. Тогда пи одна точка множества Ж — R не отделяет М от N.

Лемма. Если Z — произвольное множество пар (пг, п) положительных целых чисел, то существует бесконечная последовательность kx<k2< ..., такая, что для всех индексов i

либо (kt, kt+1)£Z, либо (kb k^^Z.

Доказательство. Предположим, что не существует последовательности первого типа; тогда существует число m (более того, пг может быть как угодно большим), такое, что из условия п> пг вытекает, что (m, n)^Z. Обозначая последовательность этих чисел пг через {кД, получаем требуемую последовательность второго типа.

Обозначим через S(a, b) множество точек, отделяющих а от b (ср. § 46, IX).

Теорема 3 (Уайберн1)). Множество S(a, b)Ua\Jb компактно (пространство П’ предполагается связным и метрическим).

*) См. Уайберн [4] и [13, стр. 927].

Доказательство. По теореме 2 множество S(«, &)U UaU^ замкнуто. Предположим, что оно не компактно. Тогда S(a, Z>) содержит бесконечную последовательность (различных) точек pv, рг, .... всякая подпоследовательность которой образует замкнутое множество. По предположению для каждого п существуют два открытых множества, таких, что

Ж-рп = МпиМ„, MnC\Nn = 0, a6Mrt, b £ Nn.

Пусть Z — множество пар (т, га), таких, что р,пЕМп. Согласно предыдущей лемме, существует бесконечная последовательность к\<кг< ..., такая, что для всех индексов I

либо P^€Af6/+i, либо Pfe^Mw т. е. Pk£Nk^;

По соображениям симметрии можно считать, что имеет место первая формула. Так как Бг(ЛД) = (рп), то, согласно теореме 1 п. III, имеем

Это означает, что множество Ми, U Мк, U ... замкнуто (ср. § 6, II (7)). Но это множество открыто и отлично от Ж (потому что Ь^Мп для любого га), что противоречит связности пространства Ж.

Теорема 4. Если метрическое пространство Ж связно и Ж^-Е^а, b)Vja\jb, то оно есть дуга ab.

Доказательство. Это пространство компактно по теореме 3 и, следовательно, согласно теореме 1, § 47, V, представляет собой дугу.

Замечание. Объединение двух множеств Див, неприводимо связных между одной и той же парой точек (р, р) и таких, что А()В = (р, q), не обязательно есть простая замкнутая кривая, даже если оно локально связно (см. Бинг [5]).

Теорема 5. Связное метрическое пространство Ж (содержащее более одной точки), которое.разделяется каждой парой своих точек, но не разделяется никакой отдельной точкой, представляет собой простую замкнутую кривую.

Доказательство. Пусть а0— фиксированная точка. По предположению множество Ж — а0 связно и каждая точка х^/Г —по) разделяет множество .У —а0. Согласно теореме 4 из § 46, VIII, все эти точки х, за исключением, может быть, счетного их множества, разделяют множество .^ — а0 на две области. Пусть at — одна из таких точек х. Таким образом, существуют две области Ro и Ri, такие, что

Ж -а0 - av = R0U Rx, RoORi = ^ и Rj^O для / = О, 1.

Из этого следует, что Fr (/?/) = («о, Qi), потому что если бы Fr (R]) состояло из единственной точки, то эта точка разделяла бы пространство. Следовательно, наша задача сводится к доказательству того, что Rj есть дуга aoav._

Так как множество Fr (/?/) л. с., то л. с. и множество Rj (по теореме 4 п. III). Из предположения, что Rj не есть дуга аоаь следует по теореме 4 существование точки p^Rj, такой, что множество Rj — р связно между а0 и аь Покажем теперь, что Rj — р — связное множество. Из предположения

Rt = U^Vt U = U, V = V, UnV = p, U^Rj^V, a0£U•

следовало бы, что а, £ U (так как Rj — р связно между точками а0 и 01), и поэтому.

^./ПУ-О, откуда (^t_z U t7)H 1/= <7 П I/ = Р-

Но разложение Ж = (R^j (J U) U V противоречит предположению, что р не разделяет пространство.

Предположим далее, что Ro не есть дуга аоау. Тогда существует точка Po(:Ro, такая, что множество Ro—Ро связно. Рассмотрим два случая, в зависимости от того, является ли множество Rx дугой Пощ или нет. В первом случае пусть рх С Rf, во втором случае пусть pv — такая точка множества Ri, что /?! — рх связно (существование такой точки только что доказано). В обоих случаях пара Ро, рх не разделяет пространство вопреки предположению.

Теорема 6 *). Если метрическое пространство Ж (содержащее более одной точки) дискогерентно (т. е. никакое замкнутое связное подмножество не разделяет его), то Ж — простая замкнутая кривая.

Доказательство. Пусть Q — такая область, что 0=#Q#=^. Пусть

/?о — ^ — Q и Rx = Ж — Rq.

Множества Ro и R- связны по предположению, не пусты и (согласно § 8, VIII)

R!=»Ж — Rx_i для /«=0,1.

Пусть F = Fr(/?o)- Это дает

F = R0-R0 = R6C\Rx = Pr^R^ = a;-(/?0U/?i).

Следовательно, множество F содержит более одной точки (потому что никакая точка не разделяет пространство). Покажем, что F содержит в точности две точки.

Предположим, что F содержит три различные точки а0, ах и fl2- Так как пространство Ж локально связно, то пусть Ло, Ах и Л2 —три такие области, что

Qk 6 Ah (Ji = 0, 1, 2) и ЛоПЛ1 = Л1ПЛ2 = Л2ПЛо = О.

Поскольку Ok Е F = Fr (R/), то

Ак П Fr (Rj)=^G, следовательно, /^ПЛ^О

для / = 0, 1 и к = 0, 1, 2._

Поэтому множество Rj = Ri U Ло U Л| связно, откуда следует, что множество

RJ-i = Ri-i - (Л U А) = Ж - R, - Ло - Д - .Г - Rt

есть область. Согласно (6), (7) и (9), а2 Е R/ П R?_r Следовательно, множество R}\JRv-i связно, а потому связно и множество (ср. (5))

Ж -(Rj U Й = Ri4- R^r

Так как множества Ло и Ах отделимы (ср. (7)) и

Ri-I — Ri-i = Ri-i ~ Ri-i — (Ле U Л1)сЛо I) Аь

то одно из следующих множеств:

ЛоП^1-/ — Ri-i или Л, П Rt-i ~■ Ri-f

пусто. Предположим, что первое множество пусто:

MRV4-Rr-i = 0.'

Но, согласно (9), ЛП Ri~f = 0, откуда ЛоП^1-/ = О (так как Ло открыто), и поэтому, согласно (10),

0 = ЛоП Ri-i ~ Ri-i — Ло П Ri-p

что противоречит соотношению (8).

Таким образом, доказано, что множество F = Fr (R^ состоит из двух точек. Пусть F = (a0, а^. Согласно теореме 4_п. III, множество R] локально связно. Остается показать, что Rj есть дуга «ойь т. е. (ср. с теоремой 4) каждая точка множества Rt разделяет R; между а0 и аь

Предположим, что р С Ro и Ro —р связно между а0 и нщ По теореме 1 существует замкнутое связное множество С, такое, что

а0, ах С CcRo — р, откуда ЕаСслЖ — Rt.

Из этого соотношения, согласно (6), следует, что

Ж — С— (F\J R0U Rx) —С = (R0 —C)\J Rb

Но это равенство дает разложение множества Ж — С на два непустых непересекающихся открытых множества (ибо р Е Ro — С), что противоречит предположению о дискогерентности пространства.

Теорема 7. Множество Е разделяет метрическое пространство Ж на п отделимых (непустых) частей тогда и только тогда, когда Е содержит замкнутое множество F, такое, что каждое множество Н, удовлетворяющее условиям FcH = НаЕ, разделяет пространство Ж на п (непересекающихся и непустых) открытых множеств.

Доказательство. Сформулированное условие необходимо, согласно теореме 3 из § 46, VII.

Для доказательства его достаточности предположим, что- множество Ж — Е не состоит из п непустых отделимых частей. Тогда по теореме 6 из § 46, II существуют к связных множеств Сь ..., С.„ таких, что

Д' — Е = Ci U •. • U Сь где к<п.

Пусть F = FcE, и пусть Gb . .., Gj (j ^ к) — система компонент множества Ж — F, такая, что

.E-EcGvU ... UGf.

Положим Я — Д’— (О, U ■ • • U О Д Тогда FaH = НаЕ, так как Ж — EciGx U ... U Gj—Ж — F. Однако множество Н не разделяет пространство Ж на п. непустых открытых множеств.

Теорема 8. Пусть а и b — две точки компактного л. с. ^-пространства и {Fn} — последовательность замкнутых множеств. Если ни одно из множеств Fn не разрезает никакой области между точками а и Ь, то и объединение FxMF^... не разрезает никакой такой области *).

Доказательство. Пусть R — область, содержащая точки а и Ь. Определим по индукции последовательность областей Ro, R}, ..., удовлетворяющих следующим условиям:

(И) _а, b^Rn,

Rn+x^Rn-F„.

Положим Ro = R. Пусть Rn удовлетворяет условию (11), и пусть R*n — компонента множества Rn — Fn, содержащая двуэле- ментное множество (а, Ь\ Согласно теореме 15 п. II, существует область Rn+ъ такая, что a, b^Rn+l и R,1 + vCLRn, откуда получаем включение (12). _

Далее, пусть К = Ri П Ri П • ■ • .Так как Rb R2, ... — убывающая последовательность континуумов, то К — континуум (согласно теореме 5, § 47, II). Кроме того, из (11) и (12) следует, что

a, b^RdR-^F^ F^

V. Неприводимые разделители. Пусть Ж — локально связное (л. с.) пространство.

Теорема 1. Пусть С —некоторое замкнутое множество, А и В —две различные компоненты множества R’ — C, и пусть а £ А, Ь^В. Множество С является неприводимым разделителем между а и b тогда и только тогда, когда

Fr(A)= С = Fr(S).

Доказательство. Условие (1) является достаточным по теореме 4 из § 46, VII, поэтому остается показать, что оно необходимое. По теореме 3 п. III имеем

Fr(/t)cFr(.tZ:--C)c:C.

Так как Fr(A) есть разделитель между а и b (ср. с теоремой 6 из § 6, V), а С — неприводимый разделитель между а и b (по предположению), то C = Fr(A). Аналогично C = Fr(S).

Теорема 2. Если А —область, а В —компонента множества сП — А, то Ft (В) есть неприводимый разделитель между каждой парой точек а С А и b ^.В.

’) Ср Клайн [I].

Доказательство. Мы имеем (ср. с теоремой 3 п. III)

Fr (S)<=Fr ^-А) = А() - Ас Др Ж - А = А — А.

Следовательно, a^Fr(B), откуда вытекает, что а ^.37 —В, и потому Fr(B) отделяет а от b. С другой стороны, из (2) видно, что х£ ДрВ для всех xCFr(B), следовательно, Д UxlIS связно и потому никакое собственное подмножество Fr(S) не отделяет а от Ь.

Теорема 3 (Мазуркевич’))■ Всякий замкнутый разделитель С между точками а и b содержит замкнутый неприводимый разделитель F между а и Ь.

Доказательство. Пусть А — компонента точки а в Ж — С. Тогда 6£Д' —Д, так как А = A U Fr (Д)сД (J С. Если в — компонента точки b в Ж — А, то (ср. (2)) Fr(B)cFr (Л)сС. Таким образом, согласно теореме 2, достаточно положить F = Fr(S).

Теорема 4. Пусть в нормальном пространстве а0£ Fo = Fo, ti^F^Fi и FQr\Fx = O. Тогда существует замкнутый разделитель С, неприводимый между а0 и ах и не пересекающийся с FOUFX.

Доказательство. Если G— такое открытое множество, что FocG и GftFx = 0, то Fr(G) содержит искомый разделитель С. ■

VI. Множество точек, в которых континуум не является локально связным. Континуумы сходимости. В п. VI и VII пространство предполагается метрическим.

Определение. Континуум К называется континуумом сходимости) пространства Ж, если он является топологическим пределом такой последовательности континуумов, что

K = LimK„ и КПК„ = 0.

П->оо

Если пространство ^ компактно, то континуумы Кь Кг, ... можно считать попарно непересекающимися, ибо их можно заменить континуумами Кп„ Кп„ •.., где п, = 1 и

dist (К, Кп^< Р (К. Кп^), nt>ni-x для />1.

') См. Мазуркенич [11, стр 193, лемма 1).

Пример. У кривой Е [у = sin(l/x)] (0<|хК1) сегмент X. U

— l^y^l, х = 0 есть континуум сходимости.

Теорема 1. Если пространство .Ф — континуум и N — множество точек, в которых Ж не является локально связным, то каждая точка p(;N принадлежит континууму сходимости K^N (причем К^рУУ

Доказательство. По условию существует такая замкнутая окрестность Е точки р, что если С —компонента точки р в Е, то р не принадлежит ее внутренности, т. е. р^Е — С. Положим

(!)р=Нтр„,

Рп^Е-С.

Пусть Сп — компонента точки рп в Е. Тогда

С П Сп = 0.

Действительно, в противном случае множество С U Сп было бы континуумом в Е, следовательно, C(JCnc:C, откуда рп С С вопреки (2).

Пусть F — замкнутая окрестность точки р, такая, что

Fc:Int(E).

Можно считать, что рпЕЕ для п=1, 2, ... . Пусть Dn — компонента точки рп в F. Так как FaE, то

Dn с= Сп.

Из последовательности {ОД выберем сходящуюся подпоследовательность (ср. § 42, I, теорема 1, и § 42, II) и положим

^ = LimD

П-»оо "

В силу (1) отсюда следует, что

P^KclF.

Но тогда (ср. (4)) KclE, а так как К — континуум (ср. § 47, II, теорема 4), то

К<^С.

*) Ср. Мур [2], Заранкевич [1, стр, 132) и Урысон [6, стр. 48].

Условие К^Р выполняется, поскольку, согласно теореме 2 из § 47, III,

D„ П Fr (F^O, откуда КПРг(П^0, тогда как p^Fr(F) (ибо F — окрестность точки р).

Далее, K^N. Предположим противное: x^K — N. В силу (7) и (4) Е есть окрестность точки х, а так как К — подконтинуум множества Е, соединяющий точку х с р, то С — компонента точки х в Е. Следовательно, x^Int(C) (так как мы предполагаем, что x^N^. Но

х^ Ls Dn с Ls Сп

(ср. (5) и § 29, IV, теорема 2) и существует индекс п, при котором СПС„#=0, что противоречит (3).

Наконец, К является континуумом сходимости, так как из (8), (5) и (3) следует, что КП Dn = 0.

Рис. 6

Теорема 2. Всякий континуум, не содержащий никакого нигде не плотного подконтинуума ^состоящего более чем из одной точки1)), является локально связным.

Доказательство. Действительно, всякий континуум сходимости является нигде не плотным.

Замечание. Нигде не плотный континуум не обязан быть континуумом сходимости. Это показывает следующий пример (рис. 6).

Пространство состоит из сегмента 01 оси х и последовательности вертикальных сегментов

0<у^1/2" и х = ^к-\)Г2п,

где 1 ^ fe ^ 2га~' и п=1, 2

•) Нигде не плотный континуум, состоящий более чем из одной точки, называется также континуумом конденсации.

Горизонтальный сегмент представляет собой нигде не плотное множество, но не является континуумом сходимости.

Теорема 3 (Мур)). Пусть Ж — континуум и N — множество точек, в которых Ж не является л. с.; тогда разбиение пространства Ж на компоненты множества N и отдельные точки множества Ж — N является л. с. континуумом.

Другими словами, существует непрерывное отображение f пространства Ж на У, такое, что У есть л. с. континуум и семейство множеств f~x (у\ У^^. совпадает с семейством компонент множества N и отдельных точек множества Ж — N.

Доказательство. Функция f, индуцированная рассматриваемым разбиением, является гомеоморфизмом в каждой точке множества Ж — N (ср. с теоремой 1 из § 43, IV). Следовательно, точки множества ЦЖ — N) суть точки локальной связности пространства 2/. Если Q — множество точек, в которых 2/ не является л. с., то Qc^/V). Так как dimf(M)^0 (см. § 46, V, теорема 3, и § 47, VI, теорема 1), то dim Q^O и, следовательно, Q = 0b силу теоремы 1.

Сочетая теорему 3 с теоремой 6 п. IV, получаем следующее утверждение:

Теорема 4. Если Ж — дискогерентный континуум и П=#Ж, то пространство У, рассмотренное в теореме 3, является простой замкнутой кривой.

Отсюда вытекает следующий результат:

Теорема 5. Всякий дискогерентный континуум Ж локально является дугой в каждой точке множества Ж — N.

Доказательство. Простая замкнутая кривая локально является дугой, а функция f есть локальный гомеоморфизм в каждой точке множества Ж — N.

Замечание. Теорему 3 можно легко обобщить следующим образом). Напомним, что свойство называют локальным, если пространство обладает им в точке р тогда и только тогда, когда каждая окрестность этой точки обладает в р этим свойством. Пусть Р обозначает локальное топологическое свойство в точке, такое, что множество точек, в которых континуум

обладает им, не является нульмерным (т. е. либо пусто, либо имеет положительную размерность). Тогда имеет место следующая

Теорема 6. Если N — множество точек, в которых пространство Ж обладает свойством Р, то теорема 3 остается справедливой.

Под Р можно понимать следующие свойства!

dimp^^n (n^l);

ordp#’^ Ko (cm. § 51, III, теорема 5);

ordp Ж ^ c;

p — элемент континуума сходимости (или нигде не плотного континуума), который содержит не только точку р.

Доказательство, аналогичное доказательству теоремы 1, позволяет установить следующее утверждение:

Теорема 7. Всякий континуум, который не является л. с., содержит

связное множество, не являющееся полуконтинуумом1,

несвязное множество, которое, однако, связно между двумя точками.

Доказательство. Пересмотрим доказательство теоремы 1, сохраняя смысл символов р, Е, F, С и Сп. Можно считать, что континуумы С„ попарно не пересекаются и образуют сходящуюся последовательность:

L = Lim Сп.

П ~> оо

Согласно (1), pF L, откуда L G С, так как L — континуум (§ 47, II, теорема 4). Согласно теореме 1 из § 47,111, С„ПРг(£)^0, откуда £Г|Рг(£)=#О в силу (9). Из равенства £QFr(£) = O, вытекающего из (4), следует, что L — [£ U Fr (£)]=#0, так как L связно. Таким образом, существует точка q £ L П Int (£) — F. Пусть Н — замкнутая окрестность точки q, такая, что HcE — F. Пусть D — компонента точки р в £ и / — компонента точки q в Н. Тогда ВХП^С и D П1 = 0. Поэтому множества D, /, Сь С2, • • • попарно не пересекаются и, согласно теореме 7 из § 46, III, существуют бесконечная последовательность индексов k\<k2< ... и связное множество IF, такие, что

Си,U Сk, U .. - с IF и либо IF Q £) = 0, либо IFn/ = 0.

В силу симметрии достаточно рассмотреть первый случай.

Так как p^.L, то множество P = IFUp связно. Однако оно не является полуконтинуумом, ибо в противном случае суще*

ствовал бы континуум R (ср. § 47, III, теорема 4), такой, что p^RcPfiF и R=#p

(так как F — окрестность точки р\

Но из условия р£ Re F следует, что Re D, откуда R П W — О, а поскольку Rep, то R = p.

Наконец, множество р U у U U С„ связно между точками р п

и q (§ 46, IV, теорема 9), хотя оно и не является связным множеством.

VII. Относительное расстояние. Колебание).

Определение 1. Точная нижняя грань диаметров 6(£), где Е означает произвольное связное множество, соединяющее точки х и у, называется относительным расстоянием между точками х и у):

Pr(x, y) = inf6(£).

Из определения следует, что условие рг(х, у')<е имеет место тогда и только тогда, когда существует связное множество Е, такое, что

х, у^Е и 6(£)<е.

Теорема 1. Относительное расстояние определяет метрику во всяком пространстве, в котором любую пару точек можно соединить связным ограниченным множеством.

Другими словами, выполняются следующие соотношения (ср. § 21, I):

[рг(х, у) = 0]=(х = у\,

р, (у, г) ^ рг (х, у) + рг (х, г).

Доказательство. Соотношение (3) очевидно. Докажем (4). Пусть У и Z —два связных ограниченных множества, соединяющих соответственно х с у и х с г. Тогда (ср. § 21, Ш (4))

рАУ. z)<6(yUZ)<6(y) + 6(Z).

Предположим далее, что

6(У)<рг (х, у) + е и 6(Z)<pr(x, z) + e;

тогда рДу, г)<рг(х, у) + рг(х, z) + 2e, откуда и следует соотношение (4).

Теорема 2. Если пространство есть континуум, то в определении (1) множество Е можно считать континуумом1, число Pr (-Y, У) пРи этом не изменится.

Доказательство. Действительно, если Е связно, то Е — континуум и б(£') = 6(£').

Теорема 3. Относительное расстояние является метрикой в любом связном и локально связном пространстве.

Кроме того, в определении (1) множество Е можно считать областью.

Доказательство. Для того чтобы установить первую часть, достаточно, согласно теореме 1, показать, что всякую пару точек рассматриваемого пространства можно соединить связным ограниченным множеством. Но это следует непосредственно из теоремы 8 § 46, II при условии, что {GJ—семейство ограниченных областей.

Для доказательства второй части достаточно заметить, что если С —связное множество, то каждому е>0 соответствует такая область R, что

С с R и 6(#Х6(С) + в,

а именно R есть компонента множества С в открытом шаре с центром С радиуса в/2.

Теорема 4. Пусть Ж — пространство, удовлетворяющее условиям теоремы 1. Пусть Жг — то же самое пространство с метрикой, порождаемой относительным расстоянием. Тождественное отображение f: ЖГ—>Ж непрерывно1, обратное отображение [~1 непрерывно в точке р тогда и только тогда, когда Ж локально связно в этой точке.

Доказательство. Функция f непрерывна, так как

I х- уКрДх, у).

Обратно, если функция /~‘ непрерывна в точке х, то каждому е>0 соответствует такое т|> 0, что из условия |х — уКл следует рг(х, у)<е. Это означает, что существует связное множе-

ство Е, удовлетворяющее условию (2). Согласно теореме 2 п. I, пространство Я" л. с. в точке х.

Из теоремы 4 следует

Теорема 5. Если пространство .°Е связно и л. с., то обычная метрика и относительное расстояние топологически эквивалентны ^т. е. f — гомеоморфизм).

Это следует из того, что связное метрическое пространство локально связно тогда и только тогда, когда оно гомеоморфно пространству, в котором всякий открытый шар связен (см. Ньюман [1, стр. 75]).

Определение 2. Число

6Г(Л) = suppr(x, у), где х, у^Л называется относительным диаметром множества Л.

Колебание функции f~' в точке р (которое называют также колебанием пространства в точке р) есть по определению (ср. § 21, III) число

со (р) = inf dr (X) = lim sup pr(.r, у), где yCInt(X).

х, У^Р

Примеры. Рассмотрим кривую sin(l/x) из примера 3 п. I; для нее со (р) = 2 во всякой точке этой кривой с абсциссой 0. В примере 4 ю)у) = 1—у на оси у.

Теорема 6. На всяком неразложимом континууме Я' колебание постоянно (= б (Я")).

Доказательство. Действительно, во всякой окрестности данной точки р существует точка у, такая, что пространство ,Т неприводимо между р и q (§ 48, VI, теорема 6); поэтому pr(p, q) = 6 (Я).

Локально связные метрические континуумы *)

Дугообразная связность.

Определение. Пространство называется дугообразно связным (д. с.), если любую пару его точек можно соединить дугой. Оно называется локально дугообразно связным (л. д. с.) в точке р, если в любой окрестности точки р существует д. с. окрестность точки р, т. е. каждому 8>0 соответствует такое ц>0, что из условия | х — р |<ц вытекает существование дуги А, такой, что х, р^А и 6(/1)<в.

Локально связные метрические континуумы называются также континуумами Пеано.

Теорема 1. Если пространство локально дугообразно связно в точке р, то оно локально связно в этой точке.

Теорема 2. Если связное пространство локально дугообразно связно, то оно также дугообразно связно.

Более общо, всякая область (и, в частности, всякая компонента') л. д. с. пространства дугообразно связна.

Доказательство. Первая часть является прямым следствием теоремы 8 из § 46, II, если Gp означает д. с. окрестность точки р.

Вторая часть следует из первой, поскольку компоненты л. с. пространства — области (§ 49, II, теорема 4).

Теорема 3. Во всяком связном и л.д.с. пространстве относительное расстояние рг (х, у) равно точной нижней грани диаметров дуг, соединяющих точки X и у. Поэтому условие рДх, у) < е означает, что существует дуга ху диаметра <е.

Доказательство. Это утверждение есть следствие теоремы 2 и § 49, VII, теоремы 3.

Теорема 4. Если F — компактное подмножество связного л.д.с. пространства Ж, то каждому е>0 соответствует такое г] > 0, что для каждой пары точек х, у С F из условия | .V — у | < ц следует рг (х, у) < 8, т. е. точки х и у можно соединить в Ж дугой диаметра < е.

Доказательство. Действительно, функция расстояния рг(х, у) непрерывна на пространстве Ж (§ 49, VII, теорема 4) и, следовательно, равномерно непрерывна па F.

Поскольку Г —непустое компактное множество, то существует непрерывное отображение Д такое, что (ср. § 41, VI, следствие 2Ь)

)t^->F и m = F.

Это утверждение можно усилить следующим образом:

Теорема 5. Если F — непустое компактное подмножество связного и л. д. с. пространства Ж, то всякая непрерывная функция f, удовлетворяющая условиям (1), имеет продолжение f*: Ж-> Ж, являющееся гомеоморфизмом в любом интервале, смежном к ^.

■ Доказательство. Пусть )at, by), (а2, b^, ... — последовательность интервалов, смежных к ^. Так как

lim (/?„ — «„) = О,

П->оо

то

lim | f (6„) — /(а„) | = О,

П-> ОО

и по теореме 4 в Ж существует последовательность дуг А„ (п=1, 2, .. .) с концами /(а„) и f(bn), такая, что lim д(/1Д = О.

Пусть fn — гомеоморфное отображение интервала апЬ„ на дугу Л„, такое, что /„(«„) = /(«„) и fn(bn) = f (bj. Функция / определяется следующим образом:

( f (О Для t Е ^,

V fnW Для а„^/^Ьп, п=1, 2

Следующее утверждение является частным случаем теоремы 5.

Теорема 6. Всякий непустой л.д.с. континуум является непрерывным образом интервала.

Доказательство. Достаточно положить F = Ж.

В п. II будет показано, что теорему 6 можно обобщить, заменяя условие локальной дугообразной связности условием локальной связности.

Характеризация локально связных континуумов.

Теорема 1 (Мазуркевича — Мура — Менгера')). Всякое полное л. с. пространство является л. д. с.

Доказательство, Можно считать, что пространство связно (ср. § 49, II, теоремы 3 и 4).

Пусть p=^q — две фиксированные точки. Пусть G — семейство областей диаметра < 1. Согласно теореме 9 из § 46, II, это семейство содержит конечную систему областей Rb .. ., Rk, которые составляют «неприводимую цепь» между точками р и q; это означает, что

p^Rx, q^Rk, Rift Rt+\^ 0 (для i<k\

Ri П Ru = 0, если | Z — | > 1.

Пусть G* — семейство областей S, таких, что 6(S)<l/2 и ScRv Пусть (ср. § 46, II, теорема 9) Si, ..., S/, —цепь со звеньями, принадлежащими G", неприводимая между р и Rt П Rz (или между р и q, если ^=1). Аналогично строится цепь, неприводимая между S/t fl R2 и Д2П ^з, и т- Д-> и наконец строится

цепь, неприводимая между Sj ftRk и q. Таким образом, для li_\<i<,li (/о = 0) имеем

■S, с Rb

и легко видеть, что цепь

St, .Slv Si^\S;2, .Si^, Stk_)+i Sik неприводима между p и q.

Так как цепь Rx, ..., Rk неприводима, то для любой ее точки х существуют индексы а и а', такие, что

а^а'^а+1, х£ Raft Ra, x^Rt для а =^ z ^ а'.

Аналогично, если х принадлежит цепи (4), то существуют два индекса р и р', таких, что

Р^Р'^Р+1, х £ Sp f| Sp', x^S/ для р =#/=# Р'.

Из (3) вытекает следующее соотношение между аир:

/а-1 С Р ^ Р' ^ 1а'-

Действительно, если, например, Р^/1(_|, то, согласно (3), xESpCO ... и /?«-!

вопреки соотношению (5).

Из соотношений (3) и (6) легко получаем, что

StU USpU^C^U U^«U/?ab[SpUSp-U USzA<=/?aU/?a-U ... U^.

В (обобщенной) теореме 3 из § 47, V положим

л, - R, и -. • и Ra', Вх = Ra и ... и Rk. с, = А, и Вь

A2 = Sx\j ... (J Sp-, S2 = Sp U ... U Sik, С2 = А2 U В2.

Легко видеть, что условие (i) указанной теоремы выполняется для п=1, 2, а условие (iii) — для п=1. Кроме того, xE^tnBt-^U^a' и х С А2 П В2 - Sp (J Sps

и, следовательно,

6(Д п вх) < б (RaH 6 (Ra'X 2 и 6(А2ПВ2)<1.

Процедуру построения цепи (4) из цепи /?,,...,/?,. можно продолжить при помощи индукции и получить бесконечную последовательность цепей, неприводимых между точками р и q. Если С„ — объединение звеньев n-й из этих цепей, то выпод-

пяются все предположения цитированной теоремы и, в частности,

а(С„)<1/и и 6(Л„, S„)<2//z.

Отсюда следует, что множество П Сп есть дуга pq.

Теорема 2 (Хана — Мазуркевича — берлинского *)). Если Ж — непустой континуум, то следующие условия эквивалентны',

Ж — непрерывный образ интервала;

каждому е>0 соответствует разбиение пространства Ж на конечное число континуумов диаметра <е;

пространство Ж локально связно.

Доказательство. Из условия (i) следует условие (ii). Действительно, если f: 3 ->Ж — непрерывное и, следовательно, равномерно непрерывное отображение на, то

J^AUAU ... IM„, ^ = f(XDU... U/Ш и б[/(Д)]<8,

i — 1, .. ., п,

при условии, что Л,, ..., Ап — достаточно малые интервалы. Из условия (ii) следует условие (iii). Предположим, что задана система континуумов С[, ..., Сп, такая, что

Ж = сх\3 ... исп и 6(С()<е.

Пусть р^Ж, и пусть й, ..., Д~ система всех индексов, таких, что

Р^Сц, .. ., P^Ctk.

Тогда множество С/ U ... U Cik сеть связная окрестность точки р диаметра < 2е.

Из условия (iii) следует условие (i)). Так как континуум Ж л. с. и, следовательно, л. д. с. (по теореме 1), то он является непрерывным образом интервала, согласно теореме 6 п. I.

Теорема 3. Всякое компактное л. с. пространство Ж допускает разбиение на конечное число л. с. континуумов с произвольно малыми диаметрами,

*) См. названные выше статьи Мазуркевнча, а также Хан [1], [2]; Сер- пинский [7].

Простое доказательство дугообразной связности непрерывных образов интервала (которое следует из теорем 1 и 2), принадлежащее Келли, можно найти в книге Уайберна [1, стр. 39 (3)].

Доказательство. Так как всякое компактное л. с. пространство является объединением конечного числа л. с. континуумов (§ 49, II, теорема 7), то достаточно рассмотреть случай, когда Д' — л. с. континуум и, следовательно, непрерывный образ интервала. Повторяя доказательство первой части теоремы 2 (из (i) следует (ii)), мы приходим к заключению, что ."Г есть объединение конечного числа континуумов диаметра < е, каждый из которых есть непрерывный образ интервала; из этого вытекает требуемый результат (ибо (i) влечет за собой (iii)).

Теорема 4. Пусть Ж — л. с. континуум н е>0 некоторое заданное число. Тогда существует такое г) > 0, что любую пару точек, расстояние между которыми < гр можно соединить дугой Диаметра < е.

Доказательство. Это утверждение следует из теоремы 4 п. I.

Теорема 5. Свойство быть л. с. континуумом является инвариантом непрерывных отображений.

Доказательство. Это вытекает из эквивалентности условий (I) и (iii).

Из теоремы 1 вытекает следующая

Теорема 6. Всякое полное пространство, которое связно, л. с. и неприводимо между двумя точками а#=Ь, является дугой ab.

Замечание. Теорема 6 вместе с теоремой 2 из § 49, VI дают теорему 6 из § 48, VII.

Теорема 7. Пусть Ж —континуум, неприводимый между двумя точками, и пусть N — множество точек, в которых Ж не является л. с. Пространство У разбиения пространства Ж на компоненты множества N и точки множества Ж — N является дугой ^при условии что N ф Ж^ ’).

Доказательство. Действительно, 3/ — континуум, неприводимый ■ между двумя точками (по теореме 3 из § 48, I) и л. с. (согласно теореме 3 из § 49, VI).

Теорема 8. Замкнутое множество разделяет полное л. с. пространство между двумя точками тогда и только тогда, когда оно разрезает это пространство между этими точками,

*) Теорема Мура [7],

Другими словами, если полное л. с. пространство связно между двумя точками, то оно содержит континуум, соединяющий их.

Доказательство. Так как пространство связно между а и Ь, то существует область R, содержащая эти точки (а именно, компонента точек а и Ь; ср. § 49, II, теорема 17). Поскольку область R локально связна и топологически полна, опа содержит континуум, соединяющий точки а и b (по теореме 1).

Теорема 9. Пусть Ж — сепарабельное связное и л. с. пространство, которое локально компактно, но не компактно. Каждая точка Ж является вершиной замкнутого топологического луча ^т. е. замкнутого множества, гомеоморфного полупрямой') ).

Доказательство. Пусть .Ж” обозначает п ространство Ж, к которому добавлена «бесконечно удаленная точка» оо (ср. § 41, X, теорема 5). Тогда Ж* есть л. с. континуум (ибо все точки, за исключением оо, являются точками локальной связности в пространстве Ж*, следовательно, такой является и точка оо по теореме 1 из § 49, VI). Если Л —дуга р оо (существование которой следует из теоремы 1), то Л —(оо) есть требуемый луч.

Сформулируем без доказательства следующую теорему (Мазуркевич [24]).

Теорема 10. Пусть Ж — одномерный локально связный континуум и е>0 — данное число. Тогда существует такое непрерывное отображение f: Ж—» Ж, что

(!) /(%) гомеоморфно ломаной линии,

д [/"*(//)]< е для любого у. •

Замечание 2. Не предполагая, что Пространство метрическое, можно установить следующие теоремы (аналогичные теореме 2).

Теорема 11. Пусть Ж есть некоторый континуум. Пространство Ж локально связно тогда и только тогда, когда для каждого открытого покрытия существует конечное измельчение, состоящее из континуумов.

Доказательство. 1. Условие необходимо. Пусть (GJ — открытое покрытие Ж. Для каждого р£Ж пусть pEG^. Так как пространство Ж нормально (и, следовательно, регу*

лярно; см. § 41, II, теорема 3), то существует открытое множество Нр, такое, что

р^Нр и HpdGupv'

Пространство Ж предполагается локально связным, поэтому (согласно теореме 4 из § 49, II) компоненты множества Нр открыты. Следовательно, семейство всех компонент всех множеств Нр является открытым покрытием пространства Ж. Так как пространство Ж компактно, это покрытие содержит конечное подпокрытие 5Ь ..., S№. Положим Сг = Sz. Тогда

Ж^Ц ... UC„,

а так как S{ связно, то Ct — континуум. Наконец, для каждого I существует такое /, что CiCLGt; именно, мы полагаем t = t (р), где S£ — компонента Нр.

Условие достаточно. Пусть G открыто и p^G. Нам нужно определить связное множество Е, такое, что

pEInt(£) и EdG.

Рассмотрим покрытие, состоящее из двух элементов: G и Н = Е ~ ^ (Н открыто, так как Ж есть ^"Пространство и потому (/рпространство). По предположению формула (9) имеет место и каждое Сг — подконтинуум либо множества G, либо множества Н.

Пусть С^, Ch2 Скг — те континуумы, которые содержат точку р, а С№1, . .., Ст —те, которые ее не содержат. Положим

Е = С», и ... U ckf.

Тогда Ж - Е с.Стх\д ... U Ст$ и Ж - Е c:CmiU ... U Cm$. Таким образом, р£.Ж — Ж — Е, т. е. p^Int(£). Включение (10) также справедливо, ибо р^С^, откуда С^фН и, следовательно, Си czG для z = l, ..., г.

Теорема 12. Пусть Ж и У —два Jo-пространства. Пусть отображение j: Ж-+У непрерывно и на. Если Ж — локально связный континуум, то таковым является и И.

Доказательство. Пусть {Ht} — открытое покрытие ЗС Согласно теореме 11, мы должны определить конечное измельчение, состоящее из континуумов.

Далее, так как {f-1 (Д<)} — открытое покрытие локально связного континуума Ж, то существуют континуумы С^ ..., С„,

такие, что формула (9) имеет место и Cz с: (ЯД Следовательно,

з/^Жаи ... 1ШС„) и f(c^fr4H^c2Ht.

Это завершает доказательство.

Замечание 3. Условие (В) (Серпинского), которое характеризует локально связные метрические континуумы, легко получается из теоремы 11.

Области и подконтинуумы локально связного континуума Ж. Пусть Я —замкнутое множество и G — его дополнение.

Теорема 1. Существует последовательность замкнутых л. с. множеств Fh Р2такая, что

Р==Р^р2П ....

Fn7DFn+v,

всякая компонента множества Р№ содержит компоненту множества F;

никакая компонента G не содержит двух различных компонент множества Ж — Рп;

множество FF — Fn имеет конечное число компонент.

В частности, если F —континуум, то и F п —континуум-, если F не разделяет пространство, то Рп также его не раз* деляет.

Более того, число компонент множества Рп не превосходит числа компонент множества F, а число компонент множества .Т — Рп не превосходит числа компонент множества G.

Доказательство. Сначала определим последовательность замкнутых л. с. множеств Ft, Рг, .., удовлетворяющую условиям (i) — (iii).

Воспользуемся индукцией. Положим F\=.6V. Предположим, что Fn замкнуто и л. с. и что FcFn. Определим Рп+ь

Согласно теореме 3 п. II, для каждого п сущеетвует система л. с. континуумов К"Ктп, таких, ЧТО

F^KxU ... ^Кт, и

Пусть F*n+i — объединение всех таких множеств Кь что F^Kl^O. Тогда

FcF^+icfi и dist(F, Рп+^С Мп,

откуда следуют условия (i) и (1к),

Кроме того, Fn+i локально связно, как объединение л. с. континуумов (ср. § 49, II, теорема 1).

Наконец, выполняется условие (iii), так как каждая компонента множества Е1г-<л пересекается с множеством F, ибо опа является объединением некоторых множеств Кд, пересекающихся с F.

Итак, последовательность (Кп) определена. Переходим к определению последовательности {FJ.

Пусть Q|, Q2, . . . — (конечная или бесконечная) последовательность компонент множества G. По теореме 14 из § 49, II существует двойная последовательность областей (/?!), такая, что

qz-/?;u^u ....

^crUi.

Расположим эту последовательность {/?!} в простую последовательность /?!, R2, .... Тогда

G = RTUR2U ....

RkcG.

Для фиксированного п рассмотрим все области Rk с индексами k^.n, не пересекающиеся с Fn. Пусть Srt — объединение компонент множества Ж — Рп. содержащих эти области. Положим Fn - Ж - Sn. Тогда Sn <= Ж - KJ откуда F; <= Ж - Sn = Fn, а так как F' = Р\ П Р2 П •. •, то

F с К, П F2 П ... .

Условие (I) эквивалентно равенству G = S|US2U ... и, следовательно, равенству

/?,и/?2и ... = S!иs2u...

(согласно (3)); поэтому наша задача состоит теперь в том, чтобы показать, что для данного целого числа /г существует целое число п ^ к, такое, что Rk П Рп = 0.

Но Ж — Rk — окрестность множества F = Lim Кп (согласно (4)), поэтому для достаточно большого п мы имеем Fnc$-Ry откуда Rk П ?*п = 0.

Так как Р*птз Fn+\, то Srt<=Sn+i, откуда следует (ii).

Поскольку Fn локально связно, то, согласно теореме 11 из § 49, II, множество Рп = Ж — S^ также л. с. По теореме 12

из § 49, II каждая компонента множества Fn содержит компоненту множества Fn, а потому опа содержит компоненту множества F (так как F*n удовлетворяет условию (iii)).

Предположим, что условие (iv) не выполнено; это означает, что существуют две (различные) компоненты U и V множества Sm содержащиеся в одной компоненте Q, множества G. Согласно определению множества Sn, U и V — две компоненты множества Ж — Fn, содержащие два различных члена последовательности R\, Ri Но это противоречит включению (2).

Наконец, условие (v) выполняется, так как число компонент множества Sn не превосходит п.

Теорема 2. Существует такая последовательность замкнутых л. с. множеств Нь Н2, ..., что

(О g = hxuh2u

Нп<=1пЦНпИ>,

никакая компонента множества G не содержит двух различных компонент множества Нп;

каждая компонента множества Ж — Нп содержит компоненту множества F, а потому

множество Ж — Нп имеет конечное число компонент.

В частности, если G—область, то Н п —континуум; если F — континуум, то Ж — Нп — область ’).

Более того, число компонент множества Нп не превосходит числа компонент множества G, а число компонент множества Ж — Нп не превосходит числа компонент множества F.

Доказательство. Пусть [Q,], {/?*} и (/?6) — последовательности, рассмотренные в предыдущем доказательстве. Положим

Uk = RtU ... URk, где & == 1, 2

По теореме 1 существует замкнутое л. с. множество Ак, такое, что

икс:Акс.О, где 6=1,2,...,

а каждая компонента множества Afe содержит компоненту множества U к.

Пусть Нк обозначает объединение множества Ак и всех, компонент множества Ж — Ак, содержащихся в G.

По теореме 11 из §49, II множество Нk замкнуто и л. с.

') Частный случай и некоторые родственные утверждения см. Кинкейд [1].

Условие (i) является прямым следствием соотношений (3), (5) и (6). Кроме того, поскольку

G — 7/] U 7/9 U • • • > ЩсЩ + х и UkCLHb

условие (i) удовлетворяется, если последовательность (Н^ заменить любой подпоследовательностью {/7mJ, где niv<m2< ... .

Чтобы выполнялось условие (ii), заменим последовательность (Нк^ подпоследовательностью {/7тА}, определяемой по индукции следующим образом:

1) Wi= 1, 2) т& + 1 — наименьший индекс г, такой, что Hmk с Uг (существование такого индекса г следует из (7) и из того факта, что Ншк — компактное подмножество G).

Согласно (2), никакая компонента Qz множества G не содержит двух различных компонент множества Uk, а потому и множеств Ак и Нк (так как каждая компонента множества Нк содержит компоненту множества Ль согласно теореме 12 § 49, II).

Так как каждая компонента С множества Ф — Нк является компонентой множества Ж — Ак, не содержащейся в G, то отсюда вытекает, что С — G ф 0, т. е. С f| F ф 0. Следовательно, существует компонента К множества F, такая, что CQ^=#0. Из этого неравенства в сочетании с включением К <= -cf — Hk (которое следует из включений Нка G и KcF) вытекает, что К с С, так как С — компонента множества Ж — Нк, а /( — подконтинуум.

Лемма 3. Пусть R — область u S —система п+1 непере- секающихся континуумов, лежащих в R. Пусть Cn£S. Если элементы системы S перенумеровать соответствующим образом, то можно найти п областей Rb ..., Rn, таких, что для k = 1, ..., п выполняются следующие условия-.

Rk с: Rk_x - Ck, Со U Ck+V U Ck+2 U ... U C№ c Rk

(где R0 = R).

Согласно теореме 6 § 46, III, существует континуум C^S —(Co), такой, что все элементы множества S — (С,) расположены в одной компоненте Q множества R — Сь Поэтому они содержатся в области Rb такой, что /^ cz Q (ср. § 49, II, теорема 15).

Аналогично, существуют элемент С2 системы S —(Со, С]) и область R2, такие, что все элементы системы S —(С,, С2) содержатся в R2 и R2 с /?, — С2.

Продолжая шаг за шагом таким образом, мы получим требуемую нумерацию элементов системы S.

Теорема 4. Пусть F — замкнутое множество, состоящее из бесконечной последовательности компонент, каждая из которых, за исключением одной, скажем Со, открыта в F.

Если эти компоненты упорядочить подходящим образом в виде бесконечной последовате льности Со, Сь С2, . .., то можно найти последовательность открытых множеств Gx, G2, ... , такую, что Gn состоит из п + 1 компонент;

Gn = Rn.0\3 ... и Rn, m

и при этом

(Ю)Т=ПС„,

(Н)Gn+x^Gm

С j <= Rn, / для 1 ^ / ^ п,

с0ис„+1ис„+2и ... cRn,«.

Доказательство. Заметим сначала, что существует последовательность континуумов Кь К2такая, что

(14)(15)(14)(15)Со= П К»,П—1

(14)

(15)

(14)

(15)

Кп + \^Кп

и для каждого п все компоненты множества F, за исключением конечного числа, содержатся в Кп-

Если Fx, F2, ... — последовательность замкнутых л. с. множеств, удовлетворяющих условиям (i) и (ii) теоремы 1, то пусть Кп ~ компонента Fn, содержащая Со. Пересечение Л"1 П/СгП ... совпадает с Со как подконтинуум множества F. Кроме того, так как число компонент множества Fn конечно (согласно теореме 7 из § 49, II), то Кп содержит все компоненты множества F, за исключением конечного числа.

Пусть Sn — система, элементами которой являются континуум Кп и всс компоненты множества F, не пересекающиеся с Кп- Из условий (14) и (15) легко следует, что все компоненты множества F, отличные от Со, являются элементами объединения $( U $2 U • • • •

Пусть /„+1 — число элементов в $„. Можно считать, что 0 = /0</,</2< ... . Согласно лемме 3, элементы из Sn — Sn_v, отличные от К^ можно снабдить индексами /г = /„_1+ 1, ..., 1п и найти такую систему ln — ln-i областей Rk, что

Rk с: R^ -Ск, R0«5K,

/<rt U Cfe+i U С/,+2 U ... UCi^Rb

Так, например,

С, Л ^i = О, /<1 и с2 и Сз и ... и С/, <= Ль Кл с: Rp,Rh с: Ri^x — Сц.

Можно также считать, что область Rin содержится в шаре Zn с центром Кп радиуса 1/ц; это означает, что

Р(м Кп^< 1/» Для х Е Rtn.

Действительно, Ri можно заменить, если необходимо, компонентой множества Zn П Rin, содержащей К№-

Далее, определим области Rn, 0, ..., Rn,n, где ц = 0, 1, .... Пусть п фиксировано. Положим Rn, o = Rn- Предполагая, что С; с Rn_v, д, где 1^/^ц — 1, обозначим через Rn, j область, для которой

CjCiRn.j,

Rn. !^п-ы,

р(х, Cj'Xljn для хЕ Rn.j-

Кроме того, пусть (ср. (16))

_ CncR„.„,_

Rn,ncRn_,-Rrt.'

Определим Gn соотношением (9). Тогда области Rn,Q) ..., Rn,п являются его компонентами; другими словами, они не пересекаются. В самом деле, для 0 <i < j б^п мы имеем (ср. (20), (22) и (16))

Rn.ic Ri.iCZ Rt_x — Ri az Rt-t- R/-i, откуда Rn, { Q Rn, / = 0, а, с другой стороны,

Rn,onRn.i<=Rn-Ri = O.

Условие (10) следует из соотношений

Со = П Rn, о = П Rn и Cf = f) Rrt, /(/>0),

которые в свою очередь вытекают из (14), (18), (16) и (21). Далее, включение (11) получается из следующих соотношений (ср. (20) и (8)): Rn.icRn-Y.i ^^j^n-l^ Rn.0=RnC=Rn-1,0! Rn.n^Rn !,0. Наконец, включения (12) и (13) следуют из (19), (22) и (8).

Теорема 5. Если задана конечная система областей Rb ..., Rn, такая, что Л" = /^ U • . . U Rn, то существует система л. с. континуумов С\, ..., С,„ такая, что

^ = С,и...иС„ и ClCi Ri.

Доказательство. Согласно следствию из § 14, III, существует система замкнутых множеств Ех, ..., Еп, такая, что

Я' = Fx U .. • U Еп и Ft с Rt.

По теореме 15 § 49, II из последнего включения вытекает существование такого континуума Ct, что Ft с Cz с R,. Согласно теореме 1, можно считать, что Cz —л. с. континуум, откуда следует (24).

Теорема 6. Если л. с. континуум Я’ не является уни- когерентным, то он представляет собой объединение двух л. с. континуумов, пересечение которых несвязно.

Доказательство. По предположению существуют два континуума К и L, таких, что Я" = К U Е и пересечение К В Е несвязно. В соответствии с теоремой 1 пусть Кх, К-2, • • • и Ех, Е2, ... — две последовательности л. с. континуумов, таких, что

К=ПК„, Е=ПЕп, К^х^Ка и Ln„cLn. «=-1п = Х

Отсюда следует, что

Я' = Кп\^Еп и К П Е = Q {Кп 0 Еп). п = Х

При достаточно большом значении п множество К» П Еп несвязно, ибо в противном случае К П Е было бы связным (согласно теореме 5 из § 47, II).

Теорема 7. Если R —подобласть пространства Я7, то

множество всех точек Fr(/?), достижимых из R, всюду плотно в Fr(/?);

если p^Fv(R) и R\d р локально связно, то точка р достижима из R;

всякая точка р, достижимая из R, достижима при помощи л. д. с. континуума и, следовательно, при помощи дуги, т. е. существует такая дуга L, что р £ Е cRU р-

Доказательство. Пусть p£Fr(/?) и е — положительное число. Так как Я" локально связно, существует дуга др, такая, что q^,R и 6(б/р)<Е. Поэтому если г — первая точка

границы Fr(7?) на qp, то г — достижимая точка и |р — г [ < е; отсюда вытекает утверждение (i).

следует из теоремы 1 п. 11 на том основании, что R U Р есть О6-множество и потому топологически полно (ср. § 33, VI).

Наконец, пусть С —такой континуум, что

pECcRUp и СПЯ#=0.

Положим

Л^САЕП/л^-рК!/^-1)]: X

тогда

= и 4

1

Таким образом, Lim Ап = р. По теореме 1 существует такое замкнутое л. с. множество Fn, что

Л„ с F„c R,

LimF„ = p

ц все компоненты множества Fn (число которых конечно; ср. § 49, II, теорема 7) имеют точки, общие с Л„. Согласно (26) —(28), множество С* = р U Fx U F2 (J ... есть континуум. Согласно (27), никакая точка не принадлежит бесконечному числу множеств Fn, следовательно, континуум С* л. с. в каждой точке объединения Fx |J F2 (J ..., а потому в каждой своей точке (так как р не может быть единственной точкой, в которой С* не является л. с.; ср. § 49, VI, теорема 1).

Сформулируем без доказательства следующее утверждение:

(iv) если dimFr(/?) = 0 и p^Fv(R), то О р л. с. (Уайберн [11, стр. 315]).

Теорема 8. Пусть G — открытое подмножество л. с. континуума, и пусть Rx, R2, ... — последовательность его компонент. Если lim б (/?„) = О, то

d,(G) = max б (/?„);п

другими словами (ср. § 45, IV), существует конечная система открытых множеств Н\, ..., Нт, такая, что

G = HX\} ... \]Hm, H^H^Q для i^j и б (Нх) < max б (Rn).

Доказательство. Положим ц= max б (/?„). Пусть k — такой индекс, что d(Rra) <р/3 для n>k. Так как множество G

вполне ограничено, пусть Ль ..., Аг — такая система множеств, что

G = XiU 1МГ и д(Л,)<р/3 для /=1, .г.

Положим m = k.A-r, H^Rt для i^fe, и пусть //А+/— объединение множеств Rn, таких, что п>к и ■

/?„П Л,У=0 = /?„П А для s<i ^\^i^r\

IV. Наследственно локально связные (н. л. с.) континуумы ’). Так называется всякий л. с. континуум, каждый подконтинуум которого также л. с.

Примером множества такого вида является дуга, а также континуум из § 49, VI (замечание). Однако квадрат Я2 — л. с., по не н. л. с. континуум. То же самое относится к следую

щему континууму, являющемуся объединением двух н. л. с. континуумов (рис. 7).

Пусть С — континуум, состоящий из сегмента (O^x^l, у = 0), вертикальных сегментов (x = m/2't+1, 0 ^ у ^1/2"), где

') Ср. Уайберп [14].

18 Зак. 190

О ^//г^2'1"н, и горизонтальных сегментов (O^x^l, //=1/2"), где n = 0, 1 КонтинуумС представляет собой объеди

нение двух и. л. с. континуумов, симметричных относительно прямой х — 1/2; один из них отмечен на чертеже жирными линиями. ■

Из теоремы 2 § 49, VI вытекает (ср. также § 51, IV, теоремы 3 и 2) следующая

Теорема 1. Всякий континуум, который нс содержит никакого нигде не плотного подконтинуума (состоящего более чем из одной точки), является н. л. с.

Теорема 2 ). Континуум является н. л. с. тогда и только тогда, когда он не содержит никакого континуума сходимости (состоящего более чем из одной точки).

Доказательство. Условие достаточно по теореме 1 из § 49, VI, поэтому докажем его необходимость, а именно если задана такая последовательность континуумов Кх, Ко, •. ., что

ЫтКп = ЛК KiV\Kj = O для /=/=/, КПК,i = 0, р^К^р, П->оо

то существует континуум, не являющийся л. с.

Итак, можно считать, что пространство л. с. Тогда существует континуум Q, такой, что p^Int(Q) и K — Q#=^. Так как p^LimKn, то существует число п^, такое, что QA/G^O

для п^?п0. Континуум

c=oquowj ...

не является л. с. ни в какой точке q^K — Q, ибо в противном случае существовал бы континуум L с: С — Q, содержащий точку q в своей внутренности относительно С, причем

та (/^и/с-.и и ...)у=о.

Но тогда равенство

T4TAK)U(AAK,JU(TA/G11+i)U ...

было бы разбиением континуума L на последовательность замкнутых попарно пепересека ющихся множеств, по крайней мере два из которых непусты, что противоречит теореме Сер- пипского (§ 47, III, теорема 6).

Теорема 3. Если Rx, R), ...—последовательность непе- ресекающихся областей в н. л. с. континууме, то lim б (/?„) = 0.

Доказательство. Действительно, в противном случае существовали бы число е>0 и сходящаяся последовательность континуумов К tv) Ki,, •... такие, что Kinc- Ritl и d(7Gj>e. Но тогда предел К = Lim Ktn был бы континуумом сходимости, содержащим более одной точки, ибо д(/()^е.

Замечание. Однако может существовать -такая последовательность попарно непересекающихся континуумов С^ С2, . . . , что Нтб(С„)#=0. Примером служит следующий копти 1уум ’).

Пусть рь р2, ... — последовательность простых чисел, начинающаяся с 3; С —интервал 01 оси х в пространстве х, у, г; Сп — дуга, состоящая из полуокружностей, соединяющих последовательно точки

'/Рпл 2/Рп> . . . , (рга 1 )/рГ1 и лежащих в плоскости z = tjln.

Континуум CUCiUC2U ... является и. л. с., однако limod(C„)= 1..

Теорема 4. Пусть G — открытое подмножество н. л. с. континуума и Rx, R,, ...—последовательность компонент G. Если д(/?„)<е для каждого п, то dx(G)<e, т. е. G допускает разбиение на конечное число непересекающихся открытых множеств диаметра <е.■■

Доказательство. Теорема 4 следует из теоремы 3 и теоремы 8 п. III.

Из теорем 3 и 4 легко выводится следующая

Теорема 5. Всякий н. л. с. континуум обладает следующим свойством:

(*) если Gi, 02, ... — последовательность непересекающихся открытых множеств, то Нт ^ ((?„) = 0, т. е. каждому е>0 П->оо

соответствует такой индекс п6, что для п>пе множество Gn допускает разбиение на конечное число непересекающихся открытых множеств диаметра < е.

Эту теорему можно сформулировать в более общем виде:

Теорема 5а. Если Л —подмножество н. л. с. континуума, то Л, рассматриваемое как пространство, обладает свойством (*\

Теорема 5а вытекает из следующего утверждения:

Теорема 6. Свойство (*) наследственно, т. е. если А —некоторое подмножество пространства, обладающего свойством (*), то это свойство сохраняется для А при условии, что в качестве «открытых» рассматриваются множества, открытые относительно А.

Доказательство. Пусть Gh Go, ...—попарно непере- секающиеся множества, открытые в А; тогда существует последовательность Щ, Н2, ... попарно непересекающихся множеств, открытых в пространстве, такая, что Gn = А П Н п (ср. § 21, XI, теорема 2). По предположению для п>пе существует разбиение Нп = Н^ U ... U Н™'1 на непересекающиеся открытые множества диаметра <е. Равенство

o„=W)u ... и(дп/О)

дает разбиение множества Gn на открытые в А иепсресекаю- щиеся множества диаметра < е.

Лемма 7. Пусть в сепарабельном пространстве, обладающем свойством (*), заданы замкнутое множество А и семейство открыто-замкнутых множеств (Gj, такие, что А с (J Gz- Тогда существуют бесконечная последовательность индексов th t2, . . . и бесконечная последовательность открыто-замкнутых множеств Нь Н2, .. ., такие, что

HndGfri,

Асг\ЗНп = \рГп.

Доказательство. По теореме Линделёфа (§ 5, XI) существует такая последовательность /ь t2, ..., что

А с (J Gin.

Положим

FV = G,X и F^Gz^^U ... UG/nJ дляп>1.

Таким образом, множества Fb F2, ... открыто-замкнуты и не пересекаются, следовательно,

HcU Fn.

п

Так как lim rfI(F„) = 0, то

Fn = Fnl U ... U Fnl , где d(Fn!,) <еп и Нт е„ = О,

и множества Fnb ..., Fnt открыто-замкнуты и не пересекаются. Пусть //„ — объединение тех из них, которые имеют общие точки с Л. Из соотношений (3) и (5) вытекает включение (1). Первая часть соотношения (2) вытекает из (3) —(5). Для доказательства второй части положим

х = Пт хп, где хп Е Нтп и тх < т2 < . .. .

П-> ОО

Следовательно, х„ £ Fmnimn, где А ПF„,n!m^0; пусть у,^ Ar\Fmnim^ Таким образом, | х„ -//J < б (B„,/i/m J < е,„п, откуда 1Ип уп = х. Поэтому х^А = А, откуда следует, что x6U^n> согласно включению (2).

Теорема 8. Если сепарабельное пространство обладает свойством ^, то из связности этого пространства между двумя замкнутыми множествами А и В следует его связность между некоторой парой точек а^А и Ь^В.

Другими словами, из свойства (*) вытекает свойство (М) (рассмотренное в § 47, II, теорема 1).

Доказательство. Сначала покажем, что пространство, не связное между В и любой точкой а £ А, не связно между Л и В. По предположению каждой точке а £ А соответствует открыто-замкнутое множество G (и), такое, что

a^GUd и ВП6(а) = 0.

Из леммы вытекает существование открыто-замкнутого множества //, такого, что

А с Н с U G (а), откуда ВП// = 0.a v А

Таким образом, пространство не связно между множествами А и В. Итак, из связности между двумя замкнутыми множествами А и В вытекает связность между множеством В и некоторой точкой а £ А Применяя эту импликацию к случаю, когда А =(а), получаем, наконец, что пространство связно между точкой а и некоторой точкой b £ В.

Теорема 9. Всякое подмножество Е н. л. с. континуума ^любое сепарабельное пространство, обладающее свойством (*)) удовлетворяет следующим условиям1.

если Е связно между двумя множествами А и В, замкнутыми в Е, то существует компонента С множества Е, такая, что

АПС^О^ВПС1,

квазикомпоненты множества Е связны, и потому совпадают с компонентами множества Е;

если (Нтр£’>0, то р принадлежит связному множеству (состоящему более чем из одной точки-), содержащемуся в Е;

для каждого е>0 существует только конечное число компонент множества Е с диаметрами > е;

) если множество Е связно, то оно локально связно.

Доказательство. Утверждения (i), (ii) и (iii) имеют место в силу теоремы 8 или теорем 3, 2 и 9 из § 47, П соответственно.

Чтобы доказать (iv), рассмотрим, в соответствии с теоремой 3 из § 46, V, такое непрерывное отображение f: Е-*^, что множества f-1 (у) совпадают с квазикомпонентами множества Е (yGi(E(Y

Если Е имеет бесконечно много компонент и, следовательно, согласно (ii), бесконечно много квазикомпонент диаметра > е, то существует такое бесконечное множество А с ЦЕ), что д [/~* (у)] > е для у G Л. Пусть Н х, Н2, ... — бесконечная последовательность нспересекающихся множеств, открытых в ^ и таких, что А П Нп ^ 0. Тогда никакое множество Gn = f l (Нп) не допускает разбиения на непересекающиеся открытые множества диаметра < 8 (ибо Gn содержит связное множество диаметра > е). Но это противоречит свойству (*), так как множества Gh G2, ... не пересекаются и открыты.

Перейдем к доказательству (v). Будем считать, что Е — пространство. Предположим, что пространство Е не является л. с. в точке р; тогда существует замкнутая окрестность Г точки р, такая, что р нс является внутренней точкой своей компоненты в F. Следовательно, существует последовательность точек рь р2, ..., сходящихся к р и принадлежащих различным компонентам Qb Q2, ... множества F. Так как p^Int(F), то, согласно теореме 6 и (iv), существует такой индекс п, что Q„ с: Int (Е), т. е. Qn П Fr (F) = 0. Согласно (ii), Qn — квазикомпонента точки рп в F. Поэтому F не связно между рп и любой точкой Fr(F), а, следовательно, по теореме 8 между рп и Fr(F). Другими словами, F содержит замкнутое множество И, такое, что рп^Н, ДГ|Рг(Е) = 0 и Н открыто в F и, следовательно, в Int(F) (так как Н с Int (F)). Но в таком случае Н открыто-замкнуто, что противоречит связности пространства.

Теорема 10. Если всякое связное подмножество континуума Ж есть полу континуум, то любое подмножество Е, связное между двумя точками а и Ь, содержит дугу ab.

Доказательство. Согласно теореме 7 § 49, VI, ^ есть н. л. с. пространство. Так как Е связно между двумя точками, то оно содержит связное множество (по теореме 9 (i)) и, следовательно, полуконтинуум S (по предположению), содержащий точки а и Ь. Таким образом, S содержит дугу ab, ибо всякий полуконтинуум в ^ дугообразно связен.

§ 51. Теория кривых. Порядок пространства в точке

Определения и примеры *). Если и — кардинальное число О или порядковое число со, то говорят, что пространство Ж имеет порядок, ^и в точке р:

ordp Жordp Жп,п,

ordp Ж

ordp Ж

п,

п,

если для любого е>0 существует открытое множество G, такое, что),

)p^G, d(G)<e и Ег(с5^п.

Положим

^■In, = E(ordp^^n).р

Равенство ordp.^ = it означает, что ordp Д’^п и что соотношение or АрЖ ^1П не имеет места ни при каком ш < п.

Соотношение ord Ж ^ н означает, что ordp/V ^н для любой точки р.

Говорят, что пространство Ж имеет порядок ^ и между двумя множествами А и В:

ОГ^А,ВЖОГ^А,ВЖии

ОГ^А,ВЖ

ОГ^А,ВЖ

и

и

если существует открытое множество G, такое, что

) 4cG, СПй = 0 и FKG)<ir,

другими словами, если существует замкнутое множество F мощности ^и, разделяющее пространство Ж между множествами А и В.

[Ясно, что символу огбл>вД/ нельзя приписать никакого смысла, если множества А и В не отделимы; в этом случае огбл, в Ж > н для любого п, если считать, что знак > есть отрицание знака ^.]

Ср. Менгер [2], где можно найти много литературных ссылок. Основные определения и теоремы теории кривых содержатся в работах Менгера [3, 8] и_Урысопа [I, 5]. _

Точки порядка ^ Ко называются рациональными-, точки порядка ^ со называются регулярными (это тс точки, для которых множество Er(G) конечно). Точки порядка 1 называются концевыми точками. Очевидно, что точки р порядка 0 совпадают с теми точками, в которых dimp.^’ = 0.

Пространство, которое состоит только из регулярных (соответственно рациональных) точек, т. е.

Я" = /Л'^1 (соответственно 5Г = .Ж'[Ко1), называется регулярным в смысле теории порядка (соответственно рациональным).

Всякий одномерный континуум называется кривой. Следовательно, рациональный континуум — кривая.

Примеры. 1. Точки 0 и 1 — концевые точки интервала 3 = 01. Если of — окружность х2 + у2=1, то

S’ = ^\ 3м = 0.

Пусть Л,, — отрезок, определяемый в полярных координатах условиями

а = л/п, 0^р^1/ц,

и пусть 3' = Л, U Л2 U ... и р = (0, 0); тогда ordp^' = со.

В примере (iv) из § 49, I для каждой точки р сегмента 01 оси у имеет место равенство

ordp ST = Ко.

Если .Ж’— континуум из § 46, II (замечание), то для любой точки р

ordp .Ж’ = с.

Это же соотношение имеет место, если ST — произвольный неразложимый континуум.

Универсальная кривая Серпинского является плоским нигде не плотным и локально связным континуумом, состоящим исключительно из точек порядка с (Серпинский [3]).

Эта кривая определяется так. Разобьем квадрат 92 на девять конгруэнтных квадратов и выбросим внутренность центрального квадрата. Аналогично разобьем каждый из оставшихся 8 квадратов и выбросим из них центральные квадраты. Продолжим этот процесс далее шаг за шагом. Невыброшенные Точки образуют указанный выше континуум (рис. 8).

Треугольная кривая Серпинского определяется следующим образом (см. Серпинский [1] и [2]).

Пусть 7’— равносторонний треугольник. Разобьем его на 4 конгруэнтных треугольника. Пусть Те, Ть Т2 — те из них, которые имеют общую вершину с Т. Аналогично разобьем

Рис. 8 — 9

каждый из треугольников То, Тh Т2 на 4 конгруэнтных треугольника, и пусть 7’оо, 7’oi, То->, ^ю, •••, Тоо — тй из них, которые имеют общую вершину с одним из треугольников То, Ть Т2. Будем продолжать таким образом шаг за шагом.

Положим

ва1а2...а<, = Рг(Та!а2...аА) И ЯГ = (J Ва,™, ... ай,где индексы at принимают значения 0, 1 и 2, а & = 0, 1

Континуум Я' имеет три точки порядка 2 (вершины треугольника Т\ счетное множество точек Порядка 4 (вершины других треугольников), а все остальные точки имеют порядок 3.

Легко построить континуум, состоящий исключительно из точек порядка 3 и 4. Для этого достаточно к Я' добавить топологически эквивалентный континуум, имеющий общими точками с Я’ только вершины треугольника Т.

Существуют связные и вполне несовершенные регулярные пространства (Кнастер и Куратовский [6]).

Доказательство. Разобьем плоскость па Два вполне несовершенных непересекающихся множества Лив. Пусть Д’ —континуум Из примера 6, и пусть 3 —множество вершин треугольников 7'а1...а6; можно доказать, что множество (Л 0 Д’) US обладает указанными свойствами.

Объединение п дуг раь .... рап, которые попарно не пересекаются, за исключением точки р, имеет порядок п в точке р.

Обратно, имеет место следующая замечательная теорема ’):

Пусть Ж — локально связный континуум. Если отйр S' ^ п, то существуют п дуг раь ..., рап, которые попарно не перв" секаются, за исключением точки р.

Общие свойства.

Теорема 1. Точка р принадлежит множеству (Е U p^W тогда и только тогда, когда для каждого е>0 существует открытое множество G, удовлетворяющее условиям

PEG, d(G)<e и Ef|Fr(GXn.

Необходимым и достаточным условием того, что огдл,вЕ<л\, где Л, ВсЕ, является существование открытого множества G, такого, что

AcG, G(]B = 0 и ЕПЕг(ОХп.

Доказательство. Если pC(EUp)fn|> то существует множество И, открытое в Е U р и такое, что

р^Н, д(Д)<е и (jTupWf -Н^и.

Так как множества Н и Е — Н отделимы, то (согласно теореме 1 из § 14, V) существует открытое множество G, удовлетворяющее условиям__

HcG, G^E-H=Q и 6(G)<e.

.Следовательно,

Е П G — G с Е П И — И, откуда Е f| Fr (G) <Е f) Н — И < и.

Обратно, если открытое множество G удовлетворяет условиям (1), то множество Н = Е П G U P открыто в Е \J P и удовлетворяет условиям (3), ибо

(EUp)n£-// = (EUp)n(WGUp)-(EnGUp) =

= (EQEnGUp)-(EnGUp) =

= Е fl Е f] G —(Е f) G) — рс£ f] G — G.

Следовательно, р С (Е U р)(п|.

') Теорема Ментора (««-Beinsatz»), см. Мепгер [6, стр. 98|. Доказательство см. Мепгер [2, гл. VI, 1] п Уайберп [23]. Доказательство для п — 2 будет дано в § 52, Ц, теорема 15.

Рассмотрим вторую часть теоремы. Пусть огбЛ|Д£^п и Н — множество, открытое в £ и такое, что

АсН, Н^\В = 0 и Е^Н-Н^ п.

Если G — открытое множество, такое, что

Н с G и G П £ - И = О, то условия (2) удовлетворяются.

Обратно, если условия (2) выполняются и если H = EV\G, то выполняются и условия (4), откуда огбл.д£^п.

Теорема 2. Множество AEW и вообще множество

Е [р €(^ U р)[п]]ресть О ь-множество.

Доказательство. Это множество равно О^ОгП • ••> где Gh состоит из точек р, для которых существует открытое множество G, удовлетворяющее условиям (1) с е=1//г.

Теорема 3. Е f| ^[nl с £[п,( т. е. если р£Е, то ■

'ordp Е -Д ordp Ж.

Теорема 4. Если множество G открыто, то G f| SEW = = G П G1"1, т. e.

ordp G = ordpSE для pEG. .

Доказательства теорем 3 и 4 очевидны.

Теорема 5. Если SE = SEW, го существует база, состоящая из открытых множеств Rb R2, ..., таких, что Pr^R^^n.

Доказательство. Поставим в соответствие каждой точке р и каждому положительному целому к открытое множество О]Др\ удовлетворяющее условиям I (1) для е=\}к. По теореме Линделёфа (§ 5, XI) для каждого к существует последовательность Git(,pv\ ОДр^, ..., такая, что/£ = ОДр^и UGa(p2)U ... . Если двойную последовательность {Gfc (р;)}, где к=\, 2, ... и /=1, 2, ..., упорядочить в простую последовательность, то получится требуемая база Rb R>, ... .

Теорема 6. Для того чтобы ordp.^^n, необходимо и достаточно, чтобы всякое замкнутое множество F, такое, что p^SE — F, удовлетворяло условию ordp, д /Е ^ п.

Доказательство. Так как это условие, очевидно, необходимо, остается показать, что оно достаточно.,

Пусть е > 0; положим F = Е [ I х — р | ^ е]. По предположению х

существует открытое множество G, такое, что p£G, Fr(G)^n и GDF = 0; отсюда d(G)^e и, следовательно, огйрЯ'^п.

Порядок Ко и с.

Теорема 1. Пусть п=Ко или и = с. Если Ж — компактное пространство порядка п между двумя замкнутыми множествами Л и В, то Ж имеет порядок п между двумя точками «ЕЛ и Ь^В.‘

Более общо, если подмножество Е компактного пространства имеет порядок п между множествами А и В {где Л U ВсгЕ), то существует пара точек а и Ь, таких, что

«ЕЛ Ь^В и ordp, b{E U a U Ь) и.

Доказательство. Эта теорема доказывается аналогично теореме 1 из § 47, II1).

Пусть О — семейство всех открытых множеств G, таких, что £ПБг(С)<п. Предположим, что для всех точек «ЕЛ и Ь^В условие (1) не имеет места, т. е. (ср. с теоремой 1 п. II) что существует открытое множество G, для которого

«Е<«, b^G и {Ё 0 a U Ь) Г) Fr (G) < п, откуда G Е G.

Таким образом, согласно лемме из § 37, II, существует множество

Я = (с!П ... QG/JU ... U(g?D ... OGz^), где G/ ЕО, такое, что Л с И и В П /7 = 0. Так как (ср. § 6, II (8))

Fr (Я) с U Fr(G/), откуда £ПРг(Я)<п, i. I

то огйл, в £ < и.

Теорема 2. Пусть п= Ко или п = с. Если пространство Ж компактно и огдрЖ = п, то существует точка q, такая, что огйр,рЯ' = п.

Более общо, если Е — подмножество компактного пространства Ж, то каждой точке р порядка и в Е соответствует точка q, такая, что ordp. р (£ U ^) = н.

*) По поводу аналогий между теорией размерности и теорией порядка следует упомянуть, что многие теоремы обеих теорий можно получить из теории семейств, определяющих размерность (ср. § 27, VII).

Доказательство. С одной стороны, для любых q ^ р имеет место неравенство ordp, q (Е U q) ordp Е, а с другой стороны, если в теореме 1 множество В заменить замкнутым множеством Е, таким, что р^Е — В н_огйрЕ ^ordp, в Е (ср. II, теорема 6), то существует точка q^B, такая, что

ordp, л £^ordp,p(£ U^), откуда ordp, р(£ U Q) = п. .

Теорема 3. Если, пространство Ж компактно и огйР]ЛД’^ ^ No для каждого х Ж р, то отдрЖ^. No-

Доказательство. Если ordp/£> No, то, согласно теореме 6 п. II, существует замкнутое множество F, такое, что рЕЖ — F и ordp,РЖ = с. Но тогда (по теореме 1) существует точка хЕ?, такая, что ordp, ЛД' = с.

Теорема 4. Пусть п = N о или ” = f• Если Ж — компактное пространство и р — фиксированная точка Ж, то множество

Р = риЕ(огдр,хЖ>^ X есть континуум ’).

Доказательство. Сначала заметим, что Р замкнуто, так как множество Ж — Р является объединением открытых множеств А, таких, что рЕЖ — А и Ег(Л)<п. Для доказательства связности Р обозначим через О открытое множество, такое, что рЕО и Р И Fr(G) = 0. Покажем, что PaG.

По теореме 1 из равенства РПЕг(С) = 0 следует, что ordp,rr(G) Ж < п. Поэтому существует открытое множество Н, такое, что

рЕН, ДПРг(С) = 0 и FrW)<n.

Отсюда следует, что

pEH^G и Fr (Д f| G) с: Fr (Д),

так как

Fr (Д П О) = НПО - (Н П О) с (Д П G - Д) U (Д П О - G) с Н - Н

(ибо НПО — G=0). Поэтому Рг(ДПС)<п. Так как рЕНПО, то (по определению Р)

Ра НПО, откуда Р а Д П О = Н П О a G.

*) Очевидно, что квазикомпонента точки р (§ 46, V) совпадает с множеством Е (ordp,ХЖ^ 1),

Следующее утверждение является простым следствием теорем 2 и 4.

Теорема 5. Во всяком компактном пространстве множество иррегулярных точек (т. е. множество .77 — .7’W), так же как и множество иррациональных точек (т. е. множество ЯР — ,7/1-чД являются объединениями континуумов (содержащих более одной точки')).

Теорема 6. Если Ж — компактное пространство, то множество) точек порядка с иррегулярно в каждой из своих точек, т. е.

(.Г - ^’1М)[ю| = 0).

Доказательство. Предположим, что р £(.?-’ —.№°1)|ю1. Пусть е>0. Существует открытое множество G, такое, что

PEG, 6(G)<e и Fr(G — •^N°l)<«-. ■

С другой стороны, существует семейство О открытых множеств, таких, что каждому х С Fr (G) П •77|к»1 и каждому положительному целому k соответствует множество /7 £ G, удовлетворяющее условиям

х^Н, ЦН)<еЦг и Fr(77)< No.

Так как множество Fr (G) —/Г^»! конечно (согласно (3)), то множество Fr (G) П -.‘FlM является множеством типа Fo. Поэтому можно применить следствие 5 из § 41, II. Таким образом, существует последовательность множеств Н„ Н2, ..., принадлежащих О и удовлетворяющих условиям

Fr(G)n.W<=U^m,

U77mc:UnmUFr(G).

mm

Положим'

Q = G U U Hm.

Из этого следует, согласно (3) и (4), что

p^Q и d(Q)<3e.

') См. Мспгер [3,.стр. 287], Урысон [6, стр. 19] и Гуревич [3, стр. 759].

Кроме того, согласно (7) и (6), имеем

FrtQHQ-QHG-Q^UT^-Q'jc

с р - G - U Н,^ U [ | U Hm U Fr (G)| ~ G - U Я„г) <=

clFr(G)-UOUFr(//„),

Iin J m

ибо

U Hm - U Hm C U (/7m - H,^ = U Fr Ulm\ tninmtn

В силу (4)

iWXKo,

так как, согласно (5) и (3),

Fr (G) - ЦЯ,« < FrW^^® < со.in

Из условий (8) и (9) следует, что р^Ж^, а это противоречит нашим предположениям.

Замечание. Термин иррегулярный нельзя заменить термином иррациональный. Действительно, существует компактное пространство Д’, множество точек которого порядка с рационально (т. е. не имеет ни в одной точке порядка с) и не пусто.

Рассмотрим следующий пример ]).

Для x^^f пусть

х = 2/3"1 + 2/3"2 + ..., где пх<пг< ... <nk < ..., и

/ (х) = (-1)" 7(3/2)+ (-1)"2/(3/2)'+ ... +(-1)"/г/(3/2),1+ ....

f(0) = 0.

Пространство Я" состоит из сегментов с концевыми точками (х, /Д и (х, sx\ где 1Х и sx обозначают соответственно нижний и верхний пределы функции f в точке х, где х^^".

Регулярные пространства, рациональные пространства.

Теорема 1. Всякое связное регулярное пространство локально связно.

Более точно, если Ж связно и огйрД’^со, то Ж локально связно в точке р.

См. Отто [I]. Ср. Куратовский [29]. Первый пример с этим свойством Сиял найден Мазуркевичем [18]. Частичное решение см. Куратовский и Ма- зуркевич [1].

Доказательство. Пусть е>0 и G — такое открытое множество, что

pEG, d(G)<e и Fr(G) = (g„ .... qn).

Множество М'— Fr(G) является объединением двух отделимых множеств G иЯ’ — С, а множество Fr(G) — объединением п связных множеств (согласно (1)). По теореме 7 из § 46, II множество G = GUFr(G) есть объединение не более п связных отделимых множеств

G-S,U ... USb pESx и k^n.

Так как множество Sj отделимо от множеств S2, S3, ..., Зь, то оно отделимо от их объединения S2U . .. U S^ и, следовательно, St есть окрестность точки р относительно G, а потому и относительно ^’ (ибо pEG\

Наконец, d(S|)<e, согласно (1) и (2). Поэтому Ж локально связно в точке р.

Теорема 2. Всякий регулярный континуум наследственно локально связен.

Еолее точно, всякое связное подмножество регулярного пространства локально связно.

Доказательство. Действительно, всякое подмножество регулярного пространства регулярно.

Замечания, (i) Обратная теорема неверна. Существуют наследственно локально связные пространства, которые не регулярны.

Таким является, например, (плоский) континуум), состоящий из сегмента Os^x^l, у = 0, полуокружностей

(2^ - । V , 21А

у—) +=У>0,

где п—\, 2, ... и k = 1, 2, 3, ..., 2"-1, и полуокружностей -(26 - 1 V . о ।

где п = О, 1, ... и /г = 1, 2, ..., 3" (рис. 10).

(п) Однако имеет место следующая теорема: всякое наследственно локально связное пространство рационально^).

Наконец, существует рациональный континуум, не являющийся локально связным. (См. пример (Hi) в § 49, I.)

Теорема 3. Всякий конгинуум, не содержащий нигде не, плотных подконтинуумов (за исключением отдельных точек-), является регулярным.

Доказательство. Пусть Я" иррегулярный континуум; согласно теореме 5 п. III, существует континуум

Кс^Г-Я<<0\

содержащий более одной точки. Предположим, что Я- не со

держит нигде не плотных континуумов (состоящих более чем

из одной точки); тогда он наследственно локально связен 'по теореме 1 из § 50, IV). Поэтому континуум К локально связен и (ср. §50, II, теорема 1) содержит некоторую дугу Л. Эта дуга не является нигде не плотно'! в Я’, поэтому пусть р — внутренняя точка Л. Очевидно, что

ordpЯ’ = ordp Л $С2 вопреки соотношению (3).

Теорема 4. 11 рост ранет во рационально тогда и только тогда, когда оно является объединением двух множеств,

одно из которых самое большее нульмерно, а другое счетно *).

Доказательство. Пусть пространство Я" рационально, и пусть в соответствии с теоремой 5 п. II Rb R2, ...—база пространства .Т, такая, что Pr (Ri) ^ No. Положим

О = J Рг (У?,,,).

Тогда_

В <5 Ко и dim (Я' — В) ^ 0,

так как множества R,„ — В открыто-замкнуты в Я.' — В и образуют базу в Я'— В.

Обратно, пусть В — множество, удовлетворяющее условиям (5). Пусть р^Я'. Тогда

сПтр(/Г —/) U р) = 0,

согласно неравенству (5) и следствию 2 § 26, III.

') Эга теорем;! есть частный случай теоремы 1 из § 27, УП.

19 Jan. IU0

Пусть е>0. Согласно (6) и теореме 20 §25, II, существует открытое множество G, удовлетворяющее следующим условиям:

pEG, 6(G) <е и Fr (G) с D, откуда Fr(G) К()

в силу (5).

Из условий (7) следует, что ordp ЯГ 57 Ко-

Теорема 5. Всякое семейство непересекающихся связных подмножеств {содержащих более одной точки) рационального пространства счетно.

Доказательство. Предположим, что это семейство несчетно. Пусть D — счетное множество; тогда в этом семействе существует связное множество С, не пересекающееся с D (и даже несчетная совокупность таких множеств), т. е. С<=Д' — D. Так как С связно, то множество ЯГ — D не может быть нульмерным, что противоречит теореме 4.

Теорема 6. Объединение бесконечной последовательности замкнутых рациональных множеств есть рациональное множество ]).

Доказательство. Пусть Д’— рассматриваемое объединение, а Лр Л2, ...—его члены. Полагая Л* = Л, и Л* = = Л,; — (Л1 U ... U Лп-1), получаем, согласно теореме 4, что ^:=s„ и оп, где_

dimS„<0, 5„<К0 и BnE\Dn = Q.

Поэтому

Д’ = 11в„ии D,u dimfU^^O и ЦД„<Ко,

так как Вп есть f„-множество в U Вп, а объединение беско- п

печной последовательности нульмерных fa-множеств нульмерно (ср. § 26, III, следствие 1).

Из соотношений (8) и теоремы 4 следует, что пространство ЯГ рационально.

Замечание. Пример, рассмотренный в замечании (i), показывает, что объединение двух регулярных континуумов может быть иррегулярным континуумом.

') Ср. § 27, VII, 1.

Тем не менее имеет место следующая

Теорема 7. Пусть Ж — компактное пространство. Если Ж = Л U В, где множества А и В замкнуты и регулярны, то множество С = Ж — Ж^ есть граничное множество как в Л, так и в В.

Доказательство. Так как А — В с.^’1"1 и В — АаЖ^, то СсЛП#. Покажем, что

СсА^.

Имеем

Ж-А^С = [А-Л - С] U [в - Л^С]сЛ П С U в<=В, потому что СсЛПй-

Множество Ж — А — С регулярно как подмножество регулярного множества В. Как открытое множество оно содержится в Д'1”' (ср. с теоремой 4 п. II); отсюда получаем включение (9).

Теорема 8. Допустим, что выполняются предположения теоремы 7. Если, кроме того, выполняется одно из следующих условий".

dim А П В = 0;

В не содержит континуума (состоящего более чем из одной точки), нигде не плотного в В,

то пространство Ж регулярно.

Это непосредственное следствие теорем 7 и 5 п. III.

Теорема 9. Пусть ш = со или ш = Ко- Если пространство Ж компактно, то каждое из следующих условий необходимо и достаточно для того, чтобы Ж = Д’1"11, т. е. для того, чтобы Ж было регулярным или рациональным в соответствии с тем, какое из значений", со или Ко принимает nt:

огсК.у Ж ^ш для любых точек х^у;

ordA л Ж 57 tn для любых непересекающихся замкнутых множеств А и В.

Доказательство. Условия необходимы, ибо условие (i), очевидно, выполняется, если пространство Ж регулярно (рационально), а из (i), согласно теореме 1 п. III, вытекает (ii).

Условия достаточны, согласно теореме 6 п. II.

Теорема 10 (о разбиении). Пусть задано открытое покрытие компактного регулярного (или рационального) пространства;

Д' = G[ U • • • U Gk; тогда существует система замкнутых множеств Рх, ..., Fk, удовлетворяющих условиям

(И) ;Е-PXU ...\JPk, F^ и ДИЛ/^™ для Р^у

где m---со (или соответственно ш = Ко).

Доказательство. Доказательство проведем по индукции. Для /г =^= 2 справедливость теоремы вытекает из теоремы 9 (п). Действительно, полагая

.^■■ = 6^0,,, А = Д:-ОХ и B-/P-G2, получаем ЛП/^О, откуда ordA, д Д’^ш. Поэтому существует открытое множество G, удовлетворяющее условиям

AcG, Gf\B = O и Pr (G) ^ ш.

Следовательно, множества Рх = .7- — G и Fn—G удовлетворяют условиям (11).

Предположим теперь, что теорема верпа для k— 1. Как мы только что показали, существуют два замкнутых множества Н и Рк, таких, что

Я; = П^Рк, HciG^ .\}Gk^o FkcGk пШ'Х^

Так как множество II компактно и регулярно (соответственно рационально), то из равенства И = (Н П Gx( U ••• U (Н П Gk_4) в силу предположении вытекает существование системы замкнутых множеств Рх, ..., Fk-i, удовлетворяющих условиям

H = FXU ...UFk_b ДсЯПС, _

и Pt П Р/ ^in для i<j<k.

Условия (11) легко выводятся из (12) и (13).

Из теоремы (10) вытекает следующая

Теорема 11. Если .Т — компактное регулярное (или рациональное} пространство, то каждому е>0 соответствует конечная система замкнутых множеств рхр1;, удовлетворяющих условиям

(И) .7/ = Рх U ... U Fk, ^(Pt)< е. рГпр7< ш, Р„ П Д П Д = 0 для любой системы различных индексов (ш обозначает со или Ко).

Доказательство. Так как dim .7'^'1, то (ср. § 45, IV, теорема 1) существует система открытых множеств Gx, ..., Gk, удовлетворяющих условиям ■

Д’= G| U • ■ • U G/<> b(G7<6, С^ПМО/^О.

Если Еь ..., Fk — система замкнутых множеств, удовлетворяющих условиям (И), то выполняются условия (14).

Замечания. 1. Существует регулярный континуум, не являющийся объединением континуумов диаметра < е, таких, что каждые два из них имеют не более одной общей точки ')•

Если ;Е — регулярный континуум, то множества Fx, . . ., Fk в теореме 11 можно также считать регулярными континуумами.

Доказательство. Так как объединение Ft U • • ■ U Fk связно и всякое пересечение F^Fj, где i^j, имеет конечное число компонент, то легко видеть, что каждое множество Ft имеет конечное число компопсегг. Пусть С/, . .., С?* — компоненты Ft- Заменяя равенство

.T = \JFi на Д =и U ^,/ ~ i i -• 1 г - 1

получаем требуемое разбиение.

Теорема 12). Пусть .4" — регулярный {или рациональный) континуум. Тогда существует непрерывная функция ft И "-> Я, такая, что множество точек у, для которых ] ”' {у) Д ш {где in = со или Ко), всюду плотно в М.

Доказательство. Рассмотрим бесконечную последовательность замкнутых множеств Fb F>, . . ., определенную по индукции следующим образом:

Fx — замкнутое множество, такое, что

) 1п1(Д)^0, F.^.E и еГ(Д) Д ш.

Предположим, что система множеств Fv F.„ ..., Ftk (где /г ДО) строго монотонна и удовлетворяет условиям (15) (где индекс 1 заменяется на г^.З’); тогда существует система множеств Еф.И, . . ., Д/'+i, удовлетворяющая условиям (15) и такая, что система Fp ..., ЕЛь-н строго монотонна.

Чтобы доказать это, заметим, что если три замкнутых множества ЛсГсВ образуют строго монотонную систему, то (по теореме 9 (ii)) существуют два множества *F и F*, таких, что Л с* F с F с F* с В и эти пять множеств образуют строго монотонную систему. Кроме того, множества 'F и F* удовлетворяют

’) Робертс fl],

условиям (15), если им удовлетворяет F. Наконец, можно предположить, что из соотношения р(х, Я' — F)>\’k следует x^F.

Пусть F — семейство множеств Fn, п = 1, 2, . ... Порядковый тип семейства F (упорядоченного по включению) плотный, ибо из условий Fm с= Int (Fn) и O^F^.F следует, что Fm^Fn.

Согласно теореме 1 § 24, VII, элементы семейства F можно представить в виде Лг, где индекс г пробегает двоично-рациональные числа между 0 и 1. Из определения ‘F и F* следует, что

л = П Л И Int (Л)= и 1Ш(ЛДs> гq<г

Отсюда, согласно § 24, IX (14), получаем, что если f: .F -> Я — отображение, рассмотренное в теореме 3 § 24, IX, то

РгШсзГ'^с П Л- U 1п1(Л9) = Лг-1п1(Д) = Гг(ЛД s> г q < г

откуда /-1 (г) = Рг(Лг) для любого г.

Теорема 13). Если пространство .F компактно и рационально, то существует порядковое число а<П, такое, что для каждой точки p^-F и каждого е>0 найдется открытое множество G, удовлетворяющее условиям

p^G, 6(6)<е и [Fr(G)],a) = 0, где Ж№ — производное множество пространства .F порядка а (ср. § 24, IV).

Доказательство. В соответствии с теоремой 5 п. II пусть Rb R>, . . . — база, состоящая из открытых множеств Rb таких, что Рг(/?,) ^ Ко- Таким образом, существует (ср. § 24, IV) порядковое число щ<й, такое, что [Fr (/?;)]^а^ = О, и достаточно выбрать а^щ для 1 = 1, 2, ... .

Замечание. Итак, компактные рациональные пространства можно распределить по К i классам в соответствии с наименьшим возможным числом) а, которое было определено выше. Можно доказать '1), что ни один из этих классов не пуст (в частности, класс 0 есть класс нульмерных пространств, а класс 1 — класс регулярных пространств). Отсюда следует, что среди

рациональных пространств нет пространства, имеющего наивысший топологический ранг.

В дополнение приведем здесь без доказательства три теоремы.

Теорема 15 (о компактификации ’)). Всякое регулярное пространство топологически содержится в компактном регулярном пространстве.

Теорема 16). Множество гомеоморфизмов f: SV ->9*“, таких, что

ord,,. = ordf(p).f(g)f(^'), где ordp, q SV < oo, является остаточным множеством в пространстве (SJ^.

Теорема 17. Всякое регулярное множество (лежащее в произвольном пространстве) содержится в регулярном О^множестве.

Теорема 17 является простым следствием теоремы 15 и теоремы Лаврентьева (§ 35, II, следствие).

Замечания. 1. Теорема 15 не имеет места для рациональных пространств. Рассмотрим (плоское) множество, состоящее из сегментов, соединяющих точку ^у, у) со всеми рациональными точками интервала Os^x«^I. Это множество нельзя компактифицировать, так как точка (у, у) становится точкой порядка континуум.

Теорема 15 не имеет места для регулярных пространств фиксированного порядка п. Существует пространство порядка 4 (т. е. порядка 5^4 в каждой точке), которое топологически не содержится ни в каком компактном пространстве порядка 4).

Среди регулярных пространств не существует пространства, имеющего наибольший топологический ранг).

Точки конечного порядка. Характеризация дуг и простых замкнутых кривых.

Теорема 1. Если ord/,^^1, то р не является разделяющей точкой пространства SV. Следовательно, если пространство SV связно, то связно и множество 3S — р.

Доказательство. Предположим, что SV — р не является связным между двумя замкнутыми множествами Л и В, между

•) См. Нёбелинг [2], Куратовский [34].

которыми связно пространство Л" (ср. § 46, VII). Тогда существуют два открытых множества Л* и В\ удовлетворяющих условиям

Я’ - р = A* (J В*, Л‘П«‘ = 0, Л<=Л’ и ВсВ\

Согласно условию ord,, Д’ Щ' 1, существует открытое множество G, такое, что

PEG, СПИ^В^О п ВД<1.

Из последнего неравенства следует, что

либо Fr (G) ГМ* = 0, либо Fr(G)rM*~0.

Предположим, что Fr(G)fM* = 0. Тогда

/Г - G - В* - [G U Fr (G)] = В* - G,

откуда видно, что множество В* — G открыто.

С другой стороны, согласно (1) и (2),

Я’ - (Л* и G) и (В* - G), (Л* и G) п (в* - G) - о,ЛсЛ*иС, BclB*-G.

Следовательно, пространство Л/ не связно между Л и В, что противоречит предположениям.

Теорема 2. dim Я"1'' ^ 0.

Доказательство. Пусть S —множество разделяющих точек пространства Я’; тогда Д’1'1 П 5 = 0 по теореме 1. Таким образом, достаточно показать, что для каждого р £ Д'1'1 и каждого е>0 существует открытое множество G, такое, что

PEG, 6(G)<e

и

(ЗЭFr(G)cz5.

Если ord,, Д'= 0, то dim^Л" = 0. Поэтому существует открытое множество G, удовлетворяющее условиям (3) и такое, что Fr(G) = 0, откуда получаем включение (3').

Если ordp.7' = 1, то МгПрД’т^О. Следовательно, пространство Я" связно (ср. § 46, IV, теорема 2) между точкой р и замкнутым множеством F, таким, что рЕЯ' — F. С другой стороны, из равенства ordf.7' = l следует, что существуют точка q и открытое множество G, удовлетворяющее условиям (3) и такое, что Gf\F = 0 и Fr(G) = </. Следовательно, точка q разделяет пространство между р и F, откуда получаем, что q Е 8, и условие (3') выполнено.

Теорема 3. Пусть пространство ТЕ неприводимо между а и Ь; тогда :Ет а (а, Ь\

Другими словами, из равенства ovApTE = 1 следует, что либо р = а, либо р - Ь.

Доказательство. Предположим, что ord,, ТЕ — 1 и ач^рч^Ь. Пусть G — открытое множество и у — такая точка, что

PEG, _

(4')a, bE-G — G,

(4")Vr^ = q.

Так как множества G п .V — G отделимы, то из равенства

■V - q = ;Е — (G — G) = G U IV - G)

следует, что множество q U (• 7’ — G) = ТЕ — G связно (ср. § 46, П, теорема 4). Таким образом, .7/ — G — замкнутое связное множество, содержащее точки а и й (согласно (4')). Так как пространство ТЕ неприводимо межту этими точками, то отсюда следует, что ТЕ — G = :Е вопреки (4).

Теорема 4. Если ТЕ — континуум, то ТЕ — ТЕ'1' — полуконтинуум.

Доказательство. Пусть a, bE-V — TEw и С — неприводимый континуум между а и b (ср. § 48, I, теорема 1). Согласно теореме 3 и. II и теореме 3,

С П ^"1 с С1’1 с(п, Ь\ следовательно, СП-^'1'1—О,откуда С с= ТЕ — Д'1'1.

Теорема 5. Всякое связное пространство ТЕ, содержащее такие две точки а и Ь, что

orda ТЕ = 1 = ord6 ТЕ, ач^Ь,

ord х ТЕ = 2 для п^хч^Ь,

является дугой ab ')•

Доказательс т в о. Пусть F = S (a, b)U a (J Ь, где S (а, 6) — множество точек, разделяющих пространство ТЕ между а и Ь. Так как ТЕ локально связно (согласно теореме 1 п. IV), то достаточно показать, что :Е-^ Р (ср. § 49, IV, теорема 4).

Предположим, что ТЕ — Р У^О. Пусть R — компонента множества TE — F. Тогда R^R" и, так как ТЕ связно, существует

!) Ср. Франкль [1].

точка p£Fr(R\ Поскольку пространство локально связно, имеем Fr(7x?)czFr(F) (согласно теореме 3 из § 49, III), а так как множество F замкнуто (согласно теореме 3 из § 49, IV), то Fr(F)cF. Поэтому р £ F, т. е.

/?£№ />)иа(Ж

С другой стороны, а^=р^=Ь. В самом деле, пусть р = а. Тогда, согласно (5), существуют точка с и открытое множество G достаточно малого порядка, такие, что

a = pEG, b^SF-G, R-G^O и Fr(G) = c.

Отсюда c£S(a, b), т. c. c£F, и потому cG>£ — R, т. е. 7? П Fr (G) = 0.

Однако условие p^G0Fr(7?) влечет за собой 7?ПС=#=0, и так как R— G 7^=0, то вследствие связности R (ср. § 46, I, теорема 1) мы получаем R П Fr (G)=^0. Таким образом,

афрфЬ.

Согласно (6), ord,, Я" = 2. Поэтому существуют открытое множество G и две точки q и г, такие, что

p^G, a,b^.T-G, R-G^O и Fr(G) = (<7, г).

Так же как и выше, отсюда получаем 7?ПРг(6)^=0 и, следовательно,

либо q^R, либо r£R.

Более того, так как р £ S (а, Ь) (согласно (7) и (8)), то существуют два открытых множества А и В, таких, что

а^Л Ь^В, Я? — р = А\3 В и ЛПВ = 0.

Так как множество A U р связно (ср. § 46,11, теорема 4), то из соотношений р Е G П (v4 U р) и «EMUp) — G (ср. (9) и (11)) следует, что (/1 U р) f] Fr (G)=#0 (ср. § 46, I, теорема 1), откуда получаем ЛПРг(6)=^0 (ср. (9)). Аналогично ВПРг(6)=#0. Итак, пусть q ^ А, г^В и в соответствии с (10)

г ^ R, следовательно, г£Я’~ F.

Положим H = A\JG. Согласно (11) и (9),

A = AUp и G = GUqUr.

Следовательно,

Fr (//) = (Л (J Pl) G U q Ur) -(Л U G) = r, а^Н и Ь£Я‘-Н.

Отсюда r^S^a, IpaF, что противоречит (12).

Теорема 6. Всякий континуум, все точки которого имеют порядок 2, является простой замкнутой кривой.

Доказательство. Согласно теореме 2 из § 47, V, достаточно показать, что рассматриваемый континуум Д' разделяется всякой парой своих точек.

Предположим, что это не так; пусть а^Ь и множество Ж — ^а, Ь) связно. Так как Д’ локально связно (по теореме 1 п. IV), то пусть ab — дуга. Тогда il‘V=ab (ибо в противном случае ог(1аД'=1). Пусть

с £Yab — (а, 6)] и d EV-P ~ QbY

Так как множество Д’— (а, Ь-) открыто и связно, то существует (согласно теореме 1 из § 50, II) дуга cd с Д' —(а, Ь\ Пусть е — последняя точка дуги cd, принадлежащая дуге ab. Тогда e^=d, a^e^b и edV\ab = ^eY

Очевидно, что е — точка порядка 3 множества ab\Jed, следовательно,

orde Д’ > 3.

Пусть Д'1"'4| —объединение открытых множеств G, таких, что

6(С)<1Д и ?Ж^<п.

Лемма 7. Пусть Л и В —два замкнутых множества, таких, что Я’ = Ли В, и р — изолированная точка множества Л П В, такая, что огбрД'^2,г—1 (/г^1). Тогда для каждого е>0 и каждого целого к > 0 существует открытое множество Р, такое, что

р£Р, Fr(P}<oo, б(Р)<е,

и при ЭТОМ■

либо ЛЛРД/ЧсД4"'*’, либо В Y\Fr (Р) <=: .^ k\

Доказательство. По предположению существует открытое множество Н, удовлетворяющее условиям

НПАГ\В = рЕН, 6(H)<\/k и РД7ГХ2н-1.

Так как

Рг (//) = [Рг (Л) П Л] U [Рг (Я) П Л] и Рг(Д)П ЛПЛ = Рг(Л)Пр = О,

то

Рг(7Г) = Рг(Я)Ц Л + ЁДfiWB,откуда, согласно (16),либо Рг(Я)ПЛ<п, либо Рг(Л)ПВ<Д.

Предположим, что

ВДГЖ».

Так как

Fr (Н — В^ И - В -(11~В)^

= "н^в — н \з\п - в п /Л <=

С [(77 - //) п - Л] U [77 П :В - В п /з] с=(р1-(//)ЛД)и(/7плп/з),

то, согласно (16) и (17), Fr(77 — В)^н, откуда, согласно (13), получаем включение

П - В с: Л’111 к\

Пусть Р — открытое множество, удовлетворяющее условиям (14) и такое, что Р cz //. Тогда

(/7- Р) П А П В - 0, т. е. Р - Р с VP - Л) U VB - В\

Следовательно,_

А П Р - Р с И - В,

так как Р с И. Отсюда в силу (18) следует соотношение (15). Теорема 8 (Айреса1)), dim (.^'|2'I“11 — .Z-'1"1)$7 0 (для п^1). Доказательство. Ясно, что

^'|r,, = п лАп' к\ откуда Л'12'1-'1 - л;1'11 = и (.7''2" ^’ - ЛЛ'1' 1Л\

Так как множество ЛАп’,с1 открыто, то (согласно теореме 1 из § 21, III) достаточно показать, что

dim(.^'!-"-.^"-/il)^0

для любого к; другими словами, что для каждой точки q £/Г12"'"11 и для каждого е>0 существует открытое множество G, удовлетворяющее условиям

q^G, 6(G)<e и Q (G) = О,

где для любого X

Q (А) = л;рп"'л n F1- (А) - ЛА,1> к\

1ак как г/С-‘, то существует открытое множество //, такое,

что

q £ II, Ъ(Н)<е, и Fr(/7)<oo.

11оложпм

п1 = "ф7Г\

Определим множество G по индукции. Если гп — 0, то положим G - П. Условия (19) при этом выполняются. Пусть m > 0. Предположим, что для любого открытого множества Н\, такого, что QUlA^Cjn — 1, и удовлетворяющего условиям (20) (в которых Н заменяется па II х\ существует открытое множество G, удовлетворяющее условиям (19). Таким образом, остается установить существование множества Нх указанного вида.

Пусть pEQ^IIY Положим в теореме 7 А = НнВ = .Г- Н. Согласно (20), существует такое открытое множество Р, что

р^Р, qE:V-T\ ЦР^<в-ЦИ\ Fr(7j<oo

и что

либо Т/ЛЕг^с.?/1"-6',

либо Vx^PV Н с2.ЧЛп'к\

В соответствии с тем, имеет ли место (23) или (24), положим

Нх-Н-Р

или

Нх =-- HUP.

В обоих случаях из (20) и (22) следует, что

qUh, б (//J <с и р^Р-Рх^,

так как, поскольку Р открыто, имеем (ср. § 5, III и § 6, II (8)) PUVvVl--P^PUH-Рхлррн ^Р = » и Р Л Fr(//U Р) = 0. Кроме того, в обоих случаях

Fr(//acFr(//)U/E,,°l,

ибо, с одной стороны, из (25) вытекает (ср. § 6, II (9) и (5)), что

Fr (//J <= Ег (И) U (77 Л Fr (Р)) с= Fr (Я) U (77 Л Fr (Р)),

а с другой стороны, согласно (26),

Fr (//а - Wp — Н — Р с. Fr (Н) и [Fr (Р) - Щ.

Из включения (28) следует, что

Fr(/71)-?F1"^JczFr(//)-?r,"’4 откуда Q№MW,

и потому Q (Н^^ in, согласно (21).

Таким образом, Q (Я^ ^ ш — 1, так как р £ [Q (Н) — Q (Я,)], согласно (27). Наконец, в силу (27) множество Н\ удовлетворяет условиям (20) (в которых Н следует заменить на Н^, ибо

Fr (Я^ cz Fr (Я) U Fr (Я) и Fr (Я) U Fr (P) < oo, согласно (20) и (22).

Из теоремы 8 вытекают следующие две теоремы.

Теорема 8'. Для всякого п ^= 2 имеем

dim^^'-^^-'O^O.

Доказательство. Для п = 1 это следует из теоремы 2. Если п^З, т. е. если п ^ 2п — 3, то Жи' cz ^FO-d-i), 0ТКуда по теореме 8 следует требуемое заключение.

Теорема 8". Если все точки Ж имеют один и тот же конечный порядок п > 0, то п — 2.

Следовательно, если Ж — континуум, то он является простой замкнутой кривой.•

Доказательство. По предположению Ж = Жм — Ж^п~1\ Следовательно, из условия п Ж 2, согласно теореме 8', получаем, что dim^’^0; но в таком случае п = 0.

Вторая часть теоремы получается с помощью теоремы 6.

Теорема 9 1). Если Ж — континуум, то все его разделяющие точки, за исключением, возможно, их счетного множества, имеют порядок 2.

Доказательство. По теореме 1 из § 46, VII существует последовательность точек а^ а2, ..., такая, что всякая разделяющая точка является разделителем между некоторой подходящей парой (сц, аД. Поэтому достаточно показать, что для заданной пары точек (а, 6) равенство огйрЖ = 2 имеет место для каждой точки p£S(a, b), за исключением, возможно, счетного множества таких точек.

Представим себе, что точки p£S(a, b) снабжены индексами в соответствии с теоремой 2 из § 46, VIII. Согласно теореме 3

') См. Уайберн [6, стр. 6061. Обобщение теоремы 6 на точки локального разделения см. Уайберн [9, стр. 309].

из § 46, VIII, каждому индексу у, за исключением, может быть, счетного множества, соответствуют две последовательности индексов {z„} и {//„}, такие, что

Так как пространство Д' компактно, то (ср. § 42, V, теорема 1)

Ш,, 6 И (/>,,)П=0.

Так как множество AQ^ ) П-Z’ —Л(/?и ) есть окрестность точки рн, то ordPy Ж = 2 л силу следующей формулы:

- л Ю п ^W5 п V't'-ЧМ и ж - I •=

^Frp^JIUFrp^J^^JU^J.

Теорема 10. Пусть Ж — локально связный континуум и р —точка, которая его не разделяет. Если ordp.Z'^2, то существует точка q ^= р, такая, что ordp. q Ж ^ 2.

Доказательство. Из соотношения ordpZ'^2 вытекает (ср. с теоремой 6 из п. II) существование замкнутого множества F, удовлетворяющего условиям

РаЖ — р и ordp. Р Ж ^ 2.

Так как множество Д’ — р связно, то, согласно теореме 15 из § 49, II, существует континуум С, такой, что

f с С с Д' — р.

Пусть pq — такая дуга, что pqf\C = q.

Предположим, что ordp, ^./' = 1. Тогда существует точка г, разделяющая пространство Ж между р и q, откуда получаем r£Xpq-p-qY Так как С — континуум, то из соотношений г £ Д' — С и q Е С следует, что г — разделяющая точка между р и С.

Следовательно, ordP]C.Z' = l и, согласно (30), ordp. F Ж = 1, что противоречит (29).

Дендриты.

Определение. Локально связный континуум, не содержащий простых замкнутых кривых, называется дендритом.

Примеры, (i) Всякая дуга есть дендрит. Объединение трех дуг ab, ас, ad, имеющих попарно только одну общую точку а, есть дендрит (называемый Tpuodo.uY

Пример 2 п. I —дендрит, содержащий точку порядка со.

Легко сконденсировать эту особенность.

Континуум из § 49, VI есть дендрит, содержащий нигде не плотный подконтинуум, а именно сегмент 01 оси х.

Очевидно, что объединение двух дендритов не обязательно должно быть дендритом. Кроме того, из рисунка в § 50, IV видно, что объединение двух дендритов может содержать континуум, который не является локально связным. Ср. с замечанием 1 и. VII.

На и носкости существует дендрит, топологически содержащий каждый другой дендрит ').

Если .7" — дендрит, то имеют место следующие теоремы:

Теорема 1. Пространство . П уникогерентно.

Более точно, если К и I. — Вва континуума в пространстве Д', то множество К П L — континуум.

Доказательство. Если Д' — локально связный континуум, то каждый подконтинуум континуум;! .7-" есть пересечение бесконечной убывающей последовательности локально связных континуумов (ср. § 50, Ш, теорема 1). Л так как пересечение всякой убывающей последовательности континуумов является континуумом (ср. § 47, II, теорема 5), то доказательство сводится к случаю, когда К и L — локально связные континуумы.

Предположим, что КГ\В не связ ю:

K^L = P\^Q, PY\Q = O, 0^p = p, Q^Q = y;

тогда существуют (ср. § 50, II, теорема 1) дуга Л и две точки р и q, такие, что

Лс/<, ЛПР = 0Л н ЛП(? -(qY

Пусть /I — дуга pq a L; тогда

Л П В cz Л П К П В - Л П (Р U Q) - (/>) U UlY

Следовательно, Л UB — простая замкнутая кривая.

3 а ме ч а н не. Обратно, каждый одномерный локально связный уппкогерентный континуум есть дендрит; см. § 57, III, теорема 8.

') Доказательство см., например, Мешер |Д гл. X, 6|. Ср. Ва/кевекпп [Г, стр. 57J.

С л е д с т в и с 2. Всякую пару точек п^Ь е дендрите можно соединить единственной дугой ab, имеющей в качестве концов эти точки.

Теорема 3. Если подконтинуумы К и L дендрита И' не пересекаются, то ordA-,L.‘E = 1, т. е. существует точка р, разделяющая К и L.

В частности,

<)Г(1Л., у .V = I для любых х^у.

Более того, если К — континуум, a L — объединение п континуумов и K?\L = 0, то ordK, lH" <.п.

Доказательство. Пусть сначала п = 1. Пусть А — дуга qr, такая, что Л П К = q и Af\L = r. Каждая точка p^A—q—r разделяет К и Л, ибо если бы К и I. содержались в одной и тон же компоненте множества .д'— р, то существовала бы (ср. § 50, II, теорема I) дуга В а ;Г — р с концами q и г и, следовательно, А + В, что противоречит теореме 2.

Пусть, далее, L = Lv U . . . U Ln есть объединение п (и^1) континуумов. Как только что было показано, существуют точка pt и открытое множество Gt (где i = 1, . . ., п), такие, что

К <= Gi, Er(G^pi п Lid.d'-Gi.

Положим (7 = <71 Я • •• П Gn. Тогда

Kc-G, Pr(G)czFr(G,)U • ■• LJIH (GJ-(/>„ . .., />J

и

G c= (/Г - G,) U • • ■ U И - GJ = T -(G^ ... П GJ с 7' - G.

Следовательно, множество IT(G) разделяет :b‘ между К и L и состоит не более чем из п точек.

Согласно теореме 9 п. IV, из условия (1) вытекает следующая

Теорема 4. Пространство .Г есть регулярный континуум. Следовательно, всякий подконтинуум дендрита — дендрит.

Замечание. Та же импликация показывает, что условие (1) характеризует дендриты в классе континуумов. Действительно, с одной стороны, всякий регулярный континуум локально связен (согласно теореме 1, п. IV), а с другой стороны, ис существует пространства, содержащего простую замкнутую кривую п удовлетворяющего условию (1).

20 Щк. ПО

Теорема 5 (разложения). Для каждого е>0 существует конечная система дендритов Fv, ..., Fln удовлетворяющих условиям

^ = FiU-..U^, д(Д)<е, W/<> и F^F^F^O для любой системы различных индексов.

Доказательство. Так как Д’— регулярный континуум (по теореме 4), рассмотрим разложение (14) из п. IV. Множество Fb как подконтинуум Д’, — дендрит (согласно теореме 4). Так как пересечение ^ПТ/ конечно и связно (по теореме 1), то оно содержит не более одной точки.

Теорема 6. Если число компонент множества Д’— р конечно, то оно равно огйрД".

Доказательство. Пусть это число равно п. Ясно, что огйрД’^/г; поэтому достаточно показать, что ordp Д' s^ п; другими словами (ср. II, теорема 6), что для всякого замкнутого множества F, такого, что р^Д —F, существует множество, состоящее из п точек и разделяющее Д’ между р и F.

Пусть Д' — р = RiU • ■ • U Rn ~ объединение п областей. Множество FV\Rt замкнуто, так как F П Ri с F П (Ri U р) = F П Ri; следовательно, существует континуум Ki, такой, что F П Ri^Ki (ср. § 49, II, теорема 15). Таким образом, согласно теореме 3, существует множество, состоящее (не более чем) из п точек, которое разделяет Д’ между К\ U • • • U Кц и р и, следовательно, между F и р.

Теорема 7. Д' — Д'®< Ко-

Другими словами, в дендрите множество точек «разветвления» счетно.

Доказательство. Это следует из теоремы 6 и теоремы 1 из § 46, IX.

Теорема 8. Д'= Д’® — Д’1'1 (при условии что .К состоит более чем из одной точки) *).

Доказательство. Пусть G — (непустое) открытое множество и Л —дуга abcG. Очевидно, что

Л П с= (об), поэтому ТпД^1 ^ 2,

и по теореме 7,

Л^^Д^ Ки.

') См. Меигер [7J.

Следовательно,

Щд^'1 ^J'nT) = с, откуда

G ПД’'-Д’1" ¥= 0.

Теорема 9. Пусть Я' — дендрит; тогда всякое непрерывное отображение [: Я" -> Я' имеет неподвижную точку х\

VII. Локальные дендриты.

Определение. Континуум называется локальным дендритом, если всякая его точка имеет окрестность, являющуюся дендритом.

Из теоремы 4 п. VI непосредственно вытекает следующая

Теорема 1. Всякий локальный дендрит есть регулярный континуум.

Теорема 2. Если Я'— локальный дендрит, то существует такое е > 0, что всякий подконтинуум С диаметра < е является дендритом.

Доказательство. В силу компактности Д’ существует конечная система дендритов D^, ..., Dn, такая, что

'Я’ = 1п1(Д,) U . .. U Int <Dn\

Поэтому существует (ср. § 41, VI, следствие 4d) такое е>0, что всякое множество диаметра < е содержится в одном из множеств Int(O;), а следовательно, в дендрите Dt. Пусть С — континуум диаметра < е. Так как всякий подконтинуум дендрита — дендрит (по теореме 4 п. VI), то С —дендрит.

Лемма 3. Пусть Я'— локально связный континуум и е — точная нижняя грань диаметров простых замкнутых кривых, содержащихся в Я--. Если е>0, то Я’— локальный дендрит.

Доказательство. Если р^Я' и С — локально связный континуум, являющийся окрестностью точки р, такой, что 6(С) <е (ср. § 50, II, теорема 3), то С не содержит простых замкнутых кривых, а это и означает, что С —дендрит.

Теорема 4. Каждое из следующих условий необходимо и достаточно для того, чтобы Я' было локальным дендритом;

Я" — локально связный континуум, содержащий не более конечного числа простых замкнутых кривых;

(И) .‘К — континуум, яв пячицийся конечным объединением дендритов:

.7' = Д,и ■ U/Л, ede 1)Г?\Б,<№ для i^b

Доказательство. 1. Из условия (i) вытекает, что Д'— локальный дендрит. Это прямое следствие теоремы 3.

Если .7'— локальный дендрит, то .7-" удовлетворяет условию (ii). Действительно, ./' — регулярный континуум (по теореме 1), поэтому (согласно замечанию 2 из н. IV) существуют континуумы Db ..., Dk, удовлетворяющие условию (1) и имеющие диаметр < е, где е > 0 — заданное число. Предположим, что в —число, определенное в теореме 2; тогда континуумы Dx, . . ., Dk суть дендриты.

Из условия (ii) следует условие (i). Для доказательства положим

F=UDlfiDi,

п пусть Л— семейство всех дуг Л, удовлетворяющих следующим двум условиям:

А содержится в одном из дендритов Dp

концевые точки дуги Л принадлежат F.

'Гак как множество F конечно, то конечно и семейство А (ср. VI, теорема 2).

Пусть С —простая замкнутая кривая, содержащаяся в .V. Тогда С П F ^ 0, так как С не содержится пи в каком /);. Если R — компонента множества C — F, то RC.A. Отсюда следует, что С — объединение некоторых дуг, принадлежащих семейству А. Так как это семейство конечно, то конечно и семейство простых замкнутых дуг, содержащихся в ТЕ.

Теорема 5. Если в локально связном континууме содержится бесконечное множество простых замкнутых кривых, то среди них имеются кривые произвольно малых диаметров ').

Доказательство. Очевидно, что ТЕ — локальный дендрит, если точная нижняя грань диаметров простых замкнутых кривых, содержащихся в .7", положительна. Но в таком случае .7/ содержит только конечное число простых замкнутых кривых (ср. (i)).

Теорема 6. Теоремы 7 и 8 п. VI остаются верными, если предполагать, что .Е — локальный дендрит.

*) Порема Зараикевича |1, стр. 14(>].

