СОДЕРЖАНИЕ

Предисловие4

Г л л в а I. Геометрические свойства выпуклых множеств5

!1.Основныепонятия5

Выпуклаяоболочка.ТеоремыКаратеодори и Радона16

Свойства отделимостииопорныесвойства22

Экстремальные элементы. Теоремы Крейна — Мильмаиа и Стра- шевича35

|5.Выпуклые многогранники и многогранныемножества40

S6.Выпуклые конусы. Двойственность53

,67.Теорема Хелли и ее применения65

•8.Линейная комбинация, разность, декартовопроизведение ... 76

| 9. Геометрические признаки выпуклости85

Глава II. Аналитическое задание выпуклых множеств92

J

10. Выпуклые функции92

Дистанционная функция замкнутого выпуклого тела. Геометрия Минковского106

. Опорная функция компактного выпуклого множества121

Опорные элементы компактного выпуклого тела129

Г Л к В а III. Фуикционалы иа компактных выпуклых множествах . . .144 f 14. Метрика Хаусдорфа и аппроксимация компактных выпуклых множеств . . . 144

| 16. Объемы линейных комбинаций компактных выпуклых множеств

Смешанные объемы156

| 16. Интегральные поперечные меры компактного выпуклого множества 176

$17. Скалярнозиачные и векторнозпачные функционалы186

Г л ив а IV. Симметризация205

| 18. Штейнеровская симметризация компактных выпуклых множеств 205

I И). Шварцевское округление компактных выпуклых множеств . . . 224 | 20. Центральная симметризация241

Глава V. Неравенства в теории выпуклых множеств250

Теоремы Бруина — Минковского и Буземана250

Экстремальные задачи и неравенства Минковского270

Квадратичные неравенства А. Д. Александрова285

Обобщенная теорема Брунна — Минковского н ее применения 310

Синюх литературы330

Предметный указатель .833

ПРЕДИСЛОВИЕ

Теория выпуклых множеств представляет собой особо привлекательную математическую дисциплину. В ее рамках из немногих наглядных и разумных предпосылок можно делать важные заключения как в геометрии, так и в анализе. Поэтому не удивительно, что здесь быстрее, чем в других областях математики, неспециалистам удается включаться в работу и достигать самостоятельных результатов. Помочь этому — цель настоящей книги.

Книга не является очередным сводом результатов в стиле классической работы Боннезена и Фенхеля [14]. Она дает введение в теорию выпуклых множеств аффинного, и соответственно— евклидова, пространства. Поставленные цели заставили нас уделять особое внимание тому, чтобы излагать рассматриваемый предмет возможно полно и подробно.

Ограниченность объема книги естественно влечет определенную субъективность в выборе материала. Ведущая роль отдана теории объемов и симметризации выпуклых множеств. Относящийся сюда материал излагается вплоть до полного доказательства обобщенного неравенства Брунна — Минковского с обсуждением случаев равенства. Зато нам пришлось отказаться от подробного рассмотрения теории выпуклых многогранников. Этот материал можно найти в учебниках Грюнбаума [24] и Макмаллена — Шепарда [47]. Вне рассмотрения остались также функционально-аналитические обобщения. За ними читатель отсылается к книге Валентайна [21]. Не смогли войти в книгу и вопросы о выпуклых телах в целочисленной решетке, которые вновь стали актуальными благодаря работам Хадвигера и Уил- са. Наконец, пришлось не включать применения теории выпуклых и особенно многогранных множеств в линейном программировании. Об этом есть обширная литература, можно, в частности, отослать к детальному труду Стоера и Витцгала.

Госпожа Р. Блинд, урожденная Хаммер, из Штутгарта тщательно прочла рукопись и сделала много важных предложений по ее улучшению; они приняты во внимание. Господин Адлер из Штутгарта изготовил чертежи. Я сердечно благодарю названных лиц, а также Издательство за поддержку.

Пусть эта книга способствует тому, чтобы сделать заинтересованных читателей друзьями геометрии, и оправдает их надежды-

Штутгарт, март 1977 г. X. Лейхтвейс

Глава I

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА

ВЫПУКЛЫХ МНОЖЕСТВ

| I. Основные понятия

В основе всех рассмотрений этой книги лежит n-мерное аффинное пространство А” над действительными числами, где п — любое целое положительное число. Точки пространства Ап будут обозначаться малыми латинскими буквами. Для простоты будем отождествлять точки с их радиусами-векторами по отношению к закрепленному началу координат оеЛ". Будем также исписывать как b— а вектор, заданный парой точек а, b из Ап И принадлежащий и-мерному векторному пространству Vn, соответствующему Ап. Действительные числа, в отличие от точек, обозначаются греческими буквами.

От геометрии идет следующее определение.

Определение 1.1. Подмножество А пространства Ап на- мышнот аффинным подпространством пространства Ап, если А Вместе с каждыми двумя различными точками Хь х2 содержит ТИКже всю прямую Xi V х2-

Это геометрическое определение делает излишним следующее определение, идущее от алгебры.

Определение 1.2. Подмножество А пространства Ап намывают аффинным подпространством пространства Ап, если А Содержит все точки, аффинно зависящие от А. Аффинно зависящей от А точкой хеА" называется точка, допускающая представление

ftк

x='2,Xixt, ^,Х,= 1, х^А, xfceA. (1)

Легко проверить, что это определение не зависит от выбора Начала координат (см. [47], с. 2).

Теорема 1.1. Определения 1.1 и 1-2 эквивалентны.

Доказательство. Пусть А — аффинное подпространство н смысле 1.2. Тогда А вместе с различными точками xi,x2 содержит каждую точку х, допускающую представление х = ■a, XiXi + Х2х2, Xi + X2=l, или, что то же, х = хх + Х2(х2— xj, 1. е. всю прямую Xi V х2, проходящую через точки xi, х2. Об- рнтио, если А — аффинное подпространство в смысле 1.1, то индукцией по числу к слагаемых в (1) можно убедиться, что А содержит каждую аффинно зависимую с А точку хе Л". Для к = 1 это тривиально. Предположим, что А содержит все точки

к-1к-1

У=Е ^iVi при £ ^<=1- У\гЛУк-1^А,

гле * > 2. Если х — точка с представлением (1), то, ввиду ^ М" U мы можем считать XkN= 1, т. е. У Xi=#0, и написать

/к-\ х /к-\хк—1

* = ( Е М(Е Рг^Ч+Мъ где Pz = ^z/E Хт. (2) \1 = 1 / М = 1/m^l

По индуктивному предположению у:=Е ц;х,е/1, так как ' Z = 1■

У, pi, = 1. Поэтому из (2) следует, что х лежит на прямой, Z-1

соединяющей точки угА и хкеА, и вместе с этой прямой принадлежит А. □

Замечание 1.1. На представлении (1) основывается следующая терминология. Множество ХсА" называют аффинно независимым, если в X не существует точки х, аффинно зависящей от Х\{х}, т. е. когда из Eazxz = O ПРИ У az = 0 и по-

Z ” 1t ” 1

парно разных xisX, ..., х&еХ следует ai = ... = aA = 0. Очевидно, это совпадает с линейной независимостью векторов х2—ri, ..., хк — Хь Отсюда вытекает

Замечание 1.2. Всякое аффинное подпространство АаАп содержит такое максимальное аффинно независимое множество {х0, ..., хт}, что А представляет собой множество всех точек us Ап, аффинно зависящих от {х0, . •., хту.

{

mm\

хе Ап |х = X Xtxb Е Х; = 1к(3)

z=oz-o)

Известно, что входящее сюда число m есть размерность А. При m = п—1 аффинное подпространство А называют гиперплоскостью. Она разбивает А "ХА на два полупространства.

Определяемые (3) однозначно, коэффициенты Xi (z = 0, ... ..., пг) называют барицентрическими координатами точки х относительно системы точек {х0, ..., xmY

К понятию выпуклости множества в А" мы приходим, заменяя в определении 1.1 прямую xi V х2 отрезком xix2-

Определение 1.3. Множество КсАп называют выпуклым, если К вместе с каждыми двумя точками хь х2 содержит также весь соединяющий их отрезок xix2.

Аналогично определению 1.2 можно вместо 1.3 использовать следующее алгебраическое

Определение 1.4. Множество Кс Ап называется выпуклым, если К содержит все выпукло зависящие от К точки. Выпукло зависящей от К называется точка х е А", допускающая

Представление

*к

Т — У XiXb где У, Xt = 1, M>0, ..Xh^ 0, xt е Кх^^К. "i=1(4)

1сорема 1.2. Определения 1.3 и 1.4 эквивалентны.

Доказательство дословно совпадает с доказательством теоремы 1.1. Налагается лишь условие неотрицательности коэффициентов.’

Пример 1.1. Открытое полупространство- Будем называть

Н.= ^х = ^ Ue Лп|ЛМ + у:= Z У.-^ + у <о},

(Yb • • •> Y„) ^ (00),

открытым полупространством пространства Ап, ограниченным гиперплоскостью L(x) + y = 0. Очевидно, Н выпукло. Действительно, из хь х2 Е Н и L (xj + у < 0, L (х2) + у < 0 при М 0, Kv 0, Xi + Х2 = 1 следует

/i l^i ' | -|- Х2х2) + у = Х[Л (xi) + X2L (х2) + у =

= Xi (Д (xi) —[— у) —|— Х2 (L (х2) + у) < 0,

ti с X|.Vi ~|- Хгх2 е Н.■

Пример 1.2. Симплекс. Будем называть n-симплексом е аршинами воеп множество

S :■= \х Е Ап | х = У a^i, У, az = 1, a0^ 0, ..., a„ > Of, Iz-o z-o)

где Го, • en — аффинно независимые точки пространства А" (см. замечание 1.2). Это — обобщение отрезка (п = 1), треугольника (п = 2), тетраэдра (и = 3) на произвольную размерность п. Очевидно, множество S выпукло. Действительно, из *1, \7eS в барицентрических координатах (с^, ..., а^), (а^, . .. мн а^ этих точек относительно {во, ..., еп} находим при Xi^O, К»««- 0, Xi 4* ^2 = 1

^1^1 Н~ ^2Х2 = ^1 51) az6Z + ^2 20 az6Z " 5LQ (^iaz ~Ь ^2az) ®Z-

Вииду

^ (^Ct! + ^2^z) — ^1 У ai + ^2 ^oaf = ^i += 1,

y^a' + ^af^O при / = 0, .... a,

ITO означает, что kiXi + X2x2 e S. .

Пример 1.3. Телесный эллипсоид. Будем называть телесным эллипсоидом множество

£ := {х = (|ь ..., £„) ge Д" | £ (х — х0, х — х^ — у2 := п пЧ

где F — положительно определенная квадратичная форма. Очевидно, Е выпукло. Действительно, из хь х2 е Е, т. е. из F (xi — х0, Xi — х0) — у2 ^ О, F (х2 — х0, х2 — х0) — у2 ^ О при Xi ^ ^ О, Х2 ^ О, Xi + X2=l, пользуясь неравенством Шварца, заключаем

F ((Х]Х1 + Х2х2) — х0, (X[Xi + Х2х2)х0) — у2 =

= F (X] (Х[ — Хо) + Х2 (х2 — х0), Х[ (Х] — Хо) + Х2 (х2 — х0)) — у2 =

— Xi£ (xj — Хо, X] — х0) + 2X[X2F (xj — Xq, х2 — Хд) +

+ X2F (х2 — х0, х2 — х0) — у2 ^■

< [Xi (F (X] — х0, Х1 — х0))1/2 + Х2 (£ (х2 — х0, х2 — ХО))1/2]2 — у2 < 0.

Это означает, что XjXi +Х2х2 s Е-

Понятие выпуклого множества К а Д", как и понятие аффинного подпространства, относится в смысле Эрлангенской программы Клейна к аффинной геометрии. Таким образом, имеет место

Теорема 1.3. Пусть f: An^Bm — аффинное отображение аффинного пространства Ап в аффинное пространство Вт, и пусть КсА", LczBm— выпуклые множества. Тогда множества f(K)czBm, f-!(L)czAn также выпуклые.

Доказательство, а) Пусть f(xt),f(x2)e f^K), хьх2е/С, тогда при Xi ^ 0, Х2 ^ 0, Xi + Х2 = 1 по выпуклости К будет Xif (xi) + X2f (х2) = f (XiXi + Х2х2) е f (A). b) Пусть Х1,хге/-‘(Д), тогда по выпуклости L имеем f (XiXi + Х2х2) = Xif (xi) + X2f (х2)е е L, т. e. XiXi + X2x2 e (L). □

В дальнейшем изложении существенно используются теоремы о выпуклости пересечения любого семейства и о выпуклости объединения расширяющегося семейства выпуклых множеств-

Теорема 1.4. Пусть {Ka}aSA — произвольное семейство выпуклых множеств Kacz Д". Тогда D:= П Ка также выпукло.

аеА

Доказательство. Пусть xv,x2eD. В частности xbx2s е Ка, поэтому при Xi ^ 0, Х2 ^ 0, Xi + Х2 = 1 будет XiXi + + Х2х2 е Ка для любого а е А, и XiXi + Х2х2 еД □

Теорема 1.5. Пусть ^а}аел —семейство линейно упорядоченных по включению выпуклых множеств КаоАп, т. е. А линейно упорядочено и а ^р <Ф Ка.с Кб- Тогда множество V := U Ка выпукло.

аеА

Доказательство. Пусть Х1,х2®У и xj е Аа, х2еК,^. Г(ПД# Л'ь Х2 S Amax(a, ВЪ И ВЫПУКЛОСТЬ Ктах<а, В) При Х1 ^ О, А, ^ О, Х| ~Н ?12 — 1 ВЛечет XiX'i -{- Л2Х2 G A'rnax(a, В) с И. □

Замечание 1.3. Теорема 1.5, вообще говоря, перестает ОЫН| нерпой, когда нет упорядоченности {Аа} по включению. Пример: {Ai, А2}— пара различных одноточечных множеств ■ Л".

Для исследования выпуклых множеств оказывается целесо- нбризпым снабдить аффинное пространство Ап топологией. Хотя ни Л" можно ввести много различных (в том числе хаусдорфо- иых) топологий, достойно внимания то обстоятельство, что в от- вочиющем Ап векторном пространстве Vn есть только одна то- шмосия, которая обращает Vn в топологическое векторное про- । ipuHcreo, т. е. при которой сложение и умножение векторов на (киляр суть непрерывные операции (доказательство см. [21], нщрема 1.8). Эта стандартная топология пространства Ап инду- нируется любой вспомогательной евклидовой метрикой, опреде- шгмой как

d(x,y) = «y —х, у —х»1^, (5)

|де <,> — скалярное произведение, вводимое на VnXVn с помощью положительно определенной симметричной билинейной формы. Все дальнейшие топологические рассмотрения относятся к штой стандартной топологии. _

Теорема 1.6. а) Замыкание К'= А А и Ь) внутрен- FoK

меть1) К0 := Н G выпуклого множества Кс:Ап выпуклы. GcK

Здесь F •— замкнутые, a G — открытые множества.

Доказательство- а) Пусть хо, уа^ К и z0 = Хх0 + руо, К ^ О, р ^ О, А + р=1, a W — окрестность2) точки zo. Ввиду Непрерывности отображения Ф, определяемого равенством ф(х, у) = Хх + ру, существуют такие окрестности U, V точек х0 И //о, что XU + pF cr IF. Поскольку х0, уо е К, существуют х к- I) П К, у е VП К, а по выпуклости К тогда z : = Хх + цу е К И WV\K#=0. Из произвольности W следует, что z0 е А, т. е. К выпукло.

Часть Ь) теоремы 1.6 непосредственно следует из важной иля дальнейшего леммы. _

Лемма 1.1. Если К<гАп выпукло и хогК, а у0^К°, то 'иУо\{хО} сд А0.

Доказательство. Сначала предположим, что х0еК. В мтом случае вместе с окрестностью V точки уо для точки z0 : = — Ахо + руо, где X > 0, р > О, X + р = 1, множество № : = :»®Xxo + pV лежит в А. Но IF есть окрестность г0, так как IF

•) Внутренность К0 множества К часто обозначают int К. — Прим, перво.

•) Здесь и везде мы имеем в виду открытые окрестности. '..

есть образ V при гомеоморфном отображении А"^-А", определяемом правилом у >—> Хх0 + цу, см. рис. 1 ').

Случай Xq е R сводится к рассмотренному, если заметить, ,,1 U

что в окрестности U:=-yz0—^-V точки х0 существует точка

Xi е №). Тогда -^i — 4"zo— Т" Уь где Ух= V сп К, из чего следует, что 20 = Хл-! + цуь где У1 е№. □

Рис. 1Рис. 1

Рис. 1

Рис. 1

Пример 1-4. Внутренность и граница симплекса. Пусть S есть n-симплекс с вершинами е0, ..., еп (см. пример 1.2). Тогда выпукло множество

(пп"1

S0 = < х е А" Iх = У аге(,У а, = 1,а0 > 0, ..., а„ >0 г.

г-ог-о)

Граница dS:=S\S° симплекса S есть объединение dS =

-= U Sp где

/-о

S, := < х е Л" | х = У ateb У а, = 1, а0 > 0, ..., Cbj > О,

•г-о г-о1

<^ = 0, а/+1^0, ..., а„^о|

есть (и—1)-симплекс, называемый гранью симплекса S, натянутой на все вершины S за исключением е,.

Аналогично замыканию («замкнутой оболочке») выпуклого множества К можно изучать его аффинную оболочку.

Определение 1.5. Аффинной оболочкой выпуклого множества KczAn называют аффинное подпространство aff/C:=

*) Упомянутое отображение есть гомеоморфизм, поскольку оно обратимо и непрерывно вместе с обратным отображением у i—> — (у — Хх0).

)= п А. Размерность dim aff К называют размерностью dim К

Л-афф. АоК выпуклого множества К.

Теорема 1.7. dim К = (максимальное число аффинно независимых точек множества К)— 1.

Доказательство. Пусть {х0, ..., хт} есть максимальная система аффинно независимых точек в К. Такая система согласно замечанию 1.2 существует, причем m п. Все точки множества К аффинно зависят в смысле определения 1.2 от /mm

этих точек, т. е./(с Ат:= \ х е А" | х = £ XiXb £ Xz = 1 г. Но i-0 i-Q)

тогда Am = aff К и dim K = m; иначе К cz Am c Am e tn' < m, и, в частности, (x0, ..., xm]eAm> что невозможно по замечанию 1.2. □'

Название «размерность множества К» для dim aff К дополнительно оправдывает следующая теорема.

Теорема 1.8. Внутренность К(0) произвольного непустого выпуклого множества К ст А", определенная относительно аффинной оболочки множества К, всегда не пуста1).

Доказательство. Из доказательства теоремы 1.7 и определения 1.4 имеем

aff К = ] хе Ап\х = £ Х^ь £ Ч = 1 У => К о

Ii=\)Z=0)

m

Но уже центр тяжести s := ~~qrj ДXt симплекса S согласно i-0

примеру 1.4 есть точка внутренности симплекса S относительно aff К, откуда следует утверждение теоремы. □

Значение теоремы 1.8 состоит в том, что можно без ограничения общности изучать только выпуклые множества К с непустой внутренностью, т. е с внутренними точками. Как обычно, под «внутренней точкой» мы понимаем точку, принадлежащую К вместе с некоторой окрестностью.

Определение 1.6. Выпуклое множество KczAn, имеющее внутренние точки, будем называть выпуклым телом.

Раньше выпуклыми телами называли только компактные выпуклые множества с внутренними точками, см. [14], с. 3, и |65], с. 130. Мы не будем налагать такое ограничение.

В заключение этого параграфа познакомимся с важным для дальнейших обоснований примером выпуклых множеств — рассмотренными П. Хаммером в 1951 флаговыми полупространствами (см. [66]). Их определению предпошлем следующее вспомогательное утверждение.

Лемма 1.2. Пусть {Ка}а=л— семейство выпуклых множеств в Ап, обладающее тем свойством, что объединение элементов любого линейно упорядоченного по включению подсемейства само принадлежит семейству. Тогда каждое Ко. есть подмножество хотя бы одного максимального Ка»> т- е. такого, что в семействе уже нет большего множества, содержащего Ка,-

Доказательство. Рассмотрим подсемейство всех членов нашего семейства, содержащих выбранное Ко. В этом подсемействе есть частичное упорядочение по включению. Для такого подсемейства будут выполнены условия леммы Цорна (о существовании верхней границы). Поэтому такое подсемейство обладает хотя бы одним максимальным членом Ка»- Множество Ка> будет максимальным и по отношению ко всему семейству и будет содержать Ко- □

• Обратимся теперь к определению флагового полупространства.

Определение 1.7. Пусть р— произвольно фиксированная точка в Ап. Тогда каждое максимальное не содержащее р непустое выпуклое множество Sp Cl Ап называется флаговым полупространством.

Существование флаговых полупространств Sp гарантирует следующая

Теорема 1.9. Пусть в А” фиксированы непустое выпуклое множество К и точка р ф К. Тогда существует флаговое полупространство Sp, содержащее К-

Доказательство. Достаточно применить лемму 1.2 к семейству всех не содержащих р выпуклых множеств при Ко = К и учесть теорему 1.5. □

Геометрический вид флагового полупространства разъясняет

Теорема 1.10. Пусть р — точка в Ап, и пусть для i = 1, ... ..., п выделены открытые (относительно их аффинных оболочек) аффинные полупространства Н1 размерности I. Кроме того, пусть р служит границей для Н1, а при i = 1п— 1 каж

дое Н* лежит в границе Н‘+1. Тогда U Н1 есть флаговое полупространство Sp, и каждое флаговое полупространство Sp может быть так задано.■

Доказательство. Что U Н есть Sp, очевидно. Доказательству обратного утверждения предпошлем лемму.

Лемма 1.3. Пусть Кх,Кг— пара непустых дополняющих друг друга выпуклых множеств в Ап, т. е.

К\\дКг = Ап, Кх^\Кг — 0, Кх^0, Кг=А0. (6) Тогда a) Rx П Ki есть гиперплоскость в Ап; Ь) /С? и Кг, Rx и Rt суть соответственно ограниченные этой гиперплоскостью открытые и замкнутые полупространства в Ап.

Доказательство, а) Пусть A:=Rxf\R2- Убедимся сначала, что А является аффинным подпространством в Ап. Для этого предположим, что х, у — различные точки А и г — точка .прямой х\/у. Если геху, то геА ввиду выпуклости А, которая следует из теорем 1.6 и 1.4. Если у лежит внутри хг, то допущение геЛДЛ с учетом (6) дает zeAn\A = (Д" \ Кх) U (Ап \ Кг) = (Ап XKxYuW'x К1У = Кг U Кь Пусть, для определенности, _z е/G. Тогда из хек, и леммы 1.1 следует у е К\ = Ап \ Кг< что противоречит у Е А с R2. Значит, и в этом случае геА. Наконец, если х лежит внутри yz, то лишь меняются роли х и у, и снова геД. Таким образом, х V у е А и А — аффинное подпространство Ап-

Чтобы определить размерность А, убедимся предварительно, что Кг и Кг имеют размерность п. Допустим, например, что dim/Ci<n. Тогда £i по определению 1.5 лежит в некоторой гиперплоскости В, и в 4" существуют точка Xi Е Ki и прямая О, для которых В П G = Кх П G = {xj. Пусть yi, zx— точки на G С разных сторон от Хь Тогда, ввиду (6), yi, zx Е К2 и по выпуклости Кг ДОЛЖНО быть Xi Е К2, что противоречит Хх Е Кх.

По теореме 1.8 ^=^0, Кг^О- Значит, Ап \ А = К° U Кг=£ N= 0,т. е. dim Л < п. Зафиксируем произвольные точки хое Кд, у^еКг. Тогда выпуклые пересечения К\ f] хоуо, Кг Л -^оУо образуют разбиение отрезка хоуо на замкнутый и полуоткрытый интервалы с делящей точкой го е Кх Л R2 — А =# 0- Если бы было (НтД < п— 1, то в Д" нашлась бы содержащая хоуо двумерная плоскость £, для которой А П5= {г»}. Тогда для лежащего в Е и достаточно близкого к хоУо параллельного отрезка х'йу'о с концами х'ое К°р УдЕ К° пустота пересечения ДЛ^о вступает в противоречие с существованием на x'oy'Q делящей точки г^ЕД, аналогичной zq. Это показывает, что 41тД_=п— 1.

Ь) Пусть НХ,Н2 и соответственно Н.х, Н2 — ограниченные гиперплоскостью А открытые, соответственно замкнутые, полупространства. Тогда из

Ап \А = Нх^Нг = К°х\дКг(7)

следует, если учесть связность выпуклых по теореме 1.6 множеств Кл и Кг, что К\ = НХ и Кг = Нг (с возможной заменой

номеров у Д1,Д2). Если бы теперь существовала точка х® е Ki\^i, то по лемме L1 было бы А с Kv _что противоречит (7). Значит, Н\ = Ki с К\ <= Н\ и K\ = Hv аналогично

К2 == Т?2. □

Доказательство теоремы 1.10- Вернемся

к исследо-

ванию флагового полупространства Sp. Чтобы доказать теорему 1.10, рассмотрим сначала все проходящие через р прямые пространства Ап. Каждая такая прямая G разбивается точкой р на два открытых луча Gi и G2. Точки множества Sp могут содержаться только в одном из них, поскольку Sp выпукло и р ^Sp. Не теряя общности, считаем, что G2 П f]Sp = 0. Тогда обязательно GicSp.

жало бы Sp и х (см.

Действительно, если

точка

Ц ху рис- 2),

х е Gi\Sp,

бы нашлась то множество

G2 fl Sp = 0) этому множеству

было бы выпуклым и содер- причем (ввиду xsGi, р ^ Sp, не принадлежала бы точка р.

Это противоречит максимальности Sp-

Нетрудно теперь убедиться, что наряду с Sp выпукло и его дополнение ДП\5Р. Действительно, возьмем х2, x's A" \S Если х2 = р, х2 ^ р. то х2х2 \ {х,]с= ^2> т- е- х2х'с2 А" \ Sp. Если х2 =#р,х2 р, то р ^ х2х'. В этом случае рх2\ {р} <= G2, рх2 \ {р} <= G', где лучи G2, 02с:Д"\5 не продолжают друг друга. Пусть х е х2х'. На «противоположных» G2, G2 лучах Gp G' выберем по точке yv y'v На отрезке уху\ существует точка у, для которой реху (см. рис. 3). Ввиду Gp G^ с Sp и выпуклости SP, yeSp. Это противоречит допущению, что х е Sp. Значит, х е Д"\5Р, и выпуклость Д^Х^р доказана.

Доказательство теоремы 1.10 получается теперь индукцией по размерности п пространства Д". При п = 1 теорема

тривиальна. Пусть и > 1 и теорема верна при всех размерностях, меньших п. Применяя лемму 1.3b) к выпуклым множествам Ki = Sp, К2 = Д"\5р, получаем

S° = Нп, Sp = Д",

(8)

где Н"— некоторое открытое полупространство пространства Д", ограниченное гиперплоскостью Д = Sp Q X^XSp, реД. Теперь по (8)

SP = tf"U(SPM),(9)

где 5РПД есть не содержащее р выпуклое подмножество гиперплоскости А, которое ввиду (9) и максимальности Sp в Д" максимально в Д. По индуктивному предположению отсюда следует, что 3РПД есть соответствующее объединение открытых полупространств размерностей 1,2, ..., п— 1 указанного в теореме типа. Этим теорема 1.10 полностью доказана. □

На одном из шагов нашего доказательства мы уже были близки к следующему определению.

Определение 1.8- Непустое выпуклое множество С с Ап называют выпуклым конусом с вершиной х0, если С вместе с каждой точкой xi е С, xY#= х0, содержит также весь идущий из х0 через xY луч. Вершину хо будем считать принадлежащей С.-

Дадим еще алгебраическое определение выпуклого конуса.

Определение 1.9. Непустое множество СсА" называют выпуклым конусом с вершиной х0, если С содержит все положительно зависящие от С относительно хо точки. Точка х е А" называется положительно зависящей от С относительно хо, если х допускает представление к

х — х0 = У X, (xt — х0), Xi ^ 0, ..., Xfe ^ 0, х, е С, ..., хк еС. 1

(10)

Теорема 1.11. Определения 1.8 и 1.9 эквивалентны-

Доказательство. Пусть С — выпуклый конус в смысле определения 1.9. Тогда по определению 1.4 С выпукло, так как каждая выпукло зависящая от С точка

Ак

х = У Xtxb У X, = 1, Xi ^ 0, ..., Х6 ^ 0, X] е С, ..., xk е С, i—it— 1

ввиду

/ кхкк

Я = ( 1 — У xz )х0 + У Х,хг = х0 + У X, (х, — х0) \i—1 /i-l1-1

будет относительно Хо положительно зависеть от С, и потому принадлежит С. Кроме того в силу определения 1.9 С содержит вместе с каждой точкой xi ^ х0 весь луч, идущий из х0 через xi, поскольку его точки имеют представление x = x0 + X(xi— х0), Х^О.

Пусть теперь С — выпуклый конус в смысле определения 1.8 к

и х — х0 = У Хг (х, — х0), где Xi > 0, ..., X» ^ 0, xi е С, ...

..., х^аС. По выпуклости С в С лежат точки г/г:=хо+'

+ k^t^Xi — хо) при i = 1, ..., к, а с ними и точках = у ^ у, е i = 1

е С. Значит, С удовлетворяет определению 1.9. □

Замечание 1.4. Среди рассмотренных нами примеров уже были выпуклые конусы: замкнутое полупространство Н с вершиной на границе (см. пример 1.1), дополнение Д"\5Р флагового полупространства с вершиной р (см. доказательство теоремы 1.10). Были и примеры выпуклых множеств, не являющихся конусами: симплекс (см. пример 1.2), телесный эллипсоид (см. пример 1.3). Они хотя и выпуклы, но не содержат лучей и не могут быть конусами ни при какой вершине.

Упражнения

Множество ТсД" называют звездным относительно точки ГоеЛ", если для каждой точки хеТ отрезок Хох лежит в Т. Доказать, что так называемое ядро множества Т, т. е. множество всех точек, относительно каждой из которых Т звездно, представляет собой выпуклое множество.

Доказать, что на прямой А1 существует ровно 11 различных выпуклых множеств, если считать различными только множества, не совместимые друг с другом гомотетией с положительным коэффициентом.

Доказать, что для выпуклого тела КсА" всегда К = (К0), К° = (К)°.

Описать все пары Ki, Кг непустых, дополняющих друг друга выпуклых множеств в Ап.

Пусть К с АИ — замкнутое выпуклое множество и х г К. Определим ССг (К) := (у|х + Ху е К при всех Л^О}. Доказать, что: а) ССХ (К) есть замкнутый выпуклый конус с вершиной в начале координат; Ь) для любого х' е К будет ССХ- (К) = ССХ (К) т. е. так называемый «предельный» конус ССХ (К) не зависит от выбора х е К.

§ 2. Выпуклая оболочка. Теоремы Каратеодори и Радона

Основным содержанием этого параграфа является понятие выпуклой оболочки, которое можно ввести следующим образом, аналогично определениям замыкания (теорема 1.6) и аффинной оболочки (определение 1.5).

Определение 2.1. Выпуклое (по теореме 1.4) пересечение всех выпуклых множеств, содержащих заданное множество X cz Ап, называют выпуклой оболочкой множества X и обозначают

convX= П К, где К — выпуклые множества. (11) к^х

Замечание 2.1. Множество X выпукло тогда и только тогда, когда conv X — X..

Выпуклая оболочка допускает следующее замечательно простое геометрическое описание.

Теорема 2.1. Выпуклая оболочка любого множества ХаАп есть либо пересечение всех содержащих X флаговых

полупространств, либо ^если нет ни одного полупространства, содержащего А) всё Ап\

conv А = П Sp, где Sp— флаговые полупространства. (12)

Доказательство непосредственно вытекает из следующей теоремы.

Теорема 2.2. Пространство Ап и множество всех его флаговых полупространств Sp образуют в Ап минимальный базис, пересечения которого способны дать любое выпуклое множество в А", причем с сохранением такого свойства этот базис не мо

жет быть уменьшен.

Доказательство. Пусть КеАп выпукло. Рассмотрим множество L := П SD в случае К=#Ап и L;=An в случае

РФК

SP^

К = А". Тривиально, что К cz L, и из р ф Sp следует p^L при любом р ^ К, т. е. Л"\7< = Л"\£. Поэтому К — L.

Чтобы проверить минимальность системы {Л", Sp}, допустим, что SPo лишнее. (Что нельзя отказаться от Ап — очевидно.) Тогда для самого Sp, существовало бы представление SPo =

™«^ASpa ° SpoCSpa’™«^ASpa ° SpoCSpa’SP()#=Spa при каждом as А. Отсюда, ввиду

™«^ASpa ° SpoCSpa’

™«^ASpa ° SpoCSpa’

свойства максимальности Spo и выпуклости SPa следует poeSPa

при каждом а е А. Но тогда рое Q 8р , что противоречит аеА

Pu^Sp0. □

Помимо геометрического описания, даваемого теоремой 2.1, выпуклая оболочка множества X обладает простым аналитиче

ским представлением.

Теорема 2.3. Пусть X— любое множество в Ап. Тогда

convX = < хе Л" | х = X Xtxbkt —1convX = < хе Л" | х = X Xtxbkt —1X ^=1, А.>0, .... Хк>0, t=iX ^=1, А.>0, .... Хк>0, t=i

convX = < хе Л" | х = X Xtxbkt —1

convX = < хе Л" | х = X Xtxbkt —1

X ^=1, А.>0, .... Хк>0, t=i

X ^=1, А.>0, .... Хк>0, t=i

X] е X, ..xke X, k = 1,2, ... j .(13)

Доказательство. Обозначим стоящее в (13) справа множество через К. По определению 1.4 множество conv А вместе с X содержит все выпукло зависящие от X точки, которые как раз и составляют множество К, т. е. conv А о К Но, очевидно, А с К, и, если мы докажем, что К выпукло, то conv ХаК, и теорема 2.3 будет доказана.

khкh

Пусть у = ^ HiXi и z = X vmxm, где X 14 = X vm=l, i = \zn=A+li —1

14^0 (t=l, ..., k\ v^^O (m=k + 1, •.. A, x^X (/ = 1h\ — две точки множества К. ЗапишемДЗМЧ?№т»11^Я7Тн^ёдя^^^ =

= ... = ин = 0, vi = ... = v* = 0. Тогда при p4-v = l, у ^ 0, v ^ О, ввиду

hhh

^ (ИР/ + wz) = и ^ Ц/ + v 2 V, = И 4- v = 1 и рр, + vv, > О,

h

точка ру + vz = ^ (РР/+ vv/)^/ лежит в К, что доказывает

выпуклость К. □

Следствие. Пусть Х = (J Ха — объединение непустых оеА

выпуклых XaciAn. Тогда

f*к

СОПУ X = < X S Л" | X = £ X/Ха,, Е^Ч=1» М>0^*>0,

I1=\1 Z = 1

хО1 е Ха,x»kG х»к’ о< ^ а; пРи •(*4)

Доказательство. Это следует из (13). Достаточно все «нетривиальные» слагаемые (с X/ > 0) и точками xi из одного и того же Ха объединить в 52 Mxi= ( 52 ^/) У> гДе У = == 52 C^J^L xiе ха. □

Пример 2.1. Выпуклая оболочка аффинно независимых точек- Пусть е0, ..., em — аффинно независимые точки пространства Л" (т^«). Тогда из следствия теоремы 2.3 и примера 1.2 заключаем, что лежащий в aff{е0, ..., ет} т-симплекс с вершинами е0, ..., ет есть выпуклая оболочка совокупности его вершин.

Пример 2.2. Выпуклая оболочка двух непустых выпуклых множеств. Пусть К\,Кч— выпуклые множества в Л”. По следствию теоремы 2.3

СОПV (7(1 U^2)= U ^1^2- (15)

x,eKt

X1GK1 '

■ В теореме 2.3 ничего не говорится о числе fe слагаемых в линейных комбинациях, которыми представляются точки выпуклой оболочки множества X. Каратеодори [34] принадлежит фундаментальный результат о том, что, не умаляя общности, можно считать fe^n+h где п— размерность содержащего X аффинного пространства. Иными словами, в геометрическом описании справедлива

Теорема 2.4. Выпуклая оболочка множества X п-мерного аффинного пространства Ап есть объединение всех пг-симплек- сов в Ап (пг ^ п) с вершинами в X.

Доказательство. Из определения 2.1 и примера 2.1 ясно, что convX содержит указанное в теореме 2.4 объединение

симплексов. Остается показать, что каждая точка хе conv X принадлежит какому-либо из этих симплексов. Будем исходить из представления (13) для точки х, считая X, > О для всех I. Если при этом точки xi, ..., хк аффинно независимы (см. за- мечение 1.1), то k^n-\-V Пусть xiхк аффинно зависимы, т. е. существует соотношение

кк

£а,хг = 0, Хаг = 0, а6 > О,(16)

г=11 = 1

здесь без потери общности требование «не все а, равны 0» заменено требованием ак > 0.

За счет перераспределения номеров у всех тех слагаемых, для которых а, > 0, добьемся, чтобы для этих слагаемых в новой нумерации I было

Xi/a: 5$ Хк/ак.(17)

Положим теперь

ак

Тогда на основании (13), (16), (17) будет

кккк \

х=^Х,х, = ^Х<х,^afxf = 2(18)

/=1г-16 ;-1г=1

к ■ 1ккк

где £ Ц/ = £хг —-^^a^^X^l, Pi>0,Щ-^О.

i=i i-i к г=1г-1

Если в новом представлении (18) точки хь ..., хк_х аффинно независимы, то все готово. В противном случае процесс переделки представления точки х можно продолжить, причем на каждом шаге число слагаемых уменьшается хотя бы на единицу. Но число слагаемых ограничено снизу единицей, и одна точка всегда есть аффинно независимое множество- Поэтому наш процесс обязан кончиться. □

Сделаем теперь несколько высказываний о топологических свойствах выпуклых оболочек.

Теорема 2.5. Выпуклая оболочка открытого множества X открыта.

Доказательство. Из XczconvX и X = Xй .сразу следует X = Х° cz (conv Х)°. Учитывая, что по теореме 1.6 (convX)0 выпукло, имеем, из определения 2,1 conv X с (conv Х)0. Вместе с очевидным (conv Х)° с: conv X это дает требуемое. □

Замечание 2.2. Созвучное с теоремой 2.5 высказывание: «Выпуклая оболочка замкнутого множества X замкнута» — неверно. В качестве контрпримера рассмотрим А' = Ли{р}, где А— гиперплоскость, ар — не лежащая в ней точка в А" при

п ^ 2. В этом примере согласно (15) convX есть полуоткрытый слой между А и проходящей через р параллельно А гиперплос-

костью Л(р) с добавлением ккостью Л(р) с добавлением кДоказательство. Как в топологии, индуцированнойДоказательство. Как в топологии, индуцированнойэтому слою точки р (рис. 4). В противоположность X здесь convX не является замкнутым множеством.

костью Л(р) с добавлением к

костью Л(р) с добавлением к

Доказательство. Как в топологии, индуцированной

Доказательство. Как в топологии, индуцированной

В отличие от замкнутости при переходе к выпуклой оболочке сохраняется компактность.

Теорема 2.6. Выпуклая оболочка компактного множества X компактна.

известно, компактность ХсА"

в X как подмножестве топологи-

п= Е 44.1 = 0п= Е 44.1 = 0ческого пространства Ап, эквивалентна тому, что из любой последовательности {xv}veN точек х'еХ можно выбрать сходящуюся к точке из X подпоследовательность {х^^^. Чтобы доказать теорему 2.6, рассмотрим последовательность {х^ем точек xv е conv X. По теореме 2.4

п

= Е 44.

1 = 0

п

= Е 44.

1 = 0

х^ е X, ..., xv е X, v = 1, 2, ... (19)

Возможно, здесь некоторые 4 равны 0, зато число слагаемых n-V 1 сделано одинаковым.

Ввиду компактности X (после соответствующей перенумерации выбираемой подпоследовательности) мы можем считать, что

. limx^ —х. еХ, / = 0, ...,п.(20)

р,->ОО

Аналогично, ввиду компактности промежутка [0,1], содержащего все X?, можно считать, что кроме того для представлений (19)

ПщХ> = Х., i = 0, ..., п.(21)

ц-»оо•

Переход в (19) к пределу при ц->оо ввиду (20), (21) дает

Хо S X, . • •, Х„ G X,

т. e xe convX. □

Следствие. Выпуклая оболочка ограниченного множества ограничена.

Под ограниченностью X в Ап мы понимаем здесь возможность заключить X в компактное множество.

Доказательство. Пусть X с У, где У компактно. Тогда conv X с conv У, где conv У компактно- □

Использованное определение ограниченности удобно тем, что не зависит от выбора в Ап конкретной метризации, порождающей стандартную топологию. Результат этого определения совпадает с метрической ограниченностью в любой из этих метрик, поскольку там компактные множества суть множества, одновременно замкнутые и ограниченные.

Важный класс среди выпуклых оболочек компактных множеств в Ап составляют выпуклые многогранники, являющиеся аналогами выпуклых многоугольников на плоскости и трехмерных выпуклых многогранников.

Определение 2.2. Выпуклую оболочку непустого конечного множества точек {xi, ..., х^ в Ап называют натянутым на xi, ..., хк выпуклым многогранником.

По теореме 2.6 выпуклые многогранники являются компактными, и потому — замкнутыми, множествами в Ап. О них еще пойдет речь в следующих параграфах. Здесь мы отметим их важное комбинаторное свойство, открытое Радоном [51].

Теорема 2.7. Любое конечное множество ХсА", содержащее не менее п + 2 точек, можно разбить на две части У и Z так, что выпуклые многогранники, натянутые на У и на Z, будут иметь общие точки.

Доказательство. Пусть X = {х,, ■.., хД с: Ап и к ^ ^ п + 2. Поскольку X лежит в n-мерном аффинном пространстве, оно при таком числе точек является аффинно зависимым, т. е. существует соотношение

кк

Y ара = О, X °< = °- {“ь•••,«Д =А[0,...,0).(22)

Z-li-1

За счет перенумерации можно считать,что

ci>0,а^>0,ау+1 <0,...,ай<0.\^к'<к.

Тогда (22) можно переписать в виде .

к'к

x-=Y^iXt = Y NiXi(23)

i = li=y+i

к'к

при X Р« = 1> Р1>0,^>0 и 2 Y1= 1, yF+1>0, ...,уй>0,

4 = 1I =6'4-1

если положить

к'

Pi = «i/Z«/, i=lhf,

kr.

Yt = — а;/52 a,, i — k' + 1, • • k.

Ho (23) с учетом теоремы 2.3 дает

xe conv{xi, ..., л:*'} Qconv{xfe'+i, ..-., x&} ^ 0.

Это при У —{xi Xk-^, Z—{Xk'\-\, •.., хА; доказывает теорему 2.7. □■

Упражнения

Доказать, что замыкание выпуклой оболочки множества X с Ап можно представить как conv X = П К, где К — выпуклые замкнутые множества.

В каких случаях conv X = conv X?

Доказать, что внутренность выпуклой оболочки множества X ст А” есть объединение внутренностей выпуклых многогранников, натянутых на конечные системы точек из X.

Пусть X — множество в А" и последовательность множеств {Zv}v@ ц определена рекуррентным соотношением.

Х°:=Х, ;Г+1:= U xV

xv, Sv s XV

Доказать, что для номера v0, определенного условием 2V°-1 < n + 1 ^ 2V% справедливо conv X = XVl = XVo+1 = ... Указание: умело воспользоваться теоремой 2.4.

Пусть X с А" — множество из п + 2 точек, средн которых каждые п + 1 афипно независимы. Доказать, что существует только ’одно разбиение X на части У и Z, для которых conv У П conv Z ^ 0, см. теорему 2.7.

§ 3. Свойства отделимости и опорные свойства

Из последней теоремы § 2 следует, что конечное множество ХскАп, состоящее не менее чем из п + 2 точек, можно разбить на части У и Z так, что эти части не могут лежать в разных открытых полупространствах Нх, Н2, ограниченных одной гиперплоскостью А, как бы эта гиперплоскость А ни выбиралась. (В противном случае conv У Л conv Z с Нх П Н2 = 0.) Это можно выразить словами: «У и 2 не могут быть строго отделены гиперплоскостью».

Определение 3.1. Два множества Хь Х2сА" отделены гиперплоскостью А, если для ограниченных А_ открытых полупространств Нх, Н2 справедливо Xi c.R\, Х2<^Н2, и строго отделены если Xi с Нх, Х2с Н2.

Чтобы получить достаточные условия отделимости двух выпуклых множеств, воспользуемся следующей леммой-

Лемма 3.1. Пусть Кх.Кг^А"— выпуклые множества, причем Кх?\Кг = 0, а реА". Тогда из двух множеств conv(7<iU U{p}) Л К2, conv(T<2U {р})Л-^1 хотя бы одно пусто.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Допустим противное: conv(7(i U{p})H П^2¥=0 и conv(T<2 U {р}) П Кх ^ 0. Тогда существуют такие точки ух, у2, что

Ух^Кх, y^eKi(24)

и

, Ух г сопу(Л2и {р}), Уг^ conv(^l и {р})(25)

Тогда из (15) и (25) следует

ух (= х2р, у2 (= Х\р,(26)

где

хх е Кх, х^^Кй.(27)

Теперь простое вычисление средствами аналитической геометрии может подтвердить ясное из рис. 5 утверждение, что от

резки Ххух и х2у2 пересекаются в некоторой точке г. Ввиду (24), (27) и выпуклости Кх, Кг это приводит к 2еххухПх2у2с:КхПК2, что противоречит Кх О Кг = 0. □

Теперь мы можем доказать первую теорему об отделимости.

Теорема 3.1. Два непустых выпуклых множества Кх, Кг сд Ап, относительные внутренности кото* рых Кх и К> (т. е. внутренности

относительно их аффинных оболочек^ не пересекаются, отделимы в смысле определения 3.1 некоторой гиперплоскостью А в А"..

Доказательство. Согласно теоремам 1.6 и 1.8 множества К^?, Кг} выпуклы и непусты. По условиям теоремы К^ П П^2О|=0. Рассмотрим семейство всех пар непересекающихся выпуклых множеств в Ап, содержащих пару {№i°*, К^У Введем в этом семействе частичное упорядочение по включению, считая что {/C^, К-^ се {к", Кг}’ если Ал сд К" и Т(2 сд Кг- Согласно лемме Цорна в этом семействе существует хотя бы один максимальный элемент {Li,L2}. Тогда L\, L2 — непустые дополняющие друг друга выпуклые множества- Действительно, если бы существовала точка р е Д"\(Ti (J L2), то по лемме 3.1 одно из множеств conv(£a U {р}) Я Ьг, conv(Z,2 U {р})П Lx было бы пусто, что противоречит максимальности {Z-i, L2Y ____

Применение леммы 1.3 к Lx, L2 дает Lx=Hx, Ь2 = Н2, где lh,H2— открытые полупространства в Ап, ограниченные гипер-

плоскостью А := L\ Я L2. Вместе с К^ е Li, Кг'с L2 это дает

Ki'eHi, К^сН2.(28)

Заметим еще, что каждая точка, множеств а К\ по лемме 1.1 является также точкой множества К?'- Чтобы убедиться в этом, достаточно соединить рассматриваемую точку из К\ отрезком с произвольной точкой непустого Л10). Для Кг аналогично. Поэтому

. КюкТ, КгсК^,(29)

и из (28), (29) следует

К\ с= Rx, К2 с Н2,

т. е. А отделяет Ki и К2 в смысле определения 3.1. □

Замечание 3.L Если остальные требования теоремы 3.1 дополнить условием aff (/Ci U Дг) = А", то условие К^Г\К2^=0 становится не только достаточным, но и необходимым для отделимости Ki и К2. Действительно, пусть К\ и К2 отделены гиперплоскостью А и aff (Ki U Кг) — А.п. Если бы нашлась точка р е К?1 Я Ki^ то непременно было бы ре А, КхеА, К2еА, и dim aff(/Ci (J ^2)^ п — 1. □

Замечание 3.2. Приведенное выше доказательство теоремы 3.1 не конструктивно, поскольку использует лемму Цорна. Если ввести вспомогательную евклидову метрику, то можно дать конструктивное доказательство той же теоремы (см. [24], с. 11—12).

Мы хотим теперь ближе рассмотреть тот случай теоремы 31, когда К2 есть точка, лежащая на границе Ki в aff Ki, т. е. Кг = К2' = (р) с К1 \ К^- В этом случае ре А, где А—гиперплоскость, отделяющая Ki от р. Действительно, если р е Н2, то ввиду ре Ki и открытости Н2 должно быть К\ Я ^2 ^ 0, что противоречит Кд с Rv и R\V\H2 = 0.

Ввиду реК\ замкнутое полупространство Нь ограниченное гиперплоскостью А, обладает тем_свойством, что никакое другое замкнутое полупространство Дп лежащее в Н\ (и потому «параллельное» Нх, т. е. получающееся из R\ параллельным переносом), не охватывает собой К\. Это обстоятельство выражают также, говоря, что проходящая через р гиперплоскость А является опорной гиперплоскостью множества К\ в смысле следующего определения.

Определение 3.2. Гиперплоскость АсАЛ называется опорной к множеству XсАп, если X содержится в ограниченном замкнутом полупространстве Hi, но не содержится ни в каком другом замкнутом полупространстве, лежащем в Hi.

гиперплоскостей спрагиперплоскостей спраПо поводу существования опорных

гиперплоскостей спра

гиперплоскостей спра

ведлива следующая важная теорема.

Теорема 3.2. Через каждую точку р границы дК= К?\К? выпуклого множества Кс А" проходит хотя бы одна опорная к К гиперплоскость А.

Доказательство. Если dim К <_ п, то утверждение теоремы тривиально. Достаточно выбрать гиперплоскость А так, чтобы она содержала aff К. Тогда А как замкнутое множество содержит в себе К, К, р.

В случае dim К = я имеем aff К = А", К№ = К°, и отделяющая К от р гиперплоскость А, существующая по теореме 3.1, будет опорной к К, содержащей р.

Теорема 3.2 при несколько усиленных предположениях допускает следующее обращение.

Теорема 3.3. Замкнутое множество X с: Ап с непустой

внутренностью, у которого через каждую граничную точку про

ходит хотя бы одна опорная гиперплоскость, всегда выпукло.

Доказательство. При и=1 теорема тривиальна; будем считать, что и ^ 2. Пусть хх, х2 е X, xi^ х2 и хае xiX2. Мы должны доказать, что хз е X. Допус

тим, что Хз ^ X, тогда xs =^ xY, х3 4= V= Хг- Поскольку Х° =# 0, существует х4еХ°. Ввиду и^2 можно, не умаляя общности, считать, что х4 ф хх V V х2 (в противном случае заменяем х» близкой точкой из ее окрестности в Х°). Точки хь х2, х» образуют невырожденный треугольник conv{xi, хг, х^ (рис. 6), его делит отрезок х3х4 (см. пример 2.1). Внутри отрезка *3*4 должна лежать точка реХ\Х°=

= дХ. Точка р лежит в относительной внутренности (convfxi, Х2, Х4}) ^ нашего треугольника. По условиям теоремы через р проходит опорная к X гиперплоскость А (см. рис. 6). В А" можно так выбрать систему аффинных координат (£ь ■ |п), чтобы А задавалась уравнением gn = О, а замкнутое полупространство Д], содержащее X— неравенством gn ^ 0 (ср. пример 1.1). Тогда для координат |“, л, (1=1, ..., п) точек ха ( а = 1, 2, 4), р будет

|“^0 (а = 1, 2, 4),' л„ = 0,

Но р лежит внутри треугольника Х1Х2Х4, поэтому p = «ixi + + 0,3X2 + а4х4, где О[ > 0, аг > 0, а4 > 0, он + «2 + «4 = 1 (ср. пример 1.4). В частности, л„ = а^„ + «2^ + «4|п> откуда следует 6л == In = In = О, т. е. xi е А, хг е А, *х4 е А. Но х4 А, так как

х^еХ0, а А— опорная к X гиперплоскость. Наше предположение х3 ^ X привело к противоречию, и теорема 3.3 доказана. □

Замечание 3.3. В теореме 3.3 каждое из условий X = X и Xй ф 0 не является лишним. Это показывает пример лг-симп- лекса с одной, отличной от вершины, удаленной точкой границы и пример невыпуклого замкнутого множества, лежащего в гиперплоскости А,

Теорема отделимости 3.1 допускает усиление, если па выпуклые множества Ki, К2 наложить дополнительные требования.

Теорема 3.4. Непустые выпуклые множества Ki, К^сА", замыкания которых не пересекаются и хотя бы одно из которых, пусть К\, ограничено, строго отделимы (в смысле определения 3.1) некоторой гиперплоскостью А.

Доказательство. Идея приводимого доказательства состоит в том, чтобы несколько увеличить множество К\, оставляя его выпуклым, так, чтобы увеличенное множество все еще не имело общих точек с Кг и потому было отделимо по теореме 3.1 от К2 гиперплоскостью А', а затем, параллельным переносом получить из А' гиперплоскость А, строго отделяющую Ki от Кг-

Чтобы осуществить намеченное увеличение множества Кь выберем в Ап аффинную систему координат (gb ..., gn) и рассмотрим зависящее от параметра е > 0 множество (Ki) 6. = {х = (51, ..., g„) е Л") | ^i — г] 11 -< е, ...

..., [^ —цл| < е; у:=^ ..., upje KJ. (30)

Такие множества (Kt)E выпуклы. Действительно, если х = — UL ■ •7 ^)g (Ki)f и X2 = Ut ...Д^е (К1)Е, т. e.Jg) —_щ | < е и |§г —щ|<е (г= 1 п\ где г/i = (щ, . .., тъ) g Ki, г/г =

-=(пь • • •. Пл) G Ки то для точек Xi^i + К2Х2 при Х^ + Х2У2, где Xi ^ 0, Хг ^ 0, Xi + X2=l, для каждого 1=1, ..., п в силу (30) будем иметь

| (Xi£i + Хг^г) — (X i т^ + Х2гр) I ^ Xi [^J — щ | + Хг | £г — щ | < е, т. е. XiXi -j- Хг^г s (KJ е-

Мы утверждаем теперь, что существует 8о > 0, при котором (К1кЛК2=0.(31)

.Допустим противное. Тогда__ существует последовательность {ev)vs.v с 8V > 0, limev = 0, (KJEv П К2=^ 0. Точкам xve(Ki)ev П f) К2 по определению (30) отвечают некоторые точки yv Е Кь По компактности Ki можно, не умаляя общности, считать, что существует Нт у„ = уое Kv Отсюда следует, что lim xv = уй у0 Е К2, что противоречит Ki П Кг — 0.

Теперь применение теоремы 8.1 к выпуклым множествам (К1)е» и К2, с учетом (31), дает существование гиперплоскости Д', отделяющей их друг от друга. Поскольку (Ki)e0 есть объединение открытых параллелепипедов, оно само открыто, поэтому Д/П(К1)е0 = 0 или, что в силу (30) — то же самое,

(32)(32)К\ П (Д'^ = 0,

(32)

(32)

где (Д')Ео определено аналогично (30). Как и (КОе,, множество (Д')Ео выпукло и открыто. Оно переходит в себя при параллельных переносах, переводящих Д' в себя, и представляет собой слой, ограниченный двумя параллельными Д' гиперплоскостями (рис. 7). Сдвинув параллельно Д' внутрь этого слоя в

направлении к Кь получим гиперплоскость А, которая по (32) строго отделяет Ki от Ка, что и требовалось доказать. □

Замечание 3.4. Для строгой отделимости Ki от Кг необходимо не только Ki П Кг = 0, а и Ki П Кг = 0. Характерен пример двух открытых полупространств с общей граничной гиперплоскостью.

Замечание 3.5. Предположение ограниченности Ki или Кг в теореме 3.4 тоже не лишнее. При п = 2 это видно из примера замкнутой полуплоскости Кь граничная прямая которой служит асимптотой гиперболы, детвь которой является границей выпуклого множества К2 (рис. 8).

Обратимся снова к частному случаю теоремы 3.4, когда Кг есть точка р, не принадлежащая Кь Для такой точки р всегда существует гиперплоскость А и ограниченное ею замкнутое полупространство Дь для которых KicKi, р е Н2 : = Д"\Д1. Это позволяет доказать следующую теорему, близкую к теореме 2.1.

Теорема 3.5. Замкнутая выпуклая оболочка любого множества X с Ап, т. е. conv X, есть пересечение всех содержащих

X замкнутых полупространств

conv X = _f] Н, где Н — замкнутые полупространства, (33) н=>х

за исключением случая, когда conv X — Ап.

Доказательство. Пусть ХсЛ-. Обозначим L;= Ап, когда conv X = Ап и L:=J^ Д> где Н—замкнутые полупро- НэХ

странства, когда conv X #= Ап. В последнем случае по теоремам 1.9, 1.10 для любой точки р е Д"\сопу X имеем X с conv Хс с Sp С2 Sp = : Н. Во всех случаях X с L, причем ввиду выпуклости L также conv X с L, а по замкнутости L и conv X cz L. Убедимся в обратном включении. Пусть реДп\сопуХ, тогда по соображениям, предшествовавшим теореме 3.5, существует такое замкнутое полупространство Нх с Ап, что X cz convX с Нх, p^A"\Hx, т. е. р ^ L. Поэтому Дп\сопу X с Д"\£ и L с cz conv X. Значит, conv X = L. □

Сгруппируем вместе все параллельные друг другу замкнутые полупространства, содержащие непустое X, и заметим, что их пересечение есть замкнутое полупространство (того же «направления»), ограниченное опорной к X гиперплоскостью. Это дает■

Следствие. Замкнутая выпуклая оболочка любого непустого множества X cz Ап, X =# Ап, есть пересечение всех замкнутых полупространств, содержащих X и ограниченных опорными к X гиперплоскостями.

В случае компактного множества X его замкнутая выпуклая оболочка, или, что по теореме 2.6 ' то же, его выпуклая оболочка, кроме описанного теоремой 3.5 геометрического представления обладает еще одним замечательным представлением. Для его формулировки нам понадобится следующее определение.

Определение 3.3. Пусть на компактном множестве ХсАп задана нетривиальная ^т. е. такая, что ^ dp > (А мера Радона р. Можно интерпретировать р как распределение массы на X. Тогда точку у = ^ xdp/^ dp называют центром тяжести X при х х

таком распределении массы. ГЗдесь ^xdp есть вектор с коор- X х

динатами ^?zdp, где ^ — координата вектора х, г = 1, ..., «А х' /

При таком определении справедлива

Теорема 3.6. Пусть ХаАп— непустое компактное множество. Тогда

conv X = J у е Ап \уconv X = J у е Ап \у(34)(34)

conv X = J у е Ап \у

conv X = J у е Ап \у

(34)

(34)

еде р— произвольные нетривиальные меры Радона на X.

Доказательство. Обозначим К правую часть доказываемого равенства (34) и убедимся, что convX cz К и convXzD/f.

Чтобы доказать первое включение, рассмотрим точку у е е conv X. По (13): кк

У-^Мо X^z = ^’ ^i 0>®> xy^X, ..., х^еХ.

/ — 11=1

(35)

Пусть р‘— единичные массы в точках х, с координатами g‘ (/=1, ..., п; /=1, ..., /г). Каждая масса р‘ есть мера Радона, определенная правилом: р(Х') = 1, если X' э xt, и p(X') = >=0, если X' ф Xt. Тогда на X определена нетривиальная мера Радона Ро=^Агр‘, Для которой, по известным свойствам i=i

меры, Ак

^ МНо = ^ ^jdp-l = ^ ^ti- j=lп.

XZ = 1 Xf = l

кк

^р0=^Хг ^рг = ^Л,о х z=i х i=i

Что дает к

xdp0 = £^dpo^l.(36)

Xi = lX

Из (35), (36) сразу следует у^К, тем самым conv X cz К. Чтобы доказать обратное включение, рассмотрим точку у е К, т. е.

у = j х dp!^ dy,(37)

X X

Где р — нетривиальная мера Радона на X, и любое содержащее X замкнутое полупространство ЙсАп с представлением ^U) + Y= ^ Y/^/ + Y<0, {уь у„}^{0, ..., 0}.

Тогда по ^37)

L (у) + у = S (^ W + У) dyl \dp. < О,х х

V. е. уеН. Поскольку Н — любое из содержащих X замкнутых полупространств, то по (33) и теореме 2.6

ye J~| Н = conv X = conv X,

. H=dX

где Н— замкнутые полупространства, т. е. К с conv X. □

Упражнения

Пусть Л с Д"— выпуклое множество, р е=/(^> н А— гиперплоскость, проходящая через точку р н не содержащая aff К. Доказать, что А разбивает множество К на два выпуклых множества той же размерности, что и К.

Пусть К с Ап— выпуклое множество, а ВсД"—аффинное подпространство, причем В П Kw = 0, а В П К. =Д= 0. Доказать, что через В проходит хотя бы одна опорная к К гиперплоскость А. Верно ли это и в предположении В П К = 0?

Пусть К с Д'1—ограниченное выпуклое тело и А—произвольная гиперплоскость. Доказать, что существует ровно две различные опорные к К гиперплоскости, параллельные Д.

Доказать, что замкнутое множество X с Д" выпукло в том н только том случае, когда X может быть в А" строго отделено гиперплоскостью от любой точки р, не принадлежащей X.

Пусть /( с Д” — замкнутое выпуклое множество, а Вс А’ — аффинное подпространство, не пересекающее К, т. е. В П К = 0- Доказать, что через В проходит хоть одна гиперплоскость А, не пересекающая К.

Семейство из самого А" и всех его замкнутых полупространств R, согласно теореме 3.5, образует базис, пересечения подсемейств которого дают любые замкнутые выпуклые множества в А". Доказать, что этот базис не минимальный. (В отличие от семейства из Д" н всех его флаговых полупространств Sp, которое ио теореме 2.2 образует аналогичный, но минимальный, базнс для всех выпуклых множеств в Л”.)

4. Экстремальные элементы. Теоремы Крейна — Мильмана и Страшевича

В § 2 мы видели, как по заданному множеству ХсА" определяется его выпуклая оболочка convX. Зададимся обратным’ вопросом: какое подмножество X заданного выпуклого множества К сд Ап обладает свойством давать в виде своей выпуклой оболочки convX множество КЗ Очевидно, такое множество X должно содержать каждую точку х е К, для которой множество К\{х) выпукло, иначе conv X с К\ (х) =Д= К. Это приводит нас к следующему определению. .

Определение 4.1. Точка хе К выпуклого множества К е А" называется экстремальной точкой множества К, если К\{х) выпукло или, что эквивалентно, если не существует точек у, геК, для которых х есть внутренняя точка отрезка yz.

т. е. х е z/z\ ({z/} U {z}) • Вторая формулировка позволяет вводить понятие экстремальной точки также для невыпуклых множеств1).

Множество всех экстремальных для К точек будем в дальнейшем обозначать ext К. Из определния 4.1 сразу следует

Теорема 4.1. Если Кс Ап выпукло и К = conv X, то X тэ Э e.\t К.

Замечание 4.1. Из определения 4.1 также следует, что каждая экстремальная точка множества К лежит на границе К относительно его аффинной оболочки aff К:■

ext К с К\К<°\(38)

Пример 4.1. Симплекс. Пусть S = conv{e0, ..., е„) есть П-симплекс с вершинами ео, ..., еп в Ап, т. е

п х = £ «А, i—0п х = £ «А, i—0п

п х = £ «А, i—0

п х = £ «А, i—0

., ап>0., ап>0X «;= 1, ао^О, <-о

., ап>0

., ап>0

По теореме 4.1 extSc{eo, .... enY Справедливо и обратное включение, т. е. e^eextS, 0 ^ к ^ п. Действительно, предположим, что вк— внутренняя точка какого-либо отрезка в S, то w барицентрические координаты суть 6ife = ZiP + ^Уп где / - 0, ..., п, bik — символы Кронекера, р * ^ 0 и у* ^ 0 — соот- иггствующие координаты концов этого отрезка, М > 0, кг > О, ki + ^2 — 1- Тогда при i^k, ввиду б(^ = 0, обязательно р^^ пп

■*Ni=^> откуда, ввиду У Р? = 2 4i = L заключаем, что

Z-0( = 0

bt^Y* — 1, т. е. концы отрезка, вопреки предположению, совпадают. Поэтому ext 5 = {е0, ..., епу

Пример 4.2. Телесный эллипсоид. Пусть Е— телесный эллипсоид (ср. пример 1.3) с центром хо, задаваемый неравенством ЕЦ— х0, х — Хо) — у2 ^ 0, а у — произвольная точка из ext Е. По замечанию 4.1 у^дЕ и ЕЦ— хо, у — Хо)— у2 = 0. Обратно, каждая точка у едЕ является экстремальной. Дейст- ипгсльно, проходящая через у гиперплоскость А имеет уравнение Е^у — Хо, х — Хо) — у2 = 0. Она является опорной к Е и имеет с Е единственную общую точку у, поскольку для каждой ючки х е Е, ввиду положительной определенности F, выпол- ниется соотношение

ШЧу — хо, х —хо) —у2) =

= (Е(у — х0, у — хо) — у2) + (К(х — Хо, х — х0) — у2) —

— Г Цу — Хо) — (х — х0),(у —Хо) —(х —Хо))< 0,

где равенство нулю имеет место лишь при х = у. Поэтому у не может быть внутренней точкой лежащего в Е отрезка. Таким образом, ext В = дЕ.

Из теоремы 4.1 следует, что для выпуклого К из K=convX следует X zd ext К. Спрашивается: будет ли верным соотношение К = conv(ext К)? Как мы увидим дальше, это соотношение, вообще говоря, неверно, однако, Крейн и Мильман [41] доказали следующую теорему.

Теорема 4.2. Если КаАп — компактное выпуклое множество 1), то

К = conv(ext К).(39)

Доказательству предпошлем следующую лемму.

Лемма 4.1. Если КаАп — выпуклое множество и А — его опорная гиперплоскость, то

ext (К Л Л) = (ext К) Л Л.(40)

Доказательство. Из определения 4.1 и К Л А ед К следует, что ext (К П Л) дэ (ext К) Л Л. Пусть теперь хе ext (КП Л), тогда не может быть х е yz\ ({у} U М) при y,zeK, ибо иначе было бы у, zeK^A (поскольку хе Л и А опорная для К), а это противоречит хе ext (КП Л). Значит, ext (К ПЛ) с: с (ext К) П А, и (40) доказано. □

Доказательство теоремы 4.2. Проведем доказательство индукцией по размерности множества К. При dimK = = 0 теорема тривиальна. Пусть она верна для всех размерностей, меньших т, где т — dim К, 0 < т ^ п. Включение К дэ до conv (ext К) очевидно. Чтобы доказать равенство (39), остается установить обратное включение. Пусть хеК, a G— любая прямая, лежащая в aff К и проходящая через точку х. По компактности и выпуклости К множество G Л К есть отрезок yz с концами (возможно, совпадающими) на К\К(0). По теореме 3.2 (примененной к Ат = aff К) существуют опорные в Л"1 к К в точках у и z гиперплоскости В, С. Они пересекают К по компактным выпуклым множествам ВПК, СПК размерности, не большей тп—1. По лемме 4.1 (в Лт) и индуктивному предположению имеем

ВПК — conv (ext (В И К)) = conv ((ext К) П В),С И К = conv (ext (С Л К)) = conv ((ext К) П С).

Ввиду у е В Л К сд conv (ext К), г е С П К с conv(ext К) получаем, что хеG Л К = yz сд conv (ext К), т. е. К с conv (ext К). □

Следствие теоремы 4.2. Каждое непустое компактное выпуклое множество К с Ап содержит хотя бы одну экстремальную точку.

Замечание 4.2. Предположения замкнутости и ограниченности К в приведенном следствии, а потому — ив самой теореме 4.2, не лишние. Это показывает пример внутренности n-симплекса и пример замкнутого полупространства: у этих

множеств нет экстремальных точек.

В. Кли [36] рассмотрел смежный вопрос, естественно возникающий, когда в связи с (39) изучаются не компактные, а

лишь замкнутые выпуклые множества. Второй из примеров замечания 4.2 наводит на мысль, что в случае замкнутых выпук

лых К именно содержание в К прямой ответственно за отсут

ствие у К экстремальных точек и нарушение равенства (39). Это действительно так, как показывает следующее замечание:

Замечание 4.3. Всякое замкнутое выпуклое множество К cz Ап, которое содержит хотя бы одну прямую, есть цилиндр с образующими в виде параллельных друг другу m-мерных (1 ^ *; пг ^ п) аффинных подпространств и нн более чем (п— пг)-мерным замкнутым выпуклым основанием L, которое уже не содержит ни одной прямой. Это замечание легко доказать, если заметить, что замкнутое выпуклое К cz Ап вместе с пря

мой G и точкой х содержит также прохо

дящую через х прямую Gx, параллельную G (см. рис. 9), а все проходящие через х и лежащие в К прямые заполняют пг-мер-

ную образующую Ах множества К (l^m^n). Поэтому К должно быть цилиндром с параллельными Ах образующими и основанием L = К П Вх, где В, — дополнительное к А* в Ап подпространство.

Следствие. Замкнутое выпуклое множество К с г. Ап, содержащее хоть одну прямую, не имеет экстремальных точек.

X = 2 г-нX = 2 г-нВвиду замечания 4.3 естественно, при изучении представлений йпмкпутого выпуклого множества К cz А” как некой выпуклой оболочки в духе (39), дополнительно предполагать, что К не содержит прямой. Но и тогда само равенство (39) останется, нообще говоря, неверным. Это показывает пример «симплициаль- ного многогранного угла» • .

X = 2 г-н

X = 2 г-н

2 К. ЛеЙхтвеЙс

где йо, ..., еп — аффинно независимые точки в Л”. Это — выпуклый конус с вершиной е0. Он обладает единственной экстремальной точкой йо. Но Р, очевидно, есть выпуклая оболочка замкнутых лучен:

Н\:= (х е Л" | х = аоео + а,^, а0 + а, = 1, а, > 0} =

= {х е Ап | х — е0 = q.t (ег —■ й0), az ^ 0}, z = l, - ..,п.

Эти лучи можно для Р назвать экстремальными в смысле следующего определения.

Определение 4.2. Замкнутый луч Н1, лежащий в выпуклом множестве К cz Ап, называют экстремальным лучом множе ства К, если множество КХЯ1 выпукло и концевая точка х( луча Н1 является экстремальной точкой для К. (Это эквивалентно тому, что ни одна точка луча Н1 не является виутреннег для отрезка, лежащего в К и имеющего хотя бы один конег вне Я1.)

Множество точек всех экстремальных лучей К будем далее обозначать rext К. Кли принадлежит следующая теорема.

Теорема 4.3. Всякое замкнутое выпуклое множество КаА" не содержащее прямой, является выпуклой оболочкой свои; экстремальных точек и экстремальных лучей

К = conv(ext/(U rextK).(41"

Для доказательства используем следующую лемму.

Лемма 4.2. Если КсА" — замкнутое выпуклое тело с не пустой выпуклой границей дК, то К есть замкнутое полупро странство Н, а дК — его граничная гиперплоскость А.

Доказательство. Проведем доказательство индукцие: по числу измерений п объемлющего пространства Ап. При п = лемма тривиальна. Пусть она верна при всех размерностях меньших п, и п ^ 2. Рассмотрим точку хедК и проходящуг через х опорную к К гиперплоскость А. Для точки у е К° #=t Рассмотрим любую гиперплоскость В, проходящую через х и t огда К А В представляет собой в В замкнутое выпуклое тел с опорной гиперплоскостью ЛАВ и с границей (КАВ)Х \(КА^)(0)- Но ясно, что (К А В)№ ^ К° А В. Кроме топ обратно, для каждой точки' z е(-КР Ву°> лежащий в К П отрезок yz можно во внутренней части К продолжить за z, пс этому по лемме 1.1 геК°Г\В. Значит, (К А В)(0) = К0 А В, множество

(Я А В)\(Я А В)(0> = (К А В)\(№ А В) = дК А В тоже выпукло, ввиду выпуклости дК и В. По индуктивном предположению отсюда следует, что К А В есть в В замкнутс полупространство с опорной гиперплоскостью ЛАВ, т.

К п В = Я П В и дК П В — А П В, где Я есть ограниченное гиперплоскостью А и содержащее тело К замкнутое полупространство в Ап. Проводя через х и у всевозможные гиперплоскости В, убеждаемся отсюда, что К = Я и дК = А. □

Доказательство теоремы 4.3. Проведем доказательство, как и для теоремы 4.2, индукцией по размерности множества К. Теорема 4.3 тривиальна при dim К = 0 и dimK—1. Пусть она верна при всех размерностях К, меньших т (1 < т Д п). Докажем ее для К в случае dim К — т.

По предположению К не содержит прямую, и потому не совпадает пи с aff К, ни с его полупространством. Применение леммы 4.2 в пространстве aff /С говорит нам, что непустая граница К\К№ множества К в aff К невыпукла. Поэтому существуют'

точки у', z'eK\K№ и такая точ-/ /

ка х' е y'z'\ ({/} U {г'}), что/ //

х'^К^. Отсюда (по лемме 1.1I ///

в aff К) имеем К (Uy' V Д) =1

= y'z'. Пусть X E К и G — проходящая через х прямая, параллельная прямой G' := у' V z'. Тогда G должна пересекать К по некоторому отрезку уг (совпаде-Рис- 10

пне у — z не "исключается). Дей- ._

ствительно, G не может лежать в К, и даже один луч Hv прямой G не может лежать в К", иначе в К лежал бы сонаправленный с ним луч Нг прямой G', что противоречит G' f] К = y'z', см.

рис. 10.

Конец доказательства ведется аналогично концу доказательства теоремы 4.2. Пусть В, С—проходящие через у, z опорные к К гиперплоскости в пространстве aff К. Тогда, по индуктивному предположению, по лемме 4.1 и по доказываемому аналогично лемме 4.1 соотношению rext(KA Л) = (rext К) П А, где А —опорная к К в А” гиперплоскость, имеем

хе yz,

у е conv (ext (В П К) U rext (В П К)) = conv ((ext К U rext К) П В), z е conv (ext (С П К) U rext (С П К)) = conv ((ext К U rext К) П С),

откуда х е conv(ext К U rext К). Поэтому К с conv(ext КU 1) rext К). Поскольку обратное включение К id conv (ext К U Urext К) тривиально, это доказывает равенство (41). □

Следствие теоремы 4.3. Каждое непустое замкнутое выпуклое множество К с Ап, не содержащее прямую, имеет хотя бы одну экстремальную точку. (Ср. со следствием из замечания 4.3.)

Во второй части этого параграфа мы займемся вопросом о существовании аналогичных (39) и (41) представлений замкнутого выпуклого множества К как замыкания выпуклой оболочки некоторого другого его подмножества. Оказывается, что здесь можно ограничиваться геометрически интересными подмножествами множеств ext К и rext К, состоящими из так называемых экспонированных точек и экспонированных лучей множества К.

Определение 4.3. Точка х и соответственно замкнутый луч Я1, лежащий в выпуклом множестве К cz Л", называется экспонированной точкой^, соответственно — экспонированным

Рис. 11Рис. 11

Рис. 11

Рис. 11

лучом, множества К, если существует опорная к К гиперплоскость А, для которой ЛПЯ= {х}, соответственно Л ПЛ' =

Множества экспонированных точек и экспонированных лучей в дальнейшем обозначаем ехр К и гехр К. Например, для n-симплекса S, телесного эллипсоида Е, симплициального многогранного угла Р справедливо: exp S = (еое^, ехрЕ =

= дЕ, exp Р = во, гехр Р = Н Н\ (см. примеры 4.1, 4.2 и за

мечание перед определением 4.2).

В общем случае из определений 4.1, 4.2, 4.3 непосредственно следует

Теорема 4.4. Для выпуклого множества К cz А" всегда

ехр К с ext К,(42)

гехр К cz rext К-(43)

Замечание 4.4. В (42), (43), вообще говоря, не обязано быть равенство. Это показывает изображенный на рис. 11 пример выпуклой фигуры с четырьмя отмеченными граничными

9 В геометрических работах часто экспонированную точку называют точкой строгой выпуклости множества К. В работах по функциональному анализу такую точку часто называют достижимой. В последние годы преимущественно распространяется термин «экспонированная». — Прим, перез.

точками, которые являются экстремальными, по не являются экспонированными, и изображенный па рис. 12 пример выпуклого конуса, граница которого состоит из двух плоских секторов и двух секторов, взятых от кругового конуса. Разделяющие эти секторы четыре луча являются экстремальными, но не экспонированными.

Докажем теперь теорему Страшевича [56], которая является аналогом теоремы Крейна — Мильмана.

Теорема 4.5. Для компактного выпуклого множества К а Ап справедливо представление .

■К = conv(exp К).(44)

Eotd К,Eotd К,(45)(45)' Доказательство. Включение К =э conv(exp К) тривит алыю ввиду выпуклости и замкнутости К. Противоположное нключепие К cz conv(exp К) докажем от противного. Допустим, что существует хо е К, хо ^ conv (exp К). Тогда хо и conv (exp К) можно по теореме 3.4 строго отделить гиперплоскостью A cz А" так, что х0 Е Д;, a conv (exp К) cz Н2, где Нх, Я2 —открытые полупространства, ограниченные А. Пусть уо Е А. Ввиду компактности, множество К ограниченно и содержится в некотором телесном эллипсоиде Ео, заданном неравенством F(x— у о, х— z/o) — У2 ^ 0 и имеющим центр у0:

Eotd К,

Eotd К,

(45)

(45)

(см. пример 1.3). Постоянную у2 можно выбрать столь большой,

ЧТО

дЕ0П(КПЛ)== 0.(46)

Пусть G— сопряженная с А относительно дЕ0 прямая в А", проходящая через уо, и у\ — точка на этой прямой, лежащая в Щ. Тогда: " .

F (х — Уо, ух—уо^ = О^х^ А, X, Екх — Уо,ух — Уо)<О-^хеНх.

Рассмотрим семейство всех эллипсоидов Ер, которые имеют С А то же пересечение, что и Ео, и Центры которых лежат на 0(1^2 (рис. 13). Их аналитическое задание

Ер* F(x — (у0 + р(У1~ Уо)). * —(Уо + р(У1 —Уо))) —

— (У2 + P2F <ух — уо, ух —уо^ =

= F<x — yo, x — yo) — y2—2pF{x — yQ,yx—yo}^Q, р ^ 0.

С ростом р части эллипсоидов Ер, лежащие в Дь стягиваются, а лежащие в Rs расширяются (рис. 13):

EpRHY zd Ер-^Н^^р^р',

Ер П Иs с Ер* f) Нг "х=> р ^ р'.

Нас интересуют только эллипсоиды Ер, содержащие К. Согласно (45) они существуют. Поскольку есть точка х0 е К П Н\, а с ростом р часть Ер П Hv стягивается к гиперплоскости Л, то существует максимальное ро, для которого еще

Ер, 2d К.(47)

Для такого р0 должно быть дЕр, П (К П ДО ¥= 0, но ввиду (46) дЕр, П (КП Л) = 0. Поэтому дЕр, П (К П ДО ¥= 0 (см. рис. 13). Возьмем точку z е дЕр, П (К П ДО и рассмотрим касательную в этой точке к дЕр, гиперплоскость В. Как мы уже видели в примере 4.2, гиперплоскость В опорная для ЕРо и В Л Ко„ = {2}. С учетом включения (47) она опорная и для К, и В f]K = {г}, т. е. z есть экспонированная точка множества К. Значит, z е econv(expK), что противоречит z е Нх. Следовательно, наше предположение о существовании такой точки хоеК, что х0^ ^conv(expK), неверно, и теорема 4.5 доказана. □

Из теоремы 4.5 вытекает почти обратное (42) заключение.

Теорема 4.6. Для замкнутого выпуклого множества Kez Ап всегда

ext К с: ехр К.(48)

Доказательство. Случай 1) К компактно. В этом случае можно применить теорему 4.5, поэтому

К — conv(exp К).(49)

Но ехр К есть компактное подмножество в К, и по теореме 2.6 и равенству (49) имеем К zz conv(exp K)ez conv(exp К) = К, т. е.

К = conv(exp К).(50)

Напомним, что по теореме 4.2

К = conv (ext К),(51)

но нам достаточно уже теоремы 4.1, чтобы из (50) заключить о справедливости (48).

Случай 2) К некомпактно. Пусть хе ext К. В пространстве Ап точка х заведомо обладает выпуклой окрестностью U с компактным замыканием О. При этом хе ext (КП СП- Поскольку К Л У компактно, то по уже рассмотренному случаю 1) имеем хе е ехр(КП С). Поэтому каждая лежащая в U окрестность V точ-

ки х содержит хоть_одну точку уеехр(/(П О'). По определению 4.3 {у} = В П(/( П и'), где В — некоторая опорная к К П О гиперплоскость. Отсюда следует, что В опорна к К. (Иначе нашлась бы такая точка да е К, что (А"П^)\В и да лежат строго по разные стороны от В, и рассмотрение отрезка уда Е К показало бы, что В не опорна для ^П С7.) При этом В П К {у}. (Иначе нашлась бы точка w Е К, w е В, да ^= у, и рассмотрение отрезка yw показало бы, что у ^ ехр (К П О).) Значит у е ехр К, и хе е= ехр К, так что (48) доказано и в случае 2). □

Следствие. Каждое непустое замкнутое выпуклое множество, не содержащее прямую, имеет хотя бы одну экспонированную точку. (Ср. со следствием теоремы 4.3.)

Замечание 4.5. Предположения об ограниченности К в теореме 4.5 и о несуществовании лежащей в К прямой в следствии к теореме 4.6 не лишние. Это подтверждает пример замкнутого полупространства: у него нет экспонированных точек.

В заключение этого параграфа остается доказать следующую теорему Кли [37], аналогичную 4.3.

Теорема 4.7. Для любого замкнутого выпуклого множества К cz А", не содержащего прямую, справедливо представление

К = conv(exp К U гехр К).(52)

Доказательств о. Включение в одну сторону К

Э conv (ехр К U гехр К) =: L тривиально по выпуклости и замкнутости К. Противоположное включение К е L докажем от противного. Пусть ХоеК и Xo^L. Тогда по теореме 3.4 хо и L строго отделимы некоторой гиперплоскостью А с А". Пусть xQeHx, Leprae Нх,Нг— открытые полупространства с общей границей А. Пусть В — проходящая через х0 и лежащая в Нх гипер-' плоскость, параллельная А. Тогда К П В по свойствам К есть непустое замкнутое выпуклое множество, не содержащее прямую и лежащее в подпространстве В. По следствию теоремы 4.6 оно имеет хоть одну экспонированную точку уо, и существует опорная к К Г) В гиперплоскость В' (гиперплоскость в пространстве В), для которой1

(Kns)nB' = ^nB'={yo};. (53)

при этом

■КП в с: Вь(54)

где Bi означает соответствующее открытое полупространство пространства В, ограниченное В'. Точка уо по (42) является экстремальной для К П В, по она не может быть экстремальной для /(, иначе по (48) было бы у0 е ехр К a L е Н2, что противоречит уоЕЙс Нх. По определению 4.1 это означает, что существуют точки г, w е К\(КП В), для которых уоегда\({г}и

U {ш}). Пусть G := zV w и Hv — ограниченный точкой у0 открытый луч прямой G, лежащий в Нх. Убедимся, что Hvc. К. (В противном случае /( f| Hv = yozo, где z0 е Н1 с Нх. Точка zo должна быть экстремальной для К (иначе к К принадлежала бы двумерная, содержащая уо^о, полоса, пересекающая В в окрестности уо по отрезку, что противоречит уое ext (КП 5))- Но zoe е ext К также, как и у0Е ext К, невозможно ввиду (48).

Так как по условию К не содержит прямую, то К П 6 = Я1, где Я1 — некоторый содержащий Я1' замкнутый луч прямой б? с начальной точкой wo=^yo. Рассмотрим в Ап цилиндр с образующими, параллельными G, и основанием В^ Этот цнлирдр представляет собой замкнутое полупространство Я1 cz Ап, ограниченное некоторой гиперплоскостью С с Ап. Ввиду (54) K_cz Я?, действительно, если бы у множества К была точка вне Яц то, соединив ее с z или w, лежащими в К, мы нашли бы точку множества К, лежащую в В\5ь что противоречит (54). Кроме того, KQC = KHG = Я1, что видно из аналогичного рассуждения и (53). Поэтому гиперплоскость С оказывается опорной к К, а Я1 — экспонированным лучом для К в смысле определения 4.3, т. е. Я1' cz Я1 cz гехр К a L сН^ что противоречит Я1' cz Нх. Это противоречие показывает, что предположение о существовании такой точки х0, что х0 е К, xo^L, неверно, и (52) доказано. □

Упражнения

Для замкнутого выпуклого множества К с А6 доказать, что ext К замкнуто при dim К = 2, и ext К может быть незамкнуто при dim К = 3.

Доказать, что замкнутое выпуклое тело К с Ап, не являющееся выпуклой оболочкой своей границы, есть или все А”, или замкнутое полупространство.

Пусть С с: А" есть замкнутый выпуклый конус с вершиной хо, являющейся для С экстремальной точкой. Доказать, что хо е exp С.

Пусть К с А" — некомпактное замкнутое выпуклое множество, не содержащее прямую. Доказать, что К содержит хоть один замкнутый луч. Обязано ли К содержать хоть один экспонированный луч?

5. Выпуклые многогранники и многогранные множества

В этом параграфе мы вернемся к выпуклым многогранникам, определенным в § 2 как выпуклые оболочки конечных точечных множеств в А" (см. определение 2.2), и изучим некоторые из их важнейших геометрических свойств. Упомянем сначала следующую теорему.

Теорема 5.1. Если f: Ап-^-Вп— аффинное отображение аффинного пространства А" в аффинное пространство Вп и Р := :=conv{x[, ..., х^} — натянутый на точки хх е Ап, ..., xk е А" выпуклый многогранник в Ап, то f(P) есть снова выпуклый многогранник в Вп, натянутый на точки f(xx), ..., f(x^).

Доказательство сразу следует из общей леммы.

Лемма 5.1. Аффинное отображение f: Ап^Вп сохраняет выпуклую оболочку, т. е. для любого множества X с: Д"

f (conv Х) = conv ЦХ).(55)

Доказательство. По теореме 1.3 f(convX) выпукло, так что из f(X) cz f(conv X) следует convf(X)cz f(convX). По той же теореме 1.3 выпукло f”1 (conv f(X)) zd X, поэтому conv X cz f-1 (conv [(X)) и Hconv X)cz f(f~l(conv f(X))). Ho f(/~' (conv/(X)))cz convf(X), поэтому f (conv X) cz conv f (X), что вместе с обратным включением доказывает (55). □

Далее, из определения 2.2 сразу следует

Теорема 5.2. Выпуклая оболочка объединения двух выпуклых многогранников P:=conv{xi, ..., х^ и Q: = : — conv (ух, ..., у 1} в А" есть снова выпуклый многогранник в Ап\

conv(РU Q) = conv(conv{Х1, ..., xfe) (Jconv{yiуг}) = = convex, ..., Xk, ух, ..., ytY (56)

Замечание 5.1. Множество {xi, ..., х^, выпуклая оболочка которого дает многогранник P:=conv{xiх^) в А", не обязано быть минимальным множеством с этим свойством. Однако по теоремам 4.1 и 4.2 среди точек Хх, ..., Хь есть подмножество точек, являющихся экстремальными для Р, оно является минимальным множеством, на которое натянут многогранник Р. Ввиду конечности, это множество, по теоремам 4.4 и 4.6, совпадает с множеством экспонированных точек многогранника Р. На основании определения 4.3 мы можем рассматривать это множество также как множество нульмерных граней многогранника Р в смысле следующего определения.

Определение 5.1. Пересечение выпуклого многогран- 1 ника Р cz А" с любой его опорной гиперплоскостью А называют гранью многогранника Р. В частности, нульмерные грани (т. е. точки множества exp Р = ext Р называют вершинами многогранника Р (ср. пример 2.1), а сам многогранник Р (в случае dim Р < п} называем несобственной гранью Р.

Значение определения 5.1 освещает следующая

Теорема 5.3. Каждая грань Р П А выпуклого многогранника Р cz А" сама есть выпуклый многогранник в Ап, причем его вершины суть в точности вершины Р, попавшие в А.

Доказательство. Пусть Р — conv (ext Р)—выпуклый многогранник в Л" и А — его опорная гиперплоскость. По теореме 4.2 и лемме 4.1 для его грани РГ|Л (она компактна и выпукла) справедливо

Р fl А = conv (ext (Р П Л)) = conv (ext Р П Л),(57)

т. е., с учетом конечности множества ext Р, грань Pf\A есть выпуклый многогранник с вершинами (extP)f]/4. □

Следствие. Выпуклый многогранник Р а Ап обладает лишь конечным числом различных собственных граней, и их объединение совпадает с границей многогранника Р относительно его аффинной оболочки (см. теорему 3.2).

Пример 5.1. Симплекс. Симплекс (рис. 14) — единственный выпуклый многогранник с аффинно независимыми вершинами. Поэтому все его грани в свою очередь являются симплексами, а его граница относительно его аффинной оболочки есть объединение его собственных граней максимальной размерности. (Ср. примеры 2.1 и 1.4.)

Пример 5.2. Параллелепипед. Пусть nn:={x = (gi, ... ..., g„) g А" | | g, | ^ 1; i = 1, ..., nV Тогда Пп называют параллелепипедом (см. рис. 15). Он есть пересечение п попарно «противоположно параллельных» полупространств Xi^—1 и ^^ 1 (z = 1, ..., п). Легко находим, что ext ГП = {х = (еь ..., еп)е еЛп|е1 = ±1; 1 = 1, ..., nV так что П„ = conv(ext Пп) есть выпуклый многограннике 2" вершинами. Если Н— содержащее ГП замкнутое полупространство в Ап, заданное неравенством п

52 n^i — 6/ХО, {71?«}¥= {0, .., 0}, ограниченное опор-

i (

1!ой к П« гиперплоскостью А, проходящей через его вершину (в], ..., еп), то у< ^ 0 или у/^О в зависимости от того, е,-= = +1 или б; = —1 (i=l, ...,п). Поэтому ПпГ|А={х = = (£ь •^л)^ Ая| |^| ^ 1, соответственно ^ = е,, в зависимости от того, 71 = 0 или 71=0=0; i = 1, ..., nV т. е. каждая грань параллелепипеда в свою очередь есть параллелепипед, лежащий в соответствующем аффинном подпространстве.

Пример 5.3. Крестовый многогранник. Пусть П^ :=

пп. Тогда ввиду теоремы 2.3. Тогда ввиду теоремы 2.3!=!=

п

п

. Тогда ввиду теоремы 2.3

. Тогда ввиду теоремы 2.3

!=

!=

иI лп.

+ VvJ—eaeA^Vn^^v^l, цг>0, vz>0, i =

1 = 1I t=it=l

= 1n f = conv{eb ..., e„, — eH ..., - e„}c

где е; = (0, ..., О, 1, 00),т. в. ПА есть выпуклый много

гранник, натянутый на точки еь ..., в», —ei, ..., —еп; его называют крестовым многогранником ). Проходящие через эти точки гиперплоскости §i = 1, ..., ^„ = I, ^i = —1, ..., g„ = —1 имеют с ПА общими только эти точки, так что ei, ..., еп,—еь ... ...,—еп — экспонированные точки многогранника ПА и потому суть 2п его вершин. Описанный n-мерный крестовый многогранник ПА при п > 0 ввиду

ПА = conv (conv fo, ..., е„-ь — еь ..., — era_t} J (е„, — е„}) =

= conv (ПА-1 U (ej) (J conv (ПА-i U {—е„})

может рассматриваться как бипирамида, составленная из двух пирамид с общим основанием ПА-i, являющимся (п—1)-мср- пым крестовым многогранником, и «вершинами» еп и —еп, см.

Рис. 14Рис. 15Рис. 16

рис. 16 (который подчеркивает, что ПА есть аналог трехмерного октаэдра). Так как точка (0, ..., 0) — внутренняя для ПА, то любая опорная к ПА гиперплоскость А не содержит пару вершин, отличающихся только знаком,-Поэтому легко видеть, что попавшие в А вершины ПА аффинно независимы, и каждая грань А 0 ПА многогранника ПА как выпуклая оболочка лежащих в А (см. (57)) аффинно независимых вершин ПА является, симплексом.

Отметим некоторые геометрические свойства граней выпуклых многогранников.

Теорема 5.4. Пересечение двух различных граней Pf\A' и Р(]А" выпуклого многогранника PczAn или пусто, или снова есть некоторая грань Р Л А многогранника Р; она может рассматриваться как общая грань выпуклых многогранников РЛ^' // РПА" (см. теорему 5.3).

Доказательство. В случае (Р П A')n(PflA") = 0 доказывать нечего. Пусть (Р Л А') П (Р П А") N= 0 и Хо — точка из угого пересечения. Тогда ограниченные гиперплоскостями А', А" и содержащие многогранник Р замкнутые полупространства ГТ, R" в А" имеют аналитические задания Щх— х0) ^ 0, L"^x—

— хр) ^ 0 (см. пример 1.1). Поэтому все точки многогранника Р лежат также в замкнутом полупространстве ^L'-У L"^x— — х0) ^ О, причем линейная форма L' + L" не обращается тождественно в нуль, так как в противном случае было бы А' = А", а мы предположили, что Р П А' У= Р Л А". Граничная гиперплоскость А последнего полупространства является опорной для Р, так как в ней лежит точка х0. Очевидно, (Р Л 41') Л (Р Л ^") с сгРЛЛ. Обратно, для всех хеРПЛ не только ^L' + L") (х — — х0) = 0, но ввиду Р Л A' cz Я', Р Л А" с и" еще и L’(х — х0) ^0, L"(x — х0) ^ 0, откуда L'{x — х0) = О, L" (х — х0) = 0. Поэтому РЛ А с=(РП Л')П(РП А"), т. е. по определению 5.1 пересечение (РП Л^ЖРП Л") является гранью Р П Л мпогранника Р. При этом РПЛ =(РПЛ,)ПИ,П^") и РпЛ = (РЛЛ")Л(Л'ЛЛ"). Это позволяет рассматривать грань РПЛ как общую грань граней РЛ^' и РрЛ". Действительно, аффинное подпространство ЛДЛ" непусто и, ввиду Л' =# Л" и Р Л А' а А' Л Я", Р Л Л" с А" Л Я', подпространство А'ПА" является в пространстве А' опорным для РИА', а в пространстве А" — опорным для РПА". □

Замечание 5.2. Теорема 5.4 и следствие к теореме 5.3 позволяют утверждать, что сам многогранник Р, конечный набор всех его граней и пустое множество образуют частично упорядоченное по включению семейство Г(Р), имеющее структур у решетки ‘).

Это ведет к следующему определению.

Определение 5.2. Выпуклые многогранники Р и Q в Л" называют комбинаторно эквивалентными (см., например, [24], стр. 38), если структуры V(Р) и V(Q) изоморфны.

Так, фигурировавшие в примерах 5.2 и 5.3 многогранники П) и II*, а также Пг и Ш, совместимы аффинными преобразованиями и потому комбинаторно эквивалентны. Но П„ и ГД очевидно уже не комбинаторно эквивалентны при п ^ 3, поскольку у них разное число 2" и 2п вершин.

Существенное разъяснение структуры V(Р) дает

Теорема 5.5. Если Р— выпуклый многогранник в Л" — имеет размерность I, то каждая его собственная грань лежит в некоторой его (I — I-)-мерной грани. При этом каждая (/— 2)- мерная грань лежит ровно в двух различных (/—1) -мерных гранях (п^ 1^2).

Доказательство. Пусть РЛ^ — произвольная собственная (отличная от Р) грань многогранника Р, где А — опорная к Р гиперплоскость. Тогда А не содержит aff Р. Поэтому Л Л aff Р есть опорная гиперплоскость в пространстве aff Р, и грань Р Л А = Р Л (Л Л aff Р) может рассматриваться как грань Р

в пространстве aff Р. Обратно, каждая грань РПА многогранника Р в affP (здесь А —опорная гиперплоскость в aff Р), ввиду возможности представления А = Л П aff Р (где Л— опорная гиперплоскость в Л"), совпадает с гранью Р П Л многогранника Р. Поэтому, не умаляя общности, достаточно доказывать тео

рему 5.5 для случая I = п.

Если для грани Р П Л справедливо dim (Р П Л) = п— 1, то доказывать нечего. Пусть dim (Р П Л) = dim (aff (Р П А)) < п— 1.

В этом случае заведомо существует гиперплоскость Ло в пространстве Л, которая содержит aff (Р ПЛ). Пусть ext Р = = {xi, ..., х^ и, за счет нумерации, ext (Р П Л) = (ext Р) П А = = {хь ..., Хй'}, где 1 ^ ^' ^ ^ — 2. (Необходимость к' ^к — 2 вытекает из dim (Р П Л) = dim (conv {хь ..., х^ = dim (aff (xi, ... ..., x*'}) ^ n — 2 = dim P — 2 = dim (conv {xb . .., x^) — 2 = = dim(aff(xi, ..., хй}) —2.) Тогда гиперплоскости Am в Л"

(т = к' + 1, ..., й), натянутые на Ло и соответствующую точку Хт^А0, образуют пучок гиперплоскостей, проходящих через Ло-

Можно убедиться, рассматривая проекции на подпространство, дополнительное вЛякЛо, что среди гиперплоскостей Ат найдутся две (различные ввиду dim Р = п) гиперплоскости, опорные к ext Р, а потому и к conv (ext Р) = Р. За счет нумерации можно считать, что это Лй'+i и Л* (см. рис. 17).

Грани Р П Лй'+i и Р П Л й многогранника Р содержат грань

Р("]Л и имеют большую, чем она,размерность, поскольку хй'+i а с-Г П Л v+i, Хй-t-i ^ aff (Р П А) и хкеРГ\Ак, Хй ^ aff (Р П Лй) В то же время, ввиду РПЛй'+i <=Лй'+ь РПАй<= Ак, их размерности меньше п. Эти две грани различны, ввиду Лй'+i =А= А* и Хк е(РП Лй)\(РПЛ6Ч1).

Пусть теперь dim(PHA) = n— 2. Тогда, если бы грань РП^ кроме граней РПЛ^+ь ВПЛй лежала еще в какой-нибудь другой (п—1)-мерной грани Р?\В, то гиперплоскость В этой грани, ввиду В td aff (Р П Л) = Ло, принадлежала бы пучку гиперплоскостей, проходящих через Ло, и могла бы (ввиду ВП П (х/{'+1Хй \ ({.Хй'+j U {-’Сй}) = 0,что следует из опорных свойств Н, Лй'+i, А*) обладать с Р не более чем (п — 2)-мерным пересечением, что противоречит dim(PnB) = n—1, см. рис. 18.

Этим теорема 5.5 в случае dim(PnA) = n— 2 доказана. В случае dim(P П А) < п— 2 описанная конструкция, включающая РИА в грань РГ\Ак большей размерности, доказывает (ге повторением) существование (л— 1)-мерной грани, содержащей Pf|A. □

Согласно следствию к теореме 3.5 каждый выпуклый многогранник Р как замкнутое выпуклое множество равен пересечению всех содержащих Р замкнутых полупространств, ограниченных опорными к Р гиперплоскостями. Теорема 5.5 позволяет доказать следующую замечательную теорему.

Теорема 5.6. Каждый выпуклый многогранник Р с: А" равен пересечению конечного числа замкнутых полупространств, ограниченных гиперплоскостя- д ,ми> 6 каждой из которых ле

""Ак жит либ° собственная грань многогранника Р максималь' ~.— ной размерности, либо весь

многогранник Р.

рис |8Доказательство. Слу-

'• чай 1) dim Р = п. В этом слу

чае рассмотрим только те опорные к многограннику Р гиперплоскости Аь ..., Ат, в которых лежат его различные (п—^-мерные грани, и ограниченные этими гиперплоскостями замкнутые полупространства Hi, ..., Нт, содержащие Р. Очевидно, Р с

с П ^/- Пусть теперь х^еР0 и хеА^ХР. Отрезок Хох со- z=i

держит внутри себя единственную граничную для Р точку у. По теоремам 5.3 и 5.5 точка у лежит на некоторой (п— 1)-мерной грани, а потому — в одной из гиперплоскостей А;о(1 ^ ту Внутренняя для Р точка Хо не может лежать на

т .

Ау, так что хо е Ну, а х е А" \ Ну. Тем более хе А" \ Г) Н{.

Ввиду произвольности хе А"\Р мы имеем Ага \ Р cz Ап \ fl Ht, i—I

т. e. P 3D n Щ. Вместе с обратным включением это дает i=i.

р= ПЩ.

t = 1

Случай 2) dim Р < п. По доказанному в случае 1) многогранник Р равен пересечению конечного числа соответствующих замкнутых полупространств в пространстве aff Р. Но эти полупространства могут быть представлены как пересечения замкнутых полупространств в А" с aff Р. Само aff Р тоже есть пересечение конечного числа замкнутых полупространств в Ап, поскольку aff Р есть пересечение нескольких гиперплоскостей, а каждая гиперплоскость есть пересечение двух ограниченных ею замкнутых полупространств. Теорема 5.6 доказана полностью. □

Частичным обращением теоремы 5.6 является .

Теорема 5.7. Если непустое пересечение конечного числа замкнутых полупространств Hi в Ап (i=l, ..., m) является

ограниченным множеством, то оно представляет собой выпуклый многогранник.

Доказательство. По теореме 4.2 компактное выпуклое m

множество L:— П Я,- есть выпуклая оболочка его экстоемаль- t=t

пых точек. Поэтому нам достаточно доказать, что множество ext L конечно. Доказательство будем вести индукцией по размерности пространства Л". При п = 1 множество L есть отрезок или точка, так что ext L содержит не более двух точек. Предположим, что конечность множества extL доказана для всех размерностей, меньших п, и докажем это для L cz Л".

Каждая точка хе exit должна лежать хотя бы на одной гиперплоскости Лц, ограничивающей Я,о (1 ^/о ^ т). Иначе было бы хе П Hie L° = L№ в противоречии с замечанием 4.1. i=l

Поэтому

extL = U ((ext L) ПЛ,).(58)

1=1

Если_(ех1 £)П Л,- ^ 0, то гиперплоскость Лг — опорная (ввиду LcHi) для L, и по лемме 4.1 будет (ext L)f) Л,-= ext(Z. П Л/)- Если же (ext £)П Л, = 0, то даже L ПЛ, = 0. Действительно, из L(\Ai^=0 и LeHi следовало бы, что Ai— опорная для L. и по следствию теоремы 4.2 было бы (exp L)H А, = ext(L П Л/) ф •/= 0. При LnAi = 0 тривиальным образом (ех1Л)ПЛ£ = ■= ext(L П Л;). Поэтому вместо (58) можно писать

ext L = Ц ext (L П Л,).(59)

п Ял П Лг= п (^кПЛ,), где каждое Hh?\Ai h=\ уh—1

есть либо замкнутое полупространство в At, либо — всё Л,, либо пустое множество. Значит, ТрЛ,- есть ограниченное пересечение конечного числа замкнутых полупространств в А;. Поэтому ех1(ТПЛ£) по индуктивному предположению конечно. Отсюда по (59) следует конечность ext L, и теорема 5.7 доказана. □

Следствие теорем 5.6 и 5.7. Непустое пересечение выпуклых многогранников Р и Q в А" есть снова выпуклый многогранник в А".

Теорема 5.7 дает повод к следующему определению.

Определение 5.3. Непустое пересечение конечного числа замкнутых полупространств Н; в Л" называют многогранным множеством в А". В дальнейшем мы всегда будем предполагать, что в таком представлении рассматриваемых многогранных множеств нет лишних полупространств.

гранник является примерПример 5.4.Р := s х е Апгранник является примерПример 5.4.Р := s х е Ап

гранник является пример

Пример 5.4.

Р := s х е Ап

гранник является пример

Пример 5.4.

Р := s х е Ап

Значение многогранных множеств состоит в том, что аналитически они могут быть заданы конечной системой линейных неравенств. Например, по теореме 5.6 всякий выпуклый многомногогранным множеством. Упомянем другой

Симплиции льный многогранный угол. Пусть

х = X Учен S а/= 1 > ai ^ 0> •••,ал^0г, ;=о/=о)

где точки е0, ..., еп аффинно независимы. Множество Р— «симплициальный многогранный угол» (с вершиной е0) в 4я— является пересечением п штук замкнутых полупространств

Это многогранное множество Р неограниченно и потому не является выпуклым многогранником.

Замечание 5.3. Очевидно, что непустое пересечение двух многогранных множеств снова есть многогранное множество. Но выпуклая оболочка двух многогранных множеств может не быть многогранным множеством. Это при п > 1 показывает пример гиперплоскости А и точки р^А: выпуклая оболочка этих двух многогранных множеств незамкнута (см. замечание 2.2) и потому не является многогранным множеством.

Понятие грани многогранного множества определяется как и для выпуклых многогранников.

Определение 5.4. Пересечение многогранного множества Рс А" с опорной к Р гиперплоскостью А называют гранью Р. При этом нульмерные грани (т. е. точки множества exp Р) называют вершинами, а само Р (в случае dim Р < п) — несобственной гранью Р.

Теперь докажем теорему, аналогичную теореме для многогранников.

Теорема 5.8. Грани многогранного множества Р, имеющего размерность I, сами являются многогранными множествами- Пересечение двух таких граней либо пусто, либо само есть грань Р и является общей гранью для каждой из этих двух граней. Каждая собственная грань Р лежит в Ц — ХУмерной грани Р. В случае I ^ 2 каждая (I — 2) -мерная грань Р принадлежит ровно двум различным (/ — 1)-мерным граням. Каждая (/ — \умерная грань Р является пересечением Р с одной из гиперплоскостей, которые ограничивают определяющие Р замкнутые полупространства.

m

Доказательство. Пусть Р := П Н z ■— многогранное мно- •Г-1

жество в А", имеющее размерность 1. Как и при доказательстве

теоремы 5.7, можно убедиться, что каждая грань Р сама есть многогранное множество. Точно так же из верного в более общих условиях доказательства теоремы 5.4 следует, что пересечение двух граней Р либо пусто, либо есть грань Р, которая может рассматриваться как общая грань этих двух граней. Как и в начале доказательства теоремы 5.5, видно, что каждая собственная грань Р в А" является также гранью Р в aff А, и обратно. Далее, каждое многогранное множество Р в А" является также многогранным множеством в aff Р, и обратно; именно, P = PQaffP = / П (^naffP^nf П (^JnaffP)^ =

\н,;6аНР) \Я;=>аИР)

= п (^ПаИР),

Н^а^Р

Ai ограничивала Hi, тоAi ограничивала Hi, тоРис. 19Рис. 19где РЕ П aff Р при Hi ф aff Р определяет замкнутое полупространство в aff Р; если гиперплоскость А/ П aff Р есть в aff Р гиперплоскость, ограничивающая 77Е П aff Р. Поэтому- все дальнейшие высказывания теоремы 5.8 достаточно доказывать для случая dim Р = I = п.

Ai ограничивала Hi, то

Ai ограничивала Hi, то

Рис. 19

Рис. 19

Hi (i = 1, ..., m).Hi (i = 1, ..., m).Пусть в этих условиях Р П А — произвольная собственная грань Р (А — опорная к Р гиперплоскость), 8 До — точка относительной внутренности (РП^)031 этой грани. Тогда *о лежит хотя бы в одной гиперплоскости А/„ из числа гиперплоскостей Аь ограничивающих полупростраг т

Hi (i = 1, ..., m).

Hi (i = 1, ..., m).

В противном случае было бы х8еП Hi с Ро, что невозможно * z = i

ввиду хпеА. Теперь из xoeAt„ и определения Р заключаем, что Ai, есть опорная к Р гиперплоскость, и, ввиду лде (РПА)(0), должно иметь место включение РПАсА1п, а потому и РрАе с-5 Р fl At,. Значит, Р П Аи представляет собой содержащую Р П А собственную грань многогранника Р. Размерность грани Р Л Az,, не может быть меньше, чем п—1, так как эта грань содержит некоторую точку го вместе с ее окрестностью в Ai„ в чем пас убеждает следующее построение (см._рис- 19). Берем любую точку уог Р° и точку у, е Р^ := fl Н t, у{ ^ Н^. Точка ух

существует, так как иначе было быР;„сд Ht„, т. е. P—Pi, Л Hi,= ™ Pt„ что противоречит предположению, что в представлении т

Р = П Ht число т полупространств минимально (см. определение 5.3). Пусть го — точка пересечения отрезка yoyt с А; ,

Тогда 20еР, и лемма 1.1, примененная к Pi0, показывает, что некоторая окрестность U точки г0 принадлежит Р1о. Теперь ясно, что (7 А Л,„ представляет собой окрестность точки 2, в Аи, причем эта окрестность лежит в Pt, А Аи = Ри А ^=П А Л,0 = Р А Л1„. Этим доказано, что любая конечная грань РАЛ множества Р лежит в какой-либо (п—1)-мерной грани Р П А^. В частности, для любой (п — 1)-мерной грани РАЛ верно, что РАЛсРАЛ/, при некотором i0. Поэтому А — — aff (Р А Л) cz aff (Р П А^ = Л;„ и по соображениям размерности должно быть А = Аи и

РПЛ = РП4(60)

Нам остается доказать относящееся к (н—2)-мерным граням утверждение теоремы 5.8. Пусть Р^\А— произвольная (п — 2)-мерная грань Р, причем м ^ 2. Поскольку Р A A cz с Р А Ли для некоторого z0, то Р А А = (Р А Л) П Аи = (Р А ЛД А А (Л A AuV Но множество А А Лг непусто и, ввиду А =# А1м может рассматриваться как опорная к Р А Аи гиперплоскость в пространстве Л/о. Поэтому РАЛ представляет собой по определению 5.4 (п — 2)-мерную грань лежащего в Аи (п — ^-мерного многогранного множества

Р А П (Hi А Аи((61)

(Здесь число представляющих Р А Аи полупространств быть может избыточно.) Если соотношение (60) применить вместо Р к РАЛ10, т. е. воспользоваться верным при некотором ц представлением

(р а ла а (л а ла = (р а л/„) а (Atl а ла,

где А =# io, то получим

р а л=(р а ла п (л а ла=

=(р п ла a Mi, а а^=(р а ла а (р п ла. (62)

Равенство (62) сразу показывает, что грань РАЛ лежит не только в (м— 1)-мерной грани Р А Аи многогранного множества Р, но и в другой (п— 1)-мерной грани Р A Aix. Что РАЛ не может лежать ни в каких других (п—1)-мерных гранях Р, видно по аналогии с соответствующей частью доказательства теоремы 5.5. Этим доказательство теоремы 5.8 закончено. □

Замечание 5.4. Многогранное множество Р в Л" обладает лишь конечным числом граней.

В этом легко убедиться индукцией по размерности множества Р. Достаточно воспользоваться тем, что каждая собствен-

ная грань Р является гранью (Z—1)-мерной грани Р (это доказывается как для (Z— 2)-мерных граней в ходе доказательства теоремы 5.8). А согласно (60) у Р конечное число (/—1)- мерных граней.

Для отношения следования (включения) граней многогранного множества (а потому — и выпуклого многогранника) справедливо следующее замечательное свойство транзитивности.

Теорема 5.9. Если многогранное множество Р^ а Ап является гранью многогранного множества Pi с Ап, а многогранное множество Рз с Ап есть грань Р2, то Рз является также гранью Pi.

Доказательство. При Р2 = РХ теорема тривиальна. Поэтому далее считаем, что Р2— собственная грань Рь Докажем индукцией по размерности Рх более сильное утверждение: грань Рз собственной грани Р2 многогранного множества Pi есть пересечение некоторого числа имеющих максимальную размерность собственных граней множества Рх. Это утверждение при dim Pi = 1 тривиально; пусть оно верно для всех dim Pi < Z; докажем его для случая dim Pi = Z (2 ^ / ^ п). В этом случае Ра как собственная грань Pi есть также грань некоторой (Z— 1)-мерной грани Р' множества Pi (в этом можно убедиться как для (Z — 2)-мерной грани в доказательстве теоремы 5.8), поэтому или Р2 = Р\ или Р2— собственная грань для Р,. Если в первом случае Р3 = Р2 = Рр то доказываемое по индукции утверждение тривиально. В остальных случаях по индуктивному предположению Рз является пересечением (Z — 2)-мерных граней Р(, которые сами (по (62), где взято Р, вместо Р и Рх вместо Р П А;,) суть каждая — пересечение двух (Z— 1)-мерных граней Рр Теорема 5.9 доказана. □

Для полноты параграфа следует еще доказать, что, подобно выпуклым многогранникам, многогранные множества могут быть некоторым простейшим способом представлены как выпуклые оболочки. Следующая теорема принадлежит Кли (см. 138], теорема 2.12).

Теорема 5.10. Каждое многогранное множество РсА" есть выпуклая оболочка конечного числа точек и конечного числа замкнутых лучей в Ап. (Ср. пример 5.4.)

Доказательство. Согласно замечанию 4.3 каждое непустое многогранное множество Р;— f) Ht в Л" можно рас- Z = 1

сматривать как цилиндр, образующие которого (быть может нульмерные) параллельны некоторому проходящему через Хз^Р подпространству Ах„ (т. е. являются транслятами Л^), а основанием которого служит выпуклое множество L, уже не Содержащее прямой, причем в качестве L может быть выбрано

сечение Р подпространством Вх„ проходящим через х0 и являющимся в Ап дополнительным для АХо. Тогда L = Г) (Я; П 1 = 1

П Вх») в свою очередь есть многогранное множество в ВХо. Для него, на основании теоремы 4.3,

L = conv(ext L U rext L).(63)

Тогда exYL есть конечное множество {xi, ..., х*}, a rextL состоит из конечного числа лучей Н\, ..., Н\ в L. Не теряя общности, можно считать, что / ^/г и точки xj, ..., xi суть кон- ц'евые точки л^чей Я{, ..., Нь (Мы допускаем совпадение не.которыхиз точек х/, / = 1, ..., /.)

АВ этомможноубедиться индукцией

X/по размерностиобъемлющего прост-

Л Xранства.Надотолько принять во

/— внимание, что каждая экстремальная

М д£ --—з».н^ Точка (соответственно—каждый экс1-'''тремальный луч) множества L лежит

г''/на граничной гиперплоскости С од/А^ного из конечного числа определяю-

A:cjщих L полупространств и является

• экстремальной точкой (соответствен- ис'но — экстремальным лучом) для LQC

■(см. лемму 4.1). По свойству цилиндра

множество Р содержит вместе с Xi проходящий через х, транслят АХ£ подпространства AXq. Поэтому имеет место соотношение'

Proconv^,, и ... и Ахк и н\ и ... и Я;)=:Я. (64) С другой стороны, выпуклое множество К вместе с любой точкой у-, е Яу содержит транслят Ау подпространства А^ (как центральную проекцию AXj на АН( из некоторого лежащего на Я} за у, центра Z/ (см. рис. 20)), т. е. К содержит цилиндр Z с параллельными Ал образующими и основанием ext L (J rext L. Заметим еще, что К по выпуклости должно также содержать параллельные L = conv (Z П Вх~) множества conv(ZH5x), где Вх—проходящее через любую точку хеАХо параллельное Вх„ подпространство, дополнительное в Ап к Ах„. Поэтому К^Р, что вместе с (64) дает

Р = conv(A,, U ... U Ах6 U Я1 U ... U Я*).(65)

Наконец, каждое аффинное подпространство АХ£ в случае dim АХ£ = 0 есть выпуклая оболочка конечного числа точек — точки Xj, а в случае dim АХ£ > 0 — выпуклая оболочка конеч-

ного числа замкнутых лучей (например — всех полуосей аффинной системы координат в Ах.у Поэтому Р также представимо как выпуклая оболочка конечного числа точек и замкнутых, лучей ). □

Упражнения

а) Доказать транзитивность включения граней у выпуклого многогранника Р в А" (см. теорему 5.9) прямым методом, подобно доказательству теоремы 5.5. Ь) Будет ли верна такая транзитивность для произвольного замкнутого множества К с А", если под гранями К понимать пересечения К с опорными к Л' гиперплоскостями?

Доказать, что в том представлении «-мерного выпуклого многогранника как пересечения замкнутых полупространств, которое дается теоремой 5.6, нет лишних полупространств.

Пусть система неравенств /.,(х) + у,-^ О (1=1т), см. при

мер 1.1, задает многогранное множество Р в А". Доказать, что предельный конус СС (Р) (см. задачу 5 из § 1) задается системой неравенств Lt^ < 0 (i = 1, ..., m).

Доказать следующее обращение теоремы 5.10. Выпуклая оболочка конечного числа точек и конечного числа замкнутых лучей в А", если она замкнута, представляет собой многогранное множество в А". Уаказание: воспользоваться справедливым для опорной к множеству X гиперплоскости А соотношением (conv X) П А = conv(J( Л /I).

Доказать, используя задачу 4, что каждое аффинное отображение f : Ап-»-Вт переводит многогранное множество Р а А" в многогранное множество ((Р) с В™.

6. Выпуклые конусы. Двойственность

В предыдущем параграфе мы с одной стороны изучали выпуклые многогранники, определяя их как выпуклую оболочку конечного числа точек, а с другой—многогранные множества, определяемые как пересечение конечного числа замкнутых полупространств. Определенное соответствие этих двух свойств наводит на мысль, что между этими типами выпуклых множеств есть некоторого рода двойственность, подобная хорошо известной двойственности в проективной геометрии- В п-мер- ном проективном пространстве Рп каждому m-мерному проективному подпространству А сопоставляется (и — m—1)-мерное подпространство А* по правилу

А* ; = ^х е Pn\F(x,y') = 0 для всех уеА}, (66) где F — определенная на V«+i X Vn-ы невырожденная билинейная форма, a V„+i — векторное пространство, определяющее Р". Подпространство А* называют двойственным к А. При этом Л а В равносильно A* so В*, так что в частности (Л VB)* = — Л* А В*; здесь Л V В и ЛАВ означают проективную оболочку и пересечение проективных подпространств А и В в Р".

Другой важный пример проективной двойственности представляет собой так называемый поляритет лр относительно квадрики f(x, х) = О в Рп. Здесь F—невырожденная симметричная билинейная форма на Vn+i X Vn+b Двойственность эта также определяется равенством (66), и, ввиду симметрии F, даже является инволюцией:

А** = А.(67)

Здесь целесообразно представлять себе само Рп и проективное подпространство А в нем как пучки прямых в (п+1)-мерном аффинном пространстве Ап+1 и в его аффинном подпространстве с началом координат оеЛ"+: в центре пучка (см., например, [58], стр. 187)'). Тогда А, задаваемое (66), есть пучок прямых с центром о, получаемых в пересечении гиперплоскостей F(x, у) = 0, полярных к прямым Ку (у^О) исходного пучка А.

Теперь нетрудно аналогичным образом ввести понятие полярного соответствия не для пучка прямых с центром о в аф

финном подпространстве пространства Ап+1, /а дЛЯ выпуклого конуса с вершиной о в Д"+1. 6) С этой целью зафиксируем, ради простоты,

j ^/ положительно определенную, симметричную билинейную форму, т. е. скалярное произведение < , > на VT+I X V«+i и дадим

\Определение 6.1. Пусть в An+l с вы-

X-—i~"Xбранным скалярным произведением, т. е. в ев-

С)клидовом пространстве Рп+1, лежит выпуклый

хконус С с вершиной в начале о координат Рис. 21 (ср. определение 1.8). Тогда пересечение С* всех ортогональных (относительно < , )) к лучам Ку из С замкнутых полупространств <х, у> ^ 0 называется полярным к С конусом

С* : = {х е Rn+Y | <х, у)^ 0 для всех у е С^.(68)

Замечание 6.1. Полярный к С конус С* геометрически наглядно можно описать, как конус всех внешних нормалей к С в вершине о, т. е. как множество всех идущих из о от С лучей, ортогональных к опорным для С гиперплоскостям (см. рис. 21). С* 'есть (замкнутый) выпуклый конус с вершиной о, что вытекает из следующей теоремы.

Теорема 6.1. Пусть {Са}аб_л— произвольное семейство выпуклых конусов в Л^1 с вершиной о. Тогда пересечение П Са аЕА и выпуклая оболочка convf U СЛэтих конусов — тоже выпук- \а е А / лые конусы с вершиной о.

Доказательство. Согласно определения 1.8 нам надо только проверить, что множества П Са и conv ( (J Са\ вме- а е А\а е А /

СТС с каждой точкой х А о содержат идущий из о луч Хх (Х^О). Пусть хе П Сп, х =/= о. Тогда для каждого аеА имеем а е А

хеСа, но Са — конус, поэтому ХхеСа при ХАО, откуда Ххе П Си при X А 0. Пусть х Е conv /' (J СА Тогда

u <= А\ае А /

X = ^ ^АД, 22 ^< = 1> X] ^ 0Х& А 0, i = li •= 1

ха1 еСа1, хчЕСа

НО каждое Са — конус, поэтому при ХАО Ак

Хх= 22 ХДХдд), £хг=1, Х^О, Xfc>0,

..., XxakeCQfe,

т. e. опять Xxeconvf U CA.

kae A )

Докажем еще специально для выпуклых конусов удобный вариант теоремы 2.4 Каратеодори.

Теорема 6.2. Выпуклая оболочка произвольного семейства выпуклых конусов {Ca}aeA в A"+1 с вершиной о есть объединение всех симплициальных многогранных углов (см. пример 5.4), которые _натянуты на т^-\ выходящих из о лучей Л / (z = 0, ..., т), н\ е Сас при всех т - 0, 1, ..., п.

Доказательство. Ясно, что conv ( U СА содержит все \а е А /

упомянутые в теореме симплициальные многогранные углы. Поэтому достаточно проверить, что каждая точка х е convf U СА \а е А / принадлежит хотя бы одному такому углу. Чтобы убедиться в этом, воспользуемся тем, что точка х по следствию к теореме 2.3 . содержится в некотором выпуклом многограннике пространства Ап+', вершины которого лежат в некоторых из Са, а по теореме 2.4 —в некотором (m + 1)-мерном симплексе Sc^^'1 с вершинами е0 е Сао, ..., ет+! е Са , где 0 A m + l^n+1. Не ограничивая общность, можно считать, что л лежит в относительной внутренности S^ симплекса S, иначе можно заменить S одной из его граней (и уменьшить т), см. пример 1.4. Если при этом х = о, то утверждение теоремы 6.2 тривиально, достаточно взять в качестве симплициального многогранного угла любой луч в U Са, поэтому считаем далее х=^о. Замкну- а е А

тый луч Нх, лежащий в А"+1 на прямой G :=oV х, выходящий из х и не содержащий о, не может уместиться в ограниченном

симплексе S. Поэтому или 1) Я1П5={х}, когда G^affS и потому m + 1 ^ п, или 2) H'f\S = xy, где у=#0, у^х, yeS\S№, т. е. (не умаляя общности) можно считать, что точка у принадлежит грани Sm+i := conv{e0, ..., em} симплекса S (номер m+1 указывает пропущенную вершину), когда G cz aff S и потому 1 ^ m + 1. В случае 1) точки о, во, ..., em+b ввиду вытекающего из х^=о соотношения о ф aff S = aff(е0, .., ..., em+i}, аффинно независимы, так что х, ввиду xeS, при

надлежит симплициальному многогранному углу, натянутому на лучи Яо Яп+о идущие из о через е0, ..., em+i и лежащие в СаоCOm+1 (0<m+ 1 <«). В случае 2), ввиду 6 <£ aff Sm+i и у 4=о получаем соотношение o^affSm+1 = = aff {е0, ..., вщ) и аналогично случаю 1) убеждаемся, что точ

ка у, а с нею и хе оу, принадлежит_симплициальному многогранному углу, натянутому на лучи Н^, ..., Н^ идущие из о через точки е0еОаоem eCOm (1 <m + 1 <n + 1); См. рис. 22. Теорема 6.2 доказана. □

Мы хотим далее для произвольного выпуклого множества К в «-мерном евклидовом пространстве Rn тоже определить по- нятие полярного множества К*. ^С этой целью напомним извест-

^ный факт: при погружении «-мер-

ного аффинного пространства Л" в «-мерное проективное про- странство Рп, или, что равно- \— значно, в пучок прямых из содер-

н! жащего в себе Л" аффинного 1 пространства Л"+* с центром о ^ ^"’ кажД°й точке хе Ап сопо- ег ^ставляют прямую о V х из этого

пучка и, более общо, каждому Рис- 22аффинному подпространству

А с А" сопоставляют пучок прямых о V Л с центром о. Это подводит нас к тому, чтобы до определения К* предварительно определить для К проекционный конус С (К) с вершиной о и рассмотреть полярный ему конус С^КГ.

Определение 6.2. Пусть Л" — гиперплоскость в («+!)- мерном аффинном пространстве Ап+1, не содержащая начало координат о пространства Л"+1, и пусть К — непустое выпуклое множество в Ап. Тогда совокупность всех замкнутых лучей в Л^1, выходящих из о и содержащих точки множества К, называют проекционным конусом С (К) множества К с вершиной о. Очевидно, конус С(Я) выпуклый.

Лемма 6.1. Проекционный конус С (К) непустого компактного выпуклого множества КеАп замкнут.

Доказательство. Пусть {xv}vsN — последовательность точек из С (Л) и Urn xv = x, где каждая точка хх лежит на

замкнутом луче в Ап+1, идущем из о через какую-нибудь точку IJmgK. По компактности К можно, не теряя общности, считать, что lim yv — y^K. Ввиду о^К здесь у ^ о, так что х лежит

V-> оо

па луче, идущем из о через уе К, и потому хеС^К). □

Теперь можно было бы попробовать по аналогии с полярностью в Рп определить полярное для К множество как пересевшие конуса, полярного к С^К) '), с содержащим К пространством Rrt. Но это пересечение в важнейших случаях пусто в связи с выбором направления неравенства в определении (68). Поэтому пользуются еще отражением о пространства R'1+t в проходящей через о параллельно Rn гиперплоскости Ro и дают

Определение 6.3. Пусть К — непустое выпуклое множе- ггво в n-мерном евклидовом пространстве Rn с началом о', и пусть С^К)—проекционный конус множества К с вершиной в начале о объемлющего Rn (n + 1)-мерного евклидова пространства Rn+Y, причем o^Rn и точка о выбрана так, что она находится на расстоянии 1 от Rn и имеет о' основанием перпендикуляра на Rn, пусть, наконец, о есть отражение Rn+Y относительно гиперплоскости R^, идущей через о параллельно Rn. Тогда лежащее в Rn выпуклое множество

7< := a(C(/Q* П о(^п))(69)

называется полярным множеством множества К относительно о'.

Это геометрическое определение для К* заменяет собою следующее алгебраическое определение.

Определение 6.4. Пусть К — непустое выпуклое множество n-мерного евклидова пространства Rn с началом о'. Тогда

К* := ^х е Rn\<x, у>^ \ при всех у е К} (70)

называется полярным для К множеством относительно о'. (Это 1 определение восходит к Минковскому, см. [14], с. 28.)

Теорема 6.3. Определения 6.3 и 6.4 эквивалентны.

Доказательство. Пусть е' — радиус-вектор точки о'еРп относительно начала ое Rn+i. По выбору о

<е',е'>=\,(71}

И для любой точки х е Rn для ее радиуса-вектора х относительно о' е Rn

<х,е'>=0.(72)

По определению 6.2

С(/0 = (Ме' + у)е/?”+ЧХ^О, уеК}, (73.

где радиус-вектор у взят относительно о' е Rn. Для любого вы пуклого конуса D с вершиной о в Rn+Y имеем

г>(0П(>(/?'‘)) = {л-Е^1-еЧ ■(£/)}.(74;

Это вместе с (73), (68), (71), (72), дает

<r(<W П а(О = {^еГ|(-е, + х, Х^ + у^^О

при всех Х^О, уеК^ =

= {х е Rn | (—е' + х, е* + у) = — 1 + (х, у) ^ О

при всех Х^О, уеК^ =

= (х е R" ] (х, у) ^ 1 при всех у е К}- □

Пример 6.1. Шар. Пусть Вр: <х, х> ^ р2— замкнутый шар в R" с центром в начале o' е Rn и радиусом р > 0. Тогда, как геометрическая конструкция определения 6.3 (см. рис. 23), так

и вычисление из определения 6.4 дает S': (х, х)^р-, т. е. В* есть замкнутый шар с тем же центром и обратным радиусом 1/р.

Замечание 6.2. Конус С*, полярный к выпуклому конусу С с вершиной о в Rn+} в смысле определения 6.1, является также полярным для С множеством относительно о, в смысле определения 6.4.

Действительно, по определе

ниям (68) и (70), полярный конус С* = {х е Rn+l | <х, у>^ 0 для всех уеС} содержится в полярном для С относительно о множестве L ;— (хе Rn+X\<x,y>^. ^ 1 для всех ye С}. При этом L не содержит ни одной точки хо^С*. Иначе было бы <х0, уо>>О для некоторого уй е С, и в

то же время <хо, Хуо>= Х<х0, у0>^ 1 для Ху о е С при любом

X ^ 0, что несовместимо.

Ввиду этого замечания каждое свойство, доказанное для по

лярных множеств выпуклых множеств, автоматически справедливо и для полярных конусов выпуклых конусов. Поэтому мы будем работать только с первыми. Начнем с леммы.

Лемма 6.2. Если X* определено равенством (70) с заменой непустого выпуклого KcRn произвольным непустым X с: Rn. то справедливы следующие утверждения:

X* выпукло, замкнуто и содержит о';.

(convX)* = X*;

(ХГ = Х*,

4 ХГЗЯЫфЬ??;! •

Доказательство, а) По (70) множество X* есть пересечение замкнутых полупространств Ни : = {хе Rn\<x,у>^ 1} пространства Rn по всем у е X- (Допускается уо = о'. Тогда неравенство_ <х, z/o>^ 1 задает Hti„ = Rn, которое в отличие от остальных Ну не является полупространством.) Итак,

но каждое Ну выпукло, замкнуто и содержит о', так что по (75) что выполняется и для X*.

Из (75) очевидно (convX)* с X*. Обратное включение к

следует из верного при E^i = l> Xj ^ 0, ..., А^^О, ух s / = 1

। Rn, ..., yk е Rn соотношения:

И к = ) х е R" ( х,= Е <х, У1ХД ? =э

^xMt\ i—1/ i=l)

"=э{хеТ?'1|(х, </,)^1<х,укХ1>, (76)

Которое вместе с теоремой 2.3 дает

(convX)’ = П ^d П Ну = Х\у е conv X у е X

Поэтому верно утверждение Ь) леммы 6.2.

Из (75) снова имеем (Я)*сР. Обратное включение выводим из верного для сходящейся в Rn последовательности {^v}veW точек соотношения

И Ши = (х е Rn | (х, lim у^ lim (х, yv)^l}=>

V->00 VV->ooV->°°

= {xe^|(x, У1>^1, (X, y2)^l, ...}= n Hg., (77) v = l

Которое влечет (X)’ = П_ Ну П Нм = X*. □ уеХуэХ

Обратимся теперь к вопросу: для каких выпуклых К с: Rn переход к полярному множеству является инволюцией, т. е. для каких К справедливо К** = К"? По лемме 6.2а) для этого необходимо R= К и К^ о'- Из следующей теоремы вытекает, что »ти условия и достаточны.

Теорема 6.4. Для непустого выпуклого множества К в Rn ц перехода к полярным множествам относительно начала o'eRn справедливо

/<** = conv(О (о'}).(78)

Доказательство. По лемме 6.2b),с) и (75) имеем

Fonvmr{W=W и {о'})‘= П Ну п Но-= П Ну = К\ (79)

УеКуеК

Поэтому conv (Л U {о7}) ** = К**, так что достаточно вместо (78) доказать, что conv(^U {o'})** = conv (О {о'}), или более общо, что

L** = L(80)

для любого замкнутого и содержащего о' выпуклого множества L с Rn.

Рассмотрим любую точку у е L и заметим, что ввиду (70) (х, у>=<у,х)^ 1 для всех х е L*. Поэтому yeL**, т. е. LcL** (Это включение справедливо для любого L.) Чтобы получить обратное включение, возьмем yERn\L По теореме 3.4 существует гиперплоскость А в Rn, строго отделяющая L от у, и потому заведомо не содержащая o'eL. Пусть <t/o, ^>=1 — нормальное уравнение гиперплоскости А с соответствующим уо. Тогда <t/o, Х< 1 для всех х е L, и тем самым по (70) yoeL*, а <Уо, у>=<у, Уо>> 1, что означает, снова по (70), что у е е Rn\L**. Этим доказано, что Rn\L с ^"ХВ**, откуда LtdL**, что вместе с уже доказанным L cz L** дает (80). □

Перейдем к доказательству некоторых важных свойств полярных множеств.

Теорема 6.5. Пусть К\,Кг— непустые выпуклые множества в R^ и Кд, Кг — их полярные множества относительно начала о' е Rn. Тогда:

из К\ а Кг следует К\ =э Ку

из К\ =э КХ следует Ki с conv ^Кг U {о7}).

Доказательство, а) Из (75) заключаем, что К\ = = П Нт f] Н=К*>.^ Из К* то К*, ввиду уже доказанного а) заключаем, что К\ <= Ka, а по теореме 6.4 К\Т2 Kv cz Ka = = conv (Кг U {o'})- □

Теорема 6.6. Пусть К* есть полярное множество для непустого выпуклого KaRn относительно начала о' eR". Тогда:

К ограниченно тогда и только тогда, когда о'е^К*)0;

К* ограниченно тогда и только тогда, когда о' е К°.

Доказательство, а) Очевидно, о'е^К*)0 равносильно тому, что К* содержит шар Вр с центром о' и некоторым радиусом р > 0. Но это, согласно примеру 6.1, эквивалентно К* =э =э(В1/р)* при р > 0, что по теореме 6.5 эквивалентно К cz <=conv(Bi/PU {о'}) = Bi/p, т. е. ограниченности К.

К* ограниченно тогда и только тогда, когда К* с Вр = = (В1/Р)* для некоторого р > 0, что по теореме 6.5 эквивалентно Вi/p с conv(X U {о7}). Но последнее равносильно о' е е (conv (X U {X}))0 = ( U о'х'у или иначе о'еК (ср. пример 2.2)- □

Следствие. Если К— компактное выпуклое множество, содержащее внутри начало о' в Rn, то и полярное ему множество К* есть компактное выпуклое множество, содержащее внутри о'. Это сразу следует из теоремы 6.6 и леммы 6.2.

Теорема 6.7. Пусть {^a}aeл— семейство непустых выпуклых множеств в Rn и ^‘}— семейство полярных им от

носительно начала о' е Rn множеств. Тогда

(convf U4^aW= П EV,

о при дополнительных предположениях Ка = Ra и о' е Ка t,npu всех а е А)

( n Kay=conv( ио \а е А /\а г А /

Доказательство, а) По лемме 6.2b) и (75):

/conv7 и OY = ( и М = П ну =

= П ( П НЛ= п /с;. ае^к\уеКа “)аг Л

Ь) Последовательно воспользуемся вытекающим из (80) соотношением /(« = (/(«)*, уже доказанным пунктом а), теоремой 6.4 и тем, что o' Е К*а при всех а е А. Тогда имеем СО-Ч'-СОл^эу-^Ч-УлЧ"- .

= conv(conv( U^a) U {o')) = conv( U^ К^- □

Следствие. Полярное множество Р* многогранного множества Р с Rn относительно начала о' е R" снова есть многогранное множество.

Доказательство. По теореме 5.10 множество Р представимо в виде

P = conv{{y,} и ... и ы и д{ и ... и н^

ИИК выпуклая оболочка конечного^числа точек yv, ..., у к и конечного числа замкнутых лучей н\, ..., Н\

Ир x — Zj + X ^Wj — Zj), X ^ 0, / = 1/,

И Rn- Поэтому утверждение следствия сразу вытекает из теоремы 6.7а) и из справедливых ввиду (70) соотношений

, Ы* = U'^ Rn\<x,yi>^ 1}, (=1, ...Д

//} — (х Е Rn | (х, Zj + X V»i — 2/)) = (х, Zj) + X (х, Wj — ZjX.1 для всех Л^0} = {хе Rn |(х, z;)^l и (х, w} — Zj)<.0), j=l, ..., I. □

' Пример 6.2. Параллелепипед. Пусть Пге—параллелепипед в Rn, который представим как пересечение попарно противоположных полупространств:

Нв1 := {хе Rn |<еь х>< 1} и Н_е. := {х е Rn |<— eb х)< 1}, i=l, ..., п, точки o', eiеп аффинно независимы в Rn, см. пример 5.2, т. е., ввиду (75),

п п _пп

Hrt= п Не1 П п H_ei = П М П П {-^Гi = l 1 1 i-li = lZ = 1

Тогда по теореме 6.7b) и теореме 6.4 для полярного множества II* параллелепипеда Пл относительно о' имеем

Ч - conv ( у {«,}"U у, {-«,)")-

/IIпX/ ппX

= conv и o'et и и о' (— еЛ ) = conv (0^0 U (—<?,)).

Xi—1i-14Xi—1i-1/

Таким образом, П* есть натянутый на вь .-., еп,— ei—е„ крестовый выпуклый многогранник, см. пример б.З.

Полярное множество компактного выпуклого тела К в R", содержащего внутри начало о' е К0, геометрически наглядно описывается следующей теоремой.

Теорема 6.8. Пусть К. — компактное выпуклое тело в R", содержащее начало в своей внутренней области, о' е К0, а К* — полярное множество тела К относительно о' (по следствию теоремы 6.6 множество К* — также компактное выпуклое тело и о' е^*)0). Тогда для поляритета л относительно сферы <х,х>= 1 *) полюс каждой гиперплоскости, опорной к К, есть граничная точка для К*, а поляра каждой граничной точки К есть опорная гиперплоскость для К*. Это остается верным, если К и К* поменять местами.

Доказательство. Пусть А; <уо, х>= 1 — не проходящая через о' (ввиду о' е К0^ опорная к К гиперплоскость. Тогда по (80), (70), (79)

ЦСУ = К с: Ни, := {хg Rn |(у0, х)< 1} = {у0}* = (о'у0у,

и потому, согласно теореме 6.5b), о'у о с. К*. Отсюда следует, что уо е дК* для полюса уо гиперплоскости А при полярном соответствии л, так как иначе было бы o^ay^czK* при а> 1

и но теореме 6.5а) было бы (/<*)* = /( с: (o'(at/0))‘= 7/ау„ что противоречит опорному свойству гиперплоскости А. Подобным же образом для любой граничной точки zosdK (она заведомо отлична от о' ввиду о'е К°) находим (ввиду o'zodK и o'(az0) ^ К при aJ> 1—лемма 1.1), применяя теорему 6.5, что К* с Нг» и К* ф Наг», т. е. поляра <z0, х>= 1 точки го есть опорная гиперплоскость для К*- Поскольку К* удовлетворяет условиям, налагавшимся на К, и К** = К, то это завершает доказательство. □

Замечание 6.3. В условиях теоремы 6.8 каждой экстремальной точке х тела К при полярном соответствии л отвечает гиперплоскость А, которая может рассматриваться как «экстремальная гиперплоскость» для К* (см. [77], с. 27) в следующем смысле.

Определение 6.5. Не проходящая через начало о' п-мер- пого аффинного пространства Ап гиперплоскость A: L(x)=l называется экстремальной гиперплоскостью выпуклого множества К с: А", когда К с Н := {.се А"|L(x)^l), но не существует различных гиперплоскостей Ар Li(x)=l и А2: Г2(х)=1, для которых К с Hi : = {х е An\Lx (х) 1}, К^Н2 : = {л'ЕАп|Г2(х) = ■ 1} и L(x) = %iLi(x) +Х2^г(х) при Xi=const>0, Х2 =

const > 0, Xi + Х2 = 1. Геометрически это исключает возможность того, что А при А=#А[ и А =ф А2 принадлежит к определенному гиперплоскостями А] и А2 пучку и имеет место Нх [~] П Н2 ci Н a Hi U Н2. Поэтому каждая экстремальная для К гиперплоскость является опорной к К-

Теперь можно наряду с теоремой 4.2 Крейна — Мильмана для случая компактного выпуклого тела К сформулировать двойственный вариант этой теоремы.

Теорема 6.9. Каждое компактное выпуклое тело К в П мерном аффинном пространстве Ап, содержащее внутри на: чало координат о', есть пересечение таких содержащих К замкнутых полупространств пространства Ап, которые ограничены экстремальными гиперплоскостями тела К. (Ср. следствие к теореме 3.5.)

Доказательство. По следствию к теореме 6.6 полярное множество тела К относительно о' (при любом фиксированном н Ап скалярном произведении) снова есть компактное, содержащее о' внутри, выпуклое тело К*, и по теореме 4-2

К* = conv(extK*). (81)

Но из (81) следует при повторном переходе к полярному множеству, с учетом (80), леммы 6.2b), (75):

■ К = К** = (ext КТ = П Нн, (82) у е ext К*

где Ни; = {хе Ал|<г, у>^ 1} представляет собой в Ап замкнутое полупространство, ограниченное гиперплоскостью <х, t/> = 1, которая является полярой экстремальной точки у тела К*, г. е. по замечанию 6.3 и определению 6.5 — экстремальной гиперплоскостью тела К** = К. П

В качестве применения теоремы 6.9 приведем другое доказательство содержавшегося в теореме 5.6 утверждения о том, что каждый n-мерный выпуклый многогранник Р в Ап есть пересечение тех содержащих Р замкнутых полупространств пространства Ап, которые ограничены гиперплоскостями, натянутыми на (и— 1)-мерные грани многогранника Р. Это подтверждает ценность нашего рассмотрения двойственности.

В самом деле, по теореме 6.9 многогранник Р есть пересечение содержащих Р замкнутых полупространств пространства А", ограниченных экстремальными для Р гиперплоскостями. (Не теряя общности, мы считаем о' лежащим внутри Р.) Нам достаточно убедиться, что экстремальными гиперплоскостями многогранника Р являются гиперплоскости, ■ натянутые на его (и—1)-мерные грани. Это можно доказать следующим образом. Каждая экстремальная гиперплоскость А тела Р есть его опорная гиперплоскость (см. выше) и потому содержит грань РПА. Если бы было dim(PnA)<n—1, то aff(Pfl^) лежала бы в некоторой гиперплоскости Ло относительно А, через которую, вопреки экстремальным свойствам А, проходили бы две различные опорные к Р гиперплоскости Аy+i N= А иА^А (ср. доказательство теоремы 5.5). Таким образом, А натянута на (п—i)-мерную грань РП^ многогранника Р. Обратно, гиперплоскость А в Ап, натянутая на любую (л—1)-мерную грань PRA многогранника Р, является экстремальной гиперплоскостью для Р, потому что она опорная к Р, и Р не может лежать в двух разных замкнутых полупространствах Pj и Нг, ограниченных гиперплоскостями Ai#=A и Аг^-А с Л1ПЛ2=: =:ЛостЛ, Ло¥=0, поскольку в противном случае грань PAAcz cz (/?] А ^2) А А = Ло обладала бы размерностью, меньшей п— 1.

Упражнения

Пусть С есть замкнутый выпуклый конус в Rn+1 с вершиной в начале о е Rn+1, —С — конус, полученный из С отражением в о, С* — конус, полярный к С. Доказать, что С* обладает размерностью (л-М)—dim (С П (—С")). Указание: использовать тот факт, что С есть цилиндр с образующими, параллельными евклидову подпространству СП (—С) в Rn+i; затем изучить подробнее случай СП (—С) = {о}, или, что то же, о е ext С (см. задачу 3 к § 4).

Показать на примере что проекционный конус С(К) замкнутого выпуклого множества К с Л" не обязан быть замкнутым в Дл+1.

Пусть К—компактное выпуклое тело в R”, содержащее внутри начало о', К* — его полярное множество относительно o', С — так называемый «опорный конус» к К с вершиной %о ^ К, который определен как пересечение замкнутых подпространств, содержащих К и ограниченных гиперплоскостями, проходящими через хо. Доказать, что conv((o'} U (К* П Л)), где гиперпло-

скость А — поляра для х0 при полярном соответствии л относительно сферы <х, х> = 1, является множеством С*, полярным к С относительно о'.

Пусть многогранное множество Р в Rn задано Как Р = {х е Rn | <х, yt) ^ I (i = 1, ...,&), <х, Z/) ^ О (j = 1, ...,/)} для фиксированных точек у-, и Z; из R". Доказать, что для (многогранного) полярного К Р относительно о' множества Р* справедливо представление

Р* = convР* = conv- ^}иу^).- ^}иу^).

Р* = conv

Р* = conv

- ^}иу^).

- ^}иу^).

где HVj — идущий из о' через г/ замкнутый луч.

Пусть К — выпуклое тело в Rn (см. определение 1.6), содержащее внутри начало о', и х0 е дК. Доказать, что х0 лежит хотя бы в одной экстремальной гиперплоскости тела К.

Теорема Хелли и ее применения

С помощью рассмотренной в предыдущем параграфе двойственности можно из теоремы Каратеодори для конусов (теорема 6.2) вывести фундаментальный факт «комбинаторной» геометрии выпуклых множеств — теорему Хелли [68].

Теорема 7.1. Пусть {Ко}оеЛ— семейство из не менее чем п + 1 компактных выпуклых множеств в п-мерном аффинном пространстве Ап, причем каждые п + 1 множеств этого семейства имеют непустое пересечение. Тогда пересечение П Ка а е А всех множеств семейства непусто. Если множество А индексов конечно, то утверждение верно и без предположения компактности множеств К».

Доказательству предпошлем лемму.

Лемма 7.1. Пусть {Ai}i=i6—конечное семейство выпуклых множеств в Ап, k^n+ 1, и каждые п+1 из этих множеств имеют непустое пересечение. Тогда в каждом из Ki можно выделить компактную выпуклую часть L; с: Kt так, что у семейства {Z./ji^iк тоже каждые п +1 множеств будут иметь непустое пересечение.

" Доказательство. Закрепим индекс г0, 1 ^ t0 ^ 6. Пусть /1, ..., in — отличные от z"o индексы и 1 ^ ц < ... < in ^ k. Обозначим хг” ... . произвольно выбранную точку непустого пересечения К1й п Кц П • • • П Kin, после чего положим

Lt := conv (ULt := conv (Uпп(83)(83)

Lt := conv (U

Lt := conv (U

п

п

(83)

(83)

Это — компакт, точнее — содержащийся в Kt, выпуклый многогранник. Изменим семейство {^z}г=!к, заменив в нем Кц па Li,. Полученное семейство сохранит свойство иметь непустое пересечение у каждых n + 1 членов. Если среди этих n + 1 членов нет Lt,, то это тривиально, а если оно есть, то выбранные

3 К. Лейхтвейс

члены семейства суть Lio, Кц, ..., Ktn, причем (й, ..., /п}с ст {1, ..., /г}\{to} ий < ... < i„, и ввиду (83) пересечение за ведомо содержит точку х'] ... t . Повторяя построение Llo для каждого t'o= I, ..., к, получим требуемое семейство. □

В качестве первого из доказательств теоремы Хелли при. ведем доказательство Сандгрена [55]. Пусть (ЯЛаеА— семей' ство компактных выпуклых множеств в А", каждые п + 1 и: которых имеют непустое пересечение. Погрузим Ап с началом о в (n + 1)-мерное аффинное пространство A”+l с началом о и сс скалярным произведением, притом так, что о ^ Ап и луч Д* идущий из о через о' ортогонален к Ап. По предположеник проекционные конусы С (Kai) для каждых п + 1 множесте Kat (<= 1, . •., л + 1) из семейства {Да}оеА имеют общий выходящий из о луч, который образует с R1 угол, меньший л/2

Поэтому Н1 не принадлежит конусу нормалей для П С (Ка см. замечание 6.1. Далее, по теореме 6.7b) и лемме 6.1 имеем

Н^(г\С (/q) = conv ( и с (Ка .(84

\1->> 4 v ,\1=о 4/

Но отсюда следует, что

Д'^сопуГ U(85:

\а е А/

так как иначе луч Д’, по теореме 6.2, принадлежал бы некоторому симплициальному многогранному углу, натянутому на не более чем и + 1 лучей, идущих в конусах семейства С (Ясс)* что по (84) невозможно. Из (85) вытекает, что вершина о не есть внутренняя точка выпуклого конуса Q (теорема 6.1). Поэтому, согласно теореме 3.2, через о проходит опорная к Q гиперплоскость А, относительно которой Q лежит в замкнутом полупространстве Д:

Q = convf (JДсД^1.(86:

\а е А/

Так как проекционный конус замкнут (лемма 6.1), то применима теорема 6.7b)'

(П C(^)y = conv( U СОсЯ.

Отсюда, по теореме 6.4 следует

П с (Ка) = ( П С (Яа)у* о (Я)* =^ (о).(87:

а е А\а е А/

По (87) существует идущий из о в конусе П С (Яа) луч. Ое аеА

пересекает Ап в точке х, которая принадлежит всем К«. Значит,

П ^а ^ 0> и первая часть теоремы 7.1 доказана. Справед- а ■ А

ливость второго утверждения теперь следует из леммы 7.1, которая сводит вторую часть к уже доказанной первой.

Для другого доказательства теоремы 7.1 нам понадобится

Лемма 7.2. Пусть {А(а}аеА— семейство компактных множеств в Л", у которого любое конечное подсемейство имеет непустое пересечение. Тогда и П К» не пусто.

ае А■

Доказательство- Зафиксируем аоеА и рассмотрим открытые множества Л"\ Кам где а' еА\{а0}. Предположим, НТО лемма не верна, и П Ка = ( П АаЛА Ка8=0- Тогда аеА\а'еА\{а0}/

U (Л" \ Ка^Ка», т. е. ^Аа \служит откры-

»' *А\{а0}1

тым покрытием ДЛЯ Ка0- Но Ка, компактно, и из этого покрытия можно выбрать конечное покрытие {Лп \ Ка J t & • Но тогда

U (ЛП\^.)=>/С и ^ П А^а, =0> чт0 противоречит W I '* 'VX i в 1* /

свойствам нашего семейства. Значит, ЛАц^О. □ «ЕА

В качестве второго доказательства теоремы 7.1 приведем доказательство Радона [51|. Согласно лемме 7.2 достаточно показать, что общая точка есть у каждого конечного набора из нс менее чем п+ 1 членов рассматриваемого в теореме 7.1 семейства {ЛаК-еА (не обязательно компактных) выпуклых множеств К»с Ап. Проведем доказательство индукцией по числу fe мятых множеств. По условию теоремы утверждение о непустоте пересечения верно при k = п + 1. Пусть оно уже доказано для всех чисел, меньших чем k>n-\-V, докажем его справедливость для к- Рассмотрим любые к из множеств Ках, ..., Как ншпего семейства и выберем из каждого непустого (по индуктивному предположению) пересечения Dt := Ках А ••• А Ка{-1 А П Ка1+1 А • • • А Как точку xr, i = 1, ..., к. По теореме 2.7, ввиду к >«4-2, множество точек (хь ..., х^ можно разбить на два подмножества (не теряя общности считаем за счет нумерации, что это {хр ..., хк,^ и{х&,+р ..., х^, для которых conv{xp . .. . хк,^ A conv{xfc,+ p ..., хк^=#0. Для значений i = 1к' имеем Xi^Dt cKat,^ А • • • А Как, а для i = к' + 1, ..., к имеем V, С.Ч Dt С2 Ка А • • • А Как,. Поэтому для любого X G СОПУ {Хр ... ,.,, х^ a conv{xft4p ..., xfe} будет '

*econv{Xp ..., хк,^ с: conv(Ka6,+1 А ••• А Как) =

^afc'-pl А • • • А Как,

Л «I СОПУ {-^fez^p • • • > ^-fc^ СОПУ ^Kat А • • • А ^о.к'^^1 А • • • А Кау-

Отсюда х е Ка1 А • • • А ^а^ 0. Это завершает второе доказательство теоремы 7.1. □

3 а м еч а н и е 7.1. Число «+1 «совместно пересекающихся» множеств в условиях теоремы Хелли не может быть уменьшено. Это показывает пример «-мерного симплекса S в А". Его («—1)-мерные грани S; (i = 0, ..., п) составляют семейство {S/} 1:=о,.... п выпуклых множеств, в котором каждые п членов имеют непустое пересечение, а семейство в целом общей точки

не имеет.

Замечание 7.2. Предположение выпуклости множеств Кх (аЕ А) в теореме Хелли также не лишнее. Это подтверждает наглядный пример для случая « = 2, изображенный на рис. 24.

Правда, если делать специальные предположения о пе- , ресечениях, то можно предположение о выпуклости всех Ка заменить более слабыми топологического рода предположениями, как это показал Хелли [69].

Замечание 7.3. Предположение компактности всех Ка в теореме 7.1 при

бесконечном множестве индексов А тоже не лишнее. Это подтверждают следующие примеры. Пример с замкнутыми, но неограниченными множествами:

Яу:={х = (^MeA^i^-v}, v=1, 2, ...

Пример с ограниченными, но незамкнутыми множествами:

v= 1, 2, ..., точки во, ..., еп аффинно независимы в Ап. В обоих примерах пересечение конечных наборов множеств непусто, а пересечение всего семейства пусто (см. рис. 25).

В остальной части этого параграфа мы приведем некоторые из интереснейших применений теоремы Хелли. Начнем с теоремы об общих трансверсалях заданных множеств в А2.

Теорема 7.2. Пусть {Т^^ А — семейство не менее чем трех параллельных друг другу отрезков

Та := {я= (£i> ^)еА2|^ = ра, Y0<g2<6a}, «еА,

на аффинной плоскости А2, причем каждые три отрезка имеют общую трансверсаль, т. е. прямую на плоскости А2, пересекаю-

щую каждый из этих отрезков. Тогда все отрезки Та имеют хоть одну общую трансверсаль ).

Доказательство. Очевидно, что множество К» всех прямых, пересекающих замкнутый отрезок Та (ос е А) компактно, т. е. в Ка из каждой последовательности прямых можно выбрать сходящуюся подпоследовательность. Поэтому по лемме 7.2 достаточно показать, что любой конечный набор KOlКак из {^а}аеА имеет общий элемент при Л 3. Для этого рассмотрим мно- | жества La., элементами которых ^ служат пары чисел

^/={(0Ь 6)lYa£<61Pai + 6<6ai.}, i=lк. (88)

Каждая такая пара чисел соот-Рис 25

ветствует прямой из Kttl \ {а^ 7\}

с уравнением g2 = 0i£i + 0. Рассмотрим sth пары чисел (6ь 6) как точки новой аффинной плоскости Лд. Тогда каждое множе

ство Lai представляет собой на Лд (замкнутую) полосу между

тому, что прямая §2 = ^ + 6° принадлежит пересечениютому, что прямая §2 = ^ + 6° принадлежит пересечениюПХ„,ПХ„,парой параллельных прямых, т. е. выпуклое множество в пространстве Л^. Любые три из множеств Laj (t = 1, ..., к^ имеют общую точку (6°, 6°) е Лд, что по условию (88) равносильно к

тому, что прямая §2 = ^ + 6° принадлежит пересечению

тому, что прямая §2 = ^ + 6° принадлежит пересечению

ПХ„,

ПХ„,

и последнее непусто. □

Кирхбергер [35] предложил следующий вопрос из комбинаторной геометрии. На прямоугольном лугу находится некоторое количество белых и черных овец (точек). При каких условиях белых и черных овец можно разделить прямым забором? Ока

зывается, это можно сделать в том случае, когда разделяющая прямая существует для каждых четырех овец. Кирхбергер доказал для любой размерности следующую теорему.

Теорема 7.3. Пусть Y и Z— два компактных точечных множества с общим числом точек не менее п + 2 в п-мерном аффинном пространстве Ап, и для любых подмножеств Y' с: Y, Z' с: Z с общим числом точек п + 2 существует гиперплоскость, строго отделяющая (см. определение 3.1) Y' от Z', Тогда сами Y и Z строго отделимы некоторой гиперплоскостью в Ап.

Для доказательства нам будет полезна

Лемма 7.3. Пусть {7/a}asA — семейство замкнутых полупространств в Ап+', причем начало oeAn+v лежит на границе

каждого из Я». Пусть каждый конечный набор этих полупространств содержит общий луч, выходящий из о. Тогда все эти полупространства также имеют хоть один общий идущий из о луч. ■

Доказательство. Введем в А"+1 скалярное произведение и обозначим ВДо) единичный шар с центром о, а через дВх^ его граничную сферу. Множества дВх^о^На компактны и их семейство (а е А) удовлетворяет условиям леммы 7.2. По лемме 7.2 у этого семейства есть общая точка. Но по теореме 6.1а) пересечение П На есть выпуклый конус с вершиной о, а е А

и, содержа точку х, он содержит весь луч, идущий из о через х. □

Доказательство теоремы 7.3. Сначала установим существование гиперплоскости А в Ал, отделяющей хотя бы нестрого У от Z. С этой целью для каждых фиксированных точек у = (яь ...,ri»)6 У и z = (&,....MeZ определим в постороннем (п + 1)-мерном аффинном пространстве Ал+1 открытые полупространства '

(п

(89а)(89b)(89а)(89b)Нг — \ (0!0„,9)еЛНг — \ (0!0„,9)еЛ5 0^ + 0>05 0^ + 0>0Ну := j (Oj0„, 6) е An+11 £ 0лп + 0 < 0

(89а)

(89b)

(89а)

(89b)

Нг — \ (0!0„,9)еЛ

Нг — \ (0!0„,9)еЛ

5 0^ + 0>0

5 0^ + 0>0

имеющие начало о:=(0, ..., 0)еАл-п граничной точкой. По предположению каждые п + 2 таких полупространства {ВД^у,, VH^zgZ, имеют общую точку — она соответствует набору чисел (01, ..., 0п,0), служащих коэффициентами уравнения гиперплоскости, строго отделяющей У' от Z'. Применение теоремы Хелли показывает, что любое конечное множество полупространств Ну, Hz имеет общую точку, по определению (89) отличную от о. Так как замкнутые полупространства Ну,Нг суть конусы с вершиной о, это означает, что_ каждое конечное семейство замкнутых полупространств Ну,Яг имеет общий идущий из о луч. По лемме 7.3 такой общий луч есть у всего семейства Ям (y^Y), Hz (z^Z). Пусть Ц0/0°, 0°), Z^O, — этот

луч. Тогда гиперплоскость А: 52 0”6, + 0° = 0 пространства Ал отделяет (быть может нестрого) Y от Z.

Осталось доказать существование строго отделяющей гиперплоскости. Проделаем это индукцией по размерности п пространства Ал. При п = 1 это очевидно: если компактные множества У и Z на прямой А1 отделены точкой хо, то, например, у0: шах у <: х0 ^ z^ := minz; но ввиду строгой отделимости У- Y

у(1ЕУ от zoeZ должно быть yQ < zo; поэтому Xq = (z/0 + z0)/2 строго отделяет Y от Z. Предположим, что строгая отделимость доказана для всех размерностей, меньших чем п>1, и докажем ее для размерности п. Пусть А— гиперплоскость, отделяющая Y от Z, ее существование было установлено. Если А отделяет У и Z строго, то доказывать нечего. Пусть А отделяла У и Z пестрого. Тогда или только А П У, или только Л П Z, или оба эти множества непусты. В первых двух случаях достаточно немного параллельно сдвинуть гиперплоскость А, чтобы получить строгое отделение У от Z. В третьем случае по предположению каждые два подмножества Y" с А П У и Z" с А Q Z с общим числом точек п + 2, а тем более — с числом точек п + 1 (и меньше) по условиям теоремы строго отделимы в А" некоторой гиперплоскостью В (она отлична от А и не параллельна А). Тогда относительно А множества Y" и Z" строго отделены (относительной) гиперплоскостью А П В, и, по индуктивному предположению, в А существует (относительная) гиперплоскость Ао, строго отделяющая A f] У от АП Z- (Если в множествах А П У и А П2 общее число точек было менее n+ 1, то роль Ао уже выполняет AQS, где В построена для У" = A Q У, Z" = А(\ Z.) Ввиду компактности У и Z теперь можно немного повернуть А вокруг Ао так, чтобы повернутая гиперплоскость уже строго отделяла У от Z. □

Для дальнейших приложений теоремы Хелли нам понадобится следующее

О п р е д е л е н и е 7.1. Множество X в n-мерном аффинном пространстве А" называют звездным относительно точки ХдбХ, сели для каждой точки хеХ отрезок Хох лежит в X. Говоря наглядно, в X из точки х0 «видна» любая точка хеХ.

Из определения ясно, что каждое звездное множество Хв А1 . заведомо связно.

Замечание 7.4. Множество X в А” выпукло тогда и только тогда, когда оно звездно относительно каждой своей точки.

М. А. Красносельскому [40] принадлежит следующий признак звездности множества

Теорема 7.4. Пусть X — содержащее бесконечно много то- . чек компактное множество в п-мерном аффинном пространстве Ап. Если для каждых п + 1 точек Xi, ..., x„+i множества X существиет точка уv „ еХ, для которой все отрезки, со- сдиняющие ее с точками Xi, ..., xn+i, лежат в X (т. е. точки Xi, ..., Xn+i «видны» в X из одной точки), то X звездно относительно некоторой точки х0 е X.

Доказательство. Определим для каждой точки хеХ так называе?лую х-звезду множества X как множество

St, := {у^ X\xyczX}.(90)

Очевидно, Stx есть максимальное звездное относительно х подмножество в X. Рассмотрим семейство {conv Stx)xe х выпуклых оболочек всех таких звезд. По теореме 2.6 эти множества ком- тактны, поскольку звезды — замкнутые подмножества компактного множества X, и потому сами компактны. По предположению каждые п+1 множеств convStX1, ..., conv St,n+1 имеют общую точку ух,... xn+v По теореме Хелли тогда f| convStx=^ =#0. Пусть

хое П convStx.(91)

х е X

Покажем, что множество X звездно относительно такой точки хо. Допустим противное, пусть у г X и Хоу ф X. Тогда существует уо^хоу, уо^Х. По замкнутости X в Л" существует телесный эллипсоид Ео; F^x — у0,х—у0)— Т2 ^ 0 (см. пример 1.3), имеющий у0 центром и такой, что ЕоПХ —0. Будем сдвигать этот эллипсоид от у0 к у, т. е. рассмотрим семейство эллипсоидов

Ер: F (х — (Уо + Р {У — Уо)), х — (t/о + Р кУ — Уо))) — Т2 ^ О

"при 0 ^ р ^ 1.

Среди эллипсоидов Ер выделим те, для которых Е^ П X = 0 при любом 0 ^ р' ^ р. По компактности Ео и X найдется р0 = sup р > 0. Эллипсоид Е касается множества X хотя

Ер- л х-эРо

о < р' < р

бы в одной точке zeA' (рис. 26). Касательная к Е^ в точке z гиперплоскость Л ограничивает не содержащее Хо замкнутое полупространство Н, которое содержит St,, поскольку

>,116 лежащий в Н отрезок wz

/\ из Stz пересек бы внут-

\ ренность (Еро)°, что противо-

|| речит (Ер,)° П X = 0 при

\ Д» / Уу^У У любом р' < р. Поэтому Htd \/ ХЛ )—1 conv Stz- Но хо ^ Я и тем

Х_У более х0 ^ conv Stz, что противоречит (91). Это дока-

Рис- 26зывает правильность утвер

ждения теоремы 7.4.

Важными величинами для ограниченных выпуклых множеств в n-мерном евклидовом пространстве Rn являются диаметр самого множества и радиус описанного шара.

Определение 7.2. Пусть X — ограниченное множество в Кп (при расстоянии Ну — х|| ;— {у — х,у — х>1/2 между точка-

МИ х, у в RnY Тогда величины

D^-.= sup Пхз-^Ц,(92)

Xi, хз е X

RQ<.y.= min f sup ||х — z0|[\■(93)

.i,eRn veX/

называют соответственно диаметром множества X и радиусом описанного шара. (Очевидно, R(X) есть радиус наименьшего шара, содержащего X; ввиду ограниченности X и непрерывности евклидова расстояния, такой шар существует, причем он единствен: если бы было два таких шара, то множество X лежало бы в их пересечении, а потому — в еще меньшем шаре.)

Справедлива общая для всех X в Rn оценка RW через п(ху

Теорема 7.5 (Юнг [78]). Для любого ограниченного множества X в п-мерном евклидовом пространстве радиус описанного шара R(X) и диаметр D(X) множества X удовлетворяют неравенству

кт^л/зУит1^(94>

причем для непустого X равенство в (94) имеет место в том и только том случае, когда замыкание X содержит вершины правильного п-мерного симплекса с длиною D^ каждого из ребер.

Доказательство. Докажем сначала теорему 7.5 для случая, когда X состоит из n+ 1 точек X = {х0, ..., хпу Пусть z0— центр описанного вокруг такого X шара Br(x>(zo) и Г = = {хоХт\, т^п,— совокупность тех из точек множества X, которые лежат на границе этого шара (за счет нумерации считаем эти точки первыми). Точки множества X' не могут лежать на одной открытой полусфере этого шара, поскольку тогда шар не был бы наименьшим, содержащим X. Поэтому точка Zo и множество X' не могут строго отделяться гиперплоскостью; по теореме 3.4 точка z0 должна содержаться в компактном выпуклом множестве convX'; а по теореме 2.3 должно существовать соответствующее представление Zq” Е ХгхР От- z=o брасывая члены с нулевыми коэффициентами, за счет перенумерации оставшихся членов получаем

д/1

0=У ^(хг-г0), где ^Хг=1, Хо > 0>0, h^m.

1=07-1

(95)

Умножим равенство (95) на хь — z0 и просуммируем по й ОТ к = 0 до к = h. Учтем при этом, что (хй — z0, xt — z0) =

= 4 (II Хк — z0 II2 + II Xi—z0 II2— II хк — Xi Ц2)=(Z? (X))2 — 4 II хь — Xi IP;

O^A, /^Л. Кроме того, учтем, что

||xA-x.||^Z)(X).||xA-x.||^Z)(X).Тогда получимТогда получим(96)

||xA-x.||^Z)(X).

||xA-x.||^Z)(X).

Тогда получим

Тогда получим

= (А + 1) Ф (X))2 - 4 ф (X))2 2 (1 - ^ =

(97)(98)(97)(98)= (А+1)(7?(Х))2-|(Д(Х))2.

(97)

(98)

(97)

(98)

Но h т п, поэтому

да w¥nф да < 2^ (^ да-

Этим неравенство (94) доказано для Х={х0, •.., хп}. При этом равенство в (98) достигается только при h—n и ||хА— — Xz||=Z)(X) для всех к,1, т. е. когда Х = Х есть множество вершин правильного симплекса с ребрами 7>(Х).

Если X содержит к + 1 < п + 1 точек, к ^ 1, то X cRk, где Rk есть A-мерная плоскость в R”. Тогда, по уже доказанному,

Наконец, пусть X содержит более n + 1 точек. Рассмотрим семейство фх (х)}Хех шаРов с центрами хеХ и радиусом х:= :-V2Tm> °®- шары этого семейства — выпуклые компакты. Любые « + 4 из них содержат общую точку (центр шара, описанного около множества центров этих «+1 шаров). Поэтому по теореме 7.1 у всех шаров есть общая точка ytie f| ^и (х). Но тогда ВК(уй)^> X, и потому /?(Х)^х, при- х е X

чем равенство здесь имеет место тогда и только тогда, когда не существует х' (0 ^ х' < х), для которого каждые п + 1 шаров семейства ф^' М11е х имеют общую точку, т. е. когда существует последовательность (xj, ..., ^}veW наборов изл4 1 точек множества X, для которых lim R(^, .... х^) = х.

Ввиду ограниченности X можно, не умаляя общности, считать, что Xi := lim xt г X (t = 0, ..., п) и ■

lim /?({хо, .^}) = 7?({х0хп})=х.(99)

По уже доказанному

R ({х0, ..., х„}) < д/-^^^ D ({х0, ..., х J),(100)

но, очевидно,

Щ{х0, ..., х„}) = lim D ({хоXn^^D^X).(101)

V->oo

Соотношение (99) означает, что равенство в (94) имеет место тогда и только тогда, когда оно выполняется в (100) и (101), т. е. когда X содержит вершины правильного «-мерного симплекса conv{x0, ..., хп} с длиной ребер D^Xy □

Замечание 7.5. Первая часть теоремы 7.5 допускает следующую перефразировку. Пусть [Вгт (x)}xs% — семейство попарно пересекающихся шаров в Rn с центрами х и постоянными радиусами а > 0. Тогда шары этого семейства после увеличения /

их радиусов в а я +1 Раз приобретают непустое пересечение

П ^aOW^0.(Ю2)

х е X

(См. начало доказательства теоремы 7.5.) Есть интересная задача: определить минимум J (К) чисел а со свойством (102) в общем случае, когда в рассматриваемом семействе равные шары заменены транслятами фиксированного компактного выпуклого тела К. (Число J(К) называют постоянной Юнга тела д.) По этому поводу и о других применениях теоремы Хелли см. более подробно в книге Данцера, Грюнбаума и Кли [26].

Упражнения

Доказать следующее обобщение теоремы 7.1. Пусть {^a}a^ \ — конечное семейство не менее чем п + 1 выпуклых множеств в Д", причем каждые in + 1 множеств этого семейства (1 ^ m ^ н) содержат общее (га— т)-мерное аффинное подпространство пространства Д", причем все эти подпростран- стнп параллельны. Тогда П Ka содержит (га—т)-мерное аффинное подпро-

a е А " прппство того же направления.

Доказать, пользуясь теоремой 7.1, следующее утверждение из теории приближения функций. Пусть а/ (/= 1, ..., т) — попарно различные абсциссы, р, — ординаты, а е, — неотрицательные границы приближения. Семей- 01 но всех линейных комбинаций фиксированных п (1 ^ га ^ m—1) веще- ОТвениозначных функций с постоянными вещественными коэффициентами Обовпачим F. Тогда, если для каждых га + 1 значений индексов j существует

I е F, для которой при этих индексах |((сс,) —Р/ | ^ е,, то в F существует функция, для которой эти соотношения выполнены для всех /= 1, .... т.

Доказать примером, что число п + 2 в теореме 7.3 не может быть уменьшено без нарушения справедливости теоремы.

Пусть X — множество из не менее чем п + 1 точек в Д", а К — компактное выпуклое множество в Ап с тем свойством, что любые п + 1 точек из X могут быть покрыты транслятом множества К. Доказать, что тогда и всё X можно покрыть транслятом К.

8. Линейная комбинация, разность, декартово произведение

В этом параграфе мы подробнее изучим действия над множествами в аффинном пространстве Ап, которые не выводят из класса выпуклых множеств и будут важны в дальнейших рассмотрениях. Начнем с семейства выпуклых множеств La, получаемых из фиксированного выпуклого множества L некоторым семейством трансляций {/a)aSA- Интересным оказывается частный случай, при котором множество точек {M0)}aSA (здесь о — начало координат в А"), характеризующее рассматриваемое семейство трансляций, само является выпуклым множеством К с Ап. В этом случае для объединения всех La справедливо соотношение

(J tx (L) = (zs А" |z = х + у, хе К, у е L}. (103)

^—трансл. в Ап tx(o)=xeK ,

То же самое множество получается, если объединять все ty^K) по тем ty, для которых tM(io') = у ^ L. Этим мотивируется следующее определение суммы выпуклых множеств, введенное Минковским.

Определение 8.1. Пусть К и L— непустые1) выпуклые множества в n-мерном аффинном пространстве А" с началом координат о, к которому соотнесены радиусы-векторы точек х, у тел K,L. Тогда (зависящее от выбора о) множество

К + L := {z е An|z = х + у, х е К, у е Ц (104)

называют суммой К и L (относительно о).

Теорема 8.1. Сумма K + L выпуклых множеств К и L в А" выпукла.■

Доказательство. Пусть zi, z2— точки в К + L. Тогда для любой точки г отрезка Z]Z2 имеем z = XtZi + X2z2, Xi ^ 0, X2 0, Xi + X2 = 1, поэтому

z = Xi (x, + i/i) + X2(x2 + y^ = (XiXi + X2x2) + (Xiyi + X2y2) s eKAL □

*) При допущении пустых множеств считают К + 0 = 0. В настоящем наложении по возможности не используется сложение для пустых множеств.— Прим, перев.

В связи с определением 8.1 естественно дать следующее определение умножению выпуклого множества К в Ап на скаляр X-

О п р е д е л е н и е 8.2. Если К— выпуклое множество в Лп, а X—вещественное число, то (зависящее от выбора начала о) множество

ХК: = {ге А^г = Хх, хеК)(105)

называют произведением К на скаляр X (относительно о).

Замечание 8.1. Множество ХК получается из К гомотетией с коэффициентом X и центром о. Поэтому, поскольку К выпукло, то и ХК выпукло (ср. теорему 1.3).

Замечание 8.2. Из определений 8.1 и 8.2 непосредственно следуют правила

W + L) + M = K + ^L+M^K + L^L + K, К+{о}=К, (Юба)

X(K + L) = XK + XL, Х(рД) = (Хр)Д, 1 -К=К, (Ю6Ь) где К, L, М — непустые выпуклые множества в Л", а X, р—вещественные числа.

Однако класс всех выпуклых множеств пространства Ап не образует векторное пространство над полем вещественных чисел, поскольку второй дистрибутивный закон (ХА-^К = = ХК 4- рД выполняется не всегда.

Теорема 8.2. Для действия умножения непустого выпуклого множества К на сумму вещественных чисел X и р справедливо включение

VX-V^KclXK-WK,(107)

причем правое и левов множества заведомо совпадают при Хр ^ 0, но при Хр < 0 они могут быть и различными.

Доказательство. Пусть (X + р)х^ (X + р) К, где хе К. = Тогда из (X + р)х = Хх + рх s ХД + рД следует включение (107). При Х = 0 или р = 0 правая и левая части (107) совпадают по определению. Пусть X >• 0 и р > 0. Тогда для любой точки Xxi + рх2 Q ХК + рД (где Х\ еК, х^е К) имеем по выпуклости К:'

XX] + рх2 = (X + р) ^ _^ ^ X] + ^ ^ ^ х2) е (X + р) К, что дает обратное (107) включение. При X < 0, р < 0 достаточно заменить К на —К (см. замечание 8.1) и, сменив знаки у X и р, сослаться на готовый вывод.

Что в (107) не во всех случаях имеет место равенство, видно из простого примера. Для содержащего точку о неодноточеч- иого выпуклого К имеем: (о) =(1 +(— 1)) К с К с К + (— 1) К, где, очевидно, правая часть отлична от левой. □

В дальнейшем будет полезно естественно связанное с определениями 8.1 и 8.2.

Определение 8.3. Пусть Ку, ..., Кт — непустые выпуклые множества в n-мерном аффинном пространстве Ап с началом координат о, a XiХп— неотрицательные вещественные числа. Тогда выпуклое по теореме 8.1 и замечанию 8.1 множе- т

ство ^ МКь зависящее от выбора о, но не зависящее от порядка суммирования, называется линейной комбинацией множеств К; с коэффициентами X, ^ 0 (относительно точки о). В требовании X; ^ 0 нет существенного ограничения общности, поскольку XtKt = — Xi(—Ki), что позволяет за счет изменения К; переходить к неотрицательному X,.

Пример 8.1. «Увеличение», которым мы пользовались при доказательстве теоремы 3.4: пусть Ki — замкнутое выпуклое множество в Ап, тогда определенное в (30) открытое выпуклое множество (^i)e, можно, учитывая (103), (104), (105), записать в виде (Юе = Kt + еП°, где П° — внутренность определенного в примере 5.2 параллелепипеда Пп в Ап, а е > 0.

Замечание 8.3. Пусть £ МКг и I У ^Kt) — линейные Г-1\i = !/

комбинации непустых выпуклых множеств Ki, построенные соответственно относительно точек о и о' в Ап, а X/ ^ 0 (1 = = 1т). Пусть, кроме того, tx — трансляция, которая пере

водит точку о в точку х, а е'— радиус-вектор точки о' относительно о. Тогда

С

тх'/ т \

'Е.х.кЛ—е „ (ZwJ. (iOS)

т. е. линейная комбинация выпуклых множеств в Ап при изме- m

нении начала о подвергается лишь трансляции, а при 52 Xz = 1 вовсе не зависит от выбора начала о. Это сразу следует из равенств xt = x't + е' (I = 1/и)и х — х’ + е' для радиусов-

векторов xi, x't точек множеств Kt и х, х' точек множества / m у

^ixij относительно начал о и о'.

Рассмотрим теперь некоторые важные геометрические свойства линейных комбинаций выпуклых множеств.

Теорема 8.3. Пусть f: An—*Bm— аффинное отображение аффинного пространства Ап с началом о в аффинное пространство Вт с началом 6. Тогда образ линейной комбинации

У, XtKt непустых выпуклых множеств Ki в Ап (относительно i=i"

о) с точностью до трансляции есть линейная комбинация обра-

вое f(Ki) этих множеств с теми же коэффициентами Xi ^ О (относительно б); i 1, ..., р. Точнее,

/ р \/ р \

n^xtKA=t, р (ywwa). (Ю9)

Здесь (у — трансляция в Вт, переводящая б в у.

рр

Доказательство. Пусть х = У Xtxt е У, XiKi, х^ Кь X =» 1^ = 1

/=1, ..., р. Тогда для f(x) по линейности индуцированного аффинным отображением f отображения векторного пространства Ап с нулем о в векторное пространство Вт с нулем 6 имеем

рf(x) — f (о) = У Xt (f (Xi) — f (о)),X = 1

или

Р/РX"

f^-^Xd (хг) + ( 1 - ^Xi(о),i-1X<-1 /

откуда следует равенство (109). □

Теорема 8.4. Пусть в п-мерном аффинном пространстве Ап п

задана линейная комбинация К — У XtKi возможно незамкну

тых непустых выпуклых множеств Ki с коэффициентами Xi ^ 0 • тп

(относительно начала оеЛ"), предполагается, что У Xt > 0.

Тогда, если Ai— параллельные опорные гиперплоскости множеств Ki причем ограниченные ими замкнутые полупространства Hi, содержащие Kt, параллельны в том смысле, что отли- тп

чаются лишь трансляцией, то гиперплоскость Л := У XtAt является параллельной всем А, опорной гиперплоскостью для К m

и ограниченное ею полупространство Н есть У XiHb кроме

того:

тп

к п а=Ушп ла.(ио)

Х = *

Здесь, в случае если ^ П Лг пусто, считаем Xi(Ki(]Ai) — 0 при 1г > 0 и Xi(Ki[\ Л;) = {о} при X; — 0 (см. примечание к определению 8.1).

Доказательство. Пусть опорные гиперплоскости А, и упомянутые полупространства Hi заданы условиями L(x)4-y- =

= 0, L(x) + у< ^ 0 (г = 1, •.., т), см. пример 1.1). Тогда тт'

L (х) + Е X(Yz = О, L (х) 4- Е Х,у; ^ 0 ' i — 11 = 1

суть задания А и Н. Из линейности функционала L и неотрица- tntn

тельности всех X, следует тогда, что Е XtAt се А, У, XtHt се Н. i = 1i = l

При этом в обоих случаях последние включения в действитель- т

ности суть равенства. Действительно, Е ^tAi Для некоторого 1 = 1

индекса z'o (при котором Xz, > 0) содержит гомотетичную Ai, тт

гиперплоскость, и потому У Х£А( = А. Аналогично, Ехдл со- i = Ii = I

держит гомотетичное Hi, полупространство с границей А, т. е. содержит Н и потому совпадает с Н. Далее, ввиду К: с Hi имеем тт

К=Т,Х£К£с %Х£Н£ = Н.1 = 11 = 1

Но К не может лежать ни в каком другом строго содержащемся в Н замкнутом полупространстве, поскольку А, — опорные гиперплоскости и

sup L(x£) = — у,, z = 1m, xt e Ki

что влечет mm

sup L (x) = E Xz sup L (xz) = — E Xt^v mi = \ x^eR.i-l

i-l 1 1

Таким образом, гиперплоскость А опорна к К, а по самой форме задания она параллельна всем А,.

Для пересечения АП А имеем

К П А= У хл, n ( Е Х(д, => llxAKi n AJ. (111) \ 1 Я* 1/\ / = 1/1=1

Пусть х°= Е А^°е к П а, где x°teKt. Ввиду Kt с Ht тем

более x°te.Hp поэтому'

T(x°)^-yz, i=l, .... tn.(112)

Ввиду х°еА верно также тт

./-(х°)=Е^(^) = -EMi. (из)

и из (112), (ИЗ) и X,-^ О следует L (х^) = —уР т. е. x°te , е К, П At при всех i = 1, ..., т, для которых X, > 0. Но тогда

'. К П Л<= £ ^{Kt П Ah,

что вместе со (111) влечет (ПО). □

Теорема 8.5. Линейная комбинация К := У XiKt (Х<>0) i = 1

непустых компактных выпуклых множеств Kt^An компактна.

Доказательство. Пусть {xv}veW — последовательность точек множества К,

xv=£w ЦеКр /=1пг, v = l, 2, ... (114)

По компактности множеств Ki существует подпоследовательность {xvh} ^ для которой сходится каждая из последовательностей:

Vim х^=:х(^ Кр i=l, ..., m.(115)

Ц->°0

Из (114), (115) следует

Пт х'н = У XtXi е К,

Ц->оо1 = 1

что доказывает теорему 8.5. □■

пг

Теорема 8.6. Линейная комбинация Р:= ^XtPt (Х(^0) i = 1

выпуклых многогранников Pi cz Л” сама — выпуклый многогранник в А".

Доказательство. Многогранники Pi непусты и компактны, а потому по теореме 8.5 компактна их линейная комбинация Р. Поэтому, ввиду теоремы 4.2, нам достаточно доказать, * что у Р конечно множество экстремальных точек. Для каждой пг

экстремальной точки х° = У Х,х° е ext Р (х^еР.) при Xig > 0 должно быть x^eextPp Иначе было бы

хи = Ми + ^о, ц + v = 1, ц > 0, V > 0,

у°. е р,, 2° е Р,, у° =^z°,, v Нlo to to’ io ' to’

а тогда

m, m\/ mx

x° “ ^ ^iX< = H f .S ^‘^ + ^io^i. j + v f ,2 ^ixi + ^i«zio )Xix'

при разных точках тт

Z М + X, Д е Р,£ Mi + Чги G р-

i^io1=^1»

что противоречит x°eextP. Таким образом, каждая из точек ext Р представима как линейная комбинация множества точек из конечных множеств ext Pi с 1 ^ i ^ m и фиксированными Xi > 0. Поэтому само ext Р конечно- В случае Xi= ... = Xm=0 теорема тоже верна, поскольку в этом случае P = extP = {о}.

п/

Теорема 8.7. Линейная комбинация К :=Е^, h/>0, тх

Z ^i > 0 ) выпуклых тел KiczAn сама — выпуклое тело (см. i-i/

определение 1.6).

Доказательство. Пусть именно Х<д>0. Выберем точки х°е Kt при всех i ^= iQ. Тогда

2(П6)

т. е. К имеет в Ап непустую внутренность К0 и потому есть выпуклое тело. □

Замечание 8.4. Линейная комбинация двух непустых выпуклых множеств Кх,К2 в Л" допускает при Xi + X2=l следующую геометрическую интерпретацию. Пусть L — выпуклая оболочка множеств Кд X {0} и ^2X {1} в декартовом произведении Л"41 := Ап X Л1. Тогда линейная комбинация К:=Х1К1Аг + ХпК^ характеризуется равенством

.КХ{Ч = ХП(Л"Х(М), 0^Х2С1.(117)

В этом легко убедиться: согласно примеру 2.2

L= U (хв 0)(х2> 1),

Xi е К,

Xi е Ka_.

поэтому.

L 0 (Ап X М) - {(х, Х2) е Лп+11 (х, Х2) =

= X, (х„ 0) + Х2 (х2, 1), X! е Къ х2 е К2} =

= {(х, Х2) <= Л ^ | х = Х[Х] -}- Х2х2, Xi е= Къ х2 G К2} == К X {^г}’

Особенно наглядно выглядит в этой связи линейная комбинация выпуклого множества К и полученного отражением относительно начала ое Ап множества — К с коэффициентами X! = Х2 = 1/2. (См. рис. 27, где в качестве К взят треугольник с центром тяжести о.)

Пример 8.2. Разностное тело выпуклого множества. Пусть К—выпуклое множество в Л" с началом о. Тогда множество

L := К + (— ^ = ^2^ An\z = x — y, хеК, У ^ К}

состоит из концов всех отложенных от о векторов, определяемых парами точек множества К. Такое множество L называют разностным (или векторным) телом множества К. Множество L всегда центрально-симметрично относительно о в смысле следующего определения.'

Определение 8.4. Выпуклое множество К в Л” с началом о центрально-симметрично относительно о, если К = — К.

Кроме введенной определением 8.1 суммы K-\-L по Минковскому двух непустых выпуклых множеств К и L в Л", иногда имеет смысл рассматривать также введенное Минковским понятие разности К—L множеств К и L.

Определение 8.5. Пусть К и L— непустые выпуклые 'множества в Ап с началом о. Тогда (зависящее от выбора о) множество

К — L :— (ге Л"^г(В)с2 К, tz— трансляция, tzkp^ = z\ (118)

называется разностью К и L относительно о.

Предостережение. Подчеркнем, что разность К — L, определенная равенством (118), существенно отличается от линейной комбинации К + (,— ^Ь = (J tx^— 1)L), см. (104) и (103).

Теорема 8.8. Разность К — L двух непустых выпуклых множеств К и L в Л" также выпукла.

Доказательство. Пусть zi,z2— точки из К — L. Тогда при Xi+X2=l, Xi ^ 0, Х2 ^ 0 по (15) и (118) имеем

^XiZi -ЬХ?;^ (L) cz conv (/Zt (L) U tz, (L)) cz К, т. e. Ххгх + X2z2 eR—L. □

Пример 8.3. Внешнее и внутреннее параллельные множества выпуклого множества в евклидовом пространстве. Пусть К — непустое выпуклое множество в n-мерном евклидовом пространстве Rn и Вр(о)~ шар радиуса р > 0 с центром в начале о е Rn. Тогда

Ко:=К + Вр(о)= U Вр^(119)

1хеК-

представляет собой множество всех точек пространства Rn, которые удалены не более чем на р от хотя бы одной точки

84 ГЛ. I. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ВЫПУКЛЫХ МНОЖЕСТВ множества К. Такое Кр называют внешним параллельным множеством для К на расстоянии р.

Соответственно

Кр: = К — Вр(о)~ {ze Rn\Bp(z')cz К),(120)

ср. (118), представляет собой множество всех точек пространства Rn, для которых все удаленные от них не более чем на р точки лежат в К- Такое К-p называют внутренним параллельным множеством для К на расстоянии р.

В заключение этого параграфа докажем две теоремы о декартовом произведении двух выпуклых множеств, соответствующие теоремам 8.1 и 8.6 для суммы двух выпуклых множеств.

Теорема 8.9. Пусть К и L — непустые выпуклые множества в аффинных пространствах Л” и Ат соответственно, и пусть д«+т = Ап X Ат — декартово произведение Ап и Ат. Тогда декартово произведение KXL выпукло в Ап+т.

Доказательство. Пусть (xi,yi) и (х2, у^ — точки KXL, Xi ее К, х2 ее К, yi ^ L, y2G. L. Тогда при Xi -f- Х2 = 1, Xi ^ 0, Х2 > 0 имеем z=X\ (хь ух) +Х2(х2, у2) = (XiXi+X2x2, Xiyi+X2y2) е gKXL. □ (Мы, как обычно, отождествляли в Ап+т точку из КХ В с отнесенным к началу (о, о') ее радиусом-вектором в Дп+т)

Теорема 8.10. Пусть P,Q— выпуклые многогранники соответственно в Ап и Ат. Тогда PXQ— выпуклый многогранник в АпХАт.

Доказательство. По компактности Р и Q компактно и Р X Q. По теореме 8.9 множество Р X Q выпукло. Ввиду теоремы 4.2 нам остается показать, что множество экстремальных точек ext(PXQ) конечно. Для любой точки z°eext(PXQ) имеем 2°=(х°,у0), х°гех!Р, у0 е ext Q, так как иначе, скажем, для х°, было бы хй = Х,х° + Х2х°, x°veP, x2sP, х° ^= х”, Xi + + Х2 = 1, Xi > 0, Х2 > 0. Но тогда z° = (Х^ + Х2х°, Х^0+ +Х2у°) = X! (х°, у°) + Х2(х^, у0), что противоречитэкстремально- сти z°. Но из ext (Р X Q) cz ext Р X ext Q ’) уже следует конечность ext (Р X Q). □’

Линейная комбинация, разность, декартово произведение — важнейшие из тех операций над множествами, которые не выводят из класса выпуклых множеств. С другими операциями, обладающими таким свойством, мы встретимся позже.

Упражнения

Показать на примере, что соотношение (X + р.)К = ХК + рК может стать неверным даже при X > 0, р > 0, когда К будет невыпуклым множеством в Ап.

*) В действительности ext(P X Q) = ext Р X ext Q.

Пусть X := У, Х(К( — линейная комбинация непустых выпуклых мно- тт.

жеств Ki в Ап с Xi 0 и у X; > 0. Пусть х° = £ Хус®, х® е К(, — экспо- i = li = 1

нированная точка множества К. Доказать, что x®sexpKt при всех тех i, для которых Xi > 0.

Показать на примере, что сумма двух замкнутых выпуклых множеств К и L в А" может быть незамкнутым .множеством.

Пусть К и L—выпуклые множества в «-мерном аффинном пространстве Лп и К X L лежит в А" X А" = А2п. Указать аффинное отображение f: А2"-*А'1, которое отображает выпуклое множество К X L с Аг" в выпуклое множество К + L с А".

Геометрические признаки выпуклости

В этом последнем параграфе первой главы мы рассмотрим некоторые геометрические свойства множества (или семейства множеств) в аффинном пространстве А", из которых можно сделать заключение о выпуклости этих множеств. Начнем с теоремы Дворецкого {28], которая в некотором смысле обратна теореме Хелли.

Теорема 9.1. Пусть {Хо}оеД— семейство из не менее чем п + 2 компактных множеств в п-мерном аффинном пространстве Ап, и каждое из них не умещается в гиперплоскости:

dim(affXa)= л, «еА.(121)

Кроме того допустим, что при любых невырожденных аффинных преобразованиях fa (а е А) каждого из множеств новое семейство Vfa^a^aeA обладает свойством Хелли: все множества семейства имеют непустое пересечение, если таковое есть у любых 1 п + 1 множеств семейства. Тогда все множества Ха выпуклы.

Доказательство. Мы допустим, что некоторое множество ХО0 исходного семейства невыпукло, и построим семейство аффинно преобразованных множеств {Xa}aeA, не обладающее свойством Хелли, что даст противоречие.

В невыпуклом Аа, можно так выбрать п + 1 аффинно независимых точек, чтобы внутренность натянутого на них re-мерного симплекса не умещалась в Х^. В противном случае Ха, но замкнутости содержало бы все такие симплексы, а тем более все симплексы, натянутые на меньшее число аффинно независимых точек множества Ха, (их, ввиду (121), можно допол- . нять до ге + 1 аффинно независимых точек из Хао)- Поэтому Хао совпадало бы (по теореме 4.2) со своей выпуклой оболочкой и было бы выпукло. Пусть

Y^ Р= X

*0» • * е > лп ^ а0*

причем точка

х° е (conv {х°, ..., х°})°(123)

не принадлежит Ха:

х°^Хао.(124)

Рассмотрим n+ 1 других множеств Ха|, ..., ^а„+1 семейства. Каждое из них обладает компактной выпуклой оболочкой conv Ха., которая по теореме 4.5 имеет хотя бы одну экспонированную точку х‘ Ц = 1, ..., п+1). Для гиперплоскости Л,, опорной к convXa/ в точке х‘, и ограниченного гиперплоскостью At замкнутого полупространства Н, = Н1\}Аг, содержащего convXoz, будет при каждом I = 1, ..., п + 1

convXa. П At = Vc^,(125а)

Xai сд conv ^а£ с Ht (J {xz}.(125b)

Из (125b) следует

x‘e Xtti, z = 1, ..., n + 1,(126а)

так как иначе Хар а потому и convXap содержалось бы в открытом Ht вопреки (125а).

Ввиду (121) в каждом Xai можно дополнить точку х* еще п точками.

4 • • •> Х1-У XiXnGXat’ Z = l, П+ 1, (126Ь)

до аффинно независимого набора из « + 1 точек. Обозначим через /ао тождественное отображение, а через /О£ невырожденное аффинное преобразование, которое переводит эти п + 1 точек в (аффинно независимые) точки х9, х^, ..., х®_2, х°, ..., х° по правилу:

кьи‘)-х«, f.t(4)=4

к = 0, ..., п + 1, j = 0, ..., п, j =/= к — 1.(127)

Кроме того в каждом из оставшихся множеств нашего семейства {+JaEA ВВИДУ (121) можно выбрать аффинно независимые точки п+1’

х“', ..., х“\ а' е А \ Ц а.,(128)

и аффинные преобразования fa„ для которых•

L' (ХГ) “^Р / ^ 0n> a' G А \ U аг (129)

Теперь нетрудно убедиться, что семейство аффинно преобра- •ованных множеств {Уо}оеА, где

^а* :== faft ("^а^)» & = 0, . . ., И + 1,

,»+1(130)

Ytt':=faW, a'eAxUa,,V '

1-0

не обладает свойством Хелли. Действительно, п + 1 множеств УЦ|Уап+1 ввиду (130), (126а), (127) имеют общую точку х°, и любые другие п + 1 множеств из {Уа}аеА’ имеющие индексы, отличные от а/, содержат ввиду (130), (126b), (127), (128), (129) точку х^ (1=1п + 1). В то же время ввиду (130), (125b), (127)

Yai^fat(Ht) U {х0},Z=1п + 1,(131)

где открытые полупространства fai (Н^ вместе с Уа< содержат точки Хд, .... х°_2, х°, ..., х°, а границы этих полупространств Lt^A^ согласно (125а), (127) проходят через х°. Отсюда заключаем, что симплициальные многогранные углы Р, (см. пример 5.4), натянутые на замкнутые лучи, идущие из х° через 'и, • ••> ^-2> -^, •••> х® лежат, за исключением вершины х°, в

/а,(Дг), »=Ь •••, n + 1. Объединение (J Рк есть по (123) веб пространство Ап. Для отражений Р'( многогранных углов Pt в вершине х° справедливо

P'i Л f^H^Q, 1=1, ..., П + 1,(132)

и

п+1

\5P'h = An.(133)

д—i

Из (133), (131), (132) следует

п+1п+1 //п+1п+1

п Yai = и1 (р; п ( п Го;)) <= и (р; п Y^ с {х°},

И потому, ввиду вытекающего из (124), (127), (130) соотношения ^^Х =f (Х,Л = У

' «о f Uu х <icz «o’

Итак, семейство {Уа}аед не обладает свойством Хелли; наше предположение о невыпуклости Хо, привело к противоречию, и теорема 9.1 доказана. □

Полученный в теореме 9.1 признак выпуклости целой системы компактных множеств в Ап, формулируемый как обращение

теоремы Хелли, позволяет дать еще один признак выпуклости системы связных множеств в Д", в терминах замкнутости этой системы относительно действия пересечения (см. теорему 1.4) и инвариантности относительно невырожденных аффинных преобразований (см. теорему 1.3).

Теорема 9.2 (Р. Хаммер [67]). Пусть 5 — система связных множеств в п-мерном аффинном пространстве Д", замкнутая относительно пересечений в том смысле, что пересечение п Ха любого подсемейства {Ха}ае4 системы 5 снова принад- ие А'

лежит X. Пусть, кроме того, S аффинно инвариантна, т. е. эта система вместе с каждым множеством содержит все его образы при невырожденных аффинных преобразованиях пространства Ап. Тогда каждое Хе2 выпукло.

Доказательство. При п = 1 утверждение тривиально, поскольку на прямой Д1 связные множества — открытые, полуоткрытые или замкнутые интервалы, лучи и вся прямая Д1, а они выпуклы. Кроме того, при любом п множество X выпукло, если оно пусто, одноточечно или совпадает с Д". Поэтому будем далее считать, что п ^ 2 и что X содержит две разные точки Хь х°еАп и не содержит некоторую точку у°еАп. Пусть Go := xi V *2 — прямая, проходящая через xi и хг- Тогда либо у0 е Go, либо у0 ^ Go. Рассмотрим сначала второй случай.

Возьмем п—1 гиперплоскостей Дь ..., Дп-ь проходящих п— 1

через Go и не содержащих у0: С0 = ^П Д6, у0^ ДА (fe= 1, . ..,п— — 1). Пусть f^ — аффинное преобразование пространства Д”, которое оставляет на месте каждую точку гиперплоскости Д*, а точку у0 переводит в точку у», лежащую на идущей через у0 гиперплоскости Д^, параллельной Д*. Тогда yk ^ fy (X). Поэтому

Д'6 П f П /^П-О, h=l, ..., п-1.(134)

ХУ к ^Ак/

Множество X':— П Ту РО п0 условиям теоремы есть одно Н®А'к к-

из множеств системы S, и потому — связно. Согласно (134) и ввиду х°хг Х'к, х°еХ^ множество Х'к должно содержаться в том ограниченном гиперплоскостью А'к открытом полупространстве Н'к, в котором лежит Ак. Отразим зеркально Х'к и Нк в гиперплоскости А к. Для полученных Хк и Нк также будет Х"к cz Н"к. Принадлежащее S множество ¥к:=ХкПХк лежит в слое Н'к П Нк со срединной гиперплоскостью Ау:

УкаН'кПП", 6=1п-1.(135)

При этом Yk, как и Х'к, Хк, содержит лежащие на Ак точки

Пусть теперь f* (v=l, 2, ...) —последовательность невырожденных, но все более сильных аффинных сжатий пространства Ап к гиперплоскости Ак- Они оставляют Ак на месте, а слои //'^П Нк сжимают так, что

Д^(^П^) = ЛЙ, к=\, .... п-1.(136>

Ввиду (135) и (136) для множеств Zk := П ?v(^a)> также ПРИ* надлежащих 5, справедливо.

ZkCAk, k~\, ..., п—1,(137)

причем каждое Zk, как и Yk, содержит точки x°v и х^. Наконец,. п-1П-1

ввиду (137) и п Лй = б0, имеем для Z0:=n 6=i6=1

ZqClGq и ZqcS.(138)

При этом из x°gZ0, x”gZ0 и связности Zo следует x°x“c=Z0.(139)

В исключенном ранее случае у® г Go сходные рассуждения также ведут к обнаружению множества Zo со свойствами (138) и (139). Достаточно заменить точку у0 на другую, тоже не принадлежащую множеству X точку у®' ^ Go, если такая точка существует. Но если такой точки нет и Л”\ОоС^, то мы заменим х°, х® другими точками х^, х®', лежащими на отличной от Go, но параллельной Go, прямой G'. Тогда хг[еХ, х^^Х^ у® дё G'o, и снова обнаруживается множество Zq е S с Z' cz с: Gg, х^х^ <= 2g, которое с помощью соответствующего невырожденного аффинного преобразования f пространства А" со свойством f' (х,) = х°, f (х°') = х° можно перевести в множество Zo, удовлетворяющее условиям (138) и (139).

Теперь доказательство выпуклости множества X делается простым. Пусть xi,x2 — две точки множества X. Невырожденное аффинное преобразование f со свойством f(x°) = xp f(x®) = x2 переводит Z8 в Ze2, для которого

Х1Х2 <= Z с= G : = Xi V ^2.

Множество XHZ принадлежит 2 и

Xi е X П Z, х2 е X f| Z, X^\ZaG.

Но ввиду связности X П Z■

'Х1Х2 CZ X П Z CZ X

(см. (139)), значит, X выпукло. □

В заключение этого параграфа докажем принадлежащий Моцкину [45] замечательный признак выпуклости для замкнутых множеств в евклидовом пространстве Rn.

Теорема 9.3. Пусть X — непустое замкнутое множество в п-мерном евклидовом пространстве Rn, и пусть для каждой точки zo s Rn в X существует единственная ближайшая точка Хо, т. е.

дВр, (z0) flX = {х0}, где р0: = minIIх — 20|| = ||х0 — г0II- (140) хе X

Тогда X выпукло.

(Здесь, как обычно, BQo (г0) — шар в R" с центром zo и радиусом ро. Минимум в (140) достигается ввиду замкнутости X и непрерывности евклидова расстояния. Заметим еще, что усло

вие теоремы необходимо для выпуклости X. Действительно, если бы для некоторой 20 при выпуклом X в X существовали две ближайшие точки х\ и х2, то точка ^ (%! + х2) е X лежала бы еще ближе к z0.)

Доказательство теоремы. Допустим, что X невыпукло. Тогда существуют точки х\ е X, х2е X,

для которых на отрезке xi%2 лежит точка у ^ X. По замкнутости X есть целый (замкнутый) шар Ве(у) с центром у и радиусом е > 0, для которого

(141)(141)ВДу№ = 0.

(141)

(141)

Рассмотрим множество Q всех (замкнутых) шаров Bp(z) с центрами 2 и радиусами р > 0, для которых

(142)(142)(143)(143)Ве(у)сд Bp(z),

(142)

(142)

(143)

(143)

(Вр(2))°П X = 0.

Из (142), (143) следует, что xi^(Bp(z))°, x2^(Bp(z))°, откуда заключаем, что в Q множество радиусов р шаров ограниченно сверху, а поскольку эти шары содержат у, то и множество их центров z ограниченно. Поэтому существуют Ро" sup р Bp(Z)eQ и последовательность [Во (zv)}, для которой limpv = p0.

Можно, не нарушая общности, считать, что при этом lim zv=: V->oo

-=:z0. Для ВрДг0) верно

Вг (у) <= Bp. (z0),(144)

(BPo(zo))°nX=0,(145)

Поэтому BPo(zo)— шар из й с наибольшим радиусом.

При этом обязательно

BP„(z0)fU^ 0,(146)

Иначе для рх := min || х — z01] > р0 и (ВР1 (z0))° П X = 0 получим хе X

Ве (у) с SPl (z0), т. е. ВР1 (z0) е й, что противоречит выбору ро- По из (145), (146) следует р0 = min ]| х — z0 ]|, так что по уело- пиям теоремы 9.3 соотношение (140) выполняется для некоторой единственной (ближней для Zo) точки х0 s X.

По (141) Ве(у)—шар из й с радиусом е < ро, так как для каждого шара из й с радиусом ро выполняется соотношение (146), не выполняемое для ВДу). Ввиду е < ро граничная сфера dBPo(z0) шара Во (20), содержащего по (144) шар В^у), или не имеет с Ве(у) ни одной общей точки, или имеет одну общую точку w, которая по (141) отлична от точки х0 = •--= X (^дВрДхоУ Если мы теперь сдвинем шар BPo(zo) на малое расстояние в направлении вектора zo — Хо (в случае dSPo(zo)n (]/Му)=0) или в направлении w— х0 в случае дВРо(2о)Л (] ВЕ (у) = {о>}, то касание (см. (140)) шара Ве„ (z0) и множества X исчезнет и В№ (z0) перейдет в положение BQa (z') с

B^B,B ^(^)П^=0,

см. рис. 28. Значит 6^(2') е й. Но тогда Вр2(г') с р2:= min||x—z'|[ тоже принадлежит Й, что ввиду р2 > ро противоречит выбору р0. Это показывает, что допущение невыпуклости X ведет к противоречию. □

Существуют многие другие, в частности топологические, признаки выпуклости. Один из них принадлежит Г. Ауману [6] *).

‘) Упомянутый и ряд других признаков можно найти в специальном обзоре признаков выпуклости [20]. — Прим, перге.

Глава II

АНАЛИТИЧЕСКОЕ ЗАДАНИЕ ВЫПУКЛЫХ МНОЖЕСТВ

Выпуклые функции

Чтобы в дальнейшем иметь возможность пользоваться аналитическим заданием выпуклых множеств, нам понадобится ввести понятие выпуклой функции. Будем исходить из понятия аффинной функции, т. е. аффинного (в аффинных координатах— линейного) отображения «-мерного аффинного пространства А” в числовую прямую А. Отображение f: Ап-*А1 аффинно в том и только том случае, когда график этого отображения G(f): = ((xJ(x))e АпХ А1 = А^+Чхе А"} представляет собой гиперплоскость в An+\ Чтобы аналогично определить выпуклую функцию, введем вместо графика Сф так называемый надграфик Е^) функции /.

Определение 10.1. Пусть / — вещественнозначная функция, заданная в области Df «-мерного аффинного пространства Ап. Тогда надграфиком функции f называют множество Еу') в («+1)-мерном аффинном пространстве, определяемое как

Еу) := {(х,а)еА"Х А1 =А"+1 | x^Dh a^f(x)} i). (147)

Определение 10.2. Выпуклое множество К в А" называют строго выпуклым, если каждая отличная от концов Хь х2 точка любого лежащего в К отрезка Х]Х2 является внутренней для К, т. е. принадлежит К0 (см. определение 1.3).

Теперь дадим

Определение 10.3. Заданная на выпуклом, соответственно на открытом выпуклом), множестве Df в А" вещественнозначная функция / называется выпуклой, соответственно строго выпуклой, когда ее надграфик Е^ представляет собой выпуклое, соответственно — строго выпуклое, множество в А"+1.

Присоединим к определению 10.3 следующее алгебраическое определение.

Определение 10.4. Заданная на выпуклом, соответственно на открытом выпуклом2) множестве Df в А" вещественнозначная функция f называется выпуклой, соответственно строго выпуклой, когда для любых различных) точек Xjхц

(*>2) из Of и любых положительных Хь Хй с £ Х<= 1 справедливо так называемое неравенство Йенсена

Х^)< ZWM,(148)

\ 1=1/1=1

соответственно / кхк

HEM, <£х№).(149)

\1 = 1/i —1•

Теорема 10.1. Определения 10.3 и 10.4 эквивалентны.

Доказательство. Пусть функция ) выпукла в смысле определения 10.4. Тогда £(/) по определению 10.1 вместе с точками (хь ai) и (хг, «г) содержит любую внутреннюю точку (Х|%1 -|- Х2Х2, Xi«i -j- Х2СХ2), где Xi > 0, Хг /* 0, Xi -j- Х2 = 1, соединяющего их отрезка, потому что ввиду выпуклости Df и соотношения (148) справедливо XjXi + Х2х2 е Df и

ДХ1Х1 + Х2Х2) ^ Xif(xi) + Х2ДХ2).(150)

Таким образом, E(j') выпукло. Если при этом f было строго выпукло в смысле определения 10.4, то точка (Х1Х1 + Х2Х2, Xi«i + 4- Х2«2) принадлежит внутренности (Е(/))°, в чем легко убедиться от противного: если бы эта точка была граничной для (как уже известно, выпуклого) множества £(/), то по теореме 3.2 существовала бы проходящая через эту точку опорная к £(/) гиперплоскость. Ввиду получающегося в случае xi^x2 из (149) неравенства

ДХ1Х1 + Х2Х2) < X,/ (х£) + Х2ДХ2) = X£ai Д- Хгаг,

а в случае Xi = х2 из ai =#a2 неравенства

ДХ1Х1 + Х2Х2) = Х^ (х£) + Хг^(Х2) С Xi«i + Хг<Х2,

бта опорная гиперплоскость содержала бы принадлежащий над- I рафику луч {(Xix£ + Х2х2, «)е Д"+1 |a ^ f (Х^ Д- Х2х2)}. Поэтому такая опорная гиперплоскость имела бы вид ДХ Д1, где Д— опорная к Df гиперплоскость в Д”. Но это невозможно, поскольку X^i + X^e Д противоречит Х1%1 + Х2х2е Df =(Df)°. Поэтому Е(/) строго выпукло в смысле определения 10.2, и тем самым доказана строгая выпуклость f в смысле определения 10.3.

Наоборот, пусть известно, что функция j выпукла (соответственно строго выпукла) в смысле определения 10.3. Тогда для двух различных точек хь х2 е Df из принадлежности в Д"+1 внутренней точки (Х1Х1Д-Х2Х2, Mf (х,) + X2f(x2)) отрезка (<1J (^1)) к^2, f (х2)) множеству Е^), соответственно — множеству (Е(/))°, имеем по определению 10.1

f (X^i + Х2л-2) ^ X!/(%!) + Х2)(х2),(151)

соответственно

f(^i^i + Я2х2) < W(xi)4~ Wte), (152) где Я1 > О, Я2 > 0, Я1 + Я2 = 1, что доказывает соотношения (14&), (149) при k = 2. Пусть эти соотношения уже доказаны для линейной комбинации (с положительными, суммарно равными единице коэффициентами) при к—1 слагаемом (А^З). Тогда из

/ Z kiXiJ = f Ц^ Z J + kfeXfcj

zfe-l X zfe-1 X

^(ZЯn,)цZ PA ) + kJ (xfe) ^

< Z ( Z цг/ м + kJ (xj = £ xj (xj

(причем в случае (152) последний знак неравенства будет строгим), где

к

Я1 > о,..., к^ > о, £ х, = 1,

*-1Ь-1

Ц1~Я|/Е кт, . .Щ-1 = Я^ кт>

т=1т—1

следует справедливость (148), (149) для линейной комбинации к слагаемых, т. е. по индукции имеет место выпуклость (соответственно строгая выпуклость) в смысле определения 10.4. Теорема 10.1 тем самым доказана полностью. □

Замечание 10.1. Проведенное доказательство показывает, что уже соблюдение неравенства (151) (соответственно (152)) для любых различных хьх2е Dt при выпуклом (соответственно открытом выпуклом) Df характеризует выпуклость (соответственно строгую выпуклость) функции f.

Пример 10.1. Евклидово расстояние от фиксированной точки. Рассмотрим в n-мерном евклидовом пространстве Rn на открытом выпуклом множестве К расстояние

dX1 (х) = || х — х01| = (х — х0, х — х0)1/2

до фиксированной точки х0. Тогда для внутренней точки Я|Х1 + Я2х2 отрезка xtx2 в К, где Я1 > 0, Я2 > 0, Я1 + Я2 = 1, имеем по неравенству Шварца

(Дх, (Я^, -|- k2X2))2 = (ку (Х[ Xq) -|- Я2 (х2 Хд), Я( (Х|х0) -|-

+ к2 (х2 - х0)) < Я? (х, - X,, X, - х0) +

+ 2Я[Я2 <Xf — х0, х2 — х0)1/2(х2 — х0, х2 — ХО)1/2 4-

+ к2 (х2 х0, х2 х0^ = (kkdXo (х J + k2dXt (^xjy, (153)

где равенство имеет место только в случае

от-по-от-по-<Х1 — х0, х2 — Хо> = <х1 — Хо, Х1 — х0>1/2<х2 — Хо, Х2 — Хо>1/2,

от-

по-

от-

по-

который равнозначен тому, что х0 лежит на продолжении резка *1*2 или совпадает с его концом. Неравенство (153)

казывает, что сужение ^01к представляет собой выпуклую функцию. Эта функция, однако, не обязана быть строго выпуклой, так как расположение точки хо в конце или на продолжении отрезка XiX2 в К не исключается.

Пример 10.2. Функция с возрастающей производной на числовой прямой. Пусть iq = f(^)—заданная на всей числовой прямой Л’ дифференцируемая вещественнозначная функция Д производная f которой монотонно (соответственно строго мо-

52,

и промежуточную точку Х]^ + X2g2; Xi > 0, Х2 > 0, М + fa = 1. Пусть g— аффинная функция, определяемая равенством

5(6) := f(Л-161 + ^2) + f(MBi + Л-262) (6 —(Л-161 + Х262)) -

Тогда по теореме о среднем и монотонности f' получаем, что точки (6i,f(6i)), (62, И 62)) лежат в надграфике E^g), соответственно в (£‘(5))°. Тогда и точка (М^ + Х2Ь, Mf(6i) +Л,2^ (62)) лежит в £(5), соответственно в (E(g')')0, см. рис. 29, а. Это дает

f (Л-161 + ^262) = 5 (М61 + ^262) ^ W(£1)+ W(?2),

соответственно

/с (Л-161 + ^262) = g (^161 + ^2^2) < ^lf(Bl)+ W(62).

По замечанию 10.1 отсюда следует, .что f выпукла (соответственно строго выпукла).

Верно и обратное, из выпуклости f (соответственно из строгой выпуклости f) и дифференцируемости f следует при 6i<62, см. рис. 29,6,

соответственно

z (4 «,+ы) - f «о f и - / (4 в.+ы")

Г й.) < -Ч’-<Ч4 <r &,

"2" (61 + 62) “61622* ^ + £2)

т. е. следует, что /' возрастает (соответственно строго возрастает).

Следствие (неравенство между арифметическим и геометрическим средним). Пусть r|iт]т — положительные чис- сла. Тогда их среднее арифметическое ~^11i и их среднее i-i 0m . 1/m

7 ц, I связаны неравенством

причем равенство имеет место только в случае гц = ... = цт. Доказательство. Не нарушая общности, можно объеди

нять одинаковые среди чисел т)Ь ..., r]m:

•••• %+...+mft_i+i= ••• = Пт; т = т,+ ... +mft, ^>1. Положим т)£ = e^t (z = 1, ..., m). Тогда из строгого возрастания показательной функции, совпадающей со своей производной, следует по примеру 10.2, что показательная функция строго выпукла. Поэтому в случае k > 1 согласно определению 10.4 справедливо неравенство

что совместно с тривиальным случаем к = 1 и дает неравенство (154), причем равенство возможно только при k= 1, т. е. при П1 = • • ■ =Пт,. m^m. □

Перейдем к изучению свойств непрерывности и дифференцируемости выпуклых функций. При этом нам прежде всего понадобится

Лемма 10.1. Пусть f— заданная на выпуклом множестве Dr в А” выпуклая функция.. Тогда ее сужение на лежащую в Df часть прямой G: х = хйА-^У— х0) в Ап, где xoeDf, у N= х0, есть выпуклая функция g от и для ее разностных отношений имеет место монотонность:

_ / (Хр — 6з (у — Хр)) — f (Хр) f (хр 4- 62 (у — х0)) — f (х0) / 5з

f (х° + ^ (у ~ хо)) - f (Хр) (155)

еде gi>g2>0, ^з > 0, xoA-^Ay — xo^Df, ц=1, 2, х0 — — S3 (у — Хо) е Df.

Доказательство. Суженная функция g, ввиду E(.g) = ■= E^Tl^GX А1) и выпуклости E(f), является выпуклой. Поэтому согласно определению 10.4

£(52) = £" 0 +

bl 51

что тривиально, верно и при gi = 5г- Аналогично «ОТ-Дт^Д-Ы + т^-Е^

что после простых преобразований дает

g (5г) — g (0) g (Si) — g (0)x

5251

соответственно

_ в (~ ХА - g (Q) ./ g (5=) - g (Q) ,5з5г

Отсюда немедленно следует (155). □

Из этой леммы сразу вытекает теорема о непрерывности выпуклых функций-

Теорема 10.2. Выпуклая функция f непрерывна в каждой точке хо относительной внутренности *) (£>f)<°> своей области задания Df.

Доказательство. Непрерывность выпуклой функции f, заданной только на области аффинного подпространства aff(Df) всего пространства А”, эквивалентна непрерывности f в Ап. Поэтому, не умаляя общности, будем считать, что aff (Df) = An или, что то же, ФгУ0"1 =(Df)°.

Итак, пусть хое(5^)0. Тогда существует параллелепипед ЩсД” с центром х0, лежащий в D; (см. пример 5.2). Обозначим 2” вершин параллелепипеда Пп через xi, ..., х2н.Тогда по

и (148) для любой точки у е Пп = conv(x!х2п} имеем ■•

/2™х2П/ 2П \

f (у) ==f ( Ё Az*z)< zL W(xz)<( Ё Az) max Uxb™ Az—iУz-i\z-i У 1<f^2n.

2n

= max f(xt), A^O, ..., Я^^О, ^Яг = 1. (156) l<Z<2ni = 1

Обозначим M := max f (xz). Учтем центральную симметрию К ЩЗ™

Пп (см. определение 8.4) и выберем |i = 1, ^з = 1, 0 < 5г = 6 ^ ^ 1. Тогда из (155) и (156) получаем справедливые для каждой точки у е Пп соотношения

f(xo + 6(z/-xo))-f(xo)^6(№)-f(xo))^6(M-f^

— (f (*0 + 6 (у — х0)) — f (х0)) ^ 6 (f (хо — {у — ХО)) — f (х0)) <5

^6(M-fUo)), т. е.

If (х0 + 6(у —• Хо)) —f (х0) |^6(Л1-/(хо)), 0<8<1. (157)

Из (157) следует, что если f(x0) = -M, то f |пп(у) — const = ЛТ А если f(x0)<.M, то If (х0 + 6(у — х0)) —f(х0) | < е при 8< < -д.-^ ,—г для любого 6 > 0- Это означает, что функция f действительно непрерывна в точке хо. □.

Замечание 10.2. Выпуклая функция f может не быть непрерывной в граничной точке ее области задания D;. (См. задачу 4 из упражнений к § 10.)

Усиливая теорему 10.2, докажем следующее свойство дифференцируемости выпуклых функций.

Теорема 10.3. У выпуклой функции f в каждой точке хд внутренней части (Of)0 ее области задания Df в каждом направлении существует односторонняя производная

dy^y-xQy.= lim^ ^t^y-^O-fW., ySAn. (158)

Доказательство. Из (155) следует, что разностное от- f (х0 + Т (У — Хо)) — f (х0)- .

ношение —— ' является возрастающей функ

цией от т > 0, равномерно ограниченной снизу. Это обеспечивает существование предела (158). □

Замечание 10.3. Функция f в конкретной точке x0E(Z)f)0 не обязана иметь двустороннюю производную в наперед заданном направлении. Иначе говоря, предел (158) может не суще-

ствовать как. двусторонний при т->0. Но всегда справедливо неравенство

-dLX-<y-x^^dLAy-x^ (159)

Оно также следует из (155).

Теорема 10.4. В фиксированной точке Хо е ^Dj)° производная ^односторонняя^ выпуклой функции f по направлению положительно однородна и субаддитивна в следующем смысле:

dfxA4y-x^WdLAy-xA ^>°-(16°)

dfxA(y-xoWz-xoA<.

<dfxAy -x>) + dLAz — xA У,геАп. (161)

Д о к а з а т e л ь с т в о. Свойство (160) сразу следует из (158). В справедливости (161) можно убедиться, переходя к пределу при т-> + 0 в вытекающем 'из (148) неравенстве

/ (х0 + т Цу — хА + (г — х0))) — f (х0) ■

т.

f (у (х0 + 2т (у — Хр)) + -1 (х„ + 2т (z — Хр))) — f (х0)

f (х0 + 2т (у — х0)) — f (х0)f (х0 + 2т (z — хр)) — f (х0)

4=52т2т' U

Замечание 10.4. Из (160), (161) для любых yi,y2eAra и X] 0, А.2 > 0, X] ~Т ^2 == 1 имеем

dl х« ((^1^1 + ^2^2) хо)d^xa (^1 (У1 *о) "Ь М^2 Хо)) ^

^ \ ^х0 (#1*о) + ^2 d^х» ^1Х«)-

Поэтому, ввиду замечания 10.1, dfXo (у — х0)—определенная на всем пространстве Ап выпуклая функция от у. Ее надграфик Нкй^АУ — х^' ВВИДУ (160) и теоремы 10.1, представляет собой выпуклый конус в Ап+1 с вершиной (х0, 0), см. определение 1.8.

Чтобы другим способом описать Е (<ifr (y — х0)), введем понятие опорного конуса выпуклого множества.

Определение 10.5. Пусть К — выпуклое множество в Ап и р— его граничная точка. Тогда пересечение всех замкнутых Полупространств пространства А". имеющих р на границе и содержащих К, называют опорным конусом СР(К) множества К в точке р. Поскольку С,,(К) есть пересечение выпуклых конусов с вершиной р, оно само есть выпуклый конус с вершиной р.

Имеетместо замечательная зависимость между £ (dfXe (у— х0)) и надграфиком Е^ функции

Теорема 10.5. Если х0— фиксированная точка внутренности (DsY* области задания выпуклой функции f, тоЕ (dfXa(y — x0^ и опорный конус CU1. f a»» (£ (f)) равны с точностью до трансляции gti пространства Ап+1, переводящей вершину одного конуса в вершину другого.

Доказательство. Из определения (158) очевидно, что выпуклый конус Е (df(j/— х0)) при трансляции пространства A"+l, переводящей его вершину (хо, 0) в точку (xoj(xo)), переходит в выпуклый конус С, который можно описать следующим образом. Рассмотрим все выходящие из точки (х0,/(х0)) и проходящие через отличную от нее точку надграфика Е^ замкнутые лучи в Ап+Ч Их объединение заполняет в Ап+1 выпуклый конус. Его замыкание совпадает с С. Это проще всего увидеть, если ограничиться надграфиком сужения / на G П ^f, где G — задаваемая уравнением x = xo + g(y— ^0) прямая, а у — фиксированная точка, отличная от х0. (См. лемму 10.1.) Поэтому каждая проходящая через (х0, Цхо)) опорная к E(f) гиперплоскость в Ап+1 является одновременно и опорной гиперплоскостью для С и обратно. Значит, у С и у 5(f) в точке (хо, f(xo)) одинаков опорный конус- Но он совпадает с С, поскольку у выпуклого конуса все опорные гиперплоскости проходят через вершину. Этим доказано равенство конуса С(х0, f «хо»(Е (f)) с трансляционно равным С конусом Е (dfXn (y — х0^, а значит, и утверждение теоремы 10.5. □

В дальнейшем нас будет интересовать, для каких векторов у — х0 существует двусторонняя производная по направлению, т- е- dL. (У — я0), для которой - dfX3 (- (у - х0)) = dfXe (у — х0). Ввиду (160) в этом случае df^ (Я (у — х0)) = Я df^ (у — х0) при всех вещественных Я.

Определение 10.6. Вектор у — х0 называется вектором линейности выпуклой функции f в точке xoe(£>f)°, если для него существует двусторонняя производная в направлении у—х0 (уеДп):

Hm f^rty^W^ = df _ = _ df* (_ (у _

(162)

Если все векторы у — х0 суть векторы линейности функции / в точке хо, то говорят, что / дифференцируема в точке хо.

Замечание 10.5. Все точки деА", соответствующие векторам линейности у — х0 функции } в точке xq, образуют в Ап аффинное подпространство ДДхо). Это следует из соотношений, вытекающих (при любых вещественных Яь ..., Я*) из (160),

(161), (162) и (159) для точек у\, ..., укг Д/(х0): / к\ k

dfх, 2 ^z(^z — хо) JdfХа{У1~ х0) =

к/ кх

— S ^i dfx„ (— (yt х0)) < — dfx ^ Л. (у{ — х0) ) <

/ кх

^ df X, S ^Z (^Zхо) J ’

откуда z kх к

^х, (^ ^z (^z ^J — S ^i dfX6 (yi x0).(163)

В частности, для двусторонней производной по тому направлению в точке х0, где выпуклая функция f дифференцируема, имеем.

^,.(£ш-*«)')-2Д^7'. обо

\1 = 1/1=11

где {t/i — х0, ..., уп— хо}—базис векторного пространства Ап с началом Хо, а

^^ — df^y^^’ *=1«-(165)

— производные функции f в точке х0 в направлении базисных векторов, т. е. частные производные от f в точке х0.

Для выяснения размерности подпространства Д/(х0) будет поДезно понятие гладкой и s-сингулярной граничной точки выпуклого множества.

Определение 10.7. Пусть К — выпуклое множество в Ап и р— граничная точка множества К. Говорят, что точка р гладкая или s-сингулярная (s = 2, ..., п) граничная точка К, в зависимости от того, будет ли пересечение всех проходящих через р опорных к К гиперплоскостей (и— 1)-мерным или (п— s)-мерным (s = 2, ..., п). Точка, «-сингулярная, называется вершиной множества К. (В случае выпуклого многогранника это не противоречит понятию вершины многогранника в смысле определения 5.1.)

Теорема 10.6. Введенное в замечании 10.5 аффинное подпространство ДДх0) всех векторов линейности выпуклой функции f в точке хо е (£>/)° с: Ап есть проекция на А" пересечения всех проходящих через точку (хо.Цхо)) опорных гиперплоскостей надграфика £(f) в Ап+1. В частности, если при этом размерность ДДхо) имеет значение п {соответственно п + 1—s), то точка (хо,[(хо)) будет гладкой (соответственно s-сингулярной) в смысле определения 10.7 граничной точкой для E(f),

^W

Доказательство. Множество всех прямых G, проходящих через х0 и лежащих в АДх'о), получается при проектировании (по правилу (х, а) е Ап+Х * х е Ап пространства An+1 в Ап из множества идущих через точку (хо, 0) прямых в Ап+\ лежащих на Е (<ИХб (у — х0)). В этом проще всего убедиться, рассматривая надграфик Е (dfXa (г/ — х0>| ) и учитывая (159) и (162). Этот факт остается верным, согласно теореме 10.5, если заменить Е ^Х1> (у - х0)) на С^, f (Хо)) (Е (f)), а (х0, 0) на (хо, f(x0)). Далее, по определению 10.5 каждая проходящая через точку (хо,/ (х0)) прямая в С,Хо_ f (а» ЦЦП) лежит в пересечении, обозначим его DVXo, г (х„» (£ (f)), всех проходящих через (х0, f(x0)) опорных к £(/) гиперплоскостей в Дп+‘. И обратно, каждая проходящая через (хо, f(x0)) прямая из такого пересечения содержится в С^,. f (х,н(Е(П). Но это означает, что ДДх0) получается при проектировании А^1 на Ап из DUo, ; (Хо)) (Е (f)), т. е- справедлива первая часть теоремы 10.6. Поскольку при этом проектировании ни одна из проходящих через (хо, Дхо)) прямых в Е\Хо, цхм(Е (f)) не переходит в точку, то мы имеем в частности, что

dim(Af(x0)) = dimD^fcx,» (£(/)).

Отсюда по определению 10.7 следует правильность второго утверждения теоремы 10.6. □

Следствие. Выпуклая функция f не имеет в точке xqS e(Df)oc:An ни одного ненулевого вектора линейности (соответственно, f дифференцируема в точке хо), когда точка (хо,/(х0)) является вершиной надграфика E(f) (соответственно, является гладкой точкой надграфика E(f)).

Теорема 10.7. Всякое выпуклое множество К в Ап имеет не более чем счетное множество вершин.

Доказательство. Пусть ба (осеА)—вершина К и Се (/С)— опорный конус в вершине еа. Не ограничивая общности, считаем, что в Ап введено скалярное произведение и еа совпадает с началом координат о в этом пространстве Rn. Тогда конус (Сеа(К^‘, полярный к Сва (К), состоит из всех идущих из еа лучей, внешне нормальных к опорным гиперплоскостям множества К в точке еа. (См. замечание 6.1 и определение 10.5.) Рассмотрим пересечение Тва конуса (Сеа (К))* с единичной сферой дВх(еа') в Rn с центром еа. Так как пересечение всех проходящих через еа опорных к К гиперплоскостей имеет нулевую размерность, то размерность (Сва(КУ)* равна п. Поэтому Тва обладает на сфере dBi(ea) внутренней точкой, и в (Г^)*0’ содержится некоторая сферическая шапочка £йа, т. е. «сегмент» сферы оВДба).

Идея доказательства теоремы 10.7 основана на том, что все единичные сферы dSi(ea), а е А, с лежащими на них множествами ^Те^' и Se<i можно с помощью трансляций /а пространства Ап сдвинуть в одну стандартную сферу дВ^о) и затем убедиться, что получившиеся па дВДо) множества (7а)(0) ;= ta (7eu)rii, а тем более — шапочки Sa := Za (Se(J, попарно не пересекаются при разных аЕ А. Если это установлено, то число шапочек не более чем счетно. Действительно, число шапочек с (и— ^-мерной площадью на дВДо)', большей \/к, не превосходит кып-\ кк = 1, 2, ...), где ton-t есть (п — 1)-мерная площадь единичной сферы дВДо). Остается проверить, что для разных «,РеА справедливо (7а)<0)П (7р)(О) = 0. Допустим, что это не так, и пусть пое(7'а)(О)П (7B)W. Тогда Да: <и0,х —еа>=0 и Др: <па,х— ер) = 0 — параллельные опорные к К гиперплоскости, ограничивающие содержащие К замкнутые полупространства Ва: <по,х — еа> ^ 0 и Яр: <п0,х—ер> ^ 0. Эти полупространства обязаны совпадать: Аа = Др. Но Д„П /< = {еа}, ДрАК = = {ер}, так как п0 по предположению — внутренняя точка1) для 7а и 7р. Значит, еа = ер, что противоречит a #= р. □

Следствие. Выпуклая функция f имеет внутри области задания, т. е. в (Bf)°, не'более чем счетное множество точек, в которых нет ни одного ненулевого вектора линейности функции [. (См. следствие теоремы 10.6.)

Замечание 10.6. Согласно [5] справедливо следующее утверждение. Выпуклая функция f дифференцируема в (Bf)0 почти везде (т. е. везде, за исключением множества нулевой лебеговой меры).

Теорема 10.8. Если выпуклое множество К в А" имеет только гладкие граничные точки, то проходящая через каждую граничную точку р е дК единственная опорная к К гиперплоскость А(р) непрерывно (в естественной топологии) зависит от р..

Доказательство. Пусть {xv}vgV—последовательность точек xv е дК и Hm xv = х<> е дК. Снабдим пространство Д” V->oo

вспомогательной евклидовой метрикой. Тогда проходящая через точку xv опорная к К гиперплоскость A (xv) может быть задана уравнением (nv, х — xv> = 0 с ||nv|| = 1 и

(nv, z— xv>^ 0 для любого геК.(166)

По компактности единичной сферы из множества {«vhey можно выбрать сходящуюся подпоследовательность (п„ ),

С Юц. е N

*) Таким образом, вершина замкнутого выпуклого множества К всегда является экспонированной точкой, а потому и экстремальной точкой для К (см. определение 4.3 и теорему 4.4).■

и из (166) следует, что

11m, z — хо\^О для любого zeK-

р,-»оо 'И'

Это означает, что / lim «v , х— хо\=О есть уравнение опор- 'ц-»оо 11'

ной к К в точке х0 (единственной) гиперплоскости Д(х0), т. е. что в естественной топологии будет (независимо от выбора подпоследовательности (щ, )) иметь место сходимость

Юре N

lim A (xv) = А (х0). □

V->oo

Заметим, что по теореме 10.5, следствию к теореме 10.6 и равенству (164) точки (х, а) опорной к £(/) гиперплоскости в Д^1, проходящей через гладкую точку (х0,/(х0)) надграфика Еф выпуклой функции f, задаются уравнением

а = f (хо) + ^tХо (х — х0) = / (х0) + ^/Хо ^^ (б, ~ ^°) (У. — хо)^ =

п

1-11

где хо е (Df)°, (£ь ...,£„) —координаты точки х,(^§°) —

координаты х0. Поэтому получаем

Следствие. Если выпуклая функция f внутри области задания, т. е. в (Of)0, везде дифференцируема, то вее ее частные производные -^- (Z= 1, ..., п) непрерывны1) в (Of)0, т. е. f при этом даже непрерывно дифференцируема в (Of)0.

В заключение этого параграфа приведем важный для приложений необходимый и достаточный признак выпуклости дважды непрерывно дифференцируемой функции f, заданной в открытом выпуклом множестве Df = (Df)° пространства А" с координатами £ь ..., £п.

Теорема 10.9. Пусть соответ ствием (^, .., §„)е Df г-> >—f(£i, ..., ^^R1 определена дважды непрерывно диффе

ренцируемая функция j на открытом выпуклом множестве Df аффинного пространства А" с координатами gi, ..., g«. Тогда f выпукла в том и только том случае, когда матрица вторых

-./ d2f (х0) \. ..„

производных I ^^ ^-1, I, / = 1п, при всех xoeDf является положительно полуопределенной. Если эта матрица всюду положительно определена, то функция f строго выпукла. Доказательство- Согласно замечанию 10.1 функция f тогда и только тогда выпукла (соответственно строго выпукла).

когда таково (дважды непрерывно дифференцируемое) сужение g функции f на пересечение Df с любой прямой G в Дл: ^НЧ^-^); i=i>---. «; (^...., ^И(^vny Как мы видели в примере 10.2, последнее выполняется тогда и только тогда, когда производная g' функции g монотонно возрастает (соответственно строго возрастает). Необходимое и достаточное условие возрастания g' представляет собой выполнение при всех т соотношения

п

. 61 + * (К - 61)) (6? - $1) (6? -$))>«,

т. е. ) выпукла тогда и только тогда, когда матрица вторых производных положительно полуопределена при всех х0 е D[. Если матрица вторых производных для всех xoeDf положительно определена, то §,//(т)>0 при всех т. Этого достаточно для строгого возрастания g', и потому при этом функция f строго выпукла. □

Упражнения

Доказать, возможно проще, что для выпуклых функций /д (ц = = 1, ..., п), заданных на одном и том же выпуклом множестве D с А", функция'

f (х) : = max /ц (х)

1<.т

также выпукла. Справедливо ли для функции

g (х) := min fp (х)

1 <ц,< п

аналогичное высказывание?

Доказать, что среди в,рх описанных вокруг единичного круга Bi(o) на евклидовой плоскости R2 многоугольников с п вершинами наименьшую площадь, равную п tg — имеет правильный n-угольник. Указание: представить

п

площадь F многоугольника Р в видеплощадь F многоугольника Р в видеЕа,

площадь F многоугольника Р в виде

площадь F многоугольника Р в виде

tg-g-, где а,— центральный

1 = 1

угол между двумя точками касания Р с Bi (о), и воспользоваться тем, что tg а — строго возрастает на участке 0 ^ а < л/2.

Пусть j — выпуклая функция, заданная на выпуклом множестве Df «-мерного евклидова пространства Rn, a D' — компактное подмножество в (£>г)°. Доказать, что найдется такая постоянная М > 0, что для любых Xi, х2 е D' справедливо |f(x2)—7(Xi) | ^ М || х2— Xi ||, т. е. функция / лип- шицева в D'.

Пусть равенством

0 при gi = g2 = 0, ^2№ при ^ > О

кб

задана вещественнозначная функция f на Df ;=Н1Щ0,0)сД2, где Hi: giX). Доказать, что f хотя и выпукла, но в граничной точке (0,0) области D, не непрерывна (ср. с теоремой 10.2).

Пусть функция h задана равенством

{ 0 при Е ^ 0,(1 при Е > 0,

и пусть {Ep}v в —последовательность всех рациональных чисел числовой прямой Др (р = 1, 2). Доказать, что функция f, заданная на Д2 := Д[ X А^ равенством

6i 0061 ™

Ц^ ^) = SZ^A(S1-^)^1+ $ £

a, v=lаг v—1

где ai, az — постоянные, является выпуклой и ни в одной из точек {(б^> £2)}^ чем* аезде плотно лежащих па Д2, не имеет ни одного ненулевого вектора линейности (см. следствие к теореме 10.7).

§11. Дистанционная функция замкнутого выпуклого тела. Геометрия Минковского

Цель этого параграфа — изложение аналитических приемов задания выпуклых множеств zz-мерного аффинного пространства с помощью выпуклых функций. Примером такого задания может служить описанное в предыдущем параграфе задание специальных выпуклых множеств Еф в Лл+1 как надграфиков выпуклых функций / в Ап. Мы ограничимся замкнутыми выпуклыми телами К в Ап (см. определение 1.6) и будем предполагать, что начало о пространства Ап лежит во внутренности К° тела К. Пусть, как в § 10, Лп+1 есть декартово произведение Ап и Л1, а / — трансляция в пространстве Лп+1, действующая по правилу (х, a)i-^(x, a + !)■ Тогда ЦК) есть выпуклое тело в гиперплоскости ЦДЛ). Замыкание выпуклого проекционного конуса СЦ(^К)) с вершиной (о, 0) в пространстве Лп+1 (см. определение 6.2) представляет собой надграфик некоторой функции. Эта функция может служить средством аналитического задания тела К. Поэтому мы начнем с идущего от Г. Минковского определения.

Определение 11.1. Пусть К — замкнутое выпуклое тело в «-мерном аффинном пространстве Л", Ап X {0} с Лл+1 = = А,1ХАх, и начало (о,OJe^"4 лежит во внутренности тела К относительно гиперплоскости АпХ {0} с Лп+1. (Далее мы кратко пишем оеК°.) Пусть t— трансляция в пространстве Лп+1, действующая по правилу (х, a)—>(х, a 4- 1), а С (ЦК) )—проекционный конус множества /(/() с вершиной (о,0). Тогда та

определенная на Дп+* вещественнозначная функция ^, надграфик которой совпадает с С(/(К)),

•Е^ = СЦЖ(167)

называется дистанционной функцией тела К-

Теорема 11.1. Дистанционная функция замкнутого выпуклого тела К с Ап с о е К° неотрицательна, положительно однородна и субаддитивна, т. е. обладает свойствами:

.g^^O,(168а)

g (Хх) = Kg (х), %>0,(168b)

gkx-Vy>^gW-Y gkyY(168с)

Доказательство. Свойства (168а) и (168b) сразу следуют из определения 11.1, а (168с) получается из очевидного, ввиду выпуклости g, соотношения g I у X + — у\ у (g (х) + + ^(у)) И (168b). □

Теорема 11.1 имеет важное обращение.

Теорема 11.2. Пусть g — любая вещественнозначная функция на А", неотрицательная, положительно однородная и субаддитивная. Тогда существует, притом единственное, замкнутое выпуклое тело К в Ап, содержащее внутри себя начало о е Ап, для которого g является дистанционной функцией. Это тело К может быть задано аналитически через функцию g соотношением'

К = (хе Лл|о(х) ^ 1}.(169)

Доказательство. Пусть функция g задана па А" и обладает свойствами (168а,Ь,с). Представим себе, что А" вложено, как в определении 11.1, в пространство Л"+* и переведено трасляцией t в гиперплоскость ЦАпУ Из (168b, с) следует, что g — выпуклая функция, надграфик которой Е^ представляет собой выпуклый конус с вершиной (о, 0). Этот конус пересекается с ДЛ”) по множеству, которое получается при трансляции t из некоторого лежащего в Ап выпуклого тела К

t(K) :=E^g) ПШ(170)

По (170) и (147) множество К имеет представление (169). Ввиду того, что g(o) = 0 и ввиду следующей из выпуклости непрерывности g (см. теорему 10.2), начало о должно лежать в К0. Кроме того, из (169) и непрерывности g следует замкнутость К. Наконец, конструкция (170) вместе со свойством (168а) показывают справедливость соотношения (167), потому что, с одной стороны, каждый лежащий в Ап луч конуса Е(^) есть предел пересекающих ДЛ") .лучей из E(gy а с другой стороны, E^g) как надграфик непрерывной функции еамкнут.

Этим показано, что К есть замкнутое выпуклое тело в А" с о е К0 и заранее данной дистанционной функцией g. Если бы нашлось другое такое тело L с той же дистанционной функцией g, то мы бы имели £(§■) = £(/(£)), откуда по замкнутости t(£) следовало

£(£W(4") = СЖ>№ = C№WkAn>= t(L),

что вместе с (170) дает L = К. Теорема 11.2 доказана. □

Замечание 11.1. Дистанционная функция g замкнутого выпуклого тела К в Ап с оеК" может быть, ввиду (168b) и (169), представлена следующим образом, оправдывающим ее название. Пусть хеА", х=#о. И пусть xQ^dK— граничная точка тела К на луче, идущем из о через х. Тогда

^)=^>°-(171>

Если же луч, идущий из о через х, не выходит из К, то

g^ = Q.(172)

Таким образом, g(x) положительно при всех х^о в том и только том случае, когда тело К ограниченно.

/шт\ 1/2

Пример 11.1. Пусть g U = ( Е Ey^^/) - где Xz=l/=1V

(у,у)—матрица положительно определенной квадратичной формы и 1 ^ т ^ п. Эта функция g обладает свойствами (168а,Ь,с) и служит дистанционной функцией для телесного эллиптического цилиндра ЕтХАп-т с центром (0, ..., 0), («— т)-мерными образующими §i = const, ..., gm = const и поперечным сечением в виде m-мерного телесного эллипсоида

т т

Ет- Е Ey<M<i, im+i= ... =§„ —о.

В частном случае т = п это будет не цилиндр, а телесный эллипсоид, ср. пример 1.3.

Пример 11.2. Пусть g(£i, .... ^= max |§J. Эта функ-

1 С i < п

ция g служит дистанционной функцией n-мерного параллелепипеда Пп с центром (0, ..., 0), см. пример 5.2.

п

Пример 11.3. Пусть g (^ ..., ^= Е Hi I- Так определен-

1 = 1

ная функция g есть дистанционная функция «-мерного крестового многогранника ПА с центром (0, ..., 0), см. пример 5.3.

С помощью ' дистанционной функции удобно задавать не только отдельное замкнутое выпуклое тело, но и пересечение конечного числа таких тел. Именно, справедлива

Теорема 11.3. Пусть Kt— замкнутые выпуклые тела в Ап С о ^ Ki и дистанционными функциями gi (г = 1, ..., m). Тогда для замкнутого выпуклого тела К := П Kt справедливо о е К° 1 = 1

и дистанционной функцией для К служит g(xy.= max gt^xY

Доказательство. Ввиду oaK” при ; = 1, ..., пг начало о лежит в П КГ но последнее множество открыто и лежит в К, поэтому ое К0. Далее, из (169) следует .

mпг

К= П К,= П{хеД"|^Дх)^1} = i = 1l-\

= (xeAn\gx (x)< 1, .. .,gm(x)^ i) = {xe Л"]i max £ДхХ 1},

и, кроме того, функция g, определенная равенством g(x):= ;= max gt (x), обладает неотрицательностью, положительной однородностью и субаддитивностью. Это доказывает, что она есть дистанционная функция g для К. □

К сожалению, нет столь же простого представления дистанционной функции для получающихся из замкнутых выпуклых

тел Ki тела conv I (J Ki l и тела X %tKi при %г^0, X у > 0 \<=i/i=i1=1

(ср. теорему 8.7). Но дистанционная функция удобна при описании границы замкнутого выпуклого тела. Обратимся к этой задаче. Начнем с теоремы- .

Теорема 11.4. Граница дК замкнутого выпуклого тела К в Ап с о ^ К°, имеющего дистанционную функцию g, допускает аналитическое задание:

(173)(173)дК = \ -Л-т I х е Д", g (х) > 0 ).

(173)

(173)

I g (*) I > 6 \ j

Доказательство. Сразу следует из замечания 11.1. □

Замечание 11.2. Каждое замкнутое выпуклое тело в Ап (отличное от всего Д'1) допускает гомеоморфное отображение либо на п-мерный телесный эллипсоид Еп, либо на телесный эллиптический цилиндр EmX Ап~т с (п— тУмерными образующими и т-мерным поперечным сечением (0 ^ m ^ п, см. пример 11.1), либо на замкнутое полупространство Нп пространства Ап, причем при этом гомеоморфизме граница дК тела К переходит соответственно в дЕп, dEm X Ап~т, дПп.

Доказательство. Сделаем сначала предположение, что К не содержит ни одной прямой, и будем, не нарушая общности, считать, что ое К0- Рассмотрим два случая.

Случай 1. У тела К дистанционная функция g(x)> 0 при всех х =# о. В этом случае рассмотрим в Ап положительно опре- п п

деленную квадратичную форму F (х, х) := X X Ni&ib и отобра- <=i

зим телесный эллипсоид Еп: {х е А"| F^x, х) ^ 1} пространства Ап на тело К с помощью отображения Ф, определенного правилом:

гегК при х = о,

х е= Еп । > < р (х х)1/2,(174)

I g^ х ПРИ х°‘

По теореме 11.4 это отображение Еп на К взаимно однозначно. Ввиду непрерывности F и выпуклости g отображение Ф вне точки о непрерывно. Непрерывно оно и в точке х = о ввиду оценки"

X #= о

где

sup (F (sup< 00 •

x о

Ввиду компактности области Еп задания отображения Ф при этом обратное отображение Ф-1 тоже непрерывно. Таким образом, Ф есть гомеоморфизм Еп на К, причем дЕп соответствует дК.■

Случай 2. Существуют х=/=о, при которых g’(x) = o. Здесь доказательство будет иным. Для того х=/=о, при котором g(x^ = o, по замечанию 11.1 идущий из о через х луч Нх не выходит из тела К. Ввиду замкнутости и выпуклости К любой луч, параллельный Нх с начальной точкой в К не выходит из К (см. рис. 10). Поскольку, согласно предположению, К не содержит прямой, все эти лучи могут быть продолжены за свои начала до максимальных лежащих в К лучей. Это значит, что К есть надграфик некоторой функции f вида §« = /:(§il«-i),

где ось £„ аффинных координат в А" направлена по лучу Нх. При этом функция f определена на выпуклом множестве Df из гиперплоскости £л = 0. Функция f по теореме 10.1 выпукла, но на границе множества Df может иметь разрывы1). Несовпа- денг.е Df со всей гиперплоскостью ^ = 0 и возможные особен

ности функции / на границе Df препятствуют прямому переходу к желаемому гомеоморфному отображению тела К на замкну

тое полупространство Нп. Поэтому мы сначала определим вспомогательное гомеоморфное отображение тела К на надграфик другой непрерывной функции f, заданной над всей гиперплоскостью ^ = 0- Не нарушая общности, будем считать, что в выбранной системе аффинных координат пространства А" гипер

Рис. 30Рис. 30плоскость £п = О параллельна той опорной гиперплоскости А тела К, которая проходит через точку пересечения границы дК с осью £п, т. е. что А имеет уравнение ^ = а0 < 0. Тогда пересечение тела К с каждой гиперплоскостью £„ = а при

Рис. 30

Рис. 30

пространство А" го- определяя Ф1 равенпространство А" го- определяя Ф1 равена > ао выпукло и содержит точку (0, ..., 0, а) в своей относительной внутренности. Подвергнем мсоморфному отображению Ф1 на себя,

пространство А" го- определяя Ф1 равен

пространство А" го- определяя Ф1 равен

ствами

^ = ^"4 (,= 1, ..., п-1),tn = ^n.

При этом К перейдет (см. рис. 30) в замкнутое множество ФДЛ) в А”, у которого пересечения с гиперплоскостями ^л = а (а > «о) «расширяются» с ростом а настолько, что Ф1 (Л) можно рассматривать как надграфик некоторой функции /, заданной на всей гиперплоскости |п = 0:

Ф1(/<)= {хеД'-||„>/(5ь .... W}. (175)

Теперь определим гомеоморфное отображение Фг пространства А" на себя равенствами

f, = ^ (i=l,П-1), 1п=1п + Н^, ...Лп-lY

Ввиду (175) это отображение переводит замкнутое полупространство Нп, определяемое неравенством ^ ^ 0, в Ф1(7<). Наконец, отображение Ф^ оФз осуществляет желаемый гомеоморфизм Нп на К, причем дНп соответствует дК.

Этим замечание 11.2 доказано в случае, когда К не содер- жит ни одной прямой. В противном случае, ввиду замечания 4.3 тело К представимо в виде К = L X Ап~т с m-мерным замкнутым выпуклым множеством L, уже не содержащим прямой. По - доказанному выше L можно гомеоморфно отобразить на телесный эллипсоид Ет или на замкнутое полупространство /7^ (1^п — т^п), что влечет справедливость замечания 11.2ti в этом случае. □

Пойдем дальше. Теперь мы с помощью дистанционной функции дадим аналитическое задание опорному конусу выпуклого тела в его граничной точке.

Теорема 11.5. Опорный конус Сх„ (К) в граничной точке х0 е дК замкнутого выпуклого тела К, содержащего начало внутри, о е К0, и имеющего дистанционную функцию g, может быть задан аналитически:

СХо (К) = (хе Л"| dgXg (х - х0) < 0},(176)

где смысл dgXo^x— х0) определен равенством (158).

Доказательство. Будем исходить из определения 11.1 для g и заметим, что из этого определения вместе с (170) и определением 10.5 для опорного конуса Си,, g и,^ (Е (g)) надграфика E(g') в его граничной точке (хо, g(x0))e dE(g) следует соотношение

‘Cu.gwAE^nt^^t^Cx.O.(177)

По теореме 10.5 тогда

Си„ 8 Iе &» = Е (g (х0) + dgXo (у - х0)),(178)

и на основании (177) и (178) имеем

Е (g (*0) + dgxo (у - х0)) П t ^ = t (CXa (/0).

Но это эквивалентно

Сх. ^ = {х е А" | g (х0) + dgx- (х - х0) < 1}, что ввиду g(x0)= 1, см. (171), равносильно (176). □

Через дистанционную функцию можно выразить классификацию граничных точек, данную определением 10.7- Именно, справедлива

Теорема 11.6. Граничная точка х0 замкнутого выпуклого тела К в Ап, с о е К0 и дистанционной функцией g, будет гладкой, соответственно s-сингулярной (з = 2, ..., п), смотря по тому, будет ли введенное в замечании 10.5 аффинное подпространство А^(хф всех векторов линейности функции g в точке х0 иметь размерность п или п + 1 — s (s = 2, ..., п).

Доказательство. По теореме 10.6 имеем dimAg(x0) = n или dimAg(x0)=n + 1—sb соответствии с тем, будет ли точка (х0, g(xo)) гладкой или s-сингулярной граничной точкой множества £(g), или, ввиду определения 10.7, — в соответствии с тем, будет ли пересечение Du„, g(x0» (Е(g)) всех проходящих через точку (х0, g(x0)) опорных к E^g) гиперплоскостей иметь размерность п или п + 1 — s (з = 2, ..., га -р 1). Но ввиду (170) каждая проходящая через точку (х0, g(x0)) и потому (ведь E(g)—конус) через точку (о, 0) опорная к E(g) гиперплоскость пересекает ЦА") по некоторой гиперплоскости в ДА"), прохо-

дящей через (х0, g(xo)) и опорной к ЦК) в ЦАп). Обратно, каждая проходящая через (х0, g'(xo)) опорная к ЦК) в Н^") гиперплоскость может быть так представлена. Отсюда следует, что

D(x,.gW^E(g))nt(An)=t(DXa(K))

и, в частности,

dim D(x„, gu,» (Е (g)) = dim Dx, (К) + 1,

где DX„(K) — пересечение всех проходящих через х0 опор* ных к К гиперплоскостей в Ап. По определению 10.7 это означает, что (x0,g(x0))— гладкая, соответственно s-сингулярная, граничная точка множества E(g) тогда и только тогда, когда х0— гладкая, соответственно s-сингулярная, граничная точка

, множества К; s — 2, ..., п. Вместе со сказанным выше это доказывает теорему 11.6. □

Следствие. Граничная точка замкнутого выпуклого тела КсА" с ое К6 и дистанционной функцией g является гладкой . в том и только том случае, когда функция g дифференцируема . в точке х0. В этом случае опорная к К гиперплоскость в точке х0 задается аналитически уравнением1

4gX, (* - *о) = X (^ - ^ ^ = 0.(179)

(См. (176) и замечание 10.5.)

Во второй части этого параграфа мы вернемся к данному в замечании 11.1 геометрическому смыслу дистанционной функ- ■ ции. Этот смысл дает основание для специфической метризации пространства А". Речь идет о метрике Минковского, введенной

• им в связи е исследованиями по теории чисел. Начнем с одного замечания.

Замечание 11.3. Дистанционная функция g замкнутого выпуклого тела К в А" с началом оеК° однородна, т. е, для нее вместо (168b) справедливо

S’(%х) = | X, | gr(x) при всех KeR,(180)

тогда и только тогда, когда тело К центрально симметрично (в смысле определения 8.4) относительно начала о. Сказанное тривиально следует из замечания 11.1.

Идея Минковского состоит в том, чтобы использовать дистанционную функцию центрально симметричного выпуклого тела для определения метрики в Ап. Это возможно ввиду следующей теоремы.

Теорема 11.7. Пусть К — компактное выпуклое тело в А", центрально симметричное относительно начала о пространства Ап (отсюда уже следует оеК6), и g— дистанционная

функция тела К. Тогда в аффинном пространстве Ап равенство

<Цх,уу—g<y — x>(181)

определяет метрику d, для которой верны обычные свойства:

d^x, х^ = 0, d(,x,y^>Q при х#=у,(182а)

d(x, y) — d(y, х),(182b)

d (х, z)^d (x, у) + d (y, z),(182c)

где х,у,гЕ А". С введением этой метрики пространство Ап становится метрическим пространством.

Доказательство. По теореме 11.1 и замечаниям 11.1 и 11.3 для дистанционной функции g тела К выполнены свойства■.

g (о) = 0, g (х) > 0 при х =/= о,g (— х) = g (х),.

g У + у)< g (х) + g (у).

Отсюда следует справедливость соотношений (182а,Ь, с). □

Определение 11.2. Аффинное n-мерное пространство с определенной равенством (181) с помощью некоторого выпуклого тела метрикой называется м-мерным пространством Минковского М", а используемое при этом .тело называют нормирующим телом В пространства Мп •)■

Примерами пространств Минковского служат евклидово пространство Rn, здесь В — телесный эллипсоид, d (х, у) — =( У У, Nij^i — Si) (Л/“■ S/)l I или аффинное пространство с параллелепипедом ГД в качестве нормирующего тела, здесь d (х, у) = шах | гр— ^-1, или с крестовым многогранником Щ

в качестве В, здесь d (х, у) = У, | ц, —- ^ |. (Везде х.уЕА", а i=i

£;, щ — аффинные координаты точек х, у.) Что это — пространства Минковского ясно из примеров 11.1, 11.2, 11.3.

Замечание 11.4. Соответствующее пространству Минковского Мп векторное пространство является (конечномерным) линейным нормированным пространством в том смысле, что определенная на нем равенством

llx||:=^U)(183)

') В связи с тем, что в специальной теории относительности другое пространство Ч?3 называют пространством Минковского, описанное определением 11.2 пространство Л!” называют часто конечномерным прос^ранстеом Банаха, а границу нормирующего тела В — единичной сферой этого пространства. —• Прим, перев.

так называемая норма ||х|| элементов х удовлетворяет соотношениям

|| о || = 0, ||х||>0 при х N= о,(184а)

II Хх|| = | Л|||х||,(184b)

||х + </||<||х|| + ||1/||.(184с)

(Ср. доказательство теоремы 11.7 и (180)). Линейные нормированные пространства, уже не обязательно конечномерные, играют важную роль в функциональном анализе.

Замечание 11.5. Если нормирующее тело В пространства . Минковского Мп строго выпукло, то в «неравенстве треугольника» (182с) для метрики d этого пространства равенство имеет место тогда и только тогда, когда точка у лежит на отрезке xz. . Если тело В не строго выпукло, то равенство в (182с) может наступать и в других случаях.

" Доказательство. Пусть В строго выпукло. Тогда первая часть утверждения нашего замечания равносильна тому, ■ что в (184с) равенство наступает тогда и только тогда, когда - или х = о, или у = о, или у = ах при х #= о, у^о, а > 0. Но это тривиально при х = о или у —о, а в случае х#=о, у=^=о

• соотношение Их + у|| = ||х|Ц-||у|| > 0 ввиду (173) равносильно

х-Уу = UH х . II у II у а о . ТЯжГуГ 1И1-НД1 ‘ 1И1 IWI-Hyll 'llyll ’

что, ввиду строгой выпуклости В (см. определение 10.2), экви-

• валентно тому, что -^ = ц-fp т. е. У = -^^.

' Если В не строго выпукло, то по определению 10.2 и лем' ме 1.1 существуют точки хо, у^е-дВ, х0=^у0, для которых

■^ х0 + у у0 г дВ. Тогда по (173) имеем

.II х0 Н- Уо II 21 у х0 + у г/о|= 2 = || х01| +1| у0||. □

Следствие. В пространстве Минковского Мп каждый отрезок XiX2 есть кратчайшая, соединяющая его концы, т. е. для любых точек 21, ..., Zk е Мп справедливо

'k-V

'■^(М, ^X^Ui, z^ + X d(zz> zz+i) + ^(^> х2).

■i = l

Если, кроме того, нормирующее тело В пространства Мп строго выпукло, то равенство здесь имеет место в том и только том случае, когда точки Zi, ..., zk последовательно лежат на отрезке Х]Х2.

В заключение этого параграфа приведем две теоремы из геометрии пространств Минковского, чтобы показать, насколько

сильно эта геометрия может отклоняться от евклидовой. Первой из этих теорем будет следующий аналог теоремы Юнга.

Теорема 11.8. Пусть X — ограниченное множество в п-мер- ном пространстве Минковского Мп с определенным по (92) диаметром Минковского D(X) и определенным по (93) радиусом 7?(Х) описанного шара Минковского '). Тогда

R^^D®.(185)

Равенство в (185) достигается. (Достаточно в качестве X взять множество вершин n-мерного симплекса S, а в качестве В — разностное тело S + (—1)S этого симплекса, — см. пример 8.2.)

Доказательство (К. Лейхтвейс [43]). Как и при доказательстве теоремы 7.5, установим сначала (185) в частном случае X = {х0, • ••, 4- Не нарушая общности, предполагаем, что точки х0, ..., хп аффинно независимы. В противном случае их можно приближать аффинно независимыми наборами х^,... ..., х^ (v = 1, 2, ...) и из

R(W^!)<-jTTD(W’--- О)

получить предельным переходом при v->oo, аналогично (100), что

R^x0,хп^^-^—О^Хо, ...» хп^.

Итак, пусть х0, ..., х„ аффинно независимы и S есть и-мерный симплекс в Мп с вершинами х0, ..-, хп. Его центр тяжести

(186)

Si'Si'0 ^ i ^п.0 ^ i ^п.(см. доказательство теоремы 1.8). Тогда идущая через xt и $ прямая пересекает противоположную вершине Xi (п—^-мерную грань Si симплекса S в точке

Si'

Si'

0 ^ i ^п.

0 ^ i ^п.

(187)

Ввиду (186), (187), (92) находим оценку расстояний вершин от $

, Н х, — 5 11 = 1-^- Ui — S/)| = -^prUi —sz|| =

пП + 1пП + 1

п

П + 1

п

П + 1

^ТГТТ^^ох^’ 0</<п. (188)

Но это по (93) уже означает справедливость неравенства (185) ..в случае X = {хо, .хпУ

Если X содержит только к + 1 < п + 1 точек, то X ед Л4-* для некоторого подпространства Мк в Мп, и по уже доказанному R^^-^DVC^^BIX).

Если X содержит более п + 1 точек, то каждые п + 1 шаров Ви(х) : = хВ + х с радиусами х :— ^ ^у В (X) и с центрами х е X, по доказанному выше, имеют общую точку (центр описанного шара Минковского для п + 1 центров этих шаров). Но тогда по теореме Хелли 7.1 у всех шаров (Ви(х)}хеХ есть общая точка уо, т. е. точка уое П В^х), и потому X <щ ВК(у0).

х s X

Значит, R^X^^x, что совпадает с неравенством (185). Этим первое утверждение теоремы 11.8 доказано. Остается подтвер- п

дить примером неулучшаемость оценки ^-—р для отношения > R^ и DW.

Неравенство (188) наводит на мысль, что в (185) наступит равенство, если в качестве X взять множество вершин и-мерного симплекса S, а нормирующее тело В подобрать так, чтобы в (188) соблюдалось равенство при всех i = О, ..., п. Пусть х0, ..., х^еА" аффинно независимы, X = {хо, ..., х„}, 5 = = conv(x0, ..., хД. В качестве нормирующего тела В возьмем

B;=S + (— 1)S.(189)

Определенное так тело В согласно примеру 8.2 и теоремам 8.5 и 8.7 выпукло и центрально симметрично относительно начала о е Ап. Оно может быть взято в качестве нормирующего, что превратит А" в пространство Минковского Мп. Множества Si — Xi (где S;—противоположная вершине х, гипергрань симплекса S) при каждом 1 = 0, ..., п есть часть дВ. Поэтому для

пх^-т Zх/M/ * iпх^-т Zх/M/ * iUi — Х0||Ui — Х0||Ui —Xf-illUi —Xf-illUi ~ Xi+ill= • •• =Ui — xn ||=1,Ui ~ Xi+ill= • •• =Ui — xn ||=1,причемпричемОЦх0хп}) = 1,ОЦх0хп}) = 1,

пх^-т Zх/M

/ * i

пх^-т Zх/M

/ * i

Ui — Х0||

Ui — Х0||

Ui —Xf-ill

Ui —Xf-ill

Ui ~ Xi+ill= • •• =Ui — xn ||=1,

Ui ~ Xi+ill= • •• =Ui — xn ||=1,

причем

причем

ОЦх0хп}) = 1,

ОЦх0хп}) = 1,

118 ГЛ. и. аналитическое задание выпуклых множеств

каждого I

1=0 «4-1в пересечении1=0 «4-1в пересеченииРис. 31Рис. 31“i“iHHt — Xt), гдеHHt — Xt), где

1=0 «4-1

в пересечении

1=0 «4-1

в пересечении

Рис. 31

Рис. 31

“i

“i

HHt — Xt), где

HHt — Xt), где

и (188) обращается в равенство при всех z. Говоря геометрически, это означает, что центр тяжести s содержится в пересечении границ шаров Минковского В п (х0), .В п ■ (хп) и, обратно, «4-1«4-1

множество {х0, ..., Хп) лежит на границе шара В п (s). Но то- «4-1

гда нет никакой отличной от s точки в пересечении р В п (х^),

так как такая точка тем более содержалась бы

содержащих В п (хг) замкнутых по-

। га

лупространств х{ Н^

Н; — содержащее х, замкнутое полупространство, ограниченное гиперплоскостью грани В,. В барицентрических координатах (относительно х0, ... ..., хп) эти полупространства задаются неравенствами af^—-Г^ , так что каждая точка пересечения этих полупространств должна иметь все

что ввиду Z ai= 1 влечет единственность такой i=0

точки: «о= ••• ^ ^п" 7Г+Т’ Т- е" эта точка по (186) есть s п

(см. рис. 31), При ЭТОМ, В частности, ПоВр(Х;) = 0 для всякого Р < "ге^;j , т. е. множество {х0, х„} не может лежать в шаре Минковского с радиусом р < ? . . Следовательно,

7?({х0хп)) = ^т = ~т£)({хо,.. .,х„}), что завершает доказательство второго из утверждений теоремы 11.8. □

Замечание 11.6. Равенство в (185) имеет место тогда и только тогда, когда conv X = S и S+(—l)S'cO(X)-Ba ст—(и+ 1) (S — s), где S есть п-симплекс в Мп с центром тяжести s. Доказательство см. в [431.■

В качестве второго примера из геометрии пространств Минковского приведем для плоскости Минковского М2 оценку периметра единичного круга.

Определение 11.3. Пусть К — непустое компактное выпуклое множество (выпуклая фигура) на плоскости Минковского М2, а {Р} — множество всех содержащихся в К выпуклых многоугольников, и пусть /(Р)— сумма длин (по Минковскому) ребер многоугольника Р. (Длиной отрезка %ix2 по Минковскому называют расстояние ||х2 — xjl между концами отрезка в метрике Минковского.) Тогда периметром фигуры К называют величину

С7(К):= sup ЦР).(190)

Р е (Р)

Из приводимой ниже леммы 11.1 следует, что периметр имеет конечное значение.

Теорема 11.9. Для периметра U (В) нормирующего тела (т. е. для периметра единичного круга) на плоскости Минковского М2- всегда справедлива оценка

6^U(B)^8.(191)

Левая из этих оценок достигается, когда В — аффинно правильный шестиугольник (т. е. переводимый невырожденным аффинным преобразованием в правильный шестиугольник на евклидовой плоскости). Правая оценка достигается, когда В — параллелограмм.

Доказательству теоремы 11.9 предпошлем следующую лемму.

Лемма 11.1. Если на плоскости Минковского М2 выпуклая фигура L содержится в выпуклой фигуре К, то для их периметров

U^^U^KY(192)

Кроме того, для выпуклого многоугольника Р с^М2 периметр U (Р) совпадает с суммой длин его сторон

U(P) = l(P)(193)

(см. определение 11.3).

Доказательство. Первое из утверждений леммы 11.1 тривиально следует из определения 11.3 для U(L) и U(K). Чтобы убедиться во втором утверждении, достаточно, ввиду того же определения, проверить, что для выпуклых многоугольников Qcz Р на плоскости М2 справедливо ■

/(О^ДР).(194)

Напомним, что Р и Q по теореме 5.6 суть в М2 пересечения конечного числа замкнутых полуплоскостей

P = HxR...RHb Q = H(+X{)[)Hl+m,

и рассмотрим множества

^р.: = Р П Н1+1 Г1 ■•• П ^i+p, И — 0, ..., т.

Множество Ру, как многогранные множества, лежащие в ограниченном множестве Р, являются по теореме 5.7 выпуклыми многоугольниками, причем

^цы = M^+u+i, Р = 0, ..., т — 1, Ро = Р, Рт = Q. (195)

Таким образом, стороны Р^! отличаются от сторон Ру тем, что возможно одна (лежащая на граничной прямой полуплоскости Я/+Ш-1) сторона Ру+\ у Р заменена ломаной, которая (по следствию замечания 11.5) разве лишь длиннее этой стороны. Поэтому

^aWW, Р=0т-1,1^=1^, KPm^KQ),

что дает (194). □

Доказательство теоремы 11.9 1). Чтобы доказать опенку снизу для U^B), убедимся, что в границу любой компактной выпуклой области В с центром симметрии в начале о можно вписать аффинно правильный шестиугольник Р с центром о. Действительно, пусть р— произвольно фиксированная,

жат точки р, q, q— р, —р, —q,жат точки р, q, q— р, —р, —q,а х—произвольная точки на дВ. Функция ср, заданная на дВ правилом ф(х): = := ||х— р\\, непрерывна. (Сама граница дВ по замечанию 11.2 гомеоморфна эллипсу.) По теореме о сред- пем найдется хоть одна точка q<=dB, для которой ф(р) = 1, поскольку ф(р) = = 0, ф(—р) — 2||р|| = 2. Но равенство ф(р)= ||р — р|| = — 1 означает, что на дВ лер — q, образующие вершины

жат точки р, q, q— р, —р, —q,

жат точки р, q, q— р, —р, —q,

аффинно правильного шестиугольника Р с центром о (см. рис. 32, а). Отсюда, согласно (192) и (193) следует, что

U^ ^ЩР) = /(?) = 2(||р||+||р|| + ^- Pll) = 2-3 = 6, причем равенство достигается, если с самого начала В совпадало с Р.

Чтобы доказать оценку для U(В) сверху, убедимся, что около В можно так описать параллелограмм Q с центром о, что середины сторон Q будут лежать на дВ. Зафиксируем на плос-

') См. Лаугвиц [41]. [Тот же результат получен па год раньше Ю. Г. Решетником [52]. — Прим, перев.]

кости М2 какуюглибо постороннюю евклидову метрику и будем относительно нее измерять площади фигур. Вокруг В можно тогда .описать наименьший по площади из описанных параллелограммов с центром о. Середины сторон такого параллелограмма Q обязательно лежат на дВ, иначе легко было бы уменьшить площадь параллелограмма. Обозначим (рис. 32,6) сере. дины сторон Q через р, q, —р, —q. Тогда вершинами Q будут 1 p + q, q — р, —р — q, р — q. На основании (192) и (193) имеем

■(/(В) ^ t/(Q) =/(Q) = 2 (||2р|| + ||2</||) = 2-4 = 8,

, причем равенство достигается, если с самого начала В совпадало с Q. □

Упражнения

Пусть Р — многогранное множество в Л", содержащее начало о пространства Д'* внутри: о е Р*. Доказать, что дистанционная функция g множества Р является кусочно аффинной. (См. начало § 10.)-

Доказать, что если g — дистанционная функция замкнутого выпуклого- тела К в Дп с ое.К\ то: а) {хе Д" | g(x) = 0} представляет собой замкнутый выпуклый конус с вершиной о; Ь) этот конус совпадает с предельным конусом СС (Л) тела К (см. задачу 5 из упражнений к § 1).

Доказать, что в пространстве Минковского М" для каждого ограниченного множества X одинаковы диаметры О(Х) и D(convX).

Для любого вещественного числа между 6 и 8 построить плоскость Минковского М2, на которой периметр U (В) единичного круга В равен этому числу.

12. Опорная функция компактного выпуклого множества

Теперь мы обратимся к аналитическому заданию произволь- ' ных компактных выпуклых множеств (вместо замкнутых выпуклых тел) с помощью выпуклых функций, которые в некотором смысле двойственны рассмотренным выше дистанционным 1 функциям. Пусть К — компактное выпуклое множество в аффинном пространстве Ап. Превратим А'1 в евклидово простран- t ство Rn, введя скалярное произведение < , >, и, как в § 11, будем считать, что наше Rn лежит как В"Х{0} в (п + 1)-мерном пространстве Rn X Rl = Rn+V Как и ранее обозначаем t трансляцию (x, a)i—>(х, а + 1). По лемме 6.1 С(/(К))—проекцион- . ный конус множества К с вершиной (о, 0)—замкнутый и выпук- ' лый. Полярный ему конус С(/(К))* тоже замкнутый выпуклый конус с вершиной (о, 0), который по замечанию 6.1 и компактности К содержит луч {(о, Х)е Rn¥Y |Х ^ 0} вместе с некоторой конической окрестностью этого луча,' состоящей из выходящих из (о, 0) лучей в Rn+Y. Но C(f(K))* не содержит (исключая вершину) луч {(о, X) е/?п+11X ^ 0} и некоторую его коническую окрестность. Поэтому конус а(С (/(К))*), получающийся при отражении о пространства Rn+V относительно гиперплоскости 7?пХ{0}, есть надграфик некоторой функции, заданной на всем

9РГ-

7?п. Именно эту функцию мы, следуя Минковскому, применим для аналитического задания множества К.

Определение 12.1. Пусть К—непустое компактное выпуклое множество в м-мерном евклидовом пространстве Rn, лежащем в Rn X R1 = RnU. (Далее будем просто говорить, что К лежит в Rn.) И пусть /— трансляция пространства /?п+1, действующая по правилу (х, a)i-^(x, а-|-1), а о — отражение Rn+1 в гиперплоскости /?"Х{0}. Тогда вещественнозначная функция h, заданная на Rn, надграфик которой есть

£(ft)=o(C(t(Z<))*),(196)

называется опорной функцией множества К.

Теорема 12.1. Опорная функция h непустого компактного выпуклого множества К в Rn положительно однородна и субаддитивна, т. е. при и, и е Rn

■h (ku) = kh (u) при X^O,(197a)

h (u + y) ^h(u) + h(v).(197b)

Доказательство. Равенство (197a) следует из определения 12.1, a (197b) следует из выпуклости (в силу (196)) функции h, которая влечет h ^ и +-■ у) ^-^ (h(u) + h(v)), что вместе с (197а) дает (197b).

Между опорной функцией множества К и его полярным множеством К* (относительно начала о пространства Rn), см. определение 6.3, есть простая связь.

, Теорема 12.2. Если h — опорная функция непустого компактного выпуклого множества К в Rn, то полярное ему множество К* допускает аналитическое задание:

К* =(и г R^hAud^V).(198)

Доказательство. По построению (69) множества К* имеем

t(K») = o(C(t(K))*)no(t(Rn)) = o(C(t(K))* П t(Rn) =

= E(h)(]t(Rn),

где t и о определены выше. Но это дает (198). □

Следствие 1. Если компактное множество К в Rn содержит начало о, то опорная функция для К совпадает с дистанционной функцией для К*.

Доказательство. По определению (196) опорной функции h для К, из о е К следует h ^ 0. Поэтому функция h по теоремам 12.1 и 11.2 и соотношению (198) является дистанционной функцией для содержащего о в своей внутренности множества к*. □

/ Следствие 2. В случае, если К — компактное выпуклое тело и ое К0, то его опорная функция h совпадает с дистанци- ■ онной функцией g* тела К*, а опорная функция h* тела К* — с дистанционной функцией g тела К** = К (см. следствие теоремы 6.6). В этом и только этом случае опорная и дистанцион-

: ная функции тел К и К* полностью «дуальны».

Замечание 12.1. Опорная функция h непустого компакт- кого выпуклого множества К в R" имеет простой геометрический смысл, оправдывающий ее название: для каждого и е Rn, uV=o, неравенство

<х, u>^A(u)(199)

задает замкнутое полупространство Я(и), ограниченное гиперплоскостью

А (и): <х,и) = h{u),(200)

спорной для множества К с внешней нормалью и. В частности, h ("{[Ту') есть взятое со знаком евклидово расстояние от начала о пространства Rn до А (и).

Чтобы в этом убедиться, представим себе R", как в определении 12.1, вложенным в /?"+1. Начинающийся в (о, 0) и направленный от конуса С(((/()) луч, нормальный к опорной для С (/(/()) гиперплоскости aff С (/(Л (и))), идущей через (о, 0) и /(Л(и)), по замечанию 6.1 и определению 12.1 лежит в о(£,(й)). Точнее, ввиду опорного свойства гиперплоскости Л (и), он лежит в cs(G(h)) = G{—/1), где G(/t)—график функции к. Отсюда следует, что гиперплоскость aff С (/(Л (и))) имеет уравнение

< (х, а), (u, —h (и)) >=<х, и)— ah {и) = 0, откуда, ввиду /(Л (и) ) = aff С (((Л (и)) )f| t(Rn), получаем уравнение (200) для Л (и), а потому и (199) для Я (и). □

Замечание 12.2. Ввиду замечания 12Л опорную функцию К непустого компактного выпуклого множества К в R" можно также определять равенством

/i(u) = sup (х, и).(201)

•х г К •-

Это определение допускает распространение иа любые выпуклые множества К в Rn, если договориться, что h(и) рассматривается только на том выпуклом конусе аргументов и е Rn, для _ которого (201) дает конечные значения.

. Аналогично теореме 11.2 имеет меето следующее обращение теоремы 12.1.

Теорема 12.3. Пусть h — любая определенная на всем Rn положительно однородная и субаддитивная функция. Тогда существует, притом единственное, непустое компактное выпуклое множество К cz Rn, опорная функция которого есть h. Это мно-

жество является пересечением всех полупространств Н(и), задаваемых в R" неравенствами <z, u>^A(u) при u^Rn, и фо1.

К = П H^uY(202)

и * о

Доказательство. Как в определении 12.1, представляем Rn лежащим в Rn+Y Описанной там же трансляцией / переводим R" в ^ (/?"). По условиям теоремы 12.3 функция h выпукла, и потому непрерывна. Ее надграфик Е^ представляет собой в Rn+' выпуклый конус с вершиной (о, 0), лежащей на его границе. Конус (o(E{h))) * пересекает гиперплоскость t(Rn>) по множеству, которое получается трансляцией t из некоторого множества К a Rn:

((K):=(o(E(/i)))*nt(^).-(203)

Это К замкнуто и выпукло. Через (о, 0) проходит хоть одна опорная к Е^ гиперплоскость, и E(h) не содержит прямую {о}Х^'- Поэтому, если интерпретировать (o(E(/z)))* соответственно замечанию 6.1, то t^K')=#0. Кроме того открытый луч {(о, сс)е/?"+’|а > 0} лежит, ввиду непрерывности h, внутри (£(/i))°, так что ЦК?) ограничено, и потому К должно быть компактно. Теперь из (203) следует

(o(£(/i)))* = C(/(K)),

что по теореме 6.4 и замечанию 6.2 влечет

o(E(/i)) = (o(E(/i)))** = C(/(K))*,

т. е. (196). Поэтому h есть опорная функция для К. Наконец, по следствию теоремы 3.5 и замечанию 12.1

К = П Н^,

и #» О

и потому К однозначно задается по h. □

Пример 12.1. Пусть в декартовых координатах щип п

функция h имеет видА(уь ..., Уп)=2у^У/- Эта функция об

ладает свойствами (197а,Ь) и, по (201), служит опорной функцией множества, состоящего из одной точки с=(уь ..., yn) ^Rn.

•/ П \ 1/2.

Пример 12.2. Функция h (ур ..., у„) = I £ огуН > где

<xi > 0, ..., ал >■ 0, есть дистанционная функция для телесного п

эллипсоида Е„: 2 ай ^ 1 с центром в начале (0, ..., 0) и по- I — 1

11сслуосями а~1/2. По следствию 1 теоремы 12.2 эта же функция /г

1

1

с

с

является опорной функцией для эллипсоида

• ■ i^wr

центром (00) и полуосями а^2 (см. теорему 6.8 и при

мер 11.1).

Пример 12.3. Функция Л(У[у„) = max |yj есть ди

станционная функция для куба Qn; |g(|^l (i = 1, ..., п) с центром (0, ..., 0) и длиной ребер 2. Она же есть опорная функция для полярного к Qn крестового многогранника Q*n: п

S l^zl^l с центром (00)и длинами «диагоналей», рав-

ними 2 (см. примеры 11.2 и 11,3).

п

Пример 12.4. Функция Л (У!уп) = £ I yzl в противопо- i=i

ложность предыдущему примеру есть дистанционная функция п

для крестового многогранника Q«: Si £11^1 с центром (0, ... ■i=i

..., 0) и «диагоналями» 2, и опорная функция для куба Qn: max l^l^lc центром (0, ..., 0) и ребрами длины 2.

^ 1 < п

Через опорную функцию можно наиболее просто аналитически задавать не только отдельное компактное выпуклое множество, но и выпуклую оболочку и линейную комбинацию конечного числа компактных выпуклых множеств. В параллель к теореме 11.3 докажем следующее утверждение.

Теорема 12.4. Пусть Ki — непустые компактные выпуклые множества в Rn с опорными функциями hi (i=l, ..., m). Тоеда.

компактное (см. теорему 2.6) выпуклое множество

(

tn X и кА, 1 = 1/

компактное (см. теорему 8.5) выпуклое множество mtn

. К:=ЦМКЬ Я,>0Xm>0, S^>0,

имеют соответственно опорные функции;

A(u) = max ht (и),

< I < tn

кМ = ^М^, ueRn. .

Доказательство, а) Обозначим Яг (и) отвечающее множеству К; по замечанию 12.1 замкнутое полупространство с внешней нормалью ц #= о (1=1, ..., т). Тогда из Hi^u^^D Kt и выпуклости Hi(u) следует, что полупространство Ни. (и):=

_/ »1\

:=U Нt {и), где 1 to ^ т, содержит в себе conv I U^/J-и ни- ( = 1_xt = 1 /

какое другое, содержащееся в Н^Ди) замкнутое полупространство ввиду опорного свойства гиперплоскости Л<„ (u) = dHi, (и) по отношению к Kt, не может содержать К. Поэтому Au(u) — опорная для К (с внешней нормалью и). Из задания <х, и>^ ^ НДи) полупространств ЯДи') следует, чтоЛДи) задается уравнением (х, и) = h1() (и) = шах А; (и). Следовательно, выра- .1 ^ i < т

жение опорной функции для К в виде h (и) = max НДи) при 1 < i < tn

всех u@Rn доказано. (Мы считали и ^ о, но в случае и = о это тоже тривиальным образом верно.)

Ь) Пусть снова Л;(u): (х, и> = НДи) и Д(и): (х, u)=h(u) — опорные гиперплоскости Kt, К с внешними нормалями и=#о, см. замечание 12.1. Тогда по теореме 8.4 имеем Д(и) = т

= Е МАДиЦ т. е.

hW = (x \xsAW,hW = (x \xsAW,

hW = (x \xsAW,

hW = (x \xsAW,

т'т

= Е М (Xi |х. s Ai w, и) = E ^ihi (U).

В случае u = o это тоже тривиальным образом верно. □

К сожалению не существует столь же простых представлений для опорной функции пересечения П Kv

Мы хотим теперь описать с помощью опорной функции грань множества К, т. е. его пересечение с опорной гиперплоскостью.

Теорема 12.5. Непустое пересечение компактного выпуклого множества К в Rn, имеющего опорную функцию h, с его опорной гиперплоскостью Л(ио): <х, Uo>= A(uo), Uo N= о, можно задать аналитически в виде

К Л А (ug) = {х е Rn 1 (х, а — иф < dhu» (у — и0)

для всех у ^ и0, и @ R11^, (204)

ср. (158). Функция дИиДи — и0) есть опорная функция (от аргумента v — ще Rn) для множества К Л А (ио).

Доказательство. Обозначим стоящее в (204) справа множество через L. Пусть у0 г L. Тогда, ввиду (155), (158), (197а,Ь) для всех и е R", и¥* и0, справедливо

dhu, (у Wq}dhu, (у Wq}А11^я+Д^=Д^Л(М^к (и - и0),А11^я+Д^=Д^Л(М^к (и - и0),т> 0. (205)т> 0. (205)

dhu, (у Wq}

dhu, (у Wq}

А11^я+Д^=Д^Л(М^к (и - и0),

А11^я+Д^=Д^Л(М^к (и - и0),

т> 0. (205)

т> 0. (205)

Поэтому <уо, у— Uo>^/i(y — Uo) для всех у ^ Uo, и, ввиду теоремы 12.3, уо е К. Далее, из уо е L следует

' <Уо, у — «оХ dhUa (у — и0).(206)

Полагая, в частности, о = о=#и0, получаем отсюда, учитывая (158) и (197а),

(уо, uQ) > - dhu, (- Uo) = Hm h^._ h

t-*+0T

Кроме того, из уо^К и теоремы 12.3 следует <z/o, Uo>^/i(uo), так что

<Уо, и0>= h(u0).(207)

Таким образом уоеКГ\А(иоУ Этим доказано, что ЛсдКГИ («о).

Обратно, пусть уо— произвольная точка множества KfH(u3). Тогда из уо е К по теореме 12.3 при любом и ^= и0 и любом т > 0 имеем,

<Уо, ио + т(у —Uo)> sC /1(ио + т(у — Uo)),(208)

в то же время из уоеД(ио) имеем (207). Вместе это дает

(у0, у-Ыо)<^^^У¥=и0,

откуда по (158), переходя к пределу при т-> + 0, получаем (у0, у — u0> ^ dhu„ (у — и0), у #= и0,

т. е. уо е L. Это дает КП/ЦиоХ L, и вместе с обратным включением доказывает равенство (204). По теореме 10.4 и теореме 12.3 отсюда следует, что функция dhu„ (у — и0) аргумента у — uo е R" есть опорная функция грани К А Л (ио). □

Теперь уместно ввести в известном смысле «двойственное» к понятию гладкой и S-сингулярной граничной точки выпуклого множества К в R" (см. определение 10.7) понятие регулярной и s-сингулярной опорной гиперплоскости множества К.

Определение 12.2. Пусть К — непустое выпуклое множество в «-мерном аффинном пространстве Ап и А — опорная к К гиперплоскость с КГ\А=#0- (Случай КПА—0 далее в этой связи не рассматривается.) Тогда А называют регулярной, соответственно s-сингулярной в зависимости от того, является ли множество КП А нульмерным или, соответственно, ($—^-мерным (s = 2, ..., л)..

По опорной функции выпуклого множества К можно следующим образом получать соответствующую определению 12.2 классификацию опорных гиперплоскостей множества К.

Теорема 12.6. Опорная гиперплоскость A(uq): <х, Uo) =» = /i(u0) непустого компактного выпуклого множества К в R” с опорной функцией h является регулярной, соответственно

s-сингулярной, в зависимости от того, обладает ли введенное в замечании 10.5 аффинное подпространство Дй(ир) всех векторов линейности выпуклой функции h в точке ио размерностью п, или соответственно размерностью я + 1 — s (s = 2, ..., л). (См. в связи с этим аналогичную теорему 11.6 о классификации граничных точек.)

Доказательство. Пусть г := dim ДДир) и {У1— и0, ... ..., и, — Ир)—система линейно независимых векторов линейности опорной функции h множества К в точке ио=#о. (Здесь возможно г = 1, ..., п, так как по определению 10.6 ввиду (197а) всегда и0 N= о и r^l). Тогда для заданного неравенством (х, и — иф ^ d,hUo (у — и0) замкнутого полупространства H'Uo (у — иф, у г Rn, у N= и0, ввиду соотношения d/iUo (— (ур — —u0)) = — dhUa(up — и0),см. (162), верного для р = 1,..., г, имеем

Н'и» Ор - «о) п HV (- (УР - и0)) = л; (УР - иф, р = 1г, ■(209)

где Д'0(ур— и0) обозначает гиперплоскость в Rn с нормалью Ур — «о, задаваемую уравнением (х, ур — иф = dhu„ (ур — иф. Отсюда по теореме 12.5 находим для непустого пересечения W(«o)г

КФА(иф = П Н'Ди-иф^ПА^-иф^.В, (210)

У * Ueр = 1

т.е. ввиду линейной независимости векторов нормалей yj—Ир, ...

. . . , U, — Up

dim(7<n Д(и0))^ dimS = n —г.(211)

■ Если бы здесь было dim (К П А (иф ) < п— г, то существовала бы такая содержащая /(ПД(ир) и не содержащая В гиперплоскость пространства R", что ее нормаль Ур—Up =# о и векторы У1 — Ир, ..., иг — Ир вместе были бы линейно независимы, т. е. что ур 9= ДДир). Эта гиперплоскость была бы «с обеих сторон» опорной для /(ПД(ир) и имела бы по теореме 12.5 уравнения (х, Ур — up) = dhuAun — иф и (х,—(ур — u^)=dhu, (—(уо—u0)), что влечет

dhu, ( — (у0 — Up)) = — dhu. (у0 — u0),

или, иначе говоря, иое Ан(иф, см. (162). Но это противоречит ио^ А^(ио). Этим доказано, что в (211) имеет место равенство

dim (/(f] А (иф) = п — г = п — dim Ah (иф,

что в соответствии с определением 12.2 доказывает справедливость теоремы 12.6. □

Следствие. Опорная гиперплоскость А(иф: <х,иф=Н(иф, ио #= о, непустого компактного выпуклого множества К в R”

с опорной функцией h регулярна в том и только том случае, когда функция h в этой точке дифференцируема. В этом случав точка 7(fM(uo) «касания» гиперплоскости А(ио) и К обладает опорной функцией

<2'2)

1-11

здесь ур ..., Уп и у®, ..., у° — декартовы координаты и и и0. Соответственно из (212) следует, что числа —^-^ ^gy"^"

суть декартовы координаты самой этой точки «касания». Справедливость этого следствия сразу видна из теоремы 12.5, замечания 10.5 и примера 12.1.

Упражнения

Доказать, что опорная функция выпуклого многогранника Р в Rn кусочно линейна (см. задачу 1 к § 11).

Пусть h — опорная функция компактного выпуклого множества К в R", имеющего начало о граничной точкой. Доказать, что множество (ue Rn \ h (и) =0} есть замкнутый выпуклый конус с вершиной о и этот конус совпадает с конусом внешних нормалей к К в точке о (см. замечание 6.1).

Пусть Ki, Кг—непустые компактные выпуклые множества в Rn с опорными функциями Й1, Иг. Доказать, что Ki и Кг могут быть строго отделены гиперплоскостью (см. определение 3.1) в том и только том случае, когда точка {о, 0} в /?'Ч-1 = Rn X R1 является внутренней для отрезка, соединяющего в Rn+> некоторые точки (ub cxi) и (из, схг), лежащие первая внутри надграфика £(й1), а вторая внутри ЕфгУ

Доказать, что функция d (... (d ^dhu^u^ .. .)ы (о — «n_ J, получаемая нз опорной функции h непустого компактного выпуклого множества К последовательным построением производных по направлению сначала в точке «о, затем (от полученной функции аргумента и — «о) в точке Ui, -и т. д. в точках «о, uiu„-i, где и0, ..., u„_i— линейно независимые векторы, является опорной функцией некоторой точки множества К, и потому линейна (ср. пример 12.1).

§ 13. Опорные элементы компактного выпуклого тела

Аналитическое задание (169) компактного выпуклого тела К в Rn с началом оеК° его дистанционной функцией g имеет тот недостаток, что при переходе к аналогичному заданию полярного тела К* приходится дистанционную функцию g тела К заменять на опорную функцию тела К*, см. (198). Одна из целей этого параграфа дать такое представление для К и К*, при котором переход к полярному телу выразился бы особенно просто. Для этого мы будем рассматривать только граничные точки тел К и К* или, что равнозначно, — граничные точки и опорные гиперплоскости тела К (см. теорему 6.8). Эти точки и гиперплоскости будем рассматривать совместно в следующем смысле.

б К. Лейхтвейе

W'W'

W'

W'

Определение 13.1. Рассмотрим пару (х, Л (и)), состоящую из граничной точки х выпуклого множества К в Rn и из ориентированной (выбором внешней для К нормали и) опорной гиперплоскости А (и) к множеству К, проходящей через точку х. Пару, из точки и идущей через нее ориентированной гиперплоскости принято называть гиперплоским элементом. Пару (х, Л (и)) мы называем опорным элементом выпуклого множества К в Rn в точке х с вектором нормали и.

Пусть ВДо)— единичный шар в Rn с центром в начале о, а и/||и|| — единичный вектор внешней нормали опорной гиперплоскости А. Тогда каждый гиперплоский элемент (х, Л (и)) можно рассматривать как точку пространства /?"Х^В1(о). Топология произведения RnX дВ^ (о) индуцирует в множестве всех опорных элементов выпуклого множества К «естественную» топологию. Для такого пространства опорных элементов компактного выпуклого множества К в Rn можно доказать следующее.

Теорема 13.1. Множество S(/() всех опорных элементов (х, Л(//)) компактного выпуклого множества К в Rn с оеК°, снабженное естественной топологией, гомеоморфно отображается на сферу дВ\ (о) отображением х . и

Ф (л:, Л («)):= =. (213)

Цщ + иИ , _

Ввиду о е К°справедливо <х, и>> 0, и потому j-^- + -^ ^ ^=0. Вектор е при этом «параметризует» опорные элементы, служит для них параметризующим вектором.

Доказательство. Отображение Ф, определенное равенством (213), является в принятой топологии непрерывным отображением Ё(/() в дВДо). Чтобы убедиться, что при этом каждая точка е0 сферы дВ\ (о) получается как образ некоторого опорного элемента (х0, Ло(ио)) из S(/(), рассмотрим множество вообще всех гиперплоских элементов (х0, Ло(ио)) в Rn с <Хо, Uo> > 0, которым по правилу (213) сопоставляется именно вектор во. Если выбрать в Rn декартовы координаты так, чтобы вектор во имел координаты (1,0, ..., 0), то из (213) для векторов х0=(^, ..., ^ и и0=(о"у“)элемента (х0, Л0(и0)),

отображаемого в во, имеем

„О„о«о„о

11,"1_ у2

(

п X1/2 Т / п xl/2/ п \1/2/ п х 1/2 •

шzm ш

/-1/\Z-1/М-1/M-I /

Отсюда следует, что «о есть вектор нормали в точке Хо к проходящему через Хо двуполостному равнобочному гиперболоиду вращения

Qe. («о): ^ - ^ - • • • - ^ = (g?)2 - ($2 - • • • - $)2 -

= /Y 1^4 и \—. а2 О

с направлением оси е0, т. е. (х0, Л0(и0)) есть касательный элемент положительной (^ > 0) полости Q+ (а0) этого гиперболоида вращения. Все положительные полости гиперболоидов вращения

Q+(«): ^-^-...~^~а2, ^>0, а ^ const > 0, (214)

заполняют в Rn «однолистно» (без просветов и налеганий) открытый конус вращения

^-^-...-^>0, ^>0,(215)

с вершиной о и осью е0. Ввиду сделанных относительно К предположений ровно одна из этих полостей — та, которая касается К, — имеет (в точке касания) касательный элемент (х0, Л0(м0)), совпадающий с опорным элементом к К в этой точке, т. е. (Хи, Л0(и0)) е 2 (/Q и Ф(х0, Ло(ио)) = е0. Этим доказано, что

Ф(2 (/<)) = дВх (о).(216)

Поскольку полость лишь одного из гиперболоидов (214) касается К, то отображение Ф обратимо. Поэтому Ф оказывается взаимно однозначным непрерывным отображением 2(/Q на дВх(о). Ввиду компактности К пространство 2(/Q тоже компактно, кроме того дйДо) хаусдорфово, и, по известной топологической теореме, обратное отображение Ф-1 в этом случае тоже непрерывно. Иными словами, Ф есть гомеоморфизм. □

Дополнение к теореме 13.1. Пусть К—компактное выпуклое тело в Rn с о^дК. Тогда совокупность S'(/Q всех опорных элементов тела К, опрные гиперплоскости которых не содержат о, отображением (213) взаимно однозначно и непрерывно отображается на некоторое подмножество сферы дВх(о).

Доказательство аналогично доказательству теоремы 13.1. □ Замечание 13.1. Утверждение теоремы 13.1 для компактного тела К с гладкой границей тривиально (см. замечание 11.2 и теорему 10.8), то же для тела К, у которого регулярны все опорные гиперплоскости. В последнем случае отображение дВх^ на 2 (/() задается правилом w/||u|| t—>^K П Л (м), Л (и)), причем обратное отображение также непрерывно, а пространство 2(/Q компактно. Здесь Л (и) — опорная гиперплоскость в внешней (относительно К) нормалью и^о.

В связи с этим дадим следующее определение.

Определение 13.2. Пусть К — компактное выпуклое тело в Rn с о е К°, имеющее гладкую границу. Тогда отображение дК в дВДо), которое сопоставляет каждой точке х е дК конец отложенного от о единичного вектора внешней нормали проходящей через х опорной к К гиперплоскости, называют сферическим отображением поверхности дК. •

Замечание 13.2. Так определенное сферическое отображение гладкой поверхности дК непрерывно по теореме 10.8. Оно является гомеоморфизмом на ^ВДо) в том и только том случае, когда все опорные гиперплоскости тела К регулярны.

Обратимся еще раз к использованному при доказательстве теоремы 13.1 семейству положительных полостей гиперболоидов вращения Q+ (а) с разными а, см. (214). Мы видели, что ровно одна такая полость Q+ (а (е0)) касается выпуклого тела К. Ее можно назвать опорной гиперболической полостью тела К в направлении е0. Эта полость ограничивает замкнутое выпуклое множество R+ (а (е0)) и замкнутое вогнутое (т. е. имеющее выпуклое дополнение) множество/?” (а(е0)). Будем называть их соответственно выпуклым и вогнутым полупространствами полости Q+(а (е0)). Некоторым аналогом следствия к теореме 3.5 служит теорема 13.2, впервые приведенная в [45].

Теорема 13.2. Каждое компактное выпуклое тело К в R" с оеК" есть пересечение вогнутых полупространств R~(a(e)), отвечающих их опорным гиперболическим полостям Q+ (а (е)) всех направлений:

к= n (217)

eedB,(o)

Доказательство. Обозначим правую часть (217) через L. Из тривиального ввиду вогнутости R' каф^ соотношения KczR~ (а (е)) следует RclL. Чтобы получить обратное включение L с К, рассмотрим произвольную точку у е R”\K. Пусть х — ближайшая к у точка тела К (она существует и единственна). Идущая через х е дК перпендикулярно и;=у— х гиперплоскость Л опорна к К. Опорный элемент (х, А (у— х)) является касательным опорным элементом для некоторой опорной гиперболической полости Q?(a(e)) тела./< с определяемым равенством (213) направлением, е, см. рис. 33. Идущий перпендикулярно Л из х через у луч Я1: z = x-V%u (т^О), ввиду соотношения

(^ + Тщ)2 — (£2 + TU2)2 —...—(?„ + ТО„)2 =

= (61 + т (у^))2 — (^2 + Т ( — yg2))2 — ...—(£„ + т (— у£„))2 =

' =(1 + Y2tW(6))2 +2ут||х||2>(а(е))2, у := ||и ||/|| х|| > О,

см. (213а), лежит целиком в отвечающем Q^ (а (е)) выпуклом полупространстве R+ (а(е)). Поэтому, в частности, yeR"\ \ Rg (а (е)), т. е. тем более yeRn\L. Поэтому окончательно Rn\K с Rn\L, т. е. Lc^R, и теорема 13.2 доказана. □

ААVefaepVefaepРис. 33Рис. 33Следствие. Каждое компактное выпуклое тело К в Rn с о е К° и опорными гиперболическими полостямиQ^ (а(е)) однозначно задается определенной на сфере dBi(o) функцией к, действующей по правилу вь->к^еу.= \= aRey Эту положительную функцию, значением которой служит длина полуосей гиперболоида вращения, уместо назвать функцией полуосей.

А

А

Vefaep

Vefaep

Рис. 33

Рис. 33

Задание К его функцией полу- v осей к лишено отмеченного в нача- ' ле параграфа недостатка. С по- - мощью функции к совсем прост переход к полярному телу К*. Именно, можно доказать следующее [45].

теоремы 13.2)теоремы 13.2)функцияфункциятелу К* отвечает функ-телу К* отвечает функ-Теорема 13.3. Пусть компактному выпуклому телу К в Rn с о е К0 отвечает (в смысле следствия полуосей к. Тогда полярному для К ция полуосей к* = \/к.

теоремы 13.2)

теоремы 13.2)

функция

функция

телу К* отвечает функ-

телу К* отвечает функ-

Доказательство. Для каждого направления еедВДо) опорная гиперболическая полость

Qt№Y Й-Й-...-1п = (кШ2>0, Si > О, (219) имеет некоторый касательный элемент (х, А(и)У который одновременно является опорным элементом (х, Д)еЕ(К) тела К. При полярном отображении л относительно дВ{ (о) по теореме 6.8 опорный элемент (х, Д) переходит в опорный элемент (х*, Д*) = (л (Д), л(х)) е 5 (К*) с направленным от К* вектором внешней нормали и* = ох, где о > 0, и с вектором х* = ри, где р > 0. Из (213) следует, что при этом

е* = е,

т. е. (х*, Д*) будет касательным элементом опорной гиперболической полости

Qt^eW- ^-?2-••• ~^ = U*(e))2> 0, §i > 0, (220) тела К* для того же направления е. Ио (х*, Д*) = л( (х, Д)) есть также касательный элемент для образа л(<2^(/г(е))) гиперболической полости Q? (А(е)) при полярном отображении л. Точки

134 ГЛ. И. АНАЛИТИЧЕСКОЕ ЗАДАНИЕ ВЫПУКЛЫХ МНОЖЕСТВ етого образа суть полюсы

№? 1 = Г —211—^2~ Лп А „ л

(е))2' (£(е))2(6(e))2 У’ 41 > U,

касательных к полости Q? (^ (е)) гиперплоскостей в ее точках (Ль Ля)- Эти полюсы сами составляют положительную полость равнобочного гиперболоида вращения с направлением оси е и полуосью 1/&(е):

n(Q+(k(e)):-^=1/(/г(е))2>0,^ > 0.

.(221)

Поскольку все (х*, Д*) суть одновременно касательные элементы для Q?(^*(e)) и для л (ф^ (^(е))), то полости (220) и (221) должны совпадать, что дает

/г* (е) = 1/& (е)

для всех е е дВх (о). □

Замечание 13.3. Отвечающая компактному выпуклому телу К в R" с о е К6 функция полуосей к является дифференцируемой, а множество опорных элементов (х, A (u) )е 2 (К) тела К допускает параметризованное значениями еедВАо) представление

X=k^- U+2<e,n(eWe-n^ и_е + п^

.(2(е, и(е))(1 + (е, п(еШ'12

где п(е)— соответствующим образом направленный единичный вектор нормали к касательной гиперплоскости поверхности, заданной параметрическим уравнением z = k^-e. Доказательство см. в [9], с. 48.■

Во второй части этого параграфа мы хотим показать, как можно с успехом использовать понятие опорного элемента компактного выпуклого тела в геометрии Минковского. С этой целью мы рассмотрим следующий перенос понятия «ортогональности» в геометрию Минковского.

Определение 13.3. Пусть Мп есть «-мерное пространство Минковского с нормирующим телом В и g— дистанционная функция тела В. Будем говорить, что в М" прямая Ga с направляющим вектором из трансверсальна к прямой Gi с направляющим вектором щ (запись Gi J G2), если

g(vi + ти2) 5s g(vi) (для любых те/?).(222)

Замечание 13.4. Условие (222) ввиду однородности функции g, см. (183) и (184b), не зависит от выбора направлений уь иа на Gb G2. Это условие равносильно геометрическому требованию, что идущая через точку хх = ^ ц е дВ (см. теорему 11.4) параллельно G2 прямая G2: y = xi + ^U2 не пересекает внут-

ренность В0, т. е. (см. теорему 3.1 и определение 13.1), что существует опорный элемент (хьД]) тела В с ОгС Др или что Xi есть точка «границы тени» тела В при освещении в направлении О2.

Очевидно, что определение 13.3 понятия трансверсальности не симметрично, т. е. из G1JG2, вообще говоря, не следует G2J Gp Каратеодори ставил вопрос о том, для каких пространств Минковского такое понятие трансверсальности симметрично. , Радон [50] для двумерного случая дал следующий ответ.

Теорема 13.4. Отношение трансверсальности, заданное ; определением 13.4, симметрично на плоскости Минковского М2 в том и только том случае, когда (в произвольно введенной в М2 евклидовой метрике) полярная фигура В нормирующей фигуры В плоскости М2 переводится в В поворотом на л/2 вокруг начала о и последующим подобным растяжением от центра о1).

Доказательству этой теоремы предпошлем лемму, также принадлежащую Радону.

. Лемма 13.1. Пусть К — компактная выпуклая фигура на плоскости R2, причем оеК°, a S(/C)— множество ее ^линейных) опорных элементов (х, А (и))-, пусть со— угол, который определяет положение параметризующего эти опорные элементы по правилу ^IS) единичного вектора e = (cosco, sin со); пусть далее 0 —^ есть {определяемый со знаком) угол между радиусом-вектором точки х и вектором внешней нормали и для элемента {х,А{и)). Тогда 0 по теореме 13.1 является однозначной функцией от со, и множество S {К) имеет параметрическое представление '

х = (р cos ф, р sin ф), и = (осозф, ст sin i|?), а > 0, (223)

, где

0)

■ Р= 7777172 ехР ctg9(®')d®', y = const> 0,(224)

(sin 0 (со)) J

■ ф = A ^2® + у — 9 (®)),.(225)

' ф = у(2®--А + 9(®)),0<®<2л..(226)

Доказательство леммы 13.1. На основании (213) и (223) легко получаем'

о-А^ + ф)^ 1(<р + (Ф + (9-у))),(227)

to — top со — too to — top со — too_ Ф — Фо Ito — too ~_ Ф — Фо Ito — too ~ющие функции от ю, см.ющие функции от ю, см.Рис. 34Рис. 34< In sin 0O — In sin (0O — ( 1< In sin 0O — In sin (0O — ( 1re) <»-“•))■(230)re) <»-“•))■(230)

to — top со — too

to — top со — too

_ Ф — Фо Ito — too ~

_ Ф — Фо Ito — too ~

ющие функции от ю, см.

ющие функции от ю, см.

Рис. 34

Рис. 34

< In sin 0O — In sin (0O — ( 1

< In sin 0O — In sin (0O — ( 1

re) <»-“•))■(230)

re) <»-“•))■(230)

откуда, см. рис. 34, уже следуют (225) и (226). Чтобы убедиться в (224), рассмотрим два опорных элемента (хо, Л(и0)) и (х,Д(и)) и определим

ДО 0 — 00/

;==L И у= Ио.(228)

Део со — to0и

Учитывая (227), получаем

Д0 1 ДО

Део '"' 2 Део ’

I со — top (ср + 6) — (фр + 0О) 1_ ДО ^1_ Д0

со — со0со — сор2 Део ""2 Део *

|^-|<2-(2ЭД

Поскольку <р и <р + 6 представляют собой монотонно возраста- рис. 34, то (229) означает, что 6 как абсолютно непрерывная функция от ы почти везде дифференцируема. (См. по этому поводу, например, [53], с. 44—47.) Заметим еще, что ввиду определения 13.1 для различных опорных элементов (х0, Д(и0)) и (х, А (и)) опорная прямая Д(и0) не может строго отделять х от о, а прямая Л (и)— строго отделять х0 от о. Это ведет (см. рис. 34) к неравенствам

р sin(0o —(ф — Фо)) ^ posin6o,р sin (6 — (фо — ф) ) ^ psin6.

Вместе о (225) это дает после логарифмирования

In sin ^8+^1In sin ^8+^1у -^-) (® — ®о)) — In sin 0< In p — lnp0<

In sin ^8+^1

In sin ^8+^1

Здесь мы дополнительно предполагаем, что опорные элементы (х0, А (ио)) и (х, А (и)) взяты настолько близкими, что все входящие в (230) логарифмы существуют.

с Д In р hi р — In р0

Если теперь рассмотреть * Дю •=—щ _ м ’ т0 по теореме о среднем, учитывая, что 0 < 0 < л, и непрерывную зависимость 0 от со, получим оценку

е > 0. (231)е > 0. (231)I I ^ Г тах । (®) i + е1 П ~1 •

е > 0. (231)

е > 0. (231)

I 1^ко<й<2л6‘2 Дм ।

При ©->(во получаем для тех ©о, для которых существует 59 (ю^)„

—0^» равенство

J^M =ctg0(^ -4-^-).(232)

Применяя аналогично теорему о среднем к функции -^ In sin О, получим оценку

Д (у In sin 9Д (у In sin 9ДеоДео<7( max |ctg0(ro)|) -т— .z \0<а><-2л/ I at0 I<7( max |ctg0(ro)|) -т— .z \0<а><-2л/ I at0 I(233)(233)

Д (у In sin 9

Д (у In sin 9

Део

Део

<7( max |ctg0(ro)|) -т— .

z \0<а><-2л/ I at0 I

<7( max |ctg0(ro)|) -т— .

z \0<а><-2л/ I at0 I

(233)

(233)

и, в точках существованияи, в точках существования50 (со0)

и, в точках существования

и, в точках существования

—dm ■, равенство

(234)(234)d(llnsin9(to0)).

(234)

(234)

^= 2 Ctg 6 (©о) •

Ввиду (231), (233), (229) функции In р и -^-In sin 0 = = In (sin 0)1/2 аргумента го абсолютно непрерывны. Поэтому они равны неопределенным интегралам Лебега от своих, почти везде существующих, производных. Складывая при этом (232) и (234), получаем

In (р (го) (sin 0 (ю))’/2) = ^ ctg 0 (со') dm' + д,д = const,

б

что дает (224) с у "•= еб > 0. □

Добавление к лемме 13.1. Пусть К — компактная выпуклая фигура на плоскости R2, причем начало о лежит на границе дК, а 2/ (К) — множество опорных элементов (как в добавлении к теореме 13.1). Пусть также го — угол, определяющий вектор е = (cos со, sin го), который по правилу (213) параметризует опорные элементы (х, А (и))е ^'(К). Кроме того, пусть, как и выше, 0—л/2 есть угол (со знаком) между х и и. Согласно добавлению к теореме 13.1 угол 0 есть однозначная функция от №. Тогда ^'(К) имеет параметрическое представление (223) — (226), где на этот раз

Фо4 < ® < Ф1 + 7.

(фо и Ф1 — «полярные» углы наклона крайних опорных прямых фигуры К в точке о).

Доказательство аналогично доказательству леммы 13.1 вплоть до оценок (231) и (233), в которых изменение го приходится ограничивать любым замкнутым подынтервалом всей области изменения го. Поэтому снова Шри ^ In sin 0 — абсолютно

непрерывные функции аргумента со, и дальнейшее доказательство не нарушается. □

Следствие леммы 13.1. Если компактная выпуклая фигура К на плоскости R2 с о е К° вместе с каждым опорным элементом (х,Д(ы)) имеет также гомотетичный ему (относительно о) опорный элемент (—а(х)х, Л(—w)), где априори переменный множитель а (х) > 0, то фигура К в действительности центрально симметрична относительно о.

В самом деле, пусть R;=dn(K') получается из К поворотом дЛ на угол л вокруг о. Тогда для угла 0, соответствующего по лемме 13.1 фигуре R, имеем

6(ю) = 0(со),0 со 2л.

Поэтому из (223), (224), (225) заключаем, что

К = — К, — = const > 0.

Y Y

Но

K = d„(K) = ldn(K) = ^K,_ "

Рис. 35-

откуда у = 1 и К=^Я(К) = К. □

Доказательство теоремы 13.4. Пусть В* — полярная фигура для нормирующей фигуры В плоскости Минковского М2, а В •.= dn№(B*^ — выпуклая область, получаемая из В поворотом на л/2 (в евклидовой метрике) вокруг начала о. Тогда по замечанию 13.4 и теореме 6.8 отношение трансверсальности, задаваемое определением 13.3, является симметричным в том и только том случае, когда углы 0 и 0 фигур В и В, как функции ш, совпадают:v

0(со) = 0(со),0(со) = 0(со),0 ^ со ^ 2л,0 ^ со ^ 2л,

0(со) = 0(со),

0(со) = 0(со),

0 ^ со ^ 2л,

0 ^ со ^ 2л,

см. рис. 35. Но отсюда, как и выше, заключаем, что

В = d^p (В*) = -^ В, ^ = const > 0. Q

Изображенный на рис. 35 пример, в котором единичным кругом плоскости Минковского служит аффинно правильный шестиугольник, показывает, что существует плоскость Минковского с симметричным отношением трансверсальности, отличная от евклидовой. Поэтому весьма интересно, что в размерности, большей двух, евклидово пространство есть единственное пространство Минковского с симметричным отношением трансверсальности. Бляшке (см. [10] и [29], теорема 1, а также — обобщение у Грубера [23]) получил, при некоторых ограничениях на нормирующее тело, следующий результат.

Теорема 13.5. Если отношение трансверсальности, заданное определением 13.3, в пространстве Минковского размерности п^ 3 симметрично, то это — евклидово пространство Rn.

Для доказательства используем следующую интересную саму по себе лемму (см. [27], теорема 1).

Лемма 13.2. Пусть К — компактное выпуклое тело в п-мер- ном аффинном пространстве Ап. Тогда среди содержащих К телесных эллипсоидов Е в Ап существует единственный эллипсоид Ео наименьшего объема1). Если при этом К центрально симметрично относительно о, то и Ео имеет центром о.

Доказательство леммы 13.2. Зафиксируем евклидову метрику. Поскольку в К найдется внутренняя точка уо, то длины полуосей любого эллипсоида Е zd К ограничены снизу. Поскольку нам достаточно рассматривать эллипсоиды Е тз К ограниченного сверху объема, то длины полуосей ограничены и сверху. По компактности (например — по теореме Вейерштрасса, примененной к координатам центров и координатам векторов полуосей эллипсоидов минимизирующей последовательности) тогда существует хоть один эллипсоид До наименьшего объема 1/0.

Допустим, что кроме Ео есть еще один телесный эллипсоид Е-^ К такого же объема V) = Vo. В некоторой аффинной системе координат

.Ео: £^<1,(235)

"Б,-“<>°-(230)

Определим новый телесный эллипсоид

ЕгМ тЕ^Н-^^)^1’<237>

влн, что то же -

нены неравенстванены неравенства

нены неравенства

нены неравенства

Из (235), (236), (237) следует, что Д1/2гДДоП ДО^3 К0, поэтому EV2 есть невырожденный телесный эллипсоид. При этом выпол

(238)

*) Выбор евклидовой метрики, используемой для определения объема, вдесь не играет роли. См. также примечание в скобках к Определению 7.2.

(по неравенству между средним арифметическим н средним геометрическим для чисел 1 и 1/а2) и

1Ж_<2 1 + а,1Ж_<2 1 + а,1.1.(239)(239)

1Ж_<

2 1 + а,

1Ж_<

2 1 + а,

1.

1.

(239)

(239)

Поэтому, с учетом соотношения Для 71/2Поэтому, с учетом соотношения Для 71/2Vi =Vi =V0 = V0, имеемV0 = V0, имеем

Поэтому, с учетом соотношения Для 71/2

Поэтому, с учетом соотношения Для 71/2

Vi =

Vi =

V0 = V0, имеем

V0 = V0, имеем

2 1 + а, )2 1 + а, )v0=v0.v0=v0.(240)(240)

2 1 + а, )

2 1 + а, )

v0=v0.

v0=v0.

(240)

(240)

Но 70 — минимальный объем. Поэтому здесь должно быть равенство, что требует равенств в (238) и («239). Отсюда все а/ = 1 и все ^ = 0, т. е. Ех = Ео.

Этим доказана единственность Ео. Его границу дЕо по имени первооткрывателя этой леммы называют эллипсоидом Лёвнера тела К.

Если К центрально симметрично относительно о, то при отражении относительно о, самосовмещающем К, должен самосо- вмещаться и единственный его эллипсоид Лёвнера дЕо, т. е. и Ео имеет о центром симметрии. Лемма 13.2 доказана полностью. □

Доказательство теоремы 13.5. Нам надо доказать, что если пространство Минковского Мп при и ^ 3 обладает симметричным отношением трансверсальности, то его нормирующее тело В обязательно является .телесным эллипсоидом. Для этого мы сначала докажем, что пересечение В с любой проходящей через центр о тела В двумерной плоскостью Л2 является (телесным) эллипсом.

Рассмотрим, существующее ввиду п ^ 3, содержащее плоскость Л2 трехмерное подпространство Минковского М3 то Л2 пространства Мп. Очевидно, для нормирующего тела В3 пространства М3 справедливо

взПЛ2 = ВПЛ2, (241)

поэтому нам достаточно убедиться, Что В3 П Л2 есть телесный эллипс с центром о. Введем в М3 евклидову метрику и построим полярное к В» тело В*. Количество вершин у В* не более чем счетно, причем каждая вершина связана с особенностью дистан-

нионной функции тела В3, см. теорему 11.6. По теореме 12.2 эта же функция служит опорной функцией для В3. Те же особенности опорной функции по теореме 12.6 связаны с 3-сингу- лярными опорными плоскостями тела В3 (в пространстве М3, в смысле определения 12.8). Поэтому у В3 количество таких опорных плоскостей не более чем счетно. Пусть теперь G— любая лежащая в плоскости А2 опорная к В3ПЛ2 прямая, отличная от не более чем счетного числа прямых, по которым А2 пересекают 3-сингулярпые опорные плоскости тела Ва. Мы покажем, что на плоскости А2 у фигуры В3ПЛ2 середины всех хорд, параллельных прямой G, лежат на некоторой прямой D.

Зафиксируем (существующие по теореме 3.1) опорную к В3 плоскость А, в которой лежит прямая G, и точку XosGQS3. По выбору прямой С = ЛГ)Л2 пересечение A Q В3 не более чем одномерно. Представим себе, что тело В3 освещено в направлении прямой L, проходящей через Хо и лежащей в А, и I =А= 0 — направляющий вектор прямой L, причем L N= aff (Л Q В^ . По замечанию 13.4 любая трансверсальная к L прямая параллельна опорной плоскости тела В3, которая проходит через граничную точку -^у (где g— дистанционная функция тела В3 в пространстве MnY Пусть ВЩ— плоскость, проведенная через о параллельно этой опорной плоскости. Предположенная симметрия трансверсальности в Мп, а потому и в Л13, влечет, что при выбранном освещении граница тени на дВ3 содержит пересечение дВ3 с плоскостью B^LY При параллельном проектировании пространства Л13 в направлении прямой L на плоскость B(L) эта граница тени, а потому — и точка х0, проектируются на границу дВ3^\В(,Ц выпуклой фигуры B3QB(B), лежащей в плоскости ВЩ Если бы г0 ^ дВ3Г\ B(L), то множество L Г) В3 было бы одномерным, что не соответствует выбору L. Таким образом, для всех прямых L N= aff (Л Q В3) имеем

х0едВ3ПВ(В). (242)

Это остается верным и при Во = aff (Л Q В3), если плоскость В (Во) выбрана как предельная для B(LV) при Bv->Bo, BV#=BO, v= 1,2, ... ; при этом dB3 Q В (Во) тоже содержится в границе тени при освещении в направлении Во.

Пусть теперь о' ■— любая отличная от ± х0 точка отрезка с концами —х», х0 и серединой о, и А'— идущая через о' плоскость, параллельная плоскости А. Тогда А' пересекает В3 по компактной выпуклой фигуре Л'П^з с о'е (Д'Q В3)°. Пусть В' — регулярная (в смысле определения 12.2) опорная прямая этой фигуры в плоскости А' и х'— единственная точка касания этой фигуры с В'. Пусть далее В — проходящая ^ерез х0 прямая, параллельная U. Если теперь осветить тело В3 в направлении U, то плоскость В (В) пересечет границу Д'ПдВз фигуры

Л'П^з в точке х' и (ввиду следующего из (242) и оеВ(£) соотношения o/@B(L)) еще в одной точке о' — а(х,)(х/— о'), где а(х')>0, с опорной к Д'ПВз прямой, параллельной L'. Поэтому для всех тех опорных элементов (х', L') фигуры Д'ПВ3, У которых L' регулярна, будут выполнены условия леммы 13.1. То же верно и для опорных элементов (х', £') с сингулярной опорной прямой L'. В этом можно убедиться предельным переходом к опорным элементам (х', £') и (х^, £') с точками Хр Xg, служащими концами отрезка L' Г) (Д' П В3), если приближать их «снаружи» опорными элементами с регулярными опорными прямыми. На основании следствия к лемме 13.1 заключаем, что фигура Д'ПВз центрально симметрична относительно о', и то же справедливо для А П В3 относительно Хо и для (—Д)ПВ3 относительно —х0, достаточно рассмотреть А'-* А и Д'->(—Л). Но отсюда следует, что середины хорд лежащих в А2 и пересекающих ВзПД2 прямых, параллельных О = Д2ПД, лежат на прямой /), проходящей через точки о и хо.

Теперь мы подошли к тому, чтобы применить теорему 13.2. Доказанный только что факт означает, что фигура ВзГ) Д2 переходит в себя при аффинном отражении в направлении G относительно прямой D. То же верно по лемме 13.2 для аффинно инвариантно связанного с В3 Q А2 наименьшего по площади телесного эллипса Во, содержащего В3ПД2 (см. конец доказательства леммы 13.2). Если zo— одна из точек касания дЕ0 с В3 П Д2, a Gzo — идущая через zo параллельно G прямая, то

Gz„ П (В3 П Д2) = Gz, П Ео- (243)

Ввиду выбора G равенство (243) справедливо для каждой идущей через zo прямой, за исключением не более чем счетного числа прямых. Отсюда по замкнутости фигуры Ва Q А2 можно заключить, что

5зГИ2 = Ео.

Тем самым, ввиду (241), доказано, что симметричная относительно о фигура В^А2 представляет собой заполненный эллипс с центром о.

Наконец, нам еще надо показать, что само В есть телесный эллипсоид с центром о. Для этого мы докажем более общее утверждение.

Если каждая идущая через точку о плоскость А2 пересекает центрально симметричное относительное о выпуклое тело К в Ап при п"^2 по (заполненному) эллипсу, то К — телесный эллипсоид. Это можно проверить индукцией по размерности п. Утверждение тривиально при п = "^. Пусть оно верно для размерностей, меньших п. Зафиксируем точку хоедК и опорную к К гиперплоскость А, идущую через х0. Через начало о^Д проведем параллельно А гиперплоскость До. Она пересекает К по

(л— 1)-мерному эллипсоиду. В подходящей системе аффинных координат с началом о точка Хо будет иметь координаты (0, ... ..., 0, 1), а эллипсоид ЛГМо—задание |2 +•••+?„_[ ^ 1» ^ = 0. Пусть Е — эллипсоид в Ап с заданием ^ + • • • + ?л ^ *. Рассмотрев его пересечения со всеми содержащими прямук» о V Хо плоскостями А2, мы убедимся, что ■

ЛПЛ2 = £ПЛ2,(244)

так как каждый эллипс К Г) А2 ввиду опорного свойства гиперплоскости А имеет тот же сопряженный диаметр, что и эллипс £ПД2. Но из (244) ввиду Ап= (J Д2 следует

Л1 D О V * •

К = Е,

что доказывает наше последнее утверждение и завершает доказательство теоремы 13.5. □

Относительно многих других характеризаций (телесных) эллипсоидов среди других выпуклых тел см., в частности, [14], стр. 142—143.

Глава III

ФУНКЦИОНАЛЫ НА КОМПАКТНЫХ

ВЫПУКЛЫХ МНОЖЕСТВАХ

Метрика Хаусдорфа и аппроксимация компактных выпуклых множеств

Задача этой главы — определить для компактных выпуклых множеств их широко известные числовые меры и изучить свойства последних. Важную роль играет непрерывная зависимость вводимых численных характеристик от выпуклых множеств. Поэтому в этом параграфе мы введем понятие сходимости выпуклых множеств. Для этого снабдим класс Жп непустых компактных выпуклых множеств в Rn подходящей топологией. Она вводится с помощью метрики.

Определение 14.1. Пусть Жп — множество всех непустых компактных выпуклых множеств в /г-мерном евклидовом пространстве R", и пусть Ki,K2^ ^п. Равенство

d (/((, К^ := max { sup inf d(xf, х2), sup inf d (xh x2)}, (245)

где d(xb x2) = ||x2— xi|| — евклидово расстояние между точками Х[ и х2, определяет хаусдорфово расстояние между выпуклыми компактными множествами Ki и Ka. В случае одноточечных множеств это расстояние совпадает с евклидовым.

Замечание 14.1. Из определения (119) внешнего параллельного на расстоянии р > 0 тела КР для непустого выпуклого множества К в Rn следует равносильное (245) выражение для хаусдорфова расстояния между Ki и Ka".

d^Ki.Ka) = inf р.(246)

^1 с= (^г)р' ^2 с (^1 )р

С помощью замечания 14.1 нетрудно доказать удобную для практического нахождения d^Ki, Ka) теорему.

Теорема 14.1. Если Ki.Ka^^n— непустые компактные выпуклые множества в Rn с опорными функциями hb h2 (см. § 12), то

d(Ki, К2) — max | h2 (и) — h] (и) |,(247)

и s dBv (о)

Здесь дВг(о) — единичная сфера в Rn с центром в начале о.

Доказательство. По (202), (119) и теореме 12.4b) совместные включения Kicf^jp и ^2cд(^l)p равносильны одновременному выполнению неравенств

hi («X h2 (и) + Р11«11, ft2(«XM«) + Pll«ll. “^ '

' т. е. при и е дВх (о)

— р ^ A2(u) —Ai(u)^ р.

Но отсюда следует

inf р = inf р = sup | /i2 (u) — /i! (и) |.

К, cz (КЛ, К, <= (КЛ- |/12 (и)-А| (и) к Р иедВ.ЮУ

1 v 21 i/риедВ, (о)1

Ввиду (246) и непрерывности выпуклых функций hi, h2 и компактности сферы дВу^ это дает (247). □■

Из доказанной теоремы 14.1 и теоремы 12.4b) вытекает

Следствие 14.1. Пусть К\, ..., К^ и К\К^ — элементы класса 5£п, а Мkm— неотрицательные числа с mm

£ Xt > 0. Тогда для хаусдорфова расстояния между £ XJC, и

£ XtK2t kCM- теорему 8.5) справедлива оценка ’

/ тп ■tnхпг

d I М}, 2 W < Е М №. К% (248) xi=li=l/ i = l

Замечание 14.2. По теореме 14.1 хаусдорфово расстояние обладает свойствами:

d №, /<0 = 0, d (Ку, Кг) > 0 при Кх ^ Кг» (249а) dUCi, K2} = d(K2, M,(249b)

d №, Кз) < d (Ki, Кг! + d (K2, Ka),(249c)

T. e. класс Жп с введением расстояния d становится метриче-

' ским пространством. Топологию, индуцированную в 3tn метрикой d, называют хаусдорфовой топологией пространства Жп.

Это ведет к естественному определению сходимости последовательности {/Cv}veW в ^п-

Определение 14.2. Последовательность {/Cv}veW элементов К? е У£п называют сходящейся к элементу Ко е Жп (запись: Ко = l*m ^v), если

lim d^Ko» К^ = 0.(250)

Приведем пример заключения о сходимости последовательности.

Теорема 14.2. Пусть {TCv}4sN— последовательность вложенных друг в друга К' тз К2 сэ ... непустых компактных выпуклых множеств Kv в Rn. Тогда эта последовательность схо-

дится к непустому компактному выпуклому множеству К, являющему пересечением всех множеств Kv (см. лемму 7.2):

lim /(v = 7<:=n к'”.(251)

V->oov=l

Доказательство. Пусть е>0 и Кг — внешнее параллельное (на расстоянии е) множество для К. Покажем, что существует такое vo(e) е N, что

Kv ст Ке при всех v > v0(e).(252)

Допустим, что такого vo(e) нет. Тогда Kv ф Ке при всех v, и последовательность {/<v П (Rn \ /C°)}VE N состоит из вложенных друг в друга непустых компактных множеств. По лемме 7.2 у них будет непустое пересечение D. Но Z) = /С П (Ra \ Кг) с ст К А (^П\Л)=0> и мы пришли к противоречию. Этим доказано (252). Поскольку при любом ve^ верно КаК', то

К с Кг <= (К') 6. v—1,2 (253)

и из (252), (253) и замечания 14.1 следует

d(K, К^^е при всех v>v0(e),

т. е. lim Kv = К» что и утверждалось в теореме 14.2. □

Теорема 14.3. Пусть lim Kv ^ Ко, где К11, Ко е. 3f п\ v =

= 1,2, ... Пусть Rm (0^т<«) есть т-мерное подпространство евклидова пространства R*11 и при каждом v е N выполняется Kv[\Rm^=0, а также (Ko)QARm ^0. Тогда в смысле сходимости в Rm

lim ЦС A Rw) = Ко A Rm-(254)

V-»oc-

Доказательство. Теорему 14.3 достаточно доказывать для частного случая m = п — 1 > 0, тогда общий случай получается последовательным сечением гиперплоскостями. При m = 0 утверждение вообще тривиально.

Зафиксируем точку Хо ^ (Ко)0 A Rn~l и такое число 6 > О, что шар В6(хо) содержится в Ко- Ввиду сходимости lim К^ = Ко и замечания 14.1 число 6 > 0 можно выбрать таким, что Вб+8(х0)с: Ко cz(Kv)e для некоторого е>0 и всех v>v0(e). Тогда шар В6(х0) по (202) содержится во всех К* при v> >v0(e). Поскольку сходимость последовательности множеств не утрачивается, если отбросить копейное число ее начальных членов, то мы можем, не нарушая общности, считать, что при всех v gN

Вь(хо)С2Ко, Вь(хо)сК\(255)

Аналогичным образом из ограниченности Ко и справедливости включений Kvc:(7<o)e при v>vo(e), мы вправе заключить, что существует достаточно большое у > О, при котором для всех v Е N

Ко<=Ву{хо), Kv<=Bv{x0).(256)

Выберем теперь произвольное е > 0 и рассмотрим пересечение {Ко) е A Rn-1. Для границы этого пересечения (границы в пространстве Rn~x) справедливо

((Ко)е A R'-')\ ((Ко)в A R"-1)0 = д{(Ко)в)A Rn"v.(257)

Пусть <е d{{Ko)6)f)Rn-x. Тогда существуют точка Zoe<o, для которой

llz — z0||=e,(258)

и идущая через Zo перпендикулярно ZoZ опорная к Ко гиперплоскость А в Rn. Рассмотрим обе точки Х\, х2 в Rn, которые находятся от хо на расстоянии б и проектируются в Rn~x в точку х0 (см. (255)). Хоть один из отрезков XiZ0, х2г0 пересекает R"-1. Не ограничивая общности, считаем, что это отрезок xxzo. Его точку пересечения с Rn-Y обозначим t/ь Поскольку xi е Ко и Zo е Ко, ТО

Ух е Ко A Rn~Y.(259)

Кроме того по построению ух, в случае ух ^г0, имеем из (256) следующее неравенство для углов

Z (zQyxz) > Z (Х1У1Х0) > а0 := arctg -^.(260)

(Здесь Z_(xiX2Xa) означает величину внутреннего угла при вершине Х2 в треугольнике xix2x3.) Из опорного свойства гиперплоскости А имеем

Z_(yizoz) л/2,(261)

поэтому

Z(zQyxz)^.(262)

По теореме синусов для треугольника yxZoZ с учетом (258), (260), (262) получаем

причем это неравенство тривиальным образом верно и в исключенном выше случае ух = г0, т. е. когда Hz— yi|[=[|z—z0||=e. Но неравенство (263), с учетом (259), выбора z и (257), озна* чает, что

(№ A Rn~^ \(№ A Z?^')^ (к0 A Kn-1)e/slnao.

Отсюда, учитывая (39) и (38), получаем

№ П Л”-1 = conv (ext ((Л0)8 П /?”'*))<=

с: conv (((К0)Е П Я^ЫГО. П Rn~TMK0 Л Rn-Xina„- (264>

Совершенно аналогичным образом, заменяя Ко на К'1, имеем для любого v е N

(tWWnr’L,., (265)

с той же, не зависящей от v, постоянной а0, что и в (264), см. (260).

Теперь можно следующим образом обосновать сходимость (264) для случая т = п— 1>0. Ввиду сходимости lim К^ = Ко по замечанию 14.1 имеем Лус:(Ло)е и Косс^К^г при всех v > v0(e). Отсюда по (264) и (265)

К" n Rn"Y с (Ко П /?'i"1)P/slnao, Ко П Rn"v С (Г п КпЛ^па„ при v>vo(e), т. е. в смысле сходимости в классе Жп-\ верно 11m (К1 П Rn'v^ = Ko П Rn-1. Ввиду сказанного в начале доказательства, это доказывает всю теорему 14.3. □

Замечание 14.3. В теореме 14.3, вообще говоря, нельзя отказаться от условия (Ло)0 Л Rm N= 0. Это показывает пример последовательности треугольников в /?2, каждый из которых имеет с прямой R1 одну общую вершину, но сходятся они к треугольнику, имеющему на R1 целую сторону.

Вернемся еще раз к метрике и топологии Хаусдорфа в пространстве Жп Всех непустых выпуклых компактных множеств евклидова пространства Rn. Изящно доказывается следующая теорема, которая полезна для получения идущего за ней широко используемого результата.*

Теорема 14.4. Пространство Жп относительно хаусдорфовой метрики d является полным,, т. е. в нем каждая сходящаяся в себе последовательность Коши {^V}vsiv сходится к соответствующему элементу Ko^^V Здесь, как обычно, последовательность Коши характеризуется свойством:

diK^, К*) < в для всех V,veN при V ^ v > V! (е). (266)

Доказательство. Рассмотрим монотонно убывающею (по включению) последовательность множеств

Lv := conv ( U , v=l, 2, ...(267)

\|i=v/

Из (266) следует, что К.'1 с (/С 1е)+*)8 при любом в > 0 и всех

v>Vi(e). Поэтому по теореме 2.6 множества £v суть непустые компактные выпуклые множества в Rn. По теореме 14.2 последовательность £*, L2, ... сходится к непустому пересечению n £v =: Ко е ^п- В частности, при любом е > О

V=1

Kv с £v с (Ко) е npHv>v0(e).(268)

Но ввиду (266)

К^ с (К^е при v' > v > V! (е), я потому, ввиду (267), по замкнутости и выпуклости (Kv)e будет

Ко<= £v <=(Kv)e При V > Vi(e).(269)

Из (268), (269) следует, что при v>max(vo(e), vje)) выполняется d(Ko, Kv) е, т. е. lim Kv = Ko^ ^п- D

Для доказательства достижения экстремальных значений различными непрерывными функционалами в Мп важна локальная секвенциальная компактность пространства Жп. Она выражается следующим утверждением.

Теорема 14.5 (теорема выбора Бляшке [11], с. 79). Из любой последовательности {KV}V^N равномерно ограниченных непустых компактных выпуклых множеств Kv s Жп можно выбрать сходягцуюся подпоследовательность, пределом которой будет некоторое компактное выпуклое множество Ко е Жп.

Доказательство. Из равномерной ограниченности множеств К'1 следует существование в Rn некоторого замкнутого куба Qn, в котором содержатся все Kv. Обозначим а длину ребра куба Qn. Будем, деля пополам все ребра куба, разбивать Qn, а затем и каждую из полученных частей на прилегающие равные замкнутые кубы. При ц-м разбиении получится 2»*” частичных кубов с длиной ребра а/2*1 (ц= 1,2, ...). Затем сопоставим каждому элементу К'1 нашей последовательности однозначно определяемый набор тех частичных кубов первого разбиения, которые имеют с К4 непустое пересечение. Так как при первом разбиении есть всего 2" кубов и потому конечное число 22 их различных наборов, то по принципу Дирихле найдется бесконечное число разных К\ порождающих один и тот же набор кубов в первом разбиении. Эти /<v образуют первую подпоследовательность {№’v}veV из {-^v}vsW- Сопоставим каждому №•'’ набор тех кубов второго разбиения, которые задевают этот К1-', и вновь выберем, уже из {^',v}veW подпоследовательность {K v}vsV множеств, порождающих один и тот же набор кубов второго разбиения. Аналогично строятся содержащиеся

каждая в предыдущей подпоследовательности {K1,v)vejf, ' 'ke.v' ••• такие, что множества ц-й подпоследовательности имеют один и тот же набор задающих эти множества кубов ц-го разбиения. Отсюда следует, что каждая точка множества К**'' принадлежит кубу ц-го разбиения, имеющему хоть одну общую точку с любым другим множеством К11'4. И обратно, для Ку"'1 и /<M"V. Вместе с замечанием 14.1 это дает

d ^К?"\ КУ" v ) ^ ~ лУп при любых щ v, V е N. (270)

Здесь -^ Vй — длина диагонали куба ц-го разбиения. Из (270) следует

d(jC’\ ^^ V ) ^ "^j7 Л^ ПРИ В, р'» v> V е N и ц'^ц, (271)

поскольку при цх ^ ц множество /С'v есть одно из множеств Ive N"

Рассмотрим теперь (следуя восходящей еще к Г. Кантору идее) «диагональную» подпоследовательность {К^’^ед,- Она также является подпоследовательностью из {-Kv}vsJV, так что ее элементы мы можем обозначить

^=1, 2, ...(272)

Для нее (271) дает

d (К'1*', К'1^ ^ -^ л/п при ц, ц'е А- и /> ц.

Но это означает, что диагональная последовательность (272) есть последовательность Коши, см. (266), и по теореме 14.4 она сходится к некоторому Ко ^ ^л. Теорема 14.5 доказана. □

Следующая теорема будет важным инструментом для всей этой главы. Она говорит, что множество 5% всех выпуклых многогранников пространства Rn плотно в пространстве Жп.

Теорема 14.6. Пусть К — непустое компактное выпуклое множество в Rn и е > 0. Тогда существует выпуклый многогранник Р в Rn, для которого

d(K,P)^e.(273)

Поэтому в Rn существует и последовательность {Pv}vsW выпуклых многогранников Р^, сходящихся к К

lim Pv = К.(274)

(275)(275)Доказательство. Пусть (Ве(х))°— открытые шары с центрами в точках x@.Rn и радиусами е > 0. Семейство {(Вв(х))°П К^хеК образует для множества К как подпространства Rn покрытие. Из предположенной компактности R следует существование конечного подпокрытия {(Вв(хО)°П R^i—i* множества R, где хь ..., x^eR. Отсюда

(275)

(275)

К = U №е (х,))° П К) с U Вв (х,).1-1Z-1

Теперь сам напрашивается выбор многогранника Р ; = conv{xi, ..., х^.

Тогда из (275) имеем

Кс и BK^ = Pe,

xgP

а из выпуклости R следует обратное .PcRcR,.

Вместе это дает d^R, Р)^а. Существование сходящейся к К последовательности выпуклых многогранников Pv следует теперь из определения 14.2. □

В заключение этого параграфа докажем еще один факт, полезный для дальнейшего.

Теорема 14.7. Пусть Ro— произвольно фиксированное непустое компактное выпуклое множество в Rn, а о — начало координат. Обозначим &n(Ro) класс всех ReWn, которые могут быть представлены в виде

к

K-LWRoy(276)

аде Я,^0Х^О, 52^1 = 1, b°vb°k — вращения вокруг о. Тогда существует последовательность {^v}veW> Rv г е^.До), для которой

■Jim К'- = Вр, (о),(277)

где Вр„ (о) — замкнутый шар с центром о и некоторым, зависящим от Rn, радиусом р0 ^ 0. (Случай ро = О возникает, когда Rn— точка.)

Доказательство. Заметим, что вместе с каждым Re е &,i(Ry) его образ b^R) при любом вращении Ь° вокруг о тоже принадлежит ^>«(/<о). Точно также из Ri, ..., Rm е

^3)пкКо), как показывает простое вычисление с использованием (106а,Ь), следует, что и Е Hz^z ^ ^п (Ко), когда Z-I т

Н1>0, ..pm>0, L Hz = 1- 8 — 1

Пусть теперь р(К)—радиус наименьшего содержащего К шара с центром в о, a h — опорная функция множества К. Ввиду непрерывности h и неравенства h (u) ^ 2h(о)—h(—п), верного для всех и е Rn, имеем, согласно (202) и (247),

р(К) = max й(м) = шах | й(«) | = d({o}, К) ^0.(278)

не 6 В, (о)не ЭВх (о)

ОпределимОпределим

Определим

Определим

(279)(279)Ро := inf р (К).

(279)

(279)

К^п (К»)

Тогда существует минимизирующаяпоследовательность

{Kv}vew, К'4 е. Фп^Ко), Для которой

lim p(kv) = Po.(280)

V -> ОО

Последовательность множеств Kv заведомо равномерно ограниченна, так как для любого КеЗ)п(Ко) ввиду (278), (276), (248) имеем

Р (К) = d ({о}, К) = d ( L(К)) <

\Z=1Z—1/

ик

<.^td^oV b^K^-^M^Y K0) = d({o}, K^ = V^,

t. e. К с Вр (К} (о) с ВрскДо). Поэтому по теореме 14.5 существует подпоследовательность {К^ц^д, из ^v\gN» сходящаяся к компактному выпуклому телу Ко е Хп:

^0= lim/<vn.(281)

Ц,—► ОО

Из (278), (281) и непрерывности хаусдорфовой метрики в пространстве Жп заключаем, с учетом (280), что

Р (Ко) = d ({о}, Ко) = d ({о}, lim К4») =

Ц,->оо

= lim d ({о}, KV) = lim р (kvh) = Ро. (282) ц,->ооЦ->°°

В случае ро = О доказательство теоремы 14.7 уже готово, так как Ко в этом случае (см. 282) есть точка о, т. е. вырож-

денный шар So (о). В случае ро > О мы докажем от противного, что

К0 = ВрДо).(288)

Допустим, вопреки (283), что £0 есть собственная (не совпадающая с ВРо(о)) частыпара ВРо(о). Тогда опорная функцияА0 множества ^о ввиду (202) принимает в некоторой точке м0едВ1(о) меньшее, чем ро, значение. По непрерывности функции Но ее значения будут меньше р0 на дВДо) в целой окрестности (/6(м0) точки «о, задаваемой условием ^e(u0) = {y | Цу|| = 1,1|у— мо!1< б}, где 6 > 0. Из покрытия сферы дВДо) окрестностями {(/б (и)}иейВ(0) с тем же б можно выбрать конечное покрытие {t76(Mz)}>=iт, мь ..., итЕгдВДоУ Обозначим bi (t=l, ..., m) повороты вокруг о, которые переводят (7л(ио) в иДи?), и рассмотрим множество К\ е Жп, определяемое равенством

т

^:=Z^5'№)-(284>

1-1

Для его опорной функции Ri по теореме 12.4b) имеем

,h\(.u) = ^-^ho((bOi) '(и)), медВДо). (285)

Z-1

m

Теперь примем во внимание, что, ввидудВДо) = (J иДиД, для любого иедВДо) найдется такое t'oe{l, ..., m}, что ме(/б(м<„) и

h^b^ ‘(«Хро,■

тогда как для остальных номеров i=/=i0, согласно (278), (282) заведомо

йо(б/) ‘(иХр0.

Поэтому из (285) следует

ЯДи) < ро при всех медВДо).

' Это, вместе с (278), дает

p(^D= max йДиХро.

и е дВ> (о)

Положим теперь

е0 := ро —р(£1) > 0.(286)

Ввиду (281) найдется хоть один номер ii-jEN, при которома (Ло, < е0.

Тогда из (284), (248) имеем

,т^т

d(КМ) < £ d (^ (Ко). 61 (КМ =

Xi-V/Z-l

^^^d^ кМ<в», что вместе с (278), (286) дает \z-i/\ z-l/

/ mv

< d ({o}, KJ + d ( £„ £ ± 5? (KM) < P (Ki) + e0 = Po. XZ-l/

Но, согласно сделанному в начале доказательства замечанию,

т

множество У, — Ы (КМ как и само множество К*0, принад- Z = 1

лежит классу S>n(Ko). Поэтому последнее неравенство противоречит определению (279) для ро. Это доказывает равенство (283), откуда ввиду (281) следует, что lim К1* = Вр, (о), где Ц->оо

Kvm- е 2)п (Ко)- Тем самым верна теорема 14.7. □

Упражнения

Пусть К, L — компактные выпуклые множества в Rn, а Кр, Lp — их внешние параллельные на расстоянии р > 0 множества. Доказать, что d (^p, Lp) = d (К, L), d (К, Kp) = р.

Пусть Кь Кг, Ц, Li — компактные выпуклые множества в Rn. Доказать, что

d(conv(Ki U KiY сот (Lx U £2)Х max {d (Кх, LVY d (К2, L^Y

Пусть {^}vew. {/.v}Ve№ сходящиеся последовательности компактных выпуклых множеств в Rn и /C0:=.lim Kv, Lo: = lim L\ Доказать, V->ooу->оо

что в этих условиях из К'' с Lv (v=l, 2, ...) следует Ко с Lg.

Пусть {Kv}vejy—последовательность из класса 3£п всех непустых компактных выпуклых множеств в Rr, причем lim Kv=:Koe3fn. Пусть выделено в Rn m-мерное (0 ^ т < п) подпространство Rm, причем для всех v е ^ не пусто К'1 П Rm. Доказать, что тогда Ко П Rm ^ 0. (Ср. теорему 14.3.)

Доказать, что в R" существует такой счетный клас< 9^ выпуклых многогранников, что любое непустое компактное выпуклое множество К в R" может быть приближено (в смысле хаусдорфовой метрики) с любой точностью многогранниками класса ^“ (см. теорему 14.6). Указание: использовать разбиения Rn на решетки все более мелких кубов.

§15. Объемы линейных комбинаций компактных выпуклых множеств. Смешанные объемы

В этом параграфе мы намерены изучить зависимость объема линейной комбинации компактных выпуклых множеств в Rn от коэффициентов этой линейной комбинации. При этом мы в частности, изучим тот ход мысли, с помощью которого Минковский нашел путь для введения соответствующих мер в теорию выпуклых множеств.

Определение 15.1. (Конечная) n-мерная мера Лебега компактного выпуклого множества К в n-мерном евклидовом пространстве Rn называется объемом множества К и обозначается V^KV

В этом определении выпуклость К не существенна. Заметим еще, что любое ограниченное выпуклое множество К в Rn имеет конечную п-мерную меру Лебега. Действительно, пусть dimK==n; по лемме 1.1 для точки xqs№ справедливо соотношение

Jj (х0 + ^ (К\ х0)) = К° С К с К,

из которого для лебеговой меры ц заведомо измеримых множеств К° и К имеем

Н (К0) = Ит ц (х0 + (К \ х0)) = (Нт (н (Ю- Н (К).

Поэтому K\R° есть, часть множества К\К° меры нуль и потому измеримо, а К = К0 U(K\K°), откуда [л(К)=ц.(К0)=щ(К). Для простоты далее рассматриваются только компактные выпуклые К в Rn.

Замечание 15.1. Объем любого множества К из класса Ж п всех непустых компактных выпуклых множеств в Rn неотрицателен-, он равен нулю тогда и только тогда, когда dim К •< п. (Тривиально!)

Замечание 15.2. Объем V(K) любого КгЗ£п инвариантен относительно движений и обладает свойством однородности

V(XK) = W(K), Х^О.(287)

(Тривиально!)

Для дальнейшего весьма важно свойство непрерывности объема К(К).'

Теорема 15.1. Соответствие Kv—>V^K^ определяет на классе Жп вещественнозначную функцию, непрерывную в хаусдорфовой топологии на 36 п.

Доказательство. Поскольку хаусдорфова топология на 36 п (см. замечание 14.2) индуцируется метрикой, то нам доста-

точно проверить, что для любой сходящейся последовательности {/(v}vgJV, К^еХп, справедливо

V Л1т К Л = lim V (/<v).(288)

\V->oo / V->oo

Обозначим Ко = lim Kv e Ж a • и рассмотрим два случая: V->oo

dim Ко — п и 2) dim Ко < и.

Случай 1). Не ограничивая общности, считаем начало oeRn лежащим внутри Ко- Найдется такое 6 > 0, что шар Ss(o) с центром о и радиусом б лежит в Ко- Так как /<o = limA"v, то

V->oo

б>0 можно выбрать таким, что Be+e(o)c:(/<v)e при всех v>v0(e). Не теряя общности, считаем, что Во (о) содержится во всех К”. Из сходимости {/0%^ к Ко следует, по определению 14.2 и теореме 14.1, что для любого е>0 существует такое v0(e)e N, что при v > vo(e)

|/iv(n)— /г0(«)|^е при всех медВДо), (289)

где hQ, h?— опорные функции тел Ко, Kv. Далее, из выбора 6 следует

/г0(и)^б, /zv(«)^6, иедВ\(о), v>vo(e). (290)

Из (289) и (290) находим

№ («X й0 («) + е < (1 + -у) h0 (и),

Mu№v(u) + e^(l +£) h^uY т. е.

(1 +y)~%M<XuX(l +|)М«), или

(1 +|)"‘кос^с(1 +у)/<0,V>V0(8),

см. (202) и теорему 12.4b. Вместе с (287) это дает

С1 + f У"^ VKo^v ^) < (1 +1)" V (Ко),

т. е., ввиду lim (1 4--5-] = 1, справедливость (288).

Случай 2). Пусть т := dim Ко < « и Qm — содержащий Ко куб в aff Ко с длиной ребра у > 0. Ввиду сходимости К*Ко для каждого е > 0 существует такое vo(e) е N, что при v > vo(e)

К'1 с (/<0)е с (Qm)e с Qm X Qn-mi

где Q'm — гомотетичный Qm куб с ребром у + 2е, a Qn-m— ортогональный к Q'm куб с ребром 2е, Отсюда

V№<(T + 2е)т (2е) п-т

при всех v > vo(e). С учетом замечания 15.1 это дает

\im у^) = 0 = У№

V->oo

и (288) доказано. □

Кроме непрерывности, объем V(K) обладает монотонностью.

Теорема 15.2. Если К', К е Хп и К' с К, то

VUWW).(291)

Равенство при dim К = п имеет место только когда К = К', а при dim К <1 п всегда обе части (291) — нули.

Доказательство. Монотонность (291) есть одно из основных свойств лебеговой меры, поэтому (291) тривиально. Рассмотрим случай равенства.

Пусть dim К = п и существует х0 е К\К'. По теореме 3.4 х0 и К' можно строго отделить гиперплоскостью А в Rn. Пусть Н— то открытое полупространство с границей А, в котором лежит Хо. Возьмем точку Х] е №. По лемме 1.1 отрезок ХоХ[ содержит лежащую в Н точку х2 е №• Поэтому

0^№ПД с(К\№)°.

Отсюда

О < У(№х№) = V^-VkR'V

Значит, при К ^ К' и dim К = п в (291) равенство невозможно.

При dim К < п по замечанию 15.1 ввиду dim № ^ ^ dim К < п имеем V(№) = V(К) = 0. □

Теорема 15.3. Пусть Р— выпуклый многогранник в Rn, а его (и— \у мерные грани POX(ui) лежат в опорных к Р гиперплоскостях А(щ), причем уравнение A(UiY. <х, Ui> = h(ui), где h — опорная функция многогранника Р, а и, — единичные векторы внешних нормалей, t=l, ..., fe1). Если обозначить (п—\умерные объемы граней Р(]А(щ) через Уп-1(РГМ(щ)), ток

(292)(292)V^ = ^\YhWn-ikPV\A^

(292)

(292)

В случае й = 0 (см.1)) считаем стоящую справа сумму нулем.

*) В случае dim Р < п — 1 считаем k = 0, а в случае dim Р = п — 1 считаем 6 = 2, так как несобственная грань Р в этом случае имеет две внешних нормали и, и «8 = —«1.

Доказательство. В случае dim Р < п—1 равенство (292) тривиально, а при dimP = n—1 ввиду 6 = 2, «2 = —«ь й(м2) =—A(ui) оно тоже дает нуль в обеих частях равенства, поэтому достаточно рассмотреть сл-учай dim Р = п. Будем считать, что начало о е Rn лежит в Ри. Это не нарушает общности, так как перенос начала на вектор и=#о дает для A(uz), согласно (201), приращение <о,щ>, а величина

11<v, «M-itPfW)<v, «M-itPfW)

1

1

<v, «M-itPfW)

<v, «M-itPfW)

равна 0, поскольку это есть взятый один раз с плюсом и один раз с минусом (п — 1)-мерный объем l/n-i(pB(P)) ортогональной проекции многогранника Р на перпендикулярную и гиперплоскость в Rn.

Воспользуемся звездностью Р относительно о (см. определение 7.1), и тем фактом, что дР по следствию теоремы 5.3 и теоремам 5.5, 5.4 есть объединение всех (п—1)-мерных граней Р, которые попарно пересекаются по граням размерности п — 2. Поэтому V(P) можно, пользуясь замечанием 15.2, вычислить следующим образом

а

V (Р) = Е V (conv (о U (Р П A (и,))}) -

А 1

- £ $ Vn_, (X (Р П Л («,))) й (ХА («,)) - г-1

'“ I з IZ А ^ (р Л л (и,)),

/ 1-1

что дает (292). □

Перейдем к одной из принципиально важнейших теорем теории выпуклых множеств, устанавливающей зависимость объема линейной комбинации У XtKi от ее коэффициентов.

Теорема 15.4. Объем линейной комбинации IlAiKi

(Xi ^ 0, ..., Xm ^ 0) непустых компактных выпуклых множеств Кь Кт в Rn либо тождественно (по Xi, ..., Xm) равен нулю, либо зависит рационально и однородно, с показателем однородности п, от коэффициентов Хь ..., Хп. Иными словами, справедливо равенство

C

m х mт

XUA-X ...го

где п суммирований независимы друг от друга и идут каждое от 1 до пг, а не зависящие от Хь ..., Хп постоянные "<г .л предполагаются симметричными по всем индексам.

Для того чтобы доказать теорему 15.4 с помощью приближения тел многогранниками, мы докажем предварительно две леммы.

Лемма 15.1. Пусть равенство

е(«ь ...Дт^^... XNiv..i«ix

где ^г _tn симметричны по всем индексам, задает рациональную функцию 9 от вещественных переменных аь ..., ат (т ^ ^ 1), тождественно равную нулю или однородную порядка п. Тогда существует конечное число различных не зависящих от 9 значений аргумента (а», ..., а^) са’>0 а^^О,р =

= 1,..., г, и зависящие только от этих аргументов постоянные д^ £ такие, что определяющие функцию 9 постоянные ^г ...г могут быть вычислены по значениям функции 9(а0, ..., ау как

'?z1...z„ = Еб?1...<п9(а?, ..., а^), ц, ..., i„e{lт},

причем бц..лп симметричны по индексам ц, ..., in.

Доказательство. Проведем (независимо от фиксирован- ~ ного п) индукцию по пг. При т=1 имеем 9(«[) = у]... i (а])", т. е. у]... 1 = 1-9(1), т. е. справедливо утверждение леммы 15.1; это дает начало для индукции. Пусть утверждение верно для пг— 1^1 переменных, докажем его для пг переменных. Имеем 6(01am-i, ат) =

пrm -I пг-1-|

= Е (ат)6 [ У • • •£ , Q) Niv..in_km...ma.ix 1•

Для n + 1 попарноразличных значений a^^ 0, ..., a" ^ 9 переменной am получаем отсюда линейную систему уравнений для нахождения стоящих в квадратных скобках величин. По правилу Крамера, ввиду необращения в нуль определителя Вандермонда det((а^)6)^^ эта система имеет единственное решение вида'.

m-1m-1

*1 1‘п-Г1

= Др/(<> •••• аУ0(°Р •••> %-p <). /=°"•

Применим теперь для каждого к индуктивное предположение и заметим, что индекс р при каждом к пробегает другую область значений. Тогда для коэффициентов у^ ... zn_.^т ... т ПО" лучим выражения

/ X -1г°+ "■ +Гк-

Y<, ... 1п-кт ... т —X... z ЙХ

х(Др^(«°т, .... a")e(af, .... aP,_p a^j, где ix, ..., in-k e (1, ..., m}, к = 0, ..., n.

Вместе это дает представление всех коэффициентов yz,... in, притом требуемого типа, что доказывает лемму 15.1. □

Лемма 15.2. Пусть выпуклый многогранник Р есть линейная комбинация выпуклых многогранников Р\, ..., Рт

P=TAiPu Ai>0Кт>0. z-i■

Тогда множество единичных векторов внешних нормалей (п—^-мерных граней многогранника Р является подмножеством конечного множества векторов, не зависящего от значений Xi, ..., Xnj..

Доказательство. Пусть (мц ..., и^—множество единичных внешних нормалей к (и — 1)-мерным граням Р. Обозначим Pt f] А ^и'^ грани (всех размерностей) многогранников Pi (i = = 1, ..... m), где А (и^ — опорные к Р, гиперплоскости, выделяющие эти грани, а м‘ — единичные внешние нормали этих гиперплоскостей г;=1, ..., ^(z). Зафиксируем в относительной внутренности каждой грани по точке р'г, и рассмотрим для каждого Pi конус Nlr из внешних нормалей ко всем опорным гиперплоскостям многогранника Pi в точке р1^. Эти конусы N* считаем параллельно перенесенными вершинами в начало oeR". Найдется, лишь конечное множество комбинаций индек- m

сов г\, ..., fm, для которых пересечение конусов П ^ , по одному от каждого многогранника, является либо лучом {ay/}, где а ^ 0, ||у/|| = 1, либо —прямой {ау/)1){аож}> где а ^ 0, Hv/ll = 1, у/+1 = —У/. Пусть / = 1, ..., S. Мы покажем, что

{щ, ..., цА}с:{У1, ..., ys} =:Т;

здесь, если f| Nlr есть прямая, то Т включает порознь единичные векторы обоих направлений этой прямой.

Пусть иг — единичный вектор внешней нормали (п— 1)-мер- т

ной грани Р^А^иЛ многогранника P=liAiPi- Тогда и, есть также вектор нормали граней Pt П A, (urj = Pt П Лг^ (г>) мн0" гогранников Pt, поэтому

т

т

Если бы существовал еще вектор и е f) N, у ^ аиг, то для

1 = 1

опорных гиперплоскостей Л, (и) многогранников Pt, проходящих через точки Р1Г^« выполнялось бы соотношение Д1(п)дэР,П ПЛ^Иг); i=l, ..., пг. Поэтому по теореме 8.4 для опорной гиперплоскости многогранника Р было бы

тт

А^Р^А^-^МР^АМ^ =) У МР,ГМ,(«Г)) = 1-1i-1

= РЛ4(иЛ

что противоречит предположению dim(Pf|Л(щ)) = п—1. Таким образом, иг^Т, и поскольку Т не зависело от Ль .Л™, лемма 15.2 доказана. □

Доказательство теоремы 15.4. Проведем сначала доказательство для случая, когда Кд, ..., Кт, а потому по тео- т

реме 8.6 и У, kiKt — выпуклые многогранники в Rn, мы обо- 1 = 1

значим их Р\, ..., Рт, Р. Воспользуемся индукцией по размерности п объемлющего евклидова пространства. При п = 1 доказательство (293) просто. В этом случае Р\, ..., Рт, Р — от- [тm п

У Xj^, У ЛгЛ1 I, а «объемы» — их длины. При

ЭТОМ ттт

У W — У = У лг hf — £9, i=1i = lt = l

что соответствует (293). Пусть утверждение теоремы 15.4 верно в размерности п—1, докажем его для размерности п. С этой целью воспользуемся для Р = У, XtPt формулой (292), что можно сделать независимо от Л1; ..., Хт ввиду леммы 15.2. Тогда получим

V(P) = ^t h^Vn-APttA^j, v^F; (294)

ф К. Лейхтвейс

здесь не опасно наличие лишних слагаемых, поскольку грани У3 П Л (v/) при u/^{ui, ..., На} не более чем (и — 2)-мерные, и их (и— 1)-мерный объем равен нулю. По теоремам 12.4b) и 8.4 справедливы равенства

h («^ = Е ^iht (V/),(295а)

РПЛ(о,)= Е XAPitAAdv^,(295b)

где к, и А; — опорная функция и опорная гиперплоскость для Pi. Если р — ортогональная проекция пространства R" на идущую через начало о ортогонально и, гиперплоскость А0(у/), то из (295) по теореме 8.3 имеем

Р (Р п А («,))= Е XiP (Pt(\Adv^.1 = 1

Применение индуктивного предположения к лежащему в Ао(у/) выпуклому многограннику p(Pi f| Ai^uj)), см. теоремы 5.3 и 5.1, с учетом замечания 15.2 дает

Г„-1 (Р n А (^)) - V„_, (р (Р п А (р,)) - тт

(296)

с симметричными по всем нижним индексам и не зависящими от Xt, ..., Хт постоянными Vi ... ifl_x- При подстановке (295а), (296) в (294) получаем справедливость теоремы 15.4 для выпуклых многогранников размерности п.

Чтобы доказать верность (293) для общих выпуклых множеств К\, ..., Кт, будем приближать эти множества (по теореме 14.6) последовательностями выпуклых многогранников

K,=limpy, i=lт.(297)

v->oo

Для этих многогранников, согласно доказанному, независимо от значений Л] ^ 0, ..., Кт ^ 0 при каждом v справедливо

/ т\тт

И Е^)=Е Е V? ... i \(298)

М-1/ij-iin-l I « In

По (297), (248), (288) при любых X, ^ 0, .... Хт > О

V (Е = V film fE\P7)) = llm vfE (299)\z-i 1 V WAm ‘ V/ V*«‘ V

Отсюда, ввиду леммы 15.1, следует сходимость предположенных симметричными по всем й, ..., in постоянных у? , ( к тоже симметричным по ц, ..., 1п постоянным

:=Ит УУ,... г ,(300)

и предельный переход при v->oo в равенстве (298) с учетом (299), (300) дает (293). □

(

т \

2 XtKt ) мотивирует при

надлежащее Минковскому определение.

Определение 15.2. Симметричные по нижним индексам / m \ коэффициенты у» ... г в разложении (293) объема V ( 2 MKt), пxz—1/

где Кд, ..., Кт — непустые компактные выпуклые множества в « Rn, называются смешанными объемами множеств KixKin и обозначаются V(К^> • • •. Kt^y Индексы й, ..., 1п независимо принимают значения из {1, ..., т}. Таким образом, определяющим уравнением для смешанных объемов служит равенство

✓ т х тт

V (g х.к, )-£... ,Z V (к,...K,J XV.. X,., (301)

верное при любых Ai ^ 0, ..., Хт ^ 0.

Замечание 15.3. Смешанный объем V (Kix, ..., Ki^ не зависит от входящих в определяющее уравнение (301) выпуклых тел Ki с номерами I ^{й, ..., in} =: L.

Действительно, пусть Ль ..., Кт — другие непустые компакт. ные выпуклые множества в Rn, среди которых Ki=Ktx, ... ...,Ki = К, .Рассмотрим в (301) случай, когда все Х/ = 0 для i^ L. Тогда

z ■ • • z ^ (А,,к-й ч • ■ • ч - и (£ а,) -

-Д^ХЛ)-,Z L-^(Кцк^х,,...^.

Приравнивание коэффициентов в этом тождестве по перемен- ■ ным Л/р • • •, ^ь • • •, ^п ® ^» дает

V(K4Kllt)-V(Kkк^.

Пусть в смешанном объеме V (/(ь ..., ^n) некоторые из играющих роль аргументов К\, ..., Кп равны между собой:

К\ == КПх = : Кь КПх+у = •.. = КПх+тч = "• ^2, • • •

• • •, Кп^+ ... -Vnm_ i + l = • • • == Кп^ + ... + пт = • Кт, (302)

/ тх

где nt 4- • • • -V пт = п. Тогда при разворачивании V ( У, Х,К, I

М = 1/

по степеням Хь ..., Кт получим при (XJ 1 (Х2) 2 ... (Xm)'lm коэффициент

"1пт

/ п \

а при разворачивании V I У KjKj ) по степеням XiХп по- лучим при Xi ... Хп коэффициент

nlV^b .... Кп).

Полагая

Xi = Xi + • • • + хП1, х2 = ХП] +i + • • • + х„1+П2, ...

Кт = ХП1+ ... +nm_t+l + . • • + Хп1+ ... +пт, (303) будем иметь

у f У хл^т (у XjKj

и члену с Х{ ••• Кп справа соответствует член (Х)"1 ... (Xm)"m слева. Поэтому и! V (КуКп) =

= ("-ч • • • <»J! • адгттцзт г ^-^к«к«1’ что дает

V (Ку, .... К? .... Кт, .... Кт) = У(Кх, ...,Кп). (304) п\пт

Это обосновывает

Замечание 15.4. Обозначение V ^Ktx, ..., Ki() для смешанного объема в определяющем его равенстве (301) лишено двусмысленности и в случае совпадения некоторых из множеств Кц, • • ■, Kin- Поэтому смешанный объем V ^Ktx, ■ • •> Ki^ действительно является однозначной функцией своих аргументов.

Следствие. Для каждого непустого компактного выпуклого множества К в Rn справедливо

У(К, ..., К)=У(К).У(К, ..., К)=У(К).(805)(805)

У(К, ..., К)=У(К).

У(К, ..., К)=У(К).

(805)

(805)

Это тривиально следует из однородности У(кК) — ^(К) объема, см. (287).

Докажем несколько свойств смешанных объемов, аналогичных свойствам объемов.

Теорема 15.5. Если непустые выпуклые множества Кц, ... ..., Kin (</Е{1т), / = 1, ..., п) в Rn подвергнуты по

рознь произвольным трансляциям в Rn или подвергнуты вместе произвольному движению в Rn, то их смешанный объем V (Кц, • • •> Ki^ не изменяется.

Доказательство. Упомянутые трансляции множеств m

Kt, ..., Ki ведут к трансляции множества У, ^iKi, см. опре- 1пi~l

деление 8.1; соответственно совместное движение Кц U •.. m

^(2 Mi).^(2 Mi)....\AKtn— к движению УХД„ см. теорему 8.3. Но тогда не

^(2 Mi).

^(2 Mi).

гласно замечанию 15.2 вместе с сохранением согласно (301) сохраняется и У (Кц, ..., KinY □ Весьма важна

Теорема 15.6. Смешанный объем (неотрицательно) линеен по каждому из своих аргументов, т. в. для любых непустых компактных выпуклых множеств К1^, К^, К£ , • • •> Кг (it Ш ® {1, ..., m), j = 1, ..., п) в Rn и любых «1 > 0, аа ^ 0 справедливо

Г^+аЛ!,. к,,

-«,и(№,. К,,AJ + ^V^, КчК,^ (308)

Доказательство. Согласно определяющему равенству (301) величина

п\ У^+а^, КчК^

есть коэффициент при Xi ••• Хл при разворачивании по XiХя значения

17 (X, (аД^ + ^ + X Д^ + • • • + ХпК^ =

= V (даД^ + Х^Д:^ + ХД£з + ... + ХД^),

см. (106b). Но, опять же по (301), этот коэффициент равен "‘(“.r^l,. К,,K^ + ^Ff^, К,,K,J} □

Теорема 15.7. Смешанный объем зависит от своих аргументов непрерывно, т. е. если W^eN, ••• , {^m}Ve.4~ сходящиеся последовательности непустых компактных выпуклых множеств, то

V Him Ю, .... Нт КП= Ит (307)

\V->oo 11v->oo rt/ V->oo \ InV

edeij^{lmV j=ln.,

Доказательство. Обозначим 7<® = Ит f^ и воспользуемся (301) и леммой 15.1. Тогда для любых аргументов Арр ... ..., А^, где Xf > 0, ..., Ар^ 0 (р = 1г) и соответствующих (см. лемму 15.1) постоянных д^ ( , симметричных по нижним индексам, будем иметь

„ у(уар^), (308) X Iга/ р-11 га/

где i'/e{l, ..., т} для всех /, a ve{0, 1, 2, ...}. Если в (308} перейти к пределу при v->oo, то с учетом (288), (248) и самого (308) при v —> оо будем иметь

•'/ / m

Нт V^КП=£б? У Нт У А^ =-

у->оо X 1П/р —| t Л \у->оо М =1/ /

г/ m х

- Е«?,...,. г (Е W)-г №,A1J □

Р*1 I п \l=I/v 1я/

Сложнее доказывается аналогичное теореме 15.2 утверждение монотонности смешанных объемов по включению.

Теорема 15.8. Пусть KvKm и К\К'т~ непустые компактные выпуклые множества в Rn, причем для каждого z = 1, ..., m

К\ с Rv(309)

Тогда

ЧЧ^ЧЧ‘ — Ч>

Ц е (1пг\, /= 1п.

Для доказательства нам понадобится принадлежащая Минковскому и обобщающая теорему 15.3 лемма 15.3.

Пусть Кх — непустое компактное выпуклое множество в Rn с опорной функцией h\, а Рг, .... Ра—-выпуклые многогранники

в Rn с гранями (всех размерностей) Р2 П А2(и2г^, • • •, Pnf\ AnQi" ^; здесь й2 ..., и”—единичные внешние нормали опорных гиперплоскостей, причем 1 ^ г2 ^кг, . . . , 1 ^ г„ ^6п, где ^2, •••, ^п—соответственно числа всех граней у многогранников Р2, .. •, Рп. Пусть, кроме того, в относительной внутренности каждой грани отмечено по точке р-, . .., рч и N2, .. ., N? — конусы нормалей к Р2, ..., Рп в точках р2 , ..., р^ , параллельно перенесенные вершинами в начало оеР". Тогда, очевидно, найдется лишь конечное число наборов индексов г2, • • •. гп, для которых пересечение конусов нормалей (по одному от каждого из Р2, •Р^ есть луч или прямая, т. е.

п

П = (ашЛ, a^O, II w. 11 = 1 или t—2 ri VI)II / и

P2Nirt = ^w^u ^w<+^’ °^°-hl=l-^и--®/- (зю) / = 1, ..., s; (nvi, ..., ws} =: T.

Лемма 15.3. В этих обозначениях имеет место следующее представление для смешанного объема

V^Kx, Ръ .... Р„) =

= 7 (£ hx (^ Vn-x ((Рй П A, (w^'(Рп П Ап (хи^ ), (311)

еде Wi((P2H А2(ау/))', (Рп И А„(ау,))')— смешанный объем параллельно перенесенных в начало о граней (ср. (294)). В случае s=0 правая часть (311) полагается равной нулю.

Доказательство. Сначала докажем (311) для частного случая Р2 = ... =Рп=‘.Р. В этом случае требование (310) означает, что опорные к Р гиперплоскости А2((У/) = ... = = An(w^ =: A (wj) с внешней нормалью w, е Т пересекаются с Р2, ..., Рп по той грани многогранника Р, которая содержит точки /Р, .... р" и имеет размерность п—1. В противном случае существует еще одна, отличная от A (wy), содержащая р2 ..., р^ опорная гиперплоскость, что противоречит (310). Обратно, каждый единичный вектор, и, внешней нормали к \(п—1)-мерной грани Р является по (310) вектором из Т = = {пу1, ..., ws}. (Если dim Р = п—1, то его несобственная (п—1)-мерная грань удваивается: считается первый раз с нормалью щ, второй раз — с нормалью и2 = — Ui.) С учетом теоремы 15.5 и (305) подлежащее доказательству равенство (311)

в рассматриваемом нами частном случае принимает вид

(312)(312)^№, РР) = ^(£м«г)Ип-1(РЛД(и,)) где суммирование идет по векторам иг внешних нормалей (и — 1)-мерных граней РПД(иг) многогранника Р.

(312)

(312)

Чтобы убедиться в справедливости (312), рассмотрим разложение по степеням Xt значения V^XxKx + Р). В роли коэффициента при Xi выступает nV^Kx, Р, ..., Ру Поэтому

V(Kx, рP) = l Hm Ztii+y—К^..(313)

^ур^урРив. 36Рив. 36Теперь нам предстоит изучить значение У(Х^1 + Р)— И(Р) при Xi > 0. Для этого мы оценим сверху и снизу объем (X^i + 4-Р)\Р°. Не умаляя общности (ср. с доказательством теоремы 15.3), считаем, что начало oeR" лежит в Кх. Поскольку Р-У УКх = U (х + Л^), то по тео- хеР

^ур

^ур

Рив. 36

Рив. 36

А^гУ к Р и Пусть (РПА^гУ к Р и Пусть (РПреме 8.4 грань множества Р-уХхКх с внешней нормалью и, представима как

А^гУ к Р и Пусть (РП

А^гУ к Р и Пусть (РП

(РПДЫНМ^ГМДмг)), где Ах^иА—опорные гиперплоскости к Ki с внешними нормалями иг. теперь pr е Кх f) Ах (ur). Тогда

П A (ur)) + Ург лежит в опорной к Р + + Л1/С1 гиперплоскости с нормалью ur, и отрезок Х^орЛ лежит в ХхКх. Поэтому (Р Г) Д(иг)) + Хх^ор,) есть косая призма.

одно основание которой лежит в гиперплоскости Д(иг), а другое— в параллельной Atur) опорной гиперплоскости множества P + MKi, см. рис. 36. Это доказывает первое из включений

к

U № П a (ur)) + Xt (opr)) с (МКх + Р)\Р° с

С и ((РЛД^ + ХДор^иГ и (х+^1)\ (314)

и (Рид (u.n/

\ r=fe + l V V/

Чтобы доказать второе включение (314), в котором через РПД(Ыб+1), ..., Р^А^и^ обозначены все не более чем (п — 2)-мерные грани Р, поступим следующим образом. Пусть г е ОцКх + Р)\Р° и г не принадлежит ни одной из косых призм, т. е. ге х + ХхКх с хе Р и г отделено от Р хотя бы одной из гиперплоскостей А (иг) (г=1, ..., А) и г не лежит ни в одной из указанных призм. За счет параллельного переноса

тела x + X^i на вектор, идущий от точки х в первую из точек, где отрезок хг пересекает 6Р, и за счет соответствующего выбора отделяющей z от Р гиперплоскости А ^и^ можно считать, что zez + A,|/<i с хеРМ(иг)—см. рис. 37, а. Пусть теперь г'— проекция точки г в направлении прямой х V (х + Xipr) на

гиперплоскость A(Ur'). Возьмем точку у е хХ П((Р П А (иг) )\ \(РП A(ur))°). Тогда уе

Рассмотрение параллельного переноса тела х + X\Ki на вектор, идущий из х в у, показывает, что zey-V^iKi- Этим доказывается второе включение (314).

Призмы (РПА(иг)) + '+ Xi (орг) имеют объемы V„_t(P п A(Ur))X ХМиЛ. Пересечение двух разных таких призм (РПА(ы,))Х ХМММ и (РПАЫ)Х

w

а)

9*Mi

Ф^Х^ к»

У^Рг х^л^

Асед

Б)

А(^*л,рр

XM1W либо бо — лежит в не (п— 1)-мерном подпространстве,

52+Л^/^ »+ЛД

tjww^ww А «у) * М»

А(и^

Рис. 37. a) ze conv {w, у, у + XipJ с: с у + XtKf 6) х + Xipr е (х + XiKt) П

П (-4 («г) + Xtpr) с (Н(us) + Xtps) П

П (А(иг) + Xtpr), х + XtPs е (х + Xi/Ct) П П (Л(и$) + Xtps)c(/y(u,) + Xtpr) [)

П (A (us) + Xips)

пусто, ли- более чем аффинном натяну-

том на Я(мг)АЛ(«з) и на (A(ur) + Xipr") Я (A(«s) + ‘4-Xips). (См. рис. 37,6, где х — произвольная точка_ из

A(ur)f)A(us), а Й'(щ), Н(us)— содержащие Р замкнутые полупространства, ограниченные A(ur), A(us).) Из (314), учитывая замечание к определению 15.1, имеем

к

„-^РПА^)) L^ + J/

и ^ + ^,)Y

г=ий+1(РПЛ(“а)/

Поэтому

к

V (X,Kt + Р) - V (Р) V

Xt

и

(Jt+MA- <315>

Но при каждом г = k + 1, ..., к справедливо

и (х + x^jc и (x + A,5Ali(o)) = (PnA(u,))XiMc хеРПЛ(иг)Х’ хеРВА^игу1' Х

где Л^ : = шах /г, (u); (Р П А (щ.)), параллельное к мно- и е дВ> (о)1 1

жеству Pf)A(ur) на расстоянии Хотело в Rn; (Р Л A (ur))(X М1 — параллельное к РПА(иг) на расстоянии XiAfj тело в тг-мерпом пространстве aff (Р () А (щ)); В^1*"(о) — шар радиуса А1.М1 с центром о в (n — mr)-мерном пространстве, служащем ортогональным дополнением к aff (Р П A (ur)). Поэтому

vf и (x + MCi)\<

Ue и (РП а (а/

\г=й+1' х г”/

< .£, М(рпАЩх,М1ут'■Й> (316)

причем 0 ^ тг ^ п— 2. Предельный переход при Ai->4-0 в (315) и (316) дает, с учетом теоремы 15.1,

к

lim K^lJ5t^J^=ZA'^)V,„_1^(317)

Xi->+0л*"

где /ii — опорная функция выпуклого множества Кд. Равенства (313) и (317) доказывают справедливость (312).

Чтобы доказать лемму 15.3, нам надо перейти к случаю разных выпуклых многогранников Ра, ..., Рп. Применим для этого уже доказанную формулу (312) к выпуклому многограннику

Р ;='к<аР<а-\" ... -}- ХпР п, А2 ^ 0, ..., Хп ^ 0.(318)

(Ср. теорему 8.6.) По лемме 15.2 множество единичных векторов внешних нормалей {щ, ..., и*} (п—1)-мерных граней многогранника Р независимо от выбора Х2, •••, Ап является подмножеством некоторого фиксированного заданием Р2, ..., Рп множества T = {wi, ..., ws}, определенного с помощью (310), с учетом уже отмечавшегося дублирования грани в случае dimP = n—1. Поскольку для векторов w/^{hi, ..., и*} грани P^A^Wj') имеют размерность ниже п— 1, то

V (Ль РР) = ^2 Л1 (“г) ^«-1 (РИА («,)) j =

(

S

2AiWKn-i(PnA(^))). (319) /=1/

Пусть pj — ортогональное проектирование на проходящую через о гиперплоскость с нормалью wu Тогда по теоремам 8.4 и 8.3

Vn-x (Р Л Л (©,)) = V„_1 (Р/ (Р л A ^ =

= Vn-i (Х2р] (Р2 Л Л2 (иД) + • • • + Хпр/ (Рп Л Ап (и*/))) =

= £•••£ Vn-i(p/(Pi2n Л/Дау/)), ••.,Р/(Р<„ЛЛ„(гу/)))Л<1 ...Х1п.

12=21п=-

Если отметить штрихом (Р; ЛАТ^/))' грани Р.ПЛДау/), параллельно перенесенные в начало о, то’

tv, (р л лад-

/1п

- Д.. ^Д^-^лл*)); ...,^

Подставляя это в (319), получим

KWu РР) = пП / 8

,(Р,„ П А., (Т,))') 1,,... X,.. (320)

С другой стороны для (318) по теореме 15.6

У Wb РР)= 22 V(KbPkр1п)х12...ч,- (321)

(.‘2=2 in=-

Приравнивая (ввиду произвольности значений Хг, ..., Хп чисел Х<2, • •> Xt^ коэффициенты при одночленах Хх, ... Xin в (320) и (321), получаем требуемое утверждение леммы 15.3. □

Доказательство теоремы 15.8. Проведем доказательство индукцией по размерности п пространства, в котором лежат выпуклые множества. При n = 1 из (309) тривиально следует v^cv^kA, i = 1, ..., т, поскольку в этом случае смешанный объем совпадает с обычным объемом (длиной). Допустим, что теорема 15.8 верна при всех размерностях п' с 1 ^ п' < п, и докажем ее в размерности п. Сначала ограничимся частным случаем, когда в смешанных объемах

Кл^”K.i<£ = Piy . • .> Ktn = Ktn — Pin>

где i2, ..., in«{l, •... m}, a PiРт— выпуклые многогранники. По лемме 15.3 в этом случае имеем

V^lv, Pt„ .... Р^-¥{К\р Р^ ••-. Р^ =

= ~ (^ (Az, (wj) - hh (w,)) Vn-i((Pi2 0 At, (Wj)y, ...

(Pz„nHinHy)- (322)

Но для всех Wj ввиду Кц гз Kq ne (202)

htx (w^ — h'ix (шд^ 0, h = 1, ..., tn.(323)

Кроме того, по индуктивному предположению ввиду

(о) с {Ph П Ai2 (wt)y, ..., {о} с (Pin П Ain (W1))'

и ввиду (305)

k-1 ((Pz2 n Ai2 («^y(Pz„ n Ain ^АУ) >

> K„_1 ({o}{o}) = V„-1 «О» = 0.(324)

Ив (822), (323), (324) имеем.

V{K'iv Pi,PQ<V{Kip Pi„ ...,Pi^

прн любых 12, ..., trte{l, ..., m.}.

Ввиду непрерывности смешанного объема, теоремы 15.7 и приближаемости любого выпуклого компактного множества выпуклыми многогранниками (теорема 14.6) справедливо

V {Кц, Ki„ ..., Ki^) < V {Kip Ki,Ki.y (325)

Применяя повторно (325), с учетом симметричности смешанного объема по всем аргументам, получаем окончательно, что из включений (309) следует цепочка неравенств кС^р .... Ki^CV^Ktp Ki„ .... К'О<

<V{Kip Ki„ Ki3к^^...^v{Kip .... KinY что доказывает теорему 15.8 в размерности п. □

Замечание 15.5. В (325) может наступать равенство без совпадения К\х = Ktx- Это можно заметить в случае K^ — Pi,,... ••:Kin = Pin (где Рх, ..., Рт— выпуклые многогранники) из леммы 15.3, согласно которой в выражение для V {Kip Pi,, ..., Pt^ входит значение опорной функции Ai множества К\ только на конечном числе аргументов Wjе Т.

Это обстоятельство делает понятным, почему изучение случаев равенства в неравенствах для смешанных объемов столь

трудно; во многих случаях такие исследования до сих пор не завершены. Все же по аналогии с замечанием 15.1 можно доказать следующее утверждение.

Теорема 15.9. Смешанный объем V (Kip ...,Ki„\ где li, ..., ine{i, ..., т}, любых непустых компактных выпуклых множеств Кх, ..., Кт в Rn всегда неотрицателен. Он равен нулю в том и только том случае, когда q из множеств Kip ••., Kt^, где 1 ^ q ^ п, лежит в параллельных (q—Химерных плоскостях.

Доказательство. Выберем в Kip ...,Kin по точке Xj^Kir По теореме 15.8, теореме 15.5 и (305) имеем ^(ЮР .... Kin) > V ({xj, М =

= Л{о}, ...ДДМ(^(326)

поэтому смешанный объем неотрицателен.

Допустим, не умаляя общности, что 1 ^ q ^ п и именно множества Kin_q+p • ••, Ktn лежат в параллельных ^q—1)-мерных плоскостях Rirt_q+t, •.Rin :

KijGzRl”1,j = n-q+l,п.(327)

Докажем, что тогда V (Kip •.., Kin^ = 0, пользуясь индукцией по п. При п = 1, а потому — и ^=1, это тривиально. Будем считать утверждение верным при всех размерностях п', где 1 ^ п' < п, и докажем его в размерности п. Будем различать два случая: 1) q = п, 2) q < п.

Случай 1). В этом случае ввиду (327) и компактности множеств KtI в каждом из Рц7х найдется шар ВТ1 (х,) с некоторым центром к, и столь большим радиусом R > 0, что

Kij cz ВТ1 (xZ/),/=1, ...,п.

Тогда по теореме 15.8, теореме 15.5 и (305)

V (Kip ...,Ki„)^V (ВТ1 (хц), ..„ВТ1 (хц^ =

= V (вТ1 (о), ..., ВТ1 (О)) = V (ВТ1 (о)) = о,

т. е. V(Kip .... Ki^ = 0.

Случай 2). Сначала ограничимся частным случаем Ki2 = = Pt2, .. .,Ktn = Pin, где Р1гPiR — выпуклые многогранники в Rn. Воспользуемся представлением (311):

V(Kip >i2, ..„ Pin^ =

s

= ^Hhiv^iWn-v((Pi.^Ai2kw^, ..., (Р/„П^„М')). /=i

По (327) последние q из входящих в Vn-i(...) множеств лежат в параллельных, размерности не выше q—1, плоскостях проходящих через о, а потому—в одном подпространстве, размерности не выше q—1. При этом q^n — 1. По индуктивному предположению отсюда следует, что V (Кц, Pi2, • ••, Pin') = ^- Это равенство остается справедливым по непрерывности смешанных объемов (теорема 15.7) и приближаемости множеств Ki2> • •., Kin выпуклыми многогранниками с сохранением условий (327), см. теорему 14.6. Поэтому и в этом случае V (Кц, ... ...,^„) = 0.

Остается проверить, что указанные в теореме 15.9 условия не только достаточны, но и необходимы для обращения в нуль смешанного объема. Проведем доказательство от противного. Пусть эти условия не выполнены, т. е. если7?^, ..., Rin (ii, ... ...,гпе{1m}) — проходящие через о подпространства,

параллельные aff/GP ..., a^Ki^ то при любом l^^^n для каждых q из Rtv ..., Rtn размерность минимального объединяющего их пространства Ri!vV • "X/Rij не ниже q. Покажем, что в Rix можно выбрать содержащую о прямую Gi так, что при замене Riv на Gi отмеченное свойство сохранится. Для этого рассмотрим все объединяющие пространства для всех наборов из Ri2, ..., Rtn. Каждое из конечного числа таких объединяющих пространств, если только оно не содержит Rtp пересекает Rix по подпространству меньшей, чем dim^/p размерности. Эти подпространства-пересечения не могут заполнить Riv Поэтому в Рц найдется проходящая через о прямая Gx, не принадлежащая ни одному такому пересечению. Эта прямая Gi не содержится ни в одном пространстве, объединяющем наборы из Ri2, .... Rin, если только в это пространство не попало все Riv Пусть теперь Gx, Rt(2, ..., Rtfg (/2jq е е {2, ...,«}) суть <7 из пространств Ох, Ri2Rtn. Тогда либо Riv с Ri,2V .. . X/Rij^ и Потому.

dim(GiV7?i/2V-- • V^/„) = dim(/?i/2V- •• V^/J==

— dim(/?Z1V/?//2V -

либо Ri, ф Rt^ V • • • V Rij , а потому и Gt ф Rij2 V • • • V Riig и dim (Gi V Rx^ V • • • V Rt^ =

=dim(/?i/2V ... V /?i/<?)+ IX7-D+ 1 = <7-

Повторяя выбор лежащей в Ri} и идущей через о прямой Oj (j^l,2п), мы придем к п прямым Gi, ..., Gn, про-

ходящим через о, для которых

G/ с: Rij (/ = 1, ..., п) и dim (G> V • •. V GJ = «• (328) (Идея этого построения принадлежит Р. Блинд.) По выбору Ri, в множестве К^ найдется отрезок yiZ/CzKij ненулевой длины, параллельный G/.

Векторы vr.= zi— yi, ..., ип-.= гп— уп ввиду (328) будут линейно независимыми. Поэтому по теоремам .15.8, 15.5

V (Kip . • •, Ki^ > V {yiZ[ynzn^ = V (отои^. (329)

Но для объема параллелепипеда П„ = ovi + ... + ovn, натянутого на (перенесенные в о) векторы ui, ..., vn (см. пример 5.2 и определение 8.1), имеем верное при любых Xi ^ 0, ..., Хп^0 равенство

7 (Xioui + ... + Х„оц„) = det (Mb ..., Х„о„) =

= Xi ... Х„ det (Ui, ..., v„) = Xi ... к„У (ог»; + ... + оо„) =

= А, ... А„7 (П„), где det(vi, ..., ип) означает определитель матрицы с вектор- столбцами Ui, ..., Vn- При сравнении с (301) это дает

7(0^,0^) = ^ 7 (П„)>0.(330)

Из (329) и (330) получаем V^Ktp .•~,Kin)>Q, так что действительно смешанный объем V (Kip •••iKin) обращается в нуль только при соблюдении условий теоремы 15.9. □

Упражнения

Пусть Р— выпуклый многогранник в Rn с (п—1)-мерными гранями Р П Л (и,) (1=1, ..., А), где и, — единичные векторы внешних нормален опорных гиперплоскостей 4 (и,), а (и—I)-мерные объемы этих граней Vn-i (РГМ («>))• Доказать справедливость векторного равенства

к

-£ utVn-i (РП А Ц^- 0.

I1 = 1.

2. Пусть Р, Р — выпуклые многоугольники иа евклидовой плоскости, ft,

Л — их опорные функции, ut (i = 1, .... А) и о( (/■ 1^ ...,() — единичные векторы внешних нормалей их сторон. Обозначим ut) в^ те же векторы, повернутые на л/2 в положительном направлении. Доказать, польз; ясь теоремой 12.5, для смешанной площади V(P, Р) следующую симметричную относительно Р, Р формулу•

VkP, ^)“^j£U(«) № («')+</«« (-«') +

(И«{И1.-•-, H»}U{D1. •••,Dj)

Обобщить это представление смешанного объема на случай п выпуклых многогранников в R".

Показать на примере смешанной площади треугольника и одной из его сторон, что в теореме 15.8 о монотонности смешанного объема (по включению множеств) знак равенства может иметь место без того, что соответствующие выпуклые множества совпадают.

Пусть Пп — параллелепипед в R” с вершиной о и содержащими о m-мерными гранями Пт или дополнительными к ним (п—т)-мерными гранями Пл-.-n со свойством Пт П Пл-m = {о}. Доказать, что

v (П'".:-П'"’ E^l^JL^) = ( m ) "1 ^(Пп) •

тп—т

§ 16. Интегральные поперечные меры компактного выпуклого множества

Рассмотренная в предыдущем параграфе теория смешанных объемов Минковского, примененная в одном важном частном случае, позволяет каждому непустому компактному выпуклому множеству К в R" сопоставить и 4-1 меру №%(?<); v = О, 1, ..'. .п. Эти меры имеют фундаментальное значение, они также введены Минковским.

Определение 16.1. Пусть К — непустое компактное выпуклое множество в Rn, а Вх (о) — единичный шар с центром в начале ое/?”. Тогда число ^(К), определяемое как смешанный объем

Wv (К) := V (К, ..., К, Вх (о), ...,Bt (о)), v = 0, 1, ...,п, (331)

называется v-й основной мерой множества К1). В частности, UZ0(AD есть объем V(^, a WnkK^ есть объем единичного шара

<»„ := Г (В, (о)) = —^-.(332)

где Г означает гамма-функцию.

•Отсюда вытекает принадлежащая еще Штейнеру.

Теорема 16.1. Объем тела К^, внешнего параллельного на расстоянии р > 0 для непустого компактного выпуклого множества К в Rn, есть рациональная функция от р, причем в ней коэффициентами при pv служат меры WV(K), умноженные

v^k.^^^V^^^' р> 0-(333)

*) Обычно эти меры распространяют и на пустое множество, полагая IV v (0): = 0, v = Оп — 1,— Прим, черев.

Доказательство. По (119) имеем Лр = К + p5i (о) • Поэтому, полагая в (301) m = 2, Xi=l, Л2 = р, Кх = К, Кг = = Bl(o), получаем из (331) равенство (333). □

Замечание 16.1. Штейнеровское разложение (333) наравне с формулой (331) может использоваться для определения основных мер W^KY

Замечание 16.2. Основные меры зависят, кроме множества К, от размерности содержащего К евклидова пространства. Если, например, компактное выпуклое множество К лежит в гиперподпространстве Rn-X пространства Rn, то между взятыми в Rn-X основными мерами U^V1”l> (v = О, 1, ...,п—1) и взятыми б Rn основными мерами WV(K) (v = 0, 1, ..., п) существует зависимость

п, (334)

см. (332). Смысл этой зависимости следующий. Если обозначить Д(т) параллельную Rn-V гиперплоскость в Rn, идущую в Rn на (положительном или отрицательном) расстоянии т от Rn-1, то объем тела Кр (в /?") может вычисляться так:

•р

V<KP) = J 7„_1(/(рПЛ(т))с1т= J

-р-о

р п-1

= $ X (и 71)г<""11 w (р2 -=

-р v=6

п- 1

=X (п 71) rt"'n ^pv+1-

v=0v

Прямое сравнение этого многочлена с разложением (333) дает (334). □

Теоремы 15.5 и 15.9 из предыдущего параграфа в их применении к рассматриваемому здесь частному случаю дают нам свойства основных мер, перечисленные в следующей теореме.

Теорема 16.2. Пусть W^K) есть м-я основная мера компактного выпуклого множества К в Rn. Тогда:

Значение ^(/С) сохраняется при любых движениях К в Rn. '

1FV(K) однородно ^степени n — ^Y т. е.

. ИММ0 = Kn-"W^K\ Х>0.(335)

U/V(K) непрерывно зависит от К.

W^K) монотонно по включению, т. е. при К'с: К

W^K'^W^KY(336)

Мера W4(K) всегда неотрицательна; она равна нулю в том и только том случае, когда dim К < и — v.

Кроме этих свойств в дальнейшем будут использоваться свойства основных мер, перечисленные в следующих двух теоремах.

Теорема 16.3. Мера ^„„[(К) зависит от К «линейно» в смысле сложения по Минковскому, т. е. для любых Ку, ..., Кт (из класса Жп всех непустых компактных выпуклых множеств

в Rn) и любых Xi^0, ..., Х„>0 с ^ Х( — 1, m ^ 2, верно "/—1

f f M7n_i(Kz).(337)

\;=1/ t=i

Доказательство сразу следует из (306) и (331) ). □

Теорема 16.4. Каждая мера WV(K), 0 ^ v ^ п, «аддитивно» зависит от К, т. е. для любых Кх, Кч^ Ж п со свойством Кх U Кч е Жп верно

№v№UK2)+ ^(К1ПК2)=^(К1)+Гу(К2).(338)

Доказательство. Сначала покажем, что при любом ЬгЖп для Кх,Кч®Жп с Ki И К2 е Хп верны равенства

(K1UK2) + L = (K1 + L)U(K2 + L),(339а)

(К1ПК2) + £ = (К1 + £)П(К2 + £). .(339b)

Первое равенство тривиально по (103), включение (К1ПК2) + + L с (Ki + Т)П(К2 + L) тоже очевидно. Чтобы проверить обратное включение, рассмотрим точку х^(Кх + 1)П(К2 + Ц, т. е. х = Xi + ух = х2 + у2, где xi^Ki, х2еК2, ух е L, уч^Ь. Отрезок Х[Х2 лежит в выпуклом по предположению множестве KillK2 и содержит (ввиду замкнутости Кх и Кг) хоть одну точку z = XiXi -|- Х2х2 g Кх Q Кч (Xi ^ 0, Х2 5? 0, Xi -|- Х2 = 1). Но тогда х = Xix-|-Х2х = Xi (xi-|-У1) + Х2 (х2-|-у2) = z-|-и>, где w := мух + Х2у2 е L, т. е. х г (Кх Q К2) + L, чем доказано обратное включение и с ним равенство (339b).

Если сложить (339а), (339b), положив L™pBi(o), р > 0, то, учитывая (119), получим

K((KiUK2)p) + V((KlnK2)p) =

= V ((Кх^ и (К2)р) + V ((Кх^ (1 (К2)р)=V ((К1)р) + V ((Кч)0).

Применение штейнеровской формулы (333) и приравнивание коэффициентов дает равенства $38). □

У^-У№РУ^-У№Р^^^ = 1 lim п о-» +0^^^ = 1 lim п о-» +0(340)(340)Одна из наших ближайших целей — описать геометрический смысл основных мер WX(K3 множества К в Rn для нетривиальных случаев i ^v^n—1. Начнем со случая v = 1. Для него имеем из (333)

У^-У№

Р

У^-У№

Р

^^^ = 1 lim п о-» +0

^^^ = 1 lim п о-» +0

(340)

(340)

т. е. nWv(,K?) совпадает с «площадью поверхности» О (К) множества К в смысле следующего определения площади по Мин

ковскому.

Определение 16.2. Пусть К — непустое компактное выпуклое множество в R11, а Кр внешнее параллельное ему множество на расстоянии р > 0. Тогда (всегда существующий) предел

О^КУ.= limп-^ +0О^КУ.= limп-^ +0V (Кр) - V (К)рV (Кр) - V (К)р(341)(341)

О^КУ.= lim

п-^ +0

О^КУ.= lim

п-^ +0

V (Кр) - V (К)р

V (Кр) - V (К)р

(341)

(341)

называют площадью поверхности множества К в Rn.

Замечание 16.3. Название «площадь поверхности» для предела (341) оправдывается тем, что в частном случае выпуклого многогранника Р в Rn согласно (317) будем иметь

О(Р)=Е Кд-ДРПЛШ(342)

т. е. О(Р) есть сумма (п— 1)-мерных объемов всех (и— ^-мерных граней РГ\А^шУ Z = 1, ..., А, многогранника Р. (Если dim Р = п—1, сам Р дважды считается своей несобственной гранью с нормалями Ui и «2 = — пь)

Коши обнаружил важную связь между площадью поверхности множества К и так называемой «внешней поперечной мерой» множества К.

Определение 16.3. Пусть К — компактное выпуклое множество в Rn, a Pn-V— некоторое (п — v)-мерное евклидово подпространство, 0 ^ v ^ п, и пусть pRn~v — ортогональное проектирование R" на проходящее через начало ое Rn ортогональное дополнение Rv к Rn~v. Тогда v-мерный объем Vv(pRn-v (К)) проекции К на Rx называют ч-мерной внешней поперечной мерой множества К в направлении Rn~v.

В этих терминах теорема Коши формулируется следующим образом.

Теорема 16.5. (п — \у мерная площадь поверхности непустого компактного выпуклого множества К в R" при п^2 равна, с точностью до множителя, среднему интегральному значению всех его (п— 1)-мерных внешних поперечных мер

°№-^ $ Vn-i <рЛЮПа. (343) "-1 авл^

(Здесь ру — ортогональное проектирование на проходящую через о гиперплоскость Д(о) с единичным вектором внешней нормали и, do — элемент площади поверхности единичной сферы дВ^о); интеграл понимается в смысле Римана.) При этом функция Vn_](p0(/<)) непрерывно зависит от и.

Доказательство. Докажем сначала (343) для выпуклого многогранника Р в Rn. Пусть его (я—1)-мерные грани суть Р П А (и,), где, как обычно, Л(щ)—гиперплоскости этих граней, а «/— их единичные внешние нормали, t = 1, ..., А. Согласно (342) нам надо доказать равенство

о (Р) = У 7„-1 (Р n A (ut)) = -L- ( 7„-i (ру (Р)) do. (344) Z=1" 1 дВДо)

Но

А

2y„-i(p0(P))=Ej(«(, о)|У„-1(РЛЛ^Н1=1. (345)

Интегрирование этого равенства, в смысле интеграла Римана, по всем и е дВДо), если при этом учесть равенство

\<ut, o)|do = 2Vn_1(pU/(B1(o))) = 2<on_i,(346)

дВх (о)

см. (332), дает желаемое равенство (344).

Пусть теперь К — любое непустое компактное выпуклое множество в Rn. Будем различать три случая: 1) dim К = п; 2) dim К = п—1; 3) dim К < п—1.

Случай 1). Не ограничивая общности, считаем, что ое/(°, т. е. при достаточно малом 6>0 шар B6(o)cz/(. Пусть, по теореме 14.6, тело К приближается с все большей точностью выпуклыми многогранниками Pv, так что для любого е > 0

d^K, Pv)^e при всех v>vo(e),(347)

причем, также не нарушая общности, можно считать, что при любом 6, где 0 < 6 < 6о, и любом v = 1, 2, ...

S6(o)cpv, Вь^аК.(348)

По замечанию 12.1 опорные функции h0, ho проекций р0(Л). py(Pv) будут не чем иным, как сужением опорных функций А, А* тел К, Р^ на (я—1)-мерное подпространство Л (о) пространства Rn. Поэтому из (347) с учетом (247) получаем

| h0 (и) — ho (и) 1 < е при и едВх (о), и е дВх (о) П А (о), v > va (е).

Отсюда Ау(мх(1 +^hoW, hv(u)^^i +-|)ау(«), т. е.

(1 + 1)"'Ми)<А>)<(1 +|) А0(и),

и потому при v > у0(б), не дВх (о)

^+^ухро ^ с р» ^ с С1+й р» ю,

О + Й Vn_, (pv (К)) < y„_t (pv (Pv)) <

(349)

Пусть теперь Br^— большой шар, содержащий К; тогда из (349) следует оценка

I V„_! (pv (^v)) — r„_j (ро(Л7»|^ ((1 + 1)”'- l)^-i(poWX

^(0 +Й ~ О^)"-1 “n-b V > v„(е), у G дв, (о).

Эта оценка показывает, что непрерывно зависящие согласно (345) от о величины Уп-^рЛР^ при v-^-oo равномерно относительно у сходятся к величине Vn-v^Pv (Ю)- Поэтому и последняя непрерывно зависит от и, как это утверждается в теореме 16.5. Теперь справедливость (343) сразу получается предельным переходом при v^-oo из уже доказанной для Pv формулы (344) — достаточно учесть непрерывную зависимость площади О^КХ — nW^K) от тела К (см. теорему 16.2с)).

Случай 2). Пусть Л(«1) = Л(«2), «2 =— «ь— содержащая К гиперплоскость. Будем приближать К по теореме 14.6 выпуклыми многогранниками Pv (v —1,2, ...), лежащими в Л («J,— приближать в смысле метрики Хаусдорфа в Л(«[) и тем самым в Rn. Тогда по (342) при каждом v = 1, 2, ...

О ^ = Vn_v (Р4 П Л (uD) + Vn_v № П A (u2)) = 2Vn_v (p'), и предельный переход при v->-oo дает, ввиду непрерывности площади Ои (и— 1)-мерного объема Vn-i,

СЦ/О^У^К).(350)

С другой стороны,

2F„_1(7<) = --1- ( \<ubv)\Vn_v^da =

дВх^

=V^Mdo. (351)

dBi (о)

Из (350) и (351) следует (343), причем Уп-1 (р„ (К)) — = | (иьу) | Vn_i (К) очевидно непрерывно зависит от и.

Случай 3). В этом случае по теореме 16.2е) имеем О(К) = = nWt (К) = 0. Точно так же тождественно равна нулю величина Уп_х<ру^К')') ввиду сНтр0(Л)<п—1. Поэтому (343) верно и в этом случае. □

Из (340) и (343) следует, что мера №1(К) обладает представлением

W^^ = -^ S ^""Vpp^da.

dBi (О:

С помощью штейнеровской формулы (333) из теоремы Коши (343) можно получить аналогичные рекуррентные формулы для всех основных мер WV(K).

Теорема 16.6 (Кубота), v-я основная мера компактного выпуклого множества К в Rn (п^2) с точностью до множителя, зависящего только от п, равна среднему интегральному значению (v— 1)-й основной меры проекции К на все проходящие через начало oeR" гиперплоскости;

W^ = ~^ 5 ^'ЫКМо. -(352)

dBt (О1

(Здесь v=l, ..., п, ру — ортогональная проекция на гиперплоскость Л (у) с единичной внешней нормалью у, do — элемент площади сферы dBJo) в Rn; интеграл понимается в смысле Римана.) При этом подынтегральная функция непрерывно зависит от у.

Доказательство. Будем исходить из того очевидного факта, что проекция р0(Кр) тела Кр, внешне параллельного множеству К на расстоянии р >■ 0, на гиперплоскость Л (у) совпадает с множеством, которое в гиперплоскости Л (у) внешне параллельно на расстоянии р проекции множества К:

Pv (Кр) = (Ро ( К) ) р.

Тогда из (333) имеем

П —1

IVi (р0 (Кр)) = У„-1 ((pD (К))р) = X ( " 7 1) й^’0 (Ро (Ю) pv- (853) v—o

Придавая р различные значения и учитывая правило Крамера, заключаем из непрерывной зависимости V„_i(p0(KP)) от у при каждом р, что и величины ^”-1)(^о (^) ПРИ v = 0, ..., п—1 непрерывно зависят от у. Если (353) подставить в формулу Коши (343), для тела КР, то получим

n-iр

) TS-n^UO)^^ (354)

v-0X dBi(0)/

С другой стороны, О^Кр^ = nW\^Kp^, Кр = К + pBi(о), и по определению 16.1 и теореме 15.6 имеем

О VKp) = nV {К + P5i (о), ..., К + рВ, (о), 6, (о)) =

п — 1

■= »£ ('V^v+iGW- (355)

v-0

Приравнивание коэффициентов в разложениях (354) и (355) дает формулу Куботы (352). □

Замечание 16.4. Последовательная подстановка одна в другую формул (352) для v,v— 1, ..., 1 дает следующее выражение для W4(K^ в виде v-кратного интеграла от (п — v)-мерной внешней поперечной меры множества К в смысле определения 16.3

' п(п — 1) ... и — v+ l)<0n-lton-2 ... ti)n-v JJ "'

эвх (о) \dB, (0)nA(t>,)

JVn-^ ... vN M) dcvY • • ^dap

ав^опд^оп ••■ n^(ov-1)//

'(356)

Здесь v = 1, .. ;, n, p,^ ... % (JQ := p^... p^p^ (K)) . • • ) - ортогональная проекция множества К в направлении подпространства, натянутого на ортонормированные векторы ui, ... ..., yv, на содержащее начало о аффинное подпространство А (щ)П А (УгЮ • •• nA(yv), dai — элемент площади сферы дВДо), и т. д., й<5м—элемент площади сферы дВ{ (о)ПА (У1)П ••• ... nA(nv). Равенством (356) мотивируется1)

Определение, v-ю основную меру U7V(К) называют также v-й интегральной поперечной мерой множества К. В дальнейшем мы будем пользоваться этим названием.

Теорема 16.7. Пусть К, К' — компактные выпуклые множества в Rn и К' с К- Тогда равенство ^(К')—^v(K) имеет место в том и только том случае, когда либо dim К ^ п — v и К' = К, либо dimК< п — V.

Доказательство. Достаточность указанных условий для равенства WV(K') = WV(K) тривиальным образом следует из теоремы 16.2d),e).

Пусть для некоторого v при O^v-^n— 1 выполнено К'с^К и WV(K') = WV(K). При v = 0, как показывает теорема 15.2, утверждение верно. Поэтому дальше считаем 1 ^ v ^ п—1. Применим формулу (356) к множествам К' и К. Поскольку

*) Этим же мотивируется определение 1^(0) = О, v = 0п — 1. — Прим, перев.

подынтегральные функции непрерывны и монотонны по включению, а К' с К, то из равенства левых частей следует, что

V„-v(PD1 ...„v ^ = Vn_^pVi ...„„(К)), n-v^ 1, (357)

для всех проекций на (и— v)-мерные подпространства. Если dim К < п — v, то доказывать нечего. Пусть dim К ^ п — v. Допустим, что К'N= К\ возьмем xo^KXK'. По теореме 3.4 х0 и К' строго отделимы гиперплоскостью А в пространстве aff К. Пусть dim/( = n— V ^ п— v. Ввиду v ^ n—1 имеем O^v— — V ^dimK—1. Выберем векторы у,,...,у®. ортогональными к aff К, а у®,+1у° параллельными А, причем так, что у®, ..., у® ортонормированы. Тогда для проекции р0о „о

1 V

должно выполняться (357). Но по построению dim(pDoDo (К)у=п — V, р0о „о (х0) е рсо „ Оо (Ю \ р0о... ро кК'^ =/= 0.

1 ” V1 V1 V

Отсюда по теореме 15.2

.V,.,^...,.«')) < К.^,(^... ^ ГО),

что противоречит (357). □

Упражнения

Пусть Р—выпуклый многогранник в Rn, a P^-v — его (я — v)-мерные грани (1 = 1fn-ч, 1 <vC nV Для каждой грани P"~v рассмотрим единичные векторы внешних нормалей ко всем опорным гиперплоскостям, соприкасающимся с Р по этой грани. Если эти векторы отложить от начала oefl”, то их концы заполнят в Rn множество .$(Р“”Х') \ Отношение (v—1)-мерного объема множества S(P"~V) к (v — 1)-мерному объему (v—1)-мерной единичной сферы называют внешним углом многогранника Р при грани Р"~\ обозначим его v (P®~v). Доказать, что v-я интегральная поперечная мера ITV (Р) многогранника Р допускает представление

fn-v

Z K«-v ^"^1Y 1 < v ^ ”•

Пусть К — непустое компактное выпуклое м-ножество в Р"; х = (§],... .^n)sRn- б (х, К) := min.||х — у\\ — евклидово расстояние от х до К. До

') Множество S (P"-v) называют сферическим изображением грани Р y~v. — Прим, перед.

казать, что значение введенного Уиллсом ([59], с. 60) функционала

п

S'™:-Z(”)^,1,'OT

V-n

может быть выражено как риманов несобственный интеграл

»№ = ^... ^ е-жб(*. Х^ .„d^n.

Rn Rn

4-00

Указание: воспользоваться представлением е“л<в(х' К)) =2лре~Л(|,! dp

6 (х, Ki для преобразования подлежащего доказательству равенства..

Пусть К и L — непустые компактные выпуклые множества в ортогонально дополнительных подпространствах Rm и Rn-m пространства Rn, 1 ^m^n—1. Доказать для введенного в предыдущем упражнении функционала Уиллса W равенство,

W кК + £) = Ww (К) • W'(n-m' (L),

где W;m\ Wtn т} — тот же функционал в Rm, Rn т. Вывести отсюда для интегральных поперечных мер множества К + L равенство

( " )«мл + О =

X v ) tov v

v

t»v—цt»v—цО ^ v < m.О ^ v < m.Ит \ 1 7 п — т \

t»v—ц

t»v—ц

О ^ v < m.

О ^ v < m.

И / «и X V — Ц 7 ц=0

Пусть К—непустое компактное выпуклое множество в Rn. Доказать, что существует компактное выпуклое центрально симметричное относительно начала oeR” множество L с тем свойством, что ширина L в направлении любого единичного вектора и (см. определение 17.2) равна удвоенной (п—1)- мериой внешней поперечной мере множества К в направлении и (см. определение 16.3). Указание: убедиться в том, что заданная равенством hL (о) := s=raV (он, К, ..., К'), о е Rn, функция hL является опорной функцией некото-

п— 1

рого множества L в R".

. Скалярнозначные и векторнозначные функционалы

В этом параграфе будет показано, что интегральные поперечные меры множества К представляют собой заданные на классе компактных выпуклых множеств в Rn вещественнозначные функционалы с определенными характеристическими свойствами.

Определение 17.1. Пусть <р — заданный на классе У£п всех непустых компактных выпуклых множеств в Rn скалярно- еначный функционал, т. е. функция, которая каждому К е 36 п

сопоставляет вещественное число ф(К'). При этом ф доопределено на пустом множестве условием

ф(0) = О.(358)

Тогда говорят, что

ф трансляционно инвариантен или соответственно инвариантен относительно движений, если соблюдается

Ф(t(K) ) = ф(К),(359)

соответственно

<р(Ь(К^ = ф(К^(360)

для всех К е Жп, трансляций t, движений 6|

ф однородный v-й степени, если

Ф(ХК) = ^ф(К)(361)

для всех К^Жп, А. ^ 0, v — неотрицательное целое число;

ф непрерывен, если

Ф(Нш К^= Нт ф(/Г)(362)

V->coV->oo

для всех К4 е Жп при существовании предела Нт К* е Жп-,

ф монотонен, если

ФЮСФ^) при К'с К(К',КеЖпЬ (363)

ф линеен в смысле Минковского, если

ф(ЕМС<(364)

= 1 Уi = i

для любых пг>2, КхКтеЖп, 11^0, ..., 1т^0, т

аддитивен, если

Ф(Ki № + ф(Ki П Яг) = ф №) + Ф(К^,(365)

щ примитивно аддитивен, если выполнены два условия

Ф (Кх и К2) + Ф (Кх П К^ = ф (Кх^ + ф (К^,

Ф (/() = 0 при МтК<п,

для всех Кх, К2, КхОК2, КеЖп.

Требование непустоты существенно только в пункте е).

Стандартным примером инвариантных при движении, однородных v-й степени (O^v^n), непрерывных, монотонных и аддитивных функционалов на Жп служат (п — v)-e интегральные поперечные меры множеств К е Жп (см. теоремы 16.2 и .16.4), доопределенные нулем на 0. Упомянем в этой связи еще

функционал В на Жп, называемый «средней шириной» В (К) множеств К е Жп.

Определение 17.2. Пусть Ке Ж п и h.— опорная функция множества К. Тогда расстояние

&(w) :=/i(w) +ft(—и)(367)

между опорными к К гиперплоскостями А (и) и А (— и) с единичными внешними нормалями и, — и называют шириной множества К в направлении и. (Значение b (и) совпадает с одномерной внешней поперечной мерой множества К в направлении А (и) в смысле определения 16.3.) А среднее интегральное (интеграл риманов):

В (Ю := -^— b (и) da,(368)

дВ, (о,

где da — элемент (л—1)-мерной площади на дВДо), называют средней шириной множества К.

В силу теорем 14.1 ’) и 12.4b) функционал В инвариантен относительно движений, однороден 1-й степени, непрерывен и линеен в смысле Минковского. Тот факт, что по суи дела В — единственный функционал с такими свойствами, устанавливается следующей теоремой Хадвигера.

Теорема 17.1. Пусть <р— произвольный функционал на классе Жп всех непустых компактных выпуклых множеств в Rn, инвариантный относительно движений, непрерывный и линейный в смысле Минковского (см. определение 17.1). Тогда существуют такие постоянные у и 6, что для любого К е Жп

ф(К) = уВ(А) + 6.(369)

Доказательство. Воспользуемся теоремой 14.7 об ап

- проксимации единичного шара Вр(о) некоторого специального . радиуса р ^ О последовательностью тел {^v}veW > где тела К суть некоторые линейные комбинации заранее фиксированного множества КгЖп и его различных поворотов:'

Г=^х№(Ю,

1 = 1

где все V>0, £ V = 1, bl — движения (без отражений) в Rn iv-l.

с bl (о) = о,

Вр(о) = Ит К».

Отсюда имеем

Ф (Вр (о)) = Ит ф (/Г) = Нт £ А?Ф (^ (К)) = Ф (К) , (370) у—>ооу->«> I —I

и аналогично, по сходности свойств В и ф,

В (Вр(о)) = В(К).(371)

Ввиду (370), (371) соотношение (369) будет доказано, если его проверить для частного случая К = Вр(о) = рВ[ (о) с любыми р ^ 0. Это можно осуществить так. С одной стороны, при 0 < р < I имеем

Ф (рВi (о)) = ф (pBi (о) + (1 — р) {о}) =

= РФ(В1(о)) + (1 —р)ф({о}), а при р > 1

Ф (Bi (о)) =Ф (у (pBi (о)) +{о}) = 1 ф (pBi (о)) + ф ({о}),

X рр/рр

т. е. всегда при р 0

Ф (рВ, (о)) = р(Ф (В, (о))- ф ((о))) + ф ({о}).(372)

С другой стороны, для средней ширины при р ^ 0 очевидно

В(рВ,(о)) = рВ(В1(о)) = 2р.(373)

Исключение р из (372) с помощью (373) дает равенство (369) для К = Вр(о) с любым р ^ 0 при постоянных у : = |(ф(В1 (о))— — ф{о}) и д:=ф({о}). □

Следствие, (м—1)-я интегральная поперечная мера U^n-i(7<) множеств КеЖп с точностью до зависящего только от п множителя равна средней ширине В (К) множества К. Действительно, для инвариантного при движениях, непрерывного и линейно в смысле Минковского (по теореме 16.3) заданного на Жп функционала U7;i-i(7<) по теореме 17.1 имеем ^„.[(К)^» = уВ(К) -ф- 6. Из частных случаев K = VA и К = В\(о) находим 6 = 0, У = |“л, см. (332), поэтому

Wn_x(K)=^B(K).(374)

Эту формулу можно вывести и непосредственно из (356).

Как важнейший результат этого параграфа, докажем следующую теорему Хадвигера.

Теорема 17.2. Пусть ф — инвариантный при движениях непрерывный аддитивный (или, соответственно, примитивно аддитивный') функционал на Жп (см. определение 17.1). Тогда су-

ществуют такие постоянные yv, 0 ^ v ^ п (или, соответственно, такая постоянная уо), что для любого Хп

п

ФГО = Е\Х№.(375)

соответственно

•pt^YoUW^YoI-W(376)

Доказательству этого результата предпошлем три леммы.

Определение 17.3. Множество R^, возможно невыпуклое и даже несвязное, в пространстве R^ будем называть собственным i-ступенчатым цилиндрическим многогранником (значения i могут быть i= 1, ..., п), если оно разбивается в смысле элементарной геометрии на конечное число «-мерных частей, каждая из которых есть сумма в смысле Минковского i штук выпуклых многогранников максимально возможной размерности, лежащих в t различных не менее чем одномерных дополнительных подпространствах. (Здесь слово ^дополнительных» в приложении к i подпространствам означает, что сумма их размерностей равна п и они находятся в общем положении.) Иначе говоря, Rw есть конечное объединение таких множеств (сумм Минковского) с попарными пересечениями, размерности не выше п—1. (В частности, /?(1) называем собственным многогранником.) В дальнейшем мы будем называть два таких собственных i-ступенчатых цилиндрических многогранника трансля- ционно равносоставленными, если их в смысле элементарной геометрии можно разбить на «-мерные выпуклые многогранники так, что соответствующие друг другу части будут отличаться только трансляциями. При такой терминологии справедливо следующее утверждение.

Лемма 17.1. Собственный i-ступенчатый цилиндрический многогранник 2RW трансляционно равносоставлен с дизъюнктным объединением соответствующим образом параллельно перенесенных 2' экземпляров многогранника Rw и еще некоторого (t + 1) -ступенчатого цилиндрического многогранника /?|/+1>:

2RW « (У i + RU)) U • • • U (У 2< + Rw) U Rv+".(377)

Здесь 1 ^ i ^ п, Rtn+^:=0, дизъюнктное объединение 0 означает объединение множеств, попарно не имеющих общих точек, 8нак «6 означает трансляционную равносоставленность.

Добавление к лемме 17.1. Назовем /?(,) собственным ортогональным многогранником, если RA можно в смысле элементарной геометрии разбить на конечное число «-мерных ортогональных симплексов, т. е. симплексов типа convfxo, ..., хп) с попарно ортогональными xo^i, xxxi, ..., xn-ixn. Для такого RA представление (377) будет верным с тем усилением, что в

качестве Rm может быть взят собственный 2-ступенчатый ортогональный цилиндрический многогранник, где слово «ортогональный» означает, что в его разбиении на суммы Минковского каждая из сумм (с двумя слагаемыми) может быть взята со слагаемыми, лежащими в ортогонально дополнительных подпространствах.

Доказательство леммы 17.1. Случай 1) i = 1. Каждый собственный многогранник Rw, как всякий «-мерный выпуклый многогранник, можно в смысле элементарной геометрии разбить на конечное число «-мерных симплексов. (Это легко проверяется индукцией по п — достаточно взять центр внутри «-мерного многогранника и из этого центра проектировать соответствующие разбиения всех его («—1)-мерных граней.) Поэтому достаточно доказать (377) в частном случае симплекса, т. е. в случае

/?m = conv [х0, ..., х^ =

(ппЛ

= Lefln|x = X Mvi *о>О,Хп>0, Х^=1к (378)

r?e xi.— х0, ..., х„— xq линейно независимы. В этом случае справедливо тождество

X M>xv — аохо + У а/ kxi — ^/-i)»(379)

V—0i=\

п

гдеа,= Х^А, 0^/^«, a kv = av — av+1, 0<v<n—1, и

7„n = an. Поэтому требование Aq^O, .... Zn^0, X^v=l рав- v-0

носильно тому, что

1 = a0 > О] > ... > an > 0.

Представим увеличенный в 2 раза «-мерный симплекс

2/?(1) = 1хе /?"|х = 2 X A,vxv, ^о^О»Ая>0, X ^v= Л

v**oу=0,

в виде

2/? " = |х е Rn\ х = 2х0 + У аДх, — xt_^ 2>aj>.. .>an> oj.

(380)

Симплекс 2/?(1) содержит при ц = 0, ..., п множества

Р^ := |х е Rn I х = 2х0 + X а/ kxi — Xi-\V

2>«i> ... >%> 1>ац+1> ... >an> 0j,(381)

‘ каждое из которых, после смены параметров по правилу

< = «,-1, .... а^а^-1; а''+1 = %+1<= «„

может быть представлено в виде

Г/и\

^ = р е /?" IX = ^ха + Д «/ (-V/ — */-1)) +

1>а"+1> ... >а">о}.(382)

Ввиду (379) это означает, что

Рц = сопу{х0, ..., хц} + convfxn, .... х„}, О^ц^п. (383-)

В случаях ц = 0 и ц = п множества Рц ввиду (378) суть параллельно перенесенные симплексы Р<‘>:

P0 = x0 + RW, Pn = x„ + RW,(384)

тогда как в остальных случаях 0 < ц < п согласно представлению (383) каждое множество Рц является собственным 2-ступенчатым цилиндрическим многогранником в Р". Сопоставление (380) и (381) дает

№ = у ри.(385)

Кроме того, точкам пересечения Р^ и Ру. при 0 ^ ц' < ц ^ п соответствует Оц'+1 = ... = 0^=1, поэтому

dim(P^ f|P|1) = dim(conv{x0х^ + conv (х^, ..., хп^ =

= р' + (п — ц) < п. (386)

Но (385) и (386) показывают, что симплекс 2Р(1> разбивается в смысле элементарной геометрии на множества Рц (р = 0, ... ..., и). Их можно раздвинуть трансляциями на некоторые векторы z/ц, обеспечив этим их непересечение. Это дает разложение (377) при I = 1, см. рис. 38. В этом случае Ро и Рп соответствуют начальным слагаемым правой части разложения (377),

8 U Ру. есть Р№-'

ц=1

Случай 2) 1 < t < п. Очевидно, достаточно доказать (377) для частного случая, когда Rw есть собственный /-ступенчатый цилиндрический многогранник, представимый в виде

. р’^рУЧ(387)

где /й' (*=1, ..., i) — выпуклые многогранники, причем

Я*1' с R'1'R^ с Rni, dim/?*11 = n, > 1, dim R^ = nt > 1,

Ynk = n,(388)

k»\fe=i

Рассмотрим 2RW = ^ 2^' и применим к каждому из 2Rk' уже доказанное в случае 1) разложение (377):

^ ~ <9\ + ^') U (У? + R^ U R^, k = \,...,L (389)

Ввиду (388) радиус-вектор каждой точки хе R” единственным образом представим как сумма радиусов-векторов соответствующих точек zksRnk — проекций (косоугольных) точки х на подпространства Rnk (k = 1, ..., /). Поэтому i-членная сумма

Минковского многогранников, разбитых на части в смысле элементарной геометрии, в свою очередь разбивается на части, являющиеся i-членными суммами Минковского. Поэтому справедливо

№ ~ U Г(У ) + Я(0) U Rw\ (390) (=1ez)V\^i7

где гк — 1,2, k = 1, ..., i, первое объединение ведется по всем 2‘ комбинациям (еь ..., е;), когда каждое ва = 1 или 8^ = 2 a R(1+n есть дизъюнктное объединение всех i-членных сумм Минковского, входящих в' (389) с хотя бы одним слагаемым R^. Тем самым R<‘+^ действительно есть собственный (t-(-!)■ ступенчатый цилиндрический многогранник, и (377) доказан! для случая 1 < I <; п.

Случай 3) i = n. В этом случае в (388) будет m= .. ... = пп = 1, поэтому по соображениям, приведенным в слу

чае 1), в равенствах (389), верных для прямых Rnfe, будут отсутствовать члены R^. Но тогда в (390) при образовании сумм «с хотя бы одним R^» также не появится собственный (n + 1)-ступенчатый цилиндрический многогранник R^n+V\ т. е. в (390), а потому и в (377), в этом случае R^+n = 0. □

Доказательство добавления к лемме 17.1. Для собственного ортогонального многогранника Rw каждый входящий в его разбиение n-мерный ортогональный симплекс (378), увеличенный вдвое, разбивается на два параллельно перенесенных исходных симплекса (384) и на 2-ступенчатый орто- тональный цилиндрический многогранник U Ри- Отсюда еле- 9-1 и

дует справедливость добавления. □

Лемма 17.2. Пусть ф— трансляционно инвариантный и примитивно аддитивный функционал на Ж п- Тогда он обладает свойством однородности

ф(2Р) = 2ф(Р)(391)

на всех п-мерных выпуклых многогранниках Р е Жп в том и только том случае, когда ф обращается в ноль на каждом из принадлежащих Жп собственных 2-ступенчатых ортогональных цилиндрических многогранников Р(2)

ф(/?(2)) = о.(392)

Доказательство. Покажем сначала, что каждый примитивно аддитивный функционал ф на Жп можно единственным образом продолжить до функционала ф на классе 91п всех собственных многогранников R^ в Rn так, что значение £ на каждом таком многограннике будет равно сумме значений С на его частях при его разбиениях в смысле элементарной геометрии на конечное число частей, являющихся выпуклыми многогранниками. Это прежде всего так, когда сам многогранник Rw е ЕЙп был выпуклым и n-мерным. (Доказательство можно провести индукцией по числу выпуклых многогранников, на которые разбивается R^X Достаточно разрезать Р(1) гиперплоскостью, содержащей такую (п— 1)-мерную грань одного из многогранников разбиения, на которой есть внутренние точки самого Rw.) Пусть теперь Rw— любой собственный многогранник /?(1) е д?.п, и пусть есть два его разбиения на выпуклые n-мерные многогранники

к" I

^=\JPt,^=\JQi-(393)

i=i/-1

Тогда /?(|1 = (J U (Р, П Q?) есть подразбиение разбиений (393) <=| /-1

с возможно пустыми или менее чем n-мерными выпуклыми

7 К. Лейхтвейс

многогранниками в числе многогранников разложения. При этом

кк / I\/ / кх I

2 ф (р<) = 2 ( 2 ф ^ п р^ ) = 2 (2 ф (Pi n Qi)) = 2 ф (Qi);

i = li = l\/=|7j=\ \i = i//-i

здесь учтено, что в случаях Pi П Qi = 0 и в случаях dim (Р,f) Qj) < п ввиду (358), (366) будет ф(Р< П Q/) = О, так что равенство

кI

ф(р!,|)= 2ф(^а = 2ф(9/)(394)

1-1i-1

действительно определяет единственный примитивно аддитивный функционал ф на йп-

Покажем теперь, что из (392) следует (391). На основании добавления к лемме 17.1 для каждого собственного ортогонального многогранника Ru' из (394) и (392) следует

Ф (2Р<9) = ф (у, + ро) + ф (у2 + Р">) + Ф (^)) = 2ф (pm),

т. е. (391) выполнено для каждого собственного ортогонального многогранника, и тем более для каждого «-мерного ортогонального симплекса. Если под элементарно геометрической суммой двух собственных многогранников понимать такой собственный многогранник, разбиения которого суть взятые вместе разбиения его слагаемых, то (391) справедливо и для каждой элементарно геометрической суммы «-мерных ортогональных симплексов. Точно так же (391) справедливо для каждой элементарно геометрической разности двух таких собственных многогранников, если под элементарно геометрической разностью понимать собственный многогранник, упомянутая сумма которого с меньшим многогранником дает больший. Теперь, чтобы убедиться в правильности (391) для любого «-мерного многогранника Р^Жп достаточно показать, что каждый «-мерный Р^Жп может быть получен конечным числом последовательных элементарно геометрических сложений и вычитаний «-мерных ортогональных симплексов.

Тот факт, что Р можно так получить из ортогональных симплексов, притом с заранее заданной начальной вершиной х0 е R*1 (см. дополнение к лемме 17.1), мы докажем индукцией по размерности п объемлющего пространства Rn. При п = 1 роль Р играет отрезок на R1. В зависимости от того, будет ли 1'оеР или xoeR'\P, сам Р будет суммой не более чем двух или разностью двух отрезков (т. е. ортогональных симплексов с общей начальной вершиной х0). Пусть требуемая представимость уже доказана для размерностей, меньшнх п, и Р есть «-мерный выпуклый многогранник в Rn. Пусть Р П 71 (щ)—«невидимые» из %о, a PnA(ui)—«видимые» из х0 при непрозрачности границы дР его (п—1)-мерные грани. (Как обычно, и — единич-

пые векторы внешних нормалей опорных к Р гиперплоскостей Л(п).) При этом те (п—1)-мерные грани, аффинные оболочки которых проходят через точку Хо, из рассмотрения исключаются. Очевидно, Р есть элементарно геометрическая разность между элементарно геометрической суммой пирамид conv ((Р П ^ («<) )U (J {-^о}), z = l, ..., к', и элементарно геометрической суммой пирамид conv((P ГИ (и/ВЩ-^о}), j = к'+ V ••■> к". Каждая из упомянутых пирамид обладает разбиением на ортогональные симплексы с начальной вершиной xq. Это легко вывести из индуктивного предположения, отправляясь от соответствующего разбиения оснований РП^(«0 или Рр/Цщ) на (п—1)-мерные ортогональные симплексы с начальной вершиной, являющейся ортогональной проекцией точки Хо на Л (и,) или Л(п;). Этим доказана представимость Р как итога сумм и разностей ортогональных симплексов, а тем самым доказано и (391).

Покажем теперь обратное: что из свойства однородности (391) следует (392). Во-первых, по (377) и (394) для каждого собственного /-ступенчатого цилиндрического многогранника RW в Rn имеем

Ф (2Р<«) = 2'ф<R^ + ф(P<i+‘)),1 ^ / < щ /?(«+D«=0. (395)

Во-вторых, по (391) и (394)

ф(2р(')) = 2ф(Р»)),1^/^п.(396)

Полагая в (395), (396) i = п, п—1, ..., 2 и приравнивая результаты, получаем

ф (/?<">)— ф^"-1’)- ... =»ф(/?,2|) = 0.(397)

Тем более для каждого Р^еЗ^п справедливо (392). □

Лемма 17.3. Пусть ф — трансляционно инвариантный непрерывный примитивно аддитивный функционал на Жп, притом такой, что для всех п-мерных выпуклых многогранников Р ^ Ж

Пф(2Р) = 2ф(Р).(398)

Тогда ф линеен в смысле Минковского (см. определение 17.1е)).

Доказательство. Воспользуемся индукцией по размерности п объемлющего евклидова пространства Rn. При п=\ утверждение верно, в чем можно убедиться следующим образом. Пусть К\, Кг, К Е Жп. Тогда

К\ + Кг ” (У1 + ^i) U (Уг + Кг),

пК ~ (г/i + Ю U • • • U (Уп + К), п — натуральное число.

Отсюда по (394)

ф(К1+Л8)=ф(^) + ф(^)> Ф^-ЛфСЮ, (399)

но тогда при натуральных т, п

ф(^к)-^ф«).

и по непрерывности

ф(ХЛ) = Хф(Л) при X ^ 0.(400)

Но (399), (400) вместе означают линейность ф по Минковскому, см. (364).

Предположив, что лемма 17.3 доказана для всех размерностей, меньших п, докажем ее в размерности п. Для этого зафиксируем в Rn гиперплоскость A(uo) с единичной нормалью и0 и рассмотрим любую гиперплоскость А (и) с единичной нормалью и, для которой 0<!<и, Мо>|< 1. На классе Жп-\ всех лежащих в А (и) компактных выпуклых множеств определим функционал фи по следующему правилу. Пусть КигЖип-\, причем Ки целиком лежит, в том ограниченном гиперплоскостью A(uo) замкнутом полупространстве Н (и0) пространства Rn, в которое направлена нормаль и0. Обозначим р ортогональное проектирование па А(и0), и пусть Ри„ (кА — косая призма, заполненная отрезками, проектирующими точки множества Ки на А(п0); ее основание лежит на А («о), а верхней гранью служит Ки. Определяем фД№) равенством

Фи(КиУ.= Ф<.Ри„(кА\(401)

Чтобы применить индуктивное предположение, убедимся, что функционал ф„ трансляционно инвариантен на всех допущенных к рассмотрению Ки cz А (и). Пусть есть два отличающихся лишь трансляцией t в Rn множества Кд, К“ из А (и) П Н (uQ). Для их призм Ри0(К“У Ри,^, без потери общности, справедливо соотношение

Р«о (к“) = / <Р«, (О U ZUl, dim (t (.РиАК^Ш^ < n, (402) где Z<2)— ортогональный цилиндр с основанием р^К^) и направлением образующих п0- Поскольку Z№ можно сколь угодно точно приближать последовательностью из собственных 2-ступенчатых ортогональных цилиндрических многогранников в Rn, то по непрерывности ф и лемме 17.2

'ф(7(2)) = 0(4Q3)

Ввиду трансляционной инвариантности и примитивной аддичив- ности функционала ф из (402) и (403) следует

<p^PuAku^ = ^(Pu. (к^),

так что определенный равенством (401) на тех К“ ^ ^“-х, которые лежат в А(м)П^(ио), функционал фы трансляционно ин-

вариантен. Тривиальным образом он с тем же свойством продолжается на все Ки е 3fn-\- Кроме того, из (401) вытекает непрерывность и примитивная аддитивность фи на Д(и)ПН(н0), а потому и на Д(и). Наконец, пусть Р" есть (и— 1)-мерный выпуклый многогранник в A (u) П Н (ио). Выберем вектор у таким, чтобы у + 2Р“ также лежало в A (tz)Q H^u0Y Тогда, в зависимости от расположения начала о е Rn, будет

Ри. (у + 2Р“) ~ 2PU„ W и R® либо

PuXy + 2P^\jR,j'~2PuAP“\

где Rw — собственный 2-ступенчатый ортогональный цилиндрический многогранник в Rn. Поэтому ввиду (401), (394), (392), (398), <Р«(у + 2Р“) = Ф(Р„ (у + 2Р“)) = ф (2Р„„ (р“)) =

= 2Ф (Ри„ (Р“)) = 2фы(Ри).

Это равенство также распространяется на все Р“ в Д(и).

Итак, фи удовлетворяет всем условиям леммы 17.3, и по индуктивному предположению этот функционал линеен в смысле Минковского:

\К//: = 1\К//: = 1/ к

\К

//: = 1

\К

//: = 1

Фи I У, ?^iK“

Xi —1. .

к

к>2, К“, .... KUkS^un_Y, ^>0, ..., Х6>0, 1Л = 1.(404) i = l

Докажем линейность ф в смысле Минковского сначала для выпуклых n-мерных многогранников Р\, .... Рк в Rn. Пусть многогранник кк

P-.= ^ktPb М>0, ...,Хк>0, Е^ = 1,(405)

i=ii=i

есть линейная комбинация многогранников Pi, ..., Рк- Не нарушая общности, считаем Pic/7(u0), ..., Ръ^Н^иА- Будем различать у многогранника Р «невидимые» в направлении «о со стороны Д(ио) (и—1)-мерные грани РПД(щ), i = 1, ..., т', и «видимые» РПД(и/), / = т'+ 1, .... т". Грани, ортогональные Д(ио), остаются вне рассмотрения. Тогда Р, очевидно, есть элементарно геометрическая разность между элементарно геометрической суммой призм Ри, (Р П А (ц,)), i=l, . .., т', и элементарно геометрической суммой призм РЫ„(Р П Д («/)), 1 = = т' -j-1, ..., т". Поэтому ввиду примитивной аддитивности ф и (394) справедливо•

т'т"

фДО-ЕфМЛМ- 5 Ф(Р»6(РПД(«/))).

1 — 1/-ГПЧ1

Согласно лемме. 15.2 множество внешних единичных нормалей щ, ..., ит всех (и—1)-мерных граней РПА(щ), t= 1, ..., т, многогранника Р есть подмножество некоторого конечного множества T = {vi, ..., Vs} единичных векторов, определенного многогранниками Р\, ..., Рц независимо от значений коэффициентов М, ..., Хк в (405). Пусть за счет нумерации {vh ... . .., vs'} есть подмножество всех тех иеТ, для которых 0 < | <и/, ц0) | < 1, /= 1, ..., s'. По лемме 17.2 и (401) будет

s'

Ф ^ = Z sign (vr и^ ф0/ (Р n A (у,));(406)

Здесь учтено, что для любого и, ^ (щ, ..., um}, / — 1s',

имеет место с11т(РГИ (У/)) <п.—1, и потому ф0 (Р П А (У/)) = 0. Здесь каждый функционал ф0^ определен на компактных вы

пуклых множествах в опорной к Р гиперплоскости A(v./) с внешней нормалью V/. Аналогично (406) для каждого из Р; (т = = 1, .... А)

ф(Рг)= Zsign^/, и^^Р^А^у^, (407)

где А; (и/)— опорная гиперплоскость к Р; с внешней нормалью V/, а р^ — ортогональная проекция в Rn на гиперплоскость A(v;). В (407) можно убедиться, исходя из лемм 17.2 и 15.2. Линейная комбинация равенств (407) с коэффициентами М, ..., Xfc при использовании (404) и теорем 8.3, 8.4 дает

Z ^гФ (Р^ = Z siSn <ур и^ ФУ/ (^ П А (У/)), (408) а равенства (406) и (408) доказывают справедливость (364) для выпуклых многогранников. Но функционал ф непрерывен по предположению, поэтому (364) справедливо для любых компактных выпуклых множеств Къ ..., Кк в Rn, т. е. и в размерности п функционал ср линеен в смысле Минковского, что завершает доказательство леммы 17.3. □

Доказательство теоремы 17.2. Снова воспользуемся индукцией по размерности п объемлющего пространства Р4. При п = 1 функционал

ф:=ф —ф({о}), (409)

где о,— начало в Р1, есть аддитивный функционал на 3£\, который вследствие трансляционной инвариантности обращается в нуль на (одноточечных) нульмерных множествах из 31 v Поэтому ф примитивно аддитивен. Кроме того, ф, как и ср, трансля- ционно инвариантен и непрерывен, так что выполнено (400).

(Заметим, что при выводе (400) в случае R1 предварительное доказательство (398) не требуется.) Поэтому для каждого К = ■*|^, pjej^i справедливо

iKK) = Ф([^, nl) = Ф([0, л — е])= Ф ((п — 5) [0,1]) =

= (П — g)ip( [0, 1])= ^(^-ф([0, 1]).(410)

Но (410) означает выполнение (376) с То = Ф ([0, 1 ]) для примитивно аддитивного функционала ф и, ввиду (409), выполнение (375) с уо = ф([ОЛ])—ф({о}), Yi = -|r^ = -5-^- Для аддитивного функционала ф.

Пусть теперь теорема 17.2 верна для всех размерностей, меньших чем и ^ 2, докажем ее в размерности п. Для этого зафиксируем гиперплоскость Rn-X в Rn и заданный на Жп аддитивный по предположению функционал ф сузим на класс Ж п-\ всех непустых компактных выпуклых множеств в Rn~l. Тогда ф|г , как и ф, инвариантен относительно движений в R'1-', непрерывен и аддитивен. По индуктивному предложению для любого К е Жп-\

ф1т (Ю = Е.

или, что то же ввиду ф (/<) = ф(/<) и (334), ,

ф(Ю=2 YvtiW),

v=0

М® V/и 1 \

где Yv+1 — v + ] Yv ’ пРичем это равенство, ввиду предположенной инвариантности ф относительно движений и установленной в теореме 16.2 инвариантности U7V+1(K) при движениях, остается справедливым для всех К е Ж п при dim К < п. Но это означает, что заданный на Жп равенством

’п -1

Ф(/<):=ф(/<)-2 Yv+irv+i№(411)

v = 0

функционал ф не только вслед за ф и интегральными поперечными мерами инвариантен относительно движений, непрерывен н аддитивен (см. теоремы 16.2с) и 16.4), но еще и примитивно аддитивен. Поэтому требуемая теоремой справедливость (375) будет доказана, если в размерности п мы для функционала ф докажем (376).

Чтобы это сделать, зафиксируем в Rn некоторое т-мерное подпространство Rm и ортогональное ему подпространство Rn~m (1 ^ m ^ и— 1). Обозначим классы всех непустых компактных выпуклых множеств в Rm, соответственно в Rn~m, через Ж^.

Жп-т и определим на J^m и Жп-т соответственно функционал! ф^, Фк~т) равенствами

ф^ЧТО^ф^ + Л,), фи-"» Щ-.= ф(Л + А) (412

для любых КеЖт, LeXn-щ. Ввиду инвариантности при дви жениях в Rn и непрерывности ф, согласно (248), будут инва риантны при движениях в Rm, Rn~m и непрерывны функциональ

фь"\ Фк т1. Кроме того, ввиду примитивной аддитивности i| по (412) и (339а,Ь) для Кх, Кг, Ki U К2, КгЖп v, ЕгЖч_г.

имеем

Ф^ <КХ U К^ + Ф^»^КХ П К.') =

= Ф((К,иК2) + 1) + Ф((К1ПК2) + А) =

= ф ((К, + Д) U (К2 + L^ + Ф ((к, + L)П (К , + Ц) =

= ф (К, + Ц + Ф (К, + А) = Ф^1 (К,) н- ф'"" (К2) причем заведомо в случае dim К < т

^ЧЮ-Ш + Ц — О,

так как в этом случае dim (Д’ -)-/,)= dim К + dim L < п. Анало гичные соотношения справедливы при смене ролей Rm и Rn~m Поэтому функционалы ф(™' и ф^-т! также примитивно адди тивны, и к ним, ввиду т<п, п-—т <_ п, можно применить ин дуктивное предположение. Это дает

Ф^-То^^Ю.^ = №Vn_mkLVФ^-То^^Ю.^ = №Vn_mkLV(413а(413b(413а(413b

Ф^-То^^Ю.

^ = №Vn_mkLV

Ф^-То^^Ю.

^ = №Vn_mkLV

(413а

(413b

(413а

(413b

для любых К е Жт, ЬеЖп-т. Чтобы найти коэффициенть Уо(А) и 6о(К), подставим (413а) и (413b) в равенство дву? выражений (412). Если один раз фиксировать Ко е Ж т dim Ко = т, а второй раз фиксировать ЬоеЖп-т, dim Ло = = п — т, то это даст

Yo (А) = Уп_т (L), д0 (К) = -тЛ^ТГТ 7« ^‘V тхАо)V гг—т (^о)

Используя сокращенное обозначение

.dmi^о (А'о) Уо (Лр)"Em(/<0) Vn_m^ ’

можно из (412), (413а,b) получить

Ф (К + ц = С’К,„ (К) Vn-m (L) = y-7 IK + Л).(414

Это равенство, ввиду инвариантности ф при движениях, оста ется верным с одним и тем же коэффициентом у(;т1 для любо! пары ортогональных подпространств R’n, Rn~m прн фиксирован

ном т. Если, в частности, взять в (414) в качестве К. и L единичные кубы Qm, Qn-m, ТО ВВИДУ Qm + Qn+m = Qn, ГДС Q„—СДИ- пичный куб в Rn, убедимся, что ^^ в действительности не Зависит от т:

< = ... =^=".N0. (415)

Равенства (414), (415) показывают, что заданный на всех К s Жп функционал

Х(Ю :=Ф(К)-УоЕ(А) = ф(7С)-уо^о(А) (416) не только вместе с ф и Ц/о инвариантен относительно движений, непрерывен и примитивно аддитивен, но еще на каждом ортогональном цилиндре К ф- L в Rn (Ке Жт, L е Жп-т, R”‘ ± Rn~m, 1 ^ т ^ п— 1), а потому по (394) и на каждом собственном 2-ступенчатом ортогональном цилиндрическом многограннике в Rn этот функционал обращается в нуль. Из леммы 17.2 следует, что для каждого n-мерного выпуклого многогранника Р в Rn справедливо х(2Р) = 2х(Р), а потому, по теореме 17.3, функционал х линеен в смысле Минковского. Поэтому согласно теореме 17.1 и (374) при соответствующих постоянных у 6 для всех К е Ж п

(417)

Если применить (417) к частным случаям /Со := {-^о} и Кл := .«>= хо^ь т. е. точке и отрезку (xi¥=xo), то ввиду dim/<o = O, dim Ki = 1, и > 1 из примитивной аддитивности х и теоремы 16.2е заключаем, что б = 0, у = 0, т. е. при всех КеЖч

Х(Ю = 0. (418)

Равенства (418) и (416) доказывают справедливость (376) для примитивно аддитивного функционала ф, а потому, ввиду (411), и справедливость (375) для исходного функционала ср при размерности п, что завершает доказательство теоремы 17.2. □

Следствие теоремы 17.2. Функционал Wm, определенный на всех К е Жп как v-я интегральная поперечная мера 1Гу(/<), является единственным (с точностью до постоянного множителя) инвариантным относительно движений непрерывным аддитивным функционалом, обладающим однородностью (н — ^)-й степени.

Замечание 17.1. Теорема 17.2 остается справедливой (с неотрицательными постоянными уо, •■•, у«), если в ней заменить требование непрерывности рассматриваемого функционала <р на требование его монотонности (см. определение 17.Id). Доказательство можно найти в [65], с. 302—303, или [46], теоремы 5А7, 5А8, 7ВЗ.

Выше мы имели дело только со скалярнозначными функцис налами на классе Жп всех непустых компактных выпуклых мне жеств в Rn. Отправным пунктом при этом было исследовани объема линейной комбинации элементов из Ж п. Чтобы сходны: образом подойти к функционалам на Жп со значениями в R' определим, следуя Шнейдеру [75]‘), отображение 2: Жп-*к по правилу

2(/0:=^хЩ/,(41<

к

где х—радиус-вектор переменной точки, a dV— элемент обт ема. (Это отображение сопоставляет каждому К г Ж,, dim К = п вектор г(^), равный радиусу-вектору центра тяже сти тела К, умноженному на объем этого тела. Вектор z(X называют векторным полярным моментом множества К.) Тогд для векторного полярного момента линейной комбинации эле ментов из Жп по аналогии с (301) справедливо разложение виде многочлена

/ m х mtn

4У^п^Ч---К+х (42(

при любых К]^0Хщ^О, a z(Ktx, ..., KinA — симме! ричные по всем индексам R, ..., U+\ смешанные (векторные полярные моменты, зависящие только от Kt ^<п+1- ^Mi шанные полярные моменты обладают следующими свойствам!

Если обозначить ta трансляцию в R", переводящую начало в точку а, то

^'«„(АОЦ^.^-ЧК-к<«.,) +

-ЬТТТВ'^-.К.,+,)а1,+ ... + К(Х(,К^а^,

(42 (ср. с теоремой 15.5).

При любом собственном движении 6° в пространстве R оставляющем на месте начало о,

ЧПМ6" (№„,))-»" (г (К. К.„^(421

(ср. с теоремой 15.5),

г(К, Ю = г(/<);(42:

х—-^ /

(ср. со следствием к замечанию 15.4).

‘) В [75] можно найти доказательства приводимых ниже фактов.

Из (420) следует, что ^(Ал,, ..., Kin+x) зависит от каждого из своих аргументов линейно и непрерывно (ср. с теоремами 15.6, 15.7).

Если рассмотреть частные случаи Кц = ••• = Ktn+x_v = К, Kin+.,_4 = ••• — Kin+x = Si (о), то получим так называемые v-e векторные поперечные меры (0 ^ v ^ п)

^ W :“ ra^v 2 ^, •■■, к. В, (о), .... 8! (о))(424)

Z1+ i - VV

(ср. с определением 16.1). Нормирующий множитель здесь выбран так, чтобы свойство (421) свелось в данном случае к виду qW) = q^KW Wv(K)a, 0 ^ v ^ n. (425)

Ия свойства (422) следует

qv(b°(K)) = b°(q^K)), O^v^n, (426) в линейность и непрерывность смешанных полярных моментов по каждому из аргументов влечет однородность

qv(KK) = Х^-^К), Х^О, 0^v<n,(427)

и непрерывную зависимость qv(K) от К. Кроме того, функционал qv. Xn^-Rn, K<—^qv(K), аддитивен в смысле определения 17.1f).

Иногда оказывается полезным вместо q^^K^ рассматривать заданный только на тех КеЖп, для которых dim К ^ п — v (см. теорему 16.2е)), частное

PvW:=i7^.0<v<n,(428)

которое ввиду (425), (426), (427) обладает эквивариантностью при трансляции:

pAtaU^ — Up^V(429)

еквивариантностью при поворотах вокруг начала о г Rn*.

р.(ЖКП=ьчрЛКП,р.(ЖКП=ьчрЛКП,(430)(430)

р.(ЖКП=ьчрЛКП,

р.(ЖКП=ьчрЛКП,

(430)

(430)

pv(XK) = Xpv(K), X ^ 0.pv(XK) = Xpv(K), X ^ 0.(431)(431)и эквивариантностью при неотрицательной гомотетии с центром и начале:

pv(XK) = Xpv(K), X ^ 0.

pv(XK) = Xpv(K), X ^ 0.

(431)

(431)

Значение pv(K) называют м-м центром тяжести кривизны множества К. При v — 0 он совпадает с обычным центром тяжести тела К, а при v — п с так называемой точкой Штейнера множества К. Последняя определена для всех К е Жп, является непрерывным и по (431) однородным первой степени функционалом, по (428) и (424)—линейным в смысле Минковского.

В частности, для любых К\, Кг е Жп имеет место аддитивность рп в смысле Минковского:

рДК\^гКг^=Рп1К\Н РпкКгУ(432)

Шнейдером, по некоторой аналогии с теоремами 17.1 и 17.2, доказаны следующие результаты.

Теорема 17.3. Пусть п ^ 2, и пусть ф: Жп -► Rn есть транс- ляционно эквивариантный, эквивариантный относительно поворотов вокруг начала о е Rn, непрерывный и аддитивный в смысле Минковского, см. (429), (430), (432), векторнозначный функционал. Тогда для всех К е Жп

Ц)^=Рп^.

Теорема 17.4. Пусть п^2, и пусть ф: Xn^-Rn есть векторнозначный функционал, эквивариантный относительно поворотов вокруг начала, см. (430), непрерывный, аддитивный в смысле определения 17.11) и обладающий свойством

Ф (ta (К)) = Ф (К) + Т (К) a, К^Жп, a е Rn, X: Xn^'R.

Тогда существуют такие скалярные постоянные yv (O^v^n), что для любого К s Жп пп

Ф № = Z Vv7v W = I Vv^v № P. №• v=0v=0

Доказательства теорем 17.3, 17.4 нуждаются в лемме, которая выходит за рамки этой книги; см. [74] или [76].

Упражнение

Пусть К =# 0 — компактное выпуклое множество в R" с опорной функцией h. Доказать, что точка Штейнера рДК), см. (428), обладает интегральным представлением

Pn(^)=7"-\ uh^da,

ton Jав, <oi

где de — элемент Щ—1)-мерной площади иа единичной сфере <3St(o) с центром в начале о г Rn.

Глава IV

СИММЕТРИЗАЦИЯ

§18. Штейнеровская симметризация компактных

, выпуклых множеств

В теории выпуклых множеств евклидова пространства Rn особенно важны неравенства, которые связывают между собой введенные в предыдущей главе смешанные объемы и, в частности, интегральные поперечные меры. Вспомогательным средством для получения таких неравенств служат процессы симметризации. В этом параграфе мы рассмотрим введенную Штейнером симметризацию относительно гиперплоскости.

Определение 18.1. Пусть А— фиксированная проходящая через начало о гиперплоскость в евклидовом пространстве Rn, а 5д — действие отражения R" относительно А. Тогда штейнеровой симметризацией Sa называют отображение, переводящее каждое компактное выпуклое множество K^Rn в зеркально симметричное относительно А множество

5Л U0 := (J (у № П К) + 7 (G Л 5Л (Ю)) ,(433)

где G— всевозможные прямые в R", ортогональные к А.

Наглядно это означает, что Sa (К) получается из К следующим процессом. Ортогональные А прямые вырезают из К замкнутые отрезки. Последние сдвигаются вдоль этих прямых так, чтобы из середины попали в А.

Теорема 18.1. При штейнеровской симметризации 5Л компактного выпуклого множества К получается симметричное о,носитедьно А множество Sa (К), снова компактное и выпуклое.

Доказательство. Симметричность Sa^K^ относительно А очевидна. Чтобы убедиться в компактности Sa (К), проверим его ограниченность и замкнутость. Компактное множество К лежит в достаточно большом шаре BrIo') hSa(K)czSa(Br(o)) — ^- Вр(о), поэтому ограниченно и Sa (К). Пусть {Уц}ц^ — сходящаяся к у0 последовательность точек уц е Sa (К). Точка yv лежит на некоторой ортогональной А прямой Gu и

У» е 4 (Gg пК) + ^ (Gu пЭд (К)),ц=1,2, ...,(434)

где G^ П^=: ^^ и G^ П зл (Ю = хл (х^, х^). По компактности К можно за счет выбора подпоследовательности считать, что lim х* =:х^, Нт х^—.х^, причем'

Ц-*оо 11н-*оо

(435)(435)хохо ^ Go Г1 К»

(435)

(435)

где Go — некоторая прямая, ортогональная А. Теперь предельный переход в (434) ввиду (248) дает вместе с (435)

Уо G 1 Х^ + 15Л (х^) cl (60 Л К) + V (Go л К) с 5Л №,

откуда следует замкнутость Sa (К)., Остается проверить выпуклость Sa (/<).'

Пусть концы отрезка ущ^ лежат в Sa (К). Обозначим снова 61, G2 — проходящие соответственно через у\у^ ортогональные к А прямые. Пусть

'6, л К =: х[х2, 62 л К =: х‘х|,

^П SA№=:y\y2v 02П5А^=:и^.

Тогда по (433)

У^г с conv {у}, у^, уху y2} = S4(conv{x‘, Хр х‘, х^)с5л(К), т. е. Sa^K) выпукло. □

Теорема 18.2. Симметризация Sa обладает следующими свойствами:.

Sa (К) = К, если множество К симметрично относительно А.

Если трансляционно равны К и К', то Sa (К) трансля- ционно равно Sa (К').

При X ^ 0 всегда Sa (ХК) = Х5д (К).

Из К' с К следует Sa (К') с Sa (К).

Доказательства здесь очевидны.

Для дальнейшего существенна

Теорема 18.3. Симметризация Sa линейной комбинации m

У, Х;К; непустых компактных выпуклых множеств Ki в Rn

Z=1

содержит в себе соответствующую линейную комбинацию симметризаций Sa этих множеств:

зА^ХМ^ХМКй, ^>0,Хт>0. (436)

ХГ-1 /(=1

Доказательство. Теорему 18.3 достаточно доказать для m — 2, так как отсюда общий результат следует индукцией по числу слагаемых. Кроме того, ввиду теоремы 18.2с достаточно рассматривать случай Xi + Х2 == 1- Таким образом, надо убедиться в справедливости включения

Sa (Х1К1 + Х2К2) TD XiSa (Ki) + ^Sa (Кг)

при X] ^ 0, Х2 ^ 0, X] -|- Х2 == 1. (437)

Привлечем для этого замечание 8.4, по которому R"^v ;= RnXRx при 0 ^ Х2 ^ 1, X] + ^-2 ~ 1 выполняется

(Х1Ал + Х2/(2)Х {Х2} =

= con V {(Kv X {0}) и (к. X {1})} Л (Rn X {^2}), (438)

(Х^л (Кх) + X2S4 (Кг)) X {Х2}

= conv {(Зл (Кх) х {0}) и (Зл (Кг) X {1})} П (Rn X {Х2}). (439)

Из (433) и (438) имеем

Зл (X^i + Х2К2) X {Ч =

= 5лХд' (conv №t X {0}) U (Кг X {1})) П (Rn X (Ч)- (440)

Но множество Злх r- (conv {(/<1 X {0}) U (Кг X {1})) по теореме 18.1 выпукло в Rn+l и, ввиду (440), содержит, в частности, Sл(^l)X{0} и Зл(^2)X{l}, а потому — и выпуклую оболочку их объединения

Зл X R1 (conv ((Кх X {0}) и (/<2 X {1})}) =3

о conv {(Зл (Кх) X {0}) и (Зл (Кг) X {1})}. (441)

Пересечение входящих в (441) множеств с гиперплоскостью /?"Х(Ч пространства Rn+X с учетом (440) и (439) дает требуемое включение (437). □

Включение (437), игравшее в доказательстве последней теоремы центральную роль, дает повод к рассмотрению специальных типов однопараметрических семейств компактных выпуклых множеств, которые соответственно называют выпуклыми, вогнутыми и линейными семействами.

Определение 18.2. Пусть {К(т)}ТЕ|а, pj есть зависящее от одного вещественного параметра т семейство непустых компактных выпуклых множеств в Rn. Тогда это семейство называют выпуклым, соответственно вогнутым, соответственно линейным, если для любых Т1,т2е[а, р] и любых Xi ^ 0, Х2 ^ 0, Xj + Х2 = 1, справедливо соответственно

К (Х]Т! + Х2т2) с= ХхК (Ч + Х2К (т2) (выпуклое семейство'), (442а) К (X^j + Х2т2) => ХхК (Ч + \2К (т2) (вогнутое семейство), (442b) К (Х^ + Х2т2) = ХхК (Ч + ХгК (т2) (линейное семейство). (442с)

Замечание 18.1. Наглядно семейство {К (т)}те;а, pj удобно представлять себе как параллельные сечения К(т)Х{т} некоторого множества К := U (К (т) X {т}) в пространстве «<т<р)

R«+i : — RnXRx и сравнивать эти сечения с сечениями выпуклой оболочки в Rn+' двух крайних из них, ^(a)X{a} и ^(P)X{p}. В случае, линейного семейства сечения К будут совпадать с сечениями выпуклой оболочки К(ЧХ{Ч и ^(P)X{P}■ Это

следует из замечания 8.4. Если семейство было вогнутым, то множество R будет выпуклым в Rn+X. Действительно, пусть хь т2е[а, р] и х1 = х* X{xje K(xi)X{xi}, x2 = x2X{t2}s s Д(т2)Х {т2}. Тогда для любой точки z := Мх1 + tax2 отрезка х*х2 (Xi ^ 0, Х2 ^ 0, Xi + Х2 = 1) имеем, в силу (442b),

z = (Xix1 -Г Х2х2)X {taxi "Г ^2X2}е(Х1Д(т1) + Х2Д(х2))Х

X {taxi + Х2т2} Cz К (Х1Т1 + Х2т2) X {taxi + X2t2}cz R.

И обратно: выпуклость К влечет за собой, что выпуклая оболочка каждых двух сечений Д(х1)Х{х1} и /С(х2)Х{х2} содержится в R, откуда на основании замечания 8.4 следует (442b), т. е. вогнутость семейства ^К (x)}1S|a, pi-

Пример. Семейство {(1—х) К\ + t/(2)TS|... 1, является в силу теоремы 8.2 линейным семейством. Симметрированное семейство {S,i((l—х)Д1 + тД2)}т&1о. 1 согласно (437) является вогнутым, но, вообще говоря, уже не линейным семейством. Это — частный случай более общего утверждения.

Теорема 18.4. Каждое вогнутое семейство переходит при штейнеровской симметризации Sa снова в вогнутое семейство.

Доказательство. Из (442b) вместе с теоремой 18.2d и (437) следует требуемое включение:

Sa (К (XiT| + Х2т2) )дэ5д(Л1Д(т1) + Х^К (х2)) ЦО

Щ> X]Sa (K(xi) ) + X2S2(K (х2)),Xi ^ 0, Х2 ^ 0, Xi -Т Х2 = 1. О

Основным предметом этого параграфа будет теперь доказательство теоремы о поведении интегральных поперечных мер при штейнеровской симметризации.

Теорема 18.5. При штейнеровской симметризации Sa непустого компактного выпуклого множества К в Rn его интегральные поперечные меры не возрастают

WV(SA(K))^ Wv(K), O^v^n.(443)

Добавление. Пусть G° — прямая, проходящая через начало о е Rn и ортогональная к гиперплоскости А симметризации, и пусть К + G° есть проектирующий цилиндр множества К при его ортогональном проектировании на А. Тогда всегда

WV(SA{K)) = W^K^ при Q^v^n — dim(X + G°)

и при v = п (444а)

(в частности, при штейнеровской симметризации всегда сохраняется объем 1/(Д)= W0(K)), в то время как равенство

№ч(5а(К))= WV(K) при п— dim (/С + G°)< v < п (444b)

справедливо в том и только том случае, когда К обладает гиперплоскостью симметрии, параллельной А.

Основная идея доказательства теоремы 18.5 и добавления к ней состоит в том, чтобы заменить определяемый (433) переход от ^ к SaU<?) специальным непрерывным процессам, зависящим от одного параметра т е [0, 1].

Определение 18.3. Пусть А—фиксированная гиперплоскость в R", проходящая через начало о, «а— отражение в А, К—непустое компактное выпуклое множество в Rn. Тогда семейство {5д(7<)}Те|и, и, определенное равенством

5МЮ:=и((1-т)(СП/<) + т(СП5д(т 0<т<1, (445) а

где G— прямые, ортогональные А, называют симметризующим семейством множества К относительно гиперплоскости А. Это семейство, см. (433), соединяет SA(,K')==K с S^K) = Sa (К) и заканчивается множеством 5Д (К) = sA (К) (см. рис. 39).

«Лемма 18.1. Симметризующее семейство {Sa (/<")}t,= (o, ц является в смысле определения 18.2 (442а) выпуклым семейством

непустых компактных выпуклых множеств в Rn.

Доказательство. Тот факт, что отдельные множества семейства компактны и выпуклы, проверя

ется вполне аналогично до-I

казательству теоремы 1. МыА

не будем повторять это до-Рпс- 39

казательство. Остается про

верить выпуклость самого семейства. Рассмотрим для этого любую ортогональную к А прямую G. На основании (445) имеем при Т|,Т2 е [0,1], X, > 0, Хз ^ 0, М + Х2 = 1

G П S^X,+A-’T' (К) = М (G П Sa (/<)) + Х2 (G П Sa W )<=

с: G П (/.Да (К) Д-XaS^ (К)).(446)

Объединяя отдельно левые и правые части включений (446) по всем прямым G, убеждаемся в выполнении условия (442а) для семейства {Sa (К)}^,. и. □

Теперь целесообразно рассмотреть более общие семейства выпуклых множеств и доказать несколько лемм об их свойствах и две теоремы, из которых уже будет следовать теорема 18.5 вместе с дополнением.

Определение 18.4. Семейство. ^К (т)}ТЕ|а, pj непустых компактных выпуклых множеств в R" называем каналовым семейством, если существует такая содержащая начало о е Rn гиперплоскость А, что ортогональные проекции рд VR (т)) этих множеств на А не зависят от т. Каждую ортогональную А прямую G называем- каналовой прямой. Выпуклое, соответственно

вогнутое, соответственно линейное каналовое семейство называем вполне выпуклым (вогнутым, линейным), если порознь для каждой каналовой прямой выполняются соответственно соотношения

G П К (X^i + Х2т2) с М (G П К (tJ) 4- X2(G f] К(т2)) (вполне выпуклое),

(447а)

G П ^(X^^XgT^^D A,!(G П A^(t!)) +X2(G П/<(т2)) (вполне вогнутое),

(447b)

СПК(А1Т1 + А,2Т2)==А,1(СПК(Т1)) + Х2(СП/<(т2)) (вполне линейное).

(447с)

. Замечание 18.2. Симметризующеесемейство {.SJn/Q^ep, о множества К относительно гиперплоскости Л согласно лемме 18.1, (445), (446) является вполне выпуклым каналовым семейством с перпендикулярными Л Качаловыми прямыми.

Лемма 18.2. Пусть (К (т))тs|u. pi — вполне выпуклое каналовое семейство в R" с каналовой прямой G и перпендикулярной к ней гиперплоскостью Л, проходящей через начало osRn. Тогда справедливы следующие утверждения.

Если В — любая гиперплоскость, параллельная каналовой прямой, то (В П К (т)}те=(а. р) есть также вполне выпуклое каналовое семейство с тем же направлением каналовых прямых.

Если рс — ортогональное проектирование Rn на содержащую о гиперплоскость С, то множества (рс (К (т)))ТЕ[а, pj также образуют вполне выпуклое каналовое семейство. Последнее обладает в случае С^А каналовой прямой G' : = pc(G) и перпендикулярной к ней содержащей о гиперплоскостью А': — ЛПС относительно пространства С.

Доказательство, а) Семейство (В Q К (т))т^|а, pj очевидно каналовое, его каналовые прямые суть лежащие в В каналовые прямые исходного семейства. По (447а) для каждой такой лежащей в В каналовой прямой G имеем при т1(т2е[а, р], Xi ^ 0, Х2 ^ 0, Xi 4" Х2 = 1

G П (В п К(^iti 4- Х2т2) ) с:

cX1(Gn(Bp/<(T1))) + X2(Gn(Bn^(T2))), (448). тем более

G П К Vw 4- Х2т2) = G П (В П К(Х^ 4- Х2т2)) с

с=Х1(ВП^(т1)) + ^(ВПК(т2)).

Объединение по всем каналовым прямым G с В дает

В П К (XiTi 4* Х2т2) с X] (В П К (tJ ) 4- ^ (В П K(ti) ), что подтверждает выпуклость и, ввиду (448), даже вполне выпуклость семейства (В П К (t)}TS[o, pi*

b) В случае С = Л множества семейства {pc(^(т))} по определению 18.4 вообще не зависят от т, и потому, ввиду теоремы 8.2, (442а), (447а), это семейство тривиальным образом вполне выпукло при любом выборе направления каналовых прямых в С. Поэтому считаем далее С^А. Тогда множества исходного семейства {К (т)}т6=|Ы, pi будут при проектировании Ра'~ Ра'° Ра^ Ра'° Рс переходить в множества рд, ^рс (К (т))). Последние ввиду рА, (рс (К (т))) = рА, (рА ^К (т»), в силу определения 18.4, не зависят от т и потому образуют каналовое семейство с каналовой прямой G' = рсДОД идущей в С ортогонально А'. Это каналовое семейство ввиду выпуклости исходного семейства также выпукло: при т1,т2Е[а, р], Xi ^ О, Х2 ^ О, Xi+ + ^2=1

рс (7((XiTi + Х2Т2)) С рс (XiK(ti) + L2K (т2))=

= ^рДКДтА) + ^2Рс(К(Тз)), см. (442а) и теорему 8.3. Оно даже вполне выпукло, в чем можно убедиться следующим образом. Пусть G' — любая его каналовая прямая, тогда при ть т2 е [ct, р], Xi ^ О, Х2 ^ О, Х( + + 12 = 1 имеем

G' Л Рс (К (^т, + Х2т2)) = рс (р~' (G') Л К (Ь^ + Х2т2)) =

= Рс ( U (G Л К (X^t + Z2T2)h с:

убер^1 (О')у

срс( и ^(GnK^HAi^nKMAc^G=PC1(G’) J

срс(М U (GtlWA + V U (6ЛК(т2))\\ = \_ ^ОЕрсНо') у ^Оер^Ло')

- Рс ^ (Рс1 (О') П К (Т,)) + Х2 (рс-‘ (сл л К (т2))) =

= Л, (G' П Рс (К (т,))) + Х2 (G' П Рс (К (т2))), см. (447а) и (109), т. е. семейство {рс (К (т))}Хе|а, pi действительно обладает свойством (447а) полной выпуклости. □

Определение 18.5. Каналовое семейство {К (т)}те[а. pj в Rn называем телескопическим семейством, если на содержащей начало о г Rn каналовой прямой 6° найдется такой отрезок У\Уг, что множества К(т) имеют вид

К (т) = К (а) + ^^ у-л^ или /<(т).= /<(р)+ ^|-i/it/2. (449) Заметим, что это определение не зависит от выбора начала о е Rn. Наглядно определение 18.5 означает, что множества телескопического семейства с изменением параметра т отличаются друг от друга только на удлиняющуюся или укорачивающуюся по линейному закону цилиндрическую часть с той же

проекцией на ортогональную G0 гиперплоскость Л, что и сами множества. (Подобно равномерному раздвижению подзорной трубы или телескопической антенны.)

Лемма 18.3. Пусть (7< (т)}ТЕ1а. pi — каналовое семейство в Rn (« ^ 3) и начало о е Rn выбрано так, что проходящая через о каналовая прямая G° пересекает это семейство. Тогда, чтобы это семейство было телескопическим, необходимы и достаточны порознь следующие условия.

Для каждой содержащей G0 гиперплоскости В семейство пересечений {В П К (т)}ТЕ|О. w является телескопическим в В.

Для каждой содержащей G° гиперплоскости С семейство проекций {рс (К (х))}х^[а. щ, где рс — ортогональное проектирование на С, является телескопическим в С.

всехвсехДоказательство. Необходимость этих условий очевидна. Чтобы убедиться в их достаточности, предположим сначала выполненным условие а), т. е. допустим, что для любой гиперплоскости В ■=> G0 справедливо (одновременно для е [а, р]) одно из соотношений:

всех

всех

(450)(450)В п К (Т) = (В п К («)) + |^ yv (В) У» (В),В fl К (т) = (В П К (Р)) + ^ Ух (5) У г W.

(450)

(450)

двух:двух:(451)(451)Тогда пересечения с б° дают соответственно одно из G° Л К (т) = (0° П К («)) + ^ Ух ^ Уг (В), с° п К (т)=(G0 П к (Р)) + ^ Ух (в) У2 №,

двух:

двух:

(451)

(451)

откуда У1(В) и уДВ^ вовсе нс зависят от В и альтернатива в (451) также не зависит от В. Поэтому в (450) уже одновременно для всех В при всех те[а,р] выполняется одно из соотношений:

В П К (т) = В П (/< (а) + ~— у^ ,

В П К (т) = В П (/< (Р) + ^ у,у2).

Объединение по всем В дает (449), т. е. телескопичность исходного семейства.

Допустим теперь, что выполнено Ь), т. е. для каждой гиперплоскости С =) G0, одновременно при всех те [а, р] верно одно из равенств:

Pc кК (т)) = Pc кК («)) + Ух кС} Уа кС),

L« <452>

Pc кК к^ = Pc кК (Р)) + Ух (С) у2 kQ.

Пусть ЛДт), Л2(т)— ортогональные к G0 опорные гиперплоскости множества Д(т), a НДт), Д2(т) —те ограниченные ими замкнутые полупространства, в которых лежит Д(т). Ортогональное проектирование слоев Нх [т] П Нг (т) на С с учетом (452) даст нам соответственно

^л7Ш=(^Г(^п/м^)) + |Е^У1(О^(О или

1T^V\H^=(H^RH^A-^(453)

Поэтому уДС), у2(С) не зависят от С и сама альтернатива в (453) тоже не зависит от С. Но тогда равенству (452) по (109) можно придать вид

Рс (^ ^) = Рс (К (а)) + |~ ухуг или

Рс (К (т)) = рс(Д(Р)) + ^№

Тем самым ортогональные ко всем С, т. е. все опорные гиперплоскости множеств Д(т) и К («) + ^~ ~уху2 или К (Р) + . т — р

+ а_уУхУг соответственно совпадают и (по следствию к теореме 3.5) справедливо . (449), т. е. исходное семейство телескопическое. □

Лемма 18.4. Каналовое семейство {/< (т)}те[а, р, в Rn тогда и только тогда является телескопическим, когда оно вполне линейно в смысле определения 18.4 (447с).

Доказательство. Необходимость этого условия для те- лескопичности легко проверяется. Действительно, по теореме 8.2 из (449) имеем или

К (А-1Т1 + ^2Т2) = ^1 (^ (®) + ^_д У1Уг) + ^2 (к (а) + ^"_ а ,У1У2) =

= ХхК (Т[) + К^К. (т2), или

К (Ххтх + Х2т2) = Кх (к (р) + ^ уху^ + 72(К (Р) + ^ У1У2)-

= ХхК (тЛ + К2\ (т2),

тц т2 6= [ос, р], Xi ^ 0, Х2 75 0, X] -|- Х2 = 1,

и это остается верным, если заменить 7<(т) на бПД(т) при любой каналовой прямой G.

Проверим достаточность. Пусть семейство {Д (т)}те|а. pj вполне линейно и G0 — проходящая через начало о каналовая

прямая. Заменим, не умаляя общности, R'1 на aff(^(т)+ G0) и будем считать, что

aff (К(т) + G") = У?”,а^т^р.(454)

Тогда ввиду (442с) и замечания 8.4 в пространстве /?"+*: = := R^XR1

К(кха + M)X{M^=conv{(^(a)X{0})U(^(P)X{0)}Л

П(ЙХ{М); (455)

аналогично, ввиду (447с) и замечания 8.4 для каждой канало- вой прямой G

(G А К (Х,а + Х2р)) X {Ч = cony {((G А К (а)) X {0}) U

и((СП/<(Р))Х{1})}П(^лХЫ), 0^7.2^ 1, Xi + X2 = 1. (456)

Обозначим однотипно упорядоченные концы непустых отрезков бПАХт) через х’(т), х2(т), а ^ т ^ р. Тогда из (455) заключаем, что прямая GX{4 пересекает выпуклое множество X:==conv{(7<(a)X{0})U(^(P)X{l})} в Я"т1 по отрезку

(Gn/<(^ia + M))X{4=^^ia + M)x2(Xia + ^P)X{4-

Его концы — граничные точки для R, и через них проходят некоторые опорные к К в Rn+X гиперплоскости Ai (Х2), А2(Ч- Из (456) следует, что рассмотренные граничные точки x^Xitx-t- + Х2Р)Х{Ч, x2(Xi« + taP)X{ta} при 0 < Х2 < 1 будут внутренними точками соответственно для отрезков (х1 (а)Х X{0}) (х1 (р)X0}) и (х2(а)Х{0}) (х2(Р)Х{1}), которые являются сторонами трапеции conv{((G Q ^(a))X{0})U((G А П^(Р))Х{1})} в Rn*x. Эти отрезки лежат соответственно в опорных гиперплоскостях At (Х2), A2(4, и для их концов справедливо при 1= 1,2

? (а) X {0} е Л z (Х2) A <Rn X {0}) =: Лг (Ч X {0},

х-' (Р) X {1} г Л( (Ч П (Rn X {!}) =: Bt (Ч X {1},

где А,^). Bi(kz)—параллельные друг другу опорные гиперплоскости в Rn. Ввиду опорного свойства 4,(4 для К, отсюда следует, что через соответствующие концы х‘(а), х‘(р) отрезков С(|/((а) и GAMP) проходят параллельные опорные гиперплоскости Л,(Ч, Bi^k^ к множествам Л (а) и К(Р), г=1,2.

Зафиксируем такую каналовую прямую Go, пересекающую семейство, что

СоЛ(К(т)+G°)°^0.(457)

Здесь мы учли (454). Тогда для G,, А К (а) =: х^ (а) х] (а), G0A А К (Р)=:х|((р) х2(Р) и соответствующих точек ух, у2 на 6° будет Goll K(P) = (Gon М®)) + У\Уг или GoА К(а) = (GoA W)) + УхЧг-

Отсюда

х^(3) = х^(а)4-|/. или хо(°) = хо(3) + Ур /—1,2. (458)

Если G— любая каналовая прямая, отличная от Go и пересекающая семейство, а В2 — проходящая через Go и G двумерная плоскость в R'\ то на В2 можно так выбрать декартовы координаты 61,^2, что Go будет соответствовать gi = 0, а В2 ПА соответствует со = 0. В таких координатах выпуклые области В2 П К (а) и В2П^(Р) задаются условиями

В2 Л К («) = Vх е В11 ^ (^) < h < f^ (£,)},

В2 Л К (₽) = {х s В21 f^ &) < g2 < f^ &)},

С выпуклыми непрерывными функциями fa, — fa, /fJ\ — fp\ заданными на отрезке В2 Л Ра (АХт) ) = (у, 0) (6, 0), т. е. на отрезке [у,6] оси ^i (причем у < 0 < 6, см. (457)). Отнесенные разности этих выпуклых функций монотонны в [у, 6], см. (155), поэтому в каждом суженном интервале [у', 6'] с у < у'< <6'<6 они равномерно ограниченны, так что эти функции в [у', 6'] даже абсолютно непрерывны. Поэтому они могут быть там представлены как неопределенные интегралы Лебега от своих почти везде существующих производных (см., например, [53], с. 59—63):

",( = 1,2, у'<£,<6'. (459)

/№=$*(0) + $^

■о

Согласно результату предыдущего абзаца нашего доказательства области В2ПК^ и В2ПА(Р) в их соответственных граничных точках (gi, fa(.^) и (gi, ^’(^i)), лежащих на одинаковых каналовых прямых, имеют параллельные опорные прямые В2 Л А;(Х2), В2ЛВ1(Х2), (=1,2, у'^^^б'. (Ввиду (457) невозможно В2сД,(Х2) или В2 сг В, (Z,2)). Это означает, что входящие в (459) производные Г» и %° почти везде существуют и совпадают в [у', 6']. Отсюда при у'-*у—0, б'-> 6— 0 получаем из (459)

faV^-H'^-fa^-fsW; 1=1,2, Y<gi<6.

Поэтому для концов х'(а), х‘ф) отрезков пересечения нашей каналовой прямой G с А(а) и К(^ из (458) имеем

х‘(Р).= х^а) + yt или х1 (а) = х- ф) + уь (=1,2.

Отсюда объединением ио всем G получаем

А(Р) = А(а) + ухуг или КДсф = КД^АА-УхУ-ь (460)

Теперь предположенная линейность каналового семейства {A (T)}TS|a. рь см. (442с), вместе с (460) и теоремой 8.2 дает

А (т) = ^ А (Р) + f^J A (a) = А (а) + ^УхУз или

А(т) = |9^А(Р) + |^А(а) = А(Р) + ^9} УхУа,а^т<р.

Но это и есть условия (449) телескопичности семейства. Лемма 18.4 доказана. □

Теорема 18.6. Для вполне выпуклого (см. (442а)) каналового семейства (К (т)}ТЕ[а. pi в Rn v-e интегральные поперечные меры множеств этого семейства являются выпуклыми функциями от параметра т:

^■(А(мп + Х2т2)) ^ ^i U/v (A(и) ) + ^2^v(A(т2)),

V = 0, ..., п, Ti, т2 Р], ^i ^^ 0, Х2 5^ 0, Х[ Т~ Х2=== 1 - (461)

Доказательство. Пусть G — каналовые прямые семейства, а А — проходящая через начало о е Rr- перпендикулярная . им гиперплоскость. Будем вести доказательство индукцией по v (сразу при всех л). В случае v = 0 из (447а) и (301) имеем

Гй (A (Mi + Х2т2)) = J ^(GOAtMi + MiW,.-^

Рд (№«))

J К, (6 П А (и W,^ + Х2 J К, (СПА ^dVn_x^ рдХКХа»рА(К[ап

= ^ДК МН^ИМА (Т2)),

где dVn-x— элемент (и—1)-мерного объема в А, п,т2е[а, pj, Xi ^ 0, М Д- 0, Xi -(- 72 == 1-

Допустим, что теорема 18.6 верна при любом п для всех индексов, меньших v > 0, и докажем ее справедливость для индекса V. Для этого воспользуемся рекуррентной формулой Куботы (352). По лемме 18.2b) и индуктивному предположению при ортогональном проектировании ри нашего каналового семейства на проходящую через начало о гиперплоскость Л (а) с любым единичным вектором нормали и будем иметь

K-'i’W (М, + X^C^"-^PvU^4W^

v = l,...,n, тьт2г[а, р], Xi>0, Х2^0, Xi + Х2= 1, ||и||= 1.

(462)

Интегрирование (в смысле Римана) входящих в (462) непрерывных по теореме 16.6 функций от и по сфере дВДо) дает, с учетом (352), требуемое неравенство (461). □

Теорема 18.7. Пусть ^К (T)}TS|a. ^ — вполне выпуклое ка- наловое семейство в Rn, a G° и А — каналовая прямая и ортогональная ей гиперплоскость, проходящие через начало о е Rn. Пусть это семейство невырожденно в том смысле что

dim(K(x)+ О°) = (Ит(рл(/<(т)))+ 1=п, а^т^р. (463)

Тогда х-я интегральная поперечная мера при 0 < v < п в том и только том случае является линейной функцией параметра т. т. е. удовлетворяет условию

W^K^m + Х2т2)) = X, WV(K (т,)) + X2l)Zv (^Ы)(464)

при всех ть т2 е [a, р], Xi ^ О, Х2 ^ 0, Xi + Х2 = 1, когда семейство телескопическое.

Доказательство. Проведем доказательство индукцией сначала по п при v= 1, а затем — no v. За базу индукции возьмем случай v= 1, п = 2; при этом ввиду (442а), (336), (337), (464) имеем

Wi (К (XtTi + Х2т2)) Wx (Xi7<(ti) + Х2Д(т2)) =

= X1«71(K(ti))4-X2U71(/((t2)) = ^(/((Хгп + ХгтД) (465)

при всех Ti,T2E[a, р], Xi ^ О, Х2 ^ 0, Xi + X2=l. Из (442а) и (463) имеем

dim (Xj/( (ti) + Х2Д (т2)) ^ dim ^К (Хпц + Х2т2)) ^

^ dim (р.4 (К (Xin + Х2т2))) = п— 1;

поэтому из (465) с учетом теоремы 16.7 следует

К (XiTi + Х2т2) = XiA^(ti) + Х2Д (т2)

при всех Ti,T2e[a, р], Xi О, Х2 0, Xi + X2=l, т. е. линейность нашего каналового семейства. Отсюда вместе с (447а), следует, что для каждой каналовой прямой G -

G П К(XiTi + Х2т2) = G f|(X^(ti) + ХзК(т2)) щ>

=>Хг (G П К(п) ) + Х2 (G П К (т2)) => G П К(Х^ + Х2т2).

т. е. наше семейство даже вполне линейно, и по лемме 18.4 является телескопическим.

Пусть теорема при v = 1 верна для всех размерностей п' при 2<п' < п, докажем ее в размерности п. Для этого выберем начало о е R'1 так, что

С°П(7<(т)+G°)°^0(466)

(см. (463)), и пусть В — содержащая G0 гиперплоскость в Rn. Семейство {В П ^(т)}х^[а. bi по лемме 18.2а) будет в В вполне

выпуклым каналовым семейством с каналовой прямой G°. Оно невырожденно ввиду

<Ит(рВПл(ВИ /<(т))) = dim(5 П Рл (К(т))) = п — 2, тб[а,р]

(ср. (463) и (466)). Тогда по лемме 18.3а) каналовое семейство {^ (Т)}те[а, pi будет телескопическим, если таковыми являются все семейства {В П К (т)}т<=[а. рц Но по индукционному предположению семейство {В П К (т)}те[а. р) действительно будет телескопическим, если при всех п, ?2[а, Р1, М ^ О, Х2 ^ 0, М+

+ Х2=1 выполняется

^"‘’(ВИК^ + ^П^

= X, ^i"-11 (В П К (т,)) + Х^"^ (ВПК (т2)). (467)

Поэтому осталось доказать (467) для каналового семейства (В П К (т)}ТЕ[а. рц Рассмотрим для этого ортогональные проекции (рц (К (т))}ts[a, pi исходного канзлового семейства на про- ходящие через о гиперплоскости А (и) с единичными нормалями и. По лемме 18.2b) каждая такая проекция вслед за самим (К (т)}те|а. pi представляет собой вполне выпуклое семейство. Поэтому по теореме 18.6 Vn-\ (p-о (К(?чТ1 + Х2т2))) ^ ^Х1УГ1_|(рт.,(К(т^))4-/,2У,,„1(ру(/<(т2))), где Wi есть (п — 1)- мерный объем в Л (у). Интегрирование в смысле Римана входящих в это неравенство непрерывных по теореме 16.5 функций от у по сфере дВ\(о^ показывает, если учесть (343) и (464) при v = 1, что в этом неравенстве в действительности при каждом у ^дВ[(о) имеет место равенство

Wl(Pv(7<(XlTl + Х2Т2))) =

— XiVn-i(pv(K(Ti))) +X2Vn-i(Po(K(T2))) (468)

при любых Ti,T2E[a, р], М ^ О, Х2 ^ 0, Xi + Хг= 1- Для А(у^ = А семейство (ру (К (т))}Т£=[а, р] является по лемме 18.2b) каналовым семейством в Л (у) с каналовыми прямыми G' := : = Po(G) и ортогональной к ним проходящей через о гиперплоскостью Л'(и) : = А П А (и) в А (и). Поэтому (и—1)-мерный объем каждого множества этого семейства можно вычислять так:

Уп_1(р„(К^=5 VAG'nPtAKMW-.s, (469)

РА'(о) (Ро l^"»)

где pa-(D) — ортогональная проекция на А'(и), a dVn-2— элемент (п— 2)-мерного объема в А'(и). Ввиду сделанного предположения (463) dim (рд-(о) (ро (К (a)))) = dim (рд ч»ЧРа (К (а)))) = = п — 2. Подынтегральная функция Pi (G'H Pd(K(t^ )) с областью задания р4'*®) (р0 (К («))) может быть представлена как

умноженная на —1 сумма двух выпуклых функций1), и потому внутри области задания непрерывно зависит от G', см. теорему 10.2. Пользуясь тем, что семейство (р0 (Д’ (т))}ТЕ[а, pi вполне выпукло, и правилом (301), имеем

. ^(О'ЛМШт+^г)))^

^ ^(МС'ПрДКЫП + МС'ПрД^тгВЛ^

-Х.УДО'ПРг, (№))) + ХаУАС'ПрЛКЫП.

Интегрирование этого неравенства по области рд-^ (рв (К (а))) вместе с (469) и (468) показывает, что здесь в действительности имеет место знак равенства

Vi(G' fl РЛК(Хт + Х2т2))) =

= X1K1(G/ fl рДК(TDH + ^tG'ri^^tT,))), Т[, т2 ® [ос, р], Xi ^s 0, л2 ^5 0, Х[ -[- Х2 = 1, Д (у) =/= Д. (470) Сходные соображения приведут нас к доказательству равенства (467). Для этого применим проектирования pv к семейству {В П К (т)}те|а. pi на проходящие через начало о гиперплоскости Д(и)^=Д и ортогональные В. Тогда (п— 2)-мерные объемы множеств

РвПА№ (ВПК (т)) = р„ (В Л К (Т)) = В n pv (К (Т))(471}

будут равны

^-2(РВпд<»)(5ЛК(т)))=$^(G'Hp.^Wnd^,

ЯПРЛ'(О) (Ро<К<“)>)

где dVn-s — элемент (п — 3)-мерного объема в ВИД'(и). Поэтому из (470) сразу следует

Уn-г {Рвплм (В Л К (Лд, + Х2т2))) =

= ^1^-2 (Panж». ( П К (г,))) + Х2Уп_2 (Рвпд^ (В П К (т2))), (472) Тн т2Е[а, р], X] ^ 0, Х2^0, Xi + X2=l, А (и) Ф Д.

Поскольку для Д(и) = Д равенство (471) тоже верно, то (472) очевидным образом верно и в этом случае. Интегрирование (472) по всем и, параллельным В, дает наконец, ввиду (352), доказательство равенства (467), требовавшееся нам, чтобы завершить индуктивные шаги по п при v = 1.

Чтобы доказать теорему 18.7, нам остается, считая ее доказанной для индексов v' с 1 ^ vz < v при всех п' > V, доказать ее справедливость для индекса v при всех n > v. Для этого рассмотрим сначала вполне выпуклое по лемме 18.2b) семейство {pv (К (т))}1е;и щ, где pv — ортогональная проекция в R^ на проходящую через начало о гиперплоскость А (и) с единичной нормалью и. По теореме 18.6

П^(МШ + М))<

< ^"-Т" (Ри (К (т,))) + Ч^Д1’ <Р„ (К (т2))), Т[, т2 е [<х, р], Л[ ^ 0, л2^ 0, Л] -|- Х2 = 1 •

Если проинтегрировать это неравенство по всем ue<5Bi(o), что возможно, поскольку по теореме 16.6 речь идет о непрерывных функциях от и, то на основании (352) и (464) мы убедимся, что в этом неравенстве в действительности при каждом иедВДо) имеет место равенство. В частности, для проекций рс на гиперплоскости С, проходящие через каналовую прямую G0, W^PcW^ + M-^

= ^№'(рс^К (т,))) + Х№\рс (К (т2))),

Tj, т2 ^ [щ Р1» ^i Д^ 0, ^2 ^5 0, Х[ Н- ^21 • (473)

Каждое каналовое по лемме 18.2b) семейство VPc kK (т))}те[а, pi имеет каналовыми прямые G' = pc(G) и ортогональную им гиперплоскость А':=А(ЗС в пространстве С. Кроме того, это семейство невырожденное, так как по (463)

dim (рл (рс (К (т)))) = dim (рА- (рА (К (т)))) = п — 2, а ^ т < р.

По (473) и индуктивному предположению семейство Vpc kK (т))}те|а. р является телескопическим. Поскольку С — любая из проходящих через G0 гиперплоскостей в Rn, то по лемме 18.3 само (К (t)}TS|u. р также является телескопическим. Теорема 18.7 доказана. □

Теперь мы в состоянии доказать теорему 18.5.

Доказательство теоремы 18.5. Согласно теореме 16.2а) Wv (7<) = у (№v (К( + W4 (5Л (К))), где хл — отражение в гиперплоскости А. В терминах симметризующего семейства {зЖОгщо.ц можно поэтому переписать утверждение (443) теоремы 18.5 в виде

W^S^^^WAS'W0<v^n. (474)

Но семейство {S^(/0}TE|U ь по замечанию 18.2 является вполне выпуклым каналовым семейством, и из теоремы 18.6 следует справедливость (474). □

Доказательство добавления к теореме 18.5. Начнем с доказательства равенства (444а). Если 0 v < п — — dim(/<+G0), то это равенство тривиально. Действительно, при таких v имеем

dim К ^ dim (Л + G0) < п — v, dim Sa (Л) ^ dim (Л + G°) < п — v, и по теореме 16.2е) обе части равенства (444а) суть нули. При м = п равенство (444а) тоже тривиально ввиду Wn^K^ = ш„ и lFn(S,i (/()) —ton по определению 16.1. Остается случай v = = п- dim(^ + G°) ~.п— п0. В этом случае после многократного применения замечания 16.2 имеем

W^K^nW^^K^nV^K),

Wv (SA (/()) = yU7<r V) (5л (;<)) = W., (SA (Ю)

с не зависящей от К постоянной у > 0. Но из определения 18.3 и (446), (301) имеем

VnXSA^= $ ^М^К-.»

РА

= | 5 ^(GOSV^^ + I j ^(СП-ЗД)^.; =

PAWpAtK

= у Vn. (/О + у Vn„ (sA (К)) = Vn, (К), так что и в этом случае (444а) выполнено.

Теперь предположим, что при п — dim (К + G0) = п — пй < < v < п выполнено равенство (444b). Нам надо доказать, что тогда множество К имеет гиперплоскость симметрии, параллельную А. Воспользуемся снова тем, что после многократного применения замечания 16.2 равенство (444b) оказывается эквивалентным равенству

^ (*^А^ (Ю) = I ^’ (^ №) + У Г<^> (S^ (К))

(О < v — (п— «о) = : vo < «о), которое по замечанию 18.2 и теореме 18.6 эквивалентно линейности U^v"0' № (Ю):

u/*"0' (s*r +Мт' (Ю) = л> ^-' № (Ю) + дЖ?’ № ^)),

О <2 V() ^ ZIq, Tj, Tg S [0, i ], Aq ^5 0, A#2 ^5 0, Aq -f- A,2 == 1 -

Поскольку вполне выпуклое каналовое семейство {GA(^)}xe[0 ц по отношению к no-мерному пространству aff(АГ + G0) является невырожденным в смысле (463), то по теореме 18.7 это семейство является телескопическим. Из этого по определению 18.5

следует в частности, что

sa (К) = К + У1Уз или К = sa^-V У\Ут., (475) где yiya — некоторый отрезок на G°. Рассмотрение пересечения множеств, представленных в (475), с каналовой прямой G, показывает, что у\ = у2, т. е. К и его отражение sa^K) отличаются лишь на трансляцию, ортогональную А. Но тогда К совпадает со своим отражением в некоторой гиперплоскости Д1, параллельной А. Обратно, если К и его симметризация Зд (Л) равны с точностью до трансляции, то, очевидно, выполнено (444b). Этим добавление к теореме 18.5 доказано полностью. □

В заключение этого параграфа изучим как ведет себя сходившаяся в смысле определения 14.2 последовательность {^v}veAr компактных выпуклых множеств в Rn после их одновременной симметризации Зд относительно одной и той же гиперплоскости А, проходящей через начало oeR\ Следующий простой пример показывает, что симметризация Sa не является непрерывной операцией над множествами. Пусть п = 2 и на плоскости R2 фиксированы декартовы координаты ^l, §2, а {^v)v е № последовательность отрезков Kv := (0, 0) (1/v, 1). Эти отрезки сходятся к отрезку ^0:= lim Kv = (0, 0) (0, 1). После штейнеровской симметризации Зд относительно А с уравнением Ь=0 получим Зд(^) = (0, 0) (1/v, 0), Зд(Ло) = (О,—1/2) (0, 1/2), lim Зл (Kv) = (0, 0) =# S4 (/(Q). Однако симметризация Зд является полунепрерывной операцией над множествами в смысле, который уточняется следующей теоремой.

Теорема 18.8. Пусть {Kv}v ^ N — сходящаяся последовательность компактных выпуклых множеств в Rn и

lim К<=:К0.(476)

Пусть, кроме того, после шнейнеровской симметризации Sa относительно проходящей через начало ое Rn гиперплоскости А множества Sa (Rv) также образуют сходящуюся последовательность

^т Зл(^)=:7-0.(477)

Тогда

UcSa^Ko).(478)

Доказательство. Из сходимостей (476), (477) следует, что для каждого р= 1,2, ... при достаточно большом v(p)

^^(/GV(479)

Lo cz (Зд (/(v (ц)))1/ц*(480)

А по (119), теореме 18.2а), (436):■

(Sa (Kv ии))^ = Sa (Kv цн) + Bi/ц (o) = Sa (Kv w) + Sa (Bi/p (о)) c

c Sa (Km (pi + Bi/p (o)) = Sa ((Kv (ю)1/р,)-

Отсюда вместе с (480), (479) и теоремой 18.2d) получаем

UcSa^KmA^cSa^Y,^, р.= 1, 2

т. е.

Цс П, Sa (№/р)-(481)

Последовательности {W/J^ s „>{«а (^о)2/р)}ц у,

{Sa ((^о)2/р)} я монотонно убывают по включению в смысле теоремы 14.2. Это сохраняется и для последовательностей

{йпадд.„. (СП»,(№„)},.„. {a ns, ««»))„.„.

где G— любая прямая, ортогональная гиперплоскости А, см. теорему 18.2d). Отсюда по теореме 14.2, (433) заключаем

G П ( П Sa ((Ко)^)) = Д (G П Sa ((Ko)2/J) =

= Ит (GnSA((KoM) = lim (4(ОП(К0)2^ ^00|1“^00

= 1 Jim (G П (K^ + I J™ (G П Sa ((KoM) =

= у ( Д (G П (K0\^ + I (Д (G П sA ^Y,^ -

= I (GA K^ +|(G П «a (O^GASaWo).

Объединение по всем прямым G, ортогональным А, дает

П Sa (№/tl) = Sa (Ко).(482)

Из (481) и (482) следует (478) и справедливость теоремы 18.8. □

* Упражнения•

Пусть К + 0 — компактное выпуклое множество в R'\ А — гиперплоскость, и — прямые, ортогональные Л. Доказать, что если все отрезки К Р О передвигать вдоль своих прямых до упора концами в А так. чтобы они расположились по одну сторону от А, то после такого «утрясывания» эти отрезки заполнят также компактное выпуклое множество.-

Пусть К — непустое компактное выпуклое множество в Rn, А—проходящая через начало о е R" гиперплоскость, s^ — отражение в А. Определим семейство

Вд (К) := (1 — т) К + Т3д (К),0<т<1,

(ср. с определением 18.3). Доказать, что семейство (В л (K)j , есть t л т е [0, 11

вполне вогнутое каналовое семейство в смысле определения 18.4.

Доказать, что интегральные поперечные меры компактного выпуклого множества К с Rn не уменьшаются при так называемой «симметризации Бляшке» Вд:=В^2; см. предыдущую задачу. (Ср. с теоремой 18.5.)

Пусть Вд — штейнеровская симметризация относительно проходящей через начало ое/?” гиперплоскости А, К — компактное выпуклое тело в Rn е центром тяжести

Ро (К) = J X dV/ J dV.

К К

где х — радиус-вектор точки, dV — элемент объема. Доказать, что для тела Вд (К) центром тяжести служит точка

MSaR = Pa (PqW)’

где рд — ортогональное проектирование на А.

Пусть два компактных выпуклых тела Ki, Кг в R" содержат в себе шар В& (о) и сами содержатся в шаре В^ (о) с тем же центром, 0 < б < у. Доказать, что тогда хаусдорфово расстояние (см. определение 14.1) между Ki, Кг и между их штейнеровскими симметризациями Зд ^К^, 8Д (Kg) удовлетворяют неравенству

•^А^УЗд^^^К^.

§ 19. Шварцевское округление компактных выпуклых множеств

Для использования в дальнейшем мы подробно рассмотрим в этом параграфе еще один процесс симметризации компактных выпуклых множеств К в Rn. Процесс этот можно рассматривать как предельный для ряда штейнеровских симметризаций; его ввел и с успехом использовал Шварц. Речь идет об «округлении» множества К относительно прямой G.

Определение 19.1. Пусть G— фиксированная прямая, проходящая через начало о евклидова пространства R" (п^^. Тогда каждое непустое компактное выпуклое множество К в Rn переходит при Шварцевском округлении So в множество

5с(7<):=1|Восс(СПС), (483;

где С — пересекающие К ортогональные G гиперплоскости, рс := (со~2|1Л . ] (С И Ю)"-1. ВСДС П G) — шар ралигса рс в гиперплоскости С с центром С П G, Wn-i — объем единичногс

(n—1)-мерного шара. Наглядно это означает, что So (К) есть такое «тело вращения» с осью G, что каждая ортогональная к G секущая К гиперплоскость С имеет одинаковые, по (п—1)- мерному объему, пересечения с К и с 8о{К). Прежде чем изучить свойства множеств 50{К) и связь Sg со штейнеровской симметризацией, докажем вспомогательное утверждение.

Лемма 19.1. Пусть Ко — произвольно фиксированное непустое компактное выпуклое множество в Rn (п ^ 2) и si = = (Ла}а е А — семейство гиперплоскостей, проходящих через начало о е R^. Обозначим 9 л {Ко) класс всех выпуклых множеств, которые можно получить из Ко с помощью конечных цепочек последовательных штейнеровских симметризаций относительно гиперплоскостей из si. Тогда существует сходящаяся последовательность {^Jh^n, где К№ е 9л {Ко), такая, что предел

Lo:= lim К11 .

|Л->ОО

будет обладать гиперплоскостями симметрии Л', параллельными любой соответствующей гиперплоскости Ла е si. В частности, если мы в качестве si возьмем класс всех гиперплоскостей, содержащих некоторое m-мерное {О^т^п—I) подпространство R™, то Lq будет вращательно-симметричным относительно некоторого Ro1, являющегося транслятом Rm. (Вращательносимметричным относительно R™ называют множество, переходящее в себя при любом движении пространства Rn, которое вставляет на месте каждую из точек Ro1.)

Доказательство. Пусть о^.г^ inf WR_X{K), где

К е «/^(К„) . Wn-X{K) — (неотрицательные) интегральные поперечные меры множества К из 9л {Ко), и пусть ^v}vqN— некоторая минимизирующая последовательность I? е 9 я {Ко), для которой

J^n ^ДГ)^^,. (484)

Множество Ко заведомо содержится в некотором шаре BR(о). По теореме 18.2d) и а) в нем же будут содержаться все [?', и потому ио теореме 14.5 можно выделить подпоследовательность {^vp-} ^ s ,у =: {/(^ G д,, сходящуюся к. какому-то компактному выпуклому множеству Lq. .

Пусть теперь ЛаЕ^. Покажем, что Lo обладает параллельной Ла гиперплоскостью симметрии Л'. Это тривиально, когда dim (Lti + G°) =4, где G® — проходящая через о прямая, ортогональная Ла, т. е. когда dim Lo = 0 или dimL0 = 1 и aif Lo орто-

9 К- Лейхтвейс

гоиальна Аа. Поэтому будем, не умаляя общности, считать, чтс dim (До + G®) > 1.(485;

Рассмотрим последовательность (5дп (К11)}^ е N- Она, как к {К^ем, лежит в Br^o), и потому из теоремы 14.5 из нее можно выбрать сходящуюся подпоследовательность {^(к^^ N с предельным множеством

Мо:= Ит 5Л (к^);(486)

Х-»ОО а и по теореме 16.2с)

W = ^m Wa_v (sAa (к^))._

Из 5Ла (к^) е 9РА (До) и выбора хвп_\ следует, что

^-iM)^-..(487',

Но по (486), теореме 18.8 и определению До заключаем, что Л40 gz 5да (До), поэтому из (336) и теоремы 18.5 следует

Г„_! (Ш < Гв_! (5Ла (До)) < ^п-х (До).(488)

Учтем еще, что по теореме 16.2с) и (484)

Г„_1 (До) =( Ит Д^) = Нт Г(д^) = w„_b (489)

Ц,->оо|1->оо

поэтому из (487), (488), (489) следует

Г„_1(5Ла(До))=Г„_1(До).

По добавлению к теореме 18.5 это означает, при соблюдении (485), что у множества До есть гиперплоскость симметрии Д', параллельная Аа. Кроме того, его объем совпадает с объемом Ко:

V ^ = Ит V <К^ = Ит V 1К^ = V (Ко),|1->оо|1->ОО

см. (444а).

В частности, если Rm— проходящее через начало о е Rn m-мерное подпространство (0 ^ m ^ п—1), а ^ — класс всех содержащих Rm гиперплоскостей, то получаемое указанным процессом множество До заведомо обладает п — т попарно ортогональными гиперплоскостями симметрии Др ..., А'п_т, параллельными Rm. Поэтому До переходит в себя при произведении отражений sA'<> ... °sA- , т. е. при отражении относительно 1п-т

До‘:=Д1П ••• ПАп-т> являющегося транслятом Rm. Пересече-

яия Lo с любым ортогональным к Rm (п— т)-мерным аффинным множеством Rn~m в Rn дает центрально симметричное относительно R^R""""1 множество. Поэтому Ro1 лежит во всех параллельных Rm гиперплоскостях симметрии А' множества Lo. Поэтому все пересечения LonRn-m суть шары с центрами Ro1 П Rn m, т. е. Lo, как и утверждалось, является вращательносимметричным относительно R^. Этим лемма 19.1 доказана. □

Следствие (Гросс [22]). Пусть УДКо)— класс всех множеств, получаемых из фиксированного непустого компактного выпуклого множества Ко в Rn конечными цепочками штейнеров- ских симметризаций относительно любых содержащих начало oeRn гиперплоскостей. Тогда из УпАКо) можно выделить последовательность, которая сходится к шару Br(x), где xeR", a R = («„‘V(Ко))1'", т. е. объем шара равен объему Ко1).

Сейчас для нас более важной, чем это следствие, будет теорема, аналогичная теореме 18.1.

Теорема 1-9.1. При шварцевском округлении SG непустого компактного выпуклого множества К в Rn получается вращательно-симметричное относительно прямой G компактное выпуклое множество So (К).

Доказательство. Воспользуемся леммой 19.1, взяв

Rn\A=> G). (490)

Тогда существует последовательность ^K^sn из ^(Л"), которая сходится к вращательно-симметричному относительно прямой G', параллельной G, компактному выпуклому множеству L с тем же, что и К, объемом:

lim^^L. (491) ц->°о

Наша цель — показать, что множество SG(K), получаемое из К округлением относительно прямой G, отличается от L лишь трансляцией в направлении, ортогональном к G. Обозначим ро ортогональное проектирование на G. Тогда для каждой гиперплоскости Де^ верно po(Sa(K)) = Ро(К). Действительно, ро можно разложить в суперпозицию последовательных проектирований на п—1 попарно ортогональных гиперплоскостей, содержащих G, причем в качестве первой можно взять саму гиперплоскость Д. Тогда рл (Sa (К)) = Ра (К). Поэтому, в частности, при р = 1,2, ... ■

Pg № = pQ (Ю, (492)

*) В этом следствии, и соответственно в лемме 19.1, за счет соответствующего выбора Мцея можно добиться для предельного множества Lo свойства х = о, соответственно Rq1 = R,n. См. упражнение 1 в конце параграфа.

что по замечанию 12.1, теореме 14.1 и (491) влечет выполнение равенства

р0Щ = рс(Д).(493)

Таким образом, нам достаточно доказывать, что для любой гиперплоскости С, ортогональной G, для которой C(\G е ро(К'), верно

^(СПС) — ^(СПЮ-(494)

Будем различать три случая: 1) dim/(<n и dim pG(K) ~ 0; 2) dim К < п и dimpc(K) = 1; 3) dim К = п.

Случай 1). В этом случае есть всего одна ортогональная G гиперплоскость С с

СП G = pG(K) = pG(L) = pam, ц=1,2

см. (493) и (492). В ней лежат К, L, все К11. По замечанию 16.2 и (444а) находим, при любом р,

Vn-, № = ^WV (^) = ^-Wx № = V„_, (К).

Предельный переход при р->оо дает, с учетом (491) и непрерывности объема,

^-1 (С П с) =(С) = 11m(К11) = VR_v № = vn_x (С п KY

р.->оо

(495)

Случай 2). В этом случае К лежит в некоторой гиперплоскости D, которая, ввиду dimpG(/<) = 1, не ортогональна G. Поэтому пересечение Л" с С имеет размерность не более п — 2, откуда

7^(СПЮ = 0.

Ввиду У(С) = V(/C) = 0 множество L также лежит в некоторой гиперплоскости, притом тоже не ортогональной G, поскольку dimpc(L) = dimpc(K)= 1. Поэтому для всех С также и

У„_1(СПГ) = 0,

тем самым выполнено (494).

Случай 3). Ввиду dim К = п в этом случае

ро(К^) — раЩ = pG(K) = х*х2, х1 5^ х2, р=1,2, ... (496)

Учитывая, что V(L)— У(Л") > 0, видим, пользуясь леммой 1.1, что для каждой ортогональной G гиперплоскости С с С П G е <= х'х2\ ({x‘}U(x2})

С п ^ ¥= 0, с П L° =# 0.

Поэтому применима теорема 14.3, по которой в смысле сходимости в С верно

С П L = lim (С f| К*1),Ц->оои

/„-. (С П Ц = lim Vn_v (с П к11).(497)

Ц->оо

Но по замечанию 16.2 и (444а)

к„_!(спк*)=у гДспк^^^мспю^/п-дспк),

и из (497) следует

К,_1(СПА)= Vn-^СПК) при CnGe.t'AfMUM). (498)

Остается доказать (498) при CQG^x1 и при C(]G = x2, т. е. когда С —одна из двух ортогональных G опорных для К гиперплоскостей С1, С2. Для этого будем приближать С* (Z = 1, 2) последовательностью параллельных ей гиперплоскостей {Cv)v ев N> ДЛЯ К0Т°РЬ1Х

С(, П G е х’х2 \ ({х1} U {х2}),(499)

lim (C^HG)™^,(500)

Причем по теореме 14.5 можно, не нарушая общности, считать, Что существуют пределы

J™ рс.^ПК)=:К1,(501а)

Jim рс. (С'П^)=:^,(501b)

где pci— ортогональное проектирование на С1. Тогда изС(,ПС= ь= л^х1-т Х(2х2 (^! > О, Л^2 > О, Х‘1+Х'2= 1) заключаем, что

С'П^НЛ^ПЮ + Чг^ПЮ,

и потому из (501а), теорем 14.1 и 12.4b) и равенства lim ^1 = ^, где д'— символ Кронекера, следует

Vn_x (К1) - Jim V„_t (С‘ 0 К) > Jim VR_t (^, (С1 ПЮ +

Н-Чз^ПК^^^-ДС'ПЮ, г=1, 2. (502)

Кроме тс. о, из (500) и (501а) следует, что для любого е>0 найдется такое v0(e)e N, что при v > vo(e)

I (с; n а) - 1 < •/V2, к- с (рс, (с- п

где ( ^e|^ означает внешнее параллельное множество на расстоянии е/V2 в С*. Отсюда

К'сС'П^ПКХсСт^., v>vQ(e), т. е.

/с с п (с‘ п^) = с;п^е>0

Но тогда

^(Л"')^ МВД.(503)

и сопоставление (502) и (503) дает

v„_, (Cf П/<)= 1и^ И,,-. (С^ Л/<), z=i, 2.(504а)

Аналогично для L из (501b) находим, что

ВДПВДМ^ЭД. (504b)

Как уже доказано, см. (498), (499), справедливо Vа_! (С( П Z-) = = М-! (ВД К), что ввиду (504а, Ь) дает Mi (C‘f]T) = = Vn-\ (С‘П К), t=l,2. Тем самым при любых СПО'ехЬ^ = РокК')

Kn-i(CQL) = МММ.(505)

Это доказывает равенство (494) в случае 3) и завершает доказательство того, что S0^K^ отличается от L лишь трансляцией в направлении, ортогональном G. Во всех трех случаях So (К) вслед за L не только вращательно-симметрично, но и компактно и выпукло. Теорема 19.1 доказана. □

Примечание. Если К — компактное выпуклое множество, а {С (ЮХ е [у 6] — непрерывно зависящее от g семейство параллельных, попарно различных гиперплоскостей с С (ЮЛ К ^ 0, то объем К„_1(С(ЮПК) непрерывно зависит от Ю Для доказательства достаточно применить (504а) к пересечению К с одним из ограниченных гиперплоскостью С(Ю полупространств.

Замечание 19.1. Доказательство теоремы 19.1 показывает, что получающееся при шварцевском округлении множество может быть получено (с точностью до трансляции) как предел последовательности множеств, получаемых многократными штейнеровскими симметризациями. Поэтому многие свойства штейнеровской симметризации переносятся на шварцев- ское округление. Так например, каждая интегральная поперечная мера непустого компактного выпуклого множества К при шварцевском округлении не возрастает (ср. теорему 18.5), а объем остается неизменным (ср. 444а).

В связи с этим докажем для дальнейших применений следующее утверждение.

Теорема 19.2. Каждое вогнутое семейство (непустых компактных выпуклых множеств^ при шварцевском округлении So снова переходит в вогнутое семейство. (Ср. с теоремой 18.4.)

Доказательство. Пусть (К (т)}те |а р1 — вогнутое семейство непустых компактных выпуклых множеств в R", а — семейство тоже непустых компактных выпуклых множеств, получившихся после округления относительно прямой G. Нам надо показать, что для любых Т1,тге[а, р] и Х( ^ О, Х2 5$ 0, Xi + Х2 = 1, справедливо включение

Sa(K(XxTx + W)^iSc(K(ti))-M2Sc(/<(t2))(

см. (442b). Ввиду замечания 18.1 для этого достаточно доказать выпуклость в Rn+1 := RnXRx множества

L:= и (Sa/d^^+tiXM). (506) -о ^ х, < 1

*Представим L по (483) в виде

где Сх2 — ортогональные к G гиперплоскости в Rn, пересекающие К (Х1т1 + Я2т2), а радиус рс^ выбран так, чтооз^ • (рс^"-1= = Ул-1 (Сх, п К (^т, + А,2т2)). Обозначим

К:= и (К №1Т, + Х2т2) X {М);

о < Хг < 1

между множествами L и R имеется связь

^=US1 (С Л (GX/?')).(507)

'с °с

где С — пересекающие К и ортогональные к GXR' (а—1)-мер- ные аффинные множества в Rn+V Кроме того, выберем р^ так, что »„_, • (р^)"-1 = Vn-1 (С Q К). Теперь, чтобы убедиться в выпуклости множества L, рассмотрим точки у1, у2 е £:

у=у\Х\.^, ^=^х\А(508)

см. (506). Пусть

М := conv {(К (Л‘т, + Мт,) X {М}) U (К (^т, + V^ X {^})}>

л; + М=1, а,2 + М= 1. (509)

Из вогнутости семейства (К (т)}т е |о р1 и замечания 18.1 следует

MdR.(510)

Обозначим pQ х^, ортогональное проектирование в R"^ на плоскость GXR1, и пусть G— лежащая в GXR1 прямая, которая идет через точки р0 х s, (у1) и PGXR1 (У2)- Применим внутри гиперплоскости рахте^ пространства Я^1 шварневское округление Sg к множествам М П PGVX rAG) и К П Pqx rAGY Получим множество Sg (М П р^ х Л. (G)), которое по теореме 19.1 кемпактно и выпукло, и множество

MWx^WOrM(511)

с с

где С — пересекающие К перпендикулярные GXR1 гиперплоскости в пространстве р^ х R, (G), а -

Из (608), (509) и выбора О имеем ^eSg^np^^JG)), i=l, 2, а по (510), (507), (511)

Sg (М П PGXX r «?» с 5g (/< n Р5Х R1 (G)) с L.

Отсюда следует, ввиду выпуклости Sg (М П Рдх R. (G)), что y^y^L,

тем самым L выпукло, и теорема 19.2 доказана. □

Теоремы 19.1 и 19.2 влекут за собой вогнутость некоторых функций от объема. Это оказывается фундаментально важным в теории выпуклых тел и ее применениях.

Следствие из теоремы 19.1 (Брунн). Арифметическое значение корня п-й степени из объема множеств вогнутого семейства {К (т)}^ е [а_ р] непустых компактных выпуклых множеств К (т) в Rn есть заданная на промежутке [а, р] вогнутая функция параметра т, т. в.

Vх"1 (К (^ъ + Л2т2)) > XxVX!n (К (tD) + X2Vип (К (т2)) (512)

при любых тц Т2 е [а, ₽], Xi ^ 0, Ха ^ 0, Xt + Х2 = 1.

Доказательство. Ввиду вогнутости семейства{^T)}xe[a^j и замечания 18.1, выпукло в Rn+X :~RnXR1 множество

К:= U (K^X^Y(513)

Будем далее рассматривать з-амыкание К, по теореме 1.6а) оно также выпукло. (См. сноску на стр.*232 о возможной незамкну- тости /С) Без ограничения общности будем считать, что dim К — = п + 1, так как в противном случае объемы всех множеств /< (т) равны нулю и (512) тривиально. По лемме 1.1 и (513) имеем при а < т < р

К П (Rn X {т}) = WW = Kto X {т} = К to X {т}, (514) тогда как на концах промежутка, вообще говоря, выполняются лишь соотношения

К П ^Rn X {«}) ^КМХ {«}, К П (Я" X {р}) => К (Р) X {р}. (515) (Заметим, что (514), (515) верно и при dim^<n+l; достаточно провести рассуждения в пространстве aff К.) Из (514) следует, что множество К (и тем более К) ограниченно. Действительно, если бы нашлось неограниченное множество точек {5v}VS1v в К, то из точки хе (Я)0 в К шел бы предельный для отрезков xyN луч Н1, лежащий по (513) в некоторой гиперплоскости /?"Х{т} пространства 7?л+1, а < т < р, что невозможно ввиду (514) и_компактности /С(т).

Поэтому К"—компактное выпуклое множество в /?"+* = = RnXR'• К нему можно применить теорему 19.1. Его округление относительно прямой G ;= R1 дает множество 3§(К), вращательно-симметричное относительно G, компактное и выпуклое. Проходящие через G двумерные плоскости А2 пересекают Sg (К) по плоской фигуре, которая в декартовых координатах (т, р) на плоскости А2 с 0 в качестве оси т имеют, согласно (483), задание

Sg (К) П А2 = { х е А21 - ^ V^ М П (Г X {т})) <

'CPC-k^^C^XM)),(516)

Это пересечение выпукло. Поэтому^У}/Л(КП (Rn X {т})) есть выпуклая на отрезке [а, р] функция от т. То же самое, ввиду (514), (515), верно для функцииК- VUn (К (т)). Поэтому функция 1/1/л(/С(т)) в области а^т^р вогнута, т. е. выполняется (512); следствие из теоремы 19.1 доказано. □ .

Случай равенства в (512) описывает

Теорема 19.3 (Минковский). Пусть ^К (т)}т s |а ₽1 — вогнутое семейство непустых компактных выпуклых множеств в R“

(п^2), причем множества К(а),7<(Р) обладают внутренними точками и (в смысле определения 10.2) являются строго выпуклыми. Тогда ^"(/СИ)) в том и только том случае является линейной функцией от т:

|/*/^(Mti + Х2т2))= Xi!/-/"(/( (ti))+X2^(517)

при всех тц т2 е [а, р], Xi 0, Х2 0, Xi + Х2 = 1, когда само семейство ^К (т)}х е |а 01 линейно, а множества KipT), К(^ положительно гомотетичны друг другу:

/((р) = Х/<(а) + а, at=R\ X > 0.(518)

Доказательство (по идее Бляшке [11], с. 121 —122). Для линейного семейства {/((т)}г ( 0] при выполнении (518) ввиду

17'/" (К (Х,« + Х2р)) = VVn (ХхК (а) + Х^К (Р)) =

= Vlin ((X! + Х2Х) К (а) + Х^ = (X! + Х2Х) V1"* (К (а)) =

= Х1У1/" (/UcW + X^UttP)),

'"X] ^ 0, X? ^ 0, Xj Ч- Х2 = 1,

функция ^/"(/((т)) линейна по т. Обратно, легко убедиться, что наше семейство {^(т))те|а Р1 должно быть линейным, если выполняется (517). Действительно, зафиксируем любые тц т2 е е [а, р] и рассмотрим линейное семейство К (т)}х & t i l21> определяемое равенством Х(т) .= Xi/((ti)+Х2Л(т2); Xi ^ 0, Х2 ^ 0, Xi+X2=l. (См. пример после определения 18.2.) Если применить к семейству L(t) следствие теоремы 19.1, то, учитывая (442b), (512), (517), получим

У1^ (К (Х.т, + Х2т2)) > У1"1 (ХхК (т,) + Х2К (т2)) =

= V1^ (L (Х1Т1 + Х2т2)) >XxVx"(L (т,)) + Х2У*^ (L (т2)) =

= Х^1 " (К (Т])) н- Х^1" (К (т2)) = И1"- (К (Хщ 4- Х2Т2))_

Ввиду (7^(а))°=#0, (Л(Р))°#=0 имеем (/C(ti))°=#0, (^(тг))0^ *£ 0, см. теорему 8.7. Поэтому

(^(XiTi + Х2т2))° zd (Xi^ (п) + XiK(т2))° =# 0,

и мы имеем, по теореме 15.2, что

К (XiTi + Х2т2) = ХхК^Л + Х2К(т2)(519)

при любых ть т2 е [а, Pi, Х[ ^ 0, Х2 ^ 0, Xt + Х2 = 1.

Из теоремы 18.4 и (444a), (517) следует, что семейство {Зл (К (т))}т Е |а о,, получающееся штейнеровской симметризацией Sa относительно гиперплоскости А (содержащей начало о е Rn\

также является линейным:

SAWbrn+^n^S^Kfri))-!-^(520)

ть т2 s [сх, р], Xi 2s 0, Х,2 2s 0, Xi Н- Х2 1.

Здесь, как и в проведенном только что доказательстве линейности самого семейства {К (т)}т е [0 ^, не используется строгая выпуклость множеств К (а?) и К(₽).

Докажем теперь гомотетичность К(а) и ^(P), что нетривиально лишь при /г ^ 2. Для этого рассмотрим, по аналогии # (513), множества К и L, определяемые равенствами 5;К := U № + М)Х{М),(521)

£:= U ($л(К(^4-М))ХМ.(522)

о < х2 < 1

(По (519), (520) и замечанию 8.4 эти множества совпадают со .^следующими выпуклыми множествами в Rn+1;

, ' К = conv {(/С (а) X {0}) U (К (Р) X {!})}>(523)

?Г=Ч:опу{(5л(К(а))Х{0})и(5лта(524)

Пусть теперь С(а)—любая ортогональная А прямая в Rn, пересекающая К^ более чем в одйой точке. Обозначим

G (а) П К (“) = х1 (а) х2 (а),х1 (а) =# х1 (а),(525)

G (“) П 5Л (К (а)) = у1 (а) у2 (а),у1 (а) =£ у2 (а).(526)

Через граничную точку у1 (а) множества 5л(/((а)) в Rn проходит опорная к 5л(К(а)) гиперплоскость ВДа). Она не может быть ортогональной к А, потому что отрезок х1 (а)х2(а) по предположенной строгой выпуклости К(а) содержит внутренние для /<(а) точки, а потому и уДоДу2 (а) содержит точки из (Вл(/((а)))0, см. (525), (526). Будем поворачивать гиперплоскость /?"Х{0} в Rnil вокруг лежащей в ней ее гиперплоскости ВДа)Х{0} до тех пор, пока она коснется компактного множе- . ства 5л(Л(Р)Х{1}) в некоторой точке у‘(Р)Х{1}- Коснется с той же стороны от себя, с какой она касается множества 5л(К(а)Х{0}). Она займет при этом некоторое положение Вх. При этом Si заведомо не ортогональна к AXRx. Но, ввиду (524), она служит опорной гиперплоскостью для L. Поэтому лежащий в S] отрезок (у‘(а)Х{0}, у‘(Р)Х{1}) лежит на границе L. Ввиду следующей из (522) симметрии L относительно AXR1 в Rrl+' при отражении этого отрезка в ДХ^?1 получается также лежащий на границе L отрезок (у2(а)Х{0}) (у2(Р)Х{!}). Он лежит в симметричной к Si относительно AXR1 опорной к Г, гиперплоскости S2, как и Si не ортогональной к AXRV Из

этого следует, что отрезок у1(Р)у2(Р) можно аналогично (526) представить в виде

y4₽)y2(₽)=G((3)nS4W)),(527) .

где G(P)—некоторая прямая в R", ортогональная к А и пересекающая К^, и что отрезок (у1 (Р) X {1}) (у2 (Р) X {1}) вместе с отрезком (у‘(а)Х{0}) (у2(а)Х{0}) служат основаниями трапеции со сторонами на границе £. Теперь, если'

(Р)х=(р) := G(p)DК(Р),(528)

то упомянутая трапеция получается при штейнеровской снимет- " ризации относительно А X Rx из трапеции, имеющей основаниями отрезки (Х(а)Х{0}) (х2(а)Х{0}) и (х1 (₽)X{1}) U2(P)X X{1}):-

conv {у1 (а) X (0), у2 (а) X {0}, у1 (Р) X {1}, У2 (Р) X {1}} =

= 5лх«'(соПу{хЧа)Х{0}, х2(а)Х{0}, х!(Р)Х{1}> х2 (0) X {1}}).

(529)

Стороны стоящей в (529) справа трапеции также лежат на границе множества К, так как иначе при симметризации R относительно А X R1 ввиду (529) получалось бы отличное от L множество, вопреки определениям (521), (522). В частности, отрезки (x‘(a)X{0}) (xz(p)X{l}) идут по границе К и лежат в некоторых опорных для R гиперплоскостях At (t=l,2). Отсюда, ввиду (523), можно заключить, что в Rn параллельные друг другу гиперплоскости ДДа), ЛД0) и аналогично Л2(а), Л2(Р), определяемые равенствами

М(ЯлХ{0}) ==:А(а)Х{0}, A/(WX{1}) =:Л,(р)Х{1},"

должны быть опорными соответственно для тел /((а) и /С(Р) и проходить через точки х‘(а), х‘(Р), i= 1,2.

Повторим уже доказанное. Для каждой прямой G(a), пересекающей К (а.) более чем в одной точке, существует прямая G(P) такая, что на G(a) и G(₽) соответственно тела /С(а),/<(Р) высекают отрезки, через соответствующие концы которых (ср. (525) и (528)) проходят имеющие одинаковые внешние нор- " Мали опорные (в R"') гиперплоскости к К^ и /С(₽). Теперь гомотетичность /((а) и К^ устанавливается следующим образом. Не умаляя общности, считаем начало о е Rn лежащим в (К(а))°. Тогда (/((«))* — компактное выпуклое тело, полярное К (aj относительно о (см. определение 6.4 и теорему 6.8). По следствию к теореме 4.6 существует хоть одна экспонированная точка х„(а) тела (Л(а))*. Через нее по определению 4.3 проходит опорная к (/С(а))* гиперплоскость Л* (а), для которой '

Л;(а)П(/<(а)Г = {^(«)}.. (530) «

Из (530) и теоремы 6.8 сразу следует, что при поляритете л относительно единичной сферы <ЭБ1(о) гиперплоскость Л* (а) есть образ граничной точки х0(а) тела К (а). При этом через х0(а) проходит только одна опорная для К (а) гиперплоскость, это n(xj(a)), т. е. хо(а)— гладкая в смысле определения 10.7 граничная точка /((а). Пусть теперь х(а)—любая, отличная от х0(а) граничная точка /С(а), а прямая G(a) := x0(a) Vx(a). По сказанному в начале абзаца, существует параллельная 6(a) прямая G(P), для которой G(P)D К(Р) = : х0(Р)х(Р) и через х0(а), х0(р) (соответственно через х(а), х(Р)) проходят параллельные опорные к /((а), /С(Р) гиперплоскости Л0(а), Л0(Р) (соответственно Л (а), Л(Р)). Но это означает, ввиду единственности опорной гиперплоскости к К (а) в точке Хо(а), что точка х0(Р) должна быть (единственной ввиду предположенной строгой выпуклости /((Р)) точкой соприкосновения Л0(р) с К^, причем Л0(а) и Л0(Р) параллельны и имеют одинаковые внешние нормали. Тем самым точка х0(Р) не зависит от выбора х(а). Мы доказали, что для каждой хорды x0(a)x(a) тела Л (а) с началом х0(а) и концом х(а)=#Хо(а) существует параллельная ей и так же направленная хорда х0(Р)х(Р) тела К(^ с фиксированным началом хо(Р), притом через концы этих двух хорд проходят параллельные опорные гиперплоскости Л (а), Л(Р) тел /((а), /<(Р).

Чтобы убедиться теперь в гомотетичности Л (а) и К(^, докажем сначала существование пары параллельных хорд x0(a)xi(a) и x0(P)xi(P) у тел К^, /С(Р) с х1 (а) ф х0(а), X] (Р)¥= хо(р). Это проверяется от противного: предположим, что для любой хорды хо(а)х(а) с х(а)=#х0(а) у параллельной хорды х0(р)х(р) всегда х0(Р) = х(Р). Ввиду строгой выпуклости К (а) выходящие из х0(а) открытые лучи, идущие через концы хорд х(а)=# х0(а), пересекают (/С(а))°. Объединение этих лучей заполняет ограниченное гиперплоскостью Л0(а) и содержащее (/((a))° открытое полупространство пространства Rn. Иначе существовал бы идущий из х0(а) и не пересекающий (/((a))° открытый луч этого полупространства. Прямая этого луча по теореме 3.1 содержалась бы в отличной от Ло (а) опорной к К (а) в точке х0(а) гиперплоскости, что противоречит единственности Л0(а). Следовательно, предположение х(Р)=х0(Р) для хорд х0(Р)х(р), параллельных всем хордам xo(a)x(a) вместе с опорным свойством гиперплоскости Лоф) для ^(₽) означает, что /С(Р) лежит в Л0(Р), что противоречит условию (К(Р))°¥=0. Этим доказано существование желаемой пары хорд у /С(а), К(0).

Рассмотрим произвольную пару параллельных двумерных плоскостей S2, С2, проходящих соответственно через хорды xc(a)xi(a) и хо(р)х,(р). Сечения К2(а) := Л(а)П Б2 и /С2(Р): =

:»=Л(Р)ПСа суть две компактные выпуклые фигуры с непустой внутренностью. Для любых их параллельных хорд х0(а)х(а), где х(а) #= хо(а), и хо(р)х(р) в соответствующих концах хорд у этих двух фигур есть параллельные опорные прямые 40(а)ПВ2, Л0(Р)ПС2 и Л(а)Г|В2, Д(Р)ПС2. (Ввиду строгой выпуклости К (а) опорные плоскости Д0(а),Д(а) не могут содержать хорду х0(а)х(а) и тем более плоскость В2, поэтому Д0(а)ПВ2, Д(а)П И В2 — действительно прямые. По параллельности, то же верно для Д0(Р)ПС2, Д(Р)ПС2.) Отсюда следует, что для каждого опорного элемента фигуры Ki^ (в смысле определения 13.1) в граничной точке х(а) существует параллельный опорный элемент у фигуры Кгк^ в точке х(Р).. В этом легко убедиться, если угловую точку х(а) (по теореме 10.7 их на границе /(2(а) не более чем счетное количество) приближать точками с единственной опорной прямой. Воспользуемся теперь введенной в дополнении к лемме 13.1 параметризацией опорных элементов плоских фигур /(2(a),причем радиусы-векторы для Х2(а)

будем откладывать от х0(а), а для /С2(Р)—от л0(Р), а полярные углы отсчитывать от хорд x0(a)xi(a), x0(P)xi(P). Тогда, ввиду равенства функций, заданных через 0, как функций от <о, у фигур Кг^, ^г(₽) получаем из (223), (224), (225) гомоте- тичность границ дКгк^ и ^2(Р):

№ (Р) = X № (a) - х0 (а)) + х0 (р),(531)

где постоянная X > 0 определяется равенством

Xi (р) - хо(р) = X(х. (а) - х0(а)).(532)

Равенство (531) влечет Лг(Р) = Х(Т(2(а)— ^о(а)) + х0(р), причем это остается верным с одним и тем же множителем X (см. (532)) для всех направлений параллельных плоскостей В2, С2. Поэтому Л(Р) = Х(Х(а) — х0(а))-|-х0(Р). Тем самым доказана необходимость условия (518) (с а = х0(р)— Хх0(а)) для соблюдения (517). Теорема 19.3 доказана. □

Замечание 19.2. В действительности предположение строгой выпуклости выпуклых множеств К (а), /С(Р) в теореме 19.3 лишнее. Мы ввели его лишь для упрощения доказательства. При доказательстве линейности семейства оно не использовалось. Позже теорема 21.1 покажет нам, что это предположение не было необходимым и для доказательства гомотетичности К (а) и /<(Р). Но от предложения (7<(а) )°=Н= 0, (К(Р))°=?^0 в теореме 19.3, вообще говоря, отказаться нельзя. Это подтверждает пример линейного семейства {/С (т)} т s |a ₽) при К koi') с: А. К(Р)сА, где А — гиперплоскость в Rn, а К (а) и Кк^ не гомотетичны. В этом примере при любых Xi ^ 0, Х2 ^ 0, Xi + Х2 = I множество Л(Х1« + Х2р) := Х1К(а)+ Х2Л(Р) лежит в А, и потому его объем всегда нуль.

Следствие из теоремы 19.2 (Боинезен [13], с. 122— 127). Пусть VK (т)}т е |а у, — вогнутое семейство непустых компактных выпуклых множеств в Rn, причем такое, что множества К (а1) и К^ обладают равными (п—1)-мерными объемами проекций на некоторую гиперплоскость А

Vn-\<PAkKVa^^ Vn-^рА^Ш),(533)

где рд — ортогональное проектирование на А. (Иными словами, равны их внешние поперечные меры относительно гиперплоскости А, проходящей через начало oeR1.^ Тогда сами объемы множеств семейства удовлетворяют неравенству

У^^а + Хгр^^У^аЛ + ЬгУ^р)), (534)

Xi 5? 0, Х2 ^= 0, Xi + Х2 = 1. (Ср. со следствием теоремы 19.1 *).)

Доказательство. Симметризуем семейство {К (Т)}т г [а 0] относительно гиперплоскости А. Получим по теореме 18.4 снова вогнутое семейство {5Л (К (Т)}тг[а, р] непустых компактных выпуклых множеств. Для него, ввиду рл (К(т)) = Д П 5Л (К(т)), а ^ т ^ р, и (533) справедливо равенство

Vn-i (А П SA (К(а))) = У^, (Д П SA (К(Р))).(535)

Полученное семейство округлим относительно проходящей через о и перпендикулярной А прямой Со. Получающееся семейство {Sg, (Sa (К (т)))}х е 1о р) по теореме 19.2 будет вогнутым семейством замкнутых выпуклых множеств, симметричных относительно А, так как по (483) такая симметрия сохраняется при округлении So,. Вместе с (535) это влечет за собой для крайних множеств семейства равенство

Ра (SOa (SA (К (а)))) = рл (So, (5Л (К (₽)))).(536)

Рассмотрим теперь линейное семейство {X (т)}т е |о, рр определяемое равенством

L (Х,а + Х2р) := \SQg (SA (К (а))) + ХЗа. (SA (К (Р))), (537)

Xi ^ О, Х2>0, Xi + X2 = l. Для последнего семейства ввиду вогнутости {SgJSa (К (т)))}тг[а р] верно включение

L^clSqASaW^, а<т<р.(538)

Кроме того, из (537), (536) и теоремы 8.3 следует '

PA^L^ = pA(SQg(SA(,K^, а^т^р,(539)

т. е. К (Т)}т е (а ₽] представляет собой каналовое семейство в смысле определения 18.4. Далее, по (537) для любой параллельной Со прямой G с рд(С)Е рд^Ь^а^ имеем

G П L (Xia + Х2₽) 2Д Xi (G П 50о ^а (К (a)))) + Х2 (G П SG, (SA (К (0)))), (540)

Х^О, Х2>0, X, +Х2= 1.

Из (540) и (301) следует

УДО n L(Xia + X2p))^

> Х1УI (G п s0o (5Д (К(а)))) + х2 (О n S0o (SA (К (₽)))).

Интегрирование (по (л—1)-мерному объему в гиперплоскости Д) последнего неравенства по области рд(А(т)), которая ввиду (539), (536) не зависит от т, дает неравенство

У (L (X,® + Х2₽)) ^ Х1У (S0o (Sa (К (a)))) + Х2У (S0o ($д (К (₽)))).

Отсюда вместе с (538), равенством У (Sg0 (Sa (К))) = У (К), следующим из (444а), и из замечания 19.1 следуют неравенства

/(ада + ХгрП^ИМХ^ + ХгрП^Х^^аЛ+Хгт^^ что доказывает (534). □

Упражнения

Доказать следующее усиление леммы 19.1. Пусть 6^— класс всех гиперплоскостей А пространства R", содержащих проходящее через начало о е R" фиксированное подпространство Rm, У ^ (Ко) — класс всех выпуклых множеств, получаемых из заданного непустого компактного выпуклого множества К» конечной цепочкой последовательных симметризаций относительно гиперплоскостей из ^. Тогда существует последовательность {/С11}^ № К11 е е ЭРА (Ко), которая сходится к некоторому компактному выпуклому множеству Ц, вращательно симметричному относительно Rm. Указание: применить лемму 19.1 вместо Ко к соответствующим образом измененному множеству Ко-

Пусть R" — фиксированное проходящее через начало oeR" подпространство в Rn, 1 < т < п— 1, а К—непустое компактное выпуклое множество в R". Определим множество

S-mto'- UП Rm\

КRn — m oRn—m

где R,1-’n—пересекающие К ортогональные R” (п — т) -мерные аффинные множества, В^ m (х) — лежащий в R"-m шар с центром х радиуса р ^ 0, Шп-т — объем единичного (я— т)-мерного шара, а радиус pRn-m выбирается таким, что <йп_т • (p^n-m)" m = Vn_m (Rn m П К). Множество S^l.K') называют результатом симметризации выпуклого множества К относительно Rm (ср. определение 19.1). Доказать, используя теорему 19.1, что SRm (К) — снова выпуклое множество,

Доказать, что v-я интегральная поперечная мера компактного выпуклого тела К в R" при 0 < v < п после шварцевского округления относительно (проходящей через начало о е Rn) прямой О сохраняет свое значение

^v (SG W) = ^v ^,0 < v < n,

в том и только том случае, когда К имеет ось вращения G', параллельную G (ср. замечание 19.1).

§ 20. Центральная симметризация

В заключение этой главы рассмотрим еще один процесс симметризации, ведущий к центрально симметричным выпуклым множествам. Этот процесс не сводится к симметризации Штейнера. Чтобы определить его, обратимся к примеру 8.2 разностного тела, которое, как уже было доказано, центрально симметрично относительно начала oeR". Мы только нормируем его домножением на 1/2.

Определение 20.1. Пусть К — непустое компактное выпуклое множество в Rn. Центральная симметризация So относительно начала о е Rn переводит множество К в множество

S(AKy.= lMK-H-K»,(541)

которое по теореме 8.5 также выпукло и компактно, но уже центрально симметрично относительно о.

Справедлив следующий аналог теорем 18.4 и 19.2:

Теорема 20.1. Каждое выпуклое, или вогнутое, или линейное семейство {К Wj^ s |а ₽ при центральной симметризации переходит соответственно в выпуклое, вогнутое, линейное семейство.

Доказательство сразу следует из справедливого в силу (442) и (541) соотношения>

Sq (К (А^Ч + А,2т2)) с So Ц^К (ч) + Х^К (т2)) =

(=>

(->

= 7 (ХЛ (ч) + Х2К (т2)) + | (Х> (- К (tJ) + Хг (- К (т2))) =

-ЬДСК (ч)) + А250(К (т2)),

Т], т2 s [ct, р], А,, ^= 0, А2 ^? 0, Л] ~}~ Х2 1 • □

Кроме того, имеет место аналог теоремы 18.5:

Т е о р е м а 20.2. При центральной симметризации So компактного выпуклого множества KcR" не уменьшаются его интегральные поперечные меры

■ W^SoW^W^K'), O^v^n.(542)

Доказательство. Заметим сначала, что по определению (541) и теореме 8.3 симметризация So и ортогональное

проектирование pR4 вдоль подпространства Rv на его проходящее через о ортогональное дополнение Rn-V перестановочны:

Pr. (So (Ю) = PR. (j (К + (- Ю)) = 4 (j^ (К) + р^ (- КУ) =

= 4 (Pr^ № + ("Pr^ ^ = So <Pr^ W)-(543)

Представление интегральной поперечной меры в виде (356) и (543) показывают, что теорему 20.2 достаточно доказать для объемов (т. е. в частном случае v = 0). Для этого применим к линейному семейству {(1 — т) К + т(— КУте [0, и следствие теоремы 19.1. По (512) получим при Т] = 0, Т2= 1, Xi = A,2=1/2:

Vvln (So (К)) = VMn (4 К + 4 (~ ^) >

>4у1,п м + 4 ^ I- ®=уМп ^ (544>

откуда следует (542) при v = 0. D

Замечание 20.1. Всегда

WV(SO(K))=WV(K) при 0^v<n — dimK,

v = п— 1, v = п. (545а) Однако равенство

WV(SO(K))= WV(K) при п— dim К ^ v <; п— 1 (545b)

справедливо лишь в том и только том случае, когда К имеет центр симметрии в какой-либо, возможно отличной от о, точке ze Rn. (Ср. с добавлением к теореме 18.5.)

Действительно, при 0 ^ v < п — dim К ввиду

dim So (К) = dim S0(aff К^ dim (aff К') = dim К < п — v

равенство (545а) тривиальным образом верно по теореме 16.2е), так как обе его части нули. Верно оно и при v = п — 1 ввиду

^v (So ^ку = Wn_x (4К + 4 (- ю) = •

= 4 ^п-, (К) + 4 ^-i (- ^ = ^n-i ^У

см. (337) и теорему 16.2а); а при v = п вообще Wn(S0(K)) = = Wn(K) — ton, см. определение 16.1. Допустим теперь, что равенство (545b) выполнено при некотором v, лежащем в пределах п — dim К ^ v < п — 1. Будем рассматривать К в пространстве aff К и, за счет предварительного параллельного переноса, считать, что ое aff К. Тогда равенство (545b) ввиду рекуррентного соотношения, приведенного в замечании 16.2, означает на-

личие (для нашего /<) знака равенства в уже доказанном неравенстве

ю (So (К)) > ^„^^ ю (К).

Поэтому на основании (356), трактуемого в aff К, и непрерывности стоящей в (356) подынтегральной функции, а также на основании (543), имеем при 0^V:=4 — (n— dim К) <dim К—1

т„ш к-v (Р^ ($0 «))) = Tdm K_v (So (р„, (Ю)) =

(546)

Рассмотрение елучая равенства в (544) позволяет по теоре- ■ ме 19.3 (в соединении с замечанием 19.2 и следующим из не-- пустоты 7(№> (см. теорему 1.8) соотношением dimp/?v№ = = dim/(— v'> 1) заключить, что неявно входящее в (546) мно- . жество—pRv'(K) положительно гомотетично множеству pRv (К) • относительно какого-то центра. Но это уже позволяет на основа' нии повторного применения доказываемой ниже леммы 20.1 заключить о центральной симметрии самого К, из чего всегда следует равенство So (К) и К с точностью до трансляции, а потому и (545b). □

’ Лемма 20.1 (Зюсс [32]). Пусть К и К' — компактные • выпуклые множества в Rn (п ^ 3) и рд — ортогональное проек- ‘ тирование на проходящие через начало о е Rn гиперплоскости А. Тогда:

■ а) Множества К и К' равны с точностью до трансляции в том и только том случае, когда это же верно для всех рд(К) и рд(К').'

Ь) К является центрально симметричным (относительно какого-то центра) в том и только том случае, когда это верно для всех рд (К).

Доказательство, а) Необходимость приведенных условий для равенства К и К' с точностью до трансляции очевидна. Чтобы убедиться в их достаточности, выберем две ортогональные друг другу идущие через о гиперплоскости А(щ), А(и2) с векторами нормалей щ, и2. Для проекций ри? pU[ на эти гиперплоскости имеем pUi (К') = pUi (К) + а', где а,еА (и,). Обозначим К":=К' — а'г Для множеств К и К"

РиДкД = РиДКУ(547)

а проекции на любую другую гиперплоскость А трансляционно равны. В частности,

РиД^ = РиД^А-а"г, а'^А(и^(548)

Из (548) ввиду ортогональности «ь и2 и перестановочности Ри^Ри^Ри^Ри, следует

что с учетом (547) и компактности Р„г(рИ1(Ю) дает риДа'^ = о. Рассмотрим новое множество К'" := К" — а". Для него из (547), (548) имеем

РиДК"^ = ри,№,(549)

РиД^ = ри^(550)

а проекции К'" и К на любую другую гиперплоскость Л транс- ляционно равны.

Пусть теперь и — любой вектор в Rn, образующий линейно независимую тройку {ui,u2, и}. Существование такого и обеспечено ортогональностью ui^O и и2=#0 и условием п ^ 3. Тогда идущие через о двумерные плоскости в2, S2, натянутые соответственно на uiu и на u2u, различны; их (« — 2)-мерные ортогональные дополнения обозначим С"-2, С2~2- Ввиду С"”"'^ С>-2 найдется п—1 линейно независимых векторов vi, ..., п«-ь лежащих в С\~2 U С2~2- Векторы щ, ..., ип-\ по построению ортогональны и и каждый из них ортогонален либо ui, либо и2. Поэтому множества К'" и К ввиду (549), (550) обладают одинаковыми опорными гиперплоскостями с внешними нормалями vi, ..., ип-1. На том же основании пересечения этих опорных гиперплоскостей с идущей через о гиперплоскостью А (и) суть одновременно опорные (в пространстве Л (и)) гиперплоскости для ри(К"') и для puW, с нормалями щ, ..., vn-i. Но pu(K"') = рДК) + а, где аеЛ(и). По только что доказанному вектор а должен быть ортогонален каждому из п—1 линейно независимых векторов щ, ..., ип-\, лежащих в Л (и). Это возможно только при а ==о, поэтому

рДК'") — рДК) при {uhu2,u}— линейно независимых. (551) Этим доказано равенство проекций множеств К'" и К в направлениях uh и2 и любых и, не лежащих в идущей через о плоскости Во, натянутой на ut и и2. Пусть, наконец, tie Во, причем и не коллинеарен ни щ, ни и2. Возьмем перпендикулярный к щ и и2 вектор uaeRn, и2^о. Применив (551) вместо Ui,u2, и к ui,u3, и, снова получим ри(К"') = ри(К). Таким образом,

РикК"^ = Ри^ при любом и=#о.(552)

Из равенства (552) следует, что у множеств К'" и К совпадают опорные гиперплоскости с любой внешней нормалью и=#о, ор-

тогональной и. Итак, у К"' и К совпадают все опорные гиперплоскости, но тогда (см. следствие теоремы 3.5) совпадают и сами выпуклые множества К'" = К' — а, — а" и К, т. е. К' и К трансляционно равны.

Ь) Необходимость приведенных условий для центральной симметричности множества К очевидна. Обратно, допустим, что все проекции рл (К) имеют центры симметрии. Тогда все проекции PaW и рл(—К) =— Ра(К') множеств К и —К трансляционно равны. По уже доказанному пункту а) этой леммы сами К и —К трансляционно равны. Но это равносильно центральной симметричности К. □

Определение 20.2. Пусть К — компактное выпуклое тело в Rn. Число

будем называть мерой симметрии тела К.

В заключение этого параграфа дадим еще точные границы возможных значений этой меры симметрии.

Теорема 20.3. Для любого компактного выпуклого тела К в Rn справедливы неравенства

(554)(555)(554)(555)И(Ю<|.

(554)

(555)

(554)

(555)

»1К»У(Д')

и если К центрально симметрично, то в (554) будет равенство. Если К есть п-мерный симплекс, то имеет место равенство в (555).

1 при у е К, 0 при у ^ К,1 при у е К, 0 при у ^ К,Доказательство. Ввиду (542), (543) неравенство (554) тривиально, причем равенство в нем заведомо имеет место при центральной симметричности К. Чтобы оценить ц(К) снизу, изучим объем У(7<П(^ + х)) (заведомо непустого при хе е 2S0(К)) пересечения тела К с его сдвигом на вектор х. Для этого воспользуемся характеристической функцией х тела К> определяемой, как обычно, равенством

1 при у е К, 0 при у ^ К,

1 при у е К, 0 при у ^ К,

yeRn.

Имеем

(556)(556)V (К П {К + х)) = ^ х (у) X (У — х) dV,кп

(556)

(556)

где dV — dV(y)— элемент объема в Rn. Поскольку в (556) подинтегральная функция, ввиду ограниченности и компактности К.,

измерима в смысле меры Лебега по х и у, то к следующему интегралу Лебега можно применить теорему Фубини

5 V (К п (К + х)) dV (х) = U J X куШУ - х) dV (yAd У (х) = 25,00«"м"/

= U $x(y-x)dy(xAz(y)dy(y) = ^ky^k-^xkyWky^

= VW\x^dVky) = kVW (557) Rn

(По поводу выкладки (557) см., например, [53], с. 96—97. Здесь можно отказаться от интегрирования ио всему RnXRn- Ввиду обращения хкУ)хкх— У) в нуль вне 2S0(K)X К можно заменить интегрирование по RnXRn на интегрирование по квадрату большего куба.)

Главная идея доказательства неравенства (555) состоит в том, чтобы соответствующим образом ограничить снизу подынтегральную функцию У(^П(^^-x)) в (557). Для этого представим точку x£2Ss(/Q, х#=о, через дистанционную функцию g множества 2S0(K), см. замечание 11.1:

x = g(x)x0, xoed(2So (/<)),0<g(x)^l.(558)

Ввиду того, что 2So(K) есть разностное тело множества К (см. пример 8.2), для хо существует представление

хо —z0 —уо, уо,хоедК.(559)

Гомотетия sf°_gW с центром го и коэффициентом 1—g(x)^O получается суперпозицией трансляции tx, переводящей о в х, и гомотетии 8^+х(л:) с тем же коэффициентом и центром у0 + х. Действительно, оба отображения sfa_g(x) и sf^u) ° ^ согласно (559) и (558) обладают неподвижной точкой'

z0 = (1 — g (х) ) ((z0 4- х) — (уо + х)) 4- (уо + х) .

Поэтому

sf0-.g w (К) = s^xw (К + х).,560)

Ввиду звездности выпуклых множеств К и К + х относительно го,Уо + х и 0 ^ 1 — g(x) < 1 справедливо

<w^cK,(561)

s^^kK + х)с К + х.(562)

Из (560), (561), (562) следует

s?_gW{R)^K П кКА-х),(563)

Ito влечет оценку снизу для объема

ViK П (К + х))>У(^в(х)(Ю) = (1-£(х^(564)

которая тривиальным образом по (168b) верна и в исключенном ранее случае х = о. Оценка (564) при подстановке в (557) дает

kV№= J У (К П (KWV> ^ ^-gWV^dV. 2So(Kl2So(K)

Если учесть очевидное из (168b) и (169) равенство {xe/?n|gW^ M = ^2S0(K)

и пользоваться понятием интеграла Стилтьеса, то получим

г№> $ (1 -gWW=\ (1 -MndV^.2SQ^ = «о (Юо

= J (1 - X)" dX”V (2S0 (К)) = У (2S0 о J (1 - Л)" пГ"1 dX = о

'= 2n ( 2n)”‘У (So (/<)). (565)

Этим доказано (555).

Остается проверить, что когда К есть n-мерный симплекс S в Rn, то в (555) наступает равенство. Для этого покажем, что если для компактного выпуклого тела К в Rn выполняется (ср. (563)) равенство

К П (К + х) = s*<« (/<) при каждом №2Sd(7<), (566) где s^ означает гомотетию с центром z и коэффициентом v, то в (555) стоит знак равенства. Затем покажем, что для каждого «-мерного симплекса S свойство (566) выполняется. Ввиду x0ed(2S0(/()) множество К0 Л (К + *о)° = К0 П (К0 + х0) пусто, и по теореме 3.1 существует гиперплоскость В, (нестрого) отделяющая К от К + Хо. По (559) точка Zo лежит в А(П(/( + ^о), а потому — в В, так что гиперплоскость В одновременно является опорной (с противоположными внешними нормалями) для К и К + Хо; можно написать В =: А + £о, где А— гиперплоскость, проходящая черев о параллельно В. Но тогда гиперплоскости В — хо = А А-у0 и B=A + z0 суть параллельные опорные гиперплоскости к К, а Д+(1/о + х) и Д+(2о + х) — параллельные опорные гиперплоскости к К + х. Ввиду у0 + х== = (1 — g(x))yo+ g(x)z0^ К и Zo=g(x)(«/o + x) + (l — g(x))(zo + Н- х)<= К + х, см. (558) и (559), параллельными опорными

плоскостями для КП (К + х) служат гиперплоскости A + (Уо+х)' и А + zo, см. рис. 40. Так как это пересечение, по условию (566), должно получаться из К гомотетией с коэффициентом подо

бия v(x), то v(x) должно равняться отношению расстояний

ввидуввидуНаконец, мы должныНаконец, мы должнымежду параллельными парами опорных гиперплоскостей (Д 4+ (Уо +- х), А + zo} и {Д + Уо, Д + Zo} • Последнее отношение Zo —(Уо + х) = (1 —g(x))xo = (l —g(x)) (zo — yo), CM. (558) и (559), после вычисления

ввиду

ввиду

Наконец, мы должны

Наконец, мы должны

оказывается равным 1 — g(x). Поэтому из (566) имеем

V (К П (К + х)) =

= У(^(Л(К)) =

= (l-g(< НЮ, ср. (564). Но это, по (557), влечет равенство в (565), а потому и в (555).

еще доказать справедливость (§66)

в случае, когда К есть n-мерный симплекс S в R". Для этого представим S по теореме 5.6 как пересечение содержащих S замкнутых полупространств Нй, ..., Нп, ограниченных теми гиперплоскостями До, ..., Ап, в которых лежат («—1)-мерные грани симплекса S:

(567)(567)s = П н£.

(567)

(567)

1 = 0

Тогда при xe2S0(S)

. s + x= П (Я/ + Д

<-0

откуда n __n _

S n (S + x)= n (Ht n (Яг + х)) = n (Я^в^), где e, = 0, 1. i-0i-0

(568) Я-1 _

Множество n (Hi + в£х) есть симплициальный многогранный i-0

угол (см. пример 5.4), который при подходящей трансляции t п-I

служит образом симплициального многогранного угла П Ht.

Вместе с (567), (568) отсюда следует, что потребуется (после п— 1

трансляции) лишь некоторая гомотетия с центром ПоИ/ + е;х) и подходящим коэффициентом v(x)^0, чтобы симплекс /(S) перешел в множество $П(£ + х), которое непусто ввиду хе e2So(S). Трансляцию и гомотетию можно заменить одной го-

мотетией с подходящим центром z(x), так что S непосредственно переходит в 5П(5 + х) при гомотетии s^W:

Sn(S + x) = ^-i(S), xe2S0(S), z^eRn, v(x)>0.

Этим доказано соблюдение условия (566), достаточного для равенства в (555). □

Замечание 20.2. Компактными телами К в Rn, с мерой симметрии ц(К)= 1, см. (554), являются только центрально симметричные тела, а с мерой симметрии ц (К^ = 2П ( 2^ , см. (555),— только п-мерные симплексы. Последние могут поэтому рассматриваться как тела, наименее симметричные в смысле определения 20.2.

Первое утверждение сразу следует из замечания 20.1, а второе— из доказанного Роджерсом и Шепардом [51] факта, что условие (566) необходимо для равенства в (555) и что оно выполняется только для и-мерных симплексов.

Отметим, что существует много других мер симметрии компактных выпуклых тел. Для большинства таких мер можно дать их оценки сверху и снизу и рассмотреть случаи достижения экстремальных значений. По этому поводу см., например, Б. Грюнбаум [25].

Упражнения

Доказать, что при центральной снмметризацнн So компактного выпуклого множества К его диаметр О (К), см. определение 7.2, не меняется: D(So(K)) = D(Ky Указание: воспользоваться тем, что О(К) есть максимальное расстояние между параллельными опорными гиперплоскостями множества К. '

Доказать, воспользовавшись предыдущей задачей, следующее неравенство, связывающее объем и диаметр компактного выпуклого множества К в Rn:

где ton — объем единичного «-мерного шара. Доказать также, что равенство наступает только в случае, когда К. есть шар в R".

Глава V НЕРАВЕНСТВА В ТЕОРИИ ВЫПУКЛЫХ МНОЖЕСТВ

Теоремы Брунна— Минковского и Буземана

В § 19 мы, пользуясь методом симметризации, попутно г. теоремой 19.1 доказали неравенство Брунна (512). Тем же методом при некоторых дополнительных предположениях удалось исследовать и случай равенства (см. теорему 19.3 Минковского). Было отмечено, что этот результат, именуемый далее теоремой Брунна — Минковского, играет фундаментальную роль в теории неравенств для выпуклых тел. Поскольку именно теории подобных неравенств посвящена настоящая глава, мы начнем ее с того, что еще раз сформулируем доказанную теорему в удобной для дальнейшего форме и приведем еще одно доказательство этой теоремы, уже без лишних предположений.

Теорема 21.1 (Брунна — Минковского). Для любых компактных выпуклых тел К\,Кч в Rn и любых Xi > О, Х2 > 0, Xi + -ф Х2 = 1, справедливо неравенство

Vx'4XxK\ + Х2К2)> Х^'/^КО + Хг/'/^Кг),(569)

причем равенство наступает в том и только том случае, когда К\ и К2 положительно гомотетичны.

Дополнение. Кроме того, если К\,К2— непустые компактные выпуклые множества, одно из которых есть точка, или они лежат в параллельных гиперплоскостях пространства Rn, то имеет место равенство

V'/^X^i + Xo^^X^'/^^O+XsV’/M^),(570)

тогда как во всех остальных случаях для непустых компактных выпуклых множеств K\,Ki в Rn с min(dim7<i, dimA^2)-<n имеет место строгое неравенство

V'/^X^+X^^ X^MKiHX.V'/^/G) (571)

при X] >0, Х2 > 0, Xi + Х2 = 1.

Доказательству теоремы 21.1 предпошлем лемму. ■

Лемма 21.1 (Йенсен). Пусть «ь а2—положительные числа, Xi > 0, Х2 > 0, Xi + Х2 = 1 и р — вещественное число. Назовем «средним р-й степени» чисел а; и а2 с весами Xi, Х2 величину

Мр' ^Даь а2):=(Х)а? +Х2а2)1л при р =£ 0,(572a)

Мо" ^ («1, а2) := аМ1.(572b)

Тогда Alp'^^a!, аг) как функция от р при ai=a2 постоянна, а ■ „‘при ai #= а2 строго монотонно возрастает, т. е. при р < а

,j:Л4р"Х2(аь <и) = Ala” *!(аь а.) = аь(573)

^‘’^(ai, а2) < Л1д1’ ^(аь а2) при ai =^ а2.(574)

У Доказательство. Приа1=а2 изопределения (572а,Ь) /Сразу следует (573). Поэтому будем предполагать, что ai^=a2.

Сначала рассмотрим три случая: 1) 0 < р < о, 2) р < 0 < о, 3х р <; о < 0. В случае 1) функция /(£), определенная при всех ®i>0 равенством Ц1У.= 19. ввиду d ^'- = j (j — 1)£р 2> 0 Острого выпукла (по теореме 10.9). Поэтому, согласно опреде- : лению 10.4

f (Х^р + Л2а°) < Xxf (а?) + Xj (<^).(575)

'Ввиду о>0 это эквивалентно (574). В случае 2) рассматри- ' ваем то же f и вывод (574) получаем аналогично. В случае 3) ^функция / строго вогнута, и в (575) будет противоположное неравенство, но при возведении его в степень 1/о<0 мы вновь •получим (574). Нам остается рассмотреть случаи 4) р = 0 < о .и 5) р < о = 0. Для них, используя уже доказанные случаи 1) и 3) и правило Лопиталя, имеем для случая 4):

> lim рэ (ai, а>)= expi hm х 1 1 ] =p-» + u\р-»+0р/X, In сц 4- Хо In а2 х. /,= exp -^-лГ+xf = Ж <“>’ “^> lim рэ (ai, а>)= expi hm х 1 1 ] =p-» + u\р-»+0р/X, In сц 4- Хо In а2 х. /,= exp -^-лГ+xf = Ж <“>’ “^Ма^Чаь а2)

> lim рэ (ai, а>)= expi hm х 1 1 ] =

p-» + u\р-»+0р/

X, In сц 4- Хо In а2 х. /,

= exp -^-лГ+xf = Ж <“>’ “^

> lim рэ (ai, а>)= expi hm х 1 1 ] =

p-» + u\р-»+0р/

X, In сц 4- Хо In а2 х. /,

= exp -^-лГ+xf = Ж <“>’ “^

для случая 5) аналогично:'

^'•^(аь а2) < lim Мо"М (аь а2) = Мо" Х1 (аь а2). □ а-»-0

Доказательство теоремы 21.1 (по Кнезеру и Зюссу [39]). Идея доказательства состоит в индукции по размерности п пространства Rn, в котором являются телами Ki и Кг- При этом индуктивное предположение применяется к специальным образом сопоставленным параллельным ^п— 1)-мерным сечениям тел Ki и Кг- Теорема при п= 1 тривиальна: здесь в (569) ввиду (301) будет знак равенства, одномерные Ki и К2 всегда положительно гомотетичны. .

Итак, будем считать теорему 21.1 доказанной при всех размерностях, меньших n > 1, и докажем ее для размерности п. Введем в Rn декартовы координаты (^, . ..,_|п) и обозначим Д(^) ортогональные оси ^п гиперплоскости, и Н (t) —замкнутые полупространства:

Л(£) :={хе/?"||п = У, Н(^) :={ХЕКП|^^У. (576)

Рассмотрим сечения

Qid) :=^ПЛ(|), Q2(ti) := К2 П А (т|),(577)

их (п— 1)-мерные объемы

qt^ := Vn-^Q! (£)), ^2(n) :=Vn-i(Q2(n))(578)

и «относительные объемы» отсекаемых этими сечениями частей тел Ki, К2__

»,(1):=^^Д. ^=М». <579>

Если hi, hi— опорные функции тел Ki, К2, а ип— единичный вектор оси |п, то функции Ui(|), и2(г)) являются строго возра- -стающими на отрезках [—ЛД—ип), hx (ип) ], [—h2(—и„), h2(un)], а на концах этих участков

yi (— hx (— un)) =и2 (—h2 (—ип)) =0, ui (hi (u„)) =v2 (h2 (u„)) = 1,

Поэтому значениям ce[—ЯД—un), hi(un)] можно взаимно однозначно сопоставить значения ц G [—й2(—ип), h2(un)] так, чтобы соблюдалось равенство относительных объемов

(580)(581)(582)(580)(581)(582)У1 (6) = у2 (П) = т, 0^т^1.

(580)

(581)

(582)

(580)

(581)

(582)

Из (580) имеем

| = аУ1(т), ц = ^2(т),0^т^1,

причем

wx (0) = — hx (— ип), wx(i) = hx(un),w2(0) = — h2(.— un), w2^\) = h2Vun),

и функции соц ty2, заданные на [0, 1], непрерывны и строго возрастают. Для дальнейшего полезно отметить, что в открытом промежутке (0, 1) эти функции даже имеют непрерывные первые производные. Действительно, из (576) — (579) вытекают интегральные представления

yi (Ю = у ^^q\ (Sn) ^^п> у2 (л)= у ^^q2 (^п) ^«>

-ftl (-“n)~М"ип)

(583)

IG [— hl (— ип), hi («„)], л е [— h2 (— u„), h2 (u„)].

Подынтегральные функции qx,q2 непрерывны (см. примечание после доказательства теоремы 19.1). Кроме того, значения qx,q2 внутри интервала их заданий положительны. Поэтому для функций Wi,ty2, обратных, см. (580), к непрерывно дифференцируемым функциям ui, и2, будем иметь

dwx (т)У(К,)^т qx (й»! (т))dwx (т)У(К,)^т qx (й»! (т))> 0,> 0,dw2 (т)didw2 (т)diV (К2)4i (w2 (т))V (К2)4i (w2 (т))> 0 при> 0 при(584)(584)

dwx (т)У(К,)

^т qx (й»! (т))

dwx (т)У(К,)

^т qx (й»! (т))

> 0,

> 0,

dw2 (т)di

dw2 (т)di

V (К2)

4i (w2 (т))

V (К2)

4i (w2 (т))

> 0 при

> 0 при

(584)

(584)

Теперь нетрудно оценить снизу объем компактного выпуклого тела X^i + Х^Кч- Будем исходить из представления

J^ft, (“П) + ^2Л2 (“rt)

‘ F(^l/<1 + ^2^2) —j Vn-lttAl^ + WG) (1-4 (£n)) ^л»

j-ХА ("“^"^A (~“n)

в котором выполним подстановку |„ = Л1ЙУ1 (т) 4- X2pv2(t)— замену, строго возрастающую, непрерывную вплоть до граничных точек и непрерывно дифференцируемую внутри. При этом по правилу замены переменной в интеграле Римана получим, быть может несобственный вблизи концов, интеграл Римана

' V (^i + Х2К2) = ( Уя_1 ^ХКХ + W П A (Xxwx (т) + X2w2 (т))) X ■о

х к ^Г” + Л ^г1)^ <б85>

Подынтегральная функция непрерывна по т, поскольку Vn-iUM/Ci + Х2/<2)Г1 А(|)) непрерывно зависит от |. Теперь включение

(^l-^l + ^2^2) П^ (^1^ + ^2л) = (^1-^1+^2-^2) П (^1^1 (^) + Х24 (л) ) ^

^ ^>1Q1 (В) + X2Q2 (л) > см. (577), дает

Vn-i ((Х1К1 + W<^ П л м + Х2Г])) 22

>Vn-i(MQi(B)+^Q2(n))- (586)

По индуктивному предположению1) и по (578) имеем неравенство

Vn_x ^XQX (I) + X2Q2 h)) > G, (qx (|))^ + Л2 (^2 (П))”) , (587)

- Ai (- ип) < | < hx <и„}, — h2 (- ип)<п< А2 («„)•

Правая часть (587), после введения обозначений

vЯ.^1/" (КО„,Л2У^(К2)

.*'Х^^^О + Х,^/"^ ’2,== XxVYI't<Kx')-VXaVXin(K^

и применения леммы 21.1 при р =—1, а = nL f - допускает оценку:

/ 1-п\ i \«-i /11/ 1-п\ i \«-i /11

/ 1-п\ i \«-i /11

/ 1-п\ i \«-i /11

>(^1-^ + ^ 1^Т и^^^+^У^^)) , (588) которая справедлива при — hi (—ип) < 5 < hx (ип), —h^—ип) < <T]</i2(un). Цепочка неравенств (586), (587Ц (588) и (584), (585) с учетом (581) дает нам окончательно

У WiKi + W (мV~ <Ki) + X2V~ (К2)) dx =

О

= UiI/'1№) + ^",(589)

что совпадает с требуемым неравенством (569) в размерности п.

Чтобы изучить случай равенства в (569) и, соответственно, в (589), воспользуемся непрерывностью подынтегральной функции в (585) внутри (0, 1). Из этой непрерывности следует, что в случае равенства в (589) должны также иметь место равенства в (586), (587), (588), и по лемме 21.1 должно, в частности, выполняться равенство

1-п1-п

V " (КО 9!^ (%)) = У " (^МЫт)),0 < т < 1.

Возведение этого равенства в степень — 1 дает, с учетом (584),

0 < т <0 < т <1,1,Iz — 1/п /у \ dxs)\ (т)17~^1п 1 tz \ dw-7 (т)

0 < т <

0 < т <

1,

1,

v (Кх^—^^У(КО—^

или после интегрирования от 0 до т

У-^Ч^т^— V-‘/”(Z<i)wi(T) = 7(un),0^т^1, (590)

где постоянная y(un) зависит только от выбора начала о и направления ип оси |„. (Справедливость (590) при т = 0 и т= 1 следует из непрерывности w\ и w2 при т = 0 и т= 1.) Чтобы проследить зависимость у от ип, проинтегрируем (590) по т от 0 до 1:

11

N\u^ = V"Mn (КО ^ w2(r)dr — И-1"1 ^ Wi^dx. (591) оо

" Входящие в (591) интегралы имеют простое геометрическое ‘значение. Именно, если найти проекцию центра тяжести

'Ро (К 1) = у ^ ^ х ^1 • • • ^п

-; (где z=l,2, а х— переменный радиус-вектор) на ось £п, то *яз (581), (584) получим

КРо UG), ып) у ^^ ^ 6п ^^1 • • • ^п

ЪKt■

11

¥ "VTKa S w‘^ qi^w‘ ^ ~^т~ dT ~ $ Wi ^ dx> z=1’2' чо0

j Поэтому (591) означает

у тЫ-^-^^-Ро^-У-^!^^«П>.

5 Если подставить это значение v(un) в (590) и положить т=1, то, ввиду (582), получим равенство

: E-,/n№) (h2(un)-<р№,ип» = Е-'/"(/<1) (7ц (и„)-<р0№), «„», верное при любом «„ЕдВ^о), или, что ввиду (202) и теоре-

. мы 12.4b) то же самое,

V-W"^) кК» - Р№) = ^'"(Лл) (^l - ро ^). (592)

Но этим установлено, что тела Кх, К2 положительно гомотетичны.

Предположим обратное, пусть Кх и К2 положительно гомотетичны:

7^2^К\ “I- it, q Ez Rnt X /* 0.

Тогда

Е1/п(^^1 + Х2К2^= V^kkXx + M)/<1) =

.=(Xi Т-Т^МЕ1^!) — ^^^^^^

т. е. в (569) имеет место равенство. Этим теорема 21.1 в размерности п доказана полностью. □

i5 Доказательство дополнения к теореме 21.1. ■Пусть сначала одно из множеств, для определенности Кх, есть .точка (Xi) в Rn, а К2 — любое непустое компактное выпуклое множество. Тогда при A,i > 0, Х2 > 0, Л1 + К2 = 1 имеем

V^H^iKx + ^/<2)= Е1/”^! + ^2) = X2V1/"(/<2) =

•=x1p/n(x1) + ^2v1/"(^).

Пусть Кх cz А, ^2 cz ^ + ^, где А — гиперплоскость; Кд, К2 — непустые компактные выпуклые множества, х е Rn. Тогда

V^tM^ + Х2К2^ = 0=У^^= У^Ка) —

= XxV^4K,H^VVn^, что доказывает (570).

В оставшихся случаях, когда лишь одно из множеств имеет размерность dim/^Cn и dim /<i > 0, dim/(2 = n^2, при любых Xi > 0, Х2 > 0, Xi + Х2 = 1 имеем

Ух/ЧМК1 + Х2К2)> 0,(593)

так как ХхКх + Х2Ка вслед за Ка имеет внутренние точки. Для существующих ввиду dim^1>•0 различных точек ух,Зх^Кх имеем■

у1,п ^К1 + Х2К2> > Ух,п (Ххух + ХаКа) = Х2УХ,п (ZQ -

-^‘'"(Ка + Х^ГО (594)

Умп кХхКх + Х^) > УМп КХх2х + Х2К2> = Х2//п (К2) =

-=Х1/,га(К1) + Х2У1,п№). (595)

При этом в (594) неравенство не может обратиться в равенство, так как иначе в (595) тоже стояло бы равенство, что дало бы вместе с (593)

X^i 4- X2R2 = Ххух 4- Х2Ка == Хх2х 4~ Х2К2.

Но это, ввиду ХхУх^ХХ2Х, при компактном Х^К2 невозможно. Этим доказано, что в рассматриваемом случае неравенство (571) строгое. □

Э. Шмидт [72], [73] обнаружил, что теорема Брунна — Минковского, но с неравенством в обратную сторону, может быть установлена для линейной комбинации типа разности двух компактных выпуклых тел с суммой коэффициентов, равной единице.

Определение 21.1. Пусть КХ,К2 — выпуклые множества в n-мерном аффинном пространстве Ап с фиксированным началом о; Xi ^ 0, Х2 ^ 9. Тогда разность в смысле определения 8.5 множеств ХхКх и |Х2|^, взятую относительно о, назовем линейной комбинацией Кх и К2 с коэффициентами Хх, Х2

ХхКх + Х2К2:= ХхКх—\Х2\К2, Хх > 0, Х2 ^ 0.(596)

(Ср. определение 8.3.) Конечно, здесь XiKi 4- Х2К2 может оказываться пустым и заведомо может отличаться от X^i+|X2| (—К2^ в смысле определения 8.3.

Теперь мы можем сформулировать обратную к теореме Брунна — Минковского теорему Шмидта.

Теорема 21.2. Для любых компактных выпуклых тел К\, К2 в Rn при Xi > О, Х2 < 0, Xi + Х2 = 1 в случае Х1К1 + Х2К2=А0 для компактного выпуклого множества ХхКх + Х2К2 справедливо неравенство

К*/" № + Х2К2) ^ X, К'/" (К,) + Х2 V'/"(Д2),(597)

причем равенство наступает в том и только том случае, когда тела К\ и К2 положительно гомотетичны. (Ср. теорему 21.1.)

Доказательству предпошлем лемму.

Лемма 21.2. Если К — непустое компактное выпуклое множество в Ап и X ^ р ^ О, то для разности ХК и рК в смысле определения 8.5 справедливо

ХК — рК = (Х — р)К.(598)

(Ср. теорему 8.2.)

