ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие 5

Глава 1. Нормированные пространства . 9

Линейные нормированные пространства ...9

Банаховы пространства22

Гильбертовы пространства26

Пространства Лебега и Соболева33

Построение элемента наилучшего приближения в гильбертовых и банаховых пространствах .37

Метрические пространства43

Глава 2. Линейные операторы46

Непрерывность, ограниченность и норма линейного оператора 46

Пространство ограниченных линейных операторов 51

Обратные операторы 58

Замкнутые операторы62

Глава 3. Сопряженные пространства в сопряженные операторы 65

Непрерывные линейные функционалы ....65

Теорема Хана — Банаха. Структура сопряженного пространства 67

Слабая сходимость. Рефлексивность . . . . .79 § 14. Сопряженные операторы73

Глава 4. Компактные множества и вполне непрерывные - операторы81

Компактные множества в нормированных пространствах .. ■81

Линейные вполне непрерывные операторы ..,88

Нормально разрешимые операторы96

Глава 5. Самосопряженные операторы. Спектральная теория102

Самосопряженныеоператоры102

Спектр лилейногооператора107

Спектр -вполне непрерывного и самосопряженного оператора111

1*3

Линейные интегральные уравнения .*, -114

Неограниченные операторы в гильбертовом пространстве 123

Глава 6. Нелинейные операторы и уравнения в банаховых пространствах127

Дифференцирование нелинейных операторов ..127

Принцип сжимающих отображений, итерационный процесс Ньютона и принцип неподвижной точки Шаудера136

Неявные операторы146

Глава 7. Дискретные приближения решений операторных уравнений151

Приближенные и разностные схемы....151

Интерполяция сплайнами164

Приближенные схемы Галеркина170

Метод монотонных операторов177

Глава 8. Элементы теории экстремума и выпуклого анализа 186

Необходимые условия экстремумафункционала186

Достаточные условия экстремумафункционала195

Полунепрерывные и выпуклые функционалы..201

Ответы и указания205

Литература250

Список обозначений . ■252

Предметный указатель 254

ПРЕДИСЛОВИЕ

Функциональный анализ — одна из важнейших областей современной математики. Его возникновение и развитие связано с именами таких крупнейших ученых как Д. Гильберт, Ф. Рисе, С. Банах, М. Фреше, А. Н. Колмогоров, С. Л. Соболев, А. Н. Тихонов, С. М. Никольский л др. Началом создания функционального анализа можно считать систематическое построение теории операторов в бесконечномерных гильбертовых пространствах, а затем и в линейных нормированных пространствах (начало XX века).

Важной особенностью функционального анализа является общая абстрактная форма рассмотрения проблем анализа, позволяющая единообразно исследовать далекие, казалось бы, друг от друга вопросы. Именно поэтому сегодня идеи, концепции п методы функционального анализа пронизывают чуть ли не все области математики, объединяя их в единое целое.

Функциональный анализ играет важную роль в современном математическом образовании инженера-исследователя, которому предстоит применять математические методы в конкретной области науки. На языке функционального анализа получают ясное выражение основные проблемы прикладной и вычислительной математики.

Предлагаемый задачник рассчитан на студентов технических вузов, специализирующихся в области прикладной математики. Его структура и применяемая терминология ориентированы на учебное пособие В. А. Треноги- па «Функциональный анализ» [25]. Однако задачник составлен так, чтобы читатель мог пользоваться любым другим пособием по функциональному анализу.

Задачник будет полезен инженерам, математикам-прикладникам при изучении курса функционального анализа, студентам университетов при первоначальном изучении этого курса.

Данный задачник отражает многолетний опыт авторов по преподаванию функционального анализа в Московском физико-техническом институте, Московском институте нефтехимической и газовой промышленности им. И. М. Губкина, Московском институте стали и сплавов. Наряду с традиционными задачами, при составлении которых была использована приведенная в конце книги литература, сборник содержит большое число новых, отвечающих современным потребностям практики. Сюда, в частности, относятся все задачи, при решении которых предполагается использование ЭВМ, многие задачи нелинейного и прикладного функционального анализа.

Сборник неоднороден по своему содержанию. По каждой теме имеются задачи различной степени трудности, предназначенные как для аудиторной, так и для самостоятельной работы студентов. Кроме задач технического или вычислительного характера имеются задачи, позволяющие лучше уяснить то или иное понятие или результат. Встречаются группы задач, которые могут служить для самостоятельного изучения отдельных вопросов теории, представляя непростое утверждение в виде его разложения на более или менее элементарные упражнения. К подавляющему большинству задач приведены ответы или указания к решениям.

Задачник состоит из восьми глав, каждая из которых содержит, в свою очередь, несколько параграфов. Параграф начинается с краткого теоретического введения, содержащего необходимые для решения последующих задач основные определения и теоремы, а также краткие описания используемых математических приемов. Иногда теоретические сведения вклиниваются внутрь параграфа, предшествуя группе задач на заданную тему.

В главе 1 подобраны задачи, относящиеся к теории линейных нормированных, банаховых, гильбертовых, лебеговых, соболевскпх и метрических пространств. Отдельный параграф (§ 5) посвящен важному в приложениях вопросу построения элемента паилучшего приближения в гильбертовых и банаховых пространствах.

Глава 2 включает материал по теории линейных операторов. Наряду с задачами общего плана, связанными с понятиями непрерывности, ограниченности, нормы ли-

нейных операторов, а также обратного оператора, значительное внимание уделено конкретным линейным операторам, в частности, интегральным и дифференциальным, которые находят широкое применение в решении прикладных задач. Рассматриваются также и неограниченные замкнутые линейные операторы.

Задачи по теории сопряженных пространств и сопряженных операторов подобраны в главе 3.

В главе 4 рассмотрены компактные множества, вполне непрерывные и нормально разрешимые операторы.

В главе 5 собраны задачи по теории1 самосопряженных операторов в гильбертовых пространствах, задачи на теорию спектра линейного, вполне непрерывного и самосопряженного операторов. Специальные параграфы посвящены линейным интегральным уравнениям. Рассматриваются решения интегральных уравнений II рода, а также метод регуляризации для интегральных уравнений I рода (§ 21). Здесь же уделяется внимание неограниченным операторам, в частности, оператору Штурма — Лиувилля (§ 22).

Глава 6 содержит задачи нелинейного функционального анализа. Рассматриваются дифференцирование в нелинейном случае, сжимающие отображения, метод касательных Ньютона, принцип Шаудера, неявные операторы.

Отметим, что эти и другие разделы нелинейного функционального анализа появились в связи с выросшими потребностями теории дифференциальных уравнений, численных методов, математического программирования и других разделов математики.

Определенный интерес для прикладников может представить глава 7, которая содержит подборку задач и упражнений на важнейшие современные приближенные методы — метод разностных схем, метод сплайнов, метод Галеркина и метод монотонных операторов.

Последняя, 8-я глава посвящена вариационному исчислению, как классическому (§§ 30, 31), так и абстрактному (§ 32). При этом авторы старались найти единый подход к этим вопросам.

Поскольку задачник предназначен, в основном, для сзудентов технических вузов, авторы сочли нецелесообразным включать в него упражнения по теории топологических и линейных топологических пространств и по теории меры. В сборник из-за ограниченного объема не вошли также некоторые важные прикладные разделы функционального анализа, в частности, применения к тео-

рии дифференциальных уравнений с частными производными (общий метод Фурье, обобщенные функции, полугруппы, приближенные схемы) и к теории оптимального управления.

Авторы глубоко признательны профессору кафедры теории функций и функционального анализа МГУ им. М. В. Ломоносова А. А. Кириллову, профессору А. И. Прилепко и возглавляемому им коллективу кафедры высшей математики МИФИ за большое число ценных советов, учтенных при подготовке настоящего издания.

Авторы искренне благодарны А. И. Штерну, проверившему текст рукописи во всех его деталях и высказавшему много полезных замечаний, а также Л. Б. Ко- рельштейну за помощь в составлении ответов и указаний.

В. А. Треногий

В. М. Писаревский

Т. С. Соболева

Глава 1

НОРМИРОВАННЫЕ ПРОСТРАНСТВА

Линейные нормированные пространства

Линейное пространство X над множеством вещественных чисел R (комплексных чисел G) называется нормированным пространством, если каждому х^Х поставлено в соответствие неотрицательное число ИжН, называемое нормой х, так, что выполнены следующие три аксиомы:

11x11 = 0 тогда и только тогда, когда х = 0;

ИХхИ = |Х| • 1Ы1 для любого х^Х и любого вещественного (комплексного) числа X;

Их + у\\ ^ Пх11 + llyll для любых х, у s X.

Открытым шаром с центром в точке хйеХ и радиусом г> 0 называется множество Sr(x0) = (хеХ: Их — х0Н < <г}. Замкнутым шаром с центром в- точке _х0 е А и радиусом г>0 называется множество 8Дх^ = {хеХ: Их —х0И<г}. Сферой с центром в точке хоеХ и радиусом г>0 называется множество ог(х0) = {хеХ: Их — — Хо{1 = г).

Множество А с^Х называется ограниченным, если его можно заключить в некоторый шар (открытый или замкнутый). Диаметром множества А<=Х называется число diam А = sup Их — уИ Расстоянием от точки х^Х до мно- жества А с X называется число р(х, А) = inf Их — yll. уел

Расстоянием между множествами А, В^Х называется число р (Л, В) = inf ||х —у||.

xeA.ysB

Множество МсХ называется открытым, если для любой т6еМ существует г>0 такое, что ЗДхДсгМ. Точка а г X называется предельной точкой множества М с X, если в любом шаре ЗДа) найдется точка х^М (х^а). Множество всех предельных точек множества М обозначается М'.. Множество М U ЛГ, называется замыканием множества М и обозначается М. Множество М-Х называется замкнутым, если М = М.

Последовательность х„ е X (и е N) называют сходящейся к элементу хоеХ и записывают хп-«-ха, если l^n — Жо11 0 при П~* °с.

Множество LcX называется линейным многообразием, если из х, у е L следует, что х + у е L и Хх s L для любого .числа X. Если линейное многообразие является замкнутым в X множеством, то оно называется подпространством. Алгебраической суммой множеств А и В пространства X называется множество А + В всевозможных сумм вида а + Ь, где а^А, Ь^В. Пусть х0 е X— произвольный элемент, L а X — линейное многообразие. Множество х» + L называется аффинным многообразием. Пусть L, М — подпространства пространства X такие, что любой элемент х^Х единственным образом представим в виде х = и + и, где и е L, ve М. В этом случае говорят, что X есть прямая сумма L и М и записывают X = L ® М.

Отрезком, соединяющим точки х, у ^ X, называется множество точек вида ах + $у, где а > О, р > 0, а + ^ = 1. Множество А <= X называется выпуклым, если отрезок, соединяющий любые две точки А, целиком лежит в А.

Множество А с X называется всюду плотным в X, если А = X. Пространство X называется сепарабельным, если Й нем существует счетное всюду плотное множество. Множество А с X называется нигде не плотным в X, если в каждом шаре S с X содержится другой шар 8^ не содержащий точек А.

Пространство X называется строго нормированным, если в нем равенство Ня + yll = IWI + llyll при я^О, у =А О возможно только для у = Хх, где X > 0.

Отображение F: X -* У линейного нормированного пространства X в линейное нормированное пространство У называется непрерывным в точке х0 е X, если для любого е>0 существует 6=6(е)>0 такое, что для любого x®S6(x0) ^eSZ/Ud)). Отображение Fi X -* У называется непрерывным, если оно непрерывно в каждой точке Яо г X. Отображение F: X -* У называется равномерно непрерывным, если для любого е > 0 существует 6 = = 6(е)>0 такое, что для любого xa е X из яе£6(я0) следует /(я) е5,(/(я,)).

Доказать, что в определении линейного нормированного пространства аксиому 1) можно заменить на аксиому; из Пя11 =0 следует я = 0.

Пусть хп, х, уп, у@Х (re^N). Доказать.что:

если х„ -»- х, то х„ — ограниченная последовательность;

если х„ -* х, Х„ -+ X, Хпе С, то Хпхп -* Хх;

если Кп ~* х, то Из„И -* Из11;

если хп х и Пз„ — у,JI -* 0, то уп -* х*,

если хп х, то Пз„ — yll -* Из — yll;

если з„ -* х, ул -* у, то Из» — у„Н -* Из — yll.

Доказать, что открытый шар ЗДхо) — открытое множество, замкнутый шар ВДзД — замкнутое множество и замыкание ЗДхД совпадает с SAxoL

Доказать, что diam 5г(з0) = 2г.

Пусть SAa) с SAb) с X. Доказать, что r^R и Ия - ьи =5 я - Г.

Доказать, что для любых элементов з, у ® X выполняется неравенство Пз11 ^ max {Из + yll, Из —yll}.

Доказать, что алгебраическая сумма и объединение двух ограниченных множеств — ограниченные множества.

Доказать, что множество А с X является ограниченным тогда и только тогда, когда diam А < 00.

Доказать, что множество А с X является ограниченным тогда и только тогда, когда для любой последовательности з„ е А и любой последовательности Хп @ С, стремящейся к нулю, последовательность Х„хп стремится к нулю.

Пусть А с X — ограниченное множество. Доказать, что А — ограниченное множество и diam А = = diam А.

Доказать, что для произвольного множества Л <= X множество А' замкнуто.

Доказать, что для произвольного множества А <= X имеет место включение 14ТСА', Возможно ли здесь строгое включение?_

Следует ли из А, В с X, А с В, что Лс5?

Пусть А £ X — замкнутое множество. Доказать, что р(з, Л) —0 тогда и только тогда, когда хе А.

Пусть А, В с X — произвольные множества. Доказать, что р(Л, В) = р(Л, В) = р(Л, В) = р(Л, ВХ

Пусть х е X — произвольная точка, А с.Х — произвольное множество. Доказать, что р(з, Л) —р(з, Л).

Пусть А, В с X — замкнутые множества. Возможно ли, что р(Л, В) = 0, если А Л В = 0?

Пусть Л с: X — произвольное множество. Назовем границей множества А множество ЗА таких точек з е X, что любой открытый шар с центром в з содержит хотя бы одну точку из Л и хотя бы одну точку из дополнения к А. Доказать, что дА — замкнутое множест-

во и что граница А совпадает с границей дополнения к А.

Доказать, что если хотя бы одно из множеств А, В с X открыто, то А + В — открытое множество.

Пусть А,, А2 с X — замкнутые множества, причем 'Ai(1A2 = 0. Построить открытые множества Bt, B2cz X такие, что At с Blt А, с Вг и В^ Л В^ = 0.

Доказать, что в любом линейном нормированном пространстве существуют два непересекающиеся открытые множества, которые нельзя поместить в непере- секающиеся замкнутые.

Убедиться, что в следующих случаях выполня

ются аксиомы нормы, т. е. норма определена корректно. Что означает сходимость последовательности в каждом

из перечисленных ниже пространств?

fee Rfee Rfee Rfee RПространство Е,п столбцов х = fe)^=

fee R

fee R

fee R

fee R

Г m 11/2

,h=l Jстолбцов X = (xfc,h=l Jстолбцов X = (xfcхк е С)) с нормой IIXII = 2 fe Р •

,h=l J

столбцов X = (xfc

,h=l J

столбцов X = (xfc

Пространство ст fee С)) с нормой

И = max fe).Kk<m

Пространство Z"1 столбцов х -■ кх^=х (xh е R fee Е С)) с нормой

m

1И| = 2 fe|.

h=l

Пространство Zp(p>l) столбцов х = fe)™=1 fee е R fe г С)) с нормой

Г m ДГР

И = 2felp

. к=1

Пространство lv последовательностей х = fe, хг, ...)

(^eR (т^еС)), удовлетворяющих условию 2 fel < °о,

к=1

с нормой

kll= 2 1^1.

h=l

Пространство Z2 последовательностей x = (xh хг,...)

(xAeR (хАеС)), удовлетворяющих условию 2|-г/<Р<.

к=1

< ОО , С нормой< ОО , С нормойи =и =S । к-1S । к-1

< ОО , С нормой

< ОО , С нормой

и =

и =

S । к-1

S । к-1

Пространство 1Р (р>^ последовательностей, z = =-(^i, Xi, ...) (ztGR (xkeCY), удовлетворяющих условию ^ |^ft |p < oo, с нормой к=1

■ OOTUP

kll = Sl^kT . .

lk=lJ

Пространство tn ограниченных' последовательностей i = U, j2, ...) U£R (zAe С)) с нормой

|| $ || = sup|a?h|-

n) Пространство c0 стремящихся к нулю последовательностей X = (х^ Х^ ...) (a£R Сс^С)) с нормой |[ж|| = шах |^|.

к

к) Пространство с сходящихся последовательностей х = <х^ хг, (^eR (аеС)) с нормой

II х II = sup Ы»

Убедиться, что в следующих случаях выполняются аксиомы нормы, т. е. норма определена корректно. Что означает сходимость последовательности в каждом из перечисленных ниже пространств?

Пространство CU, Ы непрерывных на [а, Ь] функций с нормой

М = max |x(t)|.

t=[a,d]

Пространстве СЧа, Ы к раз непрерывно дифференцируемых на [а, Ы функций с нормой"

к

г—О I —Lu,uj

Пространство Mia, Ы всех ограниченных на [а, Ы функций с нормой

M = sup |з:(<)|.

t=[a,6]

Пространство К непрерывных на вещественной прямой финитных функций (равных нулю вне некоторого

13

интервала, своего для каждой функции) с нормой ЦяЦ = max|x(f)|.

р) Пространство Ет1а, 61 непрерывных на [а, 61 функций с нормой

1/р

| х (i) \р dt| х (i) \р dtР < оо.Р < оо.

| х (i) \р dt

| х (i) \р dt

Р < оо.

Р < оо.

е) Пространство Via, Ы функций с ограниченной на (н, 61 вариацией с нормой

ь

1М = |^(«)1 + v хцуа

Функция xU\ заданная на [а, bl, называется функцией с ограниченной вариацией, если существует постоянная с такая, что для любого разбиения отрезка [a, d]: а = ta < ti < ... < tn = b, выполняется неравенство n

2 Ix(tk) — ^(^-J|<с. Для функции с ограниченной А=1

на 1а, 6] вариацией ее полной вариацией называется число

ь"

V X (<) = sup 2 | X (М — X 0к_^ (, ak=l

где верхняя грань берется по всевозможным конечным разбиениям отрезка (а, 61.

Изобразить единичный замкнутый шар ЗЛО) в вещественных пространствах Е\ c\ I2, 1%.

Можно ли в множестве столбцов х = (^fi)^=1 (xk г В) положить

m11/Р

Ы1 = 2 Мр .

La=iJ

если р < 1, т ^ 2?

Доказать следующие неравенства для норм:

<zm || х |[Ет ^ || х ||сП1 ^ рт || х ||£т;

Ут || X ||jm ^ || X ||ст ^ S^, || X ||jm;

Вт || X |[gm ^ J] X ||jm ^ Vm || X ||£7П.

Указать наилучшие значения входящих в них положительных постоянных ат, Цт, ^т, 6т, Ст, "^т*

Пусть ак>0 (к = 1, 2, ..., т). Доказать, что в

пространстве столбцов х = (a)?=i (а е Й) можно ввести норму следующими способами:

Ja:|| = max (<а|а|)!

1 <к<т

И= 2 «а |а|;

Л=1

Доказать, что в пространстве . столбцов ж =

способами:а) ||а-|| =способами:а) ||а-|| =т i2 2 Ы2i=l А=1т i2 2 Ы2i=l А=1б) || х || = maxКк^тб) || х || = maxКк^т= (a)™=i ^к s R) можно ввести норму следующими

способами:

а) ||а-|| =

способами:

а) ||а-|| =

т i

2 2 Ы2

i=l А=1

т i

2 2 Ы2

i=l А=1

б) || х || = max

Кк^т

б) || х || = max

Кк^т

Пусть А = Haji (г, / = 1, 2, ..., иг) —- симметричная положительно определенная матрица. Доказать, что в пространстве столбцов х = (a)"=i ^хк е R) можно вве

сти норму

Привести пример последовательности xw = = (г^’, х^\ ...) (asR), которая принадлежала бы каждому из рассматриваемой пары пространств и:

сходилась в т, но не сходилась в Z,;

сходилась в т, но не сходилась в Z2;

сходилась в Z2, но не сходилась в Z,;

сходилась в с0, но не сходилась в Zp,

сходилась в с0, но не сходилась в Z2.

Доказать, что при любом р > 1 каждый элемент пространства Zp является и элементом пространства с0, но элемент х=Ц1, 1/1п2, 1/1пЗ, ..., 1/1пи, ...)бсе не принадлежит 1Р ни при каком р > 1.

Доказать, что если рассматривать пространство Z, как множество в пространстве т, то его замыкание есть с0.

Сходится ли в пространстве СЕО, 11 последовательность:

'a(Z) = Г-Г+1;

y„(Z) =Z"-f2"?

Сходится ли последовательность

Жп^п-2

в пространстве:

а) СГО, 11; 6)610,11?

Пусть xnU), x(t\ yU) ^СЧа, 61, xnW -> xU) при Доказать, что хМу(Л) -> x(t)y(t) при п->«>.

Доказать, что всякая последовательность, сходящаяся в пространстве (Лец Ы, будет сходящейся п в пространстве ЕЛсц &], Построить пример последовательности, сходящейся в пространстве ЕЛа Ы, но не сходящейся в пространстве CYa, Ы.

-Можно ли в линейном пространстве дважды непрерывно дифференцируемых на [а, 6] функций принять за норму элемента xUY.

[z(a)| + |я' («)| + Ц^Цс^.ы;

М|с[о>ы + Ит^а.ьг

1^(а)| + I^WI + h"l|c[a,bj;

г) |Ж(а)| + к1с[ода + 1^^^^^

Можно ли в линейном пространстве непрерывно дифференцируемых на [о, Ы функций принять за норму элемента xU):

max |^(^)|;

<=[а,Ь]

max [л/ (?)|;

^^ [о, Ы

| х (Ь) — х (я) | + max | х (/) ];

|т(а)| + max (s' (Г)|; t=[a,b]

Ь

[ |Л- (Z) \dt + max \х* ^ | ? at3[a,bl

Будет ли множество всех многочленов в пространстве CVa, Ы:

а) открытым; б) замкнутым?

Будет ли замкнутым в пространстве С[а, Ы множество многочленов степенп:

а) ^к; б) =к?

Доказать, что в пространстве 6[щ Ы множество функций xU) таких, что для любого <е[д, 6] выполняется неравенство lx(i)| < 1, является открытым.

16

Пусть множество Л/cR фиксировано. Положим Лм — VxUA^CVa. bV. xU^ М для любого t е [^ b]},

Будет ли'множество Ам*.

открыто, если М открыто;

замкнуто, если М замкнуто?

Функция x = j(t) определена и непрерывна на всей вещественной оси. Доказать, что множество U^R: /(Л < 1} является открытым в R.

Доказать, что множество непрерывных кусочно линейных функции всюду плотно в пространстве Cla, Ы.

Доказать, что множество многочленов всюду плотно в пространстве СЧа, ЬА.

При каком условии на последовательность ап ^ R Un > 0) будет ограниченным множеством:

а) параллелепипед U^U x~Uhx2, ...): l#J<flJ;

ОО1

б) эллипсоидб) эллипсоид&^^ц ^ = (^'li -^21 • • •)• S^n/^n < 1р п—1}

б) эллипсоид

б) эллипсоид

Доказать, что параллелепипед tx^l2l х = = U^ х2, ...): 1^п| < 1) — открытое множество.

При каком условии на последовательность aneR Un > 0) будет - открытым множеством параллелепипед {г е Z2i X = (^1, <Г2, . • .): kJ < Лп)?

Доказать,. что параллелепипед U^Z2, ^ = = U^x^...): kJ ^ яJ — замкнутое множество.

Доказать, что линейное нормированное пространство X является строго нормированным тогда и только тогда, когда сфера аДО) не содержит никакого отрезка, т е. из х^ z/еоДО) U^y) следует, что ах+(1 — а)у& Oi(0) для любого а е (0, 1).

Какие из следующих пространств являются строго нормированными:

а) с2; б) Z^ в) Z2; г) т; д) СЕО, 11; е) £2Е0, 11?

Пусть Л, В с X — выпуклые множества. Какие пэ следующих множеств Л U 5, Л П В, Л + В также являются выпуклыми?

Пусть Л <= X — выпуклое множество и X — число. Доказать, что множество ХЛ = кеХ: х^ку, у^А} — выпуклое. Будет ли множество всех выпуклых подмножеств пространства X линейным пространством?

Будет ли замыкание выпуклого множества в линейном нормированном пространстве выпуклым множеством?

Доказать, что шары SAx^ и SrU0) — выпуклые множества. Будет ли выпуклым множеством сфера оД^Д?

Доказать", что аксиома треугольника в определении нормы эквивалентна требованию выпуклости шара SJO).

Доказать, что всякое аффинное многообразие в линейном нормированном пространстве является выпуклым множеством.

Будет ли выпуклым в пространстве С[0, 11 множество:

многочленов степени =к;

многочленов степени ^к\

непрерывных функций, удовлетворяющих условию

1

J | z (i) | dt ^ 1; о

непрерывных функций, удовлетворяющих условию

1

J |z(Z)|MZ<l; О

непрерывно дифференцируемых функций, удовлетворяющих условию

max |x(f)l+ шах | ж'(t) | ^ 1?

ts[o.i]ieto.il

Доказать, что в пространстве Z2 выпуклыми множествами являются:

параллелепипед (zeZ2, x = (zi, хг, ...): IzJ < <2—+1};

эллипсоид lx е 12, х = (хп х2, ...): S-nSXn<^(- Iп=1J

Доказать, что всякое линейное многообразие в конечномерном линейном нормированном пространстве есть подпространство.

Доказать, что всякое конечномерное линейное многообразие в линейном нормированном пространстве есть подпространство.

Доказать, что шар в линейном нормированном пространстве не может содержать ненулевого линейного многообразия.

Пусть L с X — линейное многообразие, Б ¥= X. Доказать, что L не содержит никакого шара.

Доказать, что множество решений линейного неоднородного обыкновенного дифференциального урав- 18

нения n-го порядка ^ж ... dn-1z...,

■^п + «1 WA-a^x = y(^

где коэффициенты аки) (к = 1, 2, . . ., п) и правая часть p(t) непрерывны на [а, Ы, образует n-мерное аффинное многообразие в пространстве С[д, 6].

Доказать, что в линейном нормированном пространстве замыкание линейного многообразия есть подпространство.

Пусть L(, Ьг <= X — подпространства. Доказать, что если хотя бы одно из них конечномерно, то Lt А- Ц — подпространство.

Образуют ли в пространстве С[—1, 1] подпространство следующие множества функций:

монотонные функции;

четные функции;

многочлены;

многочлены степени С/с;

непрерывно дифференцируемые функции;

непрерывные кусочно линейные функции;

непрерывные функции с ограниченной вариацией; з) функции zU), удовлетворяющие условию ж(0) = 0; и), функции xto, удовлетворяющие условию

1

J х (Z) dt = 0;

-1

функции, удовлетворяющие условию Липшица с какой-нибудь постоянной, зависящей от функции?

Пусть L = peZ2, х=(хг, х2, ...): 2^=0?.

(n=l J

Доказать, что L — линейное многообразие.

Является ли L подпространством?

Образуют ли последовательности х = (a?i, хг, . . .) (z*eR) такие, что 2^ — 0, подпространство в про- /1=1

странстве:

а) к; б) щ?

Доказать, что пространство с0 является подпространством в пространстве с.

Доказать, что пространство с является подпространством в пространстве т. 2*

Пусть А, 5 с X —всюду плотные множества. Возможно ли, что А П В = 0?

Доказать, что дополнение к нигде не плотному множеству всюду плотно. Справедливо ли обратное утверждение?

Доказать, что дополнение к открытому всюду плотному множеству нигде не плотно.

Доказать, что замыкание нигде не плотного мно-. жества нигде не плотно.

Пусть L — подпространство сепарабельного пространства X. Доказать, что L сепарабельно.

Пусть в пространстве X существует такое несчетное множество Л, что для некоторого е>0 и любых х, у е А выполняется неравенство Hz — уИ > е. Доказать, что X — не сепарабельное пространство.

Какие из пространств задач 1.22, 1.23 сепарабельны?

В пространстве С[0, 1) рассмотрим множество L таких функций xU\ что Hl) =0. Доказать, что:

L — подпространство в С[0, 11; •

существует такое одномерное подпространство М, что С[0, 11 = L © М.

Представить пространство 610, 1] в виде прямой суммы двух бесконечномерных подпространств.

Пусть А с X — замкнутое множество', х е X, х^А. Всегда ли найдется уеД такое, что р(ж, Л) = = Hz — yll?

Доказать, что для того чтобы отображение /: X -* Y было непрерывно в точке х0 е X, необходимо и достаточно, чтобы для любой последовательности хп *= X, сходящейся к z0, последовательность f(xn) сходилась бы к [(Хц).

Обязательно ли при непрерывном отображении /: Х^ У г

образ /(Л)-открытого множества А с X — открытое множество;

образ /(5) замкнутого множества В с X — замкнутое множество?

Доказать, что непрерывное отображение /: R -* -* R, обладающее тем свойством, что образ каждого открытого множества есть открытое множество,— монотонная функция.

Доказать, что каждое из следующих условий необходимо п достаточно для тою, чтобы отображение j. X -* У было непрерывно:

для любого множества А с X имеет место включение /(Л) <= /(Л);

прообраз любого открытого множества 5 с У есть открытое множество в X.

Пусть /: X-> Y — непрерывное отображение пространства X на все пространство У, Л — всюду плотное в X множество. Доказать, что /(Л) — множество, всюду плотное в пространстве У.

Пусть множество А с X фиксировано. Доказать, что /(z) = p(z, Л) — непрерывное отображение X в R.

Доказать, что для любого множества АсХи любого е > 0 множество (z е X: p(z, Л) < е) открыто, а множество (zeX: p(z, Л) < е) замкнуто.

Пусть Л,, Л2 с X — замкнутые множества, причем Ai П Л2 = 0. Для хе X положим

ср (z) = .V .-г.

Т p(^]^1)+p(z, 4,)

Доказать, что ср: X-> R — непрерывное отображение, причем O^cplz)^!; cp(z)=O тогда и только тогда, когда z^n,; cp(z) = 1 тогда и только тогда, когда хеА2.

Полагая Я^ср-ДЮ, 1/2)), 52 = ф-*((1/2, 1)), доказать, что Яь Вг — открытые множества, причем AiCBh АгеВг. Тем самым получаем новое доказательство утверждения задачи 1.20.

Является ли отображение ср равномерно непрерывным на X?

Доказать, что отображение /: СЧа, blCU, Ы, /(z) = dx/dt непрерывно.

Является ли непрерывным отображение /: L-*C4a, Ы, /(z) = dx!dtx где L — линейное многообразие непрерывно дифференцируемых функций в пространстве С[я, bl?

Будет ли непрерывным отображение /(z)=z(l), если оно рассматривается как действующее:

из СЮ, 1J в R;

из Г2Ю, 11 в R (см. задачу 1.23))?

Будет ли непрерывным отображение /(z) = x4t), если оно рассматривается как действующее:

из CIO, 11 в СЮ, 11;

из ГЛО, 11 в Г2Ю, 11;

из СЮ, 11 в Г2[0, 11?

Будет ли это. отображение равномерно непрерывным?

Пусть j; X -*■ У, g-. X -> У — непрерывные отображения. Доказать, что множество txeX- /(z)=g(z)} замкнуто в X.

Пусть А, В с X — произвольные множества, причем рх(Л, 8) =0. Возможно ли, что рк(/С4), /(8))¥=0, если /: X -► У есть:

непрерывное отображение;

равномерно непрерывное отображение?

§ 2. Банаховы пространства

Пусть X — линейное нормированное пространство. Последовательность ж„ е X называется фундаментальной, если для любого е>0 существует такое N = NkeA, что для любого п > N и для всех натуральных р выполняется неравенство Ижп+Р — ^„Н < е. Пространство X называется полным, если в нем всякая фундаментальная последовательность сходится. Полное линейное нормированное пространство называется банаховым.

Две нормы 1Ы1] и 1Ы12 в линейном пространстве X называются эквивалентными, если существуют такие числа о. > 0, р > 0, что для любого хе X выполняется неравенство oJWIt < Ы2 =5 ^Hzllt.

Линейные нормированные пространства X и У называются изоморфными, если на всем X определено отображение J: Х-^У, являющееся линейным, осуществляющее изоморфизм X и У как линейных пространств и такое, что существуют такие постоянные a > 0, р > 0, что для любого хе X выполняется неравенство ос11я;11 ^ П/(а:)11 < рЫ. Если 11/(^)11 = 11^11, то пространства X и У называются изометричными.

Линейное нормированное пространство X называется вложенным в линейное нормированное пространство У, если на всем X определено отображение J; X ->- ->■ У, являющееся линейным и взаимно однозначным на области значений причем существует такая постоянная Р > 0, что для любого х е X выполняется неравенство П/(х)Н pllxll.

Банахово пространство X называется пополнением линейного нормированного пространства X, если X — линейное многообразие, всюду плотное в пространстве X.

Теорема 2.1. Каждое линейное нормированное пространство X имеет пополнение, и это пополнение единственно с точностью до изометрического отображения, переводящего X в себя.

22

Теорема 2.2. Пусть в банаховом пространстве X дана последовательность шаров 8, 11(х,1), вложенных друг в друга (5Гп+1(жп+1) <= 8Гн(хпУ), причем ги -> 0 при п-> «>. Тогда в X существует, и притом единственна, точка, принадлежащая всем шарам.

Доказать, что всякая фундаментальная последовательность в линейном нормированном пространстве

ограничена.

Пусть х„еХ — фундаментальная . последовательность и подпоследовательность х„к сходится. Доказать,

что вся последовательность хп сходится.

Пусть т,еХ и ряд S lkn-ц — ^nll сходится. До- п=1

казать, что хи — фундаментальная последовательность. Верно ли обратное утверждение?

Пусть Хп, VnG X — фундаментальные последовательности. Доказать, что последовательность Xn = И#™ — Z/JI

сходится.

' ьЧ 1/2' ьЧ 1/2Mli = max U(0b<е[а,ЫMli = max U(0b<е[а,ЫII ^"Иг —II ^"Иг —В линейном пространстве многочленов, рассматриваемых на [а, Ы, положим

' ьЧ 1/2

' ьЧ 1/2

Mli = max U(0b

<е[а,Ы

Mli = max U(0b

<е[а,Ы

II ^"Иг —

II ^"Иг —

Проверить аксиомы нормы.

Будет ли какое-либо из получающихся пространств банаховым?

Описать пополнение рассматриваемого пространства по каждой из норм.

В линейном пространстве вещественных непрерывно дифференцируемых на [а, Ы функций НЧа, Ы положим

{

Ь11/2

aJ

Проверить аксиомы нормы.

Будет ли получающееся нормированное пространство банаховым?

Какие из пространств задач 1.22, 1.23 являются банаховыми?

На линейном пространстве X заданы две эквивалентные нормы, и в одной из них X — банахово пространство. Доказать, что X является банаховым пространством и в другой норме,

Доказать, что две нормы, введенные на одном линейном пространстве, эквивалентны тогда и только тогда, когда из сходимости последовательности по одной из этих норм вытекает ее сходимость по другой норме.

Доказать, что в линейном пространстве непрерывных па 1а, Ы функций норма Шг2[а ь] эквивалентна норме

где vW) непрерывна на (а, Ы и vW^aX) на [а, Ы.

Будут ли эквивалентны па линейном пространстве непрерывных па [а, 6] функций нормы || оЦсга,ь] 11 11%^,

Какие из норм, определенных в задаче 1.38 на линейном пространстве непрерывно дифференцируемых па [а, Ы функций, будут эквивалентны норме пространства СЧя, 6]?

Доказать, что всякое конечномерное линейное нормированное пространство является банаховым.

Доказать, что подпространство банахова пространства является банаховым пространством.

Пусть в линейном нормированном пространстве А’ имеется линейное многообразие £, которое в норме X является полным пространством. Доказать, что L замкнуто в X, т. е. является подпространством.

Пусть X — произвольное множество, Е — линейное нормированное пространство, /: X -> Е — ограниченное отображение, т. е. такое, что множество /(X) ограничено в Е.

Доказать, что множество /£(Х) всех ограниченных отображений будет линейным нормированным пространством, если положить 11/11 = sup Н/(Х)Н.

х

Пусть X — линейное нормированное пространство. Доказать, что ограниченные непрерывные отображения <р: X -* Е образуют подпространство в пространстве /£(Х).

Пусть Е — банахово пространство. Доказать, что /£(Х)— банахово пространство.

Пусть X — банахово пространство, L <=Х — линейное многообразие. Доказать, что пополнение L по норме X совпадает с замыканием L.

Пусть X, Y — линейные нормированные пространства, J: X Y — отображение, устанавливающее изоморфизм. Доказать, что:

/ — непрерывное отображение;

отображение J имеет обратное, которое также непрерывно.

Доказать, что всякое «-мерное линейное нормированное пространство изоморфно пространству Еа.

Банахово пространство X изоморфно линейному нормированному пространству Y. Доказать, что У — банахово пространство.

Доказать, что тождественное отображение 1х = х осуществляет вложение пространства С[а, 61 в пространство Е2[«, 61.

Доказать, что тождественное отображение 1х = х осуществляет вложение пространства СЧа, Ы в пространство С[а, Ъ] при любом натуральном ^.

Доказать, что утверждение теоремы 2.2 о вло- женных шарах, вообще говоря, несправедливо, если, оставляя в силе остальные предположения теоремы, считать, что:

а) шары не являются замкнутыми;

б),пространство не является полным.

Доказать, что в банаховом пространстве последовательность непустых замкнутых вложенных множеств, диаметры которых стремятся к нулю, имеет, и притом единственную, общую точку.

Пусть в линейном нормированном пространстве X любая последовательность замкнутых вложенных шаров, радиусы которых стремятся к пулю, имеет непустое пересечение. Доказать, что X — банахово пространство.

Доказать, что в банаховом пространстве любая последовательность непустых замкнутых вложенных шаров имеет общую точку.

Может ли в банаховом пространстве иметь пустое пересечение последовательность непустых замкнутых вложенных множеств?

Пусть X — линейное нормированное пространство, L — подпространство X. Отнесем элементы х, у е X к одному классу смежности |, если х — у е L. Множество классов смежности образует линейное пространство, называемое факторпространстеом и обозначаемое Х/L. Доказать, ч го:

в Х/L можно ввести норму равеиством||^|1х,ь = 1п^Я>

если X — банахово пространство, то в введенной норме X/L — банахово пространство;

X/L изоморфно R, если X — С(0, 11, Л = {а:(() е еСЮ, 1]: z(0) =0}.

3. Гильбертовы пространства

Вещественное линейное пространство называется ев- клидовым, если каждой паре его элементов х, у поставлено в соответствие вещественное число, обозначаемое (.г, у) и называемое скалярным произведением, так что выполняются следующие аксиомы:

(х, т) > 0, (я, z) = 0 тогда и только тогда, когда .г = 0;

(х, у) = (у, хУ,

(Хх, у) = Хкх, у) для любого XeR;

(х У у, z') = (х, z) + (у, z).

Комплексное линейное пространство называется унитарным, если каждой паре его элементов х, у поставлено в соответствие комплексное число, обозначаемое кх, у) и называемое скалярным произведением, так что выполняются следующие аксиомы:

кх, х) > 0, (х, х) = 0 тогда и только тогда, когда х = 0;

кх, у) = (у, х) (черта означает комплексное сопряжение);

(Хж, у) = Хкх, у) для любого X е С;

кх + у, z) = кх, z) + ку, z).

Из неравенства Коши — Вуняковского I kx, yW ^ ^ (ж, хУу, у) вытекает, что в евклидовом и унитарном пространствах можно ввести норму равенством ИжН = = V(£, xY Пространство Н со скалярным произведением (евклидово или унитарное) называется гильбертовым, если оно является полным в этой норме.

Углом между ненулевыми элементами х, у вещественного гильбертова пространства называется угол ср, заключенный между Ойл такой, что

кт-

COS Ф =- Г-

т 1ИНЫ1

Элементы х, у s Н называют ортогональными и записывают х J- у, если кх, у) = 0. Множество z е Н таких, что kz, х) = 0 для любого х s М а Н, обозначается МУ

Система элементов hi, h2, .. .^ Н называется ортогональной, если kht, h^—0 при t^j, КУО и ортонорми- 26

рованцой, если

(^ЛМи^(^ЛМи^при / = /; при I =/= /,при / = /; при I =/= /,

(^ЛМи^

(^ЛМи^

при / = /; при I =/= /,

при / = /; при I =/= /,

Система элементов Xl ж2, ...еН называется линейно независимой, если при любом натуральном п система ^и ,г2, ..., х„ линейно независима.

Теорема 3.1. Пусть hi} h2, ... е Н — линейно независимая система элементов. Тогда в И существует такая ортогональная система элементов /1, /2, ,.., что

К = а^к^ + ah.h2 + ... + akkhk, akl е C, akk Ф О,^ЧАШ+.-.Ш, ^SC, Ь^О, /=1’ 2,\.”.

Построение ортогональной системы по заданной линейно независимой называется ортогонализацией.

Определителем Грама системы элементов Хц х2, ,,. ,.., хп е Н называется определитель

Ортогональная система фм ф2, ... G Н называется полной, если любой элемент из Н может быть представлен в виде так называемого ряда Фуръе\

к = 2cA<ph,

где ск = (х, фй)/!1ф6И2 (к е N) — коэффициенты Фурье (т. е. ряд "2iCk^k сходится по норме Н и его сумма рав-

на ж). Полная ортогональная система называется ортогональным базисом пространства Н.

Теорема 3.2. Пусть М — замкнутое выпуклое множество в гильбертовом пространстве Н и элемент х^М. Тогда существует такой единственный элемент угМ, что pLx, М) = Их — yll.

Теорема 3.3. Пусть L <=: Н — подпространство. Тогда И = L® L\ т. е. любой элемент х из П допускает единственное представление в виде х = и + и, где u^L, и g L\ При этом p(z, L) = Их — и.II = Hull.

Элемент ^ называется проекцией элемента х на подпространство L,

Доказать, что в определении евклидова (унитарного) пространства аксиому 1) можно заменить на аксиому: (х, х) > 0, из (z, z) = О следует х = 0.

Доказать, что в пространстве со скалярным произведением:

для любых элементов z, //, г имеет место тождество Аполлония;

h — ^ll2 + к-г/1Р = ук —^12 + 2|z~ Ч~Г:

для любых элементов х, у, z, t имеет место неравенство Птолемея;

Их — zll • II// — ill =5 Их — //II Hz — ill + Hi/ — zll • II x — ill;

когда в нем реализуется равенство?

Доказать, что в евклидовом пространстве элементы х и у ортогональны тогда и только тогда, когда Их112 + + И//1Р = Их + //II2.

Доказать, что в унитарном пространстве элементы хи// ортогональны тогда и только тогда, когда HXxll2 4- + Ирг/Н2 = ИХх + цг/И2 для любых X, ц е С.

Пусть X — вещественное линейное нормированное пространство и для любых ж, у е X выполняется равенство параллелограмма:

Их + //IP + Их — //И2 = 2{Их1Р + II//II2}.

Доказать, что формула

(х,//) = у{||х + у II'2 - ||х - у ||2}

задает в X скалярное произведение, согласующееся с нормой в X, т. е. такое, что (х, х) = ИхИ2.

Пусть X — комплексное линейное нормированное пространство и для любых ж, у е X выполняется равенство параллелограмма:

Нх + //1Р + 11х-1/112 = 2(11х1Р + 112/112}.

Доказать, что формула

^' V) = щ(к + г/II2 - к -//D - ^(к + kl2 -к-г>Н

задает в X скалярное произведение, согласующееся с нормой в X.

Доказать, что в пространстве СЮ, 1] нельзя ввести скалярное произведение, согласующееся с нормой этого пространства.

28

Доказать, что в пространстве L нельзя ввести скалярное произведение,'согласующееся-с нормой этого пространства.

В линейном пространстве E2Va, 6] непрерывных на [и, Ы функций положим

6(а',!/) = j x^y^dt.

а

Является ли это пространство гильбертовым?

В линейном пространстве ЙДа, • &] непрерывно дифференцируемых на [а, 6] функций положим

ь

(а, у) = J [а (?) у (?) + я' (?) у' (?)] dt.

Является ли пространство ЙАа, 6] гильбертовым?

В линейном пространстве последовательностей а = (а,, хг, ...) кхк *= R) таких, что

ПОЛОЖИМ

Iх’ у) = 2 ^АУк,

где Хк е R, 0 < 2ц < 1. Будет ли полученное евклидово пространство гильбертовым?

Пусть Н — сепарабельное гильбертово пространство. Доказать, что всякая ортонормированпая система в // не более чем счетна.

Пусть х17 х2, ..., хп — ортогональная система в п

гильбертовом пространстве П, х = 2 тк- Доказать, что h=l

И2 = 2Ы2.

Пусть хи хг, .., — ортогональная система в гильбертовом пространстве //. Доказать, что ряд 2 жь сходит- h=l

ся в II тогда и только тогда, когда сходится числовой ряд

S kA II2.

к = 1

Пусть е„ (и е N) — ортонормированная система в гильбертовом пространстве Н, Хп — последовательность

29

вещественных пли комплексных чисел. Доказать, что ряд 2j ?«п^п сходится в И гида и только тогда, когда и=1

2 | ^п |2 < оо I

Я=1

Пусть .г,, ж>, ... н yi, у^ ... — такие системы элементов П, что

у}) = би = р при

(О при г =£ /.

(Системы xt, х2, . . . и у4, у2, . .. называются биортогоналъ- ными.) Доказать, что каждая из этих систем линейно независима.

Доказать, что система элементов гильбертова пространства линейно независима тогда и только тогда, когда ее определитель Грама отличен от пуля.

Доказать, что гильбертово пространство является строго нормированным.

Пусть в пространстве Н со скалярным произведением для хь х2е Н выполняется равенство Re(^h хг) = = II^JI2 = 11л:2112. Доказать, что х, = х2.

Пусть_ хп, Уп принадлежат замкнутому единичному шару 5,(0) в гильбертовом пространстве Н и (х„, ул) 1 при иоо. Доказать, что Hzn — у„Н 0 при И -* оо.

Доказать, что для того чтобы элемент х гильбертова пространства Н был ортогонален подпространству L с И, необходимо и достаточно, чтобы для любого элемента yeL имело место неравенство 1Ш1 ^ Ия — г/И.

Доказать, что для произвольного множества М в гильбертовом пространстве Н множество ML является подпространством.

Доказать, что для любого множества М в гильбертовом пространстве Н имеет место включение М а с (Л/-1)-1-. Возможно ли здесь строгое включение?

Доказать, что для множества М в гильбертовом пространстве Н равенство М = (Л/-1)-1 выполняется тогда п только тогда, когда М — подпространство И.

Пусть М, N — такие множества в гильбертовом пространстве Н, что М ^N. Доказать, что М^ ^ N\

В линейном пространстве непрерывных па

[0, оо) функций xU) таких, что J | х (1) |2е—' dt сходится, о

положим

Сч у) = J^ (Цу (Це ldt.

О

Проверить выполнение аксиом скалярного произведения.

Рассмотрим линейно независимую систему 1, t, t2, . . . В результате ее ортогонализации получается ортогональная система многочленов Чебышева — Лаггера. Найти три ее первых многочлена.

В линейном пространстве непрерывных на (—оо, оо) функций хШ таких, что J | х (Ц |2е"' dt схо

дится, положим (г, у) = J х(Цу(Це 1 dt.

Проверить выполнение аксиом скалярного произведения.

Рассмотрим линейно независимую систему 1Д, t2,... В результате ее ортогонализации получается ортогональная система многочленов Чебышева — Эрмита. Найти три ее первых многочлена.

В пространстве Z2 рассмотрим множество

М ■= U s 12, х = (xv х2, ...) : 2 хк = Ок

Ih=l J

Доказать, что М — линейное многообразие, всюду плотное в 1г.

В линейном многообразии М задачи 3.28 найти линейно независимую систему элементов, ортогонализация которой дает базис пространства 1г.

Доказать, что при фиксированном натуральном п множество

М = U е 12, х = (хр хг, ...) : 2^ = 0

Iк=1

является подпространством пространства к. Описать такое подпространство N, что к = М ® N.

Пусть М, N — подпространства гильбертова пространства II п М -L .V. Доказать, что М + N — подпространство Н,

Пусть М, N—такие множества в гильбертовом пространстве 77, что любой элемент х ^ Н единственным образом представим в виде х = и + и^ где и е М, v^ N. Следует ли отсюда, что М п N — подпространства пространства №

В пространстве к привести пример такого множества М, что множество М + М1- не совпадает со всем к.

Пусть М, N — такие подпространства гильбертова пространства Я, что Н = М ® N. Верно ли, что N = Л/-1?

Привести пример таких двух бесконечномерных подпространств М, N пространства Л, что k = M®N.

В пространстве Ег [ — 1, 1] рассмотрим множество М функций xU\ равных нулю при ^ 0.

Доказать, что М — подпространство Ез [ — 1, 1].

Описать подпространство М1-.

Выполняется ли в пространстве Г2 [—1, 1] утверждение теоремы 3.3?

В пространстве к рассмотрим последовательность

Хк ” О’ 2^"’ 2^’ 2^’ ' ' *У ^'

Доказать, что линейная оболочка этой последовательности всюду плотна в пространстве /2.

Пусть хп (h^N) — фиксированная последовательность элементов гильбертова пространства 77, Хп (л s N)_— фиксированная последовательность веществен* ных (комплексных) чисел. Рассмотрим множество М = ^Vx^H; (х, xk)=Xhk Доказать, что если М непусто, то М = хйА* Ls где хй 77, L — подпространство Н.

Пусть хк (к=к 2, ..., mJ — фиксированная последовательность элементов гильбертова пространства 7/, Хк (к = 1, 2, ..., и) — фиксированная последовательность вещественных чисел. Доказать, что множество М = U^ Н: Не(^, х^^Х^ к = к 2, ..., пЗ замкнуто и выпукло в Я.

Пусть М — замкнутое выпуклое множество в гильбертовом пространстве Н. Доказать, что в М существует и единствен элемент с наименьшей нормой.

В пространстве к построить замкнутое множество, в котором нет элемента с наименьшей нормой.

Пусть М — замкнутое выпуклое множество в вещественном гильбертовом пространстве 77. Доказать, что элемент у ^ М удовлетворяет условию р(я, Л/) = И^ — yll тогда и только тогда, когда для любого г^М выполняется неравенство (ж — у, у ~ г) 0.

В гильбертовом пространство 77 рассмотрим замкнутое выпуклое множество М = 5,\х^. Пусть х^ Н3 52

х^М, Доказать, что элемент у г М такой, что р(г, М) = = Ня — у'^ имеет вид

X — X

Доказать, что в гильбертовом пространстве любая последовательность непустых вложенных выпуклых замкнутых ограниченных множеств имеет непустое пересечение.

В пространстве С[0, 1] построить последовательность непустых вложенных замкнутых выпуклых ограниченных множеств, имеющую пустое пересечение.

§ 4. Пространства Лебега и Соболева

Множество М <= 1а, ЬА имеет меру нуль, если для любого е > О существует такая конечная или счетная систе-* ма отрезков [ап, рД, что М cz J [an, Pn]» 5 (Pn — «n) < e* nn

Если для последовательности xAt\ (n^N) всюду на la, bA за исключением, быть может, множества меры нуль, существует предел, равный x(t\ то говорят, что xnU) сходится к почти всюду на [а, Ы, и записывают lim xn(t)n‘B' = х (t).

Tl-»oo

Пусть Evla, bl — пространство непрерывных на [я, ЬА функций с нормой

И = J |^(0|^;а

сходимость по этой норме называется сходимостью в среднем. Пространство Ех1а, Ь] — не полное; его пополнение называется пространством Лебега и обозначается Ela,bA. Функцию x(t) называют интегрируемой по Лебегу на отрезке [я, Ы, если существует такая фундаментальная в среднем последовательность непрерывных функций x4U\ (mN), что lim хн (tf=i(ty Тогда интегралом Ле-

бега по [а, Ь] от функции tr(i) называется число ъь

(^) f х (£) dt = lim J хп (£) dt.a^°=a

Элементы пространства Lxla, ЬА — это функции ^(^для которых ъ

| х (t) | dt < g

3333а

33

33

3 В. А. Тревогин и др.

Пусть EpVa, 6] — пространство непрерывных на [я, 6]

функций с нормой

1 р

I г (01р dtI г (01р dtр>р>

I г (01р dt

I г (01р dt

р>

р>

Пространство L^Aa, Ы — не полипе: его пополнение обозначается LPAa, 6]. Элементы LPAa, й] — это функции xAtA, для которых ъ

\ |^(0 |р dt< со.

Пространство L2Aa. ЬА, как пополнение евклидова пространства ЕгАа, ЬА, является гильбертовым; скалярное произведение в нем имеет вид ' ъ

(x,y)^(2)\x{t)y(t)dt.

Пусть ПЧа, ЬА — пространство непрерывно дифференцируемых на [я, й! функций со скалярным произведением ь

и, у) = j О' (0 У (0 + X (0 у* (i)l dt.

Это пространство — не полное; его пополнение — гильбертово пространство, называемое пространством Соболева и обозначаемое НЧа, Ы. Элементы, присоединяемые к ПЧа, Ы при его пополнении, могут быть отождествлены с функциями хАС из пространства L2Aa, Ы, имеющими обобщенные производные x'At).

Теорема 4.1. Пространство НЧа, Ы вложено в пространство САа, Ы.

Доказать, что в пространстве ЬЧа, Ы нельзя ввести скалярное произведение, согласующееся с нормой.

Доказать, что если xU\ yU) г L^a, 61, то xltAykC = е ЬЧа, Ы.

Привести пример функции:

xU) е Т2[0, 1] такой, что хЧС 5fe L4.0, 11;

xUA s L,[0, 1] такой, что з:(^)^Л2[0, 11.

Доказать, что всякая последовательность xnAtA (reeN), сходящаяся в пространстве С[я, 6], будет сходящейся и в пространстве LpAa, Ы (р^ I).

Привести пример последовательности непрерывных на [0, 1] функций x„UA (пе№, сходящейся в пространствах ^Д0, 1] и Л2[0, 11, но не сходящейся в пространстве С[0, 1].

34

Доказать, что последовательность ;г„И) = и^е-"' (/ieN) сходшся ноючечно к функции хШ =» 0 для любо- ю 1^0, по не сходится в пространстве Z2[0, 11.

Доказать, что множество непрерывных на [д, Ы функций является всюду плотным в пространстве Lp\a, &J (р Л 1).

Доказать, что пространство LpVa, Ы (р>1) сепарабельно.

Пайгп угол ф между элементами хШ = sm t и уШ = t в пространстве £21Д л].

Найти углы треугольника, образованного в про- страясше L^ — 1, 1] элементами ацШ = 0, хАР = 1, jc3U) = = L

Найти норму функции xU) = ta в тех пространствах Z^tO, 1] кр ^ 1), которым эта функция принадлежит.

Провести ортогонализацию элементов -г0П) = 1, xJP = t, хЛР = f, хАР = ?J в пространствах:

а) Ьг [ — 1, 11; б) h2[0, 11.

В пространстве iJO, 11 рассмотрим множество Л функций, обращающихся в пуль на некотором интервале, содержащем точку t = 0,5 (и зависящем, вообще говоря, ог функции). Будет ли А замкнутым множеством?

Доказать, что множество функций из пространства ZjO, 1] таких, что почти все их значения лежат па [—1, 11, выпукло. Является ли это множество замкнутым?

В пространстве Р [ — 1, 1] для произвольного /. s R обозначим через АК множество всех непрерывных функции хР, для которых z(0) = X. Доказать, что каждое М, выпукло и всюду плотно в пространстве Z2 [ — 1, 11.

Доказать, что множество многочленов РР таких, что РА') = 0, является выпуклым п всюду плотным в пространстве L. [0, 1].

Доказать, что множество ступенчатых функции является выпуклым и всюду плотным в пространстве L2[a, Ы.

Пусть [с, dl с [а, Ы. Доказать, что множество М = VxP — LAa, bl: xP = 0 почти всюду на [с, dD является подпространством пространства LA«, Ы. Описать подпространство АР.

Доказать, что в пространстве £Д0, 11 множество

1

М =М =х (t) е L^ [0, 1]: J х (t) dt = Оо

М =

М =

является подпространством. Описать подпространство АР.

Доказать, что тождественное отображение /'■ = ас осуществляет вложение пространства 6 [а, bl в пространство LpVa, Ы при любом р 3s 1.

Доказать, что тождественное отображение 1х = х осуществляет вложение пространства LpVa, bl в пространство L4a, bl, если 1 < s < р.

Доказать, что множество многочленов всюду плотно в пространстве НЧа, bl.

Пусть xW е НЧа, b], уЦ) е СЧа, Ы. Доказать, что x(t)ylt') — НЧа, bl.

Найти угол ср между элементами a'f) = sint и yU^ = t в пространстве НЧО, л].

Провести ортогонализацию системы элементов ^,(0 = 1, x№ = t, x2(.t) = t\ x3U) = t3 в пространстве //‘[-1, 11.

Доказать, что система функций

.. 2лА (1 —«) 2лА (/ — я , N

Sinг-, COS57, ASIN, ’b — ab — a

ортогональна в пространстве НЧа, bl.

Доказать, что множество

НЧа, bl = VxW) е НЧа, bl: Ня) = хШ = 0}

является подпространством в пространстве НЧа, Ы.

Описать подпространство ШЧа, Ь1)Н

Доказать, что множество

М = (xU) е НЧа, Ы: х(а) = х(Ь))

является подпространством в пространстве НЧа, Ы.

Описать подпространство М\

Доказать, что множество

ь

М =М =х^еНЧОУ. §x(t)dt = 0 а

М =

М =

является подпространством в пространстве НЧа, bl. Описать подпространство М1-.

Доказать, что для того чтобы функция xU) из пространства ДДО, л] принадлежала подпространству ЯЧО, л] = U(t) е ТДЕО, л]: д-(О) =г(л) = 0}, необходимо

и достаточно, чтобы сходился ряд к^Ь^ где bh =

2 С

= — J (0 sin kt dt (к @ N). При этом о

I! <1[п,щ = j^1 ^ = Т 2 (^ + *) bl.

Какие из функций xW = sgn t, yW = И принадлежат пространству НЧ — л, л]?

Доказать, что вложение пространства НЧО, л] в пространство СЙО, л] является строгим, т. е. существует непрерывная на [0, л! функция хИ) ^ //‘[0, л1.

Построение элемента наилучшего приближения в гильбертовых и банаховых пространствах

Пусть X — линейное нормированное пространство, L — подпространство X, х е X. Если существует такой элемент и* с L, что p(z, А) = Ня — гг*П, то и* называется элементом наилучшего приближения х элементами L.

Теорема 5.1. Если L конечномерно, то для любого хеХ существует элемент наилучшего приближения х элементами L.

Теорема 5.2. В строго нормированном пространстве X Оля каждого х е X .может существовать не более одного элемента наилучшего приближения х элементами L.

В гильбертовом пространстве II построение элемента наплучшего приближения для конечномерного подпространства L с Н основано на теореме 3.3. Пусть Ai, А2, ,,, . . .. hn — базис L\ тогда каждый элемент и* е L имеет вид н* = 2 I-kh^I-k е R или Хк е С для А' = 1, 2, .. ., л) и со-

Ь=1

гласно теореме 3.3. отыскание элемента наилучшего приближения сводится к решению (относительно Хч Хг, 1,, ।. ., XJ системы линейных алгебраических уравнений

[ х — 2 kkhk, A J = 0, j = 1, 2, . . ,, п, (1) \ k=i /

Система (1) всегда имеет единственное решение, так как ее определитель есть TiA^ h>, ..., hj ^ 0. Если hx, Нг, .., ..., Ап — ортогональный базис L, то система (1) распадается на отдельные уравнения вида

Х>\\г = (х, h,), J = 1,2, ..., п;

поэтому обычно к базису ht. Ь> . .7?,, применяют про

цесс ортогонализации.

В банаховом пространстве построение эффективного (даже численного) алгоритма отыскания элемента нап- лучшего приближения вызывает большие трудности. По-, этому вместо задачи приближения в оанаховом пространстве обычно решают ту же задачу в гильбертовом пространстве, вложенном в это банахово пространство. В случае пространства С(я. 61 в силу Теоремы 4.1 о влохкеппп НЧа, Ы в Cla, b] и определения вложения существует такое р е Н, р > 0, что для любого хеНЧа, 6] выполняется неравенство^(н1^,г]- Пусть Lc:(4<i,b\

подпространство с базисом из непрерывно дифференцируемых функций, х G НЧа, Ы, и* — элемент паплучшего приближения х элементами L, найденный с помощью системы (1). Тогда || х — и* Исрщ] ^ РI!х — “^нфа.Ы 11 1ТРИ достаточно малой норме Щ—и*||н1[а ь1 элемент и* хорошо приближает жив пространстве Cta, 61.

Пусть X— линейное нормированное пространство, L — подпространство X, х е X, у г L. Доказать, что р(ж. L) = р(ж + у, L).

Пусть X — линейное нормированное пространство, L — подпространство X, хе X и существует более одного элемента наплучшего приближения ж элементами L. Доказать, что таких элементов бесконечно много.

Пусть X — вещественное линейное нормированное пространство, ж, у е X. Доказать, что при t е R функция <р(() = Нт — fz/H достигает своей точной нижней грани.

Доказать, что в пространстве с2 множество элементов наилучшего приближения элемента х = (ц) элементами подпространства L = ^), а е Ry имеет вид и* =(^), где as [-1, 11.

В пространстве СЮ, 1] рассмотрим подпространство L = UU) s СЮ, П: х(0) = 0). Пусть хШ = 1. Описать множество элементов наилучшего приближения х элементами L.

В пространстве СЮ, 1] найти расстояние:

от элемента x^f) = t до подпространства многочле- йов нулевой степени;

от элемента x1U) = t2 до подпространства многочленов степени <1.

ЬЛ. Пусть L — n-мерное подпространство с базисом h^ Ьг, ..., йп в гильбертовом пространстве Н, т.еИ- произвольный элемент. Доказать, что величина рЧг. L) может быть представлена в виде отношения двух определителей Грама:

Пусть L — одномерное подпространство в гильбертовом пространстве Н, aeL, а * 0. Доказать, что для любого х е Н

В пространстве ^ДО. 1] найти расстояние от элемента хШ = t1 до подпространства

L = лД^е 7,[0. 1]: J x^dt = 0 .

Iо)

В пространстве Д найти расстояние р„(.г, Л) от элемента z = (l, 0, 0, . . ., О, . . .) д0 подпространства

[п 1

L=ue 12, х = (.q... .у S Hi = 0 .

I' A=i J

Чему равен 11m р„ (г. 7Д?

В пространстве ZJO, 1] найти проекцию элемента xU) = t3 на подпространство многочленов степени т п, если /г = 0, 1, 2.

Используя для непрерывно дифференцируемой на [0, 11 функции xU) представление

1t1

X ^ = У т (т) с/т + J тх* (т)с?т — (1 — т) т‘ (т) с?т, ооt

доказать, что постоянную р при вложении пространства Н‘№, 1] в пространство С[0, 1] можно принять равной 213/3.

Применить в задаче 5.6 теорему вложения.

Пусть НМ 11 — гильбертово пространство функций, суммируемых с квадратом на [0, 11, скалярное произведение в котором имеет вид

1

(I, у) У.г-(0у(0р(/) dt,о

где pkt) непрерывна на [0, 11 и pkt)>0 на [О, 11. Для заданной функции xkt) е 11,^0, 1] найти элемент наилучшего приближения х элементами подпространства L многочленов степени м ^ 3. Составить и реализовать на ЭВМ алгоритм решения этой задачи, предусматривающий:

ортогонализацию базиса L (вычисление интегралов по формуле Симпсона с шагом 0,05);

выдачу на печать коэффициентов многочлена u*kt) по степеням t и величины рС?, Ь) = ||л: — и* Hhpco,iJ<

в случае, когда весовая функция pkt) зависит от параметра а, исследование зависимости р(г, А) от а при „е [0, 11, изменяющемся с шагом 0, 1;

построение графиков xkt) и элемента наилучшего приближения u,*kt) (в вариантах с параметром — только при а = 0 и а = 1);

проверку правильности составления алгоритма на варианте xkt) = t3, pkt) — 1.

