От издательства

Капитальный труд австралийского математика профессора Р. Э. Эдвардса, предлагаемый вниманию читателя, отличается своеобразием замысла, обстоятельностью изложения и сравнительной элементарностью. Во многих отношениях эта книга удачно дополняет известную монографию Н. Данфорда и Дж. Шварца «Линейные операторы».

Профессор Р. Э. Эдвардс написал предисловие к русскому изданию и прислал несколько списков исправлений и добавлений к английскому тексту. Издательство считает своим приятным долгом выразить ему признательность-.

Предисловие к русскому изданию

Я рад представившейся возможности высоко оценить усилия переводчиков и редакторов, направленные на решение изнурительной задачи перевода моей книги на русский язык. Не довольствуясь формальным переводом, они внесли многочисленные ценные предложения, способствующие улучшению изложения.

Мой долг поблагодарить также проф. Лорана Шварца, проф. Р. С. Филлипса, д-ра Ф. Смитиса и д-ра Я. Макдональда, каждый из которых оказался настолько любезен, что написал мне о некоторых из многочисленных опечаток, неясностей и технических пробелов, содержащихся в английском издании.

Основное изменение, которое повлекли эти замечания, состоит в полном пересмотре доказательства теоремы 5.8.1 и следовавшего за ней в английском издании замечания, что привело к появлению нового п. 5.8.2.

В русском издании имеются также некоторые добавления к библиографии.

Я надеюсь, что в результате этих объединенных усилий книга стала лучше и что она окажется полезной по крайней мере для некоторых из моих русских коллег и в некоторой степени вознаградит их за ту пользу, которую я извлекаю из чтения английских переводов их работ.

Р. Э. Эдвардс Канберра Февраль 1968

Предисловие

Классическая «Теория линейных операций» Банаха [1] содержала значительную часть известных к моменту ее выхода в свет фактов как «чистой» теории, так и приложений функционального анализа. С тех пор и теория и приложения бурно развивались. Более современные книги по функциональному анализу в своем большинстве имеют уклон в сторону абстрактной теории, оставляя приложениям роль упражнений для- читателя. Другие же книги посвящены различным частным приложениям; в них необходимая функционально аналитическая основа едва затрагивается.

Я попытался в этой книге дать изложение ряда современных исследований, в котором теория и приложения играют примерно равную роль. Если чему и отдано предпочтение, так это, пожалуй, приложениям. При этом я исходил из двух положений: во- первых, из возможности разумного разделения функционального анализа на «чистый» и «прикладной» (оставляя в стороне спорный вопрос о том, где проходит граница между ними); во-вторых, из целесообразности изложения, при котором обеим сторонам уделяется равное внимание, отчего выигрывает каждая из сторон. Мне представляется само собой разумеющимся, что приложения абстрактных методов действительно полезны и как объединяющий фактор и как источник новых результатов и проблем. Кроме того, успешное усвоение предмета возможно лишь при изучении общих теорем в тесной связи с их нетривиальными приложениями.

Для достижения поставленной цели пришлось кое-чем поступиться. Прежде всего в отношении охваченного в этой книге материала ее нельзя рассматривать как исчерпывающий трактат ни по функциональному анализу, ни даже по топологическим векторным пространствам. Достаточно сказать, что в ней либо совсем не затрагиваются, либо только упоминаются такие вопросы, как теория упорядоченных векторных пространств, топологических алгебр, общая спектральная теория и топологические тензорные произведения. Далее, стремление привести нетривиальные приложения избранных разделов абстрактной теории воспрепятствовало тщательному изучению ее «внутренних» про-

блем. Так, например, оставлены в стороне многие вопросы, касающиеся общих структурных свойств топологических векторных пространств. Нет также исчерпывающего исследования различных типов таких пространств. Фактически рассматриваются те и только те свойства, которые на сегодняшний день оказались особенно полезными в приложениях. Если же в некоторых случаях общая теория излагается в большем объеме, чем это необходимо для последующих приложений, то причины кроются в личных вкусах автора.

В приложениях аксиоматически построенных георий редко соблюдается та безупречность логического строения, которая присуща самим этим теориям, и в некоторых случаях нарушение логического порядка даже желательно. Так, будь это книга по теории топологических векторных пространств самих по себе, гл. 4 и 5 должны были бы почти наверняка следовать за гл. 6—8. Хотя принятое расположение материала и не отвечает требованиям строгой логики, тем не менее оно позволяет мотивировать введение некоторых классов топологических векторных пространств, которое при другом порядке изложения могло бы показаться надуманным. Общие результаты свободно применяются раньше их систематического рассмотрения, если представляется такая возможность и если не возникает опасности порочного круга. В особенности это относится к результатам теории двойственности (гл. 8), которые применяются в гл. 4—7:

При изложении абстрактной теории я существенно использовал ряд имеющихся книг, а именно монографии Бурбаки, Гротендика, Данфорда и Шварца и в меньшей степени Дэя, Тэйлора, Кёте и Келли и Намиоки. Материал для приложений частично обязан своим происхождением тем же источникам, но большая его часть основана на сообщениях на различных семинарах, опубликованных научных статьях и монографиях.

В список приложений, которые было бы желательно охватить, но которые фактически не были здесь охвачены, безусловно, следует включить линейные аспекты анализа на многообразиях (в том числе теорию потоков де Рама) и «теоремы конечности» теории когомологий на комплексно аналитических многообразиях. Следовало бы больше сказать о линейных аспектах теории потенциала. Эти вопросы, как и многие другие, не были включены в книгу потому, что они требуют предварительного изучения весьма громоздкого технического аппарата, значительная часть которого выходит за рамки функционального анализа.

Проповедование одновременно двух различных точек зрения всегда чревато опасностью, что ни одна из них не будет изложена удовлетворительно. Более всего опасаюсь в этом смысле за гл. 5. Функционально аналитический подход к теории линейных

дифференциальных уравнений в частных производных разрабатывается в настоящее время с исключительной активностью. Ввиду наличия обширной -классической литературы по таким уравнениям естественно было бы новые идеи и методы постоянно сравнивать и сочетать со «старой» техникой. Для этого, однако, пришлось бы включить в книгу массу материала, имеющего мало или даже не имеющего никакого функционально аналитического содержания. Опорой для моей позиции служат некоторые замечания Гординга, приведенные в начале гл. 5. Надеюсь, что эта глава, несмотря на свои очевидные недостатки, передает дух совсем недавно возникшей области приложений функционального анализа.

Для удобства читателя в вводной главе (гл. 0) кратко изложены некоторые результаты теории множеств и общей топологии. Предполагается, что читатель знаком с основными понятиями этих разделов математики и что ему известно беско- ординатное определение векторного пространства. Знание классического анализа предполагается в весьма скромном объеме. В частности, хотя знание интеграла Римана от непрерывных функций по компактному интервалу обязательно, ссылки на интеграл Лебега сведены к минимуму вплоть до гл. 4, содержащей полную и подробную его теорию.

После каждой главы следуют упражнения. Имеется в виду, что читатель будет внимательно заниматься ими. Иногда упражнения используются для сокращения основного текста путем вынесения в них доказательств вспомогательных результатов, но чаще целью упражнений является расширение, развитие или уточнение различных частей основного материала. Наиболее сложные упражнения сопровождаются указаниями к решению.

Библиография не претендует на полноту. На некоторые названия нет никаких ссылок в тексте; они включены в список как объекты для дальнейшего изучения в направлении, которое обычно соответствует заглавию.

Конец доказательства отмечается символом |.

Кроме именного и предметного указателей, в книгу включен также список часто употребляемых обозначений.

Пользуясь случаем, приношу свою искренюю благодарность лицам, принимавшим участие в печатании рукописи: Дж. Чепмэн из Редингского университета в Англии, М. Эдмондс и С. Стаки из Института современных исследований при Австралийском национальном университете. Каждая из них положила много часов труда на мою книгу, за что я теперь с радостью приношу им свою признательность.

Я благодарен редактору книги проф. Э. Хьюитту за поддержку и советы, а также д-рам М. Данвуди и Б. Брэйнерду за

воодушевляющие замечания и ценные предложения, сделанные ими после прочтения отдельных частей рукописи. Я хотел бы также поблагодарить проф. Л. Гординга и д-ра Дж. А. Тодда за разрешение процитировать в § 5.12 некоторые опубликованные высказывания первого из них.

Но больше всего я обязан, пожалуй, моей жене. Она проделала громадную обременительную работу по чтению корректур и составлению указателей и библиографии. И еще я благодарен ей за то (и это, быть может, самое главное), что она постоянно ободряла меня в тех, к сожалению, весьма частых случаях, когда у меня ничего не получалось так, как я бы того хотел.

Р. Э. Э.

Канберра

Февраль 1965

ГЛАВА О

Предварительные сведения иа теории множеств и топологии

0.0. Предисловие

Излагая в одной главе сводку основных сведений из теории множеств и общей топологии, вряд ли можно сделать изложение полным; трудно даже сохранить логическую последовательность. Ярким примером отступления от идеальной схемы является отсутствие всякого «традиционного» рассмотрения таких основных множеств, как множество натуральных чисел, поле вещественных и поле комплексных чисел. Напротив, предполагается, что читатель вполне знаком с алгебраической и топологической структурами, которыми обычно наделяются эти множества, даже если они ему и не известны под таким названием. При этом, возможно, нарушается логический порядок, однако такое изложение соответствует той последовательности, в которой обычно преподают и изучают математику. Не будет большой ошибкой рассматривать эту главу как сводку понятий и необходимой техники, а не как логически связное изложение некоторых бурно развивающихся областей исследования.

0.1. Предварительные сведения из теории множеств

Мы придерживаемся «наивного» взгляда на теорию множеств, следуя, например, книге Хал мош а [4]. Читатель, которого такой подход не удовлетворит, может воспользоваться книгой С а пс а [I]1) и собранной там библиографией. Обзорное изложение аксиоматического подхода имеется в разделе «Добавление» в книге Келли [1]. Мы нигде не говорим о «классах» в смысле, технически отличном от «множеств» (хотя, согласно аксиоматике, иметь в виду такое различие иногда необходимо во избежание логических противоречий). Дело в том, что все классы, с которыми мы имеем дело, в действительности являются множествами в том специальном смысле этого слова, который оно имеет в соответствующей аксиоматике.

0.1.1. Основные теоретико-множественные обозначения. Символ е мы всегда употребляем для обозначения принадлежности.

’) Советскому читателю можно рекомендовать книгу Бурбаки [1]. — Прим, перев.

Запись хе А означает, что А— множество и что объект х является точкой (членом, элементом) множества А. (Читатель, вероятно, отметит отождествление объекта с символом для его обозначения, что является одной из форм наивного взгляда на теорию множеств.) Отрицание утверждения хе А записывается так: х фА.

Множества часто задаются определяющим их свойством. Элемент принадлежит множеству тогда и только тогда, когда он обладает указанным свойством. В соответствии с этим если Р— некоторая функция высказываний, то через {х: Р^х^ обозначается множество тех и только тех объектов х, для которых истинно Р(х). Во избежание недоразумений (см. Келли [1, стр. 14]1)) условимся подчинять эту символику следующему пра-* вилу: между первой скобкой и двоеточием будем записывать символ связанной переменной, который и тут, и в Р(х) может быть заменен любым символом, отличным от всех тех, которые наряду с х фигурируют в высказывании Р^.

Конечные множества можно задать перечислением их элементов, которые заключаются в скобки и разделяются запятыми (если множество содержит более одного элемента). Так, например, множество, составленное из элементов х, у, z (или объектов, обозначаемых этими буквами) записывается в виде {х, у, г}. В частности, {х} есть множество, состоящее из единственного элемента х.

Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым множеством и обозначается через 0. Его можно „определить как множество {х: x4=xY

Пусть А и В — два множества. Отношение АеВ (которое читается «А содержится в В», или «В содержит А», или «А—подмножество множества В», или «В — надмножество множества Л») означает, что каждый элемент множества А принадлежит множеству В. Это отношение может быть записано и так: В о А. Если АеВ и ВеС, то АеС. Одновременное выполнение отношений АеВ и В е А влечет за собой равенство А=В. Непустое множество Л cz В называется собственной частью множества В, если АфВ.

Под объединением множеств А и В понимается множество {х: хеА или хеВ (или выполнены оба эти условия)}, которое обозначается через ЛОВ. Объединение ЛОВ— наименьшее множество, содержащее одновременно множества Л и В.

Пересечением множеств Л и 6 называется множество {х: х е А и хе BY

которое обозначается через ЛАВ.

!) Во всех случаях, когда имеется русский перевод, номера страниц ука зываются по нему. — Прим, перед.

Для любого множества Л справедливы отношения 0аА, AU0 = A, АП0 = 0.

Множества А и В называются непересекающимися, если АГ\В = 0. Систему множеств Л, будем называть дизъюнктной, если любые два множества А и В из JL либо совпадают, либо не пересекаются.

Абсолютным дополнением множества А (обозначается через ~Л) называют множество {х: х^А}. Относительным дополне* нием множества А в множестве В называют множество В\Л = = ВЛ(~Л).

Легко показать, что операции объединения и пересечения множеств коммутативны и ассоциативны. Более того, для этих операций справедливы дистрибутивные законы:

ЛП (BUC) = (Л ПВ) U (Л Г1С),ли(впс) = (лив)П(дис)

и формулы де Моргана

Х\(Х\Л)=ЛПХ,

Х\(Л UB) - (Х\Л) Л (Х\В), XX (Л ПВ) = (Х\Л) U (Х\В).

Часто возникает необходимость составления объединения и пересечения множества множеств. Пусть ct —система множеств, тогда объединение иИ-^ ^<^} есть по определению множество {х: х^А, для некоторого А^ЛУ Пересечение Л {Л: А^Л^ определяется как множество {х: хе Л для всех А е ^}. Говорят, что (A^iel есть семейство множеств, если каждому элементу i некоторого множества индексов / поставлено в соответствие множество Av Для записи объединения семейства множеств удобно пользоваться обозначениями

и Иг- i^A ИЛИ и Av

i^I

а для пересечения — обозначениями

П {Л*: i ^ О или П Аь

Формулы де Моргана имеют место и для бесконечных объединений и пересечений. Если Jl=VAsBy то объединение UH: Ле^} совпадает с множеством ЛОВ. Пусть Л—конечная система множеств, например {Л> ^> • • • > ^}*> тогда вместо UH- А е Л} пишут Ливи.. .UX.

0.1.2. Упорядоченные пары и отношения. Свойство, определяющее упорядоченную пару (х,у), можно сформулировать следующим образом: (х, у) = (xz, у') тогда и только тогда, когда

х = х' и у = у'. В теории множеств именно этим свойством и руководствуются при определении упорядоченной пары. Пусть (х, у) —упорядоченная пара, тогда х называют ее первой координатой, а у — второй.

Отношением R называют некоторое множество, элементами которого являются упорядоченные пары. Для обозначения принадлежности пары (х, у) отношению R часто пользуются обозначением xRy.

Областью определения отношения R (записывается domB) называют множество

{х: (х, у)е R для некоторого уУ областью значений отношения R называют множество

Vy: (х> У)^ В Для некоторого х}.

Если R— отношение и А—некоторое множество, то множество ^у: xRy для некоторого хе А} обозначают через В[Л] или R(Ay Множество B[domB] есть область значений отношения R.

Важным типом отношений является (декартово^ произведение Ах В двух множеств А и В, которое определяется равенством

ЛхВ = {(х, у\. хеА, уе В}.

Некоторые подмножества такого произведения играют основную роль в определяемом ниже понятии функции (п. 0.1.3).

Если R— отношение, то обратным отношением R~x называется множество

{(^,У): kti^x^RY

Композицией отношений R и В (обозначается через RoS) называется множество

{(х, г): (х, y)^S и (у, z)eR для некоторого у\

Композиция отношений не всегда коммутативна, т. е. отношения ° и В о В, вообще говоря, могут не совпадать.

Единичным, или диагональным, отношением в множестве X (диагональю произведения ХхХ) называют множество

Д(Х)={(х,х): хеХу

которое является подмножеством произведения ХхХ. Когда это не вызывает недоразумения, вместо Д(Х) пишут Д.

Отношение R называют симметричным, если В = В-1, и антисимметричным, если ВПВ'^0. Будем говорить, что отношение В рефлексивно, если Дс R, где символ Д обозначает диагональ в объединении области определения и области значений отношения R. Отношение R называется транзитивным» если RoRcR.

Рефлексивное, симметричное и транзитивное отношение называется отношением эквивалентности. Пусть R— отношение эквивалентности и X = dom/?; тогда множество X можно разбить на непересекающиеся классы эквивалентности по отношению (или по модулю) R. Каждый такой класс эквивалентности есть множество вида R^x) = R(^), гДе х^Х. Любые два класса эквивалентности либо совпадают, либо не пересекаются, и Х = = U{^W: х^Х\ Отношение R выражается на языке классов эквивалентностей формулой

R= UVRWXR(x); х^Ху

Обратно, если задано дизъюнктное семейство множеств (Л^еь то, полагая

R = UHiXAf. i е /},

получим отношение эквивалентности R с областью определения х = иИг) • Д-

Пусть заданы отношения R и S. Говорят, что отношение R есть сужение отношения S, или, что то же, S есть продолжение R, если R cz S. Если X a dom R, то сужение отношения R на множество X — это множество

R\X = ^x, у)\ (x^gR и х^ХУ

0.1.3. Функции. Отношение f, обладающее тем свойством, что

(x.y^fn и,у'^^у=у'Ч,

называют функцией. Термины соответствие, преобразование, отображение, оператор являются синонимами слова «функция».

Если f — функция, то каждому элементу xedomf соответствует такой единственный элемент у, что (х, y)^f. Этот элемент у называется значением функции f в точке х и обозначается через Цх) или fx. При этом говорят, что функция f отображает или преобразует х в у.

Часто каждому элементу х^Х (тем или иным способом) ставится в соответствие элемент zx. Множество {(х, гх): хеД задает тогда некоторую функцию с областью определения X. При этом говорят, что функция f преобразует х в zx, и записывают это так: f: xv—>zx (при этом предполагается, что х пробегает множество X). Для обозначения функции f с областью определения X и областью значений, содержащейся в множестве У (не обязательно с ним совпадающей), часто пользуются

!) =7 — знак логической импликации; А~В читается «из А следует о», «Д влечет В», «если Д, то В». — Прим, перед.

обозначением f: X—>У!). Общепринятый в настоящее время взгляд на функцию очень близок к «операционному», о котором мы только что говорили. При таком взгляде на функцию множество

{(х, Н^у. хеХ}

принято называть графиком функции f. С теоретико-множественной точки зрения понятия функции и графика совпадают. В дальнейшем мы часто позволяем себе это безобидное раздвоение терминологии, хотя это и не общепринято. В частности, о графике линейного оператора (п. 1.3.3) будем говорить там, где основным рабочим определением служит операционное определение этого оператора.

Функция f называется взаимно однозначной, если обратное отношение fr1 также является функцией. Говорят, что f есть отображение на У, если область значений отношения f есть все множество У.

Если f — отображение, то множество /(Л)={у: y = f(x) для некоторого хе Л} называется образом множества Л относительно отображения f, а множество

ГИ)=и: fW^A^

— прообразом множества А относительно отображения f. Для произвольных множеств А и В справедливы формулы

H4UB) = f(A)Uf(B),

ЦЛЛВ)<=ИД)ГШВ),

г1 (Л и в) = Г1 М) и Г1 (В),ГЧа^\в^ = гЧашгЧв\ГЧа\в^ = гх^х^"Чву

Заметим, что во второй из приведенных формул равенство, вообще говоря, не имеет места.

Существенного различия между функцией и семейством, или проиндексированным множеством, нет. В последнем случае область определения используется как удобная запись для задания области значений функции. Таким образом, если / — множество индексов, то семейство обычно обозначается через (ai)iel или просто (а^, когда множество / считается само собой разумеющимся. Этот взгляд на семейство возник как очевидное обобщение понятия последовательности, где в качестве множества индексов используется множество натуральных чисел или его

!) В оригинале в обоих случаях (i—>и ->) используется один и тот же символ ->. Мы предпочли дифференцированные обозначения, так как они помогают избежать неясности. — Прим. ред.

конечное подмножество. Если семейство (яг) таково, что для каждого i элемент а^А, то говорят о семействе точек (элементов) из множества А.

Пусть f — вещественная или комплексная функция, определенная на топологическом пространстве X (разд. 0.2). Носителем функции f называют замыкание в X множества {хеХ: f(x)^O}. Условимся обозначать носитель функции f через supp f.

Данное выше определение произведения двух множеств АхВ (п. 0.1.2) тривиально распространяется на случай любого конечного числа множеств. Однако имеется потребность в определении произведения любого семейства множеств (Х^г^ь Это произведение обозначается через ПХ^ или П(Хг: t е /} и определяется как множество всех таких наборов х=(хг), что х^^Х^ для каждого iel. Отображение Лг произведения Х’ = ПХ^ на множество Х^ определенное равенством лДх)=Хг, называется f-й проекцией.

Если X^Y для каждого /е/, где Y — фиксированное множество, то произведение ПХг- есть не что иное, как множество всех отображений, определенных на / со значениями в Y. Это произведение иногда обозначают через Y1.-

0.1.4. Упорядоченные множества. Пусть X—множество; рефлексивное и транзитивное отношение QczXxX называется (частичным) упорядочением, или (частичным) отношением порядка в X, если QAQ_1 = A = A(X). Некоторые авторы (Келли [1, стр. 29] *)) не требуют выполнения последнего условия, что несущественно для случаев, с которыми мы будем встречаться. Множество X, наделенное отношением порядка Q, будем называть (частично) упорядоченным множеством и обозначать иногда через (X, Q).

Там, где это не вызывает недоразумения, будем писать х^у (или эквивалентно у^ х) вместо х^у и (X, •<) вместо (X, Q) и говорить, что ^ есть отношение порядка в X, или что множество X упорядочено отношением ^. В этих обозначениях справедливы соотношения

х^х,

Х<у и у ^ 2 зф X ^ 2,х^у и у ^х-^х^у,где х, у, г — произвольные элементы множества X.

Пусть А — подмножество упорядоченного множества (X, ^). Будем говорить, что элемент х^Х мажорирует А, или является его мажорантой, если а^.х для каждого элемента а^А. Если же для любого элемента аеЛ имеет место отношение х^Са, то

’) См. также Данфорд и Шварц [1, стр. 14]. — Прим, перед.

говорят, что х является минорантой, или минорирует множество А. Элемент х0 е X называется (наименьшей) верхней гранью множества А а X, если х0 мажорирует А и г0^х для любой мажоранты х множества А. (Наибольшая) нижняя грань множества А определяется аналогично. Для верхней грани множества А пользуются обозначениями sup Л, sup {%: хеД} или supx; нижняя грань обозначается 1п1Л, inf{x: хеД} или infx. хеДх^А

Каждое подмножество А а X имеет в X нс более одной верхней (нижней) грани.

Говорят, что ^ есть совершенное (или линейное) упорядочение в X, если для каждой пары (х, у) ^ХхХ либо х<.у, либо у-^х, т. е. QUQ*— ХхХ. Множество X, наделенное отношением совершенного порядка, называют совершенно (линейно) упорядоченным, или цепью. Подмножество А упорядоченного множества (X, ^) называется совершенно упорядоченным, если сужение отношения ^ на А есть совершенное упорядочение.

Упорядоченное множество (X, <^) называется индуктивным, если каждое его совершенно упорядоченное подмножество А обладает в X верхней гранью.

Пусть X — некоторая система подмножеств данного множества S. Важным примером отношения порядка в X является отношение А ^В, определенное условиями А ^ X, В ^ X и А сВ. При этом говорят, что X упорядочено по включению, или по возрастанию. Если У cz X и объединение UM- А (= У} принадлежит X, то верхняя грань sup У существует и равна этому объединению. Противоположное отношение порядка, при котором А^СВ означает Add В, называют упорядочением по убыванию. Такой порядок естествен, например, в множестве окрестностей некоторой точки топологического пространства (п. 0.2.2).

Элемент т^Х называется максимальным, если в X нет такого элемента у, что m ^ у и гп+у.

0.1.5. Лемма Цорна. Для каждого элемента х индуктивно упорядоченного множества X существует такой максимальный элемент т^Х, что х-^т.

Лемма Цорна часто заменяет рассуждения, основанные на таких принципах, как принцип трансфинитной индукции, теорема Цермело о вполне упорядоченности, аксиома выбора. Краткое изложение связей между некоторыми такими принципами можно найти у Келли [1, стр. 53—59]!).

Сформулированную лемму мы будем называть, как это принято, леммой Цорна, хотя этот результат установлен в 1923 г. Р. Л. Муром и независимо от него Куратовским, а затем вновь

открыт Цорном в 1935 г. и несколько позднее Тайхмюллером. Бурбаки — один из первых, кто систематически пользовался леммой; ему и принадлежит это ее название. Более подробные сведения по этому поводу содержатся в книге Розенблюма [1, стр. 21 и 150].

Некоторые авторы рассматривают вариант леммы Цорна, в котором предположение индуктивной упорядоченности множества X заменяется более слабым требованием, чтобы каждое совершенно упорядоченное подмножество в X обладало мажорантой в X. Доказательство этого варианта имеется, например, в книгах Келли [1], Данфорда и Шварца [1]. Такое видоизменение леммы Цорна не существенно для тех случаев, где она используется в этой книге.

0.1.6. Счетные множества. Мы редко будем пользоваться понятием кардинального числа, однако без понятия счетности обойтись почти невозможно..

Два множества X и У называются равномощными, или имеющими одинаковую мощность (или одинаковое кардинальное число), если существует взаимно однозначное отображение множества X на множество У.

Множество X бесконечно, если оно равномощно некоторой своей собственной части; в противном случае множество X ко* нечно.

Множество натуральных чисел N и его свойства предполагаются известными. Для всякого meN введем множество Nn = = {m: m е N, m^n). Легко видеть, что множество X конечно тогда и только тогда, когда оно равномощно некоторому множеству Nn. В этом случае говорят, что множество X содержит п элементов; оно может быть занумеровано в виде {хь х2,..., хк) или как семейство Vxk)\<k<n*

Множество X называется счетным, если оно равномощно множеству натуральных чисел N. Если множество X счетно, то его можно представить (вообще говоря, различными способами) в виде последовательности ^пем- Будем говорить, что множе- ство X не более чем счетно, если оно либо конечно, либо счетно.

Всякое подмножество не более чем счетного множества не более чем счетно. Если область определения функции f не более чем счетна, то такой же будет и область ее значений.

Пусть каждое из множеств А системы Л не более чем счетно; если система Л не более чем счетна, то таким же будет и объединение иИ- А ^ Л\ Произведение двух (или любого конечного числа) не более чем счетных множеств — такое же множество. То же верно и относительно множества всех конечных подмножеств не более чем счетного множества. Множество всех

подмножеств бесконечного множества уже не счетно. Множество всех вещественных чисел также не счетно.

0.1.7. Направленные множества и сети. Под направленным множеством мы понимаем упорядоченное множество (п. 0.1.4), в котором любые два элемента обладают общей мажорантой. Сеть)—это семейство элементов, множество индексов которого направленно. Некоторые авторы, называют сеть обобщенной последовательностью.

Сети впервые были введены как обобщение последовательностей. Потребность в них возникла при изучении общих топологических пространств и при исследовании понятия сходимости.

Каждая последовательность есть сеть). Множество окрестностей произвольной точки в топологическом пространстве, упорядоченное по убыванию (см. конец п. 0.1.4), образует часто используемую сёть.

Нам понадобятся некоторые результаты и понятия, касающиеся сетей.

Подсети. Сеть (?/Х^ называется подсетью сети (xJ^l, если для каждого X^L существует такой индекс рхеЛ4, что соотношения р' ^М и р/>рх влекут за собой равенство у^ = = х^ для некоторого Х'*>Х.

Подсеть обобщает понятие подпоследовательности. Последовательность может, однако, обладать подсетями, которые сами не являются последовательностями.

Произведение направленных множеств. Рассмотрим две последовательности вещественных чисел (хп) и (jjn). Нетрудно определить их произведение и сумму. Это будут соответственно последовательности (хпуп) и ^Хп+Уп"). Такое определение очевидно и естественно, потому что множество индексов у обеих последовательностей одинаково. В противном случае приходится выбирать окольный путь, используя понятие произведения двух направленных множеств индексов.

Пусть L и М — направленные множества. В произведении L X М (и. 0.1.2) введем отношение порядка следующим образом: (X, р) (V, р'), если Х^.Х' и р ^ р'. Легко проверить, что упорядоченное таким образом произведение L X М образует направленное множество).

0.2. Предварительные сведения из общей топологии

0.2.1. Определение топологии открытыми множествами. Пусть X — множество. Под топологией в X понимают некоторую систему 2 подмножеств из X, удовлетворяющую следующим условиям:

0 и X принадлежат 2;

если U и U' принадлежат 2, то и пересечение (7Г)(/ принадлежит 2;

объединение любого семейства множеств из 2 принадлежит 2.

Элементы системы 2 называются открытыми множествами (в, для) топологии 2, или Z-открытыми множествами.

Пара (X, 2), в которой X — множество и 2 — топология в X, называется топологическим пространством. Если 2 подразумевается, то часто говорят об X как о топологическом пространстве.

Если 2 — топология в множестве X, то под (открытой) базой топологии 2 понимают такую подсистему Л в 2, что каждый элемент из 2 является объединением некоторого подмножества элементов из Л. Предбазой (открытой предбазой) топологии 2 называется такая подсистема ^ из 2, что совокупность пересечений конечных наборов множеств, принадлежащих J?, образует базу топологии 2.

Пусть (X, 2)—топологическое пространство. Окрестностью точки х^Х называется любое подмножество из X, в котором содержится открытое множество, содержащее х. Аналогично окрестностью множества АсХ называется всякое подмножество из X, которое содержит открытое множество, содержащее А. Подмножество в X тогда и только тогда принадлежит 2, когда оно есть окрестность каждой своей точки.

Задание окрестностей точек в топологическом пространстве полностью определяет его топологию. Это указывает на другой метод введения топологии, которым мы часто будем пользоваться. Он описан ниже, в п. 0.2.2.

Следует заметить, что одно и то же множество X может быть топологизировано различными способами. Например, каждое множество всегда может быть наделено нулевой, или антидис- кретной, топологией {0, X}; другой крайний случай — это так называемая дискретная топология, состоящая из всех подмножеств множества X. Обе эти топологии являются экстремальными в шкале сравнения топологией, описанной ниже, в п. 0,2.6.

0.2.2. Определение топологии с помощью окрестностей. Наиболее удобный путь определения топологи ческах векторных пространств (§ 1.8)—это задание их топологии в терминах систем

окрестностей каждой точки. Составной частью определения топологического векторного пространства является наличие связи между его векторной и топологической структурами. Благодаря этой связи система окрестностей каждой точки является соответствующим сдвигом системы окрестностей нуля. Это обстоятельство вынуждает нас рассмотреть и такой способ задания топологии.

Пусть X — множество. Допустим, что задано множество 91 упорядоченных пар (х, N), где хеХ, a N— подмножество в X, содержащее х. Предположим, что множество 91 удовлетворяет следующим условиям:

(i, Х)е?! для каждого элемента хеХ;

если (х, W7) е Л и (х, N") е 91, то (х, N'ftN") е 91;

если (х, N) е 91 и X zd N' о N, то (х, N') е 91;

если (х, N) е 91, то существует такое множество N\ что (х, ^7) е 91 и (х7, N) е 9i для каждого элемента х7 е N'.

Оказывается, система 2, состоящая из всех таких подмножеств U cz X, что для элемента х е U пара (х, (7) принадлежи! 91, является топологией в X. Кроме того, окрестности точки х в этой топологии 2(по определению из п. 0.2.1) —это все те множества N, для которых (х, N) е 91. Множество 91 определяет, таким образом, топологию $ в X. Такое задание топологии называется заданием топологии 2 с помощью окрестностей.

Пусть X— топологическое пространство, 9G— система всех окрестностей некоторой точки хе X. Подсистема ^х называется базой окрестностей 9 в точке х (в заданной топологии), если подмножество из X принадлежит 91х тогда и только тогда, когда оно содержит некоторое подмножество из ®х. Если для каждой точки х топологического пространства X выбрана некоторая база окрестностей 38 х, то легко проверить, что выполняются следующие условия:

(a7) xeN для каждого Ne®x;

) если N' и N" принадлежат 38 х, то существует такое множество Ne®xs что Ne N'ftN";

) если Ne$x, то существует такое множество N'e$x, что для каждого х7 s N' множество /V содержит подмножество, принадлежащее ^х/.

Обратно, если каждой точке хеХ поставить в соответствие систему 38 х подмножеств из X таким образом, что выполняются условия (а7), (Ь7) и (d7), то в множестве X' существует един-

’) Иногда 38х называют фундаментальной системой окрестностей точки х. — Прим, перев.

ственная топология, такая, что в каждой точке х система ^. есть база окрестностей этой точки.

Пример. Множество вещественных чисел R обычно наделяется топологией, в которой база открытых множеств состоит из интервалов (а, Ь), где а<Ь. Одна из баз окрестностей в точке х образована всеми интервалами вида (х— р^ х + р), где р>0. Существует, разумеется, много различных баз окрестностей, определяющих одну и ту же топологию. Можно, например, ограничиться лишь р, пробегающими строго убывающую последовательность положительных чисел, стремящуюся к нулю; можно далее в каждом случае заменить открытый интервал (х— р, x-Vp) замкнутым интервалом [х— р, х+р].

0.2.3. Замкнутые множества. Операция замыкания. Пусть X — топологическое пространство. Множество A cz X называется замкнутым (в заданной топологии), если множество Х\Л открыто. Из этого определения вытекают следующие свойства замкнутых множеств:

(а") 0 и X— замкнутые множества;

(bzz) любое пересечение замкнутых множеств замкнуто;

(czz) объединение двух замкнутых множеств замкнуто.

Топологию можно определить заданием ее замкнутых множеств, которые должны удовлетворять условиям (azz)— (czz); см., например, Келли [1, стр. 64].

Замыкание А множества А топологического пространства X— это наименьшее замкнутое множество, содержащее А, т. е. (в силу (bzz)) А есть пересечение всех ^замкнутых множеств, содержащих А. Легко проверить, что А есть множество тех и только тех точек х^Х, каждая окрестность которых имеет непустое пересечение с множеством А. Читатель легко заметит, что множество А замкнуто тогда и только тогда, когда А=А. Кроме того, справедливы соотношения

А=А, А и В = А и В, AclB^AciB,

0 = 0,Х = Х,МХВс^А^В.

Говорят, что множество А (всюду) плотно в X, если А=Х.

Топологию можно определйть также в терминах операции замыкания Ан->А, определенной для всех подмножеств из % и удовлетворяющей приведенным выше условиям (среди которых есть и зависимые от остальных). Этот способ определения топологии принадлежит Куратовскому [1, стр. 44]; см. также Келли [1, стр. 68].

0.2.4. Внутренность множества. Это понятие двойственно понятию замыкания. Пусть X— топологическое пространство и А — подмножество в X. Внутренность множества А, обозначав-

мую через А или intA, можно определить как множество Х\(Х\А), или, что то же самое, как наибольшее открытое множество, содержащееся в А (т. е. объединение всех открытых множеств, входящих в А). Множество А открыто тогда и только тогда, когда А=А.

0.2.5. Граница множества. Границей подмножества А топологического пространства X называется множество всех тех точек из X, которые принадлежат одновременно замыканию множества А и замыканию множества Х\А. Обозначается граница множества А через fr А или dA. Эквивалентным определением границы множества служит равенство

frA=A\A.

Очевидно, что f г А — всегда замкнутое множество; кроме того, А=А UfrA, A=A\frA.

0.2.6. Сравнение топологий. Пусть 2 и 2х— две топологии в множестве X. Говорят, что топология 2 слабее топологии 2х, или что топология 2х сильнее топологии 2, если 2 cz 2х, т. е. если каждое 2-открытое множество является также и ЗЛоткры- тым. Это эквивалентно утверждению, что всякая 2-окрестность любой точки х е X является также ее ^'-окрестностью, или что каждое 2-замкнутое в X множество 2х-замкнуто.

Среди всех топологий в X нулевая — слабейшая, а дискретная (см. конец п. 0.2.1)—сильнейшая.

0.2.7. Индуцированные топологии и подпространства. Пусть (X, 2) — топологическое пространство и У— подмножество в X. Индуцированной топологией в У называется топология, в которой открытыми множествами по определению являются пересечения У с 2-открытыми множествами из X. Индуцированная в У топология обозначается через 2 | У.

Множество У топологического пространства X называется (топологическим) подпространством в X, если оно наделено индуцированной топологией. Открытые (или замкнутые) множества в таком подпространстве часто называют относительно открытыми (или относительно замкнутыми) множествами. Окрестности точки у подпространства У в индуцированной топологии также иногда называют относительными окрестностями точки у.

0.2.8. Аксиомы отделимости. Постулаты, предполагающие> существование в том или ином смысле «достаточного» запаса открытых множеств (или замкнутых множеств, или окрестностей), известны под названием аксиом отделимости. Ниже мы перечислим общепринятые постулаты такого рода.

Говорят, что топологическое пространство (Х,.2) является:

Т0-пространством, если для любой пары различных точек х и у из X существует либо окрестность точки х, не содержащая у, либо окрестность точки t/,jHe содержащая х, или, что то же самое, либо x^VuY либо y^VxY

Тг пространством, если каждое одноточечное множество из X замкнуто, что равносильно следующему утверждению: для любых двух различных точек х и у из X существуют окрестность точки х, не содержащая у, и окрестность точки у, не содержащая х (ср. с 70);

Т2-пространством (отделимым, или хаусдорфовым^ если любые две различные точки х и у из X имеют непересекающиеся окрестности;

регулярным, если замкнутые окрестности каждой точки х е X образуют базу окрестностей этой точки;

Т^-пространством, если оно регулярно и является Л-пространством;

нормальным, если любые два непересекающихся замкнутых множества обладают непересекающимися окрестностями;

Т ^-пространством, если оно нормально и является 7гпро- странством;

вполне регулярным, если для каждой точки х е X и каждой окрестности N точки х существует непрерывная ^ функция f: Х->[0, 1], удовлетворяющая условиям f(x)=O и Цу) = \ для y^X\N;

тихоновским, если оно вполне регулярно и является 71- пространством.

Легко проверяется выполнение следующих соотношений: 74=>73=ф72=>71=>7о;

полная регулярность =ф регулярность.

Регулярное пространство не обязательно является 71-пространством. Это следует из рассмотрения полуметризуемого пространства, полуметрика которого не является метрикой (п. 0.2.21). Существует также регулярное 72-пространство, на котором каждая непрерывная функция постоянна (см. Келли [1, стр. 159]).

Для 7гпространств справедливы импликации:

нормальность =ф полная регулярность^ регулярность =ф 72. Первая из этих импликаций нетривиальна и следует из леммы Урысона (п. 0.2.12). Остальные импликации вытекают непосредственно из определений.

0.2.9. Непрерывные отображения. Пусть X и У— топологические пространства и f — отображение пространсчва X в У

Понятие непрерывности вводится ниже. — Прим, ред.

(т. е. область определения f есть X, а область значений есть подмножество в У; см. п. (0.1.3). Отображение f называется непрерывным, если множество /"ЦИ) открыто в X всякий раз, когда множество V открыто в У. Для этого достаточно, чтобы f-1(V) было открытым множеством для каждого множества V, принадлежащего некоторой открытой базе в У или даже открытой предбазе в У.

Отображение f называется непрерывным в точке хеХ, если ^(V) есть окрестность точки х всякий раз, когда V есть окрестность точки f(x) (или, что то же, когда V принадлежит некоторой базе окрестностей точки f(x)).

Если в этих определениях область определения отображения f не указана, то под ней подразумевается все пространство X. Пусть f — отображение пространства X в пространство У и Л — подпространство в X. Сужение f\A отображения f на А может быть непрерывным (или непрерывным в точке х^А) и в том случае, когда отображение f не обладает этим свойством. С другой стороны, непрерывность отображения f влечет непрерывность сужения f\A, где А — произвольное подпространство в X.

Пусть даны отображения f: X->Y и g: Y-^Z (X, У, Z— топологические пространства). Из непрерывности f и g следует непрерывность композиции gof (которая отображает X в Z).

Отображение f: Х->- У называется гомеоморфизмом пространства X в У, если оно взаимно однозначно, непрерывно и отображение f-1 непрерывно (как отображение подпространства f(X) пространства У в X). Если ^Х^ = У, то отображение f называется гомеоморфизмом пространства X на У. Топологические пространства X и У называются гомеоморфными, если существует хотя бы один гомеоморфизм пространства X на Y.

Отображение f: X->Y называется открытым, если для каждого открытого множества U из X множество Ци) открыто в У. Это равносильно требованию, чтобы для каждой точки а'еХ и каждой окрестности U, принадлежащей некоторой базе окрестностей точки х, множество f((7) было окрестностью точки f(x).

Взаимно однозначное отображение f пространства X на пространство У является гомеоморфизмом пространства X на Y тогда и только тогда, когда отображение f непрерывно и открыто.

Если f не является отображением на, то следует различать утверждения: «f открыто как отображение пространства X в У» и «f открыто, как отображение пространства X на fW». Последнее утверждение слабее первого. Например, если X — подпространство в У и f — вложение1) множества X в Y, то f, рассма-

!) Если ^сУ, то вложением f: X -> У называется такое отображение, что / (х) =х для х е X. — Прим, перев.

триваемое как отображение пространства X в У, открыто тогда и только тогда, когда X— открытое множество в У. В то же время вложение / всегда открыто, если его рассматривать как отображение X на f (X) =Х.

Другими словами, уточнение пространства, где находится множество значений отображения /, существенно при выяснении вопроса о том, является ли отображение / открытым или нет.

0.2.10. Полунепрерывные функции. Для определения полунепрерывности удобнее рассматривать функции, принимающие свои значения в расширенной вещественной оси. Это множество, обозначаемое через R, получается добавлением к вещественной оси R двух различных точек —00 и + °°. Естественный порядок на R распространяется и на R, а именно полагается, что

ОО<Г< + ОО

для каждого числа rER. Заметим, что в R всякое подмножество обладает верхней и нижней гранями. _

Не все операции в R распространимы на R. Договоримся считать, что —(—оо) = 4-оо и —(4-оо) = —оо; что как сложение, так и умножение коммутативны всегда, когда они определены; что для всякого вещественного числа г имеют место равенства

г+ (— оо) =ОО, Г + ( + оо) = + ОО и

(—оо) + (—оо) =ОО, ( + оо) + ( + оо) = + оо,

а также, что

г • (4-оо) = 4-оо

при

г>0,

г • (4- оо) =—оо

при

г<0,

г • (—оо) =—оо

при

г>0,

г • (—оо) = 4-оо

при

г<0,

0- (—оо) = 0* (4-оо) =0.

С другой стороны, будем считать, что символы (—оо) 4-(4-'оо), (—оо) — (—оо), (4-оо) — ( + °°) лишены смысла.

_Обычная топология в R (см. конец п. 0.2.2) «продолжается» в R, если за базу окрестностей точки +оо принять совокупность всех интервалов вида (г, +оо], где reR, аза базу окрестностей точки —оо — совокупность всех интервалов вида [—оо; г), где Г е R.

Пусть, как израньте, X — топологическое пространство. Функция /: Z-*R называется полунепрерывной снизу, если ее

значения принадлежат множеству R\{—оо}, и для любого числа г е R (или, что то же, г е R) множество

{х: хеХ и Цх^г^

открыто в X. Функция f: X-^R называется полунепрерывной сверху, если полунепрерывна снизу функция —f.

Функция f: X-^R, полунепрерывная снизу и сверху, принимает свои значения в R и непрерывна, как функция f: X -> R.

Верхняя (нижняя) огибающая1) семейства полунепрерывных снизу (сверху) функций на X есть полунепрерывная снизу (сверху) функция.

Сумма двух полунепрерывных снизу (сверху) функций — полунепрерывная снизу (сверху) функция. То же верно и для произведения двух положительных полунепрерывных снизу (сверху) функций. _

В гл. 4 нам понадобится следующая лемма:

Лемма. Пусть X— вполне регулярное топологическое пространство, JL — система подмножеств из X, содержащая базу окрестностей каждой точки из X. Всякая положительная полунепрерывная снизу на X функция f есть верхняя огибающая множества G всех положительных непрерывных функций g: X-^R, каждая из которых равна нулю вне некоторого множества из Л, и таких, что g^f (т. е. g(x) ^f(x) для каждой точки х^Х).

Доказательство. Обозначим через fo верхнюю огибающую множества функций G. Очевидно, что fo^f. Пусть х0— произвольная фиксированная точка пространства X. Выберем такое вещественное число г, чтобы г<^х^. Из полунепрерывности снизу функции f следует существование такой окрестности U точки х0, что f(x)>r для хе U. Не ограничивая общности, мож< но считать, что U е Ж (в противном случае можно сузить окрестность //). Так как пространство X вполне регулярно, то существует такая непрерывная функция go. Х->[0, 1], что 5Го(хо) = 1 и go(^X^) ={0} (п. 0.2.8). Рассмотрим функцию g; X-^R, определенную равенством g = rg^. Она непрерывна, g^x^=r^ g обращается в нуль вне множества U е Л и g^Cf. Следовательно, g^G, так что foto) ^g(^о) = r. Так как г—' произвольное число, удовлетворяющее неравенству r<f(x0), то foW) >f(x0), т. е. fo^f в силу произвольности х0.|

Как мы увидим в п. 0.2.18, всякое отделимое или регулярное локально компактное пространство X вполне регулярно. В этом

случае в качестве Л можно взять совокупность всех компактных множеств пространства Х\ тогд* множество G будет состоять из всех положительных непрерывных функций g: X-^R (g^f) с компактными носителями.

0.2.11. Сети в топологическом пространстве. Пусть X— топологическое пространство. Наша цель — рассмотреть понятие сходимости и связанные с ним свойства, которыми может обладать или не обладать сеть точек X. Для этой цели удобно пользоваться терминологией Келли [1, стр. 96]!). Если (хх)—сеть точек из X и А — множество в X, то будем говорить, что

сеть (хх) в конечном счете попадает в множество Л, если существует такой индекс Ло, что хх е А для каждого индекса Л ^ Ло;

сеть (хх) часто бывает в множестве А, если для каждого индекса Л существует такой индекс Л'^Л, что xveA.

Пользуясь этими терминами, уже легко определить сходимость сети и связанные с этим понятия.

Говорят, что сеть (хх) сходится к точке х, или что х есть предел сети (хх), если (хх) в конечном счете попадает во всякую окрестность U точки х. Записывается это следующим образом:

Пшхх = х,

или

Хх-^х при возрастании Л.

Точка х^Х называется предельной точкой (или точкой накопления) для сети (хх), если хх часто бывает во всякой окрестности U ТОЧКИ X.

Ниже приводятся пять предложений, которыми мы будем в дальнейшем часто пользоваться.

Если сеть (хх) сходится к точке х, то и любая ее подсеть (у^) также сходится к этой точке.

Это утверждение следует непосредственно из определений.

Точка х является предельной для сети (хх) тогда и только тогда, когда существует подсеть (z/Д сети (хх), сходящаяся к х.

Действительно, пусть х— предельная точка сети (хх). Обозначим через {(7} направленное множество окрестностей точки х (упорядоченное по убыванию — п. 0.1.7) и рассмотрим произведение M = LX\UY гДе L — направленное множество индексов сети (хх). По условию каждой паре (Л, U) соответствует такой индекс Л*=f (Л, U) > Л, что хх* е U. Полагая Уц = Х/(х,щ, где ц = = (Л, U) е М, получаем сеть (уц), являющуюся подсетью сети

9 В русском переводе книги Келли терминология несколько отличается от принятой здесь. — Прим. ред.

(хх). Легко проверить, что сеть (z/Д сходится к точке х. Обратное утверждение тривиально. |_

Точка хе X принадлежит замыканию А множества Д cz X тогда и только тогда, когда либо существует сеть точек из А, сходящаяся к х, либо существует сеть точек из А, для которой х есть предельная точка.

Это утверждение также следует из определений.

. Топологическое пространство X отделимо (т. е. является Т2-пространством, или хаусдорфовым) тогда и только тогда, когда каждая сходящаяся сеть точек из X имеет не более одного предела в X. Если X— отделимое пространство и хх->х, то х есть единственная предельная точка сети (х^).

Это утверждение легко следует из (а) и (Ь). (См. также утверждение (1) из п. 0.2.17.)

Отображение f: X-^-Y (Хи Y— топологические пространства) непрерывно в точке х тогда и только тогда, когда сеть- (f(xx)) сходится к f(x) для любой сети (хх) из X, сходящейся к х.

0.2.12. Лемма Урысона. Если X— нормальное топологическое пространство и А, В — непересекающиеся замкнутые множества в X, то существует такая непрерывная функция f; Х->[0, 1], что f^=^ и f(B)={l}.

Доказательство можно найти в книге Келли [1, стр. 157] или в книге Гильмана и Джерисона [1, стр. 43—44]!).

0.2.13. Теорема Урысона— Титце о продолжении. Если X— нормальное топологическое пространство, А—замкнутое множество в X и функция f: А ->[—1, 1] непрерывна, то существует такая непрерывная функция g: Х->[—1,1], что сужение g\A=f.

Из этой теоремы при тех же условиях относительно А и X вытекает, что каждая непрерывная функция f: A->R имеет непрерывное продолжение на все пространство X.

Доказательство теоремы Урысона — Титце можно найти у Келли [1, стр. 318], задача П, или у Гильмана и Джерисона [1, стр. 18—19]2). Титце установил этот результат для метрических пространств; Урысон обобщил его на нормальные пространства. Свойство, выражаемое теоремой Урысона — Титце,— характеристическое для нормальных пространств.

0.2.14. Топологии, определяемые семействами функций. Иногда возникает необходимость наделения множества X такой топологией, при которой становятся непрерывными одно или более отображений множества X в некоторые топологические пространства. Предположим, что задано семейство топологических

Ч См. также Куратовский [1, стр. 132—1331. — Прим, перее.

•) См. также Куратовский [I, стр. 134—135]. — Прим, мрев.

пространств (Уг) = (Уг)г-Е1 и что для каждого 1^1 задано отображение fi: X-> У^ Рассмотрим такие топологии в множестве X (если они имеются), при которых для каждого I е / отображение ft-: X-^Yt непрерывно.

Прежде всего заметим, что такие топологии существуют: например, дискретная топология в X. Во-вторых, как сейчас будет установлено, среди таких топологий существует слабейшая.

Пусть 2 —одна из топологий, при которой для каждого 1^1 отображение fit X-^Yi непрерывно. Если Vj — открытое множество в Уг-, то ff1 (Vi) — открытое множество в топологии $. Поэтому таким же будет всякое множество вида

^ = n{^'(^):

где множество Vt открыто в Уг и Vi=Yi для всех г, кроме, быть может, некоторого конечного (возможно пустого) набора индексов i. С другой стороны, легко проверить, что эти множества U образуют базу открытых множеств некоторой топологии в X. Эта топология, очевидно, — слабейшая среди всех тех топологий, при которых каждое из отображений ft непрерывно. Будем ее называть топологией, определенной заданным семейством отображений (fi).

Пусть х— точка множества X. Множества вида

N=nVf;4Niy

где при каждом i множество Nt есть окрестность точки f2(x) и Nt—Yi для всех г, кроме, быть может, некоторого конечного (возможно, пустого) набора индексов ц образуют базу окрестностей точки х в топологии, определенной семейством отображений (fj.

0.2.15. Произведение пространств и произведение топологий. Пусть (XJ = №) lsi — некоторое семейство топологических пространств. Образуем произведение множеств Х = ПХг- (п. 0.1.3). Пусть Яг есть f-я проекция произведения X на Х^. Топология в X, определенная семейством проекций Яг, называется произведением топологий пространств Х^ Множество X, наделенное такой топологией, называется (топологическим) произведением семейства пространств (Xt), а сами пространства Х^ — его сомножителями.

Каждая из проекций Лг есть открытое отображение пространства X на /г.

Отображение f топологического пространства S в произведение Х^ непрерывно тогда и только тогда, когда каждое из отображений Лг-of: S->Xt непрерывно.

Если каждый из сомножителей Х^ произведения X— отделимое пространство, то произведение X обладает тем же свойством.

Если Xt=Y для всех I, то произведение множеств Х = ПХг можно отождествить с множеством Y1 всевозможных отображений / в У. В этом случае произведение топологий в X иногда называют топологией поточечной сходимости на /.

Стандартная топология пространства R71 (соответственно О)— это произведение обычных топологий пространства R (соответственно С).

0.2.16. Факторпространства. Рассмотрим случай, когда X— топологическое пространство, Y — некоторое множество и f— отображение X в Y. В множестве Y естественно рассматривать топологии, при которых отображение f непрерывно. Такие топологии существуют: например, нулевая топология в У. Для каждой такой топологии $/ множество f-1(V) открыто в X для любого ^-открытого множества V. Система 2 всех подмножеств V, для которых ЩУ) открыто в X, образует топологию в У. Это сильнейшая среди топологий в У, относительно которых отображение f непрерывно.

При изучении этой топологии удобно пользоваться следующим обозначением:

АМ-ЧГ(А)),

где А — произвольное множество в X. Выполняются соотношения А*^А, f(A*)=f(A), А**=А*.

Отметим следующие пять свойств нашей топологии.

Для каждого множества АсХ имеет место равенство

f(X\A*)=f(X)\f(A).

Множество 1(A), где A cz X, открыто тогда и только тогда, когда открыто множество А*.

Первое утверждение следует из определений, второе из непрерывности отображения f.

Отображение f открыто тогда и только тогда, когда вместе с каждым открытым множеством U в X открыто и множество U*. Если / — открытое отображение и U пробегает базу окрестностей точки х, то система множеств f(U) образует базу окрестностей точки Цх).

Если f открыто и отображает X на У, то множество ^А^ замкнуто тогда и только тогда, иногда замкнуто множество Л*.

Действительно, в силу непрерывности отображения f из замкнутости множества /(Л) следует замкнутость множества А*. С другой стороны, так как f — отображение на У, то из свойства (1) вытекает справедливость равенства f(X\A*) = y\f (А). Если множество Л* замкнуто, то из того, что отображение f открыто, получаем, что множество У\/(Л) открыто и, следова- чельно, множество /(Л) замкнуто.

Отображение g пространства У в пространство Z непрерывно тогда и только тогда, когда отображение gof; X-^Z непрерывно.

Утверждение непосредственно следует из определения топологии $ и непрерывности отображения f.

Используя описанную выше конструкцию, можно ввести понятие факторпространства. Пусть X— топологическое пространство и R— отношение эквивалентности в X. Согласно п. 0.1.2, множество X можно разбить на классы эквивалентности по модулю R. Множество всех классов эквивалентности, обозначаемое обычно через X(R, называют, фактормножеством множества X по модулю R. Если л— естественное отображение множества X на XJR, то л(х) будет классом эквивалентности R(x). Фактор- топологией в X]R называют сильнейшую топологию в множестве X]R, при которой отображение л: X-^XjR непрерывно. В этом случае А* является не чем иным, как множеством

7? (Л) ={z/: (х, y^^R для некоторого х е Л}.

Если пространство X\R отделимо, то У?1) замкнуто в произведении ХхХ. Если л — открытое отображение и ^ замкнуто в произведении ХхХ^ то факторпространство X]R отделимо.

Наиболее важным для нас является случай, когда X— топологическое векторное пространство, а отношение R определяется некоторым векторным подпространством L в X, т. е.

R = UX, у): x — y^L, х^Х, y^XY .

В этой ситуации множество U* открыто всегда, когда открыто множество U и, следовательно, из (3) вытекает открытость отображения л. Таким образом, справедливо и утверждение (4), т. с. множество л (Л) замкнуто тогда и только тогда, когда замкнуто множество A-\-L.

0.2.17. Компактные пространства. Покрытием множества X называют систему 2 (или иногда семейство (Л^)) подмножеств в X, объединение которых совпадает с X. Покрытие 2' называется подпокрытием покрытия 5, если каждое из множеств системы 2' принадлежит 2.

Покрытие 2 топологического пространства X называется открытым, если каждое множество из 2 открыто в X.

Систему 5 (или семейство (Лг)) подмножеств множества X называют центрированной, если каждая непустая конечная подсистема в 2 (или конечное подсемейство в (Лг)) имеет непустое пересечение.

Ч То есть множество пар (х, у) г R — Прим. nepeet

Пусть X — топологическое пространство. Следующие четыре утверждения эквивалентны.

Каждое открытое покрытие пространства X содержит конечное подпокрытие.

Если система S -(или семейство (Лг)) замкнутых множеств пространства X центрирована, то пересечение всех множеств системы S( или семейства (Л^)) непусто.

Каждая сеть точек из X имеет в X предельную точку.

Каждая сеть точек из X содержит сходящуюся подсеть.

Эквивалентность предложений (а) и (Ь) получается посредством перехода к дополнениям и использования формул де Моргана (п. 0.1.1). Эквивалентность утверждений (с) и (d) устанавливается ссылкой на утверждение (Ь) из п: 0.2.11. Остается доказать равносильность утверждений (Ь) и (с). Пусть (х^)— сеть точек из X. Рассмотрим замкнутые множества Fx = yx: Х'^ХУ Так как-индекс X пробегает направленное множество, то система (Fx) центрирована, и, следовательно, если верно (Ь), то существует точка х, принадлежащая всем Fx. Легко проверяется, что х— предельная точка сети (хх). Таким образом, (Ь) влечет (с). Обратно, допустим, что выполняется условие (с), и пусть (^х)— центрированная система замкнутых множеств в X. Обозначим через L множество индексов X, а через I множество всех конечных подмножеств i в L. Множество /, упорядоченное по включению, направлено. По условию каждому i е / соответствует точка Xi, принадлежащая пересечению/^- = П Цч* Хе IV Из (с) вытекает, что сеть (хг) обладает предельной точкой хеХ. Так как каждое множество Pt замкнуто и Руе Pi при i' е> i, то точка хе Pi для каждого i и, следовательно, хе П{^л- ХеЕ\. Таким образом, (с) =ф (d), что и требовалось доказать. |

Топологическое пространство X называется компактным), если оно обладает одним (и, следовательно, каждым) из указан* вых выше свойств (а) — (d).

Бурбаки [2] называет компактными пространства, которые нс только удовлетворяют приведенному определению, но еще и отделимы.

Приведем некоторые основные свойства компактных пространств.

Пусть X— компактное пространство. Если сеть (хх) точек из X имеет не более одной предельной точки, то она сходится.

Так как пространство X компактно, то сеть (хх) обладает предельной точкой х, которая единственна по условию. Остается

показать, что сеть (хх) сходится к х. Допустим, что это не так. Тогда существуют такое открытое множество U, содержащее х, и такая подсеть (//Д сети (хх), что каждая точка y^eXXU. Так как пространство X компактно, то сама сеть (уц) обладает подсетью (2V), сходящейся к некоторой точке 2. Множество X\U замкнуто, и, следовательно, zeX\U; в частности, гфх. Кроме того, z должна быть предельной точкой сети (хх), ибо (2V) — се подсеть. Это противоречит условию единственности предельной точки сети (хх), откуда и вытекает справедливость утверждения (1). |

Множество Л топологического пространства X называется компактным, если является компактным пространством в индуцированной топологии (п. 0.2.7). Множество А называется относительно компактным (в X), если его замыкание А компактно.

Будем говорить, что топологическое пространство сигма-компактно (о-компактно), если оно представимо в виде счетного объединения компактных множеств.

Легко видеть, что замкнутое множество в компактном пространстве компактно и компактное множество в отделимом пространстве замкнуто.

Теорема Больцано — Вейерштрасса (из курса математического анализа) утверждает, что в пространствах Rn или Сп компактны те и только те множества, которые замкнуты и ограничены.

Если X — компактное, а У — топологическое пространство и отображение f*. X-^Y непрерывно, то множество ЦХ) компактно в Y. Если, кроме того^ отображение f взаимно однозначно, a Y— отделимое пространство, Tof— гомеоморфизм пространства X на f(X).

Пусть (Vj) — открытое покрытие множества У0 = ЦХ). Система (.ЩУг)) является тогда открытым покрытием пространства X и, следовательно, содержит конечное подпокрытие, например Vb4Vt)*. i^JV, где J — конечное множество индексов. Система ^^iGJ образует тогда открытое покрытие множества Уо; поэтому Уо компактно. Допустим теперь, что отображение f взаимно однозначно, а У — отделимое пространство. Образ каждого замкнутого (и, следовательно, компактного) множества из X компактен и потому замкнут в Y; следовательно, он замкнут и в Уо. Получаем таким образом, что отображение f-1: Y0-^X непрерывно, так что отображение f является гомеоморфизмом пространства X на У0=ЦХ). |

Следствием предложения4 (2) является следующее полезное замечание.

Пусть 3 и 3'—две такие топологии в множестве X, что (X, 3') —компактное, а (X, 3) —отделимое пространство. Если £<$/, то $ = $'.

Действительно, тождественное отображение f пространства (X, 3') на пространство (X, 3) непрерывно (так как топология 3 слабее топологии 3') и взаимно однозначно. В силу предложения (2) из компактности пространства (X, 3') и отделимости пространства (X, 3) следует, что f есть гомеоморфизм пространства (X, 3') на (X, 3), т. е. топологии 3 и 3' совпадают. |

Всякое отделимое компактное пространство X нормально.

Пусть А и В — непересекающиеся замкнутые множества пространства X. Если а^А и Ь^В, то существуют непересекающиеся открытые окрестности точек а и Ь, например Na и Мь. Так как множество В компактно, то ко-нечное число множеств Nb обра^ зует покрытие множества В. Обозначим это объединение через VQ; тогда Va — такое открытое множество, содержащее В, что VJ*\Na = 0. Так как множество А компактно, то конечное число множеств вида Ма, например множества Nav,..., Nan, образует покрытие множества А. Объединение t/=U{^: 1-^^^^} открыто и содержит множество А; пересечение V= П{Кр 1 ^^ ^ и} также открыто и содержит множество В, причем UHV = 0. ■

Пусть X— регулярное топологическое пространство и А — компактное множество в X. Всякая окрестность U множества А содержит некоторую его замкнутую окрестность V. Каждое компактное регулярное пространство нормально.

Действительно, так как пространство X регулярно, то для каждой точки а е А найдется такая ее открытая окрестность WQ1 замыкание которой Wa содержится в U. В силу компактности множества А конечное число таких окрестностей Wa образует покрытие множества А, поэтому в качестве V можно взять объединение замыканий выбранных окрестностей Wa. Таким образом, справедливость первого утверждения установлена. Докажем второе утверждение. Пусть А и В — непересекающиеся замкнутые множества компактного регулярного пространства X. Множество Х\5 является тогда окрестностью множества А и пб доказанному содержит его замкнутую окрестность 1). Так как замкнутые множества U и В не пересекаются, то таким же образом можно установить существование не пересекающей U замкнутой окрестности V множества В. Множества А и В обладают, следовательно, непересекающимися окрестностями U и V соответственно, т. е. пространство X нормально. |

Если X — вполне регулярное топологическое пространство, А — компактное множество в X и U — некоторая окрестность

множества Л, то существует такая непрерывная функция f: Х-ЧО, 1], что f (Л) ={1} и f(X\U)={QY

Каждой точке аеА соответствует такая непрерывная функция ga* Х->[0, 1], что gra(^) = l и ga(Х\17) = {0}. Множество {х: gaU)>^ открыто, поэтому функция haX->\0, 1], определенная соотношением

/i0(x) =inf (2ga(x), 1},

непрерывна, равна нулю на множестве Х\(7 и единице на некоторой окрестности Ма точки а. Так как множество А компактно, то найдется конечное число точек аг^А, /=1,2,... ,щ для которых соответствующие окрестности Nai образуют покрытие множества А. Для завершения доказательства достаточно положить f = sup\ha^ 1 ^i^nY J

Приводимый ниже результат является, вероятно, самым существенным в теории компактных пространств.

Теорема Тихонова. Топологическое произведение семейства компактных пространств есть компактное пространство.

Доказательство. Пусть (ЛД .е/ — семейство компактных пространств и X— его произведение. Достаточно показать, что если 2— центрированная система множеств в X, то пересечение ПУ* Ле^} непусто. Не нарушая общности, можно считать, что 5 — максимальная центрированная система множеств, ибо, пользуясь леммой Цорна (п. 0.1.5), любую центрированную систему можно расширить до максимальной. Из условия максимальности системы 5 вытекают следующие два утверждения:

система 5 замкнута относительно конечных пересечений;

всякое множество в X, пересекающее каждое множество системы 5, само принадлежит системе 5.

При каждом фиксированном i система лД2) подмножеств пространства Xt центрирована. Компактность пространства Х< влечет существование точки xt е Х^ являющейся точкой прикосновения1) каждого из множеств системы лД2). Поэтому если Ui — некоторая окрестность точки х^ то пересечение (ЛПлДД) непусто для любого множества Ле2. Другими словами, множество лг1 (UA пересекает каждое множество системы 2. В силу утверждения (Ь) множество л г1 (U^ принадлежит системе 2, а из (а) следует, что это верно для любого конечного пересечения таких множеств. Однако совокупность конечных пересечений

0 Точка х называется точкой прикосновения множества А, если в любой ее окрестности содержится хотя бы одна точка множества Л, т. е. если х принадлежит замыканию А. — Прим. ред.

множеств вида л.гх^и^ образует базу окрестностей точки х — = (хг) в топологии произведения в X.

Таким образом, каждая окрестность точки х принадлежит системе 5 и потому пересекает каждое множество системы 2, т. е. х является точкой прикосновения любого множества системы 2. |

Замечание. Приведенное доказательство принадлежит Б у р б а к и [2, гл. I, § 10, теорема 3]. Мы лишь отказались от употребления термина «ультрафильтр».

Иногда удается выразить условие компактности в терминах обычных последовательностей.

В гл. 8 мы уделим некоторое время этому вопросу при изучении одного специального класса топологических векторных пространств. Отметим пока некоторые простые общие результаты такого рода.

Рассмотрим следующие три утверждения относительно некоторого топологического пространства X.

Каждая последовательность точек из X имеет предельную точку.

Каждая последовательность точек из X содержит сходящуюся подпоследовательность.

Пространство X компактно.

Совершенно очевидно, что (Ь) влечет (а) и что (Ь) и (а) эквивалентны, если X удовлетворяет первой аксиоме счетности (т. е. каждая точка пространства X обладает счетной базой окрестностей). Из определения компактности следует, что (с) =ф (а); поэтому если X удовлетворяет первой аксиоме счетности, то из (с) вытекают и (а) и (Ь). Наконец, если пространство X удовлетворяет второй аксиоме счетности (т. с. обладает счетной базой открытых множеств), то все три условия эквивалентны. Доказательство этого утверждения предоставляется читателю. Заметим только, что можно начать со следующего наблюдения: если пространство удовлетворяет второй аксиоме счетности, то всякое его открытое покрытие содержит вписанное в него счетное открытое покрытие (говорят, что покрытие (S?) вписано в покрытие (Лг), или есть измельчение покрытия (Лг), если каждое из множеств В^ является подмножеством некоторого множества Л^).

0.2.18. Локально компактные пространства. Топологическое пространство X называется локально компактным, если каждая его точка обладает хотя бы одной компактной окрестностью. Таким образом, всякое компактное пространство локально компактно; всякое дискретное пространство локально компактно; всякое замкнутое подпространство локально компактного про-

странства локально компактно. Каждое из числовых пространств R" и О локально компактно, но не компактно.

Приведем некоторые свойства локально компактных пространств, которыми (в явном или неявном виде) мы воспользуемся в гл. 4.

Если локально компактное пространство X отделимо или регулярно, то замкнутые компактные окрестности всякой точки из X образуют базу ее окрестностей. В частности,

всякое отделимое локально компактное пространство регулярно;

всякое открытое подпространство локально компактного регулярного пространства также локально компактно и регулярно.

Для доказательства рассмотрим произвольную точку х^Х. В силу локальной компактности X найдется компактная окрестность Uo точки х. Пусть U — произвольная окрестность точки х. Если пространство X регулярно, то существует замкнутая окрестность точки х, содержащаяся в пересечении f/A U^. Эта окрестность будет компактной (как замкнутое подмножество в [/0). Этим установлена справедливость нашего утверждения для случая, когда локально компактное пространство регулярно.

Допустим теперь, что локально компактное пространство X / отделимо. Обозначим через V внутренность пересечения t/At/o- Множество V является окрестностью точки х, а его замыкание V — отделимым компактным пространством. Далее, {л} и F\V — замкнутые непересекающиеся подмножества пространства V. В силу утверждения (4) из п. 0.2.17 в пространстве V существует содержащаяся в V замкнутая компактная окрестность W точки х. Множество W является окрестностью точки х в V, и так как V открыто в X, то W— окрестность точки х в X. Наличие включения W cz V cz U завершает доказательство. |

Пусть X— локально компактное регулярное пространство, А — замкнутое компактное множество в X и U —окрестность множества А. Существует такая замкнутая окрестность V множества А, что V cz U. Кроме того, существует такая непрерывная функция f: Х->[0, 1], что f(Л) ={0} и f(X\V) ={1}. В частности, всякое локально компактное регулярное пространство вполне регулярно, а отделимое локально компактное пространство является тихоновским пространством (т. е. оно вполне регулярно и является Т^пространством).

Действительно, каждой точке х е А соответствует ее замкнутая компактная окрестность Wx, содержащаяся в U. Так как множество А компактно, то конечное число множеств Wx покрывает А, и их объединение является замкнутой компактной окрестностью V множества А. Подпространство V регулярно и

компактно и, следовательно, нормально (см. утверждение (5) из п. 0.2.17). Поэтому существует такая непрерывная функция g; V->[0, 1], что £(Л)={0} и g(V\int V) ={1}. Положим

,, х_/ g^ при xeV’

tW I 1 при

Функция f непрерывна и удовлетворяет всем условиям нашего предложения. |

Для локально компактных пространств имеет место теорема, аналогичная теореме Тихонова (0.2.12(7)).

Пусть (Х^ — семейство локально компактных пространств. Произведение ^ = IJ^i локально компактно тогда и только тогда, когда все сомножители, кроме конечного числа,— компактные пространства.

Доказательство этого предложения можно найти в книгах Келли [1, стр. 199] и Б у р б а к и [2, гл. I, стр. 118].

Процессы компактификации. Имеется ряд конструкций, цель которых — вложить данное пространство X в некоторое компактное пространство. Из таких конструкций нам понадобится лишь самая простая и грубая.

Пусть задано топологическое пространство X. Рассмотрим множество X*, получающееся добавлением к множеству X еще одной точки, обозначаемой символом оо. Наделим X* топологией, открытыми множествами которой являются все открытые множества из X, а также все множества вида Х*\К, где К — любое замкнутое компактное множество из X. Полученное таким образом пространство X* называется (одноточечной) компатифика- цией Александрова пространства X.

Компактность пространства X* почти очевидна. Действительно, если (Ui) — открытое покрытие пространства X*, то некоторое Ui0 содержит точку оо. Множество X* \ Ui. компактно в X; поэтому оно покрывается конечным числом множеств Ut и, следовательно, этим же свойством обладает и X*.

Ясно также, что топология, индуцированная в X, совпадает с исходной топологией в X (т. е. X топологически вложено в X*) и что X — открытое подпространство в X*.

Пространство X* отделимо тогда и только тогда, когда пространство X отделимо и локально компактно.

Болес подробно эти вопросы рассматриваются в книгах Келли [1, стр. 202] и Бу р б аки [2, гл. I, стр. 119].

0.2.19. Для удобства перечислим необходимые нам в дальнейшем свойства локально компактных пространств, лежащие в основе построения теории интегрирования, приведенной в гл. 4,

Всякое отделимое локально компактное пространство регулярно. Напомним также (п. 0.2.8), что регулярное Тх-простран- ство отделимо.

Всякое регулярное локально компактное пространство вполне регулярно.

Оба эти утверждения обсуждались в предыдущем пункте.

Легко проверить, что в регулярном локально компактном пространстве совокупность всех компактных множеств содержит базу окрестностей каждой точки. Поэтому из утверждения (2) и леммы п. 0.2.10 вытекает следующее утверждение.

Пусть X — регулярное локально компактное пространство. Каждая полунепрерывная снизу положительная числовая функция f на X является верхней огибающей множества всех не превосходящих f положительных непрерывных на X функций с компактным носителем.

0.2.20. Паракомпактные пространства. В п. 0.2.17 компактность была охарактеризована в терминах открытых покрытий. В гл. 5 нам придется воспользоваться еще одним свойством топологических пространств, связанным с поведением открытых покрытий.

Покрытие (Лг) топологического пространства X называется локально конечным, если каждая точка х е X обладает окрестностью U, пересекающейся лишь с конечным числом множеств Аг (это число, вообще говоря, зависит от х и от U).

Топологическое пространство X называется паракомпактным, если оно регулярно и в каждое его открытое покрытие можно вписать локально конечное открытое покрытие.

Паракомпактные пространства можно разными способами охарактеризовать в терминах покрытий. Эти способы описаны у Келли [1, стр. 212] ^ где получены также следующие два результата.

Каждое паракомпактное пространство нормально.

Каждое полуметризуемое (п. 0.2.21) пространство паракомпактно.

Нам важно будет установить еще одно свойство некоторых открытых покрытий нормального пространства. Условимся называть покрытие (Л;) топологического пространства X точечно конечным, если каждая точка х^Х принадлежит не более чем конечному (зависящему от %) числу множеств А^.

Пусть X— нормальное топологическое пространство и ^U^^i — его открытое точечно конечное покрытие. Существует такое открытое покрытие (V^i^i пространства X, что для каждого 1^1 имеет место включение ViCz Щ.

D См. также Бурбаки [2, гл. I, § 10, п. 12]. — Прим, перев.

При выполнении сформулированного отношения между покрытиями (СД и (X) иногда говорят, чю покрытие <V^ подчинено покрытию \UiY Это свойство покрытия (УД, очевидно, сильнее свойства «быть вписанным».

Рассмотрим сначала случай, когда покрытие {t7J конечно. Пусть / = {1, 2, ..., nV Замкнутые множества f = X\/7i и F' = = X\U(^v 1<^п} не пересекаются; поэтому они обладают непересекающимися открытыми окрестностями U и Pi соответственно. Так как Vi cz Х\ U, то Pi а Х\ U. Из того факта, что X\|J(^i- Kt^^}czVi, вытекает, что семейство {Vi, U2, ... ..., U^ образует открытое покрытие. Достаточно теперь повторить все рассуждение п— 1 раз.

Переходя к общему случаю, обозначим через 5 множество всех функций и. определенных на / и удовлетворяющих следующим условиям: и{1) есть_либо множество U^ либо такое открытое множество Vt, что ViCzUi, и семейство (z/(0)iGi образует покрытие пространства X. В множестве 5 введем отношение порядка полагая и^и' тогда и только тогда, когда и,{1)=и{1) для всех тех индексов 1^1, для которых и^ есть некоторое ViN=Ui. Покажем сначала, что множество 2 индуктивно упорядоченно.

Пусть 2Z— линейно упорядоченное подмножество в 2. Определим отображение и" равенством

^/z(0= П^'ОЬ

Ввиду точечной конечности семейства {Ui) функция m/ze2. Кроме того, и"— верхняя грань множества 2Z в 2.

В силу леммы Цорна (0.1.5) множество 2 обладает максимальным элементом и*. Убедимся, что для каждого I значение и* {Г) есть некоторое Vi=Ui\ тем самым справедливость утверждения (3) будет установлена.

Допустим противное, т. е. что для некоторого j г I имеет место равенство u*{j) = Uj, и рассмотрим множество

E-XXIJ W): i + iY

Гак как по доказанному утверждение справедливо для конечного покрытия, то существует такое открытое множество V^ что Fez a Vj и Xcz Uj. Если теперь определить функцию и** равенствами и** (l) = и* (0 При i^j и и**^) = Уз, то и*<.и** и ц*^ц**, что противоречит максимальности элемента и*. |

Идея этого доказательства принадлежит Келли [1, стр. 230, задача Щ.

Комбинируя (1) и (3), получаем следующее утверждение.

Пусть {Ui)—открытое покрытие паракомпактного пространства X. Существует локально конечное открытое покрытие

(Vj) пространства X, обладающее свойством*, каждому индексу / соответствует такой индекс ц что Vj cz LU

Действительно, из паракомпактности пространства X вытекает существование локально конечного открытого покрытия ([//), вписанного в покрытие (Ui). В силу (3) существует такое открытое покрытие (Vj), что включение VjCzUj справедливо для любого /. Покрытие (Vj) локально конечно, и каждому / соответствует такой индекс I, что Vj cl Uj a Ui (так как покрытие ([//) вписано в покрытие (Щ)). |

Рассмотренные свойства покрытий связаны с существованием на X определенного вида семейств непрерывных функций. Семейство (/Д непрерывных числовых функций на топологическом пространстве X называется (непрерывным) разбиением единицы, если 0^/г-^1 и 2А=Ь причем это семейство локально конечно в том смысле, что каждой точке х ^Х соответствует такая ее окрестность U, что fi(U) =0 для всех индексов I, за исключением, быть может, конечного числа.

Из утверждений (1_), (4) и леммы Урысона 0.2.12 следует, что таких разбиений единицы существует мною.

Всякому открытому покрытию (Ui) паракомпактного пространства X соответствует такое разбиение единицы (f^, что для каждого индекса / носитель функции fj содержится в некотором множестве Ui.

Действительно, выберем такое открытое локально конечное покрытие (Vj), что каждое Vj содержится в некотором множестве U^ Р1з (3) вытекает существование локально конечного открытого покрытия (^j), подчиненного покрытию (Vj); поэтому для каждого / имеет место включение WjCi Vj. Замкнутые множества Wj и X\Vj не пересекаются при любом /; следовательно, в силу леммы Урысона существует такая непрерывная функция gf- ^->[0, 1], что gj(!Vj)=(l} и gj(X\Vj) = {0}. Семейство (gj) локально конечно, так что сумма 2 gj непрерывна, причем ясно, что всюду 2 gj^ 1. Для завершения доказательства достаточно положить

fi = gi^ gif1. ■

Для приложений, которые этот результат имеет в гл. 5, важно заметить следующее: если X=Rn (или если X— открытое подпространство в Rn, или вообще паракомпактное вещественное дифференцируемое многообразие), то можно так определить функции ^, чтобы они были бесконечно дифференцируемыми и обладали /компактными носителями. В таком виде

утверждение (5) может быть получено из первоначального с помощью простого процесса регуляризации, описанного в гл. 5.

0.2.21. Полуметрики, метрики и ассоциированные топологии. Полуметрикой на множестве X называется вещественная функция d, определенная на произведении ХхХ и удовлетворяющая следующим условиям:

d(x,y) =d(y,x) > 0;

d (х, z) ^ d (х, z/) +d (у, z) (неравенство треугольника);

d(x,x)=0.

(х, у, z— произвольные точки множества X.)

Если, кроме того,

с?(х, у)=0 влечет х — у, то d называется метрикой на X. Некоторые авторы (например, Келли [1, стр. 161—162]) употребляют термин «псевдометрика» вместо «полуметрика».

Полуметрическим (метрическим) пространством называется пара (X, d), состоящая из множества X и полуметрики (метрики) d на X.

Обычно об X говорят как о полуметрическом (метрическом) пространстве, подразумевая при этом, что на X задана некоторая полуметрика (метрика) d.

Пусть (X, d)—полуметрическое пространство, х^Х и г — вещественное положительное число. Множество

5(х, г)={у: у^Х и d^x, у)<Л

называют открытым шаром с центром х и радиусом г, а множество

В(х, A=Vy- У^Х и d(x,y) <г}

— замкнутым шаром с центром в х и радиусом г. В дальнейшем читатель убедится, что прилагательные «открытый» и «замкнутый» употребляются в этих определениях не случайно.

Если (X, d)—полуметрическое пространство, то из свойств (1) — (3) следует, что множество пар (х, В(х, г)), где хеХ и г>0, удовлетворяет требованиям (a'), (b'), (d') п. 0.2.2. Поэтому существует единственная топология $d в X, в которой открытые шары В(х, г) образуют базу окрестностей каждой точки хеХ. Так как, кроме того, В(х, r)czB(x, r)czB(x, г') при r'>r>0, то замкнутые шары с центром в точке х и положительными радиусами также образуют базу окрестностей точки х.

Легко проверяется, что каждый открытый (замкнутый) шар является открытым (замкнутым) множеством в топологии ^d1 что оправдывает их названия.

Из сказаннного выше, в частности, следует, что топология ^d регулярна. В качестве упражнения предлагаем читателю показать, что топология ^d • на самом деле вполне регулярна.

С другой стороны, топология ^ удовлетворяет аксиоме отделимости То (п. 0.2.8) тогда и только тогда, когда d— метрика. В этом случае топология является даже отделимой.

Пользуясь общими методами, описанными в п. 0.2.15, топологию ^d можно определить как слабейшую топологию в X, при которой непрерывны все функции dx\ у >—>d^y) (dx\ Л-->/?), когда х пробегает X.

Топологическое пространство (X, $) называется полуметра- зуемым (метризуемым), если существует такая полуметрика (метрика) d на X, что 2d = £. Описанию таких пространств посвящено довольно много работ (см., например, Келли [1, стр. 169—177]), однако нас больше интересует несколько иная задача, в которой вместо топологических рассматриваются так называемые равномерные пространства (п. 0.3.5 и 0.3.6).

0.3. Равномерные пространства

0.3.1. Равномерная структура в множестве. Пусть X — множество и А = А(Х)—диагональ произведения ХхХ (п. 0.1.2). Равномерной структурой в X называют систему $ подмножеств произведения ХхХ, удовлетворяющую следующим условиям:

каждое множество U ^Ж содержит диагональ А;

если U ^Ж, то Z7-Ie$;

если U ^Ж, то существует такое множество U' е $, что 1ЫГ C.U;

пересечение двух множеств из $ также принадлежит Ж;

всякое подмножество произведения ХХХ, содержащее множество из Ж, само принадлежит Ж.

Множества системы Ж называются окружениями (диагонали А) в равномерной структуре Ж. Подсистема ^ системы Ж называется базой равномерной структуры Ж, если каждое множество произведения ХхXv содержащее элемент из ^, принадлежит Ж. База 39 равномерной структуры Ж обладает следующими свойствами:

(а7) каждое множество В е 39 содержит диагональ А;

(Ь7) если Bef, то В”1 содержит элемент из 39 \

(с7) если В е ^, то существует такой элемент В' е ^, что В' о В' а В;

(d7) пересечение двух элементов из 39 содержит элемент из 39.

Обратно, пусть задана система 39 подмножеств произведения ХхХ^ удовлетворяющая условиям (а7) — (d7).

Система всех тех подмножеств произведения ХхХ, которые содержат хотя бы одно из множеств системы 39, есть равномер* ная структура X, базой которой служит ^.

Пара (X, X), состоящая из множества X и равномерной структуры X в X, называется равномерным пространством. Когда это не вызывает недоразумений, говорят о «равномерном пространстве X»; сравните с аналогичной вольностью, когда речь идет о топологическом пространстве (п. 0.2.1).

Как и в случае топологий (п. 0.2.6), некоторые пары равномерных структур в множестве X можно сравнивать. Пусть X и Ж7 —равномерные структуры в множестве X. Будем говорить, что X слабее X7, или, что то же, что X7 сильнее Ж/если Же Ж' (Ж и X7 рассматриваются как подмножества множества всех подмножеств произведения X X X). Существуют слабейшая равномерная структура в X, av именно структура, состоящая из единственного окружения {X X XY и сильнейшая равномерная структура, а именно {(/: Д е U е X X XV

Исторически впервые изучалась равномерная структура, возникающая при задании полуметрики d на X (п. 0.2.21). База этой равномерной структуры состоит из множеств

Вг = {(х, х7) е X X X: d(x, х7) < г},

где г — пробегает множество всех (строго) положительных чисел (или некоторое множество (строго) положительных чисел, содержащее сколь угодно малые числа). Этот случай мы исследуем ниже более подробно (п. 0.3.5—0.3.7).

0.3.2. Топология, определяемая равномерной структурой. Пусть задано равномерное пространство (X, Ж). В множествеX можно определить топологию 2, сопоставляя каждой точке хеХ базу . окрестностей, состоящую из множеств вида Щх)=^У- У^Х, (x,y)^U}, где U пробегает Ж. Обозначение U ^ согласуется с принятым в п. 0.1.2, где для любого Ус аХхХ и любого АсеХ через U(Л) обозначалось множество

{у: уеХ, (х, y^^U хотя бы для одного х е Л}.

В то же время X X X можно снабдить топологией произведения (п. 0.2.15). При этом важно связать эту топологию с заданной равномерной структурой в X. Если не оговорено противное, мы будем считать, что X и произведение X X X наделены указанными топологиями.

Если U е Ж, то и внутренность множества U принадлежит Ж. Таким образом, открытые симметричные окружения образуют базу равномерной структуры Ж.

Замыкание множества A czX совпадает с множеством ГК^И): U е Ж}. Замыкание подмножества S произведения ХхХ совпадает с множеством (^tU°SoU: U^XY Следовательно, симметричные замкнутые окружения образуют базу.

Из последнего предложения следует регулярность топологии £. Топология $ отделима тогда и только тогда, когда f] {U: U^X} = X В этом случае равномерная структура и соответствующее равномерное пространство называются отделимыми.

Каждому неотделимому равномерному пространству (X, I) можно естественным образом поставить в соответствие ассоциированное отделимое равномерное пространство. Множество

/? = П{(7: U^^

определяет отношение эквивалентности в множестве X. Рассмотрим фактормножество X = X(R. Каждому окружению U е Ж сопоставим множество

U = ^x, у): Эхех, у е у, такие, что (х, y^^UPY

Множества U образуют базу некоторой равномерной структуры Ж в множестве X, причем равномерное пространство (X, Ж) отделимо. Полученное таким образом отделимое равномерное пространство (X, Ж) называется ассоциированным с пространством (X, Ж).

0.3.3. Равномерная непрерывность. Пусть (X, Ж) и (У, $) — равномерные пространства и f — отображение пространства X в У. Отображение f называется равномерно непрерывным, если для каждого окружения V (= SJ) множество

{(х,х') gXxX: (f(x)J(x')) е V}

принадлежит Ж. Если при этом X и У наделить соответствующими топологиями, то отображение f становится непрерывным. Обратное утверждение, вообще говоря, неверно.

Легко проверить, что композиция равномерно непрерывных отображений также равномерно непрерывна.

0.3.4. Равномерная структура, определенная семейством функций. Пусть задано множество X и семейство ((Уг $ iPi^i равномерных пространств. Существует такая слабейшая равномерная структура Ж в X, что при каждом i отображение ft пространства (X, Ж) в (У^ $г) равномерно непрерывно. Действительно, конечные пересечения множеств вида

{(х, /) е X X X: (^ (х), ^ (х')) ее VJ,где Vt е ^, образуют базу указанной равномерной структуры.

В качестве частных случаев этого общего метода можно

!) 3 — логический символ, который читается «существует» или «существуют». — Прим, перев.

ввести индуцированную равномерную структуру в подмножестве X данного равномерного пространства У, а также произведение равномерных структур в множестве Цх^, где Х<— равномерные пространства. Читатель может сравнить сказанное с аналогичной ситуацией для топологических пространств (п. 0.2.7 и 0.2.15). Топология, соответствующая произведению равномерных структур, совпадает с произведением соответствующих топологий. Топология, соответствующая индуцированной равномерной структуре, совпадает с индуцированной топологией.

0.3.5. Равномерные структуры и полуметрики. Пусть (X, X) — равномерное пространство. Полуметрика d на множестве X (п. 0.2.21) равномерно непрерывна относительно произведения равномерных структур в X X X тогда и только тогда, когда для каждого е > 0 множество

Ud,£ = Ux, х^гХхХ: d^x, х')<8}

принадлежит X.

С другой стороны, если заданы множество X и полуметрика d на нем, то естественно рассмотреть равномерную структуру Х^, база окружений которой состоит из указанных выше множеств Uа, 8. Это слабейшая равномерная структура в X, при которой полуметрика d равномерно непрерывна относительно произведения равномерных структур в ХхХ. Отметим, что равномерная структура Х^ отделима тогда и только тогда, когда d есть метрика. Равномерные структуры типа Ха являются прототипами равномерных структур вообще.

Возникает естественный вопрос: каким условиям должно удовлетворять равномерное пространство (X, X), чтобы Х = Хй для некоторой полуметрики? В этом случае равномерное пространство (X, X), или равномерная структура X, называется полуметризуемой (или метризуемой, если d— метрика).

0.3.6. Полуметризационная лемма. Можно показать (Келли [1, стр. 248], Бурбаки [3, гл. IX, п° 4, стр. 7, предл. 2]), что равномерное пространство полуметризуемо тогда и только тогда, когда оно обладает счетной базой окружений.

Для нас наиболее важным является случай топологического векторного пространства. Доказательство сформулированного утверждения для этого случая (похожее на доказательство в общем случае) приводится в начале гл. 6.

0.3.7. Рассмотрим более общую ситуацию. Пусть на множестве X задано семейство полуметрик ^d^t^b Множества Ud^ образуют базу равномерной структуры X в X. Она является слабейшей из равномерных структур, для которых тож-

дественное отображение пространства (X, $) в пространство (X, Жд.) при каждом i равномерно непрерывно.

0.3.8. Можно показать, что всякую равномерную структуру, заданную в множестве X, можно получить так, как это сделано в п. 0.3.7. При этом (dt) является семейством всех полуметрик, которые равномерно непрерывны относительно произведения равномерных структур в X X X. Отсюда следует, что всякое равномерное пространство, рассматриваемое как топологическое, вполне регулярно.

0.3.9. Из сказанного в п. 0.3.8 в качестве следствия можно получить следующий результат А. Вейля: всякое равномерное пространство изоморфно (как равномерное пространство) подпространству произведения полуметризуемых пространств (или метризуемых пространств в случае, когда заданное равномерное пространство отделимо).

Доказательство этого утверждения можно найти у Келли [1, стр. 251] или у Бурбаки [3, гл. IX].

0.3.10. Топологические пространства, допускающие равномерную структуру. Из предыдущих результатов вытекает следующее утверждение.

Пусть (X, 2) — топологическое пространство. Для существования такой равномерной структуры X в X, что соответствующая ей топология совпадает с 2, необходимо и достаточно, чтобы пространство (X, 2) было вполне регулярным. В этом случае говорят, что топология 2 и топологическое пространство (X, 2) допускают равномерную структуру, или рав- номеризуемы. Из утверждения (2) п. 0.2.19 вытекает, что локально компактные регулярные пространства равномеризуемы.

Если пространство (X, 2) компактно, то равномерная структура в X определяется однозначно. В этом случае всякое непрерывное отображение пространства (X, 2) в равномерное пространство равномерно непрерывно; любая полуметрика, непрерывная на произведении X X X, равномерно непрерывна, и каждое открытое множество произведения X X X, содержащее диагональ А, принадлежит $.

Доказательство этих утверждений можно найти у Келли [1, стр. 263—264] и Бурбаки [2, гл. II, стр. 177—181].

0.3.11. Сети Коши и полнота. Так как равномерная структура дает возможность «нумеровать» окрестности различных точек одним и тем же множеством индексов для всех точек, то возникает возможность определения «малости» множеств независимо от их положения. Пусть (X, $) — равномерное пространство и U е X. Говорят, что множество A cz X мало порядка U (или, короче, и-мало),х если AxAclU. (Для уяснения

этого определения полезно рассмотреть случай, когда равномерная структура $ задается метрикой.)

Пользуясь понятием малости порядка [/, легко дать определение сети Коши (или, как иногда говорят, фундаментальной сети). Сеть Uxh^L называется сетью Коши, если для каждого окружения U е $ существует такой индекс Ло=Ло(П), что ^хъ х^ е U для всех индексов X и Л', следующих за Ло. Другими словами, «хвост» {хх: Х'Ж^ мал порядка U, если Zo достаточно велико.

Пусть равномерная структура определена полуметрикой d. Для того чтобы сеть (хх) была сетью Коши, необходимо и достаточно, чтобы d ^хъ х^ 0, когда Z и V возрастают независимо друг от друга.

Аналогичное предложение имеет место и в общем случае, но при условии, что указанное соотношение выполняется для всех равномерно непрерывных полуметрик.

Если в соответствующей топологии Иш х^ = х, то (х^) есть

X

сеть Коши. Всякая сеть Коши (хх) сходится к каждой своей предельной точке (если такие существуют). Не всякая сеть Коши сходится. (Достаточно рассмотреть незамкнутое подпространство отделимого равномерного пространства.)

Равномерное пространстве (X, X) называется полным, если в нем каждая сеть Коши сходится.

Замкнутое подпространство полного пространства полно. Всякое полное подпространство отделимого равномерного пространства замкнуто. Произведение равномерных пространств будет полным тогда и только тогда, когда каждый сомножитель этого произведения является полным пространством. Для того чтобы сеть в произведении пространств была сетью Коши, необходимо и достаточно, чтобы ее проекция на каждый сомножитель была сетью Коши.

Полуметризуемое равномерное пространство полно тогда и только тогда, когда каждая его последовательность Коши сходится к некоторой точке этого пространства.

Равномерное пространство, удовлетворяющее этому условию, называется секвенциально полным. Существуют неполные равномерные Пространства, которые все же являются секвенциально полными.

Если (хх) —сеть Коши в X и отображение f: (X, $)—>(Х, $) равномерно непрерывно, то (f(xx))— сеть Коши в У.

0.3.12. Пополнение равномерного пространства. Процедура вложения метрического пространства в качестве плотного подпространства в полное метрическое пространство была использована КантоР°м для построения вещественных чисел из ра-

циональных. Эта конструкция, теперь общеизвестная, тривиально переносится на полуметрические пространства (см., например, Келли [1, стр. 261]).

В некоторых случаях нам понадобится аналогичное построение, но уже в применении к произвольному равномерному пространству. Здесь можно было бы ограничиться ссылкой на метод Кантора для полуметрических пространств и на результат, сформулированный в п. 0.3.9. Однако мы проведем указанное построение, не опираясь на метод Кантора.

Пусть (X, X)—равномерное пространство. Пополнением пространства (X, X) называется пара [(X, $),/], состоящая из полного равномерного пространства (X, X) и равномерного изоморфизма f пространства X на некоторое подпространство, плотное в X.

При построении пополнения мы следуем Бурбаки [2, стр. 172—175], но вместо фильтров пользуемся сетями. Рассмотрим множество X, состоящее из всех сетей Коши в пространстве X. Пусть U — симметричное окружение из X. Обозначим через U множество пар ((хх), (f/п))» ГДС (хх)> (#цс) —сети Коши в X, обладающие следующим свойством: существуют такие ^ и цо, что ^хъ у^ е U для всех X > Хо и ц > ц0. Когда U пробегает X, множества U пробегают базу окружений некоторой равномерной структуры X в X. Легко проверить, что полученное равномерное пространство (X, X) полно. Обозначим через f отображение, ставящее в соответствие каждому элементу х^Х одноэлементную сеть .г=(х). Очевидно, f есть равномерный изоморфизм пространства X на подпространство X*, плотное в X; следовательно, [(Х,Х, f] есть пополнение пространства (X, X). Равномерное пространство (X ,Х), вообще говоря, может не быть отделимым.

Если пространство (X, X) отделимо, то естественно попытаться построить отделимое его пополнение. Это можно сделать, заменяя пространство (X ,Х) ассоциированным с ним отделимым пространством (X, X) (п. 0.3.2). Оказывается, что композиция gof отображения f с естественным отображением g пространства X на X является равномерным изоморфизмом пространства X на плотное в X подпространство Хг. Пара [(X, X), g ° fl является отделимым пополнением пространства (X, X). Более того, можно показать (Бурбаки [2, стр. 172]), что отделимое пополнение определено однозначно с точностью До равномерного изоморфизма; поэтому естественно говорить просто об (отделимом) пополнении.

Следует заметить, что если пространство (X, $) не является отделимым, a Y — ассоциированное с ним отделимое пространство, то Y равномерно изоморфно пространству X (отделимому пространству, ассоциированному с пространством X). Другими словами, переход к ассоциированному отделимому пространству может быть выполнен либо до, либо после операции ~ (см. Бурбаки [2, стр. 177, упр. 5]).

Если равномерная структура $ задана семейством полуметрик (di) (п. 0.3.7 и 0.3.8), то пополнение допускает несколько более конкретное описание. Начнем с легко проверяемого замечания. Если (хД и (уу,) являются сетями Коши в X, то сеть (di(x^ у^)) (где множеством индексов служит множество пар (X, ц)) есть сеть Коши; следовательно, существует конечный предел

^ (кх^ кУ^) = lim di кхх, у^.и)

Определенная таким образом функция di является полуметрикой на X. Кроме того, равномерная структура X совпадает с равномерной структурой, определенной семейством полуметрик (di). Заметим, что di( (х), (у)) = di(x, у) при х, у ^Х.

Легко проверить, что для каждого элемента х^ X база окрестностей точки х‘ в X состоит из замыканий в X образов окрестностей точки х^Х при отображении f (f: xv—>x\ как и выше)._

Отделимое пространство X получается при отождествлении тех сетей (хх) и (z/ц), для которых при каждом I выполнено соотношение

St к М, ку^) = lim d{ кхх, у^ = 0

(такие сети Коши (xj и кУи) называются эквивалентными'). Пусть х и у — два класса эквивалентных сетей Коши (т. е. две точки из X). Положим

3t к#, д) = ^i кк^О, кУуН).

где (хх) и (у у.)—произвольные сети из классов хи# соответственно. Семейство полуметрик (Д^ определяет на X равномерную структуру X. Если X — отделимое пространство, то х. и у эквивалентны (т. е. принадлежат одному и тому же классу. эквивалентности из X) тогда и только тогда, когда для всех i выполнено равенство di(x, у) =0, т. е. х = у.

0.3.13. Предкомпактность. Равномерное пространство (X, $ называется предкомпактным, или вполне ограниченным, если

для всякого окружения U е $ существует конечное покрытие X множествами, малыми порядка U. Другими словами, для каждого окружения U е $ должно найтись такое конечное множество FaX, что X=U{F). Ясно, что подпространство предком- пактного пространства также предкомпактно. Если пространство (X, $) не является предкомпактным, то можно построить последовательность (хп), обладающую пру некотором U ^Х тем свойством, что хп^Щхр) при р<п. Поэтому эта последовательность не обладает подсетью Коши.

0.3.14. Теорема. Равномерное пространство (X, $) предкомпактно тогда и только тогда, когда каждая сеть в X обладает подсетью Коши. Поэтому, для того чтобы (X, $) было предкомпактным, достаточно, чтобы некоторое пополнение пространства (^, X) было компактным, и необходимо, чтобы каждое пополнение пространства {X, X) было компактным.

0.3.15. Категории и теорема Бэра. Пусть X— топологическое пространство и А— множество вХ. Множество А называется:

нигде не плотным, в X, если внутренность его замыкания пуста;

тощим множеством, или множеством первой категории в X, если оно является объединением счетного семейства множеств, нигде не плотных в X;

нетощим множеством, или множеством второй категории в X, если оно не является множеством первой категории в X.

Мы увидим (см. также гл. 3 книги Келли и Намиока [1]), что понятие категории широко используется в функциональном анализе. Значение этого понятия во многом объясняется следующей теоремой.

0.3.16. Теорема (Бэр). Пусть X— либо регулярное локально компактное пространство, либо полуметризуемое полное равномерное пространство. Тогда дополнение ко всякому тощему множеству в X всюду плотно {или, что то же, пересечение счетного семейства всюду плотных открытых множеств также плотно). В частности, X нетоще {в себе).

Доказательство можно найти в книге Келли [1, стр. 267].

Важную роль в функциональном анализе играет так называемый принцип ограниченности (гл. 7), который опирается на следующий результат.

0.3.17. Теорема. Пусть X— нетощее пространство, тогда полунепрерывная снизу функция f на X, принимающая лишь конечные значения, ограничена сверху на некотором непустом открытом подмножестве в X.

Доказательство. Множества Fn = {x: х е X и f(x)^^l замкнуты и образуют покрытие пространства X. Следователь-

но, существует такой номер п, что множество Fn имеет непустую внутренность, что и требовалось доказать. |

0.3.18. Полученный выше результат часто применяется к случаю, когда всюду конечная функция f является верхней огибающей некоторого семейства (fi)^i полунепрерывных снизу на X функций. При этом делается вывод о существовании непустого открытого множества ЛсгХ и такого числа с (< + оо), что

supff^x): i^I и хеА^<с.

0.3.19. Топологические группы. В гл. 4 и 10 мы будем иметь дело с топологическими группами. Поэтому нам представляется удобным перечислить здесь некоторые их элементарные топологические свойства.

Топологической группой называется множество X, наделенное:

структурой группы;

такой топологией, при которой групповые операции непрерывны, т. е. отображение (%, у) н-> х-гу произведения X X X в X непрерывно.

Отсюда следует, что при фиксированном а е X отображения х н-> ах и х н-> я-1х (а также отображения х н-> ха и х v->xa-x^ являются взаимно обратными гомеоморфизмами X на себя. Кроме того, если U пробегает базу окрестностей точки е (где е— единичный элемент группы X), то множества х11э а также множества Ux пробегают базу окрестностей точки х.

Если каждой окрестности U точки е поставить в соответствие подмножество

UL=Ux, уУ Х"Ху G (7}

произведения X X X, то всевозможные такие множества UL образуют базу окружений некоторой равномерной структуры в X. Из очевидного равенства UL\x\ = xU следует, что топология, определяемая этой структурой, совпадает с исходной то пологией в X. Таким образом, пространство X равномеризуемо и потому вполне регулярно (п. 0.3.8). Отсюда вытекает, что X есть Ггпространство тогда и только тогда, когда оно отделимо.

Нужно заметить, что только что определенная равномерная структура называется левой равномерной структурой в X. Заменяя множества UL множествами

Ur=VVc, уу. ух-х g иу

мы получим так называемую правую равномерную структуру в X. Здесь UrVx^Ux, поэтому, как и ранее, полученная топология в X совпадает с исходной. Тем не менее, вообще говоря, эти две равномерные структуры различны, хотя отображение

хн->х-1 есть изоморфизм одной из них на другую. Однако эти две структуры в X совпадают, если группа X коммутативна, а также если пространство X компактно (п. 0.3.10).

Более детальное изучение этих равномерных, структур нам нс понадобится. Интересующиеся могут обратиться к книге Бурбаки [2].

0.4. Теорема Асколи

Теорема4 Асколи является наиболее важным критерием компактности множества функций. В этой книге мы будем часто на нее ссылаться.

0.4.1. Пусть Т, X—произвольные множества и Хт — совокупность всевозможных отображений множества Т в X. Если, кроме того, Т и X— топологические пространства, то через С(Т, X) будем обозначать множество всех непрерывных отображений из Хт.

0.4.2. Пусть Т— множество и X— топологическое пространство. Введем в Хт топологию простой (поточечной) сходимости. Для этого каждому отображению f0^XT поставим в соответствие базу окрестностей, состоящую из множеств вида

Г (Лtn; Ub .... Un^ = y^XT: Ц1^иь i=l, .... nY

где n пробегает множество всех натуральных чисел, элементы ti независимо друг от друга пробегают множество 7, a Ui при каждом i является окрестностью точки fo(^) в X. Эту топологию будем обозначать через ts.

0.4.3. Пусть Т—множество, X— равномерное пространство, SczT и U—некоторое окружение равномерной структуры в X. Для каждого f0 е Хт положим

У (/0, S, U) = (f^XT: (f(t), fQ(t))^U для всех feS}.

Множества V(fo, S, U), где /0 фиксировано, U пробегает множество всех окружений (или базу окружений), a S пробегает некоторую фиксированную систему S подмножеств в 7, образуют предбазу некоторой топологии т@ в множестве Хт. Эта топология' называется топологией равномерной сходимости на множествах, принадлежащих S, или просто S -топологией. Если S состоит из одноточечных (или конечных) подмножеств множества 7, то т@ совпадает с т8. В действительности т5 — слабейшая из тех S-топологий, для которых система S покрывает 7 (т. е. в случае, если пространство X отделимо, слабейшая из всех отделимых S-топологий).

0.4.4. Пусть 7 — топологическое пространство. Особенно важной является та S-топология, для которой система S

состоит из всех компактных подмножеств пространства Т. Эта топология обозначается через тс и часто называется топологией компактной сходимости.

Важен также случай, когда ®={Т}, который порождает так называемую топологию равномерной сходимости (на Г), обозначаемую через ти- Если пространство Т компактно, то тп = тс.

0.4.5. Каждая ©-топология в Хт равномеризуема. Действительно, если S пробегает ©, a U пробегает X (где X— равномерная структура в X), то семейство подмножеств

{(Л fo): (A fo) еХт X Хт, (f(t), fo(O) G и для всех /eS}

является предбазой окружений некоторой равномерной структуры и^ в Хт. Легко проверяется, что топология, определяемая в Хт этой структурой, совпадает с исходной S-топологией в Хт.

Через Ck(T, X), где к = с или к = и, мы будем иногда обозначать как топологическое пространство (С(Т, Х),т^), так и равномерное пространство (С(Т, X), uh).

0.4.6. Очевидно, что во всех случаях, когда Т — топологическое, а X— равномерное пространство, равномерная структура ис будет сильнее равномерной структуры us, а топология тс — сильнее топологии т5. Цель теоремы Асколи— выделить некоторые множества в С^Т, X), в которых ис и us индуцируют одну и ту же равномерную структуру, а тс и rs — одну и ту же топологию. При этом существенную роль играет понятие равностепенной непрерывности.

0.4.7. Пусть Т— топологическое, а X — равномерное пространство. Множество F из Хт называется равностепенно непрерывным в точке t0 ^ Г, если для каждого окружения UcXxX найдется такая окрестность N точки to е Т, что для всех teN njeF имеет место включение

Множество F сХт называется равностепенно непрерывным (на Т), если оно равностепенно непрерывно в каждой точке множества Т. В последнем случае множество F содержится в С(Т,Х).

Теореме Асколи мы предпошлем несколько замечаний о равностепенной непрерывности. Всюду в этих замечаниях бу* дем предполагать (по меньшей мере), что Т — топологическое, а X — равномерное пространство.

0.4.8. Лемма. Если множество F равностепенно непрерывно, то его Xs-замыкание в Хт также равностепенно непрерывно.

Доказательство. Тривиальным образом следует из определений, если вспомнить, что замкнутые окружения в

X X X образуют базу заданной равномерной структуры (п. 0.3.2 (2)). |

0.4.9. Предложение. Если множество F равностепенно непрерывно, то us и ис (соотв. Ts и тс) индуцируют в F одну и ту же равномерную структуру (соотв. топологию').

Доказательство. Очевидно, достаточно показать, что и8 и ис индуцируют в F одну и ту же равномерную структуру. Пусть множество SczT компактно и U— окружение в ХхХ. Возьмем такое симметричное окружение Щ, что Ui о Ux ° Ux<=.U. Для каждого t ^Т найдется такая окрестность Nt точки /, что

при f^Nt и f^F. Так как множество S компактно, то можно так выбрать точки /1, ..., tn, что окрестности Nt будут покрывать S. Легко проверить, что

(W)fW(ti, ..., tn; Ux) с {FxF)(W{S, U),

откуда вытекает, что равномерная структура uc\F слабее равномерной структуры us\F; следовательно, они совпадают. |

0.4.10. Следствие. Если F — равностепенно непрерывное множество, то его Ts-замыкание и %с-замыкание {оба в Хт) совпадают.

Доказательство. Пусть Fs и Fc — соответствующие замыкания. Справедливость включения FcczFs очевидна. Из леммы 0.4.8 следует равностепенная непрерывность множества Fs; но тогда из предложения 0.4.9 вытекает равенство топологий ts и тс в Fs, т. е.

ts|Fs=tc|Fs.

Замыкание множества F в топологии ts\Fs совпадает с Fs. По доказанному выше оно должно совпадать с замыканием F в топологии тс[ Fs. Итак, имеем

(Tsifs)-замыкание F= (тс|Л)-замыкание F, т. е.

FS[AFS = FC(AFS,

откуда следует включение FczdFs, что и требовалось доказать. | 0.4.11. Теорема (Асколи). Пусть Т— 7 апологическое пространство и X — равномерное пространство. Если множество F а Хт равностепенно непрерывно-на Т и множество F (/) = ={f(0: f ^ F^ относительно компактно в X при каждом teT, то F относительно компактно в пространстве (Хт, тс).

Доказательство. Замыкание Fs множества F в топологии т3 удовлетворяет тем же условиям, что и само множество F. Согласно теореме Тихонова, множество Fs относительно

компактно в пространстве (Хт, т5). Но тогда из предложения 0.4.9 следует, что Fs относительно компактно и в топологии тс. Наконец, из следствия 0.4.10 вытекает относительная компактность множества F в пространстве (Хт, тс).|

Иногда бывает полезным следующее частичное обращение теоремы Асколи.

Предложение. Пусть Т— локально компактное пространство, X — равномерное пространство и F — подмножество множества С^Т, X). Если множество F относительно компактно в Сс(Т, А), то F^ относительно компактно в X при каждом t^T и множество F равностепенно непрерывно.

Д о к а з а т ел ь с тв о. Так как отображение f*—*f(t) пространства Сс(Т, А) в А непрерывно при каждом t^T, то множество F^t) как образ множества F при этом отображении относительно компактно при каждом I. Пусть F — замыкание множества F в пространстве Сс(Т, X). Непрерывность отображения g: FXT-^X, определенного формулой

следует непосредственно из локальной компактности пространства Т. Для каждого t е Т равенство t*^=^t^ определяет отображение /*: F-^X. Утверждение, что F равностепенно непрерывно, равносильно утверждению^ что отображение t н-> /* пространства Т в пространство CU^F, X) непрерывно. Таким образом, достаточно ограничиться доказательством последнего утверждения.

Допустим, что отображение tv-^t* не является непрерывным. Тогда в произведении ХхХ существуют такое симметричное окружение V2( = Vo V) и такая точка t^T, для каждой окрестности которой N найдутся точка lN ^ N и отображение fN ^ F, такие, что

По условию предложения сеть_ (fN) обладает предельной точкой f^F. Так как множество F компактно, то, переходя при необходимости j< подсетям, можно считать, что сама сеть (f1V) сходится к f в F. Поэтому для всех достаточно малых окрестностей N имеем

Следовательно, для всех достаточно малых окрестностей N

Un^n), f (0)

Поскольку сеть (fN, tN) сходится к (f, 0 в пространстве FXT, это противоречит непрерывности отображения g. |

0.4.12. Следствие. Если Т— локально компактное пространство, а X и F удовлетворяют условиям теюремы 0.4.11, то множество F относительно компактно в пространстве (С (Г, X), тс).

Доказательство. Достаточно показать, что С(Т, X) замкнуто в пространстве Хт, наделенном топологией тс. Но это сразу следует из локальной компактности пространства Т. Заметим, что в этом следствии условие локальной компактности Т можно заменить любым условием, обеспечивающим непрерывность на Т всякой функции f е Хт, все сужения которой на компактные подмножества KclT непрерывны (например, условием метризуемости пространства Г). |

Замечание. Многие встречающиеся в этой книге приложения теоремы Асколи относятся к случаю, когда F— множество линейных форм на топологическом векторном пространстве или сходящаяся последовательность линейных отображений одного такого пространства в другое. В таких случаях предложение 0.4.9 и теорема 0.4.11 эквивалентны.

Отметим еще одно следствие теоремы. Пусть Т и X— равномерные пространства. Множество F cz Хт называется равномерно равностепенно непрерывным, если для каждого окружения Vcz ХхХ найдется такое окружение UczTxT, что при f ^F и ^t, F) U имеет место включение

(ПОЛЮ) eV.

Ясно, что при этом каждое отображение из F равномерно непрерывно.

0.4.13. Теорема. Пусть Т— предкомпактное равномерное пространство, а X — отделимое равномерное пространство. Если множество FcXT равномерно равностепенно непрерывно и для каждого t^T множество F^t) относительно компактно в X, то множество F относительно компактно в пространстве {С(т, XV тД.

Доказательство. Так как пространство Т предкомпактно, то можно построить его компактное пополнение Т. Пусть X— отделимое пополнение пространства X. В силу равномерной непрерывности каждое отображение f^F допускает единственное непрерывное продолжение до отображения f пространства Т в пространство X. Легко убедиться в том, что множество F всех таких ^продолжений равностепенно непрерывно на Г, а множество F(t) относительно компактно в X для каждого t^T. Для завершения доказательства достаточно воспользоваться

теоремой 0.4.11 и рассмотреть затем сужения элементов множества F на Т. |

Отметим следующее полезное приложение предыдущего результата.

0.4.14. Предложение. Пусть Т — топологическое пространство, X — равномерное пространство, a F — такое равностепенно непрерывное множество в Хт, что множество F(t) относительно компактно в X для каждого t^T. Через Fc обозначим хс-замы- кание множества F в Хт. Пусть далее ^ieI— семейство комплексных непрерывных функций на пространстве (Fc, xc\Fc), отделяющих точки множества Fc. Если (fx) — такая сеть элементов из F, что lim^(fx) существует для каждого индекса 1^1, х

то сеть (fx) сходится к некоторому элементу множества Fc в топологии хс.

Доказательство. Из леммы 0.4.8 и теоремы 0.4.11 следует компактность множества Fc в топологии тс. Следовательно, сеть (fx) обладает хотя бы одной тс-предельной точкой g^F^. С другой стороны, всякая такая предельная точка g удовлетворяет равенству h (g) = lim ^ (fx) G* ^ Л и потому определяется х

однозначно. Наше предложение следует теперь из утверждения (1) п. 0.2.17. I

0.4.15. Замечание. Если пространство Т локально компактно (или метризуемо), то предел g сети (fx) должен принадлежать множеству С (Г, X). Сравните со следствием 0.4.12.

О более общих формах теоремы Асколи см. Келли [1, стр. 305—313] и Вада [4].

0.5. Теорема Брауэра о неподвижной точке

В § 3.6 в качестве отправной точки нам понадобится знаменитая теорема Брауэра, которая заключается в следующем.

0.5.1. Теорема. Пусть В — замкнутый единичный шар с центром в начале координат пространства Rn. Тогда каждое непрерывное отображение f множества В в себя имеет по крайней мере одну неподвижную точку, т. е. существует такая точка х ^ В, что f(x) =х.

0.5.2. Очевидно, что это чисто топологическая теорема. Ее доказательство можно найти, например, в книге Лефшеца [1, стр. 117—119]1). Аналогичное, но более близкое аналитику доказательство более тонкого результата приведено в книге Грейвса [1, стр. 145—150]. Там же содержатся и все необхо-

{) См. также X у С ы - ц з я н [1, стр. 12]. — Прим, ред,

димые предварительные сведения из комбинаторной топологии.* Возможно -и чисто аналитическое доказательство, вероятно, менее естественное (см., например, Данфорд и Шварц [1, стр. 506—508]).

0.5.3. Теорема Брауэра останется справедливой, если заменить шар В топологическим пространством X, гомеоморфным В. В частности, в качестве X можно взять замкнутый единичный шар пространства О, который гомеоморфен замкнутому единичному шару пространства R2n. В § 3.6 используются оба эти случая.

ГЛАВА 1

Векторные пространства и топологические векторные пространства

.0. Предисловие

Эта глава, в которой мы непосредственно переходим к основному предмету изучения, состоит из двух частей.

Первая из них включает в себя § 1.1 —1.7, в которых рассматриваются векторные пространства сами по себе без топологии. Первые четыре параграфа содержат сведения, известные всякому читателю, знакомому с линейной алгеброй. Однако для облегчения чтения мы все же приводим основные определения и результаты. Содержание § 1.5—1.7 менее известно, поэтому там изложение носит более детальный характер. Вопросы, затронутые в § 1.1 —1.7, более подробно освещены в замечательной книге Хал мош а «Конечномерные векторные пространства» [3]. Мы часто будем ссылаться на эту книгу, поэтому в настоящей главе она будет обозначаться просто символом [X].

Вторая часть главы начинается с § 1.8, где вводятся топологические векторные пространства. В качестве дополнения к этому параграфу можно предложить Бурбаки [7] и Тэйлора [1]. В § 1.12 читатель вновь встретится с материалом, часть которого прекрасно излагается в книге Халмоша.

Векторные пространства [X, § 1, 2]

Читатель, вероятно, знаком с понятием конечномерного векторного (или, что то же, линейного) пространства. Опуская в обычном внутреннем (т. с. не использующем понятия базиса или порождающего множества) определении конечномерного векторного пространства требование линейной зависимости всякого достаточно большого конечного набора векторов, мы приходим к общему понятию векторного пространства. Мы будем иметь дело лишь с векторными пространствами над полем вещественных чисел R или над полем комплексных чисел С, причем зачастую наши результаты и рассуждения нс будут зависеть от того, какое из этих двух скалярных полей рассматривается. Поэтому поле скаляров будет вообще обозначаться через К. Однако иногда важно иметь в виду, что поле К есть либо R, либо С. Так как, в частности, наше К коммутативно, то мы

не будем различать левое и правое векторные пространства над К (см. Бурбаки [4, стр. 184]).

Приведем формальное определение векторного пространства. Непустое множество Е с двумя законами композиции, один из которых внутренний, а другой внешний, с областью операторов1) К, называется векторным (или линейным) пространством над К, если выполняются следующие аксиомы.

Е— абелева группа относительно внутреннего закона композиции, называемого сложением и обозначаемого символом + . Этот закон ставит в соответствие каждой паре (х, у) элементов из Е их сумму х+у, также принадлежащую Е. То, что Е с этим законом композиции является абелевой группой, означает, что выполняются следующие условия*, сложение ассоциативно и коммутативно*, существует такой элемент 0 ^ Е, что для всех х^Е имеет место равенство х + 0 = х; для каждого элемента х ^ Е существует противоположный элемент —х, для которого справедливо соотношение х+(—х)=0. В качестве несложного упражнения можно доказать единственность элемента О и единственность для всякого х ^ Е противоположного элемента —х.

Внешний закон композиции представляет собой отображение

(а, х) I—> ахпроизведения КхЕ в Е, удовлетворяющее следующим условиям*.

а (х + у) = ах + ау, (а + Р) х = ах + рх,а(рх) = (ар)х, 1х = х,

где х, у — произвольные элементы из Е; а, Р — произвольные скаляры (j. е. элементы из К); через 1 обозначается единичный элемент поля К. Для любого элемента х^Е справедливы равенства 0х = 0 и (—1)х =—х.

Более подробно теория векторных пространств излагается, например, у Бурбаки [4], Тэйлора [1], Райкова [3J. Возможно, что читатель по мерс чтения нашей книги сочтет полезным обращаться к книгам этих и других .авторов.

Рассмотрим ряд примеров векторных пространств, часто встречающихся в функциональном анализе. Все конечномерные пространства по существу мало отличаются от пространства Кп (которое обычно рассматривается как векторное пространство над К), поэтому мы нс будем им уделять особого внимания. Заметим лишь, что этот пример содержится как частный случай (множество Т конечно) в примере 1.1.1. В функциональном

!) См. Бурбаки [2, стр. 55}. — Прим. ред.

анализе наиболее важными векторными пространствами являются функциональные пространства (т. е. пространства функций) или пространства, получающиеся из них с помощью различных общих конструкций (образование факторпространств, переход к сопряженным пространствам и т. д.). Эти общие методы будут изложены ниже.

.1. Пример. Функциональные пространства могут быть описаны следующим образом. Возьмем произвольное множество Т и образуем произведение КГ, элементами которого являются функции f: Т-^К. Превратим множество Кт в векторное пространство над К, положив х + у и ах равными соответственно функциям / у-^х(Г) + у(f) и /»—>а*х(/) (знаки + и - в правых частях обозначают операции поля КУ Множество Кт с указанными операциями есть векторное пространство функций на Т. Таким же образом могут быть описаны и векторные подпространства (§ 1.2) пространства Кт и иногда даже его фактор- пространства, если допустить некоторую вольность речи. Далее мы увидим, что в случае, когда Т— топологическое пространство, векторные подпространства в КУ состоящие из непрерывных функций, играют фундаментальную роль в функциональном анализе. То же самое относится и к векторным подпространствам, выделяемым по другим признакам (см., например, гл. 4).

Если множество Т конечно и состоит из п элементов, то Кт с точностью до изоморфизма (§ 1.3) совпадает с Кп— пространством n-членных упорядоченных наборов элементов из К с обычным «покоординатным» определением сложения и умножения на скаляры. Если множество Т счетно, то Кт изоморфно пространству KN (N —множество всех натуральных чисел), состоящему из всевозможных бесконечных последовательностей, причем векторные операции осуществляются снова «покоординатно». Пространство KN и его подпространства, наделенные топологией или без нее, обычно называют пространствами последовательностей; они сыграли важную роль в развитии функционального анализа. (См. Ф. Рисе [1], Банах [1], О р л и ч [1], Мазур и Орлич [1], Кук [1, 2], где эти пространства рассматриваются более подробно.)

Векторные подпространства, факторпространства, произведения пространств [X, § 10—12, 18, 21]

Векторные подпространства. Пусть Е— векторное пространство и L — множество в Е. Операции, .определенные в Е. могут, вообще говоря, переводить элементы из L в элементы, не принадлежащие L. Если такая возможность исключена, т. е. множество L замкнуто относительно сложения и умножения на ска-

ляры, то, сужая эти операции с Е на L, мы наделяем множество L структурой векторного пространства. Множество LczE, замкнутое относительно операций векторного пространства £ и наделенное индуцированными из Е операциями, называется векторным (или линейным) подпространством в Е. Тэйлор [1] и некоторые другие авторы вместо «векторное подпространство» говорят «линейное многообразие».

Введем некоторые обозначения. Пусть А, В — множества в Е, а М — множество в К. Положим

Д+В = {^ + &: аеА, b В}

(векторная сумма множеств А и В) и

М «A^tiia:а^А\

С помощью этих обозначений можно так выразить необходимые и достаточные условия того, что множество LciE является векторным подпространством в Е;

L-vLclL, K-LczL.(1.2.1)

Наименьшим векторным подпространством в Е является множество {0}, где 0 — нулевой элемент пространства Е. Пересечение любого семейства векторных подпространств в Е также является векторным подпространством в Е. Пусть в Е задано множество S. Наименьшее подпространство в £, содержащее S, называется подпространством, порожденным множеством S. Если S не пусто, то подпространство, порожденное множеством S, состоит п

в точности из элементов вида X оцз^ где a,t е К, s, е S I = 1

(l^t^n), а п — произвольное натуральное число (зависящее, вообще говоря, от рассматриваемого элемента). Некоторые авторы называют подпространство, порожденное множеством S, линейной оболочкой множества S. Если линейная оболочка множества S совпадает со всем пространством Е, то говорят, что S порождает Е или что S является системой образующих пространства Е.

Примеры. (1) Если в К1 (см. п. 1.1.1) взять только ограниченные функции, то мы получим векторное подпространство В(Т) пространства Кт. Пусть Т— топологическое пространство. Множество всех непрерывных функций из Кт образует в нем векторное подпространство, обозначаемое через С(Т). Аналогично если М — некоторое подпространство в К, то множество Мт есть подпространство в Кг. Так, если К = С и M = R, то подпространство RT состоит из всех вещественных функций на Т.

Пусть Е— заданное векторное подпространство в Кт и То — некоторое подмножество в Т. Множество всех функций из Е, равных нулю на То, образует векторное подпространство в Е (а потому и в Кт).

Более общим образом, пусть Е— векторное пространство и (fi)—произвольное семейство линейных отображений (§ 1.3) пространства Е в соответствующие векторные пространства F^. Множество тех элементов х е Е, для которых при каждом I элемент hkx>) принадлежит заранее заданному подпространству в F^ образует векторное подпространство в Е. Из результатов § 1.4 следует, что всякое векторное подпространство в Е может быть получено указанным способом.

Факторпространства. Перейдем к понятию факторпро- странства. Пусть Е— векторное пространство и L — его векторное подпространство.

Отношение x = z/(mod L), означающее, что х — y^L, является в Е отношением эквивалентности. Фактормножество EfL можно наделить структурой векторного пространства. Пусть хс = х-А-Ь и yc—y + L — классы эквивалентности, соответствующие элементам х и у. Класс (х+у)с зависит только от хс и ус, поэтому можно определить сложение классов следующим образом: Хс + Ус^ (^+У)с- Аналогичным образом можно по определению положить а-хс=(си)с. Полученное таким образом векторное пространство называется (векторным) факторпространством пространства Е по подпространству (по модулю) L и обозначается через E]L.

Примеры. (1) Обозначим через L множество функций из К\ равных нулю на некотором подмножестве ToczT. Тогда пространство KTIL можно отождествить с пространством Кт°. Если Т — топологическое пространство, а вместо КГ рассматривается С(Т), то аналогичное утверждение неверно*, пространство C(T)](LV\C(T)), вообще говоря, не изоморфно пространству С(То). Болес очевидно отсутствие топологического изоморфизма между этими пространствами (п. 1.8.5 и 1.9.2).

В гл. 4 мы изучим различные стандартные пространства, которые являются факторпространствами функциональных пространств. Эти пространства играют основную роль в теории интегрирования и получаются с помощью следующего канонического приема. Сначала рассматриваются векторное пространство Е и полунорма (§ 1.6) р на Е. Ядро N = p"x(^) полунормы р является подпространством в Е. Оказывается естественным использовать факторпространство EjN.

Произведение пространств. Пусть (E^-tei— семейство векторных пространств над полем К. Произведение Е= II Et

можно превратить в векторное пространство, если определить в нем векторные операции следующим образом:

М + (t/i) = Ui+yiL a - (Xi) = («х,).

Полученное таким образом векторное пространство называется произведением векторных пространств. Если, в частности, все E^F, где F— фиксированное векторное пространство над К» то получается пространство F1. Если множества 1 и J равномощны, то пространства F1 и FJ канонически изоморфны. Если множество / содержит п элементов, то вместо F1 пишут обычно Fn.

Гиперплоскости. Читатель вскоре заметит, что в функциональном анализе широко пользуются понятием линейной формы (или линейного функционала). Геометрическим двойником линейной формы является гиперплоскость, к определению которой мы сейчас перейдем.

Будем называть векторное подпространство Е собственным, если оно отлично от Е. Если пространство Е состоит более чем из одного нулевого элемента, то в Е всегда существуют собственные подпространства. Под (однородной) гиперплоскостью в векторном пространстве Е понимается всякое его максимальное собственное векторное подпространство, т. е. такое собственное векторное подпространство Н в Е, что для любого векторного подпространства V в Е, удовлетворяющего условию Н cz V, либо V=H, либо V=E.

Пусть Н— гиперплоскость в £ и х^Е\Н. В силу максимальности Н векторная сумма H-vKx должна совпадать с Е. Отсюда следует, что факторпространство EfH имеет размерность 1, т. с. порождается одним образующим элементом, отличным от нулевого. Обратно, если Н — такое подпространство в Е, что размерность Е]Н равна 1, то Н— гиперплоскость в Е.

Пусть пространство Е]Н имеет размерность 1 и элемент х0 е EjH. Тогда каждому элементу xg Е соответствует такой единственный скаляр а, что x=ax0(mod Н). Рассмотрим эту числовую функцию f; xv~>a, определенную на £. Очевидно, что f Сг + У) =f W+f (у) и f(Xx)=Xf(x), т. е. f есть линейная форма (§ 1.3) на Е. Кроме того, /(х0) = 1, f^O, и

//={хе£: f (х) =0} = f-1({0}) =kerf.

Таким образом, полученная линейная форма f зависит от Хо и от Н, но при изменении Хо функция f просто умножается на ненулевой скаляр.

Обратно, если f — отличная от нуля линейная форма на Е, то легко видеть, что // = ker f=f-1 ({0}) есть гиперплоскость в Е.

Из всего сказанного следует, что гиперплоскости в Е— это те и только те множества из Е, которые имеют вид kerf, где

f— отличная от нуля линейная форма на Е. Таким образом, две линейные формы определяют одну и ту же гиперплоскость тогда и только тогда, когда они отличаются ненулевым скалярным множителем.

Линейные многообразия. Линейным многообразием в Е называется множество, получаемое сдвигом некоторого векторного подпространства в Е, т. е. линейное многообразие в Е — это множество V вида я0Ч-Е, где L — некоторое векторное подпространство в Е. Многообразие V однозначно определяет подпространство L, но элемент х0 определяется лишь с точностью до слагаемого из L.

Иногда гиперплоскостью называют линейное многообразие вида х0 + /7, где Н — однородная гиперплоскостью Е. Всякая такая гиперплоскость в Е есть множество вида

/-*({а})={^Е£: f(x)=a},

где f — отличная от нуля линейная форма на Е, a a — число.

Если Н — гиперплоскость /^(W) в вещественном векторном пространстве, то множества f-1 ([a, + оо)),f'l((a, 4-oo))t

f-1(—oo, a]) и f”’((—oo, a)) носят название полупространств. определенных гиперплоскостью Н. Говорят, что множество А лежит (соответственно лежит строго) по одну сторону от Н, если оно содержится в одном из полупространств /'Ща, +°°)) или /-1((—оо, а]) (соответственно в одном из полупространств ^"’((а,+оо)) или f-I((—оо, а))).

Линейные отображения и линейные формы. Изоморфизм.

Графики [X, § 32, 13]

Линейные отображения и линейные формы. Пусть Е и F — векторные пространства над К. Отображение и: E-^F называется линейным отображением или линейным оператором, если

г/(а^+ру) = алд\х) А-^и(у)(1.3.1)

для любых х,у^Е и любых а, р е К. В частности, когда Е = К, мы говорим о линейной форме или линейном функционале на Е. Иногда приходится рассматривать более общую ситуацию, когда область определения отображения и является векторным подпространством L в Е. Тогда при определении линейности отображения и следует в формуле (1.3.1) бирать х и у из L. Так как L само есть векторное пространство над К, то здесь ничего принципиально нового нс возникает.

Вернемся к случаю, когда L совпадает с Е. Для любых двух линейных отображений и и v можно обычным способом определить их сумму — линейное отображение u-Vv. Обычным же обра-

зом определяется а^ для любого числа а. Очевидно, чго таким способом множество L(E,F) всех линейных отображений пространства Е в F превращается в векторное пространство над К. В частности, когда F = K, пишут Е вместо L(E,K) и пространство Е* называют алгебраическим сопряженным к Е1).

Легко заметить, что всякое отображение u^L(E,F) преобразует векторные подпространства (соответственно линейные многообразия) LcE в векторные подпространства (соответственно линейные многообразия) u(L)czF. Если М — векторное подпространство в F, то ^(М)—векторное подпространство в Е. В частности, ker и = и~х ({0}) — векторное подпространство в Е. Линейное отображение и взаимно однозначно тогда и только тогда, когда ker ^ = {0}. (В этом случае линейное отображение и\ E-^F называют мономорфизмом.)

Пусть Е — векторное пространство. Отображение и ^ L ^Е, Е), т. е. линейное отображение пространства Е в себя, часто называют эндоморфизмом пространства Е.

Изоморфизм [X, § 9]. Отображение u^L(E,F) называется мономорфизмом (или изоморфизмом в), если оно взаимно однозначно, эпиморфизмом (или отображением на), если u(E)=F, и изоморфизмом на, если оно является одновременно и мономорфизмом и эпиморфизмом.

Векторные пространства Е и F называются изоморфными (как векторные пространства над К), если существует изоморфизм Е на F.

Пусть дано отображение u^L(E,F) и векторное подпространство L в Е, такое, что u^L) = {0}. Этому отображению можно поставить в соответствие отображение ис^ L(E)L, F), положив мс(хс) =м(х), где хс— класс эквивалентности по модулю L, содержащий элемент х. В частности, можно считать, что E = kertz; тогда отображение ис будет взаимно однозначным. Таким образом, мы видим, что всякое линейное отображение и\ E-^F определяет изоморфизм пространства E/keru на и^Е). Эта процедура перехода к факторпространству полезна во многих случаях.

График линейного отображения. Вернемся к ситуации, когда и есть произвольное линейное отображение некоторого подпространства LcE в F. Подпространство L называется, как обычно, областью определения отображения и и обозначается через dom^. Область значений u^L), обозначаемую через im и, называют также образом отображения и.

Третье множество, которое появляется вместе с domu и imr/,— это график отображения и, который представляет собой множество всех элементов произведения ExF вида (х, и(х))г где xedomti. Будем обозначать график отображения и через gr и. Если отображение и; E-vF линейно, то его график является линейным подпространством произведения ExF.

Пусть задано подмножество G произведения ExF. Естественно поставить вопрос: при каких условиях множество G является графиком некоторого отображения и, определенного в Е и со значениями в F? Несложные рассуждения показывают, что для этого необходимо и достаточно, чтобы для каждого элемента хеЕ множество тех у е F, для которых (х,у)е(?, содержало не более одного элемента. Областью определения соответствующего отображения и будет множество всех элементов х^Е, для которых существует по крайней мере один (и, следовательно, только один) такой элемент y^F, что (х, у)^. G. При этом для каждого такого х элемент и^ совпадает с у.

Отображение и будет линейным, если дополнительно предположить, что G есть векторное подпространство в произведении EXF. Таким образом, для того чтобы множество Gc ExF было графиком некоторого линейного отображения и, определенного в Е и со значениями в F, необходимо и достаточно, чтобы (1) G было векторным подпространством в произведении ExF и (2) из включения (0, y^^G следовало бы равенство у = 0. Эта характеризация графика линейного отображения будет использована позже при рассмотрении замкнутых линейных отображений одного топологического векторного пространства в другое.

Линейная зависимость. Алгебраический базис.

Алгебраические дополнения [X, § 5—7]

Линейная зависимость. Пусть Е — векторное пространство над К. Семейство (х^)^/ элементов из Е называется линейно независимым, если из равенства

i е F

где F — любое конечное подмножество в / и а^К, следуют равенства (Zi = 0 для ieF. В противном случае семейство (х^) .s/ называется линейно зависимым.

Очевидно, что свойство линейной зависимости или независимости семейства сохраняется, если его элементы каким угодно образом переставлены. Каждое подсемейство линейно независимого семейства также линейно независимо. Ни один элемент ли-

нейно независимого семейства не может быть нулевым, и х^х^ при i^j.

Если хе £ и х^О, то семейство {%}, состоящее из одного элемента х, линейно независимо. Если £ = {0}, то в Е нет непустых линейно независимых семейств.

Взаимно однозначное линейное отображение преобразует линейно независимое семейство в линейно независимое семейство.

Приведем два простых, однако весьма полезных результата о конечных линейно независимых семействах из Е и Е*.

Предложение. Пусть Е— векторное пространство над К и (fi)i<i<n — конечное линейно независимое семейство линейных форм из Е*. Линейная форма f является линейной комбинацией 9 линейных форм fi (Д ^.i^n) тогда и только тогда, когда

ker f =) П(кег Д-: 1 ^ i <. nY'

В частности, если П{кегД: 1 ^ f ^ п} = {0}, то формы fi (1 ^^ ^Сп) порождают пространство Е*; следовательно^ в этом случае й\хт\Е*^п и dimE^n 2).

Доказательство. Последнее утверждение отчасти связано с содержанием п. 1.4.4—1.4.6. Однако мы помещаем его здесь, так как оно является простым следствием первого утверждения. Необходимость условия очевидна. Его достаточность мы докажем индукцией по п. Допустим сначала, что п = \. По условию из fi(x)=O следует f^=Q, поэтому если Л = 0, то и f = 0; так что f = O*fi. Если же Л^О, то существует такой элемент ее£, что fi(e) = l. Тогда для любого х^Е имеем Л (х— — fi (х)е) =0 и, следовательно, f(x— fi(x)e)=0 для всех х^Е. Последнее равенство означает, что f = f(e)fi, чем завершается доказательство для случая п=Д.

Пусть теперь п> 1; предположим, что предложение справедливо для п—1. Если /п = 0, то доказывать нечего. Пусть fn^O; возьмем в Е такой вектор еп, что fn^n) = 1. К линейным формам

- F.-h-fAOf. О<«<"-!)

применим предположение индукции. Из включения ker / =э fl{ker fit 1^/^п} легко следует, что

kerf'о Q [ker/': 1</<п—1].(1.4-1)

Действительно, если х е п (kerf;: 1 <i <п - 1}» то элемент

Элемент х е Е называется линейной комбинацией элементов х/ п

(1 ^ i ^ п), если х ~ 2 aiXu гДе «/ е К. — Прим, перев.

i = 1

) Определение размерности dim Е см. в п. 1.4.4. — Прим, перев»

у = х— /п(я)еп принадлежит пересечению ядер кег ^ по 1^/^ ^-п—1, а также ядру формы fn (так как fn(en) = 1). Таким образом, у е Л {kerft-: l^z^n}, и, следовательно, у s ker f. Но тогда хе kerf', что и доказывает (1.4.1). В силу предположения индукции получаем, что fz есть линейная комбинация линейных форм /£ (l^z^n—1). Отсюда следует, что f есть линейная комбинация форм f< (1 <С1^п^ что и требовалось доказать. 1

Замечание. Болес изящное, однако менее очевидное доказательство основывается на замечании, что всякая линейная форма, определенная на векторном подпространстве пространства /<п, может быть продолжена до линейной формы на всем Кп. Исходя из этого, можно рассмотреть линейное отображение и\ Е-^Кп, задаваемое формулой и(х) = (fi(x),.. .,fn(x)), и продолжить на все пространство Кп линейную форму g, определенную на подпространстве и^Е) равенством g^u^) =f (х) ’). После этого для завершения доказательства остается воспользоваться тем, что g, как и всякая линейная форма на /Сп, имеет вид

(11.

1=1

Предложение. Пусть Е— векторное пространство над К.

Если УО x^t^n—конечное линейно независимое семейство в Е^ то в пространстве Е существует такое семейство (M<i<n> ЧТ0

{

1 при i — /,

л .(1 <z, j^nY

О при i^i

Утверждение (1) останется справедливым, если в нем поменять местами Е и Е*.

Доказательство. Утверждение (1) докажем индукцией по п. При п=1 оно тривиально. Предположим, что оно верно для п; установим его справедливость для п+1. Пусть линейные формы fi,, fn+i линейно независимы. Тогда и fx,... Лп обладают тем же свойством. По предположению индукции в Е можно так выбрать элементы хь ... хп,- чтобы А(х^)=б^, l^z, j ^ п. Остается показать существование такого элемента х е Е, что fi(x)=0 при l^z^n и fn+i(x)+O, и затем положить xn+i = -т—Но если такого элемента х нет, ю

'n+i w

ker fn+i <= П {ker fr К z < n^

Тогда из предложения 1.4.2 следует, что fn+i есть линейная комбинация форм Л, ...,fn, а это противоречит линейной независимости форм /ь ..., fn+ь

Утверждение (2) вытекает из (1) и возможности вложения Е в Е** (п. 1.4.7). |

Алгебраический базис. Линейно независимое семейство (^г)^/’ состоящее из элементов пространства Е, называется алгебраическим базисом в Е, если множество {ег: i е /} порождает пространство Е (п. 1.2.1). Последнее условие равносильно требованию, чтобы каждый элемент х^Е имел единственное представление в виде суммы 2 а1еь где числа аг- отличны от

I е /

нуля не более чем для конечного множества индексов из / (это конечное множество, вообще говоря, зависит от ху

Можно показать (см. Дэй [1, стр. 10, теорема 2]), что все базисы в Е имеют одно и то же кардинальное число, которое можно назвать размерностью пространства Е (обозначается dim£). Доказательство относительно просто, если пространство Е конечномерно, и для этого случая мы будем считать его известным; Понятие размерности бесконечномерного пространства будет редко использоваться, поэтому доказательство утверждения для этого случая также .опускается. Отмстим лишь такое следствие: два векторных пространства над К изоморфны тогда и только тогда, когда они имеют одну и ту же размерность.

В дальнейшем нам понадобится следующая теорема:

Теорема. Каждое векторное пространство £=£{0} обладает по крайней мере одним алгебраическим базисом. Более того, если в Е задано произвольное линейно независимое семейство У^е1, то в Е существует такой алгебраический базис ^t^t^p что множество I содержится в L

Доказательство опирается на лемму Цорна (п. 0.1.5). Пусть Е=^ХгУе1и E'^^y^^j—линейно независимые семейства элементов из Е. Будем писать L^.L', если I а I и уг=^ при 1^1. Таким образом, множество всевозможных линейно независимых семейств из Е становится частично упорядоченным. Легко убедиться в том, что оно индуктивно упорядоченно. Действительно, пусть £а=(х“). ^ —совершенно упорядоченное множество линейно независимых семейств из Е, где индекс а пробегает некоторое множество А. Положим / = (J /а. Если 1^.1,

, аед

то ie!a по крайней мере для одного аеЛ. В силу совершенной упорядоченности множества {£а: а е Л} все элементы хар такие, что i е /а, совпадают между собой. В самом деле, если i^l^ и i е /р, то либо La^.L^ либо L^^La. В первом случае

1аа1^ и х? = х? для всех i^I^ во втором случае имеет место аналогичное соотношение. Определим теперь элемент х^ с помощью равенства х.=х^, где а — любой из индексов, для кото* рых i е /а. Семейство элементов L=^x^ .G/линейно независимо (опять в силу совершенной упорядоченности множества (Еа)аеЛ) и является верхней гранью множества ^Ьа^агА. Таким образом, индуктивная упорядоченность доказана.

Поэтому из леммы Цорна следует, что для всякого линейно независимого семейства L =(х^е1 элементов пространства Е найдется в Е такое максимальное линейно независимое семейство М = (У/)/е/> что Е<^М. Осталось только показать, что М порождает Е. Обозначим через Ео векторное подпространство в Е', порожденное семейством М. Надо показать, что Eq = E. Пусть E=^Eq. Возьмем элемент xogE\£o и присоединим его к семейству М. Тогда получим такое линейно независимое семейство АГ, что М^М' и М+М\ а это противоречит свойству максимальности семейства М. Отсюда следует, что Eq = E. |

Из теоремы 1.4.5 вытекают многочисленные следствия, с двумя из которых мы сейчас познакомимся.

Предложение. Для всякого векторного пространства Е над К справедливо неравенство dim Е* ^ dim Е. Если одна из частей неравенства конечна, то имеет место равенство

dim E* = dim Е.

Доказательство. Пусть (^i)Ze/—базис в Е (существование хотя бы одного такого базиса следует из теоремы 1.4.5). Для каждого 1^.1 можно определить линейную форму е*^ Е*. полагая ^(£^ = 6^ для j^I, а затем линейно продолжая е* на Е1). Легко видеть, что семейство линейно независимо в Е*. Из теоремы 1.4.5 (примененной к Е*) следует возможность вложения (et) в базис пространства Е*. Следовательно, dim Е* не меньше кардинального числа множества /, которое и есть dimE.

Пусть теперь пространство Е конечномерно, dimE = n и (ej) 1<f<n—базис в Е. Так же как и выше, построим линейные формы е*. ^Е*. Мы уже знаем, что формы е*. линейно независимы в Е*. Кроме того, так как, очевидно,

П (ker е* : 1 < / < п} = {0},

О Пусть х = 2 а/е/ е Е» Тогда е* (х) = 5 aje*i ^j) = ai- ~ Прим. перев.

то из предложения 1.4.2 вытекает, что формы е? (l^z^n) порождают пространство Е*, т. е. образуют базис в Е*. Таким образом, dimE* = n. Если же dimE* конечна, то из доказанного неравенства следует конечномерность Е и, следовательно, по уже доказанному dim£* = dimE. |

Замечания. (1) Семейство линейных форм (е*^ в Е*, определенное по заданному линейно независимому семейству (ег) в Е соотношениями ^(^/) = б//, часто называют семейством, дуальным к семейству (^). Пусть семейство (ej образует базис в Е; если окажется, что семейство (е^ есть базис в Е* (это всегда так в случае конечномерного Е), то условимся говорить о дуальных базисах в Е и Е*. Это понятие симметрично относительно Е и Е* (см. п. J.4.7, а также [X, §15]). '

Если векторное пространство Е конечномерно, то, как это следует из предложения 1.4.6, пространства Е и Е* изоморфны. Однако этот изоморфизм не является «каноническим», т. с. он не определяется однозначно векторными структурами этих пространств. Каждому базису (е^ в Е соответствует свой изоморфизм и пространства Е на Е*, определенный на базисе (е^ равенствами и^е^^е^ и затем линейно продолженный. Различным базисам (^) соответствуют, вообще говоря, различные изоморфизмы и. Выделение некоторого изоморфизма между Е и Е* на самом деле равносильно фиксации некоторой билинейной формы на произведении ЕхЕ. Эта точка зрения лежит в основе тензорной алгебры и классификации векторов и тензоров на ковариантные и контрвариантные.

Вложение пространства Е в Е** [X, § 14, 16]. Пусть Е— векторное пространство над К. Алгебраическое сопряженное Е* также является векторным пространством, и можно говорить об алгебраическом сопряженном ему пространстве Е**. Если каждому хе £ поставить в соответствие линейную форму х** на Е*, определенную равенством

то получим каноническое линейное отображение х ь—>%** пространства Е в Е**. Это отображение взаимно однозначно, потому что, как легко следует из теоремы 1.4.5, для каждого заданного ненулевого элемента хе£ можно найти такую линейную форму f^E*, что Цх)=^=0. Это позволяет отождествить элементы х и х** и считать Е векторным подпространством в Е**. В дальнейшем мы без специальных оговорок будем считать элементы х и х** совпадающими. В этом смысле пространство Е обычно уже пространства Е**; они, однако, совпадают, если Е конечномерно.

В силу указанной симметрии часто пользуются более симметричным обозначением. Элементы пространства Е* обозначают через х*, у*,..., а вместо х^х) пишут (х, х*). (У Халмоша [х, х*].)

Аналогичная запись будет употребляться далее и в том случае, когда Е— топологическое векторное пространство, Е'— его топологическое сопряженное.

Прямые суммы. Алгебраические дополнения [X, § 19,20]. Пусть Е— векторное пространство над К, a L и М— его векторные подпространства. Будем говорить, что пространство Е есть (внутренняя) прямая сумма своих подпространств L и М, если каждый элемент хе£ единственным образом представим в виде

x=a + b, a^L, Ь^М. (1.4.2)

Это равносильно выполнению следующих условий:

L + M = Et ЦШ = фУ (1.4.3)

Если Е — прямая сумма подпространств L и М, то говорят, что каждое из подпространств L и М есть алгебраическое дополнение другого в Е (или относительно Е).

Из теоремы 1.4.5 непосредственно вытекает, что каждое векторное подпространство в Е допускает по крайней мере одно (вообще говоря, не единственное) алгебраическое дополнение.

Пусть выполнены соотношения (1.4.3); тогда отображения

РЕ Xi—>а и рм\ xv-^b

принадлежат соответственно пространствам L^E,L\ и L^E.M^ причем

Рь+рм^Х. (1-4.4)

где 1—тождественное отображение пространства Е на себя. Кроме того, рь(х)=х тогда и только тогда, когда xgL, и Рм(х)=х тогда и только тогда, когда хеМ. Следовательно, отображения pL и рм идемпотентны, т. е.

p! = Pl> Рм = Рм- О-4-4)

Таким образом, каждое из этих отображений является проектором (т. с. линейным и идемпотентным отображением). Отображение pL называется проекцией пространства Е на подпространство L параллельно подпространству М.

Обратно, пусть р— проектор пространства Е. Обозначим через L множество всех тех элементов хеЕ, для которых р(х) = х; тогда L есть векторное подпространство в Е. Отображение q = = 1—р также является проектором пространства Et а множе-

ство М = {х е Е*. q^x)=x) есть векторное подпространство в Е. Для любого хеЕ имеем

?(х —р(х)) = (1 — р) (х — р(х)) =х — р(х) =q(x),

т. е. х — р(х)еЛ1, следовательно, х=р(х) +р(х), так что L-\-M = E. Если далее х = р(х)=^(х), то

х — р (х) = р (q (х)) = р (х — р (х)) = р W — р2 (х) = О,

откуда следует, что ЛПЛ1 = {0}, значит, в силу (1.4.3) пространство Е есть пряма сумма подпространств L и М. Легко проверяется, что Pl^P и Pm = Q-

Замечание. Мы показали, что каждое векторное подпространство L в Е допускает дополнение и что это дополнение, вообще говоря, не единственно. Поэтому и проектор pL не определяется однозначно подпространством L — нужно еще выбрать некоторое определенное дополнение М. Позже (в § 1.12) мы увидим, что в пространстве Е со скалярным произведением из всех дополнений к L естественно выделяется одно, а именно ортогональное к L. Соответствующий проектор определяется тогда однозначно подпространством L, как ортогональный проектор. В общем случае такой выбор невозможен.

Несмотря на замечание 1.4.9, справедливо следующее предложение.

► Пусть L — векторное подпространство векторного пространства Е. Все его алгебраические дополнения в Е изоморфны, так как каждое из них изоморфно факторпро- странству EfL.

Действительно, пусть E = L + M— прямая сумма. Из единственности разложения (1.4.2) следует, что рм(х) зависит только от класса эквивалентности хс элемента х по модулю L. Полагая и^Хс} = рм(х), получаем линейное отображение и факторпро- странства E]L на М. Если и^хе)=0, то рм(*)=0, т. е. х е L и, следовательно, хс есть нулевой элемент факторпространства E[L. Таким образом, отображение и взаимно однозначно, поэтому и есть изоморфизм EJL на М.

Замечание. Размерность факторпространства EJL называют коразмерностью (или факторразмерностью) подпространства L и обозначают через codim L

Предложение. Пусть векторное пространство Е есть прямая сумма векторных подпространств L и М. Тогда1)

dim Е = dim L + dim М,

!) Используемое^ ниже понятие суммы кардинальных чисел определяется, например, в книге Бурбаки [1]. — Прим, перев.

если dim! ^соотв. dim Е/L) конечно, то

dimE7L = dimE*—-dimL ^соотв. dim L = dimE — dimE/L).

Доказательство. (1) Пусть (.e^iei— базис в L. По теореме 1.4.5 его можно расширить до базиса (e^i^j в Е, где 1 a. L Пусть М'— векторное подпространство в Е, порожденное теми е^ для которых i^J\L Легко видеть, что Е есть прямая сумма L и М\ Из предложения 1.4.10 следует, что подпространства М и М' изоморфны и, следовательно, имеют одинаковую размерность. С другой стороны, dim Е = card/, a card/ = card/+. + card(/\/) =dim L + dim M' по определению размерности. Итак, утверждение (1) доказано.

Из предложения 1.4.10 вытекает, что dim E(L = dim Л4. Это равенство дает возможность записать утверждение (1) в виде

dim Е = dim L + dim EIL.

Отсюда следует утверждение (2). (Напомним читателю, что с — п = с, если п— конечное, а с — бесконечное кардинальное ЧИСЛО.) I

Предложение. Пусть Е и F—векторные пространства над К. Если u^L(E,F)r то

dim Е = dim ker и + dim im и.

Доказательство. Обозначим через L подпространство ker и. Известно (см. конец п. 1.3.2), что факторпространство E]L изоморфно im и. Подпространство L допускает алгебраическое дополнение М, которое также изоморфно E(L. Из предложения 1.4.11 вытекает, что

dim £=dim L+dim M = dim L + dim im u = dim ker u + dim im u,

что и требовалось доказать. 1

Замечание. Кардинальное число dim im и иногда называют рангом отображения и. В силу замечания следующего ниже п. 1.4.13 можно сказать, что в предложении 1.4.12 содержится суть различных результатов, связанных с системами линейных уравнений и рангом соответствующих матриц.

Использование матриц для представления линейных отображений. Пусть Е и F — векторные пространства над К и и^ЦЕ, F). Выберем в Е и F базисы (.et)leI и (fj)fGJ соответственно. Из основных свойств базисов и линейности отображе-

ния и следует, что уравнение у^и^ эквивалентно следующим системам уравнений:

П/= S ^a^iki^J\

У = 2

jGliGj

Числа a^ определяются по отображению и выбранным базисам с помощью следующих равенств:

и (е^ = 2 «цЬ У е /).

Семейство V^ib^ia^ г являющееся элементом произведения KIXJ. обычно называют матрицей размера I X J (короче, IX J-матрицей), или матрицей с / строками и / столбцами. Если card / и card/ конечны и равны соответственно натуральным числам m и п, то эта матрица записывается в виде следующей прямоугольной таблицы:

«11<^12 • • • «1п

«21«22 • • • а2п

«^1«W2 • • • ^mn -

Таким способом во всех случаях устанавливается взаимно однозначное соответствие i/<->(atj) между L(E,F) и всеми /Х/-матрицами. Этот изоморфизм, разумеется, зависит от выбора базисов (ej и (fj).

В случае, когда множества / и / конечны, это соответствие часто используется при рассмотрении определенного круга задач, необходимость решения которых вызвала к жизни целый раздел алгебры (так называемую алгебру матриц). Ценность этого метода заметно уменьшается, если / или J бесконечно. Тем не менее если множества / и / счетны, то такие матрицы часто используются при изучении линейных отображений пространств последовательностей (см. Кук [1]). Подчеркнем, однако, что указанный прием есть нс что иное, как некоторое удобное соглашение для записи линейных отображений и манипуляций с ними. Ни при каких обстоятельствах не следует отождествлять матрицы с линейными отображениями, потому что таким образом мы лишаем первоначальное понятие линейного отображения его логического приоритета. Если бы существовало каноническое соответствие между линейными отображениями и матрицами, тогда были бы еще какие-то основания для такого отождествления, но такого канонического соответствия нет.

Поглощающие множества. Уравновешенные множества.

Выпуклые множества

Всюду в этом параграфе под Е понимается векторное про* странство над К.

Поглощающие множества. Множество ScE называется поглощающим, если для каждого хе £ существует такое вещественное число а > 0, что ах е S. (Это определение несколько отличается как от определения Бурбаки [7, стр. 26], так и от определения Тэйлора [1, стр. 24]. Однако в самом важном случае, когда множество S выпукло и уравновешено (см. ниже), все эти определения совпадают.)

Уравновешенные множества. Множество МсЕ называется уравновешенным, если ах^ М для каждого хе ^ и каждого числа а е К, удовлетворяющего неравенству |а|^1 (Бурбаки [7, стр. 25], Тэйлор [1, стр. 123]).

Так как пересечение уравновешенных множеств есть снова уравновешенное множество, то для каждого множества в Е существует наименьшее содержащее его уравновешенное множество в Е; оно называется уравновешенной оболочкой заданного множества. Уравновешенная оболочка множества АаЕ есть не что иное, как множество (ах: а^К, |а| ^1, хеЛ}.

Заметим, что всякое уравновешенное множество содержит 0.

Выпуклые множества. Множество ScE называется выпуклым, если (1—a)x+ayeS для всех х, у г S и для всех а, удовлетворяющих неравенствам O^a^l. Пересечение выпуклых множеств есть выпуклое множество. Следовательно, для каждого множества АсЕ существует наименьшее содержащее его выпуклое множество в Е. Оно называется выпуклой оболочкой множества А. Выпуклая оболочка пустого множества также пуста. Выпуклая оболочка множества А состоит из всех конечных сумм вида ^atxb где х, — произвольные элементы из Л,

О/ [0, 1] и 2^=1.

i

Образ и прообраз выпуклого множества относительно линейного отображения также выпуклы.

Отметим, что выпуклая оболочка уравновешенной оболочки множества Л есть наименьшее выпуклое уравновешенное множество, содержащее Л; оно называется абсолютно выпуклой оболочкой множества Л. Абсолютно выпуклая оболочка множества Л состоит из всех конечных сумм вида У atxb где xt е Л, at е К

и 21а/К 1.

Изучение свойств описанных здесь множеств облегчается, если ввести в рассмотрение соответствующие вещественные функции на Е, служащие «уравнениями» этих множеств.

Калибровочные функции и полунормы

В настоящем параграфе под Е понимается векторное пространство над К.

Калибровочная функция. Калибровочной функцией на Е называют вещественную функцию g на Е, удовлетворяющую следующим условиям:

gU+У) <gM+g(y)9(1.6.1)

g (ах) = ag (х)(1.6.2)

для произвольных х, у ^ Е и любых вещественных чисел а > 0. Очевидно, что g(0)=0.

Полунормы. Калибровочная функция р на Е называется полунормой на Е, если для нее равенство (1.6.2) выполнено в усиленном виде

р (ах) = | а | р (х)(1.6.2*)

для любых хе£ и Произвольных скаляров а. Из справедливо-^ сти соотношения

0 = р(0) = р(х + (~ х))<р(х) + р(- х) = 2р(х)

следует, что полунорма принимает лишь неотрицательные значения.

Отметим также, что

IР W - Р (у) К Р (я - yY(1.6.3)

Опираясь на соотношения (1.6.1) и (1.6.2*), можно доказать по индукции справедливость неравенства

Р \ 2 ^х J < 2 | az | р (xz)(1.6.4)

\Z = 17Z = 1

для любых xz е Е и az е К.

Нормы. Полунорма р называется нормой на Е, если Р^х) >0 для каждого х^О из Е. Норма элемента х обычно обозначается через ||х||. Для того чтобы отличать различные нормы друг от друга, используются подстрочные индексы (например, ||х||1 и т. п.).

Мы покажем сейчас, каким образом калибровочные функции и полунормы служат для описания различных видов выпуклых множеств в Е.

Теорема. Пусть Л— выпуклое поглощающее множество в Е, содержащее 0. Вещественная функция g на Е, определенная равенством

g(x) = inf {а>0: а ^е^,g(x) = inf {а>0: а ^е^,(1.6.5)(1.6.5)

g(x) = inf {а>0: а ^е^,

g(x) = inf {а>0: а ^е^,

(1.6.5)

(1.6.5)

является положительной калибровочной функцией на Е и обладает следующими свойствами:

(1)(2)(1)(2){х е Е: g^< 1} <= Л,{х е Е: g^< 1} <= Л,Л cz {х е Е: g (х)< 1}.Л cz {х е Е: g (х)< 1}.

(1)

(2)

(1)

(2)

{х е Е: g^< 1} <= Л,

{х е Е: g^< 1} <= Л,

Л cz {х е Е: g (х)< 1}.

Л cz {х е Е: g (х)< 1}.

Обратно, если g— положительная калибровочная функция на Е, то каждое из множеств (хеЕ: g(x)<l}, (хеЕ: g(*)^l} является выпуклым и поглощающим и содержит 0.

Доказательство. Последнее утверждение тривиально в силу условий, определяющих калибровочную функцию (п. 1.6.1), Для доказательства остальных утверждений заметим, что если множество Л поглощающе, то множество {а > 0: сг’хеЛ} непусто. Следовательно, g(x) определено, a g(x)>0. Из (1.6.5) непосредственно следуют соотношения (1.6.2) и в силу выпуклости множества Л (1.6.1).

Если g^x) <\, то существует такое число а, что 0<а<1 и а-1хеЛ. Так как ОеЛ иЛ выпукло, то х = a(a*Ix) + (1 — — «)0еЛ. С другой стороны, если хеЛ, то ачХЕЛ при а=1, следовательно, ^(х)^1, что'и завершает доказательство. |

Функция g, определенная на Е равенством (1,6.5), называется функционалом Минковского выпуклого поглощающего множества Л.

Доказанная теорема может быть дополнена следующим образом. Условимся говорить, что множество АаЕ открыто (соответственно замкнуто) по лучам, если для каждого элемента хеЕ множество /х = {а>0: а-1хеЛ} открыто (соответственно замкнуто) относительно интервала /=(0, +оо). Тогда верно следующее утверждение.

Следствие. Пусть Л— выпуклое поглощающее множество из Е, содержащее 0, и g— его функционал Минковского. Если множество Л открыто (соответственно замкнуто) по лучам, то оно совпадает с множеством {х^Е: g^x) < 1} (соответственно {хеЕ: g(x)^l}). В обоих случаях множество Л уравновешено тогда и только тогда, когда g— полунорма на Е.

Доказательство. Предположим, что множество А открыто по лучам. Из теоремы 1.6.4 известно, что (хеЕ: g(x) < <1}сЛ. Пусть теперь х^Л, Тогда 1 ^Ц, и так как I* откры-

то относительно /, то в 1Х найдется такое число а, что 0<а< <1. Но тогда g^x) ■<«<!. Таким образом, А = ^хеЕ: §W < 1}.

Допустим, что А замкнуто по лучам. Известно, что А с cz{xe£: g(x)-<l}. Остается показать, что всякий элемент хеЕ, удовлетворяющий условию a = g'(x)<Cl, обязан принадлежать множеству А. Рассмотрим два случая. Первый — когда g^ = 0. Тогда g(x) < 1 и из теоремы Ь.6.4 следует, что хеА. Второй — когда 0<g(x)=a^l. Тогда в множестве /ж существует последовательность (an), сходящаяся к а. Так как аЕ/ и 1Х замкнуто относительно /, то ae/р Из выпуклости множества А следует, что

х = a(a-1x) + (1 - a)0e Л, что и требовалось доказать.

Если g— полунорма, то, как легко видеть, множества (хе£: g(x) < 1} и (хеЕ: g/x) •< 1} уравновешены. Докажем обратное. Пусть А=Цх<=Е: g(x)<l}, где g— положительная калибровочная функция на Е. Нужно показать, что если А — уравновешенное множество, то g—полунорма. Пусть хеЕ и е>0. Тогда (g(x)+е"*)хеД. Так как А—уравновешенное множество, то i—:, а,к v ,—г е А для а ^ 0, а е К.

I a 1 (g W + е)

Поэтому

g(ax) < |а|+ е),

откуда в силу произвольности е вытекает, что

g(ax) < |a|g(x)

для любого числа а Ф 0.

Заменяя в последнем неравенстве а на а-1 (а Ф 0) и х на ах, получаем

g(ax) > |a|g(x).

Таким образом, для всякого числа а^О справедливо равенство g^ax) = |a|g(x). Если же a = 0, то обе части равенства обращаются в нуль; следовательно, оно верно для всех без исключения а, и функция g есть полунорма. В случае, когда А = ^хеЕ: g(x)^l}, доказательство аналогично. I

Аналитическая форма теоремы Хана —Банаха

Эта теорема вместе со своими многочисленными следствиями является одним из центральных результатов функционального анализа. Здесь приводится одна из ее наиболее общих форм, так называемая «аналитическая» форма, в отличие от

«геометрической» формы, приводимой в гл. 2. Теорема Хана —* Банаха в аналитической форме справедлива для любого векторного пространства, наделенного некоторой . калибровочной функцией.

.1. Теорема. (1) Пусть Е— вещественное векторное пространство, р — калибровочная функция на Е, L — векторное подпространство в Е и fo — линейная форма на L, удовлетворяющая неравенству

fo(x)^p(x)(xeL).(1.7.1)

Тогда существует такая линейная форма f^E*, что

= Ш^^LY(1.7.2)

f(x)<p(x)(х^Е).(1.7.3)

Если р— полунорма на Е, то неравенства (1.7.1) и (1.7.3) эк

вивалентны соответственно неравенствам

I fo И К р (х) (х е L),I fo И К р (х) (х е L),IfWKpW kx^EYIfWKpW kx^EY(1.7.1*)(1.7.3*)(1.7.1*)(1.7.3*)

I fo И К р (х) (х е L),

I fo И К р (х) (х е L),

IfWKpW kx^EY

IfWKpW kx^EY

(1.7.1*)

(1.7.3*)

(1.7.1*)

(1.7.3*)

Если Е— комплексное векторное пространство, р— полунорма на Е, a L и ^ те же, что ив (1), то справедливо аналогичное утверждение, получающееся заменой (1.7.1) и (1.7.3) на (1.7.1*) и (1.7.3*) соответственно. ~

Д о к а з а т е л ь с т в о. Эквивалентность (1.7л) и (1.7л*) при п = 1, 3 очевидна. Докажем сначала утверждение (1), а затем выведем из него (2).

Применим лемму Цорна (п. 0.1.5) к множеству F всех линейных форм f, для которых domf есть векторное подпространство в Е, содержащее подпространство L, причем f\L = f0 и f^p на domf. По условию fo^F. Упорядочим множество F следующим образом: запись f^g означает, что g есть продолжение f, т. е. domgzodomf и ^ | domf = f. Легко проверяется, что множество F индуктивно упорядочено. Раз это так, то из леммы Цорна следует существование в F максимального элемента. Пусть f—максимальный элемент в F. Предложенное Банахом [1, стр. 24—25] доказательство, которое мы сейчас воспроизведем, показывает, что f обладает всеми требуемыми свойствами. В действительности нужно лишь установить, что domf = Е.

Допустим противное, т. е. что domf + Е, и выберем элемент х0 е E\dom f. Если х', х" г dom f, то

f U") - f W = / (х" - х'Х р (х" - х') = р [(х" + х0) + (- х' - Хо)] < < р (х" + Хо) + р (- х' - Хо),

поэтому

Р (- х' - Хо) - / (х') < р (х" + х0) - /(х")

Следовательно, числа

A = sup {—р(—х —х0) —f(x): xEdom/} и

Л = inf {р (х + х0) — / (х): х е dom /}

конечны, и Х^Л. Возьмем произвольное вещественное число у, такое, что Х^у^Л. Тогда для любого хе domf имеем

р (- х - х0) - f (х)< Y < р (х + х^ - f (х).(1.7.4)

Положим М = Rxq + domf и определим форму f' на М с помощью равенства

Г (х + ^х0) = f (х) + у£(х е domf, § ge R).

Очевидно, f' является линейной формой с областью определения М ZD domf zd L. Если теперь будет показано, что V е F, то максимальность f придет в противоречие с тем фактом, что domf есть собственная часть М. Так как f'|domf = f, то остается проверить, что f'^-р. Если при £=/=0 в (1.7.4) заменить х на £-1х, то получим

( ё °) ё Y р U + °) ё *

При g>0 из правой части этого неравенства следует, что у^ < р (х + £х0) - / (х), а при £ < 0 из левой части вытекает, что

р(х + ^ХО)— f(x)

Итак, в обоих случаях имеем

fW + yg<p(^ + gx0).

При ^ = 0 последнее неравенство очевидно. Таким образом, fz(x + £х0) <р<х + ^х0) (х е domf, ^е R),

т. е. f-Cp на М, что и завершает доказательство утверждения (1).

Боненблуст и Собчик [1] показали, что утверждение (2) следует из (1) ^ Пусть fo = uo + ii)Ol где и0 и у0 —

^ Независимо от них этот результат был получен Г. А. Сухомлиновым (О продолжении линейных функционалов в комплексном и кватернионном линейном пространстве, Матем, co..t 3(45) (1938), 353—358.). — Прим, перев.

вещественные линейные относительно вещественных скаляров формы на L. Так как fo(ix) = ifo^x^ то Уо(х) =—uQ(ix) и

fo(x) = u0(x) — iu^ixy

Из (1.7.1*) следует, что |^о(^) I ^Р(х) при всяком x^L. На основании (1) ий^ можно продолжить до вещественной линейной (относительно вещественных скаляров) формы и на Е, удовлетворяющей условию |и|^р. Положим

f (х) = и^ — шЦху

Тогда f является комплексной линейной формой на Е и f|L = = fo- Остается показать, что выполняется неравенство (1.7.3*). Если хеЕ и f(x) = геи ^г^ОД вещественно), то

| f (х) | = e-itf (х) = f (е~ах) = Re f ^e-ltx^ = и (e^x) ^< | и (е~их) | < p ^e-itx^ = p (x),

что и требовалось доказать.

Теорема, таким образом, полностью доказана. |

Следствие (Хан [2]). Пусть Е — векторное пространство над К, р — полунорма на Е, L — векторное подпространство в Е, Xq^ Е и

6 = inf{p(x0 + у): у^ L}.

Тогда на Е существует линейная форма f, удовлетворяющая условиям

I/WKpW (хеЕ),

Кх^ = ъ.

Систематическое изучение других следствий из теоремы 1.7.1, относящихся к топологическим векторным пространствам, отложим до гл. 2. В ней и отчасти в гл. 3 будут даны некоторые приложения и обобщения теоремы 1.7.1.

1.8. Топологические векторные пространства

Понятие топологического векторного пространства, к которому мы сейчас переходим, возникает при объединении понятий векторного и топологического пространств (§ 0.2) при условии, что эти структуры так взаимосвязны, что алгебраические операции непрерывны.

Определение топологического векторного простран-, ства. Под топологическим векторным пространством^ пони-

^ Приняты также термины топологическое линейное пространство и линейное топологическое пространство.—- Прим, перев.

мается векторное пространство Е над К, снабженное такой топологией 2, что непрерывны отображения1)

U, У^^^хЛ-у произведения Е X Еъ Е и

(а, х) н-> ах произведения К X Е в Е.

Определенное таким образом топологическое векторное пространство можно обозначать, например, символом (Е, 2). В действительности этим символом мы будем пользоваться, если придется рассматривать одновременно несколько топологических векторных пространств, полученных наделением данного векторного пространства Е различными линейными топологиями. В тех случаях, когда из контекста ясно, какой топологией наделено векторное пространство Е, мы будем обозначать просто через Е и рассматриваемое топологическое векторное' пространство. Прежде чем перейти к примерам, перечне-: лим несколько почти очевидных следствий приведенного выше определения.

Замечания. (1) Возьмем произвольный, но фиксированный элемент а^Е. Отображение хн->х + а (сдвиг на а) обладает обратным отображением х>—>х—а. Следовательно, в топологическом векторном пространстве каждый сдвиг является гомеоморфизмом этого пространства на себя. Поэтому его топология вполне определяется системой окрестностей нулевого элемента.

Условие (1) п. 1.8.1 эквивалентно требованию непрерывности сдвигов и непрерывности в точке (0,0) отображения (х, У^х + у.

Возьмем произвольное, но фиксированное число а #=0. Отображение хн->ах (гомотетия с коэффициентом а) обладает обратным отображением xt—>a-1x. Следовательно, в топологическом векторном пространстве каждая гомотетия с отличным от нуля коэффициентом является гомеоморфизмом пространства на себя. Так как

ах — аохо = (а - а0) х0 + а0 (х — х0) + (а - а0) (х - х0),

то условие (2) п. 1.8.1 эквивалентно требованию раздельной непрерывности по каждой из переменных произведения ах и непрерывности по обеим переменным этого произведения в точке (0,0).

*) Топологию £ в векторном пространстве Е, при которой непрерывны отображения (1) и (2), мы будем иногда называть линейной топологией.— Прим, перев.

Линейная топология векторного пространства может и не быть отделимой, однако если это пространство является Тх-пространством {или даже Т^-пространством), то она отделима. Действительно, пусть топологическое векторное пространство Е есть Го-пространство и х =# у. Тогда существует окрестность одной из этих точек, например точки х, не содержащая другой точки, т. е. у. Как было установлено выше, сдвиг является гомеоморфизмом, поэтому существует такая окрестность нуля U, что у нс принадлежит х + U. Так как вычитание х— у непрерывно, то существует такая окрестность нуля V, что V— V cl U. Тогда множества х + V и у + V являются непере- секающимися окрестностями точек х и у соответственно. Таким образом, отделимость доказана. Ниже мы покажем, как с каждым неотделимым топологическим векторным пространством можно естественным образом связать такое же отделимое пространство.

Во всяком топологическом векторном пространстве Е существуют (а) база окрестностей нуля, состоящая из уравновешенных открытых множеств и (Ь) база окрестностей нуля, состоящая из уравновешенных замкнутых множеств.

Действительно, как и во всяком топологическом пространстве, в Е существует база окрестностей нуля, состоящая из открытых множеств. Пусть U— некоторая окрестность нуля. Из непрерывности в точке (0,0) отображения (2) п. 1.8.1 следует существование такого числа е > 0 и такой открытой окрестности нуля V, что ах е U, если | а | ^ е и х ^V. Пусть W — уравновешенная оболочка множества eV (п. 1.5.2). Так как множество V открыто, из непрерывности отображений (1) и (2) п. 1.8.1 легко вытекает, что множество W открыто. Кроме того, очевидно, что IVczfV; утверждение (а), таким образом, доказано.

Чтобы убедиться в справедливости утверждения (Ь), возьмем произвольную окрестность нуля U и покажем сначала, что существует замкнутая окрестность нуля V, содержащаяся в U. Из непрерывности отображений (1) и (2) п. 1.8.1 вытекает непрерывность вычитания {х, y^v—>х — у в точке (0,0). Следовательно, можно найти такую окрестность нуля U', что U'— U'a cl U. Тогда замыкание Ur = V удовлетворяет нашим условиям. Отсюда вытекает, что замкнутые окрестности нуля образуют базу.

Как и при доказательстве утверждения (а), можно так подобрать число е > 0 и окрестность нуля V', чтобы уравновешенная оболочка множества eV7, которую мы обозначим через IV, содержалась в V. Множество IV является_^равновешенной окрестностью нуля. Так как V замкнуто, то W cz V. Остается

доказать, что замыкание W уравновешено, когда уравновешено множество W. Пусть N — окрестность нуля. Выберем (как и при доказательстве утверждения (а)) окрестность нуля N\ уравновешенная оболочка которой содержится в N.

Если х г W, то окрестность х—N' пересекает множество W, т. е. х е W + N'. Поэтому для |а|<И имеем

ax^aW + aN'c^W + N

(множество W уравновешено). Так как это соотношение спра- ведливо_для каждой окрестности нуля N, то ах е W, т. е. множество W уравновешено.

Из непрерывности отображения (2) п. 1.8.1 непосредственно следует, что в топологическом векторном пространстве каждая окрестность нуля есть поглощающее множество.

«Прямая» часть следующего предложения вытекает из приведенных здесь замечаний.

Предложение. В каждом топологическом векторном пространстве Е над К существует база е#3 окрестностей нуля, обладающая следующими свойствами:

каждое множество U е оДГ уравновешено и поглощающе;

если U G еЛ^, аг К и а У= О, то aU г оДГ\

если U г^, то существует V ^оЛ^, такое, что V + VczU;

если U\, Щг^, то существует Ue#, такое, что U с Ux П U,.

Обратно, если в векторном пространстве Е над К задана система подмножестве#, удовлетворяющая условиям (1) — (4), то существует одна и только одна такая топология $ в Е, что система о# является базой окрестностей нуля, а (Е, $) есть топологическое векторное пространство над К.

Доказательство. Достаточно рассмотреть только «обратную» часть предложения. Единственность топологии 2, если она существует, следует из того, что в топологическом векторном пространстве базу окрестностей всякой точки х можно получить сдвигом на вектор х множеств, принадлежащих базе окрестностей нуля (см. (1) п. 1.8.2). С другой стороны, если топология 2 определена указанным образом, то из свойств (1) — (4) легко следует непрерывность отображений (1) и (2) п. 1.8.1.|

Примеры. Приведем некоторые простые примеры топологических векторных пространств, которые в дальнейшем позволят нам построить с помощью ряда общих методов другие топологические векторные пространства.

Рассмотрим функциональное пространство Кт, описанное в примере 1.1.1. Вначале будем считать, что Т— произвольное множество.

Каждому конечному подмножеству F а Т ^ каждому числу е>0 поставим в соответствие множество LK^F, г^аК1. содержащее те и только те элементы х е Кт, для которых число

pF^ = sup{|х(/) |: teF^

удовлетворяет неравенству PfW < е- Легко проверяется, что множества U(F, е) (где F и е изменяются независимо друг от друга) удовлетворяют условиям предложения 1.8.3. Соответствующую линейную топологию в Кт часто называют топологией поточечной (или простой) сходимости на Т. Это не что иное, как топология произведения. Читатель заметит, что каждая функция pF является полунормой на Кт.

Ряд других примеров можно получить, переходя к векторным подпространствам в Кт и наделяя их соответствующей индуцированной топологией.

Можно попытаться обобщить пример (1), заменяя систему конечных подмножеств в Т некоторой другой системой его подмножеств. ЕсДи пользоваться лишь конечными множествами, то получаемое пространство всегда будет векторным топологическим, топология которого, вообще говоря, может оказаться неотделимой. Если же включить в рассмотрение и бесконечные подмножества Г, то в полученной топологии пространство Кт может не быть топологическим векторным пространством1). Так, например, если найдется хотя бы одна функция х е Кт, неограниченная на некотором множестве F выбранной системы, то условие ах-^0 при а->0 не будет выполняться. Это затруднение можно обойти, если рассмотреть в К1 подпространство, скажем Е, состоящее из тех функций х^Кт, которые ограничены на каждом множестве F выбранной системы.

Пусть, например, наша система содержит только одно множество— само Т. Тогда в качестве Е следует взять подпространство в Кт, состоящее из всех ограниченных на Т функций. Мы будем обозначать это подпространство через В(Т) или Вк(Т). Соответствующую топологию обычно называют топологией равномерной сходимости на Т. Другие примеры приводятся ниже, в пункте (4). .

Пусть Т — конечное множество. Тогда Кт = В^Т) (как векторные пространства)*/ При этом, конечно, поточечная и равномерная сходимости совпадают. Если Т содержит п элементов, то эта топология совпадает с обычной метрической топологией в Ки.

9 Однако при этом пространство Кт все Же может оказаться топологической группой относительно сложения.

Рассмотрим теперь случай, когда Т— топологическое пространство. Через С(7) или Ск^Л будем обозначать векторное подпространство в К7, образованное всеми непрерывными Л-значными функциями на Т.

Если Т— компактное пространство, то С(7)—векторное подпространство в В (7), и поэтому С(7) можно топологизи- ровать как подпространство в В (7) (см. (2)).

Если пространство 7 не является компактным, то С(7) можно топологизировать с помощью системы всех компактных множеств F cz 7. В этой топологии, называемой топологией компактной (или локально равномерной, если 7 — локально компактное пространство) сходимости на Т, а также компактно открытой топологией, база окрестностей нуля состоит из множеств вида (7(7,8), где F пробегает систему всех компактных множеств в 7 (или базу таких множеств), а 8— строго положительные числа. Независимо от того, является ли 7 компактным пространством или нет, пространство См(7) всех непрерывных, ограниченных функций на 7 можно топологизировать как подпространство в В (7).

В гл. 4 и 5 мы займемся изучением других подобных примеров.

Все предыдущие примеры можно обобщить, рассмотрев функции, принимающие значение не в К, а в произвольном топологическом векторном пространстве X над К. Читателю предоставляется проделать это самостоятельно.

2_р2_рПусть 7— интервал (0,1) вещественной оси и р— вещественное число, р > 0. Через J?p обозначим множество всех таких вещественных измеримых функций х на Т, что функция |х|р интегрируема по Лебегу на интервале (0,1). (Читатель, не знакомый с понятием интеграла Лебега, может в этом примере ограничиться непрерывными функциями. Подробное изложение теории интегрирования дано в гл. 4.) Пусть Dp— полуметрика на ^р, определенная равенством

2_р

2_р

1

Dp (х, у) =Dp (х, у) =/\xWy^\pat о

Dp (х, у) =

Dp (х, у) =

Пространство ^р, наделенное соответствующей этой полуметрике топологией, является топологическим векторным пространством. Очевидно, Dp^x, у) =Np^x — у), где

Np^ = ]|г(/)|^/;

о J

При р*> \ Np есть полунорма на «2^. При 0<р<1 это уже не так.

Снова рассмотрим вещественные функции на интервале 7= (0,1). Обозначим через ц меру Лебега на вещественной оси и зададим произвольно числа а > 0 и р > 0. Под Ua, р будем понимать множество тех функций х е RT, для которых р-мера множества {/е7: |х(/)|>а} не превосходит р. Множества Ua, р можно взять в качестве базы окрестностей нуля для некоторой топологии 2 в RT. Окрестности всякой другой точки х из RT могут быть получены с помощью сдвига. Таким образом множество RT превращается в топологическое векторное пространство. Топологию $ иногда называют топологией сходимости по мере на 7.

Мы переходим теперь к некоторым общим методам, позволяющим из данных топологических векторных пространств получать другие такие пространства.

Подпространства. Произведение пространств. Фак- торпространства. Пусть L— векторное подпространство топологического векторного пространства Е. Подпространство L, наделенное индуцированной топологией, очевидно, само есть топологическое векторное пространство.

Пусть (E^tei — семейство топологических векторных пространств и Е = У1Ег — произведение векторных пространств (п. 1.2.5). Пространство Е, наделенное произведением топологий (п. 0.2.15), само становится топологическим векторным пространством. Если, например, Е = К (рассматриваемому как топологическое векторное пространство над К с обычной топологией) и / = 7— произвольное множество, то соответствующее произведение является не чем иным, как пространством Кт с топологией поточечной сходимости на 7 (см. пример (1) п. 1.8.4).

Обратимся к факторпространствам. Пусть Е — топологическое векторное пространство и L — это векторное подпространство. Образуем факторпространство Е/L (п. 1.2.3). Если E]L наделить фактортопологией (п. 0.2.16), то получится топологическое векторное пространство, называемое факторпростран- ством пространства Е по подпространству L. Обозначим через хс класс эквивалентности по подпространству L, содержащий элемент х, а через f каноническое отображение xv—>xc пространства Е на E(L. Отображение f линейно. Фактортопология в EfL, как известно, сильнейшая из топологий, при которых f непрерывно. База окрестностей нуля в EjL образуется теми множествами W cz EfL, для которых множества Р^ являются окрестностями нуля в Е,

Часто оказывается полезным следующее утверждение.

► Если множества (Ui) образуют базу окрестностей нуля в Е. то множества Wi = f{U^ образуют базу окрестностей нуля в E(L.

Действительно, так как ^^W^^Ui, то Wt есть окрестность нуля в факторпространстве. С другой стороны, пусть W—некоторая окрестность нуля в E(L. тогда U—f"4W) является окрестностью нуля в Е. Следовательно, для некоторого i имеем Lit с= U. Так как f отображает Е на EfL, то

w^^rVw^HmzDfaJ^Wi.

Отсюда следует, что множества Wt образуют базу окрестностей нуля, что и требовалось доказать.

Другими словами, естественное отображение f пространства Е на EIL открыто, или в терминологии § 1.9 естественное отображение является гомоморфизмом топологического векторного пространства Е на топологическое векторное пространство E[L.

Независимо от того, будет ли пространство Е отделимым или нет, факторпространство E[L отделимо тогда и только тогда, когда подпространство L замкнуто в Е. Действительно, естественное отображение f пространства Е на E]L непрерывно, и подпространство L является его ядром. Далее пространство Efb (как и всякое топологическое векторное пространство) отделимо тогда и только тогда, когда его нулевой элемент есть замкнутое множество. Таким образом, если E(L— отделимое пространство, то подпространство L = kerf само замкнуто в Е как прообраз замкнутого множества при непрерывном отображении.

Так как f(E\L) = (E/L)\f(L). то из замкнутости подпространства L следует замкнутость f(L) в E)L. a f(L) совпадает с одноэлементным подмножеством в E[L. состоящим из одного нуля.

Если пространство Е не отделимо, то можно получить отделимое факторпространство EjL с помощью некоторого замкнутого подпространства L из Е. Естественно сделать это так, чтобы отождествлялось возможно меньше различных элементов из Е. для чего надо взять L возможно меньшим._Очевидно, что наименьшее замкнутое_подпространство L равно {0}. По этой причине пространство £/{0} называется отделимым топологическим векторным пространством, ассоциированным с Е.

Уравновешенные и выпуклые множества в топологических векторных пространствах. Рассмотрим некоторые понятия, введенные в § 1.5 для векторных пространств, применительно к топологическим векторным пространствам.

Читатель может проверить, что в топологическом векторном пространстве замыкание подпространства (соответственно выпуклого множества, уравновешенного множества) является множеством того же типа. Таким образом, замыкание линейной (соответственно выпуклой, уравновешенной) оболочки всякого множества Л в топологическом векторном пространстве Е— это наименьшее замкнутое подпространство (соответственно замкнутое выпуклое множество, замкнутое уравновешенное множество) в Е, содержащее А. Мы называем их соответственными замкнутыми оболочками множества А в Е.

Заметим также, что всякая гиперплоскость в Е либо замкнута, либо всюду плотна (вследствие ее максимальности; см. п. 1.2.6).

Рассмотрение топологий требует некоторых дополнений к § 1.3 и 1.4. Эти дополнения будут даны в § 1.9. В дальнейшем нам понадобится одно новое понятие, определением которого мы сейчас займемся.

Ограниченные множества в топологическом векторном пространстве. Множество В в топологическом векторном пространстве Е называется ограниченным, если для каждой окрестности нуля U в Е существует такое число а>0, что Baal).

Читатель может заметить, что для подмножеств пространства Кп понятия ограниченности и ограниченности по метрике совпадают.

Отметим следующие два свойства ограниченных множеств.

Замкнутая уравновешенная оболочка ограниченного множества В также ограничена.

Объединение и векторная сумма конечного числа ограниченных множеств являются ограниченными множествами.

Утверждение (1) непосредственно вытекает из замечания (1) п. 1.8.2. Следует предупредить читателя, что если пространство Е не локально выпукло (§ 1.10), то выпуклая оболочка ограниченного множества может и не быть ограниченной.

Что касается утверждения (2), рассмотрим, например, векторную сумму В = В'+6// двух ограниченных множеств В' и В". Для заданной окрестности нуля U выберем (см. предложение 1.8.3) такую уравновешенную окрестность нуля V, что V+Vczt7. Из ограниченности В' и В" следует существование таких чисел а', а">0, что B'ca'V, B"ca”V. Полагая а = = шах (а', а"), имеем В a aV + aVcz а( V+ V) cz aU, т. е. множество В ограничено.

Наконец, очевидно, что всякое конечное множество ограничено.

Примеры. Подмножество В пространства Кт ограничено тогда и только тогда, когда при каждом t ^Т ограничено множество {[*(/) |: x^BY т. е. если

sup{|x(/)|: xeS}<+oo

для каждой точки t^T. В пространстве В (7) (пример (2) п. 1.8.4) множество ограничено тогда и только тогда, когда оно равномерно ограничено, т. е. когда

sup {| х(/) |: х^В, t^T} < +оо.

Топологические векторные пространства как равномерные пространства. Каждое топологическое векторное пространство Е можно наделить равномерной структурой (п. 0.3.1), у которой база окружений диагонали А в ЕхЕ образована множен ствами вида А ([/)={(%, у): х— у г UY где U пробегает некоторую базу окрестностей нуля в Е. Таким образом, линейная топология в Е однозначно порождает в Е равномерную структуру. Поэтому не представляет большой опасности смешение топологии топологического векторного пространства и его равномерной структуры, и можно говорить о полноте топологического векторного пространства. Вообще всякое понятие, относящееся к равномерной структуре (полнота, равномерная непрерывность и т. д.), относится и к топологическим векторным пространствам.

Пополнение топологического векторного пространства. Рассмотрим сначала случай, когда топологическое векторное пространство Е отделимо. Как и для всякого отделимого равномерного пространства, для Е можно (п. 0.3.12) построить такое полное равномерное пространство^, что существует взаимно однозначное отображение t: Е-^Е, являющееся изоморфизмом равномерного пространства Е на плотное равномерное подпространство i(B) в Е. Более того, пространство Е однозначно с точностью до изоморфизма определяется этими условиями (как равномерное пространство).

Напомним следующую более или^ менее конкретную реализацию пространства Е. Точками в Е являются классы эквивалентных сетей Коши, составленных из точек пространства Е, причем две такие сети Х= (х^) и У = (yj) эквивалентны, если для всякой окрестности нуля U в Е и любых индексов /0 и /0 существуют такие индексы / ^/0 и / > /о, что Хг — y^U. Таким образом, множество Е строится как фактормножество ^(R, где 6—множество всех сетей Коши X=(Xi) из Е, a R— указанное отношение эквивалентности, E—^fR. Равномерная структура в ^ вводится с помощью базы окружений диагонали, состоящей из множеств вида W(U)^ где U пробегает базу окрестностей

нуля в Е, a W^Щ—множество таких пар (X, У) (Х=(хг)', Y=^y^—сети Коши в Е), что Хг — Уз^и для произвольно больших (и, следовательно, для всех достаточно больших) индексов i и /. Образы множеств IF(E) при каноническом отображении ^ на ^(R определяют базу окружений диагонали в равномерной структуре в Е.

Если Е— векторное пространство, то Е можно обычным образом наделить векторной структурой. Обозначим, например, через X+Y сеть (х<+у3-) (это сеть Коши, множество индексов которой составлено из пар (i, /)). Тогда х-Уу будет классом по модулю R суммы Х + У.

Далее, если Е — топологическое векторное пространство, то легко проверяется, что равномерная структура в Е дает топологию, которая согласуется с векторной структурой в Е. Таким образом, Е становится топологическим векторным пространством. Если пространство Е отделимо, то Е обладает тем же свойством. С помощью изоморфизма i можно вложить Е в Е. Замыкание в Е окрестностей любой базы окрестностей нуля в Е образует базу окрестностей нуля в Е. Всякое непрерывное линейное отображение пространства Е в отделимое топологическое векторное пространство F обладает ^единственным непрерывным продолжением до элемента из LC(E, F) (п. 1.9.4), и каждая непрерывная полунорма на Е однозначно продолжается до непрерывной полунормы на Е. Если пространство Е не отделимо, то описанное выше построение можно применить к ассоциированному отделимому пространству Е/{0}. Это предварительное отождествление не вызывает каких-либо затруднений при paccMQTpeHHH непрерывных линейных отображений или непрерывных полунорм на Е.

1.9. Непрерывность линейных отображений. Изоморфизмы и гомоморфизмы топологических векторных пространств. Замкнутые линейные отображения

В этом параграфе всюду, где явно не оговорено противное, Е и F обозначают топологические векторные пространства над К, а и — линейное отображение пространства Е в F, и ^ L(E, F).

Очевидно, что непрерывность отображения и в некоторой точке пространства Е равносильна непрерывности в нуле. При этом отображение и непрерывно и, следовательно, равномерно непрерывно на Е.

Нет необходимости перечислять здесь те свойства непрерывных линейных отображений одного топологического векторного

пространства в другое, которые являются частными случаями простых результатов, справедливых для непрерывных отображений одного топологического пространства в другое.

Рассмотрим важное свойство, не относящееся к указанному типу свойств.

Непрерывное линейное отображение и топологического векторного пространства Е в топологическое векторное пространство F переводит каждое ограниченное множество AclE в ограниченное в F множество В = и(А).

Пусть V— окрестность нуля в F. Тогда в силу непрерывности отображения и множество U = u"x^V^ есть окрестность нуля в Е. Поэтому если A cz XU для некоторого Х>0, то В а XV и, следовательно, В ограничено в F.

Линейное отображение пространства Е в F называется ограниченным, если оно переводит ограниченные множества в Е в ограниченные множества в F. Естественно поставить вопрос, верно ли обратное, т. е. будет ли всякое ограниченное отобра-* жение непрерывным. Доказательство тривиально в случае, когда Е и F — полунормированные пространства (п. 1.10.2). Справедливость обратного утверждения для другого вида пространств, так называемых борнологических пространств, является менее очевидным фактом. Ниже, в § 7.3, мы вернемся к этому вопросу.

Отображение u^L^E, F) называется изоморфизмом пространства Е в F (как топологических векторных пространств), если оно является алгебраическим изоморфизмом пространства Е в F (п. 1.3.2) и одновременно гомеоморфизмом пространства Е в F. Линейное непрерывное взаимно однозначное отображение и пространства Е в F есть изоморфизм пространства Е в F тогда и только тогда, когда оно является открытым отображением Е на и^Е).

Предлоги «в» и «на» употребляются здесь в таком же смысле, как и в п. 1.3.2.

Пусть Е и F— топологические векторные пространства. Отображение u^L^E, F) называется гомоморфизмом пространства £ в F, если оно непрерывно и открыто. Другими словами, гомоморфизм и пространства Е в F — это изоморфизм фактор- пространства Е/ker и (п. 1.8.5) в F (или на и^). Непрерывное отображение ueL^E, F) будет гомоморфизмом пространства Е в F тогда и только тогда, когда оно является открытым отображением пространства Е на и^Е).

Понятия изоморфизма и гомоморфизма можно применять и в случае, когда область определения отображения и есть собственное векторное подпространство в Е. Непрерывность,

например, означает тогда непрерывность отображения и как элемента множества L^domu, F).

Введем два новых обозначения, которыми мы будем в дальнейшем широко пользоваться.

Пусть Е и F — топологические векторные пространства. Через LC(E, F) будем обозначать подпространство в L^E, F)T состоящее из всех непрерывных линейных отображений пространства Е в F. Если, в частности, F — K (К— поле скаляров), то пространство LC(E, К) обозначается через Е'. Таким образом, Е' является подпространством в Е*, состоящим из всех непрерывных линейных форм на Е. Пространство Е' называется топологическим сопряженным к Е. Обычно элементы пространства Е' будут обозначаться через х's у', ... . Значение линейной формы х'еЕ' в точке х^Е обозначается через х'(х) или, более симметрично, через (х, х') (ср. с замечанием п. 1.4.7).

Замечания. (1) Вообще говоря, пространство Е' значительно уже пространства Е*. Хотя Е* всегда отделяет точки из Е (на этом основано вложение пространства Е в Е**, описанное в п. 1.4.7), Е' может этим свойством не обладать. Это имеет место, например, когда Е не отделимо как топологическое пространство, причем это не единственный и даже не самый интересный случай. Примером пространств, для которых Е' отделяет точки пространства Е, служит широкий класс отделимых локально выпуклых пространств, изучением которых мы займемся в § 1.10. В заключение заметим, что существует много способов превратить Е' в топологическое векторное пространство таким образом, чтобы каждая точка х е Е порождала элемент х'н->(х, х') пространства ^.Соответствующее отображение хн->х" пространства Е в Е", вообще говоря, может не быть взаимно однозначным; в этом случае нельзя, конечно, вложить с его помощью пространство Е в Е".

Используемые в этой книге обозначения и терминология никоим образом не являются общепринятыми. Иногда вместо топологического сопряженного пространства говорят о двойственном или дуальном пространстве. Некоторые авторы употребляют и другие названия; часто вместо нашего обозначения Е' пишут Е* или Е. При обращении к другим источникам читатель должен во избежание недоразумений иметь все это в виду. Мы придерживаемся терминологии, принятой Н. Бурбаки.

Нам понадобится подпространство в L^E, Fy образованное всеми ограниченными линейными отображениями пространства Е в F. Это подпространство будет обозначаться через Ьъ^Е, Fy Заметим, что всегда имеет место включение: Lb(E, F)zd TDLc(E,Fy Вообще говоря, это включение строгое, однако, как читатель увидит в гл. 7, для важного класса топологических

векторных пространств Е имеет место совпадение, т. е. Lc(E,F^Lb^E,Fy

Конечномерные топологические векторные пространства.

В настоящем пункте мы докажем, что имеется единственный способ превратить конечномерное векторное пространство в отделимое топологическое векторное пространство.

Предложение. Пусть Е— отделимое топологическое векторное пространство над К размерности п и ^ej^ х<.<п — некоторый алгебраический базис в Е. Тогда отображение иЕЦК^, определяемое равенством

п

1 = 1

является изоморфизмом топологического векторного пространства Кп на топологическое векторное пространство Е.

Доказательство. Очевидно, что отображение и линейно, непрерывно, взаимно однозначно и является отображением на. Остается лишь показать, что отображение и открыто. Положим

||х||= sup |gj

1 < i < п

для х = и^, и пусть В и S— множества в Е, определенные соответственно условиями ||х|| < 1 и ||х|| = 1. Так как отображение и непрерывно, то S компактно. Поэтому в силу отделимости Е множество S замкнуто. Нуль не принадлежит S, поэтому существует такая открытая окрестность нуля U в Е, что пересечение Uf\S пусто. Не нарушая общности, можно считать, что окрестность 0 уравновешена (замечание (5) п. 1.8.2).

Покажем, что U а В. Если это не так, то найдется элемент x^U\B. Поскольку Uf\S = 0, то x^S, так что ||х||>1. Положим у = |Щ|. Тогда у е S. Кроме того, в силу уравновешенности U и условия ||х||> 1 элемент у е U, так что уг5Г\О, а это противоречит выбору окрестности U. |

Заслуживают внимания три следствия.

(1) Всякое конечномерное подпространство отделимого

топологического векторного пространства замкнуто.

Действительно, это подпространство, будучи изоморфно при некотором п пространству К1^ является полным.

(2) Всякое линейное отображение конечномерного отде

лимого топологического векторного пространства непрерывно.

(3) Пусть Е— топологическое векторное пространство,

Н — гиперплоскость в Е, j^E*, f^O, а^К и //=/-1({а})

(п. 1.2.6 и 1.2.7). Гиперплоскость Н замкнута ^тогда и только тогда, когда линейная форма f непрерывна. В этом случае f есть гомоморфизм пространства Е на К.

Действительно, если линейная форма f непрерывна, то очевидно, что гиперплоскость Н замкнута. Докажем обратное. Пусть гиперплоскость Н замкнута. Сделав в случае необходимости сдвиг, можно считать, что Н— однородная гиперплоскость, т. е. что а = 0. Так как Н замкнуто, то факторпростран- ство Е]Н отделимо. Его размерность, очевидно, равна 1. Форма f определяет взаимно однозначное отображение пространства EfH на К (п. 1.3.2). В силу (2) это отображение есть изоморфизм (рассматриваемых топологических векторных пространств), т. е. f есть гомоморфизм пространства Е на К. ■

Если Е — вещественное топологическое векторное пространство и /7=/-1({а})—замкнутая гиперплоскость в Е, то множества f’^ta, +оо)) и f-1((—оо, сх]) называются замкнутыми полупространствами, определяемыми гиперплоскостью Н, а множества f-1 ((а, + оо)) и f"x ((—оо, а)) — открытыми полупространствами, определяемыми этой гиперплоскостью.

Имеется важный критерий конечномерности отделимого топологического векторного пространства, впервые установленный Ф. Риссом для нормированных пространств.

Теорема Ф. Рисса. Для конечномерности отделимого топологического векторного пространства Е необходимо и достаточно, чтобы в Е существовала предкомпактная окрестность нуля.

Доказательство. Если пространство Е конечномерно, то оно как топологическое векторное пространство изоморфно пространству Кп для некоторого п, а потому локально компактно. Необходимость, таким образом, доказана.

При доказательстве достаточности воспользуемся рассуждениями Ж.-П. Серра. Пусть U — предкомпактная окрестность нуля в Е. Можно так выбрать конечное число точек хь ..., хп в U, чтобы множества Xj+—U покрывали LL Обозначим через М векторное подпространство в Е, порожденное элементами X;, и рассмотрим факторпространство Е)М. Если f— естественное отображение пространства Е на Е(М, то (п. 1.8.5) множество W — f(U) есть окрестность нуля в Е(М. Так как отображение f линейно и непрерывно, то оно равномерно непрерывно, так что W предкомпактно. Из включения UcM-V^U вытекает, что ТГ cz -^W. По индукции можно получить, что для любого натурального числа й имеет место включение 2kWcW. Поскольку

W— окрестность нуля в Е/М, то E}M=W. Следовательно, пространство Е(М предкомпактно. Так как подпространство М конечномерно и Е отделимо, то М замкнуто в Е; поэтому Е)М отделимо. Если пространство Е[М не сводится к нулевому элементу, то оно должно содержать подпространство, изоморфное К, и потому не может быть предкомпактным.

Таким образом, Е(М содержит только нулевой элемент, и, следовательно, пространство Е = М конечномерно. |

Топологические прямые суммы и топологические дополнения. Дополним содержание п. 1.4.8 некоторыми замечаниями, касающимися топологических векторных пространств.

Пусть L — векторное подпространство в топологическом векторном пространстве Е и М — какое-нибудь его алгебраическое дополнение в Е. Известно, что отображение ^а, b^v—^aA-b есть алгебраический изоморфизм произведения ЕхМ на Е. Очевидно, что это отображение непрерывно. Если окажется, что оно обладает непрерывным обратным отображением, т. е. если оно есть изоморфизм рассматриваемых топологических векторных пространств, то будем говорить, что Е является топологической прямой суммой подпространств L и М, а также что подпространства L и М служат друг для друга топологическими дополнениями относительно пространства- Е. Обозначим через pL и рм соответствующие проекторы. Для того чтобы пространство Е было топологической прямой суммой подпространств L и М, необходимо и достаточно, чтобы либо pLl либо рм было непрерывным отображением (в силу равенства рь + рм=^ из непрерывности одного следует непрерывность другого). Для этого необходимо (но, вообще говоря, не достаточно), чтобы оба подпространства L и М были замкнутыми в Е.

Из результатов п. 1.9.6 следует

Предложение. Пусть L — векторное подпространство отделимого топологического векторного пространства Е. Допустим, что L замкнуто и codim L< + oo. Тогда всякое алгебраическое дополнение М подпространства L в Е будет также и топологическим дополнением.

Доказательство. Пусть М — алгебраическое дополнение подпространства L, к — естественная проекция пространства Е на факторпространство EjL и лм— ее сужение на подпространство МсЕ. Тогда лм: М-^Е]Е есть алгебраический изоморфизм М на ЕД и рм = л”1 о л. Поскольку Е отделимо и L замкнуто, то EJL— отделимое топологическое векторное пространство конечной размерности codim L; поэтому из следствия (2) п. 1.9.6 вытекает, что отображение лм1 непрерывно. Так как л непрерывно по определению топологии в E/L^ то непрерывен и проектор рм- |

Замечания. (1) Отображение (a,b)v->a-vb всегда непрерывно, взаимно однозначно и является отображением на. Иногда, чтобы установить, что алгебраическая сумма E = L-VM, где L и М — замкнутые подпространства, есть топологическая прямая сумма, можно воспользоваться теоремой обращения из гл. 6. Так обстоит дело, например, в случае, когда Е — полное полуметризуемое топологическое векторное пространство.

Существует другая возможность. Она опирается на то наблюдение, что отображение рс E-^L имеет замкнутый график, если L и М замкнуты в Е. После этого к паре Е и L применяют (если возможно) теорему о замкнутом графике, из которой следует непрерывность отображения pL, так что прямая сумма E = L + M оказывается топологической.

Подробнее эти вопросы будут изложены после знакомства с соответствующими понятиями (гл. 6 и упр. 6.2).

Несмотря на замечание (1), даже в случае, когда Е— банахово пространство (а это один из самых благоприятных случаев), существуют замкнутые подпространства L в Е, которые не допускают ни одного топологического дополнения в Е (см. Ньюмен [1], а также упр. 7.8).

Пусть топологическое векторное пространство Е есть алгебраическая прямая сумма L + M. Тогда соответствующие проекторы pL и рм являются открытыми отображениями пространства Е на подпространства L и М соответственно. Действительно, так как pLx = x, x^L, то для каждой окрестности нуля U в Е имеем Pl(U) ^ Pl^LHU) =17AL. Если, кроме того, эта прямая сумма является топологической, то pL (соответственно Рм) будет непрерывным открытым отображением пространства Е на L (соответственно на М).

Замкнутые и предзамкнутые линейные отображения. Пусть Е и F —f топологические векторные пространства над К. Рассмотрим линейное отображение и, определенное на векторном подпространстве йот и а Е и принимающее значения в F. Пусть gr иаЕхР — график отображения и (определенный в п. 1.3.3).

Будем говорить, что отображение и замкнуто (как отображение из Е в F), если его график gr и есть замкнутое векторное подпространство в произведении ExF. Это понятие, вообще говоря, зависит от пространств Е и F и от их топологий (а не только от топологий, индуцированных ими соответственно на domu и imu). Всякое допустимое1) сужение пространств Е или F, а также всякое усиление их топологий увеличивает шансы отображения и оказаться замкнутым.

*) Тр есть н^ затрагивающее множеств dom и и im и. — Прим. ред.

Наряду с условием замкнутости оказывается полезным рас* сматривать еще одно, несколько ослабленное условие. Отображение и. называется предзамкнутым (из Е в Е), если оно обладает хотя бы одним замкнутым продолжением, т. е. если существует хотя бы одно такое замкнутое отображение v из Е в F, что domucrdomn и M = y|domM. Ясно, что если отображение и обладает таким продолжением у, то среди них существует наименьшее, а именно то отображение, графиком которого служит gr и (замыкание gr и в произведении ExF). Это отображение линейно; оно называется замыканием отображения и и обозначается через й. Существование отображения й и его область определения (если й существует) зависят от Е и F и их топологий. Всякое сужение предзамкнутого отображения также является предзамкнутым отображением.

Если отображение и замкнуто, то оно тем более предзамкнуто и его замыкание й совпадает с и. Заметим, что если пространство F не отделимо, то не существует ни одного линейного предзамкнутого отображения и из Е в Л Действительно, если у#=0 и z/e{0}, то (0, у)е{(0, 0)} = {(0, u(0^agr и. Отсюда следует, что множество gr и не может быть графиком.

В дальнейшем мы займемся изучением замкнутых линейных отображений. Перечислим пока несколько их важных свойств.

Предложение. Пусть Е и F — топологические векторные пространства и и — линейное отображение, определенное в Е и принимающее значения в F. Для замкнутости отображения и из Е в F необходимо и достаточно, чтобы выполнялось следующее условие*, если сеть (х^ точек из dom и сходится к хеЕ и сеть (u(Xi)) сходится к у е F, то хе dom и и у = и(х). В случае, когда боти = Е, замкнутость отображения и равносильна выполнению указанного выше условия при х = 0 (легко видеть, что при этом у = 0). Если Е и F — метризуемые пространства, то достаточно выполнения приведенного условия для последовательностей.

Доказательство. Предложение очевидно, так как сформулированное условие является необходимым и достаточным для того, чтобы gr и был замкнут в ExF. 1

Предложение. Пусть Е и F— топологические векторные пространства и и — линейное отображение из Е в F. Каждое из следующих условий является необходимым и достаточным, чтобы отображение и было предзамкнутым.

Если сеть (xt) точек из dom и сходится к нулю в Е и сеть (u(Xi)) сходится в F, то предел сети (u(Xi)) в F равен нулю. Если Е и F — метризуемые пространства, то сети можно заменить последовательностями.

Если (Uj) —база окрестностей нуля в Е, то имеет место равенство

Р^([//Г1 dom u) = {0}.

7

Доказательство. Необходимость условия (1) очевидна. Действительно, если (xj удовлетворяет указанным условиям и у = Иш и^х^, то точка (0, у) принадлежит замыканию gr и. Так как это замыкание есть график (отображение и по предположению предзамкнуто), то у = 0.

Обратно, предположим, что выполнено условие (1). Достаточно показать, что у\ = у2, если (х, yi) и ^.У^ принадлежат gr и. Включение (х, уп) е gr w при п=1, 2 означает, что существует такая сеть (xi; п) в dom и, что lim хи п = х и lim и (х<, ^ = уп.

\

Разность сетей (х^ п) при п=\, 2 представляет собой такую сеть (х^) в dom и (вообще говоря, с другим множеством индексов), что limxj = 0 и lim и^х^ =ух — у2- Но тогда из условия (1) следует, что yx=yz, что и требовалось доказать. Таким образом, условие (1) является необходимым и достаточным.

Докажем необходимость условия (2). Пусть множество gr и — график. Если у принадлежит указанному в условии (2) пересечению и V — окрестность нуля в F, то y-VV пересекает каждое множество г/(С/7Пбот и), т. е. для каждого / существует такой элемент Xj е t/jAdom и, что —y-Vu^x^ е V. Отсюда вытекает, что (xj, u(Xj)) е (0, у) + (UjX V) и, следовательно, (0, у) принадлежит замыканию gr и. Так как множество gr и является графиком, то у = 0, откуда и следует необходимость условия (2).

Покажем, наконец, что условие (2) достаточно. Множество gr и есть векторное подпространство в ExF. Оно является графиком тогда и только тогда, когда из включения (0, у) е gr и вытекает, что у = 0. Пусть (0, у) е gr и. Это означает, что для любых окрестностей нуля U и V в пространствах Е и F соответственно существует такое хх е t/П dom и, что у — и^хх^ eV. Это в свою очередь влечет за собой включение у^и^ШАdom и) + V. Так как это верно для любой окрестности нуля V в F, то yew((7Adom и). В силу произвольности окрестности нуля U в Е элемент у принадлежит пересечению, фигурирующему в условии (2); следовательно, у = 0. ■

.12. Предложение. Пусть Е и F — топологические векторные пространства и и — линейное отображение из Е в F. Справедливы следующие утверждения.

Если dom и замкнуто в Е и отображение и предзамкнуто^ то и замкнуто.

Если пространство F отделимо и и — непрерывное отображение, то и предзамкнуто.

Если пространство F отделимо, dom и замкнуто в Е и отображение и непрерывно, то и замкнуто.

Если Е— отделимое, a F— отделимое и полное пространство и и — замкнутое непрерывное отображение, то dom и замкнуто в Е.

Если отображение и взаимно однозначно и предзамкнуто (соответственно замкнуто), то отображение и~х из F в Е— предзамкнуто (соответственно замкнуто).

Если Е отделимо и полно, F отделимо, и замкнуто, а и-х существует и непрерывно, то im и замкнуто в F.

Доказательство. (1) следует из предложений 1.9.10 и 1.9.11.

и (3) вытекают соответственно из предложений 1.9.11 и 1.9.10.

Пусть элемент х принадлежит dom и. Тогда в dom и существует сеть (х^), сходящаяся в Е к х. Так как отображение и непрерывно, то сеть (и(х^)) есть сеть Коши. Из полноты пространства F следует тогда существование такого элемента y^F, что r/ = lim и(х^). Отображение и замкнуто; следова- i тельно, х ее dom и.

очевидно, так как gr wx есть образ множества gr и относительно отображения* (х, y)v-^(y, х) произведения Е X F в произведение Е X F. Но это отображение есть гомеоморфизм.

следует из (4) и (5) и из очевидного замечания, что Im u = dom и~х. |

Замечание. Из утверждения (3) вытекает, в частности, что если пространство F отделимо, то всякое отображение тЕс(Е, F) замкнуто. Существует чрезвычайно важная теорема, известная под названием теоремы о замкнутом графике, в которой для некоторого класса топологических векторных пространств Е и F устанавливается справедливость обратного утверждения. В дальнейшем мы уделим этому вопросу большое внимание (§ 6.4—6.7 и 8.9).

Прежде чем заняться примерами, приведем еще одно предложение, которое часто позволяет избегать повторения доказательств и получать без особого труда из одних примеров другие.'

Предложение. Пусть (E,s) и (F,t)—топологические векторные пространства и и — линейное отображение с областью определения D а Е и областью значений в F. Предположим, что (Ео, sq) и (Fq, tQ) — такие топологические векторные

пространства, что Еос;Е, so’>s\Eo, FqccF и t0>t\F0. Пусть, наконец, uq есть сужение отображения и на пересечение EqV\D^\u-x^F^, рассматриваемое как отображение из Ео в Fo. Тогда справедливы следующие утверждения:

если отображение и предзамкнуто, то таким же будет отображение и0;

если и — замкнутое отображение и иф)с.Р0 (т. е. область определения отображения и^ совпадает с пересечением Eor\D), то отображение и^ замкнуто.

Доказательство. Пусть (X, 2) — топологическое пространство и Л— множество в X. Временно условимся обозначать через с1^Л замыкание множества Л в топологии 2.

Пусть G0=gru0 и G —grtz, так что

Gq a G П (£0 X Fо).

Тогда имеем

сЬ0 х toGo cz cl(s х о IEoX foGo = (ЕоХЕо) П cls x tGo cz

a(E0 X FoWUxtG.

По предположению множество chXf G есть график; следовательно, множество clsoxfoGo также является графиком, т. е. отображение и^ предзамкнуто.

В этом случае справедливы равенства Go = (EqXFq) П G и clsX?G = G. Из включения, полученного при доказательстве утверждения (1), следует, что

cL0 х ttiGo cz (Ео X Fq) П G = Go,

т. e. отображение uQ имеет замкнутый график. ■

Обратимся к рассмотрению некоторых примеров. Прежде всего ситуация, описанная в предложении 1.9.12(2) (соответственно (3)), часто возникает в анализе, и в каждом таком случае мы имеем пример предзамкнутого (соответственно замкнутого) линейного отображения. В гл. 6 в связи с теоремой о замкнутом графике будет описано несколько различных примеров замкнутых линейных отображений (см. также упр. 8.10). В большинстве примеров линейные отображения либо заведомо непрерывны, либо оказываются таковыми на основании теоремы о замкнутом графике. В анализе довольно часто встречаются линейные отображения, предзамкнутые или замкнутые, но не непрерывные. В связи с этим полезно рассмотреть ряд примеров. Особенно важным их источником служат различного вида линейные дифференциальные операторы. Ими мы и ограничимся.

Мы начнем с рассмотрения обыкновенных линейных дифференциальных операторов (содержащих производные только по одной независимой переменной), которые, очевидно, проще

дифференциальных операторов от многих независимых переменных.

Пример. Пусть Q — открытый интервал вещественной оси. В примере (4) п. 1.8.4 было определено векторное пространство C(Q), образованное всеми непрерывными функциями на Q, и была описана топология компактной (или локально равномерной)zсходимости на Q. Возьмем в качестве F то же векторное пространство C(Q), наделенное более слабой топологией, а именно топологией сходимости в среднем на каждом компактном отрезке в Q. Эту топологию можно определить как слабейшую, при которой непрерывна каждая из полунорм вида

ь

а

где \а,Ь\— произвольный компактный отрезок в Q. Множества вида

■ь'

■ ?еС(й): J I g(x) \dx<e

где е > 0, образуют базу окрестностей нуля в этой топологии.

Пусть пг— некоторое натуральное число. Возьмем в качестве Е пространство С^Цй), образованное всеми функциями f, пг—1 раз непрерывно дифференцируемыми на й (под нулевой производной функции f понимают саму функцию f, т. e. С°(Й) = = C(Q)). Наделим пространство С^Цй) его «естественной» топологией — слабейшей топологией, при которой непрерывна каждая полунорма вида

sup {| f(p) (х) |: х е К» 0 < р < пг — 1}, •

где f<p) — p-я производная функции Д а К—компактное подмножество в Й.

Отмстим, что Е и F— метризуемые топологические векторные пространства. Кроме того, оба они локально выпуклы (§ 1.10), но ни одно из них нс нормируемо. Впрочем эти факты нам нс понадобятся.

Пусть теперь а^ ах, ..., ат — непрерывные функции на й, причем ат нигде на й нс обращается в нуль. Наше линейное отображение и получаем специальным выбором области определения формального линейного дифференциального оператора

Именно будем считать, что D— область определения оператора и — состоит из тех и только из тех функций f^E, для которых существует производная f№ на й и для которых

2 арГр^Е.

O^p^m

Для функций f е D положим

ит= 2 арр\0^ р < m

Наша цель — доказать замкнутость отображения и из Е в F.

Для этого нужно показать следующее: если последовательность (fn) из D такова, что в Е существует предел lim fn = f, а в F — предел lim u(fn)=g, то f е D и u^=g.

Возьмем произвольную, но фиксированную точку де Й и введем на C(Q) интегральный оператор /, полагая

№ = f f(x')dx'.

Хо

Оператор / является эндоморфизмом пространства C(Q), поэтому можно образовывать его последовательные степени. Так как функция ат непрерывна и нигде на Q не обращается в нуль, то для всякой функции f ^ D производная f<m) непрерывна на й и

f(x) = f(x0) + (x-x0)f'(x0) + .(

••• Нх-Хо)т-14^^ + Г/(т^ (1.9.1) Так как

причем «(/„)-»§. в F и fn^f в Е, то 5 aPf(P4

пL р < т J

в смысле топологии в F. Но тогда

пI L р < т J J

(Л-(Л-в смысле поточечной (и даже локально равномерной) сходимости на Q. Заменяя в формуле (1.9.1) функцию f на fn и переходя к пределу при п—^оо, получаем

(Л-

(Л-

Р < тI L р < т ,

Так как выражение в квадратных скобках есть непрерывная функция на Q, то из полученной формулы следует существование производной ^ на Q. Кроме того,

т. е. f^D и u(f)=g, что и требовалось доказать. |

Стоит сделать несколько замечаний о другом подходе к рассмотренной задаче, особенно в связи с приводимым ниже примером 1.9.17. Если на коэффициенты а0) ..., ат налагать дополнительные ограничения, то более тонкое исследование дифференциального оператора и позволяет получить более сильные результаты. Допустим, что интервал Q=(a, b) ограничен, и рассмотрим задачу, которая получается, если потребовать выполнения некоторых однородных граничных условий. Здесь нам не понадобится точная формулировка этих условий, поэтому обозначим их через В, пока не расшифровывая их. Не нарушая общности, можно считать, что уравнение u(f)=O с граничными условиями В не имеет других решений, кроме нулевого, т. е. нуль не является собственным значением этой однородной задачи (этого можно добиться заменой и(]) на u(f)+cf, где с — соответствующим образом подобранная постоянная). Условия гладкости, налагаемые на коэффициенты а^ ..., ат, обеспечивают получение решений, непрерывно продолжаемых на замыкание [я, 6] множества Q.

Нам понадобится функция Грина рассматриваемой задачи G(x, у). Эта функция обладает тем свойством, что для всех у е Q функция xv-^G^x, у) удовлетворяет условиям В и уравнению u(f)=O на каждом из интервалов ^а, у) и (у, Ь). При х = у соответствующие односторонние производные от G(x, у) имеют особенности такого рода, что для заданной непрерывной на [я, 6] функции g решение f уравнения u^)=g с граничными условиями В дается формулой

Щ) = jG(x, уШуШ (1.9.2)

При этом интеграл представляет собой функцию, непрерывно продолжаемую на Yai 6] вместе с первыми т производными. (Подробности см., например, в книге Коддингтон и Левинсон [1, гл. 7] ^J

Возьмем теперь в качестве Е и F пространство С ([а, 6]) с равномерной нормой. Обозначим через D множество тех

*) См. также В. В. Степанов, Курс дифференциальных уравнений, гл. V, М., 1950. — Прим, перев.

удовлетворяющих условиям В функций j^E, первые m производных которых непрерывно продолжаемы на [я, 6]. Легко показать, что отображение и, рассматриваемое как отображение с областью определения D, замкнуто из Е в F. Действительно, пусть f„ е D, fn-^f в Е и и^п) ^gn-*g в F. Если в формуле (1.9.2) функции f и g заменить соответственно на fn и gn и перейти к пределу при п—>оо, то получится снова формула (1.9.2) с новыми f и g. Отсюда следует, что f^D и u(f)=g.

Если нужно рассматривать решения, не удовлетворяющие граничным условиям S, то поступают следующим образом. Предположим, что условия В выражены в виде

L1(f) = O, м/) = о,

где каждое Ls есть линейная форма относительно первых m— 1 (односторонних) производных функции f в точках а и Ь. Найдем решения ех, ...» ет однородного уравнения и^^О, для которых Ls^et)=6st при s,/=1, ..., г. Тогда решение f уравнения u^=g можно записать в виде

(1.9.2*)(1.9.2*)/ to = 2j Ls (f) es И + J G (x, у) g (у) dy.

(1.9.2*)

(1.9.2*)

QQs=l

Q

Q

В этом случае нужно так усилить топологию в Е, чтобы каждая из линейных форм Ls стала непрерывной. Тогда можно воспользоваться предыдущими рассуждениями, чтобы уже с помощью формулы (1.9.2*) (вместо (1.9.2)) показать замкнутость отображения и из Е в F, определенного на множестве D тех функций feE, ^первые m производные которых непрерывно продолжаемы на [tz, Ь\

В книге Стоуна [1, стр. 424—530] в рамках теории гильбертовых пространств (Е2) весьма подробно изучаются линейные обыкновенные дифференциальные операторы первого и второго порядка.

На первый взгляд кажется, что этот метод может быть использован для линейных операторов с частными производными; однако на самом деле здесь возникают некоторые осложнения, которые отчасти объясняются тем, что соответствующие функции Грина, как правило, имеют более сильные особенности (см. пример 1.9.17).

Пример. Переходя к рассмотрению линейных операторов с частными производными, начнем с простейшего случая— с операторов первого порядка вида

п

х = (xb ..., хД,х = (xb ..., хД,^(иДх^А-ЬШ

х = (xb ..., хД,

х = (xb ..., хД,

k-iк

где tzb ..., ctn и b— заданные функции, непрерывные в области й пространства Rn. Естественно в качестве Е и F взять пространство С(й), а за область определения D оператора и принять пространство С!(Й). Покажем сначала, что при таком выборе Е, F и D оператор и, вообще говоря, не замкнут, если п больше 1 (в отличие от случая п=1).

Выберем функцию Нг С1 (й) так, чтобы она всюду в Й удовлетворяла уравнению п

= 0.

Рассмотрим на й функции fr, определенные равенствами

fr = cproH (r= 1, 2, ...),где фг — такие непрерывно дифференцируемые функции однойвещественной переменной, что существует локально равномер-ный предел Пт фг = ф. Каждая из функций fr, очевидно, при-г->оо.

надлежит пространству СЦй). Далее в силу выбора функции Н имеем

U (fr) = 2 «Д^ ° н) ^- + bfr = (ф; °H^ak^- + bfr = b^. 6=1к6=1 к

Отсюда следует, что fr-+f=q>°H в Е и u(fr)—*bf в F при г->оо. Несмотря на это, функция f, вообще говоря, может не быть непрерывно дифференцируемой на й, т. е. может не принадлежать D. Другими словами, оператор и в общем случае не является замкнутым.

Пусть, например, в Й найдется хотя бы одна точка х0, в которой не все частные производные первого порядка от Н равны нулю. Можно считать (вычитая, если надо, постоянную), что Я(хо)=О. Выберем последовательность фг так, чтобы ее предел ф в некоторой окрестности точки £ = 0 удовлетворял равенству ф(£) = |£|. Легко видеть, что функция /? = фоЯ не дифференцируема в точке х0* и потому не может принадлежать классу С1 ни в какой окрестности точки х0. Действительно, обозначим через L производную функции Н в точке х0, существующую в силу предположения НеС^. Если и функция фоЯ дифференцируема в точке х0, то, обозначая ее производную в х0 через L*, имеем

Н (х0 + х) = L (х) + о (| х |) и

Ф (Н (х0 + х)) = L* (х) + о (| х |)

(|х|—>0). Так как для достаточно малых § имеет место равенство ср(£) = |£|, то

|L(x)+o(|x|)|=L*(x) + o(|x|)

(|х|—*0). В силу линейности форм L и L* на Rn получаем \L(x) \ =L* (х) для всех х, т. е. L = 0, а это противоречит предположению, что в точке х0 не все первые частные производные функции Н равны нулю.

Все же при сделанных предположениях оператор и является предзамкнутым. Действительно, пусть последовательность fr^D (г=1, 2, ...) такова, что fr~^0 в Е и Иш и^г) = lim gr = g в F. Нужно показать, что g* = 0.

С этой целью возьмем произвольную, но фиксированную точку х0 е Q. Рассмотрим непрерывную кривую, задаваемую уравнением

х =0 ^/<е,

и удовлетворяющую условиям

при 0</<е и k= 1, 2, ..., п. Тогда при 0</<е имеем п

мк

откуда следует, что

L & (0) - f, Uo) = J [5r G W) - Hi W) fr & (Г))] аго

для 0 < / < е. Переходя к пределу при г—>оо, получаем

0= J gkUHWо

Так как функция g непрерывна, то g(g(/'))=O при 0 < t' < е. Поэтому, полагая Е-^О, находим g(xo)=O, откуда в силу произвольности точки xoeQ следует, что g = 0.

Пример. Рассмотрим весьма важный пример оператора— трехмерный оператор Лапласа А, действующий на функциях с областью определения Q cz R3. Как видно из примера 1.9.15, существенную роль играют функции Грина. Чтобы не заниматься исследованием поведения этих функций на границе, мы построим изложение так, чтобы функции Грина применялись только для ограниченных подобластей со обла-

сти Q с гладкой границей да^ таких, что wc Й. Будем обозначать функцию Грина для области со через G(x, у) (см., например, Келлог [1, стр. 236]). Рассмотрим прежде всего два результата, относящихся к этой функции Грина.

Пусть feC2(Q). Обычное применение тождества Грина приводит к формуле

tW = J П G(x, y)bf(y)dy+$ / f^^^1 da^, (1.9.3) содю

где xe(d, dy—(лебегова) мера на R3, v— внешняя нормаль к поверхности дсо, а о — поверхностная мера на дсо (ср. Келлог [1, стр. 219]).

Для наших целей надо доказать формулу (1.9.3) и в том случае, когда известно лишь, Что всюду в Й существуют част- d2f\е 04 ЭЧ

ные производные—(^=1, 2, 3) и функция Af=—г + "Гт + дхкUX2

+ -^Ц- непрерывна на Q. Покажем методом аппроксимации, что формула (1.9.3) остается справедливой при этих более слабых предположениях. Для доказательства возьмем функцию f*, совпадающую с функцией f на 8-окрестности множества со (е > О достаточно мало, так что эта окрестность лежит в Q), непрерывную на Rn и равную нулю вне некоторого ограниченного множества. Наш процесс аппроксимации будет процессом регуляризации. Берется такая последовательность (гп) положительных функций в C°°(Rn), что гп(^)=0 при |х|>-^- и / / ^ гп^ dx = 1. Рассмотрим функции

Гп^ = Г*гп M=J J \ f*{y)rn(x-y)dy= J J J r(x-y)rn(y)dy.

Каждая из этих функций принадлежит C°°(Rrt) и f*n^-> f* (х") локально равномерно благодаря непрерывности f*. В частности, fn^^f^ равномерно на со. Кроме того, Af* = Af на некоторой окрестности множества со, и А/ непрерывно на со. Легко проверяется, что

= J J ^МЧх-yVn^ dy,

откуда следует, что Af* (х) -> Af (х) равномерно на со. Далее, формула (1.9.3) останется верной, если заменить / на Гп (п = = 1, 2, ...). Переходя к пределу при п->оо и пользуясь доказанной сходимостью, получаем (1.9.3).

Пусть функция ^еС(й) в каждой точке области й удовлетворяет условию Липшица (или Гёльдера), т. е. каждой точке Хо е й соответствуют такие числа е > 0, а > 0 и М > О, что

I g (х) - g (х0) К М | х - х0 Г

при (х — х0|<е. Рассмотрим функцию

f(x) = j J J G^x, y)g(y)dy.

to

Мы утверждаем, что в каждой точке области о функция f имеет вторые частные производные и что всюду в со справедливо соотношение &f = g. Действительно, так как G(x, #) отличается от гармонической на Q функции на выражение —[4л |х — уЦ"1, то наше утверждение следует из теоремы III, приведенной на

стр. 156 книги К е л л о г а [1].

Теперь мы можем перейти к рассмотрению основной задачи. Возьмем в качестве Е пространство C(Q) в его естественной топологии локально равномерной сходимости на Q. Пусть F — векторное подпространство в C(Q), образованное теми функциями из C(Q), которые удовлетворяют условию Липшица в каждой

точке области Q. Наделим F топологией, индуцированной топологией пространства C(Q). Рассмотрим оператор и = ^, область определения которого есть множество D тех функций / е Е, для

хдЧ

которых существуют —(^=Ь 2, 3), а функция Af непрерывна дхк

и удовлетворяет условию Липшица в каждой точке области Q. Ясно, что и отображает D в F. Покажем, что и — замкнутое отображение из Е в F.

Пусть fn^D (я=1, 2, ...), fn->f в £ и gn = и ^ -> g в F.

В силу (1) для любых пих имеем

M^j J J G(x,y)\fn(y)dy + J J fn^yY90^- do (у), toOto

Переходя к пределу при п-^оо, получаем для хею

fW = j / / G(x> у) ё (у) dy + J J Ку) —5*’-- do (у), todto

Поверхностный интеграл в правой части является гармонической на со функцией от х. Поэтому в силу (2) в каждой точке области о) существуют вторые частные производные от f и Af = g на со; следовательно, функция Af непрерывна на со и удовлетворяет условию Липшица в каждой точке области со. Так как это

верно для любой подобласти указанного вида области Q, то f ^D и u(f) =g, т. е. отображение а замкнуто.

Замечания. Из примеров 1.9.16 и 1.9.17 видно, что в связи с изучением линейных операторов в частных производных возникает целый ряд интересных задач. Какие линейные операторы в частных производных с заданной областью определения замкнуты? Какие предзамкнуты? Можно ли конкретно описать замыкание заданного предзамкнутого линейного оператора в частных производных? До сих пор отправной точкой многих исследований служит заданный формальный линейный оператор в частных производных вида

Р (х, д) = 5 ар (х) др,I р К tn

где р = (рь ..., рп) — набор п неотрицательных целых чисел, I Р I = Р1 + . . . А-Рп,

пд'р'

др =2

дхР' ... дх^1

и ар— заданные функции, определенные на некоторой области Q в R'n. При этом возникают задача выбора области определения оператора ^(х, д), каковой выбор зависит в некоторой степени от поведения коэффициентов ар; задача изучения оператора Р(х, д) как линейного отображения одного функционального пространства Е в другое функциональное пространство F; наконец, задача исследования замыканий в различных смыслах. Большинство современных исследований посвящено случаям, когда Е и F являются лебеговыми пространствами Еч^ (см., например, Гальперин [1], Фу гл ид [1] и приведенную там литературу, в частности Фридрихе [2, 3] и Л. Шварц [1]).

1.10. Локально выпуклые топологические векторные пространства

Под локально выпуклым топологическим векторным пространством (иногда говорят просто локально выпуклое пространство или даже выпуклое пространство) понимается топологическое векторное цространство Е, в котором существует база окрестностей нуля, состоящая из выпуклых множеств.

Причина, по которой важны локально выпуклые пространства, ясно обнаружится в следующей главе. Здесь же мы укажем на то, что в локально выпуклом пространстве существует «достаточно много» открытых выпуклых множеств. Значение этого факта станет понятным, когда пойдет речь о теореме Хана — Банаха, из которой следует существование «достаточного

количества» непрерывных линейных функционалов на Е— достаточного для отделения точек пространства Е и в действительности для представления всех замкнутых выпуклых множеств в Е. Практически это означает, что структуру локально выпуклого пространства можно достаточно полно и хорошо описать в терминах непрерывных линейных форм, чего нельзя сказать о некоторых не локально выпуклых топологических вектор^ ных пространствах (например, о пространстве примера (7) п. 1.8.4 или о пространстве Ер (0</?<1), о котором говорится ниже, в п. 1.10.2).

В п. 1.8.4 уже приведено несколько примеров локально выпуклых пространств. Таковыми являются пространства в примерах (1) — (4). Пространство примера (5) локально выпукло, если таковым является пространство X; пространство примера (6) локально выпукло при р> 1. Однако пространство примера (7) не является локально выпуклым. В самом деле, легко видеть, что в этом пространстве всякое непустое открытое выпуклое множество совпадает со всем пространством (читателю рекомендуется проверить это).

Перечисленные примеры наводят на мысль, что топологию локально выпуклого пространства можно определить с помощью полунорм. Наша первая задача состоит в проверке этого предположения.

Прежде чем приступить к ее решению, отметим (это почти очевидно), что подпространства, факторпространства и произведения локально выпуклых пространств сами являются локально выпуклыми.

Локально выпуклые топологии и полунормы. Из замечания (5) п. 1.8.2 легко следует, что в локально выпуклом пространстве Е всегда существует база окрестностей нуля, состоящая из замкнутых (или открытых) выпуклых уравновешенных множеств. (Например, пусть задана окрестность U. Выберем замкнутую уравновешенную окрестность Ui так, чтобы U\cz U. Из определения локально выпуклого пространства следует существование такой выпуклой окрестности нуля U^ что U2cz U\. Пусть, наконец, Us— такая замкнутая уравновешенная окрестность, что U^cz U^. Тогда замкнутая выпуклая оболочка окрестности Us содержится в U и, конечно, является окрестностью нуля.)

Пусть Е— локально выпуклое пространство и ((/г)—база замкнутых выпуклых уравновешенных окрестностей нуля. Обозначим через р^ функционал Минковского окрестности и^ (§ 1.6). Так как множество U^ замкнуто, а значит, и замкнуто по лучам, то из следствия 1.6.6 вытекает, что Ui совпадает с множеством ^х ^ Е; piW •< 1} и что, кроме того, р; является полунормой на

Е. Очевидно, что каждая полунорма рг непрерывна в заданной на Е топологии. Из определения полунорм рг видно, что топология пространства Е — это топология, в которой база окрестностей нуля образована множествами вида

U (F, е) = {х е Е: pt (х) < е для i е И,

где е>0, a F — произвольное конечное множество индексов I.

Обратно, если Е — векторное пространство и (рг)—некоторое семейство полунорм на Е, то, как легко видеть, множества U(FS^ образуют базу окрестностей нуля некоторой линейной топологии в Е, в которой Е локально выпукло. Семейство полунорм (Рг) называется определяющим семейством полунорм соответствующей топологии (или локально выпуклого пространства) .

Стоит отметить, что различные определяющие семейства могут определять одну и ту же топологию.

Если возникает необходимость иметь дело с открытыми окрестностями нуля, то каждое из неравенств Рг(х)-Сг заменяют строгим неравенством рг(х)<&.

Топология, определенная семейством полунорм (pt), отделима тогда и только тогда, когда для каждого х¥=0 (х^Е) имеет место неравенство

sup р1(х)>0.i

Пусть топология локально выпуклого пространства Е определена семейством полунорм (рг) и L — векторное подпространство в Е. Тогда топология подпространства L определяется полунормами рг|А. Если семейство полунорм (рг) вместе с каждым конечным подсемейством содержит полунорму, мажорирующую это подсемейство, то система полунорм

Pi ^Хс) inf ^Рг (х). X ^ Хс)

определяет топологию факторпространства EJL.

Сильнейшая локально выпуклая топология *) заданного векторного пространства. Среди всех локально выпуклых топологий на заданном векторном пространстве Е существует сильнейшая. Эта топология (обозначим ее через too) обладает базой окрестностей нуля, состоящей из всех выпуклых уравновешенных поглощающих подмножеств W в Е. Хотя топология too редко встречается при решении задач, возникающих в анализе (за исключением случая, когда Е конечномерно), все же

9 Под локально выпуклой топологией понимается линейная топология, в которой векторное пространство локально выпукло. — Прим, персе.

некоторые ее свойства оказываются иногда полезными в общей теории. (См., например, Келли и Намиока [1], в частности задачи 6D, 6J, 14D и 20G.)

Возможно, самое важное из «экстремальных» свойств топологии too заключается в том, что любая полунорма и любая линейная форма на £/оо-непрерывны. Так, если р— полунорма на £, то множество {хе£: р^<\\ выпукло, уравновешено и погло-. щающе и, следовательно, является /oo-окрестностью нуля, т. е. полунорма р непрерывна в топологии too.

Таким образом, определяющим семейством топологии too служит семейство всех полунорм на Е. Полезно и поучительно, однако, выявить наименьшее определяющее семейство. Примеры таких семейств можно построить в терминах алгебраического базиса в Е, так же как и в случае конечномерного пространства.

Пусть (ejx eL — какой-нибудь алгебраический базис в Е. Каждой строго положительной функции w на L поставим в соответствие полунорму Nw на Е, определенную формулой

X е L

где через х обозначена такая скалярная функция на £ с конечным носителем, что х = 2 ^(£)^х- Покажем, что семейство

X е L

полунорм Nw является определяющим для топологии too.

Ввиду сказанного выше достаточно установить, что для каждого выпуклого уравновешенного поглощающего множества W существует такая строго положительная функция w, что W содержит множество

U^lxeE: Nw(xWV

Для построения функции w заметим, что из того факта, что мно'- жество W является поглощающим, следует существование для каждого ле/, такого положительного числа яу(Х), что ay(X)exeIF. Пусть x^Uw для определенной таким образом функции w. Так как при каждом Хе£ имеет место включение w^ex^ ^, а множество W выпукло и уравновешено, то из соотношения

х = 2 •£ W ек = 2 W ф G4 вк

следует, что хеW, что и требовалось доказать.

С помощью полунорм Nw покажем теперь, что пространство (£, До) полно. Пусть (хг)—сеть Коши в £ (в равномерной структуре, определенной топологией До). Так как линейная форма Xi—>х(Х) является До-непрерывной при каждом Хе£, то существует конечный предел | (X) = lim х^ (Л) при любом X е Д.

Остается показать, что определенная таким образом функция g на L имеет конечный носитель и что х= 2 ^W^ = lim хь

X е £I

в топологии too. Будем исходить из характеризации фундаментальности сети (хг) через полунормы NUb т. е. из того факта, что для каждой функции w существует такой индекс io = io(w)t что для всех индексов i, j^io имеет место неравенство

Nw ^1j) ^ 1 >

ИЛИ

2 w (А)'11 ^ (A) — (А) | ^ 1, it j ^ iQ.

let

Это неравенство останется справедливым, если заменить L любым его конечным подмножеством F. Делая такую замену, переходя к пределу при /->оо и снова расширяя F, получаем следующее неравенство:

2 t^r'ix^-mKi, t>i0. (i.io.i)

X е£

Отсюда вытекает, что

MM(A)Kw(A), ^L.

Пусть F — конечный носитель функции До. Тогда имеет место

неравенствонеравенство|g(A) |< w^, X^L\F.|g(A) |< w^, X^L\F.(1.10.2)(1.10.2)

неравенство

неравенство

|g(A) |< w^, X^L\F.

|g(A) |< w^, X^L\F.

(1.10.2)

(1.10.2)

Так как это справедливо для каждой функции w и соответствующего конечного множества F, то функция § обладает конечным носителем. Действительно, в противном случае существовали бы такие различные индексы Ап (н= 1, 2,...), что £(Ап)¥=0. Определим функцию оу (А), положив ее равной 2"1|^(АПХ| при А = А„, п = 1,2,..., и 1 при всех остальных А. Тогда неравенство (1.10.2) не выполняется ни для какого конечного подмножества F в L. Таким образом, § обладает конечным носителем, и x = S£(A)ix есть элемент из Е, для которого х=^. Следовательно, неравенство (1.10.1) равносильно неравенству

N^Xt-xX 1, i^k-

Так как это верно для любого w, то x = /oo-lim хг-, и полнота Е доказана.

Замечание. Топологию too не следует смешивать ни с сильнейшей линейной топологией в £, ни с так называемой конечной топологией в Е. В последней топологии открытыми считаются те и только те множества U, для которых пересечение Uf\F относительно- открыто в F (в единственной отделимой

линейной топологии в F) для каждого конечномерного векторного подпространства F в Е. Подробнее об этих топологиях см. у Какутани и Кли [1].

Полунормированные и нормированные пространства. Рассмотрим случай, когда семейство (pt) состоит из одного элемента р. Пару (Е,р) будем называть полунормированным векторным, пространством или нормированным векторным пространством, если р— норма (т. е. р^х)>0 при %¥=0). В обоих случаях одноэлементное семейство (р) определяет в Е локально выпуклую топологию. Говорят, что полученное таким образом локально выпуклое пространство полунормируемо (или нормируемо). Оно отделимо тогда и только тогда, когда р— норма.

Подпространства и факторпространства полунормируемых пространств полунормируемы. Подпространства и факторпространства по замкнутым подпространствам нормируемых пространств нормируемы.

Исторически самыми ранними примерами функциональных пространств были нормируемые пространства.

За примерами обратимся к п. 1.8.4. Пространства В (Т) и CbdXT) нормируемы. Пространство $р при р > 1 полунормируемо.

Отделимое пространство, ассоциированное с полунормированным, нормируемо. В частности, при р^ 1 нормируемо пространство, асссоциированное с «З7^— так называемое лебегово пространство, обычно обозначаемое через Lp (гл. 4). Если 0<р<1, то пространство 3?р уже не локально выпукло (п. 4.16.3).

Приведем еще несколько примеров нормированных пространств.

Примеры: пространства Z^(T), с(Т) и с^Т\ Пусть Т — произвольное множество и р^1. Обозначим через /^(Г) векторное подпространство в Кт, образованное теми функциями х, для которых

2 |х(01₽<+оо.

t е т

Пространство 1р(Т) наделяется нормой (§ 4.2)

ihip=j s I х (о 1РГ/Д.

ЦеТJ

Иногда обозначают символом 1°°(Т) пространство, которое мы до сих пор обозначали через В (Г) (пример (3) п. 1.8.4). Соответствующая норма записывается следующим образом:

II IL = SUP {I (0 |: t^TY

Случай, когда множество Т конечно, не представляет особого интереса. Если множество Т содержит, скажем, п элементов, то

все локально выпуклые пространства /^(7) изоморфны пространству Кп (хотя, естественно, соответствующие нормы различны).

Если Т — счетное множество, то его можно отождествить с множеством N натуральных чисел, а /^(7)—с известным пространством последовательностей, суммируемых в p-и. степени /р = /р(М).

Пространство 7^(7) можно определить для любого р > О, однако при 0 < р < 1 оно уже не будет локально выпуклым (§ 4.2).

Отметим два важных подпространства в /°°(7). Первое из них — это подпространство с(Т), состоящее из тех хе/°°(7), которые имеют конечный предел на бесконечности, т. е. для которых существует такое число £ («предел х(/) при / стремящемся к бесконечности»), что для любого е>0 множество {/е 7: \x(f)— — £| > е} конечно. Другое подпространство, Со(7) состоит из тех х^с(Т), для которых предел на бесконечности (в указанном выше смысле) равен нулю. Там, где это явно не оговаривается, мы будем считать, что эти два подпространства наделены нормой, индуцированной нормой из /°°(7). Каждое из этих подпространств замкнуто в /°°(7) (см. упр. 1.4) и, значит, является банаховым пространством (п. 1.10.5). ■

В упр. 1.1 —1.4 устанавливаются некоторые основные свойства пространств /р(7), с(7) и с0(7).

Примеры: пространства Харди Нр и пространства HLp. Пусть D — открытый единичный круг в комплексной плоскости, и пусть 0 < р < оо. Обозначим через Нр множество голоморфных в области D функций /, для которых число

NP(b = sup0<r <NP(b = sup0<r <■ л4? j\f(re^\pde■ л4? j\f(re^\pdeмрмр

NP(b = sup

0<r <

NP(b = sup

0<r <

■ л

4? j\f(re^\pde

■ л

4? j\f(re^\pde

мр

мр

конечно. При р — оо требуем конечности числа

^ю(/) = sup |/(2:)Ь

|2 | < 1

Если р^ 1, то Np является нормой на Нр. Это уже не имеет места, когда 0 <р < 1. Однако из неравенства

J|u + v|p<J|m|p+J|u|p

[см. Харди, Литтлвуд и Полна [1, (6. 13—6)]; ср. с не

равенством (4.2.4)] следует, что Np(f — g) есть метрика на Нр. Это же неравенство показывает, что Нр при 0<р<1 есть

векторное пространство. При р ^ 1 это вытекает из неравенства Минковского (п. 4.11.2):

Mf + g)^NptfHNp(gY

Таким образом, Нр является нормированным векторным пространством при р> 1 и метризуемым топологическим векторным пространством при 0 <р < 1.

Ливингстон [1] показал, что при 0<р<1 пространство Нр не является локально выпуклым. Для дальнейшего изучения пространства Нр как топологических векторных пространств можно рекомендовать работы Тэйлора [3] и Уолтерса [1, 2]. Многие глубокие свойства пространств Нр связаны с теорией рядов Фурье (см. Зигмунд [1, 7.56] и [2, т. 1, стр. 431—452], а также Гофман [1]).

Аналогичные пространства Нрф) могут быть определены и для более общих областей D. Однако при этом все усложняется, так как окружности |г| = г приходится заменять линиями уровня функции Грина для области D.

Другим пространством, связанным с областью D и имеющим отношение к рассматриваемому кругу вопросов, является пространство НЕрф^ образованное голоморфными на D функциями, для которых конечно число

ftpftp(/) = [/ / lf(z)lpdxdyy_ в_(/) = [/ / lf(z)lpdxdyy_ в_1

ftp

ftp

(/) = [/ / lf(z)lpdxdyy_ в_

(/) = [/ / lf(z)lpdxdyy_ в_

Под интегралом в правой части понимается верхняя грань множества всевозможных интегралов J J | f |р dx dy, когда К

к

пробегает базу компактных подмножеств в D (ср. гл. 4). Множество НЕрф^ по-прежнему является векторным пространством; пр есть норма на НЕрф) при р>\, и nPp(f — g) есть метрика при 0 < р < 1.

Пусть D — открытый единичный круг с центром в начале

координат; тогда из равенства

1 2л

J J I / (2) Г dx dy = J г dr J | f (reiQ) |p dB

D00

вытекает

np^h^Np^

откуда следует, что Нр с: НЕр.

Доказательство полноты пространств Нр и НЕр опирается на некоторые неравенства. Пусть zoeZ), и пусть число г > 0 на-

столько мало, что замкнутый круг А(г0, г) с центром в точке г0 и радиусом г лежит в D. В силу формулы Коши

2Л

О

При р>1 в силу неравенства Гёльдера имеем

2Л

IH^I^^/lHzo + rW^.(1.10.3)

о

Это же неравенство справедливо и при р > 0, так как функция |f|p— субгармоническая на D. Если обе части неравенства (1.10.3) умножить на rdr и затем проинтегрировать по г на отрезке [0,/?], то получим

R 2л

4W(z0)lP<-^- f rdr [ |Цг0 + ^)|^е =о о

= i J I 1ЛР^^<(2Л)-1[«рЖ.

A (z0, R>

Следовательно, имеет место неравенство

IH^K^2)"1^).

Можно считать, что R <d^D*y где d^D*^ — расстояние от точки г0 до границы D* области D. Тогда для произвольной точки z^D получаем

|f(z) |<М2 (г, №мр npm<ld4z, D*^i,pNp^. (1-10.4)

С помощью неравенств (1.10.4) легко показать, что пространства № и HL^ полны. В п. 1.12.1 (8) это подробно сделано для случая р = 2. В упр. 1.5 читателю предлагается убедиться в типичности этого случая.

Другим следствием формулы (1.10.4) является существование нетривиальных непрерывных линейных форм на пространствах Нр и HLp даже при 0<р<1. Это контрастирует с положением в случае общего пространства Lp при 0 < р < 1 (п. 4.16.3).

Банаховы пространства. Под банаховым пространством мы будем понимать нормируемое топологическое векторное пространство, которое является полным. Для наших целей, вообще говоря, не столь уж важно, какой из возможных эквивалентных норм наделено пространство. Поэтому мы рассматриваем банахово пространство как нормируемое, а не как

нормированное. Однако для удобства рассматриваемые пространства задаются обычно вместе с нормой.

В книге Банаха [1] банаховы пространства названы «пространствами типа (В)». Этот термин встречается и у многих других авторов.

Пространства В (Г), С (Г) (в случае когда Т — компактное пространство) и CbdVH из примеров (2) и (4) п. 1.8.4 являются банаховыми. Таковы же пространства Ер, ассоциированные с пространствами $р (пример (6) п. 1.8.4), и пространства 1?(Т) из п. 1.10.3 при р ^ 1.

Всякое векторное подпространство банахова пространства нормируемо. Всякое замкнутое векторное подпространство банахова пространства банахово.

Произведение конечного семейства ^Ei\^i ^п банаховых пространств само банахово относительно нормы

п

II х || =2 их, о,

где х = (х^<t< е Ц Et (существует, конечно, много дру- 1 < г < п

гих эквивалентных норм, которые можно использовать с тем же успехом).

Факторпространство банахова пространства по его замкнутому векторному подпространству также является банаховым пространством. Докажем это. Пусть L — замкнутое векторное подпространство банахова пространства Е. Как мы уже знаем (п. 1.10.2) E(L— нормированное пространство с нормой

|| хс || = inf {И х Ц: xexj.

Из приводимой ниже леммы следует, что для полноты пространства EjL необходимо и достаточно, чтобы всякий ряд ^хс (п), для которого SII хДп) || < + оо, сходился в Е]Е Итак, пп

пусть 2II хс (п) || < + оо; выберем элементы х(п)^хс(п) так, п

чтобы 2||х(п)|К + оо. В силу полноты пространства Е та же п

лемма (или аналогичное прямое рассуждение) показывает, что ряд 2^) сходится в Е. Обозначим сумму этого ряда через х\ таким образом, |х — 2 х(п)|->0 при r-^оо. Наконец, из соотношений

К- 2 ^MIM(* - 2ХИМ<Ь - 2^(«Ж0

п^гп^гп^г

вытекает сходимость ряда ^хДп) к элементу хс из E]L. Таким п

образом, остается доказать следующую лемму.

Лемма. Пусть (Д,р)— полунормированное пространство. Для полноты пространства F в равномерной структуре, определенной полунормой р, необходимо и достаточно выполнение следующего условия*, если последовательность ^у^ элементов из F такова, что X р {у^ <4-оо, то ряд X уп сходится в F. п

Доказательство. Пусть F— полное пространство. В силу неравенств

(

n=r-Vk Xn=r-Vk

5 Уп < Sп=г+1/п=г+1’

и сходимости ряда 2р(У«) последовательность (sr) частичных п

сумм sr = ^ уп есть последовательность Коши, поэтому (sr) сходится в F.

Обратно, пусть выполнены условия леммы и (sn) — последовательность Коши в F. Выберем по индукции натуральные числа п^<п^+1 так, чтобы элемент Ук = 8пкл.х ~ snk удовлетворял неравенству р^Ук^^М^. Тогда ряд ^р(у^ сходится и, следовательно, ряд X Ук сходится в F, а это означает сходимость в F последовательности (sn^. Но тогда последовательность (sj как последовательность Коши сходится в F. |

Топологическое сопряженное к полунормированному пространству. Если (Е, р) — полунормированное пространство, наделенное топологией, определяемой полунормой р, то его топологическое сопряженное Е' состоит из тех и только тех линейных форм х*вЕ\ которые ограничены относительно р, т. е. для которых конечно число

р* (х*) = sup {I (х, х*) |: х Е, р (х) < 1}.

Легко проверяется, что р* есть норма на Е'. Мы будем называть ее естественной нормой на Е'. Эта норма не определяется однозначно топологией пространства Е. Однако если две различные полунормы р и q определяют в Е одну и ту же топологию (т. е. р и q эквивалентны), то р* и q* эквивалентны, т. е. существует такое число ^>0, что

ср* <q* < с'хр*.

Таким образом, нормы р* и q* определяют в Е' одну и ту же топологию. Эта топология нормируема и называется канонически ассоциированной с полунормированным пространством Е.

Важно отметить, что пространство Е' полно в структуре, определяемой нормой р*, и, следовательно, является банаховым пространством.

Действительно, пусть (xQ — последовательность Коши в ^Е\ р*). При любом х^Е числовая последовательность ((х, х')) будет, очевидно, последовательностью Коши. Следовательно, последовательность (х') сходится к некоторому х*еЕ* в слабой топологии о (£**,£) (п. 1.11.1). С другой стороны, для любого заданного е>0 найдется такое число м0 = м0(е), что при ш, п^п0 имеет место неравенство р* (х'т —• х')^ е. Таким образом, если В = {х^Е: р(х)<3}— единичный шар в Е, то при т,п>п0 и х^В имеет место неравенство

|<х, х^)-<х, х')|<е.

Пусть х и п>-п0 фиксированы. Переходя в этом неравенстве к пределу при т —>оо, получаем, что при всех х^В и всех п По

I (х, - (х, х'^ | < е. (1.10.5)

Так как sup р* (xQ = к < + оо, то из (1.10.5) следует, что при п

любом х^В имеет место неравенство [ (х, х*) | ^ & + е, т. е. р* (х*) < + оо, и потому х* ^ Е'. Обозначим х* через х'. Неравенство (1.10.5) показывает, что |(х, х' — ^)|^£ при n^nQ и хеВ, или, что то же, р*(х' —х')<е при п^п0. Таким образом, x' = limx', что и доказывает полноту пространства (Е', р*).

Замечание. Полученный результат есть частный случай приводимого ниже предложения 1.10.9.

Колмогоровский критерий нормируемости. Критерий Колмогорова (см. Колмогоров [1]) состоит в следующем: отделимое топологическое векторное пространство Е нормируемо тогда и только тогда, когда в Е существует хотя бы одно ограниченное открытое выпуклое множество.

Необходимость этого условия очевидна. Докажем его достаточность. Пусть условие выполнено. Можно считать (совершая в случае необходимости сдвиг), что в Е существует ограниченная открытая выпуклая окрестность нуля. Замыкание II/ этого множества является ограниченной выпуклой замкнутой окрестностью нуля. Существует уравновешенная окрестность нуля V, содержащаяся в W. Пусть U — замкнутая выпуклая оболочка множества V. Множество U замкнуто, выпукло, урав-

повешено и содержится в W, следовательно, оно ограничено. Таким образом, множество U есть ограниченная замкнутая выпуклая уравновешенная окрестность нуля в Е.

Пусть р— функционал Минковского множества U (теорема 1.6.4). В силу следствия 1.6.6 U={x^E; р(х)^1} и р— полунорма на Е. Убедимся, что р определяет заданную в Е топологию. Для этого достаточно показать, что множества вида XU, где X > 0, образуют в Е базу окрестностей нуля. Для этого в свою очередь достаточно проверить, что каждая окрестность нуля U' в Е содержит некоторое XU. Так как U— ограниченное множество, то для некоторого а > 0 имеем U cz a U', откуда следует, что a^UczU'. Тем самым нормируемость пространства Е доказана *). J

Обозначим через {0} множество всех х^Е, удовлетворяющих условию р(х) = 0, т. е. множество HU^: X > 0}. Оно совпадает с множеством f] {XU'; X > 0} для всякой ограниченной окрестности нуля U' в Е.

Отсюда следует, что критерий Колмогорова может быть дополнен следующим образом.

► Топологическое векторное пространство Е нормируемо тогда иг только тогда, когда в нем существует по крайней мере одна такая ограниченная выпуклая окрестность нуля U, что справедливо отношение

П {XU; Х>0} = {0}.

Уильямсоном [1], [2] были недавно получены другие критерии нормируемости.

Пространства непрерывных линейных отображений. Вернемся снова к вопросу о различных способах топологиза- ции векторных подпространств пространства L(E,F), где F — заданное топологическое векторное пространство. В наиболее интересных случаях Е также является топологическим векторным пространством, однако для общей теории это предположение несущественно.

Для данных множества Л в £ и окрестности нуля V в F положим

W(A,VWu^L(E,Fy. u(A)^V}.

Пусть выделена система <5 подмножеств А из Е, обладающая тем свойством, что объединение любых двух множеств из S содержится в некотором третьем множестве из S, и пусть Н,— векторное подпространство пространства L(E,F).

’) Так как Е по предположению отделимо, то р является нормой. В следующем абзаце Е уже не предполагается отделимым. — Прим, ред,

Мы превратим Н в топологическое векторное пространство с базой окрестностей нуля, состоящей из множеств вида H(W(A, V), где А пробегает б, а V—базу окрестностей нуля в F. Полученную таким образом топологию в Н будем называть топологией равномерной сходимости на множествах из системы ©, или коротко ©топологией^ и обозначать через Г®.

Для того чтобы эта топология была линейной топологией в Н, необходимо, чтобы каждое из множеств H(W (A,V) было поглощающим в Н. Это возможно тогда и только тогда, когда множество и(А) ограничено в F для каждого Леб. Следовательно, если система б задана, то наибольшее возможное Н— это векторное подпространство E&(E,F) в E(E,F), состоящее из тех и только тех линейных отображений и^Е(Е,Е), которые переводят каждое множество из б в ограниченное множество в F. Далее Т^ будет обозначать 6-топологию в L^E, F).

Топология Т^ отделима, если F отделимо и множество U {^Л: Л>0, Леб} порождает Е. Очевидно также, что если б а 6', то (£, F) =) L^ (Е, Е) и топология Т^ I L^ (Е, F) слабее топологии Т^. Пространство L^{E, F) ц топология Г® не изменяется, если каждое множество Л из б заменить его уравновешенной оболочкой. Если пространство F локально рыпукло, то и при переходе к выпуклым оболочкам множеств Л из 6 пространство L&(E, F) и топология Т^ не изменяются.

Особенно важным является тот случай, когда Е (так же как и Е)—топологическое векторное пространство, а 6 — система всех ограниченных подмножеств в Е. Тогда мы будем вместо Е^{Е, F) писать Еь^Е, F) и топологию Т^ называть сильной топологией. Линейные отображения, принадлежащие Lb(E,F), называются ограниченными (ср. с п. 1.9.1).. Пространство Lb(E,F) всегда содержит Ec{EfF) (пространство всех непрерывных линейных отображений Е в F).

Существенную роль играет другой крайний случай, когда б состоит из всех конечных подмножеств в Е (в частности, содержит все одноточечные подмножества в Е). Тогда L<5 (Е, F) = = L(E,F) и Т^ есть просто топология поточечной (или простой) сходимости.

Читателю будет полезно запомнить, что множество 5е в L&(E,F) ограничено (в топологии Т^) тогда и только тогда, когда для каждого множества Леб множество и{и(Л): и^ ^^} ограничено в F. (В связи с этим см. также теорему 7.3.1 (3).)

Если пространство F локально выпукло, то и топология Т^ локально выпукла.

Предложение. Пусть множество (J{^; ^ > 0, Л е ®} порождает Е, a F — полное пространство. Тогда пространство L^ (E,F) полно (в равномерной структуре, определяемой топологией Т^).

Доказательство. Пусть (иТ)—сеть Коши в L^(E, F) (в гопологии Т^). В силу предположений относительно системы ® для каждого элемента х^Е сеть Цц^х^ есть сеть Коши в F. Полнота F влечет существование при каждом х^Е предела и(х) = Ишмг-(х) в F. Определяемое таким образом отображе- t

ние и, очевидно, принадлежит L^E, F).

Так как (и^ есть сеть Коши, то для заданных множества Л е 3 и окрестности нуля V в F существует такой индекс f0, что

и5 (х) —- ut (х) ^ V

при х^А и i, j^io. Окрестность V можно считать замкнутой. Следовательно,

и (х) — ut (х) е V при х е Л и Z > Zo.

Отсюда, в частности, следует, что и (Л) cz Ui0 (Л) + V. Так как множество Ui^A) ограничено, то и множество и (А) ограничено. Значит, отображение и принадлежит L^ (Е, F\ Более того, из предыдущего вытекает, что и — и^ W (А, У) при Z^Z0, т. е. T^-lim Ut = и. Полнота пространства L^{E, F) доказана. |

Случай полунормированного пространства. В заключение § 1.10 делаем несколько замечаний относительно того частного случая, в котором оба пространства Е и F топологизи- рованы полунормами р и q соответственно.

В этом случае пространства Lb(E,F) и LC(E,F) совпадают. Каждое из них состоит в точности из тех отображений и е еЦЕ, F), для которых конечно число

п^ = sup {q(u (х)): х е Е\ р(хХ1}.

Функция п является полунормой на LC{E, F). Если q— норма, то и п— норма. Заметим также, что если р и q заменить эквивалентными полунормами р' и q' соответственно, то полунорма п заменится эквивалентной полунормой п'. Можно поэтому сказать, что если пространства Е и F нормируемы, то таково же и пространство Lc(Et Fy

Важно отметить, что если пространство F полно, то полным будет и пространство LC(E, F). Это утверждение является частным случаем предложения 1.10.9.

Отсюда следует, что пространство LC(E, F) банахово, если Е— полунормируемое, a F— банахово пространство.

Сходимость в LC^E, F) относительно рассмотренной выше топологии называется часто «сходимостью в равномерной операторной топологии». Ее не следует смешивать с равномерной сходимостью на Е, это равномерная сходимость на каждом ограниченном множестве в Е.

Слабые топологии в сопряженных пространствах

Подробное изучение этой темы будет проведено в гл. 7, но нам удобно уже сейчас познакомить читателя с некоторыми определениями и свойствами. Наши замечания уточняют и расширяют результаты п. 1.10.8, относящиеся к случаю F = К.

Топологии g(E*, L). Пусть Е— векторное пространство без топологии, L — векторное подпространство в Е, Е* — алгебраическое сопряженное пространства Е. Среди топологий в Е*, относительно которых каждая из функций х* (х, х*^ непрерывна при произвольном фиксированном х г L, существует слабейшая. Эта топология обозначается через о(Е*, L^ и называется слабой топологией в Е*, порожденной подпространством L. Топология о(Е*, L) согласуется со структурой векторного пространства Е* и превращает Е* в локально выпуклое пространство. Базу окрестностей нуля в Е* образуют множества вида

U* (F, е) = {Г е Е*: | (х, /)Ке для х ее F\

где е>0, a F — конечное подмножество в L. Семейство полунорм

p*F (х*) = sup {| (х, х*) [: х е F},

где F пробегает все конечные множества в L, является определяющим для топологии б^Е*, L).

В случае, когда L = Е, говорят просто о слабой топологии в Е*.

Топология о(Е*, Е) всегда отделима. Заметим, что Е* = = L^E, К?^ а топология о^Е*, Е) —не что иное, как Т^-тополо- гия, где система S состоит из всех конечных подмножеств в Е (п. 1.10.8).

Слабые топологии б^Е, М). Пусть снова Е— векторное пространство, Е* — его алгебраическое сопряженное. Пусть М — векторное подпространство в Е*. Метод предыдущего пункта приводит к топологии б(,Е**, М). Пользуясь вложением Е в £** (п. 1.4.7), получаем индуцированную топологию б^Е, М), которая называется слабой топологией в Ег порожденной под-

пространством М. Ее определяющее семейство полунорм образовано функциями

р0 (х) = sup {| (х, х*) |: х* е G},

где G пробегает все конечные подмножества в М.

Естественно, что топология о(Е, М) может быть определена и без привлечения пространства Е** и вложения Е в Е**. Она является слабейшей топологией в Е, при которой непрерывна каждая линейная форма х н-> (х, х*), где х*— произвольный фиксированный элемент из М.

Топология о(Е, М), вообще говоря, не отделима. Топология о(Е, Е*), однако, всегда отделима.

Ослабленная топология топологического векторного пространства. Пусть Е— топологическое векторное пространство и Е'— его топологическое сопряженное (п. 1.9.4). Пространство Е' является подпространством пространства Е*, поэтому можно рассмотреть в Е соответствующую топологию о(Е, Е'). Она называется ослабленной топологией в Е. Это название оправдано тем, что топология о(Е, Е^ всегда слабее исходной топологии в Е.

-В исключительных случаях о^Е, Е') может быть и нулевой топологией. Это имеет место, если Е' = {0} (например, если Е = 2^ 0<р< 1, или если Е—топологическое векторное пространство, определенное в 1.8.4 (7)). Из теоремы Хана — Банаха следует, что если Е— отделимое локально выпуклое пространство, то топология о(Е, Е^ отделима (см. следствие 2.2.6).

Замечание. «Двойственной» к топологии о(Е, Е') является топология о^Е', Е), индуцированная в Е'сЕ* топологией о(Е*, Е). Топология о^Е\ Е) всегда отделима.

В заключение сформулируем и докажем один полезный результат, касающийся слабых топологий.

Теорема. (1) Пусть Е— векторное пространство. Множество SczE* относительно компактно в топологии <т(Е*,Е) тогда и только тогда, когда оно слабо ограничено'), т. е. когда

sup {| (х, х*^ |: f Е S} < + оо

для каждого х^Е.

Пусть Е — топологическое векторное пространство. Если множество Scl Е' слабо ограничено и равностепенно непрерывно, то оно относительно компактно в топологии о^Е', Е).

л) То есть ограничено в слабой топологии. Аналогичное замечание относится кб всем употреблениям слова «слабый». — Прим. pedt

Доказательство. (1) Необходимость утверждения следует из общего принципа, согласно которому непрерывная числовая функция на компактном пространстве ограничена.

Достаточность условия вытекает из теоремы Тихонова (п. 0.2.17) и того очевидного факта, что пространство Е*, наделенное слабой топологией, является замкнутым подпространством в КЕ (рассматриваемом в топологии произведения).

Равностепенная непрерывность множества S означает существование в Е такой окрестности нуля_(/, что | (х, х*)|^1 при хе U и х* е S. Слабое замыкание S множества ScE* сохраняет это свойство, как и свойство быть слабо ограниченным. Далее из равностепенной непрерывности множества 5 следует, что S а ЕЕ Остается воспользоваться утверждением (1). ■

1.5. Замечание. Если Е— полунормируемое пространство, то в Е' равностепенно непрерывны те и только тс множества, которые ограничены относительно естественной нормы в Е' (п. 1.10.6). Объединяя это замечание с утверждением (2) теоремы 1.11.4, можно получить некоторые важные результаты, касающиеся слабой компактности слабо ограниченных множеств в различных функциональных пространствах и пространствах мер. Это будет сделано в гл. 4 (п. 4.10.3, 4.12 и 4.16).

1.12. Пространства со скалярным произведением.

Предгильбертовы пространства. Гильбертовы пространства

В этом параграфе собраны те факты из элементарной теории гильбертовых пространств, которые используются далее в этой книге и в то же время сами имеют приложения в функциональном анализе. Просто удивительно, насколько полезными оказываются эти элементарные результаты. В настоящей книге мы нигде не занимаемся по-настоящему глубоким изучением гильбертовых пространств и линейных операторов в них. Этим вопросам посвящено много превосходных книг, среди которых отметим лишь некоторые: Стоун [1], Рисе и Надь [1], Кук [2], Хал мош [2], Шмайдлер [1], фон Нейман [1], Данфорд и Шварц [2]1). В книге Халмоша [X, гл. III] имеется прекрасное изложение алгебраических основ теории. Несмотря на то что книга посвящена конечномерному случаю, большинство идей можно распространить на общий случай (хотя отдельные результаты, или доказательства, или и то и другое вместе такого обобщения нс допускают).

]) См. также Ахиезер и Глазман [1]; Гохберг и Крейн [1, 2] — Прим, перед.

Исходные определения и примеры. [X, § 23, 26—30]. Пусть Е— векторное пространство над К (где К — либо R, либо С); К-значная функция Д определенная на произведении Е X Е, называется билинейной формой на Е, если она линейна по каждому аргументу. Если f(x, у} = f(y, х) для любых х, у из Е, то говорят, что форма / симметрична. Под полуторалинейной формой на Е (терминология Гротендика) понимают такую функцию f: ЕхЕ->К, что функция xv-^Цх, у} линейна при каждом фиксированном у, а функция yv—^Цх, у) линейна при каждом фиксированном х (черта сверху означает переход к комплексно сопряженному числу). Последнее условие иногда формулируют так: функция у^—>f(x, у} сопряженно линейна при каждом фиксированном х. Если К = R, то понятия билинейности и полуторалинейности совпадают. Функция f:ExE-^K называется эрмитовой, если f(x, у} = Цу, х) для любых х, tjeE. Если К = R, то эрмитовость и симметричность означают одно и то же.

Скалярным (или внутренним} произведением на векторном пространстве Е над К называется такая полуторалинейная эрмитова форма f на Е, что Цх, х) >0 для любого х^Е (Цх, х) вещественно в силу эрмитовости Ц. Говорят, что скалярное произведение строго положительно, если Цх, х) > 0 при х 0.

Под пространством со скалярным произведением понимается пара, состоящая из векторного пространства Е над К и скалярного произведения на Е. Обычно мы будем употреблять для обозначения пространства со скалярным произведением просто символ Е, а скалярное произведение обозначать через (х\у}. В книге Халмоша [X, § 59, 60] предлагаются названия унитарное пространство и евклидово пространство для соответственно комплексного и вещественного (конечномерного) пространства со скалярным произведением.

Неравенство Коши — Шварца. Пусть (х|</)—скалярное произведение на Е. При любых х,у^Е билинейная форма (ах + РУ |ах + ру) от переменных скаляров аир принимает лишь неотрицательные значения. Отсюда с помощью несложных рассуждений [X, § 64] получаем важное неравенство -

1(х|//)К(х|х)^(у|1/)^. (1.12.1)

Из этого неравенства следует, что функция М(х) = (х|х)2 является полунормой на Е. Каждое пространство со скалярным произведением можно, таким, образом, рассматривать как. полунормируемое топологическое векторное пространство.

Пространство со строго положительным скалярным произведением называется предгильбертовым пространством ’); это пространство, у которого ассоциированная полунорма N^ = = (х\хуь является в действительности нормой. В этом случае вместо N^x) будем писать ||х||.

Предгильбертово пространство, полное относительно ассоциированной нормы, носит название гильбертова пространства. Каждое гильбертово пространство является, следовательно, банаховым пространством.

Некоторые примеры и замечания. (1) Пусть Т— произвольное множество, р— положительная функция, определенная на Т. Обозначим через 12уГ,р) множество тех элементов х^Кт, для которых 2 р(0 1х(0 |2 < + оо. Из неравенства Коши — / е Т

Шварца2) следует, что l2(J, р) есть векторное подпространство в Кт. Введем в 12(Т,р) скалярное произведение по формуле (х|у)= 2 Р (О X (/) у ЦУ tE?

Ряд в правой части сходится абсолютно (в силу того же неравенства Коши — Шварца). Ассоциированной полунормой служит, таким образом, функция

Функция N будет нормой тогда и только тогда, когда p(t) >0 при каждом t ^Т.

Предоставляем читателю доказательство полноты пространства 12уГ,рУ Таким образом, если р^ >0 для каждого t е Г, то /2(Г, р) есть гильбертово пространство. Пусть функция р^ не обладает указанным свойством. Обозначим через То множество {/еТ: р(/)>0}. Существует естественное линейное отображение пространства /2(Лр) на пространство /2(Т0, р0), где Ро = р\1\ сохраняющее структуру пространства со скалярным произведением. Ядро этого отображения состоит из всех тех функций х ^ 12(Т, р), которые обращаются в нуль на То.

Если р= 1, то l^T^p) совпадает с /2(Г) (п. 1.10.3).

!) Заметим, что у Бурбаки [7] предгильбертовым называется пространство со скалярным произведением в терминологии автора. — Прим, пе- рев.

Здесь уместнее воспользоваться неравенством Минковского JSia/+^ H^JSi^ i2l^+lSiM2d.

I i J I < J I < J

^-Прим. перед.

Замечательно, что всякое гильбертово пространство изоморфно как пространство со скалярным произведением пространству /2(Г) для некоторого соответствующим образом подобранного множества Т (это будет доказано ниже; см. замечание (е) к следствию 1.12.5). При этом пространства /2(7) и Е^Т^ изоморфны тогда и только тогда, когда множества Т и Т равномощны. Этот факт позволяет поставить в соответствие каждому гильбертову пространству гильбертову размерность, определяющую его с точностью до изоморфизма. Первоначально в определении гильбертова пространства требовали его сепарабельности^ (как топологического пространства), что соответствует счетной гильбертовой размерности.

Всякое конечномерное векторное пространство может быть многими способами превращено в пространство со скалярным произведением. При этом получаются конечномерные гильбертовы пространства (у которых алгебраическая и гильбертова размерности совпадают).

Пусть Е — пространство со скалярным произведением и ассоциированной полунормой N. Факторпространство E/kerN является предгильбертовым пространством. Если рассматривать Е и E/kerN как топологические векторные пространства, то последнее есть попросту отделимое пространство, ассоциированное с пространством Е (п. 1.8.5). Это следует из того факта, что множество кегЛ/ есть не что иное, как замыкание (в топологическом векторном пространстве Е) множества {0}.

Всякое предгильбертово пространство Е превращается в гильбертово, если его пополнить.

Приведем несколько более конкретных примеров.

Наряду с гильбертовым пространством последовательностей Z2 = Z2(N) наиболее известным гильбертовым пространством, несомненно, является пространство функций, суммируемых в квадрате. Подробное изложение см. в гл. 4 (особенно п. 4.11 и 4.12). Пока же мы ограничимся описанием лишь некоторых относящихся сюда примеров предгильбертовых пространств и пространств со скалярным произведением, не требующих знакомства с интегралом Лебега.

Для простоты будем считать, что Т— ограниченный интервал вещественной прямой. Возьмем на Т какую-нибудь ограниченную непрерывную функцию р^О и рассмотрим множество Е тех непрерывных ограниченных К-значных функций х на Г, для которых J р (/) |x (I) ^dt< + оо. (Наши ограничения на т

*) Топологическое пространство называется сепарабельным, если оно обладает счетным всюду плотным мйожеством.— Прим, перев.

функции р и х на самом деле в значительной мере излишни. Нам они нужны для того, чтобы обеспечить существование интеграла в смысле Римана.) Из неравенства Коши — Шварца для интегралов следует, что Е— подпространство в Кт. Введем в Е скалярное произведение по формуле

(x|i/)= J pWWyWdt.

т

Очевидно, что вся эта процедура является «непрерывным» аналогом построений, относящихся к 12(Т,р) (см. выше, пример (1)).

Построенное таким образом пространство Е со скалярным произведением тогда и только тогда будет предгильбертовым пространством, когда множество {Ze Т: p(t) = 0} нигде не плотно в Т. Если функция р не равна тождественно нулю, то пространство Е заведомо не полно. В действительности это одна из причин неудовлетворительности римановой теории ин

тегрирования.

Ясно, что приведенное построение можно видоизменить, заменяя интервал Т какой-нибудь «простой» областью плоскости или пространства. В гл. 4 даются гораздо более широкие обоб

щения указанного построения.

в примере банаховым задаваемойв примере банаховым задаваемойПространство Харди Н2 было определено 1.10.4. Там же было доказано, что оно является пространством относительно нормы ||/Ц = N^ (f), формулой

в примере банаховым задаваемой

в примере банаховым задаваемой

11/11= sup0^г <11/11= sup0^г <4? Jl/^^e ■ —Л-4? Jl/^^e ■ —Л-

11/11= sup

0^г <

11/11= sup

0^г <

4? Jl/^^e ■ —Л-

4? Jl/^^e ■ —Л-

Рассмотрим разложение функции / в ряд Тэйлора

/ (z) = s спгпп=0/ (z) = s спгпп=0(|2|<1).(|2|<1).

/ (z) = s спгпп=0

/ (z) = s спгпп=0

(|2|<1).

(|2|<1).

Легко проверяется, что

-1-

-лп=0

при 0^г<1, откуда следует равенство

П/1Г= S I с„!2. *п«0

Сходимость ряда в правой части этого равенства является в действительности необходимым и достаточным условием принадлежности пространству № функции f, для которой сп служат коэффициентами разложения в ряд Тэйлора. Это означает, что № становится гильбертовым пространством, если скалярное произведение определено следующим образом:

(Ш)= S cndn,

где сп и dn— коэффициенты разложения в ряд Тэйлора функций f и g соответственно. Так как полученный ряд сходится абсолютно, то имеет место равенство

л

=г^0 ir У ^rei6^8 ^е1'^ d9-

—л

Пространство НУфу Пусть D — некоторая область в плоскости комплексного переменного z = х + iy. Как и в п. 1.10.4, через НУф) обозначим пространство тех голоморфных в области D функций, для которых

J j |/(z) ^dxdy< +00.D

Введем в этом пространстве скалярное произведение по формуле

(f IsO = J / f^g^dxdy.D

Так как рассматриваемые функции непрерывны, то полученное пространство предгильбертово. На самом деле оно даже гильбертово. Приведем подробное доказательство полноты пространства НУфу Для этого воспользуемся неравенством (1.10.4) п. 1.10.4, переписав его следующим образом:

iH^K^-'lini,(1.12.2)

где ||/|| = (Ш)2 и d—d^z, D*)— расстояние от точки z до границы области D.

Из неравенства (1.12.2) непосредственно следует, что последовательность Коши (fn) в НУф) является также последовательностью Коши относительно компактной (т. е. локально равномерной) сходимости в D (см. пример (4) п. (1.8.4)). Следовательно, в D существует локально равномерный предел f = limfn, причем функция f голоморфна в D, Остается

показать, что функция f^HL2{D) и что она является пределом последовательности (/п) в смысле пространства НЕ2фУ

Так как (fn)—последовательность Коши, то она ограничена, т. е. sup ||/^ || = Af < + оо. Пусть К—компактное подмножество в D; тогда имеем

J J |/пМх^<Ш1*<М2.

К

Фиксируя К и полагая п—*оо, получаем в силу локально равномерной сходимости неравенство

J J\1Нх4у<М2.к

Так как число М не зависит от компакта К, то feHL2^D), ибо

| J | / ^dx dy = sup J j I f l2dx dy^M2 < + оо.®к к

Повторяя те же рассуждения для разностей fm — fn вместо tn и имея в виду, что lim || fm — /„ || = 0, легко получаем т. п-> оо

lim Ilf —/nil = 0, что и требовалось доказать. n-> оо

Интересно, что НЕ2ф^ является гильбертовым пространством, элементами которого являются сами функции, а не эквивалентные классы функций (как в случае L2). (В последнем случае «индивидуальные» функции получаются только тогда, когда рассматриваемая мера дискретна — случай «обманный», в котором интеграл фактически является суммой.)

Неравенство (1.12.2) и его аналог для НЬ^ф) при р> 1 показывают, что на этих пространствах существует достаточно много непрерывных линейных форм.

Для дальнейшего изучения пространства НЬ2ф) см. упр. 1.7—1.11.

Ортогональность и ортогональные проекции [X, § 62— 67]. Элементы х и у пространства Е со скалярным произведением называются ортогональными, если (х\у)=0. Говорят, что множества А и В из Е ортогональны, если (а\Ь^ =0 при а е А иЬеВ. Для всякого множества A cz Е в Е существует наибольшее множество, ортогональное к А. (Именно множество всех тех элементов х е Е, которые удовлетворяют условию (х|а)=0 при каждом а^А.) Это множество называется ортогональным дополнением множества А в Е и обозначается через А1. Заметим, что А1 — замкнутое подпространство в Е. Семейство (х^ i^i элементов из Е называется ортогональным, если (%^х;)=0 при

i=£j, ijel. Иногда и про множество А говорят, что оно ортогонально, если соответствующее ему семейство ортогонально, т. е. если (х|#)=0 для х, у^А, х4=у. Ортонормированным семейством (или множеством) называется ортогональное семейство, в котором каждый элемент удовлетворяет условию 11x11 = Wl х) = 1. Таким образом, для ортонормированного семейства (х^) имеем (Xi \х^) = Ь^.

Вопросы, связанные с ортогональными проекциями, будем излагать следуя Ф. Риссу; отправной точкой при этом подходе служит некоторая экстремальная задача.

Теорема. Пусть Е — пространство со скалярным произведением и М — полное (в равномерной структуре, индуцированной из £) выпуклое подмножество в Е. Тогда для каждого х^Е существует по меньшей мере один такой элемент т^М, что

||х —т||< ||х —Z/H (уеМ).

При этом элемент m определяется однозначно с точностью до слагаемого из подпространства {0}. Поэтому если Е предгильбертово, то m определяется однозначно заданием х и М.

Доказательство основано на тождестве Аполлония

|| с - а II2 + II с - b |р = -^ II а - b |р + 2 | с -1 (а + Ь) |2

справедливость которого для любых элементов а, Ь, с^Е легко проверяется.

Положим 6 = inf {||х — у\\: у ^ М}. Возьмем такую последовательность точек (#п) в М, чтобы бп=||х— уп\\ ^д1)- Согласно тождеству Аполлония,

11X - ут II2 + IIX - уп lP = y||ym-#nlP + 2|x-y (ут + у„)|2.

Так как множество М выпукло, то у (ym + уР е М, откуда

| ^-у(</т + Уп)|2^д2.

Следовательно,

|!/„-!'„|2<2К+»^28=).

Последнее неравенство показывает, что (уп) есть последовательность Коши. В силу полноты М существует такой элемент

9 Символ ап^а означает, что последовательность Щп), убывая, стремится к а.— Прим. персе.

теМ, что Уп-^-m. Следовательно, ||х — m|| = Пт || х — у„ || = 6.

М -> ОО

Тем самым существование элемента m доказано.

Пусть т'— другой минимизирующий элемент из М. Согласно тождеству Аполлония,

|| х - m ||2 -HI х - т' ||2 =4IIm - m' II2 + 21 ~ 4 (т + пг') || ; поэтому

д2 + д2^ 4 IIw — т' И2 + 2б2-

Таким образом, ||т — т'|| = 0, т. е. пг — tn' е {0}. Если Е — предгильбертово пространство, то т = т\

Эта теорема дает право на следующее определение. Пусть заданы элемент х и подмножество М в Е, удовлетворяющее условиям теоремы 1.12.3; всякий элемент теМ, обладающий свойством, указанным в этой теореме, называется ортогональной проекцией элемента х на множество М. Если пространство Е предгильбертово, то ортогональная проекция х на М определена однозначно. Употребление эпитета «ортогональная» оправдано следующим предложением.

Предложение. Пусть М— выпуклое множество в пространстве Е со скалярным произведением, и пусть хе Е.

Если ОеМ, то элемент теМ будет ортогональной проекцией хна М тогда и только тогда, когда

Re(x — m\у — т)^0 для уеМ. (1.12.3)

Если ОеМ и если М + МеМ, то элемент теМ будет ортогональной проекцией х на М тогда и только тогда, когда

Re(х — пг |у)<0 для у^М и

Re(x —т |т) = 0.

Если М— векторное подпространство в Е, то элемент me М будет ортогональной проекцией х на М тогда и только тогда, когда х — me ML.

Если Л4 — линейное многообразие в Е, то элемент теМ будет ортогональной проекцией х на М тогда и только тогда, когда

(x — m\y — m) = 0 для уеМ.

Доказательство. (1) Справедливо тождество

IIX - у II2 = II (х - т) - (у - т) ||2 =

= II х — т Н2 — 2Re(x — m \ у — m)-V\\y — тЦ2. (1.12.4/

Элемент m будет минимизирующим, т. е. неравенство

\\х — у\^^\\х — пг\^ для уеМ (1.12.5) будет выполняться тогда и только тогда, когда

2 Re(x — m | у — т) <J| у — m ||2 для у^М.

Пусть у\^М и 0<Х-^1. Так как множество М выпукло и содержит элемент 0, то у = пг + Х(у\— т^^М. Поскольку элемент т— минимизирующий, то

2Л Re (х — т | у{ — т) ^ Л21| у\ — т ||2.

Деля обе части неравенства на ^ и переходя к пределу при Х-^0, получаем

Re (х — т | у — т) ^ О

для любого элемента у е М, т. е. получаем неравенство (1.12.3). Обратно, пусть справедливо неравенство (1.12.3). Тогда из (1.12.4) вытекает (1.12.5), а это и означает, что т— минимизирующий элемент.

Пусть у\^М. Из условия M-YMcM следует, что у = = У\А-т ^ М. Если т— минимизирующий элемент, то (а) выте^ кает из доказанного неравенства (1.12.3). С другой стороны, полагая в (1.12.3) // = 0, получаем Re(x— m|m)>0, откуда следует (Ь). Обратно, из (а) и (Ь) легко получается (1.12.3).

Это утверждение сразу следует из (2), так как если Л1 — подпространство, то —М = М.

Будем снова исходить из неравенства

2 Re (х — т | г — т) ^ || г — т ||2,2 е= Л4,

характеризующего элемент теМ. Поскольку М — линейное многообразие, то для произвольного элемента у е М и произвольного скаляра а имеем 2 = схт+(1—а)уеМ.

Для элемента 2— т=(1—а) (у— т) наше неравенство принимает вид

2Re(x —m |(1 —a)(z/~ m)X| 1 — а |2|| у — т ||2, т. е.

2 Re X (х — т | у — т) ^ | X |2|| у — т ||2

для всех у е М и для всех чисел X.

Повторяя рассуждения, использованные при доказательстве утверждения (1), получаем при X > 0

Re (х — т | у — т) ^ 0, у е М,

а при Л<0

Re(x— т\у — /тг)>0, у ^ М.

Следовательно, Re (х — m | у — /п) = 0, у е М.

Если поле скаляров — вещественное, то необходимость уже доказана. В случае комплексного поля можно повторить приведенные рассуждения для чисто мнимого X. Получим

Im (х — m | у — т) = 0, у g М.

Последнее равенство вместе с предыдущим показывает, что (х — m \y — m) = 0, у^М.

Таким образом, необходимость доказана. Достаточность следует из тождества (1.12.4).!

1.12.5. Следствие. (1) Пусть Е— пространство со скалярным произведением и М — полное векторное подпространство в Е, отличное от Е. Тогда в Е существует элемент а =# О, ортогональный к М. Если, кроме того, подпространство М замкнуто, то элемент а можно выбрать так, чтобы ||а||> 0.

Пусть Е — полное пространство со скалярным произведением и \e^t^j — некоторое ортонормированное семейство в Е. Тогда в Е существует ортонормированное семейство (e^t^j, являющееся расширением заданного (т. е. Jal) и полное в том смысле, что для всякого хеЕ существует единственное семейство скаляров (^isi такое, что ряд 2 Ъе1 сходится (слабо

i е ['

сходится 9) к х в Е. При этом скаляры ^ определяются равенствами ^г=(х\вг) (i^T); ряд 2 Ъе1 сходится безусловно (т.е.

i е I

по сети конечных подмножеств, множества /), любая его сумма Хоо удовлетворяет условию х-—Хоо ^{0}, и имеет место равенство Парсеваля

11х|р= 5 lgj2 = 5 Kxkap.(1.12.6)

i е Ii el

Доказательство. (1) Возьмем элемент х е Е\М. Пусть m— его ортогональная проекция на М. Положим а = х— пг. Если ||а|| = 0, то включение х— a s М влечет хеМ, что противоречит замкнутости подпространства М.

Множество всевозможных ортонормированных семейств, являющихся расширениями заданного ортонормированного семейства, можно частично упорядочить по включению. Это частично упорядоченное множество индуктивно (простая проверка этого факта представляется читателю). По лемме Цорна

*) Говорят, что сеть (х a)Q^s слабо сходится к элементу хеЕ, если для любого у^Е числовая сеть (xa — x\y)aes сходится к 0. Если пространство Е гильбертово, то из следствия 1.12.6 вытекает, что слабая сходимость сетей в Е соответствует сходимости в ослабленной топологии пространства Е.— Прим, ред.

(п. 0.1.5) это множество .имеет максимальный элемент, например ^1еГ Легко видеть, что замкнутая" линейная оболочка М множества {е^: I е /} совпадает с Е. Действительно, в противном случае, используя утверждение (1), можно было бы это семейство расширить, что противоречит его максимальности.

Пусть х е Е. Если ряд 2 ^iei слабо сходится к х в Е, i el

то для каждого индекса j е I имеет место равенство

(х | ву) 2 ^" ^i I /)>lei

откуда в силу ортонормальности семейства (е^ получаем, что £у=(;г|еу) для каждого j^I.

Пусть скаляры ^ определены указанным только что способом. Для каждого конечного множества S cz / положим xs = 2 ^г Имеем (снова в силу ортонормальности)

г е S

llx-xs|p = ||x|p- 2 l^.p.(1.12.7)

I eS '

Следовательно,

l|xs|p= 5 I P^llxll2,ieS

откуда вытекает, что

2 1^<1МР.

Таким образом, ряд 2 1^ I2 сходится. Если Sc: S', то i el

l|xs^xs|p= 2 l^|2.

i e S' \ S

Из сходимости ряда 2 I Ъ I2 и из последнего равенства сле-

дует, что (х5) есть сеть Коши. Так как пространство Е полно, то ряд 2 Ъе1 сходится в Е. Пусть Хоо — некоторая сумма этого I е I

ряда. Сходимость ряда, определяющего элемент х^, и ортонор- мированность семейства (е^) влекут за собой равенство (х— Хоо|вг)=0 для всех (’е/. Так как линейная оболочка мно- жества {ег: i G /}, как мы уже видели, плотна в Е, то элемент х,— Хоо ортогонален ко всем элементам пространства Е, т. е. ||х— Xooll =0, или, что то же самое, х— Хоо е {0}. Переходя к пределу в равенстве (1.12.7), приходим к (1.12.6). 1

Замечания, (а) Если Е— предгильбертово пространство, то всякое полное векторное подпространство в Е замкнуто.

(Ь)Из утверждения (2) вытекает, что ортонормированное семейство в Е, замкнутая линейная оболочка которого совпадает с Е, разумно называть ортонормированным базисом в Е. Мы предпочитаем этот термин термину «полное ортонормированное множество», так как слово «полный» употребляется и в других значениях и это может привести к путанице.

Если пространство Е отделимо, то можно утверждать не только то, что х = 5U |ez)ez(mod{0}), но и что х = ^^х\е^еь гi _

Пусть справедливы соотношения х = 2(х |ez)ez(mod {0}) и у = 2 (у \e^et (mod {0}). Тогда равенство Парсеваля допу- скает следующее обобщение:

(х|у) = 2 (хк,)№.(1.12.8)

i е I

Если пространство Е гильбертово, то отображение х |—> ((х | е^). G1 определяет изоморфизм пространства Е на гильбертово пространство /2(/).

Следствие. Пусть Е— полное пространство со скалярным произведением и f— непрерывная линейная форма на Е. Тогда существует элемент аеЕ, такой, что

f (х) = (х | а), х г Е.

Для всякого такого элемента а имеет место соотношение1ЫНШ1 = зир{|/(х)|: ||х||^ 1}.

Следовательно, если пространство Е к тому же отделимо (т. е. если Е— гильбертово пространство), то элемент а однозначно определяется формой f.

Доказательство. Существование элемента а в случае f = 0 очевидно. Если же f^O, то множество M = kerf есть замкнутое полное векторное подпространство в Е, причем М=ЕЕ. Из следствия 1.12.5 вытекает существование такого ортогонального к М элемента а^^Е, что ||ai||> 0. Таким образом, равенство f(x)=O влечет равенство (x|<7i)=0. Выберем элемент а^ так, чтобы f(ti2) = 1. Тогда для каждого хеЕ имеет место равенство Цх— fWa2)=0. поэтому f(x) (a2|ai) = (х|п1). Число (a2|ai) не может равняться нулю (в противном случае, полагая х = ах, получили бы ||ai|| =0). Таким образом, f (х) = (х|я),где а ^"^"^^ .

Пусть а — некоторый элемент из Е, такой, что f(x) = (x[^) для всех х^Е. Полагая в этом равенстве х = а, получаем

INM^WM<II/HI^

следовательно, HalKllfll. Обратное неравенство IlfIKIIall вытекает из неравенства Коши — Шварца (см. (1.12.1)). Таким обг разом, 11^11 = Ilf||. Для доказательства заключительного утверждения заметим, что если а и а' соответствуют форме f, то разность а — а' соответствует нулевому функционалу. Значит, ||а— я1| = 0, и в силу отделимости Е а —а'. |

Замечания. Пусть Е — полное пространство со скалярным произведением. Из следствия 1.12.6 вытекает существование такого сопряженно линейного отображения / пространства Е на Е' (Е'— топологическое сопряженное к Е), что для всех х.у^Е (x,/(y)) = (x|z/).

Отображение J сохраняет норму. Часто, когда имеют дело с гильбертовым пространством, используют отображение 7, чтобы явно не упоминать о пространстве ЕЕ

Существуют многочисленные приложения следствия 1.12.6, многие из которых охватываются так называемым принципом проектирования, рассмотрением которого мы сейчас займемся.

Принцип проектирования. Как мы сейчас убедимся, принципы, лежащие в основе следствия 1.12.6 и теоремы 1.12.3, квивалентны применительно к замкнутым векторным подпро- •'ранствам. Каждый из них можно охарактеризовать как прин- ап проектирования} способ их применения можно назвать методом ортогонального проектирования. В конкретных примерах мы будем от случая к случаю пользоваться то тем, то другим названием.

Убедимся в том, что упомянутые в начале пункта принципы эквивалентны. Пусть Е — полное пространство со скалярным произведением. Рассмотрим следующие два утверждения.

Если М— замкнутое векторное подпространство в Е, то каждый элемент хеЕ может быть ортогонально спроектирован на М, т. е. существует такой элемент пг^М, что х— m^ML.

Если М— замкнутое векторное подпространство в Е, то каждую линейную непрерывную форму f на М можно представить в виде f(x) = (х|а), где а — некоторый элемент из М.

Так как всякое замкнутое векторное подпространство в Е есть полное пространство со скалярным произведением (в индуцированной структуре), то рассуждения, использованные при доказательстве следствия 1J2.6, показывают, что (1) влечет (2). Обратно, пусть верно (2), и пусть М — замкнутое векторное подпространство в Е, х — некоторый элемент из Е. Функция уь—>(у|я) есть непрерывная линейная форма на М. В силу (2) существует такой элемент а еМ, что (у\х) = (у\а), у ^ М. Последнее означает не что иное, как то, что х— а е М'. Таким об-

разом, (2) влечет (1), и, следовательно, они эквивалентны.

а м е ч а н и я? По-видимому, Герман Вейль был одним из первых, кто выделил принцип проектирования и показал, насколько полезным он может быть в теории потенциала и в доказательствах теорем существования для линейных уравнений в частных производных (см. Г. Вейль [1]). Первоначально Вейль применил его к задаче Дирихле, однако затем этот метод был в различных направлениях модифицирован и использован при решении более общих задач. Приложения такого рода довольно подробно рассмотрены в гл. 5 (см. в особенности п. 5.13.2). Здесь мы не можем заниматься этими приложениями, потому что полнота пространств, в которыми приходится иметь дело, может быть установлена лишь с помощью интеграла Лебега, изучение которого отложено до гл. 4. Тем не менее общие черты таких приложений, если пренебречь вопросами полноты и некоторыми другими тонкостями, можно обрисовать так скоро, что трудно не поддаться искушению.

х Пусть Q — область в R2 (случай п измерений требует лишь формальных изменений) и f — функция, заданная в области Q и на ее границе. В задаче Дирихле ставится вопрос о существовании гармонической в Q функции и, совпадающей на границе области с функцией f. Уже давно было известно, что формально функцию и можно получить, минимизируя так называемый интеграл Дирихле D(g) = J J | gradg|2dxdy, когда функция g пробегает множество всех функций, совпадающих с f на границе. Трудности строгого обоснования этого метода общеизвестны и не нуждаются в повторении. Рассмотрим в общих чертах, как можно использовать здесь метод ортогонального проектирования.

Сначала нужно так выбрать пространство Е функций на Q со скалярным произведением, чтобы функция f принадлежала Е, а интеграл D(g) совпадал с квадратом нормы g, т. е. чтобы D^g) = (g\g). (Мы ограничиваемся рассмотрением лишь вещественных функций, так что пространство Е можно считать вещественным.) Выбрать такое скалярное произведение можно, например, так:

Ui I &) = J j grad gi • grad g2 dx dy.

Функции g, на которых квадрат нормы D(g) = Hsrll2, или, что то же, норма ||g||, достигает наименьшего значения, мы ищем среди элементов линейного многообразия МсЕ, образованного теми функциями, которые на границе совпадают с f. Возникает зада-

ча об ортогональном проектировании нуля на М. Если эта задача разрешима, то из предложения 1.124(4) следует, что минимизирующая функция (назовем ее и") удовлетворяет^ равенству (u\g— ^)=0, geM. Иначе говоря, (и|х)=0 для всякой функции heEc нулевыми значениями на границе.

В силу тождества Грина имеем формально

(и | А) = J J grad и • grad hdxdy = '

= J J h ku dx dy — J A ds,□г

где Г — граница области D, а п — нормаль. Если функция А равна нулю на границе Г, то

(^ I А) = У У hkudxdy.(^ I А) = У У hkudxdy.□□

(^ I А) = У У hkudxdy.

(^ I А) = У У hkudxdy.

□

□

Пусть это выражение обращается в нуль для всех функций А, равных нулю на границе Г; тогда Агг = О, т. е. и— гармоническая функция в Й. Таким образом, и действительно является решением задачи Дирихле с граничными условиями, определенными функцией f.

Укажем только на три из многих очевидных серьезных пробелов приведенного построения.

(а) Для того чтобы иметь дело с полным пространством со скалярным произведением, надо еще пополнить - пространство «гладких» функций g на й относительно структуры, определенной указанным выше скалярным произведением. Но тогда мы сталкиваемся со второй трудностью.

(в) Какой смысл нужно приписать выражению «граничные значения» применительно к элементам пополнения? В частности, о каких элементах пополнения можно говорить как об обращающихся в нуль на границе? Оказывается, что такими элементами служат те функции, которые принадлежат замыканию (в указанном пополнении) множества гладких в й функций, равных нулю в пограничных полосах (т. е. на множествах вида Й\С, где С — переменное компактное подмножество в й). Нет, разумеется, никакой уверенности в том, что такая функция имеет предельные (в смысле поточечной сходимости) граничные значения, равные нулю.

(с) В предыдущих рассуждениях мы использовали формулу Грина в виде

J j grad и • grad A dx dy = J J A • ku dx dy. □ Й

Нам нужно, чтобы соотношение сохраняло силу для минимизирующей функции и и для всякой функции h из Е, имеющей нулевые граничные значения в обобщенном смысле. Очевидно, этот вопрос требует тщательного рассмотрения. Действительно, прежде всего, нам известно лишь, что и — элемент пополнения, так что даже существование лапласиана Ди вызывает серьезные сомнения. Одной из главных заслуг Г. Вейля является то, что он доказал, что из приведенного интегрального соотношения следует, что если подправить и на множестве лебеговой меры нуль, то и будет иметь производные всех порядков и формула Грина применима без всяких затруднений. Когда мы в гл. 5 приступим к изучению линейных дифференциальных уравнений в частных производных, мы дадим соответствующие формулировки в терминах распределений Шварца. Это позволит нам четко отделить те части проблемы, которые легко поддаются разрешению с помощью абстрактных методов, от тех, для решения которых требуется что-нибудь вроде леммы Г. Вейля. В то же время мы рассмотрим значительно более сложные примеры применения принципа проектирования.

Гильбертов сопряженный к непрерывному эндоморфизму. В п. 1.12.9 мы приведем еще один пример применения принципа проектирования. Для этого нам потребуется понятие гильбертова сопряженного и* к непрерывному эндоморфизму и гильбертова пространства Е. Это понятие в свою очередь иллюстрирует важность следствия 1.12.6. Как будет показано ниже, понятие гильбертова сопряженного применимо не только к непрерывным эндоморфизмам. Это понятие тесно связано с несколько отличной идеей сопряженности, относящейся к эндоморфизмам общих локально выпуклых пространств.

В этом пункте мы рассмотрим наиболее простой случай. Пусть Е — гильбертово пространство и и — его непрерывный эндоморфизм. Для заданного элемента у^Е линейная форма

Хн-»(«(Х) |Z/)

непрерывна на Е. Согласно следствию 1.12.6, существует единственный элемент у* g Е, такой, что

(«W |у) = (хЮ

для всех х g Е. Отображение и*: yv->y\ очевидно, линейно, т. с. является эндоморфизмом пространства Е. Эндоморфизм и* называется гильбертовым сопряженным к эндоморфизму tu В дальнейшем в этой главе всюду, где это не сможет вызывать недоразумения, мы будем говорить просто «сопряженный» к и вместо «гильбертов сопряженный» к и.

Итак, и определяется соотношением

№) |у) = <х\и*^,

которое должно выполняться для любых х,у^Е. Отсюда следует, что ])

И = Hullии = и,где и** = (и*)*, а также, что отображение ш—>и* есть сопря-женно линейное (п. 1.12.1) отображение пространства LC(E,E)на себя. Понятие сопряженного эндоморфизма дает возмож-ность выделить два важных класса непрерывных эндоморфиз-мов пространства Е: прежде всего — так называемые самосоп-ряженные (непрерывные) эндоморфизмы и, характеризующиесясоотношением и* = и\ затем — так называемые унитарныеэндоморфизмы и, характеризующиеся равенством и* = и™1. Та-ким образом, непрерывный эндоморфизм и самосопряжен тогдаи только тогда, когда для всех х,у^Е имеет место равенство(«(*)!#) = (х|м(У)).

(В действительности, как будет показано в § 8.11, условие непрерывности можно опустить, так как оно является следствием указанного тождества.) Аналогично непрерывный эндоморфизм унитарен тогда и только тогда, когда он отображает Е на себя и для любых х.у ^Е выполняется равенство

№)\иШ = (х\у).

Несложное вычисление показывает, что последнее тождество эквивалентно условию ||u(x) || = ||x|| для любого хеЕ, т. е. тому, что отображение и есть изометрия (т. е. сохраняет норму).

Самосопряженные и унитарные эндоморфизмы гильбертова пространства играют важную роль в многочисленных приложениях, поэтому их теория глубоко разработана и изложена во многих хорошо известных книгах. Для наших ближайших целей достаточно беглого знакомства с этими понятиями.

Принцип проектирования и абстрактная эргодическая теорема. Пусть Е— гильбертово пространство и и — его непрерывный эндоморфизм. Под абстрактной эргодической теоре* мой подразумевают утверждение, что при определенных условиях средние арифметические степеней эндоморфизма и

поточечно сходятся к некоторому пределу, который необходимо является непрерывным эндоморфизмом пространства Е. Ниже (в § 9.13) будут рассмотрены некоторые из многочисленных результатов такого типа. Для более полного и детального ознакомления с этими вопросами читатель может обратиться к книге Данфорда и Шварца [1, стр. 699—774]. Здесь мы ограничимся одной теоремой для случая гильбертова пространства, доказательство которой опирается только на принцип проектирования. В такой абстрактной форме результат был впервые установлен (по крайней мере, для унитарных эндоморфизмов и) фон Нейманом [6]. Приводимое ниже доказательство принадлежит Ф. Риссу [7].

Теорема, которую мы собираемся доказывать, называется «абстрактной» эргодической теоремой на том основании, что она содержит как частный случай теорему под тем же названием, возникшую в статистической механике. В п. 1.12.10 мы попытаемся кратко наметить переход от абстрактной формы этой теоремы к ее конкретной реализации. Относительно обеих формулировок см. подробнее Хал мош [5] и Данфорд и Шварц [1].

Будем считать, что эндоморфизм и удовлетворяет одному из следующих условий:

й— самосопряженный эндоморфизм и

c = sup{||un||: п = 1, 2, ...,}< + оо.

и — унитарный эндоморфизм.

Заметим, что из условия (Ь) следует выполнение второго условия из (а) с с = 1.

Теорема. Пусть Е— гильбертово пространство и и — его эндоморфизм, удовлетворяющий условию (а) или (Ь). Для любых двух натуральных чисел m < п определим эндоморфизм АШ) п равенством '

Ат, п “ (^2•

т < к < п

Тогда существует поточечный предел Р = lim Am>n) т. е. п-m -> оо ’ скользящие средние .арифметические степеней эндоморфизма и поточечно сходятся на Е. Предельный эндоморфизм Р является ортогональным проектором и удовлетворяет соотношениям

иР = Ри = Р.

Доказательство. Покажем вначале, что при каждом хе Е существует предел Р (х) = lim Am, п kxY n-m -> w

Доказательство этого утверждения проведем в три этапа; попутно выяснятся некоторые свойства отображения Р.

Заметим, что семейство отображений Ат>п равностепенно непрерывно, так как

(т<п\

Пусть х = и^—у для некоторого у^Е. Тогда

Ат. п (х) =Цп- т)-1 [м" (у) - ит (у)];

поэтому ||Лш>п(х)|| ^2c||r/||/(n —т). Отсюда следует существование предела Р(х) и равенство его нулю при каждом таком х. То же самое справедливо для всех х, принадлежащих векторному подпространству М в Еэ порожденному элементами вида w(y) — у.

Равностепенная непрерывность семейства Ат> п обеспечивает существование Р(х) и его равенство_нулю для каждого элемента х, принадлежащего замыканию М подпространства М в Е.

В силу принципа проектирования если N — ортогональное дополнение к М в Е, то каждый элемент х ^ Е можно записать в виде х = а + Ь, где а г М и beN. Так как существование предела Р(а) доказано, то достаточно доказать существование Р(Ь). Для любого у^Е имеем (с учетом того, что N — ортогональное дополнение к М, а и^ —у^М^

о = (6 I и (у) - у) = (Ь | и (у)) - (Ь | у) =

= (и(Ь)1у)-(Ь1у) = (иЧЬ)-Ыу).

Из этого соотношения следует равенство и*^=Ь. которое вместе с (а) или (Ь) приводит к равенству u(b)=b; тогда Ат)П(Ь) =Ь для всех пар (т,/г), где т < п, и, следовательно, Р(Ь) существует и равен Ь.

Таким образом, установлено существование поточечного предела Р, а также то, что Р(х)=Ь для всякого элемента х = а + Ь, где а^М и beN. Последнее означает, что Р есть ортогональный проектор пространства Е на N.

Так как каждое отображение Ат> п перестановочно с эндоморфизмом и, то тем же свойством обладает и предел Р. Из равенства Ат, п^=Лт+1, n+i следует, что Ри = Р, откуда Ри = = иР = Р. Теорема полностью доказана. |

Замечание. Так как иР = Р, то для всякого х^Е элемент у = Р^ инвариантен относительно эндоморфизма и, т. е.

у = Ы(у) = Ы2(у)= ..

Это свойство инвариантности часто (п. 1.2.10) довольно жестко определяет природу элементов у.

Случай непрерывных средних. Как мы увидим в п. 1.12.10, степени un часто естественно вкладываются в непрерывное семейство эндоморфизмов ut, зависящее от вещественного параметра / (обычно интерпретируемого как время) и обладающее полугрупповым свойством

Uf+t' = UtUts(1.12.а)

причем u = U\, так что ип = ип. Для наших целей достаточно считать, что эндоморфизмы ut определены для / > 0. Естественно попытаться заменить использовавшиеся до сих пор дискретные скользящие средние Am> п непрерывными скользящими средними

t

As.t=4-sTx / ^^(0<s<0(1.12.10)

s

и исследовать вопрос о существовании поточечного предела отображений ASit при / — s—>оо. Мы покажем, что при некоторых слабых ограничениях эта задача может быть сведена к предыдущему дискретному случаю и тем самым решена положительно.

Начнем с определения интегралов, которые фигурируют в определении отображений АзЛ. Сделаем два предположения относительно зависимости отображения ut от t. Во-первых, будем считать, что семейство (w^) слабо непрерывно, т. е. что для каждой пары (х, у) элементов из Е функция tv—>(ut(х) \у) непрерывна при / > 0. (Можно было бы потребовать и меньше, а именно чтобы эта функция была измерима по Лебегу при / > 0.) Во-вторых, будем считать, что эта функция ограничена при />0 (снова для каждой пары (х, у)). Отсюда в силу принципа ограниченности, с которым мы познакомимся в гл. 7, следует существование такого числа с, что

| (^(х) |t/|<dWI llyll

для t > 0 и х, у <=Е, или, что то же самое,

II иJ|<с(f >0)-

Второе требование выражает, таким образом, ограниченность семейства ^uty Итак, наши допущения таковы: семейство (^z)f>o ограничено и слабо непрерывно.

Этих условий достаточно, чтобы обеспечить существование t

интеграла J и^ d^ = и при любых / > s > 0 в следующем

смысле1). Для каждой пары х, у элементов из Е существует интеграл Римана t

В (х, у)= J (ug(x)|«/)^.

При каждом фиксированном х отображение yv-^B^x, у) есть непрерывная линейная форма на Е, так как

t

\В(х, у)|< J|(ti^)|t/)l^<c(/-s)||x||M S

По следствию 1.12.6 существует единственный элемент z^E, такой, что В(х, у) = (г|г/) для всех у^Е, причем || z || ^ <.c(t— s)||x||. Элемент z естественно записать в виде tt

z = j u^^d^. Отображение xt-> J u^^d^ является, как легко ss

видеть, эндоморфизмом пространства Е. Обозначим его через и; очевидно,

II У IKc(^-S).

Равным образом естественно обозначить эндоморфизм и через t

J u^d^, что и приводит к желаемой интерпретации рассматри-

ваемого интеграла как непрерывного' эндоморфизма пространства Е.

Важно заметить, что при нашем определении интегралаtt

Т. J Uldl= /(П^(1.12.11)

SS

И tt

J u^ds-T = J^ndg(1.12.12)

для всякого непрерывного эндоморфизма Т пространства Е. Докажем, например, первое из этих соотношений. Используя определения интеграла и сопряженного эндоморфизма, получаем для произвольных элементов х, у ^ Е

tt

(Tv (х) | у) = (У (х) | Г (у^) = J (их (х) | Г (у)) ^ = J (TUl (х) | г/) d^; ssv

■) См. § 8.14 и 8,15.

последнее выражение представляет собой скалярное произведение (y'(x)|z/), где и'= J Tu^d^. Следовательно, Ту = у', от-

S

куда и вытекает справедливость формулы (1.12.11).

Обратимся теперь к задаче существования поточечного предела непрерывных скользящих средних Л8> t в предположении, что семейство ^и^ ограничено и слабо непрерывно, а эндоморфизм и = их удовлетворяет (как и выше) одному из условий (а) или (Ь). Обозначим через А°т,п Дискретные скользящие средние эндоморфизма и. По доказанному существует поточечный предел Р° = ПтЛт,л- Полагая

1

S = J u^d^,о

из (1.12.10) — (1.12.12) получаем, что

п

Am, п~ (^ ^) J ^5 ^^ = Am, sS = S/lm, пт

для любых двух натуральных чисел т < п. Таким образом, предел Ит Ат,п существует и равен P°S = SP°. С другой стороны, если 0<s<t и если m = [s], /г = И (квадратные скобки, как обычно, обозначают целую часть), то

sШt

As,t= — kt — sf1 j u^d^-VVt- s)-1 J az d^ + (/ - s)"' j ws d^.

[s][s][/]

Первое и третье слагаемые в правой части имеют норму, не превышающую c^t— s)"1, и стремятся к нулю при / — s—> оо. Среднее слагаемое равно

(n —m)(Z —s)-1 Ат,п

и, поскольку (п — m) (t — s)"1 -> 1 при t— s—>оо, поточечно сходится к P°S. Таким образом,

lim As>t = P°S = SP° = Р(1.12.13)

t — S -> ОО

в смысле поточечной сходимости.

Заметим, что из формул (1.12.10) — (1.12.12) следует перестановочность каждого ц^(^>0) с каждым из эндоморфизмов S, Р°, Р, AS)t (0<s<t). Далее, как легко проверить, используя (1.12.10) и элементарные свойства интеграла,

utP = Put = P(/>0)*(1.12.14)

Итак, для всех хеЕ предел у = Р^ = lim As,t^ ин-

S — t -> ОО вариантен относительно ut при каждом / > 0.

Если в (1.12.14) заменить t на £ и взять среднее по £ в интервале s <^<ts то получим

Р2 = Л (1.12.15)

Если эндоморфизм ut самосопряжен, то таким же будет каждое ASit и, следовательно, Р. Из формулы (1.12.15) следует тогда, что Р— ортогональный проектор. Если ut — унитарный эндоморфизм, то это рассуждение не проходит — хотя по-прежнему верно, что Р является ортогональным проектором,— нужно как-то изменить метод доказательства.

Один из путей преодоления возникшего затруднения, представляющий и самостоятельный интерес, заключается в следующем наблюдении: рассуждения, используемые в дискретном случае, можно с самого начала так видоизменить, чтобы они годились и для непрерывного случая. Действительно, полугруп- повое свойство (1.12.9) позволяет установить существование и равенство нулю предела P(,r) =limЛ51 Дх) для каждого х вида иа^ —у, где а>0 и у^Е. Пэ же верно, следовательно, для х, принадлежащих замыканию М векторного подпространства М в Е, порожденного элементами вида и^^—у (уеЕ, а>0). Как и в дискретном случае, это следует из равностепенной непрерывности семейства ASit. Введем N— ортогональное дополнение к М в Е— и представим каждый элемент х^Е в виде суммы а + 6, где а е М и beN. Элемент b ортогонален к каждому элементу вида иа(у)—у, где а > 0, у^Е, откуда вытекает, что и^Ь^Ь при каждом а > 0 и, следовательно, AS)t(b)=b при 0<s<L Следовательно, Р(Ь) существует и равно 6, и потому Р(х) также существует и равно Ь. Значит, Р есть ортогональный проектор пространства Е на N.

Полученный для дискретного случая результат, таким образом, полностью обобщается на непрерывный случай. Обратимся теперь к обещанному примеру из статистической механики.

Пример из статистической механики. Эргодическая теория отправляется от изучения статистического поведения ньютоновой механической системы со многими степенями свободы. Движение такой системы можно описать в терминах фазового пространства, координатами которого служат обобщенные координаты и соответствующие обобщенные импульсы. Фазовое пространство, которое мы будем обозначать через Q = VlY

можно рассматривать как подмножество в Rn, где п обычно очень велико. Ньютоновы уравнения движения определяют развитие системы во времени; если начальное состояние системы (т. е. состояние в момент времени / = 0) представляется точкой ^о ^ Q, то состояние в момент времени t представляется точкой qt е Q. Другими словами, движение системы представляется некоторой «траекторией» в Q, т. е. семейством qt точек из Q. В случае систем с очень большим числом степеней свободы (например, макроскопического объема газа) начальное состояние ^о практически никогда неизвестно. Поэтому мы вынуждены ограничиться статистической картиной рассматриваемого процесса, представляющей среднее по неизвестным начальным состояниям. Это связано с подсчетом математического ожидания различных функций (например, полной энергии), определенных на Q.

Физические соображения позволяют считать (и мы это будем делать), что отображение Tt: q^—^qt множества Q в себя непрерывно. Физически очевидно также и выполнение полугруп- пового свойства Tt-H' = TfTr. Знаменитая теорема Лиувилля (Хин чин [1]) утверждает, Что во всех случаях, когда гамильтониан системы не зависит явно от времени, каждое преобразование Tt «сохраняет объемы». Точнее, если ц— лебегова мера на Q, то ц \Т?Х (S)] = ц (S) для каждого измеримого подмножества S в Q. При этом полная мера p,(Q) может быть как конечной, так и бесконечной. В первом случае, нормируя ее так, чтобы она стала равной единице, можно считать ц вероятностной мерой на Q. Во втором случае можно считать ц относительной вероятностной мерой. В каждом из этих случаев математическое ожидание некоторой функции х на Q выражается формулой

(х)=|хф. (1.12.16)

Q

(Здесь и далее мы вынуждены предполагать, что читатель хотя бы бегло знаком с интегрированием по положительной, счетно аддитивной мере. Изложенная ниже, в гл. 4, теория более чем достаточна для наших целей.)

Такой прямой подсчет математического ожидания практически неосуществим, и в статистической механике давно уже был предложен другой подход. Очень кратко и грубо ход рассуждений можно описать следующим образом.

Рассматривается случай, когда «поток», т. е. семейство преобразований Tt, параметризованное временной переменной I, достаточно сильно «перемешивает» точки фазового простран-

ства Q. В этом случае разумно принять гипотезу, что средняя по пространству ^ совпадает с пределом средних по времени

Нт / 1 Г x^T^d^Нт / 1 Г x^T^d^(1.12.17)(1.12.17)

Нт / 1 Г x^T^d^

Нт / 1 Г x^T^d^

(1.12.17)

(1.12.17)

Этот предел в силу предположенного свойства перемешивания потока не должен зависеть от q. Предположение о том, что имеет место «свойство перемешивания», аналогично так называемой эргодической гипотезе; впрочем, точно сформулировать последнюю было бы затруднительно. Следует сказать, что большинства ранних попыток сформулировать эту гипотезу связано с привлечением постулатов, которые либо очевидным образом не выполняются в большей части случаев, либо не поддаются проверке, за исключением самых тривиальных случаев. Большинство таких гипотез имело форму утверждений о характере отдельных орбит, и их проверка сталкивается с теми самыми трудностями, которые хотели обойти вначале.

Предел средних по времени (1.12.17)- имеет физический смысл. Если начальное состояние системы представлено точкой q, то ее состояние в момент времени / будет Ttq, а значение х в момент / будет х^TtqY Для большинства систем величина x(Ttq) как функция от / испытывает крайне быстрые и сильные флуктуации. Эти флуктуации происходят в течение промежутков времени, ничтожно малых по сравнению со временем, необходимым для экспериментального измерения значения x^TtqY Следовательно, действительно определяемая в результате опыта величина лежит значительно ближе к среднему

t

Г1 / x^q)d^О

чем к мгновенному значению x(Ttq). Фактически / столь велико в масштабах микровремени системы, что ошибка, связанная с переходом к предельному выражению (1.12.17), невелика.

Имеет ли предел средних по времени (1.12.17) какое-нибудь отношение к среднему по пространству (1.12.16)—это уже дело физика, а не чистого математика. Однако, как мы увидим, первичная1 цель математика — исследовать вопрос о существовании предела (1.12.17)—ведет к получению некоторой информации о равенстве между величинами (1.12.16) и (1.12.17).

С точки зрения математики значительный успех был достигнут, когда Купмэн перенес внимание с самих операторов Tt

на индуцированные функциональные операторы и^ определяе

мые равенствоммые равенствомUt М ^ = x^Ttq\Ut М ^ = x^Ttq\(1.12.18)(1.12.18)

мые равенством

мые равенством

Ut М ^ = x^Ttq\

Ut М ^ = x^Ttq\

(1.12.18)

(1.12.18)

указав при этом, что поскольку отображение Tt сохраняет меру, то каждое ut можно рассматривать как изометрию лебегова пространства ^р = S?p (Q, ц). Использованные здесь обозначения вводятся в гл. 4: J?P(Q, р) обозначает векторное пространство таких измеримых функций х на Q, для которых \х\р интегрируемо относительно ц, наделенное полунормой

NPM = ||х|рФNPM = ||х|рФМрМрLQLQ

NPM = ||х|рФ

NPM = ||х|рФ

Мр

Мр

LQ

LQ

Наиболее интересен случай, когда р = 2. Пространство^2 оказывается пространством со скалярным произведением

U I У) = / ху dp.

Q

(Здесь рассматриваются только вещественные функции.) В гл. 4 будет доказана полнота пространства ^2. Ассоциированное отделимое пространство Л2, элементами которого являются классы функций, совпадающих всюду, кроме множества ц-меры нуль, есть гильбертово пространство.

Изложенные соображения дают возможность применить результаты п. 1.12.9. Для этого надо положить Е = L2(Q, ц), а в качестве ut взять отображение, определенное формулой (1.12.18). В результате получаем, что при каждом х ^ L2 скользящее среднее по времени

(t-sT1 J x^T^d^ (1.12.19)

сходится в А2 к некоторому элементу у ^Е2 (т. е. к классу эквивалентности, определяемому некоторой функцией из $2У Кроме того, элемент у инвариантен в том смысле, что для каждого / имеет место равенство

УМ = У^ (1.12.20)

для почти всех точек q е Q (т. е. для всех q, за исключением, быть может, подмножества в Q нулевой ц-меры). При этом если u(Q) конечно, то

При некоторых условиях из свойства инвариантности (1.12.20) следует, что функция у (почти всюду) постоянна.

В частности, это имеет место в том важном случае, когда всякое множество S clQ, инвариантное в том смысле, что S = Т?1 (S), удовлетворяет либо условию p(S)=0, либо условию p(Q\S)=0. В этом случае поток называется эргодическим или метрически транзитивным. Таким образом, если мера p(Q) конечна и поток эргодичен, то при каждом х из «S72 скользящие средние по времени (1.12.19) сходятся при t— s-*oo в гильбертовом пространстве L2 к постоянной (х\ Что касается типа сходимости, то это в точности то, на что можно надеяться. Приведенное выше утверждение обычно называется статистической эргодической теоремой.

Иллюстрация. Вернемся к дискретному случаю и допустим, что p(Q) = l. Пусть S — измеримое подмножество в Q и х^ = = Xs(^)—характеристическая функция множества S. Тогда (x)=p(S). Далее

Ai.n+i M(q) = n-15 Xs^^^Nn^

< k < п

представляет собой долю времени (относительно всего интервала [0, п]), в течение которого точка фазового пространства, изображающая состояние системы и находившаяся в начальный момент в состоянии q, будет принадлежать множеству S. Теорема утверждает, что

lim N^g^V^S)П -> оо

в средне-квадратичном. Это находится в полном согласии с тем, что можно было бы ожидать. Легко показать (опираясь на теорему Лебега о сходимости для интегралов), что для почти всех q имеет место неравенство

lim sup Nn ^ > p (S).n -> ОО

В связи с последним соотношением естественно поставить вопрос: нельзя ли показать, что равенство lim Nn (^) = ц (S) П -> оо

имеет место почти всюду, или, в более общей форме, нельзя ли в нашей основной теореме сходимость в средне-квадратичном заменить какой-нибудь другой сходимостью. Здесь мы можем лишь заметить, что Дж. Биркгоф [1] получил результат, известный сейчас как индивидуальная (или поточечная) эргодическая теорема. В этой теореме утверждается, что если Tt сохраняет меру и хе»^1, то приведенные выше средние по времени почти всюду на Q поточечно сходятся, причем предел у инвариантен, принадлежит^1 и (я) = (//), если мера p(Q) конечна, В последнем случае сходимость имеет место

также и по полунорме пространства »2^. Следствия из эргодичности потока те же, что и прежде.

Обе формы эргодической теоремы в дальнейшем были усовершенствованы, а их доказательства упрощены. Краткий обзор этих вопросов можно найти у Хал моша [5] (см. также приведенную там литературу), более подробное изложение у Данфорда и Шварца [1, гл. VIII]).

Читателю, которого особенно интересуют приложения эргодических теорем к статистической механике и, вообще, физическая сторона вопроса, полезно будет познакомиться с работами Хин чин а [1] (где он найдет изящное доказательство теоремы Биркгофа) и Тер-Хаара [1].

УПРАЖНЕНИЯ

1.1. Пусть Т— некоторое множество и р— число, удовлетворяющее неравенствам 1^р<+ оо. Показать, что пространство /^(Т) (пример 1.10.3) полно относительно нормы

I/J

Пусть et — характеристическая функция одноточечного подмножества (О из Т. Показать, что каждый элемент xg lp (Т) является пределом в 1р(Т) сумм вида

2 XWep

t^F

где F пробегает частично упорядоченное по включению семейство конечных подмножеств в Т.

Обозначения те же, что и в предыдущем упражнении. Пусть U — непрерывная линейная форма на /p = /p(r). Показать, что функция и, определенная равенством

принадлежит 1Р\ где р'= оо при р= 1 и — + Д-= 1 при 1 < р < оо. Вывести отсюда, что

I е т

для каждого хе/Р, причем ряд в правой части сходится абсолютно.

Доказать, что, обратно, каждый элемент u^Ip' определяет таким образом непрерывную линейную форму U на 1р и что норма этой линейной формы U есть не что иное, как 11^11 р'.

(См. теорему 4.2.1.)

Показать на примере, что результат предыдущего упражнения становится неверным при р — оо. (См. также упр. 1.19 и 1.21.)

Пусть Т— произвольное множество и ^(Т), с^—пространства^ определенные в примере 1.10.3. Доказать, что оба они банаховы. Рассуждая, как в последних двух упражнениях, показать, что пространство, сопряженное

к to, изоморфно Iх ^(Т)- Двойственность между ними задается билинейной формой

к», у')- 2 x^yW,t^T

где хе Со и у е Iх.

Провести подробно доказательства полноты пространств Н^ и HL^ при Хр< оо (п. 1.10 4 и пример (8) п. 1.12.1).

Используемая при этом техника подсказывает следующий более общий результат, который предлагается доказать читателю. Пусть X — секвенциально полное топологическое пространство, (Ма)—семейство полунепрерывных снизу полунорм на X. Предположим, что каждой окрестности нуля U в X соответствует такое число е>0, что из

х е X, sup Na (х)< е => х е U.а

Пусть далее Хо — векторное подпространство в X, образованное теми элементами хеХ, для которых

N (x) = sup Na (х) < + оо.а-

Доказать, что Хо полно в равномерной структуре, определяемой полунормой N на Хо.

Пусть Е— нормированное векторное пространство, в котором существует предкомпактная сфера (т. е. множество вида

^хеЕ: || х — х0 II = г},

где г>0). Показать, что тогда Е конечномерно (ср. с теоремой Ф. Рисса, п. 1.9.6).

Обозначения те же, что и в примере (8) п. 1.12.1. Показать, что HL2(D) есть гильбертово пространство относительно скалярного произведения

(fl g) = J J fgdxdy.D

Обозначения те же, что и в предыдущем упражнении. Установить справедливость следующих утверждений.

Если D=C (т. е. и— комплексная плоскость), то HL2(D) сводится к нулевой функции.

Пусть D — некоторая область, Д — подмножество в D, не имеющее ни одной предельной точки в D, и D'=D\A (предполагается, что D' — область). Тогда каждый элемент из НЬ2ф'^ можно продолжить до элемента из HL2(D),

[Указание. Для доказательства утверждения (1) модифицировать обычное доказательство теоремы Лиувилля, используя интегральную формулу для коэффициентов Тэйлора произвольной функции f из Н12(С). Чтобы доказать (2), представить f в окрестности произвольной точки г0^Д контурным интегралом по границе некоторого кольца с центром в z0 Устремляя меньший радиус к нулю, показать, что z0 — устранимая особая точка.]

Обозначения те же, что и в предыдущих двух упражнениях. Показать, что каждой точке g е D соответствует в точности одна функция 21—> K^z, £) из НЬ2ф^ такая, что

/(£)=/ J t^K^dxdy

D

для всякого элемента f^HL2(D). (Это — ядро Бергмана для D.) Пусть (/п) —ортонормированный базис в НЕ2фУ Показать, что

п

и вывести отсюда, что

/ j\К^, l)\2dXdy=^\fn[l)\^K(l, g). D

Обозначения те же, что и в предыдущем упражнении. Показать, что" функция

обладает наименьшей нормой (равной К(^ U"^2) среди всех функций ^HL2^), удовлетворяющих условию f(g) = l. (При этом предполагается, что пространство HL2(D) не сводится к нулерой функции.) Элемент f^ является, таким образом, проекцией нуля на замкнутое выпуклое множество элементов fe HL20D^ удовлетворяющих условию f(£) = l.

Обозначения те же, что и в предыдущих четырех упражнениях. Пусть D — открытый единичный круг с центром в начале Выбрать числа ап (^ = 0, 1, 2, ...) так, чтобы функции fn^ =ап2п образовали ортонормированный базис в HL2(D). Исходя из этого (или другим способом), показать, что ядром Бергмана будет в данном случае

Пусть Е — банахово пространство, F — нормированное пространство, и — линейный топологический изоморфизм Е на F, а у— такое линейное отображение пространства Е в F, что

. иМЦу-^^НСЕ

Показать, что у — топологический изоморфизм Е на F.

Пусть (хп)—ортонормированный базис в гильбертовом пространстве Н и ^у^—последовательность, определенная соотношениями ул = = хп+2п. Если существует такое положительное число ц<1, что для всех скалярных последовательностей (|п) с конечным носителем выполнено неравенство

то каждый элемент х^Н единственным образом представим в виде сходящегося ряда 2 ^пУп, для которого 2 I 5J2 < + оо.

Пусть Е — топологическое векторное пространство, А— открытое множество в Е и В — выпуклая оболочка множества А. Проверить, что В — открытое множество.

Пусть Е— топологическое векторное пространство, А — выпуклое множество в Е с внутренней точкой а, b — произвольная точка множества А. Показать, что при 0^а<1 точка (1 —a)a + ab является внутренней для А.

Показать, что топологическое векторное пространство Е полуметри- зуемо, если в Е существует ограниченная окрестность нуля. Привести пример метризуемого топологического векторного пространства, в котором нет ни одной ограниченной окрестности нуля.

Пусть Е — пространство со скалярным произведением, (еп) (п=\, 2, ...)—ортонормированное семейство в Е, Д— подмножество в Е, образованное элементами вида em-Vmen, где т, п — натуральные числа и т<п. Показать, что нуль принадлежит слабому замыканию множества Д, но не принадлежит слабому замыканию никакого ограниченного подмножества в Д. (Из второго утверждения следует, что в Д не существует последовательности элементов, слабо сходящейся к нулю.)

Этот пример принадлежит фон Нейману.

Пусть (ха)—ограниченная сеть в топологическом векторном пространстве Е и Н — подмножество в Е', такое, что порожденное им векторное подпространство всюду плотно в сильной топологии в ЕЛ Показать, что если Пт (ха, х^ = 0 для каждого х' г Н, то lim ха = О в слабой топо- аа

логии в Е.

Сформулировать и доказать аналогичное утверждение о слабой сходимости сильно ограниченной сети в пространстве, сопряженном к нормированному пространству.

Пусть Т— некоторое множество. Обозначим через т(7) множество всех (конечно) аддитивных скалярных функций ц, определенных на всех подмножествах в Г, и таких, что конечна полная вариация

п

|| н || = sup 2 I И (7Щ>

6=1

где верхняя грань берется по всем конечным семействам непересекающихся подмножеств Vk\<^k^n множества Т.

Доказать следующие утверждения.

Относительно введенной выше нормы т(7) есть банахово пространство.

Если каждому элементу fe Z1 (7) поставить в соответствие функцию множества Ц/, определенную равенством

nfm= S но (хст\

tex

то отображение и: fi—>|1/ есть линейная изометрия пространства Z*(7) в т(7)

Если цет(7), то функция L: Zi—> Ц(И) (^ 7) принадлежит Z1 (7) И ЦДЧг)<11 нН-

Образом отображения и, определенного в (2), является множество тс(7) элементов цет(7), обладающих следующими двумя свойствами:

Ц -г счетно аддитивна;

существует такое не более чем счетное множество СсТ, что ц (.Y) =0 для всех множеств ХаТ, удовлетворяющих включению X cz7\C

Обозначим через то(7) множество всех элементов рет(7), таких, что ц(7)=0 для всех конечных подмножеств F в 7. Пространство т(7) есть топологическая прямая сумма т0(7) и тс(7). В частности, и т0(7) и тс(7) —замкнутые векторные подпространства в т(7).

Замечания Если 7 конечно, то очевидно, что m0(7)={0}. С другой стороны, если 7 бесконечно, го тс(7) есть собственное подмножество в

т^Ту Это следует из результатов, сформулированных в упр. 1.21, 1.24 и 1.25. Это можно вывести и из теоремы Хана — Банаха, установив существование так называемых обобщенных пределов, описанных в § 3.4.

Обозначения те же, что и в предыдущем упражнении. Пусть и— элемент пространства т(7) Показать, что всякая функция ле/°°(7) с конечной областью значений х^ (т. е. принимающая лишь конечное число значе- п

ний) может быть записана в виде конечной суммы 2 ^Хгь> где I»- числа, Л-1*

(^)к^^м “ конечное разбиение множества Т, а %г^ — характеристические

функции множеств Т к. Показать далее, что значение суммы 2 ^ Щ) /г=1

зависит лишь от самой функции х с конечной областью значений и не зависит от способа ее представления. Общее значение всех таких сумм для заданного х обозначим через J х dp,. Проверить, что отображение xi—>J xdp, тт

j х dp, тj х dp, т(для указанных х) линейно и что

j х dp, т

j х dp, т

II g II = sup

где верхняя грань берется по множеству всех функций с конечной областью значений, таких, что

Halloo—sup Mz) К i-

00 t^T

Вывести отсюда, что этот интеграл имеет единственное непрерывное продолжение на /°° (7) и что это продолжение линейно и удовлетворяет неравенству

|< || Ц || • || хНоо

для x^l°° (Т).

Обозначения те же, что и в предыдущем упражнении. Доказать, что если каждому элементу цет(7) сопоставить непрерывную линейную форму на /°°(7), определенную правилом xi—> J xdp,, то тем самым

Т

получается линейная изометрия пространства т(7) на топологическое сопряженное к пространству /°° (7).

[Указание. Для того чтобы представить заданную непрерывную линейную форму F на /°°(7) с помощью интеграла, рассмотреть функцию множества ц, определенную равенством p(X)=F(/x) для ,¥cz7.].

Обозначения те же, что и в предыдущих трех упражнениях. Доказать следующие утверждения.

Всякое ограниченное по норме множество из т(7) относительно компактно в топологии o(m(7), Z°°(7)).

Ограниченная по норме сеть (Цг) в т(7) тогда и только тогда удовлетворяет соотношению Нтц. = 0 в топологии о (щ (7), Z°° (7) ), когда

1

i np. (X)=sO для каждого подмножества X в 7.

[Указание. Воспользоваться упр. 1.18 и 1.21.]

Предварительные замечания. Следующие шесть упражнений относятся к взаимосвязям между некоторыми элементами пространства т\Т) и так называемыми ультрафиолетами на Т. Понятие фильтра введено А. Картаном. Оно принято и систематически применяется в книгах Бурбаки. При исследовании вопросов сходимости в топологических пространствах Бурбаки использует фильтры вместо сетей. Хотя понятие фильтра интуитивно гораздо менее ясно, чем понятие сети (по крайней мере для читателей, уже привыкших к обычным последовательностям), тем не менее фильтры обладают некоторыми техническими преимуществами (см. вводные замечания о фильтрах в книге Бурбаки [2}).

Пусть Т— множество; через 2Т обозначается множество всех подмножеств в Т. Фильтром на Т называется непустое подмножество еГ в 2Т, обладающее следующими свойствами:

всякое подмножество в Г, содержащее элемент из ^, само принадлежит

пересечение двух множеств из ^ принадлежит ^;

пустое множество не принадлежит ^. Множество всех фильтров на Т частично упорядочено по включению, т. е. фильтр ^ предшествует фильтру ^', в том и только в том случае, если каждое множество из принадлежит £Ff. Проверить, что множество всех фильтров на Т индуктивно упорядочено и что, следовательно, каждый фильтр Т содержится в некотором максимальном фильтре. Этот максимальный фильтр на Т называется ультрафильтром на Г.

Доказать следующие утверждения.

Пусть Т— произвольное множество и А е 2Г. Тогда множество {X : X е 2Т и X о А} есть фильтр на Т, если А непусто. Если Т бесконечно, то множество VX . X ^^ и Т\Х конечно} есть фильтр на Т.

Пусть Т — направленное множество Множество всех тех подмножеств в Г, каждое из которых содержит некоторое множество вида St = = {/' е Т : t'^t) (где t— элемент из Г), есть фильтр на Т.

Если Т — топологическое пространство и t^T, то множество всех окрестностей точки t есть фильтр на Т.

Пусть Т— множество и/еТ. Множество всех подмножеств в Г, содержащих точку /, есть ультрафильтр на Т. Ультрафильтры этого типа называются тривиальными.

Пусть Т— множество и %— ультрафильтр на Т. Если А, В — подмножества в Т и объединение AUВ^U, то по меньшей мере одно из множеств А, В принадлежит 2/.

Пусть Г — множество и ^ — фильтр на Г, обладающий следующим свойством: для всякого подмножества А в Т либо Ае^У, либо Т\АеУ. Тогда ^ — ультрафильтр на Т.

Если Т— конечное множество, то на Т имеются лишь тривиальные ультрафильтры.

Если Т— бесконечное множество, то в 7 существует по крайней мере один нетривиальный ультрафильтр.

Пусть Т— множество, X— отделимое топологическое пространство, f— функция, отображающая Т в X, такая, что /(Л относительно компактно в X, и 2/—ультрафильтр в Т. Доказать, что существует в точности одна точка хеХ, обладающая тем свойством, что ЩЩ s 22 для каждой окрестности U точки х, и что эта точка х принадлежит ЦТ). Это х обозначим через f*(22).

Пусть f и g— функции, отображающие Т в X, образы которых ЦТ) и g^T) относительно компактны в X. Показать, что если функции fug совпадают на некотором множестве, принадлежащем ультрафильтру 2/ в Т, то-

[Указание. Показать, что система множеств f(71), A^2Z, центрирована (п. 0 2.17), и использовать тот факт, что /(Г) содержится в компактном подмножестве в X.]

В упр. 1.24 взять в качестве X поле скаляров (вещественное или комплексное) в обычной топологии. Пусть У— ультрафильтр на Т. Показать, что отображение fl—>f*(jO есть непрерывная линейная форма на /°°(Г) и что

(Ж w-rw g* W

для l,ge l°°(Ty

[Указание. Сначала рассмотреть функции из /°°(Т), принимающие лишь конечное число значений.]

Замечания. Если множество Т бесконечно и % — ультрафильтр на Г, содержащий фильтр дополнений к конечным подмножествам в Г, то f*(^) есть своего рода обобщенный предел функции tW при t-> со. Другой подход к обобщенным пределам, опирающийся на теорему Хана — Банаха, приведен в § 3.4.

Пусть Т — множество и т^Т)— пространство аддитивных скалярных функций множества на Т с конечной полной вариацией (см. упр. 1.19). Обозначим через М множество тех элементов рет(Т), которые принимают только значения 0 и 1 и для которых ц(Т) = 1. Доказать, что множество М компактно в топологии а(ш(Т),/°° (Т)) (см. упражнение 1.22).

Показать далее, что если каждому ультрафильтру U на Т сопоставить функцию множества ц, определенную для подмножеств X в Т равенствами

ПРИ

[О при

то тем самым между множеством М и множеством всех, ультрафильтров на Т установится взаимно однозначное соответствие.

Замечание. Это соответствие может быть использовано для перенесения топологии с М на множество Т* всех ультрафильтров на Т. Множество Т* становится при этом отделимым компактным пространством. Отождествляя каждую точку t ^Т с соответствующим тривиальным ультрафильтром 2// на Т (см. упр. 1.23), можно рассматривать Т как подмножество в Т*. В то же время каждая функция f е 1°°^ продолжается до функции f* на Т*.

В обозначениях предыдущего упражнения показать, что если U — ультрафильтр на Г и |1 — соответствующий ему элемент из М, то J f dp. = f* (У) для каждого f е /°° (Т). Интеграл понимается в смысле опре- т

деления, данного в упр. 1.20. Доказать, что f* е С (Т*).

[Указание. Достаточно проверить это равенство для функций f вида п

f = 2 ^к^т ’ где ^^ образует разбиение Т. Так как в точности одно мно- к=\ к

жество Тк е 2/, то |1 ^Т^ =1 и ц (Т^ = 0 для кг =^ к и, значит, f* (2/) = ^к. ]

Замечание. Отображение fl—>f* является, таким образом, линейной изометрией пространства /°° (Т) в С (Г*) и притом сохраняющей произведения.-

В обозначениях упр. 1.26 показать, чго Т всюду плотно в Т*. Вывести отсюда, что отображение f I—> /* является отображением пространства /°°(Т) на С (Г*).

Замечания. Мы установили, таким образом, что Т* есть отделимое компактное пространство, содержащее Т в качестве всюду плотного подмножества и такое, что каждая функция fs/°°(7) обладает единственным непрерывным продолжением f*e&(7*). Отображение fl—>/* является линейной изометрией пространства /°° (7) на пространство С(7*) и даже изоморфизмом (в любом разумном смысле) алгебры /°° (7) на алгебру С (7*). Кроме того, f*(7*) czf (7). Можно показать, что множество 7* однозначно с точностью до гомеоморфизма определяется этими свойствами. Оно называется компактификацией Стоуна — Чеха множества 7 и иногда обозначается через Р7. Пространство 7* индуцирует в 7 дискретную топологию.

Стоуно-чеховская компактификация 7* может быть построена для любого вполне регулярного пространства 7, если в качестве исходного пространства вместо /°°(7) рассматривать Сьа(Т). Вообще говоря, возможны различные способы построения этой компактификации; один из наиболее изящных опирается на теорию банаховых алгебр. Сущность этого подхода состоит в доказательстве того, что всякая непрерывная линейная форма F на пространстве Cbd^T), удовлетворяющая условиям 7(1) = 1 и F(fg) = = F(f)F(g), имеет вид F(f)=f*^^ гДе ^— некоторый ультрафильтр на 7 (ср. с упр. 125). О подробностях см. Гильм ан и Джери сон [1] (в особенности гл. 6 и 7), Л ю м и с [1, стр. 75], Р и к к а р т [1, стр. 190].

ГЛАВА 2

Теорема Хана—Банаха

2.0. Предисловие

В предыдущей главе мы познакомились с теоремой Хана — Банаха в так называемой аналитической форме, в которой она применима к произвольному (не обязательно топологическому) векторному пространству. В настоящей главе мы будем иметь дело с топологическими векторными пространствами и увидим, что в этой ситуации теорема Хана — Банаха многое может сказать о существовании непрерывных линейных форм, удовлетворяющих некоторым условиям. Если ввести необходимые понятия, то все основные теоремы, приводимые ниже, следуют из теоремы, установленной в § 1.7. Основные результаты этой главы изложены в § 2.1. Между прочим заметим, что можно так сформулировать геометрический вариант теоремы Хана — Банаха, что из него в свою очередь будет следовать ее аналитическая форма, приведенная в п. 1.7.1 (см. упр. 2.19).

В § 2.2 исследуется так называемый принцип продолжения, связанный с возможностью продолжения непрерывной линейной формы с векторного подпространства на все рассматриваемое топологическое векторное пространство.

Один из наиболее плодотворных методов применения теоремы Хана — Банаха — использовать эту теорему в виде принципа аппроксимации, который изложен в § 2.3. В последующих главах приведены его многочисленные приложения; здесь же мы ограничиваемся несколькими примерами, показывающими этот принцип в действии.

В § 2.4 мы временно возвращаемся к вещественным векторным пространствам и изучаем некоторые их подмножества, известные под названием конусов. Задание выпуклого конуса определенного вида эквивалентно наделению пространства частичным порядком, который согласуется со структурой векторного пространства. Это в свою очередь приводит к важному понятию положительной линейной формы и теоремам о продолжении таких форм.

В § 2.5 получают дальнейшее развитие идеи § 2.4 для случая, когда вещественное пространство локально выпукло. Приводятся отдельные результаты, применяющиеся при функционально

аналитическом подходе к некоторым разделам теории игр. Даются также примеры из теории игр, в частности функционально аналитические доказательства обобщенной теоремы Билля и основной теоремы теории игр.

Некоторые обобщения теоремы Хана — Банаха и ее следствий нам удобнее отложить до гл. 3 (§ 3.3—3.5).

Геометрическая форма теоремы Хана— Банаха

Хотя результатам § 1.7 можно придать такую геометрическую форму, что они будут справедливы для произвольного векторного пространства, здесь мы будем существенно пользоваться предположением, что рассматриваемое векторное пространство топологическое. Это предположение позволяет всюду, где это возможно, сосредоточивать внимание на непрерывных линейных формах и замкнутых векторных подпространствах. Оказывается, что эти топологические рамки тесно связаны с ситуациями, возникающими в конкретных аналитических приложениях описываемой теории.

В общих чертах основной результат заключается в том, что в локально выпуклом пространстве имеется достаточное количество непрерывных линейных форм для точного описания структуры такого пространства в терминах линейных и топологических свойств его замкнутых подпространств и замкнутььх выпуклых подмножеств.

1.1. Теорема. (1). Пусть Е — (вещественное или комплексное) топологическое векторное пространство, А — открытое выпуклое подмножество в Е и М— линейное многообразие в Е, не пересекающее А. Тогда в Е существует замкнутая гиперплоскость, содержащая М и нс пересекающая А.

). Пусть Е— вещественное топологическое векторное пространство, А — открытое выпуклое подмножество в Е и L — векторное подпространство в Е, не пересекающее А. Тогда существует такая непрерывная линейная форма f на Е, что

ЦЕ)=0 и /(Л)>0,

т. е. Цх) =0 для х из L и f (а) >0 для а из А.

Доказательство. (1) Рассмотрим сначала случай, когда Е — вещественное пространство. Можно считать, что М— векторное подпространство в Е (этого всегда можно добиться с помощью сдвига). В силу результатов § 1.6 можно считать, что АЦхеЕ: р(х— х0)<1}, где х0 е Е, а р— положительная субаддитивная положительно-однородная функция на Е,

Так как множество Л открыто, р — непрерывная функция. Из того, что МПА = 0, следует, что р(у— х0) ^ 1 для у ^ М. Определим на множестве Af+Rx0 линейную форму f равенством

/(у —ах0) = а, у е М, aeR.

Если а>0, то

f (у - ах0) = а <а • р (-^ - х0) = р {у - ах0);

если же а^О, то

Ku~ ах0) = а^0<.р^у- ах0).

Таким образом, во всех точках множества Af+Rx0 справедливо неравенство f-^-p. Так как р— положительная калибровочная функция на Ё, то из аналитической формы теоремы Хана — Банаха (теорема 1.7.1 (1)) следует, что f можно продолжить до такой линейной формы f* на Ё, что во всех точках х^Е будет выполняться неравенство f*(x) ^р(х), что влечет за собою непрерывность формы f*. Далее, множество Я=^-/*-1({0}) есть замкнутая гиперплоскость в Е, содержащая множество М= (M + Rx0) П П^-ЩО}). Наконец, f*(2)=0 при любом z^H; поэтому

О = Г(2) = Г(г-Хо) + Г(хо) = Г(2-хо) + /(хь) =

= f (2 - Хо) - 1 < Р (2 - Х0) ~ 1,

откуда следует, что p(z — хо) ^ 1 при г^Н,^. е. что множество А не пересекает Н, чем и завершается наше доказательство в случае, когда Е— вещественное пространство.

Пусть Е— комплексное пространство. Сузим сначала поле скаляров до вещественного и воспользуемся уже доказанным результатом. Таким способом устанавливается существование такой замкнутой вещественной гиперплоскости Н^тзМ, что ЯоПЛ = 0. Так как М = 1М, то Шо есть замкнутая вещественная гиперплоскость, содержащая М. Теперь достаточно положить н=нопшо.

Применим утверждение (1) к L вместо М. Получим однородную гиперплоскость Н, которая в силу своей замкнутости определяется уравнением f = 0, где f^O—непрерывная линейная форма на Е. Так как Нэк, то /(Л)=0 и, следовательно, Н не пересекает А. Из того факта, что А —выпуклое множество, вытекает, что /(Л) представляет собой вещественный интервал, не содержащий нуля. Изменяя в случае надобности знак формы f, получаем f (Л) >0. |

Существует не менее шести важных следствий доказанной теоремы.

Следствие. Пусть Е— вещественное топологическое векторное пространство, А — открытое выпуклое множество в Е и В — выпуклое множество в Е, причем А[}В = 0. Существуют такая непрерывная линейная форма f+О на Е и такое вещественное число а, что

№<а, №>а.

(Эти неравенства могут быть обращены заменой f на —Д) Доказательство. Множество К=А—В открыто, выпукло и не содержит нуля. Следовательно (теорема 2.1.1), существует такая непрерывная линейная форма f^O на Е, что f№<0. Если a = sup(f(tz): я^А}, то а конечно и

/И)<а, т>а.

Поскольку, однако, f^O, то f*—открытое отображение пространства Е на R и, следовательно, в действительности имеет место строгое неравенство f(A)<a. ■

Следствие. Пусть Е— вещественное локально выпуклое пространство, А—замкнутое выпуклое, а К — компактное выпуклое множество в Е, причем А(\К = 0. Тогда существуют такая линейная форма на Е и такое вещественное число а, что

f(A)<a,f(K3>a.

(Снова неравенства можно по желанию обратить.)

Доказательство. Существует такая открытая выпуклая окрестность нуля U, что (А + U) П (/<+ U) = 0. Применяя следствие 2.1.2 к множествам А + U и К + U, мы получаем, что существуют такая линейная форма f^O на Е и такое вещественное число а, что

fkA + U)<a, f(K + U)>a.

Так как K+U — открытое множество и f — открытое отображение пространства Е на R, то второе неравенство на самом деле строгое, т. е. f(K+U)>а, откуда и следует наше утверждение. 1

Замечание. Замкнутая гиперплоскость H=m^>) строго отделяет множества А и К.

Следствие. (1) Пусть Е— вещественное локально выпуклое пространство, А—замкнутое выпуклое множество в Е и хог Е\А. Тогда существует непрерывная линейная форма f на Е, удовлетворяющая неравенству

/ (х0) > sup f (Л).

В частности, множество А есть пересечение всех полупространств пространства Е, содержащих А.

Пусть Е—(вещественное или комплексное) локально выпуклое пространство, А—замкнутое выпуклое уравновешенное множество в Е и хоеЕ\А. Тогда существует такая непрерывная линейная форма f на Е, что

| / (х0) |> sup | f (Л) |.

Доказательство. (1) Достаточно применить следствие

2.1.3, взяв К=^.

Согласно (1), существует вещественная непрерывная линейная форма и на Е, удовлетворяющая неравенствам

^(Л)^а,tz(x0)>a,

где а — некоторое вещественное число.

Так как множество А выпукло и уравновешено, тоОеЛи, следовательно, а^О. Из неравенства и(А)^а и уравновешенности множества А вытекает неравенство |^(Л)| ^ а. Этим завершается доказательство утверждения (2) в случае, когда пространство Е вещественное. Если же оно комплексное, то определим комплексную линейную форму f на Е равенством

^(х) — и(х)— iu(lx),

где А' е Е. Тогда и = Re f. Если х е А и f (х) = relt (г ^ 0, t вещественно), то е~цх также принадлежит А и, следовательно, ^е-их) = г. Так как f(e-zzx) — вещественное число, то f(e~f/x) = = и (e-itx); поэтому | f (е~И) | ^ а, откуда вытекает, что | / (Л) | ^ а. С другой стороны,

I f (х0) I > I Re f (х0) I = | и (х0) | > а. 1

Следствие. Пусть Е— (вещественное или комплексное) локально выпуклое пространство, L—замкнутое векторное подпространство в Е и xoeE\L. Тогда существует такая непрерывная линейная форма f на Е, что

f(E)=O, f(xo)^O.

В частности, каждое замкнутое векторное подпространство в Е есть пересечение всех содержащих его замкнутых гиперподпространств в Е.

Доказательство. Достаточно в следствии 2.1.4 положить А = L или воспользоваться следствием 1.7.2 |

Следствие. Если Е— отделимое локально выпуклое пространство, то точки пространства Е отделяются непрерывными линейными формами на Е.

Доказательство. В силу предыдущего следствия если Хо^О, то существует такая линейная форма f на Е, что f(xo)^O:

мы используем тот факт, что подпространство £=={0} замкнуто в £, ибо Е отделимо. Если xi+xs, то x0 = xi — а^О, и f(xQ)^O влечет f (%i) =Н ^Y |

2Л.7. Следствие. В локально выпуклом пространстве Е каждое замкнутое выпуклое множество слабо замкнуто.

Доказательство. Если Е — вещественное пространство, то достаточно применить следствие 2.1.4(1). Если же Е— комплексное пространство, то нужно сузить поле скаляров до вещественного и заметить, что слабая топология в Е совпадает с топологией, определяемой веицественно-линейнъши формами. |

Приложение следствия 2.1.4 к линейной теории потенциала. Хотя это может казаться странным, систематическое изучение линейных аспектов теории потенциала стало проводиться лишь совсем недавно. До последнего времени нелинейные аспекты (включая, например, квадратичные функционалы типа взаимной энергии) казались более важными. Однако за последнее десятилетие линейные аспекты этой теории были в большой общности рассмотрены Шоке и Дени [1, 2] и Хантом [1—3]. В качестве наглядного примера воспользуемся следствием 2.1.4, чтобы установить связь между двумя основными принципами теории потенциала — принципом мажорирования и принципом выметания. Эти принципы давно известны как краеугольные камни в ньютоновой и в некоторых других специальных теориях. Мы в основном придерживаемся изложения Дени [1].

Нам понадобятся меры Радона, систематическое изучение которых проводится в гл. 4. Так как число нужных здесь нетривиальных фактов из теЬрии мер Радона невелико, то их привлечение не вызовет больших затруднений.

Пусть Т— отделимое локально компактное пространство. Обозначим через С = Q (Г) пространство вещественных непрерывных функций на Т, а через о7Г = с?7Г (Т) его подпространство, образованное теми функциями f^C, носители которых Sy компактны. Напомним, что Sy— это замыкание множества тех точек t^T, для которых f(/)^0. Если наделить С локально равномерной топологией; то оно становится локально выпуклым пространством. Что касается е/Г, то нам будет достаточно ввести в нем понятие секвенциальной сходимости. Именно,

будет означать, что

множество U (Syn: n=Y 2, ...} относительно компактно в Т,

fn-^f равномерно на Т.

Легко проверяется, что е/Г всюду плотно в С.

Под (вещественной радоновой) мерой на Т понимают линейную форму р на е^, непрерывную в том смысле, что /п —» 0 влечет limp(fn)=0. Множество всех таких мер будет обозначаться через М. Здесь для нас несущественно, что пространство М может быть отождествлено с топологическим сопряженным к еУГ относительно соответствующей локально выпуклой топологии в оГ(§ 6.3). Важно, однако, отметить, что множество М содержится в алгебраическом сопряженном к пространству е^; поэтому мы имеем в М слабую топологию ^(М,^), которую иногда называют широкой топологией') в М.

Для наших целей полезно отождествить топологическое сопряженное к С с некоторым подпространством в М. Подробно мы будем говорить об этом в § 4.10; в общих чертах ход рассуждений таков. Пусть р— мера, a U — открытое множество в Т. Будем говорить, что мера р обращается в нуль на U, если р(/)=0 для всякой функции Д такой, что S/cz U. Можно показать, что для заданной меры р существует наибольшее из открытых подмножеств в Г, на которых р обращается в нуль. Дополнение к этому множеству называется носителем меры р и обозначается через S^. Положим

Л4с = {реЛ4: Зи — компактно};

тогда Мс — векторное подпространство в М. Убедимся в том, что пространство С7 (топологическое сопряженное к С) может быть отождествлено с Мс.

Пусть L е С'; сужение p = L|e^, очевидно, является мерой. Кроме того, непрерывность L на С означает существование такого компактного множества Kez Г и такого числа с, что

||л(/)Кс-зир|Л.к

Отсюда непосредственно вытекает, что мера р обращается в нуль на множестве Т\К; следовательно, SnczK и р е Мс. С другой стороны, если р е Мс, то p(f)=p(g) для функций f, g е оЗГ, совпадающих на некоторой окрестности компактного множества S^. Если f е С, то выберем какую-нибудь функцию fo е J^, совпадающую с f в окрестности носителя Sy, меры р, и положим L^f) = p(f0). Ясно, что L — корректно определенная линейная форма на С; ее сужение на оуГ совпадает ср. Легко проверить, что форма L непрерывна на С. Остается добавить, что в силу плотности е^в С каждый элемент из С7 однозначно определяется своим сужением наеТ. Таким образом, каждый элемент из Мс однозначно продолжается с<^ на С, до элемента из С7, и каждый элемент пространства С7 получается таким

См. Бурбаки [8, стр 74]. — Прим, перев.

способом из единственного элемента пространства Мс. Тем самым возможность отождествления пространства С и Мс показана.

В пространстве Мс можно ввести слабую топологию о(Л1с, С), которая, вообще говоря, сильнее топологии, индуцированной в Мс топологией о(Л1, о^).

Мера р называется положительной (что записывается р^О), если для каждой неотрицательной функции / Ес^ имеет место неравенство р(/) >0. Обозначим через М+ множество положительных мер и положим М+ =М+ПМС. Если мера р е 7И+ продолжена описанным выше способом на С (и ее продолжение снова обозначено р), то при f^C и />0 имеет место неравенство p(f) 0.

Иногда удобнее пользоваться обозначением (f, р) вместо р (f) (здесь j ^оУЕ и р е М или f е С и р е Л4С).

Перечислим несколько почти очевидных свойств мер, которые нам понадобятся.

Если X, р е М и Х = р на открытом множестве UclT (т. е. X— р обращается в нуль на U), то ^(f)=X(f) для всякой функцииобращающейся в нуль вне U.

Если р е М^ и функции f, g е С удовлетворяют нера- венетву f<g, то ц(П <n(g).

Если F — замкнутое подмножество в Т\ то множество

М+(О = (цеМ + : S^cF}

замкнуто в М.

Если К — компактное множество в Г, то множество 5={цеЛ1с+: S^K, н(1) = 1)

компактно в Мс.

Утверждение (а) следует из предложений 4.5.1 и 4.9.1, а утверждение (Ь) содержится в вводных замечаниях § 4.6. Утверждение (с) непосредственно вытекает из определений. Для доказательства (d) достаточно в силу (с) и теоремы 1.11.4 (2) проверить, что 2 — равностепенно непрерывное подмножество в С'. Возьмем произвольную функцию и г^УС, удовлетворяющую условиям O^tz^l на Е и и=\ на компактной окрестности К' множества К. Для всякой функции f е С и меры р е2 имеет место равенство p(f)=p(M). Далее, если K'^Su, то

— yup | f | у и < fu < yup | f | у и;

поэтому из положительности р следует, что при f е С и р е 2

|p(f)Kp(u)-SUp|f| = SUp|f|.

К"К"

Так как множество К" компактно, то отсюда вытекает, что множество 2 равностепенно непрерывно.

Связь 'с теорией потенциала основана на замечании, что в теориях Ньютона, Рисса и Грина каждой функции fcze^T, представляющей собой распределение массы или зарядов, ставится в соответствие функция Gf^C, представляющая соответствующий ротенциал. При этом отображение G определяется некоторым положительным ядром k^t, s), а именно

Gf (/) = J k (t, s) f (s) ds.

Однако эта деталь сейчас не очень важна. Основные свойства отображения G — это его линейность и положительность. Последнее означает, что Gf ^ 0 при f^O. Положительность отображения G обеспечивает его непрерывность в том смысле, что /V—»0 влечет Gfn->0 в С. Действительно, пусть К — компактное множество, содержащее Sfn для всех п, а функция и удовлетворяет условиям и ^ 0 на Е и и = 1 на К. Тогда существует такая последовательность чисел (ап), что о^Ои \fn\^-anu. Так как отображение G положительно, то | Gfn |^ ап • Gu, откуда следует, что Gfn 0 в С.

Непрерывность отображения G позволяет ввести сопряженное к G отображение G' пространства Мс в М, определяемое равенством

ц) = (/, G'p), (2.1.1)

где f ^<?vT и ц е Мс (подобным же образом определяется сопряженное отображение в более общей ситуации, описанной в §8.6). Таким образом, для заданной меры ц е Ме отображение f-^^Gf, ц) есть мера; эта мера есть не что иное, как G'p. Из формулы (2.1.1) следует непрерывность отображения G' при топологиях о(Л1с, С) и ^(Л!,^), а также положительность G\ которая означает, что G7 (М^ cl М^".

Упомянутые выше два принципа теории потенциала можно теперь сформулировать в терминах отображений G и G\ Первый из них иногда называется также принципом максимума Фростмана.

Принцип мажорирования. Если f и g— неотрицательные функции из ^и неравенство Gf ^ Gg имеет место во всех точках множества S/, то это неравенство справедливо во всех точках множества Т.

Второй принцип касается возможности применения процесса выметания Пуанкаре.

Принцип выметания. Для любой меры peAf+ и любого относительно компактного открытого множества U аТ

существует такая мера ц*^7И+, что S^+cz U, G'p* = G'p на U и G^* ^ G'p на Т.

Мы не имеем возможности пояснять здесь общее значение этих двух принципов. На эту тему имеется обширная литература, например, Валле-Пуссен [1], Фростман [1, 2], Карт ан [5—7], Брело [1—3]. Читатель может такж$ обратиться к обзорной статье Оцуки [1], в которой приведен большой список литературы.

Для исследования связи между двумя принципами нам понадобится еще одно определение. Отображение G' называется строго положительным, если С'ц^О при цеМ^ и ц=£0. Можно показать, что для этого необходимо и достаточно, чтобы^ для каждого t^T имело место соотношение G^t+O, где е^ — мера Дирака, сосредоточенная в точке I, определяемая формулой еДр)=ЦГ) для /еХ Этот факт, однако, -использоваться не будет.'

В следующей ниже теореме выявляется тесная связь между двумя принципами.

Теорема. Если отображение G' удовлетворяет принципу выметания, то G удовлетворяет принципу мажорирования. Если отображение G' строго положительно, то справедливо и обратное утверждение.

Доказательство. (1) Пусть отображение G' удовлетворяет принципу выметания, a f и g— неотрицательные функции из Ж. Для каждого teT обозначим через 8* меру вида, указанного в принципе выметания, если в нем положить ц = 8^, а в качестве U взять множество тех точек /е Т, в которых f(/) > 0. Из свойств меры е* и из равенства (2.1.1) следует, что

<А 6'^ = ^, G'et) = (Gf, е^СЖ

Из утверждения (Ь) следует, что

Gf W = (Gf, е;> < (Gg, е*) = (g, G%).

По определению мерыС'е* правая часть последнего неравенства мажорируется выражением

<5, С'е^ = <Gg, е() = Gg (/).

Таким образом, для каждой точки t^T имеем Gf(t) ^ Gg(t), что и означает справедливость принципа мажорирования.

Допустим теперь, что отображение G удовлетворяет принципу мажорирования, а отображение G' строго положительно. Для того чтобы вывести принцип выметания, мы сначала запишем его в иной форме.

Положим Л = 6 (лЩ И А (К) = G (М (Ю) для каждого компактного множества КаТ. Легко проверяется, что отображение G' удовлетворяет принципу выметания тогда и только тогда, когда выполняется включение

Л с АНЛ + М* (ТХЩ,(2.1.2)

где U — любое относительно компактное открытое множество в Т.

Множество МЦТ\ U) выпукло и в силу (с) замкнуто в М. Далее A(U) = U{^ с^О}, где B = G'(S), а множество 2 определено так же, как ив (d), если там заменить К на G. Из (d) следует, что множество 5 компактно в Мс, а из непрерывности G' вытекает компактность множества В в М. Кроме того, так как G'— строго положительное отображение, то O^S. Очевидно, что множество в правой части (2.1.2) выпукло; из простой леммы, которая будет доказана ниже, следует, что оно замкнуто вМ В силу следствия 2.1.4 это множество совпадает с пересечением всех содержащих его замкнутых полупространств.

Чтобы установить включение (2.1.2), а вместе с ним й принцип выметания, достаточно показать, что если функция h ^.^/f удовлетворяет неравенствам

(/г, р)>0 при peM+(7\G)и_

(Л, G'X) >0 при XeM+(t/), то

(Л, G'(3) ^0 для всех (3 е Mt.(2.1.3)

Предположения, сделанные относительно функции /г, означают, что

h>0 на T\G

и_

Gh^O на U.

Положим

f = /z- = sup(—h, 0), g = /z+ = sup(/i, 0).

Тогда S/czG, и поскольку h = g— f, то

Gg—Gf=Gh^ 0 на Sp

Из принципа мажорирования следует, что неравенство Gh > 0 выполняется всюду. Но тогда <Gh, |3> ^ 0 для всех ремЛ что совпадает с неравенством (2.1.3). Таким образом, принцип выметания доказан. |

Остается доказать справедливость следующей леммы.

Лемма. Пусть В — компактное, а С — замкнутое подмножество в М+ и 0 фВ. Тогда множество

Л=и^5: c>O}UC

замкнуто в М.

Доказательство. Надо показать, что если сеть (аг) в А сходится в М к точке £, то £ е А. Выберем с; *> 0, рг е В и у^ С так, чтобы аг=сгрг- + уг. Заметим сначала, что Ит8ирг-сг-< +оо. Действительно, в противном случае после перехода к подсетям можно было бы считать, что Нгщсг=+оо. Но

О Р/ = ci 1 (^Д) ^ ct 1а(-,

так что limpz = 0; отсюда в силу замкнутости множества В следует, что 0 е В, а это противоречит нашему предположению. Итак, lim sup с{< + оо. Переходя теперь к соответствующей подсети, можно считать, что сеть (сг) сходится к с и в то же время сеть (|Зг) сходится к р е В. Тогда сеть уг = ^г — с$г сходится, и ее предел у принадлежит С. Следовательно, g = cp + + у^Л, что и требовалось доказать. |

Принцип продолжения

Теорема. Пусть Е— топологическое векторное пространство, S — подмножество в Е и g— скалярная функция, определенная на S. Для существования непрерывной линейной формы f, такой, что f\S = g, необходимо и достаточно, чтобы существовала такая непрерывная полунорма р на Е, для которой неравенство

< п/ п\

5 ^g (хг) < р 2 atxt )(2.2.1)

г = 1\f=l/

выполняется для любого конечного набора чисел (aj^^^ и любого конечного набора kx^\^i^n точек из S.

Доказательство. Необходимость очевидна, ибо если существует линейная форма f, удовлетворяющая условиям теоремы, то p=\f\ есть полунорма, для которой справедливо соотношение (2.2.1).

Докажем достаточность. Пусть L — векторное подпространство в Е, порожденное множеством 3. Каждый элемент х е L п

имеет вид х = 2 Щхь где «г— число, a x^gS. Из соотношения Z = 1

п

следует, что /о(х) = 2azg(^) зависит только от х (и не

зависит от его представления). Очевидно, что определенная та- ким образом функция /о есть линейная форма на L, удовлетворяющая неравенству \^\^р. Теперь остается применить теорему Хана — Банаха (в аналитической форме), которая обеспечивает возможность продолжения /о до непрерывной линейной формы f на Е. 6

Замечания. Теорему 2.2.1 чаще всего приходится применять, когда S— векторное подпространство в £ (т. е. S = L) и g— линейная форма на 3. В этом случае (2.2.1) просто означает, что форма g непрерывна на 3. Далее продолжение всегда может быть выбрано таким образом, чтобы непрерывная полунорма, мажорирующая |g"| на 3, мажорировала бы и |f| на Е.

Читатель легко заметит, что теорема 2.2.1 применима к любому векторному пространству Е, наделенному топологией о(£, £*).

Применим теорему 2.2.1 для доказательства теоремы Тёп- лица, играющей значительную роль в изучении методов суммирования.

Теорема (Тёплиц). Пусть 3 и Т— произвольные множества, к — числовая функция на произведении SxT, такая, что для каждого s^S множество У^Т: k^s, t) ^0} конечно, и пусть задана числовая функция у на 3. Тогда для существования числовой функции х на Т, удовлетворяющей соотношению

у^ = s Hs, t)x(t) (seS), (2.2.2)

t^T

необходимо и достаточно, чтобы для каждого конечного набора чисел V^^\<i<n и каждого конечного набора элементов ^st\<i<n множества 3 из равенства

2 «^<sb /) = 0 (f ef) (2.2.3)

1 = 1

следовало равенство

п

(2.2.4) t = l

Доказательство. Необходимость очевидна. Для доказательства достаточности обозначим через Е векторное пространство тех числовых функций на Т, которые равны нулю всюду, за исключением конечного подмножества в Т (причем это подмножество зависит от рассматриваемой функции). По условию функция us: b—>k(s, t) принадлежит Е при каждом seS. Алгебраическое сопряженное к Е может быть отождествлено с пространством Кт (под К понимается поле скаляров), если

каждому х е Кт поставить в соответствие линейную форму и^—^^и^х^на Е. Нам нужно найти такую,линейную форму f Т

на Е, чтобы для каждого s^E имело место равенство f(us) = = y(s). Наделим пространство Е топологией о(Е, Е*). Из теоремы 2.2.1 вытекает, что для существования такой линейной фор- п

мы f необходимо и достаточно, чтобы из 2a^s =0 следовало i=i 1

п

^аШ ($0 = 0, где (осг) и (5г-) — произвольные конечные наборы соответственно чисел и элементов из S. Так как первое означает равенство нулю выражения

пп

S (0 = 2 ai& к$Ь ^ 1=111=1

при каждом t ^ Т, то достаточность условия теоремы доказана. |

Следствие. Пусть S, Т и к те же, что и в теореме 2.2.2. Множество числовых функций на S, имеющих вид (2.2.2), для некоторой функции х на Т замкнуто в пространстве Ks (К — поле скаляров), наделенном топологией поточечной сходимости на S.

Доказательство. Утверждение очевидно, так как если у есть поточечный предел сети (z/a) таких функций уа, что (2.2.3) влечет (2.2.4) (с заменой у на уа), то этому же условию удовлетворяет и функция у. 1

Замечание. Теорема 2.2.2 и следствие 2.2.3 останутся справедливыми, если заменить числовые функции функциями со значениями в произвольном векторном пространстве. Предоставляем читателю сформулировать эти результаты для указанного случая.

Применение принципа продолжения к функции Грина. Всюду в этом разделе через Q будет обозначаться фиксированная ограниченная область в Rn (n^S), а через F- (компактная) граница области Q в Rn. Классическая задача Дирихле (первая граничная задача теории потенциала) состоит в нахождении функции, гармонической в Q и принимающей заданные непрерывные граничные значения на F. Другими словами, для заданной непрерывной вещественной функции f на F требуется найти такую гармоническую в Q функцию щ. что для каждой точки t е F

lim иЛх) = Ц0*

x^Q,x->t

Из принципа максимума для гармонических функций следует, что решение, если оно существует, однозначно определяется функцией f. Известно также, что в случае достаточно гладкой границы F функцию Uj при заданном f можно найти, исходя из решений, соответствующих некоторым частным граничным значениям. Именно допустим, что для каждой точки Хо^ ^ известно решение U^x, х^, соответствующее граничным значениям Н^х^ функции h^x, х0), определенной (для х#=х0) формулой

h {х, х^ =h {х, х^ =log] х — х01 1 ПРИ п = 2,| х — х0 |2"п при п > 2,

h {х, х^ =

h {х, х^ =

где через [х— х0| обозначено евклидово расстояние между точками х и х0. Определим функцию Грина G(x, х0) для области Q равенством

G(x, хо) = /z(x, хо)— U (х, х0).

Как функция от х G является гармонической функцией в области Q\{x0} и принимает нулевые граничные значения. Вблизи точки х0 функция G имеет особенность такого же типа, как и функция h(x, х0). Применяя формулу Грина к области Q, получаем

и{ (хо) = ~ ®П1 / Шд0 V- хо) do (О,F

где соп —площадь (гипер)поверхности единичной сферы в Rn, а — поверхностная мера на F, а д обозначает дифференцирование вдоль нормали к F. Разумеется, здесь еще надо многое сделать для наведения строгости. Рекомендуем посмотреть хорошо известную книгу Келлог а [1], в особенности стр. 236— 237.

Наша цель — выяснить, как теорема 2.2.1 может быть использована для доказательства существования функции Грина G(x, х0). Фактически с помощью этой теоремы можно показать, что функция G(x, х0) существует для каждой ограниченной области, является гармонической в Q\(x0} и обладает заданными особенностями в точке х=хо, хотя граничное условие

lim G (х, х0) = 0, t^F,

XE9.,X>t

возможно, и не выполняется. Оно выполняется, если граница F достаточно гладка. В противном случае, как установлено недавними исследованиями, это условие заведомо нарушается. Однако даже тогда оно выполняется для «большинства» точек

границы F— исключительные точки образуют множество нулевой меры, которое поэтому пренебрежимо в теории потенциала. Эти результаты принадлежат Винеру, Перрону, Фростману, Валле-Пуссену и многим другим.

Для того чтобы применить теорему 2.2.1, введем банахово пространство 0(F) всех непрерывных вещественных функций на F с обычными поточечными алгебраическими операциями и с нормой, равной максимуму модуля рассматриваемой функции. Обозначим через Е векторное подпространство в C(F^ образованное сужениями на F функций, непрерывных на Q U F и гармонических в Q. Всякая функция f, принадлежащая Е, является сужением единственной функции указанного вида, которая есть не что иное, как функция uf (решение задачи Дирихле с граничным значением f). Для заданной точки %о^ П определим линейную форму А на Е, полагая L(f) = ^(х0) для f^E. Из принципа максимума следует, что форма L непрерывна на Е (ее норма на самом деле равна единице). Согласно теореме 2.2.1, форма L обладает линейным и непрерывным продолжением L* на все пространство C(Fy Пользуясь формой Е\ определим функции U и G на Q следующим образом:

Щх) = ЕЧНх\

G (х) = hxi (х) - U (х),

где hp^ =h(y, р) при у^р. Мы должны показать, что функции U^ и G^ играют роль указанных выше функций Щх,х^ и G\x, л-0).

Помимо рассмотрения поведения функции f на границе, нужно показать, что функция U—гармоническая bQ. Легко видеть, что отображение х v-^hx области Q в C(F) непрерывно. Из непрерывности формы L* на С^ следует непрерывность функции U на П. Теперь, чтобы установить гармоничность функции U на Q, достаточно показать, что в каждой точке А'Е Q величина U^ равна среднему значению функции U, взятому по любому шару достаточно малого радиуса с центром в точке х. Пусть В — шар с центром в х столь малого радиуса г, что BczQ. Среднее значение т функции U на В вычисляется по формуле

т=vbv /и ^ ^ ^’в

где ц— мера Лебега (т. е. йц — элемент объема в Rn). Если разложить В на конечное число подмножеств Вк достаточно малого диаметра и как-нибудь выбрать точки ук^Вк, то из

непрерывности функции U на Q вытекает, что этот интеграл отличается от суммы

к

= L= L1И (В)1И (В)^ hy^ k&k)к.^ hy^ k&k)к.

= L

= L

1

И (В)

1

И (В)

^ hy^ k&k)к.

^ hy^ k&k)к.

меньше, чем на любое наперед заданное е > 0. С другой стороны, легко видеть, что разность

ц (В) 5 ^Ук ^ И (5б) ~ ^ (5) / hy кА й^ ку)кВ

стремится к нулю равномерно относительно teF, когда наибольший из диаметров множеств Bh стремится к нулю. Поэтому в силу непрерывности формы L* на С(/) можно добиться, чтобы модуль разности s— ^*(2) не превосходил е, где г— элемент из С(77), определенный формулой

2 = VW I ^ ^ ^ ^'в

Для каждого t^F функция yv->hy(t) = h(y,t) гармонична по у е Q и потому г^Г^Цх, t)—hx(t), т. е. z — hx. Таким образом, если разбиение шара В достаточно мелко, то имеет место неравенство |s — L* (hx) |^ е, i. е. |s—17(х)|^8, откуда следует, что \т—t7(х) (^2е. Полагая 8->0, получаем т=и^, что и означает гармоничность функции U в Q.

Для того чтобы G->0 во всех точках границы, требуется достаточная гладкость некоторой части границы F. Здесь мы не будем входить в эти вопросы.

Заметим, что из результатов гл. 4 вытекает возможность представления формы L* интегралом по некоторой мере Радона ХХо на F. Мера кХо положительна, ее общая масса равна 1. Соответственно .

G (%) = h кх, %о) “ / h кх> А ^х0 (0,

F

и это служит определением функции G (х) = G (х, х0) независимо от того, является ли граница F гладкой или нет. Последняя формула может быть записана в виде

G кх, Xq) = U6xo (х) — UX)Co кх\

где [7е*0—потенциал (логарифмический при п = 2, ньютонов при п = 3) меры Дирака еХо в точке хо, а У/^0 (х) — потенциал меры ЛХо на F. Оказывается, что ХХо—это мера, получающаяся применением к еХо процесса выметания Пуанкаре на границе F.

Принцип продолжения в таком виде, как он сформулирован в теореме 2.2.1, наиболее прост в том смысле, что от искомого продолжения заданного функционала требуется только линейность и непрерывность. Ниже (в § 2.5 и 3.3) мы рассмотрим аналогичные результаты, относящиеся к случаям, когда*на рассматриваемое продолжение накладываются дополнительные ограничения. Последние связаны либо с частичным упорядочением векторного пространства, либо с инвариантностью искомого продолжения относительно заданной группы автоморфизмов векторного пространства.

2.3. Принцип аппроксимации

В этом параграфе рассматривается роль теоремы Хана — Банаха для обоснования некоторых общих приемов исследования аппроксимационных задач. Это — одна из наиболее плодотворных областей практического приложения названной теоремы.

Ситуация, с которой мы будем иметь дело, такова. Имеется локально выпуклое пространство Е и некоторое множество S в Е. Нужно найти условия, необходимые и достаточные для того, чтобы заданный элемент х^^Е можно было сколь угодно точно аппроксимировать некоторой комбинацией элементов из S. Допустимые комбинации могут быть трех видов:

Произвольные линейные комбинации, т. е. комбинации п

вида S ^xh где 7ц— произвольные числа, а — произволь- i = l

ные элементы из S.

Произвольные выпуклые комбинации, т. е. комбинации п

вида 2 Wb гДе аг — такие положительные числа, что

п

S^i^L a Xt — произвольные элементы из S.

Произвольные выпуклые уравновешенные комбинации, п

т. е. комбинации вида 2 ^Хь где числа рг- удовлетворяют ус- z=i п

ловию SlM^h а х4 — произвольные элементы из S.

Выражение «х0 аппроксимируется сколь угодно точно в Е комбинациями вида (1) (соотв. вида (2), (3))» означает, что х0 принадлежит замкнутой линейной оболочке (соотв. замкнутой выпуклой оболочке, замкнутой выпуклой уравновешенной оболочке) множества S в Е. Соответствующие критерии могут быть получены из следствий 2.1.4 (1), (2) и 2.1.5. Результат можно сформулировать так.

Теорема. Пусть Е— локально выпуклое пространство, S — подмножество в Е и х0 е Е. Тогда

точка х0 является пределом (в Е) линейных комбинаций вида (1) элементов из S тогда и только тогда, когда каждая непрерывнтая линейная форма f на Е, удовлетворяющая условию f(S)=O, удовлетворяет также условию

точка х0 является пределом выпуклых комбинаций вида (2) элементов из S тогда и только тогда, когда для каждого вещественного непрерывного функционала f на Е выполнено неравенство

f (хоХ sup f(S);

точка х0 является пределом выпуклых уравновешенных комбинаций вида (3) элементов из S тогда и только тогда, когда для каждой непрерывной линейной формы f на Е имеет место неравенство

If(Хо) Xsup|f(S) |.

Замечания. (1) Из теоремы 2.3.1 вытекает, что в каждом случае, когда аппроксимация возможна в смысле слабой топологии в Е, она возможна и в исходной топологии пространства Е. В частности, если (хп)— такая сеть элементов из Е, что limxn = 0 в слабой топологии в Е (т. е. limf(xn)=0 для каждой непрерывной линейной формы f на Е), то можно построить такую сеть (у^, что lim ^/г* = 0 в исходной топологии пространства Е, причем каждый элемент у^, является выпуклой комбинацией конечного числа элементов хп.

Банах ввел понятия тотального множества и фундаментального множества в топологическом векторном пространстве Е. Множество S называется тотальным в Е, если для всякой непрерывной линейной формы f на Е, для которой f(S)=O, выполнено соотношение f(E)=O Множество S называется фундаментальным в Е, если наименьшее замкнутое векторное подпространство в Е, содержащее S, совпадает с Е. В этих терминах теорема 2.3.1 (а) формулируется таким образом: множество S в локально выпуклом пространстве Е тотально тогда и только тогда, когда оно фундаментально в Е.

Теорема 2.3.1 имеет столь многочисленные полезные приложения, что совершенно невозможно привести здесь даже все характерные примеры. Л. Шварц [15] систематически использовал теорему 2.3.1 (а) для детального изучения семейства функций е-ах (при различных значениях параметра сс) в некоторых известных пространствах функций на полупрямой (0, оо). Читатель найдет в указанной работе пример использования функционально аналитических методов для решения задач, возникающих в классическом анализе. Мы приведем несколько примеров приложений более узкого типа, хотя тем не менее каждое из них типично для определенной категории задач.

Пример. Л. Шварц [3] очень изящно применил теорему 2.3.1( а), утверждающую тождественность тотальных и фундаментальных множеств в локально выпуклом пространстве, к изучению специальных семейств непрерывных функций на Rn.

Обозначим через C(Rn) векторное пространство всех непрерывных вещественных функций на Rn. (Комплексные функции могут быть изучены таким же образом.) Пространство C(Rn) становится метризуемым локально выпуклым пространством, если наделить его системой полунорм

^(f) = sup {|f (х) |: |х|<&}.

Эта система полунорм определяет компактно открытую топологию, или топологию равномерной сходимости на компактных подмножествах пространства Rn. Для заданных функции feC(Rn), числа а>0 и точки b^Rn обозначим через f^b функцию х\->Цах-^Ьу Каждая функция fa, & принадлежит пространству CtR77). Вначале выясним, при каких условиях на f может оказаться, что семейство fa, ь (ос > 0, b е Rn) не является фундаментальным в C(Rn).

Теорема А. Пусть функция feC(Rn) такова, что множество функций Ub (ос > 0, b е Rn) не является фундаментальным в C(Rn). Тогда существует такой линейный дифференциальный оператор с частными производными вида

(2.3.1)(2.3.1)г УdN

(2.3.1)

(2.3.1)

P,+ ... + pn~N^X1 * ' 1 ^n

где рк — неотрицательные целые числа и аРр...,Рп— вещественные числа, не все равные нулю, что функция f является обобщенным решением уравнения Lf = Q, т. е. f является пределом в C(R") бесконечно дифференцируемых функций, удовлетворяющих этому уравнению.

Доказательство. Используем тот факт (следствиезнаменитой теоремы Вейерштрасса о полиномиальной аппроксимации,

которая сама является частным случаем теоремы, устанавливаемой в п. 4.9.5), что функции вида хр = х^1 ... хРп (где хк— координаты в Rn, а рк независимо друг от друга пробегают целые неотрицательные числа) образуют фундаментальное множество в C(Rn). Если множество функций /а, ь не является фундаментальным в C(Rn), то из теоремы 2.3.1(a) следует существование непрерывной линейной формы F на C(Rn), удовлетворяющей условиям Е^О и ^(fa, ь)=0 для всех ос>0 и всех b е R^. Так как Е^О, то должен существовать такой одночлен x^ (^ь... ^q^, где q^— неотрицательные целые числа, что F^x^^O. Положим

N = qx + ... -Yqn,

aPvaPvN\*’Pn” pj ... pn\N\*’Pn” pj ... pn\F^ =F^ =Pi! ... Pn^Pi! ... Pn^

aPv

aPv

N\

*’Pn” pj ... pn\

N\

*’Pn” pj ... pn\

F^ =

F^ =

Pi! ... Pn^

Pi! ... Pn^

где p = (pi,. . ., Pn) — всевозможные наборы целых чисел ри ^ О, и определим оператор L формулой (2.3.1); ясно, что L — нетривиальный линейный дифференциальный оператор.

Теперь нам нужно обойти трудности, вызванные тем, что функция f может не быть дифференцируемой. Возьмем некоторую бесконечно дифференцируемую функцию г на Rn, которая обращается в нуль вне некоторого ограниченного множества, и рассмотрим функцию

gU) = J f{x + y)r{y)d\k(y),(2.3.2)

где через ц обозначена мера Лебега на Rn. Функция g, очевидно, бесконечно дифференцируема на Rn. Легко видеть, что из равенства F (fat ь) = 0, где а>0 и 6g Rn, следует, что

FUa.bW (а > 0, Ье^.(2.3.3)

Это утверждение легко установить, пользуясь непрерывностью F и аппроксимируя функцию g в C(Rn) суммами вида ^f^x-V-y^r^kW^ShY где множества Sft образуют конечное к

разбиение того ограниченного множества, на котором г отлично от нуля, а уи суть произвольным образом выбранные точки вЗ^.

Продифференцируем соотношение (2.3.3) N раз по сс и затем положим сх-^О. В силу бесконечной дифференцируемости функции g и непрерывности формы F получим, что

Lg^=0

для всех b^ Rn. Таким образом, функция g является решением уравнения Lg = 0.

В заключение остается только заметить, что функция f может быть сколь угодно точно аппроксимирована в C(R??) функ-

циями вида (2.3.2); действительно, если функция г удовлетворяет условиям r^O, J rt (7) d\x.^ = 1 и равна нулю вне некоторой окрестности нуля щ в Rn, где диаметры множеств U^ стремятся к нулю при i-^оо, то gt-^f в C(Rn). Итак, теорема А доказана. 9

Имеет смысл пойти несколько дальше и выяснить, при каких условиях множество всех функций, получающихся из функции / движениями, не является фундаментальным. Движением в R72 называется любое преобразование, принадлежащее группе, порожденной сдвигами, вращениями вокруг начала координат и гомотетиями с положительными коэффициентами с центром в начале координат. Обозначим эту группу преобразований через S. Если s — элемент группы S, a f— функция на Rn, то будем обозначать функцию fos через fs и говорить, что она получена из функции f движением s.

Теорема В. Пусть функция [^C(Rn) такова, что множество всех функций, получающихся из нее движениями, не является фундаментальным в C(Rn). Тогда существует такое целое число m^Q, что функция f есть обобщенное решение полигармони- ческого уравнения

kmf = O, (2.3 Л)

где через А обозначен оператор Лапласа на Rn.

Доказательство. Так как группа S содержит все сдвиги и гомотетии с центром в нуле с положительными коэффициентами, то по теореме А функция f является обобщенным решением уравнения Ц = 0, где L — дифференциальный оператор (2.3.1) и

Так как группа S содержит все вращения,, то можно добиться, чтобы форма F была инвариантна относительно вращений в смысле, что F (g^ = F(g) для всех g е C(Rn) и всех вращений г. Для этого рассмотрим множество G всех вращений как компактную группу. (Ее топология может быть определена, например, так: представим каждое вращение матрицей относительно неко- горого фиксированного базиса в Rn и возьмем естественную топологию, в которой сходимость означает сходимость каждого элемента матрицы.) Пусть X— биинвариантная мера Хаара на G (п. 4.0.8). Заменим F линейной формой F*, определенной равенством

F4g) = f F^dX^.

G

Легко видеть, что форма F* инвариантна относительно вращений в описанном выше смысле; соответствующим выбором центра вращения можно добиться того, чтобы F*^0.

Обеспечив таким образом инвариантность формы F относительно вращений, рассмотрим форму

2аРг..„РХ?‘...Х^

?1+ ••• +Pn=Af

которая в силу (2.3.5) равна

F[№x1+ ... -vx^^Y

Так как форма F инвариантна относительно вращений, то последнее выражение является функцией от

что возможно только в том случае, если оно име^т вид

... +^)2 ,

где у N — целое число; обозначим его через т. Но тогда ясно, что уравнение Ц = 0 эквивалентно уравнению Amf = O, что и требовалось доказать. |

Замечания. (1) Если /г = 2, то группу G можно параметризовать обычной угловой переменной 0, пробегающей интервал (0,2л). В этом случае

2Л

G0

Если n= 1, то группа движений G состоит только из двух элементов (умножений на 1 и —1) и интегрирование по К означает просто взятие среднего арифметического по этим двум элементам.

Если п=1, то группа вращений G состоит лишь из тождественного преобразования. В этом случае получаем следующий результат: если множество функций fa, ^, где а пробегает множество из R, имеющее нуль предельной точкой, а b — непустой открытый интервал (6х, Ь'^ в R, не является фундаментальным, то сужение f|(bx, b") представляет собой многочлен степени не выше т, где т зависит только от f (а не от интервала (Ьх, 6ХХ)). Доказательство мало отличается от доказательства теоремы А. При этом используется теорема Ролля для того,4

чтобы показать, что если бесконечно дифференцируемая функция одного переменного обращается в нуль на множестве точек, имеющем нуль предельной точкой, то такая функция и все ее производные обращаются в нуле в нуль.

Дополнения к теореме 2.3.1 и ее дальнейшие приложения

До сих пор наше внимание было сосредоточено на части (а) теоремы 2.3.1. В этом параграфе мы несколько дополним утверждения (Ь) и (с) этой теоремы и приведем некоторые их приложения.

Прежде всего утверждения (Ь) и (с) можно дополнить независимыми от них утверждениями о возможности представления посредством рядов и интегралов элементов замкнутой выпуклой оболочки * (или замкнутой выпуклой уравновешенной оболочки) некоторого заданного семейства элементов пространства Е. Рассмотрим вначале более простой случай рядов.

Пусть в пространстве Е задано семейство элементов ^xt\GT> где Т— произвольное множество. Обозначим через Iх (Т) банахово пространство числовых функций о на Т, для которых

ll^lli = S I <т(0 К +°°'teT

Примем следующее допущение:

В Е' существует такое тотальное подмножество F, что для каждого элемента о^Т(Т) ряд 2 o^xt схо- te T

дится в слабой топологии o(E,F) и lim^(xz) = 0 для t -> ОО

каждого f^F (это означает, что lim sup | / (х^) | = О, N t^T\N

где N пробегает упорядоченное по включению направленное множество конечных подмножеств в TV

Теорема. Пусть семейство (х^ет в Е и тотальное подмножество F в Е' таковы, что выполняется допущение («). Тогда каждый элемент х замкнутой выпуклой оболочки А (соответственно замкнутой выпуклой уравновешенной оболочки 6) множества {хр 1еТ^ 8 Е можно представить в виде ряда

х = 2 or (i)xty(2.4.1)

t е Т

где о — функция из Iх (Т), удовлетворяющая условиям з^О и II о Ik < 1 (соответственно II о || i < 1). Кроме того, каждый элемент х вида (2.4.1), для которого || о lh 1, принадлежит В.

Доказательство. Обозначим через Ло (соответственно 60) множество тех функций о из Iх (TV для которых о^О

и IMi^l (соответственно Holli^l). Множество Ао выпукло, а множество So выпукло и уравновешено. Ниже (теорема 4.1.2) мы увидим, что пространство Iх СП может быть отождествлено с сопряженным к банаховому пространству с^СП^ образованному теми числовыми функциями на 7, которые стремятся к нулю на бесконечности, и наделенному нормой, равной верхней грани модуля рассматриваемой функции. Из теоремы 1.11.4(2) следует, что каждое из множеств Ло, Во относительно компактно в топологии с>СЧП, ^о(7)). Обозначим эту топологию через J. Очевидно, однако, что оба множества Ао и Во замкнуты в топологии (/; следовательно, они оба компактны в этой топологии.

Рассмотрим теперь линейное отображение и пространства Iх СП в ЕС определенное равенством и(о) = 2 o(t)xt. В силу t т

допущения (%) отображение и непрерывно для топологии J в 7(7) и топологии o(E,F) в Е. Отсюда следует компактность каждого из множеств «(Ло), и^В^ в топологии g(E, F), а также их замкнутость в этой топологии (последняя отделима, так как множество F тотально в Е').

С другой стороны, очевидно, что о(Е, 7)-замыкание множества «(Ло) (соответственно и(В0)) содержит А (соответственно В). Следовательно, и (Ло) id А и u(B0)zdB, Наконец, очевидно, что «(Во) сВ, т. е. и(В0)=В, чем и завершается наше доказательство. |

Замечания. (1) Нет оснований ожидать, что «(Ло) сА. Ясно лишь, что если обозначить через Ах множество тех функций не/1 (Г), для которых о>0 и 11^111 = 1, то и^Ах^аА и и(Ах) плотно в Л (в топологии б(Е.Р)). Множество Ль вообще говоря, не компактно в топологии J, так что мы не можем сделать вывода о замкнутости множества и (Ах) в топологии o(E,F) и, следовательно, о его совпадении с А. Однако, может быть, удастся доказать равенство «(Л^—Л, показав, что из условий geA0 и x = u(g)^ А следует ||a||i = 1 (т. е. оеЛ)? Ответ на этот вопрос зависит главным образом от того, насколько велико максимальное подмножество G в Е\ для которого ряд, определяющий «(о), сходится в топологии о(Е, G), или, точнее, настолько велико множество G вещественных функций g на Т вида g(t) =g(xt), где g е G. Действительно, если не Ло и х = и(о)^ Л, то для каждого функционала geEz имеет место неравенство

g(x)>inf {^(0: t^ TY

и потому

2 a(Og(O>inf{m *^П(2.4.2)

т

для каждого gEG. Иногда удается показать, что неравенство (2.4.2) влечет за собой неравенство

2 о^>1te т

и что, следовательно, аеЛ] и x^u(Av).

В качестве простого примера рассмотрим случай, когда Т — множество целых неотрицательных чисел, Е— пространство непрерывных периодических вещественных функций вещественного переменного с периодом 2л, наделенное топологией, определяемой равномерной нормой

'|| х || = sup {|х (s) |: s вещественно),

a xt — функция st—>cos is. Ясно, что в этом случае можно считать, что G = E' и что F совпадает с множеством линейных 2л

форм вида х н-> | х (s) f (s) ds, где функция f, скажем, непре- о

рывна и имеет период 2л. В формуле (2.4.2) можно взять в качестве g линейную форму х\—>хф^ что дает So^O^l- Та- /=о

ким образом, в этом случае можно утверждать, что замкнутая выпуклая оболочка в Е функций xt состоит в точности из функций вида x(s) = 2 oncosts, для которых о(0^0 и 2<*(0 = f=0f=0

= 1.

Аналогичный результат имеет место для соответствующих «непрерывных» семейств (xz)/er При этом обычно множество Т является локально компактным пространством, а отображение t \—> xt непрерывно, причем lim^ = 0 (относи- t -> оо

тельно соответствующей отделимой топологии в Е). Пространство 1ЦТ) можно тогда заменить пространством ограниченных мер Радона на Т (гл. 4). Здесь мы не намерены углубляться в вопрос, так как аналогичные рассуждения в сходной ситуации появятся при доказательстве теоремы 8.13.1 и 10.1.7.

Продолжение положительных линейных форм

Выпуклые конусы и частичное упорядочение. Пусть Е— вещественное векторное пространство. Конусом в пространстве Е называется такое его подмножество К, что KKclK

для всякого числа Л > 0. Конус К называется заостренным, если ОеК, а заостренный конус — выступающим, если К не содержит никакого одномерного векторного подпространства в Е. Конус К, который является также выпуклым множеством в Е, называется выпуклым конусом. Таким образом, подмножество К в Е является выпуклым конусом тогда и только тогда, когда ХКаК для всякого Х>0 и К-РКаК. В этом случае векторное подпространство в Е, порожденное выпуклым конусом К, совпадает с множеством К — К. Если конус К заострен, то КП(—К)—наибольшее векторное подпространство в Е, содержащееся в К. Заостренный выпуклый конус К будет выступающим тогда и только тогда, когда КП(—^) ={0}.

Пусть векторное пространстве Е наделено частичным порядком, записываемым «х^.у» (или, что то же, «у^х»). Если структуры векторного пространства и частичного порядка согласованы так, что

х^у влечет х+'г^^ + г ^x^zeE'X

соотношения V>Q и х^О влекут Хх^О (XgR;xе£), то пространство Е называется упорядоченным векторным пространством. Предполагается, конечно, что частичный порядок удовлетворяет обычным аксиомам: х^х (рефлексивность), из х^.у и у ^2 следует х^2 (транзитивность), из х^у и у^х следует х = у.

Если Е— упорядоченное векторное пространство, то очевидно, что так называемый положительный конус

Р = {х: х е Е, х> 0}

является выступающим заостренным выпуклым конусом в Е. Обратно, если в Е задан выступающий заостренный выпуклый конус Р, то можно определить частичный порядок в Е, полагая х^у, если х — у^Р. Этот частичный порядок превращает Е в упорядоченное векторное пространство, причем это единственная структура „упорядоченного векторного пространства в Е, при которой Р совпадает с множеством положительных (т. е. неотрицательных) элементов.

Естественно поставить вопрос, при каких условиях положительная) линейная форма, заданная на векторном подпространстве упорядоченного векторного пространства Е, может быть продолжена до положительной линейной формы на Е. Мы сначала получим результат (теорема 2.5.2), применимый в случае, когда Е— упорядоченное векторное пространство, а М— «достаточно большое» векторное подпространство в Е. Отсюда

легко перейти к аналогичному результату (теорема 2.5.3), принадлежащему М. Г. Крейну. Теорема Крейна 2.5.3 применима к случаю, когда упорядоченное векторное пространство Е есть также топологическое векторное пространство, а множество РПЛ1 имеет внутреннюю точку.

Теорема. Пусть Е — упорядоченное векторное пространство и М — векторное подпространство в Е, обладающее тем свойством, что каждому элементу х ^ Е соответствует по меньшей мере один такой элемент т^М, что х ^ т. Если f— положительная линейная форма на М {относительно индуцированной структуры), то f можно продолжить до положительной линейной формы р на Е.

Доказательство. Определим функцию р на Е равенством

р (х) = inf {/(</): уеМ, у>х\

Из свойств множества М следует, что каждому х е Е соответствуют такие элементы т, т'^М, что т'-^х^т. Отсюда вытекает конечность функции р; действительно, справедливо неравенство

Так как Р — выпуклый конус* то р служит калибровочной функцией на Е (§ 1.6). Если х^М, то очевидно, что р{х) ^ ^И{х). С другой стороны, если х, у е М и у^ х, то f {у) ^f{x) (так как форма f положительна на Л1); поэтому p(%)>f(x) для х^М. Итак, если хеМ, то имеет место равенство Цх)=’ =р(.х).

В силу теоремы 1.7.1 (1) на Е существует линейная форма Р, являющаяся продолжением формы f и удовлетворяющая условию р (х) ^ р (%) для х^Е. Если х>0, то р(—х) ^ ^.р{—х) = inf {f{y): у ^ М, у-^х^> 0}^f (0) — 0. Таким образом, Р(х)>0, и, следовательно, Р— положительная линейная форма на Е. |

Теорема (М. Г. Крейн). Предположим, что Е— упорядоченное векторное пространство с положительным конусом Р и одновременно топологическое векторное пространство. Пусть М — такое векторное подпространство в Е, что пересечение М[}Р обладает по крайней мере одной внутренней для Р точкой xQ. Тогда каждую положительную {относительно индуцированной структуры) линейную форму f на М можно продолжить до непрерывной положительной линейной формы f* на Е.

Доказательство. Пусть U — такая уравновешенная окрестность нуля в Е$ Xq+UclP, Если хеЕ и число Х>0

таково, что x^XU, то — ^х ^ U и, следовательно, х0 — ■— х е Р, т. е. х<Ах0. Таким образом, условия теоремы 2.5.2 выполнены. Из рассуждений, использованных при ее доказательстве, следует, что p(x)-^kf (х0), если хеХУ и X > 0. В силу теоремы 2.5.2 форма f может быть продолжена до такой положительной линейной формы f* на £\ что Р^^р^х) для всех х е Е. Значит, f*(x)-^Xf(xo) при хе ХУ и X > 0. Из уравновешенности окрестности У вытекает неравенство |f*(%)l^ ^Xf(xo) для хе У. Следовательно, форма f* непрерывна на Е. |

Как уже говорилось в п. 2.2.5, можно искать аналогичные теоремы продолжения, в которых на заданные линейные формы накладываются дополнительные ограничения и те же требования предъявляются к продолжениям. Мы еще вернемся к этому вопросу в § 3.3.

Некоторые результаты с приложениями к теории игр

Как будет показано ниже в этом параграфе, некоторые основные принципы теории игр могут быть сформулированы в терминах компактных выпуклых множеств и выпуклых конусов в вещественных локально выпуклых пространствах. Примем пока на веру, что приложения к теории игр действительно возможны, и займемся предварительно некоторыми абстрактными результатами, в изложении которых мы будем следовать Б о- ненблусту и Карлину [1]. Основополагающий принцип теории игр в случае конечных дискретных игр, соответствующем конечномерному векторному пространству, может быть сформулирован следующим образом. Пусть задана конечная матрица ^щ^ с вещественными элементами; допустим, что каждому набору чисел (^), q^O и 2?/=h соответствует такой набор чисел (pj, pz>0 и ^pi=X, что

5 5 atlptqj > 0.

Тогда существует набор ^рО такого же типа, для которого неравенство

справедливо для каждого набора ^qj) указанного вида.

Обобщение, которое мы имеем в виду, сводится к замене выражения

^^ацр^)

билинейной формой довольно общего вида, определенной на произведении двух локально выпуклых пространств. Однако в начале удобнее работать с одним таким пространством и его топологическим сопряженным.

Всюду в этом разделе, где не указано противное, под Е и F понимаются вещественные отделимые локально выпуклые пространства с топологическими- сопряженными Е' и F' соответственно. Для обозначения значения линейной формы х' е Е' на элементе хеЕ будет удобно пользоваться симметричным символом {х, х'\

Наша первая задача состоит в следующем. Допустим, что заданы множество К в Е и выпуклый конус Г в ЕЕ Мы всегда будем предполагать, что конус Г слабо замкнут (т. е. замкнут в топологии о(Е', £)), хотя можно с таким же успехом заменить эту топологию в Е' любой локально выпуклой топологией, которая согласуется с двойственностью между Е и Е' (т. е. относительно которой топологическое сопряженное к Е' совпадает с Е; см. § 8.3). Будем считать, что выполнено следующее

Предположение. Каждому /е Г соответствует такое х еК (априори зависящее от х'), что (х, х') ^ 0.

Заключение, которое мы хотим вывести, таково.

Заключение. Существует такое х0 е К, что (лг0, х') ^ 0 для всех / е Г.

Сначала мы покажем, что Заключение верно, если К — компактное выпуклое множество, затем покажем, что эти условия на К могут быть видоизменены. Первый результат доказывается сравнительно просто и уже охватывает некоторые приложения к теории игр.

1. Теорема. Пусть К— выпуклое компактное подмножество в Е и Г — слабо замкнутый выпуклый конус в ЕЕ Если выполняется Предположение, то верно Заключение.

Доказательство. Рассмотрим множество

АЦхеЕ: (х,х') >0 для всех /еГ}

и покажем, что пересечение АПК не пусто. Очевидно, что множество А является заостренным выпуклым замкнутым конусом в Ё. Допустим, что множество АПК пусто, тогда из следствия 2.1.3 вытекает существование такого функционала х^еЕ' и такого вещественного числа а, что (х, х')>а при хеА и (х, х')<а при хеК. Так как множество А содержит нуль, то из первого неравенства следует, что ос <9. Поскольку А — конус, первое

неравенство влечет за собой также неравенство (х, х^^ 0 для х^А. Докажем теперь, что х^Г. Если это не так, то из следствия 2.1.4 (примененного к Е' вместо Е) вытекает существование такого элемента сеЕ, что (с, х^< inf {(с, х') .* х' е Г}. Так как Г —конус, отсюда следует, что (с, х') > О для /еГ, т. е. с^А и (с, х')<0, а это противоречит выбору функционала л'. Следовательно, х'е Г. Но тогда неравенство (х, х')<а<0 для хе К противоречит Предположению. Теорема доказана. 1

Приведем сразу одну модификацию теоремы 2.6.1.

2. Теорема. Пусть подмножество К в Е удовлетворяет следующим условиям;

К компактно;

множество Q = U ХК выпукло;

не существует сегмента, соединяющего две точки из К и содержащего нуль.

Пусть Г — слабо замкнутый выпуклый конус в Е'. Если выполняется наше Предположение, то справедливо и Заключение.

Доказательство теоремы 2.6.2 опирается на три леммы.

3. Лемма. Пусть К — компактное подмножество в Е, не содержащее точки 0. Тогда множество Q = U ХК замкнуто.

(Если пространство Е неотделимо, то заключение леммы останется справедливым, если заменить условие ОфК условием {ОЖ=0.)

Доказательство. Если точка х из Е принадлежит замыканию множества Q, то существуют такие сети (XT) и (х^ с одинаковым множеством индексов, что Xi^O, Xt^K и lim^zxz = x. i

Так как множество К компактно, то найдется такая подсеть ку,), что предел у = Игл у] существует и принадлежит К. Пусть (pj)— соответствующая подсеть сети (АО- Тогда limp/Z// = x. Но у+-0 и, следовательно, существует такая непрерывная полунорма р на Е, что р^4"-0 (если Е не отделимо, то это следует из того, что у^$\Х Так как РкУЙ^РкУ^ и р,р(у,) = =р(р,Уз)-> р^х), то существует, и притом конечный, предел p = limp/. Очевидно, р^О. Таким образом, р/-*р и yj^y; следовательно, x = lim(pyt//) = pz/, откуда вытекает, что xeQ, т. е. что множество Q замкнуто. |

Замечание. Условие, что нуль не принадлежит множеству /(, не может быть опущено в лемме 2.6.3. Действительно, пусть,

например, £=R2, а множество К состоит из точек 0=(0, 0) и хп = \п \ (м + 2) 2) (п = 1, 2, ...). Точка (0, 1) не принадлежит Q, тогда как точки п^х^ принадлежат Q и образуют последовательность, сходящуюся к точке (0, 1). Следовательно, множество Q не замкнуто.

4. Лемма. Пусть множество К удовлетворяет условиям (1), (2) и (3) теоремы 2.6.2. Тогда существуют такое число б > 0 и такой элемент х' е Е\ что (х, х^ ^ б для всех х ^К.

Доказательство. В силу последней леммы множество Q замкнуто, а по условию (2) оно выпукло. Согласно (3), если х е К, то элемент —х не принадлежит Q. Действительно, в противном случае мы имели бы х=—Ху {у е КА^ 0), откуда следовало бы, что х + Ху = 0, так что точка 0 = х +1 v v У при- 1 т Л 1 т Л

надлежала бы отрезку, соединяющему точки х и у из К, что противоречит (3). Из следствия 2.1.3 вытекает существование для каждого ХоеК такого функционала х'^Е' и такого вещественного числа а, что

(—х0, х')<а и (у» V)>a для yeQ.

Полагая у = 0, получаем а<0 и, значит, (х0, х')>0. Так как множество Q является конусом, то соотношение ^у, х')>а ^yeQ) влечет неравенство ^у, х^^О для всех уеК. Теперь, пользуясь компактностью множества К» легко показать возможность выбора таких элементов х^ ..., х'п из Е\ чтобы нера- п

венство 2 (х, Х;)>0 было справедливо для всех хе К. Пола

гая Xi = 2 х; и снова пользуясь компактностью множества К» мы видим, что нижняя грань множества чисел (х, х^, где х пробегает К, строго положительна. |

5. Лемма. Пусть множество К удовлетворяет условиям (1) — (3) теоремы 2.6.2. Тогда в Е существует такое выпуклое компактное множество Ко, что элемент хфО принадлежит Q тогда и только тогда, когда Хх е Ко при некоторой X > 0.

Доказательство. Выберем функционал х' и число б>0 так, чтобы (х, х')^б при хе К (по лемме 2.6.4 это можно сделать). Ясно, что <х, х^>0, если х е Q и х^0. Пусть До— пересечение множества Q с гиперплоскостью (х, х^=1. Очевидно, что множество Ко замкнуто и выпукло. Если х е Q и х 7^=0, то «х, х^ух хеКй\ если же Ахе7<0 для некоторого

Я>б, то Xx^Q и, следовательно, x^Q. Остается только доказать компактность множества /Со- Пусть х е /Со; тогда х = Ху, где Л>0 и у^К- Так как (у, х^^б и (х, х')=1, то Л^б-1. Таким образом, множество /Со содержится в множестве (J ХК, 0<А<ц, где ц = б“\ Отображение f: R X К^Е, определенное правилом (^, y)v~^Xy, непрерывно, поэтому оно переводит компактные множества в компактные. Множество /Со содержится в образе (относительно отображения /) компактного множества [0, р] X /С; поэтому оно относительно компактно, а так как /Со замкнуто, то и компактно. |

Доказательство теоремы 2.6.2. Теперь уже легко доказать теорему 2.6.2. Если заменить множество К на множество /Со, построенное в лемме 2.6.5, то выполняются условия теоремы 2.6.1. Следовательно, в /Со имеется такой элемент у0, что (уо, х')Х) при х'^Г. В силу леммы 2.6.5 существует такое число Х>0, что элемент Хо = Ху^К. Тогда и (хо, *') ^0 при /еГ, что и требовалось,доказать. |

Опираясь на теоремы 2.6.1 и 2.6.2, можно получить непосредственное обобщение теоремы Билля из теории игр.

6. Теорема. Пусть Е и F — вещественные отделимые локально выпуклые пространства, L и М— множества в Е' и F' соответственно, и пусть отображение и; L-^F обладает тем свойством, что каждому у'^М соответствует некоторый элемеш x'^L, удовлетворяющий неравенству

<и (х'), ^ > 0.

Предположим также, что множество K=u(L) либо выпукло и компактно, либо удовлетворяет условиям (1), (2) и (3) теоремы 2.6.2 (где Е всюду заменено на F), и что множество (J ХМ выпукло и слабо замкнуто в F'. Тогда существует такой х>о

элемент xj е L, что

W)> />>о

для всех у' еМ.

Доказательство следует из теоремы 2.6.1 или теоремы

2, если взять F в качестве Е, К=иЩ и Г = (J ХМ. |

7. Приложения к теории игр. Сейчас наша задача состоит в том, чтобы задним числом мотивировать рассмотрение предыдущих результатов этого параграфа, показав их связь с теорией игр. Сначала несколько слов по поводу этой теории (подробно

с ней можно познакомиться по книгам фон Неймана и Моргенштерна [1] и Мак-Кинси [1]).

Многие задачи теории игр можно сформулировать примерно так. Рассматриваются два игрока, назовем их Л и В. «Игра» (или отдельный «ход» в этой игре) сводится к выбору игроками Л и 6 соответственно элементов s и t из наперед заданных множеств S и Т. По «правилам игры» к концу игры, заключающемуся в выборе пары (s, /), игрок В выплачивает игроку Л сумму P(s, /), где Р— заранее заданная функция на SxT. Функция Р может принимать и отрицательные значения (этим принимается в расчет случай, когда игрок Л «в проигрыше»). Здесь мы рассматриваем только игры «с нулевой суммой», в которых исключены посторонние источники обогащения: на каждой стадии один игрок выигрывает ровно столько, сколько другой проигрывает.

Естественно возникает вопрос: всегда ли у игрока существует «лучший» или «наиболее выгодный» выбор? Решая этот вопрос, примем, например, сторону игрока Л. Предположим на время, что множества S и Т конечны, и введем следующие два числа:

IF^maxminP^, /),s t

W* = min max P (s, /),t s

максимин и минимакс функции Р (определенной на SxTy До* пустим, что элементы s eS и t^^T таковы, что

W* = min Р (s0, t\t

!F* = maxP(s, /0).s

Несложные рассуждения приводят к следующим выводам. (1) Если игрок Л выберет s0, то он выиграет не менее, чем W*, независимо от выбора игрока В. (2) Если игрок В выберет /о, то игрок Л ни в коем случае не выиграет больше, чем W\ и при соответствующем выборе Л может выиграть W*. Допуская, что игрок Л действительно выбрал s0, а игрок В выбрал /0, мы получаем, что IF* ^ W*. (Разумеется, к тому же самому можно прийти совершенно независимо от этой интерпретации. В самом деле, min Р (s', t^^P(sf, t\ следовательно, тем более min P(s', ^maxP(s, /); левая часть этого неравенства от t не зависит,

поэтому

min Р (s', И^ min max P(s, f)=W*;

Vt s

в последнем неравенстве правая часть не зависит от s, так чтаIT, = max min Р (s', tO^W*O

s' t'

Может оказаться, что W*=W* = W. Тогда игрок А, выбирая s0, может выиграть по меньшей мере W, в то время как игрок В, играя надлежащим образом (выбирая ^о), может помешать игроку А выиграть более, чем W. Поэтому в очевидном смысле s0 представляет собой оптимальную стратегию для игрока А. Аналогично to представляет оптимальную стратегию для игрока 6. Точку (so, to) можно назвать стратегической седловой точкой рассматриваемой игры. Мы видим, что точка (so, to) обладает следующими свойствами:

Г = Г* = min В (s0, OWo, t). t

W=W* = maxP(<s) /0)>B(s, t0). s

Таким образом, W^P(.s0, 0) и W^P^Sg, t^, t, e.

W = P(sQ, 0) и

P(s, 0)<P(so, W<P($o, t).(2.6.1)

Обратно, если выполняется соотношение (2.6.1), то

max P(s, t0)^.P(sQ, 0) ^ min P (s^, 0, st

поэтому

IT, = max min P (s, 0>minP(so, 0>P(so, 0) stt

И•

F’ = minmaxP(s, 0 ^ max P(s, 0)^P(so, 0), • t ss

t. e. W* ^PVso.to)^^^ Так как всегда W^^W*, отсюда следует, что W* = W**=P^So, to). Другими словами, соотношение (2.6.1) характеризует (s0, /о) как стратегическую седловую/точку и, следовательно, s0 (соответственно to) как оптимальную стратегию для игрока А (соответственно В).

Если мы теперь рассмотрим случай, когда множества S и Т не являются оба конечными, то возникает отдельный предварительный вопрос: являются ли величины

sup inf Р (s, t),

s t

inf sup P (s, 0,

играющие роль W^ и W* соответственно, конечными, и если это» имеет место, то достигаются ли они?

Весьма важно, что даже в простейшем случае, когда множества S и Т конечны, числа W^ и W*, вообще говоря, не совпадают. Например, если В = Г={1,2} и Р(1, 1) = Р(2, 2) = 1, Р(1, 2) =Р(2, 1) =— 1, то, очевидно, 1F* =— 1 и 1Г*= + 1. При этом не существует оптимальной стратегии, и в действительности это скорее правило, чем исключение.

В связи с этим естественно возникает вопрос: нельзя ли в тех случаях, когда обычных оптимальных стратегий не существует, найти все же стратегии, рассчитанные на длинную последовательность игр и оптимальные в некотором «предельном» смысле? Математически это можно интерпретировать заменой пары индивидуального выбора (s,/) парой (о, т), в которой пит являются вероятностными мерами на множествах S и Т соответственно. При этом платежная функция P(s,t) заменяется величиной

В (а, т)= J J P^s, ^t/a^t/r^)1).

5 т

Большинство интересных задач охватывается случаем, когда В и Т— локально компактные пространства, а о и т — положительные меры Радона на В и Т соответственно с общими массами, равными единице. (Все эти понятия подробно рассматриваются в гл. 4.) При этом ищутся оптимальные смешанные стратегии По и то, обладающие тем свойством, что

В (а, т0) < В (а0, т0) < В (а0, т) (2.6.2)

(это условие совершенно аналогично условию (2.6.1)). Основная теорема теории игр утверждает, что при довольно широких предположениях относительно множеств В, Т и функции P^s, t) такие оптимальные смешанные стратегии по и то существуют. Мы докажем это, опираясь на теорему 2.6.6 и пользуясь некоторыми простыми свойствами мер Радона.

Пусть множества В и Т — компактные пространства (на практике это обычно компактные отрезки вещественной оси), а P(s, t) — непрерывная функция на SxT. Из результатов гл. 4 вытекает, что интеграл, определяющий функцию В (о, т), существует, конечен и может быть вычислен как повторный интеграл с любым порядком интегрирования. В теореме 2.6.6 положим E^C^S) и F = C(J), где С(В) и С(Т)—банаховы пространства

’) То есть математическим ожиданием случайной величины Р,~Примк ред.

вещественных непрерывных функций (с равномерными нормами) на S и Т соответственно. Как будет показано в’§ 4.10, пространство Е' (соотв. F^ может быть отождествлено с пространством вещественных мер Радона о (соотв. т) на S (соотв. на Ту При таком отождествлении мере а (соотв. т) сопоставляется линейная форма J x(s)da(s) (соотв. J У(0^(0) на про-

Sт

странстве C(S) (соотв. С (Г)). В качестве L (соотв. 7И) в теореме 2.6.6 возьмем множество положительных мер Радона о (соотв. т) на S (соотв. Г) с общей массой o(S) (соотв. т(Т)), равной единице. Согласно теореме 4.10.3, каждое из множеств L, М слабо компактно. Почти очевидно, что множество Г = (J ХМ X > о

всех положительных мер Радона на Т является слабо замкнутым выпуклым конусом в F'. Наконец, в качестве отображения и, фигурирующего в теореме 2.6.6, возьмем отображение, переводящее меру а в функцию

6^= J Р (s, t^da^s^s

которая, как легко видеть, является элементом пространства F (т. е. непрерывной вещественной функцией на Ту

Для того чтобы воспользоваться теоремой 2.6.6, нужно проверить компактность в пространстве F = C(T) множества К= = u(LV Если функция P(s, 0 удовлетворяет на SxT неравенству |P(s, t) \^m, то ясно, что |a(/) |^т при t^T и а L. Поэтому функции, принадлежащие множеству К, равномерно ограничены. Следующий шаг состоит в доказательстве их равностепенной непрерывности. Из непрерывности функции Р на произведении SxT и компактности множеств S и Т легко следует, что для заданных е > 0 и точки to^T существует такая окрестность V точки t0, что неравенство \P(,s, t) —P(s, t0) выполняется для всех s е S и t е V. Тогда неравенство |б(/)— б(/0) •^е имеет место при всех t е V и б ^Е, что и доказывает равностепенную непрерывность функций из К в точке /0. В силу теоремы Асколи множество К относительно компактно в С (Г), поэтому достаточно убедиться в его замкнутости. Но при фиксированном t^T отображение 6v-^6^ty очевидно, непрерывно на L (в слабой топологии). Так как L слабо компактно, то-множество K = u(L) компактно в топологии простой сходимости в Т и, следовательно, замкнуто в этой топологии (ибо она отделима), а значит, и подавно замкнуто в более сильной топологии равномерной сходимости на Т.

В качестве последнего подготовительного шага покажем, что максимин

W* = sup inf В (о, т)а т

и минимакс

= inf sup В (о, т)т о

конечны и достигаются.

Так как множества L и М слабо компактны, то таким же будет и множество LxM в топологии произведения. Поэтому достаточно доказать, что функция В (о, т) непрерывна на LxM относительно топологии произведения. Действительно, тогда функция inf В (ст, т) полунепрерывна сверху (и конечна) на L и т

потому достигает конечного максимума W* на L. Аналогично функция sup В (о, т) полунепрерывна снизу на М и достигает ко- а

нечного минимума W*. Что касается непрерывности функции В(о,т) на LxM, то она следует из того, что непрерывная на SxT функция Р является равномерным пределом конечных сумм вида п

Po^s, /)= 2 uMyAt\i = l

где 1ц и иг- берутся из пространства C(S) и С(Т) соответственно. (Если S и Т— компактные интервалы на вещественной прямой, то это следует из теоремы Вейерштрасса о полиномиальной аппроксимации функций двух вещественных переменных. В общем случае — из принадлежащего Стоуну обобщения теоремы Вейерштрасса, приведенного в п. 4.10.5.) Если функция Ро выбрана так, что \Р— Ро|^е всюду на SxT, то для всех (о, t)^LxM справедливо неравенство, |в(о, т) — J J Po^^Tj^e. С другой s т

стороны, функция' п

J J PQ do d% = ^ J щ do • J uzdr s Ti-18т

непрерывна в точке (а, т) в топологии произведения. Следовательно, и функция В (о, т) как равномерный предел непрерывных функций непрерывна.,

Применим теперь теорему 2.6.6. Так как бйлинейная форма В (о, т) = (и (о), т)

приводит в двойственность пространства C(T)=F и F', то сформулированное в § 2.6 Предположение означает в точности

то, что IF* ^ 0, а приведенное там же Заключение означает ровно то, что W^^O. Таким образом, для любой заданной непрерывной функции Р из W*^6 следует, что IF*^0. Поскольку здесь можно заменить функцию Р на функцию Р— к, где к — вещественная постоянная (при этом функция В (а, т) заменяется функцией 6 (а, т) — к), то те же самые рассуждения показывают, что IF* > к влечет IF* > к. Отсюда непосредственно вытекает, что IF*>IF* и, следовательно, 1F* = IF*.

Итак, мы доказали, что для всякой игры, в которой множества S и Т компактны и платежная функция Р непрерывна, оптимальные смешанные стратегии существуют. Это фундаментальная теорема теории игр. Подробное изложение теории можно найти в уже упоминавшихся книгах фон Неймана и Моргенштерна и Мак-Кинси.

9. Замечания. Теорема о минимаксе, рассмотренная в предыдущем пункте, была сформулирована Фаном [1] в еще более общих терминах. Фан рассматривает случай, когда Е и F — отделимые локально выпуклые пространства, Н и К — выпуклые компактные множества в Е и F соответственно, a f—1 вещественная непрерывная функция на произведении НхК. Предполагается, что для каждой точки (хо, у^еНхК множества

Jxe Н: f(x, у^ = sup Нх\ %)1Iх'^НJ

И

1У^К: f(xQ, у^ = inf /(х0, у'^\Iу'^КJ

выпуклы. Утверждается, что в этом случае справедливо равенство

sup inf ^х, у) = inf sup f(x, у).

хеНу^Куе^хеН

Доказательство Фана опирается на одно обобщение теоремы Какутани о неподвижной точке (п. 3.6.6).

УПРАЖНЕНИЯ

Пусть f=N — множество натуральных чисел. Рассмотрим пространство Co = co(N). Для данного комплексного числа q с вещественной частью Re q>0 обозначим через xq элемент из с0, определенный равенством xq ^ =е~ч*. Обозначим далее для всякого п е N через уп элемент из с0, определенный соотношением уп (О = tn-xe-t. Показать, что каждое из семейств (хд), ^у^ фундаментально в с0 (т. е. множество конечных линейных комбинаций эле* ментов каждого из этих семейств плотно в с^.

Семейства (хд) и (z/n) принадлежат также пространствам l^Wt \^р< оо. Выяснить, являются ли они фундаментальными в этих пространствах.

Пусть Е— векторное пространство, F — локально выпуклое пространство и L = L(E,F)—векторное пространство всех линейных отображений пространства Е в F. Рассмотрим в L две топологии: (1) топологию ^, имеющую базой окрестностей нуля семейство множеств вида

W (Л, V) = ^ueL: и (А) а У},

где А— произвольное конечное подмножество в Е, а V — окрестность нуля в F; (2) топологию /2 с базой окрестностей нуля, образованной множествами ^^А.Щ, где А — снова конечное подмножество в Е, a U— слабая окрестность нуля в F. Показать, что всякая линейная форма / на L, непрерывная в топологии /1, непрерывна также и в топологии /г

Пусть Е— векторное пространство, F— локально выпуклое пространство и /— линейная форма на L(E,F), непрерывная в топологии простой сходимости. Показать, что найдутся такие конечные семейства (xi\<l<n

в £ иВ F', что

f («) - S (“ (х1)>

для всех и^1ДЕ, F). Вывести отсюда, что форма f непрерывна в топологии простой сходимости, если пространство F наделено слабой топологией

Пусть Е — пространство целых функций одного комплексного переменного, наделенное топологией компактной сходимости (которая задается семейством полунорм

Р«(Л = sup 17(01,

п=\, 2, ...). Для любой функции f^E и любого комплексного числа § определим функцию j^eE равенством

Показать, что если F — непрерывная линейная форма на Е и f ^Е, то Fo®=F(f^)—целая функция, порядок которой не превосходит порядка функции /, и

Вывести отсюда, что система функций ft фундаментальна в Е, если /(пД0) =/= 0 для n=0, 1, ... .

Пусть Е— пространство всех непрерывных комплексных функций одного вещественного переменного, имеющих период 2л, с нормой 11/11 = = sup|/(/)|. Показать, что Е — банахово пространство.

Для каждого вещественного числа а определим п-сдвиг функции f г Е равенством

Пусть F — непрерывная линейная форма на Е. Положим F0(a) =F(/а), где / — фиксированная функция из Е. Показать, что /г-й коэффициент Фурье

л

^° (^ = 2л f ^° ^ e~lna da

-л

функции Fo равен f^n) -F(eint).

Обозначим через If замкнутое векторное подпространство в Е, порожденное всеми сдвигами fa функции f. Доказать, что einteTf тогда и только тогда, когда Цп') Ф 0. Предполагая, что система функций eint фундаментальна в Е, показать, что Tf—E тогда и только тогда, когда f(n) =/* 0 для п=0, ± 1, ±2, ... .

[Эта задача является аналогом для рядов Фурье теоремы Винера об интегралах Фурье (см. Винер [1, стр. 101], Люмис [1, стр. 187—188], Рудин [9, гл. 7}). См. также упр. 4.16 и 10.13. Со сдвигами связаны различные задачи аппроксимации (см., например, Эдвардс [1, 2, 12], Эгнью [1, 2] и Л. Шварц [7, 9, 11])\ '

Пусть Т — произвольное множество и L cz М — такие два векторных подпространства в RT, что для каждого элемента х из М найдутся такие элементы х' и х" из L, что х'^х^х". Показать, что всякая положительная линейная форма f на L допускает положительное линейное продолжение на М.

[Указание. Определить функцию р на Л4 равенством

Р (х) = inf У (у): у е L, у> х)

и затем воспользоваться теоремой Хана — Банаха.]

Пусть Е — векторное пространство, наделенное топологией, в которой отображение xi—> Zx непрерывно в точке х=0 для всякого числа к Показать, что для существования на Е непрерывной в нуле линейной формы f Ф 0 необходимо и достаточно, чтобы в Е существовала выпуклая поглощающая окрестность нуля U ^ Е.

[Указание. Если линейная форма f существует, то множество U=^x е Е : |f (х)|<1) обладает указанными свойствами. Обратно, предположим существование окрестности U. Пусть р — ее функционал Минковского; р —1 субаддитивная положительно однородная функция на Е, для которой р((/)^1 и р ф 0. Выберем такой элемент х0, что р(х0) = 1. На подпространстве, порожденном элементом Хо, определим линейную форму fo равенством fo(Xxo)=k Применяя теорему Хана — Банаха, продолжим форму f0 до такой линейной формы f на Е, что f (х0) = fo(xo) = 1 и f(x)^p(x). Форма f непрерывна в точке 0, так как f(x)^a при х е aU, а множество aU является окрестностью нуля при каждом а>0. Так как отображение xi—>—х непрерывно в точке 0, то множество —aU также является окрестностью нуля. Поэтому lf(x)|^a при xe(ci^) f) (—at/).] '

Пусть Е — вещественное предгильбертово пространство, К — полное выпуклое множество в Е и х0 — точка из Е\К Выберем точку а г К, находящуюся на наименьшем расстоянии от х0, и положим

у II х0 — all ■

Показать, что J

. U | у) < (х0 \у\ хе К.

(Ср. со следствием 2.1.4.)

Пусть Е — конечномерное вещественное отделимое топологическое векторное пространство, К — выпуклое множество в Е и х0 — граничная точка множества К. Показать, что существует проходящая через х0 гиперплоскость, являющаяся опорной для К.

(В вещественном векторном пространстве Е гиперплоскость Н называется опорной для множества АсЕ, если В пересекается с А и А лежит по одну сторону от В.)

Замечание. Если пространство Е бесконечномерно, то приведенное утверждение, вообще говоря, неверно, даже если К компактно, а х0— крайняя точка множества К (см. Бурбаки [7, стр. 100]). _

[Указание. Рассуждения можно проводить для множества К (а не К), т. е. предполагать, что К замкнуто. Рассмотреть последовательность хпеЕ\К, хп->х0. Применить упр. 2.8, пользуясь компактностью замкнутого ограниченного множества в сопряженном пространстве.]

Пусть К—выпуклое множество в вещественном векторном пространстве Е. Точка х^ К называется окруженной точкой множества К (относительно Е), если для каждой точки у ^ Е существует такое число е>0, что x-Voiy^ К при |а| ^ е. Это означает, что множество К — х поглощающе.

Показать, что если множество К обладает окруженными точками и все они лежат по одну сторону гиперплоскости Н в Е, то само множество К лежит по ту же сторону от Н.

Пусть К— выпуклое множество в вещественном векторном пространстве Е. Обозначим через Ki множество всех окруженных точек множества К. Показать, что все точки множества Кч являются его окруженными точками.

Пусть Е — вещественное векторное пространство и К — непустое выпуклое множество, все точки которого являются его окруженными точками. Пусть далее V—векторное подпространство в Е, не пересекающее множества К. Показать, что в Е существует гиперплоскость, содержащая V и не пересекающая К. (Ср. с теоремой 2.1.1.)

Пусть Е — вещественное векторное пространство, Е' — векторное подпространство в Е, Н*— гиперплоскость в Е' и К -•выпуклое множество в Е, такое, что Е' содержит по меньшей мере одну окруженную точку множества К относительно Е. Показать, что если К П Е' лежит по одну сторону от Н', то существует такая гиперплоскость Н в Е, что Н'=Н П Е' и К лежит по одну сторону от Н.

[Указание. Пусть Кг — множество окруженных точек множества К относительно Е. Пользуясь упр. 2.11, показать, что Кг не пересекает Н'. Применить упр. 2.12, заменив К на Kt и V на Н'Д ’

Пусть Е— вещественное векторное пространство, Е — векторное подпространство в Е и Н' — гиперплоскость в Е'. Пусть К — выпуклое множество в Е, причем множество К П Е' лежит по одну сторону от Н'. Предположим, что для каждого у Е существует такой элемент х е Е’, что х+а#^Х для всех достаточно малых |а|. Показать, что существует такая гиперплоскость Н в Е, что Н'=Н[}Е' и множество К лежит по одну сторону от Н (Диксмье [3]). Это утверждение обобщает результат упр. 2.13.

[Указание. Рассмотреть множество всех пар (Е^Н*^, где Е*— векторное подпространство в Е, Н*— гиперплоскость в Е* и К^Е* лежит по одну сторону от Я*, причем E*zdE' и Н* П Е'=Н'. В этом множестве ввести частичный порядок, считая, что ^Е\, H\^^^E2s Н^, если EiaE2 и Н{ аН2. Проверить, что это частично упорядоченное множество индуктивно упорядочено. По лемме Цорна существует максимальный элемент (Ео, Яо). Достаточно показать, что Е0 = Е. Допустив противное, выбрать Ео таким образом, чтобы dim(EQ^E0) = 1, и положить /<0 = EqD^. Переход к факторпространству по модулю Но сводит задачу к двумерной. Опираясь на результат упр. 2.9, доказать существование такой гиперплоскости Но в Ео, что пара (Eq, Н^ «больше», чем пара (Ео, Но). Это будет противоречить максимальности по-,, следней] .

„ 2.15, Пусть Т — произвольное множество и G— полугруппа отображений t1—> и • t множества Т в себя. Предположим, что существует левоцн-

вариантное среднее ц на G, т. е. положительная линейная форма на пространстве всех вещественных ограниченных функций на G, инвариантная относительно левых сдвигов и такая, что р(1) = 1.

Обозначим через Е векторное пространство всех ограниченных вещественных функций на Т. Для f^E и ueG положим fu = f ° и. Рассмотрим произвольную функцию g^E, удовлетворяющую условию 5^0. Обозначим через Е' векторное подпространство в Е, порожденное функциями вида gU1 где и пробегает G, и через Е" векторное подпространство в Е, порожденное положительными функциями, мажорируемыми элементами из Е' (так что E'clE" aEY Допустим, что на Ef существует положительная линейная форма <р т^О, инвариантная относительно G. Показать, что на Е" существует положительная линейная форма Ф, инвариантная относительно G и такая, что Ф (g) = 1 (Д и к с м ь е [3, теорема 8]).

Заметим, что левоинвариантное среднее ц всегда существует, если G— абелева полугруппа или разрешимая группа (см. § 3.5 и упр. 3.12).

[Указание. Применить результат упр. 2.14 (заменив Е на Е"^ и доказать существование такой положительной линейной формы со на Е", что сужение co|5z отличается от ср лишь на неотрицательный постоянный множитель, такчто можно считать cu(^u) = l для всех u^G Ввести затем форму Ф(П ^(оД/и)), где отображение ui—>co(fn) рассматривается как вещественная ограниченная функция на (7.]

Показать, что существует положительная конечноаддитивная функция множества т, определенная на всех подмножествах пространства R2, такая, что т(Е) = + оо для всякого неограниченного множества ^czR2, m(Q) = l для всякого квадрата Q со стороной 1, и инвариантная относительно всех изометрий пространства R2 (Д и к с м ь е [3, стр. 226]).

[Указание. В предыдущем упражнении взять в качестве Т пространство R2, в качестве G группу всех изометрий R2. Группа G разрешима, так как если Gi — нормальная подгруппа сдвигов, то обе группы Gj и G)G\ абелевы. Положить g = %Q, гДе Xq— характеристическая функция множества Q.]

Пусть Е — произвольное нормированное пространство. Показать, что существует такое отделимое компактное пространство Т, что Е линейно и изометрически изоморфно некоторому векторному подпространству пространства C^JY (Под C^TY как обычно, понимается пространство непрерывных скалярных функций на Т с нормой, равной максимуму модуля.) Показать далее, что в случае, когда Е сепарабельно, пространство Т можно выбрать метризуемым. (Более общий результат приведен в упр. 6.17.)

[Указание. Взять в качестве Т единичный шар в сопряженном пространстве и наделить Т топологией, индуцированной топологией о(Е\ £).]

Пусть Е и F — векторные подпространства векторного пространства G, причем каждое из них наделено локально выпуклой топологией. Рассмотрим (линейную) топологию в 5(1 F, база окрестностей нуля которой образована множествами вида U f) V, где U и V — окрестности нуля в Е и в F соответственно. Показать, что каждая непрерывная линейная форма на Е П F имеет вид

2 I—> <2, х') + (2, /),

где z е Е (] F, х' е Е' и у' е F'.

[Указание. Рассмотреть линейное отображение J: z\—> (z, г) пространства E^F в произведение EXF и воспользоваться теоремой Хана —- Банаха.]

Использовать упр. 2.13 для доказательства утверждения (1) теоремы 1.7.1, т. е. для доказательства следующего факта. Пусть Е — вещественное векторное пространство, р — калибровочная функция на Et Ео —

векторное подпространство в £ и fo— линейная форма на £0, удовлетворяющая условию/о (х)^р(х) при х^Е0. Тогда существует такая продолжающая форму f0 линейная форма f на Е, что Цх)^р(Х) при х^Е.

[Указание (модификация рассуждений Кли, сообщенная мне Д. Ферн- ли-Сандером). Рассмотреть векторное пространство £XR, выпуклое множество

К = {(х, &): p(x)<g}

в нем и однородную гиперплоскость //о в векторном подпространстве £0XR, определяемую равенством

Н0 = ^х, У: х^Е0) /о(х) = У.

Проверить, что (0,1)—окруженная точка множества К и что пересечение /СП (£oXR) лежит по одну сторону от Но. Применить упр. 2.13 для построения однородной гиперплоскости Н в £xR, по одну сторону которой лежит К. Показать, что гиперплоскость Н определяется уравнением F(x, у = 0, где F — линейная форма на £XR, удовлетворяющая условию £(0, 1)=—1. Доказать, что форма f(x)=F(x, 0) удовлетворяет всем поставленным требованиям.]

ГЛАВА 3

Теоремы о неподвижной точке

3.0. Предисловие

Под теоремой о неподвижной точке мы будем понимать утверждение, устанавливающее, что при некоторых условиях отображение и множества Е в себя имеет хотя бы одну неподвижную точку, т. е. такую точку хеЕ, что и(х) =х. К первым теоремам такого типа относятся те, в которых Е— подмножество пространства Rn, а отображение ил Е-^-Е непрерывно. Так, например, теорема Брауэра (§ 0.5) устанавливает существование неподвижной точки в случае, когда Е— замкнутый единичный шар в Rn, а и — непрерывное отображение. Ясно, что в любой подобной теореме о неподвижной точке Е можно заменить любым его гомеоморфным образом.

Теоремы, ограничивающиеся лишь теми пространствами Е, которые являются подпространствами в Rn, редко применяются в функциональном анализе, где обычно Е — бесконечномерное подпространство некоторого функционального пространства. Первая теорема о неподвижной точке, связанная с бесконечномерными пространствами, появилась около 40 лет назад в книге Биркгофа и Кел л о га [1]. Позднее Шаудер распространил теорему Брауэра на случай, когда Е— выпуклое компактное подмножество нормированного пространства. Вскоре после этого Тихонов перенес результат Шаудера с нормированных пространств на произвольные локально выпуклые пространства. Отправной точкой в обоих случаях являлась теорема Брауэра.

Настоящую главу мы начнем с изложения двух теорем о неподвижных точках, доказательства которых можно провести, не прибегая к комбинаторной топологии. Первый результат (теорема 3.1.1) относится к сжимающим (т. е. сокращающим расстояние) отображениям полного метрического пространства в себя. Второй результат (теорема 3.2.1), принадлежащий Маркову и Какутани, касается точек, неподвижных одновременно относительно всех членов некоторого семейства непрерывных отображений выпуклого компактного подмножества топологического векторного пространства в себя. Последний результат используется для получения одной теоремы типа Хана — Банаха (п. 2.3.5).

В теореме Маркова — Какутани отображения должны удовлетворять условию, близкому к линейности. В доказательстве Маркова [2] используется теорема Шаудера — Тихонова, однако наше доказательство не прибегает к ней; оно близко к тому, которое приводится у Какутани [1].

Наш третий главный результат (теорема 3.6.1) заключается в упомянутой выше теореме Шаудера — Тихонова. В этой теореме ослабляется условие линейности, налагаемое на отображения, поэтому она обладает большей общностью. Еще до Шаудера (установившего эту теорему для сепарабельных банаховых пространств в [3] и для произвольных банаховых пространств в [6]) Биркгоф и Келлог [1] получили эту теорему для пространств Cn[0, 1] и Л2 (О, 1). Приложениями теоремы Шаудера—' Тихонова к дифференциальным уравнениям занимались многие авторы, среди которых первыми были Грейвс [2] и Лере [3]. Дальнейшее развитие эти приложения получили у Бон- со л а [1].

Теоремы о неподвижной точке для сжимающих отображений

Пусть Е— полуметрическое пространство, т. е. множество, наделенное полуметрикой d, которая представляет собой вещественную функцию на ЕхЕ, такую, что

d^x, х) =0, d(x, у) = d(y, х)> 0,d(x, y)^.d(x, z) + d(z, у)

для любых элементов х, у, г "из Е (d— метрика, если выполняется дополнительное условие d(x, у)+0 при х+у). Отображение и: Е-^Е называется сжимающим отображением (или сжатием) пространства Е, если существует такое число &, 0<О<1, что d(u^x), u^y))^.kd(x, у) для любых х,у^Е. Очевидно, что всякое сжимающее отображение непрерывно.

Теорема. (1) Пусть (E,d)— полное полуметрическое пространство и и — такое непрерывное отображение пространства Е в себя, что для некоторого натурального числа р отображение up сжимающе. Тогда существует по крайней мере одна точка хеЕ, удовлетворяющая условию

d(u(x),x)=0. (3.1.1)

Кроме того, если у^Е — другая точка, такая, что d(u(y), у) = 0, то d^x, у) =0.

Если (Е, d) — полное метрическое пространство и отображение. и удовлетворяет условиям части (1), то оно обладает в точности одной неподвижной точкой в Е,

Доказательство. (2) непосредственно следует из (1). Докажем вначале вторую часть утверждения (1). Для этого заметим, что равенство (3.1.1) означает, что u(x)^xY Отсюда и из непрерывности отображения и вытекает, что

и2 (х) е и ({х}) cz {u (х)} cz {х} = {х}.

По индукции получаем ир ^^^х\ Аналогично ир ^^^у\ следовательно,

d(x, у) = сЦир(х\ ир (у)Х& • d{x, у\

где k< 1, так как отображение и^ сжимающе. Таким образом, d^x, у) =0, что и утверждалось.

Для доказательства существования элемента х^Е, удовлетворяющего условию (3.1.1), рассмотрим сперва случай р=1, т. е. случай, когда само отображение и — сжатие. Возьмем произвольную точку хоеЕ и определим последовательность (хп) с помощью рекуррентного соотношения xn = u(xn_i), п=1,2,... . Для любых натуральных чисел m и п имеем

d (xn+m, хп) = d (ип+пг (х0), ип (х0)) < knd (xm, х0)

И

d^Xmi Xoj^sd^Xm, xm—1) 4- ... "TiZ(xb Xq)^^

<Z?m-1 d(xt, x0) + ... + d(xb x0X(l — кУ1 d(xb x0).

Отсюда следует, что

k (16) d^X\, Xg).

Так как k< 1, то (xn)— последовательность Коши в Е. В силу полноты Е последовательность (хп) сходится к некоторой точке х из Е. Тогда последовательность (u(xn))=(xn+t), будучи подпоследовательностью последовательности (хп), также сходится к х. Отображение и непрерывно, поэтому последовательность (и(х„)) сходится к и(х), откуда и следует равенство (3.1.1).

Перейдем к случаю, когда лишь отображение у = ир сжимающе. Повторим предыдущие рассуждения, заменяя везде и на у. Получим, что существует точка х е £, для которой d(y(x), х) =0. Далее, для последовательности хп = ип(х0) справедливы равенства и (хп) = и (у (xn_i)) = у (u (xn—i)). Так как последовательность (хп) сходится к х и отображения и, и непрерывны, то й(и(х), у (ы(х))) =0. Но тогда

dlulx), x)<d(«(x), y(u(x))) + d(y(u(x)), у(х)) + с?(у(х), x) = = с?(у(м(х)), у (x)) $C kd (u (x), x),

откуда в силу условия k < 1 вытекает равенство d^u^x), х) =0. 1

Замечания. Построение последовательности ^х^ и исследование вопроса о ее сходимости часто называют методом последовательных приближений. Этот метод обычно фигурирует под названием метода Пикара (см. Пикар [1]), хотя Пеано [1] применял его раньше. Первая абстрактная формулировка метода принадлежит Банаху [2] и Каччиопол и [1]. См. также Канторович [1], Гёде [1], Кирк [1], Браудер [6—8], Браудер и Петришин [1, 2].

Доказанная теорема о неподвижной точке представляет собой лишь один из примеров применения такого рода техники. Блестящее изложение других примеров можно найти в гл. X книги Дьёдонне [13]. Недавно Эдельштейном [1, 2] были получены обобщения самого принципа сжимающих отображений. Одно из таких обобщений рассматривается в упр. 3.7.

Как мы сейчас убедимся на примерах, теорема 3.1.1, несмотря на свою простоту, имеет полезные приложения в анализе.

Приложения к интегральным уравнениям. Пусть Т— некоторый интервал вещественной оси. Обозначим через Е векторное пространство ограниченных непрерывных функций х: Т-^К (К — поле вещественных или комплексных чисел); Е— становится полным метрическим пространством, если ввести метрику d^x, у^ = \\х— у\\, где

п х 11 = sup { |л:(0 |:/е7’}.

Предположим, что задана такая функция f: ТхТхК-^ К, что для каждого х е Е и каждого t ^Т функция

st—>f(t, s, x(s))

интегрируема на Т, причем функция

J s’ x(s))^s т

ограничена и непрерывна на Т.

Рассмотрим произвольный элемент 6е£ и определим отображение и пространства Е в себя формулой

и (х) (/) = — J f (/, s, х (s)) ds + b (/).т

Неподвижная точка х отображения и является, очевидно, решением неоднородного и, вообще говоря, нелинейного интегрального уравнения

х(/) + J / V» s, х (s) ^ds = b (t\(3.1.2)

где х е Е.где х е Е.т

где х е Е.

где х е Е.

При соответствующих ограничениях и будет сжатием про- станства Е, и тогда существование и единственность принадлежащего Е решения уравнения (3.1.2) будет следовать из теоремы 3.1.1.

Предположим, например, что f удовлетворяет неравенству

1ИЛ s, ^-Ж s, ^\<F^ sX-£'|.(3.1.3)

Тогда если хь х^^Е и У\~и^хх\ У2 = и(х2)) то

d(yb йХ^^ь *2), где

k = sup 11 F (/, s) ds: t e T }.

При к < 1 отображение и сжимающе и можно применить теорему 3.1.1.

Если ввести параметр X («собственное значение») и заменить f на Af, можно доказать существование и единственность решения хе £ уравнения

х (0 + X J f (/, s, х (s)) ds = b (/)(3.1.4)

т

для любого Ь^Е и любого Л, такого, что &|%|<L В случае, когда функция f имеет вид

Ж s, £) = O, sH

уравнение (3.1.4) представляет собой неоднородное (линейное) уравнение Фредгольма с ядром К. Таким образом, такое уравнение разрешимо по меньшей мере для достаточно малых X. В общем случае для некоторых X и некоторых b уравнение неразрешимо. Вопрос о разрешимости таких уравнений является частью общей хорошо разработанной теории (см. Смитис [2], Заанен [1], Дьёдонне [13]).

Интересен случай, когда Т— ограниченный интервал с концами а<р, ядро К ограничено на произведении ТхТ и /((/, s) = = 0 при t<s. Тогда (3.1.4) превращается в неоднородное (линейное) уравнение Вольтерры

t

х(0 + я/ № sb^ds = bW,(3.1.5)

а

а отображение и принимает вид

t

и^х^Л = ~ X ^ КЦ, s) х (s) ds + b ^t\

Предположим, что | К U, s) | ^ М, и построим последовательность итераций хп = ип\х^ и </„ = «"(</) для произвольных двух элементов х, у^Е. Можно доказать по индукции, что

dkxn. Уп^\Х\пМп^-^п£^-,

причем коэффициент при ^(х, у) в правой части неравенства стремится к нулю при п-^оо. Таким образом, каково бы ни было К существует такое натуральное число р, что up— сжатие. Вторая часть теоремы 3.1.1 обеспечивает существование и единственность в Е решения уравнения (3.1.5) для любого X и любой правой части b ^Е. Отсутствие всяких ограничений на X является характерной особенностью уравнений типа Вольтерры.

Вскоре будет показано, что описанный выше метод можно на разные лады варьировать. Мы накладывали на рассматриваемые функции такое сильное ограничение, как непрерывность, чтобы избежать исследования вопросов существования интегралов. Однако, используя развитую теорию интегрирования (гл. 4), можно в качестве Е взять пространство Лебега =5^(7, р) и провести подобное рассмотрение этого .случая. -

Дальнейшие обобщения относятся к случаю, когда значения функции х на Т принадлежат некоторому полуметрическому пространству, а значения функции f— некоторому полному топологическому векторному пространству, топология которого определяется полуметрикой. В таких обобщениях используется, конечно, техника интегрирования векторнозначных функций. Читатель может изучить эти вопросы самостоятельно после прочтения соответствующих разделов гл. 8.

Приложения к дифференциальным уравнениям. С помощью теорем о неподвижной точке для интегральных операторов можно доказывать по крайней мере локальное существование и единственность решений обыкновенных дифференциальных уравнений типа

Основная идея состоит в следующем. Если f — непрерывная функция, то решение этого дифференциального уравнения с начальными^условиями х(/о) = Уо (^о и уо заданы) есть не что иное, как решение интегрального уравнения

tх^ = Уо + J f (s, x^s^ds.

Если функция f удовлетворяет условию Липшица по второму аргументу, то применимы результаты п. 3.1.2. При этом если

постоянная Липшица и длина выбираемого интервала изменения переменной t достаточно малы, то получается сжимающее отображение. Отсюда следуют теоремы локального существования и единственности. Для объединения этих локальных решений в глобальное требуются уже отдельные рассуждения.

В недавнее время был получен более эффективный метод, при котором вводится новое определение расстояния, зависящее от постоянной Липшица. Этот метод, принадлежащий Белицкому [1], дает возможность доказывать непосредственно глобальную теорему существования. Вот описание этого метода.

Пусть F—банахово пространство и Т — вещественный интервал. Так как мы желаем интегрировать функции со значениями в F, то на данном этапе надо предположить, что пространство F конечномерно, ибо теория векторнозначных функций в бесконечномерных пространствах излагается только в гл. 8. Как и раньше, рассмотрим дифференциальные уравнения

(3.1.6)

с начальным условием

х^-У„ (3.1.7)

где to^T и Уо^Р наперед заданы. Под решением уравнения (3.1.6) будем понимать такую непрерывную функцию х: T->F, производная которой в каждой внутренней точке t интервала Т равна Ht,xW)- (Если пространство F бесконечномерно, то возникает вопрос о выборе между слабой и сильной дифференцируемостью F-значных функций. Настоящий метод применим к случаю, когда рассматривается сильная дифференцируемость.) Пусть непрерывная функция f: TxF~>F удовлетворяет условию Липшица

II Ж Ух^Н^ У2)\\^Ц\ух-у2\1

где t^T и у\, У2^ F, а число L не зависит от t, ух и у^. Кроме того, допустим, что функция f ограничена на каждом множестве вида Т X В, где В — ограниченное множество в F.

Предположим вначале, что интервал Т ограничен, и введем в рассмотрение банахово пространство Е ограниченных непрерывных функций х: Т -*F с нормой

N (х) = sup (e"XL 1 || х (О ||: t е т),

где X— фиксированное число, %> 1.

Заметим, что ограниченными решениями задачи (3.1.6), (3.1.7) являются те и только те элементы хеЕ, которые удовлетворяют условию

и (х) = х,

где отображение и определяется равенством t

и (х) (0 = Уо + J / (s, X (s)) ds(/г Т).

Очевидно, и есть отображение пространства Е в себя. Если мы покажем, что и — сжатие, то на основании теоремы 3.1.1 докажем существование и единственность ограниченного решения задачи (3.1.6), (3.1.7). То, что отображение и сжимающе, проверяется в лоб, и мы дадим только набросок доказательства.

Предположим, что *ь х2 е Е. Тогда t

[м (х^ - и (х2)] (/) = J [f (s, Xi (s)) - f (s, x2 (s))] ds to и, следовательно,

II Yu M - u(x2)J (0 ||< L J II Xi (s) - x2 (s) || ds,

где It — интервал (^, О или (/,/о) в зависимости от того, какое из неравенств t > to или /^/о имеет место. Правая часть неравенства мажорируется выражением

L-N^-Xi). J eKL's"t#' ds.

Входящий в это выражение интеграл не превосходит

(XL)"' [eu 1 <-,°| - 1] < (XL)"1 eXL 1

Таким образом, получаем

N [и (хО — и (х2)] < V1 • N (%! — х2),

и так как X > 1, то отображение и сжимающе.

Остается рассмотреть случай неограниченного интервала Т. Введем в рассмотрение такую возрастающую последовательность (Тк) компактных интервалов, содержащих to в качестве внутренней точки (относительно подпространства Г), что ^^(J^- Рассмотрим ограниченные решения для интерва- k '

лов Тк. Из доказанной единственности следует, что эти различные решения «складываются в одно целое», давая локально ограниченное решение на всем интервале Т. Обратно, если х — локально ограниченное решение на Т, то из доказанной выше единственности вытекает, что сужение ,х\Тк— единственное ограниченное решение на Тк. Так как это справедливо для

любого к, то тем самым единственность решения на всем интервале Т доказана.

Для дальнейшего изучения абстрактных дифференциальных уравнений рекомендуем Бурбаки [13, гл. IV].

Следует отметить, что применение принципа сжимающих отображений к дифференциальным и интегральным уравнениям практически ограничивается случаями, когда функция f(t,y) удовлетворяет условию Липшица по у. Для случаев, когда условие Липшица не выполняется, необходима более .сильная теорема о неподвижной точке. Мы вернемся к этому вопросу в § 3.6.*

Теорема Маркова — Какутани

В этом параграфе изучается вопрос о существовании точек, неподвижных относительно некоторых семейств непрерывных отображений компактного выпуклого множества в себя.

3.2.1. Теорема. Пусть Е— отделимое топологическое векторное пространство, К — непустое компактное выпуклое множество в Е и Г — некоторое семейство непрерывных отображений множества К в себя, удовлетворяющее следующим двум условиям;

(а)" если и^Г, х, у^К и а, р— такие положительные числа, что а + р=1, то ц(ах + ру) = аи^ +^и(у);

(Ь) существует такое натуральное число п и такие подсемейства Г; семейства Г (0^Z^n~l), что

(1} = Г„сзГп_1с ... сГ0 = Г,

где 1—тождественное отображение на К, и каждой паре и', и" ее Гг—1 соответствует такой элемент s е Г2-, что

и'и" = u"urSe(3.2.1)

Тогда существует точка х^^К, такая, что м(х0)=х0 для всех отображений и е Г.

Доказательство проводится индукцией по п.

Рассмотрим случай п = 1. Из условия (Ь) вытекает, что элементы множества Г попарно коммутируют. (Мы следуем доказательству Бурбаки [7, стр. 139—140].) Для каждого элемента меГи каждого натурального числа г положим

ит=гх (1 +и + ... +ит~х>).

Так как множество К выпукло, то иДК^сК. Обозначим через Г* множество тех отображений и, которые являются произведениями конечного числа отображений ит. Каждое отображение уеР удовлетворяет условию (а), элементы множе*

ства Г* попарно перестановочны и каждое а отображает множество К в себя.

Рассмотрим семейство множеств v^K), где и пробегает множество Г*. Каждое множество этого семейства компактно и содержится в К. Кроме того, если ^^еГ*, то у = ?/у"== = и/УеГ* и v^cv^K^ и (К) а и'ЧКУ Так как ни одно из множеств и(К) не пусто и пространство Е отделимо, то {и (К)}— центрированная система замкнутых множеств в /С В силу компактности множества К пересечение всех множеств и (К) содержит по крайней мере одну точку х0. Докажем, что х0 удовлетворяет равенству Цх0)=х0 для всех и е Г.

Каково бы ни было натуральное число г, имеем х^иДК^ так. что существует такая точка у^К, что

х0 = г“1(у + и{у)+ ••• + иг"Чу>\ откуда

и (х0) -х^ = г"Диг (у) -у^ г^ЧК - К).

Пусть V — уравновешенная окрестность нуля в Е и W— такая уравновешенная окрестность нуля, что IF+lFczV. Так как множество Н — К— К компактное, то существует конечное число точек ak^H (l^^^m), таких, что Н содержится в объединении множеств ak+W. Множество W поглощающе, поэтому существует такое число а, 0 < а^ 1, что aak е W (1 ^k^m). Следовательно, аНс IF + alFc: W+W с: V. Взяв г>а-1, видим, что и(х0)—х0 е V. Так как пространство Е отделимо и V—произвольная уравновешенная окрестность нуля в Е, то и(х0) —хо = О, что и требовалось доказать.

Допустим теперь, что теорема верна, если Г удовлетворяет условию (Ь) для некоторого фиксированного п. Покажем, что теорема справедлива, если в условии (Ь) заменить п на л? + 1. Рассмотрим последовательность

{1} = Гп+1 с: Гп с ... с Г1 с Г0 = Г.

По предположению индукции теорема применима к Гь Дру- гими словами, множество К\ тех точек из К, которые остаются неподвижными относительно элементов из Гь нс пусто. Очевидно, что множество Ki замкнуто и выпукло и потому компактно..

По условию если иД ы"еГ( = Го), то существует такой элемент seFi, что и'и"— u"u's. Значит, w'w"(x) =£/'£/(х), если ж= Кь Следовательно, сужения и\К\ (we Г) попарно перестановочны. Если далее и е Г, Wi е Г1 и х^Кх, то uxu = uuxs для некоторого s е Гь поэтому

U\U (х) = uuxs (х) = ццх (х) = и (х),

Таким образом, их (и(х)) =и^ для х^Кь и, значит, сужение г/1 /Ci отображает множество К\ в себя.

Теперь остается только применить (1) к отображению w|Ki: Кх<-* К\. В заключение получаем, что существует такой элемент x0^Ki, что и^х^^Хо для всех меГ.

Теорема полностью доказана. |

Замечания. Имеются два особенно важных случая, когда предположение (Ь) выполняется.

Случай, когда Г — абелева полугруппа непрерывных отображений множества К в себя, содержащая тождественное отображение. Если последнее отображение не принадлежит множеству Г, то его всегда можно присоединить к нему, не нарушая остальных условий теоремы.

Случай когда Г —разрешимая группа взаимноодно-' значных непрерывных отображений множества К в себя. Напомним, что группа Г называется разрешимой, если она обладает композиционным рядом (Гг)о</<«, таким, что Го=Г, Гп = {1}, Гг+1 — нормальная ( = инвариантная) подгруппа в Гг и факторгруппа Гг/Гг-+1 абелева (через {1} обозначена подгруппа, состоящая из одного нейтрального элемента). Так, например, каждая абелева группа разрешима; группа гомотетий пространства R2 разрешима, хотя и нс является абелевой; при п^^ ортогональная группа в Rn (и тем более группа гомотетий в Rn) не разрешима. С результатами такого типа читатель может познакомиться по книгам Дьёдонне [16] и Артина [1].

Перейдем к рассмотрению некоторых приложений теоремы

Начнем с одного обобщения теоремы Хана — Банаха.

Одно обобщение теоремы Хана — Банаха

Рассматриваемый результат касается возможности продолжения линейных форм, подчиненных условию инвариантности относительно соответствующего семейства автоморфизмов данного векторного пространства. Результат такого типа установлен Эгнью и Морсом [1].

Теорема. Пусть Е— векторное пространство, Г —разрешимая группа автоморфизмов пространства Е или абелева полугруппа эндоморфизмов пространства Е. Пусть L-4- векторное подпространство в Е, инвариантное относительно Г (т. е. иЩсЬ для каждого и е Г) и р— такая полунорма на Е, что рои^р для каждого тГ. Тогда если f0 — линейная форма на L, удовлетворяющая условиям

MoW^pM (xeL)(3.3.1)

U

h (и (х)) = /о (%) (^ Е L, и е Г), (3.3.2) то на Е существует такая линейная форма f, являющаяся продолжением формы fo, что

l/MKpto И (3.3.3) и

f(u(x)) = f (х) (х ^Е, и^ Г). (3.3.4)

Замечание. Если Е — вещественное векторное пространство, то имеет место аналогичный результат, только полунорма р заменяется калибровочной функцией (§ 1.6), а неравенства (3.3.1) и (3.3.3) пишутся без модулей (ср. с утверждением (1) теоремы 1.7.1).

Доказательство. Наделим алгебраическое сопряженное Е* к Е слабой топологией о (£*,£). Пусть К—множество линейных форм f на Е, являющихся продолжениями формы f0 и удовлетворяющих неравенству (3.3.3). В силу теоремы 1.7.1 множество К непусто. Далее К компактно и выпукло. Очевидно также, что К инвариантно относительно отображений f^ fu. где

M-t)=f(«to)

для и^Г и х^Е. Теперь достаточно сослаться на теорему 3.2.1, взяв в качестве Г множество отображений вида ft—>fu с me Г. В результате получаем, что в К существует по крайней мере одна такая линейная форма f, что fu~f для всех и^Г. Форма f отвечает нашим требованиям. |

Замечание. Очевидно, что аналогичный результат имеет место, если Г — множество линейных отображений пространства Е в себя, удовлетворяющее условию (Ь) теоремы 3.2.1. Однако для большинства приложений вполне достаточно приведенных двух случаев. '

В оставшейся части главы займемся некоторыми приложениями теоремы 3.3.1.

О различных обобщениях теоремы Хана — Банаха и о средних на полугруппах (§ 3.5) см. Данфорд [3], Вудбери [1], Юд [1], К л и [3], Сильверман [1, 2], Т и Йен [1], Хьюитт и Росс [1, § 17]. У Сильвермана [1, 2] рассмотрена также теорема продолжения в случае упорядоченных векторных пространств.

Обобщенные банаховы пределы

Банах [1, стр. 28, 29], опираясь на теорему Хана — Банаха, Доказал существование инвариантного относительно сдвигов обобщенного предела1 имеющего смысл для произвольных

ограниченных функций на полуоси (0, + оо) (или произвольных последовательностей). Мы получим этот результат из теоремы 3.3.1, использование которой упрощает первоначальные рассуждения Банаха.

С этой целью возьмем в качестве Е вещественное векторное пространство всех вещественных ограниченных функций на (О, оо). Обозначим через L векторное подпространство в Е, состоящее из тех функций х на (0, оо), для которых существует конечный предел limx(/). Этот предел примем в качестве ли- /->оо

нейной формы fo, определенной на L. Пусть Г—абелева полугруппа сдвигов х—>ха, где а>0 и xo(f) =x(f+a) fe(0, оо). Наконец, через р обозначим калибровочную функцию на Е, определенную равенством

p(x) = limsupx(/).

/-> оо

Легко проверяется, что все условия теоремы 3.3.1 выполняются. Отсюда следует, что у линейной формы /о существует такое продолжение f на Е, что выполняются отношения (3.3.3) и (3.3.4). Следуя Банаху, воспользуемся для f(x) обозначением Limx(Z). Имеем

Lim х (/) = lim х (О(3.4.1)

/•>ОО/->ОО

для каждой ограниченной вещественной функции х на (0, оо), для которой существует предел в правой части равенства (3.4.1), и

Lim х (/ + «) = Lim х (0(3.4.2)

f-> оо/->оо

для каждой ограниченной, вещественной функции х на (0, оо) и любого а ^ 0. Кроме того, для каждой такой функции выполнено неравенство

Lim х (0 ^ lim sup х (t). t->OOt->OO

Из линейности формы Lim следует, что

lim inf х (0 ^ Lim х (f) ^ lim sup х U)(3.4.3)

t->OOt->oot->oo

для всякой ограниченной вещественной функции х на (0, оо), (Очевидно, (3.4.3) влечет (3.4.1).)

Точно такое же построение можно провести для ограниченных последовательностей вещественных чисел. Очевидным об* разом можно продолжить форму Lim на комплексные ограниченные функции на (0, оо) (или на последовательности комплексных чисел).

Отметим, что из существования обобщенных пределов следует, что не каждая непрерывная линейная форма на банахов- ском пространстве /°° ограниченных последовательностей (с нормой, равной верхней грани модулей членов последовательности) может быть представлена в виде

X 5 СпХ (м) (х е /°°),

где (с^)—некоторая числовая последовательность. Так, например, если х — последовательность из /°°, для которой х(А) = 1 и х(^п)=0 при п + к. то из равенства (3.4.1) следует, что ск = 0 для всех к и линейная форма указанного вида должна всюду на /°° быть равной нулю. В то же время (3.4.1) с х= 1 показывает, что обобщенный предел не всюду равен нулю.

Инвариантные средние на полугруппах

Пусть вначале Т— произвольное множество, а Е— векторное пространство ограниченных вещественных функций на Т. Будем называть средним на Е всякую линейную форму М на Е, для которой

inf х ^ М (х) ^ sup х (3.5.1) т т

для каждого элемента х е Е. Если пространство Е содержит постоянную функцию 1, то линейная форма М на Е будет средним на Е в указанном выше смысле тогда и только тогда, когда форма М положительна (относительно структуры порядка, индуцированной в Е векторным пространством всех вещественных функций на Г), т. е.

Л1(х)^0 для х^О из Е и

М (1)= 1.

Если далее задано семейство отображений и множества Т в себя, то это семейство порождает эндоморфизмы хн> хи = =хоц пространства Е. Естественно рассмотреть те средние М на Е, которые инвариантны в том смысле, что М(хи) = М (х) для всех х^Е и всех отображений и из заданного семейства. При определенных условиях бывает удобно воспользоваться теоремой 3.3.1 для доказательства существования таких инвариантных средних. Особый интерес представляет случай, когда Т — полугруппа с мультипликативной записью закона композиции, а в качестве отображений и рассматриваются либо левые сдвиги tv—>at, либо правые сдвиги tv—>ta, либо те и другие вместе. В этом случае через ах будем обозначать левый сдвиг

tv—>x(at^ функции х, а через ха — правый сдвиг tv->x(ta) той же функции.

Среднее М называется левоинвариантным (соответственно правоинвариантным, биинвариантным), если оно инвариантно относительно левых (соответственно правых, двусторонних) сдвигов.

Если теперь в качестве Е взять векторное пространство всех ограниченных вещественных функций на Г и положить р^х)^ = sup х, то из теоремы 3.3.1 следует существование биинва- т*

риантных средних, определенных для всех ограниченных вещественных функций на любой абелевой полугруппе Т.

Рассмотрим теперь более частный случай, когда Т — группа (а не полугруппа). (Инвариантность относительно сдвигов определяется так же, как и для полугрупп.) В этом случае мы можем дополнительно рассмотреть эндоморфизм xi—>x пространства Е, определенный равенством х^ =x^t~xy Если М— среднее, то линейная форма М, определенная равенством

М (х) = М (х)

для любого элемента хе Е, также является средним. Пусть М— левоинвариантное среднее; тогда среднее Л1Ь определенное равенством Мх (х) = М(х'), где х' (t) =М (xt), как легко проверить, биинвариантно. Левоинвариантность среднего Мх следует из соотношения (ах)' = х', которое имеет место в силу левоинвариантности среднего А4. Правоинвариантность среднего Mi вытекает из тождеств (xs)/=(x/)s, ((x'M^s-1 ((х') ~) и из левоинвариантности среднего М.*

Пользуясь этими замечаниями, легко, применяя теорему 3.3.1, показать существование по крайней мере одного биинва- риантного среднего, определенного для всех ограниченных вещественных функций на группе 7, если‘последняя разрешима.

Такие же рассуждения можно провести для пространства всех вещественных непрерывных ограниченных функций на Т, если Т — разрешимая топологическая группа.

Предостережение. Пусть Г —локально компактная топологическая группа и М— инвариантное среднее (например, левое) для всех ограниченных непрерывных вещественных функций на Т. Не следует смешивать среднее М с интегралом по левоинвариантной мере Хаара на 7, вводимой ниже, в § 4.18. Действительно, если группа Т не компактна, то сужение М на пространство g^(7) вещественных непрерывных на Т функций с компактными носителями равно нулю. В самом деле, пусть хеК(Ту можно считать функцию х положительной. Выберем симметричное компактное множество К а Т, вне ко-

торого функция х равна нулю. Если пространство Т нс компактно, то можно так подобрать элементы ап е Т (п = 1, 2,...), чтобы множества апХК попарно не пересекались. Тогда для всех / е Т и всех натуральных чисел г

г

3 х (ant) ^ m = sup х. п=1 т

Применяя среднее М к обеим частям неравенства и используя его левоинвариантность, получаем

г • М (х)^М(ш) = т • М (1)

для всех натуральных чисел г. С другой стороны, так как х^О, то Л4(х)>0; следовательно, полагая rv—>oo, получаем М(х) =0, т. е. М\^Г (Т)=0.

Если, однако, пространство Т компактно, то, как можно показать, левоинвариантное среднее М, определенное для всех непрерывных вещественных функций на Т, совпадает с интегралом по левоинвариантной мере Хаара на Т.

Для дальнейшего изучения инвариантных средних на группах рекомендуем книгу Хьюитта и Росса [1, § 17]. Случай инвариантных средних на полугруппах (не обязательно абелевых) детально рассмотрен Диксмье [3]. (См. также ссылки на литературу в п. 3.3.3.) Основной результат о существовании инвариантных средних на полугруппах, принадлежащий Диксмье, приведен в упражнении 3.12. Результаты такого рода можно использовать при доказательствах утверждений типа теоремы 3.3.1 (см. упр. 2.15 и 3.12).

Теорема Шаудера — Тихонова

Теорема Шаудера — Тихонова отличается от теоремы Маркова— Какутани тем, что в ней участвует только одно отображение и; зато, однако, на это отображение и не накладывается никаких ограничений, кроме непрерывности.

Теорема (Ша у дер— Тихонов). Пусть Е— отделимое локально выпуклое пространство и К — непустое выпуклое компактное множество в Е. Всякое непрерывное отображение и множества К в себя обладает по крайней мере одной неподвижной точкой.

Доказательство теоремы, заимствованное из книги Данфорда и Шварца [1, стр. 490—493], опирается на три леммы, наиболее сложная из которых, третья, является и самой важной.

Для краткости будем говорить, что топологическое пространство обладает свойством неподвижной точки, если любое непрерывное отображение этого пространства в себя обладает по крайней мере одной неподвижной точкой.

Первые две леммы устанавливают, что некоторые подмножества гильбертова пространства /2 обладают свойством неподвижной точки. Гильбертовым кубом Q называется подмножество пространства /2, образованное последовательностями х, для которых I х (п) | ^ ~ при всех п. Легко проверяется, что множество Q компактно и выпукло.

Лемма 1. Гильбертов куб Q обладает свойством неподвижной точки.

Доказательство. Пусть и — непрерывное отображение множества Q в себя и лп— проекторы, определенные равенствами

( x(k) при 1

п ( 0 при к>п*

Множество Qn~^n(Q) гомеоморфно замкнутому единичному шару пространства Ки (/(— поле вещественных или комплекс* ных чисел). Так как лп ° и — непрерывное отображение множества Qn в себя, то из теоремы Брауэра о неподвижной точке (§ 0.5) следует существование такой точки хп е Qn cz Q, что лп(^(^п)) =^п. Ввиду компактности множества Q некоторая подпоследовательность (хПг) сходится к точке x^Q, Так как

то и^х) = х, что и требовалось доказать. |

Лемма 2. Каждое непустое замкнутое выпуклое подмножество К гильбертова куба Q обладает свойством неподвижной точки.

Доказательство. В силу теоремы 1.12.3 для каждой точки x^Q существует единственная ближайшая к ней точка ^х^ из К. Отображение f непрерывно. В самом деле, если хп—*х в Q и f (%п) т4 f (*), то ввиду компактности К некоторая подпоследовательность f(xnk будет сходиться к точке у е К. отличной от f(x). Тогда

II Хпк ~ кХпк^ II ^ II Хпк ^II ^ II Хпк ~ ^ |] "HI ~ f to П>

так что в пределе при к->оо будем иметь ||х— у|| ^ Цат— f(x)||, что противоречит определению точки f(x). Таким образом, ото-

бражение f : Q-+K непрерывно и на К совпадает с тождественным отображением.

Пусть теперь и — произвольное непрерывное отображение множества К в себя. Тогда отображение и of-. Q-^K непрерывно и потому в силу леммы 1 обладает неподвижной точкой xeQ. Итак, и^Цх^ =х, откуда следует, что хе и^К) cz К» так что х— неподвижная точка отображения и. |

Лемма 3. Пусть Е — отделимое локально выпуклое пространство, К — компактное выпуклое подмножество в Е, содержащее по крайней мере две различные точки. Если отображение и: К-* К непрерывно, то в К существует такое собственное замкнутое выпуклое подмножество К\, что и^сКь

Доказательство. Так как множество К компактно, а пространство Е отделимо и локально выпукло, то исходная и ослабленная топологии пространства Е индуцируют в К одну и ту же топологию. Поэтому отображение и: К—* К останется непрерывным, если наделить К ослабленной топологией. Множество К компактно и тем более слабо компактно, поэтому отображение и будет равномерно непрерывным на К в ослабленной топологии.

Введем вспомогательные понятия. Скажем, что множество G а Е' определяет множество FcEf, если для каждого faF и каждого е > О найдется такое конечное множество Goa G и такое число б > О, что

I <«U), />-<«(у), f> Кв,

если точки х, у а К удовлетворяют условию

х - у a W (Go, 6) = {2 е Е: | (2, g) | < б для g a Go}.

Это условие в действительности означает, что отображение и непрерывно в слабых топологиях о(£, G)\К и o^E^F^K. Нам понадобятся следующие три замечания.

Каждый функционал f а Е' определяется некоторым счетным множеством G. Действительно, мы видели, что отображение xt—>(«(x),f) равномерно непрерывно на К в ослабленной топологии, поэтому каждому натуральному числу п отвечают такое конечное множество G^a Е' и такое число 6п>0, что | (и (х), /) - {и (у), f) | < ~ для всех пар (х,у) е ^ К X К, удовлетворяющим условию х— у a W(Gn, бп). Тогда счетное множество G=UGn определяет функционал f.

Из замечания (1) непосредственно следует, что каждое счетное множество FaE' определяется некоторым счетным множеством G а Е\ Однако верно более сильное утверждение.

Каждый функционал f ^ Е' может быть включен в некоторое счетное самоопределяющееся множество GaE'. В самом деле, функционал f определяется некоторым счетным множеством Gx в силу замечания (1); множество Gx определяется (в силу замечания (2)) некоторым счетным множеством G2; множество G2— некоторым множеством G3 и т. д., и достаточно положить G = {Д UI (J Gn

После этих замечаний продолжим доказательство.

Пусть а, b — различные точки множества К. Выберем функционал f^E' так, чтобы ^а, f) 4= kb, f), что возможно в силу отделимости и локальной выпуклости пространства Е. Пусть G={gJ— самоопределяющееся множество, содержащее f (замечание (3)). Так как множество К ограничено, то можно считать, что | gk (К) | ^~ для всех 6=1, 2, ... . Отобразим множество К в I2 с помощью отображения t, определенного равенством Цх) (А) = (х, gk\ Отображение t является непрерывным отображением множества К на выпуклое компактное подмножество Ко гильбертова куба Q. Так как Ца^ЦК), то Ко содержит по крайней мере две различные точки.

Поскольку множество G само себя определяет, композиция u = touot-x есть однозначное отображение множества Ко в себя (даже если t и нс взаимно однозначно). Далее, отображение и непрерывно. Действительно, пусть ро^Ко и 0<е<1. Выберем N так, чтобы ^ -^з" <е. Так как множество-G самоопреде- k> N

ляющесся, найдется такое 6 > 0 и такое натуральное число т, что

2

I (« (Д gk) - (и (у), gk) I<— ,1< к < N,

N2

для всех пар (х, у) е К X К, удовлетворяющих условию |(х— У, §"г)|<6, 1 ^/ ^.тл Таким образом, если р е Ко и Пр —Poll <6 и если х и у выбраны в К так, что t^=p и Цу^Ро» т0 в силу предыдущего неравенства имеем

||s(p)-o(p0)|p = 2l <«to. &>-<«(</)» Ы12 = к

k^N k>N k<N k>N

откуда и вытекает непрерывность отображения о.

Лемма 2 позволяет теперь сделать вывод, что отображение у обладает неподвижной точкой р^^Ко- Тогда u^t-x ^р^ )cz г- t~x (ро) = Ki, причем Кх есть собственное выпуклое подмножество в К и u^K\)czKi, чем и завершается доказательство леммы. 1

Иное доказательство см. уСарымсакова [1].

Доказательство теоремы 3.6.1. Рассмотрим множество всех таких компактных выпуклых подмножеств К'сК, что и^сК'. Если это множество упорядочить по убыванию, то оно, очевидно, будет индуктивно упорядоченным. В силу леммы Цорна существует такое минимальное компактное выпуклое подмножество К* cz К, что u^K*)czK*. Из леммы 3 следует, что К* содержит только одну точку, которая и является неподвижной для отображения и. |

Следствие. Пусть Е— отделимое локально выпуклое пространство, удовлетворяющее следующему условию.

^ Замкнутая выпуклая оболочка всякого компактного множества в Е компактна.

Если А — непустое замкнутое выпуклое множество в Е и и — такое непрерывное отображение множества А в себя, что множество и(А) относительно компактно в Е, то отображение и обладает по крайней мере одной неподвижной точкой.

Доказательство. Обозначим через В выпуклую оболочку множества и (А) в Е и через К замыкание множества В в Е. Очевидно, Kez А Множество и^ относительно компактно, поэтому из условия (*) следует, что множество К компактно. Кроме того, оно не пусто и выпукло. Так как Kez Л, то и^К^ аи(Ау Далее, м(Л)с=К по определению множества К. Таким образом, u(K)czK. Остается применить теорему 3.6.1 к отображению и\К. |

Замечания. Приведенное выше условие (*) заведомо выполняется, если пространство Е полно или даже квазиполно (последнее означает, что каждое ограниченно замкнутое множество в Е полно). Действительно, если Р — компактное подмножество в Е и Q — его замкнутая выпуклая оболочка, то множество Q предкомпактно (см. предложение 9.1.3). Далее, так как множество Р ограничено, то таким же будет и множество Q. Если пространство Е квазиполно, то множество Q полно и потому компактно.

Одно приложение к дифференциальным уравнениям. Пусть Т— интервал вещественной оси, F — конечномерное нормированное пространство и В — шар Jly— i/oll^f в F, Рассмотрим дифференциальное уравнение

^ = f<t, х), х^ = уй, (3.6.1)

где toeT и f: TxB-^F. Решением уравнения (3.6.1) на Т будем называть функцию х\ Т-^В, обладающую в каждой точке teT производной, равной /(/,%(/)), и удовлетворяющую условию x(t0) =у0. Если функция f непрерывна и удовлетворяет условию типа Липшица по второй переменной, то, как было указано в п. 3.1.3, методом сжимающих отображений доказывается существование и единственность решения уравнения (3.6.1). Пеано [2] первый показал, что локальное решение этого уравнения существует, хотя, возможно, и не единственно, если функция / всего лишь непрерывна и ограничена, скажем ||f (/, у) || ^ М (^еТ, yeBY Этот результат можно доказать, основываясь на теореме Асколи (см., например, Колмогоров и Фомин [1, стр. 108]). Ниже мы приведем доказательство, базирующееся на тех же идеях, но использующее следствие 3.6.2.

Положим с = г/М и Т1 = ТП[/0 — с,/о + с]. Введем банахово пространство E = C^T\,F^ непрерывных функций х*. Ti~^F с нормой

II х || = sup {||х (/) ||:

Каждому элементу хеЕ сопоставим элемент ^(х)е£, определенный равенством t

и (х) (/) = yQ + j f (s, х (s)) ds.(3.6.2)

Если нам удастся установить, что отображение и обладает неподвижной точкой х, то последняя и будет решением уравнения (3.6.1) на интервале Т^еТ.

Для доказательства существования неподвижной точки применим следствие 3.6.2 к множеству А, состоящему из тех точек хе Е, для которых ||х — у01| ^ г; здесь у0 — постоянная функция, принимающая значение у0 во всех точках интервала Ть Проверим выполнение условий следствия 3.6.2.

Множество А, очевидно, замкнуто и выпукло. Если teT{ и s принадлежит интервалу с концами /0 и /, то ||x(s)—i/oll^^ для всякой функции хе А. Так как Ilf (s, x(s)) || <.М на всей области интегрирования в формуле (3.6.2), то

IIU W (0 - Уо II < м 1t - t0 К Мс = г.

Таким образом, отображение и переводит множество А в себя. Докажем непрерывность отображения и на множестве А.

Если последовательность (хп)еА сходится в Е к точке хе А, то в силу равномерной непрерывности функции f на ТгХВ сходимость и^х^ (t) -^и^ (Z) в F имеет место равномерно относительно teTx. Итак, отображение и непрерывно на множестве А,

Остается проверить, что множество и (А) относительно компактно в Е. Так как множество и\А^еА ограничено, а пространство F конечномерно, то достаточно (теорема Асколи) доказать равностепенную непрерывность множества и (А). Но если хе А и t.V еТх. то

t

|| и (х) (О - и (х) ИЗ II = J f (s, x^ds t'I

Таким образом, все условия следствия 3.6.2 выполнены, и теорема Пеано доказана.

Замечания. (1) Налагаемое на F требование конечномерности существенно для справедливости теоремы.

Мы предположили, что /0— внутренняя точка интервала Т. Доказательство проходит и для концевых точек /0, если внести в него небольшие изменения.

Другое приложение к дифференциальным уравнениям. На этот раз мы рассмотрим уравнение второго порядка

d2xdx \-ж^ц1-х*-ж)d2xdx \-ж^ц1-х*-ж)(3.6.3)(3.6.3)

d2xdx \

-ж^ц1-х*-ж)

d2xdx \

-ж^ц1-х*-ж)

(3.6.3)

(3.6.3)

на интеррале О^/^У с граничными условиями

x(0) = Xi х(Т’) = х2,(3.6.4)

Следуя Бассу [1], докажем, что если f— ограниченная и непрерывная функция на [О, HXRXR, то задача (3.6.3), (3.6.4) допускает по крайней мере одно решение.

Доказательство основано на следующем замечании. Если ввести функцию

GU, s)GU, s)при 0 ^ s ^ t ^ Т,

GU, s)

GU, s)

при 0</<s<7,

то всякое решение х интегрального уравнения т

х^^хх^-^-у3^ G^ s)f[$> ^(s), *'($)] ds,о

где штрих означает производную, является решением нашей задачи.

Разрешимость интегрального уравнения может быть установлена с помощью следствия 3.6.2. Для этого возьмем в качестве Е банахово пространство непрерывно дифференцируемых

на [О, Г] функций (на концах рассматриваются односторонние производные) с нормой

||x||= sup {|x(0l + U'(0l}-

За А примем само пространство Е и отображение и определим равенством

и(х)(/) = %1 + -^^Л^~ G(t, s)f[s, x(s), V^Ads.о

Легко проверяется, что и — непрерывное отображение пространства Е в себя. Чтобы можно было применить следствие 3.6.2, остается только показать, что множество и^Е) относительно компактно в Е. В силу теоремы Асколи для этого достаточно доказать, что функции из множества и^Е) ограничены, так же как их производные, причем множество производных равностепенно непрерывно. Пусть \f\^.M на [0, TJxRxR; полагая у = = г/(х), имеем

I У W КI *1 I 1 х2 - хх |,

поскольку О ^G ^Т/4. Непосредственный подсчет показывает, что

t/'(O = ^^4j(^)ft...]dS-/(^)H^^оt

откуда

\у' (0К-^^-+2Л47’

И

Таким образом, множество функций вида у = и(х), где х пробегает Е, обладает всеми требуемыми свойствами, что и завершает доказательство.

Замечания. Относительно дальнейших приложений теорем о неподвижной точке к дифференциальным уравнениям см. Кордуняну [1—4]. Следует отметить возможность приложения к дифференциальным уравнениям и других функционально аналитических принципов. См., например, Беллман [1], Массера и Шеффер [1—4] и приведенные там библиографии, а также пример 7.2.6, ниже.

Приложение к рефлексивным банаховым пространствам. Пусть f — отображение банахова пространства Е в себя. Обозначим через 1 тождественное отображение Е на себя. Возникает вопрос, при каких условиях 1+/ является отображением

на. Если отображение f линейно, то, как хорошо известно, достаточно выполнения условия IlfII < 1. Действительно, в этом случае для любого элемента у^Е ряд 2 (~1ГГ(^) сходится /2 = 0

в Е и имеет своей суммой элемент х, который удовлетворяет условию x-V^ (^ =у. Мы, однако, применим следствие 3.6.2 к случаям, когда отображение f, вообще говоря, нелинейно. Именно, мы установим следующий результат.

Если слабо непрерывное отображение f переводит ограниченные множества в относительно слабо компактные и удовлетворяет соотношению

limsupllMl<l,(3.6.5)

Их«->=5 IIх II

то 1+f есть отображение пространства Е на Е.

Для доказательства возьмем произвольную точку у ^ Е. Достаточно показать, что отображение и, определенное равенством и^=у — /(х), обладает в Е неподвижной точкой. Мы сделаем это, применив следствие 3.6.2 к пространству Е в его ослабленной топологии. Обозначим через Л шар {х: ||х||^г}. Очевидно, что в силу условий на отображение f сужение и\А непрерывно и множество и^А^ относительно компактно (и то и другое в ослабленной топологии), каков бы ни был радиус шара г. Остается добиться выполнения включения и^А^аА.

Положим

M(r) = sup{||f(x)||: || х IK г}.

Из неравенства (3.6.5) и локальной ограниченности отображения f следует, что

hm sup—— < I.

Г-> ООr

С другой стороны, если ||х|| О, то ||^(х) || ^ ЦуЦ +М(г). Итак, если х^А, то и и^^А для достаточно больших г. Теперь для завершения доказательства достаточно воспользоваться теоремами 8.1.1, 8.3.5, 8.13.1 и следствием 3.6.2.

Если допустить, что пространство Е рефлексивно, то доказательство упрощается, так как в этом случае из слабой непрерывности отображения f следует, что f переводит ограниченные множества в относительно слабо компактные (каждое ограниченное множество будет относительно слабо компактно в силу предположенной рефлексивности; см. § 8.4).

Теоремы Какутани и Фана о неподвижной точке. Какутани [7] установил теорему о неподвижной точке для многозначных отображений (т. е. для отображений, для которых

образом точки является множество). Позднее Фан [1] получил теорему, которая обобщает одновременно теорему Какутани (с конечномерных на бесконечномерные пространства) и теорему Шаудера — Тихонова. Мы приведем теорему Фана без доказательства. Она в этой книге не используется.

Теорема. Пусть Е— отделимое локально выпуклое простран* ство, К — непустое выпуклое компактное множество в Е и f —■ многозначное отображение, которое каждому хеК ставит в соответствие непустое выпуклое замкнутое множество Цх)аК. Пусть далее отображение f полунепрерывно сверху в том смысле, что если xqeK^ U — окрестность множества f(x0), то существует такая окрестность V точки Хо, что множество f(x) cz U для каждого хе КПК Тогда существует точка х0^К, которая является неподвижной для отображения f, т. е. xo^f(xo)t

Работы Лере и Шаудера

Еще в 1934 г. ЛереиШаудер[1] разработали и опубликовали новый подход в теоремам о неподвижной точке. Мы не ставим своей задачей воспроизвести здесь их результаты и отсылаем интересующегося читателя к оригиналу. Все же представляет интерес знакомство с принципами, лежащими в основе теории Шаудера — Лере, чтобы сравнить их с методами, которыми мы пользовались выше в этой главе.

Первым этапом в теории Шаудера — Лере было обобщение понятия Брауэра о топологической степени, первоначально определенного лишь для отображений конечномерного пространства Е в себя. Шаудер и Лере распространили это понятие на случай, когда Е— произвольное нормированное пространство. Они исследовали (а) связь между разрешимостью уравнения ВИДах —f(x)=0

и топологической степенью отображения х\—>у = х— f(x) в точке у = 0 и (Ь) инвариантность топологической степени при непрерывной деформации рассматриваемого отображения. Это исследование было проведено в предположении, что отображение f определено и непрерывно на замыкании ограниченного открытого множества QczE и что множество f(Q) относительно компактно в Е.

—fa(x)=0

Второй этап состоял в формулировке задачи в терминах разрешимости уравнения вида

X — fe(x)=O,где fp — элемент непрерывного семейства (fx) отображений опи-санного выше вида. Успех во многом зависит от семейства (К).

которое должно быть таким, чтобы для некоторого его элемента fa вопрос разрешимости соответствующего уравнения

х — fa (х) = О

не представлял значительных трудностей.

Шаудеру и Лере удалось, действуя по только что описанной программе, получить теоремы существования для дифференциальных уравнений в частных производных весьма общего вида. Заметим, что второй этап потребовал большой изобретательности и глубокого предварительного изучения свойств весьма специальных (хотя все еще довольно общих) классов дифференциальных уравнений в частных производных. Краткое изложение теории дано Мирандой [1, стр. 165 и далее]. Несколько упрощенное и сокращенное изложение, в котором используется лишь теорема 3.6.1 о неподвижной точке, дано в книге Куранта и Гильберта [2, стр. 355—360].

Ясно, что принципы, используемые в методе Шаудера — Лере, выходят за рамки тех, которые были использованы в этой главе. Хотя применять их сложнее и труднее, тем не менее область их приложений значительно шире.

Работа Лере и Шаудера явилась источником многочисленных обобщений и упрощений (см. Лере [3], Н а г у м о [1], А л ь т- м а н [1, 2], Гр а н а с [1], К л и [4], Браудер [7]).

Теоремы о неподвижной точке в упорядоченных множествах

Пикар в своей фундаментальной работе [1] указал на полезность метода последовательных приближений при получении теорем о неподвижных точках для отображений, которые преобразуют упорядоченные множества в себя. Позднее этот метод был значительно развит Канторовичем [1]. Один из результатов такого рода мы приведем здесь.

Предположим, что Е— (частично) упорядоченное множество (п. 0.1.4). Допустим, что каждая ограниченная сверху возрастающая последовательность (хп) элементов из Е обладает в Е верхней гранью и что каждая ограниченная снизу убывающая последовательность (уп) элементов из Е обладает в Е нижней гранью. Если при этих условиях х (соответственно у) есть верхняя (соответственно нижняя) грань последовательности (хп) (соответственно (z/n))> то будем писать хп^х * (соответственно Уп\уУ Читатель заметит, что тогда xn+ifx и z/n+i|z/.

Рассмотрим возрастающее отображение и*. Е-^Е (т. е. Х^У влечет и^^и (у)), такое, что из соотношений хп^х и УтЛу следует, что и^Хп) ^и^х) и и^у^и^ соответственно.

Теорема. Пусть упорядоченное множество Е и отображение и*. Е-^-Е удовлетворяют приведенным выше условиям. Пусть далее существуют такие элементы х0, у о г Е, что

хо < у^хо < у^х0х0и (х0),и (х0),U (Уо) < Уо-U (Уо) < Уо-(3.8.1)(3.8.1)

хо < у^

хо < у^

х0

х0

и (х0),

и (х0),

U (Уо) < Уо-

U (Уо) < Уо-

(3.8.1)

(3.8.1)

Определим последовательности {х^ и {у^ соотношениями

-^п + 1С^п)> УпАЛ ^Ху^.-^п + 1С^п)> УпАЛ ^Ху^.(3.8.2)(3.8.2)

-^п + 1С^п)> УпАЛ ^Ху^.

-^п + 1С^п)> УпАЛ ^Ху^.

(3.8.2)

(3.8.2)

(3.8.3)(3.8.3)Тогда существуют такие точки х, у^Е, что Хп\ X. уп^у, х^у;

(3.8.3)

(3.8.3)

причем х и у являются неподвижными точками отображения и. Кроме того, если х* {соответственно у*)—неподвижная точка отображения и такая, что х*^ х0 {соответственно у*^уо), то х*^х {соответственно у*^уУ

Доказательство. Из первого неравенства (3.8.1) следует, что и{хо)-Си{у^у, из остальных неравенств (3.8.1) по индукции получаем

(3.8.4)(3.8.4)х0 < %1 < ... <хп <у п < у^-х < .. . <у0.

(3.8.4)

(3.8.4)

Таким образом, последовательность {хп) возрастает и ограничена сверху элементом у0, поэтому хп\х для некоторого х^Е. Аналогично у-Ду для некоторого у^Е. Из (3.8.4) вытекает, что хп ^Ут при п> т, что влечет х ^ ут для всех т и, следовательно, х-^у. Соотношения (3.8.3) установлены. Так как xnjx, то и{хп)^и{х). С другой стороны, хп+х^х и хп+х = и{хп), откуда следует, что х = и{х). Аналогичным образом получаем у — и{уУ Итак, х и у — неподвижные точки отображения и.

Пусть, наконец, х* — такая неподвижная точка отображения и, что х**>х0. Тогда

х* = и{х*)*> и{х0)*> Хх.

Повторяя это рассуждение, приходим к тому, что х* ^ хп для всех п, поэтому х**>х. Таким же способом можно доказать, что если у* — неподвижная точка отображения и, такая, что у*^у^, то у* < у. |

Пример. Рассмотрим отображение и описанного в п. 3.1.3 типа, а именно

t

и (х) (О = Цо + J f(s, x{s^ds,(3.8.5)

где но — вещественное число, f — функция на TxR, а Т— интервал, содержащий точку /о- В (3.8.5) х обозначает переменную вещественную функцию на Т, a t— переменную точку интерва-

ла Т. Предположим, что f — такая вещественная измеримая на ГХК функция, что отображение хь—>f(^, %) возрастает при каждом t е Т и

jl М с) | Л < + ОО т

для каждого вещественного числа с. В качестве Е можно, например, взять множество всех вещественных ограниченных измеримых на Т функций, наделенное естественным порядком. Легко проверяется, что множество Е удовлетворяет условиям теоремы 3.8.1 и что и — возрастающее отображение множества Е в себя. Далее, если последовательность (хп) ограничена и монотонно сходится к х, то и последовательность и^х^ таким же образом сходится к и (%) (см. теорему 4.6.6). Для того чтобы воспользоваться теоремой 3.8.1, остается только убедиться в существовании элементов х0) у^^Е, удовлетворяющих условиям (3.8.1). Предоставляем это читателю.

Заметим, что при довольно слабых ограничениях на функцию f отображение и преобразует каждый элемент х^Е в непрерывную функцию. Если при этом функция f непрерывна, то из соотношения и^=х будет следовать, что функция х удовлетворяет дифференциальному уравнению

во всех внутренних точках интервала Т. Даже если функция f не непрерывна, функция х удовлетворяет этому дифференциальному уравнению почти всюду на Т.

Упражнения

Пусть Е— банахово пространство, А— открытое выпуклое множество в Е и f — непрерывное отображение множества А в себя. Пусть далее отображение f непрерывно дифференцируемо на А в том смысле, что каждой точке хе А соответствует такой непрерывный эндоморфизм Ах пространства Е, непрерывно зависящий от точки хе А, что

Цх + h) — f(x) = Ax(h) +о(||Л||) при h->^\

при этом о(||А||) может зависеть от х. Допустим, наконец, что ПЛхП^Х для всех хе А, где Z<1.

Доказать, что отображение f обладает единственной неподвижной точкой в А.

[Указание. Доказать, что f —сжимающее отображение. Для этого показать, что если Н—>x(f)—дифференцируемое отображение вещественного интервала в Л, то

if^m=AMt)^-,

так что

1

J AxW ^dt о

для всяких двух точек х0, х^Д и любой лежащей в Л дифференцируемой кривой /I—> х^¥ такой, что х(О)=хо и х(1)=хь]

Замечание. Условие выпуклости множества Л может быть ослаблено, если имеется дополнительная информация относительно X; такое ослабление может быть также иногда достигнуто использованием результатов Эдельштейна [1, 2].

Пусть Е — банахово пространство и Т — непрерывный эндоморфизм пространства Е, удовлетворяющий условию ЦТН < 1. Применяя принцип сжимающих отображений к сужению отображения и^ = Т(х) 4-у на шары переменного радиуса с центром в нуле, доказать, что отображение, обратное к 1 — Т, является непрерывным эндоморфизмом пространства Е с нормой, не превосходящей (1 — II Л)-1.

Получить то же самое, рассмотрев так называемый ряд Неймана

2 тп.

п=0

[Указание. Отображение и есть сжатие шара с центром в нуле и радиусом г, если ||z/K (1 — ИН)г.]

Пусть X, Y и Z— нормированные пространства, причем пространство X полно, и пусть f: X -> ¥ и g: X -> Z — линейные отображения. Допустим, что система уравнений

fUW' §W=2

для заданных уеУ и z^Z обладает единственным решением х^Х, причем это решение удовлетворяет условию

llx|k^p||z/||r + ^||2||z

при некоторых постоянных р и q. Пусть F— такое отображение шара

S = {х е X: || х Пх < г) в У, что

|| F (х) - F ^х^ ||у < X || х - х ||х(х, х' е S)

для некоторого %. Доказать, что система

/(x) = F(x), g(x) = z

допускает единственное решение x^S, если qX<\ и

р|И1г + <7И(0)||г<(1^^

[Указание Рассмотреть отображение Т: 5->Х, определенное таким образом, чтобы для каждого элемента usS элемент х=Ти был единственным решением системы

f(x)=F(^),g^=z.

Доказать, что при сформулированных условиях отображение Т; S->S сжи- мающе, и воспользоваться принципом сжимающих отображений.]

Замечание. Этот метод был применен Кордуняну [5, теорема 1] К задачам, связанным с обыкновенными дифференциальными уравнениями.

Подпространство У топологического пространства Л' называется ретрактом пространства X, если существует непрерывное отображение f: X -> У, оставляющее неподвижной каждую точку множества У.

Показать, что У обладает свойством неподвижной точки, если им обладает пространство X, а У является ретрактом в X.

Замечание. Стоит отметить, что суть доказательства леммы 2 § 3.6 заключается в обосновании того факта, что всякое замкнутое выпуклое множество предгильбертова пространства является ретрактом любого компактного множества, которое его содержит.

Пусть отделимое локально выпуклое пространство Е квазиполно (т. е. каждое его ограниченное замкнутое множество полно), множество Л cz Е компактно и К — его замкнутая выпуклая оболочка в Е. Доказать, что если А — ретракт в К, то множество А обладает свойством неподвижной точки.

[Указание. Доказать компактность множества К и затем применить предыдущее упражнение вместе с теоремой Шаудера — Тихонова.]

Обозначим временно через F вещественное или комплексное поле скаляров, а через К непрерывную функцию [О, 1]Х[0, 1JX/7->F. Для г^О положим

M(r) = sup{|tf(/,s,g)|:

Пусть

а е С ([0, 1], F) и

[] а || = sup {| а (/) I: 0 < / < 1}.

Доказать, что если Л1 (||а|| +^) ^г для некоторого г^О, то уравнение

•1

х (О + J К (/, s, х (s)) ds = а (О (0 < / ^ 1) о

обладает решением хеС([0, 1]. F).

Вывести отсюда, что указанное интегральное уравнение разрешимо для всякой функции аг С([0, 1], Г), если

lim inf ГХМ (г) < 1.

Г-> сю

[Указание. Приспособить метод, использованный в п. 3.6.3.]

Пусть Е — метрическое пространство и f: Е->Е— такое отображение, что

d^W, f(y))<d(x, у)

Для х, угЕ и х^у. Допустим, что точка х^гЕ такова, что последовательность (хп) итераций xn = fn(x0) содержит подпоследовательность, сходящуюся к точке х^гЕ. Доказать, что х^ — единственная неподвижная точка отображения f (Эдельштейн [2]).

[Указание. Единственность очевидна. Остальное доказывается от противного. Пусть f(xoo) =#Хоо. Рассмотрев функцию

d (х, у)

на факторпространстве £х£/А (Л — диагональ произведения £х£), доказать существование такого числа г<1 и такой окрестности U точки (х«, Цх»)), что

d^W, f(y)) <rd(x,y)

для (х, у^ е U. Выбрать число г'>0 настолько малым, чтобы B(x00,r')XB(/(x«), H'^U

и

г' < у d V (Хоо), Хоо).

Выбрав подпоследовательность Q°n^y сходящуюся к х^, показать, что d(xn^ я^+1) > г' при k > kQ и что для h > к > kQ имеет место неравенство

ЧХ’ Xnh^<rh k'dEnk’ Хпк*^’

причем r^“^->0 при к->оо. Это дает требуемое противоречие.]

Пусть £ —топологическое векторное пространство, М — подмножество в Е и (х^) — сильно ограниченная последовательность в Е', порождающая сильно плотное векторное подпространство в Е’. Пусть / — такое отображение множества М в себя, что для некоторой точки х0 е Л4 последовательность итераций хп = fn (х0) содержит ограниченную подпоследовательность, /Имеющую слабую предельную точку х^ е М. Допустим, наконец, что

|<fW-f(y). 4>|<КХ“^’ -4)1

для всех х^уеЕ и всех т, причем при х ^ у строгое неравенство имеет ме* сто по крайней мере для одного значения т. Доказать, что Хоо — единственная в М неподвижная точка отображения /.

[Указание. Ввести на Е метрику

т

и применить предыдущее упражнение.]

Пусть Е — топологическое векторное пространство, А — непрерывный эндоформизм пространства Е, такой, что его сопряженный А' обладает последовательностью собственных векторов, каждый из которых принадлежит собственному значению, модуль которого строго меньше 1. Допустим, что эта последовательность сильно ограниченна, тотальна на £ и порождает сильно плотное векторное подпространство в ЕЕ Пусть задан элемент уеЕ. Предположим существование такого элемента х^еЕ, что последовательность (Хп), определенная соотношением

хп = Апх0 + у + А у + ... А-Ап-Ху,

обладает ограниченной подпоследовательностью, имеющей слабую предельную точку Хоо е Е. Доказать, что Хоо — единственное содержащееся в Е решение уравнения х— Ах = у.

[Указание. Пусть х'т — собственные векторы эндоморфизма А'. Положить Цх^ = АхА-у и применить упражнение 3.8.]

Пусть 1 < р < оо, уе1р^, оо), К е I? (0, оо). Каждому элементу х ^ Lp (0, оо) сопоставим функцию

t

Кх (0 = J x<t — s^K (s) ds.

о

!) См.- п. 0.2.21. — Прим, перев.

Показать, что К — непрерывный эндоморфизм пространства Ер (0, оо) и что справедливо по крайней мере одно из двух следующих утверждений:

) для каждого х е Lp(0, оо)

lim WKnX-Vy-\-Ky-\- ... +Kn-1yll р= + оо;

П->ооЬ

уравнение х— Кх=у имеет единственное решение xeLp(0, оо).

Примечание. Следует учесть относительную слабую компактность ограниченных множеств в L? и тот факт, что пространство, сопряженное к Ер, отождествимо с пространством L^\ если \<р< оо и — + -^ = 1. Эти факты доказываются в гл. 4.

[Указание. Применить упр. 3.9, приняв за хт функции

где (^т) — соответствующим образом подобранная последовательность вещественных чисел ^т>0.]

Пусть X— топологическая полугруппа, Cbd(X)—пространство вещественных ограниченных непрерывных функций на X. Положим af(x) = = f(ax) для feCbd(X), а, хеХ. Левоинвариантное среднее на X— это та* кая положительная линейная форма fi—> p(f) на Cbd(X), что ц(1) = 1 и ^(af) = ^(f) для всех аеХ и всех f е Cbd(X). [Правоинвариантное среднее определяется аналогично с заменой левого сдвига of на правый сдвиг fa (х) = f (ха).] Доказать, что для существования левоинвариантного среднего на X необходимо и достаточно, чтобы полугруппа X удовлетворяла следующему условию:

если fi, ..., fn ее Cbd (^) и £Zi, ..., an ее Л, to

suP(fl — a/l +

[Указание. Для доказательства достаточности рассмотреть векторное подпространство L в Cbd(X), порожденное элементами вида f — ah и открытое выпуклое множество К, образованное теми элементами g, для которых sup g < 0. Применить теорему 2.1.1.]

Примечания. Этот результат принадлежит Д и к с м ь е [3, теорема 1] и использован им для доказательства ряда утверждений относительно существования или отсутствия инвариантных средних. Ср. с упр. 2.15.

Это упражнение посвящено одному из вариантов теоремы 3.3.1.

Пусть S — полугруппа с правоинвариантным средним, которое будем обозначать через J ... ds. (Определение такое же, как и в предыдущем упражнении, только вместо X рассматривается полугруппа, S, наделенная дискретной топологией.) Пусть Е — вещественное векторное пространство. Предположим, что каждому элементу seS поставлен в соответствие эндоморфизм Т8 пространства Е таким образом, что Tss,= TSTs,, s, s'e S. Пусть далее L— векторное подпространство в Е, инвариантное относительно каждого эндоморфизма Т8 и р — калибровочная функция на Е, такая, что р(Т8х)^р(х) для seS, х е Е. Пусть, наконец, /0— такая линейная форма L, что

fo (х) < р (х), fo <Tsx) = f0 (х) (seS,xe L).

Доказать, что существует линейная форма f на Е, удовлетворяющая условиям

f (х) < р (х), f (Tsx) = f(x) (s е S, х е E) и

[Указание. Сначала так продолжить fo до линейной формы fi на Е, чтобы fi^p, затем положить

J Л (^ds.j

Замечания. Сравните это упражнение с упр. 2.15. Настоящий ре* зультат менее тонок и применим только тогда, когда элемент g (из упр. 2.15) удовлетворяет условию Inf g>0. С другой стороны, этот результат обладает более широкой областью применения. То, что в упр. 2.15 требуется существование левоинвариантного среднего, объясняется тем фактом, что эндоморфизм Т8 действует на функции х, определенные на множестве Q, по правилу T8x=x°sw где s— отображение множества Q в себя. Поэтому TsTs,x— х° (s'® s), так что равенство TSTS,= Tss, выполняется, только если полугрупповое произведение ss' означает s'°s (а не более привычное s°s'). Это обращение порядка сомножителей и объясняет перестановку «левого» и «правого».

ГЛАВА 4

Топологические сопряженные

к некоторым пространствам; меры Радона

4.0. Предисловие1)

Роль предисловия играет следующий параграф.

План главы

Пусть T=VA — топологическое пространство. Наша цель—- подробно изучить некоторые весьма важные топологические векторные пространства, являющиеся подпространствами пространства Кт или их факторпространствами, и сопряженные к ним пространства. Обычно мы будем считать, что Т локально компактно; как правило, это предположение не является слишком стеснительным. Хотя меры Радона и распределения Шварца— понятия родственные, нам удобнее рассмотреть их по отдельности в этой главе и в следующей.

Что касается мер Радона, то связанные с ними топологические векторные пространства строятся следующим образом. Сначала берется «минимальное» пространство е/Г (Г), состоящее из непрерывных числовых функций на Г, имеющих компактный носитель. Если Т компактно, то это пространство совпадает с более привычным банаховым пространством С^Т) непрерывных числовых функций, наделенным естественной нормой

II Х||то = sup (к (01:

В пространстве о^(Г) вводится локально выпуклая топология индуктивного предела, которая определяется лишь в § 6.3; тем не менее мы можем пока пользоваться соответствующим определением секвенциальной сходимости вз^(7). Впоследствии окажется, что линейные формы нае^(Г), непрерывные относительно этой сходимости, образуют топологическое сопряженное к 3f iJY Эти линейные формы и являются так называемыми мерами Радона на Т. Одна из наших задач — показать, что каждая мера Радона, определенная таким образом, может быть разложена в линейную комбинацию положительных мер

9 Параграфа с этим номером у автора почему-то нет. Мы включили его для единообразия. — Прим, ред.

Радона (т. е. таких мер, которые каждой положительной функции из0^(7) ставят в соответствие положительное число) и что действие всякой положительной меры Радона сводится к интегрированию относительно некоторой меры, понимаемой уже как функция множества и определенной по крайней мере для всех борелевских подмножеств в Т. Этим и объясняется тот факт, что слово «мера» используется в названии объекта, который первоначально вводится как линейная форма на о^^Т).

По мере продвижения вперед мы будем вынуждены развить теорию интегрирования относительно заданной положительной радоновой меры ц на Т и тем самым выборочно изложим результаты данного Бурбаки чрезвычайно широкого развития идей Даниэля и Ф. Рисса (см. Бурбаки [8]) с учетом незначительных вариаций, представленных в работе Эдвардс [3]; см. также Хьюитт и Росс [1].

На первый взгляд естественно возникающая задача продолжения линейной формы ц с подпространства Sf (Т) на более широкое подпространство пространства Кт кажется разрешимой с помощью теоремы Хана — Банаха. И действительно, такое решение возможно. Однако такое продолжение далеко не единственно и, как правило, аналитически совершенно неудовлетворительно, ибо оно приводит к интегралам по конечно аддитивной мере, для которых нет мощной теоремы сходимости, характеристической для интегралов типа Лебега. Поэтому мы используем конструктивное продолжение линейной формы, несмотря на то что этот путь гораздо сложнее. В результате мы приходим к пространствам Лебега L^^T, ц), ассоциированным с данной положительной мерой Радона ц. Следующим этапом является изменение этих пространств и их сопряженных.

Мы начнем с изучения простого частного случая, когда пространство Т дискретно; при этом все топологические ограничения становятся излишними (все функции непрерывны, все множества открыты и т. д.) и в качестве объекта исследования выступают одни меры. Весьма важен случай T = N (N — множество натуральных чисел). В этом случае пространства Лебега по существу сводятся к пространствам последовательностей /р. Этот пример заслуживает отдельного рассмотрения ввиду его относительной простоты. Это рассмотрение осуществляется в § 4.2. Изложение основных вопросов начинается с § 4.3.

Банаховы пространства Z^(T) и Со(Т)

Пусть Т— произвольное множество. Его можно рассматривать как локально компактное пространство в дискретной топологии, что согласуется с общей схемой настоящей главы.

Пусть задано число р > 0. Обозначим через /р(Т) подпространство в Кт, состоящее из всех тех элементов х е KF для которых

1

IIX Пр = Г 2 I х (0 И р <+ ОО.IteT J

В случае р = оо пространство /°°(Т) состоит из тех и только тех элементов x^KF которые ограничены, т. е. для которых

llxIL = SUp | X (/) 1 < + ОО.t^T

Предположим вначале, что l^p-^oo, и определим сопряженный показатель р' равенством -^- + -—=1, причем р'= \ при р — оо и р' = оо при р = 1. Тогда из неравенств Гёльдера и Минковского следует, что

I 5х(0у(0|< 2 |х(0у(0К1|х11р-ИН'(4.2.1)

11 е т| (ЕГ

и

1|х + у||р<||х||р + ||у||р(4.2.2)

для функций х, у е Кт с конечным носителем. (См. также п. 4.11.2.) С помощью очевидного предельного перехода получаем, что формула (4.2.1) остается справедливой, когда функции х и у принадлежат соответственно пространствам /Р(Т) и 1Р' (TF а неравенство (4.2.2) имеет место для х, у^1р(Т). Из формулы (4.2.2) следует, что отображение хн> ||х||р есть норма на 1?(Т). Легко проверяется, что пространство /^(Т) банахово, если 1 ^ р ^ оо.

Пространство Со(Т) можно определить как замыкание в Z°°(T) множества функций х с конечным носителем. Оно также является банаховым пространством, если его наделить нормой, индуцированной нормой ЦхН^. Пространство с0(Т) состоит из тех и только тех функций х е KF которые обращаются в нуль на бесконечности, т. е. обладают следующим свойством: каждому числу 8>0 соответствует такое конечное ( = компактное) множество F в Т, что \х^\<г при te T\F.

Пусть теперь 0 <р<1. Тогда р' отрицательно и неравенство (4.2.1) не/ имеет места. Соотношение (4.2.2) также неверно, ибо в действительности выполняется неравенство

l|x + y||p> llxllp + llt/llp»(4.2.2*)

причем равенство здесь имеет место только в случае, когда ^=ау для некоторого числа а (см. Харди, Литтлвуд и Пол и а [1, стр. 45 и 150]).

Существует, однако, неполная замена соотношения (4.2.2), получаемая из элементарного числового неравенства

^^-Vb^^a-VbY^aP-V^»^^-Vb^^a-VbY^aP-V^»(4.2.3)(4.2.3)

^^-Vb^^a-VbY^aP-V^»

^^-Vb^^a-VbY^aP-V^»

(4.2.3)

(4.2.3)

Из этого не-(4.2.4)(4.2.5)Из этого не-(4.2.4)(4.2.5)справедливого при 0 <р < 1 для чисел а, 6^0. равенства легко выводятся соотношения

Из этого не-

(4.2.4)

(4.2.5)

Из этого не-

(4.2.4)

(4.2.5)

иип a:+^^^iix^+ii^iij

и

и

||х + у||р<2^-1(||х||р + ||г/||р).

Эти неравенства нельзя улучшить, так что при р < 1 отображение хн->||х||р уже не является ‘ нормой. Тем не менее /^(Т) будет полным метризуемым топологическим векторным туэо^ странством, если его наделить топологией, определяемой метрикой d(x, z/) = ||x- y\fp.

Если 0 < р < 1 и множество Т бесконечно, то полученное таким образом топологическое векторное пространство /р(Т) не является локально выпуклым. Чтобы в этом убедиться, достаточно построить ограниченное множество X в /р(Т), выпуклая оболочка которого У неограничена. Так как множество Т бесконечно, то можно выбрать такую последовательность (/п) элементов из Г, что tm4=tn для тфп. Пусть хп— элемент из /р(Т), принимающий значение 1 на tn и равный нулю для всякого t=tn. Тогда ||хп||р=1 и множество Х = {хп: п=1,2,...} ограничено в 1р(Т). Выпуклая оболочка У множества X содержит каждый из элементов вида

Уп = ~ (^1 + • • • + х^.

Прямым подсчетом можно убедиться в том, что || уп ||р = /г р -—1

Однако выражение пр стремится к бесконечности при п->оо; следовательно, множество У неограничено в lp^TY

Значительно более интересен случай 1^р<оо, для которого имеет место следующий важный результат.

Теорема. Если 1^р<оо, то сопряженное к /р может быть отождествлено (как банаховское пространство) с пространством 1Р' таким образом, что при этом отождествлении каждому элементу х' е 1р' сопоставляется линейная форма

х' (х) = 5 х (0 хг (/).(4.2.6)

Доказательство. Для каждого t определим функцию а следующим образом:

f 1 при S = /,ДО при s

Функция et принадлежит каждому из пространств /р. Так как р^оо, то каждый элемент х^1р может быть записан в виде сходящегося в 1р ряда 2 x^et.

tET

Следовательно, если f — непрерывная линейная форма на 1р и если положить х7^ = f(et), то

f (х) = 2 х (/) х' (/),tET

где ряд в правой части автоматически сходится для каждого х^ 1р. Более того, так как форма'/ непрерывна, то

| 5 (^ (О (О | < const II X ||р.

Выбирая соответствующим образом элемент х, легко видеть, что х7^1р\ Обратно, пусть х7^1р'. Тогда из неравенства Гёльдера для сумм следует, что сумма в правой части равенства (4.2.6) является непрерывной линейной формой на 1р, норма которой совпадает с ||х'||р'. I

Замечание. В случае р = оо теорема 4.2.1 неверна: пространство, сопряженное к Z°°, «содержит» Iх в качестве собственного векторного подпространства.

Теорема. С помощью соотношения (4.2.6) пространство, сопряженное к с0, можно отождествить (как банахово пространство) с пространством Iх.

Доказательство. Рассуждения весьма похожи на те, которыми мы пользовались при доказательстве предыдущей теоремы. Провести их предоставляется читателю (см. упр. 1.4). |

Пространство, сопряженное коЯГ(Т);

меры Радона

Всюду в оставшейся части настоящей главы через Т будет обозначаться отделимое локально компактное пространство. Если на Т будут накладываться еще какие-либо ограничения, то это будет специально указываться. Под Sf^T), или точнее ^к^, понимается векторное подпространство в Кт, состоящее из непрерывных функций с компактным носителем. Поле скаля-

ров К — это R или С. При изучении линейных форм на СТкСП достаточно рассмотреть их поведение нао^и(Г). Более того, достаточно ограничиться исследованием вещественных линейных форм на SSR(Ty В дальнейшем мы будем пользоваться символоме^Г(Т) для обозначения пространства g^r (Г).

Опишем теперь тот тип непрерывности линейных форм на е^к(7), который и характеризует их как меры Радона (ср. с п. 2.1.8).

Определение. Пусть (хп) — последовательность (или сеть) в STк СП. Будем писать хп~»0, если (а) существует компактное множество Е в Т, содержащее носитель функций хп при каждом п, и (Ь) последовательность (хп) равномерно сходится к нулю на Т. В этом случае будем говорить, что (хп) сходится к нулю в ST к (Л

Если функции хп принимают вещественные значения, то эта сходимость, очевидно, не зависит от того, рассматриваются ли хп как элементы изе^(Г) или из ТТ^АТС

Комплексной мерой Радона на Т называется линейная форма ср на^с(Г), непрерывная в следующем смысле: если (zn) czе^с(Г) и хп—»0, то Ишф(хп) =0. Если пространство ST^VH заменить пространством^ (7), рассматриваемым как вещественное векторное пространство, то получим соответственно понятие вещественной меры Радона на Т.

Читатель легко проверит, что линейная форма ф на е^с(Т) (соответственно нае^(Т)) тогда и только тогда удовлетворяет условиям определения 4.3.1, когда каждому компактному множеству К в Т соответствует такое число пгк, что

|ф(х) | <тк||х||оо (4.3.1)

для всякой функции х<=ТТсСП (соотв. ©Т(Г)), носитель которой содержится в К. Предвосхищая результаты § 6.3, можно указать на существование во^с(Т) (соотв. во^(Т)) локально выпуклой топологии, в которой непрерывность линейных форм равносильна выполнению условия (4.3.1). В соответствии с этим мы будем говорить об определении 4.3.1 или об эквивалентном соотношении (4.3.1) как об условии, выражающем непрерывность мер Радона.

Легко видеть, что каждая вещественная мера Радона может быть так продолжена с ЖСП на Жс(7), что она становится комплексной мерой Радона, которая однозначно представима в виде а + ф, где а и р— вещественные меры Радона. Поэтому достаточно рассмотреть подробно вещественные меры Радона.

Менее очевидна возможность представления всякой вещественной меры Радона в виде разности двух положительных мер Радона.

Теорема. Пусть X— вещественная мера Радона на Т. Тогда существует единственная пара положительных мер Радона Х+ и X", обладающая следующими свойствами:

Х = Х+ — X";

если а и 0— такие положительные меры Радона, что Х = а— 0, то а — Х+=0— X- является положительной мерой Радона на Т.

Говорят, что (а) представляет собою минимальное разложение меры X, а меры Х+ и Х~ называют соответственно положительной и отрицательной частью меры X.

Доказательство. Как легко видеть, единственность следует из условия (Ь).

Обращаясь к доказательству существования, положим для каждого х из^+(Г) (множества положительных функций из ОТ)

V (x) = sup{X(i/): ye^WTY у^х}.

Ясно, что %+(х)^0 и Х(х)^Л+(х). Покажем теперь, что функция Л+ аддитивна на е^+ (Г), т. е. что

V (х, + х2) = Л+ (xj + Л+ (х2)

для xb x2eo7f +(Т\ Если ytea%r,+ (T) и у£^.х£ (i = 1, 2), то ух + у2 е эТ + (Г) и ух + у2 ^ X] + х2, откуда непосредственно следует, что

(xj + х2) ^5(-^1) ”Ь ^^ (^г)*

С другой стороны, пусть у е <Х+ (Г) и у < х, + х2. Положим Ух = sup (у — х2, 0) и y2 = inf(y, х2). Обе эти функции принадлежат g^+ (Г) и

yi<sup(xb 0) = Хь уг<х2, у = У1 + у2.

Таким образом,

АЛ (Х1) + Х+ (х2)^МУ1) + ^(у2)= Mz/i + у 2)= ^ДиУ

Аддитивность V устанавливается теперь переходом к верхней грани в правой части неравенства.

Аналогичными рассуждениями приходим к равенству

Л+ (с • х) = с • Л+ (х)

ДЛЯ С>0 И xee^+fT').

Эти свойства позволяют продолжить линейным образом V на все пространство е^ (Т). Действительно, каждая функция

х^^(Т} может быть многими способами представлена в виде разности Xi— х2/где хь x2^^*<JV В силу аддитивности значение V(xi) —V(x2) не зависит от этого разложения, и поэтому его можно принять за определение V(x). Таким образом, V есть положительная линейная форма наеЯГ(Т), положительность которой обеспечивает выполнение условия (4.3 1) ^ Итак, V —положительная мера Радона. Так как V(x)>^(%) для хе о/Г^'Л, то линейная форма V = V— X также является положительной мерой Радона. Таким образом, пара (V, V) удовлетворяет условию (а).

Остается показать, что для этой пары справедливо (Ь).Если х, у г о^+(Т) и у ^ х, то

Цу) = а(у) — Р(у) <а(у) <а(х).

Значит, V(x)^a(x), и, следовательно, мера а — V положительна. Аналогично доказывается положительность меры Р-Х- ■

Доказанная теорема позволяет нам ограничиться подробным изучением лишь положительных мер Радона на Г, т. е. положительных линейных форм наеЯГ(Т). Для краткости всюду в оставшейся части главы вместо слов «положительная мера Радона» будем говорить «положительная мера».

Некоторые примеры

Прежде чем перейти к весьма обширной теории интегрирования относительно положительной меры, приведем ряд примеров мер Радона.

Атомарные меры. Пусть Т — отделимое локально компактное пространство. Обозначим через в; линейную форму на g^(7) (или ее естественное продолжение нао^с(7)), определенную равенством

еДх) = х^.(4.4.1)

Мера е# положительна. Ес часто называют мерой Дирака, сосредоточенной в точке t. Физики часто, в случае когда Т есть

Действительно, пусть К — компактное подмножество в Т. На основании леммы Урысона (п. 0.2.12) существует функция у к (t) е ойМ?), нигде не превосходящая единицы и равная единице на К. Из соотношения

верного для любой функции ,г е ^* (7), носитель которой содержится в К, вытекает, что

-(г/к)<А+ С^^ПхН^А,-»-^).

Следовательно, соотношение (4.3.1) имеет место при пг^ V" (j^\~ Прим, перев»

числовое пространство Rn, обращаются с мерой ее так, как если бы она была функцией. Это частично оправдывается тем, что при T=Rn мера ег в некотором смысле является пределом функций (точнее, слабым пределом в пространстве, сопряженном к ^(Г), некоторой последовательности линейных форм, обладающих плотностями относительно меры Лебега; см. п. 4.4.3).

Более общим образом можно взять функцию f Е Сг и попытаться определить меру Радона ц на Т формулой

(4.4.2) tel

предполагая при этом, что ряд в правой части безусловно сходится для каждой функции хео^(7). Тогда естественно ввести обозначение

Н=2/(0ел (4.4.3) ter

причем этот ряд безусловно сходится в смысле слабой топологии пространства, сопряженного ко^(Т). Меры такого вида называются атомарными. Сходимость ряда (4.4.2) эквивалентна условию

3 l/WK+oo (4.4.4) t^K

для каждого компактного множества К из Т. (Подробнее см. Б у р б а к и [8, гл. V, § 5.10] и Эдвардс [16, стр. 377—384].)

Меры Лебега. Пусть Т есть пространство Rn. Если хе$Т(7) и Q — гиперкуб, вне которого функция х равна нулю, то интеграл Римана

J ... j х Ux, ..., t^dtx ... dtn = ^ х (0 dtQ Q

существует, его значение не зависит от Q и может быть обозначено просто через J x^dt. Этот интеграл как функция от х является положительной мерой, которую мы назовем мерой Лебега на Rn; впрочем, имя Лебега связано и с более общей теорией интегрирования, о которой мы еще будем говорить.

Эта мера на Rn имеет особое значение в силу ее инвариантности относительно сдвигов. Мера Лебега на Rn — единственная с точностью до постоянного множителя мера Радона на Rn, для которой интегралы от всех сдвигов заданной функции х^о/Г^К^ равны между собой.

В более общем случае, когда Т— локально компактная группа, существует аналогичная единственная мера Радона на Т> инвариантная относительно всех левых сдвигов. Это так

называемая левая мера Хаара на Т. Так же определяется правая мера Хаара (§ 4.18). Меры Хаара широко используются при исследовании различных функциональных пространств над группами.

Плотности. Пусть Т — произвольное отделимое локально компактное пространство, ц— заданная мера Радона на Т, f — заданная непрерывная функция на Т. Легко видеть, что формула

v(x)=^(M (4.4.5) определяет новую меру Радона v на Т. Ее обозначают через f*^. В действительности же (если, забегая вперед, воспользоваться результатами § 4.13) мера f*p вполне определена для всякой локально интегрируемой относительно р функции f. В таком случае говорят, что f*p — мера с плотностью f относительно р или что для меры v = /-p функция f является производной по р и пишут f=^"- Круг вопросов, связанных с этой ситуацией, довольно подробно изложен в § 4.13—4.15.

Пусть T=Rn и р — мера Лебега. Утверждение (п. 4.4.1), что мера Дирака 8# не является функцией, означает, что не существует никакой функции f (локально интегрируемой по мере Лебега), для которой 8/ = f-p. С другой стороны, как говорилось в п. 4.4.1, можно найти такую последовательность (/п) непрерывных функций (даже функций из o^+(Rn)), что 8/ = lim fn • р в слабой топологии пространства,.сопряженного KG^(Rn). Действительно, для этого достаточно взять такие непрерывные функции fn ^ 0, что

h(W = i

и fn — О вне шара с центром в точке /, радиус которого стремится к нулю при п-^оо.

Другой распространенный способ выбора последовательности (fn) таков:

где \ V—t\ —обычное расстояние между точками t и V, а числа сп>0 выбраны так, чтобы p(fn) = 1. Последовательность функций (fn) поточечно сходится к нулю в точках, отличных от /, и к '4-оо в самой точке t. Таким образом, последовательность p(fnx) сходится к x(t)=et(x) для каждого хео?Г(Кп).

Меры Лебега — Стилтьеса. Понятия, введенные в п. 4.4.2, допускают ряд важных обобщений. Хотя эти обобщения можно провести и для многомерных пространств, мы ограничимся рассмотрением одномерного случая, чтобы избежать громоздких обозначений. Всюду в этом разделе Т будет обозначать интервал в R. Наша цель —поставить в соответствие каждой

функции f локально ограниченной вариации на Т (это понятие определяется ниже) меру Радона на Т. Построенная таким образом мера называется мерой Стилтьеса или Лебега — Стилтьеса. Введенная в п. 4.4.2 мера Лебега получается на этом пути как частный случай, когда исходная функция f определена равенством f{t)'=t, t^T. Достаточно рассмотреть случай, когда функция / вещественна. Соответствующая мера Радона будет тогда также вещественной.

Пусть /— вещественная функция на Т. Если I — содержащийся в Т ограниченный интервал с концами Л-^Л, то будем писать Д/(/)=/(/2)—/(6). Пусть К — компактный подинтервал в Т. Полной вариацией функции f на К называется величина

VfW = sup 2|Af(/r) I,

Г

где верхняя грань берется по всем конечным семействам непере-* секающихся интервалов lTcR. Полная вариация Vt^K^ может равняться 4-00. Если V/(A)<4-oo, то будем говорить, что / есть функция ограниченной вариации на К. Если Vf(K)<4-oo для каждого компактного интервала К с: Г, то говорят, что/ — функция локально ограниченной вариации на Т. Всякая монотонная на Т функция является функцией локально ограниченной вариации. То же справедливо и для разности двух таких функций. Обратно, если / — функция ограниченной вариации на К, то она может быть представлена в виде разности двух монотонных на К функций (см., например, Натансон [1, стр. 238]). Отсюда следует существование односторонних пределов функции / в точках интервала Т и в его концах.

Первый шаг на пути определения меры Радона, соответствующей функции f, состоит в определении интеграла Римана — Стилтьеса по функции f, который сводился бы к интегралу Римана в случае /(/)=Л Так как нам понадобится интеграл Ри* мана — Стилтьеса лишь от непрерывных подинтегральных функций (фактически принадлежащих g^(Г)), то мы ограничимся лишь кратким обзором. Подробное изложение можно найти, например, у Натансона [1, гл. VIII]. Пусть х^^Г^Ту Выберем компактный интервал КсТ, вне которого х обращается в нуль. Если Vf(K) <4-00, то, как можно показать, существует единственное число I, обладающее следующим свойством: для заданного 8>0 найдется такое д>0, что

p-SxMAf(/r)|<e

Для любого конечного разбиеная интервала К на интервалы 1Т и для любого выбора точек tr^Ir, если только наибольшая Длина различных 1Т не превосходит д. Если функция х обра-

щается в нуль вне К, то число t не зависит от выбора К. Число

I обозначается через RS-Jxdf и называется интегралом Рит

мана — Стилтьеса от функции х по интегрирующей функции f.

Легко видеть, что отображение

линейно илинейно иRS-J xdfтRS-J xdfт^vtirM\x\U^vtirM\x\UXV—>RS-| xdfт

линейно и

линейно и

RS-J xdfт

RS-J xdfт

^vtirM\x\U

^vtirM\x\U

где VdT) = sup Vt (К) —полная вариация функции f на Т. Это к

отображение (назовем его цу) есть мера Радона, соответствующая функции f. Она также называется мерой Лебега — Стилтьеса (или просто Стилтьеса) на Т, порожденной функцией f. Ясно, что ц/>0, если f монотонно возрастает.

Введем в рассмотрение более узкий класс интегрирующих функций f. Значение этого класса станет ясным после того, как читатель познакомится с § 4.13—4.15. Функция f на Т называется локально абсолютной непрерывной на 7, если для каждого компактного интервала К а Т и каждого числа е>0 существует такое число д>0, что 2|А/(Л)1^е для всякого конеч- г

ного семейства (/г) интервалов на К, сумма длин которых не превосходит д. Если это условие выполняется для некоторого отдельного К, то будем говорить, что функция f абсолютно непрерывна на К. В § 4.13—4.15 мы увидим, что это понятие есть точный аналог понятия абсолютной непрерывности меры j^ относительно меры Лебега. Полезно отметить следующее: если, функция f локально абсолютно непрерывна на 7, то она локально равномерно непрерывна ) и имеет локально ограниченную вариацию на Т. Существуют, однако, непрерывные функции локально ограниченной вариации, которые не являются локально абсолютно непрерывными. Важность локально абсолютно непрерывных функций в теории функции действительного переменного объясняется тем, что всякая такая функция почти всюду дифференцируема, причем производная интегрируема и неопределенный интеграл от нее (в смысле Лебега) восстанавливает исходную функцию. В § 4.13—4.15 эти вопросы исследуются на языке мер для произвольного локально компактного пространства Т.

Другие свойства меры Лебега — Стилтьеса р/ рассматриваются в примерах 4.5.6, 4.7.7, 4.7.8, 4.9.2 и 4.15.10.

Теория интегрирования относительно положительной меры

Начиная отсюда и до конца § 4.10, через р будет обозначаться фиксированная положительная мера Радона на Т. Обратимся к конструктивному продолжению функционала р с ^(Т) на более широкие множества вещественных или комплексных функций на Т.

Первый этап продолжения сводится к определению так называемого верхнего интеграла р* для произвольной положительной функции на Т. В связи с этим удобно ввести в рассмотрение функции, принимающие и бесконечные значения. Перейдем к подробному описанию того, как это можно сделать.

Множество вещественных чисел R расширяется с помощью добавления двух бесконечных элементов, для записи которых используются символы —оо и 4-оо соответственно. Это расширенное множество обозначается через R и упорядочивается следующим образом: на ‘ R сохраняем естественный порядок и полагаем — оо <а< 4- оо для всех а е R. Каждое непустое множество в R обладает верхней и нижней гранью. Что касается топологии, то на R она остается без изменений, за базу окрестностей точки 4-оо берутся интервалы вида (а, 4-оо], <?eR, аза базу точки —оо — интервалы вида [—оо, а), а е R.

Легко видеть, что R — компактное пространство, в котором R есть открытое плотное подпространство. Некоторые (но не все) операции, определенные для вещественных чисел, могут быть по непрерывности продолжены на R. Так, например, операции sup(x, у) и inf(x, у) непрерывны на RXR Операция —х может быть по непрерывности продолжена на все R. Операция сложения x-Vy может быть по непрерывности продолжена на (—оо, 4-оо] X (—сю, 4-оо] и на [—оо, 4-оо) X [—оо, 4-оо) таким образом, что

X 4- (4- оо) = (4- оо) 4- х = 4- оо при х =/= — оо, и

х 4- ( — оо) = (— оо) 4- х = — оо при х =/= 4- оо.

Операции x+ = sup(x, 0), x_ = sup(—х, 0) и |x|=sup(x, —х) определены на R как и операции x^-Vx- и х+ — х~, которые являются не чем иным, как |х| их соответственно. Имеет место неравенство |х4-#| |х| 4-\у\ (если сумма x-Vy определена).

Аналогично операция умножения ху по непрерывности продол жается на (Л\{0}) X (Л\{0}) таким образом, что

Г + оо прих>0,

X • (+ оо) = (+ °°) * X =ПрИх<0,

Однако выражения 0- ( + оо), (4-00) -0, 0- (—оо), (—оо) «О уже не определяются по непрерывности: условимся считать их равными нулю. Тогда равенство \ху\ = Iх| • (#| имеет место всегда. Наконец, равенство x(# + z) =xz/ + xz справедливо, если'каждая из участвующих здесь операций определена. Действия с функциями, принимающими значения в R, подчиняются, конечно, принятым только что соглашениям. Предположим далее, что полунепрерывные снизу (соответственно сверху) функции со значениями в R никогда не принимают значения —оо (соответственно + оо). Непрерывная функция со значениями в R, будучи одновременно полунепрерывной снизу и сверху, принимает, таким образом, значения в R (т. е. конечна).

Большую роль будет играть множество Ф = Ф(7) положительных полунепрерывных снизу функций на Т. В силу наших соглашений множество Ф устойчиво относительно сложения и умножения на постоянные с ^ О (см. также 0.2.19).

Для всякой функции ф ^ Ф положим

р*(ф) ={sup ц(х): х^о^^Т), х-<ф}. (4.5.1)

Число р*(ф) может равняться и + оо, но всегда неотрицательно. Будем называть его верхним, интегралом функции ф. Очевидно, что

ц*(с-ф) = с- ц*(ф),(4.5.2)

если с > 0, и

И(ф1) и(фг),(4.5.3)

если ф1 ^ фг. Легко видеть, что для всякой положительной функции х изеХ(7) имеет место равенство ц*(х) =р(х).

Остальные результаты этого параграфа менее очевидны.

Предложение. Пусть Г — возрастающее направленное семейство функций из Ф и фо = эир{ф: фЕГ}. Тогда

р* (фо) — SUp {р* (ф) 2 фЕГ}.

Доказательство. Левая часть рассматриваемого равенства, очевидно, не меньше правой, поэтому остается доказать обратное неравенство. Для всякого заданного числа с<ц*(фо) можно выбрать функцию х е е^+(7), удовлетворяющую уело-

виям х^фо и \хАх) = с'> с. Положим р = с' — с и выберем компактное множество КсТ, вне которого функция х обращается в нуль, и функцию х0 изе^+(7), принимающую значение 1 во всех точках множества К.

Пользуясь компактностью множества К и тем, что Г — возрастающая сеть, легко видеть, что для любого наперед заданного числа е>0 существует такая функция феГ, что ф^х— — ех0 во всех точках множества К и потому всюду. Тогда имеем р*(ф)>р(х)—ер(х0) = с' — ер(х0). Если число е выбрано так, что ер(х0) < р, то р*(ф) > с. Из того факта, что с—произвольное число, удовлетворяющее неравенству с<р*(фо), следует справедливость нужного нам неравенства. |

Следствие. Для любых функций ф1 и ф2 из Ф

Ц*(ф1 + Ф2) = Р*(ф1) + иЧфг)-

Доказательство. Каждая из, функций фг-, 1= 1, 2, является верхней огибающей возрастающего направленного семейства Гг- функций из^+(Т), не превосходящих фг-. Следовательно, функция ф1 + ф2 есть верхняя огибающая множества Г = {%i + х2: хх ^ Гь х2^ Г2}; поэтому наше следствие вытекает из предложения 4.5.1 и аддитивности меры р. В

Распространим теперь определение верхнего интеграла р* на произвольные функции f на Г, принимающие значения в интервале [0, + оо] cz R, полагая

Р* (f) = inf(^*(q>): (рЕФ, ft.

Из предыдущих результатов-легко следует, что 0-^|i*(f)^ + oo, P*(fl + 7^) <Р*(М + Р*^), p*(cf) = Cp*(f) (c = COnst>0) И

P* (A) <Р*^) При fl<f2-

Мы подошли к двум фундаментальнейшим теоремам о сходимости.

Предложение. Если последовательность положительных функций fn^ = 1, 2, ...), монотонно возрастая, сходится к функции f, то верхние интегралы p*(fn), монотонно возрастая, сходятся к p*(f).

Доказательство. Из очевидных неравенств р*(f) > > р* (fn+1)> p*(fn) непосредственно следует, что последовательность p*(fn) монотонно возрастает и сходится к пределу, не превосходящему p*(f). Таким образом, остается показать, что p*(f) ^lim р*(М- Не нарушая общности, можно предположить, что р*(М конечно при каждом п. Мы докажем фактически следующее: для каждого 8 > О можно найти такую возрастающую последовательность фп ^ Ф, что fn ^фп и р*(фп) ^

^ Р*(М + е. После этого мы положим ф = lim ф^1). Тогда функция ф принадлежит множеству Ф, мажорирует функцию Д и из предложения 4.5.1 следует, что р*(ф) = lim р*(фп) ^ ^ lim p*(fn) + е. Далее, переходя в неравенстве р*(Л ^ •^ lim p*(fn)+е к пределу при е—^0, мы и получим наше предложение.

Для построения функций фп выберем такие функции ф' е ф, ЧТО Д<ф; И ^п^рЧф»)^*^)4"2""8- Покажем, что функции

фге = 8ир(Ф;,..Ф;)

удовлетворяют нашим требованиям. Прежде всего, очевидно, что фп ^ ф и /^фп. Докажем по индукции неравенство

(f,3 + 8(1-2-Д(4.5.4)

Оно справедливо для п=1. Так как фл+1 = sup (фп> ф'+1) и ф„>^- ф;+1 >f„+1>f„- то

М(ф«- ф;+1)>^(4.5.5)

Далее,

М(Фп> Фп+1) + 8иР(фп> Фп+1) = Фп + Ф»+Г

Из (4.5.5), (4.5.3) и следствия 4.5.2 вытекает неравенство

и (Фп) + и* (Фп+1) > И (фп+1) + Р* О

Предполагая, что (4.5.4) справедливо, получаем в силу выбора Фп+1

т. е. неравенство (4.5.4) остается справедливым, если заменить п на п +1, и предложение полностью доказано. |

Предложение (лемма Фату). Если функции fn (п=\, 2, ...) удовлетворяют неравенствам О^Л^ + оо, то

р* (lim inf fj С lim inf р* (fn).

Доказательство. Рассмотрим функции

Fn = inf Ут" m^nY

^ Здесь предел понимается в смысле поточечной сходимости. — Прим, перев.

Эти функции положительны, монотонно возрастают и сходятся к lim inf /„. Из предыдущего предложения следует, что

Н* (lim inf f„) = lim ц* <Fn\

С другой стороны, Fn^-fm, ПОЭТОМУ Ц*(^п) ^Ц*(/т) При ОТ > > п. Значит,

lim ц* Ц7») С lim inf ц* (/„),

что и требовалось доказать. |

Замечания. Если расширить множество Ф так, чтобы оно содержало все полунепрерывные снизу функции на Г, которые мажорируют хотя бы одну функцию* из ©^(Т), то определение верхнего интеграла ц*(/) годится для любой функции f из Ф независимо от того, положительна она или нет. Легко видеть, что предложения 4.5.3 и 4.5.4 остаются справедливыми: первое — если ц*(/п) > — 00 для некоторых и, а второе — если все функции fn, кроме, разве, конечного числа, мажорируют функцию g, для которой p*(g) > — оо. Без этих дополнительных ограничений предложения оказываются неверными.

Пример. Вернемся к ситуации, описанной в п. 4.4.4. Пусть Т— интервал вещественной оси с концами а и b (а < Ь) и f — возрастающая функция на Т. Мы хотим вычислить Pf(Xy)1) Для относительно открытых интервалов IgT. Предвосхищая обозначения и терминологию последующих § 4.6 и 4.7, будем писать ц^(/) вместо ^(Х/) и называть это число внешней \хГмерой интервала /.

Предположим сначала, что /=(а, Р), где я<а^р<6. Покажем, что

* J0при а = р,

/ (Р — 0) — f (а 4-0) при а<р. (4.5.6)

Первое равенство очевидно, так как в этом случае 7=0 и X/= 0. Пусть а < Р; допустим, что хе^+СГ) и х^^р Тогда х <С 1 и х(а)=х(Р)=0. Так как функция х непрерывна, то для заданного е>0 найдется такое 6 > 0, что х^^.г при а < / < а + 6 и р — 6 ^ t < р. Но тогда

а+6рр-6

4tf(x) = RS-J ^f = RS-J xrff + RS- jxd/ + RS- J xdf<Tap-6a+6

< e [f (a + d)- / («)] + e [f (P) - / (P - 6)] + 1 • [HP - 6) - f (a + 6)].

9 Xz— характеристическая функция множества (.— Прим, перев.

Полагая б—>0 и затем е-*0, приходим к выводу, что

И* (/) = sup pf (х) < f (р - 0) - f (а + 0).

Чтобы доказать обратное неравенство, воспользуемся функцией х, график которой приведен на рис. 1. Для этой функции

а а а+5а а а+5р-5 р ьр-5 р ьРис. 1.Рис. 1.

а а а+5

а а а+5

р-5 р ь

р-5 р ь

Рис. 1.

Рис. 1.

имеют место соотношения

Р-б

рДх) = RS- J\x df ^ RS- J xdf =та+б

р-б

-RS- J 1 •^ = /(р-б)-/(а + 6).

а+б

Следовательно, р;(/)>/(р-б)-На + д).

Полагая д—*0, получаем lifW^^P-^-Ha + O),

откуда и вытекает равенство (4.5.6).

Справедливость (4.5.6) доказана пока только для случая а < а ^ р < Ь. Если же a = а или р = 6 (или то и другое вместе), то предыдущее доказательство не проходит. Тем не менее формула (4.5.6) остается справедливой и в этих случаях. Это можно установить, используя уже доказанный частный случай в сочетании с предложением 4.5.3. Таким образом, формула (4.5.6) верна, если tz^a-^р^б и даже если а =— оо или b = + оо (или и то и другое вместе). Более того, полученный результат можно обобщить на случай, когда f — функция локально ограниченной вариации на Т, по крайней мере для ограниченных интервалов /. При этом используется представимость функции f в виде разности двух возрастающих функций.

Если агТ и я-<р<6, то интервал I = \а. р) относительнооткрыт в Т. При р — а имеем / = 0 и р*(/) = 0. Если р ^ а, то,

рассуждая, как и при доказательстве формулы (4.5.6), получаем’

^([а, ^) = f$-O)-fW при а^Т, а<^<Ь. (4.5.7) Аналогично

^((а, 6]) = /(6) — /(а + 0) при 6е7, а<а<Ь. (4.5.8)

Комбинируя эти результаты с аддитивностью верхнего интеграла ц* (Вытекающей из следствия 4.5.2), приходим к равенству

^((я, b^ = ^m = t<bVHa\ где Т = [а, 6].(4.5.9)

Формулами (4.5.6) — (4.5.9) величина р*(/) определена для всевозможных интервалов 1сТ, открытых относительно Т. Эти соотношения можно распространить и на случай, когда f— функция локально ограниченной вариации на Г, по крайней мере если рассматриваемый интервал / ограничен.

Легче всего запоминается случай Т = R. Тогда для всех открытых интервалов (а, Р), а < р, имеет место равенство"

рЩа, Р)) = Н0-О)-/(а + О).

Другим практически важным случаем является случай, когда Г = [я, 6] — компактный интервал. Оказывается, что тогда ц* является просто сужением на подинтервалы в Т верхнего интеграла ц*, где g— возрастающая функция на R, являющаяся продолжением функции f и определяемая слёдующим образом: g^^H^ при /е(—оо,п) и g(^f)=Hb) при /е ^ (6, + оо).

Пространство ^^^ЧТ^ pi) ^-интегрируемых функций

Сейчас мы воспользуемся верхним интегралом ц* (определенным пока только для положительных функций) для введения полунормы ^l на одном векторном подпространстве в Кт и затём построим пространство^1, что сведется к пополнению пространства j^kCO относительно структуры, определяемой полунормой Аь

Для функции х^Кт (как обычно, К — это R или С) положим

MW =Ц*(И)-

Обозначим через <^'к = ^к^Т, р) множество тех функций хеТк, для которых A^i(x)< + oo. Из элементарных свойств верхнего интеграла ц* следует, что ^^ — векторное подпространство в Кт и Nt — полунорма в оТц. Функциях называется

^-пренебрежимой, если Ni^=O. Когда ясно, какая мера р имеется в виду, мы будем говорить просто «пренебрежимая» вместо «р-пренебрежимая» .

Если А подмножество в 7 и ха — характеристическая функция множества Л, то вместо р*(ха) будем писать р*(Л). Число р* (Л) называется внешней ^-мерой множества А. Из элементарных свойств верхнего интеграла р* следует, что 0-^р*(Л)<С

+ оо, р*(Л) <р*(В) при АсВ

h(U ^n^S^W.(4.6.1)

Неравенство (4.6.1) заведомо верно для конечных объединений. Но тогда в силу предложения 4.5.3

и*(у(4.6.2)

для всякой возрастающей последовательности множеств Лп. Из (4.6.2) следует, что (4.6.1) справедливо для любого не более чем счетного объединения множеств. Множества Л, характеристическая функция ха которых пренебрежима, называются пренебрежимыми множествами. Из предыдущего следует, что подмножество пренебрежимого множества пренебрежимо, и всякое не более чем счетное объединение пренебрежимых множеств также является пренебрежимым.

Говорят, что некоторое свойство точек множества 7 имеет место ^"Почти всюду (р-n. в.), если множество тех точек из 7, для которых это свойство неверно, р-пренебрежимо. Как и раньше, если ясно, какая мера р имеется в виду, мы будем употреблять выражение «почти всюду» (и сокращение п. в.) вместо «p-почти всюду». Если f и g— положительные функции и неравенство f^g имеет место почти всюду, то p*(f)^p*(g"). (Этим оправдывается эпитет «пренебрежимый».) Действительно, если А — пренебрежимое множество, на котором неравенство f^g нс выполняется, то неравенство

f < lim (g + пха)справедливо во всех точках, поэтому

Р* (f) < Н Oim (g + пхд)) = lim р* (g + пха) <

< lim (р* (g) + пр’ (А)) = р* (g).

Следовательно, если f и g положительны и f = g почти всюду, ТО p*(f) = p*(g)-

Далее, функция f пренебрежима тогда и только тогда, когда f = О почти всюду. В самом деле, если / = 0 почти всюду, то

|f| =0 почти всюду, и по доказанному р,* (| f |) = р* (0) = 0. С другой стороны, если р* (I f |) = 0, то для всякого натурального числа п множество точек, для которых [fl^^"1, очевидно, пренебрежимо. Тогда и объединение этих множеств по п=1, 2,. .. также пренебрежимо. Таким образом, множество точек, где f¥=0, пренебрежимо.

Теперь мы подошли к основному определению этого раздела.

Определение. Обозначим через ^^^(Г, р) замыкание подмножества ©^с(Т) пространства <^с = ^с(Т, р) относительно полунормы Nx. Всякая функция, принадлежащая ^(Т, р), называется ^-интегрируемой. Аналогично можно ввести J?r как замыкание q^r(T) в g^r. Читатель легко проверит, что функции из J?r — это в точности вещественные функции из 2х.

Как мы уже знаем, неравенство

InMKAiW(4.6.3)

справедливо для х ^е/Г^-о^^Т1). Оно сохраняется и для хе^с(Л' Докажем это. Пусть x^u-Vw, где и, ие^^Г). Заметим, что если а и b — вещественные числа, то

| а + ib | = max {a cos г + 6 sin г; г вещественно).

Таким образом, имеем

I р (х) | = | р (^) + Zp (и) | = max {р (w) cos г + р (v) sin г) =

= шах р ^и cos г 4- и sin г) ^ р | и + iv | = р (| х |) = Л^! (х).

В силу неравенства (4.6.3) линейная форма р допускает единственное непрерывное продолжение c^fT) на J?1, которое мы также будем обозначать через р. Это продолжение р является линейной формой на 24, для которой неравенство (4.6.3) остается справедливым при х е ^Ч

Если функции f и g принадлежат Сг и почти всюду совпадают, то они интегрируемы или неинтегрируемы одновременно. Если они интегрируемы, то p(f) = p(g").

Пусть функции f, geC1. Тогда |f| ^ |g*| + |f — g\ и потому

Н*(1/1)<Н (l^l) + ^(/-gr).

Комбинируя это неравенство с тем, которое получится, если поменять местами f и g, получаем

l^d/D-^d^DK^i^-^.(4.6.4)

Отсюда следует, что отображение f ь—> ц* (| f )) равномерно непрерывно на ^- Так как оно совпадает на g^c(T) с отображением f н-> ц (IЛ)» т0

^(Ш)=^(1Л)а^).(4.6.5)

В частности, p,(f) = ц*(П для всякой положительной интегрируемой функции.

Из неравенства (4.6.4) следует также, что функция |f| интегрируема, если интегрируема сама функция f.

Лемма. Функция ср еФ интегрируема тогда и только тогда, когда ц*(ф) < + оо. В этом случае ц*(ф) = ц(ф) {).

Доказательство. В силу доказанного выше второе утверждение вытекает из первого. С другой стороны, если ф е Ф и Н*(ф) < + 00, то можно выбрать последовательность таких функций хп е (Т), что хп ^ ф иц* (ф) — ц(^п) ^ 1М- Так как функция хп и ф — хп принадлежат Ф, то в силу следствия 4.5.2 получаем ц*(ф— *п)=ЛМф— ^n) ^ 1М, откуда следует интегрируемость функции ф. Справедливость обратного утверждения вытекает из определения q^L ■

Покажем теперь, что вещественные функции из J?1 образуют решетку).

Предложение. Если вещественные функции f\ и f2 интегрируемы, то функции f = sup (fi, /2) и g = inf(fi, f2) также интегрируемы.

Доказательство. Так как g = —sup(—fi, —f2), то достаточно доказать интегрируемость функции f. Как известно, функция \Н\ интегрируема вместе с функцией h, поэтому найдется такая интегрируемая функция р (например, —|fi| — — |f2|), что fi^ ру I ~ К 2. Тогда f — р = sup(fi — р, f2 — р), так что можно считать функции fi и f2 положительными. Далее для заданного е > 0 можно выбрать такие функции ф^ е Ф, что фг^Л и ц*(фг)^КЧМ + 4 81 В силу предыдущей леммы функции фг интегрируемы, следовательно, ^1 (ф^ — f^ ^ ~ е. Кроме того, из леммы 4.6.2 вытекает, что функция ф = sup (фЬ ф2) интегрируема. Она, очевидно, мажорирует f. Из неравенства

ф-f ^(Ф1 — fl) + (ф2 — Ы

следует, что ^(ф — Л^Су + у = е. Таким образом, функция / аппроксимируема интегрируемыми функциями с любой точностью в смысле Nx и, значит, сама интегрируема. |

Следствие. Вещественная функция f интегрируема тогда и только тогда, когда интегрируемы обе функции f+ = = sup(f, 0) и f- = sup(—f, 0). В этом случае p(f)=p(f+)—

В дальнейшем нам понадобится сходный результат, который нс следует из предложения 4.6.3.

Лемма. Если f— положительная интегрируемая функция и с—число ^ 0, то функция V = inf (А с) интегрируема.

Доказательство. Для заданного е>0 найдем в множестве Ф такую функцию ср, что /^ф и ц*(ф) ^p*(f) + е. Из интегрируемости функции f и леммы 4.6.2 вытекает неравенство Nx (f—ф) ^ е. Функция ф' = inf (ф, с) принадлежит Ф и интегрируема. Далее, ф'^Г и

q/ — /' = inf (ф, с) — inf (/, с).

Если f^c, то из последнего выражения следует, что с — с — = 0 ^ ф — f. Если же f<c, то inf (ф, с) — f ^ Ф — Ь Таким образом, ф' — /'^ф— f, поэтому 2Vi (ф' — f^^e. Так как ф'— интегрируемая функция и е произвольно мало, то f интегрируема. |

Это подводит нас к центральной теореме сходимости для интегрируемых функций.

Теорема. Если последовательность вещественных интегрируемых функций fn (п = 1, 2, ...) монотонно возрастает, то функция f = limfn интегрируема тогда и только тогда, когда limpi(fn) < + оо. В этом случае p,(f) = lim p(fn)1).

Доказательство. Рассматривая функции fn— fi вместо fn, можно свести доказательство к случаю, когда все функции fn ^ 0. Тогда для всех п имеет место равенство p*(fn) = p(fn), и из предложения 4.5.3 следует, что p*(f) = lim p(fn). Поэтому достаточно показать, что функция f интегрируема, если p*(f)< < + оо. Но тогда для любого заданного е>0 можно найти такую функцию феф, что f ^ ф и р* (ф) ^ P-*(f) +е. В силу леммы 4.6.2 ср интегрируема, так что разности ф— fn положительны и интегрируемы. Следовательно,

Н*(ф-/’п) = н(ф-У = Р(ф)-^(У<е + о(0 при п-*оо.

!) См. п. 4.6.11, где указывается, что утверждение остается справедливым при некотором ослаблении условий на функции fn.

Так как f — fn^O, то

N1 и - f„) = Н (/ - fn) < Н (ф - fnX 8 + о (1).

Таким образом, Nx^f— fn) ^ 2е для достаточно больших п, откуда и вытекает интегрируемость функции f. |

Следующая ниже теорема весьма важна; в частности, она показывает, что 2й получается из пространства е^с (Т) пополнением его относительно структуры, определяемой полунормой 7V1.

Теорема. Если функции (fn) сз Ст образуют последовательность Коши относительно полунормы NX) то из нее можно извлечь подпоследовательность (ф^У которая почти всюду сходится к некоторой функции f, причем Nx(f— fn) ~>0 при п-^оо. В частности, пространство полно.

Доказательство. Выберем последовательность натуральных чисел пх<п2<... так, чтобы имели место неравенства N1 (£m-i— gk) < ^-\ где gk=fnk. Пусть Ak — множество в Т, определенное неравенством |g&+i — gk | > 2~\ Тогда Nx (gfe+I — gk)> *> 2"kix* ^Ак"), откуда следует, что ц* (Ак) ^ 2~к. Положим S^UMv 1^* ку В силу (4.6.1) ^*^Вк^ ^2тк+\ поэтому пересечение N множеств Вк пренебрежимо. Если t ^Т \ N, то неравенство \gk^xW—gk^\<2-k имеет место для всех к, следующих за некоторым к0 = к0^. Отсюда получаем, что (gk(t^ есть числовая последовательность Коши для почти всех t. Положим ^t^ равным пределу последовательности (gkW) для таких t и нулю во всех остальных точках. Из леммы Фату (предложение 4.5.4) вытекает, что

N\kt- g^ = V-*\t-gk 1 = 1^4 Ит Igi-gft IX i-»oo

< lim inf p* (I gi - gfc I) = lim inf Mj (g, - gk). i->ooi -> oo

Так как (,gk)—последовательность Коши, то последнее выражение стремится к нулю при к-^оо. Теорема доказана. |

Заслуживают внимания два следствия.

Следствие. Пусть функция f, f' и fn (п=Л, 2, ...) принадлежат множеству Ст. Если fn-^f почти всюду и Nx^' — fn)-^ -^0 при п-^оо, то f = f' почти всюду.

Доказательство непосредственно следует из теоремы, так как существует почти всюду сходящаяся к V подпоследовательность последовательности (/п). |

Следствие. Для того чтобы функция f из Ст была интегрируема,

н е о б х о д и м о ' существование такой сходящейся к f почти всюду последовательности (хп) функций из^Гс(Д^, кото-

рая является последовательностью Коши относительно полунормы Nx\

достаточно существование сходящейся к f почти всюду последовательности (fn) функций из 3х, являющейся последовательностью Коши относительно полунормы N\.

Доказательство. Утверждение (а) следует из определения пространства J?1 как замыкания множества о/^с(71) в <^с и изтеоремы 4.6.7. С другой стороны, если имеет место утверждение (Ь), то в силу той же теоремы существует такая функция f' из Сг и такая подпоследовательность (/^), что ^"^^ почти всюду и Nx(f'— fnk^->0 при k->oo. Второе из этих соотношений влечет за собой интегрируемость функций f', а из первого вытекает равенство f = f' почти всюду. Отсюда следует интегрируемость функции Д|

Закончим этот параграф легко получающимся из следствия 4.6.9 предварительным результатом, который затем полностью перекроется следствием 4.11.8.

Лемма. Если функции fug интегрируемы и ограничены, то и функция h = fg интегрируема.

Доказательство. В силу утверждения (а) следствия 4.6.9 почти всюду имеет место равенство f = limxn, где (хп)— послёдовательность во^с(7), являющаяся последовательностью Коши относительно полунормы Nb Так как функция f ограничена, то можно считать, что \хп\ для некоторого М. Выберем аналогичную последовательность (уп), аппроксимирующую функцию g. Легко видеть, что zn = xnyn является в ЗГС (Т) последовательностью Коши относительно полунормы А/ь причем эта последовательность почти всюду сходится к произведению fg. Остается применить утверждение (Ь) следствия 4.6.9. |

Функции, определенные почти всюду. До сих пор название «интегрируемая функция» мы сохраняли за теми функциями, которые всюду определены, всюду принимают конечные значения и удовлетворяют признаку, сформулированному в начале § 4.6. Как было замечено в связи с леммой 4.6.2 и теоремой 4.6.6, эта точка зрения является излишне узкой. На самом деле, исходя из функций, удовлетворяющих этим условиям, мы естественным образом приходим к функциям, которые могуг принимать бесконечные значения и тем не менее могут в некотором разумном смысле считаться интегрируемыми.

Поэтому удобно иногда применять эпитет «интегрируемая» к функции f, удовлетворяющей следующим условиям: f определена почти всюду и может принимать в некоторых точках бесконечные значения; существует такая всюду определенная и всюду конечная интегрируемая (в старом смысле) функция gx

что f = g почти всюду. Если существует одна такая функция g, то очевидно, что их существует много. Однако интегралы от них принимают все одно и то же значение, которое мы и возьмем в качестве p(f).

За удобства, получаемые на этом пути, приходится расплачиваться. Функции, интегрируемые в указанном ролее широком смысле, уже не образуют векторного пространства и даже нс образуют группы. На практике это нс является серьезным препятствием, так как всякую такую функцию можно заменить другой, всюду определенной и конечной, не нарушая при этом соотношений между рассматриваемыми интегралами. Формальный выход из возникающего затруднения лежит в использовании факторпространства Е\ вводимого в п. 4.11.10.

Интегрируемые множества, измеримые множества, локально пренебрежимые множества

Интегрируемые множества. Множество A cz Т называется интегрируемым (относительно положительной меры Радона ц), если интегрируема (относительно ц) характеристическая функция ха- Из предыдущих результатов об интегрируемых функциях немедленно вытекают следующие основные свойства.

(1) Пусть множества Ап (п=1, 2, ...) интегрируемы и

ЛП|Л. Множество А интегрируемо тогда и только тогда, когда Нш р* (Лп)< + оо. В этом случае р*(Л) =lim р*(Лп). (Ср. (4.6.2).)

^Если множества Ап (п=1, 2, ...) интегрируемы и ЛП>|<Л, то интегрируемо и множество Л, причем р*(Л) = = lim р* (Лп).

(3) Если множества А и В интегрируемы, то и множества

ЛПВ, Л11В; А \6 интегрируемы.

(4) Всякое относительно компактное открытое множе

ство и всякое компактное множество интегрируемы.

Утверждения (1) и (2) следуют из принципа монотонной сходимости. Для доказательства утверждения (3) заметим, что Хлпв = Ха‘Хв и Ха\в=Ха — Ха-Хв, a y4UB=(/l \B)U(B\^)U U(ЛПВ) =CUC'UC", где множества С, С' и С" дизъюнктны и интегрируемы, так что Ха ив = Хс + Хс'+хс", т. e. Xaub является суммой трех интегрируемых функций и потому сама интегрируема. Утверждение (4) следует из того факта, что характеристическая функция всякого относительно компактного открытого множества принадлежит множеству Ф и имеет конечный верхний интеграл, а значит, интегрируема. Если множество К ком-

пактно, то оно обладает открытой относительно компактной окрестностью U. Тогда множество U \ К относительно компактно и открыто и, следовательно, интегрируемо. Множество К= = U\ (Е\К) интегрируемо в силу последней части утверждения (3). |

За исключением того случая, когда само множество Т интегрируемо (т. е. мера ц ограничена, или конечна), дополнение к интегрируемому множеству не является интегрируемым множеством. В связи с этим в п. 4.7.2 мы введем другое, более слабое понятие, имеющее чисто локальный характер. Это понятие уже устойчиво относительно перехода к дополнениям.

Множество или функция называются универсально интегрируемыми, если они ц-интегрируемы относительно каждой положительной меры Радона ц на Т.

Измеримые множества. Множество АсТ называется измеримым (относительно меры ц), если множество А А К интегрируемо (относительно ц) для каждого компактного множества КсТ. Можно поэтому охарактеризовать измеримые множества как «локально интегрируемые». Перечислим некоторые свойства измеримых множеств.

(5) Множество А интегрируемо тогда и только тогда, ко

гда оно измеримо и ц*(Л)< + оо.

Действительно, если множество А интегрируемо, то в силу утверждений (3) и (4) интегрируемо и пересечение ЛАК; при этом, разумеется, ц*(Л)< + оо. Обратно, пусть множество А измеримо и р* (Л) < + оо. Тогда существуют такое пренебрежимое множество N и такая возрастающая последовательность компактных множеств Кп (^=1, 2, ...), что A a (|J/(n)UM и, зна-

п.

чит, А = ии^^n)U(ADM). Множество АПМ пренебрежимо и п

потому интегрируемо. Каждое из множеств АПКп интегрируемо. Эти множества образуют возрастающую последовательность, и ц*(ЛАКп) Ц*И) < + °°. Поэтому множество U (ЛААп) = = lim (ЛАКп) интегрируемо в силу (1). Из (3) следует теперь интегрируемость множества А.

(6) Если множества А и Лп (ч = 1, 2, ...) измеримы, то

измеримы и множества Т\А, U Лп, П ^п, Игл sup Ап и lim inf Ап.

Действительно, характеристическая функция Х(т\л) п № = Хк— Хк-%а по условию и по предложению (4) есть разность Двух интегрируемых функций; поэтому множество (Т\Л)АК интегрируемо для каждого компактного множества К. Из (3) и (4) следует, что всякое конечное объединение измеримых

множеств измеримо. В силу (1) предел возрастающей последовательности измеримых множеств является измеримым множеством. Комбинируя эти два утверждения, получаем, что объединение всякой последовательности измеримых множеств измеримо.

Измеримость пересечения ПЛП доказывается аналогичным образом с использованием (3) и (2). Наконец, множества

lim sup Лп = П U А«> lim inf Л = (J Л ^« m n^mm n^m

измеримы в силу установленной измеримости объединений и пересечений.

Всякое открытое множество и всякое замкнутое множество измеримы.

Это непосредственно следует из (4). Действительно, если F замкнуто, то ^ПК компактно и потому интегрируемо (Л — компактное множество в Г). Если U открыто, то U = T\F, где F = T\U — замкнутое множество.

(8) Пусть множества Ап (п=\, 2, ...) дизъюнктны и

измеримы и A — \J Ап. Тогда

н(л)=2^(Дп).

п

Действительно, мы уже знаем, что ц*(Л)^ 2 Н*Мп) незави- п

симо от того, являются множества Аи дизъюнктными и измеримыми или нет. Остается доказать выполнение при заданных условиях неравенства |1*(^)^ 2^(4)- Оно тривиально, если п

ц*(Л) = +оо. Пусть ц*(Л)< + оо. В силу (5) и (6) множества А и Ап интегрируемы. Проинтегрировав равенство Хд=2%д, п п получаем наше утверждение.

Локально пренебрежимые множества. Множество LeT называется локально пренебрежимым (относительно ц), если множество ЬГ\К пренебрежимо (относительно ц) для каждого компактного множества КсТ. Всякое локально пренебре- жимое множество L измеримо. Пренебрежимые множества локально пренебрежимы, однако обратное, вообще говоря, неверно. Это служит причиной многочисленных непринципиальных усложнений, возникающих, когда множество Т не является «о-конечным» в следующем смысле.

Подмножество в Т называется \х,-о-конечным, если оно содержится в объединении не более чем счетного множества интегрируемых открытых множеств, или, что то же, в объединении

пренебрежимого множества и не более чем счетного множества компактных множеств. Легко видеть, что всякое р-о-конечное локально пренебрежимое множество пренебрежимо. Поэтому для р-о-конечного (тем более, для о-компактного) множества Т понятия «пренебрежимое» и «локально пренебрежимое» (относительно р) эквивалентны. В противном случае, вообще говоря, существуют локально пренебрежимые множества Л, для которых р*(Л)>0. Для каждого такого множества обязательно р*(Л) = = + оо (так как в случае р*(Л)<4-оо множество L было бы р-о-конечным).

По аналогии с терминологией, введенной в § 4.6, будем говорить, что некоторое свойство точек из Т имеет место локально почти всюду относительно р (или p-локально почти всюду), если множество тех точек из Т, где это свойство не имеет места, локально пренебрежимо относительно р.

Ясно, что если каждое из множеств Ln (п=1, 2, ...) локально пренебрежимо, то то же верно и для всякого подмножества объединения (J Ln.

Существенная внешняя мера. Понятие локальной пре- небрежимости подсказывает введение следующей функции множества:

р*(Л) = sup (р* (Л [)Ю: К компактно, К с= 7}.

В обозначениях § 4.14 это не что иное, как существенный верхний интеграл р*(%А). Поэтому назовем р*(Л) существенной внешней рс-мерой множества А. Множество L локально пренебрежимо (относительно р) тогда и только тогда, когда р*(7)=0. Очевидно, также, что 0-<р*(Л) <<р*(Л) «< 4-оо для всякого множества Л cz 7 и

Й (U АпЙ (U Апн(4)(4.7.1)н(4)(4.7.1)

Й (U Ап

Й (U Ап

н(4)(4.7.1)

н(4)(4.7.1)

для всякой последовательности (Лп) подмножеств в Т. Из результатов, которые будут получены в § 4.14, следует, что р*(Л)=р*(Л), если множество Л открыто. Из тех же результатов вытекает, что тогда и только тогда множество А измеримо и р*(Л)< + оо, когда существует такое интегрируемое множество В cl А, что множество Л\В локально пренебрежимо. В этом случае р*(Л)=р*(6); следовательно,

й и\ пй и\ пЛ„)=Зй*Ш(4.7.2)

й и

\ п

й и

\ п

/ п

если множества Ап (п = 1, 2, ...) дизъюнктны и измеримы.

Численная мера измеримых множеств. Как мы уже видели, р* и р* являются счетно аддитивными функциями

множества, определенными на о-поле р-измеримых множеств. Вообще говоря, эти функции различны. Обозначим ограничения их на измеримые множества через р и рсоответственно. Измеримое множество А, для которого р(Л) < + оо (соответственно р(Л)< + оо), является интегрируемым (соответственно существенно интегрируемым) множеством.

►(9) Для всякого множества Л

р* (Л) = inf {р(U): U открыто, U =э Л).(4.7.3)

Так как каждое U измеримо, то р(<7) = р*([/)/В силу того что р* — возрастающая функция множества, р*(Л) <anf р(У). При доказательстве обратного неравенства можно, очевидно, считать, что р*(Л) < + оо. Тогда для заданного е>0 найдется такая положительная полунепрерывная снизу функция ф>%а, что р*(ф) ^р*(Л) + е. Множество U тех точек t, для которых ф(/) > 1 — е, открыто. Кроме того, U id А и хп^(1— е)-1ф. Поэтому

Н(^) = н*(Ху)<(1 -еГ'^*(ф)<(1 -е)-1{н*(А) + е}.

Наше утверждение следует теперь из произвольности е.

Внутренняя мера. По аналогии с (4.7.3) введем

р* (Л) = sup {р (К)- К компактно, К a AY (4.7.4)

Назовем р.ДЛ) внутренней pi-мерой множества А. Ясно, что р* — положительная возрастающая функция множества и

О < к (Л) < р* (Л) < р (Л) < + оо.(4.7.5)

Из счетной аддитивности р на измеримых множествах легко вывести, что

(10) Если множества А^ (м=1, 2, ...) дизъюнктны, то

мил„)>2мл„).

п

(11) Если множество А измеримо, то р*(Л)=р(Л).

Для доказательства этого утверждения достаточно в силу (4.7.5) показать, что р*(Л)>р* (Л), если А измеримо. Считая это неравенство доказанным для относительно компактных множеств А, имеем

р (Л ПК) ^ р*(ЛПК) ^ р*(Л)

для каждого компактного множества К. Так как множество АПК интегрируемо, то р*(Л ПК)-^ р*(Л). Беря верхнюю грань по К, получаем р*(Л) -^р*(Л). Таким образом, достаточно рассмотреть случай, когда множество А относительно компактно и измеримо. Выберем такое открытое относительно компактное множество U, что U:dA. Тогда множество У\Л интегрируемо,

и в силу утверждения (9) существует такое открытое множество V, что VzdU\A и ц(У)><ц(/7\Л)4-8. Можно считать, что VaU. Рассмотрим множество K=UW. Легко видеть, что Kez Л. Поэтому всякая точка прикосновения множества К принадлежит множеству А cz U и замыканию дополнения к V, следовательно, множество К компактно. В равенстве V= = (U \ A) U (А П V) слагаемые в правой части не пересекаются, поэтому

р(У)=р(^\Д)4-р(ЛПЮ

и, следовательно, ц(ЛПУ) < е. Далее, Л\К=ЛПУ. Таким образом, КсА, К компактно, и

р(К)=р(Д)-ц(Л\К)>р(Д)-8 = рЧ^^

Устремляя е к нулю, получаем требуемый результат. |

(12) Множество А интегрируемо тогда и только тогда,

когда р*(Л) =ц*(Д)< + оо. В этом случае общее значение внешней и внутренней мер равно ц(Л)=ц(Л).

Действительно, если множество А интегрируемо, то в силу (11) ц*(Л) — р(Л), что равносильно равенству ^(Л) = р*(Л), так как множество А измеримо и р-о-конечно. Обратно, пусть ц*(Л) = Р*И) <4-оо. Тогда существуют такое множество ХсзЛ, являющееся не более чем счетным объединением компактных множеств, и такое множество YzdA, являющееся не более чем счетным пересечением открытых множеств, что

р*(Х)=р(Х)=ц*(Л)=р^

Отсюда вытекает, что ц*(У\Х) =0, т. е. множество У\Х пренебрежимо. Таким образом, Л=Хи(Л\Х), где множество Л\Хс: У\Х пренебрежимо. Так как множество X измеримо, то измеримо и множество А. Поэтому р*(Л)<4-оо, откуда в силу утверждения (5) следует интегрируемость множества А. |

Завершим этот параграф двумя примерами, иллюстрирующими предыдущие результаты в терминах меры Лебега — Стилтьеса на интервале.'

Пример. Воспользуемся обозначениями и результатами п. 4.4.4 и 4.5.6 в предположении, что Т — вещественный интервал с концами tz = inf Т и b = sup Г, а<Ь, и f— функция локально ограниченной вариации на Т. Достаточно рассмотреть случай, когда функция f возрастает; тогда ассоциированная мера Лебега— Стилтьеса ру положительна. В п. 4.5.6 мы определили Р/(/) для каждого относительно открытого интервала I в Т. Пользуясь этим определением и счетной аддитивностью меры Рл легко найти меру ру(/) любого интервала Ic^T. Читатель заметит, что множество Т о-компактно (следовательно, понятия

р/-пренебрежимости и р/-локальной пренебрежимости эквивалентны) и что в данном случае нет никакого различия между Р^ и Йр

Прежде всего если a<t<b, то одноточечное множество {/} является пределом убывающей последовательности открытых относительно компактных интервалов, замыкание которых лежит в Т. Из результатов п. 4.5.6 и из утверждения (2) следует, что

pf ({/}) = f (/ + Q) - / (/ - 0)приа < / < Ь.(4.7.6)

Аналогично

р^ (М) = f(a + 0)— fWприа^Т,(4.7.6')

МИ) = МН(Ь0)приЬ^Т.(4.7.6")

Рассмотрим теперь компактный интервал [а, (3], содержащийся в Т. Пусть а<а^.^<Ь. Представим [а, р] в виде пересечения убывающей последовательности открытых относительно компактных интервалов (а', р') с а < a' < Р' < Ь. Из результатов п. 4.5.6 и из утверждения (2) получаем

Mfa, P]) = f(P + O) —f(а —0) при a<a<p<&.(4.7.7)

Если а е Т и б?<р< b, то \а, р] = [a,p') \ (Р, р'), где Р<Р'<&. Из аддитивности меры р^ вытекает, что

Р/ ([a, Pl) = f (Р + 0) — f (а)при а е Г, а < р < Ь. (4.7.7')

Аналогично

Р/([а, 6]) = f (6) — f (a + 0) при b^T. a<a<b, (4.7.7")

P-Z([«, ^]) = f (6) — f (6z) при 7 = [a, b\ (4.7.7'")

Эти результаты приводят к выводу, который полезно запомнить. Если Т cz Г, f*— функция, определенная на 7*, и через f обозначено сужение f* 17, то мера р/ не обязательно является сужением меры ру* на подмножество Т. Например, если Т= = [б?, 6] и множество Т* открыто, то тогда как

б]) = Г(б + 0)-/*(^-0), так что совпадение возможно, только если функция f* непрерывна справа в точке b и слева в точке а.

Пример. Пусть Т— вещественный интервал и р — некоторая мера Радона на Т. Мы теперь можем показать, что р=р/ для некоторой функции f локально ограниченной вариа-*

ции на Т. При этом можно считать, что мера ^ положительна, и функцию / можно выбрать так, чтобы она возрастала на Г.

Допустим сначала, что a = intT^T. Пусть b = supT. Определим функцию / следующим образом:

И/х (М[«. b)при teT, t<b,

'I li([я, 6])при t = beT.

Очевидно, f возрастает на Т, принимает конечные значения и непрерывна слева во всех точках a<t<b. Если /е7 и t<b, то в силу результатов п. 4.7.7

/г z\ хПри t>a,

L 7 I 0при t = а,

причем ц/([^Д)) совпадает с ц([я,/)), поскольку функция f непрерывна слева. Если 1 = ЬеТ, то

М[а, WUHtoMlbH^ b]).

Так как {&} = [а, 6] \ [я, 6), то Ц/({6}) =ц({6}) при Ь^Т. Теперь уже легко показать, что цДх)=ц(х) для всякой функции х^г/Г^П- Для этого разобьем Т на подинтервалы [/, ^) (и, возможно, {6}, если Ь^Т), наибольшая длина которых стремится к нулю. Функция х равномерно аппроксимируется конечными линейными комбинациями характеристических функций таких интервалов. Так как цД|7, f))=p([/, О) (и мД{6}) = ц({^}) при b е Г, то ц- и цу-интегралы от этих линейных комбинаций совпадают. Переходя к пределу, получаем, что значения ц(х) и цДх) совпадают.

Допустим, наконец, что точка а не принадлежит множеству Т. Выберем такую последовательность ап^Т, что ап\а. Определим функцию f на Т следующим образом. Всякое t^T удовлетворяет неравенству t ^ ап для некоторого (в действительности для многих) п. Для всех таких п числа

Н([ая, 0) — И([««. «1))

не зависят от п (в силу аддитивности меры ц). Это общее их значение и обозначим через /(/), если t<b. Если Ь^Т, то полагаем Д&) =ц([^1, Ь^. Тогда при 0<а<$<Ь для достаточно большого п имеем

Мв Р)) = /(Р-0)-На-°) = н([аш Р))-Ц([«», «)),

а это как раз и есть ц([а, Р)). В силу счетной аддитивности это равенство справедливо и при (3 = 6. Если Ь^Т, то

И/ ({»}) = f (b) - / (Ь - 0) = н ([аь Ш - Ц ([аь 6)) = (х ({&}).

С помощью рассуждений, аналогичных предыдущим, получаем, что ц (•£) = ц/(х) для каждой функции х изе^ХГ), т. е. ц = р/.

Измеримые функции

Используя понятие измеримого множества и свойства таких множеств (§ 4.7), можно ввести и исследовать понятие измеримости функций. Стандартные методы такого введения доступно изложены в ряде книг по теории функций вещественного переменного и теории интегрирования (см., например Мак-Шейн [1, гл. Ш], Г р е й в с [1, гл. X, § 4], Б е р к х и л л [1, §2.12], Гоффман [1, гл. 15], Натансон [1, гл. IV], Сакс [1, § 7, 8], X а л- мош [1, гл. IV], Колмогоров и Фомин [1], Шилов [2, гл. IV], Шилов и Гуревич [1, гл. III], Вулих [1, гл. VI]). Приведем определения и основные свойства, предоставляя доказательства читателю в качестве легких упражнений.

Начнем с вещественных функций f. Будем говорить, что вещественная функция измерима (точнее, ^-измеримау если множество тех точек / е Т, для которых f (/) >а, измеримо при каждом вещественном а. (В этом определении с тем же успехом можно использовать множества, для которых f > а, или f<ci, или f^a.) Это определение применимо к функциям, определенным на любом заданном измеримом множестве А. Сумма и произведение двух измеримых функций измеримы. Если функция f задана и измерима на измеримом множестве А и нигде на А не обращается в нуль, то на множестве А измерима и функция 1/f. Верхняя и нижняя огибающие, верхние и нижние пределы всякой (конечной или счетной) последовательности измеримых функций измеримы. Полунепрерывные функции измеримы. Всякая положительная измеримая функция является пределом возрастающей последовательности измеримых функций, каждая из которых есть конечная линейная комбинация характеристических функций измеримых множеств.

Комплексная функция называется измеримой, если измеримы ее вещественная и мнимая части.

Две функции, локально почти всюду равные, измеримы или неизмеримы одновременно.

Функция называется универсально измеримой, если она ц-измерима для каждой положительной меры Радона ц на Т

Вот все об основных определениях и свойствах измеримых функций. Покажем теперь, как понятие измеримости используется в теории интегрирования: требование измеримости является существенной составной частью критерия интегрируемости?

Теорема. Функция f интегрируема тогда и только тогда, когда

WH^miK+cx),

функция j измерима.

Доказательство. Необходимость. Необходимость условия (а) следует из самого определения интегрируемости (§ 4.6). Что касается условия (Ь), то его необходимость вытекает из следствия 4.6.9(a) и из измеримости непрерывных функций.

Достаточность. Пусть функция / удовлетворяет условиям (а) и (Ь). Докажем интегрируемость функции f. Не нарушая общности, можно считать, что /— вещественная положительная функция. Тогда функции /n = inf (f, п) измеримы, Wi (fn) ^ ^ Л^ (f) < + оо и последовательность fn, возрастая, сходится к f. Таким образом (теорема 4.6.6), достаточно показать, что каждая из функций fn интегрируема. Другими словами, можно считать, что функция f ограничена и, более того, что 0^/<1. Поскольку в силу условия (а) функция / обращается в нуль почти всюду вне о-конечного множества, мы можем (еще раз опираясь на теорему 4.6.6) свести рассуждения к случаю, когда функция f обращается в нуль вне интегрируемого множества А. Возьмем числа О = со<С1<.. .<сп= 1 и обозначим через Ак множество точек из А, определенное неравенствами Ск-\4^<Си- Каждое из множеств Ак измеримо и содержится в А и потому интегрируемо. Следовательно, функция

п

также интегрируема. Очевидно также, что ^^f^^ + ехд, где е — наибольшее из чисел ^Ск— Ck-\Y Так как е можно взять сколь угодно малым, то интегрируемость функции f вытекает из соотношения Wi (f — g) AG (еха) = 8 • ц(Л). |

Замечание. Приведенная выше конструкция дает способ аппроксимации интеграла p(f) or функции f, если последняя интегрируема и обращается в нуль вне интегрируемого множества А, причем А можно разложить на измеримые подмножества Akl на каждом из которых колебание функции f мало. Если выбрать произвольно точки tk в Ак, то суммы вида 2/(^)н(^) аппроксимируют p(f). Это замечание в свою очередь подсказывает обозначения ^ f dp и J fdp,. В дальнейшем А

мы будем иногда употреблять обозначения J fdp, и J fdp, вместо р, (f) и у.* (/) соответственно.

Обратимся теперь к знаменитой теореме Лебега о сходимости.

Теорема (Лебег). Пусть вещественные функции fn (п=1, 2, ...) измеримы, g— вещественная интегрируемая функция и для каждого п почти всюду имеет место неравенство \fn\<g. Тогда функции lim inf fn и limsupfn интегрируемы и справедливы неравенства

J (lim inf fn) t/p ^ lim inf J fn dpi.

J (lim sup fn) dpi ^ lim sup J fn dpi.

Таким образом, если lim fn существует почти всюду, то

j (lim fn)6?|i = lim J fndp..

Доказательство. Прежде всего второе неравенство получается из первого переменой знака. Рассмотрим функцию f = = Iiminffn. Она измерима, и \f\^.g почти всюду. Следовательно (теорема 4.8.1), функция f интегрируема. Положим Fn = = 1пЩт‘ m^n}. Снова функции Fn измеримы, \Fn\^.g почти всюду, и, значит, Fn интегрируемы. Далее, Fn\f, функции F^-Vg положительны, интегрируемы и образуют возрастающую последовательность, сходящуюся к f + g. Поэтому (предложение 4.5.3)

и так как мера ц аддитивна, a p(g) конечно, то p(^n)tp(f). Наконец, из неравенств Fn^.fm (m > п) следует, что ц^п) ^^(fm) (m>n) и потому lim p(F,J < lim inf р(/п). |

Рассмотрим некоторое общее свойство измеримых функций. Начнем с важной теоремы о сходимости.

Теорема (Егоров). Пусть на интегрируемом множестве А определены и измеримы функции f и fn (/г=1, 2, ...), и пусть fn^f почти всюду на А. Тогда эта сходимость почти равномерна на А в следующем смысле*, для каждого е>0 существует такое измеримое множество ВсА {причем В можно считать компактным'), что ц (Л \ В) <8 и fn-^f равномерно на В.

Доказательство. Можно считать, что fn->f всюду на А. Для любых двух натуральных чисел п и к обозначим через Qn.h множество тех точек t^A, для которых

sup |/т(о-ио1>4--

Множества Qn,k измеримы, Qn+), ftc Qn, и и fl 9п,а=0. Следо- п

вательно, p.(Qn,h)-^0 при п-^-оо. Поэтому можно так выбрать числа nh, чтобы р(р6)^2-6е, где Pk = Qnk,K- Если teA\Ph, то для всех т^ п^ имеет место неравенство

Достаточно положить В = Д\и^. (Если требуется, чтобы к

множество В было компактным, то нужно просто сделать еще один шаг: выбрать такое компактное множество К в В, чтобы ц(S\^) было произвольно малым.) В

Укажем теперь, как аппроксимировать измеримые функции «простыми» функциями.

Теорема. Пусть А—интегрируемое множество и функция f определена и измерима на А. Тогда f является на А почти равномерным пределом {и тем более пределом почти всюду на Д) последовательности функций (fn), каждая из которых есть конечная линейная комбинация характеристических функций интегрируемых подмножеств множества А.

Доказательство. Пусть (&п)—всюду плотная последовательность чисел (вещественных или комплексных). Обозначим через Дп, р множество тех точек teA, для которых |f(Z)—oLn\^P"x. Все эти множества интегрируемы. Определим множества ВП) р следующим образом:

B\.p = AXiP, Вrt+it р = Дд+1, р\ (J Д^, р.

1 ^ к ^ п

Эти множества также интегрируемы и образуют разбиение множества А для всякого фиксированного р (и переменного п). Для каждого р можно так выбрать число пр, чтобы множество А \ (J Вп, р имело меру, не превосходящую 2~р. Определим пСпр

функцию fp, полагая ее равной ап на множестве BUi р ^Х^п-^Пр^ и нулю во всех остальных точках. Очевидно, fp являются функциями описанного в теореме вида, и неравенство If — fp I^P"1 имеет место во всех точках множества Д, за исключением, быть может, множества NPl для которого ц(Мр)^ ^2"^. Множества N* = [J Np удовлетворяют неравенствам р > а

и

|fpW-W)|<V ЦеАХ^р^.

Таким образом, fp-+f равномерно на А \ Nq, т. е. fp-Л почти равномерно на А. 8

Следствие (Лузин). Пусть функция f определена и измерима на интегрируемом множестве А. Тогда для всякого е>0 существует такое компактное множество К с; А, что |ш(Л \^ <е и сужение f\K непрерывно.

Доказательство. В силу теоремы 4.8.4 достаточно показать, что наше утверждение справедливо в случае, когда функция f является конечной линейной комбинацией характеристических функций интегрируемых подмножеств At в А ^\^i^.nY Можно считать, что множества At дизъюнктны и образуют разбиение множества А. Далее, компактные множества ^czA^ можно выбрать так, чтобы их объединение К удовлетворяло неравенству ц(Л \ К) ^ е. Ясно, что сужение f\K непрерывно. В

Замечания. Очевидно, что справедливо и обратное утверждение, т. е. каждая функция f, удовлетворяющая условию Лузина, измерима. Бурбаки [8, гл. IV] при рассмотрении функций со значениями в топологическом пространстве Т* берет условие Лузина в качестве определения измеримости функций. Два понятия измеримости совпадают, только если пространство Т* удовлетворяет некоторым условиям счетности. Несомненно, что для функций, принимающих абстрактные значения, критерий Лузина более целесообразен в качестве определения измеримости.

Сейчас мы вполне могли бы заняться вопросами, которыми фактически займемся в § 4.11. Однако мы прервем изложение общей теории интегрирования, чтобы показать, что некоторые множества мер в точности представляют пространства, сопряженные к пространствам непрерывных функций. Этот вопрос излагается в § 4.10. В § 4.9 вводится подготовительное понятие носителя меры.

Носитель меры

Пусть Т — локально компактное пространство и ц— положительная мера Радона на Т. Из предложения 4.5.1 следует, что объединение всех открытых пренебрежимых множеств образует максимальное открытое пренебрежимое множество U. Точка пространства Т принадлежит U тогда и только тогда, когда она обладает пренебрежимой окрестностью. Дополнение F множества U называется носителем меры ц. Множество F всегда замкнуто в Т. Точка t из Т. принадлежит множеству F тогда и только тогда, когда у нее нет пренебрежимых окрестностей.

Пусть ц — комплексная мера Радона на Т. Носителем меры р будем называть носитель положительной меры

|р| = а+ + а + Р++ Р >

где а и р — вещественная и мнимая части меры р, а а = а+ —а и |3 = Р+— Р-— минимальные разложения мер аир (см. теорему 4.3.2). Носитель меры р является, очевидно, объединением носителей мер а+, а-, р+, р“. Для удобства будем писать рь р2, Нз» R вместо а+, а~, р\ р- и называть равенство

Р = Р1 — рг + ^рз — ^4

минимальным разложением меры р.

Предложение. Пусть р— комплексная мера Радона на Т с носителем F. Открытое множество U в Т пренебрежимо (т. е. содержится в T\F^ тогда и только тогда, когда p(f) =0 для каждой функции f ^^+(7), носитель которой содержится в U.

Доказательство. Необходимость очевидна. Действительно, если U пренебрежимо, то р+([/) = 0 при 6=1, 2, 3, 4. Так как O^f-^HfHoo’X^ для функций feJ^+(7) с носителем, содержащимся в U, то рь(Л=0 (6=1, 2, 3, 4) и, следовательно, m(D=o.

Обратно, пусть p(f)=O для всех функций f, удовлетворяющих условиям теоремы. Это равенство имеет место и для вещественной и мнимой частей меры р в отдельности. Поэтому (ср. с доказательством теоремы 4.3.2) справедливы равенства pfe(f) =0 при 6 = 1, 2, 3, 4. Функция %^ является верхней огибающей некоторой системы функций ^^3f^^T\ с носителями в U, и потому (предложение 4.5.1) р+([7) = 0 при 6=1, 2, 3, 4. Таким образом, множество U пренебрежимо. В

Замечание. Если F — носитель положительной меры р, то вполне могут существовать р-пренебрежимые непустые множества, содержащиеся в F. Например, если р— мера Лебега на R, то ее носителем служит само R (потому что всякое непустое открытое множество имеет строго положительную меру). Однако пренебрежимые непустые множества все же существуют.

Пример. Пусть Т— вещественный интервал, f — функция локально ограниченной вариации на Г и р/— соответствующая ей мера Лебега — Стилтьеса (п. 4.4.4, 4.5.6, 4.7.7, 4.7.8). Найдем носитель S меры р/. Множество (7 = T\S открыто относительно Т. Предположим сперва, что функция f возрастающая, так что р/>0. Для всякого ограниченного интервала /, содержащегося в U, имеем рД/)=0. Если в качестве / брать одноточечные множества, то из результатов п. 4.7.7 следует непрерывность функции f во всех точках множества U. Значит, Функция f должна быть постоянной на каждой связной компоненте множества U, т. е. функция f локально постоянна на U. Обратно, если функция f локально постоянна на U, то ^(U) =0.

Таким образом, носитель S меры р/ есть дополнение в Т наибольшего открытого относительно Т множества U cz Т, на котором функция f локально постоянна. То же самое имеет место и для функций f локально ограниченной вариации. Это следует из возможности разложения / на разность двух монотонно возрастающих функций или из предложения 4.9.1.

В качестве примера пусть Т = \а, 6] и функция f постоянна на каждом из интервалов (G-ь с^ (l^i^tn^ где а = = с0<С1<.. .<cm = b. Легко показать, что (см. Натансон [1, гл. VIII, § 6, теорема 3]) для хее^(7)

ь

RS- J xdf = [/(а + 0) —- / (а)] л; (а) +

а m

+ ^[f(ci + O)-f ^ - 0)] х (с{) + [f [b) - f kb - 0)] X (b). i = l

Это можно получить также на основании результатов п. 4.7.7. Таким образом, m

Hf = [/(« + О) - f (а)] 8а + 2 [f kct + 0) - f - 0)] гс. +

1=1+[H6)-f(6-0)]e6.

Отсюда следует, что носитель S меры р/ состоит из тех точек Ci (l<t<m), в которых f^ + O) — f{ct — 0)#=0, точки а, если f (я + 0) #=/(а), и точки Ь, если ЦЬ^НЬ— 0).

Пространство С(Т) и его сопряженное

Пусть Т— локально компактное пространство. Обозначим через С (7) векторное пространство всех комплексных. непрерывных функций на Г и наделим его топологией равномерной сходимости на компактных подмножествах в Т.

Эта топология определяется полунормами

Рк^ =sup{|x(/)|: te^(4.10.1)

где К пробегает некоторую заданную базу компактных подмножеств в Т. Если Т компактно, то С(7)—нормируемое и даже банахово пространство с нормой ||х||оо.

Наша задача — показать, каким образом пространство, сопряженное к С (7), может быть описано с помощью комплексных мер Радона на 7. Такую же задачу можно поставить в случае, когда вместо С(7) рассматривается векторное пространство вещественных непрерывных функций на 7. При этом можно

иметь дело только с вещественными мерами Радона. Подробное рассмотрение последней задачи предоставляем читателю.

Теорема. Пусть L— непрерывная линейная форма на С(Ту Существует единственная комплексная мера Радона ц на Т с компактным носителем, такая, что

Л(х) = ц(х)= j x(/)<W).(4.10.2)

т

Обратно, если ц — комплексная мера Радона на Т с компактным носителем, то формула (4.10.2) определяет непрерывную линейную форму L на С (Т).

Доказательство. Обратное утверждение очевидно. Действительно, если К — компактный носитель меры р, то всякая функция хеЦГ) интегрируема относительно |pi и, следовательно, относительно р^ (^=1, 2, 3, 4). Поэтому

ц М = р.1 (х) - ц2 W + /Цз (х) - гц4 (х)

является линейной формой на С (Г), а из соотношений

I ц (х) | = | р, (х%к) к | и | (/<) • рк (х)

следует непрерывность линейной формы L, определенной формулой (4.10.2).

Пусть теперь L — непрерывная линейная форма на С(Ту Тогда найдется такое компактное множество К и такое число с, что \L(x") \^с-рк(х) для всех х^С(Ту Пусть р — сужение линейной формы L на пространство о^(Т). Ясно, что р — комплексная мера Радона на Т. Из предложения 4.9.1 вытекает, что носитель р содержится в К и, значит, является компактным множеством. Поэтому равенство £(х)=ц(х), справедливое по определению для всех х^с^(Т), продолжается на все хеС^У (обе части этого равенства не изменяются при замене х на fx, где f— произвольная функция из о/ГДТу равная 1 на К). В

Установленный только что результат может быть сформулирован следующим образом. Если через М(Т) обозначить векторное пространство комплексных мер Радона на Т и через Л4С(Г)—его векторное подпространство, образованное мерами с компактными носителями, то пространство, сопряженное к локально выпуклому пространству С(Ту может быть отождествлено с Мс(Ту причем билинейной формой, приводящей эти пространства в двойственность1), служит

(х, ц) = р, (х) = J х dy,,(4.10.3)

т

!) См. § 8.1. — Прим, перев.

где х^С^Г) и р^МДТ). Если Т компактно, то МДТ) =АЦТ) и мы получаем классическую теорему Ф. Рисса в обобщенном виде. История различных обобщений теоремы Рисса, которая относится к случаю 7 = [О, 1], весьма богата). Некоторые исторические замечания читатель найдет в п. 4.10.7. В последнее время рассматривалась возможность отказа от требования локальной компактности пространства Т (п. 4.10.7).

Стоит привести здесь два следствия только что установленной двойственности. Первое из них — критерий слабой сходимости в С (Г), второе — критерий слабой компактности в МС(Т).

Теорема. Для того чтобы последовательность (хп) в С(Т) слабо 'сходилась к хеС(Т), необходимо и достаточно, чтобы

Ишхп = х поточечно в Т;

для каждого компактного множества К^Т выполнялось условие

sup { |хп(/) |: /е К, п= 1, 2, ...}<+ оо.

Доказательство. Достаточность непосредственно следует из теоремы 4.8.2 и установленного выше совпадения пространства, сопряженного к С (Г), с МДТ).

Необходимость условия (а) очевидна. Действительно, отображение xv->x(t) при каждом t^T есть непрерывная линейная форма на С (Г) (соответствующей мерой является, конечно, мера Дирака еь сосредоточенная в точке /). Необходимость условия (Ь) есть частный случай теоремы 8.2.2, так как всякая слабо сходящаяся последовательность слабо ограничена. В

Теорема. Для того чтобы подмножество L пространства МДТ) было относительно слабо компактным, достаточно существования такого компактного множества К в Т, чтобы носитель каждой меры циз L лежал в К и чтобы

{sup {I р | (Г): р g L}< 4-оо.

Если Т— о-компактное пространство, то это условие также и необходимо.

Доказательство. Сформулированное условие равносильно равностепенной непрерывности множества L (рассматриваемого как подмножество пространства, сопряженного к С (Г)), поэтому множество L относительно слабо компактно (теорема 1.11.4(2)). С другой стороны, если пространство Т о-компактно, то С (Г) является пространством Фреше (§6.1 и пример 6.1.3),

поэтому достаточно воспользоваться следствием 7.1.2 и тем фактом, что всякое относительно слабо компактное множество слабо ограничено. В

Замечания. Если пространство С(Г) сепарабельно (например, если Т метризуемо и о-компактно) и множество L удовлетворяет сформулированным условиям, то теорема 4.10.3 сводится к утверждению, что из всякой последовательности (цп) элементов множества L можно извлечь подпоследовательность, слабо сходящуюся к комплексной мере Радона, носитель которой содержится в К.

Если Т — компактный интервал вещественной оси, то это утверждение тесно связано с так называемыми теоремами Хелли, формулируемыми в терминах функций ограниченной вариации, причем здесь играет роль интеграл Римана — Стилтьеса. Подробности см. у Натансона [1, стр. 242 и 254]. Для случая, когда Т есть пространство Rn, этот результат был назван Валле- Пуссеном принципом выбора и использовался им и Фростма- ном в теории потенциала.

Заметим, что если Т— компактное пространство, то МС(Т) = = М(Т)—банахово пространство относительно нормы ||р|| = = ||1|(Г) или относительно эквивалентной нормы

IIН 1Г = supIIН 1Г = supxdy,: хеС(Т), UIL^ 1xdy,: хеС(Т), UIL^ 1

IIН 1Г = sup

IIН 1Г = sup

xdy,: хеС(Т), UIL^ 1

xdy,: хеС(Т), UIL^ 1

В этом случае теорема утверждает, что множество L в Л1(Г) относительно слабо компактно тогда и только тогда, когда оно ограничено по норме. Существует много полезных приложений этого принципа. Он используется в § 8.13 и затем в гл. 10 (см., в частности, теоремы представления Бернштейна и Бохнера в § 10.2 и 10.3 соответственно). Приводимый ниже пример служит непосредственным приложением этого принципа.

Пример. Интеграл Пуассона гармонических функций. Рассмотрим представление с помощью интеграла Пуассона функций, гармонических на единичном круге D комплексной плоскости. Пусть Т— граница круга D, т. е. единичная окружность. Мы исходим из того факта, что гармоническая на D и непрерывная на D = D\JT функция и имеет вид

и^ = J P{z, t)u(t)da(t) (z^D),(4.10.4)

т

где а— положительная мера Радона на Т, определенная равенством

2л

= 1л" / x(e^)d(f, х^С{Т)о

(интеграл здесь — обычный интеграл Римана), и Р— ядро Пуассона

P(z, O = Re^j.

Схема доказательства равенства (4.10.4) такова. Правая часть (назовем ее U) является гармонической в D функцией. Стандартными методами анализа показывается, что U^-^uUy когда точка zgD стремится к граничной точке t. Таким образом, разность и—U является гармонической функцией на D и принимает всюду на границе нулевые предельные значения. Из принципа максимума модуля следует тогда, что u=U всюду в О, т. е. имеет место формула (4.10.4).

Заметим теперь, что Р(0,/) = 1. Поэтому из (4.10.4) вытекает равенство

u(0)= J u(0da(a(4.10.5)

т

которое представляет собой не что иное, как известное «свойство среднего значения» гармонических функций.

Если ввести меру ци = н-&, то можно записать

«(г)= J?(z, 0М0 И (4.10.6) т

и

н(0)= J d^uUY(4.10.7)

т

Если а — положительная функция, то мера ци положительна.

Пусть теперь и — гармоническая положительная функция на D (не обязательно непрерывная, или даже определенная, на Ту Положим ип ^ = и^-^-^ Очевидно, что ип— гармонические положительные на D и непрерывные на D функции. Обозначим через Р'П = Р-и соответствующие им меры. В силу (4.10.7)

J dn„ (0 = ип (0) = и (0), т

поэтому все меры цп положительны. Согласно принципу выбора, можно извлечь из последовательности (цЛ) подпоследовательность, которая слабо сходится к некоторой положительной мере ц на Т. При фиксированном г ^ D функция P^z, /) е С^Ту Поэтому для выбранной подпоследовательности имеем

иДг^ = j P^z, t) d^^t)-* J P^z, tW^YTT

Очевидно, последовательность (un) поточечно сходится к и на D. Таким образом получаем формулу

U^= Jp(z, t)Mf)(4.10.8)

т

— интегральную формулу Пуассона для функции и. Итак, эта формула установлена для всякой положительной гармонической на D функции и.

Если функция и не является положительной, то предыдущие рассуждения не проходят. Меры цп уже не обязательно положительны, и нельзя воспользоваться формулой (4.10.7) для вычисления норм || Цп 11 = 1нп| (Т). Однако мера рп во всех случаях равна un*oi, поэтому

1НпКП=/ l«n|da= /^(^^раК).тт

Таким образом, предыдущие рассуждения сохраняют силу, если известно, что

liminf [ | u(r/)| da^ = lim inf f \u(,re1^ |t/qp< + oo. (4.10.9)

При этом, естественно, мера ц в окончательной формуле (4.10.8), вообще говоря, не будет положительной.

Легко видеть, что и, обратно, если формула (4.10.8) имеет место для некоторой меры ц на Т, то справедливо отношение (4.10.9). Действительно, так как Р > 0, то из (4.10.8) следует, что

|u(z)|<Jp(z, OdlnKO- т

Если 0^г<1 и f гТ, то

J | и W | da (П < J da (Г) J Р (rf, 0 d | ц | (0тт т

Как легко показать, порядок интегрирования можно изменить, так что правая часть неравенства равна

J d|n |(0 j P^f, W). тт

При фиксированных г_и t функция z^-P^rz, t) гармонична на D и непрерывна на D. Внутренний интеграл, будучи средним

значением этой функции, есть не что иное, как Р (0, 0 — 1- Таким образом, для всех г, удовлетворяющих условию 0^г<1, имеем

||и(гП№(П<Ы(П,

т

т. е. справедливо (4.10.9).

Между прочим, мы доказали, что условие (4.10.9) эквивалентно условию

sup [ | и^^\da^< + оо.(4.10.9')

0<г<1

Резюмируем:

► Для того чтобы функция и на D была представима в форме (4.10.8), где ц — мера Радона на Г, необходимо и достаточно, чтобы функция и была гармонической на D и удовлетворяла условию (4.10.9'). Последнее условие выполняется автоматически, если функция и гармонична и положительна на D.'

В заключение отметим, что подобные теоремы представления гармонических функций, определенных на других областях, получаются с помощью сходных рассуждений (или в некоторых случаях с помощью конформных отображений из самой формулы (4.10.8). Такими рассуждениями доказываются аналогичные формулы для голоморфных функций, связанные с именами Герглотца, Рисса, Неванлинны и др. Само представление (4.10.8) принадлежит Эвансу, Брэю и Плеснеру.

Пространство С(Т) как алгебра; теорема Вейер- штрасса— Стоуна. В этом и в следующем пунктах мы покажем, каким образом понятие носителя меры в сочетании с теоремой 4.10.1 может быть цспользовано для выяснения структуры пространства С(Г), принимая во внимание возможность перемножать функции из С (Г) (т. е. здесь мы рассматриваем С (Г) как алгебру, а не только как векторное пространство). В настоящем пункте мы приведем доказательство знаменитой теоремы Вейерштрасса — Стоуна о подалгебрах в С(Г), а в п. 4.10.6 займемся изучением замкнутых идеалов в С(7).

Если Т— компактный интервал вещественной оси, то, не нарушая общности, можно считать, что это отрезок [0, 1]. Классическая аппроксимационная теорема Вейерштрасса утверждает, что каждая вещественная непрерывная функция на Т является равномерным пределом многочленов. Отсюда, очевидно, следует- возможность аналогичной аппроксимации непрерывных комплексных функций. В своей (знаменитой теперь) открывшей новые пути статье Стоун [2, стр. 466—469] начал изуче-

ние далеко идущих обобщений теоремы Вейерштрасса, в которых Т— произвольное отделимое компактное пространство.

Всюду в этом пункте Т будет обозначать отделимое компактное пространство, CR (7) (соотв. С (7))—векторное пространство над R (соотв. над С) вещественных (соотв. комплексных) непрерывных функций на 7 и WR (7) соотв. М (7)) — векторное пространство над R (соотв. над С) вещественных (соотв. комплексных) ограниченных мер Радона на 7. Мы будем предполагать также, что каждое из пространств CR (7) и С(7) топологизировано с помощью равномерной нормы

М = sup {| х (/) |: t^T\

Как мы знаем (теорема 4.10.1), MR(7) (соотв. М(7)) можно отождествить с пространством, сопряженным к CR (7) (соотв. С(7)).

Подмножество Q в С (7) называется отделяющим точки, если для любых двух различных точек f и 1" из 7 существует такая функция х(/), принадлежащая подмножеству Q, что х(7) + х(Гу

Пусть х (вещественная или комплексная) функция на 7. Обозначим через Z(x) множество нулей функции х, т. е. Z(x) = = {/^7: x(t) =0}. Если F— множество таких функций, то через 2(7) будем обозначать пересечение H{Z(x): х eF} множеств нулей элементов из F.

Напомним, что подкольцо в CR (7) (соотв. С(7))—это такая аддитивная подгруппа А в CR (7) (соотв. С(7)), для которой ху е А при хеА, у^А. Если, кроме того, А — векторное подпространство в CR (7) (соотв.С (7)), то А — подалгебра в CR (7) соотв. С(7)). Говорят, что А— алгебра с единицей, если А содержит постоянную функцию 1.

Вначале рассмотрим случай пространства CR (7). Наша задача— доказать теорему, что всякая отделяющая точки подалгебра в Cr(7), для которой 2(A) = 0, плотна в CR (7). Из этой теоремы будет получен аналогичный результат1) и для С(7) (Гельфанд и Шилов [1]). Некоторые весьма изящные доказательства этого и связанных с ним результатов используют частичную упорядоченность множества CR(7) (см., например, Б ур б а к и [8, гл. X], Гильм ан и Джерисон [1, стр. 242], Какутани [1]). В приводимых нами рассуждениях, принадлежащих де Бранжу [1], частичная упорядоченность в явном виде почти не используется (хотя в неявном

*) Но с важным дополнительным условием на подалгебру, состоящим в том, что она вместе со всякой функцией содержит комплексно сопряжен» ную. — Прим. ред.

виде эта структура все-таки используется, поскольку она играет роль в теории интегрирования).

С другой стороны, доказательство де Бранжа опирается на теорему Крейна — Мильмана о выпуклых компактных множествах в топологическом векторном пространстве. Хотя доказательство этой теоремы приводится лишь в гл. 10, ссылка на нее в этом месте не приводит к порочному кругу; тем не менее имеет смысл хотя бы сформулировать эту теорему здесь. '

Пусть X — вещественное отделимое локально выпуклое пространство и Q — выпуклое множество в X. Точка xeQ называется крайней (или экстремальной) для Q, если из равенства х = осу + (1—а) г для некоторого а, удовлетворяющего неравенству 0^а^1, и некоторых у, z^Q следует, что х совпадает с у или с z. Другими словами, х— концевая точка любого отрезка, ее содержащего и целиком лежащего в Q. Теорема Крейна — Мильмана (теорема 10.1.2) утверждает, что компактное выпуклое множество Q является замкнутой выпуклой оболочкой множества своих крайних точек. В частности, если Q + {0}, то обязательно существуют ненулевые крайние точки множества Q.

Эта теорема будет применена в следующей ситуации. Пусть Д— некоторое множество в CR (7) и Д°— множество мер из Mr (7), обращающихся в нуль на функциях из множества А. Обозначим через В замкнутый единичный шар в MR (7) и положим 9=Д°ПВ. Наделим пространство Mr (7) слабой топологией, рассматривая его как топологическое сопряженное к Cr (7) (теорема 4.10.1). Из теоремы 4.10.3 следует компактность множества В. Так как множество А° замкнуто, то множество Q компактно. Очевидно также, что Q выпукло. Следовательно, к Q можно применить теорему Крейна — Мильмана. В частности, если Q не сводится к {0}, то оно обладает крайней точкой, отличной от нуля. Заметим, что в действительности для всякой крайней точки Z =А 0 множества Q ||Х|| = 1. В самом деле, если Z^O, то тт-й- eQ и потому Л = ||Л|| • 77-7- + (1 — IIМ • 0.

Так как точка X крайняя, то Л = -pj 0; следовательно, || Л || = 1.

Имея в виду эти предварительные замечания, докажем следующую лемму.

Лемма. Пусть X— крайняя точка множества Q и g— вещественная ограниченная универсально измеримая функция на Т, для которой J xgdX = Q для всех х^А. Тогда существует такое вещественное число к, что g*X=kk

Доказательство. Если Z = О, то доказывать нечего. Пусть ^xgdX = 0 для хе А. Равенство останется справедливым, если заменить g на a^g + 6), каковы бы ни были вещественные числа а и Ь. Поэтому всюду далее можно считать, что

Введем меру X* = g-X и положим m = ||V||. Если m = 0, то X* = 0 = 0 • X и все ясно. Если же m = 1, то 1 = m = J g d | Л |, откуда в силу условия O^g’^l следует, что g = 1 почти всюду, и потому X* = X = 1 • X.

Пусть теперь 0 < m < 1. Положим. _ Л* . Л —Л*1 m z 1 — m

Легко убедиться в том, что Zi, Х^ е Q. Следовательно, Ml = = 1 и

J х dXx = m-x J х dX* = m”1 J xg dX = 0

для хеА Значит, aieQ. Отсюда вытекает, что X* = mXx e e A°. С другой стороны,

^ = k\-mY4\-gYY следовательно,

||Л2|| = (1-тГ1/(1-^)^|Л| = (1-т)~1(||Л||-П*11) = = (1 — m)"^! — m)= 1.

Далее, поскольку меры X и X* принадлежат Л °, это верно также и для Х2. Таким образом, Х2е Q. Из равенства

X = (1 — т)Х2 + тХх

и «крайности» меры X следует, что либо X = Ль либо X = Х2. В каждом из этих случаев сразу получаем, что X = Ль Поэтому g-X = X* = тХх = тХ. как и утверждалось (только вместо к написано т). |

Теперь мы можем доказать основной результат для CR (7).

Теорема А. (Стоун). Пусть А — отделяющая точки подалгебра в CR (7), такая, что Z{A) =0 (т. е. функции из А не имеют ни одного общего нуля в Т). Тогда множество А всюду плотно в CR (7).

Доказательство. Множество Л, будучи подалгеброй в пространстве CR(T), является его векторным подпространством. Поэтому (теорема Хана — Банаха) А плотно в CR (7) тогда и только тогда, когда Л° ^ (0), что равносильно условию Q = (0).

Допустим, что Q не сводится к {0}. Тогда* из теоремы Крейна— Мильмана вытекает, как мы уже видели, существование в Q по меньшей мере одной крайней точки Z =А 0. Пользуясь предыдущей леммой, мы покажем, что всякая такая мера Z является неотрицательным скалярным кратным меры е< для некоторой точки te Т. Если это так, то x(t) = ^ xdX обращается в нуль для всех хе А, потому что ^eQc^°. Но тогда tEZ^ что противоречит условию.

Чтобы показать, что мера X должна иметь указанный вид, заметим, что g-XeA° для g^A, так как множество А есть подкольцо в Ср (7). В силу доказанной леммы g • X = const • X, поэтому функция g постоянна на носителе меры X. Так как множество А отделяет точки, то носитель меры X сводится к одной точке, скажем teT. Следовательно, Х = с*еь где число с не может быть равно нулю, так как X + 0. Теорема полностью доказана. |

Из этой теоремы уже совсем легко получить аналогичный результат для пространства С (7).

Теорема В. Пусть А — отделяющая точки подалгебра в С^Ту для которой Z^A^ = 0. Если вместе с каждой функцией х функция х также принадлежит А, то множество А всюду плотно в С^Ту

Доказательство. Из условия теоремы следует, что Rex е А и 1шхеД при хе А. Обозначим через Др множество вещественных функций из А; множество Др удовлетворяет условиям теоремы А. Следовательно, Др всюду плотно в Ср (7) и потому А всюду плотно в С(7).|

Замечания. Если 7 — локально компактное, но не компактное пространство, то легко получить аналогичный результат для пространства вещественных (или комплексных) непрерывных функций на 7, обращающихся в нуль на оо1). Надо только продолжить все эти функции на пространство Т — компактификацию Александрова пространства 7 — и рассмотреть подкольцо в Ср (Г) (или С (7)), порожденное объединением Д11{1}. Мы заключаем, что справедливы прямые аналоги теорем А и В, только теперь 7 — локально компактное пространство и рассматриваются лишь те непрерывные функции (вещественные или комплексные), которые обращаются в нуль на оо.

Существует богатая литература по различным обобщениям теоремы Вейерштрасса — Стоуна. Мы укажем лишь несколько названий: Бурбаки [6, гд. X], Аренс [2], Каплацский [1,

9 См. § 4.2.-—Прим, перее»

2], Стоун [3], Хьюитт [3]; отметим также большую обзорную статью Стоуна [1].

Замкнутые идеалы в С(Т). Приведем здесь еще два приложения понятия носителя меры и теоремы 4.10.1. В обоих случаях пространство С(Т) будет рассматриваться как алгебра, где произведениеху означает функцию tv->хЦ)уЦ). Легко проверяется, что отображение (х, y)v->xy произведения С(7)Х X (ЦТ) в С (7) непрерывно, так что С (7) является и топологической алгеброй и топологическим векторным пространством. Рассмотрим две задачи, связанные с этой дополнительной структурой (см., например, Эдвардс [7]).

Под характером 9 на С(7) понимается гомоморфизм X алгебры С(7) на поле комплексных чисел С (фактически поле С надо рассматривать здесь как алгебру над самим собою), т. е. такое отображение X: С(Т)-^С, которое линейно, мультипликативно (Х(х • у) -=Х(х) • X (у)) и не равно тождественно нулю. Если через е обозначить постоянную функцию, принимающую всюду значение 1, то, очевидно, Х(е) = 1. Первый из двух результатов, которые мы хотим доказать, формулируется следующим образом.

►(а) Если X— непрерывный характер на (ЦТ), то су

ществует единственная точка t^T, такая, что Х(х)=л:(/) для всех функций х^С^Т). Если пространство Т компактно, то всякий характер на (ЦТ) непрерывен и потому имеет указанный вид.

Обратное утверждение тривиально.

Второй наш результат относится к понятию идеала 1 в алгебре С(Т). Идеал I определяется следующими свойствами: / — векторное подпространство в С(Т) и xl cz I для каждой .функции № С(7) (т. е. ху ^ I при № С (7) и у^Г). Например, если F — некоторое множество в 7, то множество ЦЕ) всех функций х^ ^С(Т), которые обращаются в нуль на 7, очевидно, представляет собой идеал в С (7). При этом ЦЕ) не изменится, если заменить множество F его замыканием в 7. Кроме того, идеал ЦЕ) всегда замкнут в С (7). Наша задача показать, что каждый замкнутый идеал в С (7) можно получить таким образом, если подходящим образом выбрать замкнутое множество F в 7.

Это утверждение можно доказывать по-разному. Пусть задан идеал /. Обозначим через ХЦ) множество всех общих нулей элементов из /. Очевидно, ХЦ)—замкнутое подмножество в 7 и /cz/(/(/)). Второй наш результат может быть сформулирован следующим образом.

!) Употребляются также термины линейный мультипликативный функционал и просто мультипликативный функционал. — Прим. ред.

► (Ь) Для всякого замкнутого идеала 1 в С^Т) имеет место равенство I = /(/(/)).

Априори ясно, что если I = I (F) для некоторого замкнутого множества F аТ. то F совпадает с /(/). Мы, однако, не будем использовать это замечание. Так как /(0) = С(7), то идеал / является всюду плотным в С (7) тогда (и, очевидно, только тогда), когда элементы идеала / не имеют общих нулей в Т.

Доказательство утверждения (а). Пусть X—непрерывный характер на С (7). По теореме 4.10.1 существует такая мера Радона ц на Т с компактным носителем К, что Х(х) = ц(х) для всех хе С (7). Остается показать, что носитель К сводится к одной точке. Так как X ¥= 0, то множество К не пусто. Пусть точка / принадлежит К и V— другая точка множества К. Тогда существуют непересекающиеся открытые окрестности U и U' точек t и F соответственно. Так как t е К, то можно подобрать такую функцию хеС(7) с носителем в U, что Х(х) + 0. Если носитель функции уеС(7) содержится в U', то ху = 0, откуда Х^ху) = Х(х)Х^у) = 0 и, следовательно, Х^у) = 0. Из предложения 4.9.1 следует теперь, что точка f не принадлежит К, так что К — одноточечное множество {/}, а мера ц кратна мере е#. Коэффициент пропорциональности при этом равен единице, так как X— гомоморфизм. Таким образом, Х^ =st W = x(t).

Для доказательства второй части утверждения покажем, что гиперплоскость Н, определенная равенством Х(х) = 0, замкнута в С(7), или, что то же самое, что Н не плотна в С(Т). Действительно, если бы гиперплоскость Н была плотна в С(7), то она должна была бы содержать такой элемент х0, что Цаг0 — ^IL^y. Элемент х0 нигде бы в нуль не обращался, и так как 7 компактно, то функция 1/х0 принадлежала бы С (7). Из соотношения е = х0* (1/х0) следовало бы, что 1=Х(е) = = Х(х0)%(1/х0) = 0-Х(1/х0), а это невозможно. ■

Доказательство утверждения (Ь). Пусть / = = /(/(/)). Ясно, что /с=/, поэтому остается только доказать, что Jal. Для этого воспользуемся теоремой Хана — Банаха и теоремой 4.10.1.

Пусть мера ц принадлежит Л4С(7) и обращается в нудь на /, т. е. ц(/) =0 для каждого j^J. Нам надо показать, что ц обращается в нуль на /. Так как / — идеал, то из наших предположений следует, что р-(М)=0 U е Д хаС(Т)). Отсюда вытекает, что открытое множество U = 7\Z(/) пренебрежимо относительно меры |ц|. Действительно, если точка t принадлежит Ut то существует функция / a Jv не обращающаяся в нуль

в точке t и потому не равная нулю в некоторой окрестности V этой точки. Тогда всякая функция #еС(7) с носителем в V может быть записана в виде у = jx, где х— некоторая функция из С (Г), и, значит, ц(у) = 0. То, что множество U пренебрежимо относительно |р|, следует из предложения 4.9.1. Носитель К меры ц содержится в Т\U = Z^, поэтому ц(х)=0 для всякой функции х ^ I, следовательно, функция х обращается в нуль на 2(/). В

Замечания. Естественно поставить вопрос: для каких других алгебр функций остаются справедливыми утверждения (а) и (Ь), в частности справедливы ли они для алгебр дифференцируемых или голоморфных функций? Эти задачи требуют намного более тонких рассуждений. Например, непосредственный аналог утверждения (Ь) вообще оказывается неверным. Случай дифференцируемых функций см. у Уитни [1] и Шварца [11], а случай голоморфных функций — у Какутани [3] (см. также приведенные там ссылки) и Эдвардса [14].

Другой подход к изложению теории и некоторые ее обобщения. Мы уже в достаточной степени разработали аппарат теории интегрирования, и теперь удобно и уместно сказать несколько слов о другом подходе к этой теории и сделать краткий обзор возможных ее обобщений. История развития теории интегрирования довольно сложна; читатель найдет для себя много интересного в разделе «Исторический очерк» в конце книги Бурбаки [8].

В более ортодоксальном изложении теории интегрирования, образцы которого даны Халмошем [1] и Саксом [1], понятие интеграла основывается на понятии меры как функции множества, т. е. функции, определенной на некотором семействе подмножеств «основного пространства» Т и являющейся по меньшей мере конечно аддитивной. В теориях, подобных лебеговой, эта мера предполагается счетно аддитивной. Во всех случаях дело можно свести к рассмотрению положительных мер.

Мы же, напротив, в качестве основного понятия взяли интеграл, определив его как линейную форму на некотором векторном пространстве функций. При этом мы ограничились случаем, когда Т — локально компактное пространство, а функциональным пространством служит^(Г). Эти ограничения можно до-некоторой степени ослабить (см. Люмис [1, гл. III]; Стоу н [4], Бурбаки [8, гл. IV, стр. 120 и далее], Шварц [21]).

Тот случай теоремы 4.10.1, в котором Т— компактное пространство (с точки зрения техники наиболее легкий), можно для удобства назвать теоремой представления Рисса, хотя при этом не отдается должного многим авторам, труды которых

существенно способствовали тому, чтобы этот результат принял современную форму. При нашем подходе к теории интегрирования теорема представления Рисса представляет собой почти тавтологию. С другой стороны, нам пришлось извлекать из нашего функционального определения интеграла соответствующую ему меру.

Альтернатива — принять более ортодоксальную, основанную на понятии меры теорию интегрирования, в которой теорема представления Рисса уже не является тавтологией. Образец такого подхода дан Халмошем [1, § 56]. См. также Хьюитт [2], Хьюитт и Цукерман [1].

Вот*все, что мы хотели сказать о другом подходе.

Что касается дополнений и обобщений, рассмотрим сначала теорему представления Рисса и различные способы ее доказательства. Один из самых недавних и принципиально новых методов доказательства этой теоремы принадлежит В а р а д араяну [1]. Идея метода состоит в том, чтобы представить всякое компактное пространство Т в виде произведения компактных пространств, каждое из которых настолько просто, что для него теорема представления Рисса почти очевидна, а затем показать, как распространить эту теорему на произведение.

Кроме того, можно искать обобщения этой теоремы, в которых ослабляется условие локальной компактности пространства Т. Многими авторами рассматривались аналоги теоремы представления Рисса для случая, когда Т — вполне регулярное пространство; отметим здесь лишь работы Хьюитта [1, 6], Гликсберга [1], Гоулда и Маховальда [2]. Последние сводили задачу для вполне регулярного пространства Т к компактному случаю, вкладывая Т в его стоуночеховскую компактификацию |ЗГ. Сходные обобщения рассматривались Стоуном, Бурбаки (см. ссылки выше), Аренсом [3], Л ю мисо м [4] и др.

Какие функционалы соответствуют конечно аддитивным мерам? Этот вопрос исследовался Фихтенгольцем и Канторовичем [1], позднее Хьюиттом и Иосид ой [1] (см. также Хьюитт [5]). Возможности использования аналогов теоремы представления Рисса, в которых рассматриваются интегралы по конечно аддитивным мерам, весьма ограничены. Конечно аддитивные меры иногда ведут себя просто дико. Вспомните причины, побудившие нас в § 4.1 отказаться от обращения к теореме Хана — Банаха в пользу трудоемкого, но «конструктивного» процесса, в результате которого мы пришли к счетно аддитивным мерам.

Другой тип обобщений связан с заменой пространства g^(7) каким-нибудь другим векторным пространством функ-

ций на Т. При этом в ряде случаев удается тем или иным образом свести дело снова к исходному случаю. Однако это возможно далеко не всегда. Интересный пример, когда такое сведение невозможно или, лучше сказать, удается лишь частично,— это случай, когда Т— группа и 3f (Т) заменяется векторным пространством почти периодических функций на Т (см. Хьюитт [9]).

Совсем иного рода обобщения возникают, когда пространство Т остается неизменным, но интегрируются векторные (а не скалярные) функции, или же рассматриваются векторные меры, или и то и другое вместе (если пространство значений является алгеброй). Случай векторных функций и скалярных мер представляет собой не столь уж коренное обобщение в отличие от случая векторных мер и скалярных функций. Около 30 лет тому назад задача интегрирования векторных функций по скалярной мере была очень популярна. Типичные исследования такого рода относятся к интегралу Бохнера (Бохнер [3]). Обзорное изложение теории интеграла Бохнера содержится в книгах Хилле [1, гл. III], Хилле и Филлипса [1, гл. III], Данфорда и Шварца [1, гл. III]. Жизнь показала, однако, что более простые и удобные «слабые» теории интеграла в равной мере полезны в большинстве приложений. В§ 8.14 мы приведем начальные сведения такой теории, трактуя ее с точки зрения теории двойственности, на которую она в значительной мере опирается. Слабые интегралы будут использованы в § 8.13 и 10.1.

Что касается интегрирования по векторным мерам, здесь опять встает вопрос о выборе отправной точки. Если мы рассматриваем меры, принимающие свои значения в Е, то можно воспользоваться одним из следующих подходов.

Под мерой с самого начала понимается счетно аддитивная функция, определенная на соответствующим образом подобранном классе подмножеств в Т.

Под мерой понимается удовлетворяющее соответствующим ограничениям линейное отображение пространства ^Xf (Т) в Е.

Изложение первого подхода можно найти в книге Данфорда и Шварца [1, гл. III и IV]. Линейные отображения, о которых идет речь в (2), естественно назвать Е-значными мерами Радона на Т. Вопрос, однако, заключается вот в чем: каким условиям должно удовлетворять отображение, фигурирующее в (2), чтобы оно соответствовало (как и в скалярном случае) мере в смысле (1)? Ответ на этот вопрос в значительной мере принадлежит Гротендику [1], который показал, что, по крайней мере когда пространство Т компактно, искомое условие заключается в том, чтобы отображение пространства

С^ в Е было компактным (= вполне непрерывным). Некоторые аспекты этой задачи рассматриваются в п. 8.1.9 и 9.4.И.

Почти во всякой теории интегрирования числовых функций существенно’ используется естественное частичное упорядочение вещественных функций. Важный вклад в выяснении роли этой структуры принадлежит Мак-Шейн у [2] и Кристиану [1].

Читатель, желающий подробнее ознакомиться с теорией интегрирования векторных функций или теорией векторных мер, или и с тем и другим, может обратиться к обзорной статье Гильдебрандта [1].

Исторические замечания о теореме представления Рисса. Еще в 1903—1904 г. Ада мар [1] и Фреше [1—3] получили теоремы представления для непрерывных линейных форм на банаховом пространстве С = С [0, 1]. Однако в обоих случаях имелись серьезные пробелы. В 1909 г. Рисе дал доказательство и формулировку теоремы, которые и теперь считаются «правильными» и которые отличаются от современных лишь использованием интегралов Римана — Стилтьеса вместо интегралов Лебега — Стилтьеса. Другие доказательства были затем предложены самим Рисе ом ([4—6]) в 1911, 1914 и 1952 г. соответственно иХелли[1]в 1912 г.

Следующим важным шагом было обобщение теоремы на пространства С (Г), где Т— компактное подмножество в Rn. Это обобщение было дано Радоном [1] в 1913 г. Эта его статья содержит, разумеется, и много других результатов,

Через 20 с лишним лет Банах в приложении II к монографии Сакса [1] (опубликованной в 1937 г.) обобщил теорему на случай компактного метрического пространства Г, используя идеи Даниеля об «абстрактном» интегрировании. Сакс [2] сам в 1938 г. занимался этим кругом задач.

Наконец, в 1941 г. Какутани [6] обобщил теорему на произвольные компактные хаусдорфовы пространства, завершив таким образом одну главу в истории рассматриваемого вопроса.

Однако еще в 1938 г. Марков [1] сделал первую попытку обобщить эту теорему на некомпактные пространства. Марков рассматривал вместо С(Г) пространство ограниченных непрерывных функций на пространстве Г, которое хотя и нормально, но не является, вообще говоря, ^-пространством. В своей работе Марков использовал конечно аддитивные меры. Аналогичными вопросами в период 1940—1943 г. занимался А. Д. Александров [1—3].

О более поздних работах, связанных с этой теоремой, мы уже говорили.

Полунормы Np\ неравенства Гёльдера и Минковского; пространства 2Р и Lp

Вернемся к теории интегрирования (скалярных функций), изложение которой мы временно прервали в конце § 4.8. Рассмотрим «непрерывный» аналог пространств 1р, введенных в § 4.2. Пусть р—некоторое положительное число или оо (т. е. + оо). Положим р' = 1, если р = оо, а во всех же остальных

случаях определим р равенством —+-^ = 1. Всюду в этом

параграфе Т— локально компактное пространство, а ц— фиксированная положительная мера Радона на Т.

Для всякой (вещественной или комплексной) функции / на Т и всякого р 4= оо положим

(4.11.1)(4.11.1)

(4.11.1)

(4.11.1)

при этом договоримся считать, что (+оо)°=+оо при а > 0. Если р = 1, то Np совпадает с определенной в § 4.6 полунормой AG. Обозначим через ^р^^р^Т, ц) множество всех функций /, для которых Np(f) < + оо. При /7=1 получаем пространство^*1 (§ 4.6). Тогда как М— полунорма на о^"1, функция Np при /7<1 уже не является, вообще говоря, полунормой насТ*р. Однако при р > 1 Np— полунорма. Это устанавливается с помощью неравенства Минковского, которое мы докажем ниже. Но прежде чем это сделать, покончим с определениями, рассмотрев случай р = оо.

При р = оо существуют по меньшей мере два возможных определения. Эти два определения различны, если (Г, ц) не о-конечно, и совпадают в противном случае. Согласно первому определению, Noo^f) есть существенная верхняя грань функции |/|, т. е. наименьшее число пг (возможно, + оо), для которого неравенство \f\^.m имеет место всюду, за исключением пре- небрежимого множества (априори зависящего от т). Во втором определении (в котором используется обозначение Noo) N^f) определяется как локально существенная верхняя грань функции |/|, т. е. как наименьшее из чисел пг (снова, возможно, равное + оо), для которых неравенство |/|^т имеет место всюду, за исключением локально пренебрежимого множества (снова априори зависящего от т). Очевидно, что всегда Noo^ САМ/)- Это неравенство будет строгим для соответствующих функций /, если в Т существует локально пренебре- жимое, но не пренебрежимое множество (это условие и необходимо). Поэтому если (Г, р) о-конечно, то оба определения совпадают.

Соответствующие функциональные пространства с^00 = ^^оо^, ^ и ^oo=g-oo^j, р,) удовлетворяют соотношению c^^cz^00, причем по крайней мере для о-конечных пространств (Г, ц) имеет место совпадение.

Замечание. Различие между 5*°° от ^"°°— это предвестник различия между пространствами ^! и 2ГХ (последнее мы еще не успели ввести) и, более общо, различия между пространствами (^р и (^р, 1 ^р < оо. По-видимому, надобность в таком различии, появляющаяся во всяком случае лишь тогда, когда (Г, ц) не о-конечно, наиболее ощутима при р = оо. Здесь мы не будем заниматься исследованием указанного различия для конечных р, отложив этот вопрос до рассмотрения произведения меры на функцию (§ 4.13).

Различие, о котором идет речь, по всей вероятности, впервые было замечено Бурбаки [8, гл. V]._

Что бы мы ни выбрали в случае р = оо, ясно, что N^ и Noo являются полунормами на ^°° н^'00 соответственно.

Если пространство Т дискретно и ц сопоставляет единичную массу каждой точке пространства Г, то ^^(Г, ц) совпадает с /р(7); при этом полунорма Np совпадает с нормой || • ||р, определенной в § 4.2. Более того, в этом случае Np не отличается от Np, а ^^— от 3"^. Такое положение в действительности имеет место всегда, когда мера ц атомарна (пример 4.4.1). Подробнее см. Эдвардс [16].

