Книга
← К списку книгЗагрузка разделов…
активнаАктивные записи участвуют в каталоге и синках. Неактивная книга скрыта, но не удалена из базы.
Книга
ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА
В данный сборник включены переводы обзорных лекций по различным аспектам статического и динамического скейлинга, прочитанные крупнейшими специалистами в фермиевской (51-й) школе по физике в Варение (Италия)в 1970 г.1) Совместно с уже вышедшим на русском языке переводом обширного обзора М. Фишера (в сборнике «Устойчивость и фазовые переходы», изд-во «Мир», Москва, 1973) данный сборник знакомит советских физиков практически со всей теоретической проблематикой упомянутой школы.
В лекциях Л. Каданова всесторонне обсуждается концепция универсальности фазовых переходов, физическую подоснову которой Каданов полагает в том, что определяющим в фазовом переходе является взаимодействие флуктуаций, охватывающих все большие участки системы по мере стрем* ления Т к Th. Естественным первым приближением здесь является картина капель со скоррелированными свойствами, причем эффективный размер капель — корреляционная длина ^ — возрастает при Т -> Тк как (Т — Tk)~v. Каданов элегантно и просто выводит из этих концепций конкретный вид различных корреляторов в окрестности 7\.
Лекции Г. Стелла посвящены малоисследованному вопросу: возможности существования двух новых корреляционных длин. При этом одна из них (Л) может быть соотнесена с характерным размером флуктуаций плотности при наличии межфазной границы, а другая (Л) —с характерной величиной флуктуаций температуры. Асимптотика парной корреляционной функции при этом дается суммой двух «скейлинговых» функций от аргументов г/§ и r/Л или r/Л соответственно. Можно спорить с весьма категоричным утверждением автора, что Л и Л являются более фундаментальными характеристиками фазового перехода, нежели ^, поскольку они несут информацию о фазовом переходе при наличии двух фаз. Следует, однако, иметь в виду, что в этих лекциях разбираются новые проблемы, несомненно заслуживающие самого пристального внимания, особенно при интерпретации фазовых превращений в конкретных системах.
Полевой подход к теории фазовых переходов изложен в лекциях итальянских ученых Ф. де Паскуале, К. ди Кастро
’) Critical Phenomena. Proc. Int. School Phys. «Enrico Fermi», Course LI., Acad. Press, New York —London, 1971.
и Г. Йона-Лазинио. Центральным моментом здесь является использование ренормализационной группы в ее традиционной формулировке (см., например, Н. Н. Боголюбов, Д. В. Ширков, Введение в теорию квантовых полей, Москва, 1973) для обоснования гипотезы статического скейлинга; при этом используется полевая формулировка модели Изинга, опирающаяся на формулу Хори.
Динамическая картина в окрестности точки фазового перехода обсуждается в лекциях К. Кавасаки и П. Хоенберга. Большой феноменологический обзор Хоенберга посвящен главным образом ситуации в сверхтекучем гелии (довольно детально изученном экспериментально) и антиферромагнетиках (для которых также имеются экспериментальные данные) . Удачно, на наш взгляд, обсуждаются механизмы поглощения ультразвука выше и ниже Тх, впечатляюще иллюстрируется справедливость основных постулатов динамического скейлинга.
Некоторый полумикроскопический подход к описанию кинетических явлений в окрестности Тх предложен и обсужден в лекциях К. Кавасаки. Автор на базе классической механики (хотя это и не принципиально) определенным образом выбрал «грубые переменные», — они могут быть выбраны так, чтобы динамика их поведения была асимптотически близка к динамике с характерной частотой скейлинга, и развил метод получения временных корреляционных функций. Он основывается на предложенном автором обобщении уравнения Фоккера — Планка. Естественно, изложенный в этих лекциях подход к построению кинетических уравнений не является единственным: и в нашей стране, и за рубежом предложены улучшения и модификации, которые, возможно, позволят лучше описать динамику систем в критической области.
На русском языке фактически нет хороших простых обзоров по затронутым в этих последних двух лекциях проблемам, что обусловливает их особую ценность.
Предлагаемый сборник является прекрасным современным дополнением к недавно изданной в СССР книге Г. Стенли «Фазовые переходы и критические явления»; с другой стороны, привлекая внимание читателей к нерешенным вопросам теории фазовых переходов — они отмечаются на всем протяжении лекций, — он, несомненно, будет способствовать прогрессу в этой важной области физики.
Критические явления, гипотеза универсальности,скейлинг и капельная модель
л. п. каданов*
ВВЕДЕНИЕ
Все проблемы, относящиеся к фазовым переходам, могут быть описаны практически в одних и тех же терминах. В основе такого описания лежит концепция параметра порядка, принимающего различные значения в сосуществующих фазах и, следовательно, претерпевающего конечный скачок в процессе фазового перехода. Величина этого скачка характеризует количественную разницу между сосуществующими фазами. Если скачок конечен и отличен от нуля, то имеет место переход первого рода; при приближении к критической точке величина скачка стремится к нулю.
Так, например, в случае фазового перехода жидкость — газ параметром порядка может служить число частиц в заданном объеме. При низких температурах разница между плотностями газа и насыщенного пара велика. По мере увеличения температуры (фиг. 1) эта разница плотностей уменьшается до тех пор, пока (при критической температуре) не обратится в нуль. При всех температурах выше Тс фазовый переход невозможен. Именно так ведет себя одноосный ферромагнетик. Параметром порядка здесь служит намагниченность, которая изменяет знак в процессе перехода между двумя возможными направлениями намагниченности). По мере увеличения температуры спонтанная намагниченность) уменьшается по абсолютной величине и обращается в нуль
и Г. Иона-Лазинио. Центральным моментом здесь является использование ренормализационной группы в ее традиционной формулировке (см., например, Н. Н. Боголюбов, Д. В. Ширков, Введение в теорию квантовых полей, Москва, 1973) для обоснования гипотезы статического скейлинга; при этом используется полевая формулировка модели Изинга, опирающаяся на формулу Хори.
Динамическая картина в окрестности точки фазового перехода обсуждается в лекциях К. Кавасаки и П. Хоенберга. Большой феноменологический обзор Хоенберга посвящен главным образом ситуации в сверхтекучем гелии (довольно детально изученном экспериментально) и антиферромагнетиках (для которых также имеются экспериментальные данные). Удачно, на наш взгляд, обсуждаются механизмы поглощения ультразвука выше и ниже 7\, впечатляюще иллюстрируется справедливость основных постулатов динамического скейлинга.
Некоторый полумикроскопический подход к описанию кинетических явлений в окрестности Тх предложен и обсужден в лекциях К. Кавасаки. Автор на базе классической механики (хотя это и не принципиально) определенным образом выбрал «грубые переменные», — они могут быть выбраны так, чтобы динамика их поведения была асимптотически близка к динамике с характерной частотой скейлинга, и развил метод получения временных корреляционных функций. Он основывается на предложенном автором обобщении уравнения Фоккера — Планка. Естественно, изложенный в этих лекциях подход к построению кинетических уравнений не является единственным: и в нашей стране, и за рубежом предложены улучшения и модификации, которые, возможно, позволят лучше описать динамику систем в критической области.
На русском языке фактически нет хороших простых обзоров по затронутым в этих последних двух лекциях проблемам, что обусловливает их особую ценность.
Предлагаемый сборник является прекрасным современным дополнением к недавно изданной в СССР книге Г. Стенли «Фазовые переходы и критические явления»; с другой стороны, привлекая внимание читателей к нерешенным вопросам теории фазовых переходов — они отмечаются на всем протяжении лекций, — он, несомненно, будет способствовать прогрессу в этой важной области физики.
Критические явления, гипотеза универсальности,скейлинг и капельная модель
л. п. каданов*
ВВЕДЕНИЕ
Все проблемы, относящиеся к фазовым переходам, могут быть описаны практически в одних и тех же терминах. В основе такого описания лежит концепция параметра порядка, принимающего различные значения в сосуществующих фазах и, следовательно, претерпевающего конечный скачок в процессе фазового перехода. Величина этого скачка характеризует количественную разницу между сосуществующими фазами. Если скачок конечен и отличен от нуля, то имеет место переход первого рода; при приближении к критической точке величина скачка стремится к нулю.
Так, например, в случае фазового перехода жидкость — газ параметром порядка может служить число частиц в заданном объеме. При низких температурах разница между плотностями газа и насыщенного пара велика. По мере увеличения температуры (фиг. 1) эта разница плотностей уменьшается до тех пор, пока (при критической температуре) не обратится в нуль. При всех температурах выше Тс фазовый переход невозможен. Именно так ведет себя одноосный ферромагнетик. Параметром порядка здесь служит намагниченность, которая изменяет знак в процессе перехода между двумя возможными направлениями намагниченности). По мере увеличения температуры спонтанная намагниченность) уменьшается по абсолютной величине и обращается в нуль
в критической точке Тс, называемой температурой Кюри. Выше Тс спонтанная намагниченность остается равной нулю.
В каждом случае полное описание фазового перехода требует использования свободной энергии и дополнительных полевых переменных. Поля представляют собой интенсивные термодинамические переменные, меняющиеся непрерывным образом в процессе фазового превращения. Типичными полевыми переменными являются температура, химический потенциал, магнитное поле и давление. Обычно применяют две
Фиг. 1. Схематическая диаграмма зависимости давления от плотности вблизи критической точки перехода жидкость — газ.
полевые переменные. В ферромагнитном случае, например, в качестве одной из полевых переменных выбирают магнитное поле /г; оно используется для перевода системы из одной сосуществующей фазы в другую. Другое поле, например
используется для осуществления «ортогональных» изменений, т. е. для перевода системы по направлению к критической точке или от нее.
Свободная энергия в таком случае выражается через полевые переменные: F = F(h, е). Полный дифференциал свободной энергии, записанный в виде
dF = Mdh-VWds, (2)
определяет пару термодинамически сопряженных переменных (Л1,/г) и ((<^),е). При таком определении переменная М, со-
пряженная полю /г, является параметром порядка. В большинстве случаев переменная, сопряженная второму полю, интерпретируется как энергия.
В окрестности критической точки становится все более очевидным качественное подобие проблематики, касающейся различных фазовых переходов. Рассмотрим, например, вторые производные свободной энергии:
-^-^((SAf)2)—сильно сингулярна,
дгр
h d ~ (dAf 65^) — промежуточная степень (3)
8сингулярности,
-^-~{дЗ^ 65^) ^- слабо сингулярна.
В магнитном случае первая из этих производных представляет собой магнитную восприимчивость %, вторая есть производная намагниченность по температуре, третья—теплоемкость при постоянном магнитном поле. Вторые производные всегда можно выразить через корреляции флуктуаций параметра порядка М и энергии Н. Все проблемы, касающиеся фазовых переходов, связаны с сильными флуктуациями параметра порядка, вследствие чего первое выражение формулы (3) характеризуется сильно сингулярным поведением в окрестности критической точки. Более слабые флуктуации энергии обусловливают намного более слабую сингулярность теплоемкости.
Для количественной характеристики этих качественных утверждений заметим, что при критическом значении первого поля (/г = 0) экспериментальные результаты можно выразить через сингулярность этих производных, представляя их в виде некоторых степеней е = (Т—Тс)/Тс. Так, например, производная, соответствующая наибольшей сингулярности, обычно записывается следующим образом:
( 8-v Т > Т
<(W)~ (4)
Для Т < Тс величина параметра порядка стремится к нулю при е —> 0:
(А4)~(—е)е,(5а)
л. п. каданов
так что второе соотношение в выражении (3), являющееся производной (Af) по е, ведет себя как
0М б5^>~(—8)~(1"е).
Наконец, теплоемкость при Т -> Тс обычно представляется следующим образом:
(5в)(5в)^^_А\6-а_ !]+В, Т>ТС1
(5в)
(5в)
W ~ ^_ [(_ &Г»- _ 1] + В; т<Те.
В частном случае а = 0 расходимость выражения (5в) носит логарифмический характер.
В табл. 1 собраны некоторые данные по критическим индексам. Они с очевидностью свидетельствуют о разделении сингулярностей на сильные, промежуточные и слабые:
(6)(6)у > (1 — Р) > а.
(6)
(6)
ТАБЛИЦА 1
Сингулярности различных термодинамических производных
Вид фазового перехода
Сильная сингулярность
У
Промежуточная сингулярность 1-е
Слабая сингулярность а
Теория среднего поля
1
72
0
Модель Изинга для
d = 2
74
7»
0
СО2, Хе, 4Не
1,25
0,65
~0,1
Модель Изинга для
d=3
1,25
0,685
0,125
Более того, приведенные в таблице значения для а, р, у обнаруживают примечательную закономерность. Различные, в достаточной мере далекие по своим свойствам системы обладают весьма близкими значениями этих индексов. Эта эмпирическая закономерность привела различных исследователей к выводу, что частные детали системы, претерпевающей фазовое превращение, возможно, несущественны и что, по- видимому, проблематика фазовых переходов в различных си-
стемах по существу идентична *). Эта идея может быть сформулирована более аккуратным образом в рамках гипотезы универсальности.
Все проблемы, касающиеся фазовых переходов, можно разделить на небольшое число различных классов в зависимости от размерности системы и симметрии упорядоченного состояния. Внутри каждого класса все фазовые переходы обладают идентичным поведением в критической области, меняется лишь наименование переменных.
Чтобы понять физическую основу концепции универсальности, мы должны рассмотреть источник сингулярности величин в критической области. Рассмотрим, например, магнитную восприимчивость %, которая может быть записана в терминах флуктуаций параметра порядка так:
x = ((W>.
Если намагниченность представить как интеграл по всему пространству от плотности намагниченности,
М = пг (г) dr, то восприимчивость запишется в виде
X = ^ (б/п (г) б/п (г')) dr dr',(7)
так что восприимчивость на единицу объема имеет вид2) у = ^ (б/п (г) dm (0)) dr.(8)
Известно, что по мере приближения к критической точке восприимчивость расходится. Как это может быть? Плотность намагниченности, фигурирующая в выражении (8), как известно, величина ограниченная, так что подынтегральная функция не может обращаться в бесконечность. Единственным возможным источником наблюдаемой сингулярности
*) Высказанное предположение является одной из самых старых идей теории фазовых переходов. Эта идея обсуждалась, например, в связи с приближением среднего поля в книге Ландау и Лифшица [1]. Недавно Гриффитс [2] и Каданов [3] еще раз всесторонне обсудили это предположение.
Здесь использовано то обстоятельство, что в силу трансляционной инвариантности коррелятор (6m(г')6m(г)) зависит лишь от (г —г'), и произведен переход к переменным) (г *^~") > (г — г ). — Прим, рео.
может быть то, что по мере приближения к критической точке область, в которой подынтегральная функция имеет заметную величину (большой «радиус действия»), возрастает. Физически это означает, что мы должны принимать во внимание корреляции флуктуаций в областях все более увеличивающегося размера. Это позволяет заключить, что критические явления обусловлены флуктуациями параметра порядка в областях (доменах), размеры которых увеличиваются по мере приближения к критической точке.
Радиус области, внутри которой могут существовать заметные корреляции, называется длиной когерентности §. По мере • приближения к критической точке термодинамические производные стремятся к бесконечности, поскольку § стремится к бесконечности. Чтобы понять, почему § стремится к бесконечности, проще всего рассматривать флуктуационные явления в фазовом превращении жидкость — газ.
Чуть ниже критической температуры эта система обладает «свободой выбора» между жидкостью (фаза с высокой плотностью) и паром (фаза с низкой плотностью). Оба состояния в равной мере пригодны.
Однако поскольку жидкость «желает» быть в контакте с жидкостью, а пар с паром1), то система должна «сделать выбор».
При температуре и давлении вблизи их критических значений в эту «процедуру выбора» вовлекается весь объем жидкости. Естественным образом возникающая флуктуация приводит к появлению капли чужеродной фазы. Эта капля состоит из вещества, отличного по своим свойствам от того, что ее окружает, но имеет ту же самую плотность и размеры ее увеличиваются по мере приближения к Тс. Когда изменение свободной энергии при образовании капли чужеродной фазы становится сравнимым с кТ, ее рост прекращается. Поскольку вблизи критической точки для образования капли чужеродной фазы необходимо затратить очень мало свободной энергии на единицу объема, то капля может вырасти до очень большого размера.
Длина когерентности § и есть характерный размер такой капли. По мере приближения к критической точке затраты свободной энергии на возникновение капли приближаются к нулю и размеры типичной капли § стремятся к бесконечности. Возникновение и исчезновение этой капли можно рас-
*) Из-за отсутствия межфазной границы. — Прим. ред.
сматривать как колебания в «принятии решения», которые совершает система, выбирая, какой фазой ей стать.
Отметим, что это явление довольно легко наблюдаемо. Вдали от критической точки флуктуирующие капли существуют, однако они слишком малы, чтобы заметным образом рассеивать свет. (Напомним, что интенсивность света, рассеиваемого маленькими каплями, пропорциональна шестой степени их радиуса.) Однако, по мере того как жидкость приближается к критической точке, в ней возникают флуктуирующие капли, размеры которых достаточно велики, чтобы вызывать заметное рассеяние света. При этом жидкость мутнеет. Этот эффект называется критической опалесценцией.
Возвратимся теперь к гипотезе универсальности. С точки зрения физики эта гипотеза базируется на наблюдении, что критические явления определяются в первую очередь флуктуациями М. и (&), которые проявляются в некотором масштабе, много большем, чем радиус межатомных сил. В таком случае эти флуктуации не могут «ощущать» все детали межатомного потенциала. Они «чувствуют» лишь некоторые крупномасштабные черты потенциала: например, количественное нарушение точной симметрии (измеряемое с помощью /iz) или же расстояние от критической точки (определяемое величиной е). Природа флуктуаций определяется в основном симметрией параметра порядка и размерностью системы.
Универсальность отражает связь между фазовыми превращениями, физически проявляющимися различным образом. Теоретик, обсуждая эту связь, предположил, что свободная энергия зависит еще от одного поля, отличного от введенных выше. Обозначим это поле через X, а термодинамически сопряженный ему оператор через t7. Здесь X представляет некий параметр гамильтониана. Непрерывное "изменение X от нуля до единицы могло бы соответствовать изменению гамильтониана от используемого в модели Изинга до используемого в модели Гейзенберга, что соответствует переходу от № к Ее или же от учета взаимодействия между ближайшими соседями к учету взаимодействия между следующими соседями. Таким образом, обсуждение ситуации с помощью поля X и термодинамически сопряженного ему оператора U является по существу обсуждением соотношений между различными проблемами, связанными с фазовыми переходами.
Такое математическое переопределение задачи может быть просто учтено, если полагать, что теперь свободная энергия становится функцией /г, е и X
F = F(s, А, X),(9)
дифференциал которой
dF = (X)dhAA^W-HPW-(10)
Мы надеемся, что в некотором смысле X является несущественной переменной. В табл. 2 представлены примеры такого рода новых пар сопряженных переменных.
ТАБЛИЦА 2
Переменные для различных фазовых переходов
Вид фазового перехода
Первая пара
Вторая пара
Третья пара
параметр порядка
сопряженная величина
сопряженная величина
к
Ферромагнитный
М2
Нг
W
е
Нб.с Нс.б.с
Отношение интенсивности взаимодействия ближайших и следующих за ними соседей
Антиферромагнитный
Намагниченность подрешетки
Переменное магнитное поле
н
е
М2
Н2
Жидкость — газ
N — Nc
р— рс (Г)
H — pJN
е
Кинетическая энергия — потенциальная энергия
Параметр Де Бура
Сверхтекучесть
(Ф>
Физический смысл отсутствует
н
8
N
И
Наиболее четко выявляются те следствия универсальности, которые можно проверить на опыте в простейшем случае магнитного фазового перехода в одноосном ферромагнетике. Выберем в качестве основных переменных е и А. Таким образом, точке фазового перехода отвечают е = 0 и А = 0. Будем полагать теперь, что % есть некоторый внутренний параметр типа отношения константы взаимодействия между ближайшими соседями к константе взаимодействия с соседями, следующими за ближайшими, который не меняет основной симметрии относительно А = 0.
В данном случае универсальность означает, что основные термодинамические функции и корреляционные функции зависят от X лишь посредством тривиальной перенормировки переменных. Их функциональная связь при X #= 0 является такой же, как и для X = 0. Однако переменные в этих зави7 симостях изменятся таким образом, что каждая из них (А, е или Af) умножается на параметры a, b, с, d, зависящие от X. Если эти заключения справедливы, то критические индексы, которые являются показателями степени в различных сингулярностях, а также форма корреляций и термодинамических функций не должны зависеть от X (табл. 3).
ТАБЛИЦА 3
Пример использования гипотезы подобия
В данном случае X есть отношение констант взаимодействия ближайших соседей (б.с.) и соседей, следующих за ближайшими (с.с.б.). Гриффитс и КаДанов [2, 3] независимо пришли к такой формулировке универсальности.
Переменные
в = (Г - Тс W^TC W, А = MBH^kBTc, X = 7с.с.б/7б.с
Формы записи при А. = 0
(Л?)=/п0(А, е), (о2 (0) ог (г)) =^0 (А, е, г)
Универсальность означает, что при А^О
(М) = amQ(h, ё), (о2 (0) о2 (г)) = ^-go lh, ё, г), h=bh, в = св, f — dr
Подтверждением этой точки зрения могут служить работы по уравнению состояния для СОг, Хе и Не, выполненные Вичентини-Миссони, Левелт-Зенгерсом, Грином [4] и Шофиллом, Листером и Хо [5]. Обе группы исследователей пришли к заключению, что эти очень разные газы в окрестности критической точки можно описать универсальным
уравнением состояния. Табл. 4 содержит некоторые критические индексы и отношения амплитуд сжимаемостей и теплоемкостей выше и ниже критической точки.
Если справедлива гипотеза универсальности, то каждый из этих параметров должен не зависеть от конкретного выбора вещества. Как можно видеть, даже для совершенно разных веществ, приведенных в табл. 4, эти параметры при-
ТАБЛИЦА4
Критические данные для проверки гипотезы универсальности (4, 5]
Величина
со.
Хе
«Не
р
0,350
0,350
0,359
Y
1,26
1,26
1,24
Со/С^
4,4
4,1
3,6
1,27
1,27
1,34
мерно постоянны. Хотя трудно утверждать с достоверностью, но, по-видимому, разница между приведенными в табл. 4 величинами находится в пределах экспериментальных ошибок.
ТАБЛИЦА 5
—Рх ^ [Syo^o' + ^SJqS^jJ (W
Из работы [6].
Область
Спиновая симметрия упорядоченного состояния
Величина X
Величина V
Величина 2v
—2<г<о
Вращение в двумерном пространстве
—1
-0,4
—0,2
1,31
1,32
1,32
1,28 (?)
1,33
1,34
1,34
1,31 (?)
х = о
Вращение в трехмерном пространстве
0
1,38
1,40
л> 0
Ось легкого намагничивания
0,25 0,83
4
1,19
1,24
1,23
1,23
1,20
1,25
1,25
1,25
Другим подтверждением данной точки зрения могут служить расчеты Яснова и Уортиса, относящиеся к анизотропной модели Гейзенберга с бесконечным спином (табл. 5). Этот гамильтониан включал некий параметр %, который определялся отношением величины взаимодействия z-компонент спина к величине взаимодействия х- и у-компонент. Симметрию упорядоченного состояния можно было отнести к одному из трех классов, зависящих от величины %. По-видимому, при изменении симметрии менялись и величины критических индексов, однако внутри каждой группы симметрии эти индексы, вероятно, оставались неизменными, как это и диктуется универсальностью.
Следовательно, величина, сопряженная величине X, т. е. U, должна характеризоваться гораздо более слабыми флуктуациями, чем М или 36. Более того, это должно выполняться, и для любого (7, сопряженного X, при фиксированных ё и /г. Условие постоянства ё и /г существенным образом гарантирует, что U не может содержать каких-либо членов, флуктуирующих как М или 36. В результате свободную энергию можно было представить себе как некое выражение, пропорциональное сумме U, М или 36, и остаточного члена. Согласно гипотезе универсальности, этот остаточный член представлял собой слабо флуктуирующую величину.
Это весьма важный результат. Он означает, например, что мы можем не слишком заботиться о чрезмерно точном определении параметра порядка или энергии. Например, если М и М' являются двумя возможными кандидатами для параметра порядка, то мы всегда можем записать
М' = аМ + Ь36 + U, (11)
где а и b постоянные, а Ь36 + U флуктуирует намного слабее, чем М. Если а #= О, то величина М' столь же пригодна в качестве параметра порядка, как и М.
Позднее мы более детально обсудим малые флуктуации.
СКЕЙЛИНГ, ВЫВЕДЕННЫЙ ИЗ ГИПОТЕЗЫУНИВЕРСАЛЬНОСТИ
Следующие проблемы, которые мне хотелось бы обсудить на базе гипотезы универсальности, известны под наименованием «скейлинг». Теория скейлинга дает в основном некоторый набор соотношений между критическими индексами и основывается на следующем предположении: универсальность
означает, в частности, и то, что «несущественный» параметр % служит мерой длины в нашей задаче. Чтобы рассмотреть основные черты скейлинга, обратимся к известному примеру модели Изинга, гамильтониан которой дается выражением
— ТТ = -К 2 с^а1й- -Vh^aiQ,(12)
в (lOlO')I»
а свободная энергия
exp [— F (А, ?ЖВТ\ = У ехр[— ^jkBT]. (13) аг=±1
В общих чертах мы имеем проблему совокупности спинов в узлах с координатами г, причем каждый спин в узле может быть ориентирован либо вверх (ог = +1), либо вниз (аг = —1). Вид гамильтониана (13) позволяет сделать вывод об энергетической выгодности упорядочения, скажем в направлении вверх, групп ближайших соседей и о тенденции системы спинов выстраиваться в направлении магнитного поля1). Ключевыми факторами в описании критического поведения данной системы являются параметры порядка
(а) = т0(А, е)(14а)
и парной корреляционной функции спинов
/a„ar) = g0(A, 8, г).(146)
Предположим теперь, что мы изменили нашу точку зрения на эту задачу. Разобьем мысленно решетку на ячейки со стороной La0, где а0—постоянная решетки. Величину L выберем очень малой по сравнению с когерентной длиной, однако настолько большой, чтобы ячейка содержала много спиновых центров (фиг. 2):
1 < А < £/а0.
Представим себе временно, что взаимодействия между различными ячейками отсутствуют. В таком случае каждая ячейка вела бы себя независимо от любой другой и корреляция на расстояниях, больших по сравнению с размерами ячейки, отсутствовала бы. Однако именно такие крупномасштабные корреляционные эффекты и приводят к расходимостям термодинамических величин, характерным для критиче-
*) Полагается К > 0, h > 0, — Прим. ред.
ской области. Следовательно, в окрестности критической точки корреляция между различными ячейками должна быть решающим фактором: все взаимодействия между ячейками должны быть существенными.
Мы уже отметили, что корреляции в окрестности критической точки не должны зависеть от деталей взаимодействия. Предположим, что размер ячейки La0 является одной из таких несущественных деталей. В этом случае каждую ячейку
можно охарактеризовать переменной р,а, где а просто нумерует ячейку, которая в существенных своих чертах подобна исходной спиновой переменной стг. Таким образом, взаимодействия между различными ячейками должны приводить к корреляциям между переменными ра, по структуре своей сходным с теми корреляциями, которые имеют место в модели Изинга с гамильтонианом (12).
Единственно возможное различие между задачами о совокупности спинов в узлах {г} и совокупности ячеек может заключаться в значениях двух параметров е и А. Предположим, что значения этих параметров для задачи о ячейках будут ё и /г. Поскольку эти величины в той или иной степени описывают основные черты взаимодействия между каждой ячейкой и внешним магнитным полем, они могут зависеть от размера ячейки. Когда магнитное поле стремится к нулю, эффективное поле в задаче о ячейках также должно стремиться к нулю. Следовательно, h. ~ к. Коэффициент
пропорциональности может зависеть от размера ячейки, так что мы будем считать
h = bh, Оба) где b является функцией размера ячейки. Аналогично, параметр ё должен стремиться к нулю при 8, стремящемся к нулю, поскольку система ячеек должна иметь критическое поведение, когда оно имеет место в задаче о совокупности узлов. По этой причине мы запишем
е = се. (156) И наконец, утверждение, что задачи о совокупности спинов в узлах {г} и совокупности ячеек являются идентичными, означает, что новые переменные имеют те же самые средние, что и старые), т. е.
(16а)(166)(16а)(166)<Ца) = то(А, ё),<^а. Но) = go (А, ё, а).
(16а)
(166)
(16а)
(166)
Поскольку универсальность применима лишь к корреляционным эффектам на больших расстояниях, то соотношения (16) подразумевают, что ячейки с индексами 0 и а находятся достаточно далеко друг от друга.
Каким образом следует определять локальный параметр порядка ра в задаче о ячейках? Согласно гипотезе универсальности, не нужно слишком тщательно заботиться о выборе параметра порядка, поскольку любая переменная, характеризуемая большими флуктуациями, должна вести себя с точностью до более слабо флуктуирующей величины подобно М. Следовательно, мы можем выбрать пропорциональным полной намагниченности ячейки и заключить из универсальности, что наш выбор вполне правомочен. Запишем
(17)(17)На = аЦ ог/1Лга
(17)
(17)
где а может быть функцией L, a d — размерность системы. Теперь соберем воедино сделанные нами утверждения. Подставим (17) в (16а). Учитывая, что Ld есть число узлов в ячейке, находим)
(18)(18)a (ar) = mQ (А, ё),
(18)
(18)
что с учетом (14а) приводит к соотношению
atn^ (h, в) = т, (к, ё).
Учитывая (15а) и (156), получаем
/пэ(А, е) = а~хтй^Ыг, се).(18а)
Сходные рассуждения, примененные к g0, дают
go (к, е, г) = a~2g0 фк, се, r/L).(186)
Вид решений функциональных уравнений (18) в достаточной степени жестко определен. Отметим, что из физических соображений резонно ожидать, что параметры а, Ь, с зависят от L следующим образом:
а = ЛХа=£^ b = LXh = l?f\ c^L^^L4''.(19)
Здесь введены символы р, А и v для обозначения соответствующих критических индексов этой задачи. С учетом (19) решение уравнений (18) имеет вид)
тй{h, е) = е^т*(~V)»(20а)
g0(А, в, г) = 8^(-^. eV).(206)
Проведенный выше анализ скейлинга с определенностью показывает, что все критические индексы зависят от трех индексов: р, А, V. Однако имеется еще одно соотношение между ними, которое оставляет лишь два независимых индекса. Можно рассчитать магнитную восприимчивость либо по формуле
dm0^h, е)х dh
либо по формуле
Х = J gokk, 8, h dr.
Приравнивая эти две формулы, сразу же получаем
x„-Vxn = d,(21)
ИЛИИЛИР + А = vd.Р + А = vd.(22)(22)
ИЛИ
ИЛИ
Р + А = vd.
Р + А = vd.
(22)
(22)
Таким образом, все критические индексы могут быть определены с помощью лишь р и Д.
§ 3. АНАЛИЗ РАЗМЕРНОСТЕЙ
Приведенная выше аргументация представляется несколько громоздкой. Мы можем построить такую систему доводов, которая позволит нам получить автоматически и достаточно быстро главные результаты подхода, связанного со скейлингом. Такой чисто «рабочий» подход можно развить, если переформулировать скейлинг в духе анализа размерностей. Чтобы это сделать, заметим, что скейлинг описывает ситуацию при проведении операции смещения
r->r/Lr->r/L(23а)
r->r/L
r->r/L
на тех же основаниях, что и возникающую при проведении преобразования двух других переменных (е->ё, /г->/г). В качестве примера рассмотрим корреляционную функцию
(236)(236)(иоОгр СГг2(7г3),
(236)
(236)
где четыре точки (0, гь г2, гз) выбираются в углах квадрата со стороной 7? ).
Мы знаем, что этот коррелятор в окрестности критической точки ведет себя как R-х. Однако каково конкретное выражение для %? Согласно соотношениям (23), эта корреляционная функция при скейлинге, помимо преобразования переменных (15а), (15) и (23а), приобретает масштабный множитель L4x°) Отсюда х ■= 4%а.
В данной задаче существует и еще одна очень существенная величина: плотность энергии ет. Мы дополним уравнения (23) утверждением, что критическая часть ег при скейлинге преобразуется как
Br->L Ег8г. (24а)
Отметим, что 36 — ^ sr dr и 8 скейлингеОтметим, что 36 — ^ sr dr и 8 скейлинге— сопряженные переменные. При— сопряженные переменные. При%а%аh_+bh = L*hh,h_+bh = L*hh,(246)(24в)(24г)(246)(24в)(24г)
Отметим, что 36 — ^ sr dr и 8 скейлинге
Отметим, что 36 — ^ sr dr и 8 скейлинге
— сопряженные переменные. При
— сопряженные переменные. При
%а
%а
h_+bh = L*hh,
h_+bh = L*hh,
(246)
(24в)
(24г)
(246)
(24в)
(24г)
По предположению все соотношения между величинами в критической области инвариантны при одновременном преобразовании переменных по (24). В качестве примера рассмотрим
соотношениесоотношение^1~6-ч.dh |е.Л-0^1~6-ч.dh |е.Л-0
соотношение
соотношение
^1~6-ч.
dh |е.Л-0
^1~6-ч.
dh |е.Л-0
Используя преобразования (24) применительно к этому соот ношению, получаем xo-xft da „-vr-vx
L "аТГ 8 L 61
ха- Хй
Исходя из соотношений (19), приходим к известному резуль
татуА О
у = А - р.
Для пары наших сопряженных переменных (а, /г) установим соотношение (21)
Аналогичный анализ, проведенный для 8 и ег, дает +(256)
В таком случае удельная теплоемкость, расходящаяся как-^1~8'а,
де о
если рассмотреть левую часть этого соотношения, при скейлинге преобразуется какправая же часть при этом
приобретает множитель ь
Отсюда можно заключить, что
„+ 1 =4- i = 2 - vd.
ХеХе
ВОЗВРАТ К УНИВЕРСАЛЬНОСТИ
Отметим, что переменные, преобразующиеся при скейлинге с меньшим показателем степени %, являются переменными, соответствующими наибольшим флуктуациям. Таким образом, Ха < Хег. В зависимости от того, больше или меньше нуля величина а, мы могли бы ожидать, что либо%8г<%Е, либо%Е<ХЕг- Однако, если а < 0, удобно переопределить свободную энергию, вычитая из нее член 88г. Тогда ег и е поменяются ролями. В таком случае мы всегда можем выбрать
О < Хо < Хег < Хе < Хд < d.
Попытаемся теперь определить в этой схеме место U и к Если U флуктуирует намного слабее X или М, мы могли бы ожидать, что соответствующая плотность и (г), определенная соотношением
U = и (г) dr,преобразуется при скейлинге следующим образом:u(r)-*LX“«(r), Хй>Хег-(26а)
В таком случае сопряженная переменная X преобразуется так:
X->XLi_X“ = LXxX.>(266)
Большие значения Хи соответствуют слабее флуктуирующим операторам. Насколько велико должно быть Хи, чтобы мы могли пренебречь критическими эффектами в X? Ответ, получаемый на базе концепции скейлинга, весьма прост: (<Э/дХ) пренебрежимо мало, если
d > Х«.(27)
Проще всего это усмотреть, оценивая д/дХ(ог). Предположим, что (щ) ~ 8~0 и (д/дк^Ог) V п ~ 8-У • Если р'> р, то изменение X обусловливает лишь малые изменения поведения намагниченности, поскольку
<OrX-t — Юх-0 ~ 8-9' <8-9.
Однако на базе концепции скейлинга условие Р' > Р вытекает из (27).
Согласно этому аргументу, необходимо принимать во внимание лишь те локально флуктуирующие переменные, kotq-
рые удовлетворяют соотношению 0 с %u < d. Если какая-либо переменная попадает в эту область, мы должны включать ее в схему скейлинга.
В результате этих рассуждений мы находим, что термодинамические функции должны зависеть от трех переменных: h— переменная, сопряженная параметру порядка,
_,.__ т-тс ОД тс(Д) -
дЯ = (Я — Яа) — новая переменная.
Намагниченность, например, имеет общий вид
/п(в, к, дЯ) = 89/п*(^г, 7^7),
Формула (28) описывает обобщение скейлинга на случай, когда возможно более двух «полевых» переменных. При этом тривиальном обобщении концепции скейлинга и универсальности остаются неизменными.
Однако при %u = d возникает новая ситуация, обусловливаемая тем, что Д' = оо. В этом случае для выявления характера поведения термодинамических функций в критической области оказывается недостаточно анализа размерностей. Более строгое исследование показывает, что критические индексы в этом случае могут меняться с изменением Я.. Следовательно, универсальность оказывается нарушенной при %tt = d.
Резюмируем обсуждение этих четырех разделов. Если О С Хи < d, то в схему скейлинга должны быть включены новые переменные, однако концепция скейлинга справедлива; если Хи = d, скейлинг может нарушаться; если же %u > d, то соответствующая флуктуирующая переменная U несущественна для описания критического поведения.
АЛГЕБРА ОПЕРАТОРОВ
Предыдущий анализ указывает на то, что критические явления можно описать в терминах конечного числа локально флуктуирующих операторов OY(r). Здесь у — индекс, указывающий на то, какой оператор мы обсуждаем. Например, О0(г) может быть единичным оператором, Oi(r) отвечает локальному параметру порядка, О2(г)—плотности энергии, О3(г)— локальному значению е и т. п. Каждый из этих
операторов преобразуется с характерным показателем степени У L, т. е.
OY-(r)->LXvOY(r).(29)
Здесь Хо = 1, Xi = Ха и т. п. Наличие такого преобразования при скейлинге означает, что в окрестности критической точки
<0. (г) 0,(0» = ^,(30)
где аа, р, о — число, не зависящее от г.
Рассмотрим теперь оператор, образованный произведением базисных операторов, например
X(R) = Oa(R + |)og(R-^).(31)
Когда г становится намного меньше длины когерентности, это произведение само является локальным оператором, локализованным вблизи точки R, и в таком случае его критическое поведение должно выражаться через известный набор операторов OY. В частности, он должен быть линейной комбинацией известных операторов:
X (R) = 2 А^ (R).(32)
v
Уравнение (32) означает, что ^(R) имеет флуктуации в критической области, которые ведут себя так же, как и флуктуации правой части (32). Если K(R') является оператором, локализованным относительно R' с
I R' - R I > г, то (32) означает
<Х (R) Y (R0) = 2 Лу (О (R) Y (R'))v
с одними и теми же значениями Л для всех различных возможных K(R').
Коэффициенты Лу зависят от а и р, а также от вектора г. По этой причине мы запишем
^у = Аа, р, у (г),
так что соотношение (32) перепишется в виде
о. (R + У О, (R - i) = £ Л„ ,., (г) Ov (R).(33)
у
Более того, если г > а0, где а0 — параметр решетки, концепция анализа размерностей применима к (33). В результате можно найти, что зависимость от г для А имеет вид
л / \ _ аа. 0- V (г/1 Г । )
^а, р, у (Г) г%а+хр-ху ’ г а0- (34)
Интересно было бы поразмышлять на тему о том, достаточно ли для определения критических индексов va знания структуры операторной алгебры, т. е. того, какие коэффициенты исчезают.
В нашем распоряжении имеется пример, на котором мы можем опробовать эту идею: двумерная модель Изинга. Прямой расчет позволяет выявить структуру корреляций, которая приводит к некоторым ограничивающим связям. Эти ограничивающие связи содержат, кроме ожидаемых свойств, и некоторые неожиданные свойства симметрии. Ожидаемые свойства симметрии включают в себя перемену знака у спиновых переменных, специальные вращения и изменения знака (Т—Тсу Эта последняя симметрия была первоначально предсказана Крамерсом и Ваннье. Однако имеются также и неожиданные симметрии, которые включают в себя некоторое «квантовое число», свойства которого сходны со свойствами чисел, характеризующих угловой момент; чтобы использовать это сходство с симметрией углового момента, удобно выбрать некую ось квантования, скажем ось х, и рассматривать все операторы, спроецированные на эту ось. С использованием такого представления алгебра заметно упрощается, поскольку многие из коэффициентов А исчезают.
Идентификация двух элементов этой алгебры, как ог и ddrldy, позволяет определить условия существования такой алгебры. Эти условия вместе с инвариантностью относительно вращений позволяют определить все критические индексы va.
Следовательно, свойства симметрии теории действительно могут быть использованы для получения всех критических индексов в случае двумерной модели Изинга. Возможно, что эта алгебраическая идея позволит, используя свойство симметрии, определить критические индексы и в других случаях. Я не знаю. Одна из трудностей заключается в том, что свойства симметрии, применяемые в описании двумерной модели Изинга, оказывались весьма далекими от наглядности. Возможно, что основой такого рода возможности в трехмерном
случае могут служить скрытые симметрии. В настоящее время я пытаюсь найти их, однако пока не достиг таких успехов, о которых можно было бы сообщить.
КАПЕЛЬНАЯ МОДЕЛЬ И СКЕЙЛИНГ
Рассмотрим магнитную систему вблизи критической точки. Весь объем системы можно представить заполненным «каплями» или микрообластями, которые представляют собой флуктуации параметра порядка.
Мы опишем конкретную каплю, вводя типичный размер R. Система должна содержать в изобилии капли всех размеров вплоть до характерного размера g (длина когерентности), представляющего собой функцию
тт
8= с ,(35а)
с
и безразмерного магнитного поля
(356)
При /?> ^ в системе нет капель размера R; однако при любых R <С^ имеется так много капель размером порядка R, что эти капли существенным- образом заполняют весь объем. Мы примем еще одно свойство таких капель: капля размером R приводит к флуктуациям в плотности энергии и параметра порядка системы, равным по порядку величинам
двд = -^-, 6Ог = Ц-.(36)
R6r
Рассмотрим теперь корреляционную функцию, построенную из п спиновых переменных: (оГ1°г2 • • • аг^.
Полностью скоррелированной частью этой функции будет часть, которая не может быть представлена как произведение нескольких корреляционных функций низшего порядка. Мы будем отмечать эту функцию индексом с. Эта часть корреляционной функции определяется одновременными корреляциями между спиновыми состояниями во всех узлах. Следовательно, она может порождаться каплей, занимающей все узлы, т. е. каплей с
R ^. макс | г, — Г/1.(37)
Обозначим это максимальное значение через г. В таком случае корреляционная функция дается произведением:
вероятности того, что все операторы спинов, фигурирующих в ней, имеют индексы, попадающие в область, занятую каплей с 7? ^ г;
флуктуации каждой спиновой переменной внутри такой капли.
Первый сомножитель порядка единицы, если г < g и весьма мал, если г ^> g. Второй сомножитель, согласно (36), равен (бод)п|^~г- Собирая их, находим
(агОгг ara)e~-^fa^-
В более строгом рассмотрении следует учитывать, что корреляционные функции должны зависеть от переменных [гг,|, деленных на g.
В этом случае имеем
(%^--- %>С=~Ц{-^}). r.z^ln-r/l. (38а)
Аналогичное рассуждение позволяет сделать вывод
(огаГ2 ... Щ-^, ... Srn+m\ = -^^^Д^(386)
где ег представляют отклонения плотности энергии от ее критической величины.
Отметим, что наша дискуссия не затрагивала пока зависимости корреляционной функции от 8 и А. Мы знаем лишь зависимость от g. Таким образом, положим h = О, Т > Тс. В этом случае g — 8~y. Позднее мы рассмотрим поведение для всех Айе.
Теперь мы можем рассчитать n-ю производную свободной энергии по магнитному полю, используя формулу
dnG Г ,,,х
Согласно (38а), этот интеграл запишется в виде dnG Г1 , /Г ru 1
д^п = j drxd(_r2 fj) ... d (г„Г]) п^ fn ^ - у j
Интеграл по п дает объем системы. Используя в качестве переменных интегрирования q^ = (гг- — п)/|, где i = 2, ,,,, п.
мы можем переписать этот интеграл следующим образом: (п~^ С
^■ = v^r^---dq.fn({qi}).
где d— размерность системы. Интеграл теперь является просто неким постоянным сомножителем, не зависящим от е. Назовем его fn и запишем окончательно
^-V^IC^X (39)
Выражение (39) можно рассматривать с точки зрения возможности разложения G в степенной ряд по h. Это разложение имело бы место, если для G(e, h) существовало представ
ление
G (е, А) = V^-df (—А-- + const = Vs2-^ (ДЛ + const, (40)
где
^ = (d — Xo)v, 2 — a = vd.(41)
Выражение (40) теперь можно использовать, чтобы найти все термодинамические производные в критической области. Так, например, теплоемкость при постоянном магнитном поле есть
Ch = -^G^h\
При А = 0 мы получаем для вклада в теплоемкость Сй = У^е^(0)~е-“.
Следовательно, а является обычным критическим индексом для теплоемкости. Спонтанная намагниченность есть
Л 8-^ = 7e2-«-Y(0).
'Л=0, е > 0LjA/8a= 0
Однако спонтанная намагниченность выражается так же, как (а)~(-вЛ
Таким образом,
0 = 2-а —А.(42а)
Аналогично, восприимчивость есть
Если у — критический индекс восприимчивости, определяемый обычным образом % ~ 8~v, h = 0, то
(426)(426)Y = 2А — (2 — а).
(426)
(426)
Из (42а) и (426) следует соотношение между критическими индексами
Y + 2р + а = 2.(43)
Из представления (40) легко вывести и другие соотношения, аналогичные (41) —(43).
Перечислим несколько следствий этой капельной модели.
Из (386) находим (Э” dnG I г п == \■ " 1 ^n+™• • • ®r„^f• • • Sr , )
08о J\ 1п п + 1т+п/с
drx ... dfqdrx ... dfq(n+viXo+roXeГr(n+viXo+roXeГr) -
drx ... dfq
drx ... dfq
(n+viXo+roXe
Гr
(n+viXo+roXe
Гr
Посредством тех же рассуждений, что предшествовали формуле (39), убеждаемся, что этот интеграл имеет следующий порядок величины:
ДL—,
<?Д пхо + тхе +Ггь
Поскольку производные по h вносят фактор е_д, то результат (386) может быть обобщен на случай h ф 0 посредством выражения
in, т М f ’ ) Д Г I
<45)
г г
Это выражение кажется слишком сложным. Однако в некоем смысле это в действительности весьма простое утверждение. Рассмотрим корреляционную функцию, образованную из 2п спинов. Пусть все расстояния между ними одного и того же порядка гц ~ г. Формула (45) утверждает
Следовательно, все, что нам удалось достичь, можно суммировать утверждением: когда гц все одного и того же порядка величины, полностью скоррелированная часть корреляционной функции того же самого порядка, что и сама корреляционная функция.
Обсуждение свойств n-спиновых корреляционных функций было выполнено впервые А. Паташинским и В. Покровским [7].
ЛИТЕРАТУРА
Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М., Статистическая физика, М., 1964.
Griffiths R. В., Phys. Rev. Lett., 24, 1479 (1970).
Kadanoff L. P., Newport Beach Conference on Phase Transitions and Invited Paper at Washington, APS Meeting, 1970.
Vicentini-Missoni M., Levelt-Sengers J. M. H., Green M. S., Phys. Rev. Lett., 22, 389 (1969).
Schofield P.. Lister J. D., Ho J. T., Phys. Rev. Lett., 23, 1098 (1969).
Jasnow D., Wortis M., Phys. Rev., 176, 739 (1968).
Наташинский A. 3., Покровский В. Л., ЖЭТФ, 50, 439 (1966),
Слабый скейлинг
Г. СТЕЛЛ
1. ВВЕДЕНИЕ
Имеются основания считать, что определенные соотношения, вытекающие из стандартной гипотезы скейлинга, не верны для трехмерной модели Изинга [1—3]. Имеются также как доказательства [4], так и вполне правдоподобные аргументы [5—8] в пользу утверждения, что эти соотношения оказываются в еще большей степени несправедливыми, если размерность d превышает 3.
Соотношения, о которых идет речь, это те, которые, будучи записаны в обычном виде, явным образом содержат d. Например,
2/s = d — 2 + л.(1.1)
— a = vd,(1.2)
2 —4 = ^(6 — l)/(d+ 1),(1.3)
все. обозначения будут пояснены ниже. В той или иной степени все эти соотношения отражают поведение корреляционной функции плотность — плотность: F (г{Д = (т<тД—(^)(тД. (Здесь Тг суть числа заполнения для решеточного газа, принимающие значения 0 или 1; таким образом, плотность решеточного газа р определяется величиной (т<), если объем ячейки принят равным единице.) Показатель г] может быть определен в терминах Р^ в окрестности критической точки, если принять
^(г)^-^2^,г = |г|,Г^оо. (1.4)
В общем случае гипотеза скейлинга приводит к выражению [9]
F (г) ~ f (иг^г для всех г > R;(1,5а)
Посредством тех же рассуждений, что предшествовали формуле (39), убеждаемся, что этот интеграл имеет следующий порядок величины:
д!_,Пл<1\
о-7 А пХа+тхеt V
гr=
Поскольку производные по h вносят фактор е_д, то результат (386) может быть обобщен на случай /г #= О посредством выражения
Это выражение кажется слишком сложным. Однако в некоем смысле это в действительности весьма простое утверждение. Рассмотрим корреляционную функцию, образованную из 2п спинов. Пусть все расстояния между ними одного и того же порядка гц ~ г. Формула (45) утверждает
(стг, •ar2^c~-^^n^~\(GrGr^c^.
Следовательно, все, что нам удалось достичь, можно суммировать утверждением: когда Гц все одного и того же порядка величины, полностью скоррелированная часть корреляционной функции того же самого порядка, что и сама корреляционная функция.
Обсуждение свойств л-спиновых корреляционных функций было выполнено впервые А. Паташинским и В. Покровским [7].
ЛИТЕРАТУРА
Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М., Статистическая физика, М., 1964.
Griffiths R. В., Phys. Rev. Lett., 24, 1479 (1970).
Kadanoff L. P., Newport Beach Conference on Phase Transitions and Invited Paper at Washington, APS Meeting, 1970.
Vicentini-Missoni M., Levelt-Sengers J. M. H., Green M. S., Phys. Rev. Lett., 22, 389 (1969).
Schofield P.. Lister J. D., Ho J. T., Phys. Rev. Lett., 23, 1098 (1969).
Jasnow D., Wortis M., Phys. Rev., 176, 739 (1968).
