Книга
← К списку книгЗагрузка разделов…
активнаАктивные записи участвуют в каталоге и синках. Неактивная книга скрыта, но не удалена из базы.
Книга
От редактора перевода
Книга известного немецкого математика Хельмута Шефера, перевод которой предлагается читателю, содержит развернутое изложение основных разделов теории линейных топологических пространств. Последние 10—15 лет эта теория интенсивно разрабатывается у нас в стране и за рубежом, причем прогресс во многом стимулируется плодотворными контактами с другими математическими дисциплинами, в первую очередь с теорией обобщенных функций, дифференциальных и интегральных уравнений, а также с теорией аналитических функций. Зачастую теория линейных топологических пространств предоставляет разумный язык и действенные методы в тех задачах анализа, для которых рамки классического гильбертова или банахова функционального анализа оказываются слишком узкими.
К настоящему времени на русском языке уже имеется несколько руководств по линейной топологии. Это книги Н. Бурбаки (1959), А. и В. Робертсонов (1967), А. Пича (1967) и ряд других. Учебник Шефера, основанный на неоднократно читанных им лекциях, значительно дополняет их по богатству конкретного материала. Стоит отметить, например, тщательное изложение теории двойственности, теории упорядоченных структур и ее приложений, а также теории топологических тензорных произведений (на русском языке раньше не было подробного и доступного изложения).
Аксиоматику и основные понятия теории топологических векторных пространств автор излагает для случая линейных пространств над произвольным полем — этому посвящена первая глава книги.
Во второй главе обсуждается общая идея локальной выпуклости и связанные с ней основные факты и понятия — функционалы Минковского, различные формы теоремы Хана — Банаха, индуктивные и проективные топологии и т. д.
Три последние главы и дополнение (частично написанные по работам автора книги) содержат наиболее ценную информацию. В третьей главе, посвященной линейным отображениям, в частности, имеются общие формы теоремы о гомоморфизме (к этому автор возвращается и в четвертой главе) и принципа равномерной ограниченности. Однако наиболее важно здесь введение топологи-
ческих тензорных произведений и изложение теории ядерных отображений и ядерных пространств. Теория топологических тензорных произведений, систематически развитая Гротендиком, была им положена в основу теории ядерных пространств. Затем, однако, появилась тенденция избегать этой техники. К настоящему времени топологические тензорные произведения вновь приобрели популярность и в этой связи можно надеяться, что соответствующие разделы книги Шефера окажутся полезными большому кругу начинающих математиков.'
Изложение теории ядерных пространств, свободное от техники тензорных произведений, читатель может найти в упомянутой выше книге А. Пича. Кстати, там же прослеживаются различные подходы к понятию ядерности (например, имеется критерий ядерности в терминах аппроксимативной размерности, принадлежащий Б. С. Митягину), что в данной книге сделано менее полно.
Несомненно, центральное место в книге занимает глава 4, посвященная двойственности. Она написана со вкусом и содержит большую информацию. Здесь имеется ряд теорем о рефлексивности, наиболее общая форма теорем о замкнутом графике и об открытом отображении и многое другое.
Наконец, в пятой главе автор излагает теорию упорядоченных векторных пространств над полем вещественных или комплексных чисел: двойственность выпуклых конусов, связь между порядками и топологией, а также приложения к результатам типа теоремы Стоуна — Вейерштрасса (алгебраический и структурный варианты).
Добавление связано со спектральной теорией и содержит, в частности, обобщения известной теоремы о существовании положительного собственного вектора у положительной матрицы.
В книге имеется большое количество упражнений. Только небольшая часть из них носит чисто учебный характер. Прорешав упражнения или даже лишь ознакомившись с их содержанием, студент сможет получить целый ряд полезных дополнительных сведений (об аналитических и обобщенных функциях, о топологических и банаховых алгебрах и т. д.). Вообще, метод изложения, избранный автором, как мне кажется, способствует сравнительно легкому усвоению материала. Думается, что эта книга, рассчитанная на студентов средних курсов, уже знакомых с элементами гильбертова и банахова функционального анализа, будет с интересом встречена русским читателем, тем более, что на русском языке нет перевода известной монографии Келли и Намиока, влияние которой автор неоднократно подчеркивает.
Чтение рукописи перевода и корректур оказалось непростым делом и я благодарен Д. Д. Розенбергу за оказанную мне помощь,
Е, А. Горин
Предисловие автора
Настоящая книга задумана как систематическое руководство по теории топологических векторных пространств. Предполагается, что читатель знаком с элементами общей топологии и линейной алгебры. Автор счел возможным не вдаваться в подробный разбор результатов из этих разделов, поскольку они в равной степени необходимы для изучения многих других разделов математики и любой старшекурсник должен ими владеть. По той же причине книга не содержит детального обсуждения широко известных элементарных фактов теории гильбертовых и банаховых пространств, ибо в первую очередь она адресована тем, кто уже овладел этим материалом и желает подняться на следующую ступень.
Эта книга написана на основе курса лекций, прочитанных автором в Вашингтонском, Мичиганском и Тюбингенском университетах в 1958— 1963 годах. В то время на английском языке не существовало ни одного достаточно полного курса по топологическим векторным пространствам и, по-видимому, была действительная нужда в книге по этому предмету. Положение изменилось в 1963 году с выходом в свет книги Келли, Намиоки и др. [1], в которой имеется множество элегантных доказательств, что в известной степени отразилось и на окончательном виде данной книги. Вместе с тем, эти две книги сильно отличаются по духу изложения и содержанию, что в конечном счете может служить оправданием данной публикации. В частности, в настоящую книгу включено изложение таких разделов теории топологических векторных пространств как топологические тензорные произведения, ядерные пространства, упорядоченные топологические векторные пространства и (в приложении) положительные операторы. Автор рад признать сильное влияние Бурбаки, чья монография [7] содержала (вплоть до выхода книги Кете [5]) единственное современное изложение теории топологических векторных пространств, изданное типографским способом.
Несколько слов о структуре книги. Цель вводной главы („Предварительные сведения") — пояснить терминологию и освежить в памяти читателя основные определения и факты. Каждая из пяти последующих глав и приложение имеют разделы. В каж-
дом разделе доказываемые утверждения помечены двумя индексами «, о, где и — номер раздела, и — номер утверждения внутри раздела.’ Утверждения особой важности дополнительно имеют пометку „теорема". Сквозные ссылки внутри главы имеют вид (и. у), вне главы — (г, и.о), где г (римская цифра) —номер главы, на которую дается ссылка. Каждая глава начинается с введения и завершается упражнениями. Эти „упражнения" (всего их 142) посвящены дальнейшим результатам, в частности, примерам и контрпримерам. Их не обязательно прорабатывать одно за другим, однако стоит просмотреть, поскольку они содержат дополнительную информацию. Мы воздержались от выделения отдельных упражнений как особо трудных, поскольку трудность конкретной задачи есть понятие субъективное. Однако там, где это казалось целесообразным, даны краткие указания, а также ссылки на литературу, которая необходима или по крайней мере может оказаться полезной. Библиография, далеко не полная, содержит (за редким исключением) лишь те источники, на которые имеется ссылка в тексте.
Я весьма признателен А. Пичу, прочитавшему всю рукопись, а также А. Л. Перессини и Б. Д. Уолшу, прочитавшим ее частично. Моя особая благодарность Г. Лотц за тщательную проверку всей рукописи и множество ценных обсуждений. Наконец, я благодарю Г. Лотц и А. Л. Перессини, взявших на себя труд прочесть корректуры, а также издательство за помощь и содействие.
Хельмут Шефер
ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ
СВЕДЕНИЯ
Сознательное чтение этой книги по существу предполагает близкое знакомство с основными фактами теории множеств, общей топологии и линейной алгебры. Цель этого предварительного раздела состоит вовсе не в установлении этих результатов, а лишь в том, чтобы прояснить терминологию и обозначения, а также дать обзор материала, который в дальнейшем будет предполагаться известным. Кроме того, в этом разделе указана литература, которая содержит полную информацию и в которой можно найти дальнейшие ссылки.
На протяжении всей книги вновь определяемые понятия выделяются курсивом.
Множества и порядок
Множества и подмножества. Пусть X, К —множества. Мы будем использовать стандартные обозначения х е X (х — элемент X). ХсУ (или У дэ А) (А — подмножество У), X = У (если X сд У и У с А). Если некоторое утверждение (р) сформулировано в терминах заданного отношения на X, то подмножество всех хеХ, для которых выполнено (р), обозначается {х е X: (р)х) или, если не возникает путаницы, просто {х: (р)х). Запись х^Х означает, что «х не является элементом А». Дополнение X относительно У есть множество {хе У: х ^ XY Оно обозначается через У\Х. Пустое множество обозначается символом 0 и рассматривается как конечное множество. Множество, содержащее только один элемент х (одноточечное), обозначается {х}. Если (pj, (рг) —утверждения в терминах заданных отношений на X, то (Р1)=Ф(р2) означает, что (р2) следует из (р,), (рд^(р2) означает, что (pj эквивалентно (р2). Множество всех подмножеств множества X обозначается ^(А).
Отображения. Отображение f множества X в У обычно обозначается символом f: Х->¥ или x-*f(x). Множество X называется областью определения f, образ X при отображении / называется множеством значений f. График отображения f есть подмножество Gf = {(x, f(x)): хе^с^ХУ. Отображение множества ф(Х) всех подмножеств X в ^(У), определяемое отображением /, также обозначается символом /, т. е. для всякого
А <— X мы пишем /(А), имея в виду множество {^(х): х е Л} с Y. Ассоциированное отображение множества ф (У) в ф (X) обозначается через f-1. Таким образом, для всякого Вс К имеем f^1 (В) = [х е X: f(x)eB). Если В = {£}> то мы будем писать f-1 (6) вместо (более точного) /"’ ({&}).
Если заданы отображения /: X—>У и g: У->7, то их композиция х -> g (f (х)) обозначается через g°f.
Отображение f: X->Y называется взаимно однозначным (1-1- отображением, инъективным отображением), если f (xj = / (х2) влечет за собой х, = х2. Оно является отображением „на“ г Y (сюръективным), если f(X) = Y. Говорят, что отображение f биективно, если оно одновременно инъективно и сюръективно.
Если f: X—> У — некоторое отображение и ЛсХ, то отображение g: A-*Y, определяемое формулой g(x) = f(x) при хе Л, называется сужением / на Л и часто обозначается символом fA. Соответственно f называется продолжением g (на X со значениями в У).
Семейства. Пусть А и X — множества, причем А непусто. Отображение а—>х(а) множества А в X называется семейством в X. На практике термин „семейство" чаще всего используется для отображений, область определения А которых не наделяется дополнительной структурой, кроме теоретико-множественной (т. е. используется мощность А и, возможно, порядок). В этом случае пишется ха вместо х(а) и семейство обозначается через [ха: ае е А}. Таким образом, любое непустое множество можно рассматривать как семейство (тождественное отображение) х—>х (х е X). Важно заметить, что если {ха: а е А}- семейство в X, то а^р вовсе не означает, что х^х^. Последовательность — это семейство [х„: п е N}, где N = {1, 2, 3, ...} обозначает множество всех натуральных чисел. Если не может возникнуть путаницы с одноточечным множеством, а область определения (множество индексов) А ясна из контекста, то семейство [ха: ае А} будет обозначаться просто {xj (в частности, последовательность — через {х„}).
Теоретико-множественные операции. Пусть [Ха: а е А} — семейство множеств. Для объединения множеств этого семейства мы используем обозначения (J{Xa: a е A}, (J Ха или кратко
Ха, когда ясно, о каком А идет речь. Если (Хп: п eN)- последовательность множеств, то мы будем также писать (J Х„, а если (Хь .... Х^} — конечное семейство множеств, то будем использовать обозначения U Хп или ^iUX2U •.. U^. Анало-
гичные записи используются для пересечений и декартовых произведений с заменой (J соответственно на Q и Ц- В случае когда {Ха: а е А} такое семейство, что Аа=А для всех а е А, произведение 1Р° обозначается также символом ХА.
a
Если 7? —отношение эквивалентности (т. е. рефлексивное, симметричное, транзитивное бинарное отношение) на множестве X, то множество классов эквивалентности (фактормножество) по R обозначается X]R. Отображение х->х (иногда пишут х->[х]), которое каждому хеХ ставит в соответствие его класс эквивалентности х (или [х]), называется каноническим ( или фактор-) отображением X на X/R.
Порядки. Порядок (порядковая структура, упорядоченность) на множестве X — это бинарное отношение R на X, обычно обозначаемое ^, которое рефлексивно, транзитивно и антисимметрично (х<,у и у^х влечет за собой х = у). Множество X, наделенное порядком ^, называется упорядоченным. Мы пишем у">х, имея в виду х^у, и х<у или у>х, имея в виду х^у и х^=у. Пусть Rv и R2 — порядки на X. Мы говорим, что Rv сильнее R2 (или R2 слабее R^, если x(Rt)y влечет за собой x(R2)y. (Заметим, что тем самым определен порядок на множестве всех порядков на X.)
Пусть (А, С) — упорядоченное множество. Подмножество А с с X мажорируемо (ограниченно сверху), если существует а0 е X, такое, что a^a0 для всех а е А; а0 называется мажорантой (верхней границей) А. Аналогично А минорируемо элементом а0, если a0^a для всех а Е А. В этом случае а0 называется минорантой (нижней границей) А. Подмножество А называется поряд- ково ограниченным, если оно одновременно и мажорируемо, и минорируемо. Если А мажорируемо и среди мажорант существует такое а0, что а0^Ь для любой другой мажоранты b множества А, то а0 единственно и называется супремумом (наименьшей верхней границей, верхней гранью) А и обозначается так: a0 = supA. Двойственным способом определяется инфимум (наибольшая нижняя граница, нижняя грань) множества А. При этом используется обозначение inf А. Для пары (х, z/) е X X X супремум и инфимум множества [х, у) (если они существуют) обозначаются sup (х, у) и inf (х, у) соответственно. Множество (X, ^) называется решеткой, если sup (х, у) и inf (х, у) существуют для всякой пары (х, у), и (X, ^) называется полной решеткой, если sup А и inf А существуют для всякого непустого подмножества Ас^Х. (Вообще говоря, мы не пользуемся дальше решеточной терминологией во избежание путаницы с равномерными пополнениями.) Множество (X, ^) совершенно упорядочено, если для
всякой пары (х, у) справедливо по крайней мере одно из соотношений х^у или у<,х. Элемент хеХ называется максимальным, если из х^у следует х = у.
Пусть (А, <3 — непустое упорядоченное множество. Тогда X называется направленным относительно ^ (сокращенно, направленным (^)), если всякое подмножество ^х, у} (следовательно, всякое конечное подмножество) имеет верхнюю границу. Пусть х0 е X. Подмножество {х@А: х0^х} называется сечением X (более точно, сечением X, порожденным х0). Семейство ^уа: ае А} направленно, если А —направленное множество. Сечения направленного множества суть подсемейства {г/а: а0^а} при аоеА.
Наконец, упорядоченное множество X индуктивно упорядочено, если любое его совершенно упорядоченное подмножество обладает верхней гранью. Во всяком индуктивно упорядоченном множестве существует максимальный элемент (лемма Цорна). В большинстве приложений леммы Цорна рассматриваемое множество является семейством подмножеств множества S, упорядоченным по теоретико-множественному включению с.
Фильтры. Пусть X — множество. Множество 8 подмножеств X называется фильтром на X, если оно удовлетворяет следующим аксиомам:
) 8^ 0 и 0 ® В;
) если F@§ и FcGcX, то G е 8;
) если F Е 8 и G £ 8, то F f| G е 8-
Множество 23 подмножеств X называется базисом фильтра если: (Г), 23^=0 и 0^23 и (2') для всякой пары В] е 23 и В2е23 найдется В3 е 23, такое, что В3 с Bv П В2. Каждый базис фильтра 23 порождает на X единственный фильтр 8, такой, что F е8 в том и только в том случае, когда В с F по крайней мере для одного В s 23, 23 называется базисом фильтра 8- Множество всех фильтров на непустом множестве X индуктивно упорядочено отношением 81 с 82 (теоретико-множественное включение на ф(А)). Если 81 с 82, то говорят, что 81 слабее, чем 82, или что 82 сильнее, чем 81- Всякий фильтр на X, который максимален относительно этого порядка, называется ультрафильтром на X. В силу леммы Цорна для любого фильтра В на А существует ультрафильтр, мажорирующий В- Пусть {ха: ае А} — направленное семейство в X. Сечения этого семейства образуют базис фильтра на X. Соответствующий фильтр называется фильтром сечений этого семейства. Элементарный фильтр — это фильтр сечений последовательности ^хп; nsN} в X (N наделено обычным порядком).
Литература. Множества: Бурбаки [1], Халмош [3]. Фильтры: Бурбаки [4], Бушау [1]. Порядок: Биркгоф [1], Бурбаки [1].
Общая топология
Топологии. Пусть Л-—множество, © — множество подмножеств X, инвариантное относительно конечных пересечений и произвольных объединений. Тогда X е ®, так как Л-есть пересечение пустого семейства подмножеств ®, и 0 е®, так как 0 есть объединение пустого семейства подмножеств ®. Мы будем говорить, что ® определяет топологию $ на X. Множество X, наделенное такой структурой, называется топологическим пространством и обозначается (X, 2), если желательно упоминание 2. Множества Ge® называются открытыми, их дополнения F = X\G называются замкнутыми (относительно $). Для заданного А с X открытое множество А (или int Л), которое является объединением всех открытых подмножеств А, называется внутренностью А. Замкнутое множество А, равное пересечению всех замкнутых множеств, содержащих А, называется замыканием А. Элемент х е А называется внутренней точкой А (или внутренней по отношению к А). Элемент хе А называется точкой прикосновения А. Если А, В — подмножества X, то В называется плотным по отношению к А, если Ас В ^плотным в А, если В с А и Ас В). Топологическое пространство X сепарабельно, если X содержит счетное плотное подмножество; X связно, если оно не является объединением двух непересекающихся непустых открытых подмножеств (в противном случае X несвязно').
Пусть Л-— топологическое пространство. Подмножество UcX называется окрестностью х, если х е U, и окрестностью А, если из хе .4 следует х е U. Множество всех окрестностей х (соответственно Д) представляет собой фильтр на X, называемый фильтром окрестностей х (соответственно Л). Любой базис этого фильтра является базисом окрестностей х (соответственно Д). Биективное отображение f пространства X на другое топологическое пространство Y, такое, что f (Д) открыто в У в том и только в том случае, когда А открыто в X, называется гомеоморфизмом. Пространства X и Y гомеоморфны, если существует гомеоморфизм X на Y. Дискретная топология на X — это топология, в которой всякое подмножество X открыто. Тривиальная топология на X — это топология, в которой единственными открытыми множествами служат 0 и X.
Непрерывность и сходимость. Пусть X и Y — топологические пространства, и пусть f: X —>Y. Отображение f непрерывно в точке хеХ, если для всякой окрестности V точки у = f (х) прообраз f-1 (У) является окрестностью х (или, что то же самое, если фильтр на Y, порождаемый базисом f(U), сильнее, чем 23, где U — базис фильтра окрестностей х, 23 — фильтр окрестностей у), f — непрерывное ото-
бражение X в У (сокращенно, f непрерывно), если f непрерывно в любой точке х е X (или, что то же самое, если f-1 (G) открыто в X для всякого открытого G с У). Если Z — топологическое пространство и отображения f: Х^»У и g: У Z непрерывны, то композиция g°f: X—» Z также непрерывна.
Говорят, что фильтр 5 на топологическом пространстве X сходится к х, если 5 сильнее, чем фильтр окрестностей х. Последовательность (вообще, направленное семейство) в X сходится к х, если фильтр ее сечений сходится к х. Если X и У — топологические пространства и § —фильтр (или только базис фильтра) на X и если f: X—> У — отображение, то говорят, что f сходится к у е У по 5, если фильтр, порожденный f(§), сходится к у. Например, f непрерывно в х е X в том и только в том случае, когда f сходится к у = f (х) по фильтру окрестностей х. Пусть задан фильтр 5 на X. Элемент хе X называется предельной_точкой (точкой прикосновения, точкой накопления) 5, если х е F для любого Fe^. Предельная точка последовательности (или направленного семейства)— это предельная точка фильтра сечений этой последовательности (семейства).
Сравнение топологий. Пусть X — множество и 2,, 22 — топологии на X. Мы скажем, что Т2 сильнее, чем ^.(или 2] слабее, чем $2), если всякое ^[-открытое множество также Т2-открыто (или, что то же самое, всякое ^-замкнутое множество также 22-замкнуто). (Если ®, и ®2 — соответствующие семейства открытых множеств в X, то дело сводится к включению ®, с ®2 в ^(^(^)).) Пусть {Ju: а е А} — семейство топологий на X. Тогда существует сильнейшая топология $ на X, которая слабее каждого Х„(аеА). Множество G будет Т-открыто тогда и только тогда, когда G будет 2а-открыто для каждого а. Двойственным образом, существует слабейшая топология 20, которая сильнее, чем все 2„(« е А). Если мы обозначим через ®q множество всех конечных пересечений множеств, открытых для некоторых 2а, то множество ®0 всех объединений множеств из ®q даст 20 — открытые множества в X. Множество всех топологий на X является полной решеткой относительно порядка «2] ^$2, если J2 сильнее 2t». Слабейшей топологией на X является тривиальная топология, сильнейшей топологией — дискретная. Топология $ есть наибольшая нижняя граница (нижняя грань) семейства {Zu: аеА}. Аналогично Jo — верхняя грань этого семейства.
Упомянем о двух общих методах определения топологии (Бурбаки [4]). Пусть X — множество, {Аа: а е А} — семейство топологических пространств и {)а: а е А) — семейство отображений соответственно X в А„. Проективной топологией (ядерной топологией) на X относительно семейства {(Хо, fa): as А}называется слабейшая топология, в которой каждое fa непрерывно.
Двойственным образом, если {ga: аеА} — семейство отображений соответственно Ха в X, то индуктивной топологией ^оболочечной топологией) относительно семейства {(Xa; ga): ае А} называется сильнейшая топология на X, в которой каждое ga непрерывно. (Заметим, что каждое fa непрерывно в дискретной топологии на X и каждое ga непрерывно в тривиальной топологии на X.) Если Л = {1} и £[ —топология на Хь то проективная топология на X относительно (Xb fj называется прообразом 2, при fb а индуктивная топология относительно (Xb gx) называется образом $i при gv
Подпространства, произведения, факторпространства. Пусть (X, 2) — топологическое пространство, А — подмножество X, f — каноническое вложение А->Х. Тогда индуцированная топология на Л —это прообраз 2 при f (открытыми подмножествами в этой топологии являются пересечения открытых множеств из X с Л). Множество А, наделенное индуцированной топологией, называется топологическим подпространством X (вообще говоря, мы не будем пользоваться этой терминологией во избежание путаницы с векторными подпространствами). Пусть (X, 2) — топологическое пространство, ^ — отношение эквивалентности на X и g — каноническое отображение X-^-XiR; тогда образ J при отображении g называется фактортопологией 2. В этой топологии X(R является топологическим факторпространством X по R.
Пусть (Ха: а е А} —семейство топологических пространств, X —их декартово произведение и fa —проекция X на Ха. Проективная топология на X относительно семейства {(Xa, fa): аеА) называется топологией произведения на X. Снабженное этой топологией X называется топологическим произведением (сокращенно, произведением) семейства [Ха: аеА}.
Пусть X, У —топологические пространства, f — отображение X в У. Мы говорим, что f открыто (или f — открытое отображение), если для всякого открытого множества G cz X образ f(G) открыт в топологическом подпространстве f(X)cz У; f называется замкнутым (замкнутым отображением), если график f является замкнутым подмножеством топологического произведения XX У.
Аксиомы отделимости. Пусть X — топологическое пространство. Пространство X называется хаусдорфовым (или отделимым) пространством, если для всякой пары различных точек х, уеХ существуют окрестности U,, Uu этих точек, такие, что ^xV\Uи= 0. Пространство X отделимо тогда (и только тогда), Когда всякий фильтр 5, который сходится в X, сходится в точности к одному хеХ. Точка х называется пределом 8- Пространство X называется регулярным, если оно отделимо и каждая точка обладает базисом замкнутых окрестностей. X называется Нормальным, если оно отделимо и для каждой пары А, В непе-
ресекающихся замкнутых подмножеств X существуют такие окрестности U гю А и V тэВ, что U П V = 0.
Хаусдорфово топологическое пространство X нормально тогда и только тогда, когда для любой пары непересекающихся замкнутых подмножеств А, ВсХ существует непрерывная функция f: X --> [0, 1] ([0, 1] — вещественный интервал с обычной топологией), такая, что f(x) = O для всех хе А и /(х)=1, как только хе В (теорема Урысона). Отделимое пространство X, такое, что для всякого замкнутого подмножества А и для всякого b ^ А найдется непрерывная функция Х->[0, 1], для которой f(6)=l и f (х) = О при всех х е А, называется вполне регулярным. Очевидно, всякое нормальное пространство вполне регулярно и всякое вполне регулярное пространство регулярно.
Равномерные пространства. Пусть X — множество. Для произвольных подмножеств W, V в X X X мы будем писать IF-1 = = {(//, х): (х, y)eW) и V°UZ = {(x, z): существует у е X, такое, что (х, y)eW, (у, z^eV\ Множество Д = {(х, х): хеХ} называется диагональю X X X. Пусть ЗВ — фильтр на X X X, удовлетворяющий следующим условиям:
каждое W е ЗВ содержит диагональ Д;
если W е ЗВ, то W"1 е ЗВ;
для каждого W е ЗВ существует У е ЗВ, такое, что V ° V с W.
Мы говорим, что фильтр ЗВ (или какой-либо его базис) определяет равномерность (или равномерную структуру) на X. Каждое W е ЗВ будет называться окружением. Пусть ® — семейство всех подмножеств G а X, таких, что для любого х е G найдется W е ЗВ, удовлетворяющее условию {у: (х, y)eW)eG. Тогда ® инвариантно относительно конечных пересечений и произвольных объединений и, следовательно, определяет топологию 2 на X, такую, что для всякого хеХ семейство всех W)x) = Vy" U, y)^WY где IF пробегает ЗВ, является базисом в х. Пространство (АГ, ЗВ), наделенное топологией 2, возникающей из равномерности ЗВ, называется равномерным пространством. Топологическое пространство X уни- формизуемо, если его топология может быть получена из равномерности на X. Читателю следует быть осторожным, так как такая равномерность, вообще говоря, не единственна.
Равномерность отделима, если фильтр ее окружений удовлетворяет добавочной аксиоме
П{1У: ГеЗВ} = Д.
Последнее условие необходимо и достаточно для того, чтобы топология, получаемая с помощью равномерности, была отделимой. Хаусдорфово топологическое пространство униформизуемо тогда и только тогда, когда оно вполне регулярно.
Пусть X, У — равномерные пространства. Отображение f: X—> У равномерно непрерывно, если для всякого окружения V в У существует окружение U в X, такое, что (х, у) е U влечет (/(х), f (у)) е У. Всякое равномерно непрерывное отображение непрерывно. Равномерные пространства X и У изоморфны, если существует биективное отображение /: X -> У, такое, что как f, так и f-1 равномерно непрерывны. Само f называется в этом случае равномерным изоморфизмом.
Пусть 28, и 2В2 —два фильтра на X X X, каждый из которых определяет равномерность на множестве X. Если 2В, cz 2В2, то мы будем говорить, что равномерность, определяемая 2В,, слабее, чем определяемая 2В2. Пусть X — множество, { Аа: а е А} —семейство равномерных пространств и fa (а е А) — отображения X в Ха. Тогда на X существует слабейшая равномерность, в которой все /ц(аеА) равномерно непрерывны. Таким способом, в частности, можно ввести равномерность на произведении X = |[А„ — это ела- а
бейшая равномерность, в которой все проекции X ^- Ха равномерно непрерывны. Аналогично если X — равномерное пространство п Ac X, то индуцированная равномерность — это слабейшая равномерность на А, в которой каноническое вложение А—>Х равномерно непрерывно.
Пусть X — равномерное пространство. Фильтр § на А называется фильтром Коши, если для всякого окружения V существует F Су, такое, что F X F с V. Если каждый фильтр Коши сходится (к элементу из А), то пространство А называется полным. Для всякого равномерного пространства можно построить полное равномерное пространство А, такое, что А (равномерно) изоморфно плотному подпространству А, и такое, что А будет отделимо, если отделимо А. Если А отделимо, то А определяется этими свойствами с точностью до изоморфизма и называется пополнением А. Базис фильтра окружений А может быть получен путем замыкания (в топологическом произведении А X А) базисных окружений из А. Последовательностью Коши в А называется последовательность, фильтр сечений которой является фильтром Коши. Если всякая последовательность Коши в А сходится, то говорят, что А полуполно ^секвенциально полно).
Если А — полное равномерное пространство и А —замкнутое подпространство, то равномерное пространство А полно. Если А — отделимое равномерное пространство и А — полное подпространство, то А замкнуто в А. Произведение равномерных пространств полно в том и только в том случае, когда каждый сомножитель полон.
Если А — равномерное пространство, У — полное отделимое пространство, Ао с А и отображение /: А0-*У равномерно непрерывно,
то f имеет единственное равномерно непрерывное продолжение Ъ X0-*Y.
Метрические и метризуемые пространства. Пусть X — множество. Неотрицательная вещественная функция d на X X X называется метрикой, если выполнены следующие аксиомы:
d(x, у) = 0 эквивалентно х = у;
d(x, y) = d(y, х\,
d (х, zX-d (x, у) + d (у, z) (неравенство треугольника)).
Очевидно, множества Wn = ((x, у); d(x, у)<\/п}, где neN, образуют базис фильтра на X X X, определяющий отделимую равномерность на X. Под метрическим пространством (X, d) мы понимаем равномерное пространство X, снабженное метрикой d. Таким образом, все связанные с равномерностью понятия применимы к метрическим пространствам (следует заметить, что исторически равномерные пространства явились обобщением метрических пространств). Топологическое пространство метризуемо, если его топология может быть получена из метрики указанным способом. Равномерное пространство метризуемо (т. е. его равномерность может быть порождена метрикой) в том и только том случае, когда оно отделимо и фильтр окружений имеет счетный базис. Очевидно, метризуемое равномерное пространство полно, если оно секвенциально полно.
Компактные и предкомпактные пространства. Пусть X — хаусдорфово топологическое пространство. Пространство X называется компактом, если всякое открытое покрытие X имеет конечное подпокрытие. Для того чтобы X было компактом, необходимо и достаточно выполнение каждого из следующих условий: (а) Семейство замкнутых подмножеств имеет непустое пересечение, если каждое его конечное подсемейство имеет непустое пересечение. (Ь) Всякий фильтр на X имеет предельную точку, (с) Всякий ультрафильтр на X сходится.
Любое замкнутое подпространство компактного пространства компактно. Топологическое произведение любого семейства компактных пространств компактно (теорема Тихонова). Если X — компактное, а У — хаусдорфово пространства и если f: X^Y непрерывно, то f (X) — компактное подпространство в Y. Если f —непрерывное биективное отображение компактного пространства X на хаусдорфово пространство Y, то f — гомеоморфизм (эквивалентно: если (^, 2,) —компакт и 22 — хаусдорфова топология на X, более слабая, чем £ь то 2; = $2). '
Существует следующая важная связь между компактностью и равномерностью. На любом компактном пространстве X существует единственная равномерность, порождающая топологию X. Фильтр окружений в этой равномерности будет фильтром окрест-
ностей диагонали А в топологическом произведении X X -V. В частности, всякое компактное пространство является полным равномерным пространством. Отделимое равномерное пространство называется предкомпактным, если его пополнение компактно (однако заметим, что топологическое пространство может быть предкомпактным сразу для нескольких различных равномерностей, порождающих его топологию). Пространство X предкомпактно тогда и только тогда, когда для всякого окружения W существует такое конечное подмножество Хо с: X, что X с U { W (х): хеХсА Подпространство предкомпактного пространства предкомпактно и произведение любого семейства предкомпактных пространств предкомпактно.
Хаусдорфово топологическое пространство называется локально компактным, если любая его точка обладает компактной окрестностью. '
Категории и бэровские пространства. Пусть X — топологическое пространство, Д — подмножество X. Множество А называется нигде не плотным в X, если его замыкание А имеет пустую внутренность; А называется множеством первой категории в X, если А представимо в виде объединения счетного числа нигде не плотных подмножеств. Подмножество А, которое не является множеством первой категории, называется множеством второй категории в X. Если всякое непустое открытое множество в X есть множество второй категории, то X называется бэровским пространством. Всякое локально компактное пространство и всякое полное метризуемое пространство является бэровским (теорема Бэра). Всякое подмножество второй категории в топологическом пространстве X будет множеством второй категории в себе, но топологическое подпространство X может быть бэровским, будучи нигде не плотным подмножеством пространства X.
Литература. Берж [1], Бурбаки ]4], [5], [6], Келли [1]. Весьма полезное введение в теорию топологических и равномерных пространств можно найти у Бушау [1].
С. Линейная алгебра
Векторные пространства. Пусть L — множество, К — (не обязательно коммутативное) поле. Предположим, что определено отображение ^х, у)—>х+у произведения L X L в L, называемое сложением, и отображение ^Х, х)—>Хх произведения К X L в L, называемое умножением на скаляры, так что выполнены следующие аксиомы (х, у, г обозначают произвольные элементы L, а X, р — произвольные элементы КУ
(x + p) + z = x + (z/ + z);
х + у = у + х;
существует элемент 0 е L, такой, что х + 0 = х для всех х е L;
для всякого xeL существует zeL, такое, что x + z = O;
X (х + у) = Хх + Ху;
(X + ц) х = Хх + цх;
X (цх) = (Хц) х;
1 • х = х.
Множество L, снабженное таким образом определенной структурой, называется левым векторным пространством над К- Элемент О, постулируемый согласно (3), единственный и называется нулевым элементом L. (Мы не будем делать разницы в обозначении между нулевыми элементами в L и /(.) Элемент z, выделяемый условием (4) для каждого хе L, определяется однозначно. Этот элемент обозначается через — х. Кроме того, имеем — х = (— 1)х, и обычно пишут х — у вместо х + ( — у).
Если (1) —(4) выполняются, а умножение на скаляры записывается в виде хХ и соответственно переписаны (5) —(8), то L называется правым векторным пространством над К. Говоря о векторном пространстве над К, мы всегда будем иметь в виду левое векторное пространство. Так как нет никакого различия между левым и правым векторными пространствами над К, когда ТС коммутативно, то нам нигде не нужно будет рассматривать правые векторные пространства, кроме С. 4 и разд. 4 гл. I. (Кроме того, начиная с гл. II, К всегда предполагается полем вещественных чисел R или комплексных чисел С.)
Линейная независимость. Пусть L — векторное пространство над К- Элемент Х^ + ... + Хпхп, где п е N, называется линейной комбинацией элементов хЛ1=\, ... , п). Как и обычно, он записывается в виде ^X^i или у Xtxt. Если {ха: а е Н} —конечное i = 1
семейство, то сумма элементов ха обозначается ^ ха- Для удобства аеН
эта запись распространяется и на пустое множество слагаемых. При этом предполагается, что ^ * = 0. (Не следует путать это хе0
с символом А + В для подмножеств А, В из L, который, согласно А. 2, имеет смысл {x + z/: х е А, уеВ}. Таким образом, если А = 0, то А + В = 0 для всех подмножеств В ед L.) Подмножество А сд L называется линейно независимым, если для всякого непустого конечного
подмножества {xz: i = 1, ... , п} в А равенство У Хгхг = 0 влечет / = 1
за собой X; = 0 для всех z=l, ... , п. Заметим, что, согласно этому определению, пустое подмножество L линейно независимо. Линейно независимое подмножество L, которое максимально (относительно теоретико-множественного включения), называется ба-
зисом (базисом Гамеля?) пространства L. Существование базиса в L, содержащего данное линейно независимое подмножество, следует из леммы Цорна. Любые два базиса L имеют одну и ту же мощность d, которая называется размерностью L (над /С). ■
Подпространства и факторпространства. Пусть L — векторное пространство над К- Векторное подпространство (сокращенно подпространство') L — это непустое подмножество М сс L, инвариантное относительно сложения и умножения на скаляры, т. е. такое, что M + AfczM и КМсМ Множество всех подпространств пространства L, очевидно, инвариантно относительно взятия произвольных пересечений. Пусть А — подмножество пространства L. Линейная оболочка множества А есть пересечение М всех подпространств пространства L, которые содержат А. При этом М называется также подпространством, порожденным А. Подпространство М может быть охарактеризовано как множество всех линейных комбинаций элементов А (включая сумму по пустому подмножеству элементов Л). В частности, линейной оболочкой пустого множества 0 считается {0}.
Если М — подпространство в L, то отношение «х — у е М» является отношением эквивалентности на L. Фактормножество становится векторным пространством над ТС с помощью определений 5c-Vy = x-Vy-VM, X& = Xx-VM, где х = х + М, у = у + М. Фактор- пространство обозначается L/M.
Линейные отображения. Пусть Lb L2 — векторные пространства над К- Отображение f: Lx —> L2 называется линейным отображением, если /Ц^]+ Х2х2) = Х^Ц^ + ХгЦхг) для всех Хх, Х2 е К и xb х2еЬх. Определяя сложение формулой (^ + f2) (х) = Л (х) +/^(х) и умножение на скаляр формулой (Д) (х) = f (Хх) = (х е LJ, мы превращаем множество L (Lx, L^ всех линейных отображений Lx в Г2 в правое векторное пространство над К- (Если К коммутативно, то отображение х—>/(Хх) будет обозначаться через Xf, и при этом Г (Lx, L2) рассматривается как левое векторное пространство над ТС.) Если Г2 — одномерное векторное пространство Ко (над ТС), ассоциированное с ТС, то, полагая (fX) (х) = f (х) X, мы получим алгебраическое сопряженное L\ к Lv Элементы L* называются линейными формами на Lv
Говорят, что L\ и Ь2 изоморфны, если существует линейное биективное отображение f: Lx —> L2. Такое отображение называется изоморфизмом Lx на Г2. Линейное инъективное отображение f: Lx —> L2 называется изоморфизмом Lx в L2. '
Пусть f: LX—>L2 линейно. Подпространство N = f-1 (0)сLx называется нуль-пространством (ядром) отображения f. Ясно, что f определяет изоморфизм to факторпространства LJN на M = t(Lx\ Отображение f0 называется биективным отображением,
ассоциированным с /. Если Ф означает факторотображение L\t*L\IN и W — каноническое вложение М—> Ь2, то f = W % ° Ф называется каноническим разложением f.
Векторные пространства над нормированными полями. Пусть К — поле. Рассмотрим поле R вещественных чисел с обычным образом понимаемой абсолютной величиной. Функция Х->|Х| из К на R+ (вещественные неотрицательные числа) называется абсолютной величиной на К, если выполнены следующие аксиомы.
|Л| = 0 эквивалентно Х = 0;
|Х + р|^|Х| + |р|;
। хц | = щ I и I-
Функция (Л, р)-*|Х —р| определяет метрику на К. Наделенное этой метрикой и соответствующей равномерностью, К называется нормированным полем. Нормированное поле называется недискретным, если его топология недискретна (или, что то же самое, если образ Х-*|Х| отличается от {0, 1}). Недискретнсе нормированное поле необходимо бесконечно. Примером такого поля служит R.
Пусть L — векторное пространство над недискретным нормированным полем К, и пусть A, S — подмножества в L. Мы говорим, что А поглощает В, если существует такое Хо е К, что В с ХА при |Л|^|Л0|. Подмножество U czL называется радиальным (/го- глощающим\ если U поглощает любое конечное подмножество L. Подмножество Cc^L закруглено, если XCczC при | Л |^ 1.
Множество радиальных подмножеств L инвариантно относительно конечных пересечений. Множество закругленных подмножеств инвариантно относительно любых пересечений.
Пусть Ac^L. Закругленная оболочка Л — это пересечение всех закругленных подмножеств L, содержащих А. Пусть f: LX->L2 — линейное отображение векторных пространств Lx, L2 над недискретным нормированным полем К. Если A cz Lx и BczL2 закруглены, то и / (Л), и f-1 (В) тоже закруглены. Если В радиально, то f-1 (В) тоже радиально. Если А радиально и f сюръективно, то /(Л) радиально.
Поля R и С, соответственно вещественных и комплексных чисел, всегда будут рассматриваться с их обычной абсолютной величиной, относительно которой они являются недискретными нормированными полями. Кроме того, R всегда рассматривается с обычным отношением порядка.
Литература. Бэр [1], Биркгоф — Маклейн [1], Бурбаки [2], [3], [7].
Глава I
ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
Эта глава содержит наиболее фундаментальные факты, касающиеся топологических векторных пространств. Всюду, за исключением последнего раздела, рассматриваются векторные пространства над произвольным недискретным нормированным полем К. Поле К наделяется равномерностью, получаемой с помощью абсолютной величины. Наша цель — выделить те свойства, которые не зависят от специальных свойств поля вещественных или комплексных чисел. В разд. 1 обсуждается описание топологий векторных пространств в терминах базисов окрестностей нуля и равномерность, ассоциированная с этой топологией. В разд. 2 даны некоторые способы конструирования новых топологических векторных пространств из заданных. Стандартные приемы, используемые в работе с пространствами конечной размерности, собраны в разд. 3, вслед за которым идет краткое обсуждение аффинных подпространств и гиперплоскостей (разд. 4). В разд. 5 изучается чрезвычайно важное понятие ограниченности. Метризуемость разбирается в разд. 6. Это понятие, хотя и не сверхважно для общей теории, все же заслуживает специального внимания по ряду причин; среди них: связь с категориями, важная роль в приложениях в анализе и, кроме того, в истории предмета (см. Банах [1]). В разд. 7, где поле К уже подполе поля комплексных чисел, обсуждается переход от комплексного поля к вещественному и обратно.
Топологии векторного пространства
Пусть задано векторное пространство L над (не обязательно) коммутативным нормированным полем К и топология $ на L. Пара (L, $) называется топологическим векторным пространством (сокращенно ТВП) над К, если выполнены следующие аксиомы:
(ЛТ^ отображение (х, у) -> х + у пространства L X L в L непрерывно;
(ЛТ)2 отображение (Л, x^s-Xx пространства К X L в L непрерывно.
Здесь L наделяется топологией $, поле К наделяется равномерностью, получаемой с помощью его абсолютной величины, a L X L и КХ L обозначают соответствующие топологические произведения. Короче говоря, эти аксиомы требуют, чтобы сложение и умножение на скаляры были непрерывны (по совокупности переменных). Так как, в частности, отсюда следует непрерывность операции (х, у)->х — у, то всякое ТВП представляет собой коммутативную топологическую группу. Топологическое пространство (L, $) будет часто обозначаться Т($) или просто L, если топология на L не требует специального обозначения.
Два ТВП Lx и Л2 над одним и тем же полем К называются изоморфными, если существует взаимно однозначное линейное отображение и пространства Lx на Л2, которое является гомеоморфизмом. При этом и называется изоморфизмом Lx на L2.
Следующие утверждения являются более или менее непосредственными следствиями определения ТВП.
Пусть L — ТВП над К. Тогда:
для каждого xoeL и каждого ХоеК (Хо У= 0) отображение х -* Хох + х0 является гомеоморфизмом пространства L на себя1,
для любого подмножества A cz L_u любого базиса U фильтра окрестностей нуля в L замыкание А определяется равенством Л = ПМ + £/: Ue\Y);
если А — открытое подмножество L и В — произвольное подмножество L, то А + В открыто;
если А, В — замкнутые подмножества L, такие, что любой фильтр на А имеет предельную точку (в частности, если А компактно), то А + В замкнуто; , _
если А — закругленное подмножество L, то его замыкание А закруглено, и внутренность А множества А также будет закруглена, если 0е А.
Доказательство. 1) Очевидно, отображение х-*Хох + хй будет отображением «на» и в силу (JlT)j и (ЛТ)2 непрерывным с непрерывным обратным х-*^1^ —х0). Заметим, что это утверждение, точно так же, как 2), 3) и 5), требует только раздельной непрерывности сложения и умножения на скаляры.
Пусть В = П {Д + U: U е11}. В силу 1) (х — U: U е U} будет базисом окрестностей точки х для всякого х е L. Следовательно, включение хеВ означает, что любая базисная окрестность точки х пересекает А. Поэтому В cz Д. Обратно, если х е А, то х е А + U для любой окрестности нуля U. Следовательно, Ас В.
Так как Д + В = иМ + 6: be В) и, кроме того, А открыто, то Д + В будет объединением открытых подмножеств и, следовательно, открытым в L.
Мы покажем, что для всякого х^^А + В найдется такая окрестность нуля 17, что (х0 — U) П (Л + S) = 0 или, что то же самое, (S + (7) П (х0 — Л) = 0. Если бы это было неверно, то пересечения (S+ (7) Q (х0 — Л) образовывали бы базис фильтра на Хо — А (здесь U пробегает базис окрестностей нуля в L). Согласно предположению относительно А, этот* базис фильтра должен иметь предельную точку гоехо — А, также содержащуюся в замыкании В + U, а следовательно, в В + U + U для всех U.
Так как, согласно (ЛТ)Ь множества вида U + U образуют базис окрестностей нуля, когда U пробегает базис окрестностей нуля, то из 2) следовало бы тогда, что 20ей, а это приводит к противоречию.
Пусть_Л закруглено и |Х|^1. В силу (ЛТ)2 из ХЛс=Л следует ХЛс=Л. Значит, А закруглено. Кроме того, если Z=#0, то ХА будет внутренностью множества ХА в силу 1) и, следовательно, обязано содержаться в А. Если ОеЛ, ХАсА при |Х|^1.
В приведенном доказательстве мы неоднократно использовали тот факт, что в ТВП всякий сдвиг представляет собой гомеоморфизм (что является специальным случаем 1)). Говорят, что топология $ на векторном пространстве L инвариантна относительно сдвигов, если все сдвиги на L суть гомеоморфизмы. Такая топология вполне определяется базисом фильтра окрестностей любой своей точки х, в частности базисом фильтра окрестностей нуля.
1.2. Топология $ на векторном пространстве L над К удовлетворяет аксиомам (ЛТ)] и (ЛТ)2 тогда и только тогда, когда $ инвариантна относительно сдвигов и имеет базис окрестностей нуля 23 со следующими свойствами;
Для любого У 6=23 существует UeB, такое, что U A-UeV.
Все У е 23 радиальны и закруглены.
Существует такое Хе К (0<|Х|<1), что если У ей, то и XV е $.
Если К —архимедово нормированное поле, то от условия (с) можно освободиться {в частности, если К = R или С).
Доказательство. Докажем сначала, что любое ТВП имеет базис окрестностей нуля с указанными свойствами. Действительно, в силу (ЛТ)2 для всякой окрестности нуля Ж в L существует окрестность нуля U и вещественное число е>0, такие, что XUaW, как только |Х|^е. Следовательно, так как К недискретно, то ^ = U{Xt/: |Х|^е} будет окрестностью нуля, которая содержится в U и, очевидно, закруглена. Таким образом, семейство 23 всех закругленных окрестностей нуля в L образует базис в нуле. Из непрерывности в точке Х = 0 (при произвольном xoeL) ото-
бражения (X, х0)->Хх0 вытекает радиальность любой из окрестностей У е23. Из (ЛТ)] следует, что 93 удовлетворяет условию (а). Что касается (с), то достаточно убедиться в существовании такого Хе К, что 0 < | X | < 1 (К недискретно) и что множество XV (Уе23), которое является окрестностью нуля, закруглено (заметим, что если |р|^1, то p, = ZvX-1, где |v|^l). Наконец, топология L инвариантна относительно сдвигов в силу (1.1), п. 1.
Обратно, пусть 2 —топология на L, инвариантная относительно сдвигов и обладающая базисом окрестностей нуля 23 со свойствами (а), (Ь) и (с). Мы должны показать, что 2 удовлетворяет (ЛТ^ и (ЛТ)2. Ясно, что (хо + И: V е 23) является базисом окрестностей точки xoeL. Следовательно, если задано Ve 23 и U е 23 выбрано так, что U + U cz V, то из х — xoeU и y — yoeU следует, что х + уе х0 + Уо + U, так что (ЛТ), выполняется. Для доказательства непрерывности отображения (X, х^-*Хх (т. е. условия (ЛТ)2) рассмотрим фиксированные элементы Хо, х0 соответственно в К и L. Если задано Ее23, то в силу (а) найдется такое U е 23, что U + UcV. Так как, согласно (Ь), множество U радиально, то существует такое вещественное число е>0, что (X — X^x^eU, как только |Х —Х0|^е. Пусть ue/( удовлетворяет (с). Тогда найдется целое neN, такое, что | р-" | = | р Г”^ ^|Х0| + е. Пусть W е 23 определено равенством W = p,nU. Тогда, поскольку U закруглено, из соотношений x — xoeW и |А —А0|^е следует, что X (х — х0) е U и, стало быть, тождество
Хх = XqXq + (X — Лц) х0 + X (х — Xq)
влечет за собой включение Хх е Хохо + U + U с XQx0 + V, что и доказывает (ЛТ)2.
Наконец, если К — архимедово нормированное поле, то |2|>1 при 2еК- Следовательно, | 2" | = | 2 Г >| Ло | + е (в обозначениях предыдущего параграфа) для некоторого neN. Повторно применяя (Ь), мы можем выбрать 11^^23, такое, что 2" 11^!cz+ ... ... + WtczU, где сумма имеет 2" слагаемых (neN). Так как Wv (и, следовательно, 2"^) закруглено, то можно заменить W на Wt в предыдущем доказательстве (ЛТ)2, и, следовательно, условие (с) в этом случае излишне. Это завершает доказательство (1.2).
Следствие. Если L — векторное пространство над К и 23 — базис фильтра в L, обладающий свойствами (а) —(с) (1.2), то 23 будет базисом окрестностей нуля однозначно определяемой топологии 2, относительно которой (L, 2) является ТВП над К.
Доказательство. Мы определим топологию 2, называя подмножество G eL открытым, если для всякого xeG найдется такое Ее23, что x + EczG. Очевидно, 2 будет единственной, инвариантной относительно сдвигов топологией на L, в которой 23
является базисом в нуле, и, следовательно, единственной топологией с этим свойством, превращающей (L, 2) в ТВП.
Примеры. В следующих примерах К может быть произвольным недискретным нормированным полем, например полем р-ади- ческих чисел, или полем кватернионов с их обычной абсолютной величиной, или же некоторым их подполем, скажем полем рациональных, вещественных или же комплексных чисел (с индуцированной абсолютной величиной).
Пусть А — некоторое непустое множество и КА — множество всех отображений а ->£а нашего А в К. Мы будем писать х = (£а), у = (г]а) для обозначения элементов х, у из КА. Определяя сложение по правилу х + у = = (^а + Ча) и умножение на скаляры соответственно по правилу Хх = (Л£а), мы превращаем КА в векторное пространство над полем К. Для любого конечного 'подмножества Нс А и любого вещественного е>0 пусть Ин е = {х: | са | ^ е при асН}сКА. Из (1.2) ясно, что семейство всех таких множеств Ун е будет базисом окрестностей нуля для топологии, в которой КА является ТВП.
Пусть X — некоторое непустое топологическое пространство. Множество всех непрерывных функций f: X -> К, таких, что sup | f (/) | конечен, образует tex
подмножество КХ, которое является векторным пространством %к (X) относительно операций сложения и умножения на скаляры, индуцированных векторным пространством Rx (пример 1). Множества Un = Vb sup |/(01^п~'} t е х
(heN) образуют базис окрестностей нуля для топологии, в которой %к (А) является ТВП.
Пусть К [/] — кольцо полиномов f(0=2 antn над К (от одного фор
мального переменного f). К [0 является векторным пространством (над К) относительно умножения слева на полиномы нулевой степени. Пусть г — фиксированное вещественное число, такое, что 0<r^ 1. Обозначим через VE множество полиномов, для которых 2 I Дд К ^ е. Семейство {Уе: е > 0} является
п
базисом окрестностей нуля для топологии, в которой К [0 будет ТВП.
Если L — ТВП и xeL, то любая окрестность х содержит замкнутую окрестность х. В частности, семейство всех замкнутых окрестностей нуля образует базис в нуле.
Доказательство. Для всякой окрестности нуля U существует другая окрестность нуля V, такая, что V + V cz U. Так как у eV только в том случае, если (у — У) А V непусто, то отсюда следует, что V cz V + V cz U. Следовательно, х + U содержит замкнутую окрестность х + V точки х.
Так как, согласно (1.2), окрестность нуля содержит закругленную окрестность нуля и в силу (1.1), п. 5) и (1.3) — замкнутую окрестность нуля, мы получаем такое;
Следствие. Если L — ТВП и U —некоторый базис окрестностей нуля, то замкнутые закругленные оболочки всех множеств U s U снова образуют базис в нуле.
Из утверждения (1.3) видно, что всякое хаусдорфово ТВП является регулярным топологическим пространством. Из следующего предложения вытекает, что всякое ТВП униформизуемо и, следовательно, всякое хаусдорфово ТВП регулярно. Равномерность на векторном пространстве L называется инвариантной относительно сдвигов, если она имеет базис 94, такой, что (х, у)^ N эквивалентно (х + 2, у + г) г N для всякого z е L и всякого N е 94.
Топология любого ТВП может быть получена из единственной инвариантной относительно сдвигов равномерности 94. Если 93 — некоторый базис в нуле, то семейство Nv = {(х, у\. х — уеУУ У г S3 является базисом для 94.
Доказательство. Пусть (Л, 2) —ТВП с базисом окрестностей нуля 93. Очевидно, что множества Nv, К г 93 образуют базис фильтра на L X L, который является базисом инвариантной относительно сдвигов равномерности 94, порождающей топологию 3 на L. Если 94;—другая равномерность с теми же свойствами, то существует базис 9В фильтра 94, состоящий из инвариантных относительно сдвига множеств и такой, что множества U M = Vx — y- Vх' У) G М} с Al е 2В образуют базис окрестностей нуля для 2. Так как О ма У влечет за собой М cz Nv (и обратно), то отсюда следует, что 94! = 94.
Тот факт, что существует единственная инвариантная относительно сдвигов равномерность, из которой может быть получена топология ТВП, весьма важен в теории таких пространств (и топологических групп), так как однозначно определенная равномерная структура индуцируется на произвольных подмножествах А ТВП L. Имеется в виду та равномерность, которая индуцируется на А с L исходной равномерностью 94. Например, подмножество А ТВП L полно тогда и только тогда, когда всякий фильтр Коши в А сходится к элементу из А; А полуполно (или секвенциально полно) тогда и только тогда, когда всякая последовательность Коши в А сходится к элементу из А. Из (1.4) следует, что фильтр g в 4 будет фильтром Коши тогда и только тогда, когда для всякой окрестности нуля У в L существует F е 8, такое, что F-FcV', соответственно последовательность (х„: neN} в А будет последовательностью Коши тогда и только тогда, когда для всякой окрестности нуля V в L существует ^eN, такое, что хт — х„ е К при всех пг^по и п^по-
ТВП L будет хаусдорфовым (отделимым) тогда и только тогда, когда L является отделимым равномерным пространством. Следовательно, в силу (1.4) пространство L отделимо тогда и только
тогда, когда П{^: U gU} = {0}, где U — любой базис окрестностей нуля в L. Эквивалентное условие: для всякого отличного от нуля элемента xeL существует окрестность нуля U, такая, что x^U (это немедленно следует из (1.3)).
Напомним, что подпространство (векторное подпространство, линейное подпространство) векторного пространства L над К определяется как подмножество М =# 0 в L, такое, что М + М с М и КМ а М. Если L — ТВП, то под подпространством L мы будем понимать (если не сделано специальных оговорок) векторное подпространство М, снабженное топологией, индуцированной L. Очевидно, М будет отделимо, если L отделимо.
Если L — хаусдорфово ТВП, то упомянутая инвариантная относительно сдвигов отделимая равномерность позволяет вложить L в качестве плотного подпространства в полное хаусдорфово ТВП L, которое определяется однозначно (с точностью изоморфизма) и называется пополнением пространства L (см. также упр. 2).
Пусть L — хаусдорфово ТВП над полем К- Тогда существует полное хаусдорфово ТВП L над К, содержащее L как плотное подпространство. Пространство L единственно с точностью до изоморфизма. Кроме того, для любого базиса 23 окрестностей нуля в L семейство 28 = (У: У е 23} замыканий в L образует базис окрестностей нуля в L.
Доказательство. Мы предполагаем известным (см. Бурбаки [4], гл. II) существование отделимого полного равномерного пространства L, которое содержит L как плотное подпространство и которое единственно с точностью до изоморфизма. В силу (1.4) отображение (х, у^-^-х + у произведения LXL в L равномерно непрерывно, и для каждого фиксированного ХеК отображение (Л, х^->Хх пространства L в L также равномерно непрерывно. Следовательно, эти отображения имеют единственные непрерывные (в действительности, равномерно непрерывные) продолжения на L X L и L соответственно (со значениями в Z). Легко убедиться (продолжая по непрерывности), что эти продолжения превращают L в векторное пространство над К. Перед тем как показать, что равномерное пространство L является ТВП над К, мы докажем второе утверждение. Так как ^Nv: Ее23} есть базис равномерности 21 -Пространства L (обозначения те же, что и в (1.4)), то замыкания Nv этих множеств в L X L образуют базис равномерности 23 в L. Мы утверждаем, что Ny = Nv для всех V е 23. Но если (х, у) е Nv> то х — у е У, так как отобра-
жение (х, у)-^_х — у произведения LXL в L непрерывно. Обратно, если х — у eV, то мы имеем хе у + V. Следовательно, х лежит в замыкании (взятом в Ц множества у + V, так как сдвиги в L являются гомеоморфизмами, откуда и следует, что (х, у) е Nv.
Таким образом, 28 является базисом окрестностей нуля в L. Используя (1.2), мы покажем, что в топологии 2, определяемой 91, пополнение L является ТВП. Очевидно, топология 2 инвариантна относительно сдвигов и удовлетворяет условиям (а) и (с) из (1.2). Следовательно, достаточно показать, что всякое V е2В содержит 2-окрестность нуля, которая радиальна и закруглена. Для заданного V е § существует закругленная окрестность нуля U в L, такая, что U + U cz V. Замыкание ф + Пф в L является окрестностью нуля в силу предыдущего, закруглено и, очевидно, содержится в V. Покажем, что оно радиально. Для заданного х е L существует фильтр Коши g в £, сходящийся к х, и множество F е 5, такое, что F-FcU. Пусть х0 — элемент F. Так как U радиально, то существует Хе К, такое, что х е XU, а так как U закруглено, то мы можем считать |Х|^1. Далее, F-xocU. Следовательно, Fcxg + U и хеРсХф + Пф, что доказывает утверждение.
Наконец, единственность ф, 2) (с точностью до изоморфизма) следует в силу (1.4) из единственности пополнения L равномерного пространства L.
Замечание. Полнота нормированного поля К не требуется для предыдущей конструкции. С другой стороны, если L — полное хаусдорфово ТВП над К, то нетрудно видеть, что умножение на скаляры имеет единственное непрерывное продолжение на К X L, где К—пополнение К.
Таким образом, из (1.5) следует, что для всякого хаусдорфова ТВП над К существует (единственное) полное хаусдорфово ТВП Lv над К, такое, что топологическая группа L изоморфна плотной подгруппе топологической группы Lx.
Мы завершим раздел критерием полноты ТВП ф, 2J в терминах более слабой топологии 22 на L.
Пусть L — векторное пространство над К и £ь ^ — две хаусдорфовы топологии на L, в каждой из которых L является ТВП. Пусть при этом 2! сильнее 22. Тогда если ф, 2,) имеет базис окрестностей нуля, состоящий из множеств, полных в ф, 22), то ф, 2j) полно.
Доказательство. Пусть 23, есть 2,-базис окрестностей нуля в L, состоящий из множеств, полных в ф, 22). Тогда для заданного фильтра Коши 5 в ф, 2J и заданного Й, g 9$, существует множество Foe§, такое, что PQ — Fo е Vp Если у-неко-
торый фиксированный элемент Fo, то семейство {у — F: Fe^ будет базисом фильтра Коши для равномерности, ассоциируемой с Х2, в которой Vx полно. Так как у — FocKb то этот базис фильтра имеет единственный $2-предел у — х0. Теперь ясно, что хоеЬ является $2-пределом 8- Так как К, замкнуто в топологии Т2, то мы имеем Fo — XqcVx или FoCXo + Ep Но окрестность Ki выбиралась произвольно. Это показывает, что § сильнее, чем фильтр ^[-окрестностей точки х0, и тем самым доказано, что (L, 1,) полно.
Для читателя, знакомого с нормированными пространствами, мы отметим следствие из (1.6):
Всякое рефлексивное нормированное пространство полно и, следовательно, является банаховым пространством. Действительно, в таком пространстве положительные кратные замкнутого единичного шара, образующие базис окрестностей нуля в нормированной топологии, слабо компактны и, следовательно, слабо полны.
Произведения пространств, подпространства,прямые суммы, факторпространства
Пусть ^La: аЕ А} -семейство векторных пространств над одним и тем же полем скаляров К. Декартово произведение L = Д La а ' становится векторным пространством над К, если для всяких х = (ха), у = (уа) eL и Хе К определить сложение и умножение на скаляры с помощью формул х + у = (ха + у^, Хх = (Хха). Если (Fa, Та)(ае Л) —ТВП над К, то L будет ТВП в топологии произведения $ = Д 2а. Простая проверка (ЛТ), и (ЛТ)2 оставляется a
читателю. Кроме того, из общей топологии известно, что L ($) будет хаусдорфовым и полным равномерным пространством тогда и только тогда, когда каждый сомножитель обладает соответствующими свойствами. (А, 2) называется произведением семейства {La($a): aeA}-
Как уже отмечалось ранее, под подпространством М векторного пространства L над К мы понимаем подмножество М ^ 0, инвариантное относительно сложения и умножения на скаляры. Мы отметим еще легкое следствие аксиом (ЛТ)[ и (ЛТ)2:
Если_ (L, $) — ТВП и М — подпространство в L, то его замыкание М в ^L, $) также подпространство.
_ Доказательство. Действительно, из (ЛТ), следует, что М + М с М, а из (ЛТ)2 - что КМ с М.
Напомним следующие факты из линейной алгебры. Если L — векторное пространство, Мг(1=1, ..., п) — такие подпростран-
ства в L, что линейная оболочка их объединения совпадает с L, и если при этом Л1гП( 2 МД = {0} для каждого I, то L называется
\j i /
алгебраической прямой суммой подпространств Alz (z = 1, . . ., п).
Отсюда следует, что любое те L имеет единственное представление х=2ф, где х, е Мг и отображение (хь . .., х„)-»2ф является алгебраическим изоморфизмом Ц Mt на L. Отображение ир. x-*xt называется проекцией L на Мь связанной с этим разложением. Если каждое ut рассматривать как эндоморфизм L, то будут иметь место соотношения uiUj = 6ijui {I, j=V, ..., и) и 2 Ut = е, где е означает тождественное отображение.
i
Если (Л, 2) — ТВП и L допускает в том же смысле алгебраическое разложение, то каждая проекция ut является открытым отображением L на ТВП Мг. Действительно, если G — открытое подмножество L и Nt означает нуль-пространство иь то G + Nt открыто в L по (1.1) и ut (G) = uL{G + N{) = (G + Nt) П Mt. Из (ЛТ)( ясно также, что отображение ф: (хь ..., xJ-> 2 М произведения II Mt на L непрерывно. Если Т является изоморфизмом, то L I
называется прямой суммой (или топологической прямой суммой, если желательно подчеркнуть различие) подпространств Mz(z=l, . .., /г) и записывается в виде L = М, © . .. фЛ1„.
Пусть ТВП является алгебраической прямой суммой п пространств М{(1=\, ..., п). Тогда L = M;® . . . фЛД в том и только том случае, когда проекции ut непрерывны.
Доказательство. Согласно определению топологии в произведении, отображение Д-1: x->{utx, ..., ипх) пространства L на II Mt непрерывно тогда и только тогда, когда каждое ut непрерывно.
Замечание. Так как тождественное отображение е непрерывно на L, то непрерывность (п — 1)-й из п проекций влечет за собой непрерывность У"1.
Подпространство N ТВП L, такое, что L = Mt^N, называется подпространством, дополнительным к М. Такие дополнительные подпространства не всегда существуют, даже если Л/ конечномерно (упр. 8; см. также гл. IV, упр. 12).
Пусть (G, 2) — ТВП над К, М — подпространство L и Ф — естественное {каноническое, фактор-) отображение L на ЦМ, т. е. такое отображение, которое каждому х е L ставит в соответствие его класс эквивалентности it = х + М. Фактортопология 2 определяется как сильнейшая топология на ЦМ, в которой Ф непре-
рывно. Таким образом, открытыми множествами в ЦМ будут множества вида Ф(Я), где Н таково, что Н + М открыто в L. Так как G +/И открыто в L, если G открыто, то образ Ф(С) открыт в ЦМ для всякого открытого GcL. Следовательно, Ф — открытое отображение. Отсюда вытекает, что Ф(®) будет базисом окрестностей нуля в ЦМ для всякого базиса окрестностей нуля ® в Е.
Так как Ф линейно, топология X инвариантна относительно сдвигов и Ф(8) удовлетворяет условиям (а), (Ь) и (с) из (1.2), если это имеет место для У. Таким образом, (ЦМ, 3) представляет собой ТВП над К. Оно называется факторпространством (L, 2) по М.
Если /. — ТВП и М — подпространство L, то ЦМ хаусдорфово тогда и только тогда, когда М замкнуто в L,
Доказательство. Если ЦМ хаусдорфово, то множество {0}с ЦМ замкнуто. Тогда в силу непрерывности Ф прообраз М = Ф-1(С0 замкнут. Обратно, если х ^ 0 в ЦМ, то х^ФЦ), где х ^ М. Если М замкнуто, то дополнение U множества М в L является окрестностью х. Следовательно, Ф (Я) будет окрестностью х, не содержащей 0. Так как Ф(Я) содержит замкнутую окрестность х согласно (1.3), то ЦМ — хаусдорфово пространство.
В силу (2.3) с любым ТВП L можно связать хаусдорфово ТВП ЦМ, если в качестве М взять замыкание в L подпространства {0}. Тогда М является подпространством в силу (2.1). Пространство ЦМ называется хаусдорфовым ТВП, ассоциированным с L.
Между факторпространствами и прямыми суммами имеется следующее соотношение:
Пусть L — ТВП и при этом L представлено в виде алгебраической прямой суммы подпространств М и N. Тогда L будет топологической прямой суммой М и N (т. е. Ь = МЦП) в том и только том случае, когда отображение и, сопоставляющее каждому классу эквивалентности (по модулю М) единственный элемент этого класса из N, является изоморфизмом ТВП Т/М на ТВП N.
Доказательство. Обозначим через и проекцию L на N, аннулирующуюся на М, и через Ф естественное отображение L на ЦМ. Тогда и = и = Ф. Пусть L = МЦМ. Так как Ф открыто и и непрерывно, то и непрерывно. Так как Ф непрерывно и и открыто, то и открыто. Обратно, если у — изоморфизм, то у непрерывно. Следовательно, и непрерывно, так что L = M®N.
Топологические векторные пространства конечной размерности
Под размерностью ТВП L над К мы понимаем алгебраическую размерность L над К, т. е. мощность любого максимального линейно независимого подмножества L. Такое множество называется базисом (или базисом Гамеля) L. Пусть Ко есть одномерное ТВП, возникающее, если К рассматривать как векторное пространство над самим собой.
Всякое одномерное хаусдорфово ТВП L над К изоморфно Ко- Более точно, отображение A->Xx0 осуществляет изоморфизм Ко на L при любом выборе ненулевого хое L, и всякий изоморфизм Ко в L имеет такой вид.
Доказательство. Из (ЛТ)2 следует, что отображение X—>Хх0 непрерывно. Более того, это отображение является алгебраическим изоморфизмом Ко в L. Для того чтобы убедиться в непрерывности обратного отображения Хх0->Х, достаточно проверить это свойство в точке OgL. Пусть е — положительное вещественное число, причем е<1. Так как К недискретно, то существует Ло г К, такое, что 0<|Zj<e, и так как L предполагается хаусдорфовым, то существует закругленная окрестность нуля V a L, такая, что Хохо ^ В. Следовательно, Хх0 е V влечет за собой | X | < е. Из | X | ^ е вытекает лохо е V, так как V закруглено, а это приводит к противоречию."
Наконец, если и — изоморфизм Ко на L, такой, что zz(l) = x0, то и, очевидно, имеет вид Х->Ххй.
Теорема. Всякое хаусдорфово ТВП L конечной размерности п над полным нормированным полем К изоморфно Ко- Более точно, (А,!, . .., Хп) -^Xt + ... + Хпхп является изоморфизмом Ко на L для любого базиса ^хь ..., хп} пространства L, и всякий изоморфизм Ко на L имеет такой вид.
Доказательство. Доказательство проводится по индукции. Из (3.1) следует, что утверждение справедливо для п=1. Предположим, что оно выполняется при k = n — 1. Тогда если {хь ..., хД — некоторый базис L, то L представимо в виде алгебраической прямой суммы подпространств М и К с базисами {Х[x^-J и {хД соответственно. Согласно сделанному предположению, М изоморфно Ко-1. Так как Ко полно, то М полно, а так как L хаусдорфово, то М замкнуто в L. Согласно (2.3), ЦМ хаусдорфово и, очевидно, имеет размерность 1. Следовательно, отображение и, которое ставит каждому классу эквивалентности по mod М его единственного представителя в N, является в силу (3.1) изоморфизмом. Из (2.4) следует, что L = M®N,
а потому отображение (?ч, ..., Лд)-»^^^ ... + Хпхп является изоморфизмом Ко~' X Ко = Ко на L. Наконец, очевидно, что любой изоморфизм Ко на L имеет такой вид.
Следует заметить, что (3.1) (и, стало быть, (3.2)) не имеет места для нехаусдорфовых пространств L. Кроме того, (3.2) может не выполняться при п>1, если К неполно (упр. 4).
Теорему (3.2) можно переформулировать, сказав, что если К — полное нормированное поле, то топология произведения на Ко является единственной хаусдорфовой топологией, удовлетворяющей (ЛТ)] и (ЛТ)2 (Тихонов [1]). Из этого факта вытекает ряд важных следствий.
Пусть L — ТВП над К, и пусть К полно. Тогда если М — замкнутое подпространство L и N — конечномерное подпространство L, то М + N замкнуто в L.
Доказательство. Пусть Ф означает естественное отображение L на ЦМ. Пространство ЦМ хаусдорфово в силу (2.3). Так как Ф (IV) — конечномерное подпространство в ЦМ, то оно полно в силу (3.2) и, следовательно, замкнуто в ЦМ. Отсюда следует, что М + N = Ф-1 (Ф (N)) замкнуто, так как Ф непрерывно.
Пусть К полно, N — конечномерное хаусдорфово ТВП над К и L — некоторое ТВП над К. Тогда всякое линейное отображение N в L непрерывно.
Доказательство. Результат тривиален, если N имеет размерность 0. Если N имеет положительную размерность п, то оно изоморфно Ко в силу (3.2). Но всякое линейное отображение Ко в L необходимо имеет вид (Л.ь . .., А,„) —* А-! z/j Ч- . .. + Цуп, г№ у, g L, и, следовательно, непрерывно в силу (ЛТ)! и (ЛТ)2.
Напомним, что коразмерность подпространства М векторного пространства L — это размерность ЦМ, где N — алгебраически дополнительное подпространство к М, если L = М + N является алгебраической прямой суммой.
Пусть L — ТВП над полным полем К и М — замкнутое подпространство конечной коразмерности. Тогда L = M'^N для всякого алгебраически дополнительного подпространства N к М.
Доказательство. Пространство ЦМ является конечномерным ТВП, причем в силу (2.3) хаусдорфовым. Следовательно, согласно (3.4), отображение и; ЦМ->К, которое ставит в соответствие каждому элементу из ЦМ его единственный представитель в N, непрерывно. С учетом (2.2) получаем разложение L = MTyN, так как проекция и = у°Ф непрерывна.
3 а м е Ч а и и с. Из (2.4) следует, что в условиях (3.5) N необходимо будет хаусдорфовым подпространством L. Впрочем, в этом нетрудно убедиться и непосредственно.
Мы перейдем теперь ко второй важной теореме, касающейся ТВП конечной размерности. Из (3.2) ясно, что если К локально компактно (следовательно, полно), то любое конечномерное хаусдорфово ТВП над К локально компактно. Обратно, если К полно, то всякое локально компактное хаусдорфово ТВП над К имеет конечную размерность (см. упр. 3).
Теорема. Пусть К полно. Тогда если L ^ {0} есть локально компактное хаусдорфово ТВП над К, то К локально компактно и L конечномерно.
Доказательство. В силу (3.1) всякое одномерное подпространство в L полно, а следовательно, замкнуто в L и потому локально компактно. Пусть теперь 1/— компактная закругленная окрестность нуля в L, и пусть {^ — последовательность, сходящаяся к нулю в К, состоящая из ненулевых элементов. Мы покажем сначала, что {Х„У: п е N) является базисом окрестностей нуля в L. Выберем для заданной окрестности нуля U закругленную окрестность нуля W, такую, что W + W cz U. Так как И —компакт, то к
существуют элементы х, е V (i = 1,..., 6), такие, что V cz (J (х, + 1У), i = i
и найдется Хе К, X ^ 0, такое, что Xxt е У7 для всех / и при этом |Л|^1. Далее, существует такое neN, для которого |Х„|<|А.|, и включение
к
XnV с ХУ с |J (Xty + Х1У) с 1У + W cz Ui = i
показывает, что {X„B:«eN} образует базис окрестностей нуля.
Пусть р е К таково, что 0<|р|<1/2. Так как У —компакт и рУ — окрестность нуля, то существуют элементы 1^1=1m)
в V, для которых У с (J ((/z + py).
/ = 1
Мы обозначим через М наименьшее подпространство в L, содержащее все y^^l, ..., m), и покажем, что M = L, что завершит доказательство. Предположим, что М ^= L. Тогда существуют w е L \ М и пи е N, такие, что (от + ХПоУ) П М = 0. Подпространство Л1, которое имеет конечную размерность и, следовательно, полно в силу (3.2), замкнуто в L; в то же время {от + Х„У: п е N) является базисом окрестностей от. Пусть р,—некоторое число в К, такое, что от + рУ пересекает М (такие числа существуют, так как У радиально), и пусть d = inf | р |. Очевидно, 6^|Лч01>О. Выберем у0 е У таким, что у = от + роуо е М, где
б<| Но |<Зд/2. Согласно определению {z/z}, найдется такое /0 (1 чт0 уо ~ У и + Руг где yi е И, 11 потому
W = у - (Vo = (// - ад0) - Нору, е М + цорУ.
Но это противоречит определению д, так как V закруглено и |р0р|<Зд/4. Следовательно, допущение М ^ L неверно.
Линейные отображения и гиперплоскости
Пусть L — векторное пространство. Линейным многообразием (или аффинным подпространством) в L называется подмножество, являющееся сдвигом какого-либо подпространства М cz L, т. е. множество F вида х0 + М при некотором х0 е L. Множество F определяет М однозначно, тогда как х0 определяется только по modM: ха + М = х1 + N в том и только том случае, когда M = N и х, — х0 е М.
Два линейных многообразия х0 + М и xt + N называются параллельными, если либо М с N, либо N cz М.
Размерность линейного многообразия — это размерность сдвинутого подпространства. Гиперплоскостью в L называется максимальное собственное аффинное подпространство L. Следовательно, соответствующее гиперплоскости подпространство имеет коразмерность 1. Ясно, что две гиперплоскости в L параллельны тогда и только тогда, когда соответствующие подпространства совпадают. Гиперплоскость, являющаяся подпространством (т. е. гиперплоскость, содержащая 0), часто называется однородной гиперплоскостью.
Для любого векторного пространства L над К мы определим L* — алгебраическое сопряженное к L, т. е. (правое) векторное подпространство (над К), образованное всеми линейными формами на L.
Подмножество М cz L является гиперплоскостью в том и только том случае, когда И = {х: f (х) = а) для некоторого ае К и некоторого ненулевого feL*. При этом f.и а определяются Н с точностью до общего множителя р, 0 ^ р е Я-
Доказательство. Если f g L* отлично от 0, то M = f-i(0) является максимальным собственным подпространством L. Если, кроме того, xQe L таково, что / (х0) = а, то И = {х: f (х) = а) = х0 + М, а это доказывает, что Я — гиперплоскость. Обратно, если Я —гиперплоскость, то Я = х0 + М, где М — такое подпространство в L, что dimE/M=l, так что ЦМ алгебраически изоморфно Ко- Обозначим через Ф естественное отображение L на ЦМ и через g изоморфизм ЦМ на Ко- Тогда f = g оф будет (отличной от нуля) линейной формой на L, для которой Я = {х: /(х) = а), где а = /(х0). Пусть Я = {х: fi (х) — а,} — другое представление И- Тогда в силу
равенства fx 1 (0) = М получается ^ = ^ ° Ф, где gx — изоморфизм L/M на Kq. Если £ — элемент ЦМ, для которого g (£) = 1, и если g, (£) = 0, то f1(x) = f(x)0 для всех х е L, что завершает доказательство.
Так как сдвиги в ТВП L являются гомеоморфизмами, то из (2.1) следует, что замыкание аффинного подпространства F есть аффинное подпространство F. При этом, даже если F — собственное подпространство L, F не обязательно обладает этим свойством.
Всякая гиперплоскость Н в ТВП L либо замкнута, либо плотна в L\ при этом Н = {х: f(x) — d} замкнуто в том и только том случае, когда f непрерывно.
Доказательство. Если гиперплоскость Н с L незамкнута, то она должна быть плотна в L, ибо в противном случае ее замыкание должно было бы быть собственным аффинным подпространством в L, содержащим максимальное Н. Для доказательства второго утверждения достаточно показать, что f-1 (0) замкнуто тогда и только тогда, когда f непрерывно. Если / непрерывно, то /-1(0) замкнуто, так как {0} замкнуто в К- Если /~’(0) замкнуто в L, то Црх (0) будет в силу (2.3) хаусдорфовым ТВП размерности 1. Записав / = £°Ф, мы, как и в предыдущем доказательстве, получим, что g, а следовательно, и f непрерывны.
Отметим, что, вообще говоря, в ТВП L могут существовать незамкнутые гиперплоскости, даже если L хаусдорфово (упр. 6.7).
Ограниченные множества
Подмножество А ТВП L называется ограниченным, если для всякой окрестности нуля U в L существует К е К, такое, что А ст XU. Так как в силу (1.2) закругленные окрестности нуля в L образуют базис в нуле, то А с L ограниченно тогда и только тогда, когда всякая закругленная окрестность нуля поглощает А. Фундаментальная система (или фундаментальное семейство) ограниченных множеств в L — это такое семейство 23 ограниченных подмножеств, что всякое ограниченное подмножество в L содержится в некотором элементе из 23.
Подмножество В в ТВП L называется вполне ограниченным, если для всякой окрестности нуля U в L существует конечное подмножество Во с В, такое, что В с Во + U. Напомним, что отделимое равномерное пространство Р называется пред компактным, если его пополнение Р является компактом. Из (1.4) и из хорошо известной характеристики предкомпактных равномерных пространств (см. гл. «Предварительные сведения») легко следует, что подмножество В хаусдорфова ТВП предкомпактно тогда и только тогда, когда оно вполне ограниченно, (Мы будем исполь*
зовать термин „предкомпактное", исключительно когда имеем дело с хаусдорфовыми пространствами.) Мы получаем тем самым следующую характеристику предкомпактных множеств: подмножество В хаусдорфова ТВП L предкомпактно тогда и только тогда, когда его замыкание в пополнении L компактно.
Пусть L — ТВП над К, А и В —его ограниченные {соответственно вполне ограниченные) подмножества. Тогда следующие подмножества ограниченны {соответственно вполне ограниченны) в L:
всякое подмножество множества А;
замыкание А множества А;
/4UB, А + В и ХА при любом X е К.
Кроме того, всякое вполне ограниченное множество ограниченно1, закругленная оболочка ограниченного множества ограниченна. Если К локально предкомпактно, то закругленная оболочка всякого вполне ограниченного множества в L вполне ограниченна.
Доказательство. Если А, В — ограниченные подмножества в L, то 1) тривиально, а 2) вытекает из (1.3). Чтобы доказать 3), возьмем два элемента Хь Х2 е К, такие, что А c X,U и В ст X2U для заданной закругленной окрестности нуля U. Так как К недискретно, то существует такое XGK, что | Ао I > sup (| А] |, | А21). Мы получаем ЛиВсХ0(/ и А + В с: Ао{U + U). Так как, согласно (1.2), множества вида U + U образуют базис окрестностей нуля, когда U пробегает базис окрестностей нуля, тоЛиВиЛ + В ограниченны. Ограниченность ХА тривиальна. Доказательство для вполне ограниченных множеств А, В очевидно и поэтому опускается.
Так как 0 и всякое одноточечное множество, очевидно, ограниченны, то из повторного применения 3) следует, что всякое конечное множество ограниченно. Если В вполне ограниченно и U — заданная закругленная окрестность нуля, то существует конечное множество Во с В, такое, что В ст Во + U. Теперь Во с X0U, где мы можем предполагать, что |А0|^1, так как U закруглено. Мы получаем, что В с Ао {U + U), откуда следует, что В ограниченно. Тот факт, что закругленная оболочка ограниченного множества ограниченна, следует из (1.3). Чтобы доказать последнее утверждение, достаточно показать, что закругленная оболочка конечного подмножества в L вполне ограниченна при условии, что К локально предкомпактно. Следовательно, в силу 3) достаточно убедиться, что всякое подмножество Sa вполне ограниченно при а е L и S = {А: | А | ^ 1}. Но это ясно из (ЛТ)2 и предком- пактности S (см. (5.4) ниже). Доказательство завершено.
Следствие 1. Свойства ограниченности и вполне ограниченности сохраняются при образовании конечных сумм и объединений и при гомотетиях х -* Аох + х0.
Следствие 2. Всякая последовательность Коши ограниченна;
. Следствие 3. Семейство всех замкнутых и закругленных ограниченных подмножеств ТВП L образует фундаментальную систему ограниченных множеств в L.
Из определения предкомпактности ясно, что подмножество хаусдорфова ТВП компактно тогда и только тогда, когда оно предкомпактно и полно. Отметим следующие простые факты, относящиеся к компактным множествам.
Пусть L — хаусдорфово ТВП над К, и пусть А, В — компактные подмножества в L. Тогда A U В, А + В и ХА (Хе К) компактны. Если К локально компактно, то и закругленная оболочка А компактна.
Доказательство. Компактность A U В непосредственно следует из определения компактного пространства (всякое открытое покрытие содержит конечное покрытие; см. гл. «Предварительные сведения»). Множество А + В, согласно (ЛТ)1, компактно как образ компактного пространства А X В при непрерывном отображении (х, у) —>х + у. Тот же способ годится и для ХА (здесь исполь-' зуется (ЛТ)2). (Другое доказательство состоит в проверке того, что A U В, А + В и ХА предкомпактны и полны.) Наконец, закругленная оболочка множества А представляет собой непрерывный образ множества S X А (при отображении (X, х(-*Хх) и, следова-. тельно, компактна, если компактно S.
Следствие. Компактность подмножеств хаусдорфова ТВП сохраняется при образовании конечных сумм, объединений и при; гомотетиях. .
Следующее утверждение является «секвенциальным критерием» : ограниченности подмножества ТВП (относительно аналогичного критерия полной ограниченности см. упр. 5).
Подмножество А в ТВП L ограниченно тогда и только тогда, когда для всякой сходящейся к нулю последовательности (АД в К и всякой последовательности (хД в А семейство {Х„хп} является сходящейся к нулю последовательностью в L. '
Доказательство. Пусть А ограниченно и V — заданная закругленная окрестность нуля в L. Тогда найдется ре К, ц¥=0, такое, что цЛ с V. Если {Л.Д — некоторая сходящаяся к нулю последовательность в К, то найдется щ е N, такое, что | А„ | ^ | р |< как только п^Щ). Следовательно, мы получим Хпхп е V для всех п^Мо и для всякой последовательности {хД в А. Обратно, предположим, что Л — подмножество в L, удовлетворяющее условию. Тогда если А неограниченно, то найдется такая окрестность нуля U, что А не содержится ни в каком pnU при любом выборе после-.
довательности {р„} в К- Так как К недискретно, мы можем выбрать р„ так, чтобы |р„|^н для всех nsN и хпе A\pnU (п е N). Отсюда следует, что р~'хге ^ U для всех п, но это неверно, так как {р»1} — сходящаяся к нулю последовательность в К.
Пусть L, М — ТВП над К и и — непрерывное линейное отображение L в М. Тогда если В — ограниченное (соответственно вполне ограниченное) подмножество в L, то и (В) ограниченно (соответственно вполне ограниченно) в М.
Доказательство. Если V — некоторая окрестность нуля в М, то и-1 (V) будет окрестностью нуля в L. Следовательно, если В ограниченно, то В с. Хи-1 (V) при некотором X е К, так что u(B)czXV. Если В вполне ограниченно, то ВсВпттЦУ) для некоторого конечного множества Во с В. Следовательно, и (В) cu(B0) +V.
Предыдущий результат позволяет определить ограниченные множества в произведении Ц La. Мы опускаем соответствующее а
утверждение для вполне ограниченных множеств.
Если {La: а е А} — семейство ТВП и L = XI Еа, то подмно- а
жество В с L ограниченно тогда и только тогда, когда В cz Ц Ва, а
где каждое Ва (а е А) ограниченно в La.
Доказательство. Легко вывести из определения топологии произведения, что если Ва ограниченно в Д (ае А), то Ц Ва огра- а
ниченно в L. С другой стороны, если В ограниченно в L, то иа(В) ограниченно в La, так как проекция иа: L-+La непрерывна и, очевидно, В с Ц иа (В).
а
Таким образом, фундаментальная система ограниченных множеств в XI ^а получается путем образования всех произведе- а
ний И Ва, где Ва — некоторые элементы фундаментальной системы а
ограниченных множеств в La (аеА). Далее, если А —ТВП и М — подпространство L, то подмножество X с М ограниченно в М тогда и только тогда, когда оно ограниченно как подмножество пространства L.
С другой стороны, ограниченное подмножество ЦМ не обязательно является каноническим образом ограниченного множества из L (гл. IV, упр. 9, 20).
ТВП L квазиполно, если всякое ограниченное замкнутое подмножество в L полно. Это понятие особенно важно для неметри-
зуемых ТВП. В силу следствия 2 из (5.1) всякое квазиполное ТВП „секвенциально полно". Многие результаты о квазиполных ТВП остаются справедливыми и в предположении „секвенциальной полноты", хотя имеются и некоторые исключения (гл. IV, упр. 21). Заметим также, что в квазиполном хаусдорфовом ТВП любое предкомпактное подмножество относительно компактно.
Произведение любого семейства квазиполных пространств квазиполно.
Доказательство непосредственно вытекает из того факта, что произведение любого семейства полных равномерных пространств полно, и из (5.3).
Метризуемость
ТВП (L, 2) метризуемо, если его топология 2 метризуема, т. е. если на L существует метрика, открытые шары в которой образуют ■ базис для I. Отметим, что равномерность, порожденная такой метрикой, не обязательно инвариантна относительно сдвигов и может, следовательно, отличаться от равномерности, ассоциированной с 2 в силу (1.4) (упр. 13). Отметим, что, как мы уже ранее договорились, все связанные с равномерностью понятия, употребляемые в связи с каким-либо ТВП (метризуемым или нет), относятся к равномерности У! из (1.4).
Из теории равномерных пространств известно, что отделимое, равномерное пространство метризуемо тогда и только тогда, когда его фильтр окружений имеет счетный базис. Для топологических векторных пространств справедлив следующий более точный результат.
Теорема. Хаусдорфово ТВП L метризуемо тогда и только тогда, когда оно обладает счетным базисом окрестностей нуля. В этом случае существует функция х-»| х| из L в R, такая, что:
если |Х|^1, то | Лл: | ^ | х | для всех xeL;
|x + z/|^|x| + |z/| для всех хе L, уе L;
| х | = 0 эквивалентно х = 0;
метрика (х, у)-> \ х — у\ порождает топологию L.
Заметим, что из 1) следует |х|=|—х| и что из 1) и 3) следует |х|^0 для всех х е L. Кроме того, так как метрика (х, у^-*\х — у\ инвариантна относительно сдвигов, она порождает также равномерность ТВП L. ‘
Вещественная функция х->|х|, определенная на векторном пространстве L над К и удовлетворяющая вышеприведенным условиям 1) — 3), называется псевдонормой на L. Ясно, что задан-
ная псевдонорма на L определяет с помощью метрики (х, z/)->| х—у\ топологию I на L, удовлетворяющую (ЛТ)1. В то же время (ЛТ)2 не обязательно выполняется (упр. 12). Однако если х—>| х | — псевдонорма на L, такая, что сходимость Л„->0 влечет за собой | Кпх |-*0 для всякого хе/, и сходимость | х„ | —> 0 влечет за собой | Кхп |-»0 для всякого Хе К, то из 1) и из тождества
Хх — Лохо = ^о (я ~ *о) + (Л — Ло) х0 + (Л — Ло) (х — х0)
следует, что топология Z, определяемая псевдонормой х—>|х|, удовлетворяет (ЛТ)2 и, следовательно, ^L, 2) является ТВП над К.
Доказательство (6.1). Пусть {У„: neN} —базис закругленных окрестностей нуля, удовлетворяющий условию
Уп+] + Уп+1 с У„ ‘ (neN).(1)
Определим для всякого непустого конечного подмножества Н cz N закругленную окрестность нуля Ин, полагая Ун= 2 У«> и пусть mH
Рн= 5 2""". Из (1) индукцией по числу элементов Н следует, ПЕН
что справедливы следующие импликации:
рн<2-п^п<Н^>УнсУп,(2)
где п<Н означает, что п<к для всех кеН. Мы определим вещественную функцию х —»-1 х | на L, полагая |х|=1, если х не содержится ни в каком Ун и
Ы-inf [рн: хеУн}
в противном случае. Образ при задаваемом ею отображении содержится в единичном интервале. Так как каждое Ун закруглено, то выполнено (1). Покажем теперь, что выполнено неравенство треугольника (2). Оно, очевидно, имеет место для всякой пары (х, z/), для которой |x| + |z/|^l. Предположим теперь, что I-^ I +1 УI < 1 • Пусть е > 0 — некоторое вещественное число, такое, что | х | +1 у | + 2е < 1. Тогда существуют непустые конечные множества Н, К в N, такие, что хеУн, уеУ^ и рн<|х| + е, PK<|z/| + e. Так как рн + рк<1, то найдется конечное подмножество М cz N, для которого рм = рн + рк- В силу (1) М обладает свойством Ун + У к <= Ум- Отсюда следует, что х + уеУм и, значит,
l^ + z/KpM = pH + pK<|x| + | z/| + 2e,
что и доказывает (2).
Для всякого е>0 положим SE = [х е L: | х |^е}. Мы утверждаем, что
$,_„_! сУпс=52_„ (neN).(3)
Включение Vn с: S2-n очевидно, так как из х е Vn следует | х | ^ 2 ". С другой стороны, если | х | ^2—п—*, то существует такое Н, что х е 7Н и рн< 2~п. Следовательно, из (2) вытекает, что х е 7„.
Из формулы (3) ясно, что утверждение 3) теоремы (6.1) выполняется, поскольку Л — хаусдорфово пространство и, следовательно, равенство х = 0 эквивалентно включению хе П{/п: я е N}. Кроме того, (3) показывает, что семейство (SE: е>0} является базисом окрестностей нуля в L. Так как топология, порождаемая метрикой (х, у) -> | х — у |, инвариантна относительно сдвигов, то 4) также выполнено. Это завершает доказательство.
Замечание. Из предыдущего доказательства ясно, что на всяком, не являющемся хаусдорфовым, ТВП L над К, обладающим счетным базисом окрестностей нуля, существует вещественная функция со свойствами 1) 2) и 4) из (6.1).
Если L — метризуемое ТВП над К и х->| х | — псевдонорма, порождающая топологию пространства L, то эта псевдонорма, очевидно, равномерно непрерывна. Следовательно, она имеет единственное непрерывное продолжение х-*\х\ на пополнение L. В силу (1.5) это продолжение, очевидно являющееся псевдонормой на L, порождает топологию L.
Пример. Обозначим через / вещественный единичный интервал и через р лебегову меру на /. Пусть, далее, $р (р>0) — векторное пространство над R, образованное всеми вещественными ц-измеримыми функциями, для которых {f(p (где | /1 обозначает функцию f -> | f (О I) ц-интегрируемы и пусть Lp — фактор- пространство 5ЕР по подпространству ц-нулевых функций. Если р^ 1, то
I
Является псевдонормой на Lp, и легко убедиться, что Lp полно в соответствующей топологии. Если р<1, то Lp служит примером хаусдорфова ТВП, на котором нет непрерывной линейной формы, отличной от 0 (упр. 6).
Говорят, что ТВП L локально ограниченно, если L обладает ограниченной окрестностью нуля. Очевидно, такое пространство имеет базис окрестностей нуля, состоящий из ограниченных множеств. Пространства Lp при р<1 локально ограниченны. Другие примеры будут рассмотрены в разд. 2 гл. II.
Всякое локально ограниченное хаусдорфово ТВП метризуемо.
Доказательство. Пусть У — ограниченная окрестность нуля в L и (AJ — последовательность ненулевых элементов К, такая, что Пш^п — 0. Если (/ — некоторая закругленная окрестность нуля, то существует Л, е К, такое, что V cl W, так как V ограниченно. Если п таково, что | КД | ^ 1, то KnV cl U, поскольку U закруглено.
Отсюда следует, что {ZnE: »gN}- базис окрестностей нуля; следовательно, L метризуемо в силу (6.1).
Квазиполное локально ограниченное ТВП полно, так как оно обладает полной окрестностью нуля. Нетрудно показать, что утверждение, обратное к (6.2), неверно. Пример можно получить, взяв произведение счетного семейства одномерных ТВП, которое метризуемо (см. ниже), но не локально ограниченно в силу (5.5).
Очевидно, любое подпространство М метризуемого ТВП метризуемо. Если х ->| х | — псевдонорма на L, порождающая его топологию, то сужение х —> | х | на М будет порождать топологию М. Пусть L = П Ln — произведение счетного семейства метризуе- п
мых ТВП. Так как топология произведения метризуема, то из (6.1) следует, что она порождается псевдонормой. Такая псевдонорма может быть построена в явном виде, если на каждом сомножителе Ln (и е N) задана порождающая псевдонорма х-*| х |„. Пусть х = <хп\ Тогда
Х~>\X | = ^ п = 1Х~>\X | = ^ п = 11I ^п |п2" 1 + |х„|„1I ^п |п2" 1 + |х„|„
Х~>\X | = ^ п = 1
Х~>\X | = ^ п = 1
1I ^п |п2" 1 + |х„|„
1I ^п |п2" 1 + |х„|„
будет порождающей псевдонормой на L. Нетрудно проверить выполнение условий 1) —4) из (6.1). Напомним, в частности, что функция и-*м/(1+м) монотонна при и^О и что
b1 + ьb1 + ьа + b ^ а
b
1 + ь
b
1 + ь
1 + а + &1 + д
для любых двух вещественных чисел а, Ь^О. Мы оставляем читателю проверку того факта, что х->|х| порождает топологию произведения на L.
Для того чтобы факторпространство ЦМ метризуемого ТВП было метризуемо, необходимо, чтобы М было замкнуто [см. (2.3)]. Это условие также и достаточно. Используя порождающую псевдонорму на L, мы можем доказать следующий более точный результат.
Факторпространство метризуемого ТВП L по замкнутому подпространству М метрузуемо, и если L полно, то ЦМ полно. Если х —»| х| — псевдонорма, порождающая топологию L, то, определяя на элементах 5t = х + М функцию
& -> | х | = inf (| х |: х е г),мы получим псевдонорму, порождающую топологию ЦМ.
Доказательство. Заметим, во-первых, что х—>|х| удовлетворяет условиям 1) —3) из (6.1). Очевидно, | 0 | = 0. Если I х | = 0, то 0 е х, так как М замкнуто. Для доказательства 2)
зададим е>0. Тогда |х|<|х| + е и lz/KI(/l + e для некоторых х г х, угу. Далее,
I х + у к | х + у | I X | + \у I < I X | + I у | + 2е.
Свойство 1) следует из соответствующего свойства псевдонормы х —> | х [ на L, поскольку факторотображение х-^-х линейно.
Пусть Уп = Ц: |х|<п~'} {п г N). Тогда {ИД —базис окрестностей нуля в L. Следовательно, {Ф(ИД} будет базисом окрестностей нуля в ЦМ, так как естественное отображение х-»х = Ф(х) открыто и непрерывно. Мы положим Уп = Ц: |х|<«~'} и покажем, что = Ф (ИД для п г N. Очевидно, Ф(ИД<=И„. Обратно, если хгУп, то существует х г х, такое, что хгУп. Следовательно, Ф~'(ИД cz И„ + М, откуда следует, что И„сФ(ИД. Таким образом, х->|х| порождает топологию ЦМ.
Остается показать, что ЦМ полно, если L полно.
Для данной последовательности Коши в ЦМ существует подпоследовательность Цп), такая, что | хп+1 — хп | < 2-re-1 (neN). Следовательно, найдутся представители уп+х г хп+1 —хп, такие, что | уп+У | < 2~п. Пусть X] е %] выбрано произвольно. Тогда п
хп = х, + 5 Ух е хп для всех п ^2. Используя условие 2) из (6.1), V —2
легко убедиться, что {хД — последовательность Коши в L, и, следовательно, сходится к некоторому х г L. Так как Ф непрерывно, то {хД сходится в ЦМ. Таким образом, любая заданная последовательность Коши сходится, так что ЦМ полно.
Отметим, что если L неметризуемое полное ТВП и М — замкнутое подпространство в L, то факторпространство ЦМ, вообще говоря, может и не быть полным (гл. IV, упр. 11).
Комплексификация
В этом разделе мы рассматриваем векторные пространства над полями К более специального типа, чем до сих пор. Мы будем предполагать, что либо К есть подполе в R, либо подполе в С, содержащее мнимую единицу I и инвариантное относительно операции взятия сопряженного. В обоих случаях К наделяется индуцированной абсолютной величиной.
Любое такое поле может быть записано в форме К = Н + Ш, если оно содержит мнимую единицу I. Всегда Н = К П R является подполем поля R. С другой стороны, если Н — подполе в R, то обозначим через H(i) = H + iH комплексное расширение Н. Спрашивается: можно ли умножение на скаляры в векторном пространстве L над Н продолжить на К = Н (I)? Если это возможно, то L обладает автоморфизмом и, таким, что и? = — е (е — тожде-
ственное отображение). Именно, х—> ix является таким автоморфизмом. Обратно, если и — автоморфизм L (над Н), удовлетворяющий условию и2 = — е, то, определяя
(X + zp.) х = ох + ри (х) (А, р g Н), (1)
мы получим продолжение умножения на скаляры из K = H + iH (что легко проверяется). Аналогично если L — ТВП над Н и и — (топологический) автоморфизм L, такой, что и2 = — е, то формула (1) превращает L в ТВП над К
Если L — ТВП над Я cz R, то умножение на скаляры в L может быть непрерывно продолжено на Н (i) X L в том и только том случае, когда L обладает автоморфизмом и удовлетворяющим условию и2 = — е.
Обратно, если L — векторное пространство (или ТВП) над полем К = Н (I), содержащим /, то сужение умножения на Н X L превращает L в векторное пространство (или ТВП) Lo над Н. При этом Lo будет называться вещественным пространством, соответствующим L (или ассоциированным с L). Вещественная линейная форма на L — это линейная форма на ф,, вещественная гиперплоскость в L — это гиперплоскость в Lo. Соответственно вещественное подпространство {вещественное аффинное подпространство') в L — это подпространство (аффинное подпространство) в Lo.
Пусть L — векторное подпространство над К = Н + iH, и пусть f g L* — линейная форма на L. Тогда f = g + th, где g, /г — однозначно определяемые вещественные (более точно, Я-значные) функции на L. Очевидно, g и h представляют собой вещественные линейные формы на L. Они называются соответственно вещественной и мнимой частями f. Так как g (ix) + th (ix) = / (ix) = if (x) = = ig(x) — h(x) для всех x e L, то мы имеем
f (x) = g (x) - ig (ix) (x^L). (2)
Обратно, если g — некоторая вещественная линейная форма на L, то f, определяемое с помощью (2), будет элементом L* (проверка оставляется читателю) и, очевидно, единственным элементом с вещественной частью g. Кроме того, если L — ТВП над К, то формула (2) показывает, что f непрерывно в том и только том случае, когда непрерывно g. Мы доказали следующее предложение.
Пусть L — ТВП над К и Lo — соответствующее ему вещественное пространство. Тогда отображение f^-g, определяемое формулой (2), является изоморфизмом (L*)o на (Lo)*, отображающим пространство непрерывных линейных форм на L на пространство непрерывных линейных форм на Lo.
Для гиперплоскостей в L мы получаем следующий результат:
Пусть L — ТВП над К- Тогда всякая (замкнутая) гиперплоскость в L является пересечением двух однозначно определенных (замкнутых) вещественных гиперплоскостей.
Доказательство. В силу (4.1) гиперплоскость G в L имеет вид G={x: f(x) = ^, гДе jet* и у = а + ф е К = Н + iH. Если g — вещественная часть f, то, очевидно, О = О1ПО2, где
Gi = {х: g(x) = a}, G2 = (х: g (ix) = - 0}.
Так как G определяет f с точностью до ненулевого множителя, то G, и G2 единственны. Кроме того, в силу (4.2) и (7.2) G] и G2 будут замкнуты тогда и только тогда, когда G замкнуто в L.
Если L — векторное пространство над полем Н с R, то на L не всегда существует такой автоморфизм и, что и2 = — е. Примерами служат, в частности, векторные пространства нечетной размерности. Однако, например, в рамках спектральной теории зачастую требуется изоморфно вложить L в векторное пространство над K~H(i). Следующая процедура обеспечивает такое вложение. Рассмотрим произведение L X L над Н. Отображение и: (х, у)-*(—у, х) является автоморфизмом (топологическим, если L — ТВП над Н) LXL, удовлетворяющим условию и2 = — е; таким образом умножение на скаляр может быть продолжено на К X L X L в силу (1). Положим i(y, 0) = (0, у) и условимся писать х вместо (х, 0) для всех х е L. Тогда всякое ze/.Х/. имеет единственное представление z = x + iy, где veL, y^L. Если L — ТВП над Н, то LXL будет ТВП над К и (L X L)o = = L@iL. Этот тип вложения называется комплексификацией векторного пространства (или ТВП), определенного над подполем R.
Можно показать (упр. 16), что всякое векторное пространство над сопряженно-инвариантным полем К <= С, таким, что К содержит z, алгебраически изоморфно комплексификации любого своего максимального собственного вещественного подпространства
Упражнения
Пусть На- а е А) — семейство хаусдорфовых ТВП над К- Обозначим через $ семейство подмножеств векторного пространства L = ] | La, состоящее a
из всех произведений l=^[ Va, где Еа (а е А) — некоторые элементы из базы а
окрестностей нуля в La. Пусть $ обозначает единственную инвариантную относительно сдвигов топологию на L, для которой У — базис окрестностей нуля. Пусть М — подпространство L, содержащее именно те элементы х g L, которые имеют только конечное число отличных от нуля координат. (При этом М обо-
значается еще через 0 La и называется алгебраической прямой суммой семейства {Л((}.) Тогда:
Если число Ln, отличных от {0}, бесконечно, то (/., д) не есть ТВП.
(А1, д) —хаусдорфово ТВП и полно тогда и только тогда, когда каждое Li( полно.
Подмножество В ограниченно в (Л1, л) тогда и только тогда, когда оно содержится в множестве вида | [ В1( X {0}, где II с А конечно и Ва ограниченно а с. и
в Lu при а er II.
Пусть L — ТВП, которое нс является хаусдорфовым пространством. Обозначим через N замыкание {()}. Тогда:
Топология подпространства Л'— это тривиальная топология, единственными открытыми .множествами в которой будут все N и 0. Если М — какое- либо алгебраически дополнительное к N подпространство в L, то L = AI(-)W, и Л1 изоморфно хаусдорфову ТВП, ассоциированному с L (используйте (2.4) ).
Выведите отсюда, что всякое ТВП L изоморфно плотному подпространству полного ТВП над тем же самым нолем.
Покажите, что подмножество А ст L вполне ограниченно тогда и только тогда, когда канонический образ А в IJN предкомпактен.
Приведите пример такого конечномерного ТВП L над (неполным) полем К, что пополнение /. бесконечномерно над К и локально компактно.
Пусть Q — поле рациональных чисел с обычной абсолютной величиной, и пусть 7 — Q Т Q J 2 . Покажите, что /. в топологии, индуцированной R, будет ТВП над Q. не изоморфным Qo X Qo-
Пусть /I — подмножество ТВП, такое, что всякая последовательность в В имеет предельную точку. Тогда В вполне ограниченно. (Пусть Вэ••такое подмножество В для заданной закругленной окрестности нуля V, что х G Во, у g Bi и х + у влечет за собой х — у ф. I', и пусть при этом Вй максимально относительно этого свойства (лемма Цорна), т. е. В ст Во -| V. Покажите, что утверждение „Ва бесконечно" абсурдно.)
Пусть Lp (0 < р < 1) — векторное пространство над R, введенное в разд. 6 с топологией, порожденной псевдонормой /->|/|i — | } /1^ c/ji. Покажите, что
I Ui li = I / (1 - г/) 'i - у | 0. /(1— 2^ ^назовем ее y^) того, |/, I, — 2Р"1 | / |ь По такую, что I и (fn) 10 1 иI Ui li = I / (1 - г/) 'i - у | 0. /(1— 2^ ^назовем ее y^) того, |/, I, — 2Р"1 | / |ь По такую, что I и (fn) 10 1 и1.р является полным ТВП и что в нем нет ненулевых непрерывных линейных форм. (Если и ф 0 — непрерывная линейная форма, то | н (/) 0 1 при некотором 5е1Л Обозначим через zs (0 0 s 01) характеристическую функцию отрезка
I Ui li = I / (1 - г/) 'i - у | 0. /(1— 2^ ^назовем ее y^) того, |/, I, — 2Р"1 | / |ь По такую, что I и (fn) 10 1 и
I Ui li = I / (1 - г/) 'i - у | 0. /(1— 2^ ^назовем ее y^) того, |/, I, — 2Р"1 | / |ь По такую, что I и (fn) 10 1 и
[0, s] с [0, 1]. Тогда существует такое t, что
По крайней мере для одной из функций [г( или
имеет место неравенство и нКроме
индукции определим последовательность 0},
I Mil-2" ^-'’10.) (М. Дэй [1], В. Робертсон [1].)
Пусть L — '1BII. Покажите, что следующие утверждения эквивалентны:
Всякое подпространство конечной коразмерности плотно в L.
В L не существует замкнутой гиперплоскости.
В L нет конечномерных подпространств, имеющих дополнение.
Постройте разложение I. — Л1 о .V пространства /., такое, что M — N — алгебраическая, но не топологическая прямая сумма (иезоль ювать упр. 4 или у пр. б, 7).
Размерность полного метризуемого ТВП над полным пол.-м К либо конечна, либо щечпна (использовать теорему Бэра).
Пусть ^а а е А} — семейство метризуемых ТВП. Произведение Р[ La 'а
мстризуемо только, когда А счетно; прямая сумма Q La (пространство (М, $) а
из упр. 1, (Ь) ) метризуема, только если А конечно.
Получите из упр. 10 пример полного хаусдорфова ТВП счетной размерности, которое неметризуемо.
(а) Пусть L — векторное пространство над К и d — инвариантная относительно сдвигов метрика на L, такая, что метрическое пространство (L, d) полно. Предположим дополнительно, что Хп->0 влечет за собой d (Хпх, 0)->0 для всех х е L и что d (хп, 0) -> 0 влечет за собой d (Лхп, 0) -> 0 для всех /, е К Покажите, что в топологии, порожденной d, пространство L полно. (Используя теорему Бэра, покажите, что выполняется (ЛТ2).)
(Ь) Пусть L — векторное пространство над R, образованное всеми вещественными непрерывными функциями на R. Показать, что /-> sup | f (0 1/(1 + I f (0 I)
te R
является псевдонормой на L и что в топологии, порожденной этой псевдонормой, L будет полной топологической группой относительно сложения, но не ТВП.
Метрика d (х, у) = arctg | х — у ] порождает топологию в R, в которой Ro будет хаусдорфовым ТВП, но равномерность, порожденная d (в которой R предкомпактно), отличается от равномерности ТВП Ro.
Пусть d — метрика на векторном пространстве L, такая, что в топологии $, порожденной d, пространство L будет ТВП, и такая, что метрическое пространство (L, </) полно. Тогда ТВП (Z,. &) полно (В. Кли [1]).
Покажите, что на векторном пространстве R2n+1 (neN) не существует автоморфизма и, удовлетворяющего условию и2 = — е.
Пусть /. — векторное пространство над подполем К = Н + iH в С, где Н — подполе в R. Назовем вещественное подпространство Nel собственно вещественным, если АП/А = {0}. Если такое подпространство имеется, то в L существует и такое собственно вещественное подпространство М, что L = М + iM. (Используйте лемму Цорна; см. гл. IV, упр. 3.)
Всякое ТВП (хаусдорфово или нет) над R или С связно и локально связно.
Найдите формулу, связывающую мощность векторного пространства L над К с его размерностью. Докажите, что если dim L card К, то dim L* = - (cardA)dimi.
Глава II
ЛОКАЛЬНО ВЫПУКЛЫЕ ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
Так как понятие выпуклости будет играть в следующих главах центральную роль, то поле К, над которым определены векторные пространства, будет в дальнейшем предполагаться вещественным R или же комплексным С, если не оговорено противное. Для большинства определений и результатов (например, в теореме Хана —Банаха) нет необходимости делать различие между вещественным и комплексным случаями. В тех случаях, когда речь идет о нескольких пространствах, причем нет специального упоминания о соответствующем поле скаляров, предполагается, что пространства определены над одним и тем же полем К, а именно К = R или К = С. Если К = С, то R будет рассматриваться как подполе и случай поля R отмечается словом «вещественный» (гл. I, разд. 7). В частности, знаки > и ^, если они стоят между скалярами, относятся к обычному порядку в R. Например, если написано ^>0, то подразумевается, что /. eR и Z>0.
Теория общих топологических векторных пространств, элементы которой были даны в гл. I, может быть продолжена в различных направлениях (см., например, Буржен [1], Гире [1], [2], Ландсберг [1], [2]). Она остается, однако, в целом неудовлетворительной теорией, не содержащей большого числа значительных результатов как с «чистой», так и с прикладной точек зрения. Понятие топологического векторного пространства в том виде, в каком оно было введено выше, является слишком общим, чтобы привести к насыщенной теории; понятие же банахова пространства слишком узко. Локальная выпуклость является как раз тем понятием, на основании которого может быть построена удовлетворительная теория, к тому же богатая приложениями. Цель этой главы — ознакомить читателя с элементарными свойствами топологических векторных пространств (над R и С), в которых каждая точка имеет базис из выпуклых окрестностей.
В разд. 1 даны некоторые топологические свойства выпуклых множеств и введены преднормы — полезный инструмент для ана-
литического описания выпуклых множеств. Разд. 2 посвящен краткому обсуждению нормируемых и нормированных пространств. Литература по таким пространствам обширна, и читатель, вероятно, знаком с их элементарной теорией, которая в настоящее время является частью ^почти всякого первоначального курса функционального анализа; мы ограничимся некоторыми основными результатами и рассмотрением наиболее часто встречающихся примеров нормированных пространств, включая некоторые факты о гильбертовом пространстве, которые будут использованы в дальнейшем. В разд. 3 доказана теорема Хана — Банаха в двух формах, называемых Бурбаки [7] геометрической и аналитической соответственно. Это центральный результат главы и- основа многих дальнейших результатов; он придает силу важному понятию локально выпуклого пространства (принадлежащему Дж. фон Нейману [1]), которое будет определено в разд. 4. Непрерывные пред- нормы составляют аналитическую характеристику выпуклых окрестностей нуля, что иллюстрируется двумя формами теоремы Хана —Банаха. Хотя в приложениях часто используются преднормы, нам кажется, что их исключительная или даже предпочтительная роль не должна затуманивать геометрической ясности предмета.
Свойства отделимости выпуклых множеств, все следствия геометрической формы теоремы Хана — Банаха логически могли бы находиться сразу за разд. 4. Мы, однако, предпочли поместить их в конце главы с тем, чтобы читатель мог сначала обозреть класс пространств, в которых верны эти результаты относительно отделимости. Следуя весьма полезному даже в общей топологии методу (см. «Предварительные сведения»), мы предлагаем эффективные способы построения новых локально выпуклых пространств из заданного их семейства, используя проективные и индуктивные топологии. Разд. 5 и 6 содержат все стандартные методы конструирования локально выпуклых пространств, за исключением перехода к пространствам линейных отображений и построения топологических тензорных произведений. Интересно ((5.4), следствие 2), что всякое локально выпуклое пространство может быть получено как подпространство некоторого произведения банаховых пространств. Два класса пространств, особенно часто встречающихся в приложениях, обсуждаются в разд. 7 и 8. Разд. 9 содержит стандартные теоремы отделимости, которые постоянно используются в дальнейшем. Глава завершается весьма сжатым (следующим Бурбаки [7]) изложением теоремы Крейна — Миль- мана- Это красивая и важная теорема, которую должен знать каждый, интересующийся топологическими векторными пространствами; тем не менее в развиваемой здесь теории она занимает относительно мало места, и мы отсылаем читателя для глубокого анализа многочисленных разветвлений этого результата к работам Кли [3 — 5].
Выпуклые множества и преднормы
Подмножество А векторного пространства L выпукло, если для любой пары х е А, у е А все элементы вида Хя + (1 — X) у (0^Л^1) также принадлежат А. Множества {Лл + (1 — X)у: O^X^l} и {Хх + (1 — Л) у: 0<Х<1} называются соответственно замкнутым и открытым интервалом, соединяющим х и у. Непосредственно из определения следует, что выпуклость подмножества Ac L сохраняется при сдвигах: А выпукло тогда (и только тогда), когда л'о + А выпукло для любого х0 е L.
Пусть А — выпуклое подмножество ТВП L. Тогда если х — внутренняя точка множества А и у лежит в замыкании А, то все точки открытого интервала, соединяющего х и у, будут внутренними точками А.
Доказательство. Пусть Л. (0<%<1) фиксировано. Мы должны показать, что Хх + (1 — Л) у е А. Используя, если это необходимо, сдвиг, мы можем считать, что Хх + (1 — Х)у = 0. •
Теперь у = ах, где а<0. Так как w->-aw есть гомеоморфизм L в силу (1.11) и х е А, у е А, то существует zeA, такое, что аге А. Пусть у = а/(а—1). Тогда 0<р<1 и pz + (1 — p)az = 0. Следовательно, множество .
U = {рщ + (1 — p)az: w с А}
является окрестностью нуля, так как отображение w—>p,w + + (1 — p)a2 есть гомеоморфизм L, отображающий zeA в 0. Но из w с А и а2Е ,4, следует, что U с А, так как А выпукло. Значит, 0е Л.
Пусть Л —ТВП и А, В —выпуклые подмножества L. Тогда Л, А, А + В и аЛ (аеТ) выпуклы.
Выпуклость А непосредственно следует из (1.1). Если фиксировать Л. (0<Х<1), то ХА + (1 — X) А с А; следовательно, ЛД+ + (1 — X) Д се Д в силу (ЛТ)! и (ЛТ)2 (гл. I, разд. 1), так что А выпукло. Доказательство того, что А + В и ХА выпуклы, мы оставляем читателю.
Если А — выпуклое множество с непустой внутренностью^ то его замыкание А совпадает с замыканием А, и внутренность А множества Л совпадает с внутренностью А.
Доказательство. Так как Ас А, то, очевидно, и (Д)сД. Если А выпукло и А непусто, то (1.1) показывает, что А с (Д). Для доказательства второго утверждения достаточно показать, —о
что включение 0 е (Л) влечет за собой 0 е Д, если А выпукло и имеет непустую внутренность. Существует закругленная окрестность нуля, такая, что V с А. Так как Л = (Л), то 0 лежит в замыкании А; следовательно, А и V пересекаются. Пусть уеА П V. Так как V с А и V закруглено, то мы имеем — у е А, и из (1.1) °11
теперь следует, что 0 е Л, так как 0 = -^ у + у (— у).
Конусом С с вершиной в 0 называется подмножество векторного пространства L, инвариантное относительно всех гомотетий х^-Хх со строго положительными рациональными %; если к тому же С выпукло, то говорят, что С —выпуклый конус с вершиной в нуле. Таким образом, выпуклый конус с вершиной в нуле —это подмножество С с L, такое, что С + С с С и ХС сС для всех %>0. (Выпуклый) конус с вершиной х0 — это множество х0 + С, где С —(выпуклый) конус с вершиной 0. Простое упражнение — показать, что внутренность и замыкание (выпуклого) конуса с вершиной 0 в ТВП также являются (выпуклыми) конусами с вершиной 0 в L.
Для подмножеств векторного пространства L свойства закругленности и выпуклости инвариантны относительно образования произвольных пересечений. Так как L обладает обоими свойствами, всякое подмножество Ac L определяет единственное наименьшее подмножество, содержащее А и обладающее одним или же сразу двумя указанными свойствами соответственно: закругленная оболочка, выпуклая оболочка и выпуклая закругленная оболочка А. Закругленная оболочка А — это множество (Ха: ас А и |Л|^1}. Если А + 0, то выпуклая оболочка А — это множество {2^vav}> гДе ^-v>0, S^v=l и {nJ пробегает множество всех непустых конечных подмножеств А (упр. 1). Выпуклая закругленная оболочка А, обозначаемая символом ГД, есть выпуклая оболочка закругленной оболочки А (упр. 1). Через Г Да
а мы будем обозначать выпуклую закругленную оболочку семейства {Д„: «еА}.
Если L — ТВП, то свойства закругленности или выпуклости (или оба) можно комбинировать со свойством замкнутости. Очевидно, получаемое понятие снова инвариантно относительно пересечения. В частности, замкнутая выпуклая оболочка (называемая иногда выпуклым замыканием) множества Д —это в силу (1.2) замыкание выпуклой оболочки А. Аналогично замкнутая выпуклая
закругленная оболочка А — это замыкание выпуклой закругленной оболочки Д (упр. 1).
Вернемся к исследованию выпуклых радиальных подмножеств векторного пространства L. Конечно, выпуклая оболочка радиального множества — множество того же типа. Пусть М — некоторое радиальное подмножество L. Неотрицательная вещественная функция на L
х-> рм(х) = inf {Л, > 0: хе ХМ-}
называется калибровочной функцией или функционалом Минковского множества М. Очевидно, если М — радиальное множество в L и М cz N, то pN (х) С рм (х) для всех х е L, т. е. pN^pM.
Мъ\ определим преднорму на L как функционал Минковского для радиального выпуклого и закругленного подмножества L. Норма — это такая преднорма р, что если р(х) = 0, то х = 0. Следующее аналитическое описание преднормы часто используется в качестве определения.
Вещественная функция р на векторном пространстве L — преднорма в том и только том случае, когда;
р (х + г/Х р (х) + р (у)(х, у е Л);
р (Ах) = | X | р (х) UeL, Хе К).
Доказательство. Пусть р — преднорма на L, т. е. р есть рм, где М радиально выпукло и закруглено. Если заданы xeL, yet и Л] > р (х), Х2 > р (у), то х + у е XtM + Х2М. Так как М выпукло, то
ХхМ + Х2М = (А] + А2) м +с (^1 + М м,
откуда вытекает, что р(х + у) ^ X, + А2. Следовательно, р(х + у)^ ^р(х) + р(у). Для доказательства (Ь) заметим, что включение Ах е рМ эквивалентно |А|херМ, поскольку М закруглено. Следовательно, если А =# 0, то
p(Ax) = inf (р>0: х е | А Г' рМ] = inf {( А |р: х е р/И} = | А | р (х),ц > 0
что доказывает (Ь), так как р(0) = 0.
Обратно, допустим, что р — функция, удовлетворяющая (а) и (Ь), и пусть М = {х; р (х) < 1}. Ясно, что М радиально и закруглено, и из (а) и (6) следует, что М выпукло. Мы покажем, что р = рм. Из (Ь) следует, что {х: р(х)<А} = АЛ1 для всякого А>0. Следовательно, если р^ = а, то хе ХМ для всех А>а, но не для А < а, откуда видно, что
р(х) = inf {А> 0: х е АМ} = рЛ(х).
Простые примеры показывают, что функционал Минковского р радиального множества Met не определяет М. Тем не менее
если М выпукло и закруглено, то мы имеем следующий результат (доказательство которого аналогично доказательству (1.4) и будет опущено);
Пусть М — радиальное выпуклое закругленное подмножество L. Тогда для того, чтобы норма р на L была функционалом Минковского множества М, необходимо и достаточно, чтобы МосМс Mlt где Мо = {х: р (х) < 1} u Мх = {х: р (х) < 1}.
Если L — топологическое векторное пространство, то непрерыв-' ность преднормы р на L подчинена следующим связям.
Пусть р — преднорма на ТВП L. Тогда следующие свойства р эквивалентны-.
р непрерывно в точке 0 е Л;'-
М0 = (х: р(х)<1} открыто в L;
р равномерно непрерывно на L.
Доказательство. (а)=^(с), так как в силу (1.4) |р(х) — — р (у) I ^ Р (х — у) для всех х, yeL. (c)=>(b), так как Мо = = р~' [(— оо, 1)]; (Ь)=^(а), так как еМ0 = (х: р (х) < е} для всех е> 0.
Подмножество ТВП L, которое замкнуто выпукло и имеет непустую внутренность, называется выпуклым телом в L. Таким образом, если р — непрерывная преднорма на L, то ЛТt ={х; р(х)^1}— выпуклое тело в L.'
Нормированные и нормируемые пространства
Согласно определению, данному в разд. 1, норма р на векторном пространстве L (над полем R или С) — это функционал Минковского выпуклого закругленного радиального множества, не содержащего других подпространств L, кроме {0}. Норма часто обозначается символом || Ц. Мы напомним (см. (1.4)), что норма ||||
на L характеризуется следующими аналитическими свойствами:
l|Xx|| = | X III х || для всех X е К, х е L;
II х + у IK || х || +1| у || для всех хе L, yet;
|| х || = 0 тогда и только тогда, когда х = 0.
Мы определим нормированное пространство как пару (L, ||||),
подразумевая при этом, что L наделено топологией, порожденной метрикой (х, у)-»|| х — у ||. В этой топологии L является ТВП (это ясно из обсуждения, следующего за (I, 6.1), поскольку норма представляет собой специальный случай псевдонормы (а не только преднормы)). В силу этого можно определить нормированные пространства над произвольным недискретным нормированным полем, но здесь мы не будем этого делать (упр. 5). Нормируемое пространство — это ТВП, топология которого может быть получен^
из некоторой нормы || ЦнаЛс помощью метрики (х, у) ->\\ х — у ||. Такая норма, конечно, не единственна (упр. 5). Полное нормированное пространство называется банаховым пространством или кратко (В)-пространством. Сохраняющий норму изоморфизм одного нормированного пространства на другое называется изометрическим, и два нормированных пространства называются изометрически изоморфными, если между ними существует сохраняющий норму изоморфизм. Множество (х: || х 11^1} называется (замкнутым) единичным шаром в (Л, || ||).
Существует простое необходимое и достаточное условие для того, чтобы (хаусдорфово) ТВП было нормируемо. Этот результат принадлежит Колмогорову [1].
Хаусдорфово ТВП нормируемо тогда и только тогда, когда L имеет выпуклую ограниченную окрестность нуля. ,
Доказательство. Условие необходимо. Действительно, если х-»||х|| порождает топологию L, то У, = {х: ||х||^1) —выпуклая окрестность нуля, которая ограниченна, так как в силу свойства 1) кратные {п~'У1} (neN) образуют базис окрестностей нуля в L. Обратно, если V — выпуклая ограниченная окрестность в L, то существует закругленная окрестность, содержащаяся в V, выпуклая оболочка U которой ограниченна (так как она содержится в У). Очевидно, функционал Минковского р множества U будет нормой на L. Далее, из ограниченности U следует, что {n-'t/} (neN) является базисом окрестностей нуля, так что отсюда вытекает, что р порождает топологию L.
Пополнение L нормируемого пространства L нормируемо. Действительно, если I/— ограниченная выпуклая окрестность нуля в L, то ее замыкание V в L ограничено в силу (I, 1.5) и выпукло согласно (1.2). Если (L, ^ — нормированное пространство, то норма р, которая ввиду (1.6) равномерно непрерывна на L, имеет единственное непрерывное продолжение р на L, которое порождает топологию пространства L, и (L, р) — банахово пространство. Очевидно, подпространство нормируемого пространства нормируемо и замкнутое подпространство банахова пространства банахово. Тем не менее имеет место следующее предложение:
Произведение семейства нормируемых пространств будет нормируемо в том и только том случае, когда число сомножителей (^{0}) конечно.
Доказательство. Это следует непосредственно из (2.1), так как в силу (1.55) окрестность нуля в произведении Ц La
может быть ограниченна в том и только том случае, когда число сомножителей Ла =# {0} конечно.
Замечание. Норма, порождающая топологию произведения конечного семейства нормируемых пространств, может быть построена из заданных норм различными способами (упр. 4).
Факторпространство нормируемого (и полного) ТВП L по замкнутому подпространству М также нормируемо Ц полно). Если (L, || ||) — нормированное пространство, то норма х->||х|| = = inf{||x||: xe.t} порождает топологию ЦМ.
Доказательство. Так как М замкнуто, то ЦМ хаусдорфово согласно (1.2.3). Так как естественное отображение Ф: L^-L]M линейно, открыто и непрерывно, то Ф (У) — выпуклая окрестность нуля в ЦМ, которая будет ввиду (1.5.4) ограниченна, если V — ограниченная выпуклая окрестность нуля в L. Таким образом, ЦМ нормируемо в силу (2.1). Из (1.6.3) следует, что ЦМ полно, если L полно и псевдонорма х->||х||, которая, как легко видеть, является нормой, порождает топологию пространства ЦМ.
Непосредственно видно, что ограниченные множества в нормированном пространстве L есть в точности те подмножества, на которых функция х —*|| х |[ ограниченна. Таким образом, если L, N — нормированные пространства над К и и — непрерывное линейное отображение, то значение
II«II = sup{|| и(х) ||: х е L, || х ||< 1}
конечно. Легко показать, что отображение и->||п|| является нормой на векторном пространстве 3 )L, N) (над К) всех непрерывных линейных отображений L в N. Пространство 3 (L, N) с этой нормой банахово, если N — банахово пространство. В частности, если в качестве N выбрано одномерное банахово пространство ^Ко, I I) (см- гл- L разд. 3), то пространство L' = 3 (Ц Ко), наделенное определенной выше нормой, есть банахово пространство, называемое сильным сопряженным к L.
Примеры. Следующие примеры предназначены для того, чтобы продемонстрировать некоторые основные типы банаховых пространств, встречающихся в анализе. Как и нормированные пространства вообще, эти пространства достаточно широко освещены в литературе (см. Дэй [2], Данфорд и Шварц [1], Кёте [5]), к которой мы и отсылаем читателя за подробностями.
Пусть X — непустое множество. Обозначим через В (X) векторное пространство над К kK = R или С), образованное всеми К-значными ограниченными функциями. Норма f-> ||f|| = sup {| / (/) |: t е X} превращает В(Х) в банахово пространство. Пусть Хо — некоторое подмножество X. Тогда подмножество всех f е В (X), аннулирующихся на Хо, образует замкнутое подпространство В (X).
Пусть S есть cr-алгебра подмножеств X (см. Халмощ [1]) и М (X, S) — множество всех S-измеримых функций из В (X). Тогда М (X, S) — замкнутое подпространство В(Х).
Пусть X — топологическое пространство и ^ (X) — множество всех непрерывных функций из В (X). Тогда ^ (X) — замкнутое подпространство В (X).
Особенно важным примером является пространство ^ (X), когда X — компактное (хаусдорфово) пространство. Используя тот факт, что все перечисленные пространства (кроме второго) являются векторными решетками специального типа, можно доказать (гл. V, теорема 8.5), что каждое из них изометрически изоморфно пространству ^ (X), где X — подходящее компактное пространство *).
Пусть (X, S, ц) — пространство с мерой в смысле Халмоша [1], такое, что ц — неотрицательная (возможно, бесконечная) счетно аддитивная функция множества, определенная на а-алгебре S подмножеств X. Обозначим через $р множество всех S-измеримых скалярных функций Д для которых | f |р, (1 ^р < оо), ц-интегрируема. Известные неравенства Гёльдера и Минковского (см. Хал- мош [1]) показывают, что $р — векторное пространство и что f~> I | f |р </ц — преднорма на $р. Если Му обозначает подпространство 3?р, состоящее из всех p-нулевых функций, и [/] — класс эквивалентности / е $р ро модулю Му, то
\ 1/РIfl^^)
является нормой на факторпространстве ^PjNy, которое становится таким образом банаховым пространством и обычно обозначается через Lp (р).
Символом $°° обычно обозначают векторное пространство р-существенно ограниченных S-измеримых функций на X.
S-измеримая функция p-существенно ограниченна, если ее класс эквивалентности mod Му содержит ограниченную функцию. Таким образом, $°°1Му алгебраически изоморфно М (X, 2)l(Ny Л М (X, S)). Последнее факторпростран- ство пространства М (X, S) представляет собой банахово пространство и обычно обозначается через L°° (р). Пространство L°° (р) также изометрически изоморфно "^ (X) при некотором компакте X.
Пусть X — компактное пространство. Всякая непрерывная линейная форма {->и0(П на % (X) называется мерой Радона на X (Бурбаки [9], гл. III). Для каждого р0 существует единственная вещественная (соответственно комплексная) регулярная борелевская мера р на X в смысле Халмоша [1], такая, что р0 (/) = J f dp для всех f е (X). Соответствие Ро~>Ц является изометрическим изоморфизмом сильного сопряженного Ж (X) к ^ (X) на банахово пространство всех регулярных борелевских мер на X, где в качестве нормы ||р|| взята полная вариация р. В силу этого соответствия часто пишут Ро (Л = J f dp0.
Возвращаясь к общему случаю, где (X, S, р) — произвольное пространство с мерой (пример 2 выше), заметим, что при 1<р<+ оо сильное сопряженное к Lp (р) может быть отождествлено с L4 (р), где р-х + q~l = 1, в том смысле, что соответствие [g]-> ([/1-> J fg dp) является изометрическим изоморфизмом L4 (р) на сильное сопряженное к Lp (р). В том же смысле сильное сопряженное к Lx (р) может быть отождествлено с L°° (р), если только мера р тотально a-конечна. (Подробное обсуждение двойственности между Lp (р) и L4 (р) можно найти у Келли-Намиока [1] 14. М.)
’) Это вытекает также из того факта, что они являются банаховыми алге* брами сравнительно простой природы. — Прим. ред.
Пусть Zo означает открытый единичный круг в комплексной плоскости. Обозначим через Нр (1 ^ р < + оо) подпространство Сг°, состоящее из всех функций, которые голоморфны на Lo и для которых
/2Л \1/р
Ilf||p= sup (Г I f (ге^) Р di I <oo.
0 < r < f 'J /
Тогда отображение f-> ||f||p задает норму на Hp, относительно которой Нр — комплексное банахово пространство. Аналогично пространство всех ограниченных голоморфных функций на Zo есть комплексное банахово пространство с нормой /■-> llflloo = sup {| f (2) |: (eZj. Детали см. в книге Гофмана [1].
Предыдущие примеры могут быть существенно расширены за счет рассмотрения банаховых пространств функций со значениями в произвольном (В)-пространстве.
Особенно важным классом банаховых пространств является класс гильбертовых пространств. Наличие внутреннего (скалярного) произведения существенно отличает гильбертовы пространства от общих банаховых пространств. Теория гильбертовых пространств, и, в частности, их линейных преобразований весьма широко освещена в литературе. Для дальнейшего нам понадобится только определение и некоторые элементарные свойства гильбертова пространства. См. также Бурбаки ([8], гл. V), Халмош [2] и Секефальви-Надь [1].
Пусть Н — векторное пространство над С, и пусть (х, у) -> [х, у] — комплексная функция на Н X Н, для которой выполнены следующие условия (а* обозначает сопряженное к а е С):
для каждого уеН отображение х->[х, у] является линейной формой на Н;
[х, у] = [у, х]* для всех хеН, у G Н;
[х, х] >0 для всех х еН;
из [х, х] = 0 следует, что х = 0.
Отображение (х, у) -> [х, у] называется положительно определенной эрмитовой формой (а также внутренним или скалярным произведением1). Функция х->К[х, х] представляет собой норму || || на Н; (Н, || ||) называется предгильбертовым пространством. В предгильбертовом пространстве выполняется неравенство Шварца-. | [х, у] | ^ ||х[| ||у||. Если нормированное пространство (Н, || ||) полно (т. е. (Н, || II) — банахово пространство), то оно называется гильбертовым пространством. Соответствующее понятие вещественного внутреннего произведения на вещественном гильбертовом пространстве получается, если предполагать Н вещественным векторным пространством и функцию (х, у) ~> [х, у] вещественной.
Функция на Н X Н, удовлетворяющая условиям 1) —3), но не обязательно удовлетворяющая условию 4), называется положительной полуопределенной эрмитовой формой. В этом случае отображение х -> Р'[х, х] = р (х) есть пред- норма на Н и факторпространство Н/р~1 (0) есть пространство с внутренним произведением относительно (Д #)-> [х, у], где х-> х обозначает каноническое отображение Н на Н/р~1 (0).
Ясно, что свойство предгильбертовости (соответственно гильбертовости) пространства наследуется подпространствами (соответственно замкнутыми подпространствами). Более важно, что всякое замкнутое подпространство М предгильбертова пространства Н обладает (топологически) дополнительным подпространством: пространство М^- = (х е Н: [х, у] = 0 для всех уеМ) называется подпространством, ортогональным М, при этом Н = М ф мФ Проекция М на Н, которая анулируется на Л1ф называется ортогональной проекцией Af на Н. Следовательно, для всякого замкнутого подпространства Мс Н факторпространство HIM, будучи изометрически изоморфным М^, является предгильбертовым пространством, Подмножество (ха: а е А) с Н называется ортонормил^'
ным, если [ха, Хр] = дар для всех а, р е А: каждое тотальное ортонормальное семейство называется ортонормальным базисом в Н (см. гл. III. разд. 9 и и упр. 23). Существование ортонормального базиса в любом полном пространстве с внутренним произведением следует из леммы Цорна, и можно показать, что все ортонормальные базисы в Н имеют одну и ту же мощность d; d называется гильбертовой размерностью Н.
Всякое гильбертово пространство Н самосопряженно в следующем смысле: если f — непрерывная линейная форма на Н, то существует единственный элемент геН, такой, что f(x) = [x, zj ^хеНу отображение f->z является сохраняющим норму аддитивным отображением сильного сопряженного Н' на Н, которое отображает элемент а/ на a*z (a е С) и называется поэтому сопряженно линейным (если Н — вещественное гильбертово пространство, то f -> г — изометрический изоморфизм). Это утверждение имеет непосредственное следствие: если Я], Н2 — гильбертовы пространства и « — непрерывное линейное отображение Н; в Н2, то тождество [и (х), у]2 = [х, и* (у)]! на Нх X Н2 определяет непрерывное линейное отображение и* пространства Н2 в Нх> называемое сопряженным к и. Легко видеть, что 1|м|| = ]|и*|| и что и-*и* есть сопряженное линейное отображение 3 (Ль Л2) на 3 (Н2, Нху
Важнейшими конкретными примерами гильбертовых пространств являются пространства L2 (ц) (пример 2 выше) с внутренним произведением J fg* dp. Специальными примерами последних являются пространства /^ (или Z2 (А)), определяемые как подпространства СА (или RA в вещественном случае) всех семейств-(ga: меА), для которых 2l£al2<+°°, гДе А — множество мощно- a
сти d. Внутреннее произведение на этих пространствах определяется формулой [g, 'll = 2 ^a^a- Для каждой пары (g, т]) семейство (£от]а: а е А], которое а
имеет не более чем счетное множество отличных от нуля элементов, суммируемо в силу неравенства Шварца (см. гл. Ш, упр. 23). Всякое гильбертово пространство гильбертовой размерности d изоморфно Z^; если (ха: а е А} — некоторый ортонормальный базис в Н, то отображение х->([х, xaJ: а е А) является изоморфизмом Н на 1^.
Наконец, метод, использованный при построении пространств Z2 (А), может быть применен к любому семейству (Ла: а е А) гильбертовых пространств. Рассмотрим подпространство Н в JJ На, состоящее из всех элементов (ха), а
таких, что семейство {||ха||2: а е А) суммируемо. Тогда [х, у] = 2 [хп, Ла] а определяет внутреннее произведение, и Н становится гильбертовым пространством. Н называется гильбертовой прямой Суммой семейства ^На; а *= А). В частности, если А конечно, то Н = Jf Ла и топология гильбертовой суммы а
совпадает с топологией произведения (упр. 4).
Таким образом, любое конечное произведение гильбертовых пространств является гильбертовым пространством в естественном смысле.
Теорема Хана — Банаха
В предыдущем разделе мы видели, что сильное сопряженное к банаховому пространству является банаховым пространством. Тем не менее мы не можем заранее утверждать, что это про-
странство всегда содержит элементы, отличные от нуля. Мьг видели также (гл. I, упр. 6), что существует метризуемое ТВП, для которого 0 есть единственная непрерывная линейная форма. Цель этого раздела — установить теорему, которая для широкого^ класса ТВП (разд. 4), включающего нормируемые пространства^ гарантирует существование семейства линейных форм, достаточного для того, чтобы разделять точки. Этот результат (теорема Хана —Банаха) является, без сомнения, одним из наиболее важных и широко используемых в функциональном анализе.
Мы начнем с установления леммы, которая содержит ядро теоремы Хана —Банаха.
Лемма. Пусть L — хаусдорфово ТВП над R размерности не менее 2. Тогда если В —открытое выпуклое множество в L, не содержащее 0, то в L существует одномерное подпространство, не пересекающее В.
Доказательство. Пусть Е — фиксированное двумерное подпространство L. Если ЕП5 = 0, то все доказано. Предположим, что В] = Е П В непусто. Ясно, что Вх — выпуклое открытое подмножество Е, не содержащее 0. В силу (I, 3.2) мы можем отождествить Е с Ro (евклидовой плоскостью). Спроектируем Вх на подмножество единичной окружности СсЕ с помощью отображения
Ь (х, У^^у, у), r = (x2+t/y.
Так как Вх, будучи выпуклым, связно, то f(JBx^ связно, поскольку f непрерывно на Вх. Кроме того, f(Bx) — открытое подмножество С. Следовательно, f(Bx) — открытая дуга на С, которая стягивает угол, не превосходящий л, так как в противном случае существовали бы точки в Вх, чьи образы при / диаметрально противоположны, что противоречит предположению 0 ^ Bv поскольку Вх выпукло. Следовательно, существует прямая в Е, проходящая через 0 и не пересекающая Вх.
Следующая теорема часто называется теоремой Мазура (см. Дэй [2]) и является по существу геометрической формой теоремы Хана —Банаха (Бурбаки [7]).
Теорема. Пусть L — ТВП и М — линейное многообразие в L. Пусть А —непустое выпуклое открытое подмножество L, не пересекающее М. Тогда в L существует замкнутая гиперплоскость, содержащая М и не пересекающая А.
Доказательство. Используя сдвиг, мы можем получить 0 е М, так что в дальнейшем будем считать М подпространством L. Рассмотрим множество 2% всех замкнутых вещественных
подпространств L, которые содержат М и не пересекают Л. Тогда 32? непусто, так как М е 9№.
Упорядочим ЗГО по включению. Если {MJ —вполне упорядоченное подмножество в 39?, то замыкание объединения (J Ма а будет, очевидно, его верхней гранью. Следовательно, по лемме Цорна в ЗУ? существует максимальный элемент Но. Если Lo обозначает соответствующее вещественное пространство в L (гл. I, разд. 7), то факторпространство L0(H0 хаусдорфово в силу (I,2.3), так как Но замкнуто. Так как Л^0, то L0!H0 имеет размерность не меньше 1. Предположим, что размерность Ьй]Нй будет ^2. Тогда, так как естественное отображение Ф: Ьй-»Ь01Н0 линейно и открыто, то В = Ф (Л) — выпуклое открытое подмножество L0!H0, которое не содержит 0, так как Но не пересекает Л. Следовательно, согласно предыдущей лемме, найдется одномерное подпространство N cz LQIHQ, не пересекающее В. Отсюда вытекает, что Н = Ф-1 (Л?) есть замкнутое подпространство в Lo, содержащее Но и не пересекающее А. Это противоречит максимальности Но в 2%. Следовательно, L0[H0 имеет размерность 1 и Но — замкнутая вещественная гиперплоскость, содержащая М и не пересекающая А. Это завершает доказательство в случае, когда L — ТВП над R.
Если L — ТВП над С, то M = iM (в предположении, что О е М), поскольку М — подпространство L. Следовательно, множество Н\ = Но П iHo, которое является замкнутой гиперплоскостью в L, не пересекающей А, содержит М, и доказательство завершено.
Следствие. Если L — ТВП, то непрерывная линейная форма f=#0 существует на L в том и только том случае, когда L содержит непустое выпуклое открытое подмножество A=A=L.
Доказательство. Если f^O — непрерывная линейная форма на L, то подмножество А = (х; |/(х)|<1} выпукло, открыто и не совпадает с L. Обратно, если выпуклое множество A cz L открыто и х0 ^ Л, то х0 по теореме (3.1) содержится в замкнутой гиперплоскости (не пересекающей Л), что в силу (I, 4.2) эквивалентно существованию ненулевой непрерывной линейной формы на L.
Мы выведем теперь из теоремы (3.1) ее аналитический эквивалент-теорему Хана —Банаха. Относительно более общей формы, справедливой для вещественных векторных пространств, см. упр. 6.
Теорема. Пусть L — векторное пространство, р — преднорма на L и М — подпространство L. Тогда если f — линейная форма на М, такая, что | / (х) | ^ р (х) для всех х е М, то существует ли-
нейная форма fb являюшуляся продолжением f на L, такая, что I А (х) | ^ Р (г) для всех х е L.
Доказательство. Так как случай ) = О тривиален, мы предположим, что f (х) 0= 0 для некоторого хеМ. Согласно (I, 1.2), выпуклые закругленные множества Vn={xeL: р(х)<п"”*}, п е N, образуют базис окрестностей нуля для топологии 2, в которой L является ТВП. Положим НЦхеМ: f(x) = l}. Тогда Я —гиперплоскость в Я и линейное многообразие в L. Пусть А = 1Д. А открыто в L (Т) в силу (1.6) и Л[~]Я=0, так как р(х)^1 при хеН. По теореме (3.1) существует гиперплоскость И, в L, содержащая Н и не пересекающая А. Так как Нх П М 0= М (0 ф Н^ и Я, ш> Н, отсюда следует, что Я[ П М = Я, поскольку Я и Нх fl М являются гиперплоскостями в М. В силу (1,4.1) мы имеем Нх = = {х: f, (х) = 1} для некоторой линейной формы f, на L, так как О^Я,. Далее, из Н = Нхд\М следует, что f(x) = f](x) для всех х е М, т. е. fx является продолжением / на L. Из Нх П А = 0 следует, что | /] (х) | ^р (х) для всех хе £. Доказательство завершено.
Следствие. Если (L, || ||) — нормированное пространство, М — подпространство L и f — линейная форма на М, такая, что | / (х) | ^ || х || (х е Л/), то f имеет линейное продолжение f, на L, удовлетворяющее условию | f, (х) | ^Ц х || (х е Е\
Это и есть классическая форма теоремы Хана — Банаха для нормированных пространств.
Локально выпуклые пространства
Топологическое векторное пространство Е над R или С будет называться локально выпуклым, если Е — хаусдорфово пространство, такое, что всякая окрестность любого х е £ содержит выпуклую окрестность х. Можно дать следующее эквивалентное определение: £ —локально выпуклое пространство (ЛВП), если выпуклые окрестности нуля образуют базис в нуле с пересечением {0}. Топология на векторном пространстве над R или С, не обязательно отделимая, но удовлетворяющая (ЛТ)] и (ЛТ)2 (гл. I, разд. 1) и обладающая базисом из выпуклых окрестностей нуля, называется локально выпуклой топологией. Это различие удобно, так как, хотя большинство значительных результатов, получаемых с помощью выпуклости (такие, как следствие 1 из (4.2) ниже), верно только для хаусдорфовых пространств, в то же время зачастую бывает необходимо (как это имело место в доказательстве (3.2)) рассматривать неотделимые локально выпуклые топологии.
Под топологическим сопряженным (или кратко сопряженным) к ТВП L мы понимаем векторное пространство L', образованное всеми непрерывными линейными формами на £; L' есть подпро-
странство алгебраического сопряженного L к L. Если Е — ЛВП, то его сопряженное Е' разделяет точки на Е, т. е. для всякой пары элементов х, у е Е, х^д существует f е Е', такое, что ffxJ^Hy) (эквивалентно для всякого ненулевого элемента х е Е существует форма f^E', такая, что f (х) =/= 0). Этот важный результат является непосредственным следствием (3.1) и формально содержится в следствии 1 из (4.2).
Если £ —векторное пространство, то локально выпуклая топология на Е может быть геометрически определена выбором базиса фильтра S3 в Е, состоящего из радиальных выпуклых закругленных множеств, таких, что вместе с каждым |/ в 8 содержится и у Г. Так как ^ V + ^ 7 = V в силу выпуклости каждого V, то из следствия (I, 1.2) вытекает, что S3 есть базис окрестностей нуля единственной локально выпуклой топологии. Обратно, всякая выпуклая топология может быть так определена. Например, семейство всех замкнутых выпуклых закругленных окрестностей пуля является базисом в нуле.
Аналитически локально выпуклая топология на Е определяется произвольным семейством преднорм {ра: а е А} следующим образом.
Пусть £а = {хе£: ра(х)^1} для каждого а е А. Рассмотрим семейство {д-117}, где п пробегает все положительные целые числа и U пробегает множество всех конечных пересечений множеств Uа (а е А). Семейство S3 удовлетворяет условиям, указанным выше, и, следовательно, является базисом в нуле некоторой локально выпуклой топологии 2 на £, называемой топологией, порожденной семейством {/)„}. Говорят также, что (pj образует порождающее семейство преднорм для X. Обратно, всякая локально выпуклая топология на Е порождается некоторым семейством преднорм. Достаточно взять функционалы Минковского для семейства выпуклых закругленных окрестностей нуля, положительные кратные которых образуют подбазис в нуле. Из (1.6) ясно, что всякий элемент порождающего семейства преднорм — непрерывная функция в топологии 2; и легко видеть, что топология 2 хаусдорфова в том и только том случае, когда для каждого ненулевого х <= Е и для всякого семейства SP преднорм, порождающих X, существует преднорма ре. 9s, такая, что р(х)>0. Мы оставляем читателю доказательство того, что для заданной локально выпуклой топологии 2 наименьшая мощность базиса в нуле совпадает с наименьшей мощностью порождающего семейства преднорм, за исключением случая, когда последняя равна 1.
Прямым следствием определения (гл. I, разд. 2) является тот факт, что индуцированная топология, фактортопология и топология произведения локально выпуклых топологий также локально выпуклы. Соответственно подпространства, отделимые факторпро- странства и произведения ЛВП есть снова ЛВП. Подробнее это
обсуждается в последующих разделах. Здесь мы ограничимся некоторыми простыми фактами относительно метризуемых ЛВП.
В силу (1,6.1) ЛВП метризуемо в том и только том случае, когда оно обладает счетным базисом в нуле, состоящим из выпуклых закругленных множеств, и, следовательно, базисом, элементы которого образуют убывающую последовательность {Пп} выпуклых закругленных множеств. Эквивалентно ЛВП метризуемо в том и только том случае, когда его топология порождается счетным семейством преднорм и, следовательно, последовательностью преднорм ^РЁ\, которая возрастает. Полное метризуемое пространство называется пространством Фреше или кратко (F)-npo- странством. Очевидно, всякое полное нормируемое пространство (и, следовательно, всякое банахово пространство) является (F)-npo- странством. Простейшим примером ненормируемого ^-пространства служит пространство Ко всех числовых последовательностей в топологии произведения (Ко метризуемо в силу (I, 5.5) и (2.2)). Из результатов разд. 6 гл. I следует, что всякое замкнутое подпространство и всякое отделимое факторпространство ^-пространства есть (Р)-пространство; то же самое можно сказать и о счетном произведении (Р)-пространств.
В качестве простейшего примера определения локально выпуклой топологии семейством преднорм рассмотрим некоторое векторное пространство Е с алгебраическим сопряженным Е* и предположим, что М — непустое подмножество в Е*.
Преднормы х —> | / (х) | (f е Af) порождают локально выпуклую топологию на Е, относительно которой Е является ЛВП в том и только том случае, когда М разделяет точки из Е.
Пополнением Ё ЛВП Е является ЛВП, топология которого порождается непрерывными продолжениями на Е функций из какого-нибудь порождающего семейства преднорм на Е.
Доказательство. Если р — некоторый элемент из порождающего семейства У преднорм на Е, то р имеет в силу (1.6) единственное непрерывное продолжение р на Е. Если U = {х^Е: р(х)^ 1}, то U = (х е Ё: р (х) ^ 1} — замыкание множества U в Ё. Из (I, 1.5) следует, что Ё — ЛВП (так как U выпукло) и что {р: ре^- порождающее семейство преднорм на Ё.
Следующий вывод из теоремы Хана —Банаха отражает основное свойство локально выпуклых топологий.
Теорема. Пусть Е — ТВП, топология которого локально выпукла. Тогда если линейная форма f определена и непрерывна на подпространстве М cz Е, то f имеет непрерывное линейное продолжение на Е.
Доказательство. Так как f непрерывно на М, то множество V = {х: | / (х) | ^ 1} является окрестностью нуля в ЛТ В пространстве Е существует выпуклая закругленная окрестность нуля U, такая, что U П М cz V. Функционал Минковского р множества U представляет собой непрерывную преднорму на Е, такую, что IfWI’C ^ р (х) на М, поскольку U П М сУ. Ввиду (3.2) существует продолжение f, формы f на Е, такое, что | ^ (х)\^р(х) на Е. Форма непрерывна, так как | f, (х) — fx (у) |^е, как только х — у е е U (е> 0).
Следствие 1. Для любого семейства из п (№ N) линейно независимых элементов xv в ЛВП Е существует п непрерывных линейных форм f^ на Е, таких, что flt (xv) = дц, v (ц, v= 1, . . ., /г).
Доказательство. Обозначим n-мерное подпространство с базисом {хД в £ через М. В силу (I, 3.4) линейные формы g^ (ц = 1, .. ., п) на М, которые определяются равенствами g^(xv) = 6gv, где d№ = 1 и dgv = 0 при ц =Д v (р, v—1, ..., п), непрерывны. Любое множество {/у} непрерывных продолжений соответствующих форм g^ на £ обладает требуемыми свойствами.
Следствие 2. Всякое конечномерное подпространство М в ЛВП £ имеет дополнительное подпространство.
Доказательство. Пусть размерность М равна п, и пусть {/Д суть п непрерывных линейных форм на Е, сужения которых п
на М линейно независимы (см. следствие 1). Тогда jV = Qf~ (0) Ц = 1
есть замкнутое подпространство Е, алгебраически дополнительное к ЛЕ Утверждение следует теперь из (I, 3.5).
Если £ —ТВП, топология которого локально выпукла, то из определения ограниченности (гл. I, разд. 5) видно, что выпуклая оболочка ограниченного подмножества в £ ограниченна. В частности, семейство всех замкнутых выпуклых и закругленных ограниченных подмножеств является фундаментальной системой ограниченных множеств в Е.
В любом локально выпуклом пространстве выпуклая оболочка и выпуклая закругленная оболочка предкомпактного подмножества предкомпактны.
Доказательство. Так как закругленная оболочка предкомпактного множества, очевидно, предкомпактна (см. гл. 1,5.1), то достаточно доказать утверждение для выпуклых оболочек. Читатель легко заметит, впрочем, что (с очевидными изменениями) следующее доказательство применимо также и к закругленным выпуклым оболочкам. Убедимся, во-первых, что выпуклая
оболочка Р конечного множества Vav Z= 1, ..., п} компактна. Действительно, Р является образом компактного симплекса и^ь ..., Z„): ХЛ^О, 2 К = 1 ( с R" при непрерывном отображении (Хь ..., Xn')-»'2iX1ai (это частный случай (10.2), см. ниже). Пусть теперь множество В а Е предкомпактно, С —выпуклая оболочка В и V — произвольная выпуклая окрестность нуля в Е. Предположим, что В непусто. Тогда найдутся элементы аг е В п
(/=1, ..., и), такие, что В cz (J (а; + У). Выпуклая оболочка Р 1
множества {az} компактна и CaP-VV, так как P-VVm выпукло m
и содержит В. Следовательно, мы имеем В cz (J (6г + 1Z) для неко
торого конечного подмножества {bp j = 1m) в Pc С, а от- m
сюда следует, что С cz (J (bj + 2У) и, значит, С предкомпактно. 1
Следствие. Если Е — квазиполное ЛВП, то замкнутая выпуклая оболочка и замкнутая выпуклая закругленная оболочка всякого пред компактного подмножества Е компактны.
Тем не менее если Е не квазиполно, то замкнутая выпуклая оболочка даже компактного подмножества Е может не быть компактной (упр. 27).
Для построения локально выпуклых пространств из пространств заданного класса возникает существенно более общий и более плодотворный подход, чем тот, который мы обсуждали в разд. 2 гл. I по отношению к произвольным топологическим векторным пространствам. Два следующих раздела связаны с двумя основными методами построения локально выпуклых пространств.
Проективные топологии
Пусть Е и Еа (а е А) — векторные пространства над К, /о- линейное отображение Е в Еа и 2а —локально выпуклая топология на Еа («еА). Проективная топология 2 на £ относительно семейства {(Еа, ^ЛаУ «еА} —это слабейшая топология на Е, для которой все отображения fa (оеА) пространства Е в (Еа, $а) непрерывны.
Очевидно, 2 является верхней гранью (в решетке топологий на В) топологий f”1 (2J (аеА). Если хеЕ и ха = fa (х) е= Еа, то базис 2-окрестностей в х задается всеми пересечениями
аен k '
где Uа — произвольная окрестность хй относительно $о и Н - некоторое конечное подмножество А.
Так как /а —линейные отображения и $а —локально выпуклые топологии на соответствующих пространствах Еа, топология 2 инвариантна относительно сдвигов на Е и имеет базис выпуклых окрестностей нуля, удовлетворяющих условиям (а) и (Ь) из (I, 1.2). Следовательно, $ —локально выпуклая топология на Е.
Проективная топология на Е относительно семейства а, fa): ае А} хаусдорфова тогда и только тогда, когда для всякого ненулевого х^Е существует аеА и окрестность нуля Ua с Еа, такая, что fa (х) ^ Ua.
Доказательство. Если $ хаусдорфова и О^хеЕ, то в (Е, Z) найдется окрестность нуля U, не содержащая х. Так как У^П^аЧ^а)» где конечное подмножество Н <= А, а Ua — неко- аеН
торые окрестности нуля в Еа, то fa(x)^ Ua для некоторого аеН. Обратно, fa^^Ua влечет за собой х^^”х^П^, откуда следует, что 2 — хаусдорфова топология.
Отображение и топологического пространства F в Е, где Е наделено проективной топологией, определяемой семейством ^Еа, $a, fa): а е А}, непрерывно в том и только том случае, когда для каждого аеА композиция fa°u: F—>(Ea, Za) непрерывна.
Доказательство. Если и непрерывно, то ясно, что каждое отображение fa°u (aeA) непрерывно. Обратно, пусть Ga —некоторое открытое подмножество Еа. Тогда м-1 [f~* (Ga)j — открытое подмножество в F. Далее, всякое открытое подмножество GcE есть объединение некоторого семейства конечных пересечений множеств вида fa'(Gay Отсюда следует, что и-ЦО) открыто в А и, значит, и непрерывно.
Читатель, видимо, заметил, что в предыдущем результате мы не нуждались в векторной структуре. Фактически он отражает общее свойство проективных топологий (см. «Предварительные сведения»).
Мы продолжим перечисление наиболее важных примеров проективных локально выпуклых топологий.
Подпространства. Пусть М — подпространство ЛВП (Е, ^. Топология М (т. е. топология, индуцируемая 2 на М) является проективной топологией на Л! относительно канонического вложения М-*Е.
Произведения. Пусть {(Еа, 2а): а ^ А} — семейство ТВП, причем все топологии Та локально выпуклы. Топология произведения 2
на пространстве Е = Ц Еа (гл. I, разд. 2), очевидно, локально а
выпукла; $ является проективной топологией на Е относительно проекций Е-+ Еа (а е А). В частности, произведение любого семейства ЛВП будет ЛВП.
Верхние грани. Пусть (5а: а е А} — семейство локально выпуклых топологий на векторном пространстве Е. Его верхняя грань $ (в решетке топологий на Е) будет локально выпуклой топологией, которая проективна. Действительно, 2 является проективной топологией на Е относительно семейства {(Е, $„, е\ а е А}, где е — тождественное отображение Е.
Слабые топологии. Пусть Е —векторное пространство над К и Е —непустое подмножество Е*. Положим Е^К^ для каждого f ^ F. Проективная топология на Е относительно семейства {(Ef, /): f е Е} называется слабой топологией, порожденной Е, и обозначается через а(Е, F). Так как F может быть заменено его линейной оболочкой в Е* без изменения соответствующей проективной топологии, то F может предполагаться подпространством Е*. В силу (5.1) Е будет ЛВП в топологии о(Е, Е) в том и только том случае, когда F разделяет точки Е.
В частности, если (Е, $) —локально выпуклое пространство, то его сопряженное Е' разделяет точки на Е ((4.2), следствие 1). Топология о(Е, Е') называется слабой топологией пространства Е (ассоциированной с $, если это необходимо отметить). С другой стороны, Е' с топологией с(Е', Е) является ЛВП, называемым слабым сопряженным к (Е, $). Здесь Е рассматривается как подпространство (Е')*.
Проективные пределы. Пусть А — множество индексов, направленное отношением (рефлексивным, транзитивным, антисимметричным) „<Л Пусть (Еа, а е А} — семейство ЛВП над К и gap обозначают при а ^р непрерывные линейные отображения Е^ в Еа. Пусть Е — подпространство произведения Ц Еа, элементы кото- а
рого х = (ха) удовлетворяют отношению ха = g^ (хр) для всех а ^ р. Пространство Е называется проективным пределом семейства (Еа: аеА) относительно отображений gap (а, ре А: а^р) и обозначается lim gapEp. Очевидно, топология Е — это проективная топология относительно семейства {(Ea, $а, fa): а е А}, где 2а обозначает топологию Еа и fa — сужение на Е проекции ра: Ц Ев-^Еа.
Проективный предел семейств квазиполных (соответственно полных) локально выпуклых пространств будет квазиполным (соответственно полным) локально выпуклым пространством.
Доказательство. Пусть £ = Iimgap£p, £ = ЦЕа. Если все Еа полны, то F полно. Если все Еа квазиполны, то F квазиполно в силу (I, 5.6). Следовательно, предложение будет доказано, если мы покажем, что Е — замкнутое подпространство в F. Для каждой пары (а, ЩеАХА, такой, что а^р, обозначим через Еар подпространство (х: ха — gap (хр) = 0} пространства F. Так как Еа хаусдорфово и 7ар есть нуль-пространство непрерывных линейных отображений ра — ga^° Р^ пространства F в Еа, Vap замкнуто. Таким образом, Е = Q Уар замкнуто в F.
а<р
. Произведение Ц Еа семейства (£а: аеА) ЛВП само является a
примером проективного предела. Если {Н} обозначает семейство всех непустых конечных подмножеств множества А, упорядоченное по включению, Ен = II Еа и gH А — проекцию Ех на Е„, а е Н’
если НсЛ, то П £a = Um gH л£л. Другими примерами проективных пределов служат сопряженные к индуктивным пределам (гл. IV, разд. 4), конкретные примеры которых будут даны в разд. 6. В доказательстве (5.4) мы для каждого полного локально выпуклого пространства Е построим проективный предел банаховых пространств, изоморфный Е. Наконец, отметим, что, вообще говоря, нет гарантий, что проективный предел ДВП будет отличен от {0}, но можно показать (упр. ГО), что если А счетно и выполнены некоторые добавочные условия, то ра(Е) = Еа (аеА).
Всякое полное ЛВП Е изоморфно проективному пределу семейства банаховых пространств. Это семейство может быть выбрано так, что его мощность равна мощности заданного базиса окрестностей нуля в Е.
Доказательство. Пусть ^Ua: аеА} обозначает базис выпуклых закругленных окрестностей нуля в Е. Множество А можно сделать направленным, положив «а^р, если £р с Ua». Обозначим через ра функционал Минковского окрестности Ua и положим Fa = E(Va, где 7a = р~' (0) (а е А). Если ха — класс эквивалентности .tEfmodl-7,, то ха-»|| ха || = ра (х) является нормой на Fa, порождающей топологию $„, которая слабее, чем топология фактор- пространства E/Va. Если а^р, то всякий класс эквивалентности mod Ер, Хр содержится в единственном классе эквивалентности mod Va, xa, так как Ер с: Va. Отображение x^: хр-*ха линейно и непрерывно отображает (Др, $р) на (£а, $а), так как || xa IKJI *р II-
Образуем проективный предел F = lim ga^F^ (£р). Отображение х-*^ пространства Е в F, очевидно, линейно и взаимно однозначно, так как Е хаусдорфово. Мы покажем, что это отображение есть отображение „на“. Пусть Н — произвольное непустое конечное подмножество А и z = (za) — некоторый фиксированный элемент F. Тогда существует хн е Е, такое, что классом эквивалентности хн mod Va будет za для всякого a е Н (если 0 е А таково, что р^а для всех аеН, то любое х еЕ, такое, что Хр = Zp, будет годиться). Далее, если а е Н1 и «е Н2, то хн, — xHi е Ua, откуда видно, что фильтр сечений (xHj, где для каждого конечного Н ^ 0 элемент хн выбирается, как выше, есть фильтр Коши в Е. Так как Е полно, то {хн} имеет предел у в Е, для которого ya = za(aeA), поскольку отображение х-^(ха), очевидно, непрерывно. Кроме того, х->^ха\ как легко видеть, гомеоморфизм и, следовательно, изоморфизм Е в F. Далее, К —плотное подпространство (доказать!) проективного предела lim gap^p, гДе Ka (а е А) — пополнение (Fa, $«) и ^ — непрерывное продолжение gap(“^P) на F^ со значениями в Ftt. Но F, будучи изоморфно Е, полно и, следовательно, F = limgopFp, что завершает доказательство теоремы.
Следствие 1. Всякое пространство Фреше изоморфно проективному пределу последовательности банаховых пространств. .
Следствие 2. Всякое локально выпуклое пространство изоморфно подпространству произведения банаховых пространств.
Индуктивные топологии
Пусть Е и £а (а е А) — векторные пространства *над К, ga —линейные отображения Еа в Е и $а —локально выпуклые топологии на £а(аеЛ). Индуктивной топологией на Е относительно семейства ^Е,„ 2О, ga): ае А} называется сильнейшая локально выпуклая топология на Е, относительно которой все отображения go: (£a, $a)-^-£ непрерывны.
Чтобы убедиться, что эта топология корректно определена, мы заметив, что класс ^~ локально выпуклых топологий на Е, для которых все go непрерывны, непуст. Тривиальная топология (единственными открытыми множествами в которой являются 0 и £) принадлежит к £Г. Верхняя грань $ семейства £Г (в решетке топологий на £) будет, очевидно, локально выпуклой топологией, для которой все ga непрерывны, следовательно, $ и есть топология, существование которой нужно было проверить. (Как верхняя
грань $ является также проективной топологией, а именно проективной топологией относительно семейства 9" и тождественного отображения на Е.) Топология 2 не обязательно отделима, даже если все $а отделимы. (Мы оставляем читателю построение соответствующего примера.) Базис окрестностей нуля для $ задается семейством {Е} всех радиальных, выпуклых, закругленных подмножеств Е, таких, что для каждого «е А прообраз g~1 (£7) является окрестностью нуля в (£а, $а). Если Е — линейная оболочка Uga(Ea), то такой базис может быть получен формированием всех множеств вида ГёаФа^ гДе t/a —произвольный элемент базиса окрест-
a
ностей нуля в (Еа, 2а).
Линейное отображение и векторного пространства Е в ЛВП F непрерывно относительно индуктивной топологии на Е в том и только том случае, когда любое отображение и ° ga: (Еа, £а)->Е (аеА) непрерывно.
Доказательство. Условие, очевидно, необходимо. Обратно, пусть все и ° ga непрерывны (a е А), и пусть W — выпуклая закругленная окрестность нуля в F. Тогда (v ° ga)~'(№) = g”1 [п-1 (№)] — окрестность нуля в £a(aEA), откуда следует, что и-1 (1У) есть окрестность нуля в индуктивной топологии на Е.
Мы рассмотрим теперь некоторые наиболее важные примеры индуктивных топологий.
Факторпространства. Если Е — ЛВП и М — подпространство Е, то из обсуждения в разд. 2 гл. I непосредственно следует, что топология Е/М локально выпукла. Если $ обозначает топологию Е, то фактортопология есть не что иное, как индуктивная топология относительно семейства {(Е, $, Ф)}, где Ф — естественное (или каноническое) отображение Е на Е/М. Согласно (I, 2.3), эта топология хаусдорфова тогда и только тогда, когда М замкнуто в Е. Фактор- топология может быть порождена семейством преднорм, полученным из некоторого порождающего семейства преднорм на Е с помощью процесса, аналогичного тому, который был использован В (2.3) (упр. 8).
Локально выпуклые прямые суммы. Если (Ea: а е А) - семейства векторных пространств над К, то алгебраическая прямая сумма ф Еа (гл. I, упр. 1) определяется как подпространство Ц Еа, aa
все элементы которого х имеют не более чем конечное число отлич
ных от 0 проекций ха = ра(х). Обозначим через ga(aeA) инъек
ЛоЛо-* ф Ер--* ф Ер-тивное отображение (или каноническое вложение) Еа
Ло
Ло
-* ф Ер-
-* ф Ер-
кально выпуклая прямая сумма семейства (Ea($a): aeA} ЛВП
определяется как ®Еа в индуктивной топологии относительно а
семейства ^Еа, 2а, g,): а е А} и (если желательно сослаться на топологию) обозначается через Е(2) = ф Еа(2а). Так как 2 силь- а
нее, чем топология, индуцированная на Епроизведением IjEa(2a), а
то 2 является хаусдорфовой топологией и, следовательно, Е(2) —ЛВП. Из замечаний, сделанных выше, следует, что базис окрестностей нуля в фЕа(2а) состоит из всех множеств вида а
6/ = ГgaWa\ т. е. множеств а
№Ш4 SlM^l, xaeUaV(*)
где {(/а: a s А) — некоторое семейство соответствующих окрестностей нуля в пространствах Еа. Для упрощения обозначений мы часто будем писать ха вместо go(xo), отождествляя таким образом Еа с его каноническим образом ga(Ea) в ®Ер. (Заметим, что каждое ga является изоморфизмом Еа^^ в ©^(Sp).)
Локально выпуклая прямая сумма фЕа семейства ЛВП а
полна тогда и только тогда, когда каждое Еа полно.
Доказательство. Пусть Е = фЕ0 полно. Так как каждая a
из проекций ра пространства Е на Еа непрерывна, то и каждое из слагаемых Ео замкнуто в Е и, следовательно, полно.
Обратно, предположим, что каждое Е^аеА) полно. Обозначим 2] единственную, инвариантную относительно сдвигов топологию на Е, для которой базис окрестностей нуля задается множествами Е f] V, где V = Ц Va и Va является какой-нибудь окрест- a
ностью нуля в Ео. Тогда, очевидно, 2] сильнее, чем топология локально выпуклой прямой суммы 2 на Е, и (Е, 2]) является полным ТВП (гл. I, упр. 1). (В самом деле, множества V образуют базис окрестностей нуля в F = Л Ео для единственной топологии, a
инвариантной относительно сдвигов, в которой F, как легко видеть, является полной топологической группой относительно сложения. Если zeF лежит в замыкании Е, то для каждого V существует хеЕ, удовлетворяющий условию x-zeV; поэтому zeE и, следовательно, Е является замкнутой подгруппой Е.) Для доказательства замкнутости (Е, 2) достаточно, учитывая (I, 1.6), показать, что 2-замкнутые множества U являются 2,-замкнутыми, где U = Г Ua и Ua — какие-нибудь выпуклые закругленные окрест-
ности нуля в £а. Пусть U задано, и пусть ® есть Хрфильтр Коши на U с ^-пределом х = (xj. Обозначим через Н конечное множество индексов {а: ха + 0} и пусть £ц = ф (£а: «е Н} (мы полагаем £ц = {0}, если Н=0) и £в = ф{£р: Р е А \ Н}. Пусть, наконец, р — проекция Е—>ЕН, аннулирующая £в. Очевидно, р тогда Zj-непрерывно и S-непрерывно, и р (U) сд U.
' Таким образом, р^ является базисом фильтра на U П £н, который ^-сходится к х = р(х\ Так как Н конечно, топологии S и S[ совпадут на £ц, и р(®) также S-сходится к х. Отсюда следует, что х е U, и доказательство завершено.
Мы видели, что локально выпуклая сумма конечного семейства ЛВП совпадает с их произведением.
Пример. Пусть Е — векторное пространство над К и {ха: 8 е А}- базис Е. Очевидно, £ изоморфно алгебраической прямой сумме ® £о, где Ка = Ко (ае А) a
и Ко — одномерное векторное пространство, ассоциируемое с X. В силу (1,3.4) вложение £а в £ (£а наделяется топологией К) непрерывно в любой топологии на Е, в которой £ —ТВП. Следовательно, топология локально выпуклой прямой суммы S на £ = © £о есть сильнейшая локально выпуклая топология a
на Е; % оказывается хаусдорфовой топологией, в которой Е полно. Оиа порождается семейством всех преднорм на Е или, что то же самое, базис окрестностей нуля в Е (К) порождается семейством всех радиальных, выпуклых закругленных подмножеств Е. ($ часто называют локально выпуклой ядерной топологией.) Относительно дальнейших свойств этой топологии см. упр. 7.
Подмножество В локально выпуклой прямой суммы ф {£а: а е А} ограниченно в том и только том случае, когда существует конечное подмножество Н ед А, такое, что ра (В) = 0 для а^Н и ра(В) ограниченно в Еа, если аеН.
Доказательство. Пусть В ограниченно в ф£а. Так как a
(это было показано выше) проекция ра прямой суммы на подпространство £а непрерывна, то множество ра(В) ограниченно для всех «еА согласно (1,5.4). Предположим, что существует бесконечное подмножество В' с А, такое, что ра(В) =# {0}, когда «Е В'. Тогда В' содержит последовательность {aj различных индексов, и найдется последовательность {yl'i)} сд В, такая, что у^ =£ 0 для всех «е N.
п
Более того, так как Еап хаусдорфовы, можно добиться, чтобы у^ ^ nV а, где Ул — подходящие закругленные окрестности нуля в £о . Далее, если U — окрестность нуля типа (*) в ф £о, такая, пa
что Uап = Vn Для всех п, то n-xyw ^U для некоторых meN, что противоречит ограниченности В. Обратно, ясно, что условие достаточно для того, чтобы множество В было ограниченным.
Следствие. Локально выпуклая прямая сумма квазиполных ЛВП квазиполна.
Индуктивные пределы. Пусть {Еа: аЕ А} - семейство ЛВП над К, где А —множество индексов, направленное (рефлексивным, транзитивным, антисимметричным) отношением ,А“; обозначим для всякой пары (а, 0), а^р, через h^ некоторое фиксированное непрерывное линейное отображение Еа в Е„. Положим F = @Ea а и обозначим (ga — каноническое вложение Еа в Е) через Н подпространство F, порожденное образами всех Еа при соответствующих линейных отображениях ga —Ер0^^, гДе (а> Р) пробегает все пары в А X А, для которых а^р. Если факторпространство F]H хаусдорфово (т. е. если Н замкнуто Е), то ЛВП F]H называется индуктивным пределом семейства {Ео: «е А} относительно отображений h^ и обозначается через lim h^aEa. По-видимому, не известно, будет ли Н обязательно замкнуто в F.
Условия для построения индуктивного предела часто реализуются в следующей специальной форме: ^Еа: а е А} есть семейство подпространств векторного пространства Е {Е„ =^ Е^ при a #= р), направленное по возрастанию и удовлетворяющее условию E=(j£a. Таким, образом, А направлено по возрастанию «а^р, а
если EaczE^». Кроме того, на каждом Ea(ae А) задана хаусдорфова топология 2а, такая, что при а^р топология, индуцируемая 3;р на Еа, слабее 2О. Обозначим через go(aeA) каноническое вложение Еа в Е и через hBa каноническое вложение Еа в Ер(а^р) и предположим, что индуктивная топология $ на Е относительно семейства {(£a, 2а, ga): а е А} хаусдорфова. Легко видеть, что индуктивный предел lim h^aEa существует и изоморфен Е (Т). В этом случае Е (£) называется индуктивным пределом семейства {£о(£о): аеА} подпространств. Индуктивный предел семейства подпространств называется строгим, если $р индуцирует $а на Еа при а^р.
Примеры. 1. Локально выпуклая прямая сумма семейства (Еа: аеА} ЛВП сама по себе является примером индуктивного предела. Если (Н) есть семейство всех непустых конечных подмножеств А, упорядоченное по возрастанию, Ен= Ф ,А и Ад н - каноническое вложение Ен в Е^ при Н с Л, то оеН’
®Е =1пп/гЛ НЕН. a—>
Пусть Rn (n е N фиксировано) представлено как объединение счетного семейства компактных подмножеств Gm (m е У), таких, что Gm содержится во внутренности Gm+1 для всех т. Векторное пространство ф (Gm) над С, образованное всеми комплексными функциями, бесконечно дифференцируемыми на R" с носителем Gm, является пространством Фреше в топологии равномерной сходимости со всеми производными; порождающее семейство преднорм рй (А = О, 1, 2, ...) определяется формулами
1->Ри (f) = sup|^|,
где sup берется по всем /е R" и всем производным порядка к. Если 2D обозначает векторное пространство всех комплексных бесконечно дифференцируемых функций на Rn с компактным носителем (меняющимся в зависимости от /), то индуктивная топология $ на 2D относительно последовательности \2D (Gm)} подпространств будет отделима, поскольку $ сильнее, чем топология компактной сходимости в Rn, которая, как известно, хаусдорфова. Таким образом, 2D (2) является строгим индуктивным пределом последовательности подпространств. Его сопряженное пространство ЗУ есть пространство комплексных распределений на R” (Л. Шварц [1]).
Пусть X — локально компактное пространство и Е — векторное пространство всех непрерывных комплексных функций на X с компактным носителем. Для всякого фиксированного компактного подмножества СсХ обозначим через (£с, £с) банахово пространство функций из Е, носители которых содержатся в С, с равномерной нормой, порождающей $с. Упорядочим семейство компактных подмножеств X по возрастанию и обозначим через gc компактное вложение Ес в Е. Индуктивная топология Ж на Е, как легко видеть, хаусдорфова, поскольку $ сильнее, чем топология компактной сходимости. Следовательно, Е (2) — индуктивный предел подпространств (Ес, Тс). Сопряженным пространством Е i%Y к Е ($) является пространство всех комплексных мер Радона на X (Бурбаки [9], гл. III).
Предыдущие определения индуктивного предела и даже строгого индуктивного предела семейства подпространств оказываются слишком общими, чтобы можно было надеяться получить большое число содержательных результатов (Комура [1]). Ситуация меняется для строгих индуктивных пределов последовательности {£„: п е N} подпространств Е (где N наделено' естественным порядком). Мы докажем некоторые из наиболее важных результатов, которые получены Дьедонне и Шварцом [1] и Кёте [7].
Строгий индуктивный предел возрастающей последовательности (В)-пространств будет называться (ЬВ)-пространством; аналогично определяются (ЬР)-пространства (с заменой (В)-пространств на пространства Фреше). В примере 2 мы имеем (Ьр)-пространство, а в примере 3 — (ЬВ)-пространство при условии, что локально компактное пространство X счетно на бесконечности(т. е. является счетным объединением компактных подпространств).
Пусть {En{ZnY heN} — возрастающая последовательность ЛВП, такая, что для всех п топология $л+г индуцирует £„ и векторное пространство Е есть объединение подпространств Еп (n е N). Тогда индуктивная топология на Е относительно канонических вложений Еп—> Е отделима и индуцирует $„ на Еп (п е N).
Доказательство основывается на следующей лемме.
Лемма. Если Е — ЛВП, М — подпространство Е и U — выпуклая закругленная окрестность нуля в М, то в Е найдется выпуклая закругленная окрестность нуля V, такая, что U — V (] М. Если х0 е Е \ М, то V может быть выбрано так, что к тому же x0^V.
Доказательство. Пусть IF — выпуклая закругленная окре-3 стность нуля в Е, такая, что IF Q/И сП. Тогда F = r(IFUH).l удовлетворяет условию V Л М = U. Очевидно, U с V Л М. Если I zeVfi^, то г = Хш + ри, где w е IF, ней, |Х| + |р|^1; из 1 соотношения Хш = z — цы е М следует, что либо X = 0, либо шеЯ. I В обоих случаях мы имеем z е U, следовательно, У П М с U. I Если х0 не принадлежит замыканию М множества М, то в пре- ] дыдущей конструкции IF может быть выбрано так, что (х0 + IF) П M i пусто. Отсюда следует х0 ^ У. Поскольку если х0 = Лда + цы, то' х0 — Xw е М и х0 — Xw е х0 + IF, а это противоречит выбору IF.
Доказательство (6.4). Пусть п фиксировано и Vn — выпуклая закругленная окрестность нуля в Еп^^. Используя доказанную лемму, можно по индукции построить последовательность {^n+J (^=1, 2 ...) подмножеств Е, таких, что Уп+Й—выпуклая закругленная окрестность нуля в Еп+к и Fn+fe+i П En+k = Vn+k для’ всех к^О. Ясно, что У = (Jyn+s — окрестность нуля в индуктивной топологии 2 на Е, и при этом У Л Еп = Vn. Отсюда, следует, что топология на Еп, индуцированная 2, будет, с одной стороны, сильнее, а с другой стороны, слабее, чем 2„, и, следовательно, совпадает с 2„. Так как E = [jEn, ясно также, что 2 отделима.
Подобная же конструкция позволяет нам определить все ограниченные подмножества в Е (2), когда Е (2) = lim Еп (2„) является строгим индуктивным пределом последовательности подпространств.
Пусть Е (2) = lim Еп (2„), и пусть Еп для всякого п е N замкнуто в Еп+1(2п+1). Тогда подмножество В а Е ограниченно в Е^ в том и только том случае, когда для некоторого п е N В есть ограниченное подмножество Еп^пу
Доказательство. В силу (6.4) условие, очевидно, достаточно для того, чтобы В было ограниченно. Обратно, допустим, что В ограниченно и не содержится ни в каком Еп(пеМ). Тогда найдется возрастающая последовательность (&b k2, ...}cN и последовательность (xJcS, такие, что хпеЕк№, но х„фЕкп (уг g N). Используя лемму (6.4), мы построим по индукции последовательность (У^п) выпуклых закругленных окрестностей нуля в Е. соответственно так, чтобы п" хп ^ Уь и У*,, Л Ек = Vk для всех «eN. Снова F = (J V^ есть окрестность нуля в Д(2), но
n~vxn^V («gN), что невозможно в силу (I, 5.3). Следовательно, допущение, что В не содержится ни в каком Еп, неверно.
Строгий индуктивный предел последовательности полных локально выпуклых пространств — полное ЛВП.
Доказательство. Пусть Е(?) = ПтЕп($„) — строгий индуктивный предел полных ЛВП. Пусть g — фильтр Коши в £(?) и U — фильтр окрестностей нуля. Тогда g + U = {£ + U: F eg; И е И) является базисом фильтра Коши в Е^), который сходится тогда и только тогда, когда сходится g. Мы покажем, что должно существовать ^gN, для которого следы g + U на Еп„ образуют базис фильтра; если такое п^ существует, то эти следы будут сходиться в Е^М, поскольку Еп„ полно, и, следовательно, g сходится в Е. В противном случае найдутся последовательность Frteg(neN) и убывающая последовательность выпуклых закругленных окрестностей нуля Wn в Е ($), такие, что (£„+ Wn) П £„= 0 для всякого п. Далее, U ^ Г (^п Л Е„) — окрестность нуля в Е ($).
п-1
Мы покажем, что (Fn+U) (]Еп=0 для всех/г. Пусть уеЕп П (£n + U).
р
Тогда y = zn + 2 ^ixb гДе 2l^< К 1, xt е Fzfl Е{^1 = 1, ..., р) и i=i
z„eF„, следовательно,
у — 2 ^Х( = гп+ 2i nл
Так как Wt с Wn при 1>п и Wn закруглено и выпукло, то элемент, стоящий в равенстве справа, принадлежит £„ + Wn, тогда как слева стоит вектор из Еп, что невозможно. Таким образом, (Fn + U) П Еп = 0 для всех п. Так как g —фильтр Коши, найдется F eg, такое, что F-FcU. Если w е F, то w е= Ек для некоторого ^eN. Пусть оеРкПР. Тогда оу = у + (w — у) е у + + (£ — F) с Ffe + U, что является противоречием.
Следствие. Все пространства типа (LB) или (LF) полны.
Бочечные пространства
В этом и следующем разделе обсуждаются элементарные свойства двух типов локально выпуклых пространств, часто встречающихся в приложениях, важность которых в значительной степени обусловлена тем фактом, что они включают все пространства Фреше (и, следовательно, все банаховы пространства), и тем, что определяющие их свойства инвариантны относительно формирования индуктивных топологий.
Бочкой в ТВП Е называется подмножество, которое радиально, выпукло, закруглено и замкнуто. ЛВП Е бочечно, если всякая бочка в Е является окрестностью нуля или, что то же самое, бочечное пространство — это ЛВП, в котором семейство всех бочек образует базис (или на котором всякая преднорма, полунепрерывная снизу, непрерывна).
Всякое боровское локально выпуклое пространство бочечно.
Доказательство. Пусть D — бочка в Е. Так как D радиально и закруглено, то E=(JnD. Так как Е бэровское, то
существует пй е N, такое, что (замкнутое) множество n0D содержит внутреннюю точку. Следовательно, D имеет внутреннюю точку у. Так как D закруглено, то — у е D, так что 0 = ■^•у+-^(— У) принадлежит внутренности D (в силу 1.1), поскольку D выпукло.
Следствие. Все банаховы пространства и все пространства Фреше бочечны.
Свойство бочечности, вообще говоря, не наследуется проективными топологиями. Например, существуют (неполные) нормированные пространства, которые небочечны (упр. 14), и даже замкнутое подпространство бочечного пространства, вообще говоря, может быть небочечно (гл. IV, упр. 10). То же самое верно и для проективных пределов (см. (5.4)). Тем не менее можно показать, что пополнение бочечного пространства бочечно (гл. IV, разд. 4). Более того, все индуктивные топологии наследуют это свойство.
Если $ — индуктивная топология на Е относительно семейства бочечных пространств (м соответствующих линёйных отображений), то любая бочка в Е является окрестностью нуля в топологии 2.
Доказательство. Пусть Т — индуктивная топология на Е относительно семейства {(£а, $о, ga): аеА}, где $а(аеД) —бочечная локально выпуклая топология на Еа. Тогда если D — бочка в Е)1), то Da = g~x (D) — бочка в £a(2a) для всех а е А и, следовательно, Da — окрестность нуля. Отсюда вытекает, что D — окрестность нуля в Е (2).
Следствие 1. Всякое отделимое факторпространство бочечного пространства бочечно; локально выпуклая прямая сумма и индуктивный предел семейства бочечных пространств бочечны.
Следствие 2. Любое пространство типа (LB) или (LF) бочечка.
Так как пространство типа (LF) (строгий индуктивный предел последовательности пространств Фреше) не является бэровским, то существуют небэровские бочечные пространства. Примеры таких пространств приведены в разд, 6.
Борнологические пространства
Локально выпуклое пространство Е называется борнологическим, если всякое закругленное выпуклое подмножество А с Е, поглощающее все ограниченные множества в Е, является окрестностью нуля. Другими словами, борнологическое пространство — это такое ЛВП, на котором всякая преднорма, ограниченная на ограниченных множествах, непрерывна.
Всякое метризуемое ЛВП — борнологическое.
Доказательство. Если Е метризуемо, то в силу (1,6.1) существует счетный базис окрестностей нуля {Vn: п е N}, который может быть выбран убывающим. Пусть А — выпуклое закругленное подмножество Е, которое поглощает все ограниченные множества. При некотором п мы должны иметь включение Vn с nA. Если бы это было неверно, то существовали бы элементы хп е Vn, такие, что хп^пА (и е N). Так как {x,J — сходящаяся к нулю последовательность, то она ограничена в силу (I, 5.1) и, следовательно, поглощается А, что является противоречием.
Можно показать (гл. IV, упр. 20 и Кёте [5], § 28.4), что замкнутое подпространство борнологического пространства не обязательно борнологическое. Не известно, всегда ли произведение борнологических пространств борнологическое, но .трудность определяется только количеством сомножителей (упр. 19). Так, поскольку Ко" борнологично, любое счетное произведение борнологических пространств борнологично. Более того, теорема Макки —Улама (Кёте [5], § 28.8) утверждает, что любое произведение d борнологических пространств борнологично, если d меньше, чем наименьшая сильно неизмеримая мощность. (До сих пор не известно, существуют ли неизмеримые мощности. Мощность d0 называется сильно неизмеримой, если: (a) dQ> Ко; (b) 2 И/ aeA}<d0, как только мощность А < d0 и da<d0 для всех а е А; (с) d < d0 влечет за собой 2d<d0. Подробнее о сильно неизмеримых мощностях см., например, у Гильмана и Джерисона [1].) В частности, из теоремы Макки — Улама следует, что Ко борнологично, если d = К или d = 2х, где К — мощность континуума.
Отметим, что из (8.1) следует, что всякое пространство Фреше (и, следовательно, всякое банахово пространство) борнологично. Кроме того, свойство борнологичности сохраняется при образовании индуктивных топологий.
Пусть 2 — индуктивная топология на Е относительно семейства борнологических пространств (и соответствующих линейных отображений'). Тогда любое выпуклое закругленное подмножество в Е, поглощающее все ограниченные множества в Е (2), является окрестностью нуля в топологии $.
Доказательство. Пусть А — такое подмножество в Е и X — индуктивная топология относительно семейства {(£а, 2а. g„): а е Л}. Если Ва ограниченно в (£а, £а), то gtt(Ba) ограниченно в £(£) в силу (I, 5.4). Следовательно, А поглощает ga(Sa) и £~'(Д) поглощает Ва, так что ^-'(Л) будет окрестностью нуля в (£а, £а). Так как это верно для всех а£ А, А — окрестность нуля в Е (5).
Следствие 1. Всякое отделимое факторпространство борнологического пространства — борнологическое. Локально выпуклая прямая сумма и индуктивный предел любого семейства борнологических пространств — борнологические пространства.
Используя (8.1), мы получаем
Следствие 2. Всякое пространство типа (LB) или (LF) борнологическое.
По существу благодаря (I, 5.3) борнологические пространства обладают тем интересным свойством, что непрерывность линейного отображения и в ЛВП F эквивалентна секвенциальной непрерывности и, которая в свою очередь эквивалентна тому, что отображение и должно быть ограниченно на всех ограниченных множествах. Это последнее свойство, утверждающее, что непрерывными линейными отображениями Е в произвольное ЛВП F будут в точности те линейные отображения, которые сохраняют ограниченность, на самом деле характеризует борнологические пространства (упр. 18).
Пусть ^Е, 2) — борнологическое, a F — произвольное ЛВП, и пусть и —линейное отображение Е в F. Тогда следующие утверждения эквивалентны-.
и непрерывно-,
(и (хп)} — сходящаяся к нулю последовательность для всякой сходящейся к нулю последовательности {^„} с Е;
и (В) ограниченно для всякого ограниченного подмножества В а: Е.
Д о к а з а т ельств о. Импликация (а) =ф (Ь) очевидна. Докажем, что (Ь)=>(с). Если {и (%„)}(хп е в, п е N) — некоторая последовательность элементов и (В), то {Л„хД является сходящейся к нулю последовательностью в Е для всякой сходящейся к нулю последовательности скаляров Хп е К (см. (1,5.3)). Следовательно, {А„и (х„)} — сходящаяся к нулю последовательность в F согласно (Ь), и повторное применение (1,5.3) показывает, что и (в) ограничено в F. Проверим, что (с)=ф(а). Если В — произвольное ограниченное множество в £ и У —заданная выпуклая окрестность нуля в F, то V поглощает и (в). Следовательно, и“'(У) поглощает в. Так как в было произвольно и Е борнологическое, то и"1 (У) — окрестность нуля в топологии 2. Так как это верно для любого заданного У, то отсюда вытекает (поскольку топологии Е и F инвариантны относительно сдвигов) непрерывность и.
Пусть £(2) — некоторое ЛВП, 33 — семейство всех ограниченных подмножеств Е (2). Класс (£Г) отделимых локально выпуклых топологий на Е, для которых все множества в е 33 ограниченны, непуст, так как 2 е Т. Верхняя граница 20 семейства 9" (в решетке топологий на £) является проективной топологией (разд. 5) и сильнейшей локально выпуклой топологией на £, семейство ограниченных множеств которой совпадает с 33. Очевидно, пространство £(20) борнологическое; £ (20) называется борнологическим пространством, ассоциированным с Е (2). Таким образом, пространство Е (2) борнологическое тогда и только тогда, когда 2 = 20.
Борнологическое пространство £(20), ассоциированное с £(2), можно определить также следующим образом. Пусть 33 —семейство всех замкнутых выпуклых ограниченных и закругленных подмножеств Е (2), упорядоченное по включению. Рассмотрим для фикси- рованногоВ е 33подпространство £в = ^J пВ в Е. Функционал Минковского рв множества1) в в пространстве Ев является нормой в Ев (ибо в ограниченно и £ (2) — хаусдорфово пространство), и (£в, рв) — нормированное пространство, топология которого сильнее, чем топология, индуцируемая 2. (Если в полно, то из (I, 1.6) следует, что (Ев, рв) — банахово пространство.) Пусть gB обозначает каноническое вложение Ев в Е. Очевидно, индуктивная топология на Е относительно семейства ^.Ев, рв, gB): В е 33} является борнологической топологией 20, ассоциируемой с 2. Итак,
Любое борнологическое пространство Е есть индуктивный предел семейства нормированных пространств (и банаховых, если Е квазиполно). Мощность этого семейства может быть выбрана такой же, как мощность любой фундаментальной системы ограниченных множеств в Е.
*) Для В — 0 мы полагаем Ев = {0} и рв = 0.
Следствие. Всякое квазиполное борнологическое пространство бочечно. ;
Это непосредственно вытекает из следствия 1 предложения (7.2); Так как существуют нормированные небочечные пространства (упр. 14), то борнологическое пространство не обязательно бочечно/ С другой стороны, Нахбин [1] и Сирота [1] построили примеры бочечных, но не борнологических пространств. 1
Мы завершим этот раздел замечанием, которое проясняет? последнее следствие и легко вытекает из предыдущего обсужде-^ ния. Оно понадобится нам позднее (гл. III, разд. 3).
Пусть Е — некоторое ЛВП и D — бочка в Е. Тогда D поглощает всякое ограниченное подмножество В cz Е, которое выпукло, закруглено и полно.
Доказательство. Так как множество В полно, (Ев, рв) является банаховым (следовательно, бочечным) пространством, топология которого сильнее топологии, индуцированной на Ев исходной топологией пространства Е. Таким образом, D ПЕВ — бочка в пространстве (,ЕВ, рв\ откуда и вытекает, что D поглощает В.
: 9. Отделение выпуклых множеств
Пусть Е — векторное пространство над К и Н = (х: f (х) = а} — вещественная гиперплоскость в Е. Четыре выпуклых множества: Еа = ^х- f(x)^^), Fa = {x: f(x)~^a}, Ga = {x: f(x)<a) и Ga = = {x: f (x) > а) называются полупространствами, определяемыми H. (Заметим, что F™ и Fa замкнуты, Ga и Ga открыты в сильнейшей локально выпуклой топологии на Е.) Если Е — ТВП и Н — замкнутая вещественная гиперплоскость в Е (или, что то же самое, f — непрерывная вещественная линейная форма ^ 0), то Еа и Еа называются замкнутыми полупространствами, а Ga, Ga называются открытыми полупространствами. Говорят, что два непустых подмножества Л, В пространства Е отделимы (соответственно строго отделимы^ вещественной гиперплоскостью Н, если либо Л cfa и В cz Fa, либо В с Fa и Л с Г“ (соответственно, если либо Л cz Ga и В cz Ga, либо ЛсС°и В cz Ga). Если Л — подмножество ТВП Е, то замкнутая вещественная гиперплоскость Н называется опорной к Л, если Л П Н =£ 0 и если Л содержится в одном из замкнутых полупространств, определяемых Н.
Теорема (3.1) есть теорема отделимости; она утверждает, что всякое выпуклое открытое множество Л =# 0 и аффинное подпространство М, не пересекающее А в ТВП, могут быть отделены замкнутой вещественной гиперплоскостью. Мы установим с помощью (3.1), еще две теоремы отделимости (для второй из кото-
рых важно, что £ —ЛВП), которые стали стандартными инструментами в теории ТВП.
(Первая теорема отделимости.) Пусть А —выпуклое подмножество в ТВП Е, такое, что А=А=0, и пусть В —непустое выпуклое подмножество Е, не пересекающее внутренности А множества А. Тогда существует замкнутая вещественная гиперплоскость Н, разделяющая А и В; если А и В оба открыты, то они строго отделимы.
Доказательство. Множество А выпукло, согласно (1.2), и поэтому выпукло множество А — В, которое открыто и не содержит нуля, так как Л П В = 0. Следовательно, в силу (3.1) найдется замкнутая вещественная гиперплоскость Но, содержащая подпространство {0}(Д0 = {х: f (х) = 0} для некоторого f ^ Е') и не пересекающая А — В. Далее, множество / (Л — В) выпукло и, следовательно, является интервалом в R и не содержит 0. Мы можем (после замены знака, если это необходимо) считать, что ЦА — В)> 0. Таким образом, если а = inf f (Л), то Н = {х: f(x) = а) разделяет А и В (Л с Еа> ВсД). Так как А с А и Л = (Л), согласно (1.3), мы имеем включение Л ст £“, поскольку Еа замкнуто в Е. Таким образом, Н разделяет Л и В. Если А и В —открытые множества, то f(A) и f (В) — открытые интервалы в R. Действительно, f = g о ф, где Ф — естественное отображение Ео на Ео/Но, которое открыто (£0 обозначает соответствующее Е вещественное пространство), a g — изоморфизм Ео/Но на Ro (гл. I. разд. 4). Следовательно, в этом случае А с: G", В с Ga, так что И строго разделяет Л и В.
Следствие. Пусть С —выпуклое тело в Е. Тогда всякая граничная точка С содержится по крайней мере в одной опорной гиперплоскости к С и С является пересечением замкнутых полупространств, которые содержат С и определяются опорными гиперплоскостями к С.
Доказательство. Чтобы увидеть, что всякая граничная точка х0 множества С содержится по крайней мере в одной опорной гиперплоскости, достаточно применить (9.1) к А = С и В = {х0}. Для доказательства второго утверждения нам понадобится лемма о том, что ни одна опорная гиперплоскость к С не содержит внутренних точек С. Приняв это пока на веру, предположим, что у ^С. Мы должны показать, что существует замкнутое полупространство, содержащее С, но не содержащее у. Пусть хеС. Открытый интервал, соединяющий х и у, содержит, в частности, одну граничную точку х0 множества С. Существует опорная гипер-
плоскость Н, проходящая через х0; Н не может содержать у, так как иначе Н содержало бы и х. Ясно, что одно из замкнутых полупространств, определяемых Н, содержит С и не содержит у.
Лемма. Если С — выпуклое тело в ТВП Е, то никакая опорная гиперплоскость к С не содержит внутренних точек.
Допустим, что хе ЯП С, где Я = {х: f (х) = а} — опорная гиперплоскость к С, такая, что С с Еа. Тогда найдется у е С, такое, что Цу^<а, так как Я не может содержать С. Далее, f [х + е (х — у^\ >f (х) = а для всякого е>0. Так как хе С, то х + е(х — у) е С при некотором е>0. Это противоречит включению CcFa. Следовательно, допущение ЯПС^=0 неверно.
(Вторая теорема отделимости.) Пусть А, В — непустые выпуклые подмножества ЛВП, такие, что А замкнуто, а В компактно. Тогда существует замкнутая вещественная гиперплоскость в Е, строго разделяющая А и В.
Доказательство. Мы покажем, что существует выпуклая открытая окрестность нуля V в Е, такая, что множества А + V и В + V не пересекаются. Так как эти множества уже открыты и выпуклы, утверждение будет следовать тогда непосредственно из (9.1).
Достаточно доказать существование выпуклой закругленной открытой окрестности нуля W, для которой (А + УТ)ПВ = 0. Тогда У = у IF будет удовлетворять перечисленным выше требованиям. Обозначим через И базис фильтра, образованный всеми открытыми выпуклыми закругленными окрестностями нуля в Е, и предположим, что А + U пересекается с В для каждого U е U. Тогда {(Л + Я)ПВ: Я ell} —базис фильтра в, который содержит точку прикосновения х0 е в, поскольку в — компакт. Следовательно, х0еЛ + ЯсЛ + 2Я для каждого Я е U, так что х0 е П {Л + Я: U е 11} = А = А, поскольку А замкнуто. Мы пришли к противоречию.
Так как множества, содержащие в точности одну точку, компактны, мы получаем
Следствие 1. Всякое непустое замкнутое выпуклое подмножество локально выпуклого пространства есть пересечение всех содержащих его замкнутых полупространств.
Отсюда следует весьма важное свойство выпуклых множеств в ЛВП;
Следствие 2. В любом ЛВП Е^-замыкание в топологии Z и слабое (т. е. а (Е, £')-) замыкание произвольного выпуклого множества совпадают.
Доказательство. Так как $ сильнее, чем о(£, Е'\ всякое о^Е, £')"замкнутое подмножество Е будет и 2-замкнуто. Обратно, всякое выпуклое ^-замкнутое подмножество Е слабо замкнуто, так как оно является пересечением семейства полупространства Fa = {r fW^a). а каждое Еа слабо замкнуто.
Для невыпуклых множеств в бесконечномерном ЛВП слабое замыкание оказывается, вообще говоря, шире, чем 2-замыкание (упр. 22).
10. Компактные выпуклые множества
Для компактных выпуклых подмножеств локально выпуклого пространства можно установить ряд результатов о сильной отделимости, из которых следует теорема Крейна — Мильмана. Эта теорема утверждает, что всякое компактное непустое выпуклое множество содержит экстремальные точки (определение см. ниже) и является в действительности выпуклым замыканием своих экстремальных точек. Мы начнем с уточнения следствия 1 из (9.2); наше доказательство следует Бурбаки [7].
Если С —непустое компактное выпуклое подмножество ЛВП Е, то для любой замкнутой гиперплоскости Н в Е существует не менее одной и не более двух опорных к С гиперплоскостей, параллельных Н. Более того, компакт С является пересечением замкнутых полупространств, которые содержат С и определяются гиперплоскостями, опорными к С.
Доказательство. Пусть И = {х: f(х) = у} — некоторая замкнутая вещественная гиперплоскость в Е. Так как сужение f на С является непрерывной вещественной функцией, существуют точки ,v0 g С и .г, g С, такие, что f (х0) = а = inf f (х) и f (xj = Р = sup f (х).
хеС хе С
Ясно, что HQ = {x: ((х) —а) и Hi=W- fto = P} являются (не обязательно различными) опорными гиперплоскостями к С и не существует других опорных гиперплоскостей, параллельных Н. Для доказательства второго утверждения предположим, что у ФС. В силу (9.2) найдется замкнутая вещественная гиперплоскость И, строго разделяющая (у) и С. Очевидно, существует гиперплоскость Нх, параллельная Н и опорная к С и такая, что у содержится в том открытом полупространстве, определяемом Нх, которое не пересекает С.
Следствие. Если Е — ЛВП и Ео — пространство всех непре-, рывных вещест венных линейных форм на Е и С — компактное^ выпуклое подмножество Е, то j
C = n{rW)]:
Выпуклая оболочка конечного семейства компактных выпуклых подмножеств хаусдорфова ТВП компактна.
Доказательство. Действительстно, если А, (/ = 1, . . ., п) — непустые выпуклые подмножества Е, то легко убедиться, что их выпуклая оболочка — это множество
-4 = | 2 at е A,, Xf 0, 2j = 1 (i = 1, .. ., п)
Ii = l i = l
Таким образом, если Р с: R" — компактное множество toiV ^0, 2^ = 1},
то А — непрерывный образ множества Р X Ц Аг с R" х Еп\ следовательно, А — компакт, если каждое Л, —компакт (Z = 1, ..., га).
Мы нуждаемся теперь в обобщении понятия опорной гиперплоскости для выпуклых множеств. Если А — выпуклое подмножество ЛВП Е, то говорят, что замкнутое вещественное линейное многообразие М опорно к А, если М П А #= 0 и если всякий замкнутый сегмент S с А принадлежит М, как только соответствующий открытый сегмент So пересекает М. Другими словами, М опорно к А, если из условий S с А и So П М =^ 0 следует включение S с М при дополнительном предположении, что М f] А =^ 0. Экстремальная точка множества А — это точка х0 е А, такая, что „линейное многообразие“ {х0} опорно к А.
Примеры. Всякая вершина выпуклого многогранника Л в R3 является экстремальной точкой А. Любая прямая, содержащая ребро А, является опорным многообразием. Всякая плоскость, содержащая грань А, является опорной гиперплоскостью. Относительно бесконечномерного примера экстремальных точек см. упр. 29.
Следующая теорема, утверждающая существование экстремальной точки в любой гиперплоскости, опорной к компактному выпуклому множеству, является последним шагом к теореме Крейна — Мильмана:
Если С — компактное выпуклое подмножество локально выпуклого пространства, то всякая замкнутая вещественная гиперплоскость, опорная к С, содержит по крайней мере одну экстремальную точку С.
Доказательство. Пусть Н — замкнутая вещественная гиперплоскость, опорная к С. Обозначим через Эй семейство всех замкнутых вещественных линейных многообразий, содержащихся в Н п опорных к С. Тогда Эй индуктивно упорядочено по включению то. Если {Ма: ае А}- тотально (совершенно) упорядоченное подсемейство, то M = QAla будет его верхней гранью в Эй при уело- a
вии, что МГ|С=И= 0. Но {Maf]C: аеА} также совершенно упорядоченное относительно то, является базисом фильтра, состоящим из замкнутых подмножеств С. Так как множество С компактно, то отсюда следует, что М П С = (QAfJ ПС = Р)(Л4аП С) непусто.
\ а /а
Следовательно, в силу леммы Цорна существует минимальный элемент МоеЭД. Если Мо = {х0}, то х0 будет экстремальной точкой С, содержащейся в Н. Мы покажем, что допущение dim Мо ^ 1 противоречит минимальности Мо. В самом деле, С0 = СПМ) представляет собой компактное выпуклое подмножество аффинного подпространства Мо, и если размерность Мо окажется 1, то из (10.1) будет следовать существование замкнутой гиперплоскости Mj в Мо, такой, что М, опорна к Со. Мы утверждаем, что MY е Эй. Действительно, если S — замкнутый интервал, S ст С и соответствующий открытый интервал So пересекает Ми то Во пересекает Мо, и, следовательно, мы имеем включение S ст Мо, откуда в свою очередь следует, что S ст Со и потому S с Мр Таким образом, М, ст Эй, что противоречит минимальности Мо в Эй.
Теорема (Крейн — Мильман). Всякое компактное выпуклое подмножество локально выпуклого пространства является замкнутой выпуклой оболочкой множества своих экстремальных точек.
Доказательство. Пусть множество С =/= 0 выпукло и компактно и В — замкнутая выпуклая оболочка множества всех экстремальных точек С. Тогда, очевидно, В ст С. С другой стороны, если ) =^ 0 — непрерывная вещественная линейная форма на В и /(С) = [а, р], то, согласно (10.3), опорные гиперплоскости /-1(а) и ( 1 (Р) содержат экстремальные точки, откуда следует, что Г V (С)] ст f"1 [) (В)] для каждого f е Во. Это влечет за собой включение С ст В в силу следствия из (10.1).
Следующее дополнение к (10.4) принадлежит Мильману [1].
Если А —компактное подмножество локально выпуклого пространства, такое, что замкнутая выпуклая оболочка С множества А тоже компактна, то любая экстремальная точка множества С является элементом А.
Доказательство. Пусть х0 — экстремальная точка С и I/ —некоторая замкнутая выпуклая окрестность нуля. Тогда существуют точки у, ^ А ^i = 1, . .., /г), такие, что А с [J (у, + У). Обозначим через Wt замкнутую выпуклую оболочку множества ЛП(г/г + У). Так как W; (которые являются подмножествами С) компактны, выпуклая оболочка их объединения будет также компактна и поэтому совпадает с С. Следовательно, х0 — 2 ^-^ь
Z = 1
где w{ е Wb Xi ^ 0 (/ = 1, . . ., п) и 2 Xi = 1. Поскольку х0 — экстремальная точка множества С, то х0 = wt при некотором I. Следовательно, х0 е U7e- е yt + V, и так как yt е А, отсюда вытекает, что - x0^A + V. Из того, что I/— произвольное множество из базиса окрестностей нуля и А замкнуто, следует, что х0 е А.
Следствие. Если С — компактное, выпуклое подмножество ЛВП и 8 — множество его экстремальных точек, то 8 представляет , собой минимальное замкнутое подмножество С, выпуклая оболочка которого есть С.
Тем не менее, вообще говоря, 8 может быть плотным в С (упр. 29).
Упражнения
Пусть £—векторное пространство и А + 0 — подмножество Е. Тогда выпуклая оболочка (выпуклая закругленная оболочка) множества А состоит из
пП(
всех конечных сумм 2 Х.х., таких, что х. е Д, л; ^ 0 и 2 Xt = 1 соответ-
<=1/=1\
п
ственно таких, что 2 I Xi | ^ 1 . Выпуклая закругленная оболочка ГД предста- i = ij
вляет собой выпуклую оболочку закругленной оболочки А. Если Е — ТВП, то выпуклая оболочка открытого множества открыта, и замкнутая выпуклая закругленная оболочка А есть замыкание множества ГД.
Вещественная функция Ф на выпуклом подмножестве векторного пространства Е называется выпуклой, если для всякой пары X, ц>0, такой, что Л + р=1, имеет место неравенство Ф (2.x + цу) ^ 2.Ф (х) + |1Ф (у). Показать, что если Е — ТВП и Ф —выпуклая функция на Е, то следующие утверждения эквивалентны:
Ф непрерывно на Е;
Ф полунепрерывно сверху на Е;
существует непустое выпуклое открытое подмножество Е, на котором Ф . ограничено сверху.
Вывести отсюда, что непрерывная линейная форма f + 0 на Е существует в том и только том случае, когда существует отличная от константы выпуклая | функция на Е, которая полунепрерывна сверху (использовать следствие из (3.1)).
Показать, что всякое выпуклое радиальное подмножество конечномерного векторного пространства Е является окрестностью нуля в единственной отделимой топологии на Е, относительно которой Е — ТВП (гл. I, разд. 3).
Вещественная функция Т на векторном пространстве Е называется сублинейной, если она выпукла и положительно однородна (т. е. если Ч7 (Лх) = = ЛТ (х) для всех х е Е и всех X ^ 0).
Всякая сублинейная функция на Rn непрерывна. Примерами служат 1
x->supx;, х -> [2 | х{ I9] 4 (9 2> 1), (<= 1, ..., «) (использовать упр. 2 и 3).
Если Т — сублинейная функция на Rn такая, что Т (Xjхп) > 0 при всех х. ^ 0 (/=!,..., я) и Т (хх^) ^ 0 при всех х( "С 0, и если р{ — непрерывная преднорма на ТВП Е, то Чт (р:рп) также непрерывная пред- норма на Е.
Допустим, что Т — сублинейная функция на Rn, как и в (Ь), имеющая дополнительное свойство: если х; ^ 0 (z = 1, .. ., и) и У (Хр ..., х^) = 0, то необходимо х(. = 0 (г = 1п). Показать, что если (Е.,р?) — п нормированных
пространств, то (хь .... х^)-> S'[р! (хД .... /^ (хп)] — норма на JJ Ei, поро-
i ждающая топологию произведения.
Пусть L — векторное пространство над полным недискретным нормированным полем (не обязательно R или С). Назовем (Е, р) нормированным пространством над К, если р удовлетворяет условиям 1) —3) из разд. 2. Установить, какие из результатов разд. 2 могут быть перенесены на этот более общий случай. Показать, что топологии, порожденные на L двумя нормами pi и р2, идентичны тогда и только тогда, когда существуют такие константы с>0 и С>0, что cpi (х) ^ р2 (х) "С Ср; (х) для всех хе4.
Пусть Е — векторное пространство над R, М — подпространство Е, и пусть g — линейная форма на М, такая, что g (х) р (х) (х е М), где р — сублинейная функция на Е. Тогда существует линейная форма f на Е, продолжающая g и такая, что ) (х) "С р (х) для всех х е Е. (Заметьте, что линейными формами па Е X R являются отображения (х. /) -> h (х) + at, где h^E* и а е R. Рассмотрите линейное многообразие Но = {(х, t)-. g (х) — t = 1} и выпуклый конус С = {(х. /): р (х)^/} в Е X R и докажите существование гиперплоскости Н с EX R, такой, что Н =э Но н Н (}С = 0. См. доказательство (3.2).) Покажите, что эти формы теоремы Хана —Банаха (3.1) и (3.2) эквивалентны.
Обозначим через Е бесконечномерное векторное пространство и пусть X — сильнейшая локально выпуклая топология на Е (см. пример, следующий за (6.2) ). Покажите, что ЛВП Е (£) обладает следующими свойствами.
Любое линейное отображение и пространства Е($) в произвольное ЛВП F непрерывно. Следовательно, Е^У=Е*, любое подпространство замкнуто и любая алгебраическая прямая сумма, представляющая Е, будет и топологической.
Подмножество В с Е ограниченно в том и только том случае, когда оно содержится в конечномерном подпространстве и ограниченно там. Подмножество Е секвенциально замкнуто тогда и только тогда, когда его пересечение с любым конечномерным подпространством замкнуто.
Если Е обладает счетным базисом, то выпуклое подмножество Е замкнуто в том (и только том) случае, когда его пересечение с любым конечномерным подпространством замкнуто.
Е ($) полно и неметризуемо.
Покажите также, что свойство локально выпуклой топологии быть сильнейшей наследуется факторпространствами, индуктивными пределами и подпространствами, но не сохраняется при переходе к бесконечным произведениям.
Семейство Р преднорм на векторном пространстве Е направлено, если оно направлено относительно обычного порядка, определенного неравенством «р (х) ^ q (х) для всех х е Е».
Пусть Р — семейство преднорм на Е, и пусть Uр, п = {х: р(х)</7-1} для Р еР, п е N. Тогда для того, чтобы семейство множеств ^10, п; р г Р, не N} ныло базисом окрестностей нуля в локально выпуклой топологии па Е, необходимо и достаточно, чтобы семейство преднорм {ср: с > 0, р е Р) было направлено.
Если Ро — семейство преднорм, порождающее топологию ЛВП Е, то семейство Р всех точных верхних граней непустых конечных подмножеств Ро направлено и порождает топологию Е.
Пусть М — подпространство Е. Определим для данной преднормы р на Е функцию р (х) = inf {р (х): хе£)(х е Е]М\ Тогда р представляет собой пред- норму на Е/М. Если Р — направленное семейство преднорм на Е, то семейство {р; р G Р] порождает на Е(М фактортопологию топологии, порожденной семейством Р.
Пусть Е (£) = lim gap£fl (£р) — проективный предел семейства ЛВП и предположим, что £ау = gap ° gpv как только «<£ <у. Доказать, чтоЕ(Т) изоморфно Игл §ьеЕе ($е) (д, е е В), если В — конфинальное подмножество А- Соответствующий результат верен для индуктивных пределов, если hxa = hxa° hna для всяких а р < у.
Если Е.(Д) = Нт £„гаЕп ($:„) —проективный предел последовательности ЛВП, такой, что gmp = gmn° gnp и Em = gmn^E^ всякий раз, как /и<га<р, то /п (Е) = En (fn обозначает проекцию JJ Ед на Еп\ . Результат переносится \1г'
на проективные пределы счетных семейств (использовать упр. 9).
Локально выпуклая прямая сумма бесконечного семейства ЛВП, каждое из которых отлично от {0}, неметризуема.
(Рассмотрите пополнение локально выпуклой прямой суммы счетного подсемейства и используйте теорему Бэра.)
Покажите, что если Е (Ж) — локально выпуклая прямая сумма счетного семейства ЛВП, то $ совпадает с топологией, определенной в гл. I, упр. 1.
Если Е — метризуемое ЛВП, которое обладает счетной фундаментальной системой ограниченных множеств, то Е нормируемо. (Заметьте, что пополнение Е является объединением счетного семейства ограниченных подмножеств.) Дайте пример неметризуемого ЛВП, которое обладает счетной фундаментальной системой ограниченных множеств (используйте (6.3) ).
Пусть £ —векторное пространство над R, образованное всеми вещественными непрерывными функциями ) на [0, 1], которые обращаются в нуль в некоторой окрестности (зависящей от /) точки t = 0. Наделим Е топологией равномерной сходимости. Показать, что множество D = {/: п | f (га-1) | < 1, гае N} является бочкой в Е, но не окрестностью пуля. Тем самым мы получаем пример нормированного (следовательно, борнологического) пространства, которое небочечно.
Пусть Е —ЛВП, Е — его пополнение. Тогда: (а) если Е бочечно, то и Е бочечно; (Ь) если Е — борнологическое пространство, то Е бочечно. (Для доказательства (Ь) воспользуйтесь (8.5).)
Докажите следующее обобщение (8.1). Пусть Е — метризуемое ТВП над недискретным нормированным полем (не обязательно R или С). Тогда всякое закругленное подмножество L, которое поглощает любую сходящуюся к нулю последовательность в L, является окрестностью нуля.
Пусть Е, F —ЛВП, причем Е — борнологическое пространство, и пусть и — линейное отображение Е в F. Тогда если для всякой сходящейся к нулю последовательности {xn} cz Е последовательность (и (х„)} ограничена в F, то из limxrt = 0 следует, что limu(xn) = 0. Используйте этот результат для получения более общей формы (8.3).
ЛВП Е борнологично тогда и только тогда, когда каждое линейное отображение и пространства Е в любое банахово пространство F, такое, что и переводит ограниченные множества в ограниченные множества, непрерывно. (Для того чтобы установить достаточность условий, рассмотрите борнологическое пространство Ео, ассоциированное с Е, и покажите, что тождественное отображение Е на Ео непрерывно; воспользуйтесь (5.2) и (5.4), следствие 2.)
Пусть {£а: a g А) — семейство ЛВП над К.
Допустим, что Ко борнологично. Тогда если и — линейное отображение произведения Е = [[ Еа в ЛВП F, такое, что и отображает ограниченные мно- а
жества на ограниченные множества и сужение и на каждое подпространство Еа = {х е Е; Хр = 0 при |3 =/= а) в £ («е А) аннулируется, то и = 0. (Рассмотрите сужение и на борнологическое пространство Д Кха для каждого х = (ха) е Е а
и используйте (8.3).)
Пусть F — банахово пространство и и —линейное отображение JJ Еа в F, а
переводящее ограниченные множества в ограниченные множества. Показать, что отображение и отлично от нуля только на конечном числе подпространств Еа.
Используя (а) и (Ь), покажите, что если Kq борнологическое и « — линейное отображение [[ Еа в банахово пространство F, такое, что и отображает а
ограниченные множества на ограниченные, то существует такое конечное подмножество Н с А, что П^= п АрфС и «(G) = {0).
ареН
Используя (с) и упр. 18, покажите, что Jj[ Еа борнологично, если а
Еа (а g А) и Kq борнологичны. Выведите отсюда, что произведение счетного семейства борнологических пространств борнологическое.
Если JJ Еа — борнологическое пространство, то и JJ £p=G борноло- арев
гическое для всякого подмножества В с А (заметим, что G изоморфно фактор- пространству JJ Еа а
Пусть Е — векторное пространство и А, В — непустые выпуклые подмножества Е, такие, что А("|В = 0 и А имеет звездную точку х0 (т. е. такую точку х0, что множество А — х0 радиально). Тогда в Е существует вещественная гиперплоскость, разделяющая А и В. (Заметим, что звездная точка множества А является внутренней по отношению к А относительно сильнейшей локально выпуклой топологии на £.)
Пусть А, В — непустые непересекающиеся выпуклые подмножества векторного пространства Е. Показать, что существуют выпуклые подмножества С, D в Е, такие, что Ас С, В с D, С П D = 0 и С U D = Е (используйте лемму Цорна).
Пусть Е = /2 — гильбертово пространство квадратично суммируемых £
последовательностей х = (хь х2, ...) с нормой || х Ц = [21 xt |2]2. Показать, что слабое замыкание сферы S = (х: ||х||=1}, которая замкнута в Е, представляет собой шар В = {х; ЦхЦфЦ.
Покажите, что в конечномерном ЛВП любая пара непустых непересе- кающихся замкнутых выпуклых множеств разделяется вещественной гиперплоскостью (представив одно из множеств в виде объединения возрастающей последовательности компактных выпуклых подмножеств). Покажите на примере Rq, что „отделимость" не может быть заменена „строгой отделимостью".
Пусть Е — ЛВП и С — замкнутый выпуклый конус с вершиной в точке 0 пространства Е, такой, что С =А= Е. Покажите, что С представимо в виде пересечения замкнутых полупространств, содержащих его и определенных опорными гиперплоскостями к С,
Пусть Е — ЛВП на R, С —выпуклый конус с вершиной в 0 в Е и С'—подмножество сопряженного пространства Е', элементы которого неотрицательны на С. Тогда С' является выпуклым конусом (с вершиной в 0) в Е', который разделяет точки в Е в том и только том случае, когда С П (— С) = {0}.
Покажите, что в конечномерном ЛВП выпуклая оболочка компактного множества компактна.
С помощью следующих предложений покажите, что в бесконечномерном ЛВП выпуклая оболочка компактного множества не обязательно замкнута, а замкнутая выпуклая оболочка компактного подмножества не обязательно компактна.
Обозначим через X семейство всех вещественных непрерывных функций на единичном интервале [0,1] и через Е — произведение R^; Е является ЛВП. Для всякого фиксированного t g [0, 1] пусть Ф< е Е — отображение, сопоставляющее функции ее значение в точке t:f-+f(f), Тогда множество Ki = = {Ф<: te [0, 1]} компактно в Е.
1
Элемент ФеТ, задаваемый римановым, интегралом J fW di, лежит о -
в замыкании выпуклой оболочки С множества Ki, но Ф ^ С. Следовательно, С не замкнуто в Е.
Обозначим через F наименьшее подпространство в Е, которое содержит К\. Множество С замкнуто в F и, следовательно, будет замкнутой выпуклой оболочкой множества ^I в F, которая, однако, некомпактна.
Пусть Е — банахово пространство вещественных нуль-последователь- ностей % = (%!, х2, ••■) с нормой || х|| = sup | хп |. Тогда единичный шар п
В = {х: || х 11^1} в Е — замкнутый и выпуклый, но не содержит экстремальных точек.
Пусть Е — гильбертово пространство /2 над R. Обозначим через С подмножество Д определенное неравенством 2 (2пхп)2 ^ 1. Тогда С — выпуклое п = 1
и компактное множество и является замыканием множества своих экстремальных точек.
Пусть Еп — подпространство Е, определяемое равенствами х^ = 0 для к>0. Граничные точки эллипсоида CQS^ образуют множество 8"п, состоящее только из экстремальных точек С. Показать, что |J <^п плотно в С. Этот пример при- • п = 1
надлежит Поульсену [1].
Говорят, что выпуклый конус С с вершиной в 0 в ЛВП Е имеет компактный базис, если существует вещественное аффинное подпространство N с Е, 0 ^ N, такое, что N П С компактно, непусто и С является наименьшим конусом с вершиной в нуле, содержащим ^ П С. Луч R = (Лх0: Л, ^ 0}, 0 =/= х0 g С, экстремален, если из х g R, уеС и х — у g С следует, что у е R. Показать, что выпуклый конус с компактным базисом замкнут, удовлетворяет условию С П — С = {0} и является замкнутой выпуклой оболочкой множества своих экстремальных лучей. (Относительно более общего результата см. Кли [5].)
Глава III
ЛИНЕЙНЫЕ
ОТОБРАЖЕНИЯ
Линейные отображения, встречавшиеся нам в первых главах, играют важную роль в теории топологических векторных пространств. В этой главе предметом изучения служат векторные пространства, элементы которых сами суть векторнозначные функции, а именно линейные отображения. Изучение таких пространств и их топологий образует естественную основу для многих последующих исследований, излагаемых в книге, в частности для теории двойственности (гл. IV) и спектральной теории (приложение); привлечение пространств билинейных отображений и топологических тензорных произведений приводит к важному классу ядерных пространств.
Два первых раздела, связанные с топологическими гомоморфизмами, классической теоремой Банаха об открытом отображении и ее видоизменением — теоремой о замкнутом графике, несколько изолированы от общей теории. Однако в дальнейшем (гл. IV, разд. 8) станет ясным место этих результатов в общей теории двойственности локально выпуклых пространств. Этот подход демонстрирует первостепенную роль понятия двойственности по сравнению с понятием категории в теоремах типа теоремы Банаха и позволяет обнаружить, по-видимому, наиболее естественные их границы. Поэтому с чисто эстетической точки зрения было бы полезно отложить обсуждение теорем о гомоморфизме и замкнутом графике до тех пор, пока теория двойственности не будет полностью в нашем распоряжении. Однако в угоду читателю, который интересуется наиболее быстрым подходом, мы приводим здесь классические варианты с их прямыми доказательствами.
Другое обстоятельство в пользу независимой трактовки (а именно тот факт, что классические доказательства обходятся без локальной выпуклости) имеет малое практическое значение. В разделе 3 обсуждаются топологизация пространств векторнозначных функций, ограниченность и наиболее часто встречающиеся типы ©-топологий. Следующий затем раздел о равностепенной непрерывности является основным; знаменитый принцип равномерной ограниченности и теорема Банаха — Штейнгауза занимают здесь свои есте-
ственные места. Пространства билинейных отображений и форм (разд. 5) являются не только интересным классом пространств векторнозначных функций, но и служат основой теории топологических тензорных произведений, элементы которой даются в разд. 6 (без использования двойственности). Это в свою очередь, естественно, приводит нас к ядерным отображениям и пространствам — важному классу локально выпуклых пространств, которые лежат вне пределов досягаемости классической теории Банаха. Сравнительно недавние результаты в этой области практически все принадлежат Гротендику [13]. По-видимому, интересно выяснить, как много основных результатов об этих пространствах может быть получено без использования двойственности или абстрактной теории меры. В последнем разделе обсуждается проблема аппроксимации с некоторым акцентом на банаховы пространства и кратко проблема базиса. Здесь становится очевидным, что двойственность вряд ли несущественна, однако результаты о сильных сопряженных и сопряженных к (В)-пространствам, использованные здесь, элементарны, так что мы решили обсудить указанную проблему до гл. IV, несмотря на некоторые технические неудобства.
Непрерывные линейные отображенияи топологические гомоморфизмы
Если L и М — ТВП над Кии — линейное отображение (алгебраический гомомофизм) L в М, то и непрерывно на L тогда и только тогда, когда оно непрерывно в точке Ое L Действительно, если У — заданная окрестность нуля в М и U — окрестность нуля в L, такая, что ц(Д)с V, то отношение х — ye U влечет за собой и (х — у) = и (х) — и (у) е V. Следовательно, если и непрерывно в О, то оно оказывается даже равномерно непрерывным отображением относительно соответствующих равномерных структур L и М (гл. I, разд. 1).
Таким образом, если и — непрерывное отображение на L со значениями в М и М отделимо и полно, то и имеет единственное непрерывное расширение й со значениями в М на любое ТВП L, в котором L есть плотное подпространство (в частности, на пополнение L пространства L, если L отделимо). Легко видеть, что й линейно. Мы дополним эти простые факты утверждением в терминах полунорм.
Пусть топологии на L и М локально выпуклы и У — семейство пред норм, порождающее топологию L. Тогда линейное отображение и: L—>M непрерывно в том и только том случае, когда для любой непрерывной преднормы q на М найдется такое
конечное подмножество {pt: Z = 1, ..., п} из 9 и такое число с>0, что q [и (х)] < с sup pi (х) для всех хе!..
i
Доказательство. Условие необходимо. Пусть У —окрестность нуля (z/: q (z/) ^ 1}, где q — заданная непрерывная преднорма на М. Так как и непрерывно и 9 порождает топологию L (гл. II, разд. 4), найдутся окрестности нуля и4 = {х: р£(х)^.Е£] (е;>0, pte!?; / = I, ..., п), такие, что u^Q(7£^cV. Следовательно, если положить е = min еь то из отношения sup р£ (х) ^ е следует,
I i
что и(х)еУ; таким образом, (?[и(х)]^1. Ясно, что q [и (х)] ^е-1 sup pt^ для всех хе!..
Условие достаточно. Пусть У —заданная выпуклая окрестность нуля в М. Тогда ее функционал Минковского q является непрерывной преднормой на М. Так что если q [и (х)] ^ с sup р£ (х), где с>0 и p£e9^i= 1, ..., /г), то отсюда следует, что для окрестности нуля U = {х: cpz(x)^l; Z = 1, ..., п^ в L имеет место включение и (U) с У.
Следствие. Если и — линейное отображение нормированного пространства (L, ||||) в нормированное пространство (Л4, || ||), то и непрерывно в том и только том случае, когда || и (х) || ^ с|| х || для некоторого с>0 и всех xeL.
Непрерывное линейное отображение L в М, где L и М — ТВП над К, называется топологическим гомоморфизмом (или просто гомоморфизмом, когда это не вызывает путаницы), если для всякого открытого подмножества G cZ, образ и (G) является открытым подмножеством в и(Е) (в топологии, индуцированной М). Примерами топологических гомоморфизмов являются для любых подпространств Н и N в L каноническое (фактор) отображение Ф: L^-LIN и естественное вложение T: H->L. С помощью этих двух отображений всякое линейное отображение и; L—>M может быть «канонически» представлено в виде
L - ф> L/N —* и (L) М.
Здесь М = и-1 (0) —нуль-пространство и и и0 — алгебраический изоморфизм, сопоставляющий классу эквивалентности Z в L по модулю N общий образ и (х) (х е £) элементов этого класса при отображении и. Следовательно, и = ^ ° и0 ° Ф, и мы будем называть биективное отображение и0 ассоциированным с и.
Мы оставляем читателю доказательство того, что и — открытое отображение тогда и только тогда, когда и0 открыто, и и — непрерывное отображение тогда и только тогда, когда и0 непрерывно.
Пусть L и М — ТВП и и —линейное отображение L в М- Тогда следующие утверждения эквивалентны:
и — топологический гомоморфизм;
для всякого базиса U окрестностей нуля в L и (II) есть базис окрестностей нуля в и (L);
отображение и0, ассоциированное с и, является изоморфизмом.
Доказательство. (а)=ф(Ь): Так как и открыто, то любой элемент из u(U) является окрестностью нуля и и (U) — базис окрестностей нуля в иЩ, поскольку и непрерывно. (Ь) =ф(с): Так как Ф(Ц)~ базис окрестностей нуля в L/N, N = u-1^, то для всякого базиса окрестностей нуля в L/N и0 обладает свойством (Ь) и, следовательно, является изоморфизмом, (с)=ф(а): Так как Ф, щ, V непрерывны и открыты, то таким же будет и = W ° щ ° Ф и, следовательно, и — топологический изоморфизм.
Пусть и —линейное отображение L, образ которого является конечномерным хаусдорфовым ТВП. Тогда следующие утверждения эквивалентны:
и непрерывно;
и""1 (0) замкнуто в L;
и — топологический гомоморфизм.
Доказательство. (а)гф(Ь): Так как u(L) хаусдорфово, то {0} замкнуто и, следовательно, и~’(0) замкнуто, если и непрерывно. (Ь)гф(с): Если и-1 (0) замкнуто, то Lju^'' (0) — хаусдорфово ТВП конечной размерности и, следовательно, в силу (I, 3.4) «0 — изоморфизм. Из (1.2) следует, что и — топологический гомоморфизм.
Импликация (с)=ф(а) очевидна.
Следствие. Всякая непрерывная линейная форма на ТВП является топологическим гомоморфизмом.
Этот факт был неявно использован в доказательстве (11,9.1).
Теорема Банаха о гомоморфизме
Из (1.3) следует, что всякое непрерывное линейное отображение с конечномерным отделимым образом является топологическим гомоморфизмом. Возникает вопрос: насколько велик класс ТВП, для которых верно, что непрерывное линейное отображение автоматически открыто (т. е. является гомоморфизмом)? Мы увидим, что это верно для всякого отображения одного пространства Фреше на другое и в некоторых более общих случаях. Более глубокое изучение этого явления мы излагаем в разд. 8, гл. IV. Сначала
мы приведем (2.1) классический результат Банаха ([1], гл. III, теор. 3). Для доказательства нам понадобится следующая лемма.
Пусть L, М — метрические ТВП, метрики которых d, д определяются псевдонормами (гл. I, разд. 6): d (xb х2) = | X] — х21 и д (у,, у2) = I У\ — Уч I- Обозначим через 5г = {хеЛ: |х|^Д и S ={jeM: |z/Kp} соответственно замкнутые шары с центром в 0 и радиусами г, р.
Лемма. Пусть L полно и и — непрерывное линейное отображение L в М, удовлетворяющее условию.
(Р): Для всякого г>0 существует р = р(г)>0, такое, что u(Sr)oSp. Тогда u(St)oSp для каждого t>r.
Доказательство. Пусть фиксированы г>0 и />г. Обозначим через {гД последовательность положительных вещественных чисел, такую, что гх = г и ^гп = 1. Пусть, далее, {рД —стремя- 1 щаяся к нулю последовательность положительных чисел, такая, что р) = р и для каждого «е N число р„ удовлетворяет условию и (SrJ Spn. Мы должны для всякого у е Sp установить существование 2 Е Sb ДЛЯ которого U (z) = у.
Определим по индукции последовательность (х„: « = 0, 1, .. Д, такую, что для всех «^ 1:
I хп-хп_х |<гп,
| и{хп)-у Kp„+J.
Пусть х0 = 0, и предположим, что хь х2, ..., хк_х уже выбраны так, что они удовлетворяют условиям 1) и 2) (й^1). В силу свойства (Р) множество и (xft_1 + Sr^ плотно в и(х6_,) + 5р . Из 2) мы заключаем, что у е и (x^-J + Sp^. Следовательно, найдется хк, удовлетворяющий условиям | хк — хк_х I ^г& и | и (хД — z/1 ^ pfe+1.
. Так как ряд 2 гп сходится, (хД является последовательностью 1
Коши в полном пространстве L и, значит, сходится к некоторому ?,gL Очевидно, |z|^Z, а равенство u(z) = y следует из непрерывности и и из 2), так как в качестве р„ мы взяли стремящуюся к нулю последовательность.
Все остальные доказательства этой главы (за исключением (2.1)) в равной степени относятся к топологическим векторным пространствам L над произвольным недискретным нормированным полем К (гл. I). Следующее замечание также может оказаться полезным. Бэровское пространство есть по определению топологическое пространство, в котором всякое непустое открытое подмножество является множеством второй категории. Отсюда следует, что всякое ТВП L над К, которое есть множество второй категории
в себе, является бэровским пространством. Противное означало бы, что существует непустое открытое подмножество первой категории в L и, следовательно, окрестность нуля U в L с этим свойством. Так как L является счетным объединением гомотетичных образов U (и, следовательно, множеств первой категории), то мы приходим к противоречию.
Теорема. Пусть L и М —полные метризуемые ТВП и и — непрерывное линейное отображение L, образ которого плотен в М. В этом, случае либо иЩ — множество первой категории в М, либо u(L} = М и и — топологический гомоморфизм.
Доказательство. Предположим, что и (£) —множество второй категории в М. Как и в предыдущей лемме, можно в силу (1,6.1) считать, что топологии в пространствах L и М порождаются псевдонормами; мы будем продолжать пользоваться обозначениями леммы. Семейство [Sr: г>0} образует базис окрестностей нуля в L. Для фиксированного г положим U = Sr, V = Sm. Тогда V + V с U и u(L) = Unu(V), поскольку V радиально. Обо- 1_
значим замыкание множества А в и^ через [Д]~. Так как по предположению u(L) — бэровское пространство, найдется mN, такое, что [ни (У)] содержит внутреннюю точку. Следовательно, и [и (У)] содержит внутреннюю точку в силу (1,1.1). Далее,
[и (У)Г + [и (У)]- с [и (У) + и (У)]- = \и (У + У)]- с [и ([/)]".
Таким образом, [и (Д)]~ — окрестность нуля в u(L), так как 0 —внутренняя точка по отношению к [и (У)] + [и(У)] . Следовательно, найдется р > 0, такое, что и (L) Л Sp с [и ({/)] , и из доказанной выше леммы следует, что u(L) Л Sp с и (Sr+e) для всякого е>0. Таким образом, (u(S/)r / > 0} является базисом окрестностей нуля в и^Ь\ следовательно, в силу (1.2) и будет топологическим гомоморфизмом. Поэтому н0 есть изоморфизм пространства Щи~} (0), которое полно, согласно (1,6.3), на u \L\ откуда следует что и(L)= М.''
Следствие 1. Непрерывное линейное отображение и полного метризуемого ТВП L в другое такое же пространство М является топологическим гомоморфизмом в том и только том случае, когда множество и (L) замкнуто в М.
Доказательство. Необходимость условия видна сразу, так как и^, будучи изоморфно L/u~’(0), полно и, следовательно, замкнуто в М. Обратно, если образ u(L) замкнут в М, то u(L) полно и метризуемо и, следовательно, может заменить М в (2.1).
Следствие 2. Пусть L — полное метризуемое ТВП относительно каждой из двух топологий 2^ и $2, и пусть ^ сильнее $2. Тогда топологии Tj и 22 фактически совпадают.
Это немедленно вытекает из следствия 1, так как тождественное отображение (Л, 2J на (L, $2) непрерывно.
Следствие 3. Если полное метризуемое ТВП L является прямой алгебраической суммой двух замкнутых подпространств М и N, то эта сумма будет топологической-. L = M^N.
Доказательство. Так как М и N полны и метризуемы, то это же верно для М X N. Отсюда следует, что непрерывное отображение (хь х2)—>х1 + х2 пространства М X N на L является изоморфизмом (гл. I, разд. 2).
С помощью уже имеющихся у нас методов мы можем распространить следствие 1 на несколько более широкий класс пространств, чем полные метризуемые. Следующее обобщение дано Дьедонне и Шварцом [1].
Пусть Е — локально выпуклое пространство типа (LF) и F — локально выпуклое пространство типа (F) или (LF). Тогда всякое непрерывное линейное отображение и пространства Е на F является топологическим гомоморфизмом.
Доказательство. Пусть E^lim£„—пространство типа (LF) и F = lim Fn также (Ер)-пространство. Случай, когда F есть пространство Фреше, может формально быть включен в доказательство, если положить Fn = F (иеМ). Для всех m, reN положим Gmrt = Ет П и-1 (Fn); Gmn полно как замкнутое подпространство Ет.
Так как u(£) = FM и и (Gm„) = и(Ет) П Fn, то (J u(Gmn) = Fn для m=l
всякого фиксированного п. Так как Fn — бэровское пространство, найдется такое т0 (зависящее от п\ что iz (Gmon) — множество второй категории в Fn. Из (2.1) следует, что u(Gmon) = Fn. Если U — произвольная окрестность нуля в Е, то U f| Gm„n — окрестность нуля в Gm„n в силу (II, 6.4). Следовательно, подмножество «(GnGmon) является окрестностью нуля в Fn и тем более и (U) П Fn — окрестность нуля в Fn. Так как это верно для всех reN, то отсюда следует, что и (G) — окрестность нуля в F и, стало быть, « — топологический гомоморфизм.
Другим прямым следствием теоремы Банаха (2.1) является следующий часто используемый результат, называемый теоремой о замкнутом графике, '
Теорема. Пусть L и М —полные метризуемые ТВП. Тогда линейное отображение L в М непрерывно в том и только том случае, когда его график замкнут в L X М.
Доказательство. Напомним, что график отображения и — это подмножество G = {(х, и (х)): х е L) произведения L X М. Ясно, что если и непрерывно, то G замкнуто в L X М. Обратно, если G замкнуто, то оно является (поскольку и линейно) полным метризуемым подпространством в L X М. Отображение (х, м(х))->х пространства G на L взаимно однозначно, линейно, непрерывно и, следовательно, является изоморфизмом в силу (2.1).
Отсюда следует, что х->(х, и(х)) непрерывно, а значит, и и непрерывно по определению топологии произведения L X М.
Пространства линейных отображений
Пусть F — векторное пространство над К, Т — множество и 6 — семейство подмножеств Т, направленное по теоретико-множественному включению с. (Всякий раз в дальнейшем символ 6 будет обозначать семейство множеств с этим свойством.)
Подсемейство 6j cz 6 фундаментально (относительно 6), если оно конфинально в ^ относительно введенной там упорядоченности (т. е. если всякое множество из 6 содержится в некотором множестве из 6J. Рассмотрим векторное пространство FT — произведение Т (более точно, множества card Г) экземпляров F. Как множество, FT представляет собой семейство всех отображений Т в F. Предположим, кроме того, что F — ТВП и 23 — базис окрестностей нуля в F. Если S пробегает 6 и V пробегает 23, то семейство
M(S, K) = {f: f(S)cK} (*)
будет базисом окрестностей нуля для единственной инвариантной относительно сдвигов топологии, называемой топологией равномерной сходимости на множествах Sec или, короче, S-топологией. Если E3cz Ei П К2 и SjU^czSg, то M(S3, V3) содержится в Af(Sb Е^ПЛЦ^, 1/2). Следовательно, множества (*) образуют базис фильтра в FT, который обладает тем дополнительным свойством, что M<S, 1/) + М(3, E)cA1(S, U\ если VFVcU. В формуле (*) семейство 6 можно, очевидно, заменить любым фундаментальным подсемейством; заметим также, что 6-топология не зависит от специального выбора базиса окрестностей нуля 23 в F. Теперь мы займемся вопросом: при каких условиях FT или подпространство GcFT будет ТВП в данной 6-топологии?
Векторное подпространство GeFt является ТВП в ^-топологии в том и только том случае, когда для каждых jeG и S е 6 множество / (S) ограниченно в F.
Доказательство. Множества М (S, У) f) G (S е®, Ее 23) образуют базис фильтра окрестностей нуля в топологии $, индуцированной на G S-топологией. Мы будем также обозначать эти множества через М (S, У), подразумевая, что теперь М (S, У) = = ))еС: f^czE}. Для того чтобы (G, 2) было ТВП, необходимо и достаточно, согласно (1,2.2), чтобы фильтр окрестностей нуля имел базис, состоящий из радиальных и закругленных подмножеств, так как из замечания, сделанного выше, следует, что условие (а) из (1,1.2) выполнено. Так как М (S, ZV) = ХМ (5, У) для каждого X N= 0, то М (S, У) закруглено, если V закруглено; итак, пусть 23 состоит из закругленных множеств.
Предположим теперь, что для каждого SeS и f е G множество f(S) ограниченно в F. Тогда для заданных f, S и V найдется Х>0, такое, что feM(S, XV) = ХМ (8, V); отсюда следует, что множество М (S, У) радиально. Обратно, если X — топология векторного пространства на G, каждое M(S, V) радиально; таким образом, для данных f, S и V существует такое Х>0, что feXM^S, V) = M(S, W). Следовательно, f(S)czXV, откуда видно, что f(S) ограниченно в F.
Пусть F — локально выпуклое пространство, Т —топологическое пространство и S — семейство подмножеств Т, объединение которых плотно в Т. Тогда если G — подпространство FT, элементы которого непрерывны на Т и ограниченны на каждом S е S, то G — локально выпуклое пространство в ^-топологии.
Доказательство. Если 23 —базис окрестностей нуля в F, состоящий из выпуклых множеств, то любое М (S, Е) выпукло. Следовательно, в силу (3.1) S-топология локально выпукла. Остается показать, что S-топология хаусдорфова. Пусть [ЕС и f^O. Так как f непрерывно и U{S: SezS} плотно, найдется toGaSoeS>, такое, что f(to)=#O. Так как F — хаусдорфово пространство (гл. II, разд. 4), для некоторого Ео е У мы имеем f(Z0)^E0. Отсюда следует, что f^.M(S0, Ео) и, значит, S-топология на G хаусдорфова.
Если Т само является ТВП и каждое SeS ограниченно, a G — векторное пространство непрерывных линейных отображений в F, то допущение, что каждое Ц5) ограниченно, автоматически выполняется в силу (I, 5.4) и для (3.2) достаточно, чтобы линейная оболочка множества U{S: SeS} была плотна в F.
Удобно иметь для этого специальный термин. Подмножество ТВП L называется тотальным на L, если его линейная оболочка плотна в L. С помощью этого понятия мы получаем из (3.2)
Следствие. Пусть Е — ТВП, F — ЛВП и <3 — семейство ограниченных подмножеств Е, объединение которых тотально в Е.
Тогда векторное пространство 3(Е, Г) всех непрерывных линейных отображений Е в F является локально выпуклым пространством в ^-топологии.
Пространство 3 (Е, F), наделенное S-топологией, часто обозначается через Зг)Е, F\ Без ограничения общности можно считать, что Е отделимо, так как если ^ — хаусдорфово ТВП, ассоциированное с Е (гл. I, разд. 2), то 3 (Е, F) алгебраически изоморфно 3 (Ео, F) (упр. 9). Более того, если Е хаусдорфово и F полно, то 3 (Е, F) алгебраически изоморфно 3 (Е, F), где Е обозначает пополнение Е.
Позднее мы увидим, что всякая локально выпуклая топология на векторном пространстве Е является S-топологией, где 5 — некоторое семейство подмножеств алгебраического сопряженного Е* (гл. IV, разд. 1).
Примеры. 1. Пусть Т — заданное множество, F — некоторое ТВП и © — семейство всех конечных подмножеств Т. В ©-топологии пространство Рт изоморфно топологическому произведению Т экземпляров F.
Пусть Т — хаусдорфово топологическое пространство, F — ЛВП и © — семейство всех компактных подмножеств Т. Тогда в ©-топологии (называемой топологией компактной сходимости) пространство всех непрерывных £-значных функций на Т локально выпукло.
Пусть Е — ЛВП над К с сопряженным Е'. Тогда слабое сопряженное (£', а (£', £))—это пространство 3 (Е, Ко) в S-топологии, где © — семейство всех конечных подмножеств Е.
Пусть Е, £ —ЛВП. Следующие ©-топологии на 3 (Е, F) имеют особое значение:
топология простой (или поточечной) сходимости: ® — семейство всех конечных подмножеств Е;
топология выпуклой закругленной компактной сходимости: © — семейство всех выпуклых закругленных компактных подмножеств Е;
топология предкампактной сходимости: © — семейство всех предком- пактных подмножеств £;
топология ограниченной сходимости: © — семейство всех ограниченных подмножеств Е.
Семейства 6 в предшествующих примерах обладали тем свойством, что объединением множеств, входящих в S, является Е. В таких случаях говорят, что 6 покрывает Е.
Семейство 6 =# {0} ограниченных подмножеств ЛВП Е называется насыщенным, если: 1) оно содержит все подмножества любого из своих членов, 2) оно содержит скалярные кратные любого из своих членов и 3) оно содержит замкнутую выпуклую закругленную оболочку объединения любого своего конечного подсемейства. Так, семейства S в примерах 4(c) и 4(d) насыщенны, а в 4(a) и 4(b) ненасыщенны (кроме случая Е = {0}). Так как семейство всех ограниченных подмножеств S насыщенно и пересечение любого непустого объединения насыщенных семейств насыщенно, то любое заданное семейство 6 ограниченных множеств
в Е определяет наименьшее насыщенное семейство S, содержащее его; семейство S называется насыщенной оболочкой S. Если пространства Е и F локально выпуклы, то ясно, что для всякого семейства S ограниченных подмножеств Е S-топология и S-топология совпадают на $ ^Е, Е) (упр. 7).
Дополняя следствие (3.2), мы заметим, что если {ра: а е А} — семейство преднорм, порождающее топологию F, то семейство преднорм
u-> Ps. а(«) = sup ра[и(х)] (SeS, а GE А)
хеЗ
порождает S-топологию на SE (Е, F). В частности, если Е и F — нормированные пространства, то норма
и = || и || = sup {И и (х) ||: || х || ^ 1}
порождает топологию ограниченной сходимости на 3 (Е, F) (см. гл. II, разд. 2).
Возвращаясь к более общей постановке, предположим, что Е и F — хаусдорфовы ТВП над К. Пусть S — (направленное) семейство ограниченных подмножеств Е и $(Е, F) — векторное пространство над К, образованное всеми непрерывными линейными отображениями Е в F. Займемся подмножествами 3 (Е, F), ограниченными в S-топологии.
Пусть Н — подмножество $ (Е, F). Следующие утверждения эквивалентны;
Н ограничено в ^-топологии;
для любой произвольной окрестности нуля V в F пересечение 1(V) поглощает любое SeS;
иен
для всякого S eS объединение (J и (S) ограниченно в F.
иен
Доказательство, (а) =ф(Ь): Мы можем считать, что V закруглено. Если множество Н ограниченно, то оно поглощается любым М (5, Е). Следовательно, и (S) cz XV для всех и ge Н и некоторого Х>0, откуда вытекает, что S ст X Q и-1 (Е). (Ь)=ф(с): и^Н
Если заданы SeS и закругленная окрестность нуля V в Е, то включение ScX Q и~‘(V) влечет за собой включение u(.S) cl XV йен
для всех и ge Н. Следовательно, (J и (S) ограниченно в F. (с)=ф(а): иен
Для данных S и V существует такое X, что из справедливости при всех и ge Н включения и(£)с:ЛУ вытекает Н ст ХМ (S, V). Следовательно, Н ограниченно в S-топологии.
Подмножество $ (Е, F) называется поточечно ограниченным, если оно ограничено в топологии простой сходимости (см. примеры 1 и 4 выше). Важно иметь условия, при которых поточечно ограниченные подмножества будут ограничены в более сильных S-топологиях, на $ (Е, F).
Пусть Е, F — ЛВП м S — семейство всех выпуклых закругленных подмножеств Е, которые ограниченны и полны. Тогда всякое поточечно ограниченное подмножество $ (Е, F) будет ограниченно и в ^-топологии.
Доказательство. Если Н поточечно ограниченно в $ (Е, F) и V — замкнутая выпуклая закругленная окрестность нуля в F, то D = Q и-1 (1/) будет замкнутым выпуклым закругленным и Н
подмножеством Е, которое радиально, согласно (3.3), (6), и, значит, является бочкой. Таким образом, в силу (11,8.5) D поглощает любое S eS, что означает, опять-таки ввиду (3.3), что множество Н ограниченно в S-топологии.
Следствие. Если Е и F — ЛВП и Е квазиполно, то соответствующие семейства ограниченных подмножеств в SE (Е, F) совпадают для всех ^-топологий, таких, что S — семейство ограниченных множеств, покрывающее Е.
Доказательство. Если Е квазиполно, то семейство S из (3.4) является фундаментальной системой ограниченных множеств в Е. Другими словами, S-топология из (3.4) является топологией ограниченной сходимости. Теперь утверждение очевидно.
Равностепенная непрерывность.
Принцип равномерной ограниченностии теорема Банаха — Штейнгауза
Пусть Т — топологическое пространство и F — равномерное пространство. Множество Н a FT называется равностепенно непрерывным в точке toeT, если для всякого окружения NclFxF существует окрестность U (t0) точки t0, такая, что [/(/), НТоА—^, когда t g= U (^о) и [еН. Множество Н равностепенно непрерывно, если оно равностепенно непрерывно в каждой точке teT. Если Т также равномерное пространство и если для всякого окружения N в F существует окружение М в Т, такое, что из (^, t^ ge М следует [f (О, f (У1 е N для всех f е Н, то Н называется равномерно равностепенно непрерывным семейством. Сразу ясно, что если Т = Е — ТВП и F — ТВП, то множество Н линейных отображений Е в F будет равномерно равностепенно непрерывным [относительно единственных, инвариантных относительно сдвигов равномерных структур,
ассоциированных с топологиями Е и F соответственно (гл. I, разд. 1)] в том и только том случае, когда Н равностепенно непрерывно в точке 0е£, т. е. в том и только том случае, когда для всякой окрестности нуля V в F существует такая окрестность нуля U в Е, что ДДсД для всех и е Н. Разумеется, всякое равностепенно непрерывное множество линейных отображений Е в F является подмножеством S' (Д, Г).
Как и прежде, мы будем через S' (Е, F) обозначать пространство всех непрерывных линейных отображений Е в F (Е и F— хаусдорфовы ТВП над одним и тем же полем К) и через З^^Е, F) — то же самое пространство в S-топологии, где S — (направленное) семейство ограниченных подмножеств Е, объединение которых тотально в Е. Наконец, символом 1ДЕ, F) будем обозначать векторное пространство всех линейных отображений (непрерывных или нет) пространства Е в F.
Доказательство следующего утверждения совершенно аналогично доказательству (3.3) и может быть опущено.
Пусть Н — подмножество 3(Е, F). Тогда следующие утверждения эквивалентны;
Н равностепенно непрерывно;
для всякой окрестности нуля V в F пересечение Q м-1 (V) иен является окрестностью нуля в Е;
для всякой окрестности нуля V в F существует окрестность нуля U в Е, такая, что (J u^U^V.
и^ Н
Из (4.1), (Ь) следует (3.3), (Ь). Отсюда имеем:
Следствие. Всякое равностепенно непрерывное подмножество 3? (Е, F^ ограниченно в любой ^-топологии.
Обращение этого следствия неверно (упр. 10), но существует важный случай, когда даже поточечно ограниченные подмножества 2 (Е, F) всегда равностепенно непрерывны.
Теорема. Пусть Е, F — ЛВП, такие, что Е бочечно, или же Е, F — ТВП, такие, что Е бэровское. Тогда любое поточечно ограниченное подмножество И пространства $ (Е, F) равностепенно непрерывно.
Доказательство. Мы дадим доказательство сначала для случая, когда пространство Е бочечно, a F — произвольное ЛВП. Если V — любая замкнутая выпуклая закругленная окрестность нуля в F, то W = Q «""ДЕ) есть замкнутое выпуклое закруглен- и е Н
ное подмножество Е, которое в силу (Ь) из (3.3) поглощает конечные
подмножества Е. Поэтому W — бочка и, следовательно, окрестность нуля в Е, так что Н равностепенно непрерывно согласно (4.1), (Ь).
Пусть Е — бэровское пространство, F — произвольное ТВП и V — заданная окрестность нуля в Г. Выберем замкнутую закругленную окрестность нуля Vi, такую, что V] + Vt cz V. Согласно (3.3), (Ь), пересечение W = Q и-1 (1^) представляет собой замк- иен
нутое закругленное радиальное подмножество Е, так что Е = U nW. i
Так как Е — бэровское пространство, по крайней мере одно из nW должно содержать внутреннюю точку. Следовательно, W должно содержать внутреннюю точку и множество U = W + W является окрестностью нуля в Е. Из «(№)<= Vt следует u^U^cl V для всех и е Н, что доказывает равностепенную непрерывность ^подмножества Н.■
Непосредственным следствием доказанной теоремы является следующий классический результат Банаха и Штейнгауза [1], известный как принцип равномерной ограниченности.
Следствие. Пусть Е и F — нормированные пространства и Н — подмножество 3(Е, F), такое, что sup {|| и (х) ||: ыеЯ) конечен для каждого хеМ, где М — множество второй категории в Е. Тогда sup {|| и ||: иеН^<оо.
Доказательство. Линейная оболочка Ем множества М, которая, очевидно, плотна в Е и является бэровским пространством (так как М — множество второй категории в Е), обладает тем свойством, что Но поточечно ограничено в 3 (Ем, F)\ здесь Но — множество, полученное сужением всех и е Е на Ем. Следовательно (в силу 4.2), множество Нй равностепенно непрерывно и, таким образом, ограничено по норме в S' (^Ем, F). Далее, так как единичный шар Ем плотен в единичном шаре Е, отображение и->и0 (и0 — сужение и е 3 (Е, F) на Ем) является изометрическим изоморфизмом пространства 3 (Е, F) в З^Е^ЕУ Следовательно, Н ограничено по норме, как и утверждалось.
Прежде чем доказывать теорему Банаха — Штейнгауза в наиболее общем виде (см. ниже 4.6), мы накопим дальнейшую информацию о равностепенно непрерывных множествах, которая нам понадобится также в гл. IV. Заметим, что подпространство L (Е, F) a FE замкнуто в FE в топологии поточечной сходимости [которая является топологией произведения Е экземпляров пространства F (разд. 3, пример 1)]: так как F предполагается хаусдорфовым и так как отображение /—>/(х) пространства FE в F непрерывно для каждого хеЕ, то множество
М (х, у, X, ц) = {/ е FE; f &х + pz/) - V (х) - pf (у) = 0}
замкнуто для любой фиксированной четверки (х, у, X, р) и [ДЕ, F) = = f] М (х, у, X, р), где пересечение берется по всем (х, у, X, р) из Е X Е X К X К.
Пусть подмножество Нс$(Е, F) равностепенно непрерывно, Нх—замыкание Н в FE в топологии простой сходимости. Тогда Hxd $ (Е, F) и Нх равностепенно непрерывно.
Доказательство. Если их е Нх, то щ е L (Е, F) в силу предыдущего замечания. Так как Н равностепенно непрерывно, то существует окрестность нуля U в Е, такая, что для всех ие.Н имеем u^U^dV, где V — заданная окрестность нуля F, которая может быть без ограничения общности предполагаться замкнутой. Из непрерывности отображения f-*f(x) пространства FE в F мы заключаем, что их (х) е V для всех ихгНх и xeU. Таким образом, Нх равностепенно непрерывно в $ (Е, F).
Комбинируя это утверждение с теоремой Тихонова о произведении компактных пространств, мы получаем следующий хорошо известный результат, известный как теорема Алаоглу — Бурбаки.
Следствие. Пусть Е — ТВП с сопряженным Е'. Тогда всякое равностепенно непрерывное подмножество Е' относительно компактно в топологии а (Е', Е).
Доказательство. Слабая топология о (Д', £) —это топология простой сходимости на Е' = ЗДЕ, КД и, следовательно, она индуцируется топологией произведения Ко. В силу теоремы Тихонова подмножество Н d Ко относительно компактно, если (и только в этом случае) для каждого хеЕ подмножество {f (х): }еД относительно компактно в Ко- Если теперь Н d Е' равностепенно непрерывно, то в £ существует окрестность нуля U, такая, что |м(х)|^1 для всех ueH и хеЕ.
Для всякого х,,еЕ существует Л>0, такое, что Хх0 е U и, следовательно, | и (х0) | ^Д1 для всех и е Н. Значит, замыкание Нх множества Н в КЕ компактно. Но так как Hxd Е' в силу (4.3), то Нх совпадает с замыканием Н множества Н в (Е', а^Е', £)) и Н слабо компактно, т. е. теорема доказана.
Если F квазиполно и S покрывает Е, то любое замкнутое равностепенно непрерывное множество полно в ЗЕДЕ, F).
Доказательство. Пусть множество Н d ЗД (Е, F) замкнуто и равностепенно непрерывно. Если 8— фильтр Коши на И, то он тем более является фильтром Коши относительно равномерной структуры, ассоциированной с топологией простой сходимости. Следовательно, для всякого хеЕ множества {Ф(х): Фе8) огра-
ниченны и образуют базис фильтра Коши в F (поскольку Н ограниченно и и—> и (х) линейно и непрерывно). Так как F — квазиполное пространство, то этот базис фильтра сходится к некоторому элементу uJx'ieF и в силу (4.3) отображение х ->щ(х^ принадлежит 3 (Е, F\ Кроме того, поскольку 8 — фильтр Коши в 3-топологии, существует Ф е у, такое, что и (х) — у (х) е V для всех и е Ф, о е Ф и х е S, где S — элемент 3 и окрестность нуля V в F выбрана заранее. Следовательно, если множество V замкнуто, то и (х) — щ (х) g= V для всех иеФ и всех xeS; отсюда получаем равенство и^НтЗ в 3-топологии.
Следствие. Если пространства Е и F удовлетворяют условиям (4.2) и F квазиполно, то 2?© (Е, F) квазиполно для любой ^-топологии, такой, что 3 покрывает Е.
Относительно других условий, обеспечивающих для некоторых S-топологий квазиполноту или полноту S® (£, F), см. упр. 8.
Пусть Н — равностепенно непрерывное подмножество $ (Е, F). Тогда совпадают сужения на Н следующих топологий1.
топологии простой сходимости на тотальном подмножестве пространства Е;
топологии простой сходимости (на Е)-,
топологии пред компактной сходимости.
Доказательство. Каждая из последующих топологий в данном списке сильней предыдущей. Результат будет установлен, если мы сможем показать, что сужение на Н топологии 1) сильнее, чем сужение топологии 3). Пусть А — тотальное подмножество Е. Мы должны показать, что для всякого элемента uQ g Н, окрестности нуля V в F и предкомпактного множества S <= Е найдутся конечное подмножество So ст Л и окрестность нуля Ко в F, такие, что
[«о + М (So, Ко)! П Н (= и0 + М (S, V);
обозначения здесь те же, что и в разд. 3.
Выберем окрестность нуля W в F, такую, что W+W+W + + W + IF с V, и закругленную окрестность нуля U в Е, такую, что ty(i7)clK для всякого weH. Так как множество S(#=0) предкомпактно, найдутся элементы yt е S (/=1, ..., т), такие, что S cr(J(yi+[7). Поскольку линейная оболочка А плотна в Е.
то существуют (в предположении, что 5^{0}) элементы х^еА
m
и скаляры ХИ (1=Хm; j — 1п\ такие, что yt g= 2 ^ijxij + U.
Отсюда следует, что m / п с U 2 Wn + и + и 1=1\/=1
Выберем закругленную окрестность нуля Уо в F, такую, что 2(^ijVo) ^ W, и обозначим через So конечное множество ii
{хц: z = 1т; /= 1, ..., /г). Если и е М (So, 1/0), то и (хи) е= Уо для всех z, / и
т п
у(5)<= (J 2(^/Е0) + у(^) + у(П)ссГ + у(П) + у(П).
< = 1 /-1
Пусть теперь у0 е Н и w е Н Л [«о + М (So, Vo)]. Тогда w = u0 + u, где у е Л4 (So, Йо). Так как у = w — и0, то у (U) с w (U) + и0 (t/) с cz IF + W, поскольку U закруглено. Таким образом, у (S) с V, w = м0 + у е м0 + М (S, F), и доказательство завершено.
Предыдущие результаты дают возможность доказать теорему Банаха — Штейнгауза в существенно обобщенном виде (см. Бурбаки [8], гл. III). Для краткости мы назовем фильтр 8 на ТВП Е ограниченным, если 5 содержит ограниченное подмножество пространства Е.
Теорема. Пусть Е, F — ЛВП, такие, что Е бочечно, или же пусть Е, F — ТВП, такие, что Е бэровское. Тогда если фильтр 5 в $ (Е, F) ограничен в топологии простой сходимости и сходится в этой топологии к отображению их е FE, то ихг$ (Е, F) и 8 сходится к их равномерно на каждом предкомпактном подмножестве пространства Е.
Доказательство. Пусть Ф — элемент 8, ограниченный в топологии простой сходимости. В силу (4.2) множество Ф равностепенно непрерывно. Если Ф1 обозначает замыкание Ф в FE, то их е Ф] по предположению; согласно (4.3), множество Ф1 содержится в 3 (Е, F) и равностепенно непрерывно. Так как в силу (4.5) топологии простой сходимости и предкомпактной сходимости совпадают на Фи теорема доказана.
Теорема применима, в частности, к такой последовательности {иД, для которой {«„(%)} при любом хеЕ представляет собой последовательность Коши в F, если F квазиполно.
Более того, она применима к случаю, когда 8 ~ фильтр (не обязательно ограниченный) со счетной базой (упр. 11).
Следующее следствие является дальнейшим расширением классической теоремы (см. Банах [1], гл. V, теорема 3—5).
Следствие. Пусть Е, F — банаховы пространства и М ст Е — подмножество второй категории в Е. Тогда если {иД ст З7 (£, F) —
такая последовательность, что {ип(х)} — последовательность Коши в F для всякого хеМ, то {ип) сходится к элементу иг $ (Е, F) равномерно на всяком компактном подмножестве Е.
Доказательство. Пусть Ем — линейная оболочка М. Ем — подпространство второй категории в Е и, значит, бэровское пространство. Обозначим через йп сужение ип на Ем (п г N). Из (4.6) следует, что limun(x) = ы(х) для всех хгЕм, где йг2?^Ем, F). В силу следствия из (4.2) последовательность {ип} ограничена по норме в $ (Е, F) и, следовательно, равностепенно непрерывна, так что, если мы обозначим через и единственное непрерывное продолжение й на Е, то множество Н = (м„: п г N} U {и} остается равностепенно непрерывным. Из (4.5) следует теперь, что ип сходится к и равномерно на каждом предкомпактном (или, что то же самое, поскольку Е полно, на каждом компактном) подмножестве Е.
Завершая этот раздел, мы дадим условия, при которых всякое равностепенно непрерывное множество Н г$ (Е, F) метризуемо и сепарабельно. Напомним, что метрическое пространство обладает счетным базисом открытых множеств тогда и только тогда, когда оно сепарабельно.
Пусть подмножество Нс2?(Е, F) равностепенно непрерывно, Е сепарабельно и F метризуемо. Тогда сужение на Н топологии простой сходимости превращает Н в метризуемое пространство. Если же, кроме того, F сепарабельно, то Н сепарабельно в этой топологии.
Доказательство. В силу (4.5) достаточно доказать теорему для сужения на Н топологии простой сходимости на тотальном подмножестве в Е. Так как Е сепарабельно, в этом пространстве имеется не более чем счетное линейно независимое и. тотальное подмножество А = {хп}. Возьмем какой-либо счетный' базис {Vm} окрестностей нуля в F, и пусть Sn = {xfe: /г^п}. Ясно,^ что множества М (Sn, Vm), (п, m) г N X N, образуют базис- окрестностей нуля в $ \Е, F) (обозначения те же, что и в разд. 3)3 в топологии простой сходимости на А. Следовательно, эта топо-' логия метризуема в силу (1,6.1) и тем же свойством обладает ее сужение на Н.
В силу замечания, предшествующего (4.7), второе утвер-- ждение будет доказано, если мы покажем, что 6-топология (6 = {Srt: neN}) на L^E, F) (которая, вообще говоря, не хаусдорфова) обладает счетным базисом открытых множеств. Для этого продолжим А до базиса В векторного пространства EA Пусть У =Цуп- га eN} —плотное подмножество в F. ОбозначимЗ через Q множество всех таких элементов и г L (F, F), что и (г) = 0: для всех z g В, кроме (быть может) конечного множества xv г А
(v = 1, ..., га), для которого и^х^ = уп ^уп } — некоторое непустое конечное подмножество У). Множество Q, очевидно, счетно и плотно в L^E, F) относительно ©-топологии. Действительно, если и s L ^Е, F) и и + М (Sn, ЕД — заданная окрестность и, то выберем н0 s Q так, что и0 W g u (х) + Vm для каждого х е Sn (это возможно, так как У плотно в РУ Отсюда следует, что иог и + M(Sn, Vm). Таким образом, если мы обозначим через M(Sn, Vm)° внутренность множества M^Sn, Em) в L^E, РУ то непосредственно видно, что счетное семейство {и + М (Sn, Em)°: mQ, (п, m) е N X N} является базисом открытых множеств в ©-топологии.
Билинейные отображения
Пусть Е, F, G — векторные пространства над К- Отображение f: EXF->G называется билинейным, если для каждого х е Е и каждого угр частные отображения fx: y—>f(x, у) и Д: х—* f (х, у) линейны. Если Е, F, G — ТВП, то нетрудно доказать, что билинейное отображение f непрерывно в том и только том случае, когда f непрерывно в точке (0, 0) (упр. 16); соответственно семейство В билинейных отображений равностепенно непрерывно в том и только том случае, когда В равностепенно непрерывно в (0, 0). Билинейное отображение f называется раздельно непрерывным, если частные отображения fx и fy непрерывны, т. е. если fx е $ (F, G) для всех х е Е и fye $ (Е, G) для всех угр. Соответственно семейство В билинейных отображений Е X F в G раздельно равностепенно непрерывно, если для любого х г Е и любого угр семейства Ух; f г В} и Уу: f г В} равностепенно непрерывны. Наконец, если G = Ко, то билинейное отображение Е X F в G называется билинейной формой на Е X F.
Следующий важный результат является частным случаем теоремы, полученной Бурбаки [8] (гл. III, § 3, теорема 3):
Теорема. Пусть Е, F — метризуемые и G— произвольное ТВП. Тогда если Е — бэровское пространство или если Е бо- чечно и G локально выпукло, то любое раздельно равностепенно непрерывное семейство В билинейных отображений Е X F в G равностепенно непрерывно.
Доказательство. В силу тождества У г В)
Цх, y)-f(x0, у^ = ^х-хй, д-^ + Цх-х», yo) + f(xo, у-у0)
и раздельной равностепенной непрерывности В достаточно доказать равностепенную непрерывность В в (0, 0). Обозначим через {ЕД, {ЕД убывающие последовательности, которые образуют
8 X. Шефер
базисы окрестностей нуля в Е и F соответственно. Тогда (U п X Vп} является базисом окрестностей нуля в Е X F. Если В не равностепенно непрерывно в (0, 0), то существовали бы окрестность нуля fо в G и последовательности {xn}, (z/J, для которых хп е U п, уп е Уп (п г N), такие, что f„ (х„, z/J й ^о ПРИ всех «, где (U - подходящая последовательность в В. Мы покажем, что это невозможно. Так как для всякого фиксированного хеЕ семейство {fx: / е В} равностепенно непрерывно, то в силу следствия из (4.1) оно ограничено в топологии компактной сходимости на $ (F, G). Таким образом", множество {fx((z/„}): (еВ) ограничено в G согласно (3.3), так как множество (уп), будучи сходящейся к нулю последовательностью в F, относительно компактно. Поэтому в силу (3.3), (с) семейство линейных отображений {x->f„(x, z/J: n е N} поточечно ограничено в S’(В, G) и, следовательно, равностепенно непрерывно в силу (4.2). Отсюда вытекает, что fn (U, у^ с Ц70 (n е N) для некоторой окрестности нуля U с Е. Но это противоречит нашему допущению, что fn(x„, y^^Wo (zieN), так как {хп}—сходящаяся к нулю последовательность в Е.
Следствие 1. В предположениях относительно Е, F, G в (5.1) всякое раздельно непрерывное билинейное отображение Е X F в G непрерывно.
Следствие 2. Дополнительно к предположениям, сделанным относительно Е, F, G в (5.1), предположим, что F — бэровское пространство или (если G локально выпукло) что F бочечно. Тогда если В — семейство раздельно непрерывных билинейных отображений EXF в G, такое, что для всякой пары (х, у) г Е X F множество У(х, у): f е В} ограничено в G, то В равностепенно непрерывно.
Доказательство следствия 1 получается применением (5.1) к семейству В, содержащему единственный элемент f.
Доказательство следствия (2) также не представляет труда, так как в силу (4.2) из сделанных предположений вытекает, что В равностепенно непрерывно.
Как показывают простые примеры (упр. 17), в общем случае раздельно непрерывное билинейное отображение не обязано быть непрерывным. Поэтому полезно ввести промежуточное понятие, тесно связанное с понятием ©-топологии. Пусть Е, F, G — ТВП, © — семейство ограниченных подмножеств Е и f — билинейное отображение Е X F в G. Отображение f называется ^-гипонепре- рывным, если / раздельно непрерывно и для каждого Se© и каждой окрестности нуля W в G найдется окрестность нуля V в F, такая, что f(SXV)c.W. В силу (4.1) это эквивалентно требованию, чтобы для всякого Se© семейства (fx: х е S) были равностепенно непрерывны. Аналогично определяется 2-гипонепре-
рывность /, где X — семейство ограниченных подмножеств F: отображение f является Х-гипонепрерывным, если для всякого Т е X семейство {fy. у е Г} равностепенно непрерывно и, кроме того, f раздельно непрерывно. Наконец, билинейное отображение (3, Т)-гипонепрерывно, если оно как ©-гипонепрерывно, так и Х-гипонепрерывно. Заметим, что раздельная непрерывность включается как частный случай в это понятие, если в качестве 5 и X взять семейства всевозможных конечных подмножеств пространств Е и F соответственно.
Если F бочечно и G локально выпукло (или же F — бэров- ское пространство), то любое раздельно непрерывное билинейное отображение f произведения Е X F в G будет Ъ-гипонепрерывно, где 8 — семейство всех ограниченных подмножеств Е.
Доказательство. Раздельная непрерывность У очевидно, эквивалентна утверждению, что линейное отображение х-*^х пространства Е в L (F, G) отображает Е в 5Е (F, G) и непрерывно в топологии простой сходимости на $(F, G). Таким образом, если В с Е ограниченно, то (fx: хеВ} поточечно ограничено в $ (F, G) и, следовательно, равностепенно непрерывно согласно (4.2). Предложение доказано.
Пусть 6, X — семейства ограниченных подмножеств Е и F соответственно и f — билинейное отображение EXF в G, где Е, F, G — ТВП. Если f является Т5-гипонепрерывным, то f непрерывно на S X F для каждого SeS. Если f является (3, Т)-гипо- непрерывчым, то f равномерно непрерывно на произведении S X Т для всякой пары S еЗ и ТеЕ.
Доказательство. Первое утверждение непосредственно следует из З-гипонепрерывности f и тождества
f(x, УН^, y0) = f(x, у — у0) + f (х — х0, уо),
примененного к х, xoeS и у, уй^Е. Чтобы доказать второе утверждение, допустим, что х, х — переменные в S, а у, // — переменные в Т. Так как f (3, Х)-гипонепрерывно, то для данной окрестности нуля И? в G найдутся окрестности нуля U, V в Е и F соответственно, такие, что f(SXV)cW и / (U X Т) cz W. Если x-xeU, у —у eV, то отсюда вытекает, что
f (х, у) -Цх, у) — f (х, y~y) + f(x~x, у) е W + W.
Следовательно, f равномерно непрерывно на S X Т.
Предыдущий результат полезен для продолжения (3, Х)-гипо- непрерывных билинейных отображений.
Пусть Е, Eb F, У7, — ТВП, такие, что Е — плотное подпространство в Е\ и F — плотное подпространство в Fv Предположим, что
6 —семейство ограниченных подмножеств Е, обладающее тем свойством, что S[ покрывает Ех, где 3] обозначает семейство замыканий в Ех всех S г^. Предположим далее, что 2 — семейство ограниченных подмножеств F, такое, что семейство замыканий 2, покрывает Fv Наконец, пусть G — квазиполное хаусдорфово ТВП. В этих предположениях имеет место следующая теорема о продолжении:
Всякое (6, ^-гипонепрерывное билинейное отображение Е X F в G имеет единственное продолжение на ЕхХ Fx (со значениями в G), которое билинейно и (6Ь Ъ^-гипонепрерывно.
Доказательство. Как и прежде (разд. 3), мы предположим, что ® и $ направлены по возрастанию „с“ (что, разумеется, не ограничивает общности). Тогда так же направлены будут и семейства (S X Л и {Sj X TJ. Так как SxT плотно в равномерном пространстве SxXTx, то сужение fS]T билинейного отображения f на SXT имеет, согласно (5.3), единственное (равномерно) непрерывное продолжение fs Г1 на St X Тх со значениями в G (так как множество f(Sx Т) ограниченно, a G квазиполно). Поскольку семейство {S] X Тх; S еб, Т е 2} направлено и покрывает ЕхХЕх, отсюда следует, что в совокупности продолжения fs г определяют продолжение f функции f на Ех X Fx. Это рассуждение показывает также, что искомое продолжение f с желаемыми свойствами необходимо единственно. Остается только показать, что f билинейно и (®ь Т^-гипонепрерывно.
Пусть задано хе^. Тогда найдется Sb такое, чтохе5ь Отображение Ф^: у->^(х, у) (ye.F^ является элементом S(F, G) в силу (4.3), так как 6-гипонепрерывность f влечет за собой равностепенную непрерывность множества (fx: х е S) в $(F, G). Далее, Ф^ имеет единственное непрерывное продолжение на Fx со_ значениями в G, которое необходимо должно совпадать с (л y-*f(x, у\ так как G отделимо (единственность предела). Следовательно, каждое f- (и в силу симметрии каждое f8) линейно и непрерывно, откуда видно, что / билинейно и раздельно непрерывно.
Так как f S-гипонепрерывно, для всякого Se2 найдется окрестность нуля V в F, такая, что ((SX^cf, где W — заданная окрестность нуля в G, которая может предполагаться замкнутой. Обозначим через Vx замыкание окрестности V в Fx (I/i — окрестность нуля в Fb см. (1,1.5)). Из раздельной непрерывности f следует, что )(6’ХИ1)сЦ7 и, повторяя прежние рассуждения, что / (^ X VJ с W. Таким образом, f будет бщгипо-
непрерывно и (в силу симметрии) 2ггипонепрерывно, что завершает доказательство.
Заметим, что если Е и G локально выпуклы, то S-гипонепре- рывное билинейное_отображение Е X F в G будет также и S-гипо- непрерывным, где ® обозначает насыщенную оболочку $ (разд. 3). Соответствующее утверждение верно и для (3, 2)-гипонепрерыв- ности.
Множество всех билинейных отображений Е X F в G — это векторное пространство В(Е, F; G), которое является подпространством GEXF. Подпространства В^Е, F; G) (в предположении, что Е, F, G —ТВП), состоящие из всех раздельно непрерывных и всех непрерывных билинейных отображений соответственно, будут обозначены символами 23 (Е, F; G) и ^{Е, F; G). Соответствующие пространства билинейных форм будут обозначаться через В (Е, F), ЩЕ, F) и^(Е, F).
Если S и 2 —семейства ограниченных подмножеств Е и F соответственно и если D —подпространство В(Е, F; G), то мы рассмотрим топологию S X 2-сходимости на D (разд. 3), т. е. топологию равномерной сходимости на множествах S X Т, где SeS и Т е 2. Напомним, что D есть ТВП в этой топологии тогда и только тогда, когда для всех Sec, Т е 2 и f е D множество f(S X Л ограничено в G, т. е., в частности, в том случае, когда Dcz^(E, F; G) (упр. 16). Если эти условия выполнены и G локально выпукло, то & X 2-топология локально выпукла. Мы предоставляем читателю убедиться, что если G отделимо и DcL8(E, F; ,G), то S X 2-топология хаусдорфова в случае, когда 6 и 2- тотальные семейства (т. е. семейства, объединения которых являются тотальными подмножествами Е и F соответственно).
Следующий результат содержит общие условия, в которых У (Е, F; G) является ЛВП в 5 X 2-топологии.
Пусть Е, F, G — локально выпуклые пространства. Обозначим через 55 тотальное насыщенное семейство ограниченных подмножеств Е, такое, что замыкание каждого Sei полно, и обозначим через 2 тотальное семейство ограниченных подмножеств пространства F. Тогда 23 (Е, F; G) — локально выпуклое пространство в S X ^-топологии.
_ Доказательство. Мы должны показать, что для всякого ( е23(Е, Е; G) и для любой пары множеств Sec. Т е2 образ f(S X Л ограничен в G. Так как S насыщенно, мы можем предположить, что S замкнуто, выпукло и закруглено. Далее, так как Т ограничено в F и так как (в силу раздельной непрерывности /) линейное отображение y->fy пространства F в $(Е, G)
непрерывно, если $ (Е, G) наделено топологией простой сходимости, множество {fy: у е Т) поточечно ограничено в $ (Е, G).
Таким образом, если W — замкнутая выпуклая закругленная окрестность нуля в G, то множество U = QVt;4w. у^т} замкнуто, выпукло, закруглено и в силу (3.3) радиально. Следовательно, U — бочка в Е. Из (11,8.5) вытекает, что U поглощает S, так что HSXT^a'kW для некоторого скаляра А. Так как в качестве W был выбран произвольный элемент базиса окрестностей нуля в G, множество f (S X Г) ограничено.
Условия только что доказанного утверждения выполняются, в частности, если Е и F заменены слабыми сопряженными (гл. II, разд. 5) Е'о = (е', о^Е', Б)) и Рд к двум произвольным ЛВП Е и F и если в качестве Зиг взяты семейства всех равностепенно непрерывных подмножеств Е' и F соответственно. Тогда 6 и 2 — насыщенные семейства ограниченных множеств, замыкания которых компактны (и значит полны) в Еа и Рд соответственно согласно следствию из (4.3). Эта S X 2-топология называется топологией биравностепенно непрерывной сходимости (Гротендик [13]), и в этой топологии S(Ea, р'а; б) является локально выпуклым пространством, которое будет обозначаться ^(Да, F'g, б).
Топологические тензорные произведения
Пусть Е, F — векторные пространства над К и В (Е, F) — векторное пространство всех билинейных форм на Е X F. Для каждой пары (х, у) е Е X F отображение f->f(x, у) —линейная форма на В (Е, F) и, следовательно, элемент их, у алгебраического сопряженного В ^Е, Ру. Легко видеть, что отображение %: (х, у) -* их, у произведения Е X F в B(E,Fy билинейно. Линейная оболочка множества х(Е, F) в В(Е,Р)* обозначается через Е ® F и называется тензорным произведением Е и F; отображение х называется каноническим билинейным отображением Е X F в Е ® F. Элемент иХ] у из Е ® F будет обозначаться в дальнейшем через х ® у, так что любой элемент из Е ® F представляет собой конечную сумму У Kt (xt ® у^ (суммирование по непустому множеству, включая 0). Нам будет удобной также запись Л ® В = = Х(4ХВ) для произвольных подмножеств Лс£, Вер, хотя’ она не согласуется с введенным выше обозначением Е ® F. Дву- \ смысленности можно избежать, если считать, что только для * подпространств М cz Е, N cz F символ М ® N обозначает линей- j ную оболочку множества х(М X IV), а не само множество; X (М X IV). [
Нетрудно убедиться, что имеют место равенства А(х®//) = ' = (Ах) ® у = х 8 (Az/) ^гКУ (х( + х2) 8 у = х, 8 у + х2 8 у и i
х 0 (У\ + У-t) = х ® У1 + х ® Уг- Таким образом, любой элемент и е Е 0 F допускает представление и = 2xi 0 уь Очевидно, такое представление и не единственно, но всегда можно предположить, что оба множества {х,} и (z/J являются линейно независимыми множествами из г(^0) элементов. Число г, однозначно определяемое и, называется рангом и. Это минимальное число слагаемых, с помощью которых может быть представлено и (упр. 18).
Одно из принципиальных преимуществ тензорных произведений заключается в том, что они позволяют нам рассматривать векторные пространства билинейных (более общо, полилинейных) отображений как векторные пространства линейных отображений. Поясним это более аккуратно.
Пусть Е, F — векторные пространства над К и % —каноническое билинейное отображение Е X F в Е 0 F. Тогда для всякого векторного пространства G над К отображение и-^-иох представляет собой изоморфизм [ДЕ 0 F, G) на В (Е, F; G).
Доказательство. Ясно, что и —> и ° % = f является линейным отображением L ^Е 0 F, G) в В(Е, F; G), которое взаимно однозначно, так как тождество f = 0 влечет за собой равенство и (х 0 у) = f (х, у) = 0 для всех хе£ и угр. Следовательно, и = 0. Остается показать, что это отображение является отображением „на все“ В (Е, F; G\ Для всякого j е В (Е, F; G) положим и (2 xi 0 У^ = S f Vxb ytY Ясно, что это определение непротиворечиво, что и — линейное отображение Е0РвСи1 = и°х-
Следствие. Алгебраическое сопряженное к Е 0 F может быть отождествлено с В (Е, Р\ При этом отождествлении всякое векторное пространство линейных форм на Е 0 F будет векторным пространством билинейных форм на Е X F и обратно.
В частности, Е* 0 F* может быть отождествлено с некоторым пространством билинейных форм на Е X F посредством тождества (х* 0 у*Дх, у) = хДх) ■ у* (у) и, следовательно, с подпространством (£ 0 Р)'. Легко видеть, что Е* 0 F* разделяет точки в Е 0 F.
Переходя к вопросу о возможных топологиях на Е 0 F в том случае, когда Е, F — ТВП, мы ограничимся локально выпуклыми пространствами Е, F и локально выпуклыми топологиями на Е 0 F. Рассмотрим семейство Т всех локально выпуклых топологий на Е 0 F, в которых каноническое билинейное отображение (Е и F локально выпуклы) Е XF в E0F непрерывно. Верхней границей 1р семейства Т (гл. II, разд. 5) будет локально выпуклая топология, называемая проективной топологией (тензорного произведения) на Е 0 F. Непосредственно видно, что если U, 23 —
базисы окрестностей нуля в пространствах Е и F соответственно, то семейство выпуклых закругленных оболочек {Г (U ® У): U е U, V е $} является базисом окрестностей нуля в топологии Тр. Таким образом, проективная топология — это сильнейшая локально выпуклая топология на Е ® F, в которой каноническое билинейное отображение непрерывно. Мы увидим, что вместе с тем $р всегда хаусдорфова топология.
Пусть Е, F, G — локально выпуклые пространства и Е ® F наделено проективной топологией. Тогда изоморфизм и->и°х из (6.1) отображает пространство непрерывных линейных отображений $ (Е ® F, G) на пространство непрерывных билинейных отображений $(Jz, F; О).
Доказательство. Ясно, что из непрерывности и следует непрерывность и ° х, поскольку х непрерывно. Обратно, если W — выпуклая закругленная окрестность нуля в G и отображение f = u°x непрерывно, то f-1(^) содержит окрестность нуля U X V пространства Е X F. Отсюда следует, что и-1 (ИД содержит U ®V. Так как множество trx Y^ выпукло и закруглено, оно содержит Г ([/ ® V), что и доказывает непрерывность отображения и.
Следствие. Сопряженное пространство к пространству E®F, наделенному проективной топологией, может быть отождествлено с пространством ^(Е, F) всех непрерывных билинейных форм на Е X F. При этом отождествлении равностепенно непрерывными подмножествами в (Е ® FY являются равностепенно непрерывные множества билинейных форм на Е X F.
Из этого следствия вытекает, что топология 2р необходимо хаусдорфова, так как, очевидно, Е' ® F' с % (Е, F). Таким образом, если мы покажем, что Е' ® F' разделяет точки на Е <g) F, то отсюда будет следовать, что о (Е ® F, $^Е, F)) (и тем более 2Р) — хаусдорфова топология. Если теперь и — элемент E®F
Г
ненулевого ранга г ^ 1, скажем и = 2 х, ® уь то {xz} и {уф линейно i = i
независимы, так что в силу следствия 1 из (II, 4.2) существуют линейные формы (| е£' и g, е F', такие, что h (х^ = diz и gx {у^ = Ьи (/=!,..., г), отсюда следует, что fx ® g! (н) = 2 fi ^ gx ^ = 1. Для описания 1р с помощью преднорм нам понадобится следующий результат.
Пусть р, q — преднормы на Е и F соответственно, такие, что р — функционал Минковского множества U сЕ и q — функ-
ционал Минковского множества V cF, Тогда преднорма на E®F,
и -> г (и) = inf J 2 Р (х^ q (у^. и = 2 xt 0 уХ, является функционалом Минковского для Г(П0И) и обладает сем свойством, что г (х ® у) = р(х) q (у) для всех хеЕ, yeF.
. Hi111 И {Hi) +е/. Hi111 И {Hi) +е/Доказательство. Непосредственно видно, что г —преднорма на E^F. Пусть М0=Ци: г(и)<1}, Мх = ^и: г(и)^1). Для того чтобы доказать, что г — функционал Минковского для Г ([/ 0 V), достаточно показать, что Л10сг Г(П ® V) с Мр Если и е Г (П 0 V), то и = 2 Az kxi ® У^ т№ xteU, y^eV для всех / и 2|AJ<1. Теперь и = "21Х( <8 уь где xi = Azxz, следовательно, Г w < 2 Р (м) q (j^ = 21 М IР М q (у^ < 1. Таким образом, существуют вещественные числа е(>0, такие, что 2нг-<1, где Ц/ = [р (лу) + ez] Vq (у^ + ez] для всех I. Положим xz = р^+б." и
. Hi
111 И {Hi) +е/
. Hi
111 И {Hi) +е/
Тогда xt s U, y(eV и, следовательно,
« = 2 Р; <М 0 yt> еГФ' 0 V).
Докажем второе утверждение. Пусть х0 е Е, уое F заданы. Из (II, 3.2) мы заключаем, что существуют линейные формы feE\ gEF, такие, что f (х0) = р (х0), g(y^ = q{y^ и |f(x) |<р (х), | g (у) К ц (Д для всех х е Е, у е F. (Мы определяем f на подпространстве, порожденном х0, полагая f (Ах0) = Хр (х0), и продолжаем на Е.) Непосредственно видно, что для линейной формы / 0 g на Е 0 F и и = 2 Xt 0 yt мы имеем | f 0 g (и) К 2 Р (xz) q kytY так что | f 0 g^ К г (и). Следовательно, р (х0) q (у0) < г (х0 0 у0). Так как, очевидно, г(х0 0 у0) <р(х0)д(у0), то доказательство закопчено.
Преднорма г называется тензорным произведением преднорм р и q обозначается символом р 0 q. Нетрудно доказать, что р0 q~ норма на Е 0 F в том и только том случае, когда р и q сами являются нормами на Е и F соответственно (упр. 20). Семейство Р преднорм на Е направлено, если для любой пары рь р2^ Р найдется р3 е Р, такое, что (Pi, р2)^Рз- Если Р направлено, то множества Up, п = ^хеЕ: р^^п-^ (р^Р, neN) образуют базис окрестностей нуля локально выпуклой топологии на Е (гл. II, упр. 8). Таким образом, мы получаем следствие утверждения (6.3):
Следствие. ПустьСледствие. ПустьЕ, F — локально выпуклые пространства
Следствие. Пусть
Следствие. Пусть
и Р,и Р,Q — направленные семейства преднорм, порожденные топо-
и Р,
и Р,
логиями Е и F соответственно. Тогда проективная топология на Е ® F порождается направленным семейством {р ® q: (р, q^PX Q).
В частности, если Е и F — нормированные пространства, то тензорное произведение соответствующих норм порождает проективную топологию на Е ® F (упр. 21).
Если Е, F — произвольные ЛВП, то (Е 0 F, ЗД является ЛВП, в чем мы уже убедились выше. Следовательно, в силу (I, 1.5) оно может быть вложено в единственное (с точностью до изоморфизма) полное ЛВП, которое будет обозначаться через Е ® F. Из этого следствия вытекает, что если Е и F метризуемы, то Е 0 F есть (Е)-пространство. Один из наиболее фундаментальных результатов теории (также принадлежащий Гротендику [13]) утверждает наличие специального представления Е ® F в случае, когда Е и F — метризуемые ЛВП. (Относительно определения абсолютно сходящихся рядов в ТВП см. упр. 23.)
Теорема. Пусть Е, F — метризуемые ЛВП, тогда каждый элемент и е Е ® F можно представить в виде суммы абсолютно сходящегося ряда
и — 2® У(,
i=i
где Si ^ |< + оо и {xj, {у,} — стремящиеся к нулю последовательности в пространствах Е и F соответственно.
Доказательство. (Это простое доказательство принадлежит Пичу.) Пусть (рД, {^„} — возрастающие последовательности пред- норм, порождающие топологии Е и F соответственно. Обозначим через гп преднормы рп ® qn (« е N).
Последовательность (гД порождает проективную топологию Е ® F и возрастает. Обозначим через rn^ne N) непрерывное продолжение гп на Е ® F.
Для данного и е Е ® F существует последовательность {пД в E^F, такая, что гп (и — иД < п-22-^+1\ Пусть 2 ^-ixi ® yt — i=i какое-нибудь представление up, положим «п — иплл — ип для всех п g N.
Имеем
гп (vJ Д Гп (« - «Д + гп {и - и^ x^f^u-u^-V rn+l(u-un+i)<n~22~n.
Из (6.3) мы заключаем, что существует представление
такое, что рп (xz) ^п~\ qn^x^<.n~x при всех z„<z<zn+1 и ‘п + 1
2 1М^2~п.
Таким образом мы имеем « = ц1 +2vn = 2Х^ ® Ui, где по- 11
следовательности {xz}, (yj и (Д) обладают описанными свойствами. Доказательство завершено.
Мы рассмотрим теперь общий пример проективного тензорного произведения. Пусть (X, S, р) — пространство с мерой (гл. II, разд. 2, пример 2), такое, что р — положительная мера на X, и L1 (р) — банахово пространство (классов эквивалентности по модулю p-нулевой меры)1) вещественных р-суммируемых функций на X с нормой ||fll = J | f I dp. Пусть E — произвольное банахово пространство над R и S£ — векторное пространство над R, образованное всеми Е-значными простыми функциями, т. е. функциями ф вида t —» 2 Ф1 (О М> гДе Фг — характеристические функции множеств 8 = 1
S, g S (z = 1, ..., п), для которых p(Sz)< + oo, а х,-— произвольные элементы Е. Ясно, что ф —>■ J || ф ||dp будет преднормой р на SE. Далее, Е£(р) определяется как пополнение хаусдорфова (следовательно, нормированного) пространства (SE, р)/р~' (0). Пространство Lb(p) называется пространством (классов) Е-значных р-суммируемых функций.
Мы покажем, что банахово пространство Е£(р) изометрически изоморфно £’ (р) ® Е. Существует естественное вложение и-*й произведения L1 (р) ® Е в £s(p), такое, что для и = 2 ft ® xt элемент й есть класс, содержащий функцию t ->■ 2 f, (t) xt. Очевидно, отображение «—>й линейно и отображает S ® Е на SE, где S обозначает подпространство L1 (р), элементы которого содержат простые функции, и SE = SE/p~x (0). Обозначим через г тензорное произведение норм на Е1 (р) и £ соответственно.
Так как равенство
Р № = J | ^ gj (0 Ui | dp (0 2 И Si IIII Ui II верно для всех представлений 2 gj ® У/ фиксированного элемента и, то отсюда следует, что p(n)^r(zz). С другой стороны, если и g S ® Е, то мы можем выбрать представление и = 2ф; ® хь такое, что характеристические функции ф; имеют непересекаю-
’) К одному классу относятся функции, различающиеся только на множестве p-нулевой меры. — Прим. ред.
щиеся носители S£, что влечет за собой неравенство г (п) ^ ^ 2|| Ф7 Uli xi II = Р №\ Таким образом, п —> й представляет собой изометрический изоморфизм S®E на SE, и наше утверждение следует из того факта, что 8 ® Е плотно в L1 (ц) ® Е, так как S плотно в Е'(ц).
Выше фактически было несущественно, что Е — банахово (или даже нормируемое) пространство. Если Е — произвольное ЛВП и Р — семейство преднорм, порождающее топологию Е, то мы определим SE, как и прежде, и введем локально выпуклую топологию на SE с помощью преднорм ф—>J р [ф (/)] cZjli (/) (реР). Пополнение ассоциированного хаусдорфова ТВП служит тогда для определения Е/Лц), и мы, как и прежде, можем доказать, что и -> й — изоморфизм 8 ® Е (в проективной топологии) на 3Е. Тем самым установлено следующее предложение:
Естественное вложение L1 (ц) ® Е в Ее(ц) индуцирует изоморфизм t\v^^E на Ег(ц), который сохраняет норму, если Е — банахово пространство.
Мы видели выше, что проективная топология Тр на Е <8> F — это сильнейшая локально выпуклая топология, в которой каноническое билинейное отображение непрерывно.
Другой важной топологией на Е 0 F является индуктивная топология (тензорного произведения) $,, определяемая как сильнейшая локально выпуклая топология на E®F, в которой каноническое билинейное отображение раздельно непрерывно. Топология 5,- является индуктивной топологией в смысле разд. 6 гл. II; по аналогии с (6.2) мы покажем, что для всякого ЛВП G изоморфизм из (6.1) отображает пространство 2,-непрерывных линейных отображений Е ® F в G в пространство всех раздельно непрерывных билинейных отображений Е X F в G. В частности, сопряженным к (Е ® F, Тг) будет пространство S (Е, Е) (упр. 22). Мы не будем в дальнейшем иметь дело с 2ц Для изучения 1<, так же как и других топологий на Е ® F, определения которых основаны на (3, Т)-гипонепрерывности (разд. 5) канонического билинейного отображения %, читатель может обратиться к статье Гротендика [13]. Отметим, что в предположениях (5.1) топологии Тр и Т£ совпадают.
При изучении Е ^ F значительно большую роль, чем Хь играет топология ле равностепенно непрерывной сходимости, определяемая следующим образом. Будем рассматривать Е 0 F как подпространство линейных форм на Е' ^ F', определяемых с помощью равенства (х ® у) (х' ® у') = х' (х) у' kyY тогда 2е есть по определению топология равномерной сходимости на множествах S ® Т, где S, Т — произвольные равностепенно непрерывные подмножества Е/ и F'
соответственно. Топология Те может быть эквивалентно охарактеризована как топология, индуцированная на (подпространстве) Е ® F топологией TV ^Еа, Ео\ которая, кстати, локально выпукла (см. конец разд. 5). Пополнение пространства (Е ® Е, Х^ будет обозначаться через Е ® F. Нетрудно видеть, что 2е слабее, чем топология Тр на Е ® F. Для более полного изучения этой топологии нам понадобится ряд результатов теории двойственности (гл. IV). Сейчас мы только заметим, что если Е и Е —полные ЛВП, то $е (Еа, Fa) полно, и, следовательно, в этом случае Е ^ F может быть отождествлено с замыканием подпространства Е ® F В (Е'а, Fa).
Ядерные отображения и пространства
Пусть Е —векторное пространство над К и V — выпуклое закругленное и радиальное подмножество Е. Тогда множества (n-lV: п е N} образуют базис окрестностей нуля в локально выпуклой топологии на Е. Хаусдорфово ТВП, ассоциированное с (Е, 20, — это факторпространство (Е, 20/р~‘(0), где р — функционал Минковского множества V. Это факторпространство обладает нормой х —>|| х || = р (х), где х е х. Только что введенное нормированное пространство (Е/р-1(0), ||||) мы будем обозначать Ev
и его пополнение (которое является банаховым пространством) — через Еу. Если Е —ЛВП и V — выпуклая закругленная окрестность нуля, то топология факторпространства Е/р“‘(0) будет (как правило, строго) сильнее, чем топология на Ev. Таким образом, факторотображение, называемое каноническим отображением пространства Е в Ev, непрерывно. Это отображение мы обозначим Фу.
С другой стороны, если Е — ЛВП и В #= 0 — выпуклое, закругленное и ограниченное подмножество в Е, то Et = (J нВ есть (не п — 1 обязательно замкнутое) подпространство в Е. Функционал Минковского рв множества В в Е, является, как легко видеть, нормой на Ev Нормированное пространство (Еь рв) будет в дальнейшем обозначаться через Ев. Легко видеть, что вложение Ч^: ЕВ->Е (также называемое каноническим^ непрерывно. Кроме того, если В полно в Е, то Ев является банаховым пространством согласно (I, 1.6). Заметим, наконец, что никаких недоразумений не возникнет, если V = В — выпуклое закругленное подмножество, которое радиально и ограниченно. В этом случае пространства Ev и Ев совпадают.
Пусть, U, V — выпуклые закругленные и радиальные подмножества в Е с функционалами Минковского р и q соответственно и U с: V. Тогда р-1 (0) с q^ (0) и всякий класс эквивалентности xmodp^O) содержится в единственном классе эквивалентности
у mod q~x (0). Соответствие х-^-у будет линейным отображением Ф^у, которое называется каноническим отображением Еи на Ev. Так как Ф^у, очевидно, непрерывно (в действительности даже не превосходит по норме 1), то оно имеет единственное непрерывное продолжение на Еи (со значениями в Ev\ которое также называется каноническим и также обозначается через Ф^у.
Аналогично если В и С —выпуклые закругленные и ограниченные множества в ЛВП Е, такие, что уПВсС, то ЕВ^ЕС и каноническое вложение Ч*^: Ев-^-Ес непрерывно. Наконец, если U, V, В, С те же, что и ранее, и Фу, Ф^, Ч1^, Ч^ — канонические отображения Е—*Еи, E-+Ev, Ев-^-Е и ЕС—>Е соответственно, то имеют место соотношения Фк = Ф^у0 Фу и Ч*^ = фсд о Ч^.
Эти два метода конструирования вспомогательных нормированных пространств были впервые систематически использованы Гротендиком [13] и оказались весьма полезными. Мы уже пользовались этими методами ранее, в гл. II [доказательство (II, 5.4) и (11,8.4)].
Пусть Е, F — ЛВП и Е' — сопряженное к Е. Всякий элемент и е Е' 0 F определяет линейное отображение и е $ (Е, Еу Именно,
если и = 2 h 0 У(, то
( = 1 г
х -> и (х) = 2 h to УIi = l
и отображение у—>и является даже (алгебраическим) изоморфизмом Е' 0 F в $ (Е, F) (упр. 18). Отображения и е SE (Е, F), которые получаются таким способом из элементов veE' ® F, называются непрерывными отображениями конечного ранга. Ранг г элемента и равен по определению рангу у (разд. 6). Отображения конечного ранга являются весьма специальными случаями компактных линейных отображений Е в F: линейное отображение и пространства Е в F называется компактным, если для некоторой окрестности нуля U в Е образ «((/) является относительно компактным подмножеством F.
Предположим, теперь, что Е и F — банаховы пространства и и Е' — (банахово) пространство, сильное сопряженное к Е (гл. II, разд. 2). Тогда вложение и-* и непрерывно относительно проективной топологии на Е' 0 F и нормированной топологии (топологии ограниченной сходимости) на 2?(Е, F). Если у е Е' ® F, то
II «11= sup II Utolin sup itoitolltoll^jjIlUllyJIllxll < 1 IWK 1 i = l i = \
для всех представлений у = 2 fi ® Уь следовательно, ||«||^г(у), »=i
где норма г есть тензорное произведение соответствующих норм на Е и F (см. предложение (6.3) и его следствие). Так как ЕЕ (Е, F) полно в нормированной топологии в силу следствия из (4.4), вло-
жение и -» и имеет непрерывное продолжение т на Е' 8 F со значениями в Зф,ру Линейные отображения, содержащиеся в образе т, называются ядерными, другими словами, и е 3 (Е, F) ядерно, если и = тф при некотором и ее Е' 8 F [между прочим, не ясно, будет ли т обязательно взаимно однозначным (см. гл. IV, упр. 30)[.
Определение ядерного отображения следующим образом обобщается на произвольные ЛВП Е, F. Линейное отображение и пространства Е в F ограниченно, если для некоторой окрестности нуля U в Е образ ц(£) является ограниченным множеством в F (например, всякое компактное отображение ограниченно). Ограниченное отображение может быть разложено следующим образом. Пусть U — выпуклая закругленная окрестность нуля в Е, такая, что и(П)сВ, где В выпукло, закруглено и ограничено в F. Тогда и = Чгв о ц0 ° Фу, где «0 — отображение из 3 фц, Fв), индуцированное и. Если к тому же FB полно, то «а имеет непрерывное продолжение м0 е 3 фи, FB\ для которого и = Уд ° м0 ° Фу. Наше определение теперь таково:
Линейное отображение и ЛВП Е в другое ЛВП F ядерное, если существует выпуклая закругленная окрестность нуля U в Е, такая, что иф^сВ, где В ограниченно, a FB полно, так что при этом индуцированное отображение м0: Еи^^в является ядерным на Ец.
Из определения сразу же следует, что любое непрерывное линейное отображение конечного ранга ядерное. Более того, если отображение и ядерное в 3 (E, F), то найдутся окрестность нуля U в £ и ограниченное выпуклое закругленное подмножество В в F, для которого FB полно, такие, что и будет равномерным (на С7) пределом последовательности отображений конечного ранга. Следовательно, для всякой 5-топологии на 3 (Е, F) ядерные отображения содержатся в замыкании Е' ® F (последнее рассматривается здесь как подпространство в Зф, £)). С помощью теоремы (6.4) мы получаем следующую явную характеристику ядерных отображений.
Линейное отображение игЗф, F) ядерное тогда и только тогда, когда оно имеет вид
л: > и (х) = ^ Xnfn (х) уп,
где S I ^п К + 00, (fn) ~ равностепенно непрерывная последователь- п = 1
ность в Е' и (yj — последовательность, содержащаяся в выпуклом закругленном и ограниченном подмножестве BcF, для которого FB полно.
Доказательство. Условие необходимо. Действительно, если и ядерное, то и = ^в° й0°Фи, где й0 —ядерное отображение из $^Еи,Рв^ (U — некоторая окрестность нуля в £ и В — некоторое ограниченное подмножество F, для которого FB полно). Следовательно, й0 получается из элемента у е [By]' ® F в, который в силу (6.4) может быть представлен в виде у — 2 ^nhn ® Уп, гДе л=1
Sl^nK+oo, а {/гп} и {уД — сходящиеся к нулю последователь- 1
ности в пространствах [By]' и FB соответственно. Определим последовательность {/„} линейных форм на Е, полагая fn = hn ° Фу. Так как {/гп} — ограниченная последовательность в [By]', то последовательность {f„} равномерно ограничена на U и, следовательно, равностепенно непрерывна. Теперь ясно, что отображение и = = Тгот(о)«фу имеет форму, указанную выше.
Условие достаточно. Пусть м имеет вид, указанный в предложении, и U = (х g Е: | fn |(х) | ^ 1, п g N}; множество U выпукло, закруглено и является окрестностью нуля в В ввиду равностепенной непрерывности {Д}. Определяя на By отображения /zn(«eN) с помощью формулы fn = hn ° Фу и беря соответствующие продолжения на By, мы получаем неравенства || hn || ^ 1 для всех п. Очевидно, й0 ставит в соответствие каждому х элемент 2 "Мп W Уп- п=1
Так как ряд 2 I ^п Hl hn |||| уп II сходится, то ряд 2 Мп ® уп абсо- 1_1
лютно сходится в [By]' ® FB в силу предложения (6.3) и его следствия и, значит, определяет некоторый элемент у е [By]' ® Fв. Очевидно, й0 = т (у), откуда следует, что и ядерное.
Замечание. Если и имеет форму, указанную в (7.1), то удобно писать
и = 2 Xnfn® Угг- помня, что и не является, собственно говоря, элементом топо- 1
логического тензорного произведения. Из первой части доказательства следует, что для ядерного отображения и существует представление и = 2 Мп ® Уп, 1
такое, что {^ — последовательность, сходящаяся к нулю равномерно на некоторой окрестности нуля U с Е, а (уп) сходится к нулю в некотором банаховом пространстве F в. Наконец, (Лп) е Iх.
Следствие 1. Всякое ядерное отображение компактно.
Доказательство. Пусть
и = 2 Мп ® Уп и U = {х е В: | fn (х) К 1, п е N).
1
В силу предыдущего замечания можно предположить, что {//„} — последовательность, сходящаяся к нулю в некотором пространстве FB, и, кроме того, что 2|ХП|^1. Отсюда следует, что об- 1
раз «((/) окрестности нуля U содержится в замкнутой выпуклой закругленной оболочке С последовательности {//„}, сходящейся к нулю в F в. Так как множество {//„} относительно компактно в FB и FB полно, то С компактно в FB [см. (1,5.2) и (11,4.3)] и, значит, тем более компактно в F в силу непрерывности отображения FB-F.
Следствие 2. Пусть Е, F, G, Н — ЛВП, и е $ (Е, F), w е е ЗДО, Я) и v — ядерное отображение F в G. Тогда и ° и и w°v (а следовательно, и ®°v°u)~ ядерные отображения.
Доказательство. Из (7.1) вытекает, что и ° и ядерное. В силу следствия 1 существует выпуклая закругленная окрестность нуля V в F, такая, что множество у (У) = В компактно в G. Таким образом, B^w^B) компактно в Н и, следовательно, пространство НВ1 полно. Теперь ясно, что отображение w = v ядерное в S(F, И).
Следствие 3. Если u^9?(E,F) ядерно, то и имеет единственное продолжение йе^(Ё, F), где Е — пополнение Е, и й ядерно.
Доказательство. Первое свойство присуще всем компактным отображениям и е.Т(В, F\ Действительно, если U — окрестность нуля в Е, такая, что в(1/)сС, где С —компакт, то, так как и равномерно непрерывно, его сужение на U имеет единственное непрерывное продолжение на U (замыкание U в Е) со значениями в С, поскольку С полно. Непосредственно видно, что это расширение является сужением на U линейного отображения й: E-»F, которое компактно и, следовательно, непрерывно. То, что й ядерное, есть прямое следствие определения ядерного отображения или же (7.1).
Дадим теперь определение ядерного пространства.
Локально выпуклое пространство Е ядерно, если в Е существует базис 23 выпуклых закругленных окрестностей нуля, такой, что для любого У е 23 каноническое отображение Е—>EV ядерно.
Из этого определения и из (7.1) сразу следует, что ЛВП Е ядерно тогда и только тогда, когда его пополнение Е ядерно. Пространство До (d — некоторая мощность) является первым примером ядерного пространства. Действительно, для всякой
выпуклой окрестности нуля V пространство Ev = Ev имеет конечную размерность, так что E—>EV конечного ранга и, следовательно, ядерно. Другие более интересные примеры будут даны ниже и в разд. 9 гл. IV. Заметим, однако, что нормированное пространство Е не может быть ядерным, если оно не конечномерно. Действительно, если V — выпуклая закругленная окрестность нуля, которая к тому же ограниченна, то £—>£к — топологический автоморфизм. Следовательно, если Е-> Ev — ядерное отображение, то оно должно быть компактным в силу приведенного выше следствия 1. Таким образом, из (I, 3.6) вытекает, что Е конечномерно. Мы будем в дальнейшем пользоваться следующей альтернативной характеристикой ядерных пространств.
Пусть Е — ЛВП. Тогда следующие условия эквивалентны-.
Е ядерно;
всякое непрерывное линейное отображение Е в любое банахово пространство ядерно;
всякая выпуклая закругленная окрестность нуля U в Е содержит другую такую окрестность нуля V, что каноническое отображение Ev -> Еи ядерно.
Доказательство. (а)=^(Ь): Пусть F — некоторое банахово пространство и и е 3 (Е, Е\ Тогда в Е найдется выпуклая закругленная окрестность нуля V, такая, что Фг: Е -> Ev ядерно, и такая, что множество и^ ограничено в F. Так как Фу(£) = Ек, то и определяет единственное отображение v^3(Ev, F), такое, что и = у = Фу, и из следствия 2 (7.1) вытекает, что и ядерно. (Ь)=ф(с): Пусть U — произвольная выпуклая закругленная окрестность нуля в Е. По предположению каноническое отображение Е->Еи ядерно и, следовательно, имеет вид Фу = 2 Xnfn ^.уп согласно (7.1). Положим V = U f| {х: |fn(x)|^l, n eN}. Тогда V cz U выпукло закруглено и является окрестностью нуля ввиду равностепенной непрерывности последовательности {f„}. Каждая форма tn индуцирует непрерывную линейную форму (по норме не превосходящую 1) на Ev. Обозначим через /г„ ее непрерывное продолжение на Ev. Теперь уже совсем очевидно, что каноническое отображение ФУК: Ev-> Ец задается формулой ^Xnhn ® уп и, следовательно, ядерно в силу (7.1).
(с)=ф(а): Пусть U — заданная выпуклая закругленная окрестность нуля в £ и V — другая окрестность нуля с теми же свойствами и такая, что Фук ядерно. Так как Фу = ФУК ° Фк, то из следствия 2 утверждения (7.1) вытекает, что отображение Е->Еи ядерно и, значит, Е по определению ядерное пространство.
Следствие 1. Если Е — ядерное пространство, то отображение Е-^-Еу ядерно для всякой выпуклой закругленной окрестности нуля V в Е.
Действительно, отображение Е —» Ev непрерывно и Ev — банахово пространство.
Следствие 2. Всякое ограниченное подмножество ядерного пространства предкомпактно.
Доказательство. Если У — базис окрестностей нуля в пространстве Е, состоящий из выпуклых закругленных множеств, то в силу следствия 2 из (II, 5.4) Е изоморфно подпространству произведения Jf Ev, причем соответствующий изоморфизм есть отображение х—►{ФДх): К е 23}. Этот изоморфизм отображает ограниченное множество ВсЕв множество ЦФи (5). Если пространство Е ядерно, то всякое множество Ф^(В) предкомпактно в Еу в силу следствия 1 из (7.1). Таким образом, произведение Ц Ф^(В) предкомпактно, что доказывает утверждение.
Мы напомним, что символ /Р(1^р< + оо) используется, как обычно, для обозначения банахова пространства всех (вещественных или комплексных) последовательностей х = (хь х2, ...), р-е степени которых (абсолютно) суммируемы, с нормой ||х||7 = = (5|xn |Р)1/Р; I —банахово пространство всех ограниченных последовательностей с нормой || X 11^ = sup I хп |.
Следующий результат проясняет специальную структуру ядер- ных пространств.
Пусть Е — ядерное пространство, U — заданная окрестность нуля в Е и р — некоторое число (l^p^oo). Тогда существует выпуклая закругленная окрестность нуля V с: U, для которой Ev {по норме) изоморфно подпространству пространства 1Р.
Доказательство. Мы покажем, что существует непрерывное линейное отображение сеТЯЕ.м, такое, что и-|(В)с(/, где В — открытый единичный шар в 1Р; Е^иЧВ) будет искомой окрестностью нуля. Без ограничения общности мы можем считать, что U выпукло и закруглено. Каноническое отображение Фу ядерно в силу следствия 1 утверждения (7.2), а значит, имеет вид Фу = 2 KJn ® Ут причем мы можем считать, что %„>0
(« g N), 2 Нг = L II Уп II = 1 в Ец {п е N) и последовательность {f„}
1
равностепенно непрерывна. Определим и, полагая
для всех х е £ (и считаядля всех п, если р = оо). Из
равностепенной непрерывности последовательности {fn} следует, что и^^Р и, очевидно, и е $ (Е, lPY Далее, пусть p-x + q~l = = 1 (<7=1 при р=оо и <7 = оо при р=1\ Применим неравенство ”рq
Гёльдера к 2 ««₽«, гДе % = V^-nfrA*) и р„ = ^п- Обозначая сим- п = 1
волом || || норму в Еу, получаем
11Ф</И11 =11Ф</И11 =S ^nfn (■’О Уп п=1S ^nfn (■’О Уп п=1< ixi/nwkh у (х)пр.1< ixi/nwkh у (х)пр.1
11Ф</И11 =
11Ф</И11 =
S ^nfn (■’О Уп п=1
S ^nfn (■’О Уп п=1
< ixi/nwkh у (х)пр.
1
< ixi/nwkh у (х)пр.
1
Следовательно, и"1 (В) cz U. Если положить теперь V = и^1 (В\ то из определения и следует, что Ev изометрически изоморфно и (Е). Следовательно, Ev изометрически изоморфно замкнутому подпространству у (Е) в 1Р.
В приведенных ниже следствиях А будет множеством, мощность которого совпадает с минимальной мощностью базисов окрестностей нуля в Е.
Следствие 1. Пусть Е ядерно и {£а: а е А) - семейство банаховых пространств, каждое из которых изоморфно пространству 1р{1^р^оо). Тогда существуют линейные отображения fa: Е-> Еа (а е А), такие, что топология Е является слабейшей топологией, в которой все отображения fa непрерывны.
Другими словами, топология Е является проективной топологией относительно семейства {(£„,)„): а е А) (гл. II, разд. 5). Если мы применим (7.3) с р = 2 к каждому элементу ДДа^А) базиса окрестностей нуля в Е, то мы получим базис {Еа: а е А} окрестностей нуля, такой, что для каждого а е А пространство Еа= EVa гильбертово [не обязательно бесконечномерное (см. гл. II, разд. 2, пример 3)]. Далее, если Еа — гильбертово пространство, то норма Еа получается из положительно определенной эрмитовой : формы (х, у)-*[х, ^]„ на Еа X Еа. Следовательно, если Фа обозна-. чает каноническое отображение Е->Еа, то (х, у)-* [Фа(х), Фа(у)]а) представляет собой неотрицательно определенную эрмитову форму ) на EX Е, такую, что х->[Фа(х), Фа(х)]/2а есть функционал Мин-) ковского ра для Va.ц
Следствие 2. В любом ядерном пространстве Е существует! базис окрестностей нуля {Еа: а е А}, такой, что для каждого
а е А пространство EVa гильбертово. Следовательно, топология Е может быть порождена семейством преднорм, каждая из которых получается из некоторой неотрицательно определенной эрмитовой формы на Е X Е.
Комбинируя этот результат с конструкцией, использованной в доказательстве (II, 5.4), мы получим представление ядерного пространства в виде плотного подпространства проективного предела гильбертовых пространств. Таким образом, пополнение ядерного пространства Е изоморфно проективному пределу гильбертовых пространств и, очевидно, ядерно в силу следствия 3 из утверждения (7.1).
Следствие 3. Всякое полное ядерное пространство изоморфно проективному пределу некоторого семейства {мощности А) гильбертовых пространств. Пространство Фреше Е ядерно в том и только том случае, когда оно может быть представлено в виде проективного предела гильбертовых пространств Е = lim gmrtHn, такого, что gmn — ядерное отображение при т<п.
Доказательство. Нам нужно доказывать только второе утверждение. Если Е — ядерное (Е)-пространство, то в силу следствия 2 существует базис {V„: п е N) в нуле, который можно считать убывающим, и такой, что каждое Е„ — гильбертово пространство. В силу (7.2), (с) мы можем даже предположить, что все канонические отображения Фщщп+Г Ёп+1-*Еп ядерны. Желаемое представление получится теперь, если положить Нп = Еп и gmn — ^vmVnkm^nY Обратно, если Е имеет указанный вид и V — выпуклая закругленная окрестность нуля, выбранная из некоторого базиса в Е, то отображение Е —> Ev может быть отождествлено с проекцией р пространства Е в конечное произведение т
пространств Нп, скажем Ц//*. Обозначая через рп проекцию Е &=i
в Hn{mWp мы имеем р = {р\, ...,ртУ, следовательно, p = {g\n° ° Рп, • ••, gmn°Pn) Для всякой пары п>т, откуда видно, что отображение р ядерно.
Следующая важная теорема «наследования» также доказана Гротендиком (см. [13], гл. II, теор. 9).
Теорема. Всякое подпространство и всякое отделимое факторпространство ядерного пространства ядерно. Произведение любого семейства ядерных пространств ядерно, и локально выпуклая прямая сумма счетного семейства ядерных пространств является ядерным пространством.
Прежде чем доказывать эту теорему, мы отметим следующий непосредственный вывод.
Следствие. Проективный предел любого семейства ядерных пространств и индуктивный предел счетного семейства ядерных пространств ядерны.
Доказательство (7.4).
Доказательство для счетных прямых сумм и произвольных произведений будет основываться на свойстве (Ь) из (7.2). Пусть
Е = ^ЕЬ где Et У eN)- ядерные пространства, и и — непрерывное 1
линейное отображение Е в данное банахово пространство F. Если Ut — сужение и на подпространство Е{ cz Е, то ut будет непрерывно и, следовательно, ядерно, а значит, имеет вид
Ui = ^\xWh№^ynl (ieN).n=l
Мы можем здесь предполагать, что || уп, , || ^ I в F для всех
(н, i)e N X N, 2 |^|<^2 ^ N) и каждая из последователь- П=1
ностей {/?„*: aeNj равностепенно непрерывна на Ер Пусть Щ— окрестность нуля в Ер такая, что | h^ ^х^ | ^ 1 для всех xteUt и всех ае N. Определим /ф ( как непрерывную линейную форму на Е, которая является продолжением к'1,? на Е и аннулируется на дополнительном подпространстве ф Е} к Ер Семейство
i + l
Уп, р kn, s N X N} равностепенно непрерывно. Действительно, если U — окрестность нуля F^z в Е, то отношение xeU влечет за собой неравенство I ^,, (х) | ^ 1 для всех п и и Так как и может быть записано в виде
U = 2 \ХпЧп, t ® Уп, I,
П, 1 = 1
то из (7.1) следует, что и ядерно.
Пусть ^Еа: а е .4}- некоторое семейство ядерных пространств, Е = || Еа и и — непрерывное линейное отображение Е в заданное а
банахово пространство F. Тогда существует окрестность нуля V в Е, такая, что и (У) ограниченно в F и по определению топологии произведения V содержит окрестность вида Va_ X У^ X ... ... X VQ X Ц Е^. Отсюда следует, что и аннулируется на под" р^а,...
пространстве G= Ц Е^ с Е. Так как £’=р^а(®С, остается показать, что сужение и на JJ Еа ядерно. Но это ясно из пре-
(гл. II, разд. 6).
Доказательство ядерности для подпространств и фактор- пространств основано на свойстве (с) из (7.2) и следствии 1 из (7.3). Пусть Е — ядерное пространство и М — подпространство Е. Для всякой выпуклой закругленной окрестности нуля U в Е положим V = MV\U. Мы покажем, что для каждого такого множества V существует окрестность Vx с V, для которой каноническое отображение МУ1-*МУ ядерно. Мы можем без ограничения общности предполагать, что У = МП^, где 17 таково, что Еи — гильбертово пространство.
Тогда существует окрестность нуля UX<^U, такая, что каноническое отображение Фии,: Ёи,-+Еи ядерно. Пусть V х = M?\U х. Нетрудно видеть, что Му, и Mv могут быть отождествлены с замкнутыми подпространствами в Ёи, и Еи соответственно, так что каноническое отображение Фик, является сужением фуу, на Му, (упр. 3). Но Фиих имеет вид ^К^^Уь гДе множество {XJ суммируемо, {/Д равностепенно непрерывно в [Дщ]' и последовательность {yj ограниченна в Ёи. Обозначим через р ортогональную проекцию Еи на Mv; пусть w£ = ру£, и пусть g£ — сужение f, на Му, (igN). Тогда семейство {g,} равностепенно непрерывно, {®J ограниченно в Mv и отображение Фик, имеет вид 2 ^i^i ® wx и, следовательно, ядерно в силу (7.1). 1 = 1
Мы используем ту же схему доказательства для факторпрост- ранства. Пусть пространство Е ядерно, М — замкнутое подпространство Е, F = E]M (топологическое факторпространство) и Ф— каноническое отображение E-*F. Мы покажем, что для заданной выпуклой закругленной окрестности нуля V в F существует другая окрестность У, cz V, такая, что Ф^: Fy-^FV ядерно. Для этого мы можем предполагать, что V = фф), Еи — гильбертово пространство, Ux <= U таково, что Ёц, — гильбертово пространство, а Фии1: Ёи,-^Ёи ядерно. Доказательство состоит теперь в выяснении того, что Fv может быть отождествлено с факторпростран- ством Ёц. Действительно, Fv изоморфно пространству Ёи1Ь, где
L —замыкание множества Фу(Л1) в Ёи. Аналогично, полагая У! = Ф(Ui), мы можем отождествлять Fv, с EuJLx, где L\ — замыкание множества Фу, (Л1) в Ёи, (упр. 3).
Заметим далее, что Ф^щ отображает Е\ в L, Фуу, есть не что иное, как отображение £щ(Л1) в Ёи/L, индуцированное Фии, при только что проделанном отождествлении. Так как Фуи, ядерно, оно имеет вид 2 ^ifi ® Уь как это было показано в (7.1). Рассмотрим i=i'
разложения EUx = Limbi', Ёи = Е®Ь^ (ортогональные суммы). Пусть f, = % + Г- и yt = y't + у" (i е N)- соответствующие разложения (такие, что для Ё мы имеем №ЫМ=< Так как Фу^ отображает Ех в L, то отсюда следует, что 2 Ч'^у;' аннулируется на Ёи„ откуда
фии =^4i® У'1 + ^ifi ® УН-
ЕСЛИ теперь g. обозначает линейную форму на ЁцЩ, определяемую /", и wt обозначает класс эквивалентности y"modL (ieN), то Ф/и, (будучи отображением, индуцированным , Фущ) имеет вид ^Atgt ® wt и, следовательно, ядерно в силу (7.1).
Доказательство теоремы завершено.
Мы дополним теорему (7.4), показав, что проективное тензорное произведение двух ядерных пространств ядерно. Для этого нам понадобится понятие тензорного произведения двух линейных отображений. Пусть Е, F, G, Я —векторные пространства над К и иеЦЕ, G), v^L(F, Н). Отображение (х, у)-> и (х) ® и (у) пространства Е X F в пространство G ^ Н билинейно. Линейное отображение Е ® F в G ® Н, которое ему соответствует, обозначается через и ® у и называется тензорным произведением и Л у. Очевидно, отображение (и, о)—>и ® v пространства L^E, G) X X L (F, И) в L^E ® F, G ® 77) билинейно. Следовательно, в силу (6.1) этому отображению также соответствует линейное отображение L (Е, G) ® L (F, Н) в L (Е ® F, G ® Я) (называемое каноническим вложением), которое является изоморфизмом. Если G = Н = Ко, т. е. если u = f, у = g — линейные формы, то тензорное умножение в Ко ® Ко можно отождествить с обычным умножением в К (докажите!), и мы имеем (f ® g)(x ® y) = f(x)g(y), так. что тензорные произведения f ® g и Е* ® F*, рассматривавшиеся 1 ранее, являются частными случаями предыдущего определения.!
Пусть Е и F ~ ядерные пространства. Тогда проективное тензорное произведение Е и F, так же как и его пополнение Е ® F, ядерно.
Доказательство. Пусть U, V — выпуклые закругленные окрестности нуля в пространствах Е и F соответственно. Положим G = E®FhW = Г(1/ ® V) в G. Из (6.3) ясно, что Gw совпадает с нормированным пространством (Еи ® Fv, г), где г —тензорное произведение соответствующих норм Еи и Fv. Следовательно, если символы Фу, Фу, Ф^ обозначают соответствующие канонические отображения Е—>Еи, F-*FV, G—>GW, то мы имеем ф1у = ф£/®фу. Так как Е и F ядерны, то из (7.1) следует, что Фи = 2j Wi ® хь Фу = 2 Pigj ® Уь где {JQ, (цу) и т. д. обладают свойствами, перечисленными в (7.1). Для хеЕ, у е Д мы по определению имеем
Фу ® Фу (х ® у) = (2 Х^ (х) ^) ® (2 pjgj ^У}).
Как элемент пространства Gw = Eu<g>Fv это выражение может быть записано в виде
Ф^ (х ® у) = _ 2 ] ^jfi (х) gj (у) (хг ® у у),
так что Ф^ представляется в виде 2 ^i(fi <8)gj)<8)(Xi <8) У/). Далее, PW V, H^N X N) — суммируемое семейство, ^i ® g^ ~ равностепенно непрерывное семейство (а именно, равномерно ограниченное на ГД1®К1 для некоторых окрестностей нуля Ux, Vx г Е, F соответственно) и, очевидно, семейство {х; ® у;} ограничено в Gw, так как || xt ® уу || = || хх |||| у, II- Следовательно, Ф^ ядерно для каждого элемента 1F из базиса окрестностей нуля в проективйой топологии на Е ® F. Ядерность Е ® F непосредственно вытекает из следствия 3 утверждения (7.1). .
Примеры ядерных пространств
Пусть Г —тор размерности к. Пространство Фт всех (вещественных или комплексных) бесконечно дифференцируемых функций на Т, наделенное топологией равномерной сходимости со всеми производными, является ядерным (F)-npo- странством. В силу (7.4) отсюда следует, что пространство Ф; бесконечно дифференцируемых функций на R*, носители которых содержатся в ^-мерном интервале /, ядерно (обозначения те же, что и в разд. 6 гл. II, пример 2, с тем исключением, что символ интервала иногда будет писаться в скобках). Пространство Ф^ может быть отождествлено с подпространством Фт, если рассматривать каждое ^®t как ^-периодическую функцию на /. Доказательство достаточно провести в случае к = 1.
Обозначим через gk (k = 0, ± 1, ±2, ...) нормализованные тригонометриче- л
ские функции g^ (t) = (2л)-1''2 е1М и положим [/, gfe] = J 7 № 8к (О di Для всех -л
/ 6= $>т. Из элементарного анализа хорошо известно, что / имеет разложение в ряд Фурье 7=2 ак8к> которое сходится к / равномерно со всеми производ- к'
ными. Тем самым 7=2 ak8k есть выражение, имеющее смысл в ®т- Коэффициенты задаются формулами afe = [/, g^], а повторным интегрированием по частям получаем, что
“к = \Ь 8к] = ^т[^'ёк]
для всех k=± 1, ±2, ... и всех целых m > 0; здесь /<т) обозначает т-ю производную /. Семейство норм f-> рп (/) = sup {| fw (0 |: /е Г, т < п} порождает топологию ФТ и окрестности нуля V„=[f: pn(f)^n-lj, где п g N, образуют базис в нуле. Заметим также, что каждое из пространств Ev алгеб- v п
раически изоморфно Е = ST, поскольку все рп суть нормы. Для фиксированного п, скажем для п = т, разложение 7 может быть записано в виде
f=V- so] go - 2 *-2 [7(m+2>. g6] W'm gfe. "к + 0
Далее, линейные формы f -> hk (?) = ^(т+2), gj (& = ± 1, ±2, ...) равномерно ограниченны на Рт+г и, следовательно, равностепенно непрерывны, и функции yk = (z/z)-m gk (k=±\, ±2, ...) составляют ограниченную последовательность в Еу . Следовательно, каноническое отображение E^>EV , имеющее вид
So] So - 2 ^М^к-£ О
ядерно. Так как meN произвольно, пространство ®т ядерно, что и утверждалось.'
То же верно, если С — произвольное компактное подмножество в R (или в R6), поскольку С содержится в некотором интервале I и ®с — замкнутое подпространство в S ^ следовательно, ®с ядерно в силу (7.4).
Пространство S Лорана Шварца (гл. II, разд. 6, пример 2), будучи индуктивным пределом последовательности пространств 3)с, ядерно согласно (7.4).
Пусть 8 — пространство бесконечно дифференцируемых комплексных функций на R6 (без ограничений на их носители), наделенное топологией компактной сходимости со всеми производными. Пусть (Сп) — возрастающая последовательность непустых компактных множеств в Rft, такая, что U Crt= R*.
п
Тогда любой компакт Сс R* содержится в некотором Сп и топология пространства 8 порождается преднормами
/ -> Рп (7) = sup {| Фт^ (/) /: t е Сп, т < га) (п е N),
где | 2)mf(0 I означает сумму абсолютных величин всех производных функций ) порядка m К 0) в точке t. Как и ®с, пространство $ является ядерным
(р)-пространством. Мы не будем давать прямого доказательства ядерности 6, так как это является следствием (IV, 9.7).
Пусть 36 (С) — пространство всех целых функций на комплексной плоскости, снабженное топологией компактной сходимости. Из элементарной теории функций комплексного переменного ясно, что 36 (С) есть (Р)-пространство. Кроме того, согласно классической теореме Вейерштрасса, пространство 36 (С) ■(не только алгебраически, но также топологически) является замкнутым подпространством 6 (R2). Следовательно, в силу примера 3 и (7.4) пространство .36 (С) ядерно.
Пространство 3 (см. Л. Шварц [2], гл. VII, §3) или 3 (R”) алгебраически «определяется как подпространство в 8 (R6), такое, что lim j i (m 0nf (t) = 0
ДЛЯДЛЯвсех производных Sn! функции f любого порядка п и всех целых me N, Г & Тбвсех производных Sn! функции f любого порядка п и всех целых me N, Г & Тбгдегдеобозначает евклидову норму / = (Н, ..., /*) е R*. Тополо-обозначает евклидову норму / = (Н, ..., /*) е R*. Тополо-
ДЛЯ
ДЛЯ
всех производных Sn! функции f любого порядка п и всех целых me N, Г & Тб
всех производных Sn! функции f любого порядка п и всех целых me N, Г & Тб
где
где
обозначает евклидову норму / = (Н, ..., /*) е R*. Тополо-
обозначает евклидову норму / = (Н, ..., /*) е R*. Тополо-
гия 3 определяется последовательностью преднорм
f-»P«(D = sup{(l + Ur)KmK)|: UK”. m^n} (neN).
Пространство 3 является (Р)-пространством и называется пространством быстро убывающих бесконечно дифференцируемых функций на R*. Пространство 3 ядерно. Это может быть доказано сразу применением метода, использованного в примере 1, к разложениям / g 3 в ряд из функций Эрмита (см. Л. Шварц [2], т. II, стр. 117). Другое доказательство использует тот факт, что 3 (/?*) изоморфно замкнутому подпространству в 0 (S6) ([1], стр. 91), где 0(Sft) есть пространство бесконечно дифференцируемых функций на 6-мерной сфере S4. При 6—1 ядерность ФК,^ была показана в примере 1. При 6>1 можно :использовать представление с помощью сферических функций.
В примерах 1, 2 и 3 пространство R* может быть заменено открытым подмножеством R* или бесконечно дифференцируемым многообразием, а в примере 4 С — открытым подмножеством пространства С. Дальнейшие примеры будут получены в разд. 9 гл. IV. Другие примеры ядерных пространств см. в упр. 25.
Проблема аппроксимации. Компактные отображения
Пусть Н — гильбертово пространство. Если {ха: ае Д}- ортонормальный базис (гл. II, разд. 2, пример 4), [ ,] — внутреннее
произведение в Н и fa (а е Д) — непрерывная линейная форма на Н, для которой fa(x) = [x, xj, то известно (и легко доказать), что для каждого хеН семейство {fa(x)xa: аеД) суммируемо и его сумма есть х (относительно определения суммируемости в Н см. упр. 23):
2 fa(x)xa-
ae А
Сходимость этого ряда может быть интерпретирована следующим образом. Если для всякого конечного подмножества ®сД мы через иф обозначим линейное отображение х-^ 2 ^aVx^xa
it. е. если иф = 2 fa ® ^J, т0 [Мф] сходится (поточечно) к тождественному отображению е пространства Н. Сходимость происходит по семейству всех конечных подмножеств А, направленному по включению „с“. Далее, поскольку иф, будучи ортогональной проекцией, имеет норму 1 в 3 (Д) (если Ф N= 0), то из (4.6) следует, что сходимость (иф) равномерна на всяком компактном подмножестве Н. [Мы пишем $ (Е) вместо $ ^Е, Е) и для всякой пары нормированных пространств Е, F наделяем пространство $ fE, F) стандартной нормой и -> || и || = sup {|| и (х) ||: ||х||^1}.]
Отсюда следует, что для всякого гильбертова пространства Н тождественное отображением принадлежит замыканию Д'® Дс27(Д) в топологии предкомпактной сходимости. Можно показать (Карлин [2]), что даже сепарабельное банахово пространство не содержит, вообще говоря, безусловного базиса (см. ниже), т. е. такой последовательности {хД, для которой существует последовательность {fj с Е', удовлетворяющая условию fm (х„) = 6mn (т, ие N) и такая, что семейство {fn(x)xn: aeN) суммируемо и его сумма равна х для всякого хеЕ. Карлин показал, что такой базис не существует уже в ^[0, 1]. Однако до сих пор не известно, для всякого ли ЛВП Е тождественное отображение е может быть аппроксимировано в смысле равномерной сходимости на каждом предкомпактной подмножестве пространства Е непрерывными отображениями конечного ранга. Вопрос о том, справедливо это или нет, называется проблемой аппроксимации. Говорят, что ЛВП обладает аппроксимационным свойством, если для этого пространства ответ положителен [и, следовательно, пространство обладает четырьмя эквивалентными свойствами, излагаемыми в (9.1)].
Выяснено, что все известные локально выпуклые пространства обладают аппроксимационным свойством (Гротендик [13], гл. I, § 5). В следующем утверждении мы обозначим топологию предкомпактной сходимости значком „с“. '
Пусть Е — локально выпуклое пространство и Е’ — его сопряженное. Тогда следующие свойства Е эквивалентны;.
замыкание Е' ® Е в 9ЕС (£) содержит тождественное отобра- : жение е;;
Е'® Е плотно в 2?ДЕУ[
для всякого ЛВП F тензорное произведение Е' ® F плотно i в $ДЕ, F);1
для всякого ЛВП F тензорное произведение F' ® Е плотно! в$ДЕ,Е\j
Доказательство. (а)=^(Ь): Возьмем отображение uеS’(£),| яредкомпактное множество А и окрестность нуля V в Е. Мы|
должны показать, что существуети6ЕЕ'® Е, такое, что и(х)~ и0(х)еУ для всех хе А. Пусть U — окрестность нуля в Е, для которой u^cV. Согласно (а), найдется элемент еое Е' ® Е, такой, что
х — e0(x)eU для всех х е А. Очевидно, если е0 = S х[ ® xt, то отображение и0 = и ° е0 = 2 -^® и (xj удовлетворяет требованиям.
(Ь)^(с): Для каждого фиксированного иеЗДЕ, F) отображение и и ° и пространства $ДЕ^ в £ДЕ, F) непрерывно. Следовательно, так как Е' ® Е плотно в ЗДЕ), то Е' ® и (Е) плотно в минимальном (замкнутом) подпространстве 2ДЕ, F), содержащем у с е = у, что и доказывает утверждение.
(b)=7>(d): Аналогично для каждого фиксированного гоеЗДЕ, F^ отображение u—>u°w пространства 3?ДЕ) в 3?C(F, Е) непрерывно, так как для любого предкомпактного подмножества В е F образ w (В) предкомпактен в Е (поскольку w равномерно непрерывно). Отсюда следует, что w лежит в замыкании подпространства \Е' ® Е) ° w ст S’c (F, Е), и легко видеть, что (£' 8 £) = и с F' ® Е.
Наконец, импликации (d) =Ф(Ь), (с)=>(Ь) и (Ь)=ф(а) тривиальны.
Следующий результат полностью сводит проблему аппроксимации к случаю банаховых пространств. Помимо этого дается положительный ответ для большого класса локально выпуклых пространств (включающего все ядерные пространства).
Пусть Е — ЛВП с базисом окрестностей нуля S3, образованным выпуклыми закругленными множествами, такими, что для каждого У е'8 пространство Ev обладает аппроксимационным свойством. Тогда Е обладает аппроксимационным свойством.
Доказательство. Пусть дано У е S3 и Ф — каноническое отображение Е-* Ev = F. Пусть 1У = уФ(У), где замыкание берется в F. Тогда Ф-1 (1У) с:-^ У + Уо с: У, если Уо = П ^^ °б°' Л>0
значает ядро (нуль-пространство) отображения Ф. Заметим далее, что Еу = Ф(ЕД плотно в F. Так как F обладает в силу допущений аппроксимационным свойством, то из (9.1), (d) следует, что Е' ® F плотно в $ДЕ, F). Следовательно, пространство Е' ®Ф(£) также плотно в % ДЕ, FY Таким образом, так как ФаЗДЕ, ру то для заданного предкомпактного множества АеЕ существует w е Е' ® Ф(А), такое, что w (х) — Ф(х) е W для всех хе А. Пусть
® = 2^;®Ф(хг). Из предыдущего видно, что фГ2х;(х)х/ — х1е1У,
и, значит (так как Ф ‘(UHcV), имеем У х'(х) х. — х е V для 1 1
всех хе Л. Тем самым утверждение доказано, так как V — произвольный элемент базиса окрестностей нуля в Е.
Следствие 1. Всякое подпространство произвольного произведения гильбертовых пространств обладает аппроксимационным свойством.
Доказательство. Пусть Е = Ц На — произведение гиль- а<= А
бертовых пространств. В Е существует базис окрестностей нуля 23, такой, что для каждого Ее 23 пространство Ev изоморфно гиль' бертову пространству Ц На, где F — подходяще подобранное
конечное подмножество в А. Следовательно, пространство Ev обладает аппроксимационным свойством. Если М — подпространство £ и W = М П V (V е 23), то Mw может быть отождествлено с замыканием ФИ(Л1) в Ev (упр. 3). Следовательно, и Mw — гильбертово пространство, если Ev гильбертово.
Следствие 2. Любой проективный предел гильбертовых пространств и любое подпространство такого проективного предела (в частности, всякое ядерное пространство) обладают аппроксимационным свойством.
Это непосредственно вытекает из следствий 1, 2 из (7.3).
Следствие 3. Если существует локально выпуклое пространство, не обладающее аппроксимационным свойством, то найдется и банахово пространство, не обладающее аппроксимационным свойством.
В силу последнего следствия мы будем рассматривать проблему аппроксимации в дальнейшем только для банаховых пространств. Нам потребуются некоторые результаты о компактных отображениях и множествах. Так как эти результаты представляют также независимый интерес, они будут изложены детально. Обозначим через «Ь» топологию ограниченной сходимости на $ (Е, F). Напомним (разд. 5), что если Е, F — нормированные пространства, то $(Е, F) — нормированное пространство.
Пусть Е — нормированное и F— квазиполное ЛВП. Тогда множество всех компактных линейных отображений Е в F является; замкнутым подпространством 9?b(E, F). i
Доказательство. Подмножество М пространства 9? (Е, F),; состоящее из всех компактных отображений, является, очевидно,.)
подпространством. Покажем, что М замкнуто. Пусть ceMq П и задана окрестность нуля V в F. Пусть ^ — закругленная окрестность нуля в F, такая, что W + W + W с V и [/ — единичный шар Е. Тогда существует и е М, такое, что у (х) — и (х) е W для всех xeU; поскольку и компактно, u{U^ относительно компактно, так что и (U) с (J (bz + IF) для некоторого конечного множества (Ьг} с и {U). Так как IF закруглено, отсюда вытекает, что и ([/) cz у ([/) + IF; следовательно, bt е az + IF (z=l, . .., и) для некоторого конечного подмножества {ajcy([/). Теперь имеем пп
у ([/) с у ([/) + IF с: (J {bi + IF + IF) с (J (а,- + F), ii
откуда видно, что у ((/) предкомпактно и, следовательно, относительно компактно, так как F квазиполно.
Замечание. Предыдущее доказательство показывает, что если Е и F — ТВП, F отделимо и квазиполно, а и— предел компактных отображений в смысле равномерной сходимости на некотором непустом открытом подмножестве Е (или даже на множестве второй категории в Е, если Е бэровское). то у компактно.
Хотя изучение сопряженных отображений проводится позже (гл. IV, разд. 2 и 7), так как оно требует теории двойственности, мы будем использовать далее некоторые элементарные факты, с которыми читатель, вероятно, знаком.
Напомним, что если Е, F — нормированные пространства и Е', F' — банаховы пространства, которые являются сильными сопряженными соответственно к Е и F, то всякое «е2'(£, F) индуцирует отображение у е SE{F't Е'), а именно у' —> у (у') = у' ° и. Непосредственно видно, что для всех хе£, у' ^ F' имеет место неравенство | у (у') [х] | ^|| у' |||| и |||| х ||, так что || v II ^ II u ||. Применение теоремы Хана —Банаха [в ее аналитической форме (11,3.2)] показывает, что || у ]| = || и ||. Отображение у называется сопряженным отображением к и и обозначается и'. Следующий результат принадлежит Шаудеру.
Пусть Е, F — нормированные пространства и F полно. Тогда линейное отображение ие${Е, F) компактно в том и только том случае, когда его сопряженное и' e${F, Е') компактно.
Доказательство. Пусть U, F — единичные шары в Е и F соответственно и U°, F° —единичные шары в Е', F'. Покажем, что и' (F0) = В относительно компактно в Е'. Для этого достаточно (так как Е' метризуемо) показать, что любая последовательность (х'1 — в имеет предельную точку. Пусть х' = и' {iQ {п е N), где
[у'j d/°. Так как множество V0 равностепенно непрерывно и замкнуто в топологии o(F', F), то оно a(F', ^-компактно согласно следствию из (4.3). Следовательно, [у'} имеет предельную точку у' в слабом смысле, которая в силу (4.5) является предельной точкой также и в топологии компактной сходимости. Таким образом, если А = и (U) относительно компактно (т. е. если отображение и компактно), то для всякого е>0 существует бесконечное множество таких /eeN, что | y’k (их) — у' (их) | ^е для всех xeU. Пусть г' = и' (у'). Тогда || и' (у^) — и' (у') [| = ]|х^ — г]] ^е для того же самого /г, а это показывает, что г'— предельная точка последовательности [х'}. Верно и обратное, так как если и' компактно, то и" компактно в 9Е (Е”, F") в силу предыдущего, а и является сужением и" на подпространство Е cz Е".
Нам понадобится в дальнейшем лемма, которая, как показывает анализ доказательства, в действительности верна для (Е)-про- странств. Для удобства мы ограничимся (В)-пространствами, в частности потому, что первое утверждение будет получено для (Р)-пространств в другом контексте [(IV, 6.3), следствие 1].
Лемма 1. Пусть А —компактное подмножество банахова пространства Е. Тогда в Е. существует сходящаяся к нулю последовательность (х^, замкнутая выпуклая закругленная оболочка которой содержит А, и существует компактное выпуклое закругленное подмножество ВаЕ, такое, что А компактно как подмножество Ев.
Доказательство. Пусть {^[ — последовательность положи
тельных чисел, такая, что 2j Л = 1. Положим е = Д„ Обозначим через P|(/eN) конечное подмножество Л(^0), такое, что для любого хе А существует некоторое уеРь удовлетворяющее условию || х — у||<е£. Очевидно, (J Р, плотно в А. Мы определим 1
последовательность (QJ конечных подмножеств Е следующим образом. Пусть Qj — множество ЛГ’Рь Если z> 1, то выберем для всякого y^Pi элемент геРн, удовлетворяющий условию II у — 21| < е£_ь и образуем х = -^ - . Полученное множество (которое имеет то же самое число элементов, что и Pt) и есть Qt.- Так как каждый элемент из Q£ не превосходит по норме Л£ при z> 1, последовательность (Qb ..., Q„, . ..} определяет сходящуюся к нулю последовательность {xn: »eN}, такую, что xneQ{ в точ-. ности, когда щ ^п<пт. Теперь легко видеть, что каждый элемент уеРк имеет вид у = Л1х/) + ... + Xkxt и, следовательно,!
лежит в выпуклой оболочке множества (JQ/, что и доказывает 1
первое утверждение.
При доказательстве второго утверждения, конечно, можно считать, что А выпукло (поскольку Е полно) и даже что А есть выпуклая замкнутая оболочка некоторого множества Q, состоящего из элементов последовательности (xrt: п е N), сходящейся к нулю в Е. Заметим, что найдется последовательность {an: jigN} положительных чисел, такая, что а„—> + <х>, и при этом {а„хга: zzeN} все еще остается сходящейся к нулю последовательностью в Е. Достаточно, например, взять а„ = l/KlI хп II, если хп ^ О, и а„ = п, если хп = 0 (леМ). Пусть S —замкнутая выпуклая закругленная оболочка множества ^пхп‘- «^N}; В — компакт. Ясно, что {х„} является сходящейся к нулю последовательностью в Ев. Действительно, если рв — функционал Минковского множества В, то Рв(аЛ)^1- Следовательно, Рв(хп)^а“* для всех n eN. Чтобы показать, что А — компакт в Ев, обозначим через Ах замкнутую выпуклую оболочку множества Q в Ев. Тогда Д1 — компакт в Ев и (как подмножество Е) плотно в А. Но так как отображение ЕВ^*Е непрерывно, множество Ах тем более компактно в Е и, следовательно, совпадает с А. Лемма доказана.
Установленные результаты не вполне достаточны для доказательства излагаемой далее теоремы (9.5). Мы дважды вынуждены будем использовать предложение (IV, 1.2) и доказываемую ниже лемму 2. Как мы убедимся потом, лемма 2 .является легким следствием из (IV, 2.3) (следствие 1) и (IV, 3.3), но мы дадим прямое доказательство, для которого требуется только геометрическая форма теоремы Хана —Банаха (11,3.1). Для полного понимания теоремы (9.5) рекомендуется перед чтением ее доказательства ознакомиться с материалом первых трех разделов гл. IV.
Лемма 2. Пусть (Е, 2) — ЛВП, В=# 0 — компактное, выпуклое закругленное подмножество Е. Пусть, далее, Q — подпространство в [Ев]', элементы которого суть все непрерывные в топологии, индуцированной $, формы, и В° — единичный ш.ар в [ЕдК. Тогда подмножество Qf\B° плотно в В° в топологии равномерной сходимости на всех компактных подмножествах Ев.
Доказательство. В силу (4.5) достаточно показать, что Q П В° плотно в В0 в топологии простой сходимости. Пусть заданы у'еВ0, е>0 и у,еВ (z = 1, ,.., nV Мы можем предположить, 410 I/'(l/z) ^ О ПРИ некотором I. Обозначим через М конечномерное подпространство Ев (или Е), порожденное yt (z=l, . .., п); Нх = = {.V е М: у' (х) = 1 + е) — гиперплоскость в А1 и линейное многообразие в Е, не пересекающее В. Так как В —компакт, в Е
IQ X, Шефер
существует выпуклое открытое множество V, содержащее В и не пересекающее Нь Согласно (11,3.1), существует замкнутая гиперплоскость Н в Е, содержащая И, и не пересекающая V, скажем Н = ^хеЕ: х' (х)=1). Так как ЯП 5 = 0, элемент Q, который определяется х', лежит в В0. Кроме того, Н Л М = Нь следовательно, при х е М мы имеем у' (х) = (1 + е) х' (х), что влечет за собой неравенство | у' (у^ — х' (у^ | ^е для всех z, поскольку у^В.
Мы можем теперь установить следующую теорему (Гротендик [13]) об аппроксимационном свойстве банаховых пространств и их сопряженных.
Теорема. Пусть Е — банахово пространство и Е' — его сильное сопряженное. Рассмотрим следующие утверждения’.
Е обладает аппроксимационным свойством;
для всякого банахова пространства F замыкание F' ® Е в 2'ь(Р, Е) совпадает с пространством компактных отображений в $<F, Е\,
Е' обладает аппроксимационным свойством;
для всякого банахова пространства F замыкание Е' ® F в $ь^Е, F) совпадает с пространством компактных отображений в $<Е, ЕУ
Тогда (а)О(Ь) и (c)^(d).
Замечание. Утверждение (а) эквивалентно также следующему:
(а') Каноническое отображение Е' 8 Е в $ (£) взаимно однозначно. С помощью эквивалентности (а) У® (а') можно также показать, что (с) =у (а). Но эти доказательства требуют дальнейших результатов по двойственности. Интересующийся читатель может обратиться к гл. IV, упр. 30.
Доказательство 9.5. (а)=^(Ь): Если w е 2 (F, Е) компактно и К —единичный шар в F, то множество А = w (К) предкомпактно в Е. Поэтому существует де £' ® Е, такое, что при заданном е>0 мы будем иметь || е0 (х) — х ||<е при х е А. Таким образом, || ш0 — w || ^е, где w0 = e0ow. Так как w0 — элемент пространства F' <8> Е (а именно, 2 Uz) <8> хь если е0 = 2 Xi&Xi), импликация доказана.
(Ь)=>(а): Пусть дано е>0 и компактное подмножество А с Е. Мы покажем, что существует у, е Я ® Е, удовлетворяющее неравенству || е0 (х) — х || < е для всех х е А. В силу доказанной выше леммы 1 существует компактное выпуклое закругленное подмножество В е Е, такое, что А е В и А компактно в Ев. Полагая F = EB, мы из (Ь) получаем, что существует элемент ю0 е [Ед]'®Е, такой, что || ш0 — Т^ || < е/2 для канонического отображения Ч^, которое является компактным отображением Ев в Е. Так как, согласно лемме 2, всякий элемент у' е[Ед]' может быть аппроксимирован равномерно на А элементами /еЕ', отсюда следует,
что || е0(х) — шо W 11<е/2 для всех х е А и подходящего е0 е Е'^Е, откуда в силу (9.1), (а) вытекает, что Е обладает аппроксимационным свойством.
(c)=^.(d): Пусть и е 2(Е, Е) — компактное отображение. Если мы вложим, как обычно, пространства Е и F в их сильные вторые сопряженные Е" и F" соответственно, то второе сопряженное и"е$^Е'', F") является продолжением отображения и. Далее, единичный шар U в Е плотен в единичном шаре U с Е" в топологии а^Е", E'Y Мы получаем этот результат, применяя лемму 2 к слабому сопряженному Е'а = ^Е\ а^Е', Е^ пространства Е, заменяя В на единичный шар Uti сильного сопряженного и пользуясь тем фактом, что в силу (IV, 1.2) Q заменяется на Е. Легко убедиться, что и" непрерывно относительно топологий а^Е", Е') и a kF”, F'Y С другой стороны, так как отображение и компактно, u(U) содержится в компактном (следовательно, заведомо в a(F, F'Y компактном) подмножестве С ст F. Таким образом, отсюда следует, что m"(E)czC, что влечет за собой включение и” (Е") cz F (это также частный случай леммы 1 из разд. 3 гл. IV).
Далее, в силу (9.4) отображение и' г $(F', Ех) компактно, т. е. образ единичного шара из F' при отображении и' содержится в компактном подмножестве А ст Е'. Так как Е' по предположению обладает аппроксимационным свойством, то найдется отображение у0 = У ft ® xk е Е" ® Е', такое, что при заданном е>0 мы будем иметь ||х' — 2 ^ (-^Э ^ || < е Для всех /еА. Далее, и0 0 и' = 2 Vi ° и') ® хр и мы имеем ft ° и' = и" kf^ = У, ^ Е в силу предыдущего. Отсюда следует, что | и' — 2 У^ ® ^ | < 6 и поэтому || и — 2 x'i ® У( | < е- Ввиду (9.3) импликация доказана.
(d)=^(c): Пусть А — некоторое компактное выпуклое закругленное подмножество Е'. Так как А ограниченно по норме, оно равностепенно непрерывно, и отсюда вытекает, что U = [х е Е: | х' (х) [^ 1 при всех х'е Л} — выпуклая закругленная окрестность нуля в Е. Используя тот факт, что сопряженное к (Е', о {Е', Е)) может быть отождествлено с Е (IV, 1.2), легко убедиться, применяя теорему Хана —Банаха, что [Е']д можно отождествить с сильным сопряженным к Еу и что при этом отождествлении ^ оказывается сопряженным отображением к Фу (упр. 3). Так как Уд компактно, то и Фу компактно (9.4). Поэтому из (d) следует, что для всякого е>0 найдется элемент w е Е' ® Еи, удовлетворяющий условию II ® — Фу ||<е/2. Поскольку Фу(Е) плотно в Еи, существует ш0 е еЕ'®Фу(Е), такое, что || w0 — Фу ||< е. Пусть wQ = ^х'^Фи kxtY тогда || w'Q — ^д || < е или, что то же самое,
для всех х' е А. Это показывает, что Е' обладает аппроксимационным свойством.
Тем самым доказательство (9.5) завершено.
Если Е, F — нормированные пространства и W, Уо — единичные шары в банаховых пространствах Е", F' соответственно, то топология биравностепенно непрерывной сходимости на Е' ® F совпадает с топологией равномерной сходимости на IF(8>V° и, следовательно, нормируема. Нетрудно заметить (упр. 24), что естественная норма для этой топологии совпадает с нормой, индуцированной 3 (Е, Е\ Таким образом, имеем
Следствие. Пусть Е — банахово пространство, сильное сопряженное которого обладает аппроксимационным свойством. Тогда для всякого банахова пространства F каноническое вложение банахова пространства Е' ®F в $ (Е, F) является изометрическим изоморфизмом на подпространство компактных линейных отображений Е в F.
Для сепарабельных (В)-пространств следующим образом формулируется сильная форма аппроксимационного свойства. Последовательность {л„} с Е называется базисом Шаудера, если всякое хеЕ может быть представлено в виде
я = 2 апхп,
где ряд сходится в £ в обычном смысле (т. е. его частичные суммы 2 акхк сходятся к х при п->оо; см. упр. 23). Например, 1
последовательность {е„} (^ — вектор х = (хь х2, .. .), для которого хп = 1 и хт = 0 при m ф и) образует базис Шаудера в любом пространстве lp (1 ^ р < оо) и в с0 (пространство сходящихся к нулю последовательностей х = (х^ с нормой || х || = sup | xt |).
Базисы для многих стандартных (В)-пространств были построены Шаудером [1]. Мы назовем базис Шаудера нормализованным, если каждый из его членов по норме равен 1. Ясно, что всякий шаудеровский базис может быть нормализован. Из постулированной единственности представления х с помощью базиса Шаудера следует, что отображения х-*а„ («gNi являются линейными формами. Следующий сильный результат, красивое приложение теоремы Банаха — Штейнгауза и теоремы о гомоморфизме, был по существу известен Банаху [1].
Если ^хП^ — нормализованный базис Шаудера в банаховом пространстве Е, то формы х -> ап (п е N) образуют равностепенно
непрерывное семейство fn на Е и ряд х = 2 L to хп сходится равномерно на каждом компактном подмножестве Е.
отобраотобрап
отобра
отобра
Доказательство. Положим || х Hi = sup 2 akxk п || k= 1
жение х-»||х||, является новой нормой на Е, в которой Е полно.
Так как || х ||СИ х Ih, то новая норма также порождает топологию Е в силу следствия 2 из (2.1). Отсюда стед/ет, что существует число С>1, такое, что || х Ц, ^ С|| х || для всех х е £ (см. гл. П, упр. 5). Далее, для каждого «eN
I пл I II etnxn ||I пл I II etnxn ||2 ®kxk S ^kxkk=lk = l2 ®kxk S ^kxkk=lk = l<211x11,<211x11,<2C||x||,<2C||x||,
I пл I II etnxn ||
I пл I II etnxn ||
2 ®kxk S ^kxk
k=lk = l
2 ®kxk S ^kxk
k=lk = l
<211x11,
<211x11,
<2C||x||,
<2C||x||,
откуда видно, что семейство всех x->a„ = fn(x) равностепенно непрерывно. Остальное непосредственно следует из (4.6).
Следствие. Всякое {сепарабельное} (В}-пространство содержащее шаудеровский базис, обладает аппроксимационным свойством.
Это очевидно, так как из (9.6) вытекает, что е = 2 fn 8 хп, 1
причем ряд сходится в ^(Е). Предыдущие рассмотрения могут быть перенесены без труда на сепарабельные (Р)-пространства.
Подробное обсуждение базисов в основных сепарабельных бочечных пространствах см. у Дьедонне [8]. Не известно, всякое ли сепарабельное (В)-пространство обладает шаудеровским базисом. Это и есть так называемая проблема базиса. Как мы уже заметили ранее, не всякое сепарабельное (В)-пространство имеет безусловный базис, т. е. шаудеровский базис, такой, что для каждого х последовательность Vfnfx}xn‘. reN) суммируема к х (упр. 23). Этот результат получен Карлином [2]. Относительно многочисленных вариантов проблемы базиса в (В)-пространствах имеется информация в книге Дэя [2]') .
Упражнения
Пусть L, М — хаусдорфовы ТВП, Lo — всюду плотное подпространство L и и — непрерывное линейное отображение L в М, сужение которого на Lo является топологическим гомоморфизмом. Тогда « — топологический гомоморфизм. В частности, если « — топологический гомоморфизм L в Л/ и й — его непрерывное продолжение на пополнение L со значениями в М, то п — топологический гомоморфизм. (Заметим, что, вообще говоря, й (Z.) #= М, даже если и (L) = М\ см. упр. 2 ниже, а также гл. IV, упр. 11.)
Пусть L — метризуемое ТВП и N — замкнутое подпространство L. Пока-
*) См. также статью Мильмана В. Д. в УМН, 25, 3 (1970). — Прим. ред.
зать, что пополнение (LjNV изоморфно (изометрически изоморфно, если L нормируемо) пространству L/N, где N — замыкание N в L. [Методом, использованным в доказательстве (1,6.3), показать, что й (L) = (L/N)~ и что А = ц-1(0), где и обозначает факторотображение L^-L/N.]
Пусть Е — векторное пространство, М — подпространство Е и U — радиальное выпуклое закругленное подмножество Е. Обозначим через Ф^ каноническое отображение Е в Еу (обозначение см. в начале разд. 7).
Пусть V = U П М Тогда существует естественный изометрический изоморфизм Му в подпространстве Фу (М) пространства Еу.
Пусть Ф — факторотображение Е^-Е/М и Ц7 = ф(£). Тогда существует естественный изометрический изоморфизм VE,M^W в Ey/N, где N — замыкание Фу (М) в нормированном пространстве Еу.
В добавление к исходному предположению будем считать, что Е — ЛВП и U — окрестность нуля в Е. Пусть В — множество всех х' е Е', таких, что |х'(х)|<1 для любого хе[/. Тогда существует естественный изометрический изоморфизм сильного сопряженного к Еу (или сильного сопряженного к Еу^ на [£]д.
Пусть Е ($]) — ЛВП, такое, что Tj есть индуктивная топология относительно семейства {(£а, gaY аеА], где все Еа — банаховы пространства и при этом Е = U ga (Еа) [т. е. £($]) — квазиполное борнологическое пространство а
Пусть £ ($2) есть ЛВП, такое, что %2 — индуктивная топология относительно последовательности {(£„, hnY neN), где все Fn — пространства Фреше и при этом F = ^J hn (Fn). Обобщить (2.2) следующим образом:
п
если у — непрерывное линейное отображение F на Е, то и — топологический гомоморфизм;
если и — линейное отображение Е в F с замкнутым графиком, то и непрерывно.
(Доказательства можно найти у Гротендика [13], Введение, теорема В.)
Пусть £ —ТВП над К и F — хаусдорфово ТВП над К
Пусть £0 означает хаусдорфово ТВП, ассоциированное с £, и Ф — каноническое отображение Е -> Ео. Показать, что %: и->и»ф является (алгебраическим) изоморфизмом 3 (£0, Г) в 3 (Е, F); показать, что если © — семейство ограниченных подмножеств £ и ©0 = Ф(©), то % — топологический изоморфизм ^@о(£о, £) на 3@(Е, FY
Предположим, что пространство Е хаусдорфово, пространство F полно и Е — пополнение Е. Для всякого и е 3 (Е, F) обозначим через й непрерывное продолжение и на Е. Тогда и -> й есть изоморфизм 3 (Е, F) на 3 (Е, F) и топологический изоморфизм относительно ©-топологии и ©-топологии соответственно, где © — семейство ограниченных множеств в £, а © — семейство их замыканий в Е.
Изоморфизм и -> й переводит равностепенно непрерывные семейства отображений в равностепенно непрерывные семейства. Если © — тотальное семейство предкомпактных подмножеств Е, то соответствие Н->Н\ индуцирует гомеоморфизм множеств (и даже равномерный изоморфизм). [Использовать (4.5).]
Пусть £ —векторное пространство над К, {Еа, а е А} — семейство ЛВП над К и ^ga: а е А} — семейство линейных отображений £а в Е, таких, что £ = Uga (£а>-
Обозначим через @а (а е А) тотальное семейство ограниченных подмножеств в Еа. Пусть ®= О^а (®а)> Наделим пространство Е индуктивной топологией относительно класса {(£а, £а): а е А) и пусть F — некоторое ЛВП. Тогда 3-топология на 3 (Е, F) совпадает с проективной топологией относительно отображений u->u<>ga пространства 3 (Е, F) в 3^ ^Еа, F) (а е А).
Вывести отсюда, что если Е = @Еа, то пространство 3^ (Е, F) изоморфно а
П^» б
а
Пусть Е, F есть ЛВП, такие, что F + {0}, пусть ®[ и ®2 — насыщенные семейства ограниченных подмножеств £и@,с ®2. Если ®[ + ®2, то ©2-топология строго сильнее, чем ©[-топология на 3 (Е, F). Выведите отсюда, что множество всех ©-топологий на 3 (Е, F) находится во взаимно однозначном соответствии с множеством всех насыщенных семейств ограниченных подмножеств пространства Е.
Пусть Е — борнологическое пространство и © — семейство ограниченных подмножеств пространства Е, такое, что всякая сходящаяся к нулю последовательность в Е содержится в некотором множестве Se 5. Показать, что если F — квазиполное (соответственно полное) ЛВП, то 3^ (Е, F) квазиполно (соответственно полно). [Использовать (8.3) и упр. 17 гл. II.]
(Теорема Осгуда). Пусть X — непустое топологическое пространство, которое является пространством Бэра.
Пусть {/„} — поточечно сходящаяся последовательность непрерывных функций на X со значениями в метрическом пространстве Y. Тогда множество точек, в которых последовательность равностепенно непрерывна, есть множество второй категории в X.
Пусть {/„} —поточечно ограниченная последовательность непрерывных функций со значениями в F, где F есть ТВП, обладающее фундаментальной последовательностью ограниченных множеств. Тогда в X найдется такое подмножество Ао с непустой внутренностью, что последовательность {fn} равномерно ограниченна на Ао.
Вывести отсюда классические варианты принципа равномерной ограниченности и теоремы Банаха — Штейнгауза.
Показать, что в условиях упр. 14 гл. II последовательность линейных форм f->nf (n-1) („eN) на пространстве Е слабо ограниченна (и, значит, равномерно ограниченна на всяком выпуклом закругленном подмножестве пространства Е, которое полно), но не равностепенно непрерывна.
Пусть Т — множество. Фильтр g на 7 назовем элементарным, если он является фильтром сечений для последовательности {/„} из Т, т. е. если базис {у образован множествами Еп = Ук. k^n} (пеМ). Покажите, что всякий фильтр © на Г, обладающий счетным базисом, есть пересечение всех элементарных фильтров д aS. Используя это, распространите предложение (4.6) на фильтры со счетным базисом.
(Принцип конденсации особенностей Банаха — Штейнгауза [1].) Пусть Е, F — ТВП и Е — бэровское пространство.
Показать, что если подмножество Н cl 3 (Е, F) не равностепенно непрерывно, то подпространство М = {х: Н (х) ограничен > в F) есть множество первой категории в Е. Так что если {//,J — последовательность подмножеств 3 (Е, F), каждое из которых не является ограниченным в топологии поточечной сходимости на Е, то существует х0 е Е, такое, что подмножества //га(х0) не ограниченны в F для всех n е N и множество всех таких х0 не есть подмножество первой категории в Е.
Пусть £ = ^ (/) — банахово пространство всех непрерывных комплексных Функций на вещественном единичном интервале / = [0, 1], и пусть // — гильбертово пространство L2 (р), где р обозначает лебегову меру на /. Отождествим
алгебраически пространство Е с подпространством пространства Н и обозначим через {g^} какой-либо полный ортонормальный базис в Н, например нормализованную систему тригонометрических функций. Формальный ряд ^ [A g*] gh, к
где [, ] обозначает скалярное произведение в Н, называется разложением Фурье функции f (относительно {gn}). Покажите, что если t0 Е 1 таково, что lim Ln (Io) = оо, где Ln (s) = J | ^ g* (s) g^ (0 | dp (/), то найдется непрерывная функция [еЕ, разложение Фурье которой не ограниченно (следовательно, не сходится) в t = t0. (Установить этот результат, применяя (4.2).)
В обозначениях упр. 13 пусть Р — счетное подмножество интервала / и пусть © — счетное семейство ортонормальных базисов в L2 (ц), для каждого из которых limLn(I) = oc при всех t е Р.
Показать, что существует функция jeE, разложение Фурье которой относительно каждого базиса из © неограниченно для каждого teP (использовать упр. 12,13).
Обобщить предыдущий результат на случай, когда X — метризуемое локально компактное пространство, ц — ограниченная положительная мера на X, такая, что ц (G) > О для всякого открытого 0^0, Е = Я8 (X), // = L2(p) (гл. II, разд. 2, примеры), и Р — счетное подмножество X, такое, что и ({/}) = О для всякого t е Р.
Пусть {атл} — счетная двойная последовательность, такая, что для каждого meN существует суммируемая последовательность [х*^: «eNjE?, для которой ряд ^ ашпх^ не сходится. Тогда найдется такая последова
тельность V°nis Л что ряды ^ Qmnxn расходятся для всех m е N (исполь- п = 1
зовать упр. 12).
Пусть Е, F, G — ТВП над полем К.
Показать, что билинейное отображение прямого произведения Е X F в пространство G, непрерывное в (0, 0), непрерывно в любой другой точке.
Пусть Н — векторное пространство, образованное (©, Тфгипонепрерыв- ными билинейными отображениями Е X F в G. Показать, что Н — ТВП в топологии © X ^-сходимости (достаточно показать, что всякое jsH либо ©-, либо Х-гипонепрерывно).
Семейство В билинейных отображений EXF в пространство G назовем ©-равностепенно непрерывным, если для каждого S е © семейство ух: х е S, f е В) равностепенно непрерывно в 3 (F, G). Определите соответствующие понятия для 2- и (©, ^(-равностепенной непрерывности и докажите предложения, аналогичные (5.2) н (5.3).
Пусть Е — бесконечномерное нормируемое пространство и F — его слабое сопряженное (£', о (£', £) ). Билинейная форма (х, /) -> / (х) является Ж-гипо- непрерывной, где X — семейство всех равностепенно непрерывных подмножеств F, но она не является непрерывной ни для какого насыщенного семейства © из ограниченных подмножеств Е, если только оно не порождено конечными подмножествами пространства Е, и, следовательно, отображение (х, () -> f (х) не непрерывно на Е X F. (Пусть S — ограниченное подмножество в Е, не содержащееся в конечномерном подпространстве. Для всякой слабой окрестности нуля U = у-. |/(■*;) | С 1} найдется у е S и, по теореме Хана — Банаха, такое feU, что f (у) равно заданному числу.)
Пусть Е, £ —векторные пространства размерности^, d2 соответственно над К.
Отображение х ® у -> [х* -> х* (х) /у] индуцирует изоморфизм Е®Е и L (Е*, РУ, соответственно тензорное произведение Е ® F изоморфно подпространству L (F*, Е).
Для каждого иеЕ ® F минимальное число слагаемых х. ® у. в вы
ражении и = ^ xi^ У^ совпадает с размерностью г образа соответствующего i = l
отображения о: х* -> и (х*) = ^ х* (х(.) уг В любом представлении и суммой 1 = 1
из г слагаемых оба множества [xj и {yj линейно независимы.
Изоморфизм из пункта (а) является изоморфизмом «на» в том и только том случае, когда хотя бы одна из размерностей dt, d2 конечна.
Размерность пространства E®F равна d^d^.
Пусть Ei (i = 1Г ..., п) и G — векторные пространства над К. Отображение (хь ..., хл)->/(хь ..., хп) произведения Д £/ в G называется поди- i
линейным (га-линейным), если каждое частное отображение Ei~>G, полученное фиксированием координат х^ (/ =/= z) элемента х, линейно. Определите тензорное произведение F=®Et и, в случае когда все £; — ЛВП, определите проек
тивную тензорную топологию на F. Сформулируйте и докажите для этого случая результаты, аналогичные тем, что даны в разд. 6.
Пусть Е, £ —векторные пространства и р, q — преднормы на Е, F соответственно. Тогда тензорное произведение р ® q является нормой на £ ® £ в том и только том случае, когда р и q — нормы.
Пусть Е, F, G — нормированные пространства с нормами р, q, г соответственно.
Норма з на Е ® F называется кросснормой для р и q (скрещенным произведением р и qy если з (х ® у) = р (х) q (у) для всех (х, у) ^ Е ® F.
Тензорное произведение норм р ® q может быть охарактеризовано как единственная норма на Е ® F, такая, что для каждого нормированного пространства (G, г) канонический изоморфизм $ (Е ® F, G) на Д (£, F; G) (см. 6.2) является изометрическим изоморфизмом, при условии, что Я (£, F; G) наделено нормой f -* || ) || = sup (г [f (х, z/)]: р (х)< 1, q (у) ^ 1).
Если з — произвольная кросснорма р и q, то s ^ р ® q.
Обозначим через Е' (соответственно £') пространство, сильное сопряженное к Е (соответственно к £), с его стандартной нормой р' (q').
Показать, что отображение
и -> s («) = sup (2 <хi^ У' (У^- u = ^Xi® yv р' (х') < 1, q’ (у') < 1}
есть кросснорма на Е ® F, порождающая топологию биравностепенно непрерывной сходимости (разд. 6).
Пусть t — кросснорма для р и q. Следующие утверждения эквивалентны:
з ^ / ^ р ® q, где з —норма, введенная в (с);
функционалы г -> f (г) = sup {| г (да) |: t (w) ^ 1}, где weE®F и zeE'® F', являются кросснормой для р' и q' (см. Шаттен [1] ).
Пусть Е, £ —ЛВП, х ~ каноническое билинейное отображение EXF в Е ® F, %t — индуктивная топология тензорного произведения и Е® F — пополнение (Е ® F, TiY
Для всякого ЛВП G изоморфизм из (6.1) отображает пространство $ ( (Е ® F, ^tV G) на 8 (£, F; G).
$, — индуктивная топология (гл. II, разд. 6) относительно семейства отображений (Хх^ Ху- х е Е, у s £} пространства F (соответственно £) в £® I
Вывести отсюда, что если пространства Е, F оба борнологические или оба бочечные, то пространство Е ® F бочечно (использовать упр. 15 гл. II).
Пусть Е — хаусдорфово ТВП.
Формальный, ряд 2 хп, где хп е Е (ле N), сходится к х, если после- 1
довательность частичных сумм sn = У х^ (л е N) сходится к х в Е. Записы
вается это так: х = 2 хп.
1
Семейство ^ха: а е А} ед Е суммируемо к х е Е, если для всякой окрестности нуля U в Е найдется конечное подмножество Фу с А, такое, что для каждого конечного множества Ф, удовлетворяющего условию Фу с Ф с А, имеет место включение 2 ха г х + U. Это записывается так: х = У ха.
а е Фа е Л
Если А = N и семейство {%„} суммируемо (суммируемая последовательность)
то ряд 2 хп называется безусловно сходящимся.
1
Пусть Е локально выпукло. Семейство ^ха". а е А) с Е абсолютно суммируемо, если оно суммируемо в Е и если для всякой непрерывной пред- нормы р на Е семейство {р (ха): а g А) суммируемо (в R). Ряд 2 хп назы- 1
вается абсолютно сходящимся, если A = N и {х„} абсолютно суммируемы.
. Пусть пространство Е полно. Семейство {ха: «е А) суммируемо тогда и только тогда, когда для всякой окрестности нуля U в Е существует конечное подмножество Ф^ с А, такое, что 2 ха е U, как только ФсА конечно а е ф
и ФПФг/ = 0. Если Е — полное ЛВП, то семейство Vxa‘ а g А} абсолютно суммируемо при условии, что для каждой преднормы р из порождающего семейства преднорм числовое семейство {р (ха): а G А} суммируемо.
(1) и (2) эквивалентны, если пространство Е конечномерно (и, значит, локально выпукло).
Пусть Е — ЛВП, имеющее непрерывную норму. Тогда всякое абсолютно суммируемое семейство в пространстве Е содержит не более чем счетное множество отличных от 0 членов.
Пусть Е — полное ЛВП, А — множество индексов мощности d>0. Обозначим через Sa подпространство пространства Е^, элементы которого суть абсолютно суммируемые семейства в Е. Пусть ^ — порождающее семейство преднорм на Е. Тогда в топологии, порожденной преднормами х-> р (х) = 2 р (ха)
а
(р g ^), пространство Sa изоморфно тензорному произведению /^ <§ Е [использовать (6.5)].
Пусть {xa: a G А} — суммируемое семейство в ЛВП Е. Покажите, что для всякого равностепенно непрерывного множества ВсЕ' ряд 2 | х' (xn) I
а
сходится равномерно относительно х' g В.
Пусть Е, F — нормированные пространства и тензорное произведение E'®F отождествлено с подпространством S’ (Е, F) (разд. 7). Тогда топология ограниченной сходимости на $ (Е, F) индуцирует топологию биравностепенно непрерывной сходимости на Е'® F (Е'— сильное сопряженное к пространству Е).
[Применяя теорему Хана — Банаха (II, 3.2, следствие), покажите, что для всякого нормированного пространства G и для всякого элемента геС имеем |,z || = sup {| г' (г) |: г'g G', ||г'||^1). Затем воспользуйтесь упр. 21, (с).]
1 25. Пусть Е — лестничное пространство (Кёте [1] ). Алгебраически Е определяется следующим образом. Пусть {о,,: n е N) - семейство последовательностей п ...) вещественных чисел, такое, что 0 Сбз!”* + для всех пг, n е N, и для каждого пг существует п, при котором з^>0. Рассмотрим подпространство пространства Кд таких элементов х = (Хр х2, •••)> чт0 все последовательности [jrms^:rneNj (neN) суммируемы (упр. 23). В топологии, порожденной полунормами
х^рп(х) = 2 IVml («еЮ,
m = 1
тогда и только тогда, s(n> /тогда и только тогда, s(n> /заменитьзаменитьЕ становится (Е)-пространством. Это пространство ядерно
тогда и только тогда, s(n> /
тогда и только тогда, s(n> /
заменить
заменить
„(п + р)„(п + р)когда для всякого и существует ре N, такое, что
„(п + р)
„(п + р)
m = 1
отношение ^- на 0^ . [Для доказательства воспользуйтесь (7.2), (с). Относительно необходимости условий заметим, что сопряженное пространство Е' к Е может быть отождествлено с пространством последовательностей, каждая из которых абсолютно мажорируема некоторым поп. Если через Вп обозначить множества последовательностей {ут}, таких, что | ym | ^ s^ Для всех т, то семейство {«5П} будет фундаментальным семейством равностепенно непрерывных подмножеств пространства Е'.]
Семейство {ха: ае А) в ТВП Е топологически свободно, если для всякого а е А ха не содержится в наименьшем замкнутом подпространстве Е, содержащем подсемейство (хр: 0 =# а}. Пусть Е — сепарабельное (В)-пространство (более общо, сепарабельное бочечное пространство), и пусть {xrt} — максимальная топологически свободная последовательность в Е. Покажите, что существует единственная последовательность {/Д cz Е', биортогональная к {хп}, и покажите, что последовательность (хп) является шаудеровским базисом в Е, если для каждого хеЕ и для каждого g е Е' числовая последовательность
1 — ^ W g ^^У га е N ? ограниченна.
I &= 1)
Пусть S — множество, F — ЛВП и G — векторное пространство функций па S со значениями в F, ограниченных на S. Пусть 7 — фиксированная окрестность нуля пространства F и Z — подмножество пространства G, такое, что для каждого конечного подмножества В cz Z существует xeS, для которого f(x)^V при всех f е Н. Дополнения всех таких множеств Z (когда V пробегает базис окрестностей нуля А) образуют базис окрестностей нуля в локально выпуклой топологии на G, называемой топологией квазиравномерной сходимости на S (Брэйс [1] ). Пусть Е, А—банаховы пространства. Отображение и е 3 (Е, F) компактно тогда и только тогда, когда оно является предельной точкой в топологии квазиравномерной сходимости на Е для некоторой последовательности из Е' ® F (Брэйс [2]).
Глава IV
ДВОЙСТВЕННОСТЬ
Изучение локально выпуклого пространства в терминах его сопряженного занимает центральное место в современной теории топологических векторных пространств, так как оно позволяет поставить наиболее глубокие и наиболее красивые задачи предмета. Предлагаемая законченная форма теории двойственности принадлежит в основном Бурбаки [8] (см. также Дьедонне [1] и Дьедонне — Шварц [1]). Первые пять разделов этой главы содержат основополагающую информацию, остальные шесть связаны с более тонкими и более специальными результатами. Как и в других главах книги, дополнительную информацию можно найти в упражнениях. Мы дадим краткий обзор главы.
Разд. 1 посвящен слабым топологиям, теореме о биполяре и ее первым следствиям. В разд. 2 дано краткое обсуждение сопряженных к слабо непрерывным отображениям. Разд. 3 содержит теорему Макки — Аренса, характеризующую локально выпуклые топологии, согласованные с заданной двойственностью, и теорему Макки о совпадении соответствующих семейств ограниченных множеств для всех этих топологий. Двойственность подпространств и факторпространств и двойственность произведения и прямых сумм обсуждаются в деталях в разд. 4, здесь же дока-, зывается наследственность свойств слабой топологии и топологии Макки, а также даются некоторые приложения к двойственности проективных и индуктивных пределов. В разд. 5 вводится сильная топология на сопряженном к локально выпуклому пространству, после чего мы обращаемся к изучению сильного сопряженного и второго сопряженного. Сюда входит детальное изучение полуреф- лексивных и рефлексивных пространств. Раздел завершается кратким обсуждением монтелевских пространств (относительно которых см. также упр. 19). "
Разд. 6 содержит теорему Гротендика о полноте и некоторые относящиеся к этому же кругу задач далеко идущие результаты о метризуемых ЛВП. В частности, теоремы Банаха — Дьедонне и Крейна — Шмульяна. В конце раздела дано краткое обсуждение (ОР)-пространств Гротендика (см. также упр. 24, 32, 33). •
В разд. 7 продолжается изучение сопряженных отображе-- ний — теперь уже для плотно определенных замкнутых линейных:
отображений одного ЛВП в другое. Здесь же имеются дуальные характеристики непрерывных и открытых линейных отображений, которые следуют из некоторых результатов, относящихся к пространствам Фреше и Банаха. В разделе намечен также путь к общим теоремам об открытом отображении и замкнутом графике, которые устанавливаются в разд. 8. Эти теоремы, по существу принадлежащие Птаку, выявляют совершенно неожиданную связь между теоремой Банаха о гомеоморфизме и теоремой Кейна — Шмульяна. Они дают великолепный пример силы теории двойственности. В разд. 9 продолжено изучение топологических тензорных произведений и ядерных пространств из гл. III; здесь доказываются некоторые фундаментальные результаты о ядерных пространствах. В разд. 10 изучается связь между понятием абсолютной суммируемости и ядерными пространствами, а также дается подход (предложенный Ничем) к ядерным пространствам, не зависящий от теории топологических тензорных произведений. В качестве одного из результатов получена теорема Дворецкого — Роджерса (отчетливую форму теоремы см. в упр. 36). Глава завершается разделом о слабой компактности — предметом, которому в литературе уделялось много внимания. Раздел включает теоремы Эбер- лейна и Крейна в их общей форме, принадлежащие Дьедонне и Гротендику.
Дуальные системы и слабые топологии
Пусть F, G—пара векторных пространств над К и /—билинейная форма на F X G, удовлетворяющая аксиомам отделимости:
если f (xq, у) = 0 для всех y^G, то л'о = О;
если ^х, уф = О для всех х е F, то уо = О.
Тройка (F, G, f) называется дуальной системой или двойственностью (над KY Обычно говорят также, что / ставит F и G в двой- егвенность, или отделимую двойственность, если хотят подчеркнуть, что выполняются свойства (SJ и (S2). В отличие от других билинейных форм на F X G f называется канонической билинейной формой двойственности и обычно обозначается так: (.г, у) -> (х, у). Тройку (Г, G, (, )) более удобно обозначать символом (F, G).
Примеры. 1. Пусть Е — векторное пространство и Е* — его алгебраическое сопряженное. Тогда билинейная форма {х, х*) -> х* (х) = (х, х*) определяет лчойственность (Е, £*).
Пусть Е — локально выпуклое пространство (с топологическим) сопряженным Е', тогда Е' есть подпространство Е*, разделяющее точки на Е в силу следствия 1 из (II, 4.2). Следовательно, двойственность (Е, Е’) из примера 1 индуцирует на подпространстве Е X Е' с Е X Е* двойственность (Е, Е').
Пусть Е, F— ЛВП с соответственными сопряженными Е', F'. Алгебраические тензорные произведения Е ® F и Е* ® F* двойственны относительно билинейной формы, определяемой равенством (х ® у, х* ® у*) = (х, х*) (у, у*). В гл. III (разд. 6) было показано, что эта двойственность индуцирует двойственность между E®F и Е' ® F' (упр. 2). ,
Обозначим через Ф^ и o>d соответственно прямую сумму и произведение d экземпляров скалярного поля К. Пусть X — векторное пространство над К, такое, что Ф^ с X с to^, и X* — подпространство a>d, такое, что у^УруеХ*. когда семейство Gallal суммируемо для всякого х = (xa) е X. Билинейная форма (х, у) -> 2 хауа ставит Z и Г в двойственность (упр. 5).
Если (Е, G) — двойственность, то для всякого yeG отображение х->(х, у} представляет собой линейную форму на F. Так как отображение у—Чу линейно и, согласно (S2), взаимно однозначно, то оно является изоморфизмом G в алгебраическое сопряженное F* к F, так что G может быть отождествлено с подпространством F. В дальнейшем отождествление всегда будет предполагаться осуществленным, если только специально не оговорено противное. Заметим, что при этом отождествлении каноническая билинейная форма (Е, G) индуцируется канонической билинейной формой (F, F‘) (пример 1 выше).
В этом и последующих разделах любое предложение относительно F может быть высказано и относительно G простой переменой ролей F и G; это немедленно следует из симметричности (Е, G) относительно F и G, и мы не будем более повторять этого.
Наши исследования мы начинаем с простого алгебраического рассмотрения; б(/, как обычно, символ Кронекера.
Пусть (F, G) — двойственность и (уу. i = 1, . . ., n} (п е N) — линейно независимое подмножество G. Тогда существуют п (обязательно линейно независимых) элементов xt е F, таких, что <хь у^Ьц (i, j=l, п).
Доказательство. Доказательство проводится индукцией по п.
В силу (S2) утверждение, очевидно, справедливо для n=L. Если п > 1, то по предположению существует множество) (icy i = 1, . . ., П — 1}, ДЛЯ которого <ХЬ У;) = Ьц (/, / = 1, ..., п— 1).J Пусть Мп — подпространство, порожденное элементами хД1^г^) 0—1), и пусть Fn = (х е F: (х, уф/ = 0, j = 1, . . ., п — 1}. Очевидно,! F = Fn + Мп есть алгебраическая прямая сумма. Далее, уп не может! аннулироваться на Fn, так как в противном случае уп должно быть! линейной комбинацией (уу z=l, . .., п — 1}; следовательно, най-’ дется хп е Fn, такое, что (хп, уф)=1; полагая Xj, = xt —(Xi, уп) хп- (z = 1, 2, ..., п— 1), мы получим требуемое множество (ху z= 1,..., п}.
Следствие. Пусть F — векторное пространство, и пусть/ fi(i= 1, . • ., п) и g — линейные формы на F, такие, что из равенств ф(х) = 0 (z=l, ..., п) для xeF следует, что g(x) = 0 ^или, что
Тогда g представляетТогда g представляетто же самое, такие, что Q
Тогда g представляет
Тогда g представляет
собой линейную комбинацию форм /^(/=1, ..., п).собой линейную комбинацию форм /^(/=1, ..., п)./ = 1.
собой линейную комбинацию форм /^(/=1, ..., п).
собой линейную комбинацию форм /^(/=1, ..., п).
Мы напомним (гл. II, разд. 5), что слабая топология a (F, G) — это слабейшая топология на F, для которой линейные формы >(х, у), y^G непрерывны. В силу (SJ F будет ЛВП в топологии a(F, G\ Если В — какой-либо базис Гамеля на G, то топология a (f, G) порождается преднормами x->j(x, у) |, уеВ.
Сопряженным пространством к (F,a(F, G)) является G, т. е. линейная форма f на F o(F, СУнепрерывна в том и только том случае, когда она имеет вид f (х) = (х, у) для некоторого (единственного) у е G.
Доказательство. В силу определения топологии o(F, G) мы должны показать только, что любая заданная непрерывная линейная форма f может быть записана указанным способом. Согласно (III, 1.1), существуют элементы yzeG(z=l, . .., п\ такие, что | f (х) | ^ с sup | (х, у;) | для всех х е F (с —некоторая константа). Так как удлиненная форма на F, следствие из (1.1) показывает, что f будет линейной комбинацией у;, откуда и следует утверждение.
Следствие. Пусть (F, G) и (F, G,) — дуальные системы, такие, что G, cz G. Если только G; не равно G, то a(F, G,) строго слабее, чем a (F, G).
Пусть (F, G} — двойственность и Gx —подпространство G. Каноническая билинейная форма (F, G) ставит F и Gx в двойственность тогда и только тогда, когда G, является o(G,Fy плотным в G.
Доказательство. Чтобы доказать достаточность условия, мы должны показать, что каноническая билинейная форма удовлетворяет (SJ на F X Gp Если G! слабо плотно в G и (х0, у) = О для всех y^Gx, то из a (G, ^-непрерывности у->(х0, у) следует (х0, у) = 0 для всех yeG. Поэтому х0 = 0.
Для доказательства необходимости условия предположим, что (F, G) индуцирует двойственность между F и GP Если G, не плотно в (G,o(F, G)\ то должно существовать yoeG, не содержащееся в замыкании Gx пространства Gx. Определим линейную форму f на Gj + [Уо1 (гДе [уо] — одномерное подпространство G, порожденное уф, полагая f(y) = O для yeGx и / (у0) = 1; форма f является o(G, ^-непрерывной на своей области определения согласно (I, 4.2). Следовательно, в силу (II, 4.2) f имеет непрерывное продолжение f на G. Согласно (1.2), Цу) = (хй, у) для всех y^G и х0 е F. Из того, что (SJ имеет место по предположению на F X G\, Должно следовать, что хо = О; но это противоречит равенству f(y0) = 1.
Следствие. Пусть F — векторное пространство и G—подпространство Р\ Тогда (F, F*) индуцирует двойственность между F и G в том и только том случае, когда G a(F\ Р)-плотно в F*.
Пусть (F, О) — двойственность. Для каждого подмножества Мар определим
М° = {у a G: Re (х, у) ^ 1, если х е ЛД,
где Re(x, у) означает вещественную часть (х, у). Подмножество М° с G называется полярным множеством (или полярой) М. Абсолютная поляра М — это поляра закругленной оболочки М, или, что то же самое, подмножество {у: | (х, у) | ^ 1 при xaM)aG. Следующие факты вытекают из определения.
0° = G и К° = {0}. ° °
Если /. ^Ои XMaN, то № с /ОДД.
[ U Л1«] = П Ма для всякого семейства {Л1а} подмножеств F.
Если 5 — произвольное насыщенное семейство o)F, G)-orpa- ниченных подмножеств F, то семейство поляр (S°: S е 5} является базисом окрестностей нуля для 5-топологии на подпространстве G. VG = S4Ug a(F, G)), Ко)-]
Если L — ТВП, то подмножество Л1 его сопряженного L' равностепенно непрерывно в том и только том случае, когда поляра М° (относительно двойственности (L, L')) является окрестностью нуля в L.
Доказательство этих утверждений, так же как и следующего результата, оставляется читателю.
4. Для всякого подмножества Мар поляра М° является о (G, Р)-замкнутым выпуклым подмножеством G, содержащим 0. Если Л1 закруглено, то и Л4° закруглено; если М — подпространство F, то М° — подпространство G.
Пусть МаР. Поляра множества Л4°, являющаяся подмножеством F, называется биполярой М и обозначается символом Л400; соответственно поляра множества М°° обозначается через М000. Следующий результат, называемый теоремой о биполяре, есть следствие теоремы Хана —Банаха; он является необходимым инструментом в работе с двойственностью.
5. Теорема. Пусть (Р, G} — двойственность. Тогда для всякого подмножества Мар биполяра М°° совпадает с о)Р, 0)-замкнутой выпуклой оболочкой множества М U {0}.
Доказательство. Из (1.4) следует, что М00 замкнуто в топологии o(F, G), выпукло и содержит 0. Очевидно также, что
yVF^M. Таким образом, Мх cz Л4°°, где Мх — замкнутая выпуклая оболочка MU {0}. Утверждение будет доказано, если мы покажем, что из отношения х^Мх следует, что х^М°°. Предположим, что хфЛУ В силу второй теоремы отделимости (11,9.2) существует замкнутая вещественная гиперплоскость Н, строго разделяющая Мх и {л'о}- Так как ОеМ,, то Н имеет вид H = [xeF: f(x)=l} для некоторой подходяще подобранной c(F, О)-непрерывной вещественной линейной формы f на F. Из (1.2) и (1,7.2) следует, что существует точка yoeG, такая, что f(х) = Re(х, у^ для всех xeF. Далее, так как 0еМь мы имеем Re(x, у0)<1, если хеМ,. Следовательно, Re(x0, у0)<1. Отсюда следует, что уое М°а М°, поэтому х0 ^ М°°.
Следствие 1. М°°° = М° для всякого McF.
Следствие 2. Пусть {Ма: а е А} — некоторое семейство а (F, СУзамкнутых выпуклых подмножеств F, каждое из которых содержит 0, и пусть М = Q Ма. Тогда поляра множества М совпа- а°
дает с o^G, рУзамкнутой выпуклой оболочкой объединения (jMa.
а
Доказательство. Пусть N — замкнутая выпуклая оболочка U Ма. Так как Ма = Ма («еА), имеют место равенства Л- = = | U Ма]° = П А1Г = И Ма = М [первое из этих равенств справедливо в силу (1.5) и следствия 1, второе вытекает из замечания 3, предшествующего (1.4)], следовательно, М° = №° = N, что и требовалось доказать.
Ясно, что для всякого ТВП L поляры (в L') множеств, образующих базис окрестностей нуля, составляют фундаментальное семейство равностепенно непрерывных множеств (см. замечание 5 выше). Для локально выпуклых пространств верно также обратное:
Следствие 3. Если Е — ДВП, то поляры [взятые относительно (Е, Д')] любого фундаментального семейства равностепенно непрерывных множеств в Е' образуют базис окрестностей нуля в Е.
Доказательство. Пусть S — фундаментальное семейство равностепенно непрерывных подмножеств Е' и U — заданная окрестность нуля в Е. Так как Е локально выпукло, то U можно предполагать замкнутым и выпуклым, а значит, с[Е, Д^-замкнутым в силу следствия 1 из (11,9.2).
Так как U0 равностепенно непрерывно, найдется Se2, такое, что U° с S. Отсюда следует, что S°dU°° = U, что и доказывает утверждение.
В более общем виде последнее следствие может быть сформу* лировано следующим образом.
Следствие 4. Топология I на ТВП Е — локально выпукла в том (ы только том) случае, когда 2 есть топология равномерной сходимости на равностепенно непрерывных подмножествах Е\
Из теоремы о биполяре следует, что для подпространства МсЕ равенство М = М°° имеет место тогда и только тогда, когда М замкнуто в топологии o(F, G). Следовательно, отображение М —> М° взаимно однозначно отображает семейство всех o)F, 6)-замкну- тых подпространств F в семейство всех o)G, Е)-замкнутых подпространств G. Более точно, М —> М° — это антиизоморфизм решетки замкнутых подпространств F на решетку замкнутых подпространств G, где решеточные операции определяются равенствами inf (А^, М2) = Mt О М2 и sup (Afb М2) = [Al, + А12] . При этом определении из (1.5) и следствий немедленно вытекает, что (inf (А1Ь М2))° = = sup {Л4ь А12} и (sup{Afb Al2}) = inf {Л11, А12). Обычно поляру М° пространства Мер называют подпространством в G, ортогональным М (относительно двойственности (F, G)). Если F = АГ] + М2 — алгебраическая прямая сумма замкнутых подпространств Mi и М2, то G = (АБ + М^ в силу предыдущего. Ниже (разд. 2) будет показано, что сумма является о(Е, С)-топологической и Ё = уИ1фА12 в том и только том случае, когда С = Л-1|(ЕЛ-12 в топологии o(G, F).
Наиболее важными и наиболее часто встречающимися двойственностями являются системы (Е, Е'-), где Е — заданное ЛВП (пример 2 выше). Заметим, что всякая дуальная система (Е, G) может быть интерпретирована таким способом. В силу (1.2) достаточно наделить F топологией о(Е, G) и рассмотреть G как сопряженное F' к F. Напомним, что слабое сопряженное к ЛВП (более общо —к ТВП) Е — это ЛВП )Е', о^Е', Е)). Удобно обозначать это пространство символом Ео. Раздел заканчивается двумя полезными результатами относительно Еб.
6. Пусть Е — ЛВП. Тогда семейство всех бочек в Е и семейство всех замкнутых выпуклых закругленных ограниченных подмножеств в Еа соответствуют друг другу при отображении М -» М° ^относительно двойственности (Е, Е')).
Доказательство. Пусть D — бочка в Е. Тогда D° ограниченно в Ео. Так как в силу следствия 2 из (11,9.2) D замкнуто в топологии о(Е, Е'), то из (1.5) следует, что D = D°° (относительно (Е, Е')). Поэтому достаточно показать, что для всякого ограниченного замкнутого выпуклого закругленного подмножества ВсЕа поляра В0 является бочкой в Е. Ввиду (1.4) остается доказать только, что В0 радиально. Пусть хеЕ. Тогда {х}° является окрестностью нуля в Еа. Следовательно, существует Е>0, такое, что
В о К" {х} = {Хх} . Отсюда следует, что Кх е В , что завершает доказательство.
Учитывая следствие 3 из (1.5), получаем характеристику двойственности бочечных пространств (усиленную форму см. в разд. 5).
Следствие. ЛВП Е бочечно тогда и только тогда, когда всякое ограниченное подмножество в Еа равностепенно непрерывно.
7. Пусть Е — сепарабельное ТВП. Всякое замкнутое равностепенно непрерывное подмножество в Еа является компактным метризуемым пространством {в индуцированной топологии]. Если же, кроме того, Е метризуемо, то Еа сепарабельно.
Доказательство. Первое утверждение является частным случаем (111,4.7) для F = Ко- Пусть Е метризуемо. Обозначим через Wn: «eN, базис окрестностей нуля. Так как каждая поляра Uп равностепенно непрерывна и замкнута в Еа, то Un — компактное, метризуемое и, следовательно, сепарабельное пространство в топологии, индуцируемой о]Е', Е). Пусть Ап — счетное всюду плотное подмножество Un (neN). Так как, очевидно, каждое х'еН' содержится в некотором Uп (семейство {t/n}, будучи фундаментальным, покрывает Е'], то отсюда следует, что счетное множество A=UA,t плотно в Еа.
1
Элементарные свойства сопряженных отображений
Пусть F и Двекторные пространства над К и и— линейное отображение F в F^ Тогда для каждого элемента у’еП отображение у* ° и: х->(дх, у*) представляет собой некоторую линейную форму х*еР" [мы пишем их вместо и (х)], обычно обозначаемую через и у*. Таким образом, мы имеем тождество
(мх, у*) = (х, и*у*)
на F X Г*. Отображение у*-* и*у* пространства F* в F* (очевидно, линейное) называется алгебраическим сопряженным и к и.
Пусть (F, G) и {Fx, G ^ — двойственности над К. Тогда линейное отображение и пространства F в F^ непрерывно относительно топологий o]F, G) и о{Е{, GJ в том и только том случае, когда иЦО^сО. В этом случае сужение и' отображения и” на 6| будет непрерывно для топологий o(Gi, Ft) и o]G, F] и и" = («'/ = ы-
Доказательство. Если и* (GJcG, то отображение х->^их, у') = {х, и'у') (xeF, у' eGJ непрерывно относительно a(F, G), откуда следует, согласно определению, a(Fb GJ-непре-
рывность и в этих двух топологиях. Обратно, если и непрерывно в топологиях o(F, G) и o(Fx, G^, то х-»(их, у') = (х, и*у'} непрерывно в топологии a (F, G\ следовательно, и у' eG согласно (1.2). В силу тождества
(их, у') = (х, и'у'} (xeF, y'eG^
теперь очевидно, что и' непрерывно в 0(6^ F^ и a(G, F\ Последнее утверждение следует из симметрии.
Если u‘(Gx)cG, то отображение и' называется сопряженным (транспонированным, двойственным отображением) к и относительно двойственностей (F, G) и (Fb G^. В то же время отношение zz^GJczG, эквивалентное слабой непрерывности и, выражают словами, говоря, что сопряженное к и «существует». Заметим также, что всякое линейное отображение и пространства F в Fx непрерывно относительно a(F, F") и o^Fx, F*); эти топологии суть слабые топологии, ассоциированные с сильнейшими локально выпуклыми топологиями на F и Fx соответственно (гл. II, разд. 6 и упр. 7).
Рассмотрим пример. Предположим, что (.F, 6) — двойственность и F = = ЛД + Мг “ алгебраическая прямая сумма. Обозначим поляру относительно двойственности (F, G} символом °, а поляру относительно (F, F*) — символом *. Пусть р — проекция F на Мь которая аннулируется на М2. Легко понять из тождества (рх, х*) = (х, р*х") на F X F*, что р* является проекцией с множеством значений М* и нуль-пространством М*. Следовательно, F =М* VM* есть алгебраическая прямая сумма. Если ЛГр М2 о (F, С)-замкнуты, то М° + м| а (О, /?)-плотно в G ввиду следствия 2 из (1.5).
Для того чтобы G = Mj + М2, необходимо и достаточно, чтобы р (6) = М2, что в силу равенства М2 = М* ПС эквивалентно включению р (О) cz G. Это в свою очередь эквивалентно a(F, 6)-непрерывности р. Таким образом, алгебраическая прямая сумма Т^ЛД + Мг двух замкнутых подпространств является а И, С)-топологической тогда и только тогда, когда G = Af]+Al9. В этом случае это разложение G является с (G, ^-топологическим и проекции р: F -> Мх и р : 0->М2 взаимно сопряжены.
Доказательство следующего простого результата, приведенного для ссылок, опускается.
Пусть (Fb Gi) (/= I, 2, 3) — двойственность над К. Обозначил! символом Ui слабо непрерывное линейное отображение Ft в Fi+X (7=1, 2). Тогда отображением, сопряженным к суперпозиции w = u2-u1, будет суперпозиция w' = u(°u'2.
Пусть (F, G} и (Fх, G^ — двойственности. Пусть и —слабо непрерывное линейное отображение F в Fx с сопряженным и' и А, В — подмножества F и F, соответственно. Тогда имеют место следующие соотношения-.
[«(Л)]° = («')-’(Л°);
и (Д') с В влечет и' (В0') а А°;
если А и В — слабо замкнутые выпуклые множества, содержащие 0, то из и' (5°) с: Л° следует и (Л) с В.
Доказательство, (а) [и (Л)]° = \у' е Gp Re(ux, /XI, если .v е Л} = {у' е G,: Re(x, u'y^^l, если >:е Л} = 1м/!(Л:).
и(А)аВ влечет В0 с: \и (Л)]° = G/Д1 (Л°), откуда следует и' (В0)^ Л°.
м"(Л°°) с В°° согласно (Ь). Следовательно, и(А)сВ в силу равенства и" = и и теоремы о биполяре (1.3), откуда Л = Л°° и В = В00.
Следствие. Ну ль-пространством (z/)- (0) является подпространство Gh ортогональное множеству значений u(F) оператора и. В частности, и' взаимно однозначно тогда и только тогда, когда и (Е) плотно в Fx в топологии o(Fx, GJ.
Следствие немедленно вытекает из (2.3), (а) и теоремы о биполяре.
Если Е, F — ЛВП (более общо —ТВП) и и — непрерывное линейное отображение Е в F, то и непрерывно в ассоциированных слабых топологиях а^Е, Е') и a(F, F'Y Действительно, для всякого ii'eF' линейная форма х->(их, у'} непрерывна на Е, следовательно, она непрерывна в топологии а(Е, Е'1) (в силу определения о (Е, Е')), откуда вытекает слабая непрерывность и. Таким образом, каждое ue$(E, F) имеет сопряженное и', являющееся непрерывным линейным отображением слабого сопряженного Fa в Еа. Следующий результат о непрерывности сопряженного отображения является более общим.
Пусть (F, G) и (Ej, G ^ — двойственности и и —слабо непрерывное линейное отображение F в Fx с сопряженным и'. Пусть 6 и 3] — насыщенные семейства o(F, СУограниченных (соответственно o{Fx, G ^-ограниченных^ подмножеств F и Fx. Символом 2 обозначим ^-топологию на G, символом ^ — соответственно ^-топологию на Gx. Тогда и' — непрерывное отображение (Gh $J в (G, 2) тогда и только тогда, когда u(^ci<>x.
Доказательство. Пусть S и 5J — семейства всех слабо замкнутых выпуклых закругленных множеств, содержащихся в S п 2, соответственно. Семейства U = [S : $е$] и U| = (Si: Si^Sj являются базисами окрестностей нуля соответственно для 2 и 1Ь Согласно (Ь) и (с) из (2.3), отношения u(S)cSi и и (Si)g:S эквивалентны для всех непустых Se3 и Sj^Sj, что доказывает утверждение,
Локально выпуклые топологии, согласованныес заданной двойственностью.
Теорема Макки—Аренса
Пусть (F, G) обозначает заданную двойственность над К и 5 — семейство всех a(G, ^-ограниченных подмножеств G. Топология равномерностей сходимости на множествах Sei (гл. III, разд. 3) является локально выпуклой топологией на пространстве F = $((G, a(G, F)), Ко), где Ко, как обычно, означает одномерное ТВП, ассоциированное с полем скаляров К. Напомним, что 5-топология и 5-топология идентичны, если 5 означает насыщенную оболочку 5 (гл. III, разд. 3).
Локально выпуклая топология 2 на F называется согласованной с двойственностью (К, G), если сопряженное к (F, 2) совпадает с G (G понимается как подпространство F*, разд. 1).
Отсюда следует, что топология на F, согласованная с двойственностью (F, G), всегда не слабее o(F, G) и, значит, хаусдорфова; o(F, G) является в силу своего определения слабейшей согласованной топологией на F.
Непосредственным результатом, вытекающим из этого определения и следствия 2 из (II, 9.2), является следующий часто используемый факт.
Замыкание выпуклого подмножества GcF является одним и тем же для всех (.локально выпуклых) топологий на F, согласованных с (F, G) (и, следовательно, совпадает с o(F, 0)-замыка- нием С).
Из следствия 3 теоремы о биполяре (1.5) вытекает, что всякая топология 2 на F, согласованная с (F, G), является 5-топологией, а именно топологией равномерной сходимости на (насыщенном) классе 5-равностепенно непрерывных подмножеств G. В силу теоремы Алаоглу — Бурбаки этот класс состоит в точности из множеств, относительно компактных в топологии o(G, F). Следующий результат верен для G. Макки [5] и Аренс [1] утверждают, что, обратно, всякое насыщенное семейство о (G, ^-относительно компактных множеств, покрывающее G, само всегда является классом равностепенно непрерывных множеств относительно некоторой согласованной топологии на F. Классы a(G, F)- относительно компактных подмножеств G, являющиеся насыщенными, находятся таким образом во взаимно однозначном соответствии с локально выпуклыми топологиями на F, согласованными с (F, G) (гл. III, упр. 7).
Теорема. Локально выпуклая топология i на F согласована с двойственностью (F, G) тогда и только тогда, когда $
является ^-топологией для некоторого насыщенного класса 3, покрывающего G и образованного a(G, руотносительно компактными подмножествами G.
Доказательство. Необходимость условия была уже указана выше. Докажем его достаточность. Пусть 3 —насыщенное семейство подмножеств G, которое покрывает G и состоит из a(G, /^-относительно компактных множеств. Из (III, 3.2) следует, что F есть ЛВП в S-топологии и эта топология, поскольку 3 покрывает G, не слабее a(_F, G) (a(F, G) представляет собой топологию простой сходимости). Следовательно, сопряженное к пространству F, наделенному S-топологией, содержит G. Мы должны доказать его совпадение с G. Пусть / — линейная форма на F, непрерывная для 3-топологии. Поляра {/}° (взятая относительно (F, F/) является в силу непрерывности / окрестностью нуля в 3-топологии и, значит, содержит множество 5°, где S может предполагаться выпуклым закругленным и o(G, /^компактным, поскольку 3 —насыщенное семейство. Таким образом, / ge S°°, где биполяра берется относительно (F, F*). Из (1.5) следует, что S = S°°, так как S, будучи o(G, /Дкомпактом, компактно и, значит, замкнуто в (F*, o(F*, F)). Отсюда следует, что /eScG. Доказательство завершено.
Следствие 1. Существует сильнейшая локально выпуклая топология на F, согласованная с (F, G), а именно топология равномерной сходимости на всех a (G, рукомпактных, выпуклых закругленных подмножествах G.
Эта топология на F называется топологией Макки относи- гельно (F, G) и обозначается т)/7, G).
Насыщенная оболочка 6 семейства 6 всех a(G, ^-компактных, выпуклых закругленных подмножеств G получается присоединением всех подмножеств множеств из 6, но 6 нельзя путать с се* мейством всех о (G, ^-относительно компактных подмножеств G. Это последнее семейство не будет насыщенным, если только вы пуклая оболочка каждого относительно компактного подмножества не является снова относительно компактной в o^G.F) (см. разд. 11). С другой стороны, если G квазиполно в топологии o(G, РУ то слова «насыщенная» и «выпуклая закругленная» можно опустить в утверждении (3.2) и следствии 1 соответственно.
Следствие 2. Всякое а^Р, ОУограниченное подмножество F ограничено в т(Р, G). Следовательно, соответствующие семейства ограниченных множеств совпадают для всех локально выпуклых топологий на F, согласованных с (F, G).
Доказательство. Семейство С всех выпуклых закругленных a (G, ^-компактных множеств в G содержится (в действи-
тельности совпадает) в семействе © из (III, 3.4), если в (III, 3.4) мы возьмем F = Ко, так как каждое Себ а(6, С)-полно [см. (5.5), следствие 2]. Первое утверждение, таким образом, следует из (III, 3.4), второе получается непосредственно.
Ввиду постоянного (и зачастую не оговариваемого) применения предшествующих результатов мы резюмируем их сразу в следующем утверждении; читателю следует обратить внимание на частный случай, когда Е — ЛВП, E—F и E' = G.
Пусть (F, G) — двойственность. Тогда пространство F (2), где 2 — локально выпуклая топология на F, имеет в качестве сопряженного пространства G в том и только том случае, когда 2 сильнее, чем а ЦУ G\ и слабее, чем %(F, G\ Если 2 — такая топология, то выпуклое подмножество Е с F Х-замкнуто, если оно t^F, СУзамкнуто, и любое подмножество Е с F Х-ограничено, если оно о (F, ОУограничено.
Более общо, если 2 —локально выпуклая топология на F, такая, что FiTj'cG, то 2 слабее, чем т(С, 6). Если же 2 таково, что F^YoG, то 2 сильнее, чем a(F, Gy На данном векторном пространстве F существует сильнейшая локально выпуклая топология (гл. II, разд. 6 и 7), которая согласована с двойственностью (F, G) в том и только том случае, когда G — F' и, очевидно, совпадает с t(F, F’Y Слабейшей локально выпуклой топологией на F является тривиальная топология {0, F}, но не обязательно существует слабейшая локально выпуклая топология, которая отделима. Если такая топология 2т существует, то F = (F'Y и 2ОТ = a (F, Е'У где F' — F(ZmY; Zm называется минимальной топологией на F (упр. 6).
ЛВП Е называется пространством Макки, если его топология есть т^Е, Е'\ Следующий результат показывает, что большинство ЛВП, встречающихся в приложениях, суть пространства Макки.
Если Е — ЛВП, которое бочечно или же борнологично (в частности, если Е метризуемо\ то Е — пространство Макки.
Доказательство. Если Е бочечно, то в силу следствия из (1.6) всякое ограниченное и тем более всякое компактное подмножество в ,Еа равностепенно непрерывно, откуда видно, что топология 2 на Е сильнее, чем т(Е, Е') и, следовательно, совпадает с х(Е, Е') согласно (3.3). Аналогичные рассуждения применимы, когда Е борнологично, так как любая т(Е, СДокрестность нуля поглощает все ограниченные подмножества Е и, следовательно, является окрестностью нуля в топологии 2.
Пусть (Е, 2)-ЛВП и (Ё, 2)— его пополнение. С помощью отображения f->f, где 7 обозначает непрерывное продолжение
f е Е' на Ё, мы можем отождествить сопряженное к Е с Е'. Из (1, 1.5) (в частном случае из упр. 5 гл. III) немедленно следует, что при этом отождествлении всякое 2-равностепенно непрерывное подмножество переходит в 2-равностепенно непрерывное, и обратно. Следующее утверждение является простым следствием этого факта.
Если Е — пространство Макки, то и его пополнение Е есть пространство Макки.
Действительно, если С —выпуклое закругленное о (Д', ^-компактное подмножество Е', то С тем более о (Д', Д)-компактно и, следовательно, 2-равностепенно непрерывно, поскольку Д —пространство Макки. Отсюда следует, что С будет и 2-равностепенно непрерывным и, значит, Д — пространство Макки.
Двойственность проективной и индуктивной топологий
Определение проективной и индуктивной топологий (гл. II разд. 5, 6) предполагает, что эти два типа топологий будут встречаться парами в дуальных системах. Настоящий раздел посвящен этому типу двойственности. Мы не будем исследовать предмет в его наиболее общем виде, но изучим двойственность между индуцированной и фактортопологиями и между топологиями произведения и прямой суммы. Это позволит нам получить некоторые приложения в двойственности между проективными и индуктивными пределами.
Пусть (F, G) — дуальная система, М — подпространство F и ЛГ — подпространство G, ортогональное М. Тогда сужение канонической билинейной формы на М X G — константа на любом множестве {(х0, у^, где х0 е М фиксировано, а у пробегает класс эквивалентности [у] в G по модулю М°. Поэтому (х, [г/]) -» ^ (х, [у]) = = (х, у), где у г [?/] представляет собой вполне определенную билинейную форму на М X ^G]M°\ Легко видеть, что h ставит М и GIM° в двойственность. Дуальная система (М, GIM°, fj будет обозначаться символом (М, G/M°).
Пусть Д обозначает каноническое вложение М в F и Ф — фак- торотображение G -> G[M°. Из определения дуальной системы (AI, G(M°) следует, что на М X G имеет место равенство
<х, Ф (?/)) = (Д (х), у).
Отсюда следует, что Д непрерывно в топологиях о(М, G/Af°) и оЦЕ G), Ф непрерывно относительно o(G, F) и o(.GfM°, М), а Д и Ф взаимно сопряжены (разд. 2). Это замечание будет полезно при доказательстве следующей теоремы.
Теорема. Пусть (F, G) — дуальная система и М —подпространство F. Обозначим через Si и S2 насыщенные семейства слабо ограниченных подмножеств G и G]M° для двойственностей (F, G) и (М, GjM°) соответственно. Обозначим через 2] и 22 соответствующие ©-топологии на F и М. Двойственно, пусть S, и S2 — насыщенные семейства слабо ограниченных подмножеств F и М соответственно, и через 2] и 22 обозначим соответствующие ©-топологии на G и G/M0. Рассмотрим следующие утверждения:
O(S[) = S2;
2] индуцирует 22 на М;
W-1 (Sj) = S2;
22 есть фактортопология топологии 2].
Справедливы импликации (а)=ф(Ь) и (б)=Ф(с). Кроме того, если 2] согласовано с двойственностью (F, G), то (Ь)=ф(а), и если 21 согласовано с двойственностью (F, G) и М замкнуто, то (c)^(d).
Доказательство. Для большей ясности мы будем обозначать поляры относительно двойственности (F, G) через ° и поляры относительно двойственности (М, GIM°) через *.
(а)=>(Ь): Если S,eSi, то из (2.3), (а) следует, что
[ф(5!)]е =4^-J(Si) = Si п Л4.
Если Sj пробегает ©ь поляры Si пробегают базис окрестностей нуля в топологии 2, на F. Так как в силу предположения Ф(51) будет пробегать S2, то ясно, что 2, индуцирует 22 на М.
(d)=^>(c): Пусть U —фильтр окрестностей нуля в топологии 21 на G. Тогда 23 = Ф(Н) представляет собой фильтр окрестностей нуля фактортопологии на G]M°. Кроме того, в силу (2.3), (а) мы имеем
у • = [ф (t/)] • = W“‘([7°) = [7° П М
для всех U еИ. Так как [7° пробегает фундаментальное подсемейство в е?ь когда U пробегает U, то предположение, что 22— фактортопология для 2], влечет равенство W-1 (SJ = S2.
(Ь)=ф(а): Мы предположим, что топология 2! согласована с (F, G). Обозначим через Uj семейство всех замкнутых выпуклых 2гокрестностей нуля в F. Тогда U2 = U1nAl является базисом фильтра 22 окрестностей нуля в М. Заметим, что так как 77° (77 е UJ — компакт, то 77° + М° замкнуто в топологии o(G, Е) и Ф ([7°) —компакт (и, следовательно, замкнуто), поскольку Ф
непрерывно относительно топологий o(G, F) и a (G/Af°, 7И). Из следствия 2 предложения (1.5) мы получаем
Ф (П°) = Ф (U° + М°) = Ф ([[7 П W) = Ф ([^ П Af]°) = [77 П М]*,
где М обозначает o(F, С)-замыкание М. В то время как U пробегает 11], U° пробегает фундаментальное подсемейство ®ь аналогично [УПАЛ* будет пробегать фундаментальное подсемейство Сш. Так как оба эти семейства насыщены, отсюда следует, что Ф (sQ = @2-
=ф(сЗ): Мы предположим, что Т2 согласовано с (F, G) и М замкнуто в топологии а(Е, G). Так как Ф(S2) cz ©н то из (2.4) следует, что Ф непрерывно в топологиях 5ц и $2-
Следовательно, 5г не сильнее фактортопологии $ь Поэтому достаточно показать, что для всякого замкнутого выпуклого закругленного множества S^®] образ Ф(51) является ^-окрестностью нуля в GIM°. Если 52 = 51Г|Л1, то из (2.3), (а) и следствия 2 к (1.5) вытекает, что
Ф'1 (s2e) = [T (S2)]° = [S, П М]° = (s; + му.
Здесь V = Si + М является Тгокрестностью нуля и замыкание берется относительно а(фЗ,Р\ Так как топология 2] согласована с (F, G) и множество V выпукло, то замыкание V в o(G, Е) совпадает с замыканием относительно Зд. Отсюда следует, что (31 + М°) = V cz V + V = 2Si + 2М°. Поэтому из вышеприведенного включения следует, что S* с2ф(31) и, значит, Ф(31) является Ти-окрестностью нуля в G]M°. Это завершает доказательство (4.1).
Замечание. Согласованность топологий 5^ и 5^ с (_F, О') необходима для импликаций (Ь) =^ (а) и (с) =^ (d) (упр. 7); М также должно предполагаться замкнутым для справедливости (с) Д? (d), как мы вскоре увидим. (4.1) может легко быть сформулировано в более общей форме с заменой равенств в (а) и (с) включениями и утверждений в (Ь) и (d) соответствующими соотношениями включения для ©-топологий.
Следствие 1. Пусть (F, G) — двойственность и М--подпространство F. Тогда слабая топология а^М, G/M0) является топологией, индуцированной на М слабой топологией a^G, F\ С другой стороны, o(G/M°, Л4) будет фактортопологией топологии a^G, F) в том и только том случае, когда М замкнуто в F.
Доказательство. Первое утверждение следует из импликации (а)=ф(Ь) предложения (4.1), если в качестве ®j и ©г взять насыщенные семейства, порожденные конечными подмножествами G и G/M° соответственно. Достаточность во втором утверждении
следует аналогично из импликации (с) =ф (d). Обратно, если o(G/M°, М) — фактортопология топологии o(G, F\ то в силу предыдущего мы имеем (так как М° = М°) равенство a(G/M°, М) = = о(С}М°, м\ что влечет за собой замкнутость М = М (следствие из (1.2)).
Пусть Е есть ЛВП, М — подпространство Е и F = EjN — фактор- пространство Е. Обозначим символами V: М - >Е и Ф: Е - >EiN канонические отображения. Соответствие f - > f ^F является линейным отображением Е' на М', которое есть отображение «на» в силу (II, 4.2), и определяет алгебраический изоморфизм между Р' и N°c.E'. В силу этого сопряженное к М (соответственно к E/N) часто отождествляется с E'jM° (соответственно с №\ Следующее утверждение немедленно вытекает из следствия 1.
Следствие 2. Пусть М — подпространство и F — факторпро- странство ЛВП Е. Тогда слабая топология а(Л4, М') есть топология, индуцированная о^Е,Е'\ и топология о^Р,Р'^ является фактортопологией топологии о(Е, Е'\
Следствие 3. Пусть (,F, G) — двойственность и М — подпространство F. Топология Макки x^GJM0, М) является фактортопологией топологии t(G, Е) тогда и только тогда, когда М замкнуто. С другой стороны, топология, индуцируемая t^F, G) на М, слабее, чем т(М, G^M0), однако согласована с двойственностью (М, G/M°).
Доказательство. Достаточность первого утверждения немедленно следует из импликации (c)^>(d) предложения (4.1). Обратно, если x^G/M0, М) есть фактортопология топологии t(G, F), то относительно x^GjM^M) непрерывны на G]M° те же самые линейные формы, что и в фактортопологии топологии o(G, Г), которой в силу следствия 1 является o(GjM°, Л1). Отсюда следует, что М — М. Относительно второго утверждения заметим, что Ф непрерывно в o(G, F) и o(,GfM°, Л1), что влечет за собой включение Ф (<$9 с 2(; здесь $[ и $2 обозначают насыщенные оболочки, порожденные всеми выпуклыми закругленными слабо компактными подмножествами G и G]MQ соответственно. Из (2.4) следует, что W непрерывно в т(Л4, О]М"д и x^F, G), т. е. последняя топология слабее на М, чем т(Л4, G/M°). Последнее утверждение очевидно, поскольку т^, G) сильнее, чем o(F, G).
И наконец, последнее следствие получается аналогично следствию 2 с использованием (3.4) для доказательства второго утверждения.
Следствие 4. Пусть М — подпространство и F — факторпро- странство ЛВП Е. Тогда топология Макки x^F, F') является
фактортопологией топологии х(Е, Е'у Если сужение х(Е, Е') на М метризуемо, то оно совпадает с т(Л1, М'У
Последний результат можно перефразировать, сказав, что всякое (отделимое) факторпространство пространства Макки является пространством Макки и что всякое метризуемое подпространство пространства Макки есть пространство Макки.
Мы обратимся к двойственности между произведениями и прямыми суммами. Пусть ЦЕа, Ga): ueA} обозначает семейство дуальных систем над К, и пусть F = |[ Fa, G=©Ga. Билинейная aa
форма f на F X G, определяемая равенством
fix, z/) = 2(*a, уф)а
(заметим, что суммирование производится по не более чем конечному числу ненулевых членов), ставит F и G в двойственность. Обозначим через IF, G) дуальную систему IF, G, f). Как и раньше (гл. II, разд. 5 и 6), мы будем идентифицировать каждое Fa с подпространством Fa X {0} пространства F и каждое Ga с подпространством Ga®{0} пространства G, но для большей ясности поляры относительно (Fa, Сф) будут обозначаться через ° (а е А) и поляры относительно (F, G) —через *. Мы заметим далее, что если ра есть проекция F-> Fa, ga — инъекция Ga-*G (ueA), то
<РаХ, уф) = <Х, §аУф)
является тождеством для х е F, уае Ga и а е А. Следовательно, согласно (2.1), ра и ga слабо непрерывны относительно (F, G) и Ga).
Если Sa—семейство слабо ограниченных закругленных подмножеств Fa (a G А), то каждое произведение S = Ц Sa, Sa^S(„ а
является о IF, С)-закругленным подмножеством F. Обозначим через в = Л ^а семейство всех таких произведений. Очевидно, a
'5 покрывает F, если каждое семейство Sa покрывает Fa (а е А). Двойственно, пусть Sa —семейство слабо ограниченных закругленных подмножеств Ga (а е А). Тогда каждое множество S = ©Sa, aeH
где И — конечное подмножество А, будет закругленным и о IF, СУ ограниченным в G. Обозначим символом S =ф®а семейство a
всех таких сумм; в покрывает G, если каждое Sa покрывает Ga (a s А). В этих обозначениях мы получаем следующее утверждение:
Произведение Sa-топологий совпадает с S -топологией на F. Дуально, локально выпуклая прямая сумма 5а-топологий совпадает с S-топологией на G.
Доказательство. Если S = ® So, где Н содержит га5s 1 а е Н
элементов, то несложное вычисление показывает, что
(У)’ с П (SQ°X II Facn(ST,
“ Е иа ^ Н
откуда вытекает первое утверждение.'
Двойственно, пусть S = Ц Sa, и предположим, что каждое Sa (а е А) слабо замкнуто, выпукло и закруглено. Очевидно, выпуклая закругленная оболочка Г Sa содержится в S*. Обратно, если a
у = (Уа)е8*, то Si (xa, z/a) |^1 для всех x = (xa)eS. Полагая a
Ла = sup (I (xa, y^ |: x e S], мы получим Z„ = О для всех, кроме, может быть, конечного множества, индексов а е А и 2^а^1- a
Далее, уа е AaS°; следовательно, у = 2 Уа ^ Г -$а> поэтому aa
S* = ГSa. Так как набор множеств -Sal образует базис окрест- aI a J
ностей нуля для локально выпуклой прямой суммы ©„-топологий [см. соотношение (*), предшествующее (II, 6.2)], то эта топология совпадает с ©-топологией на G.
Мы применим (4.2) к семейству ЛВП.
Теорема. Пусть (Еа; as А} — семейство ЛВП и Е = Ц Еа. a
Тогда сопряженное Е' к пространству Е алгебраически изоморфно ® Еа и справедливы следующие топологические тождества;
a"
а(Д, Д') = По (Да, Да); а
т(Д, Д') = Пт(Да, Да); а
т(Д', Д)= ®т(Да, Да), а
Замечание. Равенство а (д', Е) = фс(Е'а, Е^ мы имеем в том и только том случае, когда семейство {£„} конечно (упр. 8).
Доказательство. Непосредственно видно, что каждое f = (fa) е ф Да определяет линейную форму х -» f (х) = 2 fa (ха) на Е, aa
которая непрерывна, так как f = 2la°Pa (суммирование произво- a
дится только по конечному числу отличных от нуля членов). Ясно, что это отображение ^Еа в Е взаимно однозначно. Остается
показать, что каждое g г Е' получается таким способом. Для заданного g существует окрестность нуля U в Е, на которой g ограниченно. Можно предполагать, что U = П Uа X П Е„ для «ен а^Н
некоторого конечного подмножества ЯсА. Обозначим через fa (ссеА) сужение g на Еа. Тогда, очевидно, fa е Е' для всех а и /а = 0, если а ^ Я. Следовательно, для хеЕ мы получим
gW = g( 2 рах\= 2 May\аен / аеН
что и доказывает утверждение. Пространство Е', следовательно, изоморфно алгебраической прямой сумме фЯ в силу двойственности между произведениями и прямыми суммами, введенной выше.
Осталось доказать топологические предложения.
Если За обозначает семейство всех конечномерных ограниченных закругленных подмножеств ЯДа е А), то очевидно, что система 3 = фЗа фундаментальна для семейства всех конечно- а
мерных ограниченных закругленных подмножеств ®Еа. Предло- а
жение следует из (4.2).
3. Если За обозначает семейство всех выпуклых закругленных слабо компактных подмножеств пространства Еа(а^А), то 3 — ][ За является фундаментальным подсемейством семейства (5 a
всех выпуклых закругленных слабо компактных подмножеств Е. Действительно, если Себ, то pa(C)e3a, так как, согласно 1, p,t — слабо непрерывное отображение Е в Еа(аеА.\ и Ц/д(С)еб a
опять-таки в силу 1 и теоремы Тихонова, которая утверждает, что любое произведение компактных пространств компактно. Таким образом, согласно (4.2), эта 3-топология на Е' совпадает с т (Я, Е).
Если За —семейство всех выпуклых закругленных слабо компактных подмножеств Ea(asA), то ввиду (4.2) достаточно показать, что 3 =фЗа является фундаментальной системой вы- a
пуклых закругленных подмножеств Е', которые компактны в то пологий о (Я, Е). Если С —такое множество, то С ограниченно в о (Я, Е) и, следовательно, ограниченно в т(Я, Е\ Таким образом, в силу 3 и (II, 6.3) С содержится в ф ра(С), где Н — под- ае Н
ходяще выбранное конечное подмножество А и ра обозначает проекцию Е' на Е'а. Так как ра непрерывно относительно топологии
с^Е', Е) (ра даже непрерывно в слабой топологии, индуцированной на Е' топологией ][ о(Еа, Е^ в (Еа, о (Еа, Еа)), то отсюда еле- a
дует, что ра(С) еб', что и является желательным заключением, так как, очевидно, всякой член 5' — выпуклое закругленное и компактное в о^Е'.Е) подмножество. Это завершает доказательство (4.3).
Следствие 1. Пусть )Еа: а ^ А} —семейство ЛВП, и пусть Е — их локально выпуклая прямая сумма. Тогда Е' алгебраически изоморфно И Еа и справедливы следующие топологические ра- a
венства;
т(Е, Е') = ®х(Еа, Еа); а
т^^ Е) = 1Ш Еа); а
о(е', Е) = Па(Еа, Еа). а
Доказательство. Из (11,6.1) легко следует, что сопряженное Е' к Е может быть отождествлено с Ц Еа в силу кано- a
нической двойственности между произведениями и прямыми суммами. Для доказательства остальных утверждений достаточно поменять местами Е и Е' в (4.3).
Следствие 2. Произведение, локально выпуклая прямая сумма и индуктивный предел семейства пространств Макки являются пространствами Макки.
Для произведений и прямых сумм результат немедленно следует из (4.3) и следствия 1. Для индуктивных пределов он вытекает из следствия 4 утверждения (4.1).
Теорема (4.3) и следствие 1 дают явную характеризацию различных семейств ограниченных подмножеств в двойственности произведений и локально выпуклых прямых сумм (упр. 8; см. также последнюю часть доказательства (4.3)). В частности, если {Eq} — семейство ЛВП и S — равностепенно непрерывное подмножество В сопряженном фЕа к ПЕа, то проекции p^S) равно- aa
степенно непрерывны в Еа для каждого а, и любая конечная сумма равностепенно непрерывных подмножеств равностепенно непрерывна в фЕа. Таким образом, из (11,6.3) и (4.3), 3) следует, что З7 = = ф ©a — фундаментальное семейство равностепенно непрерывных a
множеств в фЕа, если каждое Sa является таким семейством в Еа.
Соответствующий результат остается верным, если «равностепенную непрерывность» заменить на «слабую ограниченность». В силу характеризации равностепенно непрерывных множеств в пространстве, сопряженном к бочечному, доказан следующий результат:
Следствие 3. Произведение любого семейства бочечных пространств бочечно.
Наконец, мы получаем представление сопряженного пространства к пространству непрерывных линейных отображений.
Следствие 4. Пусть Е, F — ЛВП и через ^S(E, F) обозначено пространство непрерывных линейных отображений Е в F в топологии простой сходимости. Тогда соответствие 2^z ® y'^f, определяемое равенством
fW-^uXpy^ <ue3(E,F}),
является {алгебраическим} изоморфизмом Е ® F' на сопряженное к 3S{E, F}.
Доказательство. Если у = 2xt ® у'р то отображение v->f будет, очевидно, линейным отображением Е ® F в 3S, которое, кроме того, взаимно однозначно, поскольку билинейная форма (у, и}—> f {и} ставит даже подпространство Е' ® F пространства 3 {Е, F} (гл. III, разд. 7) в отделимую двойственность с Е ® F' (разд. 1, пример 4). Остается доказать, что отображение u->f является отображением на 5FS. Так как ЗДЕ, £)— подпространство произведения FE, то всякое g е 3S является сужением непрерывной линейной формы на FE и, следовательно, в силу 4.3 сужением формы вида
и -* g (и) = 5 (uxv у?)
для подходящих конечных подмножеств ^xj с £ и ^у'^ с F', что
завершает доказательство.-
Мы закончим этот раздел применением предыдущих резуль
татов к двойственности между проективными и индуктивными пределами. Напомним, что проективный предел Е = lim ga^E^ (гл. II,
разд. 5) определяется как подпространство пространства Ц Е.
а именно подпространство П^ЧО}, где и(!„ = ра — gap ° р^ для всех а<р.
Проективный предел Е называется приведенным, если для каждого а проекция ра(Е) плотна в Еа. Без ограничения общности можно считать любой проективный предел приведенным: полагая
12 X, Шефер
Fa = PtAE) (замыкание в Е,,) и обозначая символом йар сужение иар на П F6, отождествляем Е с подпространством Q йН (0|сП Fo.
Р Ра<рР
Обозначим h^ сопряженное к ^„р отображение относительно двойственности (Еа, Еа) и (Ер, Е^) (а^Р). Из (2.4) следует (поскольку gap слабо непрерывны), что h^a непрерывно в слабой топологии и топологии Макки соответственно на Ер и Е». Кроме того, равенство gaY — Еар ° Еру (а^Р^у) влечет за собой, согласно (2.2), равенство hNa = h^ ° h^, (см. гл. II, упр. 9).
Пусть Е = lim gapEp — приведенный проективный предел ЛВП. Тогда сопряженное Е' в топологии Макки х^Е', Е) может быть отождествлено с индуктивным пределом семейства {(Еа, т(е«, Еа))} относительно сопряженных отображений h^a к ga^.
Доказательство. Пусть F = ф£а, где каждое Еа наделено a
топологией Макки т(Е«, Ea). По определению lim h^Ea есть фактор- пространство F/Ho (при условии, что Яо замкнуто в Е\ где Но — подпространство F, порожденное всеми ^pa(EQ, где Upa = = ga~g^h^ (а^Р).
Мы покажем, что Но является подпространством F, ортогональным Е относительно двойственности ^Ц Еа, F^. Согласно следствию 2 утверждения (1.5), поляра Е° есть слабо замкнутая выпуклая оболочка (J [ы^1 (0)]°, которая ввиду следствия из (2.3) Р
совпадает со слабо замкнутой выпуклой оболочкой объединения U ура(^)- Отсюда следует включение Но cz Е°.
а< Р
Обратно, пусть у = (z/a) — элемент Е° и Н —конечное множество индексов, такое, что a gz Н в том и только том случае, когда уа =ф 0. Выберем индекс р, такой, что а ^ р для всех a Е Н. Наконец, пусть х е Е. Тогда
у') = 5 ^а> Уа) S (Eap-^pt Уа)аеНаеН 1 1
= a5H ^’ APa^ = (*Р’ а^н h^y^ = 0.
Так как, согласно предположению, л^ пробегает плотное подпространство в Ер, в то время как х пробегает Е, то из предыдущего соотношения следует ^h.№ya = O. Поэтому у= 2 (E«-Er 0 ABJ Уа^о- ценаеН
'Каким образом, Но слабо замкнуто в F и, значит, замкнуто в топологии т(р, Ц Еа\, которая в силу (4.3) совпадает с тополо- \ a J
глей ®т(Е«, Еа\ Поэтому индуктивный предел НтЛраЕа сопря- а—>
щепных пространств (Еа, т (Еа, Еа)) существует, и, согласно следствию 3 утверждения (4.1), его топология есть т(Е/Я0, Е), что доказывает изоморфизм с сопряженным (Е', т(Е', Е)) к Е.
Из (4.3), следствия 1 и следствия 1 теоремы (4.1) мы получаем двойственный результат для индуктивных пределов:
Пусть Е =• Hm h$aEa — индуктивный предел ЛВП. Тогда слабое сопряженное к Е изоморфно проективному пределу слабых сопряженных (Еа, о(Еа, Еа)) относительно сопряженных отображении ga$ к Лра(а^|3).
Замечание. Если сопряженные Еа наделены топологиями Макки, то ш (4.3), следствие 1 и (4.1), следствие 3 вытекает, что проективный предел 3 1 их сопряженных, алгебраически совпадающий с Е', наделен топологией $, коюрая согласована с двойственностью (Е, Е'). Таким образом, если известно, чю $ —топология Макки (в частности, если $ метризуема), то Макки-сопря- женное к Е может быть отождествлено с проективным пределом Макки-сопря- женных Еа. См. также упр. 24.
5. Сильное сопряженное к локально выпуклому пространству.Второе сопряженное.
Рефлексивные пространства
Пусть (Е, G) — двойственность. Среди 6-топологий на F, порожденных семействами S o(G, Е)-ограниченных подмножеств G, мы до сих пор главным образом рассматривали те, которые согласованы с (Е, G), в частности, слабую топологию о(Е, G) и топологию Макки т(Е, G). Если же 6 — семейство всех слабо ограниченных подмножеств G, то соответствующая 6-топология называется сильной топологией на F (относительно двойственности (Е, G)) и обозначается 0(Е, G). Так как слабо ограниченные подмножества в G не обязательно относительно компактны в топологии o(G, Е), то Р(Е, G), вообще говоря, не согласована с (Е, G). (См., например, гл. II, упр. 14. Другие примеры станут очевидными из последующего обсуждения.)
Пусть Е —ЛВП. Топологии 0(Е, Е') и 0(Е', Е) называются сильными топологиями на Е и Е' соответственно (обычно без специальной ссылки на двойственность (Е, Е')). Пространство ^Е', 0(Е', Е)) называется сильным сопряженным к Е. Следующие обозначения более удобны.
Пусть Еа, Ev Ер обозначают пространство Е с топологиями о(Е, Е'), т(Е, Е'), (ЦЕ, Е') соответственно, а Ео, е'х, е'^ обозначают
сопряженное Е' к Е соответственно в топологиях о)Е', Е), т(£', £), р(£', £). При использовании этой записи читатель должен помнить, что, вообще говоря, (£р/ =7^ Е' и (Е^ + Е (следовательно, и Е'а, вообще говоря, не совпадает с (£р)')_ Из (4.2) следует, что сильная топология наследуется произведениями и локально выпуклыми прямыми суммами, однако, в общем случае не обязательно наследуется подпространствами и факторпространствами (упр. 14). (См. также конец разд. 7.)
Если сильная топология на Е' не согласована с (£, £'), то не стоит надеяться, что соответствующие семейства ограниченных подмножеств в Еп и £р совпадут. С другой стороны, верно следующее утверждение.
Всякое выпуклое закругленное компактное подмножество в Еа ограниченно в Е^.
Действительно, если С — такое множество, то его поляра С° в Е является окрестностью нуля в топологии т(£, £') и, значит, поглощает всякое ограниченное множество В с Е, откуда следует, что 5° поглощает С00 = С.
Таким образом, для любого ЛВП Е мы в сопряженном пространстве Е' имеем включения 6 сд 6 сд $ ед $а, где <5: обозначает семейство всех равностепенно непрерывных множеств, 6 — семейство всех множеств со слабо компактной замкнутой выпуклой закругленной оболочкой, 8 — семейство всех сильно ограниченных множеств и У„ — семейство всех слабо ограниченных множеств в Е'. Все эти четыре семейства насыщены в Еа. Это очевидно для До и $ (заметим, что £р обладает базисом из о(£', ^-замкнутых окрестностей нуля); для 6: это утверждение вытекает из (1.5) и его следствий; для 6 это следует непосредственно из (II. 10.2). В частности, мы получаем следующий усиленный вариант следствия из (1.6).
Пусть £ —ЛВП. Пространство Е бочечно в том (и только том) случае, когда свойства равностепенной непрерывности, относительно слабой компактности, сильной ограниченности и слабой ограниченности эквивалентны для любого подмножества Е'. Кроме того, если (и только в этом случае) Е бочечно, то базис окрестностей нуля и фундаментальное семейство ограниченных множеств в Е и £р соответствуют друг другу при переходе к полярам относительно (Е, Е'\
Первое утверждение ясно из предыдущего, так как, согласно следствию из (1.6), Е бочечно в том и только том случае, когда 6: = $0. Второе утверждение следует из (1.6), так как (£, 2) бочечно в том и только том случае, когда Х = р(£, Е'), в то время как
семейство всех бочек в £' образует базис окрестностей нуля для |Т(Д, Е\
Существуют локально выпуклые пространства, для которых семейства б, б, У, Уо все различны (упр. 15), так что совпадение некоторых из этих семейств указывает на определенные специальные свойства. Мы уже видели, что равенство б: = Уа характеризует бочечные пространства, в то время как б = б характеризует, очевидно, пространства Макки. Согласно (1.6), подмножество BczE' слабо ограниченно в том и только том случае, когда его абсолютная поляра D является бочкой в Е; для того чтобы В было сильно ограниченно, необходимо и достаточно, по теореме о биполяре, чтобы D было бочкой, поглощающей все ограниченные подмножества в Е (кратко, ограниченно поглощающей бочкой).
Таким образом, б = У в том и только том случае, когда всякая ограниченно поглощающая бочка в Е является окрестностью нуля. ЛВП с таким свойством называется квазибочечным. В частности, всякое борнологическое пространство (и, конечно, всякое бочечное пространство) квазибочечно.
Пространства, для которых б = У, будут обсуждаться ниже. Отметим следующее условие, достаточное для равенства У = У0.
Если Е — квазиполное ЛВП, то У — Уа. Эквивалентно, всякое слабо ограниченное подмножество в Е' сильно ограниченно.
Доказательство. Поляра В° всякого выпуклого закругленного ограниченного подмножества В cz Е' является бочкой в Е в силу (1.6). Следовательно, ввиду (11,8.5) В0 поглощает любое ограниченное подмножество в Е, которое выпукло закруглено и полно. Но ограниченные подмножества Е с этими свойствами образуют фундаментальное семейство ограниченных множеств, так как Е квазиполно.
Следствие. Всякое квазиполное квазибочечное пространство бочечно.
Рассмотрим пример. Пусть (£, || ||) —нормированное пространство и (£', || ID- его сильное сопряженное (оно было определено в гл. II, разд. 2); норма в Е' определяется равенством
|| х'II = sup {| (х, х') |: 11x11^1}.
Топология на Е', определяемая этой нормой, есть, очевидно, р (.Е', Е). Так как Е (безразлично, бочечно оно или нет) квазибочечно, то равностепенно непрерывными множествами будут те (и только те) подмножества Е', которые ограниченны в (£', || II). Отсюда с помощью теоремы о биполяре (или прямым применением теоремы Хана — Банаха (11,3.2)) получаем
II X II = sup (I (х, х') |: Ц х'|| < 1}.
Следовательно, норма Е может быть восстановлена по норме Е', В последней формуле достаточно взять верхнюю грань по любому подмножеству, выпуклая закругленная оболочка которого о {Е', ^-плотна в единичном шаре
пространства Е'. Предложение (5.2) объясняет, что нет необходимости делать различие между слабо и сильно ограниченными множествами в пространстве, сопряженном к банахову. Если же (Е, || ||) не полно, то это различие необходимо иметь в виду (гл. II, упр. 14).
Из (1.2) видно, что всякий элемент пространства Е ввиду двойственности ^Е, Е'} определяет непрерывную линейную форму на Ер. Однако существование ограниченного множества в Еа, которое не ограниченно в Ер, указывает (согласно следствию 2 из (3.2)), что топология р(Е', Е) не согласована с (Е, Е'\ Следовательно, вообще говоря, сопряженное к Ер не совпадает с Е. Сопряженное к Ер называется вторым сопряженным ЛВП Е и обозначается символом Е". Таким образом, если, как обычно, отождествлять Е и Е" с подпространствами алгебраического сопряженного Е'* к Е', то будут иметь место включения Е с Е" с Е'*, которые, вообще говоря, собственные. Так определенный алгебраический изоморфизм Е в Е" называется каноническим вложением Е в Е" и явно определяется формулой x—>fx, где fx — линейная форма на Е', определяемая равенством fx(x/) = (^, x'Y Во второе сопряженное Е" топология может быть введена различными способами. Если на Е" задается 6-топология, где S = 33 — семейство сильно ограниченных подмножеств Е', то Е" называется сильным вторым сопряженным к Е. 6-топология, где 6 = (Y — семейство равностепенно непрерывных подмножеств Е', имеет некоторое преимущество, так как она индуцирует на Е его исходную топологию. Эта топология часто называется естественной топологией. Так как (£ ст 23, то естественная топология всегда слабее, чем сильная топология Е". Для того чтобы эти две топологии совпадали (или, что то же самое, для того чтобы каноническое вложение было топологическим изоморфизмом в сильное второе сопряженное), очевидно, необходимо и достаточно, чтобы Е было квазибочечным.
Полезна следующая характеризация Е" как подпространства Е'*
Рассмотрим канонические вложения ЕсЕ" с Е'*, где; Е — ЛВП. Тогда Е" является объединением о^Е'*, Е'\замыканий всех ограниченных подмножеств Е. .
Доказательство. Обозначим поляры относительно (Е, Е'); через 0 и поляры относительно (Е", Е') через ’; заметим также, i что топология о(Е'*, Е') индуцирует о^Е", Е') на Е". j
Если z^E", то (z}‘— окрестность нуля в топологии Р(Е', Е) J согласно определению Е". Следовательно, В = (zY° представляет - собой ограниченное выпуклое подмножество Е, содержащее 0. ’ Далее, очевидно, что zeB°‘ = B" и в силу (1.5) Выявляется а(Е", Е')Д
замыканием В. Так как биполяра В" является а (В", В')-замкнутым равностепенно непрерывным подмножеством Е", то она с^Е", Е')- компактна и, значит, совпадает с а(В'*, В')-замыканием множества В в Е'*. Обратно, пусть В — ограниченное выпуклое подмножество Е, содержащее 0. Тогда биполяра В ', которая является а^Е", В^-замыканием В в Е", равностепенно непрерывна согласно (1.5), а значит, а (В", В')-компактна и, следовательно, а^Е'*, Е')- замкнута в Е'*.
Следствие. Всякое z е Е" представляет собой предел а (Е", Е'у фильтра Коши, содержащего базис ограниченных подмножеств Е.
В частности, если Е — нормированное пространство и В" —его сильное второе сопряженное со стандартной нормой, то единичный шар U пространства В будет о (В", В')-плотен в единичном шаре U00 пространства Е". Далее, если В —любое ЛВП, такое, что Вр сепарабельно, то из (III, 4.7) и следствия из утверждения (5.4) вытекает, что всякое гелЕ" есть предел (в топологии о^Е", Е'^ слабой последовательности Коши в В; если к тому же В нормируемо, то члены этой последовательности могут предполагаться по норме не превосходящими ЦгЦ.
Локально выпуклое пространство В, для которого В = Е" (более точно, для которого каноническое вложение Е->Е" является отображением «на»), называется полурефлексивным. Мы заметим, что это свойство определяется только для двойственности (В, В') и, следовательно, разделяется либо каждой, либо ни одной из локально выпуклых топологий на В, согласованных с (В, Е'). Полезно иметь несколько эквивалентных характеризаций полурефлексивных пространств.
Для всякого ЛВП В следующие утверждения эквивалентны'.
В полурефлексивно;
всякая Р(В', ЕУнепрерывная линейная форма на Е' непрерывна в топологии о(Е', В);
Вт бочечно;
всякое ограниченное подмножество В компактно в топологии а^Е, Е');
В квазиполно в топологии о{Е, Е'У
Доказательство. Импликация (а)=>(Ь) непосредственно следует из определения полу рефлексивности. (Ь)=^(с): Из (Ь) вытекает, что сильная топология ^(Е', Е) согласована с двойственностью (В, Е') и, следовательно, р(В/, В) = т(В/, В). Так как, согласно (1.6), всякая бочка в Еа (и, значит, в силу (3.1) всякая бочка в ВО является окрестностью нуля в топологии 0 (В', В),
отсюда следует, что Ех бочечно. (с) =^ (d): Если Ет бочечно, то опять-таки, согласно (1.6), всякое ограниченное множество в Е равностепенно непрерывно как подмножество пространства E = ^Et, Ко) и, значит, относительно компактно в топологии а(Е, Е'). Импликация (d)=>(e) очевидна, так как всякое компактное подмножество Еа полно. (е)=^(а): Из следствия (5.4) вытекает, что всякое z е Е" принадлежит Е и, значит, Д' (Е) = Е", где Т оз тчает каноническое вложение.
Следствие 1. Всякое полурефлексивное пространство квазиполно.
Доказательство. Согласно (1.6) и (5.5), (с), всякое ограниченное подмножество в Е равностепенно непрерывно, если Е рассматривать как пространство SEa^E^ Ко), где S—семейство равностепенно непрерывных подмножеств Е'. Утверждение является, следовательно, частным случаем (III, 4.4).
Следствие 2. Всякое ограниченное подмножество ЛВП Е предкомпактно в топологии а (Е, Е').
Доказательство. Пусть В — ограниченное (следовательно, слабо ограниченное) подмножество Е. Очевидно, пространство £'* = (£'*, о^Е'*, Е')) полурефлексивно. Следовательно, в силу (5.5), (d) замыкание В множества В в £' компактно, значит, полно и таким образом равномерно изоморфно пополнению равномерного пространства В ’)• Это означает, что В предкомпактно в Еа.
Примерами полурефлексивных пространств являются все квазиполные ядерные пространства, поскольку в силу следствия 2 из (III, 7.2) всякое замкнутое ограниченное подмножество в таком пространстве компактно и, значит, тем более слабо компактно. Для полурефлексивных пространств нет полной симметрии между Е и Е' [в частности, сильное сопряженное к полурефлексивному пространству не обязательно полурефлексивно, поскольку топология р(Е, Е') может быть не согласована с (Е, Е'} (см. ниже)]. Это обусловлено тем фактом, что в определении полурефлексивности не приняты во внимание топологические свойства канонического вложения. В противоположность этому ЛВП Е называется рефлексивным, если каноническое вложение является изоморфизмом Е на сильное второе сопряженное (Ерр Таким образом, Е рефлексивно в том и только том случае, когда оно полурефлексивно и его топология есть р(Е, Е'), т. е. тогда и только тогда, когда Е полурефлексивно и бочечно. В силу следствия 1 из (5.5) и следствия из (5.3) требование бочечности Е может быть заме-
Т То есть эти пространства изоморфны как равномерные. — Прим, ред.-
иено (формально более слабым) требованием, чтобы Е было квази- бочечно, а полурефлексивность может быть заменена любым из эквивалентных свойств, перечисленных в (5.5) (например, слабой квазиполнотой). Из всевозможных характеризаций рефлексивных пространств мы дадим ту, которая нам кажется наиболее полезной.
Теорема. Локально выпуклое пространство Е рефлексивно в том и только том случае, когда Е бочечно и всякое ограниченное подмножество в Е относительно компактно в топологии о (Е, E'Y
Доказательство содержится в предыдущих замечаниях.
Следствие 1. Сильное сопряженное к рефлексивному пространству рефлексивно.
Доказательство. Если Е рефлексивно, то р (Е', Е) = т (Е', Е) и Е^ = Ет бочечны согласно (5.5), так как Е полурефлексивно. Так как Е бочечно, то каждое ограниченное подмножество в Др относительно компактно в топологии о (Д', Д) согласно (5.2). Следовательно, Др рефлексивно.
Простые примеры показывают, что обращение следствия 1 неверно, но можно доказать, что если Д — квазиполное пространство Макки, такое, что Др полурефлексивно, то Е рефлексивно (упр. 18).
Следствие 2. Любое полурефлексивное нормированное пространство является рефлексивным банаховым пространством.
Действительно, если Д — полурефлексивное нормированное пространство, то Е банахово в силу следствия 1 из (5.5), поэтому оно также бочечно.
Таким образом, полурефлексивность и рефлексивность совпадают для нормированных пространств и, как мы уже ранее убедились, для всех квазибочечных пространств (в частности, для борнологических пространств). Может показаться, что вообще всякое полурефлексивное пространство Макки рефлексивно, однако это неверно. Напротив, пусть (Д, 2) — бочечное пространство, не являющееся рефлексивным (например, нерефлексивное банахово пространство). Тогда Et будет полурефлексивным пространством Макки, которое нерефлексивно, так как его сильное сопряженное (Д, 2) нерефлексивно. Кроме того, из (5.5) видно, что этот пример охватывает все полурефлексивные пространства, которые нерефлексивны в том смысле, что всякое такое пространство изоморфно сопряженному Е' к нерефлексивному бочечному пространству Е, где Е' наделяется подходящей выпуклой топологией, согласованной с (Д, Д'). Следующий результат делает, по-видимому, даже более ясным соотношение между полурефлексивностью и рефлексивностью и дополняет симметрию между Ди Д' в случае, когда Е рефлексивно.
Пусть Е — ЛВП с сопряженным Е'. Тогда следующие утверждения эквивалентны:
Ет рефлексивно;
Ех рефлексивно;
Ео и Еа оба полурефлексивны;
Ех и Ех оба бочечны
Доказательство, (а) =^ (Ь): Если Ех рефлексивно, то р (Е', Е) согласовано с (Е, Е'), следовательно, р (£"", Е) = т)Е', Е). Таким образом, Ех есть сильное сопряженное к Е, значит, Ех рефлексивно в силу следствия 1 из (5.6). (Ь)=^(с): Если Ех рефлексивно, то, очевидно, Ед полурефлексивно, кроме того, Ех бочечно согласно (5.6); следовательно, всякое ограниченное подмножество Е относительно а)Е, Е')-компактно в силу (5.2). Поэтому (см. (5.5)) Еа полурефлексивно. (с) =^(4): Из (с) вытекает, что обе топологии, как р(Е', Е), так и р (Е, Е'), согласованы с (Е, Е'), а значит, Р(Е', Е) = т(Е/, Е) и Р(Е, Е/) = т(Е, Е'). Так как все бочки в Ет и Ет являются окрестностями нуля относительно р(Е, Е') и р(Е', Е) соответственно, то отсюда следует, что Ех и Ет бочечны. (d)=^(a): Ех бочечно и, согласно (5.5), полурефлексивно, а значит, и рефлексивно.
Полурефлексивность наследуется замкнутыми подпространствами (это непосредственно вытекает из (5.5)), но, вообще говоря, не наследуется факторпространствами (упр. 20). Рефлексивность же в общем случае не наследуется ни замкнутыми подпространствами; (которые могут потерять свойство бочечности), ни факторпространствами (которые могут перестать быть полурефлексивными (упр. 20)). С другой стороны, если Е — рефлексивное банахово пространство, то всякое замкнутое подпространство и всякое отделимое фактор- пространство пространства Е будут рефлексивными банаховыми пространствами. (Последнее следует из того, что всякое ограниченное подмножество в факторпространстве представляет собой, канонический образ ограниченного множества из Е, и, значит, рефлексивность сохраняется.) Более того, из следствия 3 утверждения (4.1) и равенства р(Е'Е) = т(Е', Е) (которое, согласно (5.5), характеризует полурефлексивные пространства) вытекает, что если. М — замкнутое подпространство полурефлексивного пространства Е,. то сильное сопряженное к М может быть отождествлено с Ер/М .:
Ситуация менее сложна в случае произведений и локально: выпуклых прямых сумм.,
Пусть [Еа: а£ А}- семейство полурефлексивных (соответ^, ственно рефлексивных) ЛВП. Тогда как произведение, так и» локально выпуклая прямая сумма этого семейства полурефлексивны^
^соответственно рефлексивны). Кроме того, проективный предел людого семейства полурефлексивных ЛВП полурефлексивен и строгий индуктивный предел последовательности рефлексивных пространств рефлексивен.
Доказательство. Из утверждения (4.3) и его следствия 1, а также из характеризаций ограниченных подмножеств в произведениях и локально выпуклых прямых суммах соответственно (см. (1,5.5) и (11,6.3)), с учетом (5.5), (d) следует, что полурефлексивность сохраняется в обоих случаях. В силу (5.6) рефлексивность также сохраняется в обоих случаях, так как произведение и локально выпуклая прямая сумма любого семейства бочечных пространств бочечны (см. (4.3), следствие 3 и (II, 7.2), следствие 1).
Утверждение, касающееся проективных пределов, теперь стало очевидным, поскольку проективный предел семейства ЛВП является замкнутым подпространством их произведения. Утверждение, относящееся к индуктивным пределам, понятно из характеристики ограниченных подмножеств в (II, 6.5) в строгом индуктивном пределе последовательности ЛВП и из следствия 1 из (II, 7.2). Ясно, также, что полурефлексивность в этом случае сохраняется.
Примеры. 1. Пусть /У (ц) — банахово пространство, введенное в примере 2 гл. П, разд. 2. Если 1<р<4- оо, то, как хорошо известно (см. Дэй [2]), сильное сопряженное к Lp (ц) изометрически изоморфно U1 (ц), где р-1 + ,7-1 = 1. Канонической билинейной формой в этой двойственности будет ( [f], [д] ) ->
-> I fg* dp. Таким образом, если 1<р<+ оо, то Lp (ц) рефлексивно; в частности, банаховы пространства 1^ (\<р<<х>) рефлексивны (упр. 18).
Всякое гильбертово пространство Н рефлексивно, так как оно изоморфно некоторому пространству /^, где d — гильбертова размерность Н (гл. II, разд. 2, пример 5).
Одномерное ЛВП Ко, ассоциируемое с полем скаляров К, рефлексивно. Следовательно, в силу (5.8) пространства (0^ и Фи из разд. 1, пример 4 рефлексивны и взаимно сильно сопряжены при канонической двойственности произведения и прямых сумм.
Мы уже видели ранее, что в силу следствия 2 из (III 7.2) всякое квазиполное ядерное пространство Е полурефлексивно. Если, кроме того, Е бочечно (в частности, если Е — ядерное (/^-пространство), то Е рефлексивно. Так как все пространства, перечисленные в разд. 2 гл. III, бочечны, то каждое из этих прос, ранств служит примером ненормируемого рефлексивного пространства.
Пространства из разд. 8 гл. III —это ЛВП, которые не только рефлексивны, но также обладают тем свойством, что каждое замкнутое ограниченное подмножество в них компактно в сильной топологии. Рефлексивное ЛВП, в котором каждое замкнутое ограниченное подмножество компактно, называется монтелевским пространством или короче (М)-пространством. Свойства наследования У (М)-пространств те же, что и у рефлексивных пространств; в частности, очевидно, что произведение, локально выпуклая Прямая сумма любого семейства (М)-пространств и строгий
индуктивный предел последовательности (М)-пространств будут «нова (М)-пространствами. То же верно и для сильного сопряженного.
9. Сильное сопряженное к монте ле в с ко му пространству является монтелевским пространством.
Доказательство. Если £ — монтелевское пространство, то в силу следствия 1 из (5.6) £р рефлексивно. Так как Е бочечно, то всякое сильно ограниченное подмножество Е' равностепенно непрерывно, так что если В — сильно ограниченное и замкнутое выпуклое подмножество Е', то В будет а^Е', £)-компактно и, следовательно, согласно (III, 4.5), компактно в топологии Jc компактной сходимости. Но 1г = р(£', £), поскольку в монтелевском пространстве Е всякое замкнутое ограниченное подмножество компактно.
Дуальная характеристика полноты.Метризуемые пространства.
Теоремы Гротендика, Банаха — Дьедоннеи Крейна — Шмульяна
Пусть Е — локально выпуклое пространство. Что можно сказать о полноте Е' в заданной ©-топологии?
Двойственно, что можно сказать в терминах Е' относительно свойств полноты £? Возьмем для примера слабое сопряженное Еа. Алгебраическое сопряженное Е* полно в топологии о(£*, £), так как оно является замкнутым подпространством полного пространства Ко. С другой стороны, Е плотно в £а в силу следствия из (1.3) и Ео индуцирует на Е' топологию а^Е', Е\ Следовательно, Еа изоморфно пополнению Еа. Так что Еа полно тогда и только тогда, когда Е* = Е', и Ео полно тогда и только тогда, когда Е = Е'. Нетрудно вывести отсюда, что если Е — бесконечномерное метри-' зуемое ЛВП, то Еа никогда не будет полным (см. упр. 6, 21).: Перед тем как доказывать дуальную характеристику полноты, принадлежащую Гротендику, мы отметим следующие свойства" полноты пространств, сопряженных к бочечным и борнологическим.,’
Пусть £ —ЛВП. Тогда если Е бочечно, то Е' квазиполно! для всякой ^-топологии, где & — семейство ограниченных мно- жесте, покрывающее Е. Если Е борнологическое, то сильное, сопряженное Eg полно.i
Доказательство. Если Е бочечно, то, согласно (5.2), запас; ограниченных множеств будет один и тот же для всех рассма-3
триваемых 2-топологий и всякое ограниченное множество равностепенно непрерывно. Первое утверждение является, таким образом, частным случаем (III, 4.4). Далее, всякий сильный фильтр Коши в Е' сходится поточечно к элементу feE* и f ограничено на любом ограниченном подмножестве В с Е, так как на каждом В сходимость равномерная. Следовательно, если Е борнологическое, то f е Е' в силу (II, 8.3).
Замечание. Комура [1] установил, что существуют рефлексивные про- страпства, которые неполны. Это показывает, что, вообще говоря, сильное сопряженное к бочечному пространству неполно. С другой стороны, предыдущий результат о борнологических пространствах может быть несколько усилен (гл. III, упр. 8). А именно, если © — семейство ограниченных подмножеств борнологического пространства Е, такое, что каждая последовательность, сходящаяся к нулю в Е, содержится в некотором Sc®, то Е' полно в 3-топологии.
Следующая основная теорема доказана Гротендиком [1].
Теорема. Пусть (Е, 2) — ЛВП и © — насыщенное семейство ограниченных подмножестве Е. Тогда для того, чтобы пространство Е' было полно в ©-топологии, необходимо и достаточно, чтобы всякая линейная форма f на Е, которая Т-непре- рывна на каждом S е©, была бы непрерывна на (Е, 2).
Доказательство. Условие достаточно. Пусть $ —фильтр Коши в Е' относительно 5-топологии. Так как © покрывает Е, 5 сходится поточечно к линейной форме f<=E*, причем сходимость равномерна на каждом S е 5. Следовательно, для каждого SeS сужение fs функции f на S, будучи равномерным пределом 2-непрерывных скалярных функций на S, непрерывно в топологии 2. Согласно предположению, отсюда следует, что f е Е'.
Условие необходимо. Для этого достаточно показать, что всякое feE*, для которого сужение^, (Se«), 2-непрерывно, может быть аппроксимировано равномерно на S элементами g^E'. Пусть S&5 и задано е>0. Так как система 5 насыщенна, то мы можем считать, что S выпукло закруглено и а(Е, £')-замкнуто. Пусть / е Е* и fs непрерывно относительно топологии 2 в точке О е S. Тогда существует выпуклая 2-закругленная замкнутая (значит, о(£, £')-замкнутая) окрестность нуля U, такая, что I / (х) | ^ е при х е S П Н. Это эквивалентно включению f е е (S П УУ, где поляра берется относительно двойственности (£, £*). Так как S и U заведомо о(£, £*)-замкнуты, то из следствия 2 утверждения (1.5) вытекает, что (S П ^)° содержится в а(£*, £)-замыкании множества U° + S°. Но U° компактно, a S0 замкнуто в топологии °(Е\ Е). Следовательно, U° + S° замкнуто согласно (I, 1.1) и, значит, fee(U° + S°). Отсюда следует, что при некотором тЕНгсЕ' мы будем иметь f — geeST Это означает, что I f(x) — g^x) I ^е при всех х-S. Доказательство закончено.
Следствие 1. Пусть (Е, G}—двойственность и 5—насыщенное семейство из слабо ограниченных подмножеств F, покрывающее F. Обозначим через Gv векторное пространство, образованное всеми f е F, сужения которых на любое S еЗ слабо непрерывны, и наделим G ^-топологией. Тогда Gx есть полное ЛВП, в котором G плотно.
Доказательство. Предположим сначала, что для каждого feG] и Seo множество f(S) ограниченно. Ясно, что тогда Gt будет ЛВП в S-топологии (гл. III, разд. 3) и, очевидно, полно. Далее, если G обозначает замыкание G в Gb то G полно в 5-топологии. Следовательно, (6.2) показывает, что G = G^ Для завершения доказательства достаточно показать, что f(S) ограниченно, если f е G t и S — выпуклое закругленное множество из 5. Так как f слабо непрерывно в 0 е S и так как из х, у е S следует у (х — у') е S, то равенство | f (х) — f (z/) | = 2 | f (х — z/)/2 | показывает, что f равномерно слабо непрерывно на S. Следовательно, f(S) ограниченно, так как S слабо предкомпактно в силу следствия 2 из (5.5).
Заметим также, что если S — замкнутое выпуклое закругленное (не обязательно ограниченное) подмножество ЛВП (£, 2) и f —линейная форма на Е, сужение которой на S Т-непрерывно в 0, то f равномерно слабо непрерывна на S. Действительно, в силу второй части доказательства (6.2) сужение fs представляет собой равномерный предел равномерно слабо непрерывных функций на S.
Следствие 2. Следующие предложения эквивалентны для ЛВП Е:
Е полно1,
всякая линейная форма на Е', которая ст (Е' Е)-непрерывна на каждом равностепенно непрерывном подмножестве Е', о (Е', Е\не- прерывна на всем Е';
всякая гиперплоскость Н в Е', такая, что Н П А слабо (ст (Е', ЕУ^замкнуто в А для любого равностепенно непрерывного подмножества А с Е', замкнута в Еа-
Доказательство. Импликация (а) ф^ (Ь) непосредственно следует из (6.2), так как топология Е — это 5-топология, где 5 — (насыщенное) семейство всех равностепенно непрерывных подмножеств Еа ((1.5), следствие 3) и Е — пространство, сопряженное к Еа> (с)=>(Ь): Пусть Н = (х' е Е': f(x') = a}. Тогда
Н П А = (х' е A: f(x') = а} . слабо замкнуто в Л, если сужение fA непрерывно в топологии; о(Е', Е). (Ь)=ф(с): Предположим, что Н = {х' е Е': f (х') = а } — ГИ-)
перплоскость в Е', такая, что A f] Н замкнуто в А в топологии cs(E', Е) для всякого равностепенно непрерывного подмножества Л cz Е'. Для того, чтобы убедиться, что f является о (ЕД Е)-непре- рывной функцией на А, достаточно показать, что fA непрерывна в 0 ее Л, если А выпукло и закруглено. Заметим, во-первых, что так как Н П А + Хо = (Я + Хо) П (Л + Хо) для всех лтеЕ и так как А + Хо равностепенно непрерывно, если А равностепенно непрерывно, то подмножество [х' е A: f(x') = p} замкнуто в А для всякого р е К и для всякого равностепенно непрерывного множества А. Если бы сужение fA не было непрерывным в точке Ое Л, то существовало бы бесконечное подмножество Вс А, такое, что ОеВ и f(x) = Po (р0 =# 0) для всех хе В. Это противоречит тому, что множество {х' г A; f(x,) = p0} замкнуто в А.
Следствие 3. Пусть Е -^ сепарабельное полное ЛВП и f — линейная форма на сопряженном Е'. Тогда для того, чтобы f была а (Е', ЕУнепрерывна, достаточно, чтобы lim f (х') = 0 для всякой последовательности, сходящейся к нулю в топологии о^Е', Е\
Доказательство. Утверждение непосредственно вытекает из следствия 2, так как, согласно (1.7), равностепенно непрерывные подмножества Е' метризуемы в топологии, индуцированной о (ЕД Е). (Достаточно даже, чтобы f сходилась к 0 на всякой слабо сходящейся к нулю последовательности, являющейся равностепенно непрерывным множеством.)
Предыдущие результаты приводят нас к вопросу: существует ли на сопряженном Е' к ЛВПЕ сильнейшая топология ЗД, которая совпадает с о (ЕД Е) на каждом равностепенно непрерывном подмножестве? Если это так, то в силу следствия 1 из теоремы Гротендика (6.2) пополнение Е будет состоять в точности из тех линейных форм, которые непрерывны на Е' в топологии Jf. Легко видеть, что такая топология существует. Действительно, если ® — семейство всех подмножеств ЕД таких, что для каждого G е ® и для каждого равностепенно непрерывного множества А пересечение а Д А открыто в Л в топологии а (ЕД Е), то ®, очевидно, инвариантно относительно образования конечных пересечений и произвольных объединений. Следовательно, ® как раз и будет семейством открытых множеств в искомой топологии. Ясно, кроме того, что эта топология инвариантна относительно сдвигов (поскольку о (ЕД Е) и семейства 6 всех равностепенно непрерывных подмножеств инвариантны относительно сдвигов) и имеет базис окрестностей нуля, состоящий из радиальных и закругленных множеств (упр. 22). Однако свойство (а) из (I, 1.2) для этой топологии, вообще говоря, не выполнено (Комура [1]). Оно автоматически имело бы место, если бы было известно, что 2Д локально выпукла,
но это не так, как показывает старый пример Коллинза [1] (упр. 22). Поэтому интересно выделить случаи, когда ^Е', $f) является ТВП, в частности когда оно ЛВП. (Заметим, что топология ^ хаусдорфова, так как она сильнее, чем о^Е', Е), и, очевидно, сильнее, чем топология предкомпактной сходимости [см. (III, 4.5)].) Банах установил, что Zf есть в точности топология компактной сходимости, если Е — банахово пространство. Дьедонне [1] доказал этот результат новым методом, который применим к метризуемым ЛВП. Следующая лемма является наиболее существенным звеном в доказательстве.
Лемма. Пусть Е — мет ризуемое ЛВП, {Un: neN} —базис окрестностей нуля в Е, образующий убывающую последовательность замкнутых выпуклых множеств, и G — открытая ^-окрестность нуля в Е'. Тогда существует последовательность ^Fn: п е N} непустых конечных подмножеств Е, обладающая свойствами:
\) FncUn (neN);
Нп П Un с G (и е N), где Нп = (J Fk.
k< п
Доказательство. Доказательство проводится индукцией по п.
Дополним базис {G,.: mgN} множеством Uo — E и предположим, что уже выбраны множества FkcUk (k = 0,1, . .., m — 1), удовлетворяющие условию 2) для п=1, ... , т. Покажем, что существует непустое конечное множество Fm с Um, такое, что (Km U VO^+I^ G.
Чтобы включить доказательство существования Fo в общий индукционный шаг, мы положим Но=0. Тогда, очевидно, условие 2) выполняется для п = 0.
Предположим теперь, что для всякого конечного подмножества F с Um пересечение ^F U НтУ П Um + i не содержится в G. Так как G~ = Е \ G замкнуто в Zf и Um+i равностепенно непрерывно в Е', то множество Gi = G~f\Um + i замкнуто в Um+i в топологии, индуцированной If, а следовательно, и в топологии, индуцированной sUF, Е). Это означает, что Gx о^Е', £)-компактно. Далее, непустые конечные подмножества FaUm образуют направленное семейство по включению. Следовательно, множества (F U НтУ (10,= = /;оП^тПО| составляют базис фильтра из замкнутых подмножеств Gp Из компактности Gy следует, что пересечение всех этих множеств содержит некоторый элемент х', который, следовательно, является элементом Um^Hm^Gt- В силу замечания 3, предшествующего (1.4), имеем Um = QF, где F пробегает все непустые конечные подмножества, принадлежащие Um. Это является
противоречием, так как Umr\HmciG, сог,таено предположению, и G, ст G'. Лемма доказана.
Следующий результат — теорема Банаха — Дьедонне.
Теорема. Пусть Е — метризуемое ЛВП zz 3 -- семейство множеств, образованное всеми последовательностями, сходящимися к нулю в Е. Тогда 5-топология является топологией предкомпакт- ной сходимости и сильнейшей топологией на Е', совпадающей с о (Е', Е) на всех равностепенно непрерывных подмножествах Е'.
Доказательство. Так как любая сходящаяся к нулю последовательность S относительно компактна в Е, то замкнутая выпуклая закругленная оболочка S предкомпактна (см. II, 4.3), п 5-топология на Е' слабее топологии Spc предкомпактной сходимости. С другой стороны, топология If сильнее 1рс в силу (III, 4.5). Следовательно, достаточно показать, что 5-топология сильнее If. В силу того что If инвариантна относительно сдвигов, это немедленно следует из леммы, доказанной выше. Действительно, пусть G — открытая If-окрестность нуля в Е' и S = (jF„, где Рп та же, о
что в лемме. Тогда S П Un ст G для всех cs N и, следовательно,
5° с G, так каки(7„ = Д. Доказательство закончено, так как, 1
очевидно, Sec.
Следствие. 1. Если ЛВП Е метризуемо, то любое предком- пактное подмножество Е содержится в замкнутой выпуклой закругленной оболочке некоторой последовательности, сходящейся к нулю.
Следствие 2. Если Е есть (рупространство, то топология If на Е' совпадает с топологией компактной сходимости (следовательно, согласована с двойственностью (Е, Е'УУ
Теперь легко доказать теорему Крейна — Шмульяна (Крейн — Шмульян [1]).
Теорема. Метризуемое ЛВП Е полно в том и только том случае, когда выпуклое множество МсЕ' является о (Е', ЕУзамк- нутым, если о(Е', ЕУзамкнуто пересечение Л1 f) U° для всякой окрестности нуля U в Е.
Доказательство. Так как любая гиперплоскость Н в Е' выпукла, достаточность условия вытекает из следствия 2 из (6.2).
Для доказательства необходимости предположим, что Е полно и А1 — выпуклое подмножество Е', такое, что М П U3 замкнуто в топологии а (Е', Е) для всякой окрестности нуля U. Так как
13 X. Шефер
топология If согласована с двойственностью ( £, £') в силу приведенного выше следствия 2, то достаточно показать, что М будет ^-замкнуто.
Обозначим через М~ пополнение М в Е'. Из предложения следует, что М~ П U0 открыто в U° относительно топологии а^Е', Е) и, следовательно, относительно топологии If. Так как всякое равностепенно непрерывное подмножество Дс£' содержится в некотором U0, то отсюда следует, что М~ПИ открыто в А относительно If и, следовательно, М~ открыто в топологии If.
Следствие. Пусть Е — банахово пространство, М — подпространство Е' и В — сопряженный единичный шар {х': || х' || ^ 1}. Если М П В замкнуто в Ео, то М замкнуто в Ео.
Доказательство. Из предположения следует, чтор (Л4 Л В = = М П р£ замкнуто в Е' для всех р>0, так что применимо (6.4). (Очевидно, достаточно, чтобы условию (6.4) удовлетворяли все элементы U произвольного базиса окрестностей нуля в £.)
Таким образом, слабое сопряженное к (Е)-пространству обладает рядом замечательных свойств. В противоположность этому и в отличие от сильного сопряженного к банахову пространству сильное сопряженное к (Е)-пространству Е имеет структуру, вообще говоря, значительно более сложную, чем Е. Так, например, если Е — метризуемое ЛВП, то Е^ неметризуемо, если только Е не нормируемо. Действительно, Е^ обладает фундаментальной последовательностью {£„} ограниченных множеств, которые мы можем предполагать выпуклыми закругленными и замкнутыми. Если бы £р (оно полно в силу (6.1)) было метризуемо, то одно из Вп оказалось бы окрестностью нуля и, следовательно, Е^ в этом случае было бы нормируемо. Таким образом, сильное второе сопряженное должо было бы быть нормируемым, поскольку Е квазибочечно (разд. 5). Итак, £р не обязательно бочечно (значит, не обязательно квазибочечно или борнологично), даже в случае, когда Е является (F)-npo- странством; за примером мы отсылаем читателя купр. 20 (см. также Гротендик [10] и Кёте [1]). Тем не менее тот факт, что сильное сопряженное к метризуемому ЛВП обладает счетным фундаментальным семейством ограниченных множеств, имеет некоторые важные следствия, которые будут далее получены. В доказательствах (6.5) —(6.7) мы следуем монографии Келли — Намиока [1].
Если Е — метризуемо ЛВП и {Vп} — последовательность выпуклых окрестностей нуля в Е^, такая, что пересечение K = QKn поглощает сильно ограниченные множества, то V — окрестность нуля в £р.
Доказательство. Пусть {СД: n^N}—базис окрестностей нуля в Е. Тогда последовательность поляр Bn — Un образует фундаментальное семейство сильно ограниченных (или,что то же самое, равностепенно непрерывных) подмножеств Е'. Достаточно показать, что К содержит множество IF, которое радиально, выпукло п замкнуто в £3. Тогда IF будет полярой ограниченного множества в Е, следовательно, окрестностью нуля в Е^. По предположению для всякого ле N существует р„ > О, такое, что 2p„Sn с F, и бочка Dn в Ео, такая, что 2Dn cz Vn. Далее, выпуклая оболочка Сп объединения (JpkE/i есть о(Е', Е) — компакт согласно (II, 10.2), и, 1
следовательно, множество IFn = Сп + Dn выпукло и о(Е', ^-замкнуто ввиду (I. 1.1). Очевидно, IF„ с Кп. Легко убедиться, что IF =QlFn поглощает каждое Вп и, следовательно, радиально. 1
Ясно, что IF выпукло, о(Е', £)-замкнуто и содержится в V.
Свойство пространства Е^, выраженное (6.5), очевидно, эквивалентно следующему: Если (Мп} — последовательность равностепенно непрерывных подмножеств Е", такая, что Al = (J Л1„ сильно
ограниченно (т. е. 0(£", ДЭ-ограниченно), то М равностепенно непрерывно. Так как любое конечное подмножество в Е" равностепенно, то мы получаем:
Следствие 1. Всякое счетное ограниченное подмножество второго сильного сопряженного Е" к метризуемому ЛВП Е равностепенно непрерывно.
В силу (111,4.3) и того очевидного факта, что второе сильное сопряженное к метризуемому ЛВП Е снова метризуемо, получаем:
Следствие 2. Сильное второе сопряженное Е" к метризуемому ЛВП Е является (Р)-пространством и секвенциально полно в топологии о (Е", Е'").
можно также рассматривать как ослабленную форму свойства, определяющего борнологические пространства. Как мы уже убедились выше, сильное сопряженное к метризуемому (следовательно, борнологическому) пространству не обязательно борнологическое. Однако верно следующее утверждение:
Для сильного сопряженного к метризуемому ЛВП следую- 1Цие свойства эквивалентны-.
Е^ борнологическое;
Е^ квазибочечное;
Е^ бочечное.
Доказательство. Импликация (а)=^>(Ь) очевидна (и верна для любого ЛВП, разд. 6); импликация (Ь) =^>(с) вытекает из следствия (5.3), поскольку Дз полно в силу 6.1. (с) =^ (а): Достаточно показать, что всякое выпуклое закругленное подмножество С cz Е', которое поглощает сильно ограниченные подмножества, содержит бочку в £Д. Пусть (SJ—фундаментальная последовательность а (£', £)-компактных, выпуклых закругленных равностепенно непрерывных множеств. Так как каждое Вп сильно ограниченно (действительно, {£„} является фундаментальным семейством сильно ограниченных множеств), то найдется р„> 0, такое, что 2рпВпсз cC(nGN). Пусть Сп — выпуклая оболочка объединения (Jp^.
।
Тогда каждое С„ выпукло закруглено и о(£', £)-компактно в силу (II, 10.2) и Со = (J Сп —выпуклое закругленное радиальное множе- 1
ство, такое, что 2СосС. Таким образом доказательство будет завершено, если мы покажем, что Со cz 2С0, где замыкание берется в топологии р(£', £). Пусть х' 0 2С. Тогда для любого ne N найдется выпуклая закругленная окрестность нуля Vn в Е', такая, что Vx' + 7J П С„ = 0, так как Сп сильно замкнуто. Пусть Wn = Vn + Сп.
Тогда в силу (6.5) множество W = Q Wn является сильной окрест- 1
ностью нуля, поскольку 17 поглощает каждое B„(neN). С другой стороны, отношение х' ^ 2С0 влечет за собой равенство (0 + I7J П П сп = 0 для всех п ее N; следовательно, (0 + 17) П Со = 0. Отсюда видно, что х' 0 Со.
Следствие 1. Сильное сопряженное к любому рефлексивному пространству Фреше борнологично.
Это непосредственно вытекает из (5.6) и его следствия 1.
Следствие 2. Если сильное сопряженное к метризуемому ЛВП сепарабельно, то оно борнологично.
Доказательство. Достаточно показать, что Е^ квазибо- чечно. Итак, пусть D — бочка в Е^, которая поглощает сильно ограниченные множества, и пусть (л/}—счетное всюду плотное подмножество Е' \ D. В силу (11,9.2) найдется замкнутое (вещественное) полупространство Н , такое, что х'е Нп и D содержится во внутренности И п. Следовательно, Dc[^Hn, а У = (3^п является .окрестностью нуля в Eg согласно (6.3). Далее, дополнение
внутренности U множества U содержит (х'} и замкнуто. Следовательно, D zd U- что доказывает утверждение.
Свойство (6.5) сильных сопряженных к метризуемым пространствам привело Гротендика [10] к введению специального класса локально выпуклых пространств: ЛВП Е называется (DF)-npo- странством, если Е обладает фундаментальной последовательностью ограниченных множеств и каждое сильно ограниченное счетное объединение равностепенно непрерывных подмножеств в Е' равностепенно непрерывно. Всякое сильное сопряженное к метризуемому ЛВП является (ПР)-пространством; обратное неверно. Этот класс включает все нормируемые пространства и, более общо, все квазибочечные пространства, обладающие фундаментальной последовательностью ограниченных множеств (упр. 24). Для детального изучения этих пространств читатель может обратиться к работе Гротендика [10]. Эти пространства играют также значительную роль в теории топологических тензорных произведений (Гротендик [13]). Отмечая важное свойство (ОР)-пространств, мы докажем, что топология (ПР)-пространства может быть „локализована" по аналогии с локализацией топологии компактной сходимости в сопряженном к (Г)-пространству.
Пусть Е является ^ЕУпространством. Выпуклое закругленное подмножество V ст Е есть окрестность нуля в том (и только том) случае, когда для всякого выпуклого закругленного ограниченного подмножества В ст Е пересечение В f] V есть окрестность нуля в В.
Доказательство. Необходимость условия тривиальна. Предположим, что {В,J — возрастающая последовательность ограниченных выпуклых закругленных множеств, которая фундамен- та.тьна и обладает следующим свойством: для каждого п пересечение В„ПУ образует окрестность нуля в Вп. Для каждого neN существует выпуклая закругленная окрестность нуля Uп cz Е, удовлетворяющая условию ВД\ Uncz В„ПУ• Пусть Wn — замыкание множества Bnf\V-r-^Un. Тогда Wn ст Вп П У + U п. Следовательно, Blt r\Wn^Bn^V + W nUncBn(\V + ^B№(\ U п) с 3 (Вп П У). Полагая W = Q Wn, получаем Вп П 1УстЗВп П ЗУ, что в силу равенства 1
(J Вп = J3B„ = Е ведет к включению IF ст ЗУ. С другой стороны, у 1.
IV замкнуто, выпукло, закруглено и поглощает все Вп, поскольку при некотором р„>0 имеет место включение Вп с р„ (Вп П Un) ст с р,ДВ„П У) <= Ря(Л+р П У) <= РЛп+Р Для всех /jeN. Следова-
тельно, множество (J W°n сильно ограниченно и поэтому равносте- 1
пенно непрерывно в Е'. Отсюда следует, что W ^а значит, и является окрестностью нуля в Е.
Следствие. Линейное отображение (DF)-пространства Е в ЛВП F непрерывно, если его сужение на любое ограниченное подмножество Е непрерывно,
Сопряженные к замкнутым линейным отображениям
Пусть Е, F— ЛВП, £0 — всюду плотное подпространство Е и и — линейное отображение с областью определения DU = EO и со значениями в F. Рассмотрим множество £' элементов у' е F', для которых линейная форма х->(их, у,х) непрерывна на Ео. Fo непусто, поскольку оно содержит 0 и является, очевидно, подпространством F'. Так как Ео плотно в Е, то форма х^-^их, у'') имеет, очевидно, для каждого ij'eF'„ единственное непрерывное продолжение на Е, которое является, таким образом, элементом х'еЕ'. Обозначим это отображение у'~* х' через у. Очевидно, у — линейное отображение с областью определения D„ = Fq, и это значит, что соотношение («у, у') = (х, у//') является тождеством на DUXD,. Если и — непрерывное отображение из Ео в F, то, очевидно, DV = F' и (поскольку сопряженное к Ео может быть отождествлено с £') у сопряжено отображению и, как это было определено в разд. 2. Условимся называть только что определенное отображение у сопряженным отображением (короче сопряженным) к и. Таким образом, всякое линейное отображение и, определенное на всюду плотном подпространстве Е (для удобства мы будем говорить, что и всюду плотно определено в £), со значениями в F обладает корректно определенным сопряженным с областью определения DvaF'. Заметим, что Do = (u*)~* (Е') П F', где и — алгебраическое сопряженное к и и Е' отождествляется с подпространством £0. Естественно спросить: при каких условиях D„ всюду плотно в £а? Напомним, что отображение и называется замкнутым, если его график G = = {(х, их\. xgD^ является замкнутым подпространством в EXF. В силу (4.3) и выпуклости G это эквивалентно тому, что G замкнуто в £„ X £„.
Пусть Е, £ —ЛВП и и —линейное отображение, всюду плотно определенное в Е со значениями в F, Тогда график, со-
пряженного и к и замкнут в Fo X Ej. Для того чтобы область определения Do была плотна в Fo, необходимо и достаточно, чтобы отображение и имело замкнутое расширение. В этом случае сопряженное икс является наименьшим замкнутым расширен наем и.
Доказательство. Заметим, во-первых, что в силу (4.3) сопряженное к Е X F может быть отождествлено с Е' X F', где каноническая билинейная форма на (£ X F) X (Е' X F'^ задается равенством ((х, у), (х', у')} = (х, х') + (у, y'Y Далее, отображение %: ky', х'}^(х', у') представляет собой изоморфизм FaXEa на Еа X Fa. Пусть G — график и и Н — график и. Тождество (их, у') — — (х, иу'') = 0, имеющее место на DaXD„ показывает, что С° = х(Д), следовательно, %(Д) замкнуто в E3XFa, а поэтому Н замкнуто в Fo X Еа.
Предположим далее, что Do плотно в F3. Тогда график Gx сопряженного отображения й к и, согласно ранее доказанному, замкнут в ЕаХ Fo (следовательно, в Е X F) и, очевидно, Ей содержит Du, так что й является замкнутым расширением и. Кроме того, х/(О1) = Я°, где %' обозначает сопряженное к % (разд. 2). Поскольку Н и G, замкнуты, из (2.3), (а), (с) следует, что равенство z'kG\^ — H° эквивалентно равенству С=х(Д)°- Таким образом, GX = G00, а это, согласно теореме о биполяре (1.5), доказывает, что GJ является замыканием G в Е X F. Следовательно, и есть наименьшее (в очевидном смысле) замкнутое расширение и.
Так как область определения сопряженного к расширению отображения и содержится в Da, то доказательство будет завершено, если мы покажем, что Do плотно в /ш, как только и замкнуто. Пусть y = Dt. Тогда (у, 0) е Н и (0, у)Ех(Я). Если G замкнуто, то х№)° = G00 = G по теореме о биполяре, и из (0, р) е G следует, что у = 0, а значит, О„ плотно в F3.
Мы расширим обозначение, введенное в разд. 2, и будем обозначать через и' сопряженное к и, если и — плотно определенное замкнутое линейное отображение.
Следствие. Пусть и —замкнутое линейное отображение, плотно определенное в Е со значениями в F. Тогда и' обладает одними и теми же свойствами по отношению к Fa и к Еа, а также и" = (и'У = и.
Часто бывает удобно сводить изучение линейного отображения и к случаю, когда и взаимно однозначно. Если и — непрерывное линейное отображение ТВП Е в ТВП F с нуль-пространством N, то взаимно однозначное отображение и0 факторпространства E[N в F, ассоциированное с и (гл. Ill, разд. 1), непрерывно (и обратно).
Аналогично линейное отображение и открыто в том и только том случае, когда z/0 открыто. Очень полезным является тот факт, что замкнутость и плотность области определения переносятся аналогичным способом на ассоциированное взаимно однозначное отображение. Только в следующем утверждении Е и F не предполагаются ЛВП.
Пусть Е, F — ТВП и и —линейное отображение с областью определения Dac.E, нуль-пространством NcD„ и со значениями в F. Обозначим через Ф каноническое отображение E->E/N и через и0— взаимно однозначное отображение Ф(О„) в F, ассоциированное с и. Тогда график и0 замкнут в (E/N) X F в том и только том случае, когда график и замкнут в Е X F. Кроме того, если и плотно определено, то и м0 плотно определено; если и замкнуто и F отделимо, то N замкнуто в Е.
Доказательство. Отождествим канонически (E/N) X F с (Е X F)/(N X {0}) и обозначим через Ф! факторотображение Е X F—>(E X РУКК X {0}). Если G и Go — соответственно графики и и и0, то, очевидно, Ф,(С) = б0. Так как АХ{0}стС, то отсюда следует, что С = Ф~1(Со) и С0~ = Ф1(О'), где знак обозначает пополнение. Так как Ф] непрерывно и открыто, два последних соотношения показывают, что G замкнуто одновременно с Go. Если Du плотно в Е, то Ф (О„) плотно в E(N, поскольку отображение Ф непрерывно и отображает «на». Если пространство F отделимо (или, что то же самое, если {0} замкнуто в F), то N X {0}, очевидно, замкнуто в G, а следовательно, и в Е X F, если G замкнуто. Таким образом, N замкнуто в Е в этом случае. Это завершает доказательство.
Итак, если и — замкнутое линейное отображение с областью определения Ео, плотной в Е, и со значениями в F, то отображение м0 пространства Ф(Е0) (которое может быть отождествлено с Eo/N) в F замкнуто и плотно определено в Е,М. Если и — каноническое разложение м = V ° м0 = Фо, где Фо: Ео-> EojN и W: и (Ео) —> F — канонические отображения, то, как и ранее, и непрерывно (соответственно открыто) тогда и только тогда, когда м0 непрерывно (соответственно открыто). Слабо открытые линейные отображения с замкнутым графиком характеризуются следующим дуальным свойством (Е и F снова предполагаются локально выпуклыми):
Пусть и — линейное отображение, плотно определенное в Е со значениями в F, и график и замкнут. Тогда и слабо открыто в том и только том случае, когда множество значений его сопряженного и' замкнутого в Е'.
Доказательство. Ввиду (7.2) и следствия 2 из 4.1 можно заранее предполагать, что и взаимно однозначно отображает «на».
Обозначим символом Ео область определения и. Если и слабо открыто, то и-1 непрерывно в топологиях o(F, Е') и а(£0, E'Y Следовательно, и1 имеет сопряженное у, которое отображает Е' в F'. Так как ясно, что и' взаимно однозначно и у = (и/)-1, то множество значений и' совпадает с Е' и, следовательно, замкнуто. Обратно, если множество значений И отображения и' замкнуто в Е'п, то Н = Е'. Если х е Н° (поляра относительно (£, E'YY то .г е Du = £0, поскольку п" = и. Следовательно, х = 0, так как Da- плотно в Г» и и взаимно однозначно. Отсюда следует, что Я° = (0} и И = Н°° = Е'. Далее, если U = [хе£0: | <(х, д') | «С 1, / = 1 л} —
слабая окрестность нуля в £0, то существуют элементы у'^Ь,, такие, что иЦу'^ = x't для всех L Отсюда следует, что u\U^ = V, где У = фгг: ^у, у^|$С1, z=l, . .., л], а значит, и слабо открыто.
Следствие. Пусть и — слабо непрерывное линейное отображение Е в F. Тогда для того, чтобы и было слабым гомоморфизмом, необходимо и достаточно, чтобы его сопряженное и' имело замкнутое множество значений в Еа.
С учетом (2.1) предыдущие результаты могут быть даны в более симметричной форме. Пусть и — замкнутое линейное отображение с множеством значений в £ и областью определения, плотной в Е. Тогда и слабо непрерывно в том и только том случае, когда область определения и' замкнута в F'v и и слабо открыто в том и только том случае, когда множество значений и' замкнуто в Ео.
Следующее предложение связывает свойства непрерывности линейного отображения и со свойствами его сопряженного и; отображение и не предполагается замкнутым и у — сопряженное к и с областью определения DV = FO определяется так же, как в начале этого раздела.
Пусть Е, £ —ЛВП, и — линейное отображение Е в F и у — сопряженное к и. Рассмотрим следующие утверждения-.
(а) и непрерывно;
Пу) и непрерывно в топологиях Макки на Е и F;
(Ь2) и слабо непрерывно;
(Ь,3) у определено на всем F';
(Ь4) у — непрерывное отображение из Fo в ЕП;
(с) у — непрерывное отображение из Ел в Е^.
Тогда имеют место импликации: (Д) фф (Ь2) фф (Ь3) фф (Ь4), (а)=Ф(Ь,) и (Ь4)(с). Если F полурефлексивно, то (с)=ф(Ь4), и
если Е — пространство Макки, то (b!)=>(a).
Доказательство. (а)=^(Ь2) и (b1)=^(b2): Для каждого ugF' отображение х-*(ых, у7) непрерывно и, значит, является слабо непрерывной линейной формой на Е, что эквивалентно слабой непрерывности и. (b2)=^(b3): Непосредственно следует из (2.1). (b3)=^(b4): Так как u^^F и и является сопряженным к у относительно двойственностей ^Е, Е'') и ^F, F'), то у непрерывно в топологиях a(F', F) и ст (£',£) согласно (2.1). (Ь4) =^ (Ь^: у отображает выпуклые закругленные компактные подмножества Fa на выпуклые закругленные компактные подмножества £0 и и сопряжено к у. Утверждение следует из (2.4). (Ь4)=^(с): Достаточно доказать (Ь2)—^ (с), а это немедленно вытекает из (2.4), поскольку и отображает ограниченные множества на ограниченные множества. Если F полурефлексивно, то F$ = FX согласно (5.5) и, следовательно, у — непрерывное отображение из £т в Е^; тем более это верно для топологий Макки на F' и Е'. Ввиду ранее доказанной эквивалентности (Ь,) и (Ь2) для полурефлексивного пространства F верна импликация (с)=^(Ь4). Если £ —пространство Макки, то, очевидно, (bj)=^(a), так как топология F слабее т(£, F'Y
Среди следствий предыдущего результата отметим следующее:
Если и — линейное отображение пространства Макки Е в ЛВП F и сопряженное и' определено на всем F', то и необходимо непрерывно. (Это утверждение содержит классическую теорему Хеллин- гера и Теплица: Всякое самосопряженное отображение гильбертова пространства, которое всюду определено, непрерывно.) Следующее предложение дает дуальную характеристику топологических гомоморфизмов.
Пусть Е, F — ЛВП с сопряженными Е', F' соответственно и и — замкнутое линейное отображение Е в F. Отображение и является топологическим гомоморфизмом тогда и только тогда, когда область определения и множество значений и' замкнуты в Fa и Ео соответственно, а и' отображает равностепенно непрерывные подмножества F на равностепенно непрерывные подмножества образа и' ^FY
Доказательство. Обозначим через N и М соответственно нуль-пространство и образ и. Представим и в виде u = V ° u о ф, где Ф, как всегда, факторотображение E->EjN (заметим, что N замкнуто), Д — каноническое вложение М -» F. Отображение и есть топологический гомоморфизм в том и только том случае, когда и0 — изоморфизм в фактортопологии Х1 на E)N и индуцированной топологии Х2 на М.
Из (4.1), (а)=^(Ь) следует, что J2 есть 52-топология, где 62 — семейство всех канонических образов в F'[MQ равностепенно' непрерывных подмножеств F'. Аналогично, согласно (4.1), (c)=^(d),
Zj является ©ртопологией, где Zj — семейство всех равностепенно непрерывных подмножеств Е', которые содержатся в №.
Условие необходимо. Если ы0 — изоморфизм пространства (E/N, 2]) на (М, Z2), то в силу (7.4) и0 является изоморфизмом для топологий a(E/N, №) и о (.И, F^M0^, а и' —слабым изоморфизмом F']MQ на №. Ясно, что D./ замкнуто в Fo, так как DU' = F ввиду непрерывности и, и и'(F^ замкнуто в Ет, так как ц'(£') = = u^F'jM0^ = №. Кроме того, и'^^^^ согласно (2.4), как и утверждалось.
Условие достаточно. В силу обсуждения, проводившегося после следствия предложения (7.3), из нашего допущения вытекает, что и — слабый гомоморфизм. Следовательно, и0 есть изоморфизм E[N на М в топологиях a(E/N, №) и ст (44, F'/44°), поскольку ст (Е/№ №) — фактортопология топологии а (Е, Е'\ Согласно (7.4), отображение ы' является изоморфизмом F']M° на № относительно топологий ст (£744°, 44) и а^№, E/N) и, согласно предложению ы'(32) = 5г Из (2.4) следует, что как и0, так и цф1 непрерывны в топологиях Zj и 12, а значит, и — топологический изоморфизм.
Следствие. Всякий топологический гомоморфизм Е в F является слабым гомоморфизмом.
Это непосредственно вытекает из следствия к (7.3). Обращение последнего следствия неверно, что можно легко заметить, рассматривая тождественное отображение Ех — Еа, где Е — ЛВП, для которого т(£, £') ¥= ст (£, Е'\ Но даже для топологий Макки на Е и F слабый гомоморфизм £ в £ не обязательно открыт (упр. 26). Оставшаяся часть раздела посвящена условиям, при которых можно сделать заключение об открытости непрерывного линейного отображения в предположении, что это свойство имеет место для слабых топологий или для сопряженных пространств.
Пусть Е — пространство Макки и и —слабый гомоморфизм Е в F, такой, что подпространство и (£) с F является пространством Макки. Тогда и — топологический гомоморфизм Е в F.
Доказательство. Пусть N = и""1 (0) и М = и\Е\ Учитывая (7.5), достаточно показать, что если В выпуклое закругленное компактное подмножество Еа, содержащееся в №, то В = и' (Д), где Д — равностепенно непрерывно в F'.
Так как 44 — пространство Макки в топологии, индуцированной F, то из (4.1), (Ь)=^(а) следует, что любое выпуклое закругленное ст (£744°, 44)-компактное подмножество Bi с F'jMQ является каноническим образом равностепенно непрерывного подмножества А с F'. Утверждение следует теперь из того факта, что отображе-
ние и'о является изоморфизмом F']M° на № в топологиях o(F'jM°, М) и a(N°,E/N), так как z/0, согласно предположению, слабый изоморфизм E]N на М.
Предыдущий результат применим, например, в случае, когда F — метризуемое ЛВП (см. 3.4). Если оба пространства, как F, так и Е, являются (Р)-пространствами, то мы получим следующую систему эквивалентностей с помощью теоремы Банаха о гомоморфизме:
Пусть Е, F — пространства Фреше и и — непрерывное (или, что то же, замкнутое') линейное отображение Е в F. Тогда следующие свойства эквивалентны-.
и — топологический гомоморфизм;
и — слабый гомоморфизм;
и имеет замкнутый образ;
и' является гомоморфизмом в топологиях o(F', F) и о(Е', £);
и' имеет образ, замкнутый в топологии о(Е', Е).
Доказательство. Импликация (а)О(Ь) вытекает из следствия из (7.5) и из (7.6). Следствие 1 утверждения (111,2.1) показывает, что (а)О(с). Наконец, импликации (Ь)О(е) и (c)O(d) непосредственно вытекают из (7.3).
Тем не менее из условия 7.7 не следует, что и' — гомоморфизм для сильных топологий на F' и Е', даже если u(E) = F. Причина этого заключается в том, что если N = u-1(0), то топология Р(№, E/N), вообще говоря, сильнее, чем топология на №, индуцируемая ^(Е', Е) (упр. 14). В обратном направлении может быть сделано следующее утверждение (Дьедонне — Шварц [1]):
Если Е, F — пространства Фреше и и — непрерывное линейное отображение Е в F, сопряженное к которому и' является изоморфизмом Гф в Ей, то u(E) = F (а значит, и — гомоморфизм).
Доказательство. Множество и(Е) плотно в F, поскольку отображение и' взаимно однозначно. Следовательно, в силу (7.7), (с)=ф(с) достаточно показать, что и' (F') замкнуто в Ео. Пусть U — произвольная окрестность нуля в Е; множество Пэ замкнуто и ограниченно в Еа и Е^. Так как и' — сильный изоморфизм, множество В = (и')-х (U°) ограниченно в Ер (следовательно, в Еп) и замкнуто в Fa вследствие слабой непрерывности и'; поэтому В является o'(Е', Е)-компактным. Отсюда следует, что и' (В) = U° П и' (F') компактно, а следовательно, замкнуто в Е Ввиду того что U было произвольно, и' (F') замкнуто в Е'о по теореме Крейна — Шмуль- яна (6.4). I
Добавим несколько замечаний о нормированных пространствах. Если Е и F — нормированные пространства с соответствующими единичными шарами В и С, то норма и —>|| и |1 — sup {|| их ||: х е В} является естественной нормой па ЕЕ (Е, F). Она порождает топологию ограниченной сходимости (гл. III, разд. 3). Как было указано ранее, пространства Е^, Ер, а следовательно, и (Ер, Ер) банаховы в их естественных нормах. Если и е ЕЕ (Е, F), то //е^(Ер, Ер) согласно (7.4) и в силу теоремы о биполяре
|| и' II = sup {I (х, и'у^ |: х еВ, у' е С°) =
= SUр {I (их, у') |: х е В, у' Е С°} = || и ||.
Следовательно, отображение и—*и' является изометрическим изоморфизмом ^(E,F) в СЕ (Ер, Ер) — факт, который был неоднократно использован в разд. 9 гл. III. Отметим следующие факты относительно сильных сопряженных к подпространствам и фактор- пространствам нормированного пространства Е:
если Л1 — подпространство Е, то банахово пространство /Ир изометрически изоморфно нормированному факторпространству E^jМ°;
если N — замкнутое подпространство Е, то банахово пространство (E/NY&, сильно сопряженное к нормированному пространству E[N, изометрически изоморфно подпространству № банахова пространства Ер.
Если 'К и Ф обозначают канонические отображения М-» Е и Е —> E(N соответственно, то указанные изометрические изоморфизмы обеспечиваются взаимно однозначным отображением *Е0, ассоциированным с Vх (гл. III, разд. 1), и отображением Фх соответственно. Детальная проверка опускается. В этих утверждениях PGV°, Е/N) индуцируется Р(ЕХ, Е) и ^\EfjM°, Л1) является фактор- топологией топологии [3 (Ех, Е). Для нормированных пространств Е, F (и конечно, для нормируемых пространств Е, F) мы получаем следующее дополнение (см. 7.7) (упр. 27):
Пусть Е, F — нормированные пространства и ueS1^, F\ Тогда если и — гомоморфизм, то его сопряженное и' — сильный гомоморфизм. Обратное справедливо, если пространство Е полно.
Доказательство. Если и — гомоморфизм и N = и""1 (0), то взаимно однозначное отображение и0, ассоциированное с и, является изоморфизмом EjN на М с F, где М = и (Е). Отсюда следует, что и'— изоморфизм F'/AF на № для топологий |3(Е7Л1°, /И) и Р(А’°, Е/N), откуда видно (см. 1) и 2) выше), что // — сильный гомоМорфизм.
Обратно, если и' — сильный гомоморфизм, то G =- и' (Д') замкнуто в £р. Для того чтобы показать, что G замкнуто в Ео (или, что то же самое, G = №), достаточно, ввиду следствия из (6.4), доказать, что пересечение G П В° (В — единичный шар в Е) а(Е', Е)- замкнуто. Так как «' — сильный изоморфизм пространства Е'1М° на G, а каждое сильно ограниченное подмножество F')М° является каноническим образом ограниченного подмножества F', мы имеем GF\B° = u'(H), где G — сильно ограниченное, а значит, равностепенно непрерывное подмножество F'. Но слабое замыкание Н компактно в Еа; так как и' слабо непрерывно, и' (Н) компактно в £а и, очевидно, равно G П В°. Доказательство закончено.
Общие теоремы об открытом отображениии замкнутом графике
Непрерывное линейное отображение Е на F открыто, если Е и F есть пространства Фреше —таково в сущности содержание теоремы Банаха о гомоморфизме (гл. III, разд. 2) для локально выпуклых пространств. Даже несмотря на то, что в (III, 2.2) показано, что этот важный результат продолжает оставаться верным, когда Е и F — пространства типа (LF) (которые неметризуемы, а также и не бэровские, см. гл. III, упр. 4), теорема о гомоморфизме (и вместе с ней теорема о замкнутом графике) долгое время считалась внутренней теоремой категорного типа, не имеющей отношения к современной теории локально выпуклых пространств и, в частности, к двойственности. Птак [1], [7] был первым, кто заметил ее тесную связь с теоремой Крейна — Шмульяна и, более общо, с двойственной характеристикой полноты. В настоящем разделе мы изложим наиболее существенные результаты теории Птака и некоторые связанные с ней результаты Коллинза [1] и Маховальда [1].
Будем говорить, что ЛВП Е В-полно (или является пространством Птака), если любое подпространство Qc£ замкнуто в топологии а (Е', Е), как только пересечения Q Г] Л будут а (Е', Е)- замкнуты в Л для всех равностепенно непрерывных подмножеств Л cz Е'. Пространство Е называется (Вг)-полным, если всякое плотное подпространство Q cz Еа, такое, что для любого равностепенно непрерывного подмножества Л cz Е' пересечение Q П Л замкнуто в Л в топологии а(Е', Е), является замкнутым в Е'а (следовательно, совпадает с Е'). Непосредственно видно, что в обоих этих определениях семейства всех равностепенно непрерывных подмножеств Е' могут быть заменены любым фундаментальным подсемейством, в частности полярами IP множеств U, образующих базис окрестностей нуля в Е.
Примеры. 1. Всякое (Р)-пространство Е является В-полным в силу теоремы Крейна — Шмульяна.
Сопряженное Макки Ех к (Р)-пространству Е является В-полным (доказывается прямой проверкой); в частности, сильное сопряженное к рефлексивному (Р)-пространству В-полно (конкретные примеры см. в гл. III, разд. 8).
Всякое слабо полное ЛВП В-полно. Действительно, мы имеем Е = Е' (см. начало разд. 6), что показывает, что т (£', £) является линейной локально выпуклой топологией на Е' (гл. II, разд. 6 и утр. 7). Следовательно, всякое подпространство Q в Е' замкнуто в топологии т (£', Е), а в силу (3.1) и в топологии о (М, £). Заметим, что пространство Е слабо полно в том и только том случае, когда оно изоморфно произведению Kq одномерных пространств KQ (упр. 6).
Нетрудно быстро убедиться, что любое замкнутое подпространство и любое отделимое факторпространство В-полного пространства В-полно.
Всякое В-полное пространство В,-полно и всякое Вг-пол- ное пространство полно.
Доказательство. Первое утверждение тривиально. Предположим, что Е является Выполним и Н — гиперплоскость в Е', такая, что пересечение Н П А замкнуто в Л в топологии а(Е', Е) для всякого равностепенно непрерывного подмножества А с Е'. Чтобы убедиться в замкнутости Н, достаточно показать, что некоторый сдвиг Н замкнут в Еа, так что мы можем предполагать, что 0 е Я. Если бы Н не было замкнуто, то оно было бы плотно, согласно (I, 4.2), и, следовательно, совпало бы с Е', так как Е по предположению Вг-полно. Мы пришли к противоречию, так что Н замкнуто и наше утверждение вытекает из следствия 3 утверждения (6.2).
Следующий результат принадлежит Коллинзу [1].
Всякое замкнутое подпространство пространства Птака (соответственно Вг-полного пространства) есть пространство Птака (соответственно Вг-полно).
Доказательство. Пусть М — замкнутое подмножество Е. Мы отождествляем сопряженное к А1 с Е'/М0 и из следствия 1 из (4.1) заключаем, что слабая топология о^Е'!М°, М) является фактортопологией топологии о)Е', Е). Обозначим через W' фактор- отображение Е'-*Е'1М°.
А4ы дадим доказательство обоих утверждений одновременно, считая Q произвольным подпространством Е']М° или же слабо плотным подпространством E'jMQ, в то время как Е подразумевается пространством Птака или же только Вг-полным соответственно.
Пусть Q таково, что Q И Е° слабо замкнуто в Е'1М° для всякого Veil, где У —базис окрестностей нуля в М. Нужно показать, что Q замкнуто в топологии a)E'jMQ, Al). Мы можем считать,
что У = {(/П^: U е И}, где И — базис из замкнутых выпуклых окрестностей нуля в Е. Отсюда, ввиду следствия 2 из (1.5), вытекает, что 'РДДД^Г при Е —HQA1, О ell. У3 = (Ч^)-’ (Q) — подпространство в Е'; так как Ч;/ непрерывно, то множество (Чr,)l (V3 П Q) = (О3 + АГ) П Р замкнуто в Е'г Так как U° — компакт в ст (£',£), то U° замкнуто в U° + M°, и, следовательно, UQ f] Р замкнуто в (U° П -ТП П Р- Поскольку последнее множество замкнуто в Еп, то и множество U П Р тоже замкнуто в Еп. Следовательно, пространство Р, которое плотно одновременно с Q, будет, согласно предположению, замкнуто в Ес, а так как М с: Р, то отсюда следует, что Ч" (Р) = Q замкнуто в фактортопологии а(Е'/М°, Л-1), что и завершает доказательство.
Докажем теперь центральный результат Птака.
Для удобства его формулировки полезны следующие определения. Пусть Е, F — ТВП. Линейное отображение и пространства Е в F называется почти открытым, если для всякой окрестности нуля U с Е ее образ u^U^ плотен в некоторой окрестности нуля пространства и^. Очевидно, и почти открыто в том и только том случае, когда оно отображает каждое открытое подмножество G с Е во внутренность (взятую в м(£)) множества и (О) (упр. 28). Если Е, F — ЛВП, то для того, чтобы и было почти открыто, достаточно, чтобы для всякой выпуклой окрестности нуля U гт Е образ itHJ-) был слабо плотен в некоторой окрестности нуля в и (Е). Заметим также, что всякое линейное отображение и ЛВП Е в бочечное пространство F почти открыто.
Теорема. Рассмотрим следующие свойства локально выпуклого пространства Е;
Е — пространство Птака;
всякое непрерывное почти открытое линейное отображение Е в любое ЛВП F является топологическим гомоморфизмом;
Е является Вг-полным;
всякое взаимно однозначное непрерывное и почти открытое линейное отображение пространства Е в любое ЛВП F является изоморфизмом.
Тогда (а)О(Ь) и (с)фф(й).
Доказательство. Достаточно доказать эквивалентность (а) и (Ь). Доказательство импликаций (c)O(d) будет получено тогда из следствия утверждения (2.3), если ограничиться взаимно однозначным отображением и и плотным в Е« подпространством Q.
(а)фф(Ь): Пусть и — непрерывное почти открытое линейное отображение Е в F. Мы можем считать, что и(Е) = F. Если N = и~*(0) и нп — непрерывное линейное отображение E^N на F, ассоциированное с и, то щ почти открыто. Так как E—>E[N открыто, то
достаточно показать, что и0 открыто. Пусть U — произвольная замкнутая выпуклая окрестность нуля в EjN. Если Е = и0(£), то V является окрестностью нуля в F. Обозначим через и'й сопряженное к ий. Согласно следствию утверждения (2.3), множество Q = zz'(E') является плотным подпространством в № с £'. В силу (2.3), (а) мы имеем
(u^xm = ^u0W\Q=V° = VQ.
Таким образом, Е° замкнуто и равностепенно непрерывно, а поэтому компактно в F'v Так как отображение zz' непрерывно в топологиях q^F', F) и о(£', £), то и'о (Е°) = UQ П Q компактно и, следовательно, замкнуто в Еа. Так как окрестность U произвольна, из В-полноты £ следует замкнутость Q в £' (значит, Q = №). Таким образом, отображение и0 является слабым изоморфизмом в силу следствия из (7.3). Так как U замкнуто в EjN, то оно слабо замкнуто (ввиду выпуклости), откуда следует, что V = и0 (£7) слабо замкнуто в F, так что V = V. Это означает, что отображение и0 открыто.
(Ь)=^(а): Пусть II — семейство всех выпуклых закругленных окрестностей нуля в £ и Q — подпространство Е', такое, что Q П £° замкнуто в Еа для любого U ell. Мы должны показать, что Q замкнуто в Еа. Обозначим поляры относительно (£, £') символом °. Пусть F — факторпространство £/Q° без топологии. Каноническая билинейная форма на F X Q ставит F и Q в двойственность (разд. 4). Рассмотрим семейство ® = {(U° П Q)°: U е 11} подмножеств Е и локально выпуклую топологию 2 на F, для которой семейство Ф(®) образует базис окрестностей нуля, где Ф — фак- торотображение Е -^ EiQ\ Топология 2 есть 3-топология на F относительно двойственности (£, Q), где 3 = (£° Q Q: U е И}. По предположению каждое SeS замкнуто, а значит, компактно в Е_. Очевидно, семейство 3 покрывает пространство Q и семейство всех подмножеств множеств S еЗ насыщенно относительно ст (Q, F). Из (3.2) следует, что топология 3 согласована с (К, Q). Далее, если U е II, то поляра множества ФШ) относительно (£, Q) есть QCiE'0. Следовательно, Ф[(£°ПФ)°] является 2-замыканием множества Ф(£) по теореме о биполяре, откуда видно, что Ф —почти открытое линейное отображение Е на (£, 3). Так как 3 слабее на F, чем фактортопология пространства £/Q°, то Ф также непрерывно и, значит, открыто в силу исходного предположения. Тем самым доказано, что 2 — фактортопология EjQ°. Из следствия 1 и следствия 2 утверждения (4.1) теперь вытекает, что Q необходимо замкнуто в £т.
Теорема доказана.
Среди следствий этого результата наиболее сильным является приводимая ниже «теорема о гомоморфизме», которая существенно расширяет классическую теорему Банаха как по отношению к области определения, так и по отношению к множеству значений.
Следствие 1. (Теорема о гомоморфизме). Всякое непрерывное линейное отображение и пространства Птака Е на бочечное пространство F является топологическим гомоморфизмом.
Доказательство. Так как и (Д) = F, то для всякой выпуклой закругленной окрестности нуля U cz Е замыкание множества и (7/) является бочкой в F. Следовательно, и открыто, так как Е— пространство Птака.
Следствие 2. Пусть Е —птаковское пространство и F есть ЛВП, такое, что u^ = F при некотором непрерывном почти открытом линейном отображении и. Тогда F тоже птаковское пространство.
Доказательство. Пусть G — некоторое ЛВП и и —непрерывное почти открытое линейное отображение F в G. Так как отображение и (почти) открыто, то и»и почти открыто и, следовательно, открыто, поскольку Е — птаковское пространство. Поскольку Сии произвольны, отсюда следует, что F тоже пространство Птака.
Применяя следствие 2 к каноническому отображению E->E[N, где N — замкнутое подпространство Е, мы получаем следующее:
Следствие 3. Всякое отделимое факторпространство пространства Птака является пространством Птака.
Другими словами, В-полнота сохраняется для факторпро- странств по замкнутым подпространствам — свойство, которое не разделяется более слабыми понятиями полноты (упр. 11). Для подробного обсуждения этих вопросов мы отсылаем читателя к работе Птака [7].
Для того чтобы получить соответствующее обобщение теоремы о замкнутом графике, нам нужна теорема об открытом отображении для не обязательно непрерывных линейных отображений с замкнутым графиком. Следующая общая теорема об открытом; отображении, которая содержит следствие 1 из (8.3) как частный! случай, также доказана Птаком. ;
Теорема. Пусть Е — пространство Птака, и —почти откры-\ тое линейное отображение с областью определения, плотной в ЕД и образом в некотором ЛВП F и такое, что график и замкнут» в Е X F. Тогда и открыто. Если, кроме того, и взаимно одно» значно, то для вывода достаточно считать, что Е только (ВД-полноД
Доказательство. Общий случай может быть сведен к случаю, когда и взаимно однозначно. Действительно, согласно (7.2), нуль-пространство N оператора и замкнуто в Е, E]N — птаковское пространство в силу следствия 3 из (8.3) и взаимно однозначное отображение, ассоциированное с и, всюду плотно (см. 7.2)), имеет замкнутый график и, очевидно, почти открыто, если и почти открыто. Мы можем предполагать, следовательно, что и —взаимно однозначное отображение с областью определения Ео, плотной в Е, и графиком, замкнутым в Е X F, что Е является Вг-полным и наконец что и (£0) плотно в F, что, очевидно, не является ограничением общности.
Пусть и' — сопряженное к и отображение с областью определения £', плотной в £( (см. (7.1)), и пусть Q = и'^Е'^. Пространство Q плотно в Еп (см. доказательство (7.3)). Обозначим через U произвольную замкнутую выпуклую окрестность нуля в Е. Тогда IF = (U П EqT в силу (1.5), поскольку У П Ео плотно и, значит, слабо плотно в U. Согласно (2.1), отображение и непрерывно в топологиях а (Ео, Qj и о (£,£() и и' непрерывно в c^F'№ F^ и okQ, Еоу _
Положим и ^U f] Ео) = V. Тогда замыкание V есть окрестность нуля в и(Ей\ так как и, согласно предположению, почти открыто. Если VQ — поляра множества V относительно (£, Р'\ то Р° с: F'o. При / cz Е° функция х -> Re (их, у') не превосходит 1 на U П Ей и, следовательно, непрерывна на Ей. Отсюда следует, что Р° — компакт в топологии сг^, £), так что его образ и' (К°) = U° П Q является компактом в топологии о (Q, Eq), поскольку и' непрерывно относительно а(^, Е) и a(Q, £0). Так как Ей плотно в £ и множество U° ст Е' равностепенно непрерывно, то из (III, 4.5) следует, что U° П Q компактно и в топологии а(Е', Е). Пространство Q замкнуто в Eq (значит, Q = £'), поскольку пространство Е, согласно исходному предположению, Вг-полно. Ввиду (7.3) отсюда следует, что и слабо открыто или, что то же самое, и-1 слабо непрерывно. Так как V (в силу выпуклости) является слабым замыканием V в »(£0), то
U П Eq = и"’ (V) с и-1 (7) с U П £0,
так что U П Ео слабо замкнуто в £0. Следовательно, и((7П£0) = ==Е = /, откуда вытекает, что и открыто. Доказательство закончено.
Следующая общая теорема о замкнутом графике (см. А. Робертсон и В. Робертсон [1]) является теперь простым следствием предыдущего результата.
Теорема. Пусть пространство Е бочечно и пространство F является Вг-полным. Тогда если и —линейное отображение Евр с замкнутым графиком, то и непрерывно.
Доказательство. Как и в предыдущем доказательстве, общий случай может быть сведен к случаю, когда и взаимно однозначно, так как N = trx ^ замкнуто в Е, взаимно однозначное отображение E,N в F, ассоциированное с и, имеет замкнутый график в силу (7.2) и пространство E,N бочечно. Можно, кроме того, считать, что и (Е) плотно в F, так как, согласно (8.2), всякое зам-, кнутое подпространство Вг-полного пространства Вг-полно.
Итак, предположим, что и взаимно однозначно и образ отображения и плотен в F. Тогда, так как и замкнуто, irx будет замкнутым плотно определенным линейным отображением из F на Е, которое почти открыто, поскольку Е бочечно. По теореме (8.4) отображение ir ' открыто, следовательно, и непрерывно.
Следствие. Пусть Е — ЛВП, которое бочечно и Вг-полно. Тогда если Е представлено в виде алгебраической прямой суммы двух замкнутых подпространств М и N, то эта сумма является топологической; Е = М Д N.
Доказательство. Пусть р — проекция Е на М, аннулирующаяся на N. Так как М, согласно 8.2, Вг-полно, то достаточно показать, что график отображения р замкнут в Е X М. Но это, как легко видеть, эквивалентно замкнутости подпространства N.
Мы завершим это краткое изложение результато?л Махо- вальда [1], который утверждает, что теоремы об открытом отображении и замкнутом графике в их общей форме (8.4) и (8.5) уже расширены до естественных пределов их справедливости.
Пусть Е — ЛВП, такое, что для всякого банахова пространства F замкнутое линейное отображение Е в F обязательно непрерывно. Тогда Е бочечно.
Доказательство. Пусть D — произвольная бочка в £ и Ф — каноническое отображение Е в банахово пространство ED (относительно обозначений см. гл. III, разд. 7). Имеем D = = (х е Е: || Ф (х) || Д 1}, так как D замкнуто. Мы должны показать, что D — окрестность нуля. В силу предположения относительно Е достаточно показать, что график G отображения Ф замкнут в Е X Ed.
Далее, если (х0, уф ^ G, то || Ф (х0) — у01| > 2е при некотором подходящем е>0. Так как Ф(£) плотно в ED, найдется элемент Ух е Ф(£), такой, что|| yQ—ty II <е, откуда следует, что|| Ф(х0) — tj\ |1>е. Множество Л = (х е Е; || Ф (х) — ух || Де} замкнуто в Е, так как оно является сдвигом eD. Следовательно, W = Е \ А открыто. Обозна-
чая через Ве открытый шар {уе£о: || у — у, ||< е}, мы получим, что (W X В^ П G = 0. Так как (х0, у0) е W X ВЕ, мы заключаем отсюда, что множество G замкнуто в Е X ED.
Тензорные произведения и ядерные пространства
Мы рассмотрим связь между пространствами линейных отображений (гл. III, разд. 3) и пространствами билинейных форм (гл. III, разд. 5). Пусть Е, F — ЛВП с соответствующими сопряженными Е' и F'. Как и раньше, мы будем использовать сокращенную запись, когда речь идет о наиболее часто встречающихся топологиях (£', £', £р и т. п. (см. разд. 5)).
Если у — раздельно непрерывная билинейная форма на £ X £, то легко видеть, что формула
у (х, у) = (z/х, у) = (х, и' у)
определяет непрерывное линейное отображение u е S’(£, £') с сопряженным iie$(F, Е'у (см. (7.4)). Действительно, отображения у->м и у—>и' являются алгебраическими изоморфизмами !Д£, £) на S^E, £') и ®(£, £) на S’(£,£') соответственно. С помощью этих изоморфизмов, которые называются каноническими, мы будем часто отождествлять пространство линейных отображений с пространствами билинейных форм. Заметим, что при у —> и пространство ^(E,F) непрерывных билинейных форм на EXF отображается на такое подпространство S’(£, £'), каждый элемент которого отображает некоторую окрестность нуля в £ на равностепенно непрерывное множество в F'.
Далее, данной 5 X 2-топологии на 53(£, £) (гл. III, разд. 5) соответствует на S’(£,£') топология равномерной сходимости на подмножествах из 5 относительно 2-топологии на F'. Обратно, заданной 5-топологии на S’ (£, £) (которое является, вообще говоря, собственным подпространством S’(£,£„)) соответствует 2 X 2-топология на каноническом образе S’(£, £) в ®(£, £') (2 обозначает семейство всех равностепенно непрерывных подмножеств F'Y
Тем не менее из (7.4) следует, что S’(£, Fa) = S’ (£т, £). Значит, 9?^E,F^ может быть отождествлено с $(£,£'), если Е — пространство Макки. Двойственным образом, S’(£', F) = S’(Е^, F^, следовательно, S’(£', £) может быть отождествлено с $(£’,£'), и если 5 — семейство всех равностепенно непрерывных подмножеств £', то 5-топология на S’(£', F) соответствует топологии биравностепенно непрерывной сходимости в $(£', F'y, пространство S (£', F) с этой топологией будет обозначаться через S’e (£',£).
Пусть Е, F — ЛВП, отличные от {0}. Пространство ^е(Е'о, F^ («л«, что то же самое, пространство 2>е(Е'х, F^ полно в том и только том случае, когда оба пространства Е и F полны. В этом случае Е 0 F может быть отождествлено с замыканием Е 0 F в $^е;, f).
Доказательство. Пусть f — билинейная форма на Е' X F', которая является пределом фильтра в '-У(£', F'^, равномерно сходящегося на каждом произведении S X Т, где S, Т — произвольные равностепенно непрерывные подмножества Е/, F' соответственно. Отсюда следует, что для каждого у' е F' частное отображение fti' <у(Е', £)-непрерывно на S. Следовательно, если Е полно, то fM- является непрерывной линейной формой на Е'з в силу следствия 2 из утверждения (6.2). Аналогично ^(/еЕ') непрерывно на F'c, если F полно, что доказывает достаточность условия.
Обратно, если ®е(£', F'^ полно и х е Е, у е Е — ненулевые элементы, то замкнутые подпространства х 0 F (заметим, что х 0 F замкнуто в 2?е(£' £)) и £ ® у в Уе(£', F^ полны и изоморфны Е и F соответственно. Следовательно, пространства £ и F полны, если ^е(Е'о, F'o) полно. Последнее утверждение также ясно, так как Е 0 F является по определению пополнением подпространства £®£сДе(£', £') (гл. III, разд. 6).
Напомним, что сопряженным к Е 0 F в проективной (соответственно индуктивной) топологии тензорного произведения является пространство ^(Е, F) (соответственно У(£, F)Y Наша следующая цель — определить сопряженное к E®F в топологии биравностепенно непрерывной сходимости (или, что то же, сопряженное к Е ® £). Базис окрестностей нуля для этой топологии образован полярами относительно двойственности между Е ® F и Е' ® F'с:В (Е, F) (см. конец гл. III и разд. 6) множеств S ® Т, где S, 71 — произвольные равностепенно непрерывные подмножества Е', F' соответственно. Следовательно, биполяры (Г5 0 Т)00 в B(E,F) (или, что то же, замыкания (RS 0 70 в топологии а (В (Е, F), E^F^1) образуют фундаментальное семейство равностепенно непрерывных множеств в алгебраическом сопряженном В^Е, F) к E<8>F. Так как, очевидно, каждое множество S 0 Т равностепенно непрерывно в проективной топологии, то сопряженное пространство ^ (Е, F) к Е 0 F является подпространством ^(£, Б).
Напомним также (гл. II, разд. 2, пример 3), что радоновская мера на компактном пространстве X — это непрерывная линейная форма р е Ж (А) = % (А/, где % (А) — банахово пространство не-’
прерывных скалярных функций на X. Принято писать ц(/) = = У, ц) = [ f dp; символ || ц || обозначает норму ц в сильном сох
пряженном к ^ (X). В следующем предложении S X 7 — это компактное произведение множеств S и 7 в их индуцированных слабых топологиях.
Сопряженное f (Е, F) к Е ® Е состоит в точности из тех элементов v^^{E,F), которые могут быть представлены в виде
u-^v (и) = (и, у) = J «0 (х', у') dp. ^х', у'\
SXT
где S, 7 — некоторые замкнутые равностепенно непрерывные подмножества Eg и F^ соответственно и ий — сужение на S X 7 билинейной формы и, определенной на Е' X F'. Если А — равностепенно непрерывное подмножество 7" (£, F\ то элементы се А могут быть представлены фиксированным S X 7 и набором ц, пробегающим ограниченное по норме подмножество в Ж (S X 7).
Доказательство. Так как каждое ueERjF, рассматриваемое как билинейная форма на Е' X F', имеет сужение на SX7, которое непрерывно в топологии, индуцированной Е'о X F', то то же самое верно и для любого ueE%F, так как все такие и являются пределами элементов из Е ® F в смысле равномерной сходимости на произведениях S ^ Т равностепенно непрерывных множеств. Следовательно, иа е Я? (5 X 7) и интеграл определяет линейную форму и на Е ® F. Более того, если W обозначает окрестность нуля Е ® F, которая является полярой (относительно двойственности (Е ® F, Е' ® 7')) множества Г5 ® 7, то м.ы имеем | v (и) | С II ц II при mW. Следовательно, и е / (Е, F).
Осталось доказать, что всякое равностепенно непрерывное множество А ст / (Е, 7) может быть представлено в указанном виде. Если А равностепенно непрерывно, то существуют компактные равностепенно непрерывные подмножества 5, 7 в пространствах Е'П и 7' соответственно, такие, что А с (Г5 ® 7)00 = IF0, где W — поляра множеств Г5®7 и, следовательно, окрестность нуля в Е ® 7. Рассмотрим отображение и->и0 пространства E^F в F (5 ® 7). Ассоциированное отображение Ф пространства (£®7)^ (гл. III, разд. 7) в 7(5X7) является изометрическим изоморфизмом. Следовательно, сопряженное Ч" отображает Ж (5 X 7) гомоморфно на [7 (£, 7)]^= согласно (7.9), и в силу (7.5) множество А, будучи равностепенно непрерывным в [/(£, 7)]uz°, является образом равностепенно непрерывного подмножества из Ж (S X 7) при отображении V', что завершает доказательство.
Элементы из /(Е, Е) называются интегральными билинейными формами на Е X F, и линейные отображения и ге ЕЕфЕ, Е'^ и и' е ЕЕ (F, Е'ф, получаемые из билинейной формы и е / (Е, F), называются интегральными линейными отображениями. Из только что доказанного следует, что интегральное отображение и^ЕЕ^Е, F'^ имеет вид
х —■» и (х) = | (х, х7) у' dp ф<', [Лs хт
при подходящих слабо замкнутых равностепенно непрерывных множествах S, Т. Интеграл ^ f dp (называемый слабым интегралом) определяется как линейная форма у—> ^ фу, f} dp в F, которая, очевидно, непрерывна, если f — непрерывная функция на S X Т со значениями в Е7 и такая, что f(SxE) содержится в компактном выпуклом закругленном подмножестве Е7.
Теперь очевидно, что ядерное отображение х -> У >.Лх, х'ф y't i = i
пространства Е в Е' (см. (III, 7.1)) интегрально, если последовательность [z/'j равностепенно непрерывна в Е'. Мы увидим вскоре, что если Е —ядерное и Е — произвольное ЛВП, то / (Е, Е) = = ^(Е, Е) и любое интегральное отображение из ЕЕ^Е, Е'^ ядерно. Сначала мы получим дуальную характеристику ядерных пространств, для которой необходима
Лемма 1. Пусть Е, Е —ЛВП и и —линейное отображение Е в F, которое отображает некоторую окрестность нуля в слабо компактное подмножество F. Тогда второе сопряжение и" отображает Е" в F с: F".
Доказательство. Пусть U — выпуклая окрестность нуля в Е, такая, что и (U)czC, где С слабо компактно в Е. Так как и" непрерывно в топологиях о (Е", Еф и о (F", Еф и так как Е плотно в Е" в топологии о (Е", Еф, то в силу теоремы о биполяре отображение и" является непрерывным продолжением и на Е" (со значениями в Е") относительно топологий о^Е", Еф и о(Е", Еф. Так как множество U плотно в U00 в топологии о^Е", Еф и С слабо , компактно, то отсюда следует, что и'фПЛ^С. Но U°°, будучи ., окрестностью нуля в естественной топологии Е", радиально. Сле- • довательно, и"(Е'фсгЕ.'
Начиная с этого места и до конца раздела часто будет использоваться система обозначений, введенная в начале разд. 7, гл. III. (см. также гл. III, упр. 3)., 1
В частности, если £ —ЛВП и В — выпуклое закругленное и ограниченное подмножество £Д то мы будем писать £' вместо [£']д. Будем считать £д = {0}, если В=®.
ЛВП Е ядерно тогда и только тогда, когда для всякого замкнутого выпуклого закругленного равностепенно непрерывного подмножества АсгЕд найдется другое множество В с этими же свойствами, такое, что АаВ и каноническое вложение Е'Д—> Е'в ядерно.
Доказательство. Условие необходимо. Действительно, U = А° — выпуклая закругленная окрестность нуля в Е. Если Е ядерно, то найдется, согласно (III, 7.2), выпуклая закругленная окрестность нуля V cz U, такая, что каноническое отображение Фу, Л Ёу-+Ёи ядерно. Пусть В = У°. Очевидно, Лей и Фд, л: Е\-> Ец, будучи сопряженным к Фу у, ядерно.
Условие достаточно. Пусть U — заданная выпуклая закругленная окрестность нуля в £. В силу (III, 7.2) достаточно показать, что существует другая такая же окрестность нуля V, для которой VcU и Фу, у ядерно. Положим А = U°. Согласно предположению, существуют замкнутые выпуклые и равностепенно непрерывные подмножества В, С в пространстве Ё', такие, что AcBczC и канонические отображения ФД д и Фд Д ядерны. Пусть U7 = В0, V = С3 (поляры относительно (£, Е'^ и обозначим через F, G, Н сильные сопряженные к Е'с, Е'в, Е'д соответственно; пространства F, G, И являются соответственно сильными вторыми сопряжениями для Ёу, Ё^, Ёи, вторые сопряженные отображения Ф" .. и Ф" очевидно, ядерны. По лемме 1 Ф" переводит пространство G в Ёи, так как отображение Фу, компактно, будучи сужением на Ё^ ядерного (следовательно, компактного) отображения. Далее, согласно (III, 7.1), Ф^, у имеет вид 2 ^Ёп®Уп> '1
где (ХДе/1, {z/Д — ограниченная последовательность в G и {/„} — равностепенно непрерывная последовательность линейных форм па F. Пусть zn = Фу, м (t/п) и gn — сужение fn на EvlneNv Тогда последовательность {гД ограничена в £у и семейство ^g,^ равностепенно непрерывно на Ёу. Так как Фу, к является сужением 'бу, it? ° Фц7, и на Ёу, оно имеет вид ^Xngn®Zn и, следовательно, ядерно, что завершает доказательство.
Теорема. Пусть Е —ядерное пространство, F — произвольное ЛВП и Е ® F наделено проективной топологией тензорного произведения. Тогда каноническое вложение Е ® F в 8(Е', F')
является топологическим изоморфизмом на плотное подпространство в 2?Ае'о, F'c\
Замечание. Свойство, выраженное теоремой, является на самом деле характеристикой ядерных пространств и использовано Гротендиком ( [13], гл. II, определение 4 и теор. 6) в качестве определения ядерных пространств. Мы не будем здесь, однако, показывать, что справедливость этого утверждения для заданного ЛВП Е и произвольного ЛВП F влечет ядерность. Вместо этого ниже будет показано (разд. 10), чго для того, чтобы Е было ядерно, достаточно, чтобы утверждение (9.4) выполнялось для F = P.
Доказательство (9.4). Ясно, что каноническое вложение E®F в 23(£', F') является алгебраическим изоморфизмом (см. гл. III). Доказательство состоит теперь из двух шагов: сначала мы покажем, что Е ® F плотно в ®,(£„, FA затем —что Дс (£',£') индуцирует на £ ® £ проективную топологию.
Отождествим ‘ВДЕ'О, F'^ с $ е^Ех, Fy как и прежде. Достаточно показать, что для любого ие$ ^Е'х, F^, выпуклого закругленного равностепенно непрерывного множества AclEx и окрестности нуля V в F найдется иоеЕ ® F, такое, что и (У) — м0 MGV для всех х'еА. Пусть U = Д° и WceU — выпуклая закругленная окрестность нуля в Е, такая, что отображение Ew^Eu ядерно, скажем Фу, н? = ^Xitji ® Zt, где ^еГ и {;//}> {^-ограниченные
’ 1~
последовательности в Ев (В = IF0) и Еи соответственно. Отсюда
следует, что каноническое вложение Ед в Ев имеет вид ^XiZt ^уь i
Так как подпространство Еи плотно в Ей, то каждое 2, (рассматриваемое как линейная форма на Е'^ может быть равномерно на А аппроксимировано элементами хеЕ (сужениями их на Е'ду
Следовательно, для всякого е>0 найдется индекс п и элементы х1^ЕЦ=\, ..., п), такие, что п
2 \ {xi< х') y't- х' = еВ
при всех /еА. Далее, если е>0 выбрано так, что еи^В^У, то п
2 Xt {xv х'-) и (у^ — и (xz) е V при х'еА. Значит, и0 = 2 \xt ® у (#9 удовлетворяет требованиям теоремы.,
Поскольку сопряженным к пространству £ ® £ в проектив-' ной топологии является ^(£, £), достаточно показать, что любое' равностепенно непрерывное подмножество Q в ^(£, £) содержится: и равностепенно непрерывно в ^ кЕ, £) = [Уе(£', £„)]'•■
Так как ^(£, £) является подпространством 3 (£, £'), то равно-. степенная непрерывность Q означает, что существуют окрестность.
нуля U ст Е и равностепенно непрерывное множество ГЗ^Е', такие, что и^ЩстВ для всех meQ. Конечно, мы можем считать, что U и В выпуклые закругленные и в —компакт в F'o. Отображение'« пространства Еи в FB, ассоциированное с «eQ, не превосходит по норме 1 в S^Eu, FB). Так как Е ядерно, то каноническое отображение Ф^: Е->Еи ядерно в силу (III, 7.2), следствие I. Пусть, например, Ф^ = У X.x't ® у;, причем можно считать, что
.г'еИ и у^Фц^иУ для всех zeN и 2lM = c<+°°- Так как i = l
и = Чгв ° й о ф^, то
и = 5 УУ ® “ (у£),
откуда видно, что и интегрально и, значит (вследствие отождествления ТЙ^Е, Н с подпространством 3?^Е, Ва)), ue f ^Е, Е\ Кроме того, й^у^гВ для всех ueQ н всех z е N. Следовательно, предыдущая формула показывает, что Q ед с (ГУ° ® В)~, где замыкание берется в топологии о (/(В, В), В ® В). Так как множество Г (V° ® В) равностепенно непрерывно в сопряженном / (В, В) к пространству Уе (е'о, Fo\ то же самое верно для (ГУ° ® ВУ ввиду (III, 4.3) и (III, 4.5), а следовательно, и для Q.
Доказательство закончено.
Следствие 1. Если Е — полное ядерное пространство и F — произвольное полное ЛВП, то Е ® F может быть канонически отождествлено с ®е(Еа, Fa) и 9?е(Ех, р).
Это немедленно следует из доказанного в силу (9.1). Заметим также, что если пространство В ядерно и предкомпактные подмножества Вт равностепенно непрерывны, то Ех обладает аппроксимационным свойством в силу (III, 9.1). Очень важно также, что тождественное отображение пространства В ® F (которое непрерывно, если область определения наделить проективной топологией, а образ — топологией биравностепенно непрерывной сходимости) является изоморфизмом в случае, если В ядерно.
Следствие 2. Если Е — ядерное и F — произвольное ЛВП, то каноническое вложение Е® F в Е ® F будет топологическим изоморфизмом первого пространства на второе.
Из п. 2 доказательства (9.4) мы получим «теорему о ядре»:
Пусть Е — ядерное и F — произвольное ЛВП. Тогда всякое fe^(B, В) принадлежит образу пространства Ед®Рв при есте-
ственном вложении, где А, В — подходяще подобранные равностепенно непрерывные подмножества в Е' и F' соответственно. Другими словами, всякая непрерывная билинейная форма v на Е X F имеет вид
(х, у)-* и (х, y^^Xi (х, х'^ (tj, у'\,
где (Л^е/1 и ^х'^, \у'Д — равностепенно непрерывные последовательности.
Заметим, что в силу (III, 6.5) эти последовательности могут даже предполагаться последовательностями, сходящимися к нулю в Ед и Ев соответственно. Мы в состоянии теперь установить два результата, которые дадут нам большое число добавочных примеров ядерных пространств.
Теорема. Сильное сопряженное к любому ядерному (рупро- странству ядерно.
Доказательство. Если £ — ядерное (Р)-пространство, то £ рефлексивно (в действительности оно (М)-пространство) в силу следствия 2 из (III, 7.2). Следовательно, пространство £р рефлексивно (следствие 1 из утверждения (5.6)), так что Ех = Ей. Согласно (III, 7.2), достаточно показать, что для всякого банахова пространства F любое отображение u^2?(Ex,F) ядерно. Пространство 2?(Ех, F) может быть отождествлено с ^(£а, РУ) и, согласно следствиям 1 и 2 из утверждения (9.4), с Е ® F, поскольку Е и F полны. Наше утверждение следует теперь из (III, 6.4) и (III, 7.1).
Замечание, Обращение (9.6) также верно. Если Е — (Е)-пространство, сильное сопряженное к которому ядерно, то Е ядерно. Эквивалентно, сильное сопряженное к ядерному (ОЕ)-пространству ядерно (упр. 33). В общем случае, однако, сильное сопряженное к ядерному пространству может не быть ядерно: произведение /<q (d — некоторая мощность) ядерно согласно (111,7.4), но его сильное сопряженное не будет ядерно, если d несчетно (упр. 31).
Из (III, 7.4) следует, что если £ —произвольное ЛВП и F — ядерное пространство, то ЗЕДЕ, F) (топология простой сходимости) ядерно. Действительно, E£s (Е, F) изоморфно подпространству ядер- ного пространства РЕ. При добавочных предположениях относительно Е соответствующий результат будет верен для ЗЕДЕ, F) (топология ограниченной сходимости).
Пусть Е — полурефлексивное пространство, сильное сопряженное к которому ядерно. Тогда ЗЕДЕ, F) ядерно.
Доказательство. Так как Е полурефлексивно (разд. 5), всякое ограниченное подмножество Е равностепенно непрерывно
в сопряженном пространстве £р и, следовательно, 9?b^E, F) может быть отождествлено с подпространством Уе (/ж, F'„). Так как Ер ядерно, то из (9.4) следует, что пополнение пространства 'йДЕа, Fa) может быть отождествлено с Ер ® F.
Таким образом, Ер ® F ядерно согласно (III, 7.5), а следовательно, 2?b^E, F) ядерно в силу (III, 7.4). (Сравните с упр. 34.)
Примеры.
Из (9.6) следует, что сильные сопряженные к ядерным (Р)-пространствам перечисленным в гл. III, разд. 8, ядерны; в частности, пространства Фс и СД а также пространство 36' ядерны.
Пространство распределений Ф', сильное сопряженное к Ф, ядерно. Так как Ф (гл. II, разд. 6, пример 2) — строгий индуктивный предел последовательности пространств Фг , то всякое ограниченное подмножество Ф сои ГП
держится в некотором Фг согласно (II, 6.5), так что из (4.1), (а) =^ (Ь) следует, что сильное сопряженное Ф' изоморфно подпространству [Д ®'G . Так как последнее ядерно, то и Ф* ядерно. Это пример ситуации, указанной в замечании, следующем за (4.5).
Из (9.7) вытекает, что пространства S ь (Ф), Ф ь (,Ф'\ Ф ь (®) и т- п- ядерны. Отсюда следует, что (Р)-пространство 8 (гл. III, разд 8, пример 3), так же как и его сильное сопряженное $', ядерно. Для каждого [е§ оператор умножения g -> jg определяет непрерывный эндоморфизм Ф. Соответствующее вложение $->®bVФ^ является изоморфизмом. Так как № и S’ рефлексивны, то отсюда следует, что Фр (S’) и $^ (с?') — ядерные пространства.
Если Е и F — ЛВП, то сопряженным кЕ®Р будет ^(Е, Е), и ясно, что 8, X ^-топология ('-8,, 1В2 — семейства всех ограниченных подмножеств Е и F соответственно) на ^(Е, Е), называемая также топологией биограниченной сходимости, слабее, чем сильная топология р(^(Е, Е), Е ® Е).
Естественно спросить; при каких условиях эти две топологии совпадут? Это утверждение верно, если Е, F — нормированные пространства, но в случае, когда Е и F — ненормируемые (F)-npo- странства, ответ, по-видимому, неизвестен (Гротендик [13], гл. I, § 1, „Проблема топологий"). Двойственная проблема формулируется так: Для всякого ли ограниченного подмножества В cz Е ® F найдутся ограниченные подмножества В;сЕ и В2 с: F, такие, что В с (ГВ, ® В2Г?
Гротендик дал утвердительный ответ для случая, когда Е, F оба являются (ПР)-пространствами или же (Е)-пространствами, одно из которых ядерно. Чтобы установить этот результат, мы нуждаемся в следующей простой лемме.
Лемма 2. Если Е — метризуемое ЛВП и {Вп} — последовательность ограниченных подмножеств Е, то найдется последователь-
ность {ц„} положительных чисел, такая, что B = UnnBn ограни- 1
чено в Е.
Доказательство. Мы можем предположить, что топология Е порождается возрастающей последовательностью ^р^ пред- норм и что каждое Вп содержит точку хп, такую, что pnkx^>Q. Определим рп, полагая р.~* = sup ^рп (х): хеВл}. Для всякой пред- нормы рк из последовательности мы получим pk (х) $7 1 при всех ХЕ U Рп^п- Следовательно, sup{pfe(x): хеВ}< + ».
Так как это верно для всех k, то отсюда следует, что 5 огра* ниченно.
Пусть Е, F — ЛВП, такие, что либо Е и F есть (Dpynpo- странства, либо Е и F оба (F(-пространства. Тогда топология сильного сопряженного ^^ (Е, F) произведения Е ® F совпадает с топологией биограниченной сходимости.
Доказательсто. Докажем сначала наше утверждение в предположении, что Е и F являются (ОР)-пространствами. Тогда,1 очевидно, Е X F тоже (ОР)-пространство и топология биограничен* ной сходимости на ^(Е, F) является топологией ограниченной сходимости в Е X F и, следовательно, метризуема. Так как эта топология слабее, чем р (^ (£, Fy Е ® F), достаточно показать, что тождественное отображение $b(E, F) на S?6(£, Р( (обозначения очевидны) непрерывно. Для этого достаточно, в частности, чтобы всякая последовательность ^пУ сходящаяся к нулю в ^(Е, ру был* ограниченна в ^^(Е, F) (см. гл. II, упр. 17). Пусть Z = (а: | а |^ 1}—1 единичный диск в поле скаляров К. Тогда Qf~’(Z) есть счетное
1 3 пересечение выпуклых окрестностей нуля в Е X F, которое поглоЧ щает ограниченные множества, так как {/„} ограниченна в &b(E, РУ и, следовательно, является окрестностью нуля согласно определе-| нию (ПР)-пространства. Отсюда вытекает, что семейство {/„} равное степенно непрерывно на Е X F и, следовательно, равностепенно! непрерывно в сопряженном ^(Д, F) к Е ® F в силу следствия и^ (III, 6.2) и потому ограниченно в ^р(£, Ру
Возвращаясь ко второй части утверждения, мы предположим* что Е и F являются (р)-пространствами и Е ядерно. Мы покажем^ что для всякого ограниченного подмножества В с Е 8 F существуют ограниченные множества В; сС и В2сТ, такие, что В с (ГВ! 8 В^-. Из исходного предположения следует, что пространство Е рефлексивно (следовательно, £т = £р) и, согласно (9.4^
Е ® F может быть отождествлено с ®е {е^, F«\ а следовательно, с 2е*.Ех,Е^ и $ь ^Е.^, F). Так как В — ограниченное множество линейных отображений в ^ь (Ер, Е), то В (G) ограниченно в F для всякого ограниченного подмножества GcEp. Далее, если {Gn} —фундаментальная последовательность ограниченных подмножеств Ер (Ер есть (ОР)-пространство) и В (Gn) = Нп (п е N), то по лемме 2 найдется последовательность {p,J положительных чисел, такая, что (J у-пНп с Н, где Н — ограниченное замкнутое выпуклое закруг- 1
ленное подмножество пространства F.
Непосредственно видно, что любое и е В отображает Ер в Ен- Действительно, так как для всякого отображения и е В прообраз и*'Ш) является бочкой в Ер и так как Ер (будучи рефлексивным) бочечно, то ueS”(Ep, Fb). Кроме того, В, очевидно, ограниченно в ^(Ер, Ея) в топологии простой сходимости и, следовательно, равностепенно непрерывно. Значит, существует выпуклая окрестность нуля V в Ер, такая, что В (И) с Н. Обозначим теперь через Ej банахово пространство, которое является пополнением [Е'^. Так как Ер ядерно в силу (9.6), то каноническое отображение Фи пространства Ер в Ei ядерно; пусть, например, оно имеет вид У Ktxt ® уь где У|М^1, а kJ; к/} — ограниченные последова- 11
тельности в пространствах Е и Е{ соответственно. Пусть й обозначает линейное отображение Et в F н, ассоциированное с иеВ. Тогда семейство B2 = VHyty. и е В, iE N} ограниченно в FH (следовательно, и в Е), и мы получаем
и = У Xtxt ® й (z/J1
для всех и е В. Пусть 5, = {хр z е N}. Тогда В az (ГВ] ® В2)~, так как ряд для и сходится в E®F. Доказательство закончено.
Мы завершаем этот раздел одной характеризацией сильного сопряженного и сильного второго сопряженного к Е ® F, где Е и F есть (Р)-пространства, по крайней мере одно из которых ядерно. Как и все результаты этого раздела, эта теорема доказана Гротендиком ([13], гл. II, теорема 12) и верна также в случае, когда Е ядерно и Е, F есть (Ор)-пространства, которые не являются сильными сопряженными к (Р)-пространству (упр. 32).
Лемма 3. Пусть Е, Е —ЛВП, F” — второе сопряженное к F в его естественной топологии {равномерной сходимости на равностепенно непрерывных подмножествах F ) и Ра есть пространство F
в топологии о (F", F'\ Тогда всякая непрерывная билинейная форма о на Е X F обладает единственным расширением v на Е X F", являющимся билинейной формой, непрерывной на Е X Рё и раздельно непрерывной на Е-; X F''. Отображение и -* и является изоморфизмом пространства ЖЕ, F) на 98 (Е, р'ё') О^^Ез, р'ё\
Доказательство. Пусть 38 (Е, F) отождествлено с подпространством $(р, Д„), элементы которого отображают некоторую окрестность нуля в F на равностепенно непрерывное подмножество Е' (оба множества зависят от определения в лемме), и ^ (Е, Р'ё^ — соответствующее подпространство в $(р'ё,Е'о\ Тогда аргументация, использованная в доказательстве леммы 1, показывает, что и—» и" является (алгебраическим) изоморфизмом, который мы и искали. .
Теорема. Пусть Е и F есть Жгпространетва, Е ядерно и F" — сильное второе сопряженное к F. Тогда сильное сопряженное {соответственно второе сильное сопряженное) к Е ® F может быть отождествлено с Др ® Др (соответственно с Е® Р"\
Доказательство. Согласно (9.8), сильное сопряженное к Е ® F есть 98b{E, F) (топология биограниченной сходимости). Далее, 38 {Е, F") = 'B{E, F") в силу (III, 5.1). Лемма 3 показывает, что ЖЕ, F) может быть отождествлено с 23 (До, Д") и при этом отождествлении топология биограниченной сходимости совпадает с топологией биравностепенно непрерывной сходимости. Кроме того, 'Ве(Ез, Е'ё) можно отождествить с Др ® Др согласно (9.4), так как Др по теореме (9.6) ядерно. Тем самым доказано первое утверждение.
Для доказательства второго положим Н = Др и G = Др. Используя (9.8), покажем опять, что сильным сопряженным к И ® G является $b{H, G). Тогда по лемме 3 пространство $b{H, G) может быть отождествлено с подпространством в Уе {На, Ga). Так как Н^ = Е ядерно (заметим, что Е рефлексивно), то. из (9.4) следует, что 38b{H, G) может быть отождествлено с подпространством? Яр ® Gp = Е ® F". С другой стороны, (III, 6.4) показывает, что любой элемент Д ® F" определяет билинейную форму на Н X G, которая непрерывна (см. (6.5), следствие 1), откуда и вытекает наше утверждение.
В изложенных ниже следствиях теоремы (9.9) мы не будем повторять предположений о том, что Д —ядерное (Р)-пространствО и Д — произвольное (Р)-пространство. Утверждения остаются также
верными, если Е, F являются (ПГ)-пространствами (Е предполагается ядерным) (упр. 32).
Следствие 1. Если, кроме того, пространство F рефлексивно, го Е ® F (и, значит, Е^ ® f'^ тоже будет рефлексивно.
Следствие 2. Сильное сопряженное к ЗЕДЕ;',, F) может быть отождествлено с Ед ® F^; в частности, если F рефлексивно, то $ъ kpV F) также рефлексивно.
Следствие 3. Любая раздельно непрерывная билинейная форма на Ер X Ар непрерывна. '
Ядерные пространства и абсолютная суммируемость
Этот раздел дает характеристику ядерных пространств, которая основывается на понятии меры Радона на компактном пространстве. Эта характеристика показывает, что при некоторых допущениях ядерность ЛВП Е эквивалентна абсолютной суммируемости произвольных суммируемых семейств в Е (см. гл. III, упр. 23). Результаты этого раздела дают нам подход ко многим важным результатам, среди которых обращение теоремы (9.4) и теорема Дворецкого—Роджерса [1] (подход Гротендика [13]). Результаты этого раздела (кроме случаев, когда даны другие ссылки) принадлежат А. Пичу [3] — [5].
Напомним, что радоновская мера на компактном пространстве X — это непрерывная линейная форма на (вещественном или комплексном) банаховом пространстве ^(Х). Положительная мера Радона — это такая форма li еГ (ХУ, для которой р (f) = J f dp ^ 0 для всех неотрицательных на X функций f е <6 (А). Нам понадобится следующий хорошо известный результат, который также легко вытекает из (V, 7.4), следствие 2.
Лемма 1. Пусть v —радоновская мера на компактном пространстве X. Тогда существует положительная радоновская мера р на X, такая, что | v (Д | ^ р (|f|) для всех f е g” (А).
Далее, если р — положительная радоновская мера на А, то отображение (f, g)-> j fg* dp представляет собой полу определенную эрмитову форму на ^ (А) X % (X). Следовательно, преднорма /^рШ^ j IfMp]'2 порождает на ^(А) локально выпуклую топологию, Такую, что ассоциированное хаусдорфово ТВП является предгильбертовым пространством Ер. Пополнение Ер пространства
15 X. Шефер
Ер есть гильбертово пространство, изоморфное I? (ц) (гл. II, разд. 2, примеры 2, 3 и 5).
Нам потребуется также следующий результат, принадлежащий К- Морену [1]. Пусть Нх и Я2 — гильбертовы пространства над К. Линейное отображение иг$^Нх, Н^ называется отображением Гильберта — Ш мидта, если в Нх существует ортонормальный базис {ха: а е Д}, такой, что 2 IIu (ха) II2 < + 00 • Ясно, что такое отобра- а
жение компактно и что и(ха)=#0 не более чем для счетного числа индексов «е Д. Из последующего доказательства мы увидим, что величина суммы не зависит от выбора ортонормального базиса {ха: а е Д} и равна в действительности 2 II и* (Ур) II2, гДе (Уу2 ре 5}—
произвольный ортонормальный базис в Я2.
Л е м м а 2. Пусть Н х (Z = 1, 2, 3, ...)—гильбертовы пространства, и и v — отображения Гильберта — Шмидта Нх в Н2 и Н2 в Н3 соответственно. Тогда композиция w = и ° и, являющаяся отображением Нх в Н3, — ядерное отображение.
Доказательство. Обозначим через (ха: а е Д}, (z/p: р 6= В) ортонормированные базисы в Нх, Н2 соответственно и через [ , ] внутреннее произведение в Я2. Если взять в качестве и произвольное непрерывное линейное отображение Нх в Н2 с сопряженным и*, то в силу тождества и (ха) = 2 Iм (ха), Ур]Ур(аеД) мы получим
5 II и (ха) II2 = 2 I [М (ха), Ур] I2 = 2 I [Ха, U (ур)] |2 = 2 II «* (Ур) IF- аа, рр а, р1р1
Отсюда следует, что величина первого и последнего выражений не зависит от базисов {xj и {у|3} соответственно, и, следовательно, и является отображением Гильберта — Шмидта в том и только том случае, когда и* — отображение Гильберта — Шмидта.
Пусть теперь и, у — отображения, указанные в лемме 2. Обозначим через {у„: п е N} ортонормальный базис образа и (Я,) (который, очевидно, сепарабелен). Для каждого х е Нх мы получаем
W (х) = 2 [и (х), Уп\ У (Уп) = 2 [х, и* (уп)] V ^уп\ П=1П=1
Так как в силу неравенства Шварца ■
2 IIи*(уДnil у (у„)и <<2IIи куДII2 • 2 II у (yrt)ip)? n=l\n=ln = l/
а левая часть неравенства конечна, то из (III, 7.1) следует, чтоа^ ядерно.
Возвращаясь к предмету этого раздела, введем следующие определения. Пусть Е — локально выпуклое пространство. Пред- норма р на Е называется предъядерной, если существуют замкнутое равностепенно непрерывное подмножество А в Еа и положительная радоновская мера ц на (о(Е', £)-) компактном пространстве А, такие, что
Р to ^ J | {х, V)|<Zp.(/) (х е Е\
А
Подмножество ВсЕ' называется предъядерным, если существуют замкнутое равностепенно непрерывное подмножество А е Ео и положительная радоновская мера ц на А, такие, что
I (х, 6) X J [ (х, х') | dp (х') (х г Е, be В).
А
(Другими словами, подмножество В е Е' предъядерно тогда и только тогда, когда отображение x->sup{|(x, b^: b е В} является предъядерной преднормой на Е.) Легко видеть, что предъядерная преднорма необходимо непрерывна и предъядерное подмножество в Е' необходимо равностепенно непрерывно. Семейство [х': а е Л) называется предъядерным, если его образ является предъядерным подмножеством Е'. Следующий результат носит все еще вспомогательный характер (см. (III, 7.3), следствие 2).
ЮЛ. Пусть Е — ЛВП, на котором всякая непрерывная преднорма предъядерна. Тогда в Е существует базис окрестностей нуля U, такой, что для всякого U е U пространство Еи изометрически изоморфно гильбертову подпространству в L^to, где р —положительная радоновская мера на подходящем замкнутом равностепенно непрерывном подмножестве пространства Еа.
Доказательство. Достаточно показать, что любая замкнутая выпуклая закругленная окрестность нуля IF в £ содержит окрестность нуля U с указанным свойством. Пусть pw — функционал Минковского множества 1F. В силу предположения преднорма pw предъядерна. Следовательно, мы имеем
Pw W < J I to х^ | dp (х')(х е Е),
А
где Аир могут быть выбраны так, что ||ц||= 1. Определим окрестность нуля Д, полагая
U = / х е Е: J |(х, Xх) |2 dp (х') =С 1 1.
Множество U выпукло и закруглено и в силу неравенства Шварца включение х е U влечет за собой неравенство аИх)^1. Следовательно, U clW и, очевидно, функционал Минковского для U определяется формулой
Ри W = f /1 ^х’ х') I2 ^В (х е ^)’/
что доказывает утверждение.
Это приводит нас к упомянутой в начале раздела характеристике ядерных пространств.
Локально выпуклое пространство Е ядерно тогда и только тогда, когда всякое равностепенно непрерывное подмножество сопряженного пространства Е' предъядерно.
Доказательство. Условие необходимо. Пусть Е ядерно и р — непрерывная полунорма на Е. Если U = ^х: р(х)^1}, то, согласно (III, 7.2), каноническое отображение Ф^: Е-*Еи ядерно; пусть, например, Фу = У ^Х^х., где||х(.||^1 в Ёу (z е N), [х'} с У° для некоторой окрестности нуля V в Е и (X^gP.
Далее, х^ |^1 влечет за собой неравенство ||Фу (х)||^ ^1. Следовательно (так как U замкнуто), х е U или, что то же
самое, р (х) ^ 1. Отсюда следует, что р (х) ^ 2 I М I (м x't) Iдля всех
1
х е Е. Так как линейная форма f -> У | Xt | f (х') является, очевидно,
положительной радоновской мерой на У0, то мы заключаем отсюда, что преднорма р предъядерна.
Условие достаточно. Пусть II —базис окрестностей нуля в Е,; обладающий свойством, указанным в (10.1). Ввиду леммы 2 до-; статочно показать, что для всякого U е 11 найдется У eU, Ус U^ такое, что Ёу -> Ёц — отображение Гильберта — Шмидта. Если это] верно, то мы можем выбрать 1У е П, 1У с У, такое, что канони-) ческое отображение Ёу.->Ёи будет композицией двух отображе-1 ний Гильберта — Шмидта и, следовательно, ядерно. Ядерность Ц оказывается тогда следствием из утверждения (III, 7.2). Итак| пусть задано U е U, такое, что J
(х Е Е),(х Е Е),II Фу Iх)II2 = J I (х, х') I2 (/р (х')
(х Е Е),
(х Е Е),
А
где А обозначает, как и раньше, слабо замкнутое равностепенно непрерывное подмножество сопряженного Е' к пространству Е. Выберем теперь окрестность УеИ, удовлетворяющую условию V a U П А°.
Отсюда следует A cz А00 с: 7°. Если fA обозначает сужение fe^F0) на А, то f-*J /д t/ц — положительная мера Радона v на У0. Пусть, далее, {ха: а е А} — ортонормальный базис Ev. Мы должны показать, что сумма 2 II Фук UJ II2 конечна. Так как Ev —
<1Е Л
гильбертово пространство, то существует сопряженный линейный изоморфизм х —> z пространства Еу на Ev, такой, что (х, х^ = = [х, z] для всех £eEv; отображение x'->z индуцирует гомеоморфизм V0 на единичный шар В пространства Ev относительно слабой и нормированной топологий. Обозначим через V радонов- скую меру на В, получаемую из v при соответствии x'->z. Так как Ev плотно в Ev, то
II Фук (4) II2 = Jl (xw х'") I2 dp (х') = J I (xa, x') I2 dx (x') =
= J I [4. 21 I2 dx' (z).
в
Если теперь H — произвольное конечное подмножество А, то мы имеем 2 I l^a> z]|2^[z, zp в силу неравенства Бесселя, и эта ОеН
сумма не превосходит 1 для всех z г В. Отсюда следует, что
^ II Фук ^ ||2 = J ^1 [xa, г] |2 dx' (z) V (В) С = НВ «ЕН
для всех конечных Н cz А. Очевидно, это показывает нам, что Фуг — отображение Гильберта — Шмидта. Доказательство завершено.
Пусть Е — ЛВП. Семейство (ха: аеА} в Е называется суммируемым (гл. III, упр. 23), если в Е существует limxH, где хн = 2 х
Н«еН
и Н пробегает семейство всех конечных подмножеств А, направленное по возрастанию; в таком случае предел х е Е обозначается У ха или кратко 2 ха- (Если А бесконечно, то предел
ueAa
можно брать по фильтру всех подмножеств А с конечным дополнением.)
Суммируемое семейство (ха: а е А} называется абсолютно суммируемым, если для всякой непрерывной преднормы р на Е семейство (р(ха): а = А) суммируемо в R. Хорошо известно, что два
эти понятия совпадают, если Е конечномерно (гл. III, упр. 23). Мы покажем ниже, что внутри класса (Е)-пространств совпадение множеств суммируемых и абсолютно суммируемых последовательностей характеризует ядерные пространства.
Пусть теперь А — фиксированное непустое множество индексов и Е — заданное ЛВП. Множество всех абсолютно суммируемых семейств х = {ха: а е А} в Е может быть, очевидно, отождествлено с подпространством Sa алгебраического произведения ЕА. Обозначим через II некоторый фиксированный базис выпуклых закругленных окрестностей нуля в Е и через ги функционал Минковского множества -[/ell. Ясно, что отображение
х->ру^ = 2 ГиМа
представляет собой преднорму на Sa и семейство преднорм {ру: U е 11} порождает топологию, в которой 8а является ЛВП. Обозначим это пространство через Z1 [А, £]. Аналогично множество всех суммируемых семейств х = {хц: а е А} может быть отождествлено с подпространством ЗсД, и для каждого U ell отображение
x->qy{x) = sup J 2 I (^a, V)|: x' e[/ol
( a J
оказывается преднормой на S. Семейство преднорм (с/щ I/eU) порождает топологию, в которой S —ЛВП, обозначаемое нами в дальнейшем символом V (А, Еу Очевидное включение Soc S определяет каноническое вложение пространства Iх [А, Е] в V (A, Е), которое непрерывно, поскольку qy^^-py^ для всех х е Sa и Е S11. Наша следующая цель —найти представления сопряженных пространств Z1 [А, Е]' и Z1 (А, ЕУ (см. также упр. 35).
Пространство, сопряженное к Iх [А, Е], может быть отождествлено с подпространством (Е'^, все элементы которого х' = р': а е А) являются равностепенно непрерывными семействами в Е'. При этом каноническая билинейная форма задается равенством (х, х') = 2 Оф, хО.
Доказательство. Если х' = р': а е А] — равностепенно? непрерывное семейство, то х''е U° (а е А) для некоторого U ell,, где II —некоторый базис окрестностей, и мы имеем (xeSq) i
1I с 2 j (xa, <)|^2 ry (xj = py (x), I
I a | a a s
откуда видно, что отображение х-*(х, х') определено на So И^ непрерывно на Iх [A, EY Более того, ясно, что (х, х') определяет^
двойственность между Аа и пространством равностепенно непрерывных семейств. Остается показать, что любое f е Iх [A, EY может быть так представлено. Выберем 1/eU так, что |f(x)|^ ^.ри^х) (х G ^J, и пусть z(a) — семейство {да^г: 0 е А} для всякого ze£. Ясно, что для всякого иеЛ функционал 2-> f (z(a|) является элементом х'ае Е' и что семейство (х': а е А) с Е' лежит в U° и, стало быть, равностепенно непрерывно. Кроме того, если х = = {ха: а е А} е Аа, то {х(а): а е А}, где х(а1 = {да(3ха: 0 г А}, является суммируемым семейством в Iх [А, А], таким, что 2х|а| = х. Из а
непрерывности f следует, что f(x) = "Sif^x^ = У (ха> хаУ Доказа- аа
тельство завершено.
Обозначая через Iх (А) банахово пространство суммируемых скалярных семейств ^ = 6а: а е А} с его естественной нормой 6 —*11 II= SI ^а I > мы получаем:
Следствие. Сопряженное к Iх (А) может быть отождествлено с пространством всех ограниченных скалярных семейств т] = = {т]а: аеЛ}. При этом каноническая билинейная форма задается формулой (£, Г]) = 2 ^аЛа- а
Сопряженное к /’(А, А) может быть отождествлено с подпространством (Е'^, элементы которого суть предъядерные семейства х'= (х': aeAj в Е'. При этом каноническая билинейная форма задается формулой (х, х') = 2 (Ха> ха)-
Доказательство. Если х' = [х': а е А} — предъядерное семейство в Е', то найдутся окрестность U е U и положительная радоновская мера ц на U°, такие, что
| (х, х') [ ^ J | (х, х') | dp (хО (х е A, а е А).и0
Если теперь х = {ха: а е А} е А, то из определения суммируемости следует, что 2l (ха, х') I сходится равномерно по всем х'еА° а
(и, следовательно, будет непрерывной функцией на U°\ так что
aa U°
= J У I ^хш У) I dp (x') < II H II qu u° a
Следовательно, отображение х->(х, х') определено на всем S и является непрерывной линейной формой на Iх (А, ЕУ Очевидно, (х, х') -»(х, х') ставит S в двойственность с пространством всех предъядерных семейств.
Обратно, если / е Iх (А, ЕУ, то точно так же, как и в предыдущем доказательстве, мы определим х'е£'(ае А). Остается доказать, что [х': а е А] — предъядерное семейство. Обозначим для этого через Z единичный диск в поле скаляров К и рассмотрим компактное пространство ZA X U°, где U е U выбрано так, что | f (х) | ^ qu (х) для всех х е S. Так как сходимость 21 ^хш х') | а
равномерна относительно х' е U°, то формула
hx [(Ха), х'\ = 2 Ха <Ха, х')а
определяет для каждого xeS функцию /!х G (ZA X У°). Отображение x—>hx пространства Iх (А, Е) в % (ZA X П°У очевидно, линейно и при этом || hx II = Чи (х). Таким образом, функционал /гх —> f (х) является непрерывной линейной формой, определенной на отображении х-»/гх, и, значит, он может быть продолжен в силу теоремы Хана —Банаха до непрерывной линейной формы v на ^^Z^XU^y, форма v является мерой Радона на ZA X U°, такой, что | v (й) | ^р (| Л |) для всех h е ^ (ZA X U°y Теперь х' е Е' — линейная форма 2 —>/(z'"1), где z е Е и z(a) = {дарг: РеА}е е Iх (А, ЕУ Мы получаем, что для всех а е А
I (2. <) И (^“О । = | V (Й2(а)) | < Р (g),
где g — функция на ZA X U°, определяемая формулой g((Xa), х') = = |(z, х')|. Пространство ^(П0) может быть, очевидно, отождествлено с подпространством в ^ (ZA X U°y состоящим из всех функций, не зависящих от (Xa) е Za. При этом отождествлении р индуцирует положительную меру Радона р' на 11°, а функция g становится элементом ^ ^“У Таким образом, из предыдущего1 следует, что
I (2- О | < И (^) = И' (g) = / I <2- А') I ^р' ^,
U°I
для всех аЕА и всех z Е Е. Следовательно, семейство (х': иеА} j предъядерно; доказательство завершено.[
Следует заметить, что топологические и алгебраические связи1 между V [А, /Г] и Iх (А, А) определены для любого бесконечного1 множества индексов А, в частности для A = N.(
Пусть Е — произвольное ЛВП. Тогда если каноническое^ вложение Iх [А, £] в Iх (А, £) является алгебраическим {соответст-}
венно топологическим) изоморфизмом первого пространства на второе при A = N, то то же самое верно для любого (непустого) множества индексов А.
Доказательство. Предположим, что любая суммируемая последовательность в Е абсолютно суммируема, и пусть (ха: аеА}- суммируемое семейство в Е, которое не абсолютно суммируемо. Тогда А необходимо бесконечно и найдется U Е 11, такое, что 2 ги (ха) = + 00 • Отсюда следует, что 2 ги (^а6) = + оо для неко- аk'
торого счетного подмножества {а1; а2, . . .}сА, что является, конечно, противоречием, так как {ха,, — ха„ ...} —суммируемая последовательность. Предположим теперь, что /* [N, Е) = Iх (N, Е) алгебраически и топологически. Тогда для заданного U е11 найдется У Е И, такое, что ри (х) ^ qv (х) для всех xe/*(N, Е). Теперь если х = (х„: а е А} — произвольное суммируемое семейство в Е и Н — конечное подмножество в А, то мы имеем
2 Ги^а) = Pu^^qvW^qvW.ае Н
где у = (уа: а е А} таково, что уа = ха при а е Н и уа = 0 при а^Н. у можно рассматривать как элемент Iх (N, Е). Это показывает, что ри (х) qv (х) для всех х е Iх (А, Е), где А =# 0 произвольно, и доказательство, таким образом, завершено.
Приступим теперь к доказательству основной теоремы этого раздела, характеризующей ядерные пространства в терминах суммируемости. Однако сначала мы установим связь предыдущего материала с теорией топологических тензорных произведений.
Отображение (£, х)->{^ах: оеА) произведения Iх (А)ХЕ в Iх [А, £], очевидно, билинейно и, следовательно, определяет линейное отображение пространства Iх (А) ® Е в Iх [А, Е) (и в /* (А, Е)). С помощью (10.3) легко увидеть, что это линейное отображение является алгебраическим изоморфизмом. Оно будет называться каноническим вложением Iх (А) ® Е г Iх [А, £] (соответственно в Iх (А, Е)).
Каноническое вложение Iх (А) ® Е в Iх [А, £] является изоморфизмом в проективной топологии на Iх (А) ® Е и каноническое сложение Iх (А) ® Е в Iх (А, Е) является изоморфизмом относительно топологии биравностепенно непрерывной сходимости на Iх (А) ® Е. Кроме того, канонический образ Iх (А) ® Е плотен как в Iх [А, £], так и в Iх (А, Е).
Доказательство. Последнее утверждение почти непосредственно следует из определения преднорм ри и qUt а первое утверждение является частным случаем (III, 6.5). Отождествим 1Х(А)®Е алгебраически с его каноническим образом в Iх (А, Е) и покажем, что индуцированная топология есть топология биравностепенно
непрерывной сходимости. В силу следствия из утверждения (10.3) сопряженным к банахову пространству Iх (А) является пространство всех ограниченных скалярных семейств. Если В — единичный шар в Iх (А), то его поляра В0 (в слабой топологии) может быть отождествлена с компактным пространством ZA, где Z=(A: | Л, 1^1}— единичный диск в К- Пусть 2 ^i ®— элемент Iх (А) 8 Е и U^M.
По определению q0 мы имеем
<7У(2^®м) = sup 21 2^г)<^, х')!. л/ е U° a II
Для каждого аеА и каждого /е1/° существует T]aeZ, такое, что
2^4<*p V) = |2^><xi-II
откуда следует равенство
SUp^lS^*^, ^>1 = sup I 2 2 ^ ' ^a 1 (^Z> ^>|
и, значит, соотношение
Qu (2 £z ® xA = sup I / 2 £z 8 xb т] 8 x') I.
\ ZI x' e u°, t] e B° I ' i'I
Это показывает, что преднормы (/y(Eell) порождают на Iх (А) 8 Е топологию равномерной сходимости на множествах вида B°®U°(LJ g 11). Тем самым доказательство завершено.
Заметим, что из (9.2) можно получить другое доказательство последнего утверждения. Действительно, если (х': аЕ А) - равностепенно непрерывное семейство в Е', то мы можем проверить, что это семейство предъядерно в том и только том случае, когда отображение (g, x)-*2^a(x, х'а\ является интегральной билинейной a
формой на Iх (А) X Е, и что в этом случае равностепенно непрерывные множества предъядерных семейств в Е' соответствуют равностепенно непрерывным подмножествам пространства / (/* (А), Е\
Читателю будет нетрудно убедиться, что для произвольного множества А #= 0 пространства Iх [А, Е] и Iх (А, Е) полны в том и только том случае, когда Е полно. Для Iх (А, Е) нужно использовать (6.2), следствие 2, (Ь). Мы получаем теперь еще два следствия.
Следствие 1. Если Е полно, то Iх (А) 8 Е изоморфно Iх [А, Е] при непрерывном продолжении канонического вложения Iх (А) 8 Е в Iх [А, Е]. Точно так же Iх (А) 8 Е изоморфно Iх (А, Е).
Установленные здесь изоморфизмы также называются каноническими.
Следствие 2. Пусть Е — ЛВП и Е — его пополнение. Тогда, при каноническом изоморфизме пространств Z1 (А) ® Е и Z1 [А, Е], а также пространств Iх (А) ® Е и Iх (А, Е) каноническому отображению Iх (А) ®Е в Iх ^ ® Е соответствует каноническое вложение Iх [А, Е] в Iх ^К, Е), являющееся поэтому взаимно однозначным.
Следующий центральный результат принадлежит Пичу [3].
Теорема. Локально выпуклое пространство Е ядерно в том и только том случае, когда каноническое вложение Z1 [N, Е] в Iх (N, Е) является топологическим изоморфизмом первого пространства на второе.
Доказательство. В силу утверждений (10.2) — (10.5) мы имеем следующую цепь импликаций: Е ядерно =^ любое равностепенно непрерывное подмножество Е' предъядерно => всякое равностепенно непрерывное подмножество Z*[N, Е]' содержится в некотором равностепенно непрерывном подмножестве пространства Iх (N, Е)' =ф пространство Iх [N, Е] плотно в Iх (N, Е) => Iх (N, Е) = = /*(N,E) (см. доказательство (10.5)) ^/ДА, Е] = Iх (А, Е) для любого А #= 0 =^> всякое равностепенно непрерывное семейство в Е' предъядерно => всякое равностепенно непрерывное подмножество в Е' предъядерно => пространство Е ядерно. Доказательство завершено.
Эта теорема имеет многие важные следствия: первое из них получается из следствия 2 утверждения (10.6), так как ЛВП ядерно тогда и только тогда, когда ядерно его пополнение.
Следствие 1. (Гротендик [13].) ЛВП Е ядерно в том и только том случае, когда каноническое отображение Iх ® Е в Iх ® Е представляет собой топологический изоморфизм первого пространства на второе.
Из этого следствия вытекает, в частности, что свойство, установленное в теореме (9.4), является характеристикой ядерных пространств.
Если Е есть (Е)-пространство, то, очевидно, Z1 [N, Е] и /ДМ, Е) также являются (Е)-пространствами. Следовательно, если эти пространства алгебраически идентичны, то каноническое вложение (которое непрерывно) является топологическим изоморфизмом в силу теоремы Банаха (следствие 1 из утверждения (111,2.1)). Отсюда вытекает:
Следствие 2. (^-пространство Е ядерно в том и только том случае, когда любая суммируемая последовательность в Е абсолютно суммируема.
Мы убедились ранее, что ядерное банахово пространство имеет конечную размерность, так как оно локально компактно.
Таким образом, из следствия 2 мы получаем следующую теорему, известную как теорема Дворецкого — Роджерса [1].
Следствие 3. Банахово пространство, в котором всякая суммируемая последовательность абсолютно суммируема, конечномерно. Мы заметим в заключение, что алгебраическая идентичность пространств Z1[N, £] и Iх (N, Е) влечет идентичность их топологий, если Iх [N, Е] квазибочечно (упр. 36). Следовательно, полнота пространства Е в следствиях 2 и 3 не требуется.
Слабая компактность.
Теоремы Эберлейна и Крейна
Если S — метризуемое топологическое пространство, то компактность подмножества Л cS можно охарактеризовать так: для всякой последовательности в А существует подпоследовательность, сходящаяся к точке из А, В более сложных случаях это описание уже неверно и оказываются полезными некоторые вариации понятия компактности. Цель этого раздела состоит в том, чтобы доказать одну важную характеризацию компактных подмножеств (специально для слабой топологии) ЛВП с помощью, по-видимому, более слабых свойств и получить весьма глубокий критерий компактности замкнутой выпуклой оболочки компактного множества. За дальнейшей информацией мы отсылаем интересующегося читателя к литературе, цитируемой ниже; подробное изложение можно найти у Кёте [5] и (применительно к нормированным пространствам) Дэя [2]. См. также Келли — Намиока [1] и весьма интересную статью Джеймса [3].
Напомним следующие определения. Пусть S — хаусдорфово топологическое пространство. Подмножество ,4cS называется счетно компактным, если любая последовательность в А имеет предельную точку в А (или, что то же самое, если любое счетное открытое покрытие содержит конечное подпокрытие). Множество А называется секвенциально компактным, если любая последовательность в А содержит подпоследовательность, сходящуюся к точке из А, Непосредственно видно, что как из компактности, так и из секвенциальной компактности множества А следует счетная компактность А. Вообще говоря, для этих понятий нет других импликаций, которые всегда были бы верны (упр. 37).
Мы начнем со следующего результата, который является для нас вспомогательным, но представляет также определенный самостоятельный интерес (см. Эберлейн [1], Гротендик [6]). Обозначим через (У, d) метрическое пространство, которое локально компактно и счетно на бесконечности, через X — компактное прост-
ранство и через ^у (X) — подмножество Yx, элементы которого являются непрерывными отображениями X в Y. Yx наделяется топологией простой сходимости.
Пусть Н — подмножество ^{Х), такое, что всякая последовательность из Н имеет предельную точку в ^Y (X) (в топологии простой сходимости). Тогда замыкание Н в Yx компактно и содержится в ^у^Х), а каждый элемент из Н является пределом последовательности из Н.
Перед доказательством этой теоремы мы отметим два следствия из нее.
Следствие 1. Если НсТу(Х) счетно компактно в топологии простой сходимости, то Н компактно и секвенциально компактно.
Следствие 2. (Эберлейн [1].) Всякое слабо счетное компактное подмножество банахова пространства слабо компактно и слабо секвенциально компактно.
Доказательство. Возьмем в качестве (У, d) поле скаляров К пространства Е с обычной абсолютной величиной и в качестве X единичный шар сопряженного пространства в топологии о^Е', Е). Отображение z-*h\z) = L которое каждому геД* ставит в соответствие его сужение / на X, является гомеоморфизмом пространства (Е'*, о(Е'*, Е')) на замкнутое подпространство Q пространства Кх. Согласно (6.2), А (Е) = Q [Wk W, так что утверждение вытекает из следствия 1.
Доказательство (11.1). Ясно, что для каждого t^X множество (f (0: f е И} относительно компактно в Y. Действительно, если бы существовало такое teX и такая последовательность в Н, что 11m Д(0 = оо, т° эта последовательность не имела бы предельных точек в Yx. Из теоремы Тихонова следует теперь, что подмножество Н относительно компактно в Yx.
Мы покажем теперь, что Н с % у (Л"). Предположим противное, а именно, что найдется функция g Е Н, не непрерывная на X. Тогда существует непустое подмножество Л-1 с X, точка t0 е М и е>0, такие, что d^gtt), g(t0))>4e для всех t е М. Мы определим по индукции последовательности {Д, Ц, t2, . . .} в X и {Д f2, .. .} в Н следующим образом: Так как g е Н, то можно выбрать Де Н так, что d (Д (Д), g)t0)) < e. После того как Vo, • • •, Д-J и {ДД} уже выбраны, выберем Д е Л1 [) ЛД П ... П М„, где Мх = ^еХ: d(fv(t), Д(Д))<е) (v = 1п).Затем выбираем
fn+i^H так, чтобы d^y^, g(tv))<e (v = О, 1, . .., и), что возможно, поскольку g ^ Н. Из этой конструкции мы получаем следующие неравенства:
(Цё^пУ gkt^>^ (aeN); (1)
^(^(Q, fnMX6 для всех м>п, neN; (2) d(f„(U, g(4))<8 при 0 < V 1, n e N. (3)
Согласно гипотезе, последовательность {f„: n e N} имеет предельную точку he^y^xy Тогда из (3) следует, что d(A ("ЦУ g(QKs для всех v > О, отсюда и из (1) мы заключаем, что d (А (Д), А (/0)) > 2е для всех AeN. Так как X — компакт, последовательность {/„: n е N} имеет предельную точку s е X, а непрерывность функции А влечет за собой неравенство
(ЦИ^У А(Ч))>2е. (4)
Так как А —предельная точка последовательности {/„}, то найдется weN, такое, что d^fm(toy А(Ч)) + d(fm(sy A(s))<e. Согласно (2) и в силу непрерывности fm мы имеем A(fm(s), ^(Ч))^6- Последние два неравенства дают нам d(A(s), А(£0))<2е, что противоречит (4). Таким образом, наше предположение g ^^(Х) неверно, отсюда следует, что Н е^у^Ху _
Осталось показать, что каждое це И является пределом некоторой последовательности из Н. Убедимся сначала, что g — предельная точка последовательности {g„: п Е N} с Н. Действительно, если фиксировано п Е N и {^, ..., Д}~ заданный набор п точек и; X, то найдется (поскольку g е И) функция А е Я, такая, что
(*) cHgMi h(tv))<rrl (v=l, .... пУ
Так как топологическое произведение Хп компактно и отображение g непрерывно, то мы можем найти конечное подмножество Нп с Я, такое, что если 4b ..., 1^) еХ, то соотношение (*) имеет место по крайней мере для одного А е Нп. Если теперь такое множество Нп выбрано для каждого п Е N и если ^gn; п Е N} — последовательность, множество значений которой есть (J Я„, то, очевидно, g является предельной точкой множества {gn: п е N}.
Доказательство будет теперь закончено, если мы покажем, что предельная точка g последовательности ^gn: ц е N} является пределом для некоторой подпоследовательности (в топологии простой сходимости). Обозначим через G замыкание множества ^gn: п е N} в Ух. Из предположения относительно У следует, что У имеет счетный базис <5 открытых множеств. Рассмотрим на X топологию $, порожденную множествами g-1(6) и и^Ч®)-
Топология $ имеет счетный базис и слабее исходной топологии
на X. Отношение R на X, определяемое как ,,t ~ s, если £„(/) = = g„(s) Для всех № N“, является замкнутым отношением эквивалентности и факторпространство (X, ^(R метризуемо и компактно; обозначим его символом X'. Ясно, что функции g и gn определяют непрерывные функции g' и g'n соответственно, действующие из X' в Y.
Кроме того, каждое heG определяет непрерывную функцию И' е Vх'. ,
Обозначим соответствующее подмножество в Vх' символом G'. Из первой части доказательства следует, чго G' содержится в ^у^Х'^ и компактно (в топологии простой сходимости), и отсюда вытекает, чго топология простой сходимости совпадает на G' с топологией простой сходимости на любом плотном подмножестве Xq с: X' (последнее наделено более слабой хаусдорфовой топологией). Так как X', будучи компактным и метризуемым, сепарабельно, то в X' найдется счетное плотное подмножество X', и отсюда следует, чго пространство G', наделенное топологией простой сходимости на X', метризуемо. Таким образом, отображение g' является пределом некоторой подпоследовательности из {g': п е Nj, откуда, очевидно, и вытекает утверждение теоремы. Доказательство закончено.
Мы готовы теперь доказать следующую теорему о слабой компактности, известную обычно как теорема Эберлейна. Эквивалентность (а) О (Ь) является в сущности результатом Эберлейна (см. выше следствие 2) только в более общей форме, импликации (а) ФФ (с) получены Дьедонне [4], (а) ФФ (d) — Гротендиком [6]. См. также Птак [2 — 5], Шмульян [2]. .
Теорема. Пусть Е — ЛВП и Н — подмножество пространства Е, замкнутая выпуклая оболочка которого полна. Тогда еле- дующие свойства Н эквивалентны1.
множество Н относительно слабо компактно;
всякая последовательность в Н имеет слабую предельную точку в Е;
для всякой убывающей последовательности {Нц1. n е N} замкнутых выпуклых подмножеств Е, таких, что НпГ\Н^=0 при любом п, пересечение Q Нп непусто;
Н ограниченно и для всякой последовательности {xm: т eN} в И и всякой равностепенно непрерывной последовательности {х': keN} в Е' имеет место равенство повторных пределов Hmlim(x , х'\ = lim lim (х, х'\, если только эти пределы существуют*
Доказательство. Ясно, что из (а) следуют (Ь) и (с). Чтобы убедиться, что из (а) следует (d), мы заметим, что последовательность {хт} имеет слабую предельную точку х е Е, так как Н относительно слабо компактно, и последовательность {х'} имеет слабую предельную точку х'е Е', так как она равностепенно непрерывна. Если теперь первый повторный предел существует, то он необходимо равен lim(x, хД = (х, х'\ Аналогично второй повторный предел (если он существует) равен (х, х').
Для доказательства обратных импликаций заметим следующее: Так как замкнутая выпуклая оболочка С множества Н полна, то С замкнуто и, следовательно, слабо замкнуто в пополнении Е пространства Е. Следовательно, для того чтобы показать, что о(Е", Допредельная точка х' множества Н в действительности принадлежит Е, достаточно в силу георемы Гротендика (6.2) показать, что сужение х* на X о(Е, Е)-непрерывно; здесь X — произвольное множество в Е'. В дальнейшем под X мы будем подразумевать произвольное множество такого рода (которое является компактным пространством в топологии о^Е', Е^. Рассматривая элементы Е (соответственно Е'*) как элементы ^(Х) (соответственно Xх, где К — поле скаляров для Е), мы в действительности будем иметь в виду их сужения на X.
Импликация (Ь)=>(а) теперь непосредственно следует из (11.1), если в качестве (У, d) взять поле X с его обычной метрикой.
(с)=ф(а): Заметим, во-первых, что множество Н ограничено в Е. Иначе на Е существовали бы непрерывная вещественная линейная форма и и последовательность {хД в Н, такие, что и^хп^>п (и е N), и множества Я„ = {хеЕ: н(х)^Д, удовлетворяя условию (с), имели бы пустое пересечение. Будем теперь рассматривать Н как подмножество ^К(Х) и обозначим через Н замыкание Н в Xх. Достаточно показать, что Н с^к^Ху Допуская, что некоторое geH не непрерывно на X, мы построим, как и в первой части доказательства (11.1), последовательность {/0, ^, ^2, .. .) в X и последовательность {/], f2, .. .} в Н, такие, что удовлетворяются соотношения (1), (2), (3). Обозначим теперь через Нп замкнутую выпуклую оболочку множества {Д: v Дюг) в Е, и пусть h — элемент из Q//n. Тогда мы снова получим (4) и, заменяя элемент fm п
в доказательстве (11.1) подходящим элементом Гт^Нт, как и прежде, получаем противоречие.
=> (Ь): Так как множество Н ограниченно, то любая последовательность {хД в Н имеет о(Е", Е^-предельную точку х* е Е" в силу (5.4). Достаточно показать, что сужение х* на X непрерывно. Предположим, что это не так. Мы можем считать, что ОеХ и х* разрывно в ОеХ. Обозначим У а (n е N) слабую
окрестность нуля (х7 е ЕЧ | (xv, х'^\<п ’; v=l. .... и}. Найдутся е>0 и x'neUnRX, такие, что | (х*, х')|>е для всех п. Пусть V m = (z е Е": | (г, х'^ | < m-1, р = 1, . . ., т] для каждого meN. Тогда в (хД существует подпоследовательность {у,,}, такая, что Ут Е х* + Vm для всех т, и мы можем в дальнейшем считать (выбирая, если необходимо, подпоследовательность в [х'}), что Нт(х*, х'^ существует.
Теперь для каждого п имеем lim(ym, х') = (х*, хД. Следовательно, limlim(ym, х'\ существует и не меньше е по абсолютной п m
величине. С другой стороны, lim (ут, х'\ = 0 для всех пг. Это означает, что lim lim (ут, х'\ = 0 и противоречит тем самым уело- m п
вию (d). Это завершает доказательство (11.2).
Следствие. Пусть Е — ЛВП, которое квазиполно в топологии х(Е, Е'\ Тогда всякое слабо замкнутое и счетно компактное подмножество пространства Е слабо компактно.
Следующий результат, существенный для теоремы Крейна, доказывается ниже. Наше доказательство, использующее теорему Лебега об ограниченной сходимости (см. Бурбаки [9], гл. IV, § 3, теорема 6, или Халмош [1], § 26, теор. D), просто, но не элементарно; комбинаторное доказательство и подробное обсуждение читатель может найти в статье Птака [7]. Другое комбинаторное доказательство принадлежит Намиока [2].
Пусть Е — ЛВП, В — компактное подмножество пространства Е, и пусть С — замкнутая выпуклая закругленная оболочка множества В. Тогда если (х7: п е N} — последовательность в Е', равномерно ограниченная на В и такая, что Иш(х, х'\ = 0 для всех х е В, то lim/x, хД = 0 для всех х е С.
Доказательство. Рассмотрим нормированное пространство Ес. Без ограничения общности мы можем предположить, что Ес = Е. Тогда сопряженное Е' к Е может быть отождествлено с подпространством в Е'с и отображение Ч7: х'-ь-f (где f(x) = = (х, х'), х е В) является изометрическим изоморфизмом банахова пространства Е'с в ^ (В). Из (7.9) следует, что Ч7' отображает ^ ^ВУ на второе сопряженное Е". В частности, всякий элемент хеЕ является Ч7,-образом некоторого ре^^ву. С другой стороны, если Д = Ч7(хД (»eN), то, так как семейство (Д) равномерно ограниченно на S и каждое р Е % (В)' является линейной комбинацией
положительных радоновских мер на В, из теоремы Лебега об огра' ниченной сходимости следует, что lim р, (/„) = 0 для всех ре^ву.
п
Следовательно, lim(x, х'^ = Нт (р), х'Х = Птц^Л = 0, где ппп
х = уУ'(ц). Это завершает доказательство.
Теперь мы можем доказать теорему Крейна (см. М. Г. Крейн [1]). Наше доказательство следует Келли — Намиока [1].
Теорема. Пусть В — слабо компактное подмножество в ЛВП Е. Обозначим через С замкнутую выпуклую оболочку множества В. Тогда множество С слабо компактно в том и только том случае, когда оно полно в топологии Макки х^Е, Е'\
Доказательство. Условие, очевидно, необходимо, так как если множество С слабо компактно, то оно слабо полно и, значит, полно в топологии т(Д, Е'\ Достаточность будет доказана с помощью условия (d) из (11.2) (см. Итак [7]). Пусть {xj — последовательность в С и {х'} — равностепенно непрерывная (относительно т(Д, Д')) последовательность в Е'. Множество {хп} имеет а (Д", Допредельную точку х'еЕ" (см. (5.4)), a (x'j имеет о^Е', Допредельную точку х'еД'. Согласно (11.1), в [х') существует подпоследовательность, которая сходится в топологии Простой сходимости к х' на множестве В. Поэтому мы сразу можем предполагать, что {x'j обладает этим свойством. Из (11.3) применительно к (Д", о^Е", Е')) следует, что Нт (г, х') = (г, х') для всякого геС, где С обозначает а(Д", Д')-замыкание множества С в Е".
В частности, lim(xm, x'^) = (xm, х') для каждого m g N. Если limlim(xm, х') существует, то, так как х* является oVE", Д')-пре- m п_
дельной точкой (хт), он необходимо равен (х*, х'). С другой стороны, если lim(xm, х') существует, он, очевидно, равен (х*, х'), m
но из предыдущего следует, что Нт (х*, х'Л = (х*, х'). Следовательно, условие «двойного предела» ((d) из (11.2)) выполнено,: и С, будучи слабо замкнутым, слабо компактно. Доказательство закончено.j
Так как, согласно (I, 5.2), закругленная оболочка любого слабо, компактного подмножества в пространстве Е слабо компактна,! теорема (11.4) остается верной, если С —замкнутая выпукла® закругленная оболочка В.j
Если В —компактное подмножество в Е и С —замкнута^ выпуклая (или замкнутая выпуклая закругленная) оболочка В^ то С предкомпактно (согласно (11,4.3) и (1,5.1)). Следовательно^
множество С является компактом тогда и только тогда, когда оно полно. С помощью этого замечания легко доказать (учитывая (П.4)) следующий несколько более сильный вариант теоремы Крейна:
Пусть В — компактное подмножество в ЛВП Е и С —замкнутая выпуклая закругленная оболочка В. Тогда множество С компактно в том и только том случае, когда оно полно.
Упражнения
Пусть F — векторное пространство над К.
Пусть Q — некоторое непустое подмножество F*. Обозначим через Af линейную оболочку множества Q в F*. Покажите, что если X —топология, порожденная преднормами х —>• | (х, t/> |, ye Q, то (F, 'Z)'= М и пространство М двойственно хаусдорфову ТВП Fo, ассоциированному с (F, $)•
Покажите, что если F — ЛВП с сопряженным F', то о (F', F) есть ©-топология, где © обозначает множество всех о (F', ^-ограниченных множеств, каждое из которых содержится в некотором конечномерном подпространстве F'.
Обозначим через Fa, Еа пару ЛВП с их слабыми топологиями. Тогда пространством непрерывных билинейных форм на Еа X Fa (или, что то же самое, сопряженным к проективному тензорному произведению Еа ® Fa) является тензорное произведение Е' ® F'.
Пусть F — ЛВП над С и G — собственное вещественное подпространство У7 (гл. I, упр. 16), такое, что Fo = G + iG, где F^ — вещественное пространство, соответствующее F. Обозначим через G' множество всех вещественных линейных форм на G, которые непрерывны в топологии, индуцированной F. Покажите, что следующие утверждения эквивалентны:
(a) Fq = G + iG — топологическая прямая сумма в топологии о (Fo, р'^;
(Р) F' — линейная оболочка (над С) множества линейных форм
x + iy^-f (х) + if (у) (х. у е G), где f пробегает G'.
Пусть Е — нормированное пространство, которое неполно. Тогда ©-топология на Е', где © — семейство всех компактных подмножеств пространства Е, не согласована с действительностью (Е, Е'). (Используя 6.3, следствие 1, убедитесь, что существует компактное подмножество пространства Е, замкнутая выпуклая закругленная оболочка которого не слабо компактна.)
(Совершенные пространства.) Мы используем обозначения примера 4 из разд. 1. Пусть А — пространство последовательностей с элементами х = (,хп). Определим порядок в X (гл. V, разд. 1), полагая х ^ у, если хп^уп для всех п. Через | х | мы обозначим последовательность (| хп |) (которая может и не принадлежать Х\
Пространство X называется совершенным (Кёте [4] ), если X = Ххх, и телесным, если из хе). и | у | ^ | х | следует, что у е X. Для заданного X обозначим через Р множество всех последовательностей и ^ 0 из Xх. Топология X, порожденная преднормами х-*( | х |, и), иеР, называется нормальной топологией пространства X. (В связи со следующими задачами читатель может обратиться к работам Кёте [4], [5]; см. также Дьедонне [3]. Порядковую (решеточную) характеризацию нормальной топологии можно найтн в гл. V, Упр. 20.)
Пространства 1Р (1^р< + оо) совершенны; каждое «ступенчатое пространство» (гл. III, упр. 25) совершенно.
Нормальная топология X согласована с двойственностью (Л, ЛхХ
Для каждого нею (=К^) определим Хц = < х г со : 21 ип | | хп | < 00 г.
I 1 J
Тогда всякое пространство Хц изоморфно (как пространство последовательностей) одному из пространств Iх, со пли Iх 0 со. Вывести отсюда, что всякое пространство Хи совершенно.
Пусть пространство Л совершенно. Тогда X телесно и (Х> X) представляет собой проективный предел lim guvXv (X), где и, уеР.Р направлено (=50 и guv — каноническое вложение Хт в Хи (.и^и).
Следующие утверждения эквивалентны для пространства последовательностей X: (а) X совершенно, (Р) (Л, X) полно, (у) (Л, X) слабо полуполно. (Использовать (d).)
(Пространства минимального типа. См. Мартино [1].) ЛВП Е называется пространством минимального типа, если его топология минимальна (т. е. если не существует на Е более слабой топологии).
Следующие утверждения эквивалентны для ЛВП Е; (а) Е минимально; (Р) Е изоморфно произведению Кд для некоторой мощности d; (у) Е слабо полно.
Если пространство Е минимально, то а (Е, Е') = Р (£, £') и т (£', £) = = р (£', £); топология Макки т (£', £) является сильнейшей локально выпуклой топологией на Е'. На минимальном пространстве бесконечной размерности не существует непрерывной нормы; бесконечномерное нормированное пространство не может быть слабо полпы.м.
Всякое замкнутое подпространство и всякое отделимое факторпростран- ство минимального пространства минимально. Произведение любого семейства минимальных пространств минимально.
Пусть пространства Е, F минимальны и и — линейное отображение Е в F. Отображение и непрерывно тогда и только тогда, когда и замкнуто. Если и непрерывно, оно является топологическим гомоморфизмом.
Пусть пространство Е минимально. Если М и К — замкнутые подпространства, то М + N замкнуто в Е; если же, кроме того, М П М = (0), то М + N есть топологическая прямая сумма; в частности, если £ —алгебраическая прямая сумма замкнутых подпространств М и N, то £ = A10jV.
Мы используем обозначения из (4.1).
Пусть Z — единичный круг комплексной плоскости и F— векторное пространство (над С), образованное непрерывными комплекснозначными функциями на Z, имеющими непрерывную первую производную внутри Z. Обозначим через pn(«eN) и ц0 радоновские меры на Z, которые определяются равенствами ц„ (Л = я [f (я-1) — / (0)1 и ц0 (/) = (2л<0! j f (£) 02 dt, (интеграл Коши на положительно ориентированной границе Z) соответственно. Пусть В = {ц„: n е N) и G — подпространство F*, порожденное ц0 и множеством Ф всех радоновских мер с конечным носителем на Z. Через ®| обозначим о (G, £)-насыщенную оболочку семейства Ф U (В); пусть Xj есть ©^топология на F. Пусть, наконец, М — подпространство пространства F, образованное функциями, аналитическими внутри Z, Х2 — топология на М, индуцированная Xt, и пусть ®2 есть (or (,GjM°, АД-насышенное) семейство всех Х2-равностепенно непрерывных подмножеств пространства G!M°.
В этих предположениях имеем O(2>Q=# $2. (Докажите, что мера ц0 не содержится ни в каком Sj е Sj, и заметьте, что Ф (ц0) лежит в a ^G(M°, А1)- замыкании Ф (В).)
Из условия (b) в (4.1) следует, что семейство @Q является с (G/M°, М)- насыщенной оболочкой семейства ф(3^.
Даже в предположении слабой замкнутости подпространства М* в пространстве F следствие (с) =? (d) из 4.1 остается неверным, если Т, не согласовано с двойственностью (F, О'). [Рассмотрите полное ЛВП Е, сильное сопряженное которого £р не обычно (упр. 13), и вложите Е как замкнутое подпространство М в произведение F банаховых пространств (см. И, 5.4), следствие 2).
Согласно (4.2), сильное сопряженное Е^ бочечно как локально выпуклая прямая сумма бочечных пространств; следовательно, фактортопология р (/A F) бочечна и отличается поэтому от р U7'fXF, А4).]
Пусть {(Лц, Ga): а е А} —семейство дуальных пар над полем К. и пусть JJ^u, С=фСа. Между F и G имеет место каноническая двойственность. а
Топология р (.F, G) есть произведение топологий Р (Fa, Ga) и р (G, F) есть топология локально выпуклой прямой суммы р (Ga, F^ (использовать (4.2)).
Слабая топология a (G, А) является топологией локально выпуклой прямой суммы топологий a (Ga, Fa) тогда и только тогда, когда число пространств Fa {0} конечно.
Фундаментальное семейство выпуклых закругленных слабо компактных подмножеств пространства F (соответственно G) получается путем образования произвольных произведений соответствующих подмножеств Fa (путем образования произвольных конечных сумм соответствующих подмножеств Ga).
Построить пример ЛВП F и замкнутого подпространства Н, таких, что не всякое ограниченное подмножество факторпространства F]H является каноническим образом ограниченного подмножества пространства F. [Пусть E = P; для всякого вектора х ^ 0 из Е (относительно обозначений см. упр. 5) положим В (х) = {у е Е: | у | ^ х}. Покажите, что (нормированная) топология на Е является сильнейшей локально выпуклой топологией, при которой все В (х) ограниченны. Представьте пространство Е как факторпространсгво F/Н, где
Аналогично покажите, что слабо компактное подмножество
в F)H не обязательно является каноническим образом слабо компактного подмножества из F. (Примените предыдущий метод к Е = Р.) См. также упр. 20.
Покажите, что замкнутое подпространство бочечного пространства не обязательно бочечно. [Рассмотрите полное небочечное ЛВП Е и вложите Е как замкнутое подпространство в произведение банаховых пространств (используйте (4.3), следствие 3); например, достаточно взять в качестве Е пространство последовательностей lp (р > 1) в его обычной топологии (упр. 5).[
Замечание. Используя теорему Макки —Улама (см. гл. II, разд. 8), тем же методом дайте пример борнологического пространства, имеющего замкнутое неборнологическое подпространство. См. также упр. 20.
(Неполные факторпространства). Пусть X обозначает вполне регулярное топологическое пространство, R (X) — ЛВП (над R) всех вещественных непрерывных функций на X, наделенное топологией компактной сходимости.
Если любая функция f е R^ непрерывна, когда непрерывно ее сужение на любое компактное подмножество X, то пространство R (X) полно.
Пусть У — замкнутое подмножество X и // — подпространство R (X) всех функций из R (X), которые обращаются в нуль на У. Тогда факторпространство R (Х)/Н может быть отождествлено с подпространством Ro (У) с: R (У), элементы которого допус?:ают непрерывное продолжение на X.
Подпространство Ro (У) плотно в R (У) (используйте теорему Стоуна — Вейерштрасса (V, 8.1)).
Если замкнутое подмножество У таково, что функция [е R непрерывна, как только ее сужения на компактные множества непрерывны, то R (Х)/Н полно в том н только том случае, когда Ro (К) = R (К).
Получите, используя предыдушую задачу, пример полного ЛВП R (X), такого, что для подходяще подобранного замкнутого подпространства И с R (X) факторпространство R (Х^/Н неполно. [Возьмите для примера локально компактное пространство X, которое не является нормальным (Бурбаки [5], § 4, упр. 13); тогда существует замкнутое подпространство У, такое, что не всякая непрерывная вещественная функция на У имеет непрерывное продолжение на X.]
(Топологически дополнительные подпространства.)
Пусть Е — иенормируемое (Е)-пространство, на котором существует непрерывная норма (таково, например, пространство 5DQ (гл. II, разд. 6, пример 2)); пространство Е содержит замкнутое подпространство, которое не имеет топологического дополнения. [Возьмите возрастающую фундаментальную последовательность (Вп: п е N) выпуклых закругленных ограниченных подмножеств пространства Е', таких, что Ев + Ев , и выберите хп е Ев \ЕВ . Покажите, что линейная оболочка F множества ^х^: hen] является подпространством Е', ограниченные замкнутые подмножества которого имеют конечную размерность; сделайте отсюда вывод, используя теорему Крейна — Шмульяна (6.4), что F — слабо замкнутое подпространство Е'. Так как всякая линейная форма на F непрерывна (используйте (6.2)), то сопряженное E/F° в F слабо полно н, следовательно, изоморфно Kq (упр. 6). Если бы F° имело топологическое дополнение, то оио было бы изоморфно Kq , что противоречит тому факту, что на К?, не существует непрерывная норма (упр. 6).]
Пусть задано банахово пространство Е, {уа: яе А)- всюду плотное подмножество единичного шара Е. Тогда Е изоморфно факторпространству /‘ (А). [Для каждого х = (£а) е I1 (А) определим и (х) = 2 Su'/а (гл> Ш> УПР- 23). Из аеА
(111,2.1) следует, что отображение х-> п (х) — гомоморфизм /* (А) на Е.] Вывести отсюда, что, когда множество А бесконечно, пространство Z1 (А) содержит замкнутое подпространство, не имеющее топологического дополнения.
Пусть Е — полное ТВП и Я —замкнутое подпространство, такое, что Е(Н не полно (упр. 11). Тогда Н не имеет топологического дополнения.
Относительно проблемы дополнимости пространств см. Дэй [2] и Кёте [5], § 31.,
ЛВП Е называется правильным, если его сильное сопряженное Eg бо- чечно. Пусть Е — векторное пространство всех двойных числовых последовательностей х = (х^, таких, что для каждого п г N рп (х) = 5 I аИ>хц I < °°> гДе И
d^l = j ПРИ i^n и всех /, а^=\ при 1> п и всех /. Преднормы рп (п е N) порождают локально выпуклую топологию, в которой Е является (Е)-простран- ством, не будучи прн этом правильным (Гротендик [10] ).
Установите последовательно следующие частные результаты:
Сопряженное Е' может быть отождествлено с пространством двойных последовательностей и = (п^), таких, что | uit | ^ са^ц при всех I, j и некотором с>0, neN (см. гл. III, упр. 25). Если Вп — поляра множества Un = ^x; Pn^^l^ то \пВп: ne N) есть фундаментальное семейство ограниченных подмножеств в Е'.
Пусть W обозначает выпуклую закругленную оболочку множества U 2~пВп, тогда W поглощает все ограниченные подмножества Е', но множе- п
ство W не содержит и е Е', такого, что для каждого i найдется / и | и;у |^2.
Для заданно 1 последовательности р = (рп) строго положительных чисел
определим элементы и^ е е', такие, что и^ = 0 при (I, /)=#(«, 1^, и^h = 1, где последовательность кп выбрана так, что 2"+1u(n) е рпВп. Для каждого дан-
N
кого р последовательность с общим членом s„ = 2 2 и^ является слабой по- 1
следовательностью Коши в Е' и, значит, сходится к некоторому s е Е'.
Для всякой сильной окрестности нуля В0 в Е' (В — ограниченное подмножество в Е) найдется последовательность р = (рп) положительных чисел, такая, что р" рпВп с В0; если последовательность (s^ построена так же, как
п
в (с), то sN г В0 для всех Ve N; следовательно, seB) но s ^ W. Это означает, что IF не содержит В0; следовательно. Ер не борнологическое и потому не бочечное (используйте (6.6)).
Пусть (F, О') — дуальная пара. Тогда сильная топология 0 (В, G), вообще говоря, не наследуется замкнутыми подпространствами или отделимыми фактор- пространствами. (Чтобы убедиться в этом, для подпространств рассмотрите ЛВП F, построенное в упр. 9; там 0 (Д°, F/H) отличается от топологии, индуцируемой 0 (В', В) на Н°. Что касается факторпространств, то нужно рассмотреть неправильное полное ЛВП Е (упр. 13) как замкнутое подпространство некоторого произведения G банаховых пространств. Тогда 0 (G'/E°, Е) отличается от фактортопологии 0 (G', G).)
Если В — банахово пространство, то сильная топология наследуется замкнутыми подпространствами и отделимыми факторпространствами; то же самое верно (относительно (В, В')) для сильного сопряженного к В.
Используем обозначения разд. 5. Покажите, что существует ЛВП Е, такое, что семейства подмножеств G, 6, $, ®а различны. (Рассмотрите соответствующее пространство В, не являющееся бочечным (гл. II. упр. 14), и возьмите в качестве Е пространство B0J
(Квазибочечные пространства.) Произведение и локально выпуклая прямая сумма любого семейства квазибочечных пространств квазибочечны (использовать упр. 8). Всякое отделимое факторпространство квазибочечного пространства квазибочечно (непосредственная проверка), однако замкнутое подпространство не обязательно квазибочечно (упр. 20).
(Теорема Банаха — Макки.) Пусть В —ЛВП и В — ограниченное выпуклее закругленное подмножество Е, такое, что нормированное пространство Ев полно. Тогда множество В ограничено в топологии 0 (В, В'). (Заметьте, что для каждой бочки D с В пересечение D Л BQ является бочкой в банаховом пространстве В в, и используйте (1.6).)
(Рефлексивные пространства.) (См. также упр. 20.)
Банахово пространство /Р(А) рефлексивно при 1<р<+ оо.
Если В — квазиполное пространство Макки, такое, что Ер полурефлексивно, то В рефлексивно.
Всякое слабо рефлексивное ЛВП В, сильное сопряженное которого Ер сепарабельно, полурефлексивно (используйте (1.7)).
Дайте пример нерефлексивного ЛВП, сильное сопряженное которого рефлексивно.
Если В — нерефлексивное (Е)-пространство, то все канонические вложения В с Е" с B1V с ... и В' с Е'" с BV с ... являются собственными (проведите доказательство прямым путем, используя (Ь)).
(I) Существует нерефлексивное (В)-пространство В, такое, что канонический образ В в Е" имеет конечную коразмерность (см. Джеймс [2] и Сивин — Юд [1]). Выведите отсюда существование бесконечномерного банахова пространства В, которое неизоморфно (как ТВП) В X Е. ''
(Монтелевские пространства.)
Любое произведение и локально выпуклая прямая сумма (М)-пространств являются (М)-пространством; строгий индуктивный предел последовательности (М)-пространств также (М)-пространство. В противоположность этому замкнутые подпространства и отделимые факторпространства (М)-пространств могут, вообще говоря, даже не быть рефлексивными (упр. 20).
Всякое бочечное квазиполное ядерное пространство есть (М)-прост- ранство (используйте III, 7.2, следствие 2).
Сепарабельное (Р)-пространство Е является (М)-пространством в том и только том случае, когда всякая а (Д', Лфсходящаяся последовательность в Е' сильно сходится. [Для доказательства достаточности использовать (1.7). Покажите, что всякое ограниченное подмножество пространства Е' сильно предкомпактно (гл. I, упр. 5) (следовательно, относительно компактно, так как £р полно). Получите из следствия 3 теоремы (6.2), что Е = Е" и, значит, Е и Е^ рефлексивны; далее воспользуйтесь (5.9).]
Всякое метризуемое (А4)-пространство сепарабельно (Дьедонне [7]). Выберите последовательность {ДД выпуклых закругленных окрестностей нуля, образующую базис в нуле, и вложите Е как подпространство в ТТ Еп . Пред- п п полагая Е несепарабельным можно считать, что и Еу несепарабельно. Обозначим через В] несчетное подмножество в Еи, элементы которого имеют попарные расстояния ^6>0. Пусть ЛД = Ф^1 (вД Тогда в М, найдется несчетное собственное подмножество М2, такое, что Фи2(Л12) ограниченно в Еуг и т. д. Выберем для каждого »eN элемент хлгЛ1п\Л1„+1. Последовательность {хп} ограниченна в Е и (ФУ] (х^)} не содержит никакой последовательности Коши, что является противоречием.)
Пусть Е — векторное пространство (над R) всех двойных последовательностей х = (х;Д таких, что для каждого neN рп (х) = ^а^ | Хц | < оо, где 17
^И = 1П для i<n и всех j и а*"* = in для I ^ п и всех /. В топологии, порожденной преднормами pn^neN\ Е является (Р)-пространством и (Л1)-простраи- ством (упр. 13). Сопряженное Е' может быть отождествлено с пространством всех двойных последовательностей х' = (*//). таких, что | х'ц | ^ са^ при всех i, j и некотором с>0, raeN (каноническая форма есть (х, х') -»(х, х') = ^хих';У i, !
Каждое хеЕ определяет суммируемое семейство (хг-/: (Z, j)eN X N} (гл. III, упр. 23); если положить yi = ^Xij, то у=(у;-)е/1 и отображение х^-у-и^х)
I
является непрерывным линейным отображением Е на всюду плотное подпространство Г (Кёте [1], Гротендик [10]).
Сопряженное и' взаимно однозначно отображает /°° на замкнутое подпространство Е'. Следовательно, и — топологический гомоморфизм Е на Z1 (используйте (7.7)); поэтому f/u-1 (0) изоморфно Z1.
Каноническое отображение Е -> Е/и~х (0) отображает семейство всех ограниченных подмножеств Е на семейство всех относительно компактных подмножеств Е/и-1 (0). (Используйте тот факт, что Е одновременно и (Р)-прост- ранство, и (М)-пространство, и примените (6.3), следствие 1.) Сделайте отсюда вывод, что р (£', £) индуцирует на и' (1°°) ©-топологию, где © — семейство всех относительно компактных подмножеств Е/и~1 (0). Пространство u'(Z°°) в этой топологии не квазибочечно.
Получите с помощью предыдущего упражнения, что: 1) замкнутое подпространство и отделимое факторпространство (М)-пространства не обязательно
рефлексивны; 2) ограниченное множество в факторпространстве ^-пространства Е не обязано быть каноническим образом ограниченного множества в Е; 3) замкнутое подпространство бочечного (соответственно борнологического) пространства не обязательно бочечное (соответственно борнологическое). (Сильное сопряженное к рассмотренному выше пространству Е бочечно и борнологично согласно следствию 1 из теоремы (6.6).)
Из теоремы Банаха — Макки (упр. 17) следует, что в утверждении (II, 8.5) достаточно предполагать пространство В секвенциально полным. Это позволяет нам улучшить многие старые результаты, например показать, что всякое секвенциально полное борнологическое пространство бочечно. Следующие результаты показывают, что, вообще говоря, понятия секвенциальной полноты, квазнполноты и полноты существенно различны.
Существует секвенциально полное ЛВП, которое не квазиполно. (Рассмотрите /* в слабой топологии.)
Пусть Е — ЛВП. Для того чтобы Еа было полно, необходимо и достаточно, чтобы топология т (Е, Е') была сильнейшей локально выпуклой топологией на Е (упр. 6). Получите отсюда, что если пространство Е метризуемо и Ед полно, то Е конечномерно (используйте гл. II, упр. 7). Если Е нормируемо и Е'а полно, то Е конечномерно. (Применить предыдущий результат к £р.)
В любом гильбертовом пространстве Н существует слабо полное выпуклое множество С, такое, что Н=С — С. (Предположите, что Н есть пространство Z2 (Л) над R (гл. II, разд. 2, пример 5), и возьмите С = \хсН; ^а~^0 для всех а = А}.)
Пусть Е — ЛВП, Е' — его сопряженное и $f — сильнейшая топология на Е', которая совпадает с о (Е', Е) на всех равностепенно непрерывных подмножествах Е'.
Топология Xf инвариантна относительно сдвигов и обладает базисом окрестностей нуля из радиально закругленных множеств.
Вообще говоря, топология Sf может не быть локально выпуклой (Коллинз [1]). [Рассмотрите бесконечномерное пространство Е, на котором существует такая топология $!, что (£ $i) есть (Е)-пространство; обозначим через До сильнейшую локально выпуклую топологию на Е (гл. II, упр. 7). Тогда (Е, $])' = Е'^Е* (упр. 21). Рассмотрим $/ на £* = (£, $о)'- Тогда Е' будет %^- замкнуто в Е*. Если бы топология была локально выпуклой, то она была бы согласована с двойственностью (£, £*) (заметьте, что (£, $0) полно, и используйте следствие 3 из (6.2)), так что Е' оказалось бы замкнуто и плотно в (£*, о (£’,£)), что является противоречием.]
Пусть £ —сепарабельное метризуемое ЛВП и £ —его дополнение. Тогда всякое ограниченное подмножество из Е содержится в замыкании (взятом в £) некоторого ограниченного множества из Е. [Достаточно заметить, что Е может быть отождествлено с замыканием Е в сильном втором сопряженном Е". Если В с Ё ограниченно, то В сепарабельно и, значит, равностепенно непрерывно в Е" (используйте следствие 1 из теоремы (6.5) ), так что В с А°° (биполяра относительно (£', Е") ) для некоторого ограниченного подмножества А из £.]
( (ПЕ)-пространства. См. также Гротендик [10], Кёте [5].)
Сильное сопряженное Е^ к (ПР)-пространству Е является (Е)-простран- ством. (Используя следствие из (6.7), покажите, что £р полно.)
Если Е есть (ОЕ)-пространство и М — замкнутое подпространство, то Р Ш°, Е!М} совпадает с топологией, индуцированной Р (£', £) на АГ”. [Докажите, что тождественное отображение (№, Р (£',£) ) на (Л1°, р (Л1°, Е(МУ) непрерывно, показав, что всякая р (£', ^-последовательность, сходящаяся к нулю в Л1°, равностепенно непрерывна в Е' (и, значит, Р (/И0, £/Л4)-ограниченна), для чего воспользуйтесь метризуемостью Р (£', £) (см. гл. II, упр. 17).] .
Пусть Е есть ЛВП и М — подпространство, которое является пространством типа (DF). Тогда 0 (Е'/М0, М) является фактортопологией 0 (Е', Е). (Примените тот же метод, что и в (Ь), пользуясь тем, что каждая 0 (Е'1М°, Л1)-последовательность, сходящаяся к нулю, равностепенно непрерывна и, следовательно, в силу (7.5) является каноническим образом равностепенно непрерывной последовательности в Е'.)
Пусть Е — пространство типа (DF). Тогда пополнение Е можно (алгебраически) отождествить с подпространством Е", более того, каждое ограниченное подмножество второго сопряженного Е" содержится в биполяре (относительно (Е', Е")) некоторого ограниченного подмножества из Е. Всякое ограниченное подмножество Е содержится в замыкании (взятом в Е) некоторого ограниченного подмножества из Е. (Используя (с), докажите, что 0 (Е', Е) = 0 (Е', Е). Сделайте отсюда вывод, что Е является (ПР)-пространством и что всякое квазиполное (ОР)-пространство полно.)
Всякое сепарабельное факторпространство (ПР)-пространства также является (ОР)-пространством. (Используя (Ь), показать, что всякое ограниченное подмножество Е/М является каноническим образом ограниченного подмножества из Е.) Локально выпуклая прямая сумма последовательности (DF)- пространств есть (ОР)-пространство; индуктивный предел последовательности (DF)-npocTpaHCTB тоже является (ОР)-пространством. С другой стороны, бесконечное произведение (ПР)-пространств (отличных от {0}) не будет (DF)-npo- странством, замкнутое подпространство (ОР)-пространства также не обязательно (ИР)-пространство.
Пусть Е = lim hnmEn — индуктивный предел последовательности рефлексивных (ПР)-пространств. Тогда сильное сопряженное к Е может быть отождествлено с проективным пределом limgmnEra сильных сопряженных Еп относительно сопряженных отображений gmn = hnm (см. конец гл. 4).
Существуют полные (ОР)-пространства, которые не изоморфны сильным сопряженным к метризуемым ЛВП. (Рассмотрите несепарабельное рефлексивное банахово пространство Е в топологии равномерной сходимости на сильно сепарабельных ограниченных подмножествах Е'.)
Пусть Е и F — ЛВП и Е', F' соответственно сопряженные. Для всякого подмножества Q с $ (Е, F) обозначим через Q' множество сопряженных отображений {u': ueQ). Рассмотрим следующие предложения:
Q равностепенно непрерывно;
для всякого равностепенно непрерывного множества В с Е' множество Q' (В) равностепенно непрерывно в F';
Q' равностепенно непрерывно в $ ^F^, Ер);
Q ограниченно в S’» (Е, Е);
Q' слабо ограниченно в S’ (F', Д') относительно о (Е', Е);
Q' слабо ограниченно в L (F', Е') относительно 0 (Е', Е).
Имеют место следующие импликации: (а) 1)=ф2) и 3) фф (4); (Ь) если Е. квазибочечно, то (1) фф (3) фф 6); с) если Е бочечно. то все предложения с 1) по 6) эквивалентны. )
Дайте пример двух ЛВП Е, F и отображения u е S (Е, Е), таких, что^ к — топологический гомоморфизм в топологиях о (Е, Е') и о (Е, Е'),но не является^ им в топологиях т (Е, Е') и т (Е, F'). (Выберите в качестве F такое простраи-] ство Макки, что некоторое его подпространство Е не есть пространство Макки) (упр. 9), и рассмотрите каноническое вложение Е -> Е.) ;
Дайте пример двух (Р)-пространств Е, Е и топологического гомоморфизма «i пространства Е на Е, таких, что и не является изоморфизмом Ер в Ер (упр. 20).|
Пусть Е, F — нормированные пространства и и е S’ (Е, Е). 1
Дайте пример, когда Е неполно, и — гомоморфизм и и' —сильный гомоморфизм, но не слабый гомоморфизм. (Возьмите Е = Fo, где Fo — плотное подпространство F, не совпадающее с F.)
Дайте пример, когда Е неполно, и не есть гомоморфизм, а и' — гомоморфизм в слабом и сильном смысле.
Постройте пример, в котором пространство Е полно, F неполно и и' есть слабый, но не сильный гомоморфизм.
Пусть Е, F— ЛВП и и — линейное отображение Е на F.
Следующие свойства и эквивалентны:
и почти открыто;
для всякого подмножества А с Е, и (Л) содержится во внутренности [«(Л)]";
для всякой выпуклой закругленной окрестности нуля UcE образ и (I/) слабо плотен в некоторой окрестности нуля.
Если пространство F бочечно, то и почти открыто.
(В-полнота.)
Пусть Е — бесконечномерное векторное пространство, такое, что на нем можно ввести топологию $ь в которой Е оказывается (Е)-пространством. Обозначим через $о сильнейшую локально выпуклую топологию на Е. Тогда (Е, Хо) полно, но не Вг-полно. (Заметьте, что (Е, $0) метризуемо (гл. II, упр. 7), и используйте (8.4); см. упр. 22.)
Покажите, что произведение и локально выпуклая прямая сумма В-пол- ных пространств, вообще говоря, не В-полны (для локально выпуклой прямой суммы используйте (а); что касается произведения, то надо вложить полное, но не В-полное пространство в произведение банаховых пространств и воспользоваться (8.2) ).
Следующие утверждения эквивалентны:
всякое Вг-полное пространство В-полно;
всякое отделимое факторпространство Вг-полного пространства Вг-полно.
Пусть X — вполне регулярное топологическое пространство, R (X) — пространство непрерывных вещественных функций на X в топологии компактной сходимости. Следующие утверждения эквивалентны:
пространство R (X) В-полно;
если плотное подмножество Y в X таково, что Y П С компактно для любого компакта С, то Y = X. (Заметьте, что отображение /->(/->[(/)) является гомеоморфизмом X в слабо сопряженное к R (X).)
Пусть Е и F — банаховы пространства с сильными сопряженными Е' и Р.
Сопряженное к $с (Е, F) (топология компактной сходимости) может быть отождествлено с факторпространством тензорного произведения Е ® Р, и если F рефлексивно, то с Е ® Р. [Заметьте, что $ ь №. Г) канонически изоморфно замкнутому подпространству ^* (Е, РУ последнее является сильным сопряженным к Е ® Р согласно (9.8). Сопряженное к £s (Е, F) может быть отождествлено с Е ® Р (теорема (4.3), следствие 4), и на ограниченных подмножествах S’* (Е, F) топологии простой и компактной сходимости совпадают (теорема Банаха — Штейнгауза). Затем воспользуйтесь теоремой Гротендика (6.2).]
Е обладает аппроксимационным свойством в том и только том случае, когда каноническое отображение т: Е' ® Е^»$ (Е) взаимно однозначно. (Использовать (а). См. гл. III, разд. 9, и Гротендик [13], I, § 5, предложение 35.)
Если сопряженное пространство Е’ обладает аппроксимационным свойством, то это же можно сказать и о пространстве Е. [Заметьте, что каноническое вложение р: Е' ® Е -> Е' ® Е" является топологическим изоморфизмом (в частности, инъективно). Если ueE'®E и ш> = т(п) —его канонический образ В S’ (Е), то q = w', где и = р (и), и qe 2 (£') является эндоморфизмом,
определенным по и. Таким образом, при w = 0 из (Ь) следует, что и = 0 и, значит, и = 0. Используйте (Ь) еще раз.]
Покажите, что в пространстве Е, сопряженном ядерному, каждое равностепенно непрерывное подмножество метризуемо в топологии о (£', £) (и, значит, сепарабельно). (Используйте (9.3).) Выведите отсюда, что если мощность d несчетна, то Кд — ядерное пространство, сильное сопряженное которого неядерно.
Пусть Е, F — (ОР)-пространства.
Проективное тензорное произведение Е ® F, так же как и его пополнение E®F, является (ОР)-пространством. (Использовать (9.8); см. упр. 24.)
Если пространство Е ядерно и полно, то £ есть (М)-пространство, а именно сильное сопряженное к (F)- и (М)-пространствам £т. (Заметьте, что пространство Е полурефлексивно, и докажите, что его сильное сопряженное Е^ = ЕХ является рефлексивным (Р)-пространством; для этого нужно заметить, что всякая сильно ограниченная последовательность в Е' равностепенно непрерывна, и использовать (Н.2). Выведите, что Ех есть (М)-пространство (использовать (III, 4.5)), и, таким образом, всякое сильно ограниченное множество сепарабельно, а следовательно, равностепенно непрерывно.)
Предположим, что ЛВП Е ядерно. Тогда сильное сопряженное к Е ® F можно отождествить с £р® F^ и второе сильное сопряженное — с Е" ® F". [Без ограничения общности можно считать, что Е полно н, значит, является (М)-про- странством (используйте (Ь) ); затем продолжите, как и во второй части доказательства (9.9). Второе утверждение получите, применяя (9.9) к Е, и F^. См. упр. 33, (Ь).]
(Доказательство (9.9), следствие 3.) Предположим, что Е и F сильные сопряженные к (Р)-пространствам и Е ядерно. Тогда 93 (£, F) = $(E, F). [Пользуясь тем, что Е борнологично, покажите, что непрерывное линейное отображение и пространства Е в (F", о (£", F') ) непрерывно в топологии о (F", £"').]
(Ядерные (F)- и (ОР)-пространства.) (а) Пусть Е является ^(-пространством, сильное сопряженное к которому ядерно. Тогда Е ядерно. [Обозначив через F произвольное (В)-пространство, установите последовательно:
Каноническое отображение 'Г: £®Е->93(£', Fa^ сюръективно. (Заметьте, что Е рефлексивно и что в силу (9.3) отображение ЕД -> Е ядерно для всякого замкнутого выпуклого закругленного ограниченного подмножества АсЕ. Рассмотрите элемент из S3 (f', F^ как слабо непрерывное линейное отображение F^ в £.)
Отображение Чг инъективно. (Любое и Е $ (Б, Fp) может быть равномерно на каждом компактном подмножестве пространства Е аппроксимировано отображениями конечного ранга; выведите отсюда, что Е' ® F' плотно в Я ГЕ, F) в ® X 51-топологии, где ® и 51 обозначают семейства относительно компактных подмножеств пространств Е и F соответственно. Так как каноническое вложение Е' ® F'->Я (Е, F) может рассматриваться как сопряженное к % то утверждение опирается па тот факт, что ® X 51-топология согласована с двойственностью (E®F, Я (Е, F)). Об этом см. у Гротендика [13], I, § 4, предложение 21.)
Из доказанной ранее теоремы Банаха (111,2.1) следует, что У — топологический изоморфизм на 93е (£', е'). Используйте (10.7), следствие 1.]
Если Е есть (Р)-пространство или полное (ОР)-пространство, то Е ядерно в том и только том случае, когда его сильное сопряженное ядерно. (Используйте (а), 9.7 и упр. 32, (Ь).)
Пусть £ —ядерное (ОР)-пространство и F —ядерное (Р)-пространство; тогда пространство S’» (£, F) и его сильное сопряженное ядерны, '
Если F ядерно, то его второе сопряженное р" (в естественной топологии) ядерно. Покажите, используя это, что в (9.7) предположение о полурефлексивности Е необязательно.
Мы будем пользоваться обозначениями из разд. 10. Пусть А — некоторое непустое множество индексов и Е — заданное ЛВП. Для того чтобы подмножество Р из /1 [А, Е]' (соответственно подмножество Q с Iх (А, ЕУ) было равностепенно непрерывно, необходимо и достаточно, чтобы объединение областей изменения всех х'е? (соответственно всех х' е Q) было равностепенно непрерывным (соответственно было предъядерпым подмножеством пространства Е'У
Обозначения те же, что и в разд. 10. (а) Пусть ЛВП Е таково, что всякая суммируемая последовательность в Е абсолютно суммируема. Тогда всякое ограниченное подмножество пространства Iх (N, £) ограниченно как подмножество Iх [N, £]. (Рассмотрите последовательность (х' j в Е', такую, что ^ | (х„, х„^ | < оо для всякого х = (хп) е У (N, ЕУ и покажите, что функция п
х -» 2 | ^п- хп) | ограниченна на всяком ограниченном подмножестве /* (N, £).
(См. Пич [5], стр. 54.)
Если Iх (N, £) квазибочечно (т. е. если пространство Е метризуемо) и каждая суммируемая последовательность в Е абсолютно суммируема, то каноническое отображение Iх [N, £] -> Iх (N, £) является топологическим изоморфизмом (следовательно, Е ядерно). (Используйте (а).)
Получите из (Ь) следующее усиление теоремы Дворецкого — Роджерса: Если Е— нормируемое пространство, в котором всякая суммируемая последовательность абсолютно суммируема, то Е конечномерно.
Пусть Е — монтелевское пространство Кд, где d имеет мощность континуума. Обозначим через В подмножество [0, l]d с £ и через Вй подмножество множества В, образованное теми элементами, которые имеют не более чем счетное множество отличных от нуля координат. Покажите, что В и Во являются (в топологии, индуцированной £) вполне регулярными топологическими пространствами, такими, что Во секвенциально компактно, но не компактно, и В компактно, но не секвенциально компактно. Более того, Во оказывается примером равномерного пространства, которое полуполно и предкомпактно, но не полно.
(Слабая счетная компактность). Пусть (£, Ж) —ЛВП.
Если на Е существует метризуемая локально выпуклая топология, которая слабее %, то всякое слабо счетно компактное подмножество ВсЕ слабо секвенциально компактно (Дьедонне — Шварц [1] ). Если (хД — последовательность в В, то ее замкнутая линейная оболочка М сепарабельна. Покажите, что сопряженное № слабо сепарабельно (см. (1.7)) и, значит, {хД содержит слабо сходящуюся подпоследовательность.
Предположим, что Е' есть объединение счетного числа слабо компактных подмножеств. Тогда для любого подмножества Л1 ст Е всякая точка нз слабого замыкания Л1 содержится в замыкании некоторого счетного подмножества Л1 (Капланский). (Используйте метод, аналогичный тому, который применялся во второй части доказательства (11.1), или см. Кёте [5], § 24.1.)
Выведите из (а) и (Ь) обобщения теоремы (11.2) па метризуемые ЛВП и на (ЕЕ)-пространства.
Две оставшиеся задачи включены для дальнейших ссылок, результаты (которые нам потребуются в упражнениях гл. V и отчасти в приложении) легко доказываются, если читатель хорошо знаком с разделами 1—3 этой главы и с основами теории функций комплексного переменного.
(Векторнозначные аналитические функции). Пусть G — непустое открытое Подмножество сферы Римана, н пусть £ — ЛВП над С. Функция /: G-> Е
называется голоморфной в ^ е G, если существует окрестность Z точки g0, такая, что для всякого х'е Е' комплексная функция ^->(,f(t,\ х'} дифференцируема во внутренности Zo множества Z и для всякого g е Zo линейная форма
о (Е', Е)-непрерывна. Единственный элемент х (g) е Е, представляющий эту линейную форму, называется производной f в £ и обычно обозначается через К (£). Пусть оо е G. Функция f называется голоморфной в оо, если g^/fg'1) голоморфна в оо. Функция [; GЕ, голоморфная в каждой точке g е G, называется локально голоморфной в G. (Заметим, что G не обязательно связно.)
Пусть д обозначает спрямляемую дугу в комплексной плоскости. Функция f; 6-* Е называется интегрируемой (по Риману) на 6, если для всякого х' е Е' функция g -> (f (5), х') интегрируема на 6 в смысле Римана — Коши и если линейная форма х' -> J (J ф, х') d^ непрерывна в топологии а (Е', Е). Един- fl
ственный элемент из Е, представляющий эту линейную форму, называется интегралом (Римана) f по д и обычно обозначается символом J ^^dt,.
6
В дальнейшем мы будем предполагать, что Е — ЛВП над С, такое, что замкнутая выпуклая оболочка всякого компактного подмножества Е компактна (что имеет место, в частности, когда Е квазиполно).
Всякая непрерывная функция /: д->£ интегрируема на 6. (Используйте тот факт, что замкнутая выпуклая закругленная оболочка f (6) компактна в Е.) Линейное отображение /-> J f(£)dt непрерывно на пространстве ^ (6), наде- 6
ленном топологией равномерной сходимости на Е.
Всякая локально голоморфная функция f: G-> Е непрерывна. (Рассмотрите различные частные ( в t:) е О.)
(Теорема Коши.) Пусть G открыто, и пусть 6 е G — положительно ориентированная, замкнутая спрямляемая жорданова кривая, внутренность которой Gy принадлежит G. Тогда J /(g)dg = O для всякой функции /, локально голоморф- v
ной в G. Выведите отсюда, что если £о е Gy, то (/ предполагается локально голоморфной в G)
НМ = 2^1 СТ^Y
Выведите из (с), что если / локально голоморфна в G и £0 е G, то
где an=(2nz)-1 J / (g) (£ — $0)~п-1 dt (« = 0, 1,...) (у обозначает окружность V
с центром в g0, внутренность которой находится в G), представляет собой разложение в ряд, справедливое в круговой окрестности g0. (В противоположность обычному случаю скаляры записываются справа от элементов £.) Ряд сходится во внутренности у относительно т (Е, £') н равномерно на компактных множествах. Более того, в качестве у может быть выбрана наибольшая кривая с цен*.
тром в Jo, к которой внутренность ) имеет голоморфное расширение /; в таком случае ряд сходится к / (J).
(Теорема Лиувилля). Всякая Е-значная функция /, голоморфная и равномерно ограниченная на открытой комплексной плоскости, есть константа (т. е. имеет область изменения, состоящую из единственного элемента в Ер
Определите для Е-значных функций понятия полюса и изолированной особой точки и обобщите классические результаты разложения в ряд Лорана.
(Локально выпуклые алгебры.) Пусть А — алгебра над К. (Напомним, что А может быть определена как векторное пространство Ао над К, для которого определено билинейное отображение Ао X Л0->Л0, называемое умножением и обычно обозначаемое так: (a, b) -> ab. Пространство Ло называют тогда основным векторным пространством А. Если алгебра имеет единицу, то она (единица) будет обозначаться через е; обратный элемент к a s А обозначается через а-1.)
Алгебра А над полем К (К = R или С) называется локально выпуклой алгеброй над К, если Ло есть ЛВП и если умножение раздельно непрерывно. Нормированной алгеброй над К называется такая алгебра А над К, что Ло — нормированное пространство с дополнительными требованиями: ||ab|| ^ ||а|| ||6|| для всех а, b е А и ||е|| = 1, если А имеет единицу е. Банахова алгебра — это нормированная алгебра, такая, что Ло — банахово пространство.
Пусть Е — локально выпуклая алгебра над С, © — тотальное семейство ограниченных подмножеств Е, инвариантное относительно каждого и s 3 (Е). Тогда (относительно композиции отображений) 3 (Е) образует локально выпуклую алгебру в ©-топологии. Если 83 означает семейство всех ограниченных подмножеств пространства Е, то умножение оказывается и право-, и лево-83-ги- понепрерывным в топологии ограниченной сходимости. Если Е бочечно, то умножение лево-33-гипонепрерывно в топологии простой сходимости. Если 3^ (Е) есть (Е)-пространство, то умножение непрерывно в силу (III, 5.!).
Пусть А —локально выпуклая алгебра над С с единицей е. Спектром, о (а) элемента а е А называется дополнение наибольшего открытого подмножества G римановой сферы, такого, что функция Л-> (Ла е)-1 существует и локально голоморфна в G. (Если Л -> R (Л) — (Ле — а)-1 голоморфно в окрестности оо, то определение Е (оо) = 0 превращает Е в функцию, голоморфную в оо.) Покажите, что для любого a s А а(а) =# 0 (используйте упражнение 39, (е)).
Пусть А — локально выпуклая алгебра над С с единицей е, и пусть а е А. Для того чтобы резольвента Л —>/? (Л) элемента а была голоморфной в ЛоеС, необходимо и достаточно, чтобы R (Л) существовала в некоторой окрестности U э Ло, такой, что для всякой последовательности {Лта} в U последовательность {/? (Лп)} ограниченна в А. (Используйте резольвентное уравнение Е (Л) — Е (ц) = = — (Л — ц) R ^ R (ц), которое всегда имеет место, если существуют Е (Л) и ^(ц).)
Пусть А — банахова алгебра над С с единицей е. Тогда для всякого а е А множество а (а) компактно в С. Пусть г (а) — радиус наименьшего круга в С с центром в 0, который содержит а (а). Тогда имеет место равенство г (а) = Пт || а" ||1|,п. (См., например, Хилле — Филлипс [1]; г (а) называется спек- п
тральным радиусом ае А, если А — локально выпуклая алгебра над С с единицей е.)
Г лава V
УПОРЯДОЧЕННЫЕ ПРОСТРАНСТВА
Данная глава посвящена систематическому изучению структур порядка в рамках теории топологических векторных пространств. Мы не даем описания обширной литературы по банаховым решеткам, обзор которой имеется, например, в книге Дэя [2], и не акцентируем внимания на упорядоченных нормированных пространствах. Наша цель состоит в развитии теории, соответствующей современной теории топологических векторных пространств, иными словами, теории, в которой центральную роль играет двойственность. Этот подход к упорядоченным топологическим векторным пространствам можно считать совсем новым, и поэтому он не может пока претендовать на законченность. Впрочем, можно надеяться, что читатель, который лишь бегло знаком с этими вопросами по литературе (см. Гордон [1], [2], Кист [1], Намиока [1], Шефер [1] —[5]), получит некоторое представление об имеющихся методах и результатах, к которым они приводят. Тот факт, что упорядоченные топологические векторные пространства часто используются в анализе, может служить достаточным основанием для их систематического изучения. К главе имеется добавление, иллюстрирующее возможные приложения в спектральной теории. Как и в предыдущей главе, дальнейшую информацию можно найти в упражнениях.
Разд. 1 посвящен чисто алгебраическим сведениям, необходимым для дальнейших занятий векторными решетками. Для простоты мы ограничиваемся упорядоченными векторными пространствами над полем R. В разд. 2 кратко обсуждаются изменения (в основном терминологические), которые необходимы при рассмотрении векторных пространств над полем С; по существу эта вызвано дальнейшими приложениями (в частности, к теории мерЦ и спектральной теории). Разд. 3 содержит основные результаты о двойственности выпуклых конусов. Вводится понятие нормаль^ ного конуса, вероятно наиболее важное понятие этой теории, И устанавливаются некоторые простейшие факты. Обсуждение проводится сразу в вещественном и комплексном случаях. Читатель,^ которому это покажется излишне сложным, может сначала предполагать, что все встречающиеся векторные пространства опреде^ лены над полем R. В разд. 4 вводятся упорядоченные топологи^
ческие векторные пространства и устанавливается два важных свойства нормальных конусов, одно из которых (теорема (4.3)) представляет собой абстрактный вариант классической теоремы Дини о монотонной сходимости. Здесь не обсуждается двойственность упорядоченных векторных пространств, так как это потребовало бы привлечения тех результатов разд. 3, которые могут быть опущены читателем.
Разд. 5 связан с индуцированной структурой порядка на пространствах линейных форм и отображений. Главными результатами здесь являются теорема (5.4) о продолжении непрерывных положительных линейных форм и теорема (5.5), устанавливающая непрерывность большого класса линейных форм и отображений. Порядковая топология (локально выпуклая топология, соотнесенная всякому упорядоченному векторному пространству над R) достаточно подробно обсуждается в разд. 6. Важность этой топологии объясняется, в частности, тем фактом, что именно она является топологией большинства упорядоченных ТВП, встречающихся в анализе. В разд. 7 речь идет о топологических (в частности, локально выпуклых) векторных решетках. Мы приведем результаты, касающиеся сильных сопряженных к локально выпуклым векторным решеткам, и охарактеризуем векторные решетки минимального типа в терминах канонического отображения. (Относительно непрерывности решеточных операций см. упр. 20.) Раздел завершается изучением слабых порядковых единиц.
Разд. 8 связан с векторной решеткой всех непрерывных вещественных функций на компактном пространстве и с абстрактными пространствами Лебега. Здесь дается теорема Стоуна — Вейер- штрасса как в теоретико-порядковой, так и в алгебраической формах. Затем обсуждается двойственность между (АМ)-простран- ствами с единицей и (АЬ)-пространствами, которая может служить примером, проясняющим двойственность топологических векторных решеток, обсуждавшуюся в разд. 7. (АЬ)-пространства представляются как полосы, характеризующиеся свойствами сходимости в пространствах радоновских мер на экстремально несвязных компактах. Устанавливается классическая теорема Какутани о представлении (АМ)-пространств с единицей и даются ее приложения к представлениям более общих классов локально выпуклых векторных решеток.
Упорядоченные векторные пространстванад полем вещественных чисел
На протяжении этого раздела мы будем рассматривать только векторные пространства над вещественным полем R.
Пусть L — векторное пространство над R, которое наделено структурой порядка R, определяемой как рефлексивное, транзитивное
и антисимметрическое бинарное отношение «О; L называется упорядоченным векторным пространством над R, если выполнены следующие аксиомы:
(ЛП)! если х ^у, то х + z^y + z для всех х, у, z е L\ (ЛП)2 если х ^у, то Хх ^ Ху для всех х, у е L и X > 0.
Свойство (ЛП)1 выражает инвариантность порядка на L относительно сдвигов, (ЛП)2 — инвариантность порядка относительно отображения гомотетии х-*Хх с вещественным ^>0. Примеры упорядоченных векторных пространств даны ниже; например, всякое векторное пространство вещественных функций / на некотором множестве Т естественно упорядочено отношением «f^g, если fM^gW Для всех tel»; таким способом можно получить большое число упорядоченных векторных пространств из примеров, данных в гл. II, разд. 2, и гл. III, разд. 8, рассматривая только вещественные функции и полагая К = R. Из приведенных выше аксиом непосредственно следует, что в упорядоченном векторном пространстве L подмножество С = [х: х^О} образует выпуклый конус с вершиной в 0, удовлетворяющий условию СП(— С) = {0}; конус с такими свойствами называется собственным конусом в L. Элементы х = С называются положительными, и С называется положительным конусом упорядоченного векторного пространства L.
Два упорядоченных векторных пространства Lx и L2 изоморфны, если существует линейное взаимно однозначное отображение и: Lx ——> L2, такое, что х^ув том и только том случае, когда «(x)^zz(z/) (или, эквивалентно, и отображает положительный конус пространства Lx на положительный конус в L2).
Если L — произвольное векторное пространство над R, то собственный конус HcL характеризуется следующими свойствами:
H-VHccH,
ХН а Н для всех Л>0,
нм- Н) = ^.
Нетрудно проверить, что всякий собственный конус HcL определяет порядок на L: «хМ1Х если у — хеН», при котором L является упорядоченным векторным пространством с положительным конусом Н. Следовательно, для всякого векторного пространства L существует взаимно однозначное соответствие между се-; мейством всех собственных конусов в L и семейством всех порядков, удовлетворяющих условиям (ЛП), и (ЛП)2. Если Rx и R2 — два таких порядка на L с соответствующими положительными, конусами Сх и С2, то отношение «Rx слабее R2» эквивалентно включению Сх cl С2; в частности, если [Да: а е А} — семейство таких порядков на L с соответствующими положительными конусами С№ то слабейший порядок R, который слабее всех Да(аеА), опре*
деляется собственным конусом C = QCa (упр. 2). Конус Н cl L, a
удовлетворяющий условиям 1) и 2), называется порождающим, если L = Н — Н.
Пусть L — упорядоченное векторное пространство. Порядок на L называется архимедовым (или L — архимедово упорядоченным'), если условие «пх^у при всех «eN и при заданном у е L» влечет за собой х^О (другими словами, если х^О всегда, когда множество {пх: п е N} ограничено (мажорируемо)). Например, если L — ТВП и упорядоченное векторное пространство, положительный конус которого замкнут, то L — архимедово упорядочено; с другой стороны, Ro не является архимедово упорядоченным при л>2 в его лексикографическом порядке (см. ниже). Порядковый интервал в L — это подмножество вида (ze/.: х^г^у), где х и у заданы; это множество удобно обозначать через [х, у\ (опасность спутать это с обозначением внутреннего произведения в предгильбертовых пространствах (гл. III, разд. 2, пример 5) невелика, если мы не будем использовать этот символ в различных смыслах в одном и том же контексте). Подмножество Асе L порядково ограничено, если А содержится в некотором порядковом интервале. Всякий порядковый интервал является выпуклым, а всякий порядковый интервал вида [— х, х] — закругленным. Элемент ecL, для которого интервал [— е, е] радиальный, называется порядковой единицей в L. Множество Lb всех линейных форм на L, ограниченных на каждом порядковом интервале, является подпространством в L*, называемым порядково ограниченным сопряженным к L.
Пусть L — упорядоченное векторное пространство над R и М — некоторое подпространство в L. Если С — положительный конус в L, то индуцированный порядок на М определяется собственным конусом СЛМ; порядок на L/М определяется каноническим образом С конуса С в LjM при условии, что С — собственный конус. (Простые примеры с L = Ro показывают, что это не всегда так.) Если {Ла: ае А}- семейство упорядоченных векторных пространств с соответствующими положительными конусами Са, то С = П Са а является собственным конусом в L = Д La, который определяет по- а
рядок на L. Так определенные порядки называются каноническими порядками на М, LjM (при условии, что С —собственный конус) И Д La. В частности, алгебраическая прямая сумма фАа кано- aa
нически упорядочена как подпространство в Д La, и если Т — не- a
которое множество, то LT канонически упорядочено собственным конусом {): f(/)eC для всех t е Г).
Пусть L — упорядоченное векторное пространство, которое является алгебраической прямой суммой подпространств Mt (z = l, ..., п\, если канонический изоморфизм L на П ^z является порядковым изоморфизмом (при каноническом упорядочении Л Л1^ , то говорят, что L — упорядоченная прямая сумма подпространств М^
Если Lj ф {0}, В2 N= {0} — упорядоченные векторные пространства с соответствующими положительными конусами С] и С2, то подмножество С = (и: и (С]) а С2} образует собственный конус в пространстве L(Bh Л2) линейных отображений L, в L2 в том и только том случае, когда Cf — порождающий конус в Lp, если М — подпространство в L(L1,L2), такое, что С f| М — собственный конус, то порядок, определяемый конусом С П М, называется каноническим порядком на М. Следующий частный случай особенно важен: линейная форма f на упорядоченном векторном пространстве над R называется положительной, если из х^О следует f(x)^O; множество С* всех положительных линейных форм на L образует конус, являющийся полярой множества —С относительно двойственности (Л, Л*). Подпространство L* = C* — C‘ пространства L* называется порядково сопряженным к L; ясно, что I?cLb. Существуют упорядоченные векторы пространства L, для которых L+ #= Lb (см. Намиока [1], 6.10).
Для того чтобы успешно пользоваться двойственностью при изучении упорядоченных векторных пространств L, требуется достаточно много положительных линейных форм на L (они должны разделять точки); будем говорить, что L регулярно упорядочено (или, что порядок на L регулярен), если L архимедово упорядочено и L+ разделяет точки в L (см. 4.1 ниже). Как и выше, под каноническим порядком на подпространстве М cl L* будет подразумеваться порядок, определяемый конусом М f) С*, если он является собственным конусом в М.
Отметим некоторые простые следствия аксиомы (ЛП)^ L — упорядоченное векторное пространство. Равенство
z + sup (х, у) = sup (г + х, г + у) (1) справедливо для заданных х, у е L и всех г е L, если зир(г0 + х, г0 + У) существует для некоторого г0 cl L. Если А и В — непустые подмножества в L, для которых существуют sup Л и sup В, то существует sup (Л + В) и
sup (Л + В) = sup А + sup В. (1')
Кроме того, из (ЛП)! следует, что
sup (х, у) = - inf (- х, - у), (2)
если существует хотя бы один из элементов sup(x, у) или inf (— х, — у). Вообще
sup Л = — inf (—Л), (2') если существует sup Л или inf(— Л).
Векторная решетка определяется как упорядоченное векторное пространство Е над R, такое, что для каждой пары (х, у) е Е X Е существуют sup(x, у) и inf (х, у). Отсюда следует, в частности, что Е является направленным при отношении порядка ^ (или, что то же самое, положительный конус С в Е является порождающим).
Для каждого хе£ определим абсолютную величину |х| равенством | х | = sup (х, — х); два элемента х, у векторной решетки Е дизъюнктны, если inf (| х |, | у |) = 0; два подмножества A cl Е и ВсЕ решеточно дизъюнктны (или просто дизъюнктны, если нет опасности спутать с чем-либо другим), если inf (| х |, | у |) = 0 для всякой пары х е Л, усВ. Если х и у дизъюнктны, мы пишем х У у. Если Л —некоторое подмножество в Е, то символом Л1 обозначается множество всех у е Е, дизъюнктных с каждым элементом А. Перечислим следующие простые, но важные факты о векторных решетках.
(3)(3)Пусть Е —векторная решетка. Тогда х + у = sup (х, у) + inf (х, у)
(3)
(3)
тождественно на Е X Е. Вводя для всех х g Е обозначения х+ = = sup (х, 0) и х- = sup ( — х, 0), мы имеем х = х+—х~ и |х| = х+ + х_; х = х+ — х~ есть единственное представление х в виде разности неотрицательных дизъюнктных элементов. Кроме того, имеем
|x + y|<|x| + |yl,|x + y|<|x| + |yl,(4)(5)(6)(4)(5)(6)] Zx | = | Z || х |,
|x + y|<|x| + |yl,
|x + y|<|x| + |yl,
(4)
(5)
(6)
(4)
(5)
(6)
\х+-у+ К1*-у1
для всех х, у cl Е и X е R. Наконец,
[0, х] + [0, у\ = [0, х + у\(D)
для всех х > 0 и у ^ 0.
Доказательство. Чтобы доказать (3), рассмотрим более общее тождество
а — inf (х, у) + b = sup (а — х + Ь, а — у + Ь), (3')
где а, Ь, х, у — произвольные элементы из Е. В силу (2) мы имеем — inf (х, у) = sup(—х, —у), так что (3') следует из (1); из (3') мы получаем (3), подставив а = х, Ь = у. Полагая в (3)
у = О, мы получим х = х+ — х~, и так как inf (х+, х~) = х~ + + inf (х, 0) = х_ — sup (— х, 0) = 0, то элементы х+ и х~ дизъюнктны. Далее, с помощью (1) получаем, что х+ + х~ = х + sup (— 2х, 0) = = sup( —х, х) = | х |. Пусть х = у — z, где у^О, г ^ 0 дизъюнктны. Покажем, что у = х+, z = x~. Заметим, во-первых, что из x = y — z следует у^х, значит, у^х*, и поэтому z^ х"". Отсюда следует дизъюнктность {у — х+) ± (г — х“), что ввиду у — х+= z — х- ведет к у =--х+, г = х~, так как, очевидно, 0 является единственным элементом из Е, дизъюнктным с самим собой.
При к^О из (ЛП)2 мы получаем (Zx)+ = Zx+ и (кх)~ = кх~\ при Z<0 имеем (Zx)+ = ( — к(— х))+ = | к |х~ и (кх)- = | к |х+. Тем самым доказано (4). Для доказательства (5) заметим, что ± х ^ | х |, ± у CI У I, откуда следует | х + у | = sup (х + у, — х — у) ^ ^ | х | + | у |. Чтобы доказать (6), мы из х = у + (х — у) заключаем, что х ^ у+ + | х — у |; так как выражение справа неотрицательно, то х+ ^ у+ + | х — у |, и поэтому х+ — у+ ^ | х — у |. Перестановка х и у дает у+ — х+ ^ | х — у |. Отсюда следует (6).
Наконец, очевидно, что [0, х] + [0, //] с [0, х + у\, если только х^0 и z/^О. Пусть ге|0, х + у]. Определим м и и, полагая и = inf (г, х) и u = z — u. Осталось показать, что и е [0, у\. Но и = г — inf (г, х) = г + sup (— г, — х) =
sup (0, г — х) ^ sup (0, х + у — х) = у,
что и завершает доказательство утверждения (1.1).
Следствие 1. В любой векторной решетке Е отношение х^у имеет место тогда и только тогда, когда х+ ^ у+ и у- ^ х-. Отношение х 1 у эквивалентно равенству sup (| х |, | у |) = | х | +1 у |. Кроме того, если х ± у, то (х + у)+ = х+ + у* и |x + z/| = |x| + |y|.
Доказательство. Очевидно, если x+^z/+ и у~^х~, то х = х+ — х” ^ у+ — у- = у. Обратно, из отношения х ^ у вытекает, что x+<z/+ и inf (х, 0) ^ inf (у, 0); следовательно, — х~^ — у~, или, что то же самое, у-^х~. Второе утверждение является непосредственным следствием (3), если заменить х и у на | х | и | у | соответственно. Наконец, х + у = (х+ + z/+) — (х- + у~\ и равенство inf (| х|, | у |) = 0 означает, что слагаемые в правой части дизъюнктны. Значит, (х + yV = х+ + у+ в силу единственности представления х + у как разности дизъюнктных неотрицательных элементов. Последнее утверждение получается теперь непосредственно.
Следствие 2. Пусть Е — векторная решетка и А с Е — подмножество, для которого существует sup.4 = x0. Тогда если подмножество В с Е решеточно дизъюнктно с А, то В решеточно дизъюнктно и с {х0}.
Доказательство. Нам нужно показать, что если zeB, то zlx6. Для всех хе А имеем х~^х_^|х|; следовательно, z -L х~, если zeB. Достаточно, таким образом, показать, что z 1 х+. В силу следствия 1 мы имеем зир(|г|, х+) = [ z 1 + х+ для всех хе А согласно исходному предположению и х+ = sup {х+: хе А}; из (Г) следует, что sup {| z | + х+: х е А} = | z | + х+. Таким образом, мы получаем
sup z |, х+) = sup sup (| z I, x+) = sup (| z | + x+) = I г | + x+ ' x^AxeA
Это показывает, что | г | ± x+ (следствие 1).
Следующее замечание нередко упрощает доказательство того, что заданное векторное пространство представляет собой векторную решетку.
Пусть Е — упорядоченное векторное пространство над R, положительный конус которого С порождающий. Тогда если для всякой пары (х, у) еС X С существует хотя бы одна из величин inf (х, у) или sup(x, у), то Е — векторная решетка.
Детальная проверка представляется читателю. Нужно показать, что если существует sup (х, у) (х, у е С), то z = х + у — sup (х, у) представляет собой inf(x, у), и обратно. Если же х и у —произвольные элементы из Е, то найдется z е С, такое, что x + zeC и у+ zeC, и тогда существование sup(x, у) и inf (х, у) доказывается с помощью (1).
Пусть ^Е„; a s А} — семейство векторных решеток. Легко убедиться в том, что И Еа и ®Еа суть векторные решетки в их аа
каноническом упорядочении. Векторной подрешеткой векторной решетки Е называется векторное подпространство М с Е, такое, что если хеМ и у е М, то и sup(x, у) е М, где верхняя грань берется в Е; отсюда следует, что М является векторной решеткой при каноническом упорядочении. Однако может случиться, что подпространство МсЕ есть векторная решетка при каноническом упорядочении, не являющаяся подрешеткой в Е (упр. 14).
Подмножество А векторной решетки Е называется телесным, если из хе А и |у|^|х| (у е Е) следует, что у е А. Легко видеть, что телесное подпространство пространства Е обязательно является подрешеткой. Например, алгебраическая прямая сумма ^Еа семейства (Да: а е А} векторных решеток является телесным подпространством в Ц Еа (при каноническом упорядочении проа
изведения). Точно так же легко видеть, что если М — телесное подпространство в Е, то Е}М — векторная подрешетка при каноническом упорядочении (см. примеры ниже).
Подмножество Л векторной решетки Е называется порядково полным, если для всякого непустого порядково ограниченного подмножества В с Л существуют sup В и inf В, являющиеся элементами Л; пространство Е порядково полно, если оно порядково полно как подмножество самого себя.
Пусть Е — порядково полная векторная решетка. Подпространство М cz Е называется полосой в Е, если оно телесно и если для всякого А с М верхняя грань sup Л = хе£ также принадлежит М. Само Е является полосой, и, очевидно, пересечение любого семейства полос в Е также будет полосой; следовательно, для всякого подмножества А в Е найдется наименьшая полоса ВА, содержащая А; она называется полосой, порожденной А (в Е).
Примеры 1. Пусть /’ — некоторое множество. Рассмотрим векторное пространство Rg всех вещественных функций на Г в его каноническом упорядочении (Ro упорядочено обычным способом). Очевидно, Rg представляет собой порядково полную векторную решетку. Пусть А — некоторое подмножество в Rg. Обозначим через Т Д подмножество множества Т, образованное теми tel, для которых найдется f е А, такое, что f (1)^=0. Тогда полоса, порожденная А, является подпространством Вд = (f: f (t) — 0 при / ^ Тду, факторпространство Нд]вд в его каноническом упорядочении является векторной решеткой, которая изоморфна Rg ^ТХ Канонический порядок на Rg регулярен (в частности, архимедов). Порядково сопряженное и порядково ограниченное сопряженное совпадают с (упорядоченной) прямой суммой card Т экземпляров Ro (гл. IV, разд. 1, пример 4).
Пусть р — некоторое порядковое число > 0 и Rg — векторное пространство всех вещественных функций, определенных на множестве всех порядковых чисел а < р. Рассмотрим подмножество Н с R^, элементы которого обладают тем свойством, что если существует наименьшее порядковое число а < Р, такое, что /(а) ^0, то )(а)>0. Легко видеть, что // — собственный конус в R^; порядок, определяемый Н, называется лексикографическим порядком на Rg. Лексикографический порядок на Rg не архимедов (и, следовательно, нерегулярен) при р> 1. Действительно, множество всех функций f, таких, что ) (0) = 0, мажорируется любой функцией f, для которой ) (0) > 0. Несмотря на это, лексикографический порядок Rg совершенен, так как R^ = HU — Н. Таким образом, Rg при таком упорядочении будет векторной решеткой, которая, однако, не является порядково полной при р>0. Кроме того (с точностью до положительных скалярных множителей), / —> f (0) является единственной нетривиальной положительной линейной формой, и, следовательно, порядково сопряженное и порядково ограниченное сопряженное (см. 1.4 ниже) имеют размерность 1.
Пусть (X, 2, ц) — некоторое пространство с мерой (гл. II, разд. 2, при* мер 2). Относительно порядка, индуцированного каноническим порядком на Rgj (пример 1 выше), пространства $р (ц) (1^р^ + оо) являются векторными решетками (возьмите поле скаляров К. = R), которые счетно порядково полны (т. е. каждое счетное мажорируемое семейство имеет верхнюю грань), но, вообще говоря, не будут порядково полными (упр. 13). Подпространство p-нуль функт ций Л^ есть телесное подпространство, но, вообще говоря, не является полосой
и $р (ц); факторпространства Lp (ц) = $р (ц)/ЛД суть порядково полные векторные решетки в соответствующем каноническом упорядочении (1 ^ р < + оо).
Если Е — любая порядково полная векторная решетка и Л — некоторое подмножество в Е, то Л " —полоса в Е; это ясно в силу следствия 2 из (1.1). Относительно полос ВА и А^ справедлива следующая важная теорема (Ф. Рисе [1]).
Теорема. Пусть Е —порядково полная векторная решетка. Тогда для всякого подмножества АсЕ решетка Е является упорядоченной прямой суммой полосы ВА, порожденной А, и полосы А*, образованной элементами, дизъюнктными с А.
Доказательство. Так как Л1^ — полоса, содержащая А, то ВД с Л11 и Вд П Л1 = {0}. Пусть задано х ^ 0, х е Е; покажем, что х = xt + х2, где Х[ е ВА, х2 G Л^ и хх ^ 0, х2 ^ 0. Определим хь полагая Xj = sup [0, х] О ВА, и х2, полагая x2 — x — xf, ясно, что хь х2 положительны и что Х] G ВА, так как ВА — полоса в Е. Покажем, что х2еВ^. Для всякого угВА пусть z = inf(x2, | у |); тогда O^zg ВА, так как ВА телесно, и z + Xj ^х2 + х, = х. Отсюда, согласно определению Xj и в силу того, что z + х. g Ва, следует, что z + Xj^Xj и, значит, z = 0. Таким образом, х2 G В^ II тем более х2еА^. Так как положительный конус в Е является порождающим, то отсюда следует, что Е = ВА + Л1 есть упорядоченная прямая сумма подпространств ВА и А Ч Из соотношений а^0 и х = X] + х2, Xj е ВА, х2 g А1 вытекает, что xt ^ 0 и х2 ^ 0.
Следствие 1. Пусть А — произвольное подмножество в Е. Тогда полоса ВА, порожденная А, совпадает с полосой А1 1.
Доказательство. Применяя (1.3) к подмножеству А1 в Е, мы получаем Д = Л11 + Л1. Отсюда следует, что Ва = А11, поскольку Е = Вд + А± и ВдсА11.
Следствие 2. Если х, у — дизъюнктные элементы из Е и Вх, Вн — полосы, порожденные {х} и {у} соответственно, то Вх дизъюнктно с By.
Действительно, мы имеем у G {х}1 и xGiy)1,
Общий пример порядково полной векторной решетки дает порядково сопряженное Е+ к любой векторной решетке Е. Однако Е- может быть конечномерно (пример 2 выше) или сводиться к {0} (упр. 14), даже если Е бесконечной размерности.
Мы докажем этот результат в следующей более общей форме, которая показывает, что это существенно зависит от свойства (D) из (1.1) (упр. 16).
Пусть Е — упорядоченное векторное пространство над R, положительный конус которого С является порождающим и удовлетворяет свойству (D) из (1.1). Тогда его порядково ограниченное сопряженное Еь • представляет собой порядково полную векторную решетку в своем каноническом упорядочении. В частности, Еь = Е+.
Доказательство. Во-первых, покажем, что для каждого f ^ Еь существует sup(/, 0). Тогда из (1) будет следовать, что sup (f, g) = g + sup (f — g, 0) существует для каждой пары (f, g) г e Eb + Eb, t. e. Eb — векторная решетка в силу (1.2). Отсюда, очевидно, вытекает, что Еь = Е+.
Пусть задано f е Еь. Определим отображение г конуса С в множество неотрицательных вещественных чисел, полагая
г(х) = sup(f(y): уе[0, х]} (хе С).
Так как /(0) = 0, отсюда следует, что г(х)^0 и, очевидно, г (Хх) = Хг (х) для всех Х^О. Кроме того, в силу (1') и (D) имеем
г (х + z/) = sup {f (г): 2Е[0, х] + [0, z/]} = г (х) + г (у).
Следовательно, отображение г положительно однородно и аддитивно на С. В силу предположения каждое zeE представимо в виде z = х — у для подходящих х и у из С, и легко видеть, что число г (х) — г (у) не зависит от этого представления. Короткое вычисление показывает далее, что г—> w (г) = г (х) — г (у) является линейной формой w на Е, содержащейся, очевидно, в Еь. (Действительно, щ(х) = г(х) для хеС.) Покажем, что w = sup(/, 0).
В самом деле, w (х) ^ sup ^ (х), 0) для всех хеС, и если h ^ 0 — линейная форма на Е, такая, что из х е С следует неравенство h (х) ^ f (х), то h (х) ^ h (z/) ^ f (z/) для всех у г [0, х], откуда видно, что h (х) ^ г (х) = w (х) для всякого х е С.
Осталось доказать, что Еь = Е+ порядково полно; для этого достаточно показать, что всякое непустое мажорируемое множество А положительных линейных форм на Е имеет верхнюю грань. Без ограничения общности можно предполагать, что А направлено относительно ^ (его можно упорядочить, рассмотрев, если, необходимо, множество верхних граней произвольных непустых конечных подмножеств в Д). Определим отображение s: C-*R> полагая
s(x) = sup(f(x): / е Д} (хеС).
Верхняя грань конечна для всех хеС, так как А мажорируемо. Ясно, что s (Zx) = Ks (х) для всех Z^O, и так как А направлено, s (х + у) = s (х) + s (у). Следовательно, как и раньше, s определяет линейную форму /0 на Е, если положить /0 (г) = s (х) — s (у), где z = x — y и х, у е С. Очевидно, fQeEb (так как fo^O) и f0 = supA "
Следствие. Порядково сопряженное к любой векторной решетке представляет собой полную векторную решетку в своем каноническом упорядочении.
Из построения f+ = sup (f, 0) в доказательстве утверждения (1.4) можно получить следующие полезные соотношения, которые проверяются простым вычислением.
Пусть Е —векторная решетка и f, g—порядково ограниченные линейные формы на Е. Для каждого хеЕ мы имеем
sup(/, y)(H) = sup{f(y) + y(z): у>0, z^O, у + г = | х |), (7) inf(/, g)(|x|) = inf{f(y) + g(z): у>0, z>0, у + г = |х|},
|f|(|x|) = sup {/(у — z): у^О, г>0, у + г = И), 1И*)К1ШИ)- (8)
В частности, две линейные формы f^O и у ^ 0 дизъюнктны тогда и только тогда, когда для всякого х^ 0 и для всякого вещественного е>0 существует разложение х = Xi + х2, где Х!^0, х2 ^ 0, такое, что f (xj + g (х2) ^ е.
Следствие. Пусть Е — векторная решетка и (Е, G}—дуальная пара, такая, что G—подрешетка в Е+. Тогда поляра А° cz G любого телесного подмножества А с Е есть телесное подмножество в G.
Доказательство. Действительно, если xgA, y^Q, z^O и у + г = |х|, то у — z е А, так как — |х| ^у — z ^|х |. Следовательно, если )е Л" и \g|^|/|, то из (8) следует, что
1у(х)№у|(|х|)^1Л(И)<1.
Отсюда видно, что g е А°. .
Пусть Е — упорядоченное векторное пространство над R, такое, что порядковое сопряженное Е+ само есть упорядоченное векторное пространство (или, что то же самое, пусть С* — собственный конус в Е", где С — положительный конус в ЕУ Тогда пространство (Е+^ называется вторым порядково сопряженным к Е и обозначается Е++.
При допущениях (1.4) (в частности, если Е — векторная решетка) Е*^ является векторной решеткой и каноническое отображение
Е в Е++, определяемое как х->х (где x^ = HxY t ^ Е*\ очевидно, сохраняет порядок.
Предположим, что Е — векторная решетка. Покажем, что если Е регулярно упорядочено (или, что то же самое, если х—»х взаимно однозначно), то х—>х есть изоморфизм на некоторую подрешетку в Е++. Для дальнейшего использования мы докажем этот результат в несколько более общей форме.
Пусть Е — векторная решетка и G —телесное подпространство в Е+, разделяющее точки на Е. Тогда каноническое отображение х ~> х, определяемое формулой x(f) = fto (f е G), есть изоморфизм Е на некоторую подрешетку из G*.
Доказательство. Мы должны показать, что для каждого хеЕ элемент x+ = sup(0, х) (sup берется в G+) является каноническим образом элемента х*гЕ. Обозначим через Р подмножество U {р [0, х+]: р^О} пространства Е и определим для всякого f^O из G отображение tf положительного конуса С из Е в R, полагая
t$<y) = sup У <z\. ze[0, у] Л Л (уеС).
Как и при доказательстве (1.4), отсюда следует, что отображение t{ аддитивно и положительно однородно и, значит, определяет единственную линейную форму gfE=C*. Ясно, что g/^f и, следовательно, gf е G, так как G телесно, и что gf(x~) = 0, поскольку [0, х_]ЛР = {0}. Значит, gf to = gfUto и мы получаем х* (f) = sup {g (Д: 0 < g ^ Д > gf to = §t (я+) = f Сг+) для всех f GC* П G. Отсюда следует, что х+^ДлД)'. Так как ясно, что (х+)~^х+ в G+, утверждение доказано.
Отметим, что канонический образ Е в G+ не является, вообще говоря, порядково полной подрешеткой в G+, даже если Е поряд- ково полно (см. пример, следующий за (7.4)). В частности (возьмем G = Е+), регулярно упорядоченная порядково полная векторная решетка Е при каноническом отображении не обязательно отображается на полосу в Е++. В случае когда Е — порядково полная регулярно упорядоченная векторная решетка и канонический образ Е в Е++ порядково полон, Е будет называться минимальной (или минимального типа).
Пусть Е, У7 —векторные решетки. Линейное отображение и решетки Е на F называется решеточным гомоморфизмом, если и сохраняет решеточные операции. В силу линейности Ь, инвариант-
пости порядка относительно сдвигов и равенства (3) это условие на и эквивалентно каждому из следующих условий:
(х, у^Еу(х, у^Еу(х е Еу(х е Еу(х, у^Еу(х, у^Еу(х е Еу(х е Еуzz(sup(x, g)) = sup (и (х), zz(z/))
(х, у^Еу
(х, у^Еу
(х е Еу
(х е Еу
(х, у^Еу
(х, у^Еу
(х е Еу
(х е Еу
и (inf (х, уУ = inf (и (х), и (z/))
и (|х|) = sup (и (х+), и (х-))
inf (и (х+), и (х")) = О
Если, кроме того, и взаимно однозначно, то и называется решеточным изоморфизмом Е на F.
Нетрудно показать, что линейное отображение и: Е -> F является решеточным гомоморфизмом в том и только том случае, когда zf"1 (0) — телесная подрешетка в Е и и(С1) = С2, где Ch С2 —положительные конусы соответственно в Е и F. В частности, если N — телесная векторная подрешетка в Е, то EJN оказывается векторной решеткой в своем каноническом упорядочении и каноническое отображение ф является решеточным гомоморфизмом Е на E/N (упр. 12).
Линейные формы на векторной решетке Е, которые являются решеточными гомоморфизмами на R, имеют интересную геометрическую характеризацию. Напомним (гл. II, упр. 30), что {Хх: Л, ^ 0}, 0 =у= х е С, называется экстремальным лучом конуса С, если отношения х-уеС, угС влекут за собой равенство у = рх для некоторого р (O^p^l).
Пусть Е — векторная решетка и f ф 0 есть линейная форма на Е. Тогда следующие утверждения эквивалентны-.
/ — решеточный гомоморфизм Е на R;
inf (f (х+), f (х~)) = 0 для всех хеЕ;
f порождает экстремальный луч конуса С* в Е*;
/^0 и f”1 (0) — телесная гиперплоскость в Е.
Доказательство. Эквивалентность (а) О (Ь) очевидна благодаря предыдущим замечаниям. Далее, (Ь)гф(б); в самом деле, если inf (Дх+), f (хД) = 0 для всякого х g Е, то f Д 0, и f (х) = 0 влечет за собой /(|х|) = 0. Следовательно, |у|^|х| и из f(x) = 0 вытекает, что |f (z/)| Д f (| yV) Д f (|х |) = 0. Докажем, что (б)=ф(с). Возьмем такое gEC, что f — geC, или, что то же самое, O^g^f. Тогда, так как /-1(0) телесно, из f (х) = 0 следует, что I g (x)|^f g(|x|) ^/ЧЫ) = 0 и, значит, f"1 (0)с ^-1 (0). Поэтому (так как f-1 (0) — гиперплоскость) либо g = 0, либо Д1 (0) = g~'(0); в любом случае g = pf при некотором р, O^p^l. Наконец, (с)=^(Ь). В самом деле, пусть f порождает экстремальный луч в С*, задано х е Е, и /(х+)>0. Пусть С= U {р [0, х+]: а ДО). Определим h г Е*, полагая h (у) = sup {) (у): г е [0, у\ П Е} при у ДО (см. доказательство (1.6)). Тогда 0^А^/ и, следовательно, h = pt в силу
предположения, сделанного относительно f. Так как h (x+) = f(x+) > 0, мы должны иметь р = 1. Следовательно, h = f, и так как, очевидно, h^x-^ — 0, то и f(x~) = 0, что и завершает доказательство.
Упорядоченные векторные пространстванад полем комплексных чисел
Часто бывает удобно (например, в спектральной теории и в теории меры) иметь понятие упорядоченного векторного пространства над полем комплексных чисел С. Цель этого раздела — договориться об определенной терминологии. Будем по определению считать векторное пространство L над С упорядоченным, если соответствующее ему вещественное пространство Lo (гл. I, разд. 7) является упорядоченным векторным пространством над R. Таким образом, по определению порядковые свойства L — это порядковые свойства £0. Полезность этого (совершенно тривиального) определения заключается в том, что при этом отпадает необходимость каждый раз упоминать о переходе к £0.
Канонические упорядочения произведений, подпространств, прямых сумм, факторпространств, пространств функций и пространств линейных отображений определяются с ссылкой на соответствующее вещественное пространство, и только термин «положительная линейная форма на £» требует специального уточнения, когда L — упорядоченное векторное пространство над С. Будем говорить, что форма f е L* положительна, если Ref^^O, когда х^О в £. Это определение гарантирует, что пространство L* становится упорядоченным, как только введен канонический порядок в (£*0)*> и что канонический изоморфизм из (I, 7.2) является порядковым изоморфизмом (причем соответствующее утверждение справедливо и для подпространств в £*)• Порядково ограниченное сопряженное Lb к упорядоченному векторному пространству L над С определяется тогда как подпространство в £*, состоящее в точности из линейных форм, ограниченных на каждом порядковом интервале в L. Порядково сопряженное £+ —это (комплексное) подпространство в L*, которое является линейной оболочкой конуса С* положительных линейных форм. В соответствии с определением, данным выше, порядок на L называется регулярным, если £0 регулярно упорядочено. Отметим, что это не следует из того факта, что С* разделяет точки на L, и что, вообще говоря, (£+)о не может быть отождествлено с (£0)+ в силу (I, 7.2) (упр. 4).
Термин «векторная решетка» не будет распространен на комплексные пространства, однако мы будем говорить, что упорядоченное векторное пространство £ над С с положительным конусом С решеточно упорядочено, если вещественное подпространство
С — С в L представляет собой векторную решетку. Так, например, комплексификация (гл. I, разд. 7) векторной решетки L является решеточно упорядоченным векторным пространством Lx над С.
Двойственность выпуклых конусов
Пусть L — векторное пространство (над R или С). Под конусом в L мы будем в дальнейшем понимать выпуклый конус С с вершиной в 0, такой, что ОеС. Пусть С — фиксированный конус в L. Для всякой пары (x,z/)gZ,XB мы будем писать [х, у] = (х + С) П (у—С). Это обозначение согласовано с обозначением, введенным для порядковых интервалов в разд. 1; если С — положительный конус, упорядочивающий L, то (х + С) П {у — С) — это порядковый интервал {г: х^г^у}. Для всякого подмножества А с L положим по определению
[Л] = (Л + С) П (Л — С) = (J {[х, у\; х g= А, у г Л}.
Подмножество BaL называется С-насыщенным, если В = [В]. Непосредственно видно, что для всякого Л с/, множество [Л] является пересечением всех С-насыщенных подмножеств, содержащих А; оно называется поэтому С-насыщенной оболочкой множества А.
Легко также убедиться в том, что: I) вложение Л —*• [Л] монотонно: из Лев следует [Л] с [В]; 2) множество [Л] выпукло, если выпукло А; 3) [Л] закруглено относительно R, если А закруглено относительно R.
Наконец, заметим, что если 5 ~ фильтр (более общо, базис фильтра) в L, то семейство {[В]: fe^j образует базис фильтра в L. Соответствующий фильтр будет обозначаться через [§].
Предположим теперь, что L есть ТВП. Конус С в L называется нормальным, если 11 = [11], где 11 — фильтр окрестностей нуля. Другими словами, С —нормальный конус в ТВП L в том и только том случае, когда существует базис С-насыщенных окрестностей нуля (или, что то же самое, в том и только том случае, когда семейство всех С-насыщенных окрестностей нуля является базисом в нуле). Полезно иметь несколько различных характеризаций нормальных конусов.
Пусть L — ТВП над К и С — конус в L. Тогда следующие утверждения эквивалентны;
С —нормальный конус,
для всякого фильтра 6 в L равенство lim ^ = О влечет за собой равенство lim[8] = 0;
в L существует базис окрестностей нуля 58, такой, что V еУ влечет за собой включение [V (]C]aV.
Если К = R и топология пространства L локально выпукла, то (а) эквивалентно каждому из следующих условий1.
существует базис окрестностей нуля, состоящий из выпуклых закругленных С-насыщенных множеств;
существует порождающее семейство 9 преднорм на L, такое, что р (х) р (л + у), когда хеС, у^С и р^^.
Доказательство. Обозначим через П фильтр окрестностей нуля в L. Имеем (а)=ф(Ь): Если ^ —фильтр в L, который содержит U, то $] содержит [П], так что утверждение следует из равенства II = [И]. Далее, (Ь)=ф(с): Из (Ь) вытекает, что [11] — фильтр окрестностей нуля в L. Следовательно, 23 = {[Д]: Hell} —базис окрестностей нуля, такой, что Уе*У влечет за собой [У ПС]с[У] = = У. Наконец, (с)=ф(а). Пусть задано [/ell. Достаточно показать, что существует 1У g Ц, такое, что [1У]<=П. Пусть $ — базис окрестностей нуля, описанный в (с). Выберем У g 23, такое, что У + + У cz U, и закругленное 1У g Ц, такое, что 1У + 1УсУ. Мы получим
m= (J Vx,yA= (J (x + [o)Z/-x])cr + х, у ^ Wх, у г W
+ [(w + W^ п С] cz У + [У П С] cz У + у cz и, что и доказывает импликацию (с)=ф(а).
Предположим теперь, что К = R и топология на L локально выпукла. Тогда (a)=^>(d): Если Uj — семейство всех выпуклых закругленных окрестностей нуля в L, семейство 28 = {[[/]: Hell,} образует базис в 0, состоящий из выпуклых закругленных и С- насыщенных множеств. Далее, (д)=ф(е): Если 28 —такой же базис окрестностей нуля, как в (d), и pw — функционал Минковского множества 1Уе2В, то семейство {pw: 1У е 28} будет семейством желаемого типа. Наконец, (е)=ф(с): Если 9* удовлетворяет условию (е), то семейство всех конечных пересечений множеств Ур-е = = \x^L\ р(х)^е} (р е ^, е> 0) образует базис 23 окрестностей О, обладающий свойствами, установленными в (с). Это завершает доказательство.
Следствие 1. Если L — хаусдорфово ТВП, то всякий нормальный конус С в L является собственным конусом.
Доказательство. Действительно, если х е С П — С, то х е= [{0}]<=[[/] для всякой окрестности нуля U; отсюда следует, что х = 0.
Следствие 2. Если С — нормальный конус в L и B^L ограниченно, то [В] ограниченно. В частности, каждое множество [х, у\ ограниченно.
Доказательство. Пусть В ограниченно и U — окрестность нуля в L. Тогда существует Х>0, такое, что Bc^LU. Отсюда следует, что [S] cz [АП] = К [И].
Следствие 3. Если топология на L локально выпукла, то замыкание С нормального конуса есть нормальный конус.
Доказательство. Непосредственно видно, что С — конус в L и что С является замыканием С в вещественном пространстве Lo. Утверждение следует теперь из предложения (3.1), (е).
Из результатов этой главы и добавления становится очевидным, что понятие нормального конуса является важным (и, может быть, важнейшим) в теории упорядоченных топологических векторных пространств. Для конусов в нормированных пространствах над R оно было введено М. Г. Крейном [2]. Определение Крейна постулирует существование константы у^1, такой, что||х||^ ^Су^ + уИ Для всех х> У^С; ясно, что это определение для нормированных пространств (Л, || ||) над R эквивалентно данному выше, п из (3.1), (е) следует, что на L существует эквивалентная норма, для которой можно предположить у=1.
Если М — подпространство ТВП L и С —нормальный конус в L, то Л4 П С образует, очевидно, нормальный конус в М. Легко проверить, что если {Д: аеЛ} — семейство ТВП, Са — конус в Д и L = Ц La, то С = J[ Са — нормальный конус в L тогда и только аа
тогда, когда все конусы Са нормальны в LJaeA),
Приведем следующий результат о локально выпуклых прямых суммах.
Пусть {La'. aeA}-семейство ЛВП, Са —конус в Д(аеА) и L — ® La — локально выпуклая прямая сумма этого семейства.
а
Конус С = ® Са нормален в L тогда и только тогда, когда каж- дый конус Са нормален в Д(аеА).
Доказательство. Необходимость этого условия очевидна, так как каждое La может быть отождествлено с некоторым пространством в L, так что Са отождествляется с ДПС(аеА). Для доказательства достаточности предположим, что К = R (этого можно добиться переходом к соответствующему L вещественному пространству Д). Пусть 23а — базис окрестностей нуля в La{aeA\ удовлетворяющий условиям 3.1, (d).
Семейство всех множеств V = Га1Д {V а е 23а, аеА) образует базис окрестностей нуля в L (гл. II, разд 6).. Далее, ясно, что [V П С] — выпуклая оболочка множества (JtEaflCa]. Так как a
IS iX« Шефер
[Га П Calera для всех Уае23а(аеА), то отсюда следует, что [К П С] <= К, что и доказывает наше утверждение ввиду (3.1), (с).
Подобным же способом можно показать, что соответствующий результат имеет место для топологической прямой суммы, введенной в упр. 1 гл. I (в этом случае пространства La не обязательно предполагаются локально выпуклыми). С другой стороны, если С — нормальный конус в L и М — подпространство в L, то канонический образ С конуса С в L]M не будет, вообще говоря, собственным конусом и тем более нормальным (относительно условий, при которых С нормален, см. упр. 3).
Грубо говоря, нормальность конуса С в ТВП L уменьшает «ширину» С и, значит, в некотором смысле является мерой «заостренности» С. Например, нормальный конус в хаусдорфовом пространстве не может содержать прямой линии ((3.1), следствие 1). Конус С в конечномерно_м хаусдорфовом пространстве L нормален, если его замыкание С является собственным конусом (см. (4.1) ниже). При изучении дуальных пар конусов нужно иметь средства, работающие в противоположном направлении и измеряющие в некотором аналогичном смысле «тупость» С. Введение условия L = C — C является шагом в этом направлении. Действительно, это условие гарантирует восстановление всякого конечного подмножества S в пространстве L из конуса С в том смысле, что ScSg- So для подходящего конечного подмножества S0<=C. Точное определение свойства, о котором идет речь, формулируется следующим образом.
Пусть L — ТВП, С —конус в L и © — семейство ограниченных подмножеств из L (гл. III, разд. 3). Для каждого SeS определим Sc как подмножество S Л С — S П С в L. Мы говорим, что С есть ©-конус, если семейство (Sc: SgS} является фундаментальным подсемейством в ©; С называется строгим ©-конусом, если семейство {Sc: Sg£} есть фундаментальное подсемейство S. Если L — ЛВП над R и S — насыщенное семейство, то вместо Sc мы можем использовать в предыдущих определениях выпуклую закругленную оболочку множества S П С. Особое значение имеет случай, когда 2 = 23 является семейством всех ограниченных подмножеств пространства L. В этом случае С называется 23-конусом в L. Понятие 23-конуса в нормированном пространстве (L, || ||), по-видимому, впервые было использовано Бонсоллом [2]. Согласно определению Бонсолла, L обладает декомпозиционным свойством, если всякое z(||z||^l) можно с любой степенью точности приблизить разностями х — у, где хеС, у^С и ||х||^&, t/||^fe, причем константа /г>0 не зависит от выбора 2.
Свойство быть ©-конусом удовлетворяет некоторым отношениям наследственности (упр. 5). Так как эти отношения являются следствиями теоремы (3.3), свойств наследственности нормаль-
ных конусов и теоре.м двойственности (IV, 4.1) и (IV, 4.3), то здесь они опускаются. Следует отметить, что, как и понятие нормального конуса, понятие 6-конуса не зависит от поля скаляров (R или С), над которым задано L.
Примеры. 1. Множество вещественных неотрицательных функций определяет нормальный конус в каждом из банаховых пространств, перечисленных в примерах 1—3 гл. II. Если Е — любое из этих пространств, С — соответствующий конус и К = R, то Е = С — С. Отсюда следует, что С — строгий 8-конус в Е (см. (3.5) ниже). Если функции (или классы функций), которые образуют пространство Е, принимают комплексные значения, то С и С + iC являются нормальными конусами и С + iC есть строгий 8-конус.
Пусть С обозначает множество всех неотрицательных функций в пространстве Л. Шварца 3D (гл II, разд. 6, пример 2). Конус С не является нормальным в 3D, но С + iC оказывается строгим 8-конусом. Конус Сь образованный всеми распределениями Т, такими, что (Tf)^ 0 при jeC (который можно отождествить с множеством всех положительных радоновских мер на R” (см. Л. Шварц [1] )), нормален в Ф', но Cx+iC^ не является 8-конусом (упр. 6).
Пусть Е— пространство непрерывных комплекснозначных функций с компактным носителем на локально компактном пространстве X с обычной топологией (гл. II, разд. 6, пример 3), и пусть С — конус неотрицательных функций из Е. Тогда С — нормальный конус в Е, С + iC — нормальный и строгий 8-конус. Если Cj обозначает множество всех положительных радоновских мер на X, то Ct+z'C! является нормальным и строгим 8-конусом в сильном сопряженном пространстве Е'.
Доказательства этих утверждений станут ясными из последующих результатов, и потому они здесь опускаются.
Пусть С —конус в ТВП Е. Дуальный конус С' к С определяется как множество Уе.Е'\ Re f (х)^0 при х^С}. Следовательно, С' есть поляра множества —С относительно двойственности (Е, Е'\ В последующих доказательствах мы будем часто предполагать, что полем скаляров для пространства Е служит С. Всякий раз, когда это так, делается соответствующая (неявная) ссылка на (I, 7.2) (см. также разд. 2). Прежде чем перейти к доказательству главного результата этого раздела, установим лемму, принадлежащую М. Г. Крейну [2].
Лемма 1. Пусть С —нормальный конус в нормированном пространстве Е. Тогда Е' = С' — С'.
Доказательство. Можно предполагать, что К = R. Пусть feE'. Определим вещественную функцию р^О на С, полагая р (х) = sup {f (2): 2G[0, х]}. Тогда ясно, что р (Ах) = Кр (х), если л^О, и р (х + р) > р (х) 4- р (у), так как [0, х] + [0, у]<=[0, х + у] для всех х, уеС. Отсюда следует, что множество
V = {(/, х): 0 ^ / < р (х)}
—это конус в произведении пространств Ro X Е. Пусть (хп: neN}- нуль-последовательность в Е, и пусть {/„: neN} — последовательность вещественных чисел, такая, что (/„, xn)eV (neN). Так
как С —нормальный конус и f непрерывна, отсюда следует, что р(х„)->0 и, значит, Д-*0._Таким образом, точка (1,0) не может принадлежать замыканию V множества V в нормированном пространстве Ro X Д Согласно (11,9.2), существует замкнутая гиперплоскость Н, строго разделяющая {(1, 0)} и V. Можно считать, что H = ^t, х): h\t, х)= — 1}, где /i(l,0)=—1 и Л ^ 0 на V. В силу (IV, 4.3) h имеет вид (t, х) -* — t + g(x). Так как geE' и (0, х)еУ для каждого хеС, то отсюда следует, что geC'. Далее, (р (х), х)еУ для всех хеС. Следовательно, мы имеем — р(х) + + д(х)^0 при хе С. Так как f (х) ^ р (х) ^ g (х) при хе С, мы получаем f = g — (g — f), где geC, g — feC', и лемма доказана.
Теорема. Пусть Е — ЛВП, С — конус в Е, С'еЕ' —дуальный конус и ^ — насыщенное семейство слабо ограниченных подмножеств в Е'. Тогда если С' есть &-конус, то конус С нормален в ^-топологии на Е. Обратно, если С — нормальный конус в ^-топологии, согласованный с двойственностью (Е, Е'\ то С' — строгий ^-конус в Е'.
Доказательство. Можно предполагать, что Д = R. Если С' есть ©-конус в Е', то насыщенная оболочка семейства (Г (S П С'): 5еД совпадает с ©. Следовательно, ©-топология порождается преднормами
x->ps (х) = sup {|(х, х') |: х' е S П С'} (Se@),
которые, как легко видеть, удовлетворяют предложению (е) из (3.1).
Предположим теперь, что 2 есть ©-топология на Е, согласованная с двойственностью (Д Е'\ и конус С нормален относительно 2. В силу (3.1), (d) в (Д 2) найдется базис II окрестностей нуля, состоящий из выпуклых закругленных и С-насыщенных множеств. Так как {П°: U е 11} — фундаментальное подсемейство в ©, то достаточно показать, что для каждого Hell существует целое п0, такое, что U° с п0 (U0 П С' — U° П С'\ Пусть UееП фиксировано.
Сопряженное к нормированному пространству Еи (обозначения см. в гл. III, разд. 7) может быть отождествлено с Е'и0, а конус С' П ЕцО может быть отождествлен с дуальным конусом к Си = фи (С), где, как обычно, фи — это каноническое отображение Е->Еи. Используя тот факт, что U есть С-насыщенное множество, легко видеть, что Су — нормальный конус в Ец. Следовательно, если мы определим множество МеЕ', полагая М = U0 П С' — U0 Л С', то из леммы 1 получим, что Е'ио = (J пМ. Далее, в силу (I, 1.1), п s N
множество М является о (Д, Д-компактным, а следовательно, о(Д, Д-замкнутым и тем более замкнутым в банаховом прост-
ранстве Еи°. Поскольку последнее есть бэровское пространство, отсюда следует, что Л1 имеет внутреннюю точку и, значит (будучи выпуклым и закругленным), является окрестностью нуля в Еу„. Отсюда следует, что и°<^пйМ при некотором /г0 е N, и доказательство закончено.
Следствие 1. Пусть С — конус в ЛВП Е. Тогда следующие утверждения эквивалентны-.
С — нормальный конус в Е;
для всякого равностепенно непрерывного подмножества .4 с Е' существует равностепенно непрерывное подмножество BclC', такое, что Ас^В — В;
топология пространства Е есть топология равномерной сходимости на равностепенно непрерывных подмножествах из С'.
Следствие 2. Пусть & —насыщенное семейство, образованное о (Е', Е)-относительно компактными множествами и покрывающее Е', и Н — некоторый ^-конус в Е'. Тогда его а^Е', Е)-замыкание Н является строгим Ъ-конусом.
Доказательство. Действительно, конус С =— Н° нормален в S-топологии; последняя согласована с двойственностью (Е, Е') (см. IV, 3.2) и С' = Н в силу (IV, 1.5).
Следствие 3. Пусть С — конус в ЛВП Е. Тогда Е' — С' — С' в том и только том случае., когда конус С слабо нормален. В частности, всякий нормальный конус в Е слабо нормален.
Это следствие мы получим, взяв в качестве © насыщенную оболочку семейства всех конечных подмножеств из Е'. Отметим, что если С — конус в ЛВП Е над С, то иногда бывает интересно рассмотреть конус Н cz Е', образованный линейными формами, вещественные и мнимые части которых неотрицательны на С. Мы имеем Н = С' П (— iCY, и из следствия 3 выше и следствия 2 из (IV, 1.5) вытекает, что Е'= Н — Н тогда и только тогда, когда конус С А-1С (или, что то же самое, конус С — 1С) слабо нормален в Е (ибо Н = (С — ICYY
Замечание. В нормированном пространстве слабая нормальность и нормальность конусов эквивалентны (см. (3.5) ниже).
Следующее предложение является приложением (3.3) к случаю, когда О есть семейство всех сильно ограниченных подмножеств сопряженного к квазибочечному пространству Е. Напомним, что этот класс содержит все бочечные и все борнологические (следовательно, все метризуемые локально выпуклые) пространства.
Пусть Е — квазибочечное ЛВП, С — конус в Е, 8 — семейство всех сильно ограниченных подмножеств в Е'. Тогда следующие утверждения эквивалентны-.
С — нормальный конус в Е;
топология пространства Е есть топология равномерной сходимости на сильно ограниченных подмножествах из С';
С' есть ^6-конус в Е';
С' есть строгий %-конус в Е'.
Доказательство легко получается из предыдущего в силу того, что 8 есть семейство всех равностепенно непрерывных подмножеств из Е' (гл. IV, разд. 5).
Следствие. Если пространство Е рефлексивно, то нормальный конус и 98-конус соответствуют друг другу относительно двойственности (Е, Е').
Интересно, что в случае, когда Е — банахово пространство, полная симметрия между нормальными конусами и 8-конусами относительно двойственности (Е, Е'*) остается в силе и без предположения о рефлексивности (см. Андо [2]). Из доказательства этого результата мы выделим следующую лемму, которая нам понадобится в дальнейшем, а кроме того, и сама по себе представляет некоторый интерес.
Лемма 2. Пусть (Е, 2) — метризуемое ТВП над R, С — полный конус в Е, и пусть {U п- п е N} — базис окрестностей нуля, состоящий из замкнутых закругленных множеств, таких, что Un+X + + U„+1 c^Uп (ne N). Тогда множества
Vn = Un^C-Un^C (raeN)
образуют базис окрестностей нуля в топологии 2] на ЕХ = С — С, такой, что (Eb 2J является полным (метризуемым) ТВП над R.
Доказательство. Ясно, что каждое множество Кп является радиальным и закругленным в Ех и Vrt+1 + Vn+1 с V п для всех neN. Из (I, 1.2) следует, что {К„: и е N} есть базис окрестностей нуля в топологии 2, (единственной топологии, инвариантной относительно сдвигов) на Ех, относительно которой Ех является ТВП. Пространство (Еь 2,), конечно, метризуемо, и остается доказать, что (Еь 2,) полно. Действительно, для всякой последовательности Коши в (Eb 2J найдется подпоследовательность {гД, такая, что 2rt+1 — zn е Й„. Мы имеем, следовательно, zn+x — zn = хп — уп, где хп и Уп™ элементы из Un П С, и, очевидно, достаточно показать,
что ряды 2 V И 2 Уп сходятся в (En 2J. Докажем это для
ооП
2 хп. Полагая ип = 2 xv (и е N), мы получим ге = 1v=l
ип + р — Un G Wn+V ++ ип + р) П C C (Un П С) CZ
для всех peN и и е N. Так как С полно в (Е, 2), то {«„} сходится в топологии 2 к некоторому цеС, и имеем и — ип+1е = U.JiCc’Vn, так как ПпПС замкнуто в (Е, 2). Последнее соотношение показывает, что ип->и в (Eb 2J, и доказательство завершено.
Теорема. Пусть Е — банахово пространство и С — замкнутый конус в Е. Тогда С —нормальный конус (соответственно строгий 8-конус) в том и только том случае, когда С' — строгий 8-конус (соответственно нормальный конус) в Е^.
Доказательство. Утверждение относительно нормального конуса СсЕ есть частный случай предложения (3.4), а если С есть 8-конус, то конус С нормален в Ер в силу 3.3. Теперь предположим, что С'— нормальный конус в Е^ и обозначим через U единичный шар в Е. Биполярой множества U f| С (относительно (Е', Е")) является E00f)C", и в силу (3.3) С" является строгим 8-конусом во втором сильном сопряженном Е". Следовательно, U00 — С" — U°° П С" есть окрестность нуля Е". Отсюда следует, что множество У = t/ f| С — U ОС плотно в некоторой окрестности нуля У[ в Е. Если Е{ = С — С и 2] —топология на Еь определенная в лемме 2, то это в точности означает, что вложение ф пространства (Eb 2J в Е есть почти открытое непрерывное отображение с всюду плотным образом. Из теоремы Банаха о гомоморфизме (III, 2.1) следует, что ф — топологический изоморфизм пространства (Еь 2,) на Е и, следовательно, С—строгий 8-конус в Е.
Следствие. Пусть Е — банахово пространство и С — конус в Е с замыканием С. Тогда следующие утверждения эквивалентны-.
С есть 8-конус в Е;
Е = С — С;
С — строгий 8-конус в Е.
Доказательство. Импликация (а)=ф(с) следует из предыдущего, так как в силу (3.3) конус С' нормален в Е', если С есть 8-конус. Импликация (с)=ф(Ь) тривиальна. Наконец, (Ь)=>(а): Пусть М — замыкание множества U П С — U П С, где U — единичный шар в Е; тогда множество М выпукло, закруглено (над R) и, кроме того, E = (JnM. Так как Е —бэровское пространство, от- 1
сюда следует, что А! — окрестность нуля в Е и, следовательно, С есть 8-конус.
Упорядоченные топологические векторные пространства
Пусть L — ТВП (над R или С) и упорядоченное векторное пространство. Мы скажем, что L — упорядоченное топологическое векторное пространство, если выполняется следующая аксиома:
(ЛТП) Положительный конус С = (х: х^О} замкнут в L.
Напомним, что архимедово упорядоченное векторное пространство называется регулярно упорядоченным, если вещественная билинейная форма (х, x*)-»Re(x, х") ставит Lo и Lq в двойственность, где £0 — вещественное пространство, соответствующее L (гл. I, разд. 7). Для того чтобы получить некоторые другие характеристики, нам понадобится следующая лемма, интересная и сама по себе (упр. 21).
Лемма. Пусть Е— упорядоченное векторное пространство конечной размерности над R. Порядок на Е архимедов в том и только том случае, когда положительный конус С замкнут в единственной топологии, в которой Е — хаусдорфово ТВП.
Доказательство. Если конус С замкнут, то, очевидно, порядок на Е архимедов. Обратно, предположим, что Е архимедово упорядоченно. Без ограничения общности можно считать, что Е = С — С. Если размерность Е равна n(^ 1), то С содержит п линейно независимых элементов хь х2, ..., хп и, следовательно, п-мерный симплекс с вершинами 0, хь . .., х„. Так как последний имеет непустую внутренность, то этим же свойством обладает и С. Далее, пусть хеС и у — внутренняя точка С. Согласно II, 1.1, п-1у + х — внутренняя точка множества С (п е N) и, следовательно, — х^п~1у для всех п. Отсюда следует, что — х^О, или, что то же самое, хеС.
Пусть L — упорядоченное векторное пространство R с положительным конусом С. Тогда следующие предложения эквивалентны'.
порядок на L регулярен;
множество С секвенциально замкнуто в некоторой хаусдорфовой локально выпуклой топологии на L, и L+ разделяет точки на L;
порядок на L архимедов и конус С нормален в некоторой хаусдорфовой локально выпуклой топологии на L.
Доказательство. (а)=^>(Ь): Достаточно показать, что пересечение С с любым конечномерным подпространством М замкнуто (гл. II, упр. 7); но это непосредственно следует из предыдущей леммы, так как порядок пространства L архимедов и, следовательно, канонический порядок каждого подпространства М с L архимедов.
(Ь)=ф(с): Пусть 5 — хаусдорфова локально выпуклая топология, в которой множество С секвенциально замкнуто. Тогда, очевидно, L архимедово упорядочено. Кроме того, так как L + разделяет точки на L, каноническая билинейная форма на L X L* ставит в двойственность L и L+ = С* — С‘, и ввиду (3.3) конус С нормален в хаусдорфовой локально выпуклой топологии a^L, L+\
(с)=ф(а): Достаточно показать, что L* разделяет точки на L. Если д — хаусдорфова топология, в которой конус С нормален, то (Е, гУ = С' — С' в силу (3.3). Следовательно, С' — С' и тем более
= С—С* разделяют точки на L. Это завершает доказательство.
Следствие 1. Канонические порядки подпространств, произведений и прямых сумм регулярно упорядоченных векторных пространств регулярны.
Следствие 2. Всякое упорядоченное локально выпуклое пространство регулярно упорядочено.
Доказательство. Если ^Е, 2) — упорядоченное ЛВП, то С замкнуто по определению, и теорема о биполяре (IV, 1.3) показывает, что — С является полярой множества С' относительно двойственности (Е, Е'\ Так как С П — С = {0}, отсюда следует, что С' — С' слабо плотно в (Е, 2)'. Значит, L+ = C*~ С* разделяет точки в L.
Напомним, что если Л — упорядоченное множество и S с А — непустое подмножество, направленное по возрастанию, то фильтр сечений 5(5) на А определяется базисом {Sx: х е S}, где SY = = {у е S: у^х} и St называется сечением S. В частности, если 3 — монотонная последовательность в А, то у(3) —это фильтр, обычно ассоциируемый с 3.
Пусть L — упорядоченное ТВП и S — подмножество в L, направленное по возрастанию. Тогда если фильтр сечений 7s (3) сходится к xQe L, то х0 = sup 3.
Доказательство. Пусть хе S и 2 —некоторый элемент из L, мажорирующий 3. Для всякого у е Зх мы имеем х^г/^г, и из xoeSx следует, что х^х0^г, поскольку положительный конус замкнут в L. Это доказывает, что x0 = supS.
Следующая теорема о монотонной сходимости представляет собой более глубокий результат; ее можно рассматривать как абстрактный вариант классической теоремы Дини. Хотя ее можно вывести из теоремы Дини при помощи приведенного ниже предложения (4.4) (упр. 9), мы дадим прямое доказательство, основывающееся на теореме Хана —Банаха.
Теорема. Пусть Е — упорядоченное ЛВП с нормальным положительным конусом С и S — подмножество в Е, направленное
по возрастанию. Тогда если фильтр сечений <5(S) сходится в топологии а (Е, Е'), то он сходится в Е.
Доказательство. Без ограничения общности можно предполагать, что множество S направлено по убыванию и что Итл(5) = 0 в топологии а(Е, Е'\ Из (4.2) следует, что S с С. Предположим, что утверждение теоремы неверно. Тогда найдется окрестность нуля U в Е, не содержащая сечений множества S, и поскольку конус С нормален, мы можем считать, что множество U выпукло и С-насыщенно. Так как отношение х е S П U влечет за собой включение Sx с U, отсюда следует, что S П U — 0. Более того, (S + C)nt/ = 0, так как U само С-насыщенно, а множество S + С выпукло, поскольку оно является объединением семейства {х + С: xeS) выпуклых подмножеств, направленного по включению. Следовательно, в силу (II, 9.2) множества U и S могут быть разделены замкнутой вещественной гиперплоскостью в Е, а это противоречит слабой сходимости 3(C) к 0.
Следствие 1. Пусть S — направленное по возрастанию подмножество в Е, такое, что x0 = supS, где Е — упорядоченное ЛВП с нормальным положительным конусом. Тогда если для всякой вещественной линейной формы, f, которая положительна и непрерывна на Е, справедливо равенство f (х0) = sup [f (х): х е S}, то lim g (х) = g (х0) (g е Е'^ равномерно на каждом равностепенно xes непрерывном подмножестве в Е'.
Доказательство. Действительно, в силу следствия 3 из (3.3) слабая сходимость 8(5) к х0 эквивалентна соотношению / (х0) = sup {f (х): х е S} для всякой вещественной линейной формы f на Е, которая положительна и непрерывна (см. (I, 7.2)).
Читатель заметит, что предыдущее следствие эквивалентно (4.3). Следующий результат можно рассматривать как частичное обращение предложений (4.2).
Следствие 2. Пусть Е — полурефлексивное упорядоченное ЛВП с нормальным положительным конусом. Тогда если S — направленное по возрастанию подмножество пространства Е, которое мажорируемо или топологически ограниченно, то x0 = supS существует и 5(5) сходится к х0.
Доказательство. Пусть Sx— фиксированное сечение в S. Достаточно показать, что sup Sx существует в Е. Если S мажорируется некоторым zeE, то Sx cz [х, г] и, следовательно, S, ограниченно в £ в силу следствия 2 из (3.1); поэтому можно предполагать, что Sx ограниченно в Е. Слабая нормальность конуса С влечет за собой равенство Е' = С'— С', и, следовательно, фильтр сечений B(SJ является слабым фильтром Коши на Е
с базисом из ограниченных подмножеств. Из (IV, 5.5) следует, что фильтр § (5Д сходится к некоторому элементу х0 е Е, а из (4.2) вытекает, что х0 = sup Sx, поскольку множество С замкнуто и, следовательно (будучи выпуклым), слабо замкнуто в Е.
Следующий результат — это теорема о вложении (или о представлении) для упорядоченных ЛВП над R. Пусть X обозначает (отделимое) локально компактное пространство, R (X) — пространство всех непрерывных вещественных функций на X, наделенное топологией компактной сходимости и каноническим порядком (разд. 1).
Пусть Е — упорядоченное ЛВП над R. Конус С в Е нормален в том (и только том) случае, когда существует локально компактное пространство X, такое, что Е изоморфно (как упорядоченное ТВП) некоторому подпространству в R(X).
Доказательство. Это условие, очевидно, необходимо, поскольку положительный конус в R (X) (и, значит, во всяком подпространстве в R(X)) нормален. Для того чтобы доказать достаточность, заметим сначала, что, как показывает следствие 1 из (3.3), топология пространства Е есть топология равномерной сходимости на равностепенно непрерывных подмножествах дуального конуса С'сЕ'. Пусть (Ва: а е А} — фундаментальное семейство о(Е', £)-замкнутых равностепенно непрерывных подмножеств из С'. В топологии, индуцированной о(Е', Е), каждое Ва компактно. Мы определим X следующим образом. Наделим А дискретной топологией, С'— топологией, индуцированной о(Е', Е), и пусть Ха — подпространство {а} X Ва топологического произведения АхС'. Тогда X определяется как подпространство (J Аа а в АХ О'. Пространство X есть топологическая сумма семейства (Ва: а е А}. Очевидно, что X — локально компактное пространство, в котором каждое Ха открыто и компактно и, значит, всякое компактное подмножество из X содержится в объединении конечного числа множеств Ха. Для всякого xel определим элемент EeR(X), полагая fx (t) = (х, х') при всех t = (a,x')eX. Ясно, что отображение х ->fx — алгебраический и порядковый изоморфизм Е в R(X). Наконец, так как замкнутое подмножество пространства X компактно в том и только том случае, когда оно содержится в некотором конечном объединении (J Ха, о-еН то становится очевидным, что х ~>fx — гомеоморфизм.
Замечание. Легко видеть, что пространство R (X) полно. Следовательно, образ ТВП Е при отображении х-*Д замкнут в R (X) в том и только том случае, когда Е полно. Кроме того, если Е метризуемо, то можно предполагать, что семейство {В((: а е А) счетно и, следовательно, пространство X сче,но в бесконечности. Если ТВП Е нормируемо, то можно взять X = U°dC (в
топологии а (Е', £)). где (7 — любая ограниченная окрестность нуля в £ (в частности, единичный шар, если Е нормировано). Если Е — сепарабельное нормированное пространство, то IP П С' — компактное метризуемое пространство в топологии о (£', £) согласно (IV, 1.7) и, следовательно, является непрерывным образом канторова совершенного множества. В этом случае в качестве X может быть взято само канторово совершенное множество или отрезок [0, 1] (подробнее см. Банах [1], гл. XI, § 8, теорема 9).
Наконец, предложение (4.4) можно применить к случаю, когда С = {0}. Мы получим тогда представление произвольного ЛВП Е над R как подпространства некоторого подходящего R)X). Ясно, что в этом частном случае ограничение на поле скаляров R может быть отброшено.
Положительные линейные формы и отображения
Этот раздел посвящен специальным свойствам линейных отображений u^L(E,F), отображающих положительный конус Сс с Е в положительный конус D a F, где Е, F — упорядоченные векторные пространства, (соответственно упорядоченные ТВП). Такие отображения называются положительными. Ясно, что множество Н всех положительных отображений образует конус в L(E, F). Если М — подпространство в L(E, Е), такое, чтоЯПМ является собственным конусом, то конус Н П М определяет канонический порядок на М (разд. 1). Напомним также (разд. 2), что линейная форма f на упорядоченном векторном пространстве Е называется положительной, если Ref(x)^0 для всех точек х положительного конуса СсЕ.
Начнем наше исследование с некоторых простых, но полезных рассмотрений, связанных со свойствами конуса 36 е $(Е, F) непрерывных положительных отображений, где Е и F предполагаются упорядоченными ТВП над К- Отметим, что в силу соглашений, сделанных в разд. 2, достаточно рассмотреть случай K = R.
Пусть Е, F — упорядоченные ТВП и © — семейство ограниченных подмножеств пространства Е, покрывающее Е. Тогда положительный конус 36 (Е, F) замкнут в ©-топологии. Для того чтобы 36 был собственным конусом, достаточно (и если Е— ЛВП и F^{0}, необходимо), чтобы положительный конус С был. тотален в Е.
Доказательство. Действительно, по определению О-тсх) пологий (гл. III, разд. 3) билинейное отображение (и, х)->и(х) есть раздельно непрерывное отображение из S?® (Е, F) X F в F. Следовательно, частичное отображение fx: и->и(х) непрерывист при каждом х е Е. Так как 36 = Q^x* ФУ- х е С) и положи^
тельный конус D в F замкнут, то 36 замкнуто в ЕЕ<£ (Е, F). Далее, так как D — собственный конус, включение ые-^П — 36 влечет за собой равенство «(х) = 0 для хегС. Следовательно, если С —тотальный конус в Е, то м = 0. Наконец, если £ — ЛВП, а С не является тотальным в Е, то по теореме Хана —Банаха найдется f е Е', такое, что /^=0, но ^ (С) = {0}. Если у — любой элемент из F, отличный от нуля, то отображение u = f®y (определяемое как л' -> f (х) у) удовлетворяет условию и е 36 Q — 36.
Следствие. Если С —тотальное множество в Е и F — ЛВП, то (канонический) порядок пространства ЕЕ (Е, F), определяемый конусом 36, регулярен.
Доказательство. Действительно, 36 есть замкнутый собственный конус в топологии простой сходимости, которая является хаусдорфовой локально выпуклой топологией согласно следствию из (III, 3.1). Наше утверждение вытекает из следствия 2 предложения (4.1).
Пусть Е, F — упорядоченные ЛВП с положительными конусами соответственно С и D, и пусть © — семейство ограниченных подмножеств пространства Е. Тогда если С есть ^-конус в Е, а конус D нормален в F, то положительный конус 36 а $ (Е, F) нормален в ^-топологии.
Доказательство. Так как конус D нормален в F, то, согласно (3.1), существует семейство (qa: а е А} вещественных преднорм на F, которое порождает топологию пространства F и которое монотонно на D (относительно порядка на F). Так как С есть ©-конус в Е, отсюда следует, что вещественные преднормы
и -* ра, s (и) = sup (qa (их): xeSQC) (а е Л, S е ©)
порождают ©-топологию на пространстве S’ (Е, F). Далее, очевидно, каждая преднорма ра, $ монотонна на 36 (при каноническом порядке на ЕЕ (Е, F)). Следовательно, 36 — нормальный конус в S’© (Е, F), что и утверждалось.
С другой стороны, по-видимому, не существует простых условии, при которых 36 является 2-конусом в S’© (Е, F), даже для наиболее общих типов семейств 2 ограниченных подмножеств в ЕЕ^ (Е, F), исключая некоторые частные случаи (упр. 7). Во всяком случае, следующий результат верен, когда Е и F суть упорядоченные ЛВП с положительными конусами С и D соответственно, a $S(E, F) обозначает EE(E,F) в топологии простой сходимости.
Если С — слабо нормальный конус в Е и F = D — D, то множество 36 — 36 плотно в EE к (Е, F).
Доказательство. Так как слабая нормальность конуса С эквивалентна в силу следствия 3 из (3.3) разложению £' = С'— С', то из исходного предположения вытекает, что множество 3^ —3g содержит подпространство Е' ® F с $ (Е, FY С другой стороны, согласно следствию 4 из (IV, 4.3), сопряженное к 9?ДЕ, F) может быть отождествлено с Е 0 F', и нам известно, что (относительно двойственности между FE (Е, F) и £ ® F') F' ® F разделяет точки на Е 0 F' (гл. IV, разд. 1, примерЗ). Из (IV, 1.3) следует, что подпространство Е' 0 F слабо плотно в 3 ДЕ, F) и, значит (будучи выпуклым), плотно в S’ДЕ, F).
Обратимся к вопросу о продолжении непрерывной положительной линейной формы, определенной на подпространстве упорядоченного ТВП Е, на все пространство Е. Следующая теорема о продолжении была доказана Бауэром [1], [2] и независимо На- миокой [1].
Теорема. Пусть Е — упорядоченное ТВП с положительным конусом С и М — подпространство в Е. Для того чтобы линейная форма f0 на М имела продолжение f на Е, являющееся непрерывной положительной линейной формой, необходимо и достаточно, чтобы Re/о была ограниченна сверху на М П(П — С), где U — подходящая выпуклая окрестность нуля в Е.
Доказательство. Достаточно рассмотреть случай £ = R. Если f — линейное продолжение формы f0 на Е, которое положи-' тельно и непрерывно, и если U = {x: f(x)<l}, то ясно, что fo^x^l, когда хеА4П(£ — С). Следовательно, сформулированное условие необходимо. Обратно, пусть U — выпуклая открытая окрестность нуля, для которой при некотором ye R условие х е е Л1 П (V — С) влечет за собой неравенство f0(x)<y. Тогда у>0 и N = ^xeM; f0(x) = y} представляет собой линейное многообразие в Е, не пересекающее открытое выпуклое множество U — C. В силу теоремы Хана —Банаха (11,3.1) существует замкнутая гиперплоскость Н, содержащая N и не пересекающая U — C. Следовательно, можно предполагать, что она имеет вид Н =; = ^х: f(x) = у}. Очевидно, f является непрерывным продолжением /о- Более того, так как 0 е U — С, отсюда следует, что f (х) < V» когда х е U — С и, следовательно, когда хе —С. Таким образом, из включения хеС вытекает, что f(x)^0.
Следствие 1. Пусть fQ — линейная форма, определенная на: подпространстве М упорядоченного векторного пространства L. Форма f0 может быть продолжена до положительной линейной, формы f на L в том и только том случае, когда Re f0 ограниченна сверху на A4f](lE —С), где W —некоторое выпуклое радиальное^ подмножество L, |
Действительно, достаточно наделить L сильнейшей локально выпуклой топологией, в которой W будет окрестностью нуля, и применить (5.4). Из тех же соображений может быть получен следующий результат, принадлежащий Крейну и Рутману [1].
Следствие 2. Пусть Е— упорядоченное ТВП с положительным конусом С, и пусть М а Е — подпространство, такое, что С П 44 содержит внутреннюю точку конуса С. Тогда всякая непрерывная положительная линейная форма на 44 может быть продолжена на Е с сохранением этих свойств.
Доказательство. Пусть f0 — рассматриваемая линейная форма и х0 е М — внутренняя точка С. Выберем выпуклую окрестность нуля U в Е так, что х0 + U с 2х0 — С. Тогда Re f0 ограниченно сверху на 44 f) (Д — С), так как 44 П (Д — С) с ^х0 — С) П М.
Замечание. Условие следствия 2, вообще говоря, нельзя заменить предположением, что С П 44 обладает внутренними точками (упр. 14). Другое условие, обеспечивающее возможность продолжения любой положительной линейной формы с подпространства М упорядоченного векторного пространства L на все L, см. в упр. 11.
Существует сравнительно большой класс упорядоченных ТВП, на которых всякая положительная линейная форма обязательно непрерывна. Мы увидим (в разд. 7 ниже), что этот класс включает все топологические векторные решетки, которые хотя бы секвенциально полны (ограниченно полны). Весьма правдоподобно, что в пространствах с этим свойством положительный конус должен быть достаточно «широким» (см. рассуждения после (3.2)). Точнее, имеет место следующий результат (условие 2) получено Кли [2], условие 3 принадлежит автору [2]).
Теорема. Пусть Е — упорядоченное ТВП с положительным конусом С. Тогда каждое из следующих условий достаточно для того, чтобы обеспечить непрерывность любой положительной линейной формы на Е:
конус С имеет непустую внутренность-,
ТВП Е метризуемо и полно и Е = С — С',
пространство Е борнологическое и С — ограниченно полный строгий ^-конус.
Доказательство. Снова достаточно рассмотреть вещественные линейные формы на Е. Достаточность условия 1) почти тривиальна. В самом деле, если f положительно, то f-1 (0) есть гиперплоскость в Е, лежащая по одну сторону от выпуклого тела С и, следовательно, замкнутая, что эквивалентно непрерывности f в силу (I, 4.2). Что касается условия 2), то здесь мы используем лемму 2 из разд. 3: топология Tj на Е, определяемая базисом
окрестностей нуля (1Д: n е N}, где Vn = Un П С — Un fl С, очевидно, сильнее, чем заданная топология 2 на Е, следовательно, мы имеем 2 = 1, в силу следствия 2 из теоремы Банаха (III, 2.1). Далее, если / — положительная вещественная линейная форма на Е, не являющаяся непрерывной, то / не ограниченна ни на каком множестве вида Uп П С. Следовательно, для всякого л е N существует xne.UnV\C, такое, что f(xn)>l. С другой стороны, так как l)n+x + Дга+1 с Uп для всех п (см. упомянутую лемму), то последовательность [хД суммируема в £ и 2 хп = 2 G С (множество С
neN
Р
замкнуто); из неравенства 2^2 хп мы получаем неравенство П=1
f(z)>p для всякого р е N, что невозможно. Наконец, переходя к условию 3), мы видим, что, поскольку пространство Е борнологическое и С —строгий В-конус, линейная форма на Е, ограниченная на ограниченных подмножествах С, непрерывна согласно (II, 8.3). Далее, если / — положительная вещественная линейная форма на Е, которая не является непрерывной, то существует ограниченная последовательность {хД в С, такая, что / (х^ > n (и е N). Так как Е по определению локально выпукло, мы заключаем, что последовательность \п-2хп\ heN} суммируема в С и ее сумма, скажем геС, обладает тем свойством, что
/ (2) > ,2 п~Ч М > ^ п~*
для всех р, что невозможно. Доказательство закончено.
Следствие. Пусть Е — упорядоченное ЛВП, которое является индуктивным пределом семейства [£а: а е А} упорядоченных (^-пространств с соответствующим семейством положительных линейных отображений. Пусть, кроме того, Еа = Са — Са для каждого а ее А. Тогда всякая положительная линейная форма на Е непрерывна.
Это немедленно следует из (5.5) ввиду (II. 6.1). Для локально выпуклых пространств важнейшим следствием (5.5) является непрерывность довольно широких классов положительных линейных отображений.-
Пусть Е, F — упорядоченные ЛВП с положительными конусами С, D соответственно. Предположим, что Е — пространство Макки, на котором всякая положительная линейная форма непрерывна, a D — слабо нормальный конус в F. Тогда всякое положительное линейное отображение Е в F непрерывно.
Доказательство. Пусть и —линейное отображение Е в F, такое, что u(C)c.D; рассмотрим алгебраическое сопряженное и
к и (гл. IV, разд. 2). Тогда для всякого if е D' форма х-*^, и у') является положительной линейной формой на Е и, следовательно, непрерывна по предположению. Так как F'= D'— D' в силу следствия 3 из (3.3), отсюда вытекает, что иДЕ'^ссЕ'. Значит, и слабо непрерывно согласно (IV, 2.1). Таким образом, и е 3 (£, £) в силу (IV, 7.4).
В заключение этого раздела покажем, как применяются некоторые из предыдущих результатов к изучению сходимости направленных семейств непрерывных линейных отображений.
Пусть Е — упорядоченное бочечное пространство, такое, что Е = С — С, и пусть F — упорядоченное полурефлексивное пространство с нормальным положительным конусом D. Предположим, что °И — подмножество в 3 (Е, F), которое направлено по возрастанию относительно канонического порядка в 3 (Е, F) и либо мажорируемо, либо поточечно ограниченно. Тогда u0 = snpaU существует и фильтр сечений Ts ЛЩ сходится к и0 равномерно на каждом предкомпактном подмножестве пространства Е.
Доказательство. Действительно, предложения (5.1) и (5.2) показывают, что 96 — замкнутый нормальный конус в ЗДЕ, F) и, следовательно, является положительным конусом для канонического порядка в ЗДЕ, F). Для каждого х е С семейство (и (х): и^°1Е\ удовлетворяет предложениям следствия 2 из теоремы (4.3), так что фильтр у ^Н^ поточечно сходится к линейному отображению ий е 3 (Е, F). Согласно (111,4.6), отображение и0 непрерывно и сходимость фильтра ^(^ равномерна на каждом предкомпактном подмножестве в Е. Так как множество 96 замкнуто в ЗДЕ, F), то из (4.2) следует, что zz0 = supcZZ.
Порядковая топология
Если S — упорядоченное множество, то порядок на S служит источником различных топологий на S (см. Биркгоф [1]). Однако так определенные топологии, вообще говоря, не удовлетворяют аксиомам (ЛТ)] и (ЛТ)2 из гл. I, разд. 1 в случае, когда S — векторное пространство, даже если верно (ЛТП) (упр. 17). С другой стороны, если L — упорядоченное векторное пространство над R, то существует естественная локально выпуклая топология, которая, как будет показано ниже, является топологией многих (если не всех) упорядоченных векторных пространств, встречающихся в анализе. Этот раздел посвящен изучению главных свойств этой топологии (см. также Гордон [2]).
Пусть L — упорядоченное векторное пространство над R. Определим порядковую топологию То как сильнейшую локально выпуклую топологию на L, в которой любой порядковый интервал
ограничен. Семейство локально выпуклых топологий на L, обладающих этим свойством, непусто, так как оно содержит слабейшую топологию на L, и 20 является верхней гранью этого семейства (гл. II, разд. 5).
Подмножество W с L является окрестностью нуля в топологии $о тогда и только тогда, когда оно выпукло и поглощает всякий порядковый интервал [х, у] с L (W радиально, так как {х} = [х, х] для всякого х е L). Хотя топология 20 априори определена только для упорядоченных векторных пространств над R, может случиться (см. следствия из (6.2) и (6.4) ниже), что (Л, £) есть упорядоченное векторное пространство над С, такое, что (Lo 2) = (Ло, $0), где Lq — соответствующее L вещественное пространство. Мы начнем со следующего простого результата.
Сопряженным к (L, 20) является порядково ограниченное сопряженное Lb к L. Если I? разделяет точки в L (в частности, если порядок в L регулярен), то (L, $о)— борнологическое ЛВП. Если L и М — упорядоченные векторные пространства, то всякое положительное линейное отображение L в М непрерывно в соответствующей порядковой топологии.
Доказательство. По определению £0 всякий порядковый интервал ограничен относительно £0. Следовательно, если fe(L, Jo)', то f^Lb. Обратно, если fel?, то множество /-1([—1, 1]) выпукло и поглощает любой порядковый интервал; следовательно, оно является окрестностью нуля в $0. Топология $0 хаусдорфова тогда и только тогДа, когда Lb разделяет точки на L. Пусть W — выпуклое подмножество пространства L, поглощающее всякое ограниченное подмножество пространства (Л, $о)- Так как W тем более поглощает все порядковые интервалы в L, то U" является То-окрестностью нуля. Следовательно, пространство (L, $о) борнологическое тогда (и только тогда), когда $о — хаусдорфова топология. Наконец, если и — положительное линейное отображение L в М, то и ([х, у]) с [и (х), и (//)] для любого порядкового интервала в L. Следовательно, если V выпукло и поглощает порядковые интервалы в М, то и-1 (У) обладает теми же свойствами в L, и, значит, и непрерывно относительно порядковой топологии (упр. 12).
Следствие. Пусть Lt (i = 1, ..., п) — конечное семейство упорядоченных векторных пространств и L = XI Е, наделено каноническим порядком. Тогда порядковая топология в L является произведением соответствующих порядковых топологий пространств Lt.
Доказательство. Покажем, что проекция pt пространства (Л, £0) на (Д, $0) (t=l, . .., п) является топологическим гомоморфизмом. Действительно, р; непрерывна согласно (6.1). Если /; — порядковый интервал в Еь то Д X {0} — порядковый интервал в L. Следовательно, если W — выпуклая окрестность нуля в (Л, То), то p^W^ выпукло и поглощает Д, что и доказывает наше утверждение.
Порядковую топологию легче всего анализировать, когда L — архимедово упорядоченное векторное пространство с порядковой единицей е. Для удобства введем следующую терминологию. Последовательность {xn: ne N} неотрицательных элементов упорядоченного векторного пространства L назовем порядково сумма- п
руемой, если в L существует sup ип, где ип = 2 хр. Мы будем пР=1
говорить, что положительная последовательность (х„: ns N) есть последовательность типа Iх, если существуют а^О в L и последовательность (Л„) е Iх, такие, что (0 ^)хп^Кпа для всех neN.
Пусть L — архимедово упорядоченное векторное пространство над R, обладающее порядковой единицей е. Тогда (L, Зф) — нормируемое упорядоченное ТВП, ^0— сильнейшая локально выпуклая топология на L, относительно которой положительный конус С нормален, и следующие утверждения эквивалентны;
(£, $0) полно;
всякая положительная последовательность типа Iх в L порядково суммируема.
Доказательство. Порядковый интервал [—е, е] является выпуклым закругленным и (по определению порядковой единицы) радиальным в L. Топология, порожденная нормой ре, сильнее То, так как множество [ —е, е] ограниченно в топологии j0, и слабее То, так как она локально выпукла и [—е, е] поглощает порядковые интервалы. Следовательно, норма ре порождает 1О. Чтобы убедиться в том, что конус С замкнут в (£, $о), заметим, что е является внутренней точкой С. Тот факт, что множество С замкнуто, следует тогда, как и при доказательстве леммы, предшествующей (4.1), из предположения, что пространство L архимедово упорядочено. Кроме того, в силу следствия 2 из (3.1) топология $0 сильнее, чем любая локально выпуклая топология на L, относительно которой конус С нормален. Поэтому второе утверждение следует из того факта, что семейство {— е[— е, е]: е>0} является для 20 базисом окрестностей нуля, состоящим из С-насы- щенных множеств.
Далее, ясно, что (а)=^(Ь), так как всякая положительная последовательность типа Iх в L является последовательностью
типа Iх относительно а = е и, следовательно, даже абсолютно суммируема в (£, То); поэтому доказываемое утверждение вытекает из (4.2). (Ь)^(а): Мы должны показать, что ТВП (£, То) полно. Для любой заданной последовательности Коши в (£, То) существует подпоследовательность {х„: neN), такая, что при всех п справедливо неравенство ре (хп+1 — хп) < Хп, где (А^е/1. Следовательно, х„+1-х„еА„[-е, е], и мы имеем хп+1 — хп = un — vn, где ип = Хпе + (х„+1 — х^ и ип = Хпе (neN). Для того чтобы показать, что последовательность {хп} сходится, достаточно доказать сходимость ряда ^ип. Имеем 0^«п^2Л„е. Следовательно, {«„} —последовательность типа Iх и sup 2 ир = и е С существует п р = 1
по предположению. Так как для всех п
пП. + к/ ОО \
О^п — 2= sup 2 wp^2( 2 Ар е,
р=1к p=n-vk\р=п+1/
отсюда следует, что 2 ип = и в топологии То и, значит, (L, То) П = 1
полно.
Следствие 1. Если L — архимедово упорядоченное пространство, имеющее порядковую единицу, то порядок на L регулярен и L =L .
Это немедленно следует из (6.1) и (3.3).
Следствие 2. Пусть (Е, ^ — упорядоченное банахово пространство, обладающее порядковой единицей. Тогда 20 = $ в том и только том случае, когда положительный конус С пространства Е нормален в (Е, 2).
Доказательство. Действительно, порядок в Е архимедов, так как конус С замкнут в (£, 2). Если Т = ?0, то С нормален согласно (6.2). Обратно, если конус С нормален, то топология То слабее, чем Т. Так как [ — е, е] — бочка в (£, I) (мы можем предположить, что К = R), то отсюда следует, что 2 = То.
Примерами, к которым применимо предыдущее следствие, являются пространства ‘К (Л) (Л — компакт) и £°°(|1) (гл. II, разд. 2, примеры 1 и 2) и, более общо, всякое упорядоченное банахово пространство, положительный конус которого нормален и имеет непустую внутренность. Легко проверить, что любая внутренняя точка положительного конуса С упорядоченного ТВП L является порядковой единицей и что любая порядковая единица оказывается внутренней точкой конуса С в топологии То.
Тем не менее большинство упорядоченных векторных пространств, встречающихся в анализе, не имеют порядковой единицы, так что описание Tq, данное в (6.2), далеко не всегда применимо. Пусть L — архимедово упорядоченное векторное пространство над R. Для каждого а^О обозначим через La упорядоченное подпространство Aa = (J [—«,«], наделенное порядковой топологией. Пространство La нормируемо. Семейство подпространств (Еа: п^О}, очевидно, направлено по включению с, и если La с Lb, то вложение hb,aLa в Lb непрерывно.
Пусть L — регулярно упорядоченное векторное пространство над R и Н — какое-либо конфинальное (порядок ^) подмножество положительного конуса С с L. Тогда (L, То) есть индуктивный предел lim hb, aLa (a, b е Н\
Доказательство. Согласно (6.1), из предположения относительно L следует, что топология То хаусдорфова. В силу предыдущих замечаний и определения индуктивного предела (гл. II, разд. 6) достаточно показать, что То — сильнейшая локально выпуклая топология на L, в которой все вложения fa- La-*L (а^Н) непрерывны. Так как Н конфинально в С, то всякий порядковый интервал [х, у\ с L содержится в образе некоторого интервала [—а, а], где иеН, и, следовательно, ограничен в топологии 2 индуктивного предела, так что д0 сильее 2. С другой стороны, если W — выпуклая окрестность нуля в (L, Zq), то W поглощает все порядковые интервалы в L, откуда вытекает, что f”1 (IF) является окрестностью нуля в L (а е Н) и, значит, I сильнее То.
Следствие 1. Если порядок на L регулярен и каждая положительная последовательность типа Iх в L порядково суммируема, то (L, $у) бочечно.
Доказательство. Действительно, из предположения в силу (6.2) вытекает, что каждое пространство La (а е Н( нормируемо и полно, а следовательно, бочечно; таким образом, наше утверждение получается из (11,7.2).
Следствие 2. Если порядок в L регулярен и положительный конус С удовлетворяет условию (D) из (1.1), то С нормален в топологии То (.следовательно, сопряженным к (L, 20) является L+\
Доказательство. По определению топологии индуктивного предела базис окрестностей нуля топологии То задается семейством всех выпуклых радиальных подмножеств U a L, таких, что
V = U П (С — С) имеет вид V = Г {рй [— а, а]: а е //}, где а —> ра — некоторое отображение множества Н в множество положительных вещественных чисел. Мы докажем нормальность конуса С при помощи (3.1), (с), показав, что из х е U и уе[0, х] следует, что y^U. Если х е U и х^О, то х имеет вид х = 2 Х,гг, где z=i
2 I Xi | ^ 1 (Xt- eR) и zt е ра [ — аь аД V = Y • . nY Если у е [0, х], i=i1
п
то отсюда следует, что у ^ 2 I X, I рйДг-; повторно применяя (D), (=i1
получаем у = 2 I Xf | у;, где у;ерй.[0, аД (i=l, . .., nY Следова- i = l‘‘
тельно, yeV cU, что и требовалось доказать.
Замечание. Так как включение Lac Lb (где а, b <= С) эквивалентно неравенству а ^ ХЬ для подходящего скаляра X > 0, то в (6.3) достаточно потребовать, чтобы множество всех элементов вида Ха (0<Х<оо), где а пробегает множество Н, было конфинально с С (порядок $С). В частности, если L имеет порядковую единицу е, то достаточно взять Н = {е}. Заметим также, что индуктивный предел из (6.3) не является, вообще говоря, строгим (топология, индуцированная Lb на La (Ь>а), не является, вообще говоря, порядковой топологией в Lap Так, например, если L — это пространство V (ц) и а, b — соответствующие классы эквивалентности для двух функций f, g, таких, что O^f^g, причем / ограниченна, a g ц-существенно неограниченна, то топология в La строго сильнее, чем топология, индуцированная Lb на La (упр. 12).
Применим предыдущее описание топологии д0 к случаю, когда L — векторная решетка. Структура решетки отчасти компенсирует отсутствие порядковой единицы, и можно получить характеризацию топологии $0, сравнимую с (6.2).
Пусть L —регулярно упорядоченная векторная решетка и 5 — локально выпуклая топология на L. Тогда следующие утверждения эквивалентны-.
$ совпадает с порядковой топологией $0;
$ есть сильнейшая локально выпуклая топология на L, в которой конус С нормален;
2 есть топология Макки относительно двойственности (L, L+Y
Доказательство. Заметим, во-первых, что, согласно (1.4), I? = L+, и поскольку порядок на L предполагается регулярным, то (L, L+') является дуальной парой.
(а)Ф^(Ь): Так как положительный конус векторной решетки удовлетворяет условию (D) из (1.1), то из следствия 2 из предложения (6.3) вытекает, что С —нормальный конус в топологии До,
и, значит, ввиду следствия 2 из (3.1) Хо — сильнейшая топология, в которой конус С нормален.
(а)О(с): Так как (Д 2ОУ = Lb = L+, топология То согласована с двойственностью (L, L+\ Поскольку пространство (Д То) борнологическое, То с необходимостью оказывается топологией Макки относительно двойственности (Д L+).
Приводимое ни«е следствие является обобщением следствия 2 из (6.2).
Следствие. Пусть (Е, 2) — упорядоченное (рупространство (над R), которое является векторной решеткой. Тогда 2 = $0 в том и только том случае, когда положительный конус С с: Е нормален в (Е,
Доказательство. Если Т = То, то конус С нормален в силу (6.4). Обратно, если С —нормальный конус, то Е' = С' — С' согласно (3.3) и С' — С = Е+ по теореме (5.5) (так как С замкнуто в (Е, 2) и Е = С — СУ Наше утверждение следует теперь из 6.4, (с), поскольку, согласно (IV, 3.4), Е является пространством Макки.
Топологические векторные решетки
Пусть L — ТВП над R и векторная решетка. Рассмотрим отображения х—>|х|, х—>х+, х —> х~ пространства L в себя и отображения (х, y)-^sup(x, у) и (х, y)->inf(x, у) произведения LX L в L. Применяя тождества (1), (2) и (3) из разд. 1, нетрудно доказать, что непрерывность любого из этих отображений влечет за собой непрерывность (на самом деле даже равномерную непрерывность) всех остальных. В этом случае мы будем говорить, что «решеточные операции непрерывны» на L. Напомним, что подмножество Ас!, называется телесным, если из условий хе А и | у |Д|х | следует, что у е А. Назовем пространство L локально телесным, если ТВП L обладает базисом окрестностей нуля из телесных множеств.
Пусть L — ТВП над R и векторная решетка. Тогда следующие утверждения эквивалентных
L локально телесно;
положительный конус в L нормален и решеточные операции непрерывны.
Доказательство. (а)ф>(Ь): Пусть 11 —базис окрестностей нуля в L, состоящий из телесных множеств. Если xeI/eU и ОДуДх, то y^U, и, следовательно, положительный конус С в L нормален согласно (3.1), (с). Кроме того, если х — x6eU, то
по формуле (6) из (1.1) мы имеем х+ — х+ е U (U ell), и, следовательно, решеточные операции непрерывны.
(Ь)=ф(а): Предположим, что конус С нормален и решеточные операции непрерывны. Пусть И —базис окрестностей нуля в L, состоящий из закругленных С-насыщенных множеств (разд. 3). Для заданного U е 11 выберем V е 11 и W е 11 так, что V + V с U и {х+: г G !1'} с I-'. Если х е IF, то — х е W, так как W — закругленное множество. Следовательно, х+ и х~ = ( — х)+ лежат в V и | х | = х+ + х~ е U. Если |z/|^|x|, то у е [— | х |, | х | ]. Следовательно, так как U является С-насыщенным, отсюда вытекает включение y^U. Поэтому множество элементов у, для которых найдется х е IF, такой, что | у | ^| х |, образует окрестность нуля, содержащуюся в U и, очевидно, телесную.
Весьма вероятно, что для ТВП, являющихся векторными решетками, как и для более общих типов упорядоченных ТВП, аксиома (ЛТП) (замкнутость положительного конуса) сама по себе слишком слаба, чтобы приводить к полезным результатам. Определим топологическую векторную решетку как векторную решетку и локально телесное хаусдорфово ТВП над R. Из предложения (7.2) станет ясно, что при этих условиях положительный конус в L автоматически замкнут, и, стало быть, всякая топологическая векторная решетка представляет собой упорядоченное ТВП над R.
Локально выпуклая векторная решетка (сокращенно ЛВР) —это топологическая векторная решетка, топология которой локально выпукла. Всякое телесное множество закруглено (относительно R; см. (4) из (1.1)); следовательно, топологическая векторная решетка имеет базис из закругленных телесных окрестностей нуля. Так как выпуклая оболочка телесного множества телесна (а следовательно, закруглена), то ЛВР обладает базисом окрестностей нуля из выпуклых телесных множеств. Функционал Минковского р радиального выпуклого телесного множества характеризуется тем, что он является преднормой, для которой неравенство |г/|^|х| влечет за собой неравенство р (у) ^ р (х), и называется решеточной преднормой на L. Поэтому топология ЛВР может порождаться семейством решеточных преднорм (например, семейством всех непрерывных решеточных преднорм).
Решетка Фреше — это ЛВР, являющаяся (Е)-пространством; нормированная решетка — это нормированное пространство (над R) с телесным единичным шаром {х: ||xll^ 1}. Воспользовавшись (I, 1.5) и равномерной непрерывностью решеточных операций, легко заметить, что относительно продолженных по непрерывности решеточных операций пополнение топологической векторной решетки также является топологической векторной решеткой. В частности, пополнение нормированной решетки является полной нормированной решеткой. Полная нормированная решетка называется банаховой
решеткой. Приведем некоторые элементарные следствия из определения топологической векторной решетки.
В любой топологической векторной решетке L положительный конус С является замкнутым, нормальным и строгим Ъ-кону- сом. Если L порядково полно, то всякая полоса замкнута в L.
Доказательство. Согласно (7.1), С —нормальный конус, и так как С = {х: х- = 0}, то С замкнут, поскольку топология на L хаусдорфова и отображение х—>х~ непрерывно. Для того чтобы показать, что С —строгий У-конус, напомним, что если В — закругленное ограниченное множество, то В+ = В- и, следовательно, В cz В+— В+. Достаточно поэтому показать, что если В ограниченно, то и В+ ограниченно. Если В ограниченно и U — заданная телесная окрестность нуля в L, то найдется Л>0, такое, что В с XU. Поскольку множество XU, очевидно, телесно, отсюда следует включение B+czXU. Следовательно, множество В+ ограниченно. Наконец, если Л —полоса в L, то Л = Л±Л ввиду следствия 1 из (1.3). Всякое множество (a}1 = [xEL: inf (| х |, | а |) = 0} замкнуто, так как L хаусдорфово и отображение х —> inf (| х |, | а |) непрерывно; поэтому множество Л= П ({«}±: аеЛ1} замкнуто.
Примеры. 1. Банаховы пространства (над R) Lp (ц) (гл. II, разд. 2, пример 2) являются банаховыми решетками в своем каноническом упорядочении. Ниже будет показано, что они порядково полны при р < оо. Пространства L1 (ц) и L°° (ц) — важные конкретные примеры, которые будут обсуждаться в разд. 8. Соответствующие пространства над С могут быть включены в обсуждение, так как они являются комплексификациями (гл. I, разд. 7) своих вещественных аналогов.
Пусть Л — подпространство в со^, такое, что Л = ЛХХ (гл. IV, разд. 1, пример 4); X — совершенное пространство в смысле Кете [5]. В своей нормальной топологии (Кёте [5], Перессини [2] ) пространство Л представляет собой ЛВР, если оно наделено каноническим порядком как подпространство в со^. Нормальная топология — это топология равномерной сходимости на всех порядковых интервалах из Xх и слабейшая топология, согласованная с двойственностью <Л, Хх\ в которой решеточные операции непрерывны (упр. 20).
Пусть X — локально компактное (хаусдорфово) пространство и Е — пространство всех вещественных функций с компактным носителем в X, наделенное топологией индуктивного предела (гл. II, разд. 6. пример 3). Тогда топология пространства Е совпадает с порядковой топологией $0 (разд. 6), так что Е — локально выпуклая векторная решетка (см. (7.3) ). При этом ТВП Е, вообще говоря, не является порядково полным. Сопряженным к ^Е, $0) является порядково сопряженное Е+ к Е (пространство всех вещественных мер Радона на X). В своем каноническом упорядочении Е+ представляет собой порядково полную векторную решетку (в силу следствия из (1.4) ) и ЛВР относительно сильной топологии р (Е+, е) (см. (7.4) ниже). Особый интерес представляют пространства Е = ^ (X), когда X компактно (разд. 8).
Дополним теперь результаты о порядковой топологии 2, полученные в предыдущем разделе.
Пусть Е — регулярно упорядоченная векторная решетка. Тогда порядковая топология л0 есть сильнейшая топология 2 на Е. такая, что (^Е, Т) —ЛВР. Если, кроме того, пространство Е порядково полно, то (Е, То) бочечно и всякое разложение Е на ортогональные полосы является топологической прямой суммой относительно топологии То.
Доказательство. В силу (6.1) (а также потому, что Е+ = Еь согласно (1.4)) условие регулярности порядка на Е достаточно (и необходимо, см. упр. 19) для того, чтобы топология $0 была хаусдорфовой. Согласно (6.3), пространство (Е, 10) представляет собой индуктивный предел нормированных пространств Еа^а^0\ которые оказываются в данных обстоятельствах нормированными решетками. Можно показать (как при доказательстве следствия 2 из (6.3)), что выпуклая закругленная оболочка любого семейства {рй[ — а, а]: а^О) телесна, и, следовательно, ТВП (Е, Хо) локально телесно. Тот факт, что То является сильнейшей топологией X, относительно которой (Е, I) есть ЛВР, следует тогда из (6.4), (Ь), поскольку положительный конус нормален для всех таких топологий (см. 7.1). Если пространство Е порядково полно, то, очевидно, всякая положительная последовательность типа /* порядково суммируема. Следовательно, ТВП (Е, То) бочечно в силу следствия 1 из (6.3). Последнее утверждение вытекает из следствия предложения (6.1), поскольку топология 10 индуцирует на каждой полосе В сг Е порядковую топологию полосы В (упр. 12).
Следствие 1. Если порядок векторной решетки Е регулярен, то (Е, д0) есть ЛВР, топология которой порождается семейством всех решеточных полунорм на Е.
Из следствия предложения (6.4) мы получаем:
Следствие 2. Пусть Е — векторная решетка и упорядоченное (Е)-пространство с нормальным положительным конусом. Тогда, решеточные операции непрерывны на Е.
Интересно, что сильное сопряженное к ЛВР Е отражает свойства Е в усиленной форме. Добавим, что Ер полно, если Е бочечно, (Как было показано в гл. IV, разд. 6, сильное сопряженное к бочечному ЛВП, вообще говоря, неполно.)
Теорема. Пусть Е —ЛВР. Тогда сильное сопряженное Ер является порядково полной ЛВР в своем каноническом упорядочении и телесным подпространством пространства ЕН Если, кроме того, Е бочечно, то Е' —полоса в Е+ и Ец — полное ЛВП.
Доказательство. Так как положительный конус СсЕ нормален в (Е, 5) в силу (7.2), то из (3.3) следует, что Е' = С' — С' а czC*~C* = E+.
Из следствия предложения (1.5) вытекает, что поляра U° любой телесной окрестности нуля U в Е является телесным подмножеством в Е+. Так как Е' представляет собой объединение всех таких поляр, когда U пробегает базис телесных окрестностей нуля, то Е' — телесное подпространство и, следовательно, подрешетка в Е+. Отсюда, в частности, следует, что Е' — порядково полная подрешетка в Е+. Чтобы убедиться в том, что Е'— ЛВР в сильной топологии р(Е', Е), достаточно заметить, что семейство всех телесных ограниченных подмножеств пространства Е образует фундаментальное семейство ограниченных множеств. Согласно следствию из (1.5), поляры В° (относительно двойственности (Е, ЕД) всех таких множеств В образуют базис окрестностей нуля в топологии р(Е', Е), состоящий из телесных подмножеств пространства Е'.
Пусть ТВП (Е, 2) бочечно и S — направленное по возрастанию подмножество сопряженного конуса С', мажорируемое в Е+. Тогда всякое сечение множества S ограничено в топологии о (Е+, Е), а следовательно, и в топологии о(Е', Е) и потому о (Е', Е)-отно- сительно компактно (см. IV, 5.2). Стало быть, фильтр сечений подмножества S слабо сходится к некоторому f е С', и из определения порядка в Е' ясно, что f = supS (см. предложение (4.2), которое, однако, не потребуется в дальнейшем). Так как выше мы показали, что Е' является телесной подрешеткой в Е+, то теперь ясно, что Е'— полоса в Е+.
Осталось показать, что если ТВП (Е, 2) бочечно, то (Е',р(Е', Е)) полно. Заметим, во-первых, что пространство Е+, которое, согласно (6.1), является сопряженным к (Е, То) (Е+ = Еь в силу (1.4)), полно в топологии р(Е+, Е) по теореме (IV, 6.1) как сильное сопряженное к борнологическому пространству. Из предыдущего результата и из (7.3) следует поэтому, что (Е+, 0(Е+, Е)) является ЛВР. Предложение (7.2) показывает, что пространство Е', будучи полосой в Е+, замкнуто в (Е+, р(Е+, £)) и, следовательно, полно в топологии, индуцированной Р(Е+, Е). С другой стороны, эта последняя топология слабее, чем Р(Е', Е), поскольку X слабее $0. Таким образом, если 2 — фильтр Коши в (Е', Р(Е', Е)), то § имеет в топологии р(Е+, Е) единственный предел g^E'. Очевидно, 3 сходится к g поточечно на Е, и (поскольку 8 — фильтр Коши в топологии p(Ez, Е)) легко видеть, что lini(5 = g и в топологии Р(Е', Е). Доказательство завершено.
Следствие 1. Всякая рефлексивная локально выпуклая векторная решетка порядково полна и полна как ЛВП.
Действительно, сильное сопряженное к Е представляет собой ЛВР, которая рефлексивна согласно следствию 1 из теоремы (IV, 5.6), и, значит, является бочечным ЛВП, так что Е может быть отождествлено (при каноническом вложении) с сильным сопряженным к Ер. Более общо, если Е—полурефлексивная ЛВР, то Е поряд- ково полно и полно в топологии Р(Е', Е) (см. ниже следствие 2 из (7.5)).
Следствие 2. Если Е — нормированная решетка, то ее сильное сопряженное Е' является банаховой решеткой относительно сопряженной нормы и канонического порядка. Если, кроме того, Е — банахово пространство, то Е' — Е+.
Доказательство. Первое утверждение ясно, поскольку единичный шар пространства Е' есть телесное множество в силу следствия из (1.5). Второе утверждение вытекает из (5.5) и (7.2).
Следующий результат является топологическим аналогом (1.6).
Следствие 3. Пусть Е — квазибочечная ЛВР. Тогда пространство Е может быть отождествлено {при каноническом отображении во второе сопряженное Е") с топологической подрешеткой в Е" {которая является порядково полной ЛВР в своем каноническом упорядочении).
Доказательство. Предположение, что Е квазибочечно (гл. IV, разд. 5), означает в точности, что каноническое отображение х->х является гомеоморфизмом Е в Е". Остальное следует из (1.6), так как £' —телесное подпространство в Е+.
Тем не менее было бы серьезной ошибкой делать заключение из предыдущего следствия, что для бесконечного подмножества S с £, для которого в Е существует х = sup S, обязательно x = supS. Таким образом, даже если Е порядково полно, оно не может, вообще говоря, быть отождествлено (при каноническом вложении в Е") с порядковым пополнением подрешетки в Е". Так, например, пусть Е = /°° наделено обычной нормой и порядком. ТВП Е является порядково полной банаховой решеткой (действительно, Е можно отождествить с сильным сопряженным к банахову пространству /'). Обозначим через y,(nGN) вектор в Е, п первых координат которого равны 1, а остальные 0; {хге: хе N} является монотонной последовательностью в Е, такой, что sup хп = е, где е = (1, 1, ...). Пусть 2 = sup хп в Е" ( = Е++ со- пп
Гласно (5.5)). Мы утверждаем, что 2 #= ё. Поскольку Е' — С' — С', {х„} — слабая последовательность Коши в Е и 2 (f) = sup f {хп) для п
каждого f е (7; если бы мы имели 2 = ё, то последовательность {хп) должна была бы слабо сходиться к е в Е и, следовательно, сходиться по норме (см. теорему (4.3)). Но, с другой
стороны, для всех »eN и р е N имеет место равенство || хп+р — хп || = 1, что противоречит предыдущему. Отсюда следует, ЧТО 2<ё.
Наша ближайшая цель — охарактеризовать те локально выпуклые векторные решетки, которые могут быть отождествлены (при каноническом вложении) с порядково полными подрешетками их второго сопряженного Е"; это позволит, в частности, охарактеризовать порядково полные векторные решетки минимального типа (разд. 1). Фильтр § в порядково полной векторной решетке называется порядково сходящимся, если 8 содержит некоторое порядково ограниченное множество Y (и, следовательно, некоторый порядковый интервал) и
sup (inf У) = inf (sup У),у у
где У пробегает все порядково ограниченные множества У е& Общее значение правой и левой частей называется порядковым пределом фильтра й- Заметим также, что если £ —ЛВР, то второе сопряженное Е" к Е есть ЛВР в своей естественной топологии (в топологии равномерной сходимости на равностепенно непрерывных подмножествах из Е', гл. IV, разд. 5). Действительно, поляра всякой телесной окрестности нуля пространства Е является в силу следствия из (1. 5) телесным подмножеством в Е', поэтому семейство всех телесных равностепенно непрерывных подмножеств пространства Е' является фундаментальным семейством равностепенно непрерывных множеств. Следовательно, соответствующие поляры (в Е") образуют базис окрестностей нуля в естественной топологии, состоящий из телесных множеств.
Пусть (Е, X) — порядково полная ЛВР и пусть Е" наделено естественной топологией и каноническим порядком (относительно которых оно является порядково полной ЛВР). Тогда следующие утверждения эквивалентны;
каноническое вложение устанавливает изоморфизм Е и порядково полной подрешетки в Е";
для всякого мажорируемого направленного по возрастанию подмножества S с Е фильтр сечений S сходится к sup S в топологии X;
всякий порядково ограниченный фильтр в Е сходится к своему порядковому пределу в топологии 1,
Замечание. Эквивалентности остаются справедливыми, если опустить в (Ь) и (с) «к sup S» и «к порядковому пределу» соответственно. Если соответствующие фильтры сходятся в топологии %, то они автоматически сходятся к указанным пределам (см. (4.2) ).
Доказательство, (а) =^>(Ь): Пусть S — направленное по возрастанию подмножество пространства Е, такое, 4Tox0 = supS. Отождествляя Е с его каноническим образом в Е", мы получаем (по определению канонического порядка в Е"\ что f(x0) = = sup{/(x): х е S) для всякой непрерывной положительной линейной формы на Е. Отсюда следует, что фильтр сечений множества S сходится к х0 слабо, а значит, согласно (4.3), и в топологии 2, так как положительный конус С нормален в Е.
=ф (с): Пусть 3 —порядково сходящийся фильтр в Е с порядковым пределом х0 и ® — базис фильтра F, состоящий из всех порядково ограниченных подмножеств Keg. Пусть а (У) = = inf У (У е ®). Семейство {а (У): У е ®) направлено по возрастанию и имеет верхнюю грань х0. Следовательно, по предположению фильтр его сечений сходится к х0 в топологии 2. Аналогично если b (У) = sup У, то семейство {6 (У): У ей) направлено по убыванию и имеет нижнюю грань х0; следовательно, фильтр его сечений сходится к х0 в топологии 2. Пусть U — некоторая С-на- сыщенная окрестность нуля пространства Е. Тогда найдется множество У0 е ®, такое, что а (Уо) е х0 + U и b (Уо) е х0 + U, откуда следует, что Уо се х^ + U. Так как (конус С нормален) семейство всех С-насыщенных окрестностей нуля образует базис в нуле, то отсюда следует, что 3 сходится к х0 в топологии 2.
(с)=ф(а): Пусть S — направленное по возрастанию подмножество пространства Е, такое, что х0 — sup S. Ясно, что фильтр сечений множества S будет порядково сходящимся к порядковому пределу х0, и, следовательно, он сходится к х0 в топологии 2 согласно предположению. Отсюда вытекает, что f (x0) = sup {) (х): xeS} для всякого f е С'. Следовательно, по определению порядка в Е" это повлечет за собой равенство x0 = supS, где х-*х — каноническое вложение Е в Е". Доказательство закончено.
Следствие 1. Пусть Е — регулярно упорядоченная порядково полная векторная решетка. Тогда следующие утверждения эквивалентны-.
Е — пространство минимального типа-,
для всякого мажорируемого направленного по возрастанию подмножества S cz Е фильтр его сечений сходится в топологии 2g к sup S;
всякий сходящийся фильтр в Е сходится в топологии 2g.
Кроме того, если Е минимально, то 20 оказывается сильнейшей локально выпуклой топологией в Е, в которой всякий порядково сходящийся фильтр сходится.
Доказательство. Применяя (7.5) к (£, 20), мы видим, что Е'= Е* и по теореме (7.4) Е" = (ЕН, р(£+, Д))' —телесное
подпространство в £++. Следовательно, пространство Е минимально (т. е. изоморфно некоторой порядково полной подрешетке в £++ при каноническом вложении) в том и только том случае, когда оно изоморфно порядково полной подрешетке в Е, что и доказывает первое утверждение.
Для доказательства второго утверждения остается только показать, принимая во внимание (с), что любая локально выпуклая топология $ на £, в которой всякий порядково сходящийся фильтр сходится, слабее топологии 20. Итак, пусть 2 — такая топология и фиксировано а гС. Семейство {е[— а, а]: е>0} (seR) представляет собой базис фильтра в Е; ясно, что соответствующий фильтр является порядково сходящимся и имеет 0 своим порядковым пределом (пространство Е регулярно и, следовательно, архимедово упорядочено). Таким образом, если U — выпуклая окрестность нуля в топологии X, то найдется е>0, такое, что е [—а, а] cz U. Стало быть, множество U поглощает любой порядковый интервал в Е, откуда вытекает, что топология 2 слабее 20.
Следствие 2. Пусть Е— полурефлексивная ЛВР. Тогда Е порядково полно. Если, кроме того, всякая положительная линейная форма на Е непрерывна, то Е — пространство минимального типа, т(£, £') = 20 и ТВП (£, 20) рефлексивно.
Доказательство. Первое утверждение сразу вытекает из следствия 2 теоремы (4.3). Если всякая положительная линейная форма на Е непрерывна, то Е'= Е+ и равенство т (£, £') = 20 следует из (6.4) в силу регулярности порядка на Е ((4.1), следствие 2). Таким образом, пространство Е минимально согласно следствию 1, так как фильтр сечений на любом мажорируемом направленном по возрастанию подмножестве ScE, слабо сходящийся к sup 5, сходится и в топологии 20 по теореме (4.3). Наконец, ТВП (£, 2О) рефлексивно, поскольку оно полурефлексивно и (согласно (7.3)) бочечно.
Примеры. 4. Каждая из банаховых решеток LP (р) (1<р< + оо) (гл. II, разд. 2, пример 2, К = R) порядково полна и минимального типа. В частности, нормированная топология является сильнейшей локально выпуклой топологией, в которой всякий порядково ограниченный фильтр сходится.
Банахова решетка I? (р) порядково полна и минимального типа. Действительно, если S — направленное по возрастанию подмножество положительного конуса С, мажорируемое элементом h, то для всякого подмножества {fi, ■ • -, М — S, такого, что /] < ■ • • ^ fn, мы имеем
II h ~ fi II = II h — fn II + II fn ~ fn -1 II + • • • + II (г ~ Л II,
так как норма пространства L1 (р) аддитивна на С. Это показывает, что фильтр сечений множества 3 является фильтром Коши в нормированной топологии и, следовательно, сходится. Поскольку последняя топология есть $0, отсюда следует, что L1 (р) — пространство минимального типа. Очевидно, эти рассуждения применимы к любой банаховой решетке, норма которой аддитивна на положи-
тельном конусе. Такие решетки называются абстрактными (^-пространствами (см. Какутани [1] и разд. 8 ниже).
Предположим, что мера р вполне о-конечна. Пространство L°° (р), будучи сильным сопряженным к L1 (р), является порядково полной банаховой решеткой по теореме (7.4). Вообще говоря, как показывает пример, предшествующий предложению (7.5), эти пространства не являются пространствами минимального типа и, следовательно (в противоположность L1 (р)), не являются полосами в своих порядково сопряженных.
Любое совершенное пространство (пример 2 выше) порядково полно. Оно является пространством минимального типа, если всякий порядковый интервал о (Л, Л+)-компактен.
Как мы ранее заметили, упорядоченные векторные пространства, обладающие порядковой единицей, встречаются сравнительно редко. Ниже, в разд. 8, будет показано, что всякая банахова решетка с порядковой единицей изоморфна (как упорядоченное ТВП) пространству ^ц^Х) для некоторого подходящего компакта X. Вместо единицы можно использовать более слабый объект, введенный Фрейденталем [1]: элемент х^О векторной решетки L называется слабой порядковой единицей, если равенство inf (х, | у |) = 0 влечет за собой равенство у = 0 для каждого y^L. Этому соответствует следующее топологическое понятие. Пусть L — упорядоченное ТВП. Элемент х^О называется квази- внутренней точкой положительного конуса С с L, если порядковый интервал [0, х] является тотальным подмножеством в L. Конец этого раздела посвящен некоторым результатам о слабых порядковых единицах и их связи с квазивнутренними точками конуса С.
Пусть Е — упорядоченное ЛВП над R, метризуемое и сепарабельное, и пусть положительный конус С а Е есть полное тотальное подмножество пространства Е. Тогда множество Q квазивнутренних точек конуса С плотно в С.
V 2 X то х0 = У —i—г1V 2 X то х0 = У —i—г1Доказательство. Так как множество С сепарабельно, существует счетное подмножество {хп; п е N} с С, плотное в С. Обозначим через {р^: п е N} возрастающую последовательность преднорм, порождающую топологию на Е. Так как С полно,
V 2 X то х0 = У —i—г
1
V 2 X то х0 = У —i—г
1
есть элемент конуса С. Далее, линейная оболочка
интервала [0, х0] содержит каждое x,JnsNi и, следовательно, плотна в С —С, а значит, и в Е. Таким образом^ х0 е Q. Очевидно, С, = {0} U Q является подконусом в С и Q = C(. Предполо
жим, что Q =т^ С. Согласно (11,9.2), существуют линейная форма feE', такая, что f(x)^0 при х е Q, и точка уеС, такая, что f(y)= — 1- Следовательно, существует такое Л>0, что /(х0 + Ху) <0, а это противоречит включению хйд- Ху г Q.
Следствие. Пусть Е — сепарабельная решетка Фреше. Тогда множество слабых порядковых единиц плотно в положительном конусе С пространства Е.
Доказательство. Достаточно показать, что любая квази- внутренняя точка в С является слабой порядковой единицей. Но если х — квазивнутренняя точка в С, то дизъюнктность у ± х влечет за собой дизъюнктность у и линейной оболочки интервала [0, х], которая плотна в Е. Следовательно, у = 0, так как решеточные операции непрерывны.
Замечание. Предположение, что ЛВП Е метризуемо и сепарабельно, нельзя отбросить в (,7.6). Так, например, если Е — локально выпуклая прямая сумма бесконечного множества экземпляров Ro или же гильбертова прямая сумма несчетного множества экземпляров Z2 (с каноническим порядком), то множество квазивнутренних точек конуса С (или, что то же самое, в силу 7.7 множество слабых порядковых единиц) пусто.
Пусть Е — порядково полная векторная решетка минимального типа. Тогда следующие утверждения эквивалентны для каждого элемента х>0:
х — слабая порядковая единица1,
f(x)>0 для всякой положительной линейной формы на Е;
х — квазивнутренняя точка положительного конуса для всякой порядковой топологии $ на Е, при которой (Е, 2) —ЛВП.
Доказательство. Если через Вх обозначить полосу в Е, порожденную {х}, то х по теореме (1.3) является порядковой единицей тогда и только тогда, когда ВХ = Е. Далее, если f — положительная линейная форма на Е, то, поскольку пространство Е минимально, равенство f(x) = 0 эквивалентно равенству f (Вх) = {0}. Тем самым доказана эквивалентность (а)О(Ь). Кроме того, так как ЛВП Е минимально, то равенство ВХ = Е эквивалентно утверждению, что линейная оболочка интервала [0, х] плотна в (Е, ?0) (так как замыкание любого телесного подпространства G в (Е, $0) содержит полосу, порожденную G). Следовательно, (а)=^(с), так как топология, упомянутая в (с), необходимо слабее, чем $0, согласно (7.3). Импликация (с)=>(а) очевидна, если принять во внимание непрерывность решеточных операций в (Е, д) (см. доказательство следствия из предложения (7.6)).
Например, в пространствах Lp (ц) (1^р< + оо) слабыми порядковыми единицами (или, что то же самое, квазивнутренними точками положительного конуса С) будут классы, содержащие функцию, которая строго положительна ц-почти всюду. Напротив, точка в Е°° (и) оказывается квазивнутренней точкой конуса С в точности тогда, когда она внутренняя точка С. Классы, содержащие функции строго положительные ц-почти всюду, являются слабыми
порядковыми единицами, но они не обязательно квазивнутренние точки конуса С. Следовательно, в (7.7) нельзя обойтись без предположения о минимальности.
Непрерывные функции на компактном пространстветеоремы Стоуна — Вейерштрасса и Какутани
Этот параграф посвящен некоторым теоремам о банаховых решетках типа 48 (X), где X — компактное пространство. В частности, здесь даны порядковый и алгебраический варианты теоремы Стоуна — Вейерштрасса и теоремы о представлении для (АМ)-пространств с единицей и для (АТ)-пространств. Для детального рассмотрения этого круга идей, который тесно связан с теоремой Крейна — Мильмана, мы отсылаем к книге Дэя [2]; настоящий раздел может рассматриваться как иллюстрация общей теории упорядоченных векторных пространств и решеток, развитой ранее.
С небольшой модификацией большинство из получаемых ниже результатов может быть приложено к пространствам ^(Х) (непрерывные функции на локально компактном пространстве X, обращающиеся в нуль на бесконечности); ^(Х) можно рассматривать как телесную подрешетку коразмерности 1 в ^ (X), где X обозначает одноточечную компактификацию пространства X.
За одним исключением (см. предложение (8.3) ниже), мы будем рассматривать в этом разделе только векторные пространства над вещественным полем R; с необходимыми изменениями многие из результатов могут быть без труда обобщены на комплексный случай, так как комплексное ^ (X) есть комплексификация (гл. I, разд. 7) вещественного ^ (X); предложение (8.3) служит примером обобщения такого типа.
Во избежание двусмысленности ^R(X) будет обозначать банахову решетку вещественных непрерывных функций на X, ^с(Х) — обозначать (В)-пространство всех комплексных непрерывных функций на X. Напомним некоторые элементарные факты относительно банаховой решетки ^R (X), где Х=^ 0 есть компактное пространство.
Пространство ^к (X) обладает порядковыми единицами; fe^R (X) является порядковой единицей в том и только том случае, когда inf{f(O: <еХ}>0. Таким образом, порядковые единицы ^R (X) — эго в точности те функции, которые лежат внутри положительного конуса С.
Среди них выделяется функция е (тождественная единица); действительно, норма f -» || f || = sup {| f (0 |: t е X} является функционалом Минковского ре интервала [— е, е], и топология ^r^X), конечно, совпадает с порядковой топологией д0 (разд. 6). Мы начнем со следующего классического результата — теоретико-порядковой формы теоремы Стоуна — Вейерштрасса.
Теорема. Пусть F — векторная подрешетка ^R(X), которая содержит е и разделяет точки на X. Тогда F плотно в ^^(Х).
Замечание. В последующем доказательстве будет показано, что подмножество F с XR (X) плотно, если оно удовлетворяет следующему условию: F образует (не обязательно линейную) подрешетку решетки %^ (X) и для всяких е>0 и четверки (s t; а, 0) е X2 X R2, такой, что а = Р при s = t, найдется функция f е F, такая, что | f (s) — а | < е и | f (/) — р | < в.
Доказательство (8.1). Пусть s, / — заданные точки из X и а, р — заданные вещественные числа, такие, что а = р при s = t. Из исходного предположения следует существование такого f^F, что / (s) = a, f (О = р. Это очевидно при s = t, так как eeF. Если s^=t, то найдется ge^F, такое, что g (s) =£ g (t) и подходящая линейная комбинация е и g будет удовлетворять требованию.
Пусть теперь he^^fXf и задано е>0, и пусть s — фиксированный элемент компакта X. Тогда для всякого teX найдется ftEF, такое, что fz (s) =/г (s) и Д (/) = h (/). Множество Ut = = {г е X: ft (г) > h (г) — е} открыто и содержит /, поэтому V = (J Ut.
Так как X — компакт, то существует конечное множество {/ь ..., /Д, такое, что X = (J Ut . Используя решеточное свойство F, обра-
V=1
зуем функцию g's = sup[^i, . .., fzJ. Очевидно, gs (/) > h (t) - в для всех t е X, так как каждое / содержится по крайней мере в одном Ut . Более того, gs(s) = A(s).
Далее, применяя эту процедуру к каждому seX, мы получим семейство (щ: s е X} в F, такое, что ^ (s) = h(s) при всех s е X и gsktf>h(tf — s для всех ieX и seX. Множество Vs = = {г g X: gs (г) < h (г) + е} открыто и содержит s. Следовательно, X = (J Vs; так как X — компакт, то существует конечное множе
ство {д, ..., s^, такое, что X = (J Vs Пусть g = inf (gSi, .,., gsJ.
Ц = 1
Тогда g (= F и h (r) — в < g (r) < h (r) + e для всех геХ; следовательно, || h — g || < e.
В алгебраической форме теоремы Стоуна — Вейерштрасса гипотеза, что F — подрешетка <g’R(X), заменяется предположением, что F — подалгебра (т. е. подпространство ^(Х), инвариантное относительно операции умножения функций).
В нашем доказательстве мы следуем де Бранжу [1]. Доказательство является интересным приложением теоремы Крейна — Мильмана и дает еще одно приложение понятия радоновской меры, иное, нежели это было ранее (гл. IV, разд. 9 и 10).
Пространство X^\Xf всех (вещественных) радоновских мер на X является (по определению) сопряженным к ^R(X) (гл. II, разд. 2,
пример 3); так как Е — банахова решетка, JfR(X), согласно следствию 2 теоремы (7.4), также банахова решетка относительно своей дуальной нормы и канонического порядка.
Таким образом, || и II = III И III Для любого pE/R(X). Если р^О, то || р || = sup {р ^у. fE[-e, е]} = р(е). Отсюда следует, что || р || = р+ (е) + р- (е) для всех це^к(Х). Если фиксировать g е^в^ХУ то и: f->gf (поточечное умножение) является непрерывным линейным отображением ^rW в себя. Образ pe^R(X) при сопряженном к и отображении и' есть некоторая радонова мера, которую мы обозначим через g • р. Очевидно, | g • р | ^ ^llglllpl и, следовательно, и' оставляет инвариантной каждую полосу в XR(X). В частности, если g^O, то g • р = g-p+ — g'P-, где inf (g • р+, g • р~) = 0. Из (1.1) следует, что в этом случае 1g • Р)+ = 8 ' Н+> U 1 НГ = g • Р" и | g • р I = g • | р I.
Носитель функции f е fFK (X) — это замыкание подмножества S; = У е X: f^^Oy Мы определим носитель 5Ц меры ре.# ДУ) как дополнение (в X) наибольшего открытого множества U, такого, что из SfdU следует р(/) = 0 (или, что то же самое, из Sfc:U следует | р | (/) = 0). Применение теоремы Урысона (см. гл. «Предварительные сведения») показывает, что если /ДО и рДО, то р (Л = 0 в том и только том случае, когда /Д) = 0 для всякого iE.S|r Отметим частное следствие этого факта; если мера р такова, что 5Ц = {/0}, то р имеет вид р (f) = р (е) • f (<0) (значит, с точностью до множителя ple)#0, р есть значение в точке tQ\ При 5Ц = М имеем | р [f - f (/0) е] |< | р | (| f - f (/0) е |) = 0, что и утверждается. Наконец, р = 0 тогда и только тогда, когда 5Ц = 0.
Следующая лемма является теперь ключом к доказательству (8.2).
Лемма. Пусть F — подпространство ^r{X) и радонова мера р есть экстремальная точка множества П Q [ —е, е]° cz Xr^X\ Тогда если функция g^^R^ такова, что g • р е F°, то g постоянна на S^.
Доказательство. Если р = 0, то и доказывать нечего. В противном случае можно заранее считать, что g Д 0 и | р | (g) = 1 (добавив подходящую константу к исходному g и затем нормализовав). Предположим сначала, что g^e. Так как р —экстремальная точка Е°П[— в, е]°, то ||р||= 1. Это означает, что lli|(e-g) = ||pll-|pl(g) = O, откуда следует, что 1=е(0 = ^(0 для всех t е. S^ в силу замечаний предыдущей леммы. Мы завершим доказательство, показав, что неравенство ||g||>l невозможно. Действительно, предположим, что || g || > 1. Пусть р = || g II • Определим радоновские меры р( и р2, полагая р1 = grP и p2 = g-14 где gt = (е — Pg)/(1 — р). Мы видим, что р:ЕР, р2 е Е0 и что
I Нг I = g • I Н I; следовательно, || р2 II" g • I Н I (е) = 1- Кроме того, Р^ = ^ГН+ и pr = gVP~, так как gt>0 и | ц, || = ц+(е) + ц-(е). Отсюда путем несложного вычисления легко установить, что || цЛ = 1. С другой стороны, легко видеть, что ц = (1 — р) щ + рц2. Это противоречит гипотезе, что ц — экстремальная точка множества Р П [— в, е]°.
Следующее утверждение является алгебраической формой теоремы Стоуна — Вейерштрасса.
Теорема. Пусть F — подалгебра ^(Ху содержащая е и разделяющая точки на X. Тогда F плотно в Ч^^ХУ
Доказательство. Множество К0 П [—е, е]° — это выпуклое закругленнре слабо компактное подмножество ЖтЛХУ Следовательно, согласно теореме Крейна —Мильмана (II, 10.4), в Р П [—е, е]° существует экстремальная точка ц. Так как F — подалгебра Fr (X), то каждое feF удовлетворяет относительно н предположениям леммы. Следовательно, любая функция }eF постоянна на носителе Su меры ц. Это, очевидно, невозможно, если 5И содержит хотя бы две точки, так как F разделяет точки на X. С другой стороны, если 5Ц = {/0}, то ц (f) = ц (с) / (/0), а отсюда следует, что любая функция [eF должна обратиться в 0 в точке t0, что невозможно, так как e^F. Так что 5Ц пусто, что влечет р = 0 и поэтому К° = {0}. Следовательно, F плотно в ‘Fr(X) в силу теоремы в биполяре (IV, 1.5).
Существенно, что предыдущая теорема является теоремой о вещественных алгебрах ^(Х); так, например, если X — единичный круг комплексной плоскости, a F — алгебра всех комплексных полиномов (сужение на X), то F разделяет точки в X и е е F, однако F не плотно в ^cW (любая функция feF голоморфна внутри X). Тем не менее и для комплексного случая можно получить некоторые результаты из (8.1) и (8.2), если обратить внимание на тот факт, что ^(Х) является комплексификацией ^R(X). Мы будем говорить, что подмножество F комплексной алгебры <^с(Х) инвариантно относительно сопряжения, если из отношения (eF следует, что f* е F (где f'(O = MO*> t е^ Ху Мы будем считать, что ^сЛХ) упорядочено с помощью конуса неотрицательных функций (разд. 2).
Комплексная теорема Стоуна — Вейерштрасса. Пусть F — векторное подпространство комплексного банахова пространства ^с (Я), такое, что е ^ F, F разделяет точки компакта X и F инвариантно относительно сопряжения. Тогда любое из следующих предположений ведет к тому, что F плотно в ^сДХУ.
F решеточно упорядочено-,
F — подалгебра ^с (X).
Доказательство. Если Fx обозначить подмножество пространства F, элементы которого суть вещественные функции, содержащиеся в F, то F = Ft + iF; в силу сопряженной инвариантности подпространства F. Очевидно, е е F, и Ft разделяет точки X, так как F обладает этими свойствами. Таким образом, если F решеточно упорядочено, то Ft — векторная решетка (разд. 2). Теорема (8.1) показывает, что Fv плотно в ^(ХУ по теореме (8.2) то же самое верно, если F — подалгебра ^с№ Тогда Ft — подалгебра ^rW. Это завершает доказательство.
Существует обычай называть банахову решетку Е (Мф-про- странством (абстрактным (Е)-подпространством), если норма в ТВП Е аддитивна на положительном конусе С. Причиной такой терминологии служит то, что всякое пространство ЛДц) (над R) обладает этим свойством и что, обратно, всякое (АЕ)-пространство изоморфно (как банахова решетка) некоторому пространству L’(p) (Какутани [1]; см. упр. 22). Банахова решетка Е называется (АМ)- пространством (абстрактным (т)-пространством), если норма Е удовлетворяет условию ||sup(x, г/) || = sup (|| х |[, ||z/||) для всех х, у из положительного конуса С. ТВП Е называется (^.^-пространством с единицей, если, кроме того, существует и е С, такое, что [—и, и] является единичным шаром Е (такое и, очевидно, единственно и является порядковой единицей в £). Непосредственно видно, что всякая банахова решетка ^(Х) есть (АМ)-пространство с единицей (единицей будет функция е, всюду равная 1); мы покажем, что это свойство характеризует пространство ^ (X) (над R) среди банаховых решеток. Более общо, всякое (АМ)-пространство изоморфно замкнутой векторной подрешетке некоторого ^(Х) (Какутани [2]).
Докажем сначала следующие элементарные факты об (AL)- и (АМ)-пространствах; под сильным сопряженным к банаховой решетке Е мы будем понимать сопряженное Е'( = Е+^ с его естественной кормой и каноническим порядком.
Сильное сопряженное к (ХМУпространству с единицей есть (ХСУпространство и сильное сопряженное к (ХСУпространству есть (МЛУпространство с единицей. Более того, если Е — архимедово упорядоченная векторная решетка, и — порядковая единица в Е и ри — функционал Минковского множества [ — и, и], то пополнение пространства (Е, рф является (АМ)-пространством с единицей и.
Доказательство. Пусть Е есть (АМ)-пространство с единицей и, сильное сопряженное Е' является банаховой решеткой по теореме (7.4), (следствие 2). Если х' е С, то
|| х' || = sup (Кх, /) |: хе[ — и, и]} = (и, хф.
Следовательно, норма пространства Е' аддитивна на сопряженном конусе С'.
Пусть F есть (АЬ)-пространство. Тогда норма пространства F — аддитивная однородная вещественная функция на положительном конусе С, и, следовательно, она определяет (единственную) линейную форму f0 на F, такую, что f0 U) = II * II Для всех хе С; очевидно, мы имеем 0 ^fa е F'. Отсюда следует, что элемент g е F' по норме не превосходит 1 тогда и только тогда, когда g е [ — /о, f0], и, значит, норма сильного сопряженного Е' является функционалом Минковского для [— /0, f0].
Далее, если g^O, /г ^ 0 — элементы из F', такие, что || §■ [| = Ai, II /г II = А2, то g^Aj0 и h^FJm так как порядок на F' архимедов. Следовательно, || sup kg, A) II sup (Ai, A2), и здесь должно иметь место равенство или же оба соотношения || g II = Аь || /г II = А2 не могут выполняться. Поэтому при каноническом' упорядочении F' есть (АМ)-пространство с единицей f0.
Чтобы доказать третье утверждение, заметим, что если Е— архимедово упорядоченная векторная решетка и и — порядковая единица в Е, то ри — норма на £ и даже решеточная норма, так как множество [ — и, м], очевидно, телесно. Пополнение (£, ры) пространства (£, р^ образует банахову решетку (относительно непрерывного продолжения решеточных операций), единичным шаром которой служит множество {х е Е: — fku) ^f (х) ^ f (и), f е С'}, или, что то же самое, порядковый интервал [— и, и] в Е. Как и в предыдущем параграфе, отсюда следует, что (£, р„) есть (АМ)- пространство с единицей и. Это завершает доказательство.
Пусть Е =^ {0} есть (АМ)-пространство с единицей м; пересечение гиперплоскости Н = \х'". ku, х'} = 1} с сопряженным конусом С' есть выпуклое, окЕ', £)-замкнутое подмножество Н° сопряженного единичного шара [ — и, м]°. Отсюда следует, что множество Но, называемое положительной гранью [— и, м]°, компактно в топологии окЕ', Е); значит, конус С' имеет слабо компактный базис, a t е HQ есть экстремальная точка множества Но тогда и только тогда, когда {А£ А ^ 0} — экстремальный луч в С' (гл. II, упр. 30).
Теперь мы можем доказать теорему Какутани о представлении для (АМ)-пространств с единицей [2].
Теорема. Пусть Е =^ {0} есть кХМУпространство с единицей и X — множество всех экстремальных точек положительной грани сопряженного единичного шара. Тогда множество X непусто и акЕ', Е)-компактно, а каноническое отображение хf ksdejit) = = kx, ty teX) представляет собой изоморфизм кХХ\.Упростран- ства Е на ^(Х).
Доказательство. Пусть и — единица в Е. Так как положительная грань Но сопряженного шара [ — и, м]° выпукла, то из
теоремы Крейна — Мильмана (II, 10.4) следует, что множество X экстремальных точек Яо непусто. Так как Яо —базис С', то из (1.7) следует, что !еА’в том и только том случае, когда / является решеточным гомоморфизмом Е на R, таким, что /(и)=1. Отсюда ясно, что множество X замкнуто и, значит, компактно в топологии ст (Я, £). Отображение x->f, очевидно, представляет собой линейный гомоморфизм Е в ^(Х), сохраняющий решеточные операции, поскольку каждое t е X — решеточный гомоморфизм.
Чтобы показать, что х -> f — изометрический изоморфизм, достаточно убедиться, что || f || = || х || при х ^ 0 (так как Е и ^(Х) — банаховы решетки). Для х^О мы имеем
|| х || = sup «х, х'У || х' IK 1} = sup «х, x'Y .'ГеНУ
Так как Яо есть о(Е', £)-замкнутая выпуклая оболочка множества X и каждое х е Е с Е" линейно и ст (Я, £)-непрерывно, то отсюда следует, что (х ^ 0)
sup {{х, х'У х' г Яо) = sup «х, ty / е X} = || /1|.
Таким образом, x->f есть изоморфизм Е на векторную подрешетку F C^R^X\ которая полна и содержит е (образ и). Так как Е разделяет точки в Я, а значит, и в X, то это влечет за собой, согласно (8.1), Р = ^Уху Доказательство закончено.
Мы завершим этот раздел двумя приложениями предыдущего результата; первое из них дает нам несколько большую информацию о структуре (АЕ)-пространств, второе — о более общих локально выпуклых векторных решетках.
Из (8.4) мы знаем, что сильное сопряженное £'( = £+) к (AL)- пространству Е является (АМ)-пространством с единицей, следовательно, по теореме (8.5) Е' может быть отождествлено с пространством ^(Х), где X — множество экстремальных точек положительной грани единичного шара в Е". По теореме (7.4) банахова решетка Е' порядково полна. Как интересное следствие отсюда вытекает, что компакт X экстремально не связан (т. е. что замыкание всякого открытого множества в X открыто).
Действительно, пусть подмножество СсХ открыто. Обозначим через S семейство всех fe^R^XV таких, что f е [0, е] и носитель S; содержится в G. Семейство S направлено по возрастанию и мажорируется элементом е. Следовательно, существует f0 = sup S. Так как G открыто, то отсюда в силу теоремы Урысона следует, что f0 (s) = 1 для всякого seG и fo(/) = O при t ^ G. Так что to необходимо является характеристической функцией G, поскольку непрерывно. Отсюда следует, что G открыто.
Поэтому если Е есть (АЕ)-пространство, то Я может быть отождествлено с пространством ^R (X), где X — экстремально несвязный компакт, и, значит, само Е может быть отождествлено
с замкнутым подпространством банаховой решетки XR(X), которая есть второе сильное сопряженное пространство к Е. Для того чтобы охарактеризовать Е в пределах J(R)X), рассмотрим такое подмножество Вс ^R(A), что цеВ тогда и только тогда, когда для каждого направленного по возрастанию мажорируемого подмножества Bcz'Fr^) справедливо равенство lim р (f) = р (sup В), fes
где предел берется по фильтру сечений множества В. Нетрудно убедиться, что В —векторная подрешетка пространства Л^Х). Действительно, если В направлено по возрастанию и f0 = supS и если fo^O (что не является ограничением общности), то для заданных це/J и е>0 существует разложение f0 = g0 + Ао (go^O, Ao^O), такое, что p+(A0)<e и p-(go)<e ((1.5), формула (7)). Воспользовавшись тем, что ц с В, мы после коротких вычислений получаем, что р+ (/Д < sup {ц1 (f): f с В) + Зе, откуда видно, что li ' e В. Таким образом, В является подрешеткой пространства ^к(Л'), которая, очевидно, телесна. Нетрудно показать, что В — полоса в Л^Х). Единственным утверждением, которое осталось доказать в следующей теореме о представлении, является утверждение, что В = Е.
Теорема. Пусть Е есть (AL)-пространство. Тогда банахова решетка Е' = (Е+) может быть отождествлена с ^r(X), где X — компактное экстремально несвязное пространство. Более того, Е при каноническом отображении Е —> Е" изоморфно полосе всех ^вещественных) радоновских мер ц на X, таких, что
Игл ц (f) = р (sup В)
для всякого мажорируемого направленного по возрастанию подмножества Sc$R(X).
Доказательство. Легко видеть, что, отождествляя Е' с ?61Г| и В с его каноническим образом в Е" cz Л^Х), мы имеем Е с В (относительно обозначений см. предыдущий параграф). Действительно, если множество В мажорируемо и направлено по возрастанию, то всякое сечение семейства В будет о Л', Е)-ограни- ченно и, следовательно, фильтр сечений о (£', £)-сходится к sup В. Отсюда и следует наше утверждение, так как каждый элемент це£ непрерывен в топологии о(Е', Е).
Чтобы доказать обратное включение, положим O^vgB.
Пусть po = sup[O, v] П Е. Тогда фильтр сечений множества [О, v] П Е является фильтром Коши относительно нормированной топологии, так как Е есть (АЬ)-пространство (разд. 7, пример 5), и, следовательно, р0 е Е, так как пространство Е полно в нормиро- ванчой топологии. Далее, pj = v — ц0 есть элемент В, решеточно
дизъюнктный с Е. Нужно показать, что это влечет за собой равенство Pj = 0 и, значит, В = Е согласно (1.3).
Обозначим через Тх носитель меры щ. Множество Т = Х\Тх открыто и ц, (Д = 0 для каждой функции f, носитель которой Т^ содержится в Т. Семейство всех f ^ [О, е], таких, что Т, с Т, направлено и его верхняя грань /0 необходимо является характеристической функцией замыкания Т. Так как щ ее В, то отсюда следует Ц1(/о) = О и, значит, Т П Тх = 0, откуда видно, что Тх открыто и замкнуто. Если Тх пусто, то доказательство закончено, следовательно, нужно предположить, что Тх =/= 0. Так как Тх открыто, то существует элемент ц е £, носитель которого пересекает Тх (другими словами, Е не разделяет точки пространства £' = ^(0)). Следовательно, существует положительная мера ц G £, такая, что || ц ||=1 и носитель и. содержится в Тх (достаточно взять положительное К^Е, для которого ^(g0)>0, где g0 = е — f0, и рассмотреть g0 • Х\
Доказательство будет завершено, если мы покажем, что это последнее утверждение неверно.
Пусть ert = 2~п (п g N). Согласно формуле (7) из (1.5), имеет место (так как inf (ц, ц^ = 0) разложение g0 = fn + f'n, где f„^0, ^>0; при этом ц1(/„)<е2, n(Q>e2, так что р. (f„)> 1 — е^ (neN).
Пусть Оп = У: fn(t)>&n} для всех п. Тогда Gn открыто и Gn замкнуто и открыто. Будем писать ц(Л) вместо ц (%л) для всякого подмножества АсХ, характеристическая функция %л которого непрерывна. __
Имеем |Л[ (GJ < е„. Действительно, если цДСД^ е„, то это повлечет за собой неравенства р} (fn) ^ е^ц, (G^ ^ е2, что приводит к противоречию. Пусть теперь ^ = (J{Grt: п^й+1}. Тогда ЕД замкнуто и открыто и из отношения ц, е В следует, что ц, (ЯД < ек, так как характеристическая функция множества Нк является верхней гранью множества характеристических функций множеств Grt(n^E + l). Определим теперь gn, полагая gn = sup (fv: v^nJ ^n e N). Тогда семейство ^gn\ n s N} образует монотонно убывающую последовательность. Пусть A = inf{grt: n s N}. В дополнении к множеству Нк имеем fv(O^ev при всех v^E+1 и, следовательно, grt(0^en при всех n^k+L Очевидно, цД^^е^, поскольку ^1 (Н^ < ек. Это влечет за собой равенство ц.] (Л) = 0 и, значит, к = 0, так что носитель h содержится в Ть носителе меры щ. С другой стороны, мы имеем 11m ц (g„) = ц (Л) = О, так как lie£qB, что п
противоречит неравенству ц(/Д>1—е2, так как 0^^^^ для всех п. Это завершает доказательство теоремы (8.6).
Следствие 1. Всякий порядковый интервал в (AL)-пространстве Е слабо компактен.
Доказательство. Так как Е — полоса в Е"(=Е++\ то Е — телесное подпространство в Е". Таким образом, для всякой пары х, у е Е мы имеем [х, у] = (х + С) П {у — С) = (х + С") П {у — С"), где символы С, С" обозначают положительные конусы в Е, Е" соответственно.
Так как множество С” замкнуто в топологии о(Е", Е'), то отсюда следует, что [х, у] также о(Е", ЕДзамкнуто и, значит а (Е", Е')-компактно.
Следствие 2. Всякое (АЦ)-пространство Е является порядково полной векторной решеткой минимального типа. Напротив, его порядковое сопряженное Е+ будет минимального типа, только если Е конечномерно.
Доказательство. Так как Е можно отождествить с полосой в Е" = Е++, то оно, очевидно, минимального типа (разд. 7). Если, с другой стороны, Е+ (которое может быть отождествлено с ^ДА)) — пространство минимального типа, то, согласно следствию 1 из (7.5), фильтр сечений всякого упорядоченного по возрастанию мажорируемого множества S сходится к sup S в топологии простой сходимости (даже равномерно) на X, откуда следует, что всякое открытое множество в X замкнуто и, значит, топология пространства X дискретна. Так как X — компакт, то X должно быть конечным множеством и, следовательно, ТВП Е+ и Е конечномерны.
Вторым приложением (8.5) является следующий результат.
Пусть (Е, 2) — локально выпуклая векторная решетка, борнологическая и секвенциально полная. Тогда существует семейство компактных пространств Аа(аеА) и семейство векторных решеточных изоморфизмов fa: ^(А^-^Е (а еД), такое, что $ является сильнейшей локально выпуклой топологией на Е, для которой все fa непрерывны.
Доказательство. Согласно (5.5) и (6.4), из борнологич- ности (Е, 2) следует, что X совпадает с порядковой топологией Зф. Следовательно, в силу (6.3) (Е, 3) представляет собой индуктивный
предел подпространств (Ео, р^ (а е А), где Еа = (J п [аа, а„],
п =1
Ра - функционал Минковского интервала [аа, а„] в Еа и {аа: а е А) — направленное подмножество положительного конуса в Е, такое, что (jEa = E. В силу (6.2) каждое (Еа, рф является банаховой a
решеткой, а согласно (8.4), даже (АМ)-пространством с единицей аа. Поэтому по теореме (8.5) (Еа, ра) может быть отождествлено
с ^R^Xa) для некоторого компактного пространства Ха, и наше утверждение следует из определения индуктивной топологии (гл. II, разд. 6).
Упражнения
Предпорядком на множестве S называется всякое рефлексивное транзитивное бинарное отношение „<(“ на S. Говорят, что предпорядок на векторном пространстве L над R согласован (с векторной структурой А), если отношение х <( у влечет за собой отношения х + z <( у + г и Хх <( Ху для всех zgL и всех скаляров Х>0.
Пусть (A, S, ц) — пространство с мерой (гл. II, разд. 2, пример 2). Тогда отношение «f (t) g (/) почти всюду» (с точностью до множества ц-нуле- вой меры) определяет согласованный предпорядок на векторном пространстве (над R) всех вещественных S-измеримых функций на X.
Если «<(» — согласованный предпорядок, то отношение «х <_ у и у <_ х» будет отношением эквивалентности на L. Подмножество N, образованное элементами, эквивалентными 0, есть подпространство пространства L и L/N — упорядоченное векторное пространство, в котором отношение х^у означает, что существуют элементы х е х, у е у, такие, что х <( у.
Семейство всех согласованных предпорядков на векторном пространстве L над R находится во взаимно однозначном соответствии с семейством всех выпуклых конусов в L, имеющих своей вершиной 0.
Семейство всех совершенных векторных порядков (совершенных порядков, удовлетворяющих (ЛП)! и (ЛП)2, разд. 1) на векторном пространстве находится во взаимно однозначном соответствии с семейством всех максимальных собственных конусов (по включению). Вывести отсюда, что для всякого векторного порядка R на L существует совершенный векторный порядок, который слабее R (использовать лемму Цорна). Показать, что совершенный векторный порядок не может быть архимедовым, если размерность пространства L превосходит 1.
Пусть /. — упорядоченное векторное пространство с положительным конусом С. Пусть N — подпространство L, Обозначим через С канонический образ С в L[N.
Если пространство N С-насыщенно, то С определяет канонический порядок в L/N.
Если L — ТВП и если для всякой окрестности нуля V в L существует окрестность нуля U, такая, что [(// + N) П С] с V + N, то С — нормальный конус в фактортопологии (сравните с доказательством предложения (3.1)).
Если /. — топологическая векторная решетка и N — замкнутая телесная подрешетка, то факторпространство L]N является топологической векторной решеткой относительно фактортопологии и канонического порядка (см. упр. 12 ниже) (используйте предшествующий пункт (Ь) и (7.1) ).
Рассмотрим упорядоченное комплексное пространство L = CN, определенное конусом С, где х = (хп) е С в том и только том случае, когда либо х = 0, либо Rexn^0(neN) и Imxl>0. Покажите, что сопряженный конус С* с L* разделяет точки в L, однако на L не существует хаусдорфовой топологии, при которой конус С был бы нормален.
Пусть {Еа: a g А) — семейство ЛВП, ®а — насыщенное семейство ограниченных подмножеств пространства Еа и Са есть ®а-конус в £с1(а е А). Покажите, что JJ Са является ©(-конусом в JJ Еа и © Ga является S2-KOHycoM '
аа
в ©/А где через S] и S2 обозначены семейства ТТ Sa и © ®а соответственно
“а
(гл. IV, разд. 4). Получите аналогичные результаты для семейства строгих ®а-конусов и исследуйте свойства S-конусов, сохраняющиеся при переходе к под-
пространствам и факторпространствам (используйте теоремы (IV, 4.1) и (3.3), а также упр. 3 выше).
Пусть Ф — пространство бесконечно дифференцируемых вещественных функций на R6 с компактным носителем и С — конус неотрицательных функций из Ф (разд. 3, пример 2).
Покажите, что С — строгий 23-конус, который не является нормальным.
Всякая положительная линейная форма на Ф непрерывна и имеет единственное продолжение, являющееся положительной линейной формой, на пространство всех непрерывных функций на Rft с компактным носителем. Выведите отсюда, что всякое положительное распределение определяет единственную положительную меру Радона на R6.
Если S — направленное по возрастанию, мажорируемое множество распределений, то существует f0 = sup 3 и при этом lim f = /о равномерно на каждом
I е 8
ограниченном подмножестве Ф.
Пусть Е, F — упорядоченные ЛВП с положительными конусами С и D соответственно, и предположим, что ЛВП F квазиполно. Кроме того, предположим, что С —нормальный конус, a D — строгий 23-конус. Тогда любое ядерное отображение ue2’(E,F') может быть представлено в виде и = их — и2, где иь и2 — положительные ядерные отображения. Примените это к случаю, когда Е ядерное и F — банахово пространство.
Обозначим через Е сепарабельное банахово пространство и предположим, что {хп: «е N}- максимальное топологически свободное подмножество Е. Пусть С —это множество всех линейных комбинаций элементов хл (n s N) с неотрицательными коэффициентами. Тогда следующие утверждения эквивалентны:
С —нормальный 23-конус в Е;
(xn: n g N} — безусловный базис в Е (гл. III, разд. 9) (используйте теорему (3.5); см. также Шефер [2] ).
(Теорема Дини.) Пусть X — локально компактное пространство. Обозначим через R(X) векторное пространство всех вещественных непрерывных функций иа X с топологией компактной сходимости. Если S — направленное по возрастанию подмножество R^XY такое, что его верхняя грань f0 конечна и непрерывна на X, то фильтр сечений S сходится к f0 в RYX\
Выведите отсюда другое доказательство (4.3), применяя (4.4).
Пусть L — упорядоченное векторное пространство над R с положительным конусом С.
L имеет порядковую единицу в том и только том случае, когда на L существует локально выпуклая топология, в которой С имеет непустую внутренность; если так, то всякая внутренняя точка С является порядковой единицей L.
Если ТВП (Е, X) таково, что конус С имеет внутренние точки, то каждая квазивнутренняя точка в С является внутренней.
Если (L, Ж) — ненормируемое хаусдорфово ТВП, в котором конус С нормалей, то L не имеет порядковой единицы.
Пусть L — упорядоченное векторное пространство над R с положительным конусом С. Если подпространство McL таково, что М + С = М — С, то всякая линейная форма /0 на М, положительная для канонического порядка М, может быть продолжена до положительной линейной формы на L (Дэй [2], § 6, теорема 1).
Пусть Lx, L2 — векторные решетки.
Если N — телесное подпространство в Lx, то канонический образ положительного конуса Lx в LX,N определяет канонический порядок на Lx/N, при котором Lx[N представляет собой векторную решетку и каноническое отображение LX->LX[N является решеточным гомоморфизмом. Если L порядково полно и N — полоса в Lx, то Lx/N изоморфно М1.
Линейное отображение и решетки Lx на L2 есть решеточный гомоморфизм в том и только том случае, когда и (С]) = С2 и подпространство N = u-1 (0) телесно в LX) где С], С2 — соответствующие положительные конуса. При этих
обстоятельствах взаимно однозначное отображение и0, ассоциированное с и, будет решеточным гомоморфизмом L^/N на Ь2.
Всякий векторный решеточный гомоморфизм и решетки Lt на Ь2 является топологическим гомоморфизмом относительно соответствующих порядковых топологий на Ех и Ь2. В частности, если N — телесное подпространство Lx, то топология на LJN есть фактортопология порядковой топологии на Ly.
Пусть пространство Ех порядково полно, N — полоса в Lx и Хо —порядковая топология на Lx. Тогда топология, индуцированная %0, есть порядковая топология на N.
Дайте пример порядково полной векторной решетки L и телесного подпространства М в L, таких, что %Q (на Z.) не индуцирует порядковую топологию пространства М. (См. замечание, предшествующее (6.4).)
Пусть (X, 2, р) — пространство с мерой (гл. II, разд. 2, пример 2), такое, что 2 содержит все точки, но не все подмножества X, и мера ц ограниченна. Тогда в своем каноническом порядке вещественные пространства $Р (ц) оказываются векторными решетками, которые счетно порядково полны (всякое счетное мажорируемое подмножество имеет верхнюю грань), но не порядково полны (1 ^ р ^ + оо).
Обозначим символом ц лебегову меру на вещественном интервале (0, 1]. Пусть L — вещественное пространство Lp (ц), где р — фиксировано, 0<р<1.
Относительно канонического порядка пространство L представляет собой порядково полную топологическую векторную решетку, такую, что £6 = Z.+ ={0} (использовать гл. I, упр. 6 и V, (5.5) ).
Выведите из (а), что порядок на L архимедов, но ие регулярен; положительный конус плотен в L для всякой локально выпуклой топологии на L и $0 — слабейшая топология на L.
Существует векторная подрешетка М с L, для которой множество М П С имеет непустую внутренность (в А4), но никакая положительная линейная форма на М не может быть продолжена до положительной линейной формы на L.
Двумерное подпространство в L, определяемое функциями t-> at-у-b (а, 6 е R), является в индуцированном порядке векторной решеткой, но не подрешеткой в L.
Пусть X =# 0 — множество, 2 —некоторая о-алгебра его подмножеств и Е — векторное пространство (над R), образованное всеми вещественными ограниченными 2-измеримыми функциями (т. е. такими функциями f, что f-1 (Л) в2 для всякого борелевского множества A cz R). Тогда Е, наделенное каноническим порядком и нормой «sup || ||», представляет собой (АМ)-пространство. Всякая положительная линейная форма на Е определяет вещественную конечно аддитивную неотрицательную функцию множеств на 2, и обратно. Следовательно, пространство £+ может быть отождествлено с векторной решеткой всех вещественных конечно аддитивных функций множества на 2, представленных в виде разности неотрицательных функций того же типа.
Пространство Е* порядково полно и счетно аддитивные на 2 функции множества ц G £+ образуют полосу М в Е+. Выведите отсюда, что всякая конечно аддитивная неотрицательная функция множества v на 2 имеет единственное представление v = V]+v2, где Vi, v2 неотрицательны, Vi счетно аддитивна и v2 счетно неаддитивна, за исключением случая v2 = 0.
Предположим, что 2 содержит все конечные (следовательно, все счетные) подмножества X, Назовем кратко элементы ц е М мерами на X. Меры р, такие, что р ({/}) = 0 для всякого t е X, называются диффузными; множество всех диффузных мер образует полосу Mj в М. Элементы дополнительной полосы Ма в М называются атомистическими, Покажите, что всякая атомистическая мера на X есть сумма (в топологии о(Е+, Е^ суммируемого семейства (anprt: п е N) (гл. III, упр. 23), где (ajel1 и каждая мера prt точечная
на X (т. е. ц ({/0}) = 1 для некоторого toe X и ц (Л) = 0 для всякого Л е S, не содержащего /0).
Проиллюстрируйте предыдущее, рассмотрев случай, когда X — компакт и S — семейство всех бэровских подмножеств X.
Пусть /. — упорядоченное векторное пространство над R. Монотонная (неубывающая) трансфинитная последовательность — это отображение а->аа множества всех порядковых чисел а<0 (где 0 — порядковое ^ 1) в L, такое, что из а1<а2(<0) следует аа ^ аа/ Предположим, что положительный конус С порождает L и С удовлетворяет условию (D) из (1.1).
Если всякая мажорируемая линейная трансфинитная последовательность в L обладает верхней гранью, то L — порядково полная векторная решетка.
Если на L существует линейная форма /, такая, что неравенство х>0 влечет за собой неравенство f (х) > О, то для порядковой полноты пространства L достаточно, чтобы всякая обычная мажорируемая монотонная последовательность имела верхнюю грань (Шефер [4] ).
Пусть /. — порядково полная векторная решетка. Обозначим через $ сильнейшую топологию на L, в которой всякий порядково сходящийся фильтр в L является S-сходящимся к своему порядковому пределу. Покажите, что топология $ инвариантна относительно сдвигов, обладает базисом окрестностей нуля из радиальных и закругленных множеств, но, вообще говоря, не удовлетворяет аксиоме (ЛТ)! (гл. I, разд. 1). (Покажите, что всякое одноточечное множество замкнуто, но тем не менее топология $ не обязательно хаусдорфова.)
Пусть Е, F — векторные решетки и пространство F порядково полно. Обозначим через Н cz L(E, F) конус всех положительных линейных отображений Е в F. Тогда подпространство М = Н — Н пространства L (Е, F) является порядково полной векторной решеткой в своем каноническом порядке, содержащей в точности те линейные отображения, которые отображают все порядковые интервалы Е в порядковые интервалы пространства F.
Напомним, что упорядоченное векторное пространство называется архимедовым, если для всякого у е L из неравенств х^п-1у для всех n eN следует неравенство х^О. Порядок на L называется почти архимедовым, если для любого у е L единственным элементом х, удовлетворяющим системе неравенств — п~ху ^ х ^ п~'у (п е N), будет х = 0.
Пусть пространство L почти архимедово упорядочено и обладает порядковой единицей. Тогда ТВП (£, $0) нормируемо и (£, $Q)' = Lb = L+.
Пусть L почти архимедово упорядочено и Lb разделяет точки в L. Тогда ТВП (£, д0) может быть по аналогии с (6.3) охарактеризовано как индуктивный предел. Если, кроме того, L еще и векторная решетка, то ^L, -Ту) — локально выпуклая векторная решетка.
. Пусть L почти архимедово упорядоченная векторная решетка, такая, что L+ разделяет точки на L. Тогда порядок L архимедов (следовательно, регулярен). (Используя (Ь), убедиться, что %0 — хаусдорфова топология, в которой положительный конус замкнут.)
Пусть Т — множество, содержащее по крайней мере два элемента, и £ — векторное пространство (над R) всех ограниченных вещественных функций на Т, упорядоченное отношением «g ^ f, если либо f = g, либо inf {((/) — — g (t): / е7'}>0». Тогда порядок на Е почти архимедов, но не архимедов.
Всякая порядково полная векторная решетка архимедово упорядочена.
(Непрерывность решеточных операций; см. Гордон [1], Перессини [1].)
Путь £ —упорядоченное ЛВП над R, положительный конус которого порождающий. Наделим Е' каноническим порядком. Обозначим через о (Е, Е') топологию равномерной сходимости на всех порядковых интервалах в Е'.
Если Е' есть С*-насыщенное подпространство Е +, то топология о (.Е, Е') согласована с двойственностью (£, £'). (Заметьте, что всякий порядковый интервал в Е' является о (Е', £)-компактным.)
Если Е — локально выпуклая векторная решетка, то о (Е, Е') — слабейшая топология на Е, инвариантная относительно сдвигов, которая сильнее о )Е, Е') и в которой решеточные операции непрерывны. Выведите отсюда, что если Е есть (АБ)-пространство, то нормированная топология является единственной топологией, согласованной с двойственностью (Е, Е'), в которой решеточные операции непрерывны.
Если Е — нормированная решетка, то решеточные операции слабо непрерывны тогда и только тогда, когда пространство Е конечномерно. (Используя (Ь), получите, что всякий порядковый интервал в Е' должен содержаться в конечномерном подпространстве Е', и покажите, что это неверно, если Е' не конечномерно.)
Если Е — локально выпуклая векторная решетка, то пополнение (Е', о (Е', Е)) может быть отождествлено с полосой в Е+, порожденной Е'. Выведите отсюда, что если ЛВП Е бочечно, то Е' полно в топологии о (Е', Е).
Пусть L — векторная решетка и Р — непустое множество положительных линейных форм на L. Тогда преднормы х -> f (| х |) (f еР) порождают локально выпуклую топологию $ на L, в которой решеточные операции непрерывны. Более точно, (Е, %)' есть наименьшее телесное подпространство М с L +, которое содержит Р, и если (Е, 5ц) — хаусдорфово ТВП, ассоциированное с (Е, 5), то (Е, 5]) — локально выпуклая векторная решетка, сопряженное которой Е' может быть отождествлено с М, и такая, что 51 = о (Е, Е').
Пусть Е — векторная решетка конечной размерности п.
Если L архимедово упорядочено, то L изоморфно R'1 в его каноническом порядке. [Убедитесь в том, что положительный конус С пространства L имеет непустую внутренность (доказательство леммы, предшествующей (4.1)), и, используя (8,4), покажите, что L изоморфно Е'р (X), где X содержит в точности п точек.]
Если пространство L неархимедово упорядочено, то существуют целые к и т, такие, что 2 ^ к ^ п, т^О, к + т = п, и такие, что L изоморфно Rg X R^1, где Rg упорядочено лексикографически, a Rg” —обычным образом (Биркгоф [1], гл. XV, теорема 1).
Пусть Е есть (АБ)-пространство.-
Если Е сепарабельно, то существует компактное метризуемое пространство X, такое, что Е изоморфно (как банахова решетка) Е1 (ц), где ц — некоторая регулярная борелевская мера на X.
Сепарабельность, очевидно, необходима. (Заметьте, что пространство Е обладает слабой порядковой единицей х0 и Е —полоса, порожденная (х0); примените теорему (8.6) и теорему Радона — Никодима.)
Пусть в дополнение к (8.6) пространство Е" отождествлено с банаховой решеткой всех ограниченных обобщенных регулярных борелевских мер на X (гл. II, разд. 2, пример 3). Вывести из (8.6), что мерами в Е являются как раз те, которые аннулируются на любом подмножестве первой категории в X (Келли — Намиока [1]).
Пусть X — компактное пространство. Тогда банахова решетка ^^ (X) порядково полна в том и только том случае, когда X экстремально несвязно ^стоуновское пространство). Вывести отсюда, что rER (X) не может быть сопряженным банаховым, за исключением случая стоуновского X, и не может быть рефлексивным, если X не конечное множество.
Пусть А — алгебра над R с единицей е. Обозначим через Ао соответствующее векторное пространство для А (гл. IV, упр. 40). А называется упорядоченной алгеброй, если Ао — архимедово упорядоченное векторное пространство, такое, что е^О, и такое, что а ^ 0, 6^0 влечет ab^:0.
Предположим, что е — порядковая единица Ао.■
Обозначим через С конус (в Ао) всех положительных линейных форм. Тогда всякая линейная форма f, порожденная экстремальным лучом в С* Н
удовлетворяющая условию f(e) = l, мультипликативна: f (ba) = / (6) / (а) для всех a, b g А. (Показать, что для фиксированного b 5# 0 отображение а->((6а) представляет собой линейную форму g, такую, что g=-Xpf, где Л6 = /'(6).)
(Алгебраическая теорема Стоуна.) Пусть Л — упорядоченная алгебра, такая, что ее единица е является и порядковой единицей. Тогда А изоморфно всюду плотной подалгебре ^R (X), где X — это ег(Лд, Д0)-компактное множество мультипликативных положительных линейных форм f, удовлетворяющих условию /(е) = 1. (Использовать (а) и теорему Крейна — Мильмана, затем применить (8.2). Вывести отсюда, что А коммутативно, и показать, что каноническое отображение на X является изометрическим изоморфизмом пространства (Л, ре) в ^д (А), где ре обозначает функционал Минковского интервала [—е, е] в А.)
Если в дополнение к условиям (Ь) всякая положительная последовательность типа /* в А порядково суммируема, то (Л, рУ изоморфно банаховой алгебре ^р (X) (гл. IV, упр. 40). Вывести отсюда, что при этих предположениях Ло необходимо является векторной решеткой.
(Спектральные меры и алгебры.) Пусть X — компактное пространство, Л — локально выпуклая алгебра над К (гл. IV, упр. 40). Непрерывное отображение ц алгебры ^ (X) в А, являющееся алгебраическим гомоморфизмом, называется спектральной мерой на X со значениями в А. Область значений спектральной меры называется спектральной алгеброй (над К). Если Л—локально выпуклая алгебра (над К) с единицей е, то подалгебра А, содержащая единицу и являющаяся спектральной алгеброй, называется спектральной подалгеброй А.
Локально выпуклая алгебра над R с единицей е будет спектральной алгеброй в том и только том случае, когда на А можно ввести порядок, такой, что при этом: 1) Л — упорядоченная алгебра; 2) е — порядковая единица и интервал (— е, е] ограничен; 3) всякая положительная последовательность типа I1 порядково суммируема (используйте упр. 24).
Локально выпуклая алгебра над С с единицей е будет спектральной алгеброй в том и только том случае, когда существует вещественная подалгебра Лц содержащая е, так что при этом каждый элемент а е А имеет единственное представление а = b + ic (Ь, се Л]) и сама А^ представляет собой спектральную алгебру над R.
Пусть ц — спектральная мера на X со значениями в А. Определим носитель ц как дополнение Хо наибольшего открытого множества О cz X, такого, что ц(0 = 0 для всякой функции /, носитель которой лежит в О. Тогда ц индуцирует спектральную меру ц0 на Хо со значениями в А. Для того чтобы ц0 было гомеоморфизмом (или, что то же самое, ц — топологическим гомоморфизмом), необходимо и достаточно, чтобы отображение а -> г (а) было непрерывно па А, где г (а) обозначает спектральный радиус элемента а е А (гл. IV, упр. 40).
Пусть Л — локально выпуклая алгебра. Элемент а е Л называется спектральным элементом, если а содержится в некоторой спектральной подалгебре Л. (Если Л — алгебра непрерывных эндоморфизмов ЛВП Е, то спектральные элементы А называются спектральными операторами (скалярного типа) на Е.) Если а — спектральный элемент Ли ц — спектральная мера на X, такая, что ° = И (Л, то f (X) будет спектром a, f(X) = o(a) (см. Шефер [9], II, теорема 3).
Пусть Л — спектральная алгебра на К и а е А. Тогда на а (а) существует спектральная мера v, такая, что a = v(l), где 1 обозначает тождественное отображение на о (а), и такая, что при этом область изменения v будет наименьшей спектральной подалгеброй, содержащей а. (Рассмотрите отображение g^>p(g°f) из ^(оДа)) в А.)
Следующие примеры являются типичными при лерами спектральных алгебр.
Алгебра L” (т) (где (Z, 2, т) — пространство с мерой и умножение определяется поточечным умножением представителей). Эта алгебра может
рассматриваться как спектральная подалгебра банаховой алгебры $ (£) непрерывных эндоморфизмов пространства Е = Lp (т) (1 ^ р 57 + оо).
Всякая замкнутая по норме алгебра эрмитовых операторов в гильбертовом пространстве (в частности, замыкание всякой такой алгебры в топологии простой сходимости).
Пусть Е — локально выпуклая векторная решетка, на которой всякая положительная линейная форма непрерывна (см. (5.5) ). Предположим, что конус С слабо секвенциально полон. Наделим $ (£) каноническим порядком и топологией простой сходимости и обозначим через е тождественное отображение Е. Тогда линейная оболочка множества [— е, е] в $ (£) будет спектральной подалгеброй $ (£). Это может быть распространено на тот случай, когда Е — ЛВП над С, такое, что его соответствующее вещественное пространство £0 является локально выпуклой векторной решеткой (Шефер [8], теорема 7).
Примеры (а) и (Ь) представляют собой частные случаи (с) (относительно (Ь) см. Шефер [3], (11.3) ).
(Продолжение спектральных мер.) Пусть X — компактное пространство, у — спектральная мера на X со значениями в А^ где Д1 — спектральная подалгебра локально выпуклой алгебры А. Обозначим через J единичный интервал А относительно сильнейшего порядка на А, при котором у положительна № (X) упорядочено обычным способом). Предположим, что J слабо секвенциально полно. Тогда существует непрерывное продолжение у меры у на банахову алгебру ^ (X) ограниченных бэровских функций на X, такое, что у является алгебраическим гомоморфизмом Я CY) в А. Более того, у индуцирует гомоморфизм булевой алгебры бэровских подмножеств в X на о-полную булеву алгебру идемпотентов А (см. Шефер [9], II, теорема 8).
Добавление
СПЕКТРАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА
ПОЛОЖИТЕЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ
Исследования, проведенные в начале текущего столетия Фробениусом [1], [2] и Перроном [1], показали, что спектр п X «-матриц с вещественными неотрицательными элементами обладает некоторыми специальными свойствами; в частности, спектральный радиус соответствующего оператора является собственным значением, отвечающим положительному собственному вектору (при каноническом порядке на R"). С тех пор наблюдалось медленное, но устойчивое развитие этих идей, которое с общей точки зрения достигло своего завершения с появлением хорошо известной статьи Крейна — Рутмана [1]. Фактически оказалось, что, если не считать нормальных операторов в гильбертовом пространстве (и их обобщений, обычно называемых спектральными операторами), положительные операторы в упорядоченных топологических векторных пространствах представляют собой наиболее интересный класс со спектральной точки зрения. Кроме того, следует заметить, что теория спектральных операторов сама в значительной степени зависит от теории упорядоченных пространств (см. гл. V, упр. 25 — 27). (В этом добавлении термин „оператор" будет использоваться как синоним непрерывного эндоморфизма). Тем самым одним из стимулов к изучению упорядоченных векторных пространств может служить спектральная теория, и цель этого добавления — ввести читателя в круг некоторых теоретико-спектральных приложений результатов гл. V. Мы предполагаем, что читатель знаком с основными фактами, касающимися алгебры операторов в банаховом пространстве; в разд. 1 детально перечисляется тот необходимый материал, который понадобится в следующих разделах. К исследованию спектра положительного оператора, определенного на упорядоченном банаховом пространстве, можно подходить различными путями в зависимости от типа рассматриваемой проблемы. Разд. 2 и 3 посвящены обсуждению возможных подходов. Разд. 2, использующий теоретико-функциональные свойства резольвенты, содержит многое из того, что достигнуто в различных общих постановках; основной темой раздела является обобщение теоремы Принсгейма. Конечно, результаты относительно существования собственных векторов предполагают
компактность в той или иной форме. Разд. 3 посвящен изучению периферических точек спектра положительных операторов при более специальных предположениях как относительно оператора, так и относительно области его определения. Самой характерной особенностью этих результатов является то, что компактность здесь не требуется. Теорема (3.4) дает пример дальнейшего обобщения результатов этого типа. Читатель может заметить, что исследования в этом направлении далеко не исчерпывающие и в некотором отношении продолжение работы в этой области кажется многообещающим.
За небольшим исключением (ссылки даны), результаты этого добавления в большей своей части могут быть найдены в работах автора [6] и [9] —[11].
Элементарные свойства резольвенты
Пусть (Е, || ||) —комплексное банахово пространство. Обозначим через S' (Е) банахову алгебру (гл. IV, упр. 40) всех непрерывных эндоморфизмов пространства Е, наделенную стандартной нормой и || и || = sup {|| и (х) ||: || х 11^1}. Спектром а (и) элемента и е 3 (Е) называется дополнение (в С) наибольшего открытого множества р(ц), в котором отображение Х-> (Ле — иУх существует и локально голоморфно (гл. IV, упр. 39); здесь и в дальнейшем е обозначает единицу в ^(Е) (т. е. тождественное отображение Е). Для ЛЕр(«) мы положим (Ле — u)~l = R (Л), отображение Л->7? (Л) называется резольвентой; р(ц) есть резольвентное множество элемента и. Предполагая, что Е не сводится к {0}, мы получаем (см. Хилле и Филлипс [1] и гл. IV, упр. 40), что о(иб образует непустое компактное подмножество в С; спектральным радиусом и называется радиус НнА наименьшего круга в С с центром в точке 0, содержащего o^uY множество [ЛеС: | Л | = г («)} называется спектральной окружностью и. Далее, для всякой пары ЛЕрф) и цЕр|«) имеет место резольвентное уравнение:
Е(Л)-/?(ц)=-(Л-ц)Е(Л)/?(ц). (1)
Здесь мы обозначаем композицию и ° и элементов и, v е 3 (Е), просто записывая рядом ии; простое доказательство (1) см., например, у Хилле и Филлипса [1].
Если Е —ДВП и и — непрерывный эндоморфизм Е, то мы можем определить, как и ранее, спектр, резольвентное множество и резольвенту и, наделяя и некоторой ©-топологией, в которой 3 (Е) будет локально выпуклой алгеброй (гл. IV, упр. 40). Последнее справедливо для всякой ©-топологии на 3 (Е), такой, что м(©)с=© для всех и е 3 (Е); в частности, 3 (Е) будет локально выпуклой алгеброй в топологиях простой и ограниченной сходи-
мости. Однако многие из свойств ст (и), справедливых для банаховых пространств, утрачиваются при переходе к непрерывным эндоморфизмам более общих ЛВП; вместе с тем, если Е — полу- полное ЛВП и « — ограниченный эндоморфизм Е, то, включив подходящее банахово пространство Еи (гл. III, разд. 7), можно показать, что классические результаты остаются верными для и (см. Шефер [3], разд. 10). Тем же методом многие результаты о положительных операторах в упорядоченных банаховых пространствах, полученные ниже в разд. 2 и 3, могут быть перенесены на ограниченные положительные эндоморфизмы упорядоченных ЛВП; так как это не требует существенно новых методов, мы ограничимся банаховыми пространствами. Не надо думать, конечно, что ненормируемые пространства вовсе исключаются; например, доказательство (2.4) дано для общего случая.
Итак, мы предполагаем, что Е — комплексное банахово пространство. В силу теоремы Банаха о гомоморфизме (следствие 1 из III, 2.1) и того факта, что множество обратимых элементов банаховой алгебры открыто, мы можем охарактеризовать спектр ст (и) любого элемента и е $ (Е) как множество тех Л е С, для которых Хе — и не будет алгебраическим автоморфизмом пространства Е. В силу сказанного выше мы имеем следующий результат.
Пусть и е $ (Е), где Е — комплексное банахово пространство. Предположим, что (7„: п е N} — последовательность в р («), сходящаяся к некоторому X е С. Тогда X е о (и) в том и только том случае, когда Нт ||Д (Хп) || = + сю.
п
Действительно, это условие, очевидно, достаточно для того, чтобы КеаНу Чтобы доказать необходимость, предположим, что существует подпоследовательность {цД из {/.„}, такая, что множество {^(pn): neN} ограниченно. В силу (1) (Д(ри)} будет последовательностью Коши в $ (Е) и, следовательно, сходится к некоторому ие^(Е). Отсюда следует, что lim R (р„) (ц„е — «) =
= v(Xe — u) = e и аналогично (Хе — u)v = e-, таким образом мы получаем Хер(и), что неверно.
Подмножество л (и) а а (и), для которого (Хе — и) не является взаимно однозначным, называется точечным спектром элемента и. Элемент /.6ел(ф называется собственным значением и, нуль- пространство оператора (Хое — и) — соответственно собственным подпространством N (Хо\ Размерность N (Хо) называется (геометрической) кратностью Хй, а ненулевые элементы из N (Ло) называются собственными векторами и, соответствующими 70 (в том же смысле используются термины „характеристическое значение", „характеристическое подпространство" и „характеристические векторы").
Точечный спектр и содержит все полюса резольвенты R. Пусть л0 — полюс R, и пусть
R(X( = 2 ак(Х-Хфк (а~п^0)(2)
— разложение Лорана функции R в окрестности Zo; целое п^1 есть порядок, полюса Хо, частичная сумма от й = — п до k = — 1 — главная часть разложения, а_п —старший коэффициент и а_,— вычет R в Х = Х0. Умножая (2) на (Хе — и) = (Лое — и) + (Л — i0)6 и сравнивая коэффициенты в полученном равенстве (которое верно в силу теоремы о единственности для аналитических функций), мы получаем, в частности,
a_n(XQe — //) = (Zoe — u)a_n = 0 и a_n = a_x (u — Zoe)n-’;
очевидно, коэффициенты ak коммутируют с и. Эти равенства показывают, что i0 лежит в л(н); более точно, оказывается, что а_х есть проекция пространства Е на нуль-пространство оператора (Хйе — иУп, которое содержит N (Хф. Напомним также (см. Рисе и Надь [1], Хилле и Филлипс [1]), что для компактного и резольвента R будет мероморфной функцией на римановой сфере без точки 0 (при этом всегда р(оо) = 0); таким образом, для компактного и множество а (и) счетно с точкой 0 в качестве единственно возможной точки накопления, и каждое ненулевое Хео(и) является собственным значением и конечной кратности. Наконец, если и е S (Е( и | Л I > г (ы), то резольвента и дается формулой
R(X) = ^X"kn^un(3)
п-0
(и° = е); (3) есть разложение R в оо и называется рядом Неймана. Из критерия Коши для степенных рядов следует, что г(и) = = lim sup || ип ||1/п; фактически справедливо равенство г (и) = lim|| ип ||1/п П->ОО
(см. Хилле и Филлипс [1]). В случае когда r(u) = 0, элемент и называется топологическим нильпотентом банаховой алгебры S(Е). Очевидно, и будет топологическим нильпотентом в том и только том случае, когда ст (и) = {0} или, что то же самое, когда резольвента R (с R (оо) = 0) является целой функцией аргумента Л-1.
Если Е — банахово пространство на R и и е $ (Е), то вещественный спектр aR (и) может быть определен как подмножество R, в котором (Хе — и) не является автоморфизмом Е. Аналогично мы можем определить вещественную резольвенту и как функцию Х-^-(Хе — и)~1 с областью определения R\or(u). (Может случиться, что aR(u) пусто, как показывает пример вращения евклидовой плоскости Ro относительно начала координат.)
Мы не будем пользоваться этим языком и вместо отдельного исследования случая вещественного банахова пространства прибегнем к следующей стандартной процедуре.
Пусть (£, || II) —банахово пространство над R. Комплексифи- кация Ег (гл. I, разд. 7) ТВП Е — это полное нормированное пространство над С. Чтобы получить норму на Е^ такую, что вложение Е в Ei будет изометрично, положим
11^ + ^111= sup || (cos 0)x + (sin 6) t/||.
о<е<2л
Это есть обобщение обычного определения абсолютной величины на С, если С рассматривать как комплексификацию R. Теперь всякое и г 3 (£) имеет единственное комплексное расширение й ^ 3 ^Е^, определяемое формулой й (х + iy) = и(х) + iu (у) для всех х, уеЕ. В случае когда £ —вещественное банахово пространство и иеЗ^Ер мы определяем спектр, резольвенту и спектральный радиус элемента и, используя соответствующие понятия для й, определенные выше. Часто бывает удобно отождествлять и с его комплексным расширением й. Легко видеть, что для и е 3 (£) мы имеем aR(u) = o(z/)n R; для X е R \ oR(u) вещественной резольвентой и будет сужение резольвенты и на Е (рассматриваемое как вещественное подпространство Ех\ и спектральный радиус г^ есть наименьшее вещественное а^О, такое, что для ] Л | > a, /. eR, ряд (3) сходится в 3 (£).
Теорема Принсгейма и ее следствия
По-видимому, наиболее известным результатом о положительных операторах в упорядоченных банаховых пространствах является теорема о том, что если положительный конус тотален и и —компактный положительный эндоморфизм со спектральным радиусом r(z/)>0, то г (ы) будет собственным значением и, соответствующим неотрицательному собственному вектору. Эта теорема, которая имеет сравнительно длинную историю, была впервые доказана в столь общей форме Крейном и Рутманом [1]. Более общая теорема имеется в работе Бонсолла [3], она распространяется на локально выпуклые пространства. В этом разделе мы получим этот и другие результаты (некоторые из которых не опираются на предположение о компактности) единым способом из теоремы о векторнозначных аналитических функциях, которая является обобщением классической теоремы Принсгейма. Нам нужны некоторые теоремы о функциях, принимающих значения в локально выпуклом пространстве.
Теорема. Пусть Е — упорядоченное полуполное ЛВП над С, такое, что положительный конус С слабо нормален. Тогда если
апеС (и = О, 1, ...) и 2 anzn имеет радиус сходимости 1, то ана- о
литическая функция, представляемая степенным рядом, имеет особенность при 2=1. Если эта особенность, кроме того, есть полюс, то при | 2 | = 1 нет особых точек более высокого порядка.
Доказательство. Пусть / — функциональный элемент (со значениями в Е) определяемый формулой /(2)= 2 anzn, где 12 ] < 1, о
и пусть радиус сходимости этого ряда 1. Пусть х' — непрерывная вещественная линейная форма на Е. Радиус сходимости ряда 2(«n> ^t*1-. где t вещественно, будет не меньше чем 1. Далее мы о
имеем inf {гх< /ей}=1, где D есть множество всех непрерывных вещественных линейных форм на Е, неотрицательных на С. Если inf{rX': х' еД} = т]>1, то ряд 2я^п должен был бы сходиться о
для всех / (— т| < / < т]), так как в силу (V, 3.3), следствие 3, слабая нормальность С эквивалентна равенству E0 = D — D, где Ео — соответствующее вещественное пространство Е (см. (1,7.2)). Поэтому функция /(2) должна иметь голоморфное продолжение (гл. IV, упр. 39) на открытый круг 121< г), что неверно.
Зафиксируем р, 0<р<1. Пусть х' eD. Положим
bk = X (k ) Pnn = k
для к = 0, 1, .... Поскольку р</<1, все члены в рядах
ОООООО
2 (ап, х') Г = 2 (ап, /> ((/ - р) + РГ = 2 <Ьп, S)00о
неотрицательны. Отсюда следует, что ряды
2<б„, />^-рТо
имеют радиус сходимости гх- — р, и, следовательно, радиус сходимости ряда
^ьп^-Руо
равен 1—р. В силу известной теоремы из теории аналитических функций (см. гл. IV, упр. 39, (d)) отсюда следует, что 2=1 есть особая точка для /.
Предположим теперь, что особенность / при z 1 является полюсом к-то порядка. Пусть L = ехр /0 — комплексное число с модулем 1 и 2 = tt„ 0</<1. Тогда
lim/GzDlz-^O
при всех р>к. Так как С —слабо нормальный конус, то для всякого р> к оба ряда
(1 — ty 2 U" cos и9) ап, (1 — ty 2 d" sin п^ап оо
сходятся к нулю при t -> 1 в топологии о(£, Е'). Поэтому если £ —полюс / порядка т, то из сказанного должно следовать, что m^k, и теорема доказана.
В первых двух из следующих ниже приложений теоремы Принс- гейма Е будет упорядоченным комплексным банаховым пространством; остальные результаты удобнее излагать в рамках вещественных пространств. Читатель заметит, что (2.2) верно, в частности, для всякого упорядоченного банахова пространства над R, положительный конус С которого нормален и порождает Е (например, в банаховой решетке); достаточно применить (2.2) к ком- плексификации Ev пространства Е, упорядоченной положительным конусом С + iC.
Пусть Е — упорядоченное комплексное банахово пространство, не сводящееся к {0} с положительным конусом С, таким, что С нормален и Е = С — С. Тогда для всякого положительного (и, значит, непрерывного) эндоморфизма и пространства Е спектральный радиус г (и) является элементом а(,и). Если, кроме того, г (и) является полюсом резольвенты, то на спектральной окружности нет особых точек более высокого порядка.
Доказательство. В силу (V, 5.5) всякий положительный эндоморфизм и на Е непрерывен. В силу следствия из (V, 3.5) С будет У-конусом, а отсюда (см. (V, 5.2)) следует, что конус Н положительных эндоморфизмов Е нормален (значит, и слабо нормален) в ЕЕ (£) в топологии ограниченной сходимости, т. е. в нормированной топологии на ЕЕ (Е). Если г(и)>0, то теорема (2.1)
лг / \/ г (и) \п ! г \"+1 Г,
применима к функции г-> Цх) == и \7уу) [разд. 1,
о
формула (3)]; если же г)и) = 0, то и — топологический нильпотент, o(zz) = {0}, значит, утверждение теоремы также верно.
Пусть Е— упорядоченное комплексное (В)-пространство, удовлетворяющее (2.2), и пусть и — положительный эндоморфизм Е.
Тогда если X е р (и), то R (/.) положительно в том и только том случае, когда X вещественно и Х>г(и).
Доказательство. Очевидно, предположение X > г (и) достаточно для того, чтобы иметь R(X)^0 (относительно канонического порядка в $(£)) в силу формулы (3) разд. 1. Предположим, что /?(Л)^0 для некоторого Лер(«). Выберем х0>0 и определим последовательно хп = R (X) хп_х (nesN). Любое хп удовлетворяет равенству
Xxn = u^xnH хп-х (neN). (*)
Очевидно, хп е С для всех п и, более того, хп>0 (равенство хп = 0 при некотором п ед N повлекло бы за собой хо = О). Далее, индукцией по п можно показать с помощью (*), что Хпхп ее С и "ЗщеС для всех ztgN, и что
ХпхпХпхпX хп_X хп_х0х0(п е= N).(п е= N).
Хпхп
Хпхп
X хп_
X хп_
х0
х0
(п е= N).
(п е= N).
Поэтому X #= 0, и мы можем предположить, что |Л|=1, поскольку если R (X) положительно в точке X 3= 0, то резольвента элемента |x-l|zz будет положительна в точке л|л-1|. Пусть Z = expz0, 0^9<2л. Предположим, что 0>О. Очевидно, «0 ^ л (mod 2л) для всех положительных целых п (или С не будет собственным конусом). Следовательно, существует наименьшее целое пй>п, такое, что треугольник с вершинами 1, ехр/(по — 1)0, expznoO в комплексной плоскости содержит 0 в качестве внутренней точки. Рассмотрим единственное вещественное подпространство М в Е размерности 2, которое содержит точки хПи Хп"~"ххп» и Х^Хп,. Тогда М П С содержит 0 в качестве внутренней точки. Это противоречит тому факту, что С — собственный конус, так что 0 = 0 и, следовательно, ^>0. Начиная с этого места мы будем предполагать, что С — собственный конус #={0}. Предположим теперь, что С нормален и Е = С — С; как и раньше, из следствия утверждения (V, 3.5) и (V, 5.2) вытекает, что положительный конус Ж с 3 (Д) нормален. Если верно, что/? (Л) ^ 0 для некоторого X, (KX-CrUX), то резольвентное уравнение (разд. 1, формула (1)) приведет к тому, что 0 С Я (ц) ^ R W для всех p>r(zz), и, следовательно, в силу нормальности Ж множество [Д(р-): p>r(zz)} будет ограниченно в 3 (£). Это, очевидно, противоречит (2.2) (см. разд. 1) и, значит, отсюда следует, что Х>г^и\
Замечание. Предыдущее доказательство показывает, что если Е — упорядоченное банахово пространство с положительным конусом С ^= {0} и и — положительный оператор (непрерывный эндоморфизм) на Е, то из R^X^^O вытекает X > 0.
Вернемся теперь к теореме Крейна — Рутмана о компактных положительных операторах, упомянутой в начале этого раздела.
С историческими справками и библиографией ранних работ по этому вопросу читатель может ознакомиться в обзорной статье Крейна — Рутмана [1]. Мы получим теорему Крейна — Рутмана из следующего результата, который устанавливает утверждение (2.2) при ограничениях на класс положительных операторов, но зато без ограничений па порядок, за исключением того, что положительный конус должен быть (замкнут и) тотален. Ясно, что это последнее условие не является особенно жестким. Не известно, можно ли дополнительное условие на операторы ослабить еще больше. Весьма вероятно, что это можно сделать.
Употребляя для непрерывного эндоморфизма и вещественного банахова пространства Е термины «спектр», «резольвента» и т. п., мы будем иметь в виду комплексное продолжение и на комплекси- фикацию Е (см. конец разд. 1).
Пусть Е — упорядоченное вещественное банахово пространство с тотальным положительным конусом С. Предположим, что и — непрерывный положительный эндоморфизм Е, резольвента которого имеет полюс на спектральной окружности |X| = r(zr). Тогда если г (и) ео (и) и г (и) — полюс резольвенты, то на спектральной окружности нет полюсов более высокого порядка.
Доказательство. Поскольку С--замкнутый собственный тотальный конус в Е, его сопряженный конус С обладает теми же свойствами относительно слабой топологии а(Е', Е) и, следовательно, G = С' — С' будет плотным подпространством в слабом сопряженном Ео. Если через F обозначить пространство (Е, о (Е, G)), то С будет нормальным конусом в F согласно следствию 3 утверждения (V, 3.3). Обозначим через Eb F{ комплексификации (гл. I, разд. 7) соответственно Е и F.
Мы будем рассматривать Е^ упорядоченное положительным конусом С. Тогда канонический порядок 3 (EJ определяется положительным конусом 96 {да е 3 (Е^: да (С) cz С}. Кроме того, мы будем отождествлять и е 3 (Е) с его комплексным продолжением на Ех.
Пусть, далее, ^(Е,, Fx) обозначает пространство непрерывных линейных отображений Ev в Fb наделенное топологией простой сходимости на С. Тогда существует естественное непрерывное вложение Тг пространства 3 (Е^ в ЗДЕХ, Fx\, для ясности мы снабдим образы элементов и подмножеств из З^Е^ при отображении Чт индексом 0. Заметим, во-первых, что в силу (V, 5.2) и нормальности С в F, образ 3^0 конуса 96 нормален в ЗДЕ,, Fx). Далее, пусть £ ([£ | = г (и)) — полюс порядка к^\ резольвенты л -* R (Л) элемента и, и пусть a ет 3 (Е^ есть старший коэффициент разложения главной части при X = V Тогда а = lim V. " ^ R (М.
Следовательно, также а0 = lim (А, — t^Ro (А,). Предположим, что
г (ы) ^ о (и); тогда функция k-> R (А,), а потому и функция A, -* Ro (А) должны быть голоморфными в точке Х = г(и\ Так как коэффициенты разложения R0(X)=^k (п+пи" в бесконечности являются о
элементами нормального конуса 5^0, то из (2.1) следует, что Ro имеет продолжение со значениями в пополнении пространства 2?ДЕЬ Fx\ голоморфное при | Л, |> т, где О^т^г);/); в частности, семейство VRoW- I А-1 > г (zz)} ограниченно в 5Еа(Еь F^. Отсюда, очевидно, следует, что а0 = 0 и а = 0, что приводит к противоречию. Таким образом, г (zz) е о (zz).
Относительно последнего утверждения мы заметим, что любой полюс функции R (А) при |А| = г(ы) будет полюсом того же самого порядка и для Ro, так что наше утверждение следует непосредственно из теоремы Принсгейма (2.1). Теорема доказана.
Следствие (Крейн — Рутман). Пусть Е — упорядоченное вещественное банахово пространство с тотальным положительным конусом Сии — компактный положительный эндоморфизм Е. Тогда если и имеет спектральный радиус г (w) > О, то г (и) — полюс резольвенты с соответствующим собственным вектором из С. При этом на спектральной окружности нет полюсов более высокого порядка. Соответствующий результат имеет место и для сопряженного и' в Е'.
Доказательство. Поскольку и компактно, единственно возможными особенностями резольвенты, отличными от 0, являются полюса, так что на спектральной окружности | к | = г (zz) имеется по крайней мере одна такая особенность. Следовательно, А = г (и)— полюс резольвенты некоторого порядка ^^ 1. Для старшего коэффициента соответствующей главной части разложения имеем
р = Нт (А — г (ы) )6 R (А).
Х->Г (и)
Так как Р(А)^0 при всех A>r(zz) (для канонического порядка на Д(Е)), то отсюда следует, что р^О, поскольку положительный конус 3 (Е) замкнут (см. (V, 5.1)). Так как конус С тотален в Е, то найдется уеС, такой, что р(у)>0. Ввиду равенства (г(u)е — м)р = 0 отсюда следует, что р (у) — собственный вектор, в С, соответствующий г(м). Наконец, если и' сопряжено и в силь* ном сопряженном Е\ то мы имеем a (zz) = о ^и'\ и функция А-> ->R(xy будет резольвентой и' (см. (IV, 7,9)). В частности, функция k—>R(xy имеет полюс в точке А. = г (и') = г (и), и мы получим утверждение теоремы для и', заменив повсюду в предыдущем доказательстве и на сопряженное и'. В частности, p(C)czC влечет
за собой р' tCjcC, и р' не аннулируется на С', так как С' тотально в Е'а и р' непрерывно.
Замечание. Предыдущее доказательство показывает, что если С тотально в Е, то для всякого непрерывного положительного эндоморфизма и на Е, резольвента которого имеет полюс в X = г (и), существуют собственные векторы оператора и в С и и' в С' с собственным значением г (//).
Теорема Крейна — Рутмана имеет обобщения в различных направлениях; в частности, могут быть сделаны некоторые допущения о компактности. Оставшиеся два результата в этом разделе типичны для получающихся обобщений.
Пусть Е — упорядоченное вещественное банахово пространство с положительным конусом С; линейное отображение и пространства Е в себя называется С-компактным, если и непрерывно отображает С в С и если u^U ПС) относительно компактно, где U — единичный шар в Е. Мы определим С-спектральный радиус оператора и как число
rc = lim (sup || и" (х) ||: х еС, || х ||< 1)№ П->оо
(в приводимом ниже доказательстве будет показано, что этот предел всегда существует). В следующей теореме мы предполагаем нормальность С исключительно для удобства доказательства; в действительности можно обойтись без этого допущения. Для читателя, желающего получить дальнейшую информацию, укажем работу Бонсолла [4] и статью автора [3], разд. 10.
Пусть Е — упорядоченное вещественное банахово пространство с нормальным положительным конусом С. Тогда если и есть С-компактное отображение в Е, такое, что гс > 0, то гс является собственным значением оператора и с собственным вектором в С
Доказательство. Обозначим через U единичный шар в £ и через W — закругленную оболочку множества СПС. Тогда {elF: в > 0} будет базисом окрестностей нуля для нормируемой топологии $ на подпространстве £0 = С — СаЕ. Легко видеть, что 2 совпадает с топологией £ь введенной в гл. V, разд. 3, лемма 2. Поэтому если q — функционал Минковского множества W, то (£0, Д — банахово пространство и норма q на С совпадает с нормой пространства Е. Следовательно, С —нормальный замкнутый конус в (£0, q\ и так как гс есть не что иное, как спектральный радиус г (у) сужения v оператора и на £0, то из (2.2) следует, что г (у) с: а (у). Следовательно, множество {ДДхД: meN) неограниченно в ЕЕ((£о, qH для любой убывающей вещественной последовательности {Xj, такой, что lim Х„ = г(у). В силу принципа равно
мерной ограниченности для заданной последовательности (ХД,
монотонно сходящейся к г (у), найдется у е С, такой, что
Vim q^R^X^ у) = + оо.
Пусть хп = R^X^y/q^R^X^yY Тогда хп е С и q (х^ = || хп || = 1 для всех п. Кроме того,
lim q (Хпхп - у фс^ ) = lim || Х„х„ - и (х^ || = 0.
Отсюда следует, что lim (гсе — и) хп = 0 в Е. Поэтому, так как множество {«(*„)} в силу исходного предположения относительно компактно в Е, последовательность (xj имеет предельную точку х в Е (и, следовательно, в С, поскольку С замкнуто). Эта предельная точка, очевидно, удовлетворяет условиям гсх = и (х) и ||х|| = = 1, что и завершает доказательство.
Второе обобщение, которое мы имеем в виду, касается выпуклых конусов с компактным базисом. Напомним (гл. II, упр, 30), что выпуклый конус С с вершиной в 0 в ЛВП Е имеет компактный базис, если существует (вещественное) аффинное подпространство NczE, не содержащее 0, такое, что множество С П N компактно и С = {Лх: Л^О, х е ^ П С}. В силу теоремы отдели-- мости (11,9.2) существует замкнутая вещественная гиперплоскость И, строго отделяющая N f\C от {0}; очевидно, что С = (Хх; X Vs 0, х е Н П С}.
Теорема. Пусть Е — ЛВП над R и С — конус в Е с компактным базисом. Тогда если и — эндоморфизм подпространства С — С^Е, такой, что и^ е С и сужение и на С непрерывно, той имеет неотрицательное собственное значение с соответствующим собственным вектором в С.
Доказательство. Пусть Н = (х: f(х) = 1} — гиперплоскость в Е, такая, что Н П С является компактным базисом С. Пусть I7 —выпуклая оболочка множества {0} U {Н П С} в Е и U = V — V. Тогда ^eU: е>0} есть базис окрестностей нуля в Е0 = С — С для нормируемой топологии 2. Нетрудно убедиться, что топология 2 на Ео порождается нормой
>|| z || = inf {f (х) + f (у): 2 = х — у; х, уеС}.
Более того, так как U компактно и, следовательно, полно в Е, а топология 2 на Ео сильнее топологии, индуцированной Е, то из (I, L6) следует, что (£0, 2) полно. Поэтому (Ео, || ||) —банахово пространство. Далее, конус С замкнут в этом пространстве и, очевидно, нормален. В силу (V, 5.5) и будет непрерывным положительным эндоморфизмом (Ео, || I]), 'если Ео' упорядочить с помощью С. Таким образом, из доказанной выше теоремы (2.2)
следует, что спектральный радиус г («) принадлежит к о (м). (Возможно, что г(«) = 0, даже если и^О.) Как и при доказательстве (2.5), мы построим последовательность {xj в С, такую, что || хп || = = Нхп)=^ для всех п, и такую, что Нт || г (и) хп — и (х^ || = 0. Так как согласно исходному предположению, НС\С компактно в Е и и непрерывно на С, всякая предельная точка хеИ ПС последовательности {хД в топологии, индуцированной Е, удовлетворяет равенству г (и) х = и(х). Это завершает доказательство.
Приводимое ниже следствие дано Крейном — Руманом [1].
Следствие. Пусть Е — упорядоченное вещественное банахово пространство, положительный конус С которого имеет внутренние точки. Тогда для всякого положительного (не обязательно непрерывного) эндоморфизма и пространства Е сопряженное отображение и' имеет неотрицательное собственное значение с соответствующим собственным вектором, лежащим в сопряженном конусе С'. Если, кроме того, конус нормален (в частности, если Е есть (АМ)- пространство с единицей), то спектральный радиус г (и) элемента и сам является собственным значением и'.
Доказательство. Действительно, если х0 — внутренняя точка С, то гиперплоскость И = {хС (х0, х') = 1} в Е' имеет о (Е', Е)- компактное пересечение с С'. Следовательно, конус С' имеет компактный базис в £' и оператор и' (удовлетворяющий условию и' (О') с С') является а(Е', ^-непрерывным, так что применимо (2.6). Если, кроме того, С —нормальный конус в Е, то Е' = С' — С' в силу следствия 3 из (V, 3.3), и легко видеть, что топология 2, построенная в доказательстве (2.6), является топологией сильного сопряженного Е^. Следовательно, число г (и'), которое, как было доказано, является собственным значением и', будет спектральным радиусом и' в Др и потому равно г (и).
Периферический точечный спектр
Пусть « — непрерывный положительный эндоморфизм упорядоченного банахова пространства Е. Подмножество о (и), локализованное на спектральной окружности (к. | Л. | = г (w)}, будем называть периферическим спектром и его пересечение с л (и) — периферическим точечным спектром. Ранее отмечалось, что не известно, верно ли (2.4) для всех положительных операторов на Е. С другой стороны, естественно спросить: возможны ли, например, при предположении (2.2) дальнейшие уточнения о расположении периферического спектра оператора м? Следующий пример показывает, что ответ отрицателен.
Пример. Пусть Е — вещественное банахово пространство размерности не менее 2; обозначим символом F замкнутое подпространство коразмерности 1 и G = {^x0: X е R} — долголпительное подпространство, такое, что Е = G л- F (см. (I, 3.5)). Для каждого хеЕ пусть х = Хх0 + у есть (единственное) представление, такое, что угр. Множество С = {х е Е: Х^||р[|}, как легко видеть, является замкнутым нормальным конусом, для которого С — С = Е, так что Е с положительным конусом С является упорядоченным банаховым пространством, причем положительный конус в S’ (£) нормален. Далее пусть а е 2? (/у удовлетворяет условию |Jv|J ^ 1. Определим ие $ ^Е\ положив
и (х) = Хх0 + и (у) (х е Е).
т. е. u = p + v°(e — р), где р обозначает проекцию х -> Хх0 пространства Е на Q. Мы имеем и (С) cz С, поскольку ||ц|| ^ 1 и, следовательно, и положительно. Очевидно, г(«)=1 и а (к) = {1} U <т (у), где а (у) - спектр у е S'(F). Подбирая подходящим образом банахово пространство _Р и оператор у е S’ ^FV можно получить в качестве а («) любое заранее выбранное замкнутое подмножество на окружности (Л: | А | = 1), содержащее 1.
Поэтому для того, чтобы дальнейшие исследования спектральных свойств положительных операторов были плодотворны, необходимо рассматривать более узкие классы положительных операторов и (или) упорядоченных пространств. В этом разделе мы дадим некоторые результаты о периферическом точечном спектре, которые имеют место при весьма общих допущениях.
Некоторые результаты такого рода были получены Крейном — Рутманом [1] для отображений, которые они назвали сильно положительными операторами на упорядоченных банаховых пространствах, положительный конус которых имеет непустую внутренность. Эти операторы и таковы, что для каждого ненулевого хеС существует «gN, при котором un(x) лежит внутри С. Это сильное ограничение, так как пространства без порядковой единицы (такие, как Ер ^, 1:Ср<+оо) сразу исключаются из рассмотрения (см. гл. V, упр. 10).
С другой стороны, если Е — банахова рещетка с порядковой единицей, то в силу (V, 8.4) и (V, 8.5) Е изоморфно (как упорядоченное ТВП) пространству ^r(/) для некоторого подходяще подобранного компакта X, и мы получаем весьма сильный результат (см. (3.3) ниже). Обобщим понятие сильной положительности следующим образом:
Пусть Е — упорядоченное вещественное банахово пространство с положительным конусом С^={0). Непрерывный положительный эндоморфизм и пространства Е называется неприводимым^ если существует такой скаляр Х>г^и\ что для всякого ненулевого ,ve С элемент
uR (X) х = 2 W (х)
ч=1
является квазивнутренней точкой С. Напомним, что точка у^Е квазивнутренняя по отношению к С (гл. V, разд. 7), если порядковый интервал [0, у] является тотальным подмножеством £•
Если Е — нормальная решетка (гл. V, разд. 7), то квазивиутрен- ние точки С суть слабые порядковые единицы Е.
Следующая характеристика неприводимых эндоморфизмов банаховых решеток оправдывает нашу терминологию.
Непрерывный положительный эндоморфизм и =^0 банаховой решетки неприводим в том и только том случае, когда не существует замкнутого телесного подпространства, отличного от {0} и Е, которое было бы инвариантно относительно и.
Доказательство. Пусть и неприводимо и ^^{О} — замкнутое телесное подпространство, инвариантное относительно и. Тогда если О^хе/ДС, то y = uR^x будет при некотором X"^^ квазивнутренней точкой С, содержащейся в F. Следовательно, F = E.
Обратно, пусть и не оставляет инвариантным ни одного замкнутого телесного подпространства, кроме {0} в Е. Тогда zz (х) > 0 для всякого х>0. Если бы и (х0) было равно 0 при некотором х0>0, то отсюда следовало бы, что и оставляет инвариантным замкнутое телесное подпространство G, порожденное х0. Следовательно, G = Е, а это приводит к и = 0, что неверно. Поэтому если х>0, то у = uR (X) х > 0 [X>r(u) выбрано произвольно], и так как и^Й^Ху, то отсюда следует, что замкнутое телесное подпространство F, порожденное у, инвариантно относительно и. Следовательно, E = F, так что у — квазивнутренняя точка Е.
При доказательстве нашего первого результата о неприводимых эндоморфизмах нам потребуется следующая лемма.
Лемма 1. Пусть Е— упорядоченное банахово пространство с положительным конусом С и р е $ (Е) — положительная проекция. Тогда если точка хЕрфф квазивнутренняя по отношению к С, то х будет квазивнутренней и по отношению к р(С) в р(Е).
Доказательство. Полагая С^-рИф и Е]=р(Е), мы убедимся, что С] f] (х — Cj) = [0, x]j = [0, х] П Ех = р ([0, х]), поскольку р — положительная проекция. Так как линейная оболочка [0, х] плотна в Е, то линейная оболочка [0, х], плотна в подпространстве Ех в силу непрерывности р.
Линейная форма f на упорядоченном векторном пространстве Е над R называется строго положительной, если из х>0 следует f(x)>0. Заметим также, что из существования неприводимого положительного эндоморфизма на упорядоченном банаховом пространстве Е следует, что положительный конус С в Е тотален (для случая, когда С содержит внутренние точки). Следовательно, сопряженный конус С' с Е', будучи замкнутым собственным конусом в Е', определяет канонический порядок Е'.
Пусть Е — упорядоченное вещественное банахово пространство с положительным конусом С и и — неприводимый положительный эндоморфизм, спектральный радиус г которого является полюсом резольвенты. Тогда;
г>0 и г есть полюс порядка 1;
как для и, так и для и' существуют положительные собственные векторы с собственным значением г. Всякий положительный собственный вектор для и с собственным значением г будет квазивнутренним по отношению к С. Всякий положительный собственный вектор для и' с собственным значением г является строго положительной линейной формой;
каждое из следующих допущений приводит к тому, что кратность (размерность) d (г) собственного подпространства, соответствующего г, равна 1: (а) С имеет непустую внутренность; (Ь) d (г) конечно; (с) Е — банахова решетка.
Замечание. Утверждение 3) может быть заменено утверждением «d (г) = 1» в случае, если не существует упорядоченного банахова пространства размерности, превосходящей 1, такого, что каждое х>0 является квазивнут- ренней точкой по отношению к С. С другой стороны, если такое (необходимо бесконечномерное) пространство существует, то тождественное отображение е неприводимо и таково, что d (г) = dim Е.
Доказательство (3.2). Пусть р есть старший коэффициент в главной части разложения резольвенты в точке X = г, и пусть q — вычет в точке г. Тогда р положительно (см. доказательство (2.4), следствие) и р = q (и — re)k~l, где/г — порядок полюса. Кроме того, q и его сопряженное q'— проекторы, такие, что q(E), q'(Е') являются нуль-пространствами операторов (re — u)k и (те' — и')ь соответственно.
Так как С и С' —тотальные подмножества соответственно в Е и Е'р то для и в С и для и' в С' существуют собственные векторы (с собственным значением г).
Пусть х0, д' —такие собственные векторы. Из равенства
»^Wx0 = ^(-£) д0 ^>г)
следует, что г>0 и точка д0 квазивнутренняя по отношению к С. Аналогично из равенства
(д, ^^(д) = ^^~"^«"(д), х'ф = (uR(X) х, х'ф (Х>г) 1 1
следует, что (х, х'ф>0 при ОД.хеС для Дд>0 в квазивнутрен- ней точке uR(X)x конуса С.
1) Мы должны показать, что (положительное) г является полюсом порядка 1. Действительно, пусть хеС таково, что хо = р(х)=^О, и пусть х' е С' — собственный вектор и', соответствующий г. Поскольку р = q (и — re^k 1 и q'^x'l^ = x'o, мы получаем
О < (xw х'^ = (ci(u- ref-1 х, х') = (х, (г/ - re'f~x х'),
откуда следует, что k = 1.
Так как X = г — простой полюс резольвенты, то мы имеем р = q; следовательно, р — положительный проектор и в силу (2) всякий ненулевой элемент из р(С) является квазивнутренним по отношению к С. Поэтому в силу леммы 1 всякий ненулевой хер^С) будет квазивнутренним по отношению к р (С) в р(Е). В случае (а) С имеет внутренние точки, следовательно, то же можно сказать ио р (С) по отношению к р{Е). Так как конус р(С), который содержится в С, замкнутый и собственный в р(Е), то отсюда следует, что р(Е) имеет размерность 1 и, значит, d (г) = 1. Если d (г) конечно, то всякая квазивнутренняя точка р (С) в р(Е) будет внутренней для р(С) (см. лемму, предшествующую (V, 41)), и мы приходим к тому же заключению, что и раньше.
Остается показать, что t/(r)=l, если Е — банахова решетка.
Пусть х — некоторый собственный вектор оператора и с собственным значением г. Тогда из гх = и (х) следует, что г|х| = = | и(х) 1С^(| х |). Если Хц е С' — собственный вектор г/ с собственным значением г, то мы имеем
г { I X |, х') С (и (I X |), х') = г { I X |, Х„),
а это влечет за собой г | х | = и (| х |), поскольку г>0 и х' —строго положительная линейная форма в силу (2). Далее, х = х+— х- и | х I = х++ х—, так что оба элемента х+ и х_ являются положительными собственными векторами и с собственным значением г. Так как они решеточно дизъюнктны, а решеточные операции на Е непрерывны, то оба они не могут быть квазивнутренними точками С. Значит либо х+= О, либо х-= 0. Поэтому если х — собственный вектор и с собственным значением г, то мы имеем либо хе С, либо хе—С.
Следовательно, это собственное подпространство вполне упорядочено. Поскольку этот порядок архимедов, отсюда следует, что d (г) = 1 (гл. V, упр. 2). Это завершает доказательство (3.2):
Наш основной результат о неприводимых положительных отображениях относится к банаховым решеткам Е типа ^(Х), где X — компакт. Мы будем обозначать функцию /->1, являющуюся константой на X, символом 1, чтобы не путать ее с единицей е пространства $ (Е). Удобно воспользоваться следующей терминологией. Будем говорить, что положительный эндоморфизм и про-
странства ТД ( А) со спектральным радиусом г имеет циклический периферический точечный спектр, если из raf = и ()), |а|=1, и f = | f | g e ^c (X) следует, что ran | f I gn = и (| f | g^ для всех целых neZ. Здесь и отождествляется со своим единственным продолжением на ^сЩ (комплексификацию пространства ^(Х)), |f| обозначает функцию fE'g'c^) и jg обозначает функцию t-> Kt) g (ф) (поточечное умножение). Нам понадобится следующая лемма.
Лемма 2. Пусть v — положительный эндоморфизм пространства ^(А'), такой, что v(l)=l. Тогда если ag = v(g), где |а|=1 u 1g 1=1, g^^c^X"), то angn = v(gn) при всех n^Z.
Доказательство. Для каждого seX отображение / —> v W (s) представляет собой положительную линейную форму на ТАДА) и, значит, положительную меру Радона ps на X.
Так как и(1)=1, то ||щ1| = щ (1) = 1. Следовательно, ag(s) = = J g (О t/щ (0 для всякого s е X, и из | g 1 = 1 следует, что g ^ — х
•константа, равная ag (s) на носителе цх. Поэтому angn (s) = = J gn (0 ^P$ (0 (SG^, яеМ), что и требовалось доказать.
х
В силу теоремы о представлении (V, 8.5) следующий результат справедлив для неприводимых положительных отображений любого (АМ)-пространства с единицей.
3. Теорема. Пусть X — компактное пространство и и —неприводимый положительный эндоморфизм ^^(ХУ Тогда справедливы следующие утверждения-.
спектральный радиус и положителен и ||z/|| = r тогда и только тогда, когда u(l) = rl;
периферический точечный спектр и циклический",
каждое собственное значение га, |а|=1, оператора и имеет порядок 1 и соответствующий собственный вектор не равен 0. Более того, спектр а (и) инвариантен относительно поворотов на 9, где a = expz’6;
если периферический точечный спектр содержит изолированную точку, то она имеет вид гН, где Н — группа корней п-й степени из единицы при некотором «^ 1;
если периферический точечный спектр содержит полюс резольвенты и, то и все его точки будут полюсами резольвенты порядка 1;
г есть единственное собственное значение, которому отвечает неотрицательный собственный вектор. Если X связно, то периферический точечный спектр не может содержать точек га, таких, что а —корень из единицы, отличный от 1.
а м е ч а и и с. Можно радоваться, что периферический точечный спектр и прост; с другой стороны, даже если X связно, периферический точечный спектр может быть плотным на спектральной окружности (см. примеры ниже). В последнем случае он все еще имеет вид rG, где G —подгруппа циклической группы.
Доказательство (3.3). В силу следствия из (2.6) на X существует положительная радоновская мера р0, такая, что гц0 = и'(ц0). Так как подпространство {/: Мю (I /Ч) = 0} телесно в и инвариантно относительно и, то (^ строго положительно, что эквивалентно утверждению, что носитель Sd меры и, совпадает с X.
Мы продолжим доказательство теоремы в порядке нумерации
Предположение г = 0 влечет за собой и' (ц0) = О, следовательно, С и(1)(Zpj = 0. Так как S0 = X, то отсюда следует, что м(1) = 0. Значит, и = 0, что неверно. Таким образом, /->0. Очевидно, zz(l) = rl влечет за собой ||п|| = г. Обратно, если || и 11 = С то z<(l)^rl и (rl—и(1), р0) = гр^(1) — (и(1), ро) = О. Из S0 = X мы заключаем, что zz(l) = rl.
Предположим, что raf = и (f), где f ^ 0 и | а | = 1. Мы получим г | f | = г | а/ | = | zz (f) | ^ и(\ f |). Так как «'(рф = гц0, то отсюда следует (и (| f |) — г | f |, р0) = 0, и мы, как и раньше, заключаем, что г | f | = и (| f |). Поэтому f(s)=^O при любом seX. С другой стороны, замкнутое подпространство ^(Х), порожденное порядковым интервалом [0, |f|], должно быть замкнутой телесной подрешеткой, отличной от {0} и от всего пространства и, очевидно, инвариантной относительно и. Но это невозможно в силу (3.1).
Далее, пусть f = \f\g. Определим положительный эндоморфизм у пространства ^(Х), полагая
у (/г) (s) = г'1 [ f (s) Г1 и (| f | /г) (s) (ss X).
Мы имеем у(1)=1. Комплексное расширение у (также обозначаемое через у) удовлетворяет условию ag = у (g). Согласно лемме 2, отсюда следует, что aXg" = v (gn) для neZ, откуда и вытекает наше утверждение.
Пусть га, где а = exp/6, — собственное значение и. В 2) было показано, что никакая собственная функция f с собственным значением га не обращается в 0. Более того, /о = | f I представляет собой собственную функцию с собственным значением г. Пусть /г — другая собственная функция с собственным значением г. Мы можем считать, что h принимает вещественные значения. Пусть с = sup {/г (0/fo (0; teXy Функция cL —h принадлежит собственному подпространству X (г) и обращается в нуль по крайней мере при одном (е?Х, так как верхняя грань на X достигается. Следовательно, cf0 — h = 0 в силу предыдущего. Значит, кратность г равна 1.
Обозначим через w эндоморфизм h->gh пространства ^(Х), где g (| g I = 1) есть введенная выше функция //[ / |. Мы определим и, полагая у = cr'w~xuw. Как непрерывный эндоморфизм пространства ^сШ, оператор у задается формулой
у {h} (s) = J h ^ dvs (/) (s e X),
где каждое vs есть однозначно определенная радоновская мера на X. Аналогично пусть и (h) (s) = [ h (0 du5 (/) (seX). В силу равенства | g I = 1 мы имеем
| [ hUWs(0\^g(srv u(,gh^s)\^uU hVV.s)== j I h (/) I d[is (/) для всех seX. Поэтому если vs = ps + its разложение v, с помощью вещественных радоновских мер (гл. I, разд. 7), то отсюда должно следовать, что ps ^ щ. для всех s. С другой стороны, у (М = do и 11 do) = rfo, следовательно, | fod (ps — ps) = О для всех seX. Так как fo(O всегда строго положительно, то ps = щ. Поэтому т5 = 0 для всех s и, следовательно, у = и. Другими словами, у = a-xw-xuw.(*)
Отсюда а (и) = о (аи). Следовательно, спектр а (и) инвариантен относительно поворота на угол 6 (где a = expi6). Формула (*) также показывает, что если периферический точечный спектр не пуст, то кратность всех его элементов равна 1 (т. е. кратности г).
Предположим, что га, где а-ехр/9=1, является изолированным элементом периферического точечного спектра. Из (*) следует, что г является как раз таким элементом. Тогда существует собственное значение rexpzO, (0 <0f < 2л) с минимальным 9^
Так как г изолировано, то из 2) следует, что периферический точечный спектр состоит из конечного числа корней из единицы. В частности, 9] = 2л/га при некотором п> 1, и [опять-таки в силу 2)] числа гехр/тЭ, (т = 0, 1, . .., га—1) все суть собственные значения. Далее, пусть г exp z'0 — некоторое собственное значение на окружности | Л | = г. Обозначим через к наименьшее целое положительное число, такое, что 0 + 69]^ 2л. Пусть х = 9 + ^91-
Так как г ехр 1кдх — собственное значение для и, то, применяя (*) к a = exp/9, мы получаем, что rexpz’x также есть собственное значение для и. Далее, если х>2л, то и х<2л + 9ь что, однако, противоречит определению 9^
Таким образом, 9+ 60! = 2л и, значит, 9 = (п — к) 9,. Это показывает, что периферический точечный спектр и есть в точности множество гН, где Н обозначает группу корней га-й степени из 1.
Если периферический точечный спектр содержит полюс резольвенты и, то, очевидно, применимо ранее сказанное. Из (*)
следует, что каждый элемент гН является полюсом того же порядка. Этим общим порядком в силу (3.2) будет 1.
Предположим, что kf = и ^, где O^f^O. Из Х^,ц0) = = («(f), ц0) = г(/, Ц0)>0 следует, что Х = г.
Пусть га, где а — первообразный корень га-й степени из 1, есть собственное значение и с собственной функцией f = |f|g. Если у обозначает отображение h —> г-' | f Г* и (I f I h\ то ag = и (g) и у удовлетворяет предположению леммы 2. Мы положим Мк = = gr-1(aA) (6 = 0, 1, . ..) и без ограничения общности можем считать, что Л1О=#0, т. е. g(/)=l при некотором teX. Как и при доказательстве леммы 2, имеем y(6)(s) = J h (Z) dp,3 (Z) (s e X) и из ag = y(g), |g|=l, заключаем, что при s e М& носитель щ содержится в Mfc+1. Так как равенство k = k' (mod га) влечет за собой Мк= Мк (множества с индексами, не сравнимыми по модулю п, не пересекаются), то отображение у индуцирует циклическую перестановку Мк —> M^-t {k mod га). Отсюда следует, что замкнутая телесная подрешетка Fc^r^), образованная функ- п — 1
циями, аннулирующимися на М = (J Мь инвариантна относи- fl
тельно у, а значит, и относительно и. Следовательно, в силу (3.1) F = {0} или, что то же самое, X = М, так как М замкнуто. Поэтому g (X) — циклическая группа, порожденная а. С другой стороны, g (X) связно, так как X связно и g непрерывно. Это означает, что а= 1.
Тем самым доказательство (3.3) завершено.
Мы получим пример неприводимого положительного оператора на ^r [0, 1] с пустым точечным спектром, полагая
S1
u(h(s) = sf(s)+ р(^И + J (Д-^Жоо
s е [0, 1]. Непосредственно видно, что и неприводимо; нетрудно убедиться также, что и не имеет собственных векторов.
В следующем примере X — единичная окружность {2: | 2 | = 1} и а — фиксированный элемент из X, не являющийся корнем из 1. Пусть га — эндоморфизм пространства ^^ХУ определяемый формулой и (f) (2) = f (ur). Тогда и положителен и неприводим, так как множество {а": meN} плотно в X. Легко видеть, что группа Н = {а": га е Z} принадлежит точечному спектру и. Действительно, периферический точечный спектр и в точности совпадает с Н.
Наша заключительная теорема связана с условиями, при которых положительный эндоморфизм общей банаховой решетки имеет циклический периферический точечный спектр (в более слабом смысле). Пусть Е — банахова решетка, Е\ — банахово про-
странство, являющееся комплексификацией £. Мы будем говорить, что абсолютная величина х->|х| на £ может быть продолжена на £|, если для всякой пары (х, у) е Е X £ в Е существует sup {] х cos 9 + у sin 9 | : 0^9<2л}. В этом случае верхняя грань может быть использована для определения | х + iy |. Читатель может убедиться, что если Е порядково полно, то абсолютная величина может быть продолжена на Et. Однако эти условия не являются необходимыми, как показывает пример банаховой решетки ^r(X) (X — компакт). Продолжение х —> | х | на £,, если оно существует, удовлетворяет соотношениям | Zj + z21 ^ I-^ I + + | z21, | pz I | p 11 z | (z, zb z, G £; p e С) и | и (z) | ^ и (| z |) для всякого (продолженного на £J положительного эндоморфизма Е,
3.4. Теорема. Пусть Е— банахова решетка, абсолютная величина в которой может быть продолжена на комплексификацию Еь Пусть и — положительный эндоморфизм Е со спектральным радиусом г, причем существует строго положительная линейная форма х', удовлетворяющая условию и' (х')^гх'. Тогда если периферический точечный спектр содержит аг с ] а|= 1, то он содержит гН, где Н — циклическая группа, порожденная а.
Доказательство. Мы можем считать, что г>0, и для удобства будем предполагать г=1. Пусть ах = и(х\ где 0 =# х = = X) + ix2 е £] (хь х2 6= £) и | а | = 1. Тогда | х | = | ах | = | и (х) | <м(|х|). Далее, (|х|, х') < (и (| х |), х')<(|х|, х') в силу предположения и' (х') ^ х'. Мы получаем (и (| х |) — | х |, х'^ = 0, а следовательно, | х | = и (| х |), так как х' строго положительно.
Положим х0 = | х | и рассмотрим телесную подрешетку
F=(Jn[—х0, х0] в Е. Так как Е полно и порядковый интер- ।
вал [— х0, хп] замкнут, то всякая положительная последовательность типа /* в £ порядково суммируема к элементу F и х0 — порядковая единица F; следовательно, в силу (V, 6.2) F полно в своей порядковой топологии (вообще-то £ не является замкнутым подпространством в £). Кроме того, в силу (V, 8.4) (£, Р) будет (АМ)-пространством с единицей х0, где р — функционал Минковского для интервала [— х0, х0]. В силу (V, 8.5) существует изоморфизм V решетки (£, р) на ^r(X) (X —компакт), который продолжается до изоморфизма комплексификации Ft пространства F на ^с (А). Кроме того, Р, может быть отождествлено с подпространством Et. Очевидно, £ и Fv инвариантны относительно и, и сужение и0 оператора и на F индуцирует положительный эндоморфизм а на ^r(x) (именно а = Д - цп & Д-1). Так как Д(х0)=1 (единичная константа на X), то из и (х0) = х0 еле-
дует и(1)= 1. Кроме того, х e F х и, значит, ^ = Чг (х) для некоторого g ев ’Sc (X), удовлетворяющего условиям ag = и (g) и | g | = 1, так как Ч; сохраняет абсолютную величину. Утверждение теоремы следует теперь из леммы 2. Доказательство завершено.
Предыдущая теорема применима ко всем банаховым решеткам Lp (р), где (У, 2, ц) — произвольное пространство с мерой (гл. II, разд. 2, пример 2). Если в этом частном случае и удовлетворяет условию (3.4) и (в предположении, что г («)=!) условию а/ = «(/), то банахова решетка (F, р), построенная в предыдущем доказательстве, может быть отождествлена с множеством всех классов |/|g, где g содержит функцию, ограниченную на ¥0 и аннулирующуюся на У \ Уо. (Здесь Уо — множество, на котором некоторый фиксированный представитель класса f отличен от 0.) Пространство (F, р) есть поэтому по существу L°° (ц, Уо), и в качестве изоморфизма Ч' может быть выбран изоморфизм банаховой алгебры L” (ц, Уо) на банахову алгебру ^rW (см. гл. V, упр. 24). Отсюда следует, что если f = | f \ g, где g е L°° (ц, Уо), то а" | f | gn = и (| f | gn) для всех neZ. Это является причиной расширения смысла термина «циклический периферический точечный спектр» на предыдущий случай, где Е = Lp (ц) (l^p^oo). В частности, мы получаем следствие.
Следствие. (Ж. С. Рота [1].) Всякий положительный эндоморфизм и решетки Ех (ц), удовлетворяющий условию г (м) = = || и ||, имеет циклический периферический точечный спектр.
Доказательство. Действительно, f -> J f dp — строго положительная линейная форма h на Л'(ц) и || и || = г (и) влечет за собой (и (f1), h) = ^ и (/) dp $С II ч II J f dp = г (и) (h h) при f^O. Отсюда следует, что и' (А) ^ г (и) h. Доказательство закончено.
23 X Шефер
ЛИТЕРАТУРА
Андо (А п d о Т.)
Positive linear operators in semi-ordered linear spaces, J. Fac. Sci. Hokkaido Unio., Ser. I, 13 (1957), 214—228.
On fundamental properties of a Banach space with a cone, Pacific J. Math., 12 (1962), 1163—1169.
Аренс (Arens R. F.)
Duality in linear spaces, Duke Math. I., 14 (1947), 787—794.
Аренс, Келли (Arens R. F., Kelly J. L.)
Characterizations of the space of continuous functions over a compact Hausdorff space, Trans. Amer. Math. Soc., 62 (1947), 499—508.
Банах (Banach S.)
Teorie des operations lineaires. Monografic Mathematyczne, 1, Warszawa, 1932. (Украинский перевод: Курс функционального анал1зу, «Радянська школа», Ки'1в, 1948.)
Банах, Штейнгауз (Banach S.,Steinhaus Н.)
Stir le principe de la condensation de singularites, Fund. Math., 9 (1927), 50—61.
Б a p т л (B a r 11 e R. G.)
On compactness in functional analysis, Trans. Amer. Math. Soc., 79 (1955), 35-57.
Бауэр (Bauer H.)
Sur le prolongement des formes lineaires positives dans un espace vectoriel ordonne, C. R. Acad. Sci. Paris, 244 (1957), 289—292.
Uber die Fortsetzung positiver Linearformen, Bayer. Akad. Wiss. Math.- Nat. KI. S.-B., 1957 (1958), 177—190.
Б e p ж (В e r g e C.)
Topological spaces, New York, 1963.
Биркгоф (Birkhoff G. D.)
Теория структур, ИЛ, M., 1952 (1948).
Биркгоф, Маклейн (Birkhoff G., М а с L а п е S.)
A survey of modern algebra, 3rd ed., New York, 1965.
Бон co л (В о n sa 11 F. F.)
Endomorphisms of partially ordered vector spaces, J. London Math. Soc., 30 (1955), 133—144._
Endomorphisms of a partially ordered vector space without order unit, J. London Math. Soc., 30 (1955), 144—153.
Linear operators in complete positive cones, Proc. London Math. Soc. (3). 8 (1958), 53—75._
Positive operators compact in an auxiliary topology, Pacific J. Math., 10 (1960), 1131-1138."
Б р э й с (В г а с е J. W.)
The topology of almost uniform convergence, Pacific J. Math., 9 (1959) 643—652.
Approximating compact and weakly compact operators, Proc. Amer. Math. Soc., 12 (1961), 392—393.
Бурбаки (Bourbaki N.)
Теория множеств, «Мир», M., 1965.
Алгебра. Алгебраические структуры. Линейная и полилинейная алгебра, Физматгиз, М., 1962.
Общая топология. Основные структуры, «Наука», М, 1962.
Общая топология. Топологические группы. Числа и связанные с ними группы и пространства, «Наука», М., 1969.
Topologie generale, chap. 9. 2ёт ed., Paris. 1958.
Topologie generale, chap. 10. 2ёт ed., Paris, 1961.
Топологические векторные пространства, ИЛ, М„ 1959.
Интегрирование. Меры, интегрирование мер, «Наука», М., 1967.
Integration, chap. 5. Paris, 1956.
Integration, chap. 6. Paris, 1959.
Б v p ж e н (В о u r g i n I). G.)
Linear topological spaces, Amer. J. Math., 65 (1943), 637—659.
Б у ш а у (В u c h a w D.)
Elements of general topology, New York, 1963.
Бэр (В a e r R.)
Линейная алгебра и проективная геометрия. ИЛ, 1955.
Г и льман, Джерисон (Gi 1 1 man L., J ег is о n М.)
Rings of continuous functions, Princeton, 1962.
Гире (H у e r s D. H.)
Locally bounded linear topological spaces, Reu. Ci. (Lima), 41 (1939), 555—574.
Linear topological spaces, Bull. Amer. Math. Soc., 51 (1945), 1—24.
Гордон (Gordon H.)
Topologies and projections on Riesz spaces, Trans. Amer. Math. Soc., 94 (1960), 529—551.
Relative Uniform Convergence, Math. Ann., 153 (1964), 418—427.
Гофман (Hoffman K.)
Банаховы пространства аналитических функций, ИЛ, М., 1963.
ГросбергЮ. И., Крейн М. Г.
О разложении линейного функционала на положительные составляющие, ДАН СССР, 25 (1939), 721—724.
Гротендик (Grothendieck А.)
Sur la completion du dual d’un espace vectoriel localement convexe, C. R. Acad. Sci. Paris, 230 (1950), 605—606.
Quelques resultats relatifs a la dualite dans Ies espaces (F), C. R. Acad. Sci. Paris, 230 (1950), 1561 — 1563.
Criteres generaux de compacite dans les espaces vectoriels localement convexes. Pathologie des espaces (LF), C. R. Acad. Sci. Paris, 231 (1950), 940—941.
Quelques resultats sur les espaces vectoriels topologiques, C. R. Acad. Sci. Paris, 233 (1951), 839—841.
Sur une notion de produit tensoriel topologique d’espaces vectoriels topologiques, ef une classe remarquable d'espaces vectoriel liee a cette notion, C. R. Acad. Sci. Paris, 233 (1951), 1556—1558.
Criteres de compacite dans les espaces fonctionnels generaux, Amer. I. Math., 74 (1952), 168—186.
Sur les applications lineaires faiblement compactes d’espaces du type C(K), Canadian J. Math., 5 (1953), 129—173.
Sur certain espaces de fonctions holoinorphes I, II, /. reine angew. Math., 192 (1953), 35—64, 77—95.
Sur les espaces de solutions d'une classe generale d’equations aux derivees partielles, J. Analyse Math., 2 (1953), 243—280.
Sur les espaces (F) et (DF), Summa Brasil. Math., 3 (1954), 57—123. (Русский перевод: Математика, 2:3 (1958), 81 —127.)
Lemons sur les espaces vectoriels topologiques. Institute de Matematica Рига e Aplicada Universidade de Sao Paulo, 2<чп ed., Sao Paulo, 1958.
Resume des resultats essentiels dans la theorie des produits tensoriels topologiques et des espaces nucleaires, Ann. Inst. Fourier (Grenoble), 4 (1952), 73—112 (1954).
Produits tensoriels topologiques et espaces nucleates, Mem. Amer. Math. Soc., 16 (1955).
Une caracterisation vectorielle-metriqne des espaces L', Canadian J. Math., 7 (1955), 552—561.
Данфорд, Шварц (Dunford N., Schwartz J. T.)
Линейные операторы. Общая теория, ИЛ, М., 1962.
Линейные операторы. Спектральная теория, «Мир», М., 1966.
Дворецкий, Роджерс (Dvoretzky A., Rogers С. А.)
Absolute and uconditional convergence in normed linear spaces, Proc. Nat. Acad. Sci. U.S.A., 36 (1950), 192—197.
Де Бранж (De Branges L.)
The Stone-Weierstrass theorem, Proc. Amer. Math. Soc., 10, (1959), 822—824.
Д ж e й м c (J a m e s R. C.)
Bases and reflexivity of Banach spaces, Ann. oj Math (2), 52 (1950), 518—527.
A non-reflexive Banach space isometric with its second conjugate space, Proc. Nut. Acad. Sci. U.S.A., 37 (1951), 174—177.
Weak compactness and reflexivity, Israel J. Math., 2 (1964), 101 —119.
Дьедонне (Dieudonne J.)
La dualite dans les espaces vectoriels topologiques, Ann. Sci. Ecole Norm. Sup. (3), 59 (1942), 107-139.
Natural homomorphisms in Banach spaces. Proc. Amer. Math. Soc., 1 (1950), 54—59.
Sur les espaces de Kothe, J. Analyse Math., 1 (1951), 81 —115.
Sur tin theoreme de Smulian, Arch. Math., 3 (1952), 436—440.
Complex structures on real Banach spaces, Proc. Amer. Math. Soc., 3 (1952), 162-164.
Sur les proprietes de permanence de certains espaces vectoriels topologiques, A/ш. Soc. Polon Math., 25 (1952), 50—55 (1953).
Sur les espaces de Monlel rneirisables, C. R. Acad. Sci. Paris, 238 (1954), 194-195.
On biortliogonal systems, Michigan Math., J., 2 (1954), 7—20.
Denumerability conditions in locally convex vector spaces, Proc. Amer. Math. Soc., 8 (1957), 367—372.
Д ь e до ине, Шварц (Dieudonne .1., Schwartz L.)
La dualite dans les espaces (F) et (LF), Ann. Inst. Fourier (Grenoble), 1 (1949), 61—101 (1950). (Русский перевод: Математика, 2:2 (1958), 77—117.)
Дэй (Day М. М.)
The spaces L» with 0<p< 1, Bull. Amer. Math. Soc., 46 (1940), 816— 823.
Нормированные линейные пространства, ИЛ, М., 1961.
On the base problem in normed spaces, Proc. Amer. Math. Soc., 13 (1962), 655—658.
Какутани (Kakutani S.)
Concrete representation of abstract (L)-spaces and the mean ergodic theorem, Anu. of Math. (2), 42 (1941), 523—537.
Concrete representation of abstract (M)-spaces, Ann. of Math. (2), 42 (1941), 994—1024.
Карлин (Karlin S.)
Unconditional convergence in Banach spaces, Bull. Amer. Math. Soc. 54 (1948), 148—152.
Bases in Banach spaces, Duke Math. J., 15 (1948), 971—985.
Positive operators, J. Math. Meeh., 8 (1959), 907—937.
Кейдисон (К a dis о n R. V.)
A representation theory for commutative topological algebras, Mem. Amer. Math. Soc. 7 (1951).
Келли (К e 1 1 e у J. L.)
Общая топология, «Наука», M., 1968.
Hypercomplete linear topological spaces, Michigan Math. J., 5 (1958), 235—246. (Русский перевод: Математика, 4:6 (I960), 79—92.)
Келли, Н а м и о к а и др. (К е 1 1 е у J. L., N a m i о k a I. and co-authors.)
Linear topological spaces, Princeton, 1963.
К ё т e (K 6 t h e G.)
Die Stufenraume, eine einfache Klasse linearer vollkommener Raume, Math. Z.. 51 (1948), 317-345.
Uber die Vollstandigkeit einer Klasse lokalkonvexer Raume, Math. Z., 52 (1950), 627—630.
Uber zwei Satze von Banach, Math. Z., 53 (1950), 203—209.
Neubegrtindung dec Theorie der vollkommenen Raume, Math. Nachr. 4 (1951), 70—80.
Topologische lineare Raume, I, Berlin—Gottingen—Heidelberg, 1960.
Кист (К i s t J.)
Locally o-convex spaces, Duke. Math J., 25 (1958), 569—582.
Кли (Klee V. L.)
Invariant metrics in groups (solution of a problem of Banach), Proc. Amer Math. Soc., 3 (1952), 484—487.
Boundedness and continuity of linear functionals, Duke Math. J. 22 (1955), 263—270."
Extremal structure of convex sets, Arch. Math.. 8 (1957), 234—240.
Extremal structure of convex sets, II, Math. Z., 69 (1958), 90—104.
Convexity, Princeton (готовится к печати).
Коллинз (Collins Н. S.)
Completeness and compactness in linear topological spaces, Trans. Amer. Math. Soc., 79 (1955), 256—280.
Колмогоров A. H.
Zur Normierbarkeit eines allgemeinen topologischen linearen Raumes Stadia Math., 5 (1934), 29—33.
К о м у р a (Komura Y.)
Some examples on linear topological spaces, Math. Ann., 153 (1964), 150—162.
Крейн M. Г.
О некоторых вопросах геометрических выпуклых ансамблей, принадле- - жащих линейному нормированному и полному пространству, ДАН СССР, 14 (1937), 5—8.
Основные свойства нормальных конических множеств в пространствах Банаха, ДАН СССР, 28 (1940), 13—17.
К р е й и М. Г., М и л ь м а и Д. П.
On extreme points of regular convex sets, Studia Math., 9 (1940), 133— 138.
К p e й и M. Г., P у т м а и M. A.
Линейные операторы, оставляющие инвариантными конус в пространстве Банаха, У МН, 3, вып. 1 (1948), 3—95.
К р е й н М. Г., Ш м у л ь я н В. Л.
On regularly convex sets in the space conjugate to a Banach space, Ann. of Math. (2), 41 (1940), 556—583.
Ландсберг (Landsberg M.)
Pseudonormen in der Theorie der linearen topologischen Raume, Math. Nachr., 14 (1955), 29—38.
Lineare topologische Raume, die nicht lokalkonvex sind, Math. Z., 65 (1956), 104—112.
Макки (M a c k e у G. W.)
On infinite dimensional linear spaces, Proc. Nat. Acad. Set. U.S.A., 29 (1943), 216—221.
On convex topological linear spaces, Proc. Nat. Acad. Set. U. S. A., 29 (1943), 315—319.
Equivalence of a problem in measure theory to a problem in the theory of vector lattices, Bull. Amer. Math. Soc., 50 (1944), 719—722.
On infinite-dimensional linear spaces, Trans. Amer. Math. Soc., 57 (1945), 155—207.
On convex topological linear spaces, Trans. Amer. Math. Soc., 60 (1946), 519—537.
Мартино (Martineau A.)
Sur une properiete caracteristique d’un produit de droiles, Arch. Math., 11 (1960), 423—426.
Маховальд (Ma h о wa 1 d M.)
Barrelled spaces and the closed graph theorem, J. London Math. Soc., 36 (1961), 108—110.
M и л ь м а и Д. П.
Характеристика экстремальных точек регулярно-выпуклого множества, ДАН СССР, 57 (1947), 119—122.
Морен (Maurin К.)
Abbildungen vom Hilbert-Schmidtschen Typus und ihre Anwendungen, Math. Scand., 9 (1961), 359—371.
H а м и о к a (Namioka I.)
Partially ordered linear topological spaces, Mem. Amer. Math. Soc., 24 (1957).
A substitute for Lebesque’s bounded convergence theorem, Proc. Amer. Math. Soc., 12 (1961), 713—716.
Н а х б« н (N а с h b i n L.)
Topological vector spaces of continuos functions, Proc. Mat. Acad. Sci. USA, 40 (1954), 471—474.
фон Нейман (von N e u m a n n J.)
On complete topological spaces, Trans. Amer. Math. Soc., 37 (1935), 1—20.
Перессини (Peressini A. L.)
On topologies in ordered vector spaces, Math. Ann., 144 (1961), 199— 223.
Concerning the order structure of Kothe sequence spaces, Michigan Math. J., 10 (1963), 409—415.
A note on abstract (M)-spaces, Illinois J. Math., 7 (1963), 118—120.
Ordered topological vector spaces, New York, 1967.
Перрон (Perron O.)
Zur Theorie der Matrices, Math. Ann., 64 (1907), 248—263.
П и ч (P i e t s c h A.)
Unbedingte und absolute Summierbarkeit in F-Raumen, Math. Nachr., 23 (1961), 215—222. (Русский перевод: Математика, 7:5 (1963), 95— 103.)
Verallgemeinerte vollkommene Folgenraume, Berlin, 1962.
Zur Theorie der topologischen Tensorprodukte, Math. Nachr., 25 (1963), 19—30.
Eine neue Charakterisierung der nuklearen lokalkonvexen Raume 1, Math. Nachr., 25 (1963), 31—36. (Русский перевод: Математика, 7 :5 (1963), 105—120.)
Eine neue Charakterisierung der nuklearen lokalkonvexen Raume II, ' Math. Nachr., 25 (1963), 49—58.
Absolut summierende Abbildungen in lokalkonvexen Raumen, Math. Nachr., 27 (1963), 77—103. (Русский перевод: Математика, 8:2 (1964), 77-102.)
Zur Fredholmschen Theorie in lokalkonvexen Raumen, Studia Math., 22 (1963), 161 — 179.
Ядерные локально выпуклые пространства, «Мир», М. 1967.
Поульсен (Ро u 1 s е n Е. Т.)
Convex sets with dense extreme points, Amer. Math. Monthly, 66 (1959), 577—578.
Итак (P t a k V.)
О полных топологических линейных пространствах, Чехосл. Матем. ж., 3 (78), (1953), 301—364.
Compact subsets of convex topological linear spaces, Чехосл. Матем. ж., 4 (79), (1954), 51—74.
Weak compactness in convex topological linear spaces, Чехосл. Матем. ж., 4 (79), (1954), 175—186.
On a theorem of W. F. Eberlein, Studia Math., 14 (1954), 276—284.
Two remarks on weak compaktness, Чехосл. Матем. ж., 5 (80), (1955), 532—545.
Completeness and the open mapping theorem, Bull. Soc. Math. France, 86 (1958), 41—74. (Русский перевод: Математика, 4:6 (1960), 39—69.)
A combinatorial lemma an the existence of convex means and its application to weak compactness, Proc. Sympos. Pure Math., vol. VII. Convexity, 1963, 437—450. (Русский перевод: Математика. 10:6 (1966), 44—59.)
On the closed graph theorem, Чехосл. Матем. ж., 9 (1959), 523—527 (Русский перевод: Математика, 4:6 (1960), 69—72.)
352352,7 и i е р о г и р а
352
352
An extension theorem tor separately continuous functions and its application to functional analysis, Чехосл. Матем. ж., 14 (89). (1964), 562— 581. (Русский перевод: Математика, 11:1 (1967), 112—130.)
Рисе (R i е s z F.)
Sur quelques notions fondamentales dans la theorie generale des operations lineaires, Ann. of Math., (2) 41 (1941), 174—206.
Робертсон А.. Робертсон В. (Robertson A., Robertson W.)
On the closed graph theorem, Proc. Glasgow Math. Assoc., 3 (1956), 9—12. (Русский перевод: Математика, 4:6 (1960), 75—79.)
Топологические векторные пространства, «Мир», М., 1967.
Робертсон В. (Robertson W.)
Contributions to the general theory of linear topological spaces, Thesis, Cambridge 1954.
Рота (Rota G.-C.)
On the eigenvalues of positive operators. Bull. Amer. Math. Soc., 67 (1961), 556—558.
С e к e ф а л ь в и - Н а д ь (S z. - N a g у В.)
Spektraldarstellung linearer Transformationen des Hilbertschen Raumes, Berlin-Gottingen-Heidelberg, 1942.
С и в и н, 10 д (С i v i n P., Y о о d B.)
Quasi-reflexive spaces, Proc. Amer. Math. Soc., 8 (1957), 908—911.
Сирота (Shirota T.)
On locally convex vector spaces of continuous functions, Proc. Jap. Acad., 30 (1954), 294—298.
Стоун (S t о n e M. H.)
The generalized Weierstrass approximation theorem, Math. Mag., 21 (1948), 167—183, 237—254.
Тейлор (Taylor A. E.)
Introduction to functional analysis. New York, 1958.
Тихонов A. H.
Ein Fixpunktsatz. Math. Ann., Ill (1935), 767—776.
Уэхаузен (We h a u sen J. V.)
Transformations in linear topological spaces, Duke Math. J., 4 (1938), 157-169.
Фрейденталь (Freudenthal H.)
Teilweise geordnete Modulo, Nederl. Acad. Wetensch. Proc., 39 (1936), 641-651.
Фробениус (Frobenius G.)
Uber Matrizen aus positiven Elementen, S.-B. Preuss Akad. Wiss. Berlin, 1908, 471—470; 1909, 514—518.
Uber Matrizen aus nicht negativen Elementen, S.-B. Preuss. Akad. Wiss. Berlin, 1912, 456—477.
X а л м о ш (H a 1 m о s P. R.)
Теория меры. ИЛ. M, 1953.
Introduction to Hilbert space and the theory of spectral multiplicity, 2nd ed., New York. 1957.
Naive set theory. Princeton, 1960.
Хилле, Филлипс (H i 1 I e E., P h i I 1 i p s R. S.)
Функциональный анализ и полугруппы, ИЛ, М., 1962.
Ш^ т т е н (S с 11 a t 1 е п R.)
A theory of cross spaces. Ann. Muth. Studies. 26 (1960).
Norm ideals of completely continuous operators, Berlin—Gottingen — Heidelberg. 1960.
Шаудер (Schauder J.)
Zur Theorie stetiger Abbildungen in Funktionalraumen, Math. Z., 26 (1927), 47—65, 417—431.
Uber lineare stetige Funktionaloperationen, Stadia Math., 2 (1930), 183—196.
Шварц (Schwartz L.)
Theorie des distributions, Tome I, 2em ed, Paris, 1957.
Theorie des distributions, Tome II, 2em ed, Paris, 1959.
Шефер (S c h a e f e r H. H.)
Positive Transformationen in lokalkonvexen halbgeordneten Vektorrau- men, Math. Ann., 129 (1955), 323—329.
Halbgeordnete lokalkonvexe Vektorraume, Math. Ann., 135 (1958), 115— 141.
Halbgeordnete lokalkonvexe Vektorraume, II, Math. Ann., 138 (1959), 259—286.
Halbgeordnete lokalkonvexe Vektorraume, HI, Math. Ann., 141 (1960), 113—142.
On the completeness of topological vector lattices, Michigan Math. J., 7 (1960), 303—309.
Some spectral properties of positive linear operators, Pacific J. Math., 10 (1960), 1009—1019.
On the singularities of an analytic function with values in Banach space, Arch. Math., 11 (1960), 40—43.
Spectral measures in locally convex algebras, Acta Math., 107 (1962), 125—173.
Convex cones and spectral theory, Proc. Sympos. Pure Math., Vol. VII, Convexity, 1967, 451—471.
Spektraleigenschaften positiver Operatoren, Math. Z., 82 (1963), 303— 313.'
On the point spectrum of positive operators, Proc. Amer. Math. Soc., 15 (1964), 56—60.
Шефер, Уолш (Schaefer H. H., Walsh B. J.)
Spectral operators in spaces of distributions, Bull. Amer. Math. Soc., 68 (1962), 509—511.
Ш м у л ь я и В. Л.
Sur les ensembles faiblement compacts dans les espaces lineaires normes, Comm. Inst. Sci. Math. Mec. Univ. Charkov (4), 14 (1937), 239—242.
О регулярно замкнутых и слабо компактных множествах в пространствах типа (В), ДАН СССР, 18 (1938), 405—407.
Uber lineare topologische Raume, Мотели сборы., I (49), (1940), 425— 448.
Эберлейн (Е b ег 1 е i п W. F.)
Weak compactness in Banach spaces, I, Proc. Nat. Acad. Sci. U. S, A., 33 (1947), 51—53.
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Абсолютная величина 22, 261
Алаоглу — Бурбаки теорема 109
Алгебра банахова 255
— локально выпуклая 255
— спектральная 321
— упорядоченная 320
Алгебраическая прямая сумма 32
Аппроксимации проблема 140
Аппроксимационное свойство 140
Базиса проблема 149
Базис безусловный 149
— Гамеля 20, 34
— окрестностей 13
— ортонормальный 61
— фильтра 12
■— Шаудера 148
нормализуемый 148
Банаха — Дьедонне теорема 193
Банаха теорема о гомоморфизме 100
о замкнутом графике 102
Банаха — Штейнгауза теорема 108
Биполяра множества 160
Бочка 80
Внутренность подмножества 13
Внутренняя точка подмножества 13
Вычет 326
Гильберта — Шмидта отображение 226
Гильбертова прямая сумма 61
Гиперплоскость 37
Гомеоморфизм 13
Гомеоморфные пространства 13
Гомоморфизм решеточный 268
График отображения 9
Гротендика теорема о полноте 189
Дворецкого — Рождерса теорема 236
Диагональ произведения 15
Дизъюнктные элементы решетки 261
Дини теорема 317
Единичный шар (нормированного пространства) 57
Замыкание подмножества 13
Изоморфизм изометрический 57
— линейный 21
— — порядковый 264
Изоморфизм линейный топологический 24
— равномерный 17
— решеточный 269
Индуктивный предел 76
— — строгий 76
Ишервал 53
— порядковый 259
Инфимум (наибольшая нижняя граница, нижняя грань) 11
Какутани теорема 311
Калибровочная функция (функционал
Минковского) 55
Каноническое вложение 126, 182
— разложение 22
— (фактор-) отображение 32
Комплексификация 48
Комплексное расширение оператора 327
Конус 54
— выпуклый 54
— дуальный 275
— нормальный 271
— положительный 258
— собственный 258
Крейна теорема 242
Крейна — Мильмана теорема 89
Крейна — Рутмана теорема 332
Крейна—Шмульяна теорема 193
Линейная комбинация 20
Линейное многообразие (аффинное подпространство) 37
— — опорное 88
Лиувилля теорема 255
Мазура теорема 62
Мажоранта И
Макки — Аренса теорема 166
Мера атомистическая 318
— диффузная 318
— Радона 59
— спектральная 321
Метрика 18
Мнимая часть отображения 47
Множество второй категории 19
значений функции 9
индуктивно упорядоченное 12
— направленное 12
Множество нигде не плотное 19
открытое 13
первой категории 19
равностепенно непрерывное 106
— в точке 106
совершенно упорядоченное И
упорядоченное 11
Насыщенное семейство ограниченных подмножеств 104
Неравенство Шварца 60
Норма 55
Нулевой элемент 20
Нуль-пространство (ядро) отображения 21
Область определения отображения 9
Оболочка выпуклая 54
закругленная 34
— закругленная 22
— линейная 21
— С-насыщенная 271
Об открытом отображении теорема 212
Оператор спектральный 321
Осгуда теорема 155
Отделимости теорема первая 85
вторая 86
Отображение алгебраически сопряженное 21, 163
— ассоциированное 22
— биективное 10
— билинейное ИЗ
■— — каноническое 118
— ©-гипонепрерывное 114
— (©, $) -гипонепрерывное 115
— Х-гипонепрерывное 115
взаимно однозначное (1-1, инъективное) 10
Гильберта — Шмидта 226
замкнутое 15
— компактное 126
конечного ранга 126
— линейное 21
— интегральное 216
непрерывное 13
открытое 15
— положительное 284
равномерно непрерывное 17
— ядерное 127
Подалгебра спектральная 321
Подмножество вполне ограниченное 38
— выпуклое 53
закругленное 22
линейно независимое 20
Подмножество мажорируемое 11
минорируемое 11
ограниченное 38
— — порядковое 11, 259
ортонормальное 61
порядково полное 264
предкомпактное 38
предъядерное 227
радиальное (поглощающее) 22
секвенциально компактное 236
счетно компактное 236
— тотальное 103
Подпространство аффинное (линейное многообразие) 37
— — порожденное 21
— дополнительное 32
— топологическое 15
— топологического векторного пространства 29
Подрешетка векторная 263
— С-насыщенная 271
Поле нормированное 22
Положительный элемент 258
Полоса 264
Полупространство 84
Поляра 160
— абсолютная 160
Пополнение 17
— топологического векторного пространства 29
Порождающее семейство преднорм 65
Порядковая единица 259
слабая 304
Порядковый интервал 279
Порядок (порядковая структура, упорядоченность) И
— архимедов 259
— канонический 259, 260
— легксикографический 260
— полюса 326
— регулярный 260
Последовательность 10
— Коши 17
монотонная трансфинитная 319
порядково суммируемая 289
типа Iх 291
Предельная точка последовательности 14
— (точка прикосновения, точка накопления) фильтра 14
Преднорма 55
— предъядерная 227
Принсгейма теорема 327
Продолжение отображения 10
Проективная топология 14, 68
Проективный предел ТВП 70
— — приведенный 177
Проекция 32
Произведние внутреннее (скалярное) 67
тензорное 118
— отображений 136
— топологическое 15
Производная 255
Пространство банахово 57
— алгебраическое сопряженное 37
— второе сопряженное 182
— — сильное сопряженное к нормированному 58
— левое 20
— — порядково ограниченное сопряженное 259, 270
— — — сопряженное 260, 270
— правое 20
— — топологическое сопряженное 64
— — упорядоченное 258, 270
архимедово 259
— второе порядково сопряженное 267
— — порядково полное 264
— — регулярно 259
■решеточно 270
бэровское 19
гильбертово 60
метрическое 18
нормированное 56
— равномерное 116
— полное 17
— полуполное (секвенциальное полное) 17
— предкомпактное 19
— топологическое 15
— векторное 23
квазиполное 41
— — локально выпуклое 64
— — — — борнологическое 81
— — — — бочечное 80
—— квазибочечное 181
— — — — — лестничное 155
— — Макки 187
— — — — — минимального типа 244
— — — — — монтелевское 187
—— полурефлексивное 183
— — — — правильное 246
— —— Птака (S-полное) 206
— — — — рефлексивное 184
— — — — сильное второе сопряженное 182
— — — — — сопряженное 179
— совершенное 243
— — — — телесное 243
— — — — Фреше 66
— — — — ядерное 129
— — — ограниченное 46
— — метризуемое 44
— — нормируемое 56
Пространство топологическое векторное упорядоченное 280
— — — — с единицей 310
—■ вполне регулярное 16
локально компактное 19
— метризуемое 18
— несвязное 13
— нормальное 15
регулярное 15
— связное 13
— стоуновское 320
— хаусдорфово (отделимое) 15
сепарабельное 13
— векторное 23
— — квазиполное 41
— — локально выпуклое 64
— — — — борнологическое 81
— —бочечное 80
— — — — —, квазибочечное 181
— —— лестничное 155
— — — — — Макки 187
— — — — — минимального тина 244
— —монтелевское 187
— — полурефлексивное 183
—правильное 246
— — — — Птака (В-полное) 206
рефлексивное 184
— — сильное второе сопря
женное 182
— сопряженное 179
— — — — совершенное 243
— —телесное 243
— — — — Фреше 66
— — ядерное 129
— — — ограниченное 46
— — метризуемое 44
— — нормируемое 56
Семейство 10
— равностепенно непрерывное 106
— раздельно 113
— суммируемое 154
абсолютно 154, 229
— топологически свободное 155
Собственное значение 325
Собственный вектор 325
Спектр 255
— периферический 335
точечный 335
■— точечный 325
Спектральная окружность 324
Спектральный радиус 255, 324
— элемент 321
Старший коэффициент разложения 326
Стоуна — Вейерштрасса теорема 307, 309
Строгий S-конус 274
Сужение отображения 10
непрерывнойнепрерывной
непрерывной
непрерывной
Теорема о биполяре 160
—•— гомоморфизме 210
— — замкнутом графике 212
— — ядре 219
Топологический нильпотент 326
Топология 13
— биограниченпой сходимости 221
биравностепенно непрерывной сходимости 118
выпуклой закругленной компактной сходимости 104
— дискретная 13
— естественная 182
инвариантная относительно сдвигов 25
— индуктивная 15, 72
— индуцированная 15
— квазиравномерной сходимости 155
— компактной сходимости 104
— локально выпуклая 64
—Макки 167
— — — порожденная семейством преднорм 65
—сильная 185
— — — слабая 70
— — согласованная с двойственностью 166
— ограниченной сходимости 104
— порядковая 289
— предкомпактной сходимости 104
— проективная 14, 68
— произведения 15
— тензорного произведения проективная 119
— — — равностепенно сходимости 124
Точка прикосновения 13
— накопления 14
Ультрафильтр 12
Урысона теорема 16
Фактормножество 11
Факторотображение 32
Факторпространство векторное 21
— топологическое 15
— — векторное 33
Фактортопология 15, 32
Фильтр 12
— Коши 17"
— ограниченный 111
— окрестностей 13
■— порядково сходящийся 301
— сечений 12
■— элементарный 13
Форма билинейная 113
— линейная 21
— — вещественная 47
— — положительная 260, 270
— — эрмитова 60
Фундаментальная система (фундаментальное семейство) ограниченных подмножеств 38
Функция голоморфная 254
— локально голоморфная 254
— интегрируемая (по Риману) 254
Хана — Банаха теорема 63
Цорна лемма 12
Эберлейпа теорема 237
Экстремальная точка множества 88
Элементарный фильтр 13
ОГЛАВЛЕНИЕ
От редактора перевода 5
Предисловие автора 6
Предварительные сведения 9
Множества и порядок 9
Общая топология 13
Линейная алгебра 19
Глава 1. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 23
Топологии векторного пространства 23
Произведения пространств, подпространства, прямые суммы, фак- торпространства 31
Топологические векторные пространстваконечной размерности . .34
Линейные отображения игиперплоскости 37
Ограниченные множества 38
Метризуемость 42
Комплексификация 46
Упражнения 48
Глава II. ЛОКАЛЬНО ВЫПУКЛЫЕ ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 51
Выпуклые множества и преднормы 53
Нормированные и нормируемые пространства 56
Теоремы Хана —Банаха 61
Локально выпуклые пространства 64
Проективные топологии 68
Индуктивные топологии 72
Бочечные пространства 79
Борнологические пространства 81
Отделение выпуклых множеств 84
Компактные выпуклые множества 87
Упражнения 90
Глава III. ЛИНЕЙНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ 95
Непрерывные линейные отображения и топологические гомоморфизмы 96
Теорема Банаха о гомоморфизме 98
Пространства линейных отображений102
Равностепенная непрерывность. Принцип равномерной ограниченности и теорема Банаха — Штейнгауза106
Билинейные отображения , , 113
Топологические тензорные прощведенпя118
Ядерные отображения и пространства125
*8. Примеры ядерных пространств137
Проблема аппроксимации. Компактные отображения139
Упражнения149
Глава IV. ДВОЙСТВЕННОСТЬ156
Дуальные системы и слабые топологии157
Элементарные свойства сопряженных отображений163
Локально выпуклые топологии, согласованные с заданной двойственностью. Теорема Макки —Аренса166
Двойственность проективной и индуктивнойтопологий169
Сильное сопряженное к локально выпуклому пространству. Второе сопряженное. Рефлексивные пространства179
Дуальная характеристика полноты. Метризуемые пространства.
Теоремы Гротендика, Банаха — Дьедонне и Крейна — Шмульяна . . 188
Сопряженные к замкнутым линейным отображениям198
Общие теоремы об открытом отображении и замкнутом графике . 206
Тензорные произведения и ядерные пространства213
Ядерные пространства и абсолютная суммируемость225
Слабая компактность. Теоремы Эберлейна и Крейна236
Упражнения243
Глава V. УПОРЯДОЧЕННЫЕ ПРОСТРАНСТВА256
Упорядоченные векторные пространства над полем вещественных чисел257
Упорядоченные векторные пространства над полем комплексных чисел270
Двойственность выпуклых конусов271
Упорядоченные топологические ве.кторныепространства280
Положительные линейные формы нотображения284
Порядковая топология 289
Топологические векторные решетки295
Непрерывные функции на компактном пространстве теоремы Стоуна — Вейерштрасса и Какутани306
Упражнения316
Добавление. Спектральные свойства положительных операторов323
Элементарные свойства резольвенты324
Теорема Принсгейма и ее следствия,327
Периферический точечный спектр335
Литература346
Предметный указатель354
X. Шефер
ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ
ВЕКТОРНЫЕ
ПРОСТРАНСТВА
Редактор В. Пахомов
Художник Н. Фильчагина
Художественный редактор В. Шаповалов Технический редактор Е. Потапенкова Корректор /1. Рыбальченко
Сдано в производство 7/V 1970 г.
Подписано к печати 5,XI 1970 г.
Бумага № 2 60Х90'/10=И,25 бум. л. печ. л. 22,5
Уч.-изд. л. 22,93. Изд. № 1/5397. Цена 1 р. 78 к. Зак. № 625.
ИЗДАТЕЛЬСТВО «М И Р> Москва, 1-й Рижский пер., 2.
Ордена Трудового Красною Знамени Ленинградская типография №2 имени Евюпии Соколовой Главполиграфпрома Комитета по печати при Совете Министров СССР, Измайловский проспект, 29.
TOPOLOGICALVECTOR SPACES
Helmut H. Schaefer
Professor of MathematicsUniversity of Tubingen
THE MACMILLAN COMPANY, NEW YORKCOLLIER-MACMILLAN LIMITED, LONDON
1966
X. Шефер
ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
Перевод с английского
И. А. БЕРЕЗАНСКОГО
Под редакцией
Е. А. ГОРИНА
ИЗДАТЕЛЬСТВО «МИР»
МОСКВА 1971
УДК 513.88
Книга известного немецкого математика X. Шефера представляет собой учебник по общей теории топологических векторных пространств, охватывающий все основные разделы линейной топологии. В ней впервые в учебной литературе последовательно изложены основы крейновской теории упорядоченных пространств, которая перенесена автором на общий случай локально выпуклых пространств; достаточно полно изложена теория топологических тензорных произведений.
Написанная с большим педагогическим мастерством книга Шефера, несомненно, заинтересует математиков различных специальностей. Она будет полезна преподавателям, аспирантам и студентам старших курсов университетов и пединститутов.
Редакция литературы по математическим наукам
Инд. 2-2-3
21-70 г.