Рассмотреть варианты:

х kt) = С 1 + t2, p(t) = 1 + at2;

xkt) = sin Зл<, pkt) = 1 + t3;

xkt) = 2ЛТс pkt) = Vi+at1;

r) xkt) = In (1 + t1), pkt) = 1 + P;

хЦ) = ^\ pkt) = Y*tVt;

x kt) = V1 + t, p(t) = 1 + aef;

xkt) = sin 4n<, pkt) = 1 + ae';

x(t) = ln(l + t1), pkt)= 1 + aV't;

xkt) = ch t, pkt) = 1 + t;

xkt) = e‘ — 2, pkt) = V1 + C

5.15. В пространствах CtO, 11 и LjO, 1] рассмотрим подпространство L многочленов степени n < 4. Для заданной непрерывно дифференцируемой на [0, 11 функции xkt) найти элемент наилучшего приближения х элементами L\ u*kt) в норме £2[0, 1] и v*kt) в норме НЧО, 1). Составить и реализовать на ЭВМ алгоритм решения этой задачи, предусматривающий:

вычисление элементов матрицы и правых частей системы (1) по формуле Симпсона с шагом 0,05;

решение системы (1) методом Гаусса;

выдачу на печать коэффициентов многочленов U*kt), v*kt) и величин Цж— и* 1к2[о.1]« IIж ~ и* ИнЧодГ

построение графиков xkt), u*kt), v*kt);

проверку правильности составления алгоритма на варианте xkt) = С.

Рассмотреть варианты

xlf) = 3';е)arU) =fl t;

xU) = cos nt;ж)xU) =sin 4nt;

xU) = e';3)хШ =In (1 + 1);

xW) = sin nt;n)xU) =tg (t — 0,5);

д)lit) = cos 2nt;к)x(t) =(1 — 2t2)3.

Пусть a = t0 < tv < ... < t^3 < tn-i = b — разбиение отрезка fa, Ы. Отнесем две непрерывные на [a, 5] функции к одному классу, если они совпадают во всех точках разбиения.

Доказать, что множество классов образует п-мерное линейное пространство Нп. Сравнить с задачей 2.28.

Пусть х, у — представители различных классов Нп. Доказать, что соотношение

(лу) = 2 (И.) z/(C)■к=о

задает в Н^ скалярное произведение.

Доказать, что при к < п классы, порождаемые функциями x3U) = t1 (у = 0/1, ..., к — 1) линейно независимы, так что линейная оболочка этих классов является подпространством Lk<= Нп размерности &+ 1.

Доказать, что для любой непрерывной на [а, Ы функции xU) существует многочлен GU) степени не выше п — 1, который совпадает с xU) во всех точках разбиения.

Убедиться, что в качестве Git) может быть взят интерполяционный .многочлен Лагранжа-.

G^ = '^ X

А=0

В условиях задачи 5.16 при а = 0, b = 1, tk = = к/(п — 1), (fc = O, 1, ..,, n—1) рассмотрим класс, порожденный функцией x(t) = t3. Пусть и*, их, и* — элементы наилучшего приближения этого класса соответственно элементам подпространств Lo, Lh Ьг в норме Нп; иа (I), иг W, и2 № ~ многочлены нулевой, первой и второй степени соответственно, порождающие классы и0, щ, п2. Составить и реализовать на ЭВМ при ; = О, 1, 2 алгоритм нахождения и, (1), предусматривающий при целом п, изменяющемся от 5 до 15 с шагом 1:

ортогонализацию системы классов, порождаемых функциями r0Q) — 1, TiU) = f, x,U) = t2;

построение [рафиков xU) и itj (t) (/= О, 1, 2) при и = 5, п = 10, п = 15;

выдачу на печать коэффициентов многочленов к, (t) (/ = 0, 1, 2) по степеням t и величин р(х, LJ, p(.r, L^, р(х, Lik(

Полученные результаты сравнить с результатами задачи 5.11.

В условиях задачи 5.16 пусть п>2 и х — представитель произвольного класса из Нп, и* — элемент наилучшего приближения этого класса элементами подпространства Lt в норме Нп.

Доказать, что всякая линейная функция, входящая в класс L\, имеет вид u*(t) = at + ^, где коэффициенты а, Р определяются из системы линейных уравнений

a 2 ^ + Р« = S xlt^,к=0к—О

a 2 ^ + Р 2 = 2 ка (М-к = ок=-о А—и

(В теории вероятностей эта система называется нормаль* ной и вытекает из метода наименьших квадратов.)

Для а = 0, b = л, tk = кп/(п — 1) (к = 0, 1, ... .. ., п — 1) и класса, порождаемого функцией ;r(t) = sin t, составить программу для ЭВМ, позволяющую определить a = а„ и р = р„ при различных н. С ее помощью выяснить, при каком значении п дальнейшее измельчение разбиения не приводит к изменению коэффициентов an, ^„ более чем на 0,01.

В условиях пункта б) найти liman и limpn, П-»оо71->оо

В условиях задачи 5.18 при а = 0, 5 = 1, tk = = kfkn — 1) (к = 0, 1, ..., п — 1) рассмотрим класс, порожденный заданной функцией х(О. Пусть ин — элемент нап- лучшего приближения этого класса элементами подпро- 5

странства £5 в норме Н,и и* (t) = 2 W — многочлен, /.=о

порождающий этот класс. Составить и реализовать на ЭВМ алгоритм нахождения un (t), предусматривающий при целом и, изменяющемся от 6 до 15 с шагом 1:

ортогонализацию системы классов, порождаемых функциями яд!) = tJ (0 ^ / ^ 5);

построение графиков x(t\ u*(t) при it = 6, О, 12, 15;

выдачу на печать коэффициентов многочлена ип (() но степеням t и величины p(ar, LA при различных п.

Рассмотреть варианты;

xUA = sin 4nt; е) ;r(<) = sin л(;

т(Н= 11 + Z3;ж)хШ^е1;

хШ= sin (t +tp;з)xU)= 1t;

хШ= In (t + t);it)x(t)= t";

xlt)= cos 4л<;к)xW)= tg Q — 0,5).

Метрические пространства

Множество X называется метрическим пространством, если каждой паре элементов ж, у е X поставлено в соответствие вещественное число р(ж, у), называемое метрикой или расстоянием, так что выполняются следующие три аксиомы:

p(z, у) > 0; р(х, у) = 0 тогда и только тогда, когда х ~ ?/;

"р(ж, у) = р(у, ж);

р(х, у^р^х, z)+p(y, z) («аксиома треугольника»). Всякое линейное нормированное пространство является метрическим, метрика в нем вводится равенством р(.г, у) = Их — уН. Аналогично §§ 1, 2 в метрическом пространстве вводятся понятия открытого шара SAx,^ = = РсеХ: р(х, хА<т}, замкнутого шара, открытого и замкнутого множества, фундаментальной и сходящейся последовательности, полного метрического пространства. Большую часть задач из §§1,2 можно ставить и решать в метрическом пространстве. Задачи, приведенные ниже, иллюстрируют особенности метрических пространств по сравнению с линейными нормированными.

Пусть X — произвольное множество. Доказать, что 10 при х = у, р(х,у\ = \ .

'7(1 при х^у

определяет метрику на X. Доказать, что любое подмножество X является одновременно и открытым и замкнутым множеством.

Пусть р(т, у) — метрика на множестве X. Доказать, что функции

Pi (-П у) = Ф’ ^(^У) 1пП + Р(^У)1,pA-r,^ = rnin{l, Р (л , у)}

также являются метриками. Что можно утверждать о полноте получающихся пространств, если в метрике р(х, у) множество X было полным метрическим пространством?

Каким условиям должна удовлетворять определенная на R непрерывная функция и = /(о), чтобы на вещественной прямой можно было задать метрику с помощью равенства р(х, у) = 1/(х) — /(у)1?

Каким условиям должна удовлетворять непрерывная функция и = /(п), чтобы в метрике р(х, у) = |/(х) — — /(у)1 вещественная прямая была полным метрическим пространством?

Будет ли полным метрическим пространством вещественная прямая с метрикой:

р(х, у) = larctg х — arctg у I;

р(х, у) = Ie1 — е'А;

р(х, у) = к3 — у31?

Если нет, то описать пополнение по соответствующей метрике. -х

В множестве s всевозможных последовательностей x=Ui, х2, . . ■) (А е R, (iNeC)) положим

Р У) 2. , .v I ’

Доказать, что р(х, у) — метрика.

Доказать, что s — полное метрическое пространство.

Можно ли в пространстве s ввести норму так, чтобы выполнялось равенство р(х, у) = Их — yll?

Привести пример последовательности x<n) = (xi'\ ^V^f • • •) (^n) s R), которая сходится в пространстве s, принадлежит пространству Z2, но не сходится в пространстве Z2.

Доказать, что в любом метрическом пространстве замыкание открытого шара ЗДхА лежит в замкнутом шаре SAx^, т. е. SAxA с ЗАхД. Возможно ли здесь строгое включение? Сравнить с задачей 1.3.

Доказать, что в любом метрическом пространстве X для любого х ® X и любого г > 0 выполняется неравенство 0 ^ diam 5г(х) < 2г. Привести пример метрического пространства X и такого элемента х е X, что diam SAx) = = 0,5. Сравнить с задачей 1.4.

Может ли в метрическом пространстве шар большего радиуса лежать строго внутри шара меньшего радиуса? При каких значениях радиуса а возможно строгое включение ЗДх) сЗДу)? Сравнить с задачей 1.5.

44

В множестве N натуральных чисел положим

Оприт = п,

р (77, /п) =,1

Х '1Н: При771#= П.

Доказать, что р(ге, т) — метрика.

Доказать, что N с метрикой рОг, т?г) — полное метрическое пространство.

Построить в N с метрикой р(/г, т) последовательность непустых замкнутых вложенных. шаров, радиусы которых не стремятся к пулю, и которая не имеет точки, принадлежащей всем шарам одновременно. Сравнить с задачей 2.26.

В множестве X всевозможных последовательностей натуральных чисел для элементов х = (щ, тг2, ... . .., щ, . . .), у = (7?1,, т:, . . ., mh, . ..) обозначим через кДж, у} наименьший индекс, при котором п^^тк. Доказать, что:

0 при ж = у,

есть метрика на X;

аксиома треугольника выполняется в X в усиленной форме:

р(ж, z) <max(p(:r, у), р(у, г));

если р(х, y^ply, z), то р(х, з)=тах{р(ж, у), p(i/, z));

любой открытый шар 8Дх) является одновременно замкнутым множеством и SAy) = 5Дх) для любого уе eSAx);

любой замкнутый шар_5г(ж) является одновременно открытым множеством и SAy) = SAx) для любого у s s SAxA,

если два шара в X имеют общую точку, то один из них содержится в другом;

расстояние между двумя различными открытыми шарами радиуса т, содержащимися в замкнутом шаре радиуса г, равно г;

для того чтобы последовательность хп & X была фундаментальна, необходимо и достаточно, чтобы р(а:„, ж„+1)0 при п -* °°;

пространство X полно;

пространство X сепарабельно.

Глава 2

ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ

Непрерывность, ограниченность

и норма линейного оператора

Пусть X, У — линейные нормированные пространства, F; X-»- У — отображение или оператор, определенный в окрестности точки z0 е X. Он называется непрерывны.ч в точке ;г0, если Fix') Fix») при х -* ха.

Пусть F— оператор с областью определения D(F) с X и с областью значений RiF) с У. Он называется ограниченным, если переводит любое ограниченное множество из DIF) в множество, ограниченное в пространстве У.

Пусть X, У — линейные нормированные пространства, оба вещественные плп оба комплексные. Оператор А: Х-*У с областью определения ЩА) с X называется линейным, если ZXA) — линейное многообразие в X и для любых х, у s О(А) и любых Xb X2eR (Х1( Х2 е С) выполняется равенство АО^х, + X2.r2) = XAxt + Х2Ах2.

Множество АТА) = k е D(A): АЫ=0} называется множеством нулей или ядром оператора А.

Теорема 7.1. Линейный оператор А: X Y, заданный на всем X и непрерывный в точке 0 s X, непрерывен в любой точке х0 е X.

Линейный оператор A: X -* У с ВШ = Х называется непрерывным, если он непрерывен в точке 0 е X. Линейный оператор А; X У с DlA) = X называется ограниченным, если существует ceR, с > 0 такое, что для любого х е 5,(0) справедливо неравенство ПАхИ < с.

Теорема 7.2. Линейный оператор A: X->-Y с D(A) = = X ограничен тогда и только тогда, когда для любого х а А выполняется неравенство МхИ < с1Ы1.

Теорема 7.3. Линейный оператор А: X -► У с D^A) = X непрерывен тогда и только тогда, когда он ограничен.

Нормой ограниченного линейного оператора А: X Y с D(,A) = X называется число МП" S,,P М' ;- кгх,нц<1

Пусть X, У — линейные пространства, И: X У — лпиеипып олераюр и система элементов хх, Хг, ..., t,s е£)(Д) линейно зависима. Доказать, что система Д^, Д.г., . . Дх„ линейно зависима.

Пусть X, У— линейные пространства1, А: X -* У — лпиенпый оператор и система элементов ад, х>, .. ., ^« е eSU) линейно независима. Верно ли, что система элементов Дт,, Д.г2, .. ., Дз„ линейно независима?

Пусть X, У — линейные пространства, А: X -* У — линейный оператор. Доказать, что оператор А переводит выпуклое множество из О(Д) в выпуклое множество в пространстве У.

Пусть X, У — линейные пространства, А: X У — линейный оператор, В <=■ R(A)— выпуклое множество, М = (.г е D^A} : Ах s В}. Будет ли множество М выпуклым?

Пусть на линейном пространстве X заданы две эквивалентные нормы, Д: X X — линейный оператор. Доказать, что в обеих нормах он будет одновременно или ограниченным пли неограниченным.

Доказать, что оператор, осуществляющий: а) изоморфизм линейных нормированных пространств X и У; б) вложение линейного нормированного пространства X в линейное нормированное пространство У, является ограниченным.

Доказать, что оператор л, отображающий линейное нормированное пространство X в факторпространство XIL (см. задачу 2.28) и ставящий в соответствие элементу х^Х содержащий его класс смежности 5, является линейным ограниченным.

Пусть А, У — линейные нормированные пространства. А; X У — ограниченный линейный оператор с О(Д) = X. Доказать, что

И11= sup 'М.

Доказать, что линейный оператор А: X-> У с DIA) = X ограничен тогда и только тогда, когда существует ceR. с>0 такое, что для любого zeS^cX выполняется неравенство 11^4x11 < с. Если это условие выполняется, то

sup у ду.

Доказать, что для ограниченного линепйого оператора А; X ->- У с 7ДД)=А справедливо равенство

47

НЛО = Inf с, где с — такое число, что ПЛг11 < cl!r'l для любого X G X.

Пусть Н — гильбертово пространство, Л; Н-* Н — ограниченный линейный оператор с D(A')=H.

Доказать, что

ИЛ 11= чип * ^ ' '

11.г.^иХ*) Mil!/II 1

Доказать, что следующие операторы являются линейными ограниченными и найти их нормы (в пунктах и), л), м) — оценить нормы):

Ах (<) = ^ ж (т) dx; оАх^ = x(tyAx(t) = <2z(0);Ах^ = x(t2yАх (i) = х (t);Ax (i) = -j-;v ! dtАх (<) = ^ ж (т) dx; оАх^ = x(tyAx(t) = <2z(0);Ах^ = x(t2yАх (i) = х (t);Ax (i) = -j-;v ! dtt

Ах (<) = ^ ж (т) dx; о

Ах^ = x(ty

Ax(t) = <2z(0);

Ах^ = x(t2y

Ах (i) = х (t);

Ax (i) = -j-;

v ! dt

Ах (<) = ^ ж (т) dx; о

Ах^ = x(ty

Ax(t) = <2z(0);

Ах^ = x(t2y

Ах (i) = х (t);

Ax (i) = -j-;

v ! dt

а) Л: С [О, 1]^С[0,1],

б) Л: С[- 1, 1]->С[0,1], в) Л: С [0,1|^С[0, 1], г) Л: С [0,1] С [0, 1], д) Л: С1 [а, 6] -> С [а, Ь], е) А: С1 [а, д] -> С [а, Ь],

i

ж) Л: L2[0, 1] -^ Ь2 [0, 1],ж) Л: L2[0, 1] -^ Ь2 [0, 1],Ax (?) = t x (t) d-цо

ж) Л: L2[0, 1] -^ Ь2 [0, 1],

ж) Л: L2[0, 1] -^ Ь2 [0, 1],

x (t), t<.k, X г

a) A,.: C2[0,1] -► Г2 [0,1],a) A,.: C2[0,1] -► Г2 [0,1],Л?^(<) =Л?^(<) =(0,1),

a) A,.: C2[0,1] -► Г2 [0,1],

a) A,.: C2[0,1] -► Г2 [0,1],

Л?^(<) =

Л?^(<) =

Ax{t) = ( х(Дйт;оAx{t) = ( х(Дйт;оAx (t) = x (ty Ax (i) = tx ^ty, Ax (t) = tx (t).Ax (t) = x (ty Ax (i) = tx ^ty, Ax (t) = tx (t).0, t>X, Хероду

Ax{t) = ( х(Дйт;о

Ax{t) = ( х(Дйт;о

Ax (t) = x (ty Ax (i) = tx ^ty, Ax (t) = tx (t).

Ax (t) = x (ty Ax (i) = tx ^ty, Ax (t) = tx (t).

и) A: LJO, l]^C2[0,1],

к) A: H1 [0, 1]->L2[O, 1], л) А; НДО, 1]->^Ч0, 1], м) А- H^O, 1] Г2 [0, 1],

Будет ли ограниченным оператор A: CtO, 1] ->

С[0, 11, АхШ = dx/dt, с областью определения L — линейным многообразием непрерывно дифференцируемых на [0, 1] функций?

Будет ли ограниченным оператор А: НЧО, 1] -* -*■ А2[0, 11, Axlt) = dx/dtl

Для каких функций ф(<) оператор AxW = = cp(f)x(f) будет-ограничен, если он рассматривается как действующий:

а) из CEO, 1] в С[0, 11; б) из ГДО, 11 в ГДО, 1]?

Доказать, что оператор Л: СЧа, Ы -> С[а, Ы,

^(0 = 2 ф.М^^О,

i=0

где функции ср,(Д для i = 0, 1, ..., к непрерывны на [а, Ы, является ограниченным.

Пусть е„ (га е N) — ортонормированный базис гильбертова пространства Н, ?.„eR (neN), Доказать, что если последовательность кп ограничена, то равенства Аеп = ).чеп (пеХ) определяют ограниченный линейный оператор А: Н^И l DIA) — Н и ИЛИ = sup |АПI.

п

Пусть X, У — линейные нормированные пространства Л: X-> У— непрерывный линейный оператор с D(A) = X. Всегда ли существует ж s X, х =А 0 такое, что ПЛж11 = пли ы?

Пусть X, У — линейные нормированные пространства, причем X конечномерно. Доказать, что всякий линейный оператор А: Х^- У с 0(A) = Х ограничен и существует х г X, х Ф 0 такое, что ИЛ^И = ПЛИ ■ ПжН.

Пусть X, У — линейные нормированные пространства, А; Х-* У — линейный оператор.

Доказать, что ЖЛ) — линейное многообразие в У.

Всегда ли ЖЛ)— подпространство в У?

Пусть X, У — линейные нормированные пространства,. Л: X У — такой линейный оператор, что многообразие ЖЛ)сУ конечномерно. Следует ли отсюда, что Л — ограниченный оператор?

Доказать, что ядро N(A) ограниченного линейного оператора Л; X У является подпространством пространства X.

Пусть X, У — линейные нормированные пространства, А; X -► У — такой линейный оператор, что АЧЛ) является подпространством в X. Следует ли отсюда, что А — ограниченный оператор?

Пусть А: X-* У— линейный оператор с 2)(Л) = = X, причем ЖЛ) конечномерно, a NIA) замкнуто в X. Доказать, что А — ограниченный оператор.

Пусть X — линейное нормированное пространство, А: X X — ограниченный линейный оператор с D(A) = X. Верно ли, что X = ЖЛ) ® N(A)?

Пусть X— банахово пространство, А: Х->Х— изометрический линейный оператор с ЖЛ) = X. Доказать, что ЖЛ) — подпространство в X.

Пусть X — банахово пространство, А: X -* X — такой ограниченный линейный оператор с D(A)=X, что

49494 в А Треногий и др.

49

49

существует ceR, с > О такое, что для любого х s X выполняется неравенство МяИ > c^ll. Доказать, что ЖЛ)— подпространство в X.

Рассмотрим оператор А: (Ла, Ь] -* С[а, Ы, Axlt) = = ^ШхШ, где ф(г) g CVa, Ы. При каких условиях на функцию <р ^ 0 множество RIA) является подпространством (Ла, 61?

Пусть X, Y — банаховы пространства, А\ X ->- -* X — ограниченный линейный оператор с D^A) = X. Всегда ли равенства:

1Ы11 = IIAxll;

1Ы12 = 11^11 + HAxll задают в X норму? Будет ли в этой норме X банаховым пространством?

В пространстве L рассмотрим оператор А, переводящий элемент х = (ад, хм...) е 1г в элемент Ах = = (Xi^i, Х2х2,...), где Х„ s R (и г N).

Доказать, что при любых Х„ оператор А — линейный.

При каких условиях на последовательность Ж Ж А) совпадает со всем пространством Z2?

При каких условиях на последовательность X» оператор А будет ограничен и какова будет при этом его норма?

Если А — ограниченный оператор, то всегда ли найдется х s 14, я ^ 0 такое, что IIAzll = ПА1НД11?

При каких условиях на последовательность ).п множество R(A) является подпространством Z2?

Пусть сс 5= 0 фиксировано, Са — банахово пространство непрерывных на [0, +оо) функций xU), удовлетворяющих условию

sup еа(| х (1)| < оо,

[о,+»)

с нормой

II-гIla = sup Са'|2:(1)|.

[0,т^)

Доказать, что:

функция z(t) = (°е~'‘ г Са при v > а, о > 0 и

II2 ||а — е L_ а ) ।

непрерывная функция xW принадлежит пространству Са тогда и только тогда, когда существует такая постоянная М > 0, что для любого t s [0, +■») выполняется неравенство |я(1)| ^Me"11;

оператор В умножения: Bx't^ = bWxU\ где bW г — Се, р > 0, являекя непрерывным линейным оператором, действующим из пространства Са в пространство Са+р, причем 1'511 = 11^1'ц;

интегральный осраюр

t

Ах(t) = J х (s) Д$о

является при р > а > 7 непрерывным линейным оператором, действующим из пространства Са в пространство Ст, причем МИ = 1/(^ — а) при 7 = а, а при 4 < а

М1 =М1 =(а - у)»^Ф - V)p-v(а - у)»^Ф - V)p-v1 (Р-а)1 (Р-а)

М1 =

М1 =

(а - у)»^

Ф - V)p-v

(а - у)»^

Ф - V)p-v

1 (Р-а)

1 (Р-а)

8. Пространство ограниченных линейных операторов

Пусть X,Y — линейные нормированные пространства, оба вещественные или оба комплексные, А, В — ограниченные линейные операторы, определенные на всем X, со значениями в Y. Полагая, по определению,

(Л + В) х = Ах + Вх, ХА (х) = ХАх, ЦЛЦ = sup ЦЛлтП, хе л ,М=1

получаем линейное нормированное пространство S4X, Y) ограниченных линейных операторов.

В пространстве ^(Х, X) = S4X) полагаем, по определению, (АВ)х = А(Вх'), тем самым 2АХ) становится алгеброй с единицей, где единицей является тождественный оператор Г. X-* X, 1х = х.

Последовательность Апе$(Х, У) (reN) называют равномерно сходящейся к оператору А ^2АХ, У) и записывают Л„-*Л (п -><»), если IIЛп — ЛII —*-0 (п^-<»). Последовательность Апе <£(,Х, У) (neN) называют сильно сходящейся к оператору А е 3f(.X,Y) и записывают Ап-*А (п о°) сильно, если для любого хеХ ПЛП1: — — Axil -*0 (га оо).

Теорема 8.1. Если У — банахово пространство, то 2VX, У) — банахово пространство.

Теорема 8.2. Пусть X, Y — банаховы пространства, А„ е ^(Х, У) (reN) и для любого х е X последовательность А„х ограничена. Тогда последовательность НЛ„И ограничена.

Теорема 8.3. Пусть X, У — банаховы пространства, A.eS’f.X, У) (raeN). Для того чтобы последователъ- 4, 51

ность А„ при п оо сильно сходилась к оператору Ле еУлХ, У), необходимо и достаточно, чтобы:

последовательность НЛ„И была ограничена;

Ап-*А (п-* <») сильно на некотором линейном многообразии, всюду плотном в пространстве X.

Теорема 8.4. Пусть X — линейное нормированное пространство, У—банахово пространство, A: X^Y — линейный оператор, причем D^A) = X и на D(A) оператор А ограничен. Тогда существует такой ограниченный линейный оператор АеЗАХ, У), что Ах = Ах для любого хеПШ и ИЛИ = ИЛИ.

При этом оператор А называется продолжением оператора А на все пространство X.

Привести пример линейного нормированного пространства X и таких операторов А, В е Х£АХ;, что АВ * ^ВА.

Пусть Л, В е SEkX, У) — ненулевые операторы и ЖЛ) Л Ж5) = 0. Доказать, что А, В линейно независимы.

Пусть А,Ве$<Х, У) и ВШ=В(В\ ХШ = = N(BY Следует ли отсюда, что А = В?

Пусть X, У — линейные нормированные пространства, U с X — открытое множество, V с X — замкнутое множество, А е2?(Х, У). Будут ли образы этих множеств соответственно открытым и замкнутым множеством в У?

Пусть L — подпространство линейного . нормированного пространства X и М=(Ае2”(Х, У): N(A) = ТА. Является ли М подпространством в пространстве ЗАХ/УИ

Пусть L — подпространство линейного нормированного пространства X и М = {А е 2ЧХ, У): Х(А) ТА. Является ли М подпространством в 3VX, У)?

Пусть X — линейное нормированное пространство, Л s 2LY) — произвольный оператор, Hk = XkAA (k = 0, 1, 2, ...).

Доказать, что N, с Х,с ... с Nkc Х,^ с ...

Пусть для некоторого натурального тп впервые Nm = N„+Y. Доказать, что Nm^p = Nm для любого натурального р.

Доказать, что отображение Ф: 3VX, У)R, Ф(Л) = ИЛН непрерывно.

Пусть X — линейное нормированное пространство, А е 3(Х) — фиксированный оператор. Образуют ли в пространстве 2ЧХ) подпространство всевозможные операторы ВеЗ^Х), удовлетворяющие условию:

а) АВ = 0; б) АВ = ВА?

Доказать, что при замене норм в линейных нормированных пространствах X и У на эквивалентные новая норма в пространстве S'IX, У) будет эквивалентна старой.

Пусть X, У — банаховы пространства, Л„, Ле е^^Х, У) (neN) и Л„Л (п-> «>) сильно на некотором линейном многообразии, всюду плотном в пространстве X. Следует ли отсюда, что Л „-► Л (/г-*ос) сильно?

Пусть Н — гильбертово пространство, Л„е$(Н) (neN) и sup I (Л „а:, у)|<°о дЛЯ любых х,.уеН. Дока- п

вать, что sup 1ЛД < «>. п

Пусть X, У — банаховы пространства, множество М®Х(Х, У) таково, что

sup || Л£ || = <р (х) < оо

Аем

для любого хеХ. Доказать, что sup ||Л|]< ею,

АеМ

Пусть X, Y — банаховы пространства, Л„е еЗ”!!, У) (веЮ и для любого х е X последовательность Апх фундаментальна. Доказать, что существует такой оператор Ле^(Х, У), что А„-*А (га -> «>) сильно.

В пространстве С[—л, л] рассмотрим подпространство М функций xkt), удовлетворяющих условию ж(-л) = аДл). Для xlt) г М положим

у„ (() = А„х (<) = ^ + 2 cos kt + b" sin bt’

A—1

где ЛЛ

= 1 J X (Q COS kt dt, bk = ^- У X ^ sin kt dt;

-л

тем самым каждой функции xlt) ^М сопоставлена частичная сумма ее ряда Фурье.

Доказать, что

л

Уп (t) = Л„г (Z) =Уп (t) = Л„г (Z) =sin[ (2л + 1) (т — tY 2] ,sin [(т — f),'2]

Уп (t) = Л„г (Z) =

Уп (t) = Л„г (Z) =

Доказать, что Лпе $кМ") и что

|л.|л.1 С I sin [(2,1 + 1)(т — t), 2]J I sin[ (т — ф'2]

|л.

|л.

’ —л

Пусть Lcfl-л, л] — подпространство тригонометрических многочленов. Доказать, что на L последовательность Л„ при п-*оо сильно сходится к тождественному оператору.

Предположим, что У „ж — жII->-0 для любой xUAe М при поо. Вывести отсюда, что 8ир1Уп11<<».

Составить и реализовать на ЭВМ алгоритм вычисления У„Н при различных п. Оправдывают ли результаты вычислений предположение г)?

Пусть Ч — к/п {к —0, 1, ..., к)— разбиение отрезка [0, 1], ж(1) е СЮ, 11. Положим

!/„(<) = А,(0 = Il

к=а

где-

G^W-

^-Ч^-ЧУ^-Ч-хУ^Ч-УУ^-Ч^.

(Ч — *о) (Ч ~ЧУ" (Ч — Ч-х) (Ч — ^+i) • • • (Ч —

тем самым каждой непрерывной функции сопоставлен ее интерполяционный многочлен Лагранжа.

Доказать, что Ап е ^(СЮ, 11).

Доказать, что || А« II = тах 2 t^ft’^^)!' f£[0,l] к=0

Пусть L с С[0, 11 — линейное многообразие многочленов. Доказать, что на L последовательность Ап при п -* оо сильно сходится к тождественному оператору.

Предположим, что для любой ж(/)еСЮ, 11 У „я — — .rll -* 0 при п^-оо. Вывести отсюда, что sup ПАПИ < °о.

п

Составить и реализовать па ЭВМ алгоритм вычисления У ,JI при различных п. Оправдывают ли результаты вычислений предположение г)?

Пусть X, Y — линейные нормированные пространства, Апе2УХ, Y) (neN) и й„-*0 (п-*») сильно. Следует ли отсюда, что А„ -* 0 (тг-* °о) по норме пространства 2УХ, У)?

Пусть X, Y— линейные нормированные пространства, А„е2,(Х, Y) (п^Ю и последовательность А^х сходится равномерно на шаре 5,(0) а X. Доказать, что существует такой оператор Ae24X,Y), что Л„->А при П"*®.

В пространстве U для элемента х = У1: т2, .. ,)s е L определим последовательности операторов

n /BHx - Ю, о0,n /BHx - Ю, о0,neN.neN.

n /

BHx - Ю, о0,

n /

BHx - Ю, о0,

neN.

neN.

Каков характер сходимости каждой из последовательностей?

Рассмотрим оператор Л: CtO, 1] СЮ, 11,

t

Ax(t) = j е'х (т) drа

neN,neN,л последовательность операторов Л„: СЮ, 11СЮ, 11,

neN,

neN,

A.i (0 = j о

Сходится ли последовательность 4„ к .4? Каков характер сходимости?

Рассмотрим оператор А: СЮ, 11 —► С[0? 11,

Ax(s) = J estx (t) dt

о

и последовательности операторов Ап, Вп\ СЕО, 11 СЕО, 11,

А,.х ($)А,.х ($)

А,.х ($)

А,.х ($)

1-еп

Впх(^=. J estx^dt, л s N,

где е„>0, еп-*0 при Сходятся ли последовательности А„ и В„ к 4? Каков характер сходимости?

В пространстве СЮ, 11 рассмотрим последовательность операторов Anx(t) = x(C+vп) (mN).

Доказать, что Апе ^(С[0, 11).

Доказать, что при п-* ” 4„ сильно сходится к тождественному оператору.

Будет ли сходимость Л„ к Z равномерной?

Пусть X, У — линейные нормированные пространства, хп, хеХ, хп-*х, Ап,Ае2’(Х1У) (n^N), А„-*А ■при п -* ”, Доказать, что А„х„ Ах при и -> ”.

Пусть X, Y — банаховы пространства, А„е ^ ^(Х, Y) (neN) и при п-*°о сильно сходится к оператору Ae^vX, У). Доказать, что если т„,теХ и х ',.

-* X при П -* ОО, ТО АпХТ1 -*■ Ах при П -* ОО.

Пусть X, У, Z— банаховы пространства, Ап,Ае е$(Х, У), 5n,5e^(y,Z) (n е N) и при п-* =° сильно сходится к оператору А, Вл сильно сходится к оператору В. Доказать, что при п -* оо ВА» сильно сходится к оператору В А.

Пусть X, Y, Z — линейные нормированные пространства, Ап, А г 2?(Х, Y), Вп, В е ^(Y, Z) (пеМ) и при п -► °о Ак^ А, Ва-^В^ Доказать, что в пространстве $кХ, Z) ВГ1Ап В А при п -* оо.

Привести пример линейного нормированного пространства X и таких операторов А,В-$'.Х, что IL4B1 < < ШН5Н.

Пусть X —- линейное нормированное пространство, Ае2ЧХ), В; XX — неограниченный оператор с DIB), всюду плотной в X. Может ли произведение АВ быть:

неограниченным оператором;

ограниченным оператором?

Пусть X — банахово пространство, Ае2?(Д

Ф W = 2 W4 0-he R)—■ сходящийся на всем R степен- к=о

ной ряд. Доказать, что последовательность Sn =2 к^

к=0 имеет при и -* °с предел у(.4) eg^I).

Доказать, что в банаховом пространстве X для любого Ле^(Х) определены операторы

sin А — 2й (2А--Ц)! > cos^ 2d (2А)! *к=0*к=й х '

Пусть X — банахово пространство, Ае^Хк Доказать, что ЦеА|^ е||А11, Найти е7, где / — тождественный оператор.

Пусть X — банахово пространство, Ле^(Х).

Доказать, что ряд 2 ^ сходится в 2ДХ) тогда и только к=а

тогда, когда для некоторого натурального к выполняется неравенство IIA',II < 1.

Будет ли пространство ^(Х), где X = L2[0, U, сепарабельным?

Пусть X, Y — банаховы пространства. .4 е e^(X,Y) и для любого у е У найдется такое хеХ, что IL4x — у'1 ^ ocllz/ll, llxll ^ рЧуИ, где ос, ^ ^ R, а<1. Доказать, что уравнение Ах = у при любом у е У имеет решение хе X, удовлетворяющее условию || х || ^ 1 £ а Ч УII-

Пусть X — банахово пространство, L, М — подпространства X, X = L ® М. Оператор проектирования Р на подпространство L паралелльно подпространству М вводится равенством Рх = и, где х = и + v, u.sL, ve М. Доказать, что Р — линейный ограниченный ‘оператор.

Пусть Р; X -* X — линейный ощератор, заданный всюду в банаховом пространстве X. Доказать, что он является оператором проектирования на некоторое подпространство Lc X параллельно подпространству М с X тогда и только тогда, когда Р ограничен и удовлетворяет условию Р2 = Р.

Доказать, что линейный оператор Р, заданный всюду в банаховом пространстве X, отображающий его в себя и удовлетворяющий условию Р2 = Р, ограничен (и, следовательно, является оператором проектирования на некоторое подпространство L с X параллельно подпространству М с X) тогда и только тогда, когда линейные многообразия ЖР) и Ra-P) замкнуты в пространстве X.

В пространстве С[—1,1] рассмотрим операторы

Ах (<) = у [т (i) + х (— t)], Вх {t) = -^^(4) —х (— <)].

Доказать, что А, В — ограниченные линейные операторы и найти их нормы.

Найти операторы А1, В2. Являются лп А и В операторами проектирования?

В гильбертовом пространстве // оператор ортогонального проектирования на подпространство LeH для х = и + и, где и е L, v е L^, определяется равенством Рх = и. Доказать, что оператор Р ограничен, и найти его норму.

Пусть Lt, L2 — подпространства гильбертова пространства Н, Р^ Р2 — операторы ортогонального проектирования соответственно на Lt и Р2. Доказать, что ЧТ5, —

Пусть L — подпространство гильбертова пространства Н, Р — оператор ортогонального проектпрова-

57

нпя на L. Что можно утверждать об операторе Л ^S’{H\ если для него выполняется равенство:

АР —А;

РА-А;

АР —РА?

Пусть // — гильбертово пространство, L^H — линейное многообразие, А — ограниченный линейный оператор, заданный на L со значениями в банаховом пространстве Y. Доказать, что А может быть продолжен на все // с сохранением нормы.

Пусть X — банахово пространство, L, М — такие подпространства банахова пространства У, что Y = L®M. Доказать, что ^Х, У) = 3-Х, [А ® $VX, Л/).

Пусть L, М — подпространства линейного нормированного пространства X, X = L ® М, У — банахово пространство. Верно ли, что SAX, У) = S{L, У) ® S’M, У)?

Обратные операторы

Пусть X, У — линейные нормированные пространства, А: XУ — линейный оператор, отображающий 0(A) на Я(Л) взаимно однозначно. Тогда существует обратный оператор Л-': У-> X, отображающий RAY па dCa-) взаимно однозначно и также являющийся линейным.

Линейный оператор А: X-* У называется непрерывно обратимым, если /?(Л) = У, Л_| существует и ограничен, т. е. A-'eS(Y, X).

Теорема 9.1. Оператор А"' существует и ограничен на R{A) тогда и только тогда, когда для некоторой постоянной т>0 и любого x^D(.A) выполняется неравенство M.rll ^ mHzil.

Теорема 9.2. Пусть X, У — банаховы пространства, As SAX, У), RAY = У и А обрати.^. Тогда А непрерывно обратим.

Теорема 9.3. Пусть X —банахово пространство, CsSAX) и ПСИ < 1. Тогда оператор I — C непрерывно обратим и справедлива оценка

Ui-ст'ктАс-г

to-xii^u-'ii-1.to-xii^u-'ii-1.Теорема 9.1. Пусть X — банахово пространство, Л, B^SX', Л непрерывно обратим и выполняется неравенство 58

to-xii^u-'ii-1.

to-xii^u-'ii-1.

Тогда В непрерывно обратм и справедлива оценка

vB'1^vB'1^Гг1!!i — |i s — лh ^-ч'Гг1!!i — |i s — лh ^-ч'

vB'1^

vB'1^

Гг1!!

i — |i s — лh ^-ч'

Гг1!!

i — |i s — лh ^-ч'

Пусть X, У — линейные нормированные пространства, АеЗВХ, У). Оператор Л, 1 е 2AY, X) называется правым обратным к А, если ЛЛ,-1^/г, оператор A'iG ^SAY, X) называется левьим обратным к А, если

Ау1А = / Х' где /у и 1 х — тождественные операторы соответственно в пространствах У п X.

Пусть X, У — линейные пространства, А; X -* У — линейный оператор, у которого существует обратный. Доказать, что системы элементов хИ У2, ..., #« и АхИ Ах2, .-•., Ах„, где Хц ж,,..., т„ е В{А), одновременно или линейно независимы или линейно зависимы.

Пусть X— линейное пространство, А: X-*-X — линейный оператор, удовлетворяющий при некоторых /., eR (7i = l, 2,-..., и) соотношению I + 2ЧЛ + лД2 + + ... + ХпА" = 0. Доказать, что оператор А-1 существует.

Пусть X — линейное пространство, А, В: X-* X — линейные операторы с DiA) = D(B) = X и существуют операторы (ЛВ)-1, (ВЛ)-1. Следует ли отсюда, что существуют операторы А-1, В''?

Пусть X — линейное пространство, А, В1. X-* X— линейные операторы с В(Л)=В(В)=Х и оператор U — АВ)-1 существует. Доказать, что оператор (I — BA)-1

существует.

Пусть X — линейное пространство, А, В; Х-*Х — линейные операторы с D(A) = DIB) = X, удовлетворяющие соотношениям АВ + А + 1 = 0, В А + А + I = 0. Доказать, что оператор А-1 существует.

Пусть X — линейное нормированное пространство,/!, В: X X — линейные операторы с В(Л) = D^B) = = X такие, что АВ = В А.

Пусть оператор Л-1 существует. Доказать, что Л-‘В = ВЛ-‘.

Пусть А, В е. 3?(Х) и В непрерывно обратим. Доказать, что

Пусть X — линейное нормированное пространство, А, А-1 ^^(Х) и к = МП 11Л"*11 — число обусловленности оператора А, Рассмотрим уравнение Ах = у, где ysX,

59

у^О. Пусть $ е X — его приближенное решение. Доказать, что его относительная погрешность может быть оценена по формуле

L 'I14-'' ~у < IIJ ~~ ^ И < z. II л-г ~~ у 'I

I- Ш1 hll ЮН ■

Пусть X — линейное нормированное пространство, А: X -► X — линейный оператор и в X существует такая последовательность хнеШ) UeN), что Ю J = 1 и Ахп 0 при « оо. Доказать, что у оператора А не существует ограниченного обратного.

В пространстве С рассмотрим оператор А, переводящий элемент х = (ж,, х2, ...) в элемент Ах = к)Ахи Х2хг, .,.), где Х„ s R, (beN), sup ЮЛ < °°. При каких условиях на последовательность л„ существует обратный оператор Л-1? Будет ли он ограничен?

В пространстве Z2 рассмотрим операторы А, В, переводящие элемент х = (xt, х;, ...) s I, соответственно в Ах = (0, х2, х2, ...), Вх = (х,, хм ...). Какие из операторов А ', В 1, А г , В г , А /, В"^ существуют?

Доказать, что оператор А; СЧО, 1] СЮ, 1], Ах^ =

имеет правый обратный, но не имеет левого обратного.

В пространстве СЧО, 1] рассмотрим подпространство L = {Д?) е СЧО, 11: ж(0) = 0} и оператор A: L-* -*СЮ, 11,

AxU) = dxidt + a^xkt\ aW s CEO, 1].

Доказать, что А непрерывно обратим.

Рассмотрим оператор А: СЮ, ПСЕО, П,

t

Ax^t) = j х (t)cZt,о

Что представляет собой его область значений /?(Л)?

Существует ли на RC4) обратный оператор Л-1 и ограничен ли он?

Рассмотрим оператор A: CEO, 1J -*■ СЮ, 1J,

t

Ах (?) = ( х (т) dr +а(?).

о

Доказать, что Л’(Л)=0, гак что при любом у а е CIO, 1] уравнение Ах = у не может иметь более одного решения,

Доказать, что А непрерывно обратим и найти оператор Л"1.

Доказать, что оператор А; С[0, 11 -* СЕО, 11,

Ах (1) = х (1) + j es + ,z (s) dsо

непрерывно обратим и найти оператор А-1..

Рассмотрим оператор А: СЕО, 11 -* СЕО, 11,

^ (0 — 71 + (О

at

с областью определения В (Л) — линейным многообразием дважды непрерывно дифференцируемых на [0, 1] функций x(t), удовлетворяющих условиям z(0) — хЧО) = 0.

Доказать, что А — неограниченный линейный оператор.

Доказать, что А непрерывно обратим и найти оператор Л-1.

Рассмотрим оператор А; СЕО, 1] -> СЧО, 1],

t

Ах (1) = f е^^'х (s) ds,о

Существует ли оператор Л-1?

Пусть X — линейное нормированное пространство, А: X -* X — такой линейный оператор с В(Л)=Х, что ряд 5 Ahx сходится для любого х а X.

к=0

Доказать, что существует оператор (I — Л)-1.

Пусть, кроме того, Ле^ЕХ), Доказать, что для любого хе X

А^х= 5 Ahx.

к=О

Пусть X — банахово пространство, Ае^СХ) и II/ — АII < 1. Доказать, что А непрерывно обратим.

Пусть X — комплексное банахово пространство, Ле^СХ), Хе С и 1X1 > ИЛИ. Доказать, что оператор Л — X/ непрерывно обратим.

Пусть X, У — банаховы пространства, А е е2ПХ, У) ц оператор А-1 существует и ограничен на

61

R(A). Догм mu,, что RIA) является подпространством в пространстве Y.

Пусть X, Г — банаховы пространства, А,„ Ае eS4X,Y) (п^Х) и 4п сходится при п -* °о к А сильно, ЛДей’^’Д) и R<A) = Y. Доказать, что решения уравнения А„хи = у сходятся к решению уравнения .4z = = у для любого у ^ Y тогда и только тогда, когда

SlipЛ 71< оо .

Пусть X, Y—банаховы пространства, А„,Ае e^kX.YV (neN) и А„-*А при и°°. Доказать, что для того чтобы оператор А был непрерывно обратим, необходимо и достаточно, чтобы:

операторы Л „ были непрерывно обратимы, начиная с некоторого номера N;

последовательность ЛД1 для п "3$ N была ограничена.

Пусть 77 — гильбертово пространство, А^ЗИН), R(A) = Н и оператор А имеет единственный ограниченный правый обратный оператор ЛД1. Доказать, что Л непрерывно обратим.

Пусть X —банахово пространство. Доказать, что в пространстве S4X) множество всех- непрерывно обратимых операторов является открытым.

Замкнутые операторы

Пусть X, У — банаховы пространства. Их прямой суммой называется банахово пространство Z = X Д-Y пар г = (z, у), где х г X, y^Y, с операциями opzj + czm, = = («,^ + «2^2, atyt + apj2), где Zj = (ад, yA, z, = (x2, yA, oil, a, — скаляры, и с нормой lizll = 1ЫД + Ht/lly.

Графиком линейного оператора Л с областью определения Й(Л) с X и областью значений ЖЛ) с У называется совокупность пар (х, Ах) с Z = X 4- У. Линейный оператор A: Х^У называется замкнутым, если его график является замкнутым множеством в пространстве Z = X 4- + У. Иначе говоря, А замкнут, если из т,еСА) (nsN), х„ -* х и Ахп -> у вытекает, что х е D(A) и Ах = у.

Теорема 10Д. Если А е S4X, У), то А замкнут.

Теорема 10.2. Если А замкнут и оператор Л-1 существует, то Л-1 замкнут.

Теорема 10.3. Пусть А — замкнутый линейный оператор с ЩА) = X. Тогда А ограничен.

62

Рассмотрим оператор .4: СЕО, 11 -* CEO, 11, АхкУ) = xktMt

с областью определения DkA') = Ыб) s CIO, 11: lim t~'xkt) t-*—0 существует). Доказать, что A — замкнутый оператор.

Рассмотрим оператор .4: СЕО, 11 -> СЕО, 11, Лх(/) = dx/dt

с областью определения DkA)— линейным многообразием непрерывно дифференцируемых на [0, 11 функций хкУ, удовлетворяющих условиям хкО) = хк 1) = 0. Доказать, что А — замкнутый оператор.

Рассмоцшм оператор А: СЕ0, 11 —► СЕО, 1], АхкО = dA/dll 4- xktk

с областью определения О(Л) — линейным многообразием дважды непрерывно дифференцируемых на Е0, 11 функций тЛ), удовлетворяющих условиям х(0) = z'(0) = 0. Доказать, что Л—неограниченный замкнутый оператор.

Доказать, что оператор проектирования Р на подпространство Л банахова пространства X параллельно подпространству М (см. задачу 8.35) замкнут и, следовательно, ограничен.

Доказать, что в пространстве СЕя, 61 оператор ЛхП) = dx/dt, определенный на линейном многообразии непрерывно дифференцируемых на [щ 61 функций, замкнут.

Доказать, что в прямой сумме банаховых пространств можно ввести норму следующими способами: Нг11 = УЫЧЧГ^ Ы = (Ы₽ + Иг/Цр)1'^,р^\,1Ы1 =

= max{IWI, Hz/il}. Доказать, что все эти нормы эквивалентны.

Доказать, что график лилейного оператора А1. X -^ У является линейным многообразием в пространстве Z = X4-Y.

Всякое ли линейное многообразие в пространстве Z = Х4- У может являться графиком некоторого линейного оператора?

Доказать, что ограниченный линейный оператор А: X-^ У замкнут тогда и только тогда, когда DkAk замкнуто в X.

Пусть А: X -*- У — замкнутый линейный оператор. Верно ли. что:

а) П(Л) замкнуто в X; б) ДС4) замкнуто в У?

Доказать, что множество нулей замкнутого оператора является замкнутым множеством.

Пусть Л: X ~> У—такой линейный оператор, что 7?(Л) замкнуто в У и существует такое иг е R (т> >0), что для любого x^DkA^ выполняется неравенство 1!Л^И ^ mIWI. Доказать, что Л — замкнутый оператор.

Пусть Л, В: X У — линейные операторы, причем Л замкнут, В ограничен и DlA^cxDlBL Доказать, что А + В — замкнутый оператор.

Пусть А: X У — замкнутый линейный оператор, ЖЛ) = У и оператор Л-1 существует. Доказать, что Л-1е^(У, X).

Пусть А: X-> У — линейный оператор. Доказать, что А является замкнутым тогда и только тогда, когда В(Л) в норме IWIi = il^ll^ + НЛа;11у, является банаховым пространством.

Глава 3

СОПРЯЖЕННЫЕ ПРОСТРАНСТВА II СОПРЯЖЕННЫЕ ОПЕРАТОРЫ

Непрерывные линейные функционалы

Пусть X — линейное нормированное пространство. Всякий оператор /: X ->- У, где У = R или У = С, называется функционалом, при этом значение функционала / на элементе х е X обозначается <х,р. В этой главе рассматриваются только линейные функционалы. Поскольку линейный функционал является частным случаем линейного оператора, для пего остаются в силе понятия непрерывности, ограниченности и нормы, а также теоремы из §§ 7, 8. Пространство непрерывных линейных функционалов S(X, У), где У = В или У = С, называется сопряженным к X и обозначается X*. Гиперплоскостью называется множество {хеХ: <х,р=Х\ где / — линейный функционал, X R (X С).

Пусть X — комплексное линейное пространство, / — определенный на X и не равный тождественно нулю линейный функционал. Доказать, что область значений / есть все С.

Пусть X — линейное нормированное пространство, f^X*. Доказать, что:

l|/il= sup 11 ;

11/11= Sup |<л:,/>[;

||/||= sup <^,/>, если пространство X — веще- ственное.

Доказать, что следующие функционалы в пространстве С[ — 1, 1] являются линейными непрерывными и найти их нормы:

<х, f) = уМ — 1) + a;(1)J;

<^,/> = 2[^(1)-х(0)];

5 В. А. Треиогин и др.65

п

<X, f) = 5 eV (tkY где набор чисел a* е R и tv, <2,.. .,кЕ [-1, И — фиксированные;

<^Е>-^Ие) + ^(-E)-2a;(0)], e g [-1,1];

<х, /> = ^x^dt;

О

1

<Х /> = J ж № At — х (0);

о

/> = J % (i) dt — 2n i 2 ж\"nj- _хк=-п

11.4. Будут ли ограниченными в пространству С[0, 11 следующие линейные функционалы:

<х, /> = J x(V^dt; о

<z, /> = J х ^ dt; о

в) <Х /> = lim С ж (tn) dt*?

Л-»ОО 0

11.5. Доказать, что следующие функционалы являются

линейными непрерывными, и найти их нормы:

а) <х, /> = j tx(f) dt, х^С [— 1, 1];

б) ^Х, /) = ^ ^^) ^> ^ ^ ^ [— 1т 1]? 0

в) <х, /> = [ tx(t)dt, х е Lx [— 1, 1];

1

г) <ж, /> = J tx (£) dt, х^ L^y— 1, 1];

д) /> = ] ^-1 Зх (£) dt,L2 [0, 1J;

О

<х, Ъ = xv + х2, х = (гц х.,, . ..) g Z2;

<я, /> = 2 Т’ ^ = (ж1, ^2, • • •) е Z2;

к=1

<х, о = 2 (1 — у) ^к, X = (хг,х2, ...) S 1г;

<А /> = ^ + хг, х = (хп х2, .. ,)е т;

<х, f> = S 2"'h+1xh, х = (х1; х,, .. .) е с0;

к=1

м) <х, /) = lim хп, х = (х2, х2,. . .) е с.

При каком значении р функционалы а), б) задачи 11.4 являются непрерывными в пространстве АДО, 1]?

Будет ли непрерывен функционал <х,Р =х\0\ если он рассматривается:

на пространстве СЧ — 1, 11;

на всюду плотном в пространстве Cl— 1, 1] линейном многообразии непрерывно дифференцируемых функций?

В пространстве СЧа, ЬА рассмотрим подпространство L = {я?(t) (= С1 [а, 6]: х^ = х(Ь) = 0}.

Пусть u(t), vU), wU) е Cla, ЬА. Доказать, что

ь

{х, р = \ и (Z) х* (Z) dt,

ь

<^, g> = j Av (О X (Z) + w (t) X (Z)] dta

есть непрерывные линейные функционалы на пространстве СЧа, Ы.

Пусть <x,f>=0 для любой xU)eL. Доказать, что U.YC = const.

Пусть <х, g> = 0 для любой z(Z) е L. Доказать, что wUA е СЧа, Z>] и w4C = y(Z).

Рассматривая непрерывные линейные функционалы, определенные на пространстве С[ —1, 1] в задаче 11.3, убедиться, что не для любого )еС*А — 1, 1] найдется такое x(t) е СА — 1, 1], x(t) * 0, что I <х, РI = 11x11 ■ П/Н.

И.10. В пространствах Z,, с0 привести примеры непрерывных линейных функционалов, которые достигают и которые не достигают своей нормы на единичном замкнутом шаре.

Пусть X — линейное норхшрованное пространство, / g X* и для некоторого шара SAx-A

sup | <Х, Р - <у, /) I = 1.

x,yes,.(.x0)

Найти Н/П.

Пусть X— вещественное линейное нормированное пространство, / — линейный 'функционал, определенный на X. Доказать, что / непрерывен тогда и только тогда, когда для любого се R множества {х s X; <х, Р < с} и {х е X: (х, Р > с) являются открытыми в пространстве X.

Пусть / — линейный функционал, определенный на линейном нормированном пространстве X, причем для любой последовательности хп е X (reN) такой, что хп -* 0 при п оо, множество <х„, Р ограничено. Доказать, что / е X*.

Пусть линейный функционал / определен на вещественном линейном нормированном пространстве X и неограничен. Доказать, что в любой окрестности нуля он принимает все вещественные значения.

Доказать, что линейный функционал / в линейном нормированном пространстве X непрерывен тогда и только тогда, когда его множество нулей (ядро) N<f) = =ArsX: <х, Р = 0) замкнуто в X.

Пусть X—линейное нормированное пространство, / е X*, / ^ 0. Доказать, что X = А'(/) ® М, где М — одномерное подпространство.

Доказать, что два непрерывных линейных функционала, определенные на одном и том же линейном нормированном пространстве и имеющие общее множество нулей (ядро), пропорциональны.

Пусть L — такое подпространство X, что L * X и L не содержится ни в каком другом' подпространстве, отличном от L и X. Доказать, что существует такое / г еГ, что L = NMV

Доказать, что всякая гиперплоскость в линейном нормированном пространстве является выпуклым множеством.

Пусть / — фиксированный линейный функционал на линейном нормированном пространстве X. Дока- 68

эать, что если одна из гиперплоскостей замкнута, то и все они замкнуты.

Доказать, что всякая гиперплоскость в линейном нормированном пространстве X или замкнута в X, или всюду плотна в нем.

Пусть X — линейное нормированное пространство, / е X*, / ^ 0. Рассмотрим в X гиперплоскость L = = Lx е X: <х, р — 1). Доказать, что

II/11 = inf ||х|| •

Пусть X — линейное нормированное пространство, jeX*, L = N(f). Доказать, что для любого хеХ

||Z|| -

Пусть X — линейное нормированное пространство, jeX*, L = N(p, х^Х, хФЬ и существует такое у s L, что р(т, L) = Их — yll. Доказать, что / достигает своей нормы на единичном замкнутом шаре пространства X.

В пространстве CL — 1, 1] рассмотрим множество f011

L — L (t) е С [— 1,1]: [ х (i) dt = J хр^ do.

I-10 J

Доказать, что L — подпространствоCL — 1, 11,

и найти такое jeC*L — 1, 1], что L = MP.

Доказать, что для xW е Cl — 1, 11, х Ф L не существует такого у е L, что p(z, D = На? — yll.

Для х = (xlt т2, ...)<= с0 положим

<а?,/> = 5 2”^.

ь=1

Доказать, что / — непрерывный линейный функционал на пространстве с0.

Пусть L = N(p, хе с0, x^L. Доказать, что не существует такого у е L, что р(т, L) = На; — yll.

Теорема Хана —- Банаха.

Структура сопряженного пространства

Теорема 12.1. Пусть в вещественном линейном нормированном пространстве X задан ограниченный линейный функционал } с D(f) с X. Тогда существует опреде-

₽9

ленный всюду в X ограниченный линейный функционал f, такой что il/ll = И/ll и <х, f> = <х, р для любого xeDkp.

Следствие 1. Пусть те X, г ¥= 0. Тогда существует такое / е X*, что П/П = 1, <х, р = IWI.

Следствие 2. Пусть LcX— линейное многообразие, xQeX, xq^L и d = p(xa,L)>0. Тогда существует такое / е X*, что (х, Р = 0 для любого хе L, <х0, Р = 1, 11/Н = \/d.

Теорема 12.2. Пусть И — гильбертово пространство. Для любого ограниченного линейного функционала /, заданного всюду на Н, существует единственный элемент у^Н, такой что {x,P = kx,y) для любого хеН. При этом Il/ll = Иг/Н.

Теорема 12.3. Любой ограниченный линейный функционал ], заданный на всем пространстве CVa, Ь], может быть представлен в виде интеграла Стилтьеса

ъ

<М) = J xp)dg(t),а

где g(B — функция с ограниченной на [а, 6] вариацией. При этом для некоторой gU) выполняется равенство ||/1| =

= Vgp).

(Определение интеграла Стилтьеса и доказательство теоремы 12.3 приведены, например, в [151.)

Пусть X— банахово пространство, реХ* ре ,eN) и для любого хеХ существует Ига <х, Р> = <т, р.

Доказать, что feX*.

Пусть X — линейное нормированное пространство, РеХ* (neN). Доказать, что /„ сходится в X* тогда и только тогда, когда <х, Р> сходится равномерно в шаре {х е X: IWI < 1}.

Пусть X — линейное нормированное пространство, х, уеХ, i*y. Доказать, что существует такое /е еХ*, что <х,Р*<у,р.

Доказать, что в любом линейном нормированном пространстве X для любого /. е R и любого ненулевого feX* гиперплоскость {теХ: <х,Р=)3 есть непустое множество.

Пусть X — линейное нормированное пространство, хеХ, Доказать, что

к 11= sup |<z, />|.

/<=Х*М[=1

Пусть X — линейное нормированное пространство, х0 G X и для любого j е X* такого, что 11/11 = 1, выполняется неравенство |<х0, />1 ^ 1. Доказать, что IIх0И ^

1.

Пусть X — линейное нормированное пространство, /еХ* Ae^VXY Доказать, что НЛII = sup I<Лх, />|, где верхняя грань берется по множеству (х е X: 11x0 = 1, feXp Н/Н = 1).

Пусть X — линейное нормированное пространство, х„ е X (и е N) — фиксированная система элементов, L — ее линейная оболочка, хе X — произвольный элемент. Доказать, что хе L тогда и только тогда, когда из / е X*, {xk, р = 0 для к е N следует <х, /> = 0.

Доказать, что если линейное нормированное пространство X бесконечномерно, то и пространство X* бесконечномерно.

Пусть X — линейное нормированное пространство, М е X — произвольное множество. Положим IP = = реХ*: <х, Р = 0 для любого хеМ}.

Доказать, что ML — подпространство в пространстве X*.

Что представляет собой М\ если X — гильбертово пространство?

Пусть М с X — подпространство. Доказать, что М = (х е X: <х, /> = 0 для любого / е Д/-1}.

Пусть X— банахово пространство. Для произвольного множества М а X определим его поляру

М* = U е X*: | <х, /> | ^ 1 для любого х е MV

Доказать, что М* — выпуклое замкнутое множество.

Пусть X, Y — линейные нормированные пространства, Z =Х + У — их прямая сумма. Доказать, что всякий ограниченный линейный функционал, заданный всюду на пространстве Z, однозначно представим в виде <(х, у), /г> = <х, Р + <у, ">, где /е X*, ge У*.

Пусть X — банахово пространство. Доказать, что если пространство X* сепарабельно, то и X сепарабельно. Верно ли обратное утверждение?

Доказать, что непрерывный линейный функционал <х, /> = х(0) в пространстве Cl—1, 11 не представим в виде

1

<Р/> = J x^g^dt,

-1

где g(t) s С[—1, 11- Найти такую функцию g(t) с ограниченной на [—1, 1] вариацией, что

1

<^Л> = J x^dg^.

Для ж(<) е CV — 1, 1] положим

<^, /> = ^ ^.Ш. + J to (<) at.

Доказать, что / — ограниченный линейный функционал.

Найти такую функцию gW) с ограниченной на [—1, 1] вариацией, что

■1

<xj> = J x(f)dg(f).

Пусть ^ofi) ^ CtO, 1] фиксировано. Рассмотрим в пространстве СЮ, 1] одномерное подпространство L = ■={Хх(<)}, где X^R. Определим на L линейный функционал / равенством <х, р = ^, если х = Хх0.

Доказать, что П/И = 1.

По теореме 12.1 / может быть продолжен на все пространство С[0, 1] с сохранением нормы. Однозначно ли такое продолжение, если: 1) z0(i) = t; 2) т0(<) = 1 — 2<?

/хД

В пространстве Е2 с элементами х = I j на подпространстве Е = (ж е Е2: 2х4 — хг = 0) задан линейный функционал <x,P=xv Доказать, что существует единственное продолжение / на все Е2 с сохранением нормы, и найти это продолжение.

Пусть Н— гильбертово пространство, Lcfl— подпространство, / — ограниченный линейный функционал, заданный на L. Доказать, что существует единственное продолжение / на все Н с сохранением нормы.

Доказать, что всякий ненулевой ограниченный линейный функционал, заданый всюду в гильбертовом пространстве II, достигает своей нормы на единичном замкнутом шаре II и притом только к одной точке этого шара.

Пусть / — ограниченный линейный функционал, заданный на подпространстве с0 с т. Доказать, что суще- 72

отвует единственное продолжение / па все т с сохранением нормы.

Доказать, что при р> 1 (£„)* = ?„ 1/р+1/^ = 1, т. е. что всякий непрерывный линейный функционал в пространстве 1Р при р > 1 имеет вид

<^, /> = 2 ay-Un,

п=1

где х = Ut, .г2, ...) е /„ у = (,yh у2, ...) е 1Ч, 1/р +1/^ = 1 М/НМ,.

Доказать, что (c0)* = Z1; т. е. что всякий непрерывный линейный функционал в пространстве с0 имеет вид

п=1

где х = (х^ хг, ...) е с„, у = (у„ уг,....) е Z, и ||/||= Ый-

Используя задачу 12.13, доказать, что (т)* * Ц.

Доказать, что (ZJ* = т, т. е. что всякий непрерывный линейный функционал в пространстве Zt имеет вид

2 хпуп,п=1

где х = (Ж1, х,,...) е Z„ у = (у^ у2,...) е т и И/Н = ПуПт.

В пространстве НЧ— 1, 11 положим

1

<х, f) — J [ж (Z) sin t + х’ (Z) cos Z] dt.

Доказать, что / — непрерывный линейный функционал и найти его норму.

Задает ли равенство

1

<х, f) = j [я (Z) cos t + х’ (Z) sin Z] dt

-i

непрерывный линейный функционал в пространстве //‘[—1,1J? Если да, то какая функция y(Z) е//'[—1, 1J удовлетворяет условию <х, f> = (ж, у)?

Слабая сходимость. Рефлексивность

Пусть X — линейное нормированное пространство. Последовательность хп е X (neN) называют слабо сходящейся к элементу х^Х и записывают хп -> х (п-*<»)

слабо, если <х„, Р -* <х, р для любого jeX*. Последовательность реХ* (neN) называют '-слабо сходящейся к элементу /еХ и записывают /„-*•/ (и -* <») «-слабо, если (х, РУ <х, Р для любого х е X.

Теорема 13.1. Для того чтобы х„ -* х (п -« оо) слабо, необходимо и достаточно, чтобы последовательность llarjl была ограничена и <хп, р <х, Р для любого / из всюду плотного в X* линейного многообразия.

Теорема 13.2. Для того чтобы Р -« / In-*^ «-слабо, необходимо и достаючно, чтобы последовательность II/JI была ограничена и <х, РУ -* <х, р для любого х из всюду плотного в X линейного многообразия.

Теорема 13.3. Пусть X — банахово пространство. При каждом фиксированном х^Х равенство <],1РУ = = <х, /> определяет ограниченный линейный функционал Fx на пространстве X* и при этом HFXH = 1Ы1.

Таким образом, имеет место изометрическое вложение ХсХ**. Если при этом X = X**, то пространство X называется рефлексивным.

Последовательность х„, принадлежащая банахову пространству X, называется слабо ограниченной, если для любого j е X* множество <х„, р ограничено, и слабо фундаментальной, если для любого / е X* последовательность <хп, Р фундаментальна.

Теорема 13.4. Всякое слабо ограниченное множество в банаховом пространстве ограничено.

Теорема 13.5. Если х„-*х (п-*оо) слабо в банаховом пространстве X, то существует такая последовательность выпуклых линейных комбинаций точек хк

Хп = S ^k^k, 2 ^nk = 1, >0,k—1 k-1

ЧТО Х„ X (.П-* «>).

Пусть X — банахово пространство, хп, хеХ, Р, fe X* (п е N) п:

х„ -* х, р-* / при п -> оо;

Хп -> X при П оо слабо, р -« / при П °о;

Хн -« X при п оо, /„ / при п оо «-слабо. Доказать, что <хп, ftP <х, Р при п -« °о.

Пусть X — линейное нормированное пространство, /п, / е X* (п е N) и f (п-*оо). Доказать, что /„ -« / (п -« оо) «-слабо.

Пусть И — гильбертово пространство, х,„ х, у,И у^Н (neN). Что можно утверждать о сходимости последовательности (хп, уР, если:

xn x (n0°) слабо, yn -* y;

xn-*x (n-► 0°) слабо, yn~^y к-**”) слабо?

Пусть H — гильбертово пространство, хп, х s еН (reN), хп х (п-х») слабо и Hxnll -* Hzll. Доказать, ЧТО Хп -* X (и оо).

Пусть X — линейное нормированное пространство, хп s X Ine N). Доказать, что последовательность хк сходится в X тогда и только тогда, когда хп слабо сходится равномерно в шаре {/sX*: Н/П ^ 1).

Пусть Н — гильбертово пространство, xnG Н (и г N) — ортогональная система элементов. Доказать, что следующие утверждения эквивалентны:

2 ^п сходится;

п=1

2 жп слабо сходится; n=i

2 ИМ2 сходится, н—1

Пусть X — линейное нормированное пространство, /„, /оеХ* (neN), /„ -> /0 (м->°°) «-слабо. Верно ли, что /о е L, где L — линейная оболочка последовательности /„?

В пространстве 1г для z=(^,, z2, ...) s Z2 положим <x, /п> = Хп. Доказать, что /п ** 0«-слабо

Верно ли, что in О?

Для Х^ G L^— 1, 11 положим

1

= f я; (Z) cos/гл? ^7,

Доказать, что in — ограниченный линейный функционал, и найти И/пП.

Доказать, что /„-*0 (п-*<») «-слабо.

Верно ли, что /„0 (п °°)?

Для x(t) s СЧ-1, 1] положим

<Ж, ie) = ^ [а- (е) - х (- е)], <х, f0) = х' (0),

где е е R, 1е| < 1.

Доказать, что it и /0 — непрерывные линейные функционалы и найти ИДИ, П/о1!.

Доказать, что /е /0 (е 0) «-слабо.

Верно ли, что /е -^ /0 (е -> 0)?

Пусть хп\ хе l2, х№ (х^, х(Г\ ...), ж =з = (х,, х2, ...). Доказать, что Xй*1-* х (и -* <») слабо тогда и только тогда, когда sup J|x01) | < оо и х^-^-Хь при

и -* <» для к г N.

В пространстве CIO, 1] привести пример слабо сходящейся последовательности, которая не сходится по норме пространства С(0, 11.

Доказать, что в пространстве Л слабая сходимость совпадает со сходимостью по норме.

Пусть X, У — банаховы пространства, Лп а еЗ?(Х, У) и для любого хеХ и любого j е Y* последовательность <А„х, Р ограничена. Доказать, что последовательность Unll ограничена.

Пусть X— рефлексивное банахово пространство, М с X — подпространство, М1- = {i е Л'*: <х, /> = О для любого хе MV Доказать, что (,M"L')'L = М.

Пусть X — рефлексивное банахово пространство, / г X*. Доказать, что существует х е X, х Ф 0 такое, что (х, f) = 11x11 11/П.

Используя задачи 11.9, 11.10, 13.16, доказать, что пространства С[0, 1], Z,, с0 нерефлексивны.

Доказать, что множество в банаховом пространстве является слабо ограниченным тогда и только тогда, когда оно ограничено.

Доказать, что всякая слабо фундаментальная последовательность в банаховом пространстве ограничена.

Доказать, что всякая слабо сходящаяся последовательность в банаховом пространстве слабо фундаментальна.

Назовем множество М в банаховом пространстве X слабо замкнутым, если из того, что хп е М, хп -*•- х(и ->■ оо) слабо, следует хе М.

Доказать, что всякое слабо замкнутое множество замкнуто.

Привести пример замкнутого множества в банаховом пространстве, не являющегося слабо замкнутым.

Доказать, что всякое подпространство банахова пространства слабо замкнуто.

Доказать, что всякое выпуклое замкнутое множество в банаховом пространстве слабо замкнуто.

Будет- ли пространство С[0, 11 слабо полным?

Пусть X — сепарабельное линейное нормированное пространство. Доказать, что в пространстве X*

существует счетное множество, всюду плотное в смысле • -слабой сходимости.

Пусть X — линейное нормированное пространство. Верно ли, что для всякого подпространства L с X* существует подпространство М с X такое, что L = Mx (ортогональность понимается в смысле задачи 12.10)?

Сопряженные операторы

Пусть X, У— линейные нормированные.пространства, А: X-* ¥— линейный оператор с областью определения П(Л), плотной в X, возможно, неограниченный. Введем множество D* с У* таких /еУ*, для которых при (ре s X* имеет место равенство <Ах, {У = (х, <р>. Оператор Л*/ = <р с областью определения D(A*) = D* с У* и со значениями в X* называется сопряженным к оператору А. Таким образом, <Ах, /> = <х, А*}У для любого х из Л(Л) и любого / из П(Л*).

Теорема 14.1. А * — замкнутый, линейный оператор.

Теорема 14.2. Равенство DiA*) — Y* имеет место тогда и только тогда, когда А ограничен на D(A). В этом случае A*eS’(Y*, X*), ИЛ*И = Ш.

Из теоремы 14.2 вытекает, что для Ае2ЧХ, У), А*е2Ч¥*, X*), 11Л*П = ЛЛИ.

^4.1. Пусть X, У —линейные нормированные пространства, а, ре С, А, Ве$<Х, У). Доказать, что (аЛ4- + р/?)* = аЛ* + pS (черта означает комплексное сопряжение).

Пусть X — линейное нормированное пространство, А, Be 2?Ш. Доказать, что US)* = В* А*.

Пусть Ae$VX, У) и непрерывно обратим. Доказать, что Л* непрерывно обратим-и (Л*)-1 = (Л-1)*. -

Пусть X, ¥ — линейные нормированные пространства. Доказать, что отображение Ф: 2? IX, У) -*■

$<¥*, X*), Ф(Л) = Л* непрерывно.

Пусть X — рефлексивное банахово пространство, У — линейное нормированное, А е5?(Х, У). Доказать, что (Л*)*ХсУ и (Л*)* = Л как оператор из X в У.

Пусть Н — гильбертово пространство, Ае$<Н\ Доказать, что:

^(ЛЛ*)=^(Л*);

N(A*A) = МШ;

RUA*) = ВШ-,

ИЛЛ*Н = ИЛИ2.

Пусть Н— гильбертово пространство, Ле^'й). Доказать, что:

(R(A^ = N(A*y

Ш(А*^ = МАУ,

^Ш^ = К(А*У,

(NU^^RUk

Пусть X л- банахово пространство, Аедр^ХУ Доказать, что (Й(Л ))-*- = МЛ*) (ортогональность понимается в смысле задачи 12.10)..

Найти сопряженный к оператору А: Л210, 11 -> -* Л2Ю, 11, если:

t

Лж (t) = J х (т) dr;

о

Ах (t) = lx (t);

i

Ах (Г) = ^ tx (s) ds;

о

i

Ах (t) = J tx (7) dt. о

Найти оператор, сопряженный к оператору А; Л ^i, если

Ах — (zh х2, ..., хп, 0, 0, ...);

Ax^t.X^,, Х2х2, где ).„ е R, !X,J ^ 1, neN;

Ах = (0, Xi, х2, ...);

Ах = Уг2, х3, ...).

Найти сопряженные к операторам задачи 14.10, если они рассматриваются как действующие:

из с0 в с0;

из 1г в к;

из к в с0.

В пространстве к для х=ксц х2, . ,.)е/, положим А„х = (хп+1, xuj з, ...).

Доказать, что Л„е2'(У ц Л„-*0 (м -> оо) сильно.

Найти А„ ц выяснить, верно ли, что Ап->-0 (и -> оо) сильно?

Найти оператор, сопряженный к оператору вложения J: 12 -*- с„, 1х = х.

Пусть /J — Iпльбертово пространство, у, z^ll, у ^ 0, z ^ 0 — произвольные фиксированные элементы. Для хе II положим Ах = (ж, y)z. Доказать, что Ае sS’(H) и найти оператор А*.

Пусть Я — гильбертово пространство, А, В: Н Н — линейные операторы, определенные на всем Н и такие, что для любых .г, у ^ II выполняется равенство (Ах, у) = (ж, By). Доказать, что А — ограниченный оператор и В = А*.

Пусть X, У — линейные нормированные пространства, А: X -* У—такой линейный оператор, что D(A) = X, оператор А-1 существует и принадлежит 2?(Y, X). Доказать, что (Л*)'1 существует, принадлежит S4X*, У*) и при этом (Л*)-1 = (Л~*)*..

В пространстве Z2 рассмотрим для х = (хь х,, ..Je?! оператор A: L12, Ах = (х^ 2хг, Зж3, ...) с областью определения D (Л) — |ж е I,, х = (xlt х2, .. .): 2 и2 | j2 < ooL n=l)

Доказать, что D(A) = Zz.

Доказать, что A — неограниченный на В(Л) линейный оператор.

Найти D(A*) и Л*.

Рассмотрим оператор Л: 1г -> Zt, Ах = ж с областью определения D(A), состоящей из элементов х =

= (ж,, Х2, . . .) G Z,, ДЛЯ которых 2 | ^,11 < ОО.

11=1

Доказать, что ЖЛ) = /2.

Доказать, что А — линейный оператор, неограниченный па D(A).

Найти D(A*) и А*.

Рассмотрим оператор А; В2[0, 11В2[0, 11,

Ax(t) = х(В) с областью определения

{

1I

х (Z) Е В2 [0,1]: [ х- (t-) dt < оо .

оJ

Доказать, что Вкн) =В2[0, 11.

Доказать, что А — линейный оператор, неограниченный на ЖЛ).

Найти ЖЛ*) п А*.

Рассмотрим оператор A: L2[0, 1]-^ В2[0, 11, Ax(t) = dx/dt с областью определения ЖЛ) —линейным многообразием непрерывно дифференцируемых на [0, 1] функций x(t), удовлетворяющих условиям х(0) =z(l) = 0.

Доказать, что ЖЛ) = В2[0, 11.

Доказать, что А — неограниченный на D(A1 линейный оператор.

Найти DL4*) и /1*.

Рассмотрим оператор A: L40, 11-+£,[0, 11, Лж(<)=^(0) с областью определения D(A) — линейным многообразием непрерывных на 10, 1] функций. Найти ЩА*) и А*.

Найти оператор, сопряженный к оператору вложения /: НЧО, 11Л210, 11, Jx = х.

Найти оператор, сопряженный к оператору А: ПЧО, 11ZL210, 11, /IzU) = dx/dt.

Глава 4

КОМПАКТНЫЕ МНОЖЕСТВА

II ВПОЛНЕ НЕПРЕРЫВНЫЕ ОПЕРАТОРЫ

Компактные множества в нормированных пространствах

Множество Q в банаховом пространстве X называется бикомпактным, если - из каждой последовательности хп г Q (пеМ) можно выбрать сходящуюся подпоследовательность, предел которой принадлежит Q.

Теорема 15.1. Пусть /: Q -> R — непрерывная функция, определенная на" бикомпактном множестве QeX. Тогда / ограничена на Q, достигает на Q своей точной верхней и нижней граней и равномерно непрерывна на Q.

Система открытых множеств Fa линейного нормированного пространства X называется покрытием множества'А с А, если каждая точка хе А принадлежит хотя бы одному из F^..

Множество М линейного нормированного пространства X называется компактным, если из каждой последовательности хп е М (neN) можно выделить фундаментальную подпоследовательность. Множество Мс ■- X называется е.-сетью множества М с X, если для любого хеМ найдется такое х е М„ что Нж — а:11 < е.

Теорема 15.2. Множество М в линейном нормированном пространстве X компактно тогда и только тогда, когда для любого е > 0 в X существует конечная в-сетъ для М. _

Пусть G — замкнутая ограниченная область в пространстве Еп, C(G) — пространство непрерывных на С функций с нормой Ы = ша^ Ы<)|, М с С(О — некото- tea

рое множество функций. Это множество называется равномерно ограниченным, если существует такое с е Rt что для любого х е М выполняется неравенство Ы С с; равностепенно непрерывным, если для любого е > 0 существует б = 6(e) > 0, такое, что для любых 1Ь t2eG, удовлетворяющих неравенству HG — М < б, сразу для всех х е М выполняется неравенство |х(^) — х^) I < е.

8181Теорема 15.3. Для того чтобы множество Me C(G) было компактно, необходимо и достаточно, чтобы оно

81

81

6 В. А Треногий и др.

было равномерно ограниченным и равностепенно непрерывным.

Множество М элементов линейного нормированного пространства X называется локально компактным, если пересечение М с любым замкнутым шаром в X компактно.

Теорема 15.4. Для того чтобы линейное многообразие L линейного нормированного пространства X было локально компактно, необходимо и достаточно, чтобы L было конечномерно.

Множество М банахова пространства X называется слабо компактным, если из любой бесконечной последовательности его элементов можно выбрать слабо фундаментальную подпоследовательность.

Теорема 15.5. Всякое слабо компактное множество в банаховом пространстве ограничено.

Теорема 15.6. Всякое ограниченное множество рефлексивного банахова пространства слабо компактно.

Пусть X—банахово пространство, М ^ X — такое замкнутое множество, что для любого е > 0 в X существует для М конечная е-сеть. Доказать, что М бикомпактно.

Доказать, что замыкание компактного множества бикомпактно.

Доказать, что всякое подмножество бикомпактного множества компактно.

Пусть множество М в линейном нормированном пространстве X таково, что для любого е > 0 в X существует для М компактная е-сеть. Доказать,. что М компактно.

Доказать, что в конечномерном линейном нормированном пространстве всякое ограниченное множество компактно.

Пусть М — бикомпактное множество в банаховом' пространстве X, хпеМ (neN), ^ — единственная предельная точка последовательности хп. Доказать, что Хп Хо (п оо).

Доказать, что множество xlt = sin nt s L^V—n, л] (neN) замкнуто и ограничено, но не компактно.

Пусть М — бикомпактное множество в банаховом пространстве X. Доказать, что для любого е > О множество М может быть представлено в виде

м = и1=1

где Fi — замкнутые множества и для i = 1, 2, ..., п diam Ft < е.

Доказать, что для того чтобы множество М из банахова пространства X было бикомпактно, необходимо и достаточно, чтобы из любого покрытия М можно было выделить конечное подпокрытие.

Пусть А — бикомпактное множество в банаховом пространстве X. Доказать, что для любого хе X найдется такое у е А, что p(z, Л) = Hz — у\\.

Пусть А — бикомпактное, 5 — замкнутое множество в банаховом пространстве X и А П В = 0. Доказать, что р(Л, 5) > 0.

Пусть А, В — бикомпактные множества в банаховом пространстве X. Доказать, что существуют такие хоеА, уаеВ, что р(Л, В) = На — Уо^. Обязательно ли найдутся такие точки, если А бикомпактно, а В замкнуто?

Пусть А — бикомпактное множество в банаховом пространстве X. Доказать, что найдутся такие z,,, уа е А, что diam А = Hz0 — у0Н.

Доказать, что бикомпактное множество нельзя пзометрпчно отобразить на свою часть.

В пространстве Е построить компактное множество, изометрпчпое своей части.

Пусть X—банахово пространство, МеХ—бикомпактное множество, Ф: М -* М — такое отображение, что для любых х, у е М выполняется неравенство Пф(ж) — Ф(у)Н > Hz — у\\. Доказать, что Ф есть изометрическое отображение М на себя.

Доказать, что в банаховом пространстве всякая система непустых вложенных бикомпактных множеств имеет непустое пересечение.

Пусть М,,. — такая последовательность бикомпактных множеств в банаховом пространстве X, что пересечение любого конечного числа этих множеств непусто. Доказать, что П Мп непусто.

Пусть Ui U = 1, 2, ..., м) — конечное покрытие бикомпактного множества М в банаховом пространстве X. Положим

(

п \ -1

Доказать, что система функций {е,(х)}, называемая разбиением единицы, соответствующим покрытию U„ обладает следующими свойствами:

0 ^ еАх) < 1;

еАх) = 0 при х ^ U,; 71

2 ег (х) = 1 для любого х е М; i=i

еАх) — непрерывные функции на М.

Пусть X—банахово пространство, А, В <^ X и:

А, В бикомпактны; доказать, что множество А+В бикомпактно;

А бикомпактно, В замкнуто; доказать, что множество А + В замкнуто;

А, В компактны; доказать, что множество А+В компактно;

А, В замкнуты; верно ли, что Л + 5 — замкнутое множество?

Пусть М — бикомпактное множество в банаховом пространстве X, (АМ) — пространство вещественных непрерывных на М функций с нормой ||я|| = max | х (<)[« t = M

Доказать, что (АМ) — сепарабельное банахово пространство.

Пусть X, У — банаховы пространства, М с X — бикомпактное множество, С(М, У) — множество непрерывных отображений, определенных на М с областью значений в У. Доказать, что:

САМ, У) — линейное пространство;

в С(М, У) можно задать норму равенством Ц/Ц — = sup Wfl+jW;

кем

в этой норме (АМ, У) является банаховым пространством.

Пусть М — такое множество в банаховом пространстве X, что для любой вещественной непрерывной на М функции / выполняется хотя бы одно из следующих условий:

/ ограничена на М\

если / ограничена на М, то / достигает на М точ* ной верхней и точной нижней граней.

Доказать, что М бикомпактно.

Пусть М — такое множество в банаховом пространстве X, что любая вещественная непрерывная па М функция равномерно непрерывна. Следует ли отсюда, что М бикомпактно?

Доказать, что непрерывное отображение переводит бикомпактное множество в бикомпактное множество.

Пусть /: X У — непрерывное отображение банахова пространства X в банахово пространство У, Мс сХ — компактное множество. Доказать, что множество /(Л/) с У компактно.

Верно ли утверждение предыдущей задачи, если непрерывное отображение определено не на всем пространстве X, а только на множестве МЧ

Доказать, что если функция равномерно непрерывна на компактном множестве М линейного нормированного пространства X, то она ограничена на М.

Пусть М с CVa, 61 — множество функций и известно, что для любого е > 0 и любого tg g [и, б] существует такое б = 6(е, ^), что если U —/01 <6, то для любого xU) е М выполняется неравенство lx(f) — яИо) 1 < 8. Будет ли множество М равностепенно непрерывным?

Пусть х^С е CVa, 6] (neN) — равностепенно непрерывное множество функций и xnU) при п-»® сходится к XoW) поточечно на Va, Ы. Доказать, что x0Vt) г е (Да, б].

Пусть Л/— равномерно ограниченное множество функций в пространстве С[а, б]. Доказать, что множество N функций вида

у (i) = Ja:(T) dx,о

где xVO^M, компактно.

Доказать, что равномерно ограниченное множество функций McCVa, б], удовлетворяющих условию Липшица с общей постоянной, бикомпактно в пространстве CVa, б].

Доказать, что множество функций М с CVa, 61, ограниченных при некотором фиксированном <0 s (л, б] и удовлетворяющих условию Липщица с общей постоянной, бикомпактно в прострапстве С[а, б].

Доказать, что множество непрерывно дифференцируемых на [а, б] функций xUV таких, что

ь

И0)!<^, J|z'G)l2^<^

а

(постоянная kt > 0, постоянная кг > 0) компактно в прострапстве CVa, 61.

Доказать, что множество непрерывно дифференцируемых на [а, Ы функций х<Й таких, что

ъ

j[k(^|2 + |^'(0l2]^<^

с постоянной к > 0, компактно в пространстве С[щ 6].

Пусть М — множество непрерывно дифференцируемых на [а, 6] функций xU), удовлетворяющих следующим условиям:

для любого Z g [д, 6] и любой xU) е М выполняется неравенство [ж'С^)! < к, где постоянная к > 0;

для любой xW е М уравнение zU) = 0 имеет на [а, 6] хотя бы один корень. Доказать, что М — компактное множество в пространстве CVa, Ы.

Будет ли равномерно ограниченное множество многочленов степени и бикомпактным в пространстве С[щ 6]?

Доказать, что равномерно ограниченное множество многочленов степени, не выше чг, бикомпактно в пространстве CVa, 6].

Доказать, что для любой непрерывной на [а, 6] функции xU) существует многочлен PW степени, не выше п, который является многочленом наилучшего приближения, т. е.

шах |ж(^ — Р(«)К max | х W—Q (t)| tS[a,t>] /е[л,д]

для любого многочлена QU) степени, не выше п.

Пусть xU) — непрерывная на [а, 6] функция и существует последовательность многочленов ограниченной степени, которая сходится к xU) равномерно на [а, 61. Доказать, что х(Й — многочлен.

Доказать, что шар ЗДО) пространства СЧа, 6] является компактным множеством в пространстве CVa, Ы. Является ли он бикомпактным множеством в пространстве CVa, 6]?

Доказать, что всякое множество, компактное в пространстве СЧа, Ы, является компактным и в пространстве CVa, Ы.

Привести пример множества непрерывно дифференцируемых па [0, 11 функций, компактного в пространстве CtO, И, но не компактного в пространстве СЧО, 1].

Компактны ли следующие множества функций в пространстве £[0, 11;

x,ЛО = t”, n g N;

хЛС ^ sin nt, n e N;

xnU) = sin U + n), neN;

r) ха<С = sin at, «eR;

zaU) = sin at,-a e [1, 2];

xaW = arctg at, c eR;

XaU^e1-3-, aeR, a^O?

Будет ли компактным в пространстве CIO, 11 множество функции xU) е CIO, 1], удовлетворяющих при любом ts[6, 11 неравенству \хШ I ^ (p(i), где д.Ч) = е 610, 11, ip< J > 0 — фиксированная функция?

Доказать, что всякое компактное множество в пространстве а) СЧп, Ь1; б) С нигде не плотно.

Доказать, что для того чтобы множество функций Л/сСЧа, ЬА было компактно, необходимо п достаточно, чтобы оно было равномерно ограничено, а множество производных порядка к входящих в М функций было равностепенно непрерывно.

Доказать, что множество М элементов х = = (z,, х,, ...) из пространства с плп с» компактно тогда и только тогда, когда оно ограничено и limz„ существует равномерно относительно х е М, т. е. для любого е > О найдется такое N = Л(е), что при всех п> N для люоого х = (а?!, х2, ...) G М выполняется неравенство

kn — lim х J < е.

Доказать, что множество М элементов х = -=(х!, х2, ,JGL, (р> 1) компактно тогда и только тогда, когда оно ограничено и

lim 2 1^1^

7<->оо А —1

существует равномерно относительно хе М, т. е. для любого е>0 найдется такое Аг = АЧе), что при всех п > >N для любого х = (х!, х,, .. 3 е М выполняется неравенство

2 I |Р < 8.

Доказать, что параллелепипед (х е 1г, х = •= Ui, х2, ...): kJ s£ 1/н) является бикомпактным множеством в пространстве 12.

При каком условии па последовательность 1„ е R, Zn > О (resN), является бикомпактным множе

ством а)б)ством а)б)в пространстве /2:

ством а)

б)

ством а)

б)

параллелепипед Lre/21 ге^, .г, эллипсоид |.т е /2, х = (.Tj, х2, . . .):

" Доказать, что если подпространство в пространстве CVa, 6] состоит из непрерывно дифференцируемых функций, то оно конечномерно.

Пусть X, У — банаховы пространства, МсХ- компактное множество, А„, AeS(X, У) (neN) и Ап-> -* А (п-^-оо) сильно. Доказать, что А„х равномерно сходится к Ах при п °° для всех х е М.

Пусть X — банахово пространство, х„ е X (neN), хп компактна и хп-^-х (п -► 00) слабо. Доказать, что хп-* х (и -^ оо У

Пусть Х_— рефлексивное банахово пространство, хйе X, х„е SAx0), neN. Доказать, что найдется такая подпоследовательность х,1к (.к eN), что хПк~>х (га -> оо) слабо и х е ЗДх»).

Доказать, что всякое компактное множество в банаховом пространстве слабо компактно, и привести пример слабо компактного множества, не являющегося компактным.

Доказать, что единичный замкнутый шар пространства CIO, 1] не является слабо компактным множеством. ■

§ 16. Линейные вполне непрерывные операторы

Пусть X, Y — линейные нормированные пространства. Оператор AeS^X, У) называется вполне непрерывным, если он переводит замкнутый единичный шар пространства X в компактное множество пространства У. Множество всех вполне непрерывных операторов из SIX, У) обозначается о(Х, У).

Теорема 16.1. Если Леа(Х, У), то любое ограниченное в X множество он переводит в множество, компактное в У.

Теорема 16.2. о(Х, У) является подпространством в пространстве SVX, У).'

Теорема 16.3. Пусть AeSkXT У), BsS(Y, Z\ Если хотя бы один из этих операторов вполне непреры- 88

вен, то вполне непрерывным оператором будет и их произведение В А.

Теорема 16.4. Пусть АесХ, У). Если i,eX (пе g N), хп -^ х0 (п ->- оо) слабо, то Ах„ -»• Ах0.

Теорема 16.5. Пусть AeS?VX, У), где Y — банахово пространство. Оператор А вполне непрерывен тогда и только тогда, когда А* вполне непрерывен.

Пусть X — банахово пространство, А е а(Х, X) = о^Х), х, у е X. Уравнение

Ах = у

называется уравнением 1-го рода, уравнение

х-Ах = у(1)

называется, уравнением 2-го рода. Наряду с (1),-рассмотрим соответствующее однородное уравнение

z — Az = 0,(2)

а также сопряженное уравнение

f — A*f = й(3)

и сопряженное однородное уравнение

^ —Л*1р = О.(4)

Теорема 16.6. Следующие утверждения эквивалентны;

уравнение (1) имеет решение при любой правой части у;

уравнение (2) имеет только тривиальное решение;

уравнение (3) имеет решение при любой правой части ш;

уравнение (4) имеет только тривиальное решение.

Если выполнено одно из условий а), б), в), г), то операторы I — A и I — А* непрерывно обратимы.

Теорема 16.7. Уравнения (2) и (4) имеют одинаковое конечное число линейно независимых решений.

Теорема 16.8. Для того чтобы уравнение (1) имело хотя бы одно решение, необходимо и достаточно, чтобы для любого решения ф уравнения (4) выполнялось условие <у, ф> = 0.

Теорема 16.9. Пусть X, Y — бесконечномерные линейные нормированные пространства, причем У — банахово, AeoVX, У) u R1A1 бесконечномерна. Тогда R(A) не является замкнутой в Y.

Теорема 16.10. Пусть X, У — линейные нормированные пространства, причем X бесконечномерно, А е

89

GfliX, У) и, на RIA) существует обратный оператор А-1. Тогда А~1 неограничен на R(A).

Какие из следующих операторов А: CtO, 11 CtO, 1] являются вполне непрерывными;

Ах (t) = tx (t); t

Ax (<) = J x (т) dx;

о

Ax (t) = x (0) + tx (1);

i

r) Ax ^ = J" etsx (s) ds;

Д) Ax (t) = x(t2)?

Будет ли вполне непрерывным оператор

А: С[- 1А1~*С[— 1,1], Ах^ = ^MV) + х(- 1^

При каком условии на функцию cpU) е CtO, 1] оператор Л: CtO, 1J CtO, 1], Axlt) = (pUMf) будет вполне непрерывным?

Оператор A: CtO, 1] -* CtO, 11 определяется равенством

Ах (t) = } К (К s) х (s) ds + 2 <р„ (0 хОк=1

где KU, s) непрерывна при 0 ^ s, £ *5 1, срДСеССО, 1], KetO, 1] для k — 1, 2, ..., п. Доказать, что А — вполне непрерывный оператор.

Будет ли вполне непрерывным оператор Ax(t) = = dx/dt, если он рассматривается как действующий:

из СЧО, 1] в'С[0, 11;

пз СЧО, 11 в СЧО, 11;

из СЧО, 11 в CtO, 11?

Доказать, что оператор A: L^Ya, ЪУ-^Ъ^а, ЬА, Ах (t) — ^ х (т) dr вполне непрерывен.

о

Доказать, что оператор ортогонального проектирования в гильбертовом пространстве вполне непрерывен тогда п только тогда, когда его образ конечномерен.

Какпе пз следующих операторов, определенных для х=(х1, х2, .. А ^ 11 с областью значений в 12, вполне непрерывны:

Ах = (0, Zx, хг, ...);

ВхЦх^,^, ...j;

Cx = (o,^,^, . .. j?

Доказать, что оператор вложения:

J: С‘[а, Ы^-С[а, 61, Jx = x;

7: HWa, 6] ->CVa, Ы, Jx = х вполне непрерывен.

Будет ли вполне непрерывен оператор вложения J: Zi -> ^2, 1х = х?

Доказать, что оператор А: ПАа, Ы L-^a, b], АхШ =dx/dt вполне непрерывен.

В пространстве U0, 11 рассмотрим оператор AxUA = d^x/dt"1 с областью определения DM), состоящей из дважды непрерывно дифференцируемых функций x(t), удовлетворяющих граничным условиям .г(О) = ж(1) = 0. Доказать, что оператор А”1 существует, найти его и доказать, что он вполне непрерывен.

Пусть X = Y — одно из пространств 1Р, т, с, Со. Для х = (ж,, х21. . .) е X положим у = Ах = (у\, у2,. . .), где ук = 0, если к—нечетное и ук = хк_1, если /с — четное. Доказать, что А не является вполне непрерывным, хотя А2 = 0 вполне непрерывен.

Пусть X, Y — банаховы пространства, А е ео(Х, У), Be^LX, У) и RUB) с ВШ. Доказать, что Ве0^Х, Y).

Пусть X — линейное нормированное пространство. Может ли оператор А е о(Х) быть изометрическим отображением пространства X в себя?

Пусть X, У — линейные нормированные пространства, А: X-► У — линейный оператор. Верно ли, что А е а(Х, У), если:

X конечномерно;

У конечномерно;

А — ограниченный оператор и У конечномерно?

Пусть X, У — линейные нормированные пространства, Anec(X, Y) (neN) п Ип-*оо Мг>°°) сильно. Следует ли отсюда, что А г а(Х, У)?

Доказать, что любой оператор А е $<,.№, где Н — гильбертово пространство, является сильным пределом последовательности вполне непрерывных операторов.

Пусть А е oUA. Доказать, что существует последовательность Ane$UA (/tsN) такая, что Ап ->■ А (п -* оо), и RIAJ конечномерно для всех п.

Пусть е„ (n е N) — ортонормпрованный базис гильбертова пространства Н, Zn е R (neN), Х„-*0 (п^- оо). Для хе П положим

Аг = 2 ^п (я, е^ еп.

П=1

Доказать, что оператор А определен па всем 77, переводит его в себя и является вполне непрерывным.

Пусть AeSAl^ (lsgp<oo) и для х = (ад, ^2, ...)е/Р Ах=(Хх,, Х^, ...), где Х6 е R, sup D-J < °о, к

Доказать, что Аео(1,) тогда и только тогда, когда Ук -»• ->0 (к-* оо).

Пусть еп (и — N) — ортонормпрованный базис гильбертова пространства II, У — банахово пространство, Ае^^Н, У) и ряд 2 ||Аеп ||2 сходится. Доказать, что Лео(Я,У).

Пусть Н — гильбертово пространство, А в е 2(Ну А*А е о(Н). Доказать, что А е о(Я).

Используя предыдущую задачу, доказать, что если А е □(//), то и А* е □(//).

Пусть X, У — линейные нормированные пространства, причем X бесконечномерно, А е о(Х, У). Доказать, что найдется последовательность хп е X (heN) такая, что И^„И = 1 и Ахп -> 0 (и -> <»).

Доказать, что область значений вполне непрерывного оператора сепарабельна.

Пусть е„ (» е N) — ортонормпрованный базис гильбертова пространства Н, А е о(НУ Доказать, что Ае„ ->- 0 (п ->- оо).

Пусть Н — гильбертово пространство, A е е^(Я). Доказать, что следующие утверждения эквивалентны:

если хп, х, у„, у е Ц (п е N) и х„ -* х (и-* °°) слабо, уа у (н->сх>) слабо, то (Л.т„, уА (Ах, Г/) (н->- оо);

если хп, х е Н (пеХу х„^-х (п -* оо) слабо, то Ах„ Ах (п оо);

Ае<з(НУ

Доказать, что для любого линейного оператора А, заданного всюду в банаховом пространстве X и принимающего значения в банаховом пространстве У, следующие свойства эквивалентны:

92

А переводит любую сходящуюся последовательность хп е X в сходящуюся последовательность АхпеУ;

А переводит любую слабо сходящуюся последовательность хп — X в слабо сходящуюся последовательность Ахп s У;

А переводит любую сходящуюся последовательность хп е X в слабо сходящуюся последовательность Ах„ е У.

Пусть X, У — банаховы пространства, причем X рефлексивно, ЛеУА. У) и переводит любую слабо сходящуюся последовательность хп е X" в сходящуюся последовательность Ахп г У. Доказать, что Л^п(Х, У).

Доказать, что любой непрерывный линейный оператор Л е^(/2, ZJ вполне непрерывен.

Пусть X — линейное нормированное пространство, У — сепарабельное банахово пространство, А е е SAX, У). Доказать, что А е о(Х, У) тогда и только тогда, когда А* переводит любую слабо сходящуюся в У* последовательность в сходящуюся в X* последовательность.

Пусть Н — гильбертово пространство, Ае е □(//), М с Н — замкнутое ограниченное выпуклое множество. Доказать, что:

образ множества М замкнут в Н;

для любого у е.Н существует такое х» е М, что inf 1Лх — pH = НЛ^о — уИ. (Согласно [241, определенный таким образом элемент х„е Н называется квазирешением уравнения Ах = у, где х, у <= Н, А е аШ)А

Пусть // — гильбертово пространство, А е о(//). Доказать, что образ единичного замкнутого шара — бикомпактное множество.

Верно ли утверждение предыдущей задачи для оператора Аед(Х\ рассматриваемого:

в произвольном банаховом пространстве X;

в рефлексивном банаховом пространстве X?

Пусть И — гильбертово пространство, А е оШУ Доказать, что существует такое хе Н, х ^ 0, что ИЛИ! = = НЛН Ы.

Верно ли утверждение предыдущей задачи для оператора А е о(Х), рассматриваемого:

в произвольном банаховом пространстве X;

в рефлексивном банаховом~пространстве А'?

Пусть X — бесконечномерное банахово пространство, Лео(Х). Доказать, что существует такое уеХ, что уравнение 1-го рода Ах = у не имеет решения.

Может ли вполне непрерывный оператор иметь: а) ограниченный обратный;

ограниченный правый обратный;

правый обратный?

Может ли оператор Л: СЮ, 11 СЮ, 11,

г

Ах (s) = j К (s, Z) х (t) dt,

о

где Kis, t) непрерывна при 0 < s, Z^l, иметь ограниченный обратный?

Пусть X—банахово пространство, AeS'lX) и существует такое се R, с > 0, что для любого х е X выполняется неравенство ИЛжИ > с1Ы1. Может ли оператор А быть вполне непрерывным?

Пусть X — банахово пространство, A eg”(XI и уравнение z — Лг = 0 имеет только тривиальное решение. Следует ли отсюда, что уравнение х — Ах = у имеет решение при любом у g X?

Привести пример банахова пространства X и оператора A s $(X) такого, что уравнение z — Лг = 0 имеет бесконечное число линейно независимых решений.

Теоремы 16.6 — 16.8 относятся к уравнению Сх = = у, где С = I — А, Лео(Х), X — банахово пространство. Доказать, что их утверждения остаются в силе, если в банаховом пространстве X рассмотреть уравнение Сх = у, где С = В— А, Ве$ф и непрерывно обратим, Ле е о(Х).

Рассмотрим оператор А; СЮ, 11 СЮ, 11, t

Ах^ = J x(r)dT.

О

Доказать, что уравнение х — Ах = у имеет решение при любом уеСЮ, И.

Найти оператор (I — AW

Пусть А — линейный оператор, определенный всюду в линейном нормированном пространстве X со значениями в X, Хк = Х(Ак^, Rk = R(Ah1 (k = 0, 1, ...). Доказать, что

a; iv0 с л 1 с ... с Ак с л\+1 cz..., и при" этом либо все Nk различны, либо существует такое наименьшее целое п 5= 0, что при 0 5$ г ^ /г все Nr различны, а все последующие Nr совпадают с Nn (в этом случае говорят, что А имеет конечный подъем и);

Ла^ R^ .. .^ Rk^ R/,+l^ ... и при этом либо все Rh различны, либо существует такое наименьшее целое m > О, что при О^г^т все R, различны, а все последующие Rr совпадают с Rm (в этом случае говорят, что А имее-т конечный спуск т).

Пусть X— банахово пространство, Ае2?1Х) и имеет конечный подъем п и конечный спуск т. Доказать, что п = т и X = Nn Ф R„.

Пусть X — банахово пространство, А = 1 + В, где Ве^Ш. Доказать, что:

А имеет конечный подъем п и конечный спуск т и, следовательно, по предыдущей задаче п = т;

каждое подпространство Nr конечномерно, каждое линейное многообразие R, замкнуто;

А отображает Rn на Rn взаимно однозначно и взаимно непрерывно.

Пусть е„ (п е N) — ортонормированный базис в гильбертовом пространстве Н. Оператор Л е 2ЧН) называется оператором Гильберта — Шмидта, если величина

П=1

конечна. Доказать, что:

величина ПлП2 не зависит от выбора ортонормиро- ванного базиса в Н;

ПЛИ2 = ИЛ *И2;

UH^UII2;

величина ИЛИг, определенная на классе операторов Гильберта — Шмидта, является нормой;

в пространстве 2АН) операторы Гильберта — Шмидта образуют линейное многообразие;

равенство

(Л, В} = 2 (Ле„, Ве,^71=1

задает на классе операторов Гильберта — Шмидта скалярное произведение;

операторы Гильберта — Шмидта образуют банахово пространство относительно ИА112;

всякий оператор Гильберта — Шмидта вполне непрерывен;

оператор А; Г2[0, 1] -> Z2[0, 1], 1

Ах^ = K^s.tV^dt,о

где K(s, С е LAO, 11 X [0, 11, есть оператор Гильберта — Шмидта;

если Л — оператор Гильберта — Шмидта и Be ^SAIP, то АВ и ВА — операторы Гильберта — Шмидта и при этом IL1 Sll2 sg !1Л UJi/Tl, ЦДЛ Н2 !1Д ||,ЦДЦ.

При каком условии па последовательность Х„ е R оператор А: к^12, Ах = (A^t, Хгх2, . . .) для х = (ж,, хг, .. Л е 12 будет оператором Гильберта — Шмидта?

м) В пространстве 1г построить вполне непрерывный оператор, не являющийся оператором Гильберта — Шмидта.

Оператор Ae2UP называется ядерным, если он представим в виде А = ВС, где В, С — операторы Гильберта — Шмидта. Доказать, что если А — ядериып оператор, то:

Л — оператор Гильберта — Шмидта и, следовательно, вполне непрерывный оператор;

AD и РА, где В-едАиЛ,— ядерные операторы;

А* — ядерный оператор;

для любого ортонормированного базиса en (neN)

В Н ряд S (^тцбп) абсолютно сходится.

В. пространстве L привести пример ядерного оператора и оператора Гильберта — Шмидта, не являющегося ядерным.

Нормально разрешимые операторы

Пусть X, У — банаховы пространства, оба вещественные или оба комплексные, А: Х-*¥— линейный оператор с DIA) = Х и Л*: У* X* — сопряженный к А оператор.

Оператор А называется нормально разрешимым, если для разрешимости уравнения Ах = у необходимо и достаточно, чтобы <у, гр =0 для любого решения г|? уравнения Л*ф = 0.

Нормально разрешимый оператор А называется нёте- ровым, если многообразия МкА) и NkA*) конечномерны. При этом число n = diш^(Л) называется числом нулей оператора А, число m = dim АЛЛ*) называется дефектным числом оператора А, а число % = п — m называется индексом оператора А.

Петеров оператор пулевого индекса называется фредгольмовым. оператором.

Доказать, что если уравнение Ах = у имеет хотя бы одно решение, то <у, 1р=0 для любого i\:eHkA*B 96

Пусть L — линейное многообразие в простщ.ттсг- ве I *. Введем множество

= (у s У; <у, р ~ О для любого /^ ЕУ

Проверить, что утверящеии? прсды,т щей зз//'чп равносильно ВЬ",: ТО [7ОJ [ЦЮ

ВШсШША*).

Дошиа; в, тю в обозначениях задач 17.1 и 17.2

ЖсШ*).

Щсгь г/^ШЛ). Пользуясь с ищет г. нем 1 теоремы 12.1, доказать, что пайдется такое ф0 е ДХЛ^), что <у», ф^ + 0,

Вывести из задач 17.3 и 17.4, что ША) =--LA4J*), Сравнить с задачей 14.7. '

Проверить, что ША) = У, т. е. что уравнение Ах = у разрешимо для всех у из плотного в У линейного многообразия, тогда и только тогда, когда дефектное число оператора А равно пулю.

Доказать, что для нормальной разрешимости оператора А необходимо и достаточно, чтобы выполнялось равенство ША) = ША), т. е. чтобы область значений оператора А была замкнута.

Пусть А нормально разрешим и имеет пулевое дефектное число. Проверпть, что уравнение Ах = у имеет хотя бы одно решение для любого у s У, т. е. что ША) = = У.

Пусть для оператора А его область значений 7?(Л) конечномерна. Следует ли отсюда, что А нормально разрешим?

Доказать, что оператор Ае<№, Е") является пётеровым оператором индекса к — т.

Доказать, что.оператор А е 2ЧЕ\ ЕА) является фредгольмовым оператором.

Пусть АеШЕ\ Ет), Be^lE*1, Е*). Доказать, что х^АВ) = % (Л) + х^У

Доказать, что если оператор Ле!Ш, У) непрерывно обратим, то он фредгольмов.

Рассмотрим оператор A: к~*Е, определяемый равенством Ах = (ад, т3, ...) для х = tx^ х;, ...) s Z2.

Найти оператор Л*.

Доказать, что операторы А и А* пёгеровы и найти их индексы.

7 В. А Треногий и др.97

Доказать, что при к s N операторы Л* и (Л*)* нб- теровы и найти их индексы,

Пусть Л — нётеров оператор. Проворить справедливость следующих утверждении (теорем Нетера):

или уравнение Ах = у имеет хотя бы одно решение при любой правой части у, или уравнение Л*ф = 0 имеет нетривиальное решение;

каждое из уравнений Ах = 0 и Л*г|1 = 0 имеет ко* нечномерное подпространство решений;

если уравнение Л*4* = 0имеет нетривиальные решения, то уравнение Ах = у имеет хотя бы одно решение для тех и только тех правых частей у, которые ортогональны любому решению уравнения Л*х|? —0.

Пусть А — фредгольмов оператор. Проверить справедливость следующих утверждений (теорем Фредгольма):

или уравнение Ах = у имеет единственное решение при любой правой части у, или уравнение Ах = 0 имеет нетривиальные решения;

уравнения Лт = 0 и Л*\|; = 0 или оба имеют только тривиальные решения, или оба имеют одинаковое число линейно независимых решений;

если число нулей оператора А не равно нулю, то уравнение Ах = у имеет решения для те^ и только тех у, которые ортогональны любым решениям уравнения Л*1р = 0.

Пусть оператор А вполне непрерывен и его область значений R(Я) бесконечномерна. Будет ли А нормально разрешим?

Пусть оператор Т е оШ (т. е. вполне непрерывен). Доказать, что оператор A=I — Т фредгольмов,

Будет ли оператор A; L2[0, 1] Л2[0, 1],

t

Ах (i) =; [ X (s) dsо

нормально разрешим?

Пусть оператор А: XУ замкнут и существует такое m > 0, что для любого x^D(A) выполняется неравенство M^ll mkil. Доказать, что А нормально разрешим.

Пусть {(pil^i—линейно независимая система элементов в банаховом пространстве X. Доказать, что в сопряженном пространстве X* существует такая система

элементов {у;}^1, ЧТО

., n).., n).1 при I = /,

., n).

., n).

<‘Ь-Y>>= |0 прп t^h (<J = 1,2,

(Системы {cpi}^! и {уД£=1 называются биортогонадъны- wMii.) Доказать, что система {Yj}^i также линейно неза- впеппа.

Пусть системы {(pi}?=i s X, {уД>1 s X* биор- тогональны. Рассмотрим оператор Р: X-*Xt

Рх = 2 <^, ?.> Vi.4=1

Доказать, что P^9?UCl

Используя задачи 8.35, 8.36, доказать, что Р является оператором проектирования в X.

Проверить, что оператор Р порождает разложение пространства X в прямую сумму подпространств

х = хлх_П1

где X4 = RIP\ X.-^Rkl-PL

Пусть {фД?=1— линейно независимая система в пространстве У*, сопряженном к банахову пространству У. Введем подпространства в У и в У*:

У = {уаУ: <у, хр< > = О, < = 1, 2, ,.., п},

у-1" = (/г У*: <у, /) = 0 для любого у s У}.

Доказать, что существует ровно п линейно независимых элементов у<^Р (i=l, 2, ,и) и такие элементы Де е У* (t = l, 2, .и), что системы {vjw и VhVi-i биор- тогональны.

,17.24. Пусть {^j}7=i — линейно независимая система в банаховом пространстве У*, сопряженном к банахову пространству У. Доказать, что:

в пространстве У существует такая линейно независимая система элементов {зД7^!, что системы {^Л?=1' {зД^=1биортогональвы;

оператор Q: У -^ У, определяемый формулой

Qy = 2 <У, 4i> zi

ограничен, является оператором проектирования и У и порол,дает ра поженю ирхц. ' । ia Y г- пряча > ому подпространств Y = У” * I-'"", где l" = /i(()), 1 = RU — QY

Пусть снег ил (<,.}? д^ V, {*,,}/ j т=-V, а также системы (хКиеЛ 1 {^i}l 1 ~ ^ биорюгочальны. Образуем конечномерный оператор А': X -> },

AV = 5 <z, y^z^

Доказать, что

где черта означает комплексное сопряжение в случае комплексных пространств X, У.

Проверить, что Адл = с, KY^^^i U = 1, 2, ..., uY

Пусть оператор Л: X-- Y фредгольмов с числом нулей м>0. Пусть {gjKi^X, {^Д^гУ* — базисы соответственно в АХЛ) и АХЛ*), а {",',/”^1^ X’*, {zj^e е У — биортогональные к ним системы. Образуем оператор Л = АЛК, где оператор К определен в предыдущей задаче. Доказать, что операторы Д и (Л)? имеют пулевые числа пулей.

В условиях предыдущей задачи доказать, что иш = у.

Проверить, что в условиях задачи 17.26 оператор Л непрерывно обратим (это утверждение называется леммой ШмидтаХ

Проверить, что в условиях задачи 17 26:

справед 'Пвы прямые разложения задач 17.22, 17.21, причем Х„ = АХЛ), У°°”п = R(A);

А =Л па D(A) и оператор А отображает Х„-п П ПУ(Л) па У"-" взаимно однозначно;

Л отображает Х„ на У” взаимно однозначно.

Доказать, что еелп оператор А фредгольмов, то он представим в виде А = В + Р, где В непрерывно обратим, а область значений R^P) конечномерна.

Доказать, что если оператор А фредгольмов, то он представим в виде А = С + Т, где С непрерывно обратим, а Т вполне непрерывен.

Пусть оператор С непрерывно обратим, а оператор Т вполне непрерывен. Доказать, что оператор Л =■ = С + Т фредгольмов.

100

33. Прсгюрнп., что дит фре ;r > шмовопи оператора Л^2ЧА, 1) пеоилодимо и достаточно выполнения каждого из следующих, ус ювий:

оператор представим в виде А = В + Р, где Be е$кХ, У) в непрерывно обратим, а Ре^^Х, У) п R<P) конечномерна;

оператор представим в виде А = С + Т, где С ез е£ЧА', У) и непрерывно обратим, а Те$а, У) вполне непрерывен.

. Пусгь АеЗХХ, У), RIA) замкнута и существует такая система элементов {у ДД 1 с: У, что любой у ее eY едпштне ,,1ыч образом представим в виде У = — 2 KlR + 2, где /„sl^ zeRU). Доказать, что де- фектпое число оператора А равно п.

а. Пусть Н — комплексное гильбертово пространство, A <= 2UD — вечеров оператор и у г Н. Пусть существует такое число г>0, что оператор В; НН, Вх = = ггАА х — (z, у) у является неотрицательным, Доказать, что:

уравнение Ах = у разрешимо, т. е. уеВ(А);

уравнение AA^j^y разрешимо;

элемент x = A*'j, где / — решение уравнения AA*j = y, не зависит от / и является наименьшим по норме решением уравнения Ах == у\

если число нулей оператора А не равно пулю, то система Ах = у, = г рагрошима.

Глава 5

САМОСОПРЯЖЕННЫЕ ОПЕРАТОРЫ.

СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ

Самосопряженные операторы

Пусть // — комплексное гильбертово пространство. Оператор Ае$\Н) называется самосопряженным, если Л* = А, т. е. для любых х, у ^ Н выполняется равенство (Ах, у) = (х, А у). Множество всех самосопряженных операторов из $(11) обозначается 6(H).

Теорема 18.1. Если A, Be 6(H), а, £ е R, го аА+ + pSs6(//).

Теорема 18.2. Пусть А, Be 6(H). Оператор АВ самосопряжен тогда и только тогда, когда АВ = ВА.

Теорема 18.3. Если A s 6(H) то ПАП = sup I (Ах, х) |.

И х fl 1 .

Оператор А е 6(H) называют неотрицательным и записывают А О, если (Ах, х) О для любого х Н. Для операторов А, Be 6(H) запись А^В или В^А означает, что А — В > 0.

Теорема 18.4. Пусть Р — оператор проектирования в гильбертовом пространстве Н на подпространство М. Тогда:

Ре$(Н), причем СРП = 1, если М^О;

Рг = Р;

Реб(Н);

Р 0;

хеМ тогда и только тогда, когда ИРхИ = Пх11;

(Рх, х) ^ llxll2 для любого хе Н.

Теорема 18.5. Пусть А 6(H), А2 = А. Тогда А есть проектор на некоторое подпространство МеН.

Теорема 18.6. Каждый неотрицательный оператор А е 6(H) имеет единственный так называемый квадратный корень У А е 6(H) такой, что (УА)2 = А и УА > 0. При этом У А перестановочен с оператором Се$(Н) тогда и только тогда, когда С перестановочен с zl.

Для А е 6(H) введем следующие обозначения:

\А\^/^; А- = АПАНА}; А~^А{\А\-А},

где VvP — неотрицательный квадратный корень из оператора Л1.

Доказать, что Л: Z2 -> /2, Лг = (11х1, ?.2т2, ...) для х=кх^ х2, .Jel2, где ZkER (teN), sup |XJ < <», есть самосопряженный оператор. При каком условии на последовательность Хк он будет неотрицательным?

Доказать, что оператор Л: La[0, 11->А2[0, 11, ЛяМ = tx(t) есть неотрицательный самосопряженный оператор.

Доказать, что оператор Л: £а[0, 1] -* La(0, 1], Ax(t) = У e^fx(s) ds

есть самосопряженный неотрицательный.

Пусть heR, h ^ 0 фиксировано. Доказать, что разностный оператор Л: Z>2(—oo, «Л-> Z-2(—«>, »),

^ (г) = А^ (г) = А

^ (г) = А

^ (г) = А

является самосопряженным.

Пусть Л, Ве2(Ю, Ае6Ш\ Доказать, что В*АВ^6(Н).

Пусть Леб(Я). Доказать, что:

Ы || = sup |(Ar, z)|;

ЦЛЦ= sup ПЛт,у)|.

М-1.1Ы1-1

Пусть Н — комплексное гильбертово пространство, А^$(Н) и для любого х^Н число (Лт, г) вещественно. Доказать, что А е 6(H).

Пусть А е 6(H). Будет ли замкнутым на вещественной прямой множество (Лг, х), если х^Н, ILrll = 1?

Пусть А е ^(Н) и (Ах, х) = 0 для любого х^ Н. Доказать, что Л = 0. Верно ли это утверждение для ограниченного линейного оператора, рассматриваемого в вещественном гильбертовом пространстве?

Пусть Л е 6(H), хп^ Н (п е N), хп -^ х (п-* оо). Доказать, что (Ахп, хп)^-(Ах, х) (п^^). Существенно ли, что Л е 6(H)?

Является ли подпространством в гильбертовом пространстве И множество N = (х е Н: (Лт, х) = 0), если:

А е 6(H);

А г 6(H), А >0?

Пусть Л е ^(Н). Доказать, что:

?ЧЛ +"Л*) е 6(Я) для любого /. s R;

Л представим в виде А = Л, + гЛ 2, где Л,, Л2 е 6(77).

Может лп область значений самосопряженного оператора быть незамкнутой?

Пусть Л е 6(77), ЛЧЛ) = 0. Доказать, что П(А) =

Пусть А е 5(H). Доказать, что Ч1Ч = МП’.

Пусть АпеШ1) (n е N) и при п ^ ®о сильно сходится к оператору Л. Доказать, что А г 6(H).

П^сгь Апе6(Н) OzeN), Лп ^ 0 п при п сильно сходится к оператору А. Доказать, что Л ?= 0.

Пусть Л е 6(77). Доказать, что если для некоторого .г е 77 Ах 4 0, то А* х 4 0 для любого натгрального /г.

Пусть Л г 5(7/).

Доказать, что для любого хе II п любого натурального п>1 выполняется неравенство 114 "^Н2 ^ IL4n_1;d! X ХИЛ "+VI.

Пусть х е 77, .т^ЛЧЛ). Доказать, что последовательность

сходится.

Пусть Ле 6(77), Л > 0. Доказать, чго следующие утверждения эквивалентны:

7?(Л) всюду плотна в Н;

ЛЧЛ) = 0;

(Ла-, х) > 0 для любого хе Н, х 4 0.

Пусть Ре$(Н), Рг = Р. Доказать, чю следующие утверждения эквивалентны:

Ре 5(H);

РР* = Р*Р;

R(P) = (N(P))\

(Рх, х) = HPxll2 для любого х е Н.

Пусть AeS’dl). Доказать, что ЛЛ* и А*А — неотрицательные самосопряженные операторы.

Пусть А, В г 6(H) и Л ^ 0. Доказать, что В АВ 5= ^0.

Пусть A, Be 5(H), А > В, Се^Ш). Доказать, что С*AC, С*ВС е 5(H) и (’*АС 5s С*ВС.

Пусть Л, В е 6(H) п выполняются неравенства Л ^ В и В > А. Доказать, что А = В.

Миллю hi njio любые два Ohcparopa Я, В e: 6(7/) упюра. 'ill,, 'iio ,i во J B, .11160 BAA?

UycJb A*—b4i\ Л > 0. Доказать, чго для любого х^Н выполчее юл серавспсiво LLtV =5 НЛ"(Л.г, ж).

При, A^cUl\ О Л _/./, где X е Н. Доказать, что 'Л ч /..

Ищи, ДаоиВ и непрерывно обратим. Доказать, чю Л 1 е= bUn.

Пусть ЛебД/), А > 0 и А непрерывно обратим. Доказать, чю А-1 > 0.

Ifjcib Л е б(//), X g С, Im/. 0, Доказать, что оператор (Л— л/ю1 стщещвуег.

Пусть Ае£ЧП). Доказать, что оператор (Z+ -ПИЛ*)-1 существует.

Пусть А е 6(11), А > 0. Доказать, что оператор (7 +Л)"1 существует.

Пусть 4^6(1/), 4^0. Доказать, что для любого Х>0 оператор А + XI непрерывно обратим.

Доказан,, чго оператор 4е2”(Я) непрерывно обратим тогда и только тогда, когда существуют такие a, р G R, а > О, ^ > О, чго ЛЛ* И o.I, А*А > р/.

Пусть А, Be 6(11), 0 < I И А ^ В. Доказать, что А, В непрерывно обратимы и В-' ^Л-1.

Пусть А, Be 6(11), Л > О, S ^ 0 п АВ = ВА. Доказать, что А В > 0.

Пусть А, В, Се 6(11), А>В, САО, АС = СА, ВС = СВ. Доказать, чго АС "5= ВС.

Рассмотрим оператор А; 12-*1г, Ах = (0, 0, х3, х4, ...) для х =_Сг1, Х-, х3, ...) е В. Доказать, что А е 6(/2), Л > 0. Н linn 1 А.

Пусть A g ьЧ1\ Л S3 0. Доказать, что НУЛИ =

В пространстве F? оператор А переводит ж =

/н\р1-з3тД

= К в Ах = 9 г_ • Доказать, что A s 5(£2) п

\ 2/vzij. oz2/

что Л S’ 0. Найти У Л.

Пусть А, В, Cs 6(H), А 5= О, В2 = С2 = А. Доказать, чго ВС = СВ.

Для операторов задач 18.1, 18.2 найш операторы |Л I, А+, А~.

Доьачиь, чю для Ai ебНП:

' а) Л+Л- = ЛюН-0;

!Л1 > О, L11 =0 ю>да н гоп-но тогда, когда Л = 0;

|л;2 = л-’;

если Л- = О, то Л = Л+ = |Л |;

если А + = 0, то А = — Л" = — IА I.

Доказать, что для А е bUD норма оператора |Л| равна норме оператора Л.

Пусть AeWii, Л ^ 0. Доказать, что |Л|=Л.

Пусть еа (п s N) — ортонормированный базис в Н. Определим оператор А; Н^Н равенствами Ле1 = 0, Аеп = e^-Jn при п > 1. Доказать, что:

Ае^^Ю и вполне непрерывен;

не существует оператора B^SAJi} такого, что В2=Л.

Пусть Ае2ЧВ). Доказать, что существует и единствен оператор ВеЬШ), такой, что В > 0, и для любого х е Н выполняется равенство 11Лж11 = UBxli.

Пусть А: Н-► И — такой линейный оператор с О(Л) = Н, что для любых х, у ^Н выполняется равенство (Ах, у) = (х, Ау). Доказать, что Л — ограниченный оператор и, следовательно, А г Ь(Н).

Пусть Ае$(Н), АА* = А*А (оператор, перестановочный со своим сопряженным, называется норлимь- ныл). Доказать, что:

НЛя:11 = IIЛ.*ж11 для любого х е Н\

В(Л)=ЛЧЛ*) = (Я(Л)Н;

IIА2II =11A IP;

если Л2 = Л, то А е 6(77);

если Л2 = 0, то А = 0.

Пусть Ae^VH)— нормальный оператор, причем А-1е.2‘ШВ Доказать, что Л-1 — нормальный оператор.

Пусть А^$Ш\ и., ^ е С, Ы = 1,51 = 1. Доказать, что оператор аА + рЛ* — нормальный.

Пусть А„, А е ЗАН) — нормальные операторы (neN) и ЛЛ->Л при п ^-оо сильно. Доказать, что Ап-> А* при И ОО СИЛЬНО.

Пусть Ле 6(B), Л^О и вполне непрерывен. Доказать, что УЛ вполне непрерывен.

Пусть А, В ^ Ь(Н), О^А^В и В — вполне непрерывный оператор. Доказать, что А — вполне непрерывный оператор.

Пусть оператор U определен всюду в комплексном гильбертовом пространстве Н и отображает его на все Н. Он называется унитарным, если для любых х, у^Н выполняется равенство (Ux, Uy) = (х, у). Доказать, что:

унитарный оператор линеен и ограничен;

унитарный оператор имеет обратный, который также унитарен;

106

произведение двух унитарных операторов есть унитарный оператор;

линеипый изометрический оператор, заданный на всем // и отображающий ею на все И, есть унитарный оператор;

оператор UNSAID является унитарным тогда и только тогда, когда I * = L"1.

Пусть Л е 247/) и непрерывно обратим, В =

= }!А*А^

Доказать, что В г 6(11), 8^0 и непрерывно обратим.

Положим U — AB-', так что справедливо представление A^UB, которое называется полярным разложением. Доказать, что U — унитарный оператор.

Спектр линейного оператора

Пусть X — комплексное банахово пространство, А: X -* -*■ X — линейный оператор с областью определения D(A), плотной в X, X — комплексное число.

Точка X называется регулярной точной оператора А, если оператор А — Xi непрерывно обратим. Совокупность регулярных точек оператора А называется резольвентным множеством оператора Л и обозначается р(Л). Если Хе ер(Л), то ограниченный линейный оператор /?Д4) = = (А —кН-1 называется резольвентой оператора А. До-

иолнение к множеству р(Л) в комплексной плоскости называется спектром оператора А и обозначается о(Л).

Теорема 19.1. Спектр оператора АеЗЧХ) есть замкнутое .множество, лежащее в круге |Х| < ПЛИ.

TiTiЧисло к е С называется собственным значением опера- ора А, если существует такой элемент xeD(A), х * О, что Ах = кх. При этом х называется собственным вектором оператора А, соответствующим собственному значению X. Всякое собственное значение оператора А является точкой его спектра, при этом оператор Л — XI не обратим.

Ti

Ti

Теорема 19.2. Пусть ЛеЗсХ). где X—банахово пространство. Тогда существует конечный предел

rU4) = hmBT\

называемый спектральным радиусом оператора А. При этом

infHT = M-4)<lW

п>1

Теорема 19.3. Пусть- .4 е 2"LV), где Х—бошиово пространство. Если 1X1 >г0(Л), то XepU).

Оператор-функция ЛО.) называется аполитической в точке Хо, если она разлагается в пеьочорой окрестное™ точки X в степенной ряд

Л(Х) = 2 Л,(Х-ХОД

сходящийся по норме 2НХ) в этой окрестности.

Теорема 19.4. RxlA) — аналитическая функция X в любой точке Х^р(Л). Если Л<=2?ЕХА, то при 0.1 > г„(Л) —

^.(-1) = - 2 х-п-1лп.

Теорема 19.5. Если Ае2®, где X — банахово пространство, то п(Л) — непустое .множество.

Пусть А: X X — линейный оператор и опер той Л~‘ существует. Доказать, что А и А~' имеют од ч и те же собственные векторы.

Может ли оператор Ае$®, удовлетворлгит,.'. условию Л2 = 0, иметь ненулевые собственные значенна.’

Пусть Ае$^Х) и оператор Л2 имеет собственный вектор. Доказать, что А имеет собственный вектор.

В вещественном линейном пространстве С[—л, л] найти собственные значения п собственные векторы оператора:

AxU) = x(—t);

Л

Ах (Г) = f cos(s 4- t^x^ds. — Л

В вещественном линейном пространстве 610, л] найти собственные значения и собственные векторы опе- ратопа Л.г(П = dX/dP, если:

П(Л) = к(1)еС[0, лк ж"еС[0, л), а;(0)=^(л) = = 0);

D(A) = {хП) е 640, л!: х" <= (ЛО, л!, х ИХ = х'ХР = = 0);

DC4) = № ^ СЕО, л];я"еС[0, л1, ж(0)-т(л), ar'(O) = z'(n)}.

Пусть А^З^Х^, где X — банахово пространство. Доказать, что при 1Х|>га(Л) выполняется неравенство 1Н?ДЛ)Н (|Х| -НЛ1’)-*.

108

Доказать, что оператор и его резольвента перестановочны.

Доказать, что если X, цер(Л), то

ЯДЛ) -ЯДЛ) = (Х-ц)/?ДЛ)/?ДЛ) = (X- р)Яри)Ях(Л).

Пусть Л, Bs2’(X)| Хер(Л)Пр(В). Доказать, что

Дх(Л) - RAB) =RMKB- А№.

Пусть операторы Л, В определены па всем X. Доказать, что для того чтобы Л и В были перестановочны, необходимо, чтобы В был перестановочен с R>AA) для любого Х^р(Л), п достаточно, чтобы В и Вл(Л) были перестановочны хотя бы для одного Х®р(Л).

Пусть А,Ве2ф, Хер(Л), VB — AW <НДДЛ)1Н Доказать, что Х^р(В) и

В^В) = В, (Л) 2 [(Л-В)Вх№

11—0

Пусть А^АА), Хер(Л) и цеС таково, что |р| < 1.ЙДЛД”1. Доказать, что X— цер(Л),

Пусть Ае^®, Может ли оператор RAA) быть вполне непрерывным?

В пространстве СЕО, 1] рассмотрим оператор Лх(Г) = txU). Доказать, что о(Л) = [0, 1], причем пи одна точка спектра не является собственным значением.