Из результатов § 4.2 и из только что сделанных замечаний вытекает, что при 0 < р < 1 Np, вообще говоря, не является полунормой на 3^. Сейчас мы займемся изучением случая р ^ 1 и покажем, что в этом случае Np— полунорма.

Неравенства Гёльдера и Минковского. Они записываются следующим образом:

мекад^ о<р<~),(н)

NxQgXfMPN^g) при N^fX+oo,(Hi)

Mf+g')<Np^ + NpU') ^р<<»),(М)

O + gXN^P + N^g).(MJ

Здесь f и g — произвольные функции на T. Нам уже известна справедливость неравенства (Н) для р=\ и р = оо (см. формулу (4.6.3)), неравенства (М) для р = 1, а также неравенства (Моо). Остается доказать неравенство (Н) для 1<р<оо, неравенство (М) для 1<р<оо, а также неравенство (Н^.

Доказательство неравенства (Н^. Если M(f)< + °o, то функция f обращается в нуль вне о-конечного

относительно ц множества Р. С другой стороны, неравенство |g* I ^ Noo(g) имеет место всюду, за исключением локально пре- небрежимого множества S cz Т. Но тогда неравенство |fg| ^ ^7Voo(g) • |f| не выполняется лишь на множестве РЯ5, которое пренебрежимо. Таким образом,

лм^)=нЧ1ш<^)-ншп)=йо^^

т. е. неравенство (/Д) справедливо. |

Доказательство неравенства (Н) для 1<р<оо. Хотя здесь можно воспользоваться неравенством Гёль- дера для конечных сумм, мы предпочитаем привести непосредственное доказательство. Оно основано на элементарном числовом неравенстве

-ftp

ху<= — + ^ СО0, у>0, (1 </2<оо),(4.11.2)

убедиться в справедливости которого предоставляется читателю.

Pie нарушая общности, можно считать, что ни один из множителей в правой части неравенства (Н) не равен нулю. Действительно, в противном случае соответствующая функция (f или g^ и, следовательно, произведение jg будут пренебрежимы. Можно далее считать, что каждый из множителей в правой части неравенства (Н) конечен. Напомним читателю наше соглашение о том, что с • (+ оо) = + оо при с>0 (§ 4.5).

Пусть теперь 0<Np (f) < 4-оо и 0<Np (g)< + oo. Запишем неравенство (4.11.2) для каждой точки t^T, положим

igWI

Х Np^ ’ У Np,^

и применим к этим функциям верхний интеграл ц*. Так как

1,11г = 1, то р р1,11г = 1, то р рp4lfel)NpWNp,^ ’p4lfel)NpWNp,^ ’

1,11

г = 1, то р р

1,11

г = 1, то р р

p4lfel)

NpWNp,^ ’

p4lfel)

NpWNp,^ ’

откуда и следует неравенство (Н). |

Доказательство неравенства (М) для 1<р<оо. Можно считать, что функции f и g положительны, оба слагаемых в правой части неравенства (М) конечны и Mp(f + g)>0 (так как в противном случае функции f и g пренебрежимы и неравенство (М) выполняется тривиальным образом) Из неравенства (х VyV С 2v(xP+yP), справедливого при х > 0 и у > 0, следует конечность числа NP(f+g).

Положим h = f+g. Тогда hp = hp~'f + hp~l g и ц (/гр)^ < [х (/гр~7) + Н (hP-'gY Применяя неравенство (Н) к каждому из слагаемых, получаем неравенство

и* W < [р- (Лр)]^ • [^P (f) + Np (gr)L

которое эквивалентно (ЛТ), так как 0 < р* (Ар) < + оо и

Следствие. Функции Np и N^ являются полунормами на ^р (1 ^р^сю) и ^'оо соответственно.

Пространства ЖР ^Т, р) и ^”(7, р). Аналогично тому, как мы определили пространство о?1 в § 4.6, можно определить пространство(Г, ц) (1 ^р<оо) как замы

кание в 2Р относительно полунормы Nр пространства ^(Г). В случае р = оо пространства 2ОО=2ОО^Т, g) и 200=200^Т, р,) определяются непосредственно как множества всех измеримых функций в ^°° и ^°° соответственно. Эти пространства отнюдь не совпадают с N^- и ^-замыканиями пространства ^ (Т).

Предоставляем читателю проверить, что теорема 4.6.7 и следствия 4.6.8 и 4.6.9 остаются справедливыми, если заменить 2х и Ai на 2Р и Np (1^/?<оо). Аналогичным образом обобщается теорема 4.8.1 для всех р, удовлетворяющих неравенству 1^/7^ оо (при р = оо имеют место два аналога, причем оба справедливы). Таким образом, если о^ обозначает множество всех измеримых функций, то 2Р = 3^ ^\оЛ1 и J?°° = = ^°° f| oAL Отсюда вытекает следующее утверждение: комплексная функция принадлежит 2Р (или 2°°^ тогда и только тогда, когда этим свойством обладают ее вещественная и мнимая части. (В этой связи читатель может .заметить, что если f = и + zv, где и и v — вещественные функции, то

шах(| и\р, | и |р)<|/Т<2Р( | и Г +1 v|p).)

Следствие. Если f^^p и geS^' (1 ^р^оо\ ТО fg е 2х. причем

\\^\<MUf^Np^NAg\

В случае р=\ можно заменить в предыдущей фразер00 на ^ и N^ig) на Noo(g).

Доказательство. Если функции f и g измеримы, то и произведение fg обладает тем же свойством. Остается только воспользоваться неравенством (Н) или (Н^. |

Интегрирование относительно комплексной меры Радона. Если X— комплексная мера Радона на Г и

X = Х| — Х2 Н- i^3^^4

— ее минимальное разложение (см. теорему 4.3.2), то измеримость, интегрируемость, пренебрежимость и локальная прене- брежимость относительно X по определению эквивалентны тем же свойствам относительно мер Хи (^=1, 2, 3, 4). В частности, J?1 (X) = Q J?1 (Х^). Для всякой функции / е J?1 (X) полагаем

J f dX = J f dXx - J f dX2 + i J f dX3 - i J f dX4.

Пространства ^^(X) определяются аналогично. Если положить | X | = Xi + Х2 + Хз + Х4, toJ??(X) =-2^( |Х|),-причем Х-измеримость совпадаете |Х|-измеримостью. Из неравенства (4.6.3) легко следует, что для всякой функции fe^^X) имеет место неравенство

|/M|<Jlf|dW, откуда

при fe^’p(X') и g^J?p (Л). Функция

1/^[/|/Г<Ш|]р

является полунормой на пространстве ^^ (X), и оно полно относительно структуры, определенной этой полунормой.

Как мы увидим в п. 4.15.6 и 4.15.13, некоторые формальные преимущества имеет другое определение меры |Х|. Оно заключается в том, что мера |Х| полагается равной (а2+р2)1/2, где а и р— вещественные меры Радона, для которых Х = а + /р. Получающаяся при этом полунорма эквивалентна предыдущей, а неравенства (//), (//1) и (УИ) остаются справедливы и при этом новом понимании меры |Х|.

Пространство J^p' как подмножество сопряженного к^р . Пространства Lp. Пусть 1 ^ р ^ оо и q^p'- Пусть g е $^ (или gE^00 при р=1). На основании следствия 4.11.8 функция £_порождает непрерывную линейную форму Lg на 2^ (или на при р = оо^ определяемую равенством

Более того, норма формы Lg, т. е. число

Пг|| = 5ир{|Лг(Л1: ЗД)^1}

(или sup {| Lg U) |: f е J?00, N= (f) ^ 1}, при_р = 1), удовлетворяет неравенству || Lg || < Nq (g) (или || Lg || < N^ (g) при р = 1). Действительно, если р = оо, то при вычислении il LR || безразлично, рассматривается ли Lg как линейная форма на J?” или на»!?”, так как соответствующие нормы совпадают. В самом деле, с помощью несложных рассуждений легко установить, что

_Д Nq^ при Кр<оо,v N^ при р=1,

причем в общем случае нельзя заменить N^(g) на N^g). С другой стороны, каждой функции g ^^°° соответствует по меньшей мере одна такая_функция g' ^S*00, что g' = g локально почти всюду и N^g') =Noo(g). Для всякой такой функции g' имеем Lg(f)=Lg^ (f) для каждой функции j^^L Это означает, что в случае р—\ мы получаем одно и то же множество линейных форм на J?1, берем ли мы Lg с g или Lg с g^S"00. Уже один тот факт, что норма || Lg || равна NcoVgV Л не N^g), служит_доказательством важности пространства»^30 и его полунормы N^.

Во всяком случае, мы получили естественное линейное отображение g^—>Lg пространства S^ (илие^°° при р=1) в пространство, сопряженное к ^р (или к S^ при р = оо). Это отображение, вообще говоря, не является взаимно однозначным. Его ядром служит множество всех тех функций g^S?^ (или из <3?00 при р=1), для которых Nq^g^0 (или Д^Д^—О при р=\). Это наводит на мысль рассмотреть ассоциированное фак- торпространство, для того чтобы получить взаимно однозначное отображение.

Это факторпространство, нужное для достижения взаимной однозначности, — не что иное, как отделимое факторпространство, ассоциированное с локально выпуклым пространством »2^ (или =2^°°)^ наделенным топологией, определяемой полунормой Nq (или Noo). Это пространство обозначается обычно через L^ (или L°°), а соответствующая норма — через И-НДили II • Поо). Все эти факторпространства являются банаховыми пространствами. Читателю следует помнить, что элементы пространства Тд (или L°°) —это, вообще говоря, не функции, а классы функций, совпадающих почти всюду (или локально почти всюду). Если g есть элемент пространства «2^ (или S’00), то через g

будет обозначаться соответствующий ему класс, являющийся элементом в L^ (или в £°°).Эти определения и обозначения применимы ко всякому q, удовлетворяющему неравенствам 1 q оо.

Возвращаясь к случаю, когда q = p\ мы видим, что форма Lg зависит только от определенного функцией g класса из L^ (или из L°° при р=1), что дает линейное отображение gv->Lg = = L^. Это отображение взаимно однозначно по построению.

Следует заметить, что если g^L^ (или L°° при р=И), то Lg (f) = ^(fg) зависит только от класса / из L^ (или из Е°° при р — оо^, определяемого функцией f. Таким образом, можно также отобразить L^ (или Е°° при /2 = 1) линейно и изометрично в пространство, сопряженное к L^ (или к Lx при р=\у

Весьма важно исследовать, при каких условиях указанное выше отображение «^-пространства (или L-пространства) в пространство, сопряженное к пространству того же типа' с сопряженным показателем, является отображением на. Если формулировать эту задачу в терминах ^-пространств, то ничего существенного потеряно не будет, так как соответствующие результаты в терминах Л-пространств будут получаться очевидным образом.

Оказывается, что при 1 ^р<оо рассматриваемое отображение есть отображение на. Напротив, при р = оо мы получаем отображение на только в том тривиальном случае, когда пространство Т дискретно и конечно. Второе утверждение доказывается намного легче и большого значения не имеет. Первое же утверждение фундаментально. Если Т — ограниченный интервал вещественной оси, а ц— мера Лебега, то это утверждение превращается в результат, хорошо известный с первых дней возникновения функционального анализа. С тех пор этот результат неоднократно обобщался. Первоначальное доказательство (см., например, Банах [1, стр. 54]) для случая, когда Т — интервал, основывалось на свойствах абсолютно непрерывных функций. Обобщения, вообще говоря, базируются на изучении свойств абсолютной непрерывности счетно аддитивных функций множества. Отказ от о-конечности пространства (Г, ц) приводит к некоторым усложнениям.

Наше доказательство мы разобьем на несколько шагов. Вначале рассмотрим частный случай р = 2. Так как J?2— полное пространство со скалярным произведением (§ 1.12), то искомый результат в этом случае получается легко (§ 4.12). Следующим шагом будет дальнейшее развитие теории интегрирования: исследование понятия абсолютной непрерывности и центральная теорема в этой области — теорема Лебега — Радона — Никодима (§ 4.13—4.15). Наконец, в § 4.16 мы покажем, как из этой

теоремы следует нужный нам результат. Попутно читатель увидит, что результаты §4.12 и теорема Лебега — Радона — Никодима играют важную роль и в других вопросах.

Пространство $2 и его сопряженное

Теперь мы в состоянии полностью понять утверждение о том, что 2^ является полным (вообще говоря, неотделимым) пространством со скалярным произведением и что, следовательно, ассоциированное с ним пространство V является гильбертовым пространством. (Эти пространства не обязаны быть сепарабельными.)

То же самое верно и для пространств 22(Л, ц) и L2^A, ц), где А — некоторое ^-измеримое множество в Т. Мы уже рассмотрели случай, когда А совпадает с Т. В общем случае 22^А, ц) состоит из тех ц-измеримых функций Д которые определены на А и ДЛЯ которых $*д\К0 1^(0 < + °°- Эти функции могут быть как вещественными, так и комплексными. В зависимости от этого 22 (Л, ц) называют вещественным или комплексным пространством. Определяя скалярное произведение формулой

(Л 5)= J

д

равенствомравенствомN2,N2,д(/)=[/|Л2^д(/)=[/|Л2^где черта сверху означает переход к комплексно сопряженному, мы сразу охватываем оба случая. Интегрируемость произведения fg на множестве А непосредственно вытекает из следствия 4.11.8 при р = р' = 2. Соответствующая полунорма определяется

равенством

равенством

N2,

N2,

д(/)=[/|Л2^

д(/)=[/|Л2^

В силу замечания, предшествующего следствию 4.11.8, пространство 22(А, ц) полно относительно этой полунормы. Элементами ассоциированного отделимого факторпространства А2(Л, ц) служат классы эквивалентных функций. Две функции из 22(А, ^) принадлежат одному и тому же классу тогда и только тогда, когда они почти всюду равны на множестве А.

Опираясь на полученные сведения, читатель может рассмотреть результаты § 1.12 с изложенной выше точки зрения. Основной результат сведется к следующей теореме.

Теорема. Если L — непрерывная линейная форма на пространстве 22(А, ц), то существует такая функция ge ^22(А, ц), что

Un=Sfgdt Уе^<А,^У,

А

обратно, всякая функция g^^^^A, р) порождает непрерывную линейную форму L на ^^[А, р), определенную указанной формулой. Кроме того, для всякой такой функции g имеет место равенство

Н 11 = ^2,ДН 11 = ^2,Д(g) = /1 g IW 2 •(g) = /1 g IW 2 •1

Н 11 = ^2,Д

Н 11 = ^2,Д

(g) = /1 g IW 2 •

(g) = /1 g IW 2 •

Умножение меры на функцию

Всюду в этом параграфе р— положительная мера Радона на Т.

Пусть g— функция, определенная на Т. Для того чтобы при каждой функции к^Ж^-^Т) произведение gk было р-интегрируемым, очевидно, необходимо и достаточно, чтобы функция g была р-интегрируемой на, каждом компактном множестве в Т. Функцию g, удовлетворяющую этому условию, будем называть локально ^-интегрируемой. Для такой функции g произведение gk р-интегрируемо для любой функции к^с^^Ту Если положить'

X (х) = р (gx)(х е ^ (Г)),(4.13.1)

то получится новая мера Радона X. Эта мера обозначается через g-p. Очевидно, мера g-p вещественна (соотв. положительна) тогда и только тогда, когда функция g вещественна (соотв. положительна) локально почти всюду относительно р. Следовательно, каждое разложение вида g = gi— g^A-ig^— ig^ где gu — локально почти всюду положительные функции, влечет разложение X = Xi — Хг + ^з — ^4, в котором меры Хк положительны. Хотя мы этого и не будем доказывать, заметим, что, взяв gi = = (Reg)+, g2=(Reg)“, g3=(Img)+, g4 = Img)-, мы получим минимальное разложение меры X. Во всяком случае ясно, что полученные таким образом меры Хк мажорируют соответствующие положительные меры в минимальном разложении.

Наша задача — охарактеризовать те меры X на Т, которые имеют вид g-p. Полностью эта задача решается теоремой Лебега — Радона — Никодима.

Начнем с перечисления некоторых свойств, которыми обладают меры вида g-p. Теорема Лебега — Радона — Никодима устанавливает, что, для того чтобы заданная мера имела указанный вид, достаточно, чтобы она обладала некоторым на первый взгляд значительно более слабым свойством.

Предложение. Пусть X = g-p, где g— локально интегрируемая функция.

Если g>0 локально pi-почти всюду, то для каждой положительной полунепрерывной снизу функции ф справедливо

неравенство Х*(ф) <^ ц*'^) i если функция ф [i-о-конечна ^, то имеет место равенство.

Каждое относительно компактное ук-непренебрежимое множество Х-пренебрежимо. В частности, каждое ^-локально пренебрежимое множество Х-локально пренебрежимо. Если пространство Т о-компактно, то каждое ук-пренебрежимов множество Х-пренебрежимо.

Если функция f ограничена, ^-измерима и обращается в нуль вне некоторого компактного множества, то она Х-инте- грируема и X(f) =[i(gf). В частности, если Р— множество, где g=^0, то множество Т \ Р локально Х-пренебрежимо.

Если произведение gf ^-интегрируемо, то существует такая Х-интегрируемая функция f*, что f = f* локально Х-почти всюду и Х<^=\л^У

Если функция f локально Х-почти всюду равна Х-инте- грируемой функции, то существует такая Х-интегрируемая функция f*, что f* = f локально Х-почти всюду, произведение gf* ^-интегрируемо и равно локально \к-почти всюду функции gf и

МГН№.

Доказательство. В силу предыдущих замечаний можно всюду считать, что §*>() и что, следовательно, мера X положительна.

Обозначим через Рф множество всех функций хе^+(Г), для которых х^ф. Так как мера X положительна и функция gx ц-интегрируема при любом х е Р^, то

X* (ф) = sup Z (х) = sup ц (gx) < ц* (^ф),

где х пробегает множество Р^. Не ограничивая общности, можно ограничиться доказательством равенства ^*(ф)=ц*(£ф) для случая, когда р*(ф)<4-оо. Действительно, всегда можно считать, что ф = Ишфп, где последовательность (фп) возрастает и каждая функция фп ц-интегрируем,а. Тогда нужный нам результат вытекает из монотонной сходимости. Итак, допуская, что функция ф ц-интегрируема, можно так выбрать функции хп е ^З^^ТУ что х^ф, функция ф мажорирует хп и ц(хп) f ц*(ф). Отбрасывая в случае необходимости некоторые члены последовательности, можно считать (теорема 4.6.7), что хп^ф ц-почти всюду. Таким образом, gxu\g^ ц-почти всюду; тогда в силу монотонной сходимости

Г(ф) >Х(хп) = |л(§хп)|ц*(^ф),

чти и требовалось доказать.

’) Функция ф называется \л-в-конечной, если она обращается в нуль на дополнении к ц-о-конечному множеству (п. 4.7.3).

Пусть N — относительно компактное ц-пренебрежимое множество. Тогда можно найти такую убывающую последовательность ^-интегрируемых, полунепрерывных снизу функций (фи), что функции фп мажорируют функцию xn и р*(фпП0- Отбрасывая в случае надобности некоторые члены последовательности, можно считать, что фп|0 ц-почти всюду. Можно также предположить, что каждая функция фп обращается в нуль вне некоторой фиксированной компактной окрестности множества N. Тогда функция gcpi интегрируема и (например, в силу теоремы 4,8.2) ^(ё’фп) jO.- Пользуясь уже доказанным утверждением (1), получаем, что Х*(фп) ^ м* (й’Фп) jO. Так как X*(^)'< ^Х*(фп), то множество N X-пренебрежимо. Остальная часть утверждения (2) непосредственно следует из уже доказанной его части.

Пусть функция f обращается в нуль вне компактного множества К. Тогда функции f и gf ц-интегрируемы (последнее следует из локальной интегрируемости функции g и теоремы 4.8.1). В ^(Т) можно выбрать такую последовательность (хп), чтобы xn-+f ц-почти всюду. Можно также считать, что функции хп равномерно ограничены и обращаются в нуль вне фиксированной компактной окрестности множества К. Поэтому можно принять, что gxn-+gf в^Дц). В то же время (хп) является последовательностью Коши в^ДХ), так что (отбросив, если нужно, некоторые се члены) можно предположить, что хп-^Г ^-почти всюду. Тогда из утверждения (2) следует, что fz=/ Х-почти всюду. Таким образом, функция f Х-интегрируема и

Mf) = Л (П = Hm X (х„) = Нт ц ^хп^ = ц ^\

что и требовалось доказать. Оставшаяся часть утверждения (3) является следствием уже доказанной части.

Пусть Р— множество тех точек, где g=£0. Из утверждения (3) вытекает, что множество Т \ Р локально Х-пренебре- жимо. Так как функция fg ц-интегрируема, то множество S, на котором fg^O, является ц-о-конечным. Далее S а Р и f = 0 на P\S. Пусть функция f' равна f на S и равна нулю вне S. Это равносильно тому, что f' = f на Р и fz = 0 вне Р. Тогда fz = f локально Х-почти всюду, и gfz = gf. Так как функция f ц-измерима на Р, то функция f' также ц-измерима. Она равна нулю вне ц-о-конечного множества S, поэтому ^ = Нш^ ц-почти всюду, где каждая функция /Д является линейной комбинацией характеристических функций относительно компактных ц-измсримых множеств, на которых Ifnl^lf'l- Тогда \gfn\^\gf,\^-\gf\ и gfn^gf ц-почти всюду. Из теоремы 4.8.2 следует, что gfn-^gf В^ДХ). С другой стороны, из утверждения (3) вытекает, что

каждая из функций fn Х-интегрируема и X(|fm— fn|)~ = Ц(,?1/т fn I) •_

Поэтому (f„) является последовательностью Коши в^'(Х). Следовательно, в ^‘(Х) существует такая функция f*, что fn^-f* в «^'(Х). Отбрасывая в случае надобности некоторые члены, можно добиться того, чтобы fn-+f* Х-почти всюду. Так как fn-^f' ц-почти всюду, то из утверждения (2) вытекает, что f'=f* локально Х-почти всюду и, следовательно, f=f* локально Х-почти всюду. Наконец, так как gf' = gf, то из сходимости в ^’(Х) и gfn^-gf b-^Vp) следует, что

X (П = Hm A (f„) = lim р (gf^ = ц (gb,

что и требовалось доказать.

Ясно, что без ограничения общности, можно считать f>0. Так как множество Т \ Р локально X-пренебрежимо, то среди ^-интегрируемых функций, локально Х-почти всюду равных f, найдется по крайней мере одна, скажем Г, которая обращается в нуль вне Р. Из соотношения f^f' локально Х-почти всюду следует в силу утверждения (3), что f = f' локально p-почти всюду на Р, поэтому gf = gfz локально p-почти всюду. Мы можем выбрать возрастающую последовательность функции (fn), Х-почти всюду сходящуюся к f7, где каждая функция fn ограничена, Х-измерима и равна нулю вне некоторого относительно компактного подмножества множества Р. В силу утверждений (2) из Х-измеримости функций fn вытекает их p-измеримость (сначала на Р, потом на Т). В силу (3) получаем тогда, что X(fn)=p(gfn) при каждом п. Так как последовательность (fn) сходится монотонно, то X(f7) =Hm X(fn) =ИП1 p(gfn). Итак, мы показали, что вне некоторого Х-пренебрежимого множества N выполняется равенство lim fn = f', поэтому lim gfn = gf' вне множества PC\N. На множестве Р имеем g>0; следовательно, из (3) вытекает, что множество PDN локально ^-пренебрежимо. Таким образом, равенство lim gfn = gf' = gf имеет место локально p-почти всюду.

Все члены возрастающей последовательности gfn суть р-ин- тегрируемые функции, числа u(gfn) = X(fn) мажорируются числом X(f7)< + oo; поэтому монотонная сходимость последовательности (gfn) влечет р-интегрируемость функции lim gfn. Более того,

р (lim gf^ = lim р IgL) = X (f7);

поэтому h = \imgfn есть р-интегрируемая функция, равная нулю вне некоторого о-компактного множества. Определим функцию f*, положив ее равной g-xh на Р и нулю вне Р. Тогда gf* = h всюду и gf* = gf' = gf локально p-почти всюду. Отсюда следует,

что f^f^f локально Х-почти всюду. Так как функция f* обращается в нуль вне некоторого о-компактного множества, а функция f' X-интегрируема, то f* = f' Х-почти всюду. Следовательно, функция f* X-интегрируема и

мп=цп=^§п,

поскольку функция gf* = h ц-интегрируема и локально ц-почти всюду равна gf. Все доказано. |

Замечания. Если пространство (7, ц) не о-ко- нечно, то равенство в 4.13.2(1), вообще говоря, не имеет места. Таким образом, если функция g локально ц-пренебрежима, но не ц-пренебрежима, то р*(£)>0 и> кроме того, л*(1) =sup k(k) (где к пробегает функции из J^+(7), удовлетворяющие условию й<1), a supX(^) = sup p(g^) = sup0 = 0<p*(g). Хотя утверждения (4) и (5) раздражающе громоздки, эти недостатки, вообще говоря, неизбежны. Тем не менее эти утверждения наводят на мысль о введении модифицированного понятия интеграла, позволяющего упростить их формулировку. Уже сейчас ясно (а ниже это будет подтверждено), что вместо интегрируемости относительно ц (или относительно X) нужна «существенная» интегрируемость (сводящаяся к равенству локально почти всюду с некоторой интегрируемой функцией). Следующий параграф посвящен развитию этой мысли. При этом схема изложения будет параллельна схеме, использованной при изложении обычной теории интегрирования. Это позволит более удобно переформулировать предложение 4.13.2.

Существенно интегрируемые функции

Модификации, которые мы намереваемся ввести, имеют смысл для всякой положительной меры Радона ц на 7. При этом мы почти дословно повторим рассуждения, использованные в § 4.6 и 4.11.

Начнем с определения существенного верхнего интеграла р* (f) для любой функции f>0. Полагаем

p*(/) = sup{p*(/%/f):К компактно}. (4.14.1)

Ясно, что 0^ й*(/) ^ h*(D ^+оо. Множество N локально пренебрежимо тогда и только тогда, когда h*(xn)=O. Очевидны также следующие свойства: если функции fug положительны и f^g локально почти всюду, то ^(П ^^*(5); если f>0 и а — положительное вещественное число, то ц*(а/) = а- p*(f); для любых двух положительных функций f и g имеет место неравенство p(f + g) <Й*(О+Й*(£)-

Предложение. Пусть f^O. Равенство

^ЧП = \хЧП(4.14.2)

выполняется, если либо (а) функция f полунепрерывна снизу, либо (Ь) функция f равна нулю вне некоторого ^-а-конечного множества.

Доказательство, (а) Пусть функция f полунепрерывна снизу. По определению

Р* (Л = sup {р W: к е ^+ (Г), к < /}.

Если к обращается в нуль вне компактного множества К, то к^Нк, следовательно, р(й) ^ р* (fxx) ^ P*(f)- Отсюда вытекают неравенство р* (f) р* (f) и справедливость формулы (4.14.2).

(Ь) По условию существует такая возрастающая последовательность компактных множеств (Кп), что f = limfxKn р-почти всюду, поэтому p*(f)=lim р* (f%Kn), откуда непосредственно следует, что ii*(f) ^i^*(f). Формула (4.14.2) снова верна. | _

Для всякой комплексной функции f на Т определим N\ (f) равенством Wi (f) =р*( |f |). Тогда N\ (f) ^ NY (f) ^+oo, причем функция Nx субаддитивна и Ni^af) = la|7Vi(f) для любого комплексного числа а. *

Обозначим через 9~Х—^Х(Т, р) множество тех комплексных функций f на Т, для которых N\ (f) < + оо. Множество 9FX является векторным подпространством пространства Ст, содержащим £ГХ = £ГХ(Т, р), причем N; является полунормой на Соответствующая топология, вообще говоря, не отделима, так как 2Vi(f) =0 тогда и только тогда, когда f = 0 локально почти всюду.

Предложение. Комплексная функция f на Т принадлежит ^х тогда и только тогда, когда существует функция ff^^x, локально почти всюду равная f; при этом N\ (f) = NT (fz).

Доказательство. Если существует функция fz с указанными свойствами, то (предложение 4.14.1(b))

+ oo>M1(fz) = M1(fz) = M1(f)

(последнее равенство вытекает из_того, что f = fz локально почти всюду). Это показывает, что f^^x.

Пусть fe^1. Тогда существует такая возрастающая_после- довательность компактных подмножеств (7<п) в Т, что N\^ = = lim p*(|f 1хкл). Обозначим через А объединение множеств Кп. Из монотонной сходимости |/\хкп~^\$ 1ха следует, что

н‘алхд)=лш

поэтому функция r = fxA принадлежит ^Т Остается только доказать, что f' = f локально почти всюду. В противном случае найдется такое компактное множество ^czГ\Л, что а = = М* (If 1хк) >0. Множество Ln = KV)Kn компактно, и

Так как множества К и Кп компактны и не пересекаются, то, как легко показать, правая часть последнего равенства равна

^•(1 Лхк)+ н‘(1 Л xKJ-

(Подробное доказательство последнего утверждения приводится в лемме 4.14.3.) Значит, справедливо соотношение

откуда вытекает неравенство

H*(lflxLn)>^(f)

для достаточно больших п, что невозможно. |

Лемма. Пусть f >0 и К — объединение неперсекаю- щихся компактных множеств К\ и К2; тогда

Доказательство. Так как функция ц* субаддитивна, то достаточно доказать, что правая часть этого равенства не превосходит левую.

Допустим, что Ц*(fx^)< + oo• Для любого заданного е>0 можно выбрать такую полунепрерывную функцию ср, мажорирующую f%K, что Ц* (ф) ^ Ц* (f%/Д + е. Обозначим через Ux и U2 непересекающиеся окрестности множеств К\ и К2 соответственно и положим ф^фх^, Ф2 = ФХ[/2- Обе эти функции полунепрерывны/ снизу, мажорируют fxK и fx^ соответственно, и Ф1 + Ф2 ^ Ф- Поэтому

н кМ + Ц* кМ < Ц* (ф,) + Ц* (ф2) =

= Н* (ф! + Фг) < И* (ф) < Н кНА + 6-

Полагая 8-^0, получаем требуемое неравенство.

Теперь вводим пространство 2?Х=2?Х^Т1 ц) как замыкание в Тх подпространства Же (Т) относительно топологии, опре» деленной полунормой Мр Для xEs/fet^) имеем

IhWKh(I-vI)=K(|.v|) = ^iW = ^i kx^

откуда следует, что линейная форма ц обладает единственным непрерывным продолжением на 2?\ которое обозначим через ц- Тогда__

\^^\^NX^Y(4.14.3)

и 3х = 2>XVT, ц) cl^. Далее, поскольку на пространстве ^(Т) выполняется равенство р = р и обе линейные формы могут быть однозначно продолжены на J?1 по непрерывности относительно полунормы Мь то

H(fW(f) (f^1)-(4.14.4)

Заметим также, что

VxmfxK = f в оГ1 (f^^(4.14.5)

к

и, значит, то же самое справедливо для функции f^=2\ поэтому

Й(П = Й+Ш (f^^Y(4.14.6)

В формуле (4.14.5) предел берется по направленному по включению множеству компактных подмножеств К в Т.

Если множество S ^-измеримо, то p(S) (определенное в п.' 4.7.5) равно p*(xs)» поэтому множество S измеримо и p,(S)< < + оо тогда и только тогда, когда характеристическая функция Xs принадлежит^1 (ц); в этом случае p(S)=jl (xs).

Сформулируем теперь аналог теоремы 4.8.1.

Предложение. Комплексная функция f на Т принадлежит ЗД тогда и только тогда, когда она ^-измерима и Nx(H< + оо._

Доказательство. Если A7i(f)<4-oo, то (предложение 4.14.2) существует _функция К, для которой f'= f локально почти всюду и A^i (fz) =7Vi (f) <4-оо. Так как функция f измерима, то измерима и функция f'. Следовательно (теорема 4.8.1), f7 е ^Зх. Но тогда К^$х и функция f, локально почти всюду равная f7, обладает тем же свойством.

Обратно, если функция f^^1, то 7Vi(f)<4-oo по определению. Кроме того, для любого напеоед заданного е>0 существует такая функция k^^ckTV что N\^— &) <^ е. Снова воспользуемся предложением 4.14.2. Пусть функция f' такая же, как и в первой части доказательства. Тогда К\(К— k)=N\(f— к^^г. Отсюда следует, что f7 е =2Д и, таким образом, функция f, будучи локально почти всюду равной функции f7, измерима. |

Следствие. Для того чтобы комплексная функция f на Т принадлежала пространству ^хш необходимо и достаточно^

чтобы существовала функция f'^^^ локально почти всюду равная функции f.

Доказательство. Достаточность очевидна. Обратно, если feJ?i, то f измерима (предложение 4.14.4) и (предложение 4.14.2) существует функция f7^^1, локально почти всюду равная функции f. Тогда f' измерима и, следовательно (теорема 4.8.1),|

Функции из^ДГ, ц) называются существенно интегрируемыми относительно ц, а ц — существенным интегралом. Из последнего результата следует, что эти функции характеризуются в точности так, как нам хотелось (см. замечание 4.13.3). Ясно также, каким образом ввести пространства ^Д7, ц) при 1<р<оо. Предоставляем читателю самостоятельно убедиться в том, что для видоизмененных таким образом понятий справедливы аналоги леммы Фату, теоремы 4.8.2 и результатов § 4.11. Наконец, все изложенное в п. 4.6.11 останется справедливым, если «интегрируемость» заменить на «существенная интегрируемость» и «почти всюду» — на «локально почти всюду».

Вернемся теперь к вопросам, поднятым в § 4.13, и, в частности, к более удобной формулировке предложения 4.13.2 в терминах существенной интегрируемости.

Предложение. Пусть ц— положительная мера Радона на Т, g— положительная локально ^-интегрируемая функция, Р— множество тех точек, где §’=#0, и X = g-\x. Тогда

Каждое локально \х-пренебрежимое множество локально К-пренебрежимо.

(Г) Множество S а Т локально ^-пренебрежимо тогда и только тогда, когда множество Рб\8 локально ^-пренебрежимо.

Комплексная функция f на Т принадлежит 2"х (X) тогда и только тогда, когда gf е ^ (р); при этом

МП = Ш§П-(4.14.7)

для всякой положительной функции f на Т имеет место равенство

(4.14.8)

Комплексная функция f на Т локально интегрируема относительно X=gr*p тогда и только тогда, когда fg локально интегрируема относительно р; при этом f*k = f- (g • р) = (fg) • р.

Доказательство. Ясно, что (3) влечет (Г); из (lz) в свою очередь вытекает (1). Докажем сначала утверждение (2), а затем покажем, что из него следует (3), Наше доказательство утверждения (2) существенно опирается на утверждения

и (5) и (последнюю часть) (3) (т. с. на тот факт, что Х*(Т\Р)=0) предложения 4J 3.2.

Предположим, что gf^^kv-Y В силу следствия 4.14.5 в ^(р) найдется функция й, равная gf локально p-почти всюду. Определим функцию /', полагая се равной g-xh на Р и нулю во всех остальных точках. Тогда f^f локально p-почти всюду на Р, и так как Х*(Т\Р)=0, то f = f локально Х-почти всюду. Кроме того, функция gf' = h принадлежит»?1 (р), поэтому (предложение 4.13.2(4)) существует в ^х (X) функция /*, равная fr локально Х-почти всюду, для которой X(f*) = ^(gf').

Так как функция h = gf' локально p-почти всюду_равна функции gf и f* = f локально Х-почти всюду, то f^J?x(,XY откуда следует равенство (4.14.7). * Обратное утверждение получается аналогичным образом из 4.13.2(5).

Вывод (3) из (2) основывается на двух простых замечаниях, относящихся к произвольной положительной мере Радона р и к произвольной положительной функции f. Первое из них состоит в том, что

p*(D = inf{И(й): he^S^Y h>b

(подразумевается, что inf0=4-oo и inf{ + oo}=+oo); при этом соотношение й > f можно заменить соотношением й > f р-почти всюду. Второе замечание, которое непосредственно вытекает из первого и из предложения 4.14.2, заключается в том, что

p*(f) = inf (р(й): h^^^Y h^f локально p-почти всюду}

с учетом тех же соглашений, что и выше. После этих наблюдений остается только заметить, что если и — некоторая положительная функция, а и — функция, равная g-xy на Р и нулю вне Р, то неравенство u^f имеет место локально Х-почти всюду тогда и только тогда, когда и > gf локально p-почти всюду. В силу (2) функция и принадлежит»?1 (X) тогда и только тогда, когда ие^^р). В этом случае Х(и) = р(ц). Следовательно,

Г (f) = inf X (и) = inf p (v) = р* Uf),

что и означает справедливость утверждения (3).

Остается доказать (4). Функция f локально интегрируема относительно меры Х = ^*р тогда и только тогда, когда для каждой функции х^^(Т) произведение fx интегрируемо относительно g-p. Так как х имеет компактный носитель и тем же свойством обладает fx, то интегрируемость fx относительно меры g • р эквивалентна существенной интегрируемости fx относительно меры g-p. В силу (2) последнее имеет место тогда и только тогда, когда функция gfx существенно интегрируема от*

носительно ц. Это возможно (gfx имеет компактный носитель!) тогда и только тогда, когда gfx интегрируема относительно р. Наконец, последнее означает не что иное, как то, что функция gf локально интегрируема относительно ц. Далее по определению для всякой функции х^Ж^Т) имеем

f -K(x) = MJx) = p(gfx).

В силу равенства (4.14.7) и того факта, что функции fx и gfx имеют компактный носитель, последний член равенства равен (gf) • nW- Таким образом, f • X=f • (g • ц) = (fg) • ц, что и требовалось доказать. |

Теорема Лебега — Радона — Никодима, которую мы докажем в § 4.15, утверждает, что достаточно выполнения одного лишь условия (1), для того чтобы положительная мера л имела вид g • ц для некоторой локально интегрируемой относительно ц функции S'^ 0. Таким образом, утверждение (1) влечет все остальные утверждения предложений 4.14.6 и 4.13.2. Предложение 4.14.6 имеет ряд следствий, которые нам понадобятся в дальнейшем.

Сужение меры. Пусть ц — положительная мера на Т и М— некоторое подмножество в Т. Функция g = %M локально интегрируема относительно ц тогда и только тогда, когда множество М ц-измеримо. В этом случае к мере

= (4.14.9)

можно применить предложение 4.14.6. Мера цм называется сужением меры р на множество М. В силу того же предложения для каждого множества S cz Г имеет место равенство

^(S) = p*№nS). (4.14.10)

Если множество S открыто, то (4.14.1(a)) вместо ц^(5) можно писать p^(S), откуда следует, что носитель меры цм есть такое наименьшее замкнутое множество S, что пересечение Ж1(7\5) локально ц-пренебрежимо. В частности, если множество М замкнуто, то носитель меры цм содержится в М. Кроме того, множество S тогда и только тогда цм-измеримо, когда ц-измеримо множество Ж15. Функция f тогда и только тогда цм-измерима, когда она ц-измерима на М. .

Основной результат следующего п. 4.14.9 заключается в том, что, пренебрегая локально пренебрежимыми множествами, пространство Т всегда можно разложить в локально счетное (см. ниже) объединение непересекающихся компактных множеств. Если пространство (Г, ц) о-конечно, то это доказывается довольно легко. Однако нам понадобится не только этот случай.

Система подмножеств в Т называется локально счетной, если каждое компактное множество в Т пересекает не более чем счетное множество элементов этой системы.

Предложение. Пусть р— положительная мера Радона на Т. Существует локально счетная система X компактных подмножеств в Т, обладающая следующими свойствами*.

любые два различных множества, принадлежащие X. не пересекаются*,

для каждого множества ХеХ и каждого открытого множества U, пересекающего X, имеет- место неравенство р(ХП1/)>0;

множество ?\U№ X &#} локально ^-пренебрежимо.

Доказательство. Рассмотрим всевозможные системы компактных подмножеств в Т, обладающие свойствами (1) и (2). Такие системы существуют (например, система, состоящая из одного компактного подмножества — носителя меры р). Эти системы можно частично упорядочить по включению, причем очевидно, что полученная таким образом упорядоченность будет индуктивной. Возьмем какую-нибудь максимальную систему указанного вида и обозначим ее через X. Покажем, что X — локальная счетная система, удовлетворяющая условию (3).

Пусть U — открытое относительно компактное множество. Тогда для любого конечного числа множеств Xt из X справедливы неравенства 2h(Xz П ^)^М-(^)< + °°, т. е. X р(ХП^)^ iX е ЗЕ

^р(U) <4-оо. Но тогда р(ХП^)>0 самое большее для счетного числа множеств X, откуда в силу (2) следует, что система X локально счетна.'

Наконец, если множество Af = T\ U {X: X е X} не локально р-пренебрежимо, то найдется компактное множество K^N, для которого p(^)>0. Сужение рк = %к*р меры р будет отлично от нуля, и его носитель S будет непустым компактным множеством, содержащимся в К. Тогда для всякого открытого множества U, пересекающего S, будем иметь

рН^) = РИ5П1/)>0

и, следовательно,

H(snt/)>^(sn^)>o.

Таким образом, система Х' = Х U{S} будет обладать свойствами (1) и (2), откуда из максимальности системы X должно следовать, что Sg X. Полученное противоречие доказывает наше утверждение. |

Теорема Лебега—Радона—Никодима

Эта центральная теорема по существу сводится к предложению 4.14.6 и его обращению (которое является более глубоким результатом).

Теорема. Пусть X и р — положительные меры Радона на локально компактном пространстве Т. Для существования такой локально интегрируемой относительно р функции g^O, что X=g* р, необходимо и достаточно, чтобы каждое локально pi-npe- небрежимое множество было локально Х-пренебрежимым (т. е. чтобы выполнялось условие (1) предложения 4.14.6).

Доказательство. Необходимость уже была нами доказана (предложение 4.14.6).

Для доказательства достаточности заметим прежде всего, что при сформулированных условиях р-измеримость влечет Х-изме- римость. Действительно, пусть S — р-измеримое, а ^компактное множество, тогда пересечение SDK также p-измеримо. Поэтому, как легко видеть, существует относительно компактное множество PzdSC\K, являющееся пересечением последовательности открытых относительно компактных множеств, такое, что р(Р\ (SA/С)) =0. Следовательно, имеет место равенство Хф\ (SDK)) =0. Множество Р интегрируемо относительно всякой положительной меры Радона, откуда вытекает, что множество Sn/C Х-интегрируемо, так что множество S Х-измеримо.

Введем положительную меру р = р + Х. Тогда Х^ри р-измеримость эквивалентна р-измеримости. Пусть А — некоторое компактное множество (или, более общим образом, некоторое р-ин- тегрируемое множество). Отображение f*->X(f) является непрерывной линейной формой на пространстве 272(Л,р), так как

шлкм in к м ш2У/2 • x^Af <рМ),/2 • Р( । т'/2

По теореме 4.12.1 существует такая функция фдЕ^Др), что М/) = р(<РлП У^ЧА, р)).

Так как Х^р, то, полагая фл —0 вне множества А, получаем, что p-почти всюду О^фА^Т

Покажем теперь, что p-почти всюду фл < 1. Пусть Е— множество тех точек, где Фа = 1. Множество Е, очевидно, содержится в А и р-интегрируемо. Пусть / = Хе, тогда

А (Е) = X (х£) = р (<РлХе) = Р (Xr) = Р №) = Р (5) + X (Е).

Если р(Е) строго положительно, то ц(Е)=0 и Х(Е)>0, что противоречит нашим предположениям. Таким образом, р(Е)=0, и мы можем считать, что всюду 0^фА< 1-

Далее равенство Х^ = р(фл/) можно записать в видеМ(1-фд)Л = н(ф^)(^^(Др)),

откуда видно, что функция gAоткуда видно, что функция gA1-Фл1-Флположительна и ц-изме-положительна и ц-изме-рима и чторима и чтоМА) = ц(£дА)МА) = ц(£дА)(4.15.1 У(4.15.1 У

откуда видно, что функция gA

откуда видно, что функция gA

1-Фл

1-Фл

положительна и ц-изме-

положительна и ц-изме-

рима и что

рима и что

МА) = ц(£дА)

МА) = ц(£дА)

(4.15.1 У

(4.15.1 У

для всех таких функций А, что(1 — фл)-1 h е ^ЦА, р). Читатель заметит, что функция gA ц-интегрируема и равна нулю вне А.

Множество А можно представить в виде объединения возрастающей последовательности р-интегрируемых множеств (Лп), на каждом из которых функция 1 —фА отлична от нуля. В соответствии с этим если h— ограниченная ц-измеримая равная нулю вне некоторого множества Аи функция, то функция (1—Фа)"1^ принадлежит S"2^, р) и к ней применима формула (4.15.1). Если f — положительная ц-измеримая равная нулю вне А функция, то функция hn = ini Q^A , п^ ограничена, р-изме- рима и равна нулю вне Лп; кроме того, Anff- Из монотонной сходимости hn\f и из формулы (4.15.1), справедливой для h — hn ^п= 1,2,...), следует равенство

ОЬЛЫ).(4.15.2)

Это равенство выполняется для любого р-интегрируемого множества А и для любой ц-измеримой положительной функции /, равной нулю вне А.

Воспользуемся теперь предложением 4.14.9. Пусть $ — система, обладающая указанными там свойствами. Предыдущая часть доказательства позволяет нам каждому множеству Хе $ сопоставить положительную ц-интегрируемую функцию gXl равную нулю вне X. Определим функцию g, полагая ее равной gx на каждом множестве X е $ и нулю на множестве N = = r\U№ 2Се$}. Очевидно, что функция g положительна и р-измерима. Пусть f— некоторая положительная ограниченная p-измеримая функция, равная нулю вне некоторого компактного множества К. Множество тех X, которые пересекают К, не более чем счетно, скажем Хх, Х2, ... . Тогда

/ = S fxx , gf = S gx tn n n n

причем функции ^x ^" интегрируемы, а функции gx f p-интегрируемы. Из формулы (4.15.2) и принципа монотонной сходимости следует, что

- Mf) = S^(fzxJ = SH(gxJ) = H(^ (4.15.3)

поскольку функция gf р-интегрируема. В частности, функция g локально интегрируема относительно р, что следует из формулы (4.15.3), если в ней положить f = xn (где Н— любое компактное множество). Из этой последней формулы, верной для всякой функции fee^+(7), следует, что = что и требовалось доказать. |

Локальная абсолютная непрерывность. Взаимно сингулярные меры. В случае когда две комплексные меры Радона X и р взаимосвязаны так, что каждое локально р-пренебрежимое множество является и локально Х-пренебрежимым множеством то обычно говорят, что мера X локально абсолютно непрерывна относительно меры р. Если 2ц— Х2 + ^3 — 1Х^ есть минимальное разложение меры X, то мера X локально абсолютно непрерывна относительно меры р тогда и только тогда, когда каждая положительная меры Хк локально абсолютно непрерывна относительно меры |р|, или, что то же самое, мера |%| локально абсолютно непрерывна относительно меры |р|. В этом случае, как легко следует из теоремы 4.15.1 ^g-p, где g— комплексная локально интегрируемая относительно р (т. е. относительно | р | по самому определению) функция. Далее из предложения 4.15.3 (см. ниже) вытекает, что если р>0, то в минимальном разложении меры X участвуют меры Xh^gh-^ гДе

gi = (Reg)+, g2 = (Reg-)-, g3 = (Img)+, g-4 = (Img)-.

Наиболее важным является случай, когда мера X вещественна, а мера р положительна. Этот случай и составляет содержание предложения 4.15.3. Однако, прежде чем входить в подробности, сделаем одно замечание по поводу определенной выше локально абсолютной непрерывности и введем одно соотношение между двумя мерами, которое, если можно так выразиться, является полной противоположностью локальной абсолютной непрерывности. С помощью этого последнего понятия мы сможем дополнить теорему Лебега — Радона — Никодима некоторым утверждением, принадлежащим Лебегу (п. 4.15.7—4.15.9).

Начнем с одного замечания. Читателю могло показаться несколько странным, что мы определили локальную абсолютную непрерывность как выполнение импликации «р* (Е) =0=ф Л* (Е) = = 0». Казалось бы, более естественно называть меру X локально абсолютно непрерывной относительно (положительной) меры р, если выполняется некоторое свойство типа «V(E)->0 при р*(Е)->0». Следующий результат несколько проясняет дело.

► Пусть заданы две меры Радона X и р. Мера X локально абсолютно непрерывна относительно меры р тогда и только тогда, когда для каждого компактного

множества К и каждого числа е > О существует такое число 6 > О, что \Х\*(Е)< е при Ed К и |р|*(£)< д.

Это последнее условие, касающееся множества К, может быть названо абсолютной непрерывностью на К. Локальная абсолютная непрерывность сводится, таким образом, к абсолютной непрерывности на каждом компактном множестве К.

Действительно, если условие предложения выполнено, то всякое локально р-пренебрежимое множество локально X-пренебрежимо, т. е. мера X локально абсолютно непрерывна относительно меры р. При доказательстве обратного утверждения можно считать, что меры X и р положительны. Если это так и мера X локально абсолютно непрерывна относительно меры р, то Х = =g-p, где функция g^O локально интегрируема. В частности, функция g^K р-интегрируема. Поэтому можно так выбрать функцию f doPT +(71), чтобы p*(|g"— 1\хк)< -J• Для всякого множества Ed К имеем X* (Е) = р* (gxs) ; следовательно, |Х*(Е)— — р* (fХе) К “у • С другой стороны, справедливо неравенство ^(iXE^Mp^E), где М— максимум функции f. Таким образом, неравенство Х*(Е)< -|- + М • р* (Е) имеет место для любого множества Е d К, откуда следует наше утверждение.

В приведенном рассуждении достаточно предполагать, что множество К существенно Х-интегрируемо (но не обязательно компактно), заменив повсюду X* и р* на X* и р*.

Перейдем теперь к понятию сингулярности мер. Две комплексные меры Радона на Т X и р называются взаимно сингулярными (чужими (etrange) в терминологии Бурбаки), если существуют непересекающиеся множества L и М, каждое из которых является несущим соответственно для мер X и р; последнее означает, что множества Г\£ и Т\М локально соответственно X- и р-пренебрежимы. (Читатель должен остерегаться смешения утверждения, что множество L является несущим для меры X в указанном выше смысле, т. е. что множество Г\£ локально Х-пренебрежимо, с утверждением, что множество L является носителем или содержит носитель меры X. Носитель меры X совпадает с наименьшим замкнутым множеством в Г, несущим меру X.) Если меры X и р взаимно сингулярны и X локально абсолютно непрерывна относительно р, то, очевидно, Х=0. Далее если X' и р, так же как и X и р, взаимно сингулярны, то Х' + Х и р взаимно сингулярны. В оставшейся части параграфа введенное новое понятие будет многократно проиллюстрировано.

Предложение. Пусть р— положительная, а X — вещественная меры Радона на Т, и пусть мера X локально абсолютно

непрерывна относительно меры р и обладает минимальным разложением Х = Х^— X". Тогда X = g-$, X+=g+*p и X~=g~*p, где g— вещественная локально интегрируемая относительно р функция. При этом меры Х+ и*Х- взаимно сингулярны.

Доказательство. Поскольку мера X локально абсолютно непрерывна относительно меры р, то же самое справедливо и для каждой из мер /+и/"в отдельности. Из теоремы 4.15.1 следует^ что V = р • р и X- = q • р, где р и q — положительные локально интегрируемые относительно р функции. Соответственно X=g"-p, где функция g = p — q локально интегрируема относительно р. Пусть Р и Q — множества, на которых р > 0 и q > О соответственно. Мы утверждаем, что множество PHQ локально р-пренебрежимо. Действительно, в противном случае найдется такое компактное множество К и такое число с > 0, что р (/С) > О и р ^ с, q ^ с на К. Тогда меры

а = (р-ак)-Ц, Р = (<7 - схк) •

положительны и Х = а— р, причем меры а — X4- и р— X” не являются положительными. Это противоречит минимальности разложения X = V — X™. Таким образом, множество PDQ локально р-пренебрежимо. Изменяя функции р и q на локально р-прене- брежимом множестве, но не меняя при этом меры р-р и ^-р, можно добиться того, чтобы P?\Q = 0. Но тогда функция g = = р— q совпадает с р на Р, с —q на Q и равна нулю во всех остальных точках. Отсюда следует, что p = g+ и q = g~. Наконец, множества Р и Q являются несущими соответственно для мер X+ = g,+ -p и V=^“*p. Так как эти множества не пересекаются, то Х+ и X- взаимно сингулярны. |

Следствие. Пусть X и р — те же, что и в предложении 4.15.3. Тогда |Х|*(1) =р*( |g|). В частности, если мера X ограничена (т. е. |Х|*(1) < +оо), то функция g локально р,-почти всюду равна некоторой функции g^S1^) и p*(|go|) = IM О)-

Следствие. Пусть X— вещественная мера Радона на Т. Тогда Т является объединением таких непересекающихся Х-из- меримых множеств Р+ и Р_, что Z+ = |Мр+ и Х” = |Мр_ так что

^р_|_ = J 1р_|_ ^^ 0, ^р_ I ^ 1р_ О*

Доказательство. В предложении 4.15.3 положим р = = |Х|. Множества Р и Q, фигурирующие в доказательстве этого предложения, являются не чем иным, как множествами Р+ = (g > 0}= (§"+ > 0} и Р- = {g < 0) = {g” > 0} соответственно. Так как |Х| = X+ + V = (g+4-g-) • |Х|, то g++g~ = 1 локально Х-почти всюду. Пусть N—множество, на котором не выполняет-

ся равенство g++g~=l, и пусть N локально Х-пренебрежимо. Не трогая функцию g на множестве Г\Л\ заменим ее на множестве N единицей. Тогда сохраняются равенства X+=g+- | X | и Х- = = g-* |Х| и уже всюду выполняется равенство g++g-=l. Следовательно, в точках множества Р+, на котором g" = 0, функция g + должна принимать значение 1. Таким образом, g+ = %Р , и аналогично g~ = Xp_, поэтому V = %P+ • |Х| = |Х| Р+ и т. д. Множества Р+ и Р- не пересекаются, а их объединение дает Т. Предложение полностью доказано. |

Замечание. Пусть вещественная мера Радона X локально абсолютно непрерывна относительно меры р. Из следствия 4.15.4 вытекает равенство X=g-p, где g— вещественная локально интегрируемая относительно р функция. В этом случае значение |Х|*(1) =p*(|g|) равно

n(X) = sup| X(x) I,

где х пробегает функции пространства о^с (Т) (или o^TR (Г)), удовлетворяющие неравенству ||x||oo = sup|х^ [-^ 1. Если, однако, X— комплексная мера, то функция g комплексна, скажем g=u-Vw, и тогда значение |Х|*(1) =р*(1м|)+р*(Ы), вообще говоря, больше, чем п^. Тем не менее имеет место неравен

ство пкХ»^ 2 | X |*(1), так что п(Х) и |Х|*(1) определяют эквивалентные нормы. Учитывая это замечание, часто отождествляют пространство ограниченных мер, локально абсолютно непрерывных относительно меры р, с лебеговым пространством Р(р). Один из способов избежать разногласий — это переопределить меру |Х|, где Х=а + ф, положив ее равной ]/а2 + £2 (п. 4.15.13).

Разложение Лебега. Пусть заданы две комплексные меры Радона X и р на Т. В теореме Лебега — Радона — Никодима исследуются условия, при которых мера X локально абсолютно непрерывна относительно р. Покажем теперь, что меру X всегда можно так разложить в сумму двух мер Xi и Х2, что меры Xi и р будут взаимно сингулярными, тогда как мера Х2 будет локально абсолютно непрерывной относительно р.

Теорема. Пусть X и р — две комплексные меры Радона на Т. Существует единственное разложение

Х = Х1 + Х2, (4.15.4)

где меры Xi и р взаимно сингулярны, а мера Х2 локально абсолютно непрерывна относительно р.

Доказательство. Из определений п. 4.15.2 ясно, что если, такое разложение существует, то оно единственно и что при до-

казательстве существования такого разложения достаточно ограничиться случаем, когда меры Лиц положительны. В этом случае мы можем применить доказательство теоремы 4.15.1, видоизменив его следующим образом.

Как и раньше, введем меру р = ц + Л, и пусть А— произвольное компактное множество. Докажем существование такой функции фА е ^ (Л, р), что

М/) = рМ (4.15.5)

для f е»^2(Л, р)' По-прежнему можно считать, что 0-<фа^1 и фа = 0 вне множества А. Пусть Л1 (в доказательстве теоремы 4.15Л обозначенное через Е)—множество тех точек, где фа=1, и Л2 — остальная часть множества А. Теперь мы не можем пользоваться локальной абсолютной непрерывностью меры Л относительно ц, чтобы показать, что р(Л/) =0. Тем не менее из формулы (4.15.5) следует, что

X (Л,) = Р (флхЛ1) = Р (хЛ1) = Р (Л,) = А (Л,) + ц (Л,)

и, значит, ц(Л1)=0, т. е. множество Л1 ц-пренебрежимо.

С другой стороны, если множество Sc Л2 таково, что ц(5) = = 0, то

MS) = Р (фдХ$) = И (фдХ$) + А (флх$) = X (фдХ$).

Поскольку на множестве S выполнено неравенство 1—Фа > 0, тоЛ(5)=0.

Теперь введем в рассмотрение разбиение $ множества Т на компактные подмножества X (как и при доказательстве теоремы 4.15.1). Каждое из множеств X разложим на< множества Xi и Х2 таким же образом, как выше было разложено множество А. Как известно, множество ^ = T\U^ локально ц-пренебрежимо. Введем множества Тх = (J^iU^ и Г2 = U ^2- Так как разбиение $ локально счетно, то множества Тх и Т2 ц-измеримы. Они не пересекаются, и их объединение равно Т. Если положить Л^Л^и Л2 = Лг2, то, очевидно, Л = Л1 + Л2.

Множество Тх локально ц-пренебрежимо, так как по доказанному ц(Х1)=0, а разбиение Ж локально счетно. Следовательно, меры Л1 и ц взаимно сингулярны и Тх — несущее множество для меры Ль

Покажем, наконец, что мера Л2 локально абсолютно непрерывна относительно ц. Пусть S локально ц-пренебрежимое, а К — компактное множество. Тогда ц(5П^ПТ2)^ ц(5П^ =0 и Л* (SDK) =Л*(5ПКПГ2). Так как компактное множество К пересекает лишь счетное число множеств X, скажем Хп (п = = 1,2,...), то множество 5ПКГ)Т2 содержится в объединении

множеств SAKAX2. Из того факта, что p(SAKAX2) =0 при каждом п, следует, что V (SAKAX?) =0 при любом п (как это уже было доказано для Л, вместо Х2), поэтому MSA7\) = 0. Таким образом, множество S локально ^-пренебрежимо, и локальная абсолютная непрерывность Л2 относительно ц доказана. |

3амечание. В тех же обозначениях теорема Лебега— Радона — Никодима показывает, что локально интегрируемую относительно ц функцию g в равенстве X^g-p можно считать равной нулю вне множества Т^ т. е. па множестве Ть При этом

А = + g е Н = ^Тх + g • ^т?

что служит явным представлением меры % в виде суммы двух мер с несущими множествами Т{ и Т2 соответственно.

Функции вещественной переменной с локально ограниченной вариацией и локально абсолютно непрерывные. Применяя теорему Лебега — Радона — Никодима и разложение Лебега к мерам Лебега — Стилтьеса, можно установить связь этих теорем с некоторыми хорошо известными результатами теории функций вещественной переменной. Будем пользоваться обозначениями п. 4.4.4.

Пусть сперва функция f локально абсолютно непрерывна на Т. Из примера 4.7.7 непосредственно следует, что ассоциированная мера цу локально абсолютно непрерывна относительно меры Лебега на Т. Тогда из теоремы Лебега — Радона — Никодима вытекает, что ц/^-ц, где ц— мера Лебега на 7, a g— функция, локально интегрируемая относительно ц. Так как функция f непрерывна, то результаты примера 4.7.7 приводят к равенству

t

fW = f^-V g^ds,(4.15.6)

а

где а и t — точки интервала Т. (Следуя обычным соглашениям, мы пишем в интеграле ds вместо dp (.$).)

Как известно из курса теории функций вещественной переменной (см., например, Натансон [1, стр. 272, теорема 2]), функция J g^ds почти всюду обладает конечной производ- а

ной, почти всюду равной функции g. Отсюда следует, что для всякой локально абсолютно непрерывной функции f на Т почти всюду существует производная f, почти всюду равная локально

интегрируемой на Т функции, которую можно также обозначить через /', и что отношение

f(O = f(a) + |Г(5)^(4.15.6')

а

имеет место для любых двух точек из Т. Обратно (это очевидно), формула (4.15.6) справедлива, если f— локально абсолютно непрерывная функция на Т.

Легко проверить, что произведение двух локально абсолютно непрерывных на Т функций f и g обладает тем же свойством, причем равенство (fg/^fg+fg' имеет место почти всюду (точнее, во всех точках, где существуют обе производные /' и g'Y Интегрируя, получаем обычную формулу интегрирования по частям

ьь

J f«)<MWH(<W-J f'WgWdt (4.15.7) аа

для всякого компактного интервала [tz, &]cz Т.

Рассмотрим теперь более общий случай, когда известно только, что f имеет локально ограниченную вариацию на Т. Тогда в силу замечания 4.15.9 имеет место разложение py = o + g-p, где g— локально интегрируемая (относительно р) функция ио — мера, сингулярная относительно р. Аналогичный (4.15.6') переход от соотношения между мерами к соотношению между функциями в этом случае несколько усложняется. Так как этот результат в настоящей книге не используется, мы ограничимся лишь наброском его доказательства. Подробное изложение можно найти в книге Натансона [1, гл. IX]. Первым и основным шагом является установление того факта, что сингулярность меры о относительно р означает выполнение в каждой точке t отношения

Пт-^#т = °

для любой последовательности замкнутых множеств ^Е^, такой, что для некоторой последовательности открытых интервалов (/п), содержащих точку /, выполняются соотношения

ц (/„)-> О, inf^g->0.

Это указывает на то, что своего рода обобщенная производная меры о относительно р равна нулю в точке t. (Доказательство можно найти, например, у Мак-Шейна [1, стр. 381].)

Опираясь на этот результат, можно доказать, что аналогично (4.15.6х) имеет место равенство

/(0= S(0+J/'(s)^,(4.15.6")

а

где функция f' локально интегрируема и почти всюду равна обычной производной от f, а функция S с локально ограниченной вариацией сингулярна в том смысле, что S' = 0 почти всюду. К этому результату можно прийти и обычным образом, исходя из теории функций вещественной переменной и не прибегая к мерам Лебега — Стилтьеса. (См., например, цитированную выше книгу Натансона.)

Приложение теоремы Лебега — Радона — Никодима: функции от мер. Наша задача — использовать теорему Лебега— Радона — Никодима для придания смысла выражению Н (pi,... ..., цп), где (цг) i<z<n“ заданное семейство вещественных мер на Г, а Н = Н\х\,.. . , хп)— заданная положительно однородная функция на Rn. (Аналогично можно рассмотреть случай комплексных мер с функцией Н, определенной на О.) Положительная однородность означает, что

Н (ахь ..., ах^ = а • Н (хь . .., х^

для всех х= (хь ..., xn)e Rn и всех положительных чисел а.

Наше определение будет основываться на следующем предложении.

Предложение. Пусть Н и \)ц (1 ^.i^n) те же, что и выше. Выберем две положительные меры Радона Xi и Х2 на Т так, чтобы |цг-1^Хп (l^t-^/г, 1^^^2). Определим функции fik условиями*. pi = hkeXn, функции fin Хп-измеримы и |f^|^l. Функция H(fn, ..., fni) локально интегрируема относительно ^ тогда и только тогда, когда функция Н (fi2, ..., f^ локально интегрируема относительно ^2, и в этом случае

Wn, ...» Ы-М = Н^ U)*4(4.15.8)

Доказательство. Положим X = Zi + X2. Мы можем сравнить ситуацию с Хп (^=1 или 2) и ситуацию с X. При этом косвенно сравниваются ситуации с ^ и Z2. Таким образом, можно свести исследование к случаю Х\^Х2. Тогда M=g’-^2, где g есть Х2-измеримая функция и 0 ^1 ^ ^ 1, и из предложения 4.14.6(4) следует, что pi=M-Хг = Ьх • (g • Х2) = kfug) • Х2. Поэтому равенства fi2 = fiXg имеют место локально Х2-почти всюду и, следовательно, равенство

Н (f|2, ..., ^2) = g * Н (f ц, ..., fnX^

справедливо локально ^2-почти всюду. Опираясь еще раз на предложение 4.14.6(4), получаем, что локальная интегрируемость функции //(Аг, ♦ ♦.,/пг) относительно Х2 эквивалентна локальной интегрируемости функции Н(Ль..., Ал) относительно §■•^2 = ^1, откуда и следует справедливость соотношения (4.15.8). ■

Из доказанного предложения вытекает, что выражение Н(А,..., fn) • X зависит только от функции Н и семейства мер (цОк/^м и не зависит от выбора положительной меры X, удовлетворяющей условию |pJ^Z для каждого I, и таких вспомогательных функций А, что Ц2 = Ае^ (существование функций ft следует из теоремы Лебега — Радона — Никодима). Эту определенную единственным образом меру мы будем обозначать через Н (щ, . . . , Цп) •

Читатель легко проверит, что таким способом можно получить меры ц+, ц“, |ц| (при /г=1) и Ц1 + р2 (при п = 2), а также и другие комбинации мер, например sup(m, ц2) и inf (pi, ц2), и что эти определения не противоречат более прямым определениям, приведенным ранее.

Пример. Рассмотрим случай, когда

Поскольку // ^ О, то с помощью описанного выше метода приходим к положительной мере

ц = (ц?++ ^)Т.

которая удовлетворяет соотношениям |Цг|^р, потому что |х2|^ ^.Н(х). Полагая Z=p и цг = Аец, получаем

1

и, следовательно, (^+**.+/^2=1 локально p-почти всюду.

Обратно, пусть а—такая положительная мера, что Р/ = £га, причем g*f + ... + g*^ = 1 локально a-почти всюду. Тогда |pj = = | gi | • а ^ а, так что

Н = (^ + . . . + ц2) 2 = (g2 + . . . + g2y . а =

т. е. р = а. Далее ц; = ft • р. = gt- а = gf ц, а потому h = pt локально p-почти всюду.

Таким образом, для заданных мер рь ..., \лп существует в точности одна такая положительная мера р, что P/ = fz*p (1</<п), причем /f+...+/^ = l локально p-почти всюду, т. е.

Ц = (ц?+... +ц2)2.

| DiudhG| DiudhGПриложение к поверхностным мерам. Пусть G— ограниченное открытое множество в Rn с границей F, Е— векторное пространство вещественных бесконечно дифференцируемых функций на Rn, обладающих компактными носителями, Л— мера Лебега на Rn и х^ Ц^1^.п^— координаты в Rn. Оператор частного дифференцирования д]дх^ обозначим через Dt. Допустим, что существует такое число М ^ 0, что

| Diudh

G

| Diudh

G

^Msup|u(/)| (иеЕ, l^i^n). (4.15.9) teF

Это условие выполнено для всех достаточно простых ограниченных открытых множеств G. Например, оно справедливо, если существует такое натуральное число г, что все (или даже только «почти все») прямые, параллельные координатным осям, пересекают F не более чем в г точках. Тогда можно воспользоваться одним из стандартных доказательств формулы Грина. Во всяком случае ясно, что (4.15.9) представляет собой довольно грубый в количественном отношении вид формулы Грина, когда граничные значения функции и используются лишь для получения оценки сверху. Мы покажем, как можно применить результаты п. 4.15.13 для введения поверхностной меры на У7 и единичной нормали, определенной почти всюду на F, а также для уточнения формулы Грина.

Для этого введем банахово пространство C(F), образованное вещественными непрерывными функциями на F, с нормой, равной максимуму модуля на F. Обозначим через и0 сужение функции и е Е на F. Тогда uv-^u0 есть линейное отображение пространства Е в C^F), образ которого мы будем обозначать через Ео.

Мы утверждаем, что Ео плотно в C(F). Это может быть установлено различными способами. С одной стороны, можно воспользоваться тем фактом, что, согласно одной из теорем Лебега, каждая функция u^C(F) непрерывно продолжаема на Rn. Так как F компактно, можно считать, что это продолжение обладает компактным носителем. Теперь достаточно подвергнуть наше продолжение у процессу регуляризации. Выберем такую последовательность кп (п=1, 2, ...) положительных функций в Е, что I kndX=\ и кп равна нулю вне некоторой окрестности нуля в

Rn, диаметр которой стремится к 0 при n->oo. С помощью несложных рассуждений показывается, что функции Fn^v-^km определенные равенствами

M0=J ё^- $) М$) dX (s), принадлежат E и равномерно сходятся к v, в частности (y^o-^ в С^.

С другой стороны, можно непосредственно использовать теорему Вейерштрасса — Стоуна (теорема А п. 4.10.5), применив ее к подалгебре Ео в C^F)=C^ (F).

Следующий этап рассуждений основывается на замечании, что в силу формулы (4.15.9) интеграл j Dtu*dX зависит только G

от и0 и линейная форма uov—> J Ditidk непрерывна на Ео (как G

на подпространстве в C^F)).

Из теоремы Хана — Банаха и результатов § 4.10 вытекает существование такой меры о^ на F, что

J Dtu • dX = J и dot(4.15.10)

GF

для u^E. Далее из того факта, что Ео плотно в C(F), следует, что мера о^ однозначно определяется областью G.

Наконец, как мы знаем из примера 4.15.13, на F существует единственная положительная мера о = (of + ... + о2)2, для которой Oi = Ni*G (i^i^n), где вещественные функции N^ на F таковы, что /V? + ... + А^= 1 о-почти всюду. Эта мера о однозначно определяется областью G и является поверхностной мерой на F. Пользуясь ею, мы можем записать формулу (4.15.10) в виде

J Dtu • dX = J uNt do.(4.15.11)

GF

Это равенство выглядит уже в точности, как формула Грина. Пока оно доказано лишь для функций и е Е. Однако его легко продолжить (например, с помощью регуляризации) на все функции и, непрерывно дифференцируемые в некоторой окрестности замыкания G области G.

Пространства, сопряженные к 5£р и Lp (l^p^oo)

Теперь можно дать полное обоснование утверждений (приведенных без доказательства в § 4.11) относительно пространств,

сопряженных к =5^ и Л^, где 1 ^р < оо. Теорема о представлении, которую мы хотим доказать, может быть сформулирована применительно к любому из этих пространств. Мы выбираем формулировку в терминах S7^, добавляя в виде замечаний возможные варианты.

Теорема. Пусть р— положительная мера Радона на локально компактном пространстве Т и L — непрерывная линейная форма на J?p = J?p (Т, р), где 1^р<оо. Тогда в пространстве Зр = Зр (Г, р) существует такая функция g, что

Ьт = ^иП(4.16.1)

для всех функций f^^p. Для всякой такой функции g имеет место равенство

^(gr)-sup{|L(m: /е^, NP^\Y (4.16.2)

В частности, элемент пространства Lp, соответствующий функции g, однозначно определяется формой L.

Доказательство. Непрерывность формы L означает существование такого числа с^О, что

ЩЛЮЛЦЛ(4.16.3)

для всех функций ^2?р. Пусть X — сужение формы L на про- странствоз^(Т). Тогда в силу (4.16.3) Z — комплексная мера Радона и потому, если Zi—Х2 + йз—^4 — минимальное разложение меры X, каждая из мер Хк удовлетворяет неравенству вида (4.16.3). Отсюда следует, что для любого открытого относительно компактного множества U имеет место неравенство Х^ (U) ^ 1

^с • р ([/)р.Это означает, что для каждого к мера Хн локально абсолютно непрерывна относительно р и, следовательно, мера X также локально абсолютно непрерывна относительно р. В силу теоремы Лебега — Радона — Никодима X = g • р, где g — локально интегрируемая относительно р функция. Таким образом,

L (Л = х (Л = р ипи^ ^ W).(4.16.4)

Поэтому для /е<^(Т) имеет место неравенство \v-(gfY^cNP^fY откуда легко следует, что NP4g)< + оо. Изменяя значения функции g на локально р-пренебрежимом множестве, можно добиться того, чтобы функция g принадлежала <2?р. При этом равенство (4.16.4) не нарушится. Поскольку g^^, можно утверждать, что отображение fi—>р(^Л есть непрерывная линейная форма на ^Тр с нормой, равной NP'(,g\ Так как <^Г(Г) плотно в Sp крф оо), то продолжением по непрерывности равенства (4.16.4) получаем (4.16.1). В

Замечания. Можно сказать, что сопряженное к ^р пространство в его естественной норме отождествимо с пространством Lp. С другой стороны, так как непрерывные линейные формы на Зр отождествимы обычным образом с непрерывными линейными формами на Lp, то говорят, что пространством, сопряженным к Lp, «является» пространство^// . Теорему 4.16.1 можно также сформулировать в терминах $р и Lp (см. замечания в § 4.11). Теорема 4.16.1 и ее варианты остаются верными при /7 = оо лишь в самых тривиальных случаях.

Недостатки пространства J$p при 0<р<1. Если О </7 < 1, то ^р есть полное полуметризуемое топологическое векторное пространство; Np больше не является полунормой, однако (ср. (4.2.4)) Np служит полуметрикой, инвариантной относительно сдвигов и определяющей топологию в<^р. Как мы сейчас покажем, в случае 0<р< 1 теорема 4.16.1, вообще говоря неверна.

В этом пункте компактное множество KclT будем называть уу-делимым, если существует такое с > 0, что для всякого натурального п>0 возможно разбиение множества К на такие p-интегрируемые попарно не пересекающиеся множества Аь . . ., Ап, что р(Лг)<^ (1 ^г ^п\ Меру р будем называть непрерывной,^™ всякий компакт К'czС, содержится в некотором р-дели- мом компакте К^Т. Можно доказать, что мера р непрерывна тогда и только тогда, когда р ({£})= О для любой точки t^T.

Докажем сейчас четыре утверждения, в каждом из которых предполагается, что мера р непрерывна и что 0 < р < 1.

(1) Всякое выпуклое множество в J?p> содержащее вну

тренне точки совпадает с $р.

(2) Всякое замкнутое выпуклое поглощающее множе

ство в $р совпадает с $р.

(3) Не существует ненулевого непрерывного линейного

отображения пространства 2*р в какое бы то ни было локально выпуклое пространство {см. упражнения 4.29 и 4.33, а также Дэй [2]).

(4) Не существует ни одной ненулевой непрерывной ли

нейной формы на З11.

Очевидно, что (2) влечет (3), откуда в свою очередь следует (4). В силу теремы Бэра о категориях и полноты пространства $р из (1) вытекает (2). Таким образом, остается доказать (1).

Пусть множество A cz $р выпукло и имеет внутренние точки. Для того чтобы установить равенство А=$р. достаточно

(упр. 1.15) показать, что множество А плотно в=2?р. Можно считать (выполнив, если нужно, сдвиг), что множество А есть окрестность нуля. Докажем, что множество А содержит всякую ограниченную функцию fe^P, обладающую компактным носителем. Ясно, что множество всех таких функций плотно в $^. Для всякой такой функции / найдутся число М^ такое, что |/|^7И, и ц-делимое компактное множество /(, вне которого функция f равна нулю. Так как множество А есть окрестность нуля, то существует такое число d >0, что А содержит все функции gE^, п

для которых Np (g)< d. Пусть К = U ^т — разбиение, о котором, r = Z

идет речь в определении ц-делимости. Тогда

г=1Г=1

так что

(О - н 1пЧАУ Г) <(Л) < ^.

Так как р < 1, то число Np(fr) можно сделать сколь угодно ма* лым для всех г, стоит только взять п достаточно большим. В частности, можно добиться, чтобы fr е А для 1 ^ г ^ п. В силу выпуклости множества А получаем feA, что и требовалось доказать. б

Ситуацию, описываемую утверждениями (1) — (4), полезно сравнить в той, которая имеет место (упр. 6.14) для сходных на первый взгляд пространств №, где 0 < р < 1 (упр. 4.29 и 4.33).

Возможно, что наиболее прямые практические следствия теоремы 4.16.1 получаются из ее сочетания с теоремой Хана — Банаха применительно к задачам линейной аппроксимации, описанным в общих чертах в § 2.4.

Пусть 1 ^ р<оо и V—некоторое векторное подпространство в ^-^(Г, ц) или в ассоциированном отделимом пространстве Lp. Тогда замыкание подпространства V состоит из тех и только тех элементов fQ^^p (или Lp\ для которых имеет место равенство

11(^)=0,(4.16.5)

где функция ^г^' удовлетворяет отношению

^(^)-0(4.16.6)

для всех /eV. Если V не является векторным подпространством, то это же условие необходимо и достаточно для того, чтобы функция /0 была пределом в $^ (или в L^ конечных линейных комбинаций элементов /eV,

Произведения мер и теорема Фубини

Пусть Т и Т'— отделимые локально компактные пространства {), Р = ТхТ' — их произведение (которое является пространством того же типа). Пусть далее и и р/— положительные меры Радона на 7 и Г соответственно. Возьмем функцию f на Р и рассмотрим ее повторные интегралы относительно мер ц и ц'. При этом априори надо учитывать порядок интегрирования. Далее мы увидим, что меру-произведение на Р возможно определить лишь единственным способом, другими словами, что порядок интегрирования не играет роли при f^^^P), в результате чего мы приходим к некоторой положительной мере Радона на Р. После этого неизбежен вопрос, в какой степени изменение порядка интегрирования существенно, если f— функция более общего характера. С другой стороны, можно поставить вопрос, каким образом этот «более общий» интеграл от функции f на Р относительно меры произведения выражается через «частные» интегралы относительно мер ц и рЛ Ответ на этот вопрос дают теорема Лебега — Фубини и дополняющие ее результаты Тонелли. (Вклад Фубини в этот результат ограничивается случаем интегралов Римана от вещественных функций; простейшая форма этой теоремы для случая /^е^(Р) была известна еще Коши.)

Определение меры-произведения. Сначала мы рассмотрим случай, когда feo^(P). Тогда функция fp принадлежите^^), и выражение

n'(f<)=Jf(^ twin

вполне определено. Более того, легко видеть, что функция / н->ц'(ft) содержится в е/Г(Т), поэтому определен интеграл

J и'(М ^и (0 = J d^n J Ht, t'Wtt'Y

Если функция f положительнагтр повторный интеграл также положителен. Поэтому отображение

Лр / ^» J <W) J Ж И^ЧН (4.17.1)

является положительной мерой Радона на Р.

*) Всюду в этом параграфе штрих (у Г') является лишь отличительным знаком. Мы временно отказываемся от соглашения, принятого в определении 1.9.4 и используемого повсюду в этой книге.

Если обратить порядок интегрирования по р и / и поменять ролями Т и Т', то аналогичным образом придем к положительной мере Радона л2 на Р

«2= fJ ф'(И J /(/, рШ (4.17.2)

Наша первая задача — показать, что меры Л1 и л2 в действительности тождественны. Эту меру мы и назовем (тензорным) произведением р ® р7 мер р и р7 (или мерой-произведением). Возможно и с логической точки зрения наиболее удовлетворительно доказывать совпадение мер Л1 и л2, используя лишь интегралы от функций из пространств о/Г (Т) ио%\Т'). Это проделано в работе Эдвардс [3] следующим образом.

Если функция х (соотв. х') принадлежит пространству о%"(Т) (соотв. е^(Г7)), то через х®х7 обозначается элемент пространства о^(Р), определяемый правилом (/, f)v->x(t)x'(t'). Обозначим временно через о%\Т) ® е^(Т7) векторное подпространство пространства Л(Р), порожденное такими функциями. Очевидно, что при применении мер Л1 и л2 к функции х ® х' получается одинаковый результат и, следовательно, то же самое имеет место при применении этих мер к любому элементу из е^(Т)®(2^(Т7). Поэтому достаточно показать, что подпространство е^(Г)® ^Ж(Т') в соответствующем смысле плотно в 3f(P). Это может быть доказано с помощью теоремы Вейерштрасса — Стоуна.

Альтернативный метод, в котором избегают явных ссылок на теорему Вейерштрасса — Стоуна и который однако формально весьма похож на предыдущий, заключается в следующем. (Логически он менее удовлетворителен, ибо вводятся интегралы относительно ц и ц7 от разрывных функций). Выбирают такие компактные множества К и К\ что функция f обращается в нуль вне КхК'- Пользуясь компактностью, можно показать, что для любого заданного числа е >0 множество К (соотв. К') может быть разложено на такое конечное число универсально интегрируемых множеств Ai (соотв. А^, что

I f (^ь Л - / (^, ИЮ (/b /2 е Ab tf е К'\

IfG, ti) — f(t, (л, А^Л/, t е К).

(В действительности оба утверждения следуют из равномерной непрерывности функции f на КХК\ если воспользоваться существованием единственной равномерной структуры на компактном пространстве КХК', определяющей его топологию.) Тогда множества Рц = At X Л/ образуют разбиение множества

КХК'. Если точки (Л, /{) и (/2, /2) принадлежат какому-нибудь Рц, то из неравенства треугольника следует, что

Ш, t'\Vt^, /0| ^2е.

Выберем произвольно точки р^ е Ргу Тогда

J /(/, n^(0-f(p1V)nWAiJ /(/, n^(0-f(p1V)nWAi<2е-р(Л;)<2е-р(Л;)

J /(/, n^(0-f(p1V)nW

Ai

J /(/, n^(0-f(p1V)nW

Ai

<2е-р(Л;)

<2е-р(Л;)

для t' е А") и

J d^n / Ж Hd^^-f^p^A^^A^

A'iА1

<2ец(Л,.) н'(л;).

Суммируя эти неравенства по i и /, приходим к неравенству

IJ^'W/ Ж Od^-^fM^A^A'^^

Изменяя порядок интегрирования, получаем, что интеграл J dp,^ J / (/, t') d^H удовлетворяет аналогичному неравенству. Таким образом, оба повторных интеграла от функции f отличаются друг от друга не более чем на 4ец(К) ^'(K'). Так как е произвольно мало, оба интеграла равны, что и требовалось доказать.

Полунепрерывные функции. Пусть ср — положительная полунепрерывная снизу функция на Р. Каждая функция ф^: V\—> 1—>ф(/, f) полунепрерывна снизу на Т\ Более того, представляя функцию ф как верхнюю огибающую функций из Ж(Р) и пользуясь определением (4.5.1), получаем, что функция /н->у/*(фг) полунепрерывна снизу на Т. Применяя, наконец, предложение 4.5.1, видим, что

л* (ф) = J’dMO /’ф(Л 0^(0. (4.17.3)

Аналогичные рассуждения показывают, что такое же равенство получается, если в правой части изменить порядок интегрирования.

Верхний интеграл от произвольных функций. Пусть f— положительная функция на Р. Напомним читателю, что верхним интегралом от f (относительно некоторой положительной меры) является по определению нижняя грань верхних интегралов от положительных полунепрерывных снизу функций,

мажорирующих f. Комбинируя это определение с замечаниями п. 4.17.2, приходим к выводу, что всегда

«*(/)>(4.17.4)

Здесь снова можно изменить порядок интегрирования в правой части.

Мы подошли к основной теореме.

Теорема (Лебег — Фу бини). Пусть f— функция, определенная на произведении Р=ТхТ' и интегрируемая относительно произведения мер л = р®р'. Тогда функция ft: Р v—> \—>ЦМ') интегрируема относительно р' для p-почти всех t^T. Функция tv—^f^P^dp7^7), определенная для p-почти всех t^T, интегрируема относительно р и

л (/) = J ф (/) / f (t, i') dp' Щ.(4.17.5)

То же самое справедливо, если поменять ролями Т и Т7.

Доказательство. Не ограничивая общности, можно.считать, что функция f положительна. Так как f интегрируема относительно л, то можно выбрать убывающую последовательность (ср„) положительных полунепрерывных снизу функций на Р, каждая из которых мажорирует функцию Д такую, что lim(pn = f в^ДР, л). Тогда функция ^^Ишфп (сходимость поточечная) интегрируема относительно л и f = g л-почти всюду. Используя дважды монотонную сходимость, а также формулу (4.17.3), получаем

л (/) = lim л (cpj = lim j dp (/) j фп (t, Р) dp7 (Р) =

= fdp(t)fg^t,(4.17.6)

Далее функция gt измерима относительно р' для каждого t^T, а функция tv—>^ g(t, P)dp7(P) измерима относительно р. Поэтому из формулы (4.17.6) вытекает интегрируемость gt отно- зительно р' почти для всех 1 и интегрируемость относительно р функции tv—> J g(/, P^dp7(P\ определенной для почти всех t. Наконец, формула (4.17.4) показывает, что л-пренебрежимость множества NczP влечет р'-пренебрежимость множества Nt = = {Р: Р^Т7, (t,P)^N} для почти всех t^T. Следовательно, t = gt для почти всех Д за исключением р'-пренебрежимого подмножества в Т7. Наша теорема вытекает теперь из формулы (4.17.6) и предыдущих замечаний. |

Замечание. Теорема терпит почти полный крах, если заменить условие интегрируемости условием существенной интегрируемости. Может случиться, что функция f существенно интегрируема относительно л, тогда как функция tt не является существенно интегрируемой относительно р/ ни для одного значения t. См., однако, следствие 4.17.12.

Обозначение. Вместо л(/) и л*(/) привычно и удобно писать

J J f (^ Л ^ (О ^ (О и j J / (/, f) dp. it) d^ (/')

соответственно. Читателю необходимо различать понятия «двойной интеграл» и «повторный интеграл», так как иначе теорема Лебега — Фубини лишается всякого смысла.

Тогда функции tv—^ f(t, t')dp'(t')Тогда функции tv—^ f(t, t')dp'(t')Следствие. (1) Пусть f— положительная измеримая относительно меры л = р ® р/ функция, равная нулю вне л-о-конечного множества.

Тогда функции tv—^ f(t, t')dp'(t')

Тогда функции tv—^ f(t, t')dp'(t')

и t'v-^ J /(/, ^)б/р(/) измеримы относительно мер ц и р/ соответственно и

У J f У, V) dp (/) dp' (t') = J Ф (^) У f it, t') dp' (/') =

Если функция f положительна неизмерима относительно меры л = р®р', то функции ^^^У ti^ t')dp'it') и t'v-^ н-> ^ /(/, t')dpit) измеримы относительно мер р, и р/ соответственно и

j pit, ndix(t)dn4n<ydnw]*nt, twin.

Доказательство. Можно считать, что f = limfn, где (fn) — возрастающая последовательность л-интегрируемых функций. Утверждение (1) следует из теоремы 4.17.4 и из повторного использования монотонной сходимости. Утверждение (2) непосредственно вытекает из (1), если его применить к функции /(/, Их^Мх^^'), гДе ^ и К'— производные компактные множества в Т и Т' соответственно. |

Теорема (То нелли). Пусть f— измеримая относительно меры л = р ® р/ функция, равная нулю вне некоторого

к-о-конечного множества. Если каждый из повторных верхних интегралов

/4(0/*!/(/, i'MW /4'(П flW, П№(0

конечен, то функция f п-интегрируема и к ней применима теорема 4.17.4.

Доказательство. Применить следствие 4.17.4 к функции |f|. |

Измеримость относительно меры-произведения. Во многих примерах теорема Тонелли используется для обоснования применимости теоремы Лебега — Фубини. Поэтому важно иметь признаки измеримости относительно меры р ® р'.

Предложение. Если g и g'— положительные функции на Т и Т' соответственно, то имеет место равенство

/ j40g4W(W(n = ^K*te'),(4.17.8)

за исключением, быть может, случая, когда один из сомножителей в правой части равен 0, а другой оо.

Доказательство. Заметим, что в соответствии с соглашением 0-4-оо = 0 (§ 4.5) формула X*(^f) =а-Х*(/) имеет место для любой положительной меры X, любой функции Д удовлетворяющей неравенствам O^f-^H-oo, и любого числа а, удовлетворяющего неравенствам О^сс^оо. [Если а=4-оо, то X*(af) равно 0 или 4-оо, в зависимости от того, является ли функция f Х-пренебрежимой или нет; то же относится и к

Обозначим через / двойной верхний интеграл в формуле (4.17.8). Из п. 4.17.3 следует, что

^(о/ gWg'kt'Wkt'Y

Согласно подготовительным замечаниям,

f g (О g' У') dp' (/') = g (0 / * g'kO dp' (/').

Аналогично

J * dp (Z) / * g (0 g' (n dp' (i') - p'* (g') p* (g).

Таким образом, достаточно лишь доказать, -что

(4.17.80

Правую часть этого неравенства можно считать конечной. Остается поэтому рассмотреть случай, когда оба множителя ко-

нечны (все остальные варианты исключаются в силу наших предположений). В этом случае правая часть формулы (14.17.8') является нижней гранью произведений ц* (ф)р'*(ф'), где ф и ф' — полунепрерывные снизу функции на Т и Т', мажорирующие функции g и gf соответственно. Функция (^')|—>ф(0ф/(П полунепрерывна снизу на произведении Гх^ и мажорирует произведение g^g'^'V Достаточно теперь воспользоваться рассуждениями п. 4.17.2 и очевидным неравенством /^л*(ф®ф'). ■

Следствие. Пусть Л ст 7 и А'сТ'. Произведение ЛхЛ' пренебрежимо относительно меры ц ® ц', если либо л*(Л)=0 и |V*^')<H-oo, либо р* (Л) < 4-оо и р'*(Л')=0.

Предложение. Если g и gr— положительные функции на Т и Т' соответственно, то

/ J £(0гЧОФ(0^'(И = Й*(£)Й'*(£')- (4.17.9)

Доказательство. Пусть К и К' — произвольные компактные множества в Г и Г' соответственно. В силу предложения 4.17 10 имеет место равенство

j / gU}TKU)g'U')xK'U')d\iU) ^ЧЛ = \1ЧК/^^ (4.17.9')

если только один из множителей в правой части не равен 0, а другой 4-оо. Но если, скажем, p*(g‘X/<) =0, то интегрируемая функция в двойном верхнем интеграле равна нулю вне множества, пренебрежимого относительно меры ц ® р' (следствие 4.17.11), и потому равенство (4.17.9') справедливо и в этом слу-/ чае. Таким образом, (4.17.9') выполняется всегда. Утверждаемый результат следует из определения существенного верхнего интеграла (4.14.1) и из того факта, что множества вида КхК* образуют базу компактных подмножеств в ТхТ\ |

Предложение. Если функция g (соотв. g') измерима относительно р (соотв. р'), а и — непрерывная на R2 функция, то функция

ukg, g'Y U, H^u^gUY g'TO

измерима относительно меры р ® р'.

Доказательство. Пусть К и /<' —компактные множества в Т и Т' соответственно. В силу критерия Лузина (следствие 4.8.5) множество К (соотв. К'А можно так разбить на компактные множества Кп (соотв. Кп) («=1, 2, ...) и множество N (соотв. N'Y пренебрежимое относительно меры р (соотв. р'), что сужения g\Kn (соотв. g'\K'i^ непрерывны. Рассмотрим множества Hm, п = Кт X Кп и обозначим через М объединение множеств N X KV КпХ N' и N X N' (n = 1, 2, ...),

Множество М пренебрежимо относительно меры ц ® ц' (следствие 4.7.11). Множества Нтп (т, п=\, 2, ...) и М образуют разбиение множества К X К'. Поскольку сужения u(g, g^\Hmm очевидно, непрерывны, то функция u(g, g') измерима относительно меры р ® р', что и требовалось доказать. |

Следствие. Если множества АсТ и А'сТ' измеримы (соотв. интегрируемы) относительно р и р', то множество АхА' измеримо (соотв. интегрируемо) относительно р®р' и

(р®р9(Л X А') = р (Л) р'(Л'). (4.17.10)

Доказательство. Из предложения 4.17.13 следует измеримость множества ЛхЛ' относительно меры р ® р' в любом из этих двух случаев. Если наши множества интегрируемы, то формула (4.17.10) вытекает из предложения 4.17.10, что показывает, между прочим, интегрируемость множества АхА' относительно р ® р'. Для завершения доказательства остается воспользоваться предложением 4.17.12 и тем фактом, что мера измеримого множества равна существенному верхнему интегралу его характеристической функции (§ 4.7 и 4.14). |

Следствие. Пусть АсТ и А'ссТ'; если А (соотв. А') локально пренебрежимо относительно р (соотв. р'), то множество АхТ' (соотв. ТхА') локально пренебрежимо относительно р ® р'.

Доказательство. Это очевидно ввиду следствия 4.17.14 и в силу соглашения 0-Н-оо = 0. |

Локально компактные группы и меры Хаара

В этом параграфе Т будет топологической группой (п. 0.3.19). Это означает, что Т — группа в алгебраическом смысле и, кроме того, топологическое пространство, причем эти две структуры связаны так, что отображение (t, V)v—>t~4' произведения TxT в Т непрерывно. Будем предполагать также, что пространство Т отделимо. К топологическим группам относятся все конечные группы; всякая группа может быть наделена дискретной топологией, относительно которой она будет отделимой локально компактной топологической группой. Всякое отделимое топологическое векторное пространство является, конечно, топологической группой, если не принимать во внимание умножение на скаляры; эта топологическая группа коммутативна (абелева); она локально компактна тогда и только тогда, когда рассматриваемое пространство конечномерно. Так обстоит дело, например, с пространствами Rn и Сп. Целые разделы классического анализа

основаны на том, что Rn— локально компактная группа. В действительности многие теории (например, значительная часть гармонического анализа) зависят, за м'алым исключением, лишь от этого свойства.

Множество комплексных чисел, по модулю равных 1, образует компактную коммутативную топологическую группу (с умножением в качестве групповой операции и с обычной топологией), которая изоморфна факторгруппе R/2n (где групповая операция — это сложение по модулю 2л, а топология — фактор- топология обычной топологии в R). Разделы классического анализа, посвященные изучению функций одной или многих вещественных переменных, имеющих один или несколько периодов, по существу сводятся к исследованию функций на R/2л или на (R/2л)n. В частности, многие из основных результатов о рядах Фурье (простых или кратных) зависят только от природы группы R/2л (или ее степеней) как коммутативной топологической группы. Подробное изложение тех свойств топологических групп, которые раньше других привлекли внимание математиков, дано Понтрягиным [1]. Более современный) обзор основных понятий теории топологических групп содержится в трактате Бурбаки [2, гл. III]. Теория интегрирования на группе и связанные с ней вопросы систематически изложены в книге Хьюитта и Росса [1, § 15—20]).

В нашем изучении топологических групп мы строго ограничиваемся вопросами, относящимися к существованию инвариантной меры (или, что то же, инвариантного интегрирования) на локально компактной группе. Вклад функционального анализа в теорию локально компактных групп стал возможным благодаря исследованию различных пространств функций и мер, более или менее тесно связанных с этой инвариантной мерой.

Во второй половине XIX в. конечные группы изучались алгебраическими методами. Инвариантная мера на такой конечной группе Т— это просто конечная сумма 2 ^t (где е^— мера t е т

Дирака, сосредоточенная в точке /) или положительные кратные этой суммы. Естественно, что анализ на конечной группе весьма тривиален. Исторически следующий шаг состоял в сравнительно явном построении инвариантного интегрирования на компактных группах Ли, которое в 1927 г. было осуществлено Петером и Г. Вейлем. Этот случай заслуживает особого внимания, ибо группы Ли, естественно возникающие как группа преобразований, были первыми отличными от группы Rn и ее факторгрупп топологическими группами, которые обратили на себя

внимание. Построение инвариантного интеграла в этих случаях облегчается благодаря существованию локальных координатных систем. В 1934 г. фон Нейман установил существование инвариантного интегрирования на произвольных компактных группах (в действительности даже существование среднего значения почти периодических функций на произвольных группах). В 1933 г. Хаар дал конструкцию инвариантной меры на любой локально компактной группе, удовлетворяющей второй аксиоме счетности. К последним, конечно, относится и группа Rn, инвариантная мера на которой давно известна — это мера Лебега. К настоящему времени метод Хаара видоизменен таким образом, что стало возможным полностью отказаться от ограничений, связанных со счетностью. Установлено, что имеются по существу единственные лево- (право-) инвариантные меры на любой отделимой локально компактной топологической группе. Краткое, но насыщенное изложение многих затронутых здесь вопросов содержится в книге А. Вейля [1]. Некоторые недавние исследования в этой области весьма подробно изложены в книгах Люмиса [1], На й м а р к а [1], Хьюитта и Росса [1]. В последних трех книгах широко используется функционально аналитическая техника. (См. также Бурбаки [9, гл. VII, VIII].)

Определение мер Хаара. Вплоть до конца § 4.19 Т— отделимая локально компактная топологическая группа. Среди ненулевых положительных мер Радона на Т наиболее полезными являются меры, в следующем смысле инвариантные относительно сдвигов (левых или правых). Каждой функции f на Т и каждому элементу а группы Т поставим в соответствие новую функцию, которую будем называть левым сдвигом f на элемент а и обозначать через Laf или J. Эта функция определяется соотношением Laf(t)=af(t)—f(at). Правый сдвиг RJ или fa определяется аналогично с заменой at на 1а. Эти сдвиги, конечно, совпадают, если группа Т коммутативна. Под левоинвариантной (инвариантной относительно левых сдвигов) мерой, или левой мерой Хаара на Г, понимают ненулевую положительную меру Радона р на Т, для которой

р(Аах) = р(х) (4.18.1)

при всех xeJ4f(T) и а^Т. Правые меры Хаара определяются аналогично с заменой Lax на Rax.

Сначала освободимся от необходимости отдельно рассматривать левую и правую меры Хаара. Определим отражение f функции / на Т равенством /(0=/(^‘1)- Тогда, как легко видеть, если р— левая мера Хаара, то v=p :xv—>р(х)—правая мера Хаара и обратно. Это позволяет рассматривать только левые меры Хаара.

В терминах функции множества, определенной мерой р, формула (4.18.1) влечет за собой соотношения

р*И = р*(А) и р*(аЛ) = р*(Л)

для произвольного множества АсТ к произвольного элемента а^Т. Обратно, формула (4.18.1) вытекает из условия, что р(яЛ)=р(Л) для всех компактных (или для всех открытых) множеств A cr Т. В частности, если р— левая мера Хаара, а множество N пренебрежимо относительно р, то и множество aN пренебрежимо относительно р. Если функция / измерима относительно р, то такой же будет и функция LJ. Для всякой положительной функции / имеют место равенства

№НЧП и №JW4f\

Функция f тогда и только тогда интегрируема (соотв. существенно интегрируема) относительно р, если тем же свойством обладает LJ; в этом случае значения интегралов от указанных функций одинаковы. Таким образом, инвариантность в форме (4.18.1) влечет за собой инвариантность в достаточно широком смысле.,

Существование и единственность мер Хаара. Основными фактами теории мер Хаара являются следующие.

(1) Существует левая мера Хаара на Т.

(2) Если р и р' — две левые меры Хаара на Г, то р'=

= с-р, где с — некоторое число >0.

Мы не будем доказывать утверждений (1) и (2), отсылая читателя к книге Вейля (цитировавшейся выше) и к цитированным выше книгам Хал мош а [1], Найм арка [1], Хьюитта и Росса [1, §15, 16].

Аналогичные утверждения имеют место и для правых мер Хаара.

Вообще говоря, нет никакого способа избежать неопределенности, возникающей из-за коэффициента пропорциональности в (2). Если, однако, Т — дискретная группа, то левую меру Хаара можно нормировать условием, что она имеет в каждой точке множества Т единичную массу. Если пространство Т компактно, то меру р можно нормировать условием р(Т) = 1. (Если группа Т конечна и дискретна, то эти два выбора несовместны, за исключением случая, когда группа Т сводится к одному нейтральному (единичному) элементу.)

Если 7 = R/2h, то нормирующее условие р(Г)^=1 приводит к интегралу Лебега (или Римана)

2Л

HW = ^ J x^dt,о

в котором х— функция вещественного переменного с периодом 2л. Интервал интегрирования (0, 2л) может быть, конечно, заменен любым другим интервалом длины 2л. В п. 4.18.6 и 4.18.7 мы приведем два менее тривиальных примера мер Хаара.

Основные свойства меры Хаара. Мы воспользуемся утверждениями (1) и (2) п. 4.18.2 для того, чтобы вывести следующие важные свойства (3) — (6).

(3) Существует положительная непрерывная функция А

на 7, называемая модулярной функцией на 7, такая, что

А(0>0, А(е)=1, А(/Г) = А(0А(И,(4.18.2)

и такая, что если р — левая мера Хаара на Т, то ^Rax) = А (а) • и (х), т. е.

J x^ta^dp.^ — A (a) J x^dyi^(4.18.3)

для всех функций х^о/Г^Т).

(4) Если А — модулярная функция на 7 и р — левая мера Хаара на Т, то р = А • р, т. е.

Jx(r')^W=J х(0А(0Ф(0(4.18.4)

для всех хее%ЧТ\

(5) Пусть А — модулярная функция на Т, у и р — левая и правая меры Хаара на Т соответственно. Тогда существует такое число с > 0, что р = сД-и, т. е.

J x(t)dp(t) = c J xU^W^U) (4.18.5)

для всех функций хе.<Л^СГ\ Кроме того, p(Lex) = = А (а)-1 р(х), т. е-

J x(af)dp(f) = kta)-1 J x^dp^ (4.18.6)

для всех функций х^^{Т).

(6) Пусть р— левая мера Хаара на 7. Тогда р((/)>0

для всякого непустого открытого множества U сТ и р(7)< +оо тогда и только тогда, когда группа 7 компактна.

Доказательство. (3) Пусть р— левая мера Хаара на Т, тогда отображение %: xv—>^Rax^ является ненулевой положительной мерой на 7. Так как RaLbX=LbRax, то левоинвариант- ность меры р влечет за собой левоинвариантность меры X.

В силу (2) существует такое число А(<2) > 0, что ^ = А(а) • р. Из (2) следует также, что любым двум левым мерам Хаара р и р' соответствует одна и та же функция А независимо от исходной меры. Остальные свойства функции А очевидны.

4) Если р —левая мера Хаара на 7, то v: лгн->ц (Ах) —ненулевая положительная мера Радона на Т. Так как ^ЬахУ = = Ra-\x, то формула (4.18.2) приводит к соотношениям

= А(я)•р (7?a-i (Ах)) = А (а) • А (а"1) • р (Ах),

причем последнее равенство вытекает из (3). Таким образом, мера v левоинварианта, и потому в силу (2) существует такое число с > 0, что v = c-p. Заменяя х на х, получаем р(Ах) = = ср(х). Выбирая функцию х с носителем, содержащимся в сколь угодно малой окрестности элемента е, мы видим, что число с должно равняться А(е) = 1. Свойство (4) доказано.

5) Заметим, что мера р левоинвариантна, поэтому из (2) вытекает, что она равна мере ор для некоторого числа с>0. Из (4) следует, что р = с-р = сА-р. Но тогда

р (Lax) = с(А • н) (£ах) = с • ц (А • Lax) = сА (а-1) • р (La (Ах)) = = А (а-1) • ср (Ах) = А (а-1) • р (х),

что и требовалось доказать.

, (6) Достаточно рассмотреть случай, когда р — левая мера Хаара, так как «правый» случай совершенно аналогичен. Если U — такое непустое открытое множество, что р(77) =0, то каждое компактное множество К в Т может быть покрыто конечным числом левых сдвигов aU, откуда в силу левой инвариантности меры р следует, что p(^)=0 для всех компактных множеств К, т. е. р = 0, что противоречит нашему предположению.

Если Т— компактное пространство, то р(7)< + оо для всякой положительной меры Радона р на Т. Обратно, если Т не компактно и V — некоторая компактная окрестность элемента е, то можно индуктивно определить элементы ап (п = 1,2,...) в 7 так, чтобы элемент ап не принадлежал объединению множеств a^V (1 ^Л^пу Если U — окрестность элемента е, такая, что U2а V, то множества anU не пересекаются. Их общая мера строго положительна, поэтому р(7) = +оо. |

Замечания. С помощью предыдущих результатов можно показать, что понятия локальной пренебрежимости (соотв. пре- небрежимости, о-конечности) совпадают для всех мер Хаара (и левых и правых). Что касается локальной пренебрежимости, то это следует непосредственно из (2) и (5). Далее, так как А —

строго положительная и непрерывная функция, то из (4.18.5) вытекает, что

р* (ф) = С • (V (Аф)(4.18.7)

для всякой положительной полунепрерывной снизу функции ф на Т. Если множество N р-пренебрежимо, то NczM = fl Un, п=Л

где множества Un открыты, убывают и p*(t/J—>0. Тогда функции Хи * А Ц-интегрируемы, и в силу монотонной сходимости Хип 1• А

I1* (ХмА) =lim н‘ (Ху/) = lim с-’р’ (Un) = 0.

Таким образом, функция А должна быть равна нулю ц-почти всюду на М. Поскольку функция А нигде в нуль не обращается, то ц*(Л1)=0 и, следовательно, p*(AQ=O. Так как (4.18.7) эквивалентно соотношению

ц to) = c""V(A""^),(4.18.7')

то р*(Л9=0 влечет р*(//)=0. Таким образом, понятия пренебре- жимости эквивалентны для всех мер Хаара.

Далее, если U — открытое множество и р* (U) < Н-оо, то из (4.18.7) следует, что функция хиА ц-интегрируема и потому равна нулю вне р-о-конечного множества. Так как функция А нигде в нуль не обращается, то U должно быть ц-о-конечным. Таким образом, всякое р-о-конечное множество содержится в счетном объединении открытых множеств конечной р-меры и потому является также и ц-о-конечным. Обратное утверждение доказывается аналогично.

Так как локальная пренебрежимость означает одно и то же для всех мер Хаара, то то же самое можно сказать об измеримости.

Интегральные соотношения (4.18.3) — (4.18.6) можно, конечно, распространить на случаи, когда вместо хе Ж (Т) рассматриваются более общие функции, а интегралы заменяются на верхние или существенные верхние. В частности, эти соотношения могут быть сформулированы в терминах мер множеств. Рассмотрение этих вопросов предоставляется читателю.

Унимодулярные группы. Группа Т называется унимо- дулярной, если она допускает биинвариантную ненулевую положительную меру Радона, т. е. меру, которая является одновременно левой и правой мерой Хаара. Это возможно тогда и только тогда, когда модулярная функция А удовлетворяет условию Д=1. Таким образом, всякая локально компактная коммутатив-

пая группа унимодулярна. Кроме того, полагая х=1 в формуле (4.18.3), видим, что всякая компактная группа унимодулярна.

Уравнение Д(а) = 1 во всех случаях определяет в Т замкнутую инвариантную подгруппу G, а функция А — алгебраический изоморфизм группы Т/G на подгруппу мультипликативной группы строго положительных вещественных чисел. Следовательно, группа TIG коммутативна. Если 7'— пол у простая группа Ли, то G = T, так что Т унимодулярна.

Относительно инвариантные меры. Комплексная мера Радона X на Т называется относительно левоинвариантной^ если существует такая комплексная функция D на Г, что

ЦЬах) = П^.Цх)(4.18.8)

для всех х^оуДТ). Относительно правоинвариантная мера определяется аналогично равенством

p^Rax^ = DOaY 9кх\

где D'— комплексная функция на Т. Изучение относительно правоинвариантных мер можно свести к изучению относительно левоинвариантных мер, так как если р — относительно правоинвариантная мера, то мера Z = p относительно левоинвариантна, поскольку формула (4.18.8) справедлива при D(a) = D'(a~1). Это следует из тождества (ЬахУ = Ra-d.

Пусть X— относительно левоинвариантная мера. Оставляя в стороне тривиальный случай л = 0, получаем из формулы (4.18.8), что функция D непрерывна, Z)(e) = l и D^ab) = D(a)D(b). Следовательно, мера a = D-X ненулевая, и

а (Lax) = X (D • Lax) = Л [/) (я)-1 • La (Дх)] =

= D^a)fX • X^L^DxY = D ^аДх • D (а) X (Ox) = ax.

Таким образом, a — левоинвариантная мера. То же самое справедливо для вещественной и мнимой частей меры а, а также для положительной и отрицательной частей каждой из них. Из (2) следует, что а = с*ц, где р— произвольная левая мера Хаара, а с — комплексное число, т. е. л=(сО-1)-р. Обратно, всякая мера X такого вида, очевидно, левоинвариантна.

Пример. Рассмотрим группу Т, элементы которой — упорядоченные пары вещественных чисел /=(а, 6), а=£0, с законом композиции

1Т = ^аа\ аУ + Ь\

I

где / = (<2, b\ 1'=Ца\ У\ Группа Т топологизирустся как подпространство в R2. Легко видеть, что группа Т локально компактна, но не компактна и не коммутативна. Элементы группы Т

можно рассматривать как взаимно однозначные отображения R в себя. При этом элемент /= (а, 6) интерпретируется как отображение uv—>auA-b. Закон композиции в Т согласуется с композицией соответствующих отображений.

Для определения левой меры Хаара на Т допустим, что всякая такая мера ц локально абсолютно непрерывна относительно сужения на группу Т (рассматриваемую как подмножество в R2) меры Лебега на R2, т. е. что существует такая функция F на R2, что

p(x)= J J х(а, b)F(a, b)dadb

для всех х^^^ГУ Подсчитаем функцию F, пользуясь левоин- вариантностью меры ц.

Левоинвариантность меры ц означает, что соотношение

J J х ^аиа, a^b + b^ F (я, b) da db = J j x (a, b) F (^, b") da db

справедливо для всех хе^(Т) и всех элементов (я0, Ь^ееТ. Замена переменных b^a^b-Vb^ а'= аоа в левой части равенства приводит его к виду

j j х(а\ b^F(a^xa\ а^х (b' — Ь0У)а^2 da' db'.

Для определения функции F получаем равенство

F^a™xa, а~х (^b — Ьй^ = a2F (а, Ь), которое выполняется для почти всех (a, by Допуская, что оно имеет место всюду, и полагая ао = а, bQ = b, получаем

F(а, Ь) = —^ °^‘= const • а-2.

Можно проверить, что всякая функция F, определяемая этой формулой, обеспечивает левоинвариантность -меры ц. Из свойства (2) п. 4.18.2 следует, что

р(х) = const - J j х(а, b)a~2dadb,

где постоянная строго положительна.

Подсчитав левую меру Хаара на Г, мы можем использовать формулу (4.18.3) для определения модулярной функции А. Получаем A (a, Z>) = \а\. С помощью формулы (4.18.5) находится выражение для правой меры Хаара р:

p(x) = const х^а, b)\a[~x da db.

матриц видаматриц видаt =t =а bО а-1а bО а-1Пример. Пусть Т— группа вещественных треугольных

матриц вида

матриц вида

t =

t =

а b

О а-1

а b

О а-1

где я=£0 и b— вещественные числа. Закон композиции — умножение матриц. Снова можно считать Т подмножеством в R2 с индуцированной топологией. Получаем локально компактную группу. Для определения левой меры Хаара, модулярной функции и правой меры Хаара можно воспользоваться методом, примененным в предыдущем примере. Получаем, что левые меры Хаара имеют вид

p(x) = const х(а, b^a^dadh,

модулярная функция равна

А (<2, 6) = а2,так что для правых мер Хаара имеемр (%) = const Г | х(а, b)dadb,

где функции на Т представлены как функции точки (a, b)^R2.

Другие примеры можно найти у Хьюитта и Росса [1, (15.17)].

Групповые алгебры и свертка

При изучении конечных групп Т полезно рассматривать так называемые групповые алгебры или групповые кольца. Под групповой алгеброй понимают алгебру А над полем комплексных (или вещественных) чисел и такое отображение 9 группы Т в Л, что (1) 9(/f) =9(09(0 Для произвольных элементов t и V группы 7, (2) 9(7) порождает Л и (3) элементы 9(0 линейно независимы в А. Эти условия обеспечивают взаимную однозначность отображения 9 и определяют А однозначно с точностью до изоморфизма. Каждый элемент из А обладает единственным представлением в виде 2 f (О® (О» гле f— комплексная (или ве- teT

щественная) функция на 7. Если f и g— функции, соответствующие некоторым двум элементам из Л, то в силу (1) произведе-

нию этих элементов в А соответствует функция t * g, определяемая равенством

t*g<A = 3 t^g<s"4^ = 3 Uts~^g<s\s^Ts^T

Функция f *g называется сверткой функций f и g в заданном порядке. Таким образом, одной из реализаций групповой алгебры А служит алгебра комплексных (или вещественных) функций на Т с поточечными сложением и умножением на скаляры и со* сверткой в качестве умножения. При этом 9 — это отображение, которое каждому 1еТ ставит в соответствие функцию еь равную 1 в t и 0 на всех остальных элементах группы. Такая алгебра коммутативна тогда и только тогда, когда коммутативна группа Г.

Другой способ реализации групповой алгебры заключается в рассмотрении пар, каждая из которых состоит из функции f и меры 5 fWeb где е# — мера Дирака, сосредоточенная в точ- ке I. С точностью до положительного множителя мера н = 2 ^ teT является (биинвариантной) мерой Хаара на Г, соответствующей постоянной функции 1. Функции f соответствует мера f-p. Если а и р — меры, отвечающие соответственно функциям f и g, то мера, отвечающая функции f*gs обозначается через а^р. Легко проверяется, что выражение меры а*р непосредственно через аир имеет вид

а*р(х)= J da^ J x^tt'^d^tf^ т. е.

а*р(х) = а ® Р(х),(4.19.1)

где х — произвольный элемент изе^Г(Г) (т. е. произвольная комплексная функция на Г), а через х обозначена функция (/Т)^-> v-^x^tt^ на ТхТ. В этой реализации отображение 9 переводит t в вь

Попытаемся теперь распространить эти понятия на случай, когда Т — некоторая отделимая локально компактная топологическая группа. Опыт показывает, что при такой степени общности бесполезно характеризовать групповую алгебру условиями (1) — (3), как это делалось для конечной группы.

На практике соотношение (4.19.1) используется в качестве определения свертки для подходящего класса мер; групповые алгебры, изучавшиеся до сих пор, представляют собой некоторые алгебры мер со сверткой в качестве умножения.

При определении свертки мер, основанном на понятии свертки функций, возникает, вообще говоря, некоторая неопределен-

ность. Она появляется из-за того, что при выборе меры, отвечающей функции f, можно взять либо меру /•%, где X— левая мера Хаара на Г, либо меру f-p, где р — правая мера Хаара на Т. Эта неопределенность исчезает в том и только в том случае, когда группа Т унимодулярна (например, когда Т — конечная группа); при этом, естественно, можно брать любую биин- вариантную меру Хаара. Если группа не унимодулярна, то мы будем пользоваться левой мерой Хаара.

Если группа Т не компактна и свертку определяют формулой (4.19.1), то следует соответствующим образом ограничить запас мер аир, потому что функция х хотя и непрерывна, но не обладает, вообще говоря, компактным носителем. Исходя из всего сказанного, сформулируем определение следующим образом.

19.1. Определение. (1) Пусть а и р— положительные меры Радона на Т. Будем говорить, что свертка а * р определена (существует) , если для каждой функции ХЕаХ(Т) функция х интегрируема относительно меры-произведения а ® р. В этом случае сверткой а^р называется положительная мера Радона на Т, определенная формулой (4.19.1).

) Пусть а и р ~ комплексные меры Радона на Г с минимальными разложениями a = ai— аг + /а3 — Za4, P = Pi— Р2 + -Н‘Рз— ф4. Будем говорить, что свертка а*р мер аир определена, если существует каждая из сверток ar * ps (г, s = = 1,2,3,4). 'В этом случае сверткой а*Р называется мера 4I

crcs(аГ *р5), где ст=\, —1, i, —i при г=1, 2, 3, 4. (Эта фор- Г, 5=1

мула для определения свертки а*р — единственно возможная, если требовать, чтобы форма а^р была билинейной.)

Определенная в (1) (аир положительны) свертка а^р, очевидно, определена тогда и только тогда, когда для хеД(Т) интегрируема относительно a ® Р функция х. В этом случае функция х положительна, полунепрерывна снизу, и, следовательно, из результатов п. 4.17.2 вытекает, что условие существования свертки а*р можно записать в виде

(4.19.2)(4.19.2)J da(/)J x^tt^d^^ = j dp(O J x(//')fifa(0< + 00 для x^e7f^(TY

(4.19.2)

(4.19.2)

Это условие можно в свою очередь сформулировать в терминах мер аир, рассматриваемых как аддитивные функции измеримых подмножеств в Т. Для этого введем некоторые обозначения.

Для всякого подмножества Е в Т через Ё будем обозначать подмножество произведения ТуТ, состоящее из пар (/, V), для которых ttf е Е. Далее, по-прежнему считая, что а и, р —

положительные меры Радона на Г, введем следующие три функции множества:

Vi (£) = («®0Г(£),

у2(£)= JV (Г'е) da^,

Y3 (£)=f a*(^'’')W).

Очевидно, что каждая из этих функций есть возрастающая и счетно субаддитивная функции множества.

19.2. Предложение. Пусть а и р— положительные меры Радона на Т и yk (А=1, 2, 3)—определенные выше функции. Тогда

yi(U) = Y2(^) =Тз(^) для каждого открытого множества UclT;

свертка а^р существует тогда и только тогда, когда y^U) =42 (U) = уз(^) < +оо для каждого открытого относительно компактного множества U а Т;

свертка а * р существует тогда и только тогда, когда

inf (yi W, у2 W, Y3 W) < + 00

для каждого компактного множества KclT; в этом случае для всех таких множеств К имеют место равенства

У1(Т<)=у2(^)=тз(Я);

свертка а * р существует тогда и только тогда, когда существуют такие «сколь угодно большие» относительно компактные множества A czT, что

inf(YiH), Y20), узИ))< +оо.

условии (4) имеется в виду, что всякое компактное множество К^Т содержится в некотором множестве А, удовлетворяющем сформулированным условиям.)

Доказательство. (1) непосредственно следует из результатов п. 4.17.2.

Для доказательства утверждения (2) заметим, что каждая функция хеЖ(Т) удовлетворяет неравенству х ^ const хи, где U — открытое относительно компактное множество, и, обратно, если U — открытое относительно компактное множество, то Хи^х для некоторой функции хе^ЦТ"). Остается сослаться на критерий (4.19.2).

Пусть К — компактное множество. Тогда KczU, где U — некоторое открытое относительно компактное множество, так что Х^^Х#* Функция х^ полунепрерывна сверху и, еле-

довательно, измерима относительно меры а®р. Из (1) вытекает тогда, что функция х^ интегрируема относительно а®р. По теореме Фубини

¥1(Ю = (а®Р)*(£) = у2(К) =Уз(/<),

причем общее значение этих равенств не превосходит ^Х^Щ = = (а® Р)*(£7)< + оо.

Обратно, если U— относительно компактное открытое множество, то U cz К. где K=U компактно. Поэтому выполнение условия (3) в силу (2) влечет существование меры а^р.

Наконец, с помощью аналогичных рассуждений можно показать, что (4) эквивалентно (3). Предложение полностью доказано. |

Следствие. Пусть а, р, а7, р7— положительные меры Радона на Т. Тогда

Если aXaf и р ^ р', то из существования свертки а7 * р7 следует существование свертки а * р, причем а * р <^ а7 * р7.

Если определены свертки а * р и а7*р, то свертка (а + а7)*р определена и равна а*р + а7*р. Аналогично а*(р + р7) = а* р + а* р7, если оба члена в правой части определены.

Свертка а * р существует, если одна из мер а, р имеет компактный носитель либо если каждая из мер а, р ограничена. В последнем случае мера а * р также ограничена и (а * Р) (Т) = -«(ЛОТ-

Доказательство. Все эти утверждения непосредственно вытекают из определения 4.19.1(1) и предложения 4.19.2, если принять во внимание билинейную зависимость каждой из функций \k (& = 1, 2, 3) от а и р. |

Следствие. Пусть а и р— комплексные меры Радона на Т.

(1) Свертка а*р определена тогда и только тогда, когда определена свертка |а|*1р|, при этом

| а •» р | < | а | * j р |.

Свертка а * р определена, если одна из мер а, р имеет компактный носитель или если каждая из мер а, р ограничена. Доказательство. Это непосредственно следует из определения 4.19.1(2) и следствия 4.19.3. |

Рассмотрим теперь вопрос о том, останется ли определяющая формула (4.19.1) справедливой, если х будет более общей функцией.

Теорема. Пусть а и $ —положительные меры Радона, л=а®р и свертка у«а*р определена.

Формула

V* Ш = л (7) = / ’ da (О J * f (tf) dp (f) =^d№p №') da (t)

(4.19.3) справедлива для всякой положительной полунепрерывной снизу функции f, а также для всякой функции f^ О, которая ^-измерима и у-о-конечна.

Если функция f у-преНебрежима, то функция f ы-прене- брежима*, если функция f у-измерима, то функция f п-измерима.

^ Для всякой функции f^Q выполняются неравенства sup [ / * da (О j * f (if) dp (f), / * dp (t') / * f (it') da (/)] < Л* (h < Y* (Д (4.19.4)

Для любой у-о-конечной функции f^ О имеет место формула

V4fW4f).(4.19.5)

Доказательство. Если функция f > О полунепрерывна снизу, то она является верхней огибающей тех функций х ^ О из д^, которые мажорируются функцией f. Функция f есть верхняя огибающая соответствующих функций х. Первая часть утверждения ((1) следует из результатов п. 4.5.1 и 4.17.2. Утверждение (3) вытекает из (1), если воспользоваться результатами п. 4.17.3. Первая часть утверждения (2) получается как частный случай (3). Что касается второй его части, то достаточно показать, что у-измеримость множества A cz Т влечет л-измеримость множества Л. Пусть множество На ТхТ компактно. Тогда найдется такое компактное множество Кс Т, что Н a R. Поэтому имеют место равенства ЛПЯ=Л(АкН = (Л ПК) * (АН. Множество Л ПК у-интегрируемо; значит, существует у-интегрируемое множество S типа О^1), содержащее Л ПК и такое, что множество 5\(ЛПК) у-пренебрежимо. Тогда множество 5\(ЛПК)_ л-пренебрежимо. Множество 8 является множеством типа, G6 в ТхТ и потому л-измеримо. Таким образом, (ЛП/С) л-изме- римо, и то же справедливо для множества ЛПЯ = (Л ПК) * ПЯ. Итак, утверждение (2) доказано.

Перейдем к утверждению (4). В силу (2) и принципа монотонной сходимости достаточно рассмотреть случай, когда f обращается в нуль вне открытой относительно компактной окрестности V элемента е. В силу (3) достаточно показать, что у*(/)^ ^^(f). При этом можно считать, что / = л*(7)< + оо. Для за-

]) Множество типа G^— это множество, представимое в виде пересечения счетного семейства открытых множеств. — Прим, перев.

данного е>0 найдем такую полунепрерывную снизу функцию Ф>Л что л*(Ф) <^/ + е. Пусть функция g, определенная на Г, равна нулю вне V • V, а во всякой точке sgV-V принимает значение'

inf{®(/, Г): feV, tf^sY

4ovwg(t, У) = §•(//') ^Ф(^ О Ha VXV и неравенство £^Ф имеет место всюду на ТхТ. На множестве V • V zd V справедливо соотношение g(s)>f(s); следовательно, g^f всюду на Т. Таким образом, f ^ g, и f ^ g ^ Ф.

Мы утверждаем, что сужение £|(У • 7) полунепрерывно снизу. Поскольку g = 0 вне V • V, то функция g сама полунепрерывна снизу. Пусть $ое^*^ и g(s0)>c; возьмем такое с'>с, что g^s0)>cz. Тогда на множестве Л5оП(ИХУ), где_Л5 = = {(/, fy. if = sY имеем Ф(/, Г)>с\ Множество ^ГК^ X V) компактно, а функция Ф полунепрерывна снизу. Поэтому Ф(/, У)></ на некотором открытом множестве W, содержащем Л5оП(И X V). Если точка s достаточно близка к % то множество W будет содержать Л5П(У X У), так что значение g(s) будет не меньше с'>с для всех sey -У, достаточно близких к $0. Это означает, что сужение £|(У - У) полунепрерывно снизу. Значит, справедливо неравенство у* (f) ^ Y* (§"), которое в силу первой части утверждения (1) равносильно неравенству л*(^)^ ^л*(Ф)^/ + е. Полагая е->0, получаем (4). |

Следствие, (а) Если меры а и Р ограничены, то у = = а *р определена и ограничена, формула (4.19 5) имеет место для всех функций f^O, а формула (4.19.3) —для всех -^-измеримых функций

(b) Если свертка у = а*р определена и группа ^-а-конёчна, то равенство (4.19.5) выполняется для всех функций f > 0, а соотношение (4.19.3) справедливо для всех -^-измеримых функций

Доказательство. Оба утверждения непосредственно следуют из предложений (4) и (1) теоремы 4.19.5, так как в любом из этих случаев всякая функция f будет у-о-конечной. |

Об ассоциативности свертки. Пусть ос, р и у — три меры Радона на Т. Из существования сверток а*р и (ос * Р) *у не следует существования сверток р ^у и а*(Р«у). Действительно, первые две свертки определены при ос = 0 независимо от того, каковы меры Р и у. Сейчас мы укажем, какими должны быть меры а, р, у, чтобы имела место ассоциативность свертки.

Предложение. Пусть ос, р и -^ — комплексные меры Радона на Т. Если существуют свертки ос * р, (а * р) * у, р*у и

а* (Р*у)> т0

(а*р)*у = а* (р*у).(4.19.6)

Доказательство. Достаточно рассмотреть случай, когда все три меры положительны. Если хее^+(Т), то значения (а*Р) *у(х) и а* (Р*у)(х) равны соответственно

J Mt"^ da(0 j xktt't'^dW И

| da(/)J d^ J x^l't^U").

Совпадение этих интегралов устанавливается повторным применением результатов п. 4.17.2 в силу полунепрерывности снизу функции x^tt't") на ТхТхТ. Таким образом, равенство рассматриваемых двух мер доказано. |

Следствие. Операция свертки ассоциативна на множестве ограниченных мер Радона.

Доказательство вытекает из следствия 4.19.6(a) и предложения 4.19.7. 1

Для практических целей это, вероятно, наиболее важный случай.

Следствие. Если по крайней мере две из трех мер а, р и у обладают компактными носителями, то справедлива формула (4.19.6). В частности, операция свертки ассоциативна на множестве мер с компактными носителями.

Замечания. Пусть М(Т) (соотв. МС(Т))—множество ограниченных (соотв. обладающих компактными носителями) мер Радона на Т. Последние два следствия показывают, что оба множества М и Мс являются алгебрами, если под произведением мер понимается их свертка. В любом из этих двух случаев 6—>8/ есть такое взаимно однозначное отображение группы Т в рассматриваемую алгебру, что б/*^/ = 8/г. Поэтому каждую из этих двух алгебр можно назвать групповой алгеброй на Т. Если группа Т компактна, то обе алгебры совпадают. В противном случае они структурно совершенно различны (даже как топологические векторные пространства). На данном этапе вряд ли можно предпочесть одну из этих алгебр другой. Как мы увидим ниже, существует еще много других алгебр, которые естественно называть групповыми.

Свертка функций. До сих пор свертка рассматривалась как операция, применимая исключительно к мерам. Отождествляя функции с локально ц-абсолютно непрерывными мерами, где ц— левая мера Хаара, понятие свертки можно распространить и на функции. (Можно с таким же успехом воспользоваться

правой мерой Хаара и получить параллельную теорию. При этом различие между двумя теориями будет тривиальным.)

Пусть ц— некоторая фиксированная левая мера Хаара на Т. Рассмотрим вначале свертку &*р, где a = f-p, причем функция f локально интегрируема относительно ц. Эта свертка определена тогда и только тогда, когда определена свертка l«l* IPI = (If I-iiM0l- в силу предложения 4.19.2(2) так будет тогда и только тогда, когда

для каждого открытого относительно компактного множества U. Далее в силу предложения 4.13.2(1)

I а г (с/г-1) = J %ш,-1(/)|/М№ № = / %лад

Таким образом, мера а*р определена тогда и только тогда, когдаf лт/ x^mi/Wixx + oo,

т. е. тогда и только тогда, когда

/ ЛРКО/ хЛ5)!^'-1)^') №(s)< + <x>

для каждого открытого относительно компактного множества UcT. Допуская, что это условие выполнено и что, кроме того, / = 0 вне некоторого ц-о-конечного множества (или что функция |f| полунепрерывна снизу), из теоремы Тонелли и Фубини получаем, ЧТО ДЛЯ X ео^(Г)

(«*Р)(х)= J Ф(И / x^Hf^d^a^

= / dp(H/ x(s)f(SX)A (/')<№ =

= J x(s)dp(s) J f (sf-1) A(/') d^ У'), причем функция t' \—> f(st,-x) /Х^ p-интегрируема для локально ц-почти всех значений s. Таким образом, функция g, локально ц-почти всюду определенная формулой

g(0= JXs-WsWs),(4.19.7)

локально интегрируема относительно ц и (/чО ^ P=S*е Р- Ввиду всего этого мы рассматриваем свертку f^p как функцию g, определенную локально почти всюду формулой (4.19.7).

Приведенные выше рассуждения можно повторить в предположении, что не мера а, а мера р имеет вид f-p. Это приводит

нас к определению свертки а * f как функции h, определенной локально ц-почти всюду формулой

h^ = J f(s"4)<Za(s).(4.19.8)

Из существования свертки a*p = a*(f-p) следует локальная интегрируемость относительно ц функции 1г.

Можно также рассмотреть случай, когда a = f’p и р = £*ц, где функции f и g локально интегрируемы относительно ц и каждая из них равна 0 вне некоторого ц-о-конечного множества (или |П, |g| полунепрерывны снизу). Свертка а*р определена тогда и только тогда, когда

J 1М01Ф(0/ Xi/GOl^^l^^X + 00(4.19.9)

для каждого открытого относительно компактного множества Del. При этом условии функция

МО = f f ^ g (s-1) dll (s) = j f (s) g (s-10 dy (s) =•

= JfMg^A^^^)(4.19.10)

локально ц-почти всюду определена, локально ^-интегрируема и a* Р= (f •ц) * U?• ц) =А • щ Согласно предыдущему, естественно рассматривать функцию h как свертку ^g функций / и g (в указанном порядке). Вероятно, наиболее важен случай, когда функции / и g ц-интегрируемы. Тогда меры a=f-|ii и p=g‘- |ы ограничены, свертка a * р определена и ограничена, так что функция h ц-интегрирусма. Фактически в этом случае

(Л) = ЗД * g) < ^ (f) Nx (g).(4.19.11)

Таким образом, пространство J?1 ^J?1 (Г, ц) (или его фактор- пространство D^D^T, ц)) представляет собой еще одну групповую алгебру, которая оказывается обычно удобнее всех.

Другие два часто встречающиеся случая свертки f^g рассмотрены ниже.

Заметим, что пространство^(Г) само образует алгебру относительно свертки, если определить ее формулой (4.19.10). Это еще один пример групповой алгебры.

Замечание. Если пространство Т нс является о-компакт- ным, то условие, что f и g равны 0 вне ц-о-конечного множества (или что |/|, |g| —полунепрерывные снизу функции), не может быть совсем опущено; подробности см. у Бурбаки [9, гл.VIII].

Пусть fs^1 и §е2» ^\<.р<оо^ (или

при р = оо). Из неравенства Гёльдера следует, что внутренний интеграл в (4.19.9) представляет собой ограниченную функцию

от /, поэтому выполняется неравенство (4.19.9). Следовательно, определена свертка h = f*g. Кроме того, для хесТ(7) имеем ||/гхф^<| |х(0|ф(/)| lf(s)g(s-1/)^p(s) =

= / |f(s)|^(s)/ I g(s-10l HWlHO-

В силу неравенства Гельдера внутренний интеграл мажорируется произведением Np(g)NP' (х). Отсюда следует, что h^S?? и

NpU^g^NAhNpU').(4.19.12)

Если р = оо, то можно заменить N^g) на N^g).

Пусть f^^p и ^е.^р (т. е. \р g^<S’p\ Тогда левая часть (4.19.9) равна

/ ХУ($)Ф($)/ l/Wll5^-1s)l^(0.

где внутренний интеграл в силу неравенства Гельдера мажорируется величиной

Np, (/) • J Хи W dp (s) • Np (g) < + oo.

Таким образом, свертка h = f -^ g определена. Далее, применяя неравенство Гёльдера к правой части (4.19.10), получаем, что интеграл, определяющий /г, существует всюду и h^ мажорируется произведением Np^f) • Np(g\ В частности, ^g^J?00 и

N^hg^Np-^Np^.(4.19.13)

Действительно, из (4.19.10), как можно показать, следует непрерывность функции f * g, а при 1<р<оо f^g стремится к нулю на бесконечности.

В силу (4.19.12) пересечение J?1 И J?p образует алгебру относительно свертки. Если группа Т компактна, то это пересечение совпадает с $^. Все эти алгебры можно назвать групповыми.

Свертка и сдвиг. Правый и левый сдвиги комплексной меры Радона а на элемент а г Т определяются формулами

(£»(*) = а(Еа-14 (ОДМ = a(Ra-lx)

для хе^^Т) или, что то же самое, формулами

(ОД* (Е) = а- №. (ОД* (Е) = а* (Еа),

где Е — произвольное множество в Т. Например, Ь'аъь = еа-16. Исходя из этого определения, легко проверить, что La (/ • р) =

= (IJ) • И Для всякой локально интегрируемой относительно ц функции f. Тем нс менее различие в обозначениях вызвано тем, что Lab = LaLb, тогда как Lab = LbLa. в действительности сдвиг Ад является сопряженным оператором к L^-x относительно двойственности между о%ЧГ) и пространством мер на Т.

Из предложения 4.19.2 вытекает, что существование свертки а*р всегда влечет за собой'Существование свертки (£да)*р, при этом (/^а) * р = Ц (а * Р). Аналбгично из существования а*р следует существование а*(/?др), причем а * (/?аР) = Ra (а * Р). Таким образом, левый сдвиг коммутирует со сверткой слева, а правый сдвиг — со сверткой справа. Эти свойства почти полностью характеризуют свертку (слева или справа), рассматриваемую как линейное отображение различных классов мер (или функций) в себя. (Подробности см. в п. 5.11.3.)

Свертка как процесс сглаживания. Вернемся к формулам (4.19.7) и (4.19.8), определяющим функции f^p и а * f соответственно. Рассмотрим для определенности первую из них. Если f непрерывна и для каждого компактного множества КаТ имеет место неравенство

IH^lACsXcp^) kt^K. s^T\At\

где функция ф (которую можно взять полунепрерывной снизу) Р-интегрируема и множество At p-пренебрежимо, то свертка f*P определена. Далее интеграл (4.19.7) существует для всех t и представляет собою непрерывную функцию от А Поэтому если выполнены сформулированные условия, то функция f*p непрерывна. Таким образом, свертка с функцией / слева «сглаживает» меру р и превращает ее в непрерывную функцию f*p.

Если группа Т совпадает с R или с R/2n, то можно пойти дальше. В случае когда функция f обладает п непрерывными производными, каждая из которых удовлетворяет тому же условию ограниченности сверху, что и сама функция f, свертка f*p также будет иметь п непрерывны^ производных, причем операция дифференцирования перестановочна со сверткой:

(МР)' = /'*Р, (/*РГ = Г*Р и т. д.

Если Т — произведение конечного числа групп R или R/2n, то справедливы аналогичные замечания относительно частных производных. Такие же утверждения верны и для a^f.

Описанный процесс сглаживания полезен и интересен по следующим причинам. Так как е*Р=Р, то естественно ожидать, что свертка f*p в некотором смысле сходится к р, если f соответствующим образом стремится к е; эти надежды оправдываются, а смысл сходимости зависит в некоторой степени от огра-

ничений, накладываемых на f и р. Рассмотрим несколько типичных случаев.

Если носители мер аг- содержатся все в фиксированном компактном множестве и Птаг = е в широкой топологии1), то lim (cti*P)=p в той же топологии. Действительно, в силу сделанных предположений lim аг(Т) = 1. Кроме того, если хео/Г(Д то

а< * Р U) - а, (Г) • р (х) = J dat (О J {х <tt'> - х (/')) <^Р (О = «г (г),

где

Функция z непрерывна, поэтому на компактном множестве, содержащем носители всех мер «ь она совпадает с некоторой функцией из е^(Т). Следовательно, lim аДг) = e(z) =г(е) =0, откуда и вытекает наше утверждение.

Применим утверждение (1) к мерам вида а$=/г ц, где функции ^ непрерывны и равны нулю вне фиксированного компактного множества, причем меры о^ удовлетворяют всем остальным условиям из (1). Тогда непрерывные функции fi^^ = bt сходятся в широкой топологии к р (т. е. меры б^-ц сходятся В ЭТОЙ ТОПОЛОГИИ К Р).

Рассмотрим случай, когда а( = ft • ц и р = g • ц, где g^S^. Допустим (ср. с п. 4.19.12), что каждая функция ^ принадлежит «S^1, так что gi = fi*g^S"p. Пусть х^еТ(Г) и ci = = / ft dp. Тогда

/ х (0 [g( W-Cig(/)] dp (0 = Jx ^dp(/) J h (s) [g(s~4)-g (0] dp (s), где модуль правой части не превосходит

J |х(/)|ф(0/ 1Л(з)||§(5_10-^(0|ф(«) =

= J I /;($)№($) J l^(S~V)~g(0l|x(0l^W-

Применяя к внутреннему интегралу неравенство Гёльдера, получаем

| J (^ - ctg) х dp | < j I ft (s) I Np (L-\g - g) dp (s) • Np, (x), откуда

Np (St - c^ < / I fl (s) I Np (L-Vg - g) dp (s) = J | ft (s) I n (s) dp (s).

9 См. n. 2.2.8. — Прим, nepee.

Функция п ограничена, а именно |n(s) | ^ ^Np^gY При р4=оо она непрерывна и п^=0. Если для всякой окрестности V элемента е в Т выполняются условия

lim J ft(s)d^ = 1,

limsup [ I/Д$)|йр($)< + оо, (4.19.14)

lim J |f/(s)|rfn(s) = O,

1 T\V

to Np^gt — g)-^0. Другими словами, если семейство (ft) удовлетворяет указанным условиям и \^р<оо, то lim(fi *g) = g в смысле-2^ при geSX Это утверждение не имеет места при р = оо, хотя по-прежнему (ft * g) -+ g слабо в 2^°°. См. также следующий случай (4).

Рассмотрим, наконец, случай, когда аг-—frp, гДе функции ft такие же, как и в (3), и |3 = g*p, где функция g непрерывна. Полагая gi = fi*g, получаем

lg/(0-c/g(0K / IM^IIg^O-g^WO?)-

Если функции ft удовлетворяют условиям (4/19.14) и их носители содержатся в фиксированном компактном множестве, то fi*g-+g равномерно на компактных множествах. Это остается справедливым и в том случае, когда g ограничена и функции ft удовлетворяют лишь условиям (4.19.14). Если, наконец, g ограничена и равномерно непрерывна, a ft удовлетворяют условиям (4.19.14), то fi^g-^g равномерно на Т.

Другие групповые алгебры. Мы привели не менее пяти примеров групповых алгебр, соответствующих заданной группе Г, а именно: М^Т) и МС(Т) (п. 4.19.10), .S^1 = ^^Т, р) и е^(Г) (п. 4.19.11), ^^-^^ (п. 4.19.14). Опишем теперь способ построения бесконечного числа групповых алгебр, которые также представляют определенный интерес.

Каждая из этих алгебр характеризуется некоторой весовой функцией w, которая строго положительна на Г и имеет положительную нижнюю грань на каждом компактном подмножестве в Т. Функция w может принимать значение + оо в некоторых или во всех точках Т. Предположим далее, что существует такое число й>0, что w^tt^^ kw(t)w(t') для всех точек t и V из Т. Оказывается, что алгебра, соответствующая функции w, не изменится, если умножить w на строго положительное число. По-

скольку это число можно выбрать так, чтобы новая функция удовлетворяла условию

(4.19.15)

можно считать, что функция w с самого начала удовлетворяет условию (4.19.15). Такую функцию мы будем называть положительным подхарактером на Л

Пусть задана 'функция w>0, удовлетворяющая условию (4.19.15). Обозначим через 7И{^} множество комплексных мер Радона а на Г, для которых

Л^(а) — J ^d|a|< + oo.(4.19.16)

Множество Л4{^}, очевидно, является комплексным векторным пространством, на котором Nw есть полунорма.

Проверим, что ЛЦ^} есть алгебра относительно свертки. Пусть С/ — некоторое открытое относительно компактное множество в Г. В силу формулы (4.19.15)

) = W (/) W (/ )7777 ^ W (/) Wf ■.

W х 7\\77 W (tt )

Так как нижняя грань функции w положительна на U*U, то

Таи ^^ ^ const W (/) W ^\

причем постоянная, вообще говоря, зависит от U. Если а, Р е 7И{^}, то из теоремы 4.19.5(1) и предложения 4.19.2(3) следует, что свертка сир определена. Кроме того, если у = а*р, то М = Ы*|р|, поэтому (теорема 4.19.5(1))

Ww(y)= / a’rflYHj t/|a|(0 J ф^ИРК^'Х

< j d|a|(/)j к>(0ИО^1Р1(^ = -Ме,(а)ЛГ„,(Р),

во всяком случае если функция w полунепрерывна снизу. Этот вывод остается справедливым, если Т о-компактно (теорема 4.19.5(4)) или если w имеет положительную нижнюю грань на Т (тогда меры а и р обязательно ограничены, так же как и мера у, так что можно применить теорему 4.19.5(4)). Следовательно, во всех этих случаях a * р Af{w} и

^(a*B)<M^(a)Mw(p).(4.19.17)

Интересная подалгебра в Л4{^} получается, если рассмотреть только те меры a^A4{w}, которые локально абсолютно непрерывны относительно меры ц. Всякую такую меру можно

записать в виде a=f*p, где / локально интегрируема относительно р. Тогда, если функция w полунепрерывна снизу или если Т является сс-о-конечным (что необходимо в случае, когда функция w имеет положительную нижнюю грань), имеем

^w(a)=j wd|a|=j w|/|dp<4-oo.

Отсюда следует, что f локально почти всюду равна функции f\ для которой wf's 3х (р) и

Поэтому рассматриваемую подалгебру можно отождествить с множеством «^{w} тех измеримых относительно меры р функций f, для которых

N^^D-NxHX + °®-N^^D-NxHX + °®-(4.19.18)(4.19.18)

N^^D-NxHX + °®-

N^^D-NxHX + °®-

(4.19.18)

(4.19.18)

Функции f, такие, что 2Vw(f) = O, совпадают с р-пренебрежимыми функциями, и ассоциированное факторпространство L1 {ш} является нормированной алгеброй. Если ^ = 1, то S?x {w} и L1^} сводятся соответственно к ^(р) и ^Чн)-

Следует заметить, что множество Е тех точек t^T, в которых ^(/) = + оо, является a-пренебрежимым для каждой меры а е А1{^} и что каждая функция f е S^tw} равна нулю р-почти всюду на Е.

-Пример. Положим T=R и t^(0 = ^felzl, где к — вещественное число, & > 0. Тогда все наши требования выполняются.

Пример. Опять возьмем T=R, и пусть к — вещественное число. Положим

илиили[4-оо при t ^0, ( е при / > О,

или

или

[ 4- оо при /^0,

W(/)= a

I ekt при / > О,

где 6^0 и 04 а<1.

Эти функции w удовлетворяют всем поставленным требованиям. Каждая мера а^7И{^} имеет носителем (0, 4-оо), и каждая функция feJ?1^ равна нулю почти всюду на (—оо, 0). Можно, таким образом, считать, что J?1^} состоит из р-изме- римых на (0, 4~ оо) функций f, для которых

AUf)= J е6<Щ01^м-Ю< + °°>

где ц— мера Лебега на R+. Свертка таких двух функций f и g дается формулой

t

f*gW = ^Kt-s^g^d^s) (^>0).о

По отношению к сверткам функций на (—оо, -f-оо) эту свертку называют иногда усеченной сверткой. Эта операция естественно возникает при исследовании одностороннего преобразования Лапласа J e~ptf(t) dp,(t\ определенного для вещественных р^ k о

(или для комплексных р с Re р*> ку

Гомоморфизмы групповых алгебр. Изучение специальных видов алгебр (в частности, полных нормированных коммутативных алгебр), среди которых много групповых алгебр над коммутативными группами, показывает, что гомоморфизмы таких алгебр на поле комплексных чисел играют решающую роль. Эти гомоморфизмы играют роль, аналогичную роли непрерывных линейных форм на локально выпуклом пространстве. Оправдание этого замечания увело бы нас в сторону, поэтому рекомендуем читателю книги Наймарка [1], Лю ми с а [1] и Риккарта [1]. Однако мы хотим показать, каким образом это замечание, если принять его справедливость, приводит, по крайней мере в случае некоторых групповых алгебр, к естественному обобщению ряда и интеграла Фурье и преобразования Лапласа.

Пусть Г, как и раньше, — отделимая локально компактная группа. Характером на Т называется такая комплексная функция х на Г, что

Х(е)=1, хт = х№%(П.(4.19.19)

Другими словами, х— это гомоморфизм группы Т на мультипликативную группу С* отличных от нуля комплексных чисел. Если функция х ограничена, то из (4.19.19) следует, что |х(0 I =1 для всех t, т. е. что х— гомоморфизм группы Т в мультипликативную группу комплексных чисел с модулем 1. Мы будем иметь дело главным образом с непрерывными характерами (см., однако, упр. 4.22).

Легко видеть, что единственными непрерывными характерами на R являются функции вида xtO^^» гДе с — комплексное число. Если х — ограниченная функция, то с — вещественно, и обратно. Непрерывные характеры на R/2n получаются из указанных, если в качестве с берутся целые числа.,-

Пусть х — характер на Т. В обозначениях п. 4.19.17 положим ^=|х1 и построим ассоциированные алгебры М{ш} и ЗДгеф,

которые теперь будем обозначать через Л4{х} и 2?Чх¥ Если х— ограниченная функция, то получаем просто М и»^1. Пусть х— непрерывный характер. Тогда отображения

си—* а (х)= J xda, (4.19.20) и

^Нт) = Jx(0f(W)

являются гомоморфизмами в С алгебр Л1{х} и ^Чх) соответственно. Если рассматриваемая алгебра не сводится к {0}, то соответствующий гомоморфизм есть гомоморфизм на С. [Действительно, достаточно показать, что алгебра не отображается в {0}. Допустим противное. Если мера или функция а принадлежит алгебре, то ей принадлежит и f*a для всякой функции feo^(T). Из наших предположений вытекает, что ^т)йа = 0 для всех функций f; следовательно, х«а = 0. Так как функция х непрерывна и нигде в нуль не обращается, то а = 0 в противоречие с допущением, что алгебра не совпадает с {0}.]

Более общим образом, можно взять множество S непрерывных характеров и образовать алгебры

M{S}= П Л1(х), ^*{S}= П ^/УX^S /gS

Тогда каждый характер, принадлежащий S, с помощью формул (4.19.20) порождает гомоморфизм алгебры М{5} или S^S} на С. Особенно важен случай, когда S состоит из всех ограниченных непрерывных характеров. Тогда ЛД5} = Л4 и ^х {S} = Sx.

Естественно возникает вопрос: любой ли гомоморфизм алгебры Л4{5} или eS^fS} на С получается только что описанным способом? Вообще говоря, ответ отрицательный для Л1{5} и утвердительный для^1^}. В частности, для T=R известно (Рудин [9, § 5.3], Хьюитт и Росс [1]), что не все гомоморфизмы М в С получаются таким способом. Окончательного ответа до сих пор нет. С другой стороны, известно, что каждый гомоморфизм алгебры^1 на С получается с помощью некоторого ограниченного непрерывного характера на Т при условии, что группа Т коммутативна. Если F=R, то функция f, определенная формулой (4.19.20) для всех ограниченных характеров х, совпадает с классическим преобразованием Фурье функции f. Рассмотрим вкратце алгебру cS^fw}.

Ради простоты ограничимся случаем, когда функция w всюду конечна и локально интегрируема относительно ц. (Некоторые другие случаи, включая и описанные в примере 4.19.19, также

могут быть исследованы приводимым ниже методом, если внести соответствующие изменения.) Тогдае^(Г) с ^{ш} и из теоремы Хана — Банаха и теоремы 4.16.1 легко получаем, что е^(Г) плотно в^М (относительно полунормы N^. Алгебра cS?1^} также полна. Если группа Т коммутативна, то алгебра ^^w}, как и все перечисленные до сих пор групповые алгебры, коммутативна. Относительно этого типа алгебр известно (Риккарт [1, следствие (3.1.7)]), что каждый их гомоморфизм непрерывен. Таким образом, если обозначить через X некоторый гомоморфизм алгебры J?1^} на С, то

| Х(/)|< const ^(/).

Если функция w удовлетворяет указанным условиям, то алгебра J?1^} инвариантна относительно сдвигов, т. е. если fe^^w^ то LJe^f^} для любого элемента а группы Т. Так как гомоморфизм X не равен тождественно нулю, то можно найти такую функцию feo^F), что X(f) =£0. Рассмотрим на Т функцию %, определенную равенством

^ = X<La-^Xkt\

Из свойств, которыми по условию обладает w, следует непрерывная зависимость La-\^ от а, поэтому функция х непрерывна. Далее если группа Т коммутативна, то, как легко проверить, откуда

х(а&) = х(а)х0).

т. е. % — непрерывный характер на Т. Кроме того,

| х(а)|< const ^(L^if)^ const w (a).(4.19.21)

Пусть теперь gE^”(7). Свертка

/ * £ (0 = J f (^-I) g (s) dp (s)

может быть сколь угодно точно аппроксимирована в^1^ конечными суммами

таким образом, что суммы 2 X^gfo^Mi) стремятся

к J x(s)g(s)c?p(s). В силу непрерывности гомоморфизма X

X(f*g) = X(f)-X(g)

является пределом сумм 2 ^(^-‘f) • S^Jt1^)1 Деление на ^(/)^О приводит к равенству

X(g)= J %(s)s(s)^(s).

Оно справедливо для каждой функции gesT(T). Обе части равенства непрерывны на ^Ч®} (так как lx(s) 1^ const w(s)), поэтому оно верно по непрерывности для всякой функции geS’^Y Полученная таким образом формула

Х1П=№

где fe^f®}. показывает, что гомоморфизм X имеет вид (4.19.20) в силу непрерывности характера %, удовлетворяющего условию (4.19.21). Обратно (это тривиально), всякий непрерывный характер, удовлетворяющий условию (4.19.21), порождает непрерывный гомоморфизм алгебры о^Ч®} на С вида (4.19.20).

Пример. Пусть Т и w — те же, что и в примере 4.19.18. Тогда xW = elct> где le^l^const • е6|/|. Таким образом, | Imc|^&, и

Если 6 = 0, то с — вещественно и f совпадает с классическим преобразованием Фурье функции f ^ ^(р). В § 10.3 и 10.4 мы вернемся к теории преобразований Фурье на локально компактных коммутативных- группах.

Замечания. Различные алгебры со сверткой над локально компактной группой Т служат источником многих задач, как решенных, так и нерешенных, касающихся структуры этих алгебр. См. Сигал [1, 3], Рейтер [1—6], Рудин [1, 2, 5—7, 9], Хьюитт [11], Хьюитт и Ро с с [1], М а л я в е н [1—3].

Некоторые функциональные пространства Л над Т ведут себя так, что каждая ограниченная мера р, определяет на А эндоморфизм, действуя как свертка. Например, каждая мера р определяет эндоморфизм СЦ)Р пространства 2>, где C^pf— это класс функций p*f (которые почти всюду равны некоторой функции из <2^. Каждый гомоморфизм СЦ1 р непрерывен и имеет норму, не большую, чем II р, 11 (полная масса меры |р|). Имеется ряд нерешенных задач, связанных с эндоморфизмами Сц, р (см. Дьедонне [12, 12а]).

В гл. 5 мы кратко остановимся на свертках более общих объектов (распределений), нежели функции и меры, ограничившись при этом случаем T=Rme

Несколько иной подход к сверткам и их свойствам используется в книге Хьюитта и Росса [1, § 19, 20].

Критерий А. Вейля компактности в пространствах 3^ над группой

В этом параграфе Т— отделимая локально компактная группа с левой мерой Хаара р. Напомним читателю, что если f— функция на Т и а — элемент группы 7, то через af обозначается левый сдвиг /H-»f(a/) функции f. Критерий А. Вейля формулируется следующим образом.

Теорема. Пусть \^Ср<оо. Для относительной компактности множества F в пространстве Зр = Зр(Д\ р) необходимо и достаточно, чтобы выполнялись следующие три условия*.

supf^OT: feF}< + oo;

для всякого е>0 существует такое компактное множество КсТ, что

sup f f I Л₽ ^£ / s F1 ^ е;

I т\кJ

для всякого е>0 существует такая окрестность U нейтрального элемента группы Т, что для любого элемента ael)

supU^pU-fY- f^F}^e.

Замечания. Условие (1) означает ограниченность множества F в -Зт. Условие (2) показывает, что функции множества F «равномерно убывают к нулю на бесконечности» в смысле Зр. Наконец, условие (3) означает равностепенную непрерывность множества F в смысле ^р. Имеется, таким образом, очевидное сходство с теоремой Асколи.

Доказательство. Необходимость является почти очевидным следствием предкрмпактности (т. е. полной ограниченности) множества F. Предкомпактность означает, что для любого заданного 8>0 существуют такие функции fi, ..., fn в F, что всякая функция f^F удовлетворяет условию Np(j— ft) ^ е при некотором зависящем от f индексе i (l^i-^n). Каждое из условий (1) — (3) справедливо для всякого одноэлементного множества в -Зр, а потому и для любого конечного множества {fb • • •, fn}- Но тогда эти условия выполняются и для всякого предкомпактного множества Fа«Зр.

Перейдем к доказательству достаточности. Для заданного 8>0 выберем компактное множество К, удовлетворяющее неравенству из (2), и пусть F* — множество функций вида (* = {%%> где f пробегает F. В силу (3), выбрав достаточно малую

симметричную компактную окрестность ^нейтральногоэлемента группы Т и такую функцию г ^ О во/Г(7), что г=0 вне выбранной окрестности Un Jrrfp=l, и положив /** = /**г, получим

Npa*-nO (4.20.1)

равномерно по f ^F. Обозначим через F** множество всех функций /**, где f пробегает множество F. Функции /** равны нулю вне компактного множества K*U. Далее из неравенства Гёль- дера и условия (1) следует, что

Neo (П < Np (Г) Np. (г) < const Np (f) < consf (Мр (/) + е) < const,

где постоянная, возможно, зависит от е. Условие (3) влечет равностепенную непрерывность множества функций /**. По теореме Асколи множество F** относительно компактно в С (7), где Т — компактификация Александрова пространства Т. Следовательно, множество F** вполне ограничено в С^ту Отсюда и из того факта, что функции из F** равны нулю вне множества К • U, вытекает, что множество F** и подавно вполне ограничено в 2?р. Но тогда из (4.20.1) следует, что множество F* вполне ограничено. Условие (2) аналогичным образом показывает, что само множество F вполне ограничено. Наконец, поскольку $^— полное пространство, то F относительно компактно. ■

. Замечание. А. Вейль [1, стр. 53] установил этот критерий также и для р = оо, но под L00 он понимал пространство, обозначаемое в этой книге Со(7). По существу в этом случае приведенный критерий совпадает с теоремой Асколи.

Теорема 4.20.1 для случая, когда 7 — вещественная прямая, была получена М. Риссом [1]. Цудзи [1] обобщил ее для 0<р<1.

Слабая компактность в»^1; критерий Данфорда — Петтиса

Как мы уже знаем, в случае 1<р<оо относительно слабо компактными множествами в J?p являются попросту его ограниченные множества. Это следует из теорем 4.16.1 и 1.11.4(2). Аналогичное утверждение для 22 не имеет места, за исключением тривиального случая J^^J?1^), где мера р обладает конечным носителем. С другой стороны, теорема 4.20.1 дает критерий компактности в каждом из пространств 2?^, 1 < р < оо. Естественно попытаться найти аналогичный критерий слабой компактности в о?1.Такой критерий получен Данфордом и Петтисом [1, теорема 3.2.1].

В настоящем параграфе этот критерий будет изложен в основном по Дьёдонне [3]. Читателю рекомендуется также познакомиться с подходом Гротендика [7, гл. V, стр. 27 и далее]. Оба эти автора оказали влияние на схематическое изложение, приведенное Бурбаки [8, гл. V, стр. 323, упр. 17].

Всюду в этом параграфе Т— отделимое локально компактное пространство, ц— фиксированная положительная мера Радона на Т. Для краткости мы 'будем часто писать 5?х вместо ц).

Мы облегчим себе задачу тем, что будем постоянно обращаться к результатам общей теории двойственности, в частности к теоремам 1.11.4(2), 8.2.2 и теоремам Шмульяна и Эберлейна (§ 8.12). Будем надеяться, что читателя нс смутит это забегание далеко вперед.

Предложение. Пусть (f^) — последовательность функций из $Х.

Если для каждого интегрируемого множества АсТ существует конечный предел lim fn dp., то для любого заданного П->оо У

Ае>0 существует такое б>0, что неравенствоsup [ |/„|ф<8" А

имеет место для каждого интегрируемого множества АсТ с

Если для каждого о-конечного измеримого множества AcsT существует конечный предел lim fn dp, то для всякого

8>0 найдется такое компактное множество КаТ, что

sup [ |/„|ф<8.” г\к

Доказательство (а). Вначале рассмотрим случай, когда указанные пределы равны нулю.

Пусть L — множество в 3х. образованное всеми функциями, равными почти всюду характеристическим функциям интегрируемых подмножеств в Т. Множество L замкнуто в $х и, следовательно, является полным иолуметризуемым пространством. Таким образом (теорема Бэра), L нетоще.

Покажем прежде всего, что для каждого элемента f^^1 функция gv-> J fgdp непрерывна на L. Для этого заметим, что f является в Л?1 пределом ограниченных функций Г,

поэтому J fgdp. служит равномерным пределом на L функций J f*gdp. Очевидно, что функции J fgdy. непрерывны на L, следовательно, непрерывна и функция J fgdy..

Рассмотрим множество

L„ = ^geL: I j ^тф|<-^ для m>nj.

Оно замкнуто в L, и по условию £=и{^п: n^NY Так как L нетоще, найдется такое натуральное число ^, что Lh содержит непустое открытое множество в L. Это означает, что существуют такое интегрируемое множество А^сТ и такое число 6 > О, что неравенство

имеет место для всех интегрируемых множеств А а Т, удовлетворяющих неравенству J | %л — %Ло| dp, ^ б. С другой стороны, увеличивая, если нужно, число к, можно считать, что

/ tn^Л»/ tn^Л»при ппри п

/ tn^

Л»

/ tn^

Л»

при п

при п

Если теперь интегрируемое множество ВсТ таково, что В с: Ло и ц(В)^б, то

/ |Хл,-ХЛо\В|^<6;

поэтому, учитывая приведенное выше неравенство, имеем

для пдля п^ к.^ к.

для п

для п

^ к.

^ к.

Это неравенство остается и подавно справедливым, если заменить функции fn на Refn и Imfn. Заменяя множество В множествами Bf){Refn>0}, Bn{Refn<0} и т. д., получаем

в

при р,(В)<Сб и ВсА0. Аналогичный результат имеет место и для тех интегрируемых множеств Вс=Т\А0, для которых р(В)<6. v

Если множество А интегрируемо и ц(А)<.б, то можно применить предыдущие неравенства по очереди к множествам

ДГМо и Д\До и получить, что j | fnW <8 для /г >6. Далее, А

уменьшая 6, можно сделать так, чтобы неравенство имело место и для п = 1, 2,..., к—1. Итак, утверждение (1) доказано.

Воспользуемся методом, аналогичным примененному при доказательстве утверждения (1). Вначале заметим, что существуют такая возрастающая последовательность компактных множеств (Кг) и такое пренебрежимое множество Е, что все функции fn равны нулю вне объединения двух множеств 3 = = U^r и Е.

Заменим теперь L множеством М всех функций, равных почти всюду характеристическим функциям измеримых подмножеств в 3. Положим

dAg, g') = J I £-£'1Ф.

Полуметрики dr (r = 1,2,...) превращают множество M в полное полуметризуемое пространство. (Для доказательства полноты надо использовать теорему 4.6.7 и диагональный процесс.)

Если функция fej?1 равна нулю почти всюду на Т \ 3, то функция g\—> J fgdyx непрерывна на М. Для заданного е>0 существует такое число г, что J 1/№^е- Функцию f ^^(Кт) можно тогда аппроксимировать ограниченными функциями f и т. д.

Применяя теорему Бэра, как и в доказательстве утверждения (1), получим, что существуют такое измеримое множество Дос:3, такие натуральные числа s и к и такое число б > 0, что неравенство

J fndp < 8J fndp < 8при п^кпри п^к

J fndp < 8

J fndp < 8

при п^к

при п^к

имеет место, если множество ДсЗ измеримой J |%л — %Ло | rfp ^ б.

Искомое заключение следует теперь из несложных рассуждений, аналогичных тем, которые использовались в доказа

тельстветельстве. Действительно, увеличив (если нужно) число к,

тельстве

тельстве

добьемся того, чтобы неравенство ^ fndv- ^^ имело место

при всехпри всехло

при всех

при всех

п ^ к. Если множество В измеримо и В cz Т \ KSi то

предыдущее неравенство можно применить к множеству 4 = = BU (ЛоП/Сз), для которого

/ |%д-ХЛо|Ф = О,

откудаоткудапри n^k.при n^k.

откуда

откуда

при n^k.

при n^k.

J к^ВJ к^ВЭто неравенство остается справедливым и при замене множества А множеством 40А Ks. Так как А—объединение непересе- кающихся множеств В и Д0П^з, то

J к^

В

J к^

В

^Су при

Следовательно,

J|f„|dp<e при n^k.

В

Поскольку последнее неравенство имеет место для каждого измеримого множества В a TxKSl то

J lf«№<e при п^к.

С другой стороны, для каждого п <к существует такое гп, что J 1Аг№^8'> это вытекает из того факта, чго функции г\ к.

fn ее $х равны нулю вне множества S. Таким образом, утверждение (2) доказано для множества R = KTs где r = sup(rh ...

Рассмотрим теперь случай, когда фигурирующие в формулировке предложения пределы нс предполагаются равными нулю. В этом более общем случае достаточно рассмотреть лишь (1), так как метод доказательства (2) тот же, что и при доказательстве (1).

Предполагая, что условия (1) выполняются, покажем прежде всего, что для всякого заданного е > 0 существуют такое число 6х > 0 и такое натуральное число к, что

(4.21.1)

А

при т^к, п^к и [1(4)^ д'.

Действительно, в противном случае найдутся такое число е0>0 и такие последовательности (тг), (п,-) и (ЛД что m^i, nt>i, цМКГ1 и

Al

Но последовательность (gz) = (Jm^ — fn^ такова, что lim j g{ dp,=O

1 А

для каждого интегрируемого множества А. Таким образом, последнее неравенство противоречит утверждению (1). Итак, неравенство (4.21.1) установлено.

Наконец, выбрав У > 0 и к так, чтобы выполнялось неравенство (4.21.1), выберем затем д">0 так, чтобы Jlf/zl^^-l

А

при р(Л)^д"и n^k. Из этих неравенств и из (4.21.1) следует, что

/ \fn\dp.<:^ + ^ = e А

для всех п, если только ц(Л)^д = т1 (д', д"), что и требовалось доказать. 1

Теорема (Данфорд — Петтис). Для того чтобы подмножество Р пространства $х было относительно слабо компактно, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись следующие условия*.

sup^ J I f\dyxv / ер|< + оо;

для всякого е > 0 существует такое д > 0, что неравенство

sup j ^ \ f\dyv. fepl<eI aJ

имеет место, если множество АсТ интегрируемо и ц(Л)^д;

для всякого е>0 существует такое компактное множество КаТ, что

sup/ Г |/|ф: /ер|<8.

I т\к/

Доказательство. Докажем сначала необходимость. Необходимость условия (1) следует из георемы 8.2.2. Далее пусть множество Р относительно слабо компактно в S71, а условие (2) не выполняется. Тогда мы можем извлечь из множества Р такую последовательность функции (/п) и найти такую после-

довательность интегрируемых множеств (Лп), что

р(Л„)<п-1, J |f„|dp>o>0,

Ап

где а не зависит от п. Из теоремы Шмульяна (теорема 8.21.1) вытекает существование подпоследовательности ^ё^ = ^п^ слабо сходящейся к некоторой функции f е»^1. Тогда последовательность (f — gk) слабо сходится к нулю и приведенные выше неравенства противоречат предложению 4.21.1(1).

Аналогично может быть доказана необходимость условия (3), только на этот раз нужно сослаться на предложение 4.21.1(2).

Докажем достаточность. Условие_ (1) вместе с теоремой 1.11.4(2) показывают, что замыкание Р множества Р в пространстве, сопряженном к $°°, компактно в слабой топологии этого сопряженного пространства. Таким образом, все сводится к доказательству того, что Р есть подмножество в о?1. (Для полной строгости следовало бы перейти от 2м к факторпространству L\ которое вкладывается в сопряженное к»^00.) Пусть L — непрерывная линейная форма на -2?0°, принадлежащая слабому замыканию множества Р. В силу условия (2) каждому е > 0 соответствует такое б > 0, что если ц(А)<Сб и если функция g^^00 такова, что |^|^Ха, то | / /^ф|^е Для всех функций feP, и потому при тех же условиях \L(g)\^.e. С другой стороны, ясно, что сужение Х=£^(Т) является мерой Радона на Т. Поэтому если g^o^T^T^ |g|^XA и р,(А)<б, то

| J gd^ = |Mg)l<8.

Несложные рассуждения приводят к выводу, что мера X локально абсолютно непрерывна относительно ц. По теореме Лебега — Радона — Никодима (теорема 4.15.1) существует такая локально интегрируемая функция к, что X=fo-p. Используя условие (1), можно показать, что функция /о интегрируема, т. е. foG^1. Таким образом,

L (g) = J fog dp

для ge^^Ty Пользуясь еще раз тем, что |L(g)|^e при geS”, |^|^хл и р(Л)<6, легко установить, что состношение L(g) — J fog с!ц справедливо для любой функции ge^*. Отсюда следует, что форма L является (т. е. порождается) элементом fo®^1, что и требовалось доказать. |

Замечание. Для доказательства необходимости условия (1) мы воспользовались теоремой 8.2.2. Возможно и прямое доказательство со ссылкой на теорему 4.21.1. См. предложение 4.21.8.

Следствие. Если множество Ра^ относительно слабо компактно в 2\ то такова же его замкнутая выпуклая уравновешенная оболочка в $х.

Доказательство очевидно, так как если Р удовлетворяет условиям теоремы 4.21.2, то и указанная оболочка тоже им удовлетворяет. 1

Помимо теоремы Данфорда — Петтиса, имеются и другие важные следствия предложения 4.21.1.

Теорема. Пространство ^ слабо секвенциально полно, т. е. каждая последовательность, являющаяся последовательностью Коши в слабой топологии в 2х, слабо сходится в 2х.

Доказательство. Пусть последовательность (fn) является последовательностью Коши в слабой топологии в 2х, т. с. для каждой функции g ^^°° существует конечный предел lim J fng d\i,. Тогда (опять теорема 8.2.2) последовательность (fn) ограничена. Из утверждения (1) предложения 4.21.1 следует, что если L — непрерывная линейная форма на 9?°°, определенная равенством

L(g)= lim f f^^

П->ОО

для geS”, то мера Радона Х=Л|о%”(Г) локально абсолютно непрерывна относительно ц. (Ср. с доказательством теоремы Данфорда — Петтиса.) Таким образом, в S’1 найдется такая функция f, что

£(£)=/ fgdV:

пока для g^Y%\TY Но, как и в доказательстве теоремы Данфорда— Петтиса, можно показать, что это равенство выполняется и для gE^”, т. е. последовательность (fn) слабо сходится к f в J?1. ■

Замечание. Лишь в тривиальном случае, когда носитель меры ц конечен, пространство S”1^) слабо полно (т. е. каждая сеть Коши (в смысле слабой топологии) в «24 слабо сходится в S’1).

В следующей теореме будет установлена связь между сходимостью и слабой сходимостью в S’1.

Теорема. Последовательность (fn) сходится к f в S4 тогда и только тогда, когда

fn-i^*f слаб° в

fn”^^^^ локально по мере, т. е. для каждого компактного множества КсТ и каждого числа е>0 имеет место соотношение

Hm ЖПШ„-Л>е}) = 0. П->оо

Доказательство. Докажем сначала необходимость. Необходимость условия (1) тривиальна. С другой стороны, пусть заданы компактные множество КаТ и число е > 0. Положим

Ап = К Л {И„“Л>е}- Тогда ^Ап<6 Ч/“Л|- Поэтому р(Л„)< ^е-1 J | f„ —/|^ц->0, откуда и следует (2).

Переходя к достаточности, заметим, что условие (1) и предложение 4.21.1(2) показывают, что для всякого е>0 можно найти такое * компактное множество КаТ, что

J \fn~ ЛФ^в. В этом случае для доказательства соотношения fn^ f достаточно доказать выполнение соотношения J \ tn~fW~>0 при п-^оо. Но для любого а>0 имеет место к неравенство

J|f-f„|^<ap(7<) + J If-fJ^,

КП{|М„|>«}

поэтому в силу условия (2) и предложения 4.21.1 (1)

limsup f If-f„|dp<ap.(/<). п->оо У

Полагая сс->0, заключаем, что fn-+f в ^!. |

Следствие. Если fn-+f слабо в $х и fn^f почти всюду, то fn-Vf в-24. _

Доказательство. Достаточно заметить, что из сходимости /п к f почти всюду вытекает локальная сходимость по мере fn-^f (см. теорему 4.8.3). R -

Следствие. Пусть существует такое локально прене- брежимое множество ToczTs что ц({/})>0 при каждом t^T\T0. Последовательность (fn) сходится к f в S1 тогда и только тогда,

когда fn-H в слабой топологии в5\ Каоюдая слабая последовательность Коши в 2"х является последовательностью Коши.

Доказательство. Слабая сходимость влечет поточечную сходимость на множестве 7\Т0. В то же время

J ЫФ = / ЫФ

Г\Т0

для каждой функции g^$v. Что касается последовательностей Коши, то применима теорема 4.21.4. 1

Замечание. Следствие 4.21.7 имеет силу, в частности, когда Т дискретно. В случае 7=N (N — дискретное пространство натуральных чисел) и $Х~1Х этот результат принадлежит Банаху [1, стр. 119].

Перейдем к доказательству еще двух критериев слабой сходимости последовательностей в^1. В качестве отправной точки нам понадобятся некоторые дополнительные следствия из предложения 4.21.1.

Предложение. Если последовательность (fn) в 5?х такова, что для каждого з-конечного измеримого множества АсиТ существует конечный предел lim /л^» то П->оо У

А sup [|ffz№<+°° и последовательность (fj слабо сходится п J

в

Доказательство. Применим к последовательности (fn) предложение 4.21.1. Пусть нам известно, что интегралы J 1^1^ ограничны по п. Тогда, пользуясь утверждениями (1) и (2) предложения 4.21.1 и тем фактом, что каждая функция g e^J?^ может быть сколь угодно точно аппроксимирована конечными линейными комбинациями характеристических функций ха» легко доказать, что для каждой такой функции g существует конечный предел lim fng d\x., т. е. что (fn) есть слабая последо- п->оо J

вательность Коши в $х. Но тогда (теорема 4.21.4) эта последовательность слабо сходится в^1, что и требовалось доказать. Все, таким образом, сводится к проверке того обстоятельства, что последовательность (fn) ограничена в ^.

В силу предложения 4.21.1(2) для этого достаточно доказать ограниченность по п интегралов J |^|^ для каждого компакт- к

ного множества Кс Т. В силу утверждения (1) того же предложения это сводится в свою очередь к доказательству суще-

ствования такого измеримого множества Da К, что интегралы ||/л|ф огр-аничены по п, а множество K\D может быть по-

D

крыто конечным числом измеримых множеств сколь угодно малой меры.

Мы покажем сейчас, что в качестве D можно взять множество тех точек t из /С, для которых н({0)>0- Множество D, очевидно, счетно. Для любого заданного д > 0 существует такое конечное множество FcD, что ^(РХ/^^д. Ограниченность по п интегралов J |/л|ф следует из утверждения (1) предложе*

D\р

ния 4.21.1. С другой стороны, ограниченность интегралов 11^1^

F

можно проверить непосредственно. При этом (рассматривая в отдельности вещественную и мнимую части функции fu) можно считать функции fn вещественными. Тогда в каждой точке teF имеет место равенство

J |f„|d|*= ± J f„dp.,ш<0

где интегралы ограничены, так как (по условию) они обладают конечным пределом при п-^оо. Таким образом, ограниченность интегралов J |/л|ф установлена.

D

Последний шаг состоит в том, чтобы убедиться, что множество K\D может быть разбито в конечное объединение измеримых множеств, мера каждого из которых не превосходит 6. Это следует из приводимой ниже леммы. |

Лемма. Пусть S — произвольное измеримое множество, все точки которого имеют нулевую меру, и пусть 0^|3<p(S). Тогда существует такое интегрируемое множество MaS, что ц(М)=р.

Доказательство. В силу 4.7.6(11) мы можем так выбрать компактное множество К aS, чтобы р<ц(/<). Поэтому можно с самого начала считать множество S компактным.

Мы построим множества Ми, такие, что S о THj о М2 :э ... и Э ^ И (Л^п) < Р + ~ > где а = ц(5). После этого останемся только положить М = QMn. В качестве множества Мх возьмем само п

множество S. Допустим, что множества Мх,..., А4П уже построены. У каждой точки ta S существует такая окрестность Ut, что [i(Ut)^ а/(п +1). Выберем конечное число таких окрестностей

так, чтобы они покрывали S. Пусть, например, это будут окрестности U\,..., Um. Положим Vy^Ui, V2=U2\Uh V3 = ^3\(^iU U ^2) и т. д. Множества V-t дизъюнктны и покрывают S. Следовательно, множества ^г=УгПМп образуют разбиение множества МП1 и каждое ^ имеет меру, не превосходящую а/(п+1). С другой стороны,

m

2|г(Гг) = ц(М„)>р.

Отсюда легко следует, что можно так выбрать подсемейство в (№\), скажем Xi = Wi^ ..., Xr = WtT, что

исз^хи+^ч

Теперь достаточно положить М^\ = U№: 1^/^4-Я

Теорема. Пусть оМ — такая система измеримых подмножеств в Г, что для каждого о-конечного измеримого множества А и каждого числа д > О найдется такое множество М е о/Я, что р(Л\Л1)+р(Л1\Л)^6. Для того чтобы последовательность y^cs^ слабо сходилась в ^^ необходимо и достаточно, чтобы выполнялись следующие три условия*.

sup Г |f„|dp< + 00;

п J

для всякого е > О существует такое д > 0, что

sup [lLI^<e

9 Пусть Р = {1, 2, ..., т}; для QcP положим s(Q) = 2 И ^д* i^Q

Тогда s(P)^p. Рассмотрим все те множества Q, для которых s (Q) ^ р. Существует лишь конечное число таких множеств (действительно, множество Р имеет только конечное число различных подмножеств). Среди таких множеств Q существует минимальное, скажем Qo. Если s (Qo) больше Р 4- ^ ^ у, то можно удалить из Qo один элемент / и получить множество Q1 С Qo, ДЛЯ которого

5 (Qi) = S (Qo) - Р (Гг) > (р + —^) - -Jr = 0,

что противоречит минимальности множества Qo. Таким образом, P<s(Q0)C ^ Р + ” у у » и если Qo = {Q: 1^/^Л, то (^/) = (^/у) есть подсемейство искомого вида.

для каждого измеримого о-конечного множества Л с ц(Л)^д;

для каждого множества М^а/Я

Нт U„dy,

П->оо *м

существует и конечен.

Доказательство. Необходимость условия (1) следует из предыдущего предложения, условия (2) — из предложения 4.21.1 (1), а условия (3) — из определения слабой сходимости, поскольку

fпХм d^ и хм е• м

Докажем достаточность. Из условий (2) и (3) следует существование конечного предела lim | fndp, для каждого измеримого a-конечного множества А. Тогда (предложение 4.21.1 (2)) каждому е>0 соответствует такое компактное множество К^Т^ что для всех п имеет место неравенство j \fn\dp<.e. Пусть т\к

ge^00. Чтобы доказать существование конечного предела lim | fngdp, достаточно (в силу последнего замечания) доказать существование конечного предела lim fngdp для каждого п к

компактного множества К. Функции g можно в ^^(/О аппроксимировать конечными линейными комбинациями характеристических функций интегрируемых множеств AczK. Поэтому, используя условие (1) и свойства системы о^, получаем, что условие (3) влечет сходимость последовательности J fngdp, к

(к конечному пределу). Слабая сходимость последовательности (frt) следует теперь из теоремы 4.21.4. 1

Замечание. Пусть, например, Т — вещественный интервал, а ц — сужение меры Лебега на Т. В качестве Ж можно взять множество конечных объединений всех непересекающихся подинтервалов в Т (или всех таких открытых (или замкнутых) подинтервалов в Ту Таким образом, из теоремы 4.21.9 можно получить в качестве частного случая одну теорему, принадлежащую Банаху (см. Банах [1, стр. 117]).

Завершим параграф результатом, который нам понадобится в § 9.4. Впервые этот результат был получен Гротендиком [4, стр. 139, предложение 3].

4.21.10. Теорема. Если последовательность (fn) вЗ°° равномерно ограничена и локально по мере сходится к элементу ) (обязательно принадлежащему 3°°^ то

Иш Г hfndy,= hfdpП->оо J J

равномерно по h на всяком относительно слабо компактном множестве Pcz3x.

Замечание. На языке теории двойственности (гл. 8, в частности п. 8.3.3) заключение теоремы выражает тот факт, что последовательность классов /п (элементов из Л°°) сходится к классу f в смысле топологии Макки t(L°°, L1).

Доказательство сводится к непосредственному применению теоремы 4.21.2. Для заданного е>0 выберем такое компактное множество К, что

для всех h^P, где число с выбрано так, чтобы для всех п локально почти всюду выполнялось неравенство |fn|<^ Возьмем затем д > 0, такое, что для всякого интегрируемого множества А с р,(Л)<6 имеет место неравенство

А

для всех heP.

В силу предположенной локальной сходимости по мере существует такое интегрируемое множество А с К, что р.(Д)<д и fn-*f равномерно на /<\Д. Положим gn=f — fn и

с' = sup ■! Г |А|с?ц: Лер><+оо

для всех п локально почти всюду |gn|<2c. Отсюда вытекает, что для всех КгР

| J gnhdp |< J| gnh\dp + J | gnh№ + J | gnh\dp< T\KAK\A

<2c.-^ + 2c.^ + c'sup\g„V

Последний член в правой части стремится к нулю при п-^оо в силу равномерной сходимости. Поэтому можно найти такое число По, не зависящее от h ^ Р, что при п> п0 неравенство

| / gnW|<e

имеет место для всех h е Р, что и требовалось доказать. |

4.22. Слабо компактные множества ограничейных мер

С этого момента через Л4(Г) будет обозначаться банахово пространство ограниченных мер Радона на Т с нормой

1И= ри

Пространство 2И(Г) изоморфно сопряженному к С0(Г) (см. упр. 4.45). Необходимое и достаточное условие того, чтобы множество Лс=Л1(Г) было относительно компактным в слабой топологии сг(Л4, Со), может быть получено из общей теории: теорема 1.11.4(2) показывает, что ограниченность множества А является достаточным условием, а поскольку С0(7)—банахово пространство, то из следствия 6.2.3 и теоремы 7.1.1 (1)(Ь) вытекает, что это условие также и необходимо.

В этом параграфе мы рассмотрим критерий относительной компактности в ослабленной топологии сг(2И, М'), которая (за исключением тривиальных случаев) строго сильнее топологии сг(Л1, Со). Всюду в этом параграфе, когда будет идти речь о слабой сходимости или относительной слабой компактности в связи с элементами или подмножествами пространства Mt будет иметься в виду ослабленная топология.

Приводимые результаты о пространстве М(Т) аналогичны теореме 4.21.2. Они принадлежат Дьёдонне [14] и Гротендику [4, стр. 146, теорема 2, и стр. 151, лемма. 5]. Об аналогичных работах, относящихся к пространствам конечно аддитивных и счетно аддитивных функций множества, см. Данфорд и Шварц [1, стр. 458 и далее]. Доказываемые ниже утверждения относительно пространства мер Радона будут использованы в § 9.4.

Если пространство СъаСП наделено так называемой «строгой топологией», то его сопряженное также можно отождествить с М(Т). Компактность подмножеств пространства М(Т) в слабой топологии о(М(Т), Cbd(T)) изучалась в работах Конвея [1, 2].

Теорема. Пусть А—ограниченное множество в М^Т). Для того чтобы А было относительно слабо компактно в М(Т),

необходимо и достаточночтобы выполнялось одно из следующих пяти ^эквивалентных) условий.

Пусть (fn)— равномерно ограниченная последовательность функций, каждая из которых измерима относительно всех мер реЛ. Если fn-^f поточечно на Т, то J fnd^i-> ( fdp. равномерно относительно р^Л.

(Г) То же, что и (1), за исключением того, что сходимость fn-^f предполагается локальной по мере относительно каждой меры р е Л.

Если последовательность (fn) слабо сходится к нулю в С0(Т), то J fnd^i->-0 равномерно по ре Л.

Если (ип) — последовательность дизъюнктных открытых множеств из Т, то ii(Un)-^O равномерно по р,еЛ.

Выполняются следующие два условия*.

для каждого компактного множества КаТ и каждого е > О существует такое открытое множество U о К, что | р| (U \ К) <е для всех р е Л;

для каждого е>0 существует такое компактное множество KciT, что |pj(T\K)<8 для всех ре Л.

Замечание. Критерий (4) поразительно похож на критерий относительной слабой компактности в 2х (или Lx), содержащийся в теореме 4.21.2. Действительно, в одном случае дело непосредственно сводится к последнему критерию. Поскольку рассуждения, используемые при этом сведении, окажутся полезными при доказательстве настоящей теоремы и в гл. 9 (в частности, в теореме 9.4.4), мы остановимся на них более подробно.

Допустим, что множество AcsM^T) сепарабельно (в нормированной топологии). Мы утверждаем, что существуют ограниченная положительная мера Радона р на Т и изометрический изоморфизм и пространства АДр) на замкнутое векторное подпространство L в М(Г), содержащее Л. Для доказательства выберем в А плотное счетное множество мер {рп} и числа сп > О так, чтобы ^сп ||рп ||< + оо. Тогда p^SinlPvJ есть ограниченная положительная мера Радона на Т. Отображение и определим равенством u[h) = й-р, где й— элемент пространства L’(p), a h — любой представитель класса й. Ясно, что каждая мера рп абсолютно непрерывна относительно меры р. Поэтому, согласно теореме 4.15.1, множество и(Ех) содержит каждую меру рп, Далее (см. замечание 4.15.6) отображение и является изометрическим изоморфизмом пространства АДр) в М^Т). Так как пространство А Др) полно, то L = u^Lx) —замкнутое векторное под-» пространство в М^Т). Но тогда, поскольку L содержит каждую меру pn, L содержит и множество Д,

Теперь если А—относительно слабо компактное множество в АЦТ^ то, используя теорему Хана —Банаха, чтобы установить совпадение топологии о (А, Л7) с топологией, индуцированной в L топологией о(Л4, М'), можно доказать, что множество А относительно слабо компактно в Л, и обратно. Так как и — изоморфизм АЦц) на Л, можно заключить, что множество А относительно слабо компактно в М(Т) тогда и только тогда, когда множество и-1 (А) относительно слабо компактно в АЦц). Другими словами, множество А относительно слабо компактно в ЛЦТ) тогда и только тогда, когда его можно записать в виде {А • р,: h^PY Где Р— относительно слабо компактное множество в^ЧЮ-

Если ослабить требование сепарабельности множества Л, то получится результат, основания которого лежат значительно глубже. Мы приведем краткое описание этого результата в § 4.23.

Доказательство теоремы 4.22.1. Очевидно, (Г) влечет (1), так как поточечная сходимость следует из локальной равномерной сходимости по всякой мере, и из (1) вытекает (2). Временно обозначим через (0) утверждение «множество А относительно слабо компактно в М^Т)». Тогда достаточно показать, что (0) влечет (1), (2) влечет (3),(3) влечет (4) и (4) влечет (0), поскольку в этом случае мы получаем циклическую схему

(0)^(П^(1)=>(2)=^(3)=^(4)=^(0).

(0)=ф(17). Если (Г) нс имеет места, то должны существовать число е > 0, подпоследовательность (g^ последовательности (fn) и последовательность мер (цп) из Л, такие, что

(gn~bdvin >е для всех п. Рассмотрим меру р = 2 2~п|цп|. Легко проверяется, что gn-+f локально по мерс р. Кроме того, в силу приведенного выше замечания можно считать, что рп = = йпеР, где множество {/zn} относительно слабо компактно в «^(р). Поэтому предыдущее неравенство противоречит теореме 4.21.10.

(2)=ф(3). Если (3) не выполняется, то будет выполняться неравенства |^п(^)| >8 Для некоторого е>0, для некоторой подпоследовательности (Ufc ) последовательности ^и) и некоторой последовательности мер (рп) из А. Тогда для каждого п существует такая функция fni принадлежащая е^(Т)с=Со(Т) с носителем в Uk^ что |frt|^l и | J fnrfpn|>8. Так как при этом последовательность (fj слабо сходится к нулю в Cq^TY то мы приходим к противоречию с условием (2).

(3)=ф(4). Очевидно, достаточно ограничиться рассмотрением случая, когда меры Радона вещественны. Допустим, например, что нарушено условие (4) (а). Покажем, что тогда можно по индукции построить убывающую последовательность (Vn) открытых окрестностей множества К, последовательность (Un) открытых относительно компактных множеств и последовательность мер (цп) из Л, такие, что

UncVn_x\Vn, |ц„Ш1>|,

и это даст противоречие с условием (3). Действительно, пусть построение было успешным вплоть до /г-го шага. Тогда по условию существует такой элемент |in+i^ Л, что ||Лп-ы| (Fn\K)>e/2, следовательно, Vn\K содержит такое компактное множество /<n+i, что |цп+11 №+1) > е/2, и потому существует такое откры- тое_относительно компактное множество IF, что 7(n+i cz IF а cWcVu\K и I |in+i I (IF) > e/2. Поскольку (как легко вытекает из следствия 4.15.5; см. упр. 4Л2) ||in+i । (IF) =sup||in+i(S)| для измеримых множеств S cz IF, постольку при некотором таком S имеет место неравенство | цл+1 (S) | > е/2. Мы можем выбрать открытое множество ^7n+1 так, чтобы Scz6/n+ic:IF и чтобы |in+i(^n+i) сколько угодно мало отличалось от |in+i(S). В частности, можно сделать так, чтобы | цп+1 (Un+i) I > е/2. Теперь в качестве Fn+i достаточно взять открытую окрестность множества К, содержащуюся в Vn и не пересекающую множества /7п+ь

Аналогичными рассуждениями доказывается, что нарушение условия (4) (Ь) несовместимо с (3).

(4)=ф(0). В силу теоремы Эберлейна 8.12.7 для того, чтобы показать относительную слабую компактность множества Л, достаточно установить, что каждая последовательность (цп) мер из Л имеет слабую предельную точку. Используя прием, описанный в замечании, предшествующем настоящему доказательству, мы можем выбрать ограниченную положительную меру Радона ц так, чтобы |in — hn • ц, и показать, что множество {/in} относительно слабо компатно в ^(ц), т. е. что {/in} удовлетворяет условиям теоремы 4.21.2.

Условие (1) этой теоремы выполнено, так как множество Л ограничено, а (3) эквивалентно (4)(Ь). Поэтому достаточно показать, что J |Art|dp,->0 равномерно по п, если множество и

U открыто и |i(£/)-^0.

Действительно, допустим противное. Тогда, заменяя, если нужно, ^hn) соответствующей подпоследовательностью, получаем,

что для некоторого е > 0 и всех п J |/i„|dp>e,

где (Un)~ последовательность открытых множеств с ц([7п)< < 2-п. Положим Vn—UVUh. k^n}. Очевидно, Vn — открытые множества, VnoVn+b p(Vn)->0 и

J|A„№>6.(4.22.1)

Vn

Заметим, что из условия (4) (а) следует (если перейти к дополнениям) существование для каждого открытого множества V и каждого а > 0 такого компактного множества ^ cz V, что J \hm\d^<a. для всех т. Отсюда вытекает, что можно

так подобрать множества Кп с: V™, что

J |/гт|ф<2-'1-1е(4.22.2)

для всех т. Введем множество Кп = П{^: X^k^nY В силу формулы (4.22.1)

/|Л„|ф=/- J >6- / \hnW. (4.22.3) 4vn V„\K„

Так как

^X^-U^A^ KK«]cU|l',\<l: кк«|,

то из формулы (4.22.2) следует, что

J |/ijdn<^2-ft_1e<ye.

Согласно (4.22.3), имеем

j |/i„|dp>e-be==±8<(4.22.4)

Итак, множества /С* убывают, и р (/<*)—> О, поэтому их пересечение К — пренебрежимое множество. Из свойства (4) (а) следует существование такого открытого множества U zd К, что

J |/i„|dp<ysи\к

для всех п. Так как К пренебрежимо, то

(4.22.5)(4.22.5)J \hn\d\L<^6

(4.22.5)

(4.22.5)

и

для всех п. С другой стороны, множество U содержит К; следовательно, оно содержит некоторое К*. Тогда из соотношения (4.22.4) вытекает неравенство

/ |ЛгИн> J | hr\dy.>-^e.

которое противоречит (4.22.4). Полученное противоречие доказывает теорему. |

Замечание. Из результата, который будет установлен значительно позже (следствие 9.2.2), и из критерия (2) настоящей теоремы вытекает, что Множество Лс:М(Т) относительно слабо компактно тогда и только тогда, когда оно компактно в топологии Макки х(М, Со) (п. 8.3.3).

Следствие. Ограниченная последовательность (gn) в М^Т) слабо сходится тогда и только тогда, когда последовательность (|in(C)) сходится (к конечному пределу) для каждого открытого множества U из Т.

Доказательство. Очевидно, достаточно показать, что множество {|1л} относительно слабо компактно. Для этого проверим выполнение условия (3) предыдущей теоремы.

Каждой мере ие7И(Т) сопоставим элемент ц* ^/1, положив ц*(п) =р(Сп). Если S — некоторое множество натуральных чисел, то

2 ^(&) = 1м U иь

teS \kes

по условию последнее выражение сходится к конечному пределу (при /г->оо). Из предложения 4.21.8 вытекает слабая сходимость последовательности (р*) в Iх. Поэтому множество (р*) относительно слабо компактно в Iх. Следовательно, по теореме 4.21.2 для всякого е > 0 найдется такое г, что

2 I (4(^)1 <8

& > г

для всех п. Тем более неравенство k>r влечет |н^(^)| = = 1Нм(^^)1 <8 Для всех п> откуда вытекает (3). |

Замечание. Для случая, когда пространство Т метризуемо, этот результат получен Дьёдонне [14, предложение 8], который, кроме того, показал, что условие ограниченности можно

отбросить. Доказательство этого результата мы опускаем, так как в нашей книге он нс потребуется.

Теорема. Обозначим через Q векторное пространство функций на Т, порожденных характеристическими функциями замкнутых множеств, обладающих счетной базой окрестностей. Ограниченное множество АсЬЦТ^ относительно слабо компактно в М(Т) тогда и только тогда, когда

множество А относительно компактно в топологии a^Q).

Замечание. Что касается топологии о(Л1, Q), то мы имеем в виду, что каждая функция f г Q (и вообще каждая универсально измеримая и ограниченная функция f на Г) отождествляется с линейной формой ць—> J / dp на М(ТУ

Доказательство. Очевидно, достаточно доказать, что (5) влечет относительную слабую компактность множества А.

Покажем сначала, что задачу можно свести к случаю, когда Т компактно. Для этого рассмотрим компактификацию Александрова Г-ТЩоо} пространства Т. Из упр. 4.40 будет видно, что существует изометрический изоморфизм ць—>ц* пространства М^Т^ на замкнутое векторное подпространство N а М^Т*^, содержащее те меры К из М^Т*^, для которых множество {оо} пренебрежимо (т. е. для которых Х({оо})=0). При этом изоморфизме топологии о(Л1, Q) и o^N, Q*) соответствуют друг другу, так как множество Q* определено относительно Т* так же, как Q относительно Т. Далее, o(N, Q*)— это топология в N, индуцированная топологией о(Л1*, Q*), где М* = М(Т*). Итак, доказательство можно свести к случаю, когда Т компактно.

Так и будем считать.

Сначала рассмотрим случай, когда Т— метризуемое пространство; тогда каждое замкнутое множество в Т обладает счетной базой окрестностей. Для того чтобы показать, что А относительно слабо компактно, достаточно (теорема Эберлейна 8.12.7) убедиться в том, что из каждой последовательности (|in)czA можно извлечь слабо сходящуюся подпоследовательность. Рассмотрим о(Л4, С)-замыкание Ai множества А. Так как множество Ai ограничено, то otM^Q) и о(Л4, у) индуцируют в Ах одну и ту же топологию. (Под Q здесь понимается равномерное замыкание множества Q.) Так как (упр. 4.41) ^эС = С(Г), то топология о(Л4, <2) сильнее топологии о(Л1, С). Поскольку множество Ai ограничено, оно компактно в топологии о(Л4, С). Пространство С(Т) сепарабельно (так как Т компактно и метри- зуемо), поэтому о(Л1, С) индуцирует в Ах метризуемую топологию. Следовательно, существует подпоследовательность (Лп) последовательности (цп), которая о(Л4, С)-сходится к некоторому

пределу ц в Ль С другой стороны, так как Л относительно компактно в топологии о(Л1, 0, то последовательность (Лп) имеет по крайней мере одну предельную точку в этой топологии. Далее если X— така’я предельная точка, то X должна совпадать с ц. Действительно, ХеЛь и если V — некоторая о(М, С)-замкнутая окрестность точки Л в топологии о(М,С), то VfMi является окрестностью Л в индуцированной топологии а(Л4, ^)|Ль Тогда все элементы некоторой подпоследовательности (Х^ принадлежат V; поэтому предел ц содержится в V, откуда в силу отделимости топологии о(М, С) следует, что Х = ц. Таким образом, ц — единственная предельная точка последовательности (Хп) в топологии о(М, С) и тем более единственная предельная точка последовательности (Лп) в компактном пространстве, получающемся при наделении о (Л4, 0-замыкания множества Д топологией, индуцированной топологией о(Л1, у)- Отсюда следует, что последовательность (Хп) сходится в топологии о(М, у) к ц и тем более (Хп) сходится к ц в топологии о(Л4, Q). Но тогда (следствие 4.22.2) Хп->ц слабо, что и требовалось доказать.

Перейдем к случаю, когда пространство Т (по-прежнему предполагаемое компактным) не метризуемо. Мы рассмотрим этот случай, опираясь на предложение 4.22.4 и следующее замечание относительно метризуемых факторпространств пространства Т.

Пусть Т*— некоторое отделимое факторпространство пространства Г, л — естественное отображение пространства Т на Т*. Отображение л одновременно непрерывно и открыто, поэтому пространство Т компактно. Существует ассоциированное линейное отображение Р: Л1(Т)-^Л4(Р), при котором ц* = Р|1 есть мера на Р, определяемая формулой

J gdp* = J (g0 л) dp.

Читатель может заметить, что если S* — замкнутое множество в Р, то 5=л-1(5*)—замкнутое множество в Т. Кроме того, если U* пробегает базу окрестностей множества S*, то множества ^7=л"1(^/*) пробегают базу окрестностей множества S. В частности, если пространство Р метризуемо и S* — замкнутое множество в Т*, то множество 3 = л-1(5*) замкнуто и имеет счетную базу окрестностей в Т. Из формулы, определяющей меру р* через ц, следует, что

J %s* dp* + J (Хз, о л) dp = j xs dV-

Поэтому отображение Р: ц-^ц* непрерывно в топологиях о(Л4, Q) и о(Л4*, Q*), где Л4* = Л4(Р) и Q*— то же для Т*. что Q для Т. Таким образом, если А удовлетворяет условию (5), то

то же справедливо для образа Л* = Р(Л); действительно, если пространство Т* метризуемо, то образ Л* будет (по доказанному) относительно слабо компактен в М(Т*).

Итак, для завершения доказательства теоремы 4.22.3 достаточно убедиться в справедливости следующего предложения. |

Предложение. Пусть Т— отделимое компактное пространство и А—ограниченное множество в М(Т). Для относительной слабой компактности множества АсМ^ необходимо и достаточно, чтобы для каждого метризуемого факторпростран- ства Т* пространства Т образ Л* = Р(Л) множества Л был относительно слабо компактен в М^ТД.

Доказательство. Так как отображение Р банахова пространства М(7) в банахово пространство М(Т*), очевидно, непрерывно, то условие необходимо.

Перейдем к достаточности. Не ограничивая общности, можно считать, что множество Л выпукло, уравновешено и замкнуто в топологии о(Л4, С).

Введем вспомогательное банахово пространство F, определенное следующим образом. На пространстве Е=С(ДД рассмотрим полунорму р, равную функционалу Минковского множества Л° (п. 8.1.4). Образуем факторпространство E/ker р и обозначим через F пополнение полученного нормированного пространства E/ker р. Естественное отображение и пространства Е в пространство F непрерывно, а его сопряженное и' отображает единичный шар пространства F' на А.

Для доказательства относительной слабой компактности множества А в М(Г) (т. е. относительной компактности в топологии (ДЕ', Е"^ достаточно показать (следствие 9.3.2), что отображение и слабо компактно (§ 9.2). Для этого достаточно (теорема Эберлейна 8.12.7) убедиться в наличии слабой предельной точки в F у всякой последовательности (u^f^), где (fn) —произвольная последовательность элементов единичного шара пространства Е = С(Г).

Пусть Т*— факторпространство пространства Т по отношению эквивалентности Дп(Д) = fn(h) ДЛЯ всех п». Пространство Т* метризуемо. Его топология — это слабейшая топология, при которой каждая функция на Т*, полученная из fn при факторизации, непрерывна. Далее пространство С^Т*) может быть отождествлено с замкнутым векторным подпространством в С (Г), состоящим из тех функций f^C^T), для которых f(/1)=f(/2), если fn(G)=fn(^) для всех п. Наша задача сводится, таким образом, к доказательству того факта, то сужение и = и\С(Р) слабо компактно, т. е. (опять следствие 9.3.2) что отображение и' переводит замкнутый единичный шар В пространства F' в o^G', G") -относительно компактное множество, где GZ = M(P)—

пространство, сопряженное к G = C(P). Однако, как легко проверить, указанный образ у'(В) совпадает с Л*, что и завершает доказательство предложения. |

Теорема Какутани и ее следствия

Нигде в этой книге нс используется систематически и в полную силу естественный частичный порядок ни в множестве вещественных мер Радона на отделимом локально компактном пространстве 7, ни в множестве непрерывных вещественных функций на Т. Фактически было потрачено много усилий на изучение этих аспектов теории интегрирования, а именно с точки зрения общей теории (частично) упорядоченных векторных пространств, в особенности тех, которые являются одновременно банаховыми пространствами. См., например, Бурбаки [8, гл. II], Накано [2], Биркгофф [2], Данфорд и Шварц [1, стр. 428—431] и приведенную там литературу, Келли и Н а- миока [1, приложение], Канторович, В ул их и Пинске р [1], В ул их [1]. Одними из первооткрывателей в этой области являются Ф. Рисе [8] и Какутани [5, 6]. Нас сейчас интересует основной результат работы Какутани [5] — абстрактная характеризация вещественных пространств LV Во второй из указанных работ Какутани получен аналогичный результат для вещественных пространств С (7). Мы не будем останавливаться на этой работе (см., однако, замечание (2) п. 9.4.15).

Дадим сначала аксиоматическое описание рассматриваемой ситуации.

Во-первых, напомним читателю, что под упорядоченным векторным пространством Е понимается вещественное векторное пространство, (частично) упорядоченное (как множество) таким образом, что выполняются следующие условия:

х^Ои—х^О=фх = 0;

х^уиу ^2=фх^г;

х^Ои^0фЬ^О;

х^у=фх + 2>у + 2.

Если, кроме того, структура порядка есть структура решетки, т. е. каждая пара элементов х и у из Е имеет верхнюю грань xVy и нижнюю грань х А у, то говорят, что Е есть векторная решетка, или (по Бурбаки) пространство Рисса.

Если пространство Рисса Е наделено нормой, для которой (N) Е— полное пространство;

(Nz) множество неотрицательных элементов замкнуто;

(N") х A y=Q^ II х + у II = II х — у ||;

(L) х>0 и у>0тф || х+у || = || х || 4- II у II, то Е называется абстрактным (L) -пространством.

Элемент е абстрактного (L)-пространства называется Реди- ницей (единицей Фрёйденталя), если

%>0=ф х Л е>0.

Теорема (Какутани). Всякое абстрактное (^-пространство Е изоморфно (и как нормированное векторное пространство и как частично упорядоченное множество) некоторому пространству lX(S, о), где S — отделимое локально компактное пространство, а о — положительная мера Радона на S. При этом пространство S можно взять вполне несвязным (единственными связными множествами в S являются одноточечные множества). Если Е обладает F-единицей, то S можно взять еще и компактным.

Замечания. Здесь Ar(S, о)—вещественное векторное пространство (классов эквивалентности) вещественных о-интегри- руемых функций на S с обычной нормой, частично упорядоченное следующим соглашением: f^g тогда и только тогда, когда f^g почти всюду для некоторой (и, следовательно, для всякой) функции f (соотв. g), взятой из класса / (соотв. g). Случай, когда Е обладает ^-единицей, рассмотрен в статье Какутани [5], тогда как более общая теорема приведена в статье Какутани [6] как относительно простое обобщение частного случая. Полное доказательство теоремы довольно длинно, и мы не будем приводить его здесь.

Заметим, что этот результат является кульминацией нескольких упражнений Бурбаки [8, стр. 41, упр. 12 и 13, стр. 194, упр. 10]. При принятом там подходе пространство S оказывается отделимым локально компактным пространством Стоуна. Последнее означает, что замыкание каждого открытого множества снова открыто, откуда ввиду других условий, которым удовлетворяет S, следует, что S вполне несвязно.

Приложение к пространствам мер. Рассмотрим множество Mr (Т) вещественных ограниченных мер Радона на отделимом локально компактном пространстве Т. Легко показать (используя результаты этой главы), что Mr(7) есть абстрактное (L)-пространство. По теореме Какутани пространство Mr (Т) изоморфно пространству Lr(S, о) для соответственным образом подобранных S и о. Отсюда вытекает много следствий; одно из них и имелось в виду в замечаниях после формулировки теоремы 4.22.1.

Следствие. Пусть А — относительное слабо компакт* ное множество в М(Т). Существует такая положительная мера ро^М(Г), что каждая мера це А имеет вид fi^-pot где / — некоторая функция из 3?Х(Т, ц0).

Доказательство. Из теоремы 4.22.1, очевидно, следует, что множество А можно считать состоящим только из положительных мер. Далее в силу теоремы Лебега — Радона — Никодима 4.15.1 достаточно показать, что каждая мера из А абсолютно непрерывна относительно некоторой меры р0.

Выберем S и о так, чтобы пространство MR(7) было изоморфно LR(S, cf). При этом изоморфизме множеству А будет соответствовать некоторое относительно слабо компактное множество PczD(S, о). Применяя теорему 4.21.2 к множеству Р, получаем, что существует такая убывающая последовательность (Кп) компактных множеств в S, что каждый элементщз Р имеет представителем функцию f, равную нулю вне объединения множеств Кп. Можно считать, что a^Kn^So при каждом п. Определим функцию fo на S следующим образом:

/о =5 п-2о^КпГЧк.

n = Y п

Функция fo положительна и о-интегрируема. Каждый элемент множества Р имеет представителем некоторую функцию f, которая является в ^(S, о) пределом последовательности (fn), определенной соотношением

fn = inf (f, nf0).

Пусть цо — элемент из MR(T), соответствующий функции f0; тогда каждый элемент ^еЛ служит в MR (Т) пределом последовательности (цп), для которой Цп^^цо. Отсюда сразу следует, что мера ц абсолютно непрерывна относительно цо- I

Замечания о теоремах выпуклости

Подробное изложение тех разделов теории интегрирования, которые используются в этой книге, закончено. Сделаем ряд замечаний о двух специальных результатах, играющих центральную роль при изучении линейных операторов, действующих из одного пространства Лебега в другое. Речь идет о так называемых теоремах выпуклости М. Рисса и Марцинкевича. Опишем их кратко.

Пусть S и Т — отделимые, локально компактные пространства с положительными мерами Радона пит соответственно. Рассмотрим линейный оператор J, который предполагается первоначально определенным на некотором общем векторном подпространстве D каждого из пространств Лебега Lp^S, о). Показатель р и все другие показатели, которые встретятся ниже, предполагаются лежащими в интервале [1, оо]. В качестве подпространства D можно, например, взять пространство 3f(S)

или, что часто бывает более удобным, множество линейных комбинаций характеристических функций о-интегрируемых множеств в S. В любом случае D должно быть плотным в Lp(S, о) при р<оо. Далее предполагается, что область значений оператора J состоит из функций (или эквивалентных классов функций), которые т-измеримы и т-почти всюду конечны. Говорят, что J есть оператор (сильного) типа (p^q), если существует такое число* С, что

IIЛII, < с II v y^D\

где

llfllP = (f’lH^a)1/P, l|£Tlb = (J*|^ Г^т)1^.

Наименьшее из всех таких чисел С обозначается через || / Пр, q и называется (сильной) (р, q)-нормой оператора J. Если такого С не существует, то полагают ||/||р, 9 = оо. Если D плотно в Lp(S, о), то, как легко показать, J есть оператор типа (р, q) тогда и только тогда, когда он допускает непрерывное продолжение до оператора из L^(S, о) в Lq(T, т).

Первая теорема о выпуклости, доказанная впервые М. Рис- сом [2], утверждает справедливость неравенства

ИЛ,. „<1ЛК-II(4.24.1)

где

р Pi Р2 q q\ q^

причем правая часть неравенства (4.24.1) считается равной оо, если либо ||/11Р1 q? либо II / llP2 q2 обращаются в оо.

Различные доказательства, варианты, обобщения и приложения этой теоремы читатель может найти у Данфорда и Шварца [1], Зигмунда [2, гл. XII и имеющиеся там примечания], Харди, Литтлвуда и Полна [1, гл. VIII], Кот- ля р а [1, 2], А. В е й л я [1, гл. II и VI], Торина [1, 2], Стейна [1]. Отметим, в частности, обобщение на сублинейные операторы, полученное Кальдероном и Зигмундом [6]. Оператор / называется сублинейным, если

|/(Л+М (0 |^|^1(/) I + i^C) I Т-ПОЧТИ ВСЮДУ-

В п. 10.4.11 указан один хорошо известный и полезный способ применения этой теоремы.

Вторая теорема выпуклости, принадлежащая Марцинкевичу [1], относится к операторам J слабого типа. Говорят, что / есть оператор слабого типа (p,q), q<oo, если существует такое число С, что

т^Т; \Jf(0|>а})<(Са"11|flip)’ (f^D, а>0).

Слабый тип (р, оо) по определению совпадает с (сильным) типом (р, оо). Наименьшее допустимое значение С обозначается через ау||/||р, g и называется слабой (р.д)-нормой оператора /. Если 7 нс является оператором слабого типа (р, q), то полагают w II 7 ||р, 9 = оо. Очень просто показывается, что оператор типа (/?, q) является также оператором слабого типа (р, q). Без каких-либо ограничений обратное утверждение неверно. Теорема выпуклости Марцинкевича представляет собой замечательное частичное обращение указанного результата. Именно, она утверждает, что имеет место неравенство

W^,q<K-w\\J^(4.24.2)

где

P\>qi, Р2>42»

1 = -^ + -^, -1=-L + 1^, о</<1 р Р\ р2 ’ q Ai Ai 1

В (4.24.2) число К зависит от pb qXl р^ q^ и t, однако остается ограниченным при фиксированных рь qx, p2i qs> когда t изменяется между 0 и 1.

Доказательства, варианты, обобщения и приложения можно найти у Зигмунда [2, гл. XII и имеющиеся там примечания], отл я р а [1, 2], Кальдерона и Зигмунда [3, 4], Стейн а М)и Дж. Шварца [1].

Вообще говоря, свойства оператора 7, определяемые его сла- #ым типом, являются более глубокими, чем те, которые определяются сильным типом. Понятие слабого типа, по-видимому, впервые вошло в анализ со ставшей теперь знаменитой работой Харди и Литтлвуда [1]. В простейшем .случае там утверждается, что сублинейный оператор 7, определенный для интегрируемых функций f вещественной переменной равенством

х+Л

J/(x) = supl[ m,h>Q л J

будет типа (р, р) при Кр^оо и слабого типа (1, 1) (но не сильного типа (1, 1)). Аналогичные результаты справедливы для функций нескольких вещественных переменных (см. Зигмунд [2, гл. I и XII]) и даже в более общих ситуациях (см. Смит [1] и Раух [1]). Такие результаты имеют первостепенное значение в более глубоких разделах гармонического анализа, теории функций комплексного переменного и эргодической теории.

УПРАЖНЕНИЯ

В следующих ниже упражнениях всюду, где не указано противное, Т — отделимое локально компактное пространство, ц — положительная мера Радона на Т и измеримость и интегрируемость рассматриваются относительно ц.

Пусть ср — положительная полунепрерывная снизу функция на Rn, ц — положительная мера Радона на Rn. Показать, что функция

<7(х)= | ф (х - у) du (у) полунепрерывна снизу.

[Указание. Использовать предложение 4.5.1.]

Показать, что ц = а + 0, где а и 0 — положительные меры Радона, причем а — непрерывная мера (т. е. «({/}) =0 для каждой точки /е Г), а 0 — атомарная мера (п 4 4.1).

[Указание. Для каждого компактного множества К czT имеем 2 Iх «^) < + оо. Рассмотреть меру 0=2^ ^^ е/-1 кt^TА

Пусть р = 2 ш (/) е/ — положительная атомарная мера Радона на Т. teT

Показать, что для всякого множества АаТ имеет место равенство

Я*(Л)= 2 mW.

t еЛ

Показать, что все подмножества в Г, а значит, и все функции на Т измеримы относительно всякой атомарной положительной меры Радона на Т.

Лебегова лестница. Пусть А — интегрируемое множество, f— вещественная ограниченная измеримая на А функция, и пусть |/|^М Под лестницей будем понимать такой конечный набор чисел (Wo<£<n» что

-М = 1О<1Х< ... <1п = М."

Введем множества

Д6 = реЛ: lk_i<fW<lk} (1<А<п) и положим

Показать, что п

I J № - ^ Zsh (Л*) | <ец (Л).

46-1

Показать, что

j (f + g) du - J f ф + J gdy.

для любых двух положительных измеримых функций f и g.

Неравенство Йенсена. Вещественная функция F на [0, оо) называет* ся выпуклой, если

f («jX^ ... + anxn)< OjF (х,) + ... таДх^

для любых двух конечных наборов положительных чисел (а^ и (хд) при условии, что а\ + ... + ап = 1.

Пусть F — положительная возрастающая выпуклая на [0, оо) функция. Показать, что если интегрируемое множество А удовлетворяет условию р(Л)>0 и / — положительная измеримая функция на Л, то

FFц (Я)"1 J’fdJ ^(ЯГ1 J*(f-f)du,Д JА

F

F

где под F(+ оо) подразумевается

lim F (х) = sup F (х) ^ + оо.

Х->+ооХ>0

[Указание. Обозначим через М множество тех положительных измеримых функций f на Л, для которых неравенство выполнено. Показать, что множество М устойчиво относительно перехода к пределу по всякой возрастающей последовательности его членов. Далее рассмотреть функции, являющиеся конечными линейными комбинациями характеристических функций интегрируемых подмножеств в Л.]

Пусть f и А те же, что и в упр. 4.7. Показать, что при р^1

Jarfulр_ А _Jarfulр_ А _

Jarfulр

_ А _

Jarfulр

_ А _

Показать также, что если р (Л) = 1, то

е^ dp.е^ dp.

е^ dp.

е^ dp.

Замечание. Первый результат может быть получен из неравенства Гёльдера (§ 4.11).

Пусть мера р ограничена, 0<p<q и f — положительная функция на Т. Показать, что

Пусть 0 < р < 1. Введем на пространстве ^р =(Г, р) полу

метрику

dP(f, g)=J dy,.

Убедиться в том, что ^р — векторное пространство, а полуметрика dp определяет на ^Р линейную топологию. Показать, что пространство ^Р полно относительно этой полуметрики.

Доказать, что если мера р ограничена и 0 < р < q, то ^р ^ ^\ причем вложение в ^Р непрерывно.

Рассмотрим гильбертово пространство L2(0, 1) (относительно меры, являющейся сужением меры Лебега с R на (0,1)) и линейное отображение S пространства L2(0, 1) в себя, переводящее класс х в класс (fx), где f— заданная ограниченная и измеримая на (0,1) функция. Доказать следующие Утверждения.

Отображение S непрерывно и I1S|| =^00 (/).

Сопряженному к S* отображению соответствует функция /.

Отображение S унитарно тогда и только тогда, когда 1/(01= 1 почти всюду на (0, 1).

Отображение S-1 существует и непрерывно тогда и только тогда, когда функция /-1 существенно ограничена.

Спектр отображения S не пуст, т. е. существуют такие скаляры %, что оператор S — V не обладает непрерывным обратным отображением (/ — тождественный эндоморфизм пространства L2(0, 1)).

Если множество /-1 ({X}) пренебрежимо для каждого скаляра %, то отображение S не имеет собственных векторов.

Доказать, что всякая положительная интегрируемая относительно положительной меры Радона р функция является |1-почти всюду пределом возрастающей последовательности (/п), где fn — положительные ограниченные универсально измеримые и равные нулю вне некоторых компактных множеств функции.

[Указание. Воспользоваться тем фактом, что множество F положительных интегрируемых относительно меры р функций с указанными свойствами устойчиво относительно образования пределов возрастающих последовательностей. Принять во внимание также, что всякое ^-интегрируемое множество отличается от некоторого содержащегося в нем множества типа F х^ лишь на р-пренебрежимое множество.]

Пусть Ц = 2 ^ (0 6/~ атомарная мера Радона. Показать, что t е т

te т

для всякой положительной (конечной или бесконечной) функции /.

Пусть % — вещественная мера Радона на Т, S — ее носитель и teS. Показать, что справедливо по крайней мере одно из следующих трех утверждений.

V(^)>0 и %"(^)>0 для каждой окрестности U точки t (т. е. точка t принадлежит носителю меры V и носителю меры %").

Существует такая окрестность Uo точки t, что

А, (X) = А+ (X) > 0

для всякого измеримого множества XcU0, тогда как X^U^ = X^(U) >0 для всякой окрестности U точки /, такой, что UcUQ (в частности, точка / принадлежит носителю меры V).

Существует такая окрестность Uo точки /, что

% (X) = - Л" (Х)<0

для всякого измеримого множества X a Uo, тогда как

%((/)= -V (Щ < 0

для всякой окрестности U точки I, такой, что UcU0 (в частности, точка / принадлежит носителю меры V).

- 4.16. Исследовать аналоги результатов упр. 2.5 для случая, когда вместо пространства непрерывных периодических функций рассматриваются пространства Lp(—л, л) (относительно меры Лебега), 1^р< °о .

9 Множество типа F^— это множество, представимое в виде обьсдине- ния счетного семейства замкнутых множеств. — Прим, перев.

Пусть сь ..., сп — вещественные или комплексные числа, [1 —мера Лебега на R", g — функция из <%*с (R"), удовлетворяющая условию

I е-(41+-+4п)5(/)</ц(0=0.

Показать, что в 5^с (R72) существуют такие непрерывно дифференцируемые функции fi, ..., fn, что

где tk — координаты в Rn.

[Указание. Свести задачу к случаю, когда все Ск равны нулю. Затем применить индукцию по пД

Пусть ц— мера Лебега на Rn и % — мера Радона на Rn, относительно инвариантная относительно сдвигов. Доказать существование таких вещественных или комплексных чисел ci, ..., сп, что

Л = const е ' 1 1 п ц.

[Указание. Если % = 0, то утверждение очевидно. Пусть % =# 0 и X (fa) = D (а) Л (f). Показать, что Z)(0)=l, D (а + b) = D (a) D (b), D непрерывно дифференцируемо и -^- = c^D, где ск — некоторые числа. Следовательно, X^L^ = ckX(f), если функция f ^ ^с(^п) непрерывно дифференцируема. Воспользоваться предыдущим упражнением.]

Определить все вещественные меры Радона на вещественной прямой, относительно инвариантные относительно гомотетий t\—>at, где а пробегает множество всех ненулевых вещественных чисел.

Пусть Т— локально компактная группа, ц— левая мера Хаара на Т и 1^р^ оо. Если f е Зр' и g ^3^^ то функция f*g локально почти совпадает с некоторой непрерывной функцией. Показать также, что при К <р< оо эта непрерывная функция стремится к нулю на бесконечности.

Пусть I— локально компактная группа и Е— такое подмножество в Т, что ц*(Е)>0, где ц — левая мера Хаара. на Т. Доказать, что множество Е • Е-х является окрестностью нейтрального элемента группы Т.

[Указание. Можно считать Е компактным. Рассмотреть функцию

f (0 = J Хе (is) ХЕ (s) dp. (s).

Показать, что f непрерывна и отлична от нуля на нейтральном элементе ]

Пусть Т— локально компактная группа и % — характер на Т. Показать, что если % измерим (относительно левой меры Хаара), то он непрерывен."

[Указание. Вначале воспользоваться упр. 4.21 для доказательства локальной ограниченности характера %. Затем выбрать функцию g^K(T) так, чтобы J х'^Дб/ц =£ 0, и рассмотреть функцию g * %.]

Пусть R—вещественная прямая и ц— мера Лебега на ней. Возьмем функцию k е 3х (R) и рассмотрим эндоморфизм S пространства З2 (R), определенный соотношением Sf = k*f. Показать, что .

отображение S непрерывно на S’2 W и IIS||^Лг1 (А?);

спектром отображения S служит множество ^(7?), где

6 (s) = J e~tolstk (0 dg (0

есть преобразование Фурье функции к;

комплексное число Л является собственным значением отображения S тогда и только тогда, когда равенство ^(s)=Z имеет место на некотором множестве положительной меры.

Замечание. Используя равенство Парсеваля, можно доказать, что 1Ь$Н=АМ9.

Пусть Р — относительно слабо компактное множество в „g^1 = = <5?х (Т> И)- Пусть далее (fn)—ограниченная последовательность в которая локально по мере сходится к пределу / (необходимо принадлежащему „2?°°). Показать, что

Hm J gfn dg = J gf dg

равномерно no ge P.

В последующих четырех упражнениях предполагается известным тот факт (следствие из теоремы 8.2.2), что в локально выпуклом пространстве каждая слабо сходящаяся последовательность ограничена в исходной топологии.

Пусть 1 <р< оо. Показать, что последовательность (fn) <=-2^ слабо сходится к f в этом пространстве тогда и только тогда, когда выполнены следующие два условия:

sup Np (М < + оо; п

lim J fn dp = J f dp для каждого интегрируемого множества А.

П АА

Показать, что fn-^f слабо „в 5х тогда и только тогда, когда выполнены следующие два условия:

(1') SUp^1(fn)< + oo;

п

(2') lim J fn dp = J f dp для каждого измеримого множества А.

п АА

Показать, что fn-*f слабо в ^х тогда и только тогда, когда выполнены следующие три условия:

(Г) SUp^l (f^ < + оо; п

lim J fn dp = J f du для каждого интегрируемого множества А;

П АА

для каждого е>0 существует такое интегрируемое множество Л, что sup I | fn | dp < e.

n У

T\K

Пусть T — вещественный интервал и |i — сужение меры Лебега на Т. Показать, что fn->f слабо в 5?х тогда и только тогда, когда выполняются следующие четыре условия:

(1') sup N, (fn) < + оо;

п

(2") lim J fnd^— J f d\x для каждого ограниченного интервала (а, Ь^аТ; П аа

то же, что и в упр. 4.26;

для всякого е>0 существует такое б>0, что sup I fn I ^М- для кап

А

ждого интегрируемого множества А с |1(Д)<6.

[Указания. Необходимость условий (1), (2), (2') и (2") следует из замечания, предваряющего эти упражнения, и из определения слабой сходимости. Необходимость условий (3) и (4) вытекает из теоремы 4.21.2. Достаточность сформулированных условий доказывается во всех случаях применением результата упр. 1.18 к соответствующим образом выбранному множеству Н cz ^g700.]

Показать, что единичный шар пространства <2?х — S^ (Л и) относительно слабо компактен тогда и только тогда, когда носитель меры р конечен (в этом случае пространство ..g71 конечномерно).

[Указание. Пусть S — носитель меры р. Показать сначала, что р({/})>0 Для каждой точки t^S. Используя теорему 4.21.2, доказать существование такого числа 6>0, что iHW)^ для каждой точки IeS, затем доказать, что множество S локально конечно и существует такое компактное множество KeiT, что T\K локально пренебрежимо. Следовательно, множество S=S n^ конечно.]

Замечание. Как мы увидим в гл. 8, пространство „g71 рефлексивно (т. е. каждая непрерывная линейная форма на („g71)'= „g700 представима в виде g ।—> J fg dp, где / — некоторая функция из Jg4) тогца и только тогда, когда единичный шар пространства Л?х относительно слабо компактен. Предыдущее упражнение показывает, что это возможно тогда и только тогда, когда пространство ^g71 конечномерно. В противоположность этому, как показывает упр. 4.16, пространство Jg7^ рефлексивно при 1<р<оо.

Пусть р— непрерывная положительная мера Радона на отделимом локально компактном пространстве Т и 0<р<1. Показать, что всякая положительная линейная форма L на „g7^ = „g7^ (Г, р) тождественно равна нулю.

[Указание. Рассмотреть сужение X=L\^ kW Показать, что положительная мера Радона X локально абсолютно непрерывна относительно р и, следовательно, имеет вид X = g • р, где g — функция, локально интегрируемая относительно р. Показать затем, что g = 0 локально р-почти всюду.]

Пусть Е— пространство Рисса (п. 4.23.1) и f — линейная форма на Е, относительно ограниченная в том смысле, что для каждого элемента х^О из Е множество {f(у): У^Е, O^z/^x} ограничено. Показать, что форма f есть разность двух положительных линейных форм на Е.

[Указание. Видоизменить соответствующим образом рассуждения, использованные при доказательстве теоремы 4.3.2.]

Пусть Е— пространство Рисса, наделенное линейной топологией с базой окрестностей нуля, образованной такими множествами W, что из отношений хе У7 и O^z/^x следует, что у^ W. Показать, что всякая ограниченная линейная форма на Е относительно ограничена.

Пусть Е — пространство Рисса, наделенное линейной топологией, и пусть задано некоторое подмножество N в Е, элементы которого будем называть «пренебрежимыми». Предположим, что выполнено следующее уело-

вие: каждому ограниченному множеству В аЕ соответствует такая последовательность чисел сп > 0, что если (хп), — произвольная последовательность элементов из В, то можно найти такой элемент уеЕ и такую последовательность (гп) пренебрежимых элементов из Е, что

5 Сп (I хп I + Zn) < уп=\

для всех натуральных пг.

Показать, что всякая относительно ограниченная линейная форма на Е% равная нулю на всех пренебрежимых элементах, ограничена. '

[Указание. В силу упр. 4.30 достаточно рассмотреть положительную линейную форму f на Е. Если форма f неограничена, то существует такое ограниченное множество ВсЕ, что множество f(B) неограниченно. Выбрать элементы хпеВ так, чтобы | f (хп) | > с~х и, следовательно, / (| хп |) > с*1. Показать, что это приводит к противоречию.]

Опираясь на упр. 4.31 и 4.32, сравнить результат упр. 4.29 с результатом, полученным в п. 4.16.3.

[Указание. Заметим, что если (fn)—ограниченная последовательность в и 2 (?Р < + о°, то ряд 2С«1^1 почти всюду сходится к конечному пределу, так как

(

пг\Рпг

П = 1/72 = 1

и, значит,

/ (^J/nl^^S^ / 1М1Р^ < + °°.]

Показать, что всякая интегрируемая функция почти всюду равна разности двух положительных интегрируемых полунепрерывных снизу функций. (Ср. Рисе и Надь [1, стр. 40].)

Пусть Т — отделимое локально компактное пространство [0, 4- оо) и а>0. Показать, что множество функций е-^ (я=1,2, ...) тотально в Со(Г), и вывести отсюда, что множество функций вида е“а^Р (/), где Р — многочлен, плотно в С0(Т).

Пусть Т и а — те же, что и в предыдущем упражнении. Показать, что множество функций вида Р (/) • е-^2, где Р — многочлен, плотно в Со (Л-

Показать, что при а > 0 и 1 ^ р < оо множество функций вида e~atP (/), где Р — многочлен, плотно в L^ (0, оо). Показать, что то же справедливо для функций вида е-^? ^0.

Пусть Т — интервал в Rn, Ц— положительная мера Радона на Т. Под ступенчатой функцией будем понимать конечную линейную комбинацию характеристических функций ограниченных подинтервалов в Т.

Доказать, что функция f ц-интегрируема тогда и только тогда, когда выполнено следующее условие: для каждого е>0 существуют такие после-

довательности (%)n^i и (s')^>1 ступенчатых функций, что sn^0 и s'^ 0 для п>\ и

S/sn^< + °°, J +

2 sn f ^ 2 sn»

2 / «~s„)^<e.

Пусть Ц — положительная мера Радона на отделимом локально компактном пространстве Т, и пусть s — конечно аддитивная функция множества, определенная (и конечная) для всех ц-интегрирусмых подмножеств в Т и такая, что ц(Ап)-»0 влечет s(An)->0. Доказать, что существует такая положительная локально ц-интегрируемая функция / на Г, что

sM)= j fА

HJ ПРИ ^x^-c,HJ ПРИ ^x^-c,[Указание. Определить положительную меру Радона о на Т следующим образом. Если g— непрерывная вещественная функция на Т, равная нулю вне компактного множества К^-Т^ то положить o(g) равным пределу сумм вида 2 chs к

HJ ПРИ ^x^-c,

HJ ПРИ ^x^-c,

с = max |^|, — c = cQ<cx< ... <сп = сА-\1 и

^к ~ С: ^ ^ ^’ Ск — \S (0 < С^.

Показать, что o(t7)^s(t7), если U — открытое относительно компактное множество Следовательно, мера о локально абсолютно непрерывна относительно ц. Использовать теорему Лебега — Радона — Никодима.]

Пусть Т— отделимое локально компактное пространство и Т* = = Т U{°°} — его компактификация Александрова (п. 0.2.18(4)). Показать, что существует изометрический изоморфизм |ii—> р* пространства ограниченных мер Радона на Т на подпространство N пространства всех мер Радона на Г*, состоящее из тех мер X на Т*, для которых |Х|({оо}) =0.

Пусть Т— локально компактное пространство. Показать, что всякая непрерывная функция на Т, стремящаяся к нулю на бесконечности, является пределом конечных линейных комбинаций характеристических функций %а компактных множеств АсТ, обладающих счетной базой окрестностей.

Пусть X— вещественная мера Радона на отделимом локально компактном пространстве Т. Доказать, что для всякого измеримого множества S с: Г имеют место соотношения

Х+ (S) - sup X М, X" (S) = - inf X (М),

-i-m(S)Csup|X(Af)|<|%l(S),

где Af пробегает все измеримые подмножества в S.

[Указание. Воспользоваться следствием 4.15.5.]

Пусть Т — отделимое локально компактное пространство, М(Г) — пространство ограниченных мер Радона на Т. Доказать, что пространство М секвенциально слабо полно, не прибегая к теореме Какутани 4.23.2.

[Указание. Использовать прием, изложенный в замечании, идущем вслед за теоремой 4.22.1.]

Показать, что пространство М^Т') рефлексивно тогда и только тогда, когда множество Т конечно (обозначения те же, что и в предыдущем упражнении).

[Указание. Использовать упр. 4.28.]

Пусть Т — отделимое локально компактное пространство и С0(Р)— банахово пространство непрерывных скалярных функций х на Т, стремящихся к нулю на бесконечности (в том смысле, что множество

{/ е Т: | х (t) | > е}

относительно компактно в Т для каждого е>0), причем норма на С0(Т) определена равенством

IIX || = sup {I X (/) |: t^n.

Показать, что пространство, сопряженное к Со(Т'), может быть отождествлено с М^Т^, если каждой мере |1еЛ4(Г) поставить в соответствие линейную форму XI—> J х dp на Со (Г). т

Замечание. Это — «непрерывный аналог» теоремы 4.2.2. Относительно «природы» ассоциированной сопряженной нормы на М(Т^ см. замечание 4.15.6. Из теоремы 1.11.4(2) следует, что ограниченные по норме подмножества в М(Г) относительно компактны в топологии о(Л4, Со).

ГЛАВА 5

Распределения и линейные дифференциальные уравнения в частных производных

5.0. Предисловие

В предыдущей главе мы весьма подробно изучили объекты (меры Радона), представляющие собой по существу непрерывные линейные формы на некоторых топологических векторных пространствах непрерывных функций. Непрерывность этих линейных форм рассматривалась относительно равномерной сходимости функций, подчиненных тому условию, что носители этих функций лежат в произвольном, но фиксированном компактном множестве. В этой главе мы хотим изучить линейные формы, первоначально определенные лишь для бесконечно дифференцируемых функций и непрерывные в более слабом смысле. Новый тип непрерывности линейных форм связан с расмотрением функций, носители которых лежат в произвольном, но фиксированном компактном множестве и которые сходятся равномерно вместе со всеми своими производными. Такие линейные формы и представляют собой распределения (или обобщенные функции1)), введенные Л. Шварцем.

Распределения, введенные таким (или эквивалентным) способом, являются обобщением как понятия функции, так и понятия меры, и на них можно распространить некоторые операции, применимые к функциям и мерам. Самое главное, распределения можно дифференцировать сколько угодно раз, причем операция дифференцирования непрерывна. Отсюда следует, что в число естественных уравнений, содержащих распределения, заведомо входят все линейные дифференциальные уравнения в частных производных с постоянными коэффицинтами (и даже с коэффициентами, которые являются функциями, если только эти функции удовлетворяют определенным условиям гладкости, зависящим от типа рассматриваемых распределений). Расширение сферы изучения таких уравнений дало мощный импульс развитию теории, и в настоящее время это процветающая область исследований. Мы постарались достаточно широко осветить некоторые аспекты этой теории. Надеемся, что в итоге нам удастся

!) В русской литературе чаще используется термин обобщенные функции, которым обычно и переводят distributions. Нам будет удобно использовать оба термина сразу. — Прим, ред.

мотивировать изучение распределений и одновременно побудить читателя следить за современными исследованиями в области прикладного функционального анализа.

Введение обобщенных функций в дифференциальные уравнения естественно предполагает, что в качестве решений допускаются объекты, которые, даже будучи функциями, не являются гладкими, например поточечно дифференцируемыми в обычном смысле. Допускать это кажется на. первый взгляд в корне ошибочным, но, немного поразмыслив, нетрудно видеть, что гакое изменение точки зрения не лишено смысла. Если обычная функция рассматривается как обобщенная, то это означает, что она характеризуется не своими значениями в отдельных точках, а своими «средними» значениями, которые проявляются после умножения ее на произвольную «пробную» функцию и последующего интегрирования. Эти пробные функции «должны» быть бесконечно дифференцируемы и обладать компактными носителями. Фактически пробные функции образуют функциональное пространство, а обобщенные функции определяются как линейные формы на этом пространстве. В настоящее время, когда пытаются применить математику к естественным наукам, наблюдаемые величины измеряют именно такими «средними», а не значениями в отдельных точках. В классической теории поля хорошо известно, что дифференциальные уравнения в частных производных могут быть всегда заменены соотношениями, содержащими интегралы. В теории распределений уравнение в частных производных выражает точно такое же соотношение и потому ближе к реальной действительности, чем при старом толковании дифференциальных уравнений.

Хорошим аккомпанементом к настоящей главе послужит чтение книг из следующего списка: Шварц [1, 2], Гельфанд и Шилов [2, 3], Хёрмандер [7], Фридман [1], Гельфанд и Виленкин [1], Бремерман [1], Гальперин [3], Шилов [3]. Особого упоминания заслуживает учебник Куранта и Гильберта [2], в котором после изложения обширной части классической теории дифференциальных уравнений делается превосходный переход к современной теории этих уравнений. См. также Данфорди Шварц [2].

Распределения

Определение понятия обобщенной функции на Rn или на открытых подмножествах QczR71, данное Л. Шварцем [1, 2], строится по образцу определения меры Радона на Rn (п. 4.3.1), которая вводится как линейная форма на J^(Rn), удовлетворяющая некоторому условию непрерывности. При введении рао

пределений мы переходим от J^(Q) к его векторному подпространству 3) (Q), наделяя последнее более сильной топологией, чем индуцируемая из J^(Q). В силу теоремы Хана — Банаха некоторое усиление топологии неизбежно, если мы хотим иметь среди непрерывных линейных форм на 2)(Q) объекты, более общие, чем меры Радона на Q.

Грубо говоря, этот процесс может быть описан в физических терминах следующим образом. Вещественные меры Радона на R3 можно считать математическими объектами, описывающими такие распределения электрических зарядов, магнитных «зарядов» или гравитационных масс, которые представляют собой «простые полюсы». Эта точка зрения подтверждается всем развитием теории потенциала за последние 30 лет. Однако в математической физике принято вводить наряду с распределениями, описываемыми мерами Радона, некоторые их идеализированные пределы, а именно распределения, представляющие собой «мультиполи» различных видов. Распределения Шварца можно рассматривать как математические объекты, соответствующие самым общим распределениям зарядов или масс, включая «мультиполи» сколь угодно большого и даже бесконечного порядка.

Для описания условия непрерывности, характеризующего распределения, удобно, как и в § 4.3 для мер, ввести предварительно понятие сходимости последовательностей в 3)^У Задача превращения 2>(Q) в локально выпуклое пространство, сопряженное к которому реализуется так определенными распределениями, будет решена позже в терминах индуктивных пределов (§ 6.3, пример 2).

Мы увидим, что распределения обладают производными любого порядка, не зависящими от порядка дифференцирования, и что операция дифференцирования непрерывна. Вследствие этого теория дифференциальных уравнений с частными производными как будто получила новую жизнь: использование распределений ставит новые проблемы и предлагает новые методы для их решения. За последнее десятилетие в этой области был достигнут большой прогресс. Исторически многие из основных идей, относящихся к распределениям, первоначально возникли при изучении так называемых «слабых решений» дифференциальных уравнений с частными производными, и развитие систематической теории явилось результатом труда многих авторов1).

Мы попытаемся не только изложить основные идеи, сами по себе представляющие большой интерес для функционального анализа, но и показать, как эти новые идеи в сочетании

’) Впервые обобщенные функции в явной форме ввел Соболев [2] в 1936 г. — Прим, перев.

с общими теоремами функционального анализа открывают новые подходы и новые точки зрения на задачи анализа.

В п. 5.11.5 мы приведем дальнейшие ссылки на литературу.

Обозначения. В дальнейшем всюду через Q будет обозначаться открытое подмножество в Rn, а через %ь ..., хп— независимые переменные в R”. Через 5)(Q) будет обозначаться векторное подпространство в «^(Q), образованное всеми функциями, обладающими на Q частными производными любого порядка и обращающимися в нуль вне некоторого компактного подмножества в Q (зависящего от рассматриваемой функции). Дифференциальный оператор -^ (^=1. ..., п), действующий в S)(Q), будет обозначаться через дк. Оператор д^ ... д^1 обозначается через д^, где р— набор целых неотрицательных чисел (Рь • Pn), а \р\ =pi + .. . + Рп — порядок оператора д^. Так как каждая функция из 25 (Q) принадлежит классу C°°(Q), то дк — коммутирующие между собой эндоморфизмы пространства

Пусть S— подмножество в Q; через 5)(Q, S) обозначается подпространство в 5)(Q), образованное теми функциями Ф^25(й), носитель которых содержится в S. Определим на С№(й) положительную функцию Nsm, полагая

7Vm(v) = sup {|<5рф(х)|: xeS, \р Кт),

где т > О — целое число и S cz Q. Ясно, что _Nm (ф) < + о°> если S относительно компактно в Q (т. е. 5AQ компактно) и феС°°(П) или при произвольном S если фе5)(£2). Функции Nm и Nm=Nm совпадают на 5)(Q, S).

Если S относительно компактно в Q, то Nm и Nm являются нормами на 5)(Q, S), что дает возможность превратить 5)(Q, S) в полное метризуемое локально выпуклое пространство, т. е. в пространство Фреше 9-

Если S пробегает базу относительно компактных подмножеств в Q, то Nm определяют в C°°>(Q) топологию, в которой C°°(Q) также является пространством Фреше. Топология, индуцированная в 3)^У не является топологией, относительно которой сопряженное к 25 (Q) совпадает с пространством распределений на Q. Несколько позже мы увидим, что таким способом получаются только распределения, имеющие компактные носители в Q. Нужную нам топологию на 25 (Q) мы получим, образуя индуктивный предел пространств Фреше 25 (Q, S), когда S пробегает базу относительно компактных (или компактных) под-

множеств в Й (§ 6.3). Тем не менее нормы Nm позволяют определить понятия секвенциальной сходимости и ограниченности в 2)(й), которые, как будет позже показано, совпадают с соответствующими понятиями, определенными топологией индуктивного предела (п. 6.6.1 и 7.4.3).

Приведем определение этих понятий. Говорят, что последовательность (фп)с<0(й) сходится в ® (£1) к нулю, если (а) Пгп^(фп)=0 для каждого m >0 и (Ь) существует такое отно- п

сительно компактное (или компактное) множество S cz й, что (ф^)с=5>(й, S). Аналогично множество Вс®^ называется ограниченным в ® (Й), если (a) 8пр{Л^т(ф): ф е 5} < +оо для каждого т>0 и (b) BczS>(f2, S) для некоторого относительно компактного (или компактного) множества S cz й. Другими словами, последовательность (фп) сходится к нулю в 3)(Й) (соотв. множество В ограничено в 2)(й)) тогда и только тогда, когда существует такое относительно компактное (или компактное) множество SczQ, что все фп (соотв. В) попадают в 2)(й, S) и фп->0 (соотв. В ограничено) в смысле пространства Фреше 0(Й, S).

Определение распределений. Теперь можно ввести определение распределения на Й: распределением, или обобщенной функцией, на й называется такая линейная форма X на 2)(Й), что сужение Х\3>^, S) непрерывно на пространстве Фреше 3>(Й, S) для каждого относительно компактного (или компактного) подмножества S cz й. Очевидно, в условии определения можно считать, что S пробегает базу относительно компактных (или компактных) множеств в й. Эквивалентное условие: ИтЛЦфп)^ для каждой последовательности фп->0 в 3)(Й); или еще: X переводит каждое ограниченное подмножество в 3)(Й, S) (S— произвольное относительно компактное множество в Й) в ограниченное числовое множество.

Как и в случае мер, каждое распределение X на й вполне определяется своими значениями на вещественных функциях из 5)(Й). Более того, X может быть всегда записано в виде A A-IB, где А и В — распределения на Й, которые являются вещественными в том смысле, что они принимают вещественные значения на вещественных функциях из ®(й). Однако в отличие от мер вещественное распределение не является, вообще говоря, разностью двух положительных распределений. Действительно, легко показать (Л. Шварц [1, стр. 28—29]), что распределение X на й положительно (т. е. Х(ф) > О для ф^ 0 из ® (Й)) тогда и только тогда, когда X— положительная мера Радона на Й.

Обозначим через ^Дй) множество всех распределений на й. Это множество является векторным подпространством алгеб-

раического сопряженного к 5)(Q). Учитывая наличие двойственности между 5)(Q) и ^'(Q), мы часто будем писать (ср, Xх) вместо X (ф).

Меры и функции как распределения

Пусть Л— произвольная мера Радона на Q. Очевидно, что сужение L = X\2) (Q) —распределение на Q. Кроме того, L определяет Л однозначно, так как каждая функция фе2)(й) является пределом в 5)(Q) некоторой последовательности (фп) cz 2) (Q). Действительно, достаточно воспользоваться процессом регуляризации, который заключается в следующем. Возьмем такую последовательность (гп) положительных функций из 2)(Q), носители которых являются уменьшающимися окрестностями нуля, что Jrndp=l (ц—мера Лебега на Rn); если положить ф равным нулю вне Q, то функции

Фп W = г„*ф (х) = J гп (у) ф (х - у) ф (у)

принадлежат S)(Q) и ф— фп->0 в Ж(Q).

Так как соответствие л<->£ взаимно однозначно, то можно безбоязненно отождествить меру X с распределением L и нс делать разницы в обозначениях.

Если функция f локально интегрируема относительно ц на Q, то предыдущее замечание можно применить к мере f-p на Q. В этом случае мера определяет только класс функций / (отличающихся от f на функцию, пренебрежимую на Q). Таким образом, каждую локально интегрируемую функцию f на Q (или, точнее, каждый класс таких функций) можно отождествить с распределением на Q, определенным соотношением

В случае непрерывных на Q функций соответствие между функциями и обобщенными функциями уже взаимно однозначно.

Примеры распределений на Q, которые не являются ни функциями, ни мерами (после описанного выше отождествления), можно получить дифференцированием и делением распределений этих частных видов. Указанные операции будут определены в § 5.4 и 5.5.

Сходимость распределений

Пространство ^/(Q), рассматриваемое как сопряженное к 2)(Q), можно наделить по крайней мере двумя естественными топологиями: (1) слабой топологией а (2)^2)) и (2) сильной то-

пологией |3(^\ S)). В § 1.11 мы уже встречались с общим определением слабой топологии о. Параллельное исследование топологии |3 на языке общей теории двойственности будет проведено в § 8.4. Тем не менее в нашем частном случае мы расскажем о топологии р достаточно для того, чтобы можно было пользоваться этим понятием, и перечислим затем некоторые ее свойства. Справедливость этих свойств вытекает из общих теорем, доказываемых в § 8.4.

По определению база окрестностей нуля в топологии р = = Р(3)', 5)) образована полярами В0, где В пробегает систему ограниченных подмножеств в ^(Q). Другими словами, если (Х^ —сеть распределений на й и X— некоторое распределение на Q, то соотношение ИтХг- = Х в топологии Р означает, что

i

lim sup {^(ф)^ ХДф)|: феВ} = 0

для каждого ограниченного подмножества В в 3)(Q). Значение этого условия становится более ясным, если принять во внимание некоторые характерные особенности ограниченных множеств в 3) (й), которые мы сейчас напомним. В каждой из топологий о или р пространство 5)'(й) является отделимым и локально выпуклым.

Сделаем теперь несколько замечаний о природе ограниченных множеств в 3(Q). Топология пространства 2)(Q) будет описана в примере (2) п. 6.3.3. В § 6.6 будет показано, что множество 6с=й>(й) ограничено тогда и только тогда, когда существует такое компактное множество ^c:й, что В содержится и ограничено в пространстве Фреше 3(Q, К). Другими словами, должны выполняться следующие два условия:

ф = 0 на й \ К для каждой функции ф е В;

sup {|дРф(х) |: xeQ, феВ}< + оо для каждого набора р=^рх, .... р^ (где, как обычно, рь ^ 0 — целые числа).

Пример. Пусть и = 1 и (/Д —сеть функций из Lioc(Q) ]). Обозначим через к некоторое неотрицательное целое число, и пусть для каждого i функция F^ есть ^-кратный неопределенный интеграл от ft. Приведенный выше критерий ограниченности множества в 5)(й) позволяет сделать следующий вывод: сеть (/Д слабо (соотв. сильно) сходится в З^Й), если для каждого компактного множества /(сгй сеть (F^ слабо (соотв. сильно) сходится в LX(K). Фактически в этом случае все распределения локально представимы как пределы последовательностей (/Д, сходящихся в указанном смысле. Это обстоятельство служит основанием для некоторых других подходов к теории обобщен

ных функций1). Те же идеи можно развить и в многомерном случае.

Имея в виду приведенную выше характеризацию ограниченных множеств, перечислим ниже ряд важных свойств пространств 2 (й) и ^'(й).

S)(Q)—бочечное пространство (§ 6.2 и п. 6.3.3). Это означает, что каждое замкнутое выпуклое уравновешенное поглощающее множество в 2>(Й) является окрестностью нуля в 5)(й), или, что то же самое (теорема 7.1.1), каждое слабо ограниченное множество в ЗУ (Й) равностепенно непрерывно и тем более сильно ограничено.

2)(Й)—монтелевское пространство (п. 8.4.7), т. е. каждое ограниченное замкнутое множество в 5)(й) компактно. Доказательство этого свойства опирается на приведенную выше характеризацию ограниченных множеств в 2) (й) и на теорему Асколи. Отсюда следует (теорема 8.4.8 и (1)), что топология пространства S>(Q) и слабая топология с^Ф. 2)^ индуцируют одну и ту же топологию в каждом ограниченном множестве В в 2 (й) и что слабая и сильная топологии совпадают на каждом (слабо или сильно) ограниченном множестве в 2'(Q). В частности, всякая слабо сходящаяся последовательность в 5>(й) (соотв. в 2'(Q)) сходится в 2(Й) (соотв. сильно сходится). Более того, пространство ^Дй), наделенное сильной топологией 0, также является монтелевским (теорема 8.4.11).

2(Q)—рефлексивное пространство (§ 8.4, в частности теоремы 8.4.2 и 8.4.5), и поэтому 2Г(й), наделенное топологией 0, является бочечным пространством (теорема 8.4.3). Рефлексивность пространства 5>(й) означает, что каждая линейная форма L на ^'(Й), непрерывная в топологии 0, может быть записана (и притом единственным образом) в виде £(Х)=Х(ф) для некоторого (pe®(Q) и что сходимость сети {фа} в 2(Q) равносильна тому, что соответствующая сеть =^(фа)) линейных форм на 2)'(й) равномерно сходится на каждом ограниченном множестве в ^'(Й).

2(£2)—борнологическое пространство (§ 7.3, теоремы 7.3.2 и 7.3.3(1)). Это означает, что каждое выпуклое уравновешенное множество в ^(Й), поглощающее каждое ограниченное множество в 2)(Й), является в 5)(Й) окрестностью нуля. Следовательно (теорема 7.3.1, замечание (а)), линейная форма X на 0(й) принадлежит 5У(Й) тогда (и только тогда), когда 8ир{|Х(ф)|: феВ}< + оо для каждого ограниченного множества В в 2>(Q).

О См. Микусинский и Сикорский [1]. — Прим, перев.

2)Z(Q)—полное пространство в сильной топологии 0. Это следует из (4) в силу утверждения п. 8.4.13.

Дифференцирование распределений

Пусть n=V Q — открытый интервал вещественной оси и f— локально абсолютно непрерывная функция на й. Интегрированием по частям получаем

<ф. П = J Гф^= - /h'N = - <ф', О.

где фЕ®(й), a f'— производная функции f (производная f определена почти всюду и локально интегрируема на Й); вне- интегральный член, возникающий при интегрировании по частям, равен нулю, потому что ср обращается в нуль вне некоторого компактного подинтервала в Й. Таким образом, fz как распределение на й удовлетворяет условию

<Ф, П=-(ф', f)

ДЛЯ любого СрЕЙ)(О).

Это наблюдение используется для определения производной любого распределения X на й, т. е. в общем случае мы называем производной д^Х распределение, задаваемое условием

<Ф', дрХ> = (~ 1)|р!(дрф,%>

для всех фЕ®(й). Ясно, что д^Х действительно является распределением на й, так как отображение ф >—> ^Рф является непрерывным эндоморфизмом пространства Ф (й). Поскольку отображение фн->^Рф переводит ограниченные множества в Ф(Й) в ограниченные множества, то отображение Xv-^d^X непрерывно как в слабой, так и в сильной топологиях в 5У(Й).

В более «высокой» терминологии действие отображения д^ на распределения совпадает с точностью до числового множителя (—1),р| с отображением, сопряженным к д^; Ф^)->

В качестве примера рассмотрим распределение X, равное ео — мере Дирака, сосредоточенной в точке а е й. В одномерном случае получаем

(ф, де0) = —<ф', еа) = —ф'(а)

для всех фе^(Й). Так как в J5f(Q) можно выбрать такую сходящуюся к нулю последовательность (фп), что последовательность чисел ф'(а) к нулю не стремится, то распределение деа не является мерой (и тем более не является функцией)’.

В физических терминах обобщенная функция типа д^га соответствует «мультиполю», сосредоточенному в гонке а.

Много других примеров можно найти в книге Гельфанда и Шилова [2, стр. 35—56].

Предостережение. Снова рассмотрим случай, когда Q — открытый интервал. Еслг f — локально интегрируемая функция на Q, имеющая локально ограниченную вариацию, но не локально абсолютно непрерывна/! Нс Q, то обычная производная /' (которая почти всюду определена и локально интегрируема на Q) приводит к обобщенной функции на Q, которая, вообще говоря, отличается от производной df обобщенной функции, порожденной функцией Д Например, возьмем Q = R, и пусть f — функция Хевисайда

, z х (0 при х<0,

х I 1 при х>0.

Тогда производная f' равна 0 почти всюду и, таким образом, определяет нулевую обобщенную функцию. Однако df определяется равенствами

<ф, дЬ = - <ф', h = - j ф7 du = - J ф' du = ф (0),

— оо0

т. е. df = eo — мера Дирака, сосредоточенная в нуле.

Умножение и деление распределения на функцию.

Псевдофункции

Если f е C°°(Q), то отображение ф>—>/чр является непрерывным эндоморфизмом пространства Sb^y поэтому можно определить произведение функции f и распрёделение X на Q как результат применения к X отображения, сопряженного к отображению фь—*^ф. Другими словами,/X — это распределение на Q, определенное равенством

<ф, W = №, П

для ф^^(й). Отображение (f, Х)ь—>fX билинейно; оно непрерывно по обеим переменным в произведении топологии пространства Фреше на C°°(Q) (п. 5.1.1) и сильной топологии в ^'(Q). Более того, пользуясь обычным правилом дифференцирования произведения ^ф, получаем, что то же правило справедливо и для f X, а именно

d^fX^MX + f/dnX,

откуда немедленно следует формула Лейбница,

Если на X наложить дополнительные ограничения, то произведение fX можно определить для более общих функций f. Например, в случае, когда X — мера, произведение ^Х определяется для любой функции /, локально интегрируемой по мере X. В § 5.8 мы введем понятие распределения конечного порядка т (т > О— целое число); при этом окажется, что для гаких распределений X произведение fX определяется для любой функции feCm(Q), причем }Х также есть распределение конечного порядка, не превышающего т.

Проблема определения $Х при возможно более широких условиях представляет большой интерес как для квантовой физики, так и для чистой математики (см. Кениг [2] и Л. Ш в а р ц [19]).

Теперь мы подошли к действию, обратному умножению,— к делению, т. е. к решению уравнения

fX=A, (5.5.1)

где неизвестно Хе2У(О) и заданы z4e^'(Q) и функция f на Q. Можно, конечно, искать решение в S)/m(Q) (§ 5.8), но для определенности и простоты мы ограничимся изучением случая, когда на X не наложено никаких ограничений, a feC°°(Q).

Из результатов § 5.6 будет видно, что эта задача носит локальный характер, по крайней мере поскольку речь идет о теоремах существования.

С другой стороны, в случае п4=\ изложение значительно усложняется (см. Шварц [1, стр. 121 —126]). Поэтому начнем с одномерного случая.

Деление. Случай п = 1. Независимо от размерности п если функция f нигде на Q не обращается в нуль, го решение задачи тривиально. В этом случае /"^^(Q) и единственным решением уравнения (5.5 1) является распределение f^M.

Допуская, что f обладает нулями, рассмотрим сначала случай, когда эти нули изолированы и каждый из них имеет конечный порядок. Если это условие нарушается, то уравнение (5.5.1), вообще говоря, неразрешимо. Однако при п=\ указанное условие на практике редко нарушается, так что о нем много говорить не приходится. К сожалению, этого нельзя сказать о случае п> 1.

Итак, допустим, что нули функции f изолированы и имеют конечный порядок. Локальный характер задачи позволяет свести ее к случаю, когда Q содержит только один нуль конечного порядка функции V Совершая, если надо, сдвиг, можно считать, что Q является окрестностью нуля и f = xmg, где т— порядок единственного нуля х = 0 функции f, а функция g ^ C°°(Q) нигде в нуль не обращается. Так как деление на g всегда возможно,

то мы можем ограничиться исследованием случая деления на одночлен хт, что в свою очередь сводится к повторному делению на х. Таким образом, мы пришли к рассмотрению простого

уравненияуравненияхХ=А.хХ=А.(5.5.2)(5.5.2)

уравнения

уравнения

хХ=А.

хХ=А.

(5.5.2)

(5.5.2)

Если А —функция из C°°(Q), то разрешимость уравнения (5.5.2) будет следовать уже из разрешимости уравнения xX=L

Если уравнение (5.5.2) разрешимо, то оно имеет бесконечное множество решений. Разность S между двумя любыми решениями удовлетворяет однородному уравнению

х8 = 0.(5.5.3)

Если S удовлетворяет уравнению (5.5.3), то 5(хф) —0 для любой функции ф ^ S5 (Q). С другой стороны, если ф^^(П) и ф(0) = = 0, то 1ф = Хф, где ср — некоторая функция из S)(Q). В действительности функция ф однозначно определяется по функции ф с помощью соотношений ф(0)=ф'(0) и ср(х) = x~^(x) при х=£0. Соответственно с этим 5(ф)=0 при ф(0)=0, и поэтому распределение S должно быть кратно 8 (мере Дирака в 0). Обратно, любое S, кратно 8. 5 = се, является решением уравнения (5.5.3).

Между прочим, следует отметить, что аналогичные рассуждения показывают, что решения уравнения xmS = 0 являются в точности распределениями вида S = Т срдре.

р <т

Теперь остается только рассмотреть вопрос о существовании какого-нибудь решения уравнения (5.5.2) и изучить его свойства. Если X — искомое решение, а ф и ф удовлетворяют изложенным выше условиям, то X (ф) =А (ф). Это равенство определяет X на векторном подпространстве 7/ = {феЗ)(й): ф(0) = = 0}с: S)(Q), которое является гиперплоскостью в S>(Q). Из явного вида зависимости ф от ф следует, что Птф = 0, если Нтф = 0 (в обоих случаях в 3)(Q)). Поэтому если мы определим X на Н соотношением Х(ф)=Л(ф), то X будет непрерывно в топологии, индуцированной в Н топологией пространства 5)(Q). Из теоремы Хана — Банаха вытекает, что линейная форма X обладает по крайней мере одним непрерывным продолжением на S)(Q), причем любое такое продолжение является элементом из S)'(Q), удовлетворяющим уравнению (5.5.2). Таким образом, существование решения доказано.

Путем повторного деления на х получаем, что уравнение

х™Х=А(5.5.4)

обладает при заданном Ag®'(Q) бесконечным числом решений, любые два из которых отличаются на обобщенную функцию

типа 2 срдре (пустую сумму, как обычно, считаем равной р< т

нулю).

Ниже мы увидим, как выразить явно некоторые решения уравнения (5.5.4) через распределения одного нового типа.

Деление. Случай п > 1. Предполагать, что нули функции f изолированы, здесь совершенно нереально, так как это не имеет места даже в таких простых случаях, когда f — многочлен. Тем не менее разрешимость уравнения (5.5.1) может быть установлена для функций Д принадлежащих достаточно широким классам, важным в приложениях.

Начнем с того, что деление возможно, когда f = Xk. В этом случае можно приспособить доказательство, проведенное выше для случая п=\ и f = x.

Если можно делить на каждую из конечного числа функций, скажем fi,..., fr, то можно делить и на произведение f = fi -f2... • • • fr-

Деление возможно на любую функцию f^C°°(Q), обладающую тем свойством, что если у нее и есть нули, то Д dj,..., dnf не имеют общих нулей. В этом случае задачу можно решать локально в окрестности каждого нуля функции f и локально изменить координаты таким образом, чтобы задача сводилась к делению на хп. Так, например, возможно деление на любой многочлен вида / (х) = (Cj + | х I2)™1 ... (cr +1 х |2)mr, где q — отличные от нуля числа.

Функции |х|т, вообще говоря, не удовлетворяют предыдущим условиям, а это наиболее важные среди всех делителей. Уже по одному этому стоит сделать значительное отступление и ввести технический аппарат, необходимый для исследования вопроса о делении на эти функции. Во всяком случае, применяемая здесь техника приводит к новым важным примерам обобщенных функций и заслуживает внимания сама по себе.

Что касается решения задач общей теории деления, см. Лоясевич [1, 2] и Хёрмандер [4].

Конечные части расходящихся интегралов. Для простоты рассмотрим сначала одномерный случай (п=1).

Предположим, что т>1. Поточечное деление единицы на функцию х™ приводит к фукции х-т. Последняя не является локально интегрируемой ни на каком открытом множестве, содержащем начало координат, и, таким образом, не определяет обобщенной функции ни на одном таком открытом множестве. Несмотря на это, существует, как известно, бесконечное множество решений X уравнения хтХ=1. (Если 0<ш< 1, то решениями служат функции x~m + re, где с — произвольная постоянная.) Мы увидим далее, что при т^ 1 все же можно определить

обобщенную функцию, связанную с функцией х-т. Мы будем называть ее конечной частью функции х*т.

Неудивительно, что определение распределения, соответствующего функции х~т, тесно связано с изучением (вообще говоря, расходящегося) интеграла J x^cpdp, как функционала от ф е Ф. Разработка соответствующей техники для исследования расходящихся интегралов, по-видимому, принадлежит Адама р у [2], который применил се к уравнениям с частными производными.

Наша цель — изложить общие идеи для случая произвольной размерности п. Однако в отдельных примерах часто бывает полезным отдельно рассматривать случаи п=1 и п>\, так как это значительно упрощает вычисления.

Обозначим через р строго положительную переменную, которую будем затем предполагать стремящейся к нулю. Иногда нам будет удобно заменять р на / = log(l/p), так что / вещественно и стремится к +оо. Под В(р) будем понимать шар (открытый или замкнутый, безразлично) в Rn с центром в начале координат и радиусом р. Наконец, положим А (Р) = Rn\B (р).

Начнем с исследования расходящихся интегралов типа J fdpi^ где функция f интегрируема на Л(Р) для любого р > 0. (Это означает, что интеграл fdu, Jрасходится из-за плохого поведения интегрируемой функции f лишь в начале координат. При желании можно аналогично рассмотреть случай, когда f ведет себя плохо в любой другой точке из Rn.)

Основная идея заключается в том, чтобы при некоторых ограничениях на f получить равенство

J/^ = /(P) + F(P) (0>О), (5.5.5) Я(р)

где /([}) —функция специального вида, неограниченная при Р~>0, в то время как предел jF(O) = lim F(P) существует и ко-

нечен. На компоненту 7(Р) — бесконечную часть — будут заранее наложены такие сильные ограничения, чтобы существовало не более одного разложения вида (5.5.5). При этом конечной частью интеграла J f dp называют число F (0) и обозначают его через F.P. J/ dp1)*

’) F Р. —первые буквы английских слов finite part (конечная часть).— Прим. ред.

Распределение F.P.f мы определим затем с помощью соотношения

<Ф, F.P.f) = F.P.J Арф,

если правая часть этого равенства существует для каждого Ф е Ф и представляет собой непрерывную функцию от ф.

Первое, что требует внимания, — это уточнение вида допустимых бесконечных частей /(0) и проверка единственности разложения (5.5.5). Мы .требуем, чтобы бесконечная часть /(0) была конечной линейной комбинацией степеней 0~\ где %— комплексное число, Z^O, Re Z > О, и, возможно, логарифмического члена log(l/P), т. е.

/(0)=Sx4iP+Blogi’ (5-5-6)

где сумма конечна, а коэффициенты Ак и В комплексные. Если ввести переменную / = log (1/0), то

/ (e~z) = 2 Ае^ + Bt.(5.5.6')

к

В соответствии с этим (5.5.5) запишется в виде

J f du = ^+ Bt + F (е~Ч< P = e-t- (5.5.5')

Л (|3)к

Перейдем теперь к вопросу о единственности представления (5.5.5'). Этот вопрос является хитро замаскированной формой следующей задачи. Пусть задана функция g(0, определенная для вещественных t и представимая по крайней мере одним способом, в виде

N

g W = 2 ейг‘рг w + ро w + Bt + h ^(5-5-7)

r=l

где

а!>а2> .. . >«^>0;

РД^ФО (r = 0, 1, ..., М), РД^ является конечной линейной комбинацией функций е^1 с вещественными и в Ро нет ни одного члена с ^ = 0;

В — комплексное число;

lim/i(/) существует и конечен.

Нужно доказать, что аг, Рт, В и h однозначно определяются заданием функции g. (В действительности нам нужно лишь убедиться в единственности предела lirn ЬД1\ Ниже показывается, /->+00

как вычисляются неизвестные элементы, причем нахождение h оставляется на самый конец.)

Подсчет неизвестных основан на следующем замечании. Если Р^ есть конечная сумма вида SA'jV^ где ^ — вещественные числа и Р^^О, то lim sup | Р (t) |> 0. Чтобы доказать / > + ОО

27lim ~ [ e^dt^ т> + оо 127lim ~ [ e^dt^ т> + оо 1это, воспользуемся формулой

27

lim ~ [ e^dt^ т> + оо 1

27

lim ~ [ e^dt^ т> + оо 1

1 при 6 = 0,

0 при вещественном бт^О.

(Здесь и в некоторых других местах мы будем часто писать dt вместо dp(/) — элемента меры Лебега на R1.) Из этой формулы следует, что

2Г[К/ при 6 = 6/ для некото-

lim à P(t)e~^ dt = аð b(5.5.8)

т->+оо0 при всех остальных

вещественных 6*

Таким образом, если бы lim sup | Р (/) | = 0, то все Кз = 0, что t-> + ОО

привело бы к противоречию с условием P(t) ^0.

Продолжая определять неизвестные элементы в выражении для g^, заметим сначала, что оы — единственное вещественное а, для которого

0< lim sup e""at |g(i) |< + oo,

где предел берется при /~>-+оо. Это следует непосредственно из условий (1) — (4) и предварительного замечания, сделанного непосредственно перед их формулировкой.

Определив таким образом аь можно найти Рь Действительно,

e^g W = PX^ + о(1).

Теперь можно применить формулу (5.5.8) к Рх вместо Р, заметив, что

27

lim °(1)^ = 0. .

Т-У-Voo 1

Это приводит к определению чисел 6/ и Kj в конечном разложении ^К^!1 функции Рх^ и потому к определению самого Рх.

Если ai и Р\ известны, то «2 и Р^ определяются аналогично по известной функции gk^ — ^^PxW-

Продолжая рассуждать таким образом, находим ось ..., oln^ Pi, ..., Pn- Так как P0 + h ограничена при t-^- +оо, то В определяется из равенства

Г N' '

В= lim t~y g—^e^Pr •

t -> + ооL r = l-

Воспользуемся еще раз формулой (5.5.8), интегрируя функцию [g— 2—5(1, где X обозначает (уже определенную) сумму Se^P,. Так как (в силу (2)) P^t) равно конечной Г

сумме ХС^', где Со=О и (в силу (4)) h(t) =L+o( 1), то

2Т

lim ~ f Vg — X — Bt\ dt = L.T-> + оо 1 J

Число L — это именно то, что требовалось найти. Заметим, однако, что Ро (а потому и к) вполне определяются (опять в силу (5.5.8)) равенством

2Т

lim v f k-S-B/]e-^d/ = Cs,

Г->4-00 1 £

где |— отличное от нуля вещественное число.

Теперь можно обоснованно ввести формальное определение конечной части интеграла.

F.P. ГF.P. ГОпределение. Допустим, что функция f на Rn интегрируема на А (Р) для любого р > 0. Если имеет место разложение (5.5.5), где бесконечная часть /(Р) имеет вид (5.5.6), и если существует конечный предел limF(P), то по определению

F.P. Г

F.P. Г

fdp = lim F (р).

В качестве дополнения отметим, что при п=1 особый интерес представляют конечные части F.P. J f dp и F.P. J f dp. Они О—оо

определяются как F.P.J gdy, где g=f на (0, + оо), g=0 на (—оо, 0) и g=0 на (0, +оо), g={ на (—оо, 0) соответственно.

Замечания. Очевидно, что если f интегрируема, то F.P. J / dp существует и совпадает с J / dp. Вообще если существует и конечно главное значение в смысле Коши *)

P.V. f / Jp = lim f f dp,

J0 J

ДО)

то конечная часть существует и имеет то же значение. При п=Л имеет место формула

4-ооО

F.P. J M|x = F.P. J fdp + F.P. J fdp, О—oo

если оба члена в правой части существуют.

Один простой признак существования F.P. £ fdp. Всюду

ниже будем считать, что функция / интегрируема на Л(0) для любого р>0. Пусть далее для некоторого (а поэтому для любого) числа р0 > 0 справедливо равенство

f=S Ap.xxPr-Hg,(5.5.9)

рА

где г = |х| и g интегрируема на 6(р0)* В этом выражении по существу всегда можно положить р0 = 1 и допустить, что суммирование распространяется только на пары (р, Л), удовлетворяющие условию | р |^ Re Л — п. Действительно, что касается последнего замечания, то при Re X — |р\< п член хрг~х интегрируем на 6 = 6(1), так как | xpr~x |^rip|—Rex^ и потому его можно отнести к функции g. Если 0 < р < р0» то из (5.5.9) получаем

J f dp = J f dp +| f dp =

A №A (go)p<r<p„

= J f dp + J [^...]ф+ J g dp.

A (po)p<r<po5<r<^<

Величина J fdp постоянна, а интеграл J gdp стремится А Фо)P < r < Bo

к конечному пределу J gdp, при p~>0. Поэтому остается pac-

r <Po

’) P. V.— первые буквы английских слов principal value (главное значение). — Прим. ред.

смотреть интеграл J [^ .. .j<Zp, который является конеч-

Р<г<₽0

ной линейной комбинацией интегралов вида

J xpr~K dp,(x).(5.5.10)

3 < Г <|3о

Мы увидим, что эти интегралы как раз и определяют вид бесконечной части.

Обозначим через S единичную сферу |х| = 1 в Rn, и пусть о — поверхностная мера на ней. Хорошо известна формула

J F(x)dii(x)= j г"-1 dr J F(ry) do(y)

B<r<Po13S

(она легко выводится, скажем, для непрерывных функций F). Из нее непосредственно следует, что интеграл (5.5.10) равен

Оз

13 где

W„=Wp,n=^ ypdo^.

s

Пренебрегая множителем Wp, получаем интеграл, который при р->0 либо имеет конечный предел, либо обладает логарифмическим полюсом, либо ведет себя как (1/р)Л" ,01~п в зависимости от того, будет ли Re X — \р\—п < 0, =0 или > 0.

Отсюда следует, что разложение- (5.5.5) возможно и чго при сделанных предположениях относительно / существует F. Р. J f d\i. При п=1 справедлив несколько более общий аналогичный результат (в правой части (5.5.9) можно добавить степени х-т, где т — натуральное число). Доказательство почти дословно повторяет только что приведенное.

Для наиболее простых функций / легко найти разложение (5.5.9) и тем самым представить F. Р. | f dp в виде сходящихся интегралов (подсчет которых, конечно, также может быть затруднительным).

Распределения-псевдофункции. Пусть /—-функция, удовлетворяющая условиям п. 5 5.6. Тогда, как легко видеть, если f допускает разложение вида (5.5.9), го всякая функция вида fq> (среО) обладает тем же свойством. Более того, если

к «g-части» в (5.5.9) отнести все локально интегрируемые слагаемые, то нетрудно показать, что суммирование распространится не более чем на конечное множество пар (р, X), не зависящих от ф. Соответствующие коэффициенты Др, х, как это будет доказано в дальнейшем, являются конечными линейными комбинациями частных производных д?ф(0) порядка |p|<jV, где N зависит только от /. Сформулированные утверждения легко проверить, если воспользоваться формулой Тэйлора

ф(х)= ^ дМо^ + оОхО,

lp|<^

где N — любое натуральное тело, а через р\ обозначается выражение Р\\ р%\ . .. Рп\.

С помощью этой формулы можно установить, что конечная часть F.P. / fфdц существует для каждого ф eS) и допускает представление в виде

F.P.J /фф = Пт |/фф- ^ Ар(0) 5^(0) .

Для каждого 0 > 0 выражение в квадратных скобках является

линейным функционалом по ф, который, очевидно, определен и непрерывен на ^^ = 3^^ (R") (§ 5.8). Так как 3)N— бочечное

пространство, то точечный предел этих линейных форм — функционал ф *—>F. P.J ftp du — непрерывен и линеен найЖ Это озна*

чает, что отображение

(5.5.11)(5.5.11)Ф * F. Р. J /ф dp

(5.5.11)

(5.5.11)

есть распределение на Rn порядка не выше N. Это распределение обозначается через F.P./. Такое же обозначение употребляется во всех тех случаях, когда линейная форма (5.5.11) определена и непрерывна на 2). При этом соответствующее распределение на R" обозначается через F.PJ. Полученные таким способом распределения называются псевдофункциями.

В одномерном случае (п=1) можно (при соответствующих ограничениях на f) определить аналогичным образом псевдофункции F.P.(f)x>o и F.P.(f)x<o с помощью формул F. Р. J ftp dp. и о о

F. Р. J /ф dp соответственно.

Пример. Вычислим F.P.x-m в одномерном случае, где т — натуральное число. Если (рЕ0, то при малых х имеет ме^ сто разложение

х-т^^ = х-т 2 дрф(0)-^-+^(л:),

р^т- 1

где g— интегрируемая функция. Поэтому при 0>О

/J\m—р—1

J x~m(pdx= 5 5^(0)—^(m-p-l) +

Л(0)p<m-2

. 1

log-ft

+ d""T«»7^ + F«»'

1111где F(0) имеет конечный предел при 0->О. Таким образом,

11

11

<Ф,Р. Р.х~т\

(5.5.12) что и представляет собой явное выражение, определяющее F.P.x-™.

Если в (5.5.12) заменить ф на ф=хтф, то сумма и слагаемое, содержащее log-^, тождественно обращаются в нуль при 0 > 0. Кроме того,

J x~m^dx = J фйх4(3)4(3)

стремится к J фйх = (ф, 1) при 0->О. Таким образом, <хтф, Е.Р.х-т) = (ф, 1)

для любого ф е S, откуда следует, что

xmF.P.x-m=l.

Другими словами, X=F.P.x~m есть решение уравнения хтХ=\.

Аналогичными рассуждениями можно доказать, что (независимо от размерности п) Х = Р.Р.г~т есть решение уравнения гтХ—1.

Пример. В случае п=1 часто удается подсчитать конечные части с помощью повторного интегрирования по частям. В качестве примера,, докажем формулу

px-i = ДД^ДеИ. (55дз)

Если <peS>, то

А (Р)РР

В каждом из интегралов справа произведем интегрирование по частям.

После некоторых преобразований получаем формулу

f V-^ = v(P)logj-<p(- P)bg^ - J cp^^logA,'^-

— J ф'( — x)iOgA;6/.r =

p

= [ф(Р)-<р(- P)]logy — j q/to log| xMx + o(l)

при p—>0. Таким образом,

илиилиF. P.J ф-^ = - J vz(x)log| x\dx,

или

или

(Ф, F. P. x *) = - (5 , log|x|),

что эквивалентно равенству (5.5.13).

Дословно повторяя предыдущие рассуждения, можно показать, что

-^-F.P. x"m=-mF.P. x-m-idx

для любого натурального числа т. Последнее равенство представляет собой обобщение известной формулы дифференцирования степени с положительным показателем.

Пример. При п > 1 часто интегрирование по частям по единственной переменной можно заменить применением формулы Грина к области Л(Р). (В действительности, поскольку подинтегральное выражение содержит в качестве множителя элемент из Ф, естественно применять формулу Грина к шаровому слою В (р') ПЛ (р) ) Этот прием часто применяется для подсчета конечных частей, в особенности для функций, зависящих только от г = |х|.

Допустим, что ф е 2) и функция F принадлежит, скажем, классу С2 на Rn\{0}. Тогда формула Грина (полученная в п. 4.15.14) может быть записана в виде

J (фА/7 - F А<р) dp = / [ф-^-^

4 (0)S (Р)

где через S(P) обозначена сфера с центром в нуле и радиусом р, а через ор — поверхностная мера на ней. Если частные производные по г обозначить штрихами, то это последнее равенство примет такой вид:

J ^^F - F^dp = - р"-1 | [фф^^ЧР^-^Ф^фЧРг/)]^^), л ®s

где S —S(l) и a = aj. В частности, если F зависит только от г, то

J (ф kF - F Аф) dp = - p"-1f' (0) J ф (pz/) do (у) +

А (В)S

+ рп-^(Р)/ фЧ0у)^(у)'. (5.5.14)

Выбрав подходящим образом функцию F = F(r), можно использовать (5.5.14) для подсчета конечных частей различных простых функций от г, которые не локально интегрируемы.

Пусть, например, нужно подсчитать F.P.r~2. Если п > 2, то г-2 локально интегрируема и F.P.r-2 = r-2. Мы укажем прием, пригодный для любого п. Первый шаг заключается в подборе функции F, удовлетворяющей условию kF = r~2 при г=#0 (оператор Лапласа понимается здесь в классическом смысле). Если F зависит только от г, то А/7 = г-п^ _А_^гп-хр^ поэтому в качестве F можно взять функцию, определенную следующим образом:

(м — 2)”1 logrприп^2,

f =1 i 2о

-^ю^гпри/г = 2.

Эта функция локально интегрируема.

Применив (5.5.14) к выбранной таким-образом функции F, получим

[ ф-77 = f F kep dp — 7(0),

А (№А Ф)

где -

7(0) = 0'1~1/7'(0) / Ф^а^-Р^ЛР) j Ф'(РУ) do (у).

8

Если я >2, то ^"’^(Р) и pn_1F(P) стремятся к 0 при р->0. Поэтому

F. P.r-2 = (n —2)~*Alogr (п>2).(5.5.15)

Здесь лапласиан понимается в смысле теории распределения.

Если и = 2, то p"-1F'(p) = — log (1/0) и р"-1 F(p)->0 при Р —* 0, поэтому

ЛР)= - logy • j ф(0у)бк(г/) + о(1).

Таким образом,

/ Ф "7^ = 10g J ' J Ф^И^ + оДН J F * АфФ + о(1) = л (9)s

= logy • ф (0) J da^A- J F • Дф^р + о(1).

Так как J da = 2n, то s

<Ф, F.P.r 2,) = lim р^о<Ф, F.P.r 2,) = lim р^оJ Ф^ ~2^(0)logy Л(Р)J Ф^ ~2^(0)logy Л(Р)= (Дф, F\ (5.5.16)= (Дф, F\ (5.5.16)и поэтомуи поэтомуF. Р.г 2 = у A (log2r)F. Р.г 2 = у A (log2r)(п = 2).(п = 2).(5.5.17)(5.5.17)

<Ф, F.P.r 2,) = lim р^о

<Ф, F.P.r 2,) = lim р^о

J Ф^ ~2^(0)logy Л(Р)

J Ф^ ~2^(0)logy Л(Р)

= (Дф, F\ (5.5.16)

= (Дф, F\ (5.5.16)

и поэтому

и поэтому

F. Р.г 2 = у A (log2r)

F. Р.г 2 = у A (log2r)

(п = 2).

(п = 2).

(5.5.17)

(5.5.17)

Здесь опять лапласиан понимается в смысле теории обобщенных функций. Формула (5.5.16) позволяет удостовериться в том, что г2 F.P. г~2 = 1.

Другие примеры читатель может найти в книге Гельфанда и Шилова [2, стр. 62—132].

Сужение распределений; локализация;

носитель распределения

Пусть й и й'— открытые подмножества в Rn и йс= й'. Предположим, что Хе0'(й). Мы хотим определить сужение X на й. Для этого заметим, что каждая функция фЕЗ)(Й) обладает естественным продолжением до элемента из S5^z). Таким продолжением служит функция ф' на й', равная ф на й и нулю во всех остальных точках множества Й'. Тогда фн->ф' является непрерывным линейным отображением пространства 3) (Й) в^(Й'). Образом пространства 2)(Й) относительно этого отображения является множество тех функций из ^)(Й'), носители которых содержатся в Й. Оператор сужения распределений с Й' на Й по определению сопряжен к отображению фь—>^>. Таким образом,

сужение X|Q есть распределение на Q, определенное правилом

для фЕ®(0). Отображение Xh->X|Q линейно и непрерывно (как в слабых, так и сильных топологиях в S>(Q') и S>(Q)). Пусть XeS^Q7); будем говорить что X равно нулю на Q, и писать «Х = 0 на Q», если X | Q = 0, т. с. если (ф, Х)=0 для каждой функции фG®(Q,), носитель которой содержится в Q. Это соответствует соглашению для случая мер (§ 4.9; напомним, чтр (§ 5.2) 0(Q) плотно в X(Q)). '

Обратная задача — восстановление распределения по его локальным составляющим — решается в терминах открытых покрытий и разбиений единицы. Каждое открытое множество QczRn (как и всякое подпространство в R”) паракомпактно и потому нормально (п. 0.2.20). Будучи локально компактным, Q обладает тем свойством, что в каждое его открытое покрытие можно вписать покрытие, состоящее из открытых относительно компактных подмножеств в Q. Пусть (QJ—произвольное открытое покрытие множества Q. В силу только что приведенных двух свойств множества Q существует такое локально конечное открытое покрытие (Qy) множества Q, что каждое из множеств Qy относительно компактно в Q и содержится в некотором Й<.

Предложение. Пусть Q— открытое множество в Rn и (QJ —некоторое открытое покрытие множества Q. Тогда существует такое семейство (ф7) функций из S)(Q), что

qpj ^ 0 и supp ф^- содержится в некотором Qie,

сумма 2 ф) локально конечна1) и всюду на £2 равна единице.

Если покрытие (Йг) локально конечно и каждое из множеств Qi относительно компактно в Q, то можно считать, что множество индексов функций ф-, такое же, как и у (Qi).

Доказательство. Из сделанных нами предварительных замечаний следует, что всегда можно найти такое локально конечное покрытие (Qz.), что каждое Qy относительно компактно в Q и Qy содержится в некотором Qi. Так как Q паракомпактно, то мы можем найти такое открытое покрытие (Q'') с таким же множеством индексов, как и у (Q'), что Q" c:Q'. В силу нормальности Q и леммы Урысона (п. 0.2.12) для каждого / существует такая непрерывная функция а, на Q, что O^ccj^l, «у=1 на Q/ иа/ = 0 вне Q/- Так как Q/ и граница множества Qy

’) См п. 0.2.20. — Прим, перед.

компактны и не пересекаются, го они находятся на положительном расстоянии ej друг от друга. Заменим функцию а^ ее регуляризацией р7 = аяГ;, где функция г^Ф^К^ положительная ее носитель содержится в шаре с центром в нуле и радиусом-^- еу,

причем jr/rfp,= l. Тогда pj е S(Rn), pj > 0 на й" и носитель функции Pj содержится в ЙуСЙг Сумма 2 Р/, таким обра-

зом, силузом, силулокально конечна на Й и всюду строго положительна; в локальной конечности 2jP/e^(Rn)« Функции ф/ = -^—

зом, силу

зом, силу

отвечают всем поставленным требованиям. |

Семейство (ф^) вида, описанного в предложении 5.6.1, называется разбиением единицы в 2)(й), соответствующим покрытию (йг). Такие разбиения единицы используются при решении задачи восстановления обобщенной функции по ее локальным

составляющим.

Предложение (принцип локализации). Пусть Й — открытое множество в Rn и (Йг)— открытое покрытие множества Й. Предположим, что (X,)—такое семейство распределений, что Хг е З)'(Йг) и Xi | Йг ПЙ^ = Xj | Й^ПЙ^, если пересечение ЙгПй?- непусто. Тогда существует единственное распределение X на й, такое, что X\Qi = Xi для каждого I.

Доказательство. Пусть (Й^)— такое локально конечное открытое покрытие множества й, что каждое Й' относительно компактно в Й и й<сй. при некотором и Определим распределение Х^ на й<, положив X'j = Xi [ йу для всякого такого индекса i, что Й^Й'. Из предположенной согласованности семейства (Хг) следует корректность введенного определения. Выберем такое разбиение единицы (ф^) в Й)(Й), что эиррф^ейу для каждого /. Любую функцию ф из ^(Й) можно представить в виде суммы

ф=2 (фф/),

где число слагаемых справа конечно. Следовательно, если распределение X существует, то

х (ф) = 2 х (фф/) = 2 ^ (ф/ф).//

откуда вытекает, что X однозначно определяется заданием семейства (Хг).

Обратно, эта формула определяет распределение X на Й. Если 8иррфс:Йг*, то зиррф^с^й А Й', и так как X' = XZ^', то Х'(ф/ф) = Х.(ф/ф). Таким образом, равенство

Xt (ф) = 2 х,(ф/ф)=2 x'i (ф/ф) = х (ф) / /

справедливо для любой функции фе^(й), носитель которой содержится в й^. Другими словами, Х^ = Х\&Ь что и требовалось доказать. | ,

Следствие. Пусть Й — открытое множество в Rn и (Йг) — произвольное семейство открытых подмножеств в Й. Если распределение X на й рав.но нулю на каждом йг, то оно равно нулю на UQ^ В частности. для каждого распределения Хе

e®'(Q) существует наибольшее открытое подмножество U cz Й, nd котором X равно нулю.

Относительно замкнутое множество Г = Й\£7 называется носителем распределения X и обозначается через supp X.

Читатель, вероятно, заметил, что если X— мера Радона на й, то это определение носителя согласуется с тем, которое приведено в § 4 9.

Необходимо отметить следующие соотношения:

suppdp8x = {*}, suppdpXczsuppX,supp fXcz(supp /) A (supp X).

Кроме того, значение X (ср) зависит лишь от сужения функции ф на любую окрестность носителя supp X. т. e. X (фь) = X (ф2У, если функции ф! и ф2 совпадают на некоторой окрестности носителя распределения X. Если сеть распределений QQ слабо сходится к X. причем supp Xtcz.F для всех Z, где F — относительно замкнутое подмножество в й, то supp X cF.

Обобщенные функции с компактными носителями

Обобщенные функции из <^'(й), имеющие компактные носители, можно рассматривать как элементы сопряженного к пространству С°°(й), наделенному топологией, описанной в п. 5.1.1, относительно которой С°° (й) — пространство Фреше.

Действительно, метод регуляризации показывает, что ^(й) плотно в С°°(Й). Таким образом, любая непрерывная линейна^ форма L на С°°(й) вполне определяется своим сужением X на ^(й), которое является элементом из ^'(й). Непрерывность формы L означает, что существуют такое компактное множество К cz й и такое целое число m ^ 0, что

| L Q) |^ const sup (| dpf ^x) k x^K. \p\^m^

для feC°°(Q). Следовательно,

и(<р)КсОП515ир{|^рф(х)|:хе/<, I р |<m} = const Nm(4>) для rpeSIQ). Отсюда следует, что supp X с: К и распределение X имеет порядок ^т (§ 5.8). Обратно, если распределение Xe^'iQ) имеет своим носителем компактное множество К, то X обладает естественным непрерывным продолжением на пространство C°°(Q), например можно положить

х^=хш

для всех feC°°(Q), где а — любая функция из 5)(Q), равная единице на некоторой окрестности множества К. (В пределах этого класса выбор а несуществен в силу предположения supp X cz К.^

Если Хе®'^ обладает компактным носителем 7<czQ, то X есть сужение на Q распределения У eS>'(Rn), носитель которого есть К. Действительно, нужно только положить

У(ф)=^(ф*)

для каждого фе^(Кп), где ф*— любая функция из 0(Q), совпадающая с ф на некоторой окрестности множества К. Например, мы можем раз и навсегда выбрать функцию аЕ®(Й), равную единице на некоторой окрестности множества К, и затем положить ф* = а(ф|Й). Тот факт, что распределения на Q, обладающие компактным носителем, могут быть таким способом продолжены до распределений на Rn с тем же компактным носителем, часто упрощает работу с такими распределениями.

Распределения конечного порядка

Пусть m^Q— целое число и ЗУ'Ц&У—множество таких функций ф на £2 с компактными носителями, что все производные д^ф, для которых \p\4m, непрерывны. Таким образом, S)°(Q) = =<%’(£>), и S)(Q) = П^т(й). Последовательность (фп) H3S)m(Q) m^O

называется сходящейся к нулю в 3)т^йу если носители функций фп лежат в некотором компактном множестве К, не зависящем от п, и Птд?фп=0 равномерно на Q для каждого р с п

\р\<т.

С помощью регуляризации легко видеть, что ^(Q) плотно в S5m(Q). Поэтому пространство, сопряженное к 2)m(Q), можно отождествить с некоторым подмножеством в S)'(Q), т. е.

S5'm(Q)c:^'(Q).

Распределение X из ^'(Q) принадлежит S)/m(Q) тогда и только тогда, когда оно непрерывно на 5)(Q) в смысле введенного понятия сходимости в 0m(Q). Другими словами, X принадлежит

.2Ут(Й) в том и только в том случае, когда для каждого компактного множества К cz й существует такое число ск ^ 0, что

1^(ф)1<Ск- Nm^ = CK- N™^

для всех фЕ^(Й) с носителем в К. Про такие распределения говорят, что их порядок не превосходит т. Будем говорить также, что порядок распределения X равен т, если X есть распределение порядка, нс превосходящего т, но нс является распределением порядка, не превосходящего т', для т' < т.

Так, например, распределения на Й порядка 0 (или, что то же, порядка, нс превосходящего 0) совпадают с мерами Радона на Й. Порядок распределения д^гх (где х— произвольная точка в Й) равен \р\. Если порядок обобщенной функции X нс превосходит т, то порядок ее производной д^Х не превосходит m + |/? |. Если порядок распределения X не превосходит т и feCm(Q), то определено распределение fX и его порядок не превосходит т.

Пусть ^(Й)= (J с^'т(Й) — множество обобщенных функ- ций на й, имеющих конечный порядок. На Й всегда существуют обобщенные функции, порядок которых не конечен. Например, пусть (хп) — последовательность точек в й, не обладающая предельной точкой в й, и (сп)—произвольная последовательность ненулевых чисел. Тогда ряд ^спдРпгх сходится в ^'(Й) пп

(слабо или сильно, не имеет значения), и если sup| рп | = + оо, то порядок суммы — распределения X— бесконечен.

Как было замечено в § 5.7, любое распределение с компактным носителем имеет конечный порядок. Ниже мы приведем интересную и важную структурную теорему для распределений конечного порядка. В частности, эта теорема применима к распределениям с компактными носителями. Болес того, она применима к сужениям любого распределения Х^®'^) на относительно компактные открытые множества в Й. Из этой теоремы следует, что всякое распределение Хе®'(й) локально (хотя, возможно, и нс глобально) равно конечной сумме производных от мер Радона.

Теорема. Пусть X e®'m(Q). Тогда X равно конечной сумме

, 2 дРар,(5.8.1)

\р№п1

где ар— меры Радона на Й. Если, кроме того, X обладает компактным носителем К, то можно считать, что suppap содержатся в некоторой заранее заданной окрестности множества К,.

Обратно, любая такая конечная сумма производных порядков \p\<m oj мер Радона является элементом пространства Ф,т^.

Доказательство. Последнее утверждение очевидно. Остальные утверждения теоремы докажем в два этапа.

Вначале допустим, что X обладает компактным носителем KclQ. Тогда (ср. с § 5.7) если U— компактная окрестность множества К, то X удовлетворяет неравенству

|^(v)|<coust^(v) (ve3f(Q)).(5.8.2)

Пусть s — число наборов р, составленных из п неотрицательных целых чисел с \р\ ^т. Обозначим через Е произведение s банаховых пространств С0(Й) (см. упр. 4.45). Относительно топологии произведения Е представляет собой банахово пространство. Рассмотрим непрерывное линейное отображение J: Й)(Й)^- -^Е, определенное с помощью равенства /ф = (дрф)| Р \<т. В силу соотношения (5.8.2) непрерывный линейный функционал g определяется на подпространстве E0 = J®^ формулой ^(/ф) = Х(ф). Из теоремы Хана — Банаха и упр. 4.45 следует существование такого семейства (аР)| р|<т ограниченных мер Радона на й, что supp ар a U и £ является сужением на Ео ли- нейнего функционала

1 р\^т

Другими словами,

*(ф) = 5 (- 1)|р| J^V^

J Pl

для всех фЕ^(й), т. е.

X — 2 ЭРар.\р\<т

Переходя к общему случаю, рассмотрим на й разбиение единицы (JU^tei, образованное такими функциями и^®^, что supp и{с2Йь где относительно компактные открытые множества Йг составляют локально конечное покрытие множества Йг (см. предложение 5.6.1). Теперь к каждому распределению и^Х, 1г1, можно применить доказанную часть (а) нашей теоремы и получить

utX = 2 dpat, р,|р

где а<,р— такие меры на Й, что supp аг-, р с: Й^. В соответствии с этим

^=2«Д=2 2 драЬр = 2 H2az.PL

i г I i^l \p\^tnIpl^w v^l )

Так как о^, р cz Q^ и покрытие (QJ^j локально конечно, го сумма S aLpe локально конечна, поэтому

i е/

а₽= 2аг,Р

является мерой на Q. Таким образом, мы снова приходим к формуле (5.8.1) для X, что и требовалось доказать. ■

Замечания и дополнения. Иногда оказывается полезным (см., например, теорему А' из п. 5.17.1) иметь аналог теоремы 5.8.1, в котором меры ар заменяются гладкими функциями. Интересно иметь и такие аналоги этой теоремы, применимые к любому распределению на Q. Коротко остановимся на этих вопросах.

Пусть т и к — неотрицательные целые числа и X ^S),m^Y N\bi утверждаем, что распределение X представимо в виде конечной суммы производных порядка не более т + й(п + 2) от функций из C^Q).

Для доказательства этого утверждения в силу теоремы 5.8.1 достаточно рассмотреть случай, когда Х = а является мерой и т = 0.

Вначале допустим, что а обладает компактным носителем KczQ, тогда (ср. с (5.8.2))

I «(ф) К const sup|qp| (ф^^(й))(5.8.3)

к

(здесь в силу специальных свойств распределений, порожденных мерами, можно вместо зир|ф |, где U— окрестность множества К, писать просто $ир|ф|). Обозначим через 6 диффе- к

ренциальный оператор dj ... д^ тогда из элементарной формулы

хп

<р(х)= | ... J 6ф d\i

вытекает, что

I Ф(х) ^^фНг,соотношение (5.8.3) влечет неравенство|а(ф) | ^ const || бф Hi (фЕ®(й)).

Из этого неравенства, георемы Хана — Банаха и теоремы 4.16.1 следует существование такой функции geL°°(Rn), что

т. е.т. е.а(ф) = (- 1)" J бф-gdH (Ф^^(Й)),

т. е.

т. е.

а = 6§ на Q.

Заменим g на ug, где функция и из S)(Q) равна 1 на некоторой окрестности множества К и нулю вне заданной окрестности U множества К. Повторное применение формулы Лейбница приводит к равенству

а= 2 dqgq на Q,(5.8.4)

где функции gq принадлежат L°°(Rn) и обращаются в нуль вне U. Заданному набору q поставим в соответствие функции tq.r (r = 0, 1, 2,...) с помощью формул

fqM = J ... J gqd^

хп

fq,r^ = J ...(Г=1,2, ...).

Заметим, что каждая из функций fqlT обладает носителем, содержащимся в множестве вида Ln, где L — ограниченный снизу интервал в R. Легко проверяется, что ^,rGCr(Rn), &fq,Q = = gq и bfq,r = fq,r-i (r=l, 2, ...). В частности, gq = bH4q,k. так что (5.8.4) может быть переписано в виде

а= 2 д^^.к-(5.8.5)

Заменим, наконец, fq через ufq, где функция о из S)(Q) равна 1 на некоторой окрестности множества К, причем supp и содержится'в заданной окрестности U множества К. Применяя еще раз формулу Лейбница, получим из (5.8.5)

а= 2 д%(5.8.6)

|р|<м(^+2)

где функции fp принадлежат C°°(Rn) и носитель функции fp содержится в заданной окрестности U множества ^ = suppa. Мы доказали требуемый результат в предположении, что supp а компактен.

Отказываясь от этого предположения, рассмотрим разбиение единицы ^и^г^ь такое же, как и на этапе (Ь) доказательства теоремы 5.8.1. Тогда в силу (5.8.6) имеем

= S dph.p,(5.8.7)

IpI«

где /=п(А + 2), fi>peCh^n') и supp,-, р с йг. Сумма 2 h,P = fp

локально конечна на Q, и потому ^еСь(Й). Таким образом, из (5.8.7) следует, что

а = 2 «/а = 2 dpfp,(5.8.8)

iel IpK^

что и требовалось доказать.

Предыдущие результаты могут быть распространены на любое распределение Х^2)(Й) с тем лишь исключением, что конечные суммы, вообще говоря, заменяются локально конечными суммами, содержащими производные сколь угодно высокого порядка.

Если XeS^Q), то из части (а) доказательства теоремы 5.8.1 следует, что

и^ = 5 dPa-i)P>

\р\^т{

где Ut — такие же функции, как и в части (Ь) доказательства теоремы 5.8.1, a аг.р— такие меры на Q, что supp а^ р cz Q^. Совокупность неотрицательных целых чисел т^ может, вообще говоря, быть неограниченной (f пробегает множество /). Таким образом, имеем

х = 2<И 2 a<1PL

Р X\p\<tni J

где, как и выше, суммы 5 aL р локально конечны и пред- 1Р1<^’

ставляют собой меры на Q. Кроме того, семейство. (ар) также локально конечно. (Если // — компактное подмножество в Q, пересекающее множества suppap для бесконечного числа различных значений рь р^ ... индекса р, то должны существовать такие индексы q, i2, ... из /, что mt^\pj\ и Н пересекает множества supp a^, Pja Q,/e Так как \рД должно неограниченно возрастать вместе с /, то множество ^^ /=1, 2, ...} неограниченно, что противоречит локальной конечности системы Q^.) Итак,

Х = 21дра.р,(5.8.9)

р

т. е. мы выразили X через локально конечную сумму производных от мер ар на Q.

Продолжая, можно представить каждую из мер ар, входящих в выражение (5.8.9), в виде конечной суммы производных от функций, как в (5.8.8), т. е.

«Р= 2 d-gp,qt(5.8.10)

(5.8.11)(5.8.11)где / = n(Z? + 2), gp,,еС6(Q) и supp ^р,, с supp ар. Из формул (5.8.9) и (5.8.10) следует, что

(5.8.11)

(5.8.11)

гдегдеX-S^U

где

где

fr”^ gp> q*

причем суммирование в последнем выражении распространяется на те пары (р, qY для которых p + q = r и \q\ ^п(й + 2). Таким образом, supp fr cz U supp ар, где объединение распространяется на те наборы р, для которых р = г — q при некотором q, удовлетворяющем неравенству \q\ <С n^k-V^Y Отсюда вытекает, что fT^Ck(£2) и сумма в правой части равенства (5.8.11) локально конечна (каждое компактное подмножество в Q пересекает не более чем конечное число множеств suppfr). Поэтому (5.8.11) представляет собой выражение распределения X в виде локально конечной суммы производных (порядки которых, вообще говоря, сколь угодно велики) от функций из CA(Q).

Восстановление распределения по его первым производным

Пусть X— распределение на Q, и пусть каждая частная про- v дХ

изводная окХ = -^ задана, а именно равна распределению Ак на Q. Что в этом случае можно сказать об X? При каких условиях система уравнений дкХ = Ак (l^^^n), где Ак заданы, разрешима относительно X?

Что касается первого вопроса, то практически наиболее важен и интересен случай, когда про Ак известно, что они являются функциями fk (локально интегрируемыми на Q). Наряду с явным способом решения системы dkX = fk (l^/?^fz) нас интересует также, будет ли каждое решение X этой системы функцией. Рассмотрим сначала случай, когда fk непрерывны.

Предложение. (1) Если распределение X на области Q удовлетворяет уравнениям

дкХ = 0 <\<кдкХ = 0 <\<кп).п).

дкХ = 0 <\<к

дкХ = 0 <\<к

п).

п).

то X — постоянная функция на Q.

Если распределение X на Q удовлетворяет уравнениям dhX = fh (1<п),

где fk — непрерывные функции на Q, то X — такая функция ^^Сх^, что dkf=fh (K-k^n) в обычном смысле. Следовательно,

fM — f^o) — J [f\dtx + + fndtnA, Хо

где интеграл берется по любой спрямляемой дуге в Q, соединяющей точки %о и х.

Если все частные производные д^Х распределения X на Q являются непрерывными функциями на Q, то X— функция класса C°°(Q).

на В соотношениемна В соотношениемДоказательство. Начнем с утверждения (2) Рассмотрим покрытие области Q открытыми шарами В. Пусть а — центр шара В. Определим функцию gB

на В соотношением

на В соотношением

§В^ = j fi(<b х2, ..., Х„)^ +

... + J fn(a{, ..., ап_ j, t^dt^... + J fn(a{, ..., ап_ j, t^dt^х2

... + J fn(a{, ..., ап_ j, t^dt^

... + J fn(a{, ..., ап_ j, t^dt^

+ J /г(«1, ^2, х3, .... xn)df2 + а2

Все пути интегрирования предполагаются лежащими в В, а потому и в Q. Ясно, что функция gB непрерывна. Можно показать (см., например, Л. Шварц [1, стр. 62—63]), что geC^B") и dkgB = fk на В. (Мы не приводим здесь подробного доказательства этого утверждения, так как из описанного ниже в п. 5.11.1 общего метода следует другое доказательство утверждения (2); см., например, (5.11.2) и (5.11.5).) Если выполняется утверждение (1), то разность св = Х — gB постоянна на В. Тогда fB = gB-V + св е С1 (В) и, кроме того, fB~fB'=X всюду на пересечении ВПВ\ если В^В'^0. Отсюда следует, что fB являются сужениями на В такой функции feC^Q), что X=f на Q, что и требовалось доказать.

Так как dkf=fh всюду (т. е. в каждой точке из Q), то функция f восстанавливается интегрированием выражения Vf\dti + ... .. .-Vfndt^ вдоль произвольных спрямляемых дуг в Q.

Остается доказать утверждение (1). Предположим, что Х^ЗУ^ удовлетворяет на Q уравнениям дкХ = 0 (6=1, 2, ..., пу Пусть со — произвольное подмножество в Q, являющееся произведением п открытых интервалов в R1, и пусть Xw=X|(o. Тогда, очевидно, dkXto=0, 6=1,2,.. , п на со. Теперь достаточно доказать, что Xto — постоянная функция на со, так как тогда (покрывая область Q множествами вида со) получим, что функция X постоянна на Й. Таким образом, мы свели

все к случаю, когда сама область Q является произведением открытых интервалов в R1.

Условия ^Х —О на Q, 6=1, 2, ..., п, означают, что ^((р)=0, если q)E2)(Q) имеет вид

п

(5.9.1)(5.9.1)ф = 2 дк<рк&=1

(5.9.1)

(5.9.1)

для некоторых фье0(Й). Очевидно, что всякая функция такого вида удовлетворяет равенству

(5.9.2)(5.9.2)J <р dp = 0, £2

(5.9.2)

(5.9.2)

где ц— мера Лебега на Rn. Если верно обратное утверждение, то Х(ф)=0 для всякой функции (peS)(Q), удовлетворяющей условию 1q (ср)=О, где 1а — постоянная функция на Q, все значения которой равны единице. Отсюда следует, что X = c*1q, где с — некоторое число, что и требовалось доказать.

Мы предоставляем читателю доказать, что из (5.9.2) вытекает (5.9.1), если функции принадлежат S)(Q), где Q — произведение п открытых интервалов в R1. Этот результат очень легко доказать в случае, когда n=L Общий результат получается с помощью индукции по п.

Утверждение (3) следует из повторного применения (2).|

Замечания. Случай, когда в (2) функции th предполагаются лишь локально интегрируемыми (или локально интегрируемыми в р-й степени) на Q, не удается исследовать таким прямым способом. Вместо этого нужно использовать понятие свертки двух распределений и некоторые результаты о свертках функций, принадлежащие Соболеву и сходные с результатами, приведенными в § 9.5.

Схема доказательства будет изложена в § 5.11 после введения понятия свертки распределений.

Остановимся теперь коротко на второй проблеме, а именно на существовании решения системы уравнений д^Х=Ак (1 ^6^ ^п), где Аи заданы. Очевидно, что необходимым условием разрешимости этой системы уравнений является выполнение системы условий

д.Ак — dhAt = O (Кг, h<nY (5.9.3)

Доказательство достаточности этих условий далеко не тривиально, особенно когда область Q отлична от всего Rn. Мы приведем только окончательный результат.

Теорема. Пусть на Q заданы обобщенные функции Ан ^\^.к^пу Для существования решения X e^'(Q) системы уравнений

дкХ=Ак ^<к<п) (5.9.4)

необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие (5.9.3). Если это условие выполнено, то решение системы (5.9.4) единственно с точностью до постоянных слагаемых.

Доказательство. Мы отсылаем читателя к книге Л. Шварца [1, стр. 60, теорема VI] для случая, когда Q = Rn. В случае произвольного Q (могущего быть произвольным вещественным дифференцируемым многообразием класса С°°) эта теорема следует из теоремы де Рама [1, стр. 153, теорема 17], которая содержится также в книге де Рама и Кодайры [1, стр. 40, теорема С]. |

Замечание. Характер решения X системы (5.9.4) в предположении, что оно существует, исследуется в § 5.11.

Свертка распределений на Rn

Свертку распределений на Rn можно, как и для мер (§ 4.19), определить на основе прямого или тензорного произведения распределений. Здесь мы рассмотрим только тот случай, когда в свертке V % У по крайней мере одно из распределений X, Y обладает компактным носителем; в этом случае рассуждения существенно упрощаются.

Более подробное изложение вопросов, связанных с понятием свертки, можно найти в книгах Л. Шварца [1, гл. IV; 2, гл. VI]. Другой подход к определению свертки обобщенных функций описан в работах Шевалле [1], Хираты [1], Сира и с и [1], Иосинаги и Огаты I], С ира и с и и Хираты [1, 2] (см. также упр. 7.19).

Как и в случае мер, определим свертку X*Y=Z, полагая 2(ф) равным общему значению функции Х(Х){У(Дф(х+у)]} и W^wfo^ + y)]} Для ф^S^=S)(Rn). Через У(У)[ф(х+^)] здесь обозначен результат (функция от х) применения распределения У к функции у^~^ф(х + у) е Ф.Аналогичный смысл имеют и другие обозначения. Так же как и в случае мер, ни одно из вышеприведенных выражений не имеет смысла, если X и У — произвольные распределения. Однако в случае, когда одно из распределений X, У (скажем, X) обладает компактным носителем, то смысл имеют оба выражения: первое — поскольку функция У(1/)[ф(х + у)] е С00 как функция от х и потому к ней можно применить X, второе — потому что Х^\^^х-Уу^^ Ф как функция от у и, следовательно, к ней можно применить У. Наша цель показать, что в этом случае оба выражения равны. Для этого

обозначим их соответственно через Z'(<p) и Z"((p). Очевидно, что для заданного ср £'(ф) и ^"(ф) билинейны как функции от (X, У). В силу теоремы 5.8.1 распределение X можно представить в виде конечной суммы производных с^а, где а —- меры Радона с компактным носителем. Таким образом, достаточно рассмотреть случай, когда X само равно д^а. При этом если положить Х = а, то равенство Zz((p) =Z/Z((p) равносильно равенству Z'^^ =Z/z(dP(p). Так как д^ф^З? при tpeS), то доказательство сводится к рассмотрению случая, когда Х = а есть мера с компактным носителем. Другими словами, надо показать, что

/ Y^ [ф U + #)] da (х) Y(y) [ J/ Y^ [ф U + #)] da (х) Y(y) [ Jф(х + z/)da(x)],

/ Y^ [ф U + #)] da (х) Y(y) [ J

/ Y^ [ф U + #)] da (х) Y(y) [ J

где Уе2У=2У(Рп), фЕЗ) и a — мера с компактным носителем. Если распределение У также обладает компактным носителем, то можно опять воспользоваться теоремой 5.8.1, чтобы свести доказательство к случаю, когда У — мера с компактным носителем. Тогда нужное нам равенство вытекает из свойств произведения мер (§ 4.17).

Пусть У не обладает компактным носителем. Тогда У можно представить в виде сильного предела последовательности распределений (Уп) с компактными носителями, скажем Уп = апУ, где an ей) и an=l на шаре в Rn с центром в нуле и радиусом п. Тогда

Vn (у) [ф (х + ^)] -> Yw [ф (х + I/)]

равномерно по х, пробегающим любое компактное множество (при этом соответствующие функции у ф(^+у) попадают в некоторое ограниченное подмножество в 2)), и

J Yn^ [ф(х +y)]da(x)-» J Yw [ф(х + г/)] da(x).

В то же время так как J ф (х + z/) da (х) е 96, то

Yn(y)[J ф(х + у)^а(х)]->Кф)[{ ф(х + y)da(x)].

Таким образом, нужное нам равенство получается предельным переходом.

Теперь легко понять, как определяется свертка X * Y * Z * ... любого конечного числа распределений, если все они, кроме, быть может, одного, обладают компактными носителями. Такие свертки подчиняются законам коммутативности и ассоциативности. (Если ослабить ограничения, наложенные на носители, то ассоциативность может нарушиться.) Более того, свертка X * У билинейна по переменным X, У, если хотя бы одно из распределений X, У обладает компактным носителем.

Легко убедиться в справедливости следующих формул:

8*Х = X для любого X ^ др(Х* П = №)* ¥ = ХЦдр¥\

если хотя бы одно из распределений X, Y обладает компактным носителем;

дрХ = (d^e) * X для любого X г 3¥.

Отсюда следует, что дифференцирование представляет собой особый случай свертки с распределением д^е, носитель которого равен {0}. Таким образом, уравнение типа свертки А *Х = В, где А и В заданы, а X — неизвестное распределение, причем А обладает компактным носителем, содержит в себе как частный случай все линейные дифференциальные уравнения в частных производных с постоянными коэффициентами; уравнение типа А *Х = 6 включает в себя и некоторые виды интегральных уравнений.

Предоставляем читателю проверить, что

supp (X % У) cz (supp X) + (supp У),

если хотя бы одно из множеств в правой части компактно; в частности, supp (X % У) компактен, если носители обоих распределений X и Y компактны.

Что касается непрерывности свертки X % У по каждому множителю, то легко проверяется, что Xi * Y-^X % ¥ в сильной топологии в ЗУ, если supp Xt содержатся в некотором фиксированном компактном множестве (не зависящем от f) и Xi-^X в сильной топологии в 3)'. Аналогично можно показать, что X ^Yi-^X *¥ в сильной топологии в ЗУ, если X обладает компактным носителем и Yi-^Y в сильной топологии в Ф'.

Для доказательства, например, первого соотношения рассмотрим функции

"Фг (У) =^г(х)[ф(Х+ «/)].

Если suppA\- лежат в фиксированном компактном множестве и Ф пробегает ограниченное подмножество В cz ЗУ то функции фг обладают равномерно ограниченными носителями и фг-сильно сходятся в 2)(Rn, S) (где S — соответствующее ограниченное множество) к Х^ [ф(я+у)], если Xi-^X в сильной топологии. Отсюда следует, что Xi * У (ф) --^ X % У (ф) равномерно относительно фЕЙ, так что Xi^Y -^Х ^¥ в сильной топологии в ЗУ. Справедливость второго соотношения устанавливается аналогичными рассуждениями.

Если в качестве X взять функцию р е S), то р * У является (распределением, порожденным) функцией

[р(* — Z/)L

принадлежащей С°°. Аналогично если р е S)m и Y Ф'т, то р * У является непрерывной функцией

xv->Y^ [р(я —У)].

Если У обладает компактным носителем, то supp (р^У) также компактен. Пользуясь результатами предыдущего абзаца, можно показать, что в Ф можно выбрать такие функции рп (п=1, 2, ...) с носителями в любой наперед заданной окрестности нуля, что обобщенные функции рп будут сильно сходиться к е. (Нужно только потребовать, чтобы выполнялись соотношения pn^0, J рп^Ц= 1 и рп = 0 вне шара с центром в нуле и радиусом 1/п.) Тогда рп * У сходится к У сильно в Ф' для любого элемента У е Ф'.

Если У обладает компактным носителем /(, то рп * У являются функциями в Ф, носители которых содержатся в произвольной наперед заданной окрестности множества А. В частности, Ф сильно плотно в Ф' (предполагается, что функции из Ф отождествляются с распределениями, которые они порождают). Здесь мы вновь сталкиваемся с понятием регуляризации, или сглаживания, введенным в п. 4.19.16 для мер. В связи с этим отметим формулу

f« У(ф) = У(/«ф), где ср^Ф, Ye®' и f— произвольная интегрируемая функция с компактным носителем.

Наконец, можно заметить, что наш способ определения свертки X * У, когда хотя бы одно из распределений X, Y обладает компактным носителем, может применяться и в более общем случае, когда множества А = supp X и 8пррУ = б таковьц что для каждого компактного множества К cz Rn подмножество ^АХВ^К в RnXRn также компактно; здесь К = Цх, у) г eRnXRn: х + у^К\ (ср. с рассуждениями в § 4.19 для мер). Это имеет место, например, если оба множества suppX и supp У содержатся в полупространствах вида Х\ *> ah ..., хп^> ап. Этот случай важен в связи с преобразованием Лапласа. Вводные сведения по затронутым здесь вопросам применительно к одномерному случаю содержатся в книге Гар ни [I, стр. 154—168].

Используя свертки и простые свойства элементарных решений уравнения Лапласа, можно исследовать ряд более тонких свойств распределений.

В следующем параграфе мы приведем примеры, в которых используется комбинированная техника. Перед этим мы продолжим изучение вопросов, с которыми мы уже встречались в § 5.9.

О небольшом, но важном обобщении понятия свертки см. упр. 5.19.

Другие свойства распределений

Снова о восстановлении распределений по производным. Нас интересуют сейчас обобщенные функции X на Q, о которых известно, что их частные производные дкХ есть функции fh (^=1, 2, ..., п). Поскольку наша цель состоит в том, чтобы определить, является ли при этих условиях X функцией или нет, то поставленная задача имеет локальный характер. Однако, к сожалению, задача не сводится сразу к случаю, когда носитель suppX компактен и потому X обладает продолжением, принадлежащим ЗУ = ЗУ(Rn). Все же независимо от того, компактен ли носитель suppX или нет, первый шаг заключается в отыскании явного вида решения X системы уравнений dkX=fh (k = 1, ..., n).

Метод решения этой системы зависит от того, существует или нет распределение Е на Rn, удовлетворяющее уравнению

ХЕ-г,(5.11.1)

п

где А=2^1 — оператор Лапласа. Такая обобщенная функ- к=\

ция Е называется фундаментальным решением^ уравнения Д« = 0, или еще фундаментальной функцией оператора А.

Если Е задано, а X обладает компактным носителем и является решением системы уравнений dkX=fk (6=1, 2, ..., п), то

X (М) и = 2 № * ^ = 2 а, (а,Е) * X = kкк

= \Е*Х = е*Х = Х, т. е.

(5.11.2) к = 1

Очевидно, (5.11.2) выполняется, если fh = дкХ — произвольные распределения (не обязательно функции) при условии, что X (а потому и f^) обладает компактным носителем. Равенство

представляет собой явное выражение решения X. Если носитель распределения X не является компактным, то приведенные выше вычисления не проходят. Действительно, распределение Е, удовлетворяющее уравнению (5.11.1), не может при этом обладать компактным носителем, так что мы заранее не знаем, имеют ли рассматриваемые свертки смысл.

[Отсутствие у уравнения АЕ = е решений с компактным носителем вытекает из следующего замечания: если А и В — распределения, носители которых компактны, и 5(1) =0, то Л 5(1) = = 0. Теперь достаточно положить А =Е и 5 = Ае. Доказательство приведенного замечания несложно. Выберем относительно компактные открытые окрестности U и V множеств supp Л и supp В соответственно. Тогда

А * 5(1) =Л * 5(ф) =Лм{5(2/)[(р(х + у)]}

для любой функции феЗ), равной единице на U-VV. Для всякой такой функции ф и любого x^U функция y^-^^^-Vy^ равна единице на V, так что 5(у)[ф(х + у)] = 5(1) для х^ U. Но тогда

Дх) {5(^ [ф(х + у)] } = Л(х) {5 (I)} = Л (1) • 5 (1) == Л (1) • 0 = 0,

что и требовалось доказать.]