Наташинский A. 3., Покровский В. Л., ЖЭТФ, 50, 439 (1966),
Слабый скейлинг
Г. СТЕЛЛ
ВВЕДЕНИЕ
Имеются основания считать, что определенные соотношения, вытекающие из стандартной гипотезы скейлинга, не верны для трехмерной модели Изинга [1—3]. Имеются также как доказательства [4], так и вполне правдоподобные аргументы [5—8] в пользу утверждения, что эти соотношения оказываются в еще большей степени несправедливыми, если размерность d превышает 3.
Соотношения, о которых идет речь, это те, которые, будучи записаны в обычном виде, явным образом содержат d. Например,
2/е = с? — 2 + ть(1.1)
2— a = vd,(1.2)
2 —4 = ^(6— !)/(»+ 1),(1.3)
все.обозначения будут пояснены ниже. В той или иной степени все эти соотношения отражают поведение корреляционной функции плотность — плотность: Ftr^ = (т<тД—(т*)(т>). (Здесь т, суть числа заполнения для решеточного газа, принимающие значения 0 или 1; таким образом, плотность решеточного газа р определяется величиной (т,), если объем ячейки принят равным единице.) Показатель т) может быть определен в терминах F(F) в окрестности критической точки, если принять
Fc(^~ r-d+2""T', г = |г|, г-*«. (1.4)
В общем случае гипотеза скейлинга приводит к выражению [9]
F (г) ~ / (хг^/г для всех г > R;(1.5а)
здесь и — обратная корреляционная длина х-1 = g, а
R«a,(1.56)
где а — параметр решетки. В рамках представлений скейлинга необходимо далее постулировать, что
f (0) = const =/= 0.(1.5в)
Далее мы везде будем считать, что а = 1, и для удобства в обозначениях будем использовать во всех соотношениях вместо т) величину I, где
/ = 2-п. (1.6)
Подобно тому как это сделано в (1.4), на всем протяжении нашего обсуждения мы будем использовать индекс с для обозначения величин в критической области1).
Параметр ив (1.5) может быть определен различными способами. С этой целью можно, например, взять отношение двух моментов функции /?(г)
х^ = F (r)dr/$ r2F (г) dr,(1.7)
с другой стороны, можно воспользоваться пределом
х2 = — lim [In F (г)]/г.(1.8)
Г-»оо
Эти определения могут быть использованы как для жидкостей [10], так и для решеточных систем; в последнем случае
dr должен интерпретироваться как сумма по всем узлам решетки или по всем ячейкам. Отметим, что если в соответствии с (1.5) считать R « X, как это предполагается в скейлинге, и принять, что, согласно всем данным, /(х) ведет себя следующим образом:
f (х)—* хре-х для х—>оо,f (х)—* хре-х для х—>оо,(1.9а)(1.9а)
f (х)—* хре-х для х—>оо,
f (х)—* хре-х для х—>оо,
(1.9а)
(1.9а)
где р— некий показатель степени, то из (1.5) следует «1 ~ ~ хз ~ х, когда х->0. При этом ^(г) предполагается ограниченной величиной, как это и должно быть. В рамках тео-
рии скейлинга представляется естественным дальнейшее обобщение выражения (1.5в) с помощью постулата [3, 11]
f W — f(0) ~ хр при х-*0,(1.96)
где р есть показатель степени, более детальное обсуждение которого мы отложим до § 3.
В (1.1) — (1.3) величины v и е описывают зависимость и от температуры Т и плотности р (или намагниченности), тогда как а описывает зависимость от температуры величин см, теплоемкости при постоянной плотности (или намагниченности), и сн, теплоемкости при постоянном магнитном поле Н *). Индекс б описывает форму критической изотермы. Более точно индексы v, е, а и б можно определить, если предположить, что в переменных А = Т — Тс и М = | р — рс | имеем
и~^Т7 для М = 0, Т>ТС, (1.10)
и~Ме для Т = ТС,(1.11)
%~См~М”а для М = 0, Г>ТС, (1.12) р(р, Т)-р(рс, П~М6 для Т = ТС. (1.13)
Здесь у ~ Xх означает lira (In y/ln х) — X, а р(р, Т) есть химический потенциал как функция р и Т).
Ниже мы большей частью будем пользоваться либо языком теории жидкостей, либо языком решеточного газа, описываемого в рамках модели Изинга; в спиновых системах символ М определяет намагниченность на один узел, в то время как ц(р, г)—ц(рс, Л идентифицируется с Н (с точностью по модулю до несущественной постоянной пропорциональности). Поскольку Я = 0, когда М = 0, то из (1.12) немедленно следует
сн~№-а для Я = 0, Т>ТС. (1.14)
Из термодинамической однородности, понимаемой согласно Вайдому и дополненной требованиями аналитичности в однофазной области однородных величин, непосредственно следуют определенные соотношения между тройками
*) Вообще говоря, необходимо вводить два показателя: ан и а^, и вполне вероятна ситуация, когда ан ¥= а^ [33]. — Прим. ред.
критических индексов [13]. Примерами такого рода соотношений являются
а + 2р + у = 2,(1,15)
у = Р(б-1),(1.16)
где р описывает форму кривой сосуществования (к. с.), а у— температурную зависимость изотермической сжимаемости /Ст = [р2(дц/др)т]-1 (или же изотермической восприимчивости %г в случае спиновых систем):
М~\ АГ |₽ вдоль к. с.,М~\ АГ |₽ вдоль к. с.,(1.17)(1.17)
М~\ АГ |₽ вдоль к. с.,
М~\ АГ |₽ вдоль к. с.,
(1.17)
(1.17)
Кт~%т~ЬТ для М = 0, Т>ТС. (1.18)
Другие соотношения теории скейлинга между показателями связывают термодинамическое поведение системы с теми свой- • ствами, которые определяются величиной х. Так, например, соотношения
(1.19)(1.20)(1.19)(1.20)у = V/,д — 1 = е/
(1.19)
(1.20)
(1.19)
(1.20)
немедленно следуют из соображений, основанных на анализе размерностей, когда выражение (1.5) использовано в флуктуационно-диссипативной теореме
кТ^Кт = р (г) dr.кТ^Кт = р (г) dr.(1-21)(1-21)
кТ^Кт = р (г) dr.
кТ^Кт = р (г) dr.
(1-21)
(1-21)
Заметим, что при установлении (1.19) и (1.20) весьма существенно использование выражения (1.5в). Чтобы пояснить это, предположим, что
F V^hWIr4-1'А-^^г^г4-^,г<\(1.22)
с fi(0) = 0, f2(0) = const 5^ 0. В таком случае если определить t С ПОМОЩЬЮ (1.4) и (1.6), ТО МЫ получили бы t = ^2, однако если 1Х > t2, то из (1.12) и (1.21) следовало бы также у = ^. (Однако Фишер [13] доказал, что у ^ tv, а это и исключает такую возможность.) Если в предыдущем примере как /] (0) 5^ 0, так и /2(0)¥=0, то можно было бы идентифицировать / с /2 и соотношения (1.19), (1.20) вновь выполнялись бы.
Наряду с f(r) в нашем дальнейшем рассмотрении будет участвовать и корреляционная функция энергия — энергия Ле(г). В рамках гипотезы скейлинга полагается, что ^(г) имеет вид
F£(r)~f£(xr)//'4 r»R, R~l, f£ (0) = const ^ О (1.23) по аналогии с (1.5). Соотношение (1.21) заменяется, согласно [13, 14], выражением
hPcH = ^FE (г) dr,(1.24)
из которого, если воспользоваться (1.14) и (1.23), следует a = /£v,(1.25)
что аналогично (1.19).
В дополнение к показателям a, v и у, определенным на критической изохоре для Т > Тс, можно рассматривать соответствующие показатели, определенные на кривой сосуществования
x~|AT|v',(1.26)
ся~|А7Г°',(1.27)
Кт~Хт~\ AT rv'.(1.28)
Величина см часто рассматривается и на критической изохоре для Т < Тс. Уравнение (1.27) позволяет сделать вывод, что в модели Изинга
см~|АГГ°' Для М = 0, Т<ТС.
Ниоткуда не следует a priori, что штрихованные и нештрихованные показатели степени должны быть равны друг другу. В простейшем варианте скейлинга они полагаются идентичными, однако можно построить модели [15, 16], в которых термодинамическая однородность согласуется с у = у' и а ¥= а'. Можно также построить модели [17], являющиеся разновидностью скейлинга [18], в которых не выполнено требование у = у'. Хотя возможность отсутствия симметрии выше и ниже Тс усложняет нашу проблему понимания возможных причин нарушения соотношений (1.1) — (1.3), мы будем полагать, что это все же не столь существенное обстоятельство, скажем, в случае модели Изинга. Здесь имеются определенные указания (1.5) на то, что для трехмерной модели Изинга у N= у' и а ^ а', однако в большинстве недавних оценок индексов a', у' [19—21] для трехмерной модели Изинга полагается, что
штрихованные и нештрихованные показатели на самом деле одинаковы. Имея в виду это обстоятельство, мы будем полагать их идентичными и не станем принимать во внимание возможного различия между ними в областях выше и ниже Тс.
Наиболее надежные оценки критических индексов в модели Изинга [22] приводят в трехмерном случае к следующим числам ): у = у' = 5/4, а = а' ~ Vs, ₽ ~ 5/ie, a v лежит где-то между 9Л4 и ,25/i96- С помощью этих величин из (1.5) находим 5 = 5. Это согласуется с лучшей прямой оценкой [19, 20] величины 6, из которой следует, что 6 — 5, а возможно, и несколько больше: 6 — 26/5.
Взяв для / выражение y/v [из (1.19)], мы заключаем, чтот] попадает в интервал между Vis и V25, в то время как соотношение в = v/p, вытекающее из (1.16), (1.19) и (1.20), позволяет сделать вывод, что 8 лежит между 72/з5 и t00/49- Полученные оценки не согласуются с теми, которые следуют из (1.1) — (1.3); отклонения невелики, но существенны. Как будет ясно из дискуссии в § 4, где сравнивается F(r), получаемая в модели Изинга, с соответствующей функцией F^r), рассчитанной в рамках приближения Орнштейна — Цернике (и получаемой в рамках сферической модели), можно ожидать, что при размерности от d = 4 и выше критические индексы приближаются к «классическим» значениям:
у = 1, б = 3, р = 7г, v = V2, е=1, ц = 0. (1.29)
Если это отвечает реальной ситуации, то соотношения (1.1) — (1.3) нарушаются при увеличении d даже более резко, в то время как остальные соотношения скейлинга остаются справедливыми.
СООТНОШЕНИЯ, СОГЛАСУЮЩИЕСЯ
С ОБЩЕПРИНЯТЫМИ ОЦЕНКАМИ ПОКАЗАТЕЛЕЙ,И ИХ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ
В этом параграфе будут предложены некие первичные соотношения между показателями в модели Изинга, согласующиеся с оценками, которые упоминались выше. Попытаемся понять феноменологическую подоснову этих новых соотношений. Предположим, что существует некий показатель q, такой,
что величина d во всех соотношениях скейлинга, где она появляется, должна быть заменена на d — q. В таком случае вместо соотношений (1.1) — (1.3) имеем
Sla — d — q-t,(2.1)
2 —a = v(J —^),(2,2)
//(d-^)=(6-l)/(6+l),(2.3)
в то время как все выписанные выше соотношения скейлинга, в которых d отсутствует, не меняются. Легко проверить, что если q вводится в (2.1), то соотношения (2.2) и (2.3) следуют из (2.1) и тех соотношений гипотезы подобия, которые не содержат q. Следовательно, выражения (2.1) — (2.3) наряду с (1.15), (1.16), (1.19) и (1.20) образуют самосогласованный набор соотношений. Они оказываются совместными и с оценками, упомянутыми в конце § 1, и приводят к значениям q = 3/so, если выбрать v = 125/i96 (ц = V25) и q = V12 при v = 9/i4 (л = Vis) - Таким образом, для того чтобы восстановить согласованность в случае d=3, необходимо ввести дополнительно лишь один новый параметр. Это и не удивительно, поскольку рассогласованности, с которых мы начали наше обсуждение, можно было считать обусловленными отдельным расхождением, возникающим при сравнении величин v, полученных прямыми оценками, подобными тем, которые сделаны в работах [2, 10], с теми, которые вычислены с использованием величины у (как это имеет место при использовании (1.2) с a = 7s или же соотношения с щелевым показателем [1] 2А— у = Jv, где принято у = 5/4 и А = 25/1б). Если мы рассчитываем на то, что значения, получаемые из (1.29), будут справедливы для больших d, то оказывается, что при таких значениях d необходим лишь дополнительный параметр q, позволяющий получить самосогласованный набор соотношений; при этом q — d — 4.
Каким образом можно интерпретировать ненулевые значения ^? Как будет доказано ниже, наиболее вероятно, что нарушение (1.1) означает возможность существования новой корреляционной длины Л, связанной с флуктуациями плотности. К такому выводу можно прийти, если попытаться использовать соотношение скейлинга на расстояниях, характерных для таких флуктуаций. (Аналогичные замечания оказываются применимы и к флуктуациям температуры.) Чтобы обсудить возникающие здесь соотношения, можно непосредственно использовать свободную энергию ср, отвечающую
возникновению характерной неоднородности р, или Т в объеме Ld, как это делали Вайдом [23] и Каданов [9]. С другой стороны, можно рассматривать ожидаемое значение свободной энергии, связанное либо с какими-то неоднородностями, которые вообще могут иметь место в фиксированном объеме со = Ld, как это еще делалось автором [24], либо, что эквивалентно, с ожидаемым значением квадратов неоднородностей плотности или температуры в некотором фиксированном объеме со = Ld. Именно так поступал Фишер [5], излагая свою версию аргументов Вайдома и Каданова. В итоге мы вынуждены будем рассматривать ожидаемые значения квадратов величин неоднородностей, однако, возможно, проще начать обсуждения, рассматривая изменения свободной энергии, связанные с неоднородностью плотности в объеме Ld для жидкости с плотностью pL. Для простоты представим себе, что рг и Т берутся на кривой сосуществования и что величина неоднородности плотности | рг — рс | ~ 2Л1, где pG — плотность примыкающего пара.
Согласно обычной теории флуктуаций [25], в низшем порядке по величине квадрата флуктуации
^^^(O.i^-p»^-^"2-|2-4>
Если воспользоваться (1.11) и (1.19), то отсюда следует
^~Ldxw.(2.5)
Однако если величина х мала, то в ф необходимо также включить вклад членов, обусловленных пространственным градиентом. Если воспользоваться модифицированным выражением для квадрата градиента плотности свободной энергии Af(r), обусловленной неоднородностями плотности, которые мы обсуждали в [24], то вместо выражения (2.5) получим
Ф (L)« BLd (2Mf + ALd"2 £Mf,(2.6)
где
ф(А) = J Af (г) dr,(I)
^B—^Kt ’~? для ю —I?,
A x<-2.
При получении второго члена в (2.6) мы пренебрегли всеми членами, кроме линейного, в выражении градиента неоднородности и в терминах М, а также полностью пренебрегли членами высших порядков в градиенте. В результате мы не можем надеяться на то, что выражение (2.6) для неоднородности величины М можно использовать для любого сколь угодно малого объема. В частности, мы должны быть готовы к тому, что выражение (2.6) оказывается абсолютно непригодным для любых L, таких, что второй член превышает первый. Отметим, что это становится возможным, как только L оказывается величиной, малой по сравнению с £ = х-1. До тех пор пока L > х-1, вторым членом (2.6) можно пренебречь, что возвращает нас к выражению (2.5).
Аналогично, если рассматривать температурную флуктуацию величины Т — Тс в объеме L4 жидкости при температуре Т для Т > Тс и р = рс, то можно ожидать, что для достаточно больших L свободная энергия ф, ассоциируемая с такой флуктуацией, должна даваться формулой
^«LdcM№W-
Из (1.10) и (1.12) получаем, что это эквивалент о
ф(£)~^х(-а+2)/'' (2.7)
в том случае, если АТ мало. Однако и здесь у нас нет реалистической оценки ^>(L), полученной на основе такого рода аргументации, если А<х-1. Чтобы получить соотношения между показателями из (2.7) и (2.5), напомним, что вероятность обнаружения некой специфической флуктуации пропорциональна работе по ее созданию. Следовательно, вероятность обнаружения неоднородности плотности того типа, который описан выше, будет заметной величиной лишь в том случае, когда L не больше таких значений, для которых1)
(йТ)"'ф(£) = 1=х°. (2.8)
Обозначим это максимально достижимое значение L для флуктуаций плотности через Л и введем показатель 6, представляя Л в виде Л = х-е. Для флуктуаций температуры вместо Л запишем Л = х-5- Если бы соотношение (2.5)
*) На создание флуктуации при температуре Т система «в состоянии» потратить работу порядка КГ (см. обзор Каданова в этом сборнике). — Прим. ред.
выполнялось для всех L, то из (2.8) можно было немедленно заключить, что
О = — </0 Н~ ^ 4~ 2/в или
2/е = б/0 —/,(2.9)
а из (2.7) следовало бы, что
0 = — de + (2 — a)/v, или
2 — a = dv9.(2.10)
Поскольку (2.5) и (2.7) справедливы лишь для L ^ х-1, то можно доверять соотношениям (2.9) и (2.10) лишь при 0^1 и 0^1. Однако если окажется, что 2/е < d — / и 2 — a < d^, как это имеет место в случае трехмерной модели Изинга, то мы не можем связывать 0 и 6 с (, е, а и v при помощи (2.9) или (2.10), хотя можно заключить, что 0 и б меньше единицы1). С другой стороны, Вайдом [23] и Ка- данов [26] предположили, что 0 = 0 = 1; из этого немедленно следуют соотношения скейлинга (2.1) — (2.3) как следствие утверждения, что
ф(х-1) = &7\(2.11)
Как обсуждалось в [24], согласно (2.6), ожидаемое значение А/(г), усредненное по объему у = x-d, дается выражением
у<А/(г))„ = 6Т(2.12)
для 0=1 и 0 < 1; при этом даже если 0 < 1, мы ожидаем вместо (2.11)
ф(х-1)> кТ при х-0.(2.13)
Если 0=1, важное концептуальное различие между у^А^г))^ и ф(х-1) не играет роли, однако при 0 < 1 пренебрегать им нельзя. Количественное несоответствие между y(Af(r))v и ф(х-1), если 0 < 1, обусловлено тем, что (Д/(г))т уже не дает сколько-нибудь значительного вклада от флуктуаций величиной О(Л1) и размером О (и), возникновение ко-
торых при ОС 1 требует огромных затрат [согласно (2.13)] и которые появляются с очень малой вероятностью1).
Чтобы обойти трудность, обусловленную отсутствием обоснованных выражений для ф(£), которые можно использовать при L С х-1, мы рассмотрим далее ([А/г(г)]2)т и <[АГ(г)]2)й>— ожидаемые значения квадратов неоднородностей плотности и температуры, взятых в один и тот же момент времени и усредненных к области объемом |r|dCco = = Ld, где L = х-в для некоторого фиксированного значения в, меньшего единицы. Мы начнем наше исследование величины ((Ап)2)ш, используя формально точное выражение [25], которое справедливо даже для 9 С 1:
«ХМ2^ = ^ F (Г12) drx dr2la2.(2.14)
) ti)
Предположим, что для г, малых по сравнению с х-1, функция /'(г) может быть приближенно заменена Рс(г), когда х->0, и что в результате такой процедуры для достаточно малых в интеграл от /'(г) по всему объему со ведет себя подобно интегралу от Fe(r) при х->0. Для достаточно малых х одно из интегрирований2) дает множитель со и позволяет переписать (2.14) в виде
<(Дп)2)ш~ ^Fc(r)dr/<o при х-0.(2.15)
Поскольку нет оснований считать уравнение (1.14) неправильным, мы будем использовать его в дальнейшем обсуждении.
В таком случае легко найти, что при х->0 для достаточно малых в
(2.16)
Как будет ясно из обсуждения в § 3, в рамках предположений теории скейлинга любые в < 1 соответствуют понятию «достаточно малые». Мы хотим использовать (2.16) лишь для 0 = 0 < 1 и временно будем считать, что по крайней мере 0^0 представляет собой достаточно малую величину. Далее окажется, что использование (2.16) для всех 0 < 1 согласуется с нашими более детальными предположениями относительно ^(г), обсуждаемыми в § 3. Более того, мы можем показать, что при 0-> 1 соотношение (2.16) «сшивается» с простым выражением для 0 >- 1, выведенным при слабых предположениях следующего вида: предполагается, что выражение (1.5а) справедливо по крайней мере для /? = и-’, т. е. для г > х-1, и мы будем считать, что (1.9а) все еще выполняется. В таком случае из (1.5) и (2.14) можно сделать вывод, что
((Ап^'—со-’х-' для 0>1.(2.17)
Если (и только если) Кт ~ х~£, как мы это предполагаем, то этот результат согласуется со стандартными и формально точными аргументами теории флуктуаций [25], гласящими, что
((Ая)^»^ (2.18)
для достаточно больших со (которые в свою очередь подразумеваются уравнением (1.21) в пределе ®->оо). Следовательно, мы обнаружили на базе такого детального микроскопического рассмотрения, что термин «достаточно большие» означает О >- 1, как мы интуитивно и ожидали вначале. Поскольку (2.16) и (2.17) имеют один и тот же предел, когда 0-> 1:
((Ая)2)^ для а — х'^, (2.19)
то мы можем также сделать вывод, что вполне допустимо идентифицировать термин «достаточно малые со» с © < 1, хотя мы используем (2.16) лишь для 0^0.
Другое выражение для ((Дя)2)^, которое будет использовано, связывает эту величину с М для р и Г на кривой сосуществования:
'Ма = СвМ2. (2.20)
слабый скейлинг
Из эвристических соображений, если с заметной вероятностью имеют место флуктуации плотности в форме микрообластей сопряженной фазы, мы должны были бы ожидать, что ((An)2)m пропорциональна М2; естественно, возникает вопрос относительно природы константы пропорциональности Сш. Очевидно, мы должны ожидать гакой ее зависимости от со, при которой Сщ возрастает с увеличением со. Далее мы утверждаем, что величина Сщ должна быть порядка единицы только тогда, когда со является величиной порядка характерного объема наибольшей из микрообластей сопряженной фазы, которая может спонтанно возникнуть с заметной вероятностью. Другими словами, мы утверждаем, что
Cto~\ при 0 = 0. (2.21)
Поскольку М2 ~ х2/е, уравнение (2.20) означает, что
((Ап^-х2-8 при 0 = 0, (2.22)
мы уже пришли к заключению, что 0 < 1, так что использование наряду с (2.16) соотношения (2.22) вполне обоснованно. Из этих двух соотношений мы находим, что
2/8 = (d - /) 0, (2.23)
получив тем самым желаемое выражение, связывающее 0 с критическими показателями. Если бы вслед за Фишером [27] мы предположили, что 0=1, то вновь пришли бы к соотношениям скейлинга (1.1). Из наших оценок ей/ можно заключить, что для d = 3 0 является величиной порядка 35/з8 ИЛИ 49/52.
Вайдом [23] идентифицировал характерный линейный размер Л неоднородности плотности величины М с толщиной межфазной границы двух фаз вблизи критической точки, отождествив далее обе эти длины с х-1. С точки зрения физики мы должны были бы ожидать, что толщина межфазной границы есть Л, а не х-1 всякий раз, когда между ними есть различие. Именно это предсказание весьма чувствительно к экспериментальным исследованиям. С теоретической точки зрения, однако, необходимо иметь выражение для ср (А), которое можно использовать как для L < х-1, так и для L ~ х-1. Это дает возможность рассмотреть, каким образом слабое различие между Л и х-1 в случае трех измерений должно модифицировать детали анализа структуры межфазной границы, проведенного Вайдомом [23, 28, 29]. Мы полагаем, что лишь при L < х-1 выражение для ф(£) Фиска
и Вайдома [28, 29), а также соответствующее выражение для поверхностной энергии o(L) должны быть модифицированы; однако, если наша точка зрения правильна, именно для этих значений L нам и необходимы ф(2.) и о (А) при обсуждении свойств межфазной границы.
Аналогично тому, как это было сделано применительно к ((Ал)2)ш, можно провести обсуждение свойств ((АТ)2^ [13, 14, 25); эта величина обратно пропорциональна интегралу от ?£(г)
((АТ^-Гш ^ F£(r)drl' . (2.24)
Для 0 < 9 мы примем, что Ее (г) может быть заменена в
ее критическим значением Fe.AtY так что ((АТ^^со-1-^^ для 0<9.^2.25)
С другой стороны, можно ожидать, что ((А7)2)ш удовлетворяет соотношению
(2.26)
когда со — x~8d и Т > Тс, М = 0; отсюда следует
2/v=9(d + y.(2.27)
Если мы постулируем справедливость соотношения скейлинга tsv = а, то (2.27) можно переписать как
2 = 9 (dv + а). (2.28) Согласно нашим оценкам величин v и а, полученное выражение дает значения 9, намного более близкие к единице, чем 9; при этом I — 9 близко к */4о или ’/so, тогда как 1 — 9 близко, по-видимому, к 3До или 3/50. Следовательно, Л и Л могут отличаться друг от друга, а также от х-1, когда ^¥=9 — вывод, к которому мы вернемся в § 4. Из (2.23), (2.28) и других наших соотношений мы находим далее, что
9/9 = р (d + Wd - 0 = р (dv + a)/(dv - у).
Следовательно, если принять, что показатели при d->oo приближаются к тем значениям, которые дает аппроксимация среднего поля, то мы придем к заключению, что 9->2/(d—2), тогда как 9-» 4/d.
СТРУКТУРА ФУНКЦИИ Г (г) И ПРЕДСКАЗАНИЕГИПОТЕЗЫ СЛАБОГО СКЕЙЛИНГА
Мы описали подход, в котором разница между 2/е и (d— t) может интерпретироваться как появление некоторой новой корреляционной длины А — характерного линейного размера микрообластей сопряженной фазы, которая, вообще говоря, должна быть меньше х-1, если 2/е меньше (d— t), когда величина х определена либо по (1.7), либо по (1.8). При этом были высказаны определенные предположения относительно показателя степени убывания корреляционной функции вблизи критической точки для г, больших по сравнению с единицей, но малых по сравнению с х-1. Однако эти предположения не содержали указаний на то, каким образом появление длины А, если это вообще возможно, отражается на структуре Г (г).
Оказывается, что А весьма естественным образом появляется в выражении для Р (г) и что необходимые модификации вида /(г), постулируемого в гипотезе скейлинга для учета А, проводятся довольно просто. Чтобы пояснить это, отметим, что независимо от любых предположений относительно /'(г) представляется естественным предположить, что Р^ пренебрежима по сравнению с РДг) для г->оо. Следовательно, Г (г) — ^(г) должна выглядеть подобно (—Рс (г)) для больших г, и если Рс^ дается выражением (1.4), то мы имеем
Р-РДт^-(3.1)
С другой стороны, аргументы, приведенные в [11], позволяют заключить, что
Р — Рс (г) ~ М2, если —а > 2р — 1,(3.2)
для малых г, т. е. г ~ 1.
Отметим теперь, что если длина Ai определена как такое г, при котором выражения (3.1) и (3.2) для больших и малых г соответственно «сшиваются» (имеют один и тот же порядок величины), то
. x2/e=Ard.(3.3)
Другими словами, Ai может быть идентифицирована с А из § 2. Как обсуждалось в [11], если мы заменим (1.56) на
R«^(3.4)
то все еще будем иметь дело с функцией 7" (г), поведение которой согласуется с соотношениями скейлинга у = vt и 5—1 = eZ, поскольку до тех пор, пока 0 < 1, поведение интеграла в (1.21) при х->0 определяется величиной х-1, а не А.
В картине скейлинга ожидается, что для малых х функция f(x) в (1.5) дается формулой
f(x)-f(O)~xp,(3.5)
где р — некоторая степень, так что для г 1 мы ожидаем
А (г) — Fc^^xPfr^-^HPrP+t-1.(3.6а)
Равенство (3.6а), взятое совместно с (3.2), означает, что
Р = 2/е, t — d-Vp = O,(3.66)
или же
2/8 = d — t, когда — а > 20 — 1,(3.7)
что представляет дополнительные аргументы в пользу гипотезы скейлинга в форме (1.1) (однако с интересным ограничением —а > 20—1). Что можно сказать относительно структуры ^(г) для малых г, когда скейлинг нарушается? В [11] мы обсуждали этот вопрос, используя функциональную форму
F — Fc — fd-t-q (г, дУ - г ^ \,(3.8)
и пришли к выводу, что использование (3.8) согласуется с имеющимися у нас сведениями относительно поведения F, если q->q для г/Л->0, ^^-0 для фиксированного г/Л. Уравнение (3.8) представляет удобную форму для выявления отклонений от скейлинга, который следует из (3.8) при q = 0, однако главные заключения [11] в основном не зависят от деталей предложенной функциональной зависимости. Например, можно с равным успехом предположить, что F (г) дается суммой двух членов, каждый из которых имеет вид, согласующийся со скейлингом; при этом в первом члене масштаб изменения г определяется величиной х-1, во втором шкала г задается величиной Л, так что
F (г) = [f (r/^) + f2 (г/Л)] для г>1(3.9а)
и
f (х) — f (0) ~хр,
AW~A(0)~xp.^’9б)
В таком случае
^(r)0(лЭ>
что имеет своим следствием (1.19) и (1.20), однако из этого вытекает также и
Л-р ~ М2 или р = 2/80,
пока р ^ 2/е, что дает, как и требуется, 2/8 = 6 (d - t\
Если поинтересоваться, каким образом появление нового масштаба Л отразится на изменении параметров функции ^(г) вдоль критической изохоры Т > Тс, М = 0, то в нашем распоряжении окажется новый и независящий от предыдущего способ проверки сделанных нами предположений. Вместо (3.2) можно ожидать
F — Fc~ (Д?У~а г8 для малых г, (3.10) поскольку можно предполагать, что d(F — F^/dT ведет себя для произвольных малых г во многом аналогично случаю г = 1, где, как известно, выражение (3.10) с'рагедливо. Для больших г мы ожидаем, как и раньше,
F-F^llfd-t.
Предполагая, что оценки для больших и малых г вновь имеют одинаковый порядок величины, когда г ~ Л, мы имеем или же
g = t — ^ + (1—a)/0v,(З.Н)
что дает для g, если воспользоваться нашими оценками t, d, а и v, величины порядка 0,40—0,42. Согласно теории скейлинга, величина g может быть оценена по формуле
g_t-d-H\ — a)/v,(3.12)
которая приводит к значению g ~ 0,30—0,32, если воспользоваться теми же оценками. Эта величина g была непосредственно численно оценена Ферером и др. Они нашли
g = 0,47 ±0,06.(3.13)
Имея в виду наложение точности их определения g и в нашем определении величин, стоящих в правой части (3.11),
мы рассматриваем согласие между (3.11) и (3.13) как вполне удовлетворительное.
Прежде чем продолжать наше обсуждение, отметим следующие характерные черты F(г), проявляющиеся в (3.8) при q ~ 0 для г » Л и q = q для г < А. В частности, они проявляются и у функции F(r), удовлетворяющей формуле (3.9):
когда х->0, у нас все еще xi ~ х2 ~ х, так что появление новой длины Л не связано с различным определением х формулами (1.7) и (1.8);
уравнение (2.16) в действительности выполняется для всех в< 1, если для расчета ((An)2)Q используется выражение (2.14). (Это же заключение справедливо и в рамках простейших предположений гипотезы скейлинга (3.5) и (3.6).)
ОБСУЖДЕНИЕ
Вернемся теперь вновь к фундаментальной проблеме: почему могут возникнуть Л и Л, отличающиеся от § и друг от друга? Относительно первой части этого вопроса нам представляется возможным следующий ответ: мы полагаем, что Л и Л измеряют некие более фундаментально различные аспекты, касающиеся флуктуаций, чем это имеет место для £. Величина £(х~' или х^1) есть корреляционная длина, которая, по нашему мнению, не несет в себе специфической информации о том классе флуктуаций, которые обусловлены существованием двух фаз. Как величина хь определяемая (1.7), так и х2, определяемая (1.8), могут быть использованы для измерения когерентной длины даже в таких системах, способных претерпевать фазовый переход, в которых не существует двухфазной области (например, одномерный решеточный газ), или же в системах, находящихся в состоянии, произвольно далеком от состояния, характеризуемого наличием двух фаз, находящихся в равновесии, подобных многомерному решеточному газу при произвольно высоких Т и низких р.
С другой стороны, различные способы введения величин Л, которые мы рассмотрели, по-видимому, непосредственно связаны с проявлением корреляционных эффектов, обусловленных наличием двух фаз. Характерные размеры микрообласти сопряженной фазы или же величина флуктуаций температуры в двухфазной области, характерная толщина меж-
фазной границы, а также гарантия того, что М появляется в уравнении (3.2), — все эти характеристики просто не могли бы использоваться в нашем обсуждении, если бы отсутствовала вторая фаза. Это можно сформулировать еще и так: величины Л определены при наличии весьма специального класса флуктуаций плотности и температуры, а именно флуктуаций, обусловленных частичным переходом в другую фазу ’), в то время как £ представляет длину, до которой флуктуации весьма разнообразных размеров и очертаний могли бы самопроизвольно «разрастаться». При этом учитываются и такие флуктуации, которые невозможно сопоставить с реальными величинами М и АГ и которые, следовательно, не несут какой-либо информации о существовании другой фазы. В частности, £ есть эффективное расстояние, до которого некая отдельная частица «чувствовала» бы отсутствие или присутствие другой частицы. (Действительно, то, что Г (г) является функцией, которая измеряет отклик на такого рода присутствие или отсутствие, непосредственно следует из ее определения как функциональной производной.) Однако те флуктуации, которые возникают вследствие попадания или ухода некой отдельной частицы из элемента объема, являются наименьшим элементом флуктуации, который можно было бы попытаться выявить в жидкости дискретных частиц2). Любая флуктуация, существование которой обусловлено некоторым особым коллективным откликом на совокупность или группу частиц, подобная той, которая имеет место при наличии флуктуации величины М или температурной флуктуации величиной (АТ), не обязательно должна распространяться когерентным образом вплоть до расстояний g. По этой причине мы должны, вообще говоря, ожидать, что £ проявится как наибольшая корреляционная длина или же как величина, которая больше корреляционных длин, подобных Л и Л, связанных с некиим специальным проявлением флуктуации.
Несмотря на то что Л и Л имеют общие черты, описывающие влияние наличия второй фазы на флуктуации, по- видимому, нет причин ожидать их равенства. И действительно, налицо фундаментальное различие в природе флуктуаций плотности и температуры, которое никак не
*) Иными словами, они определяются в терминах характеристик обеих реально существующих фаз. — Прим. ред.
выявляется до тех пор, пока L в уравнениях (2.6) и (2.7) больше или равно £, однако оно может весьма резко обнаружиться и стать существенным, когда мы должны рассмотреть меньшее значение L, как это необходимо делать при q > 0. В принципе флуктуации плотности могут быть более полно и точно рассмотрены в рамках равновесной статистической механики с использованием соотношения Эйнштейна, связывающего вероятность нахождения неоднородности плотности и работу, необходимую для создания такой неоднородности при наложении внешнего поля. Однако нет такого статического внешнего поля, которое могло бы создать флуктуации температуры; чтобы рассмотреть их, необходимо выйти за рамки равновесной теории. В результате этого члены, которые должны быть добавлены к (2.7), чтобы можно было адекватно использовать ф, если L < g, имеют несколько иной смысл, чем члены, которые должны быть добавлены к (2.4) при тех же обстоятельствах. К настоящему моменту не существует полного и адекватного рассмотрения ни одного из предложенных наборов членов *), по этой причине мы оставим попытки дальнейшего обсуждения этой проблемы.
Отметим, что хотя, согласно проведенному выше анализу, А и А и не идентичны, они не независимы друг от друга и одна из этих величин определяется другой посредством величины q. По причинам, которые нам неясны, относительное расстояние, на котором А и Л отклоняются от g, согласно (2.23) и (2.28), отражает относительную важность самих флуктуаций в критической точке. Флуктуации плотности играют доминирующую роль, гарантируя бесконечное значение Кт, однако, согласно всем известным термодинамическим соотношениям, флуктуации температуры не требуются, чтобы привести в той же самой точке к возрастанию до бесконечности величины См. Величина ((Ап)2)ш определяется асимптотическим поведением двухчастичной корреляционной функции F(r), в то время как ((АГ)2^ определяется также асимптотическим поведением трехчастичной и четырехчастичной функций. Мы предполагаем, что если бы можно было проанализировать поведение корреляционных функций, описывающих все большие и большие наборы частиц, то всегда
’) Даже в случае неоднородностей плотности проблема однозначного определения плотности свободной энергии, вероятно, не решена еще в достаточно полной и удовлетворительной форме. См. [30].
можно было бы выявить вышеупомянутый характерный размер £, возникающий при рассмотрении асимптотики далеких областей. У нас нет каких-либо четких соображений относительно возможности возникновения новых параметров длины дополнительно к Л и Л, попадающих в промежуточную область между Л и £. Если такие дополнительные длины существуют, мы должны были бы ожидать, что они характеризуют когерентные области различных сортов флуктуаций, специального вида в той же самой второй фазе, приводящие к набору различных когерентных длин, каждая из которых соотносится со специфическим типом корреляции и, возможно, также со специфической отличной симметрией этого сорта, обсуждаемой Кадановом [31] •).
Причина того, что Л и Л равны £ в двух измерениях, однако заметно меньше ^, если d > 3, по-видимому, тесно связана с фактом, что для парного потенциала радиуса действия фиксированной абсолютной величины, например для потенциала с взаимодействием ближайших соседей, флуктуации плотности величиной (АМ) и флуктуации температуры величиной (АГ) реализуются со всевозрастающей трудностью, когда размерность пространства возрастает, что в свою очередь вызвано возрастанием числа частиц, лежащих внутри объема критической плотности и взаимодействующих между собой. Этот эффект подавления, обусловленный возрастанием числа частиц, «захваченных» в области потенциала, в которой эффективно взаимодействуют «все со всеми», имеет своим следствием два обстоятельства, которые удобно отделить другу от друга, рассматривая, каким образом функция Г (г) конструируется из функций прямой корреляции с (г). Формально F (г) допускает представление через с (г)
F (г12) = Р ^F (г13) с (Гзз) dr3 + рб (г),
так что, воспользовавшись последовательным приближением, получаем «цепочку»:
F (г) = рб (г) + р2с (г |2) + Р3 $ с (r is) с (r23) dr3 +
+ р4 J С (г13) с (г34) с (г42) dr3 dr4 + ... .
С увеличением размерности могут обнаружиться два явления. Во-первых, если даже с вовсе не меняет своей
•) См. статью Каданова в настоящем сборнике.
функциональной зависимости от парного потенциала У (г), само изменение размерности должно все же приводить к существенным изменениям структуры Е(г), и можно было бы обнаружить, что упомянутый выше эффект подавления действует таким образом, что это приводит к нарушению обсуждаемых соотношений подобия для больших d. Такое проявление влияния изменения размерности достаточно просто и может быть изучено довольно детально [32] по крайней мере для решеточного газа с взаимодействием ближайших соседей. В одном измерении с (г) характеризуется короткодействием и в основных чертах выглядит подобно — V^fkT для всех таких г, при которых | V(r) | <^ кТ. В конкретном случае решеточного газа с взаимодействием ближайших соседей на критической изохоре, т. е. в нулевом магнитном поле, с (г) точно равна нулю для г > 1. Для целей асимптотического анализа удобно представить с(г) в виде суммы: (—У^)^?) плюс остальные члены и пренебречь всем, кроме — У^/кТ для г > 0. (Для г = 0, V^!kT= оо, так что мы не можем здесь пренебречь V(r). Поскольку бесконечные V(r) означают, что Г (г) = = р(1 —р) при г = 0, мы используем это условие для определения с(г) при г = 0.)
Если провести такой анализ для любых размерностей, то результаты можно суммировать следующей таблицей [31]:
d = 1 Нет критической точки для Т = 0
d = 2Нет критической точки для Г > 0, однако
здесь имеется случай «линии разграничения», в котором ненулевое значение Тс при логарифмических членах потеряно
d = 3Есть критическая точка Тс=^0. Удовлетворя
ются все общеизвестные соотношения скейлинга
d = 4Другой случай «линии разграничения». Строго
говоря, скейлинг нарушается (логарифмическими членами), однако соотношения скейлинга все еще справедливы
d^5Те соотношения скейлинга, которые в явном
виде содержат d, нарушаются
Второй возможный путь обсуждения изменений Е(г) при d^ oo могут представить нам различные способы вариации функциональной зависимости с(г) от V ^МЫ и р, с(г) —это чрезвычайно тонкие операции [6, 7]. Однако это позволяет проследить в довольно широких пределах, каким образом изменение с (г) может приводить к эффектам усиления больших
изменений с ростом размерности, которые мы и наблюдаем. Чтобы получить некоторое представление относительно таких усилений корреляции, отметим, что сама функция с (г) может быть представлена в виде суммы майеровских графов, связям которых сопоставляются факторы (ехр(—0V(r))—1), а вершинам— р. Каждый такой граф представляет собой вклад, который возникает от определенного набора корреляций в элементах объема (или узлов решетки), и по мере возрастания размерности каждому такому графу соответствует все больший и больший набор физически реализуемых конфигураций, отвечающих наборам взаимодействующих частиц или спинов. (Точный смысл термина «больший и больший» может быть наиболее просто пояснен для решеточных систем, где соотношение между данным майеровским графом и реальными путями на конкретной решетке, на которой он рассматривается, совершенно ясно и хорошо определено.) Следовательно, влияние цепочки по корреляторам с (г) данной «длины» обусловлено наличием все более различающихся путей «непосредственно скоррелированных» узлов решетки, когда d-oo; оно усиливается благодаря и тому обстоятельству, что каждой паре таких узлов отвечает интегрирование по реальному парному потенциалу. Следовательно, мы можем ожидать, что последовательность изменений, представленная в нашей таблице и появляющаяся при переходе от данной размерности d к более высокой размерности d, может реально сдвинуться в сторону меньших размерностей d, если будут приняты во внимание только что описанные изменения с, обусловленные увеличением размерности. Определенное подтверждение этой точки зрения может быть получено, если рассмотреть модель Изинга, для которой ситуация при d = 2 скорее отвечает тому, что содержится в нашей таблице для случая d = 3. Аналогично можно ожидать, что в трехмерной модели Изинга ситуация окажется весьма сходной скорее с той, которая описана для d = 4 или же d ^ 5, чем с той, которая приведена в таблице для размерности d — 3 *).
ЛИТЕРАТУРА1)
1. Essam J. W., Hunter D. L., Journ. Phys. C. (Proc. Phys. Soc.), I, 392 (1968).
Moore M. A„ Jasnow D„ Wortis M„ Phys. Rev. Lett., 22, 940 (1969).
Ferer M„ Moore M. A., Wortis M., Phys. Rev. Lett., 22, 1382 (1969).
Fisker M. E., Gaunt D. S., Phys. Rev., 133, A224 (1964).
Fisher M. E., Rept. Progr. Phys., 30, 615 (1967).
Stell G„ Phys. Rev. Lett., 20, 533 (1968).
Stell G„ Phys. Rev., Bl, 2265 (1970).
Domb C., Phys. Rev. Lett., 20, 1425 (1968).
Kadanoff L. P., Physics, 2, 268 (1966).
Fisher M. E., Burford R. J., Phys. Rev., 156, 583 (1967).
Stell G., Phys. Rev. Lett., 24, 1343 (1970).
Widom B., Journ. Chem. Phys., 43, 3898 (1965).
Fisher M. E., Phys. Rev., 180, 594 (1969).
1 Kadanoff L. P., Gotze W., Hambler D„ Hecht R., Lewis E. A. S., Pal- cianskas V. V., Rayl M., Swift L, Aspres D., Kane J., Rev. Mod. Phys., 39, 395 (1967).
Nagle I. F., Phys. Rev., A2, 2124 (1970).
Hemmer P. C., Stell G., Phys. Rev. Lett., 24, 1284 (1970).
Fisher M. E., Felderhof B. U., Ann. of Phys., 58, 217 (1970).
Stell G„ Phys. Rev., 173, 314 (1968).
Gaunt D. S., Proc. Phys. Soc., 92, 150 (1967).
Gaunt D. S., Domb C., Journ. Phys. C (Proc. Phys. Soc.), 1, 1038 (1968).
Baker G. A., Gaunt D. S., Phys. Rev., Bl, 1184 (1970).
Domb C., Adv. Phys., 19, 368 (1970).
Widom B., Journ. Chern. Phys., 43, 3892 (1965).
Stell G., Journ. Chem. Phys., 51, 2037 (1-969).
П„.,А-.. rr TT TT.-,-■'~
14.
15.
16.
17.
18.
19.
26.
27.
28.
29.
1964°°^ ^ ^ ’ Ли^}Шии‘ Е" М"' Статистическая физика, изд
;-во «Наука»,
30.
31.
32.
Kadanoff L. P., Physics, 2, 270 (1968).
Fisher M. E., Rept. Progr. Phys., 30, 615 (1967).
Fihs S., Widom B., Journ. Chem. Phys., 50, 3219 (1969).
Widom В., в книге: Phase Transitions and Critical Phenomena, ed. by C. Domb and M. S. Green (в печати). Критические явления и поверхностное натяжение жидкостей.
Lebowitz J. L, Pereas J. К., Journ. Math. Phys., 4, 116, 248 (1963).
Kadanoff L. P., Phys. Rev. Lett., 23, 1430 (1969).
Stell G., Phys. Rev., 184, 135 (1969).
33*. Федянин В. К., ТМФ, 7, 241 (1971).
отмеченная звездочкой, добавлена редактором пере-
Полевой подход к теории фазовых переходов
Ф. ДЕ ПАСКУАЛЕ», К. ДИ КАСТРО»»,Г. ИОНА-ЛАЗИН ИО»»
ВВЕДЕНИЕ
В течение нескольких последних лет была предпринята попытка понять природу явления фазовых переходов на двух различных уровнях рассмотрения.
Первый заключался в том, чтобы выяснить общие соотношения, существующие между особенностями различных термодинамических величин, т. е. соотношения между критическими индексами. Второй и наиболее трудный уровень рассмотрения заключается в вычислении степени расходимости каждой из термодинамических величин, т. е. величины критических индексов или по крайней мере той их части, которая, как мы полагаем, является универсальной и зависит только от таких общих свойств системы, как размерность, внутренняя симметрия и т. д. Эта последняя задача до сих пор не поддается никаким усилиям *), поэтому при сравнении результатов экспериментов на реальных системах с теорией используются величины индексов, полученные либо в точно решаемых моделях, либо с помощью численного анализа. Однако ни в том, ни в другом случае мы не находим ключа к разгадке сущности физических явлений, связанных с этими критическими индексами.
На первом уровне понимания мы находимся, по-видимому, в несколько лучшем положении. Так называемая феноменологическая теория подобия (феноменологический скейлинг) тем или иным путем была сведена к определенным
ЛИТЕРАТУРА')
Essam J. W., Hunter D. L., Journ. Phys. C. (Proc. Phys. Soc.), 1, 392 (1968).
Moore M. A., Jasnow D„ Wortis M„ Phys. Rev. Lett., 22, 940 (1969).
Ferer M„ Moore M. A., Wortis M„ Phys. Rev. Lett., 22, 1382 (1969).
Fisher M. E., Gaunt D. S., Phys. Rev., 133, A224 (1964).
Fisher M. E., Rept. Progr. Phys., 30, 615 (1967).
Stell G„ Phys. Rev. Lett., 20, 533 (1968).
Stell G„ Phys. Rev., Bl, 2265 (1970).
Domb C., Phys. Rev. Lett., 20, 1425 (1968).
Kadanoff L. P„ Physics, 2, 268 (1966).
Fisher M. E., Burford R. J., Phys. Rev., 156, 583 (1967).
Stell G„ Phys. Rev. Lett., 24, 1343 (1970).
Widom B., Journ. Chem. Phys., 43, 3898 (1965).
Fisher M. E., Phys. Rev., 180, 594 (1969).
Kadanoff L. P., Gotze W., Hambier D., Hecht R., Lewis E. A. S., Pal- cianskas V. V., Rayl M., Swift J., Aspres D., Kane J., Rev. Mod. Phys., 39, 395 (1967).
Nagle J. F., Phys. Rev., A2, 2124 (1970).
Hemmer P. C., Stell G., Phys. Rev. Lett., 24, 1284 (1970).
Fisher M. E., Felderhof B. U., Ann. of Phys., 58, 217 (1970).
Stell G., Phys. Rev., 173, 314 (1968).
Gaunt D. S., Proc. Phys. Soc., 92, 150 (1967).
Gaunt D. S., Domb C., Journ. Phys. C (Proc. Phys. Soc.), 1, 1038 (1968).
Baker G. A., Gaunt D. S., Phys. Rev., Bl, 1184 (1970).
Domb C„ Adv. Phys., 19, 368 (1970).
Widom B., Journ. Chem. Phys., 43, 3892 (1965).
Stell G., Journ. Chem. Phys., 51, 2037 (1-969).
Ландау Л. Д„ Лифшиц Ё. М., Статистическая физика, изд-во «Наука» 1964.
Kadanoff L. Р„ Physics, 2, 270 (1968).
Fisher М. Е„ Rept. Progr. Phys., 30, 615 (1967).
Fihs S., Widom B., Journ. Chem. Phys., 50, 3219 (1969).
Widom В., в книге: Phase Transitions and Critical Phenomena, ed. by C. Domb and M. S. Green (в печати), Критические явления и поверхностное натяжение жидкостей.
Lebowitz L L., Percus J. К., Journ. Math. Phys., 4, 116, 248 (1963).
Kadanoff L. P., Phys. Rev. Lett., 23, 1430 (1969).
Stell G„ Phys. Rev., 184, 135 (1969).
33. Федянин В. К, ТМФ, 7, 241 (1971).
Полевой подход к теории фазовых переходов
Ф. ДЕ ПАСКУАЛЕ, К. ДИ КАСТРО,Г. ИОНА-ЛАЗИНИО
ВВЕДЕНИЕ
В течение нескольких последних лет была предпринята попытка понять природу явления фазовых переходов на двух различных уровнях рассмотрения.