Доказательство. Применим условие (ii) теоремы 4. Пусть F определяется равенством (2); тогда ordp (Di — F) = ord,, Ж для любого р (ср. II, теорема 4). Поэтому

tic — F с Д'[21,

следовательно,

Ж - Ж^ = и (У- - .‘УИ) с и (У; - и Р.

Отсюда, согласно теореме 7 п. VI,

Д’ - .4' < 2 (У, - /4) + /’< К п*i ।

Аналогично (ср. II, теорема 4)

^•121 _ ^Ш _ р = и Di р (уИ _ ^.Щ) _ р = (J (ур) _ уШ) _ р,i-Л1-1

а так как множество F конечно, то, согласно теореме 8 и. VI,

^12‘ - /У'1 = и dF^TF = и Di = Ж.

Теорема 7. Всякий локальный дендрит, топологически не содержащийся в плоскости, топологически содержит одну из двух следующих ломаных (рис. 11 — 12):

объединение ребер тетраэдра и сегмента, соединяющего два непересекающихся ребра-,

объединение ребер тетраэдра и четырех сегментов, соединяющих центр тетраэдра с его вершинами1).

Теорема 7 и теорема 10 из § 50, II дают следующее утверждение:

Теорема 7'. Пусть Ж есть одномерный локально связный континуум. Если не существует непрерывного отображения Ж в плоскость с прообразами точек диаметра < е, где е — положительное число, выбранное должным образом, то

континуум Ж топологически содержит одну из двух ломаных, определенных выше *).

Рис. 11—12

Теорема 8). Континуум Ж есть локальный дендрит тогда и только тогда, когда его можно деформировать в топологическую ломаную с помощью малого непрерывного сдвига1, другими словами, когда для любого е>0 существует непрерывная функция f: Ж X 9Ж и ломаная линия L, такая, что

Цх, Щ = х, |/(х, Ц-х\<6 и ЦЖ, 1)^Т.

Теорема 9. Всякий локальный дендрит есть объединение двух дендритов^.

Замечание 1. Объединение двух дендритов (даже двух дуг) нс обязательно должно быть локальным дендритом. Более того, для каждого п существует (на плоскости) регулярный континуум порядка 3, являющийся объединением ровно п и никакого меньшего числа дендритов ).

Замечание 2. В теореме 7 предположение о том, что пространство есть локальный дендрит, можно заменить предположением: пространство есть локально связный континуум, не содержащий точек разреза).

') Теорема Мазуркевича [24].

Клейтор [1] рассматривал общую проблему характеризации произвольного локально связного континуума, содержащегося в плоскости.

Замечание 3. Всякая не лежащая в плоскости двумерная полиэдральная поверхность, за исключением сферы а^, содержит каждый из элементарных графов (i) и (ii) *).

§ 52. Циклические элементы локально связногометрического континуума 2)

Вполне дугообразно связные множества ). Так мы будем называть всякое подмножество L локально связного континуума Д', удовлетворяющее следующему условию:

если х, у £ L, то всякая дуга ху содержится в L.

Из этого определения, очевидно, вытекают следующие два утверждения.

Теорема 1. Пересечение произвольного семейства вполне дугообразно связных множеств является вполне дугообразно связным.

Теорема 2. Всякое вполне дугообразно связное множество локально и глобально дугообразно связно.

Теорема 3. Если объединение и пересечение двух множеств М и N, замкнутых в M[]N, являются вполне дугообразно связными, то и сами множества М и N вполне дугообразно связные.

Доказательство. Пусть ab — дуга с концевыми точками а, Ь^М. Покажем, что abc.M. По предположению

g^giAIUA^, т. е. ab = (ab П М) U(«6 П N).

Пусть c^ab^N. Покажем, что с^М.

Множества ас П М и ас П N замкнуты в М U N, а следовательно, в ас; поэтому из равенства (ср. (2)) ас = (ас f) М) U (ас f| N)

■) См. Куратовский [23, стр. 282].

вытекает, что ас П М fl N ^ 0. Пусть р ^ас ^ М ^ N и q^cb fl М П N. По предположению дуга pcq содержится в М Q N. Поэтому г ЕМ.

Пусть В — замкнутое вполне дугообразно связное множество. Имеет место следующая

Теорема 4. Граница любой компоненты R множества ВТ — В состоит из одной точки (принадлежащей В).

Доказательство. Действительно, в противном случае граница Fr(/?) содержала бы две различные точки р и q, достижимые из R (ср. § 50, III, теорема 6). Поэтому существовала бы дуга pq ст R J р U q, откуда pq — L^O, что противоречит предположению.

Теорема 5. Всякое замкнутое множеств.) Г, разделяющее В между Л и В (где ЛЦ В сг В), разделяет все пространство ВГ между этими множествами.

Доказательство. Если Г не разделяет пространство между Л и В, то существует дуга ab, такая, что а £ Л, Ь^В и а'?ЙЕ = 0. 'Гак как ab cz В, то последнее равенство показывает, что Г не разделяет множество В между Л и В.

Теорема 5'. Вели A\jBcL^\Z и Z связно между Л и В, то между Л и В связно и множество В Г) Z.

Доказательство. Предположим, что В П 7, не связно между Л и В, т. о. что L — Z разделяет В между Л и В. Тогда множество В —7. содержит (ср. § 46, VII, теорема 3) замкнутое множество V, разделяющее В между Л и В. По теореме 5 множество В разделяет все пространство ВГ между этими множествами и, следовательно, .В" — Г не связно между Л и В. То же самое имеет место для Z, ибо Z се ВГ — В.

Из теоремы 5 непосредственно вытекает следующая

Теорем а 6. Нели Л U В а Г, то ordA ВН = ord л, п СГ.

Т о о р е м а 7. Вели последовательность компонент Rh R2, . .. множества. :V — В бесконечна, то Нт б (/?„) = 0.

Доказательство. Действительно, в противном случае можно было бы выбрать сходящуюся подпоследовательность {Д/7/J, предел которой содержит две точки а ^ Ь. Полагая Z = U Ды U л U А, мы получили бы, что a, b^L^Z. Таким обра- 1г ‘

зом, множество Z оказалось бы связным между а и b (ср. § 46, IV, теорема 9), тогда как В Г) 7, не связно (поскольку оно состоит из двух точек а и Ь).

Теорема 8. Если А и В —два замкнутых, вполне, дугообразно связных множества, таких, что Л П В ^ О, то множество /1U^ вполне дугообразно связно.

Более того, множество Л Q В разделяет пространство между Л — В и В — Л.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть ab — дуга, концевые точки которой принадлежат Л U В. Мы должны показать, что ab с: Л U В.

Предположим, что это не так. Пусть ахЬх — интервал дуги а' , смежный к множеству ab П (Л U В). Так как оба множества Л и В вполне дугообразно связны, пи одно из них не может содержать обе точки ах и Ьх. Поэтому можно считать, что

ах^А-В

и

ЬХ^В-А.

Следовательно,

, а|61ПЛ = а|

и

а,МЯ = А1-

. Пусть с£ЛПД. Так как Ьх, с^В, то всякая дуга Ьхс удовлетворяет условиям

Ьхс ст. В, откуда ахЬх П Ьхс = Ьх,

согласно (6). Следовательно, axbx U Ьхс — дуга, концевые точки которой принадлежат Л. Но в таком случае axbx U Ьхс ст. Л, а отсюда ЬХ£Л вопреки (4).

Вторая часть теоремы следует непосредственно из теоремы 5, так как множество Л П Д разделяет Л U В между Л — В и В — А.

Теорема 9. Если пространство ЦЕ уникогерентно, то уникогерентно и множество L.

Доказательство. Пусть А и В — два таких континуума, что L = A U В. Мы должны показать, что их пересечение Л П В — континуум.

Пусть М — объединение всех компонент /? множества ЦЕ — L, таких, что Рг(/?)сЛ. Пусть S — объединение всех остальных компонент множества Ц" — L. Так как (по теореме 4) множество РМД) состоит из одной точки, принадлежащей L, то

граница компонент, составляющих S, содержится в В. Отсюда следует, что

^ = (ZUM)U(BUS)

и

(ЛиМ)П(Ви5) = ЛПВ.

Так как множества ЛОМ и В U S — континуумы (ср. § 49, III, теорема 1) и пространство Ж уникогерентно, то Л Q В — континуум.

Теорема 10. Пусть К, Кх» К^ ...—последовательность континуумов, такая, что

Lim Кп = К с L,

П-^оо

(П)/.пм„^о.

Тогда

Lim L П Кп = К.

Доказательство. Согласно (10) и § 29, IV, 2, Ls (/„ П Кп^ с Ls Кп = К.

п->ооп->оо

Покажем, что

Кс^ИТПО

Пусть р^К. Определим такую последовательность pv, ръ ..., что

Pn^L^Kn

и

Гупр„ = р.

Согласно (10), р G Li Кп- Поэтому существует последователь

ность q х, q2, ..., такая, что

УпЕКв

и

Jirn^„ = p.

Определим рп следующим образом. Если qn^L, то положим Рп = Ап. если qn £ Ж — L, то в соответствии с теоремой 4 положим

p„ = Fr(^„), где qn^Rn

и ^„ — компонента множества Ж — L.

Мы утверждаем, что соотношение (14) удовлетворяется. В случае qn^.L это видно непосредственно из (16), поэтому

предположим, что ^б-^ —Z- и, следовательно, qn £ Кп — L (согласно (16)). Отсюда следует, что

К„ПЯ„^0^ Kn-Rm

так как 0 L П Кп с Кп ~ Rn> согласно (11).

Из условия (19) вытекает (ср. § 46, I, теорема 1), что

Кп И Fr <Rn^ =£ 0, поэтому рп 6 Кп

(согласно (18)), а так как Fr(7?„)crA (ср. § 49, III, теорема 3), то отсюда следует условие (14).

Предположим, что условие (15) не удовлетворяется. Тогда существует такая последовательность mv < m2 <..., что никакая подпоследовательность последовательности {pmJ не сходится к р.

Следовательно, в соответствии с (17) можно считать, что Pm ^ Чт при любом п, а потому, согласно (18),

Ртп = Fr {^mj.

Далее необходимо различать два случая.

Существует последовательность /,</2< . .., такая, что компоненты Rml? Rmu, ... попарно различны. Тогда, согласно теореме 7 и (20), имеем

Нт MRm^ = 0, откуда lim I рт - qm I = 0;

следовательно, согласно (17),

lim рт = р.

П->оо П.

Существуют индекс г и последовательность индексов H<i2< ■ ., такие, что Rm, = Rmi = ... = Rr. Положим

a = Fr(/?r).

Из (20) вытекает, что

Рт, =Рт, == а> откУДа limPm, = а-

Ч'2п->оо 1п

С другой стороны, q ^Rr (согласно (18)); следовательно, p^Rr (согласно (17)). Так как (ср. (10)) p^L, то pEFr(/?r), а это означает, что р = а= lim рт , согласно (21) и (22).

П-> ОО 1рх

Итак, в обоих случаях последовательность {рт } содержит подпоследовательность, сходящуюся к р, что противоречит определению последовательности {т„}.

Циклические элементы.

Определение. Циклическими элементами^ пространства Л- мы называем следующие объекты:

каждую точку, разделяющую .?';

каждое множество

£p=E(ord;,.///>2)

X

(т. е. множество таких точек х, для которых не существует точек, разрезающих Я’ между р и х) при условии, что р ие разделяет Я'.

Пример. Пусть пространство ЯР состоит из двух окружностей, касающихся внешним образом, и некоторого радиуса. Циклическими элементами являются каждая из окружностей, а также их общая точка и каждая точка радиуса.

Легко доказать следующие утверждения:

Теорема 1. Если р не разделяет пространство, то р^Ер.

Следовательно, пространство является объединением своих циклических элементов.

Теорема 2. Если ou\p.V = I, то Ер = р.

Однако из теоремы 10 § 51, V вытекает следующая

Теорема 3. Если точка р не разделяет пространство и если ordр Я/ ^ 2, то Ер — р 0.

Теорема 4. Если Ea^Ei„ то множество Еа?\Еь либо пусто, либо состоит из одной точки, которая разделяет пространство.

Доказательство. Пусть с^Еа — Еь. Тогда существует точка г/, разделяющая пространство между с и Ь. Пусть р£ЕаГ\Еь. Покажем, что p — q. По предположению

ог(1„>р .7"2, ordp>& Я- 2 и огсЦ, а ГЕ 2.

Более того, q =/= а, так как а ие является разделяющей точкой.

Предположим, что p#=q. Тогда (согласно (2)) следующие точки можно соединить дугами, минуя q; а с р, р с Ь, с с а п, следовательно, с с Ь. Но в таком случае q не отделяет с от Ь, что противоречит определению точки q.

Теорема 5. Если b не разделяет пространство и b £ Еи, то Еь-Еа.

') Понятие циклического элемента принадлежит Уайберпу [5]. Ср. также

Мур[11|.*

Доказательство. Действительно, b С Еи П Еь ио теореме 1, a EaV\Eb^= b по теореме 4.

Теорема 6. Каждое из следующих условии необходимо и достаточно для того, чтобы множество Е ^содержащее более одной точки) было циклическим элементом:

(i) существуют две точки а ф Ь, такие, что

ог<1й.6^>2,

и множество Е является пересечением всех замкнутых вполне дугообразно связных множеств, содержащих а и Ь;

Е связно и насыщено относительно свойства не содержать точек, разделяющих его.

Доказательство. 1. Пусть Еа — циклический элемент, причем Еп=^а. Пусть b ^Еп — а и Л — пересечение всех замкнутых вполне дугообразно связных множеств, содержащих а и Ь. Покажем, что

Еа = L.

Пусть х ^ Л" — L, R — компонента множества Л’— L, содержащая .г, и y=Vr)R) в соответствии с теоремой I. и. I и теоремой 4. Так как у разделяет пространство, а а его не разделяет, то у^а, и, поскольку а £ L, а х £ R, точка у разделяет пространство между а и х. Следовательно, х £ Л’— Еа, откуда вытекает, что Еа с: L.

Обратно, пусть х 5 -V-Ea’, тогда существует точка у, разделяющая пространство между а и х. Поэтому

.У = M U W, М = М, N — N, а Е М, x£N, МПЫ = у.

Так как b 5 Еи — а, то отсюда вытекает равенство (3), а поэтому, согласно (5), b £ М. Применим теорему 3 п. 1; тогда из условий (5) следует, что Л4 вполне дугообразно связно; поэтому из определения L получаем, что L с М,откуда х^Л’ — L, ибо, согласно последним двум соотношениям (5), х £ .Т —М.

Итак L с Еа, откуда получается равенство (4).

Мы утверждаем, что из условия (i) вытекает условие (ii). Если Е удовлетворяет условию (i) и х С Е, то множество

Е — х связно. Предположим, что

E = M\JN, М = М, N = N и Л4 П Af = х.

Покажем, что либо М = Е, либо N = E.

'Гак как имеет место хотя бы одно из неравенств х#=а или х^Ь, то пусть, например, х^а. Более того, можно предположить, что а £ М. Согласно (3), точка х ие разделяет пространство между а и Ь, следовательно, и множество Е не разделяет пространство между этими точками (ср. теоремы I, 4 и

5 п. I). Таким образом, согласно условию (6) и теореме 3 п. I, множество М замкнуто, вполне дугообразно связно и содержит точки а и Ь. Поэтому Е с.М, откуда в силу (6) получаем М = Е.

Далее, пусть С —связное множество, такое, что ЕаС^Е. Покажем, что С содержит точку, которая его разделяет.

Пусть р £ С — Е, и пусть R — компонента множества .У — Е, содержащая р. В соответствии с теоремой 4 п. I положим q = Fr(R). Очевидно, что С разделяется точкой q.

Далее, из условия (ii) следует, что Е — циклический элемент.

В самом деле, по предположению никакая точка не разделяет множество Е, поэтому множество точек из Е, разделяющих пространство, не более чем счетно (ср. § 46, IX, теорема 3). Пусть р — точка множества Е, не разделяющая пространство. Покажем, что Е = ЕР.

По предположению ordp. ХЕ^2 для каждого х С Е, следовательно, ordp, Х.Т ^2, откуда, согласно (1), х £ Ер. Таким образом, Е с Ер.

Итак, Е = Ер, поскольку (как было доказано) Ер удовлетворяет условию (ii), из которого следует, что Ер связно и не содержит разделяющих точек; с другой стороны, Е насыщено относительно этого свойства.

Замечание. Теорему 4 можно переформулировать следующим образом:

Если А и В —два циклических элемента и р — такая точка, что А[\В — р, то точка р разделяет пространство между А — В и В — А.

Это непосредственное следствие теоремы 8 п. I, ибо множества А и В вполне дугообразно связны (согласно теореме 6 (i) и теореме 1 п. I).

Теорема 7. Всякий циклический элемент является локально связным континуумом.

Доказательство. Это непосредственное следствие условия (i) теоремы 6, теоремы 1 п. I и теоремы 2.

Теорема 8. Если Е — циклический элемент, то множество А его точек, принадлежащих другим циклическим, элементам, счетно.

Доказательство. Согласно условию (ii) теоремы 6, не существует точек, разделяющих множество Е. Поэтому (ср. § 46, IX, теорема 3) множество В разделяющих точек пространства,

принадлежащих Е, не более чем счетно. Наконец, по теореме 4 АсВ.

Теорема 9. Если Ev, Е2, .. . — последовательность различных циклических элементов, то Итб(Е") = 0.

Поэтому семейство всех циклических элементов, не сводящихся к точкам, счетно.

Доказательство. Предположим, что это не так. Тогда существуют такие две последовательности точек {аД и (ЬД, что

ап, Ьп С Е", lima„ = a, Иш^„ = Ь и а#=Ь.

П >О0п->оо

Из этого следует, что для достаточно больших значений п существуют две непересекающиеся дуги а„ап+1 и b„bn+1 (ср. § 50, II, теорема 4). Но в таком случае пересечение связного множества

an+,Ub„ b„+1

с множеством Е" не связно, так как

Z П Е“ = (Е" n ап an+l) U ((Е" П 6n+i) U (Е" П Е^, а множество Е"ПЕ"+| либо пусто, либо состоит из одной точки (по теореме 4). Этот вывод противоречит теореме 5' п. I, так как Е" вполне дугообразно связно (по теореме 6 (i) и теореме 1 п. I).

Теорема 10. Всякое связное множество С, которое не разделяется никакой точкой, содержится в некотором циклическом элементе.

Более точно, если а и b — две (различные) точки множества С, то пересечение Е всех замкнутых, вполне дугообразно связных множеств, содержащих эти точки, является требуемым циклическим элементом.

Доказательство. Множество Е есть циклический элемент по теореме 6 (i), так как ordti, 6 ^ ^ 2. С другой стороны, если р G С — Е и R — компонента множества Ж — Е, содержащая р, то точка Fr(E) (ср. I, теорема 4) разделяет С между а и р или между b и р (в зависимости от того, какое из условий a^=Fr(/?) или b^Fr(E) имеет место).

Теорема 11. Для того чтобы континуум L (содержащий более одной точки) был вполне дугообразно связным, необходимо и достаточно, чтобы он был объединением циклических элементов.

Доказательство. 1. Условие необходимо. Предположим, что точка р £ Е не принадлежит никакому циклическому

элементу L. Тогда сама точка р не является циклическим элементом и потому не разделяет пространство. Следоватсчыю (ср. с теоремой 4), Др — единственный циклический элемент, содержащий р.

По предположению Ер— L^O. Пусть R — компонента множества Ер —L. Так как множество L П Ер вполне дугообразно связно относительно множества Ер (рассматриваемого как пространство), то граница R относительно Ер содержит (по теореме 4 из п. I) единственную точку, скажем q. Таким образом, точка q разделяет Ер между Ep — L и L П Ер — q, откуда, согласно теореме 6 (ii), вытекает, что L П Ер — q = 0, т. е, L П Ер = q; а так как р £ L^Ep, то q = p и LV\Ep--^p. Поэтому (ср. I, теорема 8) точка р разделяет пространство между Ер—L и L — Ep, и, следовательно, L — Ер = 0, т. е. L — р = 0, откуда L = р, что и противоречит предположению.

Условие достаточно. Предположим, что континуум L есть объединение циклических элементов, что a, b £ L и ab — L^O- Тогда дуга al) содержит поддугу cd, такую, что

L^cd = <c, d} и L-cd^O.

Очевидно, что ordPi d .V ^ 2. Поэтому существует циклический элемент Е, такой, что с, d £ Е, откуда Е — L^O, согласно (7). Это неравенство приводит к противоречию, так как из теоремы 8 вытекает, что множество Е Q L счетно, а из теорем 6 (i) и 5' п. I вытекает, что Е П Е — континуум (содержащий по крайней мере две точки с и d\

Замечание. Вообще можно доказать, что связные множества, являющиеся объединениями циклических элементов, совпадают с вполне дугообразно связными множествами^.

Теорема 12. Всякий континуум сходимости ^содержащий более одной точки} пространства .V является континуумом сходимости содержащего его циклического элемента.

Доказательство. Пусть К, К\, ...— такая последовательность континуумов и а, Ь — такая пара (различных) точек, что

Lim Кп = К,

а, b 6 К,

К{ПК( = 0 для z^/,

(И)^n^,i = 0 для «=1, 2

') Ср. Уайберп [1, стр. КО].

Тогда множество Z = aU^UA’iUK2U... связно между а и b (согласно теореме 9 из § 46, IV). Из этого следует, что

orda,6^>2.

Действительно, предположим, что р разделяет ^ между а и Ь; тогда одно из множеств Кп, скажем Дь содержит р. Но в таком случае, согласно (10), точка р не принадлежит множеству (a (J b U К2 U K3U • • •)> которое также связно между а п Ь.

Таким образом, условие (12) установлено. В соответствии с теоремой 6 (i) пусть Е — циклический элемент, содержащий точки а и Ь.

Так как точки а и b выбираются произвольным образом, то

КсЕ.

Покажем, что К- континуум сходимости множества Е, а именно, что Е П Кп — континуум, такой, что

Lim (ERKn^ = K,

КП<Е П^) = 0.

Но Е П Кп — континуум (по теореме 5' из п. I). Кроме того,

EV\Kn^^ Для достаточно больших п.

Действительно, если предположить, что mx < m2 < ... и Е П Кт, = = 0, то окажется, что множество V = a U b U Km, U Km, U .. ’. связно между а и b (согласно теореме 9 из § 46, IV), а множество Е П V = (а, Ь) не связно; это противоречит теореме 5' п. I.

Итак, соотношение (16) установлено; соотношение (14) получается из теоремы 10 п. I (если положить L = E\ Наконец, соотношение (15) есть непосредственное следствие (11).

Лемма 13. Пусть заданы четыре дуги ахсх, а2с2, ab и схс2, такие, что (рис. 13)

ахсх П а2с2 = 0 = ab П схс2,

а|С1Пс1с2 = с1, а2с2 П схс2 = с2.

Тогда объединение ахсх U а2с2 U ab содержит две дуги М и N, соединяющие множество (ah а2, а) с точкой b и множество (ab а2) с множеством (сх, с2) соответственно, причем таким образом, что

М A^Uc1c2) = 0.

21 Зак. 190

Доказательство. Следует рассмотреть два случая.

ab П («iei U «2е») = О- В этом случае мы полагаем

М = ab и N = а,с, (пли а.^.

ab П (ар, U a^c^^Q. Пусть р — первая точка (ориентированной) дуги Ьа, принадлежащая объединению п^Цщс,. По соображениям симметрии можно считать, что р £ пру. Когда

ахр П pb = р^сх и pb (]= О,

и достаточно положить

М = ахр (J pb и N ~ а>с.,.

Лемма 14. Пусть в локально и глобально дугообразно связном пространстве ТС заданы два непересекающихся замкнутых множества А и В, для которых не существует точки х, разделяющей множества А — х и В — х. Тогда существуют две неперссекающиеся дуги, соединяющие А с В.

Доказательство). Пусть Е — множество таких точек х, что существуют две непересекающиеся дуги, соединяющие А с х и А с В соответственно. Мы должны показать, что ЕПЛ^О. Покажем, что Е = .V. .'

Так как пространство связно, то достаточно установить, что

Е^О,

Е открыто,

Е замкнуто.

Пусть ab — дуга, неприводимая между А и В. Пусть ах Е (Л — а). Так как пространство локально дугообразно связно, то существует дугообразно связная окрестность R точки а,,

не пересекающаяся с ab. Поэтому R а Е, откуда получаем соотношение (20).

Пусть р Е Е. Тогда существуют две пепересекающиеся дуги Л-1 и N, соединяющие А с р и с В соответственно. Если R — дугообразно связная окрестность точки р, не пересекающаяся с /V, то легко видеть, что RcE. Поэтому множество Е открыто.

Покажем, что Е — Е. Пусть q Е Е; мы должны показать, что q Е Е. В силу предположения точка q не разделяет пространство между Л — q и B — q. Следовательно, множество Я' — q содержит дугу ab, неприводимую между А и В. Пусть ^ — дугообразно связная окрестность точки q, не пересекающаяся с ab. Тогда существует точка г £ Е П R, а потому —дуга qr с R, такая, что

qr^ub^O,

а также две дуги В и Q, соединяющие А с г и с В соответственно и такие, что

Р Л Q = 0. .

Можно предположить, что УП^з^О, ибо в противном случае дугу S, соединяющую Л с q, можно выбрать в Р U qr, откуда 5ЛУ = 0 и, следовательно, q Е Е.

Далее, пусть ахсх и а2сг — две такие дуги, что

ахсх с Q, ах Е 21,

«,с1Л<7г = с1> а., Е Л

а2с2 с Р,

«2^2 Л qr = с2.

Предположения леммы выполняются, а именно (17) вытекает из (25), (27), (24) и (23), а (18) следует из (26) и (28).

Итак, множество ахсх U а2с2 U ab содержит две дуги М w N, соединяющие Л с В и с (с,, с2) соответственно, причем таким образом, что удовлетворяется (19); поэтому (ср. (26), (28) и (23)) имеем

Л4Л(^игщ2и^) = 0.

В множестве ^UC|C2U<7CI можно выбрать дугу, соединяющую Лещи из соотношения (29) вытекает, что q Е Е.

Теорема 15. В локально связном континууме Я" всякая точка р порядка ^ 2 расположена на некоторой дуэе apb ^где а=^р=^Ь) ).

Доказательство. Сначала установим эту теорему при дополнительном предположении, что ни одна точка не разделяет Я’, т. е. что Ж — циклический элемент.

Можно считать, что р не разделяет никакой локально связный континуум С, поскольку всякая дуга, соединяющая в С две точки а и Ь, принадлежащие различным компонентам множества С — р, содержала бы точку р (являющуюся их общей границей).

При этих предположениях определим по индукции две последовательности точек а0, ^ь • • • и b0, Ьх, ..., а также последовательность не содержащих разделяющих точек локально связных континуумов Ео, Еь ..., удовлетворяющие следующим условиям:

(30)(31)(32)(33)(30)(31)(32)(33)ап^Ьп,^П> ^п Е Еп р,Р £ ЕпсЕ„_ьЬ(Еп)< Мп.

(30)

(31)

(32)

(33)

(30)

(31)

(32)

(33)

Пусть E0 = ^E, а «о и Ьо — две такие точки, что ай#=Ьй и ай^р#=Ьй.

Предполагая, что а„_ь Ьп_х и Еп_х удовлетворяют условиям (34) an_xN=bn_x, ап_х, bn_x ^ Еп_х-р, (35)р Е Еп_х,

обозначим через Сп локально связный континуум, такой, что

(36)(37)(38)(36)(37)(38)СпаЕп_х,^п—Ь ^п—1 С Еп-Х Сп,Ь(Сп)< Мп,

(36)

(37)

(38)

(36)

(37)

(38)

а через р — точку множества Сп, внутреннюю относительно Еп_х\ тогда (ср. § 51, II, теорема 4)

(39)(39)ordpC„==ordp£'a_1>2,ordpC„==ordp£'a_1>2,

(39)

(39)

ordpC„==ordp£'a_1>2,

ordpC„==ordp£'a_1>2,

так как Еп_х не содержит разделяющих точек.

Согласно (39), теореме 6 (1) и теореме 10 из § 51, V, точка р принадлежит циклическому элементу множества С„, скажем Е„, такому, что Еп#=р. Согласно (37), отсюда следует, что ап_х, Ьп_х Е Еп_х — Еп. Так как множество Еп_х не содержит разделяющих точек, то по теореме 14 существуют две дуги ап_хап и b,t_xbn, такие, что

(40)(40)^п—i^n U bn_\bn cz En_\i^п—i^n U bn_\bn cz En_\i

(40)

(40)

^п—i^n U bn_\bn cz En_\i

^п—i^n U bn_\bn cz En_\i

(itt_iaflf\ b^-^b^0т at^vi н П Е- ^ и Ь^-уЬ^^Ец, Ьп.

Из (41) и (38) следует, что выполняются условия (30) —(33) кап'Т’Р» ибо в противном случае точка р разделяла бы континуум Еп^ап_хап).

Положим А = aQax U axa.z (J .. . и В = bobx U bxb2 U • • • •

Покажем, что HUpUB есть дуга anpbn.

Действительно, A U р (так же как и S U р) — Дуга, ибо р ^ Ж - А, согласно (32) и (41), и am_xam с: (£,„_,-Е,^ U ат, согласно (40) и (41), откуда получаем (в силу (32)), что

(<W U ... U ап_хап) f| апап + х^Е0-Еп U а„) f|(Еп-Еп + Х U a„ + ,) = a„, и, согласно (32), (33) и (40),

Limart_1art = р. П>оо

Наконец, дуги ЛОр и B\jp имеют единственную общую точку р, так как, согласно (41), А П В = 0.

Таким образом, в случае, когда #’ — циклический элемент, теорема доказана.

Общий случай сводится к предыдущему. Как и раньше, можно считать, что р не является разделяющей точкой. Но тогда из соотношения ordp^’^2 вытекает по теореме 6 (i) и теореме 10 из § 51, V, что р принадлежит циклическому элементу, содержащему более одной точки.

Теорема 16. Всякая пара точек p=^q локально связного континуума Ж, не содержащего разделяющих точек (следовательно, любая пара точек циклического элемента), содержится в некоторой простой замкнутой кривой.

Доказательство. Прежде всего заметим, что р принадлежит простой замкнутой кривой. По теореме 15 существует дуга apb; с другой стороны, так как множество Ж — р связно по предположению, оно содержит дугу cd, неприводимую между ар и pb. Искомая простая замкнутая кривая, содержащая р, получается путем добавления к cd дуг ср и pd (содержащихся в apb).

Далее, пусть Р и Q — две простые замкнутые кривые, содержащие р и q соответственно. Необходимо рассмотреть три случая.

(а) Р П Q — 0. В этом случае по теореме 14 существуют две непересекающиеся дуги А и В, неприводимые между Р и Q. Легко видеть, что объединение Р U Q U A U В содержит простую замкнутую кривую, соединяющую р с q.

(Р) Пересечение Р П Q состоит из единственной точки г. Пусть R — дуга, содержащаяся в Ж — г и неприводимая между

Р и Q; тогда объединение Р U Q U R содержит простую замкнутую кривую, соединяющую р с q.

(у) Наконец, если пересечение Р П Q содержит (по крайней мере) две.точки, то точки р и q принадлежат простой замкнутой кривой, содержащейся в Р U Q.

Теорема 17. Для того чтобы множество, содержащее более одной точки, было циклическим элементом, необходимо и достаточно, чтобы оно было насыщенным относительно существования для ■ любой пары его точек простой замкнутой кривой, содержащей эти точки.

Доказательство. Условие необходимо. Если Е — циклический элемент, то по теореме 16 всякая пара его точек принадлежит простой замкнутой кривой, ' содержащейся в Е. Согласно теореме 6 (11), множество Е насыщено относительно этого свойства, ибо всякое множество, обладающее им, не содержит разделяющих точек.

Условие достаточно. Всякое множество Е, удовлетворяющее этому условию, не содержит разделяющих точек. Поэтому оно содержится (ср. с теоремой 10) в некотором циклическом элементе Е*. Так как всякая пара точек Е* содержится (как только что было доказано) в простой замкнутой кривой, лежащей в Е*, а Е насыщено относительно этого свойства, то отсюда следует, что Е* а Е и потому Е = Е*.

Продолжимые свойства). Полезность разбиения локально связного континуума на циклические элементы объясняется, вообще говоря, тем, что континуум имеет дендритообразную структуру относительно своих циклических элементов). Многие свойства всего пространства связаны только с аналогичными свойствами его циклических элементов. Такими являются продолжимые свойства. Так мы будем называть всякое свойство (множества), которым обладает все пространство, если этим свойством обладает каждый циклический элемент.

Свойство, которым обладает всякий циклический элемент, при условии, что им обладает все пространство, мы будем называть приводимым.

Теорема 1. Пусть F — семейство замкнутых подмножеств локально связного континуума И', такое, что

)W € F для любого х С И\

Следующее свойство Р множества Е продолжимо:

Для всякой пары (различных) точек х, у £ Е существует множество F £ F, разделяющее эти точки.

Доказательство. Предположим, что всякий циклический элемент обладает свойством Р. Пусть а и Ь — две различные точки. Покажем, что существует множество F 6 F, которое их разделяет.

Если а и b принадлежат некоторому циклическому элементу Е, то по предположению существует множество F ^ F, разделяющее Е между а и Ь. Это множество разделяет и все пространство между этими точками (по теореме 6 (i) п. II и теоремам 1 и 5 п. I).

С другой стороны, если не существует циклического элемента, содержащего а и Ь, то по теореме 6 (i) из п. II мы имеем ord^.j^^l и, следовательно, существует точка х, разделяющая а и Ь. В соответствии с (1) для завершения доказательства достаточно положить F = (х).

Если в качестве F последовательно берутся семейства

конечных множеств,

замкнутых счетных множеств,

замкнутых множеств размерности ^n (n = 0, 1, 2, ...), то из теоремы 1 в сочетании с теоремой 9 § 51, IV и следствием 1Ь § 27, II вытекает следующая

Теорема 2. Следующие свойства множества Е продол- жимы;

быть регулярным,.

быть рациональным,

dimE^n (для п-1, 2, ...).

Теорема 3. Наследственная локальная связность — про- должимое свойство.

Доказательство. Предположим, что локально связный континуум .^ не является наследственно локально связным. Тогда он содержит (по теореме 2 из § 50, IV) континуум сходимости К (состоящий более чем из одной точки). Согласно теореме 12 п. II, множество К является континуумом сходимости некоторого циклического элемента Е.

Отсюда следует (согласно теореме 2 § 50, IV), что Е не является наследственно локально связным.

Теорема 4. Дугообразная связность связных подмножеств множества Е — продолжимое свойство.

Доказательство. Пусть С — связное множество, и пусть а и b — две (различные) точки С. Пусть Л — дуга ab и S —множество всех точек, разделяющих пространство Ж между а и Ь. Положим F = S\ja\jb. Очевидно, что FclC П А.

Так как F = F (ср. § 49, IV, теорема 3), то множество A — F является объединением последовательности (открытых) смежных интервалов

а^ — а,— Ьь a2b2 — a2 — b2

Из этого вытекает, что

orda?^ > 2.

Действительно, в противном случае существовала бы точка р, разделяющая пространство между az и bh а следовательно, между а и Ь, поэтому выполнялось бы включение

р с F п (atbi - at - bt\ что невозможно.

Пусть Е1 — циклический элемент, содержащий az и Ьр Так как множество С П Е1 связно (по теореме 5' п. I) и, следовательно, дугообразно связно (по предположению), то существует дуга (а^ДаС П Е1. Положим

b = f\№M.

i

Так как ВсС, то остается только показать, что В — дуга. Рассмотрим отображение /: А-*-В, такое, что

f (х) = х для хС Е,

сужение fla^ есть гомеоморфизм дуги а^ на ^а^Д.

Покажем, что отображение f взаимно однозначно и непрерывно. Для этого покажем, что

АПЕ^а^.

Из включения аь Ь^Е1 по теореме 5' п. I следует, что

а^^Е1.

С другой стороны,

(aat — a^ft Е1 = 0 = (J)bt —Ь^П Е1.

Действительно, точка az разделяет V между aat — at и bt (так как at £ F). Поэтому из включения x£(aaz —az) следует, что

ordx,6 .^ = 1, откуда, согласно теореме 6 (ii) п. II, получаем х Е Ж - Е'.

Таким образом, первое равенство (6) установлено, а второе получается из соображений симметрии.

Из соотношений (5) и (6) непосредственно вытекает (4), следовательно, Е'^Е1 для i#=j.

В соответствии с замечанием к теореме 6 п. II пересечение Е1 П Ej либо пусто, либо состоит из единственной точки р, разделяющей пространство между любой парой хЕЕ! — р и уЕЕ^—р. Принимая во внимание включение (5), получаем, что точка р разделяет пространство между а и Ь, а потому Р^Е.

Таким образом,

E’^E^F и FRE^Ui, bt\

где последнее включение является следствием (4).

Из включений (7) вытекает, что функция f взаимно однозначна. Действительно, имеем

HAMlFWUMbt-at-b^,

UUi - сц -b^F [\UibJ -at- b^F RE1- Ui, b^ = 0, f UUi - at~ b^fUUi-a/- bj) =

= [UibS - a,- - 6j П W* -at- ЬДс czE1 f] E> f| F - Ui, bi, ah Ь^ = 0.

Наконец, функция f непрерывна. Это очевидно, если семейство дуг ай, конечно. Если это семейство бесконечно, то, согласно теореме 9 п. II,

Hmd(Ez) = 0, поэтому lim б(а,^)* = 0, Z->OOZ —> ОО

откуда следует непрерывность функции /.

Замечание. Применяя теорему 10 из § 50, IV или слегка изменяя доказательство теоремы 4, можно показать, что следующие свойства продолжимы:

всякое связное подмножество множества Е есть полуконтинуум-,

всякое подмножество множества Е, связное между двумя точками, является дугообразно связным между этими точками.

Теорема 5. Уникогерентность является продолжимым и приводимым свойством.

Доказательство. Предположим, что локально связный континуум #' не является уникогерентным. Пусть (в соответствии с теоремой 6 из § 50, III) К и L — два локально связных континуума, а А и В — два замкнутых множества, удовлетворяющих условиям

Ж-KUL, K(U = A\JB, АПВ=0, А^0¥=В.

Пусть ab — такая дуга, что aba. К., abf\A — a и ab П В = Ь. Отсюда следует, что

orde,^>2.

Действительно, если бы точка р разделяла Ж между а и Ь, то мы получили бы, что

р£(дЬ(\Е\и, следовательно,рЕП ЛО£) = ИЛ Л)иИЛВ)=Дщ 6),

т. е. либо р = а, либо р = Ь.

Пусть Е — некоторый циклический элемент, содержащий а и Ь. Тогда, согласно (8),

£ = (ДПЮи(£П^), (5ПЮП(£П£) = (£ПЛ)иИЛВ),(£ЛЛ)Л(5ПВ) = 0, £ПЛ^О^£П£.

Так как множества Е П К и Е Л L — континуумы (по теореме 5' п. I), то установленные выше соотношения показывают, что циклический элемент Е не является уникогерентным.

Итак, уникогерентность — продолжимое свойство. Согласно теореме 9 из п. I, оно, кроме того, и приводимо.

Замечания. Континуум Ж называется п-когерентным, если для любого разбиения Ж = К U L на два континуума пересечение К П L содержит не более п компонент).

Для «-когерентного континуума Ж положим г (Ж) = п — 1. Тогда)

i

где £\ Е2, ... — последовательность циклических элементов, не сводящихся к отдельным точкам.

Следующая формула позволяет вычислить порядок пространства в точке р, если он конечен):

n(pi ordp-Ж’ = m (р) — п (р) + 2 ord„£z,

где nt (р) — число компонент множества Ж — р, а Е', Е2, ... . £",р) — система циклических элементов, содержащих р, но не сводящихся к р.

. 0-кривые. Так называется континуум, являющийся объединением трех дуг, имеющих одни и те же концевые точки и не имеющих никаких других общих точек (подобно букве 0).

Класс локально связных континуумов, не содержащих 0-кривых, представляет собой важное обобщение дендритов (так, например, всякий континуум такого вида гомеоморфен границе некоторой области, расположенной на плоскости1)).

Теорема 1. Всякий локально связный континуум Ж, не содержащий 6-кривых и разделяющих точек, является простой замкнутой кривой (за исключением случая, когда он состоит из одной точки).

Доказательство. Так как пространство ^ не является дендритом, пусть С —простая замкнутая кривая, содержащаяся в Ж. Предположим, что Ж=^=С. Пусть 7? — компонента множества Ж —С. По предположению Fr(/?) содержит по крайней мере две точки. Следовательно, существуют (ср. § 50, III теорема 7) две (различные) точки р, q^Er(R), достижимые из области R, а поэтому дуга pq^RV) p\J q. Так как Fr(£)cC (ср. § 49, III, теорема 3), то р, q^C, следовательно, С U pq есть 6-кривая.

Теорема 2, Каждое из следующих условий необходимо и достаточно для того, чтобы локально связный континуум Ж не содержал 9-кривых;

) всякий циклический элемент (содержащий более одной точки) является простой замкнутой кривой;

) для всякой пары точек р, q имеем ordp, ЦЖ ^ 2.

Доказательство. 1. Условие (i) необходимо по теореме 1.

Из условия (i) вытекает (ii). Если точки р и q не принадлежат циклическому элементу, то ordp, ЧЖ=\ (по теореме 6 (i) п. II). Если Е — циклический элемент и, следовательно, простая замкнутая кривая, содержащая р и q, то ordPi qE — 2, откуда по теореме 6 из п. I получаем огбр-(,Ж = 2.

Условие (и) является достаточным. Если р и q — точки ветвления 6-кривой 6, то ordp, ?0 = 3. Итак, если 6сЖ, то ordp, цЖ^Ъ.

Теорема 3. Всякий локально связный континуум Ж, не содержащий 0-кривых, регулярен, и всякое связное подмножество континуума Ж дугообразно связно.

9 См. Лйрес [2].

Доказательство. Это следует из теоремы 2 (i) и теорем 2 (i) и 4 п. III.

Теорема 4. Если К нс является локально связным подконтинуумом локально связного континуума Л", то существует кривая 0 = {ab\x U {ab^ U (ab)2, такая, что для 1 = 0, 1, 2 дугу (ab)i можно соединить с К континуумом Qx, не пересекающимся с {а.Ь\ + х U (ab)i+2 {индексы берутся по тодЗ1)).

Доказательство. Согласно теореме 1 из § 49, VI, множество К содержит континуум сходимости (не сводящийся к точке). Поэтому в К существуют последовательность непере- секающихся континуумов Кх, Кь и две сходящиеся последовательности точек, такие, что

Нт ип^ Нт и„, и ип, иа^Кп-

П->соП->ос

Так как пространство локально дугообразно связно, то можно считать, что А и в —два локально связных континуума, таких, что

иЙ, их, щ^А, и0, иь и2^В и ЛПВ = 0.

По теореме 3 из § 50, II пространство Ж является объединением конечного семейства F локально связных континуумов, которые настолько малы, что если К, А*, В* обозначают объединение элементов F, пересекающихся с Kt, А, В соответственно, то

а* п в* = о = к, п к* = к; л к; = к; л к;.

Пусть Piqi — такая дуга, что

piqif\A = p1, plql^B = qi и рщ^К* (i = 0, 1, 2).

Пусть рорх и ^0<7i — две дуги, содержащиеся в Л и в соответственно. Кривая

С = popxV pxqxU qxq0U qopo, очевидно, является простой замкнутой кривой. Соединим дуги рцрх и qoqx в континууме A U К^ U В некоторой дугой, скажем (ab^, так, чтобы только ее концевые точки принадлежали рйрх и у^х соответственно. Тогда C\j{ab)2 есть 6-кривая.

Действительно, согласно (2) и (3),

Poqo(Uab>2c:{p0, q^ и pxqx П {ab^ с {рх, qx\

Полагая С = (ab)0 U (ah)], получаем

(о^.сЛи^ив, а^Л b^B (i = 0, 1, 2).

Из соотношений А* П ^аЬ\ф=0=# В* П (аЬ^ и Л*ПЙ* = 0 вытекает, что ^аЬ\фА* U В*. Следовательно, согласно (4), существует точка с, € К*— (^* U В"). По определению К* точка ct принадлежит континууму Qi^F, такому, что

Q.n^^O и Q^K*.

Так как ct £ Qt ф (Л* U В*), то по определению А* и В*

о,п(лив) = о.

С другой стороны, включение (5) вместе с равенствами (2) дает

QClC^O^Q^^.

Из соотношений (4), (6) и (7) вытекает, что

Qi П (°Ь\+1 — 0 = Qi f] (fzZ>)i+2.

Таким образом, в силу (5), Qt — искомый континуум.

ГЛАВА 7

АБСОЛЮТНЫЕ РЕТРАКТЫ. ПРОСТРАНСТВА, СВЯЗНЫЕ В РАЗМЕРНОСТИ п. СТЯГИВАЕМЫЕ ПРОСТРАНСТВА

§ 53. Продолжение непрерывных функций. Ретракция

I. Отношения т и т„. Пусть Л' и У — два метрических пространства, и пусть ФсЗ^ и Л с.?’; обозначим через Ф|Л множество всех сужений /1 Л, где /^<|). В частности, ;УГ | Л — множество функций, принадлежащих 3/л и допускающих непрерывное продолжение на .^'.

По определению символ Д'т'Я означает, что g/f = g/z । р дЛЯ любого Р = Г с: РР, т. е. что всякая (непрерывная) функция f: Р-**У допускает (непрерывное) продолжение f: :Р->УХ\ Положим

W = U№),а

где Е пробегает все окрестности множества Л.

Таким образом, соотношение f 6 ^^ ф Л) означает, что функция f допускает продолжение Г 11а окрестность Е множества Л, т. е.___

/ с f £ УЕ, где Л Л -V — Е = 0.

Мы используем символ сРт„У для обозначения того, что g/r _ (ух [^ р} дЛЯ любого р = рс2.Т; другими словами, /го будет означать, что каждая функция, принадлежащая Ур, допускает продолжение на окрестность /•'.

Примеры и замечания, (i) По теореме Титце (§ 14, IV) интервал ^ обладает следующим свойством:

.%’тсУ для любого метрического пространства .Т.

Пространства X обладающие указанным свойством интервала, называются абсолютными ретрактами (AR) (см. и. III).

Если У — полиэдр, то Я'трЯ для любого .V (см. и. III).

Пространства 2/, обладающие чтим свойством, называются абсолютными окрестностными ретрактами (ANR).

Если Д, есть /г-мерпый шар и ФА п_х — соответствующая севера, то отношение В1ХтФА п_х не имеет места (§ 23, III, следствие 1а).

Из условия ДхУ следует, что У дугообразно связно (ср. и. IV). Соотношение У'ТуУ характеризует пространства, называемые связными в размерности < и (они будут изучены в п. IV).

Соотношение УтФАу эквивалентно соотношению dim^' (см. и. VI).

Соотношение dim.У ^ О эквивалентно предположению, ЧТО /СтЗ/ ДЛЯ любого З/ц^О.

Рассматриваемое предположение вытекает из этого соотношения согласно IV (i). Обратная импликация следует из такого утверждения:

Нели cliin .'Л" > 0 и УхУ, то У связно.

Доказательство. Предположим, что

HolMc.t’, ИоПИ.-О, А^А; (j^O, 1),

У = S0U/ii, Д)П/Д = 0, Ь^В^В,.

Если УхУ, то отображение /: HoUA->У, определяемое равенствами /(Л/) = 6/, имеет продолжение g: У-*У. Полагая F; = g~4Fi\ получаем

У-Р^РХ, ЛтД-О и Aj^Fj^Fj.

Отсюда следует, что й1т.У = 0.

Отношение т не транзитивно.

Доказательство. Имеем УтЯтУ (согласно (i) и (v)), в то время как отношение УЧАА не имеет места (ср. (iii)).

Отношение т не рефлексивно.

Согласно (vii), никакое несвязное пространство У положительной размерности не удовлетворяет отношению УхУ.

II. Операции. По определению функция g есть продолжение функции f, если

Е [// = /(*)] с Е [i/ = g(x)]-

X, 1/X, у

В таком случае мы будем коротко писать: jcg.

Если /": А-> У п д: В У, то положим

f + g= Е [HW1U Е |д = g WJ').

X. их, и

') Для того чтобы избежать недоразумений, мы будем писать / + у вместо / + у, если в пространстве у определено сложение,

Напомним (ср. § 13, V, теорема 3), что если множества А и В замкнуты, а непрерывные функции f и g совпадают па Л П S, т. е. f(x) = g(x) при х£ЛПВ, то Q + gY АиВ->'У — непрерывная функция.

Теорема 1. Пусть р = РаУ. Из условия Ут^У вытекает Рт.цУ, а из условия УтУ следует РтУ.

Доказательство очевидно.

Теорема 2. Пусть 3< = Лои^4ь Ло = Ло « Ах = Av. Если .^т^Ло, Л^ТуЛ! и Ут^АпПАь то ЛЛто(ЛоU ЛJ.

Если Я'тЛ0, УтА\ и ЯДЛоПЛ,, то Ут (Ло U ЛД

Теорему 2 мы выведем из следующей леммы, которая также будет использоваться в дальнейшем.

Лемма 2'. Пусть (для / = О, 1)

З^ЛОЛ,. Л, = АЬ

^ = B0UB1, В/==ВЛ

F = F ci У, f: Р-» У непрерывно,

Р^В^ГЧА^

Вп^А^

(f I F n B. n B^ 6 [(Ло и Л,)SonOl U n So n bA-

При этих предположениях

№?.

Волее того, если индекс и вычеркнут в соотношениях (5) и (6), то его можно вычеркнуть и в (7).

Доказательство. Согласно (6), имеем

(/ISnSonSOcge^oPXZ

где Я —замкнутая окрестность множества ВПВ0П51 относительно ВоПВ^ поэтому

ТПВоПВ,-Я = О.

Положим f; == f \ F П В. Согласно (8), получаем, что

(Ю) hW^Hx^g^ для x^FnSonS,.

Так как F П Bj Q Н a F Q Во П Si, то из (10) следует, что

(Н)(Vg)^A':nBinH.

Множество F^Bj^H есть замкнутое подмножество Вр следовательно, в силу (5)

t^g^g^A^l.

где V; — замкнутая окрестность F^BjUH относительно Вр поэтому

^57^ = 0.

Положим Е = (Vol) V0 — VoD Vt П H и ht = gj |Е П V/. Так как ЕП Vod V, = Н, то, согласно (8), (11) и (12),

hjM = giU^-gW для х^Е п ГоП V,.

а так как (Е П V0)U(Ef) V0 = Е, то (/г0 + /г,): Е -> У — непрерывная функция. Остается показать, что Е — окрестность F, т. о. что

ЕП^^Е-О

и

^hQ-Vhx.

Соотношение (14) выводится следующим образом:

К - Е с уж - (1/0и V,)] и (Vo П V, - Я),

F п ^чкит?) = Е f] So-(VoU VO U Е n 5,-(VoU V,) с

с^ПВ^^ШЕПВ!-V,) = 0 (ср. (13));

Е П VonV[ —Я с Е П В^Вх-Н = 0 (ср. (9)).

Наконец, так как F (]В/ с Е П Vh то, согласно (12), ^аН), а это дает включение (15).

Чтобы доказать вторую часть леммы 2', достаточно положить Н = В0ПВ1 и У/ = В/ в предыдущем доказательстве. Тогда мы получим, что Е = Ж.

Доказательство теоремы 2. Предполагая, что условия (3) удовлетворяются, положим

с, = гЧа^ и Е/ = Е[р(м c^ptx, сх_^.

X

Из этих соотношений немедленно вытекают условия (2) и (4).

Из отношения Ят^Л/ вытекает (5) (по теореме 1). Наконец,

22 Зак. )UQ

отношение .^’ТуЛоЛЛ! лает (6). Следовательно, ил леммы 2' вытекает (7), откуда получаем /Гт^.

Если индекс у опустить в предположениях, то его можно опустить и в заключении; отсюда получаем вторую часть теоремы 2.

Теорема 3. Пусть Й^ = Лои Ль Л0=Л0 и Л; —Д.

Если /ГтДЛо U Л]) и Л тДЛоЛ Л,), то Н'ТуЛ, для / = 0, 1.

Если ^'т(ЛоиЛ1) и Д/т (Ло Л ЛД, то Д'тЛ/ для j = 0, 1.

Доказательство. Пусть р = Рс.Г и отображение f: F -> Ло непрерывно. Нужно определить окрестность V множества F, такую, что/^Ло|Е. Из предположения И'ти (Ло U ЛД вытекает существование продолжения h: Е->(ЛоиЛ1) отображения Д где Е — замкнутая окрестность множества F. Пусть Е; = in'lAjY Тогда

Е=ЕОЦЕЬ FcEo и А^оПЕДс Л„ Л Л,.

Из последнего включения вытекает (в силу отношения .^'тДЛоU Л|)) существование продолжения ц; Q(Лп Л Л,) отображения А|Е0ЛЕ1, где Q — замкнутая окрестность множества Е0ЛЕ1 в Еь т. е.

ET=QREn = 0.

Положим

E = E0UQ и F-U^FoHr.

Из этого следует, что fczf*^Лo, так как (ср. (16) и (18)) F cz V и ЕоЛ Q сЕоПЕо

Наконец, V — окрестность множества F. Действительно, согласно (16) и (17), имеем

№-VW = ^-(Z-oLTQ) Л F cW^Q Л Е Л До = о,

а это показывает, что V — окрестность F в Е и потому в .Е (ибо Е — окрестность F в Я'\■

Для доказательства второй части теоремы 3 положим Е = .V и Q = EX, откуда получаем V = Я’ (согласно (16) и (18)).

Теорема 4. Пусть Уh У^, ...—(конечная или бесконечная') последовательность пространств; У-ЦУх X Уг X . . .) тогда и только тогда, когда П'тУк для каждого к’.

Если последовательность конечна, то т можно заменить ни Ту.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть S — .7У! X fy:! X . . . . Предположим, что.?'т7. Покажем, что УтУ^. Пусть рк — фиксированная точка пространства Ук для к = 2, 3, . .. . Пусть /•’ = /’ с. V и отображение /: F~>y} непрерывно. Обозначим через g функцию, отображающую точку x^F в точку [/(х), р.ъ рЛ, . ..] из 2- По предположению существует продолжение 1г: .‘'/’->7 отображения g. Полагая

ЦхН^'М к2 (х)

получаем, что j с h1 £ З/Д Следовательно, УтУ^

Обратно, предположим, что УтУк для к = 1, 2, ... . Пусть F = l;c.i' и отображение f: F-» % непрерывно. Пусть /' = [/’, Р, •••]• Для каждого к по предположению существует функция gk, такая, что

^С^уут откуда fc g = \gx, g2, .. .]£ %®.

Поэтому Ух %.

Для того чтобы перейти к отношению т^, необходимо только произвести в предыдущих рассуждениях следующие изменения:

вместо к: У-> S положим h: Е-> 2, где Е — окрестность множества F;

вместо gfe: У —> Ук положим gk: Ек~>Ук, где Ек — окрестность F: тогда множество Е — Д^ . .. П Е^ — окрестность F, а из этого вытекает, что /с^ = [^, ..., ^(дЗД.

Теорема 5. Если ,7 компактно, то из отношения J X УтУ вытекает отношение УтУ7, а из отношения ^ХУт^У вытексет отношение УтрУг.

Доказательство. Пусть F = F с У и 7 Р—>УТ непрерывно. Таким образом, f сопоставляет каждому х^/' непрерывную функцию Д: У-Ук Положим

LvW^gV, х);

тогда отображение g: JXF -> У непрерывно, согласно теореме 2 из § 44, IV. Если УхУхУ, то существует продолжение g*: J X У -> У отображения g. Поэтому функция /*, определяемая равенством

№ =х),

непрерывна и fef: У->УТ.

Если J X УтуУ, то существует (ср. § 41, IV, теорема 1) окрестность Е множества F и продолжение g*: У'ХЕ-^У отображения g (,g определяется, как выше). Тогда j с: Д ^^ухур

Замечание. Топологией пространства 3/^ является, как обычно, его компактно-открытая топология. Следует заметить, что первая часть теоремы 5 справедлива также для топологии непрерывной сходимости в пространстве 1УГ (ср. § 20, VI, определение 2) без предположения компактности <7 ’).

Напомним (ср. § 13, V), что подмножество Л пространства Ж на !ывается ретрактом Ж, если существует непрерывное отображение, называемое ретракцией, f: ЖЛ, такое, что/(х) = х для х£А.

Назовем А окрестностным ретрактом пространства Ж, если существует ретракция некоторой окрестности Е множества А на А.

Теорема 6. Если ЖхДУ и % — окрестностный ретракт пространства У, то Жт^. Если ЖтУ и 2 — ретракт У, то Жт^.

Дока зательство. Пусть F = F а Ж и /': F -» 2 — непрерывная функция. Из предположений следует, что

f <^g£yE и г: G-* 2,

где Е — окрестность F, G — окрестность 2 иг — ретракция G на 2.

Следовательно, множество Н = Е П g~l (С) — окрестность F и f crg£%,!. Поэтому ^„2.

Чтобы доказать вторую часть теоремы, в предыдущих рассуждениях следует положить Е = Ж и G — У. Тогда Н = Ж, откуда получаем ДД2.

Теорема 7. Пусть Д' =# 0 — компактное метрическое пространство. Тогда У является ретрактом пространства Ут. Следовательно (ср. с теоремой 6), из отношения Жт„Ут вытекает отношение ЖтДУ, а из отношения ЖтУт следует отношение ЖтУ.

Доказательство. Пусть t0£J. Отождествим пространство У с семейством постоянных функций, принадлежащих Ут, и поставим в соответствие каждой функции / ^Ут постоянную функцию /(^о). Это соответствие есть ретракция Ут на У. В самом деле, оно непрерывно, ибо

из Пт/„ = / следует Нт /„(/0) = Шо), П “> ООп -> ОО

и тождественно на У.

■) См. также Ху Сы-цзян [3, стр. 187].

. Абсолютные ретракты.

Определение. Метрическое пространство 27 называется абсолютным ретрактом (AR), соответственно абсолютным окрест постным ретрактом (ANR), если

.ТтЗ, соответственно .ТТуЗ

для любого (метрического сепарабельного) пространства .Т х\

Примеры и замечания, (i) Согласно теореме Титце, евклидово пространство ^ и куб Зп — абсолютные ретракты.

Более того, всякое выпуклое подмножество пространства 8’" есть абсолютный ретракт (см. § 28, IX, теорема 1, замечание).

Очевидно, что

0г = 0 для ,-Г^О и 0° = (0);

следовательно, пустое множество не является абсолютным ретрактом. Однако оно есть абсолютный окрестностный ретракт.

Всякий абсолютный ретракт дугообразно связен, а всякий абсолютный окрестностный ретракт локально дугообразно связен.

Всякий полиэдр есть ANR (Борсук [6, стр. 227]). Всякий дендрит есть AR (см. теорему 16, а по поводу более сильного утверждения см. теорему 7 § 54, VII).

Это легко получается (по индукции) из теоремы 1 ниже.

Группы Бетти (компактных) ANR имеют конечное число образующих (см. Борсук [10, стр. 97] и Лефшец [1, стр. 129]).

В пространстве сТ3 существуют AR, которые нельзя представить в виде конечного объединения меньших AR (см. Борсук и Мазуркевич [2]). Кроме того, существует двумерный AR, никакое собственное замкнутое двумерное подмножество которого не является AR (см. Борсук [24]).

Если 3 — конечномерное пространство, то из условия 3X8x3 следует, что 3 является AR, а из условия 57 X Эт^З следует, что 3 есть ANR (ср. § 54, VII, теорема 6).

Из теорем 2, 3 и 4 п. II непосредственно вытекает следующее утверждение (см. Ароншайн и Борсук [1]):

Теорема 1. Пусть Ао и Л, — два замкнутых множества-, если До, Д[ и До Q Ai суть AR (соответственно ANR), то таким же является ДоU Дн если A0UAi и Д0П Д1 суть AR (соответственно ANR), то такими же являются множества Ао и Д,.

Замечание. Однако из предположения, что Ли, Л1 и /loU^i суть AR, не следует, что /10П/1] — тоже AR (даже для полиэдра). (См. Бегль [1].)

Теорема 2. Декартово произведение У хХ У.>Х ... {соответственно конечное произведение Ух X . .. X УД есть AR {соответственно ANR) тогда и только тогда, когда каждое Ук есть AR {соответственно ANR).

Замечание. Вторая часть теоремы 2, касающаяся ANR, не допускает обобщения на бесконечные последовательности. Действительно, пусть все Ук равны между собой и состоят из двух элементов; тогда пространство У х X У^ X . .. гомеоморфно каиторову множеству ^ и, следовательно, не является ANR, хотя каждое из Ук есть ANR.

Теорема 3. Пусть Д — компактное метрическое пространство. Тогда пространство Ут есть AR, соответственно ANR, тогда и только тогда, когда таким является пространство У.

Следовательно, F!’ и Дт суть AR, а если У — замкнутый полиэдр, то У,Г есть ANR.

Дока з а т е л ь с т в о. Если Ут есть AR (соответственно ANR), то по теореме 7 из и. II таким является и У.

Обратно, если У есть AR, то ДХ-^тУ для каждого Д', а отсюда УтУг но теореме 5 из п. II. Но это означает, что Ут есть AR.

Аналогично, если У есть ANR, то Ут — тоже ANR.

Сформулируем без доказательства следующее утверждение:

Теорема 4. Если Ж — локально связный континуум, то пространство 2Г есть AR 1).

Теорема 5. Для того чтобы {метрическое сепарабельное) пространство У было абсолютным ретрактом {соответственно абсолютным окрестностным ретрактом), необходимо и достаточно, чтобы для любого пространства 2, содержащего У как замкнутое подмножество, У было ретрактом S {соответственно окрестностным ретрактом 5).

Доказательство. 1. Если У есть AR, то St.7. Поэтому если f: У-> У — тождественное отображение, то ^У'ДУ, а это показывает, что У — ретракт £. Если У есть ANR, то ^УДУ, где Е — окрестность У в S.

Для доказательства того, что условие достаточно, предположим, что F — Fcz:1' и f: F ••> У — непрерывная функция.

') Доказательство см. Вопдыславский [I].

Согласно следствию 2а § 28, IX, У можно рассматривать как замкнутое подмножество пространства 2, такого, что / £ £^|/;. Следовательно, существует непрерывная функция ц: .^’->S, такая, что g(x) = ^(x) Для x^F. Предполагая, что г — ретракция £ на 3/ (соответственно открытого множества Е на 3/), получаем, что ferg, откуда Я'хУ (соответственно рГт^У

Теорема 6. Всякий ретракт абсолютного ретракта является абсолютным ретрактом. Окрестностный ретракт абсолютного окрестностного ретракта есть абсолютный окрестностный ретракт.

Доказательство. Пусть 3/ есть ANR, G — открытое подмножество У, г\ G - Л — ретракция, F = F с ,Е п К F -> Л —непрерывная функция. Тогда /с/*^.^, где Д — окрестность F. Положим // = f”'(G). Из этого следует, что I-'сП; таким образом, // — окрестность F, и fcrf^A". Следовательно, Л есть ANR.

Если У есть AR, то рассуждаем аналогично, полагая G = У и Е = .Е. Тогда Н = .Е и ferf ^Лг. Следовательно, А есть AR.

Теорема 7. Компактные AR совпадают (топологически') с ретрактами гильбертова куба Я Я Компактные ANR совпадают с ретрактами открытых подмножеств куба Я*”').

Доказательство. С одной стороны, так как Я8" есть AR, то всякий ретракт куба Я8" есть AR, а всякий ретракт открытого подмножества куба Я‘л есть ANR (согласно теореме 6).

С другой стороны, если замкнутое подмножество У пространства Я*’ является AR, то оно —ретракт пространства Я*6 (по теореме 5); если это подмножество — ANR, то оно —ретракт открытого подмножества куба Я*".

Теорема 8. Пусть У — компактное пространство. Если Я^тУ, то У есть AR. Если Я^'т^У, то У есть ANR.

Доказательство. Будем рассматривать У как подмножество Я* ; пусть f: УУ — тождественное отображение. Если Я^тУ, то ! сг ^У,7*\ т. е. У — ретракт пространства ЯА\ а, следовательно, по теореме 7 и абсолютный ретракт.

Аналогично, если H^xvy, то У — ретракт открытого подмножества куба Я^ц а потому ANR.

Лемма 9. Пусть F = F с .Е. Положим

(0) F° = ЕХЯ\А -Е X 0.

Тогда,

усхсг । ро = ус X £7 । ро.

Другими словами, всякая непрерывная функция h: Г°-*У, допускающая продолжение на окрестность Е множества F°, допускает продолжение на все пространство Ж X 9.

Доказательство. Так как 9 компактно, то существует открытое множество G, такое, что FczG и Gx9aE.

Пусть) ф: Ж —> 9 — непрерывная функция, такая, что

( 1, если х £ F,ф(х)=10, если х^Ж-G;

например,

р(А ДГ-Д + рП, А) '

В соответствии с предположением пусть /г0 —продолжение 1г на Ох9\ЗЖхО. Положим

h*(х, О = А0(х, t • ф(х)).

Тогда отображение

А*: ЖХ9—>У непрерывно и h* (х, /) = А(х, /) для (х, t^F0.

Теорема 10. Пусть 3/ есть ANR. Если пространство Уу дугообразно связно, то У есть AR).

Доказательство. Пусть Д'— пространство, содержащее У как замкнутое подмножество. Покажем (в соответствии с теоремой 5), что У — ретракт Ж.

Пусть ^: У—>У (7 = 0, 1) —такие функции, что Му) = с и f\^y^ = У Д™ И^У По предположению существует дуга, соединяющая /п с /, в пространстве У-'. Пусть g: 9 -ИП —такая непрерывная функция, что go = fo и gt = f\. Положим

h^x, t^ = gt^ для х^У и А(х, 0) = с для х^Ж.

Положим У° = кУ X 9) U (Ж X 0). Тогда отображение А: Уй-*У непрерывно, согласно теореме 3 § 44, IV. Так как У есть ANR, то из предыдущей леммы вытекает, что h с: h* С У6 х v•

Положим r(x) = А*(х, 1). Тогда ^сг£ЗД и, следовательно, г: Ж У — ретракция.

Теорема 11. Всякий компактный AR обладает свойством неподвижной точки).

Доказательство. Теорема 11 следует из теоремы 7 и теорем 12 и 14, приводимых ниже.

Теорема 12. Если У — ретракт пространства Ж, обладающего свойством неподвижной точки, то У также обладает этим свойством.

Доказательство. Пусть {: Ж -* У — ретракция и g: У—> У — непрерывная функция. Так как gf: .%"-* У, то gf: У-> .V, и по предположению существует точка х0, такая, что gfUo) = xQ. Так как gt<x9)^y, то ха£У, откуда [(х0) = х0, и, следовательно, g(ixQ) = xa.

Лемма 13. Пусть Ж — компактное пространство. Если каждому е>0 соответствует непрерывное отображение f; Ж ->ТЕ, такое, что

|/(х)-х|<е,

и если множество {(Ж) обладает свойством неподвижной точки, то пространство Ж также обладает этим свойством.

Доказательство. Предположим, что непрерывное отображение g: Д’ -► Ж не имеет неподвижной точки. Так как пространство Д’ компактно, то существует е>0, такое, что

|g(x)-x|>e

для любого х. Пусть f — отображение, удовлетворяющее условиям теоремы; положим h^x) = fg(x) и Р = 1(Ж). Так как отображение A: Ж-* F непрерывно, то непрерывно и отображение VAF): F^F, а потому существует точка x0^F, такая, что h\x0) = xQ, т. е. fg(x0) = x0. Согласно (1), I/g(x0)-g(x) |<е, а следовательно, I х0 —g(x0) |<е, что противоречит (2).

Теорема 14. Пространство 9S« обладает свойством неподвижной точки ).

Доказательство. Представим точки г^^Ко в виде 2 = [г1, г2, ... ], где 0 ^ г" ^ 1, и положим

Тогда | Д (г) — z | < 1/2“ и множество Д )9^'), как гомеоморфный образ замыкания /г-мерпого симплекса, обладает свойством неподвижной точки (но теореме 1 § 28, III).

По лемме 13 пространство 9* также обладает этим свойством.

Теорема 15. Всякий циклический элемент (и, более общо, всякое замкнутое вполне дугообразно связное подмножество) некоторого абсолютного ретракта является абсолютным ретрактом.

Более того, если .Е — локально связный континуум, то всякий циклический элемент (и, более общо, всякое замкнутое вполне дугообразно связное множество) является его ретрактом.

Доказательство. Пусть F — замкнутое вполне дугообразно связное множество, и пусть Rb R2, ...—последовательность компонент множества .Е — F. По теореме 4 из § 52, I множество РЦРп) состоит из единственной точки рп. Положим Нх) = рп для x^R,t и f(x) = x для x^F. Так как Нт 6(/?„) = О (ср. § 52, I, теорема 7), то функция / непрерывна. Следовательно, F — ретракт пространства Е".

С другой стороны, имеет место следующая )

Теорема 16. Если всякий циклический элемент локально связного континуума является AR, то весь континуум есть AR.

В частности, всякий дендрит есть AR.

Приведем без доказательства следующие теоремы.

Теорема 17 (вложения). Если У —компактное пространство (с(сР"), то существует бесконечный полиэдр Р, такой, что SUP — абсолютный ретракт).

Эта теорема является обобщением теоремы 1 из § 28, IX.

Теорема 18 (вложения). Для каждого п существует (п + 1)-мерный абсолютный ретракт, который топологически содержит любое метрическое сепарабельное п-мерное пространство ).

Теорема 19. Пусть Е — компактное пространство, F — замкнутое его подмножество и f: .Е -* S непрерывная функция, такая, что

(f\E — F)'. .E-F-^S-f(F)

— гомеоморфизм. Если У, F и f(F) суть ANR, то и 3/ есть ANR).

Замечания о локальной характеризации ANR. Пространство называется ANR в точке р, если существует окрестность точки р, являющаяся ANR.

Теорема 20 (Ханнера). Пространство является ANR тогда и только тогда, когда оно локально ANR в каждой из стах точек).

Доказательство основывается на следующих утверждениях:

Всякое открытое подмножество ANR есть ANR.

Объединение открытых ANR есть ANR.

Связность в размерности п. Случай, когда НпхУ. Пространство 3/ называется связным в размерности п, если

У^" = З/^т' | ^„;

это означает, что всякое непрерывное отображение /: У —> У имеет непрерывное продолжение f: б’„ ь, -> У).

Пространство У называется локально связным в размерности п в точке р, если каждому е>0 соответствует г)>0, такое, что всякая непрерывная функция /: ФУ-* У, для которой d [р U f^Jl < р, имеет непрерывное продолжение

Г- ^н^'У такое, что П^=р и 6 Yp U Г (ff« i i)J <e)-

Пространство У называется локально связным в размерности п, если оно обладает этим свойством в каждой точке.

Болес точно, под (л. с. ^-пространством (соответственно (с. ^-пространством) мы будем понимать пространство, локально связное (соответственно связное) в размерностях <п. Пространство У мы будем называть ЕСп-пространством, если для каждого е>0 найдется такое л>0, что всякое непрерывное отображение /: &f m -> У, где m = — 1, 0, ..., п, для которого б/(^°,„) < щ допускает непрерывное продолжение f; 6mJrX->y, такое, что

Очевидно, что если 3/ компактно, то оно является /^"-пространством тогда и только тогда, когда оно является (л. с. и + 1^пространством.

Для того чтобы установить условия, характеризующие (л. с. /^-пространства, рассмотрим сначала одно вспомогательное понятие.

Пусть f £ ^n+t | Положим

где /* пробегает 3/ «+1 и удовлетворяет условию fc[*.

Очевидно, что если f — константа, то х(Л = 0-

Для л. д. с. пространства 2/ легко доказать следующую лемму:

Лемма. Для того чтобы У было локально связным в размерности п в точке р, необходимо и достаточно, чтобы функция х была определена в некоторой окрестности (относительно ЗГ9") постоянной функции f, принимающей значение р, и чтобы [ была точкой непрерывности %.

Другими словами, необходимо и достаточно, чтобы из условия lim d [р U Л (^п)] = 0 (означающего, что последователь- /->оо

ность f}, f2, ... равномерно сходится к постоянной функции f) вытекало, что Птх(Л) = 0-

j->oo

Теорема 1. Следующие условия (для 3/^0) эквивалентны:

3/ есть (л. с. прирост ранет во;

3/ есть окрестностный ретракт всякого пространства 2, такого, что 3/ замкнуто в % и dim (2 — 3/) ^ п;

если F = Fcztf и dim (37 - F) п, то ЗГр = 3/х\Да

если dim^^/г, то ЖхДУ;

ДХЗД

если Tk = \3 E[lpl=l//)(pE6fe+l)]U(0), р

то зЛ = 3/6кЦаТк для к<п.

Теорема К Условие

(!') 3/ есть (л. с. прпространство и (с. прпространство эквивалентно каждому из условий (обозначим их номерами (2') —(6')), получаемых соответственно из условий (2)—(6) заме-

ной слое «окрестностный ретракт» на «ретракт» и вычеркиванием индекса у.

Доказательство теоремы 1. (Доказательство теоремы Г легко получить отсюда, заменяя Е и G на УЕ и V на g.)_

(1)=^>(2). Если У = У и dim ( % — 3/) $^ п, то, согласно следствию 2а § 28, IX, существуют пространство -Е, содержащее 3/, в котором 3/ замкнуто, а .Е — 3/ — бесконечный поли др размерности ^п, и непрерывное отображение g: %—> .Е, такое, что g(y}~y для у ^У. Таким образом, достаточно показать, что У — ретракт одной из своих окрестностей Е в .Е (так как g-1 (Е) — окрестность У в S). Последнее утверждение докажем по индукции; покажем, что

(i) оно имеет место, когда dim (.%" — 3/) = 0;

(И) если оно имеет место для dim (Е — У) ^ k, то оно также имеет место для dim (#’— 3/) = А + 1.

В случае, когда УЕ — У есть нульмерный (бесконечный) полиэдр, он является дискретным множеством, состоящим из (конечной или бесконечной) последовательности точек рь р2, ... . Обозначим через fo^Pi) точку множества У (которое не пусто по условию), такую, что

l/o(pz)-Pzl<2p(pz, У\

очевидно, это соответствие дает ретракцию УЕ на 3/.

Теперь рассмотрим (И). Пусть бесконечный полиэдр УЕ— У (размерности й + 1) представлен как объединение симплексов бесконечного комплекса; обозначим через R объединение всех симплексов размерности ^й, а через Db D2, ... обозначим (й + 1)-мерные симплексы. Таким образом, симплексы Dt не пересекаются, и их границы Di — Dt содержатся в R. Кроме того, можно допустить, что lim 6(£>z) = 0’).

Так как dim/?^&, то по предположению существуют окрестность G множества У (в УЕ') и непрерывное отображение (/?П G U 3/)-У, являющееся тождественным отображением на У. Положим /z = f | Dt — Dt для D^G. Пусть Е — объединение множества ^DGU^ и всех симплексов D, (содержащихся в G), таких, что отображение /z имеет продолжение/z: Dt —>У. Выберем Vt таким образом, чтобы

6[/Xnz)]^2x(fz).

Симплексы Di не пересекаются друг с другом и с У, поэтому

пусть f* = f + П + /*+--.. Мы должны показать, что Е — окрестность множества 'У и отображение Г непрерывно.

Пусть р С У и р = lim pj, где pj £ У — (;У U RY Так как

Di Л У = 0, то, полагая PiEDtp можно допустить, что все индексы ij различны. Следовательно,

Нтд(£Ъ.) = 0

и

limdfpU-Dz, 1 = 0-

Так как p^G, то для достаточно больших / получаем

DtpG, откуда О?) - D^cR П G,

так что отображение j определено на множестве D^ —D, , гомеоморфном ^к. Так как отображение f непрерывно в точке р, то из условия (9) вытекает, что

Дтд^рЖ^-ТфДН-

Поскольку пространство У локально связно в размерности к в точке р, то из соотношения (10), которое, очевидно, эквивалентно соотношению

(Н)lirnd^Uf/^Dz^n.^-O,

вытекает, что limx(f</) = 0 (ср. с леммой).

Таким образом, начиная с достаточно^ большого /, каждое отображение // имеет продолжение па Dtr Тем самым показано, что D^aE, следовательно, pt.^E. Таким образом, р — внутренняя точка Е.

Кроме того, из неравенства (7) вытекает, что

limdp; (5 )] = °.

Принимая во внимание (И) и соотношение

O^h^Di-Di^fi^Di^ приходим к выводу, что.

Т'тбГриП (о, )] = 0, откуда

Нт Г (pi ) = р.

Следовательно, отображение Д непрерывно.

(2)=>(3). Если F Fa.Г, dim (Л'— F) ^ п и отображение f: F-> У непрерывно, то существуют (согласно следствию 2а § 28, IX) пространство 2, содержащее У, такое, что dim (Z — У^еСп и У замкнуто в 2, и продолжение f0: У -* % отображения f. Предположим, что имеет место условие (2); тогда существуют окрестность V множества У (в 2) и ретракция дг: V-> У. Отображение Г = gf0 — искомое, так как оно является продолжением отображения f, определенным на множестве Е = {о 1 (V), которое представляет собой окрестность множества F (в У\

Импликации (3)#(4)=^>(б) очевидны.

(б)=>(1). В соответствии с леммой мы должны показать, что при условии (6) имеет место следующее: если к <п, р^У и Л> h^ последовательность функций, принадлежащих У^к и сходящихся к постоянной функции g: Ук-*У, принимающей значение р, то

Птх(//) = 0.оо

Положим f (х) = fj (jx) для |х|=1// и /(0) = р.

Очевидно, что f^yTl:. Поэтому, согласно (6), fef* £ УЕь,где Ек — окрестность множества Т к. Так как 0 £ Тк, то существует индекс /о, такой, что х С Ек для I х|^ 1//0. Положим

ГДх^ = Г^ № x^Gk + i и j>j0.

Для х^У к получаем

откуда

а так как /*(0) = 1 (0) = р, то мы имеем

lim/'(x) = p; следовательно, Нт б[К(б6+1) I == 0, Х->0f-»oo

откуда Итх(П) = 0.

1-*<Х>

Следствия 2 и 2'. Каждое из следующих условий эквивалентно условию (1) (для У=У0):

Если У комн iktho и dim J--= к < п, то 9п-кх0У'т.

Если к<п, то УтуУ^*1.

Условие (Г) эквивалентно условиям (12') и (13'), которые получаются из (12) и (13) вычеркиванием индекса v; в этом случае предположение компактности пространства J может быть опущено.

Доказательство. Из (4) вытекает (12), так как если dim <7 ==£<«, то (ср. § 27, VIII) dim Vj X gn~k} ^ п, откуда (7 X дп-к^тцУ, и, следовательно, gn~kxvyT по теореме 5 из п. II.

Так как из (12) вытекает (13), то остается показать, что из (13) следует (1).

Пусть к<п, р^У и е>0. Так как пространство У^к локально связно в размерности 0 в точке р (по предположению), то существует такое т]>0, что каждой непрерывной функции h: £Гк-^У, для которой b [р U h (^/J] < л, соответствует непрерывная функция f: д^У^Х такая, что {о= р, f] — h и I fx ~ Р I < е/2, так что

6 [Р U fx ^к)! < е для каждого х^д.

Положим h’(t • х) = fx (/) для t^t^k. Тогда

h-^k+t, OW^WtO, h’(0HW = p.

\H4t.x')-h40')\ = HxW-PK^,

следовательно, d[p U h*(6k+1^ < е.

Наконец, чтобы установить импликацию (13')=>(1'), опустим условия е>0 и г)>0 в предыдущем доказательстве. Таким образом, каждому непрерывному отображению /г: ^’к-*-У соответствует непрерывное отображение h‘; 6к+А-*У, такое, что /гс=/г* (где р — произвольная точка).

Теорема 3. Пусть п>0. Если каждый подконтинуум пространства У связен в размерности п, то пространство У связно и локально связно в размерности п.

Доказательство. Пусть р^СсУУ, где G открыто, и пусть f; а^-* G — непрерывное отображение. Так как и>0, то сфера ofп есть континуум, поэтому и f)^) — континуум. По предположению

/с/*: Gn+\-*l^n)* гДе Г непрерывно.

Так как /(^JcG, то Д — непрерывное продолжение f r G. Поэтому У локально связно в размерности п в точке р.

Для доказательства связности У в размерности п достаточно в предыдущем доказательстве заменить G на У.

Примеры и з а м е ч а н и я. (i) Если З/^О, то, очевидно, V'TV ^У° состоит из единственной точки, a <У_\ = 0\ Поэтому (ср. (2')) если У — замкнутое подмножество пространства 2, такое, что dim (2—3/) = О, то У — ретракт пространства 2.

Если dim^' = 0, то Я'хУ для любого У =/= О (ср. (4')).

(И) Соотношение Ух^У означает, что У локально дугообразно связно, а УхУ означает, что У, более того, дугообразно связно.

Поэтому локальная связность в размерности 0 эквивалентна локальной дугообразной связности.

Следующее пространство является (л. с. /^-пространством для любого п и тем не менее не является абсолютным окрест- ностным ретрактом.

А именно, У есть объединение бесконечной последовательности сфер <9У, ^ь ..., расположенных таким образом, что ^nD^+i состоит из единственной точки, аР» П a?n+i = 0 при i>l, ^n^afm и эта последовательность сходится к точке р£У -(^oU^iU ...).

Множество У предыдущего примера можно рассматривать как множество, расположенное в гильбертовом пространстве таким образом, что абсциссы его точек стремятся к нулю. Пусть q — точка (1, 0, 0, ...). Соединим q с каждой точкой пространства У прямолинейным отрезком. Полученное множество будет (л. с. пУ и (с. ^-пространством для любого п, но тем не менее не является абсолютным ретрактом.

Пусть dim3/ = n. Если У есть (л. с. п + 1)-пространство, то У есть ANR. Если, более того, У есть (с. п+ 1)-пространство, то У есть AR (ср. § 54, VII, теорема 6).

Компактное (л. с. ^-пространство (п>0) является (с. «^пространством тогда и только тогда, когда его группы Бетти размерности <п и его фундаментальная группа тривиальны (Гуревич [8] и [9]).

Если У — компактное пространство (сз^о), то для каждого п существует бесконечный полиэдр Рп размерности ^п, такой, что У U Рп есть (л. с. пУ и (с. «^пространство (Борсук [14, стр. 242]).

Пространство, локально связное в размерности п, может не быть локально связным в размерностях <п. Так, например, множество точек 1, 1/2, 1/3, ..., О локально связно в размерности п для любого «>0, но не является локально связным в размерности 0 в точке 0.

Предположение, что пространство У связно в размерности 1, эквивалентно предположению, что его фундаментальная группа тривиальна.

23 Зак 190

При изучении локальной связности в размерности п мы ограничились рассмотрением метрических сепарабельных пространств. Однако многие теоремы можно распространить на произвольные метрические пространства (и даже нормальные пространства ’)).

Операции.

Теорема 1. Объединение двух замкнутых (л. с. п)-множеств, пересечение которых есть (л. с. (п — 1) )-множество, является (л. с. пУмножеством.

Теорема остается справедливой, если «л. с.» заменить на «л. с. и с.».

Доказательство. Пусть У = Ло U Ах, Л( = Af, FcFc 9п, f: F-*9 непрерывно и С; = ^-\А;\

В соответствии со следствием Id § 27, II пусть

9п = в^вх, в^в,, FOBj^Cj и

dimKBonBO-tConcaKn-l.

Из последнего неравенства в сочетании с условием 9п-Хта (Ло Г) Л) и условием (3) п. IV вытекает условие (6) п. II. Предполагая, что (‘/"туЛо и 9"т0Аь и используя лемму 2' п. II, получаем необходимые заключения (ср. IV (5)).

Следствие 2. Сфера Уп есть (с. ^-пространство (но не является (с. п + ^-пространством; ср. I (iii)).

Доказательство. Доказательство проведем по индукции. Случай п = 0 очевиден, а именно g^xaf», так как 9й состоит из одной точки, а <^0 состоит из двух точек.

Пусть п>0. Предположим, что д^таР^, и разобьем af п на две замкнутые полусферы aft и 9У такие, что aft П afn = afn-v Тогда 9п-х xaft F\ S’n» а так как aft и ^„—абсолютные ретракты, то

9nT^t и 9пт^п, следовательно, 9nx(oft U eft) = ffn

по теореме I.

Из теорем 3 — 6 п. II непосредственно вытекают следующие теоремы:

') См. Дугупдьи [1]. Ср. также Ханнер [2], Катетов [1], Кодама [1] и [2], Майкл Э. [2] и [3], Даукер [2].

См. также цитированные выше монографии: Борсук [30], Ху Сы-цзян [3] и Дугупдьи [2, гл. VI1].

Теорема 3. Если объединение и пересечение двух замкнутых множеств суть (л. с. п)-пространства, то такими являются и сами эти множества.

Теорема остается верной, если «л. с. /г» заменить на «л. с. п и с. /г»..

Теорема 4. Для того чтобы декартово произведение (конечное или . бесконечное') последовательности сомножителей было (л. с. п и с. п)-пространством, необходимо и достаточно, чтобы таким был каждый сомножитель.

Для конечной последовательности «с. п» можно опустить.

Теорема 5. Пусть dim J = k. Если У есть (л. с. п + к и с. п + к)-пространство, то У есть (л. с. п и с. п)-пространет во. Если J компактно и У есть (л. с. п + к)-прост ранет во, то Ут есть (л. с. п)-прост ранет во.

Доказательство. В самом деле, из соотношения 9п+кхУ вытекает соотношение J X 9пхУ (согласно IV(4') и (5')), откуда получаем 9пхУ!Г по теореме 5 п. II.

Теорема 6. Окрестностный ретракт (л. с. п)-прост ранетва является (л. с. ^-пространством.

Ретракт (л. с. п и с. пУпространства является (л. с. п и с. п)- пространством.

Поэтому справедлива следующая (ср. с теоремой 7 п. II)

Теорема 7. Если Ут (где Д' компактно и непусто) есть (л. с. п)-прост ранет во (соответственно (л. с. п и с. ^-пространство), то таким является У.

Характеризация размерности *).

Теорема 1. Если Ж — метрическое сепарабельное пространство, то соотношения dim.^’^n и Жх91п эквивалентны.

Эту теорему мы выведем из теорем 2 и 5, приводимых ниже.

Теорема 2. Из соотношения dim Ж ^ п следует соотношение Жх^п.

Доказательство. Так как <Уп есть (л. с. п и с. п)-про- странство (по теореме 2 п. V), то по теореме V (4') п. IV имеем Жх<Уп, когда dim^^n.

Теорема 3. Из соотношения Жт-Уп следует, что ЖxS>^ для 1>п.

') См. Александров [8, § 1]. Ср. Гуревич [7].

Доказательство. Доказательство сводится к проверке того, что из Я‘тгУп вытекает Жх<Уп+1. Пусть, как обычно, гУп+1 и <У«и — две (замкнутые) полусферы сферы ^„+1, такие, что ^п+1 П ^п+\ = ^п. Тогда

Я Ta^n + l, Я Т^п^х И Я Т^^д! П ^n + h

откуда по теореме 2 п. II получаем, что ^'T^ + j.

Пусть S — невырожденный m-мерный симплекс р0 . .. р,п.

Пусть Лп — полиэдр, являющийся объединением всех граней S размерности не более п. Тогда имеет место следующая

Лемма 4. Из соотношения Я/ха^ вытекает, что ЖтАп для любого п<пг.

Более точно, если ЖтгУп, то для каждой непрерывной функции f: Я' —> 5 существует непрерывная функция Г" Ж-> Ап, такая, что

из Цх^Ап следует Г ^ = fW),

из fW^Pt ... р, следует f^^Pt ... Р(.

ОК0к

Доказательство. Пусть d = m — n-, проведем индукцию по d.

Для d= 1 имеем Ап= Am_x -=<^т_х. Поэтому если f: Ж -» Ап — любое (непрерывное) продолжение сужения /|/- (/!„), то условия (1) и (2) выполняются.

Предположим, что лемма имеет место для d— 1, и покажем, что она справедлива для d.

Пусть /: Ж —> 5 — непрерывная функция. По теореме 3 из соотношения .^’т^п вытекает, что Жт^^х- Следовательно, по предположению существует непрерывная функция g: Ж-* Ап+Ъ такая, что

из Цх^Ап+х вытекает g (х) = f(x),

из f^£ р( ... р, вытекает g(x^pt ... р,.

оАо£

В соответствии с определением Лга+1 пусть Т\, ..., Тг суть (и + 1)-мерные грани S, такие, что

Л„+, «М U7V

Пусть В; — граница Tt (т. е. объединение веех граней размерности ^м). Положим

Ui-g-Чт^

C^g-'W

Тогда U (хВь так как Bt^^п и Жт^п по предположению. Таким образом, g\Ct имеет непрерывное продолжение gp Ut->Bi. Пусть

Г = gv + ... +gr,

т. е. Г(х) = gt(x) для х^Оь где 1<г<г.

Для i ^= j получаем

Ui П U, = g"' (Г, П й = g"1 (В{ П В/) = С, П С„

следовательно,

kgi W^u ^=квлCi n С/)=(g I Ci n С/) =

-U^CiRCjWgi^itMJiY

Таким образом, Д: Ж" -* А^ — непрерывная функция, ибо Д U .. . . .. и вг = Ап.

Пусть ^(х) С Ап- Тогда f(x) = g(x). Предположим, что g(x) С Вр тогда х^Сь а отсюда g(x) = g< (х) =Д* (х). Следовательно, условие (1) выполняется.

Для установления условия (2) предположим, что /(х)С €Д0 Р1к- Тогда g<x^pla ... р^ согласно (4).

Поэтому можно считать, что g(x)£pto... р;, где /<6. Если /<п, то g(x)^An, поэтому f(x) = g(x), откуда получаем условие (2).

Пусть теперь /> п; это означает, что / = n + 1 (ибо g(x) £ Д„+1). Отсюда следует, что р{ ... р1 =Т$ для некоторого подходящего 5. Следовательно, x£Us, согласно (6), а при помощи (8) находим, что

Г W = gs W € В.сТ, с р^... р^.

Теорема 5. Из соотношения &ха?п вытекает неравенство dim Ж $С п.-

Доказательство. Пусть Жт!Уп. Пусть Go,..., G,„— система открытых множеств, такая, что Ж = GoU • •• U Gm и нерв ее имеет размерность 1>п. Согласно теореме 7 § 28, VI и следствию 3 § 45, VII, доказательство сводится к определению непрерывной функции f: ^'->А(_Ь такой, что

f-’ (Рг) с Gt для i = 0, I,..., ш,

где Pi — объединение граней симплекса S, имеющих вершину pt.

Рассмотрим преобразование (GoGj и {р0, . . ртУУ-

х, соответствующее системам

х(х) = Х0(х) • р0 + • •• + Хт(х)-р„„

гдегдеXz (х) -Xz (х) -Р (*, ОР (*, Ор (х, Ро) + . . . + Р (х, Рщ)р (х, Ро) + . . . + Р (х, Рщ)и F( = Ж — Gi-и F( = Ж — Gi-

где

где

Xz (х) -

Xz (х) -

Р (*, О

Р (*, О

р (х, Ро) + . . . + Р (х, Рщ)

р (х, Ро) + . . . + Р (х, Рщ)

и F( = Ж — Gi-

и F( = Ж — Gi-

Так как нерв системы {Go, ..., Gm} является /-мерным, то из этого следует, что х: & At — непрерывное отображение. Поскольку Д'трУ,.., (по теореме 3), то существует (по теореме 4) непрерывное отображение /: it' —>Az_b такое, что

из х(х)^р ... р следует f(x)£p ---Pie

Отсюда мы получим включение (9).

Пусть x^f-4PiY тогда /(х)€Д. С другой стороны, пусть

x^x^Pi ■■•Pie откуда ЦхКр( •••Pieок‘о lk

согласно (10). Отсюда сразу получаем, что / — один из индексов /0, ..., 1ь таким образом,

x^^Pi, следовательно, х^х-ЦР^, злотому x^Gi, ибо х”1 (Pz) с Gt, согласно § 28, VI (10).

Следствие 62). Для того чтобы dim Д' ^я, необходимо и достаточно, чтобы для каждого непрерывного отображения f: .V-*GnvX существовало непрерывное отображение g: Д’-> —>(Gn+i —0) (где 0 означает начало координат), такое, что

если Ux)^^^ то g(x) = f(x).

Доказательство. Пусть f: Д’-> б„+1 — непрерывное отображение и F = Д1 ^п). Предположим, что dim Д'^ я; тогда Жт<Уп, и поэтому У |F)czg £ S3^, откуда получается условие(11).

Обратно, пусть F = Fc:.T и h; Р->^п — непрерывное отображение. Так как 6п+1 — абсолютный ретракт, то пусть hcj£ E®n+i- Предположим, что непрерывное отображение g: Д'-> -*(бп+1 —0) удовлетворяет условию (11), и положим

Тогда h a f £ S*\. Поэтому ЭАхрГр, откуда по теореме 5 dim Д’^я.

Ср. § 28, VI. О покрытиях произвольными множествами (не обязательно открытыми) см. Кодаира [1],

См. Александров [7J.

Теорему 2 можно переформулировать следующим образом:

Теорема 7 (двойственности)). Пусть F = F а Ж и dim )Ж — F) = пг. Для каждого непрерывного отображения р. F-^рУ^ (где n^im) существуют множество Z, такое, что

Z = Z а Ж — F и dim Z^m — п— 1,

и непрерывное продолжение f*: {Ж — Z)Ff п отображения f.

Доказательство. Так как очевидно, что теорема верна для m = — 1, а также для п =— 1, то можно предположить, что она имеет место для m — 1 и п^О.

Как обычно, пусть afn и ^п — (замкнутые) полусферы, на которые e^n-i разбивает af п. Пусть f: F -> ^п — непрерывная функция, Со = /~' (^п), С, = /"* (^п) и в соответствии со следствием Id § 27, II

Ж = Во U Вь В [ = В h F ^ Bj = С h dim [(в0 П В,)-(С0П С,)]<т-1.

Так как мы предположили, что теорема верна для m — 1, то

(Л Со Л С.) с

где Z = Z с= (В0П Bj) - (СоП С^ и

dimZ < dim [(Во OBJ-(СоП C^J-(п- 1)- 1.

Следовательно, dimZ^m — п— 1. Отсюда

ВоПВ1ПВ = СоПС1 и (ВоПВ1)-(СоПС1) = ВоПВ1-В, следовательно, Zc.f - F.

Если в лемме 2' п. II подставить с^п вместо Ло, ^п вместо Л, Ж — Z вместо Ж и опустить индекс и, то можно заключить, что существует непрерывное продолжение f: pl' — Z) S’ п отображения f.

Замечания, (i) Если множество Ж — F — бесконечный полиэдр, то можно предположить, что Z есть полиэдр).

(И) Теорему 7 (пополненную замечанием (i)) можно обобщить, заменяя рУп произвольным (л. с. m и с. ^-пространством ).

VII. Пространство LCn^\ Напомним (см. п. IV), что пространство "В называется LCn, если для каждого е>0 существует такое г) > 0, что всякое непрерывное отображение f: S’m-*^, где tn — — 1, 0, ..., п, для которого bl^m^<x\, допускает непрерывное продолжение Г; 6т+х-*.°Е, такое, что бГ(6т+1)<е.

Пусть «^(е) (для фиксированного п) — точная верхняя грань чисел тД^Се). Пусть ЕСпГУ) обозначает семейство всех компактных подмножеств пространства 3/, являющихся LCn. Это семейство наделяется топологией следующим образом: последовательность элементов Ль Л2, ... сходится к А (обозначается At —* /1), если эта последовательность сходится в смысле Хаусдорфа, т. е.

lim dist (Л,, Л) = О, i-> оо

и, кроме того, если она равномерно LCn, т. е. число т], соответствующее е, нс зависит от индекса i *).

Теорема 1, Если пространство У полное, то можно определить расстояние в пространстве LCn (ЗД таким образом, что оно станет полным пространством.

Именно, для каждой пары элементов А и В £ LC' (3/) положим

(A+ У 1 Ifm (Л) -/,„ (В] |

а (Л, В)— dist (Л,+ 2m 1 + |/,„(/!)-/„, (В)I ’

1 где

Hm: J ax^dt.о

Можно показать, что определенное таким образом расстояние согласуется со сходимостью At — -> А, определенной выше. Доказательство) по существу опирается на теорему о полной измеримости, сформулированную в § 33, VI, замечание 2.

Следующие утверждения относятся к пространству LCn ^, когда 9 полное *).

Теорема 2. Пусть Bt—-> А в пространстве LCn^\ Пусть Ж — совершенное компактное пространство размерности ^ п + 1 и V- Ж -* А — непрерывное отображение на. Тогда существует последовательность непрерывных отображений g;, равномерно сходящаяся к f и такая, что gt^^Bt для любого положительного целого I, большего некоторого фиксированного /0.

Таким образом, для каждого A^LCn^ и каждого е>0 в пространстве LC1^ существует окрестность А, каждый элемент В которой имеет вид В = §^Ж\ где |g —/|<е.

Полагая Ж = А и f^x^x для всех х, заключаем, что имеет место

Теорема 3. Если А £ LC" ^У) — совершенное множество размерности m^n + 1, то для каждого е>0 существует окрестность Л в LCn (У), каждый элемент В которой можно получить из А путем непрерывного преобразования g, такого, что \ g^-х\<е.

Теорема 4. При тех же предположениях относительно А существует окрестностность Л в LCn(^), состоящая исключительно из множеств размерности ^пг.

Доказательство. Последняя теорема вытекает из предыдущей на основании инвариантности неравенства dimZ^n при преобразованиях с малыми прообразами точек. В действительности условие на размерность в теореме 4 можно заменить любым другим свойством, инвариантным при указанных преобразованиях.

§ 54. Гомотопия. Стягиваемость

I. Гомотопные отображения. Два непрерывных отображения /0: Ж -*У и fp Ж —>У называются гомотопными (по отношению к 30, обозначается /0~fh если существует непрерывное отображение h: Жх9-*У, такое, что

А(х, O) = foW и h^x, 1 > = ф k^Y

Другими словами, если отображение g; (Ж X О U Ж X 1)-* У\ такое, что g|.^" X 0 совпадает с /0 и gVE X 1 совпадает с fb имеет непрерывное продолжение А: Ж х9 -*У.

Примеры и замечания1), (i) Говорят также, что два отображения f0 и гомотопны, если они получаются одно из другого с помощью (непрерывной) деформации. Эта терминология естественно возникает в том случае, когда переменная 1^9 рассматривается как параметр времени.

Если .‘Г х <*7тЗ/ (в частности, если 3/— абсолютный ретракт), то fo —fi для любой пары /о, Л: Ж -» У. Следовательно, две непрерывные функции с действительными (комплексными и т. д.) значениями всегда гомотопны.

Пусть 91 — плоскость ef2 с выброшенной точкой 0. Пусть V- ^'-> е^ — непрерывное отображение; f гомотопно постоянному отображению тогда и только тогда, когда f (х) = ен^, где g: ^’-> с?2 —непрерывное отображение.

Достаточность условия очевидна: можно, например, положить h(x, t) = eW-f>Rw. Необходимость будет установлена в теореме 3 § 56, IX.

Локально связный континуум .^ уникогерентен тогда и только тогда, когда каждое непрерывное отображение f: .‘^-х^ гомотопно постоянному отображению (см. § 57, III, теорема 3).

Если Ж = <Уп, то понятие гомотопии естественным образом приводит к понятию группы гомотопий в смысле Гуревича [8].

Теоремы 1—3. Гомотопия является рефлексивным, симметричным и транзитивным отношением, т. е. f ~ f; если f ~ g, то g f; если f ~ g и g h, то f h.

Доказательство. Для того чтобы доказать 3, предположим, что и; Ж X 9 У непрерывно,

и(х, 0) = f (х), и (х, у) = g(x) и и(х, 1) = /г(х).

Теорема 4. Если f: Т->У и gf. У 2 (/' = 0, 1) — непрерывные отображения и g0~"gb то gj~gj.

Доказательство. Пусть /г: У X 9 -> 2 — непрерывное отображение, такое, что h(y, j)~gj(y)- Положим и(х, () = = h\.f(x), /]. Тогда и: Ж X 9 % непрерывно и

ы(х, /) = A[f(x), n = gjf (х), следовательно, gof~gtf.

Теорема 4а. Пусть fa, fp Ж-^Z. Если 2 — ретракт пространства У, то

Uo^f\ ОТН. y) = (fQ~h отн. 2).

Доказательство. Докажем импликацию слева направо. Пусть к: Жх9->9 непрерывно и к(х, f) = fj(x\ Пусть г: 3/ -> Z — ретракция. Тогда g = r ° к — искомая гомотопия, т. е.

g:^x9->2 и g(x, П = г [А(х, /)] = г [^ (х)] = ^ (х).

Теорема 5. Пусть f0, fp У -> У — непрерывные отображения и (FJ — семейство открыто-замкнутых множеств, такое, что ^" = \3Ft. Если fQ\Pt ~ fx \ Ft при каждом t, то fo-ft- t

Доказательство. В соответствии с теоремой Линде- лёфа (§ 5, XI) пусть

ж - U F,„ = F,, и Щ, - Fp и (f,, - F,, - Fp и ... .

Пусть Gt„ Gt„ ... — члены этого объединения.

По предположению для п=\, 2, . .. существует непрерыв-, ное отображение kn; GtnX9-*y, такое, что кп(х, 0 = ^(х) для х С Gt^ и / = 0, 1.

Пусть к равно ка на Gp X 9. Так как множества Gt открыты и не пересекаются, то к: %* X 9 -* У — непрерывное отображение и к(х, j) — fi(x). Следовательно, fo —/н

Теорема 6. Условие fo^f} имеет место тогда и только тогда, когда существует дуга (или, что эквивалентно, локально связный континуум), соединяющая fo с f} в пространстве У*.

Доказательство. С одной стороны, если непрерывное отображение А: 9’ X 9 -* У удовлетворяет условию (1) и если каждому t С 9 соответствует отображение gt: 9’—> У, определяемое равенством

g9^ = k(x,t\

то g: 9 ~*УХ непрерывно (ср. § 44, IV, теорема 1). Так как g(9A есть ^"Пространство (поскольку У1 есть ^-пространство; ср. § 44, I, замечание 1), то g(9^ метризуемо (по теореме 3 из § 41, VI) и, следовательно, является локально связным континуумом, соединяющим точки go — fo и g\=f\ в УЕ

С другой стороны, если g; 9 ^ У^ непрерывно и go = fo> gv=fi, то отображение к: 97 X 9 ~*У удовлетворяет условию (1) и непрерывно по теореме 3 из § 44, IV.

Теорема 7. Если отображения fр 97-*У (/= 0, 1) постоянны, f^x^^Cj, то f^fi тогда и только тогда, когда в У существует дуга, соединяющая точки с^ и cv

Доказательство. Если h: Ж X 9 -» У — непрерывное отображение и h^x, П = с5, то условие g(f) = h(xQ, t), где х0 — фиксированная точка в .^, определяет непрерывное отображение g: 9->У, и поэтому £■(#) —локально связный континуум. Следовательно, он содержит дугу, соединяющую точку g(O) = co с точкой g(l) = c,.

Обратно, если точки с0 и с, можно соединить дугой в У, то отображения f0 и f, можно соединить дугой в У^ ибо

УаУ*.

top

Пусть сГ^ — множество последовательностей z = [z', z2, ...], таких, что г1 = — 1 и z”C?.

Пусть Д'с^»,. Обозначим через Л (Д’) объединение прямолинейных отрезков, соединяющих точку 0 (начало координат) с каждой точкой множества ^’1), т. е. множество точек вида fx, где х б 9 и 0 ^ / ^ 1. Если St" пусто, то будем считать, что Л (.^') — начало координат.

Теорема 8. Пусть ST — компактное пространство. Для того чтобы f было гомотопно константе с, необходимо и достаточно, чтобы f имело непрерывное продолжение f*: А(Д")->У, где now-

Доказательство. Функция tx непрерывна на St" X 9 и, за исключением точек, для которых / = О, взаимно однозначна. Следовательно, если fcf ^<yk№ и если д^, t) = f (/х), то /г: St" X 9-*У непрерывно и

/г(х, 0) = f(0) и Л(х, l) = f(x) = f(x),

откуда f~f(O).

Обратно, если A: SV X 9-* У — непрерывное отображение, h^x, l) = f(x) и h^x, 0) = с, то можно положить f(0) = c и f (2) = /г(х, /) для 2 = /х=#0. Тогда f с f* С У^^.

Теорема 9. Отображение (х | 9”Д не гомотопно 1 относительно Sf п.

Доказательство. Это утверждение вытекает из теоремы 8 и следствия 1а § 28, III.

') Ср. Лсфшсц [4, стр. 94].

Отметим еще следующие очевидные формулы:

(3)

(4)

(5)

(6)

dim Л(Л)^ dim /1+1;

Л (Л U В) = Л (/1) U Л (В);

Л(4ПВ) = Л(Л)ПА(В);

Л(^„)^^+1.

Гомотопия относительно (л. с. «)-пространств. Рассмотрим случай, когда пространство 2/ является (л. с. ^-пространством. Очевидно, что все теоремы будут верны, в частности, для абсолютных окрестностных ретрактов; в этом последнем случае предположения, касающиеся размерности (например, dim (/В — F) ^ п — 1), можно опустить.

Теорема 1. Пусть У — (л. с. приространет во, Е = Ес:Ж, dim (Ж — F) ^ n — 1 и /0, tv ЖУ —два непрерывных отображения. Если (fo | F) ~ (fi | F), то существует открытое множество GT)F, такое, что (f0 | G) (ft IG).

Если, более того, У есть (с. прирост ранет во, то f0 — fv

Доказательство. Пусть

Жх = Ж X 3, Ft = (F х ЗА и (Ж X 0) и (.“Г X 1)

и отображение g: ЕХ-*У непрерывно и удовлетворяет условию g(x, П = 5Дх\

Так как dim(Жх — Ft)^ dim [(/?■— F) X ЗА <Д и У есть (л. с. ^-пространство, то существует, согласно § 53, IV, 1 (3), открытое множество G| 2D Fx и продолжение g*: ОХ->У отображения g. Пусть G —открытое множество, такое, что F с. G и Gx3cGx (ср. §41, IV, теорема 1). Тогда (f„ | G) ~ (fx | G).

Если У — (с. «^пространство, то нужно положить ОХ = ЖХ,

Теорема 2. Пусть заданы: компактное пространство Ж размерности -фи — 1, (л. с. пр прост ранет во У и две непрерывные функции f0, fx: Ж-*У\ тогда семейство замкнутых подмножеств F пространства Ж, таких, что fQ \F ~ fx\F, открыто в пространстве 2Г.

Действительно, рассматриваемое семейство есть объединение семейств Аа = ЕДЕ с: G\ где G — открытое переменное множе-

F

ство, такое, что f0IG ~ fx IG (семейство Аа открыто согласно теореме 1 § 17, II).

Те же предположения приводят к следующему заключению:

Теорема 2а. Если f, => Е^ть ..., Fn = Fn u(fQ\Fa) не гомотопно (Л | F,^ ни при каком n, то

(Jo IП En) не гомотопно (hIП «у

Теорема З). Пусть У — (л. с. ^-пространство, F=Fc.1', <1\па (Ж — F^n—\, и пусть р„ jp F^-У — два непрерывных отображения, таких, что Л>~Л- Если f0 имеет продолжение fa на Ж, то ft также имеет продолжение fi на Ж. Более того,

Доказательство. Положим F° — (F X 9^ U (.^ X 0). Так как focnfb то существует непрерывное отображение h: Е°->У, такое, что

h^x, О) = /о(х) для х^Ж, h(x, 1) = Л(х) для x^.F.

Так как У есть (л. с. ^-пространство, то из неравенства dim (^’ X 9 — F0) ^ п вытекает (ср. § 53, IV, 1(3)), что отображение h имеет продолжение на окрестность множества Е°; следовательно, согласно лемме 9 из § 53, III, оно имеет продолжение h* на пространство Ж X 9.

Остается только положить Д(х) = /г (х, 1).

Теорема 4). Пусть Ж — компактное пространство, У есть (л. с. ^-пространство и Е = ЕсЖ. Если dim^^n— 1, то множество Ух | F (т. е, множество непрерывных отображений f: Е-*У, продолжаемых на Ж) открыто-замкнуто в У*5.

Доказательство. Так как пространство Ур локально дугообразно связно (согласно § 53, IV (12)), то каждая компонента Ф множества Ур дугообразно связна (§ 50, I, теорема 2). Таким образом (ср. I, теорема 6), если Л, ЛЕФ, то fo —fi', поэтому если Л€^Г|-Е, то Ф с Ут | F. Другими словами, множество У$\ F есть объединение семейства компонент пространства Ур. Так как последнее пространство локально связно, то каждая компонента открыто-замкнута (ср. § 49, II, теорема 4); следовательно, тем же свойством обладает множесто 3/r | F.

Замечание. Если У — сфера, то имеет место следующее более сильное утверждение.

Те орема 4а. Пусть Ж — компактное пространство и Е=ЖсЖ. Если fQ^^\F и |/,-Л1<2, то ЛЕ^!/7.

Доказательство. Согласно теореме 3, достаточно показать, что

если f0, fit Ж-хУт непрерывны и

Ifo -fi К 2. то fo^fv

Положим

Р(х, Г) = fo(xf-F tfx(xf — tfo(xf И /г(х, /)=|^Х

для 0^/^1. Тогда р(х, t) ^ 0. Действительно,

PU, m^fofxlI-tlMxl-foto»!-21 и

I Р (х, О || f, (х) | - (1 - /) | f, (х) - f0 W I > 1 - 2 (1 - t).

Кроме того, /г(х, O) = fo(x) и h(x, l) = fj(x).

Теорема 5. Пусть У есть (л. с. ^-пространство и (с. т)- пространство (где т<.пу и пусть F, Fo и Fx — замкнутые подмножества Ж, такие, что

FcFoOFb

dim(F/-F)Cn-1,

dimfFon^-FXm-1.

Тогда (3^F” | F) П (^FJ F) = (3^°UF11 F), t. e. каждое непрерывное отображение ft Е—>У, продолжаемое на fQ и Fx, продолжаемо на FoUFp

Доказательство. Пусть fc.ft^yFi, j = 0, 1. Так как У — (л. с. п и с. т)-пространство, то из условий (4) и соотношения fo\F = f = fx\F следует, согласно теореме 1 (если подставить m вместо п и Fo П Fx вместо Жу что (fo I Fo П F|) ~ (fx | Fo П FJ.

Согласно теореме 3 (если подставить Fo вместо Ж, Fttf\Fx вместо F и f/IFoflF] вместо f/), отображение filFoOF] имеет непрерывное продолжение f2: Р0-*У. Следовательно, fc(f2 + f,) £ <^F,UFi.

Теорема 6. Пусть У — (л. с. п_ и с. тУпространство (где ni^nf, dim Ж ^ п — 2, Ж = F0U Fx, Fj = Fj и dim F0Q Fx ^ m — 2.

Если ff. Ж ^>- У — непрерывные отображения и (f01 F/)c^(fI | F/) для j = 0, 1, то fo^ fx.

Доказательство. Положим

Ж* = ЖХ9, F- = (^X(O))U(^X(1)), F*i = F*(3(F! X ЯУ Пусть ft F*-> 3/— (непрерывное) отображение, определяемое равенством f(x, j) = fj(x).

Так как (f01 F^ ~ (Л | Fj\ то f С ^Ур«1П П ^F1 I F*\ Поскольку выполняются предположения теоремы 5, имеем f^3/r*|F*, так как Ж* = F^ U F*, откуда f0^fx.

Из теорем 3, 5 и 6 непосредственно вытекают (ср. § 53, III (iv) и V, теорема 3) следующие три утверждения:

Теорема 7. Если F = РсЖ и У — абсолютный окрестност- ный ретракт, то всякое непрерывное отображение f: Е->У, гомотопное константе, имеет продолжение f*: Ж-*У.

Теорема 8. Если F = F, Fj — Fj, FcFoftEt и dim (Fo f] F{ — F) ^ m — 1, to

^ I F^ П (^ I F^ = ^yF' | F\

Теорема 9. Если F, = Fh dim Fo Q Ft^.ni — 2, f: (F0U F^—> -> t£Fm —непрерывное отображение и f\FjCK\ для j = 0, 1, то

Теорема 10. Пусть У — полное (л. с. ^-пространство и Ж — компактное пространство размерности < п. Пусть f, g: Ж ->У — непрерывные отображения. Тогда f~g в том и только в том случае, если fug принадлежат одной и той же компоненте пространств У^ .

Доказательство. Согласно следствию 2 § 53, IV, пространство Ух локально связно. По теореме 3 из § 44, V это пространство полно, следовательно, каждая его компонента представляет собой связное, локально связное и полное множество, а потому она дугообразно связна (ср. § 50, II, теорема 1, и I, теорема 2).

Теорема 10 вытекает, таким образом, из теоремы 6 п. I.

Отношение fa eg fi- Этот символ будет означать, что пространство Ж неприводимо относительно негомотопности отображений fQ и fu другими словами, что

_ ft^h,

из F = F т^ Ж следует fQ \ F ~fx\F.

Так как ЕЕ п — р — абсолютный ретракт, то (ср. п. I, теорема 9, и (И))

(х | a^J еу 1 относительно Ff п.

непр.

Теорема 1. Пусть Ж — компактное пространство, dim Ж ^ ^м— 1, У — (л. с. пУпрост ранет во и fQ, fx: Ж-> У —непрерыв-

ные отображения. Если fo^Fh, то Ж содержит замкнутое множество F, такое, что f0IF <ф fi\F.

Доказательство. Эта теорема является непосредственным следствием теорем 2а из п. II и 2 из § 42, IV.

Следствие 1а. Если Ж — компактное пространство, f; Ж —* -Яm — непрерывное отображение и ^^\, то Ж содержит замкнутое множество F, такое, что f\F еф 1.

пеир.

Теорема 2. Пусть У есть (л. с. п и с. пг)-пространство ^т^п\ dim Ж ^ п — 2 и f0, fp Ж -*У — два непрерывных отображения. Если f0 ^ Л, то никакое замкнутое множество размерности s^m — 2 не разделяет пространство Ж; другими словами, Ж нельзя представить в виде Ж ~F0[)F{, где Fj = Fj для j = 0, 1 и dim (Ео П F,) ^ tn — 2.

Эта теорема представляет собой непосредственное следствие теоремы 6 из п. II.

Следствие 2а. Если f: Ж -> У т — непрерывное отображение и f ер 1, то никакое замкнутое множество размерности

^ m — 2 не разделяет пространство Ж.

Отсюда следует (ср. (3)), что -Яп — канторово многообразие (ср. § 46, XI).

Теорема 3. Если Ж — локально связный континуум, f: Ж-> У m —непрерывное отображение, т^2‘) и f|E~l для каждого циклического элемента Е множества Ж, то f~l.

В противном случае, согласно следствию 1а, существовало бы замкнутое множество F, такое, что fl F ^ 1. Согласно след- пепр.

ствию 2а, множество F связно и никакая точка не разделяет его. Поэтому (ср. § 52, II, теорема 10) F содержится в одном циклическом элементе Е. Так как flf^l, то ^IFc^l, что противоречит определению F.

Деформация. Пусть Жс^У. Если непрерывное отображение f: Ж->У гомотопно тождественному, т. е. если существует непрерывное отображение /г: Ж х Я ->У, такое, что

h(x, Of = x и h^x, \) — f(x),

то говорят, что множество {(Ж) получается из Ж с помощью деформации в У (а именно, h и есть эта деформация).

') Теорема 3 имеет место также для m= 1. См. § 56, X, 5.

Если f: ЕС -> ЕЕ — ретракция, гомотопная тождественному отображению, то множество f(^‘) называется деформационным ретрактом пространства ЕЕ, а функция h называется ретракционной деформацией ').

Теорема 1. Пусть ЕЕ и ЕЕ* — два подмножества пространства У, и пусть второе получается из первого деформацией. Пусть go, gp У-> 2 — непрерывные отображения. Если g0\EE* ~ ~gt\iC‘, то g0\pE an g^PE.

Доказательство. Пусть f: ЕЕ -* ЕЕ* и A: ЕЕ х 9 ~*У — отображения, удовлетворяющие условию (1) и такие, что f(EE^ = EE*. Тогда

gjht ЕЕ х 9-> %, g]h(x, 0) = g/(x) и gjh(x, X^gjfUY

откуда следует, что gj\EE~gjf. Положим по определению g* = ^1 । ‘^*" П° предположению g* ~ g], поэтому, согласно теореме 4 из п. I, g*f^g*f- Так как g^g^g, 1^, то ga | EE~gx | ЕЕ.

Теорема 2. Множество Л.(ЕЕ') можно деформировать в его вершину (точку 0) в нем самом.

Доказательство. Точки z множества \(Ж^ имеют вид z = tx, где х^ЕС и O^/s^l. Пусть h(z, u^ = utx для O^iz^l. Тогда отображение h непрерывно и

А: К(ЕС) X I^K(EC\ h(z, 0) = 0, h(z, Y) = z.