Доказательство. При р = 0 и при X = р > 0 равенство (598) очевидно, поэтому будем считать X > р > 0. Пусть х @ е ХА — рА, т. е. х + рК cz ХК. Обозначим tx сдвиг на вектор х и s® — гомотетию с центром г и коэффициентом v. Тогда имеем tx ^ = (tx ° s^) (ХА) = s^w {ХК) <= ХК (599) при соответствующим образом выбранном z(x). Но это значит, что z^eXK, иначе при z(x)^XA мы взяли бы у^ХК и на отрезке yz^ граничную точку гедХК, отличную от z(x). Ввиду р/Х < 1 было бы s^(r) ^ ХК, вопреки (599). Каждая точка ХхагХК и ее образ s^ (Хх0) = рх0 + х определяют вектор

Хх0 — (рх0 + х) = (1 — у-) ('М — 2 М)-

Ввиду z^e ХК это означает, что

х = (1 - £)z(x)e(l —-у) (ХК) = (X — р) А\ чем доказано включение

ХК — рКсДХ — р)А.(600)

Чтобы убедиться в обратном включении, рассмотрим любую точку х е (X — р) К. По теореме 8.2

рА + х с рА + (X — р) К = ХК,

т. е. х е ХК —- рА", что дает

(X — р)Кс:ХК — рК;(601)

из (600) и (601) следует (598). □

Доказательство теоремы 21.2. Из определения 8.5 очевидно следует, что

•-’я ^•-’я ^ХхКх = (X^i -1Х2 ] К2) +1Х21 К».(602)

•-’я ^

•-’я ^

9 К. Лейхтвейв

Применим теперь теорему Бруина — Минковского к компактным выпуклым телам |Хг^2 и ХхКх— lA^I^:

^‘^ (4 ^) > у1/" (т ^‘^ ~ 1 ^ ^2) + 4 ^ । ^s) >

> | Е1"1 (Л^ - I х21^) + 4 Vх"1 (I л21к2),(603)

см. теорему 21.1 и дополнение к ней. Это неравенство, ввиду (596), эквивалентно доказываемому неравенству (597).

Если в (597), а потому и в (603), стоит знак равенства, то, ввиду dim МЛ) = п, dim |М1Кг = п, имеем по теореме 21.1

Х\Кх = (МЛ1—| Хг | Кг) + | ^21 Кг,(604)

Х\Кх—| Хг| Кг — ос (| Кг| Кг) 4 я, ос 2$ О, a G Rn. (605)

Подстановка (605) в (604) дает 2чЛ1 =(1 + а) |А.2|Лг + я, откуда следует положительная гомотетичность Кх и Кг- Обратно, если Кх и Кг положительно гомотетичны, то Кх — ^Кг + Ь (Р>0, ЬеРД, и из ХхКх—\Хг\Кг^=0 следует 1^1 V1/n(^2) ^

А,1 izl/"(^l) = MPE^^/C), откуда 0 < |Х2| ^ Мр. По лемме 21.2 теперь имеем

Е1^ М -1 Хг I Кг) = Е1/" ((М₽ -1Х21) Кг + ХхЬ) =

= (МР -1 Хг |) Е-/» ^Кг) = М Е'/"(^) + МЕ'/^^),

и потому имеет место равенство в (597) *). □

Приведем еще одну формулировку теоремы Брунна — Минковского, эквивалентную, ввиду замечания 8.4, теореме 21.1.

Теорема 21.3. Пусть К (а) и Л(Р)— непустые п-мерные компактные выпуклые множества, лежащие в параллельных гиперплоскостях Л (ос), А(Р) пространства Rn+X с координатами (еь ■^п+1), Причем Л (6) : = {х е Rn+[ |^+i = 6} и ос < р. Тогда для образующих «параллельный пучок» множеств

Л(0) ;=сопу{Л(а)иЛ(Р)}ПЛ(е), а ^ 6 ^ р, (606) при любых М > 0, Хг > 0, М + Х2= 1, выполняется неравенство

V^KkXx» + М)) ^ М Vnn (К (а)) + Хг Vn^K^)) • (607)

При этом знак равенства в (607) имеет место в том и только том случае, когда К (а) и ^(P) положительно гомотетичны.

Следствие. Для п-мерных объемов множеств параллельного пучка (606) справедливо

Е;1 (К (Л, а + Л2р)) < МЕП-1 (К (а)) + ^Е^1 (К (Р))(608)

с равенством в том и только том случае, когда К (а) и Л(0) переходят друг в друга при параллельном проектировании.

Доказательство следствия. Из (607) и леммы 21.1, примененной при р = —1, о=\/п, получаем равносильное (608) неравенство

Vn (К (^а + Хф)) ^ ^VT (К (а)) + Х2У^" (К (Р))Г >

> U1 У;1 (К («)) + W1 (К (Р)))-1.

где равенство имеет место точно при положительно гомотетичных и имеющих равные объемы /((а), Лф), т. е. при /<(а), К^), равных с точностью до параллельного проектирования с А(а) на А(Р). □

Приведенное следствие из теоремы 21.3 интересно и само по себе. Оно является своего рода «предельным случаем» для теоремы Буземана [16] ) об объемах линейного семейства компактных выпуклых множеств в «полупучке». Прежде чем доказать теорему Буземана в удобной для дальнейтпего формулировке Бартеля [7], введем необходимые понятия.

Определение 21.2. Пусть Т есть (п—1)-мерная плоскость в Rn+\ a G — не пересекающая Т прямая. Семейство Зёг(0) всех замкнутых полугиперплоскостей fl, которые ограничены Т и пересекают G, назовем полупучком в Rn+X с носителем Т. Полугиперплоскости /7(6) полупучка ^(G) имеют индуцированную прямой G линейную шкалу, такую, что для любых Xi, Х2, Xi + Х2 = 1, и любых а < р

Н (^а + Х2р) П G = Xi (^(а) П G) + Х2 (W) П О).(609)

При этом G называем шкалирующей прямой полупучка 5^r(G).

Определение 21.3. Пусть J^?(G)—полупучок в R"+' с носителем Т и шкалирующей прямой G. Определим для каж- -

дого Н (6) е 36 т (G) на всех компактных выпуклых множествах Х(0)<= /7(9) нетривиальный, инвариантный относительно движений в Я (6), монотонный, просто аддитивный функционал Fe (см. теорему 17.2 и замечание 17.1). Такое зависящее от 6 семейство функционалов Fe называем проекционно инвариантным на 36т(G), если значения Fe сохраняются при проектированиях р множества К вдоль G, т. е. всегда

Ve'(p(K(6)))“Fe(K(6)),(610)

где p(^(0))—параллельная проекция вдоль G множества /((6) на /7(9'). (Существование подобного функционала F6 следует из соотношения Fe = y(0)V«, где F„—обычный /г-мерный объем

на /7(6), а у(6)>0— соответствующий множитель, см. (376), если учесть сохранение отнопГеиия объемов при аффинных преобразованиях.)

Теперь формулировка упомянутой теоремы Буземана звучит так.

Теорема 21.4 (Буземан). Пусть К (а), К(Р) суть п-мер- ные компактные выпуклые множества в полугиперплоскостях /7 (а), R(р) полупучка 36ikG^ в Rn+i с носителем Т и шкалирующей прямой G; а < р. Тогда для «линейного семейства» множеств

KW :=conv{K(a)UK(P)}H W), а < 6 < р, (611)

при любых Xi > 0, А,2 > 0, Xi + Х2 = 1, выполняется следующее неравенство между проекционно инвариантными объемами

Й^а+м (К (Ма 4- Х2Р)) < Xi Ра 1 кК (а)) + Х2Рр1 kK (Р)), (612) причем равенство имеет место в том и только том случае, когда Кк«^ и К(Р) переходят друг в друга при параллельном проектировании вдоль G.

Доказательство. Доказательство теоремы Буземана будет состоять в распространении доказательства теоремы 21,1 на линейное семейство {К(6)}ег[а. рь см. (611), которое на этот раз вместо параллельного пучка лежит в полупучке. При этом, по сравнению с теоремой Брунна — Минковского, мы сможем отказаться от индукции. Начнем сразу с введения аффинных координат U®Ш в полугиперплоскостях /7(6). Эти координаты свяжем с базисом {о; Ui, ..., Un-i, ип(6)}, где начало координат о и ортонормальные векторы щ, ..., un_\ лежат в Т, а ил(6) есть радиус-вектор точки Д(6)П G. При этом, ввиду свойств шкалы на G, см. (609),

ип(Ма + Х2Р) = Xiun(a) + Х2ип(Р), Xi + Х2 = 1, a < р. (613)

Кроме того, будем, не теряя общности, считать проекционно инвариантный объем Ve на Н (6) нормированным так, что параллелепипед Пе: (о^1<1,..., 0^£®^1) имеет объем 1, см. определение 21.3. Тогда для лежащего в Н (6) компактного выпуклого множества К(6)

VekKk^= $ ^...^=$^-1(/<(0)ЛЛ9О^, (614) к<е>о

где

Лв(0:ЧеЯ(в)1Й = {}.(615)

; Как при доказательстве теоремы 21.1, рассмотрим параллельные поперечные сечения

9а(Ю:=К(а)ПЛа®, (гр(п):=К(Р)ПЛр(т1)(616)

и их (и— 1)-мерные объемы

<?«(£) := Vn-^Qa^)), ge(T]) ^^(QutTl)).(617)

Относительные объемы иа(£), увСп) определим как

6л

Уа (§) :== va (К (а)) S ^ ^ ^’ °Р (Ч) := ^(iw S Ч» ^ d^’

(618)

ср. (614) — (617). Если положить

уа:= min g“, да := max & YB:= min ^, 8В:= max ^, хеК(а)хе=К(а)р хеК(Р) р хеК(р)

(619) то можно так сопоставить друг другу Qa(£) и QpOl), чтобы для каждой пары соответствующих друг другу £ и т| (0 ^ уа ^ 6 ^ ^ 6а, 0 ^ ур ^ ц ^ 8р) выполнялось

Уа(6)= ив(1]) = т, O^T^l.(620)

Решение (620) относительно £ и ц дает

| = ша(т), п — ®е(т),0^т^1,(621)

где

^а(0) = Уа, Ща(1) = 6а,^р(О) = ур, Шр(1) = 8р, (622)

причем функции wa, ^в, как и функции иа, up, строго монотонные. непрерывные на О^т^ 1 и непрерывно дифференцируемые на 0 < т < 1. При этом из (618) следует (ср. (584)) *): ^а(т)Va(K(a))^р(т)V₽(K(P))

1 - -,г- ■ -/ wи1 •

dt1a(wa(V)^Т<7p(“»pW)

(623)

Гиперплоскость в Rn+X, натянутая на Ла(£) и Лр(т|) при соответствующих друг другу g, ц, где (£, ц) ф (0, 0), пересекает полугиперплоскость fi (Xia + Х2[3) по Л^а+^р (У так, что для некоторых oi ^ 0, аг ^ 0, oi + a2 - 1, будет

Лх^ + ^р (£) = О1Ла (5) + о2Лр (т|).(624)

При этом справедливо и векторное равенство

^(Xivn(a)+ X2vn(P)) = oigv„(a)+ о2тря(Р), (625)

’) Подытегральная функция в (618) непрерывно зависит от своих аргументов; это следует из (617) и примечания после доказательства теоремы 19.1.

ср. (613). Отсюда элементарными средствами аналитической геометрии находятся ?, ffi, о2:

(6 > 0 или п> 0),(626)

О1О1M+Vt ’ °2== Я^ + М (?>0или п > 0)- (627)

О1

О1

Сопоставим теперь при (?,т])=/=(0, 0) паре Qa(?), Qp(n) сечений /((а), К(Р) сечение

Qx,a+X30 (?) := К (Я1« + Я2Р) (1 ^ча+^р (?)•(628)

Из (628) и (611) получаем важное для дальнейшего включение

Qba+W (?) => COHV {Qa (?) U QB (п)} Л А.а+^Р (?)(629)

при ? > 0 или т] > 0.

Чтобы получить ограничение снизу для проекционно инвариантного объема множества /((Xia + Х2р), будем исходить из его представления

VMa+M ЦЦ^а + М)) = J V„_! (QMa+^ (?^,a+w))(630)

о

где справа стоит интеграл Римана от непрерывной *) функции. Сделаем в интеграле замену

Х1Шр (т) + Х2ша (т) ’< ’

оправданную равенствами (626), (621). Такая замена допустима. Действительно, если уа > 0 или ув > 0, см. (619), то функция Ф на [0, 1] непрерывна и на (0, 1) непрерывно дифференцируема по т, причем из (627), (623)

dV (т)(^(т))' Va(K (а))(о2(т))2 V^K (0))

dr "Xi<7a(^a(T))+ X2q6 <w& (т))

где

aiVT/- x^g (t) + X2wa W ’X^g (т) + Я2а>о(т) ’ T

Поэтому Ч7 строго монотонна. В случае ya = ур = 0 в непрерывности У в точке т = 0 можно убедиться на основе получаемых

’) См. предыдущую сноску.

из (631), (626), (625) оценок

л 1 п г / И ^O_W||1«^L1L±^|| Хщ^ (а) + Л.2°п (Р) II

и предельного равенства

Иш ша (т) = wa (0) = Ya = 0, lim (т) = w„ (0) = y6 = 0, т-»+0т-»+0 ррр

см. (622). После замены (631) в интеграле (630) получаем

1‘

П.а+М (К (Х,« + М)) = $ Vn_v (Q^+ър (V (т)) ^^ dT, (633) о

где риманов интеграл может быть несобственным на концах промежутка интегрирования, а подынтегральная функция непрерывна в (0, 1). Ввиду включения (629) имеем

l-Vi (QMa+х..р К)) > Vn_t (conv (Qa (g) u Qp (л)} П A;a+M ©)• (634)

Далее, при п > 1 на основании теоремы 21.3, примененной вместо Rn+X к гиперплоскости, соединяющей Ha(g) и Др (л), имеем, см. (624) и (617):

Vn_v (conv (Qa (g) U Qp (л)} П ^Ma+M ©) >

( -L_LV-i

>k<Ti(<7o®)"-1 +O2(9p^))""‘).(633)

Ya < £ < 6a> Yp < Л < 6p.

После введения обозначений

a,:-—7■7-,

a* (-^- Va (К (a))) " + <T2 (-g- Vp IK (P))) "

(

do t;v^k^)■

ff2:==~"гT"

O1 ^;ValK (a)))" +a2 (^ Fp(K(P)))"

и применения леммы 21.1 при р = —1, a= ^ J_ t правая

часть (636) получает оценку снизу

G1 (фа №^ + 02 (9р С*])) "^==

+ ^(№Л(^Р))) " ^(П))"'') X

/1U"-l

х(<71(^ V« (К («)))" + <72(^^>

Уа (К (а))^ Ур(Кф)) V1

V^i <7а (I) + ^2 qB (т|) / X

Х (O1 (17 ^ 1К ^" + °2 (х ^₽ ^ W)) ") - (638)

« > 1. Уа < § < 6а> Ур < П < бр.

Наконец, также использование леммы 21.1 при р = —1, а=* = 1/п (это относится и к случаю п = 1) дает неравенство

G' Gr ^ «<"») “ + ”‘ № V»Ж №»)") >

>(^„^(0)) +W^CP)))'', ^>0, Л > 0. (637)

Поскольку неравенство, получаемое из (634), (635), (636), сохраняется при п = 1 в виде равенства.

Vo (Qx.a+M ©) = Vo (conv {Qa © и QB (n)} Л ^x.a+^p ©) =

= 9a (Ю = 7р(п)= 1»

то мы имеем при всех п>1ив (634) — (637), учитывая (631), (621), (622), (632), неравенство

V^HQx.c+^fV^-^L^

> (м Va1 <к («)) + %2Vp ’ (К (р)))-1 > о, 0 < т < 1.

Его интегрирование по т от 0 до 1, см. (633), дает неравенство Буземана (612). Остается рассмотреть случай равенства в (612).

Если в (612) имеет место равенство, то, ввиду непрерывности на (0, 1) подынтегральной функции в (633), должно иметь место равенство при n™ 1 в использованном неравенстве (637),

а при n > 1 — в неравенствах (637), (636), (635), (634). Поэтому при всех 0< т < 1 в этом случае:

^ V» (К (а)) =К(Р)),п>1;(638)

(^"^а (^М " 9а(^а(т)) =

■“(■^^^(Р))) " чМ^* п>х- (639>

Qp (^р (т)) =

= А. (т) Qo (ща W) + а (т), Х(т)> 0, а(т)е/?"+1, п>1; (640) Qx.a+м Ф (т)) =

= conv (Qa(ша(т))и Qp (Шр (т))} л Дм+мр(^(т)), п > I. (641)

В случае п = 1 из (638), (627) и непрерывности wa, щр получаем

tfg МWp (Т)V» (К («)) ~ Vp (К (0))tfg МWp (Т)V» (К («)) ~ Vp (К (0))W (т),W (т),0 < т < 1,0 < т < 1,(642)(642)

tfg МWp (Т)

V» (К («)) ~ Vp (К (0))

tfg МWp (Т)

V» (К («)) ~ Vp (К (0))

W (т),

W (т),

0 < т < 1,

0 < т < 1,

(642)

(642)

а потому и параллельность векторов, соединяющих соответствующие точки Qa(tya(x)) и Qp(t«p(T)) отрезков К(а), К^У-

Qp (“'р (т)) =

= Qa (^а М) + W (т) (Ур ОУ (P))pt (р) — Уа VK (а)) »! (а), 0 С т <1.

(643)

Это показывает, что ^(P) получается из ^(a) параллельным проектированием вдоль вектора ^р(А(Р))у>(Р}— Уа (/С(a)) vi (а). В оставшихся случаях п > 1 также справедливо равенство (642) и справедливо получающееся из (638) и (639) равенство

да(^а(т)) = 7р(^р(т)) =: д(т)> 0,0 < т < 1.(644)

Кроме того, из (640) и (644) следует соотношение

Qp(wp(T))= Qa(№a(T)) + а(т), 0<т< 1.(645)

Ввиду .получающейся из (642) зависимости

Др(щр(т)) = Да(ща(т)) + щ(т) (t7p(/<(p))u„(p) —

'-Pa(K(a))Dn(a)),

ср. (643), будет

a W = Ё «* to "ft + w (г) (Vр (/С (Р)) On (0) — Va (К (а)) ип (а)),

=0<т< 1.(646)

Теперь доказательство для случаев п > 1 получается из равенств (641), (642), (645), (646). Мы сначала предположим, что п = 2, а случаи п > 2 сведем к этому.

При п = 2 сечение Qmotm (Y (т)), 0 < т < 1, множества Л"(Х>а + Х2р) будет отрезком x‘(a+w (V (т)) х^^ ф (т)), причем

Qa (фа (T>) =: < (“’а (Т)) 4 К (Т))>Qb (®в W) =: 4 (®в W) 4 (фв W).

Тогда трапеция conv{Qa(®a(T))U Qb(^b(x))} имеет отрезки х‘о (що (т))х^ (wB (т)) боковыми сторонами, причем на них ввиду (641) лежат течки х( о+мр (ф (т)), i= 1,2. По (628) и (611) точки х^а+;12|3 (У (т)) являются граничными для множества conv^К(a)U^(3)}, которое содержит трапецию conv{Qa(twa(T) )U U Qb(^в(х))}• Поэтому существует проходящая через х(]О+х2в (V (т)) опорная плоскость ^(Ч^т)) к множеству conv{/< (a)U ^(Р)}, которая содержит отрезок х^ (^(т^х^щ^т)), i=_L_2. Рассмотрим теперь лучи 51(Ч7(т))П^(а) и 51(Ч/(т))П П ^ (Р) • Они исходят из общей точки S, (Ч1-(т)) П 7', не могут при О < т < 1 быть параллельными Т и являются частями опорных прямых к множествам К (а), ^(P), проходящим через точки xa(wa(T)), хв (^В (т))’ 1 = ^’^ Таким образом, это означает, что опорные прямые к множествам К (а), ^(P) в соответствующих точках х^(що(т)) и х^ (щр (т)), 0 < т < 1, заведомо пересекают носитель Т нашего пучка полуплоскостей, когда опорные прямые в этих точкахединственны, что по теореме 10.7 может не иметь места не более чем счетное число раз. Если мы представим К (а), /<(Р) в виде

к № = IЕ£у) I ?!Ж) < §■<№)}, к (W - {X ей №) I г^(Е»)<е?« (ЙД

с непрерывными и выпуклыми на [ya, 6а], [ув-^р] функциями ^а’’ ” f'a’ f^’ — ^в*’ то в описанной ситуации для всех те е(0, 1) выполняется дифференциальное уравнение

WS (Т) ~W» (Т)=^₽ (“'В(Т))“^ (ma(T))’ (64?)

“62аЬ2

/ = 1, 2.

Умножение (647) на -^^-. см. (642), и правило дифференцирования сложной функции дают

». е.

dt Xw (т))’''

Поскольку функция w непрерывно дифференцируема по т в (0,1), а разностные отношения функций f^, — f^K f^, — f® равномерно ограниченны, см. (155), для любого замкнутого подинтервала из (у®, 6а), (ур, 6g), то стоящее под знаком производной ь (648) отношение абсолютно непрерывно в каждом замкнутом интервале из (0, 1) *). Это позволяет из (648) заключить, что

/^ (шр (т)) = fw (wa (т)) + \Ww (т), z — 1, 2, 0 < т < 1, при некоторых постоянных y(i). Вытекающее из (645) соотношение

f? (wa.(T)) - f^ (^ (T)) = Vv (Qa (wa (т))) = Vv (Qp (щ₽ (т))) =

'==/‘p2* (“'у <т>) — fp* (^p W)

дает при этом у(П = у<2) =: yi, так что

^4W6^ = ^4Wa^ + Yi^ (т)> г =1,2, 0<т<1.

Вместе с (645) и (646) это дает

xi(t) = у1Ш(т),0 < т < 1.(649)

Теперь равенство (645) принимает вид

Qb(^p(t))= Qa(®a(t)) +

+®(т) (у1Щ+?|з(/<(Р))и2(Р)—^«(^(а))^»)), 0<т<1, (650)

ср. (643). Равенство (650) означает, что множество ^(P)\{Q(vp)UQ(6p)} получается из /C(a)\{Qa(ya)U Qa(6a)} параллельным проектированием вдоль вектора yiih + — ?в(^(Р))у2(Р) — Ta(/C(a))u2(a). Поскольку такое проектирование есть гомеоморфизм, то, как утверждается в доказываемой теореме 21.4, таким проектированием получаются друг из друга и множества

К (Р) = /((P)X{Qb(vp)UQb(66)} ,

К (a) = K(a)\{Qa (Va)UQa(6a)},

см. лемму 1.1."

При п > 2 спроектируем наше пространство Rn+V проектированием р^_.л вдоль пространства, натянутого на векторы Vi, ..., Vk-\, и^+ь ..., Un-\ на трехмерное пространство Rki

которое содержит о и имеет базисом линейно независимые векторы Ук, Vn(a), t?„(P); 1 ^^ ^ «—I. При этом исходный полупучок полугиперплоскостей в /?”+* перейдет в полупучок полуплоскостей в /?^ с носителем pkn_2kj^ и шкалирующей прямой

Pn-tkG^ = G- В его полуплоскостях р*22 (Я (а)) и р„_2(Я(Р)) лежат двумерные компактные множества К (°) := Р„_2 кК («)) и К (Р) := рк_2 (К (Р)) с сечениями

Qa (5) := К (а) П Рк_2 И k^ft, Qp (п) :=К (Р) Л Рк_2 И (п)), (651) ср. (616). Далее, полуплоскость рк_^(Й (6)) содержит компактное выпуклое множество

К (6) := conv кК (a) U К (Р)} П рк_2 (Я(6)) = рк_2 кК (6)), (652] ср. (611) *); в частности, K(Xia + X2p) по (652) имеет сечение ^Ма+М :== (^1° + ^гР) Л Рп-2 Има+М ^) = ^"-2 (^иа+М Ю) (653] Из (641), (653), (651) получается

Q^a+M <т)) = Conv №a К к^ U Qp (Фр (т))} Л

Л Р^г^+м^Ш 0<т< 1. (654] Кроме того, из (645), (646), (651)

$е(фДт)) = Фа(фДт))-М(т),(655)

где

й (т) = X Дт) у к + W (т) (V» (К (р)) Уп (Р) - Fa (К (а)) у Да)),

О < т < 1. (656) На основании соотношений (642) и (651) — (656) с помощьк рассуждения, проведенного для случая п = 2, выводится, что i (646) х*(т)== у*ф(т),1 ^ к ^ п—1, 0 < т < 1,

ср. (649). Отсюда, вполне аналогично случаю п = 2 получаете! утверждение теоремы 21.4 о том, что К(Р) получается из К (а) а— 1

параллельным проектированием вдоль вектора ^1^кУкЛ" + Fp(^(P))f«(P)- VakKHy,M ср. (650).

’) Ввиду представления (15) для выпуклой оболочки двух выпуклы множеств, проекция этой оболочки есть выпуклая оболочка проекций эти множеств.

Остается еще доказать обратное: что если /С(Р) получается из Л (а) при параллельном проектировании р' с Д(а) на Н^, то в неравенстве Буземана (612) имеет место равенство. Для этого заметим, что р' можно представить в виде

й=^+’»с K‘<«-iй=^+’»с K‘<«-i^р = V к"^п п^п’^р = V к"^п п^п’v„>0.v„>0.(657)(657)

й=^+’»с K‘<«-i

й=^+’»с K‘<«-i

^р = V к"

^п п^п’

^р = V к"

^п п^п’

v„>0.

v„>0.

(657)

(657)

Тогда, как следует из ранее полученных соотношений, например (616), (617), (618), очевидно, будет

(658)(658)96(v«^)— ?а(^) , ?а ^ £ ^ 6а,

(658)

(658)

причем это равенство остается верным и при п = 1, так как в этом случае qa^= ^(-q^ 1. Поэтому

МК(Ш^^Ма(>))^ Ya ^ ^ 6а, (659)

откуда, полагая g = 6a, находим

vn= ГВ(/С(Р))/Ра(/((а)).(660)

При этом ув(уп£) = ио(£), или, после перехода от функций fa, Об к обратным им функциям Ша, Шр,

шб(т)— Vfl®a(x), O^T^l.(661)

Сопоставление сечений Qa(®a(T)), Qp(®p(x)) множеств /<(а), Л(Р) по общности параметра т в точности соответствует, ввиду (657), сопоставлению при параллельном проектировании р'. Поэтому мы имеем

Qp(^pW)=п_1

= Qa (^a W) + wa (т) (j} чкик + v„u„ (p) - u„ (a)), 0 < T^L (662)

Далее, canv{K(a)U /С(Р)} есть ограниченная полугиперплоскостями И (а) и Н (р) часть цилиндра, который при р' проектирует ^(a) на /<(Р). Из этого цилиндра гиперплоскость, проектирующая ^хю+мр ('^ (т))’ вырезает, ввиду (615) и (631), множество {Qa<^a(x))U Qb(^b(t))}. Поэтому из (611) и (615) заклю- чаем, что

K(M + M)0^+M!(T(t)) =

^conv{Qa(^(r)) и Qp(^(T))} П ^.а+м^»’ 0^т< 1.(663)

Равенства (661) и (660) влекут за собой справедливость (642), а потому и (638). Последнее, вместе с (658) и (661) влечет за собой справедливость (639). Из (662) следует (640), а из (663) следует (641). Таким образом, во всех неравенствах

©т (634) до (637), ведущих к (612), имеет место равенство, так что и в самом (612) в этом случае наступает равенство. Теорема 21.4 доказана полностью. □ -

Замечание 21.1. Для теоремы Буземана, как и для теоремы Брунна — Минковского справедлива своя «обратная» теорема типа теоремы 21.2. За ее точной формулировкой и доказательством отсылаем читателя к работе Бартеля [7].

Упражнения .

Доказать, что теорема 21.1 может быть непосредственно выведена ив теоремы 21.2.

Пусть К — центрально симметричное относительно начала oeR” компактное выпуклое тело в R". Доказать, что множество L, определенное как объединение отрезков

L-= Ц "((^(WW)#),и s oBi (о)

где А^ — проходящая через о гиперплоскость с единичной нормалью и, снова есть центрально симметричное относительно о компактное выпуклое тело. (Ср. упражнение 4 к §16.) Указание: применить теорему 2L4.

§ 22. Экстремальные задачи и неравенства Минковского

Развитая в предыдущей главе теория симметризации и рассмотренные в предыдущем параграфе теоремы Брунна — Минковского и Буземана представляют собой важные орудия для решения экстремальных задач в теории выпуклых тел. Для начала приведем классическую изопериметрическую задачу.

Задача 22.1 '). Каковы те компактные выпуклые тела К в п-мерном ^п 5 2) евклидовом пространстве Rn, которые при заданной ^п—\умерной площади поверхности О^К^ = О0"> О обладают наибольшим объемом V^K^ =; Vo?

Эту задачу целесообразно рассматривать вместе со следующей:

Задача 22.2. Каковы те компактные выпуклые тела К в Rn (п^Ч), которые при заданном объеме V(/<)=Vo>O обладают наименьшей (п—Химерной площадью поверхности Q(K)=~:O0? -

Лемма 22.1. Задачи 22.1 и 22.2 эквивалентны в том смысле, что они определяют одни и те же пары значений О0, Vo и множества их решений вовпадают друг с другом.

Доказательство. Пусть О0 > 0 и Vo — фиксированные числа. Если (О0, Vo) не есть пара значений, определяемых задачей 22.1, то считаем класс ^‘„(Og, Vu) пустым, в противном случае ^(Og, Vo) - класс тел, служащих решением зада

В приводимых формулировках задач 22.1—22.4 предполагается, что экстремумы конечные, ненулевые и что они достигаются. Справедливость этих предположений следует из доказываемой ниже теоремы 22.1. — Прим, перев.

чи 22.1 с этой парой значений площади и максимального объема. Аналогично определяем ^(О0, Уо) для задачи 22.2. Пусть существует некоторое Кд ^ $\ (О0, Уо), тогда

О^ = Ой, У№) = У0.(664)

Если К — любое компактное выпуклое тело с объемом

У(К)=У0,(665)

то О(А)^ 0(Ао) = Оо,(666)

иначе было бы О(К)< Оо, и для тела 1 Г (0^0(0"-* К

по (335), (665) было бы 0(Х')=Оо, V(/(')> У(К) = Уо, вопреки следующему из Кд е $хп (О0, Уи) равенству Уо = У (Х^) = = max V (К)- Доказанные этим равенства (664), (665), (666) О (,К)=-Ов

говорят, что О0 = О (/(q) =^min^0 (/С), т. е. Кд е Згп (О0, Уо), поэтому ^(О0, Уо) с ^ (О0, У0). Совершенно аналогично проверяется, что ^(О0, Уо) сЗ’ЦОд, У0), и потому ^(Од, Уо)= = ^(Ои, Уо). □

Ввиду леммы 22.1 мы позволим себе далее называть изопериметрической задачей задачу 22.2, хотя, конечно, это название по своему происхождению связано с задачей 22.1. Аналогично, не вполне корректным образом будем называть изодиаметраль- ной задачей следующую.

Задача 22.3. Каковы те компактные выпуклые тела К в Rn kn^^, которые при заданном объеме У(/С)=Уо>О обладают наименьшим диаметром D(K) =: Do? (См. определение 7.2.)

Наша ближайшая цель — показать, что шары в Rn и только они служат решениями как изопериметрической, так и изодиа- метральной задачи. Но предварительно мы отметим, что ширина b (и) компактного выпуклого тела К в направлении и (т. е. длина ортогональной проекции тела К на прямую с направлением и) всегда не больше, чем D (Д), а потому и

B^K^D^,(667)

где «средняя ширина» В (К) есть средйее значение b (и) по всем направлениям и (см. определение 17.2). Поэтому естественно сформулировать еще одну задачу.

Задача 22.4. Каковы те компактные выпуклые тела К в Rn (п^2), которые при заданном объеме У(Д) = Уо > 0 обладают наименьшей средней шириной В (К) =: В^

Ввиду (340) и (374) следующая теорема содержит, в частности, решение задач 22.2 и 22.4.

Теорема 22.1. Единственными компактными выпуклыми телами К в Rn, которые среди тел этого класса с объемом Vo > 0 обладают наименьшим значением м-й интегральной поперечной меры lVv(/0, являются шары в Rn с радиусом (VoM)17", 1 ^v^n—1.

Доказательство. Пусть К— любое компактное выпуклое тело в Rn с V(/C)=Vo, а ^П(/С)—класс всех компактных выпуклых множеств, получаемых из К конечными цепочками последовательных штейнеровских симметризаций относительно проходящих через начало о е R" гиперплоскостей. По следствию к лемме 19.1 найдется последовательность {^^^^ с К^-еУАК), которая сходится к шару BR(x) в Rn с некоторым центром хе Rn и радиусом Ro = (Vo/con)1/n:

lim^ = SRo(x), R0 = (V0^.(668)

Ц->со'

Ввиду (443) при этом

lVv(№)^ WvW, l^v^n —1,

что после предельного перехода, ввиду (668) и непрерывности Wv, дает

Wv (Br0 (х)) < Wv (К), К v < п - 1.(669)

Тем самым, шары Br.(x) (с любым центром xeR") действительно обладают среди компактных выпуклых тел в Rn с объемом Vo наименьшим значением v-й интегральной поперечной меры.

Что это — единственные компактные выпуклые тела с таким свойством, можно убедиться следующим образом. Пусть Ко — компактное выпуклое тело в Rn, для которого У (Ао) = Vo и при некотором v (1 v п — 1)

rv (BRa (х)) = IVv (Ко), Ro = (УМУ!П.(670)

Тогда после штейнеровской симметризации SA относительно произвольной гиперплоскости А, проходящей через о, ввиду (669) и (443), получаем

(Bk. (X)) W. (S„ (7<0)) < W. <Ки),(671)

так что обязательно

Wv(SA(Ko))= Wv(Ko).

Но согласно (444b) это говорит о существовании у тела Ко гиперплоскости симметрии А', параллельной А. Поскольку А можно было придавать любое положение, то у Ко заведомо

есть п попарно ортогональных гиперплоскостей симметрии A'v ..., А'п. Их точка пересечения х0:=Л[ П ••• П А'п служит для Ко центром симметрии. Все прочие гиперплоскости симметрии А' обязаны проходить через Хо, и поскольку направления А' всевозможны, то Ко само есть шар. Этим теорема 22.1 доказана полностью. □

Следствие 1. Единственными решениями задачи 22.2 и 22.4 являются шары в Rn радиуса ^Уо/а>пУ,п. Они имеют п-1

(и—1)-мерную площадь поверхности O0 = n<an^Val«>t^ " и среднюю ширину Во = 2(7о/«п)1/п, п^2.

Поскольку у шаров в Rn средняя ширина совпадает с диаметром, то на основании (667) можно добавить:

Следствие 2. Единственными решениями изодиаметраль- ной задачи 22.3 являются шары в Rn радиуса (Ио/Мп)|/п. Они обладают диаметром Do = 2^Vo/tonY/n, п^2.

Таким образом, метод симметризации позволил решить все задачи 22.1—22.4. Добавим к этому еще одну теорему.

Теорема 22.2. Единственными компактными выпуклыми телами К в Rn, которые при заданной средней ширине So > О обладают наибольшим значением м-й интегральной поперечной меры Wv^K), являются шары радиуса В0/2 в Rn, O^v^ 57 п — 2.

За доказательством этой теоремы методом симметризации Бляшке (см. упражнение 3 к § 18) отошлем читателя к книге [63], с. 372.

Замечание 22.1. Результаты теорем 22.1 и 22.2 можно суммировать в виде следующих неравенств для интегральных поперечных мер компактных выпуклых тел К в Rn:

п—VVП—V

<on(V№n) " =^(^0^)) "(672)"

®„ (В UW = <-"+1 (^n-t (^))a'V > ^ч (К), 0 < v < п, (673)

ср. (374). При этом в (672) для l^v^n—1 и в (673) для O^v^n — 2 равенство имеет место в том и только том случае, когда К — шар в Rn, а при остальных значениях v в (672), (673) равенство имеет место для всех компактных выпуклых тел К в Rn.

Замечание 22.2. В частном случае v = 1 неравенство (672) имеет вид 1П-1

0^>nto^V^KY п , п>2,(674)

и называется изопериметрическим неравенством, а в случае v = п — 1 оно имеет вид

В^)^^-*/^!/^))1/",п^2,(675)

ср. (374), и называется неравенством средней ширины. Кроме того, из следствия 2 к теореме 22.1 получается изодиаметраль- ное неравенство ■

D(K) ^ ^„-^(W))1/", п^2. (676)

Во всех этих неравенствах равенство наступает в том и только том случае, когда К — шар в Rn. Неравенства (674), (676), (675) названы по задачам 22.2, 22.3, 22.4, которые ими решаются.

Неравенство (672) в случаях v=l и v = n—1 допускает важное обобщение для смешанных объемов двух выпуклых тел. Мы докажем эти обобщения с помощью теоремы Брунна— Минковского. При этом нам понадобится следующая лемма, несколько расширенная для дальнейших применений.

Лемма 22.2. Пусть задана целая рациональная однородная степени т^2 функция вещественных переменных аь а2

6/«(ai, а2)^ ^ ^) Yh0”^ Уц = const > О, Ц = 0,

(677)

И пусть при этом функция

^У.^гп^-^У'1”,0^1^ 1,(678)

вогнутая, т. е.

й (Xi^ + Х2|2) > Xifi (Si) + Ш (Ы,(679)

^1, ^2 G [0, I ],7[ ^ О, Х2 ^ 0, М + Х2 = 1.

Тогда справедливы следующие утверждения:

MX(680)

причем £2 линейна тогда и только тогда, когда

Yi =Yo Ym!(681)

Yi > Y0Y2,(682)

причем Q линейка тогда и только тогда, когда Y^Yh-iY^+p И = 1/п-1.(683)

• Доказательство. Подстановка (678) в (677) дает

(Q^r^^^Y^ll-ir’T.0<|< 15(684)

ц-0

после дифференцирования по £

т (Q (^Г"1 ^- = - £ ( ™ ) Yu ^г - ц) (1 - ^Л* + ц-0

+ Ё (Л1) (1 ™=

ц-0

Ё (^O^+i-^O-^’’Т. о<?<1; (685)

И-0

и после второго дифференцирования по |

т (т - 1) (Й (g)f-2 (^з^-)2 + т (Q ®)Я1-1 ~^- =

= т <т - 1) £ (m “ 2 )(ун+2 - 2уи+1 + уи)(1 -g)m-2-^, 0<№ ^°(686)

Рассмотрим отдельно пункты а) и Ь) леммы 22.2.

Функция

^(Ю := (l-^)Q(0) + aQ(l)-Q(g),O^^l, (687)

согласно (679) выпукла, дважды непрерывно дифференцируема и равна нулю на концах промежутка: V (0) = V (1) = 0. Ввиду .. dY (Е).

монотонного возрастания производной —35^- (в силу выпуклости V, см. пример 10.2) отсюда следует, что

(688) .(688) .dV (0)dl

(688) .

(688) .

При этом Т линейна по 6, что равносильно 4^ = 0, тогда и только тогда, когда

~^ = 0.'(689)

Подстановка в (688) и (689) значений из (687), (684), (685) дает соответственно

1111

10 ।m-1*>0 • ’mm-1 u>

YoYo

что эквивалентно утверждениям (680) и (681).

По теореме 10.9 вторые производные выпуклой дважды непрерывно дифференцируемой функции У неотрицательны. Поэтому необходимым условием выпуклости У, что равнозначно

вогнутости Q, является неравенство

d21¥ (0), ч / 1(у, — у0)2 Уг — 2yi + Yp

0^2I 12т-2т-Л

(689 а)(689 а)\Yo'” Yo тYo m

(689 а)

(689 а)

2m-1 V1

To

которое равносильно доказываемому неравенству (682).

Допустим теперь, что Q — линейная функция от g, т. е. что

Q(g) = (l-|)Q(0)+W), 0^^1,(690)

ср. (687). Тогда подстановка (684) в (690) дает верное при всех с е [0, 1] тождество

।1 \т ” . х22dL ч

.(1 " 6) Yom + W ^ £ О G ~ ^ Yo m № =

т

(691)

ц-о

Приравнивание коэффициентов *) и возведение их в степень т дает

Y? = Yo1-^, И = 0, ..., т.(692)

Возводя равенство (692) в квадрат, а затем перемножая два равенства (692), написанных для ц— 1 и ц + 1 вместо ц, получаем одинаковые результаты

л,2т л*2щ—2ц.а)2ц, Тц, 10 Г/п’^т ^m t — ygi-u-H+m-u-lyiA-l+u+l,л,2т л*2щ—2ц.а)2ц, Тц, 10 Г/п’^т ^m t — ygi-u-H+m-u-lyiA-l+u+l,(693)

л,2т л*2щ—2ц.а)2ц, Тц, 10 Г/п’

^т ^m t — ygi-u-H+m-u-lyiA-l+u+l,

л,2т л*2щ—2ц.а)2ц, Тц, 10 Г/п’

^т ^m t — ygi-u-H+m-u-lyiA-l+u+l,

ц= 1, ..., т — 1.(694)

Приравнивание (693) и (694) доказывает равенства (683) в случае линейности Q. Обратно, пусть выполнены равенства (683). Тогда

JT=VL =~ Ym ,(

Yo Yi " " ‘ Ym-1

Отсюда следует уц = Тох^ (ц = 0, ..., /и), в частности, ут =■ = YoX,n, x = (Ym/Yo)1"t. и потому

v) =^m N", Н = 0,..., т. (69В)

’) Умножение тождества (691) на рт (где р^0 — любое) дает тождество двух целых рациональных функций от переменных ai: = p(l—£) и аг:-в := р^. Это дает право приравнять коэффициенты.

Равенства (695) влекут за собой тождество (691), что вместе с (684) дает (690), т. е. линейность функции Q. Лемма 22.2 доказана полностью. □

Теперь обещанное обобщение неравенства (672) при v=l и v = п — 1 вместе с разбором в нем случаев равенства можно сформулировать следующим образом.

Теорема 22.3. Для смешанных объемов двух компактных выпуклых тел К^.Ка в Rn (п ^ 2) справедливы так называемые «неравенства Минковского первого рода»

п-11

И(/С1, Ky, К2)>№ о " КПКго”, (696)

. п — \

VkKi, Кг, .... Кг»^^, ..., №kV^ О^; (697)

п— 1

причем в каждом из этих неравенств равенство наступает в том и только том случае, когда тела Ky и Кг положительно гомотетичны.

Доказательство. По теоремам 8.2, 8.7 и теореме Бруина— Минковского функция

Й(?):= P/n((l-g)T<i + ^2),0^^1,

есть вогнутая функция от |, т. е. справедливо (679). Ввиду (301) и теоремы 15.9

п

v ((I-1)т<1 + Ш = £(^(1 -£ГТ,

где,

Yv^/^b Ky, Кг^)>0, v = 0п. * '' 'v'

V

Теперь простое применение части а) леммы 22.2 дает правильность неравенства (696). Знак равенства в нем соответствует линейности функции й. Но это по теореме 21.1 в точности соответствует случаю положительной гомотетичности тел К\ и Кг. Меняя ролями Ky и Кг, получаем из (696) неравенство (697) с теми же случаями равенства. □

Целью ближайших рассмотрений является перенесение изопериметрического неравенства (674), а также изодиаметрального неравенства (676), вместе с разбором случаев равенства, на введенную в § 11 геометрию Минковского. Напомним, что переход от евклидова пространства Rn к пространству Минковского Мп состоит в том, что место евклидовой метрики занимает другая метрика, задаваемая по правилу (181) дистанционной функ-

цией g произвольно зафиксированного центрально симметричного (относительно начала о) компактного выпуклого нормирующего тела В.

Прежде чем ввести соответствующее понятие (п— ^-мерной площади поверхности в геометрии Минковского для обобщения изопериметрического неравенства, целесообразно перенести в геометрию Минковского понятие m-мерного (l^m^n) объема. В евклидовом случае такого типа объем Vm в каждой m-мериой плоскости Rm пространства R" есть лебегова мера, нормированная так, что

„т.П

Чт + 1)

где Qm есть m-мерный единичный куб, а В^ (х) есть т-мерный единичный шар с центром х е Rn. Поэтому имеет смысл ввести, как это предложено Буземаном [15] и Шоке [18], следующие определения.

Определение 22.1. Пусть Мп есть n-мерное пространство Минковского с нормирующим телом В, а Мт есть т-мерная плоскость в М". Тогда трансляционно инвариантная (относительно переносов в Мп) m-мерная лебегова мера Ут на Мт, нормированная так, что

V^n (в п О = ют (698) '■(т + О

(где М™ — транслят Мт, проходящий через начало о) называется т-мерным объемом Минковского на Мт (1^/и^п).

Замечание 22.3. Для отрезка его одномерный объем Минковского совпадает с расстоянием в геометрии Минковского между концами отрезка, ср. (171). В общем случае, как это следует из (698), для любого компактного выпуклого множества К в Мт

(699>

Здесь в качестве Vm можно брать любую (аффинную) т-мер- ную меру Лебега; практически целесообразно брать лебегову меру относительно вспомогательно взятой евклидовой метрики.

Перейдем к введению площади поверхности 0s (/С) для компактного выпуклого множества К в Мп при п ^ 2. В частном случае, если К — выпуклый многогранник Р с (п—1)-мерными гранями РП^(Ц/), где < = 1, .., a A(ut')—опорная к Р гиперплоскость в вектором внешней нормали ui, единичным в

смысле вспомогательной евклидовой метрики, то по аналогии с (342) естественно положить

к

ов (Р) := 2 Vn-1 (Р П A (Ui)).(700)

Чтобы можно было распространить по непрерывности это определение на произвольные непустые компактные выпуклые множества К, выразим правую часть (700) через (евклидов) смешанный объем многогранника Р и специального компактного выпуклого тела /, которое мы (по соображениям, оправданным в дальнейшем) назовем изопериметриксом пространства Мп.

Определение 22.2. Пусть В — нормирующее тело пространства Минковского Мп (п^2), и пусть в Мп введена вспомогательная евклидова метрика, нормированная так, что евклидов объем V одновременно является и объемом Минковского:

V = VB,(701)

V (В) = ©„,.(702)

см. определение 22.1. Обозначим Н (и) содержащее начало о замкнутое полупространство в пространстве Мп, ограниченное гиперплоскостью А (и), которая имеет единичный вектор внешней нормали и и проходит от о на евклидовом расстоянии ton_xV-lY(B П А°(и)):

НМ := {х е М"-| (х, и) < ©„-^j (В П Аи (и))},(703)

где Vn-i — евклидов (и—1)-мерный объем, А0 (и)— параллельная А(и) гиперплоскость, проходящая через о, <м, м> = 1."Тогда центрально симметричное относительно о компактное выпуклое тело

/:= П Н (и)(704)

Ы, и>=1

называют изопериметриксом пространства Мп.

Замечание 22.4. Изопериметрикс I пространства Мп зависит только от нормирующего тела В и не зависит от выбора вспомогательной евклидовой метрики. В этом нетрудно убедиться: если < , ) и < , У — скалярные произведения в разных вспомогательных евклидовых метриках на Мп, удовлетворяющих условию (702), то существует центроаффинное преобразование /: М^Му для которого

<x,y>'= <f(x),f(y)> при любых х,уе.Мп. (705)

Это преобразование ввиду нормировки (702) сохраняет «-мерные объемы, которые одинаковы относительно любой из вспомогательных метрик. Пусть теперь Н(ы)— полупространство,

определенное в (703), А(и)—его граница, <и,и> = 1. Единичный вектор новой внешней нормали к гиперплоскости А (и), нормали в метрике < , )' обозначим и'. Тогда f(u') есть в силу (705) единичный вектор внешней нормали к гиперплоскости f(A(u)) в метрике < , >. Приравнивая (ориентированные) объемы призм (S Л А°(ы)) + ох и f(B Л А°(ы))+ of (х), где х е Мп, имеем

V„_, (S П А°(и)) • <х, и) = V^ U(В ПАЧиП)-<f (^), f («')>• (706)

Но ввиду (705),

Vn-АКв п ЛЧи^-у'п-Лв л a4uY) = v;_Ab п а0-^)), (70?) где /Li есть (л—1)-мерный объем, а А0 (и')— проходящая через о гиперплоскость с внешней нормалью и' относительно метрики < , >'. Из (703), (706), (707), (705) следует

И (ы) = ttE Мп\(х, и'У ^ (On-il^i (S Л А'1 (и'))} =: Н' (и'), что после пересечений по всем <ы, и') = 1 или по всем <и', и'У = 1 дает одинаковый результат, чем доказано замечание 22.3. □

В дальнейшем нам понадобится

Лемма 22.3. Опорная функция /г изрпериметрикса пространства Мп (см. определение 22.2) допускает явное задание

ЬМ = а>п_х¥;1Лв Л А4 (и^ Чи, uf\ (708)

здесь иеМп — любой вектор, А°(и)—проходящая через начало о гиперплоскость с нормалью и; в случае и = о считаем /t(o) = 0.

Доказательство. На основании теоремы 12.3 достаточно показать, что определенная равенством (708) функция h положительно однородна и субаддитивпа (см. (197а, Ь)). Тогда h есть опорная функция заданного равенством (202) множества К, которое в нашем случае ввиду (708), (703), (704) совпадает с изопериметриксом 1 пространства Мп.

Положительная однородность h очевидна, так что нам предстоит доказывать только субаддитивность К в смысле неравенства (197b). (См. в связи с этим упражнение 2 к § 21.) Неравенство (197b) при линейно зависимых и, и е Мп тривиально, поэтому будем считать и, и линейно независимыми. Рассмотрим три проходящие через о гиперплоскости А0(и), А0(у), А0(и + ц) с ненулевыми нормалями и, и, и + и. Эти гиперплоскости пересекаются по (п— 2)-мерному подпространству Т в Мп. Подпространство Т ограничивает такие замкнутые полугиперплоскости Н iuV Н (у), H(u-fv) гиперплоскостей А0(и), А°(у), АДи-фу), что в них соответственно попали повернутые вместе вокруг Т

■ на угол л/2 векторы и, v, и + и. Так повернутые векторы обозначим й, у, м + у = й + у. Эти три полугиперплоскости принадлежат полу пучку 36т (G) в № с носителем Т и ортогональ-

• ной к Т шкалирующей прямой G:=mV5. При этом справедливо равенство

Я (м + у) П G = -^- = |^^ л G) +1 (ЯМ П G), (709)

ср. (609). На Н (м), Н (у), Н (и + у) можно ввести проекционно инвариантные, в смысле определения 21.3, объемы Vu, Уо, ■ПОЛОЖИВ

V . Уп—1 Т> , Уп—1 Т> ,Уп—1 /71

<й, й>1/2’ °( '

где Vn-i — евклидов (и—1)-мерный объем. Тогда применение теоремы 21.4 Буземана к лежащему в ВЛВ(ы + у) множеству

К (и + у) := conv {(В П Йф» U (В Л Н^ П Я(« + у),

см. (611), дает неравенство

Уй+о (В П Н (и + у)) < Ии+« (К (и + у)) <

^l^'fBnNi + ^^fBnM (711)

Подстановка в (711) значений (710), с учетом равенств (й, й) = (и, и}, (у, у) = (у, у), (й + у, й + у) = (и + у, и + у) и центральной симметричности тела В, дает

У^-1 (В Л Л° (м + и)) • (и + у, м + у)1/2 <

< v;h (в л Л° М) . (и, и)1/2 + V^h (в л л° (у)) (у, У)1/2, что ввиду (708) равносильно доказываемому неравенству h (и + у) ^ h (и) + h(v). Этим доказана субаддитивность функции h, определенной равенством (708), и с ней — лемма 22.3. □ Теперь мы можем выразить через смешанный объем определенную равенством (700) площадь поверхности О8(В) выпуклого многогранника Р в пространстве Минковского Мп. Из (700), (699), (708), (312) имеем .

к■

ОВ (Р) = Е h (uj у„_1 ФАЛ («а) = nV (РР, I). (712) 1-1V

1

Если учесть, что каждое компактное выпуклое множество К допускает приближение последовательностью выпуклых много-

гранников, а смешанный объем есть непрерывная функция своих аргументов, то становится естественным следующее, ввиду (712) охватывающее (700) при К — Р, определение.

Определение 22.3. Пусть М"— пространство Минковского (п ^ 2) с нормирующим телом В и определенным равенствами (703), (704) изопериметриксом /. Тогда для каждого непустого компактного выпуклого множества К в Мп величина

О^КУ^пУ^К, К, П(713)

называется ((п—1)-мерной) площадью по Минковскому поверхности множества К. При этом смешанный объем относится к любой вспомогательной евклидовой метрике, удовлетворяющей нормировке (702).

Из теоремы 22.3 в соединении с (713), (701) вытекает

Теорема 22.4. Для площади поверхности по Минковскому любого компактного выпуклого тела К в пространстве Минковского Мп с нормирующим телом В и изопериметриксом I справедливо так называемое «изопериметрическое неравенство геометрии Минковского»:

I4-1

OB№>n(Vnm)n" ,(714)

причем равенство в (714) 'имеет место в том и только том случае, когда К и I положительно гомотетичны. (Ср. (674) в случае Мп = Р".^

Для сравнения с теоремой 22.4, которая оправдывает название «изопериметрикс» тела /, мы докажем еще следующую теорему.

Теорема 22.5. Пусть Мп (п ^ 2) — пространство Минковского с нормирующим телом В и его дистанционной функцией g, а К — лежащее в Мп компактное выпуклое тело с «диаметром Минковского»

ПВ(КУ.= max ||х2 —М, || х || := g (х),(715)

Xl, *2 в£ к

•ср. (92). Тогда справедливо «изодиаметральное неравенство геометрии Минковского»:

П^^^ЧУпД^11,(716)

.причем равенство в (716) наступает в том и только том случае, когда К и В положительно гомотетичны. (Ср. (676) в случае Мп = Рп.)

Доказательство. Согласно (715) значение DB(K) есть наименьшее положительное число е со свойством

К + (— К) с {х е М" | ||хИ ^ е} = еВ,

’ ср. (169) и (168b), т. е.

0 s (К) = min в.(717)

К+(-К)=еВ

В частности, отсюда следует /< + (—К) с DB{K)-В, или по определению 8.5

-Кс2(^в)-К*0.

Поэтому из теоремы 21.2 и (699) имеем

(у™ {к)У,п=(^ (- юУ,п (^ (2 (-^2- в) - к^Г <

^D^CL^B^yfn-^B^y^ (718)

т. е. имеем, учитывая (698), доказываемое неравенство (716).

Если в (716), а потому и в (718) имеется равенство, то согласно теореме 21.2 тогда положительно гомотетичны К и D ^—В, т. е. Л и В. Обратно, если К и В положительно гомотетичны, то К = аВ -V а (а>-0, аеМ") и К + (—К) = а (В + + (—В)) = а(В + В) = 2аВ, см. теорему 8.2, и из (717)

DB{K) = min е = 2а.

2аВ с: еВ

Но тогда

(^ (Ю),м =(V* {В)У'п =^п,

см. (698), т. е. в (716) имеет место равенство. Теорема 22.5 доказана полностью. □

Вернемся к евклидовой геометрии и сформулируем в заключение этого параграфа важное следствие леммы 22.2b).

Теорема 22.6. Для смешанных объемов любых компактных выпуклых тел Kx, Ki в К" {п^ 2) имеют место следующие «неравенства Минковского второго рода»:

V2 {Ку, ...,К? Ki) > V {Кх, .... KxW {Ку, ..., Кх, Ki, Ki), (719)

V4Kx, KiKi)>V{Kx, Kx, Ki, Ki) ■ V {KiKi). (720)

Vinnie ^^' ■ I — / 1^

4n—1n—2

Тела Kx и Ki положительно гомотетичны в том и только том случае, когда при всех v = 1п— 1 выполняются включаю-

тцие в себя равенства в (719) и (720) равенства

= V^Ky, ..., Ку. К2К2)-У№Ку, К2К2\ (721)

х,...,—^✓\,...,—^✓ х, —V-—zх_, _7- ^

П—V4-1V —Iп— V-1V4-1

Доказательство. Функция Q, определенная равенством Q(£):= ^((l-^H-^),0^^1,

согласно теоремам 8.2, 8.7, 21.1 является вогнутой, т. е. для нее справедливо (679). Ввиду (301) и теоремы 15.9

п

V ((1 - ю Ку + Ш = X ( ^ ) Yv (1 - Г" Г,

v—О

где

Yv := V <Ку, .. •, Ку, К2, ..., К^>^, v = 0, ..., п.

X-,'','

П-\v

По лемме 22.2b) и возможности менять ролями Ку и К2 отсюда следуют неравенства (719) и (720). По теореме 21.1 тела Ку,К2 тогда и только тогда гомотетичны, когда функция Q линейна. Но последнее по лемме 22.2b) равносильно одновременным равенствам (721) при v = 1, ..., п — 1. □

Замечание 22.5. В отличие от теоремы 22.3 наличие равенства в (719) или (720) отнюдь не является достаточным для положительной гомотетичности Ку и К2. В этом можно убедиться на примере, если при п = 3 в качестве Ку взять «околпаченный шар» (Kappenkorper шара — шар с касательными к нему коническими колпачками'), а в качестве К2— шар1). См. упражнение 3 к этому параграфу.

Это позволяет высказать предположение, что характеризующие положительную гомотетичность тел Ку и Кз равенства (721) суть случаи равенства в неравенствах

УЧКу, .... Ку, К2, .... К^>

х —V'—V*

V

>V(Ky, ...,Ку, К2K^-V(KyКу, К2, ..., ^), (722) х „ — ^-^^"^ X ■ у ^ X „ — ^-^^—^\„ ■ ^^-^*/

n-v+1v-1п-м-Уv-H

9 По Волю [12] тар с колпачками — единственно возможный контрпример в случае п = 3, л2 = В|(о). [Вообще под Kappenkorper выпуклого тела понимают выпуклую оболочку этого тела и конечного или счетного числа точек, расположенных так, что это тело не позволяет видеть хоть одну из этих точек из другой. — Прим, перев.]

верных не только при v = 1 и v = п + 1, но и при всех v = 1, ... .... и—1. Что это действительно так, будет ясно из более общих квадратичных неравенств для смешанных объемов, которые будут доказаны в следующем параграфе.

Упражнения

Доказать, что среди компактных выпуклых тел фиксированного объема Vo > 0 в R" единственными телами К, обладающими наименьшей суммой (я—1)-мерных внешних поперечных мер (см. определение 16.3) в направлениях п попарно ортогональных единичных векторов щип

^ Vn-v kP«i‘

1=1

являются кубы со стороной V^" и ребрами, параллельными щ, ..., ип. Здесь pUj— ортогональное проектирование на гиперплоскость с нормалью иь Указание; применить неравенство (696) к телу К и единичному кубу ок; + ... . . . -р оип.

Пусть на плоскости Минковского М2 с нормирующей фигурой В задана вспомогательная евклидова метрика, нормированная так, что V2 =V2. Доказать, что изопериметрикс / плоскости Минковского М2 совпадает с полярной для В в евклидовой метрике фигурой В*, повернутой- вокруг начала о па угол л/2.

Пусть Вр (я) — шар в R3 с центром я и радиусом р > 0, а (ха}а ^ л — множество точек (оно автоматически не более чем счетно) в R3 \Вр(а) со свойством

(conv (Sp (я) (J {ха})) П (conv (Вр (я) U {^а'})) = Вр («)

при любых а, а' е Л, а ^ а'. Тогда тело

(Вр(а)). := U conv(Bp(a) (J {xa}) = conv(Bp(a) (J f U

а е Л\а е А //

называют Kappenkorper шара Вр (я). Доказать, что если 8а — половина угла раствора конуса вращения, идущего от точки хо к шару Вр (я). а е А, то справедливы следующие выражения для интегральных поперечных мер

«М(8р(я))л)=иМВр (я)) • В,^1((8р(я))л) = 1^1(Вр(я)).В,Г2((Вр(я))л) = ^2(Вр(я)).В,

где В := 1 4- Уg частности, если положить п = 3, К-> =

4 sin 0a

a е А

—а (Вр (я))л, Кг^ВДо), то в (719) имеет место знак равенства без того, чтобы Ki и Кг были положительно гомотетичны. (Ср. замечание 22.5.)

Квадратичное неравенство А. Д. Александрова

Основной целью этого параграфа является доказательство квадратичного неравенства для смешанных объемов компактных выпуклых множеств. Это неравенство обобщает высказанные без доказательства неравенства (722). Оно было незави-

симо опубликовано Фенхелем [62] и А. Д. Александровым [2]. Александров [2] первым дал полное доказательство этого неравенства.

Теорема 23.1. Пусть Ki, ..., Кп—непустые компактные выпуклые множества в R'1 (п ^2). Тогда для их смешанных объемов справедливо неравенство

V4K1, .... Кп)>

>V(Kx,Ki,K3, Кп) • V(K3, К2, KaКп). (723)

Метод, которым А. Д. Александров впервые доказал теорему 23.1 *), состоит в том, что множества Кх, ..., Кп одновременно аппроксимируются выпуклыми многогранниками Рь ... ..., Рп, взятыми из специального класса ^ выпуклых многогранников «сходного строения». Для случая Кх = Рх, ..., Кп~Рп неравенство (723) доказывается в основном алгебраическими методами. Пусть ^— класс всех выпуклых многогранников в Rn, единичные внешние нормали к (п—1)-мерным граням которых взяты из зафиксированного конечного множества {«1, ..., иц). Тогда каждый выпуклый многогранник этого класса однозначно определяется расстояниями (со знаком) Цщ), ..., h(uk) от начала о е Rn до гиперплоскостей этих граней. Начнем с того, что введем в качестве вспомогательного средства полярное множество Р* для /г-мерного выпуклого многогранника Р в Rn, содержащего о внутри: о е Р°.

Лемма 23.1. Полярное множество Р* п-мерного выпуклого многогранника Р с оеР11 относительно начала oeR" (см. определение 6.4) снова есть п-мерный выпуклый многогранник с ое(Р*)°. Каждой m-мерной грани РПАо многогранника Р, где До — опорная к Р гиперплоскость, соответствует взаимно однозначным и взаимно обратным образом (п— m—\)-мерная грань многогранника Р*, причем вершинами этой (п — m—1)- мерной грани являются полюсы (при поляритете относительно единичной сферы dBt(o)) тех гиперплоскостей, в которых лежат (п—\)-мерные грани Р, содержащиие грань РПА0, 0^ m п — 1.

') Тогда же А. Д. Александровым [4] было дано и второе доказательство этого неравенства. Обычно это неравенство приводилось в книгах без доказательств, см. например [17]. Более чем через 20 лет обнаружились новые связи смешанных объемов с алгеброй, давшие также новый путь к доказательству неравенства (723) уже с чисто алгебраических позиций. Такое доказательство получили независимо Тессье [57] и А. Г. Хованский [70]. Доказательство последнего включено в английский перевод посвященной геометрическим неравенствам книги Ю. Д. Бураго и В. А. Залгаллера [20], в первоначальном издании которой приводилось ошибочное доказательство В. П. Федотова. Одним из ярких применений неравенства (723) явилось доказательство Г. П. Егорычева [30] справедливости гипотезы ван дер Вардена о перманенте бистохастических матриц. Весьма общее неравенство (723) имеет дальнейшее обобщение, см. статью Шепарда [71]. — Прим, первв.

Доказательство. Согласно следствию к теореме 6.7 Р* является многогранным множеством. Ввиду оеР6 оно, по теореме 6.6b), ограниченно и потому, согласно теореме 5.7, есть выпуклый многогранник. По теореме 6.6а) начало о лежит внутри Р*.

Пусть РрЛо, где До — опорная к Р гиперплоскость, есть m-мерная (0 ^ т ^ п—1) грань многогранника Р и р0—произвольно зафиксированная точка из относительной внутренности этой грани. Множеству опорных к Р гиперплоскостей А, проходящих через р0 (а потому и через Р Я Ло), соответствует множество полюсов л(Д) относительно дВ\(_о'). Ввиду теоремы 6.8 это множество равно пересечению гиперплоскости л(р0) с дР*, и поскольку л(ро) ввиду р0^дР есть опорная к Р* гиперплоскость, то это пересечение совпадает с гранью Р*Лл(р0) многогранника Р*. Проекционный конус С(Р* Пл(ро)) грани Р*Пл(ро) с вершиной о (см. определение 6.2) параллелен конусу N(ро) нормалей к Р в точке ро и потому имеет, как и М(ро), размерность п — т1), откуда следует dim(P* Л л(ро)) = = п — т —■ 1.

Поэтому правило:

Р П До*—* Р* Л л (ро) = {л;(Д) | Д — опорная к Р гиперплоскость, ДдэРЛДо} (724) определяет отображение множества m-мерных граней многогранника Р (0 ^ т ^ п—1) в множество (п — т—^-мерных граней Р*. При этом каждая (и — т—1)-мерная грань Р*ПВ0 многогранника Р*, где Во — опорная к Р* гиперплоскость, оказывается образом хоть одной m-мерной грани РЛДо— грани, содержащей точку л(В0)е<9Р (см. теорему 6.8) в своей относительной внутренности (такая грань по следствию к теореме 5.3 заведомо существует). При этом соответствие, заданное правилом (724), взаимно однозначно. Действительно, если бы существовали две m-мерные грани РЛДо и РЛД1 с относительно внутренними точками ро, рь для которых Р* Л л (ро) = Р* Л л(р1), т. е. с параллельными конусами нормалей ^(po), W(pi), то содержащая ро опорная гиперплоскость До являлась бы гиперплоскостью, содержащей pi, а потому — содержащей и РПД1- Поэтому РЛД^ВЛДо, но аналогично РЛДосРЛДь т. е. РПДо = РПДь Наконец, наше отображение обращает отношение включения граней друг в друга, что непосредственно видно из (724). В частности, вершины отвечающей Р П До грани являются теми нульмерными гранями многогранника Р*, которые выступают как образы всех содержащих РЛДо (»—1)-мерных граней многогранника Р, т. е. по

■) Опорная к Р гиперплоскость Ло, пересекающая многогранник Р по т- мерной грани Р П Ло, может в некоторых пределах свободно вращаться вокруг aff(P П Ло), ие утрачивая свойства опорности к Р.

288 ГЛ. V. НЕРАВЕНСТВА В ТЕОРИИ ВЫПУКЛЫХ МНОЖЕСТВ (724)—как полюсы проходящих через эти грани гиперплоскостей. Этим лемма 23.1 доказана полностью. □

Следствие. Каждая грань п-мерного выпуклого многогранника Р является пересечением всех содержащих ее (п— У')-мерных граней многогранника Р.

Действительно, по лемме 23.1, при не нарушающем общности предположении оеР°, грани РП-^о многогранника Р соответствует грань Р*ПВо многогранника Р*. Последняя представляет собой выпуклую оболочку тех вершин Р*, которые соответствуют (п—1)-мерным граням, содержащим РП^о- Поскольку ни одна собственная грань многогранника Р* П Во не содержит всех этих вершин Р*, то, обратно, Р Л Ло не содержится ни в одной собственной грани многогранника Р, которая сама содержится во всех упомянутых (и— 1)-мерных гранях Р. Значит, РПЛо и есть пересечение всех содержащих ее (и— 1)- мерных граней многогранника Р. □

Для дальнейшего полезно выделить важный класс выпуклых многогранников, называемых примитивными.

Определение 23.1. Выпуклый n-мерный многогранник Р в Rn называют примитивным, если построенный относительно ое Р° полярный ему многогранник Р* является «симплициаль- ным», т. е. если все (п—1)-мерные грани многогранника Р* (а потому и все другие грани Р*) являются симплексами.

Это определение не зависит от выбора точки о е Р°, так как по лемме 23.1 полярные к Р многогранники, построенные относительно разных точек из Р°, комбинаторно эквивалентны в смысле определения 5.2.

Замечание 23.1. Выпуклый п-мерный многогранник Р является примитивным в том и только том случае, когда каждая его вершина принадлежит ровно п различным \п—У^-мерным граням, а потому и каждая его m-мерная грань принадлежит ровно п— m различным {п—У)-мерным граням. Это тривиально следует из леммы 23.1.

Значение примитивных выпуклых многогранников состоит в том, что их комбинаторный тип (см. определение 5.2) не меняется при достаточно малых изменениях положения гиперплоскостей, в которых лежат их (п— 1)-мерные грани. Соответственно не меняется тип симплициального многогранника при достаточно малых изменениях положения его вершин. Для примитивного выпуклого многогранника Р это следует из того, что п — m вершин (и— m—1)-мерной грани Р* при малом изменении их положения остаются аффинно независимыми и через эти вершины продолжает проходить гиперплоскость, которая оставляет остальные вершины Р* в одном открытом полупространстве. Поэтому сохраняются размерности граней и отношение их взаимного включения у Р*, а потому — по лемме 23.1 — и у Р. Таким образом, доказана, в частности,

Ч - Лемма 23.2. Пусть Р := f) Н (mz), где

,t Н (их) := (xeRn\<x, мг>^%,},1Ы1=1, i=lк,

есть примитивный п-мерный выпуклый многогранник в Rn с (п—Химерными гранями Р [\дН (и^, i=l, ..., к (см. теорему 5.6). Тогда существует такое 6 > О, что любой многогран- к '

ник Р' := П Н' (и{), где

H'(“iy={x^Rn\{x, u^ty, |%г—%-|<д’ i=V...,k, является п-мерным выпуклым, многогранником, комбинаторно эквивалентным Р с соответствием параллельных (п—1) верных граней.

На простом примере (см. упражнение 1 к этому параграфу) можно убедиться, что в лемме 23.2 нельзя отбросить требование примитивности Р.

Лемма 23.2 дает повод к следующему определению. .

Определение 23.2. Выпуклые /г-мерпые многогранники Рх, ..., Pm в Rn называются сильно комбинаторно эквивалентными^, если они комбинаторно эквивалентны в смысле определения 5.2 и если натянутые на их соответствующие при этой эквивалентности (я— 1)-мерные грани гиперплоскости обладают одинаковыми внешними единичными нормалями.

В дальнейшем будет удобен следующий критерий сильной комбинаторной эквивалентности.

Лемма 23.3. Два п-мерных выпуклых многогранника Рх,?2 в Rn сильно комбинаторно эквивалентны в том и только том случае, когда (п — 1)-мерные грани многогранников Рх и Р2 можно поставить во взаимно однозначное соответствие так, что их единичные внешние нормали одинаковы, а сами эти грани сильно комбинаторно эквивалентны (если их параллельно перенести в одно подпространство Rn~^.

Доказательство. Предположим сначала, что Рх и Р^ сильно комбинаторно эквивалентны. Тогда, согласно определению 23.2, соответствующие (п—1)-мерные грани многогранников Р\ и Рг комбинаторно эквивалентны и имеют одинаковые единичные внешние нормали. Пусть Pi П^1(«) и Р2 П /Ми) — такие грани; здесь А\(иХ и А2(и)— опорные гиперплоскости, а и — единичная внешняя нормаль. Рассмотрим их (п— 2)-мерные грани. По теореме 5.5 каждая (п — 2)-мерная грань многогранника Р^/Mu) лежит еще ровно в одной другой его (п — 1)-мерной грани Р1ПЛ1(о); здесь Л] (и)—опорная гипер-

‘) В [2] употреблялся термин «аналогичные» многогранники. — Прим, перев.'

Ю К. Лейхтвейс

плоскость к Pi, в которой лежит эта другая (п— 1)-мерная грань, а у— ее единичная внешняя нормаль. По следствию к лемме 23.1 эта (п— 2)-мерная грань равна пересечению (Pi Л Ах (и) )П (Pi ЛД1 (у) ). Поэтому, ввиду сильной комбинаторной эквивалентности Рх и Ра, этой (и— 2)-мерной грани соответствует параллельная ей (и— 2)-мерная грань (/^г П ^2(«))П Л(Р2ПД2(у)) многогранника Ра. Но это как раз и означает сильную комбинаторную эквивалентность Pi Л Д Дм) и Р2Л ЛДД«).

Обратно, пусть известно, что у двух и-мерных выпуклых многогранников Pi, Ра в Р" их (и—1)-мерные грани сопоставлены так, что их единичные внешние нормали равны, а сами эти грани сильно комбинаторно эквивалентны. Покажем, что тогда Р\ и Ра должны быть сильно комбинаторно эквивалентны. Для этого необходимо проверить, что они комбинаторно эквивалентны с соответствием параллельных (л—1)-мерных граней. Пусть Р1ЛД1— любая m-мерная (0 т п—1) грань многогранника Р^ Грань Р1ЛД1 принадлежит хоть одной (и—1)-мерной грани Р^ДДи) многогранника Pi. Последней соответствует с сильной комбинаторной эквивалентностью грань Р2ЛД2(п) многогранника Р2, при этом грани Р^Д] отвечает некоторая грань Р2ЛД2. Сопоставление Pi Л Д1|—*Р2Л Д2 не зависит от выбора содержащей Pi Л А грани Р^ДДи). В этом можно убедиться следующим образом.

Пусть Р1ПДД«) и Р| П ДДу)—разные (п—1)-мерные" грани, содержащие Р^Дь Предположим о них сначала, что их пересечение (и— 2)-мерно. Тогда, ввиду сильной комбинаторной эквивалентности Р1ЛДД«) и Р2ЛД2(и), грани (Р1ПДДи))Л П(Р1ПДДу)) многогранника Р1ЛДДи) соответствует параллельная ей грань (Р2 П ДД^НЛ^г Л ДД®)) многогранника Р2ПД2(«), где ДДш)—некоторая опорная к Р2 гиперплоскость с единичной внешней нормалью w и с dim(P2 П Д2(^))= « — 1. При этом должно быть w = и, так как иначе Р|ПДДш) или Р2ЛДДу) имеют размерность, меньшую чем п—1, вопреки предположениям о Pi и Р2. Аналогично ввиду сильной комбинаторной эквивалентности Pi П ДДи) и Р2ЛД2(у) (п — 2)-мерной грани (Pi Л ДДн))П(Р1 П ДДу)) многогранника Р1ЛДДу) соответствует (и— 2)-мерная грань (Р2 Л Д2(и))Л(Р2 Л Д2(у)) многогранника Р2ПД2(у). По доказанному выше при сильной комбинаторной эквивалентности как Р]ЛДДи) с Р2ЛДДД, так и Р1ЛДДу) с Р2ЛДДу) индуцируется два соответствия граней многогранников (Pi Л Д Д«)) Л (Pi Л Д Ду) ) и (Р2ПДДи))Л Л(Р2П ^Ду)), при которых последние два (л — 2)-мерные выпуклые многогранника сильно комбинаторно эквивалентны. На основании следствия к лемме 23.1 и определения 23.2 эти соответствия граней должны совпадать. Поэтому действительно грани Р1ЛД1 многогранника Pi по сильной комбинаторной эквива-

лентности Р1П^1(и) с Р2ПА2(и) и по сильной комбинаторной эквивалентности Pi П Л1 (у) с РаП/Мо) соответствует одна и та же грань Р2ПА2 многогранника Р2.

Это остается верным и при отказе от дополнительного предположения

б1ш((Р1ПЛ1(»))П(Р1ПЛ1(У))) = п-2.

Действительно, для двух различных, содержащих PiQ^i (и—1)-мерных граней многогранника Рх всегда существует конечная соединяющая их последовательность (п—1)-мерных содержащих PiQ^i граней Рх, в которой следующие друг за другом грани имеют (и— 2)-мерное пересечение. (В этом нетрудно убедиться, переходя к Pi с помощью леммы 23.1 и используя там легко доказываемый по индукции факт, что каждые две вершины той грани многогранника PL которая отвечает Pi П^ь могут быть соединены ломаной из ребер этой грани.) Вместе с доказанным выше это позволяет установить взаимно однозначное соответствие граней у Рх и Р2 с сохранением отношения включения. Этим показано, что Pi и Р2 комбинаторно эквивалентны, а поскольку при этом соответствии (и—^-мерные грани параллельны, то это — сильная комбинаторная эквивалентность. Лемма 23.3 доказана. □

Важный и нетривиальный пример сильной комбинаторной эквивалентности выпуклых многогранников в Р” дают линейные комбинации выпуклых многогранников.

Лемма 23.4. Пусть Pi, ..., Pm— выпуклые многогранники в Rn, а М, ..., Хт и щ, ..., цт — положительные числа. Тогда mm

выпуклые многогранники ^MRi и Y^i^i (см- теорему 8.6), / = 1i=l

если они оба п-мерны, сильно комбинаторно эквивалентны.

Дополнение. Утверждение леммы 23.4 остается верным, если сами Pi, ..., Pm были п-мерны и попарно сильно комбина- m

торно эквивалентны, a Xi ^ 0?.« ^ О, У /,г > 0, щ ^ 0, ...

tn

..., цт>о, Е ^ > о. 1=1

Доказательство. Прежде всего нам понадобится критерий того, что некоторая грань многогранника Р := Е ^iPi или

Q:=EhiPtявляется (п—1)-мерной. Чтобы подойти к та-

1 = 1,

кому критерию, рассмотрим все грани P;HXZ^J многогранника Рр где и* — единичные внешние нормали опорных к Р<

гиперплоскостей А^и^, 1^гг^&£, l^i^m, и в относительной внутренности каждой такой грани произвольно зафиксируем по точке р1 . Параллельно перенесенные в начало oeRn аффинные оболочки этих граней обозначим через Рг, а параллельно перенесенные вершинами в о конусы внешних нормалей к Р, в точках р*— через N^. Пусть теперь иг— единичный вектор внешней нормали грани РрЛ(иг) многогранника Р. Тогда иг является также вектором внешней нормали для граней

ргПЛ(«г) = ^(1 ^(“г^пУ 1 = 1m’ (725)

многогранников Pi, т. е.

"rGnN*lW(726)

и по теореме 8.4

mtn

р п А (иг) = У X, (Р[ П At ^ = У Xt(Pt n AtQA \\. (727)

Предположим теперь, что dim(Pf) A (щ)) — n—1. Тогда в m

П М^п нет единичного вектора и, отличного от иг. В противном случае для опорных к Pi гиперплоскостей Аг (и), проходящих через Рг.иу выполнялось бы включение Д( (и)щ>Р£ П ПЛ£(и^(г)), что вместе с (727) и теоремой 8.4 дало бы

РП4(»г)с^М1(») = Лф),

= 1

вопреки тому, что dim(P П А (иг)) = п—1, dimP = п. Поэтому мы получаем как необходимое условие для dim (Р П А (иг)) = = п — 1:

m

&^ = {™гУ “>°-(728)

(Ввиду теоремы 8.4 это условие остается необходимым и при

Xi О, ..., Хщ ^ О, У Х£ > 0.)

Убедимся, что это условие и достаточно. Будем рассуждать от противного. Пусть (728) выполнено. Если бы при этом было dim(Р П А (иг)) < п—1, то, пользуясь тем, что Xi > 0, ... ..., Хщ > 0, и обозначением

Pr:=aff (^ПЯ(»г))- ^Х(р;<(г),

мы бы получили из (727)

Д V,, + т, - alt ('g X, (Р, п Д («;. ,„))) =>

Д^ # /о'

= g ^г(И + Ч(Р^(п + ^лп)’

'^'I ф и

3№ли, иначе,

fТг^ ^r^7^i0™ 1, ..т.

Отсюда следует

aff (Р t П At ^r^r))')^ Prt<n + П,(г)сPrt<n + 7г*z==*> •••> m>

при

dim Tr = dim (Р П A (иД) < и — 1.

Поэтому пересекающиеся с Pi по граням Pt f] At (мг) = Pt П ПД^.^, см- (725), опорные к Pt гиперплоскости А^иЛ допускают малые повороты вокруг pl w + Тг в новое положение Д((и) (||и|| = 1, v^Ur, i=l, ..., m) без потери свойства опорности к Pt. (Это возможно, так как из аВ(РПД (щ))с сД(щ) следует, что р^^ + Тг с Д. (игу^ Но отсюда вытекало бы, что ое fl ^^щ’ В0ПРеки (728).

Таким образом, мы получили не зависящее от выбора положительных коэффициентов в линейной комбинации Р= ^AtPi условие (728), характеристическое для dim(P П Д (иД) = и—1. (В связи с этим см. лемму 15.2.) Но то же условие (728) является характеристическим для dim(QQB(ur)) = п—1, где Q = = ^p.iPi, a В(иД— опорная к Q гиперплоскость с единичной внешней нормалью иг. Поэтому Р и Q обладают (и — 1)-мерными гранями только с одинаковыми единичными внешними нормалями. Эти нормали составляют’ конечное число нормалей и, (г=1, ..., k), удовлетворяющих условиям (725), (728).

Оставшуюся часть доказательства леммы 23.4 проведем индукцией по размерности п объемлющего пространства Rn. При п = 1 лемма тривиальна, поскольку два отрезка в R1 всегда сильно комбинаторно эквивалентны. Пусть лемма доказана для

всех размерностей п' при 1 ^ п’ < п; докажем ее в размерности п. Для этого применим к линейным комбинациям Р и Q лемму 23.3. Сопоставим (п— 1)-мерные "грани Р и Q по общности единичных внешних нормалей и, (1^г^й). Для этих (и— 1)-мерных граней по теореме 8.4 имеем

тт

PR A (ur) = Z ^ ^Pi П At (ur)), QQB (иг) = £ И; ^Р, П At (ыг)). (729) i = li = l

По индукционному предположению эти грани (после их проектирования на подпространство R"-1 э о, ортогональное иг) являются сильно комбинаторно эквивалентными. Но тогда по лемме 23.3 сами Р и Q сильно комбинаторно эквивалентны. Лемма 23.4 доказана. □

Доказательство дополнения. Пусть все Рь ..., Рт n-мерны и попарно сильно комбинаторно эквивалентны, а Р] П П Л1 (ur), ..., РтГ\Ат(иг), г = 1, ..., /г, — все их (и— 1)-мерные грани. Не теряя общности, считаем оеР',1, ..., оеРЧ этого можно добиться параллельными переносами многогранников. т

Пусть при ЭТОМ Х^ О, . ... Xm^0, Z М > 0> Н1 ^ 0Цщ^ 1 = 1 т

^ О, У ц; > 0. Тогда по теоремам 8.4 и 8.7 определенные равен- z=i

ствами (729) множества Р П Л (ur), QQB(ur) при Л (ur) := тт

: “ 2 ^А^, В(игу.= У ц^Л, (ur) представляют собой парад- t= 11 = 1

дельные (п—1)-мерные грани выпуклых n-мерных многогранников Р и Q.

Многогранники Р и Q не имеют других (п—1)-мерных граней. Чтобы убедиться в этом, заметим, что соответствующим друг другу граням Р.П Л; (и?) многогранников Pi на полярных (относительно о) многогранниках P*t по лемме 23.1 соответствуют грани с одинаковыми проекционными (из вершины о) конусами. Это верно при каждом 1 ^ г ^ й, где г — номер общей нумерации соответствующих друг другу граней всех размерностей на каждом из многогранников PL Но по (724) это равнозначно тому, что

^= ...1<г<£.(730)

Далее, приZ^z>O>Hi^OHm^0,

т

Z Hz > 0 справедливо необходимое условие (728) для единич- Z-I ных векторов и/, могущих быть внешними нормалями (и—!)•

мерных граней Р или Q. Ввиду (730) оно принимает вид

т

H^m^W- “>°-<731>

Отмеченный выше смысл АТ как проекционного конуса грани т многогранника Р\ говорит о том, что пересечение П (1^ i=i / х ^ rt ^ &) может быть лучом только когда соответствующее пересечение граней многогранника Pi состоит из одной точки. При этом последняя должна быть одной из вершин ^(ЛДиг)) (г = 1, ..., к, см. (724)) многогранника Pi. Поэтому из (731) следует, что u;e{ui, ..., и^, т. е. Р^Л^,) и QpB(«r), г = 1, ..., к, представляют собой все (п—1)-мерные грани Р и Q.'

Теперь закончить доказательство дополнения к лемме 23.4 можно индукцией по п с использованием леммы 23.3, точно также, как мы это сделали при доказательстве самой леммы 23.4 без дополнения. □

Заслуживает внимания, что сильно комбинаторно эквивалентные выпуклые многогранники Рь ..., Рт в Rn можно произвольно мало изменить так, чтобы получить сильно комбинаторно эквивалентные примитивные выпуклые многогранники Qi, ... • • • , Qm-

Лемма 23.5. Из сильно комбинаторно эквивалентных п-мер- ных выпуклых многогранников Pi, ..., Pm в R" всегда можно с помощью произвольно малых параллельных переносов плоскостей их (п—1)-мерных граней (в направлении в глубь многогранников) получить примитивные п-мерные выпуклые многогранники Qlt ..., Qm, которые также будут между собой все сильно комбинаторно эквивалентны. ■

Доказательство. Предположим, не теряя общности,что * каждый из многогранников Pi, ..., Рт содержит внутри себя начало о е R”. Тогда по лемме 23.1 полярные относительно о многогранники Pi, ..., Р*т ввиду сильной комбинаторной эквивалентности Pi, ..., Рт комбинаторно эквивалентны и обладают лежащими при каждом t на одном идущем из о луче вершинами л(Л1(и,)), .... л(Лт(щ)); здесь Pi^A^Ur) суть (и—1)- мерные грани многогранника Pi Ц = 1, ..., т), а и,— единичные внешние нормали этих граней. Теперь либо/3*, а потому и все Pl, симплициальны (см. определение 23.1), и тогда утверждение леммы 23.5 уже выполнено при Qi = Pi, ..., Qm = Pm, либо наибольшее число М вершин у (и— 1)-мерных граней многогранника Р\ превышает п. В этом случае мы выделим у Р\Р*т соответствующие друг друг (п—1)-мерные грани с М вершинами каждая. Эти грани содержат отвечающие друг другу вершины л (Л1 (wf0)), ..., л (Лт (zzj), 1 < г0 < к, такие,

что через остальные М—.1 вершину этих граней не проходит (и— 2)-мерная грань соответствующего многогранника Pi,... ..., Р*т. В противном случае каждая из выделенных (и— 1)-мерных граней комбинаторно эквивалентных многогранников Рь .. ., Р*ц обладала бы тем свойством, что через любые М — 1 из М ее вершин проходит (п— 2)-мерная грань. Но это означало бы, что эта грань является симплексом с п вершинами (проверяется индукцией по и), а это невозможно ввиду М^п.

Изменим теперь многогранники Р\Р*т, незначительно сдвигая от о каждую из вершин л (At (иГо)), .. ., л(Ат(мг„)) вдоль идущего из о в направлении иг луча, на котором эти вершины лежат. Остальные вершины оставляем неизменными. При этом в качестве выпуклых оболочек вершин получаются новые выпуклые многогранники Р'х\ ..., Р'^. Они являются полярными для новых многогранников Р\, ..., Р'т, которые в свою очередь отличаются от прежних Р\, ..., Рт малыми параллельными сдвигами в сторону о гиперплоскостей A\^urj, ..., A::l(urA их (п—1)-мерных граней'с общей внешней нормалью и,6. При этом сдвиги вершин у Р*, . . ., Р'т делаем столь малыми, чтобы это не повлияло на не содержащие сдвигаемые вершины (и—1)- мерные грани. А с (и—1)-мерными гранями многогранников Рь • ••, Pm, содержавшими сдвигаемые вершины, происходила одинаковая перестройка. Таким (п—1)-мерным граням соответствуют участки границы новых многогранников Р'*. ..., Р'^. Эти участки представляют собой объединение новых (и—1)- мерных граней, являющихся выпуклыми оболочками сдвинутых вершин и не содержащих их (и —2)-мерных граней прежних (и— 1)-мерных граней.

Таким образом, наше построение дает снова комбинаторно эквивалентные и-мерные выпуклые многогранники Р'*, ..., р'^ с соответствующими вершинами на тех же идущих из о лучах, что и у Рр ..., Р*т. По лемме 23.1 многогранники Р'*, ..., Р'^ являются полярными для сильно комбинаторно эквивалентных между собой многогранников Р'хР'т. При этом наше построение обеспечивает, что первоначально выделенные соответствующие друг другу (п—1)-мерные грани многогранников Р*, •••, Рт. имевшие по М вершин, «расщепляются» на многогранниках Р'*, . . ., Р'* на (п— 1)-мерные грани с меньшим чем М числом вершин. Число вершин у остальных соответствующих друг другу (п—1)-мерных граней либо остается прежним (если эти грани не содержали сдвигавшуюся вершину, или содержали ее, но не «расщеплялись», что возможно, когда остальные вершины этой (п—1)-мерной грани лежат на одной (л — 2)-мерной грани), либо уменьшается (если эта грань «расщеплялась»). Конечным повторением таких перестроек, уменьшающих макси-

мальное число вершин у («—1)-мерной грани многогранника Р*, мы придем к «-мерным сильно комбинаторно эквивалентным между собой выпуклым многогранникам Qb ..., Qm требуемого леммой 23.5 типа: полярные им многогранники Qt, . .., Qm будут симплициальными, т. е. сами Qb ..., Qm — примитивными. Этим лемма 23.5 доказана. □

Теперь мы можем доказать две леммы, основные для доказательства теоремы 23.1.

Лемма 23.6. Пусть Хь ..., Кт (т ^ 2) — непустые компактные выпуклые множества в Rn. Тогда для каждого е > О в Rn существуют сильно комбинаторно эквивалентные примитивные п-мерные выпуклые многогранники Qx, ..., Qm, для которых

d(Kt,Qi)<E, i=l,...,m.(732)

Доказательство. При доказательстве леммы 23.6 будем исходить от «-мерных выпуклых многогранников Rt Rm в Rn со свойством

d(Ki,Ri)< в/й, i=l, т.(733)

Такие многогранники заведомо существуют по теореме 14.6. (Если многогранник Ri, существующий по теореме 14.6, не был «-мерным, его можно считать основанием близкой «-мерной призмы и заменить этой призмой.) Не теряя общности, считаем, что начало о е Rn лежит внутри всех Rp

о Ri, i=l, ..., т;(734)

для этого достаточно подвергнуть все Ki и Rt соответствующим трансляциям. Положим теперь

(735)(736)(737)8.7, «-мерные(735)(736)(737)8.7, «-мерныер := max h,R (u) > О,

(735)

(736)

(737)

8.7, «-мерные

(735)

(736)

(737)

8.7, «-мерные

и 11-11—1т

где hRi — опорная функция многогранника Ri, и

S- > 0.

3 (т — 1) р Множества

Pi-=Rt +6 £ Rj, /=1т,

i * i

представляют собой, по лемме 23.4 и теореме

сильно комбинаторно эквивалентные выпуклые многогранники. Для их опорных функций hR. по (737) и теореме 12.4b) ввиду (734), (735), (736) справедлива оценка

0 С hP (u} — hRAu) ^ d (tn — 1) p = e/3,||u||=l, i=lm,

(738)

т. е., с учетом теоремы 14.1,'

d{Ri, Pt^ е/3, i=lт.(739)

Наконец, изменим согласно лемме 23.5 многогранники Рь ..., Рт так, чтобы получить снова n-мерные сильно комбинаторно эквивалентные между собой уже примитивные выпуклые многогранники Qb ..., Qm. Это изменение можно сделать столь незначительными сдвигами в сторону о гиперплоскостей Ai(иг), ..., Am[ttr), г = 1, ..., к, в которых лежат (и—1)- мерные грани многогранников Qb ..., Qm, что гиперплоскости Bi(ur), ..., Bm(ur) соответствующих граней многогранников QiQm будут находиться от о на расстояниях AQi (ur), ... ..., hQm ^и^, причем будут справедливы неравенства

О < hP ^ - hQ (ur) < Т 8 е - hQ. ^,(740)

’(и+т) -

r = 1, ..., к, i= 1, ..., т.

(Оценка (740) возможна ввиду следующего из (738) и (734) неравенства hPi (ur) ^hR. (ыг) > 0, г = 1, ..., к, i=lm.) Но тогда

Qi^Pi = П Нр^и^с ПQi^Pi = П Нр^и^с П+ , ’

Qi^Pi = П Нр^и^с П

Qi^Pi = П Нр^и^с П

Ч^+з))

1=1, ..., т. Здесь ПрДи^, HQ. (tzr) —- ограниченные соответственно гиперплоскостями A^UrV Bt^ur^ замкнутые полупространства, содержащие Pt, Qi. Отсюда, ввиду (733) и (735), можно заключить, что .

О < hP (и) — hQ (и) < - hQ ^ < 8 -- hPl (и) < 3G‘+'i') 3G+i)

что по теореме 14.1 дает d^bQ^e,^ i=lm.(741)

Объединяя (733), (739), (741), получаем неравенство (732), что доказывает лемму 23.6. □

Лемма 23.7. Пусть Р° — произвольно фиксированный п-мер-

ный примитивный выпуклый многогранник в Rn, а Фйп —класс

всех сильно комбинаторно эквивалентных ему (и потому примитивных) п-мерных выпуклых многогранников в Rn. Каждому РеЭ^ сопоставим в евклидовом пространстве Rk с началом О = (О, ..., 0) точку

ZP := (hP(ui), ..., hpUk)), (742)

где hp-—опорная функция многогранника Р, а щ, ..., и^— единичные векторы внешних нормалей всех ^п—V)-мерных граней многогранника Р°, а по сильной комбинаторной эквивалентности— и самого Р. Точку ZP назовем «точкой опорных расстояний» многогранника Р. Поскольку Р = {х е Rn\ <х, ui)^ ^hp^u\), ..., (х, Uh) ^ hp(un)}, то точка Zp однозначно определяет собой многогранник Р. При этом справедливы следующие утверждения.

Множество G° точек опорных расстояний всех Р е ^°п есть открытое выпуклое множество в Rk. Его замыкание (в Rk) может быть представлено как выпуклый конус с вершиной в любой из точек

2#:=«х, «1>, .... <х, ц6», (743)

где х — любая точка в Rn.

Если смешанный объем п штук многогранников из класса ^'^ рассматривать как функцию от соответствующих п точек опорных расстояний, т. е. как функцию, определенную на G° X ... X G’\ то эта функция однозначно продолжается на

Rk X • • • X Rk как полилинейная форма Ф. Последняя форма п

симметрична и инвариантна относительно трансляции, т. е. замены любого ее аргумента Z е Rk на 2 по правилу

2 = Z + Za, aeR",(744)

где Zo = «а, щ><а,иь», а — любая точка в Rn (см. 743). При этом

V<PXРп) = ф^Р1, ..., Zpn), Pl, .... PnS^n. (745) Доказательство, а) Обозначим

GQ-.= \ZeRk\Z = Zp, Ре9»пу(746)

см. (742). Из леммы 23.2 и определения 23.2 следует, что определенное равенством (746) множество Ga в Rk открыто, так как все многогранники Р е ^ примитивные. Кроме того, G° —выпуклое множество. Действительно, если ZPx, ZP1eG°, то по лемме 23.4 многогранники XiPj+A^ и 1 -Рх 4- 0-Р2 = Рх (Xi ^ 0, Х2 ^ 0, Xi + Х2 = 1) сильно комбинаторно эквивалентны.

Из Х1Р1 + Х,Р2е ^^ вместе с (742) и теоремой 12.4 следует

ZkiPv+Wt — М^р, Ч- ^Z.Pi g G°.

Рассмотрим теперь замыкание G° области G° в Rk. Пусть х — произвольная точка в R", PeSP°n, sx— гомотетия в R" с центром г и коэффициентом X > 0. Тогда s^(P) сильно комбинаторно эквивалентно Р. Поэтому ввиду (742), (743), (746) при всех X > 0 имеем

Zs£(P) = ^хр+а-хи^ ^р + (1^)^* G ^^

Отсюда следует, что Zx е G'D и что G° вместе с любой точкой Zp содержиттакже идущий из Zx через Z? открытый луч; это зерно и для G°. Тем самым часть а) леммы 23.7 доказана.

Ь) Доказательство части Ь) проведем индукцией по размерности п. В случае и—1 имеем к = 2, щ = 1, ц2 = —1, Р — = [ё. п], (^Сп). 7-р — (П, — £), Р(Р) = т) — ^ Так как в плоскости (£ь £2) множество G° задается условием 6° = = {(ДЛ2) |£1 + £2 > 0}, то «смешанный» объем V(Р) множеств Р однозначно продолжается до линейной формы на всей плоскости (U£2); именно, до формы Ф ((£ь £2)) = £1 + £2, которая остается инвариантной при трансляциях Ь = L 4- а, Ь = 42 — а, аеР1; см. (742), (745), (746), (744).

Допустим теперь, что наше утверждение доказано для всех размерностей и/ при 1 ^ п' < п, и докажем его в размерности п. Для этого будем исходить из представления смешанного объема многогранников Pv ..., PneSP°n, см. лемму 15.3, в виде

R

v (Pl • • •, Рп^-^^ hp, (ur) ^.ц ((Р2 П А2 (ur)Y, ...

Г"‘•(РЖКЮ, (747)

где hpx — опорная функция многогранника Ph а (Р2 Q Д2(цг))',... ..., (Pn fMn(Ur))' — параллельно перенесенные до прохождения через начало о е Rn (п—1)-мерные грани многогранников Р2, •Рп- Фигурирующие в лемме 15.3 множества векторов {toi, ..., ws} ввиду (730) и (731) совпадают с {щ, ..., и.к\.

Прежде чем применить индуктивное предположение к входящим в (747) (и— 1)-мерным смешанным объемам, заметим, что вместе с многогранниками Р2Р„ сильно комбинаторно эквивалентны и примитивны их соответствующие друг другу (п— 1)- мерные грани РгПЧДи,), P«f\ An(ur), 1 г ^ к\ см. лемму 23.3, замечание 23.1 и теорему 5.5. Поскольку мы считаем эти грани параллельно перенесенными так, что гиперплоскости, в которых они лежат, содержат о, то каждой (перенесенной)

грани (Р,П АДиг))', i = 2, ..., п, по правилу (742) можно сопоставить точку опорных расстояний в £г-мерном Rkr, где к, есть число (л— 2)-мерпых граней у (Pt П А^и^ у. Эта точка:

2(р1ПАг («г))' = ^^р^а. (ur)y (v^ }, е;/(748)

где■

.^-<иГиуиг

Г II «/ - (“г “/) “г |Г г’

= 2, .... п, г =1, .... к, I, — множество тех номеров /' j между 1 и к, при которых dim( (Р, П А,(иг))П(^г П Ai (и,))) = ? = п — 2. Это множество номеров / ввиду сильной комбинатор) ной эквивалентности Pi, ..., Рп не зависит от I. Наконец, 5 h^P nA (и уу (Ур) в (748) есть опорная функция многогранника

' (Р,П АуиУУ. подсчитанная на векторе иС — единичном векторе ■ внешней нормали (п — 2)-мерной грани этого многогранника в . его аффинной оболочке, где je.Ir. Элементарным образом находится, что_

\PifiAt WY (^) = ^~ ^ (“/) - ^П • ^ kur\ (749>

. где 0 < 6г/ < л, cos % : = <ur, иf>, i = 2, ..., n, r = 1, ..., k, ' j г b, hp. — опорная функция P,. Отображения Лг: Rk-^Rkr, которые в частности точке Zp{ сопоставляют точку Zr^p р.д (иг^ можно задать формулами

Ц = —L— г — ctg 0г, • L,(750)

где cos 6г/ = <Нг, uf), j е Ь. Поэтому эти отображения линейны.

На основании индуктивного предположения, мы можем представить входящие в (747) (л—1)-мерные объемы в форме

V(n-D №2 П А2 (иг))'(Рп П А„ (иг))') =

= фг(2(р2па2(«г)Г, .... И^ппдл(„г)Г), г=1, .... к, (751)

где Фг — заданные на всем Rkr X • • ■ X Rkr симметричные и ин

вариантные относительно трансляции полилинейные формы. Те' перь рассмотрим полилинейные формы Тг, определенные на

всем R^X • • • ХРк равенством

’^(Z!Zny.= <MMZyМХпУ, (752)

где Z2l ..., Zne. R^ г = 1, ..., к. Тогда равенство

Ф (21Z„) := ^«Zh ^ (Z2, ..., Z„)»,(753)

где

w^z2, ..., zny.= (^t(z2zn), ^(Ziz„))er\

(754)

< , )) —скалярное произведение в Rh, Zi, ..., Zn e Rk, определяет полилинейную форму Ф в Rfe X • • • X Rk Для ее суже-

п

ния на G° X • ■ • X 0° ввиду (742) и всех равенств от (746) до

справедливо равенство к '

®(Zf,чНУ-.toW-MМ*,,»-

г-1 к

'=57 Е^Л^Фг^плнМГЦмШу'Н

г=1

= v(pvр„)

при любых РхРпе.^°п, т. е. справедливо утверждение (745) части Ь) леммы 23.7. Здесь Ф — однозначно определенная аналитическая функция с заранее заданными значениями в открытом подмножестве G° X • • ■ X G0 области ее задания

Rk X • • • X Rk- Ввиду того, что Ф, вслед за смешанным объемом.

п

не изменяется при перестановках аргументов, эта полилинейная форма симметричная. Кроме того, трансляции любого из многогранников Pt (; = 1, ..., п) на вектор а, не изменяющей согласно теореме 15.5 значение смешанного объема, соответствует согласно (742), (743) трансляция соответствующей точки Zp; на вектор Zo, поэтому Ф инвариантна относительно трансляций (744). Этим часть Ь) леммы 23.7 доказана. □

Переходим, наконец, к доказательству теоремы 23.1.

Доказательство теоремы 23.1. По лемме 23.6 и непрерывности смешанного объема, см. теорему 15.7, достаточно доказать квадратичное неравенство (723) в частном случае — для п выпуклых многогранников Рх, ..., Рп из одного и того же класса 9^, ц-мерных, сильно комбинаторно эквивалентных друг другу и примитивных, т. е. доказать неравенство

УЧ?!. Pl, Рз,...,Рп^

> У(Дь Ри р3, ..., Pn)/V(P2, Р2, Р3, ,.., Рл) (755)

при Рр ..., Рпе^. Докажем (755) индукцией по п. Чтобы это осуществить, оказывается полезным использовать введенную в лемме 23.7b) однозначно определенную распространенную на Р6 X • • • X Rk функцию Ф, первоначально равную смешанному

объему п элементов из ^°. При этом докажем следующее усиление утверждения (755).

Теорема 23.2. Если Р2, ..., Рпе. ^ (п^2) — выпуклые многогранники в Rn с точками опорных расстояний Zpx, ..., Zpn в Rk, см. (742), то для распространенной функции Ф смешанного объема п элементов из ^, см. лемму 23.7b), при любой точке ZeR” справедливо неравенство

Ф (Z, Zp2, ..., Zp^-"^

> Ф (Z, Z, Zp3, Zp^-Ф (Zp2, Zp2, Zp3, ..., Zpny (756) ср. (745), причем равенство имеет место в том и только том случае, когда

Z = aZp1-VZx,a g= R ', xs=Rn,(757)

ср. (743).

По техническим соображениям удобнее доказывать эквивалентное, как будет показано, теореме 23.2 утверждение:

Теорема 23.3. Пусть Ф — распространенная функция смешанного объема п многогранников из 9°п (п^ 2). Тогда для всех точек Z е Rh, удовлетворяющих условию

Ф(/, Zp2, Zp3, .... Zp^ = 0,(758)

справедливо наравенство

Ф(/, Z, Zp3, Zp^O,(759) ‘

причем равенство здесь наступает в том и только том случае, когда

Z = Zx, хе R11,(760)

ср. (743). Здесь Р2Р^е^, a Zp2, ..., Zpn —• их точки опорных расстояний.

Доказательство эквивалентности теорем 23.2 и 23.3. Пусть верна теорема 23.2. Тогда для любого Z е Rk, удовлетворяющего условию (758), ввиду-(756) и ввиду вытекающего из (745) и теоремы 15.9 неравенства •

Ф (Zp2, Zp2, Zp3ZP J = V (Pi, Pi, P3, ..., Pn)>0 (761) для P2, ..., Prte^, выполняется неравенство (759). При этом ввиду (761) равенство в (759)

ф (Z, z, Zp3Zp^ = 0(762)

имеет место тогда и только тогда, когда имеет место равенство в (756), т. е. когда справедливо (757). Но при этом должно быть а = 0, в чем можно убедиться, подставляя (757) в (758) и учитывая полилинейность и инвариантность относительно трансляций (744) формы Ф и условие (761). Поэтому (762) выполнено в том и только том случае, когда справедливо (760). Этим доказано, что из теоремы 23.2 следует теорема 23.3.

Обратно, пусть верна теорема 23.3, покажем, что тогда верна и теорема 23.2. Для этого возьмем любое Z е Рк и рассмотрим

Ф (Z, Zp , zp ,..., Zp )

ввиду (761) здесь знаменатель не нуль. Из (763) и полилинейности ф получаем, что Ф(//, Zp2, Zp3, ..., Zp^ = 0, так что по теореме 23.3

Ф ^Z', Z', Zp3Zpn) < 0.(764)

Ввиду (763), (761), полилинейности и симметричности формы Ф неравенство (764) равнозначно (756). Равенство в (756) имеет место тогда же, когда и в .(764), т. е. когда по теореме 23.3 будет Z* = Zx, xeR". Но отсюда, ввиду (763), следует справедливость (757). Поскольку и, обратно, из (757) сразу следует равенство в (756), то тем самым верна теорема 23.3. Итак, эквивалентность теорем 23.2 и 23.3 доказана. □

Доказательство теоремы 23.3. Как уже упоминалось, мы проведем доказательство этой теоремы индукцией по размерности п евклидова пространства Rn, в котором лежат наши ц-мерные многогранники класса ^^ Пусть п = 2. Рассмотрим точку Z е Rk, удовлетворяющую условию ,

Ф (Z, Zp^ = 0, Р, е ^(765)

По лемме 23.7а) вместе с Zp^e G° при достаточно малом 6 > 0 и Zp, + dZ eG°, т. е. по определению (746) области G° с= Rk, существует многоугольник Рх е ^2, Для которого

ZP1 = ZP, + SZ.(766)

Применим к ?[ и Р2 неравенство Минковского второго рода (719). Тогда, учитывая (745), получим

ф (zP1, zPy > Ф (ZP1, ZP1) • Ф ^ZP1, Zp^,

или, что ввиду (766), (765), (761) равнозначно,

®(Z, Z)^0.(767)

Здесь равенство имеет место тогда, когда оно есть в (719), т. е. когда Р\ и Рг положительно гомотетичны:

Рх = рр2 -|- 6х, р > 0, х е Rn,(768)

см. (721). Ввиду (742) это дает соотношение ZP, = pZPz + 6ZX. Поэтому и по (744) должно быть Ф (ZP1, ZP1) = рф (ZP1, ZP)\ кроме того, по (766) и (765) будет

Ф (ZP1, ZPJ = Ф (Zp2, Zp2) + 6Ф (Z, Zp2) = Ф (ZP„ Zp2),

т. e. p = l, поскольку Ф (ZP2, ZP2) > 0, cm. (761). Поэтому ZP1 = ZP1 + bZx, откуда вместе с (766) можно заключить, что условие (760) необходимо и достаточно для равенства в (767). Этим теорема 23.3 доказана для случая п = 2.

Предположим теперь, что эта теорема доказана для всех размерностей п' при 2 ^ п' < п, и докажем ее в размерности п. Для этого введем в Rk X Rk симметричную инвариантную относительно трансляций (744) билинейную форму Фрзр^, определяя ее значения равенством

Ф(Р3р„) (Zi, Z2) := Ф (Zb Z2, Zp3, ..., Zp^, (769)

где Z,, Z^eR11, a P3Рпе^п- Пусть N— подпространство пространства Rk

N:=lZxeRk\xe RnV d = dim N,(770)

t. e. N — образ всего Rn при линейном, ввиду (743), отображении х е Rnt—»ZX е Rk. (Можно показать, что в действительности d = п, но для дальнейшего это неважно.) Обозначим Rk-d ортогональное дополнение к N в Rk. Тогда эта билинейная форма допускает однозначно определенное сужение Ф'р3Р ^ на Rh-d х Rk~d. Именно,

Ф(Р3рп^’ г2) = Ф(РзPn)([Z,], \Z^,(771)

где [ZJ, [Z2]— ортогональные проекции точек Zi, Z2 е Rk на Rfe-d Корректность равенства (771) вытекает из инвариантности формы Ф(р3pnj относительно трансляций (744) для аргументов Zi, Z2.

Определяюще важным для дальнейшего является то, что суженные на Rk-dX Rk~d билинейные формы Фр3Р^ оказываются при любых Р3, ..., Рп^9>ап невырожденными. Чтобы в этом убедиться, предположим, что нашлось такое [Z] е Rk~d, при котором для любого [Zije/?6^ справедливо ФрзР^ ([Z], [Zi]) = 0, и докажем, что тогда [Z] = 0. Наше предположение ввиду (771), (769) эквивалентно предположению, что при любых Zj выполнено Ф (Zb Z, ZP ,..., ZP ) = 0. что ввиду (753) равносильно W (Z, ZPg, ..., ZPn) = 0. Отсюда из (753), (742),

И К. Лейхтвейс

(754), (752) находим

0 = Т<2- ^(Z’ Z₽8ZP^ = O(Z, Z, Zp,Zpn) = = Ф (Zp3, Z, Z, ZP, ..., ZP J = 4 «Zp3, Г (Z, Z, Zp4, ..., Zpn)»=

= 4 S hp, (ur) Фг (Ar (Z), Ar (Z), Ar (Zp4), ..., Ar (ZP J), (772) r=/

где Ar: Rn-*Rkr — линейные отображения, определяемые равенством (750). В (772) можно, не теряя общности, считать, что для всех г = 1, ..., к

hp.(ur)>0,(773)

для чего достаточно за счет параллельного переноса добиться, чтобы оеРз; при переносе ввиду трансляционной инвариантности Ф по (771) и (769) значения билинейной формы Ф(Рзрп^ не изменятся. Ввиду W (Z, Zpa, ..., ZPJ = 0 и, тем самым,

Фг (Аг (Z), Ar (ZPJ, ..., Ar (ZpJ) = 0, г = 1к, см. (754), (752), имеем по индуктивному предположению, примененному к формам фг:'

Фг(Аг(г), Ar(Z), Ar(Zp4), .... Ar(ZpJ)<0, r=lk. (774) Теперь подстановка (774) и (773) в (772) показывает, что в (774) при всех г имеет место равенство. Это по индуктивному предположению означает справедливость равенства

Ar (Z) - Z^ := {«, ^{ Gf, г = 1, ..., к, (775) ?м. (748), где х'г — соответствующая точка на проходящей через р гиперплоскости с нормалью иг. Введем в рассмотрение гиперплоскости

A(Mr): = {xeP'I|<x,Ur> = M.(776)

где £г есть r-я координата точки Z, г = 1, ..., к, и ортогональные проекции хг точек х'г на А(иг). Определение (750) отображения Аг и элементарно-геометрические расчеты по образцу (749) в (775) дают *),

х, е А(иг)П А(и,), i У, т=\,...,к.(777)

9 Действительно, по построению точки х,еД(и,) имеем xr = xr + t,rur Чтобы убедиться, что хггА(и,^, проверим равенство <хг, м,> = ^. Согласно (748)—(750) имеем (xr. Uj) = ^x'r u^ + Zr^r ui) = v'r и/)5’п6г; + + ^ cos ег/ = (Аг <z))j sin er/ + ^r cos er/ = ^ -^g— ^- c‘e ^r)sin 6r/ + + ^r cos 9r^ = ^. — Прим, nepee.

Отсюда легко выводится, что все точки х, должны просто совпадать. Действительно, если Рз А Дз («г,) и Р3 А Дз («г,) — Две различные (д—1)-мерные грани многогранника Р3 с непустым пересечением, а е3— вершина Р3, лежащая в этом пересечении, то е3 ввиду примитивности Р3 лежит еще ровно в п — 2 других (д — 1)-мерных гранях, и все эти д различных содержащих е3 (д — 1)-мерных грани Р3АДз(ий) многогранника Р3 обладают попарно (д — 2)-мерным пересечением. (Достаточно перейти к Рз что возможно ввиду о е Рз и воспользоваться определением 23.1.) Поэтому, в частности, ввиду (777) и определения множества индексов /г точки хп и хг лежат в П A (uh\

Но последнее пересечение, ввиду линейной независимости фигурирующих в нем векторов ин, что легко проверяется переходом к.Р3, состоит только из одной точки, откуда хп = хг,. Это равенство остается верным и при отказе от требования (Р3 А Дз (ur,)) А А (Рз А Дз (иг,)) =/= 0, поскольку по топологическим соображениям всегда есть соединяющая Рл АДз(«п) с Р3ПД.з(Иг2) конечная цепочка (д—1)-мерных граней, последовательно прилегающих друг к другу Итак, мы имеем

X ] — » • . х & —. х ,

и из (777), (776) следует, что для так определенной точки х е Rn

Z=«x,ui>, ..., <х, ин)) — Zx е N или [ZJ—о.

Этим доказано, что форма Ф(р3рп) невырожденна, т. е. ранг

r.D о х формы Ф,„„ . имеет значение

0зРп)03рп)

г(р р ) — k — d при любых Р3, ..., Рпе^п. (778)

Индекс формы Ф(Рз ру т. е. максимальную размерность того подпространства пространства Rk-d, па котором скалярный квадрат в смысле скалярного произведения, определенного формой Ф/р р \, отрицателен, обозначим /"„ .. Изучим теперь зависимость этого индекса от точек Zp,Zpn области G0, см. (746). Ввиду вытекающей из (771) и (769) непрерывной зависимости коэффициентов формы Ф(Р3р^ от точек Zp4, ... ...,ZP и из определения/' „ как максимальной размерности упомянутого подпространства, этот индекс в каждой точке ^р0, • • Zpo) е G° X .. . X G" является полунепрерывным

П — 2

снизу, т. е.

lim /^ /' „

3 п п

.,Р°' п.

(779)

Дополнительный индекс (k — d)—j^ ^р ^ невырожденной билинейной формы Ф(р3,.... prt), т. е. максимальная размерность подпространства, на котором скалярный квадрат, определенный формой Ф(р3рпу положителен, по тем же причинам тоже полунепрерывен снизу:

(/г - d^ —(/г - d^ —lim /ZP ^ZP ^zPo (^r3 3 n nlim /ZP ^ZP ^zPo (^r3 3 n n>o pov3 n)>o pov3 n)(780)(780)

(/г - d^ —

(/г - d^ —

lim /

ZP ^ZP ^zPo (^r3 3 n n

lim /

ZP ^ZP ^zPo (^r3 3 n n

>o pov

3 n)

>o pov

3 n)

(780)

(780)

Из (779) и (780) следует непрерывность индекса j^р у а поскольку область его задания G° X • • • XG° по лемме 23.7а)

и теореме 8.9 выпукла, и потому связна, а значение индекса целочисленно, то индекс р х просто постоянен:

i^PsРп) ~ Ь Ру • • • > Рп^ ^(781)

Теперь важно определить лежащее между 0 и к — d общее значение индекса / всех билинейных форм Ф(?3?пу Прежде всего заметим, что / не может равняться к — d. Иначе форма Ф(рзрп^ была бы отрицательно определенной, а с нею и форма Ф(р3рп) ~ отрицательно полуопределенной (см. 771), что противоречит (769) и (761). Но / не может быть меньше, чем к — d—1. Это можно следующим образом доказать от противного. Если бы дополнительный индекс к — d— j формы Ф(р3р^ был больше 1, то в частном случае Р3 = ^ = ... — Рп существовало бы по меньшей мере двумерное подпространство Rm в Rk-d такое, что форма Ф<р„ р,ра была бы на Rm X Rm положительно определенной. Пересечение Rm с гиперплоскостью1) Ф(Р1р3> ([Z'L [ZpJ) = 0 пространства Rh-d должно было бы быть не менее чем одномерным, так что существует [Zi] =# 0, для которого

Ф№ p^tZd, [ZpJ) = 0(782)

и

Ф(Р,?,)([£!], [Zi])> 0.(783)

’) Поскольку гиперплоскости (п—1)-мерных граней многогранника Ра не пересекаются все в какой-то одной точке х, то Zp,^ Zx, и потому [ZpJ^o. При этом ввиду невырожденности Ф(рр^ уравнение Ф(Р; „ Ре) ( [2'], [гра]) = 0 действительно задает в Rk-d гиперплоскость.

С другой стороны, по лемме 23.7а) при достаточно малом 6 > 0 имеем Zp3 + 6Z]SG°, т. е., с учетом (746), для некоторого PyG. е ^ было бы

ZPv = ZPa + bZv(784)

Применение неравенства Минковского второго рода (720) к многогранникам Р\, Ра, ..., Р3 ввиду (745) дает

Ф^Рр Zp3, ..., Zp3)2>O(Zp„ Zp„ Zp,Zp3).O(Zp„ ... ZpJ, или, что этому эквивалентно ввиду (784), (769), (771), (761): Ф(РзРз)([Z<], [Zi])<0,

что противоречит (783). (Ср. с рассуждением в начале доказательства теоремы 23.3.)

Итак, мы доказали, что j = k — d — 1..(785)

Теперь мы в состоянии доказать в размерности и, что из выполнения для точки ZeR" условия (758) теоремы 23.3 следует справедливость неравенства (759) с единственным случаем равенства (760). Для этого будет целесообразно принять отличные от нуля векторы (точнее — наборы их координат) в Rk~d за однородные координаты точек (£— d—1)-мерного проективного пространства pk~d~l, Тогда уравнение

Ф(р,р„)([^]> 121) = 0(786)

ввиду (778), (781), (785) задает эллипсоид в ph-a-i. Поэтому в случае [Z] =# о точки [Z] и [Zp2]') ввиду (758), (769), (771) являются в рк-ч-' сопряженными относительно эллипсоида (786), т. е. обращают в нуль соответствующую этому эллипсоиду билинейную форму Ф(рзР^ ([Z], [ZPJ) = O. Точка [Zp2] удовлетворяет по (761), (769), (771) условию■

Ф(р3Pn)([Zp2L [ZP2])> 0.

Эллипсоид Ф(р3рп) ([Z'], [Z']) = 0 делит дополнительную к нему часть проективного пространства ps-d-i на две компоненты связности: «внутреннюю», где Ф(р3Pn)([Z'], [Z']) > 0, и «внешнюю», где Ф(Рзp„)([Z'], [Z']) < 0. В первой из этих компонент не умещается ни одна прямая пространства pk-d-V Именно в этой компоненте лежит [Zp2], По этой причине прямая P^-d-i, идущая через точки [Zp2] и [Z], пересекает эллипсоид в двух точках. Но если пара сопряженных точек лежит на прямой, пересекающей эллипсоид, то эта пара точек и пара точек

х) Посколькут0 L^pJ^01

пересечения прямой с эллипсоидом гармонически разделяют друг друга1). Поэтому [Z] лежит по сравнению с [2PJ в другой компоненте, и потому

Ф(Рзр„)([2], [Z])<0.

Но это означает, ввиду (771) и (769), справедливость в случае [2] =# о неравенства Ф (Z, 2, Zp3, ..., Zp ^ < 0. В исключенном ранее случае [Z] — о, иначе говоря при Z = Zx, где х е Rn, очевидно, O(Z, 2, 2рз, ..., 2рп) = 0. Итак, доказано неравенство (759) с единственным случаем равенства (760). Этим закончено индуктивное доказательство теоремы 23.3, а с нею доказаны и теоремы 23.2, 23.1. □

Замечание 23 2. Перечисление всех случаев, в которых в неравенстве (723) А. Д. Александрова наступает равенство, составляет до сих пор не решенную проблему! Изложенное выше доказательство, опирающееся на аппроксимацию, не годится для решения этого вопроса.

Упражнения

Построить трехмерный выпуклый многогранник Р в R3, для которого ни при каком б > 0 многогранники Р'. 6-близкие к Р в смысле леммы 23.2, не будут все ему сильно комбинаторно эквивалентны.

Пусть ^5 — класс всех прямоугольников на евклидовой плоскости (£i, &2) со сторонами, параллельными координатным осям. Определить для этого случая явно введенные в лемме 23.7 область С° и форму Ф и вывести отсюда выражение заданной равенством (771) формы Ф

Классу 91 п (п 53 2) примитивных, сильно комбинаторно эквивалентных друг другу «-мерных выпуклых многогранников в R" соответствует введенная в лемме 23.7b) полилинейная форма Ф. Доказать с помощью заданного равенствами (753), (754), (752), (750) рекурсивного определения Ф (без использования (745)): а) симметричность Ф; б) инвариантность Ф при трансляции (744) в области определения одного из аргументов Ф Указание: для доказательства а) целесообразно дважды применить рекурсивное определение Ф.

Пусть Р\, .. , Рп — примитивные сильно комбинаторно эквивалентные друт другу «-мерные выпуклые многогранники в Rn(n ^ 2). Доказать, что в неравенстве А. Д. Александрова

V2(PiРи) > V(Pi, Pi, Рз, .... P.)-V(P2, Рг, Р3Р„)

равенство имеет место в том и только том случае, когда Pt и Р2 положительно гомотетичны.

§ 24. Обобщенная теорема Брунна —• Минковского и ее применения

Неравенство А. Д. Александрова (723) позволяет получить имеющее замечательные следствия обобщение теоремы Брунна— Минковского на интегральные поперечные меры. Без об

*) См., например, [31], с. 380—381, — Прим, перев.

суждения случаев равенства это обобщение состоит в справедливости следующего утверждения, которое при т = п содержит в себе неравенство Брунна— Минковского (569).

Теорема 24.1. Для любых непустых компактных выпуклых множеств Кх, Кч в Rn (п ^ 2) при любых X] > О, Х2 > О, Xi + Х2 = 1, и любого целого числа пг (2 ^ пг ^ п) справедливо неравенство

^^т (ХЛ, + ХЛ2) > X, ^ №) + ^«^ ^.(787)

Доказательство. В случаях Кх = {xi} или /<г = {-^г}, а также в случае KxcR'n', К2 <= Rm’ + х для некоторой т'-мериой плоскости Rm' в Rn при т' <_ пг и хх, х2,х е Rn, неравенство (787) тривиально, поскольку соответственно

WWm (Х^, + ХЛ2) = Х2Г'^ (к2у W^m ({х,}) = о,

(/оо)

W^m (ХЛ1 + М^ = х^т (К.), w^m ({х2}) = о, либо

^т + ХД2) = W^m ^К^ = Г^т (К.^ = 0,(789)

см. теорему 16.2е). Поэтому в дальнейшем мы предполагаем, что dim Кх > 0, dim К2 > 0, dim(aff Кх V aff /(2) ^ пг, (790) где aff Кх V aff К2 означает (линейное) подпространство наименьшей размерности, содержащее в себе аффинные оболочки множеств Кх и К2, параллельно перенесенные до прохождения через начало oeR”. Тогда из теоремы 15.9 и (790) следует

V (КхКх, К2, -К2, В, (о), Вх (о)) > 0, (791)

тхтгп - т

где 1 ^ тх ^ dim Ky, 1 ^ m2 ^ dim К2, пгх + пг2 = пг. Рассмотрим функцию й(1), определенную равенством

Q(l):=(em(l-LO)1/m> 0^^ 1,(792)

где

em («1. «2) - (ал. + аД2) - Д ( J У^Г-^, (793) ai ^ 0, а2 ^ 0, а

Уи:-Р(^1. .... Кх, К2, .... К2, Вх(о\ ..., ВДо^О. (794)

По (793), (794), (791) при ^е(0, 1) имеем 0т(1—£,£)> 0, так что ввиду (792) функция Q дважды непрерывно дифференцируема по j. Для вычисления ее второй производной в точке §ое(0,1) сделаем замену переменной

Для компактных выпуклых множеств

к;:= (1 - So) Kt + S,A2> ^=К2,(795)

имеем

О - Г) к;+№=[а - ю ((1 - s о) Кг+w +

+ (£-£о)К2] = (1-£И, + ^2-

Поэтому для функции Q' от £', определенной равенствами (792), (793), (794") с заменой ^1, К2 на Kv Ку справедливо равенство

\ 1 so /

После двукратного дифференцирования получаем отсюда d2Q (g0) _ d2Q' (0)1

dg2 dg'2 " (1 - g0)2 ‘

Примем во внимание равенство.

^' (0)d^40) _т-\

(Vo) m

которое выполняется аналогично (687) и (689а); здесь

Vo = v (к;, K'v K^^J^, вм ..., s1(0)) = em(i-^0,^)>o,

Vx = v ^к\, к2, к\, .... к;, в^о),..., bv^,

^=чк2, к'у к;,..., к\, вм в,^, т—2п—т

см. (794), (793), (795). Применяя неравенство Александрова (723) к компактным выпуклым множествам К\, Ку К\, ■ • ■, Кц

т—2

Вх (о), ..., Д (о), получаем

d2Q (g0)dg2

Поскольку значение goe(O, 1) бралось любым, то последнее неравенство означает, согласно теореме 10.9, что функция —Q, определенная равенствами (792), (793) и непрерывная при g = 0, ^= 1, выпукла. Это доказывает неравенство (787). □

Случаи равенства в (787) проясняет следующая теорема, доказанная при т = 2 Фаваром [60], гл. 2, а в общем случае—: Фенхелем [62], .

Теорема 24.2. В условиях теоремы 24.1 равенство в (787) имеет место всегда, когда либо Кх или Кг является точкой, либо Кх и Кг лежат в параллельных m'-мерных плоскостях пространства Rn с пт' •<_ пт. В оставшихся случаях равенство в (787) выполняется тогда и только тогда, когда Кх и Кг не менее чем m-мерны и положительно гомотетичны. (Ср. теорему 21.1 и дополнение к ней.)

Для доказательства воспользуемся двумя леммами.

Лемма 24.1. Пусть Кх, ..., Кп— непустые компактные выпуклые множества в Rn (/г2) и пусть

V(Kx, Кх, КзМ > О, У(К2, Кг, Кз, .... Кп)>0, (796)

a Кп+х— любое компактное выпуклое тело в Rn. Тогда

V(Kx, Кп+х, Кз, • • •, К») > о, У(К2, Кп+х, Кз, • • •, Кп) > о, (797)

и неравенство Александрова (723) допускает усиление

V (Кх, Кх, Кз, .... Дга)

УЧКх, Кп+1, Кз, .... Кп).

_ 9У(Кх, К2, Кз, ..., Кп) ,

V"(Kx, Кп+х, Кз, ..., Кп) • v (Кз, Кп+х, Кз,..., Кп)

। V (Кг, Кз, Кз, •■•, Кп) /о 1\ ^УЧК^Кп+х^"^....^(798)

Причем равенство в (798) выполняется в точности тогда же, когда и в (723). Такое равенство, в частности, имеет следствием

V (Кх, Кх, Кз, .... Кп) = У(Кз, Кз, Кз, ..., Кп) r7qq\ УЧКх, Кп+х, Кз, .... Кп) УЦКз, Кп+х, Кз, .... Кп) ' '

Доказательство. Для сокращения записи положим

VnV:= V^, Кх, Кз, ..., Кп), р, v = 1, .... n+ 1,(800)

и применим неравенство (723) к множествам К\ := К{ + PiKn+i, К2 := К2 + Р2К„+1, К3, • •-, Кп; pH °, р2>0. Это дает справедливое при всех pi ^ 0, р2 ^ 0 квадратичное неравенство (^ „+1 - УН „,,) Р? + 2 (7127п+1> „+1 - И, п+1у2 я+1) р,р2 +

+ (Vt „+1 - VhV^, п+1) pH (...) Р1 + (...) р2 + (...)> 0.

*) Поскольку согласно (798), (796) квадратное уравнение

У(Кх, Кх, КзК„-)У-2У(Кх, Кг, Кз,..., КЛ)1+ У(Кг, К», КзКА™ 0 имеет хоть один вещественный корень, то дискриминант

Сделаем в этом неравенстве подстановку pi = р cos ср, р2 = = р sin <р, поделим его на р2 и выполним предельный переход при р->-+оо. Полученное неравенство вновь умножим на р2 и вернемся к прежним обозначениям. Это дает также справедливое при всех pi 0. р2 0 неравенство

^2, п+1^22^п+1, п+1) Р1 + ^ (^12^п+1, п+1^1, п+1^2, п+1) Р1Ра +

+ (И.п+1~^11^п+1,п+1)Р22>0-(801)

Будем теперь различать для неотрицательных в силу (723) коэффициентов при р2 и р2 в неравенстве (801) четыре случая:

1)

^.П+1

^H^+l. n+l

> o,

VI „ + 1

^22^n+l, n+l

> 0;

2)

Чп+1

^ll^n+l, n + l

> o,

4n+l

^22^+1, n+l

= 0;

3)

^.п+1

— V V

МГ n+l, n+l

= 0,

П „+1

^22^+1, n+l

> 0;

4)

Чп+1

^ll^n+l. n+l

= 0,

^2, n+l

VaVn+x< n+1

— 0.

В случае 1) неравенство (801) при специальных значенияхР1 = ^1. п+1^1^+1. п + Р Р2= ^2, П+1^ 22^+1, п+1

дает, ввиду равенства

№ - v„v„„, „,) Р; + (р^ „+1 - р„р„+1. „,) й-

= ^.МИ,.+, - р ,, и,*.. .+>)'" №. wl - vav„„. „,)w,

после деления на положительную величину 2pjp2Vi, n+iУг, n+i неравенство

Vl J^n+l, n+l > J ^1, n+1^2, n+lVl J^n+l, n+l > J ^1, n+1^2, n+l1 -1 -VuVn+i.n+i \У2Л^.n+1) IVuVn+i.n+i \У2Л^.n+1) I^Vn+M+.X^^2, n+l •/^Vn+M+.X^^2, n+l •/

Vl J^n+l, n+l > J ^1, n+1^2, n+l

Vl J^n+l, n+l > J ^1, n+1^2, n+l

1 -

1 -

VuVn+i.n+i \У2Л

^.n+1) I

VuVn+i.n+i \У2Л

^.n+1) I

^Vn+M+.X^

^2, n+l •/

^Vn+M+.X^

^2, n+l •/

(802)

В случае 2), положив в (801) р2 = 1, разделив на pi и перейдя к пределу при pi->+°o, получаем 2( У12У„+1, „+1— — Vi,n+iV2, п+1)^0, т. e.

VuVn+i, n+lУ1, n+1^2, n+lVuVn+i, n+lУ1, n+1^2, n+l1.1.(803)(803)

VuVn+i, n+l

У1, n+1^2, n+l

VuVn+i, n+l

У1, n+1^2, n+l

1.

1.

(803)

(803)

В случае 3) справедливость (803) устанавливается как и в случае 2) с заменой ролей pi и р2. В случае 4) достаточно положить в (801) pi = p2=l, чтобы получить (803). Поскольку в случаях 2), 3), 4) исчезает один или оба сомножителя последнего члена правой части (802), то тем самым для всех четырех Случаев доказано неравенство (802). -

Воспользуемся теперь неравенством между арифметическим и геометрическим средними. Оно позволяет написать

4n+i )4n+i )^22/п + 1, п + 1 \ v2/ ’^22/п + 1, п + 1 \ v2/ ’(804)(804)причем равенство здесь наступает в том и только том случае,причем равенство здесь наступает в том и только том случае,когдакогда^11^н + 1,п+1^22^п + 1. П+1Hl. n+l^2, п+1^11^н + 1,п+1^22^п + 1. П+1Hl. n+l^2, п+1(805)(805)После подстановки (804) в (802) и деления на величину Vn+ь п+1 (положительную по теореме 15.9, ввиду (796) и dim/(„+1 = «), получаем .После подстановки (804) в (802) и деления на величину Vn+ь п+1 (положительную по теореме 15.9, ввиду (796) и dim/(„+1 = «), получаем .16 2> 2 / Иц^l. П+1 ^2. П+12 VI. п + 116 2> 2 / Иц^l. П+1 ^2. П+12 VI. п + 1^22У\ п +^22У\ п +(806)(806)что по смыслу обозначений (.800) равносильно доказываемому неравенству (798). Ввиду неравенства между арифметическим и геометрическим среднимичто по смыслу обозначений (.800) равносильно доказываемому неравенству (798). Ввиду неравенства между арифметическим и геометрическим средними1 ( ^12 U?.„+11 ( ^12 U?.„+1у^у^^1, п+11/2. п + 1у^у^^1, п+11/2. п + 1(807)(807)равенство в (806) заведомо наступает, если оно имеет место в (723), т. е. в обозначениях (800), когда оно наступает в У^.,—УцИ22^0. Обратно, если имеется равенство в (806), то оно есть и в (804), и ввиду (805) и У„+ь „+1 > 0 при этомравенство в (806) заведомо наступает, если оно имеет место в (723), т. е. в обозначениях (800), когда оно наступает в У^.,—УцИ22^0. Обратно, если имеется равенство в (806), то оно есть и в (804), и ввиду (805) и У„+ь „+1 > 0 при этомV11 УмV2V2kI.n+l^2, п+1V11 УмV2V2kI.n+l^2, п+1(808)(808)Но отсюда следует выполнение равенства в (807), что вместе с равенством в (806) влечет равенство в (723). Этим мы доказали, что равенство в (806) и соответственно в (798) имеет место тогда же, когда и в (723), причем такое равенство имеет следствием (808), или, что то же, (799). Этим доказана лемма 24.1. □Лемма 24.2. Пусть К\, Кг, Кт — компактные выпуклые множества в Rn (п 2) и■■dim К\ 6а 2, dim Кт 2а 2, dim Кз = п.(809)Но отсюда следует выполнение равенства в (807), что вместе с равенством в (806) влечет равенство в (723). Этим мы доказали, что равенство в (806) и соответственно в (798) имеет место тогда же, когда и в (723), причем такое равенство имеет следствием (808), или, что то же, (799). Этим доказана лемма 24.1. □Лемма 24.2. Пусть К\, Кг, Кт — компактные выпуклые множества в Rn (п 2) и■■dim К\ 6а 2, dim Кт 2а 2, dim Кз = п.(809)Обозначим pv ортогональное проектирование в Rn на проходящую через начало oeR" гиперплоскость А (и) с единичным вектором нормали и; смешанные объемы Vn-i будем относить кОбозначим pv ортогональное проектирование в Rn на проходящую через начало oeR" гиперплоскость А (и) с единичным вектором нормали и; смешанные объемы Vn-i будем относить к

4n+i )

4n+i )

^22/п + 1, п + 1 \ v2/ ’

^22/п + 1, п + 1 \ v2/ ’

(804)

(804)

причем равенство здесь наступает в том и только том случае,

причем равенство здесь наступает в том и только том случае,

когда

когда

^11^н + 1,п+1^22^п + 1. П+1

Hl. n+l^2, п+1

^11^н + 1,п+1^22^п + 1. П+1

Hl. n+l^2, п+1

(805)

(805)

После подстановки (804) в (802) и деления на величину Vn+ь п+1 (положительную по теореме 15.9, ввиду (796) и dim/(„+1 = «), получаем .

После подстановки (804) в (802) и деления на величину Vn+ь п+1 (положительную по теореме 15.9, ввиду (796) и dim/(„+1 = «), получаем .

16 2> 2 / Иц

^l. П+1 ^2. П+12 VI. п + 1

16 2> 2 / Иц

^l. П+1 ^2. П+12 VI. п + 1

^22

У\ п +

^22

У\ п +

(806)

(806)

что по смыслу обозначений (.800) равносильно доказываемому неравенству (798). Ввиду неравенства между арифметическим и геометрическим средними

что по смыслу обозначений (.800) равносильно доказываемому неравенству (798). Ввиду неравенства между арифметическим и геометрическим средними

1 ( ^1

2 U?.„+1

1 ( ^1

2 U?.„+1

у^у^

^1, п+11/2. п + 1

у^у^

^1, п+11/2. п + 1

(807)

(807)

равенство в (806) заведомо наступает, если оно имеет место в (723), т. е. в обозначениях (800), когда оно наступает в У^.,—УцИ22^0. Обратно, если имеется равенство в (806), то оно есть и в (804), и ввиду (805) и У„+ь „+1 > 0 при этом

равенство в (806) заведомо наступает, если оно имеет место в (723), т. е. в обозначениях (800), когда оно наступает в У^.,—УцИ22^0. Обратно, если имеется равенство в (806), то оно есть и в (804), и ввиду (805) и У„+ь „+1 > 0 при этом

V11 Ум

V2V2

kI.n+l^2, п+1

V11 Ум

V2V2

kI.n+l^2, п+1

(808)

(808)

Но отсюда следует выполнение равенства в (807), что вместе с равенством в (806) влечет равенство в (723). Этим мы доказали, что равенство в (806) и соответственно в (798) имеет место тогда же, когда и в (723), причем такое равенство имеет следствием (808), или, что то же, (799). Этим доказана лемма 24.1. □

Лемма 24.2. Пусть К\, Кг, Кт — компактные выпуклые множества в Rn (п 2) и■■

dim К\ 6а 2, dim Кт 2а 2, dim Кз = п.(809)

Но отсюда следует выполнение равенства в (807), что вместе с равенством в (806) влечет равенство в (723). Этим мы доказали, что равенство в (806) и соответственно в (798) имеет место тогда же, когда и в (723), причем такое равенство имеет следствием (808), или, что то же, (799). Этим доказана лемма 24.1. □

Лемма 24.2. Пусть К\, Кг, Кт — компактные выпуклые множества в Rn (п 2) и■■

dim К\ 6а 2, dim Кт 2а 2, dim Кз = п.(809)

Обозначим pv ортогональное проектирование в Rn на проходящую через начало oeR" гиперплоскость А (и) с единичным вектором нормали и; смешанные объемы Vn-i будем относить к

Обозначим pv ортогональное проектирование в Rn на проходящую через начало oeR" гиперплоскость А (и) с единичным вектором нормали и; смешанные объемы Vn-i будем относить к

(и— 1)-мерному пространству Д (и). Тогда

Vn-l (Ри (1), ро (Кз)Ро (Кз)) > О,

Vn_\ (р. (К^, Pv (Кз)р. (О > 0,(

и неравенство Александрова для множеств Кь Кг, Кз, .... Кз допускает усиление:

V (Кг. К„ Кз, КА

vA\(pAKx), рАКз), -^рАКз))

_ 2У(Кх, Кг, Кз, Кз)

^-1 (Ро №), Ри (Кз)Ри (Кз)) V^x (Pv (К2), Pv (Кз), -..Р, (Кз))

+ vVx(pAKz).pAK3)рАКз)) ( U

В том, что (811) служит усилением неравенства

V4Kx,K2,Ka, ...,Кз)-

~У(Кх,Кх,Кз, Кз)У(Кг,Кг,КзКз) > О,

можно убедиться как в подстрочном примечании к неравенству (798), воспользовавшись тем, что по (809)

У(Кх,Кх,Кз, ...» Кз)>0, У(Кг,Кг,КзКз) > 0.

Доказательство леммы. Рассмотрим получаемые из Кь Кг, Кз компактные выпуклые тела

К[ • РцК 1 Д~ Р)2К2Д" Р13К3, К2 • Рг\К\ Д' Р22К2 т Ргз^з> (^12)

где рп 2> 0, pi2 2> 0, pis > 0, Р21 2> 0, Р22 > 0, Р23 > 0; и компактные выпуклые тела

LV:^K'V, Ц^К’х-УаК;, ог^О1).(813)

Будем пользоваться сокращенными обозначениями

К,. К\КТ).(814а)

V,:=T„.,(P.(K,), P.W)Р,та, I81»)

где р, v = 1, 2, 3. Тогда семейство•

k^^^Aw)+'vsA«5'

является линейным (и тем более—вогнутым) семейством компактных выпуклых тел в Rn и обладает свойством

Vn-x(pAKW))= Vn-хШКЧ)))— I

*) Поскольку Кз =А 0 и р13 > 0, р23 > 0, то (К^1 ^ 0, (к'А ^0, ^ ^«

Согласно результату Боннезена (следствие из теоремы 19.2) отсюда вытекает (см. (534)) неравенство

d - т) v /—р-\ + TV Г--таА -

v V(ру о J \(р„ М /

- уЛ1 -т) , и+ т,—^\<0, О^Т<1.

V vIEF (р. (l^(р0 (l2)) )

(815)

Обозначим выражение, стоящее в левой части (815), через VIt). Тогда, ввиду Т (0) = Т (1) — О и ввиду (301), справедливо неравенство

^(0). , л, V (U ..., ^„ Vdb ..., Л„ Л2)

—~п— +

^-Т1 (руО vn_Y ^Дц^у-1 (РДг2))

ЧЦ^—.^)— ^ о. (816)

у(ро М)

Подстановка (813) в (816) и разложение полученной левой части (816) по степеням а дает, после использования (301) и теоремы 15.6,

где pn > 0, p12 > 0, p13 > 0, значение имеет то, что, как остается справедливым и без

P2i /* 0, р22 2> 0, р2з 2> 0. Особое оказывается, неравенство (817) предположения p2i > 0, рзз > 0,

р2з > 0. Действительно, заменим в (817) величину p2v на p2v + + (opiv (v = 1,2,3) при любом вещественном p2v и достаточно большом (о > 0. Тогда ввиду piv > 0 можно сделать p2v + + wpiv > 0 (v = 1,2,3), но левая часть (817) при такой подстановке не меняется, поскольку она оказывается не зависящей от to. Поэтому мы можем в (817) придать р2ь р22, р23 частные значения-

р21 =—^2,Р22— Hi, Р23 = 0.

При этом получим, после деления на положительную величину (l^Piv) ^Li(MC))>0- см- (814Ь) и (812), неравенство

^2-2^//,^+1Z22£72<O,(818)

Рп > 0, pi2 > 0, pis > 0. Из (818), положив р13 = 1 и выполнив предельный переход при рц->-+0, ртг—► +0, получаем согласно (814а,Ь), (812) и теореме 15.6:

vikv Кр к3,.... к^удДрДк^ М?„№))-

-2V(kv к2, к3,.... K3^vn_Mдч Ра^ рДк^х

ХУп_ДрДК^ рДК^РДК^ +

+ V(K2, К2, К3,..., ^УДДрДКД РДК3)рДК^О. Последнее неравенство, ввиду неравенств (810), следующих по теореме 15.9 из (809), т. е. из того, что dim(ру(/Ci))^ 1, dim(pa(/<2)) ^ 1, dim(pa(K3)) = п— 1, равносильно доказываемому в лемме 24.2 неравенству (811). □

Доказательство теоремы 24.2. Если Кд или К2 является точкой Xi или х2, либо если Ki и К2 лежат в параллельных m'-мерных плоскостях Rm' и Rm' + х, где т' < т, пространства Rm, то утверждаемое теоремой 24.2 равенство в (787) вытекает из (788) либо из (789). В остальных случаях (790) по теореме 15.9 имеет место неравенство (791), которое в терминах смешанных интегральных поперечных мер, определяемых равенством

W^Kp ..., Кр К2, .... Т<2):=

:=У№,..., Кр К2, .... К2 Вх<о\ ..., В, (о)), (819) т—ццп-т

2 ^ т ^ п, 0 ^ р ^ т, ср. определение 16.1, можно записать как

Wn_m ^Д-Д-иЛ ’> °’(820)

т- тпгтг

Допустим, начиная с этого момента, что в (787) выполняется равенство. Тогда определенная при 0 ^ £ ^ 1 функция Q:

/ m\l/m

= 1^0 ^n-u №KuKa.-.. IQ (I -1)-^ \h-0 ^r /^ ', ’^— /

(821)

(cm. (331), теорему 15.6 и определение (819)), вогнутая по теореме 24.1, будет линейной. Лемма 22.2b) дает для входящих в (821) смешанных интегральных поперечных мер квадратичные зависимости*)

W;_m(Kv, .... Кь Ка, .... К2) =

= W^ (Кь ...,Ку, Ка, ...,Ка) • Wn_m (Кь...,Ку Ка,-., Ка\ т-ц+1ц-1т-ц-1и+1

(822)

ц = 1, ..., т— 1. Из них вместе с (820) дополнительно имеем

^_т ^^Ь’ К^’ К^ > 0- • • ^mlKx, .... ^1) >0,rn-m.+ lm2—1т

И.

W^Ki, .... Къ К2, ...,К^ > о, ..., Wn_m ^Ка, -., Ка) > 0, ш —ш2—Ir7i24-lмг

т. е. в совокупности

Wn_mkKx, .... Къ Ка, .... ^>0,0^ц<щ. (823)

т-у.ц

Специально в случаях ц = 0, ц = т

Wn-m^Kx, .... Kx)=Wn-m(Kx)>0,

Wn-m^Ka, .... Ка^=^п-т^>0,(824)

см. определения (819) и (331). Поэтому согласно теореме 16.2е) необходимым условием наступления равенства в (787) при соблюдении (790) является, как это утверждается в теореме 24.2,

dimXi^m, ■ dim^^m.(825)

Будем теперь различать два случая: 1) т = 2, 2) m > 2. Наша цель — показать, что в обоих этих случаях в условиях

1) В лемме 22.2 при выводе равенств (683) предположение Уц > 0 не использовалось.

равенство в (787) необходимо влечет положительную гомотетию Ki и Ks.

В случае т = 2 факт, который мы хотим доказать, является прямым следствием выполнения для смешанной интегральной поперечной меры компактных выпуклых множеств Ki и Ki в Rn (и ^ 2) с dim Ki ^ 2, dim К2^ 2 доказываемого ниже неравенства

_ 2 Wn-^K„ К2), Wn 2 (К2, К^ < 0

Wn-xQQ ^-i(/<i)^-i(/<2)«^Ы’

(826)

в котором равенство наступает тогда и только тогда, когда К; и К2 положительно гомотетичны. Действительно, из равенства в (787) следует равенство (822), т. е. обращение в нуль дискриминанта у квадратного уравнения

^«-2(Ki, Х0 I2 - 2№„-2№, К2) В + Г„_2(Д2, К^ = 0,(827)

т. е. существование у него двойного вещественного корня. При этом левая часть (827) по (824) должна при всех g быть неотрицательна. По этой причине должна быть неотрицательна левая часть (826) Но последнее может иметь место только при равенстве в (826), т. е. при Положительной гомотетичности Кд и Ki-

Справедливость (826) с рассмотрением случая равенства докажем индукцией по размерности п евклидова пространства Rn, в котором лежат Кд и Кг- При п = 2 неравенство (826) есть частный случай с Ка = Вх (о) уже доказанного неравенства (798). Поэтому по лемме 24.1 из равенства в (826), т. е. в (798), следует равенство в (723), что ввиду п = 2 по теореме 22.6 равносильно положительной гомотетии К\ и Кг- Пусть теперь справедливость (826) с равенством только для положительно гомотетичных К\, Ki доказана для всех не менее чем двумерных К\, К2 в пространстве Rn-X. Покажем, что то же верно и в Rn (л >2). Для этого рассмотрим сначала справедливое по лемме 24.2, где положено Ка = Вх (о), записанное с учетом определений (819) и (331) неравенство

^"д11 (р» (^0)^"д11 (р» (^0)

^"д11 (р» (^0)

^"д11 (р» (^0)

+ г „_2 (К2, К^ ^ о, о е дВх (о). (828)

1^(и~ I) / t к

Отношение —- входящее в (828), всегда положительно ввиду (810) и по теореме 16.6 непрерывно зависит от V.

Обозначим

л < х min ^ЧрД^ /^Чр»^^ • 1 ’ »GdBlW W^ (р, (К^)и^11 (Ру (кО)

■ ^ЧрДКз)) ■ ^ЧрДКз)) (829)(829)

■ ^ЧрДКз))

■ ^ЧрДКз))

(829)

(829)

Отсюда на основании (828) и (824) для упорядоченных по возрастанию вещественных корней g, g2 уравнения (827)

£1 ^ Х[ С Х2 < g2-£1 ^ Х[ С Х2 < g2-(830)(830)

£1 ^ Х[ С Х2 < g2-

£1 ^ Х[ С Х2 < g2-

(830)

(830)

Подстановка оценок (829) в рекуррентную формулу Куботы (352) для №Л_1(К1), ^п-\<К^ дает

Wn_, (Кг)

Zl Г„_! ^i) < %2’<831)

где равенства могут наступать только одновременно. Поэтому неравенства (830) вместе с (831) доказывают справедливость неравенства

(К К \ n—i ^2) \2 пту7д- \ Wп—1 (Кг) .

^«-2(^1, Al) ( Wfi_v (д-0 )2Wn_2 (Ki, М Wn_x+

+ Г„_2(К2, К2)<0,(832)

равносильного (826).

При этом равенство в (826), (832) может наступать только тогда, когда Ул-1 (К2) J^n-\ (Ki) совпадает с одним из корней уравнения (827), а тогда в (831) (согласно (830), (831) и сделанного к ним замечания) имеют место оба равенства. Последнее согласно (829) означает

1= ^^^(ТТкОГ 2 Р любом иедвх^, (833)

причемпричемх := %j = х2х := %j = х2(834)(834)

причем

причем

х := %j = х2

х := %j = х2

(834)

(834)

есть корень уравнения (827):

^(КьК^х2 — 2№л_2(КьК2)х + №л-2(К2,К2) = 0.(835)

Итак, по (352), (109) мы имеем при любых ai ^ 0, а2 ^ 0

Wn_2 («Л, + а2К2) = ^~ $ W^ (аА (К,) + аА (К2)) do, дВ,(01

и разложение левой и правой частей этого равенства в однородный многочлен второй степени от ai и а2 (возможное ввиду

и теоремы 15.6) дает после приравнивания коэффициен* той, с учетом (819)

«..ж- к,-)-" S n?№).p.raw,i-i. 2- дВ,(о>

Подстановка этих рекуррентных формул для смешанных интегральных поперечных мер в (835) дает

5 l^'^^i)- pAMY^-w^WpA^ рЛ^ +

дВ^о,''

^^'(рА^У pA4Yda = °-

Здесь подынтегральное выражение непрерывно (см.1)) зависит от у. Ввиду (834), (833) и верного по индуктивному предположению в размерности п — 1 неравенства (826) для не менее чем двумерных рв(Кл), Ре (К?), т. е. для почти всех у (поскольку рДКО при . dim/\, = 2 является одномерным только когда вектор у параллелен aff 7<f), это подынтегральное выражение неположительно. Значит, оно должно обращаться тождественно в нуль при всех и. А это влечет, также по индукционному предположению, положительную гомотетичностъ не менее чем двумерных р-Д/G) и рс(К^. Предельным переходом можно убедиться, что положительная гомотетичность имеет место для всех р-ЛКх) н pekKAA При этом, как видно из (833) и теоремы 15.6, коэффициент подобия Л(у)>0 множества рДКА по сравнению с p0(Aj) должен быть одинаков при всех у:

Z(y)=Z>0, у е дВх{о),

т. е. у двух компактных выпуклых множеств XKi и Кз все без исключения проекции Хрв(/(1) и р-ДКг) равны с точностью до

*) По теореме 16.6 и лемме 15.1 именно ввиду того, что при всех а, ^ О, 22

«2 о ^А'(р0 («^ + а^2)) = g 2 W^Y A ^Д РУ (К A ata,. величины ААзЧрАкД рАКАУ i, j=\, 2, тоже непрерывно зависят от и.

2) Действительно, пусть lim vv = v0 и для опорных функций hi, Нг V-> ОО

множеств Ki, Кг справедливо h2 (uv) = Xv/i] (uv) + (av, uv) при всех uv s e дВ\ (о) fM (fv)> rAe ^-v > 0, u,eA (ov). Тогда ввиду

w^\P»A^xY ^адр^кД) ' 'w^\P»A^xY ^адр^кД) ' '(CM. (833))(CM. (833))

w^\P»A^xY ^адр^кД) ' '

w^\P»A^xY ^адр^кД) ' '

(CM. (833))

(CM. (833))

и, за счет выбора подпоследовательности lim av = a0, после предельного перехода при v->-оо имеем ЬгЩо) = Xo/li(uo) + <йо, по> уже для любого uL е dBt(o) П^(Уо), где Со еД(о0).

параллельных переносов. Ввиду п ^ 3 отсюда по лемме 20.1а) сами XKi и Кч равны с точностью до трансляции, и потому положительно гомотетичны1). Этим наше индуктивное предположение распространено на размерность п при m = 2. Как уже упоминалось, при m = 2 известно, что в условиях (825) и (790) положительная гомотетичность Кх и Ка является также необходимой для появления равенства в обобщенном неравенстве Бруина — Минковского (787).

Чтобы провести доказательство для случая m > 2, осуществим индукцию по т. Началом индукции будет служить уже разобранный случай 1) m = 2, так что в дальнейшем мы считаем наше утверждение доказанным для т' = т—125 2. Остается показать, что в условиях (790) равенство в (787) имеет своим следствием положительную гомотетичность Ai и Кч. Мы уже видели, что из равенства в (787) следуют равенства (822) или, благодаря (823),

HWKi, .... Кх, М) Wn_mkKxКх, К2, Кг) _

Wn-mkK М) Wn-mkKxКх, Кг)

Wп—т (Кх, . .., Кх, ^2, Кг, Кг) Wп—т (Кг, • ■ ч Кг) " Wn-m(K\Кх,Кг,Кг)~ Wn-mVKb КгЛ2) •

(836)

Отсюда следует, в частности,

W п—т (Кх, •.., Кх)^ п—т {К 1, • • ч Кх, К2, Кг)

Wn—m(Kx, .... Кь Кг, Кг) ^п—т (Кх, • • ч Кх, Кг, Кг, Кг, К^Wn-m (Кх, . • ч Кх. Кг) —^п—т (КхКх, Кг, Кг, Кг)

Wn_m (К„ Кх, Кг, • • ч Кг) W п—т (К« • ■ „ Кг)

Wn_m(Kx, Кь Кх, КгКг) ^„-т(Кх,КгКг) ’

откуда после простого преобразования

W п—т(К\, ..., Кх, Кг, Кг) Wn—m(Kx, . .., Кх, Кг, Кг, Кг) Wn-mAKx, ..ч Кх) — Wn-mVKxКх, Кг) =

Wn_m(Kx, ..., Кх, К2. К2, Кг. Кг) _

(837)(837)W п—т(Кх, К\, К2, Кг)= ^гг-тУКгКг)

(837)

(837)

••• ' Wn-mkKx, Кх. КгКг)

Равенства (822) представляют собой случай равенства в неравенстве Александрова (723) с Аз = Ai, ..., Ат-ц+i = К\, Кт—у.+2 ^^ Аг, • • • > Ат = Аг, Ат+1 == ВХ (О) , • • • , Кп = Вх, (о) , СМ.

*) Как и в предыдущей сноске, параллельный перенос (случай X = 1) считается также гомотетией. — Прим иерее.

. Поэтому, согласно применимой ввиду (823) лемме 24.1 (см. (796), (799)) с Кп+х = ^(о), имеем

W^KxКу К» .... К^ W2n_m+\(Ky .... Ку К» .... К^

т-ц-1р,+1т-ц-1g

wn_m(Ky.... к}, к2, .... к^ ~~ ^_т+1(К1. Ку к*.... кй) ’

т-л+1ц-1т-ц.ц.-1

(838) ц = 1, ..., т — 1.

Подстановка (838) в равенства (837) и затем — извлечение квадратных корней дает

^-(m-D^iКу К^ Гп_(т_1)(Ку .... Кь К» К^

Wn-^-vAKv- Кх)Wn_km_^Ky Ку К.^

_ Wn_M(K2, .... К2>^п-и(КуК2

а сравнение с (836) показывает, что справедливы квадратичные соотношения (822) в случае т — 1 вместо т. Отсюда по лемме 22.2b) следует, что заданная при 0 ^ с £^ 1 функция й', определенная равенством

Q' ®:=W^ni_Y^\ -^КХ+1К2^

/т-\ ..

-(2„Гц J^-^-ntK,А,,^, ...

КгУ\ -£)т-1~иЙ

является линейной, так что в неравенстве (787) для случая т— 1 вместо т должно иметь место равенство. Но тогда по индуктивному предположению (применимому ввиду dim К\ > О, dim Кг > О, dim(aff Кх V aff ^2) ^ т > т—1) множества Кх и Кг положительно гомотетичны, и наша индукция завершена. Итак, во всех случаях при соблюдении предположений (790) равенство в (787) влечет положительную гомотетичность Кх и Кг-

Наконец, обратно, для любых положительно гомотетичных компактных выпуклых множеств К\ и Кг — ХКх + а, X > О, а е Rn, справедливо

= ^т ^Х + Ч^) ^D - (^ + ^ WWm {К,} =

= ^^-mm№) + W^m(^),

т. е. в (787) имеет место равенство. Этим теорема 24.2 доказана полностью. □

Замечание 24.1. Неравенство (787) при щ = 1 по теореме 16.3 остается тривиальным образом верным. Но поскольку в нем при этом всегда имеет место равенство, то в противоположность случаям т > 1 здесь нельзя из равенства в (787) сделать какие бы то ни было геометрические заключения о Кх и К2.

Для дальнейших применений отметим еще, как аналоги неравенств Минковского первого рода (696), (697) и второго рода (719), (720), обобщенные неравенства Минковского первого и второго рода. Они непосредственно следуют из теоремы 24.1, 24.2 и леммы 22.2а), Ь).

Теорема 24.3. Для смешанных интегральных поперечных мер любых двух компактных выпуклых не менее чем т-мерных множеств Кх,Кг в Rn (п^2, 2 ^ m ^ п) справедливы неравенства;

«обобщенные неравенства Минковского первого рода»

11

Wn-m (Ки .., Ku К^ > W^ (Ku ...» КхУ Wnm-m (Кг, . . -, Кг\

(839) 1m—1

Wn-Лкх, к2,.... к^>^пт-т(КхКхУ ^«Мк2)

(840) с равенствами только при положительной гомотетичности Ki и Кл

«обобщенные неравенства Минковского второго рода» Wn-m(Ku ...,Кх,К^>

т— 1

>Wn-m(KxКх^а-т(Кх, .... Кх, К-2, Ks\ (841) т-2

W2n-m(Kx, к2,..., К^> m— 1

>Wn-m(Kx, Кх, Кг, ...» KaWn-tn^’ ^2), (842) т-2

причем Кх и Кг положительно гомотетичны в том и только том случае, когда имеют место равенства не только в (841), (842), но и справедливы все равенства (822).

Конечно, неравенства (841), (842) суть частные случаи неравенства Александрова (723).

Прежде чем осуществить интересное применение обобщенных неравенств Минковского, определим понятие (т—1)-й

функции кривизны компактного выпуклого множества Ki в Rn X^s^m^nY Происхождение этого понятия восходит к случаю С2-гладкой границы дК\.

Пусть СДдВДо))—нормированное (с чебышевской нормой, т. е. с супремумом значений в качестве нормы) линейное пространство всех непрерывных вещественнозначных функций на стандартной единичной сфере ВВДо) пространства Rn. Пространство ^п(дВх (о)) всех сужений йкЪв,(О) на дВДо) опорных функций Ик всевозможных непустых компактных выпуклых множеств К в Rn, т. е. всевозможных К^Жп, является частью пространства Сп(дВ1(о)). Согласно Фенхелю и Иессену [64] при фиксированных К\, ..., Кп-\еЖп «положительно линейный» (т. е. линейный на комбинациях с неотрицательными коэффициентами) функционал на пространстве Э^ДдВ! (о)), действующий по правилу

hK\dBltoe^n(B^oY^V(K, Ку ...» MeR, однозначно распространяется с сохранением линейности до функционала на пространстве Cn(dBi(o)). Последнему, т. е. уже распространенному функционалу соответствует, как известно, некоторая положительная мера Радона — рцкхкп_,) па дВДо) такая, что для любой функции f е Cn(dBi(o)) значение этого функционала на [ представляется как

dBiloi

По этому поводу см., например, [8], теорему 43,4')• Мера ц^кп_,) была ранее несколько иным способом определена А. Д. Александровым [1] и названа им смешанной поверхностной функцией множеств К\, .. •, Кп-\.

Определение 24.1. Пусть Ai— непустое компактное выпуклое множество в Rn (п^2). Тогда мера Радона на дВДо)

т-1п—m

для которой при любом множестве КеЖп и его опорной функции Hr справедливо характеризующее эту меру равенство

У(К, Ки - .., Ку Bi(oY . .., Bi (о)) =4- J Wh«-i'(843) m — 1n-mдВ\(о)

называется (m—1)-й функцией кривизны множества Ку, при этом (п—1)-ю функцию кривизны называют поверхностной функцией множества.

*) См. также [33], с. 257. — Прим, перев.

А. Д. Александрову ([2], § 7, теорема 1) принадлежит следующая замечательная теорема (случай m = п восходит к Минковскому) об однозначной определенности, с точностью до параллельного переноса, компактного выпуклого множества в Rn его (т— 1)-й функцией кривизны.

Теорема 24.4. Пусть К\ и Кг— не менее чем т-мерные компактные выпуклые множества в Rn (и ^2), у которых (пг—1)-е функции кривизны (в смысле определения 24.1) одинаковы-.

^„'-1 = ^-,, 2<т^п. (844)

Тогда К\ и Кг равны с точностью до параллельного переноса.

Доказательство. Ввиду (844) и характеристического свойства (843) функции кривизны имеем в обозначениях (819)

Сопоставляя это с (840):

-(845)

после деления на Wn-m(Ki, ..., AJ^O1) получаем

П^р •••• KX)>W^K2,..., К2>(846)

Меняя роли Ki и Кг, имеем

^4№4>w-^kx, кху

Значит, в (846), и (845), и (840) должно быть равенство. Отсюда по теореме 24.3 множества Кх и Кг положительно гомотетичны с коэффициентом Л > 0, что влечет X = 1 ввиду равенства в (846) или ввиду Wn-mU^^ Wn-ткКг^ и (335). Значит, KY и Кг равны с точностью до параллельного переноса. □

Теорема единственности 24.4 естественно возбуждает вопрос о существовании компактного выпуклого множества К\ в Rn с наперед заданной (т—1)-й функцией кривизны ц^! при 2 ^ т ^ п. Легко видеть, что мера Радона р,^_х на дВх(о) не может быть произвольной. В частности, она должна удовлетворять требованию

y^m-i = O>(847)

дВДо)

*) Из dim К, ^ m по теореме 15.9 и (819) следует Wn-mlKiКд^ >0.

где v — радиус-вектор переменной точки на дВ^о). (Ср. определение 3.3.) Это, с физической точки зрения, означает, что центр тяжести сферы дВу^ при «распределении масс» p^‘_i должен совпадать с началом о е Rn. Свойство (847) непосредственно выводится из характеристического свойства (843) функции кривизны и из инвариантности смешанных объемов относительно трансляций. Действительно, из (843) после подстановки К + а вместо К получаем

п J nK+auV-m-\

OB^cO

=т SS уй^_х=^ $ м^-и

dBi(o)\ dBi(o)/ dBi(o)

то есть

что ввиду произвольности а влечет (847).

Опираясь на результаты Минковского, А. Д. Александров [3] и Фенхель и Иессеи [64] сумели независимо друг от друга показать, что условие (847) есть по существу единственное требование к мере на дйДо), чтобы эта мера была (и—■ 1)-й функцией кривизны, т. е. для любой меры Радона р на дйДо), удовлетворяющей условию и dp = о, всегда существует ком-

9В1(о)

пактное выпуклое множество Ai в Rn с (п—1)-й функцией кривизны рКд = И-

Согласно Файери [61], при m—1 = 1, кроме ^ и dp^1 = о,

дВ,(о) появляются конкретные дополнительные, в совокупности — необходимые и достаточные, условия на меру р^1, тогда как для случая 1 < m—1-< и—1 такие условия пока еще не известны *).

Упражнения

Доказать, что обобщенное неравенство Минковского первого рода (839)—лишь частный случай при Km+\ = Bt(o), ...» Кп = В\^ более общего неравенства

V ^К\, ..., К\, К21 Кт-н> •••> Кп^>

m— 11

>V т (Кь .... ^„ ^+1, .... KnW т 1К2А2,Кт+1А„)

т

£) См. в этой связи А. В. Погорелов [49]. — Прим, перев.

и с помощью последнего неравенства доказать по индукции для Ki, . ,.., Кп е 3^„ неравенство

V"1^^)>ff V^b - •- Kb. Km+i Kn\ !<«<«.

из которого, в частности, следует

V^Kx, .... K^>VX!n (Kt) ... VX!n kK„Y

Пусть Kt, .К,еЖ'„ (n 2) и V(Kt^) >0, V(K2, Ki, K®, .... Kn) > 0. Доказать, что тогда в неравенстве Александров! (723) равенство имеет место в том и только том случае, когда смешанные поверхностные функции и(К к к . и к к х пропорциональны)

V I’ х3’( х2' хзХП)

^2’ ^3^п) = “ ' ^(^1’ ^3М -“ = С0П51 > °‘

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ1)

Александров А. Д. К теории смешанных объемов выпуклых тел. I. Расширение некоторых понятий теории выпуклых тел. — Матем. сб., 1937, 2, № 5, с. 947—972.

Александров А. Д. К теории смешанных объемов выпуклых тел. II. Новые неравенства между смешанными объемами и их приложения.— Матем. сб., 1937, 2, № 6, с. 1205—1238.

Александров А. Д. К теории смешанных объемов выпуклых тел. III. Распространение двух теорем Минковского о выпуклых многогранниках на произвольные выпуклые тела. — Матем. сб., 1938, 3, .Ni 1,с. 27—46.

. Александров А. Д. К теории смешанных объемов выпуклых тел. IV. Смешанные дискриминанты и смешанные объемы. — Матем. сб., 1938, 3, № 2, с. 227—251.

Андерсон, Кли (Anderson R. D., Klee V. L.) Convex functions and upper semi-continuous collections. — Duke Math. J_, 1952, 19, p. 349—357.

Ауман (Aumann G.) On a topological characterization of compact convex point sets. — Ann. Math., 1936, 37, p. 443—447.

-Бартель (Barthel W.) Zum Busemannschen und Brunn-Minkowskischen Satz. — Math. Z„ 1959, 70, S. 407—429.

Бауэр (Bauer H.) Wahrscheinlichkeitstheorie und Grundziige der Mass- theorie.— Berlin: de Gruyter, 1968.

Баум (Baum D.) Zur analytischen Darstellung des Randes konvexer Korper durch Stiitzhyperboloide I. — Manuscr. Math., 1973, 9, S. 113—141.

Бляшке (Blaschke W.) Raumliche Variationsprobleme mit symmetrischer Transversalitatsbedingung. — Ber. Sachs. Akad. Wiss. Math. Phys. KL, 1916, 68, S. 50—55.

Б л я ш к e В. Круг и шар. — M.: Наука, 1967.

Боль (Bol G.) Beweis einer Vermutung von H. Minkowski. — Abh. Math. Sem. Hamburg, 1943, 15, S. 37—56.

Боннезен (Bonnesen T.) Les problemes des isopferimetres et des isepi- phanes. — Paris: Gauthier-Villard, 1929.

Боннезен, Фенхель (Bonnesen T., Fenchel W.) Theorie der konve- xen Korper. — Berlin: Springer, 1934; N. Y., 1948.

Буземан (Busemann H.) Intrinsic area.—Ann. Math., 1947, 48, p. 234— 267.

Буземан (Busemann H.) A theoiem on convex bodies of the Brunn-Min- kovski-type. — Proc. Nat Acad. Set, 1949, 35, p. 27—31.

. Буземан Г. Выпуклые поверхности. — M.: Наука, 1964.

Булиган, Шоке (Bouligand G., Choquet G.) Problemes lies a des metriques variationelles.— C. R. Acad. Sci. Paris, 1944, 218, p. 696—698.

. Бураго Ю. Д., За лгал лер В. А. Достаточные признаки выпуклости.— Зап. научи, семинаров Лениигр. отд. МИАН СССР, 1974, 45, с. 3—52.

20.Бураго IO. Д., Залгаллер В. А. Геометрические неравенства. — Л.5 Наука, 1980.

Валентайн (Valentine F.) Convex sets. — N. Y., 1964.

Гросс (Gross W.) Die Minimaleigenschaft der Kugel. — Monatsh. Math. Phys., 1917, 28, S. 77—97.

Грубер (Gruber P.) Ober kennzeichnende Eigenschaften von Ellipsoiden und euklidischen Raumen III. — Monatsh. Math., 1974, 78. S. 311—340.

Грюнбаум (Griinbaum В.) Convex polytopes. — London: Interscience Publ., 1967.

Грюнбаум Б. Меры симметрии выпуклых множеств. — В кн. Грюнбаум Б. Этюды по комбинаторной геометрии и теории выпуклых тел. — М.: Наука, 1971, с. 5—57.

Данцлер Л., Грюнбаум Б., Кли В. Теорема Хелли и ее применения.— М.: Мир, 1968.

Д а и ц е р, Л а у г в и ц, Ленц (Danzer L., Laugwitz D., Lenz H.) Ober das Lownersche Ellipsoid und sein Analogon unter den einem Eikoiper einbeschriebenen Ellipsoiden. — Arch. Math., 1957, 8, S. 214—219.

Дворецкий (Dvoretzky A.) A converse of Holly’s theorem of convex sets. — Pacific J Math., 1955, 5, p. 345—350.

Джемс (James R. C.) Inner products in normed linear spaces. — Bull. Amer. Math. Soc., 1947, 53, p. 559—566.

ДО*. Егорычев Г. П. Решение проблемы Ван дер Вардена для перманеп- ' тов. — ДАН СССР, 1981, 258, № 5, с. 1041—1044.

‘31*. Ефимов Н. В. Высшая геометрия. — М.: Физматгиз, 1961.

Зюсс (Siiss W) Zusammensetzung von Eikorpern .und homothetischen ' Eiflachen. — Tohoku Math. J., 1932, 35, p. 47—50.

. К а и т о p о в и ч Л. В., Акилов Г. П. Функциональный анализ. — М.: Наука, 1984.

Карате од ори (Caratheodory С.) Ober den Variabilitatsbercich der Fourierschen Konstanten von positiven harmonischen Functionen. — Rend. Circ. -Mat. Palermo, 1911, 32, p. 193—217.

Кирхбергер (Kirchberger P.) Ober Tschebyscheffsche Annaherungsme- thoden.— Math. Ann., 1903, 57, S. 509—540.

Кли (Klee V. L.) Extremal structure of convex sets 1. — Arch. Math., 1957, 8, S. 234—240.

Кли (Klee V. L.) Extremal structure of convex sets II. — Math. Z., 1958, 69, S. 90—104.

Кли (Klee V. L.) Some characterizations of convex polyhedra. — Acta Math., 1959, 102, p. 79—107.

Кнезер, Зюсс (Kneser H., Siiss W.) Die Volumina in linearen Scharen knovexer Korper.— Mat. Tidskr. B, 1932, 1, p. 19—25.

Красносельский M А. Об одном критерии звездности. — Матем. сб„ 1946, 19, с. 309—310.'

Крейн М. Г., Мильмаи Д. П. (Krein М., Milman D.) On extreme points of regularly convex sets. — Studia Math., 1940, 9, p. 133—138.

Л а у г в и ц (Laugwitz D.) Konvexe Mittelpunktsbereiche und normierte Raume. — Math. Z„ 1954, 61, S. 235—244.

Лейхтвейс (Leichtweiss K.) Zwei Extremalprobleme der Minkowski- Geometrie. — Math. Z., 1955, 62, S. 37—49.

Лейхтвейс (Leichtweiss K.) Selbstadjungierte Banachraume. — Math. Z„ 1959, 73, S. 335—360.

Лейхтвейс (Leichtweiss K.) Ober eine analytische Darsteilung des Randes konvexer Korper. — Arch. Math., 1965, 16, S. 300—319.

Макмаллен (McMullen P.) Metrical properties of convex sets. — Preprint, 1974.

Макмаллен, Шепард (McMullen P., Shephard G.) Convex polytopes and the upper bound conjecture. — Cambridge Univ. Press, 1971.

Моцкин (Motzkin T.) Sur quelques proprietes characteristiques des ensembles bornes non convexes.— Rend. Acad. Lincei, 1935, 21, p. 773—779. 49*. Погорелов А. В. Многомерная проблема Минковского.— M.: Наука, 1975.

Радон (Radon J.) Ober eine besondere Art ebener konvexer Kurven.— Ber. Sachs. Akad. Wiss., Math. Phys. KI., 1916, 68, S. 123—128

Радон (Radon J.) Mengen konvexer Korper, die einen gemeinsamen Punkt enthalten. — Math. Ann., 1921, 83, p. 113—115.

*. Решетняк Ю. Г. Одна экстремальная задача из теории выпуклых кривых. — УМН, 1953, 8, № 6, с. 125—126.

РиссФ., Секефальви-НадьБ. Лекции по функциональному анализу.— М.: ИЛ, 1954.

Роджерс, Шепард (Rogers С. A., Shephard G.) The difference body of a convex body. — Arch. Math., 1957, 8, S. 220—233.

Сапдгрен (Sandgren L.) On convex cones. — Math. Scand., 1954, 2, p. 19—28. '

Страшевич (Straszewicz S.) Cbcr exponierte Punkte abgcschlossener Punktmengen.— Fund. Math., 1935, 24, S. 139—143.

57*.Тессье (Teissier B.) Du theoreme de 1’index de Hodge aux inegalites isoperimetriquez.— C. R. Acad. Sci., 1979, AB 288, № 4, A287—A289.

Тити (Tietz H.) Linear Geometric.— Munster: Aschendorff, 1967.

Уиле (Wills J.) Zur Gittcrpunktanzahl konvexer Mengen. — Elemente Math., 1973, 28, S. 57—63.

Фавар (Favard J.) Sur les corps convexes. — J. Math. Pures Appl., 1933, 12, p. 219—282.

Фаз ри (Firey W.) Christoffel’s problem for general convex bodies.— Mathematika, 1968, 15, p. 7—21.

Фенхель (Fenchel W.) Inegalites quadratiques entre les volumes mixtes des corps convexes. — C. R. Akad. Sci. Paris, 1936, 203, p. 64 7—500.

Фенхель (Fenchel W.) Generalisation du theoreme de Brunn et Minkowski concernant les corps convexes. — C. R. Acad. Sci. Paris, 1936, 203, p. 764—766.

Фенхель, Flee сен (Fenchel W,, Jessen B.) Mengenfunktionen und konvexe Korper.— Kgl. Dansk. Vid. Seis. Math.-fys. Meddl., 1938, 16, № 3, S. 3—31.

ХадвигерГ. Лекции об объеме, площади поверхности и изопериметрии. — М.: Наука, 1966.

X а м м е р П. (Hammer Р. С.) Semispaces and the topology of convexity — Proc. Amer. Math. Soc., 1963, 7, p. 305—309.

Хаммер P. (Hammer R.) Eine kategorielle Charakterisierung von Fa- milien konvexer Mengen. — Abh. Math. Sem. Hamburg, 1975, 43, S. 92— 104.

Хелли (Helly E.) Uber Mengen konvexer Korper mit gemeinschaftlichen Punkten. — Jahresber. DMV, 1923, 32, S. 175—176.

Хелли (Helly E.) Uber Systeme abgeschlossener Mengen mit gemeinschaftlichen Punkten. — Monatsh. Math., 1930, 37, S. 281—302.

. X о в а н с к и й А. Г. Алгебра и смешанные объемы. — Добавление 3 к гл. 4 англ, перевода книги [20*].

. Шепард (Shephard G. С.) Inequalities between mixed volumes of convex sets. — Mathematika, 1960, 7, № 2, p. 125—138.

Шмидт (Schmidt E.) Der Brunn-Minkowskische Satz und sein Spiegel- theorem sowie die isoperimetrische Eigenschaft der Kugel in der eukli- dischen und hyperbolischen Geometric. — Math. Ann., 1948, 120, S. 307— 422.

Шмидт (Schmidt E.) Die Brunn-Minkowskische Ungleichung und ihr Spiegelbild sowie die isoperimetrische Eigenschaft der Kugel in der euklidi- schen und nichtcuklidischen Geometric I, II. — Math. Nach., 1948, 1, S. 81 — 157; 1949, 2, S. 171—244.

Шнейдер (Schneider R.) Steiner points of convex bodies. — Israel J. Math., 1971, 9, p. 241—249.

Шнейдер (Schneider R.) Kriimmungsschwerpunkte konvexer Korper I.— Abh. Math. Sem. Hamburg, 1972, 37, S. 112—132.

Шнейдер (Schneider R.) Kriimmungsswerpunkte konvexer Korper II.— Abh. Math. Sem. Hamburg, 1972, 37, S. 204—217.

Эглстои (Eggleston HO Convexity. — Cambridg Univ. Press, 1963.

Юнг (Jung H. E. W.) Uoer die kleinste Kugel, die eine raumliche Figur einschliesst. — J. Reine Anew. Math., 1901, 123, S. 241—257.

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ

Базис пересечений минимальный 17

Вектор линейности 100

— параметризующий 130

Векторный полярный момент 202

Вершина выпуклого многогранника 41

множества 101

— многогранного множества 48

Внутренность множества 9

относительная 11

Геометрия комбинаторная 65

— Минковского 106

Гиперболоид вращения 131

Гиперплоский элемент 130

Гиперплоскость 6

— опорная 24

•регулярная 127

сингулярная 127

— отделяющая 22

— экстремальная 63

Гомотетия 77

Граница тени 135

Грань выпуклого многогранника 41

несобственная 41, 48

множества 53, 126

— многогранного 48

— симплекса 10

Двойственность 53

Диаметр множества 73, 249

в геометрии Минковского 282

Длина отрезка в геометрии Минковского

115

Задача изодиаметральная 271

— изопериметрическая 271

Замыкание 9

Звезда точки 71

Лемма Зюсса 243

— Йенсена 250

— Радона 135

— Цорна 12, 23

Линейная комбинация выпуклых множеств 78, 256

Луч экспонированный 36

— экстремальный (крайний) 34

Мера векторная поперечная 203

— внешняя поперечная 179

— интегральная поперечная 183, 201, 208

—смешанная 318

— Радона 28

Меры выпуклого множества основные 176—185

— симметрии 245. 249

Метрика вспомогательная 9

— Минковского 113

— Хаусдорфа 145

Многогранник выпуклый 21, 40

— — примитивный 288

симплиниальмый 288

— крестовый 42, 108

— собственный 189

ортогональный 189

— ступенчатый цилиндрический 189, 193

Многогранники аналогичные 289

— комбинаторно эквивалентные 44

сильно 289

— трансляционно равносоставленные 189

Множество аффинно независимое 6

— внешнее параллельное 84, 176

— внутреннее параллельное 84

— вращательно симметричное 225

— выпуклое 6

— — строго 92

— звездное 16, 71

— многогранное 47

— ограниченное 21

— полярное 57, 286

— связное 88

— центрально симметричное 83

Изображение сферическое 184Изопернметрикс 279, 282Инволюция 59Индекс билинейной формы 307 — дополнительный 308Изображение сферическое 184Изопернметрикс 279, 282Инволюция 59Индекс билинейной формы 307 — дополнительный 308Компактность секвенциальная 149Конус выпуклый 15двойственный 57— нормалей 129— опорный 64, 99, 112— полярный 54— предельный 16, 53, 121— проекционный 56. G4Координаты барицентрические 6Куб 125Каррепкбгрег (околпаченное тело) 284Компактность секвенциальная 149Конус выпуклый 15двойственный 57— нормалей 129— опорный 64, 99, 112— полярный 54— предельный 16, 53, 121— проекционный 56. G4Координаты барицентрические 6Куб 125Каррепкбгрег (околпаченное тело) 284Надграфик 92Неравенство Александрова 286— Брунна 232— Брунна — Минковского 250— Буземана 260— Нейсона 93— изодиаметральиое 274в геометрии Минковского 282— изопериметрическое 273■в геометрии Минковского 282— интегральных поперечных мер 325— квадратичное для смешанных объемов 286— между арифметическим и геометрическим средними 96, 315— Минковского второго рода 283_ —обобщенное 325— — первого рода 277— — — — обобщенное 325Надграфик 92Неравенство Александрова 286— Брунна 232— Брунна — Минковского 250— Буземана 260— Нейсона 93— изодиаметральиое 274в геометрии Минковского 282— изопериметрическое 273■в геометрии Минковского 282— интегральных поперечных мер 325— квадратичное для смешанных объемов 286— между арифметическим и геометрическим средними 96, 315— Минковского второго рода 283_ —обобщенное 325— — первого рода 277— — — — обобщенное 325Монотонность смешанных объемов 166

Изображение сферическое 184

Изопернметрикс 279, 282

Инволюция 59

Индекс билинейной формы 307

— дополнительный 308

Изображение сферическое 184

Изопернметрикс 279, 282

Инволюция 59

Индекс билинейной формы 307

— дополнительный 308

Компактность секвенциальная 149

Конус выпуклый 15

двойственный 57

— нормалей 129

— опорный 64, 99, 112

— полярный 54

— предельный 16, 53, 121

— проекционный 56. G4

Координаты барицентрические 6

Куб 125

Каррепкбгрег (околпаченное тело) 284

Компактность секвенциальная 149

Конус выпуклый 15

двойственный 57

— нормалей 129

— опорный 64, 99, 112

— полярный 54

— предельный 16, 53, 121

— проекционный 56. G4

Координаты барицентрические 6

Куб 125

Каррепкбгрег (околпаченное тело) 284

Надграфик 92

Неравенство Александрова 286

— Брунна 232

— Брунна — Минковского 250

— Буземана 260

— Нейсона 93

— изодиаметральиое 274

в геометрии Минковского 282

— изопериметрическое 273

■в геометрии Минковского 282

— интегральных поперечных мер 325

— квадратичное для смешанных объемов 286

— между арифметическим и геометрическим средними 96, 315

— Минковского второго рода 283

_ —обобщенное 325

— — первого рода 277

— — — — обобщенное 325

Надграфик 92

Неравенство Александрова 286

— Брунна 232

— Брунна — Минковского 250

— Буземана 260

— Нейсона 93

— изодиаметральиое 274

в геометрии Минковского 282

— изопериметрическое 273

■в геометрии Минковского 282

— интегральных поперечных мер 325

— квадратичное для смешанных объемов 286

— между арифметическим и геометрическим средними 96, 315

— Минковского второго рода 283

_ —обобщенное 325

— — первого рода 277

— — — — обобщенное 325

Неравенство средней ширины 274

— Шварца 8, 94

— Шепарда 286

Норма 115

Носитель полупучка 259

Разноси, выпуклых множеств элементарно геометрическая 194

Расстояние евклидово 9i

— по Хаусдорфу 144

Решетка граней многогранника 44

Оболочка аффинная 10

— выпуклая 1и

замкнута,] 22, 27

— замкнутая 10

— проективная 53

Объединение множеств дизъюнктное 189

Объем 155

— m-мерный в геометрии Минковского 278

— относительный 252

— проекционно-инвариантный 259

— смешанный 163

Ограниченность 21

Околпаченное тело 284

Окрестность 9

Округление по Шварцу 224

Операция полунепрерывная 222

Ортогональность в геометрии Минковского 134

Отделимость 22. 129

Отношение разностное 97

Отображение аффинное 8

— сферическое 132

Параллелепипед 42, 62, 108

Параллельный перенос (трансляция) 76

Периметр 119

Перманент 2^6

Плоскость Минковского 119

Площадь поверхности выпуклого множества 179

—в геометрии Минковского 282

Подпространство аффинное 5

— двойственное 53

— проективное 53

Полость гиперболоида опорная 132

Полупространство 6

— выпуклое, вогнутое 132

— параллельное 24

— флаговое 12, 17

Полупучок 259

Поляритет 54, 62

Последовательность Коши 148

Постоянная Юнга 75

Признак звездности 71

Признаки выпуклости 85, 104

Пршзведенпе скалярное 9

— множеств декартово 84

— множества на скаляр 77

Производная двусторонняя 100

— по направлению односторонняя 98

Пространство аффинное 8

— Банаха конечномерное 114

— Минковского 114

— непрерывных функций на сфере 326

— опорных элементов 130

— проективное 53

Прямая каналовая 209

— шкалирующая 259

Пучок гиперплоскостей 45

— прямых 54

— множеств параллельный 258

Равносоставленность 189

Разбиение в смысле элементарной геометрии 190

Разложение Штейнера 176

Размерность выпуклого множества И

- ' ростраиства 6

Разность выпуклых множеств 83, 256

Семейство вполне выпуклое, вогнутое, ли* нейное 210

— выпуклое, вогнутое, линейное 207

— каналовое 209

— вроекционно инвариантное 259

— расширяющееся 8

— симметрия^ юшее 209

— телескопическое 211, 217

—- упорядоченное по включению 8

Симметризация Бляшке 224, 273

— непрерывная 209

— относительно подпространства 140

— центральная 211

— Шварца 224

— Штейнера 205

Симплекс 7, Ю, 18. 31, 42

— ортогональный 189

Сложение (по Минковскому) 76

Среднее р-й степени 250

Сумма выпуклых множеств 76

— элементарно геометрическая 194

Сфера в геометрии Минковского 114

Сходимость выпуклых компактов 145

Тело векторное 83

— выпуклое 11

— нормирующее 114

— разностное 83, 241

Теорема Александрова 326

— Бляшке 138

— Боннезена 239

— Крупна 232

— Бруина — Минковского 250

7 — обобщенная 311

— Буземана 260

—• выбора Бляшке 149

— Дворецкого 85

— Каратеодори 18, 55

— Кли 34, 39, 51

— Коши 179

— Красносельского 71

— Крейна — Мильмана 32, 63

— Куботы 182

— Лейхтвейса 116

— Минковского 233

— Моцкина 91

— Радона 21, 135

— Страшевича 37

— Хадвигера 188

— Хаммера 88

— Хелли 65

— Шмидта (обратная к теореме Бруина — Минковского) 256

— Шнейдера 204

— Штейнера 176

— Юнга 73, 116

Тип комбинаторный многогранника 288

Топология стандартная 9

— Хаусдорфа 145

Точка аффинно зависимая 5

— внутренняя 11

— выпукло зависимая 6

— граничная гладкая 101, 113

сингулярная 101, 112

— достижимая 36

— крайняя 31

— опорных расстояний 299

— положительно зависимая 15

— строгой выпуклости 36

— Штейнера 203

Точка экспонированная 36

— экстремальная 30

Точки аффинно независимые (общего положения) 6

Трансверсальность 134

Трансляция 76.

«Увеличение» множества 78

Угол внешний при грани многогранника 184

•- симплицнальный многогранный 33, 48 «Утрясывание» выпуклого множества к

гиперплоскости 223

ФуикЦиоиал на компактных выпуклых множествах 186, 326

— векториозначный 204

— проекционио инвариантной 259

Функция аффинная 92

— вогнутая 232

— выпуклая 92

— дистанционная выпуклого тела 107, 108. 122

— дифференцируемая 100

— кривизны 326

— опорная компактного выпуклого множества 122, 123

— поверхностная 326

Функция поверхностная сметанная 32?

— положительно однородная 99, 107

— полуосей 133

— с возрастающей производной 95

— строго выпуклая 92

— субаддитивиая 99, 107

— характеристическая 245

Центр тяжести 28, 116, 202

кривизны 203

Цилиндр телесный эллиптический 108

Шар 58

— околпаченный 284

— описанный 73

— — в геометрии Минковского 116

Шестиугольник аффинно правильный 119

Ширина множества 187, 271

Шкала 259

Эквивариантность 203

Элемент гиперплоский опорный 130

Эллипсоид Лёвиера 140

— телесный 8, 31, 124, 125

Эрлангеиская программа 8

Ядро множества 16

•) Свойство U быть окрестностью проверяется как и для W.

*) Это название связано с тем, что он двойствен «-мерному кубу — является, подобно октаэдру в Р3, выпуклой оболочкой центров гиперграней кубе. — Прим, перге.

*) Это сразу следует из того, что множество ра(К(т)) в декартовых ко

ординатах gi, •••, ^-1 в 4(a) с осью gn-i, идущей вдоль О', представляется

* 0, 7-2 + ^.

к. ЛЕЙХТВЕЙС

Выпуклые

множества

Перевод с немецкого

В. А. ЗАЛГАЛЛЕРА и Т. В. ХАЧАТУРОВОЙ

Под редакцией

В. А. ЗАЛГАЛЛЕРА '

МОСКВА «НАУКА»

ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1985

*6^-884544 Л 42ВДМ-444.1Х—*6^-884544 Л 42ВДМ-444.1Х—

*6^-88454

4 Л 42ВДМ-444.1Х—

*6^-88454

4 Л 42ВДМ-444.1Х—

Konvexe Men gen

von K. Leichtweifi

VEB Deutscher Verlagder Wissenschaften

Berlin 1980

Лейхтвейс К. Выпуклые множества: Пер. с нем.— М.: Наука. Глав пая редакция физико-математической литературы, 1985. — 336 с.

Начальные сведения из теории выпуклых множеств излагаются во многиг книгах по оптимизации и выпуклому анализу. Настоящая книга К- Лейхтвен са — написанный с геометрических позиций учебник. Здесь впервые в учебнуи литературу включены не только начала теории выпуклых множеств, но и клаг сическая теория смешанных объемов, доведенная до полного геометрической доказательства неравенства Александрова — Фенхеля. Это особенно ценю сейчас, когда раскрылись новые связи теории смешанных объемов с алгеброй комбинаторикой и теорией случайных процессов. Книга отличается детальностью изложения и доступностью. Ею могут пользоваться не только специа листы, но и студенты младших курсов.

Ил. 40. Библиогр. 78 назв.

© VEB Deutscher Verlag derWissenschaften, Berlin, 1980

- 1702030000—080 оо ов

© Перевод на русский язык.. Издательство «Наука».Главная редакция физико-математической литературы 1985© Перевод на русский язык.. Издательство «Наука».Главная редакция физико-математической литературы 1985Л "~053(02Н8Г" 22-86

© Перевод на русский язык.

. Издательство «Наука».

Главная редакция физико-математической литературы 1985

© Перевод на русский язык.

. Издательство «Наука».

Главная редакция физико-математической литературы 1985