Предисловие редактора перевода

Книга французского физика-теоретика, сотрудника теоретического отдела Центра ядерных исследований в Сакле является первой в мировой литературе монографией, специально посвященной методу точного решения обширного класса моделей квантовой механики и статистической физики, известному под названием подстановка Бете (анзац Бете). Предложенный еще в 1931 г. в работе Г. Бете по теории металлов (цепочка спинов 1/2 с изотропным взаимодействием ближайших соседей) метод получил дальнейшее развитие в 30-е годы в работах Л. Хюль- тена и в особенности в 60-е—70-е годы в работах Ч. Н. Янга, Э. Либа, Б. Сазерленда, Р. Бакстера, М. Годена и других исследователей. В настоящее время метод подстановки Бете является одним из источников, питающих современную теорию квантовььх точно решаемых моделей (квантовый метод обратной задачи).

Важный вклад в развитие рассматриваемой области внес автор книги. Ему принадлежат такие фундаментальные результаты, как исследование одномерного ферми-газа с несколькими сортами частиц, доказательство полноты и формула для нормировки системы бетевских волновых функций.

В книге М. Годена собраны и систематизированы практически все основные достижения в теории квантовых точно решаемых моделей, как классические результаты, так и новые результаты автора. Приятно отметить, что в книге нашли отражение первые работы советских исследователей по квантовому методу обратной задачи.

М. Годен долгое время работал независимо от других исследователей. Выработанный им оригинальный взгляд на круг проблем, связанных с точно решаемыми задачами, несомненно представит интерес для советского читателя, хотя самобытный, местами лапидарный стиль изложения и непривычные обозначения создают определенные трудности при чтении.

Монография М. Годена представляет собой важный вклад в современную теорию квантовых точно решаемых моделей, а собранный в ней богатый фактический материал способен послужить источником новых идей для специалистов, работающих в этой области.

Л, Д. Фаддеев

О научной серии СЕА

С момента создания СЕА 】)его сотрудники постоянно публикуют работы высокого научного уровня, которые издаются как во Франции, так и за рубежом.

Некоторые из них написали книги, содержащие обзор состояния той или иной области науки. Эти книги в основном завоевали большой успех и всемирную известность. Чтобы стимулировать такую деятельность и содействовать повышению роли французского языка в распространении научных текстов, Комиссариат по атомной энергии принял решение создать в рамках недавно начатой публикации трудов СЕА новую научную серию, руководить изданием которой поручено мне.

Тома этой серии, содержащие работы специалистов, предназначенные для ученых и инженеров, по своему содержанию будут весьма разнообразны: от изложения одного специального метода статистической механики (как, например, настоящая книга) до обобщающих работ, посвященных одной широкой области, такой, как управляемый термоядерный синтез или современные математические методы и их приложения в науке и технике.

Эта научная серия будет питаться результатами работ, начатых и успешно проводимых в СЕА. Ее выпуск встретил поддержку и поощрение со стороны Генерального директора М. Пе- кера и Верховного комиссара Ж. Тейяка, которым я выражаю мою признательность.

Я хочу также поблагодарить Генерального инспектора СЕА П. Бонне и главу Службы документации в Сакле Р. Лярю за 偉казанное содействие.

尸.Дотрей Институт фундаментальных исследований СЕА

1) СЕА (Commissariat a I'Energie Atomique)——Комиссариат по атомной энергии — государственный орган, координирующий во Франции научные исследования в области ядерной физики и атомной энергетики.——Прим, перев.

Предисловие к книге М. Годена

Книга Мишеля Годена — первая в научной серии Комиссариата по атомной энергии. Автор поставил перед собой цель изложить один из методов математической физики, применяемый в статистической механике.

Мишель Годен, дипломированный инженер Политехнического института и Института по строительству дорог и мостов, был принят в СЕА как выпускник Института прикладных наук. После краткого периода занятий экспериментальной физикой он продолжает свою карьеру в Отделе теоретической физики Института фундаментальных исследований СЕА, одном из важнейших центров теоретической физики во Франции. В этот отдел его пригласил Клод Блох, организовавший отдел теоретической физики и успешно руководивший им вплоть до своей внезапной кончины в 1971 г.

Роже Бальян, который возглавил Отдел теоретической физики, сумев сохранить высочайший научный уровень этой группы, и директор Института фундаментальных исследований СЕА Жюль Горовиц также проявили личную заинтересованность работами М. Годена.

Р. Дотрей Институт фундаментальных исследований СЕА

Tu ergo, Domine, fecisti ea, qui pulcher es: pulchra sunt enim： qui bonus es: bona sunt enim; qui es: sunt enim. Nec ita pulchra sunt nec it a bona sunt nec ita sunt, si- cut T〃 conditor eorum, quo conparato nec puldhra sunt nec bona sunt nec sunt. Scimus haec, gratias Tibi, et sclentia nostra scientiae Tuae conparata Ignorantia est.

Saint Augustin

Введение

За время, отделяющее решение модели Изинга Онсагером в 1944 г. от решения модели жестких шестиугольников Бакстером в 1980 г., статистическая механика двумерных систем обогатилась значительным числом точных результатов. Принято называть модель точно решаемой, когда для некоторой физической величины, такой как свободная энергия, параметр порядка или корреляционная функция, получено удобное математическое выражение или, по крайней мере, когда удалось свести их вычисление к задаче классического анализа. Такие решения, которые поначалу кажутся иногда каким-то курьезом, часто бывают интересны тем, что иллюстрируют общие принципы и теоремы, строго выведенные в рамках определенных теорий, а также позволяют контролировать приближенные методы, применимые к более реалистическим и сложным моделям. В теории фазовых переходов модель Изинга, результаты Онсагера и Янга успешно сыграли такую роль. Методы Либа и Бакстера для разнообразных вершинных моделей развили этот успех и расширили набор известных критических показателей, дав материал для сравнения с методами экстраполяции, и заставив уточнить концепцию универсальности. Тесно связанные с классическими двумерными моделями, хотя и не представляющие интереса для теории критических явлений, квантовые одномерные модели, такие, как магнитная цепочка, и знаменитое решение Бете, несомненно внесли вклад в понимание структуры возбуждений в системах с большим числом степеней свободы. Можно было бы также обратиться к физике одномерных проводников. Все эти вопросы теоретической физики, которые, несомненно, оправдывают исследования точно решаемых моделей, не являются предметом настоящей книги, поскольку их изложение потребовало бы обширных и в то же время глубоких познаний в теоретической физике. Речь будет идти в основном о методах, присущих некоторому семейству моделей, т. е. скорее о технике решения.

Несмотря на очевидное разнообразие определений и методов, модели, решенные к настоящему времени, тесно связаны друг с другом. Их часто можно рассматривать как частные или пре-

дельные случаи некоторой общей модели. Так, например, модель льда, различные сегнетоэлектрики, решеточный газ или модель Изинга — все они содержатся в восьмивершинной модели на квадратной решетке, введенной Фаном и By. За исключением систем димеров на плоских решетках, решение которых дается методом пфаффиана, точно решаемые двумерные модели статистической физики сводятся к квантовым одномерным задачам с помощью стандартного приема, использующего трансфер-матрицу. В самом деле, статистические конфигурации этих двумерных моделей со взаимодействием ближайших соседей имеют топологическое сходство с пространственно-временными траекториями динамической системы в одном пространственном измерении. Идет ли речь об определении свободной энергии классической системы или возбуждений системы квантовой, мы приходим к вычислению наибольшего собственного значения, или следующего за ним, или полного спектра, т. е. к задаче диагонализации матрицы, будь это гамильтониан или трансфер-матрица. Прототипом такого гамильтониана служит гамильтониан цепочки атомов спина 1/2 с обменным взаимодействием соседей, волновые функции и спектр которого определил Бете в 1931 г. Эти волновые функции обладают совершенно своеобразной структурой и представляются в виде сумм по конечной группе перестановок или отражений. Их можно назвать суммами бете; говорят также об анзаце】) или гипотезе Бете. Эти амплитуды описывают рассеяние без дифракции, т. е. вполне упругое столкновение квантовых частиц или спиновых волн. Это сопровождается сохранением стольких псевдоимпульсов, сколько имеется частиц; существование таких констант движения влечет за собой полную интегрируемость гамильтоновой системы.

Метод Бете составляет ту основу, которая объединяет все главы этой книги. В первой главе изложена техника, использованная в знаменитой статье Бете 1931 г., на примере получения волновых функций и спектра энергии гамильтониана Гейзенберга ——Изинга для анизотропной магнитной цепочки. Результаты Бете и Гриффитса об асимптотической локализации корней системы уравнений для спектра позволяют получить классификацию состояний и в гл. 2 изучить термодинамику цепочки при любой температуре. Я использую принцип, примененный Янгом в термодинамике одномерных бозонов, который дает выражение, вероятно правильное, для энтропии и заслуживал бы строгого доказательства. Исследование предельных случаев высокой и низкой температуры, модели Изинга (гл. 3), подтверждает правильность полученных результатов. Главы 4 и 5

От немецкого Ansatz (подстановка) — Прим, перев,

посвящены газу бозонов с точечным взаимодействием, который можно рассматривать как непрерывный предел цепочки Гейзенберга —Изинга. Здесь также описано обобщение техники Бете, состоящее в рассмотрении задачи ^ тел как задачи рассеяния многомерной волны калейдоскопом или набором бесконечно тонких пересекающихся пластин, инвариантным относительно соответствующей группы отражений. Эта техника применяется к решению задачи о бозонах на конечном отрезке и об открытой магнитной цепочке. Затем мы переходим к гипотезе о норме волновых функций Бете, что может служить введением в нерешенную проблему корреляционных функций). Глава 6 представляет собой экскурс в теорию квантованных полей размерности (1 + 1) с целью исследовать связь интегрируемых моделей Люттингера и Тирринга с подходящим непрерывным пределом анизотропной магнитной цепочки.

Рассмотрение вершинных моделей на квадратной решетке начинается в гл. 7 с метода Либа для диагонализации трансфер-матрицы общей шестивершинной модели, удовлетворяющей условию нейтральности. Исследование термодинамики различных моделей сегнетоэлектриков дано схематически, и по этому вопросу следует обратиться к развернутому обзору Либа и By. Решение восьмивершинной модели (самосопряженной) описано в гл. 8 и 9, где в основном используется метод Бакстера. Там же интегрируемость трансфер-матрицы или соответствующего гамильтониана с тремя константами анизотропии связывается с существованием тернарных соотношений между матрицами вершинных весов. Эти тернарные соотношения, называемые также соотношениями звезда ——треугольник, представляют собой замечательные представления группы перестановок и приводят к существованию коммутирующих однопараметрических семейств операторов,-что, в свою очередь, влечет за собой интегрируемость.

Общая теория частиц с ^ внутренними степенями свободы и точечным взаимодействием занимает три главы. Гипотеза Бете для волновой функции в координатном представлении доказана в гл. 10. Метод Янга позволяет тесно связать условия симметрии и периодичности. Аналогия с методом обратной задачи рассеяния становится теперь совершенно отчетливой; при этом алгебра Замолодчикова для S-матрицы близка к алгебре операторов Янга. В гл. 11 описаны три подхода к решению проблемы фермионов с двумя внутренними состояниями. Первый подход сводит задачу к неоднородной шестивершинной модели. Второй основан на алгебраическом методе, использованном в диссер-

тации автора; наконец, третий — это метод Фаддеева, позволяющий придать сумме Бете операторную форму, несомненно, самую компактную и самую перспективную для последующего развития. В гл. 12 изложено общее решение Сазерленда для произвольного типа симметрии, а также различные следствия, касающиеся, в частности, одного замечательного базиса для представлений группы перестановок. Следующая глава содержит смешанные результаты по некоторым вполне интегрируемым спиновым системам. Здесь также приводится недавнее решение тернарных соотношений, которое позволило Бакстеру решить модель жестких шестиугольников. Последняя глава посвящена цепочке Тоды ——системе, интегрируемой как в классическом, так и в квантовом случаях, хотя и не обладающей волновой функцией Бете в простой форме.

При столь быстром и всестороннем развитии в этой области настоящее собрание 14 глав не может претендовать на роль синтеза или обзора результатов по моделям, связанным тем или иным образом с методом Бете. Последний, впрочем, обнаруживает в настоящее время тенденцию к погружению в общую теорию вполне интегрируемых систем, как прием, вытекающий из метода обратной задачи рассеяния. Моя точка зрения носит здесь скорее конкретный, нежели общий характер и совпадает с подходом, принятым в моей первой публикации 1972 г. по методу Бете для точно решаемых моделей, расширением которого с учетом достижений сегодняшнего дня является эта книга. Рассмотрение ограничивается конечными или протяженными системами статистической механики, оставляя в стороне прекрасные владения теории поля; исключение составляют лишь некоторые элементарные соображения гл. 6. Я просто привел в порядок вопросы, которые меня интересовали, имея в виду тех читателей, которых привлечет изящество конструкций и всеобъемлющий характер метода Бете как такового. Использованы самые простые математические средства, и в отношении строгости читатель имеет полное право требовать большего; в этом случае следует обратиться к оригинальным публикациям и многочисленным новейшим работам по данному вопросу.

Благоприятная атмосфера отдела теоретической физики Центра ядерных исследований в Сакле позволила мне успешно завершить этот труд, который я публикую благодаря доброже* лательной поддержке моих коллег К・ Ициксона, Ж. Рипки, М. Л. Мехта и Р. Бальяна. Мой интерес к методу Бете пробудился под влиянием *. де Клуазо, которому я обязан неописуемо многим, и укрепился благодаря Ч. Н. Янгу, чей талант не пренебрегал также упражнениями в одномерной области. Я благодарен всем, у кого научился чему-либо, в частности, Э. Брезену, Б. Маккою, Дж. Б. Макгайру, Б. Дерриде, М. Та-

кахаси, Д. Чудновскому и Г. Чудновскому; я благодарен также д-ру Ч. К. Лаю, с которым я имел удовольствие работать в университете в Стони-Бруке штата Нью-Йорк, и Ж. М. Майяру, который любезно прочитал несколько глав.

Эта монография обязана своим появлением Комиссариату по атомной энергии, помощи1 издательства и, в первую очередь, М. Р. Дотрею, предоставившему ей наилучший прием в научной серии, изданием которой он руководит.

Глава 1

Цепочка атомов спина 1/2

МОДЕЛЬ ОДНОМЕРНОГО МЕТАЛЛА

В своей знаменитой работе по геории металлов, опубликованной в 1931 г., Бете изучает одну из самых простых моделей для ^ взаимодействующих атомов: цепочку двухуровневых атомов со взаимодействием ближайших соседей, образующую одномерный кристалл. Если взаимодействие двух соседних атомов изобразить в виде линии, такая цепочка реализует, очевидно, простейшую связную конфигурацию. Чтобы избежать граничных эффектов, обычно рассматривают замкнутую цепочку, или коль цо из атомов. Задача об открытой цепочке будет рассмотрена в гл. 5.

Уровни энергии каждого атома есть не что иное, как два спиновых состояния одного валентного электрона спина 1/2. В отсутствие взаимодействия между атомами, т. е. при достаточно большом шаге решетки, все 2" уровней полностью вырождены по энергии. Бете ставит перед собой задачу определить собственные состояния энергии для цепочки атомов в рамках теории Слэтера, в первом порядке по взаимодействию электронов. В первом приближении кулоновские силы, а при известных условиях и магнитные силы, зависящие от спина, приводят:

к расщеплению средних значений энергии для каждой пары соседних атомов в состояниях с параллельными ff и ан- типараллельными |f спинами,

к обмену спиновых состояний для пар электронов, локализованных на соседних атомах.

Таким образом можно на интуитивном уровне определить ненулевые элементы матрицы энергии. Более строго, если пре- небречь сначала спиновыми магнитными моментами, теория возмущений для вырожденных систем приводит к гамильтониану (Гейзенберг, 1926; Дирак, 1979)

" = -/Х 乙，…，(LI)

п =1

где Pi2, Р23 …一операторы перестановки орбитальных состояний, a j обозначает обменный интеграл Слэтера. С учетом прин-

ципа Паули в базисе полностью антисимметричных состояний гамильтониан Н эквивалентен так называемому изотропному спиновому гамильтониану

поскольку в этом базисе имеет место представление

Pi2 = g(l + 01 •02).

Вектор спина n-го атома цепочки есть $〃 =扌 <r〃, где о%，弘之 обозначают матрицы Паули спина 1/2. Для замкнутой цепочки мы отождествляем узлы N -\- п и п: S^+i 三 Si.

При учете усредненных магнитных сил между электронами вдоль некоторого направления анизотропии возникает так называемый гамильтониан Гейзенберга ——Изинга, зависящий от параметра А; этот параметр анизотропии принимает значение 1 в изотропном случае, когда существенны только обменные силы:

N

“А = 2/ 2 S^^+1 + S夕SQ + A(S^+1 — ?・(1.3) n =1

К плотности гамильтониана в (1.3) добавлена константа с таким расчетом, чтобы основное ферромагнитное состояние 卜z = ^N〉имело нулевую энергию. Гамильтониан "厶 коммутирует с составляющей полного спина вдоль оси анизотропии S' = Z S* При А = 1 вследствие изотропии [", S] = 0.

Рассматривается также более общий гамильтониан, который включает три константы и определяет XyZ-модель (Боннер, 1968; Сазерленд, 1970; Бакстер, 1972):

"а」=2 耳 JXS^X + 质肥〉1 + КМ+1・(1.4)

Гамильтониан (1.4) зависит от двух параметров анизотропии А и Г, таких, что

4：儿：厶=(1 一г)：(1 + 门：a・(1.5)

Спектр "а, г мы определим в гл. 8, следуя методу Бакстера.

Обсуждение физических аспектов магнитной цепочки и полезные ссылки можно найти в статье (Боннер, Фишер, 1964) и в диссертации (Боннер, 1968); о классической (не квантовой) цепочке см. (Тахтаджян, 1977; Склянин, 1979; Фогедбю, 1980).

МЕТОД БЕТЕ

Уравнение для амплитуд

Метод, предложенный Бете для диагонализации гамильтониана Н (1.2), приложим в равной мере н к 〃△ (1.3) (Орбах, 1958). При этом существенно, что в отличие от полностью анизотропного гамильтониана (1.4) сохраняется составляющая полного спина S2. Собственное состояние |М〉гамильтониана "а, отвечающее спину S2 =-^——М, где М есть число перевернутых спинов по сравнению с ферромагнитным состоянием J S2 = -у^ = I 0), представляет собой суперпозицию базисных состояний

I 九1几2 • • •几Af〉= S/t]S；i2 ••• S〃m|0〉，(1.6)

характеризуемых набором целочисленных координат атомов, составляющая спина которых вдоль цепочки равна —1/2 (обозначается I). Таким образом,

I m〉= 2 a(几1m2 m)1 %1"2м〉・(1.7)

{«)

Сумма берется по См упорядоченным наборам {〃} по М целых чисел из промежутка 】)

1&〃]<А22 V •…< ^m&N.(1.8)

Пример типичной спиновой конфигурации представлен на рис. 1.1. Конфигурация может быть также охарактеризована

Рис. 1.1. Базисное состояние | п\п2... ng) для 2= 17, М = 9. Насчитывается 8 переходов, возбужденных недиагональной частью "厶，что в точности равно числу антипараллельных пар: 3-> 2, 56, 7->6, 8-> 9, 10->9 и 11, 15fl4, 17f 18 曰 1.

координатами антипараллельных связей двух сортов:—О——^H и —•—三Jt・

Используемое автором здесь ч далее обозначение для биномиального коэффициента 圖三 М/М (N — M)l отличается порядком индексов от принятого в отечественной литературе.——Прим, перез.

Недиагональные элементы "△

〈{〃} I £ SfSRi + SZS3 I {*)(1.9)

ответственны за переходы

I • Пм) I П\П>(1.10)

где {〃'}—это те конфигурации, которые могут быть получены из {〃} перестановкой единственной пары антипараллельных соседних спинов

〃] = %,几2 = ^2» • • • » 生1 = 〃а ± 1，〃М =几М (1.11) при условии, что такой набор {〃'} будет допустимой конфигурацией, удовлетворяющей (1.8). Чтобы равенства (1.11) могли выполняться на всем интервале изменения координат ма, мы продолжим этот интервал за пределы N, отождествляя узлы п и ^ + лг. Условие периодичности для амплитуд записывается, таким образом, в следующем виде:

a(〃i〃2 …〃м)三 а(〃2〃з … 几м,拉I + 乂)・(1.12)

Заметим, что амплитуды определены пока только для растущих последовательностей {〃}, таких, что пм —忆i V М Диагональные элементы 方△ имеют вид

2A〈{明 2 (S*S*+l }) I {〃}〉=

=Д X число антипараллельных пар Ц или Ц =

=A X число разрешенных переходов | {〃}〉-> I {〃'}〉• (1.13)

Отсюда получаем уравнение для амплитуд а{п} и уровней энергии 2/£ гамильтониана "а：

各} (а {〃} - Аа {〃}) = 2Еа {砾(1.14)

где сумма берется по всем разрешенным переходам, определяемым условием (1.11).

Разделение переменных в задаче на собственные значения

Рассмотрим сначала простейший случай одного перевернутого спина М = 1, который приводит к уравнению в конечных разностях

а (и + 1) + а (〃 一 1) — 2Аа (п) = 2£а (п)(1.15)

с решением

а(〃) = е叫 £ = cos /г — Д,(1.16)

где волновое число 力 квантуется вследствие условия периодичности (1.12)

尹n = 1 0力乂 = 2冗九，九=0, 1, 2, •••, "- 1.(1.17)

Переходя к случаю Л1 = 2, Бете получает решение, параметризуемое двумя импульсами k\ и 历：

,.电2+i招ml +优2几2 . g Wl2+话2九1 +话lm2/ 1 1 Q\

〃(〃园2)=e 2+«2.Y」°丿

Рассеяние двух спиновых волн описываемое решением (1.18), обладает тем замечательным свойством, что волновая функция 。(几1%2)совпадает со своим асимптотическим выражением, которое в одномерном случае содержит только два упругих члена ——прямой и обменный. Нетривиальным фактом является то, что этот результат обобщается на случай М> 2. Соответствующая волновая функция представляет собой суперпозицию с подходящими фазовыми сдвигами М спиновых волн с разными импульсами {&}三{々次2 力m}.

С формальной точки зрения причиной успеха является разделение переменных в системе (1.14), которое осуществляется следующим образом:

Определение амплитуд а{п} распространяется на наборы {〃}, содержащие совпадающие значения na:

〃[忘 /I? W 〃3 & • • • W 拉 м •(1.19)

Допустим, что уравнения (1.14) выполняются также, если сумма не ограничена только разрешенными конфигурациями (〃а не совпадают), а распространена на все переходы (1.11). Мы получим тогда следующее конечно-разностное уравнение 2-го порядка с постоянными коэффициентами

м

2 (a (几1 …ма + 1 …пm) + а (及 1a - 1 …〃М)-

1

—2Аа (〃]...拠…пм)) = 2Еа (п{п2 • • • пм). (1.20)

Поскольку равенства (1.14) и (1.20) выполняются по предположению одновременно, члены левой части (1.20), которые отсутствуют в (1.14), дают нулевой суммарный вклад. Эти члены происходят из двух возможных источников:

% = 〃a+l = "а + 1'冲="一1=〃6- 1

для некоторых значений индексов аир. Соберем все члены, относящиеся к двум соседним спинам ( в узлах 〃а и 〃a+i =

= 〃а+ 1・ Первый запрещенный в (1.14) член, соответствующий ^a==na+ 1, поскольку 〃： совпадает с па+1 = ^+1, есть

а (• • • /2а + 1, /2а + 1, • • •) А" (• • •几а，"а + 1，• • •).

Второй член в (1.14), соответствующий Пд+1 = па+1 — 1 = па, естьа (. . • Ма, /2а, • • •)Аа ( • • •几а, 〃а + 1, •..).

Сложив оба запрещенных члена, соответствующих паре соседей (ма, 〃а+ 1), мы получим условия эквивалентности уравнений (1.14) и (1.20),

а ( . • • 〃а + 1, "а + 1, • • •) + а (・・• ％а，几а，• • •)

—2Аа(•••九а，％+】，(1.21) которые должны выполняться для всех значений координат, удовлетворяющих условиям (1.19).

Волновая функция Бете

Конечно-разностное уравнение (1.20) допускает разделение переменных в любых координатах и имеет решения вида ехр(/^1П1 + 决2〃2 + . •. + 3〃м), параметризуемые набором импульсов {右}. Соответствующая энергия есть

£=2 (cos屬一А)・(1.22)

а = 1

Бете попытался удовлетворить дополнительным уравнениям (1.21), представив амплитуду как сумму из М! волн одинаковой энергии, получаемых перестановкой импульсов {左}. Сумма Бете (или анзац Бете) имеет следующий вид:

а{пх ... пм) = £ Л (尸)exp

Коэффициенты А (Р) определяются уравнением (1.21), которое переписывается в виде

X А (Р) {/(Ма+2 (а+1)) — 2Ае“”Р(а+1)十 1} X

X eikPln\+ …+i (kPa+kP (a+1)) 〃a+ ••• __ q (] 24) и которое должно выполняться для любых {〃} и а, таких, что Ma+i = na + 1. В сумме по перестановкам можно затем собрать члены А (Р) ... Л (尸Pa, a+i) ■.., которые имеют одинаковую зависимость от {〃}, и просуммировать по классу смежности 兀м，P/Pa，a+i，гДе Pa,a+i三(a，a + 0 обозначает транспозицию

двух соседних узлов а и а + 1. Для упрощения записи возьмем (а, а + 1) = (34). Достаточно выписать соотношения для 4(Р): А (Р) (J "Рз+Ер" - 2Ае话Р4 + 1) +

+ a 仍r4)(储(和4+和3)一 2\eikp3+ 1) = 0.(1.25)

Определим антисимметричные фазы рав = —*фра соотношениями

J (小尼В)—2aз+1

(1.26)

С использованием (1.26) условие (1.25) переписывается в виде

Л(РРа,а+1) = Д(Р) е-2Ра,Р(а+1) для любых Р и а.

(1.27)

Единственным с точностью до тривиального множителя решением уравнения (1.27) является

4(Р) = ехр (专 2 2ра,рв｝

Отметим, что соотношение между фазами и можно записать в виде

(1.28)

импульсами

ctg-^=A

sin (統 一 Z?b)/2

cos (々а + 左в)/2 — A cos 伐а —电)/2 *

(1.29)

1.2.4. Условия периодичности

Если бы мы имели дело с бесконечным одномерным кристаллом, импульсы ｛左｝ можно было бы выбирать произвольно (вещественными, mod 2л). Фазы при этом определялись бы из (1.29), и мы таким образом получили бы непрерывный спектр собственных состояний бесконечной цепочки. Однако, для перехода к термодинамическому пределу, а также для классификации собственных векторов необходимо рассмотреть конечную систему. Отсюда возникает идея периодической цепочки. Оказывается, что условия периодичности (1.12) совместны со структурой (1.23) суммы Бете. Эти условия имеют вид

А(Р) = А (PC) J冲屮,

(1.30)

где С обозначает циклическую перестановку Са = а + 1, или, иначе, С = (1, 2, ..., М). Используя (1.28), получаем

4 (PC) =expf у V 2P(a+i), p(b+i)+ У фр(а+1), рЛ =

\1«а<В<М1<а<М丿

= ехр 传 2 “Ра，Рв +，2 2ра，р).

\1 < а<Р<2И1<а<Л1丿

Уравнение (1.30) переписывается при этом как

俯p/+i \ Wpa, pi

UICaVM= 1, YP.

Отсюда следует, что должна существовать последовательность целых чисел 3, таких, что

Nka = 2лЛа + ^ г])ар, а=1, 2,…，М, (1.32)

ГДе *фаа — 0.

В результате мы получили систему уравнений 】)для определения допустимых наборов ｛右｝ и, следовательно, уровней энергии и амплитуд. Точнее, речь идет о системе алгебраических уравнений высокой степени по переменным е炳.Сложность системы (1.32) затрудняет решение проблем существования и классификации ее решений, которые будут подробно рассмотрены в разд. 1.5 (ср. Янг Ч. Н., Янг Ч. П., 1966).

ПАРАМЕТРЫ И КВАНТОВЫЕ ЧИСЛА

Параметризация Орбаха

Прежде чем определить наборы чисел ｛九｝ и классифицировать решения системы (1.32), необходимо выбрать ветви многозначных функций ^ и г|). Потребуем, чтобы

0 < Re йа < 2л, — Ji《Re2aB《儿(1.33)

Кроме того, полезно выбрать следующую параметризацию соотношения (1.29) между импульсами и фазами:

2 —"左 ak.'

откуда вытекает необходимость различать несколько областей изменения параметра | А | ^ 1.

А > 1. Положим

А = ch①，0< Ф< оо.(1.35)

В дальнейшем для ссылок на уравнения (1.32) и аналогичные им вместо авторского 《les equations couplSes》 будет использоваться общепринятый термин «уравнения Бете».——Прим, перев.

Тогда, вводя параметры(ра, получим

(1.36)(1.37)(1.38)(1.36)(1.37)(1.38)"g号=С巾£^g券или办=毒^‘，

(1.36)

(1.37)

(1.38)

(1.36)

(1.37)

(1.38)

、ctg ^^ = cth Ф tg "а 2 "°， — л; < Re фа < Л.

—1 < А < 1. Положим

А = cos 0, 0 < 0 < л;.

При этом, используя параметры 0а, имеем

'ctg§- = ctg^th粤，

ctg -^|2- = ctg 0 th 久;幻

Заметим, что 々 н * пробегают вещественные значения, если —8 V Re0a < + оо, Im0a = O или п.

(1.39)(1.39)Промежуточный случай А = 1 достигается предельным переходом с любой стороны:

(1.39)

(1.39)

ctg 等=xa, ctg 軍= 4(Xa —小)•

Наконец, область А < —1 приводится к области Д > 1, в силу предложения, доказываемого в следующем пункте, ср. (1.42).

Предложение. Гамильтонианы "厶 и 〃_« эквивалентны.

В заключение этого пункта приведем вид уравнений (1.31) в терминах параметров 屮 или 0:

/ sin 丁 (фа + 力①)\_, sin 丁 ((ра —(р« + 2/Ф)

Т = П Т• a”。)

〈sin 万(Фа — i①)/ p sin — ((pa —邺一2/Ф)

Укажем также выражение для уровней энергии

£=-2 ch黑:。s6 или ~Х dT^^7 ""I) aa

соответственно. Формулы для случаев а) и Ь) связаны аналитическим продолжением ф = /0, Ф = /0.

Квантовые числа

Заметим прежде всего, что имеется следующая симметрия между значениями параметра А, которая позволяет ограничиться исследованием области А > 0:

UH"4 = — 〃_△,(1.42)

где унитарный оператор U, сохраняющий SV имеет вид 9

f/ = expfin £nS„l(1.43)

Спектры Яд и 〃—а, таким образом, связаны отражением в нуле.

Кроме составляющей спина 5г, другим сохраняющимся квантовым числом периодической цепочки является полный импульс К. Оператор трансляции на один шаг решетки Т = М коммутирует с ", в силу свойства

T-SnT = Sn+i.(1.44)

Таким образом, Т есть оператор циклической перестановки узлов вдоль решетки. Он допускает классическое представление

Т = tr Р0jP02 • ? • ^>o^ =*

С: а->а+ 1,(1.45)

где

PQn=i^ + ^^(1.46)

Из (1.23) следует, что

Т\М) = е1^I М).(1.47)

или, иначе, м

К=Х 焼=2冗 £%.(1.48)

а = 1а

Преобразование U коммутирует с К, если Л1 четно, но смещает К на л, если М нечетно.(N предполагается четным.)

Полный спин

Для значения Л = 1 существует еще одно сохраняющееся квантовое число — полный спин S, такой, что S2 = S(S + 1).

Предложение. Если для некоторого решения {论} системы (1.32) при А = 1 все числа ka отличны от нуля mod 2л, то соответствующее собственное состояние |М〉принадлежит полному спину S = S2=^——М.

Доказательство.

I 財〉==2 а (〃] .. • Мм) S〃] • •. S/ty I 0).(1.49)

{п}

Условие S+|M〉=0, характеризующее состояние S = S2, записывается в виде

"2- 1九3一1

2 a (nn2 • • • 〃м) + 2 а (п2мп3 ... пм) + ・•・

П=1П«П?+1

• • • + 》:а (“2^з • • •九м")==。・(1.50)

Подставив в левую часть (1.50) выражения для амплитуд (1.23), выполнив суммирование по п, предполагая 2^ = ^^ =^ 1, и сгруппировав подобные члены, получим

М-11М-11ZP(/ + 1)、1 — ZP U+1)/ZP(/ + 1)、1 — ZP U+1)/J (fep2n2+ ... +gM%M)+J (fep2n2+ ... +gM%M)+

М-11

М-11

ZP(/ + 1)、

1 — ZP U+1)/

ZP(/ + 1)、

1 — ZP U+1)/

J (fep2n2+ ... +gM%M)+

J (fep2n2+ ... +gM%M)+

十少⑻（吕十少⑻（吕J (^Р2〃2+ …+kPMnM)+J (^Р2〃2+ …+kPMnM)+

十少⑻（吕

十少⑻（吕

J (^Р2〃2+ …+kPMnM)+

J (^Р2〃2+ …+kPMnM)+

_|L/(々Pl九2+…(М—1)%М+^РМ(N + 1)) = °(] 5[)

После сдвига Р-> PC в последней сумме оба члена в последней скобке в (1.51) сокращаются вследствие условия периодичности (1.30). Что касается первой суммы, с каждым значением / можно связать перестановки Р и Р(/, /4-1), что дает типичную сумму вида

"（Р）（备-告）+ "（Р（34» （备-Ю = °。

Эта сумма равна нулю, в силу (1.40), для Л = 1. ■

Состояния S ——Sn#=0 получаются, очевидно, из состояний S = Sz повторным применением оператора S~ = £ Sf. Их можно также задать непосредственно системой уравнений порядка М = yV/2 — Sz при условии? что некоторые из 右 могут

обращаться в нуль. Если имеется m нулевых импульсов 々,чего можно добиться, приравнивая нулю m соответствующих целых чисел X, состояние |Л4> имеет полный спин Sz + ^г； действительно, тогда из (1.39) следует, что, если 々а=0, то г|)ае = 0.

Хотя это квантовое число определено только для Д = 1, мы условимся называть состояниями полного спина S собственные состояния "а, получаемые непрерывным продолжением по Д из состояний спина S изотропного гамильтониана. Этот принцип непрерывного продолжения будет использован в дальнейшем. Он находит свое оправдание в том факте, что энергия и амплитуды являются алгебраическими функциями Д при конечных N. Таким образом, чтобы установить непрерывное соответствие, достаточно лишь избегать точек ветвления.

1・3・4・ Квантовые числа вещественных состояний

В случае изотропного взаимодействия Бете показал, что вещественные решения уравнений для ｛山｝ не исчерпывают множества состояний с фиксированным М, число которых есть См Перед тем как изложить его результаты для комплексных корней, мы кратко опишем вещественные решения, используя принцип непрерывного продолжения по А и отправляясь от тех значений этого параметра, для которых система допускает наиболее простое описание, т. е. Д = 0 и оо.

При Д = 0 мы приходим к частному случаю ХУ-модели

N

На=。, F = 2 2 (1 — I1)S^+1 + (l+r)S纪詳］= n= 1

(1.52)(1.52)(Либ,(Либ,(1.53)(1.53)-X s+s;+l + s3sz + г (s 出 3 + s;s;+1),

(1.52)

(1.52)

(Либ,

(Либ,

(1.53)

(1.53)

которая эквивалентна системе свободных фермионов Шульц, Маттис, 1961).

Преобразование Йордана — Вигнера

—CL

S^ = ane …扣、

Sn = *2*"〃/!,

где ап, а+ — фермионные операторы (［ап,。^］十=6几勿),дает нам при нечетных М

"a==0 = 2 時+1"" + 若"计1,

(1.54)

m = ^ 喈%.

(При четных М ситуация чуть сложнее, так как из-за влияния границы знак при члене п = ^ в сумме (1.54) меняется на противоположный.) Из (1.54) получается формула для спектра

£а.о=2 cos 瓦，(1.55)

а е

где

焼=争(人+导).(1.56)

a {/}—набор попарно несовпадающих (mod У) целых чисел. Для четных М числа /а будут полуцелыми.

Исследуя поведение амплитуд (1.23) при А=+0, нетрудно заметить, что, в силу (1.26) и (1.27),

А(Р)= антисимметрический характер Р,

и отсюда получить выражение для амплитуды в виде детерминанта

aе九М) = 1尹"，产"2,ё次吗.(1.57)

Условие периодичности переписывается в виде

/y = 一(一1严，(1.58)

откуда получается правило (1.56) для квантовых чисел {/}.

Тем не менее в уравнения (1.32) после перехода к пределу Д->0 по-прежнему входят как J, так и %, хотя влияние последних невелико. Действительно, из (1.29) мы получаем

-Фар =戒(sin 瓦—sin 论B), e(x) = x/| x |,

откуда видно, что sin ka имеют порядок fea только в интервале л/2 < ka< Зл/2, Va, а также ——л/2 < fea < л/2, т. е. если все k лежат в одной полузоне энергии, положительной cos Aa > 0 или отрицательной. В частности, антиферромагнитное основное состояние (/ > 0) получается максимальным заполнением полу- зоны cos 左a < 0. Если, например, N/2 нечетно, имеются только два возможных случая：

昨卜中一中与1}(1.59)

И{一屮一中罕}.(1.60)

Уравнения (1.32) в пределе A =0 дают нам соотношение между /а И 入а：

冬十人^九а — а+ М#・, а=1, ・・・，М (1.61)

т. е. первый набор

{М = {1, 3, 5, ..., 2М—1},(1.62)

который соответствует полному спину S = 0, и второй

仏} = {0, 2, 4, ..., 2М —2},(1.63)

который соответствует спину S = 1. Это единственные два состояния в случае J > 0, для которых соотношение между 九 и предельными импульсами имеет простой вид. Можно показать (Янг Ч. Н., Янг Ч. П., 1966а), что описанное выше состояние S = 0 непрерывно продолжается до основного состояния во всей области А > — 1.

В случае 丿 V 0 самый низкий уровень энергии со спином S2 = 0 соответствует заполнению cos ka > 0, т. е. последовательности

(л/ . a f м-1 м-з

j (2~，2~—2 — I

или

入a = 0, a=l, 2, M・(1.64)

Таким образом, полный спин этого состояния равен S = N/2.

Предел модели Изинга

Рассмотрим теперь другой простой предельный случай А = 8, когда гамильтониан эквивалентен гамильтониану Изинга:

Нising = !孔"^ = 2 £ (SK^+2 — }) •( 1 ・65)

Предельные собственные значения //厶/A суть целые отрицательные числа —Q, О W Q W М. Размерность подпространства (Q, М) легко вычислить, используя наглядное представление антипараллельных пар рис. 1.1. В результате

g(M (2)=与國國二广• (1.66)

Представляет интерес задача диагонализации возмущения

Е S„S„+i + эрм. conp.'j в подпространстве (MQ)・ Асимптотическое поведение амплитуд и энергий при больших Д мы изучим в разд. 1.4.

Ограничиваясь рассмотрением вещественных состояний, положим Ka = lim 々а и получим из (1.29)

уm巾呻=儿一勺_ne （Ka 一勺）,уm巾呻=儿一勺_ne （Ka 一勺）,(1.67)(1.67)

уm巾呻=儿一勺_ne （Ka 一勺）,

уm巾呻=儿一勺_ne （Ka 一勺）,

(1.67)

(1.67)

а также выражение для предельных амплитуд

ч I iKp(xG(x_a+・**) I/

hm a^ n^) = \e '2(1.68)

Система (1.32) в пределе A = оо переходит в

Ka = N } М (」а - 2 %)，(1.69)

причем

^2 + 4 = Ла~а + (М+1)/2.

Таким образом, амплитуда (1.68) не равна нулю, только если все Ка различны (mod 2л), а следовательно, различны и /а- В случае Sz = 0 интервал 2л для К заполняется М последовательными целыми числами, и, как легко видеть, разрешенные последовательности исчерпываются случаями (1.59) и (1.60), описанными выше. Для Sz = 0 оба вещественных состояния в пределе А = оо определяются той же последовательностью квантовых чисел, что и простые основные состояния для полного спина S = 0 и S = 1 при Л = +0.

В разд. 1.5 будет приведено доказательство существования соответствующих решений уравнений Бете (1.32) в области Д》1 (Гриффитс, 1964).

Для произвольных значений S2 рассматриваемый класс вещественных решений определяется возрастающими последовательностями J или возрастающими последовательностями %, такими, что 入a+i ——入а ^ 2. Число таких вещественных решений есть в точности размерность подпространства Q = М, т. е.

g(M “)=寺國二”，(1.70)

что составляет 2 для М = N/2.

L4. АСИМПТОТИЧЕСКАЯ ЛОКАЛИЗАЦИЯКОМПЛЕКСНЫХ ИМПУЛЬСОВ

Предельные уравнения

Система уравнений (1.31) имеет комплексные решения уже при М = 2, когда спиновые волны могут образовать связанное состояние, в том смысле, что амплитуда а (пь п2) экспоненциально убывает по |п2 — Mi |, пока эта разность не становится порядка ^. В этом разделе эвристический метод, использованный Бете для изучения асимптотической (TV》1) локализации комплексных корней распространяется на все значения Д ^ 1.

На первом этапе мы найдем точные значения мнимых частей неизвестных фа (1.36) из вспомогательной системы

2%） =。，（L71）2%） =。，（L71）Re (/V论a - 2л九a -

2%） =。，（L71）

2%） =。，（L71）

Im 伟九в) = 8,(1.72)

которая отличается от исходной системы (1.32) только подстановкой N = 8 в мнимой части. На втором этапе мы показываем, что точные решения системы (1.32) отличаются от решений системы (1.71) — (1.72) членами, экспоненциально малыми по N.

Предельные комплексы

В этом пункте мы опишем структуру комплексных решений и покажем, что она согласуется с предельным уравнением (1.72). Будем считать, что в комплексной плоскости переменной Ф корни (ра группируются в серии, симметричные относительно вещественной оси и называемые «комплексами» 9- Каждый комплекс характеризуется абсциссой <р и целым числом п, называемым порядком комплекса СЛ((р):

А > 1, Сп (ф) == {(pv = Ф + 汽①}, где

V =——(м—1), —(я — 3), •••, м — 3, я—1(1.73)

без всяких ограничений на п;

-ivAvi, cn(e)= {ev=e + zv©} с ограничением на п

(п- 1)0< л,(1.74)

которое будет выведено в п. 1.5.3.

Вместо маркировки импульсов 论а индексом а, как это делалось до сих пор» мы будем задавать их явно, например (ра ={(р, v}. Различные комплексы будут обозначаться Сп (ф), Сп^(Фх) и т. д. Определим теперь полный импульс комплекса и его энергию

X 々V,入=2%； Еп(Ф)— X (cos ^v — А)， (1・75)

В отечественной литературе более употребителен термин «струны» от англ, strings. — Прим, перез.

а также фазу рассеяния двух комплексов С и С7:

2(屮，<₽')= 2 必屮(L76)

н е с

V三С'

Определяя вещественные величины 々卩(屮)и г|)о((р — q/) соотношениями, аналогичными (1.36),

ctg-n- = cth-y-tg-y,

:,(1.77)

■фрф — ф

ctgT = cthp(Dtg—2—,— л < % < л,

мы получим, проведя несложное вычисление, полный импульс комплекса С〃(屮)

左=亂(ф)

и полную энергию

厂/、 一 sh①sh儿① /， l sh① j小dkn / [

Еп (ф) =———~ = (cos kn — ch 〃①)-г—=7 = sh ①• (1.78)

Наконец, приведем выражение для фазы рассеяния Сп(ф) и Ст (<Р‘)

•ф (ф, 6) = X [птр] % (ф — фЭ,(1.79)

где симметричный символ [пшр] определен следующим образом:

[nmp]=

'1, если р = \ш — п \ или /п + 〃,

=* 2, если р = \ tn — п \ -\- 2t \ tn — %| + 4. •••, zti + m — 2, (1.80)

、0 в остальных случаях.

Исключением является [ппО] = 0. ДляИсключением является [ппО] = 0. Длявведенноговведенногосимволасимвола

Исключением является [ппО] = 0. Для

Исключением является [ппО] = 0. Для

введенного

введенного

символа

символа

справедливы правила сумм

'2n, n < т,

(1.81)(1.81)2 [mnp] = М (п, пг) = \ 2/п, m < п, 2п — 1, пг = п»

(1.81)

(1.81)

X Р [mnp] = 2mn.

Складывая почленно уравнения (1.32), относящиеся к одному и тому же комплексу, мы получим столько же уравнений» сколько имеется комплексов для определения абсциссы 屮 ка-

ждого комплекса произвольного порядка:

乂做@) = 2冗九+，Z Z [nmp] ^p (ф - q)z).(1.82)

Предположим, что для некоторых целых 入，X/,九〃，• • • и м п! система (1.82) допускает вещественное решение. То- гда имеет решение и вспомогятсльнзя система (1.71). Действительно, импульсы fea вычисляются с помощью (1.73) и (1.36). Фазы г|)ав даются формулой

(ф-ф')-(|Х-Р+2) ф — 1

/% (w-Q)= ? ?(ф_ф，)_(三二分)①_]，(1 •83)

кроме двух исключительных ф^з 巾从，卩土 2(屮，ф), относящихся к одному и тому же комплексу> которые не определяются из (1.83).

Пока?кем, что их вещественная часть определяется из соотношений (1.71). Складывая почленно уравнения, относящиеся к Ст(屮)от V = — (m — I) до v = ц, получаем

^ £ Re kv = 2л £ ^v + Re ^н. и+2(Ф- ф) +

-(/n-1)T/nT)

+ известные фазы. (1.84)

Таким образом, вещественная часть каждой из исключительных фаз ^, Ц+2(Ф, Ф)определяется из исходных уравнений, а совместность уравнений (1.84) при ц = m— 1 обеспечивается соотношениями (1.82). Что касается мнимой части 屮山心方 она бесконечна, в силу (1.83), что и выражает равенство (1.72).

Асимптотическое решение (2V》1)

Здесь мы вкратце наметим возможный способ обоснования вышеописанной структуры комплексов, предвосхищая результаты гл. 3, относящиеся к термодинамическому пределу Nf оо.

Будем искять решения ф ""* конечного, но большого N в окрестности выражений (1.73)

% = (р + iv ① + 必，6.匸%(1.85)

предполагая 6 = 0(6), где б должно быть много меньше среднего расстояния АН между вещественными абсциссами, т. е. g《N-i По непрерывности все фазы смещаются на 0(6), кроме исключительных фаз, которые, согласно (1.83), принимают теперь определенные значения

Im，瓜…@,中)=一 log 标£ +0(”(L86)

Вещественная часть изменяется на 0(6). Уравнения Бете дают тогда при О V 卩 V 团一1

2

方Im {%,以+2@屮)+办.尸2(中，中)} = 一2观3) +。(6).(1.87)

Величина %ц определяется выражением

一2肮3) = log个(吊%不晶+

丄丄、1 I ch (卩 + м + 1)(1)— cos (中一q/) ch (卩+м—1)(1)— cos (ср—q/)] 十 2 乙 °? {ch (卩一〃 一1)①一cos (屮一q/) ch (卩一м+l)①一cos((p—q/))'

(1.88)

где суммирование ведется по всем комплексам С^ (ф,), включая и С/п(Ф), но без множителя, соответствующего п——1 =卩.Эта сумма может быть вычислена только в пределе Nf оо, исключая значение Ф = оо (А == сю), когда в обозначениях разд. 1.5

2椒"等 £ М М，％ "鬻 Qk (1 ・89)

Здесь Vn — число комплексов порядка и. Теперь мы забежим вперед и воспользуемся результатами разд. 2.2, которые основаны только на вещественной системе уравнений (1.82) и выражают ее решения через положительные плотности комплексов рп(Ф) в термодинамическом пределе. Важнейшим результатом приложения А является положительность функции %以(屮)

机(<р)=，^^^^){^(^ + ^+1Шс1^9(1.90)

—л

где величина

+ оо

3(ф)= £ 11詳废砌=〉?og cth 备 I 屮 + 2*я I (1.91) 色—оо

явно положительна.

Используя (1.87), мы получаем, что исключительные фазы имеют порядок М

ImNxmr >0,

Im 2*5, m-3 Q Л^(Хт-1 + Xm-3)>0.

Im 寸_1，产 ^(Xm-1 + Xm-3 + …+ Xi) > 0.

С помощью (1.86) можно оценить величины 诟： |6*i — 6*3g2sh 2①。-%一，

6*з — 6*5 g 2 sh 2①尸(F+g),

Таким образом, бц экспоненциально малы по 乂. В пределе Ф = 0 или Д = 1 легко показать, что

Хц (ф) = 2л X плотность имеющихся состоянийдля комплексов Си (<р).

Итак, предлагаемая структура решений, вероятно, самосогласованна в области Д 2 1 при условии существования вещественных решений системы (1.82). Последнее будет доказано в следующем разделе.

Приведенный выше анализ, на котором будет основано исследование термодинамики спиновой цепочки при ненулевой температуре (гл. 2), не противоречит недавнему результату Дестри, Ловенстайна (1982), показавших, что описание состояний в окрестности антиферромагнитного вакуума не требует в общем случае использования комплексов порядка выше 2. Действительно, наше рассуждение основано на положительности плотностей дырок 0% и требует, таким образом, макроскопических вакансий в антиферромагнитном《вакууме》. Поэтому оно неприменимо к случаю нулевой температуры.

КЛАССИФИКАЦИЯ И ПОДСЧЕТ СОСТОЯНИЙ

Существование некоторого класса решений

Ниже доказывается существование некоторого класса вещественных решений системы (1.32) (Гриффитс, 1964), а именно решений, квантовые числа которых получаются из принципа непрерывности разд. 1.4. При этом метод Гриффитса непосредственно обобщается на уравнения (1.82), если ограничиться только одним сортом комплексов заданного порядка п. Вещественный случай отвечает 几=1.

Рассматриваемый класс решений задается v комплексами одинаковой длины п, чьи квантовые числа удовлетворяют системе

，0 & % V A2 V • • • V % & М

* 九а+1 —九а > М(〃，〃) = 2九一1, а = 1, ..., V — 1, (1.92) 、Av — 1k、< N — 2м + 1, М = vm,

Доказательство. Рассматривая последовательность ｛力｝ как точку в Rv, уравнения (1.32) или (1.82) для полных импульсов каждого комплекса можно записать в виде 岛=歹/｛々｝, где отображение h f 卜‘=分｛h｝ задается формулами

V

歹"舟三請a/ + % 22"，(1.93)

/=1

Согласно (1.36) или (1.77), фаза рассеяния -ф；/ двух комплексов С/ и G есть растущая функция &, непрерывная на каждом из интервалов (0, ki) и (^, 2л) со скачком в точке 々/. На компакте 穹 в Rv, задаваемом неравенствами

皆：囱a+1 -焼》-^， ^v -① 《 2冗-^- .(1 .94)

выполняется, таким образом, неравенство 切+i,/ > ф/, /, V/ ¥=厶 /+ 1.

Вычитая два последовательных соотношения (1.93), получаем

6+1 —耳》幣(％+i — % + ；屮/+i, /) • С §5)

Следовательно, для n = 1 выполняется |©/,/+1|《冗,а для произвольного значения п, согласно (1.79) и (1.81),

丨2/+1,"《冗MS，矶

Из (1.92) и (1.95) следует, что

h" — %>* /=1,v-1.(1.96)

С другой стороны, мы имеем

[4>%今％》0今*》0，

(勿V々V今% /《0今%《2Л，•

откуда вытекает неравенство

V—1

抬一К = 丁 (統一％ + ^"0 + 斤 22V〃 — 213 &

/ =2

《礬(N-MS, 〃)_1+M(% 砲《2兀一潛・(1.98)

Из (1.94) и (1.96) следует, что образ 诊 при отображении 歹 лежит в 皆.Кроме того, отображение 夕 непрерывно на связном и выпуклом множестве 份.Следовательно, h имеет по крайней мере одну неподвижную точку в 從 удовлетворяющую k = ^(k) (теорема Брауэра). ■

Асимптотическая форма уравнений Бете

Из предыдущего доказательства немедленно вытекает неубывание последовательности импульсов 粉 или абсцисс ф/ комплексов одинаковой длины при всех А > 1. Мы примем еще более сильную гипотезу: неубывание имеет место для всех комплексов. Хотя речь идет об асимптотическом поведении системы (N》1, но конечно), мы воспользуемся также принципом непрерывного продолжения по А, чтобы получить классификацию множества уровней, рассматривая предел модели Изинга А = оо и надеясь получить упрощение картины спектра в этом двойном пределе. Прежде чем двигаться дальше, представим уравнения (1.82) в виде, включающем только непрерывные функции.

Пусть Vm — число комплексов порядка m (m = l, 2,...). Ограничение на спин записывается в виде

2 = (1.99) п>0

Полное число комплексов есть Q = J %, причем, согласно (1.78), каждый комплекс вносит вклад Е=—1 в энергию //ising = Ит(//Д/Л), см. (1.65).

Абсцисса jro комплекса порядка 枕 будет обозначаться <р个, i = 1, 2, ..., vn. Введем непрерывные нечетные функции %①(<р), такие, что

tg 4 Зе 3)= — cth 時 tg * • (1.100)

Используя (1.100), перепишем уравнения (1.77) вИспользуя (1.100), перепишем уравнения (1.77) ввиде(1.101)виде(1.101)

Используя (1.100), перепишем уравнения (1.77) в

Используя (1.100), перепишем уравнения (1.77) в

виде

(1.101)

виде

(1.101)

Теперь система уравнений (1.82) принимает вид, удобный для перехода к термодинамическому пределу:

Nfg (①⑨=2%i +22 [nmp] /РФ (①加一①加)，i = 1，2,…，％.

也(1.102)

Квантовые числа /ш-, которые мы еще не определили, связаны с числами 九 из (1.82) следующим образом. Положим

lim 啞=lim (冗一屮〃J = К%».(1.103)

Согласно гипотезе монотонности,

е (ф — q/) н — 8 (К — К )•

Таким образом,

Лн = 3»—"^4 ^ М(% rn)^(Kni — Kmj)- (1.104)

Числа Jni — целые или полуцелые в соответствии с тем, нечетно или четно N + w〃. Осталось определить разрешенные последовательности /, что мы сделаем при изучении предела модели Изинга. Однако, уже сейчас результат (1.92) позволяет заключить, ЧТО Jn, /+1 — Jn,i> 0.

Связанные состояния и комплексы

Ставя конечной целью понимание предела модели Изинга (Д = оо), покажем, что каждый комплекс порядка п соответствует связанному состоянию п спиновых волн, которое характеризуется факторизацией амплитуды и типичным экспоненциальным убыванием.

Рассмотрим два соседних импульса 左以 и ^ц+2, соответствующих двум последовательным индексам одного и того же комплекса С«. Заметим, что в сумме (1.23), которая определяет амплитуду, перестановки действуют на координаты Mi, п2,... ...,пм. Для удобства обозначений мы повторим в индексации комплексов ka индексацию координат п» Транспозиция 夕乩，乩+纟 задает разбиение перестановок на 2 класса, что позволяет записать амплитуду в виде

а (几]〃2 • • •几м)'2 ехр {...}X

Р, Рц<Р (卩+2)

X [ехр (万 ％,卩+2 + /屮瓦I + ^H+2nP g+2)) +

+ exp ( — ； %, n+2 + ik^p 似+2)+ 仰+2%)] •(1 • 1。5>

Тогда для каждого Р отношение модулей этих двух членов есть

exp - {Im %3+2 - Im (底一底+2)(几戸(卩+2)- 几户 J}

и, в силу (1.90), имеет порядок exp (—const ・N), пока расстояние между координатами J остается порядка N.

При этом предположении в асимптотическую амплитуду вносит вклад только один класс перестановок. Если применить этот результат ко всем парам соседних индексов одного и того же комплекса, доминирующая амплитуда будет представлять собой сумму по классу перестановок, которые полностью обращают порядок индексов в каждом комплексе:

пр(/п-1)> • • • > "戸(т-з)> “Г(м-1)， Й = — №(Ll°6>

ехр ^ ^^(п^-пр^ехр ^ ^^(п^-пр^(1.107)(1.107)Заметим, что каждому комплексу в амплитуде соответствует множитель

ехр ^ ^^(п^-пр^

ехр ^ ^^(п^-пр^

(1.107)

(1.107)

где, в силу (1.86), \mk^< 0, если 卩 > 0.

Поведение связанного состояния теперь явно описывается формулой (1.107), и интерпретация этого множителя как связанного состояния, или спинового комплекса, становится особенно наглядной, поскольку группа координат 〃戸卩 образует кластер, изолированный от других.

Предел модели Изинга

Рассмотрим предел бетевских амплитуд при Л -> оо и, прежде всего, предел связанного состояния, или спинового комплекса. При ①》1 имеется соотношение | Im k^\ = Ф, и в волновой функции связанного состояния доминирует член, у которого аргумент £ (п^-——п-р^ минимален, т. е. для которого множество (1.106) состоит из последовательных целых чисел. Чтобы сохранить единственный член, доминирующий в пределе модели Изинга, достаточно домножить амплитуду на ехр(т2Ф/2). При этом спиновый комплекс, или связанное состояние, превращается в пакет из п последовательных перевернутых спинов J. Обозначим Nmi и Kmt соответственно центр и импульс комплекса 0力八 Можно показать (Годен, 1972), что предельная волновая функция системы комплексов имеет вид

。(•••乂向Nm% ・・・) = ]2о|е'%"т・к，(1.108)

где

^mi = ^mi + уХ 2 М 的 m)6 ("а/ — Nm3(1.109)

П / = 1

Заметим, что в вещественном случае п = 1 воспроизводится результат (1.68).

Остается найти предельные значения импульсов комплексов.

Предельный переход в соотношениях (1.102) дает нам

= 2冗("+ 告)+ 2 ^ [nmp] (Kni — Km). (1.110)

m, p 7 = 1

Введя величины

Km=工 Kmi，Jm = Z Jmt(LIU)

и положительные целые числа

Qn = N — £ М(〃，m) vm,(1.112)

m>0

можно переписать соотношения (1.110) в виде

2冗(〃 + 40 = QnKni + ^M^ ^^m,(1.113)

где Jn связаны с Кп соотношениями

2MAi + 4 N”) = QnKn + % 2 M 5, m)vm, (1.114)

которые позволяют выразить К〃，а с ними и Км как функции квантовых чисел.

Матрица системы линейных уравнений (1.114)

II Qn^nm + %乂 (П, /П)||

обладает любопытным свойством: ее собственными числами являются Qi——vi, Q2 — v2, ... и т. д., только последнее следует заменить на М Тем не менее обратить ее не просто. Однако соотношение (1.113) определяет последовательность Jni с точностью до общего сдвига. Этого нам будет достаточно для изучения термодинамики спиновой цепочки (гл, 2).

Квантовые числа состояний S = Sz

Согласно (1.108), предельные импульсы Kni для данного п должны быть попарно различны (mod 2л). Следовательно, в силу (1.113), Jni образуют последовательность попарно различных целых (или полуцелых) чисел на интервале длины Q九. С точностью до общего сдвига, который пока не определен, можно выбрать {/} следующим образом:

-|(Q«-I)<4i<42< 叫&^Q — 1). (1.115)

Тем самым для данного числа комплексов каждого порядка строится множество Z(^; viv2 ...) различных состояний, где

Z(N; %%・・・) = С：；С；；・・・С；：・(1.116)

Предложение. Полное число состояний, определяемых неравенствами (1.115), выражается следующей замечательной формулой (Бете, 1931):

S Z(N;以"2 …)=或一或7,(1.117)

V[ +2v2+3v3+ ... =M

что в точности совпадает с числом собственных состояний гамильтониана Н, отвечающих полному спину S = S^ g смысле соглашения и. 1.3.3.

Доказательство. Положим

Z(MMQ)= Z Z (N; ”出・•・)•118)

В силу определения (1.112) чисел Qn,

Q枕(乂宀夕2 •・・)= Qi(N —2Q; v2Vз …) и, следовательно,

Z (忙 暝2 ...) = Q-2Q+MZ (N 一 2Q; %% •••)•

Отсюда вытекают рекуррентные соотношения Q —1

Z(M МУ Q) = vS c^^Z (N - 2Q, M_Q, Q_%), (1.119> решением которых, как нетрудно проверить, является выражение

Z(M М, Q) = *瑞坤CL+Q紀’(1.120)

удовлетворяющее начальным условиям Z(^, 1, 1) = у — 1. Суммируя по Q обе части (1.120), мы получим тождество (1.117).

В следующем пункте мы сформулируем гипотезу, которая позволит согласовать выражение Z(",A1, Q), учитывающее только состояния S = Sz, с формулой (1.66) для полной степени вырождения g(M, Q) состояний (М, Q).

Квантовые числа состояний S — S，= m > 0

Если Л = 1, то собственное состояние проекции S2 магнитного момента S имеет, очевидно, вид (s-)」s = sz〉， где m = =S — S2. Поэтому можно считать, что амплитуды о ｛几｝ построены из М = (Л//2)— 5г импульсов 力а, из которых in штук обращаются в 0 при Л = 1. Соответствующие целые числа 九 выбираются тем самым равными нулю. Если А близко к 1, группа нулевых импульсов в соответствии с принципом непрерывности размывается, образуя облако импульсов, близких к нулю вместе с Ф и принадлежащих априори к ансамблю комплексов Сту (фу), таких, что m = 2 ^/- Согласно (1.77), абсциссы комплексов с ненулевым предельным импульсом также стремятся к нулю вместе с Ф. Напротив, абсциссы ср； могут

иметь ненулевой предел @/. Таким образом, уравнения Бете (1.82), поделенные предварительно на Ф, приобретают в пределе вид

(N - 2М + 2m) ctg 学=£ 2色 ctg ^^，(】•⑵)

I

力=2吗；фу вещественнные #= 0. i

Покажем, что уравнения (1.121) не имеют решения, за исключением единственного комплекса С^ с абсциссой @ = ± л. Действительно, эти уравнения описывают равновесие системы зарядов, скользящих по единичной окружности и взаимодействующих по законам двумерной электростатики: положительных зарядов величины 2仅1 в точке фь 2mz в ф2 и т. д. в присутствии одного отрицательного заряда величины Л/ ——2М + 2m = 2S ^ 2m, закрепленного в начале отсчета углов. Существует, однако, еще один исключительный комплекс (冗) порядка m, непрерывно переходящий в изотропном пределе в группу а = 0(V = — (т — 1), ..., (т — 1)).

Согласно принципу непрерывности, если предельная фаза @历【 равна + л, то $%• V Ф^】(Vn, г) и, следовательно, Kni > К^, что оправдывает выбор знака <р = 4-冗.Из (1.104) и из того факта, что Ami = 0, мы получаем тогда квантовое число Jmi исключительного комплекса

где

Q〃 Qn (^1, • • •, ^m1, • • • )•

Если принять следующую гипотезу о выборе квантовых чисел для состояний S — Sz = m

-(Q用-1)- 历 =/用V厶2 V/泌用忠^"(Q/й-I)— 九

мы получим правильное число состояний, даваемое формулой (1.117) при замене М М — т,

Замечание о комплексах в области |Л|《1

Принцип непрерывности и непересечения уровней (импульсов!), который позволил получить вышеописанные асимптотические результаты, по-видимому, теряет силу при пересечении точки Л = ±1, которая является точкой вырождения уровней,

и неприменим в области |A|V 1, исключая случай вещественных состояний, например двух основных состояний, которые исследовались в области Л ^ —1. Асимптотическая структура комплексных корней в области |А| V 1 исследовалась Такахаси и Судзуки (1972) и удивительным образом имеет разрывное поведение в зависимости от угла 0 = arccos Д. Максимальный порядок различных комплексов определяется разложением 0/л в числовую непрерывную дробь. Эта неравномерность в зависимости от Л подавляется уже в пределе N f 8 при исследовании в окрестности Д = 0(0 = л/2) сложных соотношений между импульсами и квантовыми числами для газа свободных фермионов.

Глава 2

Термодинамический предел цепочкиГейзенберга—Изинга

РЕЗУЛЬТАТЫ ДЛЯ ОСНОВНОГО СОСТОЯНИЯИ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ВОЗБУЖДЕНИЙ

Ниже для каждого рассматриваемого состояния цепочки приведены квантовые числа, плотность энергии на один узел или энергия возбуждения в пределе бесконечной длины цепочки. Методы вычислений описаны очень кратко на одном примере (Бете, 1931; Хюльтен, 1938; Уокер, 1959; Клуазо, Годен, 1966; Джонсон, Крински, Маккой, 1973; Янг Ч. Н., Янг Ч. П., 1966а—d).

Основное антиферромагнитное состояние

Это единственное состояние, для которого квантовые числа были определены строго и была доказана единственность решения с помощью вариационного метода (Янг Ч. Н., Янг Ч. П., 1966а——d). Ограничившись случаем четного числа узлов N = =2Mо, приведем квантовые числа основного состояния в области А > —1:

{

л, Мо нечетно,

О, MQ четно,

{羽三{1, 3, 5,N—1}

или

{/}三{ — ^1, —・・・，^1},”] = %・(2.1)

Плотность энергии е = \im E/N допускает следующие выражения:

- 1 < А < 1,

电(А) = —sin®\ (1 —體)加(2.2)

о

Д > 1,

+ оо

&2(A) = -sh① 2(1 +^2|ЧФ)-；(2.3)

А V _ 1,~~°°

® = 0, основное состояние ферромагнитное, и энергия равна нулю.

Две аналитические функции 8i (А) и 82(Л) различны, но на вещественной оси они идеально сшиваются в точке А = 1, так как их значения и значения всех их производных при А = 1 совпадают. Функция 82 имеет разрез по линии существенных особенностей [—1, +1], а & по [1, оо). Между их аналитическими продолжениями имеется соотношение

(2.4)(2.4)% (A)-q(A) = 2就 2 (1 +e(2J)旧①)—

(2.4)

(2.4)

/г=1

①=阻 Д = ch Ф, 0 < Re© < л.

Квазивырожденное антиферромагнитное состояние Квантовые числа:

[О, Л10 нечетно, 5 = 0, полный спин S = 1, полный импульс q

“％ 心 четно,

仅} = {0, 2, 4,…，" 一 2},(2.5>

m={_中一屮，屮卜Q = M。+1. Разность между плотностями энергии для этого состояния и фундаментального в термодинамическом пределе равна нулю.

Антиферромагнитная спиновая волна S2 = ± 1(Клуазо, Пирсон, 1962)

S = 1, М = Mq—1, m = 0, Qi = Mq + 1,一f Alo - 2 Mo - 4,Mo - 2 心 I (2.6) 1)

у J j2■ 「亡 2> • • • > J。，• • • >2$ ~2~ Г *

Полный импульс q: I q I =(冗/2)——2冗厶/乂・ Закон дисперсии: -1<А<1,

ne)=?号*m仆(2.7>

Для Д > 1 в параметрическом виде

J (q) = sh ①(Dn (ф0) + Dn (л)),фо

■|_|q|=\ Dn(q))dq),(2.8》

о

где эллиптическая функция Dn (ф) с периодами 2n и 4/Ф (или К'/К =①/冗)определяется следующим образом:

Dn@)= gd^ Л) (2.9)

в обычных обозначениях Якоби — k для модуля и К для полного эллиптического интеграла.

Исключение параметра(р0 из формул для энергии т]1 и импульса q может быть выполнено явно, если использовать тождество фо

\ Dn (qp) dqp = am ；后)， о

которое дает

Q (G = К 屮("1 一炉 cos2g + ^)-(2.10)

В пределе Д = 1, Ф = 0, К'=冗/2,々=1, мы возвращаемся к формуле (2.7) при 0=0.

Антиферромагнитная спиновая волна S2 = 0, S = 1

М = Л40,历=1.

В последовательности квантовых чисел (2.5) оставлены две лакуны. При этом два вещественных корня системы уравнений Бете заменены на одну комплексную пару:

» = Мо —2, v2= 1.

Имеем

(Q1 = ^-M(l, 1)V1~M(1, 2)v2^M0, «=Мо+1,

I Q2 = N-M(2, 1)» — М(2, 2)”2M 1,' •'

что приводит к последовательности

"1} ={"1} ={Мо+ 1 Мо- 1/ 恤 一 5 I

"1} ={

"1} ={

(2.12)(2.12)(2.13)(2.13)2，2' • • •» о> . • •,2(，

(2.12)

(2.12)

(2.13)

(2.13)

仏} = {0}.

Уравнения Бете принимают вид

Мо—2

”2(Ф)= Ё /з(Ф — 9/) + 3 @ — ф/),

Л1о—2

Nf 1 @) — 2л7, + £ % (也一Ф/) + /з (恥—ф) + /1 (ф/ —屮).

Используя метод, описанный в следующем разделе, можно вычислить закон дисперсии, который оказывается идентичен (2.10), т. е. получается вырожденный триплет (Джонсон, Крин- ски, Маккой, 1973) 1).

МЕТОД ВЫЧИСЛЕНИЯЭЛЕМЕНТАРНЫХ ВОЗБУЖДЕНИЙ

Проиллюстрируем предлагаемый метод на двух примерах.

Основное состояние с заданной намагниченностью

Квантовые числа:

{/}={2—-2一 卜 犷=5(2.14)

Предполагается, что в пределе N = 8 абсциссы 屮厶 являющиеся решениями уравнения

Nf^) = 2nJ+ X %(电一9/)，(2.15>

г

распределяются с конечной плотностью р(ф) на некотором интервале [—ф, + ф]:

2nd (//N) = - р (ф) d(p,(2.16>

+©

2ог=1-； \ р(ср)d(p.(2.17>

Поделив обе части уравнения (2.15) на ^, перейдя к пределу и продифференцировав по 屮，мы получим неоднородное интегральное уравнение для плотности корней р(ф)

+ф

——= р@) + } \ 匸 ・匆 (2.18)

ch Ф — cos (p / 2冗 J ch 2Ф — cos m —①)了 ~/

-Ф

и формулу для плотности энергии

+ ф

£ =同寺=击 \ djRsP7P6)dU・(2・19)

—Ф

Отсюда можно извлечь магнитную восприимчивость при нулевой температуре ds/до. Решение уравнения (2.18) и исключение @ ——обычно довольно сложная задача, но случай о = 0 со

1) Более детальное исследование (Тахтаджян, Фаддеев, 1981 *) показьт вает, что элементарные возбуждения в антиферромагнетике являются дубле тами (несут спин 1/2). — Прим. ред.

ставляет исключение. В этом случае, проинтегрировав (2.18) от ——冗 до +冗 й сравнив с (2.17), мы получим, что ф = тс. Тогда уравнение (2.18) легко решить, разлагая р в ряд Фурье. Результат имеет вид

2ch%LDn (qp)>0,(2.20)

k

откуда получается выражение (2.3) для энергии в области Д > 1.

Спиновая волна S = S^ = 1

Выпишем (Мо——1) уравнений, соответствующих последовательности квантовых чисел (2.6), обозначаемых теперь 了, для переменных 将.Вычтем почленно (7 ◄-> 7) эти (MQ — 1) уравнений для ©/ из соответствующих уравнений для qpj в случае основного состояния. Для /' #= / и /' #= /о получим

N (Л (©J)— /1 (ф/))=—冗一％ @/ — ф/о) +

+2(%(@/— @Г)—『2® — 9г)), (2.21)

〃(* /, /о)

и для энергии возбуждения

% = £ (cos kj — cos hj) — (cos kjQ — A).(2.22)

J * Jo

Предполагая существование предела

lim ^ (@丿一叨)=g (ф), ф =屮/,(2.23)

N今8

получим предельный вид уравнений (2.21) sh Ф ch Ф — cos ф

5 7И2фт!^?^(2-24)

и энергии возбуждения

п =-击 \ 击 ch/ERos9 g ®)Р 3)"屮-(cos岛 一 ch ①).(2.25)

Обозначим qpo и 论о параметры дырки 70. Учитывая (2.18), можно извлечь из (2.24) интегральное уравнение для неизвестной функции

力 ®) = g®)p3)(2.26)

в виде

(2.27)(2.27)4®）+击\瓦而:骋口7力（屮‘""П+ %3-w）.

(2.27)

(2.27)

Для решения (2.27) используем преобразование Фурье на отрезке [—л, л]. Заметим сначала, что правая часть не является 2л-периодической, так как функция /2 непрерывна. Функция

冗+冗齒(号^吧)+ %(9一 Bo),

где 若 обозначает целую часть, уже периодична и совпадает с (л +『2)на отрезке [—л, л]. Представляет интерес только разложение для производной

"@)=2 儿他)外•初.(2.28)

k

Фурье-образ (2.27) имеет вид

仙仅)(1 + е-21 I ①)=«/л _ е-21 I ①一启叫(2.29)

а выражение (2.25) для энергии дает

% = Sh ①？ ％ ® e-由 е + 焉鴉箱(2.30)

Выразив hi (й) из (2.29) и подставив в (2.30), получим

L 2 措綜停”"+ …)=sh ①(Dn (фо) + Dn (吩(2.31) k

в соответствии с определением (2.20) функции Dn((p).

Вторая из формул (2.8) получается из определения (2.6) числа /о и из (2.16)

\q\ = ^+ 5 p (屮)對).о

В случае спиновой волны S = 1, 5г = 0, когда появляется комплексная пара (2.13), вычисление проводится аналогично; в правой части (2.27) появляются дополнительные члены fi( )+^3( )• Вклад этих членов в точности компенсирует энергию комплекса, приводя снова к результату (2.30), не зависящему от параметра ср комплекса.

. ТЕРМОДИНАМИКА ПРИ НЕНУЛЕВОЙТЕМПЕРАТУРЕ:

ЭНЕРГИЯ И ЭНТРОПИЯ (А》1)

Метод (Янг Ч. Н. и Янг Ч. П., 1969)

Для решения задачи о термодинамике спиновой цепочки мы применим метод, с помощью которого Ч. Н. Янг и Ч. П. Янг получили термодинамику системы одномерных бозонов (см. п. 4.4.3). По их мнению, этот метод дает точное решение термодинамической задачи, позволяя избежать безнадежного вычисления tr е-В" для конечной цепочки. Успех обусловлен, конечно, линейностью энергии как функционала плотности заполнения, что является общим свойством одномерных решаемых систем в пределе N -> оо. Более того, в соответствии с описанием квантовых чисел, данным в разд. 2.1, они могут рассматриваться как квантовые числа системы независимых фермионов. Таким образом, все происходит так, как будто нужно вычислить функцию распределения системы свободных фермионов. Чтобы получить равновесные плотности, достаточно определить функционалы энергии и энтропии и минимизировать свободную энергию.

Как показывает выражение для энергии системы

e = — sh ① > 黑^,(2.40)

厶 ch пФ — cos/

она имеет тот же порядок, что и число комплексов в системе. Комплексы макроскопического порядка не могут появляться в макроскопическом количестве и не вносят вклада в плотность энергии. Поэтому достаточно ввести плотности комплексов порядка 1, 2, 3 и т. д. Точнее, рассмотрим класс состояний системы, содержащих NpM①)d(p комплексов с абсциссами фПц заключенными между ф и (р + dcp, где р%((р) (n = 1, 2, ...) обозначает положительную 2л-периодическую меру. Плотность энергии е есть линейный функционал от набора плотностей и, согласно (1.60), имеет вид

0о +Л

e = limA__shO£ \ chfV^cosM^mda. (2・41) Л«1 —л

Плотность намагниченности зависит, очевидно, от существования комплексов макроскопического порядка, в частности исключительного комплекса in = S ——S2, и удовлетворяет не-

равенствам

『=% & 今《^ 一e：\ p〃 3) d(p •

(2.42)

Равенство имеет место в отсутствие макроскопических ком、 плексов.

2.3.2. Плотности комплексов. Плотности дырок

Какое же распределение целых чисел / определяет вышеописанный класс состояний с плотностями р〔， р2, ... ? Ответ дается предельным видом уравнений Бете (1.81)

lim 2n= 2冗尸几(ф)=

=九①(ф) — 2 \птр\fp①(屮—фЭ Р/ (фЭ Йх (2.43)

mt р—л

и неравенствами, получающимися из (1.89) или (1.104):

00十几

I ^П (qp) I ^ 7 - 4 e 例(小他)\ р小 ⑹"中.⑵44)

m = l—л

Согласно нашей общей гипотезе о непрерывности по Ф и неубывании (для конечных систем), соответствие между Fn и р〃 должно быть взаимно однозначным и функции 尸〃(屮)должны убывать. В силу определения чисел Jni (i= 1, •••, v〃), функция 大中)=一籌(2.45)

задает положительную меру, которая представляет собой максимальную плотность состояний, доступных для комплексов порядка п. Таким образом,

0 Wp〃@)&%®)・(2.46)

Если р〃 обозначает фактическую плотность комплексов, то разность

0〃 = % —Р〃》0(2.47)

можно назвать «плотностью дырок» в распределении комплек

сов. Плотности р〃 и г„ связаны уравнениями, вытекающими

из (2.43):

2冗Г九(ф)=

sh пФch пФ — cos ср

-Е ^пт^ 5 chpo-^~wp" /п, р -л

儿—1, 2, 3,...,

(2.48)

решения которых должны удовлетворять неравенствам (2.46), а также, в силу (2.44), соотношению

+ло0+л

\ гп(Ф)^Ф= 1 — ^ М (〃，勿)、pm (<р)dqp. (2.49)

—лm = l—л

Разложение в ряд Фурье

Свертки (2.48) после преобразования Фурье переходят в очень простые соотношения. Введем коэффициенты

p〃3)= \?』哂。一做两=味(一价(2.50)

и, аналогично, rn (k) и 0九(归)• Уравнения (2.48) после преобразования Фурье принимают вид

厂九伍)=еТ々丨九①—£ [nmp] Pm(^)^'1 л|рф, (2.51)

m>0P>0

где суммирование по р проводится с учетом определения (1.80) символов [птр]. Доопределим для удобства коэффициенты pm (力)при отрицательных значениях индексов:

Р*(» = -Рп 他)(2.52)

и перепишем (2.51) в виде

ря 3) = гп (々)--Ра3) = et左I九①一cth II① f ef11"一"①优).

(2.53)

Специфический вид этой бесконечной матрицы позволяет без труда обратить ее и получить рекуррентное соотношение

Гп 伏)=^^ 伍+】住)+ Pn-iW)，(2.54)

справедливое при 〃 > 0, если положить

Ро(^)=1.(2.55)

Вернувшись к переменной ф, запишем соотношения (2.54) в виде

%(叫=£ \ Dn (屮-8) {О— 6) + Prt+i 3)}，(2.56)

где функция Dn(qp) была определена в (2.9).

Соотношения для спина получаются столь же просто. Второе равенство в (2.42) дает

о = "т * = ^ — £ мр〃(0), ^ = 0,(2.57)

п>0

а соотношения (2.49) приводят к равенству

入(0) = 1 — 2 М (п,向 pm (0).(2.58>

m>0

Любопытно, что эти условия (2.58) совпадают с (2.54), если в последних положить 々=0 и добавить асимптотическое условие, вытекающее из (2.58) и (2.57):

lim рп(0) = 2п.(2.59)

九->оо

Соотношения (2.59), (2.54) и (2.46) содержат, таким образом, всю информацию, имеющуюся в уравнениях Бете r пределе N = оо.

Выражение для энергии

В этом пункте мы покажем, что окончательное выражение для энергии зависит только от плотности рь т. е. от распределения вещественных корней. Действительно, выражение (2.41) представляет собой ряд из коэффициентов Фурье

E = lim^= — sha)W £ е-小 |%3).(2.60)

/2 = 1 々・一8

Подставив в (2.60) выражение для ^n = rn — рп из (2.54),, мы приходим к замечательному результату

E = %+sh\2(2.61)

где 8о есть плотность энергии основного состояния цепочки (Уокер, 1959):

w = — sh ① £ 2 ch 々①•(2.62}

Выражение (2.61) можно также записать в виде

+Л

е = е0 + sh Ф，Dn (ф) Pi (ф) d(p.(2.63>

В силу положительности Dn и 仇， величина 8о действительно является энергией основного состояния.

Выражение для энтропии

Выражение для энтропии получается непосредственно из описания квантовых чисел (1.104). Рассмотрим подразбиение интервалов изменения величин /山 на интервалы стандартной длины dqp. По определению плотностей r〃(qp) (выражение (2.45)) имеется

djn = Nrn (ф) d(p (N d(p》1)(2.64)

допустимых состояний комплексов на отрезке dJn, заданном абсциссами ①，① + dqp. Если плотность комплексов порядка п есть рп((р), число на отрезке dJn есть

dvn = 2VpM①)&р・(2.65)

Полноечислосостояний цепочки, отвечающих заданным

плотностям, даетсятогда выражением

% = UIIC 凯(2.66)

九 dtp n

Энтропия соответствующего класса состояний имеет при этом вид

口 = log Л9,(2.67)

а для плотности энтропии получаем ОО +л

\ 函｛乙 logr^ — p.logp^ — MlogOJ (2.68) п=1 —л

2・4・ ТЕРМОДИНАМИКА ПРИ НЕНУЛЕВОЙТЕМПЕРАТУРЕ:ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ

Вариация свободной энергии

В разд. 2.2 нами были получены выражения для энергии и энтропии в виде функционалов плотностей р〃 и 0〃. Теперь остается минимизировать свободную энергию

(2.69)(2.69)F = E — T^

(2.69)

(2.69)

с учетом связи (2.42) на компоненту S^ полного спина. Поскольку, как это обсуждалось уже в связи с уравнением (2.40), комплексы макроскопического порядка не вносят вклада в свободную энергию, мы можем выбрать связь в виде (2,59).

Естественно выразить плотности, как функции Ферми,

(2.70>广〃(9)иодин извыраже-(2.70>广〃(9)иодин извыраже-с — Гп- Гп

(2.70>

广〃(9)иодин извыраже-

(2.70>

广〃(9)иодин извыраже-

через пока неопределенные максимальную плотность псевдоэнергию £八(屮，7), что можно рассматривать как способов параметризации (2.46) и (2.47). Используя

ния (2.63) для энергии и (2.68) для энтропии, запишем свободную энергию в виде

+л

尸1 = ? =令+ sh①\ Dn (9)01 (9)d屮+

ОО +Л

+ 2］，依 3)% (①)-％ 3) log (1 + «%")} d^ (2.71)

или, иначе, через коэффициенты Фурье:

尸尸号+sh①2离露+22®他)%色)一Ln依)％ (初， kn>0 k

(2.72> где

+л

Ln 优)=負 \ log (1 + 券(')")e做 d(p. (2.73>

Поскольку соотношения (2.54) позволяют явно выразить р через плотности дырок р, эти последние можно взять за независимые переменные при вычислении вариации свободной энергии

6尸］=sh ① 2 4?KW + X X {% 优)、"(炒一丄〃他)"〃(初.@・74) 尼n>0 k

Поскольку вариации 6prt (k) (n = 1, 2) независимы, условие стационарности Fi приводит к системе уравнений для £〃：

%优)=元%【厶…的+'1 働，" > 1，(275)

£1他)= 1^W ［厶的-sh®，(2・76

Переходя к переменной qp, получаем рекуррентную последовательность линейных уравнений

學=加*{1吨(1+券+")+ 1吨(1+J*")}, «> 1, (2.77)

杂=Dn * log (1 + e叫 一 sh ① Dn,(2.78)

где использовано обозначение для свертки

(2.79)(2.79)(Dn * f)(①)=备 \ Dn 3 — q/) f (фЭ d^.

(2.79)

(2.79)

Поведение псевдоэнергий при п~> оо

При выводе уравнений (2.77) мы, как нетрудно заметить,, не принимали во внимание условие (2.59). Действительно, это условие относится только к асимптотическому поведению р〃(0> с ростом и и позволяет однозначно нормировать решение.

С другой стороны, эта асимптотика связана с асимптотиками гп и * необходимо, таким образом, выяснить, какое асимптотическое поведение е„ совместимо с уравнениями (2.77).

Ввиду положительности Dn((p) из (2.77) следует, что

學 > 0, п>0.(2.80)

Существование интегрируемого предела ё((р) для £〃(屮)не- возможно, так как в этом случае мы пришли бы к противоречию:

_+л

掣=击 \ log(l+^^)d<P>Tg(0)-(2.81>

Таким образом, естественно предположить, что

Нт 包*L = + oo, — л^ф^л.(2.82>

При таком предположении уравнения (2.77) линеаризуются в пределе 〃 = 8, и мы получаем асимптотики

他)〜et吋々*0,

1+卩， 々 = o, (2-83>

7 %~ ( log м, если 九=0.

где 入 и 卩一константы. При этом

lim(2.84>

He располагая доказательствами существования и единственности решений (2.77), мы предположим, что достаточно задать Т и положительное число X, чтобы полностью определить единственную последовательность £〃((р, Т,入)，удовлетворяющую (2.77), (2.83) и (2.84); эти функции периодичны и аналитичны в ^апосе |Imcp| < Ф.

Свободная энергия

Теперь мы в состоянии найти свободную энергию с учетом связи lim 0〃 (0) = 2о > 2%. Подставляя в разложение ⑵72)' для свободной энергии выражения (2.54) для rn(k) и принимая во внимание (2.75), получаем

F — *° 上3 优)I -en+i (^) - ё九(盼 /0 只0、

N十木乙2ch々①十^鑾oeЙ10，n85)

мли, учитывая (2.83) —(2.84), выражение для свободной энергии

G =务一負 \ Dn (ср) log (1 + e& (喇T) d(p + о九T (2.86)

как функции 3-х параметров: Т, о и А.

До сих пор при минимизации свободной энергии в пространстве плотностей ^п оставалось еще два параметра: о и А. Минимизация по о очевидна: поскольку произведение КТ положительно, минимум достигается при о =。打 Остается, наконец, провести минимизацию по 入 и получить

G = Gz = ^ S d^n (ф)(2・87)

-ЛТ

Исключение параметра X из выражений (2.86) и (2.87) позволяет, наконец, выразить свободную энергию, как функцию температуры Т и намагниченности о (мы будем писать о вместо Oz). Из (2.86) и (2.87) следует, что величина АТ является интенсивной переменной, сопряженной к намагниченности

8 =醬(0，T)=九T,(2.88)

и тем самым может рассматриваться как напряженность магнитного поля, в присутствии которого удельна-я намагниченность достигает о.

Следует заметить, что свободная энергия магнитной цепочки •формально имеет тот же вид, что и для системы независимых .квазичастиц типа фермионов спина 1 /2 с законом дисперсии

片=片 ®, Т,九)，黑=一 Dn (Ф)(2.89)

при заданных температуре и магнитном поле. Функция 81 однозначно определяется решением системы (2.77)——(2.78).

Равновесное распределение комплексов

Чтобы полностью определить плотности комплексов и дырок в распределении комплексов, осталось найти максимальные плотности гп(ф). Для этого мы располагаем системой уравнений (2.56), дополненной условиями (2.55) и (2.59):

(2.90>(2.91>(2.90>(2.91>% = Dn * () + ( ] +3一户)，”>1，

(2.90>

(2.91>

(2.90>

(2.91>

7•『蚩 Dn + Dn*7T

lim入⑼= 2(т・

П-> оо

Заметим теперь, что дифференцирование системы (2.77)— (2.78) по Т~} дает в точности систему (2.90) — (2.91). Согласовав асимптотики при п = оо, получим формулы

入3)= —击木自(L%@))・ (2・92>

асимпто-асимпто-⑵ 93)，⑵ 93)，в вычис-в вычис-В частности, параметр 卩 в выражении (2.83) для тики £〃(0) удовлетворяет уравнению

асимпто-

асимпто-

⑵ 93)，

⑵ 93)，

в вычис-

в вычис-

m С sh①— = 2о —

Вышеприведенные уравнения находят применение лении дифференциала свободной энергии

, dcpDn®), dcpDn®)0(厂%1)1 + е-е./Т0(厂%1)1 + е-е./ТdT-1 + Л da. (2.94}dT-1 + Л da. (2.94}

, dcpDn®)

, dcpDn®)

0(厂%1)

1 + е-е./Т

0(厂%1)

1 + е-е./Т

dT-1 + Л da. (2.94}

dT-1 + Л da. (2.94}

В силу соотношения (2.92) для n = 1, получаем

十л

d (丁7尸 J = sh ①，d(p Dn (ф) 01 (ф) dL + 九 do, (2.95}

т. e. стандартное соотношение для внутренней энергии

(2.96>(2.96>尸 Р А7 ° (尸 1/7)七 一 区 = N -gL•

(2.96>

(2.96>

Область применимости

Выражение для свободной энергии, полученное в разд. 2.3, относится к случаю антиферромагнитной цепочки (2/ = +1) в области Д > 1. Проделанное вычисление применимо в той же

области и к ферромагнитному гамильтониану （27 = —1）; достаточно только поменять знак температуры и свободной энергии

^ferrom （Т, А）= — 尸（一 Т, А）, Т > О, А > 0.（2.97）

Единственное место, где мог бы сказаться знак Т, это минимизация свободной энергии по о при фиксированном Oz； однако окончательный результат дается формулой （2.97）.

Полученное решение может быть также распространено на область AV——1, ввиду существования канонического преобразования U （1.42）

tr с-"" = tr e-（H-A/f）.（2.98）

Окончательно, для указанных четырех случаев выражение для свободной энергии в области |А|>1 дается формулами

（尸（А'Т）'厶>°'（2 99）

I 一尸（|А|, —Т）, /AV0.

丄 f m4 -oo ch 专（% —吟л 12, лх *Ch —丄 f m4 -oo ch 专（% —吟л 12, лх *Ch —Коснемся в заключение предельного случая Д= 1 （Такахаси, 1971）. Этот случай можно получить как предел А = 1+0 （Ф = 0）. Достаточно сделать замену переменных х =屮/① и во всех уравнениях и формулах заменить

丄 f m

4 -oo ch 专（% —吟

л 1

2, лх *

Ch —

丄 f m

4 -oo ch 专（% —吟

л 1

2, лх *

Ch —

去 \ Dn（（p —屮‘）d（p‘ ... на

-Л

sh ① Dn（（p） на

Приложение А

Требуется оценить функцию 漁（9）, заданную выражением （1.88） в асимптотическом пределе N S 1. Приняв, аналогично п. 2.2.1, гипотезу о сгущений абсцисс комплексов, получим выражение для % через плотности р„（（р）:

—2%卩（<р） = log—2%卩（<р） = logch （ц — 1） Ф — cos qpch （ц + 1） Ф — cos ф

—2%卩（<р） = log

—2%卩（<р） = log

00 +Л

+ 2 \如…g （器^ h；"；；h Л = 1 —Л

（A.1）（A.1）ch （n + 八 一 1）①一 cos （（Р 一①'）、

（A.1）

（A.1）

ch （N一"+1）①一cos （屮一屮‘）丿

Используя метод преобразования Фурье, описанный в п. 2.2.3, и полагай р-п(^) = —р〃(/0, получаем

I I 海优)=е~® "①一$ 2 Рп (^) (е-1 々11 吁计11 ① + «Т 左 11 ц-п-1\Фу

(А.2»

Выделяя три сорта членов ц — л ^ 0, перепишем (А.2) в виде

|左1如偌)= sh|M①(efW + p以伐))一 2 p〃伐)chM)e-以毋fl①

(A.3> или с помощью уравнения (2.53) просто как

%ц (盼=*9з(粉，n> 0・(a.4>

Можно проверить, что эта формула справедлива при 左=0. Отметим простой： результат для предельного случая Ф = О (Д = 1)

%ц (%)=…⑴ >0，% = Нт 患.(А.5)，

Для А > 1 дело обстоит несколько сложнее. В этом случае нужно сначала с помощью (2.54) установить равенство

0 优)=^Т * (炒 + Ml 伐))，(А・6>

а затем получить выражение (1.90) для %ц(Ф) и из него вывести положительность этой величины.

Глава 3

Термодинамика цепочки спинов 1/2Предельные случаи

ПРЕДЕЛ МОДЕЛИ ИЗИНГА

Предел Д = оо, или предел модели Изинга, дает интересную возможность проверить вычисления разд. 2.3, поскольку термодинамические функции одномерной модели Изинга можно легко получить прямым путем. Чтобы избежать усложнения, связанного с введением константы /, фигурирующей в гамильтониане (1.3), заменой 2/ = 1/А и переходом к пределу А = оо, удобно изменить масштаб шкалы температур, введя новую обратную температуру р соотношением

М = А・(3.1)

Предельный гамильтониан Н^ совпадает с гамильтонианом Изинга〃n

，史 Т = р〃。о = В £(S/Mi — ^).(3.2)

n=l

Собственные числа Н^ являются целыми отрицательными числами —Q, где Q есть в точности число соответствующих комплексов для Н& Это следует из того факта, что в пределе А = оо, как показано в приложении В, комплекс порядка /г переходит в связанное состояние из п последовательных спинов |. Для вычисления термодинамических функций цепочки Изинга удобно ввести статистическую сумму

Z= j *QTMg(M Q),(3.3)

M, Q

где 丫 обозначает магнитное поле, a g(M, Q) —степень вырождения подпространства S2 = (N/2) — М, Hg = —Q,

g(MQ) = %%$：：L(3.4)

Вычисление асимптотик по методу перевала приводит к следующему результату:〔

等=4 叫*+sh2专]T[(*+sh2£)T + ch*] 2, (3.5)

2o=l 一争=sh*W+sh2專(3.6)

-у log Z = log I [eP + sh2 皆]% +ch-^} —*•(3・7)

Свободная энергия 戶i должна, таким образом, давать в пре

деле

(3.8>(3.8>!史今=—log{[* + sh2*『 +ch*} + YO.

(3.8>

(3.8>

Найдем теперь предельный вид выражения (2.86) и рекуррентных соотношений (2.77) — (2.78). Когда Ф бесконечно возрастает, функция Dn(qp) равномерно стремится к 1/2 и £〃/Т

перестают зависеть от ср. Положив гЛ = ег^т, получим

(容= (1+%+J(1+%t), n>0,(3.9>

t 1 =е-~т = еТ(3.10>

с асимптотикой

log zn 〜Ал.(3 11}

Чтобы решить нелинейное рекуррентное соотношение (3.9), перепишем его с помощью подстановки

点=V 丁石 > 0(3.12>

в виде

爲一北 一&+1 = 1， J = eT/2.(3.13>

Последнее соотношение вызывает ассоциации с теорией непрерывных дробей и приводит к решению с двумя параметрами к и卩：

sh &2 4-卩)

点=X—，(3.14)

где ц определяется из

sh^ = sh^eT/2.(3.15}

Для 扌 1 тогда получается выражение

& = е-6/2{[* + Sh24]1/2+ch4}(3.16)

Формула (2.86) дает в пределе

个吗 4k = — log G + о尢—4>,(3.17)

а формула (2.87) дает

аIsh

0= 亦唠&=万地号=万戸蟲可^. (3.18]

Сравнение выражений (3.18) и (3.6) для намагниченности дает 入=у, после чего выражение (3.17) для свободной энергии совпадает с предсказанным пределом (3.8). Легко проверить, что .предельные плотности имеют вид

prt = 2a cth|(Zn + |i)(3.19)

и выполнены уравнения (2.92). Таким образом, предложенное решение для термодинамики цепочки приводит к правильному ютвету в пределе модели Изинга.

ПРЕДЕЛЫ Т = 士 О

Исследование предела Т = 0 для ферро- и антиферромагнитных систем позволяет провести еще один тест на самосогла- сованность решения, поскольку минимум энергии для состояний с фиксированным спином и импульсом вычисляется в этом случае независимо (Гриффитс, 1964; Янг Ч. Н., 1967). Мы будем рассматривать параллельно случаи Т = +0 и Т = —0, что позволит работать с любым знаком Д (2.99).

Предел рекуррентных соотношений

Продолжая различать оба возможных знака Т, положим

lim еп (ф) = Еп (ф),(3.20)

lim^T = A.(3.21)

г=о

Зная, что £九 при п > 1 имеет тот же знак, что Т, извлекаем

отсюда с помощью (2.73) и (3.20) соотношения lim Ln (fe) = Еп (k\ 〃 > 1, T=0

(3.22)

lim，他)=击 \ е 话呜 @)d(p = £+3),

Тт。后癌>0

(3.23)

lim L2 (fe) = -^ \ e说呜 ®)西=厂优).

3。e 总 VO

Уравнения (2.75) — (276) в пределе принимают вид

(3.24)

当他）=费■皿{J+I （炒 + Jr®}，">2，

&他）=万焉e{e23）一 sh（D}

(3.25)

при условии

lim 旦=儿(3.26)

п->оо “

Из (3.25) и (3.26) следует, что

[ Еп 3) = £± (盼 е-тт)⑷① + А (〃 一 1) 6 他)，(3.27)

(2Е](炒 ch 々①=L土 (fe) e-i 々 I ①一sh ① + A6 优).(3.28)

В переменных ср мы получаем отсюда интегральные уравнения для функции £i (ср) в области Ei (ср) > 0 (антиферромагнитный случай) или £i (ср) < 0 (ферромагнитный случай).

Случай антиферромагнетика

Преобразование Фурье уравнения (3.28), поделенного на 2 ch йФ, записывается в виде

Ех (ф) - \ dq/R((p-q/)£i(q/) = 4~ — sh(I)Dn3), (3.29) £i>0

где функция R((p) дается рядом Фурье

1 3 步①R⑹=后尼纟尸/и耳11 3 步①R⑹=后尼纟尸/и耳1(3.30)(3.30)

1 3 步①

R⑹=后尼纟尸/и耳1

1 3 步①

R⑹=后尼纟尸/и耳1

(3.30)

(3.30)

Эта функция положительна, как свертка двух положительных функций: Dn((p) и sh Ф/(ch Ф — cos ср).

Выражения (2.86) и (2.87) для энергии и намагниченности принимают в пределе следующий вид:

lim Fi т=+оlim Fi т=+о(3.31)(3.32)(3.31)(3.32)=导—盡 \ Dn 3) ?1 @) d(p + Ла,

lim Fi т=+о

lim Fi т=+о

(3.31)

(3.32)

(3.31)

(3.32)

R>0

2° = 3 \ Dn ®)券 °①.

E>0

Из формулы (2.92) извлекается выражение для плотности 力(ср):

『中)=际、0需一旦)，(3・33)

которое позволяет переписать F\ в виде

(3.34)(3.34)lim 尸]=б。+ sh ① \ Dn (①)厂i @) d(p.

(3.34)

(3.34)

Используя выражение (3.33) и уравнение (3.29), продифференцированное по параметру Л, можно показать, что 门(屮)

удовлетворяет интегральному уравнению

门(9)一\ d^R (中一q/)门(ф0 =击 Dn (9).(3.35>

£i>0

Если не уточнять характер области £i > 0, уравнения (3.34) и (3.35) имеют тот же вид, что уравнения, полученные Гриффитсом в случае изотропной цепочки (Ф = 0). Их можно также преобразовать и получить уравнения Янга, в которых участвует область £i V 0. Подставив в (3.28) разложение L+:

l+他)=+但)一击 \ ^^(ф)^,(3.36>

мы получим

?］伍)+6一2|々|①击 ，6/呼做七1(屮)=a6(々)-511(1)6-1尼2,(3.37)

E1V0

или для переменной 屮

口 /、I 1С J / Ei(q/)sh2①Ash2 Ф

七1@)十凉 J d(p 不 2& — cos 仰 _ g = A - ch & _ cos 屮• (3・38>

E1V0

В силу (3.33), для плотности 厂i = pi получается

/、I 1 f . /n(q/)sh2①1 sh Ф

门仰)+后 J °屮 ch 2Ф - cos (ф - ф7) = 2л ch Ф - cos ф *(3・39>

EVO

Таким же образом, взяв преобразование Фурье от (3.39), поделив его на 2 ch ЙФ и проинтегрировав по 例 получим

s = 4F + sh ① \ d(pDn((p)n((p) = - \ ch 黑?。s ср 门(屮)如 吕>0EiVO

(3.40)

Аналогично, уравнение (3.32) преобразуется в

21-4 J 詔餐券 №(3.41)

^!<0

Умножая уравнение (3.38) на дЕх/д\ и интегрируя по области £1 <С 0, мы получим тождество, которое позволяет дать окончательное выражение для намагниченности:

0 = ^ - \ 广 1(9)如(3.42)

Осталось доказать следующее предложение.

Предложение. Область £i (ф) < 0 на отрезке ［—л, +冗］ представляет собой симметричный интервал (―屮卜+屮1)・

Доказательство использует интегральное уравнение (3.29).

/?((р) убывает в интервале [0, л]. Действительно, производную можно вычислить, используя представление А'((р) в виде свертки (см. замечание к (3.30)) и свойство четности

(屮)=一嘉)6 (屮一叨一Dn (屮 + 切(肃2SV d也(3.43)

0 < ф < л.

При этом выражение в квадратных скобках под знаком интеграла является непрерывной функцией 屮，которая обращается в нуль только при 2=Ои0 = п, в силу четности функции Dn((p) и ее убывания на отрезке [0, л]. Так как эта функция положительна при достаточно малых & (0 < ф < л), она тем более положительна при 0 V 屮 V 兀 Отсюда следует, что R'(屮)V 0 ПРИ 0 < ср < л.

Если 九 1 ——наибольшее собственное значение интегрального оператора с положительным ядром R (屮——屮‘),ограниченным на область £\ > 0, то 九〔V 1/2.

Начнем с того, что положительность ядра очевидна. Пусть теперь f w L2(—л, л). Ввиду (3.30) наибольшее собственное значение R на [—л, +冗]равно 1/2. Следовательно,

+Л+л

\ d^ d^f (屮)R((p — q/) f (q/) & у \ dqp尸(ф).(3.44)

一冗

Ограничим f на класс f] ^ L2(£i >0). В силу известной теоремы (Михлин, 1959), имеем

% = Мах V dip dq/R (屮一q/) f 1 (屮)f ] (q/),(3.45)

откуда, воспользовавшись (3.44), получаем Xi W 1/2.

Функция Ei (ср) возрастает на [0, л]. Из результата (Ь) следует, что ряд Неймана, определяющий £\ (屮)итерациями (3.29), сходится равномерно по <р. Тем самым Е\ (ф) дифференцируема и удовлетворяет уравнению

e1 @) —， dp [R (屮一2)一R (中 + ")]£{(2)=-sh ① Dn’(中)

目>0

Л；>2>и

(3.46)

(здесь мы использовали нечетность £；)• Рассуждая, как в (а), и используя убывание /?(ф) на [0, л], получаем, что ядро (3.46) положительно. Ряд Неймана, согласно (Ь), сходится, и все его

члены положительны, так как —Dn'((p)》0 на [0, л], и итерированные ядра также положительны. Отсюда следует, что £i(Ф)> 0, 0 < ф < л.

Так как функция Е\ (<р) непрерывна, она имеет по крайней мере один нуль на [0, л]. Пусть ф1 ——такой нуль. Если он существует, область Ei (<р) < 0 представляет собой интервал (—Фь +<Р1)- Легко определить значения А и ri((p), которые соответствуют граничным случаям ф1 = 0 и ф1 = л.

Пусть Ао — значение, лежащее в щели в спектре энергии между основным состоянием и спиновыми волнами (2.32):

(3.47)(3.47)Ло = 2sh Ф Dn (л).

(3.47)

(3.47)

Из (3.29) легко вывести, что при Л < Ло

Е] (ф) = А - sh Ф Dn (ф) < О,

n(q)) = *Dn(q)),(3・48)

а = 0.

При Л = Ло получается в точности 屮1=0. Тот факт, что при Л < Ао намагниченность равна нулю, согласуется с тем, что для возбуждения спинового состояния | S21 = 1 магнитное поле должно превысить значение Ло.

49)=49)=1sh ①2л ch Ф — cos qp1sh ①2л ch Ф — cos qp(3.49)(3.49)С другой стороны, из (3.38) и (3.39) следует, что для Л>сЬФ+1 = Д+1 выполняется

49)=

49)=

1sh ①

2л ch Ф — cos qp

1sh ①

2л ch Ф — cos qp

(3.49)

(3.49)

а = 4", ф| = л при А = А+1.

Мы получили насыщение магнитной цепочки при конечной величине поля.

Ферромагнитный случай можно рассмотреть аналогичным образом, положив Т = —0. Из (2.84) и (3.27) следует, что магнитное поле равно |Л|= —Л. Легко найти, что

J«p) = A〃— J鳴半爲&0・J«p) = A〃— J鳴半爲&0・(3.50)(3.50)

J«p) = A〃— J鳴半爲&0・

J«p) = A〃— J鳴半爲&0・

(3.50)

(3.50)

Очевидно, что Еп есть энергия связанного состояния или комплекса порядка п в поле |Л|. Эти комплексы как раз и обра* зуют элементарные возбуждения ферромагнитной системы.

Разложения в окрестности Т = 0

Систематическое исследование нелинейных уравнений (2.77) — (2.78) в окрестности 7 = 0。в магнитном поле 8*0 было предпринято Джонсоном и Маккоем (1972). Вычисления и результаты далеко не тривиальны. Необходимо постоянно различать области В = О(Т) и конечных В, ввиду того, что 尸(力 о) определяется как функция параметра 九= В/7. Рассматриваются 4 области А, В, С, D и их границы.

/А V 0, 8 конечно:

尸(7, S) = -y-^ехр("!^^) +(3.51)

/А > 0, 5 > 0 вне окрестности 5 = 0, т. е. 8 > А + 1:

尸(Т, 8) = — 8 -卷 ехр (丄彗二 8) +. (3.52)

/Л > 0, J V о：

尸(T, 8) = £。一(為而)嗔Xр(一含)+ ・・・，(3.53)

Ac=^lshO-//o.(3.54)

JA > 0, Ei положительно или отрицательно и конечно вблизи границ D.

Вышеописанные результаты установлены в предположении А，1; можно перейти к пределу А = 1, за исключением, быть может, окрестности границ четырех областей А, В, С, D. Приведем, в частности, результат для Д = 1, 8 = 0(Т), полученный упомянутыми выше авторами из решения уравнения типа Винера — Хопфа:

尸(Т, В) = а一矗一％(1 十 2《表豆戸 + •••)+••・. (3.55)

Отсюда следует, что в нулевом поле (В = 0) удельная теплоемкость ведет себя как 2Т/3. Этот результат находится в полном согласии с численными расчетами для конечных цепочек из 10 и 12 атомов (Боннер, Фишер, 1964), а также в согласии с теоретической оценкой, основанной на аналогии между анизотропной цепочкой и газом фермионов спина 0. Информация об элементарных возбуждениях и пр мое применение теории Ландау дают здесь множитель 2/3 (Клуазо, 1966).

Приведенные выше результаты были выведены для |Л| ^ 1. Однако, свободная энергия является аналитической функцией А на всей вещественной оси при Т =# 0 (Араки, 1969). В связи

с этим возникает задача аналитического продолжения нелинейных уравнений (Ф-> i@) и прямого построения термодинамики для цепочки при |А| < 1.

ПРЕДЕЛ Т = оо

Здесь вычислены 2 первых члена разложения свободной энергии по степеням 丁一】，которое может быть получено стандартными методами теории возмущений. Для нулевого поля имеем

尸1 = - Т log 2 -占一鳥(А? + 2) +。(亲).(3.56)

Используя метод, применявшийся для модели Изинга, мы получаем, исходя из рекуррентных соотношений (2.77),

lim е%/「= zn = п(п + 2).(3.57)

Т->оо

Разложим до порядка 1/Т следующие величины：

(e^ = Zn + ^L^ + 0(^

<1(3.58)

(log(1 + е%/「) = log(l+zn) + -i-詳у + …・

Подставляя в уравнения (2.75), получаем

2 仇 + 1) % (3 ch 々①=〃％+i (炒 + (〃 + 2) %-他)，(3.59) где

中3)=-sh①.

Линейное рекуррентное соотношение (3.59) допускает единственное подходящее решение

加 3) = — sh ①族(1 —e-2i 尼 2)+ l]e"i叫 (3.60)

Для n = 1 из (3.60) вытекает равенство

厶 3)= Тб 3) log (1 + 2, 一 芈[3 — с-1 切①]«Г 尼 I ①，(3.61)

а также с учетом формулы (2.85) для свободной энергии:

尸尸— 7^2 + % +粤Jr(3.62) 尼=» -a

Принимая во внимание выражение (2.62) для 迎=E“N, мы получаем окончательно, с точностью до порядка 1/Т,

G = - Т log 2 -£ с-1 I ①=_ т bg 2 - _Е^ (3.63)

——результат, согласующийся с (3.56).

Несколько проделанных тестов для предельных случаев и в особенности цитированное исследование Джонсона и Маккоя (1972) укрепляют уверенность в том, что замечательная рекуррентная система нелинейных уравнений, полученная в гл. 2, способна точно описать термодинамику анизотропной цепочки^ включая предел нулевой температуры в антиферромагнитном случае.

Глава 4

Бозоны с точечнымвзаимодействием

Эта глава посвящена модели бозе-газа с точечным отталкивающим взаимодействием в одномерном пространстве (Жирардо, 1960; Либ, Линигер, 1963). В некотором смысле, который будет уточнен в дальнейшем, эта модель может рассматриваться как предел спиновой цепочки Гейзенберга——Изинга, когда шаг решетки стремится к нулю, а полная длина цепочки остается фиксированной. Результаты относятся в основном к спектру, волновым функциям и термодинамике; они представляют некоторое упрощение по отношению к результатам для спиновой цепочки, поскольку в случае отталкивания отсутствуют комплексы (связанные состояния). Обсуждается проблема нормировки, которую можно рассматривать как прелюдию к вычислению средних значений и корреляторов. О последних почти ничего неизвестно!), за исключением случая газа непроницаемых бозонов (Ленард, 1964; Вайдья, Трейси, 1979; Дзимбо и др., 1980). Общая задача о тождественных частицах с точечным взаимодействием и несколькими внутренними степенями свободы будет исследована в гл. 10, И и 12.

ВОЛНОВЫЕ ФУНКЦИИС ЭЛЕМЕНТАРНОЙ СИММЕТРИЕЙ

Вначале рассмотрим задачу об N частицах одинаковой массы с парным точечным взаимодействием (потенциал есть 6-функция), константой связи 2с, но на всей прямой. Геометрия системы позволяет тем самым ставить задачу рассеяния.

В системе единиц Й = 2m = 1 уравнение Шредингера для волновой функции 屮，полностью симметричной относительно перестановки координат Xi, %2, …，ху, имеет вид

N

一2禁+ 2e 26(修一吟"=e" ё/)

Методы вычисления корреляционных функций развиты в рамках квантового метода обратной задачи (Корепин, 1984*; Смирнов, 1984*). — Прим, перев.

Назовем элементарной волновой функцией непрерывное в R^ решение уравнения (4.1) независимо от каких-либо предельных значений или поведения на бесконечности. В силу свойства симметрии, уравнение (4.1) сводится к волновому уравнению

(М + Е)2 =。(4.2)

е фундаментальной области D

D: хх< х2< • - - < xN,(4.3)

дополненному N——1 условиями на границе области D

3?體 I ='21々+「々=0，(4.4)

Последние условия получаются интегрированием по (%t+i — %。 левой части (4.1) по малому интервалу, содержащему точку Xf+i — х, = 0, с учетом симметрии

Метод суперпозиции плоских волн, примененный Бете для цепочки спинов 1/2, позволяет и в данном случае построить элементарные волновые функции 屮｛々｝(%), зависящие от ^ параметров ｛归｝ = ｛々1 ... считая, что все они различны:

2｛々｝(，)Пpе "仍)exp (i 多"也Pj)' " w ^^•(4.5)

Уравнение (4.2) выполняется в открытой области D с энергией

Е=Х 解.(4.6)

Условия согласования (4.4) приводят к соотношениям

(i (^p/+i — %) — с) 4 (Р) + (力他р/ — %+i) — с) А (РР/, /+1) = О,

(4・7) которые однозначно определяют коэффициенты А(Р). Для них получается рациональное выражение

4(P)= g(?+l^)・(4.8)

Функция 屮仅｝(%) представляет собой интерполяцию по параметру с между перманентом при с = 0 и детерминантом при с"= =0.

Решение нестационарного уравнения Шредингера. Вне областей взаимодействия %了—— 芻=0 волновую функцию можно

представить следующим образом:

虾｝(%)= ,g3(%，-%)+ 含—熹)1 #а，产2,…，产q

у(4.9)

т. е. как результат применения антисимметричного дифферен* циального оператора к детерминанту Слэтера.

Предположим, что известно решение нестационарного уравнения

+ Г = 0，(4.10)

где ф/(х)——обобщенная функция в R%, антисимметричная по у,, непрерывно дифференцируемая на границе D и полиномиально растущая на бесконечности. При выполнении этих условий симметрическая функция

①t (%) = JJ (理⑴一打)+ 詣一号)%(%) (里1D

удовлетворяет в области £) и ее образах нестационарному уравнению Шредингера, соответствующему (4.1). Действительно, в открытой области Z) и т. д. производные и функции е из (4.11) коммутируют. Сделанные предположения позволяют осуществить разложение Фурье 屮《％), а следовательно, и функции 2力(尤),определяемой выражением (4.11), по системе элементарных функций 2依］(x)e~iEt.

НОРМИРОВКА СОСТОЯНИЙНЕПРЕРЫВНОГО СПЕКТРА

Отметим вначале, что элементарная волновая функция (4.5) дает решение задачи рассеяния N бозонов с отталкиванием, начальные и конечные импульсы которых образуют с необходимостью один и тот же вещественный набор ｛归｝. В силу полной симметрии волновой функции, матрица рассеяния сводится просто к фазовому множителю, который будет определен ниже. В гл. 10 мы вернемся к построению S-матрицы в общем случае.

Упорядочим набор импульсов k следующим образом:

｛fe｝三 D, Q:財 > 局 > • • • > 々n・(4.12)

Волновая функция (4.5) содержит только одно чисто входящее слагаемое, отвечающее тождественной перестановке: А(/)Х Xexpi(®%i+ ... + ^^x^). Действительно, пакет волн, сосредоточенных вокруг 尼，не может иметь взаимодействий в про-

шлом, если х принадлежит D, Точно так же в разложении (4.5) существует только одно чисто выходящее слагаемое, отвечающее перестановке Т, полностью обращающей порядок импульсов 々：

Tj = N-]+ 1, V/.

Слагаемое

4(Т)ехр*%%1 + 々N-M2+ • • • + 財％n)(4.13)

приводит в области D к волновому пакету, не испытывающему столкновений в будущем:

左зk2&

•i"i ■•" 1*—1—»A

*1&*3*

5-матрица при этом равна

S｛х書=n^Sl (4•⑷

С точностью до множителя X-1 (/) (или Д-1 (Т)) функции (4.5) можно рассматривать как входящие (или выходящие) состояния рассеяния.

Представляет интерес вопрос о нормировке состояний непрерывного спектра ——задаче более легкой, чем аналогичный вопрос для состояний дискретного спектра конечной цепочки или состояний системы в конечном объеме (Годен, 1971а).

Предложение. Введем обозначения для антисимметричной фазы

2〃 = 2arctg 耳三瓦(4.15)

и нормировочного множителя

G (盼=П(1+号岳)•(416)

Ki

Определенные на D функции

aI%〉= (2冗厂"/2G他)7住2｛々｝(%)=

= (2n)-N/2 2 expf 2 2p/,pz + 2%/p/] (4.17)

задают унитарное преобразование, т. е. выполняется соотношение

卜々1%〉*期1%〉3% = 口"&一哈，阮公

а также соотношение полноты.

Доказательство соотношения полноты

Речь идет о доказательстве равенства (%, у ^D) 〃=\ 脚К?7优)2{也}(%)2%匂)=m!(2冗产6(% 一 力(4.18) Rn

Алгебраическая часть. Введем обозначения

а(/, /)=1 - 1y^1r；(招 ЯО = . х%г (4.19)

Прдставляя элементарные волновые функции (4.5) в подынтегральное выражение (4.18), получаем ，N= \ dNh 2 G-^k) 口。(&, &)a(Qi, Q/)X

Rn p，Q /</

X exp [i {Pk, x) — I (Qk, y)L (4.20> где сумма берется по всем парам перестановок Р и Q порядка ^. Используя выражение (4.16) для G (k) и суммируя по перестановкам Р и R = Q"P, получаем

/n= \ dNh 2 口^^瓦 ка)・ (4.21) Rn Р，R у

Рассмотрим теперь двойное произведение по всем парам индексов в (4.21). Совершая замену немых индексов в числителе

R)=八(4.22)

имеем / I I、 n a仍，勿) na(PR—i，PRTj) — RtyRi'

— IP (PC) • W

УKi

В числителе и знаменателе фигурирует N(N — 1) /2 пар индексов. Каждой паре индексов {/, /} в знаменателе левой части (4.23) отвечает такая же пара индексов {f, /} в числителе; тем самым для каждой пары имеются две возможности:

/ = I, f = /：

Y /, Ri < Rj(4.24)

и соответствующие члены в (4.23) сокращаются;

(4.25)(4.25)J = /,『=j：

(4.25)

(4.25)

У，砲 > Rj.

В этом случае будем говорить, что пара {г, /} обращается перестановкой R и записывать это как {i,/}& Например, для /? == [з 1 4 2] имеем

{1，2* {1, 4}r, {3, 4}r.

Соответствующий случаю (2) множитель в (4.23) равен

а (РЛ Р/)'亿加，(4.26)

Таким образом, исследуемый интеграл принимает вид

几=\ d” £ П 悪匕:笠 W f 2 Mi ⑴—У#) •(4.27) Rn PM {i，j }r' z/

Замена переменных интегрирования kpi -> ki дает

厶=X /(/?),(4.28)

Rwn

где

/(R) = M\d” П 立心 e z •(429)

Rn 5 "r

Интегрирование. Остается выполнить интегрирование в (4.29). Рассмотрим вначале интеграл /(1), отвечающий тождественной перестановке. Обращенных пар (4.25) в этом случае нет и мы получаем простой ответ

/⑴=М (2冗严6 (修一 ％)・・・6 (%从一 у J. (4.30)

Для того чтобы доказать равенство (4.18), достаточно доказать, что

/(/?) = 0, VR#=1, X. у ^D.(4.31)

Пусть дана нетождественная перестановка /?=/=!. Для каждой пары {/, /}я имеем импликации

Ri>Rj

и х w D今心< 沁

и y^D^yRi>yR1.

(4.32)

Если ввести обозначение

li = ^i — yRb

(4.33)

но из соотношений (4.32)

следует

& < /，

если f < / и 亿 j}.

(4.34)

Величины & представляют собой частично упорядоченное множество по отношению {,}& Введем граф Г, вершинами ко-

торого являются индексы /,/,..., а ребра соединяют вершины i и /, если {，，/}/?. Поскольку R，Т, граф содержит по крайней мере одно ребро. Подынтегральное выражение в /(R) состоит из множителей, соответствующих каждой вершине и каждому ребру графа Г. Тем самым интеграл /(R) есть произведение интегралов, отвечающих каждой связной части Г. Рассмотрим некоторую связную часть Гс графа Г с L вершинами и по меньшей мере с одним ребром. Соответствующий интеграл обозначим /(Гс). Заменив в случае необходимости индексы переменных fe, получим

(4.35)

В переменных ^ е Гс интеграл /(Гс) есть обобщенная функция ——преобразование Фурье рациональной функции, инвариантной относительно трансляций. Следовательно, ее носитель есть гиперплоскость

玄 £ = 0・ (4.36>

Покажем теперь, что наименьшая из величин 自 отрицательна. Ясно, что имеется такая вершина m графа Гс, что

口《自厶 ViwIY(4.37)

Пусть {п}——набор вершин Гс, которые связаны ребрами с т. Поскольку имеется ребро (т, п), то существует пара {/и, m}r, и по определению

т<п и 自加 V 8〃(4.38)

или

他>几 и у > 自公(4.39}

Вторая возможность не совместна с (4.37), и остается только (4.38). Предположим, что 自俏》0, тогда, в силу (4.38), (4.37), заключаем £ 自》> 0, что противоречит (4.36). Следова-

тельно, {т, п}РеГс=>^< 0 и т<п, (4.40)

что позволит показать обращение в нуль интеграла /(Гс).

Согласно теореме Гельфанда и Шварца об обобщенных функциях, преобразование Фурье /(Г ) можно вычислять как предел интегралов по ограниченным интервалам ——Kt V 々，V

V/С, I = [1, L] при /(/-> -|-оо. Проинтегрируем вначале по переменной km- Соответствующий множитель в /(Гс) равен

(4.41)(4.41)4= lim \ dkm П 凯二：*；^ 产丽. 巾-% п От»

(4.41)

(4.41)

Все полюсы подынтегрального выражения расположены в верхней полуплоскости km = kn + ic, а на бесконечности справедлива асимптотика Ц = 1 + О (^т1)- Отсюда заключаем, что

]т = 2лд (gm) + функция, равная нулю при ^ < 0. (4.42)

Следовательно, в полупространстве 自俏 V 0 обобщенная функция Jm равна нулю. Это влечет за собой равенство нулю / (Гс1 и /(&) = 0 (&=/= 1) в открытой области D.

4.22 Нормировочный интеграл

Представляет интерес непосредственное вычисление интеграла (4.17), основанное на замечательном алгебраическом тождестве, которому удовлетворяют коэффициенты волновых функций Бете. Определим обобщенную функцию наборов ｛尼｝ m停｝

которая представляет собой сумму преобразований Фурье ха・ рактеристической функции области D. Используя определения (4.5), (4.8), получаем

“ =£ 4* (Р) 4 (Q) \ "心，一。々，X)dNXt(4.44)

Р, QО

Введем обозначение

Ph — Qh' = q(4.45)

и вычислим обобщенную функцию переменных q

】N(夕)=J e-iQ X)dNX = 2冗6 (⑦ + % + • • + * #t X

X[(力 + iO)(力 + % + 2) • • •(力 + % + …+ 9"1 + 期尸・(4.46)

Выведем теперь равенство, которое будет использоваться в дальнейшем. Из определения интересующего нас интеграла с

очевидностью следует

Е Jn (W) = (2冗严 6(9i)6 (%) ...6 出)・(4.47>

С другой стороны, хорошо известное алгебраическое тождество дает

£ JN (Pq) = 2就n-峭⑨+ % +・・・+ qj X

X £ [(力 + 2)・・•(％一1 + 2)(分+1 + zo)... (qN + ZO)]-1. (4.48>

Таким образом, получаем равенство правых частей (4.47) в (4.48). Используя (4.44) и (4.46), запишем норму в виде

我=2冗严-% (% +・・・+ % —竹一・•・一 %) X

XAXA々1 +力0局+ iO ...归" +»0、

XA

XA

где введена следующая рациональная функция переменных {左} и {//}:

A ( ； ) = 2 不(Р)4(Q)[(% 一 %猴宀Р2一唯一或)…

• • •(归円 + • • • + 々p (N-1)—々Q1 — • • •—々Q (N-d)] L (4・50>

Для того чтобы записать А в виде, где сингулярности видны явно, мы воспользуемся фундаментальным тождеством, доказанным в приложении В. На основании формул (В.6), (В.7) получаем

а(；)=2з-"(3=

= 2/(R)d(R)R= 2/(R)d(R)R(4.51>(4.51>（左］十...+ 々N -々1 - • • •-々N）

= 2/(R)d(R)R

= 2/(R)d(R)R

(4.51>

(4.51>

（也1 -碍1）（々2 -或2）…（々N -后RN）

где /(R) —четность перестановки R, а коэффициент d(R) определяется выражениями

d (R) = б/ [(々1 —或 + ic) • • •(麻一々rn + S)] *(4.52}

% =% =& -左/ + ic& -左/ + ic(4.53>(4.53>

% =

% =

& -左/ + ic

& -左/ + ic

(4.53>

(4.53>

Итак, единственные сингулярности Д — полюсы в точках 々力= = ^，i VR и L Подставляя в выражение (4.49) для нормы 十

вместо Д разложение (4.51), получаем

4 = 23i/-i2/(R)d(R)><

R

U6 (岛 + .. . +々n 一々;一…一々%)

厶(" -或 1 + 2)…(*-1 一或(/-1) + m)(电+1 -段(了+1) + 2)• • •

(4.54)

Используя равенство, следующее из (4.47), (4.48), получаем

Н = (2冗严 §/ (R) d (R) 6 (々 _ %)・・・ 6 (% — 归/)・(4.55)

Ясно, что коэффициент d(&) достаточно вычислить в точке h｛=艮r「力=[1,府].Согласно (4.52) и (4.53), в этой точке имеем

d(R) = /(R)n(7££#二(4・56)

и, следовательно,

# ( ； ) = (2冗严G伍)£ 6 (勺一理J・・・6 (々n —々/)・ (4.57) Тем самым соотношение (4.17) доказано при условии, что наборы ｛归｝ и ｛氏｝ принадлежат D.

ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ

Уравнения Бете

Наиболее простой способ исследования экстенсивных свойств бозе-газа с отталкиванием состоит в том, чтобы поместить эту систему на окружность длины L, т. е. потребовать, чтобы волновая функция удовлетворяла условию периодичности по всем переменным. Ситуация полностью аналогична замкнутой цепочке атомов спина 1/2 из гл. 1. Так возникают условия периодичности

屮(修，%2，Xj =中(%2，%3，• • •，"N，*1 + L)，..

0: 0 V修V X2 V … V打 V L.

Оказывается, что эти условия совместны со структурой элементарных волновых функций, определяемых суммами (4.5), только при подходящем выборе квазиимпульсов, которые должны удовлетворять соотношениям

А (PC) е*Р也=А (Р) VP,(4.59)

где С ——циклическая перестановка (1 2 ... ^). Учитывая (4.8) и логарифмируя, получаем систему уравнений Бете

厶版=2冗/j-2 2adg(& —М)/с, ，= 口，M， (4.60) где числа 厶——целые или полуцелые в соответствии с тем, нечетно N или четно. В следующем пункте будет показано, что система (4.60) имеет единственное вещественное решение для каждой упорядоченной последовательности квантовых чисел

/,</2< ... </v.(4.61)

Существование решений (Янг Ч. Н., Янг Ч. П., 1969)

Систему уравнений (4.60) можно переписать следующим образом:

諾=0, / = [1, М，(4.62)

где использована функция

ki~kl

5 {々} = £ ■厶筋一2冗/自• + £ \ arctg k/c dk. (4.63)

Матрица вторых производных этой функции

。；■а切=(" + ?(e一財)2 + d ) 3"一(瓦-后/产 + "(4♦64)

положительно определена, поскольку ее характеристический полином

d/1謂方*

представляет собой детерминант Сильвестра ——сумму положительных членов при 厶——х > 0 и, следовательно, его корни вещественны и удовлетворяют неравенству к ^ L. Таким образом, функция B{k} выпуклая, на бесконечности она ведет себя как 4"丄 2 々彳 и, следовательно, имеет единственный экстремум, точ-

нее, минимум ——точку, где выполняются уравнения (4.62).

Несложно вывести отсюда, что для несовпадающих k, все А различны. Из уравнений (4.60) вычитанием получаем

1L的一同)一2冗(厶一厶)1 =

=2 2 arctg 瓦二纟一arctg '':电《^■丨无一同 I, (4.65)

где использовано неравенство | arctg % — arctg у | & | х — у |. Учитывая, что |/f — /у | ^ 1, из (4.65) получаем

I Е —同• 1》^ (1 + 胃)〔Р = %(4.66)

Вектор ｛左｝ есть непрерывная функция параметра с, поскольку &^d2B/dkidkj^ не обращается в нуль. В силу неравенств (4.66), разности (ki — kj) не могут обратиться в нуль для положительных с. Таким образом, порядок величин 々i,々2, •••, 々％ остается тем же самым, что и для

lim ki = 2л7JL (4.67) С-> ОО

Предельные волновые функции (с-1 = 0) являются волновыми функциями системы фермионов с условиями периодичности или антипериодичности и, следовательно, образуют полную систему. С учетом (4.61) мы получаем полный набор квантовых чисел. Квазиимпульсы k удовлетворяют неравенствам

/ 2л/,2л/簡

(4.68)(4.68)-£— < 电 < 局 V ... V k，N v ~、同+1一同 >^(1 + V)；

(4.68)

(4.68)

Замечание о пределе с = +0. Поскольку величины k не совпадают, можно определить антисимметричные фазы 屮订，—л V V р订 V 冗，такие, что tg (也"2) = с/(瓦——財)и переписать систему (4.60) в виде

Lki = 2冗仰 + 多'2“(4.69)

с целыми числами

勺=人一2 + ^(n+1).(4.70)

Последние образуют неубывающую последовательность квантовых чисел системы невзаимодействующих бозонов (с = 0). Действительно, можно показать, что фазы 屮 стремятся к нулю вместе с с. Предположим, например, что речь идет о состоянии 勿=0, i = [1, М . В окрестности с = 0 находим

、2订=(2也产(力一%尸+о (e),・

где qt ——нули полинома Эрмита HN(q) (см. приложение D)、

Гипотеза о норме

Пусть ｛力｝——набор квазиимпульсов, определяемый последовательностью квантовых чисел ｛几｝ так, как это было объяснено в п. 4.3.2. Мы предполагаем, что нормированная на единицу в области D волновая функция равна

恥L I2 exp |4 2 ^Ph Pl + iX 々拆，

。：0 V%i V <xn<L.

В качестве нормирующего множителя в этой формуле фигури* рует детерминант матрицы (4.64); он же равен якобиану

°("严2 ••• “N)

V2…践)().

Эта гипотеза доказана в следующих трех случаях: ^ = 2, тривиальным, когда некоторые из квантовых чисел совпадают, с-】=0 и с = 0. Последний предельный случай не является В самом деле, запишем последовательность 几i W /22 M ... W 冷& в виде • • • (—2)"-2(—I)"-】(0户(1戶⑵％ ..., который означает, что в последовательности число р встречается vp раз. Имеет место равенство

II 尹旳曲(4.73)

Используя (4.71), мы замечаем, что матрица d2B/dkidkj недиа- гональна, но распадается на блоки порядка 夕卩 Типичный блок порядка V, который приводит в детерминанте к множителю de｛||M/||, имеет вид

m/ = (1 + ?‘(分一例厂2) 6" 一(力一%厂2，(4.74)

где q【——нули полинома Н”(д), так как они удовлетворяют соотношениям

V

Qi = £' (% —力厂1(4.75)

Справедливо следующее предложение, которое завершает доказательство равенства (4.73).

Собственные значения определенной в (4.74) матрицы ||7Vi/|| равны целым числам 1, 2, ..., v— 1, v, а ее детерминант есть vl. Доказательство дано в приложении D.

Гипотеза о норме волновой функции бозе-газа естественно •обобщается на случай анизотропной спиновой цепочки

2 I а (〃1 几2 • • • 〃м) |2 == Q (入1 入2 • • •入M)/Q (电局• • •々м)・

Идея, послужившая основанием для такой гипотезы, восходит к работе (Ричардсон, 1965), в которой используется теорема Фейнмана (вариация энергии по параметру) для вычисления некоторых матричных элементов в одной задаче, где волновая функция имеет структуру упрощенной суммы Бете (см. п. 13.1.3). Подробное изложение содержится в работе (Годен, Маккой, By, 1981).

Доказательство этой гипотезы, основанное на формализме квантового метода обратной задачи, было недавно получено Ко- репиным (1982).

ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЙ ПРЕДЕЛ

Основное состояние (<Лн6, Линигер, 1963а)

В работе (Янг Ч. Н., 1970) доказано, что

квантовые числа основного состояния не меняются во всей области с > 0:

^/ = 0, Vz ИЛИ {/} = I2—，2~~2~卜 (4.76)

в термодинамическом пределе N->8, N/L = p (плотность) квазиимпульсы k аппроксимируют распределение 力)на отрезке [―瓦,+%];

удельная энергия е0 = E/N и плотность р определяются уравнениями Либа и Линигера (предел уравнений (4.60) и (4.6)):

p 他)一Е j (他-左'产 + p ⑺=盡， (4.77)

pe0= \ fe2p (k) dk,(4.78)

P= \ P(fe)dk.(4.79)

Исключение вспомогательного параметра k^ из eo и p дает уравнение состояния для физического вакуума. Легко показать, что энергия является аналитической функцией с на вещественной полуоси с > 0. Точка с = 0 сингулярна, как это видно уже из

асимптотического распределения квазиимпульсов до термодинамического предела, которое дается формулой (4.71). Распределение нулей qi полиномов Эрмита ”м(д) при N 多 1 имеет вид 冗一1 (2方——夕2) 1/2 (Сегё, 1962) и приводит к плотности

р伯）〜与（40Р 一奴）叱 々。〜2 "6・（4.80>

Можно строго показать (см. следующий пункт), что выражение (4.80) дает первое приближение к решению уравнения (4.77) в пределе 左о/с》1, |左土左о|》с Природу особенности при с = 0 можно понять, воспользовавшись электростатической ана* логией, описываемой ниже.

Аналогия с круговым конденсатором

Интегральное уравнение (4.77) хорошо известно в теории потенциала как уравнение Лява для классической задачи о круговом конденсаторе (Снеддон, 1966). Рассмотрим два противоположно заряженных коаксиальных диска единичного радиуса, расположенных на расстоянии。друг от друга с потенциалами + Vo- В цилиндрических координатах (г, z) потенциал, создаваемый аксиально симметричным распределением заряда о(「) на нижней пластине (например, 2 = 0), допускает следующее удобное представление в терминах вещественной четной функции f (/):

I

V(r, 2)= \ [r2-(t + iz)2rmf(t)dt.(4.81>

По построению, потенциал V(r, г) — гармоническая функция вне нижнего диска, непрерывная и вещественная, поскольку f четна.

什⑴dt(产一Г2)1/2什⑴dt(产一Г2)1/2Вычисляя скачок нормальной компоненты электрического поля, мы находим, что плотность заряда а (г) и функция /(/) связаны преобразованием Абеля

什⑴dt

(产一Г2)1/2

什⑴dt

(产一Г2)1/2

(4.82)

Полный заряд на нижней пластине равен

1

(4.83)(4.83)Q = \ f (%) 〃

(4.83)

(4.83)

—1

При наличии верхней пластины с плотностью заряда ——а (г) > лежащей в плоскости г = а, условие равновесия для нижней

(4.84)(4.84)пластины запишется так:

(4.84)

(4.84)

1р, О)-Р(р, а)=几，0《р&1・

Подставив в (4.84) выражения (4.81) для потенциалов 丿(р, 0) и 丿(р, а), сделаем обратное преобразование Абеля, подейство-

вав оператором dp (/2 — р2)""1/2... . После всех вычислений мы получим уравнение Лява

11(f 一产)2 + m_Л .(f 一产)2 + m_Л .(4.85)(4.85)

1

1

(f 一产)2 + m_Л .

(f 一产)2 + m_Л .

(4.85)

(4.85)

Оно же является уравнением Либа и Линигера при изменении масштаба интегрирования и выборе параметров а = с/^о, Р。= =1/2. Итак, имеем соответствие

р 伐)=f 伍/岛)，(4.86)

1

p/fe0 = емкость = ^ f (t)山，(4.87)

一 i

Go/々^ = средний квадратичный радиус распределения заряда =

=\ 件⑺山 / \ f(/) dt. (4.88)

—1— 1

Классическая трудность задачи о конденсаторе состоит в том, чтобы найти асимптотическое разложение для емкости при малом расстоянии между дисками или, что то же самое, при очень большом радиусе и фиксированном расстоянии. Однако, каким бы большим ни был радиус, граничный эффект всегда существует и влияет на распределение заряда вдали от краев. В рассматриваемом пределе вблизи края возникает задача электростатики на плоскости, которая была точно решена Максвеллом методом конформных преобразований. Сшивка решений вдали и вблизи края ведет к формуле Кирхгоффа для емкости

Q = ± + 亲 Sg嘗 +。⑴。(4・89)

Этот результат был строго обоснован непосредственным исследованием интегрального уравнения (4.85) (Хатсон 1963) которое приводит к следующему разложению для /(/), справедливому на расстояниях, превышающих 0(a), ог граничных то-

чек ±1:

'(0 = ^^ + 石 a 一 ? 厂"2 S。g^ + 10g 辱)+。⑴，

(4.90>

На расстояниях порядка 0(a) следует брать решение Максвелла, которое согласуется с (4.90). Оказывается, что с указанной точностью формула (4.90) может быть использована для интегрирования по всему отрезку [——1, 1]. Таким образом, для плотности (4.87) и энергии (4.88) бозе-газа имеем ведущие члены

p = ^/4c + ^log-^+(4.91)

一纂+ ^唸胃1+(4・92>

Исключая 左° из этих уравнений, получаем два первых ела- гаемых функции энергии

% = ср_备pi/2c3/2 + ... .(4.93)

Однако мы ничего не можем сказать о характере этого разложения. Найденный результат совпадает с вычисленным в теории возмущений по методу Боголюбова (Либ, Линигер, 1963).

Термодинамика при нулевой температуре

Янг Ч. Н. и Янг Ч. П. (1969) получили следующие результаты.

e (炒[1 +е ~~]dkfe (炒[1 +е ~~]dkfР = —2冗Р = —2冗Давление Р бозе-газа с отталкиванием при температуре Г дается выражением

e (炒[

1 +е ~~]dkf

e (炒[

1 +е ~~]dkf

Р = —

2冗

Р = —

2冗

(4.94)

где функция псевдоэнергии £(左，Г) есть единственное решение нелинейного интегрального уравнения

=+^ *二修；叮:涇log(1 +• е~例/т). (4.95)

Величина А——химический потенциал, определяется соотноше

нием

Р

дР

дА

плотность.

(4.96)

Спектр возбуждений системы может рассматриваться как результат суперпозиции элементарных возбуждений типа «частиц» и типа «дырок» с энергией £ （为）и импульсом 夕（山）：

k

（4.97У（4.97У9他）=/心（狂）或/.

（4.97У

（4.97У

о

ПРИЛОЖЕНИЕ В

Пусть дана последовательность несовпадающих комплексных чисел ｛^｝ и другая аналогичная последовательность ｛々1.

Положим

"（吁П （"1^Ю Y = 〃,

（В.1），（В.1），А! （Р） получается заменой ｛々｝ f ｛々'｝,

（В.1），

（В.1），

Л （Р） получается заменой у-> ——у,

N （尸）= 4（尸7）,

т 「12... ^^

где перестановка 7 = ж, ж,•

L N — \1 J

Определим двойную сумму по перестановкам Р н Q:

\ 々1 • • •々N /р Q

х ［（々Pl —砲）（々Pl + kP2 —恥一质2）…

... （% + ... + kPN —々qi —…一々qn）］ L （B.2》

Очевидно, что Д^ есть рациональная функция, симметрическая относительно набора 々 и набора 狂 по отдельности. Эту сумму можно иредставить- как отношение двух детерминантов. Справедливо тождество

前，（в.з》

где

D = / J7г（В.4>

（电一电）（电一M+y） N

a 6^ — детерминант Коши

m|i^4・（b-5>

Доказательство. Тождество （В.З） получается обобщением случая N = 2. Доказательство （В.З） проводится индукцией по “

Л/ = 2. Заметим, что сумма £ 4 （Р） 4’（Q） （К —妬1）7 делится на , ,R Q

& +々2 — % —々2・В результате получаем

干 + У （耳 + /г?—々；—硝、1

（% - %） （4 -乂）丿（岛一从）（红2 - Ю

y2 + y （月 + 々2 - 乂一々2）、]

（々1 -々2）（从一硝 丿（电一硝饱一硝

Вычитая из первого слагаемого и прибавляя ко второму величину

—/г?）園一砲］Т' нмеем

a2= X /（R）d（R）［（岛一磺］）（々2- 盛2）］7， R

где /（R）—четность перестановки R, а коэффициент d（R） равен ._ （瓦一處2 + У）偽一^i + Y） （吁（…）（j）.

В такой записи обобщение на /V > 2 получается сразу и ведет к

= £ / （R） d （R） ［（% —々ri）（々2 —々rJ …（々n —々rn）］ 1（B・6）

d 住）=□（屈一^Г+Y）/n （曲一瓦）（A -冷・ （B・7）

Используя тождество Коши, получаем искомое тождество （В.З）. В то же время форма （В.6）——（В.7） представляет самостоятельный интерес, поскольку в ней явно видны сингулярности A# ——полюсы в точках

© = %・.，= ［1, ^］ V/?

Индукция по N. Определение （В.2） величины Аа эквивалентно следующему рекуррентному соотношению, которое получается после умножения обе-

N

их частей （В.2） на £ （储一从），замены PN = г, QN = s и использования л

Af и А в порядке N — 1:

BI.111OJI-BI.111OJI-(В.9)(В.9)Для доказательства по индукции предположим, что тождество (В.З) нено вплоть до порядка N——1. Следовательно,

BI.111OJI-

BI.111OJI-

(В.9)

(В.9)

J Минор ^ |г5 I Минор ^|f

Минор 6N |rs -

.11 (耳 一切 n (а

("—乂 + Y)П (々г —々；+ Y)П (同一从 + Y)/VS修 Г

где мы воспользовались следующим определением минора:

det||4||= £ (—l)iSars|MHHop 41rs・(В.10)

Подставляя в формулу (В.8) выражение (В.9) для Д^-l, перепишем доказываемое равенство Д^ =力v/M в виде

2 (& - 4) % = + 2 (-1)宀 I Минор Dn |「s (& - А + y) е£, (B.l 1) iг, s

где введены обозначения

分=口 (同一耳一у)/出一& — у),(В.12)

/ = 1

=П (4 - К + »/(&•- А + Y).(В .13)

/ = 1

Правая часть (B.l 1) есть сумма трех детерминантов порядка (乂 + 1), полученных добавлением к Dn строки и столбца с индексом 0. Итак, нужно доказать равенство

(В.14).(В.14).一 Y2 e (々一『)On =10⑴ I I0⑵ I + Y I0⑶ I， где использованы обозначения

(В.14).

(В.14).

Z^)= 0,< = py||rs, r,s = U,n,

(В.15)(В.15)硯)=%,^ro = ^r^n

(В.15)

(В.15)

晚=m鑑口 ， 礙=ё:，鑑=分・

Теперь заметим, что ненулевые элементы добавленной строки (или столбца) есть линейные комбинации элеменгов матрицы DN. Разлагая на простейшие дроби рациональные по параметру у функции ег и %, определенные равенствами (В.12) и (В.13), имеем

分=1 - £ & 修 一 У + Y)"1 = Y Z 力(储一⑷("一瓜 + Y), (B-16) 分=1- Z %(&-/ + y)r = Y Z "(同一由(& 一乂 +Y)■(B・17)

Отсюда следует

鑑7屮鄧=。(В・18)

Точно так же, комбинируя строки для матриц O(D и О") и столбцы для матриц 0⑵ ио⑶，мы получим

I。")』-Y%(2，肉S)，

(多依吩(В.19)

I О(з)| = -yDN ( 2 f/广-、Dn ( Z 3).

Подставляя в (В.19) выражения (В.16) и (В.17) для е» и е；, получаем 齐(I0⑴IID⑵I + yI0⑶I) = 2 -Y(晒-曲力-用+

十 Y X (-4“ + kfifj + Y%力)/(曲一々；+ Y)=

=-丫2 Z % + Y 2 (曲匕一4%) + Y X f%・(В.20)

Остается найти вычеты ft и 匕, используя (В.12) и (В.13). Имеем

£ % = коэффициенту при $ в е； = £ (ki —砌.

Аналогично,

2 % = X (包一硏)=2 匕,

z々/ R 4~ z(々？ 一硝一 4~( z (瓦-硝户 (B・2i)

W%=｝二(守一硝+ 等(£(『砧户

Подставляя (В.21) в (В.20), мы получаем окончательный результат

(I。⑴ I I。⑵ | + Y| 小3) I) = _丫2 X (& -硝， (B.22) Ni

который равносилен тождеству (В.14) и завершает доказательство тождества <В.З).

Предельные случаи. Предельный случай с-> 0 нетривиален и приводит к tohsдеству между перманентом и отношением двух детерминантов, найденному Борхартом (Мюир, 1966). Известное тождество

позволяет вывести равенство предел (В.З) даетпозволяет вывести равенство предел (В.З) дает曲一团N曲一团Nht-^N(同一从 y Nht-^N(同一从 y N

позволяет вывести равенство предел (В.З) дает

позволяет вывести равенство предел (В.З) дает

曲一团N

曲一团N

ht-^N(同一从 y N

ht-^N(同一从 y N

Борхарта непосредственно. Как можно показать,

Метод доказательства изложен в приложении К, где приведено другое замечательное выражение для Д^ или для отношения DnRn.

ПРИЛОЖЕНИЕ С

"(力"(力Чтобы проиллюстрировать характер трудностей, встречающихся на пути непосредственного вычисления нормы или средних значений, мы приведем* здесь рассуждения, которые показывают ортогональность собственных состояний системы бозонов на окружности. Мы хотим вычислить скалярное произведение двух состояний, заданных различными наборами ｛々｝ * ｛々'｝——различными решениями уравнений Бете:

"(力

"(力

阳〃n，"｝⑺屮ри(%)•(C・l)

О V %] V • • • V%n V L

a)X * X 4・ii

Для различных полных импульсов ортогональность очевидна. При сдвиге- всех координат на Е

+ E(С・2)

имеем

Ф｛^3(У)= с'* * '屯；и(*)(С.З)

н, следовательно,

О

=W d±e缕 £d少, d% …％N県(у)幅匂).(C.4)、

ОEV%V・・・VyNV+L

В силу условий периодичности, интеграл по у не зависит от начальной точки интегрирования на окружности. Оставшийся интеграл по g дает нуль, если 2 (々一凯)*0

Рассмотрим случай совпадающих полных импульсов. Вновь из условий периодичности следует

/(；J = L 、 友2 •••右戸标停｝(0, x2京)=

0 V %2 V • ， ， V *N V l

=厶 X 4* (P) * (Q) / (P, Q), (C.5)， P，Q

где

/ (p，Q) =,6一(%*2 + ••• + 4N研)d々…dxN. (C.6)>

0 V %] V • • • V *N V L

Используя обозначения п. 4.2.2 : q = Pk — Q^', получаем

/(P, Q)= L(c.7)

где

厶丿 S)= qм(9м + 9м—1)…(夕乂 + …+ 力)®м + …+ % + qj …

…(9М+…+gm+2) мы приняли во внимание равенство

% + 的 +•••+” 三 £(々一々')= 0.(С.8)

Рассматриваемая как функция N—1 независимых переменных, правая часть (С.7) является голоморфной функцией, полюсы в знаменателе лишь кажущиеся. Однако, если {々} являются дискретными решениями уравнений Бете, вычисления будут справедливы только вне тех исключительных значений (например, параметра L), где знаменатели случайно обращаются в нуль. Здесь можно было бы сослаться на непрерывность скалярного произведения по 厶. Чтобы избежать этих слишком туманных рассуждений, модифицируем уравнения Бете следующим образом:

〃/ -> 〃/ + ie —2^~i e > 0,(С.9)

что равносильно сдвигу импульсов

同f々了 +注(С.10)

Для набора {//} положим 左;一> /г；——Ze, и все знаменатели в (С.7) приобретут положительную мнимую часть.

Устраняя экспоненциальный множитель в (С.7) с помощью условий периодичности

Л (Р) e*PNL =之4 (рс-1), z = е叱 имеем

Д* (Р) Af(Q) ,т (4N + …+ 4М+1 М = n2(N-M)4* (pcM-N)『(qc^—N).

(C.ll)

Подставляя выражение (C.7) для ЦР, Q) в правую часть (С.5), принимая во внимание (С.11) и делая замену Р PCN~M, Q QCN~M в суммах по перестановкам, заключаем

% (；)=既厶 £ 不(Р)才(Q% У (N—M) X

'X [^ (彻 + ^-1) •••(%+•••+ 的)「展"(С」2)

Двойную сумму по перестановкам можно вычислить, используя алгебраическое тождество (В.6) — (В.7); при этом важно, что результат пропорционален S (k - kf) = 2点论：

”(/)= Hm 2N ieLNA (%),(С.13)

где

△7_~ : 7—~ ・(С.14)

I々丿 kf一曲々, — h( + tc " — " + ic

За исключением тех значений L (или с), для которых возможно совпаде ние kf =々；，заключаем

(С 15}(С 15}"（:）=。・

(С 15}

(С 15}

Доказать, что для решений {«} и {々'} уравнений (4.60) такое совпадение произойти не может, представляется затруднительным. Здесь придется для получения общего результата снова сослаться на непрерывность.

Заметим, наконец, что предыдущее рассуждение неприменимо к вычислению нормы. Дело в том, что в формулах вида (С.7) для некоторых 尸 или Q появляются знаменатели, тождественно равные нулю. Сдвиг ^ -> ^ + гег 勿一►尼'——ie должен быть выполнен перед применением формулы (С.7), так. как при ее выводе использовалось соотношение Е(/г ——kf) = 0.

ПРИЛОЖЕНИЕ D

Предложение. Собственные значения матрицы порядка v

储尸(1 +多，⑺一叫一2) 6/ 一 (% 一力厂2，(D.D

где величины qi -—нули полинома Эрмита Hv (^), равны целым числам 1, 2, ..., V — 1, V.

Доказательство. Покажем, что матрица 2〃 подобна треугольной матрице Апт с диагональными элементами Апп = л.

Вычислим следующую сумму (〃 > 1):

£ nW； = 一e ■^二今十小=_2， 2不成(力一%厂I 建= z=li/ a+B=〃一1

=-Z’ 2 “ (力-建)/(% - %) +(" + 1)力，(D.2Ь

/а+3=п—1

где мы воспользовались соотношением

Z'(0/ — „)т = —qt・

Таким образом, имеем

£ N^q； = 一2‘2 (卩 + 1)心d + 5 + 1)力 (D.3)・

/ = 1/ 入+|1 =九一2

После замены в правой части (D.3) суммы X 夕，на ——夕，+ числовая функ- ция X и V, эта правая часть становится равной (% + 1)力+ полином по qt степени (п — 2). Следовательно, существуют такие коэффициенты Апт, что- 2/*:=2 疗4加，4咖=" + 1.(D.4)

/ = 1в=о

Эти уравнения проверяются.Равенства Тельно,Эти уравнения проверяются.Равенства Тельно,справедливы для л = 0, 1, 2v— 1. Случаи « = 0, 1 легко

Эти уравнения проверяются.

Равенства Тельно,

Эти уравнения проверяются.

Равенства Тельно,

(и.5/(и.5/(D.4) влекут за собой подобие матриц ||N|| и ||А||. Следова-

(и.5/

(и.5/

det N = v!

Глава 5

Волновые функции Бете, связанныес группой отражений

Рассмотренные в предыдущих главах симметричные волновые функции системы бозонов или цепочки спинов были представлены в виде «сумм по перестановкам», т. е. как суммы по операторам некоторой группы отражений. Это замечание связано с оптической аналогией для систем с точечным взаимодействием (Макгайр, 1964): уравнение Шредингера для ^ тождественных одномерных частиц с точечным взаимодействием совпадает с уравнением оптической волны в Ммерном евклидовом пространстве, которая рассеивается набором ^(^ — 1)/2 бесконечно тонких пластин, расположенных на гиперплоскостях м — %/ = 0. Волновая функция Бете — суперпозиция всех волн, прошедших и отраженных в калейдоскопе, который образован набором пластин. Отсутствие дифракционной волны будет доказано в гл. 10.

Метод суперпозиции, который подсказывает оптическая аналогия, приводит к решению задачи о бозонах, находящихся на отрезке [0, L], что позволяет вычислить граничную энергию. Та же техника позволяет получить решение для открытой спиновой депочки, т. е. цепочки со свободными концами. В конце главы строится волновая функция обобщенного калейдоскопа (Коксе- тер, 1948), связанного с различными конечными группами отра・ •жений.

БОЗЕ-ГАЗ НА КОНЕЧНОМ ИНТЕРВАЛЕ

Элементарные волновые функции на полуоси

Граничные условия для волновой функции системы в «ящике» [0, L] таковы:

^" (%】—0, %2, • • • , %N)— °,(5.1)

屮(%1，%2，• • •, ^N ^) == ®»(5.2)

{x} e D： 0 & %1《％2 & • • • & %N & £•

Построим элементарные решения уравнения Шредингера «4.1) в Rn (xz ^ 0), которые удовлетворяют условию (5.1) на

границе 打=0 фундаментальной области

。+: 0 < X] < х2 < •. • < xN < оо(5.3)

Согласно оптической аналогии, естественно искать 4r как суперпозицию всех элементарных волн 巾浊 (формула (4.5)), которые получаются отражением от стенки % = 0. Рассмотрим последовательность ^ различных положительных чисел

{\k\}: \k,\<\k2\<<\kN\(5.4)

и определим 2" наборов {е}, £/ = ±1:

{左} = {也，紘尼n}，左/ = £/1 左/1・(5.5)

Все состояния 屮{» имеют одну и ту же энергию

N

Е= 2 赭，(5.6)

/=1

■а волновая функция

屮U尼 1}(%) = Е С®,办，•…，&n)屮{毋(％),(5.7)

{е；

очевидно, удовлетворяет уравнению (4.1). Коэффициенты 6({е}) определяются из условия (5.1), которое принимает вид £ 2 С ({е}) 口 (1 + kp.-kPi )ех₽(/р2& + • • • + /%pn%n) = 0・

У(5.8

Просуммируем по £pi, считая Р и остальные 8 фиксированными. Таким образом получаем 2N~} уравнений

С (% …еР1 喇 Н (1 + 仄二左)+

+ С (5 . • • —Epi . • • £%) 口 (1^~3 ) = 0, (5.9)

единственное решение которых равно

С ® •.・ ej = £1^2 • • • ^N п (1—17(5・1。)

где учтено, что ki + kj = & |句十 叫岛|. Следовательно, решение с элементарной симметрией, которое обращается в нуль в начале координат, при {%}三 D+ имеет вид

/厶№)=諄口叫(1 - *7)(1 +高看7)X

X exp (恤 Mi + …+ ikPNxN) (5.11)

с kpi = spi\kpi\. Получилась сумма по 2^^! элементам группы отражений ^-мepнoгo куба.

Спектр энергий

подхо- (5.11).подхо- (5.11).(5.12>(5.12>Второе граничное условие (5.2) удовлетворяется при дящем выборе параметров \k\ в элементарном решении Непосредственно получаем соотношения

подхо- (5.11).

подхо- (5.11).

(5.12>

(5.12>

2 SN П (1 — %；")(1 + j^^)exp(%NL) = 0, &PN i < L ' '

которые должны выполняться для всех Р и всех {е}. Положив PN = а, получаем

2ikaL — ТТ 々В + 々а + " 左В —左а — ‘° _ '-LX ka 4" ^а — ic 电一々а + ic

В такой форме система уравнений, очевидно, инвариантна относительно всех отражений и представляет собой систему уравнений на спектр. Подставляя для простоты йа вместо |力《| и используя принцип непрерывности по константе связи с, перепишем систему в виде

焼£ =冗&+ £ (arctgw+ arctg 不糸鼠)，(5.14)

где 左а > °, а целые числа па представляют собой систему квантовых чисел свободных бозонов в ящике (на отрезке [О, L])

(5.15)(5.15)1 & AZ J & AZ2 & • . . 《 /^n.

(5.15)

(5.15)

Система (5.14) подобна системе (4.69) бозе-газа с периодическими условиями, и существование вещественного решения может быть доказано тем же методом. В действительности существует точная связь между системой в ящике [О, L] и 2L-ne- риодической системой той же плотности. Рассмотрим класс 2А-периодических состояний 2^ частиц, определяемых квантовыми числами

{八}2% = {{—〃}%, {+〃}%}, 〃/>0・(5.16)

Последовательность {^}2^ принимает тогда вид

伏}2N = {{一牙 N，{处з，%>0・(5.17)

В этом случае уравнения 2£-периодической системы принимают форму (5.14). Единственность решения позволяет утверждать, что

Еят 厶{八}N = £<экр 2L {{ — 〃}乂，{〃}%}• (5.18)

Граничная энергия в основном состоянии

Основное состояние в ящике L отвечает возбужденному состоянию {{—1}^, {l}^} газа в периодическом ящике. Это замечание позволяет вычислить граничную энергию Ef газа в ящике в термодинамическом пределе

耳=lim {E^l-E^i^.(5.19)

Это определение совпадает с естественным определением энергии системы

En = zqN + Ef +О(5.20)

поскольку легко доказать (Годен, 1971с), что

E°kpn = %2+ 0(3),(5.21)

используя простое расширение метода Янга строгого вывода уравнений (4.77), (4.78). Таким образом, величину 2Е? можно вычислить как разность энергий состояний {{—1}^, {1}“} и {0}2^； эта величина положительна.

Уже описанным методом получаем

Ef = 2 j kg (fe) dk,(5.22)

где нечетная функция g(k) есть решение интегрального уравнения

g ® j (出))％ = 4- e 便).(5.23)

Чтобы вычислить основной вклад в £7 в пределе с/р《1, можно использовать приближенное решение (5.23), получаемое методом Каца и Полларда (1956). Вводя переменную х == k/k^ приближенное уравнение

1f g'(y) dyJ 乡一% 一—11f g'(y) dyJ 乡一% 一—1冗林冗林eWeW(5.24)(5.24)

1

f g'(y) dy

J 乡一% 一

—1

1

f g'(y) dy

J 乡一% 一

—1

冗林

冗林

eW

eW

(5.24)

(5.24)

можно обратить:

е(х) logе(х) log(5.25)(5.25)1 一初 + 小1 一 d) (1 一 /)践 1 — XV — V(1 — X2) (I — у2)

е(х) log

е(х) log

(5.25)

(5.25)

Формула (5.22) дает основной вклад в граничную энергию при большой плотности

1

勺=2務 \ yg (у) dy 〜告产рЗ/2.(5.26)

Эта величина положительна, поскольку ее можно рассматривать как энергию возбуждения газа с периодическими граничными условиями, как это было установлено ранее. Она имеет особенность того же вида, что и удельная энергия.

ОБОБЩЕННЫЙ КАЛЕЙДОСКОП

В этом разделе будет показано, что элементарные волновые функции бозе-газа на прямой (4.5), (4.8) или на прлупрямой (5.11) являются частными случаями волновых функций более общего вида, которые могут быть названы волновыми функциями обобщенного калейдоскопа. Такой калейдоскоп представляет собой попросту систему бесконечно тонких пластин в многомерном пространстве, которая порождает конечную группу отражений. Это обобщение есть не что иное, как оптическая модель Макгайра. К сожалению, новые волновые функции в Rn не совпадают более с волновой функцией системы ^ частиц с парным взаимодействием. Возникающие при этом многочастичные (3,4,6, 8) потенциалы 6 оказываются в высшей степени не реалистичны. Тем не менее это обобщение проясняет природу волновой функции Бете, демонстрирует ее жесткую структуру, выявляя в полной мере ограниченность рассматриваемых моделей.

Обобщение по аналогии

Простая аналогия ведет от рассмотренных в разд. 4.1 и 5.1 примеров к следующему обобщению. Пусть G — группа отражений конечного порядка, элементы которой действуют в евклидовом пространстве Rn, оставляя инвариантным скалярное произведение (%, у). По предположению, группа порождается конечным набором генераторов gv, v = 1, 2, г, которые задают отражения в гиперплоскостях Hv с вектором нормали nv： g、H、= Н、, gWv = —〃v，g^=L(5.27)

Пусть D — фундаментальная область для G, т. е. выпуклая область в Ry, обладающая следующими свойствами:

gD(]D = 0, VgwG, g，l,

U 函=6・(5.28)

g

Такая область существует и обладает следующими свойствами (Вейль, 1935; Коксетер, 1948):

Для конечной группы она ограничена г гиперплоскостями проходящими через точку х = 0 и определяющими некоторый набор генераторов G.

Нормированные векторы nv, (п^,孔v)=l удовлетворяют соотношениям

(nv,拉快)=—cos《0, Puv = 2, 3, 4, ..., оо. (5.29)

Выпуклая область D определяется неравенствами

(nv, х) > О, V”, х^ D.(5.30)

Пересечение D со сферой с центром в точке х = 0 представляет собой сферический симплекс или сферический выпуклый многоугольник, ограниченный дугами больших кругов, пересекающихся под прямыми углами или острыми углами 冗/2, л/3, ««« ♦

Матрицу р^у принято представлять в виде графа с 广 вершинами и непомеченным ребром, соединяющим вершины 卩 н v, если 限=3, отрезком с индексом 4,5, ..., если 限=4, 5, … . Такой граф (схема) характеризует симплекс, а следовательно^ и группу. Мы к этому еще вернемся в п. 5.2.3.

После данного определения фундаментальной области встречавшиеся ранее элементарные волновые функции представляются в виде конечной суммы по элементам группы G:

屮伏№)=x A(g)e""'叱 財工三0.(5.31>

Ограничивающее предположение: функция ^(х) считается симметричной в R", т. е. задания ее в £) достаточно для определения ее во всем благодаря свойствам (5.28)

屮依}(g%)=屮同(%)， 尤wD(5.32)

В силу (5.31), функция 4f является решением уравнения Шредингера в фундаментальной области D:

一А"屮⑴=(耳力)屮⑴，x^D.(5.33}

Остальная часть 4f определяется условиями на границе D, которые не произвольны. Как и в рассмотренных уже примерах*

они имеют вид линейных соотношений между 4r и ее нормальной производной на гиперплоскостях, ограничивающих Q:

^e (黑)一2%屮 1，巨/=0,談三仇，V),(5.34)

4r(х) = 0 при х, лежащих на некоторых %, что эквивалентно равенству с” = оо на этих гиперплоскостях.

Константы % еще предстоит уточнить.

Используя симметрию (5.32), легко видеть, что условия (5.34) выполняются, если коэффициенты A (g) удовлетворяют равенствам

4 (gvg) (几V' g&) + Svо pr\

/(g) - Sv，或)一心()

для любых g 巨 G и произвольного генератора gv・

Волновые функции, связанные с полупростыми группами

Теперь мы используем известные свойства групп отражений конечного порядка, чтобы построить некоторый класс элементарных решений граничной задачи (5.33), (5.34), разрешая при этом уравнения (5.35) для некоторого выбора коэффициентов с”. Сферические симплексы перечислены Коксетером и, за двумя исключениями, они могут быть определены с помощью корневых диаграмм простых групп Ли, хотя это соответствие не взаимно однозначно и могут существовать две различные векторные диаграммы, например BN и Cn (соответствующие SO^N + 1) и Sp(2N)), имеющие одну и ту же группу отражений (группу Вейля), которая есть в точности группа порядка 2"Ли из п. 5.1.1. В дальнейшем мы будем строить решение поставленной задачи именно по корневой диаграмме полупростой группы Ли Г.

Пусть V, |i, ••• — некоторая система 广 простых корней Г. Тем самым определены сферический симплекс и фундаментальная область в Rn：

nv = v(v, v)"1/2, D: (v, x) > 0.

Пусть a, B，... — положительные корни, проекции которых на простые корни не отрицательны, т. е. (а, х) > 0, х ^ D. Справедливо утверждение

a > 0 (а #= V)=>gva > 0,(5.36)

где gv ——отражение в гиперплоскости Hv, ортогональной простому корню V. Это утверждение можно проверить для любой корневой диаграммы; в случаях 4#-i, Bn, Cn, Dn это делается очень легко, случай Е《рассмотрен в приложении Е.

Учитывая (5.36), получаем следующее решение соотношений (5.35), полагая

%= Се，旷叱e>0,(5.37>

4(g)= II(l—£к)・(5・38>

а>0

Действительно, согласно (5.38),

/(gvg)= n (1-而乙T)= а>0

=(1 + ГТ (1 一 7(5.39>

〈(V, gk) /\ (gw，g盼丿

а>0а * v

В силу (5.36), g”a положительны и различны, поскольку gv(a — р) = 0 => а — р = 0.