Чтобы обойти возникшее затруднение, выберем произвольную функцию к^З), равную единице на некоторой окрестности нуля, и рассмотрим распределение F = hE. Оно обладает компактным носителем, и

XF = (А/г) • Е + 2 2 dkh • дкЕ + h • ^E.

Далее Е можно выбрать так, чтобы оно было функцией класса С°° на Rn\{0}. Так как Мт = дкН = 0 на некоторой окрестности нуля, то первые два члена правой части равенства являются функциями из С°° и их носители содержатся в supp/г, т. е. они принадлежат 3). Поскольку h • &E=h • е = /г(О) -8 = 8, то

А5 = е + ^, (5.11.3)

где ^^3), supp £cz supp h и функция £ равна нулю на некоторой окрестности нуля. Распределение F является так называемым параметриксом оператора А; его носитель в отличие от носителя фундаментального решения Е компактен1).

В случае Q = Rn, заменяя в предыдущих вычислениях Е на F, получаем п

X=-^*X^HdkF*tk,(5.Н.4)

где —£*Х есть функция класса С°° (так как ^eS)).

Если Q произвольно, то для локального исследования X на Q как функции от ^ можно воспользоваться равенством вида (5.11.4). Для этого предположим, что coi и со — открытые относительно компактные подмножества в Q, причем coi cz со. Возьмем некоторую функцию сс е S), равную единице на (о, с носителем в Q. Тогда аХ можно продолжить до распределения У на Rn, обладающего компактным носителем. Далее продолжим аД до функции gk на Rn, имеющей компактный носитель. Тогда X и У совпадают на со, так же как Д и g^. Таким образом, dkY=gk на (о. Если мы теперь в качестве носителя функции h возьмем такую малую окрестность нуля V, что coi + V с= со, то

д, F*g ,=д, F*dУ

_к ° к к к к

на (Оь Следовательно, если заменить X и Д на У и ^ соответственно, то равенство (5.11.4) будет выполняться. Это позволяет судить о характере функции У на (Oi, а поэтому и о характере X на о)ь Таким образом определяется локальное поведение распределения X.

Так как первое слагаемое в правой части (5.11.4) принадлежит 3), то во всех случаях локальная природа распределения X определяется поведением свертки

dkF »f = dk (F*f) или

дкЕ *f=dk(E

,где f— функция, обладающая компактным носителем. Поскольку речь идет о локальном поведении, то различие между Е и F = = hE несущественно. Таким образом, достаточно исследовать только дкЕ * ^ где f — функция с компактным носителем (обязательно интегрируемая).

Возможности дальнейшего исследования зависят от природы выбранного фундаментального решения Е. Естественно, что Е определяется неоднозначно: к Е можно добавить любое распределение Н на Rn, являющееся гармоническим в том смысле, что ДЯ = 0. Можно показать ^лемма Г. Вейля, см. п. 5.18.4 и также Л. Шварц [1, стр. 136]), что любая гармоническая обобщенная функция Н является в действительности гармонической функцией в обычном смысле, так что Н е С°°. В таком случае тот член в dhE*f, который возникает за счет этой компоненты

функции Е, сам принадлежит классу О и поэтому для нас несуществен. Таким образом, нас устраивает любое распределение Е, удовлетворяющее равенству ^Е = г.

Вероятно, наиболее простым из таких распределений является распределение Е, определенное формулами

Е= — (2л)-1 log (1/г)Е= — (2л)-1 log (1/г)х • У^где У — функция Хевисайда нах • У^где У — функция Хевисайда напри при припри при прип >2, п = 2,(5.1L5)п = 1,п >2, п = 2,(5.1L5)п = 1,0101R1, при приR1, при прих<0, х>0,х<0, х>0,и (оп — площадь поверхности единич-и (оп — площадь поверхности единич-ной сферы в Rn. (Использованная здесь техника совершенно не обязательна в случае п=1. Для этого случая имеется более прямой метод. Мы включаем случай п=\ в наше рассмотрение только для того, чтобы показать возможность единого подхода.) Во всех случаях Е—функция класса С°° на Rn\{0); при п = 1, кроме того, Е — всюду непрерывная функция. Проверка того, что Е, определенное формулами (5.11.5), удовлетворяет равенству &Е = в для случая п=\, тривиальна. При /г > 2 эта проверка опирается на формулу Грина для простых областей и достаточно гладких функций. Мы набросаем доказательство для случая п>2.В п. 4.15.14 мы получили формулу Гринаной сферы в Rn. (Использованная здесь техника совершенно не обязательна в случае п=1. Для этого случая имеется более прямой метод. Мы включаем случай п=\ в наше рассмотрение только для того, чтобы показать возможность единого подхода.) Во всех случаях Е—функция класса С°° на Rn\{0); при п = 1, кроме того, Е — всюду непрерывная функция. Проверка того, что Е, определенное формулами (5.11.5), удовлетворяет равенству &Е = в для случая п=\, тривиальна. При /г > 2 эта проверка опирается на формулу Грина для простых областей и достаточно гладких функций. Мы набросаем доказательство для случая п>2.В п. 4.15.14 мы получили формулу Грина

Е= — (2л)-1 log (1/г)

Е= — (2л)-1 log (1/г)

х • У^

где У — функция Хевисайда на

х • У^

где У — функция Хевисайда на

при при при

при при при

п >2, п = 2,(5.1L5)

п = 1,

п >2, п = 2,(5.1L5)

п = 1,

0

1

0

1

R1, при при

R1, при при

х<0, х>0,

х<0, х>0,

и (оп — площадь поверхности единич-

и (оп — площадь поверхности единич-

ной сферы в Rn. (Использованная здесь техника совершенно не обязательна в случае п=1. Для этого случая имеется более прямой метод. Мы включаем случай п=\ в наше рассмотрение только для того, чтобы показать возможность единого подхода.) Во всех случаях Е—функция класса С°° на Rn\{0); при п = 1, кроме того, Е — всюду непрерывная функция. Проверка того, что Е, определенное формулами (5.11.5), удовлетворяет равенству &Е = в для случая п=\, тривиальна. При /г > 2 эта проверка опирается на формулу Грина для простых областей и достаточно гладких функций. Мы набросаем доказательство для случая п>2.

В п. 4.15.14 мы получили формулу Грина

ной сферы в Rn. (Использованная здесь техника совершенно не обязательна в случае п=1. Для этого случая имеется более прямой метод. Мы включаем случай п=\ в наше рассмотрение только для того, чтобы показать возможность единого подхода.) Во всех случаях Е—функция класса С°° на Rn\{0); при п = 1, кроме того, Е — всюду непрерывная функция. Проверка того, что Е, определенное формулами (5.11.5), удовлетворяет равенству &Е = в для случая п=\, тривиальна. При /г > 2 эта проверка опирается на формулу Грина для простых областей и достаточно гладких функций. Мы набросаем доказательство для случая п>2.

В п. 4.15.14 мы получили формулу Грина

| дки • dp = J и dak = J uNk do QFF

для любой достаточно простой ограниченной области в Rn с границей F и любой функции и класса С1 на некоторой окрестности множества Й; здесь M=(Mi, ..., Мп)—единичная нормаль к F и о — поверхностная мера на F. Полагая в этой формуле и = <р«дк^, получаем

J дк<Р • ^й^ dp + j Ф^д-ф dp = J <р • dk^Nk da, □QF

где ф принадлежит классу С1 и гр — классу С2 на некоторой окрестности множества Й. Суммируя по к, меняя местами ф и гр и затем вычитая, получаем (в обычных обозначениях)

J (ф • Агр — гр • Аф)ф = j (ф • grad гр —гр • gradф) • N • da» a jf

где ф и гр — функции класса С2 на окрестности множества Q. Возьмем в этой формуле в качество Q круговое кольцо а < г = = |х|<р, где сс > 0 и множество {х: г < р} содержит носитель функции фЕ®, а ^ = г^-пе Тогда ф и gradф равны нулю на внешней стороне сферы |х|=р и Аф=0 на Q. Таким образом, получаем

— J г2-п Аф dp = J [ф • grad (r2-n) — r2-n • grad ф] N • da,

где Sa — сфера с центром в нуле и радиусом а. При а->0 левая часть этого равенства стремится к —~J r2“^^dp = =—(ф, А(г2-П)). Стандартные рассуждения показывают, что правая часть стремится к (/2— 2)сопф(О). Отсюда следует, что А(г2~п) =— (^ — 2)сопе в смысле обобщенных функций, т. е. имеет место первая из формул в (5.11.5). Случай лг=2 рассматривается аналогичным образом.

Следующий шаг — исследование природы распределения функции дкЕ. При /2=1 тривиальной проверкой устанавливается, что дЕ является функцией У. Рассмотрим случай п >2. В точках х^О у Е существует обычная частная производная, равная — ^~ххкг-п при /г > 2 и (2со ^-^^г-2 при /2 = 2. Естественно ожидать, что эти локально интегрируемые функции порождают распределение дкЕ, т. е. что

- 1 <Ф» Vn>

для всех феЗ) при п > 2 (и аналогичная формула для /2 = 2). Это действительно так, и доказательство проходит одинаково для /2 = 2 и п > 2.

Мы проведем доказательство для случая /2 > 2. Нужно показать, что

j д^ф • г^"п dp = (/г — 2) J фх^г-п d\x

для каждой функции ф е S). Выберем число р настолько большим, чтобы носитель функции ф содержался в шаре с центром в нуле и радиусом р. Так как обе подинтегральные функции интегрируемы, то результат не изменится, если проинтегрировать их в слое Q: сс < г < р, где сс > 0, и положить затем сс ф 0. К интегралам по слою можно применить формулу Грина, заметив, что в классическом смысле

дк (ф • г2~п) = г^д^ — ^п — ^ хк^ • г-п

всюду в слое. Отсюда

J дк<р • г2-" dp = J дк (г2"""<р) с?ц + (п - 2) J хде-п dp, где первый член справа в силу формулы Грина есть

J Nkqr2~nd<5

(Sa— сфера с центром в нуле и радиусом а). Если а|0, то этот поверхностный интеграл стремится к нулю, откуда и вытекает искомая формула.

На заключительном этапе покажем, что каждый член OkE^f (где f интегрируема и обладает компактным носителем) является локально интегрируемой функцией. При п=\ это очевидно, потому что дЕ есть ограниченная функция У, и потому Е*/— ограниченная и непрерывная функция. Если п >2, то дкЕ. как уже было доказано, есть произведение постоянной на функцию xkr-u = g. Поэтому достаточно лишь показать, что функция g * f локально интегрируема. Так как |g'|^r1“n, то достаточно показать локальную интегрируемость функции rx”n^f. При этом можно считать, что функция f > О интегрируема и обладает компактным носителем, содержащимся, скажем, в шаре В^. Для любого ос > 0 имеем

J (гг-п*Г^р = / <Ы*) / HdPU-y^dpUA- вава В0

= f HyWUP / I X- у |'-rtdp(x), врва

где внутренний интеграл равен

J И1""" dp (2)6^ j |2|I-ndp(2) = o„(a + | z/|).

Ba-|t/|Ba+lz/|

Следовательно,

J (rx-n*f)dp< J f(y)®n(a + | z/|)dp(y)< + oo,

BaBp

откуда следует, что функция r'-n^f локально интегрируема.

Таким образом, мы показали, что если распределение X на Q таково, что дкХ— функции (k = 1,..., п^, то X— также функция на Q.

Если о функциях Д имеется дополнительная информация, то и о локальных свойствах X можно сказать больше. Теорема 9.5.10 служит одним из источников таких сведений. Она как раз

содержит утверждения о функции p-n*f. Если в этой теореме положить Х = п—1, то получаем следующие выводы:

Если каждая функция fk имеет локально интегрируемую р-ю степень,0<^<+оо, ~-< —, то q-я

степень функции X локально интегрируема.

Если р > п и p-я степень каждой функции fk локально интегрируема, то X — непрерывная функция.

Используя принадлежащее Соболеву уточнение теоремы 9.5.10, эти результаты можно усилить; более подробно об этом можно прочитать у Л. Шварца [2, стр. 37—40] и Дени и Лионса [1, теорема 2.1]. Оказывается возможным доказать следующие утверждения.

(а') Если 1 < р ^ +оо, то в (а) можно брать q, такое, что 0 < q < +оо и= —.

vр q п

Если р = п> 1, то X ^ L\qz (Q) для любого конечного г.

Аналогичные проблемы возникают, если известны все частные производные д^Х порядка \q\^Ch. К этим вопросам относятся так называемые теоремы вложения Соболева [1, 1а]. Соболев обозначает через ^^(Q)' пространство функций f е Lioc(Q), для которых d^e£p(Q), где |q|^/i. Наиболее простая из его теорем вложения утверждает, что если Q ограничено и n<ph, то W^ cz Сь№ (где СДЙ)—пространство ограниченных непрерывных функций на Q). Мы не будем явно использовать этот интересный результат, поэтому ограничимся лишь замечанием, что если h четно, то его можно вывести из теоремы 9.5.10 (с), пользуясь параметриксом Р, вводимым ниже в доказательстве теоремы А п. 5.11.3.

Все эти результаты относятся к локальным свойствам распределения X. Поэтому естественно поставить вопрос о возможности установления результатов, касающихся глобальных свойств распределения X, предполагая, что каждая производная дкХ принадлежит £^(Q) для некоторых значений р. Особый интерес представляют собой следующие две проблемы.

) Для каких областей Q в Rn из соотношений

Хе$'^, dkX^L2№ (^=L 2, ..., п^ (5.11.6) вытекает существование такой константы с = с(Х), что Х + с^ е Еч(Q), причем предполагается, что п > 2 и q = -^^ ?

) Для каких областей Q cz Rn, обладающих конечной мерой, из соотношений (5.11.6) следует, что Хе£(й)?

Два типа областей Q, характеризующиеся условиями (1) и (2), называются соответственно областями Соболева и обла-

стами Никодима. Очевидно, любая область Соболева, имеющая конечную меру, является областью Никодима. Обратное утверждение не имеет места.

Некоторая связь между областями Никодима и граничными задачами для линейных дифференциальных уравнений с частными производными ясна уже из книги Куранта и Тильбер та [1, гл. VII]. (См. также Д е н и и Л и о н с [1, гл. I, § 10] и следующий ниже п. 9.12.2.)

Про обобщенные функции X на Q, удовлетворяющие соотношениям (5.11.6), говорят, что они принадлежат (обобщенному) пространству Беппо Леви BL(Q). При этом пересечение Z,2(Q)HBL(Q) обозначается через ^Ь (Q). Последнее пространство будет играть важную роль в этой главе при изучении линейных дифференциальных уравнений с частными производными (§ 5.13).

Читатель, вероятно, заметит, что если Q обладает конечной мерой, то Q есть область Соболева в том и только в том случае, если BL(Q)cz L^(Q), и Q есть область Никодима тогда и только тогда, когда BL(Q)cz<^12 (Q). Можно показать (упр. 6.12 и 6.13), что области Соболева и Никодима с конечной мерой могут быть охарактеризованы неравенствами, весьма эффективно •выражающими специальные функционально-аналитические свойства этих областей.

Детальный разбор этих вопросов можно найти у Дени и Лионса [1, гл. I]. См. также Фу гл ид и Шварц [1].

11.2. Ограниченные множества распределений. Мы рассмотрим здесь критерий ограниченности подмножеств S в 9У(Q), где Q — данное открытое подмножество в Rn. Как было указано в 5.3(1), понятия слабой ограниченности, сильной ограниченности и равностепенной непрерывности для подмножеств пространства S)'(Q) совпадают. Поэтому можно говорить просто об ограниченности.

Начнем с необходимых условий ограниченности множества 2. Пусть со— произвольное открытое относительно компактное множество в Q (это означает, что со ограничено и его замыкание со в Rn содержится вЙ). Тогда со находится на расстоянии г > 0 от границы множества й. Если X, Y cz ^'(Q), причем носитель У содержится в шаре Вт радиуса г с центром в начале, то можно определить свертку X * У, считая ее элементом пространства ^'(со). Действительно, если ф г S) (со) и у е Вг, то носитель функции хн->ф(х+#) лежит в Q, и, таким образом, ^(х)[<р(^ + у)] определено, ^[^(x + z/)] как функция от у принадлежит классу С°° на Вт. Так как supp У с= Вг, то ^(v)№x)[<p(^+y)]} имеет смысл.

Свертка X * Y определяется спомощью равенства АГ ^ У (ф) = = У(У){^(х)[ф(^+^/)]}- Читатель может проверить, что такой же результат получится, если подсчитать ^(ЭС){У(х/)[ф (х + г/)]}, где выражение в фигурных скобках есть элемент из S>(Q) (см. упр. 5.19).,

Таким же образом свертка X*f*g имеет смысл для всех A'eS и всех распределений f и g, носители которыхалежат в достаточно малой (зависящей от Q и (о) окрестности нуля U, причем X *f *g ^ЗУ^ю). Из этого определения следует, что если f и g фиксированы, а X пробегает ограниченное множество SczS)z(Q), то значения X*f*g пробегают соответственно ограниченное множество в 2)z(co). Наша задача — доказать обратное утверждение. Это обращение и будет первым из двух критериев ограниченности.

Теорема А. Пусть Q — открытое множество в Rn, S — некоторое множество в ЗУ(Й). Для того чтобы 2 было ограниченным в 2)Z(Q), необходимо и достаточно, чтобы выполнялось следующее условие*, для любого открытого относительно компактного множества со cz Q существуют такое целое число т^О и такая окрестность нуля U в Rn, что множество

S*f*g = {X*f*g: Хе2}

ограничено в ЗУ (со) для всех f и g из 2)m^UY

Доказательство. Необходимость тривиальным образом следует из предыдущих замечаний.

Доказательство достаточности опирается на существование и свойства фундаментальной функции итерированного оператора Лапласа А\ В частности, используется тот факт, что существует распределение Е на Rn, удовлетворяющее уравнению ^Е^в^ причем можно выбрать Е в виде |я|2ь-п(Л log|;v|+В). Явные формулы (для нас не представляющие интереса) можно найти у Л. Ш в а р ц а [1, стр. 48]. Пусть задано произвольное пг; тогда, выбрав к достаточно большим, можно добиться, чтобы Е принадлежало Ст. Составим с помощью Е параметрикс P=fE, где feS), f=l на некоторой окрестности нуля и suppfczlZ Тогда Р ^ 3)m(U) и

А^ = е-^,

где £ принадлежит S^U^cz 2>m^Uy

Уменьшим, если это необходимо, U до таких размеров, чтобы все появляющиеся ниже свертки были определены на ш. Тогда на со будет справедливо соотношение

X=X*^-V&4X*Py

Повторяя рассуждения, получаем

X = ^*g*^ + 2A4^*S*^) +А2^ ^Х*Р*Р\

Так как £ и Р принадлежат S)m(L7), то по предположению каждая из тройных сверток в правой части равенства пробегает ограниченное множество, когда X пробегает 2. Кроме того, операторы Ah и А27г переводят ограниченные множества в ограниченные. Следовательно, 3 ограничено в S>'(Q), что и требовалось доказать. 1

Замечания. Очевидно, что справедливо аналогичное утверждение с заменой множества %*f*g множеством вида

S *Л * ... */5,

где s фиксировано. Для доказательства можно применить предыдущие рассуждения, видоизменив их соответствующим образом для сверток с большим числом членов, или воспользоваться самой теоремой А, проведя индукцию по s.

К теореме А примыкает один сходный критерий.

Теорема В. Пусть Q — открытое подмножество в Rn, 2— подмножество в ^'(Q). Для того чтобы 2 было ограниченным в ©ДЙ), необходимо и достаточно, чтобы выполнялось следующее условие*, каждому относительно компактному открытому в Q множеству со соответствует такая окрестность нуля U, что множество ^^f ограничено в ^Дсо) для каждого f^3)(U).

Доказательство. Необходимость очевидна. Достаточность будет установлена, если показать, что выполняются условия теоремы А. Главное — доказать, что 3)(U) можно расширить до для некоторого конечного т, не нарушая при этом ограниченности множеств. Так как задача имеет локальный характер, доказательство для случая Q=Rn типично. Отложим рассмотрение этого случая до п. 7.8.2, где он послужит иллюстрацией некоторых общих принципов функционального анализа. 1

Замечание. Теоремы А и В, как и, за исключением незначительных деталей, приведенные доказательства, принадлежат Л. Шварцу [2, гл. VI, стр. 47—52].

11.3. Линейные отображения, перестановочные с операцией дифференцирования. С помощью теоремы В п. 5.11.2 мы получим центральную теорему о непрерывных линейных отображениях и*. 3)-^ЗУ, удовлетворяющих некоторым простым условиям. Эта теорема, принадлежащая Л. Шварцу [2, гл. VI, стр. 53—54], инспирирована рядом аналогичных результатов, содержащихся в ней в качестве частных случаев.

С самого начала развития функционального анализа большой интерес вызывали отображения, которые Вольтерра назвал

операторами замкнутого цикла. Это операторы, переводящие функции в функции и перестановочные со сдвигами. Другими словами, такой оператор и преобразует функцию f (одной или нескольких вещественных переменных) некоторого заданного типа в другую такую функцию g^u^ и обладает тем свойством, что сдвиг функции f переходит после применения оператора и в такой же сдвиг функции g. Очевидно, что если L— функция, подобранная соответствующим образом по заданному классу функций Д то u(f)=L*f является непрерывным оператором описанного типа. В приведенном ниже примере 6.4.9 получен результат, из которого следует, что для класса рассматриваемых там функций верно и обратное утверждение, т. е. каждый оператор и указанного вида представим в виде свертки. Эти и многие подобные результаты (см. ссылки в примере 6.4.9) суть следствия теоремы Л. Шварца, из которой при довольно слабых ограничениях на и следуют многие другие интересные и полезные результаты.

Теорема. Пусть и*. Ф-^ФГ— непрерывное линейное отображение. Тогда следующие четыре условия эквивалентны*.

и перестановочно с операцией дифференцированиях

и перестановочно со сдвигами;

и перестановочно со свертками;

существует такое распределение L на Rn, что ищ=м ч^®у

Доказательство. Пусть f— функция на R и х — точка из Rn. Обозначим через txf сдвиг функции f, определенный правилом у-^Цу+х). Действие сдвига 1Х на распределения определяется таким образом: (f, /хХ) = (^-Д, X) для f е® и Хе Фг.

Важно отметить, что

<5J = lime-W-/)е>0

в смысле пространства Ф, где f е Ф и е обозначает й-й единичный вектор в Rn. Аналогично

дД^Пте-^Д-Х)е->0

в смысле пространства Ф', если X е Ф'.

Эти замечания показывают уже, что из (2) следует (1).

Для доказательства того, что (1) влечет (2) и, следовательно, эквивалентно (2), достаточно установить, что для любой пары элементов f и g из Ф выражение

F(x) = <txg, u(txf))

не зависит от х. Покажем, что, действительно, dkF—0 для каждого к — 1, 2,..., п. Дифференцируя, имеем

dbF to = ^fcv^’"(^)+ 5хё> "fc r" l^ ’

где, например, через ~^{txg) обозначен элемент из Ф, определяемый как

Wme-4tx*Mg-txgY

е->0

Аналогичное замечание относится и к ^-[^(У)]- Мы не будем останавливаться на этом, чтобы не прерывать нить доказательства, однако легко проверить, что определенное таким образом -^(Gg) совпадает с dktxg и что

В силу (1) последний член равен d^u^tJ^Y поэтому второе слагаемое в выражении для dkF^ равно

-Wxgi uUxf^

и, следовательно, dkF = 0, что и утверждалось.

Таким образом, утверждения (1) и (2) эквивалентны.

Докажем теперь импликацию (2)=ф(3). С этой целью аппроксимируем в 9 свертку f^g суммами Римана ^t_Xrf • g^x^ • \xr. г

Из непрерывности отображения и и утверждения (2) следует, что

w(Z*gr) = limS/-xru(/)-g(xr)-Ахг в 3'. Г

Предел справа есть не что иное, как u^^g. Таким образом, и^ * g) =и^)^ g, т. е. справедливо (3).

Из (4), как легко видеть, вытекает каждое из утверждений (1), (2) и (3). Поэтому для завершения доказательства теоремы достаточно установить импликацию (3)=>(4). Для этого рассмотрим произвольную последовательность (fr) cz 3), сходящуюся в 9' к е. Если g е 9, то fr* g-^- g в 9. Из (3) следует тогда, что

lim и(fr) * g = Um иЦг* g^ = u(g)

в 97 для любого g е 9.

В силу теоремы В п. 5.11.2 последовательность Lr = u(fr) ограничена в 9' и, следовательно, содержится в некотором равностепенно непрерывном подмножестве в 9'. Поэтому эта по-

следовательность имеет в 2' слабую предельную точку L. Но тогда L * g = lim(Lr * §•) = u^gy Тем самым (4) доказано. |

Замечания. Из утверждения (4) следует, что отображение и обладает естественным продолжением с пространства Ф на пространство (С00)' всех распределений с компактными носителями. Это продолжение удовлетворяет условию (3), т. е.

u(X*Y)=uW* Y.

С другой стороны, если известно, что (3) выполняется в этой более сильной форме, то (1) и (2) становятся тривиальными следствиями отсюда, так как д^Х = дкг * X и 1хХ = гх*Х для произвольного распределения X.

Накладывая на и дополнительные ограничения, можно получить из доказанной теоремы различные следствия. Приведем некоторые из них.

Следствие 1. Если отображение и удовлетворяет всем условиям теоремы и, кроме того, supp w(f)cz supp f для всех f^2, то и — линейный дифференциальный оператор в частных производных с постоянными коэффициентами*.

и^= 5 cpdpt

\p^m

Обратно, всякий такой оператор и обладает сформулированными свойствами.

Доказательство. Обратное утверждение очевидно. Для доказательства прямого утверждения используем построение L как предела последовательности Ет = и^ту Поскольку можно считать, что все носители supp fr содержатся в сколь угодно малой окрестности нуля U в Rn, то то же самое верно и для L. Фактически отсюда вытекает, что supp£cz{0}. Но в таком случае L является линейной комбинацией производных хд^г и потому отображение и имеет вид, указанный в следствии. ■

Приводимое ниже следствие используется в примере 6.4.9, где дается более прямое доказательство (хотя основные идеи в основном те же).

Следствие 2. Пусть непрерывное линейное отображение и*. D-^Lp (1^/7<^оо) перестановочно со сдвигами. Тогда

u^=L*t

где L^Lt при р >1 и L — ограниченная мера Радона при р= 1. Справедливо и обратное утверждение, почти тривиальное.

Доказательство. Рассмотрим сужение отображения и на 2. (Мы отождествляем функцию из 2 с классом (элементом из L1), который она определяет.) Тогда распределение L из утверждения (4) обладает тем свойством, что L % f является

(обобщенной функцией, порожденной) классом из L^. Обозначая этот класс через L * f, имеем

НА* f\\P < const ИЛ1ь

Если f пробегает такую последовательность (fr)czS>, что Д^О, J frdp.= l и 1Дх) = 0 при \x\>ljf\ то последовательность L*fr, сходясь к L в ЗУ, ограничена в L^. При р>\ ограниченные подмножества в L^ относительно слабо компактны, и потому последовательность L*fr обладает в L^ слабой предельной точкой. Эта предельная точка не может быть отличной от L, так что L^Lv. Это рассуждение не проходит при р=Л. Но тогда вместо Lx можно взять более широкое пространство ограниченных мер Радона. В этом пространстве последовательность L*fr обладает слабой предельной точкой и поэтому L — ограниченная мера Радона.

Таким образом, u(f) =L * f, где L е L^ при р>\ и L — ограниченная мера при р= 1; в обоих случаях предполагается, что f ^Ф. Но отображение f^-^L^f в обоих случаях непрерывно на L\ а Ф плотно в L\ поэтому из непрерывности отображения и следует, что равенство u^)=L*f сохраняется для любого

О некоторых сходных результатах см. Эдвардс [9].

Замечание. Рассматривая круг вопросов и идей, связанных с последней теоремой, нельзя не упомянуть теорему о ядре Л. Шварца, которая относится к непрерывным линейным отображениям и: Ф-^ФГ, для которых не предполагаются выполненными условия (1), (2) или (3). Теорема утверждает, что каждому отображению и соответствует ядро, т. е. такое распределение К на произведении ФхФ, что

где f(8>g— функция

(х, y)^f(x) .glyY

Эта теорема, конечно, является более общей, чем приведенная в тексте, и служит основным инструментом для представления широкого класса функциональных операторов и. Подробное обсуждение этой теоремы можно найти у Л. Шварца [18], Эренпрейса [16], Гельфанда и Виленкина [1].

Имеются и другие приложения методов, описанных в п. 5.11.1—5.Н.З.. Одно из них — характеризация в терминах свойств сверток Х^^ тех обобщенных функций X, которые являются аналитическими функциями (Л. Шварц [2, стр. 54]). Другое приложение — применение этих методов к теореме пред-

ставления Рисса для субгармонических функций (Л. Шварц [2, стр. 74—78]). См. также упр. 7.17—7.27.

Небольшой привал для обзора и ориентировки. Мы располагаем теперь основной и достаточно общей информацией о распределениях, чтобы (а) набросать в общих чертах различные обобщения и видоизменения рассматриваемой теории, с которыми читатель, возможно, пожелает ознакомиться по другим руководствам, и (Ь) перейти к применению обобщенных функций к теории линейных дифференциальных уравнений в частных производных. Эта новая тема начнется в § 5.12, а сейчас займемся пунктом (а).

Как мы отмечали в § 5.1, имеется много подходов к теории обобщенных функций. Наряду с уж„е указанными работами см. Темпл [1], Лайтхилл [1], Себаштьян э Сильва [2], Кёниг [1], Минусинский [1, 2], Гординг и Лионс [1], Г альперин [3], Ге л ь ф а н д и Шилов [2]. Последняя монография заслуживает особого упоминания за детальное рассмотрение вычислительных аспектов теории обобщенных функций. Второй том этой монографии (Гельфанд и Шилов [3]) посвящен теоретическим и функционально-аналитическим аспектам теории.

К одному типу обобщений относятся те, в которых «основное пространство» Rn заменяется каким-нибудь более общим объектом. Если заменить Rn вещественным дифференцируемым многообразием класса С°°, то потребуются лишь незначительные видоизменения. Соображения по этому вопросу разбросаны по книгам Л. Ш в а р ц а [1, 2]. Детальное изложение приводится в книге де Рама [1]. В действительности де Рам рассматривает случай, объединяющий этот тип обобщений с другим, в котором распределения действуют на дифференциальных формах произвольной степени, а не на функциях: это так называемые потоки, введенные и исследованные де Рамом. Еще более широкие обобщения принадлежат М. Риссу [1] и Эренпрейсу [1]. У М. Рисса в качестве основного пространства взята локально компактная абелева группа. Эренпрсйс за основное пространство берет общее отделимое локально компактное пространство и показывает, как можно построить теорию, во многом параллельную теории Шварца. В теории Эренпрейса нет, конечно, заранее заданных дифференциальных операторов в частных производных, аналогичных ^. Вместо них предполагаются заданными некоторые операторы «локального типа», которые играют роль дн и на которые никаких ограничений, кроме нескольких общих постулатов, не накладывается.

Одним из мощных побудительных мотивдв для обобщений типа Рисса и Эренпрейса является стремление обеспечить

достаточный «простор» для разумного обобщения понятий дифференцирования и преобразования Фурье (см. Эренпрейс [2—8]).

Следует упомянуть также исследование Минусинским [3—5] его операционного исчисления. Хотя объем этих исследований никоим образом не идет в сравнение с теорией распределений, оба аппарата имеют много общего и ставят аналогичные задачи функционально-аналитического характера.

К другому типу обобщений относятся те, в которых вместо скалярных распределений (т. е. непрерывных линейных форм на ^) рассматриваются непрерывные линейные отображения пространства Ф в заданное топологическое векторное пространство Е. Такие объекты носят название Е-значных распределений. Исследование такого обобщения для случая мер Радона, о котором упоминалось в п. 4.10.7, проводится в § 8.14. Детальное рассмотрение для случая распределений см. у Л. Шварца [4—6].

Интересно отметить, что стимулом для последнего типа обобщений послужило развитие квантовой теории поля. В этой области довольно неохотно пришли к допущению, что переменные поля могут быть представлены операторно-значными распределениями. В результате здесь, а также в квантовой механике частиц использование обобщенных функций позволило узаконить некоторые действия, которые до этого казались довольно подозрительными. Однако справедливости ради следует отметить, что использование обобщенных функций в теории поля ставит не меньше задач, чем их решает. Относительно подробностей, доступных математикам, см. Л. Шварц [14], Вайт- м ан [1] и Фридрихе [1].

Мы уже упоминали о том, как расширилась область применения гармонического анализа с использованием обобщенных функций. В этом отношении теория распределений развивает идеи, восходящие к Бохнеру [1]. В § 5.15 мы вернемся к этой" теме.

5.12. Линейные дифференциальные уравнения в частных производных

Оставшаяся часть этой главы целиком посвящена некоторым современным достижениям в теории линейных дифференциальных уравнений в частных производных. Читатель, знакомый с классической теорией дифференциальных уравнений в частных производных, обнаружит, что переход от классического к современному методу не является «непрерывным».

По-видимому, не будет ошибкой сказать, что первой внешней причиной для развития теории обобщенных функций послужил

именно ряд работ по линейным дифференциальным уравнениям в частных производных. Эти работы относятся к периоду, который можно бы назвать переходным. Типичным примером работ этого периода служат книга Соболева [1] и некоторые разделы книг Л. Шварца [1, 2]. Что касается упомянутого отсутствия «непрерывности», приведем слова Гординга [4]:

«Многие плодотворные проблемы в этой области (т. е. в теории линейных дифференциальных уравнений в частных производных с постоянными коэффициентами) обязаны своим возникновением теории обобщенных функций, а не классической физике, и это показывает, что новая теория не обязана заниматься решением старых задач, чтобы оправдать свое существование. Вполне достаточно, если она поставит и решит новые задачи».

Мы рекомендуем читателю прочитать доклад Гординга, из которого взята цитата1).

Одно из самых удивительных свойств новой теории — это фундаментальная роль, которую играют в ней неравенства (§ 5.14 и 5Л9). Приведем снова слова Гординга:

«Когда какая-либо задача, касающаяся линейных дифференциальных операторов с частными производными, уже сформулирована в терминах абстрактной теории, все, что остается, — это доказать некоторое неравенство; большая часть новых результатов, по существу, содержится в таких неравенствах».

При установлении подобных неравенств часто (хотя и не при всех обстоятельствах) бывает полезным воспользоваться преобразованием Фурье. Это служит дополнительным поводом для обобщения преобразования Фурье на распределения. Набросок такого обобщения мы дадим в § 5.15.

Одним из самых ранних методов, базирующихся в конечном счете на неравенствах, является метод ортогонального проектирования, принадлежащий Герману Вейлю. Первоначально этот метод предназначался для решения задачи Дирихле (первая краевая задача) для уравнения Лапласа. С тех пор этот метод был значительно обобщен многими авторами. Этот вопрос рассматривается в § 5.13. Абстрактные обоснования этого метода лежат в простых свойствах гильбертовых пространств, приведенных в гл. 1. Современное изложение этого и сходных методов имеется у Г а р н и [1].

В настоящем параграфе мы сформулируем несколько задач теории линейных дифференциальных уравнений в частных производных, к которым будем обращаться в последующих параграфах этой главы.

9 Русский перевод доклада напечатан в У МН, I960, т. XV, вып. 1 (91), стр. 137—152. — Прим, перев.

Чю касается линейных дифференциальных уравнений в част- ных производных, необходимо подчеркнуть следующее. Нас прежде всего интересуют функционально-аналитический подход и содержание современной теории. У нас нет возможности рассматривать аспекты, требующие детального анализа в классическом духе. Например, используя метод ортогонального проектирования в § 5.13, мы не интересуемся интегральными представлениями фигурирующих там операторов Грина. Конечно, такой бесцеремонный подход не* ставит своей целью преуменьшить интерес и важность этих задач. Несомненно, некоторые читатели захотят восполнить пробелы. Что касается приведенного примера с операторами'Грина, можно рекомендовать читателю обратиться к работе Гарни [1] и к литературе, которая там указана.

Тот факт, что проблемы, которые мы имеем в виду, можно трактовать с различных точек зрения, одна из которых носит по преимуществу функционально-аналитический характер, а вторая принадлежит в основном классическому анализу, хорошо иллюстрируется на примере задачи Дирихле, рассмотренной на стр. 283—299 книги Эпштейна [1].

Нужно отметить еще вот что. Мы нигде подробно не останавливаемся на уравнениях с переменными коэффицентами, кроме тех случаев, когда методы, используемые для исследования уравнений с постоянными коэффициентами, подходят и для уравнений с переменными коэффициентами. Читатель, интересующийся более общим случаем, может обратиться к статьям, упоминаемым в соответствующих местах, и к книге X ё р м а н- дера [7]. Последняя книга содержит почти весь материал настоящей главы, а также много сверх того.

Определения, обозначения и предварительные замечания. Пусть Р (х, Z) = Р (хь ..., xn, Zb ..., Zn) — многочлен от неизвестных Zb...,Zn, коэффициенты которого являются комплексными функциями, определенными и локально интегрируемыми в области Qcz Rn, где через х— (хь ..., хп) обозначается переменная точка в Q. Таким образом,

Р^х, Z)= s a„U)Zp,\р\^т

Zp=Zpv Zpn.

Как многочлен относительно Z P^x.Z) имеет степень не выше т. Мы будем говорить, что степень многочлена равна (точно) т, если сущёствует такой индекс р с \р\=т, что функция ар не является пренебрежимой в Q.

Если вместо Z= (Zb ..., Zn) формально подставить д = = (^i,..., дп), то получаем линейный дифференциальный оператор в частных производных (на Q)

Р(х, d) = 2 ар^др,(5.12.0)

lp|<w

порядок которого равен степени многочлена P(x,Z). Случай ш = 0 не представляет интереса, поэтому будем считать всюду, что m 1.

Начиная с § 5.14 мы будем пользоваться преобразованием Фурье, в связи с чем удобно иногда представлять линейные дифференциальные операторы в виде многочленов от операторов Dk = (2л0-1<9& вместо самих дк.

Тогда полиному P^x,Z) соответствует линейный дифференциальный оператор в частных производных

P(x.D)= 5 ар№р.(5.12.0')

lpl<m

В каждом отдельном случае мы будем пользоваться тем обозначением, которое нам покажется удобнее.

Говорят, что линейный дифференциальный оператор в частных производных имеет постоянные коэффициенты, если а^ — постоянные функции на Q. Такой оператор обычно обозначается просто через P(D). В этом случае естественно считать, что Q = R", хотя это вовсе не обязательно. Действительно, при п > 1 решения уравнения P^D)X=A в открытом множестве Q, вообще говоря (даже при Л=0), не продолжаются до решений того же уравнения на всем Rn: рассмотрите, например, гармонические в некоторой области функции, которые являются в ней решениями уравнения Рф)Х = 0, где Р (D) = Д = — 4 л2 2 Dk — опе- к=\

ратор Лапласа на Rn.

В зависимости от природы коэффициентов ар можно рассматривать Р^х, D) как непрерывное линейное отображение различных подпространств пространства 2У (Q) в себя. При этом соответственно изменяется интерпретация так называемых*фор- мальных, или лагранжевых сопряженных к P{x,D). Формальный (лагранжев) сопряженный оператор P(x,D)— это линейный дифференциальный оператор в частных производных, характеризуемый тем свойством, что

J Р^х, DM-gd\k=\b Ркх, mg.dn (5.12.1)

для любых f, g^3)^Y Если воспользоваться обозначением (,) теории распределений, то условие (5.12.1) равносильно соотношению

<Р(х, DH, g^y, Р(х, D^gY (5.12. Г)

Переходя к явным выражениям, получаем

Р(х, D)g = 2 (-l)lplSp(M) (5.12.1") lp|<W

для g^S)^y В правой части равенства оператор Dp следует, вообще говоря, интерпретировать в смысле обобщенных функций, хотя иногда, например при ар е Clp,(Q), оператор Dp можно понимать в классическом смысле.

Приведенная выше формула определяет оператор Р^х, D) через его действие на функции из^(Й). Если воспользоваться формулой Лейбница, чтобы выразить правую часть равенства (5.12.1") в виде

2 bpDpg,

то выражение для Ьр будет содержать каждое ар вместе с производными D^ap, где I^I^IpI- Таким образом, если функции ар не подчинить некоторым условиям гладкости, то Р^х, D) не будет оператором того же типа, что и Р(х, D), так как его коэффициенты не будут локально интегрируемыми функциями. Положение может быть исправлено, если наложить на ар дополнительные ограничения.

Например, если все ар s C°°(Q), то оператор Р(я, D) непрерывно отображает пространство S>(Q) в себя, поэтому Р(х, D) можно продолжить до непрерывного эндоморфизма пространства ^'(Q). Это продолжение задастся формулой (5.12.1"), если заменить в ней g на произвольный элемент X из ^'(Q). Аналогично если ар г Cl^+^(Q), где к — заданное целое число, то оператор Р(х, D) непрерывно отображает пространство S)(Q) в S^Q), поэтому Р^х, D) можно продолжить до непрерывного отображения пространства S),ft(Q) в ^Z(Q). Это продолжение задается очевидным образом с помощью выражения (5.12.1").

В каждом из этих случаев формула (5.12. Г) продолжается по непрерывности до равенства

<Р(х, D)f, X) = (f, PU, D)X\ (5.12.1х") справедливого для /^^(Q) и для ^^^(Q) и Хе35,к^ соответственно.

Предыдущие замечания о продолжении оператора Р^х, D) можно рассматривать как частные примеры общих результатов

о сопряженных отображениях (§ 8.6), если принять во внимание некоторые специальные свойства пространства 2)(Q), отмеченные в § 5.3 (см. также п. 8.4.7).

Здесь следует отметить, что определенный выше сопряженный оператор Р отличается от того, которым пользуется Хёрмандер [1]. Он работает с гильбертовым сопряженным оператором Р, вводимым в п. 5.14.4. Однако различие между ними не слишком глубокое. Оно является результатом использования гильбертова скалярного произведения (|)L, вместо билинейной формы (,), приводящей в двойственность пространства 2)(Q) и ^'(Q).

Исследование линейного дифференциального уравнения

P(x,D)X=A, (5.12.2)

где А задано, в частности соответствующего однородного уравнения

Р(х, Б>)Х = 0, (5.12.3)

тесно связано с развитием математической физики и прикладной математики и восходит к временам Эйлера, Даламбера и семьи Бернулли. В те времена, которые можно назвать классической эпохой, предполагалось, что А— функция на Q (обычно непрерывная и всегда локально интегрируемая). Решения искались среди функций, принадлежащих C(Q), удовлетворяющих (в классическом смысле) всюду на Q уравнению (5.12.2). Впервые от условий гладкости отказались в теории обыкновенных дифференциальных уравнений (одна независимая переменная, п=1). И тогда стала очевидной польза абстрактных методов, основанных на теории гильбертова пространства. В этой связи читателю можно рекомендовать работу Стоуна [1, гл. IX], где эти абстрактные методы излагаются довольно подробно как часть спектральной теории эндоморфизмов гильбертова пространства.

Другой подход, близкий к тому, который мы собираемся предложить, излагается в гл. 7 и 9 книги Коддингтона и Левинсона [1]. Этот подход заключается в том, что дифференциальному уравнению вместе с граничными условиями придается вид эквивалентного интегрального уравнения, к которому можно применить общую теорию Рисса компактных эндоморфизмов; см. гл. 9, в частности § 9.12.

Оба эти метода существенно отличаются от метода ортогонального проектирования, который излагается в § 5.13. Прежде всего метод ортогонального проектирования применим даже к сингулярным задачам (хотя, конечно, получаемые при этом результаты не так сильны), тогда как (см. упомянутую книгу

Коддингтона и Левинсона) метод, основанный на теории Рисса, можно непосредственно применить только к более простому регулярному случаю, а при переходе к сингулярному случаю нужны дополнительные рассуждения.

Абстрактные методы проникли в теорию дифференциальных уравнений в частных производных (случай п>1) совсем недавно. Большая часть аппарата, который мы собираемся изложить, была разработана в течение последних 20 лет, причем многое было сделано за последнее десятилетие. Введение новых методов само по себе выдвинуло много новых идей, которые затем впитала в себя теория обобщенных функций.

Например, так называемые слабые решения уравнения (5.12.2), где А—локально интегрируемая функция, были введены как такие локально интегрируемые функции X на й, для которых

J Р^х, D)f-Xdn = J Af dp.

для любого fe®(Q). Из (5.12.1/х/) следует, что это равносильно рассмотрению тех распределений — решений X уравнения (5.12.2), — которые являются (локально интегрируемыми) функциями. В то же время, конечно, использование таких обобщенных решений требовало иной формулировки граничных условий. Гар ни [1] систематически пдльзуется слабыми решениями.

Фундаментальная статья Г. Вейля [1] хорошо иллюстрирует этот этап развития теории, когда обобщение было на полпути к завершению. Нежелание порывать все связи со старой классической теорией послужило причиной чрезвычайно плодотворной и важной части работы Вейля, а именно доказательства того, что всякое слабое решение уравнения Лапласа (после изменения его на некотором пренебрежимом множестве) является классическим решением класса С°°. Это обстоятельство привело к определению и исследованию класса так называемых гипоэллип- тических линейных дифференциальных операторов в частных производных, а именно тех операторов Р^х, D), для которых из локального выполнения соотношения Р(^х, D^X^C00 вытекает такое же соотношение и для самого X. Мы подробно остановимся на этом вопросе в § 5.18.

Далее мы увидим, что одномерный случай является совершенно исключительным, а не только более легким для исследования: если коэффициенты ар и А— гладкие функции, то при п=\ единственными обобщенными решениями уравнения (5.12.2) оказываются классические функции.. Это далеко не так при п>1; мы убедимся в этом, например, в п. 5.12.2.

Ясно, что все определенные выше операторы Р^х, D) являются операторами локального типа в том смысле, что suppP(x, Z))XczsuppX. Оказалось, что это свойство является характеристическим. Этот результат установил Петре [1], рассмотревший гомоморфизмы пучков ростков С°°-функций на дифференцируемых многообразиях. Для изучаемых здесь отображений это свойство выполняется.

В оставшейся части §5.12 мы ограничимся изучением линейных дифференциальных операторов в частных производных с постоянными коэффициентами. Остановимся коротко на некоторых задачах для одномерного случая, который во многих отношениях слишком прост, чтобы быть типичным, но тем не менее является источником нетривиальных задач для многомерного случая. Некоторые из этих задач будут сформулированы в последующих параграфах.

Предварительный обзор примеров и задач. Как уже было сказано, мы ограничимся здесь рассмотрением уравнения

Р^Х=А(5.12.4)

с постоянными коэффициентами и соответствующего ему однородного уравнения

Р^Х-0.(5.12.5)

Здесь P(D) — 2 ^pDp^ где ар— постоянные, причем т^1 и ар=£0 по крайней мере для одного индекса р г \р\=т.

Даже когда коэффициенты ар являются совершенно произвольными гладкими функциями, одномерный случай необыкновенно прост по своей структуре. Предположив, что ат не равно нулю ни в одной точке открытого множества Q; можно показать (см. Л. Шварц [2, стр. 126 и далее]), что все обобщенные функции, служащие решениями уравнения (5.12.5), обязательно являются гладкими функциями и потому решениями в классическом смысле. То же самое справедливо и для уравнения (5.12.4), если А— гладкая функция. Однако к этому нужно добавить, что если ат равно нулю в какой-нибудь точке открытого множества, о котором идет речь, то уравнение (5.12.4) может вообще не иметь ни одного решения в классе обобщенных функций. Рассмотрим, например, уравнение

хШ + 2Х = 0.

На открытом множестве Q = R1\{0} его решениями являются функции

1

аех2прих < О,

=

. Ьех2прих>0,

где а и b— постоянные. Других решений это уравнение не имеет. Легко видеть, что не существует ни одной обобщенной функции, которая была бы решением на какой-нибудь открытой окрестности нуля.

В случае, когда коэффициенты постоянны, нетрудно описать решения уравнения более точно. Допустим, что п=1 и А— непрерывная функция на интервале Qc R1. Оператор Рф) можно представить в виде произведения ф— Д)”'1 ...ф— Xr)mr, где ^ (t = 1, 2,..., г)—различные комплексные числа, т,— натуральные числа и т = пг\ + .. , + mr. Так как

D (е-2л//.х^) = е-2л;^ (д _ А) X,

то легко видеть, что единственными обобщенными решениями уравнения ф— Х)Х=А будут функции

X

аемхх + J e^^-^A^dy,

Xq

где а — постоянная, а %о— некоторая фиксированная точка интервала й. Повторное применение этих рассуждений приводит нас к следующим выводам.

Пусть n=l, a й— интервал в R1; пусть линейный дифференциальный оператор с постоянными коэффициентами Р (Z)) = = S apDp имеет порядок пг (т. е. ат+^. Тогда оператор р^Ш

P(D)—гипоэллиптический в том смысле, что если со — произвольный подинтервал в Й и Л есть С™-функция на со, то сужение любого решения X уравнения (5.12.4) на со также принадлежит классу С°° на со. Если Л е С°°(Й), то все решения уравнения (5.12.4) принадлежат С°°(й) и потому являются классическими функциями.

В частности, получаем также следующее утверждение.

При выполнении условий утверждения (1) каждое решение однородного уравнения (5.12.5) является конечной линейной комбинацией решений вида х^е^^, где X— нуль порядка q многочлена Р и р удовлетворяет условию р < q.

Поставим теперь следующий вопрос: чго изменится в утверждениях (1) и (2), если размерность п больше единицы? Рассмотрим каждое из утверждений в отдельности.

Если п>1 и на оператор P(D) не наложено дополнительных ограничений, то утверждение (1) неверно. Это побуждает нас ввести в рассмотрение класс операторов P(D), которые будем называть гипоэллиптическими и которые заслуживают особого внимания. Мы рассмотрим их несколько ниже. А пока

приведем пример оператора, который не является гипоэллипти- ческим.

Начнем с замечания, что если Q = Rn и X — решение уравнения (5.12.5), то и К^Х также является его решением для любого распределения К с компактным носителем. (Это свойство очень близко к свойству, характеризующему линейный дифференциальный оператор в частных производных с постоянными коэффициентами (см. п. 5.11.3).)

Положим п = 2 и

Р (D) = 514- д2 = 2лt (Di + D2).

Если f^C^R1) и функция g определена на R2 равенством gUb X2)=f(Xi—X2),

то g^C^R2) и P(D)g = O поточечно. Поэтому функция g удовлетворяет тому же уравнению в смысле обобщенных функций.

Допустим теперь, что функция f лишь локально интегрируема. Тогда g обладает тем же свойством и потому порождает распределение на R2. Покажем, что Р(О^ = 0 в смысле обобщенных функций. Для этого возьмем какую-нибудь регуляри- зирующую последовательность г^ в 2) = 2)(R2) и положим 0^ = = g^fv Непосредственным подсчетом получаем

Gi^b X^=FAxX—X2V где

FAx^ = - J J f(y)rt(y'-y, y' — x)dydy,.

Очевидно, Fi е (^(R1) и G^^ C°°(R2). В силу сказанного выше Рф")Сг = О при каждом I. Если t-^oo, то G^g в 2)'(R2). Так как всякий линейный оператор в частных производных с постоянными коэффициентами-является непрерывным эндоморфизмом пространства 2)'(Rn), то P(D)g = O.

С другой стороны, ясно, что если на f не накладывать других ограничений, кроме локальной интегрируемости, то функция g может не принадлежать C*(R2). Более того, так как DpX = = (D?&)*X является решением, если X— решение, то с помощью g можно получить распределения произвольно высокого порядка, являющиеся решениями уравнения P(D^X = 0. Поэтому P(D) не является гипоэллиптическим оператором. Другой пример приводится в упр. 5.3.

Ответ снова отрицательный: при п>\ прямой аналог утверждения (2) неверен, так как экспоненциальные одночлены хре^гКх принимают сейчас вид функций

х?1 ... хрпп exp [2m 2 ^ J >

4к к-1/

где Х=(Хь . ^п)—точка из О. Пример, приведенный в пункте (а), показывает, что «большинство» решений рассматриваемого здесь уравнения не являются конечными линейными комбинациями таких экспоненциальных одночленов независимо от выбора, точек Л из Сп.

Оказывается, однако, что множество всевозможных конечных линейных комбинаций экспоненциальных одночленов плотно в множестве всех решений. Этот вопрос будет нами рассмотрен в первой из ряда задач, которые мы сформулируем и изучим (задача 1 п. 5.12.3).

Плотность в множестве всех решений множества решений, являющихся конечными линейными комбинациями экспоненциальных одночленов, приводит к следующей задаче. Может ли, и если может, то при каких условиях, множество всех полиномиальных решений обладать этим свойством плотности? В п. 5.12.3 мы сформулируем эту задачу под номером 1'. Ниже (п. 5.16.4) мы увидим, что эта задача также весьма плодотворна. Посмотрим теперь, как ее частный случай связан с теорией функций комплексного переменного.

Опять положим п = 2 и, как обычно, отождествим точки из R2 и комплексные числа. Пусть Q — область в R2 и Н(Q) —множество функций, определенных и голоморфных в Q. Каждая функция ^еН^ порождает распределение (фактически меру) /•р, где ц— сужение на Q меры Лебега на R2. Так как функция f непрерывна, то соответствие f^—^f’P' взаимно однозначно; поэтому Н(Q) можно рассматривать как векторное подпространство в ^'(Q). В качестве дифференциального оператора возьмем

Р^ = -^ = дх*1дъ

где 2 — независимая комплексная переменная xi + /x2, a z— комплексное сопряженное к z.

Легко видеть, что всякая функция feC^Q), для которой />(£))f = 0 всюду на Q, является элементом из //(Q). Покажем, что то же самое верно и для любой обобщенной функции X, которая является решением уравнения Рф^Х=0. Под этим мы, конечно, подразумеваем то, что всякое такое решение X порождается локально интегрируемой функцией f, которая лишь на пренебрежимом множестве отличается от некоторой функции из Нф). Мы достигнем нашей цели, слегка изменив процесс регуляризации, использованный выше в пункте (а).

Если бы Q совпадало со всем R2, то мы попытались бы аппроксимировать X функциями вида где (гф как и выше, — регуляризирующая последовательность, выбранная из

. Если, однако, X определено только на й, то нужны дополнительные рассуждения.

Воспользуемся следующим замечанием: достаточно показать, что сужение функции X на каждое относительно компактное открытое подмножество coczQ является элементом множества Я (со). Зафиксировав любое такое со, предположим, что ft выбраны так, что их носители содержатся в шаре с центром в нуле и радиусом с, где 2с— расстояние между со и границей области Q. Для фиксированной точки хе со носитель функции У^—^г^х— у) лежит в Q, поэтому определена функция ft(x) = = Х^у}[г{(х — //)]. Очевидно, определенные таким образом функции ft принадлежат С°°(со), и нетрудно проверить, что ft-^X в S)'(co) при i-^оо. Как и следовало ожидать, функции ft удовлетворяют на со уравнению P(D)fi = 0. Действительно,

PWhW = ^RX) P(D)X}

для любой фиксированной точки х^ со, где через Rx обозначена функция yv->Гг(х — у). [Эта формула выводится немедленно, если она уже доказана для частного случая P(D) = 6^. Для этого же случая достаточно проверить, что fi(x) = ^R^ X) и что разностное отношение, где h — малое приращение коорди

наты хк при переходе от х= (хь .. „, хк, ..., хп) к х/=(хь ... ♦ ..Ль + Ь»хп), сходится в S)(co) к функции//!—>dkrt (х — у^ =

Таким образом, мы показали, что X является в ^Дсо) пределом последовательности функций (Д-) из С°°(со), удовлетворяющих на со равенству P(D)fi = 0. Поэтому каждая функция ft принадлежит Я (со). Если мы теперь сумеем показать, что равномерная структура, индуцированная в Я (со) равномерной структурой в 2)Дсо), не слабее структуры локальной равномерной сходимости (а потому тождественна ей), то отсюда будет следовать, что (/Д — последовательность Коши в последней равномерной структуре. Но очевидно, что Я (со) полно, следовательно, Х^ Я (со).

Сравнение нужных нам двух равномерных структур легко осуществить, если немного модифицировать интегральную формулу Коши. Пусть f е Я (со); рассмотрим открытый круг с центром в точке х0есо и со столь малым радиусом с>0, что соответствующий замкнутый круг содержится в со. Согласно интегральной формуле,

1х-хв1-г

для |гх0| < г < с- Возьмем любую функцию q е ^ (R1), такую, что ее носитель лежит в интервале (у с, с) и J q(r)dr = 1.

Если | z — х0 |<у, то

+ оо2Л

^ = ^ / Ч^йг J f(x0 + re^reia —-^Т7 = — ООО

= 2^ [ Цх)(х-хо)?(|я-хо|)-^^ = J f(x)gz(x)dn (х), (Осо

где р —мера Лебега на R2 и

g^Wx-x^V^^-l.

Так как q (| х — х01) = О при | х — х0 L< -^ с и | х — х01 > с, то, как легко проверить, множество |^г: I г — х01<4'с} ограничено в 2D (со). Следовательно, если V — последовательность Коши в 2У(со), то (ft) будет последовательностью Коши и в структуре равномерной сходимости на круге | z — х01 < у с. Так как каждое компактное подмножество в со можно покрыть конечным числом таких кругов, то требуемое сравнение равномерных структур осуществлено.

Итак, мы знаем теперь, что любое решение в 2)'(Q) уравнения Р (D)X = -^ Х = 0 принадлежит Н^, т.» е. является голоморфной функцией на Q. Поэтому если Q — односвязная область, то по теореме Рунге любое решение X является (в //(Q) и тем более в ЗУ (Q)) пределом многочленов от комплексного переменного г = Х1 + ^2, т. е. от полиномиальных решений этого уравнения. Другими словами, в этом примере можно в (приведенной ранее без доказательства) аппроксимационной теореме заменить экспоненциальные одночлены одночленами в обычном смысле. Дальнейшее исследование возможности такой замены в общей ситуации (п. 5.16.4) приводит к довольно широким обобщениям теоремы Рунге.

Теперь можно более точно сформулировать несколько естественных задач, которые вытекают уже из беглого рассмотрения приведенных выше примеров. В остальных параграфах этой главы мы займемся решением этих задач.

Формулировка задач 1 и 1'.

Задача 1. Пусть заданы открытое множество QczRn и Р(Р)—линейный дифференциальный оператор в частных производных с постоянными коэффициентами. При каких условиях каждая обобщенная функция Хе®7.^, удовлетворяющая уравнению P^D^X = 0, является в 5X(Q) пределом конечных линейных комбинаций экспоненциальных одночленов, являющихся решениями этого уравнения?

Задача Г. Пусть Q и P(D)— те же, что и в задаче 1. При каких условиях каждое решение Хе®'^ уравнения Рф^Х = 0 является в 3)'(Q) пределом многочленов, являющихся решениями этого уравнения?

Естественно также поставить аналогичные вопросы, заменив 3)'(Q) каким-нибудь другим пространством, например пространством C°°(Q).

В каждом из этих случаев известны достаточные условия, обеспечивающие возможность желаемой аппроксимации, но не совсем ясно, в какой .степени эти условия также и необходимы.

Частичное решение этих вопросов изложено в § 5.16.

Существование фундаментальных решений. Формулировка задачи 2. Пусть Q — открытое подмножество в Rn, /— точка в Q и P(D) —линейный дифференциальный оператор в частных производных. Под фундаментальным решением в Q относительно точки t оператора P(D) понимают такое распределение EtE®'^V что

P(D)Et = ^ (5.12.6)

где (как и всегда) 8/ — мера Дирака, сосредоточенная в точке I.

Если, как мы и будем в дальнейшем Предполагать, Q = Rn, коэффициенты оператора P(D) постоянны и Е0 = Е— фундаментальное решение относительно начала координат, т. е. если

Рф)Е=6> (5.12.7)

то Et = &t*E будет фундаментальным решением относительно точки I. Итак, в этом случае достаточно рассматривать только решение E = EQ, которое далее будем называть просто фундаментальным решением или фундаментальной функцией оператора P(D).

Если P(D)—гипоэллиптический оператор, то всякое его фундаментальное решение Е является функцией класса С°° на Rn \ {0}. Вне начала координат P(D)E = G поточечно. В любой окрестности начала координат фундаментальное решение Е является обычно сингулярным в том смысле, что вместо Р^О)Е = 0 имеет место P^D^E^e. По этой причине в старину о Е говорили как о фундаментальном решении линейного дифференциального уравнения в частных производных P(D)£’ = 0. Конечно, Е — как

распределение на Rn — не является решением этого однородного уравнения.

Значение фундаментальных решений довольно ясно уже из § 5Л, где мы видели, как существование и свойства фундамен- п

тального решения оператора Лапласа Д = 2 ^ сильно влияют на общие вопросы теории обобщенных функций. Фундаментальным решением оператора Д служит функция, определенная формулой (5.11.5). Рекомендуем читателю вернуться к § 5.11 и проследить за рассуждениями, с помощью которых устанавливается, что функция £, определенная этой формулой, играет роль фундаментального решения оператора Д. Замена равенства £(Z))£ = 0, справедливого на R” \ {0} в классическом смысле, на (5.12.7), справедливое глобально в смысле обобщенных функций, является итогом преобразований, включающих формулу Грина и последующий переход к пределу, с которыми мы встречались в § 5.11 и с которыми будем еще часто встречаться в рассуждениях, основанных на классической Интерпретации выражения P(D)E.

Имеется еще один случай, когда знание фундаментального решения и его свойств играет важную роль при изучении оператора P(D). Так как оператор P(D) перестановочен со свертками, то из (5.12.7) следует, что решение уравнения Р(ДУ)Х = А задастся равенством Х = Е*А, по крайней мере когда А обладает компактным носителем.

Ясно, что желательно иметь теорему существования фундаментального решения, поэтому мы формулируем следующую задачу.

Задача 2. Доказать существование фундаментального решения для возможно более широкого класса линейных дифференциальных операторов в частных производных типа PW.

Эта задача будет рассмотрена и решена в § 5.14 с использованием преобразования Фурье и теории функций комплексного переменного, следуя методу, разработанному Мальгранжем [1, гл. II, § 1]; см. также Л. Шварц [8, сообщение 2].

Другой метод доказательства и более детальное изучение свойств фундаментального решения (в частности, для гипоэл- липтических операторов) составляют предмет изучения § 5.18.

Разрешимость уравнения P(D)X = А. Формулировка задачи 3. Как мы увидим, даже частично решение задач 1 и 2 позволяет получать довольно глубокие результаты относительно разрешимости уравнения P(D)X = A. Мы сформулируем следующую задачу.

Задача 3. Выяснить, справедливы или нет соотношения Рф)ЗУ = ЗУ и т. п.

В § 5.17 будет указан ряд положительных решений этой задачи. Там же приводятся ссылки для дальнейшего изучения этой задачи. Приводимые в § 5.17 результаты получены в основном Мальгранжем [1, гл. II, § 3] и независимо Эренпрейсом.

5.13. Метод ортогонального проектирования и его развитие

Цель настоящего параграфа — детально показать,-каким образом можно использовать метод ортогонального проектирования в пространствах со скалярным произведением, описанный в § 1.12, при решении граничных задач типа Дирихле и Неймана для линейных дифференциальных уравнений в частных производных. По-видимому, впервые этот метод и его приложения были разработаны Г. Вейлем [1]. Набросок подхода Вейля был приведен в п. 1.12.7. Впоследствии этот метод претерпел изменения и обобщения в работах многих авторов. Мы придерживаемся изложения Г а р н и [1], Л. Шварца [8, сообщение 11 и далее; 10] и Лионса [1].

Всюду в этом параграфе через Q обозначается открытое подмножество в Rn. Без ограничения общности можно считать Q связным (и, следовательно, областью в Rn). Все функциональные пространства (S)(Q), L^(Q), ЦОс№ и т. д.) могут и будут рассматриваться как подпространства в ^'(Q).

Начнем с попытки описать метод в общих чертах.' Центральную роль будет играть пространство V, удовлетворяющее соотношению

S)(Q)c: VczS^Q) (5.13.1)

и наделенное структурой пространства со специальным образом подобранным скалярным произведением (|)у. Пространство V будет выбираться (по мере возможности) таким образом, чтобы заранее заданный формальный оператор Р = Р(х, д) можно было истолковать, как такое линейное отображение Р: У-^^ЦЙ), что

(и| ф)у = (ф, Pv} для cpe^(Q) и уеУ. (5.13.2)

Метод заключается в том, что мы стараемся выразить граничные условия в терминах соответствующих векторных подпространств N в V. При этом не будем особенно заботиться о том, чтобы выраженные таким образом граничные условия были явно эквивалентны условиям, выраженным в классических терминах и применимым к гладким функциям. Этот вопрос можно отделить от остальных и рассмотреть независимо. В настоящей книге из-за недостатка места ему уделено гораздо меньше

внимания, чем он того заслуживает. Наши замечания, относящиеся к этому вопросу и связанным с ним задачам, мы откладываем до п. 5.13.9, где будет собран ряд таких утверждений. Во многих случаях их доказательство увело бы нас в сторону, поэтому мы ограничимся лишь ссылками на соответствующую литературу.

Основная цель этого параграфа — установить существование и единственность решения системы

и Ns Pu—f

и коротко изучить функционально-аналитическую природу зависимости решения от свойств функции f. Эта система решается с помощью принципа проектирования, установленного в п. 1.12.7, откуда и название параграфа. В частных случаях эта задача сводится к абстрактным формулировкам задачи Дирихле, которая решается развитием методов, набросанных в п. 1.12.7.

Переходим к точному описанию пространства V. Всюду в этом параграфе V будет пространством одного и того же стандартного типа.

Выбор пространства V. Пусть заранее заданы функции ро,..., рп, которые всюду неотрицательны и локально интегрируемы на Q.

Определим V как множество тех функций (или, точнее, классов функций) f на Q, для которых

/ е Л'ос (й), d J г L'OC (й) (к =1, 2, .... п) (5.13.3) и

p^feL2^, p^dJeL2^ (6 = 1,2ri'). (5.13.3')

Определим на V скалярное произведение (f\g)v равенством п

(fig),- № I p'№l, + 2 № I ^Д, -

k=\ n

= / Pofg dp + 2 J pkdkf • dkg dp.(5.13.4)

26-1 2

Так как функции p0, ..., pn локально интегрируемы на й, то 3> (й) <= V. Более того, если f е V, то р^2 г [,2ос (й) и pxj2^ е £2(й), так что функция-p0f = py2-р^2/ локально интегрируема. Аналогично функции pkdkf локально интегрируемы. Поэтому если Ф е 3> (й), то

/ Pkdfef • д^ф dp = - (ф, дк (pkdkf)}

в смысле обобщенных функций. Следовательно, соотношение (5.13.2) выполнено для

п

Pf^pJr^ddpM.(5.13.5)

^=1

Некоторые замечания относительно природы пространства V приводятся в п. 5.13.9.

Формулировка и решение задачи Дирихле— Неймана. Рассмотрим ситуацию, описанную в п. 5.13.1. Наша цель — изучить уравнение Ри = 0, где Р— оператор, заданный равенством (5.13.5). К этому уравнению нужно добавить граничные условия смешанного типа Дирихле — Неймана. Сформулируем эти граничные условия в абстрактном виде.

Пусть Q — граница области Q и 5 — некоторое подмножество в Q. Обозначим через Vs —замыкание в V множества тех функ* ций у Е V, которые (почти всюду) равны нулю на пересечении области Q с некоторой окрестностью множества 2 в Rn (эта окрестность, вообще говоря, может зависеть от у). Читатель, вероятно, заметит, что S9(Q)cz Vs. Принадлежность к Vs выражает в некотором обобщенном смысле свойство функции обладать нулевыми граничными значениями на части 2 границы Й. К этому вопросу мы еще вернемся.

Для формулировки граничных условий Дирихле — Неймана нужно разделить Q на два множества Qd и Qn. Для краткости будем писать Vo вместо V а . Введем следующие два условия:

d

(Bd) и е Vo,

(Дп) игУ, Pu^L2^,UW^^H^ ДЛЯ U^V0.

Говорят, что функция и удовлетворяет на Qd условию Дирихле, если она удовлетворяет условию (6d).

Введем, наконец, два подпространства в V, а именно

H = ^^V\ РигЬЧО^(5.13.6)

и

N = ^u^V: Pu^L2(Q) и и удовлетворяет (Srf) и (Srt)}. (5.13.6')

Таким образом, N — такое подмножество пересечения VoH^, что (Bz/| u)L2(Q) = (z/| и)у для игУ0. (5.13.6")

Принадлежность к N определяется выполнением некоторого глобального условия (принадлежность к Vo Г) Я) и условия

(5.13.6")- Как мы позднее увидим, соотношение (5.13.6") имеет характер граничных условий.

Задачу Дирихле — Неймана можно сейчас сформулировать в следующих терминах: пусть задана функция feL2(Q); требуется решить систему

u^N, Pu=f.(5.13.7)

Существование и единственность решения. Пусть функция feL2(Q) задана. Допустим, что

Vo полно в структуре, индуцируемой в Vo структурой пространства V, и

Vocz L2(Q) и существует такое число с, что

II у HL2(g)<c|| и||у для ueVQ.(5.13.8)

Тогда существует, и притом единственное, решение системы (5.13.7).

Доказательство. Чтобы доказать существование, воспользуемся принципом проектирования. Пусть у е Vo, тогда из неравенства (5.13.8) следует, что

I (f1 ^w I2 < »f "l^ IIу 1^® <const IIу 112р

где постоянная может зависеть от f и не превосходит с2|| f |g2(Q)e Так как Vo полно, то в силу условия (1) и результатов п. 1.12.7(2) существует такой элемент и е Vo, что

ktI y)L2(Q) = ku I У)7 для у е Vo(5.13.9)

и

И U ||у С || f ||д2(д)е

Если в первом равенстве положить y = фGS)(Q) и воспользоваться соотношением (5.13.2), то получим

kt I v)l2(Q> = kuI ф)у = ^ф> Ри\

ИЛИ, хх

(Ф, Г) = (Ф, Ри\

откуда следует, что Pu=f. Остается только проверить, что выполняется (5.13.6"). Но в (5.13.9) можно теперь положить f = = Ри, откуда немедленно вытекает (5.13.6").

Докажем единственность. Разность г двух решений системы (5.13.7) удовлетворяет условиям z^Ncz. Vo и Pz = 0. Но тогда в силу (5.13.6")

О = (Р2 | ^^(Q) = k^ I ^у

для всех уе Vo. Полагая u — z, имеем ||г||у = 0, откуда, согласно (5.13.8), 11211^^ = 0, т. е. г=0. |

Чистая задача Дирихле. Читатель может заметить, что если выполняется (5.13.8), то условию (5П) удовлетворяет всякая функция и г V, для которой PueL^Q^ если равенство (Ри\ y)^2(Q) I ^у

справедливо для всех у из некоторого подмножества, плотного в Vo- Далее можно показать, что если Qd = Q и функции р0, ••• .рп подчинены некоторым условиям, то уже S)(Q) плотно в Vo (см. Гар ни [1, стр. 94—97], где рассматривается частный случай). В силу (5.13.2) подпространство N сводится просто к множеству тех функций ug Vo, для которых PueL2^), а система (5.13.7) приводится к системе

ueV0, Pu~f.

Это и есть чистая задача Дирихле с нулевыми граничными значениями. Граничные условия здесь однородны и линейны, тогда как рассматриваемое уравнение в частных производных не является однородным.

Рассмотрим теперь задачу

и eV, u — geVo, Ри-0,(5.13.10)

которая опять является чистой задачей Дирихле. На этот раз граничные условия неоднородны, а линейное дифференциальное уравнение в частных производных однородно. В случае Р =—А получается точный аналог классической задачи Дирихле для гармонических функций с заданными граничными значениями. Как показано в упр. 5.8, задачу такого вида можно свести к од-' ной из задач типа (5.13.7). Но мы хотим показать, что к этой задаче можно подойти прямо и решать ее более простым способом и при меньшем числе предположений. В частности, нам не понадобится ни явно предполагать выполнение условия (5.13.8), ни вводить Vo указанным выше способом.

Допустим только, что пространство V определено так же, как в п. 5.13.1. Тогда имеет место следующая теорема существования.

Пусть Vo — векторное подпространство в V, полное в структуре, индуцированной из V, и такое, что ^)(Q) cz Vo. Тогда для каждой заданной функции g е V система (5.13.10) допускает по крайней мере одно решение.

Доказательство. В силу теоремы 1.12.3 и предложения 1.12.4 существует ортогональная проекция на Vo элемента g, которую мы обозначим через g'. Положим u=g — gr. Тогда u^V, и — g ——g' eVo и (u\w)v = 0 для всех w е Vo. Полагая ^ = (ре®(Й) и пользуясь соотношением (5.13.2), получаем Ри = 0. Таким образом, и — решение системы (5.13.10). |

Кроме того, справедлива следующая теорема единственности.

Пусть 2>(Q) плотно в векторном подпространстве Ко пространства К, причем Ко отделимо в индуцированной структуре. Тогда для каждой заданной функции geK система (5.13.10) имеет не более одного решения.

Доказательство. Разность г двух решений системы (5.13.10) удовлетворяет условиям геК0 и Р2 = 0. Тогда из (5.13.2) следует, что (г|ф)у = 0 для всех фeS(Q). Так как S)(Q) плотно в Ко, то II211^ = 0. Поэтому из отделимости подпространства Ко вытекает, что 2 = 0, что и требовалось доказать. В

Рассмотрим весьма важный частный случай. Полагая ро = О и р\ = .. . = Рп = 1, получаем Р =—А. Пространство К представляет собой в этом случае пространство классов функций f е L^ (Q), для которых д^^ГЧ^Р) при &=1, ..., п. Скалярным произведением на К служит

/ п\

(Л gV = / Sd&f * М Uh = d Ч, g),

Q 4=1/

а квадрат нормы г п *

W-J ]£lW d^ = Dkh

является обычным интегралом Дирихле.

В силу свойства минимальности расстояния для ортогональной проекции решение системы (5.13.10), существование которого установлено выше в (а), характеризуется соотношениями mV, u — geV0, D(u)^D(w) для w е К, w-geV0.

Другими словами, если принадлежность элемента к Ко означает, что он обладает нулевыми граничными значениями в некотором обобщенном смысле, то и минимизирует D(w) по сравнению с функциями w е К, совпадающими с g на границе.

Риман предложил использовать это свойство минимальности для доказательства теоремы существования. Разница с приведенным выше подходом заключается в том, что он рассматривал значения D^w), когда w пробегает все те функции класса C^Q), которые непрерывны на Q и совпадают на й с заданной непрерывной функцией на Q. Нет нужды приводить здесь хорошо известные затруднения, которые возникали при попытках осуществить предложение Римана. На эти трудности указали еще Вейерштрасс и Адамар. Сегодняшняя техника обходит эти

трудности за счет изменения смысла понятий «решение» и «граничные значения». Но из-за нового определения граничных значений приходится исключать некоторые случаи, когда классическое решение существует. Рассмотрим пример, приведенный Адамаром, когда Q — единичный круг с центром в начале координат пространства R2 и g— следующая функция:

g"=2 2“rp22rcos(2r0),

г=1

где р и 0 — полярные координаты. Функция g непрерывна на Q и гармонична в Q, но D(g) = +оо. Таким образом, g не принадлежит V, поэтому наша теорема существования здесь неприменима. Метод доказательства Римана также несовершенен, так как можно показать,__что не существует таких функций w, которые непрерывны на Q, принадлежат C^Q) и совпадают с g на границе и для которых 2)(^)< + оо.

В заключение отметим, что ни один из методов, основанных на рассмотрении интеграла Дирихле, не сравним по полезности с методами совсем другого рода, разработанными Винером, Перроном и другими для этой частной задачи. В гл. 7 книги Эпштейна [1] имеется прекрасный обзор различных подходов к решению классической задачи Дирихле (метод выметания Перрона, метод, основанный на применении интегральных уравнений, и метод Римана). В этом обзоре реабилитируется доказательство существования, предложенное Риманом, и исследуется связь между абстрактным определением граничных условий и их классическим определением в случае областей с достаточно гладкими границами (там же, стр. 196—198).

Продолжение п. 5.13.L Наша задача теперь — применить результаты, полученные в п. 5.13.2 и 5.13.3, к ситуации, описанной в п. 5.13.1. Для этого мы должны исследовать отделимость и полноту пространства Vo. В действительности мы приведем достаточные условия того, что объемлющее пространство V полно. Так как Vo замкнуто в V, то полнота пространства V влечет за собой полноту пространства Vo.

Всюду в этом пункте предполагается, что функции р^ ..., рп удовлетворяют следующему условию:

р0,Р?\ ..„р;'(5.13.11)

локально интегрируемы на Q.

Что касается отделимости, то заметим, что из (5.13.11) следует, что р/!>0 почти всюду на Q для 6=1, ..., п. Таким образом, если функция feV удовлетворяет равенству llf|lv = 0, то dhf = O для 6=1, ..., п. Следовательно, f— постоянная функция с на Q. Тогда из равенства 11/11^ = 0 вытекает, что |с|2| /Wp = 0.

Если функция Ро не является пренебрежимой, то с = 0 и потому f = 0. Таким образом, V, а значит, и Vo отделимы, если pQ не- пренебрежима. Но даже если р0 —пренебрежимая функция, то все же Vo может быть отделимым (при этом, конечно, V таким не будет) в силу обобщенных граничных условий, которым удовлетворяют элементы пространства Vo.

Если ess infa Ро>О, то имеют место включение V0czL2(Q) и неравенство (5.13.8).

Вернемся к вопросу о полноте. Она будет установлена с помощью нескольких лемм, некоторые из которых представляют и самостоятельный интерес.

Пространство «^^ (й) локально интегрируемых функций на Й является полуметризуемым локально выпуклым пространством, если наделить его полунормами

к ,

где К пробегает произвольную базу ^Ki) компактных подмножеств в й. Полнота =2^ (й) легко следует из теоремы 4.6.7. Ассоциированное отделимое пространство (элементами которого являются классы функций, совпадающих почти всюду на й), обозначаемое через ^}ос(й), есть пространство Фреше. Поэтому мы можем рассматривать А{ос(й) как подпространство в D'^).

Наш основной вывод будет таков:

Предложение. Если условия (5.13.11) выполнены, то пространство V полно.

Для доказательства нам понадобятся некоторые леммы, каждая из которых является частным случаем результатов, полученных Дени и Лионсом [1, стр. 308, теорема 1.1; стр. 311, теорема 2.2].

Лемма А. Если (А*а) — такая сеть в 28' (й), что при каждом к=1, 2, ..., п сеть V^kX^ является сетью Коши в сильной топологии 2В' (й), то в 28' (й) существует такое X, что Пт дкХа = дкХ а при к=\, ..., п.

' Доказательство. Пространство 28' (й) полно, так как оно является сильным сопряженным к некоторому борнологическому пространству (здесь к 28 (й)) (§ 7.3 и теорема 8.4.13). Следовательно, Yk = Пт дкХа существует в 28' (й) для каждого к.

а

Поскольку операция дифференцирования непрерывна, то djYk = lim d/dkXg. = lim d6d,Xa = dkY1 aa

для к, / = 1, •••, ^. Таким образом (теорема 5.9.3), существует такое ^^^(Q), что ¥к = дкХ, что и требовалось доказать. 1

Лемма В. Обозначим через М векторное подпространство в ^'(Q), состоящее из тех распределений X на Q, для которых дкХгЦоДО^ при к=\, ..., п. Тогда М полно относительно структуры, определенной полунормами

пп

Рк (X) = 2 NK (дкХ) = 2 / I дкХ | ф,fe=lk=l К

где К пробегает произвольную базу ^КА компактных подмножеств в Q. Ассоциированное отделимое пространство Ме есть факторпространство MIC, где через С обозначено пространство постоянных функций на Q. Кроме того, М* — пространство Фреше.

Доказательство. Ясно, что М — полуметризуемое локально выпуклое пространство относительно указанной структуры. В силу предложения 5.9.1 достаточно доказать полноту М. Пусть (Хп) — последовательность Коши в М, тогда (лемма А) существует такая обобщенная функция X на Q, что дкХп->дкХ в ^'(Q) при к=\, ..., п. При каждом К, однако, (дкХп) есть последовательность Коши в £}ос(й), а потому сходится в этом пространстве, причем ее пределом может быть только дкХ. Таким образом, дкХ принадлежит Lioc(Q) и является пределом последовательности ^д^Х^ в этом пространстве. Итак, (Ап) сходится в М к X. что и устанавливает полноту пространства М. g

Третья и последняя лемма требует нескольких предварительных замечаний. Из результатов, полученных в § 5.11, вытекает, что каждый элемент пространства М принадлежит L}OC(Q). Поэтому в М можно рассмотреть структуру, определяемую полунормами

qK(h = NKm + pK^,.

где К пробегает некоторую базу компактных подмножеств в Q. На факторпространстве М*=М,С имеются две структуры: одна определяемая полунормами рк, которую можно назвать /7-структурой, и другая, определяемая полунормами qK, которую можно назвать ^-структурой. Полнота относительно /7-структуры уже была доказана в лемме В. Полноту относительно ^-структуры (которая, очевидно, сильнее /7-структуры) установить проще. Предоставляем это читателю.

«Лемма С. На М* р- и q-структуры тождественны.

Доказательство. Рассмотрим тождественное отображение ^M*,q^ на (АР, р). Оно взаимно однозначно и непрерывно.

Так как оба пространства являются пространствами Фреше, то наше утверждение следует из теоремы об открытом отображении (например, в форме 6.4.4). |

Замечание. Мы будем использовать лемму С в следующей форме. Если (fn)—последовательность Коши в М относительно /7-структуры, то существует такая числовая последовательность (сп), что (fn + ^n) —последовательность Коши (и потому сходится) в Lloc(Q).

Доказательство предложения. Предположим, что (fn) — последовательность Коши в К. Заметим прежде всего, что для любого компактного подмножества KczQ и любого к — = 1, ..., п справедливо неравенство Коши — Шварца

J I dfcH dp < J р*1 dp- J рй | dkf |2 dp. к к к

Следовательно, в силу условия (5.13.11) VczM и структура самого пространства V сильнее структуры, индуцируемой в V /7-структурой пространства М. Поэтому из замечания после леммы С следует существование такой числовой последовательности (сп), что (/п + ^п) сходится в Л1ос(^)- В то же время, конечно, из полноты М вытекает существование такого элемента fa е М, что lim dkfn = dkfa в Lioc (Q) для каждого к; fa принадлежит

П->оо

Lioc (£2).

Так как (р^д^) — последовательность Коши в L2(Q), то (лемма Фату 4.5.4) можно утверждать, что для каждого к в действительности Рх^дкГ принадлежит L2(Q) и является в этом пространстве пределом последовательности {p^dj^.

Если функция /?о пренебрежима, то доказывать нечего: тогда fn~^fa в V. Итак, нужно рассмотреть случай, когда функция р0 не является пренебрежимой.

Из того факта, что (fn)—последовательность Коши в V, следует также, что (р q2 fn) является последовательностью Коши в L2(Q). Поэтому можно воспользоваться теоремой 4.6.7, видоизмененной так, как это указано в п. 4.11.7, чтобы ее можно было применить к L2(Q), а затем (опять с помощью леммы Фату) заключить о существовании такой функции fb на Q, что рП-^рН6 в 1?^.

Так как (/n + с») сходится в L}oc(£l), то для доказательства существования подпоследовательности (f' +с') = (7„r + c„r), сходящейся почти всюду на й, можно воспользоваться теоремой 4.6.7. (Символ f„ используется здесь для обозначения предста-

вителя класса fnr. Просим читателя простить нам эту вольность здесь и в других местах, так как более точная запись была бы слишком громоздкой.) Тогда последовательность элементов РоЧг + Ро2^г сходится на ^ почти всюду. Но р\*Ч'г сходится в L2(Q) к р^Ч\^ таким образом, существует такая подпоследовательность (Js) = (fn Y что ро^" сходится почти всюду на Q к

Отсюда следует, что (р^2^ сходится на Q почти всюду и потому (функция р0 не является пренебрежимой) сходится последовательность (с").

Следовательно, f" сходится в ЦОс^ и почти всюду на Q к некоторому пределу f.

Так как РХЧЧ"Р^Ч почти всюду на Q и одновременно та же последовательность ^Ч^ сходится почти всюду на й к р^Ч\ т0 Р^Ч и PxJ4b совпадают (как классы функций), так что рп;-*^в L4^.

Поскольку f" сходится к f в Цос(й) и тем более в ^(Q), то dkf"->dkf в ЭУ (Q). Но dj" (как подпоследовательность последовательности dj^ сходится в Цос(й) к д^а.Поэтому dkf и dhfa совпадают (как классы функций) для каждого к.

Наконец, р^Ч^Р^Ч и Р^дЧ^Рк28^ в L2^ ^ЛЯ k=\, 2, ..., п. Так как feA}0C(Q), то f г V и служит в этом пространстве пределом подпоследовательности (/") последовательности Чп)- Поскольку Чп)—последовательность Коши в V, то из общих соображений следует, что Чп) сходится к f в V.

Таким образом, каждая последовательность Коши в V сходится в V, что и доказывает наше предложение. |

Замечание. Доказательство значительно упрощается, если на ро и рн наложить некоторые ограничения. Наиболее труден был случай, когда функция р^ хотя и не является пренебрежимой, но не достаточно далеко ушла от пренебрежимых функций, для того чтобы можно было сделать вывод о сходимости Чп) в Lioc(Q) непосредственно из того факта, что Чп) —последовательность Коши в V. Если предположить, что р^х—локально интегрируемая функция, то такое заключение возможно и доказательство проходит без осложнений.

Оператор Грина. Пусть выполнены те же предположения, что и в п. 5.13.1, 5.13.2. Введем отображение G: L2(Q)-^- ~>Nt которое каждому f^L2(Q) ставит в соответствие решение

u=Gf системы (5.13.7). Очевидно, G — линейное отображение. Из рассуждений, приведенных в п. 5.13.2, следует, что

Il Gf\\v<c\mL2^ и

10П^у = (1ИЬЧй) для f^L2^, у^К0. (5.13.12)

Последнего соотношения достаточно, чтобы охарактеризовать Gf в Vo- По определению G имеем

PGf = f для f^L2^.(5.13.13)

Из единственности решения задачи Дирихле — Неймана следует, что

GPu = u для u^N.(5.13.14)

Таким образом, если N наделить структурой, определяемой скалярным произведением

,^U I U ^ = ^U I U )у- + (Pu\ Ри ^(Q)?

то Р будет изоморфизмом (алгебраическим и топологическим) пространства N на Л2(И), обратным к которому является G.

Если в (5.13.12) положить v = Gf и воспользоваться соотношением (5.13.8), то получаем, что Gf\ f)L2^ вещественно и

(Gf I fV (Q) > с^ || Gf ||22(Q) для f е L2^).(5.13.15)

Если же в (5.13.12) положить u = Gg^ где geL2(Q), то

(Л Gg)L2^ = (,g\ Gf)L2^= (Gf\ g)L2^y

Отсюда следует, что G — самосопряженный эндоморфизм пространства L2(Q). Тогда из (5.13.15) вытекает, что G — непрерывный эндоморфизм пространства L2(Q), поскольку

11СЛ1£2(ы)<сЛШ^^^ Для ^1Дй\(5.13.16)

Более того, G — строго положительный самосопряженный эндоморфизм пространства L2(Q).

Как было замечено,

IIGHIF<dlHbfa) Для f^L4^,(5.13.17)

поэтому в силу (5.13.8)

||Go|Kc2||o||K для ueV0.(5.13.18)

Мы будем называть G оператором Грина системы (5.13.7).

Поскольку из допущений, сделанных в п. 5.13.2, следует, что Vo с L2(Q), то можно рассмотреть сужение на Vo оператора Q,

которое будем обозначать через 3. Так как оператор G отображает L2 на Nc Vo, то можно считать 3 эндоморфизмом пространства Vo- Тогда из (5.13.12) вытекает, что

(о?у| у')7 = (yl v')^дляу, y'eV0.(5.13.19)

В силу (5.13.18)

11^11к<*21МкдляyeV0,(5.13.20)

т. е. отображение ^ непрерывно. В то же время из (5.13.19) вытекает, что 3— положительный, самосопряженный эндоморфизм. Он является алгебраическим изоморфизмом пространства Vo в W cz Vo, причем

Ра?Х) = Х)дляу G Vo,(5.13.21)

9Ри = идляи г N, Ри е Vo. (5.13.22)

В некоторых случаях вложение пространства Vo в L2 не только непрерывно (что выражается неравенством (5.13.8)), но даже компактно (= вполне непрерывно). В последнем случае 3— компактный эндоморфизм пространства Vo, так как 9 = = Got, где отображение G: L2->V0 непрерывно, а I: Vo->L2 — компактное вложение. Если, кроме того, Vo — гильбертово пространство, то общая теория компактных эндоморфизмов таких пространств дает информацию о ^ и его собственных векторах (или собственных функциях в случае линейных дифференциальных операторов в частных производных).

Общая теория компактных линейных отображений рассматривается в гл. 9, а упомянутый ее аспект — в § 9.12.

Для того чтобы облегчить ссылки в следующем пункте, мы перечислим здесь .простые условия, достаточные для того, чтобы можно было применять результаты п. 5.13.2 и 5.13.5.

Во-первых, для полноты пространства Vo достаточно предположить, что

РорП' ртх* ^^L^)-(5.13.П)

Во-вторых, чтобы обеспечить вложение VoczL2(Q) и выполнение соотношения (5.13.8), достаточно предположить, что

m0 = ess infQ р0 > 0,(5.13.23)

причем тогда неравенство (5.13.8) имеет место с постоянной с = т^2.

Уравнение Pu + ^u^f. Иногда представляет интерес не только уравнение Pu=f, но и уравнение Pu + Ku=ft где X — скаляр (вещественный или комплексный).

Например, если рассматривается волновое уравнение d2U at2

где А — оператор Лапласа в трехмерном пространстве, го первый шаг часто заключается в отыскании простых гармонических решений Щх, Г) = и (х) еш. При этом требуют, чтобы функция и удовлетворяла так называемому метагармоническому уравнению (—А + X) и = О,

где Х=—А2. Это уравнение в качестве частного случая (Х = 0) содержит уравнение Лапласа.

Абстрактное рассмотрение уравнения РиЛАи^Ц разбивается на два этапа. На первом этапе X предполагается вещественным положительным. Тогда метод ортогонального проектирования применим без всяких изменений. Фактически этот метод гораздо легче применить при Х>0, чем при Х = 0 (в случае Х>0 более вероятно выполнение условий, перечисленных в п. 5.13.7). На втором этапе используются некоторые простые свойства эндоморфизмов гильбертова пространства, чтобы расширить семейство Gx ассоциированных операторов Грина (полученное на первом этапе для Х>0) на некоторые комплексные X. Семейство Gx, расширенное таким образом, продолжает разрешать ассоциированную систему (5.13.7) (где Р заменено на Р + Х). Не имея возможности подробно исследовать семейство Gx, мы отсылаем читателя к работе Гар ни [1].

В этом пункте достаточно предположить выполнение условия (5.13.11). Тогда пространство V определяется так же, как в начале п. 5.13.1, так что соотношение (5.13.5) имеет место. Пространство V может быть или не быть полным или отделимым. Обозначим через Vх пространство, построенное так же, как V, с той лишь разницей, что ро заменяется на ро+Х. Тогда Vхс: V, VxczL2(Q) и скалярное произведение на Vх определяется равенством

(fl^MflgUa + tflgV

Если заменить V на Vх и взять и е Vх. то неравенство (5.13.8) имеет место с постоянной с, не превосходящей Vii. Если заменить теперь Р на Р + К то будет выполнено и соотношение (5.13.2).

Так как неравенство

х / + X X' "^ / + X'

справедливо для 0<Х<Х' и /^0, то все Vх совпадают как множества, и их равномерные структуры тождественны. Поэтому

вместо Vх будем писать V*. Структура самого пространства V+ сильнее структуры в V+, индуцированной структурой пространства V.-

Обозначим через У^ замыкание в V+ множества функций из Г+, каждая из которых обращается в нуль на пересечении Q, с некоторой окрестностью множества Q^. Множество У о* не шире множества Vo. Соответствующие граничные условия можно записать в следующем виде:

Ши eV?,

(В?)ueV+, PueL2(Q),

(Pu\v)L,(Q) = (u\v)v для veV?.

Соответственно имеем

hMugV? PueL2^,

N+ = {ие H+: и удовлетворяет (в?) и (В^)}.

Читатель заметит, что H+cz.H и N+czN.

Применяя результаты п. 5.13.2 и 5.13.5 к новой ситуации, обозначим через Gx и ^х соответствующие операторы Грина. Они обладают следующими свойствами, первое из которых характеризует функцию G4*

4GKf\v)L2(Q) + (GKf\v)v = (f\v)L2(a) (feL^veV?);

(P + VGKf = f ^el?»

GX(P -VX')u = u (ueN+);

(B + A)<^xu = v (oelV);

S ^(P + А)и = и (ueN+, PueVo);

1°к\\ь2№,У+^^!2’ И ^^(^.^даСА"1, ll^llv+.^^A-1.

В последних трех неравенствах символом ||Т||А)В обозначается норма линейного оператора Т: А-^В, где Д, В — нормированные пространства1). Так как

то Gx—непрерывный положительный самосопряженный эндоморфизм. В действительности эндоморфизм Gx строго положителен, ибо при Gxf = O имеем f = (Р + Х) Gxf = 0. Таким образом,

<GJ\hL2№>0 при /еВ2(Й), / #= 0.

') ilTIU, л = sup {ПГаЦв: Ца|| А< 1}. — Прим, персе.

Из приведенных выше тождеств вытекает связь между различными Gx при А>0, наличие которой весьма существенно для второго этапа — расширения семейства G^ Если f^L2 и А>0, Ао>О, то

Gxf = Gx(P + N GxJ = Gx [(P + A) - (A - Ao)] GxJ =

= Gx (P + X) Gxof - (A - Ao) GxGxJ

и потому ввиду равенства и = GxJ ^ N+ имеем

Gx — Gx0 = — (А — Ao) GxGxtt при A>0, A0>0.

В частности, операторы Gx (А>0) перестановочны. Кроме того, Gz + (A — X6)GxGx0 = Gx0 = Gx + (A — Ao) Gxfix (5.13.24) при A>0, A0>0.

Как мы сейчас увидим, это соотношение позволит нам распространить определение операторов Gx с положительных А на комплексные значения А.

Лемма. Пусть Е — полное пространство со скалярным произведением и Т — положительный самосопряженный эндоморфизм пространства Е. Если у—комплексное число, не являющееся вещественным строго отрицательным, то а+тП"1 существует и представляет собой непрерывный эндоморфизм пространства Е.

Доказательство. Число у можно записать в виде у = а + ф, где а и р— вещественные числа, причем либо (1) р=£0, либо (2) р = 0, сс>0. Так как (If |f) = (f | Tf)—веществен ное число, то для любого элемента f г Е имеем

II (1 + УП ЛМ1Л12 + 2а(Г/| П +1 Y HI Tf |р.

Таким образом, IIU+YW^IIHP-SlaH^ П||.||/|| + (а2 + р2)||П|р.

Если || /1| =/= 0, то отсюда следует, что

11(1+уПЛ12>Ш2{1-2Ы

где t = || Tf\\l\\ f ||. Правая часть неравенства не меньше, чем Р2(а2 + р2)-1|| f ||2. При р = О, а^О это выражение не меньше, чем II / |р. Следовательно, в любом из случаев (1), (2) имеем

11(1+уП/112>С||/|р,(5.13.25)

где С=С(у)>0. Итак, в любом случае образ М оператора 1+уТ замкнут в Е. С другой стороны, М плотно в Е. Действительно, если g— элемент из Е, ортогональный к М, то в силу соотношения ((1+yT)f|g) =0 имеем (f| (1 + чЛ§) =0 для всех

f, т. е. ||(1+у7)^11=0. Но тогда из неравенства (5.13.25), справедливого как для у, так и для у, получаем, что llg*ll = 0. Плотность множества М в Е вытекает теперь из теоремы Хана — Банаха. Поэтому М должно совпадать с Е и, значит, (5.13.25) означает, что (1+уТ)-1— непрерывный эндоморфизм пространства Е. |

Расширение семейства Gx. Пусть R_— множество вещественных чисел г С 0, С — множество комплексных чисел. Наша задача— определить Gx для XeC\R_.

Для любого X^C\R_ можно многими способами так выбрать число Хо>О, чтобы разность X— Хо не была вещественной строго отрицательной. Пусть такое Хо выбрано. Так как GXo — положительный самосопряженный эндоморфизм пространства L2, то в силу предыдущей леммы оператор

[l+^-^Gx,]-1

определен и является непрерывным эндоморфизмом пространства IA

Воспользуемся теперь соотношением (5.13.24) и определим Gx равенством

Сл = СхЛ1+^-Ч<?хоГ1 = [1+(Я-Ло)СхоГ16х,. (5.13.26)

Это определение согласуется с уже известным определением -А для случая, когда X вещественно и строго положительно (это С'вдует из соотношения (5.13.24), установленного для Х>0 и Хо>О). Легко проверяется, что этот метод определения Gx не зависит от выбора Х0>0, такого, что разность X— Хо отлична от всех вещественных строго отрицательных чисел. (Здесь опять проверка использует соотношение (5.13.24).)

Покажем теперь, что из (5.13.26) следует, что функция Gx голоморфна на C\R_ в том смысле, что для каждой пары (f, g) ^L2\L2 комплексная функция Xi—>(Oxf\g)i? голоморфна на C\R_. Действительно, пусть XeC\R_; выберем Хо, как указано выше. Тогда если Х' = Х + е с достаточно малым |е|, то в определении Gv можно воспользоваться тем же самым Хо. Положим временно Т=1 + (Х— X^GxV Если / и g принадлежат L2, то в силу (5.13.26)

(Gvf | g\2 - (GJ | g\$ = (Gx0(T + eGx.)”1 f | g\, - {G^T~lf I g\,.

Если |e| настолько мало, что 181 • || GxJ|£2 £1<||7’-1 \\JL„ то ряд

сходится в смысле нормы || • \\L1 ц и его сумма есть не что иное, как (Г + eGx„)-1. Следовательно,

(Gv/I g^ ~ <G^\sX» =JH- о"ЛбхГх (r'cj f I ^„

где ряд в правой части сходится при достаточно малых |е|. Таким образом, голоморфность Gx в некоторой окрестности точки X установлена.

Теперь из принципа аналитического продолжения следует, что соотношения (5.13.24) выполняются, когда оба числа X и Яо принадлежат C\R_ (расширение области допустимых значений для X и Яо может быть проведено последовательно).

Наконец, пусть ЯеС\Н_ и f^L2. Покажем, что u = Gxf есть решение системы

ие/Г, (P + X^u-f.(5.13.7')

Достаточно доказать, что для всех таких X и всех пар (Д g)e е L2XL2 имеет место соотношение

((Р + ^)ОЛ^2 = (Л^2.(5,13.27)

Левая часть для всех фиксированных f и g голоморфна на C\R_. Известно, что соотношение справедливо, если X— вещественное строго положительное число. Принцип аналитического продолжения обеспечивает справедливость равенства для любого X е C\R_. С другой стороны, известно что для Х0>0 Gxof отображает L2 в ^; поэтому если в (5.13.26) взять Хо>О, то из этой формулы следует, что Gxf Af+ при X е C\R_ и f е L2.

Замечания о пространствах V и о граничных условиях.

Начнем с некоторых замечаний о природе элементов пространства V. Как уже говорилось в п. 5.13.1, множество V состоит из классов функций f е Lioc(Q), таких, что

д^^Цос^ для 6=1, 2, ..., п,

р^^ГЧ^Х p^dJeL4Q) для 6=1, 2, ..., п.

Природа элементов пространства V при л=1. В этом случае, как мы увидим, все исследование может быть проведено без явного упоминания об обобщенных функциях или о каких- нибудь «слабых» производных.

Область Q есть сейчас просто ограниченный или неограниченный линейный интервал (а, р). Вместо р^ р\ будем употреблять более обычные обозначения q, р.

Пространство V по определению есть множество таких классов функций feLioc(Q)> что и

q4^L4£\ pl/2f^L2(Q).

Здесь df интерпретируется пока в смысле обобщенных функций, но мы увидим, что элементы пространства V можно считать функциями и интерпретировать их производные как обычные, существующие почти повсюду.

Действительно, поскольку класс df g Li0C(Q), то класс f содержит в точности одну непрерывную функцию, которую также будем обозначать через f и которую возьмем в качестве представителя этого класса. Более того, эта функция — представитель f — будет даже локально абсолютно непрерывной1) на Q, так что на Q существует такая локально интегрируемая функция f', что

f(x)-f(x') = J f dp. (x,/ей).(5.13.28)

x'

Непрерывная функция f почти всюду на Q обладает обычной производной, почти всюду на Q равной f'. Разумеется, однозначно определен лишь класс функции f\ но, какую бы функцию I' мы ни выбрали в качестве представителя класса, рхЦ' и qx^ должны принадлежать пространству S^Q).

Все эти выводы следуют из результатов п. 4.15.10, из которых также вытекает, что df (обобщенная функция, служащая производной класса локально абсолютно непрерывной функции f) есть (класс функций) fz.

Если выбрать непрерывные (и, следовательно, локально абсолютно непрерывные) функции f и g, представляющие два элемента из V, то соответствующим скалярным произведением будет

(fl gV= f kpVg' *дШШ.

В силу этих замечаний, как мы уже говорили, можно, не ограничивая общности, рассматривать элементы пространства V как функции на Q. Впредь будем придерживаться этого соглашения.

Как было установлено в п. 5.13.2 и 5.13.3, разрешимость и единственность решения различных граничных задач требуют

9 Под этим понимается, что f абсолютно непрерывна в обычном смысле на каждом компактном подинтервале в Q.

полноты и отделимости некоторых подпространств в V. Несмотря на общие результаты п. 5.13.4, случай 1 заслуживает специального рассмотрения.

Начнем с замечания, что задача становится почти тривиальной (при п=\^ если функция q пренебрежима: тогда дифференциальное уравнение сводится к уравнению (pf')' = O. Поэтому впредь будем предполагать, что функция q не является пренебрежимой на Q.

Пусть норма элемента f е V равна нулю. Тогда

Если р>0 почти всюду на Q, то первый интеграл равен нулю, только если f' = 0 почти всюду. В этом случае из (5.13.28) следует, что f — постоянная на Q. Из равенства нулю второго интеграла следует, что f = 0. Таким образом, V отделимо, если р>0 почти всюду на Q; это свойство является наследственным для любого векторного подпространства в V.

Пусть / — некоторый подинтервал в Q. Предположим, что I р~х dy < + оо. Тогда в силу (5.13.28) и неравенства Коши —

/ Шварца/ ШварцаII f Ни и, ХО е /)II f Ни и, ХО е /)(5.13.29)(5.13.29)и поэтому такжеи поэтому также" Г11/2l/WKI/Uo)l + / р-1Ф П/Пи U, xoei\" Г11/2l/WKI/Uo)l + / р-1Ф П/Пи U, xoei\(5.13.30)(5.13.30)Если, кроме того, функция q не является пренебрежимой на /, то (упр. 5.4)Если, кроме того, функция q не является пренебрежимой на /, то (упр. 5.4)I/WKI/WK•Шу (xal).•Шу (xal).(5.13.31)(5.13.31)В частности, если функция q не является пренебрежимой на Q и р”х локально интегрируема на Q, тс каждому достаточно большому (а значит, и любому) компактному интервалу Кай со- ответстует такое число тк, чтоШхНСтаПу (хак). (5.13.31')В частности, если функция q не является пренебрежимой на Q и р”х локально интегрируема на Q, тс каждому достаточно большому (а значит, и любому) компактному интервалу Кай со- ответстует такое число тк, чтоШхНСтаПу (хак). (5.13.31')Далее если функция q не яляется пренебрежимой на Q и р~х интегрируема на Q, то существует такое число т, что|/(х)Кт||Л1и U^Q).Далее если функция q не яляется пренебрежимой на Q и р~х интегрируема на Q, то существует такое число т, что|/(х)Кт||Л1и U^Q).(5.13.31")(5.13.31")

/ Шварца

/ Шварца

II f Ни и, ХО е /)

II f Ни и, ХО е /)

(5.13.29)

(5.13.29)

и поэтому также

и поэтому также

" Г11/2

l/WKI/Uo)l + / р-1Ф П/Пи U, xoei\

" Г11/2

l/WKI/Uo)l + / р-1Ф П/Пи U, xoei\

(5.13.30)

(5.13.30)

Если, кроме того, функция q не является пренебрежимой на /, то (упр. 5.4)

Если, кроме того, функция q не является пренебрежимой на /, то (упр. 5.4)

I/WK

I/WK

•Шу (xal).

•Шу (xal).

(5.13.31)

(5.13.31)

В частности, если функция q не является пренебрежимой на Q и р”х локально интегрируема на Q, тс каждому достаточно большому (а значит, и любому) компактному интервалу Кай со- ответстует такое число тк, что

ШхНСтаПу (хак). (5.13.31')

В частности, если функция q не является пренебрежимой на Q и р”х локально интегрируема на Q, тс каждому достаточно большому (а значит, и любому) компактному интервалу Кай со- ответстует такое число тк, что

ШхНСтаПу (хак). (5.13.31')

Далее если функция q не яляется пренебрежимой на Q и р~х интегрируема на Q, то существует такое число т, что

|/(х)Кт||Л1и U^Q).

Далее если функция q не яляется пренебрежимой на Q и р~х интегрируема на Q, то существует такое число т, что

|/(х)Кт||Л1и U^Q).

(5.13.31")

(5.13.31")

Опираясь на эти неравенства, относительно просто показать, что V полно, если q не является пренебрежимой и р-1 — локально интегрируемая функция. Этот результат доказан в п. 5.15.4 для любых п и при более слабых предположениях.

Природа элементов пространства V при п>1. Результаты, установленные в п. 5.11.1, показывают, что любая обобщенная функция /е®^), удовлетворяющая условию (1), принадлежит Li0C(Q). При этом для соответствующих областей Q (например, для всех областей Никодима) неравенства

ess inf pb > 0(& = 1, 2, ..., n)

влекут включение VcrL2(Q).

С другой стороны, последнее включение тривиально для любой области Q, если

ess infQ р0 > 0.

Особенно важен случай

Ро=Р1 = ... =рп= к

Получаемое при этом пространство V обозначается через ё’ЬШ); это — гильбертово пространство со скалярным произведением

п

(^=J ш ^+21д^ •

L Qk=l Q

Если

essinfpr>0 (r = 0, 1, ...,n), то Vc^b№\ причем V обладает более сильной равномерной структурой. Если, кроме того,

ess sup pr < + оо (г = 0, 1, ..., п\

то пространства V и ^^(Q) вместе с их равномерными структурами совпадают (хотя их скалярные произведения могут не совпадать).

Различные структурные свойства пространства У = §12(й) и его подпространств V2 исследуются в книге Гар ни [1] (см., в частности, стр. 87—101). Некоторые из результатов этой работы относятся к функциям feLioc(Q), про которые известно только, что они удовлетворяют (1), и поэтому эти результаты можно применить к пространству V независимо от выбора рг. Типичным результатом такого рода служат соотношение

^/+ = Ш)Ху>0}

и утверждение, что если / — вещественная функция из V, то /, и |f| тоже принадлежа! V.

Природа граничных условий при п=\. Как было показано в пункте (а), каждый элемент и s V можно считать локально абсолютно непрерывной функцией на Q=(a, (3). Изопределения (5.13.6) подпространства Н следует, что если и^Н, то —д^р ди) + qu ^ L2(Q)t откуда, так же как и в (а), вытекает, что класс ди содержит в точности одну такую функцию и', что функция ри' локально абсолютно непрерывна; тогда ри' имеет почти всюду производную g, и —(pu)' + qu есть класс функции g. Таким образом, решения системы (5.13.7) можно рассматривать теперь как локально абсолютно непрерывные функции и, для которых при некотором выборе и' функция ри' локально абсолютно непрерывна и функция —(pu')' + qu почти всюду равна f.

Опишем теперь подпространство V0 = V^. В данном случае Qd есть одно из множеств 0, {а}, {|3}, {а, (3). Если Qd = 0, то о характере Qd говорить нечего. Во всех остальных случаях достаточно рассмотреть случай aeQd и исследовать, как это условие выражается в терминах поведения на границе функции и g Vo. Допущение, что a е Qd, означает, что а>—оо.

Х0

Если предположить, что J р-1 dp < + оо для некоторого

(а значит, и для всех) %о Q, то из неравенства (5.13.29) пункта (а) вытекает, что для каждого и е Vo предельное граничное значение

u(a) = lim и^х)х t a

существует и конечно. Если, кроме того, функция q не является пренебрежимой на Q, то можно воспользоваться неравенством (5.13.31) пункта (а), из которого следует, что w(a)=0 при и е Vo. Будет ли какой-нибудь элемент u е V, удовлетворяющий равенству u(a)=0, принадлежать Vo или нет, зависит от поведения р и q в окрестности точки а.

Выясним теперь смысл соотношения и е N, снова полагая Qd = {a}. Если иеН и ^eV, то

(u I у)к = J (pu'v' + qud^dp,,

(ри I v)L.№ = J [- Um'y + qu^u dp.

По определению и е N тогда и только тогда, когда и г Vo, PueL^Q) и (м|у) у= (Pu\v)l2^ Для всех уе Vo. Последнее равенство означает, что

J pu'v' dp = — J {ри'У v dp.

Если [a, b] — компактный подинтервал в Q, то, интегрируя по частям, получаем

ьь

J (ри')' v dp = [ри'и]ь — J pu'v' dp. аа

Следовательно, и ^ N тогда и только тогда, когда и е Vo, Ри е L2^ и

lim [pu'vP = 0 для v е Vo. а у «, b ^ р

Таким образом, при весьма слабых ограничениях на р и q часть соотношения и ^ N, касающаяся поведения и на границе, сводится к условиям

lim и(х) = 0, lim р(х)и'(х) = 0, х у ах ^ Р

т. е. к двум настоящим граничным условиям для и. (Напоминаем, что и' должно быть выбрано так, чтобы функция ри' была локально абсолютно непрерывна на Q).

Аналогичные замечания можно сделать, поменяв местами аир.

Если Qd = {a, р}, то получаем следующие граничные условия: lim и(х) = lim u(x) = 0;

х ^ ax ^ P

если же Qd = 0, то граничные условия имеют вид

lim р (х) и' (х) = lim р (х) и' (х) = 0. х yaх ^ р

Природа граничных условий при п > 1. В этом случае прежде всего возникает вопрос: как ведут себя на границе элементы пространства V0 = nlZQd» где Qd— заданное подмножество в Q?

Прежде всего заметим, что если feV, то принадлежность f к Vo является в действительности ограничением на поведение f только в непосредственной близости от Q^. Точнее, пусть U—произвольная окрестность множества Qd в Rn, и пусть a — такая принадлежащая С^й) функция, что а и d^a (^=1,

2, ..., п) ограничены на Q и а=1 на QDtA Мы утверждаем, что если feV, то feV0 тогда и только тогда, когда af^Vo. В самом деле, если feV, то af и (1—a)f принадлежат V; более того, функция (1 — a)f равна нулю на QfW и потому, конечно, принадлежит Vo- Далее из равенства af=f—(1—a)f следует, что af е Vo при f е Vq. Обратно, если feV и afe Vo, то из равенства f = af + (1 — a)f вытекает, что f е Vq. Наше утверждение доказано.

Легко видеть, что если функции f, g е V таковы, что f = g на Q\K, где К — произвольное компактное подмножество в Q, то f и g одновременно либо принадлежат Vo, либо нет. Действительно, выберем функцию aeC^R71) так, чтобы а и дна (k = = 1, 2, ..., п) были ограниченными и чтобы а = 0 на К и а=1 на некоторой окрестности U множества Q. В этом случае af = = ag на Q и feV0 тогда и только тогда, когда afeVo, а g^Vo тогда и только тогда, когда ag е Vo.

Поведение на границе элементов пространства Vq подробно исследовалось только для случая

pr=l (r = 0, 1, .... n), V = ^b^ и ^ = <2

(чистая задача Дирихле). Но полученные при этом результаты применимы и тогда, когда

0 < ess inf pr ^ ess sup рт < + oo

для каждого г. В этом случае 26 (Q) плотно в Vo, поэтому Vp = ^b(Q), замыканию <2Дй) в ^(Q). (Доказательство см. в книге Г ар ни [1, стр. 97].)

Детальное исследование элементов пространства ^(Q) проведено у Л. Шварца [8, сообщения 12 и 13, часть 1], а также у Дени и Лионса [1, гл. 1, § 7]. Основной результат следующий: если граница Q достаточно гладка, то существует непрерывное линейное отображение b: ^(О)-* l}oc(Q, а), которое на функциях класса С°° на некоторой окрестности множества Q в Rn совпадает с оператором сужения на Q. (Через о здесь обозначается поверхностная мера на Q.) Кроме того, пространство ^a(Q) совпадает с множеством тех функций f ^ ^к2(^>), для которых bf = O. О некоторых более общих результатах такого рода см. Кальдерон [1].

Совпадают пространства ^p(Q) и ^(Q) или нет, не имеет особого значения. Совпадение имеет место тогда и только тогда, когда Rn\Q имеет нулевой объем (см. Л. Ш в а р ц [8, сообще-

ние 15]). В этом случае нет свободы выбора пространства Vo из п. 5.13.3.

Обращаясь к рассмотрению условия (Вп), допустим сначала, что Q^ = Q и 5)(Q) плотно в Vo (см. (2) выше). При этом следует ожидать, что условие

^Ри \ У ^(Q) = (^ I ^)у ДЛЯ У ^ V0

будет выполняться для любой функции и е Vo, такой, что PueL2^'). В силу (5.13.2) указанное соотношение выполняется для ue®^. Поэтому если имеет место (5.13.8), так что обе части равенства непрерывны по y^B2(Q), то наше соотношение действительно выполняется для всех ceVo. В этом случае

N-^m Vo: Pu^L2№

и система (5.13.7) эквивалентна системе

и е Vo, Pu=f,

т. е. чистой задаче Дирихле.

Чисто формальный подход к смыслу условий (6П) связан с использованием формулы Грина, что дает

п

(u | у)и = J pouv dp + V J pk dkU . afey dp = Qk=\ Q

= J po uv dp - J 2 dk {Pkdk^} • у dp + J ^ NkPkdkU • у da, QQ кQ &

где a — поверхностная мера на Q и N = ^h ..., N^ — единичная нормаль к Q. Соответственно

(" I у)и = UM у)^, + J ^2 NfcphdfciA о da.

Таким образом, соотношение mN означает формально, что и г Vo, Ри е L2(Q) и

/ N^PkdkU ] и do = 0 для и е V. Q \ к/

Так как функция у е Vo принимает нулевые значения на Qj, то можно считать, что последняя формула сводится к требованию, что

2 NkPkdkU = 0 на Q„.

Если рн — отличная от нуля постоянная, не зависящая от А, то это соотношение означает равенство нулю на Qn производной по нормали от функции и. Это — граничная задача Неймана.

Замечания. Методы, которыми в этом параграфе исследовались некоторые линейные дифференциальные уравнения в частных производных второго порядка, могут быть распространены на некоторые типы уравнений более высокого порядка. (См. Вишик [1], Лионс [1].) Простой пример такого рода приводится в упр. 5.24.

Существование фундаментального решения.

Обсуждение задачи 2

Пусть заданы область QczRn и линейный дифференциальный оператор в частных производных

Р(х, D)= 5 aP^Dp, (5.14.1) lp|<m

где Яр —заданные (достаточно гладкие) функции на Q. Тогда Р^х, D) можно применить к любому распределению на Q. Обозначим через Р полученный таким образом эндоморфизм пространства S)Z(Q). Ниже, в § 5.17, будет рассмотрен вопрос о разрешимости уравнения

РХ=Р(х, D)X=A (5.14.2)

для любого заданного A g^z(Q). Пока что нас интересует случай, когда Л = еа, где а — некоторая точка в Q. Напомним, что в этом случае решение X уравнения (5.14.2) называется фундаментальным решением оператора Р(х, D) относительно точки а. Техника, разработанная при исследовании фундаментальных решений линейных дифференциальных операторов Р в частных производных с постоянными коэффициентами, излагаемая в этом параграфе, не может быть прямо использована для исследования случая, когда А имеет более общую природу или когда коэффициенты ар(х) в (5.14.1) переменны. Этим объясняется то, что эта частная задача изучается отдельно. Несколько иной и более конструктивный подход рассматривается ниже, в п. 5.18.3. (См. также Хёрмандер [7].)

Тем не менее методы, описанные в этом параграфе, хорошо переносятся на случай, когда А обладает в Q компактным носителем. Это очевидно, когда Q = Rn и ар постоянны, ибо тогда из Р(Х)=£ следует, что Р(Х *А) =А.

Результаты настоящего параграфа в значительной мере основываются на работах Мальгранжа [1], переработанное изложение которых содержится у Л. Шварца [8]. Большая часть приводимого здесь материала перекрывается содержанием ра-

боты Хёрмандера [1], подходу которого будет уделено внимание в п. 5.18.3. Важные результаты Эренпрейса [2, 3, 10, 11] относятся скорее к общему уравнению (5.14.2), и потому мы обратимся к ним ниже, в § 5.17.

Описание метода. В отличие от методов, описанных в п. 5.18.3, метод, используемый в этом параграфе, по своей природе относится к методам «чистого существования». Он служит ярким подтверждением важности той роли, которую играют неравенства в современной (функционально аналитической) теории линейных дифференциальных уравнений, о которой уже упоминалось в § 5.12.

Целесообразно предварительно привести описание общих принципов, используемых при доказательстве существования решения уравнения (5.14.2), где Р— линейный дифференциальный оператор в частных производных.

Абстрактную ситуацию можно описать следующим образом.

S — такое локально выпуклое пространство, содержащее 2) (Q) в качестве плотного подпространства, что вложение S)(Q) в S непрерывно. В силу этого каждый элемент пространства S\ топологического сопряженного к ^, представим в точности одним распределением Х^ЗУкй^ и потому S' можно (алгебраически) отождествить с некоторым подпространством в ^(Й).

Q: ^(й)-^^ (соотв. Р: ^ —>^'(Q))— такое линейное отображение, что

(Ф, РА) = ($Ф, X) для Фе^(Й), Хе^. (5.14.3)

Ае ^'(Q) —такое распределение, что

|(ф,Л)|<р(Оф) для феЗЦй), (5.14.4)

где р— некоторая непрерывная полунорма на ^.

Заключение состоит в том, что существует элемент Х^8\ удовлетворяющий соотношению (5.14.2).

В наших рассуждениях Р будет линейным дифференциальным оператором в частных производных с постоянными коэффициентами вида

PW=P(Z))X= 2 apDpX,(5.14.5)

lp|<W

a Q — его формальным сопряженным, т. е. линейным дифференциальным оператором в частных производных с постоянными коэффициентами вида

QT = Q(D)T = 2 аР(-1)|р|Орф.(5.14.6)

\Р К ГП

Таким образом, Q(£>)=P(£>) (п. 5.12.1).

В этом случае оказывается возможным установить неравенство (5.14.4). Для дальнейшего удобно сформулировать в виде леммы результат, к которому приводят описанные выше общие- принципы в частном случае.

Лемма. Пусть задано конечное число непрерывных линейных отображений Xk: ^ ^-> Пк, где каждое из rk удовлетворяет условиям 1 <^ rk<oo. Предположим, что Р— линейный дифференциальный оператор в частных производных с постоянными коэффициентами, такой, что для (ре^(й) справедливо неравенство

II ф ||£оо< const S II 11^-

Тогда если А—ограниченная мера Радона на Q, то уравнение РХ = А имеет своим решением распределение X вида

х-^Ч!..

edefk^Ck для каждого к и линейные отображения XV Lk~>®' (Q) определены отношениями

(М, g) = <Ф> ^g)

для ф е % (Q) и ge Гк.

Доказательство. В качестве векторного пространства 8 возьмем S)(Q) и наделим 8 топологией, определяемой одной полунормой

л^(ф) = 2ПМЬ-

Так как А—ограниченная мера, то

| (ф, Д) | < const || ф П^оо ^ const N (Рф).

Таким образом, Рф»~>{ф, Д) —непрерывная линейная форма на векторном подпространстве^ (S)(Q)) в 8. В силу теоремы Хана— Банаха эта линейная форма обладает непрерывным продолжением на 8. Рассматривая линейное отображение Ф1—>(^ф) пространства 8 в произведение Ц Нк и еще раз применяя тео

рему Хана — Банаха, получаем, что каждая непрерывная линейная форма на 8 имеет вид

ф SI ^ ■ ^ ^=2^=(ф* S ^'Д •

кк <к

где fk^Lrk при каждом к. Таким образом, для произвольного ср g^(Q)

(ф, Л) = (Рф, Х) = <ф, РХ),

где Х=^Хк1к. Отсюда получаем, что А=РХ, что и требовалось доказать. |

Из упр. 8.34—8.39 будет видно, что описанные выше методы легко обобщаются.

Формулировки вспомогательных неравенств и теоремы существования. Мы укажем здесь два метода доказательства теоремы, второй из которых является менее общим и эффективно применим только к ограниченным областям Q, но представляет интерес в связи с другими вопросами (п. 5.19.3). Оба метода используют неравенства и приводят к одинаковым общим заключениям, отличающимся лишь в деталях. В обоих случаях исследование завершается доказательством разрешимости уравнения (5.14.2) для случая, когда Л—заданная ограниченная мера Радона на Q, при этом решение X оказывается распределением на Q порядка не более п+1. Дополнительные рассуждения позволяют перейти к случаю, когда А— более общее распределение. Но мы отложим этот вопрос до § 5.17, где он будет подробно рассмотрен.

Первый метод опирается на вспомогательное неравенство, в доказательстве которого к функциям из ^ = ^(Rrt) применяется преобразование Фурье. Вот это неравенство.

Неравенство А. Пусть Q=p0— линейный дифференциальный оператор в частных производных с постоянными коэффициентами. Существуют такие же операторы LXs..., Ln^x порядка не более п+1 и линейная форма X на Rn, обладающие тем свойством, что для любого е>0 найдется такое число c^Q, п, е), что

п + 1

НфПд00 ^c(Q, п, е) • 2 II ^е l^'A^Qv Ц ,

для каждого ф^ЗХ (Все пространства Лебега Lp строятся относительно меры Лебега ц на Rn.)

Это неравенство и его доказательство, которое мы приводим в п. 5.14.3, принадлежат Мальгранжу (см. Л. Шварц [8, сообщение 2]; ср. Мальгранж [1, гл. I, предложение 1]).

Теперь можно воспользоваться леммой п. 5.14.1, положив Q = P, Л^ф = ее| ^ ^ф, ^=1, гк = оо. Заключением будет следующая теорема существования.

Теорема А. Пусть Р+0— линейный дифференциальный оператор в частных производных с постоянными коэффициентами, пусть задано е>0, и пусть L\, .Лп+1 и К связаны с оператором Q = P, как в неравенстве X. Если Q — произвольная область в Rn и А—ограниченная мера на Q, то уравнение (5.14.2) обладает решением X вида

п + 1

Х= ^Ць

к=1

где функции fk (или, лучше сказать, их классы) таковы, что e~MMfk^ L°° (Q). В частности, порядок X на Q не превосходит /г+1 (фактически X явлется сужением на Q некоторого распределения на Rn порядка не выше /г+1).

Замечание. Так как всегда можно продолжить А до огра- ниченной меры Радона на Rn, то, не нарушая общности, можно с самого начала считать, что Q = Rn.

Для второго метода нужны два вспомогательных неравенства. Эти неравенства в совокупности дают результат, по существу эквивалентный неравенству А в случае, когда Q ограничено и cpE®(Q). Первое из этих двух неравенств принадлежит Хёрмандеру [1, теорема 2.1] и заключается в следующем.

Неравенство В. Пусть Q — то же, что и в неравенстве X. Тогда существует такое число c(Q, d), что

ll<plb<c(Q, d)||Q<p||L,

для каждого ф е Ф, диаметр носителя которого не превосходит d.

Доказательство этого неравенства можно провести, не пользуясь преобразованием Фурье (Хёрмандер [1, § 2.6]) или используя его (Хёрмандер [1, теорема 2.1]). Мы приведем первое доказательство.

Преобразование Фурье будет использовано при доказательстве второго неравенства, которое оценивает || ф ||£оо через Ц ф IL2.

Неравенство W. Для каждого натурального числа г>^п существует такое число С(п, г), что

||ф||^<С(л> г) 1(1-^)%^

для всех ф е0,

Если область Q ограничена и имеет диаметр d, то из двух предыдущих неравенств следует, что

||ф||£оо<с(у, п, г, d)-|(l -4^2") Qt(3

для фЕ®. В силу этого из леммы 5.14.1 вытекает

Теорема В. Пусть Q — ограниченная область в R", Р+0 — линейный дифференциальный оператор в частных производных с постоянными коэффициентами и А—ограниченная мера Радона на Q. Тогда уравнение (5.14.2) обладает решением X вида где г — наименьшее натуральное число, большее, чем -^п, a geL2(Q); в частности, порядок X не больше п + 2, если п четно, и не больше п+1, если п’нечетно.

Замечания. Прежде чем доказывать неравенства, из которых вытекают теоремы А и В, следует отметить, что последние можно улучшить. Известно, например, что всегда существует фундаментальное решение X оператора P(D^ являющееся конечной линейной комбинацией производных порядка нс выше [уя]+1 от ФУнкЦий из Lioc (Q) и (что еще важес) такое, что X * g ^ LiOc^ для g ^ L2 с компактным носителем. См. М а л ь- гранж [1, стр. 21, 22], Л. Шварц [8, сообщение 3, теорема 2, и сообщение 3 bis, стр. 3—17], Хёрмандер [5].

Другие свойства фундаментального решения будут рассмотрены в § 5.18.

Доказательство неравенства А. Начнем с перечисления нескольких свойств преобразования Фурье применительно к функциям из Ф. Все факты, которые нам нужны, представляют собой частные случаи результатов § 10.3 и 10.4. Однако в силу специальных свойств функций из Ф возможны более прямые и простые их доказательства.

Пусть функция ср принадлежит Ф\ ее преобразование Фурье Ф представляет собой функцию, определенную первоначально на Rn формулой

Ф®= J ^х^~2яЦ>'хМх\(5.14.7)

где через ц обозначена мера Лебега на Rn и

X = 2 ^k^k*k=\

Иногда бывает удобнее использовать для обозначения преобразования Фурье функции ф символ ф но сейчас в этом нет необходимости,

Так как ф обладает компактным носителем, то интеграл в (5.14.7) сходится абсолютно, даже если заменить точку £ из Rn точкой £ — Ц-П] из О. Отсюда следует, что Ф можно рассматривать как целую аналитическую функцию на О. В качество таковой Ф однозначно определяется своим сужением на Rn. В дальнейшем нам понадобится неравенство

1Ф&, ^..., g«)l< JlTWI^ixH^^), (5.14.8)

справедливое для ^1 = В1 + ^ь где ^ и гр— вещественные числа, причем |r]i|^a.

Интегрируя по частям в (5.14.7), получаем, что функция Ф быстро убывает на Rn в том смысле, что

Ит р(ЮФ(^) = 0

для каждого многочлена р на Rn; в частности, функция Ф интегрируема (относительно ц). Теперь нетрудно доказать формулу обращения

ф(х) = J Ф^)^^^^),(5.14.9)

которая представляет собой частный случай леммы 10.4.5.

Для нас одним из самых важных свойств преобразования Ф является равенство Парсе валя

1Ы1£2 = 1|Ф||£2,(5.14.10)

которое доказано в п. 10.4.4 для достаточно общего случая.

Кроме того, нам понадобится тот факт, что преобразование Фурье для Q^D^ есть Q(g)-®(B). Это можно вывести из (5.14.7) повторным интегрированием по частям.

При доказательстве неравенства А воспользуемся упомянутыми свойствами преобразования Фурье и одной леммой из теории функций одного комплексного переменного, принадлежащей Мальгранжу [1, гл. I, лемма 1] (ср. Хёрмандер [1, лемма 2.1]).

Лемма. Пусть f и g— целые функции комплексного переменного, a q^=zm-Vc\Zm~xA-. *. А-ст — такой многочлен с комплексными коэффициентами и коэффициентом 1 при старшем члене, что f — qg. Тогда для любого заданного г>0 и для всех комплексных чисел zQ выполняется неравенство

lg(zo)Kr-m. sup |f(z)|.(5.14.11)

|Z~Zgl ^Шг

Доказательство. Разлагая q на линейные множители и применяя индукцию по т, получаем, что достаточно рассмотреть случай q(z")=z-—a (случай m = 0, q=\ тривиален).

Пусть |20 — а\> г; тогда

и неравенство (5.14.11), очевидно, выполняется. Если [2 — а\=г, то

Ig^l^-^y^-Cr-1. sup |f(z)|.r|2~a|<r

В силу принципа максимума модуля это неравенство выполняется для всех 20, удовлетворяющих условию |20 — а\<г. Для любого такого 20 имеем |2— 20|^2г при \z— а\^г. Таким образом, наше неравенство выполняется и в этом случае. Поэтому оно справедливо для всех 20, что и требовалось доказать. ■

Теперь можно приступить к доказательству неравенства А.

Если cpeS, то из (5.14.9) следует, что

11фПд~</|Ф(|)1^(|), и поэтому

НфН^С^’ supJO+II,Г+1+ ... +К„Г,)Ф^1> (5Л4.12) где

с„= /О+П.Г'ч- ... +|^|n+,)"'^a)<+оо.

Так как Q¥=0, то линейным преобразованием координат можно побиться, чтобы

QdHC + Qo^).

где Qo(|)—многочлен по gi степени не более m— 1, коэффициентами которого служат функции от |2, • • •, In, и 6 = 6(Q)—' число, отличное от нуля. В силу леммы имеем

|Ф(1)1^/-т|6Г‘ sup |Q(U ПФ^, HI,

ICi-6il<2mr

где в правой части неравенства |i— комплексное число и £' = = (I2,..., In). Аналогичным образом получаем

||;+'ф(у|<г-'п1&г1 sup |^+,q(h iWi„ i')|ICi-Stl<2mr

И

|S+W)|«"i4r' sup urW,.СФМ')1

для k — 2, ..., п.

Функции Q(5)O(C) И ^+^(С)Ф(£) служат преобразованиями Фурье соответственно для 9ф и DVXQ<v. Беря в (5.14.8) в качестве ф поочередно ф, Оф и D^kQ^i получаем из (5.14.12) неравенство

И ф lk~ < I 6 Г* {II е61 '9ф||t, + 1IIее 1 '^+1QV|Ц,

где е = 4лтг сколь угодно мало вместе с г. Это и есть неравенство А, где Х(х) = xb Lk = DVX (6=1, ..., л) и Ln+\ = 1 (тождественный оператор). С учетом выполненного нами линейного преобразования координат неравенство А тем самым установлено и в общем случае. ■

Доказательство неравенства В. Приводимые здесь рассуждения основаны на одной лемме (Хёрмандер [1, § 2.6]), из которой неравенство В выводится с помощью индукции по порядку т оператора Q.

Отправляясь от многочлена Q(£) = X bp^» введем много- |р|<т

член

и запишем тождество

Q (D)(х1Ф) = xxQ (О)ф + Qx^ф, (5.14.13)

которое следует из формулы Лейбница.

Далее будем писать Q и Qi вместо Q (D) и Q\(D^ соответственно.

Лемма. Пусть

dx = sup {I хх |: х = (хх, ..., хп) е supp Qф}.

Тогда-

II QiTlk^пгсЦ|| QtHl„(5.14.14)

где ф е Ф и m — степень многочлена Q.

Доказательство. Обозначим через Q оператор, L2-coj пряженный к Q. Наш оператор Q (совпадающий с оператором Q из статьи Хёрмандера) есть такой линейный дифференциальный оператор в частных производных с постоянными коэффициентами, что

(Qф ^ = (ф IQif)^,(5.14.15)

где ф, ф е 3). В частности,

Qt= S (-1)I₽V4-ipl <m

Читатель, вероятно, заметил, что Q, Qi, Q и Qx перестановочны, так как их коэффициенты постоянны, и что, кроме того, II 9Ф 11д2 = II Qqp llL2.

С помощью (5.14.13) получаем

С^Ф I QiT) = (Q (xi<p) — Q1ФIQ1Ф) = (Q (w) IQ1Ф) — II Q1ФII2,

где временно опущен индекс L2. Таким образом,

II QiT IP = (Q (^1Ф) IQ 1ф)- (^2ф IQ^) = Qi(w)I Фф) - и^ф 191ф).

Заменяя в (5.14.13) Q на Qb находим, что

IIQ1Ф IP = UiQ^ + QнФ I ^ф)-(х^ф IQ^) =

=UiQ^ I Фф) + (Qut I 5ф) - (^ф 191Ф).

Отсюда с помощью несложных оценок и неравенства Коши — Шварца получаем

II Q1Ф II2 < dx II Q1Ф II • II QT II + II Q11Ф II • II 5ф II + dx • || Qq) || • || Q1ФII =

= И || Q1Ф || -1| Qq) || +1| QHq) || • || Qq) ||.(5.14.16)

Утверждение леммы очевидно при т = 0, ибо тогда Qi = 0. Допустим, что лемма справедлива для многочленов Q степени, не превосходящей m—1, где m^ 1. Тогда если степень Q не превосходит т, то степень Qi не превосходит т— 1 и в силу индуктивного предположения

||Q11VIK2d!(m-lMQ!q)||.

Подстановка этой оценки в (5.14.16) дает

|| Q^ ||<2d!|| Qq) || + 2d!(m ~ 1)|| Qq) |] = 2dxm || Qq) ||.

Другими словами, неравенство установлено для многочленов Q степени, не превосходящей т, что и требовалось доказать. |

Для вывода неравенства В сначала с помощью линейного преобразования координат добьемся того, чтобы

д(^)=^Г+2 bPv с ь^о.

1 р | < т, р ^ кт, 0, ..., 0)

Повторным применением леммы с поочередной подстановкой вместо Q операторов Qi, Qu,... (заканчивая, таким образом, скалярным оператором Ь-т\^ приходим к неравенству В. |

Доказательство неравенства В'. В силу (5.14.9) для (peS) имеем неравенство

ПфП^оо^НФПдЬ

из которого в свою очередь с помощью неравенства Коши — Шварца вытекает, что

||ф||£«<С(П, г)||(1 +1 |2)Г ФЦ..2, где

сЫ, r) = {J (l+l^r^^p.

Величина Цп, г) конечна при г>~п. Функция (1 + |g|2)rO(g) является (г—натуральное число) преобразованием Фурье от (1—"^j Ф, гДе через Д, как обычно, обозначен оператор Лапласа—4л2Со?+ ... + Z)2). Таким образом, пользуясь равенством Парсеваля (5.14.10); приходим к неравенству llq^oo^/,, г)[(1_-^уф|^. |

Преобразвание Фурье распределений

Теперь мы хотим перейти к изучению линейных дифференциальных операторов в частных производных с постоянными коэффициентами с помощью методов, опирающихся на преобразование Фурье. Классическое преобразование Фурье определено для функций, на скорость роста которых на бесконечности накладываются жесткие ограничения. Эти ограничения очень затрудняют, если не делают невозможным, удовлетворительное использование преобразования Фурье. Выход — в определении преобразования Фурье по крайней мере для некоторых распределений. Одно из таких обобщений принадлежит Л. Шварцу. Оно применимо к функциям, которые, грубо говоря, имеют степенной порядок роста на бесконечности. Это преобразование обладает большой гибкостью и удобно в обращении. Другое определение преобразования Фурье, принадлежащее Эренпрейсу и применимое ко всем обобщенным функциям, правда за счет некоторой потери гибкости, будет кратко описано в конце параграфа.

Пространство ^ = ^(Rrt) и его фурье-образ. Определим ^=^(Rn) как векторное подпространство в Coo=Coo(Rn), образованное теми функциями меС°°, для которых числа

Sm (и) = sup {(1 +1 х | )m | Dpu (x) |: | p К m, x e R"} конечны при всех m=\,2,... *(или, что то же, для произвольно большого т); ср. с примерами в § 6.1. Нормы Sm на пространстве ^ определяют в нем линейную топологию, относительно которой, как легко проверить, У есть пространство Фреше. Более

того, ^ —монтелево пространство (§ 8.4), г. е. каждое ограниченное замкнутое подмножество в ^ компактно. Эго — прямое следствие теоремы Асколи.

Очевидно, что <^ = ^(Rn) есть векторное подпространство в ^ и что топология пространства ^ индуцирует в Ф топологию, которая строго слабее топологии индуктивного предела в пространстве Ф. Легко видеть, что в Ф можно выбрать такие последовательности (рп), что limpnw = u в ^ для каждого .и е Ф. Та-

М->оо

ким образом, Ф плотно в ^.

Основным моментом в теории Шварца обобщенного преобразования Фурье является то, что это преобразование переводит пространство ^ в себя. Сейчас мы в этом убедимся.

Так как каждая функция и из ^ интегрируема, то ее преобразование Фурье

й^ = ^и^= ^ e-^-*u(x)dp.(x)(5.15.1)

есть непрерывная функция от ge Rn. (Как обычно, ц— мера Лебега на Rn.) Справедливо более сильное утверждение. Так как функция и убывает быстрее любой отрицательной степени функции |х| при |х|->оо, то функция й принадлежит С°° и ее частные производные можно подсчитать, производя дифференцирование под знаком интеграла.

С другой стороны, так как каждая частная поризводная от и интегрируема, то с помощью повторного интегрирования по частям получаем, что функция й^ убывает быстрее, чем любая отрицательная степень функции |£| при |g|->oo.

Из этих двух замечаний следует, что Ф отображает ^ в себя. Несложные оценки, проводимые после интегрирования по частям и дифференцирования под знаком интеграла, показывают, что ф— непрерывный эндоморфизм пространств Ф

Нам сейчас важно удостовериться в том, что Ф в действительности является (алгебраическим и топологическим) автоморфизмом пространства Ф

Для этого введем на Ф преобразование Ф~х с помощью следующего равенства:

^"'у (х) = J е+2"^у (g) ^ (g).(5.15.2)

Согласно формуле обращения,

и = <9 1 (oFи)и v — ^VS 1у

для о, не У.

В § 10.4 аналогичный формуле обращения результат установлен при гораздо более слабых ограничениях на и и и для

случая, когда Rn заменяется более общей группой. В том частном случае, который рассматривается здесь, эта формула следует из стандартных свойств несобственных интегралов.

Таким образом, 3—алгебраический автоморфизм пространства 9% обратным к которому служит ^*~1 (отсюда и обозначение). Отображения ^ и 3-х отличаются только знаком в экспоненциальном множителе. Поэтому непрерывность ^*! устанавливается так же, как непрерывность Таким образом, ^ обладает непрерывным обратным отображением ^F”1, и, значит, 3 — автоморфизм, что и требовалось доказать.

Заметим еще, что, поскольку уже установлено, что 3— непрерывное взаимно однозначное отображение пространства Фреше 3 на себя, то ничего не стоит установить непрерывность обратного отображения 3~\ ссылаясь на теорему об открытом отображении (п. 6.4.4).

Нам понадобятся еще две формулы. Если и е 3 и Р — многочлен на Rn, то Ри е 3 и имеет место соотношение

ЗЧР^-РЦУ^и.(5.15.3)

Более того, Рф^игЗ, и имеет место соотношение

^Р^и = Р-^и,(5.15.4)

В силу линейности достаточно доказать эти формулы для случая, когда Р— одночлен, Рф=х^.

При этом условии наши соотношения получаются соответственно с помощью дифференцирования под знаком интеграла и интегрирования по частям.

Последнее свойство преобразования 3, которое нам понадобится, выражается равенством Парсеваля

J и • v d\i = J (^и) • ^<3v) б?ц,(5.15.5)

справедливым для и, иеЗ Так же как и формула обращения, это равенство в § 10.4 доказано при значительно более слабых ограничениях (см., в частности, равенство (10.4.7)). Для рассматриваемых здесь функций это соотношение может быть установлено классическими методами.

Пространство 3 ~ &r (R") медленно растущих распределений. Мы определили ЗУ как топологическое сопряженное к Ф. Таким же образом определим пространство 3—3 фф как топологическое сопряженное к ^(Rn). Так как топология пространства 3 индуцирует в ^ топологию, более слабую, чем топологи индуктивного предела в 2), то сужение каждого элемента Х^З на 2) определяет распределение на Rn. Так как 2) плот-

но в 3, то X вполне определяется своим сужением на Ф. Поэтому можно рассматривать 9^ как векторное подпространство в Фг. Элементы пространств 9^' называются медленно растущими распределениями на Rn. С топологическим векторным пространством 3 проще обращаться, чем с Фъ так как оно является пространством Фреше, а нс индуктивным пределом таких пространств. Как легко следует из теоремы Асколи, ^— монтелев- ское пространство (каждое ограниченное замкнутое подмножество в 3 компактно). Поэтому все результаты (1) — (5), установленные в § 5.3 для Ф и Ф', справедливы и для 3 и 3'. При этом, конечно, подразумевается, что Зг наделено слабой или сильной топологией, определяемой двойственностью между 3 и 3’. Поэтому, в частности, каждое из пространств 3 и 3' (последнее рассматривается в сильной топологии) полное, бочечное и борнологическое. Кроме того, пространство 3 рефлексивно, т. е. каждая сильно непрерывная форма на 3’ может быть единственным образом записана в виде Хн>(щ X), где и — соответствующим образом подобранный элемент из 3, и сходимость сети {иа} в ^ равносильна равномерной сходимости на сильно ограниченных подмножествах в 3' соответствующей сети {Аа} линейных форм L^X^^^a^X^. Очевидно, что 3' как подпространство в Фг инвариантно относительно частных дифференцирований и умножения на функции f класса С°° степенного роста на бесконечности.

Преобразование Фурье медленно растущих распределений. Мы намереваемся использовать равенство Парсеваля (5.15.5) для распространения преобразования Фурье Ф с пространства др на 3'. Общим принципом, лежащим в основе такого распространения, является переход к отображению, сопряженному к данному линейному отображению одного локально выпуклого пространства в другое, — процесс, в общем случае рассматриваемый в § 8.6.

Так как 3*—непрерывный эндоморфизм пространства 3, то для фиксированного XeZ отображение А) есть непрерывная линейная форма на 3'. Поэтому по определению ^ существует такой однозначно определенный элемент З^Х, что

для всех а из 3. Мы получаем, таким образом, алгебраический эндоморфизм ^' пространства 3', называемый сопряженным к 3. В силу следствия 8.6.6 отображение 3”' непрерывно в сильной и слабой топологиях в 3'. Из утверждения (d) § 8.6 и из того факта, что 3(3^3, вытекает, что З7'— взаимно однозначное отображение. В то же время поскольку 3— рефлексивное

пространство и 3— взаимно однозначное отображение, го из теоремы 8.6.13 следует, что ^Г7^7)—5^'. Таким образом, Зг— взаимно однозначное линейное непрерывное (сильно и слабо) отображение пространства ^' на себя. Так как отображеие 3-х обладает теми же свойствами, что и 3, то сопряженным к нему служит (^'/)"1. Отсюда следует, что отображение (^Э-1 также (сильно и слабо) непрерывно. Итак, ^'— (алгебраический и топологический) автоморфизм пространства 3' (которое рассматривается либо в слабой, либо в сильной топологии).

Для отображения 3~х и его сопряженного УГ-ХУ—3'-х имеем следующее определяющее соотношение:

<^"'0, ^> = <0, еГ'-1Х>.

Если в этой формуле заменить и на 3d и затем и на у и, значит, 3d на V3dV то в результате получим равенство

(у, x) = (3d, 3VX),(5.15.6)

где временно положено

S\X =

Каждый элемент и^З порождает медленно растущее распределение и может быть с ним отождествлен (аналогичная ситуация возникает, когда произвольная локально интегрируемая функция порождает распределение). Если теперь заменить X на и в (5.15.6) и сравнить получающееся соотношение с равенством Парсеваля (5.15.5), то мы увидим, что 3\и=3и для и^З. Поэтому, начиная с этого момента, будем писать ЗХ вместо 3\Х и в случае медленно растущих распределений. Мы будем называть ЗХ преобразованием Фурье распределения X. (Возможно, лучше было бы назвать ЗХ преобразованием Фурье — Шварца.) Как и раньше, вместо ЗХ иногда будем употреблять символ X.

Таким образом, ЗХ определено для каждого Х^З* как единственное медленно растущее распределение, для которого равенство Парсеваля

(у, X) = (3d. <ЗХ)(5.15.7)

выполняется при всех у е 3. В действительности ЗХ — единственное распределение (даже если не накладывать ограничений на его рост), для которого соотношение

^"ф, Х> = <ф, S'Xх)(5.15.8)

имеет место при всех фЕ®. [В самом деле, если равенство (5.15.8) выполняется для фЕ^.тов силу того факта, что 3— автоморфизм пространства 3^ распределение X непрерывно в

топологии, индуцированной в Ф топологией пространства ^, и поэтому X обладает единственным непрерывным продолжением с 2) на ^, т. е. является медленно растущим распределением. Равенство (5.15.8) по непрерывности продолжает оставаться верным, если заменить в нем ф любым элементом и (= ^. Получающаяся при этом формула эквивалентна равенству (5.15.7), если положить t^^y.]

Из наших построений следует, что ^—автоморфизм пространства ^ (в слабой или сильной топологии).

Мы уже отмечали, что ^ можно рассматривать как векторное подпространство в ^'. Из рефлексивности и из теоремы Хана — Банаха вытекает, что ^ плотно в ^. Из того обстоятельства, что равенство Парсеваля послужило нам в качестве определяющего соотношения для отображения ^ применительно к .Т", следует, что это отображение получено продолжением ST по непрерывности с ^ на 9Р’.

В силу этого замечания формулы (5.15.3) и (5.15.4) продолжают оставаться справедливыми, если заменить в них и на произвольный элемент X е £< (При этом нужно лишь заметить, что операции частного дифференцирования и умножения на многочлен непрерывны на 3.)

Ниже мы укажем способ дальнейшего распространения этих равенств на случай, когда свертка P(JD)X = P(JD^e,*X заменяется более общей сверткой S^X.

Связь между отображениями пространства Rn и преобразованием Фурье. Пусть Н— взаимно однозначное отображение пространства Rn на себя, которое вместе с обратным отображением НН принадлежит классу С°°. Тогда Н порождает преобразования Н.7; и Н* соответственно функций и распределений, определяемые равенствами и

(и, Н*Х) = (Н.и, X),

где и пробегает множество 3) (или при желании 3, если X — медленно растущее распределение). Если функция f локально интегрируема на Rn, то ее можно считать обобщенной функцией. При этом обощенная функция Н*^ вообще говоря, порождается функцией и может быть с нею отождествлена. Однако эта функция в большинстве случаев отлична от Н^, чем и объясняется различие в положении звездочки и обозначениях.

Простыми, но важными примерами отображений Н являются сдвиги Та, где а — точка из Rn и Тах = х— а, и гомотетии Н^ где 2i^0 — вещественное число и Н^х = ^х. Эти отображения вместе с

вращениями исчерпывают все примеры отображений, которые нам понадобятся в дальнейшем.

В частности, H_^f=f (ср. с п. 4.18.1); поэтому положим X=H-iX для любого распределения /gSz. Наша задача — найти зависимость преобразования Фурье распределения Н*Х от преобразования Фурье распределения X. Сначала мы сделаем это для сдвигов, а затем — для случая, когда Н — линейный автоморфизм пространства Rn (например, гомотетия Нху

Если f— локально интегрируемая функция и и е Ф, то с учетом инвариантности меры ц относительно сдвигов имеем

(u, 7’af) = <Ta*M, f>= J ы(х-a)f(x)d|i(x) =

= J и (х) f (х + а) с/ц (х), причем последний член есть не что иное, как (и, T_o*f). Таким образом,

faf=T-a*f.(5.15.9)

Аналогичные рассуждения показывают, что

^Таш = e-^ia^u(5.15.10)

для uee^. Чтобы подсчитать S'Т*аХ для X ^ S', применим дважды формулу Парсеваля и соотношение (5.15.10):

СГи, ^"ГаХ) = (й, ГоХ> = (Та*й, X) =

= {^~Ta*U,X?) =

= (^Пц е^^Х}, т. е.

<^ТаХ = е2я‘а1<^Х.(5.15.11)

Формулы (5.15.9) —(5.15.11) в совокупности полностью охватывают случай сдвигов.

Пусть теперь Н— линейный автоморфизм пространства Rn. Вывод формулы, аналогичной (5.15.9), опирается в этом случае на формулу замены переменных в кратном интеграле. Для автоморфизма Н эта формула принимает следующий простой вид:

J (fo HW = \ det^r1 J td^,

где через det// обозначен определитель матрицы преобразования //, записанного в каноническом базисе пространства Rn. Доказательство этого результата можно найти в любом из много-

численных учебников по анализу. Если ограничиться лишь преобразованиями Н = Н^ так что |det Н\ = |^п, то этот результат легко получается повторным использованием формулы для одномерного случая, или же использованием характерной для р инвариантности относительно сдвигов. Действительно, из формулы•

f ° Та* ° Н = f ° Н ° Ть*» где Ь = Н"Ча),

и инвариантности р относительно сдвигов следует, что равенство р/^) =p(f ° Н) определяет р' как меру Радона на Rn, инвариантную относительно сдвигов. Следовательно, рЛ=О(//)р, где D (Н) — строго положительная функция от Н. Ясно, что D (НН') = = ЩН) • D(H') для любых двух автоморфизмов Н и Н' и что £)(/) = 1, где I — тождественный автоморфизм пространства Rn; таким образом, функция d(^ =D(HK) удовлетворяет условиям d(l) = l и d(XX') = d(X)d(X') для любых двух ненулевых вещественных чисел X и V. Теперь легко показать, что d(X") = |Х|\ где к— некоторое вещественное число. Таким образом, равенство

J / (Лх) я?р (х) = | X Р J f (х) dpi (х)

выполняется для всех интегрируемых функций f и всех вещественных чисел 2i=£0. Теперь уже нетрудно подобрать так функцию f, чтобы получить равенство к =—п.

Из общей формулы замены переменных под знаком интеграла следует, что

H*f = \det Н f1 H;xf(5.15.12)

(ср. Л. Шварц [2, формула (VII, 6; 14)]).

Аналог формулы (5.15.10) основан на том же правиле преобразования интегралов и на введении сопряженного к Н отображения Н', являющегося автоморфизмом пространства Rn (отождествленного с сопряженным к Rn посредством билинейной п \

формы х • £ = 2 х*^ ) и определяемого тождеством Нх-^=х-Н'^.

Заметим кстати, что (Я-1/= (^Э-** Таким образом, получаем

^"Htu = \ det Я Г* • Н^'^и(5.15.13)

для и е 9.

Наконец, из (5.15.13) следует формула

5"H*X-WHVx Н^'^Х(5.15.14)

для X е У”. Доказательство такое же, как и при выводе (5.15.11) из (5.15.10).

Читатель может заметить, что если Хе У у ^Х— функция, то из (5.15.14) и (5.15.12) вытекает равенство

<^Н*Х=Н'^Х. (5.15.14')

Если далее X — функция, то аналогичным образом получаем ^Н.Х = | det Н Г1 НС^Х. (5.15.14")

Эта формула служит обобщением формулы (5.15.13). Ср. Л. Шварц [2, формулы (VII, 6; 15) и (VII, 6; 16)] для случая, Н~Н^ когда Н'—Н.

Однородные функции и распределения. Обычно говорят, что функция / на Rn однородна степени р, если Нк4 = I X ff для любого вещественного отличного от нуля числа к Для распределения X, порожденного функцией f (которая предполагается локально интегрируемой), это условие в силу (5.15.12) и того факта, что det Н^к1, эквивалентно требованию

Я1Х = |АГП-₽Х

Условимся называть распределение X однородным степени р, если последнее соотношение выполняется для всех отличных от нуля вещественных к Если X— однородное распределение степени р, то из (5.15.14) следует, что 2ГХ— однородное распределение степени —п—р.

Функции и распределения, инвариантные относительно вращений. Выделим из всех автоморфизмов пространства Rn вращения R требованием, чтобы равенство Rx * R^=x - ^ выполнялось тождественно по х и £. Это эквивалентно условию R'~ = R~\ из которого следует, что det/?=±l. Иногда подразделяют вращения на так называемые собственные и несобственные. Первые— это те, детерминант которых равен +1. Нам такое различие не понадобится.

Говорят, что функция f инвариантна относительно вращений, если R^=f для всех вращений R. Ясно, что инвариантными относительно вращений являются те и только те функции, которые представимы как функции лишь от |х|. Распределение X инвариантно относительно вращений (в том смысле, что

(R^ Х)«(щ X)

для всех вращений R и всех и^®) тогда и только тогда, когда R*X = X для всех вращений R. Так как R' = R~X и |det^| = l, то из (5.15.14) следует, что медленно растущее распределение X инвариантно относительно вращений в том и юлько в том случае, когда его преобразование Фурье 2FX обладает тем же свойством.

В п. 5.15.8 мы увидим, что предыдущие простые замечания, касающиеся однородности и инвариантности относительно вращений, полезны при подсчете преобразований Фурье некоторых функций и распределений.

Вопросы согласованности. В теории, которую условно можно назвать «классической», имеется несколько определений преобразования Фурье функции или меры. Эти определения зависят от ограничений, которые накладываются на рассматриваемую функцию или меру. Два наиболее старых определения применимы одно к интегрируемым функциям и ограниченным мерам, другое к функциям, интегрируемым в квадрате. Рассмотрим первое из них.

Пусть f — интегрируемая на Rn функция; ее преобразование Фурье ^f принято определять как непрерывную функцию на Rn, определенную с помощью абсолютно сходящегося интеграла

Наше определение ^ на пространстве 93 является, очевидно, сужением этого определения. Мы уже отмечали, что определение преобразования Фурье — Шварца согласуется с данным элементарным определением, когда это преобразование применяется к функциям из 9. Совершенно аналогичные рассуждения показывают, что эта согласованность имеет место и для интегрируемых функций вообще. Действительно, каждая интегрируемая функция f является в «S^1 = о?1 (Rn, р) пределом последовательности (ип^ элементов из 9. Тем более, limurt = f в 9'. Из сходимости в 271 следует, что \im9'ua=9~f равномерно на Rn. Из сходимости в У' вытекает, что \im9'un=9'\f в ^', где мы временно восстановили индекс «1» у ^ь чтобы выделить преобразование Фурье — Шварца. Из этих двух соотношений получаем, что 9"\f является (распределением, порожденным) функцией 9"^ что и доказывает наличие согласованности, о которой мы говорили.

Рассуждения совершенно аналогичны и в том случае, когда вместо интегрируемой функции f рассматривается ограниченная мера Радона X. При этом преобразование Фурье определяется как абсолютно сходящийся интеграл

^® = XU)= j e-№dX(x).

Пусть теперь f— функция из ^(R71). Тогда интеграл Фурье в обычном смысле не существует. Выход из затруднения в этом случае дает теория Планшереля, которая будет подробно рассмотрена в § 10.4.

Если в пересечении З^ГХЗ?2 взять некоторую последовательность У nV сходящуюся в ^2 к Д то функции 91 п будут сходиться в S72. Класс (элемент из L2), определяемый предельной функцией, зависит только от класса функции f (и не зависит от выбранной последовательности); он и принимается в качестве 31. Уже сам этот предельный переход убеждает нас в наличии согласованности с 9"\L К этому заключению можно прийти, пользуясь равенством Парсеваля, которое справедливо при любом определении.

В классической теории имеется еще ряд определений, а именно относящихся к функциям, принадлежащим 2?^ для 1<р<2. Эти определения получаются интерполяцией (с помощью теоремы выпуклости Рисса или другим методом) между предыдущими определениями для р=\ и р = 2. Это также согласуется с определением Шварца; доказательство такое же, как и выше. Преобразованием Фурье функции из S7^ (1 < р < 2) в этом случае служит класс функций, принадлежащий L^, гдеу + -^г = 1. См., например, для одномерного случая Титчмарш [1, гл. IV].

Самая неудобная черта любой из этих теорий — жесткие ограничения, которые накладываются на скорость роста на бесконечности рассматриваемой функции /, и никакие изменения допустимых значений показателя р в $^ не приносят значительного улучшения. Бохнер [1] был, по-видимому, первым, кто нарушил традицию и показал, как можно определить преобразование Фурье для функций f, имеющих степенной рост на бесконечности. Как мы сейчас увидим, идея Бохнера неявно использует некоторое обобщенное дифференцирование, поэтому практическая ценность его схемы была ограничена отсутствием в то время необходимой техники. Сравнительно недавно были введены определения преобразования Фурье для функций f, имеющих экспоненциальный рост на бесконечности (см., например, Кар- леман [1], Титчмарш [1]). Эти определения основаны на использовании методов комплексного переменного и, вообще говоря, обладают рядом недостатков, так как определенное таким образом преобразование теряет некоторые из основных свойств преобразования Фурье. Мы оставляем в стороне определения, основанные на теории комплексного переменного, и остановимся немного на методе Бохнера.

Идея Бохнера относилась к случаю и=1, рассмотрением которого мы и ограничимся. Для начала предположим, что f — интегрируемая функция. Ее преобразованием Фурье можно считать непрерывную функцию

Положим Fo(^ =F ^ и определим Fk индуктивно с помощью формулы

Fk®=S Fk_x^d^^'\

О

Легко проверяется, что

Fk^= ^ Нх^Ек^, х)^(х),Fk^= ^ Нх^Ек^, х)^(х),гдеЕк^, х) = (-2шх)-6гдеЕк^, х) = (-2шх)-6-2nZ£x _\1,(- 2ш£х)гег!О О < &-2nZ£x _\1,(- 2ш£х)гег!О О < &(5.15.15)(5.15.16)(5.15.15)(5.15.16)

Fk^= ^ Нх^Ек^, х)^(х),

Fk^= ^ Нх^Ек^, х)^(х),

где

Ек^, х) = (-2шх)-6

где

Ек^, х) = (-2шх)-6

-2nZ£x _\1,(- 2ш£х)г

ег!

О О < &

-2nZ£x _\1,(- 2ш£х)г

ег!

О О < &

(5.15.15)

(5.15.16)

(5.15.15)

(5.15.16)

Выражение (5.15.15) можно переписать в виде

+1

Fk® = / МЕ6& х)ф(х) +

+ //(x)(-2nzx)^e-2”^^(x) + P6_ia), (5.15.17)

где под Рт понимается многочлен степени не выше г.

Теперь не представляет труда восстановить F=F0 по Fk. Действительно, так как функция F непрерывна (в силу интегрируемости f), то Fk принадлежит классу С^ и

F = ^b(5.15.18)

Наблюдение Бохнера заключалось в следующем: во-первых, сумма первых двух членов в правой части равенства (5.15.17) определена как непрерывная функция от £, если функция (1 +| х \)"kf интегрируема; во-вторых, если обозначить эту сумму через Fk (g), то, поскольку Рк_\ — многочлен степени не выше к—1, равенство (5.15.18) можно заменить равенством

F = —r.(5.15.19)

когда f интегрируема.

Бохнер обратил внимание на то, что равенство (5.15.19) может быть использовано для определения F, когда функция f сама не является интегрируемой, но (1 +1 х | )~k f обладает этим свойством. Тем самым мы сталкиваемся по сути дела с задачей обобщенного дифференцирования, так как функция F^, вообще говоря, не будет обладать к производными (ни даже одной) в классическом смысле. С другой стороны, становится понятным,

каким образом удовлетворительная техника обобщенного дифференцирования способствует обобщению понятия преобразования Фурье.

Здесь следует также отметить, что предложенное Бохнером определение имеет такие же недостатки, как ^ некоторые более ранние определения. Эти недостатки сказываются при переходе от Fix к Fk. Например, связь между ^и сдвигами функции f или с операцией взятия свертки f с другими функциями или мерами не столь очевидна, не столь проста, как этого хотелось бы (см. п. 5.15.4).

Если сравнить определение, предложенное Бохнером, с определением Шварца, то, считая производные, фигурирующие в (5.15.19), производными в смысле обобщенных функций, легко установить, что F, определенное равенством (5.15.19), действительно является преобразованием Фурье — Шварца ^f = f для функции f. Таким образом, трудности, возникающие при использовании определения Бохнера, лишь кажущиеся. Но нужно помнить, что к этому выводу можно прийти, только используя преобразование Фурье — Шварца.

Вопрос согласованности заслуживает того, чтобы рассмотреть его более подробно. Предположим, что функция (I -Ь |х |) ~Л/ интегрируема, Fk — функция, представляющая собой сумму первых двух интегралов в правой части (5.15.17), и F — обобщенная функция, определенная равенством (5.15.19). Так как функция Fk ограничена и непрерывна, то очевидно, чтб F — медленно растущая обобщенная функция. По условию f — тоже медленно растущая обобщенная функция. Таким образом, преобразование Фурье — Шварца f = о/f определено и также является медленно растущей обобщенной функцией. Наша задача — показать, что F и f совпадают. Для этого достаточно доказать, что

dkF-

для любого и из плотного в 9^ подмножества. Применяя к левой части этого равенства определение дифференцирования в смысле теории обобщенных функций, а к правой части — равенство Пар- севаля, видим, что задача сводится к доказательству тождества

для и, пробегающих плотное в Ф множество. Это множество состоит из обратных преобразований Фурье функций и из Ф. Та-

ним образом, нам нужно показать, что для любого de® справедливо равенство

(- I)6 J ^ • Fk ® dp ^ - / f (х) ^ (х) J о ® e-W dp (g).

(5.15.20)

Для этого рассмотрим соотношения

J ^.^,.</ц(^) = 0 для 0^г<к,(5.15.21)

где г и к — целые числа. Формула (5.15.21) получается при повторном интегрировании по частям с учетом финитности функции *0.

Приступая к доказательству соотношения (5.15.20), напоминаем, что

е-2л^ = (^^ Ек (^ х) = (^Й [(_ Ыхук ^UX + р^ (^ х)1>

где Рк-х^х)—многочлен от £ степени не выше к—1, коэффициенты которого суть непрерывные функции от х¥=0.

Пользуясь соотношениями (5.15.21), получаем, что внутренний интеграл в правой части (5.15.20) повторным интегрированием по частям может быть преобразован в интеграл

(~1)й/x)dp($

или при х+Ч в интеграл

(-1 )* J ^ (- 2шх)~*dp ^.

Теперь разобьем область интегрирования во внешнем интеграле на интервал |х|<1 и его дополнение и подставим первое из приведенных выше двух выражений во. внутренний интеграл, где |х|<1, а второе в интеграл на дополнительном множестве |х|^ 1. К каждому из повторных интегралов, полученных таким образом, можно применить теорему Фубини — Тонелли, чтобы оправдать изменение порядка интегрирования. В результате в правой части (5.15.20) получаем выражение

" 1

j f (х) Ек (g, х) dp (х) +

1

+ / f(x)(— 2шх)~к e~2nlxl dp (х)|Х|>1

Очевидно, что член в квадратных скобках есть не что иное, как Fk(^. Таким образом, (5.15.20) доказано.

Некоторые примеры. Читатель, по-видимому, заметил, что теория Шварца не дает способов быстрого подсчета преобразований Фурье конкретных функций или распределений. Положение здесь не лучше и не хуже, чем при классической интерпретации. Ниже мы перечислим несколько простых примеров, вычисления преобразований Фурье функций или распределений, для которых не существует преобразования Фурье в классическом смысле. Некоторые из этих примеров нам понадобятся в дальнейшем.

В число полезных результатов, конечно, следует включить формулы (5.15.3) и (5.15.4), обобщенные таким образом, чтобы и можно было заменить любой медленно растущей обобщенной функцией (см. конец п. 5.15.3).

Из очевидного равенства

<^8=1(5.15.22)

и из (5.15.4) непосредственно вытекают следующие частные результаты:

^(0^)==^,(5.15.23)

^(Д8)= -4л2|£|2,(5.15.24)

где А — оператор Лапласа в Rn.

Одномерный случай. Следующие ниже примеры, возможно, в слегка измененном виде содержатся в гл. 3 книги Лайтхил- л а [1]; см. также Л. Шварц [2, стр. 113—114], Гельфанд и Шилов [2, гл. II, в частности стр. 189—219].

Обозначим через Н функцию Хевисайда, т. е. характеристическую функцию интервала (0, оо). Первая из формул, которая будет установлена, даст нам преобразование Фурье функции хаН, где —1 < а < 0. Вот она:

(хаЯ) = е~ 2 (°+1) sgn "а! (2л | £ | Г""1.(5.15.25)

Здесь и далее а! = Г(а+1) — гамма-функция, определяемая, как обычно, интегралом

J уае-»4уЛу)

о

при Rea>—1 и его аналитическим продолжением при всех остальных значениях а.

Пользуясь (5.15.25) и тождеством

\х^ = иаН) + ^ханУ,

легко получить, что

^(1x0= -2a!sin^-(2n|g|)”a“1(5.15.26)

для — 1 <а< 0.

В качестве третьего примера докажем равенство

^T(log|x|) = -|F. Р.ЦГ1 — (v + 1о§2л)е, (5.15.27)

где у — постоянная Эйлера.

Прежде чем перейти к доказательству формул (5.15.25) — (5.15.27), скажем несколько слов об условиях применимости формул (5.15.25) и (5.15.26). Первая из них будет доказана в предположении, что a — вещественное число, —1<а<0. В противном случае по крайней мере одно из выражений хаЯ|^| ~а~1 нельзя определить как распределение. Однако обычно эту трудность обходят, заменяя указанные выражения соответственно псевдофункциями F. Р. (хан) и F. Р. | £ Га”\ после чего формулу (5.15.25) можно распространить на комплексные значения а с помощью аналитического продолжения.

Аналогичные замечания можно сделать и по поводу (5.15.26).

Доказательство формулы (5.15.25). Так как в

хаН = \imxae-txH,

то

^ (хаЯ) = lim оГ Uae-txH\

С другой стороны, при />0 функция xae~txH интегрируема, и потому в силу согласованности ее преобразованием Фурье является функция

J xae~txe~^x d\x\x\ о

которая, как показывает подсчет, равна

а!(/ + 2ш^Га~1;

при этом для дробных степеней комплексных чисел взято их главное значение. Полагая /->0 (<>0)< получаем в пределе правую часть формулы (5.15.25). |

Доказательство формулы (5.15.26). Метод доказательства формулы (5.15.26) уже был указан. Нужно только принять во внимание общее правило, что преобразование Фурье от X есть ^X)v. ■

Доказательство формулы (5.15.27). Так как в SP' log| x| = Iima-1(l — | хГа), a->0

то из формулы (5.15.26) следует, что

(In| x|) = lima""1 Ге — 2(— a)! sin-^- • (2л| g |)а-11. а->0 LZJ

При этом мы воспользовались разложениями

(— а)! = 1 — уа + О (а2),a-1sin4y = ул[1 + О (а2)],(2л)а-1 = (2л)"1 [1 + a log 2л + О (а2)].

Таким образом,

сТ1 [е - 2 (- а)! sin -^- • (2л) | g Г']"' =

= 08 - у [1 + (у + In 2л) а + О (а2)] | g Г-1.

Проводя несложное интегрирование по частям, получаем, что в 9”

lim a| g |a~* = 2е

a->0

И

O(a2)|gr*->0.

Таким образом,

(log | х |) = — (у 4- log 2л) е — у lim a-1 (a | g |a~’ — 2e) = z a->0

= - (y + log 2л) e - у lim Xa, £ a->0

например, в смысле ^'. Поэтому для доказательства (5.15.27) достаточно показать, что lim Ха = F. Р. | g I”1 (известно, что пре- а->0 дел существует).

Легко проверяется, что

F Р | g Г1 = A^glL12SllLl

С другой стороны, если м е S), то

<х, ^ = / и (g) | g Г1 ф (g) - 20-^ (0).

Интеграл преобразуется с помощью интегрирования по частям по отдельности в интервалах (—оо, 0) и (0, оо). В результате получаем

(и, .Q = - / и £)а-' (Г - 1) dp ^Н^иЧ- I)а"1 (§° - D dp ^. Ро

При а->0 это выражение стремится к

- J «,(6)log^^(^)+J иЧ-l^og^dp^ = оо

= - f «,(§)sgn^log|^|dp.(g) =

Ци. ^sgn^log|^|) = <M, F. Р.|^г’>.

Соответственно lim Хо = F. Р. | ^ Г1, во всяком случае, слабо в а->оо

^', чго и требовалось доказать. Таким образом, (5.15.27) доказано. ■

Функция |x|~o в многомерном случае. Рассмотрим функцию Ixl”0 на Rn. Она локально интегрируема при Rea<n. Поскольку она инвариантна относительно вращений, то ее преобразование Фурье обладает тем же свойством (п. 5.15.6). Далее, так как |х|-а — однородная функция степени —а, то из результатов п. 5.15.5 следует, что ее преобразование Фурье — однородная функция степени а — п.

Можно показать, что для некоторых значений а (по крайней мере для тех, у которых Rea>yn^ <9*(I х Га) есть функция. Если это считать доказанным, то однородность и инвариантность относительно вращений определят преобразование Фурье с точностью до постоянного множителя. Таким образом, это преобразование должно быть функцией С„,а|£|а"Л где Сп,а — число, зависящее только от п и а. Величину Сп, а можно определить, пользуясь равенством Парсеваля (5.15.7). Полагая в нем и = ехр(—л|х|2), получаем, что ^и = ехр(—л|^|2), откуда

Для других значений а нужно воспользоваться аналитическим продолжением и псевдофункциями. См. Л. Шварц [2, стр. 113 и далее].

Формула замены. Название принадлежит Л. Ш в а р цу [2, стр. 124]. Имеются две формулы замены, из которых нам понадобится только одна — формула, в которой свертка с помощью преобразования Фурье заменяется обычным произведением:

<T<S*X) = <FS • <^Х.(5.15.28)

Формула превращается в классическую, если S и X — интегрируемые функции или ограниченные меры, так как тогда преобразование Фурье можно определить в классическом смысле с помощью абсолютно сходящихся интегралов; при этом формула (5.15.28) становится следствием теоремы Фубини— Тонел- ли. Очевидно, однако, что (5.15.28) нс имеет смысла, если S и X— произвольные медленно растущие обобщенные функции. Л. Шварц [2, стр. 124] приводит ряд достаточных условий справедливости этой формулы; некоторые другие условия имеются в работах Эдвардс [4] и X и р а т а и Огата [4].

Нам достаточно будет рассмотреть случай, когда S обладает компактным носителем и X— медленно растущее распределение. Докажем при этих условиях формулу (5.15.28).

В силу теоремы 5.8.1 распределение S есть конечная сумма членов вида D^X, где А— мера Радона, обладающая компактным носителем. Пользуясь линейностью, нетрудно проверить нашу формулу для случая, когда S^D^k

С другой стороны, если S имеет такой вид, то из (5.15.4) следует, что

(^ [№) *Х1 = <^ [Dp (А * X)] = ^р . ^ (А * X) и

<^фрХ) = ^р .<ГХ.

Таким образом, доказательство сводится к проверке формулы в случае S = k

Выберем в ^ некоторую сеть (и^, сходящуюся bZkX. (Здесь достаточно даже слабой сходимости.) Тогда для каждого i имеем

(Л * и^) = 3~Х • и^

что является следствием классических интегральных представлений преобразования Фурье и теоремы Фубини — Тонелли.

Так как А обладает компактным носителем, то из формулы

(у, X * щ) = (и * А, и^

непосредственно следует, что A* ut->X* X слабо в ^. Следовательно,

ST (А * X) = lim (А * Ui)

слабо в ^'. В то же время так как Х = Итиг-, то ^Х = Нш ^^ (оба предела в смысле слабой сходимости в ^). Переходя к пределу, получаем

«F^X^-^X^X.

Таким образом, формула (5.15.28) при сделанных нами предположениях установлена.

Теорема Пэли—Винера и «теорема о носителях» Лионса. Указанные теоремы играют основную роль в теории линейных дифференциальных уравнений в частных производных. Хотя в теореме Лионса нс содержится никакого упоминания о преобразовании Фурье, но се доказательство и ее приложения тесно с ними связаны. Теорема Пэли — Винера является центральной теоремой гармонического анализа.

У нас теперь достаточно сведений о преобразовании Фурье, чтобы сформулировать эти результаты. Обе теоремы будут приведены здесь без доказательства.

Теорема Лионса о носителях. Пусть X и У— распределения на Rn, обладающие компактными носителями. Тогда замкнутая выпуклая оболочка множества supp (X* У) совпадает с векторной суммой замкнутых выпуклых оболочек множеств supp X и supp У.

Эту теорему и ее доказательство можно найти в работе Лионса [4].

В своем первоначальном виде теорема Пэли — Винера (Пэли и Винер [1, стр. 12]> 3 и г м у н д [2, т. II, стр. 408]) дает характеризацию функций одного комплексного переменного, получающихся как преобразование Фурье функций из L2(R!) с компактными носителями. Л. Шварцу [2, стр. 128] удалось освободиться от условия принадлежности к L2 и распространить теорему на случай нескольких переменных. В таком виде теорема более естественна и полезна.

Вначале сделаем несколько замечаний о преобразовании Фурье Х = ^Х распределения X на Rn, обладающего компактным носителем, содержащимся в гиперкубе с центром в нуле и стороной 2с. Мы знаем, что X есть конечная сумма производных D^X, где X — мера Радона на Rn с компактным носителем. Далее, как было замечено в п. 5.15.7, преобразование Фурье от X является (распределением, порожденным) функцией

Согласно (5.15.4) в обобщенной форме, преобразование Фурье от X представляет собой конечную сумму функций вида §рХ(§).

Таким образом, X можно продолжить до целой функции на О, которая на Rn имеет степенной порядок на бесконечности.

Кроме того, так как меру X можно выбрать так, чтобы ее носитель содержался в гиперкубе с центром в нуле и стороной 2с' для любого с'>с, то для £еСп имеем

п

IWICJ ЛЛ|(х).ехр(2лс'2|^ D-

6=1 Отсюда

I-log 1^ (5)1

Другими словами, целая функция X есть функция экспоненциального типа не выше 2лс.

Теорема Пэли — Винера в формулировке Шварца ^сводится к утверждению, что условия, которым удовлетворяет X, характеризуют ее как преобразование некоторого распределения с компактным носителем.

Теорема Пэли — Винера — Шварца. Пусть X принадлежи! 9^', Для того чтобы распределение X обладало компактным носителем, содержащимся в гиперкубе с центром в нуле и стороной 2с, необходимо и достаточно, чтобы его преобразование Фурье X было целой функцией экспоненциального типа не выше 2ис.

Другая формулировка:

Для того чтобы функция F на Rn была преобразованием Фурье распределения на Rn, имеющего компактный носитель, заключенный внутри гиперкуба с центром в нуле и стороной 2с, небходимо и достаточно, чтобы (1) F имела на Rn степенной рост на бесконечности и (2) F можно было продолжить до целой функции на О экспоненциального типа не выше 2лс.

Заканчивая изложение теории обобщенного преобразования Фурье, следует упомянуть теорию Эренпрсйса [7].

Введем в рассмотрение пространство D = 5Г(2)) всех функций, являющихся преобразованиями Фурье функций, принадлежащих S> = 5)(Rn). Элементы из D естественно рассматривать как функции п комплексных переменных, и как таковые они представляют собой в точности тс целые аналитические функции на О экспоненциального типа, которые быстро убывают на Ra. Такая характеризация этих функций следует из теоремы Пэли — Винера — Шварца. Пространство^ топологизирустся требованием, чтобы 3* было гомеоморфизмом пространства 3) на D.

Нетрудно описать эту топологию непосредственно в терминах самих' функций из D, но для наших целей это не потребуется. Пользуясь теоремой о замкнутом графике, можно проверить, что З^1— непрерывное отображение пространства D в Ф, откуда вытекает, что ^— топологический изоморфизм пространства Ф на IX Поэтому преобразование Фурье для произвольных обобщенных функций можно определить как отображение t^”-1)', причем результат такого преобразования будет элементом из DI Другими словами, преобразование Эренпрейса ФТ определяется для Т s Ф' равенством

</, ^'D = <^r-V, г>

для каждого f ^ D. Сравните это определение с определением преобразования Шварца из п. 5.15.3, где Т — медленно растущее распределение. Эти определения согласуются. Подробности см. у Эренпрейса [7] и Гельфанда и Шилова [2, гл. II].

Как будет замечено в п. 5.17.3, Эренпрейс использует свое определение преобразования Фурье для исследования уравнений в свертках, частным случаем которых являются линейные дифференциальные уравнения в частных производных.

Но за общность подхода, принадлежащего Эренпрейсу, приходится расплачиваться невозможностью локально сравнить два элемента из D\ как это можно делать с распределениями Шварца. Это происходит потому, что новые пробные функции (элементы из D) нс могут равняться нулю на непустом открытом множестве, нс обращаясь при этом в нуль всюду.

Рассмотрение задачи 1

Здесь мы приведем несколько результатов, относящихся к решению задачи 1 из п. 5.12.3. Возможны различные подходы к решению этой задачи. Хотя мы подробно рассмотрим лишь часть имеющихся в настоящее время результатов, полученных одним из этих подходов, впоследствии мы прокомментируем и другие подходы и успехи в решении этой задачи. Для наших целей, вероятно, лучшее — придерживаться изложения Мальгранжа [1], или Л. Шварца [8], или обоих. Систематическое исследование вопроса содержится в книге Хёрмандера [7].

Замечания о степенных рядах. При решении задачи 1 и подобных более общих вопросов Мальгранж использует некоторые нетривиальные свойства степенных рядов от нескольких неизвестных (или переменных), причем эти ряды могут быть сходящимися или формальными.

Для решения самой задачи 1 применяются только некоторые из этих результатов. Мы коротко расскажем о тех свойствах степенных рядов, которые нам понадобятся.

Сначала рассмотрим формальные степенные ряды от п неизвестных. Основные определения и свойства таких рядов читатель может найти у Бурбаки [5, стр. 64—82]. Мы ограничимся рассмотрением рядов с коэффициентами из поля комплексных чисел С. Можно следующим образом построить алгебру Fn формальных степенных рядов от п переменных (с коэффициентами из С). Как обычно, обозначим через р набор п целых чисел Ph^O, \^k^n. Таким образом, если /—множество неотрицательных целых чисел, то р^1п. Через \р\ обозначается сумма Р1 + .. . + рп- Элементами алгебры Fn являются семейства f = (ар), где индекс р пробегает множество /п и каждое ар есть комплексное число; как множество Fn есть просто С(/п). Множество Fn как некоторая степень (см. конец п. 0.1.3) множества С обладает естественной структурой векторного пространства над С. Превратим Fn в алгебру следующим образом. Для каждого р обозначим через Хр элемент из F^ представляющий собой семейство ^а^, для которого aq равно 1 при q = p и 0 при q+p. Тогда f=(ap) можно формально представить в виде суммы 2 ctpXp. Произведение Хр и Х^ по определению равно Хр^. Операцию умножения распространяют на произвольные пары элементов из Fn, постулируя ее билинейность относительно формальных сумм. Другими словами, если f=(ap) и £=(&Р), то произведение fg есть (ср), где

Ср = агЬr+s=p

Очевидно, что это продиктовано тем, что под (яр) понимается «степенной ряд» вида

от п неизвестных, причем умножение этих рядов производится формально по правилу Коши. Приведенное выше формальное определение даст возможность избежать определения в математических терминах того, что понимается под «неизвестными».

Ряды ^арХр, которые до сих пор строились формально, можно считать рядами элементов из Fni сходящимися относительно топологии покоэффициентной сходимости, т. е. относительно локально выпуклой топологии в Fn, в которой база окрестностей нуля состоит из множеств ^арУ1 ар I ^ 8 Для Р G А> где е — произвольное число >0, а I пробегает все конечные подмножества в /п. Таким путем Fn превращается в отделимое ло-

кально выпуклое пространство; легко проверить, что Fn на самом деле есть пространство Фреше; кроме того, Fn— топологическая алгебра. Пространство, сопряженное к Fn, можно отождествить с Ж (/п) (векторным пространством комплексных функций на /п, обладающих конечными носителями; при этом /п рассматривается как дискретное пространство). При таком отождествлении элемент u=(up)e^(/n) порождает линейную форму

(^р) * 2 ^р^р-

Если / = (ар) = 2 арХр е Fn и £=(£ь •- Sn) — точка из С", то имеет смысл поставить вопрос об абсолютной сходимости рядов комплексных чисел ^apt,p, где ... ^рпп. Обозначим через CFn множество тех f^Fn, для которых указанные ряды комплексных чисел абсолютно сходятся при каждом £ из некоторой окрестности нуля в О. Такие f будем называть сходящимися степенными, рядами от п неизвестных. Естественно обозначить через f(Q сумму ряда 2^р> если £хтаково, что 2 apV— абсолютно сходящийся ряд из комплексных чисел.

Очевидно, что CFn— всюду плотная подалгебра в Fn (так как она содержит все конечные ряды, т. е. все многочлены от п неизвестных).

Как алгебру Fn можно отождествить с алгеброй ростков голоморфных в нуле функций (см. пример 3 § 6.3). Однако топология пространства Fn индуцирует в CFn топологию, которая строго слабее топологии индуктивного предела, определяемой в § 6.3.

Теперь можно описать результаты относительно Fn и CFn, необходимые для понимания подхода Мальгранжа к задаче 1 и к аналогичным вопросам.

Теорема а. Пусть f, gi, ..., gr принадлежат CFn. Для того чтобы ряд f содержался в идеале алгебры CFn, порожденном элементами gb ..., gr, достаточно (и, очевидно, необходимо), чтобы f принадлежал идеалу в Fn, порожденному элементами §ь • • •, gr- Другими словами, если уравнение

f = 2 hjgj

относительно hj разрешимо в Fn, то оно разрешимо и в CFn.

Теорема b (лемма Крулля). Каждый идеал в Fn замкнут.

Доказательства этих теорем см. в трудах семинара Кар- тана [3, сообщение XI, теорема III, следствие, и теорема IV,

следствие]. В дополнение к этим «локальным» теоремам имеется еще «глобальная» теорема, принадлежащая К а р т а н у [4].

Теорема с. Пусть f, g\» ..., gr— целые функции на Сп и для каждого cteO элемент f(a + £) из CFn принадлежит идеалу в Fn, порожденному элементами gja + ^j, ..., £>(& + £) из CFn. Тогда f принадлежит идеалу, порожденному в алгебре всех целых функций элементами g\, ..., gr, т. е. существуют такие це* г

лые функции hr на Сп, что f = 2 hjgp

/=1

Для общих проблем, которые рассматривал Мальгранж, теоремы а, b и с используются в полную силу. Для изучения задачи 1, что является нашей главной целью, нам нужны только теорема b для главных идеалов (т. е. для идеалов с одной образующей) и случай г=\ в теоремах а и с. Эти частные случаи являются легкими, но тем не менее не очевидными.

Приведем еще одно замечание о представлении пространства, сопряженного к Fn. Если f=^4apXp принадлежит CFni то ар можно выразить через f с помощью обычной формулы Тейлора

где в правой части через f обозначена функция, определяемая сходящимся степенным рядом f (ее область определения — некоторая окрестность нуля в Сп). Такая функция существует не для любого f из F^ но мы можем определить dPf(O) через ар с помощью вышеприведенных формул. Это означает, что действие обобщенной функции д^е как линейной формы на Fn определяется равенством

(L дре) = ^-\Г'Р1.ар.

Из всего того, что было сказано о топологическом сопряженном к Fn, следует, что его можно отождествить с векторным пространством распределений, носитель которых есть {0}. Любое такое распределение однозначно представимо в виде конечной линейной комбинации производных дРе от меры Дирака е, сосредоточенной в начале координат.

Предварительные сведения об уравнениях в свертках. Пользуясь описанными в п. 5.16.1 свойствами степенных рядов, можно получить некоторые результаты об уравнениях, в которые входят свертки распределений, обладающих компактными носителями; это приводит к решению задачи 1. Связь между распределениями с компактными носителями и степенными рядами осуществляется с помощью преобразований Фурье,

Как мы видели в п. 5.15.10, если X — распределение на Rn, имеющее компактный носитель, то его преобразование Фурье X есть целая функция на О (или продолжается до такой функции). Поэтому ее можно отождествить с рядом Тейлора в нуле, который является элементом из CFn, причем это соответствие взаимно однозначно. С другой стороны, если Y— другое такое распределение, то преобразование Фурье от X * У есть X • Y. Следовательно, это преобразование переводит свертки в обычные произведения, и эта процедура дает возможность с помощью теорем об идеалах в Fn и в CFn получить инфомацию об уравнениях в свертках.

Перейдем к осуществлению этой программы. Для краткости будем писать С00 вместо C°°(Rn) и С'00 вместо C/00(Rn). Под Cz°o(Rn) понимается пространство распределений с компактными носителями.

Лемма 1. Пусть Л, В^С'°° и условие

(a) g— многочлен и A*g = 0

влечет за собой условие

(Р) B*g = 0.

Тогда В принадлежит идеалу в CFn, порожденному элементом А. Обратно, если В принадлежит этому идеалу, то (а) зф (Р).

Доказательство. Пусть М — идеал в Fn, порожденный элементом А. В силу теоремы а п. 5.16.1 достаточно доказать, что В принадлежит М. По теореме b п. 5.16.1 идеал 7И замкнут в Fn. Таким образом, можно воспользоваться теоремой Хана — Банаха и свести вопрос к доказательству того, что любая непрерывная линейная форма на Fn, аннулирующая М^ аннулирует и В. Переходом к преобразованию Фурье импликация (а) зф (р) сводится к следующему утверждению: пусть X — произвольная обобщенная функция типа B(D)e, где P(D)—произвольный линейный оператор в частных производных с постоянными коэффициентами. Тогда если А*Х = 0, то 6-^ = 0. Таким образом, А *Х = 0 влечет, в частности, (6, Х) = (1, В.Х)=0. Другими словами, если (Лф, Х) = 0 для всех ф из 2) = 9)(Rn), то (6, Х)=0. Однако в силу природы X утверждение, что (Лф, X) = = 0 для всех ф из 9), эквивалентно утверждению, что (ЛВ,Х)=0 для всех F из Fn, т. е. что X аннулирует М. Но, как было замечено, такие X порождают пространство, сопряженное к Fn. Отсюда следует нужное нам утверждение.

Так как рассуждения можно обратить, то это показывает, что импликация (а) =ф (Р) и необходима для того, чтобы В принадлежал идеалу в CF^, порожденному элементом А. |

Лемма 2. Пусть Х= (Хь . • Хп) — точка из О. Если А и В— распределения на Rn, имеющие компактные носители, то для того, чтобы B = FA для некоторой функции F, голоморфной в какой-нибудь окрестности точки X, необходимо и достаточно, чтобы условие

(a7) g — многочлен и A* ^ge^1^^ = О влекло за собой условие

(Р') В * ^емх*х>) = 0.

Доказательство. Эту лемму можно свести к лемме 1, рассмотрев А' = e-2niX*xА и В' = e-2niX xB. Нужно учесть только при этом, что Д7(£) =Д (Х + £), В'^ = 6(Х + £) и

А * (ge2^--*) = е^^^А' * g), (5.16.1) причем равенства остаются справедливыми, если заменить А и Аг соответственно на В и В'. |

С помощью этих двух лемм получаем два главных вспомогательных результата.

Предложение 1. Пусть А и В — распределения, имеющие компактные носители. Для того чтобы B = FA, где F — некоторая целая функция на О, необходимо и достаточно, чтобы для любой точки Х^О имела место импликация (а7) =ф (р7). (Обозначения те же, что и в лемме 2.)

Доказательство. Необходимость непосредственно следует из необходимости условия леммы 2. Обратно, если импликация (а7) =ф (р7) имеет место для любой точки X, то из достаточного условия леммы 2 вытекает, что B^F^A^ где Fx— некоторая функция, голоморфная в некоторой окрестности точки X. Применение теоремы с п. 5.16.1 показывает, что B = FA для некоторой целой функции F на (X |

Предложение 2. Пусть P(D)—линейный дифференциальный оператор в частных производных с постоянными коэффициентами, F=P(D)& и X — распределение с компактным носителем. Для существования такого распределения Y с компактным носителем, что Рф^¥ = X, необходимо и достаточно, чтобы X/F была целой функцией на О.

Доказательство. Необходимость очевидна, так как Х = Рф)¥, тде Y имеет компактный носитель, эквивалентно X=FY, где Y — целая функция.

Для доказательства достаточности предположим, что Х = = F*G, где G — целая функция на Сп. Известно, что X— целая функция на R” экспоненциального типа и степенного роста на бесконечности (п* 5Л5Д0), В соответствии с теоремой Пэли —

Винера — Шварца (п. 5.15.10) достаточно показать, что целая функция G = X)F— экспоненциального типа и степенного роста на Rn.

Исключая тривиальный случай P(D)=0, можно считать (после предварительного линейного преобразования координат), что F—многочлен вида

пг

где с — отличное от нуля комплексное число и FT—многочлены на О-1. Теперь нужные нам свойства функции G сразу же вытекают из леммы п. 5.14.3. |

Замечания. Допустим, что X е Ф, а остальные условия леммы оставлены без изменений. Тогда Х = Рф)У для некоторого Уе®. Действительно, как мы уже знаем, Y можно выбрать из С'00. Пользуясь теоремой А § 5.14, выбираем фундаментальное решение Е оператора Рф). Тогда* из равенства Х = = P(D)Y получаем, что E*X=Y, откуда в силу принадлежности X к Ф следует, что Y принадлежит С^ПС'0^^).

Можно получить другие варианты предложения, если воспользоваться замечаниями в конце п. 5.14.2, в силу которых Е можно выбрать так, чтобы свертка E*h принадлежала £?Ос. если 1г е L2 обладает компактным носителем. Таким образом^ если известно, что X имеет компактный носитель и DPX е £?Ос, для |/?|^А, то Y^E^X) можно выбрать так, чтобы удовлетворялись те же условия. Напомним, что

DPY=DP ф*Х) = Е* DPX.

Решение задачи 1. Мы приведем несколько вариантов решений в зависимости от рассматриваемых пространств функций или распределений.

Теорема А. Пусть Q — выпуклая область в Rn, а Рф)— линейный оператор в частных производных на Rn с постоянными коэффициентами. Каждая функция f из C°°(Q), удовлетворяющая на Q уравнению Рф)1=0, является в C°°(Q) пределом конечных линейных комбинаций экспоненциальных многочленов, удовлетворяющих тому же уравнению.

Доказательство. Предположим, что XeC/oo(Q) аннулирует все экспоненциальные многочлены g, удовлетворяющие уравнению Рф^=0. Достаточно показать (теорема Хана — Банаха), что X аннулирует любое решение feC°°(Q) этого

уравнения. По условию (е2я/х'х^, Х) = 0, если ZeCn, g — многочлен и

Рф^е^-^^О.

Другими словами, соотношение

Р(О)е*(в2^^) = 0 влечет равенство

X * (e^^g) = 0.

Поэтому в силу предложений 1 и 2 п. 5.16.2 Х = Рф)¥, или, что то же, Х = Рф>)¥, где Y — некоторое распределение с компактным носителем.

Далее, так как Q выпукло, то из теоремы о носителях Лионса (п. 5.15.10) следует, что supp Y cl Q. Итак, если feC°°(Q) и Рф^=0 на Q, то (f, Х) = </, Рф^^фф), У) = (0, У>=0, что и требовалось доказать. |

Теорема А'. Теорема X остается справедливой, если всюду заменить C°°(Q) на Скф) (6 = 0, 1, 2, ...).

Доказательство. Достаточно регуляризовать f, получая таким образом решение fzeC°°(Q), и применить теорему А. |

Теорема X". Теорема X остается справедливой, если всюду заменить C°°(Q) на Ф'ф) или на В'кф) (6 = 0, 1, 2, ...).

Доказательство. Можно повторить доказательство теоремы А, имея в виду, что теперь X принадлежит Фф^ или S)A(Q). Следовательно, в силу замечаний, следующих за доказательством предложения 2 ш 5.16.2, можно выбрать Y соответственно из Ф или Фк. 1

Эти фундаментальные результаты принадлежат Мальгранжу (см. Мальгранж [1, стр. 24—26] или Л. Ш в а р ц [8, сообщение 1]). Недавно Мальгранж получил более простое доказательство теоремы А для случая Q=Rn.

Дополнения. Занимаясь решением задач 1 и Г (а также задачи 3, см. § 5.17), Мальгранж получил более глубокие результаты, чем те, что мы изложили. Ниже мы попытаемся дать краткий обзор некоторых из них.

В п. 5.12.2 было указано, что голоморфные функции (одного комплексного переменного) можно считать решениями уравнения Рф")Х = 0, где (в наших обычных обозначениях) п = 2 и Рф) = (д\ + 1д2). Там же отмечалось наличие связи между решением задачи V для этого случая и теоремой Рунге. Последний результат может быть сформулирован следующим образом.

► Если область Q a R2 односвязна, то всякое решение f уравнения

PWf=%=(dx-Hd2)f=o

в Q является пределом решений уравнения P(D)g = O, принадлежащих ^Z(R2) (всякое решение этого уравнения, принадлежащее ^'(R2), является многочленом от комплексной переменной z = x\-VU^.

Очевидно, что это есть усиление теорем типа А, А' и Azz (для специального оператора Рф^ по крайней мере по двум причинам: (1) ослаблено условие выпуклости, которое накладывалось на Q, и (2) экспоненциальные многочлены заменены обычными многочленами. Эта частная теорема иллюстрирует характер результатов, полученных Мальгранжем для довольно широких классов линейных дифференциальных операторов в частных производных P(D) и областей Q в Rn. Следует отметить также, что Мальгранж рассматривает даже более общие случаи, когда Q — область в бесконечно дифференцируемом многообразии М (а не в Rn).

За отсутствием места мы не будем излагать здесь формализм, который предшествует такого рода обобщениям.

В предложении 4, стр. 66, и в теореме 6, стр. 73, работы [1] Мальгранж приводит достаточные условия, которым должны удовлетворять P(D) и область Q в М, чтобы каждая функция feC°°(Q), удовлетворяющая уравнению P(D)f = 0 в Q, была в C°°(Q) пределом решений уравнения P(D)g = 0 в М. В предложении 8, стр. 68 (там же), доказано, что при некоторых обстоятельствах эти достаточные условия оказываются также и необходимыми.

Ограничения, налагаемые там на P(D), довольно сложны и среди прочего включают предположение, что P(D) —эллиптический оператор в том смысле, что он обладает фундаментальным решением, которое является вещественно-аналитической функцией всюду, кроме начала. Условие, которому подчиняется Q, было впервые введено Г ротендиком [8]. Оно равносильно требованию, чтобы Af\Q не обладало связными компонентами, относительно компактными в М. Эти результаты частично рассмотрены также у Шварца [8, сообщение 3 bis].

Применяя подобные результаты к случаю, когда М — некомпактная риманова поверхность (см. Мальгранж [1, стр. 75— 77]), получаем принадлежащий Веен к е и Штейну [1] вариант теоремы Рунге для таких поверхностей, из которого в свою очередь следует, что всякая такая поверхность есть многообразие Штейна. Это — важнейший результат, из которого вытекают многочисленные следствия.

Решение задачи 3

Опираясь на результаты § 5.14 и 5.16, мы можем, следуя Мальгранжу [1, гл. III, § 3], изложить некоторые вопросы, связанные с задачей 3, т. е. с задачей о разрешимости уравнения P{D)X = А.

Мы ограничимся подробным изложением того случая, когда Q — выпуклая область в Rn; в п. 5.17.4 мы коротко остановимся на том, что известно для более общего случая (см. также Хёр- м а н д е р [7]).

Всюду в этом параграфе P{D) обозначает отличный от нуля дифференциальный оператор в частных производных с постоянными коэффициентами.

Случай, когда Q выпукло. Так же как и в п. 5.16.3, мы приведем несколько теорем, каждая из которых связана с вопросом о разрешимости уравнения Р {D")X=A. Эти теоремы отличаются друг от друга рассматриваемыми пространствами функций или распределений.

Теорема А. Пусть к— целое неотрицательное число или оо и Q— выпуклая область в Rn. Если f принадлежит Cfe+n+!(Q), то уравнение P{D)g = f разрешимо в С11^. {Если k = oo, то под k + n+\ понимается оо.)

Доказательство. Исчерпаем область Q возрастающей последовательностью (<ог) выпуклых открытых множеств, каждое из которых относительно компактно в Q и шг-1 cz сог, (Оо=0. В силу предложения 5.6.1 можно выбрать такое разбиение единицы аг в S, чтобы носитель функции аг лежал внутри Q\tor. Соответственно f = ^fn где fr = oirf ^ С^^1 и supp fr cz Q\tor.

По теореме А п. 5.14.2 существует фундаментальное решение оператора P{D), порядок которого не превосходит ц+1; обозначим его, например, через Е. Тогда так как P{D)E = s, то Е * f е О и

P{DHE*M = PWE4r = fr.

Формально решение данного уравнения P(D)g = f запишется в виде g= 2(£ * fr)- Однако, вообще говоря, ряд ^{E*fT) не гг

будет сходиться в Ск{Й). Теперь воспользуемся теоремой А' п. 5.16.3, которая позволяет имитировать принадлежащий Мит- таг-Лефлеру метод построения мероморфной функции с заранее заданной главной частью. (Этот метод описан в любом учебнике по теории функций комплексного переменного.) Так как Р {D) {Е * fr) = 0 на (ог, то из указанной теоремы А' следует, что

в Сн(ют) можно с любой степенью точности аппроксимировать E*fr конечными линейными комбинациями экспоненциальнополиномиальных решений данного линейного дифференциального уравнения в частных производных. В частности, можно выбрать такое решение рт. для которого функция E*fr— рт и ее частные производные до й-го порядка включительно (или до r-го порядка включительно при й = оо) по абсолютной величине не будут превосходить 2~г равномерно на cor~i.

Ряд S(£*fr — pr) сходится в Cft(Q). Обозначим его сумму г

через g; тогда

PWg = ^PWUMr-P^ = 2Afr-0) = hг г

Оператор P(D) понимается здесь в смысле теории обобщенных функций. В классическом смысле его можно трактовать только при к>т (где т—порядок P(D)). |

Замечание. Любое улучшение оценки порядка решения Е приводит к соответствующему усилению теоремы А, в котором п+1 заменяется порядком решения Е. Известно, что таким путем п+1 можно фактически заменить на [“^п]+1 (см. замечание в конце п. 5.14.2).

Следствие. Если Q — выпуклая область в Rn, то Р (/)) С°° (Q) = = C°°(Q) (причем P(D) можно понимать здесь в классическом смысле).

Теорема А'. Пусть s>0 — целое число (¥=оо) и Q — выпуклая область в Rn. Если А г 3?s (Q), то существует решение X уравнения P(D)X = A, принадлежащее В частности. Р (D)®f^ = ^(й).

Доказательство. В силу 5.8.2(1), положив там ^ = п+1, достаточно рассмотреть случай, когда A=Dp[, где |p|^s + + n(n + 3) и f^Cn+1(Q). Полагая в предыдущей теореме & = 0, получаем существование непрерывной функции g на Q, удовлетворяющей уравнению P(D)g=f. Тогда P(D) (D^g) = DpP(D)g = = Dpf=A, поэтому можно положить X = Dpg; порядок X не превосходит \р\. |

Соотношение P(D)^Z(Q) = ^Z(Q). Полное рассмотрение необходимых и достаточных условий для выполнения этого соотношения проведено в книге Хермандера [7, гл. III]. Доказательство опирается на один из вариантов теоремы Пэли — Винера — Шварца. В частности, в этой книге доказано, что указанное соотношение выполняется для любого выпуклого Q. Из наших предыдущих результатов вытекает голько частичное

решение, так как мы вынуждены предполагать, что P(D)— гипо- эллиптический оператор. Операторы такого типа будут рассмотрены подробно ниже, в § 5.18. Пока же будем считать, что это означает существование фундаментального решения Е уравнения Р^Е=^ принадлежащего C°°(Rn\{0}).

Теорема А". Если Q — выпуклая область в Rn и Рф) —ги- поэллиптический оператор, то Рф)ЗУф)==2Уф).

Доказательство. С помощью разбиения единицы (осг), введенного выше в доказательстве теоремы А, любую заданную обобщенную функцию А можно представить в виде суммы 2 А” г где Аг = агА обладает компактным носителем, содержащимся в Й\шг. Тогда Е*АУ принадлежит С°°((ог) в силу условий, которым удовлетворяет Е, и того обстоятельства, что Аг = 0 на юг. Далее

РфНЕ*АГ) = АП

что равно нулю на сог. По теореме А' п. 5.16.3 свертка Е*АТ может быть с любой степенью точности аппроксимирована в С°°(ш7) конечными линейными комбинациями экспоненциальных многочленов рт, удовлетворяющих уравнению Рф)рт=0. В частности, можно так выбрать рт, чтобы ряд 2(f * Ат — рг^ сходился г

в 5)'(Q). Пусть X — сумма этого ряда. Тогда

PWX = ^VP(DHE* Дг) - Р (D) рг] = 5 [Л, - 0] = Д.Гг

что и требовалось доказать. |

Замечания. При п = \ любой оператор Рф^4=0 будет ги- поэллиптическим. При п >2 оператор Лапласа Рф^=\ гипо- эллиптический. Оба эти утверждения вытекают из (5.11.5).

При п = 2 из формулы -1^х-х = иг (Л. Шварц [1, стр. 49]) следует, что Р (D) = ^- = dt + /д2 — гипоэллиптический оператор.

Для случая, Ko^a Q = Rn и вместо Рф)г рассматривается распределение с компактным носителем, Мальгранж [1, гл. II, § 2] получил ряд результатов такого же общего типа, как теоремы A, Az и Azz. Имеются также аналоги результатов, изложенных выше в § 5.16.

Все основные результаты этого рода были независимо получены Эренпрейсом [2, 3, 10, 11], который называет рассматриваемую задачу проблемой деления. Он может пользоваться таким названием с большим основанием, чем мы, поскольку его обобщенное понятие преобразования Фурье при’

менимо к произвольному распределению на Rn (см. наши замечания в конце § 5.15).

Как и следовало ожидать, результаты, касающиеся общих уравнений, содержащих свертки, часто бывают менее точными, чем аналогичные теоремы для линейных дифференциальных операторов в частных производных.

Весьма удивительно, что теорема, аналогичная теореме А", для операторов с переменными аналитическими коэффициентами оказывается неверной. Впервые это было установлено Г. Леви в 1957 г. с помощью следующего примера. Пусть в R3

х 7 дхх дх2 хдх3 ’

Q и со — два непустых открытых подмножества bR3h(oc£2. Тогда существует такая функция (на самом деле множество всех таких функций нетоще в 9s(R3)) f в 9^(R3), чю уравнение Р(х, D)g = f на со не имеет решения g^S)'^). Полное исследование этого совершенно неожиданного факта было дано в 1960 г. Хёрмандером, за что он и получил одну из Филдсовских медалей 1963 года. См. Хёрмандер [7, гл. VI].

Остается еще проблема разрешимости уравнения P(D)X=A, рассматриваемого на невыпуклых открытых множествах Qcz Rn, где А —заданное распределение на Q некоторого специального типа. Подробное исследование этой задачи читатель может найти у Л. Шварца [8, сообщение 3] и у М а л ь- гранжа [1]. В работе Мальгранжа особое внимание следует обратить на теорему 4, стр. 27, и предложение 7, стр. 68.

Можно доказать эквивалентность следующих условий.

P(jD)C00(Q)-C00(£2).

Р(О)^(Й) = ^(Й).

Для каждого компактного множества AczQ найдется такое компактное множество К' cl Q, что из соотношений

X е С'°° (Q), supp Р (£)) X cz К следует, что

supp X cz К/.

Более того, если P(D) —гипоэллиптический оператор, то предыдущие три условия эквивалентны следующему:

P(Z))^,(Q) = ^'(Q).

Если оператор P(D) эллиптический (в том смысле, что он обладает фундаментальным решением Е, которое является вещественно-аналитической функцией на Rn\{0}, то все четыре условия выполняются для любого открытого множества Й в Rn,

Эти факты, возможно, указывают нЗ то, что, по крайней мере для указанного ограниченного класса операторов, условие выпуклости в теоремах А, А' и А" является следствием недостатков принятых методов доказательства, опирающихся на результаты § 5.16, где выпуклость и другие ограничения на Q, несомненно, существенны.

Дальнейшие свойства фундаментальных решений. Гипоэллиптические и гиперболические операторы и уравнения

Конструктивный подход к построению фундаментального решения. Приведенным в § 5.14 доказательствам существования фундаментального решения произвольного линейного дифференциального оператора P = P(D)^0 в частных производных с постоянными коэффициентами присущи две характерные черты, а именно (а) фундаментальная роль неравенств в сочетании с теоремой Хана — Банаха и (Ь) необязательность использования преобразования Фурье даже в его классической форме, применимой к функциям из S) = S)(Rn).

Возможен и другой подход, более конструктивный, не обла^ дающий чертами (а) и (Ь). Одно из преимуществ этого подхода в том, что, будучи относительно явным, он позволяет получить дальнейшие важные свойства фундаментальных решений. Для более подробного знакомства с этим методом, набросок которого следует ниже, рекомендуем заметки Гординга [5] (и указанную там литературу), подготовленные для конференции по функциональному анализу, состоявшейся в апреле 1961 г. в Лондоне. Многие фундаментальные работы в этой области выполнены Хёрмандером [1], хотя Хёрмандер больше руководствовался теорией гильбертова пространства, чем теорией обобщенных функций. Однако для нашего обзора эта разница не имеет значения. Заметки Гординга, о которых говорилось выше, будем обозначать через [Г]. Читателю следует обратить внимание на то, что у Гординга символ Dk отличается от нашего множителем 2л. Описываемая ниже техника построения фундаментального решения оператора P(D) сводится к представлению обратного преобразования Фурье при помощи процесса классического интегрирования для тех частных случаев, которые мы рассматриваем.

Следует также напомнить вытекающее из (5.15.7) определяющее свойство преобразования Фурье, выраженное равенством Парсеваля, а именно

(ф, ^ = (ф, X)(5.18.1)

для фе а и Хе У”.

Допустим, что оператор Рф) обладает медленно растущим фундаментальным решением Е. С помощью преобразования Фурье получаем, что определяющее свойство фундаментального решения

Рфф = е

эквивалентно равенству

P^-E^^V,(5.18.2)

откуда формально Еф = i/Рф). Требуется построить Е, удовлетворяющее этому соотношению. Это построение сводится к использованию различных методов «суммирования» некоторых выражений, содержащих расходящиеся интегралы.

Заменим в (5.18.1) ф на ф и X на Е, предполагая, что Е— медленно растущее распределение. Получаем

<Ф, £>-<(ф)у, Е\

Поскольку мы приняли формально, что Ёф) = \!Рф), то нам следует рассмотреть выражение

(5.18.3)

как функцию от переменной ф, пробегающей Ф. Это — отправная точка при построении фундаментального решения оператора РфУ

Суммирование интеграла 7(ф). Начнем со следующего замечания. Допустим, что у нас есть такой способ интерпретации интеграла /(ф) для каждого фе®, что интеграл оказывается непрерывным по ф. Тогда будет существовать такая единственная обобщенная функция Е (хотя пока и не ясно, что она является медленно растущей), чю /(ф) = (ф, Е\ Если теперь заменить ф на Р^—£))ф и сделать естественное предположение, что наша интерпретация выражения ,/(ф)=/(Р(—О)ф) — просто (абсолютно сходящийся) интеграл J ф( — £)rfp(£), то мы придем к заключению, что

<Ф, Рф)Е) = (РфО^ Е) = ЦРфО^-

= / Ф(-6)^(^) = ф(0) = (ф, е)

и потому Рф)Е — &, т. е. Е будет фундаментальным решением. Таким образом, все зависит от отыскания подходящей и естественной интерпретации интеграла /(ф)*

В некоторых частных случаях, конечно, ничего придумывать и не требуется. Таково, например, положение с метаполигамони- ческим оператором

P(D) = (£>2W = (-^r + ^

для Х>0 и любого натурального к > у п. В этом случае (5.18.3) существует как (абсолютно сходящийся) интеграл Лебега и все ясно. Действительно, можно даже непосредственно определить Е как непрерывную функцию

£ (х) = J е2”^ -^^. (5.18.4)

являющуюся обратным преобразованием Фурье интегрируемой функции 1/£(£) = 1(|£|2 + Х)\

Если отбросить осторожность, то выражение (5.18.4) можно принять за исходное также и в других случаях. К возникающему при этом интегралу нужно применить такой же прием суммирования, который имелся в виду для I ^Y (Применение последнего дает некоторые преимущества при рассмотрении деталей: например, хотя обе функции е2лгх’’ и ф(—g), очевидно, продолжаемы до целых аналитических функций от £ е О, последняя стремится к нулю при Reg~>oo, в то время как первая этим свойством нс обладает. Этот факт существен при рассмотрении вопросов сходимости.) В квантовой теории поля таким приемом обычно пользуются для построения так называемых потенциалов Грина; например, в относительно простом случае скалярных и псевдоскалярных мезонных полей соответствующим оператором будет оператор Клейна — Гордона, а именно

□ - ц2 = А - с-2д2 - ц2 = (4л2с2)"' [о2 - с2 (D1 +Dl + D2)] - ц2.

где А — оператор в трехмерном пространстве координат Xi,x2. %з, с — скорость света, х4— временная координата, p1 = 2nmc/h, m— масса мезона и h — постоянная Планка.

Один из полезных способов интерпретации интеграла /(ф) основан на том, что ф можно продолжить до целой аналитической функции на О, а \)Р можно аналогично продолжить до мероморфной функции на О. Так как все трудности возникают, по-видимому, из-за слишком быстрого роста функции 1/Р на вещественном подпространстве RnczCn и, в частности, из-за возможности существования вещественных нулей, то естественно попытаться использовать теорию комплексных функций в связи с переносом «пути интегрирования» в интеграле (5.18.3) с веще-

ственной в комплексную область. Имея это в виду, возьмем точку г] е Rn и рассмотрим интеграл

^(ф)=/ф(-^ + ^)-^т^-(5.18.5)

Если мы сможем показать, то Л, определено и непрерывно на 9) и что

сводится kJ ф(— g + и)^(ь), то тем самым будет установлено существование такой обобщенной функции Е^ что

<Ф, Р ф^Е^ = J ф (- | + zt]) dy ^.

Теперь уже нетрудно показать, что правая часть этого равенства не зависит от т] и потому равна ф(0) = (ф, е). Таким образом, P(D)E^ =е и Е^— фундаментальное решение. В то же время наше построение фундаментального решения Е^ позволяет часто получать полезные сведения о носителе функции Ew

Существование фундаментального решения общего оператора P(D)=^0. Найдем приемлемую для нас интерпретацию интеграла /(ф), не накладывая на Р дополнительных ограничений. Оказывается, этого можно достичь, полагая

Z (ф) = J dy' (Г) J Ф (- Ю ^у,(5.18.6)

Г(^)

где g'=(g2, .gn)^Rn-1, р'—мера Лебега на Rn“! и r(g') —

путь в комплексной gi-плоскости, выбранный следующим образом. Зафиксируем произвольное 6 > О, и пусть S — полоса О ■< Im gi ^ 6. Подобрав координаты так, чтобы Р (g) = с^ + ..., где m — степень многочлена Р, разложим его на множители tn

Р^ = с П (^i~^)> где ^ = zfe(g')—алгебраические функции от

g'. Пусть Д^ — круг в комплексной gi-плоскости с центром в z^ m

и радиусом 6 и Д= (J А^. Наконец, пусть r(g')—нижняя грань к = 1

множества 5\(5ПД). Хотя, вообще говоря, T(g') зависит от g' не непрерывно, все же можно показать, что внутренний интеграл В (5.18.6)— измеримая функция от g'.

Из построения контура Г(^) следует, чю

IPatl^k^

для ^^ Rn-1 и |1 е Г(^). Пользуясь этим неравенством, нетрудно (хотя и довольно утомительно) проверить, что интеграл в (5.18.6) определяет непрерывную линейную форму на Ф и что

7 (ф) *=/(£(—Р)ф) сводится к j $(~^)^hU) (в силу теоремы Коши, примененной к ф(—|ь—£') как к функции от §ь при каждом фиксированном g'e Rn). Таким образом доказывается существование фундаментального решения £.

Относительно применения предыдущих формул представления фундаментального решения Е см. работу Аграновича [1], который использует этот метод в различных задачах деления и аппроксимации.

Гипоэллиптические операторы. Рассмотрим следующие утверждения относительно оператора P(D).

Если Х^Ф'^. AeC°°(Q) (Q — открытое подмножество в Rn) и P(D)X=A на Q, то AeC°°(Q).

Существует фундаментальное решение Е оператора P(D), принадлежащее OfR^XfO})'.

Мы утверждаем, что эти предложения эквивалентны.

Действительно, в силу результатов § 5.14 о существовании фундаментального решения, (1) влечет (2).

Обратно, пусть справедливо (2) и выполнены условия утверждения (1). Покажем, что AeC°°(Q). Пусть е > 0. Выберем такое а^Ф(В^) (Ве — открытый шар с центром в нуле и радиу-

са е), что а=1 на некоторой окрестности нуля. Рассмотрим Е* = = аЕ. По формуле Лейбница

DPE* = 2 ( а ) ^°Р-<,а^1)4Е ”q^p

= aDpE-V ^ ^руОр"ча)О<5Е.

qCpq^P

Соотношения q-Cp и q4=p означают, что qk^Ph для 1^6^ ^и и qk < Ph по крайней мере для одного такого к. Для всякого такого q на некоторой окрестности нуля О^”^а==0, поэтому

Р (D) Е* = аР (D)5 + 5 аР 5j ^PqyDq-pa)DpE = a.eA-f.

\p\^m q<pq^P

(Через f обозначено второе слагаемое в правой части.) Так как а=1 на некоторой окрестности нуля, то a-8 = 8. Кроме того, внутренняя сумма в правой части представляет собой элемент из 5)(Ве), поскольку Вр*9а = о на некоторой окрестности нуля и по нашему допущению Е е C°°(Rn\{0}). Таким образом, f eS)(58). Подводя итог, получаем, что

Р (В) Е* = 8 + f,}еЗ (Ве\(5.18.7)

где Е* = аЕ обладает носителем, содержащимся в В8. Действительно, Е* представляет собой пример параметрикса для В (О), т. е. такой аппроксимации фундаментального решения, носитель которой компактен. Следовательно, Е*, так же как и Е, принадлежит C°°(Rn\{0}).

Так как supp£*cz Вг и suppf cz 6е, то можно (см. упр. 5.19) рассмотреть свертку с Е* обеих частей равенства Р ^D^X = A. Пользуясь ассоциативностью и соотношениями (5.18.7), получаем, что

X = E**A-f*X на Йе1).(5.18.8)

Свертка f^X принадлежит С°°(Й8), потому что f е 3). Для дальнейшего изучения слагаемого E**f рассмотрим произвольное открытое относительно компактное множество Й'с: (Й8)6 й такую функцию р е 3), что supp р cz Й и р = 1 на Й'. Из очевидного равенства Л = р Л + (1— р)Л следует, что

Е* * А = Е* * (рЛ) + Е* * [(1 - р) Л] - Y + Z

Так как ЛеС°°(Й) и зирррссЙ, то рЛ s Ф\ следовательно, Y^3. С другой стороны, supp [1 — Р) Л] с: РП\Й'. Откуда и

Смысл обозначения Qe см. в упр. 5.19. — Прим, перев.

из того факта, что Е* е C°°(Rn\{0}), легко получается, что ZeO^'Y Таким образом, первый член в правой части (5.18.8) и вместе с ним и X принадлежат С°°(Й'). Так как это имеет место для любого открытого относительно компактного множества Q'c: (Qe)6, то, полагая 6-^0 и е->0, устанавливаем включение X е C°°(Q), что и требовалось показать. Эквивалентность утверждений (1) и (2) доказана. ■

Читатель может заметит, что (1) эквивалентно кажущемуся более сильным утверждению '

(Г) Если X, Ле^Дй), Рф)Х=А на Q, coczQ и Л|сое С°° (о), то X | со е С°° (со). _

Эквивалентность утверждений (1), (Г) и (2) даст основания для следующего определения. Оператор Рф) называется гипо- эллиптическим,, если он удовлетворяет одному (а значит, и каждому) из условий (!),(!') и (2).

Примеры. При п=Л любой оператор Рф^ФО гипоэллипти- ческий. (Условия (1) или (2) легко проверяются с помощью элементарных свойств обыкновенных линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.) Пусть п = 2; тогда оператор (теплопроводности) Рф^=д\— 5г гипоэллипти- ческий, так как он обладает фундаментальным решением

£ = (2лх]) 2 HUi^exp-^-, (5.18.9)

где//— функция Хевисайда на R1:

^W = 4(1 + sgnx).

Оператор Р ф) = id[ + дг также гипоэллиптичен. При любом п будет гипоэллиптическим оператор Лапласа А, обладающий элементарным решением, пропорциональным 1%|2“п при п > 2 и log|x| при п = 2. Другие примеры приводятся в упр. 5.20.

Естественно попытаться найти необходимые и достаточные условия, которым нужно подчинить многочлен Р^ для того, чтобы оператор Рф) был гипоэллиптическим. Хёрмандером [1, теоремы 3.3 и 3.4] получены различные такие условия; на некоторых из них мы остановимся. Другие критерии такого типа принадлежат Эренпрейсу [2], который рассматривал операторы со свертками, более общие, чем наш оператор Рф).

Следующие два эквивалентных (Хёрмандер [1, теорема 3.3]) условия (а) и (Ь) достаточны для того, чтобы оператор PW был гипоэллиптическим.

ф Каждому а>0 соответствует такое число Ь = Ьф)><\ что /)(§ + /т])^0 при £, n^R”» ИК^ и I ^ 1> 6-

Для каждого а>0

lirainf |Р(§ + /т]) |= + оо.

С другой стороны, Г о р д и н г [Г, § 11] показал, что если оператор Р(Щ гипоэллиптичен, то

(а7) существуют такие числа с > 0 и d> 0, что

Ы>сч1^-^

если ЦеКп удовлетворяют равенству Р(g + Zr]) =0.

Так как (а7) влечет (а), то получаем, что

► Условия (а), (а7) и (Ь) эквивалентны между собой; каждое из них необходимо и достаточно для того, чтобы оператор P(D) был гипоэллиптическим.

При доказательстве достаточности условия (Ь) Хёрмандер пользовался методами, изложенными выше в п. 5.18.2. Коротко наметим его конструкцию фундаментального решения Е. С этой целью примем интерпретацию (5.18.6) интеграла /(ф), заменяя путь интегрирования Г(£') контуром С(£7), устроенным следующим образом. Как и выше, сначала выберем координаты так, чтобы P^^c^-Y- ..., где с=^0. В соответствии с условием (Ь) существует такое г > 0, что | Р (g) ] > 1 для ^ е Rn и I £ | > г. Отсюда следует, что существует такое число г > 0, что |Р(£ь g7) |> > 1 для любого ^ ^ Rn-X с |g7|^r и для любого комплексного 61 с |£i | >г* Поэтому контур С^') представляет собой вещественную ось комплексной ^-плоскости, если |£7|>г;если же |^7|<г, то С(£7) есть вещественная ось, в которой отрезок [—г*, г*] заменен нижней полуокружностью, построенной на этом отрезке как на диаметре. В этом случае |Р(£) |> 1 для всех g, входящих в (5.18.6). Суть доказательства сводится к показу того, что получаемое фундаментальное решение Е удовлетворяет условию (2). За подробностями отсылаем читателя к Хёрман- деру.

В дополнение заметим, что Петров с_кий [1] указал чисто алгебраическое условие эллиптичности, а именно

Р^^й для gsRn, g#=0,

где Ро^ = 2 Ср^ — главная часть1) многочлена Р^У lpl=m

В заключение наших замечаний о гипоэллиптичности операторов добавим, что Джон [1] доказал существование фундаментального решения для операторов РфУ удовлетворяющих

условию (с). Исследованием гипоэллиптических операторов Р^х,Щ с переменными коэффициентами класса С°° занимались (наряду с другими) М а л ь г р а н ж [2], Хёрмандер [3, 7], Г о р д и н г и Мальгранж [1], Трев [5] и Петре [2].

5.18.5. Гиперболические операторы. Вернемся к равенству (5.18.5), которое благодаря некоторым свойствам многочлена Р(^) служит инструментом для изучения фундаментальных решений заданного оператора P(D).

Начнем с предположения, что существуют точка т] е Rn и вещественное число /о, для которых выполнено условие

(*) Р^ + ^Ч) ^ 0 для ^ERrt и t>t0.

Мы утверждаем, что

► Фундаментальное решение Е, определенное с помощью соотношения (5.18.5), в котором ц заменено на /ц с любым t ^ t0, обладает носителем, содержащимся в полупространстве

Н^{х^ R": ц • х ^ 0),

Доказательство этого утверждения основано на следующей лемме.

Лемма. Пусть выполнено условие (*), и пусть Pq—главная часть многочлена Р; тогда Po(ix\)=pO и

I Р (1 + th) I > I Ро №) I (^ ^Г (5.18.10)

для ^eR71 и вещественных t^> to. Кроме того, существуют такие числа а > 0 и b > 0, что

I Р (I + i^ I > а [1 +1 g I + (/ - /о)]6(5.18.11)

для ^е Rn и t^t0.

Доказательство этой леммы см. в [Г, § 11].

Из неравенств, фигурирующих в лемме, следует, что соотношение (5.18.5) эффективно определяет не зависящее от / при t > tQ фундаментальное решение оператора P(D). Таким образом, для фЕЙ) имеет место равенство

<Ф.

Пусть теперь носитель К функции ф содержится в открытом множестве R^X/Ap Тогда существует такое число с > 0, чю т\-х^с для х е К. Полагая /=/0 + s, где s^O, и замечая, чю

Ф (- I - ^п) = ф4(~ I - ^оЧ).

где

Ф5(х) = е-2Л5Т1,Х • ф(х), получаем (ф, £) = (ф8, Е). Но поскольку трх^>с(>0) на носителе К функции ф, то легко установить, что | (ф, Е) | = О (е~2ЛС5). Полагая s->oo, получаем, что для любой функции ф, носитель которой лежит в Rn\// , справедливо равенство (ф, £)=0. Таким образом, £ = 0 на Rn\/7n, т. е. supp £ cz/7^, что и требовалось доказать. |

Отметим попутно, что Гор дин г [1] показал, что соотношение (supp £) П//-т] = {0} эквивалентно соотношениям ГЦмО^О и P^-Vit^^O для | е Rn и достаточно больших вещественных t.

Условимся называть оператор P(D) гиперболическим, если он обладает фундаментальным решением, носитель которого содержится в некотором собственном конусе с вершиной в начале.

Из установленного только что результата вытекает, что для гиперболичности оператора P(D) достаточно существования такого непустого открытого множества Q cz Rn и такого вещественного числа t0, что

P^-Vit^=PO для geRn, т]ЕЙ и вещественных f>tQ. (5.18.12)

Гордин г [Г, § И] показал, что если оператор P(D) гиперболичен и координаты выбраны так, что supp Е содержится в полупространстве Xi<^0, то

g^Rn, т]ЕГ, p^ + i^ =

= 0 =^ гц ^ const {1 +шах(| т]2|, ..I Пп I)}• (5.18.13)

Более того, при таком выборе координат (5.18.13) эквивалентно соотношению (5.18.12).

Таким образом, оператор P(D) гиперболичен тогда и только тогда, когда выполнено условие (5.18.12), что дает нам достаточно тонкий и простой критерий гиперболичности.

Пользуясь этим критерием или зная явное выражение для фундаментального решения, легко проверить гиперболичность операторов в следующих примерах. При п=\ оператор £(£) = = —di гиперболичен, так как носитель его фундаментального решения £ = //(%!) содержится в полупрямой %i^0. При п = 2 (волновой) оператор £(£) = 51 — ^2 гиперболичен, так как носитель его фундаментального решения

Е = 4 н (^ + х2) + Я (х, - х2)}

содержится в множестве %i >0, jx2|^Xi.To же самое справедливо для волнового оператора в случае любого числа переменных.*

Характеризация некоторых типов линейных дифференциальных операторов в частных производных с помощью неравенств и отношения порядка

Мы уже неоднократно подчеркивали, что современная теория линейных дифференциальных операторов в значительной мере основывается на использовании неравенств в сочетании с общими принципами функционального анализа. В настоящем параграфе мы выделим важный класс операторов с помощью неравенств и связанных с ними отношений частичного порядка.

Заметим, что два важных класса линейных операторов в частных производных — эллиптические и гиперболические — характеризуются именно таким способом (определение эллиптического оператора еще не вводилось, гиперболические операторы были определены в п. 5.18.5). Хёрмандер [1] нашел характеризацию эллиптических операторов, а Трев [2—4] — гиперболических. Работа Хёрмандера содержит также характеризацию гипоэллиптических операторов (определенных в п. 5.18.4), гораздо более сложную, чем дЛя эллиптических операторов. Мы коротко изложим исследования Хёрмандера по эллиптическим операторам и еще более коротко — часть результатов Трева о гиперболических операторах, оставляя в стороне случай гипоэллиптических операторов. Читатель, вероятно, заметил, что последние два типа операторов были охарактеризованы почти алгебраически способами, описанными в п. 5.18.4 и 5.18.5 соответственно.

Хотя во всех случаях исследования проводились так, чтобы, по крайней мере частично, их можно было применить к операторам с переменными коэффициентами (см. Хёрмандер [7]), мы ограничимся рассмотрением случая постоянных коэффициентов.'

Характеризация как эллиптических, так и гиперболических операторов будет дана с помощью соответствующего отношения частичного порядка: силы в случае Хёрмандера и доминирования в случае Трева. Рассмотрим каждое из этих понятий в отдельности.

Сила операторов. Всюду ниже термином оператор будем пользоваться для обозначения линейного дифференциального оператора в частных производных с постоянными коэффициентами (хотя последнее условие не всегда необходимо).

В излагаемых здесь исследованиях Хёрмандера, всюду ограниченных рамками пространства L2, необходимо различать так называемые минимальный и максимальный операторы Ро и Р,

соответствующие заданному дифференциальному оператору PW = 2 apDp.

iPlCm

Минимальный оператор Ро. Рассмотрим Рф) как отображение пространства S)(Q) в L2^. Легко показать (Хёрман- дер[1, лемма 1.4]), что Рф)—предзамкнутое отображение пространства Ь2ф) в себя (замыкание его графика в L2(Q)X XA2(Q) также является графиком). По определению минимальный оператор Ро — это замыкание этого отображения. Другими словами, область определения оператора Ро, которую впредь будем обозначать через domP0, состоит из тех и только тех и eL2(Q), для которых Рф)и (в смысле обобщенных функций) принадлежит к A2(Q) и для которых в S>(Q) существует по крайней мере одна такая последовательность (фп), что ^п-^и и Р ф)<^-^ РФ)и в P2(Q). Для всякого такого элемента и значение Рои по определению равно Рф)и.

Максимальный оператор Р. Пусть Рф) = 5 (-1)|р| a„Dp- Ipl^m

оператор, сопряженный (относительно гильбертовой структуры в Ь2ф^ оператору Рф) и Ро— соответствующий ему минимальный оператор. Тогда максимальным оператором Р, соответствующим оператору Рф), называется оператор, сопряженный (относительно структуры гильбертова пространства Ь2ф) к Ро- Другими словами, Р— такое отображение P2(Q) в A2(Q), область определения которого dom Р образована теми u^L2^^ для которых Рф)и (в смысле теории обобщенных функций) принадлежит L2(Q); для всякого такого элемента и имеет место равенство Ри = Р ф)и.

Определения Хёрмандера операторов Ро и Р полезно дополнить замечаниями, принадлежащими Фу гл иду [1].

Употребляемое Хёрмандером понятие силы операторов совпадает с понятием включения применительно к областям определения минимальных операторов. Более точно, пусть заданы два оператора Рф) и С£ф) и область Q cz Rn; будем говорить, что оператор Рф) сильнее, чем ()ф), на Q, и писать Рф)^ (^ф) на Q, если dom Ро cz dom Qo.

Так как Ро и Qo —по определению замкнутые операторы, то из результатов п. 6.4.11 получаем необходимое и достаточное условие того, что Рф) сильнее, чем Q(D), а именно неравенство

\\Qou\?<CUu\H\Wn(5.19.1)

где С — некоторая постоянная, и — произвольный элемент из dom Ро, а нормы берутся в Ь2фу С другой стороны, в силу

определения domPo и dom Qo это неравенство эквивалентно неравенству

|| Q (£) Ф ||2 < С (|| Ф IP + IIР Ф) Ф II2) (5.19.2)

для всех фе^(^). Действительно, пусть выполнено (5.19.2). Если и е dom Ро, то существует такая последовательность (фп)с:^(й), что фп->и и Р(Д)фп->Рои в A2(Q). Тогда из (5.19.2) следует, что последовательность (0(/))фп) сходится в L2(Q) и, поскольку оператор Q(O) предзамкнут, предел этой последовательности равен Qou. Таким образом, полагая ф = фп в (5.19.2) и переходя к пределу при п-^оо, получаем (5.19.1).

Если область Q ограничена, то, как известно (неравенство В п. 5.14.2; Хёрмандер [1, теорема 2.1]),

||фЦ< Const ||Р(Р)ф||

для ф^^(й). Поэтому в этом случае отношение Рф)^ Qф>) на Q влечет за собой неравенство

|^(Д)ф||<С||Р(Р)ф|| ,(5.19.3)

для ф^2)(О). Постоянная С здесь может, вообще говоря, отличаться от постоянной в (5.19.2). Обратно, (5.19.3) влечет (5.19.2) независимо от того, будет ли область Q ограничена или нет. Таким образом, в случае ограниченной области Q отношение Рф^^ Qф^ на Q выполняется тогда и только тогда, когда неравенство (5.19.3) справедливо для любого ф е 2) (Q).

Итак, мы, описали хёрмандерово отношение силы с помощью неравенств.

Заметим, между прочим, что если всюду заменить минимальные операторы Ро и Qo на максимальные Р и Q, то получится несколько иное понятие силы. Оно будет выражаться неравенством (5.19.1), если в нем заменить Ро и Qo соответственно на Р и Q и постулировать его справедливость при каждом и е dom Р. Однако в этом случае, вообще говоря, невозможно перейти от (5.19.1) к (5.19.2).

Определение эллиптических операторов. Рассмотрим оператор Рф") = X apDp степени т (т. е. оператор, для кото- 1рК т

рого ар^0 по крайней мере для одного значения р с \р\=т). Обозначим через р^) главную часть многочлена Р®, т. е. его однородную часть степени т

Р^ = S аЛР.

1 р \=т

Следуя классической терминологии, назовем оператор Рф) эллиптическим, если

р(^)^0 для ^eRrt, ^0.(5.19.4)

Из (5.19.4), очевидно, вытекает условие (Ь) п. 5.18.4, поэтому всякий эллиптический оператор является гипоэллиптическим (чем последнее название и оправдывается). Обратное неверно: оператор теплопроводности Р (D) — di — ^2, как мы видели в п. 5.18.4, гипоэллиптичен, однако он не является эллиптическим, потому что для него р^= — 2^.

Для того чтобы охарактеризовать эллиптические операторы в терминах силы, нужно это последнее понятие выразить алгебраически, поскольку само определение эллиптического оператора дано в алгебраической форме. Мы это сейчас сделаем, следуя Хёрмандеру [1, теорема 2.2]. Из алгебраического определения силы непосредственно вытекает нужная нам характеризация эллиптичности оператора (Хёрмандер [1, теорема 2.4]).

Алгебраическое описание силы. Докажем справедливость следующего утверждения.

► Пусть Q — ограниченная область в Rn. Для того чтобы P^D^^ Q(D) на Q, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось одно из следующих двух условий'.

гдегдеsupР6 (Е)+ оо,(5.19.5)sup - s^r”LQ^< Р° (В)С + ОО,(5.19.6)supР6 (Е)+ оо,(5.19.5)sup - s^r”LQ^< Р° (В)С + ОО,(5.19.6)р^-^рШр^-^рШ

где

где

sup

Р6 (Е)

+ оо,

(5.19.5)

sup - s^r”

LQ^< Р° (В)

С + ОО,

(5.19.6)

sup

Р6 (Е)

+ оо,

(5.19.5)

sup - s^r”

LQ^< Р° (В)

С + ОО,

(5.19.6)

р^-^рШ

р^-^рШ

причем суммирование производится по всем р (конечно, для заданного Р только конечное число членов отлично от нуля)} Q0® определяется аналогичным образом по Q.

Доказательство. (1) Предположим, что P(D^ Q(D) на Q, и докажем, что (5.19.5) следует из (5.19.3). Для этого возьмем произвольную функцию fGS(fi) и применим (5.19.3) к <р(х) = ег^[(х). Повторным использованием формулы Лейбница получаем

Р№^ = е^х^Р№^.-д^гр

и аналогичную формулу, в которой Р заменено на Q. Временно положим

/р.? = (1 рПГ'СкПГ1 ppMW.

Тогда из (5.19.3) вытекает, что

(5.19.7)(5.19.7)2 Ip. q iW^ < С2 2 Ip. qP^ P, qP.q

(5.19.7)

(5.19.7)

Эти суммы не содержат других (отличных от нуля) членов, кроме тех, для которых \р\ и \q\ мажорируются наибольшим из порядков операторов Р и Q, скажем N. Пусть 2 = (zp)| р ^N — такой набор комплексных чисел, что zp = zq, если q получается из р перестановкой. Квадратичная форма

(здесь(здесьzPlp 2I Pl fzPlp 2I Pl fЖ^2^=Ж^2^=F (^) = (2л)-2 " J е‘НМ<№F (^) = (2л)-2 " J е‘НМ<№

(здесь

(здесь

zPlp 2

I Pl f

zPlp 2

I Pl f

Ж^2^=

Ж^2^=

F (^) = (2л)-2 " J е‘НМ<№

F (^) = (2л)-2 " J е‘НМ<№

и второе равенство вытекает из равенства Парсеваля) строго положительна, за исключением случая, когда zp = 0 для всех р. Отсюда следует, что

2 |ZpP<C' 2 Ip.qZpZq.

IpI<n '1p\<n р ■

Полагая zp = Q('p^^ , получаем из (5.19.7)

QW (|)2 С2С' 2 /р qpW pW^

Р» q

откуда в силу неравенства Коши — Шварца вытекает неравенство

Q^y^c"?0^

которое эквивалентно (5.19.5).

Пусть теперь выполнено (5.19.6). Докажем справедливость неравенства (5.19.3). Для этого напомним, что в случае ограниченной области Q в силу леммы п. 5.14.4

IР(р) (Z)) ф Ik Ср II Р(7))ф II(5.19.8)

для каждого р и каждого фе^(й). Положим

Ф (g) = (2л) ^ " J е~^"х ф (х) dp (х).

С помощью равенства Парсеваля получаем соотношение

!IQ(D)<p||2 = рр^ПФЮРФ^),

правая часть которого, согласно (5.19.6), мажорируется числом

с2 2 J l^a)!^^^^^.

р

Последнее снова в силу равенства Парсеваля равно

c22IIp(p)(d)<p||2.р

Наконец, в силу (5.19.8) имеем

с2 Ж(р)(Ж1Р<с/2И(Ж112.

р

откуда и вытекает неравенство (5.19.3), что и требовалось доказать. ■

Характеризация эллиптических операторов. Очевидно, что если оператор Рф) эллиптический в смысле условия (5.19.4), описанного в п. 5.19.2, то неравенство (5.19.6) справедливо для любого многочена Q, степень которого не превосходит степени пг многочлена Р. Таким образом, P(D) сильнее, чем любой такой оператор Q(O). Обратно, если P(D) сильнее, чем любой такой оператор Q(D), то из (5.19.5) следует, что р(^^=0 для £¥=0 из Rn, т. е. что оператор P(D) эллиптичен.

Таким, образом,

► оператор P(D) эллиптичен тогда и только тогда, когда Р(D)^ Q(D) для любого оператора Q, порядок которого не выше, чем порядок оператора Р.

Это и есть нужная нам характеризация эллиптических операторов в терминах силы.

Замечание. Всякий эллиптический оператор P(D) и подавно гипоэллиптичен. Поэтому существует фундаментальное решение Е оператора P^D), принадлежащее C°°(Rn\{0}). На самом же деле из эллиптичности оператора P(D) можно вывести (см. Л. Шварц [1, стр. 138—143] и приведенные там ссылки, а также Хёрмандер [1, теорема 3.5]), что в качестве фундаментального решения Е можно выбрать некоторую вещественноаналитическую на R^XfO}' функцию. Отсюда и из соображений, приведенных в п. 5.18.4, получаем, что все эллиптические операторы обладают следующим свойством.

(1*) Пусть X А е ^z и А— вещественно-аналитическая функция на открытом множестве Q с: Rn. Тогда если Р ф^Х=А% то и X— вещественно-аналитическая функция на Q.

Таким образом, эллиптический оператор, определенный классическим образом в п. 5.19.2, удовлетворяет условию, аналогичному условию (1) п. 5.18.4, использованному для определения гипоэллиптического оператора. Автору неизвестно, верно ли обратное утверждение, т. е. следует ли из (1*) эллиптичность оператора P^D). Конечно, при п=1 оба класса операторов совпадают.

Отношение доминирования Трева и характеризация гиперболических операторов. Здесь мы бегло коснемся части результатов Трева, которые выражаются с помощью (частного случая) введенного им понятия доминирования. Приводимая здесь часть, хотя и невелика, но вполне типична. Наши замечания ограничиваются случаем линейных дифференциальных операторов в частных производных с постоянными коэффициентами. Пусть Q —открытое подмножество в Rn и PAD) (Ze/), qad) (j^J)— два семейства операторов. Говорят, что семейство ^Pi^D)) (экспоненциально) равномерно на Q доминирует семейство ^QAD^A если для каждого ограниченного множества соей и каждого е > 0 существует точка Ае О (или, что все равно, h е Rn), такая, что

sup || е-х*нд3 (/)) ф ||L2 < е sup || e-^Pi (D) ф || 2/ e/ tel b

для всех фЕЙ)(м).

Это понятие, так же как хёрмандерово понятие силы, приводит к отношению частичного порядка между операторами. В отличие от хёрмандеровой силы доминирование оказалось мало связанным с эллиптичностью. Однако, как это следует из исследований Трева, доминирование тесно связано с гиперболичностью (а также с параболичностью, которую мы совсем не рассматриваем) .

В частности, Трев показал [4, теорема 2.1], что оператор P(D) гиперболичен тогда и только тогда, когда он равномерно доминирует все операторы Dp с \p\4m (т, как обычно, — порядок оператора Р(D)). Эта же теорема содержит квазиалгебраи- ческую характеризацию гиперболических операторов, подобную той, которая была приведена в п. 5.18.5.

. Результаты такого рода еще раз демонстрируют первостепенную важность роли, которую играют в современной теории линейных дифференциальных операторов в частных производных априорные неравенства.

Работы Ф. Э. Браудера

Предыдущий обзор задач, связанных с линейными дифференциальными уравнениями в частных производных, был сделан с точки зрения теории обобщенных функций и поэтому так тесно привязан к работам «европейских» математиков (Маль- гранжа, Лионса, Л. Шварца, Гординга и др.). Было бы неправильно сделать отсюда вывод, что это единственый или даже лучший подход. И действительно, Ф. Э. Браудер, выдающийся представитель американской школы, разрабатывает и проповедует несколько иной подход, полное и подробное изложение которого мы здесь не можем привести.

Использование теории распределений позволяет формулировать рассматриваемые задачи в терминах непрерывных операторов, действующих в весьма сложных локально выпуклых пространствах. Метод Браудера, возникший под влиянием идей Дж. фон Неймана, применим к замкнутым, не обязательно непрерывным операторам, действующим в относительно простых пространствах. В работе Браудера [1] содержится весьма общее и глубокое изложение аналогов ряда результатов § 8.6 и 8.7 для замкнутых операторов с всюду плотной областью определения, причем для очень широкого класса локально выпуклых пространств. Формулировка одного из таких результатов для случая банаховых пространств дана в теореме 8.7.9, утверждающей, что замкнутый линейный оператор с всюду плотной областью определения, действующей из банахова пространства Е в другое такое пространство F, является отображением на тогда и только тогда, когда его сопряженный обладает непрерывным обратным оператором.

Общая черта двух подходов состоит в том, что оба они сводят теоремы существования к соответствующим априорным неравенствам. Работа [1] задумана как введение к ряду работ, посвященных приложениям к линейным дифференциальным уравнениям в частных производных. Публикация этих приложений начата Браудером [1а] и будет продолжена в последующих статьях, которые будут выходить под одним и тем же общим названием.

УПРАЖНЕНИЯ

Пользуясь тем, что (при п=1) размерность множества 3 обычных решений уравнения P(D)X = 0 конечна, дать прямое доказательство утверждения (2) п. 5.12.2 (Г о р д и н г и Л и о н с [1, стр. 33]).

[Указание. Воспользоваться тем, что топология, а поэтому и равномерная структура отделимого конечномерною топологического векторного пространства единстренны. Принят^ во внимание, что если X ее ^' является

решением уравнения P(D)X = 0 иф^^, то свертка ф * X служит обычным решением того же уравнения.]

Пусть п = \ и Рф^О^А- .... Показать, что Р (Z)) X = е тогда и только тогда, когда X — такая функция из С°° (R72 \ {0}), что

хфох^о( (—2л Опри / = т.

Такие функции возникают в теории обыкновенных линейных дифференциальных уравнений, где Х(х— у") обычно называют функцией Грина указанного уравнения. (Г о р д и н г и Л и о н с [1, стр. 33])

Пусть Хъ Хе^'(R1) и X — элемент из ^'(R2), определенный равенством

X = Хх ® 1 + 1 ® Х2) т. е.

(А *> = ( J f to, Х2) dx2, Aj) + (J f (Хк х2) dxb Х2)

для /^^(R2). Доказать, что DxD2X = 0. Это показывает, что оператор DXD2 не является гипоэллиптическим.

Обозначения и предположения те же, что и в п. 5.13.1 и 5.13.9(a).

Рассмотрим случай п=\ и Q=(a, 0), где а>—оо. Допустим, что q не х

является пренебрежимой функцией и J р-1 d^ < + оо для некоторго (а по- a

этому для всех) xeQ. Доказать, что каждому ограниченному интервалу Icz6 соответствуют такие числа Mi и Ni, что

supх\ x"el1 v

sup IfWIC^IIfV

Показать, что

существует конечный предел lim f (х) при любом f ^ V;

если fn->f в У, то для любого 6eQ последовательность fn равномерно стремится к f на [а, 6];

Hmf(x) = 0 для каждого f е $у (^ — замыкание ^ (Q) в V).

р

Аналогичные результаты справедливы, если 0 < + оо и J р-1 dp < + оо

X* при некотором (а поэтому при всех) хе Q.

В обозначениях п. 1.13.9 (а) показать, что при и—1 множество У полно, если р, р-1 и q принадлежат ^}ос (Й) и функция q не является пренебрежимой на Q. (См. также замечания в конце п. 5.13.4.)

В обозначениях п. 5.13.9 (а) (случай п=1) положим

У«-ИеУ: f(«H limf(x) = 0L1х^а J

Показать, что

yQ отделимо, если р > 0 почти всюду на Q;

X

если J р-1 dp < + оо для некоторого (а поэтому для всех) х е Q, а

то Va замкнуто в У (и, следовательно, полно, если V полно); доказать также, что сходимость (соотв. ограниченность) в Уа влечет за собой равномерную сходимость (соотв. ограниченность) на (а, х0) для каждого х0 ^ Й.

Обозначения те же, что и в § 5.13. Доказать, что если £=L2(Q), то функция

2 Re (Л0£-1Ы2и

достигает своего наибольшего значения по оеУ при у = Gf, причем это наибольшее значение равно (Gf | ПЕ = || Gf И^.

Допущения те же, что и в § 5 13 Доказать, что при заданных f е L2(Q) и g ^Н единственное решение системы

u-geN, Ри — f задается равенством

и = g + G (f - Pg\

причем это решение принадлежит подпространству Н + N = Н.

Замечание. Для оператора Р=—Д + Х у Гординга [5, стр. 12— 13] изложен другой подход к решению задачи. Ограничения, которые Гор- динг накладывает на f и g, отличаются от наших, а граничные условия формулируются в терминах замыкания 9 (Q) в У.

Обозначения и предположения в упр. 5.9—5.15 те же, что и в п. 5.13.8.

Рассмотрим в качестве Е пространство L2(Q)=L2. Опираясь на определяющее свойство операторов G^, показать, что G^f=G^, если уеУ при у е У.

Воспользовавшись равенствами (5.13.24), проверить соотношение dGx

для X е C\R_; производные берутся в смысле нормированной топологии на пространстве эндоморфизмов в Е.

С помощью равенства (5.13.26) доказать, что оператор G^ самосопряжен, если рассматривать его как эндоморфизм пространства Е или пространства Ух, где X— вещественное строго положительное число.

Доказать, что отношение

a (GJI ^Е + кол I ^v = (f I v^ 0еу)

остается справедливым для ХеС \ R-.

Рассматривается ситуация, описанная в п. 5 13 8.

Пусть E=L2=L2(Q) и Х = а + /р принадлежит C\R_. Доказать следующие неравенства.

Если а + р0 > О и (а + р0)-1 ^ J?1 №)> то

II G^Cll (а + роГЧМИЬ

(2) Если а > 0, то(2) Если а > 0, тоIIG^Ib^Hir’-llflb-IIG^Ib^Hir’-llflb-

(2) Если а > 0, то

(2) Если а > 0, то

IIG^Ib^Hir’-llflb-

IIG^Ib^Hir’-llflb-

Уд Если а > 0 и рк 1 е S'' (Q), то

II ^k^bf 11^2| Л I ^ || р& ' ||д1 |711дг-

Если а^О и р #= О, то

II Gx/II^IPFriiniLt.

Если а < О, р + 0 и рк1 е ^ (£2), то

1

II dfeGxf^2 < (I Р Г* +1 аР'2 I) IР^ fl/, II Л1д=.

Показать, что в L2

lim XG^f = f

при Х-> оо вдоль любого луча, отличного от отрицательной вещественной полуоси.

Рассматривается ситуация, описанная в п. 513.8. Доказать, что задача

п

ueN, Ри + Хи + 2 ck^ku ^

к=\

разрешима для любого заданного f ^ L2^, если

п

с2 = ess sup 2 рТ1 I Ч |2<|| Gx 11^2 V

[Указание. Записать уравнение в виде

/ п\'

“ + САI 2 ск^ки ) = GJ*

\к-1/J

Исследовать волновое уравнение

ЭХд2Х -х

atat2 ~ °* х х* °)

с помощью такой ^'-значной функции /1—> Xt, что

Предполагая, что Xt и /~ медленно растущие распределения, воспользоваться преобразованием Фурье для формального доказательства равенства

Xt = f*Eb

где Et — обратное преобразование Фурье от ехр [—4л2§2/], а именно ехр [- х2/4/].

Показать, что уравнение

(-Д + а)Я = Д,

где а > 0, обладает единственным решением X ^ ^' при заданном Д е ^*.

В частности,^ X = 0 является единственным решением в ^' уравнения

Доказать, что единственными медленно растущими решениями уравнения ДХ = 0 являются многочлены, но в S' существуют и другие решения этого уравнения.

Пусть й —непустое открытое подмножество в R”. Выберем е>0 настолько малым, чтобы множество'^ = {х е Q: d (х, Q) > е} было непусто (Q —граница множества Q). Пусть А е & (Q), В е ®' (R") и supp В содержится в шаре В (0, е) с центром в нуле и радиусом е. Доказать, что’ если ф Е ^ (^е), то функция

X(x) = S(y) [<р(х + у)]

принадлежит © (Q) и формула

(ф, А *В> = (%, Л)

определяет свертку А * В как элемент из ^' (&е).

Пусть Е — локально интегрируемая на R” функция, зависящая только от |х| = г и принадлежащая С2 (R”\ {0}). Пусть далее Е удовлетворяет следующим соотношениям:

1 dF

+ (и—I) г 1 ХЕ=0 при г > 0,

dr2 х ' dr

Нт ^Я-О,

г^О'

1 dE—1

hm г 1 —— = —

r*o dr"

n

(где wn = 2л 2 /г ^) — площадь единичной сферы в Rn). Убедиться в том, что Е является фундаментальным решением оператора —Д + Х.

[Указание. Рассуждать, как в § 5.11.)

Замечания. Если п^2 и X не является вещественным числом ^0, то в качестве функции Е можно взять

ооI

[w^ (п — 2)!}~г а^~~2 J e*"art (t2 — l)2 dt.

где а2 = ^ и Re а > 0; при ц = 3 это выражение сводится к е^агК^г. При п=1 иХ + 0 можно положить Е — е”а*х Ч^а, где с? = X.

Отсюда следует, что оператор — Д + Х является гипоэллиптическим, если X не является вещественным числом ^0.

Обозначения те же, что и в п. 5.13.1. Пусть 0 < ess inf рт ^

< ess sup рт < 4- оо (0 ^ г ^ п). Доказать, что следующие подмножества й

будут плотными в пространстве У:

С°°(й)ПУ;

множество функций из пересечения С°° (Q) П V, обладающих ограниченными носителями.

[Указание. В первом случае воспользоваться теоремой Хана — Ба

наха и гипоэллиптичностью оператора —Д + 1; см. предыдущее упражнение.]

Замечания. Так как Д — гипоэллиптический оператор, то аналогичные рассуждения показывают, что даже при ро=О (остальные условия

сохраняются) функции с ограниченными носителями из пересечения С00 (Q) ПУ образуют плотное в V множество. Под V здесь понимается BL(Q) — пространство Беппо Леви (Дени и Лионс [1]), образованное теми функциями f^L^^, для которых dhfeL2^ при£=1, .... п, и наделенное скалярным произведением

(fl g)= 2 ^Пд^кчау

Пусть Q — область в Rn и Р — многочлен на Rn вида

Р(Е) =2«pq^4,

|р|=И| = /П

такой, что Р (|) > 0 при ^ g R^ и ^ 0. Для любых / и g из 0 (Q) положим U\g^m = ^ J dpf-dpgdn,

| р \ = т й

(/1 §)р =5 apq / ^^ ' 948 d^-

|p| = l<7l = mQ

Доказать (например, с помощью преобразования Фурье), что существует такое число с > 0, что

c-^iflU^llfllp^dl/lU

для f е э (Q). где ||f ||m = + (f I ^, и т. п.

Допустим теперь, что область Q ограничена. Показать, что из неравенства В п. 5.14.2 следует существование такого числа Со>О, что

II/11^2 (Q)^f0 II/Up для fe^fQ).

Обозначения и предположения те же, что и в упр. 5.22. Доказать, что пополнение £ пространства ^ (й) относительно нормы IMIj> можно отождествить с подпространством пространства ^ (^) таких функций (или классов функций) fe£2(Q), для которых dp/s£2(Q) при каждом р с \р\ = т.

Обозначения и предположения те же, что и в других предыдущих упражнениях. Показать, что для заданного g е ^ (Q) найдется такое и е е ^2 (^), ЧТО

и — g е Е и Р (д) и = 0 на 2.

[Указание. Воспользоваться методом ортогонального проектирования.]

Пусть Q— некоторая область в Rw. Доказать, что если / — вещественная функция на Q и / и д^ локально интегрируемы на Q (^ = 1, .,, ..., я), то то же самое справедливо для /+ и

дк^ = V9k^ «,

где а — характеристическая функция того множества; где />0.

Показать также, что если g удовлетворяет тому же условию, что и /, то sup (/, g) и inf (/, g) обладают частными производными первого порядка, являющимися локально интегрируемыми функциями.

Заключить, что если f — вещественная функция, принадлежащая BL(Q) , и fr = inf [sup (А — г), г],

то fr е BL (Q) и dkfr = (dkf) Рг, гДе Рг ~ характеристическая функция того множества, где |/ К г. Показать также, что

lim fr~ f в BL (Q).

Г-> оо

Пусть X g ^' (Q) — такая обобщенная функция, что ^Х е ^,т (й) при некотором фиксированном т и произвольно больших к. Доказать, что X е С°° (Q) (Л. Ш в а р ц [2, теорема XIX, стр. 47] ).

[Указание. Воспользоваться техникой, введенной в п. 5.11.2.]

Пусть Xg^z (Q), и пусть при некотором т имеет место следующее условие: для каждого ограниченного открытого множества со, для которого 6) cz Q, существует такая окрестность нуля U, что Х*аг С°° (со) для а е ®т фУ Показать, что Х^С°° (Q) (Л. Шварц [2, теорема XXI, стр. 50]).

[Указание. То же, что и для предыдущего упражнения.]

ГЛАВА 6

Теоремы об открытом отображении и замкнутом графике

Предисловие

Теоремы, фигурирующие в названии этой главы, восходят к начальному периоду развития функционального анализа (Банах [1]), когда они были доказаны для полных метризуемых топологических векторных пространств. В этом случае они звучат так.

► Пусть Е и F— полные метризуемые топологические векторные пространства. Непрерывное линейное отображение и пространства Е на F открыто. Линейное отображение у пространства F в Е, обладающее замкнутым графиком, непрерывно.

С тех пор, особенно в последние годы, первоначальные доказательства этих теорем подвергались тщательному анализу. Эти исследования, помимо того, что они интересны сами по себе, были вызваны еще и желанием применить эти теоремы в других современных разделах математики (теория интегрирования, распределения Шварца, потоки Де Рама, уравнения в частных производных и т. п.), где приходится привлекать топологические векторные пространства все более общего вида. В частности, оказалось, что метризуемость менее существенна, чем можно было ожидать.

В данной главе изучаются некоторые типы топологических векторных пространств, имеющие в настоящее время важное значение, а именно: метризуемые, бочечные и ультрабочечные пространства. (Значение этих пространств выявится еще и в дальнейшем, в гл. 7 и 8.) Кроме того, здесь рассмотрен способ обра^ зования пространств с помощью индуктивного предела.

В этой главе мы приводим только часть материала, касающегося теорем об открытом отображении и замкнутом графике. Дело в том, что в настоящее время эти вопросы можно излагать двояко: (а) для общих топологических векторных пространств, не обязательно локально выпуклых, и (Ь) для локально выпуклых пространств1). Последний случай лучше рассмотреть неза-

9 Результаты § 6.5 и 6.6, возможно, составляют исключение из этой дихотомии. Они применимы к некоторой смешаной категории локально выпуклых и не локально выпуклых пространств, поскольку опираются в основном на метризуемость.

висимо от (а), но в тесной связи с теорией двойственности. Поэтому исследование случая (Ь) нужно отложить до гл. 8. Успеху в этом направлении мы обязаны в значительной мере Птаку1) [1—4] и Р а й к о в у [1, 2].

Что касается (а), т. е. случая, когда пространства нс обязательно локально выпуклы, то здесь положение менее удовлетворительно. Некоторые недавние исследования в этом направлении принадлежат В. Робертсону [1]. В отличие от случая локально выпуклых пространств здесь пространство £ сохраняет некоторые «следы» метризуемости и доказательства более «традиционны», так как они явно используют «категорные рассуждения». Настоящая глава содержит все, что мы намерены сказать о случае (а).

Здесь уместно сделать несколько замечаний относительно предположения полноты пространств £ и £ в теоремах об открытом отображении и замкнутом графике. В случае (а) в новейших результатах полнота пространства F явно не фигурирует. От полноты Е также можно отказаться, но только за счет дополнительных предположений, которые по сути дела являются «самообманом», ибо дают возможность заменить пространства Е и F их пополнениями. Напротив, в случае (Ь) условие полноты Е (даже более сильное, чем обычное) является весьма существенным, а относительно пространства F необходимо сделать еще и другие предположения.

Из этих общих замечаний видно, что первоначальная симметрия между пространствами Е и F утеряна. Однако обе эти теоремы излагаются параллельно: теорема об открытом отображении формулируется для и; E-^F, а теорема о замкнутом графике — для у: F -^Е. В дальнейшем при выборе обозначений мы руководствуемся этим замечанием.

Другое изложение различных форм теорем об открытом отображении и замкнутом графике можно найти в книге Келли и Намиоки [1, § 11 и задачи HD, 12Е, 13F, 13G, 181, 18J, 19В и 20JJ.

6.L Полуметризуемые топологические векторные пространства и пространства Фреше

Если топологическое векторное пространство Е обладает счетной базой окрестностей нуля, то ассоциированная равномерная структура имеет счетную базу окружений, поэтому в силу

9 Птак пользуется терминами «открытое отображение» и «почти открытое отображение» в смысле, несколько отличном от нашего. В применении к отображению и*. Е-> F определение Птака совпадает с нашим, если в последнем заменить Е на и(Е').

п. 0.3.6 эта равномерная структура полуметризуема. Если, кроме того, пространство Е отделимо, то его равномерная структура метризуема. Приведем здесь доказательство леммы 0.3.6 для случая топологического векторного пространства.

Теорема. Для того чтобы равномерная структура {а следовательно, и топология) топологического векторного пространства Е была полуметризуема, необходимо и достаточно, чтобы в Е существовала счетная база окрестностей нуля. В этом случае его равномерную структуру можно определить с помощью полуметрики d, инвариантной относительно сдвигов, т. е. такой, чтоД^х, y)=d^x— у, 0).

Доказательство. Необходимость очевидна. Докажем достаточность. Пусть (Vn)—счетная база окрестностей нуля. Построим по индукции другую базу (t/n) уравновешенных окрестностей нуля так, чтобы Ux cz и

{

п 1 П М Р=1•

при п"> \. Определим на Е функцию g "> 0 следующим образом:

0 при х е Q Umg^ = kп \

2 при х е Uk х Uk+l, _ 1 при xeE\Uv

Очевидно, g(0)=0. Исходя из g, определим функцию f с помощью соотношения

f(x) = inf 5 g^xt\i = l

где нижняя грань берется по всевозможным конечным системам р

(xi)i<i< ^Р неограничено), для которых х= 2 xt- Ясно, что i = 1

функция f положительна и субаддитивна и что f^-g.

Докажем, что f>^g. Для этого индукцией по р покажем, р

что х = S влечет

/ = 1 р

g(x).(6.1.1)

Справедливость соотношения (6.1.1) очевидна при р = \. Пусть р'>\; допустим, что неравенство (6.1.1) установлено для всех р<р'. Положим

р'

а=5 gUA-

i-X

Если а = 0 или а^~, то неравенство (6.1.1) остается справедливым, если заменить р на р'. Это следует из того очевидного факта, что g ^ 1. Допустим, чтоО<а< ~. Пусть h — наибольшее из натуральных чисел г, для которых

Кг

(пустые суммы считаются равными нулю). Имеем тогда 1 <Ji ■< р' и

i < hKh + X

следовательно,

i > h

Так как h—\<p' и p'— h<pr> то по индуктивному предположению

g ( 2 ХИ ^ 2 2 ^^ < 2 • a = a; V < h /i < h

аналогично

g(£x')<a'

С другой стороны, g(Xh)^a.

Пусть ft— наименьшее натуральное число, для которого 2"й 4 a. Из определения функции g и из предыдущих неравенств следует, что ft>l, ^xteUk, S х£е Uk и xh^ Uk. Таким об- i < hi>h

разом, элемент x = ( 2 xA + xh + ( S ^^ принадлежит множе- \i<h /\l>h /

ству Uh+Uh-V-Uk, которое содержится в Uk-\. Но тогда g(x)<2'“ft<2a, откуда следует, что неравенство вида (6.1.1) справедливо и при разбиении х в сумму р' слагаемых. Индукция окончена и неравенство (6.1.1) установлено,

Таким образом, f^-^g; отсюда вытекает, что Uh содержит все те элементы х^Е, которые удовлетворяют неравенству f (х) <2~ft-b, в то же время при р>0 множество {xs£: f(x)^p} содержит Uh, для которых 2~ft<p. Следовательно, d(x, у) = = f(x— у) —полуметрика, определяющая равномерную структуру в Е. |

Замечания. (1) Приведенное выше рассуждение принадлежит Бурбаки [3, гл. IX]. Его можно приспособить к равномерным пространствам так, чтобы получить доказательство леммы 0.3.6.

Если пространство Е локально выпукло, то полуметрику можно построить непосредственно. Возьмем базу окрестности нуля ^UnU образованную открытыми (или замкнутыми) выпуклыми уравновешенными множествами. Пусть рп — функционалы Минковского множеств Un; тогда полуметрику d можно определить равенством

(X, Z/) = У 2"" ^к~^ .\ > У/ 1+рга(х_у)

п=1

Наиболее важными и исторически первыми метризуе- мыми (соотв. полуметризуемыми) топологическими векторными пространствами являются нормированные (соотв. полунормиро- ванные) пространства. Они, конечно, локально выпуклы.

Следуя Бурбаки, будем называть пространством Фреше всякое метризуемое полное локально выпуклое пространство. Каждое банахово пространство является пространством Фреше. Так называемые (F)-пространства по Банаху [1, гл. III] — это полные метризуемые, но не обязательно локально выпуклые пространства. В п. 6.1.3 и 6.1.4 мы приведем несколько важных конкретных примеров пространств Фреше, не являющихся банаховыми.

Факторизация полуметризуемых пространств. Пусть Е — по- луметризуемое топологическое векторное пространство, М— векторное подпространство в Е и /— естественное отображение пространства Е на Е]М. Так как f преобразует базу окрестностей нуля пространства Е в базу окрестностей нуля пространства Е]М, то по теореме 6.1.1 пространство Е(М полуметризуемо (и потому метризуемо тогда и только тогда, когда подпространство М замкнуто в Е). Кроме того, существует такая положительная субаддитивная функция x\—>N(x) на £, что N (х— у) есть полуметрика, определяющая равномерную структуру в Е. Определим на Е,М функцию N' по формуле

А/'(|)= influx): хб=ГШ

Функция N' положительна и субаддитивна. Если мы для каждого е>0 введем множества

UB = ^^E: Wto<e} и

U^h^E/M: N'®<^

то, как легко проверить, /(^е)=[/е. Отсюда следует, что множества Ue образуют базу окрестностей нуля в фактортопологии в Е]М\ поэтому полуметрика, соответствующая функции N\ определяет равномерную структуру в Е/М.-

Из этих замечаний можно вывести следующий важный результат.

Теорема. Если Е— полное полуметризуемое топологическое векторное пространство и М — векторное подпространство в Е, то факторпространство Е[М полно и полуметризуемо. В частности, если Е — пространство Фреше и М — замкнутое векторное подпространство в Е, то факторпространство Е)М есть пространство Фреше.

Доказательство. Второе утверждение непосредственно вытекает из первого. Для доказательства первого утверждения рассмотрим последовательность Коши (£п) в пространстве Е/М. Для того чтобы установить сходимость последовательности (^) в Е]М, достаточно показать, что некоторая се подпоследовательность сходится. Нам дано, что N'^—£п)-^0 при ш, п-^оо. Выберем подпоследовательность так, чтобы

Полржим а^ = 5П/г+| —^ и выберем ak е f1 ({о^}) так, чтобы

Тогда 5 N (ак)< + оо. Из субаддитивности функции N следует, что частичные суммы

sk = ах + ... + ак

образуют последовательность Коши в Е. Так как Е— полное пространство, то последовательность (sk) сходится к некоторому элементу в Е. Естественное отображение f пространства Е на EJM непрерывно, поэтому последовательность (/(s^)) сходится в пространстве Е[М. Но f(^s^ = ax-V ... + ak~^nk+x~%n > от" куда следует сходимость подпоследовательности (^). I

Замечание. В общем случае факторпространство полного топологического векторного пространства по векторному подпространству (замкнутому или нет) может и не быть полным. Контрпример имеется у Кёте [4]; см. также Гротендик [7, стр. 145, упр. 5].

Примеры. Если Т— a-компактное локально компактное пространство, то пространство С (Г) всех непрерывных числовых функций на Т становится пространством Фреше, если наделить его топологией локально равномерной сходимости (т. е. топологией равномерной сходимости на компактных подмножествах пространства Т, называемой иногда компактно-открытой топологией). Определяющая система полунорм получится, если взять базу Кп (^=1, 2, ...) компактных множеств в Т и положить

PnW —SUp|x|.

Кп

Если подчинить пространство Т более сильным ограничениям, то различные важные подпространства пространства С(Т) становятся пространствами Фреше, если наделить их индуцированной или более сильной топологией. Вот примеры.

(а) Если Т — открытое подмножество комплексной плоскости (или вообще комплексное аналитическое многообразие), то пространство голоморфных на Т функций образует замкнутое подпространство в С (Г) и, следовательно, есть пространство Фреше в индуцированной топологии.

(bj Если T=Rn или является открытым подмножеством в Rn, то пространство С°°(Г) всех бесконечно дифференцируемых функций на / образует векторное подпространство в С (Г). Оно не замкнуто в С (Г) и поэтому в индуцированной топологии не является пространством Фреше. Однако С°°(Г) становится пространством Фреше, если усилить в нем топологию до топологии локально равномерной сходимости функций вместе со всеми частными производными. Обозначим через /ь ..., tn координаты в Rn и через к— набор (^ь • ••, ^п) целых неотрицательных чисел, и пусть дк— дифференциальный оператор

^i+...+^

ьь *

at/ dt«

Систему определяющих полунорм для указанной топологии в С°°(Г) образуют функции

pr(x) = sup{|^(/)|: И К г, ^ + ^2+ ... +^„<г),

где г=|, 2Пользуясь локальными координатами, можно аналогичным образом топологизировать пространство С°°(Г)

для всякого вещественного дифференцируемого многообразия Т класса С°°. Если Г —риманово многообразие, то можно выделить в С°°(Г) гармонические функции. Они образуют замкнутое подпространство в С°°(Т), которое является поэтому пространством Фреше в индуцированной топологии.

(с) Векторным подпространством в C°°(Rn), играющим важную роль в теории распределений Шварца, является пространство ^(Rn) тех функций х е C°°(Rn), для которых конечна каждая из величин

Sr (х) = sup {(1+И)г 1^(01: te=Rn, Ъ + ... + ^<r}

(r=L 2, ...). Функции Sr являются полунормами на пространстве ^(Rn), которое будет пространством Фреше относительно топологии, определяемой этими полунормами. Пространство S^(Rn) содержит множество ^(R71) функций из C°°(Rn), имеющих компактные носители. Множество S)(Rn) всюду плотно в S?(Rn). (См. § 5.15* а также Л. Шварц [1, 2].)

Примеры из теории суммируемости. Пусть N — множество натуральных чисел. Обозначим через CN векторное пространство всех числовых (комплексных) последовательностей (т. е. функций на N). Относительно топологии поточечной сходимости CN есть пространство Фреше, которое фактически совпадает с пространством C(N) п. 6.1.3. Пусть А— бесконечная матрица, т. е. скалярная функция на произведении NXN. Обозначим через ЩА) множество тех xeCN, для которых ряд ^А{m, ri)x(rt) сходится при каждом т. Множество D(Л) яв

и N

ляется, очевидно, векторным подпространством в С , а матрица А определяет линейное отображение иА пространства 7)(Д) в CN, которое каждому элементу xeD(A") сопоставляет последовательность у = иА(х), определенную соотношениями

у(т) = 2Д(т, «)х(п) (mEN). (6.1.1) п

При соответствующих условиях (которые будут перечислены ниже, в примере 7.2.4) отображение иА переводит сходящиеся последовательности в сходящиеся и, возможно, некоторые расходящиеся последовательности в сходящиеся. В этом случае мы имеем нетривиальный способ сопоставить обобщенный предел некоторым расходящимся последовательностям, т. е. мы имеем тогда то, что (.несколько странно) называют методом суммирования^, ассоциированным с матрицей А. Такие методы сумми-

’) Это название объясняется тем, что впервые преобразования такого типа возникли в теории суммирования расходящихся рядов (при этом преобразованию с матрицей А подвергается последовательности частичных сумм ряда). — Прим, ред.

рования представляют большой интерес, а аппарат функционального анализа оказывается весьма полезным инструментом при их исследовании (см. Целлер [1—4], Мазур и Ор лич [1], Тэ тч е л [1]). Укажем здесь несколько полезных пространств Фреше, связанных с методами суммирования. Здесь и ниже мы приводим примеры применения общих теорем функционального анализа. Книга Целлера [4] с ее обширной библиографией служит стандартной ссылкой по этой тематике. См. также Кук [1, 2].

Как обычно, через /°°, с и с0 будем обозначать соответственно прос1ранство ограниченных, сходящихся и сходящихся к нулю последовательностей. Относительно нормы

||а:||оо = sup 1 а:(/г) |

пространство 1°° банахово, а с и с0— его замкнутые подпространства.

Зададимся матрицей Л и обозначим через В (Л), С(Л) и Со (Л) множества в В (Л), образованные теми последовательностями х, для которых иА^ принадлежит соответственно пространствам /°°, с и с0. Таким образом, имеют место включения Со (Л) cz С (Л) с= В (Л) с= О (Л); все эти множества являются векторными подпространствами в CN.

Для данной последовательности х и данного натурального числа к обозначим через skx к-сечение последовательности а, определенное соотношениями

( х(п) при п^к,

( 0 при п > к.

Очевидно, что sk (х) е D (Л) и что

Hm uA(skx) = uA(x>)

поточечно для каждого xeD(A^.

В качестве полунорм, определяющих естественную топологию в CN, возьмем функции

рп(х) = | х(га)|(л=1, 2, ...).(6.1.2)

Введем еще другие функции, которыми будем пользоваться в -теории суммирования как полунормами на Р(Д). Положим

Ча. m (х) - sup | ид (skx) <m> | =

— sup I S A^m, n)x(ra)l^ + oo (6.1,3)

для xgCn и натуральных чисел пг. Ясно, что q^m — полунорма на О (Л). Введем также функцию

^М-НилМИео^ + оо ^xeD^. (6.1.3')

Пространство В (Л) совпадает с множеством тех хеО(Л), для которых ^д(х)< + оо, причем qA— полунорма на В (Л).

Рассмотрим в пространстве В (Л) топологию Т А, определяемую системой полунорм рп, qA,m и qA> где пг и п независимо друг от друга пробегают множество N. Основной результат состоит в следующем.

►(1) Если 6 (Л) наделить топологией ТА, то оно стано

вится пространством Фреше. Векторные подпространства С (Л) и Со (Л) замкнуты в 6 (Л) и, следовательно, являются пространствами Фреше в индуцированной топологии.

Доказательство. Замкнутость подпространств С (Л) и Со(Л) в В (Л) следует из того, что подпространства с и с0 замкнуты в 1°°. Остается доказать, что пространство В (Л) лол но относительно топологии Т А. Пусть (xj есть Тд-последовательность Коши в 6(Л) и Уг = иА^х^. Тогда (z/i) есть последовательность Коши в /°° и, следовательно, существует такой элемент у е Z°°, что \\у— Уг11оо~^0 при i-^oo. В то же время (хг) есть последовательность Коши в CN относительно топологии поточечной сходимости, поэтому в CN существует поточечный предел х= Нгпхр Положим

supl 2 A(m, я) [х((/г) - х} (и)] I = Rm, t, bk yn^kI

Тогда для каждого пг имеет место равенство

Нт Rm,ta = 0,

j->OO

которое является следствием того факта, что (х^) есть последовательность Коши. Полагая /->оо, получаем

supl 2 Aim, п)[л:#(п) — л:(«)]I = V?m.,,(6.1.4)

k InCfeI

где lim Rm. i = 0 для каждого tn. Отсюда следует, во-первых I —> оо

(при фиксированном Z), что последовательность х принадлежит /)(Л) и, во-вторых, что поточечно

^д(х)= Ишг/д(х^) = lim^.

<->OQ<->W

Но yt-^y в Z°°, поэтому у = иА (л:)., Следовательно, последовательность х принадлежит В (Л) и иА^х^ ~^иА^ в /°°. Отсюда вытекают поточечная СХОДИМОСТЬ Х^-^Х, СХОДИМОСТЬ В Z°° Ua^X^ -> -^иА^ и соотношение (6.1.4), где limBm, z = 0 для каждого пг.

1-»оо

Это означает сходимость х<->х в смысле топологии Та* Полнота пространства В (Л), таким образом, установлена. |

Рассмотрим теперь множество Ка=К тех натуральных чисел п, для которых

sup | Л (m, н) |>0.пг

Очевидно, значение иА^ зависит только от сужения х\К. Далее всегда имеет место неравенство

\A(m, n)\pn(x)^2qAtm(x).

Поэтому для всякого п е КА существуют такое число а = а(Л, п) и такое натуральное число пг = т^, что

P^to<a- qA)Tnkx\(6.1.5)

В качестве следствия получаем:

(2) Пусть В*(Л)—множество тех последовательностей

х^В^Ау для которых x|N\KA = 0. Тогда топология ТА индуцирует в В* (А) топологию, совпадающую с топологией, определяемой полунормами qA и qA,m (m=lt 2, ...,). В частности, если Ka = N, то обе эти топологии совпадают в В^Ау

Аналогичное утверждение имеет место, когда А — матрица с финитными строками, т. е. когда каждому пг соответствует такое число пт, что А^т, м)=0 при п>пт. В этом случае B(A)=CN; кроме того, тогда

9д.тМ<Р(Л, mV supp„(x),(6.1.6)

где

р(Л, т) = 5 I Л (ли, п)|.

Таким образом:

Если А—матрица с финитными строками, то топология ТА совпадает с топологией, определяемой полунормами Ца и рп (п=1, 2, ...).

Важно заметить, что все предыдущие результаты без особых затруднений могут быть перенесены на случай, когда рассматриваются одновременно последовательность матриц Ат (г=1, 2, ...) и определенные ими методы суммирования. По опре-

делению полагаем тогда /НА, Л2, .. .) = Q £>МД S(Xb Л2,.. .) =

Г

= Р|В(Лг)и т. д.) Множество К а заменяем множеством Г

/<(ЛЬ Л2, .. .) = QК^АГ\ а топологию ТА — топологией Т(АЬ Г

Л2, ...), определяемой полунормами рп, qAf, qAr m, где n, m, г пробегают независимо друг от друга множество натуральных чисел. При этом справедливы аналоги утверждений (1), (2) и (3). Доказательства повторяют приведенные с очевидными видоизменениями.

В примерах 6.4.10, 7.2.4 и замечании (3) после предложения 9.3.9 мы вернемся к обсуждению этих вопросов.

Бочечные, инфрабочечные и ультрабочечные пространства

Бурбаки [7, стр. 143] был первым, кто выделил среди локально выпуклых пространств класс пространств, обладающих некоторыми важными свойствами банаховых пространств и пространств Фреше, без предположения метризуемости. Эти пространства характеризуются свойствами некоторых своих подмножеств, которые Бурбаки назвал бочками. Сами пространства были названы им бочечными. ' ’

Бочкой в топологическом векторном пространстве Е будем называть всякое его замкнутое выпуклое уравновешенное и поглощающее подмножество. Топологическое векторное пространство Е называется бочечным, если оно локально выпукло и каждая бочка в Е является окрестностью нуля. Читатель может заметить, что в каждом локально выпуклом пространстве существует база окрестностей нуля, состоящая из бочек.

Часто оказывается полезным следующее более слабое свойство. Локально выпуклое пространство называется инфрабочеч- ным, если каждая бочка в Е, поглощающая всякое ограниченное множество в Е, есть окрестность нуля в Е.

Другая характеризация бочечного пространства, без явного упоминания о бочках, дается теоремой 6.2.1 (2). Эта иная формулировка в значительной мере обязана своим существованием наличию третьего типа пространств, который будет введен ниже.

Для не локально выпуклых пространств В. Робертсон [1, стр. 249] ввел и исследовал свойство ультрабочечности. Попытки определить это свойство в терминах некоторых подмножеств (аналогичных бочкам) оказались затруднительными. По этой причине и для удобства ссылок в дальнейшем мы включим его точное определение в часть (1) теоремы 6.2.1. В части (2)

этой теоремы будет дана аналогичная характеризация бочечных пространств.

Укажем, кстати, «крайний» пример: векторное пространство Е, наделенное сильнейшей локально выпуклой топологией too (п. 1.10.1), бочечно.

Теорема. (1) Топологическое векторное пространство (Е, t) ультрабочечно тогда и только тогда, когда всякая линейная топология f в Е, обладающая базой окрестностей нуля из t-замкнутых множеств, слабее топологии t.

Локально выпуклое пространство (Е, /) бочечно тогда и только тогда, когда каждая локально выпуклая топология f в Е, обладающая базой окрестностей нуля, образованной t-замкнутыми множествами, слабее топологии t.

Доказательство. (1) Это определение.

Пусть пространство (Е, t) бочечно и топология /' обладает указанными свойствами. Пусть V—/'-окрестность нуля; она содержит /'-окрестность нуля, скажем V', которая является /-замкнутой. Так как топология /' локально выпукла, то V' содержит уравновешенную и выпуклую /'-окрестность нуля V". Тогда /-замыкание /'-окрестности Vм есть бочка в (£, /) и потому /-окрестность нуля. Так как /-замыкание окрестности V" содержится в V' и тем более в V, то V есть /-окрестность нуля. Таким образом, топология /' слабее топологии /, и, следовательно, условие (2) выполняется.

Обратно, пусть пространство (f, /) удовлетворяет условию (2) и Л — произвольная бочка в Е. Множества вида аЛ, где а>0, образуют базу окрестностей нуля для некоторой локально выпуклой топологии /', удовлетворяющей условиям утверждения (2). В соответствии с этим топология /' слабее топологии t, откуда следует, что бочка Л есть /-окрестность нуля. Итак, ^Е, /) — бочечное пространство. |

Замечания. (1) Из теоремы 6.2.1 легко следует, что всякое локально выпуклое ультрабочечное пространство бочечно. Для локально выпуклых пространств справедливы следующие импликации:

ультрабочечность ==> бочечность =^> инфрабочечность

Пример, приведенный у В. Робертсона [1, стр. 256] и принадлежащий Вестону, показывает, что бочечное пространство может и не быть ультрабочечным.

В п. 7.1.1 и 8.9.6 мы еще встретимся с другими важными и интересными характеризациями бочечных пространств. Сейчас мы продолжим исследование свойств и приведем ряд важных примеров рассматриваемых пространств.

Теорема. Всякое нетощее топологическое векторное пространство (см. п. 0.3.15) улътрабочечно. Всякое нетощее локально выпуклое пространство бочечно.

Доказательство. Второе утверждение непосредственно следует из первого. Допустим, что (Д /) — нетощее топологическое векторное пространство и что V— некоторая линейная гопология в Е, обладающая базой окрестностей нуля, образованной /-замкнутыми множествами. Пусть U — некоторая ^-окрестность нуля. Покажем, что U есть /-окрестность нуля. Из свойств топологии f вытекает существование такой уравновешенной /-замкнутой /'-окрестности нуля V, что V+Vcz U. Так как пространство Е есть объединение множеств вида nV (м=1, 2, ...), каждое из которых /-замкнуто, и пространство (Е, t) нетоще, то существует такое п, что /-внутренность множества nV не пуста. Множество V содержит тогда некоторое множество вида x+W, где х^Е и W—/-окрестность нуля. Из соотношений

U => V+ V- V+ (-V) id W+ (-№)

следует, что U есть /-окрестность нуля. Топология /', таким образом, слабее топологии /. |

Следствие. Всякое полное полу мет ризуемое топологическое векторное пространство улътрабочечно.

Замечание. Очень важно (§ 6.3 и п. 8.3.7), что нетощие топологические векторные пространства — не единственные уль- трабочечные пространства. В этом большая практическая ценность этого понятия. Заметим также, что существуют полные ультрабочечные, но не метризуемые топологические векторные пространства. Это следует из того, что произведение любого числа полных метрических пространств является бэровским пространством (Бурбаки [7, стр. 146, упр. 7]).

Теорема. (1) Пусть Е и F — топологические векторные пространства и f — непрерывное линейное открытое отображение Е на F. Если Е — улътрабочечное (соотв. бочечное) пространство, то и F — улътрабочечно (соотв. бочечно). В частности, любое факторпространство улътрабочечного (соотв. бочечного) пространства улътрабочечно (соотв. бочечно).

Пусть Е— топологическое векторное пространство, Е— его пополнение и F — векторное подпространство в Е, содержащее Е. Если пространство Е улътрабочечно (соотв. бочечно), то и пространство F улътрабочечно (соотв. бочечно).

Доказательство. В каждом из этих случаев достаточно рассмотреть только ультрабочечный случай. Для бочечных пространств доказательство аналогично.

Пусть s и /— исходные топологии пространств Е и F соответственно. Допустим, что линейная топология f облагает базой окрестностей нуля, образованной /-замкнутыми множествами V. Тогда множества ЩУ) s-замкнуты и образуют, базу окрестностей нуля для некоторой топологии s'. Так как пространство Е ультрабочечно, то топология s' слабее топологии s. Таким образом, каждое из множеств f-1(V) есть s-окрестность нуля. Поскольку отображение / открыто, то множество Ш'ЧЮ) есть /-окрестность нуля. Из включения f(f"*(^)) ^ У вытекает, что тем же свойством обладает и V. Следовательно, топология /' слабее топологии /, и поэтому пространство F ультрабочечно.

Пусть / — исходная топология пространства E,t— топология пространства Е и f— линейная топология в F, обладающая базой окрестностей нуля, образованной множествами V, замкнутыми в топологии /|Л Мы покажем, что множество V есть окрестность нуля в топологии t\F. Множества VC\E являются /-замкнутыми и образуют базу окрестностей нуля некоторой топологии в Е. Так как Е— ультрабочечное пространство, то эта топология слабее топологии t. Поэтому каждое множе- ство VDE содержит /-окрестность нуля, так что множество VUE (замыкание в Е) есть /-окрестность нуля. Следовательно, множество УПЕЛЕ является ?(F-окрестностью нуля. Тогда тем более множество TDF есть / (F-окрестность нуля. Но Vf\F=V1 ибо множество V замкнуто в топологии t\F. Таким образом, V есть /[F-окрестность нуля. |

Теорема. Произведение любого числа бочечных (соотв. инфрабочечных) пространств бочечно (соотв. инфрабочечно).

Мы нигде существенно этим результатом не пользуемся, поэтому его доказательство перенесено в упр. 7.23.

В общем случае замкнутое векторное подпространство бочечного пространства может не быть бочечным (в индуцированной топологии). Это следует из упр. 6.17 и 6.18. Второе из этих упражнений доказывает существование полных (неметри- зуемых) отделимых локально выпуклых пространств, не являющихся бочечными (см. также замечание (4) после теоремы 7.3.3). Однако если Е бочечно, а М — векторное подпространство в Е, допускающее топологическое дополнение, то подпространство М бочечно (упр. 6.19).

Существуют неполные нормированные векторные пространства, которые нетощи и потому бочечны (упр. 6.23). Существуют также нормированные векторные пространства, которые бочечны и тощи (Бурбаки [7, стр. 273, упр. 10]).

Прежде чем перейти к дальнейшим примерам бочечных пространств, мы немного уклонимся в сторону. Мы рассмотрим в высшей степени важный процесс образования так называемых индуктивных пределов. Этот процесс позволяет по заданному семейству топологических векторных пространств построить новое топологическое векторное пространство и служит эффективным средством исследования топологических векторных пространств, естественно возникающих в теории обобщенных функций.

Индуктивные пределы пространств

Пусть Et (i^I) —семейство топологических векторных пространств, Е — векторное пространство, фг-: Ei-^E— линейные отображения и Е = и^^- Среди локально выпуклых тополо*

I

гий в Е. относительно которых непрерывны все отображения фг, существует сильнейшая; назовем ее ^. База окрестностей нуля в топологии 9” образована теми выпуклыми поглощающими множествами W cz Е. для которых множество Ф^ЧЮ является окрестностью нуля в Et при каждом L (Линейность топологии 9" вытекает из того, что множество W выпукло и у W + ~ W cz W. Это свойство может нарушиться, если опустить условие локальной выпуклости.) Топологию 9” в Е называют индуктивным пределом топологий пространств Ei (или индуктивной топологией) относительно отображений ф{. Пространство Е. наделенное топологией 9". называют индуктивным пределом семейства топологических векторных пространств Ei относительно отображений фг. Бурбаки [7, стр. 84] ограничивается случаем локально выпуклых пространств Е^ который, конечно, практически наиболее важен. См. также Себаштьян э Сильва [1].

В том частном случае, когда каждое Et — векторное подпространство в Е. а фг-: Ei->E — вложение, мы будем говорить о внутреннем индуктивном пределе. В п. 7.3.5 мы увидим, что многие локально выпуклые пространства представимы в виде внутренних индуктивных пределов полунормированных пространств.

Определенные таким образом индуктивные пределы близки к прямым пределам, используемым в алгебре. Опи вводятся параллельно с так называемыми проективными, или обратными, пределами. Их подробное описание в применении к группам и модулям (для нужд теории когомологий) имеется у Стин- рода и Эйленберга [1, гл. VIII]. (См. также Келли и На мио к а [1, стр. 9—11 и задача 81, 16С, 19А, 19В и 22С]) ,

Приведем ряд важных примеров индуктивных пределов.

Пространство 25 (Т). Обозначения те же, что и в § 4.1. Пусть S— относительно компактное подмножество в Т. Через 55 (Т, S) обозначим множество тех функций feJ^(jT), носитель которых содержится в S. Каждое из множеств 55 (Т, S) есть подпространство в 55 (Т) и пространство ^(Т) есть объединение подпространств 55 (Т, Si), где семейство (Si) —база относительно компактных подмножеств в Т (т. е. каждое множество Si относительно компактно и каждое относительно компактное множество в Т содержится в некотором множестве SJ. Если каждое из подпространств 55 (Т s S) наделить равномерной нормой

nni = sup{|/(0 I: t^T\

то оно становится банаховым пространством.

Выбрав базу (Si) относительно компактных множеств в Т, мы можем наделить пространство 55 (Т) индуктивной топологией относительно вложений фг подпространств 55 (Т, Si) в 55 (Т).

Несложно показать, что полученная таким образом индуктивная топология не зависит от выбора базы (Si) относительно компактных множеств. Достаточно только заметить, что при S cz S' топология пространства 55 (Т, S') индуцирует в 55 (Т, S) исходную топологию.

Согласно общей теореме 6.3.2, сопряженное к пространству 55(Т), топологизированному как индуктивный предел банаховых пространств, совпадает с пространством мер Радона, определенных в § 4.3.

Пространство пробных функций в теории распределений. Вернемся к ситуации, описанной в § 5.1, и воспользуемся введенными там обозначениями. Нашей первой задачей будет интерпретировать S)(Q) как индуктивный предел. Как мы видели в § 5.1, каждое из подпространств 2)(Q, S) пространства S)(Q) (S — относительно компактное множество в Q) является про- странстом Фреше, если наделить его топологией, определяемой полунормами

Af,„(f) = sup {| д^/Ь) |: хей, IpKm},

где пг пробегает все (или достаточно широкое) множество натуральных чисел. Если (Si)—база относительно компактных множеств в Q, то <2^ (Q) = (J 25(Q, Sz). Обозначим через фг- вложение подпространства 2)(Q, Si) в S)(Q) и наделим пространство Ф(й) индуктивной топологией, определяемой пространствами Ф^, Si) и отображениями ф^. Легко проверить, что полученная таким образом топология в действительности не зависит от выбора базы (5г). В частности, можно воспользоваться соответствующим образом подобранной счетной базой (SJ. Та-

ким образом, пространство S)(Q) является индуктивным пределом последовательности пространств Фреше.

Аналогично пространство S)m^ Un— натуральное число или 0; см. § 5.8) можно топологизировать как индуктивный предел последовательности банаховых пространств S)m(Q, S^) U=k ...)•

По теореме 6.3.2 сопряженное к 2)т(Й) совпадает с пространством £ZXm(Q) (O^w^oo).

Нетрудно указать определяющее семейство полунорм для индуктивной топологии в S)™(Q) при 0 ^ т ^ оо. Один из способов сделать это (Л. Шварц [1, стр. 67]) состоит в выборе такой фиксированной последовательности (Ог)/>о открытых относительно компактных в Q множеств, что Qo = 0, Qrc=Qr+1 и Q=(jQr. Каждой возрастающей последовательности s=(sr) г >0

неотрицательных целых чисел и каждой убывающей последовательности 8= (ег) строго положительных чисел, стремящихся к нулю, сопоставим полунорму

NS) e(qp) = sup sup (е^11 dpqp(x)|: xeQ\Qr, IpKsJ. ’г > 0

Утверждается, что NS) е образуют определяющее семейство полунорм для 2)(Q), причем при т<оо аналогичную роль играют полунормы NS)^ для которых sr = m при всех г.

Докажем это утверждение для случая т = оо. Начнем с почти очевидного замечания, что /Vs, е непрерывно на ®(Й). Для этого достаточно проверить, что для каждого компактного множества К cz Q сужение ЛД 6|S)(Q, К) непрерывно, а это совершенно очевидно. Кроме того, мы должны показать, что если U — замкнутая выпуклая окрестность нуля в индуктивной топологии, то можно так выбрать $ и е, что U будет содержать каждую функцию фе^(й), для которой NS) 6(ф)^ 1. Множество U обладает тем свойством, что для каждого г найдется такое целое sr 0 и такое бг>0, что U содержит каждую функцию (pE®(Qj с носителем в Qr+2, удовлетворяющую неравенству |дрф|^дг при \p\-CsT. Можно считать, что с возрастанием г числа sT возрастают, а 8, убывают. Выберем и зафиксируем положительные функции рг в S)(Q) так, чтобы 2рг=1 на Q и носители функций 'г

рг содержались в Qr+2\Qr. Функцию ф можно записать тогда в виде суммы следующего ряда:

Г

причем этот ряд конечен для каждого фЕ0(О). Так как U— выпуклое и замкнутое множество, то ф принадлежит U, если для всех г функции 2г+1ргф принадлежат 1Л

Производная дР(р,ф) является конечной линейной комбинацией производных ^®рг и д4'^ с M^IpI и |9,|^|р|- Так как произведение 0гф рассматривается только для значений функции ф на Qr+2\Qr, то несложные рассуждения показывают, что для каждого г найдется такое число kr, что соотношение

| д^ф | ^ ег для х е Q \ Qr и | р | ^ sr влечет соотношение

12г+'^р (ргф) | < ^ег для | р К sr.

Поэтому если выбрать гт так, чтобы &Г8Г^6Г, то в силу неравенства NSl^^^ 1 имеем 2г+'ргфе U для всех г, откуда вытекает, что ере U, что и требовалось доказать. |

Другой способ выбора определяющего семейства полунорм описан у Гординга и Лионса [1, стр 21].

Тот факт, что индуктивная топология в 2)m(Q) определяется полунормами Ns, е, позволяет установить некоторые важные следствия, три из которых мы здесь приведем.

Пусть S— относительно компактное множество в Q. Индуктивная топология пространства 2Dm^^ индуцирует в пространстве 5)m(Q, S) его исходную топологию.

Доказательство. Существует такой индекс г* = г*^, что SczQr*. Для функции <p^S)m(Q, S) имеем тогда

Ns, Е(ф) = - sup sup (е^1 |дрф(x) |: x e Q \ Q„ | p | <sr).

Используя результаты §5.1, легко установить, что сужения

^.el^^ 5)

определяют в ®mt5^ S) его исходную топологию. |

Множество в S)m(Q) ограничено в индуктивной топологии тогда и только тогда, когда оно содержится и ограничено в 3>m(Q, S) для некоторого относительно компактного множества S в й. (См. также упр. 6.24.)

Доказательство. Из определения индуктивной топологии следует, что всякое ограниченное множество в S)m(Q, S) ограничено в индуктивном пределе. В силу (а) для доказательства обратного утверждения достаточно показать, что всякое ограниченное множество В в Фт^ содержится в некотором подпространстве S)m(Q, 8). В противном случае можно выбрать точки xreQ\Qr и функции ц)г^В так, чтобы фг(хг)=£0. Если положить 8Г = ^-1 |фг(^г) |» то полунорма Ns, 6 будет неограничена на В, а это противоречит предположению ограниченности множества В в 3)т^). |

Пространство ^^(Q) полно.

Доказательство. Пусть (ф^) — сеть Коши в 3)m(Q). Это означает, что для каждой полунормы Ns> 6 из определяющего семейства найдется такой индекс t0, что

^.«(ФеФ/Х*(6.3.1)

для индексов I, ]\ следующих за t0. [Привычнее вместо 1 в правой части неравенства (6.3.1) видеть наперед заданное малое число />0, но это в точности то же неравенство (6.3.1), в котором е заменено на /е= (/во, /еь ...).]

Выбрав соответствующим образом s и е, можно показать, что* сеть (д^срг) локально равномерно сходится на Q для каждого р (или при т<оо для каждого р с \р\^.ту Поэтому существует такая функция (pECm(Q), что д^-э-д^ф локально равномерно для каждого р. Применяя неравенства (6.3.1) для случая s= (0, 0, ...), получаем, что носитель функции ф компактен и, следовательно, (peS)m(Q). Тогда для всякой последовательности 8

| ф; (х) — ф/ (х) | ^ гТ для х е й \ йг

при ц j, больших некоторого t0. Полагая /—^оо, получаем

I Ф/(я) — ф(х) |^8Г для xeQ\Qr

при i^ Iq. Так как функция фг-0 имеет компактный носитель, то|ф(х)|^8г на Q\Qr

для достаточно больших г. Так как последовательность 8 произвольна, то носитель функции ф компактен. Действительно, в противном случае существуют такие точки xreQ\Qr, что ф(хг)=£0, а это противоречит полученному неравенству, если взять ег = ~| ф(хг) |. Таким образом, функция ф принадлежит ^(Q).

Остается показать, что Ншф^ф в индуктивной топологии. t

Для этого достаточно доказать, что Ns^^t — ф) <И Для достаточно больших индексов t при произвольном выборе s и е. Но это следует из неравенства (6.3.1) и из поточечной сходимости на Q сети (д^фг) к д^ф для каждого р. Это становится более очевидным, если выписать неравенство (6.3.1) в явном виде:

I dp^i (х) — д^ф/ (х) | ^ ег для х е Q \ Qr и | р | ^ sr.

Полнота, таким образом, доказана. |

Замечания. (1) Если пространство Т о-компактно, то те же рассуждения применимы к пространству 3f(J^ которое формально совпадает с ^°.

Утверждения (а) и (Ь) неверны для произвольных счетных внутренних индуктивных пределов пространств Фреше. Контрпример к (а) приведен ниже, в (3). В § 6.5 мы увидим, что утверждение (Ь) остается справедливым для довольно широкого класса индуктивных пределов. При этом используются рассуждения более общего характера.

Пространства функций, голоморфных на некотором замкнутом множестве. Если Q — открытое множество в комплексной плоскости (или, более общим образом, некоторое комплексное аналитическое многообразие), то пространство Н(Q) голоморфных на Q функций естественно топологизируется топологией локальной равномерной сходимости (см. пример 6.1.3(a)). Допустим теперь, чго Т — замкнутое подмножество комплексной плоскости (или некоторого комплексного аналитического многообразия). Принято говорить, что функция f (принимающая комплексные значения) голоморфна на Г, если она определена и голоморфна на некотором открытом подмножестве плоскости (или многообразия), содержащем Т. Это открытое множество зависит от f. Полезно (см., например, Гротендик [5, 6]) наделить множество этих функций структурой локально выпуклого пространства.

Первая трудность заключается в том, что само по себе это множество не является даже векторным пространством ввиду того, что его элементы — это функции с различными областями определения. (Это вызывает затруднения с определением нулевого элемента и вычитанием.) Однако эту трудность можно обойти простой факторизацией по некоторому отношению эквивалентности. Если Q — открытое множество, содержащее Т, то через Н ^Щ будем обозначать векторное пространство голоморфных на Q функций. Пусть f и V— функции, принадлежащие соответственно пространствам Н ^^ и Н ^Y Будем говорить, что они эквивалентны, если они совпадают на некотором открытом множестве, содержащем Т. Класс эквивалентности по этому отношению, содержащий данную функцию /, будем называть ростком (голоморфной) функции / на Т. Множество всех таких ростков функций на Т образует векторное пространство. Алгебраические операции определяются, как обычно, с помощью выбора представителей с общей областью определения. Например, для того, чтобы составить сумму двух ростков функций, скажем / и g, выберем представителей f и g соответственно в f и g с общей областью определения (так, если f0 и g0— любые два представителя, то пусть f и g суть сужения функций [о и go соответственно на область (domf0) П (domgo)). По определению f+g—это росток функции f + g.

Обозначим через Н(Т) векторное пространство ростков функций на Т. Возьмем некоторую базу (Q2) открытых множеств, содержащих Т. Пусть фг- при каждом i — отображение пространства Н(Йг) в Н(Т), которое переводит функцию fe е Н (Q) в ее росток f. Тогда пространство Н (Т) можно наделить индуктивной топологией относительно отображений фг-, где каждое из пространств Н(Qt) топологизировано указанным выше способом.

Если множество Т оказывается настолько широким, что всякая функция из //(Q) (Q 2D Т, Q открыто), обращающаяся в нуль на Т, равна нулю всюду на некотором (сколь угодно малом) открытом множестве, содержащем Т, то можно считать элементы из Н (Т) функциями, определенными на Т. Однако в том важном частном случае, когда Т сводится к одной точке, такой взгляд на элементы из Н(Т) совершенно неверен.

Читатель может также заметить, что пространство Н(Т) представимо как индуктивный предел банаховых пространств, по крайней мере если Т относительно компактно. Для этого достаточно воспользоваться пространствами Нм^Г) ограниченных голоморфных функций на Q^. Пространства Hbd^i) наделяются топологией равномерной сходимости на Q,, а множества Пг пробегают базу открытых относительно компактных множеств, содержащих Т. Вместо пространств Hbd^i) можно даже использовать пространству функций, голоморфных на Пг и непрерывно продолжаемых на Qf. Если множество Т относительно компактно, то любой выбор упомянутой выше базы (Q2) приводит к одной и той же топологии в ЩТ).

Замечания. Приведенные выше примеры (1) и (2) — это примеры внутренних индуктивных пределов (каждое Et— векторное подпространство в Е, а фг — соответствующие вложения). Существуют и другие специальные индуктивные пределы, например строгие внутренние индуктивные пределы (Бурбаки [7, стр. 87]), и даже еще более специальные, например ^-пространства Дьёдонне и Шварца [1]. Сейчас же мы рассмотрим основные свойства, общие всем индуктивным пределам.

Теорема. Всякий индуктивный предел бочечных (соотв. инфрабочечных) пространств есть бочечное (соотв. инфрабочеч- ное) пространство.

Доказательство. Пусть Е— индуктивный предел пространств Ei относительно отображений ф^

Если А — бочка в Е, то множества фгЦЛ) будут бочкой в Еь поэтому срг1 (/1) — окрестность нуля в Е^ Следовательно, А—• окрестность нуля в индуктивной топологии. Случай инфрабочечных пространств исследуется аналогично. |

Теорема. Пусть Е— индуктивный предел пространств Ei относительно отображений срг*. Пусть далее F — локально выпуклое пространство и отображение и*. E-^F линейно. Отображение и непрерывно тогда (и только тогда), когда отображение ио^: Ei-^F непрерывно для каждого i.

Доказательство. Пусть V — выпуклая окрестность нуля в F. По условию множество U=u*'(V) таково, что 'q^1 (U) — окрестность нуля в Et для каждого I. Так как множество U выпукло и поглощающе, то оно — окрестность нуля в Е. |

(См. также Макаров [1], Словиковский [1—3], Кому- Р а [1].)

Некоторые примеры. Рассмотрим возникающие в теории обобщенных функций пространства 2 (Q) и 2т^), превра* щенные в локально выпуклые пространства описанным в примере (2) способом. Каждое из них есть индуктивный предел пространств Фреше (во втором примере даже банаховых пространств). Поэтому (следствие 6.2.3 и георема 6.3.1) эти пространства бочечны. То же самое верно и для пространства «^(Г), топологизи’рованного так же, как и в примере (1). Ни одно из этих пространств не метризуемо, за исключением 3f (Т) в случае компактного множества Т (когда ^(Г)— банахово пространство). Для доказательства неметризуемости всех остальных пространств можно воспользоваться теоремой § 6.5.

Некторые теоремы об открытом отображении

и замкнутом графике

Начнем с общей леммы, характеризующей те свойства метризуемости, которые существенны для рассматриваемых ниже теорем.

Лемма. Пусть X — полное полуметризуемое пространство, У— равномерное пространство и d— некоторая полуметрика в X. Через Вт(х) обозначим открытый шар в X с центром в х и раду сом г > 0, через пх и л у—проекции произведения XxY соответственно на X и Y. Пусть S — замкнутое подмножество произведения XxY, обладающее следующими свойствами*, для каждого г > 0 существует такое окружение Т (равномерной структуры в У), что соотношение (х, у) г S влечет включение

лДЗПл-^йДх))) ZD Т (у).(6.4.1)

Тогда для всех г>0, е>0 и (х, у) ^S имеют место включения ^Y^S П л"1 ^Вг+Дх^ zd ^5Л^ЩВД^))=э Т^у\ (6.4.2)

Если, кроме того, множество лу(5) плотно в У, то лу(5) = У.

Доказательство. Эта лемма принадлежи! Келли [1, стр. 270] и доказывается в два этапа, первый из которых вспомогательный. Если ЛсгХ, то для краткости множество лу(5 П л^1 (Л)) будем обозначать через Sy (Л).

Для заданных множеств A cz X и элемента уеВг(Л) существует множество.В cz Y произвольно малого диаметра, удовлетворяющее условиям АПВ+0 и yeSy(B).

Действительно, пусть г>0. Возьмем симметричное окружение F, такое, что из отношения (х, y)^S следует (6.4.1). Выберем элемент у' е Sy (Л) (YF(y) и затем элемент а^А так, чтобы (а, у') eS. Тогда у' принадлежит множеству F(r/'), которое содержится в Sy(Br(^z)), и шар Вт^ имеет диаметр 2г. Поэтому остается только взять В = ВГ^ с достаточно малым г.

Покажем, что

у е SY(Br (х)) =^у^8у(Вг+г (х)).

Пусть Л0 = Вг(х). По индукции выберем множества AnczX так, чтобы АпПАп+1^0, диаметр множества Ап был меньше е/2п+2 и уеу(Ап). Такой выбор возможен в силу (1). В каждом из множеств АпПАп+1 возьмем по элементу хп. Легко видеть, что

i пЛ.р

для любого натурального р, так что (хп) есть последовательность Коши. Поскольку пространство X полно, то последовательность (хп) сходится к некоторой точке а е X. Ясно также, что d^x, а) <г + е. Возьмем некоторую окрестность U точки а. Так как yeSy^, то каждая окрестность N точки у содержит некоторую точку у' е5у(Лп). Поэтому существует такая точка /еЛп, что ^x\y'^^S. Имеем

d(x\ a^<,d<xm x^-Vd<xm а) < диаметр (ЛЛ--^-.

Отсюда следует, что при достаточно больших п х' е U и у' е ^Sy^U), т. е. yeSy^.

Если N— произвольная окрестность точки у, то Sy^U) пересекает N. Поэтому существуют такие точки хм ^U и у" е М, что ^"^eS, т. е. 8ГЦихХПФ0. Так как множество S замкнуто, то (а, у) ^8. Таким образом, из ае6г+е(х) следует, что у е Sy (Вг+£(х)), что и требовалось доказать.

Если, наконец, множеслво лу(5) плотно в У, то для всякого элемента у ее Y можно выбрать точки Xi и у\ так, чтобы

^xx,yx^S и у^Т(ухУ Тогда из соотношений (6.4.2) следует, что у е л у (S). ■

Из этой леммы можно получить разные теоремы об открытом отображении и замкнутом графике, применимые к топологическим группам (Келли [1, стр. 281], Хусейн [4]).

Мы перейдем, однако, к случаю топологических векторных пространств.

Обозначения. С этого момента впредь до п. 6.4.7 Е и F — топологические векторные пространства, Ео— векторное подпространство в Е, Fq— векторное подпространство, плотное в F, и; Ео-> F и у: Fq->E— линейные отображения. (Время от времени Eq будет предполагаться совпадающим с Е, или Fo — совпадающим с F, или и то и другое вместе.) Отображение и называется почти открытым, если множество u^Eq^U) (замыкание берется в F) является окрестностью нуля в F для всякой окрестности нуля U в Е. Отображение и называется почти непрерывным, если множество и-1 ((7) есть окрестность нуля в F для каждой окрестности нуля U в Е. Читатель может заметить, что если u^Eq) нетоще в F, то отображение и почти открыто, и если Fo нетоще в F, то отображение и почти непрерывно.

Теорема. Пусть Е— полное полу мет ризуемое пространство. Тогда справедливы следующие два утверждения (обозначения и терминология описаны выше).

Если график отображения и замкнут в произведении ExF и и почти открыто, то и есть открытое отображение Eq на F (т. е. u(Eq)=F и и переводит относительные окрестности нуля в Eq в окрестности нуля в F).

Если график отображения и замкнут в произведении FxE и v почти непрерывно, то Fq = F и отображение v непрерывно (т. е. множество о^Ци) есть окрестность нуля в F для всякой окрестности нуля U в Е).

Доказательство, (а) В лемме 6.4.1 положим Х = Е, Y=F и S = Gr и = Цх, и(х)у. x^EqY Тогда множество, обозначаемое нами через Sy (Л) или лу (S f] n~! (Л)), является не чем иным, как и^оАЛ), где А— некоторое множество в Е. Легко также видеть, что условие, выраженное соотношением (6.4.1), эквивалентно предположению, что и — почти открытое отображение. Замкнутость графика отображения и в ExF означает, что S — замкнутое подмножество в произведении ExF. Наконец, в силу леммы 6.4.1 и переводит относительные окрестности нуля в Eq в окрестности нуля в F, те е. и — открытое отображение Eq на F.

Вторично воспользуемся леммой 6.4.1. На этот раз в качестве S возьмем множество ии(УУ УУ У^^о}» т. е. отражение относительно диагонали графика отображения и. В этом случае Sy (Л) = zH (Л).

В остальном доказательство такое же, как и в случае (а).|

Следствие. Пусть Е— полное полуметризуемое пространство, F— отделимое пространство. Всякое непрерывное почти открытое линейное отображение w. E-+-F есть открытое отображение пространства Е на F.

Доказательство. В этом случае Е0 = Е, и поскольку и непрерывно, а пространство F отделимо, то график отображения и замкнут в произведении ExF. 1

Перейдем теперь к следующему этапу, когда на F накладываются ограничения, позволяющие исключить явные требования и почти открытости и и почти непрерывности и.

Теорема. Пусть Е— полное полуметризуемое пространство.

Пусть график отображения и замкнут в произведении ExF. Если пространство F ультрабочечно и и^Е0) совпадает с F или нетоще в F, то и — открытое отображение на F.

Пусть график отображения и замкнут в произведении FxE. Если пространство F ультрабочечное и Fo совпадает с F или нетоще в F, то F0 = F и отображение v непрерывно.

Доказательство. В силу теоремы 6.4.2 достаточно установить, что если U — уравновешенная окрестность нуля в Е, то каждое из множеств 1/ = ^(£0П ^), W=irx(JJ) является окрестностью нуля в F. Выберем такую уравновешенную окрестность нуля Ux в Е, что Ux + lAcz U, и определим множества 1^ и №1 с помощью Ux так же, как множества U и W определены с помощью U. Имеем

«(£o)c=U{^i: ^=1, 2, ...} и

Fo^LK^: /г=1, 2, ...}.

Если множество и^Е0) нетоще в F, то для некоторого п множество nV\, а следовательно, и само множество Vi имеет внутренние точки. Аналогично доказывается такое же утверждение о множестве И^, если множество Fo нетоще в F. Так как каждое из множеств Vi. и IFi уравновешено, то множества Vi + Vi и Wi + IFi являются окрестностями нуля в F. Но Vj + ViCzV и Wx + W\ cz W, поэтому множества V и W действительно суть окрестности нуля в F,

Допустим теперь, что ^(£о) — F и что пространство F ультра- бочечно. В этом случае замечаем, что множества V, получающиеся, когда 77 пробегает систему окрестностей нуля в Е, образуют базу окрестностей нуля некоторой линейной топологии в F. Каждое множество V замкнуто в исходной топологии пространства F, поэтому из ультрабочечности F следует, что полученная топология в F слабее исходной (теорема 6.2.1 (1)). Каждое из множеств V является, таким образом, окрестностью нуля в F. Если пространство F ультрабочечно и FQ = F, то аналогичным образом доказывается, что множество W является окрестностью нуля в F. |

Замечания. (1) Можно попытаться отбросить в теореме 6.4.4 (а) условие полноты пространства Е за счет наложения дополнительных ограничений на отображение и. В. Робертсон [1] показал, что это действительно можно сделать, потребовав, чтобы отображение и удовлетворяло некоторому условию, обеспечивающему возможность соответствующим образом продолжить отображение и на пополнение пространства Е. К этому продолжению затем применяется утверждение (а) в приведенной здесь форме.

Если в утверждениях (а) или (Ь) предположить дополнительно, что пространство Е локально выпукло, то ультрабо- чечность пространства F можно заменить на бочечность.

Если пространство F (соотв. Е) не является отделимым, то (а) (соотв. (Ь)) становится неверным просто потому, что тогда никакое отображение и (соотв. и) не может иметь замкнутого графика в произведении ExF (соотв. FxE). Можно попытаться обойти эту трудность следующим образом.

Рассмотрим сначала_случай (а). Образуем отделимое фак- торпространство Fc=F,{0Y Пусть f— естественное отображение F на Fc. Возьмем отображение uc = fou вместо отображения и. Так как отображение f открыто и непрерывно, то оно переводит нетощие множества в нетощие. Если пространство F бочечно или ультрабочечно, то таким же будет и пространство Fc (теорема 6.2.4(1)). Если график отображения ис замкнут в ExFe, то мы можем заключить, что отображение ис открыто, т. е. что множество ^(Е0Г] 77)+{0} является окрестностью нуля в F, когда U есть окрестность нуля в Е. Поэтому если ^(Е0А{0} о {0}, го отображение и будет открытым. _

В случае (Ь) образуем факторпространство Ec = EjVOY Пусть е — естественное отображение Е на Ес; рассмотрим отображение uc = eou вместо отображения и. Если график отображения ис замкнут в FxEc, то оно непрерывно, откуда следует также непрерывность отображения V,

Теорема 6.4.4 уже содержит формы теорем об открытом отображении и замкнутом графике, применимые к полным ме^ тризуемым топологическим векторным пространствам и приведенные в начале главы. Это непосредственно вытекает из следствия 6.2.3.

Важен частный случай, когда отображение и предполагается взаимно однозначным.

Теорема (об обратном операторе). Пусть Е, Е^ F и и те же, что и в теореме 6.4.4 (а). Если отображение и взаимно однозначно, то и^Е^ = F и и~х есть непрерывное отображение пространства F в Е.

Доказательство. Из теоремы 6.4.4 (а) следует, что и — открытое отображение Ео на F. Так как отображение и взаимно однозначно, то это эквивалентно утверждению, что отображение и-х существует и непрерывно на F. ■

Замечание. Как это следует из замечания (2), следующего за теоремой 6.4.4, если Е еще и локально выпукло, то достаточно, чтобы F было бочечным.

Следствие. Пусть векторное пространство' Е становится полным полуметризуемым топологическим векторным пространством при наделении его каждой из двух топологий t, V. Допустим также, что для любых двух различных точек х и х' из Е существуют неперсекающиеся t-окрестность U точки х и V-ok- рестность СР точки х'. Тогда топологии tut' отделимы и совпадают. .

Доказательство. Пусть и — тождественное отображение (Е, t) на (Е', t'). Применим теорему 6.4.5 к случаю, когда Е, Ей и F — одно и то же множество. Из свойств топологий t и V, которыми они обладают по условию, непосредственно следует, что график отображения и замкнут в произведении ЕхЕ (наделенном произведением топологий t и Р). Отсюда уже вытекает отделимость топологии f. Так как и — взаимно однозначное отображение Е на Е, то отображение и”х непрерывно. Другими словами, топология t слабее топологии t'. Аналогично устанавливаем, что топология t слабее топологии V. Следовательно, топологии t и f совпадают и отделимы. |

Замечание. Требования,предъявляемые к топологиям t и t\ выполняются, если они сравнимы и более слабая топология отделима (ср. Банах [1, стр. 35, теорема 6]). Они выполняются и тогда, когда на Е существует разделяющее точки множество линейных форм, каждая из которых непрерывна в обеих топологиях (упр. 6.3). Такое положение вещей имеет место, например, если Е— полупростая коммутативная банахова алгебра с