В пространстве СЕО, 2л] рассмотрим оператор Л.гШ = e^xU). Доказать, что*о(Л) = {X е С: 1X1 = 1).

В пространстве СЕО, 1] рассмотрим оператор Лз:Ш = .гчО) + tad), Найти а(Л), га(Л), 7?Л(Л).

Пусть М — ненулевое подпространство гильбертова пространства А. Найти спектр оператора Р ортогональною проектирования па .V. Выразить через Р резольвенту RAP).

В пространстве СЕО, 11 рассмотрим оператор

Лх({) = ^ х (т) dt.

о

Найти о(Л), Rx^A).

Пусть еп (н е N) — ортонормировапный базис в гильбертовом пространстве В. Определим оператор Л: ВВ равенствами Ле, = 0, Aekll = ek (XeN).

Доказать, что Лк^кИк

Найти оператор А*.

Доказать, что о(Л) = О.еС: |Xl < 1), причем внутренность круга состоит из собственных значений Л.

Доказать, что аМ*) = ().еС: IXl С 1), причем Л* не имеет собственных значений.

Рассмотрим оператор Л: ?2 Лх^Х^, Х2х1, ...) для х = (ж!, х4, ...A^Y, где Х„ е С (пеХ), sup [Xj <оо. Найти о(Л).

Я

Доказать, что любое бикомпактное множество на комплексной плоскости является спектром некоторого оператора Ле^ПД.

В пространстве (ЛО, 11 рассмотрим AxW =dx/dt. Доказать, что:

о(Л) пусто, если

ПШ = UU) е С[0, 1J: ж' е CIO, 1), х(0) = 0};

о(Л) состоит из одних собственных значений, заполняющих всю комплексную плоскость, если

DU)“{x«)eC[0, 11: х'аСЮ, 11);

б(Л) состоит из собственных значений 2л(/г (п = ■» 0, ± 1, th 2, .,.), если

/)(Л) = Lr(O е С(0, 1J: х' е 0(0, 1], х(0) = х(1)}.

Пусть A, BeSAXY Доказать, что ненулевые элементы о(ЛВ) и а(5Л) совпадают.

Пусть A eg(X), Хе С и существует такая последовательность хп е X (п е N), что Ikr JI = 1 и Лх„ — Хх„ -> -* 0. Доказать, что X е а(Л).

Пусть Ае$АХ\ Хео(Л). Доказать, что Хп е еа(Л") при любом натуральном п.

Пусть АеЗЧХ) и непрерывно обратим. Доказать, Что если Хео(Л'‘), то Х’‘ео(Л) и обратно, если р,®а(Л), то ц“'®о(Л-1).

Пусть И— гильбертово пространство, Ae$UD и явЛЙё^рЯ нормальным, т. е. удовлетворяет условию ЛЛ*=Д*Л. Доказать, что если го(Л) = 0, то Л = 0.

Пусть Н — гильбертово пространство, A e$^HY Доказать, что операторы А А* и А* А имеют одинаковые ненулевые собственные значения.

Рассмотрим оператор A: L2[a, ЬА -> L^a, b],Ах (s) = J К (s, t) х ^Ц dt,

где K(s, t) непрерывна в треугольнике а «< £ ^ s, а ^ s ^ Ь. Доказать, что ro(z4) = 0. Будет ли Л = 0 собственным значением оператора Л?

Доказать, что для самосопряженного оператора в гильбертовом пространстве гй(А) = 1L4H.

Пусть Ае2(Х), где X — банахово пространство. Доказать, что на окружности 1X1 = г0(А) имеется хотя бы одна точка из о(Л).

Пусть A, ВеЗЧХ), где X — банахово пространство, АВ = ВА. Доказать, что

гМ + 5) ^ г„Ш + г0(В), гЛАВА ^ г0(Л)г„(5),

Пусть Н — гильбертово пространство, Ае е$^Ю. Доказать, что о(П*) = о(А) (черта означает комплексное сопряжение).

Спектр вполне непрерывного и самосопряженного оператора

Теорема 20.1. Пусть X — комплексное банахово пространство, A eo(.Y) Тогда спектр А состоит не более чем из счетного множества собственных значений, единственной предельной точкой которых может служить лишь точка X = 0. Если X бесконечномерно, то 0ео(4). Собственное подпространство А, соответствующее собственному значению XV=0, конечномерно.

Теорема 20.2. Пусть А — вполне непрерывный самосопряженный оператор в комплексном гильбертовом пространстве Н. Тогда-.

если А * 0, то А имеет по крайней мере одно собственное значение, отличное от нуля-,

все собственные значения А вещественны и расположены на отрезке [т, МА, где

m = inf (Ах, х), М = sup (Ах, я);

1М=1ПхЦ=1

если M^Q, то М является наибольшим собственным значением А, если m ^ 0, то пг является наименьшим собственным значением А.

Теорема 20.3. Если А — вполне непрерывный самосопряженный оператор в комплексном гильбертовом пространстве Н, то при любом х^Н элемент Ах разлагается в сходящийся ряд Фурье по ортонормированной системе собственных векторов zl.

HI

Теорема 20.4. Если Л — впп.ше непрерывней самосопряженный оператор в сагараоельном ки.чплексно.н гильбертовом пространстве II, то в II существует орто- иормированный базис из соба сенных векторов оператора Л.

Доказать, что оператор Л: Д -► L, Лх = (0, х„ xj*!., a*j3, ...) для х = Lt,, .т2, ...)■—О вполне непрерывен и найти его спектр.

Доказать, что оператор Л: L,V—1, 11 —Z-Д —1, 1],

Ах (Д =-- f s4x ^ dt

вполне непрерывен, и найти его спектр.

Доказать, что оператор A; Z>2[0, 11 -* LJO, 11,

Ах (s) = ^ st (1 — st) х (t) dtо

вполне непрерывен, и пайтп его спектр.

IIусть Л е о(Х), где X — банахово пространство и Z ¥• 0. Доказать, что /ДЛ — М) замкнуто в X.

Доказать, что собственные векторы самосопряженного оператора, соответствующие различным собственным значениям, ортогональны.

Доказать, что собственные векторы нормального оператора в гильбертовом пространстве (см. задачу 18.50), соответствующие различным собственным значениям, ор- тогочальпы.

/{оказать, что откра^ор Л: AjO, D-► LJO, 11, Ax'd-) =txU) самосопряжен, и найти его спектр.

Доказать, что спектр самосопряженного оператора веществен и лежит на отрезке [?н, ЛЛ.

Доказать, что самосопряженный оператор является неотрицательным тогда п только тогда, когда для любого 1. ^о(Л) выполняется неравенство X >0.

Пусть Л — самосопряженный оператор в Н и Z но ягтягтся его собственным значением. Доказать, что ТыЛ - )/) всюду плотна в 11.

2G.iL Пусть Л — самоезнря'лжппып оператор в II и PAA — "i.X —II. Докйза1ь, что /.ер(Л).

Пусть Л — самотюрря .vemn.iil оператор в /7 и /. л р(.1) — вгще''тве;шоо число. Доказать, что резоль- гс.ла РчКЛ^ — самосонрнженпып оператор.

112

Пусть А — самосопряженный оператор в II и Хер(Д), ЬнХ^О. Доказать, что 17ДС4)11 13 | ImXr*.

Пусть Д — вполне непрерывный оператор в комплексном банаховом пространстве X. Может ли собственное подпространство А, соответствующее собственному значению X = 0, быть бесконечномерным?

Пусть вполне непрерывный самосопряженный оператор А в бесконечномерном гильбертовом пространстве Н имеет конечное множество собственных значений. Доказать, что X = 0 — собственное значение оператора А.

Пусть еп Мг е N) — ортонормированный базис гильбертова пространства //, XneR, Хп -* 0, А; Н-* II — такой линейный оператор, что для любого х^Н справедливо разложение в ряд Фурье

П=1

Доказать, что А — вполне непрерывный самосопряженный оператор.

Рассмотрим оператор Д: £Д0, 11 -> i2f0, 11,

1

Ах (t) = | К (t, s) х (s) ds, о где

р(1-5) при 0<?<з<1,

V U (1 — 0 при O^s^i^l. ,

Доказать, что А —вполне непрерывный самосопряженный оператор, и найти собственные значения и собственные векторы А.

Пусть А — самосопряженный оператор в сепарабельном гильбертовом пространстве II, спектр которого состоит из собственных значений Х = 0 и Х = 1. Доказать, что А — оператор ортогонального проектирования.

Пусть Д — вполне непрерывный оператор в сепарабельном гильбертовом пространстве Н.

Доказать, что Д*Д — вполне непрерывный самосопряженный оператор.

Доказать, что ь представлении

^Дг-ЗнДл м?и,

вытекающем из теоремы 20.3, все ро > 0.

8 В. А Треногин и др.Г13

Пусть Xn = VHn* en = Д Ahn. Доказать, что еп

ортонормированная система и для любого х^Н справедливо представление

Ах = 2 ^П (^) ^Т^ ^П

(при этом Хи называются сингулярными числами оператора Л).

Пусть А — вполне непрерывный самосопряжен

ный оператор в сепарабельном гильбертовом пространстве Н, Аа (к е N) — ортонормированный базис, составленный из собственных векторов оператора А с собственными значениями Хк1 f^H, Х^С, Доказать, что решение уравнения (Л — ХПх = /:

имеет вид

п 71

если X отлично от всех собственных значений Хп;

при X = Xj = Xj-h = ... = Xj+u-i существует тогда и только тогда, когда (/, h^O—O для к = 0, 1, ..., п — 1, и в этом случае решение имеет вид

причем в пропущены слагаемые с номерами /, /+!,.., ..., ] + п — 1, а Со, Сп ..., Cn-i — произвольные постоянные.

Линейные интегральные уравнения

Интегральным уравнением Фредгольма 2-го рода называется уравнение вида ь

x^-X^K^JVWdt^f^,(1)

а

где Н$) — неизвестная функция, KU, С, /($) —известные функции, X — числовой параметр. Относительно функции KU^ t), называемой ядром уравнения (1), предполагается, что b ь

^ К2 (s, t) ds dt < oo, с а

Если KAs, t)—О при t>s, то уравнение (1) принимает вид

х (s) — X j К (s, 0 х (f) dt — (s)(2)

а

и называется уравнением Вольтерра 2-го рода.

Если ядро уравнения (1) является вырожденным, т. е. имеет вид

где функции hU\ gAt) для f = 1, 2, ..., п непрерывны и линейно независимы, то (1) можно записать в виде

пa:(S) = /(S) + xS С<Л(з),{=1

и неизвестные Ct (/ = 1, 2, ..., п) определяются из системы линейных алгебраических уравнений.

Введем интегральный оператор Фредгольма

ъ

Ах == К (s, J) х (t) di;а

если ядро K(s, i) и функция /($) непрерывны, то А: С[а, Ы CLa, Ы, в общем случае, если fU) е L^a, Ь], то А: L2[a, Ы -> Л2[щ Ы. Тогда уравнение (1) принимает вид

x — XAx = f,(3)

а сопряженное к нему в пространстве Lala, Ы имеет вид

у-ХА*и = ср1(4)

и так как оператор А вполне непрерывен, то применимы теоремы Фредгольма 16.6 — 16.8.

Если для некоторого X Ф 0 однородное уравнение ъ

х (s-) — X J К (s, i) х (£) dt = Оа

имеет ненулевое решение xQ(s) е L2la, Ь], то X называется характеристическим числом ядра (уравнения), z0(s) — собственной функцией ядра (уравнения), а максимальное число линейно независимых собственных функций, отвечающих характеристическому числу X, называется кратностью этого числа.

8*115

Если ядро KU, Т) в (1) симмецш'пгщ то сральиыГг оператор Фредгольма не только вполне непрерывен, но и самосопряжен. Если 2. — характеристическое число, то 1/2. — собственное значение оператора /1, если р + 0 — собствеиноэ значение оператора Л, то 2. = 1/р — характеристическое число. Поэюму применимы теоремы 20.1— 20.4.

Уравнения а 8 ^килм^-т R а

при тех же предположениях, что и в (1), (2\ иазываютсп соответственно уравнениями Фредгп ” на и Исльтцло 1-го рода.

Согласно теоремам 16.9, 16.10 при заданной /(з) £• eLtVa, Ы уравнение (5) может не иметь решения, а если это решение и существует, то в силу неограниченности оператора Л-1 па RkA^ решения уравнения (5) с близкими по норме L2Va, 6] правыми частями могут быть далеки друг от друга. Таким образом, задача (5) является некорректной. В то же время задача (1) корректна — если (/ —2.Л)-1 существует, то он ограничен. Метод регулярнейший [24] позволяет свести некорректную задачу (5) к корректной (1). Для случая feR(A) он основан на следующих утверждениях.

Теорема 21.1. Пусть А е 2?ЦМ — вполне непрерывный оператор. Тогда для любой ^ г II и любого значения параметра регуляризации а >0 существует единственное решение ха е И, на котором реализуется

inf (ИЛж — fc + а1Ыг}. х = Н

При этом ха является решением уравнения 2-го рода ах + А* Ах = Л*/.(7)

Теорема 21.2. Пусть ха — решение уравнения (7), ^eRkA\ Тогда при а->-0 величина И4.га — jA монотонно убывает и стремится к нулю.

В пространстве CVa, Я найти решение интегрального уравнения

ж(з)-Х f KU, t)x^ dt = /(s),

если

а = —л/4, Ъ = л/'i, KU, t) = tg t, fU~) ^ 1;

a= 0,b =лу2, Kas, 1) = sin sens t. f(s) = sin s;

a= (l,6 =л, KU. /) = sin s cos t, /(s) = sin s;

r)a= 0,b =I, KU, К s H — 2st, /(s) = s + s2;

a= —1, b-= J, IUs. Z) =- .sZ — s’d, /is) = s2 В s4;

a = 0, b = 2л, KU, К = 1л — t\ sin s, fU) = s;

ж)а = 0, b = л, KU, /) = sin t + t cos s, /(s) = 1 — 2s/n;

<7 — 0, b = л, KU, t) = sin (s — 20, /(s) = cos 2s.

В пространство CU, 61 найти характеристические числа Z, и собственные функции ср, для уравнения

6

.г (s) - X f К (s, t) х (t) dt = 0,

если:

я = 0,b = 2л,KU,0= sin (s + i);

a = 0,b = л, ’KU,0= cos (s + 0;

a = 0,6=1,KU,0= 1st — 4s2;

я = —1,b = 1,KU,-t)= st + s4\

В пространстве CIO, л] найти характеристические числа и себсюеипые функции для уравнения

Л

к (s) — X А" (к 0 х (f) dt = 0, о если

К (s. /) = У 2^" sin ns sin nt.

В npocipanciEe C[n, 61 найти решение интегральною уравнения

6

7(8) -X \KU. с,х(^и = ш

при всех значениях параметров а, р, "р, входящих в свободный член этого уравнения, если:

а = — 1,6=1,KU,О= st, /(s) = as2 + ^s + 7;

a = 0, b= л,KU,/)= cos (s + 0, /(s) = a sin s+ p;

a = —1,6=1,KU,t)= s2 — 2st, jU) = as3 — ^s;

r) a = ~ 1,6=1,KU,t") =3s + st — SsU1, fU) = as.

Доказать, что уравнение

2 Л

x(s) — Х^ sin (s—21) x (t) dt = f(s)

0

разрешимо при любом X s С и любой /(s) е А2[0, 2л1 и найти его решение.

В пространстве С[а, Ы найти характеристические числа Х„ и собственные функции ф„ для уравнения

х (s) — X К (s, t) х (!) dt = О,

если:

р при 0^I# при 0 ^р при 0^I# при 0 ^а = 0, b = 1,

р при 0^

I# при 0 ^

р при 0^

I# при 0 ^

К (s, t) =

а = О, Ь = л/2,

К (s, t) =К (s, t) =sin s cos t sin t cos ssin s cos t sin t cos sпри 0 ^ s ^ t ^ л 2, при 0 ^ t < s < л/2;

К (s, t) =

К (s, t) =

sin s cos t sin t cos s

sin s cos t sin t cos s

a = 0, b = лг

(sin s cos t при 0 s <: t л, K(MW • ,/

(sin t cos s при 0 t s л;

a = 0, b = 1,

(t (s + 1) при 0 ^ s ^ t <^ 1,

^S’ ^ |s (t + 1) при 0 ^ t ^ s ^ 1;

a = 0,6 = 1, К (s, t) = e45-'1;

a = 0, b = 1,

K(s, t) =K(s, t) =p+ l)(<-2)|(t+ l)(s-2)p+ l)(<-2)|(t+ l)(s-2)при 0 ^ sпри 0 ^ s^t< 1,^t< 1,при 0при 0< t< t

K(s, t) =

K(s, t) =

p+ l)(<-2)

|(t+ l)(s-2)

p+ l)(<-2)

|(t+ l)(s-2)

при 0 ^ s

при 0 ^ s

^t< 1,

^t< 1,

при 0

при 0

< t

< t

Пусть X не является характеристическим числом для симметрического ядра K(s, t). Доказать, что решение уравнения

х (s) — X f К (s, t) х (t) dt = / (s)

в пространстве L2ln, 61 можно представить в виде ряда Фурье по собственным функциям ядра

k=l k

а если ядро K(s, t) непрерывно, то этот ряд сходится равномерно на [о, Ы.

Пусть X = X, = XJti = ... = X,+n-i является характеристическим числом кратности п для симметрического 118

ядра Kis, i). Доказать, что решение уравнения ъ

х (s) — к j* К (s, i) х (1) dt = / (s)a

в пространстве L^a, Ы существует тогда и только тогда, когда /(s) ортогональна всем собственным функциям ф1+)1($) (/ = 0, 1, ..., и —1), соответствующим характеристическому числу X. Если это условие выполняется, то решение данного уравнения имеет вид

я($) =W»

&h—0

где Сх (А = 1, 2, ..., п — 1) — произвольные постоянные, а в первой сумме пропущены слагаемые с номерами /, / + 1, ..., ] + п — 1.

Найти решение уравнения

1

х (s) — X J К (s, i) х (1) dt = f (s),о

в пространстве Ьг1а, Ы, если:

/(s) = s,

As, i) -As, i) -fs(i — 1) при O^s^t^l, l((s—1) при O^i^s^l;

As, i) -

As, i) -

/ (s) = cos Л5,

(s + 1) t при 0 ^ s ^ t ^ 1,

^t + 1) s при 0 ^ t ^ s ^ 1,

Рассмотрим линейное дифференциальное уравнение

^+^W^++ ап№у = Р^ (♦)

с непрерывными коэффициентами щ(О (X = 1, 2, ,.., и) и начальными условиями р(0) = с0,у'(О)=»с1, ,,,

..., г/^-ЧО) = сп_ь

Доказать, что для любой непрерывной функции ф(х) справедлива формула

X ЯЯX

dx J dx .,. J ф (,х) dx = ^ -^ J (х — l)k~\ (;) d^.

о о оо

Полагая d"y/dtn ■- хШ и используя результат предыдущего пункта, доказать, что уравнение (*) с учетом начальных условий равносильно уравнению Вольтср- ра 2-го рода

а

X(.)-\l<(^t)x(t)dt^JU), о где

f^^F (Д - Gi-i^i (Д - (сд-рь -P cfl_2) a2 (s) — .. .

* • • ~ ^Cn-1 (Д“Д) + ' ’ • + cis + соД- (,s)-

Используя преобразование Лапласа, решить уравнение

8

z(s) — j К (s — t) х (t) dt = / (.s'), о

если:

a) KU) = e~2z, /(s) = l + s;

■ б) KU) = sin z, /(s) = s;

в) KU) = 2 cos г, jU) = es;

r) KU) ^ 1, jU) — cos s.

21.12. Для интегрального уравнения ь

c(s) — | К (s, t) z(t) dt = / (s), e

где ядро KU, t) непрерывно при a ^ s, t^b, JU) s CVa, 61, рассмотрим разбиение отрезка [a, b):

— а, 52 = a +52h+i= a A- lull, п —

Тогда равенства ь

х U;<) - j' К Uk, t) х U) dt - / (sH\ /г = 1, 2, . . ., 2n + 1,

являются точными. G помошыо формулы Симпсона заменим их на приближенные

2» И

X Uк)5з ^тК Uk, Sm) X Uт) — / (S/i)> ^~ 1, 2, . . . , 2п4- 1,

где Л.-Л^ r-h^, Л ~Л1 = . . . = A = 46/3, A3- = A. = . .. = И2П_1 = 26/3. Полученная система линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных aAsm) (m = l, 2, ..., 2п + 1) может быть решена численно; в итоге получаем приближенные значения решения исходного уравнения в точках разбиения.

Составить и реализовать на ЭВМ алгоритм численного решения данного интегрального уравнения при п = 5, и = 10, п = 15 и сравнить полученные приближения,

а =0,b = 1, Kis, t) = s cos st, f(s) = 1— sin s;

a =0,b = 1, Kis, i) = s(e’( — 1), /(s) =e* — s —2;

a =0,b = л, /(s) = sin s,

sin

sinsins — ^ при 0s — ^ при 0л;л;

sin

sin

s — ^ при 0

s — ^ при 0

л;

л;

я = -1, 6=1, A4s, !) = 1,125s2 + 1,125!’-3,375s2!1- — 1,5s! — 1,875, /(s) = s;

д)а = —1,6 = 1, A(s, !)=-1,125s’-1,125!’4-

+ 3,375s2!2 + 1,5s! 4- 1,875, /(s) = s.

Пусть ядро н правая часть уравнения (б) удовлетворяют следующим условиям:

функции K(s, !), КДз, !) непрерывны в области

Kis, s) ^ 0 для всех s;

/(s) еСЧа, 6], /(0) =0.

Доказать, что уравнение (6) равносильно уравнению Вольтерра 2-го рода

' ' J k ^s, s) 1 ■ К (s, s) а

.и, следовательно, имеет в интервале [а, 6] единственное непрерывное решение.

Существует ли в классе непрерывных функций решение уравнения

о

если:

/(s) = cos s;

/(s) = sin s;

/(s) = sin2 8.

а, в простран-а, в простран-Используя преобразование Лаплас стве CLa, 6] найти решение уравнения

а, в простран-

а, в простран-

У К (s — /) х (<) dt = / (з), о если:

A(z) = cos z, /(з) = sin з;

A’(z)=cosz, /(s) = s sin s;

K(z) = cosz, Hs) = s + s2;

r) A(z) = e',/(s)= s2;

A(z) = sinz, /(s) = l —coss.

Рассмотрим оператор Л: PjO, 11А2(0, 1] i

Лг(з) = J e4s-''.r (/) dt о и уравнение

(•*)(•*)Ах = /.

(•*)

(•*)

1) Доказать, что Л* = Л и

1

Л*Л^(з) = J А (з, t)x(t) dt,

О где

A (s, г) = {A (s, г) = {е—#^г-2+5+(^2I- (t — s-р 1) епри 0<з< /< 1,е—#^г-2+5+(^2I- (t — s-р 1) епри 0<з< /< 1,eS-t _L ^,-2 + S + f2eS-t _L ^,-2 + S + f2+ (з — t + l)gпри 0< t <г+ (з — t + l)gпри 0< t <г1.1.2) = 10 шитьа)б)в)2) = 10 шитьа)б)в)Найти Л*/ = Л/ и при методом, описанным в уравнение (7), если: /(з) = 2з + е"* — 2е’-1; /(з) = е'(1 — s) + sh s; /(s) = 2-e- -e'-1:Найти Л*/ = Л/ и при методом, описанным в уравнение (7), если: /(з) = 2з + е"* — 2е’-1; /(з) = е'(1 — s) + sh s; /(s) = 2-e- -e'-1:а = 1; 0,1; 0.01; 0,001 и задаче 21.12, численноа = 1; 0,1; 0.01; 0,001 и задаче 21.12, численноп =ре-п =ре-г) /(s) = -L[(2s+ l)e-s-eг) /(s) = -L[(2s+ l)e-s-e3) Доказать, что если /(з) г С2[0, 11 имеет решение xU\ : Фредгольма 2-го рода3) Доказать, что если /(з) г С2[0, 11 имеет решение xU\ : Фредгольма 2-го рода, _J и уравнение (•*) то xU) удовлетворяет уравнению, _J и уравнение (•*) то xU) удовлетворяет уравнению

A (s, г) = {

A (s, г) = {

е—#^г-2+5+(^

2I- (t — s-р 1) е

при 0<з< /< 1,

е—#^г-2+5+(^

2I- (t — s-р 1) е

при 0<з< /< 1,

eS-t _L ^,-2 + S + f

2

eS-t _L ^,-2 + S + f

2

+ (з — t + l)gпри 0< t <г

+ (з — t + l)gпри 0< t <г

1.

1.

2) = 10 шить

а)

б)

в)

2) = 10 шить

а)

б)

в)

Найти Л*/ = Л/ и при методом, описанным в уравнение (7), если: /(з) = 2з + е"* — 2е’-1; /(з) = е'(1 — s) + sh s; /(s) = 2-e- -e'-1:

Найти Л*/ = Л/ и при методом, описанным в уравнение (7), если: /(з) = 2з + е"* — 2е’-1; /(з) = е'(1 — s) + sh s; /(s) = 2-e- -e'-1:

а = 1; 0,1; 0.01; 0,001 и задаче 21.12, численно

а = 1; 0,1; 0.01; 0,001 и задаче 21.12, численно

п =

ре-

п =

ре-

г) /(s) = -L[(2s+ l)e-s-e

г) /(s) = -L[(2s+ l)e-s-e

3) Доказать, что если /(з) г С2[0, 11 имеет решение xU\ : Фредгольма 2-го рода

3) Доказать, что если /(з) г С2[0, 11 имеет решение xU\ : Фредгольма 2-го рода

, _J и уравнение (•*) то xU) удовлетворяет уравнению

, _J и уравнение (•*) то xU) удовлетворяет уравнению

А) Используя р<з\ ibiaiw задачи 21.6 д) и утверждение пункта 3), доказать, чго уравнение (**) не имеет решения при /(s) = as V b, ab * 0.

5) При /(s) = s, а=1; 0,1; 0,01; 0,001 и п = 10 методом, описанным в задаче 21.12, численно решить уравнение (7) и объяснить полученные результаты.

Неограниченные операторы

в гильбертовом пространстве

В комплексном гильбертовом пространстве Н рассмотрим линейный оператор А с плотной в II областью определения DU). Пусть А* — сопряженный к А оператор.

Оператор А называется симметрическим, если D(A*) з oD(A) и на Т)(Л) выполняется равенство А*х = Ах. Оператор А называется самосопряженным, если DM*) = = D(A) и на D(A) выполняется равенство А*х = Ах. Таким образом, как для симметрического, так и для самосопряженного оператора при любых х, у е D(A) справедливо равенство (Лг, у) = (ж, Ау).

Симметрический оператор А называется неотрицательным, если (Ах, х) > 0 для любого х s D(A).

Оператор U; Ьг[а, Ы L^a, 6),

Ux^t^-^pW^-VqWxW

с областью определения ВОЛ, состоящей из дважды непрерывно дифференцируемых на [а, 31 функций a(t), удовлетворяющих граничным условиям

а^ (я) —- а2х' (а) = 0, а? + а® ^= 0,^(Ь)-^'(Ь) = О, р! + р^о,

называется оператором Штурма — Лиувилля. При этом предполагается, что p(t) е СЧа, 31 и не обращается в нуль на [а, Ы, q(tl s [а, 61,

Теорема 22.1. Оператор U — симметрический в пространстве L2[a, Ь].

Функцией Грина для оператора U называется функция

<?М =<?М =- ^-u(s) v(t) при a<s<<^b,

<?М =

<?М =

— ^ и (t) v (s) при a<f<s<b,

где uLt) и 141) — пс-путевые рс-ш.'иия \ р.п'шеппл I'.r - О, удовлетворяющие cooiветствепно ’;r]in(jM\’ и второму i ра- нпчпому условию, Wo p(t')WU) — pWAVUO,

w m -К^ L;-L

Теорема 22.2. Для любой f^Cla, 6] уриененнl Ux=f имеет единственное решение a(s) е DUJ), опреие ляемое равенством

ь

В пространстве ЛфО, 11 рассмотрим оператор АхЮ = —d2x/dt2 с областью определения DL4), состоящей из функций xW) таких, что хШ s СТО, 1] и удовлетворяет граничным условиям НО) = я.’(1) = 0. Доказать, что А — симметрический оператор.

Доказать, что оператор задачи 22.1 является неотрицательным.

В пространстве /Да, 61 рассмотрим оператор Лк(()=<^- с областью определения Л(Л), состоящей из абсолютно непрерывных функций x(t) таких, что хЧ^еГ^Уа, 6], п удовлетворяющих граничным условиям х{а) == хШ = 0. Доказать, что оператор А симметрический, по не самосопряженный.

В пространстве Ь2(—м, °°) рассмотрим оператор AxW = txto с областью определения, состоящей из функций x(t), для которых txto е L4—<», «>), Доказать, что А — самосопряженный оператор.

Доказать, что для любого плотно определенного в Н оператора А выполняется соотношение (КЧ'кЧ-1" =■ = N(A*). Верно ли в этом случае соотношение (МЛ))1” = Ж1*^

Доказать, что симметрический оператор А, для которого В (А) = 11, есть оператор самосопряженный.

Пусть А, В — симметрические операторы с общей областью определения D, а, (is R. Доказать, что «Л + pS — симметрический оператор.

Пусть А — симметрический оператор о областью значений ЩА), плотной в Н. Доказать, что оператор /I-1 существует п также является симметрическим.

Пусть А е Зё' Н) — ограниченный самосопряженный оператор и оператор А-1 (ограниченный или неогра- 124

пяченный) существует. Доказать, что А'1 — самосопряженный опера юр.

Доказать, что собственные значения симметрического оператора вещественны, а собственные векторы, принадлежащие различным собы венным значениям, ортогональны.

Пусть А — симметрический оператор. Доказать, что следующие утверждения эквивалентны:

А — самосопряжен;

А — замкнут и АЧА* ± £7) = 0;

П(Л ± 1П = II.

Рассмотрим уравнение

p,W -V рМП/ 4- р^х = фИ),

где рЛ^еСЧа, И и не обращается в пуль на [а, Ы, а функции p^t), pAt\ фШ непрерывны на [а, 61. Дока- вать, что при умножении обеих частей этого уравнения на

, ...( Срх W -р'о (0 J

оно сводится к виду Ux = /.

Доказать, что собственное подпространство оператора Штурма — Лиувилля, соответствующее данному собственному значению, одномерно.

Найти функцию Грина для оператора U при

данных граничных условиях:

a) Ux =- — х", .НО) = гШ = 0;

б)б)х(0) = Нл) = 0;Н0)=Н1) = 0;м х пж(0) =^’40), х (1) + lx (1) = 0,х(0) = Нл) = 0;Н0)=Н1) = 0;м х пж(0) =^’40), х (1) + lx (1) = 0,Ux = — х" у .гЧО) = НО), х'Ш + х(1) = 0;

б)

б)

х(0) = Нл) = 0;

Н0)=Н1) = 0;м х п

ж(0) =^’40), х (1) + lx (1) = 0,

х(0) = Нл) = 0;

Н0)=Н1) = 0;м х п

ж(0) =^’40), х (1) + lx (1) = 0,

4- х, + х,4- х, + х,Ux = —x

4- х, + х,

4- х, + х,

д'1д'1Ux = —х Ux = — х

д'1

д'1

у е R.

Свести к интегральному уравнению в пространстве £2[0, 1] нахождение решения данного дифференциального уравнения при данных граничных условиях!

— ("1 + t)x" — 2tx' + Хх =■ 0, ж(0) = ж'(1) = 0;

— х" + Хх = )U\ НО) = 2Н(0), Н1) = 0;

—x"+Xx = fU), Н0)+Н(0) = 0, ж(1)=0.

Пусть всюду на [а, Ь] pkt) > 0, qkt) > 0, ct, > 0, <z2 5= 0, ^ > 0, (32 > 0. Доказать, что для оператора Штурма-Лиувилля существует функция Грина, если выполняется хотя бы одно из следующих условий!

a) qU) ^ 0; б) о^ ^ 0; в) ^ ^ 0.

Доказать, что в предположениях предыдущей

вадачп:

оператор Штурма — Лиувилля является неотрицательным;

множество собственных значений оператора Штурма-Лиувилля непусто, по более чем счетно и не имеет конечных предельных точек;

система собственных функций оператора Штурма — Лиувилля плотна в пространстве LtVa, bl.

Доказать, что в предположениях задачи 22.16:

квадратичная форма (Ux, х) достигает своего минимума на мнонхестве D = DiU) ПоДО);

min (Vx, x) = (Uxa, ^“Х, где X — наименьшее «ев

собственное значение V, а х» — нормированная собственная функция с собственным значением X.

Используя предыдущую задачу, доказать, что наименьшее значение функционала

фМ = j ^' WPdt,

е

рассматриваемого на множестве дважды непрерывно дифференцируемых на [0, 11 функций х(£), удовлетворяющих условиям

ас (0) =? х (1) ~ 0, j х- (1) dt = 1,

о

равно л* и найти функцию xaU), на которой оно реализуется.

Глава 6

НЕЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ И УРАВНЕНИЯ В БАНАХОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ

Дифференцирование нелинейных операторов

Пусть X, Y — банаховы пространства, F; X -► Y — нелинейный оператор с областью определения DIF") с X. Он называется:

непрерывным в точке ZgsDW, если из xneD(F\ ll^n — 2-JI0 при п оо следует, что ИЕ(х„) — FCzo)!! -* О при п оо;

непрерывным на множестве McD(F'i. если он непрерывен в каждой точке j,®D(F);

вполне непрерывным, если он непрерывен на D(F) и переводит каждое ограниченное множество, лежащее в D(F), в компактное в пространстве Y множество;

ограниченным на множестве M^DVF\ если sup ILFGr)U < оо. кем

Нелинейный оператор Г(х\ определенный в окрестности S точки z0 банахова пространства X, и со значениями в банаховом пространстве Y называется дифференцируемым в точке х0 в смысле Фреше, если существует линейный оператор Ае<?(Х, У) такой, что для всех х е S

Fix) — Flx0) = А(х — х,) 4- м(а; — х6),

где IWz — .Го)!! = о(^ — ^0 при х-* х0. При этом оператор А называется производной Фреше оператора F в точке х0 и обозначается FAx^, а выражение FAxs)h — = dFU0; h) называется дифференциалом Фреше оператора F в точке Хц при приращении h.

Пусть Fklxv, ..., xk) — оператор, зависящий от к переменных Xi, ..., хкеХ, со значениями в Y, Оператор Fklxt, ..., хк) называется к-линейным, если он линеен по каждому своему аргументу х, при фиксированных остальных аргументах, /с-линейный оператор FkVxv ..., хк) называется ограниченным, если существует постоянная шеР, пг > 0 такая, что

№к(хи ..., хк)\\ < znll^JI... Пл;мП.

Наименьшая из таких постоянных m называется нормой Fk и обозначается ^ч''. ft-линейный оператор Р^х^,.. .,хк) называется симметричным, если его значения не меняются при любой перестановке его аргументов. Пусть ^(^i, ..., хк) — ft-лппсйиый симметричный оператор. Оператор Ек1х, ,.., ж) называется к-степенным оператором и обозначается Fkx\

Далее /с-линейпый оператор записывается в виде Fkxt, ..., хк.

Пусть оператор Fix) дифференцируем в окрестности 8, а дифференциал dFlx; h) также дифференцируем в точке х0:

F'lx, + g)h - Р'ЫИ = lBg)h + plg)h,

где Hp(g)ll = o(llgll) при g -* 0. При этом оператор В = = F"(xa) е SIX, SIX, У)) называется второй производной оператора Fix) в точке х0. Из определения F" 1x4 следует, что F" Ix^hg есть ограниченный билинейный симметричный оператор. Далее

<FFlxa\ К) = dUFU*, Л); х„ g]|f_»,

откуда d'Flxo; h) = F" lx0)h* — квадратичный плп 2-сте- пенной оператор, получающийся из билинейного прп g“h.

Еслп a^Flx; h) = F*-n4x)hn уже определен, то в предположении его дифференцируемости в точке х0 полакают

dn+1Flxa; М = did”Fix; h); х„ g}|^>„

откуда d,+'Flx0; h) == Р[п+^ lr^hn+i. Оператор Р^-Чх^к,,.., ..., hn является тг-линейным симметричным оператором, а с1лР1ха; к) — и-степенным оператором.

Пусть FvF — ft-степенные операторы пз X в У 1кеХ\ a Fae.Y. Образуем формальный степенной ряд

5 Fhxx {F^ F.Y

Предположим, что числовой ряд

h=0

мажорирующий рассматриваемый степенной, имеет радиус сходимости рц > 0. Тогда в любом шаре Sp(0), где р е е (0, рц), исходный степенной ряд сходится абсолютно и равномерно. Пусть ри > 0, a Fix) — сумма исходного 128

степенного ряда, т. е.

2 F

к=0

при п -* <». Тогда оператор Fix') называется аналитические оператором в точке х = 0.

Если дай бесконечно дифференцируемый оператор

Fix'), то степенной ряд

k=0

называется рядом Тейлора Fix') в точке х— 0. Поскольку разложение оператора Fix) в степенной ряд единственно, то всякий степенной ряд аналитического оператора является его рядом Тейлора.

Доказать, что оператор А: Z2->-Z2, Ах — (xlt х%, X®, ...) для х = 1хИ х2, ...)&12 определен для всех х из Zj, непрерывен в каждой точке пространства Z2, но не ограничен ни на каком шаре Sr(0) при г > 1.

Пусть X — бесконечномерное банахово пространство, е s R, 0 < е < 1, i^X (rgN) —такая последовательность, что ПядИ = 1 In е N) и Изд — ад11 > е при к^п (существование х„ вытекает из теоремы 15.4). Рассмотрим функционал /, определенный следующими условиями:

<^, f> = k 1кеХ);

^j1) = к — ^х — хк\\ в шаре SE a(xh) (кгМ);

вне шаров St 2 Чд) PF Р — 0.

Доказать, чго / непрерывен па X, по не ограничен на шаре IWI < 1 + е/2.

Пусть A', Y — конечномерные банаховы пространства. Доказать, что любой непрерывный оператор I”. X -^ Y является вполне непрерывным.

Пусть X, Y, Z — банаховы пространства, F: X -*■ Y — ограниченный на DIF's непрерывный оператор, Д; Y-^ Z — линейный вполне непрерывный оператор. Доказать, чго оператор AF вполне непрерывен.

Доказать, что всякий вполне непрерывный оператор F\ X-+Y является ограниченным на любом ограниченном множестве MODIFY

Пусть функция Kit, s, х) непрерывна по совокупности переменных в области 0 ^ t, s ^ Y |z|Cr,

9 В А Тричогин и др.

Рассмотрим оператор

F (х) =^ j K(t, s,x(s))ds, 0

определенный на шаре 5,(0) пространства С[0, 1]. Доказать, что область значений R(F) лежит в пространстве СЮ. И и что оператор F вполне непрерывен на шаре 5,(0).

Пусть функция /(i, ж) определена при 0 С i ^ 1, — оо <^<оо и непрерывна по совокупности переменных. Рассмотрим оператор

F(x) = /(/, x(t)), определенный на пространстве СЮ, 1]. Доказать, что область значений RIF) лежит в пространстве СЮ, 1J, что оператор непрерывен и ограничен на каждом шаре. Является ли оператор F вполне непрерывным?

Пусть оператор F: X -* У дифференцируем в точке £о е X. Доказать, что F непрерывен в точке ж0.

Пусть оператор F; X -* У постоянен на открытом множестве D с X. Доказать, что F кх) = 0 на D,

Пусть Е(х)=Ах, где Ae$vX, У). Доказать, что F'(x) = А.

Пусть F: XУ и G'. X У — операторы, дифференцируемые в точке ж0. Доказать, что оператор a.F У У PG, где а и ?- скаляры, также дифференцируем в точке х0 и (aF + ^GY(x0) = aF'(x0) + рСЯяо).

Пусть оператор y = F(x), F; Х->У дифференцируем в точке Жо, а оператор x = G(z), G: ZX дифференцируем в точке z0, причем G(z0) = ж». Доказать, что в окрестности точки z0 определена суперпозиция

у = (F * G)U) = F(GU)),оператор F * G дифференцируем в точке z0 иkF * GYU^F'WG'UoY

Найти производные Фреше функционалов F(x) = = (х, х) и G(x) = 1Ы1 в вещественном гильбертовом пространстве.

Пусть функция у = /Ш, /: R R определена в окрестности точки Жо. Доказать, что ее обычная производная f(x0) совпадает с ее производной Фреше в точке Хо.

Пусть отображение F: Е2 Е2, задаваемое в декартовых прямоугольных координатах формулами

н = и(х, у), V = и(т, у),

определено в окрестности точки (г0, (/о). Доказать, что если F дифференцируемо в точке (г0, у0), то его производная Фреше задаемся матрицей Якоби

F' (У Уо) =F' (У Уо) =Зхду

F' (У Уо) =

F' (У Уо) =

5"Мо) Эи (У Ур) ‘

ду

Пусть отображение комплексной плоскости в себя F: С С задается формулой w = F(zl, где z = г + iy, w = и + iy. Доказать, что если F дифференцируемо в точке z0 в смысле Фреше, то в точке 2а= ха F 1уа выполняются условия Коши — Римана

^£М = 9v (У ^о)^’У^ = _ ^ (У Уо)

дз:dy ’ дхду *

Пусть отображение F; Ек-^Е", задаваемое в декартовых прямоугольных координатах формулами

Ух = />(^1, х2, ..., хк), i = 1, 2, ..., п,

дифференцируемо по Фреше в точке г° = (г?, .. ., х®\ Доказать, что F'(r°) задается матрицей Якоби

F' ^ =F' ^ =1= 1,2, ...,п, j = l,2, ...Л.1= 1,2, ...,п, j = l,2, ...Л.

F' ^ =

F' ^ =

1= 1,2, ...,п, j = l,2, ...Л.

1= 1,2, ...,п, j = l,2, ...Л.

Вычислить производную Фреше следующих отображений:

F: Е3 ~> R, у = xY + х\ + г’ в точке (1, 1, 1);

F; R -* Е3, у, = sin at, i/2 = cosnf, ya = t в точке t= 1;

F; Е2 -> Е3, ух = Z1 sin лг2, Уг = е*1 cos лг2, у3= е4 в точке (1, 1);

F: Е3 -> Е2, ух = Vк — хх + х\ — Хд, уг = х^Хз в точке (1, 1, 1).

Пусть отображение F; Ек-* Еп дифференцируемо в точке г0, а г0 = G(i0), где G: Еи -* Ек дифференцируемо в точке to. Найти (F * G)'(t0).

Пусть функции /(г, и) и /„(г, н) непрерывны по совокупности переменных при xs^a, bl, —оо<цсоо_ Рассмотрим оператор F: С[а, Й Cla, Ы, Flu^ = fix, ulxll. Доказать, что производная F в точке и0(х) е С[а, Ы и ее дифференциал в этой точке при приращении hlxl е еС1а, 6] соответственно равны F'lua) = fulx, u^xll; dF(ua; hl=fjx, и01хУ)Ь1х).

Найти производные следующих операторов в точке и0:

Fkti) = sin zz(z) в upocipanciBe СЕО, л1, щШ : = cos х;

FLu) = cos u(zr) в пространстве СЕО, л1, u0(zr) = = sin т;

FUF^ и(х')— eIU(x’ в пространстве СЕО, 11, ио(х)^О;

Flu) = zrMzr) + sh и(х) в пространстве CEO, 11. нД^) = 0.

В каких случаях оператор Г'(и0) непрерывно обратим?

Пусть функция /(2, s, и) непрерывна по совокупности переменных при а < х С Ь, —°о < и < оо вместе с частной производной fu(x, s, и). Доказать, что интегральный оператор F: С1а, Ы -* СЕа, Ы

ь

F (и) = и (х) — ( / (х, s, и (s)) ds

дифференцируем в любой точке u„to — СЕа, Ы и

ь

F’ (u0) h = h (2) — j /u (2, s, u0 (s)) h. (s) ds.a

Найти производную Фреше по и в точке н0 = 0 интегрального оператора F: СЕО, л] -* СЕО, л] с параметром X

л

F (и) = и (2) — X J cos (х + и (s)) ds.

о

Найти все решения уравнения F4(Y)h = cos 2.

Пусть оператор F; X У непрерывно дифференцируем в каждой точке отрезка Ezrt, 221 с X. Доказать формулу7 конечных приращений

1

F (22) — F (2Д = J F' (2i + 9 (x2 — 2Д) (x2 — arj d0. 0

Доказать, что если оператор F; X -* Y непрерывно дифференцируем на отрезке [2,, х2] с X, то он удовлетворяет условию Липшица ПСЕ^Д — f (zc2)ll ^

ZHzr, — 2,11, где I = sup ЦС'(zc) ||.

•^[4^21

Пусть оператор F: X -* У непрерывно дифференцируем на отрезке Ezi, 22Е <= X и F'kx) — 0 на Е^,, 221. Доказать, что F(x) постоянен на E^j, 22].

132

Пусть оператор F: X ->- Y непрерывно дифференцируем на выпуклом множестве QcX и Г'(л:) = 0 на й. Доказать, что ^(г) постоянен на Я.

Пусть оператор F: X -^ Y дифференцируем на выпуклом множестве Qc X, причем для любых хи хг г £ Я выполняется неравенство

IlF'W — Л"(rr2)И < Mxi — ^2И,

т. е. F' удовлетворяет на Я условию Липшица с постоянной I. Доказать, что для любых xz г О справедливо неравенство

IIF (^1) — F ^ — F' fa) (^1 — ^Ж 3z I!Хг — X1 ^2-

Пусть оператор F; X -* Y дифференцируем на выпуклом множестве Я с X и производная FAx) непрерывна в точке х». Доказать, что для любого е > 0 найдется 6 = 61е, хА > 0 такое, что

V.Flx) — F(у) — F'faKx — г/)П < ell# — z/H

для всех х, у е Я П SAx^.

Пусть /„(ж) (и е N) — последовательность функций, дифференцируемых на (-==, °°). Пусть, далее, функции f^x) и их первые производные равномерно ограничены и равностепенно непрерывны на каждом отрезке [я, Ь). На пространстве т ограниченных последовательностей определим оператор F;

Ffa, х,, ..., хп...) = (/1(^1), /2К), . •., f^xn), ...).

Доказать, что область значений F лежит в пространстве т, что оператор F дифференцируем в смысле Фреше, и найти оператор F'.

- 23.31. Найти производную Фреше функционала

ъ

^Цф^х^х' (0)di, а о определенного на банаховом пространстве СЧа, 6] непрерывно дифференцируемых на [я, 61 функций x(f), обращающихся в нуль на концах [я, Ы. Функция Ф(ж, у, z) предполагается дважды непрерывно дифференцируемой.

Пусть Fkxk — А:-степенпоп ограниченный оператор. Доказать формулу бинома Ньютона

h

F^x-Vkf = ^CVFhxv-3h4

2=0

С помощью формулы бинома Ньютона из предыдущей задачи доказать, что веяний А-степенной ограниченный оператор Fkxk дифференцируем в смысле Фреше в любой точке ж и lFkxkY = кЕкхк~\

d(Fkxk; h) = kFKxk~lh.

Доказать, что всякий А-липейныи ограниченный оператор непрерывен в любой точке х = (тх, х2, ..., хк).

В пространстве с”‘ m-мерных столбцов ^{^i, ^={^1^, у = №: рассмотрим оператор y = F(xt1 хг\ определяемый формулами т

у^хз~”i * * * 11 ^хз ~•

i,j=l

Доказать, что Fvxx, xY является билинейным ограниченным оператором. Найти оценку его нормы. Как выглядит соответствующий квадратичный оператор? Когда оператор F{xx, хг1 симметрический?

В пространстве СЕО, 11 рассмотрим квадратичный интегральный оператор

1

tF.^ ^ = х ^ \'К (t, s) х (s) ds,о

где функция K(t, s) непрерывна в квадрате 0 «5 t, s ^ 1.

Найти соответствующий ему билинейный симметрический оператор.

Вычислить производные Р2х* любого порядка.

Пусть СЧО, 11 — банахово пространство дважды непрерывно дифференцируемых на [О, Z1 функций хЮ, удовлетворяющих граничным условиям z(0) = xU) = 0. Рассмотрим оператор F: СЧО, Z1CEO, Z1, F(x)=x"4- + jU, х\ где функция /(Z, ж) непрерывна вместе с частной производной j,U, х) по совокупности переменных в прямоугольнике 0 < t < I, |zl<r. Пусть zQ(i)eC40, Z] и I'zJI < г. Доказать, что

F'lxYz = 2" + jxU, xa{tYz.

Рассмотрим нелинейный дифференциальный оператор

F (z) = --4- + sin х (t),

dr

действующий из пространства СЧО. 11 в пространство

(ЛО, 11.■

Вычислить йЧХх,; М (A: s N), где z0(t)=i.

Разложить Г(ж) в ряд' Тейлора в точке a:0(t) = t.

Пусть 2 Fh3^ — степенной ряд из X в У. До- л=о

казать, что область его сходимости Q является С-звездой вокруг точки 0, т. е. как только z е Q, то ueQ при 1X1 <1.

Доказать, что радиус сходимости‘рц степенного ряда может быть определен по формуле Коши — Адамара

1ри — „ г■

Пусть ри > 0. Доказать, что прп любом ре е (0, ри) степенной ряд сходится в шаре 5,(0) абсолютно и равномерно.

Пусть Х = Е2, У = R. Для степенного ряда

2 (^А)*1 найти область сходимости Q и радиус сходило v

мости Ри.

Пусть ри>0. Доказать, что разложение Fix') в степенной ряд единственно.

Пусть ядро Kit, s) непрерывно в квадрате я < С f, sCF Рассмотрим действующий в пространстве С[а, 6] нелинейный интегральный оператор

ь

F ^ = х^ + J A(t,s) e^ds.

Доказать, что Fix') разлагается в ряд Тейлора с pu = +00, и выписать его разложение.

В пространстве (40, Т) рассмотрим оператор

F (г) =—w 1 - и (I) '

Доказать, что F(z) определен на шаре IWl < Т-1, аналитичен в точке х0 ^ 0 и ри = Т-1.

'(23.46. В пространстве Са (см. задачу 7.31) рассмотрим оператор

Доказать, что Fix') определен в шаре ШЛ < еа, аналитичен в точке т0 = 0 и ри = еа.

Принцип сжимаюших отображений, итерационный процесс Ньютона, принцип неподвижной точки Шаудера

Нелинейный оператор Ф^), отображающий лежащее в банаховом пространстве А' множество Q в себя, называется сжимающим, если существует число 9^(0, 1) такое, что для любых х, у ^ Q выполняется неравенство

Иф(х) — Ф(у)Н q\\x — г/Н.

Число q называется коэффициентом сжатия. Точка х* называется неподвижной точкой оператора Ф)х), Ф: А ->- X, если Ф(ж*) = х*.

Теорема 24.1. Пусть Ф(х) является сжимающим оператором на замкнутом множестве Q. Тогда существует и единственна в Q неподвижная точка х* оператора ФСг). Последовательность итераций

х„ = Ф(жп_1), п = 1, 2, ..

где l.gQ произвольно, лежит в Q и хп -* х* при п ^ <». Справедлива оценка скорости сходимости

\\хп-х* (Х^Цф^-т^.

Следствие. Пусть оператор Ф(х) отображает замкнутый шар 8 Да) в X, является сжатием на этом шаре с коэффициентом сжатия q, причем 11Ф(а) — all ^ (1 — q)r. Тогда Ф отображает 8Да) в себя и на Q = Sr(a) справедливо утверждение теоремы 24.1.

Теорема 24.2. Пусть в шаре 8Дхе) выполняются следующие предположения1.

оператор F; X -* У дифференцируем и его производная удовлетворяет условию Липшица, т. е. для любых Tlt x1eST(x0) выполняется неравенство П'ДхД — РЧхДА <;

Ех, — z2H;

оператор ЕЧх) непрерывно обратим и для любого х^ЗДхД выполняется неравенство H[F'(.r)]-1ll < in;

точка Хц такова, что HF(.r0)ll ^ ц Д, m, ц— посто

янные). Тогда, если q тЧц, г' = нл]^ q^-1 то _ h=0

уравнение Е(х)=0 имеет решение г*е8,Дх1)’)1х которому сходится следующий итерационный процесс Ньютона} хп = х..-t — [T'Ci'h-J]п s N,

начатый с хи. Скорость сходилюсти х,, к х* может быть 136

оценена из неравенства

Теорема 24.3. Пусть выполняются предположения 1), 2), 8) теоремы 24.2. Если 2пгЧц < 1 и

,1 — V1 — 2mfr] ,

Т =-.L < г,

то уравнение Fto = 0 имеет в шаре Sr> (ж0) единственное решение ж*, к которому сходится начатый с ха модифицированный процесс Ньютона

хп —x^-^ — VF'kx^V'FkXn-O, п е N.

Справедлива оценка скорости сходимости

„(1 — V1 — 2т21цУ

^. - 2* КТг=^mT1-И 1 - 2m2/1]

Теорема 24.4. Пусть оператор Ф(х) отображает замкнутое ограниченное выпуклое .множество D банахова пространства X в себя. Тогда, если Ф вполне непрерывен на D, то он имеет на D неподвижную точку.

Следствие. Если непрерывный оператор Ф отображает замкнутое выпуклое множество D банахова пространства X в компактное .множество Da^D, то он имеет ни D неподвижную точку.

Доказать, что оператор Ф: R ->- R, Ф(0 = С является сжимающим на шаре 5,(0) = {ieR: Ul^r), где т < 1/V3, но не является сжимающим вблизи неподвижных точек t = 1 и t = — 1.

Пусть функция ж =/(О задана и дифференцируема на [а, Ы и отображает этот отрезок в себя, причем max |/' (f |<1.

[а,Ь]

Доказать, что уравнение /(1) = t имеет на [а, Ы единственное решение.

Пусть функция z = /(f определена и дифференцируема на всей вещественной оси и для любого i = R выполняется неравенство:

a) l/'(t)| ^Х< 1; б) \fU)\ >Х> 1.

Доказать, что уравнение /П) = t имеет, и притом единственное, решение.

Рассмотрим уравнение 2te: = 1 (teR),

Доказать, что это уравнение имеет единственное решение и что это решение лежит на интервале (0, 1).

Привести уравнение к виду, пригодному для составления итераций, и определить число итераций, необходимых для того, чтобы приближенное решение отличалось от точного не более чем на 0,01, если в качестве начального приближения принято С = 0.

Составить и реализовать на ЭВМ программу для нахождения приближенного решения, выводя на печать результат каждой итерации.

Решить это же уравнение с помощью стандартной программы и сравнить результаты.

Доказать, что всякое непрерывное отображение отрезка в себя имеет неподвижную точку.

Пусть задано уравнение FU) = 0, где у = ЕЮ — непрерывно дифференцируемая на [о, 6] функция. Рассмотрим равносильное уравнение t — /.Pu) = t, где /. е R. Всегда ли значение параметра /. можно выбрать так, чтобы оператор Ht- /.F(F) был сжимающим на [а, б]?

Рассмотрим уравнение Р + ;+1=0 (i^R).

Доказать, что это уравнение имеет единственный вещественный корень, и найти отрезок, на котором он лежит.

Привести уравнение к такому виду, чтобы его можно было решать итерационным методом.

Найти число итераций, необходимых для нахожде- ния корня с погрешностью, не превышающей 0,01.

Составить и реализовать на ЭВМ программу для нахождения приближенного решения, выводя на печать результат каждой итерации.

Решить это же уравнение с помощью стандартной программы и сравнить результаты.

При движении планеты вокруг Солнца по эллиптической орбите ее положение в момент времени t, отсчитываемый от момента прохождения перигелия, определяется уравнением Кеплера

Е — е sin Е = 2л у,

где Е — определяющая положение планеты эксцентрическая аномалия, е— эксцентриситет орбиты (0<е<1), Т — период обращения ио орбите.

Доказать, что уравнение Кеплера имеет для любого t единственное решение, которое определяет функцию EW е CIO, Т\.

Принимая е = 0,5, t е [0. Г], определить число итераций, необходимых для нахождения ЕШ с погрешностью, не превышающей 0,01, если в качестве нулевого приближения ваяго Е» = 0.

Составить программу для ЭВМ нахождения приближенного решения и реализовать ее, выводя на печать результат каждой итерации. Построить график EW на [0, Т\ при е = 0,5, придавая t значения с шагом 7712.

Составить программу для ЭВМ, позволяющую определить зависимость EET/'i) от е, учитывая, что с изменением е меняется и число итераций,' необходимых для достижения погрешности, не превышающей 0,01. С помощью этой программы построить график Е<ТР^ при е е [0,25, 0,75] с шагом 0,05.

Рассмотрим уравнение xW = t + exttP, где 0 < е < 1, к > 1.

Доказать, чго это уравнение имеет единственное решение хШеСЮ, 1].

Полагая ха = 0, е = 0,5, определить число итераций, необходимых для нахождения xW на [0, 1] с погрешностью, не превышающей 0,01.

Составить программу для ЭВМ и с ее помощью построить график xW на [0, 1J, придавая t значения с шагом 0,1 при е = 0,5 и к, изменяющемся от 2 до 7 с шагом 1.

Доказать, что при 0<а^ 1 итерации

£«41 = Хп "2" (^п^), 2"о = 0) И G N,

сходятся к 1V

Доказать, что последовательность цепных дробей

2; 2+1; 2 +-Ц-; 2+Ц-. ...

2"г 22~

2 4- 2

имеет предел, и найти его.

Доказать, что в пространстве Еп линейное отображение А; Е"Е11 с матрицей Haji U, / === 1, 2, ..., и) будет сжимающим, если

5 I ло12< 1.’0=1

Доказать, что в пространстве с” линейное отображение Л: с" с" с матрицей 7z,JI (z, j = 1, 2, ..., n)

будет сжимаюшим, если

max ^ |аъ)<1.

3 <1«?; j=l

Доказать, что в пространстве I" линейное отображение А: I"-* V' с матрицей Ю./1 (/, / = 1, 2, ..., п) будет сжимающим, если

шах 2 I М < 1-

Kj<» i=L

Следующие системы линейных алгебраических уравнений преобразовать так, чтобы их можно было решать итерационным методом:

а) 2т + у = 2, б) Вт + у = 4,

т —Зу==1;<с+2у = 3.

Исследовать характер приближения итераций к точному решению.

Рассмотрим в пространстве Е’1 систему линейных алгебраических уравнений Сх = Ь, где х, Ь^Е", С = HcJI (z, /= 1, 2, ..., пЕ Рассмотрим равносильную систему х = (ХС + Ex — Xb, где Z ^ R, I — единичная матрица. Положим А = ХС + I и составим итерации т„ = = Ах^-ХЬ, neN, где тп в Е" — произвольно. Предположим, что выполняется следующее условие;

Доказать, что существует X s R, при котором итерационный процесс сходится к решению исходной системы.

Рассмотрим оператор А; СЮ, 11 -> СЮ, 1]

t

^^'(0 = X ^(т)^г + 1.

о

Доказать, что при IM < 1 этот оператор является сжимающим в пространстве СЮ, 1].

Найти неподвижную точку этого оператора при X = 0,5.

Составить итерации, выбрав в качестве начального приближения Хо — 0, и убедиться, что они являются частичными суммами ряда Тейлора для неподвижной точки.

Найти оценку погрешности, допускаемой на п-м шаге итерационного процесса, исходя из оценки остаточ- 140

него члена в формуле Тейлора и из оценки в теореме 24.1.

Имеет ли рассматриваемый оператор неподвижные точки при |Л| > 1?

Пусть Ф: X X — такой непрерывный оператор, переводящий банахово пространство X в себя, что некоторая его итерация является сжимающим па X оператором. Доказать, что оператор Ф имеет в X неподвижную точку.

Привести пример оператора Ф: ,Х -> X, переводящего банахово пространство X в себя, удовлетворяющего при х, уеХ щ^у) условию ^Ф^х) — Ф(у)'\ < <llz —yll п не имеющего в X неподвижной точки.

Пусть Q — бикомпактное множество в банаховом пространстве X, Ф: Q-* Q — оператор, удовлетворяющий при х + у условию ИФ(:т) — Ф(у)11 < Нж — yil. Доказать, что оператор Ф имеет в Q единственную неподвижную точку и что итерации хн = Ф(а:,1-1) (и s N) сходятся к пей при любом х„ е Q. Является ли оператор Ф сжимающим?

Рассмотрим уравнение

ь

X (s) - X j К (я, /) т (/) dt = / (s)а

или (I — а.4)т = /, где /. s С. ]U)eCU, Ы, K(s, t) непрерывна при и ^ s, t ^ b, М = max I7x(s, HI.

a^s, t<b

С помощью теоремы 24.1 доказать, что при 17.1 < <l/UKb — a)) данное уравнение имеет, и притом единственное, решение Hs)eC[(i, Ы.

Доказать, что при Ш < ШМ(Ь — а))

^ = (/-М)-1/- (7 + ХЯ + /Л12 + ...)/

и что А" — интегральный оператор с ядром ь

Ки (s, /) --- К (я. т) AV^H t) dr, п = 2, 3, . . .,

А^ (т, i) = К (г, ty

Доказать, что ряд Пеймана

5 н’-х, ^. t)

- сходится равномерно в круге 17.1 < 1/(Л/(А —«)) и его

141

сумма Ris, t> M (резольвента ядра) аналитична по X в этом круге.

Доказать, что при |Х1 < \JlMlb — а)) решение данного уравнения имеет вид

ь

х (?) = /(?) + xf R(s, t,X)f(t)dt.

Доказать, что при I/.1 < \HMlb — а)) резольвента /?(s, t, X) непрерывного ядра Kis, t) удовлетворяет уравнениям:

ъ

R (?, t, X) = X \ К (s, т) R (т, t, X) Дт + К (s, /);

ь

R (s. t, X) = X [ К (т, t) R (s, т, X) Дт + К (s, 0;

ЛЪ

^= {r(s, т, X) R (г, t, X) Дт.

а

Рассмотрим уравнение

1

х (?) — X J stx (i) dt = / (?),о

где /(s) е С[0, 1].

Доказать, что ряд Неймана для данного уравнения сходится при 1X1 <3.

Найти итерированные ядра К,,ls, t), просуммировать ряд Неймана и записать решение данного уравнения.

Имеет ли данное уравнение решения при 1X1 > 1?

Доказать, что ряд Неймана для уравнения Вольтерра 2-го рода с непрерывным ядром сходится при любом значении параметра X и, следовательно, решение этого уравнения существует при любой непрерывной правой части.

Доказать, что уравнение Вольтерра 2-го рода не имеет характеристических чисел.

Оператор F; X Y будем называть нерастя- гивающим на выпуклом множестве D с X, если для любых х„ t2eD выполняется неравенство HFCxJ — F(a:,)ll ^ ^ Нг, — а:211. Доказать, что непрерывно дифференцируемый на выпуклом множестве D оператор Fix') является 142

нерасгягивающим тогда и только тогда, когда sup ИК- x = D

Пусть оператор Ф^х) отображает замкнутое выпуклое множество D о X в себя и непрерывно дифференцируем на D. Доказать, что оператор Ф(х) является сжимающим на D тогда и только тогда, когда

Slip ЦФ' (сг) || = «7< 1.

х = 1)

Пусть оператор Ф(х) отображает замкнутое множество Q — X в себя и при некотором натуральном т оператор

ф,Чг)-Ф|Ф[.1ДФ(^))...]]

т раз

является сжимающим на Q. Доказать, что в Q существует единственная неподвижная точка оператора Ф(х) и что итерации ^„^Oix,-!) (neN) сходятся к ней при любой xu s Q.

ГПстъ функция у = /(х) дважды дифференцируема на [я, 61, /щ)<0, /(6)>0, причем /' (х) 9= т> О, /" (х) > 0 на [л,

Доказать, что последовательные приближения х„ итерационного процесса Ньютока, начатые с х„ = Ь, не возрастают, ограничены снизу и сходятся к точке х*— корню уравнения Дх) = 0.

чаях:1)2)3)чаях:1)2)3)рассмотримрассмотрим1й = а, хп-^ -—-д^-1й = а, хп-^ -—-д^-neN.neN.Сформулировать аналогичные утверждения в слу-

чаях:

1)

2)

3)

чаях:

1)

2)

3)

рассмотрим

рассмотрим

1й = а, хп-^ -—-д^-

1й = а, хп-^ -—-д^-

neN.

neN.

Доказать, что:

последовательность хп не убывает, ограничена сверху и сходится к х*;

справедливо неравенство хп < х* < xlt (nsN);

справедливы оценки 1^ —^*|^—^—, г*—^^

т

Пусть в условиях задачи 24.29 а) при хл<Ь выполняется неравенство | / (#0)| -< ——, 1де l — \\\<v\f^.

тЧ[«.И

Доказать, что для скорости сходимости хп к х* справедлива оценка, приведенная в теореме 24.2.

Составить формулы последовательных приближений для итерационного и модифицированного итерационного процессов Ньютона, когда X = R и Х — Е\

В пространстве j2 рассмотрим оператор F(x\ определенный на шаре 5/0) и переводящий элемент х = (х13 х2, ..Ле12 в F(x) = (VI — IWI2, хи хг, ...). Доказать, что F(x):

переводит шар 5/0) в_себя;

непрерывен на шаре 5/0);

не имеет неподвижных точек на шаре 5/0);

не является вполне непрерывным.

Пусть функция /(г, х) непрерывна по совокупности переменных в области U —^|^«, |z — дг0| Ь, М — максимум I/U, х)| в этой области, h = min (я, Ъ/М). Рассмотрим задачу Коши для обыкновенного дифференциального уравнения 1-го порядка

- = f^.x), хМ = т0.

Доказать, чт, эта задача эквивалентна интегральному уравнению

^) = £о + | / (т, (Ч) dr,

Доказать, что оператор

РИ = r0 + J /(т, г(т)) dT,

определенный на шаре Н^ — zoll ^ 6 в пространстве CVt^ — hs t^ + M, переводит этот шар в себя и является вполне непрерывным на нем,

Доказать, что рассматриваемая задача Коши имеет на отрезке (Л — h, t^-VhA хотя бы одно решение.

Привести пример непрерывной функции jU, х) и точки (^, я?0) таких, что рассматриваемая задача Коши имеет на некотором отрезке, содержащем точку tOl более одного решения.

В пространстве СЧО, 1] рассмотрим следующую краевую задачу для обыкновенного квазилинейного дпф- 144

ференциалытого уравнения 3-го порядка (модельная задача чеорпп пограничного слоя):

х1' -У хх" О, 0 < t < 1,я(0) = а, я'(0) = 6, я(1) с.

Доказать, что эта задача эквивалентна следующему нелинейному интегральному уравнению в пространстве С[0, 11:

х (i) = а + Ы + (с — а — Ь)

Пусть хотя бы одно из чисел о, Ъ, с-а—Ь отлично от нуля. Доказать, что оператор Ф(я), задаваемый правой частью интегрального уравнения, отображает шар Sr(O) радиуса г = Itz| + \Ь\ + |с — а — Ь\ в себя.

С помощью теоремы 15.3 доказать, что Ф(я) вполне непрерывен в этом шаре.

Таким образом, согласно принципу Шаудера, установлено существование решения исходной краевой задачи.

Пусть функция KU, s)^0 непрерывна при a^t, s^b, функция ijlO^O непрерывна на [а, Ы, причем выполняется неравенство

где

^1] = max ( lA(t, s) | ds, || у Ц = max | у(^|,[d,MJ [й,Ь]

а n> 1 — натуральное. Пусть, далее, г*<г* — неотрицательные решения уравнения НАПг71 + Ilz/ll = г. Рассмотрим в пространстве С[а, Ы интегральный оператор

Ф(т)= f A(As)^(s)ds + WY

145145С помощью принципа сжимающих отображений Доказать, что в шаре Ц^Ц^т* оператор Ф имеет единственную неподвижную точку.

145

145

Ю В, А Треногий и др.

С помощью принципа Шаудера доказать, что в шаре il.rll ^ г* оператор Ф имеет по крайней мере одну неподвижную точку.

Неявные операторы

Пусть X, У, А — банаховы пространства, А' + А — прямая сумма пространств X и А. Уравнение F(x, X) = О, где F; X + А -* У, может определять решения х = х(/Л, каждое из которых называется неявным оператором (неявной функцией^, определяемым исходным уравнением.

Теорема 25.1. Пусть оператор F(x, X) непрерывно дифференцируем в окрестности точки (х0, ХД. Пусть, далее, F(xa, ХД = 0, а оператор Fx(x0, XJ непрерывно обратим. Тогда найдутся числа р>0 и г>0 такие, что для каждого Х^ЗДХД уравнение F(x, X) = 0 имеет в шаре ЗДхД единственное решение х = х(Х). При этом х(ХД = х0, неявная функция х(Х) дифференцируема в ЗДхД и

х ДД = — ЕДЧ^ДД, XyF,.^^), X).

В частности, х' (ХД = — Fxx (х0, ХД ■ F х (х0. Хо).

Теорема 25.2. Если в условиях теоремы 25.1 оператор F(x, X) аналитичен в точке (х6, ХД, то неявный оператор хДЗ также аналитичен в точке Хо, т. е. в некотором шаре ИХ — Х01 < р (р > 0) представим абсолютно и равномерно сходящимся рядом

к 03 = 2 (X —к—в

Проверить, что при х, X е R уравнение:

х2 + X2 + 1 = 0 не определяет ни одной неявной функции;

х1 + X" ^= 0 определяет единственную неявную функцию х = 0, определенную только при X = 0;

х — X2 = 0 определяет единственную неявную функцию, определенную для любого X е R;

х2 + X2 = 1 определяет две непрерывные неявные функции при Хе [—1, 11;

х2 — X2 = 0 определяет на R две дифференцируемые неявные функции и четыре непрерывные функции.

Доказать, что в пунктах г) и д) задачи 25.1 существует бесконечное множество разрывных неявных функций.

Найти числа р и г, о которых говорится б формулировке теоремы 25.1, в пункте г) задачи 25.1, когда z2 + ^о = 1 (.г^О). Применима ли эта теорема в точках ^ = 0, Х = ±1?

Найти числа р и г, о которых говорится в формулировке теоремы 25.1, в пункте д) задачи 25.1, когда Xq = X2 (^о^О). Применима ли эта теорема в точке (0, 0)?

Переформулировать теоремы 25.1, 25,2 о неявных функциях для случаев:

Х = Х = У = R;

X=Y = E\ Х = Е".

Пусть X=Y = C[a, Ы, Л = R. Переформулировать теоремы 25.1 и 25.2 о неявных операторах для интегрального оператора:

h

Г (х, X) х(Г) — f К (t, s) / (s, х (s), X) ds;

a

F (z, X) = x^ — [ К (t, s, x (s), X) ds;

ь

■ в) F (z, X) = Ф (x (t), t, X) — J Ф (t, s, ,r(/), z(s), X) ds.a

Доказать, что интегральное уравнение

(0 = ^ j sin [^ (s) £in s + ж2 (s)] dsо

имеет при X = XO=1 решение x^tl = sin t. Найти непрерывное no (t, X) решение этого уравнения xU, X) такое, что xlt, 1) = sin t.

Найти все неявные функции, определяемые интегральным уравнением задачи 25.7.

Рассмотрим краевую задачу для нелинейного обыкновенного дифференциального уравнения 2-го порядка с малым параметром

х" + fit, х, х , е) = 0, 0 =5 t < I, .r(0) = xlll = 0.

Предположим, что функция fit, х, у, е) является достаточно гладкой по совокупности своих переменных при t s [0, И, — оо < £, у < + оо, IеI еа.

Пусть, далее, при е = 0 эта задача имеет решение xaltl, 10*147

причем линеаризованная задача

г" + fy (К ^о (0- 4 (0, °) 2 + fx(t, .г0 (0, 4 W, 0) 2 = О

имеет только тривиальное решение 2 = 0. Полагая

Х = С'Ч0,/J, У = С'[О, /1, A = R, FU, г) = х" + fU, х, х, е), переформулировать для данного случая теоремы 25.1, 25.2 о неявных функциях.

Найти с точностью до О(е2) решение краевой задачи

х" + sin х = е sin nt, xlO) = х(к) = 0.

Пусть функция д(т), q:: R ->- R аналитична в окрестности 5 точки «о. Рассмотрим уравнение

х = а + Etp(x)

с параметрами a^S и е е ( — еи, еД. Доказать, что:

существуют числа р>0 и г>0 такие, что при всех (а, е), удовлетворяющих условиям |и —а0|<р, 'е|<р, рассматриваемое уравнение имеет на интервале lx — oj < г единственное решение х = х(а, е); это решение аналитично по а, е и удовлетворяет условию х(«„, 0) = = а/,

для производных х^а, е-) по е справедливы формулы Лапласа

пз которых, в частности, следует, что

• в) для xUt, е) справедлива формула Лагранжа

,\, V г d Г h / а

х^а,г) = а +тт:Г ^ Ml-

Пользуясь формулой Лагранжа пз задачи 25.11, доказать, что аналитическое при е=0 решение уравнения Кеплера (см. задачу 24.8)

Е — е sin Е = М, 0=^е<1,

задается рядом

Е = М + е Ли .1/ + яг 577 ^in2 ^ + - ■ •

Сформулировать и решить задачу 25.11 для случая, когда <р — отображение комплексной плоскости, а е и а — комплексные параметры.

Рассмотрим уравнение /(х) = 8, где функция /(х) аналитична в точке х = О, /(0) = 0, /'(0)7=0. Это уравнение определяет "в окрестности точки е=0 единственную обратную функцию х = х(е), причем х(0) = 0, и эта функция аналитична в точке е = 0. Пусть

/И = 2 //У, 'ФИ = 2 fh^>i = lМ-1

рядомрядомДоказать, что обратная функция определяется

рядом

рядом

Лагранжа

Eh аь-1 Г !Eh аь-1 Г !1л—о1л—о

Eh аь-1 Г !

Eh аь-1 Г !

1л—о

1л—о

Пусть функция F(x, X), F: Е2 R непрерывна вместе с частной производной FEx, М в полосе « ^ X ^ Ь, —оо < .г <+оо, и в этой полосе 0 < т < Fx(x, X) ^ М, где О < т < М — постоянные, не зависящие от х и X. Доказать, что уравнение FVx, Х) = 0 определяет в пространстве CVa, ЬА единственную неявную функцию х = х(Х).

Пусть оператор F(x, X), F; ЕЕЕ^Е* непрерывен вместе с частной производной Fx(x, X) в цилиндре хеЕ\ ХеСсЕ", где G — замкнутая ограниченная область. Пусть для точек этого цилиндра выполняется неравенство

nW^ (F^r, X)/i, Ю^М№,

где 0 < m < 3/ — постоянные, пе зависящие от х и X. Доказать, что уравнение F(x, X) = 0 определяет единственный неявный оператор х = х(Х\ непрерывный на G.

Рассмотрим задачу Коши для обыкновенного дифференциального уравнения 1-го порядка

"^ 4- ах = гр(х), 0<<<4-оо, х\1=й — 3,

где а>0, функция <р(х) непрерывно дифференцируема в окрестности S точки х = 0, a s S, ср(О) = <р'(0) = 0. До-

казать, ^то эта задача эквпватеитча пчтеггачьноуу уравнению

^(t) = ае-^1 + j e-'xt-M^ (r(s)) ds,о

т. е. всякое решение задачи Коши является решением интегрального уравнения и обратно, всякое непрерывное решение интегрального уравнения непрерывно дифференцируемо па полуоси, удовлетворяет начальному условию и является решением дифференциального уравнения.

Запишем интегральное уравнение предыдущей задачи в виде т = Ф(а, х). С помощью теоремы о неявных операторах доказать, что при достаточно малых Ы интегральное уравнение имеет единственное малое решение xU, а) 0 при а 0 в пространстве Са (см. задачу 7.31). Переформулировать полученное утверждение для задачи Коши из 25.17.

Глава 7

ДИСКРЕТНЫЕ ПРИБЛИЖЕНИЯ РЕШЕНИЙ ОПЕРАТОРНЫХ УРАВНЕНИЙ

§ 26. Приближенные и разностные схемы

Для приближенного решения уравнения Ах = у с линейным оператором А, действующим из области определения DIA'S X в область значений RIA'S с У (X, У — банаховы пространства), и правой частью уs У рассматривают последовательность приближенных уравнений AnXt^y,, (пеХ), называемую приближенной схемой с лпнейными_ операторами А„, действующими из DIA,,1) с сХ„в R(AnScYn и уп^Уп (Хп и У„ —банаховы пространства). Связь между пространствами X и Х„ (У и У„) осуществляется линейными операторами TnS^CX, XJ (соответственно Тп е $ (У, Уп)) такими, что ТпХ = Х1Х \Т'д* = ¥„\ и называемым^ oneparopa.iw сужения.

Последовательность х„ е Хн (и ^ N), называется Т-схо- дящейся к элементу х^Х (записывают хп —> ж, п -* <~), если |хп — Г,^,^ —>-0 при п -> «>. Если хп L, х при п -* <», то говорят, что хп аппроксимирует х. Аналогично определяется Т-сходимостъ последовательности у^еУп к элементу у е У, Если при некотором натуральном к справедливо неравенство

Un — Т^.^с^,

то говорят, что х„ аппроксимирует х с порядком к. Аналогично определяется порядок аппроксимации элемента у s У последовательностью i/n s уп.

Говорят, что на решении х* исходного уравнения выполнено условие аппроксимации, если Т „х* s DkAD и при п °0 _

В этом случае говорят также, что исходное уравнение аппроксимируется на х* приближенной схемой. Если,

кроме того, существуют постоянная с>0 п натуральное к такие, чю при meN выполняется неравенство

II Л,,7’,ус* — уДу^смД

то говорят, что приближенная схема аппроксимирует исходное уравнение с порядком к.

Если существует постоянная у > О такая, что для любых хп е D(AJ выполняется неравенство

[ АТ1хп ||у^ ^ у || хп Ьп>

то говорят, что приближенная схема Апхп = уп устойчива или выполнено условие устойчивости.

Предположим, что точное уравнение Ах = у однозначно разрешимо, х* — его решение, приближенные уравне- нпя Аихп = уп для всех п однозначно разрешимы и xlt— их решения. Если х* L, х* при п-*», то говорят, что приближенная схема сходится. Если, кроме того, существуют постоянная с > О и натуральное I такие, что справедливо неравенство

II я* — Т.^^^с/п1,

то говорят, что приближенная схема сходится с порядком I, или порядок точности приближенной схемы равен I.

Теорема 26.1. Пусть точное и приближенные уравнения однозначно разрешимы. Если выполнены условия аппроксимации и устойчивости, то приближенная схема сходится- и справедливо неравенство

IIх* — х* || < у-11| AriT„a* — у„ I].

Если приближенная схема аппроксимирует точное уравнение на х* с порядком I, то I есть порядок точности приближенной схемы.

В этом параграфе рассмотрены задачи общего характера и задачи о разностных схемах, когда А — дифференциальный оператор, а Дн — аппроксимирующий его разностный оператор. В § 28 рассматривается другая реализация приближенных схем — схемы Галеркппа.

Пусть при п оо ха 2> х, уп^у. Доказать, что для любых скаляров аир

«гп + ^Уп ^ ах + Ру.

Пусть X = I,, Хп = Z?’, Определим операторы сужения Тп так: для любого ж = (sA)^=i е Z, положим Тпх = (^+i)h=i. Пусть zn = А”=1 е Z2. Доказать, что последовательность хп = (^+i)?=i имеет бесконечное число ^-пределов (что свидетельствует о плохой аппроксимации пространства Z2 пространствами 1Д с помощью операторов сужения 7\).

Если из соотношения ЦТДгЦ^ -»-0 при п-*«> вытекает, что х = 0, то нормы в Хп называют невырожденными. Доказать, что для единственности Т’-предела необходима и достаточна невырожденность норм в Хп.

Если || Тпх ||-^->- [I х || для любого х е X при п-* оо, то нормы в Хп называют согласованными с нормой в X. Доказать, что если нормы в Х„ согласованы с нормой в X, то Т-предел единствен.

Доказать, что если последовательность ll^n^lix ограничена при каждом х е А', то ограничена и последовательность

D ^Д^хГхпУ

Пусть А = С[0, Z], Выберем на [О, Z] при каж- дом zz е N сетку, т. е. наоор узлов

Введем операторы сужения Тп, полагая Тих=Л,х^Ук ’))ii=i. В качестве А„ возьмем сеточное пространство (линейное пространство функций, заданных лишь на сетке)_со следующей нормой: если Хц = (^n))k=i е Х„, то ||х„ |!Куб = = max | хД | (таким образом, X.^c'j. Доказать, что нор- кб <п„„ ..

мы в Хп согласованы с нормой в X, т. е. для люоои функции x(.t) г CtO, Z]

lim max | х (4")) | = max | .с (О Ь я-»ое 1^й</1tG[0jl

если К» = max | f^'m “ ^Л 10 прпп-^00.

i4i<»-i

В условиях предыдущей задачи зададим нормы в Хп так:

Доказать, что при ?м О

Ит || Т ^ |1сф — П^оеИт || Т ^ |1сф — П^оеI1 8) | х (t) |2 dt-ОI1 8) | х (t) |2 dt-О

Ит || Т ^ |1сф — П^ое

Ит || Т ^ |1сф — П^ое

I1 8

) | х (t) |2 dt

-О

I1 8

) | х (t) |2 dt

-О

откуда вытекает невырожденность сферических норм в А'„.

Доказать неравенство

l^ гГ И ‘Z'n 4hl 6 ^ II а'п ИСФ ^ 1^ IIИКУ б *

Последовательность хп е Хп называют Т-сходя- щейся к элементу х s X1.

в среднем, если Нх„ — 7„zllct -► 0, п-* «ц

равномерно, если Нхц— 7пз:11К1б0, п-* «>.

Доказать, что из равномерной 7-сходимости вытекает 7-сходимость в среднем, но обратное утверждение неверно.

Если ||хп—7„.г ||-^^ <рп-> 0 («->-°°), то говорят, чтахп1»хсо скоростью фл. Если ф„ > 0 и 11^»— 7п2:|-^ = = о(фп) (п-*оо), то говорят, что хп L, х со скоростью о(ф„). Доказать, что:

если хп Л х равномерно со скоростью фп, то - т

хп —> х в среднем с той же скоростью;

-s-27/1\

если хп —-. х в среднем со скоростью о —=■ , то

\ у п - т

хп —»хравномерно;

х— т/ 1 \

если хп —> х в среднем со скоростью срп = о —, то хп —> х равномерно со скоростью Ун(рп.

Пусть zU) — достаточно гладкая функция на 10, Z], а операторы сужения 7„ и пространства Хп заданы, как в задаче 26.6. Будет ли хп 7-сходиться к х и с каким порядком, если tt = iUn, i = 0, 1, 2, ..., п и:

а) ха = {^(tV’) + ж (tV-Oj” Jа) ха = {^(tV’) + ж (tV-Oj” J

а) ха = {^(tV’) + ж (tV-Oj” J

а) ха = {^(tV’) + ж (tV-Oj” J

Пусть Q — прямоугольник: 0=Сл:^1, 0=5^0, C(Q^ — пространство непрерывных на Q функций с нор- 151

моимои|iui| = max | и (r, t) |.

мои

мои

t.x.n=Q

Разобьем [0, 1] на n равных частей точками x^Un (i = 0, 1, ..., и), а отрезок [0, 61 — на m равных частей точками t^jQ/m (j = 0, 1, ..., m). Пусть Qnm — сеточное множество

Qnm = {(z„ (j), i = 0, 1, ..., и; / = 0, 1, ..m}.

Рассмотрим сеточное пространство С(^„т) с нормой Ijunml= max lu^, t)|.

<1x,f)£QTim

Доказать, что нормы в С (Qnm) согласованы с нормой в сиу.

Говорят, что последовательность А„ аппроксимирует А на элементе ieD(A), если T^eDU,) (neN), И при П оо

Кт.х-Трх^^О.

Пусть А„ аппроксимирует А на точном решении х*, уп аппроксимирует у. Доказать, что тогда уравнение Ах = у аппроксимируется па х* приближенной схемой АпхЛ = у„.

Пусть Хп = Х, У„ = У, Тп и Тн — тождественные операторы. Доказать, что условие аппроксимации оператора А последовательностью операторов Ап на некотором множестве McDU) означает сильную сходимость Ап к А на М.

Пусть Х = У = 610,11, X. = Уп = Л = = Тпх = (г (-^-)) , Ах = ^ с D(A), состоящей из непрерывно дифференцируемых на [0, 1] функций x(t), удовлетворяющих условию ж(0) = 0. Доказать, что оператор А на D(A) аппроксимируется последовательностью

операторовоператоровААп 0 0...00

операторов

операторов

А

А

— п п 0 . . .0 0

0 — п п . . .0 0

00 0 . . . — п п

Если выполняется неравенство рД.х-Трх^ <с(х)п1,

то говорят, что последовательность Дл аппроксимирует

155

Л па элементе ос с порядком 1. Пусть в условиях предыдущей задачи х(<)е/)(Л) и имеет па [О, 1] ограниченную вторую производную. Доказать, что Л„ аппроксимирует Л на х с порядком I, причем справедлива оценка \\AJTlx- Т'^^у^п),

где у,= sup |x"(Z)|. i=[o,ll_

26Л7. Пусть последовательность Л,. аппроксимирует

А на точном решении х* с порядком I, а последовательность уГ1 аппроксимирует у с порядком к. Доказать, что приближенная схема аппроксимирует точное решение с порядком min (Z, к).

Пусть Rn = R(AnV- подпространства в У„, на RT1 определены операторы Л”1 и

Р»1^^,..^) < V"1. гДе 7 > 0 — постоянная.

Доказать, что для последовательности Л„ выполнено условие устойчивости. Доказать, что если выполнено условие устойчивости, то RkAA замкнуты и, следовательно, являются подпространствами в У„.

Пусть ¥п = Хп. Доказать, что для Дп выполнено условие устойчивости, если для любой последовательности хпеО(Лп) выполняется неравенство

<х„, Л„х Л > дН^^П2,

где ^ > 0 — постоянная.

_ 26.20. Доказать, что в условиях задачи 26.15 ([Л*11|^2, и, следовательно, условие устойчивости выполнено.

Пусть Хп и У„ конечномерны, их размерности равны и выполнено условие устойчивости. Доказать, что N(AJ = 0, т. е. Ап отображает Хп на Уп взаимно однозначно.

Пусть для _всех возможных решении х„ приближенной схемы Л„х„ = у„ получена оценка Нх„11 ^ С 7-‘Hy,JI, где у — постоянная (такие оценки называются априорными). Доказать, чго в этом случае условие устойчивости выполняется.

Пусть приближенная схема Л„х„ = уп при у „ g eRL).) имеет единственное решение х„. Говорят, что решение ?„ непрерывно зависит от правых частей уп равномерно по п, если • для любого е > 0 существует 156

6 = S(p)>0 такое, что для всех y„, у„ ^ R (и„) таких, что || y,t — Ун || < 6, для соответствующих решений хп, хп выполняется неравенство Чгп—-г,Д<е. Доказать, что для устойчивости приближенной схемы необходима и достаточна непрерывная зависимость ее решений от правых частей равномерно по и.

Пусть выполнено условие устойчивости. Доказать, что каждое приближенное уравнение имеет не более одного решения.

Пусть xt, z, — точные решения; т. е. Axt = у, Ах2 = у и выполнено условие устойчивости. Доказать, что справедливо неравенство

уЦТЧС^-^)^^

^ || АпТпХ1 — Тп^З"! fp^ + | АпТъХг — Тп>1^2 Цу^.

Пусть последовательность Л„ аппроксимирует А на каждом точном решении, нормы в Хп невырождены (см. задачу 26.3) и выполнено условие устойчивости. Пользуясь неравенством предыдущей задачи, доказать, что точное уравнение имеет не более одного решения.

Пусть в условиях предыдущей задачи у^^у при и оо. Доказать:

справедливость оценки

II хп — Тпх Ц-^ < у-1 pi уп — Тпу^ Ц^ + II Т'пАх — А^т^х ||},

где х — точное решение;

сходимость приближенной схемы.

В задачах 26.28—26.34 на отрезке (О, Z] рассматривается задача Коши

^ + <z (Z) т = / (Z),z(0) = a.

Положим Х = С[0, ZJ, У = CtO, ZJ 4- R, Ах =+ a (Z) х,

лДО)}, ДИе^ЧО, Z[, aU\ /(/) е CIO, Z], На [0, Z] зададим равномерную сетку 2 = (Ч1л=п th = kx (к = •= 1, 2, ..., и), где т = Zn_1 — шаг сетки. Пусть _^„ — n-мерное пространство столбцов хи = 4^"=!, |хп || =

= шах | zJ , Yn = Хп 4- R, операторы сужения имеют вид Тт.х = HZ ))"=1, 7^ = {7П/,К}.

Рассмотрим разностную схему

——^—1 + a^'i-i =/м^ = 1, 2, . . ., п,

^0 = уч (/i)i=l ~ Т^,(a;)i=l = ТГД.

Записать схему в каноническом виде:

$! = ЯХт)^-, + т/„ I = 1,-2, ..., п; Хо — а,

где I/?,(т) I ^ 1 + ст, с = IWIC[0,;].

Доказать, что схема имеет единственное решение ^п = (^Jtn причем для z = l, 2, ..., и справедлива оценка

kiK(l + ст){ | сс | + 2 (1 + cT)feT !| /„ ||. к=0

Получить априорную оценку

Доказать устойчивость разностной схемы.

Запишем разностную схему предыдущей задачи в сеточной форме (2 — сетка):

1-— ^—~ — + а (1) х (t — т) = /(1), t г 2, зДО) = а.

Пользуясь формулой Тейлора, доказать, что на точном решении в каждом узле th сетки 2 разностная схема аппроксимирует исходную задачу Коши.

Доказать, что справедлива оценка

^П = II ^пТп® У п|| у =

= sup ^)_ a (Z)5 (; - т) - / (?) < 1 у2т,

tex т

где у., = sup ||Z(f)||.

ieio.n

Рассмотрим разностную схему

——^ -■ 1 + [аха (К-1) + ^2^ (Ю1 IPi^i—1 + Р >^\ 1 =

= Vi/ (^-1) + Yd ^iV i = И 2, ..., и; хй = а.

Как надо выбрать постоянные ац а2, ^1, ^2, 7i, Т2, чтобы она аппроксимировала точную задачу со 2-м порядком? 158

Рассмотрим разностную схемм предыдущей задачи при Cil = с<2 = ^1 = ^2 = 71 = 72 = 1/2.

Доказать, что эта схема имеет единственное решение, если

ст <2, с = IX'cto.zj.

Записать схему в каноническом виде

г, = Я/т/г,-, + т/г,, i = 1, 2, ..., п; £0 = а.

Доказать, что справедливы неравенства

Шт)|ба + 2ст, |А,| < 2И/П11.

Пользуясь неравенствами из пункта в), доказать устойчивость разностной схемы.

Пусть точное решение xW) имеет на [О, Z] ограниченную третью производную.

Доказать, что разностная схема задачи 26.29 имеет 2-й порядок точности.

Оценить |р„ — r^^ly^.

Доказать, что разностная схема

^+ fl^Zj ■= /{, (o;)i= i = Тпа,

(/i)"=i = ЛД, i = 1, 2, . . ., п — 1, т0 = а,

^1 = /(0)-й(0)а г

однозначно разрешима. Записать ее в сеточной форме и доказать, что она аппроксимирует исходную задачу с порядком 2, если точное решение имеет на [О, Z] ограниченную третью производную.

Запишем разностную схему предыдущей задачи в матрично-каноническом виде:

и, = Д./т/и,-, + т/г,-, г = 1, 2, ..., п — 1,

где и0 задано;

й, = ^2° у р = а + т[/(0) + д(0)а].

В возникшем двумерном пространстве фиксируем норму: для и = (^1, ^.) полагаем Hull = шах d^J, I^D.

Доказать, что справедливы оценки

ИДт)||<1 + 2сТ, С = №о,Щ Ы^Ни-т^,

Пользуясь оценками из пункта а), доказать устойчивость разностной схемы.

Доказать, что разностная схема задачи 26.33 имеет порядок точности 2.

Оценить ||^,г — 7„.г|[уп.

Доказать, что разностная схема

2Н+т -г Зг, — бг^ _ qт’

г = 1, 2, . . ., и — 1; х^ = 1, xL = 1 + т2. т = 1 п,

аппроксимирует задачу Коши

^ = 0, х (0) = 1, te [0, 1], на ее точном решении.

Доказать, что:

разностная схема предыдущей задачи имеет решение

х, = 1 + тЧ2' — 1), I = 0, 1, ..., 11 - 1;

если х — точное решение, то Их,, — ТпЛгИ -> <» при н-* оо и, следовательно, разностная схема расходится. Объяснить, почему из пункта б) вытекает неустойчивость схе*мы.

Доказать, что разностная схема

^,+] -(0-1-С) г, - - сгг г =0 т

i = 1, 2, .. ., п — 1; Гц = 1; .ту = 1 + т2, т = 1 п,

при с^а, а * 0 аппроксимирует задачу Коши x'lt) = О, х(0) = 1 (te [О, 1]) на ее точном решении.

Доказать, что разностная схема предыдущей задачи сходится, если |с/н| < 1 или с = —о, и расходится, если lc/al > 1.

В задачах 26.39—26/11 рассматривается задача Коши для системы к дифференциальных -уравнений с к неизвестными функциями переменного i е [О, /1:

^+#(/).г = /(/),х^ = а.

Здесь неизвестная функция разыскивается в X — прост- 100

ранстве непрерывных вектор-фупкцийл'(0 = Ccs (0)^=!

с нормой

|;.г|1= max max |-r, (?;|,1 <s<h is[oj]

B(t) — квадратная магрица порядка к с непрерывными элементами b„U) U, / = 1, 2, ..., к), fit) s X, а^с\ У = = X 4- с\ Введем операюр Л: пусть D(A') состоит из функций х, непрерывно дифференцируемых на [0, ZJ, Ах = (хЧС + В^х, х(0)} для zeDUb На [0, Z] задается равномерная сетка с шагом т = hW Из теории обыкновенных дифференциальных уравнений известно, что задача Ах = у, где у = {/, а?, имеет единственное классическое решение.

Рассмотрим разностную схему

aA2Z_lXik + В^х^ = j^t^, I = 1, 2, . . ., ?i; x0 — a. т

Записать разностную схему в сеточной форме и доказать, что если точное решение имеет на [0, /1 ограниченную вторую производную, то разностная схема аппроксимирует исходную задачу на точном решении с 1-м порядком.

Записать разностную схему в каноническом виде:

Xi = RSx'lXi-i + т/,-, i = 1, 2, ..., n; x0 = a

и доказать устойчивость разностной схемы.

Доказать, что разностная схема сходится, и дать оценку_

II ^п Тпх 1^п«

Пусть /(i) = 0, A (Z) = А — постоянная на [ОД] матрица, имеющая к линейно независимых собственных векторов cpj (/ = 1, 2, ..., М, отвечающих собственным значениям Xj (; = 1, 2, ..., к"). Рассмотрим разностную схему

——^2^1 + Ах;_г = 0, ■ i = 1, 2, ..., п; х0 = а,

Найти решения точной задачи и разностной схемы в виде разложений по собственным векторам матрицы А-.

х№ = l^jff)^ Xi = 2 ^оФи 1 = 1. 2, ■ -., п.

И В. А. Треногим и др.161

Доказать неравенство

|(l + Xii),/T-e?J|<4VTeX‘

и с его помощью оценить ||хп— ^п^Их

Рассмотрим на [0, +<») задачу Коши с постоянной матрицей С (хеЕнУ.

^ = Сх, i(0)-а

и семейство разностных схем (tIICII < 1, т > 0)

i-^Ц^-^ = СД1\ - х(0) = а.

Проверить, что xW = ecta — точное решение, xU) = = U + тС¥,та — единственное решение разностной схемы.

Доказать, что в SIX') при т -► + 0

(7 + тСУм -+ ес*.

Дать оценку для lh(t) — х(/)И при т-* + 0.

Рассмотрим на [0, 1] задачу Коши для дифференциального уравнения 2-го порядка ^Ь^^с^х^У^ х^ = а, х'^ = ^.

Запишем ее в виде системы

^ + Ъ^и + c(t)^(i) = yW, z(0)= a, u(O)=p.

а) Доказать, что при равномерной сетке разностная схема

г. — X ._.

-Uj-! = О, I = 1, 2, . .., п; х0 = а,

— ^-^■ -ф ^(ii-i)^;-! + с (fi-Д х,_г = у (ij-i),

I = 1, 2, ..., п; ий = р

сходится, причем хп аппроксимирует xto, а й„ аппроксимирует х'иУ

в) Привести соответствующие оценки.

Доказать, что в условиях аадачи 26.42 разностная схема

, — 2^- 4- х, ,х. — х, .

■^h 6(/i-i)г с (^i—i) ^1-1= У (fi-i),

i = 1, 2, . . ., п — 1; г0 = а, -2——Я = 0

однозначно разрешима и сходится, причем хп— (^t)?=i ап- проксимирует xlf), а гп=1— I аппроксимирует х (О.

В . задачах 26.44—26.47 рассматривается краевая задача

7 + c(t)^(t) = y(Z), ts [0, 1\, ж(0) = a’(Z) = 0. dt"

Здесь Х=У = С[0, П, cto, yW^ClO, П,Ах=-Ц-\- dt

+ c(t)x, О(Л) — множество дважды непрерывно дифференцируемых на [0, 11 функций xUI, удовлетворяющих граничным условиям x(0)==x(Z) = 0. Для равномерной на [О, Z] сетки Хп = F„ — пространства столбцов высоты га—1 хп = (xh)"21 с нормой Ц Хп Ясф=т 2 I $к |2, операторы суже- h=l

ния Тпх = Тпх = (х (/д))"^.

Доказать, что разностная схема

к = 1, 2, ., п — 1; х0 = хп = 0

аппроксимирует исходную задачу со 2-м порядком, если точное решение имеет на [0, 2] ограниченную четвертую производную.

Доказать неравенства (жо = ж„ = 0):

— 2 Us+1 — ^х, + х,_г)х, = 2 (^ — ^А-1)2;

«=1.h=l

FJ2 = 2 I z* |2< У Т~Х 2 (2к—Хк-1)2.«—1h=l

Пусть c(t) > 0 на 10, Z],

Записать разностную схему задачу 26.44 в матричной форме ДпХп = уп.

11*11*163

11*

11*

Пользуясь неравенствами задачи 26.45, доказать априорную оценку

.ту) ^5 21 J [|,

откуда, согласно задаче 26.19, следует устойчивость разностной схемы.

Пусть точное решение xU) имеет на [О, Z] ограниченную четвертую производную, у4 = sup |V4)(Z)|, ie[oj]

хп— решение разностной схемы задачи 26.44.

Доказать, что справедлива оценка

II ^ILТ ц1 ^ ф ^ — - ■.

Пользуясь задачей 26,16, доказать, что

I — Тпх |1,,уб = шах | хк — х | VI. l<li«ii2'иг'-

Интерполяция сплайнами

Пусть X, X — гильбертовы пространства, причем X = = ТХ, где ТеТА. X)— оператор сужения в терминах § 26. Пусть У — гильбертово пространство и оператор А е 2TVX, У). Элемент seX называется интерполяционным сплайном (d, А)-сплайном), соответствующим «вектору входных данных» У еХ, если

И^Ь— inf ||/И3.

XG7-4D

Через т-|(д) здесь обозначено множество прообразов элемента х при отображении Т, т. е. множество решений уравнения Тх = х. Наиболее часто Т — оператор сужения функции на сеточное множество. Таким образом, интерполяционный сплайн s осуществляет в определенном смысле^ оптимальное продолжение (интерполяцию) элемента х в элемент пространства X.

Теорема 27.1. Если линейное многообразие ANd) замкнуто и N(A) Л Nd) = 0, то для каждого х^Х существует единственный интерполяционный d, А^-сплайн s.

Теорема 27.2. Пусть оператор А нормально разрешим, его ядро ХШ конечномерно и ^ЧA) Л Nd) = 0. Тогда линейное .чногообразие ANd) замкнуто, 1G!

Пусть s — интерполяционный (Т, Х)-сплайн. Доказать, что ДЛЯ любых 2 е X таких, ЧТО 72 = 0, выпотпя- ется соотношение ортогональности (.4s, Xz) = 0.

Пусть элемент s е X интерполирует .т, т. е. удовлетворяет соотношению Ts=x, так что для любых jeNA) выполняется соотношение ортогональ пости (Xs, Xz) = 0. Доказать, что s— интерполяционный (7, X)- сплапп.

Пусть X = H'V0, Zl, y = L2[0, Zl, J? = 5^*-сеточное пространство функций, заданных на сетке 0 = tn < it < ... < tn = I, T — оператор сужения функции я(<)е 7740, Z] па эту сетку. Пусть Аж — ^, X г 2? (Н1 [0, Z], L2[0, ZJ). Доказать, что кусочно линейная функция

$1 (0 = *И 4" (^-ipi -^J ,

Zi+l

t e [Zb Zi+1], Z = 0,I, . ..,» — !,

интерполирует вектор x= (^;}?^0, удовлетворяет соотношению ортогональности и, следовательно, согласно задаче 27.2, является интерполяционным сплайном (такие сплайны называются линейными').

Пусть 9A(Z) — характеристическая функция отрезка [ZA_„ 6kU) = 1 па [zZA-lf tj и 6A(Z) = 0 вне [Z^-,, zJ. Проверить, что

к=1h

Пусть s, s — два (7, Х)-сплайна, соответствующих одному и тому же вектору ж.

Пользуясь соотношением ортогональности, доказать, что (Xs, Xs) = HXsIl2 = IIXsII2.

Используя задачу 3.19, доказать, что X(s — s) = 0, т. е. что s — s е N(A).

Пусть 7VXX) П АКТ") = 0. Доказать, что каждому хеХ соответствует не более одного (7, Х)-сплайна.

Используя задачи 27.4, 27.5, доказать, что кусочно линейная функция является единственным интерполяционным линейным сплайном.

Рассмотрим на отрезке 10, Z] систему функций- «шапочек»:

(1 — Z/Zx на [0, ZJ,

“о (0 = | 0 HafZ^ZJ;

на [^-х, Г,]

0), (?)0), (?)^+1 ~ 1О^+1 ~ 1Она ]?,, ?на ]?,, ?вне [?вне [?«,. (О =«,. (О =Оt — tОt — tA 11L / = 1, 2, . . ., /г — 1; на [0, /„„х],A 11L / = 1, 2, . . ., /г — 1; на [0, /„„х],- на [?- на [?

0), (?)

0), (?)

^+1 ~ 1

О

^+1 ~ 1

О

на ]?,, ?

на ]?,, ?

вне [?

вне [?

«,. (О =

«,. (О =

О

t — t

О

t — t

A 11L / = 1, 2, . . ., /г — 1; на [0, /„„х],

A 11L / = 1, 2, . . ., /г — 1; на [0, /„„х],

- на [?

- на [?

Нарисовать графики этих функций.

Доказать, что в условиях задачи 27.3 co,U) является сплайном, отвечающим вектору входных данных S1 с координатами я, = 1, я* = 0 (к = 1, 2, ..., ? — 1, i + 1, ..., и).

Пусть 6,(?) — характеристическая функция отрезка Ю-!, tj (i= 1, 2, .. ., п). Проверить, что на [О, Z1

Mo(?) = ri_l)9xWi to)iW = L-h^ QnWi\1 /ln ln—l

ю<М-гч=^е.(О + ^^отм z = i,2,...,n —i.

Проверить, что ^х(0 " 2 з^^Д?), т. e. что си- стема toAO (i = 0, 1, ..., n) образует базис в пространстве линейных сплайнов.

Для случая равномерной сетки tl = ih, nh = l (i = 0, 1, ..., п) доказать, что на [0, 1]

м,(?) = Ю(А_ ?), i = o, 1,

где

СО (а) =СО (а) =1 + з на [—1,0],

СО (а) =

СО (а) =

1 — s на [0, 1], О вне [- 1, 1].

Пусть Х = ЯЧ0, П, У = АЮ, П, J = E"+1, п> 1, Тх (t)= (ж (?i))"=o, AxW = х" U). Доказать, что N(A) П ПЖ7)«=0 и, следовательно, задача отыскания (Т, Л)- сплайнов имеет не более одного решения.

Доказать, что если линейное многообразие ANd) замкнуто, то аффинное многообразие АТ~Чх) также замкнуто.

С помощью теоремы 15.4 доказать, что в условиях задачи 27.13 существует единственный элемент у, реализующий в пространстве Y расстояние от 0 до аффинного многообразия АТ~Чх\ Доказать, что существует сплайн s, интерполирующий х, и он является общим решением уравнений As = y, Ts = x.

С помощью задач 27.13 и 27.14 доказать, что в условиях задачи 27.12 (Г, Л)-сплайн существует.

Назовем функцию s,(l) кубическим сплайном, интерполирующим сеточную функцию х =-{.т1}7=0, если:

s,(f) еСЧО, Л;

на каждом отрезке [4. 1(+)] «-,(4 является многочленом не выше третьей степени;

Tss = x\

/, (0) = 4 (7) = 0.

Пусть на [4, 4+J (i = 0, 1, . . ., п — 1)

4-ri 44+14

где Рп = Рп = О согласно п. 4). Доказать, что на [4, 4+J (i = 0, 1, ..., п - 1)

S3(4-Pl 6Tj^ + Pi + 1 gTj+i +

где т,+14+i 4.

В условиях задачи 27.16:

вычислить s3(ty,

приравнивая ^(4 — 0) и s3(4 + 0), докатать, что постоянные р(, р2, ..., Рл-i удовлетворяют системе уравнений

j4±2?чо...о

866□

I24^3Ъ...ОД

I666

I о о о . . .1

I6

Т2Т1

дп — gn-l ^п-1^41^2

тп “ тп-1

доказать, что эта система имеет единственное решение, и, таким образом, для каждого х существует единственный кубический сплайн s3H).

Проверить, что для кубического сплайна s3U) выполняется соотношение ортогональности и, следовательно, согласно задаче 27.2 $3(<) есть (7, Л)-сплайн в условиях задачи 27.12,-

Рассмотрим функцию

при i ^ 2,

<т(1) = -^ (2 — Z)3на [1, 2],

+ 3 (1 - /) + 3 (1 - ty - 3 (1 - ty на [0, 1],

aU) = а(—t) при t < 0. Доказать, что функция о(1) дважды непрерывно дифференцируема на ( —°°, +°°), и нарисовать ее график.

В условиях задачи 27.19 введем на [0, Z] систему функций

o,(z) = aWh — i), 1 = 0, 1, ..., n; h = Un.

Доказать, что для любой функции z(t) s НЧО, В такой, что z(y/i) = O (у = 0, 1, ..., п), выполняется соотношение ортогональности

a" (t) г" (t) dt = 0,

о

и, следовательно, согласно задаче 27.2, o,(Z) является кубическим сплайном, отвечающим вектору входных данных х с координатами xt = 2/3, Xi-i = ж,+1 = 1/6, ^ = 0 при к + i — 1, i, i + 1 (при i = 0 ж0 = 2/3, xt = 1/6, хь = 0, если &>1, а при i = п ^ = 0, если к<п — 1, ж„-! = 1/6, хп = 2/3).

Проверить, что в условиях задачи 27.20 система o,(i) (i = О, 1, ..., п^ образует базис в пространстве кубических сплайнов в случае равномерной сетки, причем

п

®з (0 = 5 £1°й (С,

1=0

линейныхлинейныхгде вектор g определяется пз системы уравнений

линейных

линейных

ООО... 2/3 У knООО... 2/3 У knИО) х (/г)иоИО) х (/г)ио2/3 1/6 0 •О 111 ^о1'6 2/3 Гб • ■■ 0?!

ООО... 2/3 У kn

ООО... 2/3 У kn

ИО) х (/г)

ио

ИО) х (/г)

ио

Пусть Х = НЧО, Z1, ^„ — пространство (пН)- мерных столбцов с нормой

||7„||^max |у,| + т-1 max К н —0<k</i04h<>i-l

tk = кт, пт = I, Т„х = к (£/-))"=о- Пусть 8п — оператор кусочно-линейной интерполяции, ставящий в соответствие вектору входных данных (.z (£т.))г‘=-и линейный сплайн s/Z). Доказать, что:

S^^CY,,, X) и HSJ 2УТ? *

оператор S,t является правым обратным к оператору Т-

Пусть даны банаховы пространства X, Х^ («еМ и операторы сужения Тпе ^Х, Х„), ТпХ=Хп. Доказать, что если оператор 8„е 2?(х„, X) является правым обратным к оператору Т„ (neN), то операторы Pn = S„Tn являются ограниченными проекторами па Х„ = S4X„ (н е N).

В условиях задач 27.22 и 27.23:

доказать, что проектор Рп можно задать в виде

Р1Хх-^ х(Ч)мгЩ,г=0

где ы,(<) (I = О, 1, .. ., и) — система функций из задачи 27.8;

доказать, что.

х — Р„х =

= 2 9i (О Ь (^ — х (;i-i) — к ^/) ~

IЧ

с помощью формулы Тейлора доказать, что при м -* оо

1!^ - Р^нчо.п = 0 (т)’ еслп х-н11°’ ;Ь

к —Л>ж[|Н2[0|/] == 0^, если ze№[0, Z].

Пусть X = LjO, Z1, Х„ - евклидово пространство столбцов х = (zj’kl с нормой

1=1

<1)п<1)пТих =Доказать, что:Тих =Доказать, что:Пусть, далее,

<1)п

<1)п

Тих =

Доказать, что:

Тих =

Доказать, что:

(Т, /)-сплайны имеют вид 5n^n= У, x^^ty

1=1

min hiila[o.z] = М^д.

В условиях предыдущей задачи доказать, что Тпе£(Ш ИпК1. SnGS(XMX^ Щ=1, Sn = (Т^г \ Рп = SnTn — проекторы, и ЦР,,^—ж|] = = О(1/л) (л -* оо) при хе Н^ц.

Приближенные схемы Галеркина

Пусть X, У — банаховы пространства, А — линейный оператор с DWcX, Ri.AicY, Для отыскания приближенного решения уравнения Ах = у 1уеЩАУ задают две последовательности подпространств Х„ <= DkA\ Y„cY и две последовательности проекторов Рп и Q„, Р,1Х = Хп, QnY=Yn. Последовательность приближенных уравнений (схема Галеркина) задается в виде

QnAxn — Qny, хп ^ Хп,

Эго частный случай более общего подхода, рассмотренного в § 26.

Теорема 28.1. Пусть выполнены следующие условия-.

QnU = R(QnAPJ, т. е. приближенные уравнения разрешимы;

Рпх -* х (п-* ”) на каждом точном решении х;

Qny у (п-* оо);

И<2„Лх — QnAP„x\\ -* 0 (л-*оо) на каждом точном решении х, т. е. выполнено условие аппроксимации-.

П^пЛхя11 > 7lla:nll для каждого хп а Хп и каждого п s N, где у — положительная постоянная, т. е. выполнено условие устойчивости.

Тогда точное и приближенные решения единственны, галеркинская схема сходится и справедлива оценка

Hz,, — xll С ПР„а: — жИ + 7-lH<2n Ах — QnAPnx\\.

Пусть подпространства Х^, У„ — и-мерные, {<f(1n)li‘ i— базис в ХП1 (yi"'li=i—биортогональная к нему система 170

линейных функционалов, тогда оператор Рл можно задать в виде

Аналогично, пусть iz,?0)^!—базис в У„, (ф1п)]л=1 —би- ортогональная к нему система линейных функционалов; тогда

Qny^l <у,А

Разыскивая галеркипское приближение хп в виде

^п Si Фг

1=1

и подставляя его в приближенное .уравнение, получаем е(п)

для определения gi , . .., Sn систему линейных уравнении

2 <А^\ фП V/1’ = <У, <’>, к = 1, 2, . . ., п. 4=1

Отметим важный частный случай, когда ХК и Е„ являются соответственно линейными оболочками первых п векторов систем {<р,}^=1 и {2Й}”=1. Тогда системы {yt}^=i и (фк}”=1 также можно выбрать, не зависящими от п.

Пусть т„ е Ал (aeN), Запись хп —> х (п -► <») означает, что Их» — Ряж11 -> 0 при п-* °°. Доказать, что если хп —> х, уп—>У (п-*<»), то для любых скаляров а, р будет ахп + руп ^, ах + $у.

Точка хе X называется Р-пределъной точкой последовательности подпространств X», Хп~РпХ (neN), если Рпх -* х при^п-* оо. Пусть х— P-предельная точка последовательности Х„. Доказать, что для того чтобы последовательность жп Р-сходилась к х, необходимо и достаточно, чтобы хп сходилась к х в пространстве X.

Если всякий элемент хе X является Р-предель- ной точкой последовательности Хп, то последовательность подпространств Хп называют предельно плотной в пространстве X. Доказать, что если последовательность Хп предельно плотна в X, то понятия Р-сходимости и сходимости в X совпадают.

Пусть

РпХ = i <х, ^) <\ Qny = 2 <у, <ъ 2^,i=lh=l

где системы |<Pi н=1И|у{n № бпор-

toi ональны. Доказать, что ^« = Ди Q\ = Qn-

Пусть ton > 0, HQ,J! С ы„, A e 2?(X, У), a x есть Р-иредельпая точка последовательности подпространств Х„, причем ||ж— Рпж|| = о (ton1) при п оо. Доказать, что на элементе х выполнено условие аппроксимации.

Пусть существуют линейно независимые системы ср, е Л(Л), ^^^(Л*) (г, jeN) такие, что <Лф„ т|7> = б„ (i, ] е N). Положим

РпЖ = 2 <^, ^*4'i> Фи

QiU -= 2 <z/.^i> Nt-

г=1

(Полученная схема называется схемой наименьших кваЭ- ратовА Доказать, что в этом случае \(QnAx — Q^AP^ = О для любого i^DU), т. е. условие аппроксимации выполнено точно.

Пусть А = Л, + Аг, причем для каждого из операторов Л], Л2 условие аппроксимации выполнено. Доказать, что оно выполнено и для оператора А.

Пусть для любого хе£)(Л) выполняется неравенство Mill 2s odti, а для любой последовательности уп е АХ„ выполняется неравенство HQny„H 5$ Р>*У«И, где а, Р — положительные постоянные. Доказать, что галеркип- ская аппроксимация устойчива с постоянной 7 = оф.

Пусть оператор Л действует в вещественном гильбертовом пространстве Н л для любого хеО(Л) выполняется неравенство (Ах, х) 5» ^(х, х), где 7 > 0 — постоянная. Доказать, что (Р„Ахп, xj > '(H^,Ji2 для любой последовательности хп е Хп. Вывести отсюда устойчивость га- леркипскоп аппроксимации.

Пусть в схеме наименьших квадратов (задача 28.6) Д(Л) плотва в X и для любого х е D(A) выполняется неравенство НЛл:11 ^ ^Иж11, где 7 — положительная постоянная. Доказать устойчивость этой схемы.

Доказать, что в условиях задачи 28.10 для схемы наименьших квадратов справедлива оценка

Их„ - xll7-‘П<2,1 г/ - у11

и, следовательно, схема сходится при QKy у (н ^- °°).

Пусть // — гильбертово пространство, А: Н

-* II — линейный оператор с О(Л), плотной в Н. Прове-

рить, чю на решении уравнения Ах = у реализуется минимум функционала

q) (ж) = \'Лх — у112.

В условиях задачи 28.12 пусть ф, (ZeN)—линейно независимая система в //. Приближенное решение

$п = 2 СгФт будем разыскивать из требования

ф (^н) -= 2 сгЛфг — уф (^н) -= 2 сгЛфг — уI2 •= min.I2 •= min.

ф (^н) -= 2 сгЛфг — у

ф (^н) -= 2 сгЛфг — у

I2 •

= min.

I2 •

= min.

Выписать систему уравнений для с4, с2, . .., с,„ Доказать, что этот метод Uterod Ритца) приводит к схеме наименьших квадратов.

Пусть подпространства Хп, У„ — n-мерные. Доказать, что из устойчивости схемы Галеркина вытекает однозначная разрешимость приближенных уравнений.

Пусть X, Y — гильбертовы пространства, Р-, Qn*— операторы ортогонального проектирования Рпх =

условиеусловиев веще- для лю-в веще- для лю-= 2 U, Ф1) Ф1, Q»y = 2 (1/, 4i) 4i- Доказать, что г—1г—1

условие

условие

в веще- для лю-

в веще- для лю-

устойчивости можно записать в виде

2 2 cusi5j 7 2

Вычислить коэффициенты с» (i, / = 1, 2, .. ., п).28.16. Пусть оператор А = А, + Аг действует ствсшюм гильбертовом пространстве Н, причем бого х е D(A) справедливы неравенства (Лл х) 3s 'fJHH2, (А„т лЛ 5-- у4ЫН. где у,. Ya — постоянные, "ft + Ya > 0. До-Вычислить коэффициенты с» (i, / = 1, 2, .. ., п).28.16. Пусть оператор А = А, + Аг действует ствсшюм гильбертовом пространстве Н, причем бого х е D(A) справедливы неравенства (Лл х) 3s 'fJHH2, (А„т лЛ 5-- у4ЫН. где у,. Ya — постоянные, "ft + Ya > 0. До-1=1к — \

Вычислить коэффициенты с» (i, / = 1, 2, .. ., п).

28.16. Пусть оператор А = А, + Аг действует ствсшюм гильбертовом пространстве Н, причем бого х е D(A) справедливы неравенства (Лл х) 3s 'fJHH2, (А„т лЛ 5-- у4ЫН. где у,. Ya — постоянные, "ft + Ya > 0. До-

Вычислить коэффициенты с» (i, / = 1, 2, .. ., п).

28.16. Пусть оператор А = А, + Аг действует ствсшюм гильбертовом пространстве Н, причем бого х е D(A) справедливы неравенства (Лл х) 3s 'fJHH2, (А„т лЛ 5-- у4ЫН. где у,. Ya — постоянные, "ft + Ya > 0. До-

к/12Т, О.) У ;2l.i. . , 1М._, (,, н , ,

казать, что для оператора А выполнено условие устойчивости (по Галеркипу).

В пространстве Н = Л2(0, 11 рассмотрим опера- тор Ах =— с областью определения D(A), состоящей из дважды непрерывно дифференцируемых на (0, 11 функций x(t), удовлетворяющих граничным условиям х(0) = = х(1) = 0. Выберем в Н систему элементов фи = 44 = = V2sinA-nt (fceN), одновременно координатную и проекционную; тогда п

Qn^ = Рщ.^ = 2 (^, Фа) Фа*

А=1

Доказать, что:

PJM;

Р^Ах -- 2 &2л2 (А Фа) Фа = ^пХ, откуда Р^АР^х — А=1

Р„Лг = 0 для всех ieD(A\ т. е. выполняется условие галеркинской аппроксимации.

В пространстве £2[0, 11 рассмотрим оператор Ax(t) = cMeU), где с(£) — непрерывная на [0, 1] функция. Зададим Р„ = QK, как в задаче 28.17. Пользуясь задачей 28.6, доказать, что для оператора А выполнено условие галеркинской аппроксимации.

Пусть Л = Л1 + Л2, где оператор А4 определен в задаче 28.17, а оператор Л2 — в задаче 28.18. Пользуясь задачей 28.7, проверить, что для оператора А выполнено условие аппроксимации по Галеркину.

Пусть А — дифференциальный оператор, определенный в задаче 28.17.

Доказать, что для любого xeD(A) выполняется

1

(Ах, л) = J х'2 (О ^.о

Используя задачу 22.19, доказать, что для любого Л выполняется неравенство (Ах, х) > лДж, х).

Используя задачу 28.9, доказать что для оператора А выполнено условие устойчивости.

Пусть А — оператор, определенный в задаче 28.18, причем всюду на [0, 1] выполняется неравенство с(£) > а. Доказать, что для оператора А выполнено условие (Ах, х) ^ аЛх, х).

Доказать, что для оператора А = А, + А2, где Л, определен в задаче 28.17, а'Л2 —в задаче 28.21, причем а > — л2, выполнено условие устойчивости.

Пусть функция у(Р непрерывна на [0, 11. Рассмотрим краевую задачу

—х” + с(рх = у, л: (0) = х( 1) = 0.

Пусть ф6 = фл = У2 sin knt (к г N).

а) Доказать, что галеркипские приближения решения этой задачи имеют вид

$„(() = 2 1пфА (О’

А=1

где коэффициенты |(, |2, ..-,£« определяются из системы 174

линейных уравнений

4=1

61 Найти выражения для с1А и r|h (/, & = 1, 2, . .., м).

Пользуясь задачами 28.17—28.23, проверить для краевой задачи 28.23 выполнение условий теоремы о сходимости галеркинской схемы. Дать оценку скорости сходимости галеркинского приближения к точному решению.

Пусть Л е^ (X, У), операторы QnAPn непрерывно обратимы и для n е N выполняется неравенство

11«?пЛР„)-,Н < ч.

Доказать, что галеркинское условие устойчивости выполнено.

Пусть А непрерывно обратим, точное решение х является P-предельной точкой, а II (М ^ с. Доказать, что условие галеркинской аппроксимации выполнено и что справедлива оценка

llz„ — xll ^ усПЛ 11 ИРпх — л:11.

Пусть У = Х, A=I — K, Ке$кХ\ Qn = P„. Предположим, что операторы Z„ — РпКРп, где /„ — тождественный оператор в Рп^, непрерывно обратимы, и для любого и s N справедливо неравенство

11(7„-РЛР„)-1и<Х.

Доказать устойчивость галеркинской схемы.

В условиях предыдущей задачи пусть операторы I — К и I — Р^К (п е N) непрерывно обратимы и для любого и е N выполняется неравенство

llPn2^-Z<ll<qll(^-Ю-,ll-,,

где q е (0, 1). Доказать устойчивость галеркинской схе-

г 1 — 9

Пусть в условиях задачи 28.26 Р„К -* К при п оо, а Рпх -*- х при п -*■ ос. Доказать, что:

для галеркинской схемы выполнены условия аппроксимации и устойчивости;

выполняется неравенство Ил:™ — ^И =5 Х^"2 — ^

Пусть в условиях задачи 28.26 при п -► <* Р„К -^ К, Рпу -+ у. Доказать, что справедлива оценка

Нх„ - xil < чМ\У - У'I + ЧН1 - ^Г'И №Л - ^ М-

В пространстве L2lO, 1] рассмотрим интегральный оператор

1

Кх = J К (t, s) х (a) ds, о где

' ’ ^4 — 4s cos Kt + s2

Выберем в Л2[0, 1] координатную систему дц = 1'2 cos knt (k е N) и построим проекторы

Р.Л = 2 (Х,^ W

k—1

Доказать, что Р„К К при п-* =с.

В пространстве А2Ю, 11 рассмотрим интегральное уравнение Фредгольма 2-го рода

1

х (t) — j К (_t, s) x(s) ds — у (i). о

Выберем в L2[0, 1] координатную систему ^Л^ (AeN).

Выписать систему для вычисления коэффициентов галеркипского приближения.

Для случая, рассмотренного в задаче 28.30, доказать сходимость галеркпнской схемы.

В пространстве CIO, 1] рассмотрим интегральное уравнение предыдущей задачи с уШ е С[0, 11 и ядром KU, s\ непрерывным при 0 ^ t, s < 1. Положим

Р, -с = QHx = 2 ьгмД0>

г-0

где функции ы,(1) определены в задаче 27.8.

Выписать систему уравнении для определения коэффициентов gj, с1т . . .,

Пусть max | К (t, s)| = A’<l;2. Доказать, что i,s = [o,l)

при п> j—■ ^ приближенные уравнения однозначно разрешимы и галеркпнская схема устойчива.

Доказать сходимость галеркпнской схемы.

На отрезке [О, Z1 рассмотрим задачу Кошп

Ах = х'+ cU)x = yU), л(0) = О

с £>(24)сЯЧ0, 1]—пространством функций из ЯЧО, ZJ, 176

удовлетворяющих начальному условию т(0)=0, и с RIA) = LAO, 1] (предполатается, что c(Z) s CtO, Z]). Для равномерной на [О, Z] сетки с шагом т введем проекторы

г-0

QrJJ = 2 j у^ВДх) ds )0,(Z),г—1 \/

где m,(Z) (г = 0, 1, . . ., я) — базисные функции подпространства линейных сплайнов (задача 27.8), а 6,Ш — характеристическая функция отрезка [Z.-ц Zj (i = 1, 2, ... ..., я).

Вычислить (Лео,, 6,), (у, 6,) и выписать систему для определения коэффициентов ^, £(, ..., £п галеркпнского приближения

г—О

Доказать, что при т11сПС[0 /] < 1 существует единственное галеркипское приближение.

Для исследования сходимости положим z = х — хп. Доказать, что z есгь решение задачи Коши

z' + cU)z = jU\ z(0) = О,

где /(0 е/JO, Z] и Q„f = 0. Пользуясь этим, доказать, что если / е £,[0, Z], то

2= °(т3/2)

при т -* 0, а если /(<) еще и ограничена, то INU<mi = ^2)

при т -* 0.

Метод монотонных операторов

Пусть X — вещественное сепарабельное нормированное пространство, X* — пространство, сопряженное к X, Л: X -* X* — нелинейный оператор с D(A) = X и КШ^Х*.

Оператор Л называется монотонным, если для любых х, уеХ выполняется неравенство <х — у, Л (я) — А(у)> ^ ^ 0. Если при х + у имеет место строгое неравенство, то оператор А называется строго монотонным. Если же су- 12 в. А. Тревогин и др.177

ществует непрерывная и неотрицательная при О О функция eV) такая, что с(0) = 0, c(t) > 0 при t > 0, c(t) -*

<» при < -► °0 и такая, что справедливо неравенство <х — у, А (х) — Л(у)> > с(Нх — yll) ■ Ну — xll, то оператор А называется сильно монотонным. Оператор А называется коэрцитивным, если существует функция *{№, заданная при t>0 и стремящаяся к + °° при !-► + «> такая, чго для любого х е X выполняется неравенство <х, Л(х)> 5s > Ч(Нх11) ■ 11x11, Оператор А называется демине прерывным в точке х0 е X, если из х„ -*• х0 по норме X следует, что Л(х„) -> Л(х0) (га оо) слабо, т. е. <х, Л(х„)><х, Л(х0)>

(га -» оо) для любого х s X.

Теорема 29Л. Пусть оператор А отображает вещественное сепарабельное банахово пространство X в пространство X* и является сильно монотонным и демине- прерывным. Тогда уравнение Л(х) = у имеет единственное решение х для любого у е X*.

Для приближенного отыскания решения х в условиях теоремы 29Л применяется метод Галеркина. Пусть Хп (я е N) — последовательность n-мерных подпространств в X с базисом {ф{П))"=1, предельно плотная в X. Галер- кинское приближение

^п = ф<

здесь разыскивается из системы уравнений

<фкп)МЫ> = <Ф^,г/>, к=\д,...,п.

Теорема 29.2. В условиях теоремы 29.1 при каждом п существует единственное галеркинское приближение х„ точного решения х. При этом хп -* х (га ->- оо) по норме пространства X. Если НЛ (и) — А(у)П ^ КНи — нН в некотором шаре S, содержащем все хп и х, то справедлива оценка скорости сходимости

Их, — xll с-ДТОНх — Р„хЛ,

где ckti — функция из определения сильной монотонности, а Р^ — проектор на Хп.

29Л. Пусть оператор /(х), /: R -► R удовлетворяет условию (х — у)[/(х) — /(у)1 ^ 0 для любых х, у е R, Доказать, что / — монотонный оператор.

Пусть оператор /(х), /: R R удовлетворяет условию (х — у)[/(х) —/(у)] ^ alx — у|2 для любых х, у е R,

где а > 0 — постоянная. Доказать, что / — сильно монотонный оператор.

Доказать, что функция /(х) = х’ + х 4х 1 (те R) определяет в R сильно монотонный оператор.

Пусть функция /(х), /: R -► R дифференцируема на R и /'Ш 5s а на R, где а — постоянная. Доказать, что при а ^ 0 / — монотонный оператор, а при а > 0 / — сильно монотонный оператор.

Пусть для всех ж = {^i}i=i е Е’1 определен оператор Л: Ек -> Е\

Проверить, что если для любых х^Ек выполняется неравенство

кк

2 (*i — У г) [А СП, • • ■ , ^) ~ А (Уы . • • , yj] > С 2 I Хг-уД1,

1=1•i=l

где с — постоянная, то при с>0 оператор Л(х) монотонен, а при с > 0 — сильно монотонен.

Рассмотрим оператор Л(х) задачи 29.5 при к = 2. Пусть координатные функции А и Д имеют всюду в Ег ад

частные производные (i, у = 1, 2), приче*г во всех

точках Ег выполняются неравенстваточках Ег выполняются неравенства

точках Ег выполняются неравенства

точках Ег выполняются неравенства

где а, р — постоянные. Доказать, что оператор АШ при Р ^ а является монотонным, а при ^ < а — строго монотонным с cU) = (а — ^П.

Доказать, что оператор А; Е? Ег

Лл + з^-г^ + А

является сильно монотонным оператором.

Пусть оператор А; XX* — сильно моиотон- йый. Доказать, что А — коэрцитивный оператор с "ДА =• = c(t)-Ы(0)Н.

Доказать, что если оператор А; X -► X* коэрцп- тивен, то Ш Л(х)> -*• +°° при Их11 -* +°°.

Доказать, что если оператор А: X -► X* коэр- цитивен, ТО 1Шх)Н -* + ОО при 11x11 -► ОО.

Пусть Н— гильбертово пространство, Л: Н-* ->-Я — оператор с О(Л)=Я. Сформулировать для Л определения монотонности, сильной монотонности, коэрцитивности.

Пусть Л е S(H\ причем для любого х^Н выполняется неравенство (Ах, х) > у(х, х), где 7 > 0 — постоянная. Доказать, что Л сильно монотонен и коэр- цитивен.

Пусть оператор f(x\ /: RR непрерывен и монотонен на R и j(x') ->■ °° при х оо. Доказать, что уравнение f(x) = 0 имеет в R хотя бы одно решение, а если / строго монотонен, то это решение единственно.

Проверить, что функция

х3 — 5 при

/ (х) = х + 2 при — 1

х* + 4 при

монотонна, стремится к +°° при ^-*+°o, но разрывна, и уравнение {(х) = 0 решений не имеет.

Пусть оператор /: R -*- R непрерывен и сильно монотонен. Доказать, что уравнение f(x) = 0 имеет в R единственное решение.

Пусть функция двух переменных f(x, t"), f: Е2 -+

R непрерывна на Е2 и при любых х, у, t s R удовлетворяет неравенству

(х — уА^х, t) — f(y, Hl > c\x — pl2,

где c > 0 — постоянная, не зависящая от t. Доказать, что уравнение j(x, t) = 0 определяет на R единственную неявную функциюх = ф(£), непрерывную на R.

Обобщить результат задачи 29.16 на случай, когда t е G — открытой или замкнутой области в Е\

29.19. Пусть оператор Л (х) = 1 1 2Л для любых м2Д Ms Я2 непрерывен и удовлетворяет условию силь-29.19. Пусть оператор Л (х) = 1 1 2Л для любых м2Д Ms Я2 непрерывен и удовлетворяет условию силь-Пусть непрерывная в Е2 функция j(x, t) удовлетворяет неравенству jx(x, t) ^ с > 0. Доказать, что справедливо утверждение задачи 29.16.

29.19. Пусть оператор Л (х) = 1 1 2Л для любых м2

Д Ms Я2 непрерывен и удовлетворяет условию силь-

29.19. Пусть оператор Л (х) = 1 1 2Л для любых м2

Д Ms Я2 непрерывен и удовлетворяет условию силь-

х = I I s Я2 непрерывен и удовлетворяет условию силь- ной монотонности

(^1 - уА^Дх^, хД — j^ljt, Уз)) + (хг — УгА^Хх, хА) -

- Л(У1, Уг^ 3$ cUXi. - р,)2 + (Х2 - у2)2],

где с > 0 — постоянная. Доказать, что уравнение 180

Ькх1х x2} = 0 имеет для любых z, е R единственное решение z1 = q>(z1) и оно непрерывно на R.

В условиях задачи 29.19 рассмотрим оператор ЛД-щ) = ^хХг (p(zj). Доказать, что Ах непрерывен и сильно монотонен па R.

В условиях задачи 29.19 доказать, что уравнение X(z) = 0 имеет в Е1 единственное решение.

Пусть оператор А: Ек ->• Ек непрерывен в Ек и сильно монотонен при ей) = ct, где с > 0. Доказать методом математической индукции по к, что уравнение А (х) = ^ 0 имеет в Ек единственное решение.

Пусть оператор А; Е*1 ^Ек непрерывен и монотонен. Доказать, что при с > 0 оператор ЛДх) = А(х) + сх непрерывен и сильно монотонен с с(П = ct.

Пусть оператор А: ЕкЕк обладает следующим свойством: существует г > 0 такое, что для всех х с И^Н > >г выполняется неравенство (z, X(z))^0. Доказать, что при Иж11 > г справедливо неравенство (z, Лс(ж))>0 (оператор Ас(х) определен в задаче 29.23).

Пусть оператор А: Ек ^ Ек непрерывен, монотонен и удовлетворяет условию задачи 29.24. Доказать, что уравнение Л(х)=0 имеет в Ек решение. Для этого рассмотреть операторы Ап (х) = А (х) + — х и, пользуясь результатами задач 29.23 и 29.24, доказать, что:

при «е\ каждое уравнение Xn(z)=0 имеет в Ек единственное решение Хп\

решения z„ удовлетворяют неравенству HzJI ^ г (n е N);

существует подпоследовательность xnh (ке^) последовательности х„, сходящаяся к х0 — решению уравнения А(х) = 0.

В задачах 29.26 — 29.38 на отрезке [0, Z1 рассматривается краевая задача

3xW — jU, z(Z)) = 0,

S^(0) = ЗМЕ = 0, к = 0; 1, ..., т- 1,с формальным дифференциальным выражением (ш>1)

3xW= £(-

к-0

Здесь 3) = ^ — оператор дифференцирования, коэффициенты Pkto е СЮ, Z] (к = 0, 1, ..., т), а функция /(f, z) непрерывна в полосе t е [0, Z), хе (—оо, оо).

Пусть 77т[О, Z] — линейное пространство т раз непрерывно дифференцируемых па [О, Z] функций со скалярным

глг=0глг=0dt,dt,произведением

гл

г=0

гл

г=0

dt,

dt,

(*< У) = JО

№ = х(Ц, у^ (Z) = у (Z)).

Пополнение пространства ^“[О, Z] есть гильбертово пространство, называемое пространством Соболева и обозначаемое Ят[0, Z1. Элементы, присоединяемые к /УДО, Z] при его пополнении, могут быть отождествлены с функциями из пространства Cm-1[0, Z], имеющими обобщенные производные. Справедливо утверждение о вложении пространства /Zm[0, Z] в пространство Cm-1[0, Z], аналогичное теореме 4.1.

В пространстве Я”‘[0, Z] рассмотрим подпространство

Ял,[0, Z1 = ЫС е/МО, Л: ^(О) =

= 3)кх(К = 0, к = 0, 1, ..., m — 1}.

Функция xW— //m[0, Z] называется обобщенным решением данной краевой задачи, если для любого z е е/СДО, Z] выполняется интегральное тождество

a(z, z) = У Ph (Z) ^х (Z) 3)’ z^dt — j / (Z, x (Z)) z (Z) dt. о k=oJ

Доказать, что при каждом х^НАО, Z] выражение a(x, z) является ограниченным линейным функционалом относительно zeZ7"‘[0, Z] и, следовательно, представимо в виде

а (х, z) = (х, z)HmLo,n = (Ах, z)H,ll[oJ].

Доказать, что А е SE (Нт [0, Z], Нт [0, Z]), где оп ратор Ах = х определен в предыдущей задаче.

Пусть существует постоянная а>0 такая, что для всех хеЯ'”[0, Z] выполняется неравенство

л(^)^С'-|ИнГП[о,гГ

Используя задачу 29.12, доказать, что оператор А сильно монотонен.

Доказать, что для любой функции /(() г Л2[0, Z]

^f^z^ dt о

является ограниченным линейным функционалом относительно :еЯт[0, Z] п, следовательно, существует единственная функция у s Д"‘[0, Z]' такая, что

f W 2 (О ^ = (У1 2)ят[о,ц* о

Рассмотрим в Я”[0, Z] уравнение Ах = у, где А, у определены в задачах 29.26—29.29. Доказать, что в предположениях задачи 29.28 это уравнение имеет единственное решение, являющееся обобщенным решением исходной линейной краевой задачи с /(Z, x'l^fU').

Пусть тп = 1, PSt) ^ 1, а норма в #40, Z] порождается скалярным произведением

^'Ччол = ^Ж'^У' ^ dt‘о

Пусть GU, s) — функция Грина для оператора Штурма — Лиувилля Ux = —x", z(0) = х(Р = 0. Доказать, что уравнение, введенное в задаче 29.30, является следующим линейным интегральным уравнением Фредгольма 2-го рода!

x^t) + J G (Z, s) Ро ($) х (д') ds = J G (Z, s) / (s) ds. оо

Доказать, что при выполнении условия задачи 29.28 скалярное произведение в ZZ"40, Z] можно задать формулой

^х> 2)н"Чо /] ~ a(z' z)-

Пользуясь задачей 29.29, доказать, что исходная линейная краевая задача (при /U, х) = /(<)) имеет единственное обобщенное решение х = у, где у таково, что

Доказать, что при каждом хе НАО, Z] выражение

$HMW) di

о

является ограниченным линейным функционалом относительно сеЯт[0, Z], и, следовательно, существует единственный линейный оператор ФУ, отображающий #m[0, Z] в себя и такой, что

О

Пусть в предположениях задачи 29.28 для всех яу 2Уе (—°°, +00); is [Q, Z] выполняется неравенство

UU, ж,) - fU, я2)1 (ж, — ж2) 0.

Доказать, что оператор F(х) = А — ФЫ сильно монотонен и, следовательно, краевая задача имеет единственное обобщенное решение.

Пусть //„ — и-мерное подпространство в Я™[0, Z1. Галеркинское приближение х^^Н^ обобщенного решения исходной краевой задачи определим как функцию, удовлетворяющую для любого z„ е Пк интегральному тождеству

а (2-п> Hi) = a (t, Хп), Zn)L2[oj].

Доказать, что существует единственное галеркинское приближение х„.

Пусть {ф/, (Z)}k=1— базис в Я„. Доказать, что интегральное тождество для

хп = i ?1ф2

1—1

равносильно следующем системе уравнений:

Ьо[о,/]Ьо[о,/]2а(ф,,Фт)^ = 2^фДфт

Ьо[о,/]

Ьо[о,/]

S=1\ \ k —1/

т = 1, 2, . .., и.

Пусть т = 1, fa, х) = fa). Рассмотрим подпространство линейных сплайнов, обращающихся в нуль при 184

t=0 и t = I (см. задачу 27.8). Положим

^n-l = S ^k^n W-

Вычислить для этого случая л(«А,«т) и (у, Ш„,)£2[0Д] (А", 771 = 1, 2, . .71 - 1).

Написать галеркинскую систему уравнений для

Доказать сходимость схемы и оценить порядок ||^н — ^ИнЧолр

(В задачах 29.37 и 29.38 зависимость базисных функции (rPk (0}£=1и координат {^,}k=1 от размерности п подпространства II п не обозначена.)

Глава 8

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ЭКСТРЕМУМОВ

И ВЫПУКЛОГО АНАЛИЗА

8 30. Необходимые условия экстремума функционала

Пусть ф(я) — функционал в вещественном линейном нормированном пространстве X, определенный в окрестности 8 точки я0. Говорят, что ф(я) достигает в точке я» локального минимума (максимума}, если найдется окрестность StcS точки я, такая, что ф(я)>ф(я0) (ф(я) < ^ф(я0)) для всех я а 5,. Если ф(я) достигает в точке г, локального минимума или максимума, то говорят, что ф(я) имеет в точке я, локальный экстремум.

Пусть Е(я) — нелинейный оператор, определенный в окрестности 8 точки я0 банахова пространства X со значениями в банаховом пространстве У. Если при всех h е аХ существует предел

. Г (х„ -Yth\—F(x\

Нт - 1 0/= а/- (^ ^,

то этот предел называется первой вариацией оператора Е(я) в точке я0. Если 6Е(я0; /г) = Ah, где А е$(Х, У), то говорят, что оператор F дифференцируем в точке я0 в смысле Гато и А = ф'(я0).

Теорема 30.1, Пусть функционал ф(я) определен в окрестности точки я», достигает в точке я0 локального экстремума и имеет в точке я0 первую вариацию бф(я0; А). Тогда бф(я0; /г) = 0.

Следствие. Если в условиях теоремы 30.1 пространство X банахово, а функционал ф(я) дифференцируем в точке я0 в смысле Гато (Фреше}, то ф'(я0) = 0.

В классическом вариационном исчислении в качестве X берется пространство C[t0, tj непрерывных на отрезке [t0, tj функций я(t), удовлетворяющих условиям x(t0) = = я(t1) = 0, или пространство C^t,, tj п раз непрерывно дифференцируемых на [t0, tj функций x(t), удовлетворяющих условиям x^Ato} = ж(А) (#i) = 0 (к = 0, 1, ..., п — 1).

При этом рассматриваются функционалы

<i

ф (х) = J F (Z, х, х") dt,(1)

(о

ф(ж, у) = J^(t, х,у,х',y')dt,(2)

Ф (х) = [ F (t, х, х', х", . . ., х^) dt.(3)

Экстремум функционала называется сильным, если окрестность Sh в которой выполняется неравенство, понимается в смысле пространства C[t0, tj, и слабым, если она понимается в смысле пространства С"[<0, til (и > 1).

Если функция F в (1)—(3) является достаточно гладкой, то вытекающее из теоремы 30.1 необходимое условие экстремума имеет вид:

для функционала (1) — уравнение Эйлера f;-^fv = q,^

для функционала (2) — система уравнений Эйлера

для функционала (3) — уравнение Эйлера — Пуассона

F',» - 0.(G)

Функция или пара функций из рассматриваемого пространства, являющаяся решением (4), (5) или (6), называется экстремалью*, существование экстремали, вообще говоря, не гарантируется.

Если экстремум функционалов (1), (2) или (3) ищется •в классе функций, удовлетворяющих неоднородным граничным условиям x(t0) = хв, xkt^ = х,(7)

или

xw (to) = 4°. ^(ti)”^. Л = 0,1, .... n-1, (8)

то необходимые условия (4) —(6) сохраняют силу, а удовлетворяющая соответствующему из уравнений (4) —(6) экстремаль должна удовлетворяв также условиям (7) или (8).

Пусть кривая x = x(t) является решением вариационной задачи с подвижными границами, т. е. реализует экстремум функционала

Ф (?) — J G, х' х ^ ^

среди всех кривых у класса С1, соединяющих произвольные точки двух данных гладких кривых х = f^t} и х = = /2(О. Из теоремы 30.1 вытекает, что для нахождения экстремалей в задаче с подвижными границами надо:

составить и решить уравнение Эйлера (4), получив семейство экстремалей x = j(t, Ci, СЭ, зависящее от двух параметров С1 и С2;

из условий трансверсальности l^A-^K']Uo = o, l^ + ^-^KJU^o

и из уравнений /(£0, Ci, Сг} = ^(t^, f(th Ch C2} = b.(tt} определить точки t0, tv и постоянные Ch C2.

Пусть кривая у реализует экстремум функционала

ц (z) = J F (t, ж, z') dt,

удовлетворяет граничным условиям xU») = х0, xUt)=xv и является кусочно гладкой, т. е. может иметь скачок производной (угловую точку} в некоторой точке т (t0< <т<^). Тогда Fx,x, |i=T=0 и из теоремы 30.1 вытекает, что в угловой точке экстремаль должна удовлетворять условиям Вейерштрасса— Эрдмана

Fx' It=T—о Fxi |t=r+o = 0,

(F - x-F^ |t=T_0 - (F - x-Fv) |(=T+0 = 0.(

На каждом из отрезков [t0, т] и [т, Zj экстремаль должна удовлетворять уравнению Эйлера (4). Возникающие при решении (4) четыре произвольные постоянные можно, вообще говоря, определить из граничных условий, условий непрерывности экстремали и условий (9).

188

Пусть функция х = xW является решением изопериметрической задачи на условный экстремум, т. е. реализует экс ।ремум функционала

ф (ж) = j F (t, х, х') dt(о

при граничных условиях x(t6')=x0, xUD=Xi и условии

ф(.г) = §G(t,x,x')dt*=C.

Из теоремы 30.1 вытекает, что для определения экстремалей в изопериметрической задаче надо:

составить функционал Лагранжа £ = ф+Хф;

составить и решить уравнение Эйлера (4) для функционала L, получив семейство экстремалей х = = /(i, С,, С2, X);

определить постоянные Ct, С2 и параметр X из граничных условий и условия ф(х) = С.

Доказать, что всякий сильный экстремум функционала (1) является одновременно и слабым экстремумом.

В пространстве СЕО, л! рассмотрим функционал

ф (ж) = J хг (1 — х'а) dt,

а) Доказать, что слабый минимум ф(з?) достигается на функции х = 0.

функции 2?(t)=0 сильный минимум ф(ж) не достигается.

Доказать, что для функционала

ф (х) = J F (х, х') dt

уравнение Эйлера (4) может быть записано в виде

F - хгр;, = С,

где С — произвольная постоянная.

Найти экстремали функционалов в классе гладких кривых:

ф (z) = У (х2 + х2 + 2zef) dt, х (0) = 0,5, х (1) = е; о

о

ф (z) = У (12tz — z'2) dt, ^ (— 1) = 1, х (0) О,

2

ф (2) = J (z'2 b 2zz' + z2) dt, х (1) = 1, х (2) = е;

i) ф (z) = j* (tz'2 + хх') dt, z(l) = O, z (е) — 1;

ф (z) = J хх'2 dt, z(O) = l, z(l)—1 4; о л

ф (z) = У (4z cos t + z'2 — z2) tit, z (0) = z (л) = 0; о

2Л

ф (x) = J (x'2 — x2) dt, x (0) — x (2л) = 1; о

*1

ср (x) = j [2(x + (i2 + ex)x'] dt, x (t0) = x0, x(t1)=x1 fo

<p (x) = J (ex + ix') dt, x (0) = 0, x (1) — xx; о

Л 4

<p (x) = J (x'2 — x2) dt, x (0) = 1, x (i.) = 1^1; i

<p(x) = J(2ex-x2)^, x(O)-l, x(l) = e; 0

2

м) <p (x) = J x' (1 + t2x') dt, x (1) = 3, x (2) = 1;

н) ф (x) = j—~^~—^' ^(0) = 2, x(2)=0, x>0; о

°) Ф (x) = J J/^l + x'2 dt, X {t^ = tti, a {t^ =

Найти экстремали функционалов, содержащих старшие производные:

ср (z) = ^ J х"2 dt, г(0) = г(1) = 0, х (0) =-0, г'(1) = 1; о

ср (т) = У (г2 + 2г'2 + х"2) dt, z (0) =г (1) = 0, z'(0) =

= 1, г'(1) -= - sh 1;

фИ = У (г + x'^dt, д(/0) = г0, г (У = r^ x'(to)=x'o,

я' (?1) = ^15

'1

ср (г) J (г'2 + хх") dt, x(t0)=x0, x(f1)=x1, x'(t0) = 'о

= ^,(^i) = Л>

Д) Ф (г) J (4- г"2 + 24г) dt, г (— е) =- г (г) = г'( —е) =

. = х' ^ = 0;

Ф (r) = j* (•г"2 ~ ^ г t2) dt, х (0) = 1, х (у) = О, . ж'(0) = 0, г'(у) = -1;

Ф(г) = J (240z- x”2)dt, г(-1) = 1,г(0) = 0,

х* (- 1) = - 4,5, х (0) = 0, х" (- 1) = 16, х" (0) = 0;

ф (г) = J (х'г + г"2) dt, г(0) = 0, x(l) = shl, х' (0) =

= 1, х (1) = ch 1.

Найти экстремали функционалов, зависящих от нескольких функций:

V(^,Z/)= j (2г/— 4г2 + х'2 — г/'2) dt, г(0)=0, аг(£) =

= 1, 2/(0) = 0, у(У = 1;

ф (х, у) = J ^2<х — х'2 + ^ dt, х (— 1) = 2, х (1) = = 0, у(- 1)--1, у(1) = 1;

ср (г, у) J (ж'2 + у'1 — 2ху) dt, х^ = 0, х(у) =

= 1, у(О) = 0, у(у) = 1;

I) Ф (х, у} = (х2 + у'2 + 2х) dt, х(0) = 1, х(1) = 1,5,

У (0) = 0, у(1) = 1;

ф (х, у) = J (2ху — 2х2 + х'2 — у'2) dt, х (0) = 0, х(1) = 2, у^ = 0, 4^ = °’

ф(х, у) = J (х'2 + y,2^dt, х^ = 0, х(1) = 1, у^ =

= 0, у(1) = -3.

Пусть подвижные границы для функционала ф(х) задаются уравнениями t = а и t = b. Используя теорему 30.1, записать необходимое условие экстремума функционала и найти экстремали, если:

Л 2

ф (х) = J (х2 — х'2 — 2х sin <) dt; о

Л/4

ф (х) = j (х'2 - 2хх' — 16х2) dt. о

Записать условие трансверсальности для функционала

фМ = Jearctgx' ^Y^"2dt,

если хи^ = Хо, а точка (h, xj может перемещаться по кривой х = ф(Н.

Найти экстремали функционала

Ф (х) = j (х2 — х'2) dt,о

если НО) = 0, а другая граничная точка может перемещаться по прямой t=л/4.

Найти экстремали функционала

6

Ф to = J гdt>О

если ж(0) = 0, а точка (С, х^ может перемещаться:

по прямой х = t — 5;

по окружности U — 9)2 + Н = 9.

Методами вариационного исчисления найти расстояние:

между параболой у = хг и прямой х — у = 5;

от точки Л(1, 0) до эллипса 4 ж2 + 9у2 = 36.

Существуют ли решения с угловыми точками в задаче об экстремуме функционала:

ср (х) = J (Н2 + 2tx — Н) dt, х (tj) = х0, х (^) = ^5 С

2

ф (л) = j (ж'4 — 6Н2) dt, х (0) = 0, х (2) = 0? о

Найти решение с одной угловой точкой в задаче о минимуме функционала:

2

ф (я) = f ж'2 (ж' — I)2 dt, х (0) = 0, z (2) = 1;

о

4

ф(х) = j (х'- I)3 (ж' + 1)2Л, ^(0) = 0, ж (4) = 2.

О

Найти решение с угловой точкой в задаче о минимуме функционала

1

Ф (х) = J т? (1 —'х'2) dt, х(— 1) = 0, х (1) = 1,

Найти экстремали изопериметрической задачи:

1

ф (z) = J (ж2 -yx'^dt, ж (0) = 0,5, :т(1)=епрп условии о

I 2хе dt = —7;

е

13 в. А. Треногин и др.193

1

<р (z) = j (ж'2 + Z2) dt, х (0) = х (1) = 0 при условии

О

1

j а? (/) dt = 2; о

1

<р (а;) = j х’2 dt, х (0) = 1, х (1) = 6 при условии о

1

^z dt = 3;

о

<р (х) = ^ х'2 dt, х^ = 0, х(1) = -£ при условии о

J (х- x'^dt = ^.

О

Среди кривых данной длины Z, соединяющих точки AU0, хА и B(fb xv\ найти ту, у которой центр тяжести лежит наиболее низко.

Найти экстремаль в изопериметрической задаче, об экстремуме функционала

1

ф ^ У} = ^ (^'2 + У'" ~ W ~ ^ &О

1

при условии J(^'2 — tx'—y'^ dt = 2 и граничных услови- о

ях ,т(0) = 0, .г(1) = 1, у(0) = 0, у(1) = 1.

Найти экстремаль функционала

срСсу) = j (я'2 + у'2) dtо

при наличии связи х." +у2 = R1 и граничных условиях х(0) = Л, х(1) = 0, у(0) = 0, y(l)=R.

Найти экстремаль функционала при наличии дифференциальной связи:

Л 4

ср (х, у) = J ^ — 2Z2^ dt, х (0) = 0, х ^^ = 1, d °

при условии ^ = 2у — 4tx;

i

4(^Z/) = 4 J ^ + Z/2) ^, л(О) = 0, ж(1) = 1, о

при условии ^ = у — X.

. 30.20. Пусть А — самосопряженный оператор в вещественном гильбертовом пространстве II, у & Н ~ фиксированный элемент. Доказать, что необходимое условие экстремума функционала <р(ж) сводится к уравнению:

Ах = у, если ф(ж) = (Ах, х) — 2(х, у); ■

х + Ах = у, если <р(ж) = (Ах, х) + (х, х)—2(х, у). Что можно утверждать о разрешимости этих уравнений; если А — вполне непрерывный оператор?

0.21. Доказать, что изопериметрическая задача для функционала

ь

<Р М = J [ Р (0 х'"1 + q (ж) ж2] dt

при граничных условиях х(а) = х(Ь) = 0 и условии ь

J ж2^) dt = 1, а

где p(t)eCWa, Ы, p(f)>0 на la, bl, q(t)eCIa, 6], q(t) ^ >0 на [а, Ы, равносильна задаче о собственных функциях оператора Штурма — Лиувилля.

1. Достаточные условия экстремума функционала

Теорема 31.1. Пусть функционал ф(ж) дважды непрерывно дифференцируем по Фреше в окрестности S точки ж0 банахова пространства X и <р'(жо)=О. Если существует ct > 0 такое, что для любого h е X выполняется неравенство <р" (x^h2 "5= al!№ (q?" (х^Н2 =5 — ctllAII2), то ж0 — точка локального минимума (максимума) ср(ж).

Ниже рассматривается вопрос о достаточных условиях экстремума функционала

<р (ж) = J F (t, х, х') dt(1)

в пространстве C^Vt^, <J (Zc^O).

Семейство кривых х = x(t, С) (х^САа, д]) образует собственное поле в заданной области, если через каждую точку (t, х) этой области проходит одна и только одна 13*195

кривая xkt, С) этого семейства. Угловой коэффициент pkt, х) касательной к кривой семейства xkt, С), проходящей через точку kt, х), называется наклоном поля в точке U, х). Семейство кривых х = xkt, С) образует центральное поле в заданной области, если кривые этого семейства покрывают всю область, не пересекаются в этой области и исходят из одной точки (#о, х^, лежащей вне заданной области. ТоИка (С, ^о) называется центром пучка кривых. Собственное или центральное поле, образованное семейством экстремалей некоторой вариационной задачи, называется полем экстре.чалей.

Пусть кривая х ='xkt) является экстремалью функционала (1). Говорят, что экстремаль х = xkt) включена в поле экстремалей, если найдено семейство экстремалей х = xkt, С), образующее поле, содержащее при некотором значении С = Со экстремаль x = xkt), причем эта экстремаль не лежит па границе заданной области, в которой семейство х = xkt, С) образует поле. Если пучок экстремалей с центром в точке A(t0, х0) в окрестности экстремали x = xkt), проходящей через ту же точку, образует поле, то тем самым найдено центральное поле, включающее данную экстремаль х = xkt). За параметр семейства в данном случае можно взять угловой коэффициент касательной к кривым пучка в точке Akta, х0).

Для того чтобы на данной экстремали функционала (1) достигался слабый минимум, необходимо выполнение условия Fх'х'^0 во всех точках рассматриваемой экстремали (условие Fx,x,>0 называется условием Лежандра).

Уравнение вида

^;х-^Ци^_^р"х,х,и'^ = о

называется уравнением Якоби для функционала (1). Если существует решение уравнения Якоби, удовлетворяющее условию u(t0) = 0, не обращающееся в нуль ни в какой точке полуинтервала t0 < t < £h то дугу экстремали АВ, где Ж^, х0), Bkt,, х^, можно включить в центральное поле экстремалей с центром в точке А.

Функцией Вейерштрасса для функционала (1) называется функция

Е ((, х, р, х) = F (t, х, х’1) — F (t, х, р) — (х' — р) Fp ((, х, р), где pkt, х) — наклон экстремалей в точке kt, х).

196

Для достижения функционалом (1) слабого экстремума на кривой С достаточно выполнения следующих условий:

кривая С является экстремалью;

экстремаль С может быть включена в поле экстремалей;

функция Ekt, х, р, х') не меняет знака во всех точках U, х), близких к точкам кривой С, и для х', близких к pit, х). Минимум реализуется в случае Е > 0, максимум — в случае Е С 0.

Если наряду с условиями 1), 2) выполняется условие

) функция Elt, х, р, х') не меняет знака во всех точках It, х), близких к точкам кривой С, и для произвольных значений х', то на кривой С реализуется сильный экстремум, минимум — в случае Е > 0 и максимум — в случае Е < 0.,

Указать собственное и центральное поле экстремалей функционала:

ф (х) = (х'2 + х2) dt, а "> 0;

о

Л,4

ф (х) =■ j (х'2 — х2 + t2 + 4) dt. о

Выяснить, включается ли экстремаль данного функционала в поле экстремалей (собственное или центральное):

ф (х) = j (х'3 + sin2 <) dt, х(0) = 1, х(2) = 1; о

2

ф (х) = J (х'3 + sin2 i) dt, х (0) = 0, х (2) = 4; о

ф(х)= j* х* f 2t — ^ хj dt, x (—1) — 0, x(l) = 0,5;

-i ''

ф (ж) = J (х'2 — 2ix) dt, х (0) = х (1) — 0: о

i

Д) фИ = ^ (2е{х + x'^dt, х(0) = 1, х(1) = е; о а

ф (х) = J (х2 — х'2) dt, х (0) = х (а) — 0, а > 0, а Ф О

кл, к е N;

ср (а) = [ (а'2 + i2) dt, а (0) = 1, а (2) = 3? "о

Выполнено лп условие Якоби для экстремали функционала, проходящей через заданные точки:

ф(а) = J (а'2 + t-) dt, а (0) = О, а(а) = 3, а>0; о

ф (а) = J [а'2 — 4а2 + e-t ^ dt, а (0) = а (а) = О, о

. л 2^ + 1,

«>-2,AeN;

ф (а) = J (а'2 + а2+ /2) dt, а (0) = а (а) = 0; о а

ф (z) = f (z'2 — х2) dt, z (0) = z (а) = 0; о

1

Д) фМ= J (12^+ ^2 + t^dt^- 1) =—2, (1) =0;

ф (z) = J (1 + a/2) dt, х (0) — х (1) = 0;

24

ф (я) = J (z'2 — х^ dt, X (0) = О, х (2л) = 1; о

ф (я) = J (х'2 + 9z2 — 3^) dt, х (0) = х(1) = О? о

Доказать, что если подынтегральная функция функционала (1) явно не содержит а, то каждая экстремаль может быть включена в поле экстремалей.

Проверить выполнение условия Лежандра для экстремали функционала, проходящей через заданные тоДИи:

2

°) Ф М = J (ж'4 + ж'2) dt, а(0) = 1, а (2) = 5; о

1

б)ф(а) = | (<2а'2 + 12а2) dt, а(— 1) = 1, а(1) = 1;

-1

1

ф (а) = J (а'2 — аа'3) dt, а (0) = а (1) = 0;

Q

cp (^) = 1 х'3 dt, х (0) = 0, х (а) = Ъ > 0, а > 0; О

ф (х) = J (х'а — хх'3) dt, х(0) = х (1) = 0; О

ф (j) = j (бх'2 — х'4 + та') dt, х (0) = 0, х (2) = 1; О

1

ф (л) = ( xx^dt, х (0) = 3, х (1) = 3; о

3

Ф СО = i — ^ х (2) = 4, х (3) = 9;

2

И) ср (л:) = ^(tx'4 — 2хх’3) dt, x(V)=0, х (2) = 1.

1

Исследовать на экстремум функционалы:

1

ф^) = f^'3 + a^dt, х^ = 0, г(1) = 2; о

ф(х) = j (i + 2х + ^'ajdt, х(0) = х (1) = 0; О

2

ф (^) — ^ (^х + 3 ^dt, х (0) = 0, х (2) = 1;

6

ф ^ = j е1 ^2 + -*2 х ^dt^ х (0) = 1, х (1) = et о

ф^-^Л'2^, ^(0)=0, х(1) = In 4; о

ф (ж) = j х (1 + t4'^ dt, x^-^^t, х (2) = 1;

2

®) tCthJ^ dt> ^(^ = ^ ^(2)=4; 1

a

ф^) = Jy, ж(0) = 0, x^ = b>0, a>0; о

1

V М = j (1 + я'2i(0) = 0, х (1) = 1;

о

ф (1) = J (ж'3 + i'2) dt, i (— 1) = — 1, х (1) = 3;

л'4

ф ^ = J (412 — i'2 + 8i) dt, i (0) = — 1; х ^ = 0; о

2

м) ф (i) = J (i2i'2 — 12i2) dt, х (1) = 1, i (2) = 8;

Л'4

н) ф (i) = J (i2—i'2 + 6i sin 2t)dt, i(0) = 0, i("^) = 1; о

о) ф(1) = J (1 — е~х ) dt, i(0) = 0, i(2) = 1; о

1

и) ф (i) = j (1 — хх ) dt, х (0) = х (1) = О, о

В пространстве С[0, 11 рассмотрим функционал

<р (i) = j х2 (t — х) dt,о

~а) Доказать, что единственной экстремалью ф(1) является i = 0.

Найти й2ф в точке i = 0 и убедиться, что при любом приращении h е С[0, 1] (7г ^ 0) выполняется неравенство й2ф > 0.

Убедиться, что в любой окрестности точки 1 = 0 ф(1) может принимать значения разных знаков и, следовательно, 1 0 не является точкой экстремума.

В пространстве /2 для х = (ilf хг, ...) е /2 рассмотрим функционал

п = 1?7 = 1

Доказать, что в точке 10 = (0, 0, ...) 6ф(10; /г)=0.

Найти dxp в точке 1» и убедиться, чю при любом приращении h = (/г,, Л2, . ,.)е/2 Ог Ф 0) выполняется неравенство й2ф > 0.

Убедиться, что в любой окрестности точки 10 ф(1) 200

может принимать значения разных знаков и, следовательно, точка к, не является точкой экстремума.

В вещественном гильбертовом пространстве Н рассмотрим функционал ф^) = llzll2. Используя теорему 31.1, доказать, что ф^т) достигает минимума в точке х = 0.

§ 32. Полунепрерывные п выпуклые функционалы

Вещественный функционал, определенный на множестве М банахова проорансгва X, называется:

выпуклым, если М выпукло и для любых хи хге М и любого Ze [0, 1) выполняется неравенство ф(<я;1+ + (1 — Схд) < <ф(Ж1) + (1 — <)ф(т2);

полунепрерывным снизу, если из того, что хп -* х» _прп п -* оо (jn, коеМ, neN), следует, что ф(;Го) ^ С lim ф(хп);

слабо полунепрерывным снизу, если пз того, что хп ~* -* х0 (м^-оо) слабо (т„, т0 g М, neN), следует, что ф(ж0) С lim ф^Д.

Теорема 32.1. Слабо полунепрерывный снизу функционал, заданный в рефлексивном банаховом пространстве X, ограничен снизу и достигает наименьшего значения на каждом ограниченном слабо замкнутом ^ограниченном замкнутом выпуклом^ множеа ее М с X.

Теорема 32.2. Пусть функционал ф(я) дифференцируем по Гато в каждой точке банахова пространства X. Тогда следующие утверждения эквивалентны;

ф(т) — выпуклый функционал-,

оператор ф'Ш монотонен;

длялюбых х, у G X выполняется неравенство ц(у) — — ф(ж) ^ ср'(х)(у — х\

Следствие. Всякий заданный всюду в банаховом пространстве дифференцируемый по Гато выпуклый функционал слабо полунепрерывен снизу.

Пусть ф(т)— линейный функционал на банаховом пространстве X. Доказать, что 1ф(^)1—выпуклый функционал.

Пусть X — банахово пространство, М с X — выпуклое множество, фЫ — определенный на М выпуклый функционал такой, что ф(т) ^ 0 для любого х^М. Доказать, что ф2(т) — выпуклый функционал.

Пусть X—банахово пространство; для х^Х положим ф(т) = 1'^'1. Будет ли функционал фШ:

выпуклым;

непрерывным;

слабо непрерывным;

слабо полунепрерывным снизуг

Пусть X—рефлексивное банахово пространство, М а X—ограниченное замкнутое выпуклое множество. Доказать, что:

в М найдется элемент с наименьшей нормой;

для любого zeX найдется х s М такое, что p(z, М) = Hz — cell.

Пусть выпуклый функционал <p(zr) определен на выпуклом множестве М банахова пространства X, т = = inf ср(х). Доказать, что множество Vx е М-. ф(ж) = т) выпукло.

Пусть выпуклый функционал ф(ж) определен на выпуклом множестве М банахова пространства X. Доказать, что всякая точка локального минимума фСт) является точкой его глобального минимума.

Пусть ф(г) — выпуклый функционал, определенный на банаховом пространстве X. Доказать, что для любого вещественного числа X множество Ci = (i e X: ф(ж) $5 X) выпукло.

Пусть ф(ж) — такой функционал в банаховом пространстве X, что для любого вещественного числа X множество Сх = Vx е X; ф(^)=5Х} выпукло. Следует ли отсюда, что ф(х) — выпуклый функционал?

Доказать, что функционал ф(ж) в банаховом пространстве X является полунепрерывным снизу (слабо полунепрерывным снизу) тогда и только тогда, когда для любого вещественного числа X множество Cx=VxeX: ф(ж) X} замкнуто (слабо замкнуто) в X.

Доказать, что выпуклый функционал в банаховом пространстве слабо полунепрерывен' снизу тогда и только тогда, когда он полунепрерывен снизу.

Доказать, что выпуклый полунепрерывный снизу функционал, заданный в рефлексивном банаховом пространстве X, достигает наименьшего значения на каждом ограниченном замкнутом выпуклом множестве Мс X.

В пространстве (ПО, П рассмотрим множество

М = UtoeCW, 1]: |г(011, z(0) = 0, z(l) = l}.

Для xW еС[0, 1] положим

1

ф (х) = У X- (() dt.

о

Доказать, что множество М ограничено, замкнуто и выпукло.

Доказать, " что ф(ж) — непрерывный выпуклый функционал.

Достигает ли ф(ж) на М своего наименьшего значения?

Доказать, что всякий слабо полунепрерывный снизу функционал в банаховом пространстве достигает своего наименьшего значения на каждом бикомпактном множестве.

В пространстве БД О, 11 рассмотрим функционал

г

Ф (ж) = [| х (Z) | dLо

Доказать, что фСг) достигает своего наименьшего значения на каждом ограниченном замкнутом выпуклом'множестве.

Пусть И — гильбертово пространство, Л е е ^(Я) — самосопряженный оператор, ф(ж) = (Л.г, xL Будет ли функционал ф(х):

непрерывным;

слабо непрерывным;

слабо полунепрерывным снизу?

Доказать, что функционал ф(я) из предыдущей задачи является выпуклым тогда и только тогда, когда Л >0.

В пространстве U для ж = (.г,, хг1 ...) е Z3 рассмотрим функционал

Ф М = 2 “ 2п=171=1

Доказать, что ф(ж) определен на всем Z2 и дифференцируем.

Будет ли гр(ж) слабо полунепрерывным снизу?

Пусть X — рефлексивное банахово пространство, А г .ЗДХ, X*), ф(ж) = <х, Ах>.

Доказать, что функционал ф(х) дифференцируем по Гато и найти его производную.

Пусть оператор Л является положительным, т. е. для любого х е X выполняется неравенство <х, Ах"> > 0. Доказать, что фЧж) — монотонный оператор.

Доказать, что при положительном операторе А функционал ф(х) достигает своего наименьшего значения на

каждом ограниченном замкнутом выпуклом множестве

М <=Х.

Пусть Н — гильбертово пространство, Ла ^9?1Н\ Ь е Я — фиксированный элемент. Для х^Н положим ф(я) = ИЛя — Ы12. Доказать, что ф(ж):

дифференцируем по Гато и найти его производную;

достигает своего наименьшего значения на каждом ограниченном замкнутом выпуклом множестве М^Н.

Пусть в условиях предыдущей задачи Н = Е2 и в некотором ортонормированием базисе оператор А определяется матрицей

В какой точке достигается наименьшее значение функционала ф(я) на шаре 5,(0) при различных г?

ОТВЕТЫ II УКАЗАНИЯ

ГЛАВА 1

§ 11.12. Строгое вк поченпе возмо/кно 1.13. Вообще говоря, не§ 11.12. Строгое вк поченпе возмо/кно 1.13. Вообще говоря, не

§ 1

1.12. Строгое вк поченпе возмо/кно 1.13. Вообще говоря, не

§ 1

1.12. Строгое вк поченпе возмо/кно 1.13. Вообще говоря, не

тогда дтл 2 = х!2 + у/2 нарушается аксиома треугольника.

СС= 1/Дш, Pm = 1, Ут == М^Ц 6m = lj Em == 1, Vm == 17Д. 1.30. а), в), г)

\ 2П

Тогда z<n) -*-0 при и-* оо в пространствах т /2, с0, но расходится в пространстве /1. б), д)

* (*• •

Тогда z(n)~>0 при п-> оо в пространствах с0 и т, но расходится в пространстве U. 1.32. Для с0 и U установить два противоположных включения. Включение с0 cz Ii вытекает из того, что всякий элемент пространства с0 можно приблизить, заменяя «хвост» нулями. Обратное включение — из свойств равномерной сходимости. 1.33. а) Да. б) Нет 1.34. а) Да. б) Да. 1.37. Во всех четырех случаях можно. 1.38. а), г), д) Можно, б), в) Нельзя. 1.39. а) Нет. До- потпение к нему не замкнуто, б) Пет. Ойо всюду плотно в пространстве С [я, 5]. 1.40. а) Да. Доказательство замкнутости использует либо конечномерность, либо представление многочленов интерполяционной формулой Лагранжа. 6) Нет. Последовательность многочленов степени п может равномерно сходиться к многочлену меньшей степени. 1.42. а) Да. б) Да. 1.44. Использовать равномерную непрерывность. 1.45. Доказательство — индукцией по к. Пусть Р^ — многочлен такой, что

II/' - В A-! < , _ S’? ^ ^ = Z ^ + f РC[a,b] у i J

Убедиться, что

'^ $Vwi < е*

сю

1/16. а) Если ^ ^ < 00- б) Если ап — ограниченная последова- тельпость. 1.48. Если существует eeR (е > 0) такое, что для любого 7i е N выполняется неравенство ап > е. В противном случае дополнение к параллелепипеду не замкнуто. 1.50. Пусть ot(6) содержит отрезок [т, у"\, хф у. Убедиться, что ||х + у\\ = Hzll 4- + 11у1|. Обратно, если lU + у|] = М + |iy)|, причем х ^ 0. у ^ О, и не существует X Д> 0 такого, что у = Хх, то положим а = z/IW1, b = y/!lt/IL Убедиться, что [д, 6] cz оДО). 1.51. Строго нормированными являются пространства 1г и Ег [0, 1]. 1.52. A AS и А + В. 1.53. Нет, так как А — А = А + (—Л) ^ 0. 1.54. Да. 1.55. Нет. 1.58. а) Нет. б), в), г), д) Да. 1.66. Пусть £2 — конечномерно. Доказательство — индукцией по п = dim Li. 1.67. а), в), д), е), ж), к) Нет. б), г), з), и) Да. 1.68. б) Нет. Положим

хп = Л , — 1/?7, — Ш, ..., —1/н, 0,0, .. Л;

тогда при ?г-> оо х^-*х = (1, 0, 0, ...) ^ L. 1.69, а) Да. б) Нет. 1.72. Возможно. 1.73. Обратное утверждение, вообще говоря, несправедливо. 1.78. В задаче 1.22 несепарабельно только пространство 7ч, в задаче 1.23 несепарабельны пространства М [а, 5] и Е[а, Ь]. 1.81. Нет. В пространстве 1г рассмотрим последовательность

^-/О^Д^О,^ 1/и, о, о,

и элемент х— (0, 0, ..., 0, ...). 1.83. а), б) Вообще говоря, нет. Рассмотреть /: R^R, /(д-) = 1/(1 + ^2)- 1-88. Использовать задачи 1.87 и 1.85. 1.89. в) Вообще говоря, нет. 1.91. Нет. Пусть хп = sin ntjn е L. Тогда хп 0 при м -> оо, но /(х^ 0. 1.92. а) Да. б) Нет. Положим

( 0 при 0</<1 —1/тг2,n t тг3 (t — 1 + 1/?г2) прп 1 — l/7i2<t<l.

Тогда ' в пространстве Г2[0, 1] хп (г) -> х = 0, но хп(1) = н74- А х(1) = 0. 1.93. а) Будет, но не равномерно, б) Нет. Пример^ из задачи 1.92 б), в) Будет, но не равномерно. 1.95. а) Да. Пусть F; Z^-^R, Ft^ у) = ху^ Л — гипербола ху = 1, В — прямая у = = 0. б) Нет.-

Обратное утверждение, вообще говоря, неверно. 2.5, б) Нет. Последовательность

Л=0

фундаментальна в обеих нормах, по пе сходится в рассматриваемом пространстве, в) Пополнения изометрически изоморфны со- 206

ответственно пространствам С^ 6] и Ег^ &L 2.6. б) Нет. 2.7. В задаче 1.22 все пространства — банаховы. В задаче 1.23 банаховыми являются все пространства, кроме К и ЕР\а, Ь]. При доказательстве полноты пространства V^a, 6] используется то обстоятельство, что фундаментальная в норме У [л, 6] последовательность zn(0 оказывается поточечно на [я, Ъ] сходящейся к некоторой функции я (О- Остается доказать, что х^ е У [а, Ь] и что яп(0 ->^(0 при п->оо. 2.11. Нет. Использовать задачи 29 и 1.36, 2.12, Нормы пунктов г) и д) задачи 1.38 эквивалентны норме пространства С1 [а, Ь]. 2.24. Аналогично доказательству теоремы 2.2. 2.25. Пусть хп g X — фундаментальная последовательность. Найдется номер nt такой, что при всех п > ni^n — ^П1^ 1/2, номер пг такой, что пг > nL и для всех п> п2 Цхп — я^ ^ 1/22 ит. д.

Далее рассмотреть последовательность шаров Sk ^^^/^п^) и воспользоваться задачей 2,2. 2.26. В силу задачи 1.5 последовательность радиусов гп является невозрастающей. Если гп-> 0 при п-* -► оо, то все сводится к теореме 2.2. В противном случае или тп стабилизируется и тогда все доказано, или г^ -+ р > О, гп > р. Тогда последовательность шаров с теми же центрами радиусов гп — р также является вложенной, 2.27, Может, Пусть ^=/0,0, . ..,0,

)

00

, Х^= U е^.2.28. б) Пусть £п фундаментальна в X/L, тог- да для любого е > 0 найдется А такое, что для любого п > N и для любого m ^ 1 выполняется неравенство ||g„+m — ^nll < е. Пусть ел = 2-\ пк таковы, чтоЩ+т-§nJ| < 2-\ Тогда Щ-Щ< <1/2 и найдутся ^ е gn^, л*2 е ^ такие, что ||z2 — жО! < 1. Аналогично строятся ^^^ такие, что Ц^ —^_г || < 1/2к-1. Последовательность хк фундаментальна в X, поэтому х^ -* z0 е X. Пусть go — класс, содержащий х0. Тогда gn^->g0, а значит, и gn go-

_00

Нет, 3.11, Вообще говоря, нет. Пусть ряд 2 ^-к сх0"

ОО

дится и для выбранного е>0 число N таково, что 2 ^<е- Рассмотрим последовательность хп — /1, ...,1,0,0, ... V Тогда при х п/

т, п> N имеем ||zm — arnll < е, но хп не является сходящейся. 3.23. Строгое включение возможно (если, например, множество М всюду плотно в пространстве Я). 3.26. б) /j (0 = 1, /2(0 = —+ 1, /3(0 = f2-4i + 2. 3.27. б) /1(0-1, МО =2;, /3(0 = 4;2-2. 3.29. В качестве такой системы можно, например, выбрать хп = = /1,0, 0, ..., 0, — 1, 0, 0, .. Л . 3.30. X = М1- — одномерное под- пространство с базисом ^^—р-Е..., 1,0,0,...^ 3,32, Нет.Л/и/V

могут даже не являться линейными многообразиями. 3.33. В качестве М достаточно взять всюду плитное в пространстве Z2 множество. 3.34. Нет. Пусть, например, М есть подпространство пространства Z2 из задачи 3.30, N — одномерное подпространство с базисом (1, 0, 0, ..., 0, ...). Тогда, согласно задаче 3.30, N ф ио h = М ф N. 3.36.6) М1- — k(t) е £2[— 1, 1]: *(Z) = 0 при /^0}. в) Нет. 3.37. Из предположения, что элемент х е к ортогонален линейной оболочке, сделать вывод, что х = 0. 3,38. Доказать, что

Л/ — xQ = |z г Н: (х, х^ — 0, к е N}.

Рассмотреть последовательность

^п = /0,0, ., 0,1 ф 1/72,0,0, . zr

Пусть для любого z е М выполняется неравенство (х — у, у — 2) > 0. Тогда

ilz — ill2 = ((z —у) + (у —z), U — у) + (у —z)) 53 Hz —yll2.

Обратно, если уеМ таково, что pk, vV) = |k — yll и z^M, то для любого Хе[0, 1] Ху + (1 — Х)з е М, следовательно, Ik — yll2^

Ik — Ху — (1 — X)z||2, откуда при X е [0, 1)(х — у, у — z)

^ — А (1 „ X) |] у — г Ц2 И1 устремляя X к 1, получаем требуемое утверждение. 3.43. Использовать задачу 3.42. Предварительно рассмотреть случай хо = 0. 3.44. Пусть Mi zd Л/2 => ... — такая последовательность, ан е Мк (к е N) — элемент с наименьшей нормой, существующей согласно задаче 3.40. Используя выпуклость и ограниченность Мь, а также равенство параллелограмма, доказать, что последовательность ах фундаментальна. 3.45. Ан = к(0 ^^[0, 1]: Ikll ^ 1, я(0) = 0, х(1) — 1 ври 1/п ^ t ^ 1}.

§ 4

cos ср = Т6/л. 4.10. (pi ^ л/2, <р2 = л/3, фа = л/6. 4.11. При а^0 <аеГР[0, 1], д^1 для а > —1/д, при этом 1И1 = = (ра + 1)~^. При а = 0 ^(Z) = 1 s LP [0, 11 для любого р > 1 и ||1||= 1. 4.12. a) k(z)^ 1, hW = Ь(*) = 3z2 — 1, hw — 5<3-3t б) /ДО s 1, Ы*! = 2z-1, hW = 6z2-6/ ф 1, f^0 = 20z3^ — 30/2 + 12z — 1.4.13. Нет. Положим

'0 при 11 — 1/2 | < 1/н,

.1 при |Z —1/2|>Ш, neN,

Тогда XnW е А, но при п->оо хп(t) ->^(г) g 1 ^ А. 4.14. Да. 4.16. Выпуклость очевидна. Достаточно доказать, что множество является всюду плотным в множестве всех многочленов. Для произвольного многочлена P(t) последовательность Рп^ = = P^t) (1 — tn) удовлетворяет условию Рп(1) =0 (п е N) и сходится к P(t) при ОО-'

М1- = k(i) е £2 [а, 6]: х(1)=0 при t ^ [с, d] почти всюду}. 4.19. ML — одномерное подпространство с базисом х (z)=l. 208

Положим для x(t) ел LP\a, 6], Jx ~ х. Так как р > s, то ьъ

(2И j \ ж ^ \s d£ ^ Ъ — а 4 Цт) J | х (t) \р dt < оо.

В неравенстве ГёльдераВ неравенстве Гёльдераьь1 Р'1 Р'ььi/g'i/g'

В неравенстве Гёльдера

В неравенстве Гёльдера

ь

ь

1 Р'

1 Р'

ь

ь

i/g'

i/g'

ааположим /(0 = |x(t) |sположим /(0 = |x(t) |sа/11g(t) = 1, р' = phа/11g(t) = 1, р' = phааИЛИИЛИ66WW• 1. Тогдаь• 1. ТогдаьWWааъъ1 S1 Sааааьь1/р1/раа& dt& dtl/s-1/Рl/s-1/Раат. е. [|7(х)(| ^ Р1Ы1. 4.22. Использовать задачу 1.45. 4.24. cos <р = = 1/• z'-25. МО^1, ЫО =<, h^ = 1 — Зг2, ш = 9t —- I/ Л оО—10/3. 4.27. (//‘[я, М)-1 — двумерное подпространство с базисом x^t) = еР т^^ = e-t. 4.28. ^-‘- — одномерное подпространство с базисом z(0 = sh(t — (а + &)/2). 4.29. ML — одномерное подпрост-00т. е. [|7(х)(| ^ Р1Ы1. 4.22. Использовать задачу 1.45. 4.24. cos <р = = 1/• z'-25. МО^1, ЫО =<, h^ = 1 — Зг2, ш = 9t —- I/ Л оО—10/3. 4.27. (//‘[я, М)-1 — двумерное подпространство с базисом x^t) = еР т^^ = e-t. 4.28. ^-‘- — одномерное подпространство с базисом z(0 = sh(t — (а + &)/2). 4.29. ML — одномерное подпрост-00рапствос базисом э^^И. 4.31.рапствос базисом э^^И. 4.31.ihh = |/[. 4.32. ^«=2^ihh = |/[. 4.32. ^«=2^Множество элементов вида (у (Р) ^С[0, 1]: у(0) = О, 0^ ^ 1/(0 С 2 для любого t е [О, 1]}. 5.6. а) и* = 1/2, р(х0, L) — 1/2. б) и* — t — 1/8, p(zi, £) = 1/8. 5.9. Воспользоваться задачами 4.19 и 5.8. р(ж, £) = 1/3. 5.10. Воспользоваться задачами 3.30 и 5.8. pn(x, L) = \!\п. 5.11. 0,25 при п = 0; 0,92 — 0,2 при п = 1; 1,5^2 —* —О,Gt + 0,05 при п = 2. 5.12, Переписать указанное в задаче пред- ставленле в видеX (t) = J X (т) dx + J К (t, Т) (т) dT,оов каждом из слагаемых в правой части воспользоваться неравенством Коши — Буияковского. При этомК2 (t, т) di ,оМножество элементов вида (у (Р) ^С[0, 1]: у(0) = О, 0^ ^ 1/(0 С 2 для любого t е [О, 1]}. 5.6. а) и* = 1/2, р(х0, L) — 1/2. б) и* — t — 1/8, p(zi, £) = 1/8. 5.9. Воспользоваться задачами 4.19 и 5.8. р(ж, £) = 1/3. 5.10. Воспользоваться задачами 3.30 и 5.8. pn(x, L) = \!\п. 5.11. 0,25 при п = 0; 0,92 — 0,2 при п = 1; 1,5^2 —* —О,Gt + 0,05 при п = 2. 5.12, Переписать указанное в задаче пред- ставленле в видеX (t) = J X (т) dx + J К (t, Т) (т) dT,оов каждом из слагаемых в правой части воспользоваться неравенством Коши — Буияковского. При этомК2 (t, т) di ,о14 В. А Трсиогии и др.14 В. А Трсиогии и др.209209

а

а

положим /(0 = |x(t) |s

положим /(0 = |x(t) |s

а/

11

g(t) = 1, р' = ph

а/

11

g(t) = 1, р' = ph

а

а

ИЛИ

ИЛИ

6

6

W

W

• 1. Тогда

ь

• 1. Тогда

ь

W

W

а

а

ъ

ъ

1 S

1 S

а

а

а

а

ь

ь

1/р

1/р

а

а

& dt

& dt

l/s-1/Р

l/s-1/Р

а

а

т. е. [|7(х)(| ^ Р1Ы1. 4.22. Использовать задачу 1.45. 4.24. cos <р = = 1/• z'-25. МО^1, ЫО =<, h^ = 1 — Зг2, ш = 9t —

- I/ Л о

О

—10/3. 4.27. (//‘[я, М)-1 — двумерное подпространство с базисом x^t) = еР т^^ = e-t. 4.28. ^-‘- — одномерное подпространство с базисом z(0 = sh(t — (а + &)/2). 4.29. ML — одномерное подпрост-

00

т. е. [|7(х)(| ^ Р1Ы1. 4.22. Использовать задачу 1.45. 4.24. cos <р = = 1/• z'-25. МО^1, ЫО =<, h^ = 1 — Зг2, ш = 9t —

- I/ Л о

О

—10/3. 4.27. (//‘[я, М)-1 — двумерное подпространство с базисом x^t) = еР т^^ = e-t. 4.28. ^-‘- — одномерное подпространство с базисом z(0 = sh(t — (а + &)/2). 4.29. ML — одномерное подпрост-

00

рапствос базисом э^^И. 4.31.

рапствос базисом э^^И. 4.31.

ihh = |/[. 4.32. ^«=2^

ihh = |/[. 4.32. ^«=2^

Множество элементов вида (у (Р) ^С[0, 1]: у(0) = О, 0^ ^ 1/(0 С 2 для любого t е [О, 1]}. 5.6. а) и* = 1/2, р(х0, L) — 1/2. б) и* — t — 1/8, p(zi, £) = 1/8. 5.9. Воспользоваться задачами 4.19 и 5.8. р(ж, £) = 1/3. 5.10. Воспользоваться задачами 3.30 и 5.8. pn(x, L) = \!\п. 5.11. 0,25 при п = 0; 0,92 — 0,2 при п = 1; 1,5^2 —* —О,Gt + 0,05 при п = 2. 5.12, Переписать указанное в задаче пред- ставленле в виде

X (t) = J X (т) dx + J К (t, Т) (т) dT,оо

в каждом из слагаемых в правой части воспользоваться неравенством Коши — Буияковского. При этом

К2 (t, т) di ,

о

Множество элементов вида (у (Р) ^С[0, 1]: у(0) = О, 0^ ^ 1/(0 С 2 для любого t е [О, 1]}. 5.6. а) и* = 1/2, р(х0, L) — 1/2. б) и* — t — 1/8, p(zi, £) = 1/8. 5.9. Воспользоваться задачами 4.19 и 5.8. р(ж, £) = 1/3. 5.10. Воспользоваться задачами 3.30 и 5.8. pn(x, L) = \!\п. 5.11. 0,25 при п = 0; 0,92 — 0,2 при п = 1; 1,5^2 —* —О,Gt + 0,05 при п = 2. 5.12, Переписать указанное в задаче пред- ставленле в виде

X (t) = J X (т) dx + J К (t, Т) (т) dT,оо

в каждом из слагаемых в правой части воспользоваться неравенством Коши — Буияковского. При этом

К2 (t, т) di ,

о

14 В. А Трсиогии и др.

14 В. А Трсиогии и др.

209

209

так что

_а) и* = 1/2, p(z0, Д)= ]39/6. б) и* = t - 1/6, p(zb L) = = |210/30. 5.14. Ортогонализацию базиса L. состоящего из функций 1. t1 Z2, г3, удобно выполнить следующим образом: первоначальный базис записывается в виде единичной матрицы F, затем первая строка F переписывается в первую строку матрицы А — матрицы преобразованного базиса — и нормируется. Последующие строки матрицы F переписываются в строки матрицы А в соответствии с формулами ортогонализации, причем всякий раз строки нормируются. Косда матрица А сформирована, вычисляется скалярное произведение х^ на элементы строки, транспонированной столбцу / 1 \ / t \

Умножая полученную строку на столбец матрицы А, получаем соответствующий коэффициент многочлена наплучшего приближения.

Скалярные произведения и нормы в пространстве Яр [0, 1] вычисляются обращением к соответствующей подпрограмме.

Коэффициенты многочленов округлены до двух знаков после запятой, в вариантах с параметром ответ приводится при а = 0.

u*W = 1,00-0,01г + 0,37г2-0,1 It3;

и* (0 = 1,31 + 7,98t + 12,17г2 — 4.65г3;

(t) = 2,00 + 0,99г — 0,21г2 + 0,05г3;

и*(г) =—о,01г + 1,12г2— 0,42г3;

и* (г) = 2,00 + 1,40г + 0.44г2 + 0,16г3;

и*№ = 1,00 + 0,33г-0.09г2 + 0,02г3;

Ж) и* (г) = 1 д7 - 9,24г + 20,72г2 - 13,82г3;

= —0.01г + 1,13г2 —0,42г3;

И) и* (г) = 1,00 - 0,02г + 0,44г2 + 0,09г3;

К) и* (;) = —1,00 + 1,02г + 0,42г2 + 0,28/3.

15. Основная программа осуществляется структурно по алгоритму, описанному в условии задачи. Для этого: 1) последовательным обращением к подпрограммам скалярных произведений за- пошлются матрица коэффициентов и правая часть системы линейных уравнений; 2) производится обращение к стандартной подпрограмме решения систем линейных уравнений; 3) полученные в результате решения коэффициенты многочленов наилучшего приближения выдаются на печать; 4) интегрированием вычисляются и выдаются па печать величины|| х — и* |ь2[о,1] 11 ” z — ^иДо 1]’ 5) если построение графика не предусмотрено программой, выдаются на печать значения z, и/^ г)*.

Интегралы вычисляются по формуле Спмпсопа, реализованной в необходимых местах циклически. Для вычисления скалярных произведении в пространствах Ьг [0, 1] и IF [0, 1] заносятся по два оператора-функции.

Коэффициенты многочленов округлены до двух знаков после занятой:

u*(t) = 1,00+ 1,10/ +0,62c2 + O,18Z3 + 0,11^, /,*(/)= 1,00 + + 1,10c + 0,62c2 + 0,18c3 + 0,11/’;

u* (/)' = 0,99 + 0,25c - 6,69c2 + 4,45/3 - 0,01 c\ v* (/) = 1,00 + + 0,16/-6,47/2 + 4,31/3;

u^l} = 1,00 + 1,00/ + 0.51C2 + 0,14c3 + 0,07c4, v*(C)=l,00 + + l.UUC + U,5J/2 + 0,14/a 4- 0,07/’;

r) u^ (/) = 3,10/ + 0,47c2 — 7,14c3+ 3,57/’, + (/) = 3,12/ + 0,39c2— , 7 0^4 _[_ g 514*

д)'— 0,97 + 1,91; — 40,654 + 77,484 — 38,744, u* (;) = 1,00 +

+ 1,09/ — 36,644 + 71J1 — 35.53Z4;

u*(/)= 0,22;+ 1,324 -0,824 + 0,284, y*(;)=0,12/ + l,684- — 1,294 + 0,484;

u-(;)= 1,14- 8,92/+ 20,374 - 14,494 + 0,774, u* (0=0,01 + + 4.49/ — 13 874 + 9,984 - 0,634;

= l,00i — 0,464 + 0,21/3 — 0.054, u* ^ = 1,00/ — 0,474 + + 0,224 —0,064;

n) (;) = —0,55 + 1,28/ - 0,564 + 0,37 4,v* (/) = —0,55 +

+ 1,29;-0,584 + 0,394;

u+O= 0,93 + 2,36;-22J14 + 38,794- 20,884, v*(/)=l,00+ 4. 1,52;-20,354 + 38,304- 21,474.

Коэффициенты многочленов паплучшего приближения при п = 5 округлены до двух знаков после запятой: и* = 0,31, p(z, L^ = 0,38; и* (с) = -0,17 + 0,96/, р (z,7^= 0,16; и* (С) = = 0,02 — 0,54; + 1,50;2, р (2:, £2)=0,03. 5.18.6) п—9. в) Нт ап=

П-*эо

= 0, Ит 0п=2/л.

?'1-*0О

Коэффициенты многочленов наилучшего приближения при п = 15 округлены до двух знаков после запятой:

и* (с) = - 0,12 + 35,28/ - 302,37/2 + 859,16/3 - 986,37/4 +

+ 394,55/5;

и*(/)=0,10 - 0,03/2+ 0,61/3 -0,12/4 -0,04/8;

и»(/)=1,02/ + 0,68/2+ 1,04/3 - 0,41/4 + 0,51/6;.

и*(/)=0,99/— 0,49/2+ 0,28/3 — 0,13с4 + 0,03/5;

и*(с)=1,33 - 25,58С+112,04с2- 172,92/3 + 84,46с4;

и„т= 3,10с + 0,48с2 - 7,17с3 + 3,58с4;

и* (С) =О,1О + 1,ООС + О,5ОС2 + О,17С3+О,ОЗС4 + О,О1С5;

и* (с) = 0,47с - 13,56с2 + 26,20с3 — 24,03с4 + 8,28с5;

и* (с) = 0,34с - 0,41 С2 + 1,75с3 — 3,38С4 + 3,00с5;

и* (с) = -0,54+ 1,ЗОС -0,69С2 + 0,73с3 -0,40с1 + 0,16с5.

S 6

Все три пространства являются полными. 6.3. Функция и = 1^ должна быть монотонной. 6.4. Функция и = f(v) должна быть монотонной, а область ее значений должна совпадать с R. 6.5. а) Пространство неполное, его пополнение изометрйчно отрезку [—л/2, л/2]. б) Пространство неполное, его пополнение изо^ метрпчио полупрямой [0, +оо), в) Пространство полное. 6.6, в) Ес-

ли р(лт. у) = llz —у||, то п(.г, 0) = ||z[|. Рассмотрим элемент z = = (1, 1, 1, ...) s s. Тогда ||2z|| ¥= 2||z||, поэтому норму ввести нельзя. г) яп = (1, 1, ..., 1,0, 0 ...). 6.7. Строгое заключение возможно,

п

например, в пространстве задачи 6.1. 6.9. Строгое включение Sa (z) с: Si(у) возможно, если а < 2. 6.10. S1+1 (2п)(я).

ГЛАВА 2

Вообще говоря, нет. 7.4. Да. 7.12. а) — е) ||А|| = 1. ж) ||А|| = - 1/1 3.з) l|Az|| = 1. и) ЦАЦ 1. К) ЦАЦ = 1. л) ЙЛ|| 2. и) ||А||^

7.13. Нет. Рассмотреть последовательность z„ (t) =• tn (п е N). 7.14. Да, Mil 1. 7.15. а) <Р И С^О Л] JM || ^ || ср ||с[м б) Ф (г) е е С[0,1], || А |) = || ср Цщ^].7.18.Нет. Для построения примера

воспользоваться задачей 7.17. 7.20. б) Пет. Воспользоваться задачей 7.12 д). 7.21. Нет. Построить пример неограниченного оператора, для которого У = R. 7.23. Нет. Воспользоваться задачей 7.13. 7.24. Так как А (А)—подпространство, рассмотрим факторпрост- ранство А/А(А) и оператор л: Х-^Х/А(А) (см. задачу 7.7). Оператор А определяет взаимно однозначный оператор А'*. Л7А(А)-> ->/?(А) такой, что А = А'л. Так как А’ взаимно однозначен и Rk^ конечномерно, то п А/А(А) конечномерно. Согласно задаче 7.19, оператор А' непрерывен, согласно задаче 7.7. оператор л непрерывен. Тем самым, непрерывен и оператор A. l^. Нет. Гассмот- п 2/\\

реть оператор А; Е -*Е , А ->7.28. Тогда и только тогда,

\ У / \ 0 у

когда $(/) нс обращается в путь на [а, 6]. 7.29. а) Нет, так как возможно, что А (А) ^= 0. Если А (А) = 0, то пространство не обязано быть полным, так как оно пзометрпчно /?(А). б) Да. В этой норме X является банаховым пространством. 7.30. б) supIX 1< 72

< + °о. в) sup | Хп |<+ оо, || 4 || =sup I Хп I. г) Нет. д) Тогда п только пп

тогда, когда Inf 1Х^|>0.

Вообще говоря, пет. Пример построить для оператора А; Е2-+Е2. 8.4. Вообще говоря, пет. Воспользоваться задачей 7.12 д). 8.5. Нет, -М может не быть даже линейным многообразием. 8.6. Да. 8.9. а), б). Да. 8.11. Вообще говоря, нет. В пространстве Z2 рассмотреть А = / — тождественному оператору, Апх = (х^ z2, ..., zn_b пхп> Zn+i, ...) для z = (zi, z2, ...) е^, в качестве линейного многообразия рассмотреть множество элементов пространства /2, у которых лишь конечное число координат отлично от нуля. 8.15. д) С ростом п последовательность ||АМ || растет, но медленно: ||А3|| = = 2,07, ||А6|| = 2,35, ||А8|| = 2,41, ||А ю11 = 2,57. Поэтому вывод об ограниченности или неограниченности последовательности ||А п || по полученным результатам сделать труДно. В [И] доказывается, что последовательность ||А„|| пеограпичепа. 8.16. д) С ростом п последовательность ||АП|| растет быстро: ||А3|| = 3,80, ||А311 = 4,75, 242

[1^811 = 7,60, IM ю11 = 9,50, поэтому правдоподобно (и это доказано — см. [14]), что последовательность ЦЛл|| неогранпчена. 8.17. Нет. Рассмотреть последовательность операторов Ап: U-^h,

для х = (rt, r^ .,.) е 1ч. 8.19. Последовательность Ап сходится к нулевому оператору равномерно, последовательность Вп — сильно. 8.20. Последовательность А п сходится к оператору А равномерно. 8.21. Последовательности А п и Вп сходятся к оператору А равномерно. 8.22. в) Нет. 8.28. а), б) Да. 8.31. е1 = el. 8.33. Нет. Для не [0, 1] положить

, /л=Д прпto ПРИ ^ >и

и воспользоваться задачами 7,12 з) и 1.77. 8.34. Пусть t/еУ. Существует zieX такое, что НЛг] — r/|| ^ ally||, IMill ^ ?||y]|. Далее, существует х2 е X такое, что ||Л^2 — (^^i — у) И = М (24 — -r2) — yi| <a|Mzi — у\\ <a2hll, W^apHy]] п т. д. В итоге получаем последовательность хп г X такую, что

ОООО

2 №^||2«п=г=^и, Я = 1п=0

и ряд ДЛ — я2 + 2*3 — 2*4 + ... сходится к некоторому х гХ: С дру- (п\

5 (— i)1^1 ^j У ПРИ п со, и так как А — i=l/

непрерывный оператор, то Ах — у. 8.35. Пусть х = и + v, и е ь. иеМ. Полояхим 1Ы11 = Hull + 1И1 и дока,кем. что пространство X полно относительно || II,. Нормы I! IIi и || h эквивалентны (см. [25], с. 168, теорема 3). Это и означает ограниченность onepaTOj ра Р. 8.36. Пусть Р — ограниченный оператор, удовлетворяющий условию Р2 = Р. Положить L = N (I — Р), М = Х(Р) и доказать, что X = L ф М. 8.37. Пусть Р ограничен и Р2 = Р. Установить, что Д(7 — Р)=М(Р) и В(Р) = 1V(2 — Р), и воспользоваться задачей 7.22. Обратно, если линейные многообразия В(Р) и R(I — P) замкнуты, то доказать, что X = В (Р) Ф ВЦ — Р) и что Р —оператор проектирования, после чего воспользоваться задачей 8.35. 8.38. а) ||Л|| — II5II = 1. б) А2 = Л, В2 = В; являются. 8.39. ||РЦ = 1. 8.41. а) ^сА’(Д). б) Р(Л) cL. в) L, (А — инвариантные подпространства для Л, т. е. из _х е L следует Ax^L, из х е IA следует Ах е L1-. М2.. Пусть L — замыкание L\ тогда оператор А может быть продолжен на L с сохранением нормы по теореме 8.4. Пусть Р — оператор ортогонального проектирования на L. Положим Вх = А {Рх) для хеН. Тогда 5 — продолжение А с сохра- нением нормы. 8.43. Пусть Р — оператор проектирования на L параллельно М. Оператор А ^^{Х, У) представим в виде А = РА + 4- (1 — Р)А. 8.44. Неверно. Пример привести для случая Х = У = Р2.

Да. Доказать, что АДЛ) = А’(В) = 0. 9.4. Пусть (7 — ARV1 = C. Доказать, что (7 — ВА)-1 = 7 + ВСА. 9.5. Доказать, что Л"1 = — 1 — В. 9.8. Воспользоваться теоремой 9.1.

213

9 9. Оператор Л-1 существует прп Хп ^ 0 п ограничен тогда п только тогда, когда inf I Xn I > 0. 9Л0. Существуют операторы Л^1 = В и В™1 =-Л. 9.13. а) В (Л) — лилейное многообразие непрерывно дифференцируемых функций y(t^ удовлетворяющих устовпю у(0) = 0. б) Оператор Л"1 существует, но ne ограничен. 9,14. б)

A-1y = yW- ^ А'‘1№ dr.о

1

Л^у-г/И-чД- у^е^Чз. е" — 1 J

оо6) Л-1у = J у (т) sin (^ — т) dx.

о

о

Представить А —XI в виде А — XI = — Х(1 — Х**Л) и воспользоПредставить А —XI в виде А — XI = — Х(1 — Х**Л) и воспользоДа. Из равенства Ах = у вывести, что у" — у =—2х. ^.19. Положить В = I— Л и воспользоваться теоремой 9.3. 9.20.

Представить А —XI в виде А — XI = — Х(1 — Х**Л) и воспользо

Представить А —XI в виде А — XI = — Х(1 — Х**Л) и воспользо

\А?\<С-Азхп = у, <С1К К~г) || = Обратно, если хн->х\А?\<С-Азхп = у, <С1К К~г) || = Обратно, если хн->хваться теоремой 9.3. 9.22. Если для mgN А= = У, то

\А?\<С-Азхп = у, <С1К К~г) || = Обратно, если хн->х

\А?\<С-Азхп = у, <С1К К~г) || = Обратно, если хн->х

= с || А^-Ах^ Ах - Ад || = г|| Л^-АЦ -> 0.

прп п ->- оо, то последовательность ^)г = Лп Уу ог рапичена для любого у е У, и в силу теоремы 8.2 последовательность || А”11| ограничена. 9.23. Пусть оператор А непрерывно обратим. Найдется N такое, чго прп п > N ЦЛнЛ"1 — 7|| = || Л „Л*1 — ЛЛ"1,! < ||Л п — Л|| X X ЦЛ-1|| < 1/2. Далее воспользоваться теоремой 9.4. При доказательстве достаточности воспользоваться той же теоремой. 9.24. Пусть Л5 —/, т. е. В^А*1. Если А7 (Л) ^= 0, то для yeN(A^ положим С: II->11, Сх = (х, у^у. Тогда С #= 0 н В 4- С е ^(11), при этом А (В + С) = 1, что противоречит единственности оператора В.

Доказать, что Л-1^5’(С[0, 1]) и воспользоваться теоремой 10.2. 10.2. Наити оператор Л-1 и воспользоваться теоремой 10.2. 10.3. Воспользоваться задачей 9.16 п теоремой 10.2. 10.4. Согласно теореме 10.3 достаточно доказать, что Р замкнут. Замкнутость Р вытекает из замкнутости L и М. 10.8. Нет. Подпространство L с X 4- V элементов вида (0, у), где у е У, не является графиком никакого оператора. 10.10. а) Нет. Воспользоваться примером из задачи 102. б) Нет. Рассмотреть оператор Л: С1 [0, 1]->С[0, 1], Ах = х. 10.12. Воспользоваться теоремой 9.1. 10.14. Воспользоваться теоремами 10.2 и 10.3. 10.15. Пусть оператор А замкнут и последовательность gn фундаментальна в || |h. Тогда gn->g в X и Agn->h в У, в силу замкнутости geD^ и Ag = h. Отсюда llgn —gill = llgn — glix + нл^„ —Л^||у ->0. Обратно, если 7)(Л) — банахово, ^не7)(Л), gn->g, Agn->h при п -> оо, и так как gn фундаментальна в || Hi, то существует /е^(Л) такое, что

||^n—/11,^0 при n-*oo. Так как \\gn — f\\ ^\\gn — Ж to gn-*f в норме X, стедоватеаыю, g = / и ||Hgn — Л^Ц —0 при n-^-oo. Отсюда h = Aj = Ag.

ГЛАВА 3

§ И

ILL Если существует igX такое, что <.т, /) — X V= 0, то /+?„/) = 1. 11.3. а) 11/11=2/3 б) 11/11=4 вЖИ^'К]. г) Vil = 2/8.

1

д) ;|/||= 1. е)11/11= 3. ж) 11/11 =2. в)11/11 = 3+2, зТ/Т 1L4‘ а)’

б), в)Да. 115.а)||/|| =1. б) 11/11= 1/2. в) ||/|| = 1. г) Ш = W-

/ ОО

Д) 11/11= U е)Ц/11= }2.ж) II/11= |/2^ = ^ 3), и) 11/11 =

= !, Л) Ц/11 = 2. м)II// = 1.Н.6.а) При р > 1. б) При р >

> 2. 11.7. а) Да, 11/11 = L б) Нет. Рассмотреть последовательность 2;п(£) = Sin nt/n, 11.8. б) Положим

bt

с = -A- f U (z) dt, ^ \ [tz (т) — С] dx;

b — a Jи

ао

тогда ^(0 s L и ^ДО — ^(0 ci следовательно, ъ

J и (/) (и (0 — с) di =0, а

откуда ьоткуда ьЬЬЪЪ= j и (<) (и (1) — с) dt — с (и (1) — с) dt = О,= j и (<) (и (1) — с) dt — с (и (1) — с) dt = О,аааааап так как и(0 — с — непрерывная па [л, Ь] функция, то u(i) = с.в) Интегрируя по частям, с учетом того, что к^гЬ, получаемп так как и(0 — с — непрерывная па [л, Ь] функция, то u(i) = с.в) Интегрируя по частям, с учетом того, что к^гЬ, получаемbbаПоэтомуаПоэтомуb Гb Гааь j t\— — fl f v (т) dx I x* (г) ^t.a \a/W (Z) — j C (t) dx t' (/) dt.ь j t\— — fl f v (т) dx I x* (г) ^t.a \a/W (Z) — j C (t) dx t' (/) dt.

откуда ь

откуда ь

Ь

Ь

Ъ

Ъ

= j и (<) (и (1) — с) dt — с (и (1) — с) dt = О,

= j и (<) (и (1) — с) dt — с (и (1) — с) dt = О,

а

а

а

а

а

а

п так как и(0 — с — непрерывная па [л, Ь] функция, то u(i) = с.в) Интегрируя по частям, с учетом того, что к^гЬ, получаем

п так как и(0 — с — непрерывная па [л, Ь] функция, то u(i) = с.в) Интегрируя по частям, с учетом того, что к^гЬ, получаем

b

b

а

Поэтому

а

Поэтому

b Г

b Г

а

а

ь j t\

— — fl f v (т) dx I x* (г) ^t.

a \a/

W (Z) — j C (t) dx t' (/) dt.

ь j t\

— — fl f v (т) dx I x* (г) ^t.

a \a/

W (Z) — j C (t) dx t' (/) dt.

W (t) — j* V (т) dx Г,W (t) — j* V (т) dx Г,

W (t) — j* V (т) dx Г,

W (t) — j* V (т) dx Г,

Согласно пункту б) отсюда вытекает, что

а

а это и означает, что w^ еС1^, Ь] и гЛ(О — ЦО - 11-9- Восполь-

215

аоваться задачей 11.3 ж). НЛО. Воспользоваться задачами 11.5 и), л). 11Л1. 11/11 = 1/(2г). 11Л2. При доказательстве достаточности воспользоваться тем фактом, что всякое открытое множество на прямой есть объединение конечного или счетного числа интервалов и задачей 1.85 б). 11ЛЗ. Если / нс ограничен, то он не ограничен на шаре 6’1(0), поэтому существует последовательность хп г X такая, что ll^nll ^_1 и |<^л, />| > п. Рассмотреть последовательность ап = Хн^п. 11Л5. При доказательстве достаточности воспользоваться задачей 11.11. 11Л6. Пусть х^Х— таково, что <г, /) = с т^ 0; тогда <х/с, /> = 1 и ха — х,с есть базис М. 11Л8. Если х^ L^ то L'-V {V}, где XeR, —подпространство, содержащее L, поэтому L + {Хж} = X. Определим па X функционал / равенством <у, f) = к, если у = и + Xz, где ueL. 11.21. Воспользоваться задачами" 11Л4, 11Л5 и 11.20. 11.22. При х е L (х, /У1 = 1 ^ IWIH/1I, откуда inf lk|| ^ 1/11/11- С другой сто-

IKIMIKIMи К-2"»-OI»^II/II. м+1 1< " FT’ поэтомуи К-2"»-OI»^II/II. м+1 1< " FT’ поэтомуроны, существует послсдоватсльпость хп е X такая, что

IKIM

IKIM

и К-2"»-OI»^II/II. м+1 1

< " FT’ поэтому

и К-2"»-OI»^II/II. м+1 1

< " FT’ поэтому

Еыи у-= F^)"’ то е л 11 II II <

1

inf || х длт- 1123. Если ye-L, то x^L lull

I <^ — у, h К|| л* — г/Ц Л /Ц, но <х — У, /> = <х, f>, поэтому || х — — У11>—iFl—1 и» следовательно, р (z, L) = inf I] х — у|| > \ I <х,/> |

—тут—. С другой стороны, существует последовательность

^^^ такая, что рп|| = 1 и | <^п,/> | > yTpi || /II- Положим т гда и

11.24. Воспользоваться предыдущей задачей.

§ 12

12.5. Воспользоваться следствием 1 теоремы 12.1. 12.8. Воспользоваться следствием 2 теоремы 12.1. 12.9. В А существует конечномерное подпространство L любой размерности; тогда размерность L* равна размерности L. Заданный на Л непрерывный линейный функционал продолжается па все А. 12.10. б) Ортогональное дополнение к М. в) Воспользоваться следствием 2 тео- рсмы 12.1. 12.13. Пусть /1, /2, ... cz А'* — всюду плотное множество. Для каждого /А выберем хк ^Х такое, что ||^hl| = 1и |<^ь,/ь>| ^ ^ II/aJ/2. Множество К всех линейных комбинаций хк с рациональными коэффициентами счетно. Если К Ф X, то но следствию 2 теоремы 12.1 найдется / е А* такое, что / ^0 и <z, /> = 0 для любого х из К, в частности, <хк1 /> = 0 для к е N. Найдется т eN такое, что [I/-/„|1< е. Тогда | <-^т-/ -/т> | = | <^,„/т> |> > ^ = ^ || ||; 0ТСЮДа В / - II > У - II frn I! < "2е п- Сле"

довательно, ||/|| ^ )|/г„ И + ||/ — /,„ || < Зе. Таким образом, / = 0 — противоречие. Обратное утверждение, как это следует из задачи

216

12,24, неверно. 12.14. Если

1<z, /> = J z$g (?) dt.1<z, /> = J z$g (?) dt.g (?) G CV—1,1], -g (?) G CV—1,1], -

1

<z, /> = J z$g (?) dt.

1

<z, /> = J z$g (?) dt.

g (?) G CV—1,1], -

g (?) G CV—1,1], -

то ПОЛОЖИМ x(t^ = t-g^. Функция ГО при [ 1 прито ПОЛОЖИМ x(t^ = t-g^. Функция ГО при [ 1 приt tt t<0, >0<0, >0имеет ограниченную на [—1, 1] вариацию и удовлетворяет условиюимеет ограниченную на [—1, 1] вариацию и удовлетворяет условию1*(0) = j х (?) dg (?).-11*(0) = j х (?) dg (?).-1

то ПОЛОЖИМ x(t^ = t-g^. Функция ГО при [ 1 при

то ПОЛОЖИМ x(t^ = t-g^. Функция ГО при [ 1 при

t t

t t

<0, >0

<0, >0

имеет ограниченную на [—1, 1] вариацию и удовлетворяет условию

имеет ограниченную на [—1, 1] вариацию и удовлетворяет условию

1

*(0) = j х (?) dg (?).

-1

1

*(0) = j х (?) dg (?).

-1

12.15. б)12.15. б)' О g^ = ‘ ?2/2 . 1' О g^ = ‘ ?2/2 . 1при при припри при при— 1 < t < 1,t = 1.— 1 < t < 1,t = 1.

12.15. б)

12.15. б)

' О g^ = ‘ ?2/2 . 1

' О g^ = ‘ ?2/2 . 1

при при при

при при при

— 1 < t < 1,t = 1.

— 1 < t < 1,t = 1.

б). 1) Однозначно, <х, f) = х(1), 2) Неоднозначно, продолжения <х, /О=х(0) и <х, /2)х(1) совпадают с / на L.

/ХЛ 2- 1_ 2

Еслих— е£ , то продолжение есть <х, f>=-^хт + ух2.

Убедиться, что в лемме об элементарном продолжении ([25],, § 16.1) а — р, так что 4 определено однозначно. 12.25. )|/|[=]2.

Да.

Из условия <х, /) = (х, у) вытекает, что функция у^ является решением краевой задачи у" — у = 0, /(1) = sin 1, у'(—1) = sin 1

= sin (—1), откуда у (?) = ^у ch t.

а) (х„, Уп)->(х, у) при /1^00. б) (х„, у„) может и не иметь предела. Пусть, например, (neN) — ортонормированная система в П. Положим = еп,

Vn =

при при

п нечетном, п четном.

13-7. Нет. Пусть, например, X = h; согласно задаче 12.24, X* = тп. Положим /п=/1, 1 > ■ ■. т / * 0 г 0, ... \. Тогда L a cQ с: уп, но для любо-

ПОО

го тек (z, f^ = У zv следовательно, У z^ = (z, j^, где /0 =1=11=1

= (1, 1 1, - .-) ^с0. 13.8. Нет. Напит Ц/„||. 13.9. а) Ц/|| = 1.

в) Нет, это вытекает из пункта а). 13.12. Положим для n^N

^п ^ =

О

1

ПРН

111

при ™<^-4-^+Г.

111

ПРИ 2n-r 2n^1^2?i-1’

1при ^-<^<1.

Тогда ^neC[0, 1], И^нИ = 1 п„ следовательно, хп не сходится к нулю. В то же время яп->0 (/г->оо) слабо. Действительно,

1/2п-1

ЯМ v ?-*о1 Дп

при и->оо д 1я любой функции g^ с ограниченной на [0, 1] вариацией. 13.13. Надо доказать, что в пространстве Ц из слабой сходимости следует сходимость по норме, причем эго достаточно доказать для сходимости к нулю. Пусть z(”’eZi, z(”)->0 (/г->оо) слабо, = ^0. 0, ..., 0, 1,0,0, ...) е m = Z* и (ж, /^ = х. — соответствующий функционал в Z,; тогда <^(п), /3> = д^5 и, следовательно, для любого i при/г-> оо /п)->0. Пусть г<п) не стремится к нулю, тогда найдется подпоследовательность хх такая, что для всех к е X будем иметь )| х^ |] Л/ > 0. Тогда )1 л:^1^) = ^ I гг^1^^.]/

и найдется тх такое, что

2П1

ОО

i=li=lМ<10» откудаМ<10» откуда

i=l

i=l

М

<10» откуда

М

<10» откуда

Положим 01 = 1. Так как^? 17->0для любого Ц то

и найдется «а > «; такое, что

66

2 ю

M, и

найдется m2 > mi такое, что

2

i^ml +i

г(^2)

/

hr. 2

°1=7П2

М 10'

Продолжая

этот про

цесс, получим последовательность т^ а^ и ‘соответствующую последовательность mi < т2 < ... такие, что для любого к

^k-l^k-lММ™к™кi=m^_1+li=m^_1+l4^,и4^,и

^k-l

^k-l

М

М

™к

™к

i=m^_1+l

i=m^_1+l

4^,и

4^,и

ООООм

ОО

ОО

10* то = °-

<=mk

Определим теперь с = (ci, е2, ...) ^ m следующим образом: для каждого / найдем такое к, чтобы выполнялись неравенства m^-i^ ^ / ^ и положим cj = 1, если х^ h^ О и с3 = —1, если ^“^^<0. Тогда для соответствующего функционала <я, />—

= 2 сгхг бУДем иметь

1=1

i=mfe_1+lt=li=mfe_1+lt=lх^х^ТМдТМдi=mft_1+li=mft_1+lгг

i=mfe_1+lt=l

i=mfe_1+lt=l

х^

х^

ТМд

ТМд

i=mft_1+l

i=mft_1+l

г

г

и \^' t f / не стремится к нулю при к -> оо. 13.16. Если / = О, то можно взять любое х. Пусть / ^ 0. Согласно следствию 1 теоремы 12.1 найдется F е X** такое, что НГЦ = 4/11/11 и </, F> = 1 = = ЦГ|М1/11. Так как X рефлексивно, то <g, F), где g е X*, имеет вид <х, g), где М = |]Г|| = 1/II/II =£ 0. Таким образом, </, F) = = <я, /> = Н/Н-НЛ = 11/11-Ы- 13.21. б) Ортонормированная система в гильбертовом пространстве. 13.22, 13.23. Воспользоваться теоремой 13.5. 13.24. Нет. Рассмотреть последовательность хп(Ц = tn (neN). 13.25. Пусть ei, е2, ... — счетное всюду плотное в X множество (можно считать, что его элементы линейно независимы), Ln — подпространство X, порожденное ei, е2, ..en, ri, г2, ..., гп — рациональные числа. Набору (n, ri, г2, ..., гп) поставим в соответствие следующий функционал: на Ln определИхМ его значениями на элементах базиса <еи /> — гн а затем продолжим на X с сохранением нормы. Ясно, что множество таких функционалов счет-

но. Остается доказать, что оно всюду плотно в X* в смысле #-слабой сходимости. 13.26. Нет. В качестве L взять пространство С [0, 1] как подпространство пространства X*, где X = С [0, 1] *,

§ 14

Так как отображение линейно, достаточно доказать его непрерывность в точке 0. 14,6. г) Воспользоваться задачей 7.11,

1

а) А*у =(т) JT; б) А*у = ty (0; '

t

11

в) А*у = j ty (t) dt; г) А*у =^ty (s) ds.

оо

а) A*: m m, A*x = (zi, Z2, ..xn, 0, 0, ...).

A*: m-^-m, A*x = (XiZi, K2X2, ...).

A*; m-> m, A*x — (z2, z3, ...).

r) A*: m т/l, A*x = (0, zi, z2, ...).

Формулы те же, что и в задаче 14.10, но операторы действуют в случае а) из Z, в Zh 6) —из Z2 в Z2j в) —из Zi в тук 14.12. б) A*: Z2->Z2, А*х = (0,0,..,, 0, z^ za, .,. у Так как

L^IH^’ то ^* не стремится к нулю при п^оо сильно. 14.13, J*: Z^/г, J*x = х, 14.14. А*: H-+I1, А*х = (z, ^у. 14.15. Пусть существует последовательность fh е Н такая, что Ш1 = 1 и ||А/а|| > > к. Положим <^, <рл> = (g, АД); тогда фЛ — линейные функционалы вЯ, причем <g, фЛ> = (Я^Д), откуда последовательность <g, Фа > ограничена при любом g е Я. По теореме 8.2 последовательность УФа11 = [|А/а|| ограничена — противоречие. 14.17, в) Я(А*) = Я(А),

A*z = (zi, 2z2, 3z3, ...). 14.18. в) A*: m-^ Z2, D (A*) = x e m, x =*

00I

-r=(zi,z2,...): У x^ < 00 , A*z=z.14.19. в) Я(А*) = ’^ (i) s Л2[0, 1]:

K=1JI

1

Cx2W .I игл

I -df<ooy A*x (t) =—14.20, D(A*)—линейное mho-

гообразие функций на [0, 1], принадлежащих Я^О, 1]

А*х^ = dxjdt. 14.21. Р(А*) — ортогональное дополнение к функции x(t) = t, А*х = 0 для x^D^A*). 14.22, J*; £2[0, 1] -^Я^О, 1],

J*y = j G^s, f^y (s) ds, где о

G (s, t) =G (s, t) =1 (es — e s) (ef -j- ^2 9 при 0 < s ^ t < 1, 2 (e2 — 1)|,(^ — e-z) ^es + e2-5) при 0<^s^l.

G (s, t) =

G (s, t) =

Для г = решить краевую задачу — г" + г = у, zz(0) = z^l) = 0. 14.23. А*: Ьг [0, 1] Hv [О, 1],

А*у = J у (s) ch (s — z) ds 4 ^ j у (4 sh (s — 1) da. о0

Для z = A*y решить краевую задачу г" — г = у\ z'(0) = 1/(0),

ГЛАВА 4

§ 15

Пусть at, аг, ..., ап— е/3-сеть для М. Положим Fh = = .$е/з(щ) П М- 15.10. Воспользоваться задачей 1.87 и теоремой 15.1. 15.12. Если Л бикомпактно, а В замкнуто, то таких точек может и не найтись,— воспользоваться задачей 1.81. 15.14. Пусть М — бикомпактное множество, f: М->■ М — изометрия, /(Л/) ^ М, хй е

zo^/W), Xn^iV-n-t^ (neN). Тогда хиеЛ^ для п ^ 1, при этом множество /(Л/) замкнуто, а множество А = = Л/\/(Л/) открыто, поэтому при некотором е>0 8е^Хй^^1М. С другой стороны, из бикомпактпости М следует, что найдутся номера 1ц I такие, что к < I и П^л — ^/11 < е.. Тогда ||х0 — zh-dl < е и xh-i е Se(xo) — противоречие. 15-15. Рассмотреть па плоскости множество А = (созлУ2и, sin лУ2и) (n е N) и поворот этого множества вокруг начала координат на угол У2. 15.16. Достаточно доказать, что отображение Ф изометричпо; то, что оно является отображением «на», вытекает из задачи 15.14. Пусть для каждого достаточно малого е >- 0 существует е-сеть АЛ множества Л/ такая, что Ф(Ме) также является е-сетыо и для любых xb х2 е Мъ ll^i — ггИ = ЦФ(^1) — Ф(^2)||. Отсюда вытекает, что отображение Ф изометричпо. В самом деле, если л, 5 е М, то найдутся ащ г2еМ£ такие, что Щд — л,| < е, h —Ь||<е, ||Ф(^1) — — Ф(а)И < е. ||Ф(л:2) — Ф(Ь)1| < е. Тогда |||а— Ь|| — ||Ф(о) — Ф(6)|||

< \ \\Q_b\\-\\xv-b\W 4- IIU1-611-11^-^111 + |!1ФЫ - -ФЫН - НФ^) - Ф(6)Ш 4- 1НФ(^1) - Ф(6)|| - 11Ф(а)-

— Ф(6)||| < 4е.

Пусть Мп — такое множество, состоящее из п точек М, что величина d„ = min Нт. —г.1, 1фь максимальна. Если таких

множеств несколько, то выберем из них то, для которого

ап= S Pi-^ll 1чЬ1’х^х^Мн

максимально. Тогда Мп отображается па Ф(М,^ изометричпо. Существование Л/п вытекает из бикомпактности М.

Пусть е>0 произвольно, Ле/2—е/2-сеть для М, содержащая к элементов. Тогда d^^v < е. Пусть I — наименьшее натуральное такое, что df < е. Тогда 4//_t — искомая е-сеть. 15.18. Положить А „ = Mi f] ^2 Л - * • П -Vn и воспользоваться задачей 15.17. 15.20.

г) Нет. 15.23. Пусть М — не бикомпактно, zrn е М (neN) и но имеет предельных точек, причем элементы хп по повторяются,

гп= 4 inf F. —Определим /: V-> R, /(z) =0 для ze.V, а п^т11

гг ^ 5Г^ (^) и в случае a) /(z) = n(l — IU — гп||/гп), а в случае б) /(я) = (1 — 1/л) (1 — |!.г — .г„11/гл). Убедиться, что в обоих случаях /(^) непрерывна на М, но в а) пе ограничена, а в б) не достигает точной верхней грани. 15.24. Нет. Рассмотреть в R множество натуральных чисел и определенную на нем числовую функцию. 15.26. Воспользоваться задачами 1.85 а) и 15.25. 15.27. Нет. Рассмотреть случай X = R, ¥ = R, М = (—л/2, л/2), f^ = tg х. 15.29. Да, это связано с бикомпактностью отрезка. 15.37. Нет, так как оно не замкнуто. 15.39. Воспользоваться задачами 15.38 и 15.10. 15.40. Воспользоваться задачей 1.40 а) или 15.38. 15.41. Шар 5Д0) не является бикомпактным множеством. Рассмотреть функцию * х^ = |t—1/2] и существующую в силу теоремы Вейерштрасса последовательность многочленов Рп(0> равномерно на [0, 1] сходящуюся к x^ty 15.43. Пусть

Яп (t) =Яп (t) =^t при t е [0,1/2л],1 при t е (1/2™, 11,^t при t е [0,1/2л],1 при t е (1/2™, 11,tУп to = J хп (т) dt.оtУп to = J хп (т) dt.о

Яп (t) =

Яп (t) =

^t при t е [0,1/2л],1 при t е (1/2™, 11,

^t при t е [0,1/2л],1 при t е (1/2™, 11,

t

Уп to = J хп (т) dt.о

t

Уп to = J хп (т) dt.о

Тогда уп компактна в С [0, 1], по не имеет предельных точек в С' [0, 1]. 15.44. а) Нет. б) Нет. в) Да. г) Нет. д) Да. е) Нет. ж) Да. 15.45. Будет, только если cp(t) = 0. 15.46. Если бы компактное множество М не было нигде не плотным, то его замыкание содержало бы некоторый шар, что противоречит теореме 15.4. 15.47. Доказательство — индукцией по к. 15.51. а) Тогда и только тогда,

ОО

когда 2 ^<°°-б) Тогда и только тогда, когда 1п->0 при п -у 71 — 1

-> <ю. 15.52. Если L — подпространство С [а, Ь], состоящее из непрерывно дифференцируемых функций, и хп <= L, xn-^xQ по норме Ск [л, 5], то хп -у xq и по норме С [я, 5], следовательно, х0 г L. Таким образом, па L можно ввести две нормы и получить два банаховых пространства LC [а, 5] и LCA [л, 6]. Тождественный опе- раюр J: LCV [я, 5] -> LC [а, 5], Jx = х линеен и непрерывен. Поэтому оператор У"1 непрерывен, обе нормы на L эквивалентны, единичный шар в LC [я, 5] ограничен по норме LC1 [а, д] и, следовательно, компактен. По теореме 15.4 подпространство L конечномерно. 15.55. Воспользоваться теоремой 15.6 и задачей 13.23. 15.57, Рассмотреть последовательность хп (£) = Р(пе N).

§ 16

а) Нет. Рассмотреть Ах^ где х„ = tn (neN). б) Да. в) Да. г) Да. д) Нет. 16.2. Нет. Рассмотреть Ахп, где хп = г2п. 16.3. Только при ср(О=О. 16.4, Воспользоваться теоремой 16.2. 16.5. а) Нет. Рассмотреть АхП1 где х„ = tnln (neN). б) Нет. Рассмотреть АхП1 где хп = tn+i/{n(n + 1)) (neN).B) Да. Шар 5,(0) пространства С2 [0, _1] оператор А переводит в множество М, лежащее в шаре S = 51(0) пространства С1 [0, 1], а всякое подмножество 5 компактно в С [0, 1]. 16.8. а) Нет. б) Да. Воспользоваться задачей 15.50. в) Да. Воспользоваться теоремой 16.3. 16.10. Нет.

16.12.

1

А~гу = ^GVs,t^y W dt,®'A-^=CYOAA-

rs (t — 1) при 0< s < i 1, где G (s, t) = |^s — i) ПрИ o^ t ^ s ^ 1.

Только если X конечномерно. 16.16. а) Да. б) Нет. В этом случае А может не быть непрерывным, в) Да. 16.17. Нет. Рассмотреть последовательность операторов Рп- U-^ta Рп^ = (^ь г2, ... .Лп, о, 0, ...) для X = (хь x2l ..^eh. 16.18. Рассмотреть последовательность операторов Ап = АРп, где Рп — оператор из предыдущей задачи. 16.19. Пусть для х = ^х^ х2, ...) ^ 12 Ах = = (t/n 1/2, ...). Рассмотреть последовательность Апх = (уь у2, ... ,.у-^ 0, 0, ...). 16.20. Пусть М cz Н — ограниченное множество; так как оно слабо компактно, то в нем найдется слабо фундаментальная последовательность /п (^sN). Тогда [|Л (/п —/т)|2-=

ООгоо

= S ^КЛ.-^’ ^)Р = ^+Яг,гдс5г= ^RT= 2 . Так fe=lА=1h=r-Vl

ОО

как Xh 0, то при достаточно большом г будет Нг < е2 2 | (/л—

Ь=г + 1

— /т, ^)|2<е2|]/п —/т||2. Фиксировав г, в силу слабой сходимости последовательности /п выберем такое Лг, чтобы при n, m > > X каждое слагаемое в 5Г не превышало бы е2/г; тогда 5Г < е , | ^Z^— fm)l|2< се2 и А вполне непрерывен. 16.21. Если Хп не стремится к нулю при n-*oo, то найдется подпоследовательность Хп^ такая, что для всех к е N будет | ХПд | > М > 0. Положить

= (0,0, ..., 0, 1,0, 0,...) и доказать, что множество Aeh не-

компактно. 16.22. Определим последовательность операторов Вп* Н Н равенствами

(Aew при

В е = т

п т \0 при т > 0.

Доказать, что Вп — вполне непрерывные операторы и что

при п-^оо. 16.23. Пусть хп е Н — ограниченная последователь- ность; тогда Л *Лл-,7/} сходится, но р^-Л^ < 2|| ^1|| .4*Л.1П;- — при пл, пг-^оо. 16.24. Если А вполне непрерывен, то по теореме 16.3 оператор АА* вполне непрерывен, по А = — (Л*)*, поэтому (Л*)М* вполне непрерывен, согласно задаче 16 23 Л*’вполпе непрерывен. 16.25. Воспользоваться теоремой 16.10 и'теоремой 9.1. 16.26. R (Л) U /1 (^\Л°)]- 16.27. Воспользоваться теоремой 16.4. 16.28. в) => б) совпадает с теоремой 16.4. б) => а) очевидно. Докажем а) => б), Пусть zn-*z (я-*-00), слабо, тогда

Vn ~ A rtl у = Ах при п со слабо. поэтому

(Ахп, уп) = (Лхп, Лхп) = MzJi2-^ (Ля, у) = РЛх||2.

Таким образом, Ахн-уАх (п ^ ос) слабо п ||Лхп|| -> ||Лх||. Согласно задаче 13.4, Ахп—^Ах. 16.29. а) => б) AeS'tX, Y) и если хп^х (п^сс) слабо, то для / У* A*f е X* и <хп, Л*/> = = (АхП1 j><Ах1 f), поэтому Ахп->Ах (п-^оо) слабо, б) => в) Всякая сходящаяся последовательность является слабо сходящейся. в) => а) Пусть а) неверно; тогда существует последовательность хп е X, такая, что хп->0, по Ах^ отделена от нуля при п^-оо. Можно считать, что при всех п хп ^ 0. Положим ап = ^ ^n/V!|.rn||; тогда ||ап|| — ] ||хп|| и ап -► 0 при и -► оо, но Лап = = Ляп/УНяЛ неогранпчепа и, следовательно, не является слабо сходящейся, что противоречит в). 16,30. Воспользоваться теоремой 15.6. 16.31, Воспользоваться задачей 13.13. 16.32, Если А вполне непрерывен, то утверждение вытекает из теорем 16.5 и 16.4. Обратно, если У сепарабельно, то всякое ограниченное множество в У* слабо компактно ([25], стр. 211), поэтому Л*, а следовательно и Л, вполне непрерывен. 16.33. а) Воспользоваться тем, что М слабо компактно и слабо замкнуто, б) Воспользоваться тем, что множество А (Л) бикомпактно.

а) Нет. Рассмотреть оператор А: С [—1, 1]->С [—1, 1], t

Ах (?) — J х (т) dx.о

Тогда zo(O = И ^Л^ДО)), по xn(.t) == f?2" + 1/^2 <= л (^ (0)) и при п-^оо xnV) хйу). б) Да. 16.36. Множество Л^ДО)) бикомпактно согласно задаче 16 34; поэтому в нем существует элемент с наибольшей нормой. 16.37. а) Нет. б) Да, 16.38. Воспользоваться теоремой 16.9. 16.39. а), б) Только если X конечномерно, в) Да. 16,40. Нет. 16,41. Только если X конечномерно. 16.42. Нет. -В пространстве С [0, л] рассмотрим оператор Ax(t) = z(?)sint; тогда уравнение z— Аг = 0 имеет только нулевое решение, но уравне- ппе x^t) (1— sin t) = y(t) не имеет решения при у(0®1- 16.44. Применяя к обеим частям уравнения (В — А)х = у оператор В~\ получаем уравнение I — В-^Ах = В~гу, где S’Ueof.Y). 16.45. а) "Уравнение х — Лх = 0 имеет только нулевое решение.

t

(/ — Л)-1 у (?) = у (t) + el J у (т) e-T dx. о

.48. а) Предположим, что последовательность Я(Л*) строго убывает. По лемме о почти перпендикуляре ([251, стр. 35) для любого к е N найдется z^7?Ufe) такое, что ||хА|| = 1 и ||хА — з||> ^ 1/2 для любого геЩА^1), Тогда Вхк = Ахк — хк обладает тем свойством, что ||5хА — ВхА\ ^ 1/2 при к < Z, а оператор В вполне непрерывен — противоречие, б) Воспользоваться теоремами 16.3, 10.7 и теоремой 1 с. 220 в [25]. в) Воспользоваться задачей 4.49 б) и теоремой 9.2. 16.49. а), б) Пусть ег, /—базисы в И, 2II ^||2<°°.

Тогда

SII-I2 = 2 SI 04 О I2 = 5II ЛЧ li2 S 21 (ei- А*ей |2 =

= 22 К л<гг’ ej) I2 = 2 D Аег II2 <°°-

в) Пусть x гН, 1Ы1 = 1; тогда Z = 2 агег1 где 2аг ” 11 Но

Таким образом, ||Л^|| ^ ||Л||2 для любого х еН такого, что 1Ы1 =1. ж) Пусть последовательность Лп фундаментальна по Н-Нг, тогда она фундаментальна и по обычной норме и, следовательно, Лп -> Д. При атом существует J/ такое, что ||ЛП||2<Л/ для всех n е N. Так как для любого / А^-* Ве^ то для любого п существует иг пи

такое, что 5 || ^m€j ~ Веэ ||2 <11 ОтсюДа 2 II Вез ||2 ^ 1 + ^ и В — >1>1

оператор Гильберта — Шмидта. Остается доказать, что А^-*В в смысле Ц-112. з) Аналогично задаче 16.22. и) Воспользоваться не-

ОО

равенством Бесселя в пространстве L^ [0, 1] X [0, 1]. л) 2 ^п*^ 00 ■ _71=1

м) Оператор предыдущей задачи с Ап = 1/Уя. 16.50. а) Воспользоваться задачей 16.49 к), б) Если А = ВС, то AD = В (CD} и DA = =• (DB}C. в) А* = С*В*, а С*, В* — операторы Гильберта — Шмидта по задаче 16.49 б), г) | (Аеп, еп} | = | (ВСе„, сп) | = | (Се„, В*е„} |^ 1/2{11(7еп|12 + IIS*en||2}. 16.51. Оператор Л: 1г-^1г, Ах = (Х^х^ К2х2, -. •) Для х = (х^ хг, ...) е 1г с кп = 1/п является оператором Гильберта — Шмидта в силу задачи 16.49 л), но не является ядер- ным в силу задачи 16.50 г).

17Л. <у, ^) — (Ах, ф> = (х, Л*ф> = 0. 17.2. Если у g Д(Л), то (у, ф) = 0 по предыдущей задаче. 17.3. Пусть у еД(Л); тогда существует последовательность упеН(А}, такая, что Уп-*-у при п-> оо. Но (у^ tp) = 0 и по непрерывности ф при п->оо также <у, ф) = 0, 17.7. Определение нормальной разрешимости А можно записать в виде Д(Л) = ^(Л*). Далее воспользоваться задачей 17.5. 17.10. Воспользоваться тем, что число нулей А равно А: — г, а его дефектное число равно т — г, где г — ранг матрицы А. 17.14. б) хМ) = -1, ХИ*) = 1- в) xHft) = -^ Х(^*й) 17.17. Нет. 17Л9. Нет, ибо

A*z (t) 3= ^ г (s) ds,

откуда А (Л*) = {0}. Из нормальной разрешимости А следовало 15 в, А. Треногин и др<225

бы (задача 17.8), что R(A^ = Y. Это не так: функции из Я (Л) непрерывны п равны 0 при t = 0. 17.20. Если уп = Ахп, где хп « eDLY) и Уп^Уо (п^-оо), то IUn — ^zll ^ m-1,!^ — yt|| ^0 (п, Z-*oc). Но тогда из-за полноты X существует xq е X такое, что жп->а:о при п-^оо. Вследствие замкнутости A xq^D(A) и уо = Л^о, т. е. упе!ЦАу Значит, R(A^ замкнута. 17.21. Воспользоваться следствием 2 теоремы 12Л. Возьмем cpi и через Li обозначим линейную оболочку элементов ф21 ..., фп. Найдем 71 такое, что <Фь 41) = 1, <х, 71) =0 на Lb Аналогично найдем 72, ..., 7и* 17.23. Пусть yi, ..., Уп линейно независимы и их линейная оболочка имеет нулевое пересечение с Y. По задаче 17.21 существуют функционалы /1, ..., /п, h е У-1-. 17.24. При п = 1 утверждение очевидно. Пусть оно верно для фь . ..,^n-1 и^л^7~|

бпортогональны. Для^ любого ж е X рассмотрим элемент у = х—

71 — 1

— 2 ^’ ^i)zi и заметим, что <у, ф\) = 0 (Z = 1, ..., п — 1). Но z=i

(у, Фп) =0 невозможно для х г X, иначе система {ipj^i была бы линейно зависима. Значит, найдется хп е X такая, что (х^, фп) ^= 0. Другое решение следует из задачи 17.23. Разложим ф/ по базису{/Ji=1H будем искать зк в виде разложения по базису (yj)jLi’ требуя биортогональности систем {^}£=1 и (ф^^. Если первое разложение задается матрицей 7, то второе, как нетрудно проверить,— матрицей (Г^-'1.

п/п\

<Кх, /) = 2 <х, у.) <z., /) = / х, ^ <^Г7> Yi > 17.26. 1=1\ 1=1/

n

Если Ах — 0, то Ах = — Кх, т. е. Ах = — ^ 5^, где £, = <z, ?1 ) 1=1

(1 = 1, ..., п). Но (Ах, 4?j> = 0 = — gj, откуда Ах = 0, т. е. 71

х = ^ а/Р< И 0 = ^ = (г, 7;) = а/, т. е. х = 0. Аналогично

А (Л*) = (0). 17.27. Для любого yeY найдется х^Х такое, что

Ах = у. Можно взять х = х + 2 (^’ ^д “ ^ ’ ^1>) Фг где х —1=1

решение уравнения Ах— у — У, (у^Ф^^р 17.28. Следствие задач 17.26 и 17.27. 17.30. А = А - К?Х е. В = А, Р = -К. 17.31. С = А; Т = —К, так как конечномерный оператор является вполне непрерывным (см. задачу 16.166)). 17.32. Воспользоваться равенством Л = Ciz + C-^]. 17.33. Следствие задач 17.30—17.32. 17.34. Система р^7=1 линейпо независима. Выберем в У* систему {ф^}"=1 биор- тогснальнок {l/J^jH ортогонально к R(Л). Тогда (ф^^С А’ (Л*), откуда б1тАт(Л*)>п. Если . феАг(Л*), то положим 71

Ф = 2 ^уг Ф>Ф1+А Теперь для любого у <= Y будет (у, f) = 0, 1=1

откуда / = 0, т. е. с11тАг(Л*) = ч. 17.35. а) Пэ определения неотрицательного оператора вытекает, что (гМЛ^х, х) ^ | (х, у)|2.

Если .г е А (А*), то (х, у) = 0, и тогда yeR(A). б) (АА*\* = АЛ*, и если АЛ*х = 0, то х е ЛТ(А*) и (х, у) = 0.

ГЛАВА 5

Хп^О. 18.7. (Ах, у) — ^-((А (х + у), х + у) — (А (х — y)t х " У) + "4 U-4 (r + W х + ^) — (A (z — ly),x — <у) }. Меняя здесь местами х и у, получаем, что (Ах, у) = (Ау, х) =г (х, Ау). 18.8. Вообще говоря, нет. Рассмотреть оператор A: li->U, Ах = (xi, х2/2, х3/3, ...) для х = (xi, х2, ...) е Z2. 18.9. Если (Ах, х) = 0 для любого х^Н, то для любого h^.H (А(х + &), х + й) = (Ах, /г)+ + (А/г, х) = 0. Полагая h' = th, получаем (Ax,h?)-\- (Ah', х) = 0 или ~-(Az, Zz) + (АН, х) = 0, поэтому (Ах, h) = 0, Ах = 0 и А = 0. В вещественном пространстве утверждение неверно — рассмотреть в пространстве £2 оператор поворота на угол л/2. 18.10, Утверждение справедливо для любого ограниченного линейного оператора. 18.11. а) Нет. Привести пример в Е2. б) Да. Замкнутость А вытекает из задачи 18.10. Ясно, что из х е N следует Хх е N для любого X ^ С. Пусть х, у е А; тогда (А (х + у), х + у) = (Ах, у\ + + (А у, х)=± 2Re (Ах, у) > 0. С другой стороны, (А (х — у): х — у) = = —2Re(Ax, у^ 0. Поэтому Re (Ах, у) = 0, (А (х + у), х + у) = 0 и ж + l/sTV. 18.12. б) ^ = -^(Л + Л*), Ле = ^ (Л —Л*). 18.13. Да. Рассмотреть оператор задачи 18.8.18.14. Воспользоваться задачей 14.7 в), 18.15. Для самосопряженного оператора А2 воспользоваться задачей 18.6 а). 18.18. Если Апх = 0, то 0 = (Апх, Ап~2х) =п (Ап-1х, А”-1^) = 1)Ап~1х||21 следовательно, Ап-1х = 0. 18.19. о) Доказать, чго последовательность ап не убывает и ограничена сверху. 18^20, б) =>_ в) Пусть х & 0, ^Ах, х) = 0. Тогда (Ах, х) = (УАх, )Ах) = ||уАх||2,= 0, откуда ^Ах = 0 и Ах = 0, А (А) ^ 0. 18.21. в) => а) Рх — Р2х = 0, следовательно, (I — P)x^N(P) для любого х s Н, поэтому (Рх, у) = (Рх, Ру + (I — Р) у) =- (Рх, Ру) для любых х, у е Н или (Рх, у) = (Рх, Ру) ±= (х, Ру), г) => а) ЦРх1|2 = = (Рх, х) = (х, Р*х), и так как левая часть вещественна, -то (т, Р*х) =^ (Р*х, х). Таким образом, (Рх, х)==(Р*х, х) для любого х с Н и в силу задачи 18.9 Р = Р*. 18.24. ((С*АС — С*ВС)х, х) = = ((А— В)Сх, Сх) ^ 0. 18.25. Воспользоваться задачей 18.9. 18.26. Пет. Рассмотреть в пространстве Ег операторы, задаваемые матрицами

2 00 зЦ12 00 зЦ10404

2 0

0 зЦ1

2 0

0 зЦ1

0

4

0

4

Воспользоваться задачей 18.6 а). 18.29. (А-^, у) = (А*^, АА-,1у) = (х, А~*у). 18.30, (А-1х, х) = (А-1х, АА“]х) = (А (А-1х), А"Ч)>0. 18.31. Пусть Х = « + <3 (р¥=0). Тогда || (А — Х/)х[|2 = = ,ЦА—а/)х||2+р31|х||3 > р2||х||2. 18.34. Доказать, что II (А+Х/)х|| ^ ^ Х||х||, 18.35. Воспользоваться теоремой 9.1. 18.36. ]|х||2 =(1х, х)^ ^JAx, х) = ЦУАхЦ2. Отсюда N(^A) = 0 и в силу неравенства Ц]'Ах|| ^ ||х]| оператор ]ZA непрерывно обратим, а тогда существует

и непрерывен операюр А 1 — [(lA) 'к- ^Рп •1Т0;1 (^ ’J ~ = ||A*UM2 ^ И2 = Cri J-)- Покажем теперь, что У-1 < А '. Ь неравенстве (Az, z) ?< (Sr. z) положим х — А~^-у; тогда (А1/2у, А^2у) = ||у||2^ (SA^1/2y, А"х^у) = (А-1/25А-1/2у, у). Отсюда, как и выше, следует, что оператор А'Х,-ВА 1/2 непрерывно ооратим и что (А-^ЯА-1/2)-'7, т. е. АХ/2В^ХЛХ/2 I, откуда, согласно задаче 18.24, 5'1А"1. 18.38. Воспользоваться задачей ^8.24.

^А=А. 18.40. Воспользоваться задачей 18.15. 18.41.Va^= = Р1n2 1 18.47. б) Пусть В2 = А. Если N(B) = 0, то Л’(Я2) =

+ 2V

= к(А) = 0. Так как У (5) <=^(52) = Л7(А), то A(S) - одномерное подпространство, поро/кдепное элементом п. Далее. Ае2 — — 52^2 = ei/2, поэтому ВВ2е2 = 5ei/2 = 0, т. е. АВе2 = 0, откуда Ве2 = Х61 и Ае, = В^Ве^ = В^)= 0-противоречие 1848. Докажем единственность. Если Sb S2eO(S), Bb S2^U, ||Атц - №х\\ = h/W, то №*) = ||М|2 Ч1М|2 = (^^). откуда В*2 — В^ п Si = В2. В качестве В возьмем оператор ]'А*А. 18.49. Воспользоваться задачей 14.15. 18.53. A* z^2=(Anz, А^^ЦА^тЦ -►II Az ||2 - (Az, Ах) = (А* Ах, z) = || A*z ||2. Отсюда [| A*z — A*z[2 =

A*z, A*z) - (A*z, A*z) + || A*z || -► 0 при n—oo. 18.54.

Пусть хпПусть хп) (и-^оо) слабо. Так как_А вполне^непрерывен, то но _(Azn, z„) = (VAzn, TAz.) = ID'AzJI2. Поэтому TAzn-^O и ]A—вполне непрерывный оператор. 18.55. Пусть in -> 0 {п -> оо) слабо. Так как В вполне непрерывен, то (ВхП1 zn)->- ->0. Ио 0 ^Ахд, z,J < кВх^ Яп), поэтому (Azn, Zn^Oji, следовательно, ]Azn->0. Так как ^А непрерывен, то jAOAz^) = = Azn->0. 18.56. а) Доказать, что llt/(Xz) — XSzll2 — On \\U(x + „ Ux— Uy\\2 = 0. б) Воспользоваться равенством l|L/z|| = = |z|| и тем, что R^U) = H. г) Если А — изометрический опера-

Пусть хп

Пусть хп

тор, то (Az, Ау) = ту I(A(z4-y), A(z -]-у)) — (Az, Ат) (Ау, Ау)]

= 7l|^ + i/!l2-Ml2-MI2l = ^'Z/)- 18-57- б> (^ ^v) = = (АВ^х, АВ~1у) = ^А*АВ"Ч, В'ху) = (^B-'z, В'ху) = = (Вх, В^у) = (х, ВВ"ху) = (х, у).

Нет. 19.4. а) Собственному значению X = 1 соответствует собственное подпространство четных функций, собственному значению X = —1 — подпространство нечетных функций, б) 4.1 = = л, zi(0 = cos t, Хг = -л, x2W = sin t, собственному значению Х = 0 соответствует собственное подпространство {asini + -EpcosO1» где а, ^ е R — произвольны, а ортогональность понимается в смысле вещественного пространства Ы [—л, л]. 19.5. а) ^п = — п2, хД1) = sin nt (n = l, 2, ...). б) Хо = о, Zq(£) S 1, Хп = — п2, хп Z) = cos nt (п = 1, 2, ...). в) Хо = 0, ^o(z) s t Хп = -4п2, xn(t) = cos2nf, sin2nf (n = 1, 2,....). 19.7. Пусть существует (A — X/)-1. Обе части равенства А (А XI) ■ = (А — Х1)А умножить слева па (А — Х1)-х. 19.8. Убедиться, что

справедливо равенство (7?Х(А) — 7?И(А)) (Л — р7) (А — Х7) = ~ (А — р)/. 19Л0. Если АВ = ВА. то 5 (А — X/) — (А — Х7)В, и, умножая обе части последнего равенства на R> справа и'слева, получаем требуемое утверждение. Если для некоторого X справедливо равенство R>B — BR>, то. умножая обе его части слева и справа на А — XI, получаем, что В (Л — 2,/) = (Л — Х1)В или АВ = — ВА. 19Л1. Воспользоваться том, что оператор А — V непрерывно обратим, В — А = (В — Х7)— (А— XI), и теоремой 9.4. 19Л2. Воспользоваться тем, что А — (X — р)/ = А — XI + ц7 и теоремой 9.4. 19ЛЗ. Тогда и только тогда, когда X конечномерно. 19Л6. а (А) состоит из собственного значения X = 1 с собственным подпространством, порожденным функцией xkt) — t, и собственного значения X — 0 с собственным подпространством {^(0 е С [0, 1]: я(0) = z(l) = 0}, г^А) = 1,

1i/(0)1i/(0)ty (1) _ ty (0)X(l-X) X(l-X)2'

1i/(0)

1i/(0)

Спектр состоит из собственного значения X = 1 с собственным подпространством М и собственного значения X = 0 с собст-

Р kl -Р)

rk ^«=- 4rk ^«=- 4венным подпространством МК R^ кР) = \ — хX* ^Л8. о (А) состоит только из точки X = 0 и

rk ^«=- 4

rk ^«=- 4

1 Г ^-(«-0у —\ еЛ у (.) ds.

о

а (А) совпадает на комплексной плоскости с замыканием множества {Х(}. 19.21. Воспользоваться задачей 19 20, 19.23. Пусть X 0, оператор (AS —Х7)"1 существует п С = (АВ — Х7)-1. Убе- — 1

дпться, что (BA — XI)-1 =—— [7 — ВС А]. 19.26. Пусть X ^ 0, Хе е а(А-1). Тогда оператор А-1 — XI пе является непрерывно обра-

А — — I) также не является таковым. 19.27. Воспользоваться задачей 18.50 в). 19.28. Пусть X ^ 0, jr ^ 0, АА*х = Хх. Тогда А*х«#0 и (А*А)(А*х) = X(A*z) и аналогично наоборот. 19.29. Точка Х = 0 принадлежит спектру, но при К ^ 0 не является собственным значением. 19.30. Воспользоваться задачей 18.15. 19.32. Пусть е > 0. Найдется N такое, что

sup II А" If'" < Га (Л) + е, sup II В’1 II1'” < Га (В) 4- е,n>Nn>N

Тогда для п > 2N

||(Л + В)’11 =||(Л + В)’11 =У с^в"^ k^OУ с^в"^ k^Oп

||(Л + В)’11 =

||(Л + В)’11 =

У с^в"^ k^O

У с^в"^ k^O

<2 Ch’- И B”-ftk

h=0

N

< (^ (-4) + га (В) + 2£у +2^|| Д’* 1U’1"A 1+

'fce0

k^u-yk^u-yОтсюдаОтсюдаIt мн <11It мн <11(ГСЛК 'a(S)M2fc)"(ГСЛК 'a(S)M2fc)"1 H- ccf, q < 1,1 H- ccf, q < 1,

k^u-y

k^u-y

Отсюда

Отсюда

It мн <11

It мн <11

(ГСЛК 'a(S)M2fc)"

(ГСЛК 'a(S)M2fc)"

1 H- ccf, q < 1,

1 H- ccf, q < 1,

и при n-> oo rG^A 4- S) Eg го(Л) -v foW + 2e. Второе неравенство устанавливается из справедливого для коммутирующих операторов неравенства )| (Лй)т' [| ||An||-||.Sr'||.

§ 20

о (Л) состоит на точты непрерывного спектра X = 0.

с(А) состоит из точки X = О, которая является собственным значением бесконечной кратности. 20.3. о (А) состоит из точки X = = 0 — собственного значения бесконечной кратности и собственных значений Xh Х5, являющихся корнями уравнения 240Х8 ^- 82Х — 1 = = 0, для которых собственные подпространства одномерны, 20.4. Пусть уп eR(A — X/), уп-*у при п-юо; тогда уп = (А — Х1)хп. Если тн содержит ограниченную подпоследовательность, то в силу полной непрерывности оператора А некоторая подпоследователь-

1

ность Ахп^ сходится, следовательно, ^i^ = Т (^ч ~ ^nh) Zo’ откуда у = (А — Х1)хо, у ^ К(А — XI). Если же хп не содержит ограниченной подпоследовательности, то ^„Н-^+оо при п-> оо и, полагая 2п=^Л1^н11, повторяем прежнее доказательство.

Воспользоваться утверждением задачи 18.50 б), применив его к оператору А — XI. 20.7. о (Л) = [0, 1], причем все точки являются точками непрерывного спектра. 20.8. Пусть X = a + i^, у = = (А — Х1)х. Тогда (z, у) — (у, z) = 2ф]Ы(2, откуда ||у|| ^ |£ЫИ или ||Az — ХгЦ ^ р]-1И1- Согласно теореме 9.1. Хер(А). Если X < т, то при ]|z | = 4 \\(А — XIVW ^ т — X и снова воспользуемся той Hie теоремой. 20.10. Воспользоваться задачей 18.14. 20.11. Если 1ЦА — XI) = II, то X не является собственным значением и тогда существует оператор (Л — X/)-1. Далее воспользоваться задачей 18.49. 20.14. Да. 20.16. А определен па всем II и вполне непрерывен в силу задачи 16.20. Непосредственной проверкой убеждаемся, что для любых z, у е И справедливо равенство (Az, у) = = (z, Ay). Согласно задаче 18.49, А самосопряжен. 20.17 0(A) состоит из собственных значений вида Хн = 1/(л2п2) с соответствующими собственными функциями z(l = sinwni (neN). Дважды продифференцировать обе части уравнения Ах = Хх. 20.18. Рассмотрим собственное подпространство L оператора А, соответствующее собственному значению X = 1; тогда L инвариантно относительно А, и так как А самосопряжен, то и L1- инвариантно относительно А. Если Ах = 0 для любого х е IA, то утверждение доказано, в противном случае уг оператора А в подпространстве Iх нашлась бы точка спекзра, отличная от

X = 0 и X — I. 20.19. б) (4* Jr, г) = 2 (^ \j)9 Цп* То, что цп > Одля всех и, вытекает из неотрицательности левой части,в) ('п- *л) ^Ur^n' ТУ ^Г “ k^V’n' A*Ah^ ”V^ Pn- Ah) = 0.\ПR9Н Ft(tit

При к = п из предыдущей выкладки ^п1|2 = Га !l^nV= 11 Далее доказываем, что ряд сходится, оценивая его остаток

и так как Хи ->0 при п-> оо, то ряд сходится и остается доказать, что ои сходится именно к А г. Достаточно доказать это для всюду плотного подмножества //; в качестве такого подмножества можно взять линейную оболочку всех собственных векторов оператора Л* А (включая и лежащие в Л7(4)).

$ 21

2

a) x(s) s 1. б) При X ф 2 ж (s) ^у—у sin s, при X = 2 решений нет. в) х^ = sin s. г) При X ^ 2, X ^ —б

X (42 — X)5 + 6 (2 — Л) (6 + ^)'X (42 — X)5 + 6 (2 — Л) (6 + ^)'

X (42 — X)

5 + 6 (2 — Л) (6 + ^)'

X (42 — X)

5 + 6 (2 — Л) (6 + ^)'

при X = 2 или X = —6 решений нет. д) При X ^ —5/2, X ^ 3/2 .35 — ЮХ 2

^(5)==^ +Ke I л лп, 5 7 при X = —5/2 решений нет, при X = 3/2

45 о

х (s) = з + Та 5 +^5,где С произвольно, е) х (s) = з + Хл3 sin 5.

ж) При X ^ 1/2, X ^ -1/2 z (s) = 1 - Ъ- А_^— cos s, при X = л 6 1 + 2Х

2f л2 л2\

=—1/2 решений нет, при X = 1/2 х ^ — С — 2- s +| С’—-— — cos s, л\ 43 /

ЗлХ

где С — произвольно, з) При X ^ —3/2, X— 3/4 х (s) ="^^Х+З)-^

X sin з + соз 2s, при X = —3/2 решений нет, при X = —3/4 r(s) = Зл

= cos 2s — ysins + C cos s, где С произвольно. 21.2, a) Xi = 1/л,

tp2 = sin з — cos s. б) sin s. в) Xi = Х2 = 3, 3tp2 = sin з — cos s. б) sin s. в) Xi = Х2 = 3, 3Xi = 2/л, Ф =s —Xi = 2/л, Ф =s —(pi = sin s + cos s, Х2 = —1/л, (pi = cos s, Х2 = —2/л,q?2 =

tp2 = sin з — cos s. б) sin s. в) Xi = Х2 = 3, 3

tp2 = sin з — cos s. б) sin s. в) Xi = Х2 = 3, 3

Xi = 2/л, Ф =s —

Xi = 2/л, Ф =s —

5

— 2s3, г) ^ = "2 , д\ = S2, ^2 =

Xh = 2^ ^/л, срА = sin ks (к ^ Л’). 21.4. а) При X ^ 3/2 разрешимо при любых а, р, y и

2 3Р

ж(з) - as Ч-зТГ-^5^ Y’

при X = 3/2 разрешимо тогда и только тогда, когда ^ = 0 п z(s) = = ai2 _|_ ^ _|_ ^S) Где с произвольно, б) При X #= ±2/л разрешимо

при любьп а, р и

2 (а — 2лр)2 + Хл2 (а — 2лр)2 + Хлsin з + Р>sin з + Р>

2 (а — 2лр)

2 + Хл

2 (а — 2лр)

2 + Хл

sin з + Р>

sin з + Р>

при X = 2'л разрешимо при любых а, ? и

z(s) =z(s) =ал + 4р2лал + 4р2лsin з + рsin з + р4- С cos s^4- С cos s^

z(s) =

z(s) =

ал + 4р2л

ал + 4р2л

sin з + р

sin з + р

4- С cos s^

4- С cos s^

где С — произвольно, при X — —2/л разрешимо тогда и только ки- да, когда ал + 4р = О и т(з) = р + С sin s, где С произвольно, в) При X т^ 3/2, X =Л —3/4 разрешимо при любых а, р и

х (я) — as3 —х (я) — as3 —15р + 12Ха15 + 20Л s’15р + 12Ха15 + 20Л s’

х (я) — as3 —

х (я) — as3 —

15р + 12Ха

15 + 20Л s’

15р + 12Ха

15 + 20Л s’

прп X = 3/2 разрешимо при любых a, £ и

х (я) = as3 + Cs^ —х (я) = as3 + Cs^ —25р - 6а1525р - 6а15

х (я) = as3 + Cs^ —

х (я) = as3 + Cs^ —

25р - 6а

15

25р - 6а

15

когда За — 5р = 0 и х^ = as3 + Сз, где С X # 3/2, X т^ —1/2 разрешимо при любом акогда За — 5р = 0 и х^ = as3 + Сз, где С X # 3/2, X т^ —1/2 разрешимо при любом аПрипригдеПрипригдегде С произвольно, при X = —3/4 разрешимо тогда и только тогда,

когда За — 5р = 0 и х^ = as3 + Сз, где С X # 3/2, X т^ —1/2 разрешимо при любом а

когда За — 5р = 0 и х^ = as3 + Сз, где С X # 3/2, X т^ —1/2 разрешимо при любом а

Припригде

Припригде

произвольно, г)За

и х (s) ==^ 2Х

3л

— 1/2 разрешимо при люоом а и х (з) = -^ (а — С) з 4_ Сз ,

С произвольно, при X = 3/2 разрешимо тогда и только тогда, когда а = 0 и x(s) = Cs1 где С произвольно. 21.5. х (s') = f (s)--

2Л

4-Х sin (я — 2г) / (/) dt.

b

а)X» = (л/2 + лп)2^,, =sin(n/24-лч)я (п е N). б) Хп=

= 4п2 — 1,ф„ = sin 2ns(n е N).в) Х„= (п 4- 1/2)2 — 1,ф?1=

= sin (п +1/2)s (п е N).г) Хо =1. ср0 =е\ Х„ = —л2п2,ср,г

= sin ПЛЗ 4" «Л СО^ ЛЯ?(л^Х). д)^1-7(14-^)’фа—

= кп cos кп$ 4- sin k„s (neN), где ^—положительные корни ) равнения 2 ctg к = к — 1/^-. е) кп = — А^/З, фп = кп cos kns 4- г sin kns (n^N), где k)t— те Hie, что и в предыдущей задаче.

21.8. Воспользоваться задачей 20.И. 21.9. а) Характеристические числа Хи = —п2л2, собственные функции cp)t = sin плз hi е е N), При X т^ Хп

s —s —71=171=1(— 1)П + 1п (X + п2л2)(— 1)П + 1п (X + п2л2)Sin ПЛ81Sin ПЛ81

s —

s —

71=1

71=1

(— 1)П + 1

п (X + п2л2)

(— 1)П + 1

п (X + п2л2)

Sin ПЛ81

Sin ПЛ81

чис- = 1, X 7^чис- = 1, X 7^лз)лз)

чис- = 1, X 7^

чис- = 1, X 7^

лз)

лз)

при X = — п2л2 (.п е N) решений нет. б) Характеристические ла и собственные функции определены в задаче 21.6 г): Хо Фо = 6е, Хп = —л2?г, фп = sin nns 4- пл cos nns (ne NV При 7^ Xft (к г N)

X Г 2л

■г($) = cos л$f^^ е - ^- (чп л. л cos

при /. = 1 и л = —я* решении нет. при 7 = — }№ (п = 2, 3, ..)

("in ял 4" л cos ns)("in ял 4" л cos ns)X Г 2

("in ял 4" л cos ns)

("in ял 4" л cos ns)

•^ ~соя Л$+1 +„щ^-ц a-i)e

4' С [sin ПЛ$ 4" ИЛ COS ЯЛ$],

где С произвольно. 21.11. a) .t(s) = 2s 4-1, б) х^) = s + s3/6. в) 2 (й) = ^(1 4- s)2. г) с (4 = -у ( / - sin s - cos 0- 21 12. а) Точное решение rr(s) = 1. б) Точное решение 3?(s) = —1. в) Точное решение a(s) = — 1. г) Точное решение a (s) = s/2. д) Уравнение решения не имеет. 21.11. а), б) Нет. в) Да. 21.15 a) a,(Z) = 1. б) x(f) = 2 sin Л в) х^ = 1 4- 21 + ^/2 4- ^/3. г) x^t) = 2t — tA. д) т(/) = 1. 21.16. а) Имеется точное решение x^t) = I. б) Имеется точное решение х^ = е1. в) Имеется точное решение т(1) == ~ 1. г) Имеется точное решение x^t) = е~4

§ 22

1

( 4j-, у) — (г, Лу) = i J /у + a/) di — t [a?z/|^ =0. Пусть" о

(yd, у) = (г, у*) и у** — неопределенный интеграл от у*; тогда 1

z j т/и "г iy**) dt — О,о

откуда к = у + ?;/** почти всюду на [0, 1] постоянна; изменив ее значения на множестве меры пуль, получим у 4" ^У** = с, откуда у' 4- iy* = 0 почти всюду. 11о)тому область определения А* состоит из всех абсолютно непрерывных функций y(i), производные которых лежат в L2 [0, 1] без всяких ограничений на граничные значения. 22.5. Вообще говоря, неверно, так как возможно, что ЩА*) = 0. 22.6. Пусть у е D^A*) и А*у = у*. Так как R^A) -= Н, то найдется к^ЩА) такое, что Ah = у*, поэтому при любом х е ЩА) будет (Az, у) = (г, у*) = (z, Ah) = (Аг, к). Отсюда у — к ^ D(A). 22.8. Если Ан = 0, то (и, Av) = (Аи, г) = 0 для любого veD(A), поэтому и ортогонален R(A) и, следовательно, и = 0 и оператор А-1 существует. Далее устанавливается, что существует оператор (Л*)"1 и что (А*)"1 = (Л-1)*» откуда и выте- I ает, что оператор А-1 симметрический. 22.9. В проверке нуждается лишь плотность 7?(А). В противном случае найдется КеН ^к ^ 0) такое, что к Л_Д(А). Тогда (/, Ак) = (А/, к) = 0 для любого f г Н, откуда Ак = 0, а это противоречит существованию обратного оператора. 22.11. а) => б) А = А*, и так как А* замкнут, то и А замкнут. Если найдется х е ЩА*) = D(A) такое, что А*х = 1т, то Ах = ix и — i(x, х) = (ix, х) = (Ал, х) — (т, Ах) = — Цх, х), откуда х = 0. Тем самым ЛГ(А — d) = 0, аналогично устанавливается, что N^A 4- И) = 0. б) =^ в) Если R(A — tl) не плотно в //, то для у s [7?(А — П)]-1 (t/^=0), мы имели бы ЦА — Ц)х, у) = 6 для любого x^D^A), а тогда yeD(A*) и (А — И)*у = (А* 4- id)У ~ 0, что невозможно, так как ,V(A* + г'7) =

--0 Осталось доказать замкнутость 1ЦЛ — il^ Если xeD^A^ то | ( 1 — 1/) 7 ||2 || t Г || 2 4 || Г 1 п 0(4)1 г ! D ( 1) и ( 1 — il) хп -► // , ю I „ -* а о ц Ах„ также сходится 1а.ккакЛ замкнут, то z0 е D( 1) п (Л — Щхо = yj Таким образом, Z?(1 — zZ) замкную и совиада- р[ с Н. Аналогично устанавливается, что /?(Л + zZ) = И. в) => а) Пусть xeD^A*). Так как R(A — il) = Н, то найдется yeD(A') такое, что (Л — il)y = (А^ — il)^. По D(A^ ст /)(Л*), поэтому а — у eD(A*) и (Л* — iZ) (х — у) = 0. Так как R(A + zZ) = Н, то Л (Л* — tl) = 0, следовакмыю, x = yeD(A^ и D (Л*) = D (Л). 22ЛЗ. Предположить, что существуют две собственные функции с одним и тем же собственным значением и доказать, что их оп- рАделитель Вронского равен нулю.

22Л4. a) G(s, t) =22Л4. a) G(s, t) =t (1 — s) при 0 < /<5<1.t (1 — s) при 0 < /<5<1.'z> (1 — /) при 0 < s t < 1,

22Л4. a) G(s, t) =

22Л4. a) G(s, t) =

t (1 — s) при 0 < /<5<1.

t (1 — s) при 0 < /<5<1.

б) G (s, t) =б) G (s, t) =1 ((s + 1) (2 — t) при 0<s<t^l,3 ^(t 1) (2 — s) при 0 ^ ^ s < 1.

б) G (s, t) =

б) G (s, t) =

'sins cost при O^s^t^n,sin t cos s при 0 ^ t ^ s ^ л.

r)r)1G (s, t) = -r-r ’ 7 shl1G (s, t) = -r-r ’ 7 shl'sh s sh (1 — t)sh t sh (1 — s)'sh s sh (1 — t)sh t sh (1 — s)приприприпри00Д)Д)При |у | ^ 1При |у | ^ 1G 0, <) = ZG 0, <) = Zes"1es"10 ^ t ^ s ^ 1.1 " V.^+t-20 ^ t ^ s ^ 1.1 " V.^+t-2При 0 :При 0 :^‘S^‘S

r)

r)

1

G (s, t) = -r-r ’ 7 shl

1

G (s, t) = -r-r ’ 7 shl

'sh s sh (1 — t)sh t sh (1 — s)

'sh s sh (1 — t)sh t sh (1 — s)

припри

припри

0

0

Д)

Д)

При |у | ^ 1

При |у | ^ 1

G 0, <) = Z

G 0, <) = Z

es"1

es"1

0 ^ t ^ s ^ 1.

1 " V.^+t-2

0 ^ t ^ s ^ 1.

1 " V.^+t-2

При 0 :

При 0 :

^‘S

^‘S

1.

При д = — 1 G(s, t) ne существует, при y=1 G (s, i) =-^ e |s *!.

.15. a) x (s) =X J G (s, t) x (t) dt^ где о

G (s, t) = -G (s, t) = -arctgs при 0<s^t^l,arctgt при O^t^s^l.

G (s, t) = -

G (s, t) = -

I1

I (s) = X J G (s, t) X (t) dt + J G (s, t) / (t) dt, где

00о

0

0

j_ f(s + 2) (1 — t) при 0<s<t<l,3 ^(t + 2) (1 — s) при 0<t^s^l.

Функция Грина при данных граничных условиях не существует. 22Л6. Утверждения а), б), в) вытекают из равенства

(^> ^) = J (рт'2 + ^2) dt^ ^ р (а) ? (а) + Р р (Ь) Я= (6).а

22.17.6) Собственные значения оператора U обратны собственным значениям интегральною оператора с ядром G(^ /). Воспользоваться теоремой 20 1 в) Воспользоваться теоремой 20 4 22.18. Пусть т^е.П, ф, (г) (/. ее X) — птотпая в пространстве LiVai ^1 в сипу задачи 22 17 в) ортонормирования система собственных функции оператора 1\ соответствующих собственным значениям ХА, 0 <

СЮОО

Тогда Z-2 ММ и {1г 0 УХ|У CPjJ^

ОО

>х1 2 I (г’ К) |2= Ч'ИГ = У С другой стороны, Ti(0eO k=l— .

и (^Тп cfi) = МбУ1!2 " Хь 22.19. xa(0 = ]2ыпл£,

ГЛАВА б

$ 23

Следствие ограниченности компактного множества 23.fi. Непрерывность F вытекает из непрерывности функции K^t^ s, ?) по я и возможности предельного перехода под знаком интеграла при равномерной сходимости, потная непрерывность — из теоремы 15 3. 23.7; Вообще говоря, пет 23.12. /ч-г) —/Дт.) = F'(z._) (z — -jo) + to(r-io)(ieS), где IIм W 'I = ° ОСС!) при X ^ 0 вследствие дифференцируемости F. Далее, G (z) — G (z0) = G' (z0) (z — — z0)+6(z —zt) (zeS), где 116(g) || = о ( И!) при. g -> 0 вслед- ствие дифференцируемости G Но тогда в некоторой окрестности

^’ТЬ) °У - (F * G) (ч) = ПУ--)) -КС^ = X

X (G^ -G^ +co(G(z) -G(z,)) = F'{t^G'(z^ + p(z-zn), где р(з — то) = ^'ОиЖ- — -o) + co(G(3) — 6(2o)) и yp(g))| = = o(||g|l)npng^0 23.13. F' ()Q) h - 2 (i-^ hy G' (t^ h -= /ТуЛ =

\1 1/

——, Hпри H ^ o.

Kll )

а) Г (1, 1, ЮН 1 2 3|], 6) f (1) =0 ;

1

в) Г (1,1)-в) Г (1,1)-0 — л^- e 0100 — л^- e 010;i) 1' (1,1,1) =;i) 1' (1,1,1) =i/Уз i/рз -i/узi i ii/Уз i/рз -i/узi i i

в) Г (1,1)-

в) Г (1,1)-

0 — л^

- e 0

10

0 — л^

- e 0

10

;i) 1' (1,1,1) =

;i) 1' (1,1,1) =

i/Уз i/рз -i/узi i i

i/Уз i/рз -i/узi i i

(7*G)'('O)

23.21, a) F't,^ = cos sin r; = l-z; r) F;^ = 1-r^2.23.21, a) F't,^ = cos sin r; = l-z; r) F;^ = 1-r^2.6) F'(u^ = sin cos 2-; в) F'^ =6) F'(u^ = sin cos 2-; в) F'^ =

23.21, a) F't,^ = cos sin r; = l-z; r) F;^ = 1-r^2.

23.21, a) F't,^ = cos sin r; = l-z; r) F;^ = 1-r^2.

6) F'(u^ = sin cos 2-; в) F'^ =

6) F'(u^ = sin cos 2-; в) F'^ =

23.22.

b

F ^ - F ("o) = Ю) - j [/ (’, s, % (') Щ Zt (')) - / 0.s, % ('))] ds‘ a

COS XCOS X23.23. F (0) h h (^) J Z j s[n T]t (6j д5. Интегрируя уравнение

COS X

COS X

A (a) +X sin x от н^ля до л, получим

а — 2Аа = Оа — 2Аа = О

а — 2Аа = О

а — 2Аа = О

При А. ^ —1/2 а = 0 п /Иг) = cos х. При ?. = —1/2 /г (г) = cos х + + С sin х, где С — произвольная постоянная. 23.24. Согласно зада- d

че 23 12, ^g [F(x, + 6 (т2 — zr)] = Р' [zi + 6 (z2 — zi)] (z2 — x^. Ин

тегрируя это тождество по [0, 1]. получаем формулу Лагранжа. 23.28. Применяя сначала формулу Лагранжа для F, а затем условие Липшица для Р’, получаем

— Z.— Z.j 1ПЖ2 4^ ^MT# -ц Оj 1ПЖ2 4^ ^MT# -ц О»l-z2»l-z2

— Z.

— Z.

j 1ПЖ2 4^ ^MT# -ц О

j 1ПЖ2 4^ ^MT# -ц О

»l-z2

»l-z2

X 1'2 -.

ООо

О

О

1

Пусть х = с т и ИК пусть М= sup | /„ (J |; тем да | /я (,гп) | < М (п s N) и, следовательно, f(z) ем*” По формуле Тенчора при z« = {z^]^=1 е m

/«к)-/п(^)-/,;и)(-п-^)=

= f [4 (4 + 0 (г„ - ^))- 4 (^)]№ - ■'”)■ о

Вследствие равностепенной непрерывности /п правая часть последнего равенства есть о (| rn — z® | ) при хп -* z®. Следовательно, f'(.t°)/l = (/;(zo)/lr /;(z”)^2,...).

bb■^iV'2^1)/, w 5Ф(П w, z; (,))d®1dx'■^iV'2^1)/, w 5Ф(П w, z; (,))d®1dx'h’ (t) d<.h’ (t) d<.

b

b

■^iV'2^1)/, w 5Ф(П w, z; (,))d®1dx'

■^iV'2^1)/, w 5Ф(П w, z; (,))d®1dx'

h’ (t) d<.

h’ (t) d<.

23.36 [Е^у](/)23.36 [Е^у](/)1=X21=X211J К (t, s) у (s) d$+ ly (0 J о" о11J К (t, s) у (s) d$+ ly (0 J о" оdT F / h^-2Fxh;dx 22’dT F / h^-2Fxh;dx 22’,2,2d'd'—1 Ft- h2 = 2Fk2. dx2 22—1 Ft- h2 = 2Fk2. dx2 22

23.36 [Е^у](/)

23.36 [Е^у](/)

1

=X

2

1

=X

2

11

J К (t, s) у (s) d$+ ly (0 J о" о

11

J К (t, s) у (s) d$+ ly (0 J о" о

d

T F / h^-2Fxh;

dx 22’

d

T F / h^-2Fxh;

dx 22’

,2

,2

d'

d'

—1 Ft- h2 = 2Fk2. dx2 22

—1 Ft- h2 = 2Fk2. dx2 22

a) dF (rQ, !^ = h" -^h cos t. d'F (rQ, h^ = sin (<+Ы2) У y.h\ к >2.

F (ж0 + л) = sin Z + к" 4- h cos t + ^""""^ ^л^ ^ 23.39.

Л=2

Повторить рассуждения доказательства теоремы Абеля. 23.42 £2 = {(^|, х2) е R: (шг! < 1}. pu = 1.

ь

23.44. F (zfl + /i) = F (rj -{- h (t) 4- ^ K(t, sje^h (s) ds 4- a

oo b

+ 2 i JK (ti s) eIo(s^ds-

.46. При z (t)e Ca snp | tz(0 I «5 sup | te~al | • Ыа = (ae)-1|Ma <

+ °o)(Q.+ oo)

< 1 при ||а:||о; < ae. Следовательно,

Так как Ф — непрерывное отображение, то гр непрерывна. В силу бикомпактности Q функция (р достигает на Q наименьшего значения а^Ов некоторой точке х0 е Q. Если а > О, то ф(Ф(ж0)) = = ||Ф(Ф(х0))-Ф(х0)11 < Цф(^о) “^oll = ф(^о) = я, что противоречит определению а. Поэтому а = 0 и xQ — неподвижная точка Ф. Отображение Ф может и не являться сжимающим — рассмотрим Ф(х)=й1пх для хе [О, л/2]. 24.23. б) Кп (s, t) = st/3n-11 fi(s, t, X) — = 3sZ/(3 —X). в) При X ^ 3 решение имеет вид x(s) =/(s) +

^ I stf (t) dt. 24.28. Оператор ф = Ф’п имеет единственную

неподвижную точку х*. Но ф и Ф перестановочны на Q, поэтому Ф(х*)—также неподвижная точка ф, т. е. Ф(х*) = х*. Если х— еще одна неподвижная точка Ф, то ф(х) = Фш(х) = х, т. е х =

= х*.

По формуле Тейлора

/ w = / (^) + /' (s) О* - ^ + 4 Г Gn) (^ - ««У-

Отсюда 0 яп+1 — я* ^2^гтп— я*)2. Кроме того, /(х*) = /(х0) +

+ /' (и) (^* ~“ хо) и’ следовательно, 0 < х0 — х* ^ |/(х0) |/т. Отсюда по индукции устанавливается требуемая оценка. 24.33. Если х = = (хь хз, ...) еЬ— неподвижная точка для F, то, так как ||F(z)|| = 1 для всех х е ^2, IMI = 1. Из условия х = F^ следует, что xt = Х2 = ... = 0,—противоречие. 24.34. б) Непрерывность оператора F вытекает из непрерывности функции /(;, х) и возможности предельного перехода под знаком интеграла при равномерной сходимости, полная непрерывность вытекает из оценок |F(x) | |xQ| + b\h\s |F(x) (Zj) — F(z) (Z2) | < bjit — t2| и теоремы 15.3. в) Воспользоваться теоремой 24.4. г) /(^^) = ^х (^о = хо = О). 24.35. а) Пусть x(t)—решение краевой задачи. Тогда из дифференциального уравнения находим

х" (/) = Кехр

следовательно,

где постоянные К, L, М определяются из граничных условий, чго приводит к интегральному уравнению. Обратно, если х(^)еб’[0, 1] есть решение интегрального уравнения, то оно удовлетворяет граничным условиям и дифференциальному уравнению, б) Пусть |x(t) | ^ г = [л| + | 5] + | с — а — Ь], тогда и |Ф(х)|^]а| + + IЬI + Iс — а — &| = г. в) Из пункта б) следует, что множество функций у (t) = (Ф(х)} (/) ограничено. Далее проверяется, что

ll/M- у (М|[|Ь| + 2e-'|c-a-b|] - j^-Zj,

оплда следует равностснснпая пспрорывно^ть функции этого мно жества. 24.36. Условие

iml.n у 11'111;^)<1

Ф отобра- Ф является К — Xм || ИФ отобра- Ф является К — Xм || Иобеспечивает существование ровно двух положительных решений Г* (п. IIК || )1 (»-D

Ф отобра- Ф является К — Xм || И

Ф отобра- Ф является К — Xм || И

уравнения Wrn + 11^11 = г. Шар 1И1 < г* оператор жас! в себя, как и шар ||.z|J ^ г*. В первом, шаре сжатием, ибо в нел! !)Ф — Ф (z") II < Й К )) -п • г*-1

U||'n’r* 1 взведениеU||'n’r* 1 взведениеВо втором шаре Ф вполне непрерывен как про-

U||'n’r* 1 взведение

U||'n’r* 1 взведение

вполне непрерывного линейного интегрального оператора и ограниченного нелинейного оператора (см. задачу 23.4).

§ 25

Заметим, что х^ = A sin t, поэтому А удовлетворяет

уравнепиюЛ = —^Л-^ 2 —А довательно, А = —^*уравнепиюЛ = —^Л-^ 2 —А довательно, А = —^*- А2 -^ 11 корень А — 0 не подходит и, еле- , ^(t)=^^sioi (Х#=0). 25.8. Кроме ре-

уравнепиюЛ = —^Л-^ 2 —А довательно, А = —^*

уравнепиюЛ = —^Л-^ 2 —А довательно, А = —^*

шепия, найденного в задаче 25.7. интегральное уравнение при любых X имеет решение z(Z) е= 0. 25.10. Решение ищем в виде (при е^О) ЦГ) = zQ(Z) + ezi (/) + О(е2). Для х0(1) и x^t) имеем за-

^o + sinzo=O,хо(О) =хо(1) =0,

/' 4" ^ cos xQ = sin nZ, х^ (0) ~ ^ (1) = 0.

Отсюда z0(z) ^ 0, Zj (Z) = — —"^in nZ.

а) Следствие теоремы 25.2.

dz, дхп

б) ^ = [1 — е<р' (г)] ^(х), — = (1 — ег^ (г)) !,

дх , ах

откуда ^ = (p (z) -^ . Далее по индукции по тучаются требуемые равенства, в) Следствие формулы Тейлора. 25.14. Рассмотрим вспомогательное уравнение х = a + е/ф(^). Согласно задаче 25.11 в) его решение дается рядом

х (а, е) = a 4х (а, е) = a 4V ^1 1

х (а, е) = a 4

х (а, е) = a 4

Д ti da**-1 ф W -I

При a = 0 получаем искомое решение

х=0х=0А=!d^-1 I Ф (г) J

х=0

х=0

Оператор Ф ^) -- х — qq—^-F (^, X)при X е [a, 5] явля

ется сжимающим отображением в Пространстве С(—оо, оо) с коэф- 47 — т

фициентом сжатия ^ q ^.

ГЛАВА 7

5 26

хп^х = (^)Г=1’ гДе £i произвольно. 26.3. Пусть нормы в Хп невырожденны. Допустим, что последовательность хп £, х' и х^ ^ х". Тогда

II ^ (а' - ^ k < II V - "^ hn +11^ - V hn - 0, П 00.

Но тогда я’ — х" = 0. Обратно, если || Тнх || _ -+ 0 при некотором х Ф 0, то хп = Т^ х и x^L, 0 (л -* оо). 26.4. Воспользоваться результатом предыдущей задачи. 26.5. Доказательство дословно повторяет доказательство теоремы 8.2. 26.6. Множество узлов сетки (/ П J \ оо ' S=1 узлов, сходящаяся к t0, в которой | х (ZJ | = || х ||с[0 /]. 26.7. Достаточно заметить, что Ц^^ф есть интегральная сумма Римана для непрерывной функции х1^. 26.9. Воспользоваться предыдущей задачей. 26.11. а) Да, с первым порядком, если х' (Z) ограничена на [0, IY б) Да, с третьим порядком, если z'(Z) интегрируема на [0, Z]. 26.13. Следует из неравенства

II Vn*-'tin llrn < II W - Г> 1уп + II ^ - У и L"

вследствие равномерной непрерывности i'(Z) на [0, /]. 26.16. Согласно формуле Лагранжа

р^-гп^||_^^^^

[J х п || = || Д”1А,1хп [J < у ^jl Апх п |.См. также задачу 17.20. 26.19. Следует изнеравенства <х п, А х^ < || х^ || Апт п ||. 26.21. Выберем базисы в Хп иУ„; тогда определитель матрицы оператора отличен от нуля. 26.27. Следует из неравенства задачи 26 25 и преобразо-

240

ванил ||7Г,,^ у '|| -4,/ „ - AJ,. |Y"1 || у п - Т'пу + Т*иАх -

-~AJ^ II < Y 1II У п ~ ^У || "г №]|| Г^ - Л^Ц. 26.28. а) Д, (т) = — 1 — та,. б) Уравнения системы решаются последовательно, откуда и следует, что опа имеет единственное решение, в) Воспользоваться методом математической индукции, г) См. задачу 26.22. 26.30. Рассмотреть разность

■С И) - Ж « - т) Д.^ (, _ Т) -L у^ (/)] . ^д- (г _ т) _L р^ (,)]_

- [Yi/ (< — т) — Т2/ W]

и применить к ней формулу Тейлора, содержащую члены до 2-го порядка малости. При а, = а2 = Pi = р2 = Yi = Ya = 1/2 имеем 2-й порядок точности. 26.31. а) Разрешить t-е уравнение относительно х>. 26.35. На точном решении х^ = 1 разностные уравнения удовлетворяются точно, как и первое начальное условие. Второе начальное условие удовлетворяется с точностью т2. 26.36. Частные решения этой разностной схемы можно найти в виде .т, = X', откуда X, = 1, Х2 = 2. Общее решение системы без начальных условий имеет вид т, = ci + с22'. Используя начальные значения при i = О и i = 1, находим решение разностной схемы. 26.37. См. решение задачи 26 35. 26.38. Заметим, что z, = 1 —т2 + + т2 (<"/«)' (i = 0, 1, ..., п). Если |с/а| < 1, то х — 7 1II— -*0 и л,г

(л->сю). Если |с/л| > 1, то х — 7 11|_ ->оо (п -> со), 26.39.

Воспользоваться формулой Тейлора для вектор-функции x(t). б) Оценить предварительно норму матрицы Я, (т). 26.40. б) Применить к функции

формулу Тейлора по т, содержащую члены 1-го порядка относительно т и остаточный член в интегральной форме, а затем оценить этот остаточный член.

Точка t = 0 является точкой минимума функции ф(1) = = ЦЛя +/Лг||2 при любом zeXc 7з = 0. По теореме Ферма <р'(0) = 2(Лз, Az) = 0. 27.2. Вследствие условия ортогональности ЦЛ (s + z)l|2 = ||Л$||2 + ||Л;||2 ^ ЦЛзП2- 27.3. Проверяем условие ортогональности. Для любого з (т) s № [О, Z] такого, что z(Z,) =0 (I = 0, 1, ..., п), имеем

(Лзг, Az)= <(Лзг, Az)= <

(Лзг, Az)= <

(Лзг, Az)= <

Так как 3 — seN(T), то (Л(з —s), Ла) = О или ЦЛз||2 = = (Л?, Ла). Меняя местами s и а, получаем искомое утверждение. Согласно задаче 3.19 A (s — a) = 0. 27.6. Согласно предыдущей задаче, s — s е N^A). Кроме того, Т (s — s) = Ts — Ts = x — I = 0, т. e. s — s e N(T). Но тогда a — s e {0}, t. e. J — s = 0. 27.7. Докажем, что здесь Д'(Л) n/V(7) = {0}. N(A) состоит из многочленов первой или нулевой степени вида С^ + Сг. Если T(Ctt + С2} = 0, то при

16 В А. Треногий и др. 2^1

п ^ 1 с, = с2 = о, ибо многочлен первой, степени имеет ею более отпого пуля. 27.8. 6) Т^х = IS далее для любого 2^77' [О, Ц с 7 ~ = О выполнено условие оргогоналыюеш (см. задачи 27.3 и 27.2). 27.12. См. указание к задаче 27.7. 27.13. Достаточно заметить, что Л7т-1(1) = Л^о + ЛА7(Г), где ^e.Y таково, что Txq — I. 27.14. Аффинное многообразие Л Г*1 (аг) является замкнутым выпуклым множеством. Элемент у, реализующий расстояние от 0 до Л Г-1 (аг), принадлежит ему. Следовательно, существует s такое, что Ля = у, Ts = I. 27.15. Пусть ym(Z) еЛ,У(Г) (m N) и у„,(0 ->

Уй^ (m->°°) в £2[0, Z]. Найдется хт (Z) е А7(Г) такое, чти ^ W = Ут^- Отсюда

xm ^ = ^^-s) Ут (s) ds-L^l-s) ym (я) ds00

(из xm e N(T} следует, в частности, что ^„ДО) = хт(1) = 0). При т^-оо xm(t)-^ xo(t') ^ N(T), т. е. уйг AN^T"). 27.16, Дважды проинтегрировать s8(Z), а произвольные постоянные определить из требования s3(C) = xt, SafC + i) = ^e + i- 27.17. в) Запишем систему в виде Кр = / с симметричной матрицей К. Имеем

2=1

где Ро = рп = 0. Если К^ = 0, то отсюда р = 0. Следовательно, det ^= 0. 27.18.

1

(Л$8, Лз) = j s" (г) 2" (/) dt = о

= 2 I s>ww =

Но s3—постоянная — третья производная s3(z) па [C-i, С], a J z' (/) dt = z(zt) — 2 (Z^i) ~ 0, ибо Tz = 0. Поэтому (^s3, Az^ = я" (Z) z’ (Z) — s" (0) 2 (0) = 0 вследствие условия 4),

Воспользоваться оценками |[zn — ^тг^П ^ Ikn “ ^11 + 11^ — — Pn^ll, ||xn — ат]1 ^ ]|^п — Рп^Н + РлХ — ж)!. 28.3. Воспользоваться предыдущей задачей. 28.5. Воспользоваться оценкой ||(2пЛРпл: — — <2пАл|| ^COnMII Н^п^— ^11.

242

Убедиться, что (J^li =^А^, ф^Аф^ АРпх = Q^AP^.

^к ^Ч ^^(Лг,, ^Л = Min, Ряг,.) = (Р„Лгн, г,.)^ ^l^Д', ' Д" , от’!УЛа H^„|| ^ЦхЛ. 28.10. Согласно зад? че 28.6, |i(?n^i„|| = ||ЛР„г„|| = Mz„|| ^ 7||z„||. 28.11. Воспользовавшись задачами 28.6 и 28.10, получим

hn — ill s= ЦР»г — z|| <с -гЧ|ЛР„;г — АхД =.

= 7-1 iMP„ аг — у|| = v'WQnU — У\\.

<f(in) = 2 (Лфг ф;) с^ — 2^(Л^ у) с.. + (у, у).В точке минимума dtp (тп) (дса = 0 (s = 1, 2, ..., тг). 28.14. Если Ап — сужение оператора QnA на Хп, то, вследствие условия устойчивости, л(Лп) — {0}, и как оператор, действующий из ^ мерного пространства в л-мерное, Ап непрерывно обратим.

a) h„|| = II (^^PJ-^^P^nll ^ 7ll(Minl|.

Hz,, — z|| = ||((MP„)~1(MPn(zn — ж)|| ^

< 1!19„Л(1П -Рпт)|| = -filf^i, -<2пЛРл1|| ^

ЛО 97 п1СПЛ|| • ||zn РцЖЦ.

-8.2/. Воспользоваться предыдущей задачей и теоремой 9.4. 28.28. Следует пз тождества z„ — z = (/ — PnKV' (Pr.x — z). 28.29. Следует из тождества zn — z = (7 — PnK\-‘ (Pn и — iA 4- (I —.

P>iA) ^PnK К) (I — 7f)-1y. 28.30. Воспользоваться тождеством

ОО

1 + 2 2 P? cos = ^ — Р

1 + р2 — 2р COS CD

при р = s/2, со = лт, откуда

K(t, 5) = 1 + 2K(t, 5) = 1 + 2\?\?cos л/т,cos л/т,

K(t, 5) = 1 + 2

K(t, 5) = 1 + 2

\?

\?

cos л/т,

cos л/т,

^ГЛ 1 + 2 ^ f-L j cos л/т,

00

РпК-К^ = 2 2 П4Г^-°-

28.31. б) Воспользоваться задачей 28.29.

§ 29

Воспользоваться формулой конечных приращений Лагранжа. 29.7. Воспользоваться предыдущей задачей, 29.8. Полагая у = 0 в неравенстве <т - у, A (z) - А (у) > > c(|U - y|j) 11^ - z/|[, 16* 243

получим </, Л (2')> 5> с(|И!) • !И — <2, А (0))^(c(|]z[,) — М (0)| )Х X IWI- 29.10. Из условия коэрцитивности следует, что |)Л(^)|^ ^ fll^ll. 29/16. Существование и единственность неявной функции х = <p(t) вытекают из теоремы 29.1. Полагая в заданном неравенстве z = f[(0; у = <р(^о), получим |q;(f) — q По) | st ^ с~‘|/(сР(^о), О | 0 при / 10. 29.18. По формуле конечных приращений. Лагранжа ^х — у^Цт, t) —f{y. 0] = А(£. ” УУ^ ^ с(х — ур, 29.19. Полагая в условии сильной монотонности у\ — = ^ь получим (^2 — уУ [А^1, ^2>—/2(^1, У'2П ^ ^2 — У2)2, и можно воспользоваться задачей 29.16. 29.20. Полагая в условии сильной монотонности задачи 29 19 х2 = q(^i), Уа = <p(yi)? получим

К1 — У1) [/1(^1, фК1)) —/1(У1, ф(У1))] 5=

5= сЮ1 — У1)2 + (<р(^1) - <р(У1))2]— У.)2-

Оператор Лi(a:i) непрерывен как суперпозиция непрерывных функций. 29.21. Согласно задаче 29.15. уравнение А 1(^1) = 0 имеет единственное решение ^; тогда т° — (^', ф (-г,)) — единственное решение уравнения А (х) = 0. 29.23. (Лс(л:) — Л^//), х — у) c||z — yW1. 29.25. а) Следствие задачи 29.22. б) Пусть для некоторого п H^nll > >• г; тогда 0— (zn, Лл(^п)) > 0 — противоречие, в) По теореме Вейерштрасса из х^ как ограниченной в Ек последовательности можно выбрать сходящуюся подпоследовательность т^. Пусть 1

гЛ/|-^0 (if»). Т°ГДаПРП

А- -> оо, т. е. А (^о) = 0.

с m

| а (.г, г) |< max Ий h«, Ь] S I I 1 d/<0<k<m^ ^_^0

^oXmll^b.iJ'MUo.Zi'tlUo, Z]

и, кроме того, а (г, г) линеен по г. 29.28. Воспользоваться равенством ^Ах — Ау, х — у) = а(х — у, х — у). 29.29. Следует из оценки

оо^ II / Нг2[о,Z] ■ IIг Hl2[oJ] ^ II / l/2[o,/] 'II2 ll/im[oJ]‘^ II / Нг2[о,Z] ■ IIг Hl2[oJ] ^ II / l/2[o,/] 'II2 ll/im[oJ]‘

о

о

^ II / Нг2[о,Z] ■ IIг Hl2[oJ] ^ II / l/2[o,/] 'II2 ll/im[oJ]‘

^ II / Нг2[о,Z] ■ IIг Hl2[oJ] ^ II / l/2[o,/] 'II2 ll/im[oJ]‘

J ^r W z' (0 dt оуравнению удовлетворяетJ ^r W z' (0 dt оуравнению удовлетворяет

J ^r W z' (0 dt о

уравнению удовлетворяет

J ^r W z' (0 dt о

уравнению удовлетворяет

29.30. Воспользоваться теоремой 29.1. 29.31. Согласно теореме 12.2 о

существует и единственна g(/) е ^'[0, П такая, что

\ f W 2 (0 dt о

для любого z е Я^О, I]. Этому

gW ^ G^Mf^ds.

29.36 Воспользоваться теоремой 29.1. 29.38. а)

s(c%- %) = "2 J ро (/) dt + ,f P1W С - nt^dt'оо

11

^V^HiH'12 f Р0СИ-Ь J ^OCi-n-l)2^,1-й

й (^к1 toM 1) “

= - Л • f ро W dtkh(/41)йй (6\-Г “Л ~ J Со= - Л • f ро W dtkh(/41)йй (6\-Г “Л ~ J Со(Н 1)й

= - Л • f ро W dtkh

(/41)й

й (6\-Г “Л ~ J Со

= - Л • f ро W dtkh

(/41)й

й (6\-Г “Л ~ J Со

4- j Рг (О (nt - к) (nt — к — 1) dt, kh

(к 1 1)Л

<0 dt -г j PyW (nt-к - \fdt,

a (ofe, со^ — 0 при I ^ к — 1, к -}- 1,

б) Получается трехдпагональная система, в) Оператор А ограничен: ||Л|| < К, согласно теореме 29.2 и задаче 27.24,

1кн — Я < (слэ-м!^ — р^ц = о^рг).

ГЛАВА 8

§ 30

Произвести дифференцирование по t и умножение на х'.

а) х (0 = —^— е. б) x(f) = —I3. в) х(Ц = е<-1. г) x(f) = = In / д)^ (0 = V(t 4" D2r функция х (t) = V(3t — l)2 В данном случае не считается экстремалью, так как в точке t = 1/3 не имеет конечной производной, е) x(t^ = (С + t) sin где С — произвольная постоянная, ж) х(Ц = С sin t + cos t, С — произвольная постоянная, з) Вариационная задача не имеет смысла, так как интеграл не зависит от пути интегрирования, и) г(/)=0, если хх = 0, при xi ^= 0 экстремалей среди гладких кривых не существует. к) x(t) — cos t. л) Экстремалей нет. м) x(t^ — 4]t — V и) x(f) =]4 —£2. Воспользоваться задачей 30.3. о) х.№ = к 30.5. а) х(Ц = I3 — I2. б) х(Ц = (1 — /) sh t. в) Экстремалей нет. г) Вариационная задача не имеет смысла, так как интеграл не зависит от п>ти интегрирования, д) x(t') =— (t2 — е2)2. е) x(t^ =

i= cos t. ж) x (Г) = ^ (t3 -J- б£ -^ 1)."з) х (t) — sh t.

a) । x (/) — sin 2/,

Ii2 32 + л2

■z (4) = — g (43 4" 54 — б),

У W = /|

в) Гх (г) = sin Z, r) C.lL^

l у (О = sin j -

( и W = ц

д) fx (4) = 2 sin t 4-t cos 4, e) (x (t) = t,

[y (4) = 4 cos t;[y (4) = — 34.

t cos t л1

a) x^ = — —2™ + "4 cos t + у sin ^

x^ = C(sin 44 4" 4 cos 44), где С произвольно.

Условие трансверсальности имеет вид

ip' -^ _

1 4- ^'х* ~ — 1

и означает, что экстремали должны пересекать заданную кривую х — -ф (t) под углом л/4, 30.9. х(Г) = 0. 30.10. a) x^f) = = ±1'25— (4 —5)2. Использовать задачу 30.3. б) х^ = ±l'8t — I2. Использовать задачу 30.3. 30.11. а) Расстояние равно 19У2/8 б) Расстояние равно 4/} 5. 30.12. а) Нет. б)

Д/З t при 0 ^ 4 < 1,— УЗ(4-2) при 1^4 ^2

(— V3t при 0^4<1,| Д/З (i — 2) при 1 ^ 4 < 2.

а) Ломаные линии, составленные из отрезков прямых x^t) = 4 и х(4) ^ 1 или из отрезков прямых z(4) ^ 0 и -г(4) = = 4—1, реализуют абсолютный минимум, прямая x^t) = 4/2 реализует слабый максимум, б)

Г — 4 при 0<4<1,(4 при 0<4<3,

Д4 — 2 при 1<4^4 11 2—4 4~ 6 при 3<4^1,

на обеих ломаных функционал достигает абсолютного минимума.

_ ГО при — 1 < 4 < 0, при 0<4<1.

4 4- 1 ,

а) х (4) = —2— е 1 б) z (4) = 2 sin л/14, п = + 1, + 2,. . .;

х (4) = 312 + 24 4- 1; О т (4) = ^i t , 30,16. Исследовать на 4

экстремум функционал

z V1a'2 dZ

при условиипри условии'о

при условии

при условии

J /1 +$'- di = I.

Получаем семейство экстремалей ж (г) = (7^ ch

ние находится из системы уравнений относительно Сц

А.

С»,

Реше-

Л;

30.17.

4-ct

Я1 " ^i ch —С-— — ^’

Г =Ь — «К -2 = I.

Л

х (г) = R cos 3 t, л

у (Z) = R sin~2 I,

Б 27

к (<) = — "2 г 4- у t, 30.18.

У W = t.

30.19. а) fz (г) = sin 2Z,

|у (г) = cos 2г + 2г sin 2г.

Найти экстремали функционала

л 4 г 2

L Сг, у) = J [зо

!dx’

,222 + а \di -^y-Vto

dt.

Уравнение Эйлера дает у — 2Х = 0. Исключить у из этого уравнения и уравнения связи.

а) Решение уравнения Эйлера имеет вид z(i) = Ct ch t + + C2 sh t. Кривые x \t, С) = C ch t образуют собственное поле, кри- вые'х(г, С) = С sh t — центральное поле. ,б) z(t, С) = Coos t — собственное поле экстремалей, xtt, С) = С sin I — центральное поле. 31.2. а) Экстремаль г(г) s 1 включается в собственное поле

экстремалей z(z, С) = С. б) Экстремаль т^ — 2t включается в центральное поле экстремалей а'(ц С) = Ct с центром в точке Л (0, 0). в) Экстремаль z(Q — t2 + //4 — 3/4 включается в собственное поле экстремалей х^Ц С) = I2 + //4 + С. г) Экстремаль х\Ц = = //6(1 — /2) включается в центральное поле экстремалей x^t1C^ = = Ct — t^& с центром в точке Л (О, 0). д) Экстремаль х^ = е1 включается в собственное поле экстремалей х(С С) = е!+С. е) При а < л экстремаль х^ = 0 включается в центральное поле экстремалей x^t. С) = С sin t с центром в точке Л (О, 0), при а > л семейство кривых ху, С) — С sin I поля не образует. ж) Экстремаль х^ = t + 1 включается в собственное поле экстремалей хУ^ С) = tyC. 31.3. а) Да. Решение уравнения Якоби с условием

3

и (0) = 0 имеет вид и^ = Ct, экстремаль х (3^= — t включается

в центральное поле экстремалей с центром в точке Л (0.0). б) Пет. Решение уравнения Якоби с условием к(0) = 0 имеет вид п (О = = С sin 2/ и при а > л/2 обращается в нуль в точке t — л/2. в) Да. Решение уравнения Якоби с условием н(0) = 0 имеет вид и(Ц = — С sh t. г) Решение уравнения Якоби с условием п(0) =0 имеет вид u(/) = С sin/; если 0 < а < л, то условие Якоби выполнено, если а л, то нет. д) Да. е) Да. ж) Нет. а) Да. 31.4. Так' как уравнение Эйлера имеет вид Рх, " С, то условие Якоби выполняется тождественно для любой экстремали. 31.5. а) Экстремаль ?(/) = 2/ + 1, условие выполнено, б) Экстремаль ху) =/3, условие не выполнено, в) Экстремаль ху) s 0, условие выполнено.

b

Экстремаль х (/) - — С условие выполнено. д) Экстремаль а’(0 s0, условие выполнено, е) Экстремаль а1 У) — //2, условие выполнено, ж) Экстремаль х(У ^ 3, условие выполнено, з) Экстремаль хУ) = /2, условие выполнено, и) Экстремаль а (?) = t — 1, условие выполнено. 31.6. a) х(у = 2/ — слабый минимум, б) x^t^ = = t2 —t — сильный минимум, в) х(С) =//2 — сильный минимум, г) хУ) = ej — сильный минимум, д) х-У) — 2 In (f + 1) — сильный минимум, е) х(/) = 1 — сильный минимум, ж) ^(/) = /2 —слабый b

минимум, з) т (/) = —/—слабый минимум, и) ?(/) = In (1 + + /)/1п 2 — сильный минимум, к) хУ) = 2t У 1 — слабый минимум. л) хУ) — sin 2/— 1 — сильный максимум, м) х^Г) = /3 — сильный минимум. н) z(/) — sin 2/— сильный максимум, о) хУ) = //2 — слабый минимум, п) ^(/) ='0 —слабый минимум.

б) d2(p |ж=о ^ f th2 (0 dt > 0 при любой /1(/)еС[0, 1], о

h У) ф 0. в) Пусть

^(0 =^(0 =f-/ + e0f-/ + e0приприприприо с / < Е, t > е.о с / < Е, t > е.

^(0 =

^(0 =

f-/ + e0

f-/ + e0

припри

припри

о с / < Е, t > е.

о с / < Е, t > е.

Тогда ф (те) = —е]/6 < 0. 31,8. б) d2$ |д=х0 =-^ > 0 при любом

я=1

h g Is (h ^ 0). в) Пусть хС^ =/0,0, . .., 0, 1/^,0, 0, .. Л. Тогда \ '7Н-1/

ф(^(^)) = l/rt5 — 1/н4 < 0.

§ 32

ф2(^[ + (1 — /)?2) ^ /2ф2(л) + 2/(1 — /)ф(^|)ф(^2) +

+ (i — 02ф2Л2) = ^ф2(^) + (1 — /)ф2(^2) — ^i — ^-tot^i) — — ф(.г2)]2 ^ЛЧ2(п) + (1 — ОфЧ^)- 32.3. а) Да. б) Да. в) Вообще говоря, нет. Рассмотреть в пространстве h последовательность ^п = == ^0.0, .. ., 0, 1. О, 0, ... у г) Да. Если хп->х0 (л-^оо) слабо и Ikol, > lim H^nll, то найдется с такое, что ||^0|| > с > 11m 1^,,|| и, следовательно, существует подпоследовательность хп^ такая, что ^01| > с > || хп^ || при ^ е N. Определим функционал /0: <г0, /0) = ||гг0|| и продолжим его па все X с сохранением нормы. Тогда <^fc, /0) не стремится к <д0, /о>, так как* (^, /0) ^ ^W;H%1<C’ а <Мо> =К11 > с - противоречие. 32.6. Пусть и — точка локального минимума ср(^) на 31; тогда найдется е>0 такое, что для любого и е S£ (и) П 31 выполняется неравенство ф(и) ^ф(г). Пусть хеМ— произвольно, а > 0 таково, что а|Л — н|| < е. Тогда и + a(z — и) е St(u) П М, поэтому ф(п + + а (.г — и)) 5? ф(н). Но ф(н) ^ ф(а) + а[ф(л?) — ср (у)] и так как а > 0, то ф(^)— ф(ы) ^ 0 и, следовательно, к. — глобальный минимум на М. 32.8. Нет. Рассмотреть ф(я) = У|я| для ^еК 32.9. Необходимость сразу вытекает из (слабой) полунепрерывности снизу. При доказательстве достаточности воспользоваться идеей решения задачи 32.3. г). 32.10. Из слабой полунепрерывности снизу следует полунепрерывность снизу без дополнительного требования выпуклости. Если ф — выпуклый и полунепрерывный снизу функционал, то по задаче 32.9 для любого вещественного X множество Сх замкнуто, по задаче 32.7 — выпукло, по задаче 13.23 Сх слабо замкнуто, по задаче 32.9 ф слабо полунепрерывен снизу, 32.12. в) Нет. Теорема 32.1 не применима, так как пространство С'[0, 1] нерефлексивно. 32.13. Пусть М cz X — бикомпактно, ф(^) определен на М и слабо полунепрерывен снизу. Если m = inf ф (я) и хпеМ м

таково, что ф(т„) -> т при n-^оо, то найдется подпоследовательность ^^такая, что хп^ х^е М, и тогда ф(г0) =32.14. ф(х) —

пепрерывный выпуклый функционал. 32.15. а) Да. б), в) Вообще говоря, нет. 32.16. ф(/^[ + (1 — ^х2) = t^Ax^ ^i) + Ц1 “ 0 (Л^|, ^2) + + /(! — /) (Лг2, zi) + (1 — /)2(Лх2, х^ = /ф(^1) + (1 — Оф(^з) — —/(1 —/) (Л (.Г] — £2), ^1 — ^2) и так как t г [0, 1], то / (1 — /) (Л (лд — х2), Х[ — х2) ^ 0. 32.17. б) Нет. Рассмотреть последовательность е^— 70, 0, ..., 0, 1,0, .. Ле 1Г 32.18. а) ф'(л) =

X/

= Л.т + Л*.т, б) <х — у, ф'(^) — ф/(у) > = 2<.г — у, А (я — у)>0.

в) Воспользоваться теоремой 32.2, непрерывностью оператора А и задачей 32.11. 32Л9. а) фДж) =2Л*(Л^ — Ь). б) Доказать, что (рД.т)—монотонный оператор, воспользоваться теоремой 32.2, непрерывностью оператора А и задачей 32.11. 32.20. При г ^5 наименьшее значение ф равно нулю и достигается в точке С (4, 3). При г С а наименьшее значение ср равно 2г2 — 20г + 50 и достп- laeicn в ючке пересечения ог(0) с прямой ОС,

ЛИТЕРАТУРА

Антоневич А. Б.. Князев П. Н., Ра дык о Я. В. Задачи п упражнения по функциональному анализу,—Минск: Вышш- шая школа, 1978.

Васильев Ф. П. Методы решения экстремальных задач,— М.: Наука, 1981.

Гельфанд И. М., Фомин С. В. Вариационное исчисление,— М : Физматгиз, 1961.

Гуревич А. П., Зеленко Л. Б. Сборник задач по функциональному анализу,— Саратов: Пзд-во СГУ, 1978.

Дробышевич В. И., Дымни к о в В. П., Ри в ин Г. С. Задачи по вычислительной математике,—М.: Наука, 1980.

Дьедонпе Ж. Основы современного анализа,— М.: Мир, 1964.

Канторович Л. В., Акилов Г. П. Функциональный анализ в нормированных пространствах,— М,: Физматгиз, 1959.

К а т о Т. Теория возмущений линейных оцераторов.— М.: Мир, 1972.

Кириллов А. А., Г в и ш и а н и А. Д. Теоремы и задачи функционального анализа,— М.: Наука, 1979.

К о л л а т ц Л. Функциональный анализ и вычислительная математика.— М.: Мир, 1969.

К о л м о г о р о в А. Н., Ф о м и н С. В. Элементы теории функций и функционального анализа,— М.: Наука, 1968.

Краснов М. Л , М а к а р е н к о Г. И„ Киселев А. И. Вариационное исчисление.— М.: Наука, 1973.

Краснов М. Л., Киселев А. II.. Макаренко Г. И. Интегральные уравнения,— М.: Наука, 1976.

Лоран II. Ж. Аппроксимация и оптимизация.— М.: Мир, 1975.

Л ю с т о р п и к Л. А., С о б о л е в В. И. Элементы функционального анализа.— М.: Наука, 1965.

Н а й м а р к М. А., М а р т ы н о р В. В. Функциональный анализ,— Долгопрудный: Изд-во МФТИ, 1970.

Рид М.. Саймон Б. Методы современной математической физики. Том I. Функциональный анализ,— М.: Мир, 1977.

Рудин У. Функциональный анализ,— М.: Мир, 1975.

Самарский А. А. Введение в теорию разностных схем,— М.: Наука, 1971.

Сборник задач по функциональному анализу,— М.: Изд-во МГУ, 1977.

Сборник задач по уравнениям математической физикп/Под редакцией В. С. Владимирова,— М.: Наука, 1974.

С о б о л е в В. II. Лекции по дополнительным главам математического анализа,—М,: Наука, 1968.

Соболева Т. С. Задачи по функциональному анализу,— Мл Изд-во МИНХ и ГИ, 1977.

Тихонов А. И. Арсенин В. Я. Методы решения некорректных задач.— М : Паука, 1974.

Т р е н о г и н В. А. Функциональный анализ,— Мл Наука, 1980..

Фет Л. И. Задачи по функциональному анализу.— Новосибирск: Изд-во НГУ, 1968.

Ха л мош П. Гильбертово пространство в задачах.— Мл Мир, 1970.

Шилов Г. Е. Математический анализ. Функции одного переменного. Часть 3,—Мл Наука, 1970.

СПИСОК ОБОЗНАЧЕНИИ

N — множество натуральных чисел

П — множество вещественных чисел

С — множество комплексных чисел

Л + 5 — алгебраическая сумма множеств Л и 5 (10)

Л_— продолжение оператора Л (52)

У Л — квадратпый корень из оператора Л (102)

|Л| — норма оператора Л (46)

Л — модуль оператора Л (102)

Л+— положительная часть оператора Л (102)

Л-— отрицательная часть оператора Л (102)

Л* — оператор, сопряженный к Л (77)

4Ч — оператор, обратный к Л (58)

Л^"1 — оператор, левый обратный к Л (59)

Л'1 — оператор, правый обратный к Л (59)

С, LP — пространства непрерывных функций (13, 14)

Ch — пространство к раз непрерывно дифференцируемых функций (13)

С — пространство сходящихся числовых последовательностей (13)

Со — пространство сходящихся к нулю числовых последовательностей (13)

Ст, Ет, 1т, I™ — пространства числовых столбцов (12)

diam Л — диаметр множества Л (9)

ЗА — граница множества А (И)

Е^Е х, р, х'^ — функция Вейерштрасса (196)

FkXh — й-степенной оператор (128)

Fk^v, x2l ..., хк) — А'-линейный оператор (127)

G(s, Z) — функция Грина (123)

И — гильбертово пространство (26)

Н\ Нт — пространства Соболева (34, 182)

/ —тождественный оператор (51)

^ — пространство финитных функций (13)

K(s, Z) — ядро интегрального уравнения (114)

/а, L2. Ер — пространства Лебега (33, 34)

Е © М — прямая сумма подпространств L и М (10)

^(Х)х ^(Х, У) — пространства ограниченных линейных операторов' (51)

Zb Z2, lp — пространства числовых последовательностей (12,13)

^ ~ множество предельных точек для .множества М (9)

М — замыкание множества М (9)

д/± — ортогональное дополнение к множеству М (26)

М\_а' Ь] — пространство ограниченных функций (13)

т — пространство числовых последовательностей (13)

Х(А) — множество пулей (ядро) оператора (4G)

Н>ЛА) — резольвента оператора (107)

г„(А) — спектральный радиус оператора (107)

5r(z0) — открытый шар с центром в .г0 радиуса г (9)

5r Uo) — замкнутый шар с центром в 20 радиуса г (9)

У[д, Ь] — пространство функций с ограниченной вариацией (14) ь

V х (Z) — полная вариация функции (14) а

XIL — факторпространство (25)

X* — сопряженное пространство (65)

X** — второе сопряженное пространство (74)

X A- Y — прямая сумма пространств (62)

И- норма элемента (9)

(ж, у) — скалярное произведение (26)

<х, f) — значение функционала / на элементе х (65)

д;_Ьу _ ортогональные элементы (26)

Г(яь x2l ..., ^п) — определитель Грама (27)

6F(.to; Л) — первая вариация оператора (186)

6 (Я) — множество самосопряженных операторов (102)

ри — радиус сходимости (128)

р(Л) — резольвентное множество (107)

р(-т, у) —метрика, расстояние между точками (9, 43)

о (А) — спектр оператора (107)

о(Х), о(Х, У)—множество вполне непрерывных . операторов (88, 89)

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ

Аксиома треугольника 43

Аналитическая оператор-функция

108

Аппроксимация 151, 155

Коэффициент сжатия 136

Кратность характеристического

корня 115

Биортогоиальные системы 99Биортогоиальные системы 99

Биортогоиальные системы 99

Биортогоиальные системы 99

Линейно независимая система 27

Локальный максимум 186

— минимум 186

— экстремум 186

Вариационная задача с подвижными границами 188

Вариация оператора 186

Вложение нормированных пространств 22

Вторая производная оператора 128

Гиперплоскость 65 Граница множества И График линейного оператора 62

Диаметр множества 9

Дифференциал Гато 186

— Фреше 127

Задача корректная 116

— некорректная 116 Замыкание 9

Метод Галеркийа 178

— наименьших квадратов 172

— регуляризации 116

— Ритца 173

Метрика 43

Многообразие аффинное 10

— линейное 10

Множество бикомпактное 81

— всюду плотное 10

— выпуклое 10

— замкнутое 9, 43

— компактное 81

— Локально компактное 82

— меры нуль 33

— нигде не плотное 10

— нулей оператора 46

— ограниченной 9

— открытое 9, 43

— равномерно ограниченное 81

— равностепенно непрерывное 81

— слабо замкнутое 76

Изометрпчные пространства 22

Изоморфные пространства 22

Изопериметрическая задача 189

Индекс оператора 96

Интеграл Лебега 33

— Стилтьеса 70

Интегральное уравнение Вольтсрра 1-го рода 114

—2-го рода 116

Фредгольма 1-го рода 114

2-го рода 116

Интегральный оператор Фредгольма 115

Интерполяционный многочлен Лагранжа 41

— сплайн 164

Итерации 136

Квайирешение 93

Конечный подъем 94

— спуск 95

Наклон поля 196

Неподвижная точка 136

Неравенство Птолемея 28

— Коши — Буняковского 26

Норма ft-линейного оператора 128

— ограниченного линейного оператора 46

— элемента 9

Нормы невырожденные 153

— согласованные 153

Область значений оператора 46

— определения оператора 46

Обобщенная производная 34, 182

Обобщенное решение краевой задачи 182

Оператор 46

— аналитический 129

— Гильберта — Шмидта 95

— деминепрерывный 178

оператор, дифференцируемый в

точке в смысле Фреше 127

— замкнутый 62

— коэрцитивный 178

— левый обратный 59

— линейный 46

вполне непрерывный 88

— Л-лпнсйпый 127

ограниченный 127

симметрический 128

— монотонный 177

— нелинейный вполне непрерывный 127

— неотрицательный 102

— непрерывно обратимый 58

— непрерывный 46, 127

в точке 46, 127

— нерастягнвающий 142

— неявный 146

— нётеров 96

— нормально разрешимый 96

■■— нормальный 106

— обратный 58

— ограниченный 46, 127

— ортогонального проектирования . 57

— правый обратный 59

— проектирования 57

— самосопряженный 162, 123

неотрицательный 102

— сжимающий 136

— симметрический 123

неотрицательный 123

— сильно монотонный 178

— сопряженный 77

— А-степсиный 128

— строго монотонный 177

— сужения 151

— тождественный 51

— унитарный 106

— фредгольмов 96

— Штурма — Лиувилля 123

— ядерный 96

Определитель Грама 27

Ортогонализация 27

Ортогональная система 27

многочленов Чебышева — Ла- герра 31

Ортогональный базис 27

Ортопормпроваиная система 27

Отображение непрерывное 10

в точке 10

— равномерно непрерывное 10

Отрезок 10

Оценка априорная 156

Параметр регуляризации 116

Подпространство 10

Покрытие множества 81

Поле экстремалей 196

Полная вариация функции 14

Поляра 71

Полярное разложение 107

Пополнение 22

Порядок аппроксимации 151, 152 точности приближенной схемы

152

Последовательность слабо ограниченная 74

фундаментальная 74

Предельная точка 9

Р-предельнал точка 171

Продолжение оператора 52

Проекция элемента 27

Производная Гато 186

— Фреше 127

Пространство банахово 22

— гильбертово 26

— евклидово 26

— Лебега 33

— линейное нормированное 9

— метрическое 43

— ограниченных линейных операторов 51

— полное 22

— рефлексивное 74

— сеточное 153

— Соболева 34, 182

— сопряженное 65

— строго нормированное 10

— унитарное 26 -

Прямая сумма пространств 62

Радиус сходимости 128

Разностная схема 158

Расстояние 43

— между множествами 9

— от точки до множества 9

Регулярная точка 107

Резольвента 107

Резольвентное множество 107

Ряд Неймана 141

— Тейлора 129

— Фурье 27

Сингулярные числа 114

Скалярное произведение 26

Собственная функция ядра 115

Собственное значение 107

— поле 195

Собственный вектор 107

Спектр оператора 107

Спектральный радиус 107

Сплайн интерполяционный 164

— кубический 167

— линейный 165

Сумма алгебраическая 10

— прямая 10

Сфера 9

Схема Галсркина 170

— наименьших квадратов 172

— приближенная 151

Сходимость 10, 43

— в среднем 33

— почти всюду 33

— приближенной схемы 152

— равномерная 51

— сильная 51

— слабая 73

— *-слабая 74

Т-сходимость 151

— в среднем 154

— равномерная 154

е-сеть 81

Тождество Аполлония 28

Угловая точка 188

Угол между элементами 26

Уравнение Эйлера 187

— Эйлера — Пуассона 187

Центр пучка 196Центральное поле 196Центр пучка 196Центральное поле 196Уравнение Якоби 196

Центр пучка 196

Центральное поле 196

Центр пучка 196

Центральное поле 196

Уравнения i-го рода 89

— 2-го рода 89

Условие аппроксимации 151

Число дефектное 96— нулей 96— обусловленности 59Число дефектное 96— нулей 96— обусловленности 59— Лежандра 196

Число дефектное 96

— нулей 96

— обусловленности 59

Число дефектное 96

— нулей 96

— обусловленности 59

— устойчивости 152

Условия Вейерштрасса — Эрдмана

188

— трансверсальности 188

Устойчивость 162

Факторпространство 25

Фундаментальная последователь

ность 22

Функционал 65

— выпуклый 201

— линейный 65

— Полунепрерывный снизу 201

— слабо полунепрерывный снизу 201

Функция Вейерштрасса 196

— Грица 123

—, интегрируемая по Лебегу 33

— неявная 146

— 0 ограниченной вариацией 14

Характеристическое число ядра 115

Шар замкнутый 9, 43

— открытый 9, 43

Эквивалентные нормы 22

Экстремаль 187

Экстремум функционала 188

сильный 167

слабый 187

Элемент наилучшего приближения 37

Ядро интегрального оператора 114 — оператора 46

/'(х) Щ — т < 0, /" (х) =5 0на[а,Ы.

24.30. В условиях предыдущей задачи

последовательные приближения метода хорд

В АТРЕНОГИН Б М.ПИСАРЕВСКИЙ t С. СОБОЛЕВА

ЗАДАЧИ

И УПРАЖНЕНИЯ

ПО ФУНКЦИОНАЛЬНОМУ

АНАЛИЗУ

Допущено Министерством

высшего и среднего специального образования СССР в качестве учебного пособия

Эля студентов вузов, обучающихся по специальностям;

«Математика», «Прикладная математика»

МОСКВА «НАУКА»

ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ

ФИЗИКО МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ 19 8 4

Задачи и упражнения по функциональному анализу. Треногий В. А., Писаревский Б. М., Соболева Т. С.— М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1984.— 256 с.

Сборник содержит задачи по всем основным разделам курса функционального анализа, читаемого в вузах. Он ориентирован на учебное пособие В. А. Треногина «Функциональный анализ», вышедшее в 1980 г. Рамки задачника несколько шире требований программы. В задачник вошли такие разделы, как: «Нелинейные операторные уравнения в банаховых пространствах», «Дискретные приближения решений операторных уравнений», «Монотонные операторы», «Элементы теории экстремумов и выпуклого анализа» и др.

Рецензенты: кафедра высшей математики Московского инженерно-физического института: доктор физико-математических наук А. А. Кириллов.

Владилен Александрович Треногий

Борис Меерович Писаревский

Татьяна Сергеевна Соболева

ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ ПО ФУНКЦИОНАЛЬНОМУ АНАЛИЗУ

Редактор А. И, Ш т е р н

Техн, редактор С. Я. Ш к л я р

Корректоры Т. Г. Ег оро в а, И. Я. Кришталь

ИБ № 12499

Сдано в набор 19.09/83. Подписано к печати 05.07.84. Формат 84X1087.3. Бумага тип. № 3. Обыкновенная гарнитура. Высокая печать. Условн. печ. л. 13,44 Условн. кр-отт. 13,44. Уч.-изд. л. 14,84. Тираж 20 000 зкз. Заказ Хе 806. Цена 80 коп.

Главная редакция физико-математической литературы

117071, Москва, В-71, Ленинский проспект, 15

4-я типография издательства «Наука»

630077, Новосибирск, 77, Станиславского, 25

17020^0000—125053 (02)-84588417020^0000—125053 (02)-845884©Издательство «Наука», Главная редакция физико-математической литературы, 1984©Издательство «Наука», Главная редакция физико-математической литературы, 1984

17020^0000—125

053 (02)-845884

17020^0000—125

053 (02)-845884

©Издательство «Наука», Главная редакция физико-математической литературы, 1984

©Издательство «Наука», Главная редакция физико-математической литературы, 1984