Первый заключался в том, чтобы выяснить общие соотношения, существующие между особенностями различных термодинамических величин, т. е. соотношения между критическими индексами. Второй и наиболее трудный уровень рассмотрения заключается в вычислении степени расходимости каждой из термодинамических величин, т. е. величины критических индексов или по крайней мере той их части, которая, как мы полагаем, является универсальной и зависит только от таких общих свойств системы, как размерность, внутренняя симметрия и т. д. Эта последняя задача до сих пор не поддается никаким усилиям ’), поэтому при сравнении результатов экспериментов на реальных системах с теорией используются величины индексов, полученные либо в точно решаемых моделях, либо с помощью численного анализа. Однако ни в том, ни в другом случае мы не находим ключа к разгадке сущности физических явлений, связанных с этими критическими индексами.
На первом уровне понимания мы находимся, по-видимому, в несколько лучшем положении. Так называемая феноменологическая теория подобия (феноменологический скейлинг) тем или иным путем была сведена к определенным
теоретическим предположениям, которые зависят лишь от используемых с этой целью методов (термодинамические, методы теории поля и т. д.).
К настоящему времени все эти различные гипотезы должны начать унифицироваться. Чтобы достичь этой цели, вначале следует произвести некоторую систематическую переформулировку проблем, которые решаются в каждом из различных подходов к феноменологическому скейлингу; это позволит выделить ту логическую последовательность шагов, которые необходимо сделать для получения скейлинга.
Это, естественно, приводит нас к наиболее интересной и трудной проблеме огранчений на область применимости скейлинга и поправок к нему, которые должны были бы, вероятно, еще более усовершенствовать наши познания того механизма, который приводит к фазовому переходу.
Главным инструментом нашего анализа в рамках теоретико-полевого подхода к этому кругу проблем [1, 2] будет в первую очередь метод ренормализационной группы (РГ) [3, 4]), а во вторую очередь использование аналитических свойств корреляционных функций [5—7]).
Чтобы пояснить уместность применения метода ренормализационной группы для решения проблемы фазовых переходов, обратимся к более известным и широко обсуждаемым гипотезам универсальности или однородности).
Универсальность устанавливает некоторое условие подобия между различными системами, полученными друг из друга вариацией тех параметров, которые, как мы считаем, являются несущественными для описания критического поведения.
С другой стороны, вполне определенные свойства РГ, которые мы обсудим достаточно полно, при некоторых очень общих предположениях реализуют некоторый способ превращения одной системы в другую с помощью изменения константы связи. Точные уравнения, которые следуют из этой процедуры, можно интерпретировать как некоторое обобщение уравнений, устанавливающих универсальность. Метод РГ содержит в себе наиболее обще свойство скейлинга, котот рому удовлетворяет теория многих тел. Естественно поэтому считать, что более ограниченные законы подобия, используем
мые при описании окрестности критической точки, должны быть тем или иным способом связаны со специальной реализацией метода РГ [8, 9].
Конечно, РГ, являясь точным свойством теории, имеет место при любых температурах и налагает некоторое ограничение на свойства микроскопических величин, таких, как корреляционные функции. Вообще говоря, эти ограничения очень слабы, и только при некоторых специальных условиях метод РГ представляет собой некоторый эффективный способ для определения каких-либо существенных структурных свойств теории. Однако оказалось, что свойства системы в окрестности критической точки относятся к одному из таких специальных случаев. Действительно, согласно феноменологическому исследованию фазовых переходов, критическая область является некоторой асимптотической областью в том смысле, что различные физические величины обнаруживают в этой области сингулярное поведение; это означает, что мы можем сосредоточиться лишь на главных членах и получить в результате некоторое значительное упрощение математической стороны проблемы.
Вместо того чтобы начать с глобального свойства системы, такого, как РГ, теоретики, занимающиеся проблемой многих тел, обычно начинают с диаграммного анализа. Однако характерной особенностью критической области является то, что в этой области благодаря дальнодействующему характеру флуктуации1) эта проблема превращается в задачу с сильной связью. В этом случае теорию возмущений использовать невозможно, т. е. необходимо иметь дело с полностью перенормированными диаграммами и общими соотношениями, которые их включают. Тождества Уорда, построенные Мигдалом [6], представляют собой некоторую попытку выполнить эту задачу. Мы обсудим метод Мигдала в определенной связи с методом РГ.
Для получения информации о поведении корреляционных функций вблизи критической точки Мигдал [6] и Поляков [5] широко использовали аналитические свойства корреляционных функций. Поскольку фейнмановские диаграммы в нерелятивистской теории многих тел имеют такую же структуру, как и в релятивистском случае, изучение их аналитических
*) В том смысле, что характерные размеры флуктуаций типичных величин при приближении к критической точке стремятся к бесконечности Как корреляционный радиус. — Прим. ред.
свойств в первом случае так же плодотворно, как и во втором. Обычно корреляционные функции вследствие физического смысла не могут иметь особенностей на реальной положительной полуоси квадратов импульсов к2. Можно ожидать, что они являются аналитическими везде, кроме полюсов и разрезов на отрицательной полуоси.
Основной результат этого анализа заключается в том, что по мере приближения к критической температуре сингулярности накапливаются на отрицательной полуоси к2 в окрестности точки к2 = 0.
Мы используем эту специфическую аналитическую структуру корреляционной функции, соответствующей параметру порядка, чтобы получить информацию о критическом поведении [10, 11] других интересующих нас величин, например локальной плотности сверхтекучей компоненты.
МЕТОД РЕНОРМАЛИЗАЦИОННОЙ ГРУППЫИ СКЕЙЛИНГ
РГ для классических систем
Мы начнем с того, что введем понятие ренормализацион- ной группы (РГ) для случая классических систем [9].
Статистическая сумма любой классической системы может быть записана в форме, которая близка к выражению для S-матрицы в евклидовой теории поля в трехмерном пространстве, причем затравочный пропагатор пропорционален потенциалу взаимодействия [5]. Например, статистическую сумму модели Изинга можно записать в виде
Z = ехр [А] ехп Г X In ch фг11
L г J |ф=о’
Д ' У> »» -Ур/, а(2.1.1)
2дфг дфг, Z—1 мдф
тт’г
где hT — внешнее магнитное поле).
Формула, сходная с выражением (2.1.1), известна как формула Хори [19]. На языке теории поля функция Z имеет структуру величины среднего по вакууму от S-матрицы, которая
порождается неполиномиальным лагранжианом с плотностью )
Lr = In ch фг.(2.1.2)
Аналогичное выражение, если рассматривать только одно- и двухчастичные силы, мы можем записать для больцманов- ского газа:
Z = ехр [Д] exp [^ J d3r exp [ф (г)]] |,
+(2.1.3)
g— величина активности. Выражение (2.1.3) соответствует неполиномиальному лагранжиану с плотностью
L (г) = £ехр [ф(г)].(2.1.4)
Для определенности будем рассматривать теперь только модель Изинга, в которую мы введем, моделируя выражение (2.1.2), вспомогательный параметр g:
Mg) = lnch(gwr);(2.1.5)
g можно интерпретировать как интенсивность взаимодействия.
Довольно просто усмотреть, что для функции Z имеет место следующее свойство масштабной инвариантности:
Z (g, V, ^ = Z(gL"4 VL, hCllY (2.1.6)
Наша цель заключается в том, чтобы использовать это свойство для получения информации о корреляционных функциях, которые порождаются функцией Z. Ясно, что само по себе выражение (2.1.6) не содержит никакой динамической информации. В качестве первого шага для изучения динамических свойств займемся анализом структуры парной корре-
ляционной функции, соответствующей параметру порядка, которая определяется выражением
/2 / а д2 In Z/2 / а д2 In Z= G^. /1=0= G^. /1=0(2.1.7)(2.1.7)
/2 / а д2 In Z
/2 / а д2 In Z
= G^. /1=0
= G^. /1=0
(2.1.7)
(2.1.7)
Диаграммный анализ показывает, что фурье-образ функции G (г) удовлетворяет уравнению
С? (&) = II (&) + рК (&) П (&) G (А),(2.1.8)
где величина П(А), согласно диаграммной терминологии, является «одночастично» неприводимой. Это означает, что она содержит только такие диаграммы, которые невозможно разделить на две несвязанные части с помощью перерезания только одной линии1). Из выражения (2.1.8) следует также, что для функций G и П имеет место скейлинг в следующей форме:
<?Ц, L'-g, LV) = L-’G(k,g, И).
пЦ, L~’hg, L/) = L-'n(4, g, V).’ ' '
Теперь удобно ввести «одетый пропагатор» D(k), который определяется уравнением)
D (k) = рУ (6) + рУ (А) II (6) D^ (2.1.10)
и удовлетворяет соотношению
D (к, L~'kg, LV^ = LD (к, g, У).(2.1.11)
Если теперь величину П(£) выразить в терминах «одетых линий», учитывая при этом только скелетные диаграммы и заменяя затравочный пропагатор рУ(^) «одетым» D(k), то выражение (2.1.10) становится нелинейным интегральным уравнением для пропагатора D:
D ^ = РУ (6) + РУ (А) II (A, g, D) D (к\(2.1.10')
Определим теперь функцию D(k) как D^ = LD'{k) и найдем уравнение, которому удовлетворяет функция D'iky Ис-
*) Такие диаграммы называют обычно сильно связанными, а величину П(А)—поляризационным, или массовым, оператором. — Прим, перев.
пользуя второе из уравнений (2.1.9) и соотношение (2.1.11),
D'^ = рУ (6) + №И ^ П (A, g^ D^ — (L — 1)] D' ^, (2.1.12) где g' = L^g.
Уравнению (2.1.12) можно придать более выразительный вид с помощью следующего выбора параметра L:
L - 1 = pH (X') П (X', g', D'\(2.1.13)
где X' — некоторая определенная величина импульса к. В этом случае произвол в выборе мультипликативного фактора L соответствует произволу в выборе нормирующего импульса X . Действительно, из уравнений (2.1.12), (2.1.13) имеем
D' (X') = рУ (X'),(2 1.14)
поэтому уравнение (2.1.12) принимает вид
D' ^ = рУ (&) + [рУ ^ II (к, g', D') - РУ (X') X
ХП(Х', D', gWY(2.1.12')
Следовательно, мы показали, что умножение на L эквивалентно переопределению константы связи g и сдвигу импульса X', при котором функция D сводится к затравочному пропагатору рУ. Записывая D в общем виде
D^ = ^V^d^,(2.1.15)
мы замечаем, что безразмерная величина d может быть представлена как функция безразмерных аргументов:
dd(2.1.16)(2.1.16)
d
d
(2.1.16)
(2.1.16)
d(l,d(l,и удовлетворяет условию
d(l,
d(l,
(2.1.17)
Параметры щ представляют все размерные величины, включенные в теорию, такие, например, как температура, радиус сил и т. д. Подставляя (2.1.16) в соотношение (2.1.11), получаем уравнение
, ( к' f Hi 1 А г л ( Г ^{ X / ‘/2-А 1
I , I i » Si — ^^ i /2 ’ f л /2 I * ^ S ) *
Условие нормировки для к2 = V2 имеет вид
L-d^,g).(2.1.19)
И наконец, вводя новые переменные
х =У^и"’ t = "v"'(2.1.20)
мы получаем функциональное уравнение РГ
d {х, {yi}, g}='
= d^t, KytY g}d(^, {^}, gd'11^ {yi}, 5)). (2.1.21)
На самом деле нам понадобится также несколько более общий вид этого уравнения. Поскольку температура в действительности является переменной величиной, условия нормировки (2.1.17) будут выполняться только для определенной температуры. Поэтому ниже более удобно рассматривать ее явно, как некоторую дополнительную переменную, а довольно простые рассуждения показывают,, что уравнение (2.1.21) принимает в этом случае более общий вид:
d{x, у, {у{}, g} =
= d(t, у , {yi}, g)d(~,~, {-у-}- g^1^, у", {gt}, g))-
(2.1.22)
Для удобства условимся, что у = (Г — 7С)Д2. Условие нормировки теперь имеет вид
d(l, У0, {yi}, g) = l-(2.1.23)
Уравнения (2.1.21) и (2.1.22) могут быть использованы различными способами в соответствии с тем, какую частную проблему мы рассматриваем. Прежде чем переходить к обсуждению нашего основного вопроса (см. разд. 2.4), мы приведем в следующих двух разделах два простых примера, которые носят иллюстративный характер.
Приближение «хаотических фаз» ’)
Считается хорошим обычаем любое обсуждение проблемы фазовых переходов начинать с так называемого ПХФ (приближения хаотических фаз). Мы получим это приближение в рамках нашего метода и покажем, что РГ определяет также область применимости этого приближения. Для этой цели будет достаточно использовать уравнение (2.1.21). Вычислим производную от обеих частей (2.1.21) и положим затем t=x)
дd (х) Г д (( и, )„\1
—({4}’(2.2.1)
В (2.2.1) указаны явно только существенные переменные. Особенность уравнения (2.2.1), которая будет существенна для нас в настоящих вычислениях, заключается в том, что константа связи, возникающая в правой части, равна gd1^ а не g. Это означает, что в области, где g21 d \ <С 1, мы можем разложить правую часть (2.2.1) по степеням g2d. С точ^ ностью до первого порядка по g2 мы имеем для d^x, g))
d№ = 1 + /pV.(2.2.2)
Заменяя в (2.2.2) g2 на g2d и подставляя в (2.2.1), получаем
Прямое интегрирование уравнения (2.2.3) приводит к выра^ жению
MX-gWT\(2.2.4)
которое совпадает с результатом приближения хаотических фаз.
Обсудим теперь условия применимости приближения g2^d\ -С 1. Поскольку нас интересует дальнодействующееповедение корреляций, потенциал V(&) можно разложить
‘) См. также книгу Р. Браута [25] и работу [23]. — Прим, перев.
в окрестности А = 0 *). Если г0 радиус действия потенциала, то это означает, что кго <§; 1. Вводя, как обычно, для Г > Тс длину когерентности
г2
^ = 1 - gW (0)"(2.2.5)
и используя тот факт, что —рУ'(0) g2 ~ г2, мы можем записать наше условие применимости приближения хаотических фаз в виде
(2.2.6)
Чтобы удовлетворить этому условию, мы должны иметь g2 <С <С 1, £ ~ г0 и, кроме того, р <С рс. Это означает также, что ££<^ 1. Иными словами, ПХФ применимо только тогда, когда имеется слабый потенциал, температура достаточна далека от критической точки, а величина к достаточно мала, чтобы соответствовать так называемой макроскопической или гидродинамической области.
РГ и скейлинг-, эвристическое рассмотрение [8]
Как мы отметили во введении, нашей целью является установление связи между теорией подобия и инвариантностью относительно РГ, которая обсуждалась в разд. 2.1. Здесь мы укажем мёханизм, с помощью которого сложная структура РГ сводится к условию однородности, требуемому при обычной формулировке гипотезы подобия2). Допустим, мы сделаем сильное предположение, что все параметры yt, константа связи g и соответствующая температуре переменная у, т. е. параметры, появляющиеся в (2.1.22), объединяются вместе и образуют новую переменную z, а также что вблизи критической точки уравнение (2.1.22) может быть записано в виде d(x, z^ = d^t, z^d^, у).(2.3.1)
Другими Словами, мы добились сокращения числа переменных, которое соответствует обычной гипотезе подобия, требующей, чтобы динамика вблизи Тс определялась только одним параметром: длиной когерентности |. Если теперь взять
*) См. работы [23, 25, 26]. — Прим, перев.
полевой подход к теории фазовых переходов
= 1, то по-(2.3.2)= 1, то по-(2.3.2)производную от (2.3.1) по t и затем положить t лучим
= 1, то по-
(2.3.2)
= 1, то по-
(2.3.2)
дх 02
с =-^d<t, ^о) k=i-
Общее решение этого уравнения имеет вид
d (х, г) = 2°f ^),(2.3.3)
где ^^-произвольная функция. Эта форма функции d является другой основной гипотезой теории подобия. В рамках нашего подхода эта гипотеза является следствием первой гипотезы, т. е. уравнения (2.3.1). Заметим, что (2.3.3) совместно с уравнением (2.3.1) только в том случае, если мы выберем
Zn так, что
d(/, г0) = Л(2.3.4)
ражении (2.3.3):ражении (2.3.3):(2.3.5)(2.3.5)Если, продолжая связывать переменную 2 с длиной когерентности (г = £~W), мы выберем 2Q = 0, что соответствует критической точке, то уравнение (2.3.4) налагает требование на поведение асимптотики функции f, которая появляется в вы
ражении (2.3.3):
ражении (2.3.3):
(2.3.5)
(2.3.5)
Однако мы хотели бы по возможности избежать введения ad Нос таких гипотез, как гипотеза о сокращении числа переменных, рассмотренная в этом разделе. Ясно, что для этого необходимо более систематическое исследование уравнения (2.1.22); именно это мы и попытаемся сделать в следующем разделе.
РГ и скейлинг: систематический подход [9]
Чтобы использовать всю информацию, заключенную в уравнении (2.1.22), возьмем от правой и левой частей этого уравнения логарифмические производные по х и у, а после вычисления положим t = x,y. Таким образом, мы получим два
уравнения
^1п^(^ У, {yi}, g) =
^тС^^^О’ Т- {v}’ ^k’ У°> VytY ^))]5=1; (2.4.1)
-^lnd(x, у, {у}, g^ =
= 7 (4ln d (т' 41 ( 7"}' g<ih ^’ ч"' ^ «О],., • <2-4-2)
Уравнения (2.4.1) и (2.4.2) можно записать в несколько иной форме, если ввести вершинные функции
Г[ — "g^d ,(2.4.3)
<2-4-4)
Мы получаем
^-lnd(x, у, VytY g) =
= "Р' (*' 7' {4}' К^- у, {у,}, g)). (2.4.5)
-^-lnd(x, у, {ytY g) =
= —уГ2(у, 1, { — J, gdh(y, у , VytY g)),(2.4.6)
= d0’ T ’ {’ §d4a Iх’ У - ^^Y gS) X
X ^G’ ^* {^"}* ^,/2U y°, {yiY g)), ^АЛ')
f2 = </(y, L {-y}. gd'’\y, у , VytY g))x
ХГ2(у, 1, {y-}, gd'!\y, y\ {z/z}, g)).(2.4.8)
Система уравнений (2.4.5), (2.4.6) совместна только тогда, когда удовлетворяется условие
^>№У(ЗАО)
Уравнение (2.4.9) в дальнейшем будет играть очень важную роль.
Далее мы введем определение критической точки с помощью требования, чтобы функция d была сингулярной, когда оба параметра х и у стремятся к нулю.
Если исключить из рассмотрения существенные сингулярности, уравнения (2.4.5) и (2.4.6) дают для двух предельных случаев у = О, х -> 0 и х = О, у->-0:
<Ф,0)^^х-%(2.4.10)
d(0, у^-^у"^,(2.4.11)
где
0]= ПтГ, (1, 0, { gd'h(x, у, VyiV g)). (2.4.12)
ст2=ПтГ2Го, 1, gd'4y, у\ {yiY g))- (2.4.13) »->о 4 J/
Величины О] и о2 будут нашими основными критическими индексами, а формулы (2.4.12), (2.4.13) дают их определение в терминах микроскопических величин. Конечно, критический индекс можно было бы определить на плоскости (х, #) для любой линии, проходящей через начало координат.
Заметим, что выражения (2.4.10) и (2.4.11) дают фактически лишь главный член логарифма соответствующих сингулярных функций. Действ.ительно, если бы мы добавили к Oi и а2 малые поправки, например Ui -> at + of/lnx или а2-> -> а2 + о^/1п у, то для асимптотик функции d (х, #) получили бы соответственно d(x, 0)~х-а‘| 1пхГа* и d(0, у^~у""‘51\ In у Г°2. Таким образом, главный вклад в сингулярность при вычислении асимптотик функции d(x, z/) определяется с точностью до логарифмических членов ').
Определив критические индексы, обсудим теперь поведение функции d соответственно в гидродинамической и критической областях ).
Гидродинамическая область: у#=0, х-э-О. На основании общих аргументов) ожидается, что d(x,y) в этой
области будет аналитической функцией х. Прямоеобласти будет аналитической функцией х. Прямоерование уравнения (2.4.5) даетd (х, y) — d (0, у) ехррование уравнения (2.4.5) даетd (х, y) — d (0, у) ехринтегри-(2.4.14)интегри-(2.4.14)Из аналитичности следует, что выражение (Г]/х) в точке х — 0 конечно, так что для малых х, используя асимптотику (2.4.11), получаем^.А~гЦ)--^У (2.4.15)Из аналитичности следует, что выражение (Г]/х) в точке х — 0 конечно, так что для малых х, используя асимптотику (2.4.11), получаем^.А~гЦ)--^У (2.4.15)где функция т^у) определяется выражениемгде функция т^у) определяется выражениемт-1(у) = (^Х=о-(2-4.16)т-1(у) = (^Х=о-(2-4.16)Теперь имеется возможность дать более точную характеристику гидродинамической области:Теперь имеется возможность дать более точную характеристику гидродинамической области:хт (у)хт (у)(2.4.17)(2.4.17)Функцию т^у), которая определяется выражением (2.4.16), можно идентифицировать с длиной когерентности с помощью соотношенияФункцию т^у), которая определяется выражением (2.4.16), можно идентифицировать с длиной когерентности с помощью соотношеният \у) = ^{у)^.т \у) = ^{у)^.(2.4.18)(2.4.18)Таким образом, мы получили также некоторое микроскопическое выражение для фундаментальной корреляционной длины в терминах вершинной функции Гь В качестве следующего шага нам хотелось бы вычислить поведение т как функции у при у->0. Чтобы найти уравнение для функции т(у), мы в (2.4.9) перейдем к пределу х -> О,Прямое вычисление дает<2ЛЛ9>Таким образом, мы получили также некоторое микроскопическое выражение для фундаментальной корреляционной длины в терминах вершинной функции Гь В качестве следующего шага нам хотелось бы вычислить поведение т как функции у при у->0. Чтобы найти уравнение для функции т(у), мы в (2.4.9) перейдем к пределу х -> О,Прямое вычисление дает<2ЛЛ9>Это уравнение имеет степенное решение вида т ~ уа, еслиЭто уравнение имеет степенное решение вида т ~ уа, еслит -А) = конечная = — о.т -А) = конечная = — о.(2.4.20)(2.4.20)
области будет аналитической функцией х. Прямое
области будет аналитической функцией х. Прямое
рование уравнения (2.4.5) дает
d (х, y) — d (0, у) ехр
рование уравнения (2.4.5) дает
d (х, y) — d (0, у) ехр
интегри-
(2.4.14)
интегри-
(2.4.14)
Из аналитичности следует, что выражение (Г]/х) в точке х — 0 конечно, так что для малых х, используя асимптотику (2.4.11), получаем
^.А~гЦ)--^У (2.4.15)
Из аналитичности следует, что выражение (Г]/х) в точке х — 0 конечно, так что для малых х, используя асимптотику (2.4.11), получаем
^.А~гЦ)--^У (2.4.15)
где функция т^у) определяется выражением
где функция т^у) определяется выражением
т-1(у) = (^Х=о-(2-4.16)
т-1(у) = (^Х=о-(2-4.16)
Теперь имеется возможность дать более точную характеристику гидродинамической области:
Теперь имеется возможность дать более точную характеристику гидродинамической области:
х
т (у)
х
т (у)
(2.4.17)
(2.4.17)
Функцию т^у), которая определяется выражением (2.4.16), можно идентифицировать с длиной когерентности с помощью соотношения
Функцию т^у), которая определяется выражением (2.4.16), можно идентифицировать с длиной когерентности с помощью соотношения
т \у) = ^{у)^.
т \у) = ^{у)^.
(2.4.18)
(2.4.18)
Таким образом, мы получили также некоторое микроскопическое выражение для фундаментальной корреляционной длины в терминах вершинной функции Гь В качестве следующего шага нам хотелось бы вычислить поведение т как функции у при у->0. Чтобы найти уравнение для функции т(у), мы в (2.4.9) перейдем к пределу х -> О,
Прямое вычисление дает
<2ЛЛ9>
Таким образом, мы получили также некоторое микроскопическое выражение для фундаментальной корреляционной длины в терминах вершинной функции Гь В качестве следующего шага нам хотелось бы вычислить поведение т как функции у при у->0. Чтобы найти уравнение для функции т(у), мы в (2.4.9) перейдем к пределу х -> О,
Прямое вычисление дает
<2ЛЛ9>
Это уравнение имеет степенное решение вида т ~ уа, если
Это уравнение имеет степенное решение вида т ~ уа, если
т -А) = конечная = — о.
т -А) = конечная = — о.
(2.4.20)
(2.4.20)
Для оценки этого предела мы должны ввести некоторое дополнительное предположение. Используя (2,4.16), уравне-
ние (2.4.20) можно записать в виде
о = — lim lim(2.4.21)
МОх^) T^X, у)V '
Где указаны явно только существенные переменные. Наше предположение будет заключаться в-том, что выражение (2.4.21) не зависит от того, какой из пределов х->0 или у->0 вычислять первым. Заметим, что Нт Г2(х, у) = 0» поскольку, у->о
согласно нашему определению критической точки, сингуляр- ное поведение функции d должно исчезать, как только одна из переменных отлична от нуля. Из соотношений (2.4.12) и (2.4.13) тогда следует
» —£•(2-4.22)
Этот результат Позволяет переписать выражение (2.4.15) в виде
d (х, у> - т-^ (у) (1 - ^-).(2.4.23)
Эта формула точно совпадает с предсказанием теории подо- бия в гидродинамической области. Мы придаем этому результату большое значение, поскольку для него имеется точная математическая формулировка условий, при которых в рассматриваемой области имеет место скейлинг: математическое условие сводится к требованию перестановочности пределов в выражении (2.4.20). Единственная явная аналитическая информация, которая учитывается в уравнениях РГ, заключается в предположении об аналитичности функции d в рассматриваемой здесь Гидродинамической области.
В действительности используется лишь тот факт, что выражение (Г1/х)х=о конечно, и это, естественно, Справедливо, если функция d аналитична по х. Заметим, наконец, что если пределы в выражении (2.4.20) неперестановочны, то функция т^у) по-прежнему может характеризоваться степенным законом поведения, но с показателем, отличным от сц/сг2.
Критическая область: х ^ 0, у-^-0. Между макроскопической и критической областями имеется некоторая существенная асимметрия. Как показал Поляков, ожидается, что функция d(x, у) является неаналитической для произвольных х, если у = 0. Это означает, что одновременное исследование этих двух областей невозможно. Величина ^2ly^=Q в общем
случае не является конечной. Например, в случае двумерной модели Изинга величина Гг/у при у->0 расходится как In у. Если предположить, что выражение Г2/у конечно при у = О, то для функции d мы получили бы следующую асимптотику:
1 —с(л") / (2.4.24)
Результат такого типа может иметь место в некоторых исключительных случаях. Однако при детальном рассмотрении этой области возникает необходимость в более специфической динамической информации.
Мы подошли теперь к очень существенному вопросу. До какой степени явные выражения, полученные нами для индексов, могут быть использованы при реальных расчетах? Наконец, мы хотели бы иметь возможность сказать что-нибудь о степени универсальности, которую можно ожидать для этих величин. Степенные законы поведения функций типа пропа- гаторной или корреляционной хорошо известны также и в других областях физики. Типичным примером является поведение электронного пропагатора вблизи сингулярности, соответствующей массовой оболочке, в том случае, когда принимаются во внимание радиационные поправки за счет многофотонных процессов). Переход от простой сингулярности типа полюса к некоторой более сложной сингулярности связан с явлением накопления точек ветвления). Другим примером может служить реджевское поведение амплитуд при высокоэнергетическом рассеянии, однако математический механизм обоих этих явлений очень близок). Поскольку накопление точек ветвления, как это будет выяснено ниже, имеет место также и в критической точке, естественно воспользоваться этими аналогиями для достижения некоторого понимания в данном вопросе).
Имея для индексов явные выражения, такие, как (2.4.12) и (2.4.13), естественно было бы использовать в этом случае теорию возмущений. Однако в пределе, когда х,у-^0, мы сталкиваемся с инфракрасными расходимостями, которые усиливаются вместе с ростом порядка диаграмм. Эти расходимости обусловлены отсутствием в критической точке какого- либо параметра длины. Тогда можно спросить, имеется ли возможность в конце концов пересуммировать такие диаграммные разложения и получить конечный ответ. Явление такого типа известно из теории полюсов Редже, где имеется случай, когда разложение, выражающее индекс, расходится в каждом члене, однако его можно пересуммировать и получить в результате новое степенное разложение, нулевой член которого есть число, зависящее по существу только от размерности пространства [12].
На этом основании нам хотелось бы предположить, что индексы Oi и 02 получаются из суммы двух вкладов
<5i — Oit + Qu-
Первый вклад о1х зависит, по существу, только от размерности системы и является универсальным. Второй член зависит от конкретного вида системы, однако его величина гораздо меньше, чем первого. Это предположение дает по крайней мере определенное направление для исследования.
В заключение отметим, что нам удалось достичь в этой первой части лекций. Мы построили общий математический аппарат, в рамках которого гипотезы, приводящие к законам подобия, могут быть сформулированы в строгой математической форме. Кроме того, получены некоторые точные результаты, однако полное содержание уравнений, таких, как (2.45) и (2.46), еще далеко не исчерпано. В частности, совсем не использована сильная нелинейность этих уравнений. Поэтому можно надеяться, что прогресс в данном направлении возможен уже в ближайшем будущем.
РАСПРОСТРАНЕНИЕ УРАВНЕНИЙ РГНА КВАНТОВЫЕ СИСТЕМЫ. СКЕЙЛИНГ И ЕГООГРАНИЧЕННОСТЬ В РАМКАХ МЕТОДА РГ
В этом параграфе мы прежде всего распространим предыдущие результаты на квантовые системы и введем некоторую терминологию, которая будет использована ниже при сравнении результатов настоящих лекций с работами Мигдала и
Полякова. Мы дадим также некоторые указания на то, как в рамках метода РГ подойти к проблеме отклонения от законов подобия. Это равносильно установлению некоторых соотношений между производными от вершинных функций Г] и Га, которые должны выполняться, для того чтобы имел место скейлинг.
Фиг. 1.Фиг. 1.
Фиг. 1.
Фиг. 1.
Даже если то, о чем мы собираемся говорить, будет носить общий характер, условимся для определенности рассматривать на самом деле жидкий гелий. Если не очень заботиться о точности определений, то параметром порядка в этом случае является средняя величина полевого оператора (ф). Выше
Фиг, 2.Фиг, 2.
Фиг, 2.
Фиг, 2.
температуры Тх корреляционную функцию, соответствующую этой системе, легко получить из одночастичной функции Грина. Как всегда, для этого случая удобно ввести так называемую температурную функцию Грина О(юп, р, ц, Г) ), которая связана с числом заполнения в состоянии с импульсом р соотношением
п (р) = — Т 2 G (а>п, р, ц, Г),®„ = 2лп7’,(3.1)
П=0
здесь р,— химический потенциал, а п — целые числа. Функция G (ton, р, р,Ту удовлетворяет уравнению Дайсона:
G-1 = iton + ц — е(р) — S ((в„, р, р, Т),(3.2)
которое на диаграммном языке имеет вид, изображенный на фиг, 1.
Функция 2 — это собственно-энергетическая часть, которая в виде диаграммного разложения изображена на фиг. 2. Для интерпретации диаграмм мы предлагаем читателям обратиться к книге Абрикосова, Горькова, Дзялошинского [1].
Конечно, линия A-перехода в этом случае определяется явно условием ц = цс(Т) или Т = Тс^, где
цс = Ж О, Т, рс).(3.3)
Очевидно, что уравнение (3.2) инвариантно относительно мультипликативного преобразования
G-^LG, S-^-’S,V->L^V,(3.4)
где V — величина потенциала парного взаимодействия. Определим безразмерную величину g следующим образом?
G = G^g, g^-G^^»(3.5)
где G<°) — свободная функция Грина, имеющая вид
G^-1 = 1<йп + р — е (р).(3.6)
Тогда, как и в классическом случае, функция g удовлетворяет соотношению
g(z„, х, у, уь У) —
= 5 (О, t, у®, У„ Ю^, т* Т’ Т’ У^2 (°’ ^ У^’ «й У0 (3.7) и условию нормировки, которое имеет вид
Ж 1, у*», уь V)=L(3.7а)
Все переменные такие же, как и ранее, за исключением гп:
Чтобы получить соотношение для статических функций Грина, обе части уравнения (3.7) необходимо умножить на
^ ^п, х, ц/А,2) = 1/А2 (jz^ + ц/А.2 — х)
и просуммировать по всем частотам о)п.
Температурный множитель Г, который необходимо поставить перед суммой1), обеспечивает правильность нормирующего фактора X2 или V2 в конечном уравнении:
Gs<x, у, ^У Ю = £(0, t, У®, У и ЮХ
(
X у Г у> )\
7' ITj- W’t ^(0)> Уь у0- (3-76)
Теперь мы можем свободно произвести выбор безразмерных переменных. Относительно переменной у предположим, что либо у = (р,— рс)Д2 (в том случае, когда мы работаем при постоянной температуре), либо у = (Т — ТОД2 (если мы работаем при постоянном химическом потенциале). В обоих случаях через у мы будем обозначать отклонение от кривой, разделяющей фазы, которая определяется уравнением (3.3).
Вновь, как и выше, мы получаем для Gs два уравнения:
-^ In Gs (х, у, {у{}, Ю = - у Giri = " Т Ги(3.8)
A- In Gs (х, у, [у^, Ю — — у С2Г2 = - у Г2,(3.9)
где
G| = °.(1, 4, {-г}•(°- ' 9®.V)),(3.8а)
Г1 = 4О‘7'4' 4' {4}' Vg’^- х’ to,у)). , I3-8® и
G2 = G$(y, 1, W у, у®, {у^, V)),(3.9а)
Г= =4-°-"'(4’ ^ (4}' Vg’W, 9, У®, to, Ю) (3.96) Все предыдущие результаты, касающиеся критических индексов и длины когерентности, сохраняют свою справедливость и в этом случае. Следовательно,
Gs~x~O1 для у = 0;Gs~y~°2 для х = 0, (3.10)
х—>0у—>0
o^limlimf^ <т = ПтПтГ2, (3.10а) х->0у->0д->йх->0
а функция иЦу) имеет вид
(3.11)
где а — постоянная
(3.12)
В выражении (3.12), кроме главного в гидродинамической области члена, появляется первая поправка.
Выше температуры Тх парная корреляционная функция, включающая параметр порядка, пропорциональна Gs, следовательно, в терминах обычных критических индексов у и т] имеем
сг1=^-;<т2 = т.(3.13)
Условие совместности уравнений (3.8) и (3.9), обеспечивающее возможность изменения порядка перехода к пределам по х и по у'), приводит к следующей асимптотике для функции т: т (у) ~ у°21<\ Эта асимптотика с учетом определения обычного индекса v, связанного с обратной корреляционной длиной, соответствует следующему соотношению подобия) :
Другими словами, начиная с предела х->0, можно распространить полученное решение) на случай х N= 0, удовлетворяя при этом соотношению подобия (3.14), которое включает в себя индекс щ, связанный с поведением функции Gs в случае противоположного предела у = 0.
В рамках гипотезы сильного скейлинга эти два крайних типа предельного поведения связаны с однородной функцией двух переменных х и m(z/):
<ЗЛ5)
Выражение типа (3.15) было получено для функции Gs из уравнения РГ при очень сильном условии, что только одной переменной (длины когерентности) достаточно для описания всей существенной информации о потенциале взаимодействия
и флуктуациях. Из численного анализа трехмерной модели Изинга известно, что общее предположение скейлинга о полной однородности является до некоторой степени несостоятельным [13, 14]. Более того, некоторые соотношения между индексами, основанные на теории подобия, не удовлетворяются, даже если имеются указания на то, что соотношение (3.14), возможно, все еще выполняется даже для d = 3. Вполне вероятно, что изменение порядка пределов по переменным х и у, которое обсуждалось в разд. 2.4 и которое необходимо для получения соотношения (3.14), недопустимо. Возможно, что имеет место случай, когда для полного описания критического поведения системы необходима еще и вторая переменная, или длина g2, определяющая скорость приближения к критической точке [15]1). Однако поскольку нет еще явного указания на то, что соотношение (3.14) несправедливо, будем предполагать, что перестановка пределов возможна, и определим, каким образом могут возникать отклонения от формы (3.15), соответствующей полной однородности.
Конечно, введение второй длины £2 сделало бы несправедливой гипотезу о сокращении числа переменных в ее предыдущей строгой форме. В уравнениях РГ вместо двух теперь понадобились бы три переменные и вместо выражения (2.33) общее решение теперь имело бы вид
ОДх, z, z') = 2-”f^T. 2'=^-, (3.16)
который учитывает отклонения от однородности по двум переменным, как это явствует из уравнения (3.15).
В соответствии с нашей главной линией мы теперь будем продолжать исследования, исходя из случая гидродинамической области и пытаясь распространить решение на большие значения величины к, с тем чтобы получить как можно больше информации относительно функции Gs. Поскольку функция Gs(x, у) является аналитической при х = 0 и произвольных значениях у, кроме у = 0 (зависимость от других переменных мы больше не будем выписывать в явном виде), мы можем рассматривать выражение (3.12) для Gs как первый шаг в ее разложении в ряд по параметру x/m(z/):
адх, s)~g-..(l + a^+»^(-^)!+ ...). (3.16а)
Таким способом мы можем изучить построение поправок к крайнему случаю гидродинамического предела. Однако гораздо более важно другое: если гипотеза сильного скейлинга выполняется в форме соотношения (3.15), то в области аналитичности функции Gs имеет место лишь разложение (3.16а). Если мы хотим избежать предположений ad hoc, таких, как предположение о сокращении числа переменных, то не следует рассматривать однородность как некоторое установленное следствие наших уравнений. Теперь, однако, можно изменить схему рассуждений и сказать, что если разложение (3.16а) несправедливо, отклонения от однородности имеются даже в том случае, если соотношение (3.14) все еще справедливо.
Сформулируем эти условия более точно. Если подставить разложение (3.16а) в уравнение (3.8), то мы получим следующие соотношения:
=<3‘Э
£(®)L <ЗЛ7а>
Уравнение (3.17) представляет результат, полученный как первая поправка к главной асимптотической форме функции Gs.
Одновременно должно также удовлетворяться уравнение (3.9); тогда мы получим
о2 = Г2(0, у),(3.18)
,(3.18а)
т2(у)дуу\ дх )х=й*х
1С^.) ,(3.186)
т2 (у)ду2у \ дх2 А=0
Первое уравнение вновь определяет индекс ст2- Чтобы величина ст2 была настоящим индексом, функция Г2(0, у) вблизи критической точки не должна зависеть от у. С другой стороны, как уже подчеркивалось, возможно появление логарифмических поправок. Комбинируя уравнение (3.18а)
с уравнением (3.17), уравнение (3.18) с уравнением (3.17а) и т. д., мы получаем соотношения
_д_ = _ (1/у) №/дх)х=0 = ду nm " (rvx)^ (д/дх) (fVx) |х=0
Первое равенство равносильно уравнению для функции т(^), которое было уже введено выше. Предполагая таким образом, что перестановка пределов по х и по у справедлива, мы получаем, что первое равенство ведет к соотношению (3.14). Кроме того, мы получаем также следующую цепочку равенств:
2= a? __ №/dx)x=0 = _ J/HWd^^ = сх (fi/x)x=0 (д/дх) (Г^х) |х_0
Все эти соотношения должны быть независящими от у; конечно, проще всего добиться этого, потребовав, чтобы вершинные функции Г зависели только от отношения x/m(t/). Как мы увидим ниже, это эквивалентно предположениям, которые делает в своих работах Мигдал, и, конечно, эквивалентно условию сокращения числа переменных.
Рассматривая соотношения (3.20) с другой точки зрения, мы можем сказать, что первый поправочный член, который не удовлетворяет (3.20), нарушает гипотезу сильного скейлинга в том смысле, что обычное выражение для функции Gs )
°.<r)=-^8r (э-15а)
становится теперь неверным.
Следовательно, полная однородность, которая имеет место на плоскости х, т(у), обеспечивает удовлетворение некоторых специфических условий [соотношения (3.20)] на все более и более высокие корреляционные функции, частично связанные с производными от функций Г в точке к = 0. Конечно, соотношение (3.14) может по-прежнему выполняться,
даже если равенства (3.15) или (3.15а) в общем случае не выполняются. Дальнейшее исследование этой точки зрения могло бы привести к объяснению предкритической области. Естественно, что это было бы очень важно для решения главной открытой проблемы: как мы приближаемся к критической области?
СРАВНЕНИЕ С ПОДХОДОМ МИГДАЛА *)
Тождества Уорда. Фононная функция Грина
Попытаемся сделать набросок общей идеи, содержащейся в работе Мигдала [6], и особенно той ее части, которая могла бы быть связана с методом РГ. Просим извинить нас, если мы не сможем из-за ограниченности времени, предоставленного в наше распоряжение, в полной мере воздать должное этой работе или не совсем точно изложим идеи Мигдала.
Исходная мысль заключается в следующем: вблизи Тх главный вклад в функцию G определяется величинами йп = 0и |^| С 1/г0 (г0 — радиус действия сил).
Из гипотезы о том, что, будучи функцией £2, G имеет полюс при юп = 0 в точке, в которой обращается в нуль выражение (3.2), следует, что полюс должен находиться в точке /г2 = _м2.
Величина (—М2) отрицательна по физическому смыслу выражения (3.1). Конечно, расходимости величины п^ при Т^-Тх могут быть учтены, если принять во внимание бозе- конденсацию; при Т->ТХ сингулярности могут стремиться к к = 0. Кривая (3.3), которая в излагаемой здесь схеме разделяет фазы, соответствует выражению Af2(p,c, Т) = 0.
Введем функцию D, которая равна ренормированному потенциалу взаимодействия, деленному на затравочный потенциал:
0=1 + uxnd^^pjxr + uxrv’^^xzx/'^^A/V' + ....= 1^1 - vn) (4.1. 1)
Фиг. 3.
или
5-/=/_^^^=;-^<3^’"W^3^ (4.1.1а)
Фиг. 4.
В действительности функция D может быть связана с по- мощью термодинамических аргументов и диаграммного анализа с особенностью теплоемкости. Однако ни разложение 2 (фиг. 2), ни разложение £Н (фиг. 4) с помощью диаграмм не удобно для проведения расчетов вблизи 7\, так как область интегрирования в этом случае не может быть ограничена пределами
®„ = 0,£<1/г0.
Поэтому главная цель сейчас состоит в выделении сингулярных членов, с тем чтобы при разумных допущениях использовать их затем в рамках развитого формализма для получения точных результатов.
Введем у = ц — цс и, имея в виду, что из (3.6) следует dG^jdp = —G(0)2, продифференцируем по параметру у диаграммы, изображенные на фиг. 2 и 4. Таким способом после соответствующего пересуммирования диаграмм мы получим следующие тождества Уорда:
^П = № р, y)D(Q, у), (4.1.2)^П = № р, y)D(Q, у), (4.1.2)где5Цр, ч) =где5Цр, ч) =Фиг. 5.Фиг. 5.
^П = № р, y)D(Q, у), (4.1.2)
^П = № р, y)D(Q, у), (4.1.2)
где
5Цр, ч) =
где
5Цр, ч) =
Фиг. 5.
Фиг. 5.
Интересующихся диаграммным представлением Л мы отсылаем к работе Мигдала.
Прямые линии здесь соответствуют полным функциям Грина G, волнистые линии — функции D, а точки — точным вершинам. Суммирование по частотам и интегрирование по импульсам производится по следующему правилу: VQT ^ d3kjl2nf, где величина Vo учитывает тот факт, что разложение D начинается с 1, а не с затравочного потенциала V. В действительности в диаграммном анализе можно было, перестраивая мультипликативный вклад D(0, у) в урав*
нении (4.1.2), исключить 1 из диаграмм фиг. 5, поскольку, как предполагается, основной вклад дают только малые импульсы, и, следовательно, V -> Ко.
Анализ размерностей
Поскольку вершины, появившиеся в уравнениях (4.1.2) и (4.1.3), при диаграммном разложении выражаются через полные функции G и D, при интегрировании по внутренним импульсам и суммировании по внутренним частотам главный вклад определяется импульсами порядка |^|^Л4 и а>п = 0. Из разложения, изображенного на фиг. 5, видно, что каждая диаграмма отличается от диаграммы следующего, более высокого порядка на две полные линии (G2), на одну волнистую линию 0), на две вершины (/2) и одно интегрирование (M3TV0). Таким образом, вводя новую константу связи
X = G2DFM3V0T,
(4.2.1)
мы получимz=1+z, + zx2+..„
(4.2.2)
Аналогично для вершины Л получаем
' a=z3g3m3v0t(1 + x2+ ...)•
(4.2.3)
В рамках того же приближения имеем также
(4.2.4)
D^y^^D.
(4.2.5)
Для того чтобы предыдущие уравнения были совместны, константа X должна иметь величину порядка единицы.
Из определения (4.2.1) и соотношения (4.2.4) получаем следующее выражение:
1(4.2.1а)
К Dy2 (2л)3
Это выражение для X, как оказывается, будет полезно ниже,
Перенормированные вершины. Сравнение с Г2
Запишем в явном виде вклад, соответствующий первой диаграмме на фиг. 5:
Ж у) = 1 +
1 +7^S^^’ №W к-р^Х
XG^k — p + q^ (^ + q — p> p) 4- ... ,(4.3.1)
Фиг. 6.
Теперь мы хотим, чтобы в интегральном уравнении (4.3.1) в явном виде появилась константа X, тогда как функции G и D должны из уравнения исчезнуть.
Введем следующее преобразование:
f с (Р, q, У^ — Ул/О (0, y)^D{p — q, y)/^JG^P, у) (-^- 4- Qx
XaJg^, y^-^ 4- l)x (p, q, уу (4.3.2)
Фактор у л/D (0, у), присутствующий в (4.3.2), отвечает множителю A Dy2, который появляется в выражении (4.2.1) для константы X. Если в уравнении (4.3.1) пренебречь членом 1, то оно сводится к следующему уравнению:
Л (р, q, т = х\ Як/М*^ (р, k) -Д№ X
Х^Ак, к^д-р^._р^^№ fxh^q-p, -7m2-...
(4.3.3)
В работе Мигдала приведены некоторые аргументы, поясняющие, почему единицей можно было бы пренебречь; полное обсуждение этого момента дано Фейбелманом на его семи-*
з. полевой Подход к теорий фазовых переходов
Наре1). Заметим, однако, что единица в уравнении (4.1.2а) была получена на основе определенного предположения о роли потенциала взаимодействия, который теперь исчез из уравнений.
Перенормированные вершины представляются суммой диаграмм, включающих в себя пропагатор А42/(&2 + М2) и некоторые универсальные множители; тогда для ^ получаем
?АР, Я, 9) = fc<PlM, q/M\(4.3.4)
и величина М приобретает, таким образом, смысл обратной когерентной длины. На этой стадии величина М была введена в качестве параметра обрезания в оценку величины константы X, которая рассматривалась выше. Чтобы установить связь с методом РГ, введем следующую вершинную функцию:
f2 (р, q, ^ = 9 V^(0, у) ^D^p — q, у) ^G (р, у) X
X VG (q, у) Z (р, q, у). (4.3.2а)
Такое же преобразование было использовано Фейбелманом [16], чтобы показать, что в решении уравнений Мигдала имеются некоторые неясности.
Уравнение (4.3.3) заменяется следующим:
Г2(р, q, у) = X Г2 (р, к, у) r^k,k-p-Vq)X
Xt^k-Vq-P, qHX2 ..., (4.3.3а)
а для Г2 снова получаем соотношение подобия
f2(p, q,y) = rUp/M, q/M).
Как уже подчеркивалось, величина Л43 была введена в (4.3.3а) на том основании, что мы хотели в явном виде выделить величину X, которая является константой порядка единицы. Таким образом, пренебрежение единицей в уравнении (4.3.1) и введение величины М в качестве параметра об' резания было эквивалентно предположению, что функции /0 и Г2 зависят только от отношения р/М. В то же время единственный вклад от суммирования по частотам, который нами рассмотрен, это вклад от шп = 0.
*) Работа Фейбелмана содержится в сборнике статей школы Э. Ферми по критическим явлениям [33], — Прим, перев.
Из преобразования (4.3.2) и тождества Уорда (4.1.2) следует, что
d InG L ^с^Р- <?)/4 о с\
ду ~ у (pW + ^V1?
В терминах функции Г2 получаем
^0=_±f2'(Pi р).(4.3.5а)
Последнее уравнение необходимо рассматривать вместе с уравнением (3.9), выведенным из РГ. Так как в (4.3.5а) нет ни одной размерной переменной, то рассматривается только член с <0^ = 0. Таким образом, гипотеза, которую мы уже сделали, прямо привела нас к тому, чтобы рассматривать Г2 как функцию только р[М\ следовательно, уравнение (4.3.5а) для G обладает однородным решением, которое нами уже было построено.
Обсуждение уравнения для обратнойкогерентной длины М
Если мы попытаемся теперь вывести уравнение для М, то столкнемся с некоторой проблемой. В подходе, связанном с РГ, уравнение для М вытекало из условия совместности двух уравнений (3.8) и (3.9). Поскольку в настоящей схеме в нашем распоряжении имеется только одно уравнение, необходима некоторая дополнительная информация. Согласно МигдаЛу, уравнение (4.3.5) следует рассматривать в окрестности полюса функции G, где G^p) имеет вид [ср. с выражен нием (5.Е2)]
G(P) = -^r.(4-4.1)
тогда
(4.4.2) и, следовательно,
2v = /c(-l).
Однако, подставляя в (4.3.5а) выражение (4.4.1), получаем 1 дМ2 Г р2 + М2 dZ 1f'^p, у)
Р2 + М2 ду L z дм1 J у ‘(4‘4-2а)
Без штриха при Г2 и черты над у уравнение (4.4.2а) совпадает с тем уравнением, которое мы получили бы, подставляя
выражение (4.4.1) в уравнение (3.9). Переходя вначале к пределу р2 -> О, а затем к М -> 0, получим
(4.4.26)(4.4.26)<ЭМ2 № Г2 (о, у)
(4.4.26)
(4.4.26)
ду “ У 1 - (M2/Z) (dZ/dM2) '
Из уравнений (4.4.26) и (3.18) тогда имеем
[1 - kNPm кдЦдМ^Х^
Поскольку мы ожидаем, что Z ~ ЛИ (см. обсуждение в разд. 5.2), последнее выражение согласуется с соотношением (3.20).
Таким образом, для правильного воспроизведения нетривиальных результатов на основе полюсного приближения должен иметь место некоторый более сложный механизм, чем тот, который рассматривался выше; именно его мы и обсудим в последнем разделе.