Теорема 3. Всякий ретракт R пространства ЕС, который можно получить из ЕС с помощью деформации, является деформационным ретрактом пространства ЕС.

Доказательство. В соответствии с предположениями пусть г: ЕС -*R — ретракция; следовательно, г(х( — х для x^R. Пусть f: ЕС-> R и А: ЕС X 9 -* ЕЕ — непрерывные отображения, такие, что

h(x, 0) = х, h(x, l) = f(x) и f(EC^ = R. Положим

| h(x, 2t) для 0^/s^l/2,g^X’ /) = l r\h(x, 2 — 2/)] для l/2^/<l.

Отсюда следует, что gt ЕЕ X 9 —> 9' непрерывно, так как А(х, V) = r\h(x, 1)], и что g(x, 0) = х и g(x, 1) = г(х).

') См. Борсук [10].

Теорема 4. Если Ж X 9тУ ^следовательно, если У — абсолютный ретракт), то Жс Э, а если f: Ж -» У — непрерывное отображение, то Ж допускает деформацию в !^Ж\

Действительно, / гомотопно тождественному отображению (ср. п. I (ii)).

Теорема 5. Пусть f: Ж ->У — непрерывное отображение. Если 3 — деформационный ретракт У, то существует непрерывное отображение f\ Ж —>%, такое, что

f* f и f (х) = f (х), когда f(x) С %.

Доказательство. Пусть Н: У X 9 ->У непрерывно, Цу, 0) = У, Цу, \) = Цу), где г: У -^ 2 — ретракция. Положим f = rf и g(x, /) = g(f(x), t).

Тогда g(x, O) = f(x) и g(x, l) = f*(x). Наконец, если f(x)E2, то r[f(x)] = f(x), т. e. Нх) = Цх).

Теорема 6 *). Если У—абсолютный окрестностный ретракт, а % — деформационный ретракт пространства У, то существует непрерывное отображение Н; У X 9 -^-У', такое, что h(.y, 0) = у, Цу, 1)€S и Цу, t) = y для любых у^^ и 1Е;9.

Примеры, (i) Если У = ^п пУ = дп {п^.^^, то деформацию Ж на {(Ж) в У можно определить следующим образом:

h (х, t) = (1 — t) • х + t • f (x).

Положим f(x) = x/|x|. Тогда функция h является ретракционной деформацией пространства (^ — 0) на е5°„_|.

V. Стягиваемость.

Определение. Пространство Ж называется стягиваемым относительно пространства У, если всякая непрерывная функция f: Ж—> У гомотопна постоянной).

Теорема 1. Если пространство У дугообразно связно, то стягиваемость пространства Ж относительно пространства У означает, что любая пара непрерывных отображений f0, fp Ж -»У гомотопна (в У).

Действительно, в дугообразно связном пространстве все постоянные функции гомотопны (ср. с теоремой 7 п. I).

Теорема 2. Пространство Ух дугообразно связно тогда и только тогда, когда Ж стягиваемо относительно У, а У дугообразно связно.

’) Доказательство см. Самельсоп [1].

Доказательство. Если Ж стягиваемо относительно 3/, а 3/ дугообразно связно, то Д — А для каждой пары непрерывных отображений Д, А: Ж ->У (ср. с теоремой 1). Из гомотопии fo —А вытекает (ср. с теоремой 6 п. I), что существует дуга, соединяющая Д с А в З'Т

С другой стороны, если 3/г дугообразно связно, то Д — А для любой пары непрерывных функций /0, fi- Ж -* У (согласно теореме 6 п. I). Поэтому Ж стягиваемо относительно У, а У дугообразно связно (по теореме 7 п. I).

Теорема 3. Стягиваемость пространства Ж относительно пространства У инвариантна при ретракции Ж.

Доказательство. Пусть г — ретракция Ж и f; г (Ж) -*У — непрерывное отображение. Тогда Д: Ж—>У, и так как Д' стягиваемо относительно 3/, то Д~ const. Следовательно, f гомотопно постоянной, ибо f(,x) = fr(.x) для х^г^Ж\

Теорема 4. Нестягиваемость пространства Ж относительно У инвариантна при деформации Ж на подмножество.

Это утверждение следует из теоремы 1 п. IV.

Теоремы 3 и 4 имеют такие следствия:

Теорема 4'. Пусть Ж* — деформационный ретракт Ж. Пространство Ж* стягиваемо относительно У тогда и только тогда, когда этим свойством обладает пространство Ж.

Теорема 5. Если пространство У — абсолютный окрестно- стный ретракт, то нестягиваемость компактного пространства Ж относительно У инвариантна при отображениях с малыми прообразами точек *).

Доказательство. Согласно следствию 4с § 41, VI, достаточно показать, что если Ж = Ж сЗ** и если непрерывное отображение f: Ж-> У не гомотопно постоянной, то существует число а>0, такое, что для любой непрерывной функции g: Ж-> д*\ удовлетворяющей неравенству |g(x)~ х|<а при каждом х, множество £(Д) нестягиваемо относительно У.

Но так как У — абсолютный окрестностный ретракт, то существует открытая окрестность G множества Ж и продолжение Д G-*y отображения А Положим а = р(.Д’, g^ — GY Тогда из условий х Ж, х' ^ Н^ и | х — х' | < а вытекает, что сегмент хх' содержится в G. Следовательно, если g: Ж-*9*»— непре-

') Теорема Борсука и Улама [1]. Доказательство см. Эйлсиберг [б]. См. также Александров [8, стр. 226].

рывпое отображение и | g(x) — л | <а, то множество Ж = g^^ можно получить из Ж с помощью следующей деформации h в G;

Цх, t)=*(l — t) ■ х +t • gU\

Тогда р\Ж* не гомотопно постоянной. В самом деле, в противном случае в силу теоремы 1 п. IV (если заменить там 2/ па G, S на 2/ и g0 на f) р\Ж было бы гомотопно постоянной; по тогда и / было бы гомотопно постоянной, что противоречит предположению.

Замечание 1. Если У = S п, то имеет место следующее, более сильное утверждение (Куратовский [30]):

Пусть Ж — компактное пространство, g: Ж -* Sп — непрерывное отображение, не гомотопное постоянной, и х\ — положительное число, такое, что из |х —х'|<Л вытекает

■ |g(x)-^(V)|< /2(я + 2)/(и + 1) ').

Если f — непрерывное отображение, прообразы точек которого имеют диаметр < т), то пространство f (Ж) не стягиваемо относительно Sп.

Теорема 6. Если У — абсолютный окрестностный ретракт и если Ио и И] — замкнутые множества, такие, что Ло ПИ, и Ио U И, стягиваемы относительно У, то и множества Ио и И, стягиваемы относительно У.

Доказательство. Пусть Д: И,о-^ — непрерывное отображение. По предположению /о|ИоПЛ, гомотопно постоянной. Тогда (ср. с теоремой 7 п. II) оно имеет продолжение f,: Лх-> У. Положим / = /о + А- Так как (/оМоПЛ,) = =(/, I Ио П И,), то f: (Ио (J И,) -* У непрерывно. По предположению f гомотопно постоянной, а потому и fo гомотопно постоянной.

Из теорем 9 п. II и 2' п. III вытекают следующие теоремы 7 и 8.

Теорема 7. Пусть Ио и И, — два замкнутых множества, таких, что (Нш(ИоП И,) ^ m — 2. Если Ло и И, стягиваемы относительно Sm (ш^ i), то и множество ИоиИ, обладает этим свойством.

Замечание 2. Как будет показано в § 58, I (теорема 5), условие dim (Ио П И,) 5^/п — 2 в случае пг = \ можно заменить менее ограничительным условием стягиваемости И0ПИ, относительно Sm-i (которое в этом случае эквивалентно связности ИоПИ,). В случае ш = 2 это не так: если S3 разложить на две

полусферы, то их пересечение &\ стягиваемо относительно afx< хотя ^3 не стягиваемо относительно йДг. См. также замечание 3.

Теорема 8. Если Ж неприводимо по отношению к свойству быть нестягиваемым относительно -У ,п (т. е. если каждое собственное замкнутое подмножество пространства Ж стягиваемо относительно <ym\ то никакое замкнутое множество размерности ^.m — *2 не разделяет пространство Ж *).

Теорема 9. Пусть У — абсолютный окрестностный ретракт. Если каждое из компактных множеств Ло го Ах тэ ... стягиваемо относительно У, то этим же свойством обладает их пересечение Р = Ло П Ai П • • - •

Доказательство. Пусть f: Р -» У — непрерывное отображение и f — его продолжение на окрестность Е множества Р. Так как множества At компактны, то Atc2E для достаточно больших значений I. По предположению отображение f* \ At гомотопно постоянной; следовательно, гомотопно постоянной и f, ибо f = f | Р с f | Д(.

Теорема 10. Для того чтобы локально связный континуум был стягиваемым относительно S’m (m ^ 2)2), необходимо и достаточно, чтобы такими же были все его циклические элементы 3).

Условие необходимо, согласно теореме 15 из § 53, III, и теореме 3. По теореме 3 п. III оно также и достаточно.

Теорема 11. Пространство У связно в размерности п тогда и только тогда, когда <Уп стягиваемо относительно У.

Доказательство. Действительно, связность в размерности п означает, что

д^п = убп+11 у№ следовательно, Уа'п = У^ | п,

так как 6„+1 = Л(<5рп); таким образом, S’п стягиваемо относительно У (ср. I, теорема 8).

Замечание 3. Возникает проблема: определить индексы m и п так, чтобы сфера SA m была стягиваема относительно сферы <Уп.

Заметим, например, что аг5 стягиваема относительно уг,

9 См. Александров [8, стр. 161].

Теорема 10 имеет место также для т=\. См. § 56, X, теорема 5.

Борсук [5, стр. *206].

тогда как afл и <^4 нестягиваемы; ^„+9 стягиваема относительно -У п при п^З, a ^n-i нестягиваема при четных п ’).

Стягиваемость (произвольных) пространств относительно Ух будет изучаться в § 58.

VI. Пространства, стягиваемые в себе. Так мы будем называть всякое пространство, стягиваемое относительно самого себя.

Теорема 1. Всякое пространство, стягиваемое в себе, дугообразно связно ).

Доказательство, Так как по условию тождественное отображение гомотопно постоянной, то предположим, что

(0) h: Ж X 9 -* Ж непрерывно и h^x, 0) = х, hlx, 1) = с.

Пусть р^Ж. Положим $1^ = 1г1р, t). Отсюда следует, что / — непрерывное отображение, такое, что f^=p и /(1) = с.

Таким образом, точку с можно соединить с любой точкой р^Ж локально связным континуумом и, следовательно, дугой.

Теорема 2. Следующие 5 условий эквивалентны:

Ж стягиваемо в себе,

Ж деформируемо в одну точку,

Ж стягиваемо относительно любого пространства У,

любое пространство 9 стягиваемо относительно Ж,

Жх дугообразно связно.

Доказательство. Из (1) вытекает (2), так как условие (1) означает, что тождественное отображение (пространства Ж) гомотопно постоянной.

Из (2) вытекает (3). Пусть f: Ж ->'9 — непрерывное отображение. Если отображение h удовлетворяет условиям (0), то / ~/(с), ибо отображение fh: Жх9->9 непрерывно, fh{x, 0) = /(х) и

Из (2) вытекает (4). Пусть /: J-*Ж — непрерывное отображение. Если функция 1г удовлетворяет условиям (0), то определим функцию git, u) =и], где и^ 9.

*) Нестягнваемость <5"з относительно ^2 и ^2ft-i относительно -Уп (для четных Щ была установлена Хопфом [1] и [2|. Другие результаты и более подробное изложение см. Эйленбург [14, стр. 57] и [12]; Фройденталь [3] и [4]; Гуревич [(>]; Понтрягин [I], [2] и [3].

Тогда / ^ с. Действительно,

g: Jxg->^ непрерывно, g(/, O) = f(Z) и g^t, 1) = с.

Импликации (3)=^(1) и (4)=Ф(1) очевидны. Наконец, соотношение эквивалентности (5) = (1) следует непосредственно из теоремы 2 п. V и теоремы 1.

Теорема 3. Всякий абсолютный ретракт и всякое множество Л (Д’) стягиваемы в себе.

Это утверждение вытекает из (2) в силу теорем 4 и 2 из п. IV.

Теорема 4. Всякое стягиваемое в себе пространство Ж связно в любой размерности п = 0, 1, 2, ... .

Доказательство. Согласно теореме 2 (4), сфера S п стягиваема относительно Ж, откуда по теореме 11 п. V следует требуемое заключение.

VII. Локальная стягиваемость. Пространство 3/ называется стягиваемым в себе в точке у0, если каждому е>0 соответствует такое г| > 0, что каждое множество А, для которого 6(go U Л) <п, может быть деформировано в у0 в шаре Q с центром уо радиуса е, т. е. если тождественное отображение А гомотопно у0 относительно Q1).

Пространство 3/ называется локально стягиваемым в себе, если оно стягиваемо в себе в каждой точке.

Теорема 1. Если У стягиваемо в себе в точке у0, то каждому е > 0 соответствует такое ц > О, что для любого компактного пространства Ж всякое непрерывное отображение f: Ж —>У, для которого б ^Уо U f (Ж)] < т), имеет продолжение f*: А(Ж)—>У, такое, что

т=у0 и ц^падк».

Доказательство. Так как тождественное отображение множества {(Ж) гомотопно у0 относительно шара Q с центром у0 радиуса е/2, то f с^ у0 относительно Q. Отсюда по теореме 8 п. I (при У = Q) следуют условия (1).

Теорема 2. Из стягиваемости в себе в точке у0 вытекает локальная связность в этой точке во всех размерностях п = 0, 1, 2, ... .

Доказательство. Для доказательства достаточно подставить Sn вместо Ж в теореме 1, принимая во внимание гомеоморфизм А^Д^ б„+1.

') Это понятие принадлежит Борсуку [6, стр. 236].

Теорема 3. Всякое пространство, локально стягиваемое в себе, является (л. с. ^-пространством, а всякое пространство, стягиваемое и локально стягиваемое в себе, является (л. с. п и с. ^-пространством для каждого п = 0, 1, 2, ... .

Доказательство. Это утверждение следует из теоремы 2 и теоремы 4 п. VI.

Теорема 4. Из условия ВУ X g^xyУ вытекает, что У локально стягиваемо в себе.

Из условия (У X И^тУ вытекает, что У стягиваемо и локально стягиваемо в себе.

Доказательство. Пусть уо^_У и Fx, ^....—последовательность замкнутых окрестностей точки у0, такая, что

lim d(/7n) = 0.

П->оо

Пусть e>0. Покажем, что для фиксированного и достаточно большого п существует непрерывная деформация h; Fnxg ~>У множества Fn в точку у0, такая, что b\hi,FnX д^<е. Пусть F = (FX X (0))U (F2X (-J-)) U ... U(f„x(^))u ... U(3/X(I)).

Тогда F = F аУ X 9. Положим

^У’^ПГ-) = У для U^F" и Ш, ^ = Уо Для У^-

Отсюда, согласно (ii), следует, что f: Р->У непрерывно.

Так как ^У X И^х^У, то существует открытая окрестность G множества F и продолжение f*: G-^У отображения Д Поскольку множество G открыто, существуют (ср. § 41, IV, теорема 1) открытая окрестность Н точки у0 (в У^ и замкнутый интервал Л = (Д, 0> такие, что И X Z с G. Более того, так как Д непрерывно, можно считать, что б [Д (Д X Z)] < е.

Рассмотрим такое п, при котором ~~>Д и FnczH (ср. (ii)). Положим Zn = ((« — 1 )/щ 0; тогда

FnX £nCL И X £, откуда б[Д(р„ X 7„)]<е.

Положим

W О = Г^У. ~р—)» где У^Рп и 1^9.

Тогда

hky, ОН^У, ^Г")^^’ Ч^)"^ к^У' ^ = Г<.У, 1) = ?/о,

h; FnX9-y непрерывно и

М/Н^х^^дГ/ч^х^Ке.

Таким образом, локальная стягиваемость 37 установлена.

Наконец, из соотношения (37 X 9^%У вытекает существование непрерывного отображения /: 37 X 9 —»У, такого, что Ну, 0) —У и И//, 1) = Уо, откуда следует стягиваемость У (ср. VI (2)). Отсюда вытекает следующая

Теорема 5. Всякий абсолютный окре ст костный ретракт локально стягиваем в себе, а всякий абсолютный ретракт стягиваем и локально стягиваем в себе *).

Для конечномерных пространств имеют место следующие теоремы, обратные к теоремам 3 и 5.

Теорема 6. Пусть dim 37 = и. Следующие условия эквивалентны".

У есть (л. с. п А-^-пространство;

{У X Я^У;

У локально стягиваемо в себе;

У — абсолютный окрестностный ретракт. Аналогично, эквивалентны следующие условия;

У — (л. с. п + 1 и с. п + Хупространство;

)УУ X 9^хУ;

) У стягиваемо и локально стягиваемо в себе;

)У — абсолютный ретракт.

Доказательство. (1)^(З). Из условия (1) и неравенства dim(37 X 9)^п + 1, по теореме 1 (4) из § 53, IV, вытекает (2).

Импликация (2)=>(3) следует из теоремы 4.

=^(4). В соответствии с теоремой 1 из § 45, VII предположим, что

У С ^2п + 1 И R = У U (^2п+2 — ^^Зп + О*

Так как пространство 37 локально связно в размерностях < 2п + 2 (ср. с теоремой 2), то 37 является окрестностный ретрактом пространства R (ср. § 53, IV, теорема 1, (2)). Л так как последнее пространство — абсолютный ретракт (ср. § 53, III (i)), то У — абсолютный окрестностный ретракт (по теореме 6, § 53, III).

Импликация (4)=Ф(1) очевидна; таким образом, первая часть теоремы 6 установлена. Доказательство второй части аналогично.

Замечание. Теорема 6 неверна для бесконечномерных пространств. Существует (компактное) пространство, стягиваемое и локально стягиваемое в себе, не являющееся абсолютным окрестностным ретрактом (Борсук [21]).

Следствие 7. Всякое связное подмножество Е дендрита является абсолютным ретрактом.

Доказательство. Во-первых, Е глобально и локально дугообразно связно (ср. с теоремой 3 § 52, IV и следствием 2 § 51, VI). Далее, Е — (с. пил. с. п)-прострапство для любого п (по теореме 3 из § 53, IV), так как всякий подконтинуум дендрита является дендритом, а следовательно, абсолютным ретрактом (по теореме 16 § 53, III). Таким образом, Е удовлетворяет условию (Г) и потому условию (4').

Компоненты пространства 3/т, где У — абсолютный окрестностный ретракт. В п. VIII —X символ Ж обозначает метрическое пространство, а У — сепарабельный абсолютный окрестностный ретракт; С обозначает произвольное компактное подмножество пространства Ж, т. е. С^С^Ж\

Теорема 0. Если Ж — компактное пространство, то ус (с компактно-открытой топологией) является абсолютным окрестностным ретрактом. Следовательно, его компоненты — открыто-замкнутые и дугообразно связные подмножества пространства У с, и потому любые два элемента каждой компоненты гомотопны.

Это вытекает непосредственно из теоремы 3 § 53, III и теоремы 6 п. I.

Обозначим, как и в § 44, III, через рс операцию сужения, т. е. рсД) —/К для С с Ж и f^yc. Таким образом,

рс: Ух-^ус.

Кроме того, операция сужения непрерывна (по теореме I из § 44, III).

Пусть Г <щ ут. Как обычно, рс(Г) = Г|С есть образ С при операции сужения, т. е. множество всех сужений f | С, где f^ Г.

Теорема 1 ’). Если Г — компонента отображения f в пространстве ус, то V \С — компонента отображения f|C в Ус.

Доказательство. Так как операция сужения непрерывна и Г связно, то связно и рс(Г) —Г|С,

*) См. Кураговский [49],

Обозначим через А компоненту f\C в Дс. Так как (f | С) £ (Г | С), то (Г|С)с:А. Покажем, что А = Г|С. Для этого нам нужно показать, что

(^€А)^(^6(Г|С)).

Так как С компактно, то элементы множества Л попарно гомотопны (по теореме 0). В частности, g-~(f|C), и по теореме Борсука (см. II, 3) существует f‘£3/r, такое, что g’ = (f‘|C) и f ~ f. По теореме 6 п. I отсюда следует, что существует дуга в ЧУЖ, соединяющая f* с f. Поэтому Г С Г, а так как g = f\C, то мы, наконец, получаем g £ (Г | С).

Теорема 2. Пусть Г — компонента пространства У^; тогда

(f^D^Kf |С)£(Г|С) для каждого С^С^)].

Это утверждение вытекает из § 44, III (2), так как Г и Г |С — замкнутые Нод множества пространств 3/ж и <УС соответственно.

Следствие 2а. Пусть Го и Г, —две компоненты пространства У^. Тогда

(Го = Г,) S [(Гп I С) = (Г, I С) для каждого С^С (Д’)].

Теорема 3. Пусть Фс#г замкнуто. Множество Ф есть компонента пространства ^с тогда и только тогда, когда Ф|С — компонента пространств! Ус для каждого С^СКТ"\

Доказательство. В силу теоремы 1 остается показать, что это условие достаточно. Пусть ДФ п Г —компонента / в 3/г, и пусть С £ Д’— компактное множество. Покажем, что Ф = Г. Согласно следствию 2а из § 44, III, достаточно показать, что Ф | С = Г | С.

Но множества Ф|С и Г'С суть компоненты 2/с (первое — по предположению, а второе —по теореме 1), и оба содержат f|С. Следовательно, они совпадают.

Теорема 4. Квазикомпоненты пространства У? связны, а потому совпадают со своими компонентами.

Доказательство. Пусть f0 и ^ —два элемента из Дг, пусть Г —компонента элемента f0, и пусть fi^T. Мы должны показать, что h не принадлежит квазикомпоненте f0, т. е. существует открыто-замкнутое множество Фс^”, такое, что /о^Ф и fi $ Ф.

Так как ft^^, то по теореме 2 существует компактное множество С а Я", такое, что (Д |С)^(Г |С). Положим

Ф = р-'(Г|С), т. е. (/£Ф)® [(Ж)6(Г|С)].

Тогда /()£Ф и /^Ф. Кроме того, Ф открыто-замкнуто в 3/^, так как рс непрерывно и Г [С (по теореме 1) есть компонента локально связного пространства 3/с и, следовательно, открытозамкнутое подмножество этого пространства.

Пространство d^J^ компонент пространства ^х. Обозначим (ср. § 49, Va) через ^^Ях^ пространство разбиения пространства Эг на квазикомпоненты (следовательно, — по теореме 4 п. VIII —на компоненты). Это означает, что Зс6(3/Г) открыто в G(3/r) тогда и только тогда, когда S3 (т. е. объединение компонент, принадлежащих 3) открыто в 3/г.

Обозначим через Р(/) компоненту / в 3/С Следовательно, Р является (естественной) проекцией пространства 3/г на 6(3/г). По теореме 1 из § 19, II Р взаимно непрерывно, т. е. Р-1(3) открыто в 3/^ тогда и только тогда, когда 3 открыто в К(3/^) (ср. § 13, XV)..

Аналогично, для компактного множества С с Я обозначим через Qc(g) компоненту Л элемента g в Дс и положим

Sc„, с, (Л) = Л | Со для Со с С! и Л£6(3/с').

Наконец, положим /?С(Г) = Г |С для Г £6(3/^). По теореме 1 и. VIII мы имеем (Г | С) £ G (3/с). Следовательно,

^с: 6(3/^)-^б(3/с) и R: 6 (3/^) -* ПК (3/с),

где /? (Г) = {/?с (Г)}.

Теорема 1. Диаграмма

буЖР> g ^у^

PcRc

коммутативна. Следовательно, Rc непрерывно, а потому и R непрерывно.

Доказательство. Пусть / £ 3/г и /£ Г £ 6 (ДРХ т. е. Г = = P UY Тогда Rc [Р (f)] = P(f) |С = Г | С, и по теореме I п. I Г|С ~ компонента /Ч С в 3/с. Следовательно,

r|C = Qc(f|C) = Qc[pc(f)].

Это завершает доказательство коммутативности диаграммы. Непрерывность Rc вытекает из теоремы 3 § 13, XV в силу взаимной непрерывности Р и непрерывности Qc°Pc (по теореме 1 из § 44, III рс непрерывно).

Теорема 2. Если пространство Ж компактно, то пространство 6(3<е) дискретно.

Действительно, элементы пространства 6 (3/ж) — открытозамкнутые множества (по теореме 0 п. VIII).

Теорема 3. Пусть 3 с ^^ху Тогда

(0) (Г € 3)=[/?с (Г)€ Rc (3) для каждого С], т. е.

(Г 3)^ [(1ЛI С) (31 С) для каждого С].

Доказательство. Импликация слева направо вытекает из непрерывности Rc (теорема 1) и того факта, что 3|С замкнуто в пространстве ^Л^с^ (так так последнее дискретно по теореме 2).

Далее предположим, что -Справедлива правая часть соотношения (0). Покажем, что Г^З-

Пусть / £ Г. Тогда

(/|С)^(Г]С)€(3|С), Т. е. (ЛС)€8(3|С).

Очевидно, S (31 С) = S (3)1 С, поэтому (Л G) G [S (3)|С] и, следовательно, f£S(3) (согласно § 44, III (2)); так как f —произвольный элемент Г, то из этого вытекает, что Гс8(3). Но S (3)CS (3) (ибо 8 (3)CS (3) = S (3) по_ определению фактор- топологии), поэтому ГсЗ(З), т. е. Г^З-

Теорема 4. Проекция Р; ЗГ®-*^^®1) —открытое отображение.

Доказательство. Пусть Ga3J® открыто, и пусть Г£ Р (G), т. е. Г П G=#0; пусть f £ Г П G.

Предположим, вопреки нашему утверждению, что Р (G) не является открытым, а именно, что Г^З, где 3 = К (3/r) — Р (G). По теореме 3 отсюда следует, что (Г|С)С(3|С) для каждого компактного множества С. Так как (Л G) С (Г | С), то (Л С) С S (31 С). Далее, 8 (3! С)=S(3) I С, откуда (Л G) С [S (3)1 С], поэтому f £ 8(3). Следовательно, S(3) П G^O, поэтому 3(3)ПС#=0 (так как G открыто), т. е. существует компонента пространства С(3/г), при-

надлежащая 3 и имеющая общие точки с G. Но это противоречит определению 3-

Замечание. Разбиение пространства 3/® на компоненты полунепрерывно снизу, так как свойство Р быть открытым отображением эквивалентно открытости множества Е (1 Пб^О) (при условии что Gc3/® открыто).

Очевидно, Sc.c,0 Sc.c^ Sec, Для Со<=С1СС2. Поэтому пространства 6(3/с) и отображения Sc,с, образуют обратный спектр (переменные С, Со, Cj пробегают семейство С(.^), которое, очевидно, направлено относительно включения CoczCi; ср. § 44, III).

Теорема 5. 6(3/Дс Lim (G(3/c), Sc„c,}- top С, С»сС ।

Именно, отображение R; 6 (3/®)-> П6 (3/с) есть требуемый гомеоморфизм пространства 6(3/®) в указанный предел обратного спектра.

Доказательство. Обозначим сокращенно этот предел через V. Сначала мы должны показать, что

ГС6(^)=^/?(Г)С8.

По определению R (Г) = ^Rc (Г)}. Следовательно, чтобы доказать (1), достаточно показать, что

Sc,c, [Яс, О = ЯСоОЗ-

Но это означает, что (Г|С1)|С0 = Г|С0; последнее очевидно. Осталось показать, что R — гомеоморфизм, т. е. что

(^€3)=[Я(Г)СЯ(3)1 для каждого 3<=6(3/®).

Так как Я (!’)££ (согласно (1)), то мы имеем (см. § 16, VI, теорема 3)

[Я(Г)^ Я(3)] = [Яс(Г)Е Яс(3) для каждого компактного С], откуда в силу теоремы 3 вытекает (2).

Следствие. Пространство 6(3/®) вполне регулярно.

Действительно, это пространство гомеоморфно подмножеству произведения П6 (3/с) вполне регулярных (в действитель- с

ности дискретных) пространств.

Теперь мы усилим теорему 5 для случая, когда Ж сепарабельно и локально компактно

Во-первых, напомним (см. теорему 8 из § 41, X), что в рассматриваемом случае существует последовательность С,<щС2с... компактных подмножеств пространства Ж, такая, что каждое

компактное подмножество пространства ^ представляет собой подмножество некоторого Сп.

Теорема 6. Если пространство Ж сепарабельно и локально компактно, то

= Lim (6(3/4 Scncft). top п, n^kп

Именно, обозначим, через R (Г') элемент (/?с (Г)} произведения Пб(2/С"); тогда R — искомый гомеоморфизм.

П=1

Доказательство. Как и в доказательстве теоремы 5, легко показать, что ^ — отображение в рассматриваемый выше предел обратного спектра. Для того чтобы доказать, что R — гомеоморфизм, достаточно (согласно (3) и (0)) показать, что если

(Г|С„)6(3|С„) для каждого л=1,2, ...,

то

(Г|С)£(3|С) для каждого С^С(^).

Пусть С^С^Ж^ и СаСп. По предположению

(Г|С„)6(31С„), следовательно, [(Г|С„) |С] £ [(31 С„)|С].

Но (Г|С„)|С = Г|С и(3|С„)|С = 31 С. Таким образом, (Г|С) С (31 С). Это завершает доказательство импликации (4)=^(5).

Теперь перейдем к доказательству самой существенной части теоремы, а именно того, что R является отображением на. Мы должны показать, что для каждой последовательности А„ £ 6 6(3/Сп), п=\, 2такой, что

А/г | С„ = А„, каково бы ни было п<к, существует Г£6(3/т), такое, что

Г|СП = АП для п=\, 2, ... .

Для этого определим по индукции последовательность fb f2> • • •, такую, что

ЛЕА, и Ь\С^ = Ь_ь

Пусть f| — произвольный элемент из Аь Предположим, что fi^.\i для некоторого t"^ 1; так как А(+1|С; = А(, согласно (6), то существует fz+1 £ Az+b такое, что ft+\|CZ = fz. Следовательно, условие (8) удовлетворяется для z+1.

Последовательность h, f2, ... порождает отображение f: Ж->У, определяемое следующим образом:

/ (л:) = ^t (х),' где i — наименьший индекс, такой, что х £ Ct.

Отображение f непрерывно (по теореме 3 из § 44, III), так как оно непрерывно па каждом С,„ а следовательно, на каждом компактном подмножестве С пространства Ж (ибо С содержится в некотором Ct с подходящим индексом г).

Пусть Г— компонента f в 3/^. Из соотношении (8) и (9) вытекает, что f\Ct = fE. Следовательно, h £ Az П (1'1 С^, откуда вытекает (7), так как \п и Г|С„ — компоненты одного и того же пространства, а именно пространства б(з/с") (ср. с теоремой 1 из п. VIII).

Следствие 6а. Если Ж сепарабельно и локально компактно, то пространство С£(3/г) гомеоморфно замкнутому подмножеству пространства иррациональных чисел аФ^, следовательно, полному сепарабельному нульмерному пространству.

Действительно, пространство ^^Ус'п^ дискретно и счетно, следовательно, П 6 (ф^ гомеоморфно еАР.

21) Зак. 190

ГЛАВА 8

ГРУППЫ ^т, ^ И щх)

§ 55. Группы ^ и Sq^)

I. Общие свойства коммутативных групп. Прежде всего мы сформулируем здесь элементарные свойства коммутативных групп, которые нам понадобятся позже.

Множество Ж произвольных элементов называется коммутативной (или абелевой') группой относительно операции а + Ь, сопоставляющей каждой паре элементов a, Ь^Х некоторый элемент из X, если при этом выполняются следующие условия:

(а + &) + с = а + (6 + с);

а + b = b + а;

существует один (и только один) элемент 0, такой, что а + 0 = а *);

для каждого а С X существует один (и только один) элемент —а, такой, что а+ (—а) = 0).

Если пг — целое число, то произведение пг • а определяется следующим образом:

О • а = 0, m - a = (m — 1) • а + а и (— т) • а = т • (— а) для пг >0.

Говорят, что а#=0 есть элемент конечного порядка (порядка т), если существует целое число т^О, такое, что т ■ а = 0.

Подмножество группы X называется подгруппой, если Вместе с элементами а и b оно содержит а + b и если вместе с каждым элементом а оно содержит —а. Поэтому любая подгруппа содержит 0; в частности, она может состоять только из нуля.

*) Этот элемент называется нейтральным элементом группы Я?, В п. I—VIII нуль везде будет обозначать нейтральный элемент.

Определение. Если в группе ^ определена топология, относительно которой операции а + 6 и —а непрерывны, то Ж называется топологической группой.

Гомоморфизм. Изоморфизм. Пусть Ж и 3/— две группы. Поставим в соответствие каждому элементу х из Ж элемент h (х) из 3/. Соответствие h называется гомоморфизмом (или аддитивной операцией), если

h (а + b) = h (а) + h (b).

Тогда

/г (0) == О и h (— а) = — h (а),

так как h(0) = h (0 + 0) = h (0) + h (0) и 0 = A(0) = /i(a — a) = = h (a) + h ( — a).

Кроме того, h {Ж) — подгруппа группы 3/, и если G —подгруппа 3/, то h~x((j} —подгруппа Ж. Группа/г-1 (0) называется ядром гомоморфизма И.

Гомоморфизм h, при котором из соотношения h(a) + h(b) = = h (с) вытекает, что а + b = с, другими словами, при котором [a + b = с] = [h (а) + h (6) = h (с)],

называется изоморфизмом между Ж и К^Жу

Для того чтобы гомоморфизм был изоморфизмом, необходимо и достаточно, чтобы он был взаимно однозначным, т. е. чтобы его ядро сводилось к элементу 0 (следовательно, чтобы из равенства /г(х) = 0 вытекало равенство х = 0).

С теоретико-групповой точки зрения две изоморфные группы неразличимы (точно так же, как с топологической точки зрения нельзя различить два гомеоморфных пространства). В таком случае мы будем писать

Ж^.

8Г

Факторгруппы. Если G — подгруппа группы Ж, то отношение a~b mod G означает, что ^a — b^G. В частности,

(a~0 mod G)^(a С G).

Легко проверить, что отношение a~b mod G рефлексивно, симметрично и транзитивно.

Таким образом, если считать, что два элемента а и b принадлежат одному и тому же множеству тогда и только тогда, когда a~bmodG, то группа Ж разобьется на попарно не пересекающиеся подмножества. Семейство этих множеств называется факторгруппой Ж/G’, композиция элементов факторгруппы определяется следующим образом: С есть сумма

множеств А и В, С = А 4- В, если c~a + bmodG для любых а £ А, Ь ^ В, с^ С. Легко видеть, что при этом Ж/G — коммутативная группа, a G — ее нейтральный элемент; мы будем обозначать его также символом О. Ясно, что

(D^^(0),

^/(0) = ^.

Теорема 1. Отображение Р: Ж —> Ж/G (называемое проекцией}, сопоставляющее каждому элементу х из Ж элемент Р (х) из Ж/G, такой, что х^Р^х}, является гомоморфизмом Ж на Ж/G.

Кроме того,

[х~ х' mod G] = [P /х} = Р (х')],

P"4O} = G,

[х~0 mod G] = [P (х) О].

Теорема 2. Если А —такая группа, что Ga Ас: Ж, то A — P~X(A/G), откуда Р (А} = A/G.

Следующая теорема является обратной к теореме 1.

Теорема 3. Если h\ Ж h {Ж} ~ гомоморфизм, то группы. /ЦЖ} и Ж!Н~хк,0} изоморфны-.

Н^-Ж/h-1^},

а факторгруппа Ж/И-40} совпадает с семейством прообразов точек при отображении 1г (т. е. с семейством множеств h~x (у}, где у пробегает группу й(Ж)).

Доказательство. Отображение й~*: й^Ж}—>Ж/Н-I (0) есть именно тот изоморфизм, который выражается соотношением (6). Действительно, оно взаимно однозначно и является гомоморфизмом, так как из соотношений Xi С h~4yi) и х2 С h-1 (у2) вытекает, что (xj + x2}£h-1 (у, + у2}.

Теорема 4, Если h: Ж —>/г(Ж) — гомоморфизм и А — такая группа, что /г-1 (0) с А с Ж, то Л = ir'h\AY

Доказательство. Пусть F (х) = h~'h (х) и G = /i~'(0). Согласно теореме 2, F ^А} = А/G, следовательно, На} с; А при а С А, и потому

h"'h(A}= [J !Г'к(а}= U Е(щ} = А.

■ ?е.л ; а?.л

Теорема 5. Пусть Ж и У— две группы, АсЖ и ВстАУ — подгруппы. Пусть h: Ж - 3/ — такое отображение, что

(!) из x~0mod4 вытекает h (х)~0 mod В (т. е. Н^А^скВУ,

h (хх + -к2)~(А(Х[) + А(х2)) mod В;

(!!!) для каждого у^У существует элемент х^Ж, такой, что y~h(x')modB.

Каждому Х^_Ж!А поставим в соответствие элемент е(Х)£Х, а также элемент И (X) факторгруппы У IB, содержащий Л[е(Х)]. Отображение Н: (Ж {А^УЗИ В-) (индуцированное отображением h) не зависит от определения операции е: (Ж!А^->Ж и является гомоморфизмом на.

Отображение И — изоморфизм, если, кроме того,

(iv) из h(x^~0 mod В вытекает ,r~0modX (т. е. Ж} (В)с.А\

Доказательство. В соответствии с теоремой 1 пусть yWy^fB и [z/-/]s[A(//) = F (y'^VY

Отсюда следует, что Н (X) = Г {h [е (X)]}.

Для того чтобы показать, что И не зависит от е, предположим, что е' (Х') £ X. Мы должны показать, что

FVhVe(X^ = F(h\e'(X^.

Но так как е(Х')~е'(Ху то е(Х^ — е'(Х^ ~0, откуда Ь(е(Х^ — е'(Х)]~0, согласно (i). Так как h [е(X) — е'(Л)]~ ~А[е(Х)] — /г[<?'(Х)], согласно (ii), то

F {А [г (X)] - h [еДХ)]} = F (0) = 0.

Отображение Н — гомоморфизм, ибо

ФХД.Т)~еД) + Ф.Ц следовательно, he (Xi + Х2) ~ he (Хх) + he (Х^, поэтому

F {h [е (X, 4- Х2)]} = F {h [е (Ха] + h [е (Х2)]} =

Кроме того, каждому Y^IB соответствует Х^Ж/А, такое, что Y = H(X\ Действительно, пусть у Y, тогда Y = F(y\ Пусть (ср. (iii)) y~h(x\ где х^Х. Тогда х~е(ХУ откуда (ср. (!) и (ii)) h(x^~ he (ХУ следовательно, y~he(X^ и

Y-F(y^ = F(h\e(XYi\ = H(X\

Наконец, из условия (iv) вытекает, что Н — взаимно однозначное отображение. Действительно, пусть F {h [е (АД]} = = ЛМе№)]}. Тогда

h [e(Xi)]~A [е(Х2)], откуда А [<?(ЛД] — А [е(.¥2)]~0, следовательно,

WHWJ-O

и, согласно (iv),

е№)-е№)~0, т. е. е^-е^,

и потому Хх = Х2.

Из теорем 4 и 5 (при 2/ = А(^) и В = ЦА)) вытекает следующая

Теорема 6. При предположениях теоремы 4 имеет место изоморфизм

Ж[А=ЦЖ)ЩА\

Теорема 7. Если A, G и Ж — группы, такие, что G с А с Ж, то

Ж1А = \ЖЮМ\АЮ\.

Действительно, если F — гомоморфизм, определенный в теореме 1, то по теореме 2 отсюда следует, что

Р^Ж) = Ж(0 и FVA^AIG, откуда в силу теоремы 6 получаем (7).

IV. Операция А. Если А — подмножество группы Ж, то обозначим через А наименьшую подгруппу Ж, содержащую А. Группа А всегда существует, так как пересечение произвольного семейства групп (в данном случае семейства всех групп, содержащих Л) есть группа. Легко установить следующие теоремы:

Теоремы 1—3. А с Л; Ж = Ж\ А = А.

Теорема 4. Из Л с В вытекает АсВ, так что ЛО В с с Лц"в и ХКВ с Л П В.

Теорема 5. (Л = Л) = (Л — группа).

Теорема 6. [(.Д —(v)] ^ [х = 0].

Теорема 7, Группа Л есть множество всех элементов вида тх- 01 + .,, + т„ • ап,

где ац ,,,, а^^А и т1целые числа.

Доказательство. Действительно, с одной стороны, эти элементы образуют группу, а с другой стороны, группа, содержащая А, содержит также все эти элементы.

Отсюда вытекает следующая

Теорема 8. Если А и В —две подгруппы Ж, то /1U в— .множество всех элементов х вида

х = а + Ь, где а^А и Ь^В.

Более того, если А П В = (0), т. е. если группы А и В имеют общим только нейтральный элемент, то каждый элемент х^ЛиВ имеет одно и только одно представление в виде (1).

В последнем случае Лив называется прямой суммой Л и В; в этом случае соответствие, которое каждому х £ A U В сопоставляет элемент а (соответственно 6), такой, что имеет место (1), является гомоморфизмом группы ЛОВ на А (соответственно на В).

Теорема 9. Если h; Ж—►МЖ^ — гомоморфизм, то

/г(Л) = /г(Л) для любого А с. Ж.

Это следует непосредственно из теоремы 7, ибо h (mx • ах + ... + та • а„) = h ^тх • а,) + ... + h (rnrt • а^ = = тх • h (czj + ... + тп ■ h (щп\

Теорема 10. Если А и В — две группы, то лив/л п в = (л/лпв)и(в/лпв).

Доказательство. В соответствии с теоремой 1 п. III пусть F: Л U В -* A U В/Л П В — естественный гомоморфизм. Тогда (ср. с теоремой 1 п. Ill и с теоремой 9)

ЛЦВ/Л П В = Е(А<Гв') - Жйв) =

= F (Л) U В (В) = (Л/Л П В) U (В/Л П В).

Теорема 11. Если A U В — прямая сумма групп А и В, то

А?В/А = В.

Доказательство. Существуют (ср. с теоремой 8) функции g и h, такие, что

g-. AUB->A, h: мГв^В

И

х = 8 to + h (х) для всех хС Л U В.

Так как h — гомоморфизм и так как Л-1(0) = Л, то, согласно теореме 3 п. III, получаем соотношение (2) (если Ж заменить на ЛЦВ).

V. Линейная независимость, ранг, базис. Подмножество Л группы Ж называется линейно независимым, если для любой конечной системы аь ..., а„ элементов из Л равенство

тх • ах + ... + тп • ап = О

с целыми коэффициентами ть .... тп имеет место тогда и только тогда, когда

тх = ... = тп = 0.

Элементы линейно независимого подмножества также называют линейно независимыми. Максимальное число линейно независимых элементов в Ж, если оно существует, называется рангом Ж-, если такого числа не существует, то говорят, что ^■ — группа бесконечного ранга.

Так, например, группа «^ целых чисел имеет ранг 1, группа <^2 комплексных целых чисел имеет ранг 2, группа а?“ бесконечных последовательностей целых чисел, каждая из которых содержит только конечное число членов, отличных от 0, имеет бесконечный ранг. Бесконечный ранг имеет также группа ^ всех бесконечных последовательностей целых чисел.

Если множество Л линейно независимо и если А = Ж, то А называется базисом (в теоретико-групповом смысле) группы Ж. Тогда каждый элемент х^Ж допускает одно и только одно представление в виде

х = тх • ах + ... + тп • ап, где ах, ..., ап£А.

Теорема 1. Если Ж имеет базис, состоящий из и элементов, то Ж = 9п. Если Ж имеет счетный базис, то

Ж = ^®.

Доказательство. Пусть А = {аь а2, ...}—(конечный или бесконечный) базис группы Ж. Определим функцию f; Ж-*^11 (или ^“) следующим образом:

fW = p«i, т» •••! Для х = тх • ах + т2 • а2 + ... .

Тогда / — искомый изоморфизм.

Теорема 2. Если h: Я -> /г (.77) — гомоморфизм, то ранг ^7 = ранг Л~'(0) + ранг куяуу

Доказательство. Пусть ах, ..., ак — линейно независимая система элементов в Л" (0), a h(,ak + x), ..., h(дф — линейно независимая система элементов в кугу Покажем, что элементы аь ..., ак, ак+\, ..., ап линейно независимы. Предположим, что

пгх • ах + ... + тк ■ ак + ... + тп • ап = 0.

Так как (т/ • ах + ... + тк • аУ £ 1г~х (0), то

h(mx > ах + .. ^ + тк - а У = 0;

следовательно (ср. (1)),'

тк+х • h (ак+}) + ... + тп • 1г (ап) = 0, откуда вытекает, что тк+х—... — тп = 0. Таким образом (ср. (1)),

тх • ах + ... + тк • ak = Q, так что тх = ... = тк = 0.

Итак, линейная независимость системы (аь ..., «„) установлена. Отсюда следует, что

ранг Ж Уд ранг h~l (0) + ранг куяу

Для доказательства обратного неравенства можно предположить, что ранги групп ^“‘(О) и Ь\ЯУ конечны. Пусть

ранг h~x (0) = k,

ранг h (Я) ~п — 1г.

Мы должны показать, что ранг Я'^Уи. Это означает, что если рх, ..., /?;1+| — некоторая система элементов Я", то существует такая система целых чисел г^ . .., г„+1, нс все из которых равны нулю, что

' гх • Р\ + • ■ • + r« + i 1 РпАЛ ~ 0.

Прежде всего покажем, что каждый элемент х£.Я имеет следующий вид:

т • х — тх • ах + ... + тп • ап, где т=^0.

Так как элементы h^ak+v\ ..., A(aJ линейно независимы, то из условия (3) вытекает существование такой системы целых чисел 8, 86 + Ь 8ки, . .., 8П, ЧТО

з • h(x) — sA+I • h(ak + i) - .. . - s„ • h (an) = 0 и s+=0.

Отсюда следует, что sx — з6 + 1а& + 1 — . .. — s^a^ принадлежит Л~’ (0); поэтому, согласно (2), существует такая система целых чисел т0. mb ..., т„, что

m0(sx - з6+1а6+1 - ... - sna,^ = mxat + ... + ткак.

Более того, то#О, так как элементы аь ..., ак линейно независимы. Положим

m = mos, тк+1 = mosk+x, ..., mn = mosn.

Тогда условие (5) удовлетворяется.

Отсюда следует, что каждому Pj (где /= 1, ..., Ш-1) соответствует система целых чисел mt, mix, ..., т/ , такая, что

mlpl = mlal + ... +minan

и

m/^0.

Пусть cb ..., с„+1 — система целых решений (не все из которых равны нулю) п однородных уравнений

тихх + ... + m„+L ixn+1 = 0, t = 1, ..., щ т. е.

I

S тус. = 0, где /=1, ..., п.

Пусть Г/ = с}mjt j=l, ..., п + 1. Тогда (ср. (6) и (8))

п+1п+1п+1 п.пп + 1

2 fjPj = 2 С/т/Р/ =22 Cjmuat = 2 at 2 тис, = 0.

/-1/-1/=i i-ii-i /=i

Более того, согласно (7), хотя бы одно из чисел г/#0.

Теорема 3. Если G — подгруппа группы SE, то ранг Я- = ранг G + ранг ^'(GY

Это следует из теоремы 2 в сочетании с формулой (4) п. III.

Теорема 4. Если ЛО В — прямая сумма групп Л и В, то ранг Л05 = ранг Л + ранг В.

Это вытекает из теоремы 3 и теоремы 11 п. IV.

Линейная независимость по modG. Пусть G — подгруппа Ж. Подмножество А множества Ж называется линейно независимым по modG, если для любой конечной системы аь ..., ап элементов А из соотношения

т1а1 + ... + тпап ~ 0 mod G

вытекает, что тх= ... = тп = 0. Если

х~тхах + ... + тпап, где аь .... ап^А, для каждого элемента х из Ж, то А называется множеством образующих группы Ж по mod G.

Если это множество А, кроме того, линейно независимо по modG, то оно называется базисом группы Ж по modG.

Пусть Р — функция, рассмотренная в теореме 1 п. III. Согласно формуле (5) п. III, множество А линейно независимо тогда и только тогда, когда семейство Р(Д) (т. е. семейство элементов Рка) факторгруппы Ж/G, где а^А) линейно независимо. Таким образом, имеют место следующие соотношения эквивалентности:

{Д —базис Ж по mod G} = {Р (Д) — базис ЖЮ},

{Д — множество образующих группы Ж по mod G} =

= {Р(Д) —множество образующих ЖЮ}.

Ранг группы Ж(О равен максимальному числу элементов группы Ж, линейно независимых по mod G.

Декартовы произведения. Пусть Ж и 3/ —две группы; их декартово произведение %=ЖХУ становится группой, если композиция определяется следующим образом:

кх, у) + (V, у') = кх + х', у + у').

Следовательно, (0, 0)—нейтральный элемент группы 2 и

-кх, у) = к-х, - у), т • кх, у) = ктх, ту).

Проекция h: %-* Ж, определяемая условием hkx, у) = х, является гомоморфизмом на.

Очевидно, что

ЖхкО)=Ж, (0)Х» = !У,

Ж X У = ^ X (0) U (0) X У.

Группа Ж ХУ является прямой суммой групп Ж X (0) и (0) X У, и по теореме 4 п. V имеем

ранг кЖ X У) = ранг Ж + ранг У.

Если f: ^-*f(^’) и g: У-+ g (У) — гомоморфизмы, то функция /г: Д’ X У -*Ж‘^ X я(У\ определяемая условием /г(х, у)= = [f (х), g(//)], есть гомоморфизм на.

Если А и В — подгруппы Ж и У соответственно, то

(Д’ X УЖА ХВ) = (Д/Д') X №\

Действительно, если F — гомоморфизм, который каждому х^Ж ставит в соответствие элемент F (х) из Ж (А, такой, что x^F\x\ и если G — определенный аналогично гомоморфизм, такой, что У 6 G (z/) С У (В, то положим Н (х, y) = [F(x), G (z/)]. Отображение Н; ЖхУ-^^Ж1А)х{У1В) является гомоморфизмом на, а АхВ — его ядро. Отсюда на основании теоремы 3 п. III получаем соотношение (6).

В частности (ср. (3) и III (1) и (2)),

^ЖХУМЖ = У

(мы отождествляем группу Ж X (0) с ЖУ

Приведенные выше утверждения, касающиеся произведения двух групп Ж X У, можно легко распространить на обобщенные произведения 3= П Жь где Ж4 — (абелева) группа, a Т — t^T

произвольное множество. Именно, положим для каждой пары J = {^} и У = (Vz) элементов 3

5 + 9 = (^ + ^). где t^T.

Тогда 3 становится (абелевой) группой. Более того, если каждая группа Ж, — топологическая группа, то 3 ~ тоже топологическая группа.

Теперь предположим, что Г — направленное множество, \Ж^ f^rj ~обратный спектр, Д*( —группа (для каждого t^T^ и fv: Ж^-^Ж^ — гомоморфизм (для /q^/J. Положим

Теорема 1. Ж „ —подгруппа группы П^.

Более того, если каждое Ж t — топологическая группа, то Ж^ — тоже топологическая группа.

Доказательство. Пусть n) = j + V, где J, ^ЛУ- Пусть ^o^i'i- Покажем, что fu (liV'^h)'0. Действительно,

(V‘ + w - Д, № + Д, s'- + V' -

Вторая часть утверждения теоремы является очевидным следствием того, что П-^ — топологическая группа.

t

Добавим еще утверждение (которое легко доказать), аналогичное следствию 4а § 16, VI:

Теорема 2. Пусть, как выше, {^р ftet^ и \Ур gf^ — dea обратных спектра групп; предположим, что h ставит в соответствие каждому t^T отображение hp H't~^yt так, что при этом коммутативна диаграмма (для /о^Л)

Пусть h^; .Т^ -* Ую — такое отображение, что У1 СО = ht (V). Если ht — изоморфизм (для каждого t£T\ то h^ —также изоморфизм.

VIII. Группа 5УГ. Пусть Ж" и У — два метрических пространства (или, более общо, два-^'-пространства). Предположим, что У — топологическая абелева группа. Семейство У® непрерывных функций V- ^->9 наделяется групповой структурой, если композицию элементов fh f2 из У® определить следующим образом:

(/з = Л + /2) 338 {/зС^НЛ W + /2W для любого х^Я'Ь

Так как группа У коммутативна, то группа Уж тоже коммутативна. Нейтральным элементом группы У® является постоянная функция со значением 0.

Постоянные функции образуют подгруппу группы У®, изоморфную У. Часто эту подгруппу полезно обозначать тем же символом У.

Группа У®, рассматриваемая как -^'-пространство (ср. §20, VI), является топологической группой.

Для того чтобы доказать это утверждение, положим

hn ” tn + g^ Hm f„ = A lim^ = g и h = f + g. n ->oort-»oo

Пусть lim xn= x. Тогда rz->oo

lim hn(xn) = lim [/„(xJ + gn(xn)]-

= lim L(xaH lim Еп(х№) = 1(х) +g(x) = h(x), n->ootl^ 00

следовательно, lim hn = h.

Пусть А — фиксированное подмножество Ж\ положим

Ш = Ш-

Таким образом, операция £ каждому элементу 1£УХ ставит в соответствие элемент группы 3/Л, а именно сужение f | А. Следовательно, если Ф — подмножество Ух, то (ср. § 53, I)

£(Ф) = ФМ.

Теорема 1. Операция £ — гомоморфизм’.

Uh-H^UhHUbY

Поэтому справедлива следующая

Теорема 2. Если Ф — подгруппа У*, то Ф | А — подгруппа УА.

В частности, непрерывные функции g: А-*У, имеющие (непрерывные) продолжения на Ж, образуют подгруппу группы УА (а именно подгруппу УК1А).

Положим

А^-Г^О), т. е. А(Д) = Е[/6^][/(Л) = (0)]. f

Из (3) и теоремы 3 п. III вытекает следующая

Теорема 3. Если Ф — подгруппа Ух, то

Ф/А(Д) = Ф|Л.

Теорема 4. Если Ф( и Ф2 — две подгруппы Ух, такие, что А(Д) с Ф, с ф2, то

Ф2/Ф1 = (Ф21ЖФ1М).

Это следует из теоремы 3 в сочетании с теоремой 7 п. III (где А заменено на А(Д)).

Теорема 5. Пусть f: Ж-> Z — непрерывное отображение Ж на Z. Если Ф — подгруппа Ух, состоящая из сложных функций gf, где g: Z-*y — непрерывные функции, то

^Ф,

У2[У = Ф[У.

Доказательство. Положим hg(x) = gf(х), где g^yz и х^Ж; тогда h — изоморфизм У2 на Ф, так как

hg^6Ax) = gif (х) + gj (х) = hgl (х) + hgs (х) и

из hg = 0 вытекает g = 0

(так как если hg = 0, то gHx) = 0 для любого х и, следовательно, 5(2) = О для любого 2^Z).

Формула (7) следует из формулы (6) и из соотношения эквивалентности (hg = const) = (g = const) (ср. Ill, 5).

Группа 9х. Пусть 9, как обычно, обозначает группу, целых чисел. Положим

^й(Ж) = 9х^ и 60(^) = ранг So(^).

Следовательно, элементы факторгруппы получаются в результате «отождествления» тех элементов группы 9х, которые отличаются па постоянную.

Условимся считать, что Ьй(Х) = ^, если Ж пусто.

Теорема 1. Если Ж связно, то &х = & и, следовательно МЯ = 0.

Действительно, всякая непрерывная функция d; Ж-*$ постоянна.

Приведенная ниже теорема 3 является обобщением теоремы 1.

Теорема 2. Пусть Fo, ..., Fn — такая система замкнутых непересекающихся непустых множеств, что Ж = Е0\) •■• UFn. Система характеристических функций db ..., dn множеств Fb ..., Fn линейно независима по mod<^.

Доказательство. Пусть (аы) = dfe(Ft\ Тогда аи=\ и akl = Q для ky=l. Так как определитель системы п + 1 однородных уравнений

m0 + aumi + ... + anlmn = 0(/ = 0, ..., п)

равен 1, то из этого следует, что m0 = m1 = ... = mn = 0.

Теорема 3. Если (непустое) пространство Ж имеет конечное число, скажем « + 1, компонент Fo, ..., Fn, то

80(^) = ^п и Ь0(Ж) = п.

Доказательство. Характеристические функции db .... d№ множеств Fb . . . , F„ являются образующими группы 9х по mod 9. В самом деле, пусть d — произвольный элемент группы $х и (mt) = d(F(). Тогда

d = m0 + (mi — m0) dx + ... + (m„ — m0) dn.

Теорема 4. Пусть db ..., dn — система элементов группы 5?x. Если

Ж = РХЦ ... UF„

и dk \ F t — постоянная для всякой пары h, I, то функции db ..., dn линейно зависимы по mod»?,

Доказательство. Пусть (щД — ^ (/Д)- Искомые целые числа /п0, ..., т„, последние п из которых не все равны пулю, определяются системой п уравнений (i) для /—1п.

Теорема 5. Если функции dh ..., dtl^A® линейно независимы по modА, то il’ = FQ\3 ... IIЕп, где F^, .... Fn —открыто-замкнутые непустые множества, такие, что для каждой пары различных индексов I, г существует такой индекс к, что dlAFlydlAFr> = Q.

Доказательство. Докажем сначала следующую (теоретико-множественную) лемму.

Пусть Яо, • •., ^„ — система иг + 1 различных точек декартова произведения Л = Л(|) X ... X Л(,,). Тогда Л = Вои . .. U Вш, где

к£В( для Z = 0т,

для каждой пары различных индексов /, г существует число к, такое, что В® П В^ = 0, где Xw обозначает проекцию X на ось Л(,<).

Применим индукцию. При tn = 0 положим Во= Л. При п = 1 и m > 0 положим В, = Sz, если I < т, и Вт = Л — (B0U •. • U B„t_t\

Предположим, что лемма имеет место для индексов j<in (и для каждого nV Пусть п>1. Так как точки Яо, ..., уп различны, можно предположить, что существует такой индекс j<ni, что ХД = лД при Z</ и ЯД =/= $Д при />/.

Так как ]<т, то по предположению существует разбиение

Д’ X Л(2) X ... х/Г = в-л U В/,

и условия (1) и (ii) (где т заменено на /) выполняются. Из тех же предположений следует, что Л = Cv+I U . . . U С,„, где ^ £ С, для i> j, и условие (ii) выполняется (если В заменено па С).

Пусть Bt = Ct — Д' X Л(2) X . .. X Л*"’ для 1>у Множества Вг — искомые. Действительно, если /, г^/ или если /, r>j, то условие (ii) удовлетворяется в силу определения множеств Bt (i^f) nC't(i>j). Если / ^ / < г, то By^VA и В^-С^ --Д1.

Лемма доказана; пусть б (х) — такая точка группы А", что d(,il(x) = (Z/c(x), к=\, .... п (т. е. точка пространства^" с координатами dAx\ ..., diAx^Y Рассмотрим разбиение Л- = U б 1 (s) па открыто-замкнутые множества, где S пробегает ZT". Так как каждая из суженных функций dAb-1^ постоянна (= Д’), то по теореме 4 в А” существуют п + 1 различных элементов So, .. ., S,t, таких, что

б^' ^i) = 0, i = °, ..., п.■

Положим в лемме Д(1) = ... = Aw = o?, т — п и рассмотрим множества F( = б-1 (ВО, Z = 0, ..., п. Так как Д " — Во U ... U В^, то Ж = Fo U ... 1) F„.. Так как ^ £ Вь то б”1 (}0 с б-1 (ВО, откуда Ft =А= 0. Наконец, в силу равенства dk (F,) = <4|б-1 (Bi)] = В^ из условия В^ П ВЧ = 0 вытекает, что dk (F^ • dk (Fr) = 0.

Следующая теорема позволяет свести изучение группы ^х для компактных пространств .У к случаю, когда Ж нульмерно.

Теорема 6. Если Ж — компактное пространство и D — пространство разбиения Ж на компоненты, то S$=^d,

Доказательство. Пусть /: Ж -* D — непрерывное отображение, прообразы точек которого — компоненты пространства^ (ср. § 47, VI, теорема 1). Принимая во внимание VIII, 5 (6), покажем, что каждому d^^x соответствует функция g^S11*, такая, что d^ — §Цх\

Пусть пь .... пк — значения функции d. Положим F\ = d-' (nt), где 7=1, ..., к. Тогда множества Ft не пересекаются, открытозамкнуты и ^' = F|U ... I)/7,,.

Таким образом, каждая компонента С пространства Ж содержится только в одном множестве F^ Положим g^C^iii. Тогда gf(х) = сЦх) для х^С, а так как KF^ замкнуто, то из тождества Е^Чп^ = f (Fвытекает, что функция g непрерывна.

Теоремы аддитивности. Пусть /Z7 = До и Д,, и пусть До и Л1 ™ два замкнутых или два открытых множества. Положим

0О (Ло, .ЛО =^-1 (Л П ЛО U ^ | (Л() ПЛ?);

это означает (ср. IV, теорема 8), что d £ 0О(Ло, ДО, если существуют две функции с1/^^Л1, где / = 0, 1, такие, что d^ — = dn(x) — d^x) для каждого х ^ До 0 Лt *).

Следовательно, 0П(ЛП, ДО —подгруппа группы ^л“пл', и 5сб0(Д0, Л]). Положим

©о(Ло, Л1) = 0о(Ло, Atw и

d4AQ, ЛО = ранг Do(Л(), ЛО.

Теорема 1. Если До связно, то 0о(Ло, ЛО = с?л' |(Л0 П Л,). Действительно, так как До связно, то

^«|(ЛоПЛО=^|(ЛоПЛО = ^.

Следствие 2. Если Ло и Л, связны, то 0О(Ло, Л0 = <^, а потому А)(До, Л!) сводится к нейтральному элементу.

') Ср. Куратовскнй и Эйлепберг [1].

26 Зак. 190

Теорема 3. Пусть Р/СЛоПЛ, где j = 0, 1. Если множества Ло и Ах связны между точками ро и рх, тогда как Л0П Д — не связно между ними, то

во(Ао,.Ах)^А°ПА'.

Доказательство. По предположению существует открыто-замкнутое в ЛоГ|Л1 множество F, такое, что

Ро£Е и ру СЛоП Ах- F.

Пусть d £ e^4"^ определяется следующими условиями:

d(F) = 0 и </(Л0ПЛ1-Л=1.

Если dC6o(Лo, ЛО, то

d = do |(Ло П ЛО ~ di | (Ло П ЛО и di^9Ai.

Поэтому, в частности,

ДкРй> = дй^-д.Лр^ и d^px> = do^Pi^-dAPi\ и, следовательно (согласно (1) и (2)), do(po)-d1(po) = O и do^PiV d\kpx^=\.

Таким образом, либо d0 (р0) #= do (рх\ либо dx (р0) * dx <рх\

и поэтому либо Ло, либо Л! не связно между р0 и рх.

Определение 1. Пусть По(Ло, ЛО — подгруппа группы ^Лоил‘, состоящая из функций, постоянных на Ло и на ЛР Положим ф0(Ло, ЛО = По(Ло, ЛО/^, Ро(Ло, ЛО = ранг ф0(Л0, ЛО-

Легко доказать следующие утверждения:

Теорема 4. Если либо ЛоПЛ1=#О, либо Ло = О, либо Л1 = 0, то

П0(Л0, Л0 = ^, и поэтому ро(Ло, Л0 = О.

Теорема 5. Если Ло П Ах = 0 и Ао#=О#=Ах, то П0(Л0, ЛО ^^2. откуда (ср. VII (7))

Фо (Л, А^ = ^, и потому р0(Л0, Л0=1.

Определение 2. Пусть'Л0(Л0, ЛО —подгруппа декартова произведения а?А” X 9А\ состоящая из таких пар d0, dx, что

d01(Л0 П ЛО - d1 |(Л0 П ЛО = const.

Положим

Л1) = Л0(Л0, А^2,

/оМо, Л[) = ранг 80(Л0, Л[).

Теорема 6.

^А1Х^А1МАй, Л,)=£)о(Ло, Л,)=

^ ®оМо) X ®о(Л1)/8о(Ло, Л]).

Теорема 7.

^ил7по(Ло, Л,)=80(Л0| Л,)=9%(Лои Л,)/фо(Ло, Л,).

Доказательство. Для того чтобы установить первые изоморфизмы теорем 6 и 7, положим соответственно

^.^,-№КЛПЛ,))-(</, |(Л0П4,)), где d, 6 9*1,hd-(dlA«, dUd, где d £ 9MAl.

В первом случае первый изоморфизм теоремы 6 получается в силу теоремы 5 п. III (если заменить группу ^" на 9А* X 9А', группу 3/ на ©о (Ло, Л^, А на Л0(Л0, Л^ и Д на <^). Во втором случае Ж заменяется на ^Лсил', У — на Л0(Л0, Л^, Л —на П0(Л0, Л,) и В — на S2 и принимается во внимание тот факт, что если (d0, d^ 6 Л0(Л0, Л1), то при d0(x) — d{ (х) = с для хЕЛ0ПЛ1 функция d, определяемая условиями d(x) = d0(x)Ha Ло и d(x) = dx (х) + с на Ль удовлетворяет соотношению \hd — (d0, d,)] £ а?2 (откуда следует условие (Hi) теоремы 5 п. III).

Остальные утверждения теорем 6 и 7 вытекают из теоремы 7 п. III и из формулы (6) п. VII.

Теорема 8.

Ьо (Ло U Л,) + do (Ло, Л[) = Ьо (Ло) + 6i (Л[) + Ро (Ло, Л[).

Действительно, из теорем 6 и 7, согласно теореме 3 п. V и формуле (5) и. VII, вытекает, что

^о(Ло) + Ь0(Л1) = do(Лo, Л1) + /о(Ло, Л1),boMoU Л^ = /о(Ло, Л^ + роМо, Л^;

наше утверждение получается, если сложить эти равенства (для /0(Л0, Л^оо).

Из теоремы 8 в сочетании с теоремами 4 и 5 вытекают следующие утверждения:

Теорема 9. Если либо ЛоПЛ1#=О, либо Ло = О, либо Л[ = 0, то

Ьо(Ао U Л1) + do(Лo, Л^ = 6о(Ло) + боСЛ^.

Теорема 10. Если ЛоГ|Л| = О и Ло #= 0 #= Ль то

6о(Ло U Л1) = Ьо(Ао) + 6о(Л() + 1.

Действительно, в последнем случае

^о(Ло, Л,)=>0 и р0(Л0, /11)= I-

Эти формулы позволяют вычислить число компонент объединения двух замкнутых или двух открытых множеств.

Связность между множествами ). Положим 3(7, ^«H^^Z,

где F пробегает семейство всех множеств F = F^=.E.

Другими словами, функция / Е ^z принадлежит множеству 3(7, Я7\ если опа имеет продолжение ^Е^2иР для каждого F = F^ ЭС.

Теорема 1. Если ЭС неприводимо связно между открытозамкнутыми непересекающимися множествами Л и В и если функция j: Л\}В->^ принимает значение 0 на А и 1 на В, то №кЛ\}В, Э'\

Действительно, если F замкнуто и отлично от ЭС, то множество F U A U В не связно между А и В. Тогда по теореме 5 § 46, IV существует продолжение fP^a?FUAUB.

Теорема 2. Если ЭС связно между А = А и В = В и если f^(A\dB, СЕ) и )(Л)ГШВ) = 0, то пространство СЕ неприводимо связно между А и В.

Доказательство. Предположим, что F = F #= СЕ и М* Е ^идис. Так как f (Л) П f (В) - f (Л) П f (В) = 0, то множество /^и Лив не связно между А и В, согласно теореме 5 § 46, IV.

Теорема 3. Пусть СЕ = A0\J Ах, и пусть Ло и Ах — два замкнутых связных множества. Положим

З/^З^оПЛь Л,).

Для того чтобы существовала система множеств Ей, ..., Fn (ц^1), такая, что

Ло п Л, = Ло U... UB„, Fk = Fk, Ft^Fr-Q для l^r;

АД] = 0, ^неприводимо связно между Fku Нк = АйГ\ Ах — Ек для k — О, ..., п, необходимо и достаточно, чтобы

ранг [(30 П 3,)/^] > п.

Доказательство. Пусть сначала Ло, .... Л„ —система множеств, удовлетворяющая условиям (i) и (ii). Согласно тео

реме 1а § 46, IV, Fk =# 0. Пусть с?6 — функция, принадлежащая ^"ЛЛ', такая, что dk (Fk) = 1 и dfAH^ = 0. Согласно теореме 1, ^б^оП^!, а по теореме 2 п, IX функции db ..., d„ линейно независимы по mod 9. Отсюда следует неравенство (2).

Обратно, предположим, что имеет место неравенство (2); пусть dv, ..., dn — система элементов из ЕоП^ь линейно независимая по mod S.

По теореме 5 п. IX существует система Рй, ..., Рп непустых множеств, удовлетворяющая условию (i) и такая, что для каждой пары индексов I г существует индекс к, такой, что dk ^i) П dk (Fr) = 0. Так как dk^aj и Ft U Frc:A0 П Л, то

(<Ши№№, А,\

По теореме 2 (связное) множество Л( неприводимо связно между Ft и Рг для любых г ^ I (нужно только заменить Ж па Aj, А на Ft и В на Рт\ Следовательно, согласно теореме 4 из § 48, VIII, множество Aj неприводимо связно между множествами Ft и

F1U ... U^-iUfz+.U ... и F„ = //z.

§ 56 ’). Группы ^ и

I. Общие свойства. Пусть ^ — группа действительных чисел со сложением в качестве групповой операции. Пусть ^ — окружность |г| = 1 на комплексной плоскости, рассматриваемая как группа комплексных чисел с умножением в качестве групповой операции («группа вращений»). Положим

- е(/) = е2я“ для / Е ^-

Функция е\ е£-»<£Р представляет собой непрерывный гомоморфизм па, а группа У целых чисел является его ядром:

e(/ + /') = e(/) + e(z') и [е(/) = 1] = [/ Е ^1-

Если .^ — произвольное пространство и ф Е ^ (ср. § 55, VIII), то пусть еф — элемент группы с^г, определяемый соотношением

еф(х)~е[ф (х)]==ем<РМ

Операция е является гомоморфизмом ^ на подгруппу (обозначим ее Ч7(^)) группы &х. Таким образом, группа 'Г (^) состоит из тех элементов f Е ^^ которые имеют вид f = еф, где фЕ^г> т. е.

/ (х) = (?2л ^ w для х Е ^.

Ядром этого гомоморфизма является группа <9^.

*) Основные теоремы § 56 содержатся в диссертации Эйлепберга [7].

Легко установить следующие утверждения:

Теорема 1. Если f (х) = еф(х) = еф(х) и | ф(х) —ф(х) |< 1, ТО ф(х) = ф(х).

Теорема 2. Если Ж связно, ф, ф Е ^® и еф = еф, то функция ф — ф — постоянная.

Это можно выразить в более общем виде следующим образом:

Теорема 3. Если Ж связно между а и b и еф = еф, где Ф, ^Е^, то ф(а) — ф(а) = ф(6) — ф(6).

Действительно, положим </ = ф —ф; тогда (/ — непрерывная функция, d: Ж-*^, и множество таких х, что (/(х) = </(а), открыто-замкнуто, содержит а и, следовательно, содержит Ь.

Теорема 4. Пусть f Е Ч" (^") и Хо^Ж. Тогда функцию ф из формулы (4) можно выбрать так, чтобы она удовлетворяла («начальному») условию ф(х0) = с0, где 2л/с0— любое значение togf(xo).

Следовательно (ср. с теоремой 2), если Ж связно, то указанное условие однозначно определяет функцию ф.

Доказательство. По предположению f (х) = e”1* w, где ФЕ^- Пусть/г = ф (х0) — с0; тогда /г — целое число. Достаточно положить ф(х) = ф(х) — k.

Замечание. Пусть <5° обозначает плоскость с?2 без 0. Операция е: cf2-*^, определяемая условием (1) для / Е ^2> является непрерывным гомоморфизмом (аддитивной) группы ^2 на (мультипликативную) группу ^*. Аналогично, операция еф, определяемая формулой (3), является гомоморфизмом группы (с?2^ на подгруппу группы ^®, состоящую из элементов группы ^® вида (4). Следовательно, эта подгруппа состоит из тех функций, логарифм которых имеет единственную непрерывную ветвь. Функция 2л/ф(х) и есть эта ветвь логарифма.

Теоремы § 56 и 57 сформулированы для групп ^ и ^, однако легко видеть, что их можно применить и к группам ^2 и ^ *).

Группа Г(А). Пусть А а Ж. В соответствии с обозначениями § 55, III под «f ~ 1 mod ЧДА)» мы будем понимать, что f£vV(A). Более кратко символ f~l2), где /Е^14) будет озна-

чать, что / имеет вид

(1)Положим(2)(1)Положим(2)/ = е^ где ф 6 cf А

(1)

Положим

(2)

(1)

Положим

(2)

F(A) = E(f 6 ^)(fM~D-

Легко установить следующие утверждения (ср. § 55, VIII, теорема 2):

Теорема 1. Г(А) = Г1 Н'М)1-

Теорема 2. Г^ = Ч'(Я*).

Теорема 3. Г (А) — подгруппа группы S’*

Теорема 4. Из АсВ вытекает Г(В)сГ(Л).

Теорема 5. Если А = (р), то Г(Л) = с^г.

Теорема 6. Пусть R —луч с началом в 0. Если }Е(^2 — RV, то f~ 1.

Ясно, что logz можно определить таким образом, чтобы он был непрерывным на множестве ^2 — R.

Теорема 7. Для всякой непрерывной функции f: Ж -> S (f: Ж-^S^ существуют два открытых множества Ао и Ль таких, что f | As ~ 1 для J = 0, 1 и Ж = Ло U AP

Доказательство. Пусть Ro и R, — полуокружности соответственно с положительными и отрицательными абсциссами; тогда достаточно положить А/= f~* (S — R^ (или Aj = f-X ^S-R^.

Теорема 8. Если F = F, mo T (F) = Г (Ж) | F.

Другими словами, если f^S^ и f~l, то существует функция Г, такая, что fcf'^S^ и f~l.

Доказательство. По предположению (ср. (1))

/ = Ар и фЕ^, следовательно, ф с: Ф* ё^

по теореме Титце (§ 14, IV). Остается только положить f* ~ е^*.

Теорема 9. Г(Л) = UГ(Д), где G пробегает семейство открытых множеств, содержащих А.

Другими словами, для каждого /^Г(Д) существует открытое множество G, такое, что

А^О и ^Г(С).

Сначала рассмотрим случай, когда Л состоит из одной точки а, а именно установим следующее утверждение:

Теорема 10. Пусть f: Д’-> Ф^ — непрерывная функция. Для каждой точки а^Д’ существует открытое множество Ga, такое, что a^G(t и f\G(l~\.

Доказательство. Пусть // — плоскость ^2 с выброшенным лучом, начинающимся в 0 и не проходящим через а. Достаточно (ср. с теоремой 6) положить G = f~l(H).

Доказательство теоремы 9. Пусть

А^Д’, f^^”, f\A~e(f и ф£^Л.

В силу теоремы 10 для каждой точки а £ Л существуют открытое множество Gu и непрерывная функция ф„: Ga—><f, такие, что

n£G,u f(x)~e^^(x) для x^Ga

и (ср. с (5) и с теоремой 4 п. I)

фа(а) = ф(я).

Уменьшая, если необходимо, множество Ga, можно считать, что

1фй(х)-фй(а)|<1/3, если x£Ga,

| ф(х) —ф(а) |< 1/3, если х^Л и | х — а |<2d(Ga).

Покажем, что

из x^Gaf\Gb, а^А и Ь^А вытекает фа(х) = фй(х).

Согласно (7) и (8), имеем

| Ф„(х)- ф(п) |< 1/3 и | ф„(х)- ф(/Л |< 1/3;

считая (по симметрии), что d (G6) ^ d (Ga), мы (с помощью (9)) получаем, что | ф (й) — ф(я) | < 1/3. Из этого неравенства в сочетании с неравенствами (11) вытекает, что | ф„(х) — ф6(х) I < 1, следовательно, ф(Дх) = ф6(х) в силу (6) и теоремы 1 и. I.

Пусть G — объединение всех множеств Gu для а£Л. В соответствии с (10) пусть ф —функция, тождественно равная ф(1(х) для x£G„; тогда ф: G-></’ —непрерывная функция и, согласно (6), / = еф. Следовательно, /|G~1.

Группа ДД.2Д.

Определение. Пусть ®i (гУ) обозначает факторгруппу с^^ДГ (^"), а Ь, (^’) — ее ранг’). Условимся считать, что Ь1(0) = 0.

Т е о рема 1. Группа ^Х(ДР) не содержит элементов конечного порядка (не имеет «кручения»\

Другими словами, если ^‘^l и п9=0, то /~1.

Доказательство. Пусть

fn (х) = е2л,||) м, фй (х) = -^ [ф (х) + /г], где О^/г^и— 1, и

Рк = ЕШ = е2л^Ч

Покажем, что ДР = F0J ... J Fn_v

Пусть х^-^. Нам нужно определить такое число /г, что x£Fk. Пусть

t^^ выбрано так, что f (х) = е2лг<,q^9 выбрано так, что — q ^-^- (nt — ф(х)] < — q + 1.

Поскольку eml,< w = ^п (х^ = е111™1, то \nt — Ф (х)] £ 9. Поэтому целое число k =\nt — ф(х)+ qn\ удовлетворяет условиям О^/г^п—1 и фй(х) = / + q, следовательно, f (х) = е2Л11|),г<,с), откуда x^Fk.

Так как множества FoРп_г замкнуты и не пересекаются, то функция ф, определяемая условиями ф(х) = ф6(х) для х^Рк, непрерывна и / = е^.

Теорема 2. Условия bl(9P) = 0, ^^ = XV(9Р) и $!(Д:’) = (0) эквивалентны (для ФГ=#О).

Это прямое следствие § 55, III (1).

Теорема 3. 23i(<^) = 0, следовательно, Ь1(9) — 0.

Другими словами, если /: 9 - & — непрерывная функция, то

Доказательство. Следуя теореме 10 п. II, каждой точке а из 9 поставим в соответствие открытое множество Ga, такое, что a EG,, и f|Ga~l. Очевидно, семейство {GJ можно

заменить конечным семейством. Иными словами, существует конечная система а0< ах < а2< . .. < ап, где ао = О иап=1, такая, что для /г— I, .. ., п мы имеем f | ak_xah~ 1, следовательно, f(x) = eWtVkW при ак_х<.х<.ак (где ф* непрерывна). Кроме того, по теореме 4 п. I можно считать, что

Ф*+1(аЛ) = Ф*(аА) Для *=1,2п-1.

Таким образом, функции фь ..., ф„ определяют непрерывную функцию ф: З-*^, такую, что ф| ак_хак = ф^. Следовательно,

^(x) = eml,$w для х^З, откуда f~l.

Теорема 4. В1(с^) = 9, следовательно, *i(c^)=l.

Более точно, тождественное отображение образует базис по mod ЧДс^).

Другими словами,

хф 1 на д’,

для всякой непрерывной функции f: S’ -+£7 существуют целое число п (именно, приращение ее логарифма) и непрерывная функция ф: & —>7, такие, что

Нх) = хпе^№.

Доказательство. Докажем (1); пусть Л — окружность ^ с выброшенной точкой (1, 0), и пусть 0<а(х)<2л — аргумент х. Следовательно, а: А -><f — непрерывная функция и % = eZaW для х^А; более того, функцию а нельзя продолжить в точку (1, 0) непрерывным образом.

Предположим, что (i) неверно, т. е. что х~1 на с^. Тогда ^ — ^ии, где р: </> ^^ _ непрерывная функция. Но тогда по теореме 2 п. I отсюда следовало бы (так как А связно), что

а(х) = р(х) + 2*л для х£А,

и функция р(х) + 2*л была бы непрерывным продолжением а(х) на всю окружность S'.

Теперь рассмотрим утверждение (ii). Так как $(etoit) определена для каждого 1^.3, то по теореме 3

^(eWt^ — gtoi^w^ где ф;непрерывно.

Следовательно, разность ф(1) — ф(0) — целое число; пусть

п = ф(1) — ф(0).

Поставим в соответствие каждой Точке x^S точку

y=*^(t)-nt

при условии, что 2л/ —аргумент точки х. Хотя точке (1,0) соответствуют два значения /, а именно 0 и 1, значение у с помощью (3) и (4) определяется однозначно. Полагая // = ф(х), легко вывести, что ф: с$р-><Т — непрерывная функция; предположим, что х = е2лк; тогда из условия (2) вытекает, что

/(х) = е2Л/ф(0 и хП = е2ПЛ«

следовательно,

Цх^ _, xnetol [ф Щ-гЩ — хпе2ЛИ? (х).

Теоремы сложения1). Пусть Ло и Л,—два замкнутых или два открытых множества, таких, что -Я^ЛоКЛ. Положим

е,(л0, л,) = ^»клоп лли^'КЛоП л,).

Теорема 1. Каждой непрерывной функции ф: Л0Г|Л1->^ соответствуют две непрерывные функции ф/: Aj-*^, где j = 0, 1, такие, что Ф1 (х) — ф0 (х) = ф(х) для х^ЛоПЛр

Это означает, что

л, = ^-| (Л0П л,) и ^Л‘ I (Ло П л,').

Доказательство. Пусть (см. § 14, III) Ло и Л*1 — два замкнутых^!ножествщ таких, что ^ = Ло U Л* и Л/сЛ/ (и Л/ = Аь если Ло = Ло и Аг = Л,), пусть ф* — продолжение ф | (Ло П Л1) на SC

и, наконец, пусть если х £ Ло, если хС^оОЛг, х ^ Л*, х £ Л1 П Ло.и, наконец, пусть если х £ Ло, если хС^оОЛг, х ^ Л*, х £ Л1 П Ло.(ср. с теоремой Титце, § 14, IV), ( О, Фо(^) = ] .. ., х

и, наконец, пусть если х £ Ло, если хС^оОЛг, х ^ Л*, х £ Л1 П Ло.

и, наконец, пусть если х £ Ло, если хС^оОЛг, х ^ Л*, х £ Л1 П Ло.

I ф (х)-ф(х),

I ф* (х), если

Ф1М = 1 , .

( ф(х), если

Заметим, что фо = О и Ф1 = Ф*|Л1 для замкнутых Л,.

Теорема 2. Для каждой функции fQF(Ло Л Л[) существуют две функции fi^r^A^, где j = 0, 1, такие, что Мо = ф

Это означает, что

ГМоЛЛ^^иГШ.

■) По поводу п. IV и V см. Куратовский и Эйленберг [1],

Доказательство. Пусть ЩЛ0 Q Л 0 = <?,р, где ср: Ло П Xi -> —> Д — непрерывная функция. Используя обозначения теоремы 1, положим

, . .1, если х^Ло,

ToW = \.

е(р. (х):/(х), если х£Л\;

, . .f(x), если х^Ло,

/ I VV —**

еф. (х), если х^Лн

Тогда fj (х) = еф (х) для х^ А;, откуда следует требуемое заключение."

Теорема 3. Для всякой пары непрерывных функций fp А;->ТА, где j — Q, 1, связанных соотношением Д 1(Л0 П Л0~ ~М(Л)ПИ|), существует непрерывная функция f: До U Av-> S’, такая, что f\At~fs для j = 0, 1.

Доказательство. По предположению (для х^ЛоПЛО

Д(х): Д(х) = <?ф(х), где ср: (До П л$) —> сГ,

а по теореме 1

• ф(х) = <р1(х)-фо(х), где ф/: Aj-*#.

Принимая во внимание тождество

[fo(x-) - е<р„(х)]: [Д(х) • е(р, (х)] = (?<р(х) • ефо(х): eip, (х) = 1, выполняющееся в Л0ПЛ1, определим функцию f, полагая

f\Aj = fr е<Р/ для / = О, 1.

Теорема 4. ЧГ(ЛО 0 Л) сбДИо, Л]). Это означает, что каждая непрерывная функция f: (Ло Й ЛО-> г/1, такая, что f~l, имеет вид f(x) = ft (х)'. f0(x), где fp Aj—x£T, j = 0, 1, —непрерывные функции.

Доказательство. По предположению и по теореме 1 имеем f~e,(, функция ф: (Ло П ЛО ->^ непрерывна, ф(х) = Ф1(х) — — фо(х) и (рр Aj-*<3 непрерывны. Достаточно положить/у = e(f/t

Теорема 5. Пусть фр Aj—*^, j — Q, \, — непрерывные функции, такие, что (ф, — ф0): (/loHHi)-*^- Тогда существует непрерывная функция f : (Ло U ЛО -> of, такая, что f\Aj-—e4lj.

Болес того, если ф': Лр—^ непрерывны, ф( — фц = фр — фд, Д: AoUAi-x^ и V\Aj = e^ то V~t-

Доказательство. Из условия (ф| —Фо): ДоЛД!-*^ вытекает, что еф|_фо=1, поэтому f: (Дои Д))->&, где f(x) = = е2л2Фу(х) для х^д. и у = о, 1, — непрерывная функция.

Для того чтобы установить отношение V~L положим фу = Фу — фу. Так как (ф1 — ф0) 1(ДоЛ А) = 0, то существует непрерывная функция ф: Ж->^, такая, что ф/ = ф|Ду- Отсюда

е, : е = е /Фу 'Ру «Ру-Фуе, : е = е /Фу 'Ру «Ру-Фучто )'~f.что )'~f.= 6^, следовательно, f':f = e^, так

е, : е = е /

Фу 'Ру «Ру-Фу

е, : е = е /

Фу 'Ру «Ру-Фу

что )'~f.

что )'~f.

Теорема 6. В соответствии с теоремой 1 каждой непрерывной функции d: (Д0ЛД1) —*$ сопоставим две непрерывные функции ^dj\j = Q, 1, такие, что

Фа,р Aj-*^ и ф^, 1(х)-фй,0(х) = ^(х) для х€4ЛЛь

Пусть hd — непрерывная функция, такая, что (ср. с теоремой 5)

hd. (ДоиД,Н^ и hd\Aj = e<w j^O, 1.

Тогда

0) ©о(До, Д1) = h~' [V(До U Д,)1

(т. е. hd~\ тогда и только тогда, когда

dx = dx(x^ — dQ(x^ для х£Д0ЛД1

и dp А}->^ непрерывны^,

hd*d'~hd • hd',

для каждой ^6Г(До)П Г (ДО существует такая d, что 1~hd.

Доказательство. Пусть hd~L Тогда hd = e^ и отображение ф: До U Д1 —*** S” непрерывно. Функции d} = qjdi у — ф, / = 0, 1, удовлетворяют условию (3), так как

СХ Г^Х /: еФ = 11

Обратно, предположим, что условия (3) удовлетворяются и что (в соответствии с теоремой 5) отображение

hV (До U Д1)-*>9* непрерывно и h'd | А} = еа .

Так как edj = 1 и hd-^h'd (по теореме 5), то hd~\. Следовательно, соотношение (i) установлено.

Пусть <p'w+dp j^^dj +4>d'j- Согласно (1),

' ' T(d'+r), I — Фу+4'), о ™ ^ + ^' G Ф^+йэ, l ~ Vid+d'). O’

Таким образом, согласно теореме 5, существует непрерывная функция hd+d< Ло U/11-»с^, такая, что

W^d+d' I А< ” ^'(d+d'1), I,

hd+d' ~ hd+d'-

Так как

i=Ч. /' ч.1

то из формулы (4) вытекает, что hd+d’ = hd • has и, таким образом, согласно (5), получаем (ii).

Пусть f^F (Л/). Предположим, что fM;™^, фу: Л,—Ж непрерывны и d = ф] — фо- Отсюда следует, что d; (Ло П ЛО ->=5 — непрерывная функция. Следовательно, из условий (1) и (2) по теореме 5 вытекает, что f~hd.

V. Соотношения между факторгруппами. Пусть Ло и Л] — два замкнутых или два открытых множества, таких, что .^ = = ЛоиЛ1 (как в п. IV). Рассмотрим следующие группы (соответствующие группам, изученным в § 55, X):

П1 (Ло, ЛО = Е (f 6 ^^(ЛЛу- 1, / = 0, 1) = Г(Ло) п Г(Л1);

Л,(Ло, Л0= E(fy6^, / = 0, ОаоМоПЛ^МЛоПЛ,); fo. Ь

^(Ло,ла=е, (Ло,ла/^лопла;

^(Ло,ла^п^Ло,ла/^Моила;

(5)'$ало,Л,) = Л,(Ло,ЛаДЧЛЛоЖ^Иа].

Имеют место следующие три теоремы об изоморфизмах ):

Теорема 1.

^х^а-/лм. ла=®ал0, ла^^иах^маАМо, ла.grgr

Теорема 2.

^-^■/пало, ла=мл0, ла=«ало и ла/^(Ло, ла.grgr

Теорема 3.

^-лл,/е0(д0, да = ^(Ло, ла = азо(ЛоПла/®о(Ло, ла-grgr

Доказательство. Доказательства теорем 1 и 2 совершенно аналогичны доказательствам теорем 6 и 7 из § 55, X. Положим соответственно

Af„ А = (/о1 ЛоП ла : (Л МоП л$), где Ь^- hs = Q\Am ПЛО, где f^»^,

и сошлемся на теоремы 5 и 7 из § 55, III и формулу (6) § 55, VII.

Теорема 3 следует непосредственно из теоремы 6 п. IV и теоремы 5 § 55, III, где Ж заменяется на S^^1, У — на ИДЛо, ЛД Л —на ©ДЛ0, Л,) и В — на Чг(ДоиЛ,).

Пусть dx (Ло, Л1) и рДЛ0, Л^ — соответственно ранги групп ©ДЛ(), Л]) и ^ДЛ0, Л,). Они связаны между собой следующим образом:

Теорема 4.

рДЛ0, Л^МЛоСМ,).

Теорема 5.

Ьх (Ло U Л,) + dv (Ло, Л.) = bi (Ло) + Ь{ (Л]) + р\(Ло, ЛД *)

Теорема 6.

рДЛо, Д1) + ^о(Ло, Л^МЛоПЛД

Доказательство. Теорема 4 вытекает из включения ФДЛО, Л1) cz У, (Ло U Л,); теорема 5 следует из теорем 1 и 2 (ср. с импликацией 6, 7 =ф 8 из § 55, X); теорема 6 представляет собой следствие теоремы 3 из § 55, V.

Теорема 7. Если Ло^Л^О, то

Ьо(Ло) + boMi) + Pi (Ло, Л]) = 6о( Ло U Л]) + 6о(Ло П Л]),

6ДЛоиЛ|)+6о(Ло) + 6о(Л1) + ^ДЛо, ЛО»

= &о(Ло U Л]) + Ь\ (Ло) + bi (Л]) + 6о(Ло П Л1).

Доказательство. Соотношение (7.1) вытекает из теоремы 6 и теоремы 9 § 55, X; соотношение (7.2) получается в результате применения теоремы 5 к соотношению (7.1).

В случае, когда рассматриваемые ранги конечны, положим

(*)indU)»^^)-»!^)).

Тогда из (7.2) следует, что

если ЛоЛЛ^О, то ind(/l0U ЛЛ + тб(Л0Л /1,)==

= ind (Ло) + ind (ЛО - bv (Ло Л ЛО + d, (Ло, ЛО-

Теорема 8. Если ЛоЛИ1 = О, то 33](Лои Л0= ®1(Л0) X

ХУ,(Л0, следовательно, />, (Ло U Л,) = ^ (Ло) +/^ (Л,).

Доказательство. Если каждой функции / С <Ул»иА, мы поставим в соответствие пару (f| Ло, fl ЛО, то получим изоморфизм между ^^«ил. и ё^А-ХеУ^. Этот изоморфизм отображает Лг(ЛоиЛО на ХГ(ЛО) X ХТ(ЛО. Следовательно (ср. § 55, III, теорема 5, и VII (6)),

^«^•/^(ЛоЛ Л^-^-Х ^Л']/[ХТ(ЛО) X ХЕ(ЛО] =

КГкг

= [^Л7'1Г(ЛО)]Х[^./ХК(ЛО]. кг

зность. В соответствии с прежними обозначениями, пусть Ло и Л, —два замкнутых или два открытых множества, таких, что

^ЛоКЛр

Теорема 1. Если Ло связно, то

Wo, ЛО-^^'/^'КАтЛ,)). кг

Теорема 2. Если множества Ло и Л] связны, то

ф'ДЛо, Л0 = ^о(ЛоПЛ0, следовательно,

Р\кАй, л^МЛПЛОСМЛоиЛ).

Теорема 3. Если Ло П Д связно, то Г(Л0) Л Г(ЛО = Г(Ло U ЛО, т. е. из соотношений ^Л/^!, / = О, 1, вытекает, что /~1.

Теорема 4. Если множества Ло и Л, связны, тогда как Ло Л ^i не связно, то Г(Л0) Л Т(ЛО=#Г(ЛоU ЛО-

Более общо, если множество Ло Л Л, не связно между точками р0 и р\, тогда как Ло и Л, связны между этими точками, то Г(Ло)ПГ(ЛО=#Г(ЛоиЛО.

Доказательство. Теорема 1 вытекает из теоремы 1 § 55, X и теоремы 3 п. V. Теорема 2 вытекает из теорем 2 § 55, X и 3, 4 п. V. Для того чтобы доказать теорему 3, заметим, что ^л«ла, = $ — 0О(ЛО, ЛО, если ЛоПЛ] связно; поэтому, согласно первому изоморфизму теоремы 3 п. V, фДЛо, Л]) = (0), откуда вытекает, что Г(Л0) Л Г (ЛО = Т(Л0 U ЛО- Из того же изоморфизма в силу теоремы 3 § 55, X следует теорема 4.

Замечания. 1. Изоморфизмы (1) и (2) определяются преобразованием А, рассмотренным в теореме 6 п. IV.

Первую часть теоремы 3 можно доказать более прямым способом.

Пусть f | Л/ = <?<р , где фф Aj-Vt? непрерывны. Па множестве Ло ПЛ] имеет место тождество е(Го = е,Р1. Следовательно, по теореме 2 п. I существует число к £ $, такое, что (ф0 — Ф,) I(ЛоП Л,) = = к. Так как функции ф0 и ф] + А совпадают на ЛоЛЛ,, то существует непрерывная функция ф: Л"-*#, такая, что ф|Л0 = = Фо и ф|Л1 = ф| + А. Так как /г^4Т, то

<?<Р|+б = <?,Р1 ■ ек = <?(р„ следовательно, / = <?,,„ откуда f ~ 1.

В случае когда Л/ = Л/, теорему 4 можно доказать более прямо, полагая

Л0Л Л^/фиД, Pj = Ph РоЛД=О, Ро=#О^Д,

z \р(х,РА,, ,_(если x^Aq,

Ф W - р (х, РА + р (х, PJ и ' w -если х £

Отсюда следует, что f * 1.

Теорема 5. Если Со, С( и С2 — три связных множества, таких, что Со П С] П С2#=0 и .1' = Со U С{ U С2, то

Г (Со и С,) П Г (С, и С2) П Г (С2 и Со) = Г (Со и С! и с2),

т. е. из соотношения fl С/, U Cft + ,~ I, где к = 0, I, 2 {индексы приведены по tnod3), вытекает, что j~\.

Доказательство. Пусть х0 £ Со П С, П С2. Положим f КС/, UCt+l) = e<Pfc_], где ф*_(: Ck U C* + i ->Д - непрерывные функции. Можно считать, что Фо(хо) = Ф1 (х0) = ф2 (х0). Отсюда в силу теоремы 2 п. I (если заменить .Т на CJ вытекает, что Фа- 1 (я) — фл+1 (х) = 0 для х£Ск. Следовательно, функции ф0, ф, и ф2 согласованы и потому определяют непрерывную функцию ф: .“Г-*^, такую, что ф |Ск U Сд+1 = ф»-н Из этого следует, что f = e(v, откуда 1..

Теорема 6. Если Со, С, и С2 — три связных множества, таких, что Д'= Со U С, U С2, то

ранг [Г (Со U С,) П Г(С, U СА П 1' (С2 U Со)/Г (Со U С, U С2)] < I.

Другими словами, если f, g: Л'^^ — две непрерывные функции, такие, что

f |С6иС,+1~1 и g\C,^CkvX~\ (А-0, 1, 2), то существуют два целых числа гп и п, не обращающихся в нуль одновременно и таких, что Гп'ё'!~^-

27 Зак 1и0

Доказательство. По предположению

f \Ск UCfc+i =<?^_; и д |С-, иСн1 = ^_,

Так как множество Ск связно, существуют два целых числа ак и Ьк, таких, что

tpfe+1(х) — фА_$(лг) = <zA и ^ + 1(х)-^_,(л-) = Ьк для х^Ск.

Пусть

а — а^ Н~ Ц] + сы и b — Ь^ + Ьх + Ьг, определим целые числа т и / так, чтобы

та + jb = О и | /« | + | /1 =# 0.

Пусть

Хо(-г) =/?гф0(х) Н-/-ф0(х),xEC|UC2,

Xi (х) = т [ф, (х) + а2] + / [Ф1 to + &2],х Е С, U Со,

Х2(х) = т[ф2(х) + ц2 + «о] + /[ф2(-«) + ^2+&и], хЕСои С|.

С помощью (4) и (5) легко показать, что х-г-1(^)-Х1+1(^) = 0 для ^ЕС/с.

Следовательно, существует непрерывная функция %: Д’->гД такая, что

х | C& U Cft+I = х-2-1-

Поэтому fn • ^~ 1; на самом деле

Г • в' - е..

Действительно, пусть х 6 С6 U С6+1. На основании (6) и (7) имеем

Г to 1 Й1 to = с"1 (""'^-i ^'Ч-х w>] = e^u-i <xl =

Замечание. Теоремы 5 и 6 допускают следующее обобщение ').

Пусть Я’ = Ио U • • • U Tln-i- Положим Ск = Ак и U • • ■ U /1/г+п-2 (индексы приведены по mod га).

Если множества Со, ..., Сп_х связны, то имеют место следующие утверждения:

Теорема 5'. Пусть {: .i' —> <У — непрерывная функция. Если Со л ... ЛС„_1=#0 и если 1~\ в Л„ + 1и U Д/< । „-1 для к = 0, 1, . . ., и — 1, то f ~ 1 в Я".

Теорема 6'. Пусть f, g: Л’S — непрерывные функции- Если /~1 и #~1 в Д6ни U ^4fe+n-i» то существуют два целых числа m и j, не обращающихся одновременно в нуль и таких, что fm ■ gj ~ 1 в .V.

Теорема 7. Если С связно, то

ПГ(сих) = Г(С),

т. е. (полагая С = :Ь’( если р. Я" --» S — непрерывная функция, 11С ~ 1 и )' Д' 1, то существует такая точка р, что (f | С U р) S В более точно, если j |С = е((„ то колебание функции ср не обращается в нуль в точке р *).

Доказательство. Во-первых, существует точка р, в которой колебание функции ф нс обращается в нуль. В самом деле, в противном случае существовало бы (непрерывное) продолжение ф: .7'—>Д функции ф (ср. § 35, I, теорема 1); но тогда / = <?.ф, так как из соотношении lim хп = х и хДС вытекает, что lim ф(х„) = ф(х), так что

/(х) = lim j(x,i)= lim e^xj = e^, (x), следовательно, f~l. fl -> oofl-^ <X)

С другой стороны, предположим, что (f | С U р) ~ 1, так что f \С U р = сх, где %: С U р -* <f — непрерывная функция. Из этого соотношения в сочетании с соотношением /|С = е(р вытекает в силу связности С, что х1С = ф + ^, где k^^. Следовательно, функция % —/г представляет собой непрерывное продолжение ф на С U р, а поэтому колебание функции ф обращается в нуль в точке р, что противоречит предположению.

Теорема 8. Пусть Со, С,, ...—последовательность связных множеств, такая, что

.T^CoU^U ... и Cn с Int(C„+1).

Если [: Д' —> S’ — непрерывная функция и ДС„-~1 для каждого и, то f ~ 1.

Доказательство. Можно считать, что Со S= 0. Пусть а0^С0. Пусть ПС^е , функции ф;[: Cn—>cf непрерывны и фДа) = Фо(а). Так как Сп связно, то из соотношения фп + ,(а) = ц;п(а) вытекает, что ф„ = ф„+1| Ск. Поэтому функции ф„ согласованы

и определяют непрерывную функцию ср: Ж-><?, такую, что ф!С,1 = ф„. Отсюда следует, что $ = еч„ так что f^l.

VII. Отношение / ^ 1. Говорят, что непрерывная функция f: .^ —> (5° неприводимо ^ 1 7f ^ 1 \ если j * 1, тогда как f | F ~ I не пр. / для каждого собственного замкнутого подмножества F пространства Ж.

Положим

П(^) = ГИ(^), где Р = Р^Ж;

F

таким образом, соотношения f * 1 и / £ Q (.i") — Г^') эквива- нсир, лентны.

Теорема 1. Если {* 1, то Ж — связное дискогерентное непр.

пространство.

Доказательство. Если Ж не дискогерептно, то существует замкнутое связное множество С (которое может быть и пустым), разделяющее Ж (ср. § 46, X, теорема 1):

Ж = Ло U Ль Л0ПЛ] = С, Л; = Л/^Х где / = 0, 1. Но тогда ^|ЛУ~1, откуда по теореме 3 п. VI имеем f~l.

Теорема 2. Если f * 1 и Ж локально связно, то Ж — простая замкнутая кривая.

Это следует из теоремы 1 в сочетании с теоремой 6 § 49, IV.

Из теоремы 1, согласно теоремам 2 § 46, X и 2 § 48, V, вытекает следующее утверждение:

Теорема 3. Если f * 1 и Ж разложимо, то существуют пеир.

два связных множества Ло и Л], таких, что Ж = Л0ЦА1 и

Ло = А — Л, =/= Ж и Л, = Ж — Ло =# Ж.

В частности (ср. § 48, VII, теорема 7), если Ж неприводимо между двумя точками, то множества Ло и Л] неразложимы.

Теорема 4. Если Ло и Л,—Леи замкнутых связных множества, таких, что Ж = ЛоU Л], то (ср. § 55, XI (1))

(30 Л 3,)/G - [ Д Г(Лои/<1)ЛГ(Л1и/<о)]/Г(Х)с

сй(Х)/Г(Х),

где Kj пробегает семейство собственных замкнутых подмножеств множества Д(.

Болес того, если условия (3) удовлетворяются, то включение можно заменить равенством.

Доказательство. Пусть К = К с /1,. Используя обозначения теоремы 6 п. VI, положим

kd = Vid IЛ и К\

Так как

Л()и(ЛоП Л, U^)= ЛnU^, Л0П(4,П Л1и/<) = Л„П Л„ то из теоремы 6 (i) п. IV (если заменить Ж на Ло U К) следует, что

<%(Д„ ^rM.UKW'l'l'MoU/O].

Но так как Лп связно, то из теоремы 1 § 55, X вытекает, что

*%(Л0, 4>П ЛфМ) = >’-'Пли/<|л()Л Л,.

С другой стороны, согласно (5),

V<d ~ 1) = (hd I Ло U К ~ 1), откуда следует,что \kd 6 W (Ло U К^ = Vid 6 Г (Ло U /<)],и поэтому

^~* [^(^oU К)] = л-' [r(4)im

Таким образом, в силу соотношений (6) —(8) имеем

^л-пЛ1и,<|лоп л^/г'^длои/О].

Беря пересечение всех этих групп по всем К =4 Л^ получаем 3, = П(^«^'ик|ЛоП/1;) = А-1 |ПГ(лоиЮ|, следовательно,

2оП21 = Л-!| П Г(Лои/<1)ПГ(Л1и/<о)! , I к,, к,I

где К / с Л /К/ ■-

Изоморфизм (4) вытекает из теоремы 5 § 55, III и из равенств (ср. IV, 6 (i) и § 55, X, теорема 2)

^-<Э0(Л0,

Доказательство включения (4) сводится к доказательству включения

П 1'(Ло11/<1)П Г(Л1 U/<о) с П Г^/7), где F = Fy?F. К». Ki1'

Но из неравенства F ^ - Г вытекает, что либо ЕП Ло N= Ло, либо F А Л! ^ Л(. Положим К} = F П А\ =А Ль Так как F с Ло U Кх, то (ср. II, теорема 4)Г(Лои Кх^ 1'(Е), откуда следует включение (9).

Наконец, предположим, что имеют место соотношения (3) и что Кх^=Ах. Отсюда следует, что Ло Ц Кх У= Я", ибо в противном случае ;Г — Лос. Кх, так что А, = .У — Лос Кх и К, —Л]. Пусть j^Ll^Fy Положим F = A0Llki. Тогда /€l’(A0UKi). Отсюдг! следует, что

Щ.^с П Г^оиЛ'.Ж^иКо),к«, ю

откуда, согласно (9), вытекает требуемое равенство.

Теорема 5. Ilt/сть И’— разложимое пространство. Непрерывная функция f: ГК—> У, такая, что f Ф I, существует тогда и только тогда, когда существуют разбиение пространства У на два замкнутых связных множества Ло и ^1 « разбиение ЛоПЛ, на два замкнутых множества Fo и Ft, между которыми Aj (j = 0, I) неприводимо связны.

Более точно, для п^ \ соотношение

ранг [Q ^]Г (.Г)] > п

эквивалентно существованию разбиения У = Ло Ц Л], где Ло и Ах —замкнутые связные множества (которые можно выбрать так, чтобы они удовлетворяли соотношению (3)), и разбиения Л(| П Л] на п + I непересекающихся замкнутых множеств F», ..., Ро> таких, что А, неприводимо связны между Fk и Н k = Л0П Л, — Fk для j = О, 1 и к = 0, 1, . .., п.

Доказательство. Если f ^ 1, то по теореме 3 суще- нспр.

ствуют два связных множества Ло и Л,, удовлетворяющих условию (3), а согласно теореме 4,

П^гуГС^А^^оПЕ,)/^.

Из соотношений (10), (11) и условия (2) § 55, XI вытекает, что существует система множеств Fq, ..., Fn, удовлетворяющая требуемым условиям.

Обратно, если существует система множеств Fo, . .., F^, удовлетворяющая указанным выше условиям, то из соотноше-

пня (2) § 55, XI в сочетании с формулами (4) вытекает соотношение (10).

Теорема 6. Если Я" разложимо и ранг группы 1МТ')/Г(.У) больше или равен 2, то Я’ является объединением двух замкнутых неразложимых множеств.

Более того, если Я' компактно, то Я' — континуум, неприводимый между двумя точками ').

Доказательство. Положим п = 2 в теореме 5 и выберем точку рк из Fk (k = 0, 1, 2). Тогда /1/ неприводимо между р0 и рь между pt и р2 и между ptt и р». Следовательно, /1,- неразложимо.

Вторая часть теоремы 6 вытекает непосредственно из теоремы 4 § 48, IX.

Замечание. Теория неприводимых пространств естественным образом приводит к линейному расслоению (не «мопо- слойпых») неприводимых между двумя точками пространств на замкнутые «слои» (§ 48, IV). Из этого линейного расслоения в свою очередь по теореме 5 получается циклическое расслоение всякого (не «мопослойпого») пространства, допускающего преобразование/ Ф I). В случае когда пространство--континуум, лепр

его слои континуумы (ср. § 48, IV, теорема 2); в частном случае, когда пространство является простой замкнутой кривой, слои сводятся к отдельным точкам.

Компактные множества. Пусть Я" — компактное пространство.

Теорема I. Пусть f: Я'—> ФЕ — непрерывная функция. Семейство замкнутых множеств F, таких, что )' I /; ~ 1, открыто (в пространстве 2Г).

Доказательство. По теореме 5 и. II

ЕШ^-О-иЕН-’с о),Га

где G —открытое множество, такое, что / | G ~ I.

Так как семейство E(F^ G) открыто (по теореме I § 17, II), то открыто и его объединение.

Следующая теорема вытекает непосредственно из теоремы 1.

Ч Ср. с аналогичной теоремой Александрова [3, стр. 331].

Теорема 2. Если множества Ft:D F^o ... замкнуты, то

т. е. если (f | Fn) Ф 1 для п = 1, 2, ..., то (71 П FA * 1.

Теорема 3. Если fo^l, то Я" содержит континуум С, такой, что /|С 1.

Доказательство. Из теоремы 1 и теоремы 2 § 42, IV следует существование замкнутого множества С, такого, что f| С ^ 1. Согласно теореме 1 п. VII, множество С — континуум.

Следующее утверждение является прямым следствием предыдущего.

Теорема 4. Если f\Q~V для каждой компоненты Q пространства Я", то f ~ I.

Замечание. Из теоремы 3 следует, что если Д’ —дуга, то f~l для каждой непрерывной функции f: Ж—> S1 (ср. III, теорема 3). Действительно, иначе Я" содержало бы дискогерепт- ный континуум (согласно теореме 3 и теореме 1 и. VII).

Декартовы произведения. Связь с гомотопией.

Лемма 1. Пусть Д’ — связное пространство, У — произвольное пространство, р. :Е X У -> <9* — непрерывная функция, f~l и, наконец, гр: Я" ХУ ->c^. Если гр непрерывна по х при каждом у и непрерывна по у в некоторой точке а^Я' и если e^ = f, то гр непрерывна {в Я" X У\

Доказательство. Пусть f = е^, где ср: Я’ХУ-><=* — непрерывная функция. Так как разность гр (х, у) — ср (х, у) постоянна при фиксированном у (по теореме 2 п. I), положим гр(х, У) ~ ф(х, V^klyY В частности,

Ф(«, У)~ ф(«> У^к^уХ следовательно,

Ф^, у) = ф(х, //) + гр(щ //) —ср(а, у\

откуда вытекает требуемое заключение.

Лемма 2. Пусть Я" — континуум, У — произвольное пространство, a^.V и f: Д’ X У -> ФЕ — непрерывная функция. Если (f| а X У^~ 1 и (J \ Ж X У>~ 1 для каждого у£ У, то f ~ 1.

Доказательство. По предположению существуют непрерывная функция %: У -><f и для каждого у непрерывная функция фу: .У-У, такие, что

Ла, У^ = ех^ и /(х, ^) = <?фй(х) для любых х и у. Положим

(ОШ, //НФу^-фу^Нх^)-

Отсюда следует, что

Мх- у) = е^(х): «^(а) ■ ex^ = f(x, у).

Покажем, что функция ф непрерывна. Для этого достаточно доказать, что если у^, у2, ... —последовательность, сходящаяся к у0, и если У*— ^уй, уъ у2, . ..), то сужение фДТХЗС непрерывно.

Но так как множество .^" X У* компактно, а множества У X Уп~ сго компоненты, то по теореме 4 п. VIII мы имеем У | У X У} ~ 1. Поскольку / = e^, то по теореме 1 функция ф \У X У* непрерывна.

Из лемм 1 и 2 вытекает следующее важное утверждение:

Теорема 3 (Эйленберга’)). Пусть У — произвольное пространство и g: У -> д’ — непрерывное отображение. Для того чтобы g~ 1, необходимо и достаточно, чтобы g ^ V, т. е. чтобы g было гомотопно I.

Следовательно, соотношения 1Уу = лУ^У\ ЬДУ) = 0 эквивалентны стягиваемости У относительно -У.

Доказательство. Пусть g~l; тогда g = c1(, где ср: У ->У — непрерывная функция. Положим

Цх, у') = е2511^ для х^З и у ^У.

Тогда

г.дху-*^, №'/)=! и f(i, yW<jj\

Следовательно, g гомотопно I.

Обратно, предположим, что #е^1; тогда условия (2) удовлетворяются. Полагая в лемме 2 У = Я и считая а точкой О, мы заключаем (на основании теоремы 3, п. III), что f^L откуда следует, что g~l.

Теорему 3 можно обобщить следующим образом:

Теорема 4. Условия f~g и t — g эквивалентны.

Доказательство. Отношение f~# эквивалентно отпо- пюппк) / : Д’~ 1 п, следовательно, отношению (f :/т) ~ 1 (согласно теореме 3); это означает, что оно эквивалентно существованию непрерывной функции Л: Д' X У —> ФЕ, такой, что /;(.т, 0) = f(x) : /т(х) и к<х, 1)= 1.

Положим и (х, /) = ^(х) • h{x, <У, тогда

«1е 0) = f(x) и (Цх, \^ = у<х\

Теорема 5. Если .Е компактно, то группа В, (Д’) совпадает с семейством компонент пространства оУж.Ее нейтральный элемент совпадает с компонентой, содержащей постоянные функции.

Доказательство. Так как сУ” — абсолютный окрестпо- ствый ретракт, то отношение f ~ у (а следовательно, /~ у, где f, у: Е -> ФЕ — непрерывные функции) выполняется тогда и только тогда, когда / и у принадлежат одной и топ же компоненте пространства ФЕ11 (ср. § 54, II, теорема 10).

Теорема 6. Пусть У — континуум, У — связное пространство, Хп^.Е, уо^У it j: ;Е X УаЕ — непрерывная функция. Если f |.Vd X У ~ I н f \.Е X ун~ 1, то f ~ 1.

Доказательство. Пусть yu (х) = f (х, у\ Согласно теореме 3 § 44, IV, функция у, ставящая в соответствие каждому элементу у элемент уч ^ ФЕ:е, непрерывна. Поэтому Ф = #(#) — связное подмножество ФЕС.

По предположению ~ 1, следовательно, у Значит, Ф — подмножество тон компоненты пространства рУС которая содержит постоянные функции. По теореме 5 h~\ для каждого /г СЕ Н>. Поэтому ду~1, откуда вытекает, что f|?7'Xl/~l для каждого у. Следовательно, /'~ 1 по лемме 2.

Теорема 7. Если :Е — континуум, а У — связное пространство, то

В, (.ЕхУ) = В, (V)xB, (Д), следовательно,

W X У}^ b^.EHbA^Y

Доказательство. Этот изоморфизм определяется путем сопоставления каждой паре непрерывных функций /: У -> ^, у; У -> ЕЕ (функции h = f • у вида

hU, y^ = fUVg(y\

Для доказательства положим

П-Е у) = Цх\ у'(х, tE = y(.yY XoE-Е и уй^У.

Из условий /~1 и g~l вытекает, что Г~1 и g"~l, следовательно, h~\.

Обратно, если h~\, то (Г - g") I (^' X //о) ~ 1, а так как g* |(^" X //о)~ 1, то из этого следует, что /‘ |(Д’ X у0)~ И так что f~l. Аналогично g~\.

Наконец, каждой непрерывной функции /: -V X'У->-У соответствует такая пара непрерывных функции /: Ж-> гУ и g; 49-*^, что l~I-g, а именно

f^ = ^X, Уо) И glyWkXy, у).

Действительно,

V-U^W^ Хуф~\ и G: Д>)1(.ГоХ 2/)~1;

таким образом, в силу теоремы 6 l".$g~\.

Наконец, условие (3) следует из теоремы 5 § 55, III и (формулы (4) п. VII.

Локально связные множества.

Теорема 1. Если /|Q~1 для каждой колигоненты Q локально связного пространства Ж, то f~l.

Это утверждение является следствием теоремы 5 § 54, I, так как Q — открыто-замкнутое множество (ср. § 49, II, теорема 4).

Т е о р е м а 2. Пусть Ж — связное и локально связное пространство, Я — произвольное пространство, а^Ж и f: ЖX У-> "/ — непрерывная функция. Если (f \а X У^~ I и Q \Ж X у)~ 1 для каждого у, то f~l.

Доказательство. Пусть ф и 3/’ определены так же, как в доказательстве теоремы 2 п. IX. Покажем, ч го сужение фо = Ф I9- X Я* непрерывно. Пусть С —множество таких х, что функция фо непрерывна в точке (х, уф. Так как Ж связно, то достаточно показать, что С замкнуто, открыто и непусто.

Пусть Х\^Ж. По теореме 10 и. II существуют два открытых множества G в Ж и И в 2/’, таких, что х, £ G, Уо£ П и f IG X Н ~ 1 (в теореме 10 п. II нужно заменить точку а точкой (Х[, у0)). Более того, так как Ж локально связно, то можно считать, что G связно.

Необходимо рассмотреть два случая. Если существует точка Xq^G, такая, что при х = Хо функция ф0 непрерывна по переменной у, то она непрерывна в G X Н, согласно теореме 1 п. IX (нужно заменить там Ж на G, Я па // и а на л0), а из этого следует, что GcC. В частности, a£G, так как при х = а функция фо непрерывна по у (согласно равенству ф(и, у) = х(у), ср. IX (1)).

В случае когда G не содержит точек х() указанного вида, функция фо, рассматриваемая как функция переменного у, разрывна при каждом x^G; следовательно, она разрывна в точке уо (так как уо — единственная точка накопления пространства 2/*), и поэтому х^С, откуда x^GcH’ — C.

Следовательно, множество С открыто, непусто и замкнуто.

Теорема 3. Пусть Л с В с Л [J L (Л) и g: В-> тУ — непрерывная функция. Если £|Л~1, то g~\.

Доказательство. Пусть g | Л = ец„ где ср: Л ->сГ — непрерывная функция. Пусть р £ В — А. Покажем, что колебание <о(|, (р) обращается в нуль.

Пусть (ср. § 49, II) p^G, где G — множество, открытое в В, такое, что G f) А связно и g^G^ У У. Следовательно, p|G~l (см. теорему 6 п. II). Пусть g | G = Сф, где ф: G-> Д — непрерывная функция. Так как множество G П А связно, то из равенства е,р(х) = еф(х) при х £ G П А вытекает, что разность ср(х) — ф(х) постоянна в G П А (см. теорему 2 п. I). Так как функция з]) непрерывна в точке р, то <Оф(р) = О, откуда <о|р(р) = 0 (ибо G — окрестность точки р в В\

Следовательно, существует (согласно теореме 1 § 35, I) непрерывное продолжение y‘'.B-*k отображения ср. Так как В с Л и g | А = е1Г, то g = е^.

Теорема 4. Пусть Ж — дугообразно связное пространство и j: Ж -> У — непрерывная функция. Если f|C-~l для каждой простой замкнутой кривой С, то f~X.

Доказательство. Согласно теореме 1, можно считать, что Ж связно. Можно также предположить, что существует точка а, в которой /(а)=1.

Поставим в соответствие каждой точке х дугу Лх = ах и непрерывную функцию фл., такие, что ,

ФЛ Ax-><f, f\Ax = e^x и фд.(а) = 0,

в соответствии с теоремой 3 п. III и теоремой 4 п. I. Положим ф(х) = фх(х). Тогда e^f.

Покажем, что функция ср непрерывна. Пусть р^У и е>0. По теореме 10 п. II имеем p^G, где G — такое открытое множество, что f\G = ex, и k G->cf —непрерывная функция. Более того, можно предположить (уменьшая, если необходимо, множество G), что 6[X(G)]<e.

Так как пространство локально связно, то существует число г, > 0, такое, что каждой точке q, для которой \q — р|<т),

соответствует дуга Q = pqa:G. Из этого следует, что

(2)/1<2 = ед и (Л^-Л^Ке.

Покажем, что | ф(</) — ф(/)) | <е.

Континуум К = Лр U Aq U Q наследственно локально связен, так как он состоит из трех дуг (ср. § 51, IV, теоремы 2 и 8).

Таким образом, (3)/

1К~1,

ибо в противном случае К содержало бы (согласно теореме 3 п. VIII) подконтинуум и, следовательно, локально связный подконтинуум С, такой, что f|C Ф 1. По теореме 2 п. VII мно- пепр,

жество С было бы простой замкнутой кривой, вопреки предположению.

Принимая во внимание (3), положим

f \К = ег %: K->ff и %(а) = 0,

где % —некоторая непрерывная функция.

Из соотношений (I) и (4) вытекает, что % (а) = фч (а) = %(а), так что ио теореме 2 п. I

Л(х) + к для x^Q,

%(х)=%(х) для х^Лр,

%(х) ДЛЯ X^Aq. Отсюда следует, что

4>lqVwM = %M-^pM = xW-xM”4qVMp\

и потому, согласно (2),

I ф(7)~ Ф(р) К8-

Теорема 5. Пусть Ж — локально связный континуум и f; Ж—> ФР — непрерывная функция. Если f | Е ~ 1 для каждого циклического элемента Е из Ж, то /~1.

Доказательство. Если /Ф 1, то Ж содержит простую замкнутую кривую С, такую, что НСФ 1. Следовательно, если Е — циклический элемент пространства Ж, содержащий С (ср. § 52, II, теорема 10), то /[ЕУИ.

Теорема 6. Пусть Ж — локально связный континуум, Е = Ес.Ж, fk' Ж -> ФР — непрерывная функция и Д [ Е ~ I для k — 1, ..., п. Тогда существует такой локально связный континуум С, что F а: С и fk | С ~ 1 для к = 1, ..., п ').

*) См. Эйлепберг [10, стр. 172],

Доказательство. Так как F есть пересечение последовательности множеств, каждое из которых состоит из конечного числа локально связных континуумов (§ 50, III, теорема 1 (I), и § 49, II, теорема 7), то доказательство можно снести к случаю (согласно теореме 9 п. III), когда F = Ct U ••■ U С„„ где множества Ch ..., Ст — непересекающпеся локально связные континуумы.

Применим индукцию. Очевидно, что теорема справедлива при rn = 1. Предположим, что она справедлива для числа т — I. Пусть L — дуга ah, такая, что L П F состоит только из двух точек а и Ь, которые содержатся в различных множествах Сп, скажем в С,„_| и С,„.

Из соотношений (ср. с теоремой 3 п. III)

Д |C,U ... UC^.-l, Д|Т~1 и (С,и ...

вытекает, согласно теореме 3 п. VI, что Д IC, U ... UCm_lUA~l, следовательно, так как

(С, и ... U Ста_, U/-)П С,„ = £> и /|С,„~1.

Поскольку множество G,„_i U L U С,п — локально связный континуум, доказательство сводится к случаю т — 1.

Теорема 7. Пусть Ж — локально связный континуум и [: Я" -* & — непрерывная функция. Существуют два локально связных континуума Со и С,, таких, что /C = CoUC| и f\С,~\ для / = 0, 1.

Доказательство. Пусть До и Д, —половинки окружности сУ с ординатами соответственно ^0 и ^0. Пусть FI = f~'(Aj). Тогда по теореме 6 п. II .Т^/Ди/7, и /1/7/~1, а отсюда, согласно теореме 6 (в случае когда «=!), вытекает требуемое заключение.

Теорема 8. Пусть ГЕ — локально дугообразно связное пространство, f: П"-^ ^ — непрерывная функция и С,, Gz, ... — последовательность открытых множеств, такая, что

Ж = Сх\3 0г\3 и GrcG^v

Если f\Gn~i для каждого числа п, то f~L

Это следует из теоремы 4.

Отображения.

Теорема 1. Если А — ретракт ЯГ, то ДДД) — гомоморфный образ ДД^") и, следовательно, йДД)^ ЬДДД.

Теорема 2. Если .Е допускает деформацию ни Л, то ^т=(^|лучдл)

и, следовательно, Ь^Я-Р ^ 6, (Л).

Теорема 3. Если Л — деформационный ретракт Я", то

У,(Л) = Т\ (Я') и, следовательно, /ц(Л) = Ь^.Е).

Доказательство. Операция ретракции £: t^^-*^, т. е. £(/') = /[ Л, есть гомоморфизм (ср. § 55, VIII, теорема 1) пространства е^^ на <^^ | Л, а из условия f~l вытекает, иго /'|Л~1. Отсюда следует теорема 1, так как Л —ретракт Я' и, следовательно, ФЕ^ | Л = ФЕА.

С другой стороны, если ЕЕ допускает деформацию на Л, то из условия f | Л ~ 1 вытекает f ~ 1(согласио теореме 1 § 54, IV); таким образом, теорема 2 доказана.

Теорема 3 вытекает из теоремы 2 в силу равенства

^ | А = ФЕА.

Теорема 4 '). Пусть Я' — компактное пространство, р: Я’->ц^Я ^ и р. Р(Я') —> ФЕ — два непрерывных отображения. В следующих двух случаях из условия $р~Х вытекает f~l:

VP р монотонно;

р открыто.

Следовательно, в обоих случаях группа ^ Др V"E^ изоморфна подгруппе группы ДД'С) и М& (to! />1 С^)-

Доказательство. Пусть fp (х) = еф (х\ где ф: Я'-*Ф— непрерывная функция.

Случай (i). Пусть y0^pV^P и хо^Н~ЧУо\

Для всех х^р 1 (у0) имеем

^ ^ = fs to = f (to = Is M = еф (x0).

Следовательно, функция ф(х) —ф(хп) принимает целочисленные значения (на gtoto). поэтому опа постоянна, так как g-1^ связно; отсюда следует, что

ф (х) - ф (х0) = ф (х0) - ф (х0) = 0.

Таким образом, условие ф(//) = ф(х) для x£.P-4lP однозначно определяет функцию ср: ppip-VE. Эта функция непрерывна, так как (ср. § 20, V, теорема 8)

[/ = ф (//)] = V [// = р (х)] [/ = ф (х)].

Более того, е^рр = e,p (х) = fp(x) = f (у), следовательно, f~\.

') Ср. Эйленберг [4, стр. 165 и 174].

Случай (ii). Если g открыто, то й~': /т(^')->2г — непрерывная функция (ср. § 43, V, теорема I). Следовательно, функция i|)g-1 также непрерывна, а потому непрерывна и функция tp: g(.E)->if, определяемая условием

Ф (у) = inf ф[£~’(//)]

(ср. § 42, II, замечание 2); если х — точка из g^ty), такая, что ф(//) = ф(х), то, как и выше, e^ — f.

Замечание. Часть (ii) теоремы 4 остается верной, если <У заменить на #' = Й’2 —(0).

Так как fg(x) = | fg (х)| ^(х), где функция ф: Ж-V^ непрерывна, то tV.A — VfCy^c^yY чтобы доказать это, достаточно каждому у поставить в соответствие точку х 6 g/Чу), в ко" торой ф[й~’(//)] принимает свою нижнюю грань.

§ 57. Пространства, стягиваемые относительно У1.Уникогерентные пространства

I. Стягиваемость относительно 64. По определению (§ 54, V) пространство .7'стягиваемо относительно 47, если всякая непрерывная функция f: Ж—>57 гомотопна постоянной.

Следующее утверждение вытекает из теоремы 2 § 54, V, теоремы 3 § 56, IX и теоремы 1 § 50, II,

Теорема 1. Следующие условия эквивалентны'.

.7" стягиваемо относительно 47;

пространств) 4f$ дугообразно связно;

f~l для всякой непрерывной функции f: Ж-хУ;

b№ = 0.‘

Более того, если пространство Л компактно, то дугообразную связность можно заменить связностью (в (ii)).

Из теоремы 3 § 54, V и теоремы 4 § 56, XI вытекает следующая

Теорема 2. Если Ж стягиваемо относительно 47, то каждое множество, которое можно получить из Ж

ретракцией,

непрерывным монотонным преобразованием (если Ж компактно),

открытым отображением (если Ж компактно), тоже стягиваемо относительно 47.

Из теорем 4 и 5 § 54, V вытекает следующая

Теорема 3. Свойство нестягиваемости компактного пространства Ж относительно 47 является инвариантом деформаций Ж и преобразований с малыми прообразами точек.

Из теоремы 2 § 56, IX и теоремы 2 § 56, X вытекает следующая

Теорема 4. Если Я" и У стягиваемы относительно S’ и если, кроме того, Я'— континуум или связное и локально связное пространство, то пространство Я" X У стягиваемо относительно й?.

Следующие две теоремы сложения вытекают из теорем 3 и 8 § 56, VI.

Теорема 5. Пусть Ло и А\ — два замкнутых (или открытых) множества, пересечение которых ЛоПЛ] связно. Если Ап и Л, стягиваемы относительно ФА, то и их объединение ЛоиЛ| стягиваемо относительно &.

Теорема 6. Пусть Со, Сь . .. — последовательность связных множеств, такая, что

Я^СоУС^ ... и Сп с Int(C„+l).

Если каждое множество C!t стягиваемо относительно ФА, то и множество Я" стягиваемо относительно &.

Теорема 7. Если каждое из компактных множеств Aotd Av^d . . . стягиваемо относительно &, то и их пересечение ЛоП Л, П ... обладает этим свойством.

Доказательство. Это утверждение является следствием теоремы 9 § 54, V.

Теорема 8. Если Я" компактно или локально связно и если каждая компонента пространства Я" стягиваема относительно af, то и само пространство Я* обладает этим свойством.

Доказательство. Это прямое следствие теорем 4 п, VIII и 1 п. X § 56.

Теорема 9. Следующие • пространства стягиваемы относительно &:

всякое пространство, стягиваемое в себе и, следовательно, всякий абсолютный ретракт; в частности, Пп и 6>п для любого п^ ^0;.

(и) сфера ^п при п=АА;

проективное пространство размерности #1;

любое подмножество А пространства 9.

Доказательство. В случае (1) утверждение следует из теоремы 3 и теоремы 2 (3) § 54, VI (ср. также § 56, III, теорема 3).

28 Зак. 190

вытекает из теоремы 5 (а также из теоремы 2 (ii)).

следует из теоремы 2 (iii), так как проективное пространство является образом сферы при открытом отображении (см. § 43, VI, теорема 2).

Пусть V- 41 -> У — непрерывная функция. Так как каждая компонента С множества Л стягиваема относительно У (ср. (1)), то /|С~1. Поэтому С содержится (ср. § 56, II, теорема 9) в открытом интервале РсЧо таком, что j\Fc~\ для Fc = А П РсЧс- Очевидно, можно считать, что точки рс и дс не принадлежат А. Таким образом, множество Fc открыто-замкнуто в /1, и из соотношений

A = UFC и №~1с

вытекает, что / ~ 1 (по теореме 5 § 54, I).

а меч а и и е. Использование того, что <У2 стягиваемо относительно рУ (теорема 9 (ii)), позволяет получить очень простое доказательство теоремы об антиподах (см. § 41, VII) для /г = 21).

Доказательство. Мы должны показать, что для любой непрерывной функции g; У2 ->(У существует точка х0 £ <У2, в которой g(x0) = £(~ Д)).

Допустим, что это ис так. Другими словами, предположим, что

/W = £(x)-£(-)=^0

при каждом х £ Уг. Это означает, что /' — непрерывная функция f: У,->д\ Так как сфера ^ стягиваема относительно У, то f~ 1, и поэтому существует непрерывная функция и: Уo->cf2, такая, что

/(х) = е“(х) для любого х 6 ^г-

Заменим х на — х; тогда из (2) вытекает, что

/ ( — х) = еи^-х\

и, согласно (1),

/( — х) = g( — х^ — g^ = — Цх) = — еи<х} = euW V1U,

откуда следует, что еи(~х) = сп^ + nt. Так как сфера <У2 связна, мы приходим к заключению (ср. с теоремой 2 § 56, I), что

tt (— х) = и (х) + ш + 2/гл/,

где к — целое число, не зависящее от х. Заменим х на — х в (3); тогда ц(х) = и^ — х) + (2&4- 1)ш, откуда в сочетании с (3) следует, что 4к + 2 = 0, и мы получаем противоречие.

П. Свойства пространств, стягиваемых относительно^1). Пусть Ж — стягиваемое относительно S’ (с. о. 5F) пространство. Пусть Ло и Л] — два замкнутых или два открытых множества, таких, что Ж = Ло U ЛР

Теорема 1. ef^ = Г(Л0) = Г(Л[) = Г(^), следовательно, Ш, Л,) = (0) и Р^А., Л,) = 0.

Это прямое следствие теоремы 1 (iii) п. I (см. также (1) и

из § 56, V).

Теорема 2. Если множества Ло и Л1 связны, то связно и их пересечение Л0ПЛ|.

Другими словами (.положим В] = Ж — Л/), если Вп и В^ — два открытых или два замкнутых непересекающихся множества, ни одно из которых не разделяет (связное) пространство Ж, то их объединение S()UBi также не разделяет Ж.

Следовательно, всякое связное с. о. S’ пространство уникогерентно.

Это следует из неравенства М^оП А)^ M4)U Л() (ср. § 56, VI, теорема 2) и теоремы 1 (iv) п. I.

Теорема 2 допускает два обобщения.

Теорема 3. Теорема 2 остается справедливой, если связность множеств Ло, А1 и Лс Г) Л( заменить их связностью между двумя точками р0 и pv (а также свойство разделять пространство — свойством разделять его между точками р0 и рх).

В противном случае (по теореме 4 из § 56, VI) мы имели бы Г(Л0)ПГ(Л1)=И=Г(^), а это противоречит теореме 1.

Теорема 4. Если ЛоЛЛ^О, то Ь0(А0) +Ь0(А\) = = bo(AQUAx) + bo(AoOAx).

Это следствие теоремы 1 и теоремы (7.1) § 56, V.

Теорема 5. Всякое замкнутое множество F, неприводимо разделяющее Ж между двумя точками pQ и pv, связно.

Доказательство. Допустим, что это не так и что F = B0V)Bb 5оП5, = О и Bj-B^F.

Тогда по предположению 5/ не разделяет пространство между Ро и рх (при / “О, 1); следовательно, в0U S( также не разделяет пространство между этими точками (по теореме 3).

Теорема 6. Если А и Ж связны и С — компонента множества Ж — А, то граница Fr(C) связна.

. Доказательство. Множество Ж —С связно по теореме 5 из § 46, III. Положим А0 = С и Av = .uf — C; по теореме 2 множество Fr(C) = СП^" —С связно.

Теорема 7. Если R —область в пространстве Ж, то никакая квазикомпонента множества Ж — R не содержит двух различных квазикомпонент границы Fr(/?).

Если Ж — континуум, то

MFr(/?)] = 60 ^V — RY

Доказательство. Пусть р0 и р{ — две точки множества Fr(/?)> принадлежащие некоторой квазикомпоненте множества Ж — R. Пусть Л0 = Ж — R и Ai = R. Из теоремы 3 вытекает, что множество Fr(7?) связно между р0 и ру следовательно, эти две точки принадлежат одной и той же квазикомпоненте множества Рг(Д).

Если Ж — континуум, то СПРг(/?)#=О для каждой компоненты С множества Ж — R (по теореме 1 из § 47, III). Следовательно, С содержит одну и, как только что было показано, только одну компоненту множества Рг(Д) (ибо квазикомпоненты компактного множества совпадают с его компонентами; ср. § 47, II, теорема 2). Отсюда вытекает равенство (1).

Локальная связность и уникогерентность.

Теорема 1. Пусть Ж — связное, локально связное с. о. of пространство. Всякий разделитель Е между точками а и b содержит замкнутое связное множество, которое разделяет эти точки.

Доказательство. Множество Е содержит замкнутое множество F, которое разделяет а и b (ср. § 14, V, теорема 1); в свою очередь F содержит замкнутое множество С, которое неприводимо разделяет Ж между точками а и b (§ 49, V, теорема 3). По теореме 5 п. II множество С связно.

Теорема 2. Пусть Ж удовлетворяет тем же предположениям, что и в теореме 1. Пусть

Pi^F^Fj и FoF\Fv = O.

Существует разделитель С между точками р0 и ph замкнутый, связный и не пересекающийся с FO\JFV.

Более того, если Ж компактно, то можно считать разделитель С локально связным континуумом.■

Доказательство. Это прямое следствие теоремы 4 § 49, V в сочетании с теоремой 5 п. II и теоремой 1 § 50, III.

Теорема 3. Для того чтобы локально связный континуум был с. о. &, необходимо и достаточно, чтобы он был унико- герентен.

Доказательство. Условие необходимо в силу теоремы 2 и. II.

С другой стороны, предположим, что локально связный континуум .Т уппкогерептен и что /: Д'—> ^ — непрерывная функция.

Согласно теореме 7 из § 56, X, существуют два континуума Со и С\, таких, что Д' — Cu U С] и / | С/ ~ 1 при / = 0, 1. По пред

положению С0ЛС| связно. По теореме 3 из § 56, VI / ~ 1.

3 а м е ч а п и е. Теорему 3 можно обобщить, заменяя термин континуум термином связное пространство ').

Теорема 4. Всякий локально связный континуум Д', не являющийся уникогерентным, содержит простую замкнутую кривую, являющуюся per раитом Д' ).

Доказательство. По предположению существуют непрерывная функция f: Д'->-У (ср. § 56, X, теорема 7) и два лока С,, такие, что

связных континуума Со,связных континуума Со,/^1, Д'^СоОС, и ЛСу — 1 для 7 = 0,1.

связных континуума Со,

связных континуума Со,

Согласно теореме 3 из § 56, VI, множество С0ПС| несвязно. Таким образом (рис. 14),

СоПС^Д.иСь Д.ЛС^О, Р5 = Fj =#0 для / = 0, 1.

Пусть Ло —дуга, содержащаяся в Со и неприводимо связная между Со и Ft, Положим Aor\Fj = pj. Пусть Л| —дуга рорь содержащаяся в Ср Тогда

Ло Л л, с Ло Л Со л с, = (Ло П Со) и (Ло Л Л) = (Ро, Pi).

Поэтому множество ЛоU Л1 — простая замкнутая кривая.

') Доказательство см. Эйзенберг |7, стр. 70]. Частичное обобщение см. Ворсуй [2, стр. 190). Относительно жпивалешпостп между уиикогерент- ностыо и обращением и пуль первого числа Бетти см. Борсук [8, стр. 203] и Чех [5, стр. 233].

Пусть f0 —ретракция множества FoU^oU^i на Ло, такая, что

Ь(ЕоУ = Ро и ЬАР1У=Рь

В соответствии с теоремой Титце (§ 14, IV) пусть

/оСйбЛ?"

Пусть <70 и t/i — две различные точки, принадлежащие множеству Ao-lPo, Pil и qoqx и <7^0-две поддуги дуги ЛоиЛь где qoqx а Ло. Пусть

О0 = р-'^о4ху

^^^‘(MoUtZ^jUC,.

Тогда

^ = о0ип,,

(?)^по^^-ч^и^-'М-

^(ГЧ^о)^^1^!) = °'

так как (ср. (1) —(3)) из соотношения

Ч п с, = F0 и е{ С g0-'g0(F 0 U е;) = gf-• (р0, р^ вытекает, что

Р(7* (PoPi) Л Ч с g"1 [W1 П (р0, Р,)] = 0.

С другой стороны,

q^gE'^iWp

так как g0 — ретракция, и, следовательно (см. (1) и (2)), из условий

^7^0 ^<71^1 U С, U Ро^о и Ч Л^ЧР/ЧЧ Л ЧП^Г'Ч)-0

вытекает, что

q^o Л So-1 Ш = VhPt U Poqo) П ^' М = 8o\4hPi U РоРо) Л g?1 (Я^ с§о(9хРх U РОРГ) Л gQgoV (q,) = (qxPx U PqPo) Л Р/ = Р,-

Из соотношений (8) и (9) непосредственно следует, что существует ретракция fx множества g-' (р0) U qxqu U g»x ^^ ”а PiP0> такая, что

(Ю)fvgo'^^qi Для / = °» Е

Пусть

(н) ./ic^etPiPo)0'.

Тогда

£„(*) = £,(*) для хб^-^),

так как из условия x^g^'^q^ вытекает, с одной стороны, что goU^qj, а с другой стороны, что f\{x) = qj (согласно (Ю)); следовательно, gAx) — qi (ср. (И)).

Из условий (6), (7) и (12) следует, что функция £о|/)о + £| есть ретракция множества Ж па ЛоОЛ.

Следствие 5. Если Ж — локально связный континуум, не являющийся уникогерентным, то существует непрерывное отображение f: Ж^-Ж, не имеющее неподвижной точкиду

Замечание. Теоремы 4 и 5 можно обобщить, заменяя термин локально связный континуум термином локально и глобально дугообразно связное пространство (Борсук [2, стр. 184 и 188])/

Теорема 6. Пусть Ж — локально связный уникогерентный континуум, который не разделяется никакой точкой. Если R — область и diinf^O, то множество R — E связно').

Доказательство. Предположим, что R — E не связно между точками р и q. Тогда существует (по теореме 1) континуум С с Е U {Ж — R), разделяющий! пространство между р и у. Так как dim£ = 0, то С с Ж — R (напомним, что по предположению С не сводится к одной точке). Но это невозможно, так как множество Ж — R не разделяет точки р и q.

Следствие 7. При тех же предположениях dim Ж ^ 2 {при условиии, что Ж содержит более одной точки).

Более точно, de Ж"^ 2 (ср. § 46, XI).

Следствие 8. Всякий локально связный уникогерентный одномерный континуум представляет собой дендрит).

В противном случае этот континуум содержал бы циклический элемент С (состоящий более чем из одной точки), и так как при этом С был бы уникогерентен (по теореме 5 §52, III), то из этого следовало бы, что dim С ^2.

IV. Замечания о продолжении гомеоморфизмов в с. о. ^ континуумах. Сформулируем без доказательства следующую теорему.

Теорема 1. Пусть Уххи Ух—дв'а с. о. У метрических континуума, и пусть Я'осУо и Я"х ск Ух — два связных множества, дополнения которых Ухх — Я'о и Ух — Я'х наследственно разрывны (т. е. не содержат континуумов, за исключением отдельных точек).

Тогда, если Я’о и Жх гомеоморфны, то гомеоморфны и З^о и Ух.

Более того, всякий гомеоморфизм h пространства Яф на .Ту можно продолжить до гомеоморфизма h пространства Уо на 3/ ’).

Отождествляя х с /г (_v), можно предыдущее утверждение сформулировать в следующей эквивалентной форме:

Теорема 2. Пусть Уй и Ух — две компактификации связного пространства Я', и пусть Уй — .Т и У х — Я" вполне несвязны.

Если У» и Ух — с. о. У континуумы, то они гомеоморфны.

Более того, существует гомеоморфизм пространства Уо на Ух, который тождествен на Я"2).

Из теоремы 1 легко вывести следующую теорему об инвариантности.

Теорема 3. Пусть R —связное, открытое множество, R с. Уп. Тогда мощность множества компонент дополнения Sn — R инвариантна при гомеоморфных отображениях R.

Действительно, существует непрерывное отображение h пространства Уп па с. о. У континуум 'У, такое, что h |/? — гомеоморфизм и прообразы точек h"'(у) являются либо отдельными точками R, либо компонентами множества Уп — R (ср. I, теорема 2 (ii), и § 46, V, теорема 4)2).

Добавим, что в теореме 3 условие связности опустить нельзя (ср. § 62, X).

§ 58. Группа ЭД (У)

0 (Введение). Семейство (О, 1)т. Этим символом мы обозначим семейство всех открыто-замкнутых подмножеств пространства Я". Это обозначение мотивировано тем, что открытозамкнутые подмножества Я" можно отождествить ■ с их характеристическими функциями (определенными на Я’).

*) Доказательство см. Скляренко [2] и Куратовский и Эпгелькипг [2].

Теорема I является обобщением более ранних результатов Фрейдеп- таля [5], [6]; де Гроота (1| и Дуды [1] и [2].

По поводу случая связного открытого Я" см. Куратовский и Эйлеп- берг [2]..

Прямое доказательство см. Форт [3]. Значительно раньше случай и = 2 рассматривал Брауэр; ср. § 61, V.

Определения. Пусть С обозначает произвольное покрытие пространства Д' открытыми непустыми непересекающимися множествами. Таким образом,

(1)(1)Сс(0, 1)г, $с=д\

(1)

(1)

[(Zo, Z, 6 C)(Z0. ZJ => (Zo n Z, = 0)];

Rf?') обозначает совокупность таких покрытий.

Говорят, что семейство Л(С) всех объединений элементов покрытия С порождается покрытием С и С является его базой. Очевидно, эти объединения открыто-замкнуты.

Теорема 1. Семейство К(.‘Г) направлено по отношению измельчения; С, есть измельчение Со (обозначается Co^Cj, или, эквивалентно, А(С^сА(С^.

• Именно, если Со, C1^R(./’) и если С2 обозначает покрытие, состоящее из (непустых) пересечений ZOiZnZb .„ где C0 = (Z0, j и C1 = (Zls}, то Сп5^Сг и С, С2.

Теорема 2. Семейство R (,2Д имеет последний элемент (т. с, существует самое мелкое покрытие пространства Д') тогда и только тогда, когда компоненты пространства Д' открыты. Таким элементом является семейство (ЦД") всех компонент пространства Д".

Доказательство. 1. Предположим, что С —последний элемент в R(.V). Достаточно показать, что каждое множество Z^C связно. Но если Z не связно, то Z = Р U Q, где Р и Q — открытые непустые и пепсресекающиеся множества; следовательно, С^ С* £ R (Д'), где С* получается из С заменой Z на пару Р, Q.

2. Если компоненты пространства Д’ открыты, то 6 (Д') — последний элемент в R(.V), так как любое открыто-замкнутое множество Z является объединением некоторых компонент пространства Д'.

Лемма. Пусть F с Я — бесконечное нигде не плотное замкнутое множество. Тогда существует система замкнутых мно~ жесте Е^ ...ап, определенных для систем а, ... а„ (может быть, не для всех) чисел 0 и 1, такая, что

F^F^Fo ГоЛД = О, Д,^0, б(Д,)<1

и (при условии, что Fav...an содержит более одной точки) ^а1 "■ % = ^а1 V U Е^ ... а„|, Е^ ...апП П Fa^ ... а„1 =0,

FaVan*l ^0>6 (Fui- ■%+!)< 1/2"-

Множества Fa) ...а определяются без всяких затруднений.

Назовем множествами порядка п множества Flt ...аа, а также одноэлементные множества Fa а при т<п. Легко видеть, что всякое открыто-замкнутое множество в F является объединением некоторых множеств порядка п для достаточно большого п.

Теорема 3. Если Ж — компактное метрическое пространство, то R(.V/) счетно, а каждое C^R(.l’) конечно.

Более того, R(.£') конфинально с бесконечной последовательностью Ci < С2 < ... (при условии, что Ж имеет бесконечное множество компонент').

Доказательство. Первая часть теоремы очевидна. Доказательство второй части можно свести к частному случаю, когда Ж с; 9 и dim.^' = 0, так как существует непрерывное отображение пространства Ж в канторов дисконтинуум, при котором прообразы точек суть компоненты пространства :Е (см. теорему 3 из § 46, V).

Далее, в этом частном случае обозначим через С,г семейство множеств порядка п, рассмотренных в лемме.

Теорема 4. Пусть У — метрическое пространство и ПСУ. Обозначим через Ж oD для В^К(У) семейство всех (непустых) множеств ЖП^, где V^D. Тогда (Ж о D) £ R( Г).

Более того, для каждого C$R(Ж) существуют открытое в У множество G и D^R(G), такие, что C=ED.

Доказательство. Первая часть теоремы очевидна. Для доказательства второй части положим C = {ZJ. Так как множества Zt не пересекаются и открыты в Ж, то существуют множества {КД, пепересекающиеся и открытые в У, такие, что ЖП7; = 28 (по теореме 2 из § 21, XI). Положим G = U^z и D = (VtY ‘

Определение. Пусть Ж с. У; предположим, что компоненты Rt пространства У открыты. Тогда Qv обозначает семейство всех (непустых) множеств Ж О Rt- Другими словами,

Q„ = о G (У).

Теорема 5. Пусть Ж СУ и У — локально связное метрическое пространство. Тогда ^(Ж) конфинально с множеством покрытий Q(i, где G пробегает семейство открытых подмножеств пространства У, таких, что Ж с: G.

Доказательство. Пусть C£R(.5'). По теореме 4 С = Ж ° D и D^R(G) для некоторого G, открытого в У. Так как G локально связно, то, согласно теореме 2,

D<G(G), откуда Ж о Z)^ Ж о 6(G), т. е. C<Q0.

Теорема 6. Пусть У и ^—два локально связных пространства, содержащих Ж. Тогда

(2/с X) =>№<Qy).

Доказательство. Если У с: X, то каждая компонента R пространства У содержится в некоторой компоненте S пространства 2, поэтому Ж f| R с: Ж f| S. Следовательно, Qz^Qy.

Теорема 7. Пусть У — компактное локально связное метрическое пространство, Ж а'У и У —Ж локально компактно; тогда

У — Ж = Fv U F2 U • ■ •, где F{ компактны и FiaInty_;c(Fi + \')

(Int?/_r обозначает внутренность относительно У — Ж).

Положим Сц — У — Ft. Тогда R(.57) конфинально с последовательностью

Qg, ^ Qg, ^ ... .

Доказательство. Пусть Ж с: G с У, где G открыто (в У\ Тогда

У-СсУ-Ж = и Inty-^Fi+i).

Так как У — G компактно, то существует индекс I, такой, что У — G с Ft, т. е. G^cG. Таким образом, Жс^О^С (так как Ft с: У — Ж\ а потому Qo s^ Qct (согласно (2)). Следовательно, по теореме 5, R(^') конфинально с (Qg^. Соотношение (4) справедливо, так как включения FtCF^ и Gi+\CGt эквивалентны.

I. ЭХ (Ж) как топологическое пространство.

Определения. Пусть Ж — метрическое пространство1); ЭХ (Д’) обозначает семейство вполне аддитивных функций ц (называемых мерами^ ставящих в соответствие каждому 2^(0, 1)г целое число ц(2); это означает, что, каковы бы ни были испе- ресекающиеся множества 2,^(0, 1)\ такие, что (U2ц W I)7’

') При более общих предположениях см. Куратовский и Энгелькипг [1].

имеет место равенство

(0)игиад ^(zj.

Очевидно, что в этом случае только конечное число слагаемых Zt имеют ненулевую меру.

Пусть С Е R ( С) обозначает (как в и. 0) произвольное покрытие пространства /С непустыми непересекающимися открытыми множествами; пусть ?i (С) — множество вполне аддитивных функций, определенных на элементах множества Л (С) и принимающих целочисленные значения.

Для С0^С, (это означает, как в п. 0, что С, — измельчение Со, или, эквивалентно, что А (Со) с Л (CJ) обозначим через оГГ операцию сужения

«са- ад-ад,

определяемую условием

аСА^ = v^(Co) Для vET^Cj).

Легко видеть, что (^(С), <tCiiC.J, где CERG^") и СП$^СР —об- ратный спектр.

Обозначим, наконец, через ас операцию сужения ас: 3%(Д')->?;(С), где <Д (р) = Н Л (С), и положим 0=^0^}. Тогда

а: ЗМС^НПЖ), где С ^WYс

Теорема 1. а представляет собой взаимно однозначное отображение №(Д’) на У = Lim [?i(C), <rrrL

С,С0<,С," ll

Следовательно, №(Д") станет топологическим пространством (вполне регулярным нульмерным пространством), если мы определим замыкание ■$ для ^сЗЯ^') с помощью отношения эквивалентности

(вЕ'^)=[(р|СЕ('&|С) для каждого CGR(-^ )];

это означает, что для каждого С существует v Е '&, такое, что v(Z) = p(Z) для Z^C.

Кроме того, отображение с; ^(.д’)-*^. есть гомеоморфизм на.

Доказательство. Во-первых, о является отображением в. Это означает, что осс (ц|>1 (С,))=р.|Л (Со), или, иначе, что [ц|Л(С1)ГЛ(Со) = ц!Л(Со),

но это немедленно следует из транзитивности операции сужения.

Далее, а — взаимно однозначное отображение. Действительно, предположим, что цД/) = р,(Z) для данного Z£(0, 1)г, и обозначим через С двуэлементное покрытие Z = (Z, Д" — Z). Тогда

Д)| ^(Q^p, | Л(С), т. е. ^(^^^(рО’

следовательно, сДро^сДрО.

Покажем, что а есть отображение на. Другими словами, предположим, что каждому С£И(Д') соответствует vc£^(C), такое, что

(2)(2)vc = vC| [ А(Со) при условии С0^Ср

(2)

(2)

и определим р £Ф?(Д') так, чтобы

р|Л(С) —vc для каждого С£Я(Д').

Покажем, что этим же свойством обладает мера р, определенная соотношением *)

p(Z) = vzJZ), где Z* = (Z, ,^-Z).

Во-первых, необходимо показать, что рС^(Д'), т. е. p(Z) = = 2н(2Д при условии, что Z = [J Zt и множества Zt не пере- tt

секаются.

Пусть С —покрытие пространства Д’, состоящее из всех множеств Zt и множества Ж — Z (которое опускается, если Z = Д').

Очевидно, что С^К(Д’), Z* д: С и Z’^C. Согласно (2),

V = vc | А <z*) и vz* = vc^(Z;),

откуда

vz,(Z) = vc(Z) и vz,(Z<) = vc(Z<).

Так как vr6?i(C), то из (4) и (6) вытекает, что

р (Z) = vz*(Z) = Vc (Z) = 2 VC (Z,) =2^ (ZJ = 2 p (Z,).

Остается доказать (3). Пусть Z^A(C). Покажем, что p(Z) = = vc(Z). Но так как Z* ^ С, то это равенство следует непосредственно из (4) и (6).

Этим завершается доказательство первой части теоремы.

Вторая часть вытекает из теоремы 3 § 16, VI, если предположить, что ГД С) имеет дискретную топологию (откуда следует, что ПЖ) и У— вполне регулярные пространства).

Теорема 2. Если компоненты пространства /Е открыты (в частности, если :Е локально связно), то пространство ХЧ(ЕЕ) дискретно.

Доказательство. Пусть С — семейство компонент пространства :Г. Семейство (О, 1)г порождается семейством С, следовательно, функция ц однозначно определяется своими значениями на элементах Z из С. Таким образом, из условия (р|С)£(£>|С) вытекает, что ц С 'У, откуда, согласно (1), ■& = V.

Теорема 3. Отображение ас\ W (.У) —> Г (С) непрерывно; отображение фг: ЭД(..?')—>^ для каждого Z, где ф7(р) = р,^), также непрерывно.

Первая часть теоремы 3 следует из теоремы I; для того чтобы вывести вторую часть, положим С — (Z, /Е — Z).

Теорема 4. Если пространство ЕЕ компактно, то ХЧ (ЕЕ) гомеоморфно полному сепарабельному нульмерному пространству.

Действительно, в этом случае R(EE) счетно (ср. § 54, IX, 6а).

Замечание. Если предположить, что пространство ."Е компактно, то полную аддитивность функций ц^ЭД(Д’), очевидно, можно заменить конечной аддитивностью (ибо каждое покрытие С пространства .‘Е конечно).

При тех же предположениях легко показать, что

Гр = Нт р.Д = |(р|С) = 11т(р/г|С) для каждого С| =

\ k->co ) Ife->OOI

= lp(Z) = lim Р/, (Z) для каждого Zl. |/г->оо|

Теоремы 5 и 6 являются прямыми следствиями теорем 5 и 7 § 1, VII.

Теорема 5. Пусть ЕЕ с У, где У — метрическое локально связное пространство. Тогда для каждого р^ЭД(/7') и каждого -^ сЭД(//’) мы имеем

(р С '^^[(pIQo) € ('£IQ«) для каждого открытого G, такого, что тЕ cz G cz У\;

(Цо -= П|)^ [((io I Qg) = (l1! I Qo) для каждого открытого G, такого, что :Е czQ <^. У\.

Теорема 6. При предположениях теоремы 7 и. О имеем

(pE^^k^'M^^IM ^я ^i-2- ■••!•

Боасе того, ЭЛ(Л') метризуемо, и

(Po = Pi)=[(PolQoi) = (PilQ»i) для /= 1, 2, ...|.

ЭЛ (Я) как топологическая группа. Положим для ри- Pi и р2 из Di (ЛД

(Po = Pi + р?)=

MPo(7) = p,(Z) + p2(Z) для каждого 7^(0, 1)г!-

Тогда ЭЛ(ЛД становится •абелевой группой.

Более общо, ?(С) станет абелевой группой, если считать, что Цо, Pi и р2 принадлежат ^(С), и заменить (0, 1)г в (1) на А^Су Очевидно, что

(р0 = Pi + р2)^[(Ро! А (C)) = (Pil А (С)) + (р2| А (С)) для каждого С]; легко показать, что имеет место следующее утверждение (ср. также п. I).

Теорема 1. Следующие отображения представляют собой гомоморфизмы:

Ф/: Di(.^)->^, ас: Di(.V)->^(C), аСос: ОД - 6(Q

Из последнего утверждения вытекает (см. § 55, VII и теорему 1 п. I, согласно которой отображение а взаимно однозначно) следующая

Теорема 1'.

<:Ус™ с. ^(Q’

Именно, отображение о=(ос], где о,, (р) = р| А (С), представляет собой искомый изоморфизм.

Имеет место также следующая

Теорема 2. ЭЛ (Л/) — топологическая группа.

Другими словами, сложение, определяемое ио формуле (1), и вычитание непрерывны (относительно топологии, определяемой в соответствии с 1(1)).

Определение. Пусть Q — квазикомпонента пространства Н' и

( 1, если QaZ,

а°(/)==|0, если Q Q Z = 0.

Тогда aQ называется характеристической мерой Q.

Лемма. olq^^^TY

Доказательство. Всякое открыто-замкнутое подмножество Z пространства .Е, такое, что QQZ=#0, удовлетворяет условию QcZ; поэтому формула (2) определяет функцию aQ для каждого Z. Более того, функция aQ вполне аддитивна, ибо если QcZ = UZh где множества Zt не пересекаются, то сущс- ствует единственное Z/„, содержащее Q, а все остальные Zt не пересекаются с Q; следовательно, равенство I (0) выполняется.

Теорема 3. .Если квазикомпоненты Q,, . .., Qm попарно различны, то их характеристические меры линейно независимы, т, е.

(^1%+ ... + Mqot = 0) =>(*, = 0/гт = 0).

Доказательство. По предположению существуют такие непересекающиеся открыто-замкнутые множества Zx, ..., Zm, что QiaZl для z=l, .... m. Предположим, что правая часть импликации (3) не имеет места, например пусть /ц^О. Так как aQ1(Z,)=l и a(?.(Z1) = 0 для z>l, то

^laQ,(^l)+ . .. + kmaQm (^1) = kv

Следовательно, левая часть импликации (3) также не имеет места.

Теорема 4. Если компоненты пространства .Е открыты (в частности, если .Е локально связно"), то их характеристические меры являются образующими группы ®< (.?').

Более общо, если C = {ZJCR(^). где М" — произвольное пространство, и если QtaZt, где Qt — квазикомпонента .Е, то функции \Qt = (uqJ А (С)) являются образующими группы Д(С).

Доказательство. Пусть ц €8 (С). Положим kt = p(Zt)- Мы должны показать, что

Ц= 2 k^q т. е. что р^^ = 'Si k,saQ (Zt) для всех / ts

(сумма конечна, так как существует только конечное число ненулевых kt).

Согласно (2), a0<(Zz) = 1 и aQ^Zt) = 0 для s=£t, следовательно,

2 k,aQ (Zt) = ktaQ( )Zt) = kt = p (Zt).

Отсюда следует первая часть теоремы 4 для С = Я', ибо

Л(С) = (0, if и ^ (С) = 24 (Д’).

Из теорем 3 и 4 немедленно вытекает следующая

Теорема 5. Если пространство ‘Е имеет конечное число, скажем т, компонент, то группа У1(Я') изоморфна группе У"1, т. е.

Эй (Я Яр Я"'.

Если компоненты пространства Я' открыты и семейство компонент счетно, то

(5')т(.г)^^ю

(с?01 —группа бесконечных последовательностей целых чисел, каждая из которых состоит только из конечного числа ненулевых членов).

Из теоремы 4 выведем следующее важное утверждение:

Теорема 6. Пусть (Q J — такое семейство квазикомпонент (произвольного) пространства Я’, что

QHUQ^O

для всех квазикомпонент Q пространства ЕЕ.

Пусть 41 —подгруппа группы Ж (Я’), порожденная мерами aQ (т. е. 41 —множество их линейных комбинаций); тогда

(7)(7)91 = Эй (Я).

(7)

(7)

Доказательство. Пусть С = {2,} £ R(Я). Пусть Qt — квазикомпонента Я и QtdZt. Согласно (6), 2, ПО Qs =/= 0. Поэтому

существует (так как множество Zt открыто) число s(t), такое, что Zt П Qsto Ф 0, и, следовательно, такое, что Qstt; с Zt. Отсюда па основании теоремы 4 следует, что функции а0 I Л (С) являются образующими группы ^(С), и, следовательно, ‘^(Qc с (911 Л (С)).

Поэтому (ц|С)^(91|С) для всех ц^9й(Д) и, согласно I (1),

Следствие 7. Если пространство Я сепарабельно, то и пространство Эй(Д’) сепарабельно.

Действительно, при этом предположении индекс s в теореме 6 можно считать целым положительным числом; поэтому множество 91 счетно.

Теорема 8. Если Ж — компактное пространство, имеющее бесконечное множество компонент, то

^ЧгТоЛ

т. е. существует изоморфизм х группы ^1(Ж) на (аддитивную) группу S", являющийся в то же время гомеоморфизмом.

Доказательство. При доказательстве того, что У? (Ж) изоморфна =^\ мы воспользуемся леммой и. 0'). Без ограничения общности мы можем считать, что Ж( = ?0 с 9 бесконечно, нигде не плотно и замкнуто (ср. п. 0). Вновь рассмотрим множества Fat...a из леммы и расположим все множества /щ,...^ (где п^О) в бесконечную последовательность Ль Л2 Положим А0-=Ж.

Для р£9!ЦЖ) положим

х(р) = {р(Л0), р(Л|), ...}, следовательно, х: № (Ж) -> Ух«- Покажем, что х —искомый изоморфизм.

Во первых, х — гомоморфизм, ибо

х(р,+ р2) = {р1(Л0) + р2(Л0), р[(Л1) + р2(Л1), .. .} = х(ц,) + х(р2).

Ясно, что из условия х(р) = {0, 0, ...} вытекает р(Л„) = 0 для m = 1, 2Отсюда следует, что р (Z) = 0 для любого открытозамкнутого подмножества Z пространства Ж.

Очевидно, достаточно показать, что р(/щ,...aj = 0. Применим индукцию. Так как Ж = Ай, то р(.^') = 0, а так как p(Fo) = O, То p(FI) = 0. Далее, предположим, что p(Faj ...aj = 0 и Fax...an содержит более одной точки; тогда

p(FaI...ano) + p.(Fa1...%1) = O,

а так как Fax...ano принадлежит последовательности {Лт}, то P^a, ...ano) = O = p,(Fax ...а^.

Остается показать, что для каждой последовательности целых чисел ^0> ^ь ••• существует p£2R(^’), такая, что

(9')р(Лт) = ^т для m = 0, 1, ....

Так как функция р определена для Z = Ат (согласно (9')), то Ц (Fo, ...arai) можно определить по индукции (относительно п) следующим образом:

Н(^) = р(Л0)-р(Г0) и

(9")p(Fa] ...a„l)=-p(Fai ...aj — P(Fa, ...a„o).

Наконец, если Z — объединение некоторых множеств порядка п (п — наименьшее возможное), Z = Px\j ... U Рг> то мы полагаем

p,(Z) = ^(PJ + ... +[х(Рг), причем ц(0) = — ц(Д0).

Из (9") следует, что если Р} = Fa, ... апо U Fa, ... «р, то

Р^'Ц ... а^о) + Р (Fa, ... а,р) + р(Р>( ++ Р (Рг) = Р (F).

Следовательно, если Z представлено в виде объединения множеств порядка п + I (или, более общо, порядка р > п) Z = R^ ... URS. то

р (/?.)+ ... + р (РА = р (Л-

Отсюда следует, что функция р аддитивна, т. е. р £ Ж (Я').

Таким образом, доказано, что к — (алгебраический) изоморфизм W(.2’) на ^.

Теперь покажем, что х — гомеоморфизм, т. е. что

(р = lim = [х (р) = Нт х(рй)1 , или (ср. (9))

(10Wp = Нт цО = Гр(Л„,) = Пт рИЛ») для ш = 0, 1,...].

Импликация слева направо является следствием непрерывности ф/ (где ф7 (ц) = |i (Z)) при фиксированном Z (ср. с теоремой 3 п. I).

С другой стороны, предположим, что справедлива правая часть соотношения (10). Тогда все сводится к тому, чтобы показать (ср. I (7)), что для каждого Z£(0, l)v

(П)p(Z) = Inn p^Z).

Более того, так как р аддитивна, можно считать, что множества Z имеют ВИД Z = Fa ...»,„.

Так как равенство (11) выполняется при т = 0, т. е. при Z = Я" = А^, то можно применить индукцию и предположить, что оно выполняется для некоторого т^О. Тогда Fa ...ат1 = = Fa, ...ат- Fa, ... «тп, и, следовательно,

^“i •••%,0 = |1(/7ui~ ^“i ...а„гп),

^а,... атА) = Р/г (^а, . а,„) - V-fc^ а, . а,„о)-

В пределе мы получим равенство (11) для Z = Fa, ...ат\, так как Fa, ... ато ~ член последовательности До, Дь • • • (и, следовательно, по предположению удовлетворяет равенству (П)).

Нормированные меры.

Определение. Мера р^М\'( /') называется нормированной, если р(Д’)=1; Э1(.7’) обозначает .множество нормированных мер.

Очевидно, W (Д') можно отождествить с факторгруппой 'УД.7’)/Д (где Д обозначает группу постоянных мер)1).

Легко видеть, что УЦ Т) — подгруппа группы М( У') и замкнутое подмножество пространства ЭД (.7’) (так как отображение Фу: ЭД (Д ') > п? непрерывно; ср. с теоремой 3 и. I).

Теорема 1. Пусть оо — фиксированная точка пространства Н"2). Положим для р£ЭД(Д’)

(1) ^(ZJ^I(1) ^(ZJ^Ip(Z),если oo^/T — Z,

(1) ^(ZJ^I

(1) ^(ZJ^I

р (Z) - р (Д’), если оо £ Z.

Тогда р": У)Ц.Т') ->У( фТ)~ гомоморфизм и непрерывная ретракция.

Доказательство. Очевидно, р*(Д’) = 0. Далее, предположим, что Z = U Z/, где множества Zt не пересекаются.

I

Покажем, что р* (Z) = _, р* (Z,). Это очевидно, если оо^H'-Z.

Поэтому предположим, что oo^Z/., Тогда

р* (Z) - р’ (ZJ = р (Z) - р (ZJ = р ^ ^ z^ =

= 2 P(Z,)= 2t v- /„t t,

откуда следует требуемое равенство.

Таким образом, установлено, что р*^9ЦД’). Очевидная импликация

[р, (z) + рД Z) = р3 (Z)] => [Л (Z) + р; (Z) = р* (Z) I показывает, что р* — гомоморфизм.

Наконец, покажем, что р* непрерывно. Пусть р 6 3, где 3cz W (Д’); покажем, что р‘СЗ’, т. е. что p*|C^3*l С. По предположению р |С £ 3 | С, т. е. существует рсЕЗ, такое, что рс|С = р|С, откуда р*.|С==р*|С, следовательно, р*|С^З*|С (ибо р*с63>

*) Как показал Миколаишвили (!|, группа ЧЦ.Т") изоморфна группе гомологии Александрова — Чеха П.ф.Т’У

Э Эго обозначение мотивируется приложениями, рассматриваемыми в § 60.’

Запишем кратко

P.=V

Легко видеть, что

если oo^Q, то Ру = 0,

а сели оо^Ж — Q, то

если

<2 <=

Z

и ОО £ Ж — Z,

если

Q с

Z

И оо ^ Z

(4) Py(Z) = {

или

Q П

z = o

и оо £ .7 -' — Z,

если

Q Л

Z - 0

И оо ^ Z.

Из теорем 3 — 8 и. Л вытекают следующие утверждения:

Теорема 2. Если квазикомпоненты Qu, . .., Q,„ пространства Ж различны и °о £ Q то меры В , . линейно независимы.

Доказательство этой теоремы аналогично доказательству теоремы 3 и. II.

Теорема 3. Пусть [QJ — семейство компонент пространства Ж и. оо £ q(). Если эти компоненты открыты, то меры ру при /=Д0 являются образующими группы 91 (Д').

Доказательство. Так как операция ц* — гомоморфизм 9)1 (Д') на 91 (Д’), то теорема 3 следует из теоремы 4 п. II.

Теорема 4. Если пространство Ж имеет in + 1 компонент, то

ЧЦЖ^оТТ

Если Ж компактно и имеет бесконечное множество компонент, то 41 (Ж) = У*11.

Теорема 5. При предположениях теоремы 6 п. II подгруппа У группы 4ЦЖ\ порождаемая мерами ро , всюду плотна в 91 (Д').?

Действительно, операция ц’ непрерывна.

Теорема 6. Если пространство Ж сепарабельно, то 91 (Д') также сепарабельно.

Теорема 7. Теорема 8 п. II остается верной, если 4Л(Ж) заменить на 4ЦЖУ■

Доказательство. Достаточно вычеркнуть член ц(Ло) в формуле (9) п. II.

Теорема 8. Если Ж — компактное пространство, имеющее бесконечную последовательность компонент Qo, Qb . . ., которые все, за исключением Qo, открыты, то любую меру ц 6 91 (Д’) можно разложить в бесконечный ряд

И = 2/-’Д-, еде к. = у^^ « Pz = Pqz-

Д о к а з а тсльство. Пусть ц 6 91 (Д’) и pz = /г^, + ... + k^j. Покажем, что р = lim р;- и, следовательно, что (ср. I (7)) если

Z — данное открыто-замкнутое множество, то

pZ = lim p,(Z) = ^kMZY

j ->oo/ - 1

Легко видеть, что либо Z имеет вид

Z = QZ1 + . . . + Qi$ (где 0 < у < ... < UY

либо этот вид имеет Ж — Z (в зависимости от того, какое из соотношений: Qo П Z = 0 или Qoc:Z имеет место). В первом случае

н(/) = в (QzjT+n(Q/J = lu Д(г) + ... -vk^zY

откуда получается (7), так как для индекса I', отличного от индексов /р ..., is, мы имеем (4Г (Z) = 0; во втором случае

р(Д’-/) = ^k-M^-ZY

следовательно, ^z^-^’-z^^k^ {zy

так как РДД’ — Z) + p,(Z) = pz (Д') = 0.

Продолжение мер. В этом пункте мы предполагаем, что ГМ — метрическое локально связное пространство, содержащее Ж.

Определение. Пусть р?/ обозначает продолжение меры рб^ЦД-), определенное следующим образом:

ру (//) = р ^Ж f) ri') для любого И 6(0, 1)у.

Теорема 1. р?/ 6 -^ k^Y

Доказательство. Пусть И = U Mt, где II t не пересекаются. Тогда

^ (U МД - р ^' A U НД^ = р (U (^ Q Я,)) =^^мдпд-^рчмд.

Напомним, что Q^ по определению (см. § 1, VII) обозначает семейство множеств .^ A Q, где Q — компонента У. Так как каждое множество Я 6 (О, 1)у порождается компонентами У, то, согласно (1),

. Л [p0(Z) = p1(Z)|^ Л[ро(^ПЯ) = р1(.^ПН)]^

Z€9yи

^Д[р0ЧЯ) = р7(Я)];

поэтому

[M<«)-(i-1|4»)l-W-^>

Теорема 2. При тех же предположениях

(Pu e Р,) = [(pG = PG) для каждого открытого G, такого, что ifc.Gc: 1У];

(p6^)^A(p°64)g).

О

Доказательство. Соотношение (3) следует непосредственно из (2) и I (6), а (4) получается, если применить (2) и I (5):

(и € W = Л [(И I Qo) С 0) I <2о)]

^луоче») Kpjq^^^iqo)]^

Л у (Ц, 6 УЖ = pG) = Л (pg 6 д°).

Теорема 3. Продолжение р^ является непрерывным гомоморфизмом УЦИТ) в ®f(3/).

Доказательство. Непрерывность р^ следует непосредственно из (4); ру — гомоморфизм, так как

(Ро + Pi/ (Я) - (ро + Pi) (Я’ А Я) =

=» p(1(/Z- А Я) + р, (Д' А Я) = р^ (Я) + р7 (Я).

Теорема 4. Предыдущее отображение представляе! собой непрерывный гомоморфизм 41 (.^) в 41(3/).

Действительно, р^ 1ДЬД = р VH А ^) = Р(Я ).

Теорема 5. Если G — открытое множество в У, такое, что IUcGcU, то для каждого рЕ-^(^)

(цс)У = ^.

Доказательство. Пусть 11 С (0, 1)?/- Тогда, согласно теореме I, p°6^(G), а в силу (1)

(н°Г U0 = и6 (С П /7) = И (Д’ П G П Я) = И (Д' П ^ = ^ (//)•

Теорема 6. Если каждому множеству G, открытому в У и содержащему Я’, поставлена в соответствие мера va £ ®1 (G) таким образом, что

vg!~vg пРи условии Gtic^Gv

то существует мера у^^^Я"), такая, что

ц° = v0 для каждого G.

Доказательство. Пусть / — фиксированное множество, открыто-замкнутое в Я". Пусть Н и Я* —два непересекающихся открытых в У множества, таких, что 2 = Я‘^\Н и Д’— Z = = Д’ПЯ*. Положим G^H^H". Тогда Я 6(0, 1)°. Положим по определению

,i(Z)=v0M

Прежде всего покажем, что это определение корректно (т. е. не зависит от выбора II и Н* при фиксированном Z), а затем —что мера ц, определенная таким образом, является искомой, т. е. ц 6 УДЯ') и выполняется условие (7).

С этой целью предположим, что Gv и G2~ два множества, содержащих Я" и таких, что

Я! 6 (О, I)01, Я26(0, 1)°’ и Д-ПЯ^Д ПЯ,.

Покажем, что

уО1(Я,) = уОг(Я2).

Пусть Go —объединение компонент множества G| П G2, пересекающихся с Я'. Согласно (6),

= V- И V®’ = v,, ,ио MlGe (/?

откуда (согласно (1), если заменить там ц па vy, и У на Gi и G2 соответственно)

МЪ)-^:(Ъ)пъ).

Следовательно, равенство (10) вытекает из равенства СоПЯ| = = СоПЯ2. Теперь предположим, что Go П Я, ~ Я2э^0; тогда это множество содержит (по крайней мере) одну компоненту множества Go (как открыто-замкнутое подмножество Go); поскольку эта компонента пересекается с Я', то У П Go П Нх — Н2У=0, что противоречит (9).

Теперь покажем, чтор вполне аддитивна. Положим Z0 = y — Z и Z = \3Zb где Zt не пересекаются и открыты в Я’И^О).

Таким образом, существует (ср. с теоремой 2 из § 21, XI) семейство {Я,} (где / может принимать значение 0) ненсресе- кающихся множеств, открытых в У п таких, что У (1 Ht = Zt.

Пусть G = (J Ht. Тогда У a G и Я(£(0, 1)°. Согласно (8), I

p(z) = vom нл= 2 v0(я<) = ^нид

Наконец, справедливо равенство (7), т. е.

ц°(Я) = vG (Я) для каждого ЯЕ(0, I)17.

Действительно, пусть 7 = .ЯПЯ; согласно (1) и (8),

И°(Я) = ц(.ГПЯ) = ц(Х) = т0(Я).

Следствие 7. Если v0£ 91(G) и выполнены условия предыдущей теоремы, то функция ц, определенная условием (8), принадлежит 91 (.Я).

Доказательство. Согласно (8), р (У) = v0 (G) = 0.

Теорема 8. Пусть cxVo,g, — операция продолжения, определенная для каждой пары G«tdG\ следующим образом:

extGoG, (v) = vG" для каждого v£9J1(G|).

Так как семейство множеств G, открытых в У и таких, что G то У, направлено по отношению Goto Gb то множество 991(G) и отношения extGoG, образуют обратный спектр.

Заметим, что

extGoG, [extG1G1 (v)J = extGoG| (vG|) = (vG>)c° = vG° = ext0o0j(v),

согласно теореме 5 и (11).

Поэтому из теоремы 6 вытекает следующая

Теорема 9. ^(Я’) =f Lim (991(G), extGoGJ, где G от- к a. GcOG,

крыто и У CL Q ст 'У.

Искомый изоморфизм, являющийся в то же время гомеоморфизмом, получится, если каждой р £ № (^) поставить в соответствие элемент

(^бПЗЦО).

О

Теорема 10. Теорема 9 остается справедливой, если ЭГО заменить на 9t.

Это утверждение вытекает из следствия 7.

ГЛАВА 9

НЕКОТОРЫЕ ТЕОРЕМЫ

О НЕСВЯЗНОСТИ СФЕРЫ Уп

§ 59. Качественные проблемы

I. Ломаные в Д". Всякая дуга, состоящая из конечного числа прямолинейных сегментов, называется ломаной.

Теорема 1. Любую пару точек области Ra^n можно соединить в R ломаной.

Доказательство. Пусть р — фиксированная точка области R. Мы должны показать, что множество Р точек, которые можно соединить с точкой р ломаной, содержащейся в R, открыто-замкнуто в R (и, следовательно, совпадает с R\ Но это очевидное следствие того факта, что если точки х и у принадлежат (n-мерному) шару, содержащемуся в R, и если одна из них принадлежит Р, то и другая точка тоже принадлежит Р.

Лемма 2. Пусть с ~ фиксированное число, такое, что 0<с<1. Пусть Rx —прямоугольник с— Is^x^l, |//|^1— с, Rc — прямоугольник с(с — 1 )<: х^с, [ у | ^ с (1 — с\ L — сегмент О^х^с оси X, и пусть М и N — сегменты, соединяющие точку (О, 0) соответственно с границей Рг области Re и границей. Е{ области Ri и составляющие с осью X данный угол 0 или 9 +л, где 0<0<л. Тогда существует гомеоморфизм h, такой, что

h(Rl)~Ri, h(L) = M и 1Цх, у) = (х, у) для (х, уУ^Р^ N.

Доказательство. Пусть ф — возрастающая непрерывная функция, такая, что

<р (0) — 0, ф(9 + л) = 6 + л, ф(2л) = 0 + 2л.

Рассмотрим функцию ц, определенную следующим образом:

Ф (а)для 0 ^ и ^ с,

у (а, и) =1....

[«(« — с) + ф(а)(! — для c<zz<l.

Легко показать, что

(р #(2л, н)-#(0, zz) = 2n;

/> (а, и) — возрастающая функция от а при фиксированном и;

ft(a, 0) —q(a), ц^> 1) = «;

ft (0 + л, zz) - 0 + л.

Пусть вообще Ru обозначает прямоугольник

и (с — l)^x^izz, | у К zz (I - с),

и пусть К„ — его грашщд (рис. 15). Тогд.ч

R, = U F,u где Fu (1 Fu- = 0 для и ^ zz'.

и < 1

Функция h определяется следующим образом. Пусть (х, z/) —

и (х, y^F,r Пусть Цх, z/) — точка множества Fn с аргументом g(a, zz). Кроме того, будем считать, что h (0, 0) = (0, 0).

Из (ii) и (i) следует, что /г — гомеоморфизм Fu па Fu и, следовательно (на основании (3)), Уф на Rx.

Далее, 1гЦ^ = М, так как а = 0 и и ^ с для (х, y^L. Поэтому, согласно (2), ^(0, z/) = q)(O) = O в силу (1).

Наконец, если (х, /р^Уф, то и = 1, следовательно, дфа, 1) = а на основании (iii), откуда вытекает, что /г(х, z/) = (x, у\

Это же равенство выполняется, если (х, y^N, ибо в этом случае а = 0 + л, откуда у(а, zz) = а на основании (iv).

Обобщенная лемма 3. Пусть Р есть п-мерный прямоугольник в cf":

С — 1 ^С X, «^ 1 , | X , | sC 1 - С, . . . , | Хц | «С 1 ” <’■

Пусть L, М и N имеют тот же смысл, что и в лемме 2 ^если заменить гам х на л"г, а у tai х_>). Тогда существует гомеоморфизм {, такой, что

• КР^-Р, W-V-M и Цх^-х для х^Р^РЦ^ (л- означает точку (х,, .х,,)).

Доказательство. Пусть нл. — наибольшее из л— 1 чисел и, | х31: (1 - у)| хп I: (1 - с), где и определяется условием (х|, хф£Ри.

Точка Qh, ..., уф=-)' (х,, .х„) определяется следующим

образом: (/ц, №) — точка /•’,„ аргумент которой равен у (а, их\ где а—аргумент (хь х2); кроме того, уД х;;, .//„ = х„; на

конец, f(0) = 0.

Пусть задана система из и — 2 чисел х°, .х”; через

Р о и обозначим сечение Р, состоящее из точек Х|, . .., х,п х3 хи

таких, что х3 = х“, . .., xlt = х”.

Множество точек Р о о, таких, что (Х], хф £ Plt (где и задано заранее), будем обозначать через Р п о .

Легко видеть, что их постоянно, когда х пробегает множество Р о о . Следовательно (ср. (i) и (ii)), / есть гомеоморфизм этого множества па себя. С другой стороны,

Р = U Рх3 .хпи>

где объединение берется по всем таким системам х3 . .. хпи, что

| хл | ^ 1 — с, . . ., | x,J ^ 1 — с, О «С и ^ 1 •

Так как члены этого объединения не пересекаются, то f — гомеоморфизм, такой, что f(P) = P.

На плоскости ХхХ2 выполняется равенство их = и, так что функция f совпадает с h. Поэтому ЦЦ = М и/(х) = хдля x^N.

Наконец, пусть x^Fr(/)). Покажем, что Цх^х. Граница Р состоит из таких точек х, что (хн хд)£Рь а также из точек х, для которых либо | х31 = 1 — с, . . ., либо |xri|=l—с. Если (хь х^^Р), то //=1, откуда ил.= 1 и, следовательно, f(x) —х, согласно (iii). К такому же заключению мы приходим, если | X/1 = 1 — с для индекса /^3.

Теорема 4'). В (Рп все ломаные топологически эквивалентны; это означает, что для любой пары ломаных существует

*) Обобщение этой теоремы на произвольные дуги (для н 2) ем. в §60 V, теорема 2.

гомеоморфизм tf" на <j", отображающий одну из этих ломаных на другую.

Доказательство. Применим индукцию по числу m сторон рассматриваемой ломаной. Так как теорема очевидна при m = 1 (прямолинейный сегмент), то предположим, что опа справедлива для tn — 1 (/?? ^ 2). Пусть Л = аиах . .. um_vam — ломаная. Очевидно, можно считать, что точка ап1_х совпадает с началом координат, что сторона ат_щт лежит па оси Xv, ат_1ат_х —• в плоскости ХхХ.2 и что 0 = Za,n_2a,n_xa,n < л. Пусть с = | ат— ат_х |. Пусть е > 0 —такое число, что (п-мерный) прямоугольник Р, определяемый условиями

— 8 ^ X] ^ С + 8, I Х2 | -Д 8, . . . , I Хп |8,

не пересекается с дугой аоах . .. ат_2.

Предположим, что с + е=1; тогда в лемме 3 можно положить Е = ат_хат и N = Р fl am_.,am_Vl а через М обозначим прямолинейное продолжение сегмента am_2ant_x от точки ат_х до Fc.

Пусть f — гомеоморфизм, рассмотренный в лемме 3; обозначим через h отображение с?п на Д", определяемое следующим образом:

А(х) = /(х) для х^Р, /г(х) = х для x^<f'l — P.

Так как /(х) = х на границе Р, то h непрерывно, а так как f(P) = P, то /г — гомеоморфизм <fn на ^". Более того, h отображает дугу А на ломаную В=аоах . .. щ„_,иЛ4 с in — 1 сторонами, так как из условия f(x) = x для х^Х вытекает, что /г(х) = х при хС«о ■•• ctm_x, а поскольку / («т-Щш) = Л4, то из этого следует, что МА) —В.

Так как теорема по предположению имеет место для В, то она верна также и для А.

Теорема 5. Если Л —ломаная, то

A=(V'k, где Fk+X с Int (Fk) и Fk = Е (х? + ... + х^ < 1). 1х

Доказательство. В силу теоремы 4 доказательство сводится к случаю, когда Л — прямолинейный сегмент. Но в этом случае утверждение очевидно; действительно, всякий сегмент представляет собой пересечение бесконечной убывающей последовательности эллипсоидов.

Теорема 6. Если А — ломаная, то <?а — Л = cf" — (0). Более того, можно считать, что рассматриваемый гомеоморфизм есть

тождественное отображение вне некоторой окрестности ломаной А.

Доказательство. Предположим, что А — прямолинейный сегмент и что множества Ffc из теоремы 5 — эллипсоиды. Пусть Кт — шар xj + ... + х^<1/т. Легко определить отображение ^" — Fx па <fn — К\ и вообще F,n — F,n+X на Кт — Кт*\ и гомеоморфизм ^" — А на cf" — (0).

Теорема 7 (линейная достижимость). Пусть А — ломаная, R — область в <fn, p^AcLRuq^R — А. Существует ломаная В, такая, что р, q^B cl R и А[\В — (р).

Доказательство. Заключим точку р в достаточно малый шар; легко видеть, что в этом шаре существует прямолинейный сегмент pq' cl R, имеющий с А только одну общую точку р. По теореме 6 множество <Т" — А является областью, поэтому областью будет и множество R — А (так как R — А = R (] (<fn — Л) и R U(^” — А) = <д"; ср. § 57, II, теорема 2). Следовательно (по теореме 1), существует ломаная q'qcLR — А. Обозначим через В дугу pq, содержащуюся в pq'Vjq'q.

Теоремы 5—7, примененные к пространству <^„, приводят к следующему утверждению:

Теорема 8. Пусть а0, ..., а,п — система точек области R с jf^, тогда существуют дуга А и область R*, такие, что

а0, .... а,п£ AclR*. R* cl R;

fn-Л^';

(Ш) /?*^Е(л-?+...+х^1), R^/cF" и Ft(R^^^.

Доказательство. Пусть а0, ..., а,„ — система точек в области RcL<Fn; принимая во внимание теоремы 1 и 7, легко доказать (по индукции), что в R существует ломаная, содержащая эти точки. Рассматривая <^„ как пространство cF", пополненное бесконечно удаленной точкой, мы приходим к заключению, что существуют дуга А, такая, что а0, ..., (im£AcR, и гомеоморфизм h множества <fa — A на еР" —(0), оставляющий инвариантной бесконечно удаленную точку (согласно теореме 6); следовательно, h определяет гомеоморфизм ^„ — 71 на ^п — (0); так как последнее множество гомеоморфно tf", то условие (ii) доказано.

Оставшаяся часть теоремы 8 вытекает из теоремы 5.

Разрезы сферы Уп ’). Согласно теореме 2' из § 54, III, размерность связности п и cf" равна п. Другими словами, никакое замкнутое подмножество размерности д^/г —2 не разделяет эти пространства. Покажем, что никакое множество размерности ^« — 2 (замкнутое или нет) не разрезает их. Более точно, справедлива следующая

Теорема 1 (Мазуркевича 2)). Пусть R —область в 'ФИ1 (или в оУп\

Пела dim Л </г — 2, то R — Л — полуконтинуум.

Лемма 2. Пусть 8 = ро .. . рп есть п-мерный симплекс. Если EcS - pt .. . рп — Ро и dim Е ^п — 2, то существует подконтинуум множества 8 — Е, соединяющий р0 с р\ ... рп.

Доказательство. Положим

Qt = Рй • • ■ Pi-\Pi*\ ■ . • Рп и Gt = S — Ql — Q0.

Так как GiU ••• U Gn = 8 — pQ — Qt) то E, то из неравенства dim Е ^/i — 2 в силу теоремы 4 § 27, III следует существование системы открытых множеств Н\Н п, такой, что

Е ст Hv U . .. U Ik. Д1 П . ■ • П Ik = 0, Ht ст Gh следовательно,

Н£ П Qt = 0.

На основании теоремы 8 § 28, 11_ отсюда следует, что множество //,и . .. U Пп не разделяет 3 между ри и Qu. Поэтому существует континуум, соединяющий ри с Qo в S — (Я, U ...

Таким образом, лемма доказана. Пусть б„ —шар Е [| х|^ П в <Т", a pN и ps — его полюсы. Покажем, что никакое подмножество А множества fk — pN — ps размерности ^ п — 2 не разрезает Gn между pN и ps. Пусть f; S-* Gn — непрерывное отображение, такое, что

Н^ = бп, 1Ы-рп, r\ps^Q0,

') Теоремы 3—11 ср. Борсук [4]. Ср. также Борсук [3] и Александров [8, стр. 218].

См. Мазуркевич [15, стр. 211].

и /1 S — prt — Qo — гомеоморфизм; тогда множество Е = f-1 (Л) удовлетворяет условиям леммы 2. Пусть С — континуум, такой, что_

Ро С с S Е и CQ Qo т^ 0.

Тогда / (С) — континуум, соединяющий точку pN с точкой ps в бп — А.

Отсюда следует, что никакое множество размерности ^/г —2 не разрезает Е" между двумя точками а и Ь, так как оно не разрезает шар с центром -^ (а + Ь) диаметра | а — Ь | между а иЬ.

Наконец, пусть R — область в cf"; a, b^R и dim Я^п — 2.

По теореме 8 п. I существует область R* с R, гомеоморфная У" п содержащая п и Ь. Как только что было доказано, существует континуум, соединяющий а с b в R* — Л и, следовательно, в R — Л.

Замечание. К. Ситников показал (для п = 3), что существует множество Л размерности п — 1, такое, что R — А — полуконтинуум, какова бы ни была область R ').

Это множество типа б6. Пи одно Fo-множество не обладает этим свойством. Подобного примера па плоскости не существует.

Теорема 3. Пусть F = Fc <Уп =/= F и f: F -* <Уп_\ — непрерывное отображение. Следующие условия эквивалентны:

f ~ 1 (г. е. гомотопно единице)-,

(п) / допускает продолжение на <Уп;

/ допускает продолжение на Уп с выброшенной одной точкой.

Доказательство. Импликация (i)==>(ii) непосредственно следует из теоремы 7 § 54, II, а импликация (ii)==>(iii) очевидна. Остается показать, что (iii)=>(i). Пусть Р^ЕЕ^ — Г и g: <Уп — р —> оУ,г„ , — непрерывное продолжение /. Так как множество ^п — р стягиваемо в себе (будучи гомеоморфным Е"), то g~ 1 (ср. § 54, VI, 2(3)), откуда f~ 1.

Теорема 4. Пусть р У q, F = F с Уп — р — q и f: Уп — р — — q-*t9\_\ непрерывно. Если F не есть разрез между р и q, то f | F ~ 1.

Доказательство. Пусть Л —ломаная, такая, что р, q С ЕоУп — F. Так как У,г — I, гомеоморфио cf'1 (ср. 1, 8 (ii)), то оно стягиваемо в себе. Следовательно, (/I Уп — L) ~ 1, откуда 1.

') См. Ситников [3] и [4].

Теорема 5. Пусть pAq, f- S'п — Р ~ Я “* ^п-х ~ непрерывно и f <фХ. Если X разделяет р и q, то t\ X сф. X.

Доказательство. Так как X разделяет р и q, то оно содержит замкнутое множество F, разделяющее эти точки (§ 14, V, теорема 1). Поэтому

S„ = AUB, р£А = А, q^B = B и А П В = F.

Без ограничения общности можно считать, что р — северный полюс Sw q — южный полюс и А содержится в замкнутом северном полушарии.

Предположим, что f|X~l, откуда f|F~:l, и, следовательно, (f |F) cz g £ S^, согласно теореме 3. Положим

f 8^ Для х^А,Х I f(x) для x^B — q.

Тогда f: Sn — q-> S п_х — непрерывная функция и (f | Sn_x) cz f, так как S„_iCzB. В силу теоремы 3 имеем flSn_i~ 1. Так как множество Sn — р — q деформируемо па S п_х в себе ('ср. § 54, IV, пример 2), то (согласно теореме 1 из § 54, IV) f ^ 1.

Следствие 6. Пусть pN и ps — северный и южный полюсы Sп и г: Sn — pN — qs^^n-x ~ проекция на экватор S п_х вдоль меридианов.

Замкнутое *)подмножество F множества Sn — pN — ps является разрезом между полюсами тогда и только тогда, когда г \ F cfs. 1.

Доказательство. Так как г(х) = х для х ^ Sn_x, то (ср. § 54, I, теорема 9) r\Sn_xc^X и, следовательно, г ф 1.

Лемма 7. Всякая непрерывная функция f: Sn_x->y допускает (непрерывное) продолжение f*: 6п — (0) —> У.

Доказательство. Достаточно положить f* (х) = f (у^-р) для 0 #= х £ 6п.

Лемма 8. Пусть R — область в S п, р, q^Ru ("• R — р-+У непрерывно. Тогда существует непрерывная функция g: R-q-^У, такая, что f |Fr (R) cz g.

Доказательство. Согласно теореме 8 п. I, существует область R*, такая, что

p.qER*. R‘czR, R- = 6„ и Fr(/?-)^^„_,.

') Предположение, что F замкнуто, для п = 2 можно опустить; см. § 60, II, теорема I.

f h(x)f h(x)Пусть, в соответствии с теоремой 7, /г: R* — q -> У — непрерывное продолжение f|Fr(/?‘). Достаточно положить

f h(x)

f h(x)

для х^К — q, для x^R — R*.

Теорема 9. Пусть F = F а <У п и R. F -* ^ n_v —непрерывное отображение. Существуют конечное множество Л с с^„ — /•' и (непрерывное) продолжение f: У п — А-*<У п_х отображения f *).

Более точно, существует конечная система (которая может быть и пустой) различных компонент Ro, ..., Rk множества Уп — F, такая, что

f | Fr (/?у) ^ 1 для j^k;

(и) й =# 0;

если Е обозначает систему точек р0, ..., рк, где Pj^Rj, то существует непрерывное продолжение f*: У п — Е—> У п_ 1 отображения f.

Доказательство. Так как У п_\ — абсолютный окрест- ностный ретракт, то ( допускает продолжение на окрестность F и, следовательно, на полиэдр, содержащий F. Таким образом, существует (замкнутый несингулярный) комплекс Т ь ..., Тг, такой, что У п = Ti U ■ ■ . U Tm U . .. U Т, и dim Тj = n, а также непрерывное продолжение fx: Р—>Уп_х отображения /, где Р = т{ и .. . и Тт. Пусть Q = Fr(Tm+1) и . . . (J Fr Тг. Тогда dim Q< ^n—1. Так как сфера eV„_, связна и локально связна в размерностях < п — 1 (ср. § 53, V, теорема 2), то /, допускает непрерывное продолжение f2: PUQ-*^-! (по теореме 1' § 53, IV).

Пусть Пу —центр Т j. Положим Л = (ат+1, ..., а,). По теореме 8 функция /ДР^Гу) допускает (для каждого j>m) продолжение f2. р Тj — а{-> Уп_\. Функция f3, совпадающая cf на Р (J Q и с f2,j на Tj — Uj, где / = т+1, . .., г, является непрерывным продолжением f и Д: Уп — Л-* У п_\.

Итак, первая часть теоремы 9 доказана.

Пусть В = (Ь0, ..., bk) — подмножество Уп — Р, такое, что функция / имеет непрерывное продолжение g; S^n — В -> рУn..v и В неприводимо относительно этого свойства; это означает, что t не допускает продолжения на <У,г — В\ЗЬ; ни для какого j ^ к.

') См., например, Эйленберг [9]. Ср. с теоремой 7 § 53, VI.

Пусть Rj — компонента множества У^ —F, содержащая bj. Покажем, что R^R, при 1У).

Допустим, что это нс так и что bn, b^R^. Разность Ru — ^b»,М представляет собой область (ср. с теоремой I);

пусть (в соответствии с теоремой 8) Д' —такая область, что

bo, ЬУ R\ R* cz Д, V>^ .... bh), R - б„ и Fr (R ) -; У„ „

По теореме 7

№(ДК^7''-

Но тогда функция g", совпадающая с у на У ,t - R’— В и с gt на R* — Ьь является продолжением / на ^„-(/ц, . bk), что противоречит определению В.

Если предположить, вопреки (i), что /1Fr )R,) ~ 1, то по теореме 3 существует продолжение /г: Уп->Уп_х отображения /|Ег(Ду). По тогда функция g\ совпадающая с g па Уп — В;-В и с h на Rp была бы продолжением / на Уп — В (J bh что невозможно.

Если предположить, что к = 0, то тогда В — Ь^ и, следовательно, g: У „ — bp-* Уп-\ — непрерывное отображение; поэтому j допускало бы продолжение па все пространство Уa (по теореме 3).

Для того чтобы доказать (iii), предположим в соответствии с теоремой 8, что g |Ег(Д;) имеет продолжение \р R, — рг-> Уп..ь

Обозначим через f функцию, совпадающую с g па У„ — -(ДоU • ■■ ОДД и с // на Rj-pj для / = О, . .., к.

Теорема 10 (Борсука1)). Преть В = В с УпУ В. Следующие условия эквивалентны:

Уп — В связно;

^-i связно;

F стягиваемо относительно Уп

Доказательство, (ii) ^ (iii) следует из теоремы 2 § 54, V; (iii) === (iv) вытекает из теоремы 3. Импликация (iii)=^(i) следует из теоремы 6. Остается показать, что (i)=^(iv). Предположим, что F не есть разрез и что j: F -> Уп._\ — непрерывная функция. Так как множество Уп — F — область, то / допускает продолжение /*: У1г->Уп_\ (согласно теореме 9 (ii)).

') См. примечание 1 на стр. '164.

Теорема 11. Если ни одно из замкнутых множеств /;0 и Fv не разрезает <Уп между гонками р и q и если dim (Fu П ^i) ^ ^ н — 3, то их объединение FO\3FX также нс разрезает Уп между этими точками ').

Д о к а з а т с л ь с т в о. Положим р = pN и q = ps; по теореме 6 имеем г f/-'0 ~ I и г|Л| ~ I, а, согласно теореме 9 из § 54, II, г | Fu U Р\~ I. Отсюда в силу теоремы 6 следует требуемое заключение.

Неприводимые разрезы.

Теорема 1. Пусть F = F cSA^— p — q, f: ФА п — р — q -> ^„_| — непрерывная функция и [ сф 1. Множество F есть неприводимый разрез if „ между р и q тогда и только тогда, когда f \ F сф 1- ненр.

Другими словами, условие: F представляет собой разрез между р и q, тогда как никакое подмножество A~AczF^=A нс является разрезом, эквивалентно условию: }\Есф\, тогда как / | Л ~ 1 для каждого Л = Л с F А.

Это прямое следствие теорем 4 и 5 п. II.

Замен а н и е. Если р = pN и q = р$, то функцию / можно заменить функцией г из следствия 6 п. II.

Т е о р е м а 22). Пусть F = F=A= ФА п. Следующие условия эквивалентны:

F — неприводимый разрез между двумя точками;

F — общая граница двух компонент множества ^„ — F;

существует непрерывная функция р. F->eAlt_x, такая, что f сф I.

Доказательство, (i) = (ii) следует из теоремы 1 § 49, V, а импликация (i)=>(iii) получается из теоремы I. Остается показать, что (iii) =^ (Н). Пусть f: Г ФАп_х — непрерывная функция, такая, что /1. Так как /^ 1, то существуют две ком-

Непр.

попепты ПпФ R\ множества eAn — F, такие, что /|Fr(7?;)qfcl для / = О, 1 (ср. II, 9 (ii), и II, 3 (ii)). Тогда F = РЦП^, ибо в противном случае /|Ег(/?,)~ 1, согласно условию /' qfc I.

■) Для п = 2 предположение о том, что множество F0?\Fi пусто, можно заменить условием его связности. Он § 59, [, теорема 6. Для и. 3 теорема 11 вытекает из уппкогерептносги <Ух, см. § 57, II, теорема 3.

“) Эйленберг [7, стр. 1011.

Теорема 3. Если F — замкнутый разрез, неприводимые между р и у, то никакое замкнутое подмножество размерности ^ п — 3 не разделяет F ').

Это прямое следствие теоремы 11 п. II.

Теорем а 4. Пусть С — континуум в <У„, R — компонента множества cf„—C it I1' = F cz Fr (А?). Если dmi F^.n — 3 и C—F связно, то связно и множество Fr (R) — F.

Доказательство. Предположим, что множество Fr(A?) — F не связно, так что

F г (/?) - F = М U N, (М A W) U (W А М) = 0, M + HN.

Пусть К = ^п ~ R- Тогда

■ K-mRW^n-R') И ^„-R^BtU Взи

есть (бесконечный, конечный или пустой) ряд компонент множества ^Fn — R. Согласно теореме 2 § 49, V, множество Fr^B^ представляет собой неприводимый разрез У п, Из соотношения

Fr kB^ с Fr (Я) с Fr (/?) = М U F U N

вытекает, что либо М A Fr (В^ = 0, либо N А Fr (Вр = 0, так как множество F не разделяет Fr(/?z) (по теореме 3), ибо dim F^n — 3.

Обозначим через М* объединение множества М (J F и всех множеств Вь таких, что N A Fr (В^ = 0, а через Л/* — объединение множества N U F и всех остальных множеств Вг. Тогда (ср. § 49, III, теорема 3)

K = M*UN*, M’ = Af, N* = N* и M*nN* = F.

Так как

М (J N с Fr (R) с С с <У п - R = К, то

С = (САМ*) U (С пл,

F = (С АМ*) п (С п V) И С Г\ М* =С С С Г\ N*; следовательно, C — F не связно.

IV. Инварианты. Понятие замкнутого разреза множества S’п, а также понятие неприводимого замкнутого разреза являются топологическими инвариантами, так как они характеризуются внутренними свойствами (теорема 10 п. II и теорема 2 (ш) п. III). В частности, отсюда следует, что подмножество сферы S’п, гомеоморфное <Уа_ь является неприводимым разрезом д’п.

') Ср. Александров [8, стр. 227| п Куратовский [33]. Теорема 3 принадлежит Урысоиу [41 п [5, стр. 312].

Более точно, имеет место сл»чующая

Теорема 1. Понятие замкнутого разреза инвариантно относительно преобразований с малыми прообразами точек.

Это следует из теоремы 5 § 54, V и теоремы 10 (iii) п. II.

Теорема 2. Пусть F = F с: й7п — р — q. Если F — разрез между р и q, то каждое множество, получающееся из F с помощью деформации в ^„ — р — q, является разрезом между р и q.

Это следует из теоремы I § 54, IV и теоремы 6 п. II.

Так как понятие замкнутого неприводимого разреза есть внутренний инвариант, то из теоремы 2 вытекает

Теорема 3. Никакой замкнутый неприводимый разрез не допускает деформации на собственное подмножество.

Из теоремы 2 вытекает также

Теорема 4. Если замкнутый разрез между р и q можно деформировать в одну точку, то в процессе этой деформации обязательно придется пройти либо через точку р, либо через точку q.

А вот другая форма теоремы 4’):

Теорема 4а. Если F — замкнутое подмножество пространства <Г", то каждая ограниченная компонента множества <Р" — F заметается в процессе всякой деформации F в одну точку.

Доказательство. В теореме 4 можно считать, что р — произвольная точка некоторой ограниченной компоненты, а г/— бесконечно удаленная точка.

Теорема 5. Всякое множество F = F с оУп — р — q, не являющееся резрезом между р и q, можно преобразовать в точку при помощи деформации, выполненной в фРп — р — q.

Доказательство. Пусть Л — ломаная pqcl ef п — F1, тогда множество Уп — Л стягиваемо в себе, так как оно является гомеоморфным образом cf" (ср. с теоремой 8 и. I).

Теорема 6. Понятие разделителя есть внутренний инвариант-, другими словами, если Л и В —два гомеоморфных подмножества сферы S'„ и с/п — Л связно, то связно и множество У* п — В.

Доказательство. Если сУп — В не связно, то по теореме 7 § 49, IV существует замкнутое множество FcB, такое,

что из условий F cz Н = If cz В вытекает, что // — разрез <Уп. Так как понятие замкнутого разреза — внутренний инвариант, то па основании той же теоремы Л — разделитель йА п.

Замечание. Понятие (незамкнутого) разреза сферы Уг не является внутренним инвариантом.

Это подтверждается следующим примером:

Л-Е Hz/ = sin-b)(O<| х |< 1)}U(O, 1)(Ж -1),

В = Е = sin Д(0<х< 1) [и Е l(// = ^ + sin Д(0<х< l)l(J х, у * 'Л '' х. ул />

и (О, 1)U(O, -1).

Лемма 7. Если G — ограниченное открытое подмножество пространства У, то не существует ретракции G на Fr(G)1)-

Доказательство. Можно считать, что G cz G„ и что точка 0 принадлежит G. Пусть г; G-> Fr (G) — ретракция. Полагая_

г уу. \ г у.1) \ для x^G,

х : | х | для x£fi№ - G,

мы определим ретракцию бп па ^У-у, что противоречит теореме 2 § 28, III.

Теорема 8. Если А — ретракт компактного подмножества F пространства У, то число компонент множества У — А не превосходит числа компонент множества У — F,

Если А — деформационный ретракт F, то эти числа равны.

Доказательство. Пусть г; F —> Л — ретракция и R — компонента У — Л. Тогда Fr(B) cz А. Отсюда следует, что R — FyO, так как иначе r\ R было бы ретракцией R па Л П R = Fr (/?), что противоречит теореме 7.

Таким образом, некоторая точка pR^R — F может быть поставлена в соответствие множеству R. Пусть (^ — компонента У — F, содержащая pR. Так как Д" — F cz У — Л, то QrcR; таким образом, первая часть теоремы 8 доказана.

Вторая часть следует из первой па основании теоремы 2.

Теорема 9. Если А —компактный абсолютный окрест- ностный ретракт, лежащий в У, то число областей в У — А конечно.

Если Л — абсолютный ретракт, то это число равно 1, т. е. Л нс разрезает пространство.

Доказательство. Так как А представляет собой ретракт ограниченного открытого подмножества У”, то Л — ретракт некоторого полиэдра, а следовательно, компактного множества, разрезающего пространство па конечное число областей.

Если Л — абсолютный ретракт, то можно считать, что этот полиэдр есть /z-мерпый куб.

Теорема 10. Для подмножеств сферы оУп понятие внутренней точки, а следовательно, понятие открытого множества и граничного множества являются внутренними инвариантами ').

Доказательство. Пусть A cz Уп, G— открытое множество, р £ G cz А и /г — гомеоморфизм, определенный на А. Покажем, что h (р) — внутренняя точка множества /г(/1).

Пусть F — замкнутое множество, а Р и R — две (непустые) области, такие, что

FczG-p, yn-F = PUR, pGP^G и РП/? = О

(например, F можно определить как пересечение Уп с достаточно малой сферой с центром в точке р).

Так как F — разрез Уп (между Р и Рф то h (F) — тоже разрез (ср. с теоремой 6); следовательно, существуют два открытых множества М и ^, таких, что

^„-/z^-MUN, W = 0, ДГ-ДО^Д.

Так как множество ЦР) связно, то либо ЦР^сМ, либо h(P)czN. Предположим, что

h^P^czM, откуда N f) h(P) = 0.

Тогда

y.-h^FUP^y^Vh^Uh^-VM-hOUVN-hWA^

-Vm-hwaun.

Множество F U Р не является разрезом (ибо область R — его дополнение); ЦРУ?) также не является разрезом. Другими словами, множество [М — h (Р)] U N связно. Так как множества М— h(P) и N отделимы (ибо таковыми являются Л1 и Д), то одно из них пусто. Поскольку N У= 0, то Л! — h(P) = Q, откуда следует, что Л1 с/ЦР), и потому Л1 = /г(Р) (согласно (2)). Таким образом, множество h^P) открыто.

Так как Цр^ h (Р) с h^G) cz /ДА), то h (р) — внутренняя точка множества /г (Л).

Замечание. Для локально связного континуума Д из инвариантности понятия замкнутого разреза вытекает инвариантность понятия внутренней точки.

Доказательство. Так как Д' содержит точку, которая его не разрезает (ср. § 47, IV, теорема 5), то из инвариантности разреза следует, что никакая точка Д' не является разрезом. Поэтому существует (ср. § 50, III, теорема 1) замкнутое множество Я, такое, что р С Int(/7)cz G и множество Р = Д — Н — область. Пусть Р обозначает компоненту точки р в 1п4(Я) и F = Н — Р; тогда условия (1) удовлетворяются и предыдущее доказательство остается справедливым (если ДА п заменить на Д\

Добавим без доказательства следующее утверждение ).

Теорема И. Всякое счетное множество, всюду плотное в Д'1, топологически эквивалентно множеству рациональных точек Дп.

Отсюда вытекает следующая

Теорема 12. В Д" всякое граничное множество А имеет размерность <п.

Доказательство. Доказательство сводится к случаю, когда А состоит из точек, каждая из которых имеет по крайней мере одну иррациональную координату. Обозначим через А^ множество точек Д", имеющих /г рациональных и п — k иррациональных координат; тогда

H = AU ... U А-ь следовательно, dim At = О2), поэтому dim/г-1 по теореме 3 из § 27, I.

Замечания по поводу теоремы Борсука — Улама. Согласно этой теореме (приведенной в § 41, VIII), известной как теорема об антиподах, для каждой непрерывной функции f:существует точка р^^п. такая, что f{р)^f{— р)3).

Сформулируем (без доказательства) несколько теорем, касающихся аналогичных проблем.

Для каждой непрерывной функции /: of п >сГ существует система п ортогональных точек рь ..., рт такая, что f(Pt) = = f(-P.) = ... =НРпЫЧ-РпП

В случае п = 2 эта теорема была ранее доказана Дайсоном).

Для каждой непрерывной функции f: д’п- >’<Р существует система п + 1 ортогональных точек р0, ..., рп, такая, что fW” . .. ^(РпЛ-

Если сфера S’п покрыта (zz + 1) замкнутыми множествами, то по крайней мере одно из таких множеств содержит пару диаметрально противоположных точек '1).

Цель других обобщений упомянутых выше теорем состоит в следующем:

заменить сферу гбф, более общим пространством (понимая под антиподальным преобразованием непрерывную инволюцию) );

(п) заменить (однозначное) преобразование / многозначным );

(Hi) применить эти теоремы (например, теорему об антиподах) к линейным топологическим пространствам (бесконечной размерности));

(iv) распространить теоремы о пространстве (Д'")"7'" на пространства ^^ п при ^^zz (проблема Кнастера)).

§ 60. Количественные проблемы. Когомотопное умножение.Теоремы двойственности

I. Введение. Положим д’п = cP" — (0), X с У" и ц^2. Кого- мотоппое умножение, введенное Борсуком (для компактного X), — это операция, определенная на элементах множества К (с^^)

*) См. Янг [I]. Используя гомологические методы, Янг обобщил свою теорему и теорему об антиподах. Ср. Ливсей [1], Бургин ]4, стр. 338].

(множества компонент пространства <У^\ превращающая 6. (е^«) в топологическую группу.

В частном случае /г = 2 умножение элементов 6. (^2) индуцируется умноженном функции fv L^^ (ср. § 62, 1), которое в свою очередь индуцируется умножением комплексных чисел:

(О (/о^Л •/2) —[А>(х) = Л(х)-/^(х) для любого х^Х],

(Го = Г, . \'^=\су1цествуют ЛСГ,, ^ 6 Го, такие, что (Л-МбГо];

аналогично деление индуцируется делением ненулевых комплексных чисел.

Если /г >2, эта процедура не применима, так как не существует умножения точек в Д". Однако соотношение (1) можно использовать в частном случае, когда для каждого х^Х либо Л(х) = 1, либо f2(x) — 1 (в этом случае функции /( и /2 будем называть «мультипликативными»); при этом мы считаем, что

= (1, 0, 0, . . ., 0) и р • \ =- р = \ • р для р £ Д";

деление 1 '. ^х^ определяется с помощью следующего правила: если р = ^хх, х2, . .., х„\ то 1 :р=ЦхХ) х., ..., хп_х, - х,^ : | р |. (Очевидно, это деление зависит от /г.)

В дальнейшем мы покажем, как умножение элементов К^п) можно получить из умножения мультипликативных функций *).

Замечание. Если X компактно, то компоненты пространства с?п дугообразно связны (теорема 3 § 53, III); другими словами, они совпадают е гомотопическими классами. В этом случае группа К(<5"») называется п-и группой коголютопии множества X (обозначается л"(Х))2).

Далее, если X компактно, то Е(<?^2) совпадает с факторгруппой c^2V по группе функций, гомотопных единице (ср. § 62, I). См. также замечание 2 п. VII.

Формулировка проблемы. Пусть Q — множество произвольных элементов и / • ^ (или, короче, /д) — операция, определенная па некоторых нарах /, у элементов <2. Во всех

') В этом изложении мы следуем общей идее К. Борсука п распространяем ее па множества X с ?", по обязательно компактные. См. Борсук (15) и [23]. Идеи Борсука были развиты Спапьером [I], Морита [2|, Грапасом [2|. Некоторые обобщения ем. 1'еиба [1] и Яноровскип [3|, [4]. Из исторических соображений упомянем работу Фройденталя [1].

случаях, когда можно производить эту операцию (т. е. когда рассматриваемые элементы «мультипликативны»), должны выполняться следующие обычные условия1):

(«) {«№

Ф) 1'к = цЬ

(v) I4R10 = 0«) h-_,

существует элемент 1, такой, что /• 1=/'.

Далее, предположим, что f ^ g — отношение эквивалентности, определенное для каждой пары элементов из £2, что 1 Д —отображение 12 на £2 и что при этом выполняются следующие условия:

каждой паре f, g соответствует мультипликативная пара f', g', гикая, что V ~ / 11 ft' ~ g; более общо, каждой тройке f, g, h соответствует тройка j', g', h', для которой существуют все произведения, фигурирующие в условии (у), и при этом Г ~ /', g' ~ К- h' ~ h;

(а) если /'„- gn и gh то hrh~g<rgi при условии, что эти произведения существуют;

для. каждого j существует пара g, h, такая, что g-b h^va, gk^v,

из f « g следует, что (I ; /) « (1 : g).

При этих условиях умножение fg индуцирует умножение классов эквивалентности, так что множество этих классов, которое мы обозначим Б (£2), образует абелеву группу.

Более точно, умножение классов эквивалентности определяется следующим образом:

О'о = Г| • Г2) = [существуют [, £Г,, f.,^ Г2, ,

такие, что (Ц- А)бГо].

Единицей этой группы является класс, содержащий единицу множества £2. Элемент 1 : Г — это класс, содержащий элемент 1 Д, где /6 Г.

Мы опускаем простое доказательство этой теоремы.

Обозначения. Для /^£2 обозначим через f класс эквивалентности, содержащий j, т. е.

Введем следующие обозначения:

fo-irln если /о = 71-7'2,

frk^k-Le если Ь-иНз-Ь,

Б Ср. е понятием «группоида»; Брандт [1|. Ср. также с понятием мультипликативной спегемы; (/гиирод и лИтаенбсрг [ 11. .,

и аналогично для произвольного числа сомножителей, а также в случае, когда произведения для пар Qb f2), (f3, f4) и т. д. не определены.

Легко показать, что

каждой паре f, g^" соответствует элемент /г £ Q, такой, что h « ^ • g;

соотношения (Р) и (у) имеют место для всех элементов й, если знак = заменить знаком ~;

утверждение (ii) имеет место независимо от существования входящих в пего произведений; другими словами, соотношения эквивалентности можно умножать (а также делить);

/ -(I -7)~ 1-

Положив й = ^п, легко показать, что условия (а) — (д) удовлетворяются, если под умножением функций f и g понимать умножение мультипликативных функций (определенных в п. I). С другой стороны, будем считать, что f « g означает, что функции / и g принадлежат одной и той же компоненте пространства е?п (т. е. одному и тому же элементу множества К (^п)). Покажем, что если умножение f • g и отношение f ~ g понимаются указанным образом, то условия (i) — (iv) выполняются для каждого X с <fn (п ^ 2).

В частности, условия (i) и (ii) можно сформулировать следующим образом (если вместо пространства S6* рассматривать пространство ^„ с Хс2<?п+', что не приводит к существенным различиям; ср. V, теорема 6). Условимся считать, что

)^„ V^n = [^„X(l)]U[(l)X ^„],

) д’n\j S’nN S’п =

= [оУ,„Х^„Х(1)]и[^„Х(1)Х^„]и[(1)Х^„Х^„],

) Г„ = [^Х(1) X(1)]U[(DX<^„ X (1)] U [(1) X(l)X S’A-

Тогда существование произведения f • g, где f, g£<S°n, означает, что «составное» отображение ср = (/, g) является элементом множества (^ V ^t^- Аналогично, предположение, что функции Д g и h мультипликативны, эквивалентно включению (/, g, h)e^n-

Таким образом, условия (i) и (ii) эквивалентны (в рассматриваемом случае) следующим условиям:

(i') каждому ф£ ^п X ^п X <У,У соответствует ф' С^ю такое, что д/ ^ ф;

(ii') если q/ =(Г ffW^Z ф" = (Г, g'l^nWnf U ф' ~ ф", ТО Vg' ~ Гб".

Дополнительные гомотопические свойства.

Теорема 1. Пусть Ж и У — метрические сепарабельные пространства, и пусть 3/ локально евклидово в некоторой точке; другими словами, У содержит открытое множество G, такое, что G гомеоморфно 9. Пусть dim .2’^ г— 1 и [: Я"-> 9 — непрерывная функция. Тогда существует непрерывная функция f: Ж -»(3/ — G), такая, что

f*(х) = f(х), если f(х)£2/ — G; следовательно, Г — L

Доказательство1). Пусть Ж* = /-1 (G) и F = Ж* — j-1 (G). Так как dim^* —Л^г — 1, то существует (ср. § 28, IX, теорема 1) непрерывное продолжение g; Ж*-* G отображения fl/7, такое, что dim g(Ж'’ — F) ^r — 1. Таким образом, существует точка р С G — g(Ж* — F).

Пусть ^(у) обозначает проекцию точки y^.G в G —G из точки р (G отождествляется с FT). Положим V(x) = rg(x) для х^Ж* и f‘(x) = f(x) для х^Ж — f-1 (G).

Теорема 2. При тех же предположениях относительно Ж, У и f пусть P = (pt, .... Pm) — конечное множество точек, в которых пространство У локально евклидово (размерности г). Тогда существует непрерывное отображение f: Ж ->(У — Р), такое, что ff с^ f.

Доказательство. Это утверждение при т = 1 следует непосредственно из теоремы 1. Предположим, что оно имеет место для m — 1; тогда его можно вывести из теоремы 1, если У заменить на У — (рх, ..., рт_х).

Дополнительные свойства сферы. Используя обозначения (4) —(6) п. II, можно получить следующие теоремы2):

Теорема 1. Множество 9п\/9п есть деформационный ретракт множества 9п X 9 п — (р) для каждой точки pWnX9n)-(9n\J 9п).

Теорема 2. Множество 9 „ Я 9п V 9 п есть деформационный ретракт множества 9п X 9п X 9п — (р) для каждой точки P^(9nx9nx 9 п) - (9 п V 9„ V 9„).

Теорема З3). Если Flt F-2, F^ — три члена правой части формулы (5) п. II, то множество &"„ есть деформационный ретракт множества 9 „V 9 пМ 9 п — (рь р^, р3), где р( £ Ft —

Ср. Гуревич и Уолмеи [1, гл. VI, § I].

И Доказательства теорем I и 2 см Спаньер [I, стр. 209]. Ср. Борсук [20].

Доказательство. Принимая ио внимание теорему 1, легко показать, что Д П (Р/U/Д) ~" Деформационный ретракт множества Ft — pt (где I Ф / ф к ф 1\ Так как Ft — р; — абсолютный окрестпостный ретракт, пусть (ср. с теоремой 6 § 54, IV)

hp U't - Pi) X ,7 -> (Ft - pt)

— непрерывная функция, такая, что

1гг(х, 0) = х, ht(x, 1) £ Ft П (Fj (J F^ для каждого x,' ht(x, t) = x для хСДСКД/О/х) и t£FJ.

Положим h(x, t)^hi(x, t) для x£Fi — pt; отсюда следует требуемое заключение, так как

^^U^CK^/U^), где 1ф]фкф1.

V. Группа б^,)) при diniX^C 2/1 — 2. В теореме I (а также в теоремах 3 и 4) можно заменить это неравенство менее ограничительным условием

(1)dimX<2n-l.

Будем пользоваться обозначениями и. IV. Принимая во внимание теорему и. II, достаточно показать, что условия (7), (иД (iii) и (iv) п. II удовлетворяются, если под соотношением f ~ g понимать, что / и g принадлежат одному и тому же элементу группы Й^Д.

Теорема 1. Пусть <р = (Д д, /г) £ (ФРп X ^rt X ^«Z- Тогда существует функция ф' £ 2^,}, такая, что ф' ан ф.

Доказательство. Пусть

р 6(^„ X ^я X ^„) - (^„ V ^„ V Ф^ф.

По теореме 1 п. III (где г = Зи) существует непрерывная функция ф: X -» (ФРп X ФР п X ФР п — (р)], такая, что х|т ~ <р. Так как фРп V ФРп V ФРп есть деформационный ретракт множества ФРп X ФР п X ФРп ~ (р) (согласно теореме 2 п. IV), то по теореме 5 § 54, IV существует непрерывная функция гр"": Х-*аРп\/ V ^п V ^п, такая, что ф' ~ ф; следовательно, ф* с^ ср.

Пусть PtEFt — ^n, i”V 2, 3. По теореме 2 и. III (где г = 2и) существует непрерывная функция ф': X —> (ФРп \/ ФРп \/ V <^п~(Рь Ръ Рз)], такая, что ф'~ф*. Наконец, по теореме 3 п. IV из теоремы 5 § 54, IV следует, что существует непрерывная функция ф': X->г1Фп, такая, что ф' ^ ф'.

Теорема 2. Пусть ф = (fo, f^ Е ^,t V ^„У, ^-(go, Pi) Е Е ^п V ^пУ “ Ф ~ Ч (.относительно S’ п X afy. Тогда Цх ~ gogx (относительно еУп\

Доказательство. Сначала предположим, что ф ~ Ф, и покажем, что toh — gagy-

По предположению существует непрерывная функция h; X X X Я —> 5Р п X У п, такая, что Н(х, 0) = ф(х) и 1г(х, 1) = ф(х). Пусть рЕЛ^п X У^п) — (У^п V ^п\ Так как dim(X X Я)^2п— I, то по теореме 1 п. III существует непрерывное отображение /г*: X X Я -> (^п X ^^ — (рУ где h* (х, t( = h (х, Г), если h (х, /) Е Е(^„ V^„).

Отсюда следует, что h* (х, ty — h(x, 0) и К* (х, \) = h(x, 1). Таким образом, функции ф и ф гомотопны относительно множества <^„ X — (р), а потому (ср. § 54, I, теорема 4а) относительно множества <^n V <^%> являющегося его ретрактом (согласно теореме 1 п. IV).

Следовательно, существует непрерывная функция а: X X X Я -хУ„V ^п, такая, что

»(х, 0) = ф (х) = [/о (х), Л(х)],

а(х, 1) = ф(х) = [£0(х), g-Дх)].

Пусть а0 и а1 — координаты а, т. е.

а(х, ^) = [а°(х, 0, «'(*> Cl-

Так как функции а0 и а1 мультипликативны, можно положить Р(х, /) = а°(х, С'а1(х, f).

Так как умножение точек р • q есть непрерывная функция на ^п V ^п, то функция у X X Я —>^n непрерывна. Более того,

Р(х, 0) = fo(х) - С (х) и Р(х, 1) = g0(xy g^x),

а это означает, что ^ • fy ^ g0 • gy.

Рассмотрим общий случай, когда ф ^ ф. Если F — произвольное компактное подмножество X, то ф|Ег»ф|Е, так что Ф | F ~ ф I F, и поэтому (/0 • С) | F ^ (go • g,) I F, как уже было доказано. На основании следствия 2а § 54, VIII отсюда вытекает, что f0 • Л « g0 • g,.

Теорема 3. Каждой функции fE^n соответствует пара функций (g, h( Е (^п V ^пУ4, такая, что

g~f, h~ 1 : / и g • 1г~\.

31 Зак. ИЮ

Доказательство. Пусть Уп н Уф обозначают, как обычно, две (замкнутые) полусферы Уа; положим

, , , | iW, если Цх^Ун’ПДМ, если ЦхКУ»-

Тогда к". X-> Уп — непрерывная функция, так как />=!:/> для Р € Уп П У н = У 1 •

Более точно, /г: X -> Уп — непрерывная функция, так как из р £ Уф следует, что (1 : р) 6 У\• А поскольку множество У и — абсолютный ретракт, то k ~ 1.

Пусть ф: Уп -> Уп — такое отображение, что ф(<^,7)=1 и ф(у)~у. Полагая

g = tpU) и получаем

I и /z ~ 1 : ф

Далее, отображение (у, hy Х>Уп\/У„ непрерывно. Действительно,

Ые^^Ю :Их))€^;Н[ф(1 :^t^

Ы6^ЫфНх)=1]^[/Дх)=1].

Остается показать, что gh ~ 1 и, следовательно, что gh ~ к. Напомним, что ф(//)~//; пусть а: У п х У -> У а — непрерывная функция, такая, что

o-Vy, О) = ф(/Д а(//, 1) = //, и пусть

,Ы/(тИ], если Их)Е^Д

и (х, г) = ।

а[(1 :/(х)), /], если Цх^Уп •

Очевидно, что и". ХХУ->Уп непрерывно. Более того,

если Цх^РУф, то zz (х, 0) = а[/(х), 0] = ф/ (х) = g (х) = = аДх)-/;(х), так как Л(х)=1; кроме того, и^х, 1) = а[/(х), 1] = = f(x) = k(xy, _

(п) если Цх^Уц, то Цх, 0) = и[(1 :/'(х)), 0] = ф[1 : /(х)] = = h(x) = g (х) • /z(x), так как дДх)=1; более того, и^х, 1) = = «[(1 JW), 1]=1 :/(х) = /Дх).

Таким образом, в обоих случаях zz(x, 0) = g(x) • h (х) и zz(x, 1) = ^(х), откуда следует, что gh ~ к.

Теорем а 4. Из (( ?« g) вы/екиег, что (1 : /')(1 : g1).

Доказательство. Сначала рассмотрим случаи, когда )’~ g. Тогда существует непрерывная функция //: ХХ</-><У1и такая, что h (х, 0) = / (х) и /г(х, l) = g(x). Положим /г (х, Д = = i:/z(x, /); тогда £ —непрерывная функция, /г: X X // -> "Уп, Цх, 0)^=1:/’(х) и к^х, 1)=1:у(х). Следовательно, (1:/)~ ^(1 :^).

В общем случае, когда / ~ g, пусть F — компактное подмножество X. Тогда ^ \ F^c^g\ F\ откуда следует, как мы только что доказали, что (I : /)| А~(1 : д)| р, Так как F — произвольное компактное подмножество X, то отсюда в силу следствия 2а § 54, VIII вытекает, что (1 :/)~(1 : g\

Теорема 5. Если dim X ^ 2/г — 2, то ^(<^п) — абелева группа относительно ногомотопного умножения ее элементов, определенного условием II (1).

Теорема 6. В предыдущей теореме пространство ^п можно заменить пространством S^n-w

Доказательство. Мы должны показать, что в теоремах 1—4 можно сделать эту замену.

1. Прежде всего заметим, что для каждой непрерывной функции /: X->SPn.v\ (ср. § 54, IV, примеры) мы имеем

/^/, где f(x) = f(x): | Цх) |.

Далее, предположим, что ср СС^п-нУ; тогда <Р 6 (^’У и ф ~ ф £

Сначала заметим, что если FczX, а /о и /ц мультипликативны, то

и2^Ч^Ш;ЫШ''МЫР\

Пусть ср = (/■„, hK^ uV c^iVS ф = (д0, /?i)€(<^„+i V<^,,+i)x и ср ~ ф; тогда ср ~ ф. Следовательно, по теореме 2

f 7 ~ 7 Т е /о ^ _ЬМ_ ~ ^ (Д Щ (х)

/о|/о(х)| • 1Мх)| _ |йо(х)| • |Ых)| ,

так что /п • /, ~ go • gb

Теперь рассмотрим общий случай, когда ф » ф. Так как для любого компактного подмножества F пространства X мы имеем Ф | /•’ ~ ф | F, то

(/„I /o-aj^^Uoi^^gii/7)

и, согласно (3), (Д • /,)] /■’ ~ (д0 • дД |F. Поэтому в силу следствия 2а § 54, VIII ]'о • Л ~ go 1 У,-

3 и 4. Соответствующие доказательства легко получаются из (2).

VI. Группа б^п) для А'с?” и п^2. В этом пункте мы ' докажем, что 6 ^^ — топологическая группа, если умножение ее элементов (называемое когомотопным умножением) определено формулой (1) п. II.

Прежде всего докажем следующее утверждение:

Теорема 1. С^"^ — абелева группа.

Доказательство. Для п ^ 4 и произвольного подмножества X пространства сГп, а также для п = 3 и dim ^С^2 теорема 1 вытекает из теоремы 6 п. V (где требуется, чтобы dim X 2п — 4).

Остается доказать теорему 2 п. V для п = 2, если X — трехмерное подмножество в cf3.

Сначала рассмотрим случай, когда X — элементарный континуум, т. е. X имеет следующий вид:

(0) Х = ^3-(^и ... UO ^П^/ = 0 для i^i, где Rq, ..., Rm — (трехмерные) открытые тары.

Пусть С — объединение поверхностей Fr(/?,), .... Fr(^m) и попарно не пересекающихся дуг, соединяющих каждую из этих поверхностей со следующей. Пусть

1) Ф = (fo, /1) € (^2 V W Ф = (^0, 21) € (^2 V ^2)х

И ф ~ ф.

Покажем, что

to • А ^ go • gv

Так как dim С = 2, то (2) имеет место на С, согласно теореме 5 п. V. Поэтому (2) имеет место также на всем континууме X, ибо (см. теорему 1 § 54, IV) С — его деформационный ретракт1).

Теперъ рассмотрим случай, когда X — произвольное компактное подмножество <f'\ Предположим, что выполняются соотношения (1). Для того чтобы доказать (2), достаточно (как мы только что показали) убедиться в существовании элементарного континуума ХпХ и функций ф* и ф‘, таких, что

ФСф'Е^МГ, фсф’б^У^Г

и ф* ~ ф* (относительно ^ X ^2)-

Согласно теореме 9 § 59, II, каждая из функций Д, и Д имеет непрерывное продолжение на сферу ^3, из которой выброшено конечное число точек.

Поэтому существует элементарный континуум Х'^Х, такой, что

фсФД (ФС, X ^2)v*-

То же самое имеет место для ф. Более того, так как ф~ф (согласно (1)), то функцию ф можно продолжить, не нарушая этой гомотопии (см. теорему 3 § 54, II), т. е. следующим образом:

ф с: ф' £ (<^2 X <£%)** 11 Ф' — ф'-

Пусть р 6(^2 X <5%) ~ ^2 V с^о). Так как dim X* = 3, dim (<^2 X <^2) = 4 и ф(Х)с= <^2 V с^г- то по теореме 1 и. III (если У заменить на гЛх^С, /Г-на X*, f — па q/ и положить г = 4) существует непрерывная функция ф*: Х-Ц0У2 X ^2 - (p)L такая, что фсдф*~ф'. Более того, так как ^ V е^о — Деформационный ретракт множества ^ X ^ — (р) (согласно теореме 1 п. IV), то можно считать (ср. § 54, IV, теорема 5), что Ф* (X*) с ^^ V ^2- Следовательно,

ФСф’е^у^Г, ф*^ф',

и аналогично

фафШФ^Г, Ф*^Ф'.

Из соотношений (5) —(7) вытекает (3).

Таким образом, наша теорема доказана для компактных множеств X.

Наконец, предположим, что X — произвольное подмножество У, что выполняются первые два соотношения (1) и что Ф 5» ф. Тогда ф|Л~ф|.Р для каждого компактного подмножества F множества X. Как мы только что показали, при этом

(fol F) • (Л \П~ Uo\H -(^Д), следовательно,

(/о-/1)1^^ too'^1)1 Л

согласно формуле (3) п. V. Л отсюда на основании следствия 2а § 54, VIII получаем, что fo-fv^go-gv

Теорема 2. Пусть F — компактное подмножество X. Положим ^(Г) = Г|^. Тогда отображение Rp". 6 (S6^)-> (S (е^п) представляет собой гомоморфизм.

Другими словами,

т. е. (ср. с обозначениями II, (2) и (3))

(А • Ml F -(Л I И • (М А) и U.: Л>)1 /•' - (/11 П : UP FY

Дока з ате льство. Пусть у 6(Т\ • ^2)I /’■ Тогда существует /6(1',- l^), такое, что g = f\F. Следовательно, /-/о^Л-Д, где ^^T, и /гб^Т. Отсюда следует, что (ср. V (3))

i\F« I»I F - Ui I С) • U> I С), поэтому f\F£ (П I F) 1 U’zl FY

Таким образом, включение левой части (8) в правую доказано.

Обратно, пусть g £ (Г, | /•’) • (Г2| /•')• Пусть /, и ^ — две мультипликативные функции, принадлежащие соответственно Г, и Г2. Тогда

g « (М UU i’Hh1 Ml/’, откуда ^6(г1 • Т2|/•’).

Это завершает доказательство теоремы 2.

Напомним обозначение S/v,, использованное в § 54, IX (для компактных Л» и FVY

SW(A) = A|M для FocF, и Аб^Ю-

Согласно теореме 2, отображение Ад,/-,: С (<$“'?) -> С- (^п") — гомоморфизм. Болес того, по теореме 1 § 57, IX это отображение непрерывно.

Отсюда в силу теоремы 5 § 57, IX вытекает следующая

Теорема 3. (M^'J с- Сип ^Л^Ц), SjvJ. где F про- p;r. top. F, Ре с: /Л

бегает все компактные подмножества X и где с обозначает

ИГ. Ь,р. изоморфное и гомеоморфное вложение.

Именно, отображение R = \Rpi представляет собой искомый изо-гомеоморфизм; оно ставит в соответствие каждому Г^бД^р) элемент {Г|А} рассматриваемого предела обратного спектра.

Теорема 4. К Q^a) ~ топологическая группа.

Это следует из теоремы 1 § 55, VII (ибо указанный выше предел обратного спектра является подгруппой произведения ПбИ топологических (дискретных) групп). к

Теорема 5. Пусть X локально компактно и, следовательно,.

A^FiU/hU где Р( компактно и Ft cz. Intx UU+vY Тогда

6И г Д'З'Т'^?). ^1-gr. top. i, i k

А именно, R есть отображение на. Это следует из теоремы 6 § 54, IX.

VII. Группа (ЦеТ’)» где X — компактное подмножество Й™. Отношение ~ будет иметь тот же смысл, что и в н. II.