Таким образом, из (5.39) получаем

4 ®g)= (1 + О — 尸 4 3，(54。

т. е. равенства (5.35) при выборе с” в виде (5.37). Итак, справедливо

Предложение. Элементарная симметричная волновая функция

%}(%)= £ П О -7^W)exp{"%，g砌 (5・41> g 三 G a >0

есть решение уравнения Шредингера

—△nW + 2с £ 6 ((х, а)) 2 = (fe,期屮，(5.42>

а>0

где а ——положительные корни полупростой группы Ли Г и G — соответствующая группа Вейля.

Используя теорему Стокса, несложно показать, что гранич* ные условия в D (5.34) следуют из (5.42).

Частные случаи и обобщения

Лу_ь порядок группы Вейля N\

Пусть е», / == [1,2V] —ортонормированный базис в R%. Простые корни /4%т суть V = е»+1 — е『，а положительные корни a = С/——е〃 j > i. Группа Вейля G есть группа перестановок ^, образующими которой служат (N——1) транспозиций g” =

=Р, +• Схема с ^ — 1 вершинами такова:

① ②(Q)

(居 * = X/,

gaC，= C/，a = C/ —匕， g^ = B/, g 令 P RKn， (gN a)今(PA g 一内)=仍左)了 一(尸々),.

Фундаментальная область в R^ задается неравенствами

(打+1 —叫)> 0 今 D: %] V %2 V • • • V %N，

а потенциал в уравнении Шредингера (5.42) равен

2 6 ((х, а)) = Z 6 (勺一勺).(5.43)

а>и/> i

Выражение (5.41) в случае Д^-i дает уже известный результат (4.5) —(4.8).

Bn и Cn； Dn・

Простыми корнями являются, например,

Bn '

Cn 2е】>,с? — %, % — &2, eN — См-i， (5.44)

Dn е〔 + 纪

а положительными корнями

ef — eh。/+匕 (/ > 0 с 〃 для BN и 2匕 для CN. (5.45)

Группой Вейля, общей для B^ и Су, служит уже встречавшаяся группа гиперкуба порядка 2"N!. Преобразования этой группы таковы:

hfgh или hjfEpjhpj,(5.46)

где Р ——перестановка из 冗“，а 8： = +1, и имеется 2" наборов {&}. Граф содержит ^ вершин.

-- 亠.4

Группа Вейля для Dn является подгруппой предыдущей группы, такой, что 8182 ••• £n = 1・ Порядок группы Вейля равен

2"W!, а соответствующий граф имеет вид

Фундаментальные области в R^ определяются неравенствами。+： 0 < X! < х2 < ... < Xjv для 8n，

%1 V X2 V • • • V %N，修 + %2 > 0 ДЛЯ Cn・

В этих трех случаях потенциал имеет вид

p⑺=26 ? 6 (/)+ 2cg6 (叫一勺)+ 6 (打 + %力，(5.47)

где b/c = 0, 1/2, 1 для Dn、Cn и Bn соответственно.

Обобщение. Уравнение Шредингера с потенциалом (5.47) может быть решено при любых значениях b и с. Решение имеет вид

屮依} (%)= 2 4(g) exp "(%, gk)}, x^D+,(5.48)

g^G

где G — группа гиперкуба порядка 2"NI, коэффициенты 4(g) определяются формулой

4g) = Н (1 - ••运北疗)Н (1 一 诃 _£, g» ) X /=1/V/

X0—Zf49)

Легко проверить, что выполняются соотношения (5.35), связанные с отражениями g@, ga, а =⑦一分一卜 Например, g@ оставляет инвариантным двойное произведение в (5.49), и

(5.50)(5.50)^ (geig) _ (gr gfe) + ib

(5.50)

(5.50)

4 (g)~ — ®,或)一ib

Отметим, наконец, что элементарная волновая функция си

стемы бозонов на полупрямой есть в точности предел (5.48) при Ь = оо (после умножения на И| 左/ |/«Ь)")・ Действитель

но, потенциал 65(爲)с бесконечной константой связи требует равенства нулю волновой функции в начале координат, а часть 22 6(%i + Xj) в потенциале (5.47) не дает вклада на положительной полуоси.

Мы не обсуждаем исключительные группы 刀〃,поскольку они не ведут к системам, интерпретируемым в терминах частиц с парным взаимодействием. Мы не затрагиваем также и более интересную задачу, состоящую в построении волновых функций^ которые принадлежат неприводимому представлению группы размерности больше 1:

屮(g%) = T(g)屮(％),

т. е. волновых функций с произвольным «типом симметрии». Исключение составляет задача, связанная с алгеброй 4n-i, соответствующей группе перестановок л^, которая подробно обсуждается в гл. 11 и 12.

5・3・ ОТКРЫТАЯ ЦЕПОЧКА

При решении задачи о бозонах, волновая функция которых обращается в нуль на границах данного отрезка, в п. 5.1.1 был использован метод суперпозиции. Этот метод можно применить и для задачи о цепочке спинов 1/2 с гамильтонианом

Я= Е Ж+1 + SM+1 + A (s^+1 一 4-) ,(5.51>

в котором первый и последний спины не взаимодействуют между собой. Согласно методу из п. 5.1.1, уравнение для амплитуд и уровней энергии Е имеет вид

£ [а {心 一 Аа {п}] = 2Еа {〃},(5.52)

{献}

где сумма берется по всем допустимым переходам {〃}+{%'}• Распространим определение а{п}, как и ранее, на случай, когда среди и, могут быть равные и к тому же на отрезок [0, ^ + 1].

Тогда систему (5.52) можно преобразовать в систему разностных уравнений (1.20) и систему, аналогичную (1.21), которая выражает собой обращение в нуль всех запрещенных слагаемых в (5.52). Однако мы имеем два дополнительных запрещенных слагаемых, равенство которых нулю ведет к условиям на границах

а (°,孔2，几з, • • •) — Аа(1,几2，几з,

@(几i,儿2， •一，аm—i，1V + 1)——а"(几], •••,九М一1,N)==0・ Решение ищем в форме, аналогичной (5.7):

а (几 1，拉2, • • •，几м)=

= 2。® …е〃)2ехр[} 2 屮(①ра —①「в) + {е}Р к а<Р

+ 2 § 〃/尸а}, (5.54)

где йа = еа I ^а L Фа = еа I Фа I, вещественная часть М различных комплексных чисел {(ра} принадлежит отрезку [0, л]. Уравнения (1.20) выполнены, если энергия соответствующего состояния дается формулой

м

Е = 2 (cos 焼一А).(5.55)

а=1

С другой стороны, уравнения (1.21) будут также выполнены, «если антисимметричные фазы и импульсы связаны уравнениями (1.25) или, иначе,

ctg 等=cth 号 tg % A = ch ①，(5.56)

ctg } 2 (% — %) = cth Ф tg 色 ⑦邺•(5.57)

Остается удовлетворить граничным условиям. Из первого уравнения (5.53) следует

工 ехр {子 2@，i —q)pa)}c(5 … 冲1 …£м)(1—Ae'"i) +

+ д】°хр{^~ 2 ®Р1 + 9Ра)} С ® ••• —EpiЕм) X

Х(1 -Ае^ Р1) = 0・ (5.58)

Используя (1.26), запишем

L二竺 а = — exp (2фа)},(5.59)

I - Ае а

что позволяет преобразовать соотношения (5.58) к виду

崎;J.：.；：：； = exp {子(息 V (Фа - Фр) + 'f (Фа + <₽в)) +

+ »'Ф(2фа)}. (5.60)

Единственное решение последних есть

С® ем) = ехр{一子母"® +叫•(5・61)

Амплитуда записывается в достаточно элегантной форме:

■ {"} = £ 各 ехр {-у 旦屮(фра —①Р0)— 2 (①Ра + ①Р6)—

-4■蚤 2 (2必)+ /Е 曲pj・(5.62)

Остается удовлетворить второму из граничных условий (5.53), которое принимает следующий вид:

产рм (尹РМ 一 Д)ехр 伝旦屮(фра — <₽РМ)— 2 (<₽Ра + Фрм)| +

+ е"крм (「冲乂 - а) ехр {号。具 2 (* + <Ррм) -

—2 (фра —①РМ)} = 0. (5.63) Оно должно выполняться для всех Р и любых наборов знаков {е}. Это ведет к связи величин(ра и ka\ (n+1)备=冗統+也(2嗚+

+ 4" eg，少(g一伟)+ " 3a + 作)，(5.64) где {*}——набор целых чисел. Мы не останавливаемся на определении множества допустимых наборов. Вполне вероятно, что использованный в разд. 1.4, 1.5 метод Гриффитса позволит установить существование вещественных решений для определенного класса квантовых чисел. Можно также воспользоваться непрерывностью по параметру Ф (или 0, поскольку уравнения (5.64) при IДI < 1 могут быть исследованы тем же способом). Рассмотрим, например, случай нечетного числа узлов ^ = =2Л1 + 1 и Sz = 1 /2. Существует единственное состояние с вещественными k на всем интервале А > 1. Соответствующие 九 легко определяются, исходя из предельного случая Д = оо：

{九} = {2, 4, 6,2М}・(5.65)

Любопытно отметить, что в пределе Д = 1 система (5.64) для цепочки длины N совпадает с системой (1.32) для замкнутой цепочки длины 2N. При изотропном взаимодействии возникает ситуация, полностью аналогичная той, которую мы имели в п. 5.1.2 для систем бозонов на отрезке длины L и на окружности длины 2L (см. (5.18)).

ПРИЛОЖЕНИЕ Е

да имеемда имеемПредложение. Пусть а > 0 ——положительные корни системы корней, отвечающей алгебре Ли Г; v ——поостыв корни, gv ——отражения относительно гиперплоскостей Hv, нормальных к v и проходящих через начало координат. Гог-

да имеем

да имеем

(ЕЛ)(ЕЛ)g”a > 0, Vv*a.

(ЕЛ)

(ЕЛ)

Мы не приводим доказательства этой классической теоремы в общем случае, а покажем справедливость соотношения (Е.1) для исключительной группы F4.

По предположению, корень а есть линейная комбинация с неотрицательными коэффициентами простых корней

а = £％ > °・(Е.2)

Отсюда следует, что

са)

=(% 一 2£ с/・(Е 3)

Для доказательства достаточно показать, что коэффициент при v неотрицателен:

2 2^^%(Е.4)

или, иначе, вводя углы симплекса,

(V, »/2%《 У 2 cos n)1/2%.(Е.5)

Возьмем группу &. Пусть 乡一базисные векторы R% Простые корни равны

{^~ & - ё1-02 -ё3), &,02 一 %,03 - 0},(E.6)

а фундаментальная область, определяемая неравенствами (v, %) > 0, есть

D: 0 < х1 < х2 < %з,打 + %2 + %з V /•(F・)

Соответствующая диаграмма Дынкина, вершины которой отвечают четырем простым корням, имеет вид

4

①②③④

что дает pi3 = Рм — Р24 = 2, pi2 = Рз4 = 3, р2з = 4.

24 положительных корня группы F4 имеют следующие компоненты в разложении их по простым корням, которые подчеркнуты:

9

\J- и ^J. и ) I/ ^v 1 1 «1 11 9^

0

+ + +

(<)(2

0)_ о

(о一

о)S

о)

勺

Принимая во внимание (Е.8), соотношения (Е.5) перепишем в виде

e] ^^02,

(Е.10>(Е.10>e2 《e1 + 2С3

(Е.10>

(Е.10>

03 ^^ 02 + С4，

04 《e3,

что быстро проверяется с помощью приведенных выше компонент.

Глава 6

Непрерывный предел спиновой цепочки

БОЗОНЫ С ТОЧЕЧНЫМ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕМИ ЦЕПОЧКА ГЕЙЗЕНБЕРГА— ИЗИНГА

Амплитуда и энергия

Зная выражения для волновых функций, амплитуд и уровней энергии системы бозонов с отталкиванием, исследованной в гл. 4, и аналогичные выражения для цепочки спинов из гл. 1, легко показать, что первая система может рассматриваться как предел второй, когда шаг решетки а = L/N стремится к нулю, длина цепочки остается конечной, а параметр анизотропии Д стремится к единице таким образом, что произведение 府(А — 1) конечно.

Вспоминая материал разд. 1.3, мы исследуем предел цепочки спинов при ^-> оо, Д = cos 01 так, что

lim ^02 = cL, 1 - А = cL]2N.(6.1)

Если предполагать, что фазы 2aB остаются конечными, то 0а и 々а стремятся к нулю и, в силу равенств (1.38),

Gtg-y- = —20—，左а = ~у%・(6・2)

Положим

Lq& = lim Nka.(6.3)

Из (6.1) и (6.2) заключаем, что

ctg 号^ =；伉一％)•(6.4)

Предельная форма уравнений Бете (1.32)

Lq& = 2叭 + У 2呼(6.5)

совпадает с уравнениями для импульсов да системы бозонов с отталкиванием на интервале длины £ (4.60).

Если теперь рассмотреть амплитуды а {и} с аргументами ма, такими, что

=kana = ^axa,(6.6)

то получим

lim а (几]几2枕м) —"Фв(X)Х2 %м)—

=X 才(Р)ехр (勿рМ1 + Мр2%2 + • • • + 勿р"м)，(6・7> р

где рв — волновая функция (4.5) системы бозонов.

Для энергии получаем в порядке ^^2

E=l^-^^^ql-^(6.8>

а = 1а &

и, следовательно,

£ =絞品-асМ + О (а3),(6.9>

где a = L/N, Ев= ^ ql — энергия состояния 2в・ Можно также записать

Ев= Пт ($ + *)•(6.Ю>

Гамильтониан системы бозонов, эквивалентныйгамильтониану Гейзенберга — Изинга

Можно показать непосредственно, без перехода к волновым функциям, что гамильтониан цепочки спинов после подходящего изменения масштаба эквивалентен бозонному гамильтониану Нв. В гл. 1 уже отмечалась эквивалентность системе фермионов с нулевым спином после преобразования Йордана ——Вигнера. Эквивалентность системе бозонов основана на преобразовании,, которое использовал Дайсон (1956) при исследовании ферромагнетиков, ассоциируя с системой спиновых волн некоторый неэрмитов бозонный гамильтониан.

Введем компоненты Фурье

st = s eiknSn, h = q Р, р целое,—冗 V/e&% g%(6.11)

c- 一 V p~iknQ~ — ikn^z

которые удовлетворяют коммутационным соотношениям

[s甚 SP] = 2SQ% [s"S^ = St^，，①，S^ = Sj (6.12)) и в терминах которых гамильтониан (1.3) примет вид (/ ^ 1)

"а =号一等？ cos/j(StSr + AS：S^).(6.13)

Разложим собственные состояния |р〉 по неортогональному и переполненному базису

|^1 ... k^ = N^Sux ... S^|S2=Af/2>.(6.14)

Вычисление 〃|р〉 сводится к вычислению действия оператора S^S^ на вектор |左1左2 .・.左м〉・ Пронося этот оператор через операторы S号，получаем

S^S^I財… %〉= m(£6他一財))|自… %〉一

—2 2 俨1 • • • k ... % + & —比•.. ^м)・ (6.15)

Точно так же при 々 #= 0 находим

S%S：尼I 財• •・％〉= Л1| 財…kM) +

+ 2 X I 財• • •左/ —々• • • ki k • • •(6.16) 小了^i/

Таким образом, с каждым вектором |瓦...kM) связываем состояние системы бозонов

I ^i • • •月м〉~^ а® • • •。尼乂 I。〉== I а . • •左м〉в，(6.17)

где |0> ——вакуум для алгебры бозе-операторов а, а+:

旧，或］=6但一斤).(6.18)

Действие S£S^ на вектор |Z^ ... kM) эквивалентно действию некоторого бозонного оператора на состояние |^i ... 々м〉з； точнее

S卜 S吉-> N嘘%-z a^a以"，—尼0Рa"，(6.19)

и при后耍0

SkS-k -> Л4 H-，at■在a方上Аa尸痂，.(6.20)

Если использовать соответствие (6.20) для всех 论，включая и нуль, то необходимо добавить к сумме поправку

(N/2 — М)2 - М -例(М — 1) = №/4 — ММ где

М= 2 或耿.(6.21)

k

Тем самым мы приходим к выводу, что действие гамильтониана "в базисе | 论〉эквивалентно действию в базисе состояний бо-

зонов гамильтониана Л:

Н = 2АМ — 2 £ cos katak +

+ 等 Z COS左 2(Okap+p^kapap^ —\apf+kap-kapap^. (6.22) 尼 "，o'

Этот гамильтониан /7 неэрмитов и, по построению, его спектр содержит спектр оператора Н.

Слабый предел Я

Запишем П в виде

方= 2Л1(А— 1)十 £ 2(1 - cosk)atak + k

十 £ (皆(1 — A) cos 月 + 2 (cos 但 + /) — cos 左))X 々，p, pf

X ap+kap-kapap^ (6.23)

Заменяя дискретные индексы и вводя обозначения

hN = qL、g = 2冗业，—、<N <*、(6.24)

получаем

方 + ^^ = ^ 4 sin2 "^ 若a + -^" Z cos •!^- 碎+心二生勿，+ qq, r, rf

+ ~4~ X (sin? & 抵"丄sin? "I^")。扌+,a之落心产.(6.25)

4, Г，

Умножая обе части (6.25) на (N/L)2 и переходя к пределу в каждом матричном элементе 后,отвечающем конечным импульсам, получаем слабый предел

lim (-^■•后 + 怨J) = X 矿若％ + + X ^+qa^-qarar^ (6.26)

Суммы берутся по импульсам типа q = 2nv/L, v е Z. Первый член в (6.25) порядка 府-* которым можно пренебречь, является неэрмитовым и равен

2 (厂 2 + 2qr ) a^f+q(ir-q^rar, •(6.27)

W q r,rf

В правой части (6.26) мы узнаем гамильтониан системы бозонов с локальным взаимодействием и константой связи 2c на интервале длины L с периодическими условиями. Учитывая со-

отношение между собственными значениями Е для гамильтониана fl п Ев для Нв, мы снова получим равенство (6.10). Тем самым установлена связь между квантовым нелинейным уравнением Шредингера и гамильтонианом анизотропной модели Гейзенберга — Изинга.

Обобщение на ХУ2-модель

Было бы желательно распространить вышеописанный предельный переход на гамильтониан XYZ (1.5). Дополнительное слагаемое, которое при этом следует добавить к Яд, есть Яг=2Г £(S^+i-S^+1) =

=& £ COS 左(sfsth + S^S1)・ (6.28)

Согласно описанному в п. 6.1.2 соответствию, имеем

S^Sl f ^ (atatk + О (АГ】))，(6.29)

(6.14).(6.30)(6.14).(6.30)где множитель Л/ возник из-за выбора нормировки в Также имеем

(6.14).

(6.30)

(6.14).

(6.30)

S^S，т N (qq + О (『))，

поскольку точное соответствие есть

S^ f "戸(ak —令 E a%，_j")・S^ f "戸(ak —令 E a%，_j")・(6.31)(6.31)

S^ f "戸(ak —令 E a%，_j")・

S^ f "戸(ak —令 E a%，_j")・

(6.31)

(6.31)

Таким образом, соответствующий гамильтониан содержит дополнительное слагаемое

方「= F ? cos 々(atatk +。-网)•(6.32)

Для того чтобы это слагаемое было того же порядка, что и 8, т. е. O(N~2), нужно выбрать масштаб

(6.33)(6.33)F = Y % = 丫出

(6.33)

(6.33)

по сравнению с (1——А)= O(N-i). В пределе получаем

I吧(士 (方 + 瓦)+ *)=2 ^aq + £ Y 仅教二 + a一科)+ gq

+ £ 2 ^+q^qaram (6.34) q, r, r‘

где фигурирующая в левой части величина М понимается как W/2 ——Sz. В самом деле, определяемый правой частью (6.34)

гамильтониан не сохраняет число частиц. Его спектр a priori не связан просто с найденным Бакстером (1972) спектром XyZ-гамильтониана. Задача тем самым сводится к исследованию спектра анизотропной спиновой цепочки в магнитном поле.

МОДЕЛИ ЛЮТТИНГЕРА И ТИРРИНГА

Эквивалентная система фермионов

Применение преобразований Йордана — Вигнера (1.53) к гамильтониану XYZ-модели

N

= 2 ((S：Sh+i + SnS^d + Г (s；rs3 + SnSn+1) +

+ 2Д (S^+1- 1/4))(6.35)

дает нам эквивалентный гамильтониан в терминах ферми-опе- раторов

〃 =Z ((若+/ + 若4+1) + г (а&+】+。3喈)+ n = l

+ 2A ®g/34+i - апа^У (6.36)

Это утверждение верно только с некоторыми оговорками. Действительно, при преобразовании Йордана — Вигнера возникают граничные эффекты, упоминавшиеся уже в п. 1.3.4, которые могут быть учтены обычным образом. Однако ради простоты мы ограничимся рассмотрением состояний, для которых выражение (6.36) с периодическими граничными условиями является точным. Ясно, что для Г = 0 достаточно ограничиться нечетными М Для отличных от нуля Г величина М более не сохраняется, но сохраняется ее четность, поскольку фермионы рождаются или поглощаются парами. Таким образом, гамильтониан (6.36) согласован с классом состояний, имеющих квантовое число (-1)м = -1.

Для того чтобы использовать трансляционную инвариантность решетки, перейдем с помощью канонического преобразования к импульсному представлению

N

at == АГ】俘 £ at exp (ikn).(6 37)

kN = 2nm, m e Z, — л < A ^ л.

Гамильтониан примет вид

" = 2(2cos 咻％ — /Г sin k (fl+at^ + a左〃_ J)—

~4rE sid^ p_P"‘(6.38)

где введены плотности

P" = § ak+pak-(6.39)

Суммы берутся по дискретным значениям k или р (mod 2л).

Оператор S^ = N/2 ——М определяется формулой

M = Z 噂％ = Z 區м(6.40)

и является интегралом движения только при Г = 0.

Член взаимодействия в Н пропорционален Д. Система свободных фермионов, или ХУ-модель, соответствует случаю Д = =0 и легко диагонализуется. Энергия квазичастиц равна Е (左))=(cos 2 k + Г2 sin2 左)"2. Корреляционные функции выражаются в форме детерминантов; такая форма получается в термодинамическом пределе после длинных вычислений. Связь ХУ-модели с моделью Изинга на плоской решетке отмечена в гл. 7 и используется для вычисления критических индексов ч т. д. (Маккой, By, 1973).

Модель Люттингера. Гамильтониан

Прежде чем определять модель Тирринга как подходящий непрерывный предел XYZ-модели, исследуем слабый предел гамильтониана Гейзенберга — Изинга как системы фермионов. При этом спектр предельного гамильтониана совпадает с пределом дискретного спектра спиновой цепочки. Таким же было поведение системы эквивалентных бозонов в п. 6.1.3.

Разбивая зону Бриллюэна на две части в соответствии со знаком скорости (de/d^ = —sin k) невозмущенных возбуждений, совершим каноническое преобразование

a上+尼==力也b

「一^《左V(6.41)

которое определяет два типа фермионов 力左，° (о=1, 2) в каждой полузоне. Согласно (6.38) и (6.41), мы можем записать

"△ в терминах новых операторов bk, а

"△ + 2MA= £ 2 sinI ^1<Л/2"△ + 2MA= £ 2 sinI ^1<Л/2I р 1<лI р 1<л左(bt\bk\ — b^2bq + 学~ £ cos pp_pPp,

"△ + 2MA= £ 2 sin

I ^1<Л/2

"△ + 2MA= £ 2 sin

I ^1<Л/2

I р 1<л

I р 1<л

(6.42}

(6.43)(6.43)где использовано следующее разбиение плотностей РР = Рр + Рл-р> 0</?<Л,

(6.43)

(6.43)

Рр = Еbk + p, 1 匕耳 1 + bk+p, 2%, 2'

~<k<~p

PL р-л/25<л/22队，1 + 成"，4 2.(6.44>

Кроме того, имеется интеграл движения

(6.45)

Исследуем слабый предел оператора (" + 2МА)/а, когда расстояние между узлами а стремится к нулю таким образом, что длина цепочки остается конечной. Точнее, речь идет о пределе оператора энергии на состояниях с конечным числом М возбуждений над вакуумом (ферромагнитное состояние |S2 = ==N/2〉)，отвечающих импульсам

k = aqt g =若几, 几巨Z.k = aqt g =若几, 几巨Z.(6.46)(6.46)

k = aqt g =若几, 几巨Z.

k = aqt g =若几, 几巨Z.

(6.46)

(6.46)

(6.47)(6.47)(6.48)(6.48)

(6.47)

(6.47)

(6.48)

(6.48)

В результате получаем

На = Пт^-(Н^ + 2М\) =

=2 "崂％1 -磕%2)+4" 2 (р 二 р； - р*р?

с предельными плотностями

Р； = (Р，)+ = £ 脸柒 fir, 1 + 脸2% 2'

P： = St J = £ 眩% 2% + J, 4 2,

где суммы берутся по всем импульсам д,厂=2冗几/厶，и ^ Z, без ограничений.

Полезно выразить гамильтониан через локальные поля

% (%)=厶-1俘 2 bq, о exp (iqx),(6.49)

удовлетворяющие обычным антикоммутационным соотношениям ［b0 (х),砧(/)】+ = % 6 (% — /)•(6.50)

Потенциал взаимодействия выражается как функция локальных плотностей

戸(х) b(x) =~^Е% ехр(— М，

b+ (%) yb (x) = 4 ^ P? exP (— iqb+ (%) yb (x) = 4 ^ P? exP (— iq(6.51)

b+ (%) yb (x) = 4 ^ P? exP (— iq

b+ (%) yb (x) = 4 ^ P? exP (— iq

где

(6.52)

Плотность соответствующего гамильтониана есть

А {(戸(х) Ь (х))2 - 0+ (х) 丫匕(％))}(6.53)

Результат не содержит неоднозначностей, если принять определение

b+ (х) Ь (х) = lim b+ (х) Ь (/).

В сокращенных обозначениях имеем также

(#6)2 — (6+у6)2 =琳仇族历 + Ь^Ь^Ъ, + 6^1 (琳瓦-力2川j +

+ btb2 (0匕2 — 仇琳)=4*(%) b\ (/)城(x)庆(/),(6.54)

где использованы равенства ［力t (х),也(％')］十=［力^ (х),力2 (%')】+， ^2 (%) = 0. Вводя матрицу

а = (о -1)'

мы можем записать предельный гамильтониан в виде

儿=\ (一 力戸(％)。-^ + 4 A* (x) 6i (x)城(x)历 W)dx, (6.55) о

или

"a = Z (的通 + 鉄 PyQ2)•(6.56)

q

Число частиц каждого типа сохраняется:

М = 2 好坛， R = X 畸a%・(6.57)

qQ

Модель «Люттингера. Спектр и волновые функции

Согласно (6.55), уравнение Шредингера для М частиц с координатами %/ и переменными внутренних степеней свободы а,, отвечающее гамильтониану //а, имеет вид

2 — ®.診屮 + 2А 2 (1 - а/а/) 6 (/一勺)屮=e屮，(6.58) / = 1/i<i

где функция 4r полностью антисимметрична относительно замены индексов частиц. Величины а；——константы движения.

Здесь важно отметить, что уравнение (6.58) некорректно определено в отличие от уравнения второго порядка для системы частиц с точечным взаимодействием. Действительно, если потенциал б(%1 — х2) действует между частицами 1 и 2, т. е. если ai =# a2, то волновая функция не может быть непрерывна при %! = х2 и произведение 6(...)4f не определено как обобщенная функция.

Тем не менее наличие в уравнении Шредингера только производных первого порядка ведет к тому, что любая регуляризация б-функции дает единственное решение, а именно решение Люттингера. Схематически это выглядит следующим образом:

会屮 + 2 Аб (%)屮=0 今屮⑴=ехр (- Ае (х))(6.59>

при условии, что 28(х)= de(x)/dx.

При этом предположении условия согласования на плоскостях, где происходит взаимодействие, таковы:

а)。1 =。2，屮aid2(%l，%i) = °,

b) ai = — a2,— 1щ disc log W = 2A,(' >

или

屮ag(%i, Xj + 0) = exp (z (aj — a2) A) Waia2 (xb 修一0).(6.61)

Отсюда немедленно следует вид волновой функции Люттингера, отвечающей данному набору М вещественных «энергий» {д/ и «скоростей» {а；}:

屮3(/・・・%М) = 1产^%?%3m|х

X ехр {- 3 2 (а7 — S)е (勺—勺)}(6.62)

с полной энергией 七=多 «/•

Однако легко заметить, что выражение (6.62) не является достаточно общим для того, чтобы на 4f можно было наложить условия периодичности. В действительности еще одно решение

множитель(6.63>множитель(6.63>получается после умножения 4f на фазовый

множитель

(6.63>

множитель

(6.63>

этого состояния естьэтого состояния естьехр {— / (RA/L) g 勺}・Энергия

этого состояния есть

этого состояния есть

Новая форма согласована с условиями периодичности, и величины qj удовлетворяют при этом условиям квантования

% =光弓 + ^М.(6.64>

Отсюда следует, что уровни энергии дискретны, хотя и очень вырождены:

£ = ■?■ 2 叫-4"(々-М?) (I R l& М)・(6・65>

Сдвиг энергии, вызванный взаимодействием, пропорционален числу частиц каждого типа ^ (М + R) и ^ (М — R).

Патологические свойства точечного взаимодействия

Если принять условия согласования Люттингера (6.61), то сразу видно, что предел спектра и состояний цепочки Гейзенберга не совпадает со спектром и состояниями предельного гамильтониана. Предел спектра можно получить, исходя из уравнений Бете (1.32), если искать решение в виде

М = а/ (т —財/).

Согласно (6.47), предельная энергия есть

凡=Ит ^- £ 2 cos 々/ = Z %•(6.66>

Предельные фазы получаются из (1.26):

lim 屮〃 =士兀一(ау — aj ц,(6.67)

где введен параметр 卩，

tg" = A, 一千 <卩< 当.(6.68)

Поскольку N/2 четно, предельная форма уравнений (1.32) такова:

一 £%•% = 2лЛ； + (R — ^М) №* 三 Z, (6.69)

а для энергии имеем

纥=* 2 % + + (“2 — R2),公三 z. (6.70)

Вследствие того что четность Л4 н R обязательно одна и та же, предельный спектр периодичен по параметру 卩 с периодом л, что согласуется с соотношением (6.68), Д = tg(1.

Сравнение формул (6.70) и (6.65), с одной стороны, и (6.69) и (6.64)——с другой, показывает, что для получения предельных состояний дискретной цепочки достаточно в выражениях модели Люттингера заменить параметр А на ц. Следовательно, корректными условиями согласования для гамильтониана (6.55) или (6.58), рассматриваемого как непрерывный предел спиновой цепочки, являются не (6.61), а скорее следующие:

-zadiscW = 2A^(44%i,修+ 0) + 屮(夠，X1 - 0)), (6.71) которые приводят в точности к формуле (6.61), где, однако, следует заменить Д на 卩.Формула (6.71) равносильна определению величины 屮(％1,%1) как полусуммы значений справа и •слева. Этот рецепт можно обосновать, заметив, что произведение 3屮 определяется непосредственно формулой (6.59), т. е. при помощи преобразования Фурье. В точке разрыва первого рода ряд Фурье сходится к полусумме значений функции (Титч- марш, 1980, гл. 6, с. 416, признак Жордана), что можно схематически изобразить по аналогии с (6.59):

切中(G + 2А泰2屮")=0今屮(q)=з+黑,(6.72)

в соответствии с соглашением е(х)б(х) = 0.

Для модели с фермионами так же, как и для модели с бозонами, определенный нами слабый предел гамильтониана "а допускает в качестве собственных состояний предельные состояния, лишь бы только было корректно определено взаимодействие и число частиц в состояниях было конечным. Нет никаких причин полагать, что такое свойство сохраняется, как только число взаимодействующих частиц становится бесконечным (наличие поверхности Ферми или моря Дирака), как это имеет место, например, в модели Тирринга. Решение Маттиса и Либа (1965) для модели Люттингера (модель Тирринга с нулевой массой), основанное на корректной трактовке алгебры плотностей, не может a priori воспроизвести даже линеаризованный закон дисперсии антиферромагнитной спиновой волны. Формула (2.7) (Клуазо, Годен, 1966) дает закон дисперсии

П1(9)=^-^|^l sinql, A = cos0,

а Маттис и Либ получили

%(9) = (1 +4г)12^-

Эти формулы совпадают только в первом порядке по константе связи.

МАССИВНАЯ МОДЕЛЬ ТИРРИНГА

Непрерывный предел

Речь идет о переносе на гамильтониан 〃△,「(6.38) XYZ-mo- дели результатов, полученных в разд. 6.2 методом слабого предела в случае Г = 0. Поскольку дополнительное слагаемое, содержащее Г, может быть интерпретировано как массивный член, необходимо выполнить каноническое преобразование, которое в отличие от (6.41) переопределяет фермионный вакуум» соответствовавший ферромагнитному состоянию М = 0. Новый вакуум строится посредством заполнения состояний с отрицательной скоростью в зоне cos k (sin k V 0). Этот вакуум кажется очень неестественным, но именно, исходя из него, можно получить в пределе точно решаемую модель с конечным числом частиц. Он занимает промежуточное положение между исходным вакуумом и вакуумом теории, симметричной относительно частиц и дырок, который соответствует антиферромагнитному состоянию (полузаполненная зона cos 力).Итак, произведем каноническое преобразование

а П 「底1，若,2,(6.73)

что сводится к подстановке

m2=屮，2，人 1=%1・(6.74、

Исходя из (6.38), получаем

"a, f + 2MA = 2 2 sin 々(崂屯 1 —屮拼％2)+ 1^|<Л/2

+ 2 演3々(屮由%]-崂也2)+ 卷 2 cospp_ppp, (6.75)

I k |<л/2I Р |<л

где определение плотностей рр следует из (6.44) и (6.74).

Исследуем слабый предел гамильтониана (6.75) при условии

=/〃，(S2) конечно.(6.76}

В пределе получаем

Яг/= lim -1-(Н^т + 2М\) =

=2 吟(財 + Pm) % + ^ £ Р71Р42 + со", (6.77)

где использовано следующее представление матриц:

« = (； _：)' В=(： -：)' «2=₽2=1，а₽ + ₽а = 0. (6.78)

Отметим существование двух предельных сохраняющихся величин

-SN = R =多吟а%,(6.79)

Q=§ 吟弘，(6.80)

иными словами, число частиц каждого сорта сохраняется.

В терминах локальных полей

屮° (%)=厶一"2 2 р exp (iqx)(6.81)

гамильтониан дается выражением

月& = \ 屮十(%) (—Е 負 + ₽m) 1()W dy + о

+ 4a \ 吋(X)*(X)*"(X)电(%) dx (6.82) 0

м описывает релятивистские фермионы положительной и отрицательной энергии в двумерном пространстве-времени с затравочной массой т и константой связи 4A. Заряд Q есть предельная форма оператора £ sin 左а^а尼,который получается из •оператора ^ (S^Sn+i — S^iSn), коммутирующего с гамильто- нианом ХУ, но не XYZ, за исключением случая непрерывного предела.

Чтобы построить теорию поля, симметричную относительно частиц и дырок, исходя из (6.82), необходимо произвести обычное каноническое преобразование или заполнить состояние с отрицательной энергией, что противоречит нашим предположениям о слабом пределе, где R и Q конечны. Исследование мо-

дели Тирринга как теории поля не является нашей целью, и мы обратимся к задаче, связанной с гамильтонианом (6.82)> в предположении о конечном числе частиц.

ДИАГОНАЛИЗАЦИЯ Н夕

Уравнение Шредингера

Гамильтониан (6.82) описывает систему частиц Дирака с двумя внутренними состояниями и точечным взаимодействием (потенциал 6-функция) с условиями периодичности на отрезке [О, L]. Число частиц сохраняется, и в секторе с Q частицами, имеющими координаты 修 и переменные внутренних степеней свободы а；, Р/, стационарное уравнение Шредингера принимает вид

Z (- ® /屮+ 6*屮) + 2а£(1 —%・叫6(勺一叫%=e屮.

'y1(6.83>

Взаимодействие имеет структуру ток X ток:

4 'PR =件+2产一件+a屮产，

где оператор (1 — as) стоит перед 6(xi —打).

Уравнение (6.83) мы записали в представлении, где дна- гональны скорости а/, так что волновая функция имеет 2Q компонент и полностью антисимметрична относительно перестановки индексов частиц

屮 атсц... (%1”з • • • ) = — 'Рага^з... (%2”3 …).

Как и в случае нулевой массы (6.58), взаимодействие с потенциалом б-функция может быть определено только как слабый предел, исходя из дискретной модели. Это ведет к условиям согласования (6.71) на плоскостях, где взаимодействие нетривиально:

■у (。1 —。2)(屮а«2 (х, % + 0) — ^«^2 (х, X — 0))=

=А (屮am(X, x + 0) + 屮am(X, % — 0)).(6.84}

Отметим, что это условие в случае ai — а2 = 0 сводится только к антисимметрии волновой функции и не требует с необходимостью 4faa(%,%)= 0. Для этого надо было бы предположить непрерывность 中，что невозможно сделать, в силу гипотезы, которая привела нас к условию (6.84), представимому также в виде

屮a@(%i, Х1 + 0) = — exp (/ (ai — a2) ц) Ta2ai (хь 修 + 0),(6.85》

справедливом только при a〔片 a?.

Следует еще раз подчеркнуть, что возможная разрывность волновой функции (мы увидим, что она действительно существует) в отсутствие взаимодействия (он = а2) явно указывает на патологический характер гамильтониана. Последний не является определенным. Он становится таковым только после регуляризации по Люттингеру либо как предел дискретной модели. Та же ситуация возникла для исследованного недавно гамильтониана Кондо, суженного на окрестность поверхности Ферми (Вигман, 1981). Предельный гамильтониан оказался патологическим !), как и для модели Тирринга (6.83). В действительности проблема Кондо с обычным гамильтонианом имеет характер дифракционной задачи, которая была точно решена для двух электронов в присутствии магнитной примеси (Годен, 1978).

Решение

Вне плоскостей, где происходит взаимодействие, уравнение (6.83) имеет семейство факторизованных решений — произведений одночастичных функций импульса q и энергии е:

2 (%) = Ха W ехр ("%),(6.86)

удовлетворяющих уравнению

—ia ^ 2 + 斷評=浊(6.87)

(ag - е)爲 + m^а = 0,二=± (炉+m)1/2.(6.88

Метод Бете предполагает построение волновой функции, которая в секторе

Q/：х{< х2< ... < xQ

имеет вид суперпозиции

七严2... aQ (/4 ・••/) = р% 5 (Р) /(Р) %% &J %% (啕…

• • • %飞(*PQ)ex。"%"/+^q^pq)(6.89)

отвечающей данному набору импульсов {q} и набору {е}, определяющему знаки энергий. Коль скоро Т{а} известна в секторе Q/, свойство антисимметрии волновой функции определяет Т{(Х} в остальных секторах.

Условия согласования (6.85) влекут за собой

В (Р Хаз ®з) %а,阳4)- b 仍(34)) Хаз ®4)乩(Ерз)=

=-exp (/ (а3 - а)卩){В (Р)九⑸3)儿(е%)-

-В(Р(34))ха4(еР4) “Мерз)}， или, иначе,

8 (p(34)) 0叩 一 8 (p) к %a (з4) %-а(8Р3)=咏3 一 冲3 俗 90> 77p)済2"一8(p(34)) ~ Х-a (冲4)ма (冲3)-ag/>4 一 з4 .户

——соотношение, не зависящее явно от а = (а3 — а4)/2 = +1. Отметим, что, в силу (6.85), формула не справедлива для а = 0.

Соотношение (6.90) должно выполняться для любых пар соседних индексов /, / + 1 (мы записали его для пары (34)). Таким образом, можно положить

В(Р) = ехр(^^ 屮р/,р/В(Р) = ехр(^^ 屮р/,р/(6.91)(6.91)

В(Р) = ехр(^^ 屮р/,р/

В(Р) = ехр(^^ 屮р/,р/

(6.91)

(6.91)

где антисимметричные фазы 2〃 определяются соотношением

eхp (一，屮〃 + 2川)一1exp ⑵u) - exp (-叫")eхp (一，屮〃 + 2川)一1exp ⑵u) - exp (-叫")=(% -S)/(办一立),=(% -S)/(办一立),V/, /, (6.92)V/, /, (6.92)

eхp (一，屮〃 + 2川)一1exp ⑵u) - exp (-叫")

eхp (一，屮〃 + 2川)一1exp ⑵u) - exp (-叫")

=(% -S)/(办一立),

=(% -S)/(办一立),

V/, /, (6.92)

V/, /, (6.92)

вытекающим из (6.90).

(6.93)(6.93)Введем параметр быстроты X/, такой, что qf = msh Лу, е, = tn ch 九/.

(6.93)

(6.93)

В зависимости от знака вещественной части энергии Im X/ = 0 или Im X/ = л Соотношение (6.92) теперь принимает вид

tg¥ = tg^h 屮tg¥ = tg^h 屮(6.94)(6.94)

tg¥ = tg^h 屮

tg¥ = tg^h 屮

(6.94)

(6.94)

В этой задаче параметры быстроты 九 играют ту же роль, что и введенные в (1.38) параметры 9 для NXZ-модели в области |А| V 1, и их использование имеет те же преимущества. В пределе нулевой массы получаем

(6.95)(6.95)£/ = 9/ sgn 九/,

(6.95)

(6.95)

2〃 =卩(sgn 九/ — sgn 九》,

что позволяет после замены А -> ц и отождествления а；= =sgn X/ = скорость частицы с номером j воспроизвести волно* вую функцию (6.62).

Наконец, из условий периодичности на интервале длины 厶 следуют уравнения

Q

Lm sh 九/ = 2лл/ + £ 屮〃，/= 1, 2, ..Q. (6.96)

Число n — целое или полуцелое в зависимости от того, нечетно или четно число Q. Полная энергия есть

Е = § 打=/п g ch 九/.(6.97)

Теория комплексных корней и соответствующих связанных состояний частиц в этой модели, в предположении конечного числа частиц, может быть построена аналогично тому, как это было сделано в гл. 1 для системы Гейзенберга — Изинга. Корни системы (6.96) группируются в комплексы С〃(九о) порядка п:

еп (Ло)：九=九0+ 汽(皆一从)，(6.98)

где V = 一 (n — 1), 一 (n — 3), ..., (n 一 3), (n 一 1).

В соответствии с рассуждениями п. 1.5.3 частицы образуют связанное состояние при условии, что выполнено неравенство (/7-1)(-^-ц)<л.(6.99)

Масса связанного состояния порядкам есть

тп = ттп = тsin几（冗/2--n）cos卩sin几（冗/2--n）cos卩(6.100)(6.100)

тп = т

тп = т

sin几（冗/2--n）cos卩

sin几（冗/2--n）cos卩

(6.100)

(6.100)

для вещественной быстроты 九о, т. е. положительной энергии. Необходимо отметить одно исключение, относящееся к комплексу максимального порядка, такому, что

(" 一1) V 冗(-^—卩)V "，

для которого энергия отрицательна, т. е. быстрота есть Хо + in.

На этом мы прервем знакомство с моделью Тирринга, т. е. с основами теории поля в собственном смысле этого слова, поскольку полученные уравнения могут использоваться, с точки зрения теории поля, только, если выйти за пределы гипотезы о конечности числа частиц, которой мы себя ограничили.

Построение физического вакуума посредством заполнения состояний с отрицательной энергией требует введения обрезания по энергиям (или быстротам), а определение возбуждений возможно только после перенормировки масс и констант связи. Тем самым мы возвращаемся некоторым образом к исходной дискретной модели. Мы можем вычислить перенормированную мае-

су как функцию шага решетки, используя результаты Джонсона, Кринского и Маккоя (1973) о возбуждениях в XYZ-mo- дели, которые представляют собой распространение на случай Г #= 0 результатов п. 2.1.3. Можно также утверждать, как и в случае нулевой массы (п. 6.2.4), что результаты теории поля отличаются от тех, которые получаются в непрерывном пределе из магнитной цепочки. Достаточно очевидно, что все богатство спектра гамильтониана модели Тирринга происходит из такового для гамильтониана Гейзенберга ——Изинга или, более точно, из критической окрестности (Г = am-^G) спектра XKZ-модели. Точная термодинамика цепочки (Годен, 1971b; Такахаси, Судзуки, 1972) четко выявляет структуру антиферромагнитного основного состояния как конденсата бесконечного числа связанных состояний. Аналогичную структуру имеет вакуум массивной модели Тирринга. Все эти вопросы составляют предмет недавних исследований (Бергкнофф, Такер, 1979; Корепин, 1980).

Глава 7

Шестивершинная модель

МОДЕЛЬ ЛЬДА

Введение

Шестивершинная модель, которой посвящена эта глава, представляет собой частный случай восьмивершинной модели на квадратной двумерной решетке, введенной Фаном и By (1970) и охватывающей обширный класс точно решаемых моделей классической статистической механики. Термодинамика шестивершинной модели изучена в настоящее время детально (Либ, 1967; Янг Ч. Н., Янг Ч. П., 1966), в случае восьми вершин это относится только к самосопряженной модели (Вакстер, 1971b).

Модель общего вида может рассматриваться как двумерная идеализация кристалла, пары атомов которого или соседние радикалы связаны «водородной связью》. Эта связь ионного типа между двумя электроотрицательными атомами осуществляется протоном Н+, который находится ближе к одному атому, чем к другому. Для каждой связи на решетке, таким образом, существует 2 положения равновесия Н+ (Полинг, I960). Если координационное число каждого узла равно 4, как в случае атома кислорода в гексагональном кристалле льда, то имеется ровно 8 возможных конфигураций протонов (8 вершин) для каждого узла.

Однако в физических системах, для описания которых годится эта модель: в кристалле льда Н2О, в сегнетоэлектрике РО4Н2К, антисегнетоэлектрике РО4H2NH4, в окрестности каждого узла имеется не более двух Н+. Это так называемое «уело* вие льда》；в кристалле льда каждый атом кислорода имеет 4 связи с соседними атомами кислорода, расположенными в вершинах тетраэдра, что дает 6 конфигураций, или 6 позиций для молекулы Н2О (Онсагер, Дюпьи, I960) по отношению к решетке.

В случае льда в области температур, достаточно низких, чтобы было справедливо предыдущее описание, но не слишком низких, чтобы можно было пренебречь остаточными дипольными взаимодействиями, все 6 конфигураций вершины в отсутствие внешнего электрического поля имеют примерно одинаковую энергию. Одна из возникающих здесь задач состоит в подсчете конфигураций системы, совместимых с условием Полинга, с целью вычислить наблюдаемую «остаточную» энтропию. Это

понятие не противоречит теореме Нернста, поскольку при температуре, близкой к нулю, придется учитывать усредненные электрические поля, снимающие вырождение.

В веществах типа сегнетоэлектриков внутреннее и внешнее поля, поляризующие диполи H+R-, снимают вырождение состояний ориентации молекул, благоприятствуя при низкой температуре упорядоченным состояниям сегнетоэлектрического или ан- тисегнетоэлектрического характера, в зависимости от внутренней структуры. Здесь задача состоит в изучении на моделях перехода порядок — беспорядок (Либ, 1967d; Нагл, 1965, Янг Ч. П., 1967; Сазерленд, Янг Ч. Н., Янг Ч. П., 1967).

Определение двумерной модели

Рассмотрим квадратную решетку (Р строк, ^ столбцов) с тороидальными граничными условиями (А^ + 1 = 1, Р + 1 = 1), чтобы избежать краевых эффектов. На каждом ребре поместим стрелку, направленную к одному из двух соседних узлов (вер-

Рис. 7.1. Восемь вершин модели на двумерной решетке.

шин) и указывающую, к какому из атомов находится ближе протон водородной связи. Две входящие и две выходящие стрелки задают вершинную конфигурацию в каждой вершине в соответствии с условием льда, т. е. электрической нейтральности. Вершинам, пронумерованным от 1 до 6 (рис. 7.1) и несущим энергии а, соответствуют статистические веса 3(=。一"气 для температуры Р-1.

Четыре первые вершины имеют ненулевой дипольный момент, благодаря чему можно ввести энергию взаимодействия с горизонтальным и вертикальным электрическими полями. Если

вершина с минимальной энергией относится к типу 1, 2, 3, 4> такая система будет называться сегнетоэлектрической.

Задача состоит в вычислении статистической суммы

Z = EH®(s), V： S —i(S),(7.1)

г s

которая берется по всем допустимым конфигурациям Г для PN вершин. В произведении участвуют веса, отвечающие вершинам V из Г, и оно берется по всем узлам S решетки. Свободная энергия представляет собой предел

一 В/ = lim Нш 鳥 log Zp%・(7.2)

ТРАНСФЕР-МАТРИЦА

Определение

Координаты узлов тороидальной решетки будут обозначаться парой целых чисел (〃, р); 〃=1, ...,№; р = 1,...,Р (с условием 0三乂 и т. д.). Каждой «вертикальной» стрелке р)^~>(〃， р + 1) сопоставляется спин f или J, и； = 士］. Каждой горизонтальной стрелке (〃，р) (孔 + 1, р)——спин I или Т, т^ = 4： 1. Статистический вес вершины R(〃，°) полностью определяется набором {о/"* о^，т«_р 弋2} и не зависит явно от (п, р) из-за однородности решетки. Следовательно, можно определить матрицу А размера 4X4 так, чтобы

明%, Р) =<г一рТ I I %唠.(7.3)

Позднее мы укажем явное выражение для этой матрицы. Итак, в силу (7.1), статистическая сумма записывается в виде

р

马各口口〈。尸•亿4)

Для каждого значения р можно выполнить суммирование по 工夕 вдоль строки р, и = 1,..., ^; при этом мы получим матрицу, индексами которой служат конфигурации od)и о(р) двух соседних рядов вертикальных спинов ——так называемую транфер-матрицу Т:

〈0尸0м …咪7 I 0网 …叫〉=! n〈叫7%- I 4 I吧)

'(7.5)

Выполняя суммирование по {о}, получаем, в силу (7.4) и (7.5):

Z= Е 疗 S(I)|T|W〉，(7.6>

{喝…

т. е.

Z = trN,(7.7>

где Г — матрица 2" X 2", действующая на векторы 15G2 …。“〉・ Определив, с другой стороны, матрицы Ап размера 2X2, элементы которых зависят от ап и о：

В 141 т〉= «tz|H I о/〉，(7.8>

можно записать элемент трансфер-матрицы в следующем виде (Фан, Бу, 1970; Сазерленд, 1970):

〈(К …0rbl 71 叩2 …a^) = S П〈J-i I % I %〉= ? 44 ・・・厶心

'”“(7.9>

Чтобы избежать выписывания матричных элементов, выразим матрицы 4〃 через операторы спина S〃 с S^ =-^0〃 и Т с

Пользуясь рис. 7.1, получаем

Ап = ^ (у + S,仔 + Гг) +(о2 (у — S„) (у —片)+ + ®з (^ + S,传—F)+ q (} — S：) (^ + Тг) + + 86sh + 03sh + 88sh + 87sM+. (7.10>

Итак, в т-представлении матрица Ап для 6-вершинной модели записывается в виде ((07,8=0)

/®i (у + S, + 他(^■ — S，aSf\

\86S^例(扌 + S, + 0)2 (4" — S,丿

(7.И) а трансфер-матрица как функция операторов спина S〃一 в виде T = trAlA2 • • • 4%.(7.12>

В случае самосопряженной 8-вершинной модели на веса накладываются соотношения

(= с)2 = а, ®з = ®4 = Ь,

I g = % = с, С07 = ю8 = ^,

An=^(a + b) + 2{(c + d) S"* + (с — d) S"“ + (а — b) S"?}・ (7.14)

Соответствующая трансфер-матрица будет исследована в гл. 8. Заметим, наконец, что вычисление lim Р" log Z приводит к задаче о диагонализации матрицы Т. Поскольку элементы матрицы Т неотрицательны, ее наибольшее собственное значение / положительно. Используя неравенства

tP&*TP《NtP,(7.15)

в силу (7.2), (7.7), получаем

-pf = lim AT"og/.(7.16)

N ->оо

Элементы трансфер-матрицы в базисе,учитывающем сохранение спина

Шестивершинная модель удовлетворяет условию льда. Это выражается в сохранении числа вертикальных стрелок при переходе от одного горизонтального ряда решетки к другому, или, иначе говоря, в сохранении z-компоненты спина:

Sz=ZSn, [S；r] = 0・(7 •⑺

Это легко увидеть, заметив, что вершины, не сохраняющие S% относятся к типу 5 и 6. Однако вдоль одного горизонтального

656565

Рис. 7.2.

ряда вершины 5 и 6 с необходимостью чередуются, как это показано на рис. 7.2, и благодаря условию периодичности ^ 4- 1 s 1 могут быть объединены в пары. При этом каждая пара 5, 6 сохраняет вертикальную компоненту полного спина, что и доказывает (7.17). Пусть

S2 = -^—М Л1 = 0, 1, 2,・・・，-у- или % 2 丄・(7.18)

Разложим теперь собственное состояние |М〉 матрицы 7 по базису, уже использовавшемуся в гл. 1 для цепочки спинов 1/2:

I М〉= 2 С (〃1〃2 •…几м) I 修几2 …几м〉・(7.19)

Сумма берется по всем разрешенным конфигурациям

1《几1< 几2 V 几3 V ••• V 八м《М(7.20)

Теперь необходимо определить матричные элементы 7. Пользуясь (7.12), получаем

(加1m2 .• • 171 几1拉2 • • •)三〈{力} I TI {几}〉=

= t：〈O|S^ ・・・ S；^44 RS；；・・・ S；M|0).(7.21)

Лемма.

T = T+ + T^(7.22)

<{m}\T+\{n})^0 тогда и только тогда, когда

1 < m, < rii < m2 < п2 < • • • & 加財 & 〃財 & N； (7.23) фп}|Т-15}〉*0

тогда 〃 только тогда, когда

1 &7 &加1 & ・・• &тм《№(7.24}

Доказательство. В правой части (7.21) можно пронести каждый из операторов S7 налево через операторы А с большими индексами вплоть до 4〃； аналогично можно поступить с St > двигая их направо. Чтобы доказать лемму, достаточно убедиться, что между двумя последовательными операторами S" не может быть более одного S+, т. е. нужно доказать, что

(7.25)(7.26>(7.27)(7.25)(7.26>(7.27)〈0 I • • • An Stt\ • • • 5加4加4加+1 • • • Ар—[Sp /А* • • • 4几2sM? • • • I 0〉== °, где

(7.25)

(7.26>

(7.27)

(7.25)

(7.26>

(7.27)

nx<m< p < n2.

Заметим, что произведение (7.25) содержит множитель

〈Tl SmAm • • • Лр—iSp Ар 11), который вследствие (7.11) равен

00g)三0, о о八0例丿 ко о丿

откуда вытекает (7.25). Таким образом, имеются два возможных типа чередования (7.23) и (7.24), которые совпадают только для диагональных матричных элементов ｛加｝ = ｛〃｝. Позднее мы увидим, что они распределяются между Т+ и Т_.

Рис. 7.3 иллюстрирует структуру элементов матрицы 7_ Видно, в частности, как в этом представлении чередуются вершины типа 5 и 6.

Прежде чем определить явный вид матричных элементов, заметим, что они являются однородными функциями степени N весов со/, i = l, ..., 6. Кроме того, поскольку вершины 5 и 6,

刀2〃з刀2〃з

刀2〃з

刀2〃з

N

Рис. 7.3. Структура матричного элемента〈｛他｝|7-|｛几｝〉(从==15, М = 5).

как это показано на рис. 7.2, появляются всегда парами, матрица 7 зависит только от произведения(о5о)б = с& В нижеследующих вычислениях мы положим(о5 = о)б = U оставляя за собой свободу впоследствии восстановить однородность.

Предложение.

фn｝ |T」｛几｝〉=方(0,61)D("1,几1)方(修，他2)---

...力 5мт, m^ D (пгМ9 п^ D (пм, ^ + 1),(7.28)

1 《 /71] 《 7" 《 • . • 《 九n 《 N .

(｛m｝l!+ |｛硏)=q(0,修)方("i，加i)°(g,初•••

D(mM^ 九加 Ь 5м, m^ D (俏乂，N + 1),(7.29)

1 & П\ & tn^ & ...《^м & N.

D (п, /п) = ｛

з『-〃т, 〃 V 俏，

n = m.

с)

吸 f т, n<m9

(7.30)

D(n, w) = s

s”n = m.

Доказательство. Матричный элемент 7— можно вычислить, взяв выражение (7.21) и пронеся операторы S через Л так,

чтобы все Sm оказались непосредственно слева от Ат, а все Sn — справа от Ап. При этом необходимо выделить случай сов падения индексов, например,团匕九卜

тх < 〃i・

；)…•(7・31)：)・・・・(7.32)(7.32) ясна из；)…•(7・31)：)・・・・(7.32)(7.32) ясна из〈{/«} I Т_ I {/г}) = tr (О IЛ1Л2 • • • S±/g ・・・ 4@S£ ・• • I 0〉=

；)…•(7・31)

：)・・・・(7.32)

(7.32) ясна из

；)…•(7・31)

：)・・・・(7.32)

(7.32) ясна из

0 соз 丿 ОД 0 S3 丿

Ш\ = /i］・

<M|T.|{n}) = tr(0|41 ... StA^Sn, Ю> =

Структура произведения матриц в (7.31) или написанного: чередование матриц 7+ и Т-, перемежаемых диагональными матрицами.

Если все индексы {п} отличны от ри}, то произведение (7.31) имеет в точности структуру (7.28):

(m I I п) =...=

=D (0, 1щ) D (叫，修)方仇 1，m2)…，(7.33)

где D, D даются формулами (7.30).

Теперь надо показать, что эта структура сохраняется в случае совпадения координат пит. Пусть, например, щ = гщ. Соответствующий матричный элемент задается правой частью (7.32). Если предположить на время, что {"}*{〃}, то в произведении матриц будет присутствовать по крайней мере одна пара ・••(； ；)•••(； о) • • • • Этого достаточно, чтобы произведение имело вид (: °). При этом мы получаем из (7.32)

《m I Т_| /г〉=碎一心制―..=力©九［)°(%,九］)力(％,他)・・・・

(7.34)

Таким образом, формула (7.28) справедлива в общем случае. Заметим, однако, что она определена только для тех разрешенных последовательностей {〃} и {ги}, координаты которых не совпадают. Для Г+ рассуждение проводится аналогично. В этом случае матрицы 7士 чередуются в порядке Т-Т+, в результате произведение проектируется на второй диагональный элемент.

Наконец, случай {m} = {n} получается немедленно из

lo例丿(0 S2八0例丿 (0仰丿

=〈5} I 県 15}〉+〈{〃} I JIS}〉， (7.35> где второе равенство имеет место, в силу (7.28), (7.29) и (7.30). Итак, предложение доказано. ■

ДИАГОНАЛИЗАЦИЯ ТРАНСФЕР-МАТРИЦЫ

Циклическая инвариантность

Выпишем уравнение для амплитуд с{〃}, которые диагона- лизуют трансфер-матрицу:

石 с (%, и2> пм) (<{/«} \Т+\{п}) +〈{/и} I Т_ I {〃}〉)=

= /С(ГИ],加2，・•・,7nм)・(7・36)

С помощью (7.28) и (7.29) матричные элементы можно записать в компактном виде

I〈m7+1〃〉= n0(色-1，%)Dg,色)，

{(7.37)

\(пг\Т_\п)=立。(恤，n^D(nh g+3

приняв соглашение

ти = гпм — N, /nM+1 = m} + N-(7.38)

Действительно, как легко убедиться, из (7.30) следует, что

(0(0, 几i)D("m, %+1)=0("0,修)，

I D(0, m^D{nM. N + 1) = D(〃M，mM+1).

Предположим теперь, что коэффициенты c{m}, удовлетворяющие (7.36), могут быть продолжены за пределы области определения [1, ^] так, чтобы выполнялось условие периодичности

с (ш^ ・・・т^) = с(пг2т3 ...俏“+丿曰。(俏。叫 ・・・^м^-(7・40)

Рассмотрим слагаемое с Т+ в левой части (7.36) и сделаем замену переменных суммирования

Hj —>«о» 几]f 几I，・・• 〃Mf 几m-i・(7・41)

Соответствующая сумма принимает вид

£c(%询пм_ i) П (^/^/) D (п^+!). (7.42)

1<ПО<П1< ... с ^1 = 1

При этом мы воспользовались соотношением

D (/и(А))方(几о%) =。("м几м) D 仇陋乂+1)，nM = nQ + N. (7.43)

Используя гипотезу о периодичности (7.40), мы видим, что вклад (7.42), даваемый Т+, имеет тот же вид, что и вклад 7_. Отличаются только области суммирования. В обоих случаях по-

прежнему выполняется

皿《修&g+i， f = 1, ...» М,(7.44)

но для Т- мы имеем

т^п^ п2< ••• V〃m《M(7.45)

а для Т+, в силу (7.43):

т^п^ п2< ... nM_{^N < nM^mM+i. (7.46)

После объединения обеих областей суммирования остается только ограничение (7.44) и условие 几t V 〃2 V ・•・ <Лм+ь Уравнение на собственные значения записывается тогда в виде

2 С ⑺ П О (色修)力(几m+1) = /с (/и).(7.47)

{/г}»==1

При этом подразумевается, что /Им+i — mi = N. Уравнение (7.47) восстанавливает формальную циклическую инвариантность задачи.

Метод Либа

Соотношения (7.47) факторизовались бы, не будь условия, что числа п не совпадают. Отсюда возникает идея распространить определение коэффициентов с{〃} на область 修 W & & W 〃з ... и искать решение в виде суперпозиции факторизованных решений. Принимая во внимание характер уравнения, будем искать решение в форме подстановки Бете:

с (〃产2 • • • ”м) = с X В(Q)^q\^Q2 •…9q%(7.48)

где сумма берется по М! перестановкам Q и где величины 夕卜 42, • • •, q№ не совпадают между собой. Условия периодичности

будут выполнены, если коэффициенты В удовлетворяют условию

BQ = q^B(QC),(7.49)

где С—циклическая перестановка (12 ... М).

Выполним теперь суммирование по Пь Пг, ..., как будто условий «1 =/= п2 и т. д. не существует, отмечая при этом, однако, Запрещенные слагаемые, которые соответствуют

м, —^м(+1 -—1 九，+1, z ^~ 1, • • •, Al.(7.50)

Подставляя (7.48) в левую часть (7.47), получаем m _

加(⑺=§ £ В (Q) П q^D^m^D^m^.(7.51)

Проведем суммирование независимо по каждому и；, подчеркнув опасные слагаемые, соответствующие м, = т, я 〃，= =饱+1, например, для i = 2:

m3

Z q^2D(m2n^D(n2m^ =

理20爪2

Шз~1

=q^a^^2^ + £ q^^-m^}^-n^ + gg 产 28?'_加1 —

Л = Ш2+1

=@ 十可』?)隱呼f 7 + (也一万二丽)侬峭-•

(7.53)

Мы запишем эту сумму двух членов, каждый из которых содержит по одному опасному слагаемому, символически, как Х2 + Уз. Сумма произведений П в правой части (7.51) по не-

совпадающим п имеет при этом следующую структуру:

□ = (乂 + У2)(Х2 + Уз) (Хз + 九)…(Хм + Ум+1),(7.54)

I ,111■ I—I

где связки между У2^2, У3Х3, и т. д. означают, что произведения двух опасных слагаемых, имеющихся в X2y2 H т. д., должны быть опущены. Величина П разлагается следующим образом:

П = По+П1 + П2+ …，(7.55)

где

Пд = X城2 • • • Хм + У2% • • • Ууи+1，

h1=e%储・・・，(7.56)

□2= 2 гхгл ....

ТА I_I j_I

Это разложение наглядно демонстрирует дистрибутивность «произведения» П по отношению к операции ~ Все члены, кроме По, содержат множителем хотя бы одну пару YiXi. Они да- дут в (7.51) нулевой вклад, если коэффициенты B(Q) можно выбрать так, чтобы

Z ...... УЛ ... B(Q) = 0, Z>/+ 1.(7.57)

QIIII

Однако, в силу (7.53):

I 匕三兀(Q(j-l)), X, = X,(Qi),

таким образом, Q(i — 1)=# Qj и т. д. Поэтому достаточно положить для / > 1

力(Q(j— l))X/(Qj)5(Q) + y/(Q/)X/(Q(/—l))8(QQi/)=O・(7.58) III I

Это дает нам

) fo4 H——) 8(Q) +

+ (铀 一+ /訂)в(QQ“,/) = 0. (7.59)

Что касается слагаемых в Х】Ум+1, достаточно заметить, что

2 Х| (Q1) Ум+1 (QM) 8 (Q)三 Z X】(Q2) У^ 】(Q1) В (QC). (7.60) Q I1Q I1

С помощью периодичности (7.49) правая часть записывается в виде

多个(Q2)?m+i(Q1)方” (Q)三多 ”Q” (QI) В (Q), (7.61)

где мы воспользовались равенством (7.53). Однако правая часть (7.61) равна нулю, в силу соотношений (7.59) для / = 2. Соотношения (7.59) и (7.49) определяют величины В и ^.

Уравнения Бете

Теперь необходимо показать, что правая часть (7.51) имеет вид tc(m). Вклад в нее дают только члены типа По (7.56). По-

лучаем

% (m) = p (Q) ｛ 0 @十"4^)广”圖・・・磴卄

+ 03-可Ю*一т窈…g器+力・(7・62)

Иными словами, мы проверили, что состояние |М> с коэффициентами с (/и) является собственным вектором трансфер-матрицы, отвечающим собственному значению

/=<-^nS + 聋旣)+噌一Мg (明一肃記)(7.63)

где мы восстановили однородность по 6 параметрам ©/.

Соотношения (7.59) для коэффициентов B(Q) записываются в виде

8(Q)—0^4 + ®2®3^Q1^Q2 — (®1®2 + ®3®4 ~ ®5®6)^Q1

8 (QQ12)= — j% + %吗QWQ2 - (%% + %% - %%) %2 = =/畑72,(7.64)

где величина 41aB антисимметрична по индексам а, 0.

Введем теперь следующие обозначения:

a = 型型2 ±电 30二黑也,(7.65)

2 (硒电叫他)仅

四=(鐺•产 4 П(鎬产 (7.66)

где й и v — соответственно горизонтальная и вертикальная компоненты внешнего электрического поля. Введем также величины ^/, связанные с q； соотношением

qj = eiki^h.(7.67)

В этих обозначениях уравнения (7.64) формально совпадают с теми, что были получены для коэффициентов A (Q) в задаче об анизотропной спиновой цепочке, рассмотренной в гл. 1, формула (1.27). Решение (7.64), тем самым, дается выражением

8(Q) = exp｛卓 巾q/,qz｝，(7.68)

где 2〃 и 財 связаны соотношением (1.29). Однако уравнения Бете для 0, которые получаются из условия периодичности (7.49), не образуют больше вещественную систему, за исключи

нием случая нулевого горизонтального поля. Эти уравнения имеют вид

Nkj = 2叫 + 2汕欣 + 多‘巾〃，j = 1,・• •，M. (7.69)

Если выполнено условие(oi(o4 =(о2(о3, то собственные состояния трансфер-матрицы Т и гамильтониана Н замкнутой цепочки Гейзенберга — Изинга совпадают. Можно непосредственно убедиться, что Н коммутирует с Т. Доказательство (Сазерленд, 1970) будет приведено в гл. 8 для случая 8-вершинной (самосопряженной) модели (см. разд. 8.3)・

СВОБОДНАЯ ЭНЕРГИЯ И ПОЛЯРИЗУЕМОСТЬ

Определение наибольшего собственного значения

При переходе к термодинамическому пределу возникает задача выбрать собственное состояние Т или, если угодно, последовательность 伏} так, чтобы при заданном М соответствующее собственное значение было положительно и максимально. В случае нулевого горизонтального поля решение этой задачи основано на заключительном замечании предыдущего пункта и теореме Перона — Фробениуса.

В каждом подпространстве, заданном значением S2, матричные элементы гамильтонианов 〃a + NA/2 для Д > 0 или 〃△ для А V 0 неотрицательны. Отсюда следует, что наибольшему собственному значению соответствует собственное состояние, все компоненты которого вещественны и имеют одинаковый знак. Однако это состояние является также собственным состоянием для Г и, в силу только что установленного свойства его компонент, соответствует наибольшему собственному значению Т. Таким образом, для каждого значения М задача сводится к уже решенной задаче определения состояния с максимальной энергией для "△ или основного состояния для "_入 Напомним, что соответствующие последовательности {山} связаны следующим образом:

{й}д = {й —л}_д.

Итак, осталось разобрать три случая

F.Д>1; А = сЬФ, Ф>0.

D.— 1 < А < 1; А = cos @ = — cos 0,

к с с(7.70)

0 = л — @, 0 < © < л.

AF.А < — 1; А = — ch Ф, Ф > 0,

и использовать результаты гл. 1.

F. Л > 1. Состоянием с максимальной энергией гамильтониана Яд является ферромагнитное состояние |0> (или |N〉). При фиксированном М это состояние |М>, характеризуемое наличием одного «комплекса» (см. гл. 1, разд. 1.5.1) с центром Ф —п. В пределе N》1 параметры(pv, как мы видели, даются формулой

(pv = л-|- /л?Ф, V = — (М—1), •••, М—1.

Впоследствии мы обобщим это решение на случай й =/= 0.

D. —1 < Д < 1. Используя параметризацию Орбаха, уже введенную для анизотропной цепочки, в обозначениях разд. 1.5, формулы (1.100), (1.101), имеем

Г 耳=厶(4)，tg^P8(e)=ctg等th 彖 (771) 1 ^12=^^ + f2e(9j -02)«

Система (7.69) записывается в виде

Nf® (%) = 2冗/ + 2，2除+多 修(3 一*小

- —,.. .,—2 —.

AF. AV — 1.

电=卜(①1)，… н т.人，

叫①(Ф/) = 2п/ + 2iN^h + Z /2Ф (Ф7 一 哨.

Здесь предполагается, что выбор квантовых чисел для основного состояния остается справедливым, пока Л достаточно близко к нулю.

Выражение для собственного значения /

Естественно искать выражение для 力 используя параметризацию Орбаха (ф или 0 в зависимости от интервала Д):

-1<a<1：产=收=先需，

Л = — cos 0.(7.72)

AV — 1:i9 —> Ф, i6—>R f в (8) f f ①(屮)・

Введем обозначения, которые будут полезны также и для восьмивершинной модели:

а =(叫电)叱 b =(例5)叱 с = (©5©6)1/2,(7・73)

а также обозначения Сазерленда и Янга

П=-^ = е 叱 & =尢・(7.74)

Согласно (7.65), выполняются соотношения

с^ = а^+Ь2-2 Даб, 2Л = т1 + п~1-§.(7.75)

Симметрия между а и Ь позволяет выбрать а А 6 или 6^0. Однородность позволяет также выбрать ab = 1. Используя (7.66), получаем выражения для ш/ через внешнее поле

со】=ехр 偿 + 九 + 0)р,例=ехр (_ ^■—九 + и) р ,

6、ч (7.76)

о)2 = ехр —九一и) р, д = ехр(—^- + Л — и) р .

Определим, наконец, горизонтальную и вертикальную поляризации х и у, — 1 < х, у <. + I:

12M0 (pf)12M0 (pf)(7.77)(7.77)

12M0 (pf)

12M0 (pf)

(7.77)

(7.77)

Подставляя в формулу для / вместо 幻 выражения (7.67), получим

/ = Р+产(沁+吟 + p一产(V -田"(7.78)

где

P± = g宁書二(779)

Зададим параметры т и % соотношениями

1+1 或= МФ+]

<“ + 产‘ 評+ т)'(7.80)

、0&У 0&У《①.

В области А < — 1 имеем 2L /ФУ+х±2Ф [

P士 = (一屮。±mе g £萨,+ J； " •(7.81)

Последняя формула наводит на мысль рассматривать / как функцию параметра(p = i% и ввести тригонометрический полином

м

Q @) = Е sin $ (屮 一 W)・(7.82)

В результате имеем

Р士 = (-1产旦嚼产^(7.83)

Введя обозначение

g@)=(sin^ 屮)“，(7.84)

исходное соотношение (7.63) перепишем в виде

/ (ф) Q @) = g 3 + /ф) Q @ — 2/Ф) *N (h+vy) +

+ g 3 — 力①)Q @ + 2/Ф) eBN(№+。勿(7.85) при условии правильного выбора нормировки /(ф) и, возвращаясь к однородным обозначениям:

c = sh ①，а = sh у (Ф — /ф), 6 = sh -^ (Ф + z(p).

Термодинамический предел (А > 1)

Как было показано в п. 7.4.1, наибольшее собственное значение Т в нулевом горизонтальном поле связано с состоянием максимальной энергии гамильтониана ”, которое является ферромагнитным состоянием S = -^- ^ S” = -^ — М, в области А = =сЬФ > 1. Было отмечено также, что корни (pv уравнений Бете группируются в единственный исключительный комплекс длины М с абсциссой л. Можно думать, что структура комплексов не меняется при й, отличных от нуля, но находящихся в некоторой окрестности нуля. Действительно, оказывается, что по- прежнему годится решение вида

% =冗 + i(@ + vO + 6J,"=-(M - 1),…，m — 1, (7.85‘) где 6v — величины экспоненциально малые, так же, как ранее для спиновой цепочки. Чтобы определить ф, достаточно сложить уравнения (7.69), сократив тем самым все антисимметричные фазы. Результат имеет вид

『sin ~ Qv +，①) сЬ-(ф + М①)

е-2MM = ГТ —— = — .(7.86)

v sin — ((pv — /Ф)ch у (ф — МФ)

Отсюда следует, что

@ = -2B/iM(7.87)

при условии, что Л не слишком велико и удовлетворяет неравенству

|20力| V &.(7.87‘)

Используя это неравенство, можно показать, как и в гл. 1, что величины 6v пренебрежимо малы, и доказать тем самым непротиворечивость решения (7.85'). Для значений поля 九，не удовлетворяющих неравенству (7.87‘), структура (7.85，) меняется и часть корней ф； конденсируется в непрерывное распределение вида фУ = л -]- iuj с вещественными uj. Система уравнений Бете принимает вид

sh 万(匕 一" +2①)(ch 万(勺+(D)、

П —I——J寿——-.(7.88)

/ Sh^ (u「Uj_ 2Ф)(ch^ (и. _ ①)丿

и прежде, чем вывести интегральное уравнение для плотности корней и/, следовало бы изучить эту систему более детально.

Ограничившись областью 2р |й |< Ф после преобразовангй

(7.89)

получаем

l сь|(ф-х + (^±2)Ф)

P土 = 11—^，

V ch±(ф-x + vФ)

(7.90)

т. е.

log P+ = — log P_ = — 2MB九.

(7.91)

В силу соотношений (7.16) и (7.76), свободная энергия на один узел как функция ft и и выражается следующим образом:

—р/ (Л, и) = Мах—р/ (Л, и) = МахР (4* +力 + 3)— рй С1 — у),—В (毋 + Л — оу) + 筋(1 — у)

—р/ (Л, и) = Мах

—р/ (Л, и) = Мах

или, иначе,

/ (Л, и) = Min {еь 後} = —I— I /г + и I, I й I < 青 Ф» Vv. (7.92)

Более полное исследование (Сазерленд, Янг Ч. Н., Янг Ч. П., 1967) показывает, что выражение (7.92) для свободной энергии справедливо и в более широкой области, чем та, которую мы получили с помощью описанного здесь частного решения. Область полного упорядочения (поляризации равны единице) определяется следующими неравенствами:

(7.93)(7.93)[(Пе2M — 1)(坤2卽-i)》味， Л + v > О,i (т)е-2М—1)(乍-2卽-i)> 唯，Л + и < 0.

(7.93)

(7.93)

Эта область содержит в себе область (7.92).

(7.94)(7.94)Неравенства (7.93) можно также записать в виде (®! — g)(0)! — g) >(o5»6, 叫 > 侬2, (g — sj (g — co?)》«5®б» Si < 电・

(7.94)

(7.94)

Вне этой области детальное исследование свободной энергии пока не проводилось. Имеем

—f = Max < ± 管 + 九)+ иу 干扌 Z—f = Max < ± 管 + 九)+ иу 干扌 Zloglogch ^ 便一 〃,土 2Ф)、 吟口一% ， (7.95)

—f = Max < ± 管 + 九)+ иу 干扌 Z

—f = Max < ± 管 + 九)+ иу 干扌 Z

log

log

Термодинамический предел (А < 1)

Рассмотрим одновременно случаи — 1 < Д < 1 и Д < — 1 в пределе 2V-> оо, 2M/N = 1 — у, где у (— 1 W у W 1) есть вертикальная поляризация. Экстраполируя классические результаты для основного состояния гамильтониана Н_& предположим, что корни 0/ (или ф/) уравнений Бете (7.72) или (7.73) сгущаются в непрерывное распределение на дуге аналитиче- ской кривой Г, симметричной по отношению к мнимой оси в плоскости 0 (или ф), с границами ——Е* н g (одно обозначение в обоих случаях). Если ввести комплексную плотность р(0) (или р((р)) так, чтобы вдоль дуги Г выполнялись равенства arg(p(0)d0) = 0 и ^p(0)d0 = (число корней 0； на Г между 0 и 0 + d0), то уравнения (7.73), например, в пределе примут вид

3@) = - 公@) + 2佛+ J ^(ф-ф0р^ф0^, (7.96)

где функция f①(屮)определена в (7.71). Дифференцируя, полу・ чаем

<±^%而=23匚@)+ \ 關;嗡中一样但麻)州,(7.96’) где

"^~ (ф) = 2 冗 рр (ф), Rr (С) = — К (— £*)♦(7.97)

а также выражения для поляризации

с

l-f/ = 2 ，Рс(Ф)^Ф(7・98)

и для горизонтальной составляющей поля

В九(1 —力=，一炉①(ф) Рс (ф) d(p・(7.99)

Вышеприведенные формулы относятся к случаю △ V — 1, а аналогичные выражения для — 1 < Д < 1 получаются заменой (р->/0:

/(Л> S =吧п {—偿 + 也)一иу —

-рт !+ i①一iy)Pc(q))d屮卜(7.100)

где выбирается меньший из двух членов.

Из интегрального уравнения (7.96х) вытекает, что функция Рс (屮)аналитична по ф в полосе | Im(р| < Ф. Следовательно, в этой полосе можно деформировать контур Г, оставив его концы неподвижными, чтобы упростить вычисление р^. Положив g =力 + 电 можно переписать интегральное уравнение в виде /Ф (Ф + 川)=一此(Ф + 2 + 2/рй +

ь

+，% ① @一中'№3 + ‘Y)西‘，(7.101)

где интеграл берется по отрезку вещественной оси [—- Ь, +6]. Коль скоро плотность pg (ф) определена как функция <р н & можно надеяться, что соотношения (7.98), (7.99) однозначно определяют 寸 при заданных h и у.

Исходный контур Г (место конденсации корней) будет определяться дифференциальным уравнением

—(аргумент р(ф)) = (угол касательной к Г с вещественной осью).

Остается разрешить явно условие минимальности по у, содержащееся в выражении (7.100), и определить тем самым горизонтальную поляризацию %. Соответствующее вычисление проделано в приложении 尸 и дает следующие результаты:

F^ 0)= 一 (^ + 丘 + 0)一 旷以(儿 u),(7.102)

где Z(/i, с)— симметрическая функция ft и и.

Если ввести комплексное число ^ = 6 + fy1 как функцию J = b + 勿 соотношением

Yi + Y = y —①(илн т —6),(7.103)

146

Т/. 7. Шестивертинная модель

то имеет место симметричное выражение

Z3, и)=)

(//ф (<Р + i①一双)一2仅)p： (ф) dqp 三

-Г

曰 J (九 3 "H①一 /%) 一 2РЛ)р^(ф) dqp. (7.104)

с) Величины 厶(击)определяются соотношениями

1 —“ = 2 \ pc(qp)d(p, W(7.105)

1 — % = 2 \ p：j (qp) dqp,

筋(1—y) = —i \ /ф (ф) p： (ф) d(p, W(7.106)

0u(l—%) = —i \ f ①(屮)P& (屮)dqp,

которые позволяют в принципе вычислить 寸(九，и), а затем поляризации. Эта система уравнений симметрична относительно

замены

（以 儿外一（击, б %）.

Приведенные формулы приложимы без изменений к случаю А = 0 (0 = л/2), когда ядро sin 2©(ch(0 — О')—cos 20)~l интегрального уравнения (7.96х) тождественно обращается в нуль. Плотность р(0) при этом не зависит от параметра 匕：

p（8）=嘉.*（7/。7）

Из уравнений (7.105) вытекает, что

где

Yi +Y = t-

tg 4" &/ =善声’tg ~ лх =端^,(7Л 08)

—-у, П = tg (今 +千)> 1, OVtVji/2.(7.109)

Уравнения (7.106) дают

小26九=辭，th2 阿=甯，(7.110)

откуда следует

sh2pft = tgTsin ^ny — ^- cos j ny tg-^ nr, (7.111) или

sh 20/i = 4(П —П"1) sin 4■冗У — 4*(П + П"1) cos ^ ny tg ^ nx.

(7.112)

Аналогичное уравнение для sh20u получается заменой х ч-> у.

Фазовые переходы в нулевом поле

Несмотря на простоту ядер, участвующих в интегральных уравнениях (7.96) и (7.99), последние, вообще говоря, не допускают простого решения для произвольных значений J. Важное исключение, однако, составляют случаи значений J, определяемых из Re^ = я или Reg = 8, когда решение получается преобразованием Фурье. Эти значения J соответствуют случаю, когда поляризации хну равны нулю, что, как мы увидим, не обязательно приводит к равенству нулю полей 九 и и. В окрестности этих значений, т. е. для малых поляризаций хну, можно решать уравнения (7.96) по теории возмущений.

Рассмотрим для начала случай нулевого поля. В области А V 1 неравенства (7.80) позволяют выбрать правильный знак в выражении (7 100) для свободной энергии в нулевом поле 尸(九=0, и = 0) и получить

А & — 1,

(7.113)(7.114)в гл. 2(7.115)(7.113)(7.114)в гл. 2(7.115)+冗尸(。，。)=- A蚩［时@)bg (鼻需产》尸(0，0)= 一 ^ 一专工曲p(8)bg (%瓷甯产).где плотности р — это функции, уже использовавшиесядля анизотропной цепочки:

(7.113)

(7.114)

в гл. 2

(7.115)

(7.113)

(7.114)

в гл. 2

(7.115)

2冲(哂=£翁昔dn(胃;.),2冲 @)= \ Т^ёd8 = 詣С11 需.

В силу (7.97) и (7.98), получаем у = 0, й = 0. Теперь можно преобразовать выражения (7.101)—(7.102) в следующие ряды и интегралы, дающие выражение для свободной энергии в нулевом поле во всей области изменения А:

A《-1, a = - ch ①，

尸(0, 0) = 一年一卞4⑷， где

Z|(A) = ?+W4■产①，叫農評.(7.116)

—1 & A & 1, A = — cos ❷，

7 /А、—Г ds sh О) (л — 0) sh Cd (0 — t)(7.117)

，2(7 = j—・

0

QI,

戶(0, 0) = -4*(7.И8)

Выражения для Zi и Z2 устроены достаточно просто, чтобы можно было изучить их аналитические свойства по А (через Ф и 0), поскольку величины % (или т) сами выражаются черезФ (или 0) посредством (7.80). Функция F зависит от температуры Т = 0т через параметры А и Т).

По определению функция Z】аналитична по Ф в области |Rex| V ReO, или, в силу Т)> 1, в области Re ① > 0. Аналогично, функция Z2 аналитична в области

—Re © < Re т < Re 0 < л,

т. е. просто при 0 V Re 8Vm

Таким образом, сингулярности свободной энергии возможны только при следующих значениях Д:

А= — 1, Z] сингулярна при Ф = 0,

Z2 сингулярна при 0 = 0,

А = 1,Z2 сингулярна при 0 = л.

Как это видно из определения, функции Zi и Z2 имеют од и- наковый предел при Л =——1, а поскольку Z2 обращается в нуль при 0 = л, свободная энергия непрерывна во всей области изменения Д.

Полагая Ф = Ю, % = и, нетрудно убедиться, что аналитические продолжения функций Zi и Z2 в полуполосу

ReФ > 0, 0VIm(DVji

связаны следующим образом:

cos ⑵+1).舞

工2 = Z] + Z 2 勿 1 e(2!+i)叫Ф_] -(7.119}

Линия Re①=0 представляет собой линию сингулярностей^ образуя тем самым естественную границу. Однако в точке Ф=0 можно разложить Z【и Z2 по степеням Ф или /0, и эти разложения (асимптотические) совпадают. По переменной Д функция Zi имеет разрез по отрезку [—1, 4-1], Z2 — по (—оо, —1] и [+1, +оо). Соответствующая особенность имеет вид

ехР (一差)~ ехр{ - л? (_；一 1 У?}.(7.120}

Условие Д = —1, или с — а + Ь, допускает единственное решение для температуры, если вершинные энергии удовлетворяют условиям

03 + 04>维 + % ИЛИ ^1 + е2 > е5 + е6,(7.121>

выделяющим упорядоченное антисегнетоэлектрическое состояние при низкой температуре (F-модель). Высокотемпературная фаза соответствует

-1<Д<|,

а антисегнетоэлектрическая фаза А V — 1.

Учитывая непрерывность всех производных 尸(0) при критической температуре и наличие существенной особенности вида (7.120), можно говорить о фазовом переходе бесконечного рода.

Если вершинные энергии удовлетворяют неравенству

д + б2 <% + %,(7.122)

выделяющему при низкой температуре упорядоченное сегнетоэлектрическое состояние (модель KDP), то существует единственная критическая температура, отвечающая Д = 1, или с = =а — Ь. Соответствующая фаза в области высоких температур определяется неравенствами 1/2 V А V 1. Наличие фазового перехода очевидно, и это переход 1-го рода. Действительно,, в окрестности Д = 1 (или 0 = л) функция F(0, 0) допускает ввиду (7.105) следующее разложение по степеням ё = л — 0：

尸(0, 0) = _ 万+ p(n—l) )8(r)-i) ) TH^r + 0(8)，

о0

t. e.

尸(0, 0)=一母+曲^+吟靠缥+..・.(7・123>

Скрытая теплота фазового перехода для модели KDP (Ь=с, % = 2) имеет при этом следующее значение:

〃 —dpF I 11 db b

а удельная теплоемкость при температуре выше критической расходится с показателем——1/2:

e =(跟产一書)? ₽<?С (7.124) 0卩4aX Pc /

Сингулярности свободной энергии при наличии поля (Лнб, 1967; Сазерленд, Янг, Ч. Н., Янг Ч. П., 1967)

Строго говоря, следовало бы в обоих случаях ——сегнетоэлектрическом (Л > 1/2) и антисегнетоэлектрическом (AV1/2)— систематически изучить аналитические свойства свободной энергии во всей области изменения внешнего поля (力，и). Сложность используемых интегральных уравнений заставляет нас, однако, ограничиться исследованием окрестности некоторых точно решаемых случаев, соответствующих сингулярности в свободной энергии. При описании сингулярностей мы вновь будем следовать работе (Сазерленд, Янг Ч. Н., Янг Ч. П., 1967).

А > ^. Сегнетоэлектрический случай. При наличии внешнего поля свободная энергия упорядоченной фазы (Л > 1), согласно (7.92), имеет вид 尸(力，и) = —— 6/2—|й + и|, причем это выражение справедливо в области достаточно сильных полей, заданной неравенствами (7.93). Поляризация при этом достигает насыщения и направлена вдоль оси симметрии решетки (х = у). При температуре выше критической, соответствующей случаю равенства в (7.93), свободная энергия получается предельным переходом из (7.95) при Л > 1 и из (7.100) при 1/2 < Л < 1. В присутствии поля в точке Л = 1 нет особенности, и вместо перехода 1-го рода наблюдается фазовый переход 2-го рода. Однако явное исследование до сих пор не проведено.

д < у. Антисегнетоэлектрический случай. Покажем, что в низкотемпературной фазе (А V — 1) поляризация при наличии не слишком сильного электрического поля остается нулевой.

Рассмотрим точку, отвечающую нулевому полю h = v = 0. Мы знаем, что в этом случае ^ = л и уравнение (7.96‘) реша-

ется преобразованием Фурье, причем рл(ф) = Dn((p). Будем теперь менять 寸，сохраняя Re& =冗，1тМ = у，0. Интегральное уравнение (7.96‘)по-прежнему остается уравнением в свертках. Дугу Г можно непрерывно деформировать в отрезок [——冗,+冗], не пересекая особенностей на линии Im ф = 2Ф, при условии что |y|v2①.Как следствие, функция pY((p) не зависит от у в области |v| < 2Ф. При этом из (7.98) вытекает, что у = 0. Значение 九，напротив, не равно нулю и дается равенством

n+*Y

械=一 \ 仆 3)Ру@)&р・(7・12А

一"+jy

Действительно, функция f (ф) непериодична, но выполняется равенство

fe (ф) = ~~ Ф + нечетная периодическая функция.

Отсюда следует, что л+»у

^ = ^i , qp Dn (<р) dqp = " (丫)・(7.126}

Подставляя в подынтегральное выражение ряд (7.115), по* лучаем

"(Y)=A三 甲盜. (7」27>

Последнее выражение можно компактно записать, используя эллиптическую функцию амплитуды с периодами 2K и 4JC (①= пК/К)：

"(Y)= iam(K(l +冬)；论)・(7.128}

Итак, исходя из состояния с нулевым полем 厶=^ = 0, мы смогли увеличить значение горизонтального поля до значения (7.125), а поляризация у при этом осталась нулевой. Это можно делать, пока параметр у остается меньше 2Ф. В силу симметрии (формула (7.104)), мы можем совершить аналогичную процедуру с вертикальным полем, отправляясь от точки и = 0* h^Q, х = у = 0. Поле V при этом может увеличиваться, а поляризация оставаться нулевой, пока соответствующий параметр- 仇 не достигнет значения % ——①——Y, hi | < 2Ф, с граничным значением

л+iYt

—Ви= \ Z/ф (ф) PYI (ф) dqp.(7.129)

—Ji+iyi

Как следствие внутри замкнутой кривой, заданной параметрически соотношениями

［筋= 〃(Y)，-2Ф<у<2Ф,

I 即="(Y +①一%),

поляризация остается нулевой: х = у = 0.

Эта граничная кривая для электрического поля является алгебраической кривой рода 1 в переменных

ch₽A = sn(/< + /<-^; fe) = dn^(Г-J-；必)，

chp^ = sn^ + Z^+ //<^^-;也)=(7.131)

= ^dn (Г-^；好)

или, иначе 】)：

thB/z = Z/sn(K'M；紹)，

；、(7.132)

th阿=公cd(K‘士譯；紹).

Исключая у с помощью теорем сложения, уравнение кривой приводим к алгебраическому виду

th 8。((*)2 ,絃my2 一行 仙 ((工У sh2 即)"2

= /cd(K‘等；紹).(7.133)

Уравнения (7.130) или (7.133) можно рассматривать как уравнения, определяющие критическую температуру при наличии поля. Пр« температуре выше критической восприимчивость не равна нулю и выражение для 尸(力，и) дается формулой (7.104) или аналогичной формулой в переменных 0 соответственно тому, меньше или больше Л, чем —1. Однако точка △ = —1 больше не является особой, и вместо фазового перехода бесконечного рода, имевшего место в нулевом поле, наблюдается переход 2-го рода. Детальное исследование этих вопросов не входит в наши задачи.

Сингулярности свободной энергии удобно описывать на •языке поляризаций. Термодинамический потенциал

Го (х, у)=尸(瓦 и) — /г% — иу(7.134)

】)cd(x) э cn(x)/dn(x). *- Прим, перев.

определен в квадрате

—1V%V1, — 1V〃Vl.

Нужно различать 2 случая

—1 <Л< 1.

尸0 имеет в начале координат абсолютный минимум, в окрестности которого, как можно показать:

尸。(匕у)=p^, a+“/U (炉+犷一2%外g器)+ .

4 cos 朝

(7.135)

AV — 1.

Начало координат представляет собой коническую сингулярность, поскольку в этой точке существует однопараметрическое- семейство нормалей к поверхности 尸о, компоненты которых

связаны соотношением (7.130).

Другие особенности свободной энергии находятся в точках. х = ± 1 (у = ± 1), где 尸о в общем случае бесконечна. В приложении G (формула (G.10)) исследовано поведение вертикального поля в окрестности г/ = 1:

(F.3)(F.3)Bu = log聲十・・・，"卄1・ (7.136>

(F.3)

(F.3)

Вернемся к обозначениям п. 7.4.4. Согласно (7.100) и (7.102), функция

Z(h, и) определяется равенством

Z (瓦 и) = Мах {—卽(1 — у) + , ife (<р — »% + «Ф) р： (<₽) d<p },(F.1)

или, иначе:('

Z (瓦 и)=怨х \ (疗①(ф - /% + /Ф) 一 2却)рс (ф) d。(F.2)

ПРИЛОЖЕНИЕ F

Максимум по С берется при наличии связи h = const:

备 \(Пф (Ф)+ 2₽А) р^ (ф) ^(р==0.

Лемма. Пусть р^ (ф) — решение интегрального уравнения (7.96) при значениях Ci 〃 & пределов .интегрирования и поля, таких, что

С =匕 + iy, g[ = b + М， Yi + V = X — Ф(F.4)

〃儿еег место тождество

卜炉① 3 — 以 + /Ф) 一 2В&) Рс (Ф) d(p =

Cl

®" \ «『<!>($ —iy +2) —2M)p*((p)d(p.(F.5)

Доказательство. Запишем уравнение (7.101) для пары 瓦 0 аргумента

/ф(— Ф + W1) = — Rj (_ $ + £丫1) + 2笫& —

—，fz①(屮一U)P*(—q/ +，Yi)dq/.(F.6)

—Ь

Умножив уравнение (7.101) на 「*(—$ + %), а уравнение (F.6) на Pg(Ф + ?Y), вычтя одно из другого и проинтегрировав по отрезку [—b, +见 получим

，(f①(-① + %)-2沼3)p(((p + iY)d(p- +b

一，(f①($ +，Y)一2世)Pgi (-$ + %) d(p =

+ b

=-击、西击(险 3 + 2 R氧(-$ + %)) (F・7)

Интегрирование в правой части (F.7) дает выражение

которое равно нулю, в силу (7.97): R《(g) = — R^(— g*). После соответствующих сдвигов: q)f 屮——Zy в первом интеграле, q)f 屮 + »丫1 во втором, и изменения знака ф левая часть (F.7) сводится к тождеству (F.5), которое, таким образом, доказано. ■

Приступим теперь к доказательству соотношений (7.105) и (7.106). Вспомним для этого условие максимума (F.2). Чтобы упростить запись производных, мы включим в pq (屮)зависимость от С, происходящую от пределов интегрирования. Это позволит избежать выписывания граничных членов. Используя такое соглашение, запишем условие максимума по у:

(F.8)(F.8)\ d(P 源① ® + i①一 /Х) 一 2阿疆 Q) = 0

(F.8)

(F.8)

и условие (F.3)

(F・9)(F.10)(F.H)(F・9)(F.10)(F.H)\d(p (М①(ф) + 2₽Л) ^£1 (ф) = О,

(F・9)

(F.10)

(F.H)

(F・9)

(F.10)

(F.H)

гдегде现

где

где

，2 -^- (ф) 4(р = — !•

Условие (F.8) можно также записать в виде

卽=-\"①($-%) "^ ($+ W)d$・

Вариация д^ду получается дифференцированием (7.96):

-^~(ф + /У)=dq/%①仰-屮')~^(屮'+ »Y)・(F・12)

Умножив обе части (F.12) на р&(—屮 + ^丫。，проинтегрировав по [—Ь, + Ь] и приняв во внимание (F.6), получаем

\ G J (- $ + z'Yi) "^(Ф + 2 - R& (-ф + %)簪(Ф + 3)^Ф =

==J (7ф(-ф + %) - 2，斯])誥(屮十汕 ^Ф，(F・13)

или, сделав сдвиг в интеграле в правой части (F.13):

、(炉力(<p - *X + 2) - 2m1) dq> =

i {崇 © №( - G -譬(一G*)曲,(&)}=

= -%(&)[醬("*)+符&)]•(F.14)

Используем теперь условие (F.9). Умножая обе части равенства

(Ф)= \ %①(屮—U) 3) dq/(F.15)

на pq (ф) и интегрируя no [— b, b], получим с помощью (7.96)

—\ (/ф (ф) — 2^₽Л)(ф) = \—屮.(F16>

Вычисление интеграла в правой части дает с учетом (7.97)

砍 ® 醤 3)= Rt (О [誉• (О + 誉(-5')]-

Поскольку левая часть (F.16) равна'нулю, в силу (F.9), отсюда вытекает, что правая часть (F.14), а следовательно, и левая, равны нулю. Сравнение с (F.8) дает равенство Е = и.

Из леммы о симметрии (F.5) теперь следует равенство

ZS,u) = Max ((订①(<р — iy + i® — 2М) р& d(p, (F.17)

тде С и ^1 связаны соотношениями (F.4).

Как следствие горизонтальная поляризация х дается соотношением

1-х = -1^ = 2 \ p&3)d(p.(F.18)

Выражение для вертикального поля получается интегрированием уравнения 《7.96) для пары (& = и, &), умноженного на Pj (哂：

卽(1一尤)=\ -ifa>((P)Pn(q))d(p・(F.19)

На этом доказательство соотношений (7.105) и (7.106) закончено.

ПРИЛОЖЕНИЕ G

Требуется исследовать поведение поля (九，и) как функции х и у в окрестности у = 1, исходя из уравнений (7.105) и (7.96).

Согласно первому из уравнений (7.105), у # 1 влечет за собой малость b = Re g. Однако выполняется равенство Re g】=b, и, чтобы х не было обязательно в окрестности 1, нужно, чтобы gi было в окрестности сингулярности подынтегрального выражения 士血.Это означает, что

Yi Q —①，Y。％, b а 0.(G.1)

Интегральное уравнение (7.96) можно решать методами теории возмущений. Положив

м = ф + /ф « 0, &[ = b + "у】+ ①)，Р*(<Р)= Р[(〃)，(G.2)

мы получим

сГ ，sh 2Ф/ 八sh Ф

2呐⑷ + [ du ch 2Ф - cos (a - uf) ^^и^ ch Ф - ch (Ф + iu)，

или, учитывая определение 1 — х:

2лР1 («) = 4 + 血 Ф 上^，(G.4)

где

tg (лх/2) = (yi + ①)/Ь・(G.5)

Аналогичным образом, уравнение (7.96) для Ру(Ф), J = 6 + /у дает при 屮》%,

с , 、sh Ф

冗”(%)— ch Ф — ch х 1

откуда с помощью (7.105) получаем

.2b sh①小a

" n ch ①一ch %’

а с помощью (7.106)

2РА = //Ф (Zx) = -Pd,(G.7)

или, иначе, Л = —6/2. Таким образом, мы нашли вклад ведущего порядка

Для вычисления и имеем, используя (G.2) и (G.5);

С

ри (1 — х) =、一 //ф (м — /Ф) р] (“)d〃 =

=書t.*bg(謁卜中咏(屮，”*。 @8)

Выразив b из (G.6) и подставив в правую часть (G.8), получим

1 (4 sh2 ①cos (лх/2)、s

卽-0g (冗(di ①—ch %) ~1 — g~( •)

•или, иначе,

2即=咤(筝^^)，(G.10)

где E определяется из равенства (7.74): Е/2 = ch ① + ch B&

Глава 8

Восьмивершинная модель

ОПРЕДЕЛЕНИЕ И ЭКВИВАЛЕНТНЫЕ МОДЕЛИ

Определение модели

Модели сегнето- или антисегнетоэлектрических систем, рассмотренные в гл. 7, характеризуются так называемым 《условием льда», т. е. условием электрической нейтральности в каждом узле решетки. Модель льда, модели F и KDP в присутствии внешнего электрического поля представляют собой (в их двумерных вариантах) частные случаи шестивершинной модели, содержащей 6 произвольных параметров, для которой известно общее решение. Термодинамические свойства этой модели хорошо изучены; их описание содержится в обзорной статье Либа и By (1972).

Рассмотрим теперь задачу о вычислении статистической суммы системы на тороидальной решетке размера NXM как функции статистических весов a)y = e °°', у = 1,・・•, 8, связанных с каждой вершиной

Z ®1，• • •, 0)8)= X II(0/ (У). (8.1)

Произведение берется по MN узлам, а сумма — по всем разрешенным конфигурациям Г вершин: V->/(V). Периодические граничные условия (решетка представляет собой тор ZN ф Z^) введены ради удобства. Свободная энергия на один узел существует и может быть вычислена как двойной предел:

—₽/ =—₽/ =lim lim log Z.MfgNfg MNlim lim log Z.MfgNfg MN(8.2)(8.2)

—₽/ =

—₽/ =

lim lim log Z.

MfgNfg MN

lim lim log Z.

MfgNfg MN

(8.2)

(8.2)

Общая восьмивершинная модель, содержащая 6 однородных параметров, не решена. Ее рассматривали Фан и By (1970) как модель, охватывающую уже решенные случаи сегнетоэлектриков, а также эквивалентную при определенном выборе параметров моделям типа Изинга или димеров. Мы приведем несколько примеров такой эквивалентности, не вдаваясь в их детальное обсуждение.

Если отказаться от условия льда, по-прежнему оставаясь на квадратной решетке, то число возможных конфигураций

четырех водородных связей будет равно 16. Для шестнадцативершинной модели известны только несколько случаев эквивалентности модели Изинга в магнитном поле (Гааф, Хеймане, 1975). Если ограничиться только вершинами с четным числом входящих или исходящих стрелок, мы получим восьмивершинную модель.

Эквивалентность модели Изинга

Каждой вершинной конфигурации Г на квадратной решетке сопоставляются две конфигурации «спинов» s' и s〃, находящихся в узлах двойственной решетки, т. е. набор знаков + и ——или спинов ±1 на каждой грани исходной решётки. Правило соответствия следующее: для заданной конфигурации Г,

бб77Соответствие конфигураций стрелок и спинов.Соответствие конфигураций стрелок и спинов.

б

б

7

7

Соответствие конфигураций стрелок и спинов.

Соответствие конфигураций стрелок и спинов.

т. е. системы стрелок на ребрах, стрелки Север -> Юг и Восток^ Запад должны разделять противоположные знаки на соседних гранях (рис. 8.1). Такое построение возможно, так как число исходящих стрелок в каждом узле четно. Для каждой Г получаются две спиновые конфигурации s' и s〃, симметричные относительно глобальной з-амены + ^~> ——.

Предположим теперь, что между спинами на двойственной решетке имеется взаимодействие ближайших соседей с энергией Ka0roz (а=1,2,3,4) соответственно тому, является ли связь оо' вертикальной, горизонтальной, диагональной или ан- тидиагональной. Энергия конфигурации s' есть сумма энергий локальных конфигураций четырех спинов вокруг каждого узла; энергия вертикальных и горизонтальных связей при этом делится пополам. Статистические веса каждой вершины, как

функции параметров К, имеют вид

/=ехр(К1 + К2 + Кз + К4),

®2 = ехр(— ^1 — К? + Кз + К。，

例=ехр (— Ki + К? — Кз — KJ(8.3)

g = exp (Ki — ^2 一 Кз — KJ

匈=5 = ехр (Кз — KJ

例=^8 = exp (— ^з + KJ

Впоследствии мы увидим, что равенства ш5 = ш6 и(о7 = ш8 неограничительны. Описанная модель имеет 4 параметра при единственном эффективном соотношении между(о:

侬网色电=ш5ш6(о7ш8.(8.4)

Решение этой модели неизвестно, за исключением случая Ki = =Лг = 0, который сводится к обычной модели Изинга на двух независимых подрешетках: Z = Zumg*

Эквивалентность самосопряженной моделии модели Изинга с четырехспиновымвзаимодействием

Самосопряженная восьмивершинная модель, веса которой инвариантны относительно обращения всех стрелок при вершине, эквивалентна модели Изинга со взаимодействием 4-х спинов на двух независимых подрешетках (Каданов, Вегнер, 1971). Статистическая сумма записывается в виде

j М N

Z = ££ £ Кз”，hS+i, fe+i + K4S+1, k^t, л+i +

{о}л

+ К。/, МГ/+1, k^i. fe+ia/+i, 4(8.5)

при следующем соответствии между параметрами К н о:

©! = ш2 = ехр(Кз + К4 + К) = а,

ш3 = ш4 = ехр (— ^з — ^4 + /С) = А

他聞严=ехр (Кз — К4 - К) = с,(8.6)

(叫0)8)1/2 = ехр (- к3 + к4 一 k) = d.

Статистическая сумма этой модели с четырьмя однородными параметрами была вычислена Бакстером (1971b).

Эквивалентность системе димеров

Укажем, наконец, на эквивалентность с системой димеров на решетке Ri (рис. 8.2). Эта решетка представляет собой упорядоченное расположение тетраэдров, смежные вершины которых проектируются на середины ребер исходной квадратной решетки, несущей систему стрелок. Конфигурации димеров на тетраэдрах изображены на рис. 8.3, где указаны правила соответствия между димерами и стрелками.

Рис. 8.2. Индексы статистических весов для связей в тетраэдре: • вершины решетки, образованной тетраэдрами;

+ узлы исходной решетки.

Изучение рис. 8.3 показывает, что статистическая сумма системы димеров на непланарном графе R равна Z(®,...,陶, если на веса наложить связь(о7со8 =(o!(o2 + о)за)4 +(05(06« Частный случай (Об = сое = 0, рассмотренный Бакстером, дает систему димеров на диагональной квадратной решетке рис. 8.2. Эта задача решается методом пфаффиана (Кастеляйн, 1967). Однако метод Кастеляйна можно распространить и на непланарный граф Ri, если заменить связь на

<о®2 + д«>4 — g% =① 7命・ (8.7)

В формуле (8.7) легко узнать условие Фана и By (1970) для модели свободных фермионов, определяемой как частный случай восьмивершинной модели, решаемый методом пфаффиана (конфигурация (7с) имеет знак, противоположный знаку (7а) или (7Ь), так как она изменяет на единицу число циклов в детерминанте, используемом в методе Кастеляйна).

Легко показать, что эта задача эквивалентна модели Изинга в нулевом поле. Для этого достаточно образовать новую решетку /?2, раздвоив смежные вершины тетраэдров из Ri и создав тем самым новое ребро между тетраэдрами. Если теперь заменить, согласно схеме (1 2, 3 ч-> 4, 5 ^-> 6, 7 8), вер-

шины, принадлежащие одной из двух диагональных подрешеток, то каждой конфигурации димеров на R、можно однозначно сопоставить другую конфигурацию димеров на R?・ Стягивая тетраэдры в точки, мы замечаем, что оставшиеся связи несут

Рис. 8.3. Соответствие между димерами и вершинами.Рис. 8.3. Соответствие между димерами и вершинами.

Рис. 8.3. Соответствие между димерами и вершинами.

Рис. 8.3. Соответствие между димерами и вершинами.

на себе систему замкнутых многоугольников изинговского типа, статистические веса которых легко вычисляются как функции со. На этом мы закончим обсуждение эквивалентностей.

82 ТРАНСФЕР-МАТРИЦА И СИММЕТРИИСАМОСОПРЯЖЕННОЙ МОДЕЛИ

Трансфер-матрица

Самосопряженная восьмивершинная модель является моделью сегнетоэлектрика, в которой энергия любой вершинной конфигурации не меняется при обращении направления диполей, образованных водородными связями; иными словами, это условие отсутствия внешнего электрического поля (см. разд. 7.1)>

сводящееся к равенствам

(0[ = со? = а, (л)з = ©4 = 6.(8.8)

С другой стороны, статистическая сумма Z зависит только от произведений 絞二①例，d1 = со7со8. Достаточно показать, что в любой конфигурации Г число вершин типа 7 равно числу вершин типа 8. Рассматривая Г как электрическую цепь, сопоставим каждой стрелке ток +1. Вершины типа 1—6 при этом сохраняют ток, вершины типа 8 являются источниками силы +4, а вершины типа 7 — источниками силы —4 (стоками). Равенство втекающего и вытекающего тока влечет за собой равенство числа источников и стоков. Иными словами, число узлов сегнетоэлектрика с 4-мя протонами равно числу узлов без протонов. Аналогичное утверждение верно и для вершин 5 и 6, так как обращение всех горизонтальных стрелок меняет местами вершины 5 и 8, а также 6 и 7.

Определение (8.1) статистической суммы Z позволяет представить ее в виде

Z = trM,(8.9)

где Т ——квадратная матрица размерности 2", элементы которой индексируются двумя конфигурациями вертикальных стрелок

вдоль двух соседних горизонтальных рядов (рис. 8.4). Аналогично разд. 7.2, матричные элементы Т записываются в виде

〈。1。2 • • • %V I Т I Р J Р2 • • • Pn〉==

=2 (a& I R I В 1 九2)(。2九2 I R I 02九3)(。乂“ I R I Py^l)> (8・ 10)

где состояния стрелок описываются переменными

勿，也，儿=± 1， Z = 1, 2, ..N.

Величины (сй|А|р^) представляют собой 16 весов общей 16- вершинной модели, которые можно выразить через матрицы o'No', Л j = 0, 1, 2, 3, где о1 — матрицы Паули размера 2 X 2^ а0 — единичная матрица.

Введя N коммутирующих наборов спиновых операторов。卜 5，•・・,gn> матрицу (。1九|/?|§]卩)можно разложить по базису из матриц о； 8出，которые мы обозначим о"4 чтобы избежать знака тензорного произведения. Итак,

T = *R\R2 …Rn，(8.11)

где Rn выражается через с〃 и т.

Для самосопряженной модели получаем

R = 宇 +用meV + 甘匹ь产+。一，512) или в сокращенной записи

з

R = 2 до%° 三(зот),(8.13)

(8.14) с + dс — d

^1 = -2—，52=一飞—.

Таким образом,

Т (ш)=打(501T)(侬。2力•…(侬0/)•(8.15)

Это выражение для T(w) окажется очень удобным в дальнейшем. Матрицу Т можно рассматривать как оператор, выраженный через спиновые операторы 。卜...,。丛 Ее наибольшее собственное значение / связано со свободной энергией на один узел формулой

—Pf = lim “т logf.

^ f 8

Симметрии статистической суммы

Предложение. Величина \Z(w) | инвариантна относительно 2‘4! операций, переставляющих веса w и меняющих их знак (группа гиперкуба).

Доказательство, а) Инвариантность относительно замены W2 一^ -侬2♦

По построению трансфер-матрица вещественна и, следовательно,

Т‘(侬2)= Т+ (侬2)= tr R[ (— g) •・・ R% (一 g) = T (— g), (8.16)

поскольку все оп эрмитовы и коммутируют и поскольку комплексное сопряжение т меняет знак т^, что равносильно изменению знака д. Таким образом,

(8 .⑺(8 .⑺Z (侬2)= tr (7’(g))財=Z (-g).

(8 .⑺

(8 .⑺

Инвариантность относительно w^f 叫,3；f —叫,Wk -> wki 亿 /,々)= (1, 2, 3).

Каноническое преобразование матриц о и % отвечающее вращению на угол л вокруг оси 月,оставляет полный след инвариантным («полный» в смысле след по т и всем о).

Инвариантность относительно циклических перестановок (123) и (12).

Доказывается тем же рассуждением, что и Ь), с использованием вращения на угол 2л/3 вокруг оси 3-го порядка или на угол л вокруг биссектрисы двух осей.

Инвариантность 侬о Wi, —g.

Рассмотрим на квадратной ре-

лилишетке набор зигзагообразных

ли

ли

ний, изображенных на рис. 8.5. Сопоставим заданной конфигурации Г конфигурацию 『，получаемую обращением всех стрелок на помеченных ребрах. При таком соответствии Г->『 меняются местами вершины

1 <—> 5, 2 <—> 6, 3 <—> 8, 4

что означает замену а <-> с, b^~>d или 侬。4■^侬и 侬2 ^"^ 吗

Из пп. с) и d) вытекает инвариантность Z относительно перестановок (123), (12) и (01) (23), а следовательно, и всей группы из 4! перестановок, которую они порождают. Из пп. а) и Ь) следует инвариантность абсолютного значения |Z| относительно обращения знака весов w. ■

Инволюции из описанной группы симметрии можно рассматривать как преобразования дуальности, переставляющие области с высокой и низкой температурой. Их неподвижные точки характеризуются равенством «относительных инвариантов», которые будут введены в следующем разделе:

/а = 士」в (а, р = 1, 2, 3).

Эти равенства определяют линии фазовых переходов (Ваннье, 1950; Сазерленд, 1970).

Зависимость трансфер-матрицы от весов w можно уточнить, разложив след (8.15) с помощью «теоремы Вика》для т. Ре-

зультат имеет вид

7 (侬)=S (耽)+ wow}w2w3A (噺}(8.18)

где S и Л — вещественные матрицы, зависящие от w2 и обладающие свойствами симметрии

S^ = S, " = -4(8.19)

Матрица Т неэрмитова, если ни один из весов w не равен нулю, но, как будет показано далее:

[Т, Т十]= [S, 4] = 0,(8.20)

что влечет за собой ортогональность собственных векторов, от< вечающих несовпадающим собственным значениям (вообще говоря, комплексным).

СВЯЗЬ XFZ-ГАМИЛЬТОНИАНАИ ТРАНСФЕР-МАТРИЦЫ

Случай шестивершинной модели

Существует тесная связь между грансфер-матрицей восьмивершинной самосопряженной модели и гамильтонианом анизотропной цепочки с тремя параметрами. В свое время для моделей сегнетоэлектриков в отсутствие внешнего поля Маккой, By (1968) и барух (1972) показали, что грансфер-матрица коммутирует с гамильтонианом Гейзенберга — Изинга. Либ (1967) диагонализовал 7 (d = 0) с помощью волновых функций гамильтониана Н Инвариантность обоих операторов по отношению к вращениям вокруг оси анизотропии вытекает из «условия льда» и выражается в сохранении компоненты полного спина Sz = N/2 — М от строки к строке. Одна из трудностей восьмивершинной модели состоит как раз в отсутствии такого закона сохранения.

Заметим, что трансфер-матрица шестивершинной модели общего вида (см. гл. 7) также коммутирует с некоторым спиновым гамильтонианом со взаимодействием ближайших соседей, зависящим от двух параметров (Маккой, By, 1968):

斤а,九=X ch 2^h (SnSn+\ + SnSn+l) +

“+ ASnSn+i + i sh 2睇(SE統一 S?SM), (8.21)

[Г (a, b, c, h, u), "a,九]=0,(8.22)

где Д = (a2 + 62 — ^/^ab, а вершинные веса имеют вид

Si = ае^ {h+v\ ш2 = ае^ (扭+°)

(о3 = 6е° (九一叱 a)4 = be"(用一叫 g = g = с.

Связь XYZ-гамильтониана и трансфер-матрицы167

Коммутативность 〃 н Г

Предложение (Сазерленд, 1970). Гамильтониан XYZ (1.4)

з

人*若+1三2 "п а=1n

коммутирует с однопараметрическим семейством трансфер-мат- риц Т®(/)), задаваемым соотношением

д = (/ + Лх", а = 0, 1, 2, 3,(8.23)

где

з」0 = 2」а・а=1Приведем полезные соотношения:

/[ = } (w2 +侬;—w^ — ну, = у (ab + cd),

(8.24)(8.24)/2 = у (哪 + 鸣一喝一鸣)=^ (曲-cd),/2 = у (哪 + 鸣一喝一鸣)=^ (曲-cd),

(8.24)

(8.24)

/2 = у (哪 + 鸣一喝一鸣)=^ (曲-cd),

/2 = у (哪 + 鸣一喝一鸣)=^ (曲-cd),

J = ^ (一侬^ + 9； + 侬^ + 侬；)=} (c2 + 0 - 2a6).

Доказательство. Следующее тождество является ключевым:

[Нп, п+ь R〃R/z+i]万 V^ W ^п ~若把才 R/z+i),(8.25)

где

з

P ⑺曰□(/ + /)а=0

Теперь достаточно представить коммутатор в виде

〔”，Т]==万〉:tr R】...R九—[[//九.九+i, RnRn+i] Rn+2 • • • Rn,

где Rn+i и Ri отождествляются. Тогда, в силу (8.25), получаем

—2任&・・• Ri ^^ Км・・・Rn +

+ 2 tr Ri • • • Rti-iRn "今产 Rn+2 • • • Rn f = 0. (8.26)

Доказательство тождества (8.25) сводится к простому вычислению, использующему определения (8.23):

зз

а Н е吗1aM#2誉 02%可吟

a«0a«0

3^i2=4 S^w ■а==1

В п. 8.Б.4 мы увидим, как результат Сазерленда следует из теоремы Бакстера о коммутативности семейства матриц T(J), что в свою очередь может быть выведено из (8.23), если гамильтониан Н невырожден.

Гамильтониан Я как производная от Т

Предложение. Пусть

Tg = 2-Nj-NI2T(J).

Тогда

〃 = -^G+2771^Lq, Т^\^^С.(8.27)

Доказательство. Определим операторы

Р°〃 = ^ (1 + % • к)，"。権=4 0。+ tw^ (8・28> Легко проверить, что

НопР()п = Н 0n.(8.29)

Разложим Rn в окрестности J = оо：

冷=Ро“ + ^ ”。“ +。(})(8.30)

и подставим в Т, приняв во внимание (8.29):

т。⑺п ур(m(1 + 等)Р。2(1 + 笋)・..+097).(8.31) Используя свойства перестановок Ро〃, получим

То (/) = tr Р(и ・・・ An (1 + ^)0 (1 + "^-) • • Г1 + ~^) +

'(8.32)

Заметим теперь, чтоЗаметим теперь, чтоtr Ai ・• • Pon ■ С Itr Ai ・• • Pon ■ С I(8.33)(8.33)

Заметим теперь, что

Заметим теперь, что

tr Ai ・• • Pon ■ С I

tr Ai ・• • Pon ■ С I

(8.33)

(8.33)

где С — циклическая перестановка Cn =(п + 1), Vn. Таким образом, получаем

То (/) = С-^1 +^Е "& …+ ° (厂 2)}

т. е. результат (8.27).

ОДНОПАРАМЕТРИЧЕСКОЕ СЕМЕЙСТВОКОММУТИРУЮЩИХ ТРАНСФЕР-МАТРИЦ

Предложение (Бакстер, 1971b)

[т ⑺,Т(Г)] = 0, УЛ Г・(8.34)

Доказательство. Рассматривая Т(侬)как функцию весов 叫 будем искать достаточные условия для коммутативности [Т(з), Т”)] = 0. Введем набор матриц /, коммутирующих с т・ Справедливы равенства

Т = Т (w) = tr R\R? • •・ Rn，

Г == Г (/) = tr R；R； • • • R『，(8・35)

где

此=(耽J)，此=”％i)・(8・36)

Произведение ГТ' представляется при этом в виде следа матриц 4X4 типа vf:

ТТ = tr RRR2R2 ・• • RnRn・(8.37)

В силу инвариантности следа относительно преобразований подобия, произведение ТТ' будет равно ТТ, если найдется обратимая матрица X, разложимая по базису 七仪工‘^ и такая, что

X"l/?Xx = /?X> Vn.(8.38)

Будем искать X в виде, аналогичном R:

з

х = (rri) W 2 Хатат，а.(8.39)

В результате получаем тернарное соотношение

(wax) (ш^тЭ (x%V) = (xttz) (^атЭ (wax),(8.40)

или, в явном виде,

У 5a吒4(О%в ・•不/ — о^а .工丫工。.卢不)=0.

В силу очевидных соотношений 工％» = ± d* Va₽, в левую часть (8.41) дают вклад только члены с a =# 8 =й= ?, всего 6 членов типа 03t2七“ Приравнивая нулю соответствующие коэффициенты, получаем 6 однородных соотношений между w, wf и г: 切е如 3 -侬 oз；% + з3 侬"］一侬 2 侬;%。 = 0(8.42)

и еще 5 аналогичных соотношений. Этим соотношениям можно придать симметричный вид ценой незначительного изменения обозначений

侬 4= — %, 圖=哪，х4 = — х0, (8.43)

{/ + (12) (34) + (13) (24) + (14)(23)}吗叫乙=0,(8.44){/ + (12) (34) + (13) (24) + (14)(23)}吗叫乙=0,(8.44)которые позволяют записать весь набор соотношений в сжатом виде

{/ + (12) (34) + (13) (24) + (14)(23)}吗叫乙=0,(8.44)

{/ + (12) (34) + (13) (24) + (14)(23)}吗叫乙=0,(8.44)

где 厶 /,々——три несовпадающих индекса, пробегающих значения от 1 до 4. Четыре перестановки, действующие на индексы i, /,左，составляют инвариантную подгруппу Z2 ® Z2 группы S4 (симметрической группы порядка 4!). Тем самым получается 24/4 = 6 различных соотношений (8.44).

Система (8.44), рассматриваемая как система 6 линейных однородных уравнений для 4 неизвестных х/, допускает нетривиальное решение, если 3 детерминанта 4-го порядка обраща- ются в нуль, что приводит к следующим условиям на ^ и wfi

嘅一* wk - xi嘅一* wk - xiW，j * 々，z,W，j * 々，z,(8.45)(8.45)

嘅一* wk - xi

嘅一* wk - xi

W，j * 々，z,

W，j * 々，z,

(8.45)

(8.45)

сводящимся на самом деле к двум независимым соотношениям.

Общее решение уравнений (8.45) приводит в точности к параметризации, введенной в (8.23):

呪=% +，^ = Л + Д(8・46)

где веса w можно задать произвольно. Величины / и /о определяются при этом однозначно (Jo =/1 +/2 +/з), а w‘ зависят тем самым от одного параметра Г. В следующем пункте мы покажем, как построить решение х, униформизовав совершенно симметричным образом алгебраические соотношения (8.44) или (8.40).

Заметим, наконец, что происхождение симметрии S3 системы (8.44) осталось за рамками приведенного здесь вывода. Проблема тернарных соотношений типа (8.40) может рассматриваться на различных уровнях обобщения. Одного из них мы коснемся в приложении Н, см. также разд. 13.4. Важная роль тернарных соотношений, называемых также уравнениями тре-

угольников или уравнениями Янга ——Бакстера, обсуждается в гл. 10 с точки зрения построения интегрируемых гамильто новых систем.

Эллиптическая униформизация

Поиск явного решения системы алгебраических уравнений (8.42) естественным образом привел Бакстера к эллиптическим функциям. Последние появляются из интеграла

17= \打[p⑺га

подынтегральное выражение которого уже встречалось в соотношении (8.25). Это естественный параметр, позволяющий выразить матрицу Фана как производную от R, т. е. dR/dV. Осознав существование эллиптических кривых на наших алгебраических поверхностях, нетрудно также усмотреть полное сходство между соотношениями (8.42) и соотношениями Якоби между четырьмя 0-функциями (Уиттекер, Ватсон, 1963, п. 2.1, 2.2, с. 341). Краткий обзор определений, обозначений и свойств эллиптических функций содержится в приложении I.

Соотношения Якоби позволяют осуществить полную уни- формизацию системы (8.44). Действительно, для 4 чисел, сумма которых равна нулю:

2]=一乙22 =', 23 = V -片一& z4 = *(8.47)

где V, У,匕 произвольны, соотношение (I. 12) из приложения I переписывается в виде

S& (- И) ®/ (Г)做(Р —，一 С) & (С) = 0,(8.48)

где оператор

S = / + (12) (34) + (13) (24) + (14) (23)(8.49)

действует на 4 несовпадающих индекса, образующих перестановку из 1, 2, 3, 4. Поделив (8.48) на И @Ю, мы получим j

выражение, идентичное (8.44). Возвращаясь к индексам 0,1,2,3 (ср. (8.43)) и учитывая, что только функция @】нечетна, мы получим решение в виде отношений

⑵式—练+】("练

"一练+1 &)' % _ 0a+1 (0，/一.

(8.50)

Таким обрпзом, имеются три параметра: ^, V и отношение периодов, которое мы обозначим £i = KJKd считая его функцией модуля 厶 чтобы сохранить обозначения Бакстера. Пере-

менной, порождающей коммутативное семейство, является параметр V, соответствующий /. Как выразить все три параметра через веса 侬？ Согласно (8.50), имеем

(^0 _ sn (匕 /)— sn (g； /) *

(8.51)(8.51)!侬 1 — сп (У. /)

(8.51)

(8.51)

— СП (S； /) 1

з2 _ dn (匕 /)

w3 — dn &; Z)'

откуда легко определить сначала модуль /, затем V, обращая sn 忆 и, наконец, С：

(8.52)(8.52)=吟一吟.*一吗

(8.52)

(8.52)

ay；—切^ су； — ©^，

s* =(gy“ = ^・(8.53)

Учитывая симметрию статистической суммы по w (см. и. 822)» можно ограничиться изучением области 磷 V wl< w^< 叫 или 0 < / < 1, и V вещественны.

Приведем, наконец, дифференциальное уравнение, связывающее dJ и dH

丄 Qi + 厶)一电==3必，dV.(8.54)

2 l 丁 2/ VF(7) sn С

Преобразование параметров

В дальнейшем нам будет удобнее работать с четырьмя параметрами а,仇 с, d, чем с 叱 и иметь для них, как и для ©, выражения через 0-функции. Это достигается с помощью следующей замены модуля и переменных:

(8.55)(8.55)口 = KUKi —> т = К /К = 2/тр

(8.55)

(8.55)

где К, К', т соответствуют модулю 々=；工；.Перейдем от (V, С, /) к новым параметрам (и, % 々)，определяемым равен

ствамиствами工=与，£=2与.к Ki К К； К К[工=与，£=2与.к Ki К К； К К[(8.56}(8.56}

ствами

ствами

工=与，£=2与.к Ki К К； К К[

工=与，£=2与.к Ki К К； К К[

(8.56}

(8.56}

Это преобразование проводится в два этапа.

мы пе-(8.57)мы пе-(8.57)Wo： W[： w2: gWo： W[： w2: g仇仇仇蔚*)仇蔚*)Щ О3 O2Щ О3 O2(8.58)(8.58)

мы пе-

(8.57)

мы пе-

(8.57)

Wo： W[： w2: g

Wo： W[： w2: g

仇

仇

仇蔚*)

仇蔚*)

Щ О3 O2

Щ О3 O2

(8.58)

(8.58)

Преобразование Якоби т/->т/2. Используя (I. 17),

реход им от (8.50)

侬а = 6а+1

к следующему соотношению:

Второй этап — это преобразование Ландена, состоящее в переходе от т/2 к т(1. 16):

・・.0，(U|"2 ) . 04 . 03 . ©2

日色(小)./ + 日: • 6沁諸・峪 仅w 丽高两,而研,国二呼•福.2・3”)

Начиная с этого места, мы будем использовать сокращенное обозначение

©а ®)三 @а В I Т)=瓦(毅 J *)・(8.60)

Окончательно, используя определение (8.14), получаем параметризацию Бакстера:

а : b ： с ： d =(叫 + 叫)：(侬° —吟)：(g + 侬2):(侬 1 —侬2)=

=6旧4 ( " • 82日3(n)+ 日e4 5)• 5日3 (U)=

一@|020304(П)一

_ ®1 (u + n) ®4 9 — Т])・ 61(。一 n)®4 e + n)・

—0! (2n) @4(0)•ё；砌瓦⑹—•

.& e + n) 64 e — n)・③ ® + n) 61 9 — 11) Z«

•04 (2Л) 04 (0)~ ~04 (2п) 04 (0)~丄丿

Необходимо отметить, что эта параметризация определяет веса с точностью до произвольного общего множителя. При необходимости решение можно нормировать с помощью соотношений (8.24), например Zi + /2 = ^6. К этому вопросу мы еще вернемся в следующем разделе.

ПРЕДСТАВЛЕНИЕ СИММЕТРИЧЕСКОЙ ГРУППЫ ллг

Операторы X”

Тернарное соотношение (8.40), на котором основана коммутативность трансфер-матриц, можно представить в виде, симметричном по всем трем входящим в него матрицам. Для этого достаточно изменить обозначения следующим образом:

ifS，丿一>4+匕一匕， 白+乙一乙，(8.62)

Of (73， 叫2= 5也+匕一p2),…•

Результат имеет вид

(侬 13。93)(侬230203)(侬21602)=(з21502)(523电03)(侬 13003)・(8.6 3)

Используя соотношения Якоби, нетрудно проверить равенство

(ш(У)^1<^2)(^(— '"102)= ^^@1(2白 + U)@l 侬—Р)

(здесь используются ©-функции модуля I, или у). Удобно нормировать наши операторы следующим образом:

xL九:(т*巧的化一%)。a).(8.64)

Если взять ^ взаимно коммутирующих наборов спиновых операторов 。1,。2, . • •, on 。N произвольных несовпадающих чисел Vi, 了2,V/v, то операторы Х〃・ удовлетворяют следующим соотношениям:

'Xj/X/j = 1,

< Х"Х/^Х”% = Х/Х法X//,(8.65)

、XijXhi = XhiX“, i ^= j =/= k =/= I,

которые были выведены Ч. Н. Янгом (1967) для другой модели, рассматриваемой в гл. 12.

«Неоднородная» трансфер-матрица

Вершинная модель на квадратной решетке может быть решена также в неоднородном случае, когда веса зависят определенным образом от узлов. Такая трансфер-матрица, называемая «неоднородной», определяется как частичный след

Т (几)=tr Хю%。• • • Х“о,Т (几)=tr Хю%。• • • Х“о,(8.66)(8.66)

Т (几)=tr Хю%。• • • Х“о,

Т (几)=tr Хю%。• • • Х“о,

(8.66)

(8.66)

где набор операторов X пополнен матрицами а。и дополнительным параметром Vo.

Предложение. T(V)——коммутирующее семейство.

【т (九)，Т (九)] = 0・(8.67)

Доказательство не составляет труда. Достаточно ввести два набора матриц аа и аь, независимых от (Л, ..., Gn, и определить операторы

Т (九)= trXlfl ... Xnq, Т (匕)= irXib XNbtab

а затем использовать тернарное соотношение ^ab^an^bn = ^bn^an^abt

как и в п. 8.4.1.

Регулярное представление группы к”

В этом пункте мы построим с помощью операторов X” базис генераторов У12, У23, •••, ^-1, ^ группы 冗及,изоморфных перестановкам 尸 12,「23,...,尸尺-1, n, рассматриваемым как операторы регулярного представления л“. Заметим, что мы уже имеем представление перестановки

Р12 = Х12(0) =扌(1 + % • а2) = (12).

Чтобы построить базис в пространстве представления, рассмотрим матрицу

ТР = РХР[ХР2 ... ХрМ (% 三 Х/о),(8.68)

зависящую от перестановки Р. Тогда с точностью до нормировки

Тр ~ (侬pWo)…(侬р№№о)・(8.69)

Обозначим символом

1p〉三|尸屮2・・・Р位

собственный вектор матрицы ТР, отвечающий собственному значению /. Вычислим Гр(34), где (34) — транспозиция ближайших соседей ((34) или (и, и + D)：

Тр (34)—尸34尸Xpi . . . Х^Хрз ... Хр^РР34=Р34РХрз, Р^РТрРХр4, Р3РР34,

(8.70)

при этом мы использовали тернарное соотношение (8.65). Определим операторы

У弘= Х34(匕一匕)Р34。(8.71)

Таким образом, РХрз, р4P = Х34 ( ^рз — VP4) и, следовательно, имеет место соотношение подобия

Гр(34)= Y^ р号「у當,рз, YP,(8.72)

причем

國國=1・(8.73)

Из (8.72) и определения |Р> следует, что вектор |Р(34)> является собственным для оператора ТР^)с собственным значением /, которое не меняется при преобразовании подобия. Следовательно,

|Р(34)) = Г^Р4|Р>.(8.74)

Действие оператора перестановки У34 на базис |Р> можно представить нагляднее, записав его в виде

Y^\ijkl ...) = \ijlk ・•・〉・(8.75)

Пользуясь тернарными соотношениями для X и определением (8.71), легко проверить равенство

12^23^ 12 = ■< 23/ 12^ 23J(oJO)

которое представляет собой не что иное, как соотношение

(匕2y2з)з=1(8.77)

в смысле линейного отображения (8.75).

Соотношения (8.73) показывают, что (N——1) линейных отображения У12, V23, •.. являются инволюциями или отражениями, причем произведение двух таких отражений есть поворот порядка 2 или 3 (8.77). Согласно работе (Коксетер, Мозер, 1980), группа, порожденная такими генераторами, изоморфна группе перестановок ^.

Выражение для относительных инвариантов /ав эллиптических функциях

В разд. 8.3 мы показали, каким образом XYZ-гамильтониан получается дифференцированием трансфер-матрицы. Покажем теперь, как можно естественным образом вывести ключевую формулу Фана и Сазерленда (8.25) из тернарного соотношения (8.40) и, используя эллиптическую параметризацию операторов X или У, вычислим «относительные инварианты», т. е. коэффициенты /а (а = 1, 2, 3).

Вычислив произведение Х12Р12 в (8.71), мы получим с помощью соотношений Якоби

匕2 — 2日1(2g + %一%)l —~(匕一%、一 1 2.

a=1 Wa+1 I2丿

Тернарное соотношение можно записать в виде

з(匕)N)@(%)吋)叫式匕—％)=

=叫^ (%一%)3(%)唄)(侬(%)5)■(&79)

Взяв производную no Vi в точке Vi = V2, получим

卜向,霊Lo = (&樂-黑К?)』(8.80)

в обозначениях п. 8.4.1. Вычисление производной У^ дает

喳I =—丄包竺」丄国J竺十里±侬。守(881) dV (v=o 2 乱佻)十 2 %(2С)3 %+1(0) 1 2,?

Из (8.25) и (8.81) вытекает следующая пропорция, определяющая «относительные инварианты» для параметра V, т. е. коэффициенты /а (а = 1, 2, 3):

(8.82)(8.82),@а+®旧)

(8.82)

(8.82)

ja~義+1(010).

Сделаем преобразование Якоби (I. 17) и перейдем к параметрам % т/2 (8.56):

厶：厶：/3 =厶：厶：/3 =（一制霜（一制霜（咼（咼.仇.% _•瓦.斫一.仇.% _•瓦.斫一

厶：厶：/3 =

厶：厶：/3 =

（一制霜

（一制霜

（咼

（咼

.仇.% _

•瓦.斫一

.仇.% _

•瓦.斫一

="®图.仇（2佃."（2т）假）04 （0 |1）仇（。 阳 02（0I|）

После преобразования Ландена (1.16) т/2->т получаем 厶：厶：/з = (04 + 0?) (2哨：(04 一 ®:) (2叫：蟲% 仇®3 (2⑴= =(1 + k sn2 (2т);々)):(1 — k sn2(2ri; k) : cn(2n； 々)dn(2n； &)• (8.84)

Приведем, наконец, выражение для ХУ7-гамильтониана в виде производной трансфер-матрицы в точке V = ^- Используя (8.27) и (8.54), получаем

"=厶 + 2 7H^爲 10g 71…，(8.85)

где в выражении для Т участвуют ^a = 0a+i (V\ xz): 0a+i(CI T/)

ДИАГОНАЛИЗАЦИЯ ТРАНСФЕР-МАТРИЦЫ

Замечательное тождество

Изучая модели, решаемые методом Бете, можно заметить, что уравнения, определяющие импульсы &((р/), например для модели Гейзенберга, имеют следующую структуру:

g (匂 + 浊)Q @ - 2浊)+ g^f-/Ф) Q(W + 2/Ф) = 0, (8.86} причем

Q(屮/) =。，j = 1, 2,м,

где g и Q — тригонометрические полиномы (см. (1.40)). Полином g задан, а полином Q с М нулями на периоде неизвестен. Происхождение системы (8.86) станет совершенно ясным, если вспомнить, что для шестивершинной модели существует следующее соотношение между собственными значениями трансфер-матрицы Г (ср) в подходящей нормировке и полиномом Q (формула (7.85)):

Т(Ф)Q3) = g® — /Ф)Q(^ + 2/Ф) + g(<р + z•①)Q(屮一浊).

(8.87)

Такое же соотношение имеется и в неоднородных сегнетоэлектрических моделях, для которых решение Либа было обобщено Бакстером (1971а). Отсюда возникает идея получить подобное соотношение для восьмивершинной модели, построив новое семейство матриц Q((p), коммутирующих с Т((р) и удовлетворяющих соотношению, аналогичному (8.87).

При выводе соотношения (8.87) мы будем следовать в основном методу Бакстера, правда с незначительными модификациями. В частности, мы попытаемся оттянуть как можно дальше неизбежный момент введения эллиптической параметризации с целью глубже выявить алгебраическую структуру задачи.

Итак, рассматривая трансфер-матрицу 7(侬)как однородный полином от w(a,b, с, d), будем искать матрицу QW), ска， лярную функцию ①(侬)и операцию сдвига / (обратную операцию обозначим ?):

/: wftw = з = iw\

такие, чтобы

? (w) Q (侬)=①n (⑪)Q (/侬)+ ①"(/侬)Q (Zw),(8.88)

[Q (侬)，Q "侬)]=0.(8.89)

Последнее условие призвано обеспечить совместную диагонализацию Q и Г.

Основное тождество

В качестве первого шага мы построим матрицу QD(^),определенную с точностью до умножения справа на постоянную матрицу, в виде следа некоторого произведения, так что структура QD при этом будет аналогична структуре Т:

〈5 • • • I Q°I В1 •・・〉=tr QI S 16[)(出I S 102)• • • 3nIS|Bm), (8.90) о

где (a I S I В) — матрица с элементами

(a| Snm I р) =# 0 тогда и только тогда, когда 丨孔一m | = 1. (8.91) Бакстер использовал матрицы конечной размерности L. Мы поступим иначе и будем работать с бесконечномерными матрицами, изменив, однако, определение следа так, чтобы след в (8.90) означал tr р0 ..., где р()—проектор на заданный диагональный элемент 〃()，который впрочем, можно выбирать произвольно. Иными словами, частичный след есть «среднее значение в состоянии &)》.В силу свойства, постулированного в (8.91), след содержит лишь конечную сумму, и, хотя речь идет о бесконечных матрицах, никаких проблем со сходимостью не возникает.

Произведение TQD может быть представлено как полный след произведения матриц U (у Бакстера 2LX2L):

(a|TQD|p) = trPo(a1|t7|pl)・・・(*。|§启(8.92)

(8.93)(8.93)где каждый сомножитель (a| U | р) есть матрица 〃f/п, Л-> v: (a I Unm I Pb = 2 (a九 I R I yv)(Y I S师 | B), Y ИЛИ

(8.93)

(8.93)

(8.94)(8.94)которая,которая,(a|UIB)= X(a|R lY)(YlSIp).

(8.94)

(8.94)

которая,

которая,

Здесь каждый элемент (a|/?|у)——это матрица 2> в силу определений п.8.2.1, записывается в виде

/а0、/0с

(8.95)(8.95)(+|R|+)=(0Jо

(8.95)

(8.95)

/0d\(b0

приводит ее к треугольному видуприводит ее к треугольному видуИдея Бакстера состоит в том, чтобы оазложить след (8.92) размерности 2厶 в сумму двух следов размерности L с целью получить два объекта юй же структуры, что и Q。，по аналогии с (8.87). Для этого ищется преобразование матрицы U, которое

приводит ее к треугольному виду

приводит ее к треугольному виду

L L 丿，口Р” этом пронзве-

дение различных U, входящих в TQD тоже должно быть треугольным. Рассматривая (a|U|B) как матрицу LXL (здесь бесконечную) с кватернионными элементами, можно искать такое преобразование в виде

:(8.96)

где Мп — обратимая кватернионная матрица, не зависящая от спиновых индексов а/, Р/, фигурирующих в Ь. В силу инвариантности следа относительно преобразования подобия и коммутативности М с р0, имеем

a|TQD|p) = trPo(a1| Д|р!)... (aN| Л|ру) +

+ trpo&IBIBi) ... (aN\ В \^N). (8.97)

Вычислим (a I Unm |) с помощью (8.94):

(+ 丨 U/nn I)=(+ 丨 U/nn I)=(a(+ I Snm I)3(-|Ss I)(a(+ I Snm I)3(-|Ss I)d(-|S^ |)\b(+\Snm I)丿d(-|S^ |)\b(+\Snm I)丿/ I 77I S九加 I)(一1乙m1)一Q(+5加I)/ I 77I S九加 I)(一1乙m1)一Q(+5加I)c(+\Snm I)' a(-\Snm I).c(+\Snm I)' a(-\Snm I).(8.98)(8.98)

(+ 丨 U/nn I)=

(+ 丨 U/nn I)=

(a(+ I Snm I)3(-|Ss I)

(a(+ I Snm I)3(-|Ss I)

d(-|S^ |)\b(+\Snm I)丿

d(-|S^ |)\b(+\Snm I)丿

/ I 77I S九加 I)

(一1乙m1)一Q(+5加I)

/ I 77I S九加 I)

(一1乙m1)一Q(+5加I)

c(+\Snm I)' a(-\Snm I).

c(+\Snm I)' a(-\Snm I).

(8.98)

(8.98)

Чтобы получить (8.96), достаточно взять Мп в треугольном виде

此=(；；)(&99)

и найти произведение трех матриц. Это дает 2 условия:

,(аРт— Ьр^ (+ 丨 snrn I) + (d — cp^^ (— I Snm I) = 0,

[(c 一dpnpm) (+ I S师 I) + (bpm 一 呐)(一 I S师 I) = 0 3」U⑺

и выражения для А и В:

(+ 14m I) = 〃 (+ 丨 Snm I) — cpn (—| Snm I),

(+ 丨 Bnm I) = 6 (+| Snm I) + cpm (—1 Sw I),

(8.101)

(-\Anm I) = 6 (— I S〃m I) 一 dpn(+ I Sntn I), (—丨 Bnm I) = a (— I Snm I) + dpm (+ I Snm I).

Из системы однородных уравнений (8.100) вытекает следующее «правило отбора» для ненулевых элементов матрицы ：(|S 询 I)：

(с — dp苏加)(d —叩涼m) = «Pm — ap^ (apm — bpj

или, иначе:

(。2 + 力一а? 一 b^ pnpm + ab (足 + p^-cd(l + 成呢)=0.

(8.102}

Нетрудно видеть, что это соотношение зависит от трех параметров /1, 厶，」з гамильтониана XYZ (формула (8.24)). Его можно записать также в виде

"з =厶(必 + Р>) (Pm + Pm)-人(％ 一 PU) Sm -Pm \ (8.103)

если (I Snm I)，0.

Теперь можно разрешить соотношения (8.100), введя неизвестную матрицу Snm(w):

[(+ 丨 S"加 I) = S^m (侬)(d — CPf1Ptn),]

I (_ 丨 Sm I) = S師(w) (bpn —。丁),

через которую матрицы 4 и В выражаются следующим образом:

(+\Anm\) = Snm ®)®d-cb 哨，

(8.105>(8.105>(-|Lm I ) = S^ (侬)(("一* Pn + (Cd 成一功)％, (+|4.1) = 3。(侬)(м一ае*),

(8.105>

(8.105>

(-I 纥m I) = S^ ®) (d - a2) pm + (而一cd嗚)％).

Построение матрицы S

Соотношение (8.102) квадратично как по рП1 так и по р^ и симметрично по обоим аргументам. Эти два свойства лежат в основе правила отбора \п—m| = 1. Рассмотрим, например, строку 几о・ Заданному числу рп。отвечают два возможных решения квадратного уравнения по рт и, следовательно, два допустимых матричных элемента, которые мы свяжем со столбцами (ио+ 1) и (no— 1), определив тем самым S%,%±i・ Перейдем теперь к строке (n0 + 1) с соответствующим параметром р(п +1). Ей снова отвечают два решения, одно из которых, в силу симметрии, будет Р%, другое решение обозначим р(Пв+2} и т. д.

Построенная таким образом цепочка

может оказаться бесконечной или периодической. Она будет периодической лишь для исключительных значений параметров, которые тем не менее образуют плотное множество. Именно этот случай рассматривает Бакстер. Мы же исследуем бесконечный случай, включающий в себя периодический. Итак, сформулированное ранее правило отбора \п — m|= 1 доказано.

(8.106)(8.106)Теперь возникает задача отождествить следы по Д и по S в (8 97) с двумя членами правой части (8.88). Для этого достаточно, чтобы выполнялось равенство

(8.106)

(8.106)

1 (а I 旦М В)=①(W)得%/1 (а II 6儿

для некоторой последовательности х„. Обозначим tw = з\ tw =侬〃，\п — т\ = \

Подставляя выражения (8.105) в левую часть (8.106) и используя (8.104), мы получим 4 уравнения

(8.107)(8.107)包① 必 S几m d 側)4d - cbPn ^ (户 一 *) Pn + (以质一曲)Pm 无九— ^PnPmb，Pn — a，Ptn

(8.107)

(8.107)

忌广^仆期一 bd - acp：n __ (d2-^pm + (ab-cdpQpn 前 一%"mg 一 " 一 产"石—b"pn - a" Pm

Важное предположение, которое мы сделали, состоит в том, что соотношения (8.102) или (8.103), определяющие рп, являются относительными инвариантами преобразования w-^tw=wf в том смысле, что последовательность рп не меняется при сдвигах /. Это означает, что

(8.108)(8.108)а'Ь' _ C’d' _ c'2 + d" —优2— /2ab — cd — с2 + rf2 — a2 — b2 *

(8.108)

(8.108)

Эти тождества можно проверить, определив преобразование wfw' с помощью второй пары уравнений (8.107). Для этого достаточно заметить, что уравнение

㈣一cbpimpn — dp"

—(d‘ — c'%%)((广 一 d2) Pn + (cdp^ —曲)PQ = 0(8.109)

совпадает с соотношением 4-го порядка (8.102). Действительно, если сдвиг / определен соотношениями

优：〃 ：：協=b2 2d2 : а2 -Л优：〃 ：：協=b2 2d2 : а2 -Л・ d7Г •力 2 — d2・ d7Г •力 2 — d2(8.110)(8.110)

优：〃 ：：協=b2 2d2 : а2 -Л

优：〃 ：：協=b2 2d2 : а2 -Л

・ d

7Г •力 2 — d2

・ d

7Г •力 2 — d2

(8.110)

(8.110)

а обратный сдвиг f соотношениями

c . dc2 一 产• d2- a2 fc . dc2 一 产• d2- a2 f(8.111)(8.111)/： IS) w",

c . d

c2 一 产• d2- a2 f

c . d

c2 一 产• d2- a2 f

(8.111)

(8.111)

〃 •方〃.〃 .Ea cc2 — b2 * d2 — a2

ГО

(8.109)』cMdp〃X(8・102).

Осталось использовать первую пару уравнений (8.107) для определения Ф(^) и Snm{w). Сделаем сдвиг w-^tw во второй строке в (8.107) и умножим почленно на первую строку. Исключив S(3), получим функциональное уравнение

①(w)①(t2w)=①(w)①(t2w)=(8.112)(8.112)(ad - cb")(鼠乂 一 ac'p^)(力一c'pnpQ (d — cpnpm)

①(w)①(t2w)=

①(w)①(t2w)=

(8.112)

(8.112)

Применив (8.110) и (8.102), замечаем, что зависимость от рп счастливым образом исчезает и результат имеет вид

①(3)Ф (t2w) - 2 (出一絞).①(3)Ф (t2w) - 2 (出一絞).(8.113)(8.113)

①(3)Ф (t2w) - 2 (出一絞).

①(3)Ф (t2w) - 2 (出一絞).

(8.113)

(8.113)

Заметим, что если определить преобразование / не пропорциями, а строгим равенством сг = с/(а2 — с2) и т. д., то можно выбрать

①®) wl・ (8.114)

Итак, мы установили фундаментальное соотношение

ГЫ Q。®) = QD ®) + Q。@з) (8.115) чисто алгебраическим образом. Мы не будем далее развивать эту линию и в следующем пункте введем эллиптическую параметризацию, чтобы явно вычислить последовательность 。力 матрицу S и Ф.

УРАВНЕНИЯ БЕТЕ ДЛЯ СПЕКТРА

Эллиптическая униформизация

Поскольку относительные инварианты /卜 А, /2 определяют два эллиптических параметра х\ и k (формула (8.84)), сдвиг t (8.110) может действовать только на третий параметр v. Если

условиться нормировать коэффициенты з(а,Ь, с, d), заменив пропорциональность (8.61) равенством

(8.116)(8.116)01 (и + п)仇 9 — п)©Г(2п)

(8.116)

(8.116)

и т. д., используя соотношения (8.110), то оказывается, что f есть просто сдвиг по v:

/:。一＞ и + 2т).

С помощью (8.113) получаем

ф (о?)①(户з)=ф (о?)①(户з)=/(2n)/(2n)/(2n)/(2n)откуда находим очевидное решениеоткуда находим очевидное решениеФ ®)=Ф ®)=@1 (и - п) @4 (и - п) — & (" - "丨"7 )@1 (и - п) @4 (и - п) — & (" - "丨"7 )&(2п)@4(2п)&(2п)@4(2п)a (屯)a (屯)(8.117)(8.117)& 9 — п) ®4 (и —』)& (и + Зт)) ®4 (и + Зтр

ф (о?)①(户з)=

ф (о?)①(户з)=

/(2n)/(2n)

/(2n)/(2n)

откуда находим очевидное решение

откуда находим очевидное решение

Ф ®)=

Ф ®)=

@1 (и - п) @4 (и - п) — & (" - "丨"7 )

@1 (и - п) @4 (и - п) — & (" - "丨"7 )

&(2п)@4(2п)

&(2п)@4(2п)

a (屯)

a (屯)

(8.117)

(8.117)

Определение последовательности рп. Будем искать решение в виде

p〃 =記:;;="々 sn(u也；同.(8.118)

Используя формулы (I. 16), имеем

4" (% + *) =4" (% + *) =&&G九闺仇（。千）W）仇（о I）G九闺仇（。千）W）仇（о I）扌(％-рЗ) = -扌(％-рЗ) = -0101(*)а(о £)(on 11) @2(0 I)(*)а(о £)(on 11) @2(0 I)(8.119)(8.119)

4" (% + *) =

4" (% + *) =

&

&

G九闺仇（。千）W）仇（о I）

G九闺仇（。千）W）仇（о I）

扌(％-рЗ) = -

扌(％-рЗ) = -

01

01

(*)а(о £)(on 11) @2(0 I)

(*)а(о £)(on 11) @2(0 I)

(8.119)

(8.119)

Подставляя выражение (8.83) для относительных инвариантов в (8.103), получаем

М (и〃) ©1 (%) ®2 (0) 02 (2叫=04 (吟 @4 (%) ©3 (0) & (2叫—

一 03 (吟 03 (^) 04 (0)出(2哈(8.120)

где функции 0 отвечают периоду т/2. Соотношение (8.120) есть не что иное, как частный случай теоремы сложения (I. 13), если положить

и〃 一 Um = ± 2п при n — m = ± 1.(8.121)

Это приводит к соотношению

% = Uo + 2m，(8.122)

позволяющему определить рп. Параметр и° здесь произволен; можно выбрать его равным нулю.

Определение (|5^|). Осталось решить первое и? уравнений (8.107)

、5切(他)=ad-配成

Кц 侬 Sum (叫 d' — C，pj1Pm *

или с учетом (8.110—117—118)

1s九m е + 2n) = a 9m) 84 (2тр 乂

乙Snm(V)— — 04 (On) 04 (0)入

v用(0 + n) / (%一/ (。+ n)Of (哨

X 日1 (и + 3n) @1(。+ n) ®4 (。九)®4 (U/n)—日4 (u + 3r)) ®4 (J+ n)仇(U/l)日 1 (Um) •

Выберем xn = 04 (un).(8.123>

Рассмотрим случай ли = n + 1. Используя соотношение Якоби (I. 13) для

х = и + 2ti，у = %z = и九卜 ％/ = П + "Г,

получаем

S* 九+1 (и + 2т]) = “(2гр 貝(0)纵(。+ % + П)仇(° - % + П) — ~Snttl+l (и)~ — & (0) @4 (0) & (2т)) & (и + U/г + Зт]) & (。一。九 + П) н

(8.124>(8.125)(8.126)(8.124>(8.125)(8.126)__ 01 (v + vn + П) =& (и + U/г + Зт])

(8.124>

(8.125)

(8.126)

(8.124>

(8.125)

(8.126)

откуда находим очевидное решение

S% п+1 ®) ~ 1/0! (v + vn + п).

Таким же образом находим

S 九+1,九®)〜1/& ®-%-п)・

Матричные элементы (a|Sm|) даются формулами (8.104). В результате мы получаем решение

Г (士 I S〃，九+11) ~ @1,4(и — и九一л),

I (±|S% 九+J)〜“4(и + % + 6()I (±|S% 九+J)〜“4(и + % + 6()которое позволяет окончательно определить матрицу Q°(u), удовлетворяющую соотношению (8.88)которое позволяет окончательно определить матрицу Q°(u), удовлетворяющую соотношению (8.88)Т® QD (а) =Т® QD (а) =

I (±|S% 九+J)〜“4(и + % + 6()

I (±|S% 九+J)〜“4(и + % + 6()

которое позволяет окончательно определить матрицу Q°(u), удовлетворяющую соотношению (8.88)

которое позволяет окончательно определить матрицу Q°(u), удовлетворяющую соотношению (8.88)

Т® QD (а) =

Т® QD (а) =

Построение матрицы Q

Итак, мы построили матрицу QD, определенную с точностью до умножения справа. Можно также построить матрицу Q°, определенную с точностью до умножения слева 9 и удовлетворяющую соотношению QGT = QG -|- QG. Для этого достаточно произвести транспозицию. Действительно, согласно (8.16) и (8.14), транспонировать Т(и)—это то же самое, что поменять местами с и d. При этом инволюция v -> 2^ 4- 1КГ — и порождает преобразование

®i. 4 (2К + 木‘ 一 〃)=—Si&e-zm/2Kо,-(“)

и, следовательно,

Т (2К + zK — и) = (-DNqM2e』MKTt(v). (8.129) Матрицу QG(u) можно определить следующим образом:

QG ①)=iNQ-^enivN/2K (QD (27< + К 一 0)产・(8.130)

В силу (8.127), можно ввести единую матрицу S, определяющую как QD. так и QG, положив и。= 0:

，Q。：(。2爲 |) = О + (М-2п)，

、Q0：(⑶用a)=器1(0 + (m一出)哨，.

где 〃一 m = 土 1.

Предложение.

QG (и) Q〃(『)曰 QG (U) Q° (u).(8.132)

Доказательство. Принимая во внимание тот факт, что Q° и Q° представляются в виде следа tr0 ... , достаточно показать, что существуют такие диагональные коэффициенты преобразования An, nS что

Е Ап,八 I s*(V)I a) (a I S%，(吟 I)= а

=£( IS* 3) I а) (а IS九，(и) I) 4m付・(8.133) а

Суммирование по а в левой части дает

(и + (几2 — m2) n) 04 (U + (m'2 —公2)ri) + 04 (...) 0t (...)=

C Q + U‘ . /n'2 _ 公2 + 〃2 —序、Q —/ .紋+〃'2 —团2—团，2 、

=然+29)然 ^— + 2n).

Индексы D и G соответствуют французским словам droit (правый) и gauche (левый). — Прим, перев.

Таким образом, достаточно удовлетворить условию

/ U - / 九2 + %，2 + 加2 一团，2、

4“ —+ —2 力

при \п — m\ = \nf — m'\ = 1. Исследуя условия (8.134) для че

независи- разностинезависи- разноститырех возможных случаев, мы получаем только два мых рекуррентных соотношения по сумме 几 + 九‘ и n 一 儿‘：

независи- разности

независи- разности

(8.135)(8.135)(8.136)(8.136)%+1, 几t1 — £6门十]"一1 _ /

(8.135)

(8.135)

(8.136)

(8.136)

A/几十出94—【П — ПЗ

С/г, п^п.门

где

也 ^^-^- + w + и”)

仇(^-Е^ +(" + D ")

Коэффициенты 4% 标 определяются при этом однозначно, и соотношение (8.132) тем самым доказано.

До сих пор мы могли не уточнять определение матриц Q" и QG. Теперь это необходимо сделать, чтобы обеспечить существование обратных матриц с целью получить матрицу Q(^)> коммутирующую с Т(и), задав ее формулой

Q (и) = Q。(и) {Q。®о)}7 = ◎ (и。)}- QG (叫 (8.137)

где и。一какое-то значение и, при котором матрица обратима. Из (8.137) и (8.132) тогда следует коммутативность

[Q9),(Ж)] = 0・

Чтобы зафиксировать определение Q°, можно исходить из матрицы S(и), зависящей от параметра и。 и обладающей свойством

SQ(u, %) = SG(g, и).(8.138)

В силу (8.131), достаточно положить

(a I S爲(0,。。) I 6) = % 4 ① + (居一向叫 ©4,i (% + (加一标)*•

(8.139)

Тогда при v = Vq получаем

QD (и = и。) = QG (и = u0).(8.140)

Примем гипотезу, что существует по крайней мере одно значение и。，для которого эта матрица обратима. Построение матрицы Q(u) тогда завершено, и тем самым возможна совместная диагонализация матриц, участвующих в тождестве (8.88).

Уравнения для спектра трансфер-матрицы

Из свойств коммутативности, доказанных в предыдущих разделах, следует, что матрицы Т(и), Q(u), Q(u ± 2т]) могут быть диагонализованы одновременно в базисе, не зависящем от z丿. Соответствующие собственные значения, которые мы бу/.ем обозначать также Т(и), Q(u) и т. д., являются целыми функциями переменной и, поскольку таковыми являются матричные элементы и базис собственных векторов не зависит от v. Чтобы определить вид функции Q(u), нужно учесть ее свойства «периодичности». Согласно (8.131), имеем

Q® + 2K) = (-1)VQ(u),(8.141)

где Vх — сохраняющееся квантовое число, которое по модулю 2 равно числу стрелок J или спинов (—1) в наборе {а} (или {Р}), определяющем матричный элемент <a|Q|p>. С другой стороны, сдвиг и->и +，К в матричных элементах (8.131) дает нам свойство

(a IQ (и + iK‘)IB) = qN『n е+к)м2K(d |Q(u)| р),(8.142)

где_

&/ = — %•, V/.

Введя квантовое число v〃, определяющее четность собственного вектора относительно операции а—>а, получаем для соответствующих собственных значений соотношение

Q (и +，к‘) = (一1 户严％т 加(hk)/2kq(°).(8.143)

Из (8.141) и (8.143) следует, что голоморфная функция Q(u) имеет в параллелограмме 2/С, i/С плоскости и ровно N/2 нулей и что, в силу фундаментальной теоремы об эллиптических функциях (приложение I), существует факторизация вида

N/2

Q ⑻=恤/2К Ц &@4 ® 一 “)，(8.144)

где V] — набор нулей в прямоугольнике 2К, iKI для которых выполнено условие, вытекающее из (8.143):

i 。尸 v〃K + 川 4 ^d 2K, Ю・ (8.145)

(8.146)(8.146)Подставляя Q(u/ = 0) в соотношение (8.128), получаем N/2 уравнений

(8.146)

(8.146)

卦(, + n г)/ 廿/ ”G/-%+2n*)

При этом мы воспользовались одной из формул (1.16)

& (。|^)〜®1 (и It) @4 (U It).

В следующей главе, разд. 9.3, мы извлечем из системы (8.146) некоторые следствия для термодинамики восьмивершинной модели.

ПРИЛОЖЕНИЕ Н

В этом приложении мы попытаемся обобщить тернарные соотношения на основе алгебры Клиффорда.

Обозначив Y(a полный базис в алгебре матриц некоторой размерности, введем тензорные произведения

，о(а)= 1 ® 1 X Y(a)>

< Ra) = 1 ㊁ Y(a) ® 1，(Н.1)

、工(a) = Y(a)宫 1 宫 1

и обозначение

他门)=£ 吃⑷(B)°(a)%)・(H・2)

(a, В)

В общем случае задача о тернарных соотношениях

(ошт) ("от/) (хгт/) = (xttz) (wfGT,) (wot),(Н.З)

задающих алгебраическое многообразие по з, з' и х, по-видимому, достаточно сложна. Мы поставим перед собой ограниченную задачу^ отправляясь ют алгебры Клиффорда Гл порядка 2" и предполагая диагональность

(咖t)=2，(1)0((1产((1)。(h。4)

(ОС)

Это — прямое обобщение локальной матрицы вершинных весов из п. 8.4.2.

Алгебра Гп порождается п генераторами у», / = 1, ..., п, удовлетворяющими

旧，»]+ = 2力(H.5)

Положим

%)= Y、Y：2 ... у%, a； = 0, 1 (mod 2),(a)=仲門...%}.(H.6)

Правило умножения имеет вид

Y(a)Y(B) = е(& В)Y(a+B)，(Н・7)

где

8 (a, p) = (-l/>fe,(H.8)

Введем скалярное произведение

(а, 0) = &% +Z 哂，«о + Е а/ = °»(Н・9)

чтобы определить знак

8 (а, В)е(6, а) = (—1)(а，В),(Н.10>

появляющийся в коммутаторе двух элементов Гя:

Y(a)Y0)=(-…Y0)Y(a)・(HJD

Отсюда следует правило:

(а, В) = 1 (mod 2) ^=> ”⑴ и %)антикоммутируют,

в 2 а也=1 (mod 2)

за исключением случая, когда как а0, так и Во нечетны, при этом

2 a向=0 (mod 2).(Н.12>

/

Раскрывая тернарное соотношение с помощью правил (Н.7) и (Н.11), мы получим алгебраические соотношения

2з(а)@в产(丫)£ (а, В) е (а, у) 6 (£ у) = 0,(Н.13>

(а)+(@)=(с)

(B)+(Y) = S) (Y) + (a) = (历

где суммирование ограничено двумя условиями

(а), (Ь), (с) фиксированы, (а + b 十 с) = 0 (mod 2),

(а, В)十(а, у) + (Р，у) = 1 (mod 2).*

Суммирование тем самым идет фактически только по одному индексу, например (у)

(а) = 3+у),(Р) = (а + у).(Н.15>

Условие (Н.14) записывается в виде

(Z? + Y，。+ Y)+ 3 十 Y，Y)+ (а + Y，Y) = 1 (mod 2), откуда следует равенство

(Y，у) = 0,VY0(b，@)=l (mod 2),(Н.16>

представляющее собой ограничение на выбор пары а, Ь.

Используя определение (Н.8), можно показать, что знак е (а, 6) е (а, у) X X £ (В，Y)зависит от своих параметров как £(y + @, Y + 初 В обозначениях

应(6)= е(8, Р)^ф(Н.17)

тернарные соотношения запишутся в виде

X飞事b+Y陷。十Y)=。・(h/8)

(Y)

Равенство выполняется всякий раз, когда (a, b) = 1 (mod 2). Знак каждого члена суммы положителен, в силу определения (Н.17). Условие (Н.16) означает, что (а) #= (Ь) ¥= 0.

Система (Н.18) остается переопределенной относительно входящих в нее переменных, и нам не известно, существует ли у нее решение более общее, чем уже встречавшееся нам. Допустим, что сумма (Н.18) содержит только 4 йену-

левых члена с индексами (Д), (В), (С) и (D). Тогда они с необходимостью имеют вид

(Y). (Y +。)， (Y + а + 力)，(Y + b)

и все различны при единственном соотношении между ними

(4 + В + С + О) = 0, mod 2.

При этом с точностью до перестановки четырех индексов выполняются равенства

f (4В) = (8,С) = (4С) = 1,

I (4 D) = (В, О) = (С, Q) = 0 (mod 2).(')

Отсюда следует, в силу (H.l 1), что 4 матрицы 丫陋)，丫仍)，丫(。)，丫⑵)из Гп образуют алгебру, изоморфную алгебре кватернионов т1, т2, т3, т°.

Получающееся при этом решение есть не что иное, как решение из п. 8.4.2. Таким образом, мы ничего не выиграли, увеличив размерность. Однако в записи (Н.18) становится явной симметрия z2 + Z2 системы (8.44). Шесть пар, удовлетворяющих (а, 6) — 1 (mod 2) для 〃 = 2, — это (01, 11), (10, 11), (01. 10) и их транспозиции.

ПРИЛОЖЕНИЕ I

Краткие сведения об эллиптических функциях

Мероморфные дважды периодические функции легко могут быть построены как отношения целых функций, воспроизводящихся с точностью до множителя при сдвигах на периоды и называемых тэта-функциями. По существу, достаточно одной функции 8(n|t) с периодами л и int, Re т > 0, однако удобно использовать также функции, получаемые сдвигами на полупериод. Таким образом, имеются 4 функции, зависящие от параметра g = е~пт：

0з ⑶=2 e^in\ n е Z

04 ⑵=仇(г + у),

' %(z)=£ qm2e2irnz = q^eiz^ (^ + ^1),«"

^+万三z

e.⑶= -e2 U^^ = iq^e^ (z + 子 + 岑)，

，⑶ нечетна; &,仇，仇 четны.

При сдвигах на периоды выполняются соотношения

j 仇(z + 2 = ®з ⑶，(]2)

I & (z + im)=厂%Tz仇(z).

Функция 0i (г) допускает факторизацию

e⑵=2gl" sin гП(1-炉権)(1 一 02%2切(1 一g2%-2仄)(I. 3)

(I. 4)(I. 4)Приведем полезную формулу + 8 仇(2)— ТТ sin(2 + 历：гиг) 仇 3) — 11 sin (У + innx)

(I. 4)

(I. 4)

где произведение сходится, если объединить сомножители п и —п.

Эллиптические функции, имеющие заданный набор нулей и полюсов в параллелограмме периодов, могут быть построены как отношения 0-функций. Так, можно определить три функции Якоби: sn 〃，cn 〃，dn и：

( к оз (0 1 T)仇(端

т)_

@3 (0) & (〃)

/Т R»

(1 } е2(о 1 т) & (必

т)

02 (0) @4 (〃)’

где

кТ%(о|т), %(〃)= %

(割Т)

(1.6)

Якоби использовал обозначения

Н (〃)= & (〃)，0 (и) = 04 («).(I. 7)

Число 力 называется модулем

々=鍔(0)/的(0);(I. 8)

К — полный эллиптический интеграл, функция от k или т. По определению К' = тК. Наконец,К — полный эллиптический интеграл, функция от k или т. По определению К' = тК. Наконец,сп (〃； k)сп (〃； k)日4(0)也(") ©2 (0)日4 (〃)日4(0)也(") ©2 (0)日4 (〃)dn (〃； k)dn (〃； k)04 (0)日3 (〃) ©Лот ©Too04 (0)日3 (〃) ©Лот ©Too(I. 9)(I. 9)

К — полный эллиптический интеграл, функция от k или т. По определению К' = тК. Наконец,

К — полный эллиптический интеграл, функция от k или т. По определению К' = тК. Наконец,

сп (〃； k)

сп (〃； k)

日4(0)也(") ©2 (0)日4 (〃)

日4(0)也(") ©2 (0)日4 (〃)

dn (〃； k)

dn (〃； k)

04 (0)日3 (〃) ©Лот ©Too

04 (0)日3 (〃) ©Лот ©Too

(I. 9)

(I. 9)

функции sn 〃 н cn 〃 имеют периоды 4K и 4iK‘，a dn 〃 一 периоды 2^ и 2Ю Сформулируем важную теорему:

Между двумя эллиптическими функциями, имеющим одну 〃 ту же группу периодов, существует алгебраическое соотношение рода 1.

Как следствие между тэта-функциями существуют однородные соотношения. Примеры:

sn2 и + сп2 〃 = 1,k2 sn2 и + dn2 〃 = 1,-^-sn 〃 = cn 〃 • dn 〃，(I. 10)

/、 sn w cn и dn и + sn и sn w dn w

8П(〃 + 吁*

Для доказательства этих соотношений имеется несколько методов. Во- первых, алгебраический метод Эйлера (см. Зигель, 1969). Для квадратичных соотношений можно также непосредственно вычислить 02, исходя из рядов (I. 1). Наконец, самый общий метод состоит в том, чтобы построить эллиптическую функцию, не имеющую полюсов в параллелограмме периодов, и, сославшись на теорему Лиувилля, установить, что она равна константе.

Соотношения Якоби. Для четырех комплексных чисел гь z?, 2班 2《положим

2； ==^(/ +22 + 0 + 24)，

2；б(2| +22-N3-24)，

,1(LU)

2；и 万(4-22 + 23-24),

24 H 豆(％ -&-2з + 24)・

Это отображение инволютивно. Имеется замечательное соотношение

Г(2；) %(N0 в3(4) ”(W и 7 S61 (%) @2 (々)@3 &) ” (吗・伍⑵

где S — симметризация индексов, определенная в (8.49):

Sm 1 + (12) (34) + (13) (24) + (14) (23).

Заметим что правая часть обращается в нуль вместе с суммой z[ Приведем еще одно полезное соотношение

е,(% + у) 01 (X 一 У) е, (г + /)е,(Z — /)- 一 & (х + а А, (г 一 /) з (N + у) 0t (г - у)=

= ^(у- 6 01 (у + /) & (% + г) 3(% — 2).(Т.⑶

Его можно вывести из теоремы Лиувилля или из следующих соотношений, которые вытекают из тождества Якоби:

,4 匂 + г) 4 (у — z) % (0) н % (у)琢(2)— % (у)雷(г),(储(9 + 力 64 (у - N)曲(0)n W (У) 03(2)一琢匂)02(2)■

соответствует(I. 15>соответствует(I. 15>Преобразования тэта-функций. Преобразование Ландена удвоению периода т-> 2т: Оз (г I т) 04 (г | т) = 04 (2г | 2т) 04 (01 2т) нл% иначез

соответствует

(I. 15>

соответствует

(I. 15>

(I. 16)(I. 16)01е4(2|Т)=1е, (』$)Е (о|~),е203(2Е== ^2 (2 ⑶ 02 (о ⑶，們(2 1Т)一 曲(2|幻=3(2 图 04 (0) |)»

(I. 16)

(I. 16)

е；(2|т)+ е；(2|т)= з S| ^) e3 (°樓)・

Преобразование Якоби (формула обращения т-> т~!)

仇,2,4(2 ⑺=т-1/2е-22/^0з, 4,2(f

' J(1.17)

& (N I_ z・L】/2知仇(彳I ；).

Укажем, наконец, соотношения между 0-константами, выполняющиеся тождественно по q, например соотношение

整(0) + 解0)) = %(0),(L18)

которое можно вывести из, (1.12) и которое равносильно соотношению 必 + + 肥2 = 1 между дополнительными модулями 々 и 炉，такими, что

/Г 优)=卍驳他)= К(У).(I. 19)

Глава 9

Восьмивершинная модельСобственные векторы. Термодинамика

СВЕДЕНИЕ К МОДЕЛИ ТИПА ИЗИНГА

Постановка задачи

Выпишем еще раз выражение для трансфер-матрицы Т, построению собственных векторов которой будет посвящена эта глава:

〈а 171 В〉三(а)а2 ... а“ | Т | 0 [02 • • • %〉=

= tr<a1 \R\ ^{)^2\R\ р2) ••• SnIRI Bn〉； ab 餘=± 1,(9.1>

d 0 0d 0 0где для каждой пары (а/,田)матрица <а/1/?|₽/> размера 2X2 задается следующим образом:

d 0 0

d 0 0

(9.2>(9.2>什IRI+〉= (^:)，〈+依1一〉=(:

(9.2>

(9.2>

〈-IRI+〉= (： ；)• <-R-〉= (：

Цель настоящего раздела состоит в том, чтобьь преобразовать трансфер-матрицу Т восьмивершинной*модели в трансфер- матрицу W модели типа Изинга, которая будет описана в ходе самого преобразования. Обнаружив с помощью своего метода диагонализации, что следы произведений определенных матриц в некотором смысле инвариантные относительно умножения на Т, Бакстер (1973а) детально проанализировал эту операцию и построил инвариантный по отношению к Т базис векторов. Эти векторы, имеющие 2" компонент с индексами {Рф2 …§“}, нумеруются наборами целых чисел {/也••• /%} и имеют ту же структуру, что выражения, определяющие матрицы Q。 и QG? или, точнее,

〈6 IWI /)=〈仇 WI 小2〉〈％ IWI 碰〉…〈％ IW 丨 /仙〉・(9.3>

Итак, мы займемся построением матрицы Wf связанной с Т посредством 4r:

Т 屮士屮 W\(9.4)

т. е.

L^\T\^^\^\l) = LM\m)(m\W\l)9(9.5>

где

<т|Г|/) = П ⑺川"I ” I 仏 Q(9.6)

и предполагаются выполненными уже знакомые условия

|т;+1 — m7|= 1,|/"i —//1=1,/= 1, ..^,(9.7)

mN+i = mv(9.8)

Модель типа Изинга

Предполагая существование W, можно рассматривать матрицу (9.6) как трансфер-матрицу от строки к строке для модели типа Изинга со «спинами» //, / на гранях (/, /) квадратной решетки (/ нумерует столбцы).

Рис. 9.1.

Значения соседних спинов в одной строке отличаются на единицу. Из соображений симметрии естественно постулировать аналогичное условие для соседних строк. Как будет показано ниже, этого дополнительного условия, которое записывается в виде

I Г I /) = 0, если \lj-mj\^\, (9.9) достаточно, чтобы определить базис 4f и 6 ненулевых коэффициентов:

si(/)=a,/+11 取1/丁1,"，

仰(/) =〈/，2-11取1/+1，/〉，例0) =〈2一1，"取1/，/+1〉，®4(/) = </+l,/|IF|/,/-о,

С05(/) = </+1, /|К|/, /+1〉，

%(/) =〈/- 1, Л^|/, /一1〉・

Шесть соответствующих спиновых конфигураций изображены на рис. 9.1.

Преобразование Бакстера

Подставив выражение (9.1) для матрицы Т в левую часть равенства (9.5), запишем это равенство в виде

trGlSI/M •••〈叫2%力=〈a|"步 1/)，(9.11)

где

〈a|S|M〉= £〈a|R 汾〈6 Wl〃'〉，(9.12)

Wl 聆 6〈十1屮"〉丿'⑶ 3)

产(一|山1"‘〉С〈+a 仍)

если удастся найти мат-если удастся найти мат-Равенство (9.11) будет доказано,

если удастся найти мат-

если удастся найти мат-

ринн Mi размера 2X2, такие, что при a = ± 1

JWr1<a|S|/OMz^<a[SU/,> =(〈a|5/+L Г+1)ХX</+l,/，+l|F|/Z,>Gl w1/一1,/+l〉X xa-i, r + l\W\llf)JWr1<a|S|/OMz^<a[SU/,> =(〈a|5/+L Г+1)ХX</+l,/，+l|F|/Z,>Gl w1/一1,/+l〉X xa-i, r + l\W\llf)Действительно, левая часть (9.11) равнаДействительно, левая часть (9.11) равна〈a|W|/+lJ—l〉X、X(/+l,/，-l|IF|Z/,) J〈a|2|/ —1 J-1〉X・Xa-I,r-1|1F|M)丿(9.15)〈a|W|/+lJ—l〉X、X(/+l,/，-l|IF|Z/,) J〈a|2|/ —1 J-1〉X・Xa-I,r-1|1F|M)丿(9.15)

JWr1<a|S|/OMz^<a[SU/,> =

(〈a|5/+L Г+1)Х

X</+l,/，+l|F|/Z,>

Gl w1/一1,/+l〉X xa-i, r + l\W\llf)

JWr1<a|S|/OMz^<a[SU/,> =

(〈a|5/+L Г+1)Х

X</+l,/，+l|F|/Z,>

Gl w1/一1,/+l〉X xa-i, r + l\W\llf)

Действительно, левая часть (9.11) равна

Действительно, левая часть (9.11) равна

〈a|W|/+lJ—l〉X、

X(/+l,/，-l|IF|Z/,) J

〈a|2|/ —1 J-1〉X・

Xa-I,r-1|1F|M)丿

(9.15)

〈a|W|/+lJ—l〉X、

X(/+l,/，-l|IF|Z/,) J

〈a|2|/ —1 J-1〉X・

Xa-I,r-1|1F|M)丿

(9.15)

tr!lM^S\lJlJ^Ml^

Вычисление следа с использованием (9.15) дает

X II〈а/1 叩 I mjmj+l){fnjmj+l\ Г | ///*〉， {w} /=1 где

mj = Zj± 1.

Полученное выражение равно {a\^W\l)f т. е. правой части (9.11).

Наконец, условие \mJ+\ — mj\ = 1 будет выполнено, если мы сможем обеспечить равенства

(</~1, / + 2|Г|/, /+1) = 0,t (/+ 1, /-2|呼1/, /-. 1) = 0.

Для этого запишем унимодулярную матрицу M『в виде

гдегде(9.17)(9.17)

где

где

(9.17)

(9.17)

и, подставив в (9.15), получим 〈+|*|М〉=

rlsl,{(aql^bpl){+\^\ll/> + + (d -叩分)〈一121 〃’〉} s/r {(bql — a%,)〈+ I 屮 I 优〉+ + (с%9/ — d)〈一 121 "'〉}rlsl,{(aql^bpl){+\^\ll/> + + (d -叩分)〈一121 〃’〉} s/r {(bql — a%,)〈+ I 屮 I 优〉+ + (с%9/ — d)〈一 121 "'〉}7. {(叩〃 -bpi)〈+ I巾 I 〃‘〉+ |+ (d-cp/〃)〈一 |W|M〉}s"， {e力一叩〃)(+ 121 〃’〉++ (cqа，— d)〈 一 |2| 优〉}(9.18)7. {(叩〃 -bpi)〈+ I巾 I 〃‘〉+ |+ (d-cp/〃)〈一 |W|M〉}s"， {e力一叩〃)(+ 121 〃’〉++ (cqа，— d)〈 一 |2| 优〉}(9.18)

rlsl,{(aql^bpl){+\^\ll/> + + (d -叩分)〈一121 〃’〉} s/r {(bql — a%,)〈+ I 屮 I 优〉+ + (с%9/ — d)〈一 121 "'〉}

rlsl,{(aql^bpl){+\^\ll/> + + (d -叩分)〈一121 〃’〉} s/r {(bql — a%,)〈+ I 屮 I 优〉+ + (с%9/ — d)〈一 121 "'〉}

7. {(叩〃 -bpi)〈+ I巾 I 〃‘〉+ |+ (d-cp/〃)〈一 |W|M〉}

s"， {e力一叩〃)(+ 121 〃’〉+

+ (cqа，— d)〈 一 |2| 优〉}

(9.18)

7. {(叩〃 -bpi)〈+ I巾 I 〃‘〉+ |+ (d-cp/〃)〈一 |W|M〉}

s"， {e力一叩〃)(+ 121 〃’〉+

+ (cqа，— d)〈 一 |2| 优〉}

(9.18)

Аналогичная формула для 〈——|S|〃'〉 получается заменой 十 —, a <-> b, c <—► d.

Условия существования коэффициентов IF, удовлетворяющих (9.15), можно получить методом исключения, поделив соответствующие элементы матрицы (9.18) для 〈+|*|/尸〉на аналогичные элементы для <—1.§|//,>.

Введя обозначение

RQ，/')=密都然，(9・19>

мы получим тогда 4 соотношения:

(9.20)(9.20)(9.21)(9.21)(9.22}(9.22}Q 1 n 一 (致〃 -bpD R (4厂)+ (d - ермС 十' 十丿—(bqy - ар。+ (с - dpiq】,)R (/,厂)，

(9.20)

(9.20)

(9.21)

(9.21)

(9.22}

(9.22}

A "丄 1 〃 n_ 侬1一 “"〃)“ "，厂)+《q iP и — d) «什 1,- 1丿一(物—ьр介 + (dqiPLC)R (lJ)，

A 〃 丄 11_ (M〃一 bp» R U, /') + (d — cp(“)

К"十'-；~ (bpr - aPl) + (c - dplPr) R (/, Г) '

R(2— 1, / = /'+ 1)=R(2— 1, / = /'+ 1)=仅力一。力，)R 仏 /') + (cq^i，- d) (a%- bq〃)+ (d%g〃 一 c) R (厶厂)

R(2— 1, / = /'+ 1)=

R(2— 1, / = /'+ 1)=

Кроме того, условия (9.16) дают еще 4 соотношения:

(9.24)(9.24)R& /+1)R& /+1)d — cq^i+i М/-а% + 1d — cq^i+i М/-а% + 1aqi _力力” с-對【дмaqi _力力” с-對【дм(9.25)(9.25)

(9.24)

(9.24)

R& /+1)

R& /+1)

d — cq^i+i М/-а% + 1

d — cq^i+i М/-а% + 1

aqi _力力” с-對【дм

aqi _力力” с-對【дм

(9.25)

(9.25)

Из второй пары равенств в (9.24) и (9.25) следует, что величины Р/-1 И р/, С ОДНОЙ стороны, И ① И 0/+1 — с другой, связаны уже известным нам фундаментальным соотношением (8.102), или (8.103). Следовательно, в силу (8.118), и используя обозначения гл. 8, можно написать

(9.26)(9.26)一 & (s + 2何)" _ 出(f+ 25)

(9.26)

(9.26)

Pl — ®4 (S + 2/n)* "L & (f + 2/n)

где s и t ——два неопределенных параметра, которые, однако, не должны совпадать, чтобы матрица Mt была обратима.

Таким образом, отношения R(lf Г) определены равенствами (9.24), (9.25) и остается проверить, что выполняются 4 соотношения (9.20) — (9.23). Легко убедиться, что. (9.22) и (9.23) представляют собой тривиальные тождества. Остаются (9.20) и (9.21), которые оба сводятся к равенству следующего вида:

/?(/,/+!) =/?(/,/+!) =俨一J) qi + (cdg； — ab) q(i俨一J) qi + (cdg； — ab) q(ibdq； — асbdq； — асd — cgwi+i bqi — @%1d — cgwi+i bqi — @%1(9.27)(9.27)

/?(/,/+!) =

/?(/,/+!) =

俨一J) qi + (cdg； — ab) q(i

俨一J) qi + (cdg； — ab) q(i

bdq； — ас

bdq； — ас

d — cgwi+i bqi — @%1

d — cgwi+i bqi — @%1

(9.27)

(9.27)

Соотношение (9.27) означает обращение в нуль некоторого полинома по а, 6, с, 2,夕/一，夕/十，Если мы хотим использовать только инвариантные величины, достаточно установить следующие два тождества:

(9.28)(9.28)%-1% + 1 —成="%一19紡/+1 - 1 ab

(9.28)

(9.28)

(力+i + ql_^[cdql - abqf) w 絞十力一絞-庐 (9.29)

Окончательная проверка этих тождеств требует использования эллиптической параметризации (8.61) и (9.26) и не составляет труда.

9・1・4・ Определение W и W

Используя (8.61) и (9.26), легко получить явное выражение для отношений R (厶 Г) в обозначениях гл. 8:

/?(/, /+ l) = “/sn(Z — u +⑵ + 1)叫，

R(/ + I, Z) = VFsn(s + и + ⑵ + 1)叫 (9,30)

которое позволяет выбрать следующую параметризацию для ⑷明/r〉：

(+1^1/, / + 1〉= 3" 一。+⑵+ 1)т)), (一1如厶 / + 1)= 84(?一u +⑵+ 1)哈 (+1屮|/+ 1, /〉= 6] (s +。+ ⑵+ l)n), 《一WIZ+ 1, /〉= 64(s + u +⑵+ l)n)・

(9.31)

Из (9.17) и (9.26) мы получаем, наконец, явный рицы М：

J①；7；苗 ^(s + 2/r))

вид мат*

(9.32)

где р/ — неопределенный параметр, а величина w】дается выражением

叫=}(s + z) + 2/т1 — К, т =冬.(9.33)

Унимодулярность М/ вытекает из соотношения

©I« I т) ”(S I т) — ©1(S I т) е4 (/ |т) =

=ё> (-^|1)62 II)' (9.34)

筑(/图 (-川h

Явное выражение для W получается сравнением

матриц

(9.18) и (9.15) при фиксированном значении а. Используя эллиптическую параметризацию (8.61) коэффициентов а, 6, с, d и выбрав подходящим образом общий множитель при трансфер-матрице, получим

&(0+ 川®.9二包

a 6](20出(0) и д,

Положим

九(и) = @1 3 闺，

(9.35)

Окончательно, получаем следующий результат:

(о. (/) = </,/+ 1 l«^U- 1, /〉= <Х)В + п)

@2~) = "，/一11 旷I/+1, ”①9 + 叫箫；)"号

(9.37)(9.37)®з(/)=а-1, /丨昕丨/, /+1〉=①е-n)

(9.37)

(9.37)

@4 (/) = "+ 1，/I=

Т I I力(勺)密吃+ [) рЛ + 1 , %(/) = "— 1, /)1^1/, I — l> = h(wi — n + u)pg-i・

По причине, которая станет ясна позднее (см. (9.69)), следует выбрать р/ = 1, что мы и сделаем, начиная с этого места, для упрощения записи.

92 ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ ШЕСТИВЕРШИННОЙ МОДЕЛИ

Неоднородная шестивершинная модель

Преобразование (9.4) сводит задачу диагонализации трансфер-матрицы Т к аналогичной задаче для трансфер-матрицы W, эквивалентной модели типа Изинга. Однако последнюю можно также рассматривать как модель типа неоднородного сегнетоэлектрика.

Разлагая собственный вектор матрицы Т по базису Т, заданному формулой (9.3)

G I〉= 2(a № I 他〉(他1〉，(9.38)

{т}

и используя (9.5) и (9.6), можно записать уравнение на собственные значения А и амплитуды <т|> в виде

2 0nlЮ〉〈/|〉= А(т〉(9.39)

Графическое изображение (рис. 9.1) весов (m\tn2\ U^|/i/2> подсказывает удобное представление для матричных элементов <m| W\iy. В этом представлении каждой из шести функций <of (/) сопоставляется одна из шести вершин некоторой модели типа льда. Правило соответствия следующее: поскольку «спины» 乙，//+1 эквивалентной модели Изинга, находящиеся на соседних гранях / и / + 1, отличаются только на единицу (9.7),

мы проведем между этими гранями стрелку вниз |, если 乙+i = =乙一1, и стрелку вверх 储 если lj+i = 6+i + 1. Аналогичное построение проведем и вдоль столбцов. Таким образом, для заданной строки последовательность целых чисел 乙 определяется заданием 厶 и набором стрелок |, координаты которых в порядке возрастания будут %ь 也，...,хм.

Амплитуда </|> записывается при этом в виде

где

〈/ D = “厶• • • /% I〉= f Ci I 打，％2, • • •, %м),(9.40)；

(IJ — 1,丿三{X} = "i%2 • • 加尸1л+1, /陆{X}・

(9.41>

образом*

Матричный элемент {m\W\l) определяется, таким ， заданием двух последовательностей {mi |xi%2 • • •} и {/i |(/i(/2 •••}>

%У2 Уз彩

I + 1 / 匕%,/ + У2-2 7 + Уз-4 |I」七1

1X] X2ХзX4 ^

[十 мт] ；+*2-з|

占#2

<x\W_(l)\yy

Рис. 9.2. Два типа матричных элементов 步・ Жирная линия обозначает ( или

которые полностью определяют допустимую горизонтальную конфигурацию вершин. Такие конфигурации были уже описаны в гл. 7; они показаны на рис. 9.2. Матричные элементы распадаются на два класса:

А =加1 + 1 = / + 1

(m\W\l) = (x\W+(l)\y)

и 厶=g — 1 = / — 1

(tn\W\l) = {x\W^(l)\y\(9.42)

Циклическая инвариантность W обеспечивается условием

2“+】一l\ = N — 2Л1.

(9.43)

ПрИ№ ВОСПОЛЬЕ

7+ 占一2

9.2.

1енив w ювавш)

7+*i Т

2. Явнь

1етод, р ись ри(

*1Й вид трансе

[зложеь

9.3,

[一 у 一2

злемен】 |)ер-ма1

1НЫЙ в мы по.

7+ у-з

гов Heoj рицы гл. 7 ( лучим,

Z + у-2

DLHOpOAI

см. (7」

что м;

юй

28), (7.

атричнь

29)), и

>ie эле-

Z+*1 -1、

彳 с

"+х「2

л

*>5с

%С

%С

»1

14*2-3、

3 с

「2

Рис. 9.3. Статистические веса, отвечающие различным конфигурациям для 不& У & %2・

менты В представляются в виде произведений статистических весов со», заданных в каждой вершине:

{x\W+ (Z) \y) = Di (0,勿)力/t®1,修)0上一2(%1,次)...

・・・ О/-2ЛЦ-1 (Ум, Хм) Di-2M (%ЛЬ АГ + I ), где

0 V 物 & х V у?С х м < ^ + 1,(9.44)

причем координаты у (а также х) не совпадают между собой. Аналогично

<X\W-(1) \у) =bi^ (0, Х1)А-2(Хь f/l)Oz-3(f/lX2)・・・

•.. /)/—2М—1 {ум» N + 1),

0V &&//】《•・・《Ум V 2 + L(9.45)

Функции D определяются равенствами

f О/ (х, у) = (Оз (/ + х + 1) о)з (/ + х + 2) ... <0з (/ + у — 1) <о6 (/ + у)г t А (х, X)=他《 + %)/<05 (/ + 盼，

(9.46>

(Di (у, 2)= 0)1 « + у+ I)®! (/ + у + 2) •・・(0] U + n— 1)й)5 « + 2— 1),

IД (у, у) = 92(/ + №б« + у+ 1).(9.47>

Когда вторая переменная достигает значения N + 1, нужно опустить множитель о)5 или(о6.

Используя выражения (9.37) для весов (о/, можно представить функции О и D в следующем виде:

'Di(x, у) = Ф^-^-1^ — ^h (耽+у — П + У),

(9.48>(9.48>Di (у, 2)= 0)гтд + п)Di (у, 2)= 0)гтд + п)力/(2, 2)=①(и + 哨力/(2, 2)=①(и + 哨力(叫+”i + n-u)々叫+"1)力(叫+z)，№*+i)力(叫+”i + n-u)々叫+"1)力(叫+z)，№*+i)五(吗+Z)力(侬Uz + n + u) •五(吗+Z)力(侬Uz + n + u) •

(9.48>

(9.48>

Di (у, 2)= 0)гтд + п)

Di (у, 2)= 0)гтд + п)

力/(2, 2)=①(и + 哨

力/(2, 2)=①(и + 哨

力(叫+”i + n-u)々叫+"1)力(叫+z)，

№*+i)

力(叫+”i + n-u)々叫+"1)力(叫+z)，

№*+i)

五(吗+Z)力(侬Uz + n + u) •

五(吗+Z)力(侬Uz + n + u) •

Разложение амплитуды по методу Бете —— Либа

В обозначениях (9.40), (9.42) уравнение на собственные значения для трансфер-матрицы (9.39) записывается в виде Af(l]x)=Z<x\W+(l)\y)f(l+l |加 +〈％|步一⑺丨力a-i®.

⑵(9.49>

где суммирование производится по области

\ & У\ & ?2 & • • • W Ум & М(9.50>

Бакстеру удалось решить систему линейных уравнений (9.49), применив обобщение метода Бете и Либа, аналогичное тому, которое он использовал для решения модели неоднородного сегнетоэлектрика.

Как обычно, выражение для амплитуды ищется в виде раз- ложения бетевского типа

f(/|%i%2 •••%”)=

=2 % (Р> gDl (厶 ％i) gp2 (2 — 2, %2)gpM (/ — 2M + 2,无м), p(9.51)

где сумма берется по перестановкам Р чисел 1, 2, ..., М

Циклическая инвариантность трансфер-матрицы приводит к условию периодичности

f (/1 修％2 • • • %м) = f (2 — 2 I Х2х3 ・・・ ％м，修 + N),(9.52)

которое позволяет распространить определение f(l\x) за пределы интервала [1, ^], что окажется полезно в дальнейшем. Действительно, как мы уже отмечали в гл. 7, это условие позволяет объединить оба слагаемых в правой части (9.49) в один член, суммируя при этом по расширенной области

^м ^^ Ум ^^ 尤м+1, Хм+1 = %i + 乂.(9.53)

Рассмотрим сначала второе слагаемое. Воспользовавшись (9.47), нетрудно проверить, что условие ^ — 2М = 0 влечет за собой равенство

Di-\ (0, %】)D/-2M-1(У, N + 1) = D/-2M-1 (», ^м+1)(9.54)

для хм у <Z N + I-

Отсюда следует равенство

X^\W-(l)\y)f(l-l\y) = {у}

=Е |п Dl—2j(Xj, У/) О/-2/-1 财, + l)}f (2 — 1 I力 ％№《Ум & М

(9.55)

Рассмотрим теперь первое слагаемое в (9.49). Легко проверить следующее тождество:

0/(0, y\)Di-\ (z/i, Xi)D/-2m(хм, ^ + l)s

三。/—2М (%м, Z/i + N、D/-2M-1 (z/i + М 修 + М. (9.56)

Таким образом, полагая “м+i =勿 + М получаем

2al 取+(/)传〉/(/+ 1%) =

=Z {п “2/(,,勿+1) 〃一2/т (场+1, x/+1)j f (/ + 1 W・(9.57)

Условие периодичности (9.52) позволяет заменить в правой ча- сти (9.57) f(l + 1 |z/i ... ум) на f(2—1|力…Ум+i). После этого выражение, стоящее в (9.57) под знаком суммы, сводится заменой переменных суммирования yj —> yj—\ к тому же виду, что и (9.55). Отличается только область суммирования: после сдвига ум+1 f ум она превращается в

N V Ум. ^^^ %м+1 •

Объединение обеих областей дает

м ^^ Ум ^^ Хм+1 •(9.58)

Используя подстановку (9.51), перепишем уравнение (9.49) в виде

А/ (/ М) = £ 2 % (Р) Н gp『(/ 一 2/ + 1,川)Di-yg, yf) x {у} p I

Xb-yT ⑨，尤+)• (9.59)

Остается переписать условие периодичности (9.52) в виде

4仍)©〃+ 1,力= /(PC)gpi(/-2M+ 1, у + ЛП. (9.60)

где С——циклическая перестановка (12 -> ... М).

Суммирование

Следующий этап состоит, очевидно, в определении функций g. Мы ограничимся тем, что воспроизведем результат Бакстера. После суммирования по 劣 правая часть уравнения (9.59) приобретает вид, уже знакомый нам по гл. 7 (п. 7.3.2):

2 Л (Р) (Хр| + Zp[) (Хр2 + Zp2)(儿3 + Zp3)• • • (Хрм + ZpM)・

р I II I1 I -I I

(9.61)

Для того чтобы два выживающих «диагональных» члена воспроизвели бетевскую сумму, фигурирующую в левой части, достаточно, чтобы величины X, (и 2，) имели вид §(...,勿).Получающиеся при этом линейные рекуррентные соотношения приводят к решению вида

幻+(叫+")丿厶(叫亠'(9.62)

где параметры v{ (/ = 1, ..., М) пока не определены.

Следуя методу Либа, мы ослабим теперь условие у, V yiu 抬 будем суммировать независимо по всем у, в областях

%I & УI & %, +1 ； / ~~ 1, • • •, ^^,(9.63)

не забывая при этом исключать благодаря подходящему выбору А (Р) все произведения опасных и недиагональных членов, обозначаемых Zp^Xp^.

L,—I

Таким образом, мы приходим к вычислению сумм типа

Ха + Z“三 2 Di (К у)力7(У，г) ga (/ + 1,外， (9£4)

которые, в силу (9.48) и (9.62), записываются в виде

几 + Za =①(U — П)①—Г (и + П)(器百;У X

〃(52+%+1) 〃(叫+a1 + n - %) 〃(叫+ZT - n - 0)

X 〃(吗+ %) 〃(叫+% + n - и) 〃(5/+ZT)〃(5/+Z-2) h

+ ①(U + n)①(и — n)〃妈芬丁+ П£%)+

①"Ig + n) 〃(⑷+"i-n-u)

十(Dx+ig — Tl) 〃(⑵+nt) 〃幽/+z_2)

X 2 (长^;3)'九(也+'一 n + u)ga"+ 1, y), (9.65)

где выделены оба «опасных члена», возникающих при совпадении у = х или у — z. Сумма, входящая в (9.65), легко вычисляется, если ввести функцию

/〃9 — П)〃(％ + п、力(叫+А1 +。一%) m

Для разности F(x + 1)—F(x) с помощью соотношения Якоби для 0-функций (I. 13) и определения (9.62) получаем

Г(х+ 1)-Г(х) =

=(〃 ® + П))①е-П) '(@+1 — П + U) 〃(％ — n) ga' + l，*)•

(9.67)

Таким образом, сумма от %+1 до z—1 в (9.65) дает вклад в оба члена

_ 〃 Sa — П)十/а -九(吁加)XXg-I (篇芳1_ 〃 Sa — П)十/а -九(吁加)XXg-I (篇芳1〃(叫+"]-n-u) 〃(叫+"1 + u - %〃(叫+"2)九2(叫+2-1)〃(叫+"]-n-u) 〃(叫+"1 + u - %〃(叫+"2)九2(叫+2-1)

_ 〃 Sa — П)

十/а -九(吁加)X

Xg-I (篇芳1

_ 〃 Sa — П)

十/а -九(吁加)X

Xg-I (篇芳1

〃(叫+"]-n-u) 〃(叫+"1 + u - %〃(叫+"2)九2(叫+2-1)

〃(叫+"]-n-u) 〃(叫+"1 + u - %〃(叫+"2)九2(叫+2-1)

十叩I 〃色一3丿〃(叫+ J)〃 (叫+"2)〃 (叫+%)J •

(9.68) Сгруппировав в (9.62) все члены, зависящие от х, получаем

(% - П)丿〃(叫+%) 〃(% J)〃 (叫"2)*

X {九(W/+X + 2叫 h(v — v^h (wi+x — T] — Ua) h(v — %)—

—h (耽+% — v — v^h Sa + ^h (wi+x + П — и) /I (2n)} X

义 〃 (2ri)万(叫+% + n _ и) 〃« — %) •(969)

В силу соотношения Якоби (1. 13), выражение, заключенное в скобки { } в (9.69), равно

h(v — va + 2印 h (wl^. + n — %) 〃(®+x) % (u + n)・

Здесь необходимо отметить, что это преобразование оказалось возможным голько благодаря выбору р/= 1 в (9.32)—— (9.37)

Окончательно получаем

儿 U)=盛 〃 + 2, х)Ф2-Ч^ + т))Х

(9.70)(9.71)(9.72)(9.70)(9.71)(9.72)/?«-%- 2т]) В (叫+х) 〃 圈/+%+1М ®/+z-2 + n -刀

(9.70)

(9.71)

(9.72)

(9.70)

(9.71)

(9.72)

Аналогичным образом вычисляется

Z。(/)=叱工” ga 仏 Z) б- (° -

9・2.5・ Вычисление А(Р)

Коэффициенты 4(Р) определяются из условия

£ А(Р) Zp/〃一2j)Xp*D(/-2j-2) ・・・=0・ рII

Здесь мы изобразили типичный сомножитель (исключение составляют два диагональных члена Хр、Хр?・・・ ХРМ и ZpiZp2 •・・ ...Zpm), фигурирующий в разложении выражения (9.61), которое нам предстоит исследовать. Знак ,一 под произведением ZX означает, как и в гл. 7, что из этого произведения изъято произведение «опасных членов», которое не может присутствовать в сумме по у в правой части равенства (9.59).

Используя (9.70), (9.71) и (9.64) и (9.65) и полагая

/ — 2/ = n, Pj = а, Р (/ + 1) = р,%/==%,，+]=y,%/+2 = 2,

получаем

Za (п) Хе (〃 一 2) = 6- (и + п) ® т (и + Е (爆將猾у X

X {Й(Wn+y- 2 + П — %)九(Wn +y-2 + 刀一Up)力(и — % + 2叫 X

X 九(и — W — 2т)) — /г (wn +%]十 п — %) Й (耽 +У-3 + П — ив) XXh(v — va)h(v —咽} X

X 力(Z+zi + n-u)

X 九侬〃 +”2 + П - U)力(％ +匕2)论(％ +У-1)九(％ +Z-3)力(％ +2- 4)•

(9.73)

В силу соотношения (I. 13), выражение в фигурных скобках в числителе (9.73) равно

Л (%—ив—2п)Л (2п) Л (з+д-2 + Q—и) Л (wn+y-2 + П + и — %—W). Таким образом, получаем

где

令⑺个3 (n — 2) = Л 伍一％ — 2n) S (a, В),(9.74)

S(a, 0) = S(B,a)・(9.75)

Условие еенство

(9.72) будет выполнено, если будет справедливо ра-

4 (Р) Za ⑺ Х^п-^ + А (Р (/,/+ I)) Zb М)爲(九 一 2) = 0

(9.76)

или, в силу (9.74) и (9.75):

4(尸3 / + D)= — h«pj-up 〃+i)_2t])

^——力 8p(宀)一呐 一211) .

Единственным решением уравнений (9.77) является

А(Р) = %(尸)П h(2y\ + vPi-vPiY (9.78)

где х(Р) —четность перестановки Р.

Уравнения Бете

Теперь осталось закончить вычисление правой части (9.59). Те же соображения, что при выводе (7.60), (7.61), позволяют показать, что если коэффициент 4(尸)выбран в виде (9.78) и выполнены условия периодичности (9.60), то величины

£ А (Р) ... Xp]ZpM・.・

обращаются в нуль. Таким образом, остается два диагональных члена, и с помощью (9.70) и (9.71) равенство (9.59) преобра

зуется к виду

Л/ (ZI х) = £ 4 (Р) р

+ А见 g〃(/i，*同，(9.79)

где

А± 3(° 士 碓"苫产•(9.80)

В силу условия периодичности (9.52), равенство (9.79) вн- полняется тождественно по х, если

(9.81)(9.81)А = А+ + А_.

(9.81)

(9.81)

Собственные векторы и собственные значения трансфер-матрицы являются при этом известными функциями М параметров Vj. Чтобы определить последние, используем условие периодичности (9.60), а также решение (9.78) для Л (Р):

"(尸‘)=h 力(*一叮 + 2n)(9 82>

и вытекающее из (9.62) равенство

gpi (/ — 2М 十 1, у + М) _ (论 Kpi — П) '%ш

gpN + i，y) ~К(% + П)丿 *(>

Отсюда получается система уравнений для и/

-I力g - n)丿-I力g - n)丿(9.84>(9.84>论(％ — %• + 2т])h (% — и, — 2т])

-I力g - n)丿

-I力g - n)丿

(9.84>

(9.84>

На этом мы закончим изложение впечатляющего результата Бакстера.

ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЙ ПРЕДЕЛ

Общий метод

В заключение этой главы мы приведем краткий обзор неко- торых результатов, полученных из уравнений (8.146) и относящихся к термодинамическому пределу восьмивершинной модели или квантовой спиновой цепочки.

Заметим прежде всего, что эта система уравнений вполне аналогична полученной ранее для 6-вершинной модели (d = 0) или для цепочки Гейзенберга ——Изинга (厶=/2 = L /з = ch ①)" Действительно, в этом пределе мы имеем, согласно (8.84),

d = 0,尼=0, q =。，К=£ К = оо (9.85) и, в силу (1.4):

01sin 4(Ф — /ф)

lim——14 = Т，(9・86>

+ n j sin -^- (ф + /ф)

где между обозначениями Бакстера и нашими обозначениями имеется следующее соответствие:

.⑪ inV.а лт] 曜

(p = za=——=—1ф = 1К — -L =—尸，

К К；К К；

,(9.87)

之==0仰，X — e~ф, g = e-2丁 = e-ni, T = -^-,

Таким образом, при v'=0 мы снова получаем систему уравнений (1.40) из гл. 1.

Интересно отметить, что общий случай (т конечно) получается из предельного случая т = оо (д=0) заменой всех отношений вида

sin -j- (ф — i①)

sin ｝(4 亠，"

«а бесконечные произведения

嘗 sin у (ф„ — /Ф)

j, Фп = ф + %加tq soo sin 万(Ф„ + /ф)

учитывая замечание (I. 4).

Переход к термодинамическому пределу (N-> 8)выполняется теперь стандартным образом:

Сначала нужно взять логарифм обеих частей уравнений Бете, что приводит к появлению набора из ^/2 целых чисел U)：

勿m-т]) с%丄1 W 也8一叫一2叫

Og 力 口 + П)—冗 2 + 乂 J °g /г (% — q + 2т])，

A(v)==01 (^|у)-(9.88)

По аналогии с (1.32) или (1.82) эти уравнения можно записать в следующем виде:

2 Nk (фу + шлт) = 2冗% + Z' X 屮(9/ —也 + 小冗t). (9.89) n/ n

Используя принцип непрерывного продолжения по т, можно сопоставить каждому набору корней ｛力｝ единственный набор квантовых чисел. Таким образом, наборы квантовых чисел для наибольшего собственного значения 7 или для основного состояния ”，а также ал я возбужденных состояний будут те же, что в гочке т = оо.

Мы будем предполагать, что в пределе N = g корни сгущаются на отрезке вещественной оси (для наибольшего собственного значения). Тем самым можно ввести плотность р, такую, что

^p (ф) rfqp = (число корней фу в интервале [ф, ф + ^ф]).

Уравнения Бете для ф； переходят в пределе в линейное интегральное уравнение для p(qp). В силу сделанного выше за- мечания, вычисление, проделанное в частном случае цепочки Гейзенберга ——Изинга, или шестивершинной модели, без изменений переносится на случай восьми вершин. Так, например, получается следующий замечательный результат: плотность р(ф) (для наибольшего собственного значения Т или основного состояния ХУ2гамильтониана) не зависит от q (или от т) и по- прежнему дается выражением (2.20) из гл. 2:

р (qp) = Dn (qp)=勺 dn (>^q ①)，х = е~ф. (9.90)

Действительно, интегральное уравнение для р получается, в силу того же замечания, после замены 屮 на фи = Ф + шлт в свободном члене и ядре. После этого для доказательства формулы (9.90) достаточно проверить, что для любого и #= 0 выполняется равенство

+л

sh Ф1 Сsh 2Ф/с 1 *

ch Ф — cos ф„ — 23T J ch 2Ф — cos (q)rt — q)z) °(①)①，(>

-л

Для этого рассмотрим область лт》2Ф. В полуплоскости Im 屮八 > 2Ф можно тогда воспользоваться разложением в сходящийся ряд Фурье. Равенство (9.91) сводится при этом к тождествам

sh рФ = sh 2P ① р (р),(9.92}

где р(р) есть коэффициент Фурье функции р(ф), вычисленный в гл. 2.

9・3・2・ Свободная энергия

Учитывая свойства симметрии Т(з), можно ограничиться рассмотрением области

酰《吗《啕《所，

соответствующей антиферромагнитному режиму, когда с》а + + b + d. При этом в обозначениях п. 8.4.2 имеем

0《У I,

V и ^ вещественны; У W 之 W К, в силу (8.51) или

Nq&x&z、0 < а ^ Л^ т\(9.93)

Тем самым оправдано предположение лт》2Ф, сделанное в п. 9.3.1.

Для свободной энергии получается выражение

—Bf = log/= lim "7 1og|Tmaxl =

N->oo

=m：x應｛log安箫■ +门2 log笠詐亨｝=

+л

+ i r。g 包^工%1.7F P 3)如，гДe 6 =冗//2K. (9.94>

Очевидно, что f = c при u = n (a = b = d = 0). Прибегнув к помощи рядов Фурье, получаем следующий результат:

00 sh2 P ①)(chp①一ch pa)

log-=2 У ——'厶人- (9.95>

° с 乙p sh pnt ch рФ'

p=i

в области О^а^Ф^улт.

Легко убедиться, что в случае F-модели (шесть вершин в нулевом поле), т. е. при d = 0 (夕=0, т = +сю) формула (9.95｝ сводится к выражению (7.116):

log/|d=0 = loga + z1

(в обозначениях гл. 7).

Бакстер получил выражение (9.95) для свободной энергии прямым методом, без интегрирования, исходя непосредственно из уравнений (8.146). Его результат можно представить в виде

/ ⑶=璃=% 丄(%’吗匸,(9.96)

l(xz)L(十2-1)

где

Е。= (1 一炉)ft (1 一喲〃)(1 一力 n = l

(9.97)

L⑶=立11 (1 一 代)(1 一公方)(1 一 户仰2产

Функция t(z) мероморфна в комплексной плоскости, исключая точки 0 и оо, где она имеет существенные особенности.

Особенности свободной энергии

Внутри вещественной области, определяемой неравенствами 初^《侬；& 侬;&з：, ряд (9.95) абсолютно сходится и определяет тем самым аналитическую функцию параметров Ф, а и т. Возможные сингулярности следует, таким образом, искать на границе области. Нетрудно проверить, что на поверхностях Ф = а, Ф = лт/2 и т = оо нет сингулярностей. Остается исследовать окрестность т = 0, где Ф и а также близки к нулю вследствие неравенств (9.93). В силу (8.55), имеем

т —> 0. k —> 1, К -> 8, К' —>.

<,(9.98)

оо, / о, К/—>万，К/ 8

Согласно (8.51), = dn (% /)<

— dn (С，/)•

Параметры V и ^ стремятся ирь этом к предельным значениям Ус и gc, таким, что

。 一wi

sin2Cc=———г， sin Vc = —sin%.(9.99)

%—w;吗

причем

lim ^-=以，lim? = V. •9100)

Точка 酬2 = g, лежащая на границе области низких температур при выбранном нами режиме c>a+b+d, определяет критическую температуру 乙・ В окрестности точки Тс = Рг1 имеем

2Л

叫一吗〜/2 = 0-2“ = е 二(9.101)

Ряд (9.95) превращается в интеграл

；sh2 (~ — х (ch %* — ch Vcx}_及%=1吨。+'• F乙F注

к(9.102)

который не имеет сингулярностей ^с и Vr в области 0 ^ Vc ^ W 書.Таким образом, возможные сингулярности 0/ могут со держаться только в разности между интегралом и дискретной

суммой. Сумму (9.95) можно преобразовать в интеграл от голоморфной по параметру р в окрестности вещественной оси функции, умноженной на (e2nip — I)-1. Доминирующая сингулярность вычисляется как вклад ближайшего к вещественной оси полюса. Однако оказывается, что полюс р = 1/гт и сопряженный к нему не дают сингулярного вклада. Остается полюс р = ш/2Ф, вычет в котором имеет асимптотическое поведение вида

①cos若ctg备

что, в силу (9.101) и (9.100), соответствует сингулярности в свободной энергии вида

—炉〜4 cos 嚟 ctg ^ I Т — 兀产с •(9.103>

Если показатель л/2^с есть целое четное число, сингулярность становится логарифмической, что имеет место в случае модели Изинга, когда один из инвариантов обращается в нуль (ХУ-мо- дель). Критические параметры можно выразить через инварианты /а・ Условие критичности 侬^ = з； дает

J 2 =」3；J 2 =」3；(9.104>

J 2 =」3；

J 2 =」3；

кроме того, из (9.99) и (8.24) получаем

(9・1и5)(9・1и5)cos 2T屮 Ц

(9・1и5)

(9・1и5)

叫一叫 J2

При 厶=0, tc — ~^ нмеем

—Bf 〜(T — Tjiogir — Tj

Критический индекс (показатель) для удельной теплоемкости

С=-俨磊(9.106)

равен а = 2 —0&第《£・(9.107)

Он может принимать непрерывное множество значений, от 0 до сю, в зависимости от вершинных энергий. Как показали Ка- данов и Вегнер (1971), этот результат согласуется с общей ги* потезой универсальности критических явлений.

РАЗЛИЧНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫО КРИТИЧЕСКИХ ИНДЕКСАХ

Приведем без доказательства несколько простых результатов для восьмивершинной модели, вывод которых требует зачастую весьма трудоемких вычислений.

Корреляционный радиус

Пусть 刀2 — второе наибольшее собственное значение транс- фер-матрицы после Гтах. Тогда корреляционная функция между двумя стрелками в одном столбце решетки имеет асимптотическое поведение G(R)〜(Tz/Tmax)^, что соответствует корреляционному радиусу —log(r2/^max). Вычисление этой величины было проделано Джонсоном, Кринским и Мак-Коем (1973), которые использовали тот же метод, что при вычислении первого возбужденного состояния магнитной цепочки. Соответствующий критический индекс имеет вид

” =(9.108)

Поверхностное натяжение

Рассуждение, принадлежащее Фишеру (1969), позволяет связать энергию о границы раздела двух фаз при температуре ниже критической с отношением (T2/Tmax)

§о= lim ^-1log|log(Г2/Гmax) |.(9.109)

^ ->оо

Бакстер (1973b) после сложного анализа получил для о выражение

0。=4 log 局，(9.110)

где Й2 ——модуль, отвечающий отношению периодов &, определяемому соотношением

х2 = е-nr, т2 = 2Ф/л.

Критический индекс 樣，такой, что о=(7с —— 7)匕 равен р,= =п/4£.

Параметр порядка в пределе модели Изинга

Согласно формулам (8.6), связывающим вершинные веса с константами взаимодействия модели Изинга (К = 0), имеем b-i = a =,/1 = 0==2к3-№.(9.111)

Формула Онсагера (1944) и Ч. Н. Янга (1952) для спонтанной намагниченности 財。имеет вид

肮=1 - (sh 2Кз sh 2K4)т =

1 片,п(9.112>

=1 —при /2 = 0.

При этом мы использовали (8.24), (8.52) и (9.111). Для удобства мы поменяем местами 厶 и 厶，изменив одновременно знак Ь, что не повлияет на соответствующую вершинную модель.

Используя (8.52) и (9.112), получаем тогда

；2

Mq = 1^ =尸‘厶=0.(9.113>

Условие

Ji = 0, в силу (8.82), равносильно 匕==К〃2. Таким об-

разом,

~П 1+产(9・"4) т = 1”

где

二=十=务 / =(9.115>

Параметр х = е~ф имеет при этом значение

Отсюда

X = einx\/K =0-此闵=«5//2M = v『(9.116>

получается формула для намагниченности как функции х: 此(Y)=口(8I⑺

Параметр порядка восьмивершинной модели

Барбер и Бакстер (1973) методами теории возмущений вычислили первые несколько членов разложения по с-】 для спонтанной намагниченности в модели Изинга (Кз, К* К), эквивалентной восьмивершинной модели. Их результат имеет вид

М° = 1 - 2炉 + 2公 + О (х6),(9.118>

причем найденные члены не зависят от г и ^.

Независимость от z вытекает из того факта, что Мо есть матричный элемент а2 между двумя собственными состояниями трансфер-матрицы. Отсутствие же зависимости от q представляет собой замечательный факт. Поскольку разложение (9.118) совпадает с разложением (9.117) для Мо(х), Барбер и Бакстер выдвинули гипотезу, что это выражение верно в любом порядке по х. Это позволило им с легкостью найти критический индекс В, отвечающий Mq = \T — Тс\^ и равный 1/8 для обычной модели Изинга (К = 0)・

Действительно, сравнение (9.117) и тождества (9.114) дает

Мо =九"* х2 = ^ = J* 九/Г(9.119)

При этом, в силу определения 工二^一"'/々，в окрестности Г = =Тс имеем

/, X—>0, Kz, "f 8, lim—7 _ —,

Следовательно,

Mo =須/4 〜е《/4 〜L&/%,

или, в силу (9.101),

м0 〜1九一7f/32%.(9.120)

Отсюда получается значение критического индекса р = л/32^.

Различные критические индексы

Известно, что а = 2 — dw, d — размерность решетки:

d = 2, а = 2 —(冗/2嘉)，в силу (9.107),

V = л/4^с, в силу (9.108).

р = л/32^ (намагниченность в нулевом поле), у = dv — 2g = 7冗/16厶(восприимчивость),

т] = 2——丫/v = 1/4 (корреляционный радиус при критической температуре),

6 = 1 + y/B = 15 (М = "，6)・

Глава 10

Тождественные частицыс точечным взаимодействием

ГИПОТЕЗА БЕТЕ

Элементарные решения

Рассмотрим N тождественных частиц, т. е. частиц с одинаковыми массами и внутренними степенями свободы, располо* женных на бесконечной прямой и взаимодействующих друг с другом посредством двухчастичного точечного потенциала (6-функция). Таким образом, гамильтониан имеет тот же вид,, что в разд. 4.1:

N

"=-}訪 + 2с £ °(修-勺)， (1 °・ D

где %/ — координата частицы с номером /, 2c — константа взаимодействия, которое может быть как притягивающим, так и отталкивающим. Иногда мы будем рассматривать набор координат {х} как вектор в Rm

Назовем элементарным решением уравнения Шредингера 〃屮=£'屮 функцию 巾，непрерывную в 応丛 каким бы ни было ее поведение на бесконечности. Поскольку гамильтониан сим^ метричен, решения могут быть классифицированы по типам их симметрии, определяемым таблицами Юнга 牙、Полностью симметрический случай системы бозонов исследовался в гл. 4.

В ряде работ (Макгайр, 1964; Годен, 1971а; Деррида, 1976) использовалась аналогия между уравнением Шредингера и волновым уравнением в Rn в присутствии -^ N (N — 1) тонких пластин с бесконечным коэффициентом преломления. Основной результат, вытекающий из этой оптической аналогии, состоит в следующем: полная волна 4r представляет собой конечную суперпозицию падающих и прошедших или отраженных, согласно законам геометрической оптики, волн. Отсутствие дифракционной волны, вызванное специальной, симметричной конфигурацией пластин, и есть физическое содержание того, что не слишком удачно называют《гипотеза》Бете о структуре волновой функции (см. также разд. 5.2).

Условия согласования

Уравнение Шредингера сводится к свободному

一院=。,(162)

*если ｛х｝ принадлежит какой-либо из открытых областей или секторов в Rn, обозначаемых Dq (Q — перестановка ^ чисел):

Dq： Xqi V %Q2 V • • • V %QN・(10.3)

Исходное уравнение эквивалентно (10.2) с дополнительными условиями согласования (сшивки) на границах секторов Dq：

а) условия непрерывности

” kQ「％Q3n 十。W 屮 lxQ4-^Q3=-0>(Ю.4)

—j, /+ 1, j = [l,N-l]；

b) условия на нормальную производную, вытекающие из теоремы Грина (см. (5.34)):

=2cW Ixq4-xq3=±o« (10.5)

Гипотеза Бете предполагает существование элементарного решения, связанного с данным вектором ｛力｝ из C^, которое в каждом секторе QqU Rn имеет вид суперпозиции плоских волн 屮 h｝巨Dq= X〈Q||P〉级麻期)，(10.6)

где (Pk)j = hpj, P = Р-L Соответствующая решению 4f住｝ энергия £必 равна

蜂(Ю.7)

/=1

Таким образом, уравнение Шредингера выполняется в открытых областях 力q. Остается удовлетворить условиям согласования:

непрерывность

<QII Р〉+ <QI|P (34)〉= <Q(34)|| Р〉+ <Q (34)|| Р (34)〉；(10.8)

скачок нормальной производной

工毎4 -砧)(〈QII 尸〉一〈QIIР (34)〉+ (Q(34) IIР〉一

-(Q(34)||P (34)>) = 2c (〈QИP〉+ <Q||P (34)». (10.9)

Вводя обозначения

切昌，(Ю.Ю)

из (10.8), (10.9) получаем соотношения перехода из сектора Q в соседний сектор Q(34):

(Q(34)IIР〉=冷з, P4<QIIP> + (1 + xp3,p4)<QHP(34)). (10.11)

Из соотношений (10.11) следуют равенства (10.8) и (10.9). Индексы в перестановке (34) всюду можно заменить на (/, / + 1)・ Таким образом, существует ^ — 1 соотношений перехода (10.11). Теперь нужно доказать совместность (^ — 1) (NI)2 линейных уравнений (10.11) для (^!)2 неизвестных <QI|P>.

Доказательство гипотезы Бете для классаэлементарных решений

(Макгайр, 1964; Брезен, Зинн-Жюстен, 1966)

Соотношения (10.11) можно рассматривать как определение набора из ^ — 1 линейных операторов 丁専，丁23, •••, T“一i, n в векторном пространстве размерности N! — групповом кольце 冗乂,

〈Q(34)И 尸〉=g (Q|| Р'〉РI Тз41 Р〉，(Ю.12)

отличные от нуля матричные элементы которых равны (<Р\Т^Р) = хр. Р4, ЦР(34)|Тз4|Р)=1 +хрз, Р4.I )

Покажем, что уравнения (10.12) допускают нетривиальное решение, линейно зависящее от ^! произвольных параметров, в качестве которых можно взять коэффициенты </||Р> (/ — тождественный элемент 冗乂) волновой функции в «начальном» секторе.

Очевидно, что тогда коэффициенты〈QIIP〉(Q =# /) будут определены, поскольку произвольная перестановка Q может быть представлена как произведение транспозиций (/, j+D, которые образуют базис генер^тороЕГ группы 冗乂, после чего последовательное применение (10.12) даст〈Q||P〉. Однако эти величины являются переопределенными, поскольку факторизация Q на транспозиции не однозначна. Тем не менее величина <Q||P〉определяется однозначно, если N——1 операторов Т/,/+1 порождают относительно умножения группу, изоморфную группе, порожденной транспозициями (/, / + 1), т. е. группе 冗“. Именно это и нужно доказать.

Отметим вначале, что речь идет о группе отражений

Тз4・「34 = /,(Ю.14>

что следует из

珞3, Р4 + (1 + ”РЗ. Р4)(1 + ”Р4. Р3)= L(10.15)

Очевидно, что при несовпадающих индексах операторы Т коммутируют:

723・756 = 756・723・(Ю.16>

Наконец, имеют место соотношения, которые будут доказаны позднее:

(Т12・Т23)3 = /.(10・17>

Следовательно, произведение двух любых порождающих отражений представляет собой поворот порядка 2 или 3. Согласно работе (Коксетер, Мозер, 1980), соотношения (10.14) — (10.17) однозначно определяют как диаграмму группы отражений, так и саму группу (см. также разд. 5.2), которой в данном случае является лд^.

333

•…，.•••

(23)(34)

Построенное таким образом представление 冗汽 изоморфно регулярному представлению, к которому оно сводится при с = 0.

Доказательство (10.17) эквивалентно доказательству равенства

712.723.712 = 723.712.723,(10.18)

которое есть не что иное, как определение транспозиции Г13.

Определим для удобства элемент группового кольца

丨戸〉=2 Q〈qii。〉，(10.19)

Q巨冗n

после чего (10.12) можно переписать в виде

(34) I »〉= Z I 户〉屮 I「34 I Р〉= %РЗ, Р4 1 戸〉+ (1 + 门3, Р4)I ^W〉・

'(10.20>

Итак, достаточно вычислить

(23) (12) I Р) = xpi, рз(1 + %尸1,尸2%尸2, рз) IР〉+

+ Xpi. РЗ%Р2, РЗ (1 + %Р1, Р2)|Р (12)〉+ Xpi, Р2%Р1, РЗ X

X (1 + %Р2, РЗ)I Р (23)) + (1 + %P1, Р2)(1 + %Р1, РЗ)X

X (1 + %Р2, РЗ)I Р (13)〉+ Xpi, Р2(1 + %Р1, РЗ)(1 + %Р2, РЗ)I Р (123)〉+ + %Р2, рз(1 + %Р1, рз)(1 + xpi, Р2)|Р(132)〉.(10.21)

Непосредственное вычисление (23) (12) (23) |Р〉дает тот же результат, что и (10.21): формальную перестановку 1 и 3 с последующим восстановлением порядка записи индексов 1, 2, 3.

Таким образом, гипотеза о структуре волновой функции (10.6) полностью обоснована. Число линейно независимых параметров равно ^!; это позволяет предположить, что существует в точности одна элементарная волновая функция, соответствующая данной таблице Юнга.

ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЯНГА

Представление Янга для л%

Формулы перехода (10.11) или (10.20) позволяют ввести ортогональное представление генераторов транспозиций, отличное от представления Г/, /+1 предыдущего раздела. Янг рассматривает операторы У/, ли, такие, что

%/ 戸〉=【^W〉=斗二24 I 科. (10.22)

По отношению к перестановкам Р они играют ту же роль, что и Г по отношению к Q. Представив вектор |Р> в виде

丨戸〉三 18, %,…，PN) = l4k …)，(10.23)

в силу (10.22), получим

Y^\ijk・・・〉= |滋・・・〉，(10.24)

где

•(10.25)

Выбор обозначений (10.22) оправдан тем, что величины У удовлетворяют соотношениям для генераторов rn

丫12y 12 = /,

%2y 23匕2【刀〉=/3匕2?23后〉，

которые проверяются непосредственным вычислением

W8Z = /,(10.26)

嘘壊}^ = }^嘘у&(10.27)

сводящимся к соотношениям в jtn и тождеству 乂岭+ XihXLXg»

Матрица рассеяния нетождественных частиц

Первым примером использования операторов У будет построение матрицы рассеяния или S-матрицы. Частицы будем предполагать различными, чтобы избежать необходимости выполнять редукцию по типу симметрии. В случае потенциала отталкивания волновая функция состояния рассеяния с необходимостью связана с вещественным набором {々}, который мы упорядочим следующим образом:

电 > А> •・・ >^м・(10.28)

Для каждого сектора Dq существует только одно слагаемое е элементарной волновой функции (10.6), отвечающее чисто падающей волне

(Q||/)exp {Kk, Qx)}, (10.29)

так как, в силу (10.28), волновой пакет, описывающий Л/ частиц с координатами xq/ и импульсами 斯,не испытывал столкновений в прошлом (при больших отрицательных временах). По- скочьку частицы предполагаются различными, можно приписать налетающей частице 勺 импульс 自,чтобы чисто падающая волна существовала только в начальном секторе /:

{

1, если Q = /,с

0, если(1°・30)

Таким образом, согласно (10.19), |/> = / ь амплитуда〈Q【|P〉 определяется для всех Р из формул перехода (10.11).

В произвольном секторе Q отраженная волна пропорциональна exp i (kNxQ} + ^дг- iXq2 + ... + k}xQN), а ее амплитуда равна 〈QII7〉，где перестановка 7 определяется своим действием Tj =(%-/% 1), V/:

『 = (12)(2 2- 1)(ЗМ-2)・・・=

= (12).(23) (12).04)(23) (12)・・・(N- 1, М …(12).(10.31)

Учитывая (10.22), получаем

I Т〉= £ Q〈Q II Т〉= У 12・У 23y 12・У 34y23yl2 ••• У МТ " • • • У ⑵/ (10.32) или в обозначениях (10.24), полагая для удобства 2=5:

I 54321〉=嗜喔代・У載好饭У凯^咽I 12345〉. (10.33)

Если дополнительно определить в групповом кольце 冗尺 элементы X//, которые в дальнейшем будут играть важную роль,

X"=(⑺匕;='包,(1°・34)

то предыдущее равенство можно записать так:

I 54321〉=12345>. (10.35)

Пронумеруем конечные состояния так, чтобы диагональный элемент S-матрицы отображал входящее состояние в выходящее состояние, где частица х； имеет импульс 论/, т. е. в сектор Q = Т. По определению S получаем

T|f〉= S|/〉，(10.36)

*3 = Х45.^зЛз4ВДД 13^12-(Ю.37)

Коэффициент TQ7 в S равен 〈QII/〉 или, говоря иначе, эле

менту S-матрицы, описывающему переход ^ различимых частиц

из начального сектора / в конечный сектор Q.

1 一 х〃1 + ха1 一 х〃1 + хаЕсли частицы тождественны, достаточно будет разложить S (т. е. элементы 冗“)по различным типам симметрии. Антисимметрический случай, соответствующий таблице [И], дает

1 一 х〃

1 + ха

1 一 х〃

1 + ха

Х〃 = 1Х〃 = 1и S = 1, симметрический случай \N] дает Х〃 =

Х〃 = 1

Х〃 = 1

откуда получается результат (4.14) для бозонов. Для фермионов спина 1/2 имеет место спиновое представление

(12) = (12)х(12)о = —}(1 + 0! •仃2)，

приводящее к выражению для S через спиновые операторы.

В случае притяжения матрица рассеяния несвязанных состояний по-прежнему дается выражением (10.35) Однако в области голоморфности случая отталкивания

【т (左/ —左/+1) > 0

при с V 0 появляются полюсы, определяемые соотношениями 々/+1 ——kj = ic для некоторых /. Связанному состоянию р частиц соответствует последовательность 々，такая, что

f 1ш^ = ~(р-1), 一9一3),・・・，g-i)・(10.38)

Матрица рассеяния для связанных состояний была получена Ч. Н. Янгом (1968) после Макгайра (1964), к работам которых следует обращаться за более полным изложением.

В п. 10.3.2 мы снова вернемся к факторизации S-матрицы на двухчастичные S-матрицы, которая, очевидно, основана на тернарных соотношениях (Замолодчиков, 1977; Ягольницер» 1978).

Условия периодичности

Разобравшись в предыдущем пункте с задачей рассеяния на бесконечной прямой, мы приступим теперь к рассмотрению задачи о частицах, заключенных в данный «объем» L, имея в виду в дальнейшем переход к термодинамическому пределу. Чтобы избежать граничных эффектов, наложим на волновую функцию условия периодичности, т. е. поместим частицы на окружность длины L. Как будет видно из дальнейшего, эти условия периодичности совместны со структурой элементарного решения (10.6). Опишем эти условия на амплитуды. Для системы с условием периодичности удобно ограничить определение секторов следующим образом:

pQl<xQ2< V%QN,(]0.39)

Периодичность no %qi с периодом L означает, что

屮(无Q1, • • •,无QN)—'屮(％Q2, • • •，XqN，*Q1 + 厶)，(10.40) где правая часть определена в секторе QC. Подставляя (10.6) в (10.40), получаем

〈QIIP〉=〈QC||P。〉/冲也(Ю.41)

или, в обозначениях (10.19),

C|?C> = |P>e~^lL.(10.42)

Представление циклической перестановки С через генераторы У дает нам—_

丨玩〉=厶-w …У23yl2出〉(10.43)

или, более явно (N = 5),

СI 两=СГ^ГГ^Г I 处 к

0(18).嗯Р5.(14).：咽Р4.(13)y胪3.(12).Y胪1处.(w.44)

Умножим (10.44) слева на Р и используем определение (10.34) операторов X, а затем (10.42):

P|A〉eT3L = X“p5XphP4 ・•・ Хр1,р2・РА〉・(Ю.45)

Мы получим следующее предложение:

Периодические граничные условия для системы тождествен- ных частиц с точечным взаимодействием сводятся к следующей задаче на собственные значения:

Z p.P I 戸〉=/年止尸 |Р>,(10.46)

гдегдеZp 曰 Хр2Р1Хр3Pl . . . XpNPkZp 曰 Хр2Р1Хр3Pl . . . XpNPk(10.47)(10.47)

где

где

Zp 曰 Хр2Р1Хр3Pl . . . XpNPk

Zp 曰 Хр2Р1Хр3Pl . . . XpNPk

(10.47)

(10.47)

Совместность условий периодичности

Совместность соотношений (10.46) вытекает из замечательных свойств матриц ZP и операторов 兀Из определения (10.34) и соотношений (10.26) между генераторами У легко выводятся мультипликативные соотношения между операторами X, идентичные соотношениям, полученным для аналогичных операторов в гл. 8 (8.65):

Х订Х" = 1,国见=左西，

X启X俯X" = XtjXthXjh (V/ =0： j 峻々

Матрицы Zp, действующие в групповом кольце 冗％, распадаются на ^ классов сопряженных элементов, различаемых по индексу Р1 = /. Это вытекает из равенства

Zp(34)= Xp3sZpXp；P4,(10.49)

где преобразования подобия совпадают с представлением операторов У на векторах |Р〉. Таким образом, имеется только N различных уравнений на собственные значения для определения набора ｛左｝. Можно выбрать

Р = С\ n = 0, 1, 2,1,(Z/— 产止)С‘|Х〉= 0, (10.50)

где

Z/= Х/+1/Х/+2/ • • • XNjX｛J ... Х/_[/・(10.51)

В действительности собственные векторы можно выбрать не зависящими от /, в силу следующей леммы.

Лемма. Операторы Z/ коммутируют между собой.

Доказательство основано на соотношениях (10.48) и будет приведено в следующем разделе. Оно идентично доказательству (8.67) в гл. 8.

103 АЛГЕБРА ТЕРНАРНЫХ СООТНОШЕНИЙИ ИНТЕГРИРУЕМОСТЬ

Трансфер-матрица Z(论)

Прежде чем переходить к задаче диагонализации (10.50), которая приведет нас к общему решению задачи о тождественных частицах, представляет интерес изучить более внимательно

произведения вновь появившихся операторов X. Этим мы и займемся в данном разделе. Операторы Z, (10.51) с точностью до взятия следа вполне аналогичны трансфер-матрице восьмивершинной модели (8.66). В действительности, эта аналогия является полной, в силу следующей леммы:

гдегдеZ/ = - lim Z3),k —> k уZ/ = - lim Z3),k —> k у(10.52)(10.52)Z 优)=tr X10X20 • • • Knq,Z 优)=tr X10X20 • • • Knq,(10.53)(10.53)

где

где

Z/ = - lim Z3),k —> k у

Z/ = - lim Z3),k —> k у

(10.52)

(10.52)

Z 优)=tr X10X20 • • • Knq,

Z 优)=tr X10X20 • • • Knq,

(10.53)

(10.53)

(10.55)(10.55)10.56)10.56)гдегдеа.Т = 2 仃耶 Ja = Рога.Т = 2 仃耶 Ja = Рог(10.57)(10.57)

(10.55)

(10.55)

10.56)

10.56)

где

где

а.Т = 2 仃耶 Ja = Рог

а.Т = 2 仃耶 Ja = Рог

(10.57)

(10.57)

(10.54)

Здесь мы ввели дополнительный индекс 0, отвечающий дополнительной переменной k. Операцию взятия частичного следа tr в 冗м+] можно определить либо абстрактным равенством

tr(/O)=l, V/,о

либо используя классическое представление (/0) = Р/о = О/〕，

Матрицы ааР порядка п имеют единственный ненулевой элемент, равный 1, для перехода §-> а. Легко проверить, что

tr Ат 三 tr Pj-q = £ ааа = 1.

Это представление обобщает хорошо известное спиновое представление для м = 2 на случай, когда симметрия описывается таблицей Юнга с 〃 строками.

Доказательство элементарно:

(10.58)(10.58)lim Xj° = (Oj)X订(0/),z•声 j,

(10.58)

(10.58)

lim X/o= — (Oj),

Z(力/) = — tr(Oj)X]/ X/т(0/)Х/+[/ …Xyy(0/) = — Z/. (10.59)

(10.60)(10.60)[Z®, Z(#)] = 0, Yh 紹.[Z®, Z(#)] = 0, Yh 紹.Взаимная коммутативность Z, вытекает из следующего предложения:

(10.60)

(10.60)

[Z®, Z(#)] = 0, Yh 紹.

[Z®, Z(#)] = 0, Yh 紹.

Доказательство основано на тернарном соотношении для операторов X и совпадает с доказательством соотношения (8.67).

Матрицы Z(左)можно рассматривать как однопараметрическое семейство трансфер-матриц некоторой вершинной модели. Для п = 2 имеется неоднородная шестивершинная модель, которая играет ключевую роль в решении методом Янга проблемы фермионов с двумя внутренними состояниями. Для произвольного п также имеется вершинная модель, в которой возможны п состояний у каждого ребра. Полное решение такой задачи может быть получено методом Сазерленда, изложенным в гл. 12.

Тернарные соотношения как условияассоциативности некоторой полевой алгебры

Такие свойства, как коммутативность трансфер-матриц Т(о) и Z(^), факторизация матрицы рассеяния на двухчастичные S-матрицы, следуют непосредственно из тернарных соотношений, которые встречались нам в различных формах (8.40), (8.65), (Н.З), (10.48).

Было бы интересно, не слишком отклоняясь от предмета данной главы, показать здесь тесную связь этих соотношений, с одной стороны, с условием ассоциативности алгебры полевых операторов, рассмотренной Замолодчиковым (1979) в связи с построением факторизованных S-матриц, а с другой ——с алгеброй матриц перехода вполне интегрируемых систем, исследованных Фаддеевым (1979). Тем не менее в нашу задачу не входит углубляться в рассмотрение метода обратной задачи рассеяния, несмотря на его связь с методом Бете, и мы отсылаем читателя к современной литературе по этому вопросу !).

Как в случае XYZ-модели, так и в случае системы тождественных частиц с точечным взаимодействием, тернарное соотношение можно представить в форме

(^ат) (wfoxf) = X (о?,ат,) (t^ar) Х「х =("). а。®)

Произведения и产居 образуют базис матриц, действующих в RnNRnNRn， а величины w (w‘, %) зависят от аддитивного параметра и или 瓦 Введем операторы Л (й), такие, что

(wax)三 t.4 (fe), (10.62)

См., например, обзоры Тахтаджян, Фаддеев (1979 *), Изергин, Коре- пин (1982 *), Кулиш, Склянин (1982*), Фаддеев (1984 *). — Прим. перев.

и перепишем с их помощью (10.61):

t/ 他)i./ 期)=xr\a 侬)t.Л 他)X-】

или, в явном виде,

4他)乙期)=x S/人叩3 一記)4期)4 (風 (10.63) где элементы матрицы S являются коэффициентами при х^ в разложении Хт^т^- или

5订,耶=5/中 a"(10.64)

поскольку матрицы т выбраны таким образом, что tr татр = дар.

Если теперь рассматривать операторы At(k) в качестве n-компонентных асимптотических полей в импульсном представлении (или в представлении быстроты), то формула (10.63) определяет их перестановочные соотношения и двухчастичную матрицу рассеяния. Матрица рассеяния N частиц будет однозначно определяться соотношением (^ = 3)

4 (电)// (局)4 33)= 2 S/", ару (电局々3)4У 他3)/В 他2)4a (^1), (Ю.65)

если произведение транспозиций (12) (13) (12), действующее на левую часть (10.65) по закону (10.63), эквивалентно действию произведения (23) (12) (23), т. е. они приводят к одному и тому же результату. Отсюда следует условие ассоциативности!)

S",严(自一局)Sr av (自一々3) Sf 8?(局-々3)=

=s〃,九模（局—々3）Siu, VY （財一々3）Sv% ap （々1 —局）三

三5"入邛Y(电局庵)，(10.66)

которое достаточно точно иллюстрируется схемой на рис. 10.1. Следовательно, общее тернарное соотношение представляет собой условие ассоциативности некоторой полевой алгебры системы с полностью упругим рассеянием, т. е. с факторизующейся на двухчастичные матрицей рассеяния:

S (123) = S (12) S (13) S (23) = S (23) S (13) S (12).(10.67)

Матрицы S(12) совпадают с операторами Х12 или с /?-матри- цами Бакстера для вершинных моделей. Независимо от интерпретации в терминах теории рассеяния или решеточных моделей схема рис. 10.1 отражает инвариантность (10.67), выражающуюся в том, что «прямую k\ можно пронести через вершину (23)》без изменения результата.

А

В гл. 13 мы вернемся к задаче, которая возникает, если рассматривать (10.66) как систему алгебраических уравнений на неизвестные S. Некоторые частные решения этой системы, отвечающие определенным симметриям, нам уже известны.

Тернарное соотношение и полная интегрируемость

Тернарные соотношения влекут за собой больше следствий, чем просто коммутативность трансфер-матриц, построенных из произведений операторов X. Назовем матрицей перехода (от

узла с номером 1 к узлу /) произведение

〃仅) = Х/° …Х30Х20М0,(10.68)

где / — индекс данного узла.

Несложно показать, что алгебра матриц перехода 7/(左), рассматриваемых как функции параметра 々＞ изоморфна ') алгебре полевых операторов A (k) (10.63) из предыдущего пункта. Таким образом, возникает набор реализаций тернарных соотношений. В следующем пункте мы приведем несколько явных примеров, а здесь займемся мотивировкой рассмотрения этого объекта, показав, что матрицы перехода (10.68) естествен ею появляются в контексте «метода обратной задачи рассеяния» для интегрируемых систем в пространстве ——времени размерности 1 + 1.

Действительно, матрица 7/ как функция номера узла / удовлетворяет разностному уравнению первого порядка

Tj = X№i(10.69)

операторные коэффициенты которого о/ зависят от узла /. Это напоминает вспомогательную линейную систему квантового метода обратной задачи, коэффициенты которой являются локальными операторами. Если после подходящей нормировки оператор X близок к единице, то можно от (10.69) перейти к «непрерывному пределу» и, обратно, уравнение (10.69) может быть получено как разностная аппроксимация дифференциальной системы. Матрица Г/ интерпретируется как оператор, описывающий распространение в пространстве некоторой волны во внешнем потенциале. В непрерывном пределе, когда интервал распространения L становится бесконечным, после подходящей нормировки этот оператор стремится к оператору рассеяния, который является функцией энергии столкновения, т. е. спектрального параметра k или и. Предельное уравнение распространения имеет вид

力^ 7 (%) = £(%) 7(%),(10.70)

где L(x)——локальный оператор.

Чтобы проиллюстрировать эти рассуждения, рассмотрим, например, операторы Янга (10.54) с матричным представлением группы TIN：

(0j) = o：3oBa = U/ . т.(10.71)

Речь, по-видимому, идет о соотношениях вида (10.90), которые приводятся к виду (10.63), если рассматривать пару кндексов (ар) у Гар как единый индекс / у Л/. Матрице S в (10.63) тогда соответствует преобразование подобия с матрицей X, рассматриваемое как оператор в пространстве матриц Т (трансформатор). — Прим, перев.

Несложно проверить с помощью выкладок, подобных тем, которые были проделаны в п. 8.3.3, что трансфер-матрицы Z(左) при совпадающих параметрах 岛 коммутируют с (обобщенным обменным) гамильтонианом

"=2(/, / + 1)=20,・*1. (Ю.72) /=1 ，

Диагонализация этого гамильтониана будет проведена в гл. 12. После подходящей нормировки в непрерывном пределе получаем

L(x) = a(x) • т, (10.73) где ультралокальные поля аар(х) удовлетворяют коммутационным соотношениям алгебры Ли унимодулярной группы. Предельная форма гамильтониана (10.72) равна

彌嚟'•筌(10.74) о

Известно, что при п = 2 рассматриваемая система интегрируема !), поскольку речь идет об изотропном гамильтониане классической модели Ландау — Лифшица или о гамильтониане Гейзенберга в квантовом случае).

Уравнение (10.70) представляет собой вспомогательную линейную систему метода обратной задачи, которая дополняется уравнением, описывающим временную эволюцию:

[Л-Т = МТ. (10.75)

Эти уравнения определяют интегрируемую систему; «пара Лакса» (£,М) удовлетворяет условию совместности

2(备l一負")+ [厶 Mi， (Ю.76)

В нашу задачу не входит исследование непрерывного предела, где возникают проблемы определения произведения операторов локальных полей и ренормировки, поэтому мы отсылаем читателя к последним достижениям метода обратной за-

дачи (Фаддеев, 1979, 1984*). Возвращаясь к дискретному случаю ((10.69), (10.72)), отметим, что здесь также возможно введение пары Лакса (Склянин, 1979), если к (10 69) добавить уравнение

4T产 М/Г「 (Ю.77)

Условие совместности систем (10.69) и (10.77) имеет вид

i$ Х°/ =喝 Х°/ — Х°/М j・(Ю.78)

Покажем, как определить М/, если эволюция по времени определяется гамильтонианом " (10.72):

力糸Х°/ = [(/-1, /) + (/, /+1), Хо/].(Ю.79)

Достаточно, чтобы существовали X/, такие, что f M/°/ = [(j,/+1), х°/] +爲 1人网/7 = 一 [0-1, /), Хо/] + Xj.

Исключая Mj из двух соотношений (10.80), для искомых операторов N получаем уравнение

[(/, /+ 1),人/+//]=高+风/ 一入/+点， (Ю.81)

которое в точности воспроизводит тождество Сазерленда (8.25), выведенное (для XKZ-модели) из тернарных соотношений в п. 8.5.4. В нашем частном случае достаточно продифференцировать по k\ обе части соотношения ^12^02^01 = JCqi^^^ и поло- жить &J = fe2 = 0, принимая во внимание, что Х[2 |А =^ = — Z (1 + + (12))：I

^2«1-凡及2几=(12)(«- ада(10.82)

или, иначе,

[(12),凡2为]=z・(«-几X。)(10.83)

Сравнивая соотношения (10.81) и (10.83), выбираем

К =一困/ =一» %¥*.(10.84)

©нератор М/ определяется формулой (10.80):

吗=(/,/+1)(1- / 什因。)一潟園 °,

附/ =(胪+1厂1 {1 + (/, /+1) + (0/)-(0, /+1)+(10.85)

+ /*((0,/+1)(0/)-(0/) (0, /+!))}

или, иначе,

/• = "+ 1厂1"・("一o/+i)(l —力阮・("+”+1)) + jq+i + 1}・

(10.86)

Существование оператора М/, удовлетворяющего (10.78) и получающегося непосредственно из тернарных соотношений дифференцированием (см. также гл. 8 п. 8.3.2), влечет за собой существование интегралов движения с производящей функцией Z (左)и интегрируемость. Последнее понятие определяется для квантовой системы в соответствии с понятием полной интегрируемости классической гамильтоновой системы, согласно которому в случае N степеней свободы существует ^ — 1 независимых интегралов движения, т. е. их скобки Пуассона (или коммутаторы) с гамильтонианом Н равны нулю 9-

Алгебра матриц перехода

В этом пункте мы рассмотрим конкретный пример алгебры тернарных соотношений в форме (10.63).

Операторы Янга. Возьмем для удобства сопряженное представление KN：

(10.87)(10.88)(10.89)(10.87)(10.88)(10.89)_ 1 + 勺(/0)

(10.87)

(10.88)

(10.89)

(10.87)

(10.88)

(10.89)

「T工(С=1)-

Элементы матрицы перехода равны

тав (归)=" 7m10х20 • • • Xno.

Рассмотрим их произведение

7aB 但)ту6(々)=J：,x00，%产了6%0х10园0 • • •,(10.90)

где

1 + Хаа/Т.Т，1

==(10.91)

% З) % 侬)=£ zgXdM諸

20， * * *

и воспользуемся тернарными соотношениями

1) Определение полной интегрируемости по Лиувиллю включает в себя еще коммутативность интегралов движения между собой.——Прим, перев.

Достаточно проверить равенство

(1 + M・i) %/；б О - 2・С =爾6 +

+ "00, (TYPT»6+ "00, (TYPT»6%6%8)— X00,Ty6TaP%6%8)— X00,Ty6TaP

+ "00, (TYPT»6

+ "00, (TYPT»6

%6%8)— X00,Ty6TaP

%6%8)— X00,Ty6TaP

и подставить его в (10.90), чтобы получить выражение для коммутатора матричных элементов

[%0 (粉，ту6 (好)1 = ez$)2工厂(7邛(»)%6 仅)一 TY6 (/)7呻但))+

+ 一(性N；[1 (та6 他"YB 的-/ (储26 (协 (10.92)

Приведем частные случаи этого равенства:

[% 优)，％ 期)]=0.(10.93)

а = р = у

туу (归)7Y6 (々‘)=1 + j(々 一 /). Tyy (")TY6 仅)+

+ T^i^ TY6 (孑)Gy 他)•(10.94)

Меняя местами k и kf в (10.94) и беря подходящую линейную комбинацию, получаем соотношение

「YY (3 Туб 侬)=(1 + j4f) Туб 侬)Gy 的一

一占小叫7\№)，(10.95)

которое совпадает с уравнением перехода (10.11) для амплитуд 《Q||P〉(в сопряженном представлении).

Пусть 几=2. Вводя обозначения

Т]2 = Т+，丁21 = 7—, ^ 11 — ^22 = ^z，(10.96)

口+ 他)，Т+ 优‘)]=[乙他)，厶(公)]=0(10.97}

и учитывая (10.95), получим

7и 他)t+ (駅)=(1 + Хоо0 т+ (^) Tn^ 一 %。。？+ 他)Tu 他‘)，

T22 他)T 他‘)=(1 一 %。")t+ 他‘)722 信)+ W+ 他)%2 m.( °, ,

Эти соотношения были получены Фаддеевым (1979) при исследовании моделей квантовой теории поля. Они даюг некоторое представление транспозиций, аналогичное (10.20), которое мы уже использовали при решении задачи о фермионах (см. 11.3.1 и Годен, 1967). Аналогичные соотношения для анизотропного магнетика Гейзенберга, которые даны явно в приложении L, приводят к наиболее элегантному решению этой модели.

10.4. О МОДЕЛЯХ ХАББАРДА И ЛАЯ

Определение

Прежде чем приступить к построению общего решения задачи, поставленной, в этой главе, следует упомянуть модель Хаббарда, которую можно рассматривать как еще один дискретный вариант системы с точечным взаимодействием. Модель эта решается теми же методами.

Речь снова идет о периодической цепочке атомов, но теперь они могут нести переменное число валентных электронов спина S = 1/2: 0, 1 или 2. Предполагается, что энергия взаимодействия отлична от нуля и равна U。，только когда 2 электрона находятся на одном атоме и как следствие ——в синглетном состоянии. Кинетическая часть энергии описывает переходы электронов без изменения спина между ближайшими соседями. Таким образом, мы имеем одну электронную зону, заполнение которой, т. е. полное число электронов М, считается заданным: 0 W 府 W W 2M

Вторично квантованный гамильтониан модели имеет вид

Н = — 4" 2 "為"九+i。+ bn+\(jbno + ^~ °。X Ь^оЬпаЬпоЬПа. (10.99)

n, о n, a

Из этого выражения видно, что взаимодействие в системе электронов спина 1/2 явно от спинов не зависит. Электроны взаимодействуют, только если они расположены в одном и том же узле и, в силу принципа Паули, имеют противоположный спин. Амплитуда 中(几1。1, • • •, 〃мОм) факторизуется в произведение орбитальной и спиновой функций дополнительных симметрий. Орбитальная амплитуда а(П{П2 ••• 〃м) зависит только от координат электронов вдоль цепочки 1 W 几/ 4 N ° удовлетворяет уравнению Шредингера, которое получается из гпмппьтониана (10.99):

Za(... /1/+1 ...) + a(...— 1 ...)—

/ = 1

—2Uo Z 6(%/ —勺)a(. • = —2Ea(修 …nM). (10.100)

Достаточно искать решения этого уравнения с определенной симметрией. Для фермионов спина 1/2 симметрия описывается таблицей Юнга из двух столбцов [W, 2M/2—s], где s — полный спин.

Уравнение (10.100) представляет собой дискретный аналог уравнения, связанного с гамильтонианом (10.1) частиц с точечным взаимодействием. Однако «условия согласования» и опре-

деление «секторов» здесь несколько более деликатны, чем в непрерывном случае. Тем не менее для коэффициентов разложения Бете амплитуды получаем аналогичные соотношения.

Все же следует отметить, что между уравнениями (10.100) и (1.14) для амплитуд магнетика больше различий, чем сходства: взаимодействие происходит не между ближайшими соседями, а локальное; отсутствуют ограничения на координаты; возможна произвольная симметрия.

Метод

Согласно используемому нами подходу, в каждом секторе амплитуда представляется в виде суммы плоских волн одной и той же энергии

Е = - 2 cos 左/,/=1

определяемой набором импульсов ｛归｝:

а(щп2 ... п^= £ (Q||P〉e“^，◎〃)・(10.101)

Поскольку координаты п； могут теперь принимать равные значения, определение секторов становится более деликатным. Дадим сначала определения Dq для несовпадающих 几：

Dq： 〃Q1 V 〃Q2 V •.. < 几QM・

Затем распространим определение на случай совпадающих координат. Тогда пересечение секторов будет не пусто. Два соседних сектора Dq и Qq(23)имеют общую часть . • • nQ2 = 〃Q3・ Потребуем, чтобы волновая функция (10.101) принимала одно и то же значение в пересечении Dq и Qq(23), что выражается равенством

〈Q 口 尸〉+〈QIIР (23)> = (Q (23)|| Р) + (Q (23)|] Р (23)〉.(10.102)

Структура амплитуды (10.101) приводит к тому, что раз* ностное уравнение (10.100) выполняется вне области пересечения секторов. Тем самым достаточно, чтобы уравнение выполнялось в областях пересечения. Выделим в (10.100) в области Dq П Oq(23),几Q2 =几Q3 =胃 интересующие нас слагаемые:

・.・+а(... /1+1, м, ...) -|- й (... п ——1, 〃,••.) +

+ @(...几、м+1, ...) + q(... м, п ——1, ...)+ ...——

—2UoQ(... n, n, • • •) = —2Eq(. •. n, m, ...).(10.103)

Заметим, что аргументы первого и четвертого слагаемых в (10.103) лежат не в Q, а в Q(23). Вычитая из (10.103) следую-

щее соотношение, справедливое для амплитуды данного сектора Q:

...Qq (.../1+1, /1, ...) + Qq (. . . /1 — 1, М, ...) +

+ Qq (.・./!, /1+1,...) + Qq (...几,П — 1, ...)+ ...= =—2Е& (…n, n, ...),(10.104)

получаем

〃Q (23) ( • • •几+1, M, •…)—QQ ( • • • /1+1,几,...) +

+ QQ (23) ( • • •几,几—1, . . . ) — Qq (. . •几,/1 — 1,...)=

=—-2£aQ(... n, n, ...).(10.105)

Подставим в (10.105) разложение (10.101):

Z(〈Q(23)||P〉一〈Q||P(23)〉)X

^^ («•・• /р?孔 + *论РЗ("+D+ ••• Ji论Р2 (м—1)+i论Р3^+I

+ 2(7。〈QII р〉е・・・ +力年2九+价 з〃+ …=о. (Ю.106)

Объединяя в этой сумме слагаемые с Р и Р(23), получаем

«Q(23)||尸〉一〈QIIР(23)〉)/(sin М 一 sin hpj +

+ 4 «Qll 尸〉+〈QIIP (23)〉) = 0,(10.107)

т. e. то же соотношение, что и (10.11) в непрерывном случае

〈Q (23)||Р (23)) =〈QИ尸〉(1 + “, рз) +〈QИР (23)〉хР2, Р3,(Ю.Ю8)

订—sinfef —sin ^ *

Тем самым гипотеза Бете оправданна и модель Хаббарда совпадает по своей структуре с непрерывной моделью, к которой она стремится в пределе 乂一＞ 8, ^-=令；с, £, М конечны и фиксированы (Либ, By, 1968).

Модель Лая

Мы ограничимся тем, что дадим определение модели, предложенной Лаем (1974) и напоминающей как модель Хаббарда, так и магнетик. Однако она решается с помощью анзаца Бете — Янга только для определенного значения константы связи. Вид

волнового уравнения следующий:

£ 件(• • •几/ + 1 • • •)十屮(• • • 〃/ — 1 • • •) -~ 2г|)(...)) +

+ 2 ±(1 +(/, /+1))6m/ + ］一勺一1)2 = -22也(10.109)

Кроме того, требуется, чтобы 屮 обращалась в нуль при совпадении двух пространственных координат. Оператор перестановки (/, /十 1) действует на пространственные и спиновые переменные. Таким образом, мы имеем гамильтониан для частиц произвольного спина, локальное взаимодействие которых является отталкивающим с бесконечной константой связи, а константа при взаимодействии между ближайшими соседями равна коэффициенту при кинетической энергии.

Глава 11

Тождественные частицыс точечным взаимодействием.Общее решение для двух внутреннихсостояний

ФЕРМИОНЫ СПИНА 1/2

Условия симметрии

Рассмотрим теперь более специфическую задачу о фермионах спина 1/2 с точечным взаимодействием, т. е. задачу о тождественных частицах с двумя внутренними состояниями. Это полезный этап на пути к общему решению, которое представляется довольно сложным.

Гамильтониан (10.1) начинает зависеть от внутренних переменных. Полностью антисимметричная по N переменным частиц волновая функция, отвечающая полному спину S = 5г = -^—— —М = М —^-,

屮$=冗堂 / m) %+ ®i)•・• ％+ (冗册 X- m(M +1))... %_(冗乂)义

夕=［严一n2“f=［］N-2M2勺夕=［严一n2“f=［］N-2M2勺может быть разложена в сумму произведений спиновой функции на орбитальную функцию “у, принадлежащих сопряженным представлениям 冗汽(Хаммермеш, 1966). Тип симметрии спиновых функций, которые могут быть антисимметричны не более чем по 2s + 1 = 2 переменньш, описывается таблицей с двумя строками ［初,N —初］,где М определяется полным спином S = Sz. Следовательно, орбитальная функция имеет тип симметрии

夕=［严一n2“f=［］N-2M2勺

夕=［严一n2“f=［］N-2M2勺

Она антисимметрична по М переменным первого столбца и независимо по М = N — М переменным второго столбца и удовлетворяет условию Фока. Последнее состоит в том, что орбитальная волновая функция не может быть антисимметрична по М + 1 аргументам

(И.2)(И.2)尸2 = 0, F = X(М)— 1 (ш > Л1),屮=2(占，x2，...,*而 I 而 + 1，• • •, %N)■

(И.2)

(И.2)

Наконец, сумма 屮=X %歹25y берется по всем числовым таблицам Юнга. Например, для Л/ = 3, S = 1/2 имеем Л1 = 2 и диаграмму Юнга |-jJ

Таблиц Юнга будет соответственно две: 宙J, Q3.

Выразим условия симметрии в терминах амплитуд〈Q||P〉. В силу разложения (10.6) пространственной волновой функции антисимметрия по аргументам каждого столбца эквивалентна условиям

(11.3)(11.3)〈Q(j, /+1)HP〉= -〈QIIP〉，

(11.3)

(11.3)

/=1, 2,...,兩一1, М+ 1, N - 1

или, используя формулы перехода (10.11):или, используя формулы перехода (10.11):〈QIIP(j, j+D〉=-〈QIIP〉，j* 初,〈QIIP(j, j+D〉=-〈QIIP〉，j* 初,(И.4)(И.4)

или, используя формулы перехода (10.11):

или, используя формулы перехода (10.11):

〈QIIP(j, j+D〉=-〈QIIP〉，j* 初,

〈QIIP(j, j+D〉=-〈QIIP〉，j* 初,

(И.4)

(И.4)

т. е. в каждом секторе имеется антисимметрия по аргументам каждой из двух групп xQv ..., х^ и 尤q(m+i), •…，无qn・

〈尸 II Р) = £] УРкР\УPkP2 • • • УркРш〈/ \\Р (左团)〉一〈尸 II Р) = £] УРкР\УPkP2 • • • УркРш〈/ \\Р (左团)〉一Условие Фока также может быть выражено явно, хотя это и не используется в подходе Янга. Достаточно вычислить результат действия перестановки (几，m) (m = Л1 + L п ^ М) f исходя из генераторов У или Т, как в (10.21). Приведем без доказательства ответ:

〈尸 II Р) = £] УРкР\УPkP2 • • • УркРш〈/ \\Р (左团)〉一

〈尸 II Р) = £] УРкР\УPkP2 • • • УркРш〈/ \\Р (左团)〉一

—УртР\УртР2 * * * УртРМ ^ И ^)^，(1 1 ・5)

Уц=\ +Xjh %* =必/(同•—財)，(11.6)

что представляет собой соотношение между амплитудами одного и того же сектора (Годен, 1967а).

Эти явные соотношения не используются Янгом, который заметил, что условия симметрии выражаются в терминах элементов |Р> группового кольца 冗“ (10.19):

(Н.7)(Н.7)(j, /+1)1/〉=一1A〉，/#=Я用戸〉=0,

(Н.7)

(Н.7)

и, следовательно, элементы |Р〉принадлежат представлению У симметрической группы п%. Однако известна удобная реализация сопряженного представления 歹.Это спиновое представление, уже использованное в гл. 8 для 几=2 и в (10.56) для про-

извольного п (п = 2s + 1). Отсюда легко получить реализацию представления 歹，перейдя к сопряженному базису

IP〉-1 科=E/(Q)G〈QIIP〉，(11.8)

1де /(Q) —знак четности перестановки Q и

(б/) = -(О/) = -4(1 + т.а7),(И.9)

что позволяет записать »〃 и Z в представлении 斤.Чтобы не усложнять обозначения, в дальнейшем знак 〜над операторами мы будем опускать.

Сведение к неоднородной шестивершинной модели

Согласно результатам пп. 10.2.4, 10.3.1 и 11.1.1, условия симметрии и периодичности приводят к задаче о диагонализации семейства коммутирующих операторов Z (左)(10.53) в представлении 歹.В силу (10.50), система уравнений для спектра фермионов имеет вид

Zj = Z (йу) = exp (ikjL), / = 1, 2, ..., М (11.10) где в левой части стоит собственное значение оператора Z/. Матрица Z(归)построена с помощью операторов Хпо, действующих в сопряженном представлении 歹：

爲° = (1 + х九(1 + t • О")/2) (1 + хп)~\(] ] ID

“ =Go =山/(耳九—耳)，Уп=^ + %"•

Таким образом, Z(耳)представляется как трансфер-матрица неоднородной шестивершинной модели

百几=X九0 =

/ 〃九(扌 + S, + bn 传一S,cnSn、

\cnSn6〃 (~^~ + S, +。九(扌—S,丿

(11.12) с весами

“九=1, ^n = V Уп9 сп == ^п1Ут(11.13)

которые отвечают вершинам типа 1, 3 и 5 (или 2, 4 и 6) соответственно (гл. 7, рис. 7.1).

Итак, перед нами стоит задача, аналогичная той, которая детально исследовалась в разд. 7.2. Несмотря на то что вершинные веса зависят от номера узла, эта задача также решается

варианта равны/1 2апЬпварианта равны/1 2апЬп(11.14)(11.14)методом Бете, обобщенным Бакстером (1971а). Такая возможность связана с тем, что, в силу (11.13), три относительных ин-

варианта равны

/1 2апЬп

варианта равны

/1 2апЬп

(11.14)

(11.14)

Трансфер-матрица коммутирует с компонентой полного спи・ на f 二^夕说 в представлении 声

SZ = SZ = ^-- М.

Используя обозначения, уже встречавшиеся в формуле (10.46), собственное состояние |7> можно представить в виде

I /)м| М〉=2 с (”2S；】…S；M伍〉•(11.15)

九1V〃2V ...

Элементы матрицы Z могут быть разбиты на два класса, изображенные на рис. 11.1.

Рис. 11.1.Рис. 11.1.

Рис. 11.1.

Рис. 11.1.

Из рисунка видно, что матричные элементы можно предста* вить в следующей форме:

(ш IZ + I 几〉— Q (0几 1) Q ("Mi)。(^i“2)• • •。(加乂“ + 1),

；~~〜(11.16)

(m I Z_ I n) = — D (0g) Q ⑺咼)D (几 1加2)• • • D (几,м" + 1),

где использованы обозначения

(D (mn)=无九， m < n,

1 D (nri) = l/xn, m = n,

〜(11.17)

J D(nm)==yn+lyn+2 …у〃 Vm,

I Ь (лш) == у/кп, n = mt

У = У\Уч ... Ум，%o = %n+ i = L(11.18)

Если по аналогии с (7.40) постулировать циклическую инвариантность коэффициентов с{п}

с (т^з ... т^ = с (m2m3 ... mM+1), тм+{ = т{ + Nt (11.19) то задача на собственные значения

Z\T) = z\7)(11.20)

запишется явно в виде

E c {几} II。(也也)5 (nzm/+ ^ = zyc {m},(11.21)

{九}i=l

где сумма берется по всем наборам {п}, таким, что gW〃iWg+i, 1 ^ «1 < «2 < …V%m《M (11.22) Циклическая инвариантность коэффициентов с позволила объединить в одном выражении оба типа членов Z+ и Z-.

Решение неоднородной модели

Янг предлагает для коэффициентов с(м) следующее разложение типа суммы Бете:

e (%) = 2 3 (Q)①(%1，"1)①(%2, "2)• • •①(气m，%加，(11.23)

Q巨几m

где① е, ")=4% …4一m，

,/、• 〃 厶 、,/、 一 ，(11.24)

//⑺=zc/(储一u), уп = %⑺=1 +

а набор параметров {и} подлежит определению.

После подстановки разложения (11.23) в левую часть (11.21) приходим к вычислению сумм вида

% = X Q (加2〃2)力("2川3)9 (и, %2)=

П2 — т ■

^^Ут^хУд-产也9 0, m・2)+ /ур(〃 团3)+

/Из—1

+ 2 xnyn+iyn+2 y^.x^iv, n), (11.25)

Mug+l

где подчеркнуты два крайних члена суммы, названных в п. 7.3.2 опасными слагаемыми, поскольку их вклад может нарушить требование (11.22). Принимая во внимание (11.24), мы можем произвести частичное суммирование

g一1

^= £Уп-\ХпХпУп+[ • • • Ущ.-У (11.26)

n=m2+l

无Z =①- <)片，汇=/ (и) = icKh 一 и),(11.27)

что ведет к результату

口=乂(//例…以2%2+i…Уg-1 一 y餌・.•唳-1).(11.28) Итак, для 夕2 получаем

乡2 = (1 + %)4^М侬+1 …У%-Л^е，®) + (1 - К)① «,%)•

(11.29)

После подстановки в (11.21) разложения (11.23) мы должны просуммировать по 几厶 учитывая ограничения (11.22). Если не принимать во внимание тот факт, что 血 не должны совпадать, то было бы достаточно просуммировать независимо по каждой переменной 几,в промежутке mi W гц W mi+\. Однако при этом может произойти совпадение двух п с последовательными индексами, например для 〃2 = ^з и 几з = тз. Поэтому соответствующие слагаемые, возникающие из произведения двух последовательных опасных слагаемых, необходимо исключить из наивной суммы, что мы будем обозначать связкой ,__,, как и в разд. 7.3.2.

Если записать схематически сумму типа 必 в (11.29) как X? + Уз, то равенство (11.21) удается представить в компактном виде

浊с (/п) = 2 3 (Q) (% + У2)(Х2 + %) (% + 九)・・・(Хм +，+1),QII II<— 1

(11.30) где

*2= (1 + % (%))豆了侬…Ут^1Хш^ (UQ2,团2)(11.31)

содержит опасный член (см. (11.25))

T^У ^人+1 恤①(%2, m2)» а

?3 = (1 -%0 ®Q2))①(%2, %)(11.32)

содержит опасный член ym^)(uQ2, т^.

Следуя рассуждениям п. 7.3.2, из суммы (11.30) можно устранить все слагаемые, содержащие какой-либо множитель YiXi, выбирая подходящим образом В (Q). Например, для мно-Следуя рассуждениям п. 7.3.2, из суммы (11.30) можно устранить все слагаемые, содержащие какой-либо множитель YiXi, выбирая подходящим образом В (Q). Например, для мно-жителя при 屮(uqi,俏2)①(UQ2,俏2)достаточно положить з (Q) *Q + 吕(Q (12))出 2 Iq(12)= 0・Принимая во внимание определения (11.31) и (11.32),В (Q) К1 — %0 (yQl)) (1+^0(UQ2)) — 1 ] ++ 3 (Q (⑵)[(1 — %о (气2)) (1 + 无0 (%)) — 1 ] = о, получаемжителя при 屮(uqi,俏2)①(UQ2,俏2)достаточно положить з (Q) *Q + 吕(Q (12))出 2 Iq(12)= 0・Принимая во внимание определения (11.31) и (11.32),В (Q) К1 — %0 (yQl)) (1+^0(UQ2)) — 1 ] ++ 3 (Q (⑵)[(1 — %о (气2)) (1 + 无0 (%)) — 1 ] = о, получаем(11.33/(11.33/(11.34)(11.34)3(Q(12)) = — B(Q)3(Q(12)) = — B(Q)3 —з + 'с3 —з + 'с%「％2 Tс%「％2 Tс

Следуя рассуждениям п. 7.3.2, из суммы (11.30) можно устранить все слагаемые, содержащие какой-либо множитель YiXi, выбирая подходящим образом В (Q). Например, для мно-

Следуя рассуждениям п. 7.3.2, из суммы (11.30) можно устранить все слагаемые, содержащие какой-либо множитель YiXi, выбирая подходящим образом В (Q). Например, для мно-

жителя при 屮(uqi,俏2)①(UQ2,俏2)достаточно положить з (Q) *Q + 吕(Q (12))出 2 Iq(12)= 0・

Принимая во внимание определения (11.31) и (11.32),

В (Q) К1 — %0 (yQl)) (1+^0(UQ2)) — 1 ] +

+ 3 (Q (⑵)[(1 — %о (气2)) (1 + 无0 (%)) — 1 ] = о, получаем

жителя при 屮(uqi,俏2)①(UQ2,俏2)достаточно положить з (Q) *Q + 吕(Q (12))出 2 Iq(12)= 0・

Принимая во внимание определения (11.31) и (11.32),

В (Q) К1 — %0 (yQl)) (1+^0(UQ2)) — 1 ] +

+ 3 (Q (⑵)[(1 — %о (气2)) (1 + 无0 (%)) — 1 ] = о, получаем

(11.33/

(11.33/

(11.34)

(11.34)

3(Q(12)) = — B(Q)

3(Q(12)) = — B(Q)

3 —з + 'с

3 —з + 'с

%「％2 Tс

%「％2 Tс

с единственным решением для B(Q)

(11.35)

Уравнения для спектра фермионов

Продолжая начатое исследование поставленной в предыдущем пункте задачи, следует учесть условие периодичности (11.19), что дает

B(QC) = yT(%i)8(Q),(11.36)

где

у (и) = у】％ • • • Уn，(11.37)

Учитывая (11.35), получаем

N

в (Q)/3 (QC) = 口( 1 + 山/肉 一 ％1)) = у (%1)・(11.38)

Это равенство должно выполняться для любого Q. Отсюда заключаем, что М величин %, а= 1, 2, М связаны с квазиимпульсами kj М алгебраическими уравнениями

П / = Й(1+"/(『吗)，(1L39)

которые определяют собственные векторы Z.

Возвращаясь к собственным значениям, рассмотрим (11.30). Условие периодичности приводит к исключению из (11.30) также и члена X/m+i.

После суммирования по Q в правой части (11.30) остается

2 5 9)(乂乙...^ +厶匕・.・几+1), Q

т. е., учитывая выражения (11.31) и (11.32),

г м

2勿5)= 2 8(Q){ у £ (1 +%о(%))<₽(%】，他 1) ...(р(%м, тм) +

QI а=1

М)

+ П (1 — ^о(^а))ф(^ь 恤)•・• 9(Uqm，gw + l) }•(11.40)

В силу условия периодичности, равенство (11.40) превратится в тождество, если положить мм

2 = 口 (1 + /с/(耳一％)) + -у ГТ (1 — ic/(k — %)),

31а = 1(11.41)

//=h(1+山/电一耳)).

Уравнения (11.10), определяющие спектр значений {归}, запишутся теперь в виде

'(同)=И •」.之？' = ехр 网。 (11.42)

Итак, используя метод Янга Ч. Н. (1968), мы получили уравнения Бете для задачи о фермионах. Отметим, что система (11.39) выражает тот факт, что рациональная функция 之(力) (11.41) не имеет полюсов в точках 归=и% а = 1, 2, ..., М. Это еще раз напоминает свойство (8.87).

Если определить два полинома

МN

Q(炒=口他一 %) и ①(期=口 色一同) (11.43) а=1/=1

И ПОЛОЖИТЬ

Z1 3) = Z 优)①仅一山)=tr 口(々一就 一 ic (献)))， (11.44) 0 九

то свойство (11.41) эквивалентно

Z](炒 Q (粉=Q (耳 + /e)①仅-ic) + Q (々-ic)①伍).(11.45)

Действительно, существует коммутирующая с Z матрица Q, удовлетворяющая тождественно (11.45), но заниматься ее построением мы не будем.

ОПЕРАТОРНЫЙ МЕТОД

Наиболее простым методом диагонализации трансфер-матрицы в задаче о фермионах или восьмивершинной модели, без сомнения, является созданный недавно операторный подход Фад-

деева (1979), позволивший записать волновую функцию Бете в компактной форме как произведение операторов, действующих на вакуум (порождающее состояние). Такая компактная форма анзаца Бете уже встречалась в некоторых предельных случаях, и соответствующий алгебраический метод мог быть использован для семейства спиновых квадратичных гамильтонианов, получаемых из трансфер-матриц (Годен, 1976). К этому вопросу мы еще вернемся в гл. 13.

В основе операторного метода лежит алгебра матриц перехода из п. 10.3.4, или в нашем частном случае формулы (10.97) и (10.98).

Трансфер-матрица Z优)в задаче о фермионах спина 1 /2 в сопряженном представлении является не чем иным, как суммой

Z(AO = T"他)+ g2 他) (U.46)

в обозначениях формулы (10.89). Действуя на ферромагнитное порождающее состояние |0>, операторные матрицы Х〃о (11.12) принимают треугольный вид

Отсюда заключаем, что

&(期 |0〉=П&|0〉= ®,

二,(11.47)

Т22(к)\0) = Иьп\0) = у^\0\

где обозначение у взято из (11.41).

Рассмотрим семейство коммутирующих операторов「12(。/) = = 7+(”)для данного набора {и} из М неизвестных 力 и образуем состояние

\М')= Т+^^Т+^ ... 7\®м)|0〉・(11.48)

Вычисляя Гц |М>, будем переставлять Тп с 「+, используя многократно формулу перехода (10.98)

TН 他)T+ ⑴=(1 + 徇)T+ ⑵)& 他)-x0/T+ (k)Tn (叫

rn 网)m (У3) = (1 + x23)7.(3)"1 网)一%237+(S)711 93)•

и т. д., где

Xoi = ic/(k —力)，％23 =山/⑸一®.(11.50)

По индукции легко доказать, что

伍)I м〉=耳(1 +(s)・・・ 7+ 3) Т” 伍)I 0) +

+ х10 П (1 + 修/) Т+ 伍)％ ⑸)…Т+ (% & (力)| 0> +

+ 无20,耳2(1+&/)「+®)Т+伍)Т+9з)・・・ Tu(s)|0〉+

. . . + %мо н (1 + %m了) T+(5)- • • T+ Т+ 优)T口(0m)| 0).

(11.51)

Этот метод совершенно аналогичен использованному в п. 11.1.1, формула (11.6) (Годен, 1967а). Подобное же выражение получается и для T22IА1> с заменой в (11.51) х на —х. Сложим почленно слагаемые в этих выражениях и используем (11.47):

Т11 (明 0〉= |0〉，

1(11.52)

T22(力)10〉= //(力)710>.

Если можно выбрать набор {и} таким образом, что обратятся в нуль все коэффициенты в слагаемых, содержащих операторы T+(k), то вектор |Л1〉станет собственным для Z (耳)

(Tu 优)+ 722 优))|М〉=(Tu 优)+ 722 优))|М〉=1一%0," 1m〉(11.53)1一%0," 1m〉(11.53)

(Tu 优)+ 722 优))|М〉=

(Tu 优)+ 722 优))|М〉=

1一%0," 1m〉(11.53)

1一%0," 1m〉(11.53)

и будут выполнены условия

Д (1 + ^mi) — у(^ П (1 — %切)= °， ^= h 2,・・・，也.

Отсюда получаем М соотношений, которые совпадают с (11.39):мп'齐 1Г4Я^，

а собственное значение в (11.53) совпадает с выражением (11.41) для z.

Представление (11.48) дает наиболее компактную форму разложения Бете (11.15), (11.23).

НАБРОСОК ПЕРВОНАЧАЛЬНОГО МЕТОДАРЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ О ФЕРМИОНАХ

Изложенный в разд. 11.1 метод решения Янга является, конечно, одним из наиболее естественных в свете работ Либа о моделях льда и работ Бакстера, в которых метод Бете обобщается на неоднородные системы. Более того, этот метод допускает непосредственное обобщение на произвольный тип симметрии, сделанное Сазерлендом (см. гл. 12). С другой стороны, наиболее простым является подход Фаддеева, который прямо ведет к системе уравнений на квазиимпульсы и позволяет записать сумму Бете в операторном виде, что поможет при вычислении норм или корреляционных функций. Тем не менее первоначальное решение (Годен, 1967) представляется довольно естественным подходом, использующим ряд алгебраических и геометрических лемм. Мы посвятим этот раздел изложению нескольких исходных положений и выводу одного алгебраического тождества, исходя из которых сумму Бете можно представить в явном виде компактным образом.

Первый этап состоит в описании условия периодичности с периодом L волновой функции (11.2) по переменной первого столбца, например х^. Пронося с помощью формулы перехода от одного сектора к соседнему частицу 无而 через М частиц с противоположным спином Хи, М V п W N, мы получим, как и в случае условия Фока (11.6), систему линейных однородных уравнений для амплитуд исходного сектора

(11.55)(11.55)〈/||Р〉，(I\\P(M, М+1)〉，・・・，〈/||Р(М ^)), матрица которой порядка М + 1 есть

(11.55)

(11.55)

(11.56)(11.56)也0 ◎) = I — 2-%%邓+ %@)^卜

(11.56)

(11.56)

(11.57)(11.57)а, р е ^ = {PM, Р(М+ 1), PN},明х(^) = т；Ува・

(11.57)

(11.57)

Таким образом, необходимо, чтобы все детерминанты для любого S обращались в нуль. В силу замечательного тождества, доказанного в приложении J, это возможно, если существует набор из В величин {д}

9а = Vаic/2, а = 1, 2, ..., М,

таких, что {耳} являются решением системы трансцендентных уравнений (11.42)

ехР(“)= П ［二;咤黑(1L58)

или, иначе,

Lkj = 2лПу + & В%, 〃/w Z,(1159)

ctg»a/2 = 2(M — %)/c・

Второй этап состоит в построении коэффициентов (11.55)

(1\\Р} = ЦР)с(^) = 1(Р)с(а^д),

—(ll.bO)

^ = {ару 6} = {Р(М+ 1), PN},

которые пропорциональны соответствующим минорам детерминанта матрицы М (歩)порядка М + 1. Несложно заметить, что эти коэффициенты симметрично зависят от набора индексов из 歹 и тех 力境,для которых а 三歹：

，(石)=e 的凤…备)=一ь%4хв + ”а (旷)粤1 • (n.61) 气a ®

Нет оснований, чтобы такой определитель порядка М обратился в нуль (см. предложение 上).Напротив, в силу предложения J2, этот коэффициент имеет структуру суммы Бете:

с (自...kM) = Z “ 依)①1 (々ri) 6 (耳&2)••• 9м (耳 rm), (11.62)

где

4 (R) = П (1 + 山/优Ra -耳邓))=П 勿a,邓，a<BaV|31

必 A kJ-qb- ic/2(11.63)

①0(用/-*一9。+ "/2 11y/炉

丿 °b=a+l /°b>a

Отметим тесную связь между коэффициентами пространственной волновой функции (11.62) и коэффициентами с(п) собственных векторов матриц Янга Z, (11.23). Переменные 々ид здесь почти поменялись ролями.

На третьем этапе в игру включаются условия симметрии (условия Фока), которые мы до сих пор не использовали. Оказывается, что в случае полного спина S = О (М = М) условие

Фока может быть записано не с помощью коэффициентов, входящих в (11.6) (сумма по индексам первого столбца), а в терминах коэффициентов из набора (11.55), относящихся ко второму столбцу. Совместность условия Фока и системы уравнений, отвечающей (11.56), выражаются при этом как обращение в нуль окаймленного детерминанта порядка М + 2:

! 1

М⑹i 1

：：=0.

纟 Р(М+1)管(m + 2)。一 留? N ：

Можно показать, что это условие записывается в виде

£Za^^=0, Za = eT", aw 歩，Y 歩.(11.65)

Рассмотрим уравнение |Af(^) | = 0 как уравнение для гиперповерхности в декартовых координатах {Z% ... Zm+i}・ Тогда (11.65) можно геометрически интерпретировать как уравнение на контур этой гиперповерхности, видимый из начала координат. Тем самым существуют касательные к поверхности векторы с компонентами 5Z/, удовлетворяющими соотношениям

6Zi = 6Z26Zi = 6Z2(11.66)(11.66)

6Zi = 6Z2

6Zi = 6Z2

(11.66)

(11.66)

В силу предложения L, поверхность det||M ®) ||= 0 униформи- зуется Л4 параметрами qa (формула (11.58)). В этих параметрах уравнения (11.66) перепишутся как

Следовательно, для каждого множества / существует М + 1 величин (б^а, б/), таких, что рациональная функция

G优)=2优一醤+』i(UR)

обращается в нуль при любом &•, j 三 /.

Поскольку это верно для любого множества /, функция G (力)равна отношению двух полиномов степени 2М = N:

6/ n (々一同)：П (3 - %)2 + e2/4) = - G (耳).(11.69) / = 1a=»l

Более того, как это следует из (11.68), вычеты в полюсах qa ± 士 ic/2 имеют противоположный знак, что с учетом (11.69) вле-

чет за собой 口仇+死/2-統 口(%一必/2一m 击7 =,(Н.70>

П(%-% + ")П &-%-")

bь

т. е. в точности второй набор уравнений системы для k и qr эквивалентный (11.39). Таков эвристический метод, приведший нас к решению в случае S = 0, а исходя из него, и к общему решению.

Выбирая подходящим образом фазы, перепишем систему (11.70) в виде

2 8 加—2 ^Ьа = 0> а=1, 2,М'/< I 7 、

ctg 他 ь/2) = (% — %)/£?.

Уравнения (11.59) и (11.71) лежат в основе исследования системы фермионов спина 1/2, изложенного в следующем разделе.

О ТЕРМОДИНАМИЧЕСКОМ ПРЕДЕЛЕ СИСТЕМЫФЕРМИОНОВ В ОКРЕСТНОСТИосновного состояния

11.4.1. Квантовые числа

Наборы допустимых квантовых чисел, позволяющих классифицировать состояния, легко можно получить с помощью принципа непрерывности по константе связи, отправляясь от любой из двух замечательных предельных систем:

с = 0 (система свободных фермионов),

с-1 = +0 (два типа взаимно непроницаемых фермионов).

Предел с = 0. Определения (ветви) вспомогательных фаз 2ab и 呪 можно выбрать таким образом, что они будут стремиться к нулю при ст6. Тогда целые числа %• в соотношении (11.59) будут определять заполнение орбитальных состояний системы невзаимодействующих фермионов. Тем самым числа п все различны либо, самое большее, некоторые пары из них совпадают. Обозначим 几а, а = 1, 2, ..., г, квантовые числа 《спаренных» в упомянутом выше смысле состояний, а м/, / > 2г, квантовые числа неспаренных состояний. Итак, имеем М — г различных квантовых чисел.

Поведение пары импульсов, отвечающих одному 几，в окрестности с = 0 следующее. Если, например,

lim 財=Hm k2 = 2nAii/£,

c->0c->0

то существует такое 仇，что

力=平 +。(" 瓦2 =轡± (£)"?+0(С)■(1L72) Положим

lim ^1 = ^^-= kh \mqa = qa.(11.73)

(11.74)(11.74)Исходя из соотношений (11.71) можно показать, что неспаренные импульсы k и q удовлетворяют системе алгебраических уравнений ^М-г

(11.74)

(11.74)

которая при данных 岛 допускает ровно

g「= C% 学一С优％(И.75)

решений согласно теореме Гейне (Сегё, 1962, § 6.8, с. 158). Это число есть не что иное, как степень вырождения системы фермионов с полным спином S = N/2 —М при условии, что г пар связаны синглетным образом. Множества {q} можно рассматривать как наборы «квантовых чисел», нумерующих состояния и дополняющих наборы целых чисел {〃}. Предельные волновые функции получаются из выражений (11.62), (11.63). Для получения предельной амплитуды необходимо нормировать коэффициент с(歹)，умножая его на с"?:

1而以纟(歹)=1优,一生)成一.(11.76)

Ответ имеет вид перманента порядка Л1 — г, если множество 歹={々1,局，...，％} не содержит совпадающих пар, и равен нулю в остальных случаях.

Приведем, наконец, разложение полной энергии состояния с квантовыми числами {几,q} в окрестности с = 0, ограничиваясь случаем, когда нет совпадающих 几,т. е. г = 0:

N

£ = 2 所=Е(о)+ £1)+ £⑵ + о d),(11.77)

где

日。)=多(2nnz/L)2,

£⑴=£ [N (N + 2) - 4S (S + 1)],(11.78)

日2)=_傍多(§(同一行)2.

Система с притяжением. При с V0 из (11.72) следует, что импульсы, отвечающие совпадающим п, образуют комплексно сопряженные пары. Можно показать, что в пределе большого объема системы (L》|c|) имеем с экспоненциальной точностью

%, 2 =⑺ 士，с/2 + О (exp (£/с))・(11.79)

Асимптотическая форма уравнений Бете для случая притяжения следующая:

/>2rЬ>г

Lqa = 2лпа +4 £ J £ 0” 4&乙(11・80)

Ь《г/ >2г

厶財=2лпу + £ 呪，^ > / > 2г.

Итак, волновая функция описывает систему, содержащую г связанных пар в синглетном состоянии. Когда все частицы связаны по парам, в основном состоянии S = 0, например, го уравнения Бете совпадают с уравнениями для системы бозонов (гл. 4, (4.60)) с квазиимпульсами 2g и константой взаимодействия 2c. Однако квантовые числа па остаются различными. Полная энергия есть

Е = 2£ е； -^Л/с： (М = 2М)・(11.81)

а = 1

Предел с" = 0. Янг представил систему уравнений в форме, регулярной в окрестности с 〜8, ° ввел два набора квантовых чисел {/} и {/}:

Lk = 2叫一2 § arctg 2 (々一q)/c,

2 arctg (q —々)/c =冗〃 + g arctg (q — q)/ct (11.82)

\£公|n7nl/

/ — полуцелые (целые), если п — М четно (нечетно); 7 — полу- целые (целые), если М нечетно (четно).

В пределе с" = 0 формула перехода (10.22) дает 力,/+[|科=一1A〉=1户(/，/+ 1)>.

Отсюда заключаем, что предельный вектор | Р> пропорционален антисимметричному характеру %(Р) и, следовательно, в ка-

ждом секторе Q предельная волновая функция пропорциональна детерминанту Слэтера, построенному с помощью предельных волновых чисел

(11.83>(11.83>lim kj = kf.

(11.83>

(11.83>

С TfD

Этот результат не вызывает удивления, поскольку при потенциале отталкивания с бесконечной константой связи волновая функция обращается в нуль при совпадении координат двух фермионов с противоположными спинами.

В то же время коэффициент пропорциональности, стоящий перед детерминантом | ехр ikjXi |, может a priori меняться от сектора к сектору. Поскольку свойство антисимметрии связано с частицами одного и того же спина, то этот коэффициент меняется при изменении конфигурации спинов.

Если использовать для коэффициентов с (歹)координатной волновой функции в секторе Q = I

Сектор 7: ^-^JJJJ1 …」11L»

наиболее компактное выражение (см. п. 11.3.1 и приложение В)

С (歹)=С 3[・・・々加=I(М _ д：)2 + с2/4 卜 I м _ ；： j 辽/2 '(11.84) то с учетом упомянутой выше нормировки получим

lim с (Г) = П |(^-4)

при условии существования конечного предела

lim qjc = qa.(11.86>

Из (11.83) видно, что значение коэффициента с (歹)не зависит от множества 歹，что подтверждает результат, установленный выше для сектора /. При этих условиях система уравнений (11.82) для Eng принимает следующий вид:

„"(11.87>

N arctg 20 =冗厶 + ? arctg (夕一寸).

Поскольку величины й должны быть различны, числа /屈 также различны. С другой стороны, второе из уравнений (11.87)

совпадает с условиями периодичности для цепочки Гейзенберга, импульсами которой являются q (см. (1.32), (1.39)) Следовательно, квантовые числа J совпадают с введенными в гл. 1. Правдоподобно, что в первом порядке по с-1 система фермионов спина 1 /2 по своим характеристикам тождественна цепочке Гейзенберга: сильный отталкивающий потенциал навязывает фермионам криеталлоподобную структуру, а остаточно^ взаимодействие, согласно теории Дирака и Гейзенберга, упоминавшейся в гл. 1, может быть только обменным взаимодействием между соседями. Чтобы проверить это, достаточно было бы вычислить поправки порядка с-4.

В заключение этого пункта приведем квантовые числа оснср- ного состояния спина S = N/2 — М:

(11.88)(11.88){/} = { —^(М — 1)' 一 }(М — 3), • •・，у(А4 — 1) J*, {/} = {~4(N—1), ・・•，我2-1)}・

(11.88)

(11.88)

Интегральные уравнения для энергииосновного состояния

В термодинамическом пределе плотность энергии получается из системы интегральных уравнений в рамках тех же предположений, которые были сделаны в гл. 2 для спиновой цепочки. Поэтому мы приведем без доказательства интегральные уравнения, позволяющие вычислить энергию как функцию плотности и намагниченности. Введем обозначения

lim^ = p = 2^o/n, k0 — импульс Ферми,

2s

lim -у- = а, а — намагниченность на один узел (^ ^ (-1《。& 1), •

lim -у ==е, р± = р (1 士 о)/2.

Будем предполагать, что корни 財 и qa уравнений (11.59) и (11.71) или (11.82), отвечающие квантовым числам основного состояния (11.88), заполняют вещественные отрезки 【一々i, +々1], [—go, +^о] с плотностями

Как следствие получаем

Случай отталкивания с > 0.

2冗Р+ = \ f 1 (期 d々一f (g) dq,一自一go

2冗P_ = \ f (?) dq.(11.91)

2ne = -i- \ k2f{ (k) dk.

Плотности определяются из системы двух уравнений

九(同一言J f(G[他一疗+阳4L對=1,

仇 f晶(И.92>

f fs)對'_c j "优)dh

/ 3} (q- q')2 + с? — 2冗 J《一q)2 + c2/4 ' -q一九

Случай притяжения с V 0.

2冗Р+ = \ /\(E)d&+ J f (q) dq,

2np一 = \ f (^) dq,(H.93>

2npe= \/^](»d^ + 2 \ d-c2⑷ f ⑷ dq. -Ei一仇

Соответствующие интегральные уравнения для плотностей имеют вид

%(期一訐 \ fmk-qY + c^dq^X, 依 :二自(11・94)，

/ W) (g- g 产 + 發—乙 т 2冗 J (k - q)2 + c2/4 *

— go—々1

Функцию fi (k) можно легко исключить и получить неоднородное уравнение для f(g), зависящее от двух параметров k\ и qQ. Плотность и спин при этом задаются параметрически. Напри-

мер, в случае притяжения

q

叩=今 一& 卜 W) arctg 2 (々1 —幻/с對，

p(l — a)==2- \ f (^) dq.

Отметим, что полученные соотношения можно записать единым образом в случае отталкивания и притяжения. Продолжим определение 厶伍)вне отрезка [—ftlt +Ai] с помощью первого из соотношений (11.92) или (11.94). Поведение этой функции на бесконечности таково:

/№)=1 + ср_/М+О(/ГЗ).

Интегрируя по всей оси, получаем

оо*

)(后他)一1)^=亩! f⑷對.

Таким образом, в обоих случаях можно записать

2з+ = 2々一 、 仇优)一1)吹

I ^l>fti

до(Н.96)

2叽=、/: (g)/，

а также

力伍)-* \ /(9)[他一疗+廿4厂對=1,

一叁(11.97)

f (9) +* 5 л (矶他一疗+/4L呢=1.

I々1>①

Основное состояние газа с притяжением

Согласно теореме Либа и Маттиса (1962), основное состояние газа с притяжением имеет полный спин S=0. Фермионы образуют связанные пары в синглетном состоянии. Из соатно-

шений (11.89) при о = 0 следует р+ = р_ и

f(q)-* \ f ⑷)3 -勿 2 + с?尸對，=2,

P = ^=； “⑷dq (包=0),(H.98)

e = % —,2/4, % =嘘 \ q2Hq)dq.

Следует отметить, что интегральные уравнения для связанных состояний фермионов отличаются от уравнений, полученных Либом и Линигером для бозонов с отталкиванием знаком константы связи. Наши связанные состояния фермионов ведут себя частично как система бозонов с притяжением, но следует помнить еще о принципе исключения для фермионов, из которых они образованы.

Исключая до из соотношения между р и 80 и принимая во внимание соображения размерности, получаем

% =絞冒隔/0),(11.99)

и остается определить функцию ^ (у) • После подстановки f(q)= F(q/q°) интегральное уравнение на отрезке [— 1, 1] зависит только от параметра К = \c\/q^,

尸⑴ + ^=2.(11.100)

Теперь необходимо исследовать интегральное уравнение либо в форме (11.100), либо в форме (11.98), где по причине однородности достаточно считать \с\ = 1. Это уравнение уже имеет свою историю. Оно было получено в 1949 г. Лявом (Снеддон, 1966) при исследовании классической задачи электростатики в трехмерном пространстве. Речь идет о двух проводящих дисках с аксиальной симметрией единичного радиуса, расположенных на расстоянии |К| друг от друга (или с радиусом до и единичным расстоянием). Если К отрицательно, то мы имеем круговой конденсатор, в котором диски несут противоположные потенциалы. Если же К положительно, как в нашем случае, то речь идет о дисках с одним и тем же потенциалом.

Польза такой электростатической аналогии связана со следующим: для не слишком малых К функцию 尸 несложно найти численно. Однако в окрестности К = 0 фигурирующий в (11.100) интегральный оператор стремится к единице и его

численное обращение затруднено по причине плохой сходимости ряда Неймана. Вполне возможно, что аналитические функции 々о(К) и / (К) обладают сингулярностью в точке ^ = 0, что отражает резко различный характер поведения электростатического поля при разных знаках К, т. е. с = 0 соответствует большим значениям fe0 ——области большой плотности.

Неизвестная функция 尸(х) связана с плотностью заряда на одном из проводящих дисков о (г) преобразованием Абеля

Выполненное Кирхгофом (1877) приближенное вычисление а(г) было обосновано Хатсоном (1963). Оно использует разделение граничной 1 — г = О (Л) и центральной 1 — г ^ областей. Интуитивно ясно, что в пределе К —0 или q^fg учет граничных эффектов сводится к задаче электростатики на плоскости, решенной Максвеллом. Остается вычислить влияние граничного распределения на центральную часть. Это легко сделать в случае конденсатора (К 之 0), поскольку существует формула Каца и Полларда (1956), позволяющая найти приближенное решение уравнения (11.100) вдали от границы (см. п. 5.1.3). Приведем приближенное выражение Кирхгофа для емкости конденсатора (или для плотности бозе-газа из гл. 5): 1

\ 尸⑴心=缶 +ylog 烏 + o(l).(11.102}

Возвращаясь к нашей задаче (К > 0), отметим, что другим способом мы получили соотношения

々о = 9о (1 + 击 log 竇 +。(К)),

к 几 Ч (11・1°3)

которые соответствуют следующему приближенному решению для функции F(x) вдали от границы:

尸(％)=1 + ^(1 — ％2尸 + 0依)，1 - %》К. (11.104)

Исключение до = К-】 дает нам два первых члена разложения энергии S (^о) (при с = 1):

冒(々0)=号—券 +。⑴，(11.105)

что не отличается от разложения, получаемого в рамках теории возмущений. Последняя без труда дает и дополнительное слагаемое: 0(1)= 1/6.

Таким образом, возможно, что поведение 囲 регулярно в окрестности с = 0. Для ознакомления с результатами численных исследований мы отсылаем заинтересованного читателя к диссертации автора (1967а), где описаны также некоторые элементарные возбуждения газа с притяжением.

ПРИЛОЖЕНИЕ J

Пусть даны (р + 1) параметров 〃/ и (р+1) переменных Z/； обозначим множество значений индексов 苏 или 名…，если понадобится отметить число элементов в этом множестве. Положим

%产1 +驾停)=n力， (工1)

Определим полилинейную функцию переменных Z/ как детерминант

м (4, Z〉…,Z”]) = I - Z卢"+ 給◎)/(〃/ —匕十 1儿….(J.2)

Предложение /]. Алгебраическая поверхность, определяемая уравнением ■степени (р + 1)

М (Z[, Z2, •.., Zp+i) = О,(J.3)

допускает рациональную параметризацию

Z『g(l+UJ(J.4)

6 терминах р параметров %.

Вначале необходимо доказать, что Af(Zb .,., Zp+i) как рациональная функция 〃 и и тождественно равна нулю.

Лемма I

М (Z[, Z2, .. •, Z*+i) = О,(J.5)

если

Z/=L V/, что соответствует случаю, когда все параметры и обращаются в бесконечность.

Доказательство. Нужно показать справедливость равенства

I — % + "/ (&)/(〃/ — 〃, + 1) I = О,(J.6)

которое следует из тождества

£ 缉/◎)/(〃/-4+1)=1・(J.7)

Действительно, ^z — рациональная функция переменной 〃/, простые полюсы которой расположены в точках 〃/, j 尊 i. Учитывая поведение 勿？ по 〃/ на

Res 缉 J/ Ф i "/Res 缉 J/ Ф i "/бесконечности, получаем разложение

Res 缉 J

/ Ф i "/

Res 缉 J

/ Ф i "/

Из определения (J. 1) имеем

匕1〃 ) П У1「* i ' I* t

Отсюда заключаем, что вычет в точке 〃/ равен JJ у“，т. е.笛~у戸 Следо-

вательно,

缘尸 1+/N 缪//%(%-〃〉

что совпадает с интересующим нас тождеством (/. 7).

Лемма 2.

M (Zb ..., Zp+i) = 0, если Zj = 1 + -" -，и •(J.8)

Доказательство. Полюсы рациональной функции М аргумента s совпадают с полюсами функций 2厶 т. е. 〃卜 〃2, ..., 〃p+i・ При неограниченном возрастании s имеем Z/= 1 и, в силу леммы 1, М(1, 1, ...» 1) = 0. Следовательно, справедливо разложение

М = X ，® — 〃力(J・9)

У %+i

Достаточно найти вычет R】в полюсе 〃】，остальные восстановятся по симметрии.

Согласно определению, полюсы в М возникают благодаря слагаемым, содержащим Z】.Вычет в полюсе равен коэффициенту при —Z【в детерминанте (/. 2) в точке и】= 〃卜 Для этого достаточно заменить всюду Z,, i方 1, на у〃，и вычет будет равен детерминанту порядка р:

%2 — У21

%

〃3 — 〃2 + 1

"3 — Уз】

〃4 — 〃2 + 1 J •

Ri =

〃2 — 〃3 + 1

"4 一"з+l …

•(J.10>

缉2

%4 — ^41…

〃2 — 〃4 + 1

〃3 — 〃4 + 1

Обозначим <^ множество %十【без элемента 1. По определению 缉他)имеем "了 (齒)=%1驾停1)•

Следовательно, в детерминанте, определяющем Ri, можно вынести множитель p2i в первом столбце, г/31 во втором столбце и т. д. Тем самым вычет R пропорционален детерминанту

〃/ 一"/ + 1

(J.1D

построенному с использованием индексов из множества ^р. Этот детерминант равен нулю, в силу леммы 1, в которой следует взять множество 齒\. Итак R = 0, следовательно, и & = 0, что и доказывает лемму 2.

Доказательство предложения /. Доказательство использует двойную индукцию по числу р и числу 々 переменных, от которых зависят величины Z/{u}.

Следующее утверждение назовем 箔® °:

М (21，Z?, . • •, Zp + i) тождественно обращается 6 нуль no р + 1 параметрам 〃/, / е ^р+ j и по k переменным и@・ Требуется доказать предложение

^^р, р верно.

В качестве индукционного предположения возьмем утверждение

非尼 р верно для k < р.

Согласно леммам 1 и 2, Жо, Р и 咏i, р верны. Мы покажем в лемме 3, что

叫—1, рП 鑑 1，р-产％鼠 р, если 々&Р・(J.12)

次也"可片）,次也"可片）,Лемма 3. Если

次也"可片）,

次也"可片）,

М (Z[, Z2, • • •, Zp+i) = 0 для

то

МCp+i) = 0 для 窃=Zj”

办，办，Доказательство. Детерминант Af (占，...，6*)——рациональная функция простые полюсы которой расположены в точках 〃/, iw&p+i. Эта функ

办，

办，

齡岁)〃/ 一 "j + 1齡岁)〃/ 一 "j + 1R； = — Z& +R； = — Z& +ция обращается в нуль при 以=8, в силу индукционного предположения 雍I р,々 V 卩 Покажем, что вычет в любом полюсе, например 勿，равен нулю. Такой вычет пропорцонален главному минору — коффициенту при Z】 в детерминанте М(&, ..., ^p+i) при vk = 〃i・ Для i = 2, 3, ..., р 1 заменим всюду G на Zi(l + (% — 〃i)-i). Итак, вычет в полюсе щ дается детерминантом, аналогичным (J. 10), который с точностью до множителя yj\ в каждом столбце / пропорционален детерминанту

齡岁)〃/ 一 "j + 1

齡岁)〃/ 一 "j + 1

R； = — Z& +

R； = — Z& +

Между тем этот детерминант порядка р с индексами из 齒】есть функция М(Z； Z；,..., Z；+J, где Z； — произведение (k — 1) множителей yia = 1 + (〃j ——0@)一1. Поскольку предложение 能尼_i,卩一1 (山 & р) верно, все вычеты равны нулю. Тем самым доказано следствие (J. 12).

Цепочка индукции, позволяющая доказать справедливость 非月，。(々 W р), имеет вид треугольника Паскаля

(J.13)(J.13)

(J.13)

(J.13)

Все предложения в этой схеме верны, следовательно, верны и все 解，р.

Остается доказать обратное утверждение: все решения M(Zb … …，Zp+i) = 0 могут быть представлены в форме Z, =уia. На основа-

а

нии тождества

м(4,…，Zp+。= I 〃忆一(〃,• + i)n I”】：n m — 〃力 (工⑷ Ki

доказательство которого достаточно просто и мы его опускаем, заключаем, что существуют коэффициенты а〃，几=0, 1, ..., р, т. е. полином степени р + 1, такой, что

Zj = Q (% + 1)/Q (%), Q(M)= a0 4-61^4- ... + арир+\

Корнями Q(“) являются (р +1) величин и* Таким образом, предложение Ji доказано. Оно, однако, ничего не говорит нам о значении детерминанта M(Zb ..., Zp), когда число независимых переменных Z, в точности равно р. Цель следующего предложения дать выражение для некоторого разложения М (齒р)，установив тем самым замечательное тождество между детерминантом и суммой Бете.

Предложение J2.

m爲尸 2 /依)m"r1)%("r2)，，，"("^)，(工⑸

где сумма берется по всем перестановкам R порядка р,

屮а(〃)= (%-〃『П О +(〃一%『)，(J」6>

A(R)= П У RI, r『(J・17>

Доказательство. Рациональная функция М (<^р) переменной s имеет простые полюсы в точках 〃卜 В силу предложения Jb при 6 = 8 функция М (<^р) обращается в нуль и, следовательно, справедливо разложение

/ = 1 1 /

Вычет R/ в полюсе s = 〃/ равен главному минору (/, /) детерминанта М при S = 〃/, умноженному на &

& = П У/“・(J.19)

Для s = uj имеем (I *，)

Z2 П勿用；齡爲)=如% (/Т)，{蜀Т} = {%}-{，}•(I20»

В каждом столбце с номером / минора (/, /) имеем в качестве общего множителя у“，следовательно,

R/ = ft У\а П ?"m (典 J & J，浦， 《2D a«=2/Q/

где фигурируют детерминанты Л4(/「—)，связанные с множествами ^_р

Подставляя выражение для вычета (J. 21) в сумму (J. 18), получаем представление

m爲)(4,…，ZJ = 2 Th П九 П勿小(典Т)&…亏)•(J・22) f 1 У а>1 У/

Последовательное применение этой формулы приводит к искомому результату

М爲)(4, Zh…，Zp) = § (% 一%尸他一女尸..•

（%一〃М县加。е加…（%一〃М县加。е加….中也为（J.23）.中也为（J.23）

（%一〃М县加。е加…

（%一〃М县加。е加…

.中也为（J.23）

.中也为（J.23）

сформулированному в (J. 15), (J. 16), (J. 17).

Отметим, наконец, справедливость этого результата и в случае 也 > р. Теми же методами, что были использованы выше, легко установить следующее свойство:

а (几 1,九2, • • •,九°) == М (君р)，(J.24)

{«}

где

。{九}= 2 /(R)屮％ (〃R1)屮％ (〃R2)…屮仆(〃RP)・(J・25)

Ri2"

ПРИЛОЖЕНИЕ К

В предыдущем приложении мы уже получили разложение амплитуд М(咨°) (формула (J. 15)) в виде сумм Бете, совпадающее с точностью до обозначений с (В. 6). Амплитуды определялись как детерминанты (J. 2), и из этого сопоставления следует третье тождество (В. 3) для величины

После изменения обозначений

Y〃/== — ",YU/== —硏，/==1,2,…，М(КЛ)

суммы (В. 6)суммы (В. 6)и (J. 15) совпадают:и (J. 15) совпадают:Мм имеемМм имеемгдегдеж+士)ж+士)(К・2)(К.3)(КЛ)(К・2)(К.3)(КЛ)

суммы (В. 6)

суммы (В. 6)

и (J. 15) совпадают:

и (J. 15) совпадают:

Мм имеем

Мм имеем

где

где

ж+士)

ж+士)

(К・2)

(К.3)

(КЛ)

(К・2)

(К.3)

(КЛ)

Отсюда следует тождество

) = G(“纟脩-® + Y)T J (K.5> где

G(M) = n(1+J 国一硝一2), у = ic.(K・6>

(К. 5).(К. 5).i<f

(К. 5).

(К. 5).

Можно привести непосредственное доказательство тождества В обозначениях приложения В имеем

(К・7>(К・7>

(К・7>

(К・7>

Тем самым нужно доказать тождество (\Ац\ 三 det || 4/1|)

I 方(％ — 4) 1 (© — 4 + Y)11 (© —曲一Y)—丨=

=^ + U(&-M-Y)T・|(^-4+Y)t|・ (K・8>

Достаточно перемножить матрицы, входящие в каждую часть равенства (К.8) (просуммировать по индексу /), и воспользоваться определением величин С/ и е1 (В.12), (В.13), чтобы установить равенство левой и правой частей одной и той же величине

ПРИЛОЖЕНИЕ L

Операторная форма собственных состояний гамильтониана анизотропной спиновой цепочки. Описанный в разд. 11.2 метод позволяет столь же легко построить собственные состояния гамильтониана % (1.3) или, в более общем случае, трансфер-матрицы неоднородной шестивершинной модели. Локальная матрица вершинных весов

(L.1)(L.1)X(Ф —(р‘)= (w (qp —(р‘)тг‘)

(L.1)

(L.1)

допускает представление 4X4допускает представление 4X4(L.2)(L.2)

допускает представление 4X4

допускает представление 4X4

(L.2)

(L.2)

Тернарное соотношение дает нам правило перестановки матриц перехода tMz (q/) т4 (ф) = X 3 — q/) тЛ (ф) Y4 (q/) X (q/ - ф).(L.3)

Произведение тАт'А' мы представляем в виде

/ 4141

42/12

4/12

412411、

1 4M2】

"22422

"12422

"21 &2 "11"22

^22^21 I

^12^21 1

(L.4)

&2412

421"12

&2411 '

Выберем частный случай, когда d = 0 (厶=厶=1,厶=А = ch Ф):

Ь = sin 告/sin (夢 + 2),Ь = sin 告/sin (夢 + 2),с = г sh Ф/sin ^-^- + /Ф^, а = 1.(L.5)

Ь = sin 告/sin (夢 + 2),

Ь = sin 告/sin (夢 + 2),

Из соотношения (L. 3) следует

A；24i = (sin (工①-2)) (sin Ф^- Л!! Л12 - Z sh ФЛ12 Лц ),

4Ml2= (sin (“ 2“"①))(—ish(DAii42 + sin ①？" 仆力；)

(L.6)(L.6)и т. д.

(L.6)

(L.6)

4м" =/1141，

Отсюда выводим

41%2 = i sh ①(sin 3屮)Л12Лц +

+ sin (^- - /Ф)(sin ^-)- Л；2ДИ, (L.7)

<^22^12 =卜 in — ■"-2 " ){ — i sh ФЛ |2Д22 + sin ^―~/ l~，①)412“22 卜

что является точным аналогом соотношений (10.98), которые, впрочем, воспроизводятся в изотропном пределе (Ф -> 0, ф/2Ф =々/с).

Диагонализуемая трансфер-матрица

Т (ф) = tr 4 (ф) = Лн (ф) + 人2 (ф),(L.8)

где

4 (Ф) = X (Ф - %) X (Ф - ф2) ... X (ф -巾n)(L.9)

зависит от N произвольных параметров 2a.

Непосредственно проверяется, что порождающее ферромагнитное состояние IS? = N/2〉является собственным одновременно для Лц и Л22；

4i|0〉= |0〉， |0〉m|Sz = N/2〉， N

Л22|0)=П sin (上卢)/sE (中_+6〉・(L2

Собственное состояние |M〉спина с собственным значением 5г = (М/2)—М получается просто действием на |0〉М коммутирующими операторами Л12 (ф():

Учитывая предшествующее замечание об изотропном пределе, мы можем написать точный аналог формулы (11.53) без каких-либо вычислений, подставляя вместо рациональных функций соответствующие периодические. Используя несколько раз соотношения (L. 7), получаем

7((р)|М〉= /((р)|М〉 (L.12) с собственным значением

f (ср)=f (ср)=1Ь(—Е(?) +

f (ср)=

f (ср)=

(L.13)(L.13)Л

(L.13)

(L.13)

任 sm (中+ 2)M sin (^)

Параметры ср/, j = 1, 2, ..., М, определяются из условия регулярности функции /(ф) в точках ф = ср； Это вновь приводит нас к уравнениям Бете. Например, для однородного случая, когда 屮а =，①， получаем уравнения (1.40).

Глава 12

Тождественные частицыс точечным взаимодействием.

Общее решение для п компоненти предельные случаи

ТРАНСФЕР-МАТРИЦА Z(fe) В СПЕЦИАЛЬНОМ БАЗИСЕ

Рекуррентное построение базисапредставления 牙"группы 师

Использованный в гл. 11 для решения задачи о фермионах спина 1/2 метод Янга был обобщен Сазерлендом (1975, 1980) на случай произвольного спина, т. е. на случай частиц с 几= =2s + 1 внутренними состояниями. При этом нужно диагона- лизовать матрицу Z(Zs), фигурирующую в условиях периодичности, в данном неприводимом представлении 冗乂. Действительно, как это следует из п. 10.4.2, общий собственный вектор |/> операторов Z/, а также и Z(^), есть элемент группового кольца пм, имеющий ту же симметрию, что и пространственная часть волновой функции. Эта симметрия отвечает некоторой диаграмме Юнга. Как и в случае п = 2, введем сопряженное представление (0/) = —а/т и диагонализуем Z(力)в представлении

>n = [Mi,必，・・・，MJ N = M, + M2+ ... +Мп. (12.1)

Основная трудность этой задачи — построение удобного базиса в пространстве представления ST

Рассмотрим таблицу Юнга 牙м, М == N — Miy которая получается ьз 丁n вычеркиванием первой строки. Чтобы построить базис представления 牙乂, построим вначале скалярные функции перестановки л w 冗“,которые инвариантны справа относительно перестановок первых Mi индексов и образуют базис представления STм по М последующим индексам. В конечном счете будет произведена редукция 夕и 打м N [MJ .

Наиболее простая реализация симметрии по Mi первым индексам последовательности

л1,冗2, ..., лМ[, ..., nN

состоит в рассмотрении базисных функций, не зависящих от упомянутых индексов, а зависящих лишь от М последующих

冗(М1+ 1), ..., nN.(12.2)

Последние представляют собой набор различных целых чисел 几 1, ^2> • • • > 几М， 1 & 几а & N>(12.3)

которые задают, если угодно, координаты М нетождественных частиц, занимающих М узлов на одномерной цепочке из ^ узлов. Незанятые узлы (вакансии) играют симметричную роль, тогда как в занятых узлах находятся различимые частицы.

Заданная последовательность целых чисел ｛几｝ определяет перестановку Р w 冗乂 посредством неравенств

1 & 几尸]V 几尸2 V • • • V 几рм W N・(12.4)

Тем самым последовательность ｛几｝ определяет некоторый _ба・ зисный 《вектор》в ^м ® [MJ, который мы обозначим | Рп).

Действие л на базис | 戸几〉.Перестановка п w м действует на векторы | Рп) естественным образом. Например, транспозиция л =(4,9) меняет заполнение узлов 4 и 9, т. е., согласно рис. 12.1, переводит частицу с номером 1 в узел с номером 4,

оо65м3ю987665м3ю9876

о

о

65м

3ю

98

76

65м

3ю

98

76

25143

Рис. 12.1. Последовательность ｛几｝ = ｛9, 3, 13, 10, 6｝, определяющая переста-новку Р =, % = 16, М = 5.

что в свою очередь индуцирует перестановку 尸23 w 冗м порядка частиц вдоль цепочки. Вообще говоря, достаточно определить действие генераторов группы rn, т. е. транспозиций частиц или вакансий в соседних узлах, для задания представления:

a) (n, п+ \)\P^ = \Pnf｝,

если существует индекс /, такой, что

几Pi =几pw+ 1, 成/ =儿p/, j声厶

几& =%，np(W｝>n+ 1;

b)(几，n+ l)\Pn) = \Pit i+iPn)t если существует индекс i, такой, что

拉 Pi = 〃，np(i+i) = n+ 1.(12.5)

Трансфер-матрица Z в базисе | Pn)

Матричное представление транспозиций (10.56) позволяет интерпретировать матрицу Z как трансфер-матрицу вершинной модели на квадратной решетке, каждое ребро которой может находиться в одном из п состояний, параметризуемых индексом

а = 1, 2,...,几. Для и = 2 два состояния задавались ориентацией J, f. На рис. 12.2 изображены два типа вершин и соответствующих весов, отвечающих локальной матрице вершинных весов

Х/о = (1 + 々о。• t)/(l + 勺о)・

Можно также рассматривать Х/о как матрицу рассеяния двух частиц, описывающую два возможных упругих процесса: прямой и обменный, а двумерные конфигурации вершинной модели——как пространственно-временные траектории и, пользуясь известной аналогией, считать диагональную ось временной, а

прямой процессОбменный процесс

Вес 1Вес х

Рис. 12.2.

Графическое изображение позволяет легко выразить элементы матрицы Z в базисе |Р〃〉，ассоциированном с 歹м ® [MJ. Действительно, переменные из каждой строки таблицы 炉n можно связать с одним и тем же состоянием спина. Переменные из первой строки ——незанятые узлы цепочки ——будут соответствовать спиновому индексу п°1 (а = 1), а переменные таблицы 牙м, они же координаты {枕}, будут частично различаться спиновым индексом а > 1. Каждая координата 〃/ с данным номером / отвечает одному и тому же спину а；.

Используя графическое представление элементов трансфер- матрицы (рис. 12.2) и условившись обозначать жирной линией одно и то же спиновое состояние с индексом больше единицы, мы приходим к той же структуре матричных элементов Z, что и описанная в п. 11.1.2 с тем лишь отличием, что начальное и конечное состояния {п} и {т}, относящиеся ко второй компоненте спина (I), здесь задаются наборами {©〃} и {戸加}, описывающими различимые «частицы» посредством (п ——1) «состояний спина».

Остается определить, какому преобразованию QfP отвечает данный рисунок. Для этого достаточно определить перестановки, действующие в пересечении линий на типичном гра-

фическом изображении (рис. 12.3). Таким образом, каждому пересечению приписывается некоторый операторный вес, действующий в ^м： скажем Q/, ли, когда nQj = mp(/+i). Структура

FlnQL P2 = Q2,P3>Q3,尸4 = Q6, P5 =。4, P6 = Q5,…

A 2 =尸043056 •

Графическое представление матричного элемента {Pm\Z\Qn). Жирные линиисоответствуют спиновому индексу а > 1, а тонкие — а = 1.

叱4

+ +十

^mf5+Q45

Рис. 12.3.

матричных элементов может быть записана в общей форме _— м _

у〈а/n| Z @)三耳0Wp 严 q了) 4 Sq尸尸(了+1))，(12・6)

где функции D(n, m) определяются так же, как в (11.17), за исключением того, что теперь D(n, m)——операторы из лм：

Dj (tn, m) = 1 + ^•Q/, /+i・(12.7)

В выражении (12.6) учтено свойство периодичности фиктивной цепочки, что и подразумевается в обозначениях

тр(м+\)^ ^pi + ^» Qmm+1 三 Qmi(12.8>

и ограничениях

[mPf^nQi^mp(/+1),

t 儿Q/ V &(/+1),j = 1, 2’ ・•., M.

Циклическая инвариантность нашего базиса | Pm} выражается соотношениями

\mP]mP2・・•加рм〉三丨俏Р2, Мрз, ・・・，加/>1 + 乂〉・(12.10)

РЕКУРРЕНТНАЯ ДИАГОНАЛИЗАЦИЯ МАТРИЦЫ Z

Обобщение подхода Либа

Уравнение на собственные значения г матрицы Z имеет вид ^（Pm\Z\Qti）c （初）=2c （Pm）,（12.11）

Qn

где неизвестные амплитуды с （Pm） = （Рпг | /м） — функции 冗三冗乂 с симметрией ^м ® [^й-

Эти амплитуды Сазерленд предложил искать в виде суммы Бете

C（Q儿）= e @&①（心1也）①（以2%2）…qp（0RM,儿qm）, （12.12）

где функции （р（и,几）определяются так же, как в （11.24）, Коэффициенты 〈Q|R〉не следует смешивать с коэффициентами из гл. 11, хотя они имеют ту же природу. Введем для удобства элементы группового кольца 冗財

|R〉=2Q〈Q®（12.13）

что позволит записать （12.11） в следующей форме:

e 211。g儿/）方仇川/+1）中（依八闻1A〉=

R {〃} /7М

=ед e 口①（依/,叫®（12.14）

Просуммируем по {几} в левой части （12.14） и устраним «недиагональные слагаемые», следуя методу Либа, аналогично тому как это было сделано в п. 11.1.3, обращая внимание при этом на порядок множителей, поскольку 方——операторы из Лм. Сумма по п дает

20（^3儿）方35，m4）qp（v₽3,加=% + 九， （12.15） где

« Xзm0 + %0伍3）） 3^" 4佗+1…学У产人9（*，mз）» 02 16） 、九三g34 - %（以3））① ®R3, ^4）.

Выражение Хз содержит запрещенное слагаемое （в терминологии гл. 7）, соответствующее и = т3 в сумме （12.15）

（%，%），（12・17）

а выражение У4 содержит запрещенное слагаемое

(尤％ + Q34)①(Ur3，%)•(12.18)

Сумма по ｛几｝ н R в левой части (12.14) сводится к сумме двух диагональных членов

ХМ/ ・・・几 + 厶匕... Ym+｛)\R\(12.19)

R

если для каждого «недиагонального» слагаемого верно равенство

£(...匕及...у//...)1r〉三0.(12.20)

Ограничение / — i > 1 ведет к тому, что фигурирующие в различных произведениях YX операторы коммутируют между собой. В силу (12.16) и выражений (12.17), (12.18) для запрещенных слагаемых, условие (12.20) записывается в виде

(1 + %0 (°R4)) (Q34 — Х0 (°R3)) ^人 一 (Q34 + Xm^) ] I R〉+

+ [(1 + Xo (%)) (Q34 — X0 (%)) У/П4 — (Q34 + Xw4)] I Q34R〉= °。

(12.21)

Требование, чтобы это условие выполнялось при любом /4, приводит к двум соотношениям:

(Q34-l)(l4 + IQ3 而) = 0,(12.22)

%о (и R4)Q34 —尤0 (и R3)尤0 (и R4)] I Q +

+ % 9R3)Q34 —尤0(UR4)—必 SR4)%0(UR3)】I Q34月〉=。・(12.23)

Первое условие выражает «непрерывность» коэффициента с(@〃), экстраполированного на границу двух соседних секторов (см. п. 10.4.2)

с (Q〃)曰 с (Q34Q 矶 если 〃Q3 = 〃Q4・(12.24)

Второе условие (12.23) с учетом (12.22) запишется в виде

IQ3而=:哮%%生团(12.25>

где

l詐亏(12.26)

Соотношения (12.25) влекут за собой (12.22) и обеспечивают возможность разложения (12.19) на два слагаемых с учетом условий периодичности. Примечательно, что_ мы вновь возвращаемся к условиям согласования для |R〉， алгебраическая

структура которых тождественна структуре из (10.22). Тем самым задача определения амплитуд《0|R〉в 才乂 аналогична задаче 0〈/1尸〉B歹\.

Периодические условия в 歹м

Условие периодичности (12.10) для разложения (12.12) выражается в виде соотношений

〈QCmIRCQ屮Sri，п+N)^{Q\R^(vRlt 叫 (12.27)

где См — циклическая перестановка в лм： (1 2 ... М). Принимая во внимание (12.13), можно записать

CM\R) = y(vRi)\CMR)9(12.28)

где

^⑺=[[^(叫 ^(0)=1+^^(12.29):

n=l

и использованы обозначения (11.24).

Поскольку представление (12.25) для 冗乂 есть точный аналог представления (10.22) при соответствии 信}^~>{—и}, то естественно ввести операторы

元，=斗三啓，(12.30)

а коль скоро перестановки Q” действуют в 歹м, т. е. в сопряженном представлении, то определим также и операторы

心爲=丼崙， (12.31)

которые являются аналогом операторов (10.54) в сопряженном представлении.

Уравнение (12.28) подобно условию периодичности (10.26).

Из этого заключаем, что вектор R|R〉 является собственным

для оператора

ZrT =爲2, RI%R3, RT . • •戈RM, RI(12.32)

с собственным ственным и для

значением “(uri). Этот вектор является соб- оператора

Z\ (归о) = ¥ X%i. 0爲2, о • • • Км, о»(12.33)

Z^^ R |团=寸(岛)R 1 Q,(12.34)

где

Z] = Rz‘R・(12.35>

Оператор Z' есть аналог в представлении 牙м оператора Z(走°)' в ^Ni а собственное значение 之‘电)не зависит от R. В силу равенства Zr〔 = Z](々° = UrJ, получаем соотношения

м才（s）=u（s）jj‘/-1м才（s）=u（s）jj‘/-11 +々了1 +々了』1, 2,・・・，М,』1, 2,・・・，М,(12.36)(12.36)

м

才（s）=u（s）jj‘

/-1

м

才（s）=u（s）jj‘

/-1

1 +々了

1 +々了

』1, 2,・・・，М,

』1, 2,・・・，М,

(12.36)

(12.36)

эквивалентные нашим условиям периодичности, которые определяют собственные значения Z'.

Соотношение между Z н Z'

Формулы перехода (12.25) и условия периодичности (12.36) позволяют преобразовать левую часть уравнения на собственные значения (12.11) или (12.14) к виду (12.19). В результате получим

2(匕&-•-xm + %%..-1^+1)反)= R

=24 § Пф(^Л;,俏/)1 R〉・(12.37)

на. В силу (12.16), а произведение У—на. В силу (12.16), а произведение У—Итак, в левой части остаются только два «диагональных» чле

на. В силу (12.16), а произведение У—

на. В силу (12.16), а произведение У—

произведение X представляет собой скаляр, оператор из 冗財.Исследуем последний более

тщательно:

М+1

h У了 三(Q12 - %0(0R1)) (Q23 -尤0 (依2))… 7=2

・・•(Qmi — %o Srm))耳①(Ur〃 俏/+i)・ (12.38)

Если использовать для перестановок из лм спиновое представление, дополнив набор М спиновых операторов еще одним (М + 1)-м оператором т (размерности п — 1), то фигурирующее выше произведение можно записать так:

м

П(Q/. /+1 — х0 (иR/))=

=См tr (1 — Xq (Uri) Q10)(1 — X0(UR2)Q20)• • • (1 一 尤0(UrM)Qmo)。

°(12.39)

Подставим в левую часть (12.37) произведение X (12.16) и произведение У с учетом (12.39). В последнем совершим сдвиг R + RCm в сумме по /? и прокоммутируем См со следом. При-

нимая во внимание условие периодичности (12.28), длянимая во внимание условие периодичности (12.28), для(12.40)(12.40)(12.37)

нимая во внимание условие периодичности (12.28), для

нимая во внимание условие периодичности (12.28), для

(12.40)

(12.40)

Из определения (12.31) операторов Х；° в 歹乂 имеем

t： П (1 —尤О(0R/) Q/o) = R tr П (1 — %o (Ur/) Qr/o) R =

= IJ(1—/S/DRZr (品)R・(12.41>

Как показано ранее (12.34), вектор R|R〉——собственный для Z[ с независящим от R собственным значением 乞‘陶).Таким образом, соотношение (12.40) будет тождеством по |R〉и {〃}, если положить

мм

2== n(1 +尤0(吟)+ 2‘厂111(1 - %o(U/)).(12.42)

Таково соотношение между спектрами Z и Z'. Вновь отметим, что определяющие величины и, условия (12.36) выражают тот факт, что рациональная функция z(^o) не имеет полюсов в точках = V/： вычеты 8 кажущихся полюсах равны нулю.

Система уравнений Сазерленда

Мы покажем, как свести задачу диагонализации матрицы Z* принадлежащей групповому кольцу 冗乂 в представлении 打“= =[Л<1, М2, ..., Мп\ , к диагонализации совершенно аналогичной матрицы 々，巨 冗乂 в представлении 夕 м = [Л12, ..., МД, которое получается из 打％ вычеркиванием первой строки таблицы Юнга, М = N — Mi. Компоненты стандартного собственного вектора строятся как функции <|^n>= c(nQ\, 〃q2, ...,几qm) переменных из таблицы 夕м, автоматически симметричные по группе первых Mi переменных из таблицы ^N. Однако этого условия не достаточно для того, чтобы амплитуды с(@〃) имели тип симметрии 歹％. Необходимо показать, что рассматриваемые как функции 冗巨冗％ амплитуды c(Q〃) не могут быть симметричны по отношению к (Mi + 1) переменным, среди которых переменные первой строки л1, ..., пМ\ и одна какая-либо переменная из таблицы 力м, например nQ\. Это и есть условие Фока

[X («, nQl) + l\c(Qn)^0t(12.43)

или, иначе,

九Q2—I〃Q3—1

2 С(MMQ2 . . . Mqm) +£ С (儿Q2几几Q3 • • •儿QM)+ ・• •三 0・

n = ln = riQ2+l

Проверку тождества (12.43) с использованием формул перехода (12.25) и условия периодичности мы оставляем читателю.

Редукцию Z w 夕乂 一* Z'三 >м можно продолжать до тех пор пока не будут исчерпаны все строки таблицы Юнга 夕'%, получив в результате уравнения на спектр Z. На каждом шаге редукции возникает меньшая таблица Юнга и набор соответствующих параметров {力}, {и} и т. д. Для того чтобы записать результат более последовательным образом, сделаем следующую замену обозначений: будем писать {Д} вместо набора {%}, {В} вместо {и} и т. д. Итак, имеем

N величин Д, отвечающих таблице [iWb М2，•••, "〃]，

N——Mi величин В, отвечающих таблице [М2, М3, •••, М„\

N — Mi — Л!? величин С, отвечающих таблице [M3f …，Л4„],

Мп величин 尸,отвечающих таблице [МД.

Положим

勿三у = II (1 + %他一婦t)三口 (1 +加(4 一备尸)， 九==1a

//в = П (1 + % (и九一阮)1)三 И (1 + % (3 —々0)1)'

в(12.44)

Pc = II(l + ic(C-^)7)， с

у尸=Н (1 + £с (尸一々о) 1) • 尸

Основное соотношение (12.42) в этих обозначениях примет вид гуА = УаУв + ^Ув.(12.45)

где ув получается из ув подстановкой с->——с. Используя для z‘ в (12.45) аналогичную формулу и продолжая этот процесс, в результате получим

^Уа = УаУв + УвУс + ••• + УеУр + yF- (12・46)

Сделанное после формулы (12.42) замечание применимо и в этом случае, и уравнения, аналогичные (12.36), выражают собой тот факт, что рациональная функция n(^o) не имеет полю-

сов в точках k0 — Af В, С, ..., F, т. е.

Res (JaUb + УвУс) = °,

hq = B

Res (увус + yc&D)= 0,(12.47)

Res (yEyF + yF) = 0.

辰0F

Таким образом, мы получили уравнения Сазерленда:

口(1 + "(4 - в)t)= R (1 + 办(e 一 ⑶r 1 备三彳上 .

口(1+〃(8-С)т)= 口(l+ic(D-C)T)U'^E^^,

В

(12.48)

e尸

которые определяют наборы величин {В}, {С}, ..., {尸}, отвечающие таблицам STn-m、、^-м1-м2, •••,疗м〃 как функции параметров {4} = {力}. Это решает задачу о спектре Z.

Возвращаясь к исходной проблеме об определении спектра энергий ^ тождественных частиц на окружности длины L, мы должны добавить к системе уравнений (12.48) вытекающее из (10.50) трансцендентное уравнение

Z(闷)=е'"*, / = 1, 2, ..., N

или с учетом (12.46)

ехр 傑/L)= ]J(1 +尚■)，(12.49)

что и завершает определение допустимых наборов 伐}. Соответствующая энергия есть Е=£%・

Следствие. Спектр обобщенного обменного гамильтониана (10.72)

N

"=2(〃，〃+1)= Z敢貶 1

Л — 1п (X, р

определяется системой уравнений (12.48), 8 которых следует положить параметры Ап = 0:

H = N —抬卜.。4 " 一 2 "В(8 -泌 (12.50)

Если произвести замену параметров

3a = -^tg^ + ^,а=1, 2, ..., N — МI,

то получим

〃 = N-2 £ (cosfea+ 1),(12.51)

a=l

а левая часть первого из уравнений (12.48) примет вид exp (iNEx)・

ПРЕДЕЛ НУЛЕВОЙ КОНСТАНТЫ СВЯЗИ

Предельный спектр

Исследование окрестности с=0 для системы коммутирующих операторов Z； или Z'(耳)приводит к интересным и нетривиальным следствиям, которые, однако, несколько более просты для доказательства, чем законченнвте результаты предыдущего раздела. Из определения операторов 2； получаем в первом порядке по константе связи с

Z； = /% + ic £ ^^ +。d),(12.52)

где lN — единица в rn, а (/Z)—транспозиция. Отсюда следует

Предложение. N элементов группового кольца 乳“

②吋°)

коммутируют между собой.

Прямая проверка этого утверждения проводится без труда.

Тем самым мы построили коммутативную подалгебру группового кольца * зависящую от ^ — 1 параметров. Несложно получить из уравнений Сазерленда (12.48) уравнения для соб-

ственных значений 畠 операторов S/. Возвращаясь к обозначениям п. 12.2.4, положим {А} = {^}, {В} = lim {В} и т. д. ... По- с->0

ложим также

а = ^, b = N — Л!” с = N — М\ — Л12, ..., f = Мп.

Таким образом, величины {Л}, {В}, ..., {F} связаны с диаграммой Юнга

[а-b, Ь-с, ・・・，f].(12.54)

Предельные уравнения принимают вид

24 2824 284 — 8В — С4 — 8В — Сс*^с V^Dс*^с V^Dе - ве - в1D —С1D —С2夕20 2 22夕20 2 2в' - в '1С'-С '(12.55)в' - в '1С'-С '(12.55)

24 28

24 28

4 — 8

В — С

4 — 8

В — С

с*^с V^D

с*^с V^D

е - в

е - в

1D —С

1D —С

2夕20 2 2

2夕20 2 2

в' - в '

1

С'-С '(12.55)

в' - в '

1

С'-С '(12.55)

а собственные значения равны

& =(12・56)、

Предельный базис

Общее собственное состояние набора Z； обозначаемое |/м〉,. было построено в п. 12.2.4 рекуррентным способом. На каждом этапе редукции компоненты записывались в виде сумм Вете. Предельный базис собственных векторов устроен достаточнопросто, и его можно выписать явись Разложим стандартный собственный вектор |/心 по базису | Qn>. Соответствующие амплитуды <Qn|/jv>= c(Qn) являются функциями Р ^ nN (или Па, N = a)t а перестановка Q w 冗乂 (или 冗匕)определяется соотношениями

(12.57)(12.57)%Q1 V 几Q2 V •・• V %QM，

(12.57)

(12.57)

〃[——Pl,几2 ~~ P2, • •・，％m — PAf.

В силу (12.12) и определения ф(В, n) (11.24), мы получим

Ит (В, п)= 〃(区—4), Ап = kn. СТО

Предельные амплитуды после подходящей нормировки и в новых обозначениях выглядят следующим образом:

<Pa^l^a = ^{icYb^n\l^ =

ОО

= Xnb<Q\\^b(BR^AnQy\BR2^ ... (BRb^AnQy\

”(12.58)

В пределе с = 0 вектор, или элемент кольца 冗匕

1反〉=X Q〈QIK%,(12.59)

легко определяется как функция R. Действительно, предельные

формулы перехода

IQ3；R〉= Q34lR〉

(12.60)

влекут за собой

|R〉= R|/〉YRw%

(12.61)

и, учитывая (12.59),

〈Q 脓〉b =〈QRl|/b%・

(12.62)

Отметим, что амплитуды〈/?||/〉ь представляют собой точные аналоги для диаграммы 歹匕 исходных амплитуд 〈Р||/〉а, связанных с 歹°. С учетом (12.62) и равенства nQz = PQi, вытекающего из (12.57), разложение (12.58) предельной амплитуды нам дает 庐％〉= 2〈QRS〉(成i-4q)t ・・・・(12.63)

После преобразования R fRQ и замены переменной Pf Р, Rf Q окончательно получаем

〈尸％〉= Е <Q II Л) (Bqi - АРУХ (BQ2 - АРУ1 ... (BQb - АР^{. Q三年

(12.64)

Повторное применение рекуррентной формулы (12.64) ведет к явному выражению для амплитуды, которое мы приводить не будем, поскольку оно не вносит дополнительной ясности по сравнению с выписанным выше соотношением.

Итак, амплитуда представляется в виде суммы по вложенным подгруппам перестановок

TCq ZZD 冗匕——J ОТ^ • • •,

связанных с последовательностью диаграмм Юнга

，а = [。一 А 匕一с,…，打，夕ь== W — с, • • •, /Ъ • • •,夕f = [/], причем

〈S||/)fEl, VSw%(12.65)

Базис представления л%

Мы получили элементы группового кольца ла

Ма>= 2戸(Р11心，

которые являются собственными векторами набора операторов S； при условии, что входящие в определение |/а〉 вспомогательные величины {3}, {С}, ... удовлетворяют алгебраической системе (12.55). Можно показать, что векторы |/а〉удовлетворяют всем условиям Фока

((仇 Ь+1) + (6, Ь + 2)+ ... 4 (瓦 Q)+ /)|/a〉= 0,

((% b+1) + (с, b + 2)+ ・・・+(& а) + /)|/а)= 0, ( •)

и, следовательно, принадлежат типу симметрии 歹°.

Вопрос о числе линейно независимых векторов не решается, вообще говоря, прямым подсчетом. В случае диаграммы 牙м = =[^ — М, М] с двумя строками удается перечислить решения системы

=(12.67)

Это вновь возвращает нас к нахождению числа полиномов Pb(Z) степени 6, удовлетворяющих тождеству

匕(Z) Р； (Z) 一 匕(Z) % (Z) — К—伍)Рь 3)三 0, (12.68) где

Pa(Z) = U(Z — 4), &(Z)= H(Z-3),(12.69)

полином R(Z) —произвольный.

В ситуации общего положения находим в точности С； — C；_i различных решений, что равно размерности представления [а ——b, Ь] группы л。.

Предельный базис волновых функций фермионов с симметрией пространственной части 歹，сопряженной 旷，имеет вид

巾⑺，Z %(Р)〈Р4)ехр»@財 х). (12.70)

Глава 13

Следствия и различные обобщения

ОБ ОДНОМ КЛАССЕ ВПОЛНЕ ИНТЕГРИРУЕМЫХСПИНОВЫХ ГАМИЛЬТОНИАНОВ

Изложение результатов

В этом разделе описаны некоторые следствия из теории* развитой в гл. 12, относящиеся к диагонализации определенного класса гамильтонианов, квадратичных по спиновым переменным, которые могут описывать различные квантовые системы с взаимодействием. Результаты, о которых пойдет речь, достаточно интересны, чтобы рассматривать их независимо от их источника (разд. 12.3), и достаточно просты, чтобы прямое доказательство заслуживало быть приведенным здесь.

Итак, задача состоит в вычислении уровней энергии следующего гамильтониана

"o=£%S〃・S,(13.1>

описывающего магнитное взаимодействие выделенного спина S с коллективом окружающих спинов S〃，не взаимодействующих между собой. Константы взаимодействия vn при этом могут выбираться произвольно.

Другой пример получается как предельный случай гамильтониана анизотропной спиновой цепочки. Гамильтониан

Н = за% + £ (aS^ + a^Sn + £戸力(13.2)

вполне интегрируем и описывает взаимодействие одного осцил- лятора (моды поля фононов или фотонов) с ансамблем двухуровневых систем с произвольными расстояниями между уровнями. В обоих описанных случаях вычисление спектра сводится к решению системы алгебраических уравнений.

Действительно, воспользуемся результатами разд. 12.3 относительно коммутирующего семейства {日/}, взяв представление лм спина 1/2, заданное таблицей Юнга из двух строк ^ = = [N —М, М]. Транспозиция (//) допускает выражение вида (// = (1 + т・с/)/2 через операторы спина 1/2, и, следовательно, операторы

3 2(13.3)

где {е/}—заданный набор констант, диагонализуются одновременно. Для полного спина S = N/2 — М собственные значения

даются выражением

(13.4)(13.4)N ,М

(13.4)

(13.4)

/ = 1ат °/

NNпри условии, что удовлетворяются М уравнений, определяющих 任а}：

N

N

Вт ВВт В0.0.(13.5)

Вт В

Вт В

0.

0.

Отсюда вытекает, что следующий класс гамильтонианов типа Гейзенберга

%=二宀科—斗 %"了,(13.6)

содержащих эффективно 2^ — 2 параметров, вполне интегрируем. Достаточно, чтобы коэффициенты имели вид и〃 = =(П/ — */(£/ — £/)•

Почти очевидно, что вышеописанный результат не зависит ст величины спина. Хотя сначала речь идет об ансамбле спинов 1 /2, достаточно произвести слияние значений констант 8 по нескольку штук, чтобы получить операторы, аналогичные (13.3) или (13.6), с произвольной величиной каждого спина. Приведем, например, уравнения для спектра (13.1), положив

S^ = ^(^+l). (13.7)

При полном спине S = S^ н числе перевернутых спинов

M = s°+ 多 S/-S2(13.8)

спектр дается формулой

"о = So 2 S/“ 一 2 coа，(13・9)

SZ+1 3 S/ 々， 1„

Возвращаясь к более общему гамильтониану (13.6), отметим любопытный факт: дня ^ = 4 достаточно только одного соотношения между шестью константами связи и〃, чтобы система была интегрируема. В этом случае существование вели-

чин л； и 8/, таких, что и〃 =(П? — П/)/(& — D), равносильно единственному условию

(。14 -012)(024 -023)(方4 -力 3)]

024 一力2)034 一力3)914 -力3)一，I J

которое можно также записать симметричным образом:

X у 12^34 (^14 + ^23 — ^13 — ^24)= 0.(13.12)

ЦИКЛ,перест.

Интегрируемость описанных систем сохраняется, очевидно, и в классическом случае.

Прямое доказательство

Пусть даны набор {е} и набор независимых спиновых операторов S/, образующих базис в алгебре Ли SU(2) (в общем случае базис в произвольной алгебре Ли 乡).Определим оператор, мероморфный по Е:

s(e)= 2t4e・(13•⑶

/ /

Выполняются коммутационные соотношения

[S\E)f Sp (F)] = (SY (£) - SY (E^l (13.14)

где c®p — структурные константы 乡.

Предложение.

[S2(£), S2(£,)] = 0, YE, £,

S2(E)=ggaBSa(E)sB(E),(13.15)

где ga0 — инвариантная метрика 6 乡.

Для доказательства можно использовать непосредственно соотношения (13.14). Можно также заметить, что

'(e)= ?^^-2?强, (13.16) где

ОЗ") 尼/ k

Достаточно доказать равенство

[Яу, %] = 0,(13.18)

которое вытекает из тождества Якоби. Для каждой тройки попарно различных индексов имеем

£(8/ 纟)(％ %)总(8/ 咽(％ %)

перестперест.

(13.19)

вследствие полной антисимметрии тензора capY.

Вернемся к спину 1/2, т. е. к алгебре Ли SU⑵，и будем строить собственные состояния S?(E) в виде (Годен, 1976)

\M) = S^ (£t)S~ (£2) ... S「£m)I°〉，(13.20)

где величины {£} пока не определены. Порождающее состояние |0> ——это состояние с параллельными спинами, определяемое условием

SZ|0〉= (j”)|0〉，(13.21)

которое влечет за собой равенства

，SZ|M〉=(§S/ — M)|M〉，

・7L S,(13.22)

sz(e)|m〉= 2Uf|o〉.

Используя коммутационные соотношения (13.14), получаем

S (Е), S- (U)] = ^EV(S- (Е) — S-(£‘))，

9(13.23)

[S2 (£), S- (£)] =(S- (*) S2 (£)- S- (£)S2 О；

следовательно,

(£) IМ〉= {( g "J + £ I М〉+

м

+ 2r^S-(吕)...S- (E0^){S- (E^S^E)^

-S~ (E) Sz (E^} ... S-(Em)|0〉・ (13.24)

Пронося операторы S^ (£а) направо, получаем

^(^i^^^^y + ^-j^^

v^^ v^a х~а+ 一 +v^^ v^a х~а+ 一 +228/ — £ 丿 Е — Еа8/ — £ 丿 Е — ЕаS一（吕）S一（吕）・・・ 5'(£а)S-(£m)|0〉一・・・ 5'(£а)S-(£m)|0〉一"iT^)T^S一(吕)S- (£) S- (£^)!0) +"iT^)T^S一(吕)S- (£) S- (£^)!0) +-1-1■^J^S-CE]) •・・ SFEa)・・・■^J^S-CE]) •・・ SFEa)・・・

v^^ v^a х~а+ 一 +

v^^ v^a х~а+ 一 +

2

2

8/ — £ 丿 Е — Еа

8/ — £ 丿 Е — Еа

S一（吕）

S一（吕）

・・・ 5'(£а)S-(£m)|0〉一

・・・ 5'(£а)S-(£m)|0〉一

"iT^)T^S一(吕)S- (£) S- (£^)!0) +

"iT^)T^S一(吕)S- (£) S- (£^)!0) +

-1

-1

■^J^S-CE]) •・・ SFEa)・・・

■^J^S-CE]) •・・ SFEa)・・・

・・・{S—(E) — S—(稣)}|0) +

+ 22 Ea」е6 E三Ea S(吕)…S罩…a 6>aJ

|0).|0).(13.25)(13.25)

|0).

|0).

(13.25)

(13.25)

Собрав в правой части (13.25) коэффициенты при векторе

S-(£1)S-(E)5-(以)10〉，

мы получим

si \2— у _21

6/ — Ea ) Е — Е& 乙 Е — Еа £ — £«'В Va口

У 2— 11 У 2]

含Е _現豆一牛十含E —牛％ 一统

2壮号• Веб)2壮号• Веб)

2壮号• Веб)

2壮号• Веб)

Если теперь наложить на {%} М соотношений

МN£ +ZМN£ +Zs/8/ 一 ％s/8/ 一 ％О, а=1, М, (13.27)О, а=1, М, (13.27)

МN

£ +Z

МN

£ +Z

s/

8/ 一 ％

s/

8/ 一 ％

О, а=1, М, (13.27)

О, а=1, М, (13.27)

то произведения операторов, содержащих S~(£) в правой части(13.25) исчезнут, и останется только вектор, пропорциональный

|М〉. В результате мы получим ответ для соответствующего собственного значения

片位)=?/^ + (?肃^ + ?_^7)2一

—X (£ -Fa)2 *(13.28) a

Вследствие алгебраических соотношений (13.27), определяющих набор {£а}, вычеты функции S2 (£) в простых полюсах в точках £а равны нулю. «Вычет» в двойном полюсе в 8； равен в точности Sj(s/+ 1) = S； в согласии с (13.16). Вычет в точке 8/ равен, согласно (13.17),

"尸—》(?+ X •(13・29)

Замечания о спектре, нормировке и корреляционныхфункциях

Система уравнений (13.27) для определения спектра S2(£) или операторов Hj приводит к проблеме исключения, хорошо известной в теории функций Ламе (Уиттекер, Ватсон, 1963, гл. 23). Действительно, полином Р(Е) с нулями {£а} является решением дифференциального уравнения второго порядка с рациональными коэффициентами, аналогичного уравнению Ламе

Р"(Е)+ (Z 員')У(Е)+ (£ 7；^) Р(Е)= 0，(13.80) причем параметры а/ требуется определить таким образом, чтобы уравнение имело полиномиальное решение. Случай Ламе соответствует s； = —1/2, V/. Эта задача связана с разделением переменных в уравнении Лапласа в ^ измерениях в эллипсоидальных координатах, когда координатные поверхности представляют собой гомофокальные квадрики

"丫 2

2可片i・(13・3l)

При этом метод разделения переменных распространяется также на дифференциальные операторы вида £а“ где

М =訂——丁(13・32)

которые могут рассматриваться как результат разделения угловых и радиальных (х/) переменных в многомерных лапласианах. Однако значения V» могут быть произвольными и соответствующая размерность не обязательно целой.

Если произвести разделение переменных для уравнения 2 Az (р = 0 в эллипсоидальных координатах, то для опреде- ления корней полиномов Р(£), из которых образованы эллипсоидальные гармоники, получится в точности система (13.27). При этом следует положить v/ = 2st- + 1- Заметим, что значения V/ = 0, 1/2, отвечающие исчезновению «центробежного потенциала» в радиальном лапласиане (13.32), отвечают случаю Ламе ® = —1/2, —1/4), когда все корни полинома Р вещественны. Интересно констатировать, что задача определения

спектра наших спиновых операторов идентична задаче построения гармоник для некоторого обобщенного радиального лапла

сиана.

Укажем, наконец, на электростатическую аналогию Стилтьеса (Сегё, 1962, § 6.7, с. 148), согласно которой корни £а интерпретируются как координаты М подвижных зарядов величины + 1, находящихся в состоянии равновесия (неустойчивого) в поле ^ зарядов величины ——S/, закрепленных в точках еу. В нашей задаче корни могут быть комплексными, из-за того

что числа s, положительны.

Займемся теперь вопросом о вычислении корреляторов типа спин — спин в заданном собственном состоянии, для которых

можно вывести изящное выражение. Варьирование параметров

{е/} дает

j，瓦j，瓦(13.33)(13.33)dHj<S/»Sfe)

j，瓦

j，瓦

(13.33)

(13.33)

de£ — —(8/ — е/г)2

Дифференцируя собственное значение (13.29), получаем

(е/ — Еа)2 М °(1334)

ат

Введя матрицу Якоби для (13.27):

А°₽ = (Х (е二А)2 - Z (Еа」Еу)2)Мв + (Еа」Ев)2, "3・35)

мы приходим к равенству

В результате искомое среднее значение выражается через отношение двух детерминантов

+；・(13.36)

Идея этого метода восходит к Ричардсону (1965), который получил собственные состояния для гамильтониана

"=X 8局 一 G X s/sr(18.37)

I力

в виде (13.20) и уравнения для спектра, подобные (13.27). Метод Ричардсона позволяет также вычислить норму состояния |М〉. Можно показать, что

〈М|М〉= М|А|.(13.38)

ДРУГИЕ ПРИМЕРЫ ИНТЕГРИРУЕМЫХ СИСТЕМ

Обобщение на анизотропный случай

Естественно попытаться обобщить вышеописанное семейство интегрируемых спиновых гамильтонианов, рассматривая анизотропное спин-спиновое взаимодействие

方/ = X w%o储，(13.39)

/-1 а

[方百"=0.(13.40)

Здесь аа — элементы алгебры Ли. Нам удалось найти решение такого диагонального вида только для алгебры so ⑶ с коммутационными соотношениями

[аа, аР] = 2еаруа\(13.41)

Операторы Hj можно получить дифференцированием трансфер- матрицы неоднородной восьмивершинной модели, рассмотренной в гл. 8. Действительно, в обозначениях гл. 8 имеем

Т1 = 7 (〃i) = Х21Х31 •・・ Х%1,(13.42)

Гл. 13. Следствия и различные обобщения

где Х21 определено в п. 8.5.1. Формулы (8.57) и (8.64) приводят к следующему разложению в окрестности п =0：

з

区2 = 1 + П風(0) У б°储 +。(句・(13・43)

Положив

%=需」(13.44下

мы получим как раз выражение вида (13.39) с антисимметричными коэффициентами

侬；2 =侬；2 =Н（。）”+М%）^Т^ 露+；（о），Н（。）”+М%）^Т^ 露+；（о），〃12 ' ' 〃[ ~^ 〃2・〃12 ' ' 〃[ ~^ 〃2・(13.45)(13.45)

侬；2 =

侬；2 =

Н（。）”+М%）^Т^ 露+；（о），

Н（。）”+М%）^Т^ 露+；（о），

〃12 ' ' 〃[ ~^ 〃2・

〃12 ' ' 〃[ ~^ 〃2・

(13.45)

(13.45)

Вместо того чтобы обращаться к результатам гл. 8, проще непосредственно найти условия на 侬各，обеспечивающие коммутативность (13.40). Прямое вычисление приводит к системе уравнений

^//w + WjkWki + WkiXSHt = о, VZ, j, k, (13.46)

общее решение которой дается эллиптической униформизацией (13.45); при этом соотношения (13.46) совпадают с соотношениями Якоби, если Ui/ + uik + 〃^ = 0. Имеется также следующее алгебраическое представление ^:

Wil:就/: wit = cs (〃“)： ds (〃订)：ns 3/)=

(13.47)(13.47)stcidj + SfCjdi sidiCf + sjdfCi . cidisj + cjdfsi

(13.47)

(13.47)

где Sj = sn(〃j； k)t k — модуль эллиптических функций

s； + g； = 1, Ms； + d： = 1.(13.48)

В пределе 々=g = 0 появляется дополнительная константа движения — компонента полного спина Sz = -^- ^ а/. Операторы Н в этом случае принимают вид

N

方产£ sir/(託〃〃-{。7о? +。夕。夕 + crjcrf cos (Uy — 〃/)}• (13.49)

cs (〃)三 cn (“)/sn (同,ds 也)в dn (“)/sn (a), ns (a)三 1/sn (〃). 一 Прим, перев.

Как и раньше, за счет слияния параметров Uj можно сделать величину каждого спина произвольной. Гамильтониан (13.2), который тоже вполне интегрируем, представляет собой как раз слабый предел анизотропного гамильтониана (13.48), когда величина одного из спинов неограниченно растет. Приведем результаты, относящиеся к этому гамильтониану. Имеется константа движения

М = а+а + 2 (sj + 扌)•

(13.50)

Спектр дается формулой

方=2~ SS ^а

/ Iа«1

(13.51)

и уравнениями

У 1 а2 У 瓦=。・

乙 ^а — 8/ 乙 Еа — *

Собственные состояния имеют вид

宀口 (1?七＞。〉.

(13.52)

(13.53)

13.2.2. Обобщение для алгебры Ли

Ограничимся замечанием, что коммутативное семейство Н} существует для произвольной алгебры Ли 乡：

伙[Xх, Х^] = с^Х\

Ху=1®1®...®Х®...®1,

(13.54)

(13.55)

'〈Х/・Х必

(13.56)

Для алгебры Ли и (и) получаем

1〃 (п) = ^^ ^^ '

尼 а|3

寸В嚟

е/ — 8 fe

三日了・,

(13.57)

где в величинах S/ (формула (12.53)) мы узнаем производные матриц Янга Z； для задачи о тождественных частицах с точечным взаимодействием. Их спектр описан в разд. 12.3.

Для алгебры о(п) получаем

/ а <В/ а <В6冲脚8/ — 8/6冲脚8/ — 8/(13.58)(13.58)гдегде6了=0即—0*6了=0即—0*(13.59)(13.59)

/ а <В

/ а <В

6冲脚

8/ — 8/

6冲脚

8/ — 8/

(13.58)

(13.58)

где

где

6了=0即—0*

6了=0即—0*

(13.59)

(13.59)

Спектр этих гамильтонианов пока не вычислен]). Нам неизвестны примеры анизотропного обобщения для м > 2).

Задача о тернарных соотношениях с заданной группой симметрии была рассмотрена А. и Ал. Замолодчиковыми (1978) в рамках S-матричного формализма (ср. п. 10.3.2). Для D (几)решение дается матрицами Янга Х〃. для Z2 ® Z2 ——матрицами Бакстера. Приведем вычисление, дающее ответ для группы О(п).

Тернарное соотношение Х12Х13Х23 = Х23Х13Х12 в обозначениях Xi2 = 4〃，Х1з =А\ 先3=4 согласно рис. 16.1, записывается в виде

2 (Ру| Д |тр) (ар I 4х |av) (ат | А'' | Лц)=

=2 (ар I Ar, I ат) (оу | ДЛ | Хр) (тр | Л |g). (13.60) атр

Будем искать решение среди симметричных матриц. Из (13.60) тогда следует, что произведение AAfA,f также симметрично. Введем матрицы % X 几

(?Y I 4 I 叩)(/6Y)邙е етР%"(13 6[)

(ap Ml av) = (Xva)pa ^(Aoa)va И T. &

Уравнение (13.60) при этом приобретает вид

tr А^уAva^A-pi == tr 4|11丫4丫^?4aB.(13.62)

Будем искать решение в виде

&Y = ^BY • 1 +/у + Ев И Т・ Д- (13.63)

где а и b — неизвестные параметры, a q0y — матрица размера 九 X%: (GpY)uv = ^&^vv. Имеем

厶e了'”。4Mx ^^ 3^丫^丫0九丛(tr 1 + ^u a + X b) +

+ \у^аЫ (优a〃 + b力〃)+ ... +

+ 狐^Z (a%〃 + “) + ... +

+ \v^aK^^aa/a^ + 6呼加也了，匕仅+

+60也由了6优a" + • • • +

++ .…(13.64)

Подчеркнутые члены симметричны относительно замены офу *■> ч-> Xpiv. Они не дают вклада в следующие соотношения:

(bb'b〃 =。+ 优 + a〃 + b + 犷 + 6〃 + 小

(ab%〃 ='6〃 + 优6〃，и цикл, перестан.*

Отсюда получаем параметризацию

a

厶=2 — 〃231 + 〃23 '厶=2 — 〃231 + 〃23 '“23 == 〃2 — 〃3・“23 == 〃2 — 〃3・(13.66)(13.66)

厶=2 — 〃23

1 + 〃23 '

厶=2 — 〃23

1 + 〃23 '

“23 == 〃2 — 〃3・

“23 == 〃2 — 〃3・

(13.66)

(13.66)

В силу (13.61) и (13.63), имеем

А = а1 卜。耶 ® ^в + 儿。6 0 da.(13.67)

Возвращаясь к обозначениям гл. 8 (Х12 = ^12^1^2), мы получаем после подходящей нормировки

34("专)Т+ 2(餐+胃*).^)

Инвариантность относительно ортогональной группы очевидна.

ТЕРНАРНОЕ СООТНОШЕНИЕ И СООТНОШЕНИЕЗВЕЗДА — ТРЕУГОЛЬНИК

Модель на планарном графе

Бакстер (1978) рассмотрел обобщенную вершинную модель на плоской непериодической решетке. На ориентированной плоскости задается семейство ориентированных попарно пересекающихся прямых (б；), образующих планарный граф G. Каждому пересечению (узлу) сопоставляется статистический вес ——элемент локальной матрицы перехода. Каждому ориентированному

отрезку (ребру) графа G сопоставляется индекс состояния. Соответствующий матричный элемент, сопоставляемый вершинной конфигурации при узле А, обозначим (Р?| Л |тр), согласно схеме

Пусть матрица А определена в каждом узле. Пусть также с каждым ребром (б/) связан параметр щ. Углу между ориентированными ребрами (61, б2) сопоставляется параметр

〃i2 = 〃i —〃 2・ (13.69)

Возьмем теперь в качестве локальной матрицы вершинных весов какую-либо матрицу Xi2(ui2), удовлетворяющую тернарным соотношениям (см. гл. 10 или гл. 13, формула (13.60)). Мы определили, таким образом, вершинную модель, заданную семейством пересекающихся прямых и таким же количеством параметров. Как простое следствие тернарных соотношений и графического представления рис. 10.1, получается следующее

Предложение. Статистическая сумма Z вершинной модели на G не зависит от графа G в том смысле, что Z не зависит от относительного расположения прямых %р〃 условии, что последние находятся в общем положении, г. е. попарно пересекаются.

Упомянув этот результат, который не будет использоваться далее, перейдем к определению модели типа Изинга, связанной с вышеописанной вершинной моделью на графе G. Каждой грани этого планарного графа, т. е. каждой вершине дуального графа G*, сопоставим спиновое состояние с индексом а, с,・・・. Предположим, что имеется соответствие между конфигурациями 4-х спинов вокруг вершины и конфигурациями стрелок вокруг той же вершины. Если это соответствие глобально однозначно, то вершинная модель эквивалентна модели типа Изинга со взаимодействием 4-х спинов. Пример: пусть спиновый индекс принадлежит кольцу вычетов по модулю п (а е Zn). Индекс стрелки равен при этом разности индексов двух смежных граней.

Соотношение звезда-треугольникдля восьмивершинной модели

Перепишем тернарное соотношение для элементарного графа, образованного тремя прямыми (рис. 10.1) в терминах спиновых переменных на дуальном графе. Это соответствие пока-

зано на рис. 13.1. Для восьмивершинной модели переменные, связанные с ребрами G (а, р, ..., а, т, ...) или с гранями (а, Ь, ..., g), принимают значения ±1. Выполняются условия сохранения четности

(Ру| Д |тр) =/= 0, если рутр = 1, (13.70)

Рис. 13.1. Схематическое представление тернарного соотношения для А, 4‘，А〃 на графе G и для 取，呼'，W〃 на двойственном графе G*.Рис. 13.1. Схематическое представление тернарного соотношения для А, 4‘，А〃 на графе G и для 取，呼'，W〃 на двойственном графе G*.

Рис. 13.1. Схематическое представление тернарного соотношения для А, 4‘，А〃 на графе G и для 取，呼'，W〃 на двойственном графе G*.

Рис. 13.1. Схематическое представление тернарного соотношения для А, 4‘，А〃 на графе G и для 取，呼'，W〃 на двойственном графе G*.

и условие симметрии

(同|4|邛)=(叩|4|即).(13.71)

Используя спиновые переменные, определим коэффициенты 取:

^y\A\T9) = W(ai 瓦 с, g),(13.72)

где

6=a/b, 丫 = "% t = c/g, P = g/a, (13.73) откуда следует (13.70). Соответствие между А и W однозначно в предположении самосопряженности

/(а, Ь, % g) = №@ 瓦 d, g)・(13.74)

Условие симметрии (13.71) эквивалентно соотношению

(13.75)(13.75)旷(a, R с, g) = W (% g, а, b).

(13.75)

(13.75)

Это соотношение выполнено для самосопряженной восьмивершинной модели, где веса W зависят только от двух переменных

Г (а, Ь, с, g) = W(ac, bg).(13.76)

В обозначениях (8.14) имеем

『)==(；：)(13.77)

или в терминах параметров Кз, К《，К (см. (8.6))

W(8, /) = ехр {Кз『+ 凡£ + «££‘}=

=exp {TGbg + КЗ + Kabcg}. (13.78)

В силу (8.34) и (13.77), два абсолютных инварианта равны К и ch Кз ch & sh 2K + sh Кз sh 储 ch 2K.(13.79)

Если мы изменим определение W\ положив

(ар I Az I orv) = 1FZ (^, f, Q, g),

то тернарное соотношение для W запишется в виде

Е 听(。，Ь, с, g)W^ef f, а, g)W〃(& d, e, g)= g

=X 取(d, e, f, g)ir © % d, g)昕〃 (f, a, b, g)・(13.80) g

Это тождество означает, что левая часть (13.80), являющаяся функцией шести переменных а, Ь, ..., f, инвариантна относительно замены

q d, 6 е, с f.

Заметим, что вследствие сохранения четности тройная сумма по о, т. р в (13.60) заменяется простой суммой по переменной g, связанной с гранью (атр). Соотношение (13.80) эквивалентно тождеству

ехр (凡仅+ к\ае + %%)X

X ch [%Ь + ^зf + Ed + К (abc + efa + cde)\ ^

мто же самое (a, b, с— d, е, /). (13.81)

В частном случае, когда четырехспиновое взаимодействие отсутствует, К = 0, равенство (13.81) сводится к простейшему соотношению звезда — треугольник вида

ch(Кзс + К；с + K；a) = exp(К4仅 + K：ae Т К；ес), (13.82)

которое содержит три соотношения вместо шести в (13.81). Проблема их униформизации была решена в гл. 8.

ТЕРНАРНОЕ СООТНОШЕНИЕ С Z5-СИММЕТРИЕЙ

Соотношение звезда — треугольник внесамосопряженном случае

Рассмотрим соотношения звезда — треугольник общего вида (13.80), не предполагая, что на коэффициенты W наложено условие симметрии (13.75). Отказавшись от условия самосопряженности (13.74), мы теряем взаимную однозначность соответствия между А и W, однако конфигурация А может быть восстановлена по W. Допустим, например, что выполняется закон сохранения (который мы запишем в аддитивной, а не мультипликативной форме), аналогичный (13.73):

B=g(a —b), Y = +(b —с), T = $(g — c), Р = 4~(а —g)，

(13.83) что отвечает размерности 3 (р = ±1, 0).

Чтобы упростить выписывание всех соотношений между тремя наборами по 10 коэффициентов, расклассифицируем последние по значениям трех произведений ad, be, cf согласно следующей таблице:

ad

be

Cf

Число классов соотношений

+

+

+

0

+

+

—

3

—

—

+

3

—

—

—

1

Таким образом, мы получаем три семейства соотношений. Во- первых,

2 «П。，瓦 ％ g)lT(b,以 a, g)呼〃 (с, a, b, g)= g

=то же выражение (с -> с), (13.84)

а также соотношения, получающиеся циклическими перестановками коэффициентов W. Далее

£ 旷(а, Ь, с, g)W^bt с, a, g)呼〃 (％ а,瓦 g)=

—то же выражение [а^а, 6 -> &) (13.85)

и перестановки. И, наконец,

2 W(af ft,。，g)W^bf 2, a, g)昕〃 (c, a, b, g)=g_

=to же выражение (a->a, &->&, c->e). (13.86)

18.4.2. Решение соотношений звезда ——треугольникдля решеточного газа с исключением соседей

В этом пункте мы приведем частное решение соотношений звезда ——треугольник, полученное недавно Бакстером (1980). Это решение обладает симметрией Z5 и позволяет точно решить задачу о твердых шестиугольниках на треугольной решетке. Чтобы перевести эту задачу на язык дискретного газа на квадратной решетке, нужно заменить спиновые переменные переменными заполнения узлов, принимающими значения 0 или 1 (т. е. a ->(1 + а)/2)・ Условие исключения конфигураций, в которых заняты ближайшие узлы, означает для весов W, что

W (а, Ь, с, g) #= 0=>(ib = be = eg = ga = Q. (13.87)

Таким образом, имеется 5 независимых коэффициентов

Г(0, 0, 0, 0) = (0】，Г(1, 0, 0, 0) = о)2,步(°, 1, 0, 0) = д,

步(1, 0, 1, 0)=叫，步(°, 1, °, 1)=①5・(13.88)

Согласно п. 13.4.1, имеем 7 соотношений

0)3①3sl =(0阿(02 +(0282 ① 4,/"/"

‘①1①3s3 = 0)2®® 十 ①4①2①2,

①30^3 = O)iO)2① 1 十(О?①4①2,

(£>5®3®3 ===① 10)2 ① 2 + ①2 ① 4① 4,(13.89)

(Оз^5(Оз == (О?① 1 ①2 十(。4①2①4,

(£>3^3(05 = 0)2①2①】 十①4①4①2,

/〃/"I/〃

(05①5①5 =(0299 十①4c°4①4・

Рассматривая 2-е, 3-е, 4-е и 5-е соотношения как систему линейных уравнений на ①厶 2, з, 4, получим """

®1①2①3

Отсюда следует существование инварианта 厂卜 такого, что

со； = cogs +「[电①з・(13.91)

Подставляя со； 2, 4 из (13.90) в первое из соотношений (13.89), получаем второй инвариант г2, такой, что

(0；=①皎；+ ①5°^ +「20 ① 2g.(13.92

(13.93)(13.93)Используя, наконец, два последних соотношения, получим третий инвариант г3, такой, что

(13.93)

(13.93)

з®1 =(厂 I —厂 2) gg + ① 2g.

При этом следует различать два случая в зависимости от того, совпадает соотношение (13.93) с (13.91) или нет.

метризацииметризацииsjsi s,coJcO]:—^。《①?,sjsi s,coJcO]:—^。《①?,(13.94)(13.94)Если значения инвариантов таковы, что эти соотношения независимы, то в качестве новых инвариантов можно выбрать три отношения —•彳 j ——产-и 厂. Это приводит к пара- а)2斫

метризации

метризации

sjsi s,coJcO]:—^。《①?,

sjsi s,coJcO]:—^。《①?,

(13.94)

(13.94)

(Оз/Si = CJco, <05/81 = &/*

где Сз, 4, 5 — инварианты, а со — параметр. Поскольку в соотношения (13.89) входит только произведение соо/со"

d = w(i + &w),

，С5С3 = и；2 (1 4- С4),侬曰(о(о'(о",(13.95)

叁=о? (1 + C：w)

остается только один произвольный параметр. Заметим теперь, что три объекта 呼(со), W^),呼(со〃)можно переставлять, что влечет за собой коммутативность соответствующих матриц и тривиальный характер этого решения.

Таким образом, главный интерес представляет второй случай, когда соотношения (13.93) и (13.91) совпадают, что соответствует выбору инвариантов

г3 =^ 门，г2 =^Г1 一г1 ♦г3 =^ 门，г2 =^Г1 一г1 ♦(13.96)(13.96)

г3 =^ 门，г2 =^Г1 一г1 ♦

г3 =^ 门，г2 =^Г1 一г1 ♦

(13.96)

(13.96)

Соотношение (13.92) в сочетании с (13.91) дает

(13.97)(13.97)% (證一S1①5)= (°2 («%伸3 -①2c°5)

(13.97)

(13.97)

Достаточное условие выполнения (13.97) дают два соотношения, образующие вместе с (13.91) систему уравнений

(Оз =① |tt)5 — Г I ① 2s4,

G)4 = r(O2CO5 — rr"1®!^,(13.98)

(4 =厂便2 ① 3 + ®4®5，

однопараметрическое решение которой будет построено ниже. Заменой переменных

<0/ = а/8/(13.99)

систему (13.98) можно привести к виду, инвариантному относительно циклических перестановок 5-го порядка: (1 2 4 5 3)п

(13.100)(13.100)е『зе 也5 — б%%,8： = 60205 - 6 七自,£ = 6眦3 - 67眦5,

(13.100)

(13.100)

где б ——инвариант. Для этого достаточно выбрать а/ так, чтобы выполнялись равенства

(13.101)(13.101)

(13.101)

(13.101)

Соотношения (13.100) напоминают квадратичные соотношения для тэта-функций (I. 14). Циклическая инвариантность Z5 позволяет предположить, что

02 - 61 ("83 = 81+ 手，

"f『r("+晉)，仇=6(-晉)，(侬°2)

(13.100)(13.100)где 01 (u; q)——нечетная функция Якоби с периодом 2л по w и

(13.100)

(13.100)

(13.103)(13.103)параметром q、который пока произволен. Соотношения превращаются в тождества по “，если положить

(13.103)

(13.103)

04 (и)04 (и)из двухиз двух41)

04 (и)

04 (и)

из двух

из двух

Чтобы убедиться в этом, достаточно исключить квадратичных соотношений

4 (" + 专)01 (" 1-) 04(0) = 0?(")贫(g)一/(")8:(专)，

d(" + ~^)4(" 一^~) £ (0) = 5 (")贫(-^~)-贫(")8: (^) .

(13.104)

Соотношения (13.90), эквивалентные исходным тернарным соотношениям, легко проверяются с помощью тождества Якоби (I. 13). Достаточно, чтобы три аргумента “，〃‘，〃” были связаны соотношением

(13.105)(13.105)2n(13.106)2n(13.106)〃 + 公 + 〃” + 专=0 (mod л).

(13.105)

(13.105)

2n

(13.106)

2n

(13.106)

Положим

2л ，2л 〃

U = U2 - 〃35-," = "3 - "1g-, u

Итак, решение нашего соотношения звезда — треугольник имеет следующий вид:

со】=時1 (“ ——^-^ ,<о4 == аМ (〃)，

®2 = 一a2财("^-),g = 一a5百(" + "^-) •(13.107)

例=a3m(" +学"),

Модель твердых шестиугольников соответствует специальному выбору параметра и. Действительно, исключение соседей на одной (или другой) из двух диагоналей квадратной решетки выражается условием

g = 0 <=^ 〃 = 0 или о)5 = 0 <=> и = —^-.

С другой стороны, константы а/ могут быть выбраны таким образом, что можно ввести активность z, удовлетворяющую соотношениям

2=(計У=(詳 У，署 У，84 = 0.(13.108)

Таким образом,

= / 2 =(*)4 =或22 =(詈)4.(13.109)

Учитывая (13.101), достаточно положить

«1 = 1, аЗ = бТ, (4 = 6-5 =之，(13.110)

откуда получаем соотношение между активностью z и модулем 夕：

%т =(4(書;q)/4(g； е)У・ (13.111)

Мы ограничимся описанием этой новой реализации тернарных соотношений и не будем излагать решение Бакстера для

модели твердых шестиугольников тем более, что волновая функция Бете, если она здесь существует, еще остается ненайденной. Бакстеру тем не менее удалось вычислить свободную энергию, не находя спектра трансфер-матрицы. При 夕=0 наблюдается сингулярность, соответствующая точке фазового перехода при критическом значении активности, равном

=(2 cos 汩5 = (^f^)'(13.112)

ТЕРНАРНЫЕ СООТНОШЕНИЯ С СИММЕТРИЕЙ Z?

Инвариантность тернарного произведенияотносительно преобразования Фурье

В этом пункте мы установим, что существование тернарного соотношения между симметричными матрицами в предположении, аналогичном (13.76), где матрицы зависели только от двух переменных, эквивалентно инвариантности некоторого тернарного произведения относительно преобразования Фурье на Z/?, где R ——число состояний на одной грани.

Веса на дуальной решетке G* зависят от двух аргументов

闪依瓦 с, g) = M(a —。，b-g),(13.113)

что для решетки G дает

4(3 Y, % Р)= ^(Р + Y，Р — р) 6 (Р + у — т — р).

Все независимые переменные принадлежат Z& (множеству вычетов по модулю R).

Тернарное соотношение (13.80) теперь имеет вид свертки £ Ща —с, b-g)Wf(e-af f-gW^c-e, d-g) =

=£ 取(d-f,e —g)IT(b —d,6 — g)听〃(f-b,a — g), (13.114)

что подсказывает нам произвести по одной из переменных преобразование Фурье, например по второй:

(13.115)(13.116)(13.115)(13.116)P(d, 々)= Rf N 步(d, g)e 优g/R)・

(13.115)

(13.116)

(13.115)

(13.116)

Вводя обозначения

b 一 d = p', f — b = —p — //,

q — c = r, e — q = /, c — e = —у 一 y,

несложно получить преобразованное соотношение

P(r, q)P『，q')P〃J — r‘, —q — q') =

=rТ z e((" 一 力 + №，一 人)/R)р (p,吩 ь "，公)X p,月，Р',电'

p 〃(一 p 一 m 一 h一吟.(13.117)

Тот факт, что два аргумента в новых весах Р играют симметричную роль, позволяет определить двухкомпонентный вектор

х = (хь %2)壬(「，g)wZ%(13.118)

и скалярное произведение х& = Х1Е2 + %2&i・ Соотношение (13.117) принимает вид

尸(%)尸0尸"(一% 一力=

=I ? eт一掂)伏)Р位)/⑺x

XP"(—自一哨(%, f/, E, T]Wz*) (13.119) или, иначе, в более симметричной форме

Р (у— z)尸'Q ——%) Р〃 (％ — у)=

=Rf у 。(僅 + g + 啕/R) Р ⑹卩⑺ P〃 (G)・ (13.120)

Имеется также следующее, эквивалентное (13.119), выражение.

Если определить функцию Q(x,自)равенством

Ze(n%/R)口⑺Р〃位一n) = P(%)Q(%,自)，(13.121)

то тернарное соотношение эквивалентно свойству симметрии

Q", S = Q(E, %)•(13.122)

Доказательство очевидно.

Приведем аналитические выражения весов Р для модели с симметрией Z^・ Согласно (13.77),

Г (а, В) = (； ：), а, 0 = 0, 1; а = (1-е)/2

и, принимая во внимание (13.115), имеем

2P (а, 0)=(力 力 I =

\d + a d — а丿

+ 侬1 + @2 -侬3 50 - W1 -侬2 - 53、

+侬1 +侬3 -w2 侬0 +侬2 +侬3 -W1丿・

Учитывая лучаем

нормировку (8.61) и совершая сдвиг и->и + п，по-

2Pm 1— & е/2 — X 1 т/2) & (и + 2т)1 т/2)

''丿01 е/2 + n 1 т/2)@】(2川 т/2)'

/л п\ — ®2 е/2 - n 1 т/2) ®]① + 2п 1 Т/2)

и丿@2 е/2 +「1 т/2) 01 (2т)1 т/2)'

9D/1 m _ 8з е/2— 川 т/2) 8】e + 2Et/2)

「'，”@3 (t,/2 + n 1 т/2) @1 (2п 1 т/2)'

1一 @4 е/2 — Т] 1 т/2) & (и + 2nl т/2)

& ®/2 + х 1 т/2) & (2т] 1 т ⑵*

Используя обозначения (М.7) для тэта-функций, окончательно

имеем

p/纬a (0/2 — т] 1 t/2)_

ав =( 0@肥(。/2 + 刀切2)，。 = 1-。・(13.124)

Выражения весов Р в виде отношений тэта-функций столь же просты, как и выражения Бакстера в терминах w. Однако непосредственная проверка тождества (13.119) представляется гораздо менее легкой, чем тождества (8.44) для 侬，которое немедленно следует из соотношений Якоби. Было бы интересно вычислить для рассмотренных уже случаев симметричную функцию Q(x, &), фигурирующую в правой части (13.121).

Абелева униформизация тернарных соотношений,симметрия Zf

Встречавшиеся до сих пор функции, униформизующие тернарные соотношения, были мероморфными рациональными, тригонометрическими или эллиптическими функциями спектрального параметра. Отношение весов было рациональным при симметрии SU(〃)или SO(〃)，тригонометрическим при 50(2) и эллиптическим при Z?㊉ Zc. Наличие квадратичных соотношений Фробениуса для тэта-функций нескольких переменных позволило высказать предположение (Чудновский Д., Чуднов- ский Г., 1981), что существуют решения тернарных соотношений в абелевых функциях, обобщающие известные эллиптические решения на случай рода больше единицы !). Абелевы функции, являясь периодическими функциями нескольких переменных, могут быть представлены в виде отношения сумм произведений тэта-функций.

1) Как выяснилось позднее, см. например (Шрок, 1982*), анонсированное в упомянутой статье решение оказалось неверным. — Прим. ред.

Элементарное доказательство формулы Фробениуса (1880) дано в приложении N. В начале приложения М приводятся определения и некоторые полезные свойства тэта-функций нескольких переменных. Формула (N.20) имеет вид

&х(〃1 + П)0р (^2)= ^S^ А,ц (^12，П)0ц (^2 + П)0х (^1), (13.125) где @а(〃|т)——определенная формулой (N.6) функция аргумен- та ^ е ZI и характеристики а е JCг, отвечающая симметричной матрице т с положительной мнимой частью. Видно, как матрица S(〃i2) действует на произведения двух тэта-функций ®(〃i + + П)©(〃2) перестановкой аргументов 〃i и 〃2・ Как известно, в случае рода g = 1 отсюда следует, что SaB，九乩 удовлетворяет тернарным соотношениям, и, естественно, попытаться распространить это доказательство на случай произвольного рода. Действительно, рассмотрим произведение

& (〃i + 哨 вр (〃2)戈(〃з —叫 (13.126) и произведем последовательно перестановки аргументов (12), (10.66). Обозначив「⑶—s⑶—^⑶，получим

@a 俏1 + n)综(〃2)” (〃3 —哨=

= X s臥，山(〃12, 〃23； П)Е(〃з +n)团(〃2)做 3 —哨，(13.127)

где S(3)совпадает с левой частью тернарных соотношений, например (10.66). Если теперь проделать в произведении (13.126) другую последовательность перестановок (23), (12), (23), то придем к выражению, аналогичному (13.127), в котором вместо S(3) будет стоять 'S(3)——правая часть тернарных соотношений (10.66). Обозначив Т⑶=«⑶—巧⑶，получим

2 ^Xahv(^12，^23, n)©x(^i — n)0n(^2)ev(^3 + n^ = 0. (13.128)

Можно ли на основании (13.128) заключить, что

孔%丫，Ajiv (•••) = 0, V ct, Р, у,九，卩，v, 〃⑵ 〃1з, П?

Для ответа на этот вопрос совершим сдвиг аргументов 〃/-> f Uj + и. Коэффициенты Т(з) не изменятся, и мы получим кубическое однородное соотношение между тэта-функциями аргумента 〃 одинаковых периодов. Известно, что таких соотношений не существует в случае g = 1. Точнее, из тождества

Z %皿做俏 + 力)瓦(〃 +S)*(〃 +&) = 0 (13.129)

следует равенство нулю коэффициентов 4Ц¥ = 0, если уь 。2, ^з различны по модулю всех полупериодов. Линейная независимость функций 0а рода g известна (Зигель, 1973, т. 3), но в

общем случае требуется больше, а именно линейная независимость некоторого класса произведений тэта-функций третьего порядка.

Предположив, что это верно, приведем явные формулы для коэффициентов S, входящих в соотношение Фробениуса. Согласно приложению N,

S(x伊 М1(〃12； Л)= Ср+ц (у, *(13 130)

2f/ = П + %2 2z н п — 〃12・

В формуле (N.17) явно используется преобразование Фурье на Zf коэффициентов С или S, которое есть не что иное, как вес Р (13.115);

2(-1 严 0ц (2у + та/2|2т)

备(U，z)= £ (-1 产壊——立：—• (13.131)

PX£ (一1 严 g (2z + ta/2|2T)

н

Принимая во внимание (13.113), получаем

Sap, \^ = А (a, р, Л,卩)=步3+6，а +n)==C^tu)+(a+p)- (13.132) Отсюда следует представление весов Р^в в виде отношений 2(一1)卽軌⑺ + " + тa/212T)

Р (〃) = (_ 1 产 *——而、(13.133)

°£ (-1)耻g(n-〃 + Ta/2|2T)

где a, p,卩 wZ贫.Ограничиваясь родом g = 1 и используя обозначения (М.7), приходим к формулам

П __ ®00 (2у I 2т) 士 601 (2у I 2т) _ 0ао(У I т/2)

Оа — @00 (2г I 2т) ±001 (21/1 2т) — %0(小/2)，

р __ воо ^У + т/2 I 2т) ± Ooi (2// + т/2 | 2т) __0а1 {у | т/2)

/а —仇° (2z + т/2 I 2т) 土 @(и (2z + т/2 | 2т) 一 土 0а1 (г | т/2)，

士 > а = 0, 1.

Достаточно слегка изменить параметры т] ->т)+ т/2, и/2->и, чтобы воспроизвести известные результаты (13.124).

В заключение отметим, что приведенное в приложении М обобщенное соотношение Якоби позволяет также предположить существование решений тернарных соотношений с симметрией Z号㊉ Z纟 в случае г = 2.

ЗАМЕЧАНИЯ О СИСТЕМЕ РАЗЛИЧИМЫХ ЧАСТИЦ

Известны и другие конечные и интегрируемые системы квантовых частиц. Однако нет оснований полагать, что они каким-либо образом связаны с методом Бете, например рассмат

риваемая в гл. 14 цепочка Тоды. Упомянем также системы на прямой с двухчастичным потенциалом отталкивания х~2 и потенциалами, выражающимися через периодические или двоякопериодические функции, которые исследовались Сазерлендом (1971), Калоджеро (1971) и Адлером (1977). За исключением основного состояния, волновые функции не всегда известны или нет их явного выражения кроме специальных значений констант связи. В частности, известно, что распределение собственных значений эрмитовых матриц в гауссовом ансамбле совпадает с распределением частиц в основном состоянии одномерного бозе-газа с межчастичным потенциалом %-2 и определенной константой связи. Симметричные или автодуальные случайные матрицы отвечают другим значениям константы связи. Соответствующий квантовый гамильтониан является интегрируемым, что следует из инвариантного разделения переменных в уравнении Фоккера ——Планка в пространстве матриц (Дайсон, 1962; Мехта, 1967).

Приведем также другой пример, относящийся к точечному взаимодействию. Следующий гамильтониан для частиц с различными массами

"—£丄/勺"—£丄/勺@2@2—g£(牝 + 吗)3(修一％/)(13.135)—g£(牝 + 吗)3(修一％/)(13.135)имеет в качестве основного связанное состояние (g > 0)имеет в качестве основного связанное состояние (g > 0)с энергиейЕ =с энергиейЕ =W(%) = exp{_"| gjtnttnj'xt —勺 |}W(%) = exp{_"| gjtnttnj'xt —勺 |}(13.136)(13.136)ш^! (nti + m^ + 2 £ mitniinA . (13.137)Ki<k Jш^! (nti + m^ + 2 £ mitniinA . (13.137)Ki<k JВыражение для волновой функции связанного состояния в виде экспоненты, совершенно аналогичное случаю равных масс, позволяет предположить, что для выбранных констант связи все дифракционные эффекты отсутствуют. Действительно, в каждом секторе Dq： %qi V %Q2 V ・・・ волновая функция имеет видВыражение для волновой функции связанного состояния в виде экспоненты, совершенно аналогичное случаю равных масс, позволяет предположить, что для выбранных констант связи все дифракционные эффекты отсутствуют. Действительно, в каждом секторе Dq： %qi V %Q2 V ・・・ волновая функция имеет видгдегде2 = eхp （一多仍/）,分=年加/ 2加声@一初）■2 = eхp （一多仍/）,分=年加/ 2加声@一初）■(13.138)(13.139)(13.138)(13.139)Наборы квазиимпульсов {q} меняются при переходе от сектора к сектору. Однако такая структура волновой функции не ведет к конечной сумме Бете. Известно, что даже в случае g = 8Наборы квазиимпульсов {q} меняются при переходе от сектора к сектору. Однако такая структура волновой функции не ведет к конечной сумме Бете. Известно, что даже в случае g = 8

"—£丄

/勺

"—£丄

/勺

@2

@2

—g£(牝 + 吗)3(修一％/)(13.135)

—g£(牝 + 吗)3(修一％/)(13.135)

имеет в качестве основного связанное состояние (g > 0)

имеет в качестве основного связанное состояние (g > 0)

с энергией

Е =

с энергией

Е =

W(%) = exp{_"| gjtnttnj'xt —勺 |}

W(%) = exp{_"| gjtnttnj'xt —勺 |}

(13.136)

(13.136)

ш^! (nti + m^ + 2 £ mitniinA . (13.137)Ki<k J

ш^! (nti + m^ + 2 £ mitniinA . (13.137)Ki<k J

Выражение для волновой функции связанного состояния в виде экспоненты, совершенно аналогичное случаю равных масс, позволяет предположить, что для выбранных констант связи все дифракционные эффекты отсутствуют. Действительно, в каждом секторе Dq： %qi V %Q2 V ・・・ волновая функция имеет вид

Выражение для волновой функции связанного состояния в виде экспоненты, совершенно аналогичное случаю равных масс, позволяет предположить, что для выбранных констант связи все дифракционные эффекты отсутствуют. Действительно, в каждом секторе Dq： %qi V %Q2 V ・・・ волновая функция имеет вид

где

где

2 = eхp （一多仍/）,分=年加/ 2加声@一初）■

2 = eхp （一多仍/）,分=年加/ 2加声@一初）■

(13.138)

(13.139)

(13.138)

(13.139)

Наборы квазиимпульсов {q} меняются при переходе от сектора к сектору. Однако такая структура волновой функции не ведет к конечной сумме Бете. Известно, что даже в случае g = 8

Наборы квазиимпульсов {q} меняются при переходе от сектора к сектору. Однако такая структура волновой функции не ведет к конечной сумме Бете. Известно, что даже в случае g = 8

система трех непроницаемых частиц с различными массами имеет рассеяние с дифракцией. Это достаточно легко установить, изучая кинематику столкновений, при которых сохраняется импульс и энергия. В отличие от того что мы наблюдали в случае равных масс, теперь последовательные столкновения двух частиц почти всегда будут вести к бесконечному семейству наборов квазиимпульсов. Действительно, после столкновения ш\ ч-> 恤 набор импульсов {归} переходит в набор {//}:

гдегде尼=Х12 力，Х；2 = 1 ,% + 々2 = К + g，尼=Х12 力，Х；2 = 1 ,% + 々2 = К + g，(13.140)(13.141)(13.140)(13.141)Для Xi2 получаем матричное представлениеШ1 - /" 22他1Wi + m2他1 + A7?2*2/t?2m2 ~ miХ12 ―Wi + ^?2加1 + 加2**・.1Для Xi2 получаем матричное представлениеШ1 - /" 22他1Wi + m2他1 + A7?2*2/t?2m2 ~ miХ12 ―Wi + ^?2加1 + 加2**・.1俏［'m2 一 ' m2俏［'m2 一 ' m2(13.142)(13.142)

где

где

尼=Х12 力，Х；2 = 1 ,

% + 々2 = К + g，

尼=Х12 力，Х；2 = 1 ,

% + 々2 = К + g，

(13.140)

(13.141)

(13.140)

(13.141)

Для Xi2 получаем м

атричное представление

Ш1 - /" 22他1

Wi + m2他1 + A7?2*

2/t?2m2 ~ mi

Х12 ―

Wi + ^?2加1 + 加2**

・.1

Для Xi2 получаем м

атричное представление

Ш1 - /" 22他1

Wi + m2他1 + A7?2*

2/t?2m2 ~ mi

Х12 ―

Wi + ^?2加1 + 加2**

・.1

俏［'m2 一 ' m2

俏［'m2 一 ' m2

(13.142)

(13.142)

и Xij не являютсяи Xij не являютсяэлементами конечной группы. В случае не-

и Xij не являются

и Xij не являются

проницаемых частиц Xi2, Х23, ..., X“_i, “ можно рассматривать как инволютивные генераторы бесконечной свободной группы и возникает задача об обобщении метода Бете, содержащем бесконечные суммы по подходящим дискретным группам. При этом возникает также существенная и трудная проблема сходимости. Бесконечные дискретные группы, такие, как модулярные группы, уже встречались при попытках распространить метод Зоммерфельда на задачи дифракции в пространстве размерности больше двух. Такие группы лежат в самой природе рассматриваемой задачи и в значительной мере определяют аналитическую структуру преобразования Фурье волновой функции. Этот вопрос еще слабо исследован по причине тех трудностей, которые возникают при работе с автоморфными функциями (Годен, 1978).

Возвращаясь к нашим операторам рассеяния Х〃，определенным согласно (13.142), можно утверждать, что для них справедливы замечательные соотношения

/儿叱3 =也几X⑵ (13.143)

Xi2=l (а не Xi2^i = !)•

Покажем, что они позволяют просто связать волновые функции в разных секторах. Однако эти функции не имеют структуры конечной суммы Бете. Существование Х〃， удовлетворяющих соотношениям (13.143), влечет за собой существование представления для перестановок, порожденного генераторами

%4 =%4尸34,(13.144)

где Р действуют на k. С данным набором {归} можно связать V! наборов {Pk}, таких, что _

瓦=У訥，(13,145)

и все плоские волны ехр / (Pfe, Рх), (Px)f = xPj имеют одну и ту же энергию

Е=^£(Р^・(13J46)

Эти плоские волны обладают важным свойством непрерывности при переходе из одного сектора в соседний

exp i (Pi2P山,Pi2「％) = exp i (Pfe, Px) |xPiexP2.

Начиная с этого места, задача остается открытой.

ПРИЛОЖЕНИЕ М

Обобщение соотношения Якоби для тэта-функций

Целая функция 8(a), z 三 С&, зависящая от симметричной матрицы t порядка g, определяется рядом

0 (z I т) = 2 е ^-у пхп + пг^,(М.1)

п ^ ZS

абсолютно сходящимся при Im т > 0. В приведенной формуле использованы обозначения

ге (х) == ехр (2зт/%), 九^ = £ и.г.

Так определенная тэта-функция имеет следующее мультипликативное свойство относительно преобразований из группы периодов:

0 (г + Л + т£) = е (— Ln — LA ^ 厶丁厶)0 (z), VA, L e Z^. (M.2)

Каждому целому числу г соответствует семейство тэта-функций, порожденных сдвигом аргумента

z -> 2 + (А + тЛ)/г.

Пара (М) = Л, L задает характеристику гэта-функции

»м)(z) = % j ⑶=勿(2 + А"),(АС.З)

где использовано обозначение

% ⑵=е(丄2〃 + LtL/2产)8(2 + rL/r)=

=£ e mxm + mz) (M.4)

m—L/r e Zg

Из определения (M.4) вытекают следующие свойства:

^L+rL7⑵=玩⑵'

(M.5)

^A+rA",厶+心⑵=e (LA7r) %, £ ⑵，

Таким образом, достаточно рассматривать только функции, характеристики которых принадлежат множеству вычетов по модулю г, т. е.

(М) = A, L w Zf X Zf (Zr = Z/rZ).(М.6)

Отсюда следует, что произведение г тэта-функций 8(м)с произвольными аргументами, но с одной и той же характеристикой (М) = А, £ является двоякопериодической по (М) функцией с периодами г.

В случае г = 2, g = 1 получаем четыре тэта-функции одной комплексной переменной

Boo =仇，Ei = — В】，%1 = 02, В】。=04,(М.7)

где в правых частях фигурируют функции Якоби 0а, определенные в приложении I.

Обобщение формулы Якоби имеет вид

由(М+%)(%)=厂冃 £ е 卜叱")it 0(豚+%)(%)，(М・8) а=1(АГ)аТ

где

无а = 2а - ； £ 书 ％ ® 8,(М・9)

В

(Ма) = (Ла,厶а) w Z° X Z" £ (財。)=0,(М.10)

а

(М), (Mz) eZfXZf, MXMf Al -厶A'.(М.11)

Это соотношение выражает гомоморфизм между инволюцией (z) -> (х) и преобразованием Фурье на Zf X Zf.

Доказательство. Инволюция 2a 今％а =之。 ；2,乏=£ 之① а

2а = %а —7■无 尤= £%а = —乏(М.12)

а

есть ортогональное преобразование в R^. Рассмотрим произведение 2r тэта- функций с одинаковыми периодами 口 8 За I т)・ Введем переменные сумми-

рованиярования

рования

рования

(М・⑶(М・⑶та = па—- п, п= 2^ па, 九a^Zg.

(М・⑶

(М・⑶

Согласно определению (М.1), имеем

口 8 За)=口 8 За)=22таТАПа +таТАПа +(М.14)(М.14)

口 8 За)=

口 8 За)=

2

2

таТАПа +

таТАПа +

(М.14)

(М.14)

где мы использовали свойство ортогональности преобразования инволюции.

Просуммируем в правой части (М.14), различая разные классы т =——п (mod г), и положим

fh^ L (mod г),厶 е Zf.(М.15)

В силу (М.13),В силу (М.13),та — L/r = 〃а 三 Z@та — L/r = 〃а 三 Z@(М.16)(М.16)и сумма (МЛ4) запишется следующим образом:u8d) = 22«и сумма (МЛ4) запишется следующим образом:u8d) = 22«aaL %—L/r 曰 Zg(2俏aL %—L/r 曰 Zg(2俏aтатта + таха (М.17)татта + таха (М.17)Чтобы снять ограничение суммированияЧтобы снять ограничение суммированияпреобразование Фурье дельта-функции на6(т) =「т £преобразование Фурье дельта-функции на6(т) =「т £на £ /и。= L (mod г), используем аZrе (km/r)tна £ /и。= L (mod г), используем аZrе (km/r)tи как следствие на Zf d(m-L)^r-e £ е (А (т 一 £)〃)・ A w Zfи как следствие на Zf d(m-L)^r-e £ е (А (т 一 £)〃)・ A w Zf(М.18)(М.18)Подставляя это выражение в правую часть (М.17), можно просуммировать по wa и воспользоваться определением (М.4).Остается просуммировать по 厶，что даетПодставляя это выражение в правую часть (М.17), можно просуммировать по wa и воспользоваться определением (М.4).Остается просуммировать по 厶，что даетЦе(2а)= 2 е (-厶 А/「)П% 俨a + A/r)・(М.19)аА,厶aЦе(2а)= 2 е (-厶 А/「)П% 俨a + A/r)・(М.19)аА,厶aЭто выражение совпадает с формулой (М.8) в случае Ма = М = 0. Теперь достаточно произвести подходящие сдвиги аргументовЭто выражение совпадает с формулой (М.8) в случае Ма = М = 0. Теперь достаточно произвести подходящие сдвиги аргументов^а ~> ^а + (А。+ ”а)〃，Л= £ aa = 2m/,汇=2"‘.^а ~> ^а + (А。+ ”а)〃，Л= £ aa = 2m/,汇=2"‘.(М.20)(М.20)Используя обозначения (М.З)e(z + ；(A + T 厶))=%,厶⑶ё (— 号一爷一等)(М.21)Используя обозначения (М.З)e(z + ；(A + T 厶))=%,厶⑶ё (— 号一爷一等)(М.21)

В силу (М.13),

В силу (М.13),

та — L/r = 〃а 三 Z@

та — L/r = 〃а 三 Z@

(М.16)

(М.16)

и сумма (МЛ4) запишется следующим образом:

u8d) = 22«

и сумма (МЛ4) запишется следующим образом:

u8d) = 22«

a

a

L %—L/r 曰 Zg

(2俏a

L %—L/r 曰 Zg

(2俏a

татта + таха (М.17)

татта + таха (М.17)

Чтобы снять ограничение суммирования

Чтобы снять ограничение суммирования

преобразование Фурье дельта-функции на

6(т) =「т £

преобразование Фурье дельта-функции на

6(т) =「т £

на £ /и。= L (mod г), используем а

Zr

е (km/r)t

на £ /и。= L (mod г), используем а

Zr

е (km/r)t

и как следствие на Zf d(m-L)^r-e £ е (А (т 一 £)〃)・ A w Zf

и как следствие на Zf d(m-L)^r-e £ е (А (т 一 £)〃)・ A w Zf

(М.18)

(М.18)

Подставляя это выражение в правую часть (М.17), можно просуммировать по wa и воспользоваться определением (М.4).

Остается просуммировать по 厶，что дает

Подставляя это выражение в правую часть (М.17), можно просуммировать по wa и воспользоваться определением (М.4).

Остается просуммировать по 厶，что дает

Це(2а)= 2 е (-厶 А/「)П% 俨a + A/r)・(М.19)

аА,厶a

Це(2а)= 2 е (-厶 А/「)П% 俨a + A/r)・(М.19)

аА,厶a

Это выражение совпадает с формулой (М.8) в случае Ма = М = 0. Теперь достаточно произвести подходящие сдвиги аргументов

Это выражение совпадает с формулой (М.8) в случае Ма = М = 0. Теперь достаточно произвести подходящие сдвиги аргументов

^а ~> ^а + (А。+ ”а)〃，Л= £ aa = 2m/,汇=2"‘.

^а ~> ^а + (А。+ ”а)〃，Л= £ aa = 2m/,汇=2"‘.

(М.20)

(М.20)

Используя обозначения (М.З)

e(z + ；(A + T 厶))=%,厶⑶ё (— 号一爷一等)(М.21)

Используя обозначения (М.З)

e(z + ；(A + T 厶))=%,厶⑶ё (— 号一爷一等)(М.21)

и вычисляя аккуратно экспоненциальные множители, приходим к тождеству 2r2г

П 叽，% (%) = Y 2 。(7 2 - L枕，П %а+А-А，, %+厶一厶，(%)•

1L, Ла=1

(М.22)

Сдвиг характеристик (Ма) -> (Ма + М') дает искомую формулу (М.8). При 厂=2 вновь получаем обычные соотношения четвертого порядка

44

П е(…а)(%)= 2-g 总一严3 卫 8(”+%)侑)，(М・23)

которые в случае одной переменной были приведены в (1.12).

ПРИЛОЖЕНИЕ N

Формула Фробениуса для тэта-функций

Речь пойдет о квадратичном соотношении между тэта-функциями с одним и тем же периодом. Для его вывода получим вначале некоторое квадратичное соотношение между тэта-функциями с матрицами периодов т и 2т. Справедливо тождество

0 (% I т) 8 (川 т) = £ % (% + У I 2т) % (% - у I 2т),厶三 Zf, (N.I)

где функция 8l определена в предыдущем приложении формулой (М.4):

% ⑴= 2 е (4" “Тб + 俏％) •(N.2)

ш--三 Zg

Доказательство элементарно. Перемножим два ряда

0 (х) 0 (у) =£ е 传(птп + ттт) + nx + zny) (N.3)

п, m е ZS

и положим

n + m = 2р, п — m = 2^.(N.4)

Существует L 三 Zg, такое, что р ——(L/2) ng — (L/2) принадлежат Z& поскольку png одновременно целые или полуцелые, в силу (N.4). Следовательно,

=£2 2 咆=£2 2 咆(х I т) 6 (^ I т)=

=£2 2 咆

=£2 2 咆

92Tp + 〃2的)P{x^y) + q(x — y)y

L p-gwZgg-"w Z°

(N.5)

что и дает формулу (N.1), сумма в которой содержит 2g слагаемых.

Нам нужно будет работать с функциями, инвариантными относительно сдвигов z ~> z + т£. Поэтому мы несколько модифицируем определение тэта-

функцийфункций% (2 I T) = e ^-- 2l2)% (z1t)% (2 I T) = e ^-- 2l2)% (z1t)(N.6)(N.6)

функций

функций

% (2 I T) = e ^-- 2l2)% (z1t)

% (2 I T) = e ^-- 2l2)% (z1t)

(N.6)

(N.6)

(Не следует смешивать это обозначение 6 с фигурировавшим в гл. 8.) Согласно свойству (М.2), имеем

®(2 + ^ U) = з (^ 之丁一乜 + -^ 之厶 + g LrL) 8(2 + ^ т;厶)=@厶(2).(N.7)

Тождество (N.1) можно переписать также в форме

@ (х + ^ I т) 0 (х — г/1 т) = £ 6 (2х + т£ | 2т) @ (2г/ + rL | 2t). (N.8) 厶巨Z贽

Произведя сдвиг % -> % + ^ т//н воспользовавшись свойством (N.7), получим %，(％ + У 丨 т) 〃，(％ — У 丨 т) = £ ”+厶，(2% I 2т) % (2у I 2т). (N.9) 乙w zg

Поскольку 0£(х) как функция характеристики является Zf-периодиче- ской, а правая часть в (N.9) имеет вид свертки, естественно ввести преобразование Фурье на Z乳 определив

ФЛ(2х)= £ (—1)AL”(2%), AwZ&(N.10)

丄三Z§

Обращая (N.10) и подставляя в (N.9), имеем

0£ (х + У) % (% — У) = 2七£ (一 1)以 фл (2%)①а (2у)・(N.11)

Преобразование Фурье этого выражения с аргументами % + 2 и х ——z дает

(N.12)(N.12)(N.13)(N.13)(N.14)(N.14)多(一 1)"А “,(％ + 2)汕(％ — z) = фл (2%)①A (2z)・

(N.12)

(N.12)

(N.13)

(N.13)

(N.14)

(N.14)

Исключая Фл (2х) из (N.11) й (N.12), получаем

% (% 十川 т) % (无一у I т)=

= 2 Q+L^ (у» z) 0£, (х + г I т) 0L, (х — г J т), / wZ另

где использованы коэффициенты

a巨Z纟

Полученная Фробениусом формула (N.13) является квадратичным соотношением между тэта-функциями © с аргументами, содержащими х. Коэффициен-

(N.I 6)(N.17)алгеброй(N.18)(N.19)(N.20)(N.I 6)(N.17)алгеброй(N.18)(N.19)(N.20)

(N.I 6)

(N.17)

алгеброй

(N.18)

(N.19)

(N.20)

(N.I 6)

(N.17)

алгеброй

(N.18)

(N.19)

(N.20)

ты Cl выражаются через преобразования Фурье

£(~1)AL，0l,(2^|2t)

% 匂,z) = 2 (- 1 1 E(一 讲%“应120 •(N.15)

A步

В соотношении (N.13) функции 0 можно заменить на 0 при условии, что аналогичная замена будет сделана и в (N.15).

Придадим этому соотношению более общий вид относительно зависимости от характеристик, совершив сдвиг х, у, г на т£/2. Окончательно имеем

® J% -川 т) %+Z (% + У I т)=

=X 吟“匂，2)%(%-2|T)% z(% + z|t), JwZg

где

〜£(~1)AL，0Lz (2у^тГ/2\2г)

改匂,z) = 2 (- 1)小 自(_1 严 “,(2z + 6/2|2t) •

A N

Представим также формулу Фробениуса в виде, подсказанном Замолодчикова (см. (10.63)). Положим

х + у = Ui + ^ 无 + 2 =勿 + 4 无一у = 〃2, х — г зи «1, 2y = 〃12 + П， 2z = Т| — /2 и введем обозначения для характеристик в Z£

а = L + L, % =厶‘+Z, а + Р s ^ + И»

В = L, 1AH £/•

В результате получим

% (% + П) ®в (〃2)= Е %，мх (%，П)综(〃2 + П)纵(〃1)，

где коэффициенты Sq^,九以=C®^ (у, z) определяются формулой (N.17).

Глава 14

О цепочке Тоды

ОПИСАНИЕ МОДЕЛИ

Рассмотрим замкнутую цепочку, образованную одинаковыми точечными массами, подвижными в поперечном направлении, с взаимодействием между соседними частицами. Если пренебречь продольными смещениями, состояние цепочки в момент времени / задается поперечными координатами и импульсами

42九，Р2n，八=1, 2,...,N42九，Р2n，八=1, 2,...,N(14.1)(14.1)

42九，Р2n，八=1, 2,...,N

42九，Р2n，八=1, 2,...,N

(14.1)

(14.1)

отдельных частиц. Гамильтониан Тоды (1970, 1984*) имеет следующий вид:

Н =42 唸+(14.2)

Поскольку рассматривается замкнутая цепочка, координаты 夕2%+2 и 夕2 отождествляются. Соответствующая механическая система изображена на рис. 14.1.

2^- 22^- 22N2N2N+ 2 三 22N+ 2 三 2

2^- 2

2^- 2

2N

2N

2N+ 2 三 2

2N+ 2 三 2

Если амплитуды q2n малы, речь идет о гармонических колебаниях. Необходимо отметить, что потенциальная энергия периодической цепочки (в отличие от случая открытой цепочки) имеет абсолютный минимум, определяющий состояние равновесия q2tl = 0, Vn. Для конечных смещений действие связи (夕4——夕2) в какой-то мере аналогично действию твердой стенки: сила пренебрежимо мала в одном направлении (^4 > ^2) и очень быстро возрастает в другом направлении (^4 < 夕2)с промежуточной упругой зоной. Возможны и другие аналогии, например электрическая (Хирота, 1973).

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ БЭКЛУНДА

Рассмотрим классическую гамильтонову систему, заданную гамильтонианом ”(夕2%「2〃), где ,2% и р2« ——координаты и канонически сопряженные импульсы. Существует замечательное каноническое преобразование

CS)：仇/Ъ P2ttf q2n+l, "2/i+b(14.3)

которое оставляет инвариантным вид Н. Это преобразование порождается производящей функцией 呼(д〃)，такой, что

N2N

dW =Pzndq2n — 02卅 歯2〃+i = 2(— l)npndqn. (14.4)

Выражение для W имеет следующий вид:

听 9п) = £ (一 1 广(产…〃+i + “J(14.5)

где c ——некоторая константа. Из (14.4) следует равенство

р九= e^-^+i + е^т-д〃 + & уп,(14.6)

которое позволяет в принципе перейти от переменных {^, Р2“} к переменным {^2n+i, P2〃+i}・ Мы еще вернемся к этому замечанию в конце п. 14.4. Вычислим геперь с помощью (14.6) сумму

(— 1 尸成=2 (— У (е”ен + 产 + 成= 九=1Н

=? (一 1г(e2 (g九7九+1) + g2 (<7rt-i-<7rt) +

+ 2c (曲L4计1 + e勿-厂% + (— If 2^九-17権+1)=

=2 巨(一1)』-Г+L

В результате мы получаем требуемую инвариантность

2 7 Pin + 券…2+三 2 ^.战Т + e3-72宀.(14.7)

Это каноническое преобразование позволяет построить простое частное решение уравнений движения.

УЕДИНЕННАЯ ВОЛНА

Будем исходить из тривиального решения «четной» гамильтоновой системы, соответствующего состоянию равновесия

^2n+ I = 0,Р2п+1 = 0.

Из (14.6) получаем преобразованные уравнения движения и соответствующие траектории

(14.8)(14.9)(14.8)(14.9)号f1 = А?九=e，2九 + с』% + с,

(14.8)

(14.9)

(14.8)

(14.9)

0 = e°2n + gf2rl+2 + c.

Решение имеет простой вид

eq2n = ch (乂 S — l) + f sh Y)— ch (%n + / sh x) 'где c = — 2 ch к.

Это решение уравнений движения не может, однако, описывать глобальную эволюцию периодической цепочки. Действительно, условия периодичности q?* 三夕2〃 влекут за собой квантование волнового числа

炽=等；々 = 0, 1, 2,…М - 1.(14.10)

Это означает, что при некоторых значениях п и t будет выпол

sh? 乂ch2 (хп 十 f sh 乂)sh? 乂ch2 (хп 十 f sh 乂)^^2n~^2n+2 = J^^2n~^2n+2 = J(14.11)(14.11)няться неравенство e^2n < 0; траектория тем самым становится комплексной, что физически недопустимо. Можно заметить также, что полная энергия этого решения равна нулю. Тем не менее решением (14.9) можно пользоваться для бесконечной цепочки. Оно описывает распространение уединенной волны (солитона) с потенциалом

sh? 乂

ch2 (хп 十 f sh 乂)

sh? 乂

ch2 (хп 十 f sh 乂)

^^2n~^2n+2 = J

^^2n~^2n+2 = J

(14.11)

(14.11)

перемещающейся в отрицательном направлении со скоростью V = 2x-i sh х. Поперечное смещение частиц представляет собой волновой фронт, соединяющий два постоянных уровня на —оо и 十8； полное смещение равно 2х, а полная энергия солитона равна sh 2х.

Более общее решение системы (14.6) получается, если исходить из соотношений для величин rn = qn ——夕及+i, которые удовлетворяют необходимым, но не достаточным условиям

(14.12)(14.12)связывающим четную и нечетную системы.. Будем искать две различные (соответственно четности п) аналитические функции* зависящие от одной переменной (n + vt). Искомое решение зависит от двух параметров 々их:а) п нечетносвязывающим четную и нечетную системы.. Будем искать две различные (соответственно четности п) аналитические функции* зависящие от одной переменной (n + vt). Искомое решение зависит от двух параметров 々их:а) п нечетноJ 1 + 々 sn %九 sn 乂e几=J 1 + 々 sn %九 sn 乂e几=1 ——后 sn %〃 sn 乂1 ——后 sn %〃 sn 乂(14.13)(14.13)

(14.12)

(14.12)

связывающим четную и нечетную системы.. Будем искать две различные (соответственно четности п) аналитические функции* зависящие от одной переменной (n + vt). Искомое решение зависит от двух параметров 々их:

а) п нечетно

связывающим четную и нечетную системы.. Будем искать две различные (соответственно четности п) аналитические функции* зависящие от одной переменной (n + vt). Искомое решение зависит от двух параметров 々их:

а) п нечетно

J 1 + 々 sn %九 sn 乂e几=

J 1 + 々 sn %九 sn 乂e几=

1 ——后 sn %〃 sn 乂

1 ——后 sn %〃 sn 乂

(14.13)

(14.13)

b) n четноb) n четногдегдеё"=^^"(1 isn" sn 2х),,,2 sn х%〃 =耿士卩厶 m =^——.九L，尸 СП % dn Xё"=^^"(1 isn" sn 2х),,,2 sn х%〃 =耿士卩厶 m =^——.九L，尸 СП % dn X(14.14)(14.15)(14.14)(14.15)

b) n четно

b) n четно

где

где

ё"=^^"(1 isn" sn 2х),

,,2 sn х

%〃 =耿士卩厶 m =^——.

九L，尸 СП % dn X

ё"=^^"(1 isn" sn 2х),

,,2 sn х

%〃 =耿士卩厶 m =^——.

九L，尸 СП % dn X

(14.14)

(14.15)

(14.14)

(14.15)

Эллиптические функции Якоби зависят здесь от модуля 々.Волна потенциала имеет вид

е*з+2 =i + ^(dnx2n + fe сп 心 J =

= l+ll±^d 伞+制(14.16)

и сводится к выражению (14.11) при 々=1 (2х->х). Это решение снова годится только для бесконечной цепочки, но не для периодической, так как, в силу (14.16), разность q2n — q2n+?n

зависит от f. Л1-солитонное решение было получено Хиротой (1973), а также Флашкой (1974) и Манаковым (1974*) с помощью метода обратной задачи рассеяния.

ПОЛНАЯ ИНТЕГРИРУЕМОСТЬ

В этом разделе мы построим вспомогательную линейную систему Лакса, исходя из необходимых условий (14.12), вытекающих из канонического преобразования

乙=e"т — e"+1，入=e〃 一自什1， (14•⑺

Эти соотношения не влекут за собой уравнений движения

q2n = е^п-Я2п+2 _ е^2п-2-^2и,(14.18)

но позволяют связать два решения одной и той же гамильтоновой системы

”(p2〃+i,仇%+1) = £^^^ Н (р2л, %〃)= Е.

Введем две вспомогательные функции р& такие, что

е"九=Pnpn-i 今 е% =(14.19)

где 九——параметр. Соотношения (14.17) содержатся в следующих соотношениях:

0% = Р%狞•(14.20)

Рп+1

Последние были бы даже эквивалентны (14.17), если бы 九 был произвольной функцией времени. Однако, как мы покажем, при выборе 九=const из (14.20) следует (14.18).

Различая четные и нечетные 九,положим

8% == р2〃е , Лп P2n+i 今 е 2" =，“•

(14.21>

Из (14.20) следует, что

*% л 1"九*П/Х-1 自九-1

£—nt•

(14.22}

или, иначе,

(L = ^n + e%"%,

(14.23>

1讯=一e一з+2tl.

(14.24>

Введя двухкомпонентный вектор xмы

получим

вспомогательное уравнение

Хп = МпХп,

(14.25>

где матрица Мп определяется из (14.24):

/Ле"2% 、

-ef+2 о )

(14.26>

Исключая п〃 из (14.22) и (14.24), получаем

*(2-"2曦)=—2f嗚

(14.27>

или

tn — P2 店 n + ln-1 = 0

(14.28>

и, учитывая (14.23) и (14.21),—

(p2П 一九)匕一几-1 - e"2L3+2厶+] = 0.

(14.29}

Последнее равенство можно записать как соотношение между

Хп И Хи—1 •

(&т =(Р2П — %) & — e^TJn,

(14.30>

коэффициенты которого зависят только от переменных 夕2% 卩2冲 Перейдя к матричной записи, получаем

，р2п — А — е“2% \

Х/г7 RnXfi, Rn = I -q2n 0 I •(14.31}

Достаточное условие совместности линейных соотношений (14.25) и (14.31) записывается в виде

Rn =- RnMn.(14.32>

Непосредственным вычислением проверяется, что это условие эквивалентно уравнениям движения (14.18).

Матрица перехода четной системы

Z = RR ••• Rn，(14.33)

удовлетворяющая условию Хо = ZXN, имеет единичный детерминант, поскольку detR〃=l. Обозначим ее собственные значения С и L, при этом tr Z = ^ +

Покажем, что полином trZ (入)степени N является константой движения при любом X. В силу (14.32), имеем

•^ t「Z = 2 t「R ... Rn-i \Mn-\Rn — RnMn] Rn+\ • • • Rn =

=tr (AIq/^j . . . Rn — R[・・・ RnMJ 0.(14.34)

Последнее равенство вытекает из условия периодичности цепочки. Коэффициенты tr Z определяют, таким образом, (%—1) первых интегралов движения, включая полный импульс (коэффициент при Z№1) и полную энергию (коэффициент при 九"-2); нетрудно проверить их независимость и установить, таким образом, полную интегрируемость системы.

Можно обратиться также к упоминавшейся в разд. 14.2 задаче решения системы уравнений, связывающих четные и нечетные канонические переменные. Эта задача сводится прямо к вспомогательному линейному уравнению (14.29) (см. также (14.38)). Действительно, предполагая, что четные переменные заданы, определим величины ип равенствами

Из (14.6) получаем

(夕2九—с) Un — с%九〃— e Q2nun-\ = 0.(14.35)

Параметр с, таким образом, играет роль, аналогичную X.

М-СОЛИТОННОЕ РЕШЕНИЕ ДЛЯ БЕСКОНЕЧНОЙЦЕПОЧКИ

В этом разделе будет дано краткое описание построения ТИ-солитонного решения в рамках метода обратной задачи рассеяния в изложении Флашки (1974),см. также Манаков (1974 *). Линейную систему (14.25) и (14.31) для Хп после исключения т|办 как в рекуррентном соотношении (14.29), можно рассматривать как линейное соотношение для ^-мepнoгo вектора с компонентами 自枕(几=1, 2, ..., N). Чтобы придать соотношению

более симметричный вид, произведем замену переменных

5 = (_1)—貝'2宀£(14.36)

и запишем (14.29) в виде

/ax I(«2/г+2-夕2九)еI Т (^2п-^2п-2)—

(р2n —入)屮几+ е屮几+i + ефп-i —

(14.37)

Аналогично, исходя из (14.28), получим

Л ^2n~Q2n+2^]('2/1-2-42/1)/1 Л оо\

Фп = ~2 е2фп+1 ~ ~2еФп-1- (14.33)

Эти два соотношения имеют вид

Lqp = Zqp,(14.39)

ф = В(р,(14.40)

где Л и В — две матрицы N 乂 N с ненулевыми элементами

Ln,注=^ Р2п,(14.41)

Ln+\, и = &, п+1 = — 2&, п + 1 = 2反+1, и = e('2L3+2)/2.

Условие совместности системы (14.39) — (14.40)

L = [Bt L]

эквивалентно уравнениям движения и влечет за собой инвариантность спектра оператора 厶 во времени.

Последнее обстоятельство лежит в основе следующего метода построения решения, отвечающего заданным начальным условиям в случае бесконечной цепочки. Уравнение (14.37) есть конечно-разностное уравнение 2-го порядка, аналогичное стационарному уравнению Шредингера для частицы в потенциале; последний определяется функциями q2n и р2n. Тем самым задание этого потенциала (например, в начальный момент времени) позволяет определить «данные рассеяния», связанные с асимптотическим поведением 屮小 т. е. S-матрицу, ее полюсы и вычеты в них. Если асимптотики на бесконечности пт8 имеют вид

^2n ~> const, Р2п —> о；

屮九(г, /)〜2“ + S (г, /) z~n, Х = г + г"1,то временная эволюция данных рассеяния оказывается оченьпростой: из уравнения (14.38) получаем

SQ, /) = 3(г, 0)е-2味 2р = г-г"1.(14.42)

Данных рассеяния в момент времени f в принципе достаточно, чтобы восстановить потенциал q2rl (t), 侬«)・ Решение обратной

цепочки Тоды основана в дискретном варианте решение имеет видцепочки Тоды основана в дискретном варианте решение имеет вид"2%一2"2几"2%一2"2几(14.43).(14.43).задачи рассеяния в случае бесконечной на интегральном уравнении Марченко (Кейс, 1973). Частное (Л1-солитонное)

цепочки Тоды основана в дискретном варианте решение имеет вид

цепочки Тоды основана в дискретном варианте решение имеет вид

"2%一2"2几

"2%一2"2几

(14.43).

(14.43).

где 〃2〃一 детерминант матрицы порядка М

〃2九=det (1 + QS)CZ>)),(14.44>

0订=(1 -ZiZ^~X90了=2%一吃6•；f = 1, . . ., M

(14.45)

a a, Zi — произвольные положительные константы. При М = 1 это решение совпадает с (14.9). Величины 皿 удовлетворяют нелинейному уравнению, получающемуся из (14.20):

〃/:-"7 = "%+2(-2一吟(几 иетног (14.46)

Представляет интерес задача построения решения для нечетных и, порождаемого преобразованием Бэклунда:

〃；〃“+i - ^Х+1 = 〃九т〃〃+2・(14.47〉

КВАНТОВАЯ ЦЕПОЧКА

Гамильтониан квантовой циклической цепочки также дается выражением (14.2), где q2n и р2n — канонически сопряженные переменные, удовлетворяющие коммутационным соотношениям [р2п,仇т] = —/бит- Мы будем использовать представление Р2п = —id/dq2n, считая, что дифференцирование (правое) действует на функции от 夕2% находящиеся справа от р2п. Мы будем также использовать представление операторами левого дифференцирования p2n+i = id/dq2n+\.

Определим матрицы с операторными элементами, аналогичные матрицам (14.31) для классического случая,

0 )1)7 丽(14.48 и трансфер-матрицу

ZqeT. (%) = tr R2R4 R2n = Z (A).(14.49｝

Определим также функцию 2N переменных

〈｛仇几｝ I S I ｛仇九+1｝〉= exp zW(0%) = S(g%),(14.50)

где W(qn｝——производящая функция классического канонического преобразования (14.5).

(14.51)(14.51)Предложение.

(14.51)

(14.51)

(ZqeT. — ZHeq.)S(g) = 0・

Доказательство. В силу определений (14.48),

2^

ipnW = (-^ 1)п-^- 2 (— \)meqrn^qrn^ = eqn^qn+x + eqn^qn^

HI 52)

следовательно,следовательно,-^SRnRn+i^(14.53)(14.54)-^SRnRn+i^(14.53)(14.54)Таким образом,打依1/?3 ••• /?2^-l) S = S tr ^1^2 ••• R2N (—y^ ==(tr R2R^ • • • &n)S (14.55)Таким образом,打依1/?3 ••• /?2^-l) S = S tr ^1^2 ••• R2N (—y^ ==(tr R2R^ • • • &n)S (14.55)

следовательно,

следовательно,

-^SRnRn+i^

(14.53)

(14.54)

-^SRnRn+i^

(14.53)

(14.54)

Таким образом,

打依1/?3 ••• /?2^-l) S = S tr ^1^2 ••• R2N (—y^ =

=(tr R2R^ • • • &n)S (14.55)

Таким образом,

打依1/?3 ••• /?2^-l) S = S tr ^1^2 ••• R2N (—y^ =

=(tr R2R^ • • • &n)S (14.55)

Следствие. Если рассматривать функцию S(q) как матричный элемент {^2л} -> {q^ = {^2п+1} оператора S в представлении {自2九}, то коммутатор S 〃 Z(^) равны нулю:

[S, Z (Z)] = 0. (14.56)

Таким образом, S коммутирует с каждым из «первых интегралов», определяемых как коэффициенты разложения Z (X). В следующем разделе мы покажем, что речь действительно идет об интегралах движения квантовой системы.

ИНТЕГРАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ДЛЯ СОБСТВЕННЫХ ФУНКЦИЙ

Поскольку гамильтониан Н пропорционален коэффициенту при \n-2 в Z(A), функция S(g) удовлетворяет дифференциальному уравнению, вытекающему из (14.51):

(从s — 〃Heq)Se)= 0. (14.57)

Это дает основания предположить, что собственные функции Н являются также собственными функциями интегрального оператора S. Метод доказательства аналогичен используемому в теории функций Матье или сфероидальных функций (Уиттекер,

Ватсон, 1963, гл. 19). При ^ = 2 собственные функции гамильтониана Тоды — это в точности функции Матье.

С целью обеспечить сходимость некоторых интегралов, ко- торые появятся позднее, рассмотрим модифицированное ядро

k (?2m,仇n~h)= S (仇% 仇〃+i - /-^)=

曰 К (х, у),曰 К (х, у),(14.58>(14.58>

曰 К (х, у),

曰 К (х, у),

(14.58>

(14.58>

гдегде

где

где

Х~{Хп = ^2п}， У = {Уп==^2п+^ 元={%>}・

Определим оператор циклической перестановки С, такой, что Схп = Хл+ь ^ = 1. Выполняются следующие соотношения

К (х, у) = ^ (Сх, Су) или КС = СК・ 04.59}

Кроме того,

К (х, у) = е-(* . и+У . 5 = К (у, Сх), т. е.

КС = К』СК.(14.60>

Симметризуемое ядро К принадлежит к типу Гильберта —— Шмидта на всей оси ( —— 8,+оо). Обозначим &, s(,2〃) общие собственные функции К н С

Cfk,s = e^fk,st 々 = 0, 1,・・・，N-1,

s/\ s (g2〃+1)=== j • • • dq2n • • • exp J e‘，，也+i ]% s (伙九)，

(14.61>

отвечающие волновому числу k и вещественному собственному значению s. Поскольку выполнено дифференциальное уравнение (14.57) и ядро интегрального оператора К убывает на бесконечности, функции fk, s являются также собственными функциями гамильтониана ":

—^ 2 ^^ + ( 2。3一3+2 —丛0 k = 0, (14.62)

и обратно. Таким образом, мы имеем обобщение функций Матье (продолженных на мнимую ось). Для N = 2, полагая 仇一％ = 2g и ограничиваясь случаем нулевого полного им-

лульса, получаем

/+8

(14.63)(14.63)sf(g)= \ dq'е~4 chqch Q，f(q')f

(14.63)

(14.63)

、一器+ 2ch2" = Ef.

На первый взгляд кажется, что это обобщение получено только для определенного значения параметра, обозначаемого в теории функций Матье дм (не смешивать с нашими координатами е). Здесь дм = 1/8. На самом деле в нашем распоряжении есть возможность изменения масштаба времени или, в квантовом случае, постоянной Планка 九.

ТЕРНАРНЫЕ СООТНОШЕНИЯ И ПЕРЕМЕННЫЕДЕЙСТВИЕ —УГОЛ

Соотношение (14.56) [S, Z (九)]=0 позволяет предположить, что [Z(九)，Z(|i)] = О, V X,卩. Последнее равенство можно доказать, используя тернарные соотношения для матриц R (14.48), участвующих в определении матрицы перехода (или монодромии). Действительно, в обычных обозначениях

Rwt.R(九)=J° 丿，(14.64)

справедливо равенство

「R (卩)У • R (%) = X 也 一 ％) Y ・ R (%) t • R (卩)X (% — 卩).

(14.65)

Используя матричный базис

т11т11

%2%2

Т11Т12

Т12Т11

Т21Т21

%2%2

Т11Т22

Т12Т2|

Т11Т21

Т12Т22

Т11Т22

Т12Т21

「2尸11

T22%2

Т21Т12

Т22Т11

1

0

0

0

0

1

0

0

Х(а-А)=

0

0

]

и

1 + 〃

1 + 〃

0

0

и

1

1 + 〃

1 + " J

легко получить выражения для

«卩一 А) = 〃. (14.66)

Аналогично гл. 10 (см. также приложение L) из (14.65) можно извлечь алгебру матричных элементов матрицы перехода

Е(九)，4i(«)] = o,

42(")] = о,

4】(《) 412 (А) = * Ии (А) &2(厶')十〃42 (А) 4】(*｝, 〃 =力(%'—厶) (14.68) или

‘41(九)42 (九’)=(1 + T^)A^ (入)4i (*) 一 T^T а2(九‘)4i (入)，

22 (%)"12 (")=( 1 一%」九，)"12 (%)422 (%‘)+ 九二"/12 (*)422(%)。

(14.69)

Эти соотношения почти идентичны соотношениям (11.49), полученным в задаче о фермионах спина 1/2. Однако использовать эти соотношения подобно тому, как это было сделано в разд. 11.2, не представляется возможным, поскольку для цепочки Тоды отсутствует порождающее собственное состояние^ аналогичное вакууму или ферромагнитному состоянию для спиновой цепочки. Тем не менее нечто аналогичное возможно в случае открытой конечной цепочки Тоды. Действительно, справедливо равенство

41 (%)=(—入严｛1 — ? + 击(§ — "о) + ° (亲)｝，

(14.70)

где Р ——полный импульс и "о ——гамильтониан открытой цепоч- ки:〃о = 〃 一 с"”

Первое из соотношений (14.67) означает, что коэффициенты Ди (X) являются интегралами движения открытой цепочки. Если заданы значения первых интегралов, то существуют М чисел 入 1,九2,…，九м (M W 2), таких, что

4](%) = 0・(14.71)

Используя ту же алгебру, что в (11.51), определим оператор

尸=42(儿)42(九2)... Л12(М(14.72)

м

и, полагая Q (^) = Ц (Л — Х^ получим

413)尸=端手64]仇)，(П.73)

Раскладывая обе части в окрестности X = оо, получаем из (14.73)

(Л), F]=(端評-1)尸4u (簿=

=(—普一(м(,_ 1)_ /Z%)* + …)尸A”(X)

или также

[Р, F] = - iMF,(14.74)

м

[%,尸]=一2(^ +认/)尸.(14.75)

z=i

Хотя семейство операторов F нельзя рассматривать как операторы рождения элементарных возбуждений (импульс которых был бы равен —i, а энергия —1/2 —认/), они тем не менее образуют систему комплексных канонических переменных типа действие ——угол для интегрируемого гамильтониана Топы】).

1) Подробнее о применении квантового метода обратной задачи к цепочке Тоды см (Склянин, 1983*).——Прим, перев

Литература)

Адлер (Adler М.)

Some finite dimensional integrable systems and their scattering： behaviour. — Comm. Math. Phys., v. 55, N 3, p. 195—230.

Араки (Araki H).

Gibbs states of a one-dimensional quantum lattice. — Comm. Math. Phys., v. 14, N 2, p. 120—157.

Баббит, Томас (Babbitt D. Thomas L.)

(1977a) An explicit Plancherel theorem for the ground state representation- of the Heisenberg chain. — Proc. Nat. Acad. Sci. USA, v. 74, N 3, p. 816— 817.

(1977b) Ground state representation of the infinite one-dimensional Heisenberg ferromagnet II An explicit Plancherel formula. — Comm. Math. Phys.,, v. 54, N 3, p. 255—278.

Ground state representation of the infinite one-dimensional Heisenberg ferromagnet. III. Scattering theory. — J. Math. Phys., v. 19, N 8, p. 1699—1704.

Бакстер (Baxter R.) — см. также Бэкстер.

F-model on a triangular lattice. — J. Math. Phys., v. 10, N 10, p. 1211 — 1216.

(1970a) Colorings of a hexagonal lattice. — J. Math. Phys., v. 11, N 3,. p. 784—789.

(1970b) Three-colorings of the square lattice: a hard square model.——J. Math. Phys., v. 11, N 10, p. 3116—3124.

(1971a) Generalized ferroelectric model on the square lattice. — Stud. 1m Appl. Math , v. 50, N 1, p. 51—69.

(1971b) Eight vertex model in lattice statistics. — Phys. Rev. Lett., v. 26, N 14, p. 832—833.

One-dimensional anisotropic Heisenberg chain. — Ann. Phys., v. 70„ N 2, p. 323—337.

(1973a) Eight vertex model in lattice statistics and one-dimensional anisotropic Heisenberg chain I. Some fundamental eigenvectors. II. Equivalence to a generalized ice-type lattice model III. Eigenvectors of the transfer matrix and hamiltonian. — Ann. Phys., v. 76, N 1, p. 1—71

(1973b) Asymptotically degenerate maximum eigenvalues of the eight-vertex model transfer matrix and interfacial tension. — J. Stat. Phys., v. 8 N 1, p. 25—55.

(1973c) Spontaneous staggered polarization of the F-model. — J Phys. C. v. 6, N 5, p L94—L96.

Solvable eight-vertex model on an arbitrary planar lattice. — Phil Trans. Roy. Soc. London, v. 289A, N 1359, p. 315—34 5.

i) Некоторые работы, приведенные в списке литературы, в тексте автором не упоминаются. Из названия этих работ ясно, к каким разделам они относятся Литература, добавленная при переводе, отмечена звездочкой.——Прим^ ред.

Hard hexagons： exact solution. — J. Phys. A, v. 13, N 3, p. L61 — L70.

Барбер, Бакстер (Barber M., Baxter R.)

On the spontaneous order of the eight vertex model. — J. Phys. C v. 6, N 20, p. 2913—2921.

Еарут (Barut A. O.) — редактор

Non linear equations in physics and mathematics. — D. Reidel.

Sapyx (Barouch E.)

In: Phase transitions and critical phenomena. — Ed. by C. Domb.

S. Green. — London, Acad, press.

Барух, Мак-Кой, Дрезден (Barouch E., McCoy B., Dresden M.)

Statistical mechanics of the XY model. — Phys. Rev. A, v. 2, N 3, p. 1075—1092.

Белавин A. A. (Belavin A. A.)

Exact solution of the two-dimensional model with asymptotic freedom. —Phys. Lett. B, v. 87, N 1—2, p. 117—121.

Бергкнофф, Такер (Bergknoff H., Thacker H. B.)

(1979a) Method for solving the massive Thirring model. — Phys. Rev. Lett., v. 42, N 3, p 135—138.

(1979b) Structure and solution of the massive Thirring model. — Phys. Rev. D, v. 19, N 12, p. 3666.

Березин Ф. А., Похил Г. П., Финкельберг В. М.

(1964*) Уравнение Шредингера для системы одномерных частиц с точечным взаимодействием. — Вестник МГУ, сер. математика, механика, № 1, с. 21-28.

Березин Ф. А., Сушко В Н.

(1965*) Релятивистская двумерная модель самовзаимодействующего поля ненулевой массы покоя.——Ж. эксп. теор. физ., т. 45, № 5, с. 1293—— 1306.

Березин Ф. А., Фаддеев Л. Д.

(1961 *) Замечание об уравнении Шредингера с сингулярным потенциалом. 一 Докл. АН СССР, т. 137, № 5, с. 1011-1014.

Бете (Bethe Н. А.)

Zur Theorie der Metalle: I. Eigenwerte and Eigenfunktionen der linearen Atomkette. — Z. Phys., Bd. 71, S. 205—226.

Блох (Bloch F.)

Zur Theorie des Ferromagnetismus. — Z. Phys., Bd. 61, H. 3—4. S. 206—219.

Боити, Пемпинелли (Boiti M., Pempinelli F.)

Non linear Schrodinger equation, Backlund" transformations and Painleve transcendents. — Nuovo Cim., v. 59B, N 1, p. 40—58.

Боннер (Bonner J. C.)

Numerical studies of the linear Ising-Heisenberg model. — Thesis. Univ, of London.

Боннер, Фишер (Bonner J. C., Fischer M. E.)

Linear magnetic chains with anisotropic coupling. — Phys. Rev. A, v. 135A, N 3, p. 640-658.

Брезен и др. (Brezin E et al.)

Remarks about the existence of non-local charges in two-dimensional models. — Phys. Lett B, v. 82B, N 3—4, p. 442—444.

Брезен. Зинн-Жюстен (Brezin E., Zinn-Justin J.)

Un probleme a N corps soluble. — Comptes Rendus. Acad. Sci. Paris Ser. B, t. 263, N 11, p. 670—673.

Бычков Ю А., Горьков Л. П , Дзялошинский И. E.

О возможности явлений типа сверхпроводимости в одномерной системе. — Ж. эксп. теор. физ., т. 50, № 3, с. 738—758.

Бэкстер Р

Точно решаемые модели в статистической механике. — Пер. с англ. — М.: Мир.

Вайдья, Трейси (Vaidya Н. G., Tracy С. А.)

One particle reduced density matrix of impenetrable bosons in one dimension at zero temperature. — Phys. Rev. Lett., v. 42, N 1, p. 3—6.

Ваннье (Wannier G. H.)

Antiferromagnetism. The triangular Ising net.——Phys. Rev., v. 79, N 2, p. 357-364

Вейль (Weyl H.)

The structure and representations of continuous groups Lecture Notes. — Princeton Univ. Press, Princeton.

Вигман П. Б. (Wiegmann P. B.)

Exact solution of the S — d exchange model (Kondo problem).— J. Phys. C, v. 14, N 10, p. 1463—1478.

Вигман П Б., Цвелнк A. M. (Wiegmann P. B., Tsvelick A. M.)

) Exact results in the theory of magnetic alloys. — Adv. in Phys., v. 32, N 4, p. 453—713.

Гааф, Хеймане (Gaaff A., Hijmans J.)

Symmetry relation in the sixteen-vertex model. — Physica, v. 80A, N 2, p. 149—171.

Гейзенберг (Heisenberg W.)

Mehrkdrperproblem und Resonanz in der Quantenmechanik. — Z. Phys., Bd. 38, H. 6—7, S. 411—426.

Гейне (Heine E.)

Handbuch der Kugelfunktionen II. — 2 Ed. — Berlin, S. 472.

Годен (paudin M.)

(1967a) Etude d'un modele a une dimension pour un зу51ёте de fermions en interaction. — ТИёзе Univ, de Paris. Rapport CEA N 5 — 3569 Saclay, 1968.

(1967b) Un systeme a une dimension de fermions en interaction. — Phys. Lett. A, v. 24A, N 1, p. 55—56.

(1971a) Bose gas in one dimension. I. The closure property ot the scattering wavefunctions. II. Orthogonality of the scattering states. — J. Math. Phys., v. 12, N 8. p. 1674—1680.

(1971b) Thermodynamics of the Heisenberg — Ising ring for A > 1.— Phys. Rev. Lett., v. 26, N 21, p. 1301 —1304.

(1971c) Boundary energy of a bose gas in one dimension. — Phys. Rev. A, v. 4A, N 1, p. 386—394.

Modeles exacts en mecanique statistique: la methode de Bethe et ses generalizations. — Note CEA, N 1559 (1).

Modeles exacts en mecanique statistique: la methode de Bethe et ses generalisations. 2e partie. — Note CEA, N i559 (2)

Diagonalisation d'une classe d'hamiltoniens de spin.——J. de Physique, t. 37, N 10, p. 1087—1098.

Sur le probleme de deux ou trois electrons en presence d'un moment localise. — J. de Physique, t. 39, N 11, p. 1143 —1168

Годен, Деррида (Gaudin M., Derrida В.)

Solution exacte d'un probleme a trois corps. Etat lie.——J. de Physique, v. 36, N 12 p. 1183—1197.

Годен, Маккой, By (Gaudin M., McCoy В. M., Wu T. T.)

Normalization sum for the Bethe's hypothesis wave functions of the Heisenberg — Ising model. — Phys. Rev. D, v. 23D, N 2, p. 417— 419.

Грин, Херст (Green H. S., Hurst C. A.)

Order — disorder phenomena. — N. Y. Wiley — Interscience.

Гриффитс (Griffiths R.)

Magnetisation curve at zero temperature for the antiferromagnetic Heisenberg chain. — Phys. Rev. A, v. 133A, N 3, p. 768—775.

Гугкин, Сазерленд (Gutkin E., Sutherland B.)

Completely integrable systems and groups generated by reflections.—Proc. Mat. Acad. Sci. USA, v. 76, N 12, p. 6057—6060.

Дайсон (Dyson F. J.)

General theory of spin-wave interactions. — Phys. Rev., v. 102, N 5, p. 1217—1230.

A Brownian motion model for the eigenvalues of a random matrix. — J. Math. Phys., v. 3, N 6, p. 1191 — 1198.

Fredholm determinants and inverse scattering problems. — Comm. Math. Phys., v. 47, N 2, p. 171 — 183.

Дашен, Хасслахер, Неве (Dashen R., Hasslacher B., Neveu A.)

Particle spectrum in model field theory from semi-classical functional integral techniques. — Phys. Rev. D, v. HD, N 12, p. 3424—3450. Деррида (Derrida В.)

Solution d'un modele a trois corps: etude de la diffusion. These de 3e cycle. Univ. Paris.

Дестри, Ловенстайи (Destry C., Lowenstein J. H.)

Analysis of the Bethe-Ansatz equations of the chiral-invariant Gross— Neveu model. — Nucl. Phys., v. B205 [FS5], N 3, p. 369—385.

Джонсон, Крински, Маккой (Johnson J. D., Krinsky S., McCoy B.)

The vertical arrow correlation length in the eight vertex model and the low lying excitations of the XYZ hamiltonian. — Phys. Rev. A, v. A8, N 5, p. 2526—2547.

Джонсон, Маккой (Johnson J. D., McCoy В. M.)

Low temperature thermodynamics of the Heisenberg — Ising ring.— Phys. Rev. A, v. A6, N 4, p. 1613—1626.

Дзимбо и др. (Jimbo М. et al.)

Density matrix of impenetrable Bose gas and the fifth Painleve transcendent. — Physica D, v. DI, N 1, p. 80—158.

Дзялошинский И. E., Ларкин А. И

Корреляционные функции одномерной ферми-системы с дальнодействием (модель Томонага) — Ж. эксп. теор. физ., т. 65, № 1, с. 411 — 426.

Дирак П. (Dirac Р.)

Принципы квантовой механики. — Пер. с англ. — 2-е изд. — М.: Наука.

Ж.ирардо (Girardeau М.)

Relationship between systems of impenetrable bosons and fermions in one dimension. — J. Math. Phys., v. 1, N 6, p. 516—523.

Замолодчиков А. Б. (Zamolodchikov A. B.)

Exact two-particle S-matrix of quantum sine-Gordon solitons.— Comm. Math. Phys., v. 55, N 2, p. 183—186.

Z4-symmetric factorized S-matrix in two space-time dimensions.— Comm. Math. Phys., v. 69, N 2, p. 165—178.

Уравнения тетраэдров и интегрируемые системы в трехмерном пространстве. — Ж. эксп. теор. физ., т. 79, № 2, с. 641—664.

Замолодчиков А. Б., Замолодчиков Ал. Б. (Zamolodchikov А. В., Zamolodchikov Al. В.)

Relativistic factorized S-matrix in two dimensions having O(^) isotopic symmetry. — Nucl. Phys., v. В 133, N 3, 525—535.

Захаров В. E., Манаков С. В., Новиков С. П, Питаевский Л. П.

(1980*) Теория солитонов: Метод обратной задачи. — М.: Наука.

Захаров В. Е., Шабат А. Б.

Точная теория двумерной самофокусировки и одномерной автомо-

дуляции волн в нелинейных средах.——Ж. эксп. и теор. физ., т. 61, № 1, с. 118-134.

Зигель (Siegel С. L.)

Topics in complex function theory.—Wiley—Interscience.

Изергин А. Г., Корепин В. Е. (Izergin A. G., Korepin V. Е.)

The inverse scattering method approach to the quantum Shabat — Mikhailov model. — Comm. Math. P.hys., v. 79, N 3, p. 303—316.

) Квантовый метод обратной задачи.——Физика эл. част, и ат. ядра, т. 13, № 3, с. 501-541.

Изинг (Ising Е.)

Beitrag zur Theorie des Ferromagnetismus. — Z. Phys., Bd. 31, H. 1—4, S. 253—258.

Пост (Jost R.)

Mathematical analysis of a simple model for the stripping reaction. —Z. Angew. Math. Phys., v. 6, fasc. 4, p. 316—326.

Каданов, Вегнер (Kadanoff L P., Wegner F. J.)

Some critical properties of the eight-vertex model. — Phys. Rev., v. B4 N 11, p. 3989—3993.

Калоджеро (Calogero F.)

Solution of the one-dimensional N body problems with quadratic and/or inversely quadratic pair potential. — J. Math. Phys., v. 12, N 3, p. 419—436.

Integrable many-body problems. — In. Non linear equations in physics and mathematics. Ed. A. O. Barut. — D. Reidel.

Matrices, differential operators and polynomials. — J. Math. Phys, v. 22, N 5, p. 919—934.

Калоджеро, Маркьоро, Раньиско (Calogero F., Marchioro C., Ragnisco O.) (1975) Exact solution of the classical and quantal one-dimensional many- body problems with the two-body potential VQ(x) = g2tz2/sh2 ax. — Lett. Nuovo Cim., v. 13, N 10, p. 383—387.

Каровски и др. (Karowski M. et al.)

On the uniqueness of a purely elastic S-matrix in 1 + 1 dimension.—Phys. Lett. B, v. 67B, N 3, p. 321—322.

Кастеляйн (Kasteleyn W P.)

Graph theory and crystal physics. — In: Graph teory and theoretical physics. Ed. by F. Harary. — N. Y., Acad, press.

Кац, Поллард (Кас M., Pollard Н.)

The distribution of the maximum of partial sums of independent random variables. — Canad. J. Math., v. 2, N 3, p. 375—384.

Кейс (Case К. M.)

On discrete inverse scattering problem. — J. Math. Phys., v. 14, N 7, p. 916—920.

Киргхгоф (Kirchhoff G.)

Zur Theorie des Condensators. — Monatsb. Preuss. Acad. Wiss. Berlin, S. 144—162.

Клуазо (des Cloizeaux J.)

A soluble Fermi-gas model. Validity of transformations of the Bo- goliubov type — J. Math. Phys., v. 7, N 12, p. 2136—2144.

Клуазо, Годен (des Cloizeaux J., Gaudin M.)

Anisotropic linear magnetic chain. — J. Math. Phys., v. 7, N 8 p. 1384—1400.

Клуазо, Пирсон (des Cloizeaux J., Pearson J. J.)

Spin wave spectrum of the antiferromagnetic linear chain. — Phvs. Rev., v. 128, N 5, p 2131—2135

Коксетер (Coxeter H. S. M.)

Regular polytopes. — Methuen.

Коксетер Г. С. М., Мозер У. О. Дж. (Coxeter Н. S. М., Moser W. О. J.) (1980) Порождающие элементы и определяющие соотношения конечных групп. — Пер. с англ. — М.: Наука.

Корепин В. Е (Когерin V. Е.)

The mass spectrum and the S-matrix of the massive Thirring model in the repulsive case — Comm. Math. Phys., v. 76, N 2, p. 165—176.

Calculation of norms of Bethe wave functions.——Comm. Math. Phys.; v. 86 N 3, p. 391—418.

) Correlation functions of the one-dimensional Bose-gas in the repulsive case. — Comm. Math. Phys., v. 94, N 1, p 93—113.

Коулмен (Coleman S.)

Quantum sine-Gordon equation as the massive Thirring model.—— Phys. Rev. D, v. Dll N 8 p. 2088—2097.

Кулиш П. П.

Обобщенный анзатц Бете и квантовый метод обратной задачи.—— Препринт ЛОМИ АН СССР, Р-3-79. Ленинград.

Кулиш П. 口.，Решетихин Н. Ю., Склянин Е. К. (Kulish Р. Р., Resheti- khin N. Yu., Sklyanin E. K.)

Yang ——Baxter equation and representation theory: I.——Lett. Math. Phys , v. 5, N 5, p. 393一403.

Кулиш П. П Склянин Е. К. (Kulish Р. Р., Sklyanin Е. К.)

Quantum inverse scattering method and the Heisenberg ferromag- net. — Phys. Lett. A, v. 70A, N 5—6, p. 461—463.

) The quantum spectral transform method. Recent developments.— In: Integrable quantum field theoiies. Eds. J. Hietarinta, C. Montonen. (Leet. Not. Phys., v. 151). Springer — p. 61—119.

Лай (Lai С. K.)

Lattice gas with nearest-neighbour interaction in one dimension with arbitrary statistics. — J. Math. Phys., v. 15, N 10, p. 1675—1676.

Лакс (Lax P. D.) — см. Лэке

Лакшманан (Lakshmanan M.)

Continuous spin system as an exactly solvable dynamical system.— Phys. Lett. A, v. 61A, N 1, p. 53—54.

Ленард (Lenard A.)

Momentum distribution in the ground state of the one-dimensional system of impenetrable bosons. — J. Math. Phys., v. 5, N 7, p. 930—943. Леппингтон, Левин (Leppington F., Levine H.)

On the capacity of the circular disc condenser at small separation.— Proc. Camb. Phil. Soc., v. 68, N 1, p. 235—254.

Ji:6 (Lieb E.)

(1967a) Exact solution of the problem of the entropy of two-dimensional ice. — Phys. Rev. Lett., v. 18, N 17, p. 692—694.

(1967b) Exact solution of the F-model of an antiferroelectric. — Phys. Rev. Lett, V. 18, N 24, p. 1046—1048.

(1967c) Exact solution of the two-dimensional Slater KDP model of a ferroelectric. —Phys. Rev. Lett., v. 19, N 3, p. 108—110.

(1967d) Residual entropy of square ice. — Phys. Rev., v. 162, N 1, p. 162— 172.

Либ, By (Lieb E., Wu T. T.).

Absence of Mott transition in an exact solution of the short range, one band model in one dimension. — Phys. Rev. Lett., v. 20, N 25, p. 1445—1448. Correction: ibid. v. 21, N 3, p. 192.'

Two dimensional ferroelectric models. — In: Critical phenomena and phase transitions. Ed. by C. Do mb, M. S. Green. — London, Acad, press.

Либ, Линигер (Lieb E., Liniger W.)

Exact analysis of an interacting Bose gas. I. The general solution

and the ground state II. The excitation spectrum. — Phys. Rev., v. 130> N 4, p. 1605—1624

Либ, Маттис (Lieb E., Mattis D.)

Theory of ferromagnetism and the ordering of electronic energy levels. — Phys Rev., v. 125, N 1, p. 164—172.

Либ, Маттис (Lieb E., Mattis D.) — редакторы.

Mathematical physics in one-dimension. — N. Y., Acad, press.

Либ, Шульц, Маттис (Lieb E., Schultz T., Mattis D.)

Two soluble models of an antiferromagnetic chain.——Ann. Phys.» v. 16, N 3, p. 407—466.

Липшиц (Lipszyc K.)

One-dimensional model of the rearrangement and dissociation processes. Probability amplitudes and cross sections. — Acta Physica Polonica, v A44, N 1, p. 115—137.

One-dimensional model on the rearrangement process and the Faddeev equations. — J. Math. Phys., v. 15, N 1, p. 133—138.

On the application of the Sommerfeld — Maluzhinetz transformation to some one-dimensional three particle problems. — J. Math. Phys., v. 2i, N 5, p. 1092—1102

Лэке П. Д. (Lax P. D.)

Интегралы нелинейных эволюционных уравнений и уединенные- волны. — Математика. Сб. перев., т. 13, № 5, с. 128—150.

Лютер (Luther А.)

Eigenvalue spectrum of interacting massive fermions in one dimension.—Phys. Rev. B, v. В14, N 5, p. 2153—2159.

Лютер, Пешель (Luther A., Peschel I.)

Calculation of critical exponents in two dimensions from quantum field theory in one dimension. — Phys. Rev. B, v. В12, N 9, p. 3908—3917. Люттингер (Liittinger J. M.)

An exactly soluble model of a many-fermion system. — J. Math. Phys., v. 4, N 9, p. 1154—1162.

Макгайр (McGuire J. B.)

Study of exactly soluble one-dimensional Mbody problems.—丄 Math. Phys., v. 5, N 5, p. 622-636.

Interacting fermions in one dimension. 1. Repulsive potential. — J. Math. Phys, v. 6, N 3, p. 432—439.

Interacting fermions in one dimension. II. Attractive potential.—— J. Math. Phys., v. 7, N 1, p. 123—132.

Макгайр, Херст (McGuire J.良，Hurst C. A.)

Scattering of three impenetrable particles. — J. Math. Phys., v. 13> N 10, p. 1595—1607.

Маккой, By (McCoy B., Wu T. T.)

Hydrogen bonded crystals and the anisotropic Heisenberg chain.— Nuovo Cim., v. B56, N 2, p. 311—315.

The two-dimensional Ising model. — Harvard Univ, press.

Манаков С B.

) О полной интегрируемости и стохастизации в дискретных динамических системах — Ж. эксп. теор. физ., т. 67, № 2, с. 543—555.

Маттейсс (Mattheiss L.)

Antiferromagnetic linear chain. — Phys. Rev., v. 123, N 4, p. 1209— 1218.

Маттис, Либ (Mattis D. C., Lieb E. H.)

Exact solution of a many-fermion system and its associated boson field. — J. Math Phys., v. 6, N 2, p. 304—312.

Мехта (Mehta M. L.)

Random matrices and the statistical theory of energy levels. — N. Y._ Acad, press

Михлин С Г.

Лекции по линейным интегральным уравнениям. — М.: Физматгиз.

Мюир (Muir Т.)

A treatise on the theory of determinants. — N. Y., Dover.

Нагл (Nagle J. F.)

Lattice statistics of hydrogen bounded crystals. I. The residual entropy of ice. — J. Math. Phys., v. 7, N 8, p. 1484—1491.

Нуссенцвейг (Nussenzweig H. M.)

Soluble model of a break-up process. — Proc. Roy. Soc. London. Ser. A, v. 264A, N 1318, p. 408—430.

Овчинников A. A。

Комплексы из нескольких спинов в линейной гейзенберговской цепочке. —Письма в Ж. эксп. теор. физ., т. 5, вып. 2, с. 48—51.

(1969а) Спектр возбуждений антиферромагнитной гейзенберговой цепочки. —Ж. эксп. теор. физ., т 56, № 4, с. 1354—1365.

Спектр возбуждений в одномерной модели Хаббарда.——Ж- эксп теор. физ , т. 57, № 6, с. 2137—2143.

Онсагер (Onsager L.)

Crystal statistics. I. A two-dimensional model with an order-disorder transition. — Phys. Rev., v. 65, N 3—4, p. 117—149.

Онсагер, Дюпьи (Onsager L., Dupuis M.)

In: Rendiconti della Scuola internazionale di fisica (Enrico Fermi) X Corso: Thermodinamica dei processi irreversibili. — Societa italiana di fisica, Bologna, p. 294.

Орбах (Orbach R.)

Linear antiferromagnetic chain with anisotropic coupling. — Phys. Rev., v. 112, N 2, p. 309—316.

Перкус (Percus J. K.)

(1971 I Combinatorial mefhods. — N. Y., Springer.

Полинг (Pauling L.)

The nature of the chemical bond and the structure of molecules and crystals. An introduction to modern structure chemistry. — 3d ed.——Ithaca N. Y., Cornel univ. press.

Польмайер (Pohlmeuer K.)

Integrable hamiltonian systems and interactions through quadratic constraints. — Comm. Math. Phys., v. 46, N 3, p. 207—221.

Ричардсон (Richardson R. W.)

Exact eigenstates of pairing force hamiltonian. — J. Math. Phys., V. 6, N 7, p. 1034-1051.

Рейсенарс (Ruijsenaars S. N. M.)

(1980a) The continuum limit of the infinite isotropic Heisenberg chain in its ground state representation. — J. Func. Anal., v. 39, N 1, p. 75—84.

(1980b) On one-dimensional integrable quantum systems with infinitely many degrees of freedom. — Ann. Phys , v. 128, N 2, p. 335—362. Решетихин H Ю

85*) Интегрируемые модели квантовых одномерных магнетиков с О (л) и Sp(2k) -симметрией. — Теор. мат. физ., т. 63, № 3, с. 347—366.

Сазерленд (Sutherland В.)

Further results for the many body problem in one-dimension.— Phys. Rev. Lett., v. 20. N 3, p. 98— 100.

Two dimensional hydrogen bounded crystals without ice rule. — J. Math. Phys., v. 11, N 11, p. 3183—3186.

Quantum many body problem in one dimension. I Ground state.

IL Thermodynamics. — J. Math. Phys., v. 12, N 2, p. 242—256.

Model for a multicomponent quantum system. — Phys. Rev. В v. 12, N 9, p. 3795—3805.

Non diffractive scattering: scattering from kaleidoscopes.—J. Math- Phys., v. 21 N 7, p 1770-i775.

Сазерленд, Янг Ч. H., Янг Ч. П. (Sutherland В., Yang С. N., Yang С. Р.) (1967) Exact solution of a model of two-dimensional ferroelectrics in an- arbitrary external electric field. — Phys. Rev. Lett., v. 19, N 10, p. 588*

Сато M., Дзимбо M., Мива T. (Sato M., Jimbo M., Miwa T.)

) Голономные квантовые поля. — Пер. с англ. — М.: Мир.

Сегё Г. (Szego G.)

Ортогональные многочлены. — Пер. с англ. — М.: Физматгиз. Склянин Е. К. (Sklyanin Е. К.)

On complete integrability of the Landau—- Lifshitz equation. Preprint LOM1, E-3-79. Leningrad.

) The quantum Toda chain.— In： Non-linear equations in classical and quantum field theory. Ed. by N. Sanchez. (Leet. Not. Phys., v. 226), p. 196—233.

Склянин E. K・，Тахтаджян Л. А., Фаддеев Л. Д.

Квантовый метод обратной задачи рассеяния.——Теор. мат. физ» т. 40, № 2, с. 194-220

Слэтер (Slater J. С.)

Cohesion in monovalent metals. — Phys. Rev , v. 35, N 5, p. 509— 529.

Смирнов Ф. A. (Smirnov F. A.)

*) Квантовые уравнения Гельфанда — Левитана — Марченко для модели синус-Гордон. — Теор. мат физ., т. 60, № 3, с. 356—371.

*) The quantum Gelfand — Levitan — Marchenko equations and form' factors in the sine-Gordon model. — J. Phys. A. v. 17, N 16, p. L873— 878.

Снеддон (Sneddon 1. N.)

Mixed boundary value problems in potential theory. — Amsterdam” North Holland publ.

Такахаси (Takahashi M.)

Exact results for the one dimensional Hubbard model. Thesis. Tokya University

One dimensional Heisenberg model at finite temperature. — Progr. Theor. Phys., v. 46, N 2, p. 401——415.

Такахаси, Судзуки (Takahashi M., Suzuki M.)

One dimensional anisotropic Heisenberg model at finite temperature. —Progr. Theor Phys., v. 48, N 6B, p. 2187—2209.

Такер (Thacker H. B.)

Quantum inverse method for two-dimensional ice and ferroelectric lattice-models. — J. Math. Phys., v. 21, N 5, p. 1115—1117

Exact integrability in quantum field theory and statistical systems.— Rev. Mod. Phys., v. 53, N 2, p. 253—285.

Тахтаджян Л. A. (Takhtajan L. A.)

Integration of the continuous Heisenberg spin chain through the inverse scattering method. — Phys. Lett. A, v. 64A, N 2, p. 235—237.

Тахтаджян Л А., Фаддеев Л Д.

Существенно-нелинейна я одномерная модель классической теории поля. — Теор. мат. физ., т. 21, № 2, с. 160—174.

) Квантовый метод обратной задачи к XYZ-модеи Гейзенберга.—— Успехи мат. наук, т. 34, № 5, с. 13—63.

) Спектр и рассеяние возбуждений в одномерном изотропном магнетике Гейзенберга.——В кн.: Дифференциальная геометрия, группы Ли и механика. IV (Зап. науч, семин. ЛОМИ, т. 109). Л.: Наука, с. 134—178 (1986*) Гамильтонов подход в теории солитонов. -—М.: Наука.

Титчмарш Е. (Titchmarsch Е С.)

Теория функций. — Пер. с англ. — 2 е изд. — М.: Наука.

Тода М. (Toda М.)

Waves in nonlinear lattice. — Progr. Theor. Phys. Suppl., N「， p. 174—200.

) Теория нелинейных решеток.——Пер. с англ. — М.: Мир.

Томас (Thomas L. Е.)

Ground state representation of the infinite one-dimensional Hrir ii Berg fcrromagnet. — J. Math. Anal. Appl., v. 59, N 2, p. 392—414.

Уиттекер Э., Ватсон Дж. (Whittaker Е., Watson G.)

Kvpc современного анализа. Ч. 2. Трансцендентные функции.

Пер. с англ. — 2-е изд. — М.: Физматгиз.

Уокер (Walker L. R.)

Antiferromagnetic linear chain. — Phys. Rev., v. 116, N 5, p. 1089 1090

Фаддеев «Л. Д. (Faddeev L. D.)

Квантовые вполне интегрируемые модели теории поля. — В сб.: Проблемы квантовой теории поля (Труды V Международного совещания по нелокальным теориям поля, Алушта 1979). — Дубна, с. 249—299.

) Integrable models in (1 + 1)-dimensional quantum field theory.— In: Recent advances in field theory and statistical mechanics. Les Houches： Summer School Proc., Session XXXIX. Eds. Zuber J. B., Stora R., p. 561—608. Фан, Bv (Fan C., Wu F. Y )

General lattice model oi phase transitions. — Phys. Rev., v. B2, N 3. p 723—733.

Фатеев В. A.

Факторизованная S-матрица для частиц с различной четностью и- интегрируемая 21-вершинная статистическая модель. — Яд. физ., т. 33, № 5, с. 1419-1430

Фишер (Fischer М. Е.)

Aspects of equilibrium critical phenomena. — J. Phys. Soc. Japan., v. 26, Suppl., p 87—93.

Флашка (Flashka H.)

On the Toda lattice. II. Inverse-scattering solution.— Progr. Theor. Phys , v. 51, N 3, p. 703—716.

Фогедбю (Fogedby H. C.)

Solitons and magnons in the classical Heisenberg chains. — J. Phys. A. v. 13, N 4, p 1467—1500.

Фробениус (Frobenius F. G.)

Uber das Additionstheorem der Thetafunktionen mehrerer Varia- beln. — J. reine Ang Math., Bd. 89, S. 185. [см. также: Gesammelte Ab- handlunp-en. Band II Ed. J.-P. Serre. Springer, 1968.]

Хаммермеш M. (Hammermesh M.)

Теория групп и ее применение к физическим проблемам. — Пер. с англ. — М.: Мир.

Хатсон (Hutson V.)

The circulai plate condenser at small separations. — Proc. Camb. Phil. Soc., v 59, N 1, p. 211—224.

Хида (Hida К.)

Rigorous derivation of the distribution of the eigenstates of quantum Heisenberg — Ising chain with XY-like anisotropy. — Phys. Lett A, v. 84A N 6, p. 338—340.

Хирота (Hirota R.)

Exact N-soliton solutions of a nonlinear lumped network equation.—— J. Phys. Soc. Japan, v. 35, N 1, p. 286—288.

Хирота, Сацума (Hirota R., Satsuma J.)

A variety of nonlinear network equations generated from the Backlund transformation for the Toda lattice. — Prog. Theor. Phys. Suppl., N 59, p. 64—100.

Хонеркамп, Вебер (Honerkamp J., Weber Р.)

Calculation of the S-matrix from the hamiltonian of the massive Thirring model. — Preprint Univ. Freiburg.

Хюльтен (Hulthen L.)

Uber das Austauschproblem eines Kristalles. — Arkiv Math. Astron. Fysik, Bd. 26A, NIIS. 1 — 106.

Чудновский Д. (Chudnovsky D. V.)

Simplified Schlesinger's systems. — Lett. Nuovo Cim., v. 26, N 14, p. 423—427.

Чудновский Д., Чудновский Г. (Chudnovsky D. V., Chudnovsky G. V.) (1980a) Zakharov — Shabat — Mikhailov scheme of construction of 2-dimensional completely integrable field theories. — Z. Phys. C, v. 5, N 1, p. 55—62.

(1980b) Hamiltonian structure of isospectral deformation equations and semi-classical approximation to factorized S-matrices. — Lett. Math. Phys., v. 4, N 6, p. 485—493.

Completely X-symmetric S-matrices corresponding to theta functions and models of statistical mechanics.—Lett. Math. Phys., v. 5, N 1, p. 43—52. Шварц (Schwartz L.)

Theorie des distributions.——Paris, Hermann.

Шроер, Труонг, Вайс (Schroer В., Truong T. T., Weisz Р.)

Towards an explicit construction of the sine-Gordon field theory.— Phys. Lett. B, v. 63B, N 4, p. 422—424.

UIpOK (Schrock R. E.)

) On completely X-symmetric factorizable S-matrices corresponding to theta functions. — Phys. Lett. A., v. 91A, N 4, p. 157—159.

Ягольницер (lagolnitzer D.)

Factorization of the multiparticle S-matrix in two-dimensional space-time models. — Phys. Rev. D, v. D18, N 4, p. 1275—1285.

Янг 4. H. (Yang C. N.)

The spontaneous magnetization of a two-dimensional Ising model.— Phys. Rev., v. 85, N 5, p. 809—816.

Some exact results for the many-body problem in one dimension with repulsive delta-function interaction. — Phys. Rev. Lett., v. 19, N 23, p. 1312—1315.

The S-matrix for the one-dimensional N-body problem with repulsive or attractive delta-function interaction.— Phys. Rev., v. 168, N 5, p. 1920— 1923

51нг Ч. H., Янг Ч. П. (Yang C. N., Yang С. P.)

(1966a) Ground state energy of a Heisenberg — Ising lattice. — Phys. Rev., V. 147, N 1, p. 303—306.

(1966b) One dimensional chain of anisotropic spin-spin interaction. I. Proof of Bethe's hypothesis for ground state in a finite system.—Phys. Rev., v. 150, N 1, p. 321—327.

(1966c) One dimensional chain of anisotropic spin-spin interaction. II. Properties of the ground state energy per lattice site in a finite system.—Phys. Rev., v. 150, N 1, p. 327—339.

(1966d) One dimensional chain of anisotropic spin-spin interaction. III. Application. — Phys. Rev., v. 151, N 1, p. 258—264.

Thermodynamics of one-dimensional system of bosons with repulsive delta-function potential. — J. Math. Phys., v. 10, N 7, p. 1115—1123.

Янг Ч. П. (Yang С. Р.)

Exact solution of a model of two-dimensional ferroelectrics in an arbitrary external electric field. — Phys. Rev. Lett., v. 19, N 10, p. 586— 588.

Именной указатель

Адлер (Adler М.) 311

Бальян (Balian R.) 7, 11

Бакстер (BaxterR.) 5, 8, 10, 11, 14.

126,160,161,168,169,171,

180,182,195,197,211,213,

216—218,231,244,251,296,297,

306,、308

Барбер (Barber М.) 217, 218

Барух 9 (Barouch Е.) 166

Бергкнофф (Bergknoff Н.) 125

Березин Ф. А. 122

Бете (Bethe Н. А.) 5, 8-11, 13, 15, 17—20, 24, 27, 31, 34. 37, 39, 41,43, 48, 50, 69, 78, 81, 89—92, 96, 117, 137, 142—144, 178, 204, 209—212, 219, 220, 229, 239, 244, 245, 249— 252, 256, 266, 267, 275, 283, 306, 311—313

Блох (Bloch С.) 7

Бонне (Bonnet Р.) 6

Боннер (Bonner J. С.) 14, 65

Брезен (Brezin Е.) 11, 221

Вайдья (Vaidya Н. G.) 68

Ванье (Wannier G. Н.) 165

Ватсон (Watson G.) 171, 291, 328

Вегнер (Wegner F. J.) 160, 215

Вейль (Weyl Н.) 99, 100

By (Wu F. Y.) 9, 10, 81, 113, 126, 129, 158, 161, 166, 239

Гааф (Gaaff A.) 159

Гейзенберг (Heisenberg W.) 9, 10, 13, 14, 41, 68, 107, 108, 111, 113, 124, 125, 139, 166, 210, 212, 233, 258,

Годен (Gaudin M.) 5, 7, 36, 41, 71, 81, 118, 122, 125,219, 236, 242, 249— 251, 312

Горовиц (Horowitz J.) 7

Гриффитс (Griffiths R.) 9, 27, 32, 60, 62, 104

Дайсон (Dyson F. J.) 108, 311

Деррида (Derrida B.) 11, 219

Дестри (Destry C.) 32

Джонсон (Johnson J. D.) 41, 44, 65» 67, 125, 216

Дзимбо (Jimbo M.) 68

Дирак (Dirac P.) 13, 258

Дотрей (Dautrey R.) 6, 7, 12

Дюпьи (Dupui M.) 126

Жирардо (Girardeau M.) 68

Замолодчиков А. Б. 10, 225, 229, 296,

Замолодчиков Ал. Б. 296

Зигель (Siegel С. L.) 192, 309

Зинн-Жюстен (Zinn-Justin J.) 221

Изергин А. Г. 229

Изинг (Ising Е.) 8—10, 14, 26, 34— 36, 41, 58, 66, 68, 107, 108, 111, 113, 124, 125, 139, 158—161, 166» 195, 201, 210, 212, 215—218

Ициксон (Itzykson С.) 11

Каданов (Kadanoff L. Р.) 160, 216

Калоджеро (Calogero F.) 311

Кастеляйн (Kasteleyn W. P.) 161

Кац (Кас M.) 95, 262

Кейс (Case К. М.) 326

Кирхгоф (Kirchhoff G.) 83, 262

Клуазо (des Cloizeaux U.) 11, 41, 42, 65, 118

Коксетер (Coxeter Н. S. М.) 92, 98, 176, 222

Корепин В. Е. 68, 81, 125, 229

Крински (Krinsky S.) 41, 44, 125» 216

Кулиш П. П. 229, 233, 296

Лай (Lai С. К.) 12, 237, 239

Ленард (Lenard А.) 68

Либ (Lieb Е.) 5, 8, 10, 24, 69, 81, 83, 84, 118, 119, 126, 127, 135, 150, 158, 166, 178, 204, 206, 239, 251, 261, 275

Линигер (Liniger W.) 68, 81, 83, 84, 261

•Ловенстайн (Lowenstein J. Н.) 32

Люттингер (Luttinger J. М.) 10, 112, ИЗ, 116—118, 122

Лярю (Larue R.) 6

Майяр (Maillard J. М.) 12

Макгайр (McGuire J. В.) 11, 92, 96, 219 225

Маккой (McCoy В.) 11, 41, 44, 65, 67, 81, 113, 125, 166, 216, 221

Манаков С. В. 322, 324

Маттис (Mattis D.) 24, 118, 119, 260

Мехта (Mehta М. L.) 11, 31

Михлин С. Г. 63

Мозер (Moser W. О. J.) 176, 222

Мюир (Muir Т.) 88

Нагл (Nagle J. F.) 127

Онсагер (Onsager L.) 8, 126, 217

Орбах (Orbach R.) 15, 20, 140

Пекер (Pecquer М.) 6

Пирсон (Pearson J. J.) 42

Полинг (Pauling I.) 126

Поллард (Pollard Н.) 95, 262

Рипка (Ripka G.) 11

Ричардсон (Richardson R. W.) 81,293

Решетихин Н. Ю. 296

•Сазерленд (Sutherland В.) 5, 11, 14. 127, 129, 139, 141, 143, 150, 165, 167, 168, 176, 229, 234, 251, 271,275, 279, 281, 282, 311

Сегё (Szego G.) 82, 255, 292

Склянин Е. К. 14, 229, 233, 234, 296, 331

Слэтер (Slater J. С.) 13, 70

Смирнов Ф. А. 68

Снеддон (Sneddon I. N.) 82, 261

Судзуки (Suzuki М.) 40, 125

Такахаси (Takahashi М.) 12, 40, 56, 125

Такер (Thacker Н. В.) 125

Тахтаджян Л. А. 14, 44, 229, 233

Тейяк (Teillac J.) 5

Тода (Toda М.) 11, 311, 319, 326, 330, 331

Трейси (Tracy С. А.) 68

Уиттекер (Whittaker Е.) 171, 291,327

Уокер (Walker L. R.) 41, 50

Фаддеев Л. Д. 5, 11, 44, 122, 229, 234, 236, 248, 251, 296

Фан (Fan С.) 9, 126, 129, 158, 161, 171, 176

Фишер (Fischer М. Е.) 14, 65, 216

Флашка (Flashka Н.) 322, 326

Фогедбю (Fogedby Н. С.) 14

Фробениус (Frobenius F. G.) 309

Хаммермеш (Hammermesh М.) 241

Хатсон (Hutson V.) 83, 262

Хийманс (Hijmans J.) 159

Хирота (Hirota R.) 319, 322

Хюльтен (Hulthen L.) 5, 41

Чудновски Д. (Chudnovsky D. V.) 12, 308

Чудновски Г. (Chudnovsky G. V.) 12, 308

Шварц (Schwartz L.) 74

Шрок (Schrock R. Е.) 308

Шульц (Schultz Т.) 24

Ягольницер (lagolnitzer D.) 225

Янг Ч. Н. (Yang С. N.) 5, 8—11, 20, 26, 41, 47, 60, 62, 78, 81, 84, 95, 126, 127, 141, 143, 150, 171, 174, 217, 223, 225, 229, 232, 235, 239, 242, 248, 252, 256, 271, 296

Янг Ч. П. (Yang С. Р.) 20, 26, 41, 47, 78, 84, 126, 127, 143, 150

Предметный указатель

Абелева униформизация (uniformisa- tion abelienne) 308—310

Абеля преобразование (transformation d'Abele) 262

Алгебра полевая (algebre de champs) 229—231

Анизотропный случай (extension ani- sotrope) 293—295

Антисегнетоэлектрик (antiferroelectri- que) 150

Антиферромагнетик (antiferromagneti- que) 41, 61—65

Базис представления 冗川(base de representation de冗2)285

—учитывающий сохранение спина (adaptee a la conservation du spin) 130—134

Бакстера преобразование (transformation de Baxter) 8, 197—199

Бете анзац (Anzatz de Bethe) см. Бете гипотеза

——волновая функция (fonction d'on- de) 18—19, 92—106

—гипотеза (hypothese) 5, 9, 10, 18, 219—222

доказательство для класса элементарных решений (preuve pour la classe des solutions elementaires) 221—223

—Либа метод (methode de Bethe — Lieb) 204—206

—метод (methode de Bethe) 9, 10, 15—20

—суммы (sommes) 9, 18

—уравнения (equations couplees) 20, 34, 77—78, 137—139

——асимптотическая форма (forme asymptotique) 34—35

для спектра (pour le spectre) 183—189

существование решений (existence des solutions) 78—79

Боголюбова метод 84

Бозе-газ на конечном интервале (gaz de bosons sur un intervalle) 92—96

Бозоны с точечным взаимодействиемг (bosons еп interaction delta) 10, 68—— 91, 107—112

—патологические свойств图 117-119

Борхарта равенство (egalite de Bor- chart) 88, 89

Бриллюэна зона (zone de Brilloin) 113

Бэклунда преобразование (transformation de Backlund) 320, 326

Вейля группа (groupe de Weyl) 99, 100

Вика теорема (theoreme de Wick) 165

Волна спиновая (onde de spin) 42

——S = Sz = 1 45—46

антиферромагнитная S? = 士 F (antiferromagnetique) 42——43

Sz = 0, S = 1 43—44

—уединенная (solitaire) 320—322

Волновые функции с элементарной симметрией (fonctions d'onde symet- riques elementaires) 68—70

элементарные на полуоси (sur un axe semi-infim) 92—94

Газ решеточный (gaz discret) 9

Гамильтониан обменный (hamiltonien- d'Gchange) 281

—системы бозонов (de bosons) 14, 108—111

——слабый предел (limite faible) 110— 111

一 XYZ 14, 111, 112, 166—169

Гамильтониана диагонализация (diagonalization de rhamiltonien) 121 — 125

Гамильтонианы спиновые вполне интегрируемые (hamiltoniens de spin completement integrables) 286—293

Гейзенберга——Изинга гамильтониан (Heisenberg — Ising) 108一111

цепочка (chaine) 10, 107—112'

амплитуда (amplitude) 107— 108

термодинамический предел (limite thermodynamique) 41—57

энергия (energie) 107—108

Гейне теорема (theoreme de Heine) 255

Гельфанда — Шварца теорема 74

Гильберта — Шмидта типа ядро (novau du type de Hilbert — Schmidt) 328

Гипотеза о норме (conjecture sur la norme) 80—81

Граф двойственный (dual) 299

——планарный (graphe planaire) 297—— 298

Грина теорема (theoreme de Green) 220

Гриффитса метод (methode de Griffiths) 32—33

Группа отражений (groupe de reflexions) 222

—перестановок (permutations) 221

—симметрическая 冗％ (groupe sym- metrique 冗儿)174—178

регулярное представление (representation reguliere) 175—176

Групповоё кольцо (anneau) 271, 275, 282, 285

Группы полупростые (groupes semisimples) 98—99

частные случаи, обобщения 99, 102

Пирака — Гейзенберга теория (theo- rie de Dirac et Heisenberg) 258

—система частиц (systeme de parti- cules) 121

Дырки (trous) 48

——плотности (densites) 48——49

Замолодчикова алгебра 10

Зоммерфельда метод (methode de

Sommerfeld) 312

Изинга модель (modele d'Ising) 8, 9 159—160

предел (limite) 26—27, 36—37

с четырехспиновым взаимодействием (avec interaction a 4 spins) 160

Инварианты относительные (invariants relatifs) 176—178

Инволюции (involutions) 176

Индексы критические (exposants critique) 216—218

Интеграл нормировочный (integrale de normalisation) 75—77

Интегрируемость (integrabilite) 227— 237

—полная (complete) 231—235, 322— 324

Интегрируемые системы (systemes in- tegrables) 293—295

Йордана — Вигнера преобразование (transformation de Jordan — Wigner) 34, 108, 112

Квантовые числа (nombres quan- tiques) 22, 254—258

вещественных состояний (etats reels) 24—26

состояний S^Sг (class S=S?) 37—38

———S — Sz = ш > 0 38—39

Кирхгофа формула (formule de Kirchhoff) 83

Клиффорда алгебра (algebre de Clifford) 189

Кондо гамильтониан (hamiltonien de Kondo) 122

Комплексные импульсы, асимптотическая локализация (localisation asymptotique des impulsions complexes) 27—32

предельные уравнения

(equations limites) 27—28

Комплексы (complexes) 28, 35—36

—в области |A| W 1 (dans la region) 39—40

——плотности (densites) 48——49

—равновесное распределение (distribution d^quilibre) 55

корреляционные функции (correlation) 10, 291, 293

Корреляционный радиус (longueur de correlation) 218

Кристалл одномерный (cristal unidi- mensionnel) 13

Круговой конденсатор (condensateur circulaire) 82—84

Лакса пара (paire de Lax) 233, 234

Ламе функции (fonctions de Lame) 291

Ландау ——Лифшица модель 52, 233

Ландена преобразование (transformation de Landen) 173, 177, 193

Лапласа уравнение (equation de Laplace) 291

Ли алгебра (algebre de Lie) 295—297

——группы исключительные (groupes de Lie exceptionnels) 102, 104

Либа метод (methode de Lieb) 8, 135—137

обобщение (adaptation) 275― 277

Лиувилля теорема (theoreme de Liouville) 192, 193

Люттингера модель (modele du Liit- tinger) 10, 112—119

гамильтониан (hamiltonien) 113—115

спектр и волновые функции (spectre et fonctions d'onde) 116— 117

Лява уравнение (equation de Love) 82, 261

Максвелла задача электростатики на плоскости (probleme d'Glectrostati- que а 2 dimensions de Maxwell) 83, 84, 262

Марченко интегральное уравнение 326

Матрица перехода (matrice de passage) 229, 231, 235—236

—рассеяния нетождественных частиц (collision pour des particules discer- nables) 224—225, 230

Матье функции (fonctions de Matthieu) 327, 328, 329

Метод вычисления элементарных возбуждений (methode de calcul des excitations elementares) 44—46

—операторный (operatorielle) 248— 250

Модель восьмивершинная (modele des huit vertex) 9, 10, 157—194 определение 158—159

параметр порядка (parametre d'ordre) 217—218

самосопряженная (auto-conju- gue) 160, 162—166

собственные векторы (vecteurs propres) 195—218

—термодинамика (thermodynanaique) 195—128

—жестких шестиугольников см. Модель шестивершинная

—льда (glace) 9, 126 —128

двумерная (bidimensionnel) 127—128

—одномерного металла (metal a une dimension) 13—14

—типа Изинга (type d'Ising) 196— 197

—шестивершинная (six vertex) 8, 11, 126—157, 166

неоднородная (inhomogene) 10, 201—202, 243—245

решение (solution) 245—247

Модуль (module) 192

Неймана ряд (serie de Neumann) 63, 262

Нернста теорема (theoreme de Nernst)， 127

Нормировка (norme) 291—293

——состояний непрерывного спектра» (normalisation des etats du continu) 70—77

Обобщение по аналогии (generalisation par analogic) 96—98

Обобщенный калейдоскоп (kaleidoscope generalise) 96—102

Операторная фирма собственных состояний (forme opertorielle des- etats propres) 268

Операторы (operateurs) 174

Орбаха параметризация (parametrisation d'Orbach) 20—21, 140

Отражение (reflexion) 176

Отталкивание (repulsif) 259

Параметров преобразование (transformation des parametres) 172—173

Паскаля треугольник (triangle arith- metique de Pascal) 265

Паули принцип (principe de Pauli) 14, 163, 237

Переменные действие — угол (variable angle — action) 329—331

Периодические граничные условия

(conditions aux limites periodiques) 77—81

Перманент (permanent) 255

Перона ——Фробениуса теорема (theoreme de Peron — Frobenius) 139

Планка постоянная (constante de Plank) 233, 329

Поверхностное натяжение (tension interfaciale) 216—217

Полный спин (spin total) 22—24

Предел модели Изинга (limite d'Ising) 58—60

——нулевой константы связи (соир- lage nul) 282—285

температуры (limites T = 土0) 60—66

—рекуррентных соотношений (equations recurrentes) 60—61

— термодинамический (thermodyna- mique) 81—85, 210—215

общий метод (methode generale) 210—212

системы фермионов (systeme de： fermions) 254—263

(A > 1) 142—144

——(A V 1) 144—147

—Т = 8 66—67

предельные комплексы (complexes li- mites) 28—30

асимптотическое решение (solution asymptotique) 30—32

Предельный базис (base limite) 283—— 284

—спектр (spectre) 282—283

Притяжение (attractif) 256,259,

260—263

Псевдоэнергии, асимптотики (pseudoenergies) 53

Пуанкаре — Биркгофа — Вита теорема, аналог 230

Разложение в окрестности Т = 0 (cal- culs au voisinage) 65—66

Редукция (reduction) 280

Сазерленда система уравнений (equations couplees de Sutherland) 11, 279—282

Сегнетоэлектрик (ferroelectrique) 9, 150

Система димеров (systeme de dime- res) 161—162

——различимых частиц (particules dis- cernables) 310—313

— фермионов (fermions) 112—113

Слагаемые запрещенные (termes dan- gereux) 246, 275, 276

Собственные значения (valeurs рго- pres) 139—142

разделение переменных (de- couplage) 16—18

Солитон (soliton) см. Волна уединенная

Соотношение полноты (relation de fermeture) 72—75

Соотношения звезда — треугольник (etoile —triangle 10, 297—306

——в несамосопряженном случае (sans autoconjugaison) 301—302

—— —— ——для восьмивершинной модели (rnodele des huit vertex) 298— 300

—решеточного газа с исклю

чением соседей (modele de gaz dis- cret avec exculsion des voisins) 302—306

—тернарные (ternaire) 288—300

с симметрией Z5 (symetrie Z5) 301—306

—Z另 306—310

'Состояние антиферромагнитное ква- ：ивырожденное (etat antiferromag- netique quasi — degenere) 42

—основное (fondamental) 81 —82, 254—263

антиферромагнитное (antiferro- magnetique) 41—42

газа с притяжением (gaz attractif) 260—263

интегральные уравнения для энергии (equations integrales pour Penergie) 258—260

с заданной намагниченностью (magnetisation donnee) 44——45

состояния связанные (etats lies) 35— 36, 225, 261

Спектр (spectre) 291—293

Статистическая сумма (fonction de partition) 164—166

Стокса теорема (theoreme de Stockes) 99

Струны см. Комплексы

Термодинамика при ненулевой температуре (thermodynamique a temperature non nulle) 47—56, 84—85 --—-метод 47—48 термодинамическая функция (fonction thermodynamique) 51—56

энтропия и энергия (fonctionnelles energie et entropie) 47—51

Тернарные соотношения (relations ternaires) 329—331

алгебра (algebre) 227—236

Тирринга модель (modele de Thirring) 10, 112—119, 122, 125

массивная (massif) 119——121

непрерывный предел (limite continue) 119—121

Тодьь цепочка (chaine de Toda) 11, 319—331

Тождественные частицы с точечным взаимодействием (particules iden- tiques en interaction delta) 219—240 общее решение для двух внутренних состояний 241——270 几 компонент,

предельные случаи 271—285

Трансфер-матрица (matrice de transfer!) 34, 162—173, 229

—в специальном базисе (base adap- tee a la symetrie) 271—274

——диагонализация (diagonalisation) 134—139, 178—189

циклическая инвариантность (invariance cyclique) 134—135

—неоднородная (inhomogene) 174— 175, 203—204

— — построение 181—183 тождества 178—183 Трансфер-матрицы коммутирующие (commutantes) 169—173

Уравнения для амплитуд (equation pour les amplitudes) 15—16

спектра фермионов (equations couplees pour le spectre des fermions) 247—248

— интегральные (integrates) 258— 260

Условия периодичности (conditions de periodicite) 19—20, 226—227, 277— 278

совместность (compatibilite) 227

Фаддеева метод 11

Фазовые переходы в нулевом поле (nature des transitions en champ nul) 147—150

<1)акторизация S-матрицы (factorisa- toin de la matrice S) 225, 229

■Фейнмана теорема (theoreme de Feynman) 81

■Ферми импульс (impulsion de Fermi) 258

Гермионы спина % (fermions de spin %) 241—248

первоначальный метод решения 251—254

условия симметрии (conditions de symetrie) 241—243

•Ферромагнетик (ferromagnetique) 41, 64

Фока условие (condition de Fock) 241, 242, 251, 252, 253, 279

Фробениуса квадратичные соотношения (formule quadratique de Frobenius) 308, 309, 310, 316, 317, 318 eyHKUHH собственные, интегральное уравнение (fonctions propres) 327— 329

@урье ряд (serie de Fourier) 49——50

Хаббарда и Лая модели (modeles de Hubbard et de Lai) 237—240

Характер (caractere) 256

Цепочка атомов спина % (chaine d'atomes de spin %) 9, 13—40

термодинамика (thermo- dynamique) 58—67

——бесконечная, решение М-солитон- ное (infinie, solution а М solitons) 324—326

——квантовая (quantique) 326——327 магнитная (magnetique) 14

— открытая (ouverte) 102—104

—спинов, непрерывный предел (li- mite continue) 107—125

Шредингера уравнение (equation de Schrodinger) 68, 69, 70, 92, 99, 100, 111, 116, 121, 219, 220, 237, 325 элементарное решение (solution elementaire) 219

условия согласования (conditions de raccordement) 220—221

Эйлера метод алгебраический (methode algebrique d'Euler) 192

Эллиптическая униформизация (uni- formisation elliptique) 171—172, 183—185

——функция амплитуды (fonction amplitude elliptique) 151

Эллиптические параметры (parametres elliptiques) 183

—функции (fonctions elliptiques) 176—178, 191 — 194

Энергий спектр (spectre d'Cnergie) 94—95

Энергия (energie) 50

——граничная (extremite, frontiere) 92

в основном состоянии (dans Petat fondamental) 95—96

—свободная (libre) 51, 54, 55, 139— 153, 212—215

вариация (variation) 51——53

сингулярности при наличии поля (singularites en presence de champ) 150—158

Энтропия (entropie) 51

Юнга диаграмма (diagramme d'Young) 231

—таблицы (tableaux) 223, 228, 237, 242, 271, 280, 286

Якоби матрица (matrice Jacobienne) 292

—преобразование (transformation de Jacobi) 173, 177, 194

—соотношения (relations quarti- ques) 171, 174, 193, 207, 208, 294, 308, 310

обобщение 313—316

—функции 192, 304, 32 2

Янга операторы (operateurs de Yang) 235

—представление (representation de Yang) 223—227

——для л% 223

Оглавление

Предисловие редактора перевода О научной серии СЕ А Предисловие к книге М. Годена Введение

Цепочка атомов спина 1/2

Модель одномерного металла

Метод Бете

Параметры и квантовые числа

Асимптотическая локализация комплексных импульсов

Классификация и подсчет состояний

Термодинамический предел цепочки Гейзенберга——Изинга

Результаты для основного состояния и элементарных возбуждений

Метод вычисления элементарных возбуждений .......

Термодинамика при ненулевой температуре: энергия и энтропия （А 》1） •.

Термодинамика при ненулевой температуре: термодинамические функции

Приложение А

Термодинамика цепочки спинов 1/2. Предельные случаи

Предел модели Изинга

Пределы 7 = ±0

Предел 7=8

Бозоны с точечным взаимодействием

Волновые функции с элементарной симметрией

Нормировка состояний непрерывного спектра

Периодические граничные условия

Термодинамический предел

Приложение В

Приложение С

Приложение D

Волновые функции Бете, связанные с группой отражений ....

Бозе-газ на конечном интервале

Обобщенный калейдоскоп

Открытая цепочка Приложение Е

5 6 7 8

1- t* ^» 7/ 11 ft^ 444455

58

806 8 8071591

566 6 6778889

2 2 6 2 4

9 9 9 0 0

Непрерывный предел спиновой цепочки107

Бозоны с точечным взаимодействием и цепочка Гейзенберга —— Изинга . ..... Ю7

Модели Люттингера и Тирринга112

Массивная модель Тирринга119

Диагонализация "夕 121

Шестивершинная модель126

Модель льда 126

Трансфер-матрипа128

Диагонализация трансфер-матрицы134

Свободная энергия и поляризуемость139

Приложение F . . 153

Приложение G . . 156

Восьмивершинная модель 158

Определение и эквивалентные модели 158

Трансфер матрица и симметрии самосопряженной модели . . . . 162

Связь ХУ2-гамн〃ьтониана и трансфер-матрицы . ..... 166

Однопараметрическое семейство коммутирующих трансфёр-матриц 169

Представление симметрической группыnN174

Диагонализация трансфер-матрицы178

Уравнения Бете для спектра 183

Приложение Н 189

Приложение I . 191

9 Восьмивершинная модель. Собственные векторы. Термодинамика . . 195

Сведение к модели типа Изинга 195

Эквивалентность шестивершинноймодели201

.Термодинамический предел . .210

Различные результаты о критических индексах216

Тождественные частицы с точечным взаимодействием219

Гипотеза Бете 219

Представление Янга223

Алгебра тернарных соотношенийиинтегрируемость227

О моделях Хаббарда и Лая. .237

Тождественные частицы с точечным взаимодействием. Общее решение для двух внутренних состояний . . 241

Фермионы спина 1/2241

Операторный метод 248

Набросок первоначального метода решения задачи о фермионах 251

О термодинамическом пределе системы фермионов в окрестности основного состояния 254

Приложение J 263

Приложение К267

Приложение L 268

Тождественные частицы с точечным взаимодействием. Общее решение для п компонент и предельные случаи271

Трансфер-матрица Z® в специальном базисе271

Рекуррентная диагонализация матрицы Z. 275

Предел нулевой константы связи282

Следствия и различные обобщения

Об одном классе вполне интегрируемых спиновых гамильтонианов

. Другие примеры интегрируемых систем

. Тернарное соотношение и соотношение звезда — треугольник ..

4. Тернарное соотношение с Z5 симметрией

5. Тернарные соотношения с симметрией Z§

. Замечания о системе различимых частиц

Приложение М

Приложение N

О цепочке Тоды

Описание модели

Преобразование Бэклунда

Уединенная волна

Полная интегрируемость

Л4-солитонное решение для бесконечной цепочки

Квантовая цепочка

Интегральное уравнение для собственных функций

Тернарные соотношения и переменные действие ——угол ....

Литература ..

Именной указатель

Предметный указатель

Монография

286

6371 6 036

8990 0 111

2223 3 333

9

31

90024679

12222222

33333333

2 3 5

333434

Мишель Годен

ВОЛНОВАЯ ФУНКЦИЯ БЕТЕ

Ст. научный редактор И. А. МаховаяMjj. научный редактор И. В. ГерасимоваХудожник О. С. ВасильковаХудожественный редактор В. И. ШаповаловТехнический редактор А. Л. ГулинаКорректор Т. П. Берлизова

И Б № 5993

Сдано в набор 16.09.86. Подписано к печати 26.02.87. Формат 60X 90*/i6. Бумага типографская № 1. Печать высокая. Гарнитура литературная. Объем 11,00 бум. л. Усл. печ. л. 22,00. Усл. кр.-отт. 22,00 Уч. -изд л. 19,57. Изд. № 1/4793. Тираж 3800. ькз. Зак. 2215. Цена Зр. 10 к.

ИЗДАТЕЛЬСТВО «МИР> 129820, ГСП. Москва, И-110, 1-й Риж-ский пер., 2

Отпечатано с матриц Ленинградской типографии № 2 головного предприятия ордена Трудового Красного Знамени Ленинградского объединения «Техническая книга» им. Евгении Соколовой Союзполиграфпрома при Государственном комитете СССР по делам издательств, полиграфии и книжной торговли. 198052, Ленинград, Л-52. Измайловский проспект, 29 в Ленинградской типографии № 4 ордена Трудового Красного Знамени Ленинградского объединения «Техническая книга» им. Евгении Соколовой Союзполиграфпрома при Государственном комитете СССР по делам издательств, полиграфии и книжной торговли. 191126, Ленинград, Социалистическая ул., 14.

1) Эта система интегрируема также и при п > 2 (Тахтаджян, 1977).— Прим. ред.

9 О спектре вполне интегрируемых квантовых моделей с О(п)-симметрией; см. (Решетихин, 1975*). — Прим. ред.

МЛЪден

Волноваяфункция Бете

COLLECTIONDUCOMMISSARIAT A L喧NERGIE ATOMIQUECollection patronnee par le Haut-Commissaire a「Energie AtomiqUeet publiee sous la direction de Paul BONNET

SERIE

SCIENTIFIQUE

Public sous la direction de Robert DAUTRAYMembre de Plnstitut

LA FONCTIOND'ONDE

DE BETHE

PAR

Michel GAUDIN

MASSON

Paris New York Barcelone MilanMexico Sao Paulo

1983

М.ГЪден

Волноваяфункция Бете

Перевод с французскогоП. П. Кулиша и Е. К. Склянинапод редакциейЛ. Д. Фаддеева

Москва《Мир» 1987

ББК 22.31

Г 59

УДК 51-72:530.145

Годен М.

Г 59 Волновая функция Бете: Пер. с франц. — М.: Мир, 1987. — 352 с., ил.

Монография активно работающего французского специалиста, посвященная методу точного решения обширного класса моделей квантовой механики и статистической физики. Обсуждаются связи с квантовым методом обратной задачи, приводятся недавно полученные результаты. Изложение отличается высоким уровнем математической строгости.

Для специалистов по алгебрам и группам Ли, геории представлений, функциональному анализу, теории чисел, для физиков-теоретиков, а также аспирантов и студентов физико-математических специальностей

33-87, ч. 133-87, ч. 1ББК 22.31ББК 22.311702070000-301

33-87, ч. 1

33-87, ч. 1

ББК 22.31