Общее решение для функции G и поправкак главному члену асимптотики в критической области
Поскольку /с является функцией только р[М и пока мы можем считать, что М равно некоторой степени переменной у, общее решение уравнения (4.3.5) является однородной функцией р и. М:
G(p, y) = G^, уШр!М\(4.5.1)
где
G(0,Ч =(4.5.1а)
Это выражение для индекса у согласуется с тем, которое получено из РГ. Однако для определения индекса v необходимо, чтобы величину М можно было некоторым определенным образом выразить через у. В пределе Af —>■ 0 (критическая область) на основе полной однородности выражения (4.5.1) можно заключить, что
G-^p^.(4.5.2)
Это выражение равносильно асимптотике яг-% которая была получена в рамках РГ, кроме того, в этом подходе такая асимптотика является следствием уравнений (3.8), (3.9) и выполняется даже в отсутствие полной однородности.
Мигдал вычисляет поправочный член к выражению (4.5.2) исходя из тождества Уорда (4.1.2)
в
G-1 = const • р^ + / (р, р, у = 0) ^ D (0, р') dy'. (4.5.3) о
Поправочный член факторизуется в произведение функций р и у. Используя те же аргументы, что и до сих пор, мы получаем для G-1 окончательно
G-I = const +&(^)<3V~')/V]-(4-5-4)
Выражение типа
совместно с двумя уравнениями РГ (3.8) и (3.9), только если р = 1. В этом случае, как это было показано ранее, мы получаем выражение
Gs = x—(1 + с^Уф,(4.5.4a)
которое аналитично по у, но не по т. Конечно, как уже упоминалось, нет причин считать, что такое решение достаточно обосновано. Более того, можно явно указать контрпримеры.
Подводя итог, напомним еще раз те гипотезы, которые, как мы считаем, были введены при анализе, предложенном Мигдалом:
в выражении для ^ пренебрегается вкладом 1;
величина М вводится как параметр обрезания на основании гипотезы о том, что X, как это следует из анализа размерностей, является константой порядка единицы; эта величина выбирается так, что соответствует положению полюса;
единственной областью, вклад которой учитывается при суммировании по частотам и интегрировании по импульсам, является о)п = 0 и к С 1/г0;
уравнение для М получается в предположении, что G вблизи полюса имеет вид (4.4.1).
Первые три гипотезы эквивалентны предположению о сокращении числа переменных, так что вершинная функция зависит только от отношения к[М. Идентификация М с величиной, обратной длине когерентности, приводит к тому, что во всей критической области G является однородной функцией рт переменных к и М.
В подходе, связанном с РГ, нет необходимости в каких- либо других предположениях, кроме одного, что критическая точка представляет собой не существенную особенность, в этом случае оказалось возможным дать явное выражение для индексов oi и стг (си = (2 — л)/2, стг = у). Третий индекс ст — = 2v = СТ2/СТ1 возникает, естественно, из условия совместности двух уравнений РГ (3.8) и (3.9). Поскольку в нашем распоряжении имеется два уравнения, а не одно, никаких детальных предположений об аналитической структуре функции G в этом случае не потребовалось. Два предельных выражения Gs~x-°' и Gs ~ у-°2 указывают на возможность их представления одной однородной функцией двух переменных х и m ~ у0^, причем на этом этапе справедливо соотношение подобия (3.14).
Нами были обсуждены ограничения на осуществление этой последней возможности и на справедливость соотношения (3.14).
В рамках настоящего подхода из-за предположений, которые используются с самого начала, трудно обсуждать отклонения от гипотезы сильного скейлинга.
АНАЛИТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА КОРРЕЛЯЦИОННЫХ ФУНКЦИЙ И ПРИМЕРЫ КРИТИЧЕСКОГО ПОВЕДЕНИЯ
Мы несколько раз упоминали об аналитических свойствах корреляционных функций, и время от времени аналитичность являлась существенной составной частью аргументов, которые мы обсуждали выше. То, что мы изложим сейчас,—это краткое обсуждение аналитических свойств и их связи со структурой теории возмущений. Таким образом, наше изложение носит только эвристический характер. Однако станет ясно, что более систематическое и точное исследование аналитичности могло бы существенно облегчить понимание структуры критических явлений. Наш анализ приведет к естественному описанию того механизма, который обусловливает сингулярности в критической точке. В качестве примера мы рассмотрим более детально поведение локальной плотности сверхтекучей компоненты.
Аналитические свойства диаграмм
Для иллюстрации аналитических свойств теории мы используем диаграммное разложение неприводимой части парной корреляционной функции, содержащей параметр порядка,
Диаграммы, которые мы здесь используем, — это обычные диаграммы квантовой статистической механики. Аналитические свойства этих диаграмм можно легко исследовать с помощью стандартных методов физики высоких энергий [20,21] ).
Для конкретности кратко проиллюстрируем эти методы на примере следующей диаграммы:
Фиг. 7.Фиг. 7.
Фиг. 7.
Фиг. 7.
Аналитически диаграмма, изображенная на фиг. 7, представляется в виде
^3р101р-НШр)--С2Ш
но поскольку нас интересует аналитическое поведение этого Выражения, мы можем рассматривать только
g^=\d3pG<p-V^G4pY
Внутренние линии G(p) = 1/(д2 + М2) будем называть «линиями флуктуаций». Используя тождество Фейнмана
И выполняя Интегрирование по d3p, получаем
g (k )— J dav da2da3 -^ ^^ °3 ~-) ,(5.1.1)
оu
Где
D = k2 (a^ + а^з) + M2 (as + «2 + »з)2.
Выражение (5.1.1) —это интегральное представление нашей функции g(£), которое определяет некоторую аналитическую функцию от k2 при к2 > 0. С помощью (5.1.1) мы хотим получить аналитическое продолжение функции g, которое будет справедливо также и при к2 •< 0. При к2 < 0 функция D
может обращаться в нуль. Уравнение D = 0 определяет сингулярную поверхность, на которой интеграл не определен. Мы получим аналитическое продолжение, только если с помощью некоторой приемлемой деформации контура интегрирования сможем обойти эту сингулярную поверхность. При некоторых значениях величины к? обойти сингулярную поверхность невозможно. Эти точки являются точками неаналитичности функции g^y,. в действительности они являются точками ветвления и могут быть определены с помощью известных уравнений Ландау
^ = 0.<=>.
В нашем случае имеем
к2 = — Ш2.
Для общей диаграммы, включающей п внутренних линий флуктуаций, получаем
£2 = — „2^2.
Следовательно, функция gW, связанная с диаграммой фиг. 7, является аналитической функцией в начале координат *), если М2 #= 0. При фиксированном значении к и М->0 точки ветвления сгущаются в окрестности начала координат, которое вследствие этого не является уже более точкой аналитичности2). Такой же аналитической структурой обладает и неприводимая часть парной коореляционной функции параметра порядка. Это утверждение можно легко проверить для наиболее интересных случаев, а именно: сверхтекучий гелий, переход жидкость — газ, сверхпроводники, магнитные системы при Т > Тс.
Например, в случае жидкого гелия парная корреляционная функция параметра порядка совпадает с одночастичной функцией Грина, а ее неприводимая часть — с собственноэнергетической частью S. Аналитические свойства, таким образом, должны исследоваться у следующей величины:
S^S^, 0, Т)-2(0, 0, Т).
Диаграммное разложение для S' обладает всеми теми свойствами «диаграмм флуктуаций», которые мы уже обсуждали, если предположить, что внутренним линиям сопоставляется G ~ 1/(р2 + М2), а все дискретные частоты, отличные от нулевой, не рассматриваются. Первое предположение справедливо только потому, что оно, как оказывается, согласуется со структурой диаграмм, по крайней мере пока М2 ^ 0. Второе предположение применимо, поскольку сингулярности, возникающие от ненулевых частот, далеки от начала координат даже при Т = Тс.
В случае фазового перехода жидкость — газ парная корреляционная функция параметра порядка — это корреляционная функция плотность — плотность. Как уже обсуждалось в разд. 2.1, для классической системы эта функция удовлетворяет «уравнению Дайсона», и вновь мы получаем для диаграмм уже известную структуру. Аналогичные рассуждения могут быть проделаны также для соответствующих величинв случае сверхпроводящих и магнитных систем. ;
Из этих рассуждений мы заключаем, что во всех интересующих нас случаях аналитическую структуру парной корреляционной функции параметра порядка можно представить в области Т ~ Тс (А1 ~ 0), р2 ~ 0 с помощью следующего рисунка:
' р2- комплекснаяплоскость
с Полюс Фиг. 8.
-4Мг ~Мг
В случае жидкого гелия первая точка ветвления находится в точке р2 = —9М2, так как простейшая диаграмма для S имеет три внутренние линии:
Используя для контура С (фиг. 8) теорему Коши, мы выведем основную формулу для функции G
(5,1.2)
где s — минимальное число линий флуктуаций, допустимых в качестве промежуточных состояний в диаграммном разложении неприводимой части парной корреляционной функции параметра порядка. Мы будем предполагать, что эта формула не требует никаких дополнительных обоснований, и используем ее для обсуждения критического поведения плотности сверхтекучей компоненты. Выражение (5.1.2) уже само по себе дает некоторое представление о возможной структуре сингулярностей, возникающих в критической точке. Это легко увидеть, если учесть следующие простые аргументы.
В случае дисперсионного соотношения без вычитания), такого, например, как (5.1.2), предполагается, что при т2 -> со спектральная плотность ст(т2А1)->0. Запишем ст(т2, М) в виде ст(т2, Al) = f(m2, А1)/т2. Функция / может иметь при т2 со самое большее очень слабую особенность. Предполагая, что интеграл в (5.1.2) можно оценить с помощью «теоремы о среднем», получаем
где
f (р2, М) = / (т2 (р2, Al), Al),
а т2(р2,М)—некоторая определенная точка из промежутка интегрирования. Ясно, что при А12->0 функция /(р2, А1)->0, так как величина G(p2, 0) должна быть конечной. По тем же причинам должна быть ограничена и величина f (0,Al). Тогда для малых р2 первая поправка к G(0, Al) будет иметь величину порядка р2. Рассмотрим теперь противоположный случай М -> 0. Поведение G (р2, А1) при условии, что f(Z можно считать малой величиной, теперь описывается выражением
/ „2 s-1+if (Р8, M)VZ(M)
A12G (р2, Af) ~ Z (Al) (-^)
Чтобы величина G(p2,0) была конечной, Пт
причем этот предел не зависит от р2, а Z (А1) ~ А1Л.
Тогда функция G(0,M) при М->0 ведет себя, как Af-^M/2), Возникающая таким образом картина критического поведения G может быть описана следующим образом: когда мы приближаемся к критической точке на плоскости (р2, М2), функция G(p2,M') изменяется по степенному закону с эффективным показателем
„— 1Нр2-
"1эфф 1 z ^
причем Qi Эфф зависит от направления, по которому мы приближаемся к критической точке. Ожидается, что, когда М(р-- О, все большее и большее число разрезов будет давать существенный вклад в определение асимптотики функции G^p2,M^ и что точный степенной закон поведения имеет место лишь в критической точке. Вообще говоря, порог1), начинающийся в точке т2 = (пМ)2, становится существенным при определении асимптотики G(p2,M), когда пМ)р ^ 1.
Проведенное выше рассуждение качественно демонстрирует, как можно избежать прямого постулирования2) для G выражения вида G ~ (р2 + Af2)-О^ч/2), которое используется иногда при феноменологическом анализе критических явлений и которое трудно оправдать с точки зрения микроскопического подхода. Заметим далее, что все изложенное выше находится в согласии с рассуждениями, приведенными в § 3.
Критическое поведение статическойкорреляционной функции ток — ток
Как правило, для Т->Т* локальная величина Q(^k,M^ обладает очень разным поведением при к, Af->0 в зависимости от различных случаев:
к/М^О, М/к^О.
Если имеется диаграммное разложение Q при к < М, то на основе наших предыдущих аргументов величина Q должна быть аналитической функцией к2. Чтобы получить поведение Q в противоположном случае
М/к-*0,
мы можем попытаться использовать диаграммное разложе* ние, вводя во внутренние линии некоторую особенность типа полюса. В реальных вычислениях мы должны учитывать диаграммы с произвольным числом линий флуктуаций в промежуточных состояниях. В противном случае исчезнет наиболее характерная особенность теории (сгущение бесконечного числа точек ветвления в начале координат).
Чтобы удовлетворить это последнее условие, мы вынуждены будем столкнуться с трудной задачей суммирования в диаграммном разложении бесконечного числа некоторых ведущих *) членов по к. Однако имеется простой и нетривиальный случай локальной плотности сверхтекучей компоненты ps(&), в котором разное поведение асимптотик в разных критических областях получается с помощью некоторого простого механизма.
Введем локальную плотность сверхтекучей компоненты, рассматривая ток линейного отклика бесконечной системы (жидкий гелий или сверхпроводник при Г > Гх) на локальное статическое поперечное поле (в случае жидкого Не4 это вихревое поле, в случае сверхпроводника — магнитное поле):
IA^-Ки^А^ку
Величина Kij(k') связана со статической корреляционной функцией ток — ток. Из требования градиентной инвариантности получаем
Кцк^О, а из уравнения непрерывности
kiKu ~ °*
Из этого следует, что функция Кц имеет вид
где величина р8(&) соответствует локальной плотности сверхтекучей компоненты.
Из феноменологической теории [17] мы знаем, что при Т-> Тх и малых, но не равных нулю к 9s^~k>
*) С точки зрения соответствующего предела М[к-*0, в противоположном случае, как показано, ведущим будет полюсный член [см. (4.4.1) и (5.1.2)]. Такое суммирование хорошо известно и в теории поля, и в теории фазовых переходов [5—7, 28, 36]. — Прим, перев.
а при й->0 и Т ^ 1\а при й->0 и Т ^ 1\Ps (6) ~ й2.Ps (6) ~ й2.Мы продемонстрируем сейчас микроскопический расчет [10], который подтверждает феноменологическое предсказание. Дадим лишь краткий набросок этой процедуры. Для величины рз(й) нетрудно получить следующее представление [18]:
а при й->0 и Т ^ 1\
а при й->0 и Т ^ 1\
Ps (6) ~ й2.
Ps (6) ~ й2.
Р1(б)~£ ^3р{[р,<?(р + 4)г<(р + 4' р-Цх
X G(p - т)] - М (?) Гг (р, р) G (р)]},(5.2.1)
где рг и Гг — соответственно «голая» и перенормированная токовые вершины.
В соответствии с нашей гипотезой мы будем принимать во внимание только вклад с ип = 0. Вершина Г, определяется как
Предполагая, что Г, ~ ар^ для малых к из тождества Уорда получаемПредполагая, что Г, ~ ар^ для малых к из тождества Уорда получаем
Предполагая, что Г, ~ ар^ для малых к из тождества Уорда получаем
Предполагая, что Г, ~ ар^ для малых к из тождества Уорда получаем
и удовлетворяет следующему тождеству Уорда:
№ = С"1 (р + 4) - G-1 (р - 4)
Подставляя эти выражения в (5.2.1) и выполняя интегрирование по углам, получаем •)
Собственно энергетическая часть 3 является теперь функционалом О и К Введем ренормированный потенциал Г:
T = v -VVTT,
з, полевой подход к Теории фазовых переходов
4-00
Р, (6) ~> $ ''Р [f р - -т) In 17^-1 + Р2] О (р). (5.2.2)
Главное значение формулы (5.2.2) состоит в том, что величина рз(&) выражена теперь только через функцию Грина G(p') и известную функцию
М₽) = Я/-4>[-^>!+г.
где Т* — сумма всех неприводимых диаграмм с одной входящей и одной выходящей парой линий.
Этот эффективный парный потенциал имеет те же аналитические свойства, что и парная корреляционная функция параметра порядка.
Перенормированную вершинную функцию Г, теперь можно выразить следующим образом:
г-='-+«1.,=г-+г-’
где
га — Г—60 vb — f6Т
8 k 6G )т 6А{ ’1 1 ~ k drSA, •
Если пренебречь величиной Гр учитывая, что ее вклад в ps имеет порядок 0(&2), то мы можем ту же процедуру, которая использовалась в случае жидкого гелия, применить для исследования Гр Это последнее приближение справедливо, если предположить, что собственно-энергетическая часть определяется следующей диаграммой (первое приближение):
Е =Е =Фиг. 9.Фиг. 9.
Е =
Е =
Фиг. 9.
Фиг. 9.
Однако если в флуктуациях соответствующих S мы учтем более высокие порядки, такие, например, как следующий член:
Фиг. 10.
то вершинная часть Г® будет давать вклад в неаналитическую часть функции Рз(&).
Теперь, подставляя (5.1.2) в выражение (5.2.2), получаем
Pj ^\То 5 dplfe Р2 + М2 +
+ ^ dm^a (т9, М) dplfe (/?) 9АР-оо
Интеграл по dp легко вычислить, если заметить, что
$ ^ь (^ р2 + № ~ Re $ ^ (2) 22 4-.М2 = Re {^} 1
iiW = l(^-4)"7T>+^
а контур интегрирования с изображен на фиг. 11.
iMiMz-плоскость
iM
iM
Фиг. 11.
Итак, мы получаем для асимптотики р5(&) следующее вы
ражение:
PJ6)-Relz-^^- + n ^°^o(m2, M)L6(tm)|. (5.2.3)
I9М2'
Если в формуле (5.2.3) пренебречь эффектамиперенормиров- ки, т. е. положить z = 1, и пренебречь в правой части вторым членом, то мы получим результат феноменологической теории, т. е.
ps~k при М(к-*0, ps~^ при ^/М-*0.
В соответствии с нашими предыдущими рассуждениями мы можем ожидать, что учет второго члена приведет в критической точке к асимптотике, которая имеет вид &1+,L Такое поведение функции ps для Т = Тс и малых к можно предсказать, если учесть следующее соображение1). Мы считаем, что при Т = Т^ и достаточно малых р
G^-p-^,\р\<с.(5.2.4)
Выражение (5.2.3) имеет тогда следующий вид: Сао
Р. W - $ Ik w р-^ dp + ( Ik (P) <5 (p) dp. 0c
При 6 < с второй член дает вклад, который по порядку величины равен к2. Первый член в этом случае имеет вид
с(к
Р$ (й) ~ к^2^dyl (у) у2^ + 0 (й2), y = Plk,
которое приводит к следующей асимптотике для величины рз(й): рз(й) ~ А’+А
ЛИТЕРАТУРА
Абрикосов А. А., Горьков Л. П., Дзялошинский И. Е., Методы квантовой теории поля в статистической физике, М., 1962.
Kadanoff L. Р., Ваут G., Quantum Statistical Mechanics, N. Y., 1962. (Имеется перевод: Л. Кабанов, Г. Бейм, Квантовая статистическая механика, изд-во «Мир», 1964.)
Боголюбов Н. Н., Ширков Д. В., Введение в теорию квантованных полей, 2-е изд., изд-во «Наука», 1973.
Бонч-Бруевич В. Л., Тябликов С. В., Метод функций Грина в статистической механике, Физматгиз, М., 1961.
Поляков А. М„ ЖЭТФ, 55, 1026 (1968).
Мигдал А. А., ЖЭТФ, 55, 1964 (1968).
Грибов В. Н., Мигдал А. А., ЖЭТФ, 55, 1498 (1958).
Di Castro С., Jona-Lasinio G., Phys. Lett., 29A, 322 (1969).
Jona-Lasinio G., R. G. and Theory of Phase Transitions, invited paper at the 1970 Battelle Institute Materials Science Colloqium (см. в книге: Critical Phenomena in Alloys Magnets and Superconductors, ed. by R. E. Mills, E. Ascher, R. I. Jaffee, N. Y., 1971).
de Pasquale F„ Tabei E„ Phys. Lett., 29A, 197 (1969).
de Pasquale F., Tabei E„ Ann. of Phys, (в печати).
Cassandro M., Cini M., Jona-Lasinio G., Sertorio L.. Nuovo Cimento, 28, 1351 (1963).
Moore M. A., Jasnow D., Woriis M„ Phys. Rev., Lett., 22, 940 (1969).
Ferer M., Moore M. A., Woriis M., Phys. Rev. Lett., 22, 1382 (1969).
Stell G., Phys. Rev. Lett., 24, 1343 (1970).
Feibelman P. L., Phys. Rev. Lett., 22, 1091 (1969).
Ferrell R. A., Menyard N., Schmidt H., Schwabl F„ Serpfalusy P., Ann. of Phys., 47, 565 (1968).
de Pasquale F., Tabei E., Ann. of Phys., 51, 223 (1969).
Hori H., Progr. Theor. Phys. (Kyoto), 7, 578 (1952).
Eden R. J., Lectures in Theoretical Physics, Brandies Univ., N. Y., 1962.
Polkinghorne J C., Lectures in Theoretical Physics, Brandies Univ., N. Y., 1962.
22*. Волович И. В., Дынин Е. А., Загребное В. А., Фролов В. П., ТМФ, 14, 272 (1973).
23*. Загребное В. А., Федянин В. К., Препринт ИТФ-73-158Р, Киев 1973; Труды международной конференции по магнетизму (МКМ-73), том 3, стр. 340, изд-во «Наука», 1974.
24*. Боголюбов Н. Н., Избранные труды, т. 3, изд-во «Наукова думка», Киев, 1971.
25*. Браут Р„ Фазовые переходы, изд-во «Мир», 1967.
26*.Загребное В. A., Acta Phys. Polonica., А45, 603, 613 (1974).
27*. Стенли Г., Фазовые переходы и критические явления, изд-во «Мир», 1973.
28*.Di Castro С., Rivista del Nuovo Cimento, 1, 199 (1971).
29*. Fisher M., Rept. Progr. Phys., 30, 731 (1967).
30*. Барбашев Б. M., ЖЭТФ, 48, 607 (1965).
31*. Иден P., Соударения элементарных частиц при высоких энергиях, изд-во «Наука», 1970.
32* Волович И. В., Дынин Е. А., Загребное В. А., Фролов В. П., ТМФ, 15, 417 (1973).
33*. Critical Phenomena, Enrico Fermi Summer Scool, LI Corso, N. Y., 1971, 34*. Хуа P., Теплиц В., Гомология и фейнмановские интегралы, изд-во «Мир», 1969.
35* Швебер С., Введение в релятивистскую квантовую теорию поля, ИЛ, 1963.
36*. Гинзбург С. Л., ЖЭТФ, 66, 647 (1974).
37*. Brout R., Phys. Rept., 10, 1 (1974).
38*. Вильсон К., Когут Дж., Ренормализационная группа и е-разложение, изд-во «Мир», 1975.
39*. Поляков А. М„ ЖЭТФ, 57, 271 (1969).
40*.Мигдал А. А., ЖЭТФ, 59, 1015 (1970); 62, 1559 (1972).
Динамическая теория флуктуаций вблизикритических точек
К. КАВАСАКИ»
ВВЕДЕНИЕ
Критическая точка—это точка, в которой исчезает различие между двумя фазами, т. е. состояниями с разной степенью упорядоченности. Кроме того, она характеризуется появлением больших флуктуаций некоторых термодинамических переменных, называемых параметрами порядка. Эти флуктуации простираются на большие пространственные области и очень медленно затухают. Они проявляются как некоторые математические сингулярности при изменении таких макроскопически наблюдаемых величин, как различные термодинамические переменные или коэффициенты переноса, а также как сингулярности в различного рода статических и динамических функциях отклика1). Следовательно, для более глубокого понимания природы этих сингулярностей необходимо фундаментальное изучение свойств таких критических флуктуаций. Интересные попытки уже сделаны в этом направлении в области исследования равновесных свойств [10—14], хотя до полного понимания проблемы, как оказалось, предстоит еще проделать долгий путь.
В этих лекциях я хочу рассказать о некоторой попытке исследовать свойства критических флуктуаций, связанные с временной зависимостью. Трудность, с которой мы сталкиваемся в этом случае, гораздо сложнее, чем при изучении состояния равновесия. Таким образом, попытка построить для
* К. Kawasaki, Department of Physics, Temple University, Pa.
*) Последний обзор равновесных аспектов проблемы содержится в лекциях Фишера, Каданова (см. стр. 7 настоящего сборника), йона- Лазинио и Ди Кастро и Вичентини-Миссони в сб. Critical Phenomena, Proc. Int. School of Phys. «Enrico Fermi», LI, ed. by M. S. Green, Acad. Press, New York, 1971, а также в работе [1]. Неравновесные аспекты проблемы рассматриваются в лекциях Хоенберга (см. стр. 149 настоящего сборника), Камминса, Зингерса, Сетте и Мистича в упомянутом выше сборнике трудов фермиевской школы, а также в работах [5—9].
23*. Загребное В. А., Федянин В. К., Препринт ИТФ-73-158Р, Киев 1973; Труды международной конференции по магнетизму (МКМ-73), том 3, стр. 340, изд-во «Наука», 1974.
24*. Боголюбов Н. Н., Избранные труды, т. 3, изд-во «Наукова думка», Киев, 1971.
25* Брайт Р., Фазовые переходы, изд-во «Мир», 1967.
26* Загребное В. А„ Acta Phys. Polonica., А45, 603, 613 (1974).
27*. Стенли Г., Фазовые переходы и критические явления, изд-во «Мир», 1973.
28*. Di Castro С., Rivista del Nuovo Cimento, 1, 199 (1971).
29*. Fisher M., Rept. Progr. Phys., 30, 731 (1967).
30*. Барбашев Б. M„ ЖЭТФ, 48, 607 (1965).
31*. Иден P., Соударения элементарных частиц при высоких энергиях, изд-во «Наука», 1970.
32*. Волович И. В., Дынин Е. А., Загребное В. А., Фролов В. П., ТМФ, 15, 33* CriticaFphenomena, Enrico Fermi Summer Scool, LI Corso, N. Y., 1971. 34*. Xya P., Теплиц В., Гомология и фейнмановские интегралы, изд-во «Мир», 1969.
^“.Швеб ер С„ Введение в релятивистскую квантовую теорию поля, ИЛ, ’ 1963.
36*.Гинзбург С. Л., ЖЭТФ, 66, 647 (1974).
37*. Brout R., Phys. Rept., 10, 1 (1974).
38*. Вильсон К., Когут Дж., Ренормализационная группа и е-разложение, изд-во «Мир», 1975.
39* Поляков А. М„ ЖЭТФ, 57, 271 (1969).
40*.Мигдал А. А., ЖЭТФ, 59, 1015 (1970); 62, 1559 (1972).
Динамическая теория флуктуаций вблизикритических точек
К. КАВАСАКИ
ВВЕДЕНИЕ
Критическая точка — это точка, в которой исчезает различие между двумя фазами, т. е. состояниями с разной степенью упорядоченности. Кроме того, она характеризуется появлением больших флуктуаций некоторых термодинамических переменных, называемых параметрами порядка. Эти флуктуации простираются на большие пространственные области и очень медленно затухают. Они проявляются как некоторые математические сингулярности при изменении таких макроскопически наблюдаемых величин, как различные термодинамические переменные или коэффициенты переноса, а также как сингулярности в различного рода статических и динамических функциях отклика1). Следовательно, для более глубокого понимания природы этих сингулярностей необходимо фундаментальное изучение свойств таких критических флуктуаций. Интересные попытки уже сделаны в этом направлении в области исследования равновесных свойств [10—14], хотя до полного понимания проблемы, как оказалось, предстоит еще проделать долгий путь.
В этих лекциях я хочу рассказать о некоторой попытке исследовать свойства критических флуктуаций, связанные с временной зависимостью. Трудность, с которой мы сталкиваемся в этом случае, гораздо сложнее, чем при изучении состояния равновесия. Таким образом, попытка построить для
* К. Kawasaki, Department of Physics, Temple University, Pa.
этого случая полную микроскопическую теорию оказывается слишком преждевременной. Тем не менее мы можем попытаться построить некоторую квазимикроскопическую теорию этих явлений, причем основой для нее будут служить равновесные свойства системы.
В качестве некоторого введения в проблему я хотел бы очень коротко описать те исторические обстоятельства, которые привели к излагаемой здесь теории. Давно было известно, особенно экспериментаторам, работающим в области критических явлений, что для перехода системы из неравновесного состояния в равновесное при приближении к критической точке требуется все большее и большее время [5]. Попытки объяснить эти явления были предприняты в 1954 г. Ван Ховом [15], Ландау и Халатниковым [17], а немного позже Дебаем [18]. Эти авторы основывали свои аргументы на термодинамике необратимых процессов [19], и потому эту теорию можно назвать термодинамической теорией критического затухания. Иногда ее называют также классической теорией критического затухания [20]. Обозначим теперь параметр порядка через q, а термодинамический потенциал через CD(q). Тогда сопряженная параметру q термодинамическая сила F^), которая приводит к его равновесному значению q0, равна E(q) = <5Ф (q)/dq. Согласно термодинамике необратимых процессов [19], скорость изменения параметра q со временем дается формулой
q =— ЬдФ^дту, (1.1) где L — кинетический коэффициент Онсагера. В некоторых безразмерных единицах потенциал Ф(п) имеет вид
ф (г)) = ^ УЛо) _]_ члены более высокого порядка по (q — q0),
(1.2)
где величина х = ((л— Ло)2) является восприимчивостью. Вблизи критической точки % расходится по некоторому степенному закону типа | Т—Ус]-v [1—4]1). Если теперь пренебречь членами более высокого порядка, то уравнение (1.1) принимает вид
Л = — r(q — q0), (1.3)
где величина Г определяет скорость затухания параметра q и дается выражением
Г = ЦХ.(1.4)
*) В этой лекции для критических показателей мы используем обычные обозначения [1—4].
Следовательно, только когда кинетический коэффициент остается конечным, выражение (1.4) предсказывает, что время затухания возрастает, как | Т — Тс|~v.
Ясно, однако, что из всех этих рассуждений нельзя ничего сказать о возможных сингулярностях величины L. В частности, эти аргументы и их распространение на случай, когда, кроме параметра- порядка, рассматриваются и другие переменные, совершенно неспособны объяснить расходимости, которые действительно обнаружены в коэффициентах переноса [5—9]. Более того, в некоторых случаях, когда казалось, что старые эксперименты подтверждали термодинамическую теорию [5, 21], последние более точные эксперименты обнаружили в окрестности критической точки расходимость коэффициента L [22—27]. Таким образом, очевидно, что правильная теория должна учитывать расходимости в некоторых кинетических коэффициентах Онсагера.
Первая теория, которая преуспела в учете расходимостей коэффициента L, была предложена Фиксманом в 1962 г. [28, 36]. Он связал расходимость с поведением на больших относительных расстояниях парной корреляционной функции плотность— плотность, которая модулировалась внешними возмущениями, порождаемыми необратимыми процессами.
Эта теория впоследствии была переформулирована и обобщена на языке временных корреляционных функций [29— 32)]. Тогда стало ясно, что расходимости в коэффициентах переноса обусловлены одной гидродинамической модой, которая распадается на множество других гидродинамических мод (теория взаимодействующих мод).
Совершенно независимо от этого направления Феррел и сотр. [35] на примере ^-перехода в жидком 4Не сделали в 1967 г. успешную попытку распространить идеи, связанные с законом подобия [1], на область динамических явлений. Впоследствии Гальперин и Хоенберг [36] обобщили эту теорию и применили ее к магнитным фазовым переходам, переходам жидкость — газ и т. д. Так как теория взаимодействующих мод и теория динамического подобия (динамический скейлинг) основаны на совершенно разных идеях, немалое удивление вызывал тот факт, что оба подхода в каждом частном случае дают предсказания, результаты которых согласуются [6].
В такой ситуации было естественно попытаться найти некоторую связь между этими двумя подходами. Ключ к решению проблемы заключается в следующем: согласно идее взаимодействующих мод наряду с некоторой выделенной гидродинамической модой существенную роль играет наличие других гидродинамических мод, причем в реальной ситуации все эти моды следует рассматривать на одинаковом основании. Исходя из этой идеи удалось обнаружить, что при определенных отражениях можно ввести некоторое множество динамических переменных, динамика которых асимптотически замкнута в рамках их самих и имеет характеристический спектр частот, предсказанный динамическим скейлингом [37]. Однако эта теория включает в себя сложные матрицы бесконечного ранга, которые придают ей весьма сложный вид, и с математической точки зрения она весьма неудовлетворительна. Желательно, таким образом, сформулировать теорию в более компактной и ясной форме.
В дальнейшем мы покажем, что такое упрощение теории действительно возможно, но только в том случае, если работать на языке функции распределения вероятности гидродинамических переменных, а не собственных переменных системы. В § 2 мы обсудим уравнение Фоккера — Планка для функций распределения гидродинамических переменных (эти переменные определены в § 2 более точно и названы грубыми переменными) типа тех, которые впервые в общем виде рассматривались в 1952 г. Грином [38], и покажем, что в некоторых случаях динамический скейлинг появляется естественным образом в результате масштабных преобразований уравнения Фоккера — Планка. Кроме того, мы предложим в этом параграфе простую модель для изучения динамики грубых переменных. В § 3 мы построим для этой простой модели вполне доступный для использования в экспериментах метод нахождения временных корреляционных функций грубых переменных. В последующих параграфах даются различные примеры, иллюстрирующие изложение.
КИНЕТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ВРЕМЕННОЙЭВОЛЮЦИИ ГРУБЫХ ПЕРЕМЕННЫХ
Чтобы понять те механизмы, которые вблизи критических точек приводят к аномалиям в макроскопических законах, рассмотрим, что же в действительности происходит в области пространства с размерами порядка корреляционной дли-
ны, соответствующей критическим флуктуациям, в течение порядка времени «рассасывания» критических флуктуаций. Мы обнаружим, что критические флуктуации самых различных размеров (причем средний размер равен корреляционному радиусу, соответствующему критическим флуктуациям) возникают постоянно, чтобы затем либо распасться на критические флуктуации другой протяженности, либо, наоборот, объединиться с другими критическими флуктуациями, либо рассеяться в хаотические тепловые движения и т. д. Эта картина весьма напоминает гидродинамическую турбулентность, при которой постоянно рождаются и исчезают вихри самых разных размеров [39]. Различие состоит в том, что в случае критических явлений источником энергии критических флуктуаций является в основном тепловая энергия, в то время как в случае турбулентности таким источником служит кинетическая энергия исходного ламинарного течения жидкости. При таких условиях критические флуктуации ведут себя как стохастический процесс, хаотичность которого обусловливается хаотичностью тепловых движений в микроскопическом масштабе. В противоположность проблеме гидродинамической турбулентности; в которой принципиальную роль играет нелинейное уравнение Навье — Стокса [39], нам не известно соответствующее уравнение, которое определяет поведение критических флуктуаций. Следовательно, мы должны начинать обсуждение динамики критических явлений исходя из первых принципов. В этой лекции я ограничусь классической механикой и начну с уравнения Лиувилля для функции распределения в фазовом пространстве. Функция распределения D(x, ty где х обозначает множество координат точки в фазовом пространстве полной системы, удовлетворяет следующему уравнению:
—D(x, 1) = —19?D (х, 1\(2.1)
где $ — самосопряженный оператор Лиувилля ’).
Уравнение Лиувилля, естественно, описывает все микроскопические детали поведения системы, большинство из которых несущественны, так как мы интересуемся грубым поведением критических флуктуаций. Поэтому нам хотелось бы выделить из уравнения Лиувилля именно такое огрубленное поведение флуктуаций. Тогда первая проблема, которая здесь
*) Такое представление уравнения Лиувилля было введено в работах Н. Н, Боголюбова [60], см, также [61]. — Прим, перев,
возникает, это выделение медленно меняющихся переменных, которые и описывают такое грубое поведение. На первый взгляд в качестве такой переменной мы могли бы выделить параметр локального упорядочения или его пространственные фурье-компоненты. Однако во многих случаях этого недостаточно, поскольку с течением времени параметр порядка может стать функцией других медленно меняющихся переменных системы. Таким образом, в общем случае мы должны рассматривать все возможные медленно меняющиеся переменные системы. Вдали от критической точки такими переменными являются переменные, входящие в гидродинамику (макроскопические законы); мы их назовем гидродинамическими переменными. Выбор таких переменных более подробно обсуждался Грином [38]. Эти переменные могут включать или не включать параметр локального порядка. В первом случае гидродинамические переменные образуют полный набор медленно меняющихся переменных. Во втором случае, чтобы получить полный набор медленно меняющихся переменных, мы должны включить еще и параметр локального порядка или его фурье-компоненты, так как вблизи критической точки параметр порядка уменьшается аномально медленно. Мы будем называть такие медленно меняющиеся переменные грубыми переменными ) и обозначим их а3, а соответствующие фазовые функции обозначим Д3(х). Оказывается, что более удобно работать с пространственными фурье-компонентами локальных переменных. В этом случае индексы / обозначают волновые векторы, а также тип переменных. Например, для однокомпонентных жидкостей локальная плотность, локальная скорость и локальная плотность энтропии образуют набор переменных а3, j = (к, а), где к — волновой вектор, а а= 1, 2, 3, 4, 5 нумерует каждую из этих пяти локальных переменных. Эти грубые переменные являются также случайными переменными, и, следовательно, для них мы можем рассмотреть распределение вероятности g(a, ty.
g(a, f) = 6 (a — A (x)) D (x, /) dx,(2.2)
где а и A(x) являются сокращенным обозначением соответственно множества а3 и множества А3(х), а б (а — Д(х)) есть
произведение б-функций б (а,— Л3(х)), содержащее всевозможные индексы /. Если а и А (х) — комплексные величины, то в множества а3 и А3(х) должны быть включены величины, комплексно-сопряженные им, т. е. соответственно а) и А^х). В этом случае б (а — Л(х)) содержит произведение вида б (а/ — А/ (х)) б (а/ — Л/ (х)). Это произведение необходимо интерпретировать как произведение двух дельта-функций соответственно для вещественной и мнимой частей а3 и А3(х).
Теперь мы обратимся к рассмотрению развития функции g(a,t) во времени. Эта функция описывает грубое поведение системы. В 1954 г. Грин [38] показал, что g(a, t), в случае когда а являются гидродинамическими переменными, удовлетворяет уравнению типа Фоккера — Планка. Позже Цванциг [40] смог дать краткий и четкий вывод уравнения, обобщающего уравнение Грина — Фоккера — Планка. Сейчас мы рассмотрим уравнение для g(a, Г), следуя Цванцигу. Для этого, во-первых, для произвольной фазовой функции G(x) определим с помощью соотношения
^G (х) = $ dx'6 (Л (х') — Л (х)) G (х')/Г (Л (х)),(2.3)
проекционный оператор ^, где
Г (а) = J dx6 (А (х) — а).(2.4)
Величина №(а)Да является объемом части фазового пространства, определенным условиями а, ^ А3(х) ^ а3 4-Аа3, где Да = XI Да/ ). Таким образом, проекция функции G(x), i
^G(x), превращает G(x) в среднее от G(x) по той части фазового пространства, где величины А (х) принимают одни и те же значения. Для эргодических систем величина ^G(x) получается из G(x) на основании следующих физических соображений: необходимо начать из точки фазового пространства х и усреднять функцию G по промежутку времени, достаточно большому по сравнению с микроскопическими молекулярными временами, но достаточно малыми, так что функция А(х) на этом интервале изменяется мало. В частности, используя этот проекционный оператор, мы можем записать g (Л (х), 0 = Г (Л (х)) ^D (х, 0.(2.4а)
Однако иногда работать с проекционным оператором ^неудобно, так как он включает в себя интегрирование по строго определенной части фазового пространства. Для этого проекционного оператора существует и другое представление. Построим из величин а всевозможные произведения а, аг, ajttiam, • • •, исключим из них все интегралы движения и расположим их в виде бесконечного столбца-матрицы гФ
^Ф = ,(2-5)
где {аг— (Иг)Д—в свою очередь столбец, состоящий из величин вида аг—(Л3)х и т. д., а угловые скобки ( )я обозначают микроскопические средние, у которых все интегралы движения в точке фазового пространства х имеют фиксированные значения. Столбец-матрица соответствующей фазовой функции обозначается как д#. Сопряженные ей ряды-матрицы обозначаются через £ф/ или д#7 Тогда, как показано в приложении А, имеем
^G (х) = (G (х)Х + (G^ • (^Х"1 • g# (г).(2.6)
Некоторые полезные приближения к ^G(x) можно получить из (2.5), выделяя конечные матрицы. В частности, если гФ заменить на {аг—(аг)х), то оператор ^ совпадает с проекционным оператором, введенным Мори, при условии, что (G(x))x = 0 и микроканонические средние заменены каноническими средними [41] ’)
Теперь если в некоторый начальный момент t = 0 функция распределения D (х) зависит от х только через А (х):
D(x, 0) = Д[Д(х)],(2.7)
то можно показать, что ^(а, f) удовлетворяет следующему точному уравнению:
•^iS^ ^V^-^MAgka, 0 =
t11
= $ ds ^ da' ^ ^W (a) Ku ^aa'; s) V^ ^ A
о jda,da, W(a )
(2.8)
*) Эта замена оправдана, если представим, что наша система помещена в большой тепловой резервуар, и будем описывать полную систему вместе с тепловым резервуаром с помощью микроканонического ансамбля.
где
Uy (а) =(Ду; а) = ^ А; (х) S (Я (х) — а) dx/W (а),(2.9)
Кп (аа'; s) = [F (а) W (ОГ'/2 J dxfj (х) 6 (А (х) - а) X
X б (ехр [— ts (1 — ^) $\ А (х) — а'^ ехр [— is (1 — ^ $\ ft (х), (2.10) причем
Г^^ЦХ-^АДх).(2.11)
Таким образом, здесь мы имеем несколько модифицированное уравнение Цванцига (27) из работы [40]. Для того чтобы преобразовать величину Кц^аа'; s), введенную Цванцигом, к виду (2.10), мы симметризовали Кц таким образом, чтобы было справедливо соотношение Кц^аа'; s) = Ktj^a'a,—s), и использовали следующие соотношения:
X (х) ^Y (х) dx = Y (х) ^Х (х) dx и
(1 - ^) А/ (х) д (А (х) - а') = д (А (х) - а') (1 - ^ А, (х). Вывод уравнения (2.8) можно проделать, следуя работе [42]. Во-первых, разобьем функцию D(x, Г) на ^D^x, t) и (1 — ^D^x, t). Первая часть — это интересующее нас выражение, поскольку оно через формулу (2.4а) связано с функцией g^a, ty Затем из уравнения (2.1) мы можем вывести выражение для функции (1 —^)D(x, t), включающее ^D(x, t), и функцию (1—^)D(x,0), которая исчезает. После этого мы разрешаем уравнение для функции (1—^)D(x, t) в терминах ^D(x, t), а результат подставляем обратно в уравнение для ^D (х, t).
Выбор начального условия в виде (2.7) мотивируется тем, что при макроскопическом подходе мы связаны только с множеством переменных а и более тонкие детали начального состояния не должны влиять на последующее грубое поведение системы ."Величины и, (а) определяют скорость изменения а, усредненную по некоторому определенному равновесному состоянию с заданной величиной а. Таким образом, они равны скорости изменения а при наличии флуктуаций а, когда не учитываются неравновесные процессы, связанные с f^x'). Таким образом, и,(а) могут описывать, например, флуктуационные осцилляторные движения параметра порядка, подобные спиновым волнам специфического типа [20]. Мы вернемся к
рассмотрению и, (а) позже, а сейчас обратимся к правой части уравнения (2.8), которая содержит функции fj(x), определенные выражением (2.11). Так как величина ^Aj(x) является усреднением ЛДх), при котором фиксируются всевозможные медленно меняющиеся грубые переменные Л(х), то функции (1—^)А3(х) описывают микроскопические случайные флуктуации Л3(х), которые происходят на фоне медленных полумакроскопических флуктуаций величины А(х). Аналогично, модифицированный оператор сдвига по времени (1 —^$ описывает быстрые случайные движения этих микроскопических флуктуаций. Таким образом, величина
f7 (х, s) = exp [— is (1 — ^ Т) ft (х)
флуктуирует во времени очень быстро по сравнению с изменением А(х). Это означает, что функция Kj^aa'; s) очень быстро стремится к нулю, когда величина s превышает некоторое микроскопическое время т, связанное с быстрыми флуктуациями fi(x, s). Поскольку в течение этого малого промежутка времени s величина А(х) меняется очень мало, то в соотношении (2.10) ехр[—is(l—^)3\А(х)~Л(х), причем ошибка в этом случае составляет величину тЛ(х), которой можно пренебречь. Это позволяет нам записать соотношение (2.10) в виде
Кц ^аа'-, з)~Ца — а') Кц (a; s),(2.12)
где1)
Кц<а, s) = {ff(x, Q)ft(x, s); а).(2.13)
Такой же результат был получен Цванцигом, однако с помощью некоторой более громоздкой процедуры. Тот факт, что функция /(jt(a, s) обращается в нуль по прошествии некоторого микроскопического времени, означает, что эффекты памяти в правой части уравнения (2.8) являются несущественными, и его можно переписать в виде
У УГ (a) Ln=
X—i да} х ' оа^ w (а)
=-TfL-^Lil№F1'-a')eto-/) +
+ 12^7
*) Здесь и ниже мы вместо (...) х пишем (...) и подразумеваем при этом среднее по микроскопическому ансамблю, в котором все интегралы движения принимают начальные фиксированные значения.
где
^ц(а)^ j К^а, s)ds,(2.15)
о
Fj (а) = д In F (а)/<?«;.(2.16)
Уравнение (2.8) принимает, наконец, вид уравнения Фоккера — Планка
-^^ + У -^- R (а) + У Ln (а) Ft (а)1 g (a, t) = / ' L iJ
(2Л7>
Это уравнение, естественно, справедливо только для таких масштабов времени, которые гораздо больше, чем микроскопические времена, характеризующие быстрые движения случайных сил fj.
В рамках стандартной теории корреляционных функций для процессов переноса [41] кинетические коэффициенты Он- сагера L^, которые появляются в линеаризованных макроскопических уравнениях движения, выражаются следующим образом:
о
где
fj(x)=(l-^) АМ
Здесь ^м — проекционный оператор Мори [41], который определяется выражением
^МХ (х) = (X) + <ХА+) • <AAf) • А (х), где А(х)—столбец-матрица, состоящая из Л;(х), а А+ — матрица, сопряженная ей. Предполагается также, что (Л,(х)) = 0. Из соотношений (2.6) и (2.11) получаем непосредственно
// (х) — f/ (х) = ( Л/д#,+) • (а^'о#^) • oft' (х),
где величина ^(х) получается из (2.5) путем удаления из матрицы (2.5) выражения {at—(Л,^}. Этот результат с очевидностью указывает на то, что «случайные силы» f/, которые возникают в стандартных выражениях для корреля-
к. КАВАСАКИ ционных функций коэффициентов переноса, в действительности не являются с необходимостью случайными, поскольку они все еще содержат грубые переменные, в то время как в настоящей теории случайные силы их содержать не должны (заметим, что (/Дх); а) = 0). На самом деле это обстоятельство и является принципиальным возражением против термодинамической теории критического затухания.
Если в начальных условиях (2.7) все интегралы движения имеют вполне определенные величины, а именно, если Е[Л(х)] факторизуется в произведение дельта-функций, включающих в себя интегралы движения, и множитель, включающий все остальные члены, то очевидно, что это свойство сохраняется и в последующие времена, т. е. в действительности мы можем игнорировать все интегралы движения из множества переменных Oj в g(a, t) ив уравнении (2.17), если предположим, что все интегрирования в фазовом пространстве ограничены областью, в которой все интегралы движения имеют определенные значения. В дальнейшем мы будем предполагать, что это всегда так.
Чтобы определить смысл коэффициентов Ьц и Fj, рассмотрим движение средней величины
a(0=^ag(a, t^da,(2.18)
которая, согласно (2.17), удовлетворяет следующему уравнению:
-^ a,(t) = of (a) + У Lu (a) Ft (a) + £ dL^aydat ii
— 0/ (a) + У Lu (a) F^a) Ц-^дЬп (а^да^ (2.19) ii
Мы пренебрегаем здесь флуктуациями параметров а в правой части уравнения; это оправдано, когда а являются грубыми переменными и мы находимся далеко от критической точки. По определению (2.4) функция W(а) равна exp [S< (а)/&в], где St (а) является энтропией всей системы в равновесном состоянии, заданном параметрами а. Если все а связаны с флуктуациями подсистемы макроскопического размера, помещенной в очень большой тепловой резервуар, то величина —квТ In W (a) равна свободной энергии этой подсистемы при наличии флуктуаций величины параметров а. Таким образом, ЕДа) можно идентифицировать с вынуждающей термодинамической силой, сопряженной параметру а,, как это имеет место в неравновес-
ной термодинамике [19]. Тогда, если последний член в уравнении (2.19) отсутствует, то L3z(a) можно идентифицировать с соответствующими кинетическими коэффициентами Онса- гера. Грин [38] установил, что этот последний член действительно исчезает, если параметры а являются плотностями сохраняющихся величин. Его аргументы в несколько измененной форме изложены в приложении Б. Уравнение (2.19), за исключением члена с и3(а), принимает тогда форму, совпадающую с макроскопическими законами теории Онсагера [19].
Выберем теперь множество параметров а таким образом, чтобы различные а были статистически независимыми, т. е. (ДА?) = 0 для j #= I, и ограничимся случаем, когда между различными процессами переноса нет интерференции, а именно L/z = 614Lp где а/# = ау определяет величину /. При таких условиях уравнение (2.17) упрощается1),
-^ g {a, f) = — £ -^- [о/ (а) + Lj (a) Fr (а)] g (а, /) +
^(2-2°)
" daf да.
Итак, как мы установили из (2.19), величины Lji(a) определяются микроскопическими случайными флуктуациями, из которых с помощью проектирования исключены критические флуктуации большого масштаба. Таким образом, величина коэффициентов Ьц(а) должна оставаться конечной в критической точке. С другой стороны, при малых значениях а и с учетом того, что различные а3 статистически независимы, имеем
IF (а) = const • exp |^— £ | а} Р/< [ а$ Hj,(2.21)
где средние (|а3|2) = (|ЛДх) |2) вычислены по равновесному микроканоническому ансамблю. Отсюда для малых а получаем
^(а) = -а;/(|а/ру (2.22)
Следовательно, если а, является параметром порядка, величина F^a) вблизи критической точки обращается в нуль, как 1/(1аЛ2)- Итак, член Lji(a^ Fi (а) в уравнении (2.19) и
член Lj (_a)Fj*^ в уравнении (2.20) описывают термодинамическую теорию критического затухания для неравновесных процессов.
Поскольку коэффициенты Ьц(а') в критической точке остаются конечными, с этого момента мы не будем учитывать зависимость L, от а’). Получающееся в результате уравнение Фоккера — Планка, в некотором смысле сходно с уравнением, описывающим броуновское движение частицы во внешнем силовом поле F^aY Теперь мы можем записать это уравнение Фоккера — Планка в форме, совпадающей с формой уравнения Шредингера:
| (-^+Ша^(а, f) = 0,
t d2 d (2.23)
^(а) = -У + +
| da^ da,
где «гамильтониан» 5^(а) не обязательно является эрмитовым оператором.
Уравнение (2.23) — это наше основное кинетическое уравнение, которое характеризует временную эволюцию грубых переменных {aj.
Член с v7(a) соответствует двум эффектам. При малых а он описывает возможность появления коллективных колебаний. Кроме того, он отвечает также взаимодействию мод и превращению моды а, в другие моды а, что может вызвать осцилляции, поддерживаемые флуктуациями.
Проиллюстрируем эти замечания на примере классической изотропной ферромагнитной системы спинов, используя
с этой целью следующую общую формулу для Uj^a), которая получена в приложении В:
У/ (а) = - квТ У {-5- <(Л„ Л); а) + ((Лу, Лг); а) Ft (а) I, (2.24)
где символ (,) обозначает скобки Пуассона. В этом случае фазовые функции, соответствующие Лу, выберем в виде1):
Sk = V"41 £ §“ exp [— zk • г](а = х, у, z),(2.25)
где S? — спиновый угловой момент в r-м узле решетки, а значения ка ограничены величиной гораздо меньшей, чем граница зоны Брюллюэна. Скобка Пуассона равна
(§k, S^) = V-^ ^ e^Skk',(2.26)
Y
где еа0у—антисимметричный тензор с ехуг=1. Величины Sk, соответствующие параметрам а, обозначим просто Sk. Тогда первый член в выражении (2.24) тождественно равен нулю, и мы получаем
Vka ({3}) = - WV31 Z £ М^'И ({S}), (2.27) k' Ру
где (s) обозначает множество величин Sk.
Множество термодинамических сил F^a — это не что иное, как фиктивные магнитные поля, необходимые для поддержания некоторого вполне определенного равновесного состояния, которое с точностью до знака и числовых коэффициентов определяется множеством (3). Таким образом, выражение (2.27) в каждый данный момент описывает ларморовскую прецессию спинов, помещенных в поле F^. Для малых отклонений набора величин S от их равновесных значений
имеем
где %ka — магнитная восприимчивость, зависящая от к, а 6GsG—(G) для любого G. Выражение (2.27)
*) Здесь и при обсуждении антиферромагнетиков мы для простоты будем игнорировать локальную плотность гамильтониана. Этот вопрос обсуждается в [37, 45]. Кроме того, мы вместо 4j будем писать а,.
превращается тогда в
"к« «3» - k,TV-'b ^ £ =.№ ^ГГ^'<М9>
В упорядоченной фазе, где вдоль направления оси имеется спонтанная намагниченность, (So) = Vl2c ^ 0, мы имеем
Ук+ = Vk + tyk = — t S х (Sk + iS0 + x s Xk
-}- члены высших порядков по флуктуации, (2.30) где Хк =Хк"Хк> и ПРИ малых к эти величины порядка к~2. Величина kBTal^~ к2 есть не что иное, как частота спиновых волн.
В неупорядоченной фазе, когда о = 0, имеем
Ok/{S)) = квТУ~"2 £ Р—i-WsLk' и т. д, (2.31)
х~ К Xk'Xk—k' /
k
где xk = Xk- Это выражение описывает связь моды, соответствующей Sk, с модами, соответствующими S1' и Sk-k'.
Описанный формализм позволит нам чрезвычайно простым образом рассмотреть проблемы динамического скейлинга [35, 36]. Мы проиллюстрируем это здесь на нескольких простых примерах. В качестве первого примера рассмотрим изотропные гейзенберговские ферромагнетики и запишем кинетическое уравнение (2.23) для этого случая в следующем виде:
(^- + ^) 5(15}, 0 = 0,(2.32)
=+(2.33)
где
<2-34) ко к
*-XZ^{^^№))-^r};(2.35)
значения Ука(^) даются выражением (2.27). Тогда все характеристические частоты флуктуаций {S) являются собственными значениями оператора ^ (в общем случае ком-
плексными). Таким образом, мы должны исследовать критические свойства операторов У6й и 36 s.
Все критические особенности содержатся тогда в Fka, которые в свою очередь получаются из Ф({5})=—In 1У({3}) по формуле (2.16). Свободная энергия Ф(е, 3) при наличии однородной плотности намагниченности 3(г)=3 в форме, соответствующей скейлингу, дается теперь выражением [1—4]
Ф (е, 3) = V | е I2"0 Ф (3/| е |р),(2.36)
которое можно также представить в виде
Ф (е, 3) = V | е |2-а Ф (S0/V1/21 е |₽).
Это выражение можно обобщить на случай неоднородной намагниченности следующим образом:
Ф ({3}) = У | в12-“ Ф ({З/У1/3181₽}, {k/х}) =
= У | 8 |2-а Ф ( {(Ух^) 1/21 8 г/2 3}, {к/х}),(2.37)
где мы ввели безразмерный параметр х= |e|v, соответствующий обратной корреляционной длине критических флуктуаций, и использовали соотношение p=(dv— у)/2, которое следует из законов подобия; d— размерность пространства.
С этого момента мы будем выбирать единицы длины так, чтобы они находились в соответствии с определением величины х.
Для Fqa мы получим тогда выражение
Fqa =| 8 |v/2 (УхТ F ({(УхТ‘/2 I e Г/2 S}, q/x, {k/x}), (2.38a) в котором использовано соотношение 2 — а — dv, вытекающее из законов подобия [1—4], а {k/х} обозначает множество флуктуаций 3 с волновыми векторами к, деленными на х. С помощью (2.27) мы получаем для UkO ((■$}) выражение следующего вида:
У qa({s}) =
= | е rv/2 (УхТ1 8 r ya ({(УхТ‘/2 ] e |v/2 3}, ^, { £ } ) , (2.386)
ну хну хгде, используя соотношение у=(2—t])v, мы ввели величи
ну х
ну х
(2.39)(2.39)= d_ у _ d + 2 -т]Х— 2 "* 2v2
(2.39)
(2.39)
и, следовательно, для ^, учитывая формулу (2.34), будем иметь (см. также ниже)
I е Г ^ ({| s |v/2 S}, V-Д {k/x}).(2.40)
Аналогично, выражение для 36 а принимает вид
36S^^^%XV^T^^<W^^(2.41)
здесь мы использовали тот факт, что Aka ~ ^2 =' s |2v (&/х)2.
Результаты (2.40) и (2.41) могут быть непосредственно использованы для изучения свойств подобия уравнения Фоккера — Планка, если отметить следующие два момента.
Индекс к в Sk служит просто для нумерации переменных. Следовательно, мы можем записать к = ху и 5^ = =Sa(y). [В действительности этот факт молчаливо предполагался при написании формул (2.40) и (2.41).]
Будем предполагать, что Vxd ^ 1 при х—*0, т. е. остается большим фиксированным числом (которое в конечном итоге в термодинамическом пределе стремится к бесконечности; это в свою очередь означает, что мы всегда имеем дело с объемными свойствами системы). Тогда зависимость от Vxd может быть из рассмотрения опущена. Таким образом, уравнение Фоккера — Планка (2.32) превращается в некоторое функциональное уравнение, в котором все критические аномалии, если записать к в виде к = ху, выражаются через величину |е|, которая содержится в выражениях (2.40) и (2.41). Следовательно, после преобразования подобия {|8|тД$} —> {S}, проведенном в функциональном уравнении для g, критические аномалии выражаются только через множители |е[^ и [e|2v+v, которые стоят соответственно перед выражениями (2.40) и (2.41). Это позволяет нам изучать критическое поведение спектра собственных значений 36. Поскольку для d ^ 5 имеем xv < 2v + у, критическая динамика спинов определяется здесь в основном гамильтонианом Жь а связанную с ней характеристическую частоту Qk необходимо взять в виде
(2.42)(2.42)Qk — X*f (^/х),
(2.42)
(2.42)
где к — волновой вектор неоднородной флуктуации. Это выражение представляет собой известный результат динамической теории подобия [36].
Для второго примера рассмотрим классическую модель изотропного гейзенберговского ферромагнетика в случае не-
упорядоченной фазы, когда в качестве параметров 'а, мы должны взять величину колебательной плотности намагниченности а? и величину полной плотности намагниченности ц“. Тогда, используя формулу (2.24) и соотношения для скобок Пуассона, включающих о и р, такие, например, как (2.26), для выражений у =^; а) и yq[i^ = ^“; а), мы не
медленно получаем
= - квТУ41 I 8{^_kF_ (а) + kF (а)}, (2.43a)
у» = - kBTV-'k Z 8а₽ {ov_kF (а) + pv_kF_ (а)}, (2.436) кру
где термодинамические силы F имеют вид г)
X F.3 ({(Vx")-'61. I’"’ a}>{(Kxd)”'/’ Л. q/x, {к/х}), (2.44а)
(2-446)
Мы использовали здесь для F_qoe формулу из теории подобия, сходную с формулой (2.38а), и линеаризовали F_q(1g, поскольку только компоненты о обнаруживают критические флуктуации; величины хкц представляют собой к-компоненты восприимчивости, соответствующей полной намагниченности. Таким образом, если, как в случае ферромагнетика, мы разделим 96 на два слагаемых Эбе. и 36s, то получим
^=^ Е Z Чч {-1=^ (г»')''- ^ ^_л, +qa kPv '4
+ 7^ ^ ЧХ. -1 = l’"’ ^'' ^ ^-Л8 +
установить, если записатьустановить, если записать+(2.45)
установить, если записать
установить, если записать
•) Эту зависимость Г _qa^ от р можно установить, если записать Ф (е, {о}, {р}) = У I а |2-а Ф(t(Vxd)~‘/2 | е р,/2 о}, {Вр}, {k/х}), что аналогично выражению (2.37), где В — некоторые неизвестные величины. Для малых {Вр} силы, термодинамически сопряженные величинами pLq> равны
^-qnp^^^/^^-q^ST | е |2 ° Ф'=—В2У j s |2 ° бр, где Ф' имеет те же аргументы, что и функция Ф. Последнее равенство следует из того факта, что функция F линейна по бр. Поскольку %q|1 в (2.446) ведет себя, как У°8°, то для В с точностью до числового коэффициента мы имеем следующее выражение: В = (У|е|2-а) /2 = (Vxd) ,'2-
С помощью выражения (2.44а) легко найти, что формулу (2.45) можно представить в виде^d = I 8 |'/г W ^ ^W* I 8 |^ О}, {(kV)^ р}, {k/x}) ++1 8 |Yz dv ^ (Wr4118 |'/2Y ст}, Wr'11 ц), {k/x}); (2.46) первый и второй члены обусловлены здесь соответственно первым членом выражения (2.45) и остатком. Следовательно, вблизи критической точки получаем^а -1 8 |V1 ^ 36d№%VZ1 8 |'/2Y ст}, {(VxV72|i}, {k/x}). (2.47) Далее, в принятых нами обозначениях 5^s можно представить в видеС помощью выражения (2.44а) легко найти, что формулу (2.45) можно представить в виде^d = I 8 |'/г W ^ ^W* I 8 |^ О}, {(kV)^ р}, {k/x}) ++1 8 |Yz dv ^ (Wr4118 |'/2Y ст}, Wr'11 ц), {k/x}); (2.46) первый и второй члены обусловлены здесь соответственно первым членом выражения (2.45) и остатком. Следовательно, вблизи критической точки получаем^а -1 8 |V1 ^ 36d№%VZ1 8 |'/2Y ст}, {(VxV72|i}, {k/x}). (2.47) Далее, в принятых нами обозначениях 5^s можно представить в видеqa Vqa V32a<Wd232a<Wd2qa V Aqg vrqqa V Aqg vrq(2.48)(2.48)Хщую фоЫрму” ВТ°Р0Й ” "f™™™ соответственно еле-Хщую фоЫрму” ВТ°Р0Й ” "f™™™ соответственно еле-ии8 iY ^М ^V^V2 I 8 i'^ O}, W* p), №)^^{(ГиТ'М, №}),8 iY ^М ^V^V2 I 8 i'^ O}, W* p), №)^^{(ГиТ'М, №}),поскольку мерностей случаях')поскольку мерностей случаях')Ьод»~Ай1 Lq|Jla ~ q2 Для малых q. Так как дляd — 2, 3 dv/2 < у или 2v, то вкладом 36 s вможно пренебречь, и мы обнаружим тогда,Ьод»~Ай1 Lq|Jla ~ q2 Для малых q. Так как дляd — 2, 3 dv/2 < у или 2v, то вкладом 36 s вможно пренебречь, и мы обнаружим тогда,то вкладом 36. вто вкладом 36. враз- ЭТИХ чтораз- ЭТИХ что*) Масштабные свойства 3®s для ферро- и антиферромагнетиков остаются неизменными, даже когда в коэффициентах Ln (а) учитывается зависимость от а. Мы сейчас продемонстрируем это для антиферромагне- тика. Используя соотношения (2.13), (2.15) и (2.6) и тот факт, что (<7(х); a) = ^G(x) для Л(х)_ а, мы получаем*) Масштабные свойства 3®s для ферро- и антиферромагнетиков остаются неизменными, даже когда в коэффициентах Ln (а) учитывается зависимость от а. Мы сейчас продемонстрируем это для антиферромагне- тика. Используя соотношения (2.13), (2.15) и (2.6) и тот факт, что (<7(х); a) = ^G(x) для Л(х)_ а, мы получаем
С помощью выражения (2.44а) легко найти, что формулу (2.45) можно представить в виде
^d = I 8 |'/г W ^ ^W* I 8 |^ О}, {(kV)^ р}, {k/x}) +
+1 8 |Yz dv ^ (Wr4118 |'/2Y ст}, Wr'11 ц), {k/x}); (2.46) первый и второй члены обусловлены здесь соответственно первым членом выражения (2.45) и остатком. Следовательно, вблизи критической точки получаем
^а -1 8 |V1 ^ 36d№%VZ1 8 |'/2Y ст}, {(VxV72|i}, {k/x}). (2.47) Далее, в принятых нами обозначениях 5^s можно представить в виде
С помощью выражения (2.44а) легко найти, что формулу (2.45) можно представить в виде
^d = I 8 |'/г W ^ ^W* I 8 |^ О}, {(kV)^ р}, {k/x}) +
+1 8 |Yz dv ^ (Wr4118 |'/2Y ст}, Wr'11 ц), {k/x}); (2.46) первый и второй члены обусловлены здесь соответственно первым членом выражения (2.45) и остатком. Следовательно, вблизи критической точки получаем
^а -1 8 |V1 ^ 36d№%VZ1 8 |'/2Y ст}, {(VxV72|i}, {k/x}). (2.47) Далее, в принятых нами обозначениях 5^s можно представить в виде
qa V
qa V
32
a<W
d2
32
a<W
d2
qa V Aqg vrq
qa V Aqg vrq
(2.48)
(2.48)
Хщую фоЫрму” ВТ°Р0Й ” "f™™™ соответственно еле-
Хщую фоЫрму” ВТ°Р0Й ” "f™™™ соответственно еле-
и
и
8 iY ^М ^V^V2 I 8 i'^ O}, W* p), №)^^{(ГиТ'М, №}),
8 iY ^М ^V^V2 I 8 i'^ O}, W* p), №)^^{(ГиТ'М, №}),
поскольку мерностей случаях')
поскольку мерностей случаях')
Ьод»~Ай1 Lq|Jla ~ q2 Для малых q. Так как дляd — 2, 3 dv/2 < у или 2v, то вкладом 36 s вможно пренебречь, и мы обнаружим тогда,
Ьод»~Ай1 Lq|Jla ~ q2 Для малых q. Так как дляd — 2, 3 dv/2 < у или 2v, то вкладом 36 s вможно пренебречь, и мы обнаружим тогда,
то вкладом 36. в
то вкладом 36. в
раз- ЭТИХ что
раз- ЭТИХ что
*) Масштабные свойства 3®s для ферро- и антиферромагнетиков остаются неизменными, даже когда в коэффициентах Ln (а) учитывается зависимость от а. Мы сейчас продемонстрируем это для антиферромагне- тика. Используя соотношения (2.13), (2.15) и (2.6) и тот факт, что (<7(х); a) = ^G(x) для Л(х)_ а, мы получаем
*) Масштабные свойства 3®s для ферро- и антиферромагнетиков остаются неизменными, даже когда в коэффициентах Ln (а) учитывается зависимость от а. Мы сейчас продемонстрируем это для антиферромагне- тика. Используя соотношения (2.13), (2.15) и (2.6) и тот факт, что (<7(х); a) = ^G(x) для Л(х)_ а, мы получаем
(А)(А)4t (а) = LU (0) + (£п ^}. <^> -’. ^
(А)
(А)
где Lji= ^ dt f/ (0) fi (/), а множество л^ мы нормировали таким обра- о
зом, что каждый элемент этого множества, например utm, удовлетворяет условию (| и8т Р) = 1. Масштабные свойства такого выражения, как (А), были исследованы, например, в работе [37]. Если вблизи критической точки Ьц W ~ ^1 + е<5^7/ + • • •, где д ^ 0, а L^, L^, ... не зависят от е,
характеристический спектр частот имеет вид ^^kql^V чт0 опять находится в согласии с предсказанием динамического скейлинга [36].
В качестве последнего примера рассмотрим бинарный жидкий раствор в окрестности критической точки, характеризуемой исчезновением растворимости. В качестве грубых переменных мы выберем здесь локальную концентрацию ск и поперечные компоненты локальной скорости и^; здесь ck = V"~'k ^ dr exp [tk ■ г] с (г), где с (г) — локальная концентрация. Вместо того чтобы иметь дело с двумя компонентами uki, мы можем выбрать три компоненты: Uka, а = х, у, z, а сумму по двум поперечным составляющим формально выразить как двойную сумму по а и 0 для трех компонент, умноженных на тензор t^ — 6^ — kak^l k2 *). Тогда получаем
Vqa — (“qa> с) I,^ ^' Ь Cq-K^kc
Рк
к Ру
и, таким образом,и, таким образом,sosoOqc = (^qj с) == I y\]s ^ ^к Ч UkaCq—к,kag
и, таким образом,
и, таким образом,
so
so
(2.49)
(2.50)
то второй член в формуле (А) принимает вид e6U -Л, где U — матрица- строка бесконечного ранга, не содержащая сингулярностей при е = 0, но зависящая от Vx4 (зависимости исчезают в термодинамическом пределе) и от отношений, включающих х и различные волновые векторы. При масштабных преобразованиях Зв, о которых мы упоминали выше, величины ®q / VXqa и ^ч / VXqa веДУт себя соответственно как 5“ и ц“. Следовательно, параметры а являются некоторой функцией 9 н р, которые несингулярны в том же смысле, что и U. Таким образом, после выполнения умножения на матрицу U величина U-s4- является несингулярной функцией 9 и р. Следовательно, второй член в выражении (А) не изменяет масштабных свойств 38», которые были обнаружены выше.
*) Чтобы лучше понять это, следует выбрать для каждого к систему координат, в которой вектор к параллелен оси z, и затем повернуть эту систему координат.
+’ (2-50а)^ки оик J+’ (2-50а)^ки оик J^^Х^г^+ХХ ^р"^Укр=^^Х^г^+ХХ ^р"^Укр=(2.506)(2.506)
+’ (2-50а)
^ки оик J
+’ (2-50а)
^ки оик J
^^Х^г^+ХХ ^р"^Укр=
^^Х^г^+ХХ ^р"^Укр=
(2.506)
(2.506)
Z 7% X X /k q 1 ^ U^Cq-k + -y-l в Г ^ dqCk-q j X X v ({(vV)-721 e p72 c}, VkV%dVk«}, q/x, {k/x}) —
—ft E E W -^ <№^+^-^ * <2-51) q, к a0v64
где Хкс = (]скГ)’ а Xku —V/P’ причем p является плотностью. При вычислении второго члена в выражении (2.51) мы представили термодинамическую силу, сопряженную концентрации, в виде, аналогичном (2.44а):
f _qc=i6 ^ У^’2 рс <W!1 8i72 4, WY41 и}, щн, {к/х}) = = -1 8 Г CqY (WY1/21 8 |V2V c}, Wr41 uY q/^, {k/x}), (2.52) где T при малых {(Vx^)-72! e f/2Vc} сводится к ограниченной функции q/x. При этом мы предположили также, что функция Fla^dlnr(a)/^«ka может быть линеаризована, поскольку ика не является критической величиной, т. е. Fk«=—(р/^в?’) 2?k^k+. Величины Lku и Lkc обе являются кинетическими коэффициентами Онсагера, пропорциональными fe2.
После этих приготовлений с учетом того, что ^ имеет вид суммы ^„ = i е |2V ^su и 36sc = | s |2v ^^sc’ непосредственно видно, что 36й представляется в следующей форме:
| е f™ v ^d (^V^Y''21 е [7zV с}, {(Vx^)'72 u}, {k/x}),
причем аргументы у функций 3€Sa и ^sc, такие же, как у функции ^d. Таким образом, в противоположность двум предыдущим примерам, вклад ^ при d ^ 2 не является более доминирующим; в действительности при d ^ 2 доминирующим становится вклад от члена HSU) который описывает
вязкую релаксацию. Итак, если динамический скейлинг должен иметь место также в этом случае, то его следует рассматривать на совершенно другой основе, чем в предыдущих двух случаях. Ниже, в § 3, мы увидим, что динамический скейлинг в этом последнем примере имеет место также, например, при приближенном вычислении скорости релаксации параметра порядка.
Как видно из всех этих примеров, решающую роль в определении характера критической динамики играет относительная величина вкладов от 36 s и 36 д. Таким образом, мы можем ввести некоторое число R, которое измеряет отношение величин вкладов соответственно от 36 д и 363. Схематически вблизи критической точки это выглядит следующим образом:
R = \36^36A
R = xx/«2+v/v — x<d+l,)/2-3 )> 1 для d ^ 5 (изотропные ферромагнетики),
/? = x,/2d/xv/v = xw/2,~2+11 ^ 1 для d ^ 3 (изотропные антиферромагнетики),
R =^+4idi%2 __%и/2>-\ ^ 1 для d^2 (бинарные растворы).
(2.53)
Поскольку выражение 36 s содержит кинетические коэффициенты Онсагера L, которые через формулы (2.13) и (2.15) включают в себя вклад от быстрых случайных молекулярных движений, то из (2.53) следует, что в трехмерном пространстве учет таких случайных движений в рассмотренных выше примерах становится необходимым только для бинарных растворов.
Здесь поучительно обратиться к аналогии между критической динамикой и проблемами гидродинамической турбулентности, о которой мы упоминали в начале этого параграфа. В случае проблемы турбулентности вклад 36 д соответствует нелинейному члену в уравнении Навье — Стокса, а 36$ соответствует члену, характеризующему сдвиговую вязкость. Таким образом, величина R, определенная в (2.53), соответствует числу Рейнольдса в теории турбулентности [39].
Модель, которую мы ввели в этом параграфе, а также уравнения (2.23) являются все еще слишком общими для практических приложений, поэтому ниже мы введем упрощенную версию этой модели. Если использовать соотношения (2.6), (2.9) и (А. 3), которые можно записать также в виде
иЦа) = ^Aj с Д = а, то с учетом того, что (А3)=0, когда система как целое покоится, получим
V/ (а) = (Ду^) • (g7^f) ‘ •dA = kBT ((Д/, ^f)) • (g?^f) * • а#.
(2.54)
Введем теперь следующие два приближения: 1) в (2.54) мы оставим только линейные и квадратичные по а члены, а также члены, которые не включают в себя а и которые необходимы для того, чтобы обеспечить выполнение равенства (vj(o)) = 0, и 2) функцию равновесного распределения Р(а) мы аппроксимируем гауссовой функцией вида (2.21). Следовательно, выражение (2.54) превратится в
V/ (a) = iajaj — i £ TUm (atam — <azam>), (2.55) С
to} = -ikBT(Uh ЛЖ/,(2.56)
ГПт = 1ЧгквТ <(Д/, AU^I^,(2.57)
где параметры а выбраны нами так, что ((Д/, Д/)) = (Д/Д^== = О, если j =й I. Выражение для Г, (а) дается здесь формулой (2.22). Таким образом, уравнение Фоккера — Планка в рамках этой упрощенной модели имеет вид
— I У Tllm (atam — <azam)) 1 g(a, 0 + У Ч g (a. 0- (2.58)
ВРЕМЕННЫЕ КОРРЕЛЯЦИОННЫЕ ФУНКЦИИГРУБЫХ ПЕРЕМЕННЫХ
В этом последнем параграфе мы построим стохастические модели, которые описывают временную эволюцию флуктуаций медленно изменяющихся переменных. Поскольку все эти модели описываются в терминах уравнений Фоккера — Планка, в которых различные стохастические переменные связаны нелинейным образом, и поскольку эта связь имеет важное значение для многих других проблем, для работы с этими моделями требуется специальная техника. Здесь мы рассмотрим эту проблему для самой простой из всех предложенных моделей, а именно для случая, соответствующего уравнению
Уравнение Фоккера — Планка для этой модели имеет вид
(^- + ^(a))Sr(fl)/) = 0,(3.1)
где
^(а) = ^0(а) + ^,(а),(3.2)
5^о (а) = У ( — Y/Х/{i&i - N^ a, I, (3.3)
I*uCLjOUj da^J
^i (°) — У hjim (a),(3.4)
jim
hjim (a) = — i^jim -^ кагат — (а^.(3.5)
Здесь yj = Lj/^j, а величины kaiama*^ приняты равными нулю, поскольку распределение W(а)—гауссово. Как было замечено выше, имеется полная формальная аналогия между (3.1) и уравнением Шредингера, если отвлечься от того факта, что «гамильтониан» 5# (а) не эрмитов. Тем не менее это не может помешать нам использовать для решения нашей проблемы различные приближенные методы квантовой теории многих тел. В частности, для использования формальных рядов теории возмущений мы построим сейчас диаграммную технику, которая позволит нам получить самосогласованное уравнение для определения временной корреляционной функции величин
Qij (0 a? (0)) = ^ da da'g {aa', /) a^'P ka'\ (3.6) здесь P(a)— нормированная функция распределения по а в состоянии термодинамического равновесия, которая ранее была обозначена через W(a); g{aa', t^—решение уравнения (3.1) с начальным условием
g(aa', 0) = Ца — а').(3.7)
Прежде всего, мы легко получаем решение g^ невозмущенного уравнения Фоккера — Планка
(-^ + ^0(a))g°(aa/,/) = 0;(3.8)
здесь 5^о (а)—сумма членов, каждый из которых включает в себя отдельные пары сопряженных переменных a;a*j. Используя метод, очень сходный с тем, который описан в статье Чандрасекара [46], мы получим
g<°> каа\ ^ = П' ^ (а/р t),(3.9)
с д^Ца^'р t\ равными
^ (aiaP 0 = ^(|^2У(1ЧГ^Р2^7]) х
[
I а, — exp — vO а' I21
где Д' — произведение по парам сопряженных переменных а/, а*] и а/, а", которые в аргументе функции g№ обозначают соответственно (а/, а)) и (а/, а/*). Уравнение Фоккера—Планка для g (3.1) может быть тогда представлено в следующей интегральной форме:
g(aa', t) = gm(aa', f) —
— ^ ds ^ da"gm (аа", s) 3^, (a") g (a", a', i — s). (3.11) о
Формальное разложение по теории возмущений для функции g так же, как и для (3.6), получается немедленно с помощью итераций. Мы, однако, воспользуемся более формальной и более компактной процедурой, которая описана ниже.
Чтобы облегчить последующее изложение, введем операторы S^o (а) и ^(с), сопряженные соответственно к Ж) (а) и 36(а), которые определим следующим образом (аналогично, для 2^0):
^(a)d(a —a') =^(a')d(a —а'),(3.12)
или
5 f, (а) 36 (a) f2 (a) da = J f2 (а) 36 (а) ^ (а)(3.13)
для произвольных функций fi (а) и f2(a). Тогда, используя выражения (3.1) —(3.5), получаем
36^ = 36М 4-^(0),(3.14)
^о(а) = У I — Y/Х/ д d' ♦ — <i®i — Y/) а; L (3.15) (да}да{dOf j
^x^ = LWa\(3.16)
jlm
hjimk^ ~ ^UmkO-lO-tn(^zC/zz)) ^a^ •(3-17)
Заметим теперь, что операторы ^(а) и 5^0(а) при действии на константу обращаются в нуль
20(a). 1=^0(а). 1=0.(3.18)
Аналогично, заметим, что
20о (а) Р (а) = 0,(3.19)
^(а)Р(д) =0.(3.20)
Соотношение (3.19) немедленно следуетиз предположения
о гауссовом характере распределения Р(а)
Р (а) ~ ехр [— X I а/17%/]
и формулы (3.3). Соотношение (3.20) представляет собой требование, чтобы функция равновесного распределения не изменялась во времени1).
Используя формальное решение уравнения (3.1) для g^aa', i)
g (аа', /) = exp [—136 (a)] 6 (a — a') =
= exp[—/20 (a')] d (a — a'),(3.21)
мы можем теперь временную корреляционную функцию (3.6) представить в виде
(а;. (0 a* (0))> = ^ daP (а) а* ехр [— t^ (а)] а^.(3.22)
Затем проведем формальное разложение для ехр [—t36(a?)Vij, ехр [—1^6 (а)] а/ =
ОО(Sn~A
= 1 + £(-l)"^S1$ z/s„201(sJ20!(s„_1) ...
■ м=ЭU0 *
... 36х (з,) ехр [—/20o]az, (3.23)
*) Для прямого доказательства (3.20) нам необходимо только показать, что 3^i(a)P(a) = 0. Используя для Р^ выражение (2.21) и формулы (3.4) и (3.5), после перестановки членов и перегруппировки индексов получаем
^, (a) Р (а) = £ {- / \ТИГ + W*7n-%z/%/] а’ +
+ 4.1 [^1^ + 7>/m/xz + rm*z//Xm] а^ P (a).
Применяя для У выражение (2.57), можно немедленно проверить, что коэффициенты при а; и при а,агат тождественно равны нулю.
где
Ж (5) ^ ехр [— зД] ^х ехр [зЖ].
Поскольку ^йа^ =—(io^ — Yj)^, то член нулевого порядка в разложении (3.23) равен
ехр [— 1#6й\ a.j = Gj (/) а/, где
G/ (/) = ехр [(го, — у;)/] (/ > 0)(3.24)
— это пропагатор флуктуаций dj без учета возмущений. Член первого порядка равен
— £ ^нт $ ^3 « (s) ^ (S) - <а1атТ) ехР [~ S^o] X 1т0
X-g~exp[— G — s)X]a/ =
= - 2 ^ J ds (а? ^ °т ^ - <^4) GO (f - S), (3.25) Im О
где
а° (s) = ехр [— s^0] dx ехр [з^].(3.26)
Заметим, что а,(з) теперь является не числом, а оператором, который включает в себя дифференцирование. Следовательно, весьма важно положение множителей а? в каждом данном члене, в котором о0 располагаются слева направо в соответствии с возрастанием аргументов. Член второго порядка содержит слагаемые вида (/ У= т)
ап (Л) ар (Л) ехР [- S2^o] "^ ехР [- (5i - »2) ^о] aiam X
X -^ ехр [— (# — 31) ^0] ah которые сводятся к выражениям
a; (S) а”, (з2) с; (s, - s,) а^ (s,) G" « - s,).(3.27)
Все это легко обобщить на члены более высокого порядка, если учесть, что любое выражение вида ...d/daz ехр [—s^0\dt... можно заменить на ... G^s). На фиг. 1,а и б представлены соответственно члены первого и второго порядков, определяе
мые выражениями (3.25) и (3.27), где мы на время пренебрегли величиной (azOm), входящей в Н51т (3.5). Здесь сплошные линии представляют невозмущенные пропагаторы, такие, как G^ (s), а пунктирные линии соответствуют величинам а0. Диаграмма, соответствующая члену в ге-м порядке теории возмущений, представляет собой связанную диаграмму типа дерева с п вершинами, которые отвечают величинам Т. Из каждой вершины во всех случаях выходят три линии (сплошные или пунктирные). Каждая вершина с асимметрическим ветвлением соответствует двум одинаковым членам, и поэтому ее вклад необходимог умножать на 2. Несвязанные диаграммы не дают никакого вклада, так как в этом случае в
Фиг. 1.
каждом из таких членов имеется по крайней мере одно дифференцирование д]да, которое действует на константу и, следовательно, обращает этот вклад в нуль. Заметим, что дифференцирование д/да существует для того, чтобы связывать различные вершины, а в соответствии с условиями (3.18) и (3.19) — только такие ехр [—s^0L которые благодаря наличию факторов а, д/да и т. д., расположенных слева и справа, отличны от единицы и гарантируют стационарность во времени (инвариантность относительно временных трансляций на некоторую величину) в каждом члене теории возмущений.
Корреляционная функция (3.21) получается теперь с помощью умножения выражения (3.23) слева на Р(а)о* и последующего интегрирования по а. На языке диаграмм это соответствует добавлению справа к каждой диаграмме, изображенной на фиг. 1, внешней пунктирной линии, соответствующей а*ь и образованию всевозможных пунктирных линий. Каждая связанная пара заменяется затем волнистой линией. Волновая линия, связывающая a^s) и a^(s'), соответствует
((s') a? (s)), s > s',
A wA (з-28>
5 Зак. 6841 29
где для s > s'
(ат (s')°? (s)) = \р (а) а°т (s') a°t (s) da =
= \P(a)amexP[— (s — s') ^0] at da = dmZ. (| az |2) q° (s — s').
(3.29)
Мы будем называть 1Лт невозмущенной корреляционной функцией.
Теперь мы готовы к тому, чтобы построить общий член ряда теории возмущений для пропагатора
О^^^аДОа^О^аД^ (/> 0).(3.30)
Во-первых, очевидно, что вклады дают только члены четных порядков. Типичная диаграмма состоит из сплошной прямой горизонтальной линии, которая прерывается вставками из вершин и отрезков прямых и волнистых линий. Вдоль каждой сплошной линии время изменяется справа налево. Линии связаны с помощью вершин типа тех, которые представлены в таблице
ражении ftjlm, который мы до этого игнорировали, служит сейчас для того, чтобы исключить из рассмотрения такие
диаграммы, как изображенная на фиг. 3. Каждая диаграмма с п вершинами соответствует некоторому члену в n-м порядке теории возмущений, который строится по следующим правилам:
1. Каждому отрезку прямой линии, который начинается в момент времени /г и кончается в t\, соответствует величина Gz(^— /2)-В частности, прямая линия, которая начинается в нулевой момент времени, и прямая линия, которая кончается в момент времени t, символизируют два пропагатора G/.1. Каждому отрезку прямой линии, который начинается в момент времени /г и кончается в t\, соответствует величина Gz(^— /2)-В частности, прямая линия, которая начинается в нулевой момент времени, и прямая линия, которая кончается в момент времени t, символизируют два пропагатора G/.а6ееа6ееФиг. 2.Фиг. 2.
1. Каждому отрезку прямой линии, который начинается в момент времени /г и кончается в t\, соответствует величина Gz(^— /2)-В частности, прямая линия, которая начинается в нулевой момент времени, и прямая линия, которая кончается в момент времени t, символизируют два пропагатора G/.
1. Каждому отрезку прямой линии, который начинается в момент времени /г и кончается в t\, соответствует величина Gz(^— /2)-В частности, прямая линия, которая начинается в нулевой момент времени, и прямая линия, которая кончается в момент времени t, символизируют два пропагатора G/.
а6ее
а6ее
Фиг. 2.
Фиг. 2.
Каждая волнистая линия соответствует невозмущенной корреляционной функции G°m. В зависимости от относительного расположения конечных точек время вдоль каждой линии может течь в любом направлении.
Каждая вершина соответствует величине — гТ, индексы которой определяются в соответствии с таблицей.
Фиг. з.Фиг. з.
Фиг. з.
Фиг. з.
Каждая вершина, которая имеет упомянутое выше несимметричное ветвление, умножается на 2.
По всем индексам величин G°, G0 и У, кроме индекса /, производится суммирование, а по всем временным координатам вершин с учетом ограничения, что направления всех прямых линий никогда не должны " изменяться, проводится интегрирование в пределах от 0 до t.
Легко установить, что вставки в диаграммы типа изображенной на фиг. 4 всегда обращаются в нуль, поскольку самая «ранняя» (т. е. соответствующая наименьшему времени) вершина в такой вставке содержит производную д/дщ, которая действует на величину, не зависящую от аг.
Теперь ясно, что правила построения общего члена в разложении по теории возмущений в точности согласуются с правилами, которые входят в теорию, основанную на уравнении Ланжевена [45]. Следовательно, для рассматриваемых здесь моделей эти два подхода дают одинаковые результаты.
Поскольку во многих задачах не имеет смысла останавливаться на учете лишь конечного числа членов ряда теории возмущений, мы рассмотрим сейчас некоторый метод, который позволит принимать во внимание бесконечное подмножество членов разложения. Это можно осуществить с помощью известной из квантовой теории поля ренормализа- ционной техники. Первый шаг состоит в том, что для G3 записывается следующее уравнение Дайсона:
t St
G{ (/) = С» (t) + $ dS[ $ ds^ ^ _ S[) x
о о
X^-s^G^Y(3.31)
где величина S,(si — s2) называется точной собственно-энергетической частью (хотя в настоящей задаче она никак не
Фиг. 5.
связана с реальной энергией), которая графически представляется в виде совокупности диаграмм со всевозможными вставками в прямую линию, занимающими место между моментами времени Sj и s2, причем каждая из этих диаграмм не может быть разделена на две несвязанные диаграммы,
Фиг. 6.
если разрезать только одну линию. Некоторые из диаграмм, соответствующих 5, приведены на фиг. 5. Уравнение Дайсона изображено графически на фиг. 6, где — и ^Ц^ представляют соответственно функции G и 2. Мы сможем предсказать физический смысл собственно-энергетической части S(Q, предположив, что 2(/) на очень малых временах
затухает: 2Д/) = —2Г,д(0- Тогда решение уравнения (3.311 имеет вид
G, (О = ехр [(/со, - у/ — Г/) /].
Таким образом, 2Д/) приводит к появлению дополнительной константы затухания Г,. Конечно, в общем случае 2Д/) приводит также к дополнительному вкладу в коэффициенты переноса.
Введем также перенормированную корреляционную функцию
(a;(O)a,(s))=(|a,p)C,(s),
(a,(s)a;(0))-(|a,p)G,.(-s), s < о, (3'32)
которая графически представляется толстой волнистой линией и соответствует некоторой совокупности диаграмм, получаемых из тонкой волнистой линии путем введения в нее всевозможных вставок.
Фиг. 7.
Наконец, мы введем перенормированную вершину, которая будет представлять собой сумму диаграмм, полученных из исходной вершины путем введения в нее вставок, таких, что соответствующие диаграммы невозможно разделить на несвязанные части или концы рассечением некоторой единственной линии. Некоторые из таких диаграмм приведены на фиг. 7. Мы будем сопоставлять перенормированной вершине большой черный кружок •.
После этих приготовлений нетрудно убедиться, классифицируя диаграммы, входящие в 2, что точная собственно-энергетическая часть — это просто ^^^ * а уравнение Дайсона имеет вид
Аналогичным образом, классифицируя диаграммы, входящие в ♦, находим, что
-<j^<X*</*-- |3-34)
где многоточие (...) обозначает диаграммы, которые не могут быть сведены к уже изображенным и которые выражены в терминах перенормированных диаграмм.
Соотношения (3.33) и (3.34) вместе с (3.32), связывающие функции U и G, образуют замкнутую самосогласованную систему уравнений для G, U ие, которая, однако, содержит в (3.34) бесконечное множество диаграмм. Таким образом, обрывая это бесконечное множество, мы получаем в зависимости от этого для функции G самосогласованные уравнения различной сложности. Простейшее нетривиальное уравнение соответствует случаю, когда игнорируются все перенормировки вершины; графически оно выглядит следующим образом:
— = -—+—С^Р—(з-35)
или для t > О t Si
G, (t) = GJ (0 - $ ds, $ ds^, (t - s,) X о 0
X 4 ^ ^jimGi (S] S2) Ощ (SjS2) Xm^°lm*i Gj{s^. (3.36)
Zm
Перепишем это уравнение, вначале симметризуя его по I и tn й используя соотношение
Xm^°Zm*/ + Х^щг»; = (X;Xm/Xf) ^°Цщ»(3.37)
которое следует из (2.57), а затем дифференцируя его по времени:
(4 - ”1 + V/k to = - 2 £ Sa. I yto p X
Im 1 t
X ^dsG^t—s)Gm(t —s^G^s} (t>^>(3.38)
о
причем G, (0) = 1.
Часто бывает полезно ввести односторонние преобразования Фурье
(3.39)(3.39)О/ (со) — Gj (t) exp [zcoZ] dt и т. д.о
(3.39)
(3.39)
Уравнение (3.38) превращается тогда в соотношения следующего вида:
С, (<в) = _ ;ю + to< + ^ - ^ (ш) '<-Ч.4О)
1т 1
■><Gt^Gm^ — <й'\(3.41)
которые могут рассматриваться как уравнения либо относительно G, либо относительно 5. Заметим, что уравнения (3.40), (3.41) не только позволяют определить аномальные коэффициенты переноса в гидродинамическом режиме, но справедливы во всей области в окрестности критической точки, включая область, соответствующую критическому режиму.
§ 4. ПРИМЕНЕНИЯ
Для изотропных гейзенберговских ферромагнетиков выше точки перехода в отсутствие внешнего магнитного поля появляется только один тип корреляционной функции, а именно:
Gq(0={S^(/)S;(0)>/Xqx(/>0).(4.1)
Из соотношений (2.31) и (2.55) получаем
k Т ( 11 \
^чх, ки, 4-^ = 1 -^- (—- и т. д. (4.2)
X XkXq-k /
Таким образом, уравнение (3.38) с учетом того, что Хка = = Nxk, дает
( 5 , гпА р , а _№ V %к%к-ч v
) \dsGk(t-s)Gq_k(t-s^Gq^, (4.3) X лкXq—к / "
где Dq — возникающей в термодинамической теории коэффициент диффузии, пропорциональный х~’•
По существу такие же уравнения были выведены различными другими методами. Свойства этих уравнений и их численное решение явились предметом многочисленных недавних исследований [47, 48]. Аналогично самосогласованные уравнения были получены для изотропных гейзенберговских антиферромагнетиков [49—52], плоских гейзенберговских ферромагнетиков [45, 53] и для жидкого гелия 4Не в окрестности точки Х-перехода ). Поскольку в этих задачах возникает два типа грубых переменных, а именно: локальная плотность параметра порядка, которая не сохраняется, и плотность сопряженной ему сохраняющейся величины, у нас имеется два различных типа корреляционных функций. Самосогласованные уравнения представляют собой тогда систему связанных уравнений для корреляционных функций двух типов. Для этих случаев R "> 1, и мы можем, следовательно, игнорировать в самосогласованной системе уравнений члены, соответствующие затуханию в термодинамической теории.
Типичными примерами другого сорта являются бинарные критические растворы [45]. В этом случае у нас имеется два типа корреляционных функций: G?C(Z) и GqU(t) соответственно для концентраций и поля тангенциальных скоростей, которые определяются соотношениями
°,Д')=(С,(<)<(О))/Х,с.(4.4)
<«;(0<(0))“С,а(0Ш')-<4-5>
Сравнение выражений (2.49) и (2.55) дает тогда
^°q«, кР, q—ку^°q«, кР, q—ку1у‘/г1у‘/г<w4 ]q2 J<w4 ]q2 Jк ВТ f ^°qa, kc, q-kc = 2pyV2 ^aк ВТ f ^°qa, kc, q-kc = 2pyV2 ^a7^qC, ka, q—kc —7^qC, ka, q—kc —1 /£a . \27'^ Va I^4^)’1 /£a . \27'^ Va I^4^)’(4.6)(4.7)(4.8)(4.6)(4.7)(4.8)
^°q«, кР, q—ку
^°q«, кР, q—ку
1
у‘/г
1
у‘/г
<w4 ]
q2 J
<w4 ]
q2 J
к ВТ f ^°qa, kc, q-kc = 2pyV2 ^a
к ВТ f ^°qa, kc, q-kc = 2pyV2 ^a
7^qC, ka, q—kc —
7^qC, ka, q—kc —
1 /£a . \
27'^ Va I^4^)’
1 /£a . \
27'^ Va I^4^)’
(4.6)
(4.7)
(4.8)
(4.6)
(4.7)
(4.8)
где мы модифицировали выражения для Т, используя инвариантность Т относительно перестановки двух последних индексов и принимая, что продольные компоненты локальной скорости вклада не дают. Самосогласованная система уравнений принимает тогда следующую форму:
( dF + “V”) Gq“ ^ = — "2рГ S К ~V) ] X
к
t
X XkcXq-kcу “5 Gkc ^ S) G4~kc (^ S) GqU (S) ^S “Ь
4 X Xkc Xq-kc 7 J
-f- ^ Xq. k, q—к ^ Gku У S) Gq—ku У S) Gqu (s) dS, (4.9) к0
pV\ £ / J %qc J X
к0
X Gku ^ — s) Gq-kc (^ — s) Gqc (s) ds, (4.10) где т)° и Dq соответственно сдвиговая вязкость и зависящий от q коэффициент диффузии, которые отвечают термодинамической теории, причем GqM(0) = Gqc(0) = 1. Вблизи критической точки величина т)° остается конечной, в то время как Dq ведет себя как XqC‘; при суммировании 5k величина к ограничена значением, гораздо меньшим чем обратное макроскопическое расстояние. Функция Xq, k,q-k записывается в терминах Tqa, kp, q-ky и имеет порядок VVi(^2 или Д2 или q.k). Поскольку функция Xq, k, q—к нам не понадобится, мы не
будем выписывать ее явный вид. Это объясняется тем, что ядро, соответствующее памяти в первом члене, включает в себя только диффузию, которая изменяется медленно (см. ниже), и дает большой вклад в интеграл по времени, в то время как ядро, соответствующее памяти во втором члене, включает вязкую релаксацию, которая изменяется быстрее и дает меньший вклад в интеграл по времени.
Как мы видели в § 3, в этом случае R ^ 1. Таким образом, мы не можем игнорировать ни т|°, ни Dq. Как мы увидим, величиной т)° действительно нельзя пренебречь, т. е. вклад флуктуаций в сдвиговую вязкость не может расходиться (см. также [45]). Это позволяет нам исследовать функцию Gqc(0> используя уравнение (4.10) и предполагая, что Gku(Z) = ехр [—(ц^2/рК1, где т)— сдвиговая вязкость, которая выбирается конечной. Эта задача рассмотрена в [45], причем до тех пор, пока рассматриваемая нами частота меньше т|х2/р или л^/р, функцию Gqc(f) можно аппроксимировать экспонентой вида
Gqc(0^exp[-/rq], (4.11)
для которой скорость затухания Гд определяется формулой
Г = ——Г = ——(4.12)(4.12)dk 1 г, _ /Ч Y] ^-^ (2л)3 F U к Л J %qc
Г = ——
Г = ——
(4.12)
(4.12)
где величина q^D^ мала и потому не учитывается.
Если предположить, что Хкс имеет вид, соответствующий скейлингу, %кс = &~2+т,ф (^/х), то получим
к Тк Тгдегде(4.13)(4.14)(4.13)(4.14)
к Т
к Т
где
где
(4.13)
(4.14)
(4.13)
(4.14)
Этот результат согласуется с законом динамического скейлинга. Необходимо заметить, однако, что все это получено в рамках специального самосогласованного приближения в противоположность случаям, когда R ^ 1, т. е. когда динамический скейлинг появляется в результате простых преобразований подобия более общих уравнений (уравнений Фоккера — Планка). .Таким образом, при некоторых обстоятельствах, например, мы не можем исключить возможность нарушения динамического скейлинга, если в задаче о бинарных крити-
ческих растворах будут рассмотрены более сложные самосогласованные уравнения, включающие в себя вклады от более сложных диаграмм.
Если %кс имеет вид Хкс ~ (А2 + х2)-1, соответствующий приближению Орнштейна — Цернике, то функция К принимает следующую простую форму:
^(х)^^!1+х2 + (^ —x-1)arctgxL (4.15)
Недавно этот результат был получен так же Феррелом [54], который использовал для этого простую теорию взаимодействующих мод; кроме того, он удачно согласуется с экспериментом по рассеянию света [55, 56].
Как было впервые указано Свифтом [32], динамика флуктуаций параметра порядка в точке перехода жидкость — газ (здесь это флуктуация локальной энтропии) в основных своих чертах та же, что и в критическом бинарном растворе.
В предыдущих рассуждениях мы предполагали, основываясь на довольно общих аргументах, что сдвиговая вязкость в критических бинарных растворах не имеет критической аномальности. Однако сейчас имеются некоторые экспериментальные данные, свидетельствующие о том, что сдвиговая вязкость в критических точках обнаруживает явные расходимости или узкие пики [57]. Исследуем эту проблему, используя нашу систему самосогласованных уравнений (4.9) и (4.19). Если в уравнении (4.9) перейти к гидродинамическому пределу qjx —► 0, то получим
Gq„(^~exp[-^<72], (4.15а) где
л — л0 + Ал с
Дт1— 15 (2л)2 J ^ ( Эк ’ (4>1^ о
Здесь кт — обрезающее волновое число, которое меньше чем величина, обратная среднему микроскопическому расстоянию. Явный вид для подынтегрального выражения в (4.16) получается немедленно, если мы предположим, что %кс имеет вид, соответствующий приближению Орнштейна — Цернике,
а для Гл используем выражение (4.13)'. Таким образом получаем
Д4 Г 5 In хкс у р-1f (б4т|/6вТ) А-1,А > х,
V дй 7( (24лт]/ДвТ) &4х-5, 6 <С х.
Следовательно, вклад в интеграл (4.16) от области А^>;х является доминирующим, и мы имеем
дч~ « lgLln^~_(4.18) 115л2 J й 15л2 х 15л2''
х
Таким образом, если предположить, что величина т] в правой части (4.18) остается конечной, то Дт, обнаруживает явную логарифмическую расходимость. Это предположение, однако, нельзя продолжать в сколь угодно малую окрестность критической точки. Действительно, выражение (4.18) вместе с формулой Дт] = Т] — Т]° приводят к тому, что
^^С1+т&1П8) ^(4-19)
т. е. величина т] для 8 < ео, где ео = ехр[—15n2/16v] — 10-6 при v = 2/3, становится отрицательной. Следовательно (4.18), так же как и (4.19), должно нарушаться, когда е стремится к 80 и величина Дт] будет оставаться конечной даже в критической точке. Для более детального обсуждения этой проблемы необходимо вначале найти решение самосогласованной системы уравнений (4.9) и (4.10). Тем не менее мы считаем, что представленные аргументы согласуют, с одной стороны, кажущиеся расходимости наблюдаемой -q, а с другой стороны, теоретическое предсказание, что т] должна оставаться конечной в критической точке.
§ 5. ЗАКЛЮЧИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ
В этих лекциях я начал с того, что представил некоторый общий формализм для исследования временной зависимости некоторых свойств флуктуаций вблизи критической точки, который, как это планировалось, должен давать кинетическое описание этих флуктуаций во временной шкале, соответствующей критическим флуктуациям. Решающим вопросом здесь является выбор грубых переменных, которые входят в кинетическое описание. Некоторый общий критерий для та-
кого выбора был дан в § 2. Однако в реальных примерах, рассмотренных в этих лекциях, мы часто использовали подмножества грубых переменных, которые удовлетворяют этому общему критерию, и получали полезные результаты. Конечно, существует интересное соотношение между выбором подмножества грубых переменных и справедливостью динамического скейлинга. Более того, имеются случаи, когда мы можем выбрать некоторое определенное подмножество грубых переменных, динамика которых асимптотически близка к динамике, определяемой характерной частотой, предсказываемой динамическим скейлингом [37]. Исследование этой проблемы еще далеко от своего полного завершения, и мы ожидаем, что настоящий формализм проливает некоторый свет на решение этой проблемы.
В § 3 мы развили метод получения временных корреляционных функций грубых переменных и нелокальных коэффициентов переноса, используя для этого наше обобщенное уравнение Фоккера — Планка. В действительности этот метод является некоторой адаптацией к нашему нелинейному уравнению диаграммной техники, используемой в теории многих тел. В результате мы имеем замкнутую систему самосогласованных уравнений для временных корреляционных функций. Для случая критического бинарного раствора эта самосогласованная система дает явную формулу для скорости распада флуктуаций концентрации и для аномальной сдвиговой вязкости. Однако некоторые из этих результатов можно получить без сложного формализма этих лекций, используя для выражения нелокального коэффициента переноса через корреляционную функцию простые приближенные расцепления [54]. В ретроспективе может оказаться, что весь сложный формализм, представленный в данных лекциях, является излишним. В этом отношении прежде всего необходимо отметить проблему, связанную с нелокальными коэффициентами переноса. Рассмотрим выражение для нелокального (т. е. зависящего от волнового вектора и частоты) коэффициента переноса через корреляционные функции [41]. В общем случае временная зависимость потока, описываемого корреляционными функциями, определяется особым динамическим законом, который отличается от закона, соответствующего реальной динамике. Это различие довольно важно, так как если здесь проявить неосторожность, то легко прийти к доказательству того, что все коэффициенты переноса тождественно равны нулю! Таким образом, если кто-нибудь
попытается оценить корреляционную функцию для некоторого нелокального коэффициента переноса, он не сможет быть всегда уверен, что не получит в действительности конечного числа для величины, которая должна быть тождественно равна нулю! Представленный нами формализм полностью избавлен от этой деликатной и вызывающей затруднения проблемы теории переноса. Более того, этот формализм позволяет легко провести дальнейшее улучшение вычислений «первого порядка», которые были представлены выше. Эта особенность формализма чрезвычайно существенна, поскольку до тех пор, пока мы не учтем вклады «высших порядков», мы не можем претендовать на полное понимание нелокальных явлений переноса. Кроме того, критические флуктуации проявляются не только через линейный отклик грубых переменных, но также и через отклики более высокого порядка, которые в принципе могут дать более детальное описание структуры критических явлений [58]. Мы считаем, что представленный здесь формализм полезен для изучения такого более широкого класса проблем.
Хотя настоящие лекции были ограничены случаями, для которых справедлива классическая механика, используя соответствующим образом определенные квантовомеханические функции распределения грубых переменных [59], можно провести необходимое квантовомеханическое обобщение.
ПРИЛОЖЕНИЕ А
Начнем с определения (2.3)
^G (х) = ^ dx'&t.Atx') — A(x))G(/)/^ dx'6<A<x'^ — А (х)), (А.1)
в котором, однако, мы исключили из Л(х) все интегралы движения, а интеграл по х' ограничили той частью фазового пространства, в которой все интегралы движения имеют фиксированные значения, соответствующие точке х. Вначале мы выразим точку х', принадлежащую этой части фазового пространства, с помощью множества фазовых функций А (х') и В^, где В(х')—семейство фазовых функций, не зависящих от множества Л(х'). (Функция В(х') может неявно зависеть от х через интегралы движения.) Таким образом, выбирая якобиан преобразования равным единице, мы записываем dx' = dA'dB', где А'=А (х') и т. д., a G (х) = G (Л (х), В (х)). Интегралы по А' и В', естественно, ограничены той частью фазового пространства, о которой шла речь выше, Выраже-
ние (А. 1) превращается тогда в
^G (х) = J dB'G (Л (х), В'^ dB',(А.2)
Затем определим
9CG (х) = (G\ + <G^+\ • к^Ь^ • ^ (х).(А.З)
Тогда второй член имеет вид
] ( dA (х') [ j dB'G (Л (х'), В')] ^ (х') X
X к^Т? • Л (х) = [^ dA' dB^ $ dA (х') J dB' V^G (x')] X
X Q^+ (V) • (g^g^^ • Л (x) =
=<№ ^x. (^f>;‘ • ^ (x),
или поскольку (G)x = ^G^x, to 9^0 (x) = 9^0(x). Теперь ^G (x) зависит только от A (x), и ^c сводится к единице, если действует на функцию Л(х). Следовательно, мы в конце концов приходим к выводу, что операторы ^ и ^*с идентичны.
Этот факт естественным образом вытекает также из следующего интуитивного соображения. Оператор 9с является проектором в равновесном состоянии, которое выбрано таким образом, что средние от ®# имеют определенные значения, т. е. определенные значения имеют средние от всех произведений а. Это означат, что в данном специальным образом выбранном равновесном состоянии не допускается никаких флуктуаций переменных а. Следовательно, все это эквивалентно фиксированию всех переменных ’а.
ПРИЛОЖЕНИЕ Б
Здесь мы продемонстрируем, следуя Грину [38], что последний член в выражении (2.19) обращается в нуль, если переменные а являются плотностями сохраняющихся величин. Этот член с точностью до знака записывается как некоторый интеграл по времени, подынтегральное выражение которого имеет вид
2 ^-<7/(°) fl «);<!>;(Б.1)
здесь мы не будем больше в явном виде писать координату х в фазовом пространстве. Мы можем выбрать в качестве щ фурье-компоненты переменной плотности ак; здесь для простоты мы полагаем, что имеется лишь один тип переменной а. Тогда, поскольку переменные а являются сохраняющимися величинами, т. е. f; = fk = — гк • Jk, где Jk — соответствующая переменная тока, выражение (Б. 1) принимает вид1)
(Б.2) к к
Теперь мы запишем ак = V''2 ^ а (г) ехр [—ik -г] dr и т. д. и используем формулу
д Г , да (г) б 1 Г ,б
= \ dr——= —77- \ dr ехр [гк • г], (Б.З) дак J дак ба (г)V11 'ба (г) к ’
где 6/6а(г) является функциональной производной, тогда (Б. 2) можно переписать в виде
— Z 5 5 S dr ^ ^^ ехр Iik (г — т"^ — tq ’ г^ Х
К к
X^y(q-J(r',0)k. J(r^,/);a). (Б.4)
Величина J представляет теперь микроскопический ток, возникающий благодаря быстрым молекулярным движениям, в котором эффекты от медленных полумакроскопических флуктуаций величин а исключены с помощью проектирования. Таким образом, мы ожидаем, что среднее (q • J (г', O)kJ (j"ty а) отлично от нуля только тогда, когда | г' — г" | является микроскопическим расстоянием, и зависит только от тех величин а, которые находятся на микроскопическом расстоянии от V ~ г".
Таким образом, мы можем предположить, что
-^(J (Г', 0) J (г", ty, а) = б (г — г') б (г' - г") Ф (г, ty (Б.5)
*) Чтобы а оставались медленно меняющимися переменными, к должно быть обрезано на некоторой величине, которая гораздо меньше микроскопического волнового числа. Следовательно, г представляет собой некоторый вектор положения с грубым масштабом изменения (см. [38]).
где Ф(г, 0 является тензором второго ранга. Следовательно, (Б. 4) принимает вид
— A; \dr exp [— tq • г] q • Ф (г, 0' £ к
Vк
и обращается в нуль, поскольку
Ек = О.
к
ПРИЛОЖЕНИЕ В
Здесь мы выведем формулу (2.24). Вначале рассмотрим среднее (^У^ от двух фазовых функций Х(х) и У(х) по ми- кроканоническому ансамблю с фиксированной полной энергией Я(х) = Е, где Н — гамильтониан, который предполагается единственным интегралом движения. Тогда, записывая х =ЛР, ^) и вводя ступенчатую функцию 6(х) = 1 для х ^ О, 6(х) = 0 для х < 0, получаем
г •С * Г дН дХ дН дХ "1 у <* / п рч ___
dxXY^H — Е) = dx^-^- "dq 5<Г'фГ]
= —Uxyl — —-9(Е-^) =
J 1 \ dq др др dq )
dx (X, У) 6 (Е — Н) = dE' dx (X, У) б (Е' — Щ, (ВЛ) о
где интеграл по х берется по всему фазовому пространству, а (,) обозначает скобки Пуассона. Таким образом, мы найдем, что
Е
<.ХГ)В - -j^ $ dE- V (Е') <(Д, Y1)B„(В.2)
’ о
где
Г (Е) = ^dx б (Н (х) - Е) = exp [S, (Е)/ feBl, (В.З)
a St(E) — это полная равновесная энтропия, соответствующая полной энергии Е. Теперь в формуле (В.2)
w k,E^!W ^ = exp [(S, (£') - S# (£))/ Ав] ^ exp [(Е' - Е>ВП ■
Н§
здесь мы воспользовались тем фактом, что dSt(E)/dE = 1/Т, т. е. в термодинамическом пределе вклад в интеграл (В.2) идет в основном от области Е' см Е.
Следовательно, если изменение величины ((X, У))в с Е происходит гораздо медленнее, чем изменение St^, формула (В.2) приводит к’
(XYx/E —квТ ((X, Y))E.(В.4)
Мы получили микроканоническую аналогию подобного же соотношения для средних по каноническому ансамблю.
Используя это соотношение, можно записать величину Vj(a), определяемую (2.9), в следующем виде:
и, (а) = (А/ (х) б (А (х) — а)>в/(б (А (х) - а^Е =
= квТ ((А,- (х), б (А (х) - а))>5/(б (А (х) - а^Е =
= — квТ £ (б (А (х) — а))я '-^- [(л, (х), Аг (х)); а^ X
Х(б(А(х)-а)>£] =
--^K^W- Л); а)н +
+ <(АЛ А,);а)5ХЛ(а)}, (В.5)
здесь Fi(a) = д In W(a?)?dai a ( ; й)в — микроканоническое среднее, для которого Н (х) = Е и А (х) = а, а ^(а) —сила, термодинамически сопряженная переменной ар
ЛИТЕРАТУРА
Kadanoff L. Р., Gotze U7., Hamblen б., Hecht R., Lewis E., Palciaus- has V., Rayl M., Swift J., Rev. Mod. Phys., 39, 395 (1967).
Fisher M. E„ Repts. Progr. Phys., 30, 615 (1967).-
Heller P„ Repts. Progr. Phys., 30, 731 (1967).
Stanley E. H., Introduction to Phase Transitions and Critical Phenomena, Oxford, 1971. (Имеется перевод: Г. Стенли, Фазовые переходы и критические явления, изд-во «Мир», 1973.)
Fixman М., Adv. Chern. Phys., 4, 175 (1964).
Kadanoff L. P., Journ. Phys. Soc. (Japan), 26, Suppl. 122 (1969).
Marshall W., Lowde R„ Repts. Progr. Phys., 31, 705 (1968).
Proceedings of the Fordham Conference on Dynamical Aspects of Critical Phenomena, New York, 1972.
Garland C., Phys. Acoust., 7, 1971.
Поляков A. M„ ЖЭТФ, 55, 1026 (1968).
Грибов В. H., Мигдал А. А., ЖЭТФ, 55, 1498 (1968).
Green М. S., Journ. Math. Phys., 9, 875 (1968); Phys. Rev., 185, 176 (1969).
Gunton J. D., в сб. Critical Phenomena, Proc. Int. School of Phys. «Enrico Fermi», vol. LI, N. Y., 1971.
Kadanoff L. P., Phys. Rev. Lett., 23, 1430 (1969).
van Hove L., Phys. Rev., 95, 1374 (1954).
de Gennes P. G., в книге Magnetism, ed. by G. Rado and H. Suhl, New York, 1963.
Ландау Л. Д., Халатников И. M., ДАН СССР, 96, 469 (1954),
Debye Р., Phys. Rev. Lett., 14, 783 (1965).
de Groot S. R., Mazur P„ Nonequilibrium Thermodynamics, Amsterdam, 1962.
Marshall W., в сб. Critical Phenomena Conference, ed. by M. S. Green and J. V. Sengers, N. B. S. Mise. Pub. № 273 (1966).
Ericson M., Jacrot B., Journ. Phys. Chem. Solids, 13, 235 (1960).
Collins M. F., Minkiewicz V. J., Nathans R., Passel L., Shirane G., Phys. Rev., 179, 417 (1969).
Kahn R., Parette G. (в печати).
Chu В., Schoenes F. J., Phys. Rev. Lett., 21, 6 (1968).
Berge P., Volochine B„ Phys. Lett., 26A, 267 (1968).
Chen S. H., Polonsky N., Journ. Phys. Soc. Japan., 26, Suppl., 179 (1969).
Pusey P. N., Goldburg W. I., Phys. Rev. Lett., 23, 67 (1969).
Fixman M„ Journ. Chem. Phys., 36, 310 (1962). .
Kawasaki K., Phys. Rev., 150, 291 (1966).
Kawasaki K-, Tanaka M., Proc. Phys. Soc. (London), 90, 791 (1967).
Kadanoff L. P., Swift J., Phys. Rev., 166, 89 (1968).
Swift J., Phys. Rev., 173, 257 (1968).
Deutch J. M., Zwanzig R. W., Journ. Chem. Phys., 46, 161 (1967).
Mountain R. D., Zwanzig R. UK., Journ. Chem. Phys., 48, 1451 (1968).
Ferrell R., Meyhard N„ Schmidt H., Schwabl F„ Szepfalusy P., Ann. of Phys., 47, 565 (1968).
Halperin В. I., Hohenberg P. C., Phys. Rev. 177, 952 (1969).
Kawasaki K., Progr. Theor. Phys. (Kyoto), 39, 1133 (1968); 40, 11, 706, 930 (1968).
Green M. S„ Journ. Chem. Phys., 20, 1281 (1952); 22, 398 (1954).
Ландау Л. Д., Лифшиц E. M., Механика сплошных сред, Физматгиз, М., 1954.
Zwanzig R. UK., Phys. Rev., 124, 983 (1961).
Mori H., Progr. Theor. Phys. (Kyoto), 33, 423 (1965).
Zwanzig R. W., Journ. Chem. Phys., 33, 1338 (1960).
Lectures in Theoretical Physics, ed. by W. E. Brittin, B. W. Downs, J. Downs, N. Y., 1961.
van Kampen N. G., в книге Fluctuation Phenomena in Solids, ed. by R. E. Burgess, New York, 1965.
Kawasaki K., Ann. of Phys., 61, 1 (1970).
Chandrasekhar S„ Rev., Mod. Phys., 15, 1 (1943).
Kawasaki K- Journ. Appl. Phys., 41, 1311 (1970).
Hubbard S., X. E. R. E. Harwell Report T. P. 400 (1970); Reiter G. F., препринт.
Kawasaki K., Progr. Theor. Phys. (Kyoto), 39, 285 (1968).
Villain J., Journ. de Phys., 29, 687 (1968).
Wegner F„ Zs. Phys., 218, 260 (1969).
Resibois P., Piette C., Phys. Rev. Lett.. 24, 514 (1970).
Kruger D, A., Huber D. L., Journ. Appl. Phys., 41, 1438 (1970),
Ferrell R. A., Phys. Rev. Lett., 24, 1169 (1970).
Berge P., Calmettes P., Laj C., Tournarie M., Volochine B., Phys. Rev. Lett., 24, 1223 (1970).
Henry D., Swinney H. L, Cummins H. Z., Phys. Rev. Lett., 25, 1170 (1970).
Arcovite G„ Faloct C., Roberti M., Mistura L., Phys. Rev. Lett., 22, 1040 (1969).
Korenman V., University of Maryland, Technical Report.
Hahen H., Zs. Phys., 219, 411 (1969).
60*. Боголюбов H. H., Избр. труды, т. II, изд-во «Наукова думка», Киев, 1970.
61*. Уленбек Дж., Форд Дж., Лекции по статистической механике, изд-во «Мир», 1965." '
Динамические явления в окрестностикритической точки: жидкий гелийи антиферромагнетики
П. С. ХОЕНБЕРГ
ВВЕДЕНИЕ
Область критических явлений в настоящее время можно выделить в самостоятельный раздел физики. Свидетельством этому служит как данный симпозиум, так и большое число других конференций и совещаний.
Исследователи, занимающиеся этим разделом физики, пришли к нему из самых различных областей науки: химии, металлургии, физики низких температур, магнетизма и многих ответвлений математики. Всех этих весьма различающихся по профилю специалистов объединяет то обстоятельство, что фазовые переходы подчиняются одним и тем же закономерностям в резко различающихся по своим физическим свойствам системах. Точнее, существует убеждение, что основные черты явлений, происходящих в окрестности критической точки, зависят от общих свойств системы, таких, как размерность или симметрия упорядоченного состояния, и почти не зависят от микроскопических деталей гамильтониана взаимодействия. В своей ортодоксальной форме эта идея оформлена в виде гипотезы универсальности, которая описана в лекциях Каданова1). Одним из выводов этой гипотезы является заключение, что критические индексы должны быть одинаковыми для всех систем, которые попадают в один и тот же «класс симметрии», скажем для всех одноосных антиферромагнетиков с ненулевой анизотропией (|(/г —/±)//д I) независимо от точного значения этой величины.
Вопрос об универсальности пока остается открытым, однако в качестве рабочей гипотезы она предоставляет в наши руки весьма удобный инструмент для конструирования
* Р. С. Hohenberg, Bell Telephone Labs Inc., Murray Hill, N. Y.
Ferrell R. A., Phys. Rev. Lett., 24, 1169 (1970).
Berge P., Calmettes P., Laj C., Tournarie M., Volochine B., Phys. Rev. Lett., 24, 1223 (1970).
Henry D., Swinney H. L, Cummins H. Z., Phys. Rev. Lett., 25, 1170 (1970).
Arcooito G„ Faloci C., Roberti M., Mistura L., Phys. Rev. Lett., 22, 1040 (1969).
Korenman V., University of Maryland, Technical Report.
Haken H., Zs. Phys., 219, 411 (1969).
60*. Боголюбов H. H., Избр. труды, т. II, изд-во «Наукова думка», Киев, 1970.
61*. Уленбек Дж., Форд Дж., Лекции по статистической механике, изд-во «Мир», 1965." '
Динамические явления в окрестностикритической точки: жидкий гелийи антиферромагнетики
П. С. ХОЕНБЕРГ
ВВЕДЕНИЕ
Область критических явлений в настоящее время можно выделить в самостоятельный раздел физики. Свидетельством этому служит как данный симпозиум, так и большое число других конференций и совещаний.
Исследователи, занимающиеся этим разделом физики, пришли к нему из самых различных областей науки: химии, металлургии, физики низких температур, магнетизма и многих ответвлений математики. Всех этих весьма различающихся по профилю специалистов объединяет то обстоятельство, что фазовые переходы подчиняются одним и тем же закономерностям в резко различающихся по своим физическим свойствам системах. Точнее, существует убеждение, что основные черты явлений, происходящих в окрестности критической точки, зависят от общих свойств системы, таких, как размерность или симметрия упорядоченного состояния, и почти не зависят от микроскопических деталей гамильтониана взаимодействия. В своей ортодоксальной форме эта идея оформлена в виде гипотезы универсальности, которая описана в лекциях Каданова1). Одним из выводов этой гипотезы является заключение, что критические индексы должны быть одинаковыми для всех систем, которые попадают в один и тот же «класс симметрии», скажем для всех одноосных антиферромагнетиков с ненулевой анизотропией (| (Л —/±)//± I) независимо от точного значения этой величины.
Вопрос об универсальности пока остается открытым, однако в качестве рабочей гипотезы она предоставляет в наши руки весьма удобный инструмент для конструирования
* Р. С. Hohenberg, Bell Telephone Labs Inc., Murray Hill, N. Y.
феноменологической теории фазовых переходов. Как я попытаюсь показать в этих лекциях, она оказывается справедливой и для динамических критических явлений. Действительно, наиболее сингулярными в окрестности критической точки оказываются те величины, которые описывают динамические свойства, отвечающие длинноволновым и низкочастотным возмущениям системы. Вдали от критической точки эти свойства описываются с помощью макроскопических «гидродинамических» теорий, к которым мы приходим в результате определенного «огрубления» деталей межчастичных взаимодействий. Резонно ожидать, что макроскопическая теория динамических явлений в окрестности критической точки также должна быть «универсальной», т. е. не зависеть от микроскопических деталей.
В настоящих лекциях я попытаюсь проиллюстрировать аналогию между различными фазовыми переходами, рассматривая два класса систем: сверхтекучий гелий и антиферромагнетики. Эти системы внешне довольно различны, однако их гамильтонианы обнаруживают много общих черт, а поведение этих систем в критической области выявляет эту аналогию весьма наглядно. Для систем обоих классов параметр порядка не является интегралом движения, т. е. не коммутирует с гамильтонианом. Во всех рассмотренных системах, кроме одноосного антиферромагнетика, параметр порядка обладает непрерывной симметрией, что может быть использовано для конструирования точной макроскопической теории динамических явлений в конденсированной фазе ниже критической точки. Эта теория должна нарушаться по мере приближения к критической точке, и форма такого нарушения может быть описана в рамках так называемой динамической гипотезы подобия («динамического скейлинга»).
Основное внимание в этих лекциях будет уделено феноменологии динамических явлений в окрестности критической точки и тем аспектам критического поведения, которые можно проверить экспериментально. Некую микроскопическую подоснову для этой феноменологической теории предоставляет обсуждение, проведенное в лекциях Каданова и Кавасаки 1).
В § 2 мы обсудим общие вопросы термодинамики и гидродинамики сверхтекучести и аналогию этого явления с простой магнитной моделью. § 3 посвящен феноменологической
*) См. статьи 1 и 4 данного сборника. — Прим, ред.
теории динамических явлений в окрестности критической точки, так называемой динамической теории скейлинга, и ее приложениям к тепловым явлениям в жидком гелии. В § 4 рассматривается вопрос распространения ультразвука в жидком гелии; поскольку звуковые волны очень слабо связаны с параметром порядка, теория динамического скейлинга в ее ортодоксальной форме оказывается недостаточной для изучения дисперсии и абсорбции звука в окрестности Тх- Однако удается развить несколько улучшенный вариант теории, предсказания которого оказываются в весьма хорошем согласии с недавними эскпериментами. § 5 и 6 посвящены изотропным и анизотропным антиферромагнетикам соответственно. Отмечается резкое различие в гидродинамическом поведении этих двух систем вдали от критической точки. Соответствующие различия в критическом поведении обсуждаются в связи с недавними экспериментами по рассеянию нейтронов. Как для изотропных, так и для анизотропных систем эти эксперименты количественно подтверждают справедливость динамического скейлинга.
СВЕРХТЕКУЧИЙ ГЕЛИЙ: ТЕРМОДИНАМИКАИ ГИДРОДИНАМИКА
Прежде чем описывать термодинамические и гидродинамические свойства жидкого гелия, поучительно обсудить простую модель, которая может служить прототипом для всех систем (и магнитных, и сверхтекучих), которые мы будем изучать: модель плоского ферромагнетика.
Плоский ферромагнетик
В некотором смысле эта система — простейшая «сверхтекучая жидкость», хотя она вовсе не обладает свойствами жидкости. Модель представляет собой систему спинов на решетке, гамильтониан которой описывается формулой [1]
9g = 9g0-Hz'Lszi,(2.1)
г
3g0 = -Ц UijSiSl + J^(S?S? + srs^], (2.2) i. i
где параметры взаимодействия Л/ и it) выбраны таким образом, что основное состояние системы для нулевого магнитного поля Нг характеризовалось бы ферромагнитным
упорядочением с (S,) в плоскости ху,
(Si) + г (S^ = Л’-’Мов^,(2.3)
<SO = O.(2.4)
(Здесь JC число узлов решетки.) Уравнение (2.3) дает феноменологическое определение величины и фазы параметра порядка. Из симметрии гамильтониана ясно, что угол ф в состоянии равновесия произволен1). По мере возрастания температуры системы мы приближаемся к точке Т = Тс, в которой Mq = 0, т. е. возможен переход в парамагнитное состояние. Для конечных значений Hz, меньших некоторого критического значения Но, все еще возможно упорядочение, характеризуемое выражением (2.3), однако вместо (2.4) имеем
<Sf)=^-1442^0.(2.5)
Более того, температура перехода в парамагнитное состояние будет зависеть теперь от Нг; линия Тс(Нг) является прототипом «лямбда-линии».
Состояние равновесия системы выше Тс определено значениями двух интегралов движения: Л42 и внутренней энергии
Е = Ж.(2.6)
Ниже Тс необходимо фиксировать дополнительно угол ф, который определяет направление намагниченности в плоскости ху (энтропия S = S0(£, Mz) не зависит от значения ф). Нет необходимости, однако, фиксировать значение Мо, поскольку это не интеграл движения, а величина, определяемая значениями Е и Mz, MQ = Mo (Е, М^.
Для равновесных состояний, не являющихся пространственно однородными, энтропия зависит от локальной плотности энергии е (г) и локальной г-компоненты намагниченности пч^, а также от градиента ф. Плотность энергии дается выражением
s (г) = So [в (г), тг (г)] — -^ psv2,(2.7)
где
у = Уф.(2.8)
*) Он может быть фиксирован в рамках концепции квазисредних Боголюбова, если добавить к Жо из (2.2) член с источником, пропорциональным ^ ^ Sp а затем Ях устремить к нулю. — Прим, ред,
Параметр ps, определяемый уравнением (2.7), должен быть положительным для стабильности ферромагнитного состояния и обращается в нуль для 7^ 7C(//Z). Можно показать [1], что величина ps связана с линейным откликом системы на статическое неоднородное магнитное поле в плоскости ху
Х^) = ^.(2.9)
Если система выведена из состояния равновесия, то мы полагаем, что за конечное (микроскопическое) время тт она релаксирует к состоянию локального равновесия, определяемому значениями плотностей соответствующих сохраняющихся величин в (г, /), mz(r, t) и ф(г, /). Локальное значение Мо, однако, не является сохраняющейся плотностью; оно зависит от в и тг согласно соотношению
mL (г, ^) = М0[е(г, t\ тг (г, 01-(2.10)
В терминах сохраняющихся плотностей в (г, t\ mz^r,f) и v (г, I) можно вывести следующие гидродинамические уравнения [1]:
_JL+psV.v = 0,(2.11а)
^L + V/l = 0,(2.116)
-g- + ^V-v = 0,(2.11в)
где h = (dEldM^s.
В состоянии термического равновесия имеем h = Нг. Приведенные выше уравнения имеют решения в виде плоских волн, которые являются спиновыми волнами, распространяющимися со скоростью
с = (р^)'\(2.12)
Если добавить к гидродинамическим уравнениям (2.11) члены высшего порядка по градиентам, то в частотной зависимости спиновых волн появится член, обусловливающий затухание
to = ^ck-i-Dk\ (2.13)
Корреляционные функции. Определим корреляционную функцию в состоянии равновесия для произвольных эрмитовых операторов Л и В по формуле
СЛ5(г, /) = у({Л(г, 1\ 5(0, 0)}) —(Л)(5),(2.14)
где фигурные скобки означают, что берется антикоммутатор, а угловые — усреднения по равновесному ансамблю. Удобно также ввести трансформанту Фурье САВ(к, <в),
Сдв (г, А=^ ~L J -^- САВ (к, со) ехр [/ (кг — со/)], (2.15) и одновременную, или статическую, корреляционную функцию
Сдв (к) — "^"^Ав (к, ®).(2.16)
Далее будем использовать обозначение
Сл(к, со)^Слл(к, со)(2.17)
для фурье-трансформанты автокорреляционной функции А. Корреляционная функция САа соотносится с функцией отклика Хаа по фомуле
Сда (к, о) = Й ctgh {halkBT) Im Хаа (к, ®)>(2.18)
Которая для низких частот дает
Слл (к, со) = 2квТ 1m хАа (к, <в)/<в.(2.19)
Наконец, длинноволновый предел статической корреляционной функций пропорционален восприимчивости
lim СДА (k) = lim квТ ( — —^(к- ю) =
= lim квТхАА (к, со = 0) = квТхА. (2.20)
Для плоского ферромагнетика, если рассматривать случай длинных волн и малых частот [1], вид корреляционных функций можно установить исходя из гидродинамических соображений точно так же, как для нормальных жидкостей [2] и для жидкостей сверхтекучего типа [3]. Для системы, ориен-
тированной вдоль оси х, и случая Нг = 0 имеем следующие приближенные формулы:
С68 (к, ®) = №П ~^^у .(2.21а)
9/.2ПЬ4
Cm2m2 (к, со) = (х^вТ) ^ _ с2Д2)г + (^cD^y '(2.216)
ст т (к, о) = (.(2.21В)
у у х\ р$«2 / (®2 — с2к2у + VcDk3y х '
где DT = хС-1 — коэффициент тепловой диффузии. Поскольку мы предположили, что Нг = 0, восприимчивость дается формулой %m m =%s = Xr = X, а теплоемкость См = Сн = С.
Приведенные выше выражения справедливы для значений (о в окрестности полюсов знаменателя. При этом для упрощения записи мы опустили некоторые «антирезонанс- ные» члены, которые, вообще говоря, должны быть учтены, чтобы удовлетворить соотношениям Кубо [1], однако нет особой необходимости их здесь рассматривать. Полные выражения можно найти в работе [1]. Дополнительно к уравнениям (2.21) приведем выражения для корреляционной функции, описывающей флуктуации параметра порядка в направлении, параллельном линии упорядочения:
С™™ (к, со) = С№ (к, ®) + CR (к, со), (2.21г)
где дополнительное слагаемое Сд(к, со) нельзя получить из гидродинамики, поскольку оно определяется процессами быстрой релаксации параметра порядка к его локально равновесному значению, определяемому уравнением (2.10). Когда волновое число к стремится к нулю, спектр Сд остается размазанным по широкой области частот порядка тй1. Статистическая корреляционная функция Стхтх (к) для параллельных флуктуаций полагается менее сингулярной при к—>0, чем корреляционная функция, определяемая флуктуациями, перпендикулярными направлению упорядочения:
С^ (k) = №l (к) = kBTM^sk\(2.22)
В парамагнитном состоянии Т "> Тс корреляционная функция энергия — энергия и корреляционная функция z-компонент
намагниченности характеризуются диффузным поведением:
2£) £2
сб8 (к, ш) = <квт -^L—-, (2.23а)
ОГ)£2
Ст2тг (к, (о) = кквТ^ V^WY ’ (2.236) однако корреляционные функции для тх и ту не могут быть найдены в рамках гидродинамики, поскольку в длинноволновом пределе эволюция величин тх и ту не связана с е и mz. В отсутствие дальнего порядка статические корреляционные функции в плоскости ху определяются формулой
Cm m (k) = Cm m (k) = &5?Xm m (к), (2.24) где ХтЛ(к = 0) равна некоторой конечной величине. Для малых к величину Хтхтл можно записать в виде
%mxmx ^= %2 + &2 • (2.25) где Лих — постоянные.
Флуктуации «абсолютной величины» и «фазы». Согласно гидродинамической теории [1], имеется важное различие между флуктуациями, параллельными и перпендикулярными направлению упорядочения в плоскости ху; это хорошо видно из соотношений (2.21г) и (2.21в).
Эти выражения описывают флуктуации «абсолютной величины» и «фазы» соответственно. Поскольку гамильтониан изотропен в плоскости ху индексы х и у в соответствующих формулах произвольны. Действительно, мы могли бы полагать, что упорядочение происходит вдоль оси у; в таком случае корреляция флуктуаций, «перпендикулярных» этому направлению, описывалась бы коррелятором Cmxmx. Однако при задании некоторого определенного (хотя и произвольного) направления упорядочения различие между параллельными и перпендикулярными флуктуациями имеет хорошо определенный феноменологический смысл 1).
С микроскопической точки зрения это различие понять труднее. Обычно делается следующее [4, 5]: вводится поле, нарушающее изотропию гамильтониана и направленное, ска-
') Иногда в тексте используются термины «продольные» и «поперечные» вместо терминов «параллельные» и «перпендикулярные» или же «абсолютная величина» и «фаза».
жем, по оси х, а затем на некотором этапе расчетов это поле устремляется к нулю1). В таком случае корреляционные функции, отвечающие параллельным и перпендикулярным флуктуациям, полагаются в точности совпадающими с Ст.хтх и Стуту соответственно. В низших порядках приближений теории спиновых волн [5] (или же в соответствующем варианте теории бозе-систем [4]) такой подход приводит к самосогласованным результатам. Однако появление расходимостей восприимчивости Хтхтх в высших приближениях теории спиновых волн [6—8] наводит на мысль (это было отмечено Фишером2)), что, возможно, точная идентификация Ъпхтх с параллельной восприимчивостью не вполне корректна. Имея в виду эти трудности, мы будем все же продолжать пользоваться введенными выше обозначениями в терминах х и у, чтобы различать величины, определенные феноменологически. Мы признаем, однако, что четкая математическая характеристика концепции флуктуаций абсолютного значения и фазы остается пока открытым вопросом.
Из микроскопического рассмотрения удается однозначно определить лишь полную или симметричную корреляционную функцию в плоскости ху
СПолн(к, со) = Стхтх (к, со) -}- Стуту (к, со), (2.26)
которая по определению представляет собой сумму параллельной и перпендикулярной составляющих. Согласно гидродинамике, перпендикулярная корреляционная функция доминирует при больших длинах волн, так что ведущий член асимптотики полной корреляционной функции дается выражением (2.21в). Во многих случаях мы можем рассматривать лишь ведущие члены асимптотики по к, что позволяет в свою очередь использовать полную корреляционную функцию вместо ее перпендикулярной составляющей. Например, ожидается, что статическая функция СПОЛн(к) конечна при Т > Тс, к = 0 и расходится, как кг2, при всех температурах в упорядоченной фазе. Это утверждение можно в принципе проверить на микроскопическом уровне без строгих определений,
') Средние вычисляются в рамках формализма квазисредних по Боголюбову,— Прим. ред.
X Fisher, частное сробщенив.
использующих переменные, которые относятся к абсолютной величине и фазе ’).
Фазовый переход в плоском ферромагнетике. Как уже говорилось, в плоском ферромагнетике возможен фазовый переход на линии критических точек («лямбда-линия») Те^Н^ [9, 10]. Параметром порядка является спонтанная намагниченность ТИ0 в плоскости ху; «сильно расходящейся» восприимчивостью служит Хполн, описывающая отклик системы на приложенное поле в плоскости ху. (Эта восприимчивость при к = 0 обращается в бесконечность для всех Т < Тс.) Вдоль лямда-линии некоторые производные свободной энергии, соответствующие другим термодинамическим величинам, таким, как восприимчивость %m2mz или теплоемкость при постоянном магнитном поле СНг, также имеют сингулярности, однако ожидается, что расходимости их много слабее, чем расходимость Хполн- Можно ожидать, что в нулевом поле Нг восприимчивость % — %mzm2 остается конечной при Т = Тс [10].
Гелий в тонких капиллярах
На практике, по-видимому, не существует магнетиков, для которых плоский ферромагнетик являлся бы в какой-то мере адекватной моделью. Однако нам известна сверхтекучая жидкость, гидродинамическое поведение которой в точности описывается уравнениями для плоского ферромагнетика (2.11). Это — жидкий гелий в тонких капиллярах или в порошках [11—13], который отличается от чистого гелия тем, что импульс не сохраняется и, следовательно, волны первого звука на длинных волнах не распространяются.
Параметром порядка для этой системы служит оператор квантованного поля ф для атомов гелия. Аналогом двумерных вращений, с точностью до которых определяется параметр порядка в плоском ферромагнетике, служат вращения в комплексной плоскости,, отвечающие градиентной инвариантности гамильтониана [3, 4]. Аналогом ХпОЛН сильно расходящейся восприимчивости является отклик на поле т], которое связано с параметром порядка ф, но которое, к сожалению, не может быть реализовано на опыте. Переменной, аналогичной Мг, является плотность массы р, а сопряженным
*) Сформулированное утверждение, известное как теорема об особенности &-2, строго доказано Н. Н. Боголюбовым для теорий с локальным взаимодействием, — Прим. ред.
полем, аналогичным полю Нг, — химический потенциал ц. Таким образом, можно установить соответствие между поведением жидкого гелия и поведением плоскости ферромагнетика во внешнем поле, направленном вдоль оси z [1, 11]. По аналогии с соотношением (2.3) введем переменные, описывающие абсолютную величину и фазу, согласно определению
(^(г.^^Тоехр^ф^ 01,(2.27)
а сверхтекучую скорость [14] определим формулой
У5 = (Й//п)¥ф.(2.28)
Как и в случае магнитной системы, vs подчиняется некоему закону сохранения, тогда как величина То релаксирует за микроскопическое время тт к своему локально равновесному значению. Табл. 1 иллюстрирует аналогию между жидким гелием и плоским магнетиком.
ТАБЛИЦА 1
Плоский магнетик
Жидкий гелий
S^+iSy
(Sx + /Sy) = Мо exp [/ф[ у = уф т2
Н = Нг
е
Рз
Тс №)
снг
% = кд^№
Спиновые волны
ф+
(ф+) = ф0 ехр [/ф]
vs = (Й/m) уф
р или V
р или Р
8
Рз
Тс (р) или Тс (Р)
С^ или Ср
(др/др) или (дУ/дР)
Не в тонких капиллярах: 4-й звук; чистый Не: 1-й и 2-й звуки
По аналогии с (2.11) запишем уравнение гидродинамики [!3]
-^- + рЛ-у5 = 0,(2.29а)
^ + ?ц = 0,(2.296)
>+ирЛ^5 = 0,(2.29в)
собственные решения которых являются волнами «четвертого звука» [12]. Скорость его будет
£4 = Ыдц/.ЭрМ'/з(2.30)
[ср. с выражением (2.12)].
На практике весьма трудно получить термодинамически хорошо выраженный фазовый переход в гелии в тонких капиллярах, и мы не станем обсуждать интересные вопросы, относящиеся к появлению сверхтекучести в такой системе. Мы упомянули эту систему лишь потому, что в гидродинамическом смысле она корректно описывается простой плоской спиновой моделью и ее поведение иллюстрирует многие важные физические свойства, которые определяют критическое поведение чистого гелия.
Чистый гелий
а. Термодинамические свойства. При обсуждении термодинамических свойств чистого гелия представляется более целесообразным вместо ц и р использовать переменные Р и
Фиг. 1. Схема возможных вариантов «лямбда-линий», возникающих в системах магнитного типа (а) и типа сверхтекучего гелия (б, в).
Согласно гипотезе скейлинга, характер перехода вдоль лямбда-линии в основных чертах остается неизменным.
V, так что лямбда-линия будет линией в плоскости РТ (фиг. 1,в). Как упомянуто выше, сильно расходящаяся восприимчивость х^ не является для гелия величиной наблюдаемой, однако можно измерить более слабо расходящиеся величины. Такими величинами являются СР и (дУ/дР^т» соответствующие С^ и Xm2mz в плоском ферромагнетике, Со-
гласно гипотезе универсальности ’), критическое поведение не должно меняться при изменении переменных вдоль лямбда- линии. По-видимому, переход в жидком гелии является одним из самых удобных фазовых переходов для проверки концепции универсальности, так как можно провести весьма строгие эксперименты для различных значений давления. К настоящему моменту область в окрестности давлений, отвечающих давлению насыщенного пара, исследована очень детально, однако ограниченность информации, имеющейся в нашем распоряжении для больших давлений, не позволяет пока сделать каких-либо выводов о модификации перехода при более высоких давлениях. Известно, что Ср расходится логарифмически [15, 16] как функция от Т—Т^Р^ вблизи давлений, отвечающих давлению насыщенного пара
Ср = A In [(Т - Т№ +В,Т> Тх, (2.31)
СР = Л/1п[(Гл-Г)/Д] + ^, Т<1\,(2.32)
в то время как сжимаемость (dVJdP)T остается конечной в области температур, исследованных экспериментально. Можно показать [15, 17], что сжимаемость должна в конечном счете расходиться по мере приближения Т к Т^Р), поскольку она пропорциональна СР. Однако такое поведение, чтобы оказаться наблюдаемым при давлениях насыщенного пара, должно проявиться в области, чрезвычайно близкой к Тх.
Гидродинамика. Гидродинамические параметры чистого гелия те же самые, что и для гелия в капиллярах, но к ним добавлена плотность сохраняющегося импульса g, связанного с переносом плотности массы. Для двух данных векторов g и vs можно определить (13] скорость нормальной компоненты vn соотношением
g " Priori Ps^s»(2.33)
где рп = р — р,.
Дополнительная степень свободы обусловливает существование двух гидродинамических мод [13]: первого и второго звуков. В пренебрежении тепловым расширением мода первого звука имеет скорость
сх = (дР1др^2(2.34)
и обусловливается главным образом колебаниями плотности и давления. (Связь первого звука с колебаниями плотности
*) См. статью Каданова в данном сборнике.
6 Зак. 6841 61
энергий становится пренебрежимой в области перехода.) Волна второго звука характеризуется скоростью
c2 = Wl9nCp^41.(2.35)
Этот звук образуется в результате колебаний vs и «теплового» оператора q [3], который является линейной комбинацией плотности энергии в и плотности массы р
q (г, f) = 8 (г, 0 + [(в + Р) (р)] р (г, t\ (2.36)
В выражении (2.35) s = Sjmjf есть энтропия на единицу массы, а Ср — теплоемкость при постоянном давлении Р, которая в рассматриваемом приближении эквивалентна Су.
Фиг. 2. Поведение скорости второго звука с2 в зависимости от Т вблизи Тх (по Уильямсу и др. [20]).
Точками представлены экспериментальные данные, сплошная ливня построена по формуле для Cj из гидродинамики [см. (2.35)] с использованием независимых гидродинамических измерений.
Отметим, что тепловой оператор q обладает простым микроскопическим смыслом, усматриваемым из (2.36). Он вводится при гидродинамическом анализе вместо плотности энергии, поскольку в низшем порядке по [(CP/CV) — 1] он не связан с колебаниями, обусловливающими возникновение первого звука. Справедливость выражения ,(2.35) для скорости вто-
рого звука была проверена недавно с высокой степенью точности [18—21] в области, близкой к 7\. Сравнивалась измеренная скорость с2 с гидродинамическим выражением в правой части (2.35), рассчитанным с использованием независимых термодинамических измерений. Это сравнение, в котором не фигурировали подгоночные параметры, показано на фиг. 2. Оно представляет убедительное свидетельство в пользу справедливости двухжидкостной гидродинамики.
Дисперсионное соотношение для двух гидродинамических мод дается выражениями
со! = схк — i у Dxk2,(2.37)
®2 — сгк — г у D2k2,(2.38)
где Dx и D2 — постоянные, выражаемые через коэффициенты переноса [3, 13].
Корреляционные функции. Определим эрмитовы операторы
ф*=у(ф* + ф)(2.39)
и
Ф» =-Д-(ф* — ф)-(2.40)
Тогда если постулировать «ориентацию» параметра порядка
(2.41)(2.41)(2.42)(2.42)в направлении оси х
(2.41)
(2.41)
(2.42)
(2.42)
<Фх) = Ке (ф) = Чг0,
(Фу) = 1m (ф) = 0,
то можно суммировать информацию, содержащуюся в уравнениях гидродинамики, вводя следующие корреляционные функции, аналогичные тем, которые даются соотношениями (2.21)
[
2с.2 D. &41
(^1^+(^7J’ (2-43а)
С99 (к, ®) =С99 (к, ®) =(2.436)(2.436)/&втр\Г2с А &4
С99 (к, ®) =
С99 (к, ®) =
(2.436)
(2.436)
к^Г) 1(ю2-с^у+(сАй7.
Выписывая соотношения (2.43), мы упростили общие выражения [3], опустив антирезонансные члены, которые не дают вклада в окрестности полюсов. По аналогии с выражением (2.21в) мы можем выписать параллельную (или же соответствующую «абсолютным значениям») корреляционную функцию
Су, (к, и) = (^)’ С„ (к, ®) + (^)“ С„ (к, ш) + С» (к, и),
(2.43г)
где, как и прежде, функция CR характеризуется размазанным спектром частот (порядка т”1) в области длинных волн.
Выше температуры перехода корреляционные функции совпадают с корреляционными функциями нормальной жидкости [2]
Cqq (к, и) = (Срр&в72) ^ ю2 _^_ ф^гу ^ ,(2.44а)
/У^Г 2cxDx^ 1
Срр (к, ®) =) У^-с^^^хПхк^Д •(2,44б)
Сф ф (к, ю) = Сф ф (к, ю) = Сд(к, о),(2.44в)
где
DT—y.lpCP.(2.44г)
Из микроскопического рассмотрения можно извлечь с определенностью полную корреляционную функцию, аналогичную выражению (2.26)
Смлн = Сф^ + Сфуфу = у Re ({ф — (ф), ф* — (ф+)}).(2.45)
Для Т С 7\, согласно гидродинамике, в области длинных волн в полной корреляционной функции доминируют перпен-
дикулярные («фазовые») составляющие, и статическая корреляционная функция дается выражением
Солн (к) = квМ1р5к2 + ... .(2.46)
Выше точки перехода можно записать, как и в случае выражения (2.25),
С^олн № = ЬВТ f ) + • * * ’ 6 "* °-(2-47)
где хо — некоторая постоянная.
ДИНАМИЧЕСКИЙ СКЕЙЛИНГ
Корреляционная длина для системс непрерывной группой симметрии
Следствия гипотезы скейлинга для термодинамического уравнения состояния [22, 23] и для пространственных корреляций [24, 25] описаны детально в лекциях Фишера [65] и Каданова1). Величиной, играющей центральную роль при формулировании гипотезы скейлинга, является корреляционная длина |, определяющая характерные размеры области скоррелированности флуктуаций параметра порядка. Если корреляции затухают на больших расстояниях экспоненциально, то длина £ определяется в терминах корреляционной функции параметра порядка Сф (г) с помощью соотношения
ПтСф(г) = С(г)ехр[-г/^],(3.1)
Г->оо
где полагается, что G (г) меняется медленнее, чем по экспоненте, при г-*оо. В системах, о которых уже говорилось, параметр порядка определен с точностью до преобразования непрерывной симметрии, и корреляции в упорядоченном состоянии убывают на больших расстояниях не экспоненциально, а скорее по некоторому степенному закону. В этом случае постулируем [25, 26], что корреляционная длина определяется соотношением
Нт Сф0Лн (г) = d0 | То Г №Р,(3.2)
Г->оо
где То — абсолютная величина параметра порядка, a do — постоянная величина порядка единицы. Отметим, что
соотношение (3.2) предоставляет в наше распоряжение четкое микроскопическое определение, поскольку оно основано на знании полной корреляционной функции [(2.26) и (2.45)] и квадрата абсолютного значения |Ч'о|2. Для получения количественной информации из (3.2) для жидкого гелия мы обратимся к феноменологической теории, в которой утверждается, что перпендикулярные (или «фазовые») флуктуации доминируют на больших расстояниях. Проводя преобразование Фурье выражения (2.46) и сравнивая результат с (3.2), находим р == 1 и
^ = m2kBTIWJl^s.(3.3)
Поскольку известно, что ps обращается в нуль при 7—>7Х, то отсюда следует расходимость g, и мы можем ее представить в виде
Т<ТХ,(3.4)
где )
е = \Тх-Т\1Тх.(3.5)
Экспериментальные данные [27, 28] по определению плотности сверхтекучей компоненты вблизи Тх позволяют заключить, что
Рз/Р = ^'(3.6)
с
d2 = 2,4(3.7)
и
V = 0,667 ± 0,006.(3.8)
Подставляя измеренное значение d2 в (3.3), используя (3.4) и р = 0,146 г/см3 для Тх = 2,17 К, находим
d^ = (mjny ккВТх!^ = 0,29 А.(3.9)
Мы ввели в соотношение (3.2) постоянную d0 порядка единицы, чтобы подчеркнуть произвольность выбора go. Различные определения этой длины отличаются на факторы порядка единицы (см. разд. 4.3), однако go всегда оказывается микроскопической длиной порядка нескольких ангстрем. Выше точки перехода пока неизвестен метод измерения корреляционной длины в жидком гелии.
Теория скейлинга была применена первоначально [22, 24] к модели Изинга и к явлениям в окрестности критической точ-
ки перехода жидкость — пар, где корреляции убывают экспоненциально и корреляционная длина определяется соотношением (3.1) выше и ниже точки перехода. Поскольку нет опровергающих примеров, мы можем принять, что та же формулировка применима и для обсуждаемого случая, когда величина | должна по-разному определяться для Г > Гс и Г с 7С.
Фиг. 3. Макроскопическая область значений волнового вектора к и корреляционной длины g, определенная соотношениями ка <с 1, g 2> а.
В трех заштрихованных областях корреляционная функция обнаруживает различное характерное поведение. Эти области задаются параметрами, меняющимися в пределах (66 < 1, Т < Гс), (66 > 1, Т»?^ и (66 « 1, Г > Г^ соответственно. Асимптотики функции в этих областях сшиваются иа линиях Г., или L, (66 = 1 для Г < Гс и Т > Тс соответственно). Эксперименты при фиксированном 6 позволяют пройти через все три области при изменении температуры.
Качественная формулировка скейлинга
Как обсуждалось в § 2, корреляционные функции в длинноволновом пределе соотносятся с макроскопическими термодинамическими и гидродинамическими свойствами системы. С другой стороны, определенные переменные, в частности параметр порядка, характеризуются очень большими флуктуациями и расходящейся корреляционной длиной в критической точке1). Таким образом, можно было бы ожидать, что
*) Может существовать несколько параметров типа корреляционной длины (см. статью Стелла в настоящем сборнике). — Прим, ред,
область значений к, в которой используется асимптотическая форма (& -> 0) корреляционной функции, должна стремиться к нулю по мере приближения к критической точке. Центральным пунктом гипотезы скейлинга является утверждение, что g есть единственная существенная макроскопическая длина (зависящая от температуры) в окрестности 7С, и поведение корреляционных функций в основном определяется отношением длины волны порядка к-1 к корреляционной длине £ [25, 29]. (Мы будем рассматривать области к-1 » а и g >> а, где а есть характерная микроскопическая длина порядка межчастичных расстояний.)
«Масштабированное» поведение лучше всего проиллюстрировать графиком (фиг. 3), где по оси ординат отложено волновое число к, а по оси абсцисс — обратная корреляционная длина g-1. Начало координат к = £-1 = 0 есть критическая точка 7 = 7С, а упорядоченная фаза находится в левой полуплоскости (7 <7С). В плоскости к, g-1 можно выделить три асимптотические области, в каждой из которых корреляционная функция СТ (к) обнаруживает различное характеристическое поведение.
Заштрихованная область /, отвечающая значениям й^ <С 1, 7 < 7С, является макроскопической областью в упорядоченной фазе; в ней имеют место явления, возможные на расстояниях г, больших по сравнению eg1), и это область, в которой можно ожидать применимость гидродинамики. Для 7 > 7С также существует макроскопическая область, обозначенная /// на фиг. 3. Область //, в которой к^ 5> 1 как для 7 ^ 7С, так и для 7 ^ 7С, есть так называемая критическая область, в которой и протекают явления, возможные на расстояниях, малых по сравнению с g, однако больших по сравнению со всеми другими длинами задачи. Поскольку g -> оо при 7 -> 7С, область // является «макроскопической», во всяком случае, до тех пор пока не рассматриваются критические флуктуации.
Статическая корреляционная функция СТ (к) пропорциональна сильно расходящейся в начале координат к=0, g-1=0 восприимчивости х", однако она остается конечной для конечных к при 7 = 7С (на практике СТ (к) может обладать слабой сингулярностью при 7 7С для конечных к). В гипотезе скейлинга утверждается, что СТ (к) является повсюду в плоскости
(к, g-1) аналитической функцией, исключая расходимость в начале координат. Далее, полагается, что эта функция может быть в существенных чертах определена своим предельным поведением в трех асимптотических областях, которые выделены на фиг. 3 штриховкой. Таким образом, выражения, справедливые в областях / и //, можно по отдельности экстраполировать к значениям к, g-1 на линии Lt фиг. 3 (^ = 1, 7 < <; 7С), полагая, что эти выражения «сшиваются» на Li с точностью до множителя порядка единицы. Это означает, что в нашем распоряжении нет какой-либо другой разделяющей линии между макроскопическими областями, в которых справедливо критическое и гидродинамическое поведение, чем та, которая естественным образом обусловливается длиной g. Более того, полагается, что корреляционные эффекты по всей плоскости к, £-1 описываются единой функцией с характерной зависимостью от параметра ^г ~ к^,.
Гипотеза динамического скейлинга может быть сформулирована сходным образом, если сконцентрировать внимание на нормальных модах, которые доминируют в спектре частот корреляционной функции С^(к, со). Пусть co'l’(k) описывает такую нормальную моду, которая может быть либо «распространяющейся», либо «диффузной». В гидродинамических областях (^ С 1) форма спектра частот и вид функции со'1’(к) можно вывести из гидродинамической теории. В гипотезе динамического скейлинга постулируется, что функция со'1’(к) также полностью характеризуется своим поведением в трех предельных областях, показанных на фиг. 3.
Точная формулировка
Чтобы более точно сформулировать гипотезу скейлинга, заметим, что корреляционная функция всегда может быть представлена в виде
Ст (к, со) = —д - fk, т (®1®т (к)),(3.10)
а>г (к)
где из соотношения (2.16) вытекает, что
(3.11)(3.11)fk.TWdx=l,
(3.11)
(3.11)
— ОО
и где характеристическая частота ю^ (к) определяется из требования
+i
J fk,r(x)dx=y.(3,12)
-1
Индекс Г у введенных выше функций используется, чтобы указать на их зависимость от Т — Гр. Характеристическая частота (о4, определенная здесь, всегда вещественна, и распространяющийся или диффузный характер колебаний отражается на форме функции /А В специальном случае лоренце- вой линии, спектр может быть охарактеризован отдельной комплексной частотой, которая либо чисто вещественна для «распространяющейся» моды, либо чисто мнима для «диффузной» моды. Поскольку нет оснований полагать, что спектр в окрестности Тс с необходимостью будет лоренцевым, удобнее сохранить более общую формулировку в терминах юА и /А, хотя мы и будем иногда использовать комплексные частоты, как это делалось в (2.37) и (2.38).
Статическая гипотеза скейлинга утверждает, что с^ (к) есть однородная функция величин к и g-1:
Cr(k)=--kxg(k^.(3.13)
Динамическая гипотеза скейлинга предполагает, что а) характеристическая частота <о^(к) является также однородной функцией к и |-1,
cor(k) = ^zQ№),(3.14)
и б) нормированная функция формы линии f^ т (х) зависит от к и Т лишь через произведение к^ (и знак Г — Тс). Эти однородные функции имеют свойства, обсуждавшиеся ранее, и определяются в основном своим предельным поведением в асимптотических областях, показанных на фиг. 3. Для получения конкретной физической информации мы должны вначале определить вид юА (к) в одной из областей и затем, используя гипотезу подобия, найти ее поведение в другой области. Чтобы это проделать, мы воспользуемся результатами гидродинамического анализа из § 2, который предполагается справедливым во всей области / справа от Тс.
Гипотеза скейлинга может быть сформулирована в несколько более общем виде путем наложения условия сшивания на асимптотические формы корреляционных функций, На-
пример, пусть асимптотический вид сот (к) в области / дается выражением
<о£ (к) = lim (к);(3.15)
&£->от <тс
аналогичные выражения имеют место для со^7 (к) и ®^zz (к)- В таком случае вместо сформулированного выше условия а) мы требуем, чтобы
«Чг^^м'Ч^-1),(зав)
^'ЧГ’^М'ЧГ1),(3.17)
где Ьх и Ьа — численные постоянные порядка единицы. Эти условия сшивания особенно полезны, когда функция сот (к) содержит логарифмические факторы, поскольку в этом случае требование однородности [выражение (3.14)], строго говоря, неприменимо1).
Как упоминалось выше, иногда можно описать форму спектра и характеристическую частоту с помощью единственной комплексной частоты. В этом случае два предположения динамического скейлинга заменяются одним условием, в котором требуется, чтобы комплексная частота была однородной функцией того же вида, что и в соотношении (3.14), но с комплексными коэффициентами.
Остается открытым вопрос: для каких операторов А справедлив скейлинг? Ответ на него мы сформулируем в форме минимальной гипотезы, назвав ее гипотезой ограниченного динамического скейлинга [25]. Будем считать, что динамический скейлинг выполняется, когда в качестве оператора А выбирается оператор параметра порядка для фазового перехода. Мы также полагаем, что гипотеза динамического скейлинга может быть распространена на различные другие операторы, возможно, на все те операторы, характеристические частоты которых, такие же, как и у параметра порядка в одной или обеих гидродинамических областях2). Однако в § 4 мы увидим, что существуют некие корреляционные функции, поведение которых в критической области не описывается в рамках гипотезы динамического скейлинга.
*) См. обзор Фишера в [65]. — Прим. ред.
Естественно, что речь идет о спектре фурье-образов соответствующих корреляционных функций.—Прим, ред,
Приложение скейлинга к сверхтекучести в гелии
Единственными статическими критическими экспонентами, которые измерялись в гелии вблизи лямбда-точки, являются а, а'[определяемые по (2.31) и (2.32)] и V [соотношение (3.6)]. Согласно статическому скейлингу [22—24], сингулярность в теплоемкости должна быть симметричной выше и ниже точки перехода («==«')-При наличии логарифмической особенности ’) требуется дополнительно, чтобы коэффициенты при логарифмах были равны. Строгие измерения, проведенные недавно [16], показали, что отношение коэффициентов есть А(А'= 1,05 + 0,01 при давлении насыщенного пара, что свидетельствует о небольшом нарушении статического скейлинга). Было получено, что экспоненты а' и V довольно точно подчиняются одному из следствий скейлинга [22, 24]
dV = 2 — а', (3.18)
где d— размерность системы, как это было впервые установлено Джозефсоном [26]. К сожалению, нет других соотношений статического скейлинга, которые могли бы быть непосредственно проверены в нашем случае, поскольку ни критические индексы, относящиеся к поведению корреляционных функций, связанных с параметром порядка (у, у', б, 0), ни другие индексы, связанные с иными корреляционными эффектами (v,iq), недоступны экспериментальным исследованиям.
Для проверки гипотезы динамического скейлинга необходимо измерять свойства критической моды, которые определяют временную зависимость параметра порядка. Согласно уравнению (2.43в), справедливому для Т < Тх, второй звук Доминирует в спектре флуктуаций параметра порядка в непосредственной окрестности перехода (р8<^рп). Таким образом, для этого перехода критической модой является второй звук. Но второй звук является также модой, характеризующей тепловые (или температурные) флуктуации, как это видно из соотношения (2.43а), так что критическая мода наблюдается экспериментально ниже Тх, несмотря на то обстоятельство, что прямое измерение временной зависимости параметра порядка невозможно. Характеристическая частота в обла-
*) а = а' = 0. — Прим. ред.
сти / может быть найдена из (2.43в) и дается формулой
<о* = с2к,(3.19)
а нормированная функция формы есть сумма двух лоренциа
нов
?*М = Л7^Ч?^'(3'20)
л (х — 1) + Л*
где
Т)Й = О2^2М«1.(3.21)
Пункт «б» в приведенной выше формулировке гипотезы динамического скейлинга, утверждает, что функция ft зависит от
Точками представлены данные из работы [30], сплошная линия характеризуется наклоном (—1/3), как н предсказывается (3.22) [39].
к и температуры лишь в комбинации к^. Это означает, что величина ць должна быть пропорциональна &1 и, следовательно, D^-b^,(3.22)
где £ — постоянная величина порядка единицы (мы будем использовать в этом разделе один и тот же символ b для различных постоянных порядка единицы). Это соотношение между корреляционной длиной £, скоростью распада и скоростью второго звука было впервые предсказано Феррелом и
сотр. [29] и экспериментально подтверждено Тайсоном [30], результаты которого приведены на фиг. 4.
В гидродинамической области выше Тх параметр порядка не связан с тепловым оператором q [см. соотношение (2.44в)], так что отвечающая ему корреляционная функция не может быть измерена. Чтобы получить нетривиальные пресказания, мы должны распространить применимость динамического скейлинга на тепловой оператор, которому отвечает, согласно (2.44а), следующая частота характеристической моды:
<о» (k) = DTk\ ^<1, Т > Тс, (3.23) где DT — коэффициент тепловой диффузии, определенный соотношением (2.44г). Условия сшивания [соотношения (3.16) и (3.17)] применительно к областям III и // и к областям // и / приводят к соотношению
^Z^W^2. (3.24)
где £+ и £- означают величины корреляционных длин выше и ниже Тх, взятые при ±Т соответственно. Уравнение (3.24) может быть переписано в терминах приведенной температуры N = \Т—Тх\(Тх и теплопроводности х следующим образом:
X (+ е) = Ьс2 (— е) Ср (+ e)/ps (— е), (3.25) если предположить, что g+(e)~g_(—е), и использовать выражение (3.3) для |_(—е) и уравнение (2.44г) для DT. Соотношение (3.25) представляет собой второй результат Феррела и сотр. [29] и предсказывает расходимость теплопроводности. Оно было с большой точностью проверено Алерсом [31], результаты которого показаны на фиг. 5. Сплошная линия построена в соответствии с правой частью соотношения (3.25), которая содержит логарифмический множитель, обусловленный Ср. Точность подгонки может привести к тому, что отклонение от числа степенного закона поведения будет связано с условиями сшивания.
Экспериментальные данные по скорости затухания второго звука ниже 7\ и по теплопроводности выше Тх убедительно свидетельствуют в пользу гипотезы динамического скейлинга, использованной применительно к параметру порядка и тепловому оператору. По-видимому, имеет смысл разобраться в микроскопической подоснове такого поведения, а также попытаться выяснить, каков общий вид корреляционных функций, согласующийся со скейлингом1). Определенный прогресс в
5е ДИНАМИЧЕСКИЕ ЯВЛЕНИЯ В ОКРЕСТНОСТИ КРИТИЧЕСКОЙ ТОЧКИ этом направлении достигнут при использовании так называемого приближения взаимодействующих мод [32—34], которое более полно обсуждается в лекциях Каданова и Кавасаки2). В этом методе коэффициенты переноса рассчитываются в рамках формализма Кубо, в котором «квазичастицами» являются
измеренныхизмеренныхТочками сказанияТочками сказанияДЛЯ ЖИДКОГО net. представлены данные [31], сплошная линия [по (3.25)] и построена с использованием И £~Р~' 1311-ДЛЯ ЖИДКОГО net. представлены данные [31], сплошная линия [по (3.25)] и построена с использованием И £~Р~' 1311-суммирует теоретические пред- значений Ср. с?суммирует теоретические пред- значений Ср. с?
измеренных
измеренных
Точками сказания
Точками сказания
ДЛЯ ЖИДКОГО net. представлены данные [31], сплошная линия [по (3.25)] и построена с использованием И £~Р~' 1311-
ДЛЯ ЖИДКОГО net. представлены данные [31], сплошная линия [по (3.25)] и построена с использованием И £~Р~' 1311-
суммирует теоретические пред- значений Ср. с?
суммирует теоретические пред- значений Ср. с?
гидродинамические моды системы. На этом пути удалось показать, что главные результаты динамического скейлинга в жидком гелии могут быть получены, если учесть самосогласованное взаимодействие критической моды и тепловой моды
*) Относительно общего выражения для средних от операторов, заданных в {г, ... гп}, согласующегося со статическим скейлингом, см. обзор Каданова в данном сборнике. — Прим., ред,
^) См. статьи 1 и 4 настоящего сборника.
[ЗЗ]1). Например, теплопроводность рассчитывается в предположении, что происходит процесс распада тепловой моды на две волны второго звука. В интегральном представлении этого процесса «матричными элементами» являются статические корреляционные функции, а роль «энергетических знаменателей» выполняют частоты промежуточных мод. Поскольку статические корреляторы полагаются однородными функциями и основной вклад в интегралы дают области с малыми импульсами q « £-1, не представляется слишком неожиданным, что существует самосогласованное решение, в котором и частота критической моды, и частота тепловой моды описываются одной и той же однородной функцией.
Для волн первого звука можно было бы ожидать, что процесс распада на другие моды первого звука приводит к поведению, предсказываемому скейлингом, т. е. к следующему выражению для комплексной частоты первого звука:
со, (6) = kxh ^. (3.26)
Однако, как мы увидим в следующем параграфе, существуют также такие процессы; при которых некая мода первого звука распадается на моды второго звука [33]. Поскольку известно [35], что скорость первого звука Ci остается конечной при Тх, то мы имеем
Н ^ ^2, (3.27) и невозможно найти единую однородную функцию, которая описывала бы и исходную моду первого звука, и промежуточные моды второго звука для этого процесса. (Действительно, поскольку обе моды линейны по к, их скорости должны бы были бы иметь одинаковую зависимость от температуры.) Следовательно, нельзя ожидать, что вклад в комплексную частоту первого звука, обусловленный этим процессом, будет иметь форму скейлинга, даваемую уравнением (3.26). Чтобы проиллюстрировать разницу между первым и вторым звуками, определим характеристические времена релаксации для типичных мод, которые спонтанно возникают в среде, т. е. мод с волновыми векторами порядка q .= £-1
(3.28)(3.29)(3.28)(3.29)Ч = Wcx,
(3.28)
(3.29)
(3.28)
(3.29)
Т = d£[C2,
картина содержится в книге Г. Стенли [66].—картина содержится в книге Г. Стенли [66].—*) Простая качественная Прим. ред.
картина содержится в книге Г. Стенли [66].—
картина содержится в книге Г. Стенли [66].—
ДИНАМИЧЕСКИЕ ЯВЛЕНИЯ В ОКРЕСТНОСТИ КРИТИЧЕСКОЙ ТОЧКИ [в выражении (3.29) мы ввели числовую постоянную d^ порядка единицы, которая' будет использована при количественном анализе в § 4]. В таком случае (3.27) означает, что т >» Ti и что для первого звука здесь осуществляется в основном длинноволновой режим:
й^ = <вткС1,(3.30)
при котором частота го = кс\ не обязательно мала по сравнению с некой важной скоростью релаксации, влияющей на распространение первого звука. Это скорость релаксации т-1 для параметра порядка, которая может быть либо больше, либо меньше со, т. е. мы можем считать, что
от^ 1
в режиме, задаваемом соотношением (3.30). С другой стороны, для второго звука важны лишь процессы, в которых принимают участие моды, описываемые одной и той же однородной функцией, и условия сот <С 1 и ^ <С 1 идентичны.
Как мы покажем в следующем параграфе, взаимодействие волн первого звука с параметром порядка приводит к вкладу в комплексную частоту первого звука mi, который приближенно представляется в виде
®i (&) = <nxf (от).(3.31)
Поскольку т ^> п, оказывается, что процесс, приводящий к (3.31), доминирует в широком диапазоне частот над первым процессом, приводящим к (3.26). Поэтому мы не будем обсуждать процесс распада на волны первого звука, поскольку ограничимся режимом к^, = coti < 1.
РАСПРОСТРАНЕНИЕ ПЕРВОГО ЗВУКА
В ОКРЕСТНОСТИ СВЕРХТЕКУЧЕГО ФАЗОВОГОПЕРЕХОДА
Когда волны первого звука проходят через жидкий гелий, они порождают изменения плотности и давления, которые, однако, для больших длин волн в окрестности Тх по существу не связаны с температурой и скоростью сверхтекучей компоненты, которая определяется фазой параметра порядка. Как упоминалось в § 2, предполагается, что величина параметра порядка То релаксирует в течение микроскопического времени тт к локальному равновесному значению, определяемому температурой и давлением. Таким образом, То также
П. С. ХОЕНБЕРГ колеблется в присутствии звуковой волны. Как мы увидим ниже, время тт расходится при стремлении Т к 7\, и Vo не успевает следовать за изменениями давления, индуцированными звуковыми волнами в среде, что обусловливает потери на гистерезис и дисперсию. Этот классический механизм поглощения звука, обусловленный механизмом внутренней релаксации, который был впервые применен к сверхтекучему гелию Ландау и Халатниковым [36}, возможен лишь ниже Тх, где величина параметра порядка не равна нулю.
Имеется, однако, и другой механизм, обусловливающий поглощение звука, а именно взаимодействие между волнами изменения давления и тепловыми флуктуациями параметра порядка, которые всегда присутствуют в системе в окрестности критической точки Тх. Очевидно, что этот эффект возможен и выше, и ниже точки перехода, а его величина зависит от взаимодействия плотности (или давления) с величиной среднего квадрата параметра порядка.
Ниже Тх эти флуктуации связаны в первую очередь с фазой V, однако выше Тх различие между абсолютным значением и фазой бессмысленно. На существование второго механизма поглощения звука и соответствующей его дисперсии, по-видимому, впервые в 1955 г. обратил внимание В. Л. Гинзбург [37]. Первый детальный расчет этого эффекта провел А. П. Леванюк [38], использовавший временную версию теории Ландау—Гинзбурга. И хотя конкретные зависимости величин от температуры и частоты, найденные Леванюком, не согласовались с опытом при любом выборе области изменения переменных, его основные физические представления вполне аналогичны тем, которые лежат в основе недавних расчетов [33, 39-42].
В этих работах разбираются детали распространения звука с использованием приближения взаимодействующих мод и динамического скейлинга. Поскольку развитые недавно теории математически довольно сложны и используют аппроксимации, физический смысл которых не всегда ясен, по- видимому, целесообразно обсудить их самым простым образом. Для этого воспользуемся феноменологическим приближением, основывающимся на временной версии уравнений Ландау —Гинзбурга [38] в формулировке Халатникова и Покровского [41], позволяющей учесть масштабные свойства параметра порядка. Мы приведем также некоторые результаты микроскопического рассмотрения [33, 37], которые не могут быть получены на базе феноменологической теории,
Дисперсия и поглощение звукавследствие релаксации Vo
Уравнения двухжидкостной гидродинамики, описанные в § 2, не содержат уравнения для Vo, поскольку по предположению они справедливы в области
<отт<^1, (4.1)
в которой временная зависимость Vo полностью определена гидродинамическими уравнениями для плотности и энергии [уравнение (2.29)]. Чтобы дать простое и однозначное толкование условию, выражаемому (4.1), предположим [1], что время релаксации тт остается конечным для Т < 7\, когда волновой вектор возмущения к стремится к нулю
lim Tm(k) = rm < оо, Т <ТХ. (4.2) й ™О
С другой стороны, фаза V является сохраняющейся величиной ниже Тх и ее зависимость от времени дается частотой второго звука со = с2к — (i/2) D2k2, стремящейся к нулю при р-^0. Разница в поведении абсолютной величины и фазь^ выявляется в выражениях, приведенных в § 2 для корреляционных функций [соотношения (2.43в) и (2.43г)].
Когда Т приближается к Тх, феноменологическое различие между абсолютным значением и фазой должно исчезать и, согласно скейлингу, оно должно исчезнуть при &g ~ 1. В частности, динамический скейлинг [25] требует, чтобы скорость релаксации т" и с2к, т. е. абсолютное значение V и ее фаза соответственно были согласованны при ^g ~ 1. Поскольку тт по предположению не зависит от к, мы заключаем, что Тт1 ~ с^"*-^ терминах времени релаксации т, определяемом (3.29), можно записать
(4.3) что означает расходимость тт как функции температуры при у тх. Для расширения области справедливости гидродинамики вблизи Тх за рамки сравнительно узкой области (4.1) целесообразно ввести в гидродинамику дополнительное уравнение движения [41, 42] для Vo. Конечно, поскольку производные по времени от Vo не пропорциональны какому-либо градиенту, такая расширенная теория не становится асимптотически точной на длинных волнах в противоположность обычной гидродинамической теории. К тому же расширенная
теория должна сводиться к двухжидкостной гидродинамике для ат С 1, но давать дополнительную информацию о температурной зависимости гидродинамических параметров в этой области.
Для построения такой приближенной теории мы заменим То измеримой величиной ps, что эквивалентно выбору критического показателя т) равным нулю [26]. В соответствии с появлением новой степени свободы, обусловленной наличием ps, введем новую «свободную энергию» w, согласно соотношению [41, 42]
dw = Ida + -i- dP—y^Ps, (4.4)
где p.s по определению является «полем», сопряженным «плотности» ps/p, и мы использовали переменные Р и а, а не Е и р, как в § 2. Принято, что величины $ и ц5 выражены в единицах энергии на единицу массы, а о — энтропия на единицу массы. Зависимость от времени ps можно получить с помощью следующих аргументов, опирающихся на статический скейлинг:
PsPs ~ W ~ &9—а ~ 83v ~ £“3.
Поскольку ps ~ £-1 [см. (3.3)], то имеем ps ~ |-2, а из соображений размерности можно написать
Hj=^1 m2^2 • (4.5)
где в этой и последующих формулах dt — постоянные порядка единицы (подобные постоянные для упрощения записи иногда опускаются). В длинноволновом пределе уравнение движения для ps можно записать в виде
^У^=-т;’(р5-ps), ^->о, (4.6)
где р = р° [р (г, /); а (г, /)] — локально-равновесное значение ps, зависящее от локального давления и энтропии (или локальной плотности и плотности энергии).
Для ненулевых значений vs уравнение движения для ps должно быть модифицировано и можно вывести согласованную систему гидродинамических уравнений [41, 42], которые включают дополнительный коэффициент переноса, обусловленный наличием ps. Из этих уравнений получаются решения и для первого, и для второго звуков, а свойства второго звука полностью согласуются с предсказаниями динамического скей-
линга из § 3. Было обнаружено, что для первого звука аномальное поглощение и дисперсия обусловлены внутренней релаксацией ps, точно так же, как вращательные степени свободы молекул влияют на распространение обычного звука в жидкости.
Используя общую теорию для подобных механизмов внутренней релаксации, можно записать *)
. . - = 1L ( !! А i^m с4
с2 (со) с2 (0) ' V с2 (0)с2 (оо) у 1 — гштт ’' * '
где с (о) —зависящая от частоты комплексная скорость звука, тт — время релаксации внутренних степеней свободы, а
^ЧоГ = ("5Р"Х = ("дР"Х. р/ (4'8)
с2 (оо) ^("^"Х ps(4-9)
являются соответственно низкочастотными и высокочастотными скоростями звука. Физический смысл выражений (4.7) — (4.9) вполне ясен: при низких частотах величина ps определяется условиями равновесия ps = const (т. е. ps = ps), а при высоких частотах ps принимает свое мгновенное значение. Для времени релаксации тт, введенного в (4.6), мы используем выражение т = d3£/c2 [см. (4.3)], которое, как можно ожидать, справедливо до тех пор, пока удовлетворяется условие
^l.(4.10)
Отсюда мы приходим к известным формулам для поглощения и дисперсии
а (°) — 1m ( с ) -" С2 (0) [ 1 + <о2т2 J ’(4.11а)
^(“)-с(0)[1+^(т^Я(4.116)
где
Дс = с(оо) —с(0).(4.12)
Используя термодинамические тождества, введенные выше выражения для с(0) и с(оо) можно преобразовать к виду ^-(^)[(^v (М П£(£) Г, (4ЛЗ)
J) В этом разделе мы опускаем индекс 1 у скорости первого звука и определяем эту скорость как комплексную величину при конечной частоте.
Где всё величины измеряются в окрестности 7\ с точноётыб до неизвестной постоянной (dv и dQ — постоянные порядка единицы, a g дается соотношением (3.3), см. выражение (А.16) в приложении А). В разд. 4.3 мы сравним значение Ас, полученное при использовании (4.13), с недавними экспериментальными данными Уильямса и Рудника [44].
Поглощение звука и дисперсия, обусловленныефлуктуациями Т
Этот второй механизм, обусловливающий поглощение и Дисперсию, нельзя детально разобрать в рамках чисто микроскопической теории, поскольку он зависит от динамики воз-
q+k.to^q+k^
ad
Фиг. 6. Схема взаимодействия волн первого звука с параметром порядка.
а —распад в флуктуацию с волновым вектором q + k и частотой o'!1 (k + q), причем Включено суммирование по q; б —взаимодействие с абсолютным значением параметра порядка, которое вызывается звуковой волной с волновым вектором 6 <g g“1 и релаксирует за время т.
никающйх в системе флуктуаций. Схематически этот механизм представлен на фиг. 6, а. Видно, что звуковая волна с волновым вектором к взаимодействует с двумя флуктуациями с волновыми векторами q и q + к. Вершина на диаграмме является мерой статической связи параметра порядка и флуктуаций плотности. Можно ожидать, что ее величина того же порядка, что и оцененная в предыдущем параграфе. При низких частотах расчет этой связи проделал Свифт1), использовавший приближение взаимодействующих мод. Комплексная частота звука может быть представлена в виде «собственной энергии»
Е(к’ = £ ^^^ТоТ^’(4-14)
q
где (B^q)— характеристическая частота для флуктуаций параметра порядка, которая представляет собой частоту вто-
*) J, SwiH, частное сообщение.
рого звука для Т < Тх. На длинных волнах оценка Свифта для «матричного элемента» будет иметь вид
lim М (k, q) = сг (0) к ^kBlS!1[In <vs (q) vs (- q))L, T < Tx.
(4.15)
Свифт заменил частоту w*(q) характерной величиной to^q = g-’) w т-1. Эта замена справедлива для ют <С 1. Вынося матричный элемент из-под знака суммы, заменяем его выражением
М = ” № ^вП’^)(т 11'<4-16)
где мы использовали тот факт, что на длинных волнах (у^)= ==квТ(р$1 а это есть прямое следствие (2.43в). В таком случае сумма по q в (4.14) может быть заменена типичным элементом объема £~3 (для q "> g-1 корреляционная функция в интеграле обрезается), так что (4.14) преобразуется к виду
= W ~“’«(°)ЛПД(£ Шт)!' (4.17)-
Данное выражение с точностью до постоянного множителя идентично длинноволновому пределу соотношения (4.14), полученному для процесса релаксации с величиной Ас, даваемой формулами (4.13) или (А. 15) приложения.
Имеются, однако, существенные различия между обсуждавшимся ранее процессом релаксации и рассчитанным здесь флуктуационным процессом. Одно из различий заключается в том, что последний процесс имеет место и выше 7\, где матричный элемент (4.15) заменяется выражением
lim М (k, q) ~ с1 к ^квТ^Dn (Т+ (q) Т (q))L Т > ТК, (4.18)
й->0и
а время релаксации т опять описывается формулой т-1 « sy a^q = g-1). Из статического скейлинга следует, что матричные элементы в (4.18) и (4.15) имеют один порядок величины для одного и того же значения \Т—7\|, а из динамического скейлинга видно, что согласуются также и времена релаксаций. Следовательно, флуктуационный механизм приводит, грубо говоря, к симметричным вкладам в поглощение выше и ниже Тх. Вторым существенным различием между релаксационным и флуктуационным механизмами является частотная зависимость этого эффекта, которую впервые заметил
Кавасаки [39]. Поскольку правильный расчет такой частотной зависимости требует более строгого математического аппарата, чем тот, который используется в данном обзоре, и поскольку Кавасаки обсуждает его в своей лекции г), я поясню лишь качественную сторону дела. Она заключается в том, что в процессе, связанном с флуктуациями, основную роль играют значения волнового вектора q, характеризующие спонтанные флуктуации ф (т. е. ^^|-1), и частоты порядка ю(^) (см. фиг. 6, а). До тех пор пока акустическая частота о намного меньше, чем средняя частота релаксации г-1 = со*(^ = g-1) » as с2/В, система ведет себя так, как если бы имелась одна частота релаксации т-1. С другой стороны, для <о > т-1 некоторые из волновых векторов q соответствуют частотам о'*^), меньшим, чем о, другие же отвечают частотам, большим, чем о. Компоненты импульса в разложении Т, отвечающие скорости релаксации, меньшей, чем ю, дают вклад в поглощение. Если записать
a (to) =a (to) =Де7То)Де7То)[2л® ^эфф IJ+^фф J[2л® ^эфф IJ+^фф J(4.19)(4.19)
a (to) =
a (to) =
Де
7То)
Де
7То)
[2л
® ^эфф I
J+^фф J
[2л
® ^эфф I
J+^фф J
(4.19)
(4.19)
то эффективное время обрезания тЭфф зависит от <о. Кавасаки [39] получил простую линейную зависимость
которая даеткоторая дает(4.20)(4.21)(4.20)(4.21)ТЭфф~СО для от»1,“^^"^ТоГ® для ^^^ L
которая дает
которая дает
(4.20)
(4.21)
(4.20)
(4.21)
В противоположность этому релаксационный механизм (см. разд. 4.1) связан с вынужденными изменениями параметра порядка для акустических значений волновых векторов к, которые остаются много меньше g-1 [см. (4.10) и фиг. 6,6], так что скорость релаксации тг1 не зависит от акустической частоты со. Из соотношения (4.11а) имеем
a(to) = -^y-r-1, от» 1.(4.22)
Поглощение, обусловленное этим процессом, исчезает при Тх, в то время как (4.21) остается конечным. Детальный расчет
для флуктуационного механизма по Кавасаки [39] приводит к следующему результату:
a(«,)=-^5y«i"H"v, ™г>1.(4.23)
При этом сделаны конкретные предположения, использующие гипотезы статического и динамического скейлинга.
типа (3.31)типа (3.31)a (<о) = a/f (<от),a (<о) = a/f (<от),(4.24)(4.24)В заключение отметим, что если отвлечься от возможных логарифмических поправок, то поглощение, обусловленное обоими механизмами, предсказывает общий вид зависимости
типа (3.31)
типа (3.31)
a (<о) = a/f (<от),
a (<о) = a/f (<от),
(4.24)
(4.24)
который не согласуется с общепринятой формулой скейлинга (3.26). Конкретный вид функции / различен для релаксационного и флуктуационного механизмов, однако показатель х, по-видимому, близок к единице в обоих случаях. Вероятно, необходим детальный экспериментальный и теоретический анализ, чтобы в (4.23) корректно учесть логарифмические члены с помощью условия сшивания, как это сделано в уравнении (3.25) для теплопроводности.
Экспериментальное исследование поглощенияультразвука
Обобщим основные результаты теории, изложенной в предыдущем разделе, касающиеся вклада параметра порядка в поглощение ультразвука в гелии в окрестности Тх. Имеются две компоненты, обусловливающие поглощение:
Релаксационная компонента, эффективная при Т < Тх и описываемая уравнением (4.11а).
Флуктуационная компонента, симметричная в грубом приближении относительно точки перехода и оцениваемая по (4.21) — (4.23). Константа пропорциональности Ас в обоих случаях одна и та же с точностью до неопределенной постоянной порядка единицы. Таким образом, для мт ^ 1 полное поглощение может быть представлено как
^—^^ (4-25)
выше и ниже Тх, поскольку оба механизма дают вклад такого вида. Для ит» 1 первый механизм не дает вклада, и мы имеем флуктуационный механизм (4.21),
Ранние эксперименты Чейза [45] и Барматца и Рудника [35] грубо согласовывались с этой теорией для Т ^ Тх по температурной и по частотной зависимостям, но не согласовывались с ней выше Тх [46]. Область частот, которую исследовали эти авторы в своих опытах, была недостаточно широка, чтобы проверить непосредственно частотную зависимость а.
Фит. "7. Поглощение первого звука по данным работы [44] как функция температуры при различных частотах (/ = 600 кГц, 1 МГц, 1,75 МГц и 3,17 МГц в порядке возрастания).
Ниже Г^ вклад дают как релаксационный, так и флуктуационный механизмы, в то время как выше Г^ существен лишь последний.
Скейлинг в обоих экспериментах, по-видимому, не соответ* ствовал теории. Совсем недавно были выполнены четкие и весьма обширные измерения Уильямса и Рудника [44], которые обнаружили качественное согласие с очерченной выше теорией (фиг. 7). Фактически вклады в поглощение, обусловленные двумя различными механизмами, были предложены на эмпирических основаниях Уильямсом и Рудником [44] и несколько раньше Имаем и Рудником [47] совершенно независимо от теоретических исследований, изложенных в [37—42]. Поскольку измерения Чейза и Барматца и Рудника выше 7\ были несколько неполными, то можно вполне обоснованно отнести упомянутое выше отличие этих данных от результатов ■недавней работы [43] на счет неточностей эксперимента.
Поглощение можно проанализировать количественно [44], вычитая из полного вклада ниже Тх вклад, эквивалентный некоторому увеличению поглощения выше Тх и отвечающий флуктуациям. Оставшаяся часть является вкладом релаксации и может быть сопоставлена с выражением (4.11а), чтобы
Фиг. 8. Вклад релаксационного механизма в поглощение, представляющий собой разность значений поглощения ниже 7^ и выше 7\ для того же самого значения | 7 — T^l.
Сплошные линии построены по (4.11а) [44].
получить Ас и т. Конечно, правильная величина увеличения поглощения выше Тх, которая и должна вычитаться, априори неизвестна без более детального теоретического обсуждения. В [44] это увеличение было принято равным единице, и мы будем поступать таким же образом, ожидая, что анализ не должен быть слишком чувствительным к точному выбору этого числа. Сравнение полученного таким образом вклада
релаксации с выражением (4.11а) показано на фиг. 8 для различных значений частоты. Данные приводят к значениям А с в области 18,5—24,5 см/с и к времени релаксации г, удовлетворяющему (4.3) как по величине, так и по температурной зависимости с коэффициентом
^о=1,ЗбА. (4.26)
Степень согласия, демонстрируемая фиг. 8, и разумное значение, полученное для £0 (^з порядка единицы), предоставляют нам. определенное свидетельство в пользу корректности нашего теоретического анализа в терминах релаксационного процесса. В частности, обнадеживающим является и то, что данные согласуются с поглощением, пропорциональным о2 при низких частотах. Более того, поскольку коэффициент при ю2 некоторым образом связан с временем релаксации rm ж т для величины параметра порядка, мы видим, что имеющиеся к настоящему моменту измерения подтверждают основное положение двухжидкостной гидродинамики, согласно которому величина тт остается конечной при низких частотах и на длинных волнах для 7 < 7\ [см. § 2 и выражение (4.2)]. Естественно, более детальный анализ и более строгие измерения позволили бы тщательно проанализировать эти выводы.
Другой проверкой теории, развитой в работе [41, 42], служит сравнение значения Ас, полученного из эксперимента, с теоретическим предсказанием. Как можно усмотреть из выражения (4.13), величина Ас оказывается пропорциональной. Ср2, так что правильный анализ должен был бы учитывать эту слабую температурную зависимость. Тем не менее некие оценки можно сделать, выбрав типичную температуру, скажем, s=10~4, и сравнив теоретические и экспериментальные значения Ас. Анализ приложения привел к выражению (4.13) для Ас, в котором все величины могут быть определены экспериментально с точностью до численного множителя порядка единицы, являющегося некоторой комбинацией «постоянных скейлинга» dv Используя наилучшие оценки, имеющиеся в нашем распоряжении для термодинамических величин в (4.13) ), и применив (3.9) и (4.26), чтобы устраниться и <Z3, находим
Ас = (с/^о)2 286 см/с, (4.27) где величина g0 выражена в ангстремах. Мы можем теперь получить дополнительное соотношение между g0 и dx, приме-
няя (4.27) к наблюдаемым Ас (мы усредняем по четырем частотам: Ас ~ 22 см/с). Это сравнение дает
go = 3,6 ^r'U, (4.28) что вновь приводит к вполне разумному значению go, если выбрать d\ порядка единицы. Этот результат совместно с (4.26) означает, что теория предсказывает поглощение, интенсивность и частотная зависимость которого получаются по порядку величины вполне разумными.
Имеется многообещающий подход, в котором можно существенно уменьшить неопределенность, обусловленную выбором констант скейлинга d^ Он связан с проведением экспериментов при различных давлениях вдоль лямбда-линии. При этом, согласно концепции универсальности), фазовые переходы остаются в основных чертах неизменными при движении вдоль лямбда-линии, и константы скейлинга сЦ вряд ли изменятся больше чем на несколько процентов. Имеется ограниченное число экспериментальных данных, из которых вытекает та же ситуация и для термодинамических функций; необходимы дальнейшие измерения, позволяющие проверить справедливость этой гипотезы для гидродинамических параметров. Так, константа скейлинга di, которая связана с поведением ps [см. (3.6)], в первом приближении не зависит от давления [48], если пользоваться приведенной температурой
е = | Т — ГХ(Р) |/Тх(Р) (4.29)
и безразмерной плотностью р8/р. В таком случае мы постулируем, что нормированное значение go также не должно меняться, т. е. величина g0 (p/m) '/з должна быть в первом приближении независящей от давления. Тогда мы подберем остающиеся неизвестные постоянные в (4.13) так, чтобы согласовать эту формулу с экспериментальными данными для Ас при давлении пара и получить изменение Ас вдоль лямбда-линии из измеренных термодинамических производных в предположении, что величина В,о(р(тУ!з постоянная. Остающаяся неопределенность связана лишь с изменением параметров скейлинга с давлением и вряд ли превысит 10—20%. Используя наилучшую из имеющихся в настоящее время информацию) об изменении термодинамических параметров, фигурирующих в (4.12), вдоль лямбда-линии, мы предсказываем довольно
значительную вариацию Ас, изображенную на фиг. 9. Тщательное измерение поглощения ультразвука при высоких давлениях позволило бы осуществить детальную проверку теории Халатникова — Покровского [41, 42], поскольку многие неопределенности анализа уничтожились бы при сравнении различных точек на лямбда-линии.
по-видимому, грубо говоря,по-видимому, грубо говоря,Согласно экспериментальным результатам, представленным на фиг. 7, поглощение на высоких частотах, или, что эквивалентно, вблизи ^(ют»!),
по-видимому, грубо говоря,
по-видимому, грубо говоря,
Фиг. 9. Зависимость Ас отдавления по (4.13).
Скейлинговые постоянные d^ подбираются из значения Дс при Р ж О, согласно фиг. 8.
линейно изменяется с частотой, как это предсказано Кавасаки [см. (4.21)]. Для измерений на более высоких частотах [47, 49] (to « 109 Гц) это поведение качественно подтверждается, однако поглощение в окрестности 7\ не строго линейно по частоте, если обратиться к низкочастотным данным и сравнить их с высокочастотными. В этой области, конечно, величина &§ перестает уменьшаться и начинает давать вклад в процесс, в котором существенны в промежуточном состоянии волны первого звука [см. (3.26)].
Из предыдущей дискуссии очевидно блестящее качественное согласие между теорией и экспериментом на всех температурах и частотах. Имеется вполне хорошее количественное согласие на низких частотах, и возможны дальнейшие исследования зависимости от давления. При более высоких частотах, вероятно, есть некоторое отклонение1) от общей зависимости, которое видно из (4.24). Однако, чтобы провести осмысленное сравнение с теорией, оперирующей с флуктуационным механизмом в области, близкой к Д, необходимо разобраться детальнее в их теоретическом поведении, а также расширить прецизионные измерения в область более высоких ча-
*) R. D. Williams, I, Rudnick, частное сообщение!
ДИНАМИЧЕСКИЕ ЯВЛЕНИЯ В ОКРЕСТНОСТИ КРИТИЧЕСКОЙ ТОЧКИ стот. Имея в виду присущую ультразвуковым измерениям высокую точность и доступную им грандиозную область частот и температур, вероятно, целесообразно провести эти исследования.
ИЗОТРОПНЫЙ АНТИФЕРРОМАГНЕТИК
Изотропный гейзенберговский антиферромагнетик обладает свойствами симметрии с критическим поведением, формально аналогичным поведению жидкого гелия [10, 25]. Существенным преимуществом магнитной системы над сверхтекучей является то, что здесь параметр порядка есть физическая измеряемая величина, поскольку распределение спинов в пространстве и времени может быть изучено с помощью дифракции нейтронов. С другой стороны, фазовый переход в реальных магнитных материалах часто усложнен паразитными эффектами, такими, как неоднородность образца, примеси и различные особенности конкретного гамильтониана данного исследуемого материала, не учитываемыми в простом варианте модели Гейзенберга. Кроме того, нейтронные эксперименты не столь точны, как тепловые измерения в гелии, и нейтроны представляют собой удобный зонд не во всей длинноволновой области при низких частотах, которая является основным источником сведений о критических явлениях. Несмотря на эти недостатки, нейтронные эксперименты позволили наиболее полным образом подтвердить корректность гипотезы динамического скейлинга, хотя и со сравнительно меньшей точностью, чем эксперименты в жидком гелии.
Термодинамика и гидродинамика
Изотропный антиферромагнетик имеет гамильтониан, подобный гамильтониану плоского ферромагнетика [см. (2.1)], но при этом if] =Jh = Jц < 0,
3^о = —2 ^i/SiSy.(5.1)
Предполагается, что система составлена из двух подрешеток Л и 5, и при определенном выборе Тц она обладает ненулевой подрешеточной намагниченностью N, определяемой средним значением полного спина подрешетки
NHQW(5.2)
Где J'f— число узлов решетки, а
Qi=r)iSz(5.3)
с r]i = +l, если рассматривается подрешетка Л, и гр =—1 для подрешетки В. Как следствие инвариантности гамильтониана (5Л) относительно поворотов полная намагниченность М является интегралом движения
М = <5Ж-(5.4)
При наличии постоянного поля, направленного, например, вдоль оси 2, 2-компонента намагниченности Мх остается интегралом движения (коммутирует с полным гамильтонианом). Температура перехода, вообще говоря, зависит от Mz, что приводит на фазовой диаграмме к аналогу лямбда-линии (см. фиг. 1,а). Для простоты, однако, мы будем в основном считать, что Нг = 0. Статические и динамические свойства антиферромагнетика вполне аналогичны [1] соответствующим свойствам плоского ферромагнетика, обсужденным в разд. 2.1. Это соответствие показано в табл. 2, где мы предположим, что
ТАБЛИЦА 2
Плоский ферромагнетик
Антиферромагнетик
3? + /зу
МО = МХ = Л,<5Х')
<р = Мы/М0
Мг = ^ (Зг)
Нг
х = ум^ан2)
Qi = 4181
NO = NX = ^ (Qx)
NyN2
My = ^(5^, М2 = Л’(52')
Нг, Hy
_(дМ2\ (дМу \
X \dHz ) \ dHy /
в обоих случаях параметр порядка ориентирован в х-направ- лении. Для антиферромагнетика имеем
(5.5)(5.5)N = Л^,
(5.5)
(5.5)
и для малых отклонений равновесия можно определить фазовые переменные
(5.6)(5.7)(5.6)(5.7)Фг (Г) = «у (Г Wo,Фу (г) = п2 (г)/АГ0,
(5.6)
(5.7)
(5.6)
(5.7)
где п(г)—плотность, связанная с N. Скорость определяется следующим образом:
va = Vфa,va = Vфa,а = у, z,а = у, z,(5.8)(5.8)
va = Vфa,
va = Vфa,
а = у, z,
а = у, z,
(5.8)
(5.8)
а полная плотность намагниченности m(r) есть плотность, связанная с М. Можно выписать уравнения гидродинамики, аналогичные уравнениям (2.11) для сохраняющихся плотностей е, та и va (a = у, zY Решения этих уравнений суть спиновые волны, закон дисперсии для которых имеет вид
(5.9)(5.9)(5.10)(5.10)cd = ск — -^ Dk2,
(5.9)
(5.9)
(5.10)
(5.10)
и тепловая диффузионная мода есть со = iDTk2.
Спиновые волны описывают колебания va и ma и тепловую диффузионную моду колебаний с плотностью энергии е. В (3.9) и (5.10) постоянные даются выражениями
c2 = ps/x,(5.11)
DT=xC~\(5.12)
где для Нх = 0 мы не проводили различия между полными восприимчивостями %s = (dMzfdHYs и %г = {дМ21дНг)т и теплоемкостями Сн и См- Постоянная D в (5.9) может быть выражена через коэффициенты переноса [7].
Информация, содержащаяся в гидродинамических уравнениях, естественным образом отражена в корреляционных функциях, которые мы приведем в виде [1]
Г 2D k2 1
Cgg(k, <^ = СквТ2уаТТ^^(5.13а)
Сш^д ^’ “^ = ^т2тг ^’ “) ~ (^Я^) [to^C^^P+TcD^P’] ’
СпуПу^.) ®) — Cn2n2(k> го)СпуПу^.) ®) — Cn2n2(k> го)2cW(to2 - c2fe2)2 + k.sDh?Y2cW(to2 - c2fe2)2 + k.sDh?Y(5.136)(5.13b)(5.136)(5.13b)
СпуПу^.) ®) — Cn2n2(k> го)
СпуПу^.) ®) — Cn2n2(k> го)
2cW
(to2 - c2fe2)2 + k.sDh?Y
2cW
(to2 - c2fe2)2 + k.sDh?Y
(5.136)
(5.13b)
(5.136)
(5.13b)
Такой вид корреляционных функций представляет собой аппроксимацию, справедливую лишь в окрестности полюсов; более общие выражения приведены в [1]. По аналогии с (2.21г)
параллельные (или связанные с абсолютной величиной) флуктуации параметра порядка даются формулой
Спхпх (к, (0) = (-^)2 С№ (к, ®) + С^ (к, ©),(5.13г)
где Сн(к, го) обладает широким спектром частот (ю«т”1). Для случая нулевого поля в (5.13г) отсутствует вклад члена, пропорционального корреляционной функции полной намагниченности та.
Замечания, сделанные в § 2 относительно двусмысленности, которая имеет место при микроскопических определениях величины и фазы параметра порядка, полностью приложимы и в этом случае. Полная, или симметричная, корреляционная функция, аналогичная той, которая дается уравнениями (2.26) и (2.45), запишется в виде
Сполн (k, to) = ^пл (^’ ®) + ^пипи (^’ ®) + ^nznz (^’ ®^‘(5. ^)
В соответствии с полученными выше гидродинамическими выражениями, на длинных волнах для Т <_TN доминирует перпендикулярная (или фазовая) компонента, так что статическую корреляционную функцию можно записать
Споли (к) = 2СПуПу (к) = ^^ + ... к -» 0.(5.15)
В парамагнитном состоянии (Г > TN) намагниченность подрешетки не связана с каким-либо интегралом движения, так что соответствующая корреляционная функция не определяется гидродинамикой. Постулируем
С" (к, о>) = ЗСПхПх (к, ю) = №n ^ F (к, ю),(5.16)
ор
(5Л7)
где Гк стремится к конечному пределу Г^т”1 при к-»-0. Статическая восприимчивость %^(к) также остается конечной при &->0 для Т > TN. Для конечных к запишем
^^ = Р^-й-*0’(5J8)
где параметр % является обратной корреляционной длиной
х^Г1-(5.19)
При обсуждении магнитных систем мы будем выражать все результаты не через £, а через х, чтобы отразить традиционность работ по нейтронному рассеянию1). Обратная корреляционная длина х обращается в нуль для T-*Tn, что приводит к сильной расходимости восприимчивости подрешетки.
Предсказания динамического скейлинга
В соответствии с общим определением, данным в (3.2), корреляционная длина ниже TN может быть получена из (5.15) в виде
<5-20>
где р5 определяется из скорости спиновых волн (5.11). Поскольку полная восприимчивость %м конечна при Т = TN в нулевом магнитном поле, показатель V может быть получен из измерения скорости спиновых волн с помощью выражений (5.20) и (5.11). В принципе, конечно, корреляционная длина и экспонента V могут быть также найдены из прямых измерений восприимчивости подрешетки при малых к по (5.10), однако на практике проводить эти измерения очень трудно из-за брэгговского максимума при к = 0 (см. разд. 5.3). Выше Tn такие прямые измерения %^(к) возможны, и корреляционная длина может быть найдена из (5.18).
Характеристической модой для параметра порядка ниже Tn является спин-волновая мода [см. (5.1 Зв)] с частотой
о" (R) = ck^K^k (область /).(5.21)
Функция формы линии будет иметь вид
<6-22)
Чк = Ок21ск.(5.23)
Выше Tn характеристической модой является релаксационный процесс (5.17) с частотой
(о"(&) = Гк (область НГ),(5.24)
‘) Символ х используется как для обозначения обратного корреляционного радиуса, так и для теплопроводности. Поскольку он встречается в различных контекстах, это не должно привести к недоразумению.
которая остается конечной при к = 0 и не может быть получена из гидродинамики.
Таким образом, динамическое поведение изотропного антиферромагнетика формально аналогично поведению жидкого гелия (см. разд. 3.4), и мы можем предсказать
(область /),(5.25)
о^ (й)^й’/г (область //),(5.26)
ю"(0)= Г0~х3/« (область ZZ/).(5.27)
Дополнительнок этим асимптотическим соотношениям,
справедливым в пределе малых к или х, в магнитных системах могут быть также проверены и более общие формы скейлинга, относящиеся к конечным к или х. В частности, как было установлено в разд. 3.3, вид функции /^ не меняется при изменении к и х, если только фиксировать отношение ^/х. Однако динамический скейлинг не дает предсказаний о виде функции формы линии для любого конкретного значения ^/х. Из гидродинамики известно, что /^ характеризуется острыми спиновыми пиками при х = ±1 (со = <вя) в области /. В области /// можно ожидать, что fN имеет единственный пик при х = 0 [см. (5.18)]. В области И, однако, (&/х->оо, Т Tc)fN не определяется из теории и могла бы содержать либо один центральный пик, либо два боковых, либо же некую комбинацию этих двух форм. В добавление к скейлингу для fN может быть также проверена гипотеза о полной однородности ®N(k). Для этой цели необходимо установить, является ли со^ (к)/&3/* также функцией лишь от к(х.
Экспериментальное исследование изотропногоантиферром агн етика
Корреляционная функция спинов для кристалла может быть исследована экспериментально при помощи методики неупругого рассеяния нейтронов [50]. Автокорреляционная функция для полной намагниченности на длинных волнах пропорциональна сечению рассеяния для малых передач импульса или для передач импульса, близких к вектору обратной решетки. Намагниченность подрешетки может быть определена из сечения рассеяния при передачах импульса, близких к обратному вектору магнитной решетки; для неполяризованных
нейтронов это сечение имеет вид
d2a /1 X kt
Эй дю V “ ^ + ^ + у $°)~ Т[ F ^ ^ ^З ~ 4a4^S (к, со), “3(5.28)
где
Сп (к,Ю)-Н2л)-4(ЛГа>{ЛГр)д(к)д^
■$“><•>) =*ЫДЖ’ (5‘29)
a fiq = й(к/ — kj) — передача импульса, йм — передача энергии, F (q)—ионный формфактор, G—вектор обратной решетки, G + V2G0— вектор обратной магнитной решетки. Как видно из (5.28), нейтронное поперечное сечение «чувствует» спиновую корреляцию в плоскости, перпендикулярной вектору рассеяния q. В кубическом кристалле с большим числом магнитных доменов направление антиферромагнитного упорядочения («х-направление») должно быть ориентировано беспорядочно по отношению к направлению вектора q, так что измеряемое сечение определяется корреляционными функциями для пх, Пу и пг. В следующем параграфе мы обсудим анизотропный антиферромагнетик МпРг, в котором возможно выбрать вектор q определенным образом ориентированным по отношению к направлению упорядочения параметра порядка. В этом случае можно разделить параллельные и перпендикулярные корреляции. Для кубической решетки и изотропного гамильтониана, приложимого к RbMnF3 [51, 52], мы измеряем полную, или симметричную, корреляционную функцию
- (2л)"4(k) S (0) + С» „ (к, 0) + 2С„ „ (к, 0). (5.30)
С/йй С/СОАЛУ У
Ниже перехода перпендикулярная компонента Cnyny = Cnznz доминирует над параллельной компонентой СПхп на длинных волнах, в то время как выше Тк мы имеем СПхпх = СПцпи =
Статические корреляционные функции получаются при интегрировании неупругого сечения по частоте с использованием (2.16). На практике проще провести «квазиупругий» эксперимент, в котором сечение измеряется как функция угла и не проводится частотный анализ. Измерение do/dQ позволяет получить лишь статическую корреляционную функцию С (к), если «неупругость» рассеяния достаточно мала, так что все нейтроны, попадающие в один и тот же телесный угол, характеризуются одинаковой передачей импульса Sq. Справедливость
этого так называемого квазиупругого приближения [50] должна быть четко выяснена с тем, чтобы получать реальные результаты. Это приближение оказывается в общем весьма хорошей аппроксимацией вблизи критической точки.
В заключение отметим, что в связи с конечным разрешением нейтронного спектрометра детектор измеряет некое распределение импульса и энергии относительно наиболее вероятного значения. На самом деле в экспериментах по рассеянию реально измеряется не сечение рассеяния (5.28), а свертка сечения рассеяния с некой функцией разрешения R
Цк,®) = S ^-^Г1^- к'’ ® “ «‘Wd®', (5.31) которая должна быть четко определена для точной интерпретации измерений. Обычная процедура, выполняемая при корректировке разрешения, заключается в том, что предполагается аналитический вид поперечного сечения, подставленный в (5.31); полученная функция /(к, со) сравнивается с наблюдаемой экспериментально интенсивностью рассеяния. Поскольку сечение быстро меняется в окрестности k' ж 0, а/ « 0 и Т « « TN, поправки на разрешение оказываются вполне ощутимыми (вплоть до факторов порядка пяти) для экспериментов по критическому рассеянию. Таким образом, проверка любой динамической теории критических явлений с помощью нейтронного рассеяния включает в себя самосогласованную процедуру, точность и однозначность которой имеют в свою очередь определенные ограничения. Можно заметить, что этот аспект анализа привлекает большое внимание экспериментаторов [51, 52], и внутри некоторой промеренной ограниченной области значений й, © и и была достигнута высокая степень надежности. Тем не менее следует иметь в виду, что уровень неопределенности в критических экспонентах, получаемых с помощью нейтронного рассеяния, существенно выше уровня, обсуждаемого выше для жидкого гелия.
Обсудим экспериментальные результаты Лея и др. [51,52] для RbMnF3, которые были получены для парамагнитной фазы T^TN. Предсказания скейлинга в области II (T^TN) были проверены с помощью корреляционной функции, выбранной как лоренциан с тремя максимумами
гы (к со) — А Г-1-45^2i_ SF2 1
(5.32)
где А и В — постоянные, а частоты Гь Г2 и (os пропорциональны kz. В терминах приведенных переменных из разд. 3.3 этот выбор сводится к формулам
С«№ = №4^ = -^, (5.33)
(5.34)(5.34)(5.35)(5.35)о)ЧкМ2,
(5.34)
(5.34)
(5.35)
(5.35)
w м = — Г(1 — ^У1 I□6У2
л [ V^ + х2 у2 + (* + е)2 у2 + (* ~ е)2
где b, уь Y2 и е — постоянные порядка единицы (чтобы удовлетворить (3.12), должно иметься соотношение между этими константами). Интенсивность рассеяния при T = TN была проанализирована с помощью (5.32) для значений & в области от к = 0,05 А-1 8- 10~3Ат до к = 0,25 А-1 « 4- 1±2&т (km есть расстояние до границы зоны), результаты для / (к, со) показаны на фиг. 10. Показатель г определяется методом наименьших квадратов и оказывается равным 1,4 ±0,2, что согласуется с предсказаниями динамического скейлинга (5.26). Из фиг. 10 видно также, что наблюдаемая форма спектра частот очень хорошо согласуется с теоретическими предсказаниями, основывающимися на (5.32) — (5.35) и представленными сплошной линией. Отметим, что функция формы fN одна и та же для всех рассмотренных импульсов и разность между различными случаями обусловлена лишь разницей в поправках разрешения. Эти поправки становятся настолько существенными при малых значениях к, что полностью маскируют трехпиковый характер функции fN (х) или С^(к, со). Тем не менее частотный скейлинг на фиг. 10 очевиден. Он приводит к тому, что полная ширина наблюдаемого энергетического спектра удовлетворяет теоретическому закону mN «, k3^. Полная интенсивность рассеяния, которая зависит от статической корреляционной функции С”'(к), также корректно описывается теорией с показателем т] ~ 0,07 (отметим, что между интенсивностями пиков нижней и верхней кривых возникает множитель порядка 100 и для всех данных по интенсивности использована единая константа нормировки).
Предсказания скейлинга были проверены также Леем и др. [51, 52] в области ///, а именно для к <С х, Т > TN. Характеристическая частота mN (k = 0) = Го определялась подгонкой поперечного сечения с помощью корреляционной функции, выбранной в виде единственного лоренциана, центрированного относительно нулевой частоты. Значение Го как функция от х
представлено на фиг. 11, где х определяется как функция температуры из независимых квазиупругих видно, что в рамках сравнительно большойпредставлено на фиг. 11, где х определяется как функция температуры из независимых квазиупругих видно, что в рамках сравнительно большойизмерений. Из фиг. 11 неопределенности результат вновь согласуется с предсказанием скейлинга [соотношение (5.27)]. Чтобы детально исследовать другие области плоскости к, х, необходимо постулировать общий аналитический вид поперечного сечения и провести коррекцию разрешения для произвольных значений ^/х. Подобный анализ не проводился Леем и др., однако характеристическая частота была найдена из неразрешенного спектра и аппроксимирована однородной функцией
представлено на фиг. 11, где х определяется как функция температуры из независимых квазиупругих видно, что в рамках сравнительно большой
представлено на фиг. 11, где х определяется как функция температуры из независимых квазиупругих видно, что в рамках сравнительно большой
to& (к) = (а^6 + bkS2 + ск1% +
A-d%y\ (5.36)
Весьма хорошее согласие с этим выражением было получено для ^^0,2А-1 и х^0,128А-1 с показателем г~ 1,4, кото-
Ф и г. 10. Сечение рассеяния нейтронов RbMnF3 при Т = ТN как функция передачи энергии или частоты для различных значений передачи импульса q (в тексте обозначался к). Точками представлены данные [51], кривые построены по формулам разд. 3.3 с параметрами, взятыми из верхнего рисунка.
рый вновь оказался близким к предсказанному значению 2 = = 3/2.
Опыты по рассеянию нейтронов RbMnFs предоставили первое полное подтверждение справедливости гипотезы динамического скейлинга по крайней мере в области Г ^ 7V Количественно эти опыты полностью согласуются с теорией скей-
линга и в то же время не согласуются с предсказанием Ван Хова [25, 53]
^(к = 0)~х2, Т > ТN.(5.37)
Результат скейлинга z = 3/2 для характеристической частоты, который прямо был получен для антиферромагнетиков, а косвенно — для жидкого гелия, заслуживает специального комментария поскольку это один из нескольких примеров, где скейлинг, по-видимому, предсказал показатель, а не соотно-
родинамических утверждений
(о = ^,(5.38)
с~р^ГЧа,(5.39)
ведущих к соотношению
(о = ^Й(^) = ^№).(5.40)
Отметим, что, согласно приведенным аргументам, показатель z должен быть «универсальным», т. е. представлять собой не некоторую комбинацию критических показателей1), а именно
*) Мы используем термин «универсальный» в более прямом смысле, чем это обсуждается в гипотезе универсальности (см. статью 1 настоящего сборника). У нас «универсальность» означает, что показатели являются одними и теми же для всех систем, как и в теориях Ваи-дер- Ваальса и Ландау. Это не имеет места в рамках гипотезы скейлинга, которая, вообще говоря, приводит лишь к сооотношениям между индексами, в то время как конкретные их значения могут меняться от системы к си-
числом 3/2. (Соответствующий результат для ферромагнетика есть 2= 1/г(5 — т]), что отличается от «универсального» значения 5/2 на малую величину.) Однако необходимо отметить, что результат для антиферромагнетика зависит от предположения о конечности полной намагниченности % при Т = Tn [10], которое справедливо лишь в нулевом поле. В жидком гелии соответствующие аргументы приводят к выводу, что
Q
z=y(l —a'/vQ,(5.41)
поскольку величиной, аналогичной %, является теплоемкость Ср, расходящаяся при Т = Тх. В случае логарифмической расходимости асимптотическое значение z есть 3/2, однако имеются существенные поправки к этому предельному значению при конечных ДГ. Эти поправки, по-видимому, хорошо согласуются с экспериментальными данными [31] при использовании условий сшивания [соотношение (3.24)] вместо асимптотики показателя. Однако физические основания для этого согласия далеко не ясны. Как известно, в антиферромагнетике в нулевом поле величина % имеет при Т = TN точку возврата [10], и возможно, что подобная неаналитичность должна также сама отражаться на деталях асимптотического поведения coN при Т = Тс. Строго говоря, точность современных экспериментов в магнитных системах еще далека от того, чтобы дать информацию об этом тонком вопросе, однако отмеченная аналогия между антиферромагнетиком и жидким гелием может иметь важное значение. По-видимому, возможен определенный прогресс теории, позволяющий точнее рассчитать показатель z в антиферромагнетике либо численными методами, либо, возможно, усовершенствованием теории взаимодействующих мод.
Соотношение, определяющее показатель z, аналогично другому соотношению скейлинга, ведущему к «почти универсальному» показателю1), а именно к размерностному соотношению скейлинга
,2 — а'
v =—з—,(5.42)
стеме. Однако для логарифмически расходящейся теплоемкости (a = а' = -= 0) предсказания скейлинга ведут к определенной «универсальности» показателен именно в прямом смысле. Несомненно одно: результаты скейлинга для корреляций строго справедливы лишь для таких случаев (т. е. в двумерной модели Изинга и сверхтекучести в гелии).
’) См. сноску на стр. 201,
5. ДИНАМИЧЕСКИЕ ЯВЛЕНИЯ В ОКРЕСТНОСТИ КРИТИЧЕСКОЙ ТОЧКИ впервые обсуждавшемуся Джозефсоном применительно к случаю жидкого гелия [26]1). Согласно выражению (3.3), V является показателем ps и для а' ^ О имеем V ^ 2/з- Поскольку теплоемкость расходится логарифмически, можно ожидать, что истинная экспонента для ps отличается от 2/з на логарифмические поправки, которые должны быть порядка 0,05 в температурном интервале 10-6<е-< 10~3. Однако экспериментальные данные для р5 [27, 28], по-видимому, опровергают столь большие поправки к величине 2/з, что в свою очередь означает несправедливость условий сшивания типа (3.3) в данном случае. Из приведенной дискуссии должно быть ясно, что проблема «почти универсальных» показателей требует дальнейших исследований, поскольку она может иметь отношение к общей проблеме справедливости скейлинга.
В заключение заметим, что показатель z мог бы быть найден из простой гидродинамики и аргументов, основанных на гипотезе скейлинга, для гелия и антиферромагнетика лишь потому, что в конденсированной фазе существует распространяющаяся критическая мода. Наличие этой моды прямо следует из существования непрерывной группы симметрии, которая нарушается ниже Тс. Если бы здесь не было нарушения непрерывной симметрии, то не было бы квазисохраняющихся величин и не существовало бы распространяющейся моды ниже точки перехода. В таком случае характеристическая частота для параметра порядка не могла бы быть соотнесена с одним термодинамическим параметром. Далее, в гидродинамическое выражение для характеристической частоты выше и ниже точки перехода должны были бы войти коэффициенты переноса, и простые аргументы подобия не привели бы к показателю г. Примером такой ситуации может служить критическая точка газ — жидкость, где критической модой является тепловая диффузия с частотой
to = DTk\(5.43)
здесь Dt = х/рСр. Гипотеза динамического скейлинга все еще справедлива и в этом случае, однако показатель z должен быть найден из более детального теоретического исследования, подобного приближению взаимодействующих мод [32, 34], в котором DT определяется самосогласованным образом из формулы Кубо (см. разд. 3.4).
!) См., однако, обзор Стелла в настоящем сборнике. — Прим. ред.
Другим примером системы, з которой отсутствует нарушение непрерывной группы симметрии и нет распространяющейся критической моды, служит одноосный антиферромагнетик, который мы обсудим в следующем параграфе. В этой системе перпендикулярная и параллельная компоненты корреляционной функции могут быть разделены экспериментально, и они обнаруживают совершенно различное поведение. Критической модой является параллельное колебание, частота которого не выражается через термодинамические параметры. Действительно, поскольку параметр порядка не является интегралом движения (в противоположность плотности для критической точки газ — жидкость), характеристическая частота на длинных волнах даже не выражается в терминах гидродинамических коэффициентов переноса. Тем не менее в окрестности перехода характеристическая частота для параметра порядка становится очень малой и имеет общий вид, даваемый скейлингом [соотношение (3.14)].
АНИЗОТРОПНЫЙ АНТИФЕРРОМАГНЕТИК
Термодинамика и гидродинамика
Одноосный антиферромагнетик характеризуется анизотропным гамильтонианом
^о = -£Д№5;г + /№^(6.1)
который в упорядоченном состоянии приводит к ориентации спинов вдоль оси г антиферромагнитного типа. Следовательно, параметр порядка есть
Ш^^Мо,(6.2)
и переменная ср, описывающая флуктуации в поперечном направлении, не сохраняется. Поскольку здесь за направление упорядочения выбрана ось z (это сделано для того, чтобы привести в соответствие наши обозначения с общепринятыми), мы должны, воспроизводя некоторые результаты изотропного случая, рассмотренного в предыдущем параграфе, изменить обозначения х на г. Это, конечно, логично, поскольку направление ориентации суммарного момента в изотропном случае произвольно. Как было упомянуто выше, из-за отсутствия закона сохранения для ср (или v) мы не можем определить длинноволновый предел корреляционной функции, связанный
с флуктуациями параметра порядка, при помощи точных гидродинамических аргументов для Т < Tn. Однако мы постулируем вид этой функции таким же образом, как это было сделано в изотропной модели в парамагнитной фазе. Для Т <TN имеем
2СкнТЧ)ткгСее (к, ®) = ю2 + ^^у •2СкнТЧ)ткгСее (к, ®) = ю2 + ^^у •(б.Зв)(б.Зв)
2СкнТЧ)ткг
Сее (к, ®) = ю2 + ^^у •
2СкнТЧ)ткг
Сее (к, ®) = ю2 + ^^у •
(б.Зв)
(б.Зв)
В данном случае, конечно, направление антиферромагнитного упорядочения определено самим гамильтонианом, так что здесь не возникает сомнений при микроскопическом определении параллельных и перпендикулярных корреляций, подобных тем, которые возникают в изотропном случае. Выше Tn корреляционные функции имеют ту же форму, что и в (6.3), за исключением члена (dNaldE). Поскольку анизотропия величины конечна1), величины ГД, х± и а± остаются конечными при ^->0. Из соображений непрерывного перехода к изотропному случаю эти величины должны стремиться к нулю как некоторая степень энергии анизотропии, которая пропорциональна (/г — Г1)/Д. Как и в изотропном случае, величины хц и Гц остаются конечными для ^->0 и Т =£ Г№ поскольку Nz не является интегралом движения.
Критическое поведение одноосногоантиферромагнетика
Рассматриваемая система по своему критическому поведению заметно отличается от изотропного антиферромагнетика, рассмотренного в § 5. Единственными истинно сингулярными являются флуктуации, связанные с параллельной корреляционной функцией. Параллельная восприимчивость подрешетки
^-(УГ'^-.!))(6.4)
и корреляционный радиус х*1 характеризуются «сильной расходимостью» при Г-»- TN выше и ниже перехода. Проинтегрировав (6.36) по о), найдем
Спгпг (к — 0)Спгпг (к — 0)_ЛПс к ат ) "т" х2_ЛПс к ат ) "т" х2(6.5)(6.5)
Спгпг (к — 0)
Спгпг (к — 0)
_ЛП
с к ат ) "т" х2
_ЛП
с к ат ) "т" х2
(6.5)
(6.5)
а из термодинамического соотношения
(6.6)(6.6)
(6.6)
(6.6)
можно видеть, что второй член в правой части (6.5) и есть X ^г — адиабатическая восприимчивость. Выше Tn мы, конечно, имеем dNjdT — O и 1^ = ^г, Характеристическая частота для параметра порядка есть Гц, и можно ожидать, что она обращается в нуль при T->TN и &->0.
Поперечная восприимчивость %мя и поперечная корреляционная длина х™1 остаются конечными вплоть до TN. В теории среднего поля [54] эти величины характеризуются расходимостью при температуре Тз_, которая ниже TN на величину
тм-тNтм-тNJz-ЧJz-Ч(6.7)(6.7)
тм-т
N
тм-т
N
Jz-Ч
Jz-Ч
(6.7)
(6.7)
как это показано на фиг. 12. Подобное же поведение ожидается и в точной теории. Характеристическая частота для поперечных флуктуаций, которая представляет собой некоторую линейную комбинацию частоты спиновых волн ®д и скорости затухания Гд, как и ожидается, остается конечной при к = 0 и Т = TN. (Возможно, что сод (к = 0) обращается в нуль при TN и тогда конечной характеристической частотой является именно Гд.)
Из приведенных выше рассуждений ясно, что для малой анизотропии должна существовать область значений к и хц, исключающая весьма малые значения этих параметров, где анизотропная система ведет себя подобно изотропной модели. Мы будем называть ее квазиизотропной областью. Правильное критическое поведение, которое было описано выше, возможно лишь для к -С кс, хц С кс, где величина кс зависит от анизотропии и, конечно, становится исчезающе малой, если
анизотропия стремится к нулю. Существование такого смешанного критического поведения было указано в работе [25] и независимо Кавасаки [55] и Риделем и Вегнером [9]; количественные оценки кс как функции анизотропии были предложены Риделем и Вегнером [56, 57] (грубо говоря, такое поведение имеет место при кяхДД)). Кроме того, эти авторы получили явный вид корреляционных функций, проводя скейлинг параметра анизотропии как по х, так и по к.
Фиг. 12. Поведение поперечной восприимчивости в одноосном антиферромагнетике как функция температуры.
Отсутствие распространяющейся критической моды в анизотропном случае означает, что температурная зависимость характеристической частоты не может быть найдена в истинной критической области только на основании аргументов скейлинга. Ожидается, что скейлинговый вид корреляционной функции все еще справедлив, однако для характеристической частоты мы предсказываем зависимость
сЛ (k) = £zQ(£/x), (6.8)
где, вообще говоря, значения z и вид Q(&/x) могут различаться в квазиизотропной области (к, хц >■ ^с) ив истинной критической области (к, Иц <С кс). Мы также ожидаем, что функция формы линии fNz (х) зависит лишь от к^, по крайней мере в асимптотических областях к, хд >■ кс или же к, Хц <С кс (вид этой функции может различаться в этих двух областях). Для оценки показателя г и получения вида функции Q (^/х) в (6.8) необходима более детальная теория. Недавно Ридель и Вегнер [56, 57], используя аппроксимацию взаимодействующих
мод, рассчитали ®^(к = 0) и Г,(к = О) для Т > TN и нашли для MnF2
<o"z = 27х^,к ^С Хц < кс,(6.9а)
^2 = 8,6-z'\k^kc<%v(6.96)
Г! = 0,3,к<кс(6.9в)
с «>Nz и Г± в МэВ, хд в А-1 и кс = х± (Уд,) = О,О6А~'. Численные значения постоянных были определены сравнением данных для спиновых волн и выражений для статических параметров, полученных в рамках теории молекулярного поля. Для FeF2 оценки дают
®Nz = 17xJ,
к < Хц < кс.
(6.10а)
toNz = 12Х|,/!,
к<кс< хг
(6.106)
Fi = 4,5,
к ^ кс,
(6.10в)
где кс = х± (Tn) = 0,29 А-1. Анизотропия в MnF2 слишком мала, чтобы имелась возможность наблюдать изменение показателя для a>Nz с помощью методики нейтронного рассеяния, однако в FeF2 ситуация, по-видимому, более благоприятна. В обоих случаях, однако, можно наблюдать качественную разницу между ослаблением в критической области продоль- нои частоты со г и стремлением к конечному предельному значению поперечной частоты Г±.
Интересно отметить, что в анизотропном режиме [см. (6.9а)] характеристическая частота пропорциональна Ex^J-1» как в «конвенциональной» теории Ван Хова [53]. В квазиани- зотропном режиме самосогласованность весьма существенна и для тепловой диффузии, и для критической точки газ — жидкость, и теория Ван Хова становится несостоятельной. Этот момент был впервые отмечен Кавасаки [58].
Эксперименты по рассеянию нейтронов в MnF2
Сравнительно недавно серия тщательных опытов на МпР2 была проведена Шулхофом, Хеллером, Натансом и Линзом [59]. Эти эксперименты дополнили работу Лея и др. [51, 52] на RbMnF3 и предоставили в наше распоряжение наиболее полную картину данных по критической динамике любой системы. Для MnF2 оказалось возможным, изучая рассеяние от то-
ДИНАМИЧЕСКИЕ ЯВЛЕНИЯ В ОКРЕСТНОСТИ КРИТИЧЕСКОЙ точки чек различной симметрии в зоне Бриллюэна, разделить параллельную и перпендикулярную («продольную» и «поперечную») компоненты спиновой корреляционной функции. Качественное поведение этих различных компонент оказалось в согласии с общей теорией, о которой говорилось в предыдущем параграфе: поперечные флуктуации оставались конечными и в пространстве, и во времени, а продольные флуктуации расходились.
Количественная проверка гипотезы скейлинга была проведена путем определения характеристической частоты для продольных флуктуаций о^ (к) = Гц (к) в большем числе точек на плоскости к, х. Для проведения эксперимента необходимо было провести детальные коррекции разрешения и проверить законность принятой формулы для сечения. Имея вид функции ©^(к) для различных значений к и хц выше и ниже Tn можно было проверить гипотезу скейлинга, откладывая ©^(к)/^2 как функцию к/и^ Согласно (6.8), должно было появиться некое значение 2, для которого все точки ложились бы на единственную прямую [отметим, что эти точки не лежали в асимптотических областях к, xfl < кс или к, Хц » кс, где выражение (6.8) справедливо (см. [56, 57]). На практике, однако, вид соотношения (6.8), по-видимому, не слишком чувствителен к к^. Результаты такого анализа показаны на фиг. 13 и дают основание сделать вывод, что гипотеза скейлинга для шУг(к) хорошо удовлетворяется. Более того, при корректировке разрешения предполагалось, что функция формы f”2 зависит от к/щ. Поскольку наблюдаемое сечение согласуется с рассчитанным, очевидно, что экспериментальные данные также согласуются с предположениями скей- линга для ; 2.
Интересным фактором в динамическом поведении, который на первый взгляд может показаться несколько неожиданным, является зависимость ширины Гц (£) от к ниже TN, представленная на фиг. 14. Из этих данных, несомненно, следует, что ширина при к = 0 уменьшается до нуля при стремлении Т к Tn сверху и что она остается равной нулю, когда Т уменьшается. Ниже TN ширина, грубо говоря, описывается зависимостью Гц ^к) ~ к2. Такое поведение несколько неожиданно, поскольку подрешеточная намагниченность No не является интегралом движения, и, следовательно, нельзя ожидать бесконечно медленной релаксации при к = 0, исключая, возможно, 209
ситуации в одной точке: Т =Tn- Объяснение такого поведения [1, 60] опирается на то обстоятельство, что величина No связана с интегралом движения энергией вследствие наличия дальнего порядка. Эта связь ясна из выражения (6.36), которое может быть переписано в виде
Сп2п2 (к, ®) = (^)2 С^ (к, <о) + CR (к, о).(6.11)
Выше Tn связь исчезает, поскольку (dNoldE) = С~'(dNaldT) = = 0. Корреляционная функция Сее(к, о) имеет диффузную
Фиг. 13. Проверка предсказаний скейлинга [соотношение (6.8)] для одноосного антиферромагнетика МпР2, изученного в [59].Точки соответствуют различным значениям q (в тексте ft) и м=«ц; по-видимому, они попадают на универсальные кривые, если представить последние как функции q/Иц для Т > TN и Т <Тм соответственно.Черные кружки—для Т > Тn- светлые—для Т < Tn-Фиг. 13. Проверка предсказаний скейлинга [соотношение (6.8)] для одноосного антиферромагнетика МпР2, изученного в [59].Точки соответствуют различным значениям q (в тексте ft) и м=«ц; по-видимому, они попадают на универсальные кривые, если представить последние как функции q/Иц для Т > TN и Т <Тм соответственно.Черные кружки—для Т > Тn- светлые—для Т < Tn-
Фиг. 13. Проверка предсказаний скейлинга [соотношение (6.8)] для одноосного антиферромагнетика МпР2, изученного в [59].
Точки соответствуют различным значениям q (в тексте ft) и м=«ц; по-видимому, они попадают на универсальные кривые, если представить последние как функции q/Иц для Т > TN и Т <Тм соответственно.
Черные кружки—для Т > Тn- светлые—для Т < Tn-
Фиг. 13. Проверка предсказаний скейлинга [соотношение (6.8)] для одноосного антиферромагнетика МпР2, изученного в [59].
Точки соответствуют различным значениям q (в тексте ft) и м=«ц; по-видимому, они попадают на универсальные кривые, если представить последние как функции q/Иц для Т > TN и Т <Тм соответственно.
Черные кружки—для Т > Тn- светлые—для Т < Tn-
ширину toE(&) = DTk2, в то время как Сд(к, м) характеризуется конечной шириной для к = 0 и Т < TN. Ширина, фигурирующая на фиг. 14, по-видимому, представляет собой лишь часть, относящуюся к Ce6(k, ®), поскольку другая часть размазана по частотам и дает вклад в «фон».
Подобное объяснение диффузного поведения Гц (к) было предложено независимо Хеллером [60], проверившим справед-
ливость этой идеи измерением полной интегральной интенсивности под диффузным пиком. Согласно (6.11) и (6.6), эта интенсивность должна играть определенную роль в «термодинамической» части (Т/С) (dNQ/dT)2 изотермической подрешеточной восприимчивости. Член Сд в (6.11) характеризуется интенсивностью, пропорциональной адиабатической восприимчивости %^2. Чтобы провести сравнение между измеренной ин-
Фиг. 14. Ширина Г|| (^) = Г£ (q) как функция температуры при различных значениях q = k.
Для q=»0 ширина стремится к нулю при Т->Т^ сверху (критическое ослабление) и остается равной нулю для Т <Т^- ^ упорядоченной фазе Гц (q) примерно пропорциональна q2 нз-за связи параметра N»=NZ с энергией н температурой.
тенсивностью рассеяния и термодинамической восприимчивостью, необходимо располагать абсолютной калибровкой нейтронного сечения. Такая калибровка была проведена Хеллером и Шулхофом [59, 60], и полученная термодинамическая восприимчивость оказалась в хорошем согласии с величиной (Т/С) (dN0/dT)2, определенной из других опытов. Конечно, в окрестности TN ширина Гц функции Сд(к, ®) сама стремится к нулю и интенсивность %sz расходится примерно так же, как (Т/С) (dNQ/dT)2. Это означает, что Сд(к, <в) нельзя рассматривать в качестве вклада лишь в фон и требуется несколько
более тщательный анализ, чтобы аккуратно разделить оба вклада в Cn2„2(k, со). Кроме того, заметим, что для реальных веществ необходимо учесть влияние фононов на релаксацию энергии. Тем не менее предварительный анализ [60] вполне обнадеживает и возможно, что основная идея связи параметра порядка с энергией корректна.
Существование в корреляционной функции, относящейся к флуктуациям параметра порядка члена, который связан с флуктуациями энергии, и является анализом «центрального пика» теории Ландау — Плачека, возникающего в корреляционной функции плотность — плотность для жидкости [61]. Однако существует важное различие между этим случаем и случаем одноосного антиферромагнетика, которое обусловлено тем, что плотность является интегралом движения, тогда как намагниченность подрешетки таковым не является. Для больших длин волн корреляционная функция плотность — плотность полностью определяется гидродинамикой и ее спектр целиком располагается в области низких частот, когда ^->0. С другой стороны, в корреляционную функцию, определяемую No, дает вклад и область высоких частот. Этот вклад не может быть определен из гидродинамики. Только часть, связанная с энергией, доминирует при низких частотах и может быть соотнесена гидродинамическим параметрам. В непосредственной близости к TN, конечно, возможно критическое ослабление, и в таком случае даже «высокочастотная» часть корреляционной функции перемещается в сторону низких частот.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В этих лекциях сделана попытка описать современное феноменологическое понимание динамики критических явлений для систем, в которых параметр порядка не является интегралом движения. Предполагалось, что принципы скейлинга для корреляционных функций справедливы. Это и заменило в некотором смысле гипотезу аналитичности свободной энергии теории фазовых переходов второго рода Ландау. Специфическое поведение каждой системы изучалось в рамках гидродинамических воззрений, т. е. с привлечением аргументов, зависящих от симметрии гамильтониана и законов сохранения. Имея в виду широкий круг результатов, успешно предсказанных феноменологической теорией скейлинга, очевидно, что в
ДИНАМИЧЕСКИЕ ЯВЛЕНИЯ В ОКРЕСТНОСТИ КРИТИЧЕСКОЙ ТОЧКИ настоящее время существует блестящее согласие экспериментальных данных с качественными чертами поведения, описываемого в рамках статического и динамического скейлинга. Во многих случаях имеется также хорошее количественное согласие между экспериментом и теорией; не было отмечено случаев значительного расхождения. Действительно, если бы мы, скажем, ограничились точностью определения критических индексов ±0,1, то должны были бы заявить, что проблема критических давлений в основных чертах разрешена. Феноменологическая теория, безусловно, удовлетворительно объясняет большинство экспериментальных результатов с этой точностью, а численные расчеты подтверждают соотношения между показателями, которые следуют из предположений скейлинга. На более микроскопическом уровне приближение взаимодействующих мод и различные теоретико-полевые приближения [62, 63] демонстрируют самосогласованность приближения гипотезы подобия как в динамической, так и в статической ее версиях. Конечно, определяющим дополнением к этому является тот факт, что скейлинг в точности выполняется для двумерной модели Изинга. С другой стороны, теория фазовых переходов второго рода Ландау приводит к значениям критических индексов, которые не согласуются с экспериментом, численными расчетами и двумерной моделью Изинга (расхождение составляет от 50 до 100%). Более того, можно показать, что эта теория несостоятельна и на микроскопическом уровне в случае трех измерений [64], если только радиус взаимодействия конечен.
Обрисованная выше ситуация с очевидностью свидетельствует, что дальнейший прогресс в понимании критических явлений должен быть связан в первую очередь с возрастанием точности как теории, так и эксперимента. Это позволит «заглянуть внутрь» области ±0,1, которая является на сегодня мерой неопределенности, с точностью до которой скейлинг может считаться справедливым. Необходимо подчеркнуть, однако, что нужную информацию о критических индексах с точностью лучшей, чем несколько процентов, чрезвычайно трудно получить, и современное состояние наших знаний относительно этой «внутренней области» весьма фрагментарно. Даже располагая экспериментальными или расчетными данными очень высокой степени точности, следует учитывать возможную неточность соответствующих критических показателей, обусловленную поправками к ведущему члену асимптотики,
что может привести к изменениям порядка нескольких процентов ).
Тем не менее именно во «внутренней области» кроется ответ на многие интересные вопросы, такие, как «слабые сингулярности», логарифмические поправки, нарушение «сильного скейлинга», «почти универсальность» и т. п. Прежде чем мы с определенностью сможем сделать вывод о применимости скейлинга или какой-либо другой теории, необходимо с полной определенностью выяснить, какие предположения сделаны относительно поправочных членов и характера асимптотического предела. Возможно, что проблемы и не могут обсуждаться на этом уровне точности в рамках сложившейся терминологии и допустим лишь некоторый феноменологический подход. Однако будем надеяться, что это не так, поскольку феноменологические теории являются в конечном итоге необходимым инструментом выяснения тайн критических явлений лишь в том случае, когда они представляют основу для конфронтации между экспериментом и чистой теорией.
ПРИЛОЖЕНИЕ А
Вывод формулы (4.13) для Ас.
Будем исходить из общего соотношения
f др X дР A I f аР f
X дР )о, ps X дР )о, ps X дц$ )о, р X ЭР )о, ps ’
которое совместно с (4.8) — (4.9) дает 2Дс11/ dp X / dus \
с3 (0) ^ с2 (со) с2 (0) — I д^ /а, Р VdPJo, Р
Далее, соотношение (4.4) означает, что
(А.З)
(А. 4)
откуда вытекает
(А. 5)(А. 5)1 f др \d / ps\
(А. 5)
(А. 5)
р2 \ др$ Л, рЗР к р Jo, ns ‘
Дополнительно к этому имеем
/ <Эр.$ \Г _^А( ^А~ n Л^А JL / PsA
k dP )ps, а к dp jp,ak dP )ц5, a P к dps )p, о dP к p /ц5, a ’
(A. 6)
где в последнем уравнении мы пренебрегли малым членом (р^/рНдр/дР)^-а. Сопоставляя (А.2), (А.5) и (А.6), находим
(A. 7)(A. 7)2Ас _ 3Г d (ps\ I2 / dps Ас3 (0) P [dP Ip Л.;, о J kdpsJp, a'
(A. 7)
(A. 7)
Чтобы оценить величину в квадратных скобках, заметим, что
где мы опустили индекс ц3 во всех производных, поскольку требование постоянства ц5 является обычным условием равновесия. Вблизи Тх имеем
= d28\ 8 = | 1 - Т/Тх (Р) I,(А. 10)
Р
где di является постоянной, слабо зависящей от давления. Ясно, что
d /^ =LfPsA ^ZX(А. 11)
I Р Л дТ I р dP 17
Помимо этого, вблизи Тх имеют место соотношения Пиппар-
да [18, 34]
<А12)
где параметры Пиппарда (до/дР)х и (дР/дТ)К— (dPfdTx') являются измеримыми величинами. Рассматривая совместно
(А. 8), (А. 9), (А. 11) и (А. 12), имеем
d (Рд А = a / ^ А3^ V р 7^, адТ \ р )р
т 1до/дРкСрт 1до/дРкСр(А. 13)(А. 13)(А. 14)(А. 14)Производная (dps/5ps)p, а в (А. 7) может быть вычислена из определения, даваемого (А. 5) и (3.3). В результате
т 1до/дРкСр
т 1до/дРкСр
(А. 13)
(А. 13)
(А. 14)
(А. 14)
что совместно с (А. 7) приводит к выражению
(А. 15)(А. 15)=с3 WW Г/Р.) 3"I2
(А. 15)
(А. 15)
4М g3 lApJ дРДТЛ]
Подстановка (А. 13) в (А.15) дает
<Ц с3№рЬвт4л</0£3<Ц с3№рЬвт4л</0£3
<Ц с3№рЬвт
4л</0£3
<Ц с3№рЬвт
4л</0£3
(А. 16)(А. 16)12.13.12.13.
(А. 16)
(А. 16)
12.
13.
12.
13.
что и является результатом (4.13).
ЛИТЕРАТУРА
Halperin В. 1., Hohenberg Р. С., Phys. Rev., 188, 898 (1969).
Kadanoff L. P., Martin P. C., Ann. of Phys., 24, 419 (1963).
Hohenberg P. C., Martin P. C„ Ann. of Phys., 34, 291 (1965).
Боголюбов H. H., Physica, 26, 51 (1960); Phys. Abh. SU, 6, 1, 113, 229 (1962).
Вакс В. Г., Ларкин А. И., Пикин С. А., ЖЭТФ, 53, 1089 (1967).
Kawasaki K.s Mori Н., Progr. Theor. Phys. (Kyoto), 25, 1043 (1961).
Tani К., Tanaka H., Phys. Lett., 26A, 68 (1967).
Вакс В. Г., Ларкин А. И., Пикин С. А., ЖЭТФ, 53, 1089 (1967).
Riedel Е., Wegner F., Zeits. Phys., 225, 195 (1969); Phys. Lett., 29A, 77 (1969).
Fisher M. E., Repr. Progr. Phys., 30, 615 (1967).
Matsubara T., Matsuda H., . Progr. Theor. Phys. (Kyoto), 16, 416 (1956).
Atkins K. R., Phys. Rev., 113, 962 (1959).
Халатников И. M., Введение в теорию сверхтекучести, М. (1965).
Penrose О., Onsager L., Phys. Rev., 104, 576 (1956).
16.16.Buckingham M. T, Fairbank W. M„ Progress in Low Temperature Physics, ed. Gorter C. J., 3 (1961).
16.
16.
Ahlers G., Phys. Rev. Lett, 23, 464 (1969); Low Temperature Physics, LTIZ, ed, Kanda E. (1971),
Pippard А. В., Phil. Mag., 1, 473 (1956).
Pearce С. J., Lipa J. A., Buckingham M. L, Phys. Rev. Lett., 20, 1471
19.20.19.20.Jayson J. A., Douglass D. H„ Jr., Phys. Rev. Lett 21, 1308 (1968).
19.
20.
19.
20.
Williams R-, Beaver E. A., Fraser J. C., Kagiwada R. S., Rudnick L,
Phys. Lett., 29A, 279 (1969).
21.22.23.24.25.26.27.21.22.23.24.25.26.27.Johnson D. L., Crooks M. J., Phys. Rev., 185, 253 (1969).
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
Widom B., Journ. Chem. Phys., 43, 3892, 3898 (1965).
Griffiths R. B„ Phys. Rev., 158, 176 (1967).
Kadanoff L. P., Physics, 2, 263 (1966).
Halperin B. 1„ Hohenberg P. C., Phys. Rev., 177, 952 (1969).
Josephson B. D., Phys. Lett., 21, 608 (1966).
Clow J. R., Reppy I. D., Phys. Rev. Lett., 16, 887 (1966).
Tyson J. A., Phys. Rev., 166, 166 (1968).
Ferrell R. A., Menyhard N„ Schmidt H., Schwabl F., Szepfalusy P., Ann.
of Phys., 47, 565 (1969).
Tyson J. A., Phys. Rev. Lett., 21, 1235 (1968).
31.31.Ahlers G., Phys. Rev. Lett., 21, 1159 (1968).
31.
31.
Kadanoff L. P„ Swift J., Phys. Rev., 166, 89 (1968).
Kadanoff L. P., Swift J., Ann. of Phys., 50, 312 (1968).
34.34.Kawasaki K., Phys. Rev., A, 1, 1750 (1970).
34.
34.
Barmatz M., Rudnick I., Phys. Rev., 170, 224 (1968).
Ландау Л. Д., Халатников И. M., ДАН СССР, 96, 469 (1954).
Гинзбург В. Л„ ДАН СССР, 105, 240 (1955).
Леванюк А. П., ЖЭТФ, 69, 1304 (1965).
Kawasaki К., Phys. Lett., 31А, 165 (1970).
Stauffer D., Wong V. К., Journ. Low Temp. Phys, 2, 599 (1970).
Покровский В. Л., Халатников И. М., ЖЭТФ, Письма, 9, 255 (1969).
Халатников И. М., ЖЭТФ, 57, 489 (1969).
Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М., Механика сплошных сред, М., 1954.
Williams R. D., Rudnick I., Phys. Rev. Lett., 25, 276 (1970).
Chace С. E., Phys. Fluids, 1, 193 (1958).
Ahlers G., Journ. Low Temp. Phys., 1, 609 (1969).
47.48.49.47.48.49.170170Imai J. S., Rudnick I., Phys. Rev. Lett., 22, 694 (1969), Romer R. H., Duffy R. J., Phys. Rev., 186, 255 (1969).
47.
48.
49.
47.
48.
49.
170
170
Heinicke W., Winterling G., Dransfeld K., Phys. Rev. Lett., 22,
(1969).
50.51.50.51.R,M.,R,M.,Marshall W„ Lowde R. D„ Repr. Progr. Phys., 21, 705 (1968).
50.
51.
50.
51.
R,
M.,
R,
M.,
Lau H. У., Corliss L. M., Delapalme A., Hastings J. M., Nathans
Tucciarone A., Phys. Rev. Lett., 23, 1225 (1969).
52.52.Tucciarone A., Lau H. K, Corliss L. M., Delapalme A., Hostings S.
52.
52.
Phys. Rev. B, 4, 3206 (1971).
53.54.53.54.Van Hove L., Phys. Rev., 95, 1374 (1954).
53.
54.
53.
54.
Moriya T., Progr. Theor. Phys., 28, 371 (1962).
55.55.ou. Kawasaki T„ Progr. Theor. Phys. (Kyoto), 41, 1381 (1969).
55.
55.
Riedel E. K., Wegner J., Phys. Rev. Lett., 24, 730 (1970).
Riedel E. K„ Journ. Appl. Phys., 42, 1383 (1971).
Kawasaki K„ Progr. Theor. Phys. (Kyoto), 40, 706 (1968).
Schulhof M. P., Heller P„ Nathans R., Linz A., Phys. Rev. Lett 24, 1184 (1970); Phys. Rev. B, 4, 2254 (1971).
Heller P„ Intern. Journ. Magnetism, 1, 53 (1970).
Ландау Л. Д., Лифшиц E. M., Электродинамика сплошных сред,
M„ 1957.
Мигдал Л. Л„ ЖЭТФ, 55, 1964 (1968).
Поляков Л. И., ЖЭТФ, 55, 1026 (1968).
Thouless D. J., Phys. Rev., 181, 954 (1969).
65*. Фишер Л4., в сб. «Устойчивость и фазовые переходы», изд-во «Мир», М., 1973.
66*. Стенли Г., Фазовые переходы и критические явления, изд-во «Мир», М., 1973.
67*. Иванов Д. Ю., Федянин В. К., ОИЯИ, Р4-7430, Дубна, 1974,
*) Начиная с весны 1969 г. автором было предложено несколько вариантов теории слабого скейлинга, которые докладывались в Варение. Настоящая версия отражает точку зрения автора, которая сложилась у него к ноябрю 1970 г., т. е. к тому моменту, когда она была представлена в виде статьи для сборника трудов школы Э. Ферми.
** C. di Castro, Istituto di Fisica dell’Universita-Roma, Istituto Nazio- nale di Fisica Nucleare-Sezione di Roma.
*** G. Iona Lasinio, Istituto di Fisica dell’Universita-Padova.
*) См., однако, лекции К. Вильсона, Дж. Когута [38] и литературу, цитируемую там. —• Прим, перев.
’) На плоскости А2. — Прим, перед.
те же физические идеи, была предложена Цванцигом и сотр., см. [17].
Новости фундаментальной физики
КВАНТОВАЯКВАНТОВАЯвыпуск
КВАНТОВАЯ
КВАНТОВАЯ
6
ТЕОРИЯ ПОЛЯ
И ФИЗИКА
ФАЗОВЫХ ПЕРЕХОДОВ
СБОРНИК СТАТЕЙ
Перевод с английского
В. А. ЗАГРЕБНОВА
Под редакцией
В. К. ФЕДЯНИНА
ИЗДАТЕЛЬСТВО«МИР»
МОСКВА • 1975
СОДЕРЖАНИЕ
Предисловие редактора перевода .... 5
Л. П. Каданов. Критические явления, гипотеза универсальности, скейлинг и капельная модель .7
Введение7
Скейлинг, выведенный из гипотезы универсальности . .... 17
Анализ размерностей22
Возврат к универсальности . . 24
Алгебра операторов25
Капельная модель и скейлинг. . . 28
Литература 32
?,. Стелл. Слабый скейлинг . '33
Введение . . . 33
Соотношения, согласующиеся с общепринятыми оценками показателей, иихинтерпретация 38
Структурафункций?(г)и предсказание гипотезы слабого
скейлинга47
§ 4.Обсуждение 50
Литература 56
Ф. де Паскуале, К. ди Кастро, Г. Иона-Лазинио. Полевой подход к теории фазовых переходов 57
Введение .. . ....67
Метод ренормализационнойгруппы и скейлинг60
Распространение уравнений РГ на квантовые системы. Скейлинг и его ограниченность в рамках метода РГ73
Сравнение с подходом Мигдала81
Аналитические свойства корреляционных функций и примеры критическогоповедения . . . . 89
Литература 99
К. Кавасаки. Динамическая теория флуктуаций вблизи критических точек101
Введение... 101
Кинетические модели временной эволюции грубых переменных 104
Временные корреляционные функции грубых переменных . . . 124
СОДЕРЖАНИЕ
Применения
. 135 . 140 . 142 . 143. 145 . 146. 135 . 140 . 142 . 143. 145 . 146Заключительные замечания . Приложение А .,
. 135 . 140 . 142 . 143
. 145 . 146
. 135 . 140 . 142 . 143
. 145 . 146
Приложение Б ..
Приложение В ....... - Литература
П. С. Хоенберг. Динамические явления в окрестности критической точки: жидкий гелий и антиферромагнетики149
Введение 149
. Сверхтекучий гелий: термодинамика и гидродинамика . .. . .151
Динамический скейлинг . . . . .165
Распространение первого звука в окрестности сверхтекучего фазового перехода 177
Изотропный антиферромагнетик. . 191
Анизотропный антиферромагнетик204
Заключение212
Приложение А .
. 214. 216. 214. 216. Литература .
. 214
. 216
. 214
. 216
УДК 530.145
Сборник непосредственно связан с предыдущим выпуском серии «Новости фундаментальной физики», так как посвящен в определенном смысле конкретизации общей программы, сформулированной в книге К. Вильсона и Дж. Когута. В сборник вошли избранные лекции, прочитанные известными зарубежными теоретиками Л. Кадановом, Г. Стеллом, П. Хоенбергом и др. в Международной фермиевской школе физиков. Они посвящены, с одной стороны, теоретико-полевому обоснованию гипотезы статического и динамического подобия (известной в научной литературе под названием «скейлинга»), а с другой— обсуждению развитого на его основе вычислительного формализма.
Книга адресована специалистам в области теории поля, физики твердого тела и статической механики. Она может быть рекомендована в качестве дополнительного пособия аспирантам и студентам старших курсов университетов.
20402-061К 041(01)-75 61 7520402-061К 041(01)-75 61 75Редакция литературы по физике
20402-061
К 041(01)-75 61 75
20402-061
К 041(01)-75 61 75
© Перевод на русский язык, «Мир», 1975