УСТОЙЧИВОСТЬ И ФАЗОВЫЕ ПЕРЕХОДЫ

Ф. ДАЙСОН,

Э. МОНТРОЛЛ,

Перевод с английскогоС. П. МАЛЫШЕНКО и Е. Г. СКРОЦКОЙПеревод с английскогоС. П. МАЛЫШЕНКО и Е. Г. СКРОЦКОЙМ. КАЦ,

Перевод с английского

С. П. МАЛЫШЕНКО и Е. Г. СКРОЦКОЙ

Перевод с английского

С. П. МАЛЫШЕНКО и Е. Г. СКРОЦКОЙ

М. ФИШЕР

ИЗДАТЕЛЬСТВО «МИР»

МОСКВА 1973

СОДЕРЖАНИЕ

От издательства . . .5

Ф. И. Дайсон. Устойчивость вещества 15

Введение 17

История вопроса 17

Утверждение 1 (19).

Обзор результатов 20

Теорема 1 (20). Теорема 2 (21). Теорема 3 (21). Теорема 4 (22). Предположение 1 (22).

Лемма Онсагера . . 23

Лемма 1 (23). Доказательство леммы 1 (23).

Фон компенсирующих зарядов . . 24

Лемма 2 (25). Доказательство леммы 2 (25). Теорема 5 (26). Теорема 6 (27).

Эвристическое доказательство теорем 1 и 5 . . .27

Замечание (30)

Доказательство теорем 1 и 5. Верхние пределы

для энергии основного состояния 30

Лемма 3 (31). Доказательство леммы 3 (31).

Дополнительное замечание (37).

Предварительные замечания к доказательству теоремы 3 37

Теорема 7 (37). Доказательство теоремы 7 (37). Теорема 8 (38). Лемма 4 (38). Доказательство леммы 4 (38). Доказательство теоремы 8 (39).

Доказательство теоремы 3. Кулоновская система, не подчиняющаяся правилу запрета 40

Лемма 5 (42). Лемма 6 (45).

Доказательство леммы 5 48

И. Численный пример к лемме 6 50

Лемма 7 (50). Доказательство леммы 7 (50).

Доказательство леммы 6 51

Правило запрета 52

Лемма 8 (52). Доказательство леммы 8 (53).

Лемма 9 (54). Доказательство леммы 9 (55). Лемма 10 (55).

Доказательство теоремы 2. Верхняя граница для энергии системы, подчиняющейся правилу запрета в пределах каждого класса частиц 55

Лемма 11^(57).

Доказательство леммы 10. Нижняя граница для кинетической энергии 58

Предположение 2 (59). Лемма 12 (60). Лемма 13 (61). Предположение 3 (61).

Математическое отступление. Доказательство лемм 12 и 13 62

Предположение 2П (62). Предположение 2^ (62). Доказательство леммы 12 (63). Доказательство леммы 13 (64).

Смешанные Ферми — Бозе системы 65

Лемма 14 (66). Лемма 15 (68). Предположение 4 (68). Предположение 5 (68). Лемма 16 (69).

Лемма 17 (69). Лемма 18 (70). Доказательство леммы 18 (70).

Разбиение конфигурационного пространства . .71

Лемма 19 (71). Доказательство леммы 19 (71).

Оценка кулоновской энергии 73

Доказательство теоремы 4. Нижний предел для энергии систем, в которых отрицательные заряды в пределах каждого класса подчиняются правилу запрета 76

Лемма 20 (77). Доказательство леммы 20 (78). Доказательство теоремы 4 (80).

Доказательства лемм 14—17 82

Доказательство леммы 17 (82). Доказательство леммы 16 (83). Доказательство леммы 15 (84).

Заключительные замечания 89

Литература 91

Э. Монтролл. Лекции по модели Изинга

Новые экспериментальные результаты, полученные при изучении критических явлений

Модель Изинга

Изинговский ферромагнетик (96). 2.2. Бинарный сплав (98). 2.3. Модель Изинга для решеточного газа (102).

Применение матричного метода при исследовании статистики решетки

Одномерная решетка Изинга и матричный метод (106).

Комбинаторный подход к решению задачи Изинга 4.1. Высоко- и низкотемпературные разложения (112). 4.2.» Дуальность (117). 4.3. Связь между статистической суммой двумерной решетки Изинга и димерными конфигурациями (120).

Статистика димеров и расчет статистической суммы для двумерной решетки'Изинга

929296106112124929296106112124Характеристика димерных конфигураций и пфаффиан (124). 5.2' Построение производящей функции димеров^ для?квадратнойТрешетки (135). 5.3. Статистическая сумма для квадратной решетки Изинга (141).

92

92

96

106

112

124

92

92

96

106

112

124

Корреляции и спонтанная намагниченность двумерных решеток 146

Корреляции как статистические суммы решеток с дефектами (146). 6.2. Коррелятор (о-щОгл) (151).

Коррелятор <о111о'1!1+7П) (155). 6.4. Спонтанная намагниченность (157). 6.5. Магнитная восприимчивость вблизи критической температуры (160).

Литература 162

М. Кац. Математические механизмы фазовых переходов . .164

Вводные замечания 164

Двумерная модель Изинга . . . 165

Модель Кюри —Вейсса 167

Асимптотическоевырождение и дальний порядок 170

Одномерная модель с потенциалом взаимодействия

у ехр (—у | i — / |) 174

Одномерные модели с потенциалом взаимодействия 1

VP (? I i — / I) = V J ^“ ехр (—%? I i — / I) dX ..191

о

Класс двумерных моделей 220

Заключение 239

Приложение 241

Литература 243

М. Фишер. Теория сингулярностей в критической точке . .245

Введение 245

Фазовые переходы и параметрпорядка 246

Фазовые диаграммы и симметрия (246). 1.2. Термодинамика (249). 1.3. Поля и плотности (251).

Определение параметра порядка (254).

Критические индексы и скэйлинг 257

Индексы, характеризующие сингулярность (257). 2.2. Критические индексы (260). 2.3. Слабые сингулярности (263). 2.4. Связь между индексами и неравенства (264). 2.5. Гипотеза однородности (266). 2.6. Следствия из гипотезы однородности и связанные с ними трудности (269). 2.7. Скэйлин- говая функция (272).

Скэйлинг, степенные законы и аналитичность . .275

Введение (275). 3.2. Однородность и скэйлинг (276). 3.3. Суть гипотезы скэйлинга (278). 3.4. Эквивалентность различных скэйлингов (280). 3.5. Требование аналитичности (282). 3.6. Явная аналитичность: параметрическое представление (284).

Изменение формы параметрической гипотезы (289). 3.8. Четырехфункционный скэйлинг (292).

Заключительные замечания (295).

Капельная модель: ее развитие и особенности . . .297

Введение (297). 4.2. Капельная модель (298).

Численные расчеты (303). 4.4. Скэйлинг в капельной модели (307). 4.5. Сжимаемые ферромагнетики (309). 4.6. Модели взаимодействующих кластеров (315). 4.7. Сингулярности и скэйлинг (321).

Конечные размеры и граничные эффекты 327

Возможные искажения критических явлений (327). 5.2. Пленки и слои (330). 5.3. Границы и граничные условия (333). 5.4. Сдвиг, сглаживание и корреляционная длина (336). 5.5. Теория скэй- линга для конечных систем (339). 5.6. Граничные или поверхностные сингулярности (342). 5.7. Плоская квадратная решетка Изинга (345). 5.8. Трехмерные пленки Изинга (350). 5.9. Сферическая модель для d-мерных пленок (355). 5.10. Выводы (359).

Приложения • • •360

Отказ от требования симметрии у=у' 360

Б. Доказательство теоремы 2 об аналитичности . . .361

Сведение параметрического скэйлинга к гипотезе однородности 364

Г. Решение для модели взаимодействующих кластеров 365 Литература 368

УДК 530.1УДК 530.1ййВВ

УДК 530.1

УДК 530.1

й

й

В

В

5$5$В книге содержится четыре цикла лекций, посвященных исследованию свойств систем многих частиц вблизи границы устойчивости. Рассмотрены вопросы устойчивости систем заряженных частиц (Дайсон), а также термодинамического поведения вещества при фазовых переходах типа упорядочения (Кац, Монтролл, Фишер).

5$

5$

Авторы лекций — крупнейшие зарубежные ученые — хорошо известны советскому читателю своими оригинальными работами, обзорами и монографиями, часть которых переведена на русский язык (Кац М., Вероятность и смежные вопросы в физике, изд-во «Мир», 1965; Фишер М., Природа критического состояния, изд-во «Мир», 1968).

Настоящая книга предназначена для читателей — математиков, вычислителей, физиков, химиков, инженеров, интересующихся проблемами устойчивости и фазовых переходов, а также для аспирантов и студентов соответствующих специальностей.

Редакция литературы по физике

© перевод на русский язык, издательство «Мир», 1973

0232-056

У 041(01)-73

От издательства

Изучение систем, состоящих из большого числа взаимодействующих частиц, является одной из важнейших проблем современной физики. Наиболее интересно исследовать поведение таких систем вблизи границы устойчивости. Прежде всего возникает задача определения границ устойчивости, т. е. предельных значений энергий для различных систем частиц, а также изучения весьма своеобразного термодинамического поведения вещества в том случае, когда потеря устойчивости однородной системы обусловлена возникновением в ней определенного типа упорядочения.

Фазовые переходы, связанные с появлением в системе упорядочения, происходят в различных физических системах: упорядочение расположения атомов двух сортов в кристаллической решетке бинарного сплава; упорядочение расположения элементарных магнитных моментов в ферро- и антиферромагнетиках; упорядочение дипольных моментов в узлах решетки (сегнетоэлектрики); упорядочение состояний электронов в сверхпроводниках и атомов гелия в случае сверхтекучести, а также появление «упорядочения» (исчезновение пространственной однородности) в критических точках чистых и многокомпонентных жидкостей.

Появление общих закономерностей у несхожих физических объектов (жидкости и твердые тела, квантовые и классические системы), а также, например, наступление упорядочения при сверхнизких и высоких температурах указывают на наличие общих свойств систем многих частиц, не зависящих от природы изучаемого объекта. Сказанное можно проиллюстрировать на примере простого термодина-

мического рассмотрения, сравнивая энтропию и внутреннюю энергию системы. Энтропия S связана со степенью беспорядка при данном расположении частиц в системе, и чем хаотичнее распределение, тем энтропия больше. Внутренняя энергия Е минимальна при упорядоченном расположении частиц. Устойчивость системы, находящейся в данном объеме, определяется при разных температурах минимумом свободной энергии F = Е — TS.

Отсюда видно, что при высоких температурах отрицательное второе слагаемое в F существеннее первого, т. е. минимальное значение свободной энергии определяется большой величиной энтропии, и система разупоря- дочена. При низких температурах, наоборот, первое слагаемое в F существеннее второго, т. е. минимум F связан с минимумом свободной энергии, а значит, с упорядоченным расположением частиц. Компромисс этих двух тенденций — упорядочивающей «энергетической» и разупоря- дочивающей «энтропийной»— определяет температуру упорядочения. Оказывается, что эта температура (в энергетических единицах) порядка характерной энергии взаимодействия между частицами системы, и, поскольку других величин размерности энергии в задаче нет, не удается ввести малый параметр, что и обусловливает крайнюю сложность проблемы фазовых переходов. В этом смысле рассматриваемая задача похожа на проблему физики жидкого состояния, где главной сложностью построения теории является отсутствие малого параметра, так как средняя кинетическая (К) и средняя потенциальная (U) энергии частиц — величины одного порядка (в газе 1ЛК-<. 1, а в твердом теле KlU С 1).

Итак, появление упорядочения хотя и вызывается взаимодействием частиц, но не связано с конкретным видом взаимодействия, а имеет для разных объектов общую природу, определяемую статистическими свойствами системы многих частиц. Возникает естественное предположение, что специфика данной системы — характер сил взаимодействия между составляющими ее частицами — определяет значение температуры фазового перехода, в то время как поведение различных термодинамических (а быть может, и кинетических) величин вблизи точки перехода является общим свойством всех систем многих частиц.

Для теоретической проверки правильности этого предположения следовало бы, задавая различные модели систем многих частиц, отличающихся законами взаимодействия, и пользуясь методами статистической физики, обнаружить фазовый переход и сравнить термодинамическое поведение различных систем вблизи температуры фазового перехода.

Такая задача из-за огромной математической сложности может быть решена лишь в некоторых простейших случаях. К сожалению, простая модель идеального газа приводит только к монотонному изменению свойств и не дает фазового перехода. При решении статистической задачи желательно выбрать возможно более простую модель, чтобы получить точное решение, так как вблизи точки фазового перехода — особой (в математическом смысле) точки для термодинамических величин — всякая приближенная теория может оказаться ошибочной. Вместе с тем, как это видно на примере идеального газа, модель не может быть слишком упрощенной, поскольку она должна после статистического расчета привести к появлению фазового перехода.

Для понимания природы фазовых переходов наиболее важны точные решения двумерной модели Изинга и одномерной модели Каца.

Модель Изинга содержит три основных предположения: 1) упорядочивающиеся объекты фиксированы в узлах кристаллической решетки; 2) каждый объект может находиться лишь в двух состояниях, скажем, для t-го узла решетки эти состояния характеризуются переменной 07, принимающей два значения: 4-1 или —1 (для ферромагнетика — два направления элементарного магнитного момента, для бинарного сплава — расположение в узле атома А или В и т. д.); 3) учитывается взаимодействие / лишь между расположенными по соседству объектами, т. е. энергия всей системы Е = —J^OiCj, где I, j — соседние узлы решетки.

В 1944 г. Ларс Онсагер [1] получил точное решение для двумерной модели Изинга. Оказалось, что для температур Т < Тк система упорядочена, т. е. большинство объектов находится в одном из двух возможных состояний, а для Т ^ Тк не упорядочена. Температура упорядочения пол-

ностью определяется энергией взаимодействия: 7\ = = J/arcth (]Л2 — 1). Известным результатом работы Онса- гера является логарифмическое возрастание теплоемкости С ~ In | Т — Т^Тх | при приближении к точке перехода со стороны высоких и низких температур.

На языке модели Изинга легко понять, в чем смысл приближений термодинамической теории фазовых переходов, восходящей еще к работам Гиббса и четко сформулированной Л. Д. Ландау в 1937 г. [2]. Оказывается, что если при расчете средней энергии Е заменить среднее от произведения случайных величин ощ, произведением средних QiGj, то получатся все результаты теории Ландау, в частности конечный скачок теплоемкости в точке фазового перехода. Из математики известно, что подобная процедура усреднения соответствует независимости случайных величин g^ о,. Такое допущение в действительности неверно, так как (для 7 > 0) пары типа (+1, +1) и (—1, —1) имеют меньшую энергию, чем пары (+L —1), поэтому соседями для узла решетки с g£ — +1 будут скорее узлы с о, = +1, чем с gj — —1.

Физически указанное приближение состоит в замене действующего на аг «поля» (—J^Qj) его средним значением, э

т. е. теория Ландау является теорией «среднего» или самосогласованного поля. «Самосогласование» состоит в том, что каждая частица находится в некотором усредненном силовом поле, образованном другими частицами, и в свою очередь участвует в создании поля для других частиц. Такая процедура упрощает задачу многих тел, ибо позволяет избежать явного рассмотрения сложных взаимодействий между частицами и сводит задачу многих частиц к набору задач о поведении одной частицы во внешнем поле.

Эффективное поле, действующее на данную частицу, зависит от состояний окружающих ее частиц, т. е. оно может с определенной вероятностью принимать различные значения, в то время как в методе самосогласованного поля вводится среднее поле, а отклонения от среднего, флуктуации, не учитываются.

Однако вблизи температуры фазового перехода флуктуации сильно возрастают — из термодинамической теории

флуктуаций [2] следует, что рост флуктуаций является прямым следствием упорядочения.

Итак, анализ модели Изинга показал, что термодинамическая теория явлений упорядочения должна быть справедлива там, где флуктуации еще малы, т. е. не слишком близко к температуре перехода.

Естественно теперь поставить вопрос: каковы должны быть силы взаимодействия между частицами, чтобы их точное (а не приближенное, как это было в случае модели Изинга) статистическое описание давало те же результаты, что и термодинамическая теория?

Ответ на этот вопрос дает так называемая модель Каца, в которой силы парного взаимодействия между частицами имеют вид ф (г) = —y^-vr, причем в конце расчета совершается предельный переход у —>- 0. Параметр у-1 имеет смысл радиуса действия сил взаимодействия (расстояние, на котором силы уменьшаются в е раз), т. е. переход у —>- 0 означает переход к очень слабым, но имеющим бесконечный радиус действия силам притяжения. Для одномерного случая удалось точно решить задачу о поведении термодинамических величин в модели Каца, и оказалось [3], что получаются те же результаты, которые дает теория самосогласованного поля. Это не удивительно, поскольку, как мы видели, теория самосогласованного поля пренебрегает тенденцией к упорядочению в соседних узлах решетки. Ясно, что чем больше радиус сил взаимодействия, т. е. чем больше число частиц, участвующих в создании поля, действующего на данную частицу, тем метод самосогласованного поля точнее.

Действительно, при этом а г, равное, например, +1, не может сильно влиять на значение <у7- в соседнем узле, ибо- на о, влияют и остальные (Z — 2) узла, где Z — число узлов в сфере взаимодействия.

Результаты теории самосогласованного поля получаются и для короткодействующих сил, если формально считать, что размерность пространства неограниченно возрастает [4]. Это фактически эквивалентно переходу к даль- нодействующим силам, поскольку каждая частица взаимодействует с большим числом других частиц, т. е. Z ^> 1, и возникает такая же ситуация, как в модели Каца.

Две рассмотренные здесь микроскопические модели — Изинга и Каца — являются предельными по величине г0 — отношению радиуса действия сил притяжения к среднему расстоянию между частицами: для модели Изинга r0 = 1 (взаимодействуют лишь расположенные по соседству объекты), а в модели Каца г0 неограниченно велико. Для реальных веществ, как правило, г0 порядка нескольких единиц, что соответствует промежуточному случаю: не слишком близко к температуре перехода Т^ (| Т — TxITx | > 1/rJ, где, как показывают специальные расчеты, п = 6) поведение системы должно описываться теорией самосогласованного поля, а в непосредственной близости к 7k ([ Т— Т\П\ | < 1/г®) выводы теории самосогласованного поля становятся несправедливыми.

Следовательно, мы сейчас в принципе понимаем, каким образом характер .межмолекулярных сил определяет термодинамическое поведение веществ при фазовых переходах типа упорядочения, хотя, конечно, необходимы теоретические расчеты для трехмерных моделей, более адекватных действительности, чем идеализированные модели Изинга и Каца. Нужна также широкая экспериментальная проверка предельных законов поведения термодинамических величин вблизи температуры перехода и выяснение универсальности этого поведения для различных веществ. Такой работой заняты многие исследователи (см., например, [5, 61).

Большое распространение в последние годы получила так называемая теория масштабных преобразований (или теория подобия, или скэйлинг-теория), которая, не претендуя на полное описание явлений упорядочения, позволяет установить связи между поведением различных термодинамических величин вблизи температуры фазового перехода. Предполагается, что детали взаимодействия на малых расстояниях могут влиять лишь на величину температуры перехода, которая сильно меняется от вещества к веществу и не может быть рассчитана в рамках теории подобия. В то же время поведение термодинамических величин вблизи температуры перехода обладает большей степенью универсальности и целиком определяется большими масштабами, порядка так называемого радиуса корреляции, т. е. характерным расстоянием, на которое

распространяется связь между отклонениями термодинамических величин от их средних значений. За эту связь ответственно взаимодействие между частицами, но информация о состоянии объектов передается на большие расстояния — порядка радиуса корреляции — эстафетным образом от частицы к частице. Теория подобия изучает явления со столь большими характерными масштабами, что можно применять разработанные макроскопические методы исследования.

В теории подобия предполагается, что термодинамические величины степенньш образом зависят от близости к точке перехода, т. е. для теплоемкости С, радиуса корреляций гс и других величин справедливы следующие асимптотические законы: С ~ т~“; гс — т"^; . . ., где т = (Г — Ту/Ть- Основной результат теории [7] состоит в установлении связи между так называемыми критическими индексами a, v, . . ., например vd = 2 — а, где d — размерность пространства. Оказалось, что лишь два критических индекса остаются независимыми, а остальные выражаются через них. Кроме того, в теории естественно возникает равенство соответствующих критических индексов выше и ниже точки фазового перехода. Хотя основные результаты теории подобия получены различными способами, остается известное сомнение в правильности ее исходных предпосылок, прежде всего предположения о наличии лишь одной характерной длины, а также чисто степенных законов изменения термодинамических величин, а не, скажем, сложных логарифмических типа In In т или (In т)я.

В настоящее время экспериментаторы интенсивно проверяют соотношения между критическими индексами, вытекающие из теории подобия. В целом эксперимент подтверждает выводы теории, остаются лишь некоторые сомнения в существовании симметрии критических индексов по обе стороны от точки перехода. Имеются, однако, серьезные трудности при интерпретации экспериментальных данных, связанные с неопределенностью температурного интервала, где должны выполняться асимптотические законы, а также со сложностью учета различных факторов (примеси, внешние поля и т. д. [8]), искажающих истинные значения критических индексов.

Следует упомянуть о нескольких важных теоретических работах, выполненных в самое последнее время. Это прежде всего исследования Бакстера [91 по так называемой «восьмивершинной» модели. На языке двумерной модели Изинга это означает наличие двух подрешеток, причем наряду с указанными выше парными взаимодействиями внутри каждой подрешетки учитываются также четверные взаимодействия между подрешетками, т. е. в энергии системы появляются слагаемые типа X 2 ai°iakai» где индексы i, j относятся к одной, а к, I — к другой подрешетке, при этом узлы I, j, к, I являются ближайшими соседями в кристаллической решетке.

Основной результат состоит в том, что критические индексы непрерывно зависят от параметра взаимодействия X, т. е. от энергии взаимодействия между частицами. Зависимость индексов от Л. такова, что в первом порядке по Л. по-прежнему выполняются все соотношения теории подобия.

Сама по себе зависимость критических индексов от симметрии системы, как и от ее размерности, была известна и раньше, однако модель Бакстера представляет собой первый, хотя и весьма специальный пример системы, в которой учет четверных взаимодействий приводит к непрерывной зависимости критических индексов от энергии взаимодействия, что в каком-то смысле не соответствует духу «скэйлинга».

Вильсон [10] рассмотрел обобщенную модель Изинга, когда переменная а принимает непрерывный ряд значений от —оо до +оо, а в энергии системы содержатся слагаемые, пропорциональные о4. С помощью специального метода Вильсон обобщил теорию масштабных преобразований, что позволило ему не только получить соотношения между критическими индексами, но и вычислить (для температур выше температуры перехода и в отсутствие внешнего поля) некоторые из индексов (например, v = О, 61 в трехмерном случае). До сих пор критические индексы в трехмерной модели Изинга можно было рассчитать лишь на ЭВМ. В этом смысле работы Вильсона представляют собой существенный шаг вперед на пути построения количественной теории фазовых переходов.

За последнее время большое число исследователей включилось в изучение этой проблемы, что привело к увеличе-

нию числа публикаций, которые естественно нуждаются в обобщающих обзорах и монографиях.

На русском языке в 1967—1968 гг. вышли две монографии: Фишера [11], рассчитанная в основном на нетеорети- ков, и Браута [4], в которой с единой точки зрения изложены методы самосогласованного поля в применении к фазовым переходам. Обе эти книги оказались весьма полезными как для молодых исследователей, так и. для читателей — неспециалистов в этой области. Строгий математический подход к проблеме фазовых переходов, интересующий в основном математиков и часть физиков-теоретиков, нашел отражение в книге Рюэля [12]. Недавно вышла в русском переводе интересная и содержательная монография Стенли [13], в которой, помимо содержащихся в книге [11] материалов, обобщены новые работы, выполненные в 1965— 1970 гг., в частности по теории подобия и динамическим явлениям вблизи точек фазовых переходов.

Среди всей этой литературы предлагаемая вниманию читателя книга занимает особое место. Она составлена из четырех циклов лекций. Первые три из них были прочитаны Ф. Дайсоном, Э. Монтроллом и MV Кацем в Летней школе по теоретической физике при Университете Брэн- диса в 1966 г. и дополнены авторами для английского издания 1968 г. [14], четвертый цикл был прочитан М. Фишером в 1970 г. в Летней школе физиков им. Энрико Ферми, посвященной критическим явлениям [15]. Заслуженный авторитет авторов — крупнейших зарубежных ученых, известных не только своими работами по фазовым переходам, но и первоклассными исследованиями в других областях физики,— служит гарантией и высокого научного уровня лекций, и оригинального подхода к обсуждаемым проблемам.

Ф. Дайсон рассматривает вопросы устойчивости систем положительно и отрицательно заряженных частиц, движение которых описывается классической или квантовой статистикой. Для изолированного атома, а также для заряда, находящегося в периодическом поле других зарядов, как известно, существуют строгие квантовомеханические теоремы, однако для произвольных систем частиц с кулоновским потенциалом взаимодействия Дайсон, по-видимому, впервые получил ряд строгих результатов, касающихся

существования нижних и верхних пределов для энергии системы. Трудно переоценить значение этих работ для решения важнейшей проблемы устойчивости реальных веществ, а также задач физики плазмы или, например, широко обсуждаемой в настоящее время проблемы металлического водорода. Дайсон и в дальнейшем интересовался вопросами устойчивости систем заряженных частиц; так, в работе [16] в связи с проблемой нейтронных звезд он рассматривает устойчивость кристаллической решетки, состоящей из двух сортов заряженных частиц.

В лекциях Э. Монтролла весьма подробно изложено решение задачи для одно- и двумерной модели Изинга, причем расчет статистической суммы и корреляционных функций проводится с помощью статистики димеров. Автор, которому принадлежит несколько обзоров по модели Изинга, сумел преподнести весьма непростые вопросы в достаточно "ясной для читателя-нетеоретика форме. Исключительная важность точно решаемой модели Изинга делает интересным всякий новый метод решения, к тому же димеры находят применение при различных обобщениях модели решеточного газа. Теперь с публикацией лекций Монтролла на русском языке имеются доведенные до достаточно простого вида изложения трех основных методов решения двумерной задачи Изинга: комбинаторного [2], матричного [17] и димерного.

М. Кац в своих лекциях установил, что, несмотря на указанное выше качественное различие сил взаимодействия и связанное с этим различное термодинамическое поведение систем, описываемых моделями Изинга и Каца, математическим механизмом фазового перехода в обоих случаях является асимптотическое вырождение максимального собственного значения соответствующего линейного оператора. Указан общий вид потенциала взаимодействия, который в различных предельных случаях сводится к короткодействующему потенциалу Изинга и к дальнодействующему потенциалу Каца. Интересно, что фазовый переход типа самосогласованного поля может возникать не только при у -»- О, но и при конечных радиусах действия сил у-1, если взаимодействие представляет собой бесконечную сумму экспонент. Проведенный М. Кацем математический анализ появления сингулярностей у термодинамических

величин несомненно будет использован в дальнейшем при построении количественной теории фазовых переходов.

Обзор М. Фишера, представляющий собой естественное продолжение монографии того же автора [И], содержит весьма современное, доведенное до 1971 г., изложение вопросов, связанных с появлением сингулярностей в точке фазового перехода. Все рассмотрение ведется на основе теории масштабных преобразований, причем сначала излагается сама теория в ее наиболее современном варианте («параметрический скэйлинг»), а затем дается приложение скэйлинга к капельной модели жидкости и к анализу влияния конечных размеров на фазовые переходы в реальных веществах. М. Фишер обращает особое внимание на те ограничения теории масштабных преобразований, которые могут привести к противоречию с экспериментом (чисто степеннйе законы для термодинамических величин, полная симметрия критических индексов для Т > Тк и Т «< Тк), и исследует возможности преодоления этих ограничений. В обзоре содержится много результатов, принадлежащих автору и ранее не опубликованных; по всему тексту разбросаны его тонкие замечания.

Все лекции, включенные в книгу, предназначаются для неспециалистов в области фазовых переходов, при этом изложение всюду ведется на современном уровне, без специальных упрощений и физической «очевидности». Готовя свои лекции к публикации, авторы сохранили их специфически лекционный стиль, который по необходимости выдержан и при подготовке русского перевода.

ЛИТЕРАТУРА

Onsager L., Phys. Rev., 65, 117 (1944).

Ландау Л. Д-, Лифшиц Е. М., Статистическая физика, изд-во «Наука», М., 1964.

Кас М., Uhlenbeck G. Е., Hemmer Р. С., Journ. Math. Phys., 4, 216, 229 (1963); 5, 60 (1964). (Имеется перевод в приложении к книге: Кац М., Вероятность и смежные вопросы в физике, изд-во «Мир», 1965.)

Браут Р., Фазовые переходы, изд-во «Мир», 1967.

Kadanoff L. Р., et al.. Rev. Mod. Phys., 39, 615 (1967).

Ber. Bunsenges. Phys. Chern., 76, № 3—4 (1972).

Наташинский A. 3., Покровский В. Л., ЖЭТФ, 50, 439 (1966); Kadanoff L. P., Physics, 2, 263 (1966).

Heller P., Progr. Rep. Phys., 30, 615 (1967).

Baxter Р. J., Phys. Rev. Let., 26, 832 (1971); Ann. Phys. (New York), 70, 193 (1972).

Wilson K- G., Phys. Rev., B4, 3174, 3184 (1971).

Фишер M., Природа критического состояния, изд-во «Мир», 1968.

Рюэль Д., Статистическая механика. Строгие результаты, изд- во «Мир», 1971.

Стенли Г., Фазовые переходы и критические явления, изд-во «Мир», 1973.

Statistical, Phys. Phase Transitions and Superfluidity, ed. M. Chretiln et. al., Gordon and Breach Science Publishers, Vol. 1, 2, New York, 1968.

Fisher M. E., The Theory of Critical Point Singularities, в книге: 1970 Enrico Fermi Summer School of «Critical Phenomena», Villa Monastero, Varenna sub Lago di Como, Italy.

Dyson F. J., Ann. Phys. (New York), 63, 1 (1971).

Хуанг K-, Статистическая механика, изд-во «Мир», 1966.

Устойчивость вещества

Введение

Эти лекции представляют собой подробное изложение работы, выполненной автором совместно с Эндрю Ленардом. Нам удалось решить весьма важную задачу: доказать устойчивость простых веществ. Ниже будет дано точное определение понятия устойчивости. Прежде чем перейти к математике, я хотел бы извиниться за изложение Неоконченной работы. Имеющееся сейчас доказательство устойчивости чрезвычайно длинно, сложно и некрасиво. Должен существовать лучший метод доказательства, и я надеюсь, что у кого-нибудь из слушателей появятся идеи более короткого и изящного доказательства. В ходе лекции будут сформулированы и предложены слушателям для решения некоторые математические задачи. Однако решение этих задач не приведет к реальному улучшению доказательства устойчивости вещества. Необходимо, чтобы кто-нибудь рассмотрел всю проблему в целом с иной, новой точки зрения.

История вопроса

Рассматриваемая проблема имеет очень короткую историю. Наш интерес к ней был стимулирован недавней статьей Фишера и Рюэля [1]. Проблема устойчивости вещества была в центре внимания физиков в течение 1908—1925 гг., после того как Резерфорд открыл, что атомы состоят из положительных и отрицательных зарядов, взаимодействующих по закону Кулона, но до построения волновой механики. Квантовая теория оказалась тесно связанной с проблемой устойчивости. Планк в 1900 г. ввел понятие кванта энергии, чтобы избежать так называемой ультра-

i

Baxter Р. J., Phys. Rev. Let., 26, 832 (1971); Ann. Phys. (New York), 70, 193 (1972).

Wilson, K- G., Phys. Rev., B4, 3174, 3184 (1971).

Фишер M., Природа критического состояния, изд-во «Мир», 1968.

Рюэль Д-, Статистическая механика. Строгие результаты, изд- во «Мир», 1971.

Стенли Г., Фазовые переходы и критические явления, изд-во «Мир», 1973.

Statistical, Phys. Phase Transitions and Superfluidity, ed. M. Chretiln et. al., Gordon and Breach Science Publishers, Vol. 1, 2, New York, 1968.

Fisher M. E., The Theory of Critical Point Singularities, в книге: 1970 Enrico Fermi Summer School of «Critical Phenomena», Villa Monastero, Varenna sub Lago di Como, Italy.

Dyson F. J., Ann. Phys. (New York), 63, 1 (1971).

Хуанг K-, Статистическая механика, изд-во «Мир», 1966.

Устойчивость вещества

Введение

Эти лекции представляют собой подробное изложение работы, выполненной автором совместно с Эндрю Ленардом. Нам удалось решить весьма важную задачу: доказать устойчивость простых веществ. Ниже будет дано точное определение понятия устойчивости. Прежде чем перейти к математике, я хотел бы извиниться за изложение неоконченной работы. Имеющееся сейчас доказательство устойчивости чрезвычайно длинно, сложно и некрасиво. Должен существовать лучший метод доказательства, и я надеюсь, что у кого-нибудь из слушателей появятся идеи более короткого и изящного доказательства. В ходе лекции будут сформулированы и предложены слушателям для решения некоторые математические задачи. Однако решение этих задач не приведет к реальному улучшению доказательства устойчивости вещества. Необходимо, чтобы кто-нибудь рассмотрел всю проблему в целом с иной, новой точки зрения.

История вопроса

Рассматриваемая проблема имеет очень короткую историю. Наш интерес к ней был стимулирован недавней статьей Фишера и Рюэля [1]. Проблема устойчивости вещества была в центре внимания физиков в течение 1908—1925 гг., после того как Резерфорд открыл, что атомы состоят из положительных и отрицательных зарядов, взаимодействующих по закону Кулона, но до построения волновой механики. Квантовая теория оказалась тесно связанной с проблемой устойчивости. Планк в 1900 г. ввел понятие кванта энергии, чтобы избежать так называемой ультра-

фиолетовой катастрофы, т. е. непрерывной перекачки энергии вещества в поле классического излучения. В 1915 г. Бор выдвинул идею о квантовании электронных орбит и тем самым объяснил, почему электрон в атоме водорода не падает на ядро. Оба этих предположения представляют собой два аспекта одной и той же проблемы устойчивости системы положительно и отрицательно заряженных частиц.

Волновая механика в 1925 г. дала полное и законченное решение задачи об устойчивости изолированного атома. Из волновой механики непосредственно следует, что система, состоящая из точечного ядра с зарядом Ze и окружающих его Z электронов с зарядом (—е), не может обладать энергией связи, большей чем Z3Ry, где Ry = те4/(2й3). Итак, в 1925 г. физики облегченно вздохнули и сочли проблему устойчивости решенной.

В действительности устойчивость была доказана только для изолированного атома. Реальное вещество состоит из большого числа положительно и отрицательно заряженных частиц, взаимодействующих по закону Кулона. Действие кулоновских сил приводит к весьма тонким и во многих случаях коллективным эффектам. Кулоновским взаимодействием обусловлены, например, химические связи, металлическая когезия, вандерваальсовские взаимодействия, сверхпроводимость, сверхтекучесть (и, возможно, некоторые биологические явления). Поэтому вопрос об устойчивости макроскопических количеств вещества отнюдь не прост. Необходимо еще выяснить, почему для таких тонких эффектов, как химическая связь или когезия, характерно свойство насыщения, обусловливающее конечное значение энергии связи на атом.

Очевидно, что некулоновское .взаимодействие не влияет на устойчивость вещества. Некулоновские силы (ядерные силы, магнитные дипольные взаимодействия, эффекты запаздывания и радиационные поправки), как известно, вносят очень малый вклад в энергию связи реальных атомов и молекул. Релятивистские эффекты также сравнительно малы. Поэтому в качестве модели «вещества» мы примем совокупность положительно и отрицательно заряженных точечных частиц с чисто кулоновским взаимодействием, подчиняющихся законам нерелятивистской квантовой меха-

ники. Если нам удастся математически показать, почему такое «вещество» устойчиво, то мы сумеем также объяснить устойчивость реального вещества.

Перейдем теперь к математической формулировке понятия устойчивости.

Утверждение 1. Пусть N точечных зарядов ej, j = = 1, 2, . . ., N, с массами mj расположены в точках с координатами г,-, а Е — наинизилее собственное значение оператора

N 2

3=1г<з

полной энергии системы.

Тогда, если все массы и заряды ограничены, т. е.

т} ^ т, | в) | ^ е, / = 1, 2, . . ., TV, (2.2) то

E>-ANUy, Ry = ^"’ -(2-3)

причем константа А не зависит от N.

В этих лекциях буква А повсюду будет использоваться для обозначения постоянной величины, но ее значения в разных случаях, вообще говоря, различны.

Фишер и Рюэль первыми сформулировали утверждение 1 и поставили вопрос о его правильности. Осторожность заставила их добавить к утверждению 1: «возможно, при условии, что либо положительно, либо отрицательно заряженные частицы описываются статистикой Ферми».

Энергия основного состояния Е гамильтониана (2.1) должна иметь вид

E^—F (TV) Ry,(2.4)

так как Ry — единственная величина размерности энергии, которая может быть построена из констант е, т и К. Задача состоит в определении вида функции F (N). Фишер и Рюэль занимались строгим математическим обоснованием статистической механики. По самому смыслу статистической механики необходимо, чтобы такие термодинамические величины, как энергия и энтропия, были экстенсивными

величинами, т. е. энтропия и энергия большой системы асимптотически должны быть пропорциональны числу частиц в этой системе. Таким образом, линейная зависимость

F (N) = Л^ (2.5) является необходимым условием справедливости статистической механики. Остается выяснить, является ли это условие также достаточным. Мы предполагаем, что обоснование статистической механики, проведенное Рюэлем и Фишером для короткодействующих сил взаимодействия, может быть распространено также на случай кулоновских систем, если для энергии основного состояния справедливо линейное ограничение (2.3). Доказательство этого предположения — важная и весьма трудная задача (см. [2]).

Обзор результатов

Вернемся к утверждению 1. Наш первый существенный результат состоит в том, что утверждение 1 в приведенной выше формулировке неверно.

Теорема 1. Рассмотрим N частиц, масса которых одинакова (см. утверждение 1), и пусть одна половина из этих частиц имеет заряд (+е), а другая (—е). Если эти частицы не подчиняются какому-либо правилу запрета, энергия основного состояния удовлетворяет неравенству

Е<~Л?/7/» Ry. (3.1)

С другой стороны, мы выяснили, что утверждение 1 справедливо для частиц, подчиняющихся некоторому правилу запрета. Что касается реальных веществ, то правило запрета должно распространяться отнюдь не на любую пару частиц, а лишь на частицы одного типа, находящиеся в одинаковом спиновом состоянии. Например, атому водорода соответствуют четыре эффективно различных типа частиц, так как протон и электрон имеют по 2 спиновых состояния. Хотя мы и пренебрегаем спин-спиновым дипольным-взаимодействием, приходится учитывать влияние спина частиц на их статистику. Поэтому основная теорема для системы ферми-частиц гласит:

Теорема 2. Если N частиц, рассматриваемых в утверждении 1, подразделяются на q различных классов, причем частицы каждого класса подчиняются правилу запрета, то энергия основного состояния системы удовлетворяет неравенству

Е > —Л^/з^Еу, (3.2)

где А не зависит от q и N.

Интересно, что теорема 2 приводит к весьма нетривиальному результату в случае q = N, когда правило запрета не имеет смысла. В этом частном случае теорема 2 формулируется так.

Теорема 3. При выполнении тех же условий, что и в утверждении 1, ив отсутствие какого-либо правила запрета справедливо неравенство

Е > — Л№/зИу. (3.3)

Для системы кулоновских частиц, не подчиняющихся правилу запрета, предельные значения энергии основного состояния, определяемые теоремами 1 и 3, оказываются различными. Мы предполагаем, что теорема 1 дает правильный порядок величины энергии основного состояния, так что степень 5/3 в теореме 3 следует заменить на 7/5. Более подробно этот вопрос будет рассмотрен при доказательстве теорем 1 и 3.

Теорема 2, если рассматривать ее как теорему, определяющую устойчивость вещества, обладает двумя существенными недостатками. Во-первых, не следует требовать, чтобы положительные частицы подчинялись принципу запрета; гелий не менее устойчив, чем водород,— очевидно, статистика ядер не имеет отношения к вопросу об устойчивости вещества. Во-вторых, экспериментально установлено, что при любых типах химической связи или когезии энергия основного состояния определяется постоянной Ридберга [см. (2.3)1, где в качестве т фигурирует масса электрона, а не ядра. В формулировке теоремы 2 в соответствии с (3.2) под т подразумевается масса ядра, т. е. неравенство (3.2) ослаблено по крайней мере в 2000 раз. Эти два дефекта устраняются в нашей последней теореме.

Теорема 4. Пусть все N частиц, рассматриваемых в утверждении 1, имеют конечные заряды | е, | ^ е, но только отрицательно заряженным частицам соответствуют ограниченные массы т, ^ т. Пусть отрицательные заряды подразделяются на q классов, для каждого из которых выполняется правило запрета, а положительные заряды могут описываться любой статистикой. При этих условиях энергия основного состояния системы удовлетворяет неравенству

Е > —Tl^WRy. (3.4)

Доказательство справедливости теоремы 4 намного сложнее и длиннее, чем теоремы 2. Поэтому мы докажем теорему 2 независимо, хотя она и является лишь частным случаем теоремы 4.

Теорема 4 отвечает на основные вопросы, касающиеся устойчивости вещества. Мы предполагаем, что верно и более слабое неравенство, чем (3.4), а именно сформулированное в предположении 1.

Предположение 1. При тех же условиях, при которых справедлива теорема 4, справедливо и неравенство

Е > —X^WRy. (3.5)

Из теоремы 1 следует, что (3.5)— самое слабое неравенство. Позднее мы увидим, что с помощью методов, использованных в этих лекциях, нельзя сделать обоснованный выбор между неравенствами (3.4) и (3.5), незначительно отличающимися друг от друга.

Лемма Онсагера

Приступим к последовательному доказательству наших теорем. Мы начнем с теоремы 1, затем докажем теорему 3, потом перейдем к более трудной теореме 2 и, наконец, докажем самую сложную теорему 4.

В дальнейшем мы не раз будем делать отступления для обсуждения некоторых сложных проблем и вспомогательных теорем, доказать которые легче, чем наши основные теоремы.

Первая лемма задает общий стиль всей нашей работы. Это — лемма Онсагера [3].

Лемма 1 (Онсагер). Пусть Rj = min j rt — r3 [ onpede- ляет расстояние между зарядом е,, находящимся в точке г,, и его ближайшим соседом из совокупности N зарядов eiy расположенных в точках r^ (t = 1, . . ., N). Тогда

(4-1)(4-1)

(4-1)

(4-1)

Это утверждение справедливо в классической электростатике (без квантовомеханического рассмотрения). Оно отражает существенное свойство кулоновского потенциала, с которым связана устойчивость. Это свойство заключается в том, что взаимодействие каждого заряда с остальными (N — 1) зарядами может быть заменено взаимодействием с его ближайшим соседом. Появляется такая экранировка зарядов, благодаря которой можно пренебречь взаимодействием неближайших соседей.

Доказательство леммы 1. Опишем вокруг каждой точки г^ сферу с центром в точке г3 и радиусом at = Rj!2. Предположим, что заряд е, изъят из точки г, и равномерно «размазан» по поверхности соответствующей сферы. Поскольку сферы не пересекаются, то

Щ + а, ^ | rt — г3 |.Щ + а, ^ | rt — г3 |.(4.2)(4.2)

Щ + а, ^ | rt — г3 |.

Щ + а, ^ | rt — г3 |.

(4.2)

(4.2)

etejetejЭнергия кулоновского взаимодействия точечных, зарядов

etej

etej

Ес =

равна энергии взаимодействия между Ny размазанными по «своим» сферам зарядами. С другой стороны, полная электростатическая энергия системы зарядов, распределенных по своим сферам, равна

ET-Ec + ^^-Ec + ^-j^,ET-Ec + ^^-Ec + ^-j^,(4.3)(4.3)

ET-Ec + ^^-Ec + ^-j^,

ET-Ec + ^^-Ec + ^-j^,

(4.3)

(4.3)

так как е^/^а,) — собственная энергия заряда, распределенного по сфере с центром г,. Полная энергия должна

быть положительной:

(4Л)(4Л)£r=gLj|£|^T>0, что и доказывает лемму.

(4Л)

(4Л)

Фон компенсирующих зарядов

В одних случаях удобно рассматривать систему, состоящую из положительных и отрицательных зарядов, а в других — удобнее исходить из системы зарядов одного знака на фоне компенсирующего заряда другого знака. Мы сейчас докажем лемму, которая устанавливает связь между условиями устойчивости таких двух систем.

Рассмотрим гамильтониан системы N положительных зарядов ef.

^+== 2 । гг — г3 | + 5 "2^J ^'(5Л)

г<33

Пусть р (г) — плотность произвольно распределенных компенсирующих зарядов, а V (г) — создаваемый ими потенциал:

V (г) = Г.(5.2)

' J I Г—тГ |4'

Обозначим через £*+ (V) энергию основного состояния гамильтониана

Н+ (V) = Н+ + 2 e3V (о) +4 J V (г) р (г) d3r(5.3)

3

системы N зарядов Cj, находящихся в поле заряда р (г).

Пусть Н_ — гамильтониан системы N отрицательных зарядов (—е^, имеющих те же массы и подчиняющихся той же статистике, что и положительные заряды:

г<з3

а Н± — энергия взаимодействия между положительными и отрицательными зарядами:

^=-23тт^-(5-5)

Пусть Ем — энергия основного состояния гамильтониана

Н м = Н+ + н_ + Я±,(5.6)

описывающего систему 2N зарядов.

Лемма 2. Если входящие в Н+ (У) положительные заряды описываются той же статистикой (Ферми, Бозе или часть—Бозе, а часть—Ферми), что положительные и отрицательные заряды, энергии которых входят в Нм независимым образом, то для любого потенциала V (г)

EM^2E+(V).(5.7)

Доказательство леммы 2. Пусть Т (г^ гN) — собственная функция, соответствующая основному состоянию гамильтониана 77+ (V) И удовлетворяющая требованиям статистики рассматриваемой системы частиц. Тогда

Е+ (V) = (Т, НЛ) + J • • • j I Т |3 [ 2 е5У (г;)] dr,... drN +

+ -L j у (Г) р (г) d4 = (Т, Я+Т) +

с с Р (г) Г cr (rz)+-l-р (rz) 1

+^rdV, (5.8)

где

° ^ = j ‘ ' 11 Y ^Г1’ • • • ’ гл0 I2 [2 е>6 <r> — r^dr,... drN.

(5.9)

Здесь о (г) — соответствующая состоянию Т средняя плотность заряда в точке для системы из N зарядов.

Выберем пробную волновую функцию для системы, состоящей из положительных и отрицательных зарядов, описываемой гамильтонианом Нм, в виде

. Ф = Т (г„ . . г^Т (S1, . . ., sN), (5.10) т. е. предположим, что положительные и отрицательные заряды не коррелируют и описываются одинаковой волно-

вой функцией Т. Тогда с помощью вариационного принципа Рэлея — Ритца получаем для оценки сверху

ЕМ«Ф, НМФ) = 2 (Т, ИЛ) + (Ф, Я±ф) =

= 2(Т, НЛ)-f- . .^...dr^. . .

. . .^ds1...dsN\4r (гь . . ., г^) |2 | V (S1, . .Sjv) |2 x

(5.11) i 5

Таким образом, учитывая (5.8), находим

em-2E+(V)<-JJ^±p^2U^^^(5J2)

Интеграл в (5.12) представляет собой электростатическую собственную энергию заряда, распределенного с плотностью (о + р), т. е. величину существенно положительную, что и доказывает утверждение (5.7). Заметим, что минимальное значение функции Е+ (V) достигается при р (г) — —о (г), когда плотность компенсирующего заряда р в точности нейтрализует среднюю плотность о системы зарядов.

Лемма 2 очень полезна в обоих интересующих нас случаях. Сначала рассмотрим систему положительных и отрицательных зарядов, не подчиняющихся правилу запрета, и докажем теорему 1 о неустойчивости такой системы.

Используя лемму 2, можно доказать теорему 5.

Теорема 5. Пусть система N частиц, имеющих одинаковые положительные заряды е и массы т, находится в компенсирующем поле V (г) и описывается гамильтонианом (5.3). Если частицы не подчиняются никакому правилу запрета, то можно выбрать поле V (г) так, чтобы энергия основного состояния системы Е+ (У) удовлетворяла условию

Е+(У)<—АПУЛу.(5.13)

Теорему 5 легче доказывать, чем теорему 1, поскольку проще иметь дело с волновой функцией основного состояния для системы зарядов одного знака, а не для системы, состоящей из положительных и отрицательных зарядов.

Наоборот, в случае системы.частиц, подчиняющихся правилу запрета, удобнее доказывать устойчивость (см. теорему 2) для системы, состоящей из зарядов обоих знаков. С помощью леммы 2 мы сумеем доказать теорему 2 для случая системы фермиевских частиц одного знака на фоне компенсирующего заряда, т. е. доказать следующую теорему:

Теорема 6. Пусть N частиц, заряды которых е3 положительны и удовлетворяют условию (2.2), подразделяются на q, классов, причем частицы каждого класса подчиняются правилу запрета. Пусть влияние произвольного потенциального поля V (г) на частицы описывается гамильтонианом (5.3). Тогда энергия основного состояния системы удовлетворяет неравенству

Е+ (У) > —AcfhN^y. (5.14)

Удивительно, что теорема 6 так легко следует из теоремы 2, в то время как похожая по внешнему виду теорема 4 оказывается гораздо более сложной. На первый взгляд кажется, что теорема 4 является всего лишь частным случаем теоремы 6, когда компенсирующий потенциал создается совокупностью фиксированных точечных зарядов (в формулировке теоремы 4 ничего не изменится, если устремить массы положительных зарядов к бесконечности и рассматривать их как фиксированные классические заряды). Имеется, однако, разница между теоремами 4 и 6. В теореме 6 полная собственная энергия компенсирующего заряда включена в гамильтониан, в то время как в теореме 4 собственная энергия отдельных точечных зарядов не учитывается. Это, казалось бы, малосущественное отличие является причиной всех трудностей при доказательстве теоремы 4.

Эвристическое доказательство теорем 1 и 5

Прежде чем перейти к строгому доказательству, полезно дать эвристический вывод теоремы 5, позволяющий понять физический смысл множителя У7/5 в выражении для энергии. Мы уже видели, что доказательство теоремы 5 является одновременно доказательством теоремы 1.

Не претендуя на строгое описание, можно предположить, что система N положительных зарядов, находящих-

ся в компенсирующем поле V (г), образует волновой пакет, линейный размер которого Л, а плотность р, т. е.

А = рЛ3,(6.1)

где опущен численный множитель типа 4л/3.

Волновая функция будет повсюду гладкой, за исключением области короткодействующих корреляций, обусловленных кулоновским отталкиванием и характеризуемых некоторой корреляционной длиной X. Таким образом, вокруг каждого положительного заряда образуется облако индуцированных отрицательных зарядов, содержащее приблизительно

v = рХ3(6.2)

частиц. Плотность зарядов в этом облаке оказывается меньше, чем р, а именно р [1 — (l/v)J.

Оценим теперь полную энергию системы

Е = ЕР + Екь + Ек.(6.3)

Кулоновская собственная энергия средней плотности зарядов в точности компенсируется потенциалом компенсирующего фона. Остается лишь энергия кулоновского взаимодействия

обусловленная притяжением между каждым зарядом и окружающим его облаком. Локальная кинетическая энергия ЕKL является кинетической энергией, необходимой для образования облака зарядов.

Каждое облако существует за счет корреляции v частиц, приводящей к тому, что волновые функции ф этих частиц в пределах' корреляционной длины X заменяются на И — (l/v)]1/^. Необходимая для этого кинетическая энергия равна

=Nv—(6.5)

«Корреляционная энергия» системы Ес состоит из двух частей:

EC = EP^EKL=-N^^_.(6.6)

Для заданных N и р радиус локальных корреляций X определяется минимизацией энергии Ес, что дает

Х=( —) ,а =—=-,(6.7)

\ р /те1''

где а —«боровский радиус». Подставляя (6.7) в (6.6), получаем

Ес = —xMRy,х = (ра3)1/!.(6.8)

Величина х является безразмерной плотностью системы. Из (6.8) видно, что при р —>- оо величина (EJN) стремится к (—оо), а это указывает на неустойчивость системы относительно локальной конденсации.

Последнее слагаемое Ек в (6.3) представляет собой полную кинетическую энергию, необходимую для образования волнового пакета размером Л, т. е.

Ek = -^ = NRY (^)2 = AW/3Ry.(6.9)

Итак, полная энергия равна

Е = Ес + Ек = (—Nx + №/зх8/з) Ry, (6.10) а характерная длина Л определяется из условия минимума энергии Е. Минимизация дает

х = №, Е = —№!^,(6.11)

что и доказывает тоеремы 5 и 1.

Интересно сравнить этот результат для системы с чисто кулоновским взаимодействием

h= = ^vSt\<6Л2)

г<з с результатом, который получается при учете взаимодействия лишь между ближайшими соседями

HN="^^"(6-13)

Взаимодействия типа (6.13) фигурируют в лемме Онса- гера. Допустим, что существует система фиктивных зарядов, взаимодействующих по закону (6.13). Хорошим приближением для описания основного состояния этой системы

является волновой пакет размером Л, в котором заряды движутся независимо, не коррелируя друг с другом. Среднее значение R, по порядку величины равно

R, ~= х-4Ьа.(6.14)

Тогда полная энергия равна

E = ^ — Ne^x4/m-i = ( — Nxi/^N^/3X43-) Ry. (6.15)

Это выражение отличается от (6.10) только тем, что корреляционная энергия, пропорциональная х — р1/4, заменена энергией взаимодействия ближайших соседей, пропорциональной х4/3 — р1/3. После минимизации (6.15) получаем для энергии основного состояния

x = N^,Е- — №/3Ry.(6.16)

Это точно соответствует теореме 3, которая доказывается строго.

Из этих рассуждений вытекает следующее замечание.

Замечание. До тех пор пока мы будем исходить из взаимодействия между ближайшими соседями (6.13) вместо учета реального кулоновского взаимодействия, максимумом того, что можно извлечь из нашего анализа, является доказательство теорем 2—4.

В частности, нет надежды на доказательство предположения 1, основываясь на учете взаимодействия между ближайшими соседями.

Доказательство теорем 1 и 5.

основного состоянияосновного состоянияВерхние пределы для энергии

основного состояния

основного состояния

Теоремы 1 и 5, дающие верхние пределы для энергии основного состояния, могут быть доказаны с помощью вариационного метода. Мы должны лишь найти такую пробную волновую функцию Ф, для которой математическое ожидание гамильтониана меньше чем (—ЛМ7/зКу). Не останавливаясь на деталях вычислений, изложим общую схему доказательства. Теоремы о существовании низшего предела представляют большой интерес и будут здесь рассмотрены с помощью новых методов.

Для построения пробной волновой функции при доказательстве теоремы 5 можно воспользоваться результатами теории возмущений. Теория возмущений для кулоновского газа бозе-частиц при высоких плотностях рассматривалась многими авторами [4]. Все эти работы основаны на работе Боголюбова [5].

Боголюбов построил общую теорию бозе-конденсации газа взаимодействующих частиц при низких температурах, а Фолди применил эту теорию к случаю кулоновского взаимодействия.

Расчет Фолди относится к основному состоянию бесконечного бозе-газа с однородной плотностью р. Теория возмущений строится по степеням х-1, где х = (pa3)1/* — параметр, введенный в (6.8). Таким образом, приближение Фолди тем точнее, чем выше плотность.

Физический смысл теорем 1 и 5 выражается следующей леммой.

Лемма 3. Пусть N положительных бозе-частиц с зарядами е и массами т находятся в кубическом ящике размером L с периодическими граничными условиями, и пусть имеется компенсирующий однородный фон отрицательных зарядов. Тогда энергия основного состояния системы удовлетворяет неравенству . •

Е < (—A, (p«3)V4 + л2) MRy, (7.1) где

(7.2)

Доказательство леммы 3. Мы не будем излагать детали доказательства; приведем лишь расчет Фолди, основанный на теории возмущений, и покажем, как из него можно получить точный верхний предел.

Используя представление бозонов в виде плоских волн, запишем гамильтониан системы в импульсном представлении:

Н = НД'Д (7.3)

(7.4) q

^=552 ^ ^^ч^-^ь (7.5) k I 5#=0

где ад, аь. — операторы исчезновения и рождения бозонов с импульсом к, а суммирование проводится по векторам к, I, q обратной решетки с периодом 2л£-1. Множитель 1/</2 возник в результате фурье-преобразования кулоновского потенциала.

Наиболее важным местом в теории Боголюбова, на основе которой Бардиным, Купером и Шриффером (БКШ) была построена теория сверхпроводимости, является пред-; положение о том, что при высоких плотностях (х 1) почти все частицы сконденсируются в состоянии с к = 0.

Предполагается, что в нулевом порядке теории возмущений

а* = аа = Ы^\(7.6)

aL ah < М1/^ дЛЯ £ ^ о.(7.7)

Поэтому из оператора W можно выделить слагаемые порядка N :

^о = дз ^i "7» ^а*а-д + о-да-д -ц а^ао + а* аа_а).(7.8)

В гамильтониане нет слагаемых, пропорциональных № или М3/2. Таким образом, главными слагаемыми в гамильтониане (приближение БКШ) являются

Hi = Яо + IF0 = 2' [?»(а*ад-\-а*_да_д) + 0Q (a^atq-v a^aq)],

(7.9)

где суммирование по векторам обратной решетки идет до величины <//2, причем каждая пара (q, —q) учитывается только один раз, а

+(7.10)

Боголюбов заметил, что гамильтониан Hi можно диагонализировать с помощью набора бозевских операторов bg, bg:

Ьд = Cqdq -|- SgCt_g,(7.11)

b—q=; SqClq-V CqCt—gi(7.12)

Ctq=Cqbq Sqb'—q,(7.13)

a-q= — Sqbq-V Cqb*_q.(7.14)

В (7.11) — (7.14) использованы обозначения

cQ = ch (4ф«) * sg = sh(yVg), (7.15)

а угол фд определяется условием

th ^ ^ т7 = 1 + XV = 1 + z4 *z = ^q-(7.16)

«Радиус экранирования» X равен

<7Л7>

что согласуется с величиной (6.7), найденной из эвристических соображений. Из выражений (7.13) и (7.14) после простых алгебраических преобразований получаем

a^aq + alqa_q = ch фд ^bq + blqb_q) —

— sh <pq (bqblq + b-qb^ 4- ch фд — 1,(7.18)

a^a^-q -|- й—qCiq = ch фд (bqb_ q -p b-qbq)

— Sh <pq (ЬдЬд +b1qb_q) — Sh фд, (7.19) H^^^-^Wq+blqb-q-Vl-chcpq).

Величины фд (7.16) выбираются в таком виде, чтобы из выражения (7.9) при подстановке (7.18) и (7.19) выпали слагаемые (bqbt_g+ b_qbq).

Гамильтониан Щ, выраженный через операторы bq, записывается в форме

Я1 = 2 ' (?|- ₽|)1/2 Wq + btqb_q + 1 ~ Ch фд) = 9

= 2^ S {(2* + 2)-'-№44[(2* + 2^^^ 940

(7.20)

Этот гамильтониан описывает газ невзаимодействующих квазичастиц (плазмонов), каждая из которых представляет собой комбинацию бозона с импульсом q, и «дырки» с импульсом (—д'). Основное состояние XF оператора Нх соот- 3—0826

(7-21)II(7.22)|СВЯЗЫ-?s*J004<(7-21)II(7.22)|СВЯЗЫ-?s*J004<ветствует полному отсутствию плазмонов bq^ = О для всех ^ О.

(7-21)I

I

(7.22)|

СВЯЗЫ-?

s

*

J

004<

(7-21)I

I

(7.22)|

СВЯЗЫ-?

s

*

J

004<

Введя унитарный оператор

S = еХр |*-^- ^ фд Qci^I-q CZqd^-q)],

можно переписать преобразования (7.11) — (7.14), вающие операторы ач и bq, в следующем виде:

bq = SaqS-\ btq = SatqS~1.

Тогда собственная функция Т оператора Щ, соответствующая основному состоянию системы, равна

Т = 5Ф,(7.24)

где Ф — собственная функция основного состояния гамильтониана HQ системы невзаимодействующих бозонов. Из определения оператора S видно, что Т представляет собой когерентную суперпозицию возбуждений — пар бозонов с равными и противоположно направленными импульсами [(^) и (—<7)1. Эти пары бозонов математически эквивалентны «куперовским парам» в теории сверхпроводимости Б KILL

Уравнения (7.24), (7.22), (7.17) и (7.16) полностью определяют пробную волновую функцию Т. Слушатели могут сами убедиться в том, что эта функция соответствует качественному описанию функции, введенной при эвристическом выводе теоремы 5.

Возвращаясь к (7.20), получаем для энергии основного состояния гамильтониана Ну

[^+^г-(^+2)'"].(7.25)

9=^0

Фолди рассчитал Еу в предельном случае L —> оо при условии, что плотность остается постоянной. При этом суммирование по q можно заменить интегрированием по 2, что дает

Ех = — ^-(8npas)1/4JWRy,(7.26)

[z*+l-z*^+2)1/2]dz = 234^^^(7.27)

Последнее равенство получено очень наблюдательным анонимным референтом статьи Стефана в Лондонском физическом обществе. Уравнение (7.26) представляет собой основной результат Фолди.

До сих пор мы пользовались методами теории возмущений. Нетрудно, однако, получить и точное выражение для верхнего предела. Энергия Е основного состояния гамильтониана Н, полученная с помощью вариационного метода, удовлетворяет условию

Е < Et + (V, (W — Wo) V). (7.28) Значения (7.26) величина Et достигает лишь в пределе L —*- оо, но граничное значение

Е, < — А (ра3)/^ Ry, (7.29) где А —малый коэффициент, может быть получено из (7.25) также и для конечного L.

Для оценки выражения (Т, (W — И70) ^J используем определения (7.13) и (7.14) и выразим W и Wo через операторы bq и bq. Тогда (W — №о) будет представлять собой полином четвертого порядка по bq и bq-.

6,-»>'.= SS2 ^(.-s^b-^A-c^bUifX к I дфО

X ( — St_qb_l+q-V- C^qbT-g) (Chbk — Shb-k) (.C^t — Stb* i). (7.30) Но благодаря (7.21) в выражении для математического ожидания останутся лишь слагаемые, для которых

к + I = 0 или q = I — к. (7.31) Следовательно,

^, (Г-Го)^) = 2 2(7.32)

к дф 0

Положив k-ky, k^-q = Kz и учтя определение (7.15), найдем, что в пределе Е-э-оо (7.32) сводится к Ф, (W— -W=^-VRy/,

Г f ^^ _

Это выражение не зависит от плотности р, и поэтому в случае высокой плотности оно оказывается меньше Ev Плохо лишь то, что коэффициент / логарифмически расходится при у = г = 0.

Однако эту расходимость можно устранить тривиальным образом. Выберем некоторое положительное 0 и определим Ф9 выражением (7.16) только для

X | q | > 0, (7.34)

тогда как для X | q | < 0 положим фд = 0, т. е. bq = aq. Следовательно, преобразование .Боголюбова применяется только для импульсов, больших чем (0/Х). Тогда для энергии Et, соответствующей состоянию Y оператора Hv, получается то же выражение (7.26), что и раньше, но интеграл / будет «обрезан» при z = 0. При этом снова справедливо неравенство (7.29), но коэффициент А теперь зависит от 0. Точно так же остаются справедливыми выражения (7.32) и (7.33), однако в. интеграле / появляются нижние пределы: у = 0, г = 0. «Обрезанный» интеграл I является конечным. Следовательно, из (7.28) получаем

Е < N Ry [—Л (ра3)1/» 4- Д2], (7.35)

что и доказывает лемму 3.

Заметим, что наша пробная волновая функция Т не соответствует состоянию с определенным числом частиц N, поскольку при боголюбовских преобразованиях число частиц не сохраняется. Но так как полный гамильтониан Н записан для определенного числа частиц, применимость неравенства (7.35) к состоянию Y означает, что (7.35) справедливо также для той компоненты Т, которая одновременно является собственной функцией оператора числа частиц N. Для наших целей этого достаточно.

Остается завершить доказательство теоремы 5, используя лемму 3. Мы не будем приводить подробности этого вывода. Ясно, что можно в духе проделанного выше эвристического доказательства построить волновой пакет из N частиц с плотностью р, определяемой условием

(pa3)i/4 ^ ^2/5 (7 36)

в соответствии с (6.11). Затем мы должны показать, что неравенство (7.35) справедливо не только для частиц,

находящихся в периодическом ящике, но и для частиц, образующих волновой пакет. Нам пока не удалось доказать это просто, без утомительных вычислений.

Дополнительное замечание. Один из слушателей заметил, что при расчете выражения (Т, (W — №о) 4D я опустил слагаемое в (а*а0 — N^ которое оставалось при замене (а*ао) на N при переходе от ^ к ^0- Однако это слагаемое тождественно обращается в нуль, поскольку Y = ЗФ, оператор 3 коммутирует с (а*а0), а Ф является собственной функцией оператора (<2оао) с собственным значением N. В то же время обсуждение с Гроссом и другими убедило меня в существовании более простого и ясного доказательства теоремы 5 (см. также [6]).

Предварительные замечания н доказательству теоремы 3

Прежде чем доказывать теорему 3, получим несколько интересных выводов, исходя из очень простых соображений.

Теорема 7 (Рюэль — Фишер). При выполнении условий, сформулированных в теореме 3, справедливо неравенство

(8-1)(8-1)Е ■> — !_№ Ry.

(8-1)

(8-1)

Доказательство теоремы 7. Гамильтониан (2.1) можно переписать в виде

Я = 2 [ 2^-1)тг + 2(N-Umj + |гг-гЛ ] '(8,2>

Величина, стоящая в квадратных скобках, представляет собой гамильтониан системы из двух частиц с зарядами ег, в, и массами (2V — 1) тг, (N — 1) т3. Энергия основного состояния такой системы равна

ец ='ец ='^ (У_1)тгт, 2№ т; + т.^ (У_1)тгт, 2№ т; + т.-^WRy,-^WRy,(8.3)(8.3)

ец ='

ец ='

^ (У_1)тгт, 2№ т; + т.

^ (У_1)тгт, 2№ т; + т.

-^WRy,

-^WRy,

(8.3)

(8.3)

когда знаки зарядов ег, е5 противоположны, и sZj-— О в случае одинаковых знаков. Число пар разноименных

зарядов в сумме (8.2) не превышает ТДЬП. Тем самым теорема 7 доказана.

Теорема 8. При выполнении условий, сформулированных в теореме 3, справедливо неравенство

Е > —2-V2№ Цу.(8.4)

Эта теорема не столь проста, как предыдущая. Для ее доказательства необходима лемма, определяющая выражение типа (8.3) для короткодействующего потенциала Юкавы.

Лемма 4. Частица с массой т в поле потенциала Юкавы

(8.5)

может находиться в связанном состоянии лишь при выполнении условия

ap<Vi(в-6)

Доказательство леммы 4. Гамильтониан

^= 5 ^Зг [—(-£2^--) |^<г)12+^-|^ф<г>1з1 <8-7)

в импульсном представлении записывается в виде Н = = Иц+Г, где

Т = ^ VW j | Р |2 Й (р) |2 #Р,(8.8)

V, = - 4пг= j j |У^$ »Р »Р' ■(8.9)

Применим к функции Иц неравенство Коши

Ии |2 С (4ле2)3 [ j j | Р |21 р'|21W) ГЧ Ф (р') |а ^3Р ^3Р'] х

х[ f J |рГ2|р' Г2(|р—Р' |2 + nT3d3pd3p'] =

= (4^3)Ч(^.-тГ^<8-10)

Следовательно, гамильтониан (У + Иц) может иметь отрицательные собственные значения лишь при ар, <11^2.

Доказательство теоремы 8. Аналогично (8.2) перепи шем гамильтониан (2.1) в виде

та^У1-^"''"'''). <8-Н)

г<Э

Величина, стоящая в квадратных скобках в выражении (8.11), представляет собой гамильтониан системы из двух частиц, потенциал взаимодействия которых является потенциалом Юкавы. «Боровский радиус» такой системы двух частиц равен

_ НЧтг^тй 2а R

Поэтому в соответствии с леммой 4 двухчастичный гамиль

тониан положительно определен при условии

Тогда из (8.11) следует, чтоТогда из (8.11) следует, чтог<.зг<.зС помощью преобразования Фурье находимС помощью преобразования Фурье находим' г з' г з33Следовательно,Следовательно,-Д-W2 Ry.V2 3-Д-W2 Ry.V2 3(8.14)(8.15)(8.16)(8.14)(8.15)(8.16)(8.13)

Тогда из (8.11) следует, что

Тогда из (8.11) следует, что

г<.з

г<.з

С помощью преобразования Фурье находим

С помощью преобразования Фурье находим

' г з

' г з

3

3

Следовательно,

Следовательно,

-Д-W2 Ry.

V2 3

-Д-W2 Ry.

V2 3

(8.14)

(8.15)

(8.16)

(8.14)

(8.15)

(8.16)

Доказательство теоремы 3.

Кулоновская система, не подчиняющаяся правилу запрета

Перейдем, наконец, к самой трудной части нашей работы — доказательств у существования нижних пределов. Начнем с теоремы 3.

Предположим, что Y (г^, . . ., rN) — волновая функция некоторого состояния системы N частиц, описываемых гамильтонианом (2.1) и не подчиняющихся никакому правилу запрета. Согласно (2.2), математическое ожидание величины Н, соответствующее состоянию Y, удовлетворяет неравенству

(9.1) где

N.

Т = j . . . ^ dr, ... drN ^N-1 5 iVyVp), (9.2)

5 = 1 причем, согласно лемме . 1,

W>—eaNKi,- (9.3)

Ki=r4^R-1).(9.4)

Величина Kt представляет собой обратное среднее расстояние между соседними частицами. Задачей дальнейшего расчета будет получение нижней границы для Т, выраженной через Ki.

Определим величину Rj<r как расстояние \ft-—ту |, i ¥= ь между частицей, находящейся в точке г,, и ее q = ц соседом.

То расстояние, которое мы раньше называли Rj, соответствует теперь R^. По аналогии с (9.4) определим величину

Kq = N^( 2(9.5)

причем будем предполагать, что

Rjq = co, Rq = o для q>-N.(9.6)

Попытаемся теперь найти верхний предел для величины

Lq=^KP.(9.7)

p=i

Если полностью выписать интегралы в конфигурационном пространстве, характеризующие взаимодействия между ближайшими соседями, то (9.7) при учете (9.5) сведется-к

N N

Lq = N^ 2 2 s J • • • j . drNX j=lk=l I * R

X (Slr.-r,,-1 ^(r,r„)|«).(9.8)

Здесь координата r3 характеризует положение произвольной частицы, а rh — ее (^ + 1)-го ближайшего соседа. Символ 2 соответствует суммированию по q целым значе- ниям индекса /, отличающимся от / и k и относящимся к 1,2... q-wj ближайшему соседу частицы, расположенной в г,. Область интегрирования R определяется условиями

I О — п | < | rft — и | для Z е I,

I г г —- r3 I > \гк — r3 I для / ^ ), k, I не 6 I.'

Возникает вопрос, почему мы интересуемся величиной L^> Дело в том, что при оценке величины L^ = Ki, входящей в лемму Онсагера (9.3), оказалось, что ее нельзя определить, не зная Ka, а Ь2 невозможно найти, не зная Кз и т. д. Удобнее поэтому начать анализ сразу с определения величины Lq при произвольном q.

Предположим, что интегрирование в (9.8) проводится сначала по тем переменным гь для которых I £ I. При этом область интегрирования представляет собой сферу с центром в точке г.-. Итак, нам необходимо оценить интеграл

j ^[Ч^г)]2^/-.(9.10)

Интегрирование в (9.10) проводится по сфере радиусом | г j < b. Этот интеграл представляет собой потенциаль-

ную энергию частицы, находящейся в кулоновском поле (1/г). Для оценки интеграла достаточно элементарных сведений из квантовой механики.

Существенно, однако, что мы не имеем дело с частицей, находящейся в сферическом ящике | г | < 6 с граничными условиями Т (г) = О при | г | = Ь. Нужно оценить интеграл (9.10) без каких бы то ни было граничных условий. Нет никакой физической причины существования потенциального барьера при | г | = Ь; скорее наоборот, волновая функция гладко продолжается за пределы этого барьера.

Для нашего метода вообще характерно рассмотрение задач со свободными границами, когда приходится минимизировать интеграл, определяющий энергию системы, без каких бы то ни было граничных условий.

Оценка интеграла (9.10) проводится с помощью следующей леммы.

Лемма 5. Пусть ф (г) — произвольная дифференцируемая комплексная функция, определенная внутри области S — сферы радиусом | г | ^ Ъ. Тогда

I j। ^ <^> г ^зг)1/2 X

S8.

X ( ( |V^(r)|2d3r)1/2.(9.11)

8

Этому эквивалентно следующее утверждение: для произвольных вещественных X, положительных или отрицательных, справедливо неравенство

J 4" I ^ ^ *2 ^3r^ J iv^ ^ I2 +

88

+ (1-+^-) Ji^wi2^-. <9-i2>

8

Еще одна эквивалентная форма этого утверждения: если е — наинизшее собственное значение энергии основного состояния для уравнения Шредингера

V2^ +-7-Ч” Ч-еЧ5 = 0,|г|<&,(9.13)

с граничным условием

(9.14)(9.15)(9.14)(9.15)п • Уф = О на | г | = b то существует нижняя граница для е:

(9.14)

(9.15)

(9.14)

(9.15)

_ ЗА, А,2

8>—2Ь—4"-

Почему же после всего сказанного мы снова обращаемся к граничным условиям (9.14)? Дело в том, что условие (9.14)—условие обращения в нуль градиента — автоматически выполняется при минимизации интеграла (9.12) в случае свободных границ. При вариации | Уф (r) I2 d3r s

по 4* (г) возникает интеграл по границе области

J [6ф* (л-Уф) + («*Уф*) d^]d2r,(9.16)

который для произвольного 6-ф обращается в нуль лишь при выполнении условия (9.14). Таким образом, граничное условие (9.14) является «естественным» для всех задач со свободными границами.

Вид нижней границы для энергии, записанный в (9.15), допускает простую физическую интерпретацию. Собственная функция, соответствующая основному состоянию системы, является для малых Л константой, а собственное значение

представляет собой потенциал (—Х/г), усредненный по сфере. Для больших X основное состояние водородоподобно, а собственное значение

4-V,6Х»1,(9.17а)

является «ридберговской энергией» в поле потенциала (—Х/r) в бесконечном пространстве. Следовательно, (9.15) означает, что истинная энергия ограничена суммой энергий, соответствующих приближениям слабой (9.17) и сильной (9.17а) связей.

Отложим пока доказательство леммы 5 и вернемся к выражению (9.8). В каждом слагаемом суммы мы сначала

интегрируем по rz при фиксированных значениях всех остальных величин rm. Тогда, согласно лемме 5 [см. (9.12)], получаем для положительных X:

N N

Lq^N'1 ^ 3 5 j • ' • J ^ 11 1 х j = 1h =1 ГR

X^SlV^+^^.j+^Jw}.(9.18)

Рассмотрим теперь подробнее интегралы в конфигурационном пространстве в выражении (9.18). Последнее слагаемое содержит интеграл от | ф |2 по всем конфигурациям, который равен единице.

Второе слагаемое, в котором надо положить

\ rk — r} \ = Rbq^,(9.19)

равно в соответствии с определением (9.5) /Сд-ц. Вычисление первого слагаемого более трудоемко. Для произвольной конфигурации (/у, . . ., г^ член J УгФ I2 появляется только в тех точках хь для которых в точке xz расположен р-й ближайший сосед (при условии 1 ^ р ^ q).

Введем величину

mlp (п, . .г^,(9.20)

определяющую число точек гь для которых р-й ближайший сбсед расположен в точке rt, и запишем сумму таких величин:

MIq (г^ ..., /^)= 2 m-tp-(9.21)

p=i

В этих обозначениях неравенство (9.18) примет вид

n

Ла< 2 J • • • J ^1 • • • dxN (Mlq I VzФ |2) + z = 1

+4^+4-^. <9-22)

При работе с величинами Miq нам понадобится еще одна лемма. - -

Лемма 6

Mtq < 15<у..(9.23)

Это — чисто геометрическое утверждение, и мы пока отложим его доказательство.

Допуская справедливость неравенства (9.23), получаем из (9.22) и (9.2.)

Lg < 15Х xqT -;--g- qK,q+i -{- — qX,(9.24)

откуда при соответствующем выборе X имеем

Lq^-^qKq+i + qVTBT.(9.25)

утверждениеутверждениеДля ^>^/15 оценка (9.23) слабее, чем тривиальное

утверждение

утверждение

(9.26)(9.26)Mtq С N.

(9.26)

(9.26)

Следовательно, для ^>7V/15 вместо (9.25) можно использовать неравенство

Lq < 4 ЧКд+i + УЖ(9.27)

В частном случае q = N проведенный выше анализ выражения (9.8) остается справедливым, однако точка rh теперь находится на бесконечности, а интегрирование по rt распространяется на все пространство. При этом справедлива лемма 5 в форме (9.12) при b — со и, таким образом, верно также неравенство (9.18), в котором второе слагаемое обращается в нуль. Таким образом, вместо (9.27) получаем

ЕМ<ЖТ,(9.28)

т. е. при выполнении условия (9.6) неравенство (9.27) справедливо для всех q.

Теперь осталось лишь проделать элементарные алгебраические преобразования для доказательства теоремы 3, используя (9.25) и (9.3).

Определим коэффициент РР (при 0О — 1):

о 2 X 5 X ... X (Зр— 1).

Рр = Зхбх ... х(3р) для ^>!’(9.29)

или через гамма-функции

Г ("Т+р)

Р,=, \\'•(9.30)

г(—)rd+rt

Тогда

Зр (Pp-i Рр)— Pp-i,

3 Pp-i = 5 (ЗрРр-i з/?рр) = p=ip=i

= 2 [3ppp_1-3(p-l)Pp-i]-3fepfe (9.31)

и, следовательно,

(9.32)(9.32)(9.33)(9.33)2 рр-^А^.

(9.32)

(9.32)

(9.33)

(9.33)

р= 1

Предположим, что неравенство

Ki>Pz-i/Ci + 2 (Р^ - 1) VW

доказано для / = 1, 2, ..., q. (Оно тривиально выполняется для /=1.) Тогда из (9.25) получаем

^■qK,«^ 2 К,-»/15Т>(2Р,-,)(Х+2Г15Г)- 1=11=1

- 3q ГТбГ = А ^« (^ + 2 ^^ " 3q V^T. (9- 34>

откуда следует справедливость . неравенства (9.33) для l = q-V \. Таким образом, неравенство (9.33) справедливо для всех I. Тогда

гдегде7C!<ag7<g + 2(ag-l)]/15T,(9.35)

где

где

(9.36)(9.36)1 Зхбх ... х(3^-3)

(9.36)

(9.36)

ag “ Рд-1 ~ 2 X 5 X ... X (3^ — 4)

ИИ

И

И

= (3<7 —2)1/з<(3<7)1/з.(9.37)

Положив в (9.35) q — N и использовав (9.6), находим интересующую нас связь между величинами К\ и Тг

7<1<2а2у]/'15Гс2(3^)1/з"К15Г.(9.38)

Объединяя (9.1), (9.3) и (9.38), имеем

W>-^NT-2^NVl3NeW^T, (9.39)

а минимизируя это выражение по Т, находим

(9.40)(9.40)(Я) > —60.32/3№/3Ry > — 125№/3Ry,

(9.40)

(9.40)

что и доказывает теорему 3.

Просматривая доказательство теоремы, нетрудно выяснить происхождение множителя N^3. Он связан с видом коэффициента aq (9.37), который в свою очередь обусловлен множителем 3/2 в (9.25) и в конечном счете — множителем 3/2 в лемме 5. Множитель 3/2 в лемме 5 представляет собой отношение среднего кулоновского потенциала внутри сферы к потенциалу на поверхности. Итак, множитель N5/3 является следствием простого, геометрического свойства кулоновского потенциала.

При доказательстве неравенства (9.40) мы воспользовались только справедливостью неравенства (9.25) для всех q, в то время как для q > Я/15 можно получить более сильное неравенство, исходя из (9.27). Использование (9.27) приводит к несколько меньшему численному коэффициенту:

(Я) > —44№/3Ry.(Я) > —44№/3Ry.(9.41)(9.41)

(Я) > —44№/3Ry.

(Я) > —44№/3Ry.

(9.41)

(9.41)

Получение коэффициента 44 довольно сложно, и я не буду приводить здесь этот расчет.

Доказательство леммы 5

Рассмотрим задачу на определение собственных значений

V^ — V (г) ф + £ф = О(Ю.1)

при выполнении граничного условия

/z-V^^O(Ю.2)

для произвольного вида потенциала V (г) и произвольной области S.

Волновая функция ф (г) основного состояния положительна и не равна нулю. Поэтому вектор

зу =(ю.з)

ф

определен в области S и удовлетворяет уравнению

V -w + w2 — V (г) + 8 = 0(Ю.4)

и граничному условию

n-w = 0.(Ю.5)

Интегрируя (10.4) по области S и используя (10.5), найдем

& = V — су2,(10.6)

где

j V (г) d^r

=,(Ю-7)

s

а ш2 — аналогично определяемое среднее значение величины СУ2.

Уравнение (10.4) имеет любопытную гидродинамическую аналогию. Если продифференцировать (10.4) еще раз, получается уравнение

2 (су-V) w + У2су —• VV = 0,(Ю.8)

которое похоже на уравнение Навье — Стокса для установившегося потока вязкой жидкости. В дальнейшем мы не будем больше касаться этой гидродинамической аналогии г).

х) В «навье-стоксовой» форме уравнения Шредингера (10.8) коэффициент вязкости оказывается отрицательным. В уравнение движения любой «уважающей себя» жидкости кинематическое ускорение (ro-V) w и вязкое трение V2ro должны входить с положительными коэффициентами. Коэффициент в уравнении (10.8) можно очень просто сделать положительным, определив скорость жидкости как (—го). Таким образом, согласно (10.3), жидкость движется из области, где |ф |2 велико, в область, где |ф |2 мало.

Пусть V (г) является кулоновским потенциалом

^(г)--4"’<10-9)

а область S — сферической оболочкой

а<И<Ь- '(10.10)

Тогда среднее значение потенциала равно

^=—(10.11)

а собственная функция ф (г) основного состояния окажется сферически симметричной. Далее, w — радиальная компонента вектора w, поскольку перпендикулярная к радиусу составляющая равна нулю. Тогда уравнения (10.4) и (10.5) преобразуются в

^_^Aw + w2 + A_^6_0)(Ю.12)

о> = 0 для г = a, r = b. (10.13)

Дифференцируя (10.12), получаем

^H^^+A^-^^ + ^x^o. (10.14)

Пусть IFi — любое максимальное значение величины w, т. е. при w = Wt

-37 = °.°-<10-15)

Тогда из (10.14) следует

(10.16)(10.16)IFi + ^-XCO.

(10.16)

(10.16)

Аналогично, любое минимальное значение W2 удовлетворяет неравенству

(10.17)(10.17)U72 + ±X>0.

(10.17)

(10.17)

Если w обладает и максимумом, и минимумом, тогда из (10.16) и (10.17) получается, что Wt ^ IF2, а это невозможно. Поэтому возможно существование либо максимума Wb либо минимума W2. Согласно (10.13), величина w изменяется от 0 до W^ (или IF2). В любом случае из (10.16) 4—0826

или (10.17) вытекает неравенство

Iш W 1<-у । ^1’ а<г<Ь, (10.18) и, следовательно,

t^C^X2.- (10.19)

Объединяя (10.6), (10.11) и (10.19), получаем

ЗА, / № — а2 \1ЗА, 1

е>5-л-т-^ >■ --ЙГт-А •(10.20)

2 \ Ь3 — а3264''

Когда внутренний радиус а —> 0, область S превращается в сферу, а энергия основного состояния ограничена снизу неравенством (10.20). Таким образом, мы доказали справедливость неравенства (9.15), а следовательно, и лемму 5.

Численный пример к лемме 6

Прежде чем доказывать лемму 6, имеет смысл привести численный пример, который покажет, что более сильное неравенство, чем приведенное в лемме 6, невозможно.

Лемма 7. Возможны такие конфигурации точек, при которых для некоторых I и q справедливы соотношения

ти = ти = . . . = m^-t =0,(11.1)

Mlq=mlq = 12q.(11.2)

Лемма 7 показывает, что коэффициент 15 в лемме 6 приблизительно соответствует реальности. Она также показывает, что нельзя извлечь ничего полезного из равенства, заменяющего неравенство (9.22), в том случае, когда вместо суммы Lq использовано только одно слагаемое Kq. Можно написать равенство типа (9.22), в котором слева стоит Kq, а справа mlq вместо Мщ. Но равенство (11.2) показывает, что замена М на т не приводит ни к чему новому. Возможность случайных изменений величин mlq заставляет учесть различные Кр в сумме Lq для получения надежной оценки.

Доказательство леммы 7. Пусть мы имеем N — 12^ + 1 точек г,, одна из которых (гz) находится в центре правиль-

ного двадцатигранника, a q из них сконцентрировано вблизи каждой из 12 вершин двадцатигранника. Так как ребро двадцатигранника больше чем радиус описанной вокруг него сферы на множитель 1,05, все 12 точек вблизи вершин имеют в -точке гг своего q-ro ближайшего соседа. Это доказывает (11.1) и (11.2).

Доказательство леммы 6

Вернемся теперь к доказательству леммы 6. Пусть (rt, . . ., г^—произвольная конфигурация N точек, и пусть

(гь У1, - • Ум), M=Mlq, (12.1)

— подмножество точек, содержащее точку гг и те точки гь для которых в точке гг расположен р-й ближайший сосед (р ^q). Каждая точка#;, для которой р-й ближайший сосед в конфигурации (rt, . . ., г N) расположен в rz, имеет в этой же точке s-ro ближайшего соседа в конфигурации (Гь • • '., Ум), где s ^ р < q.

Таким образом, при переходе от конфигурации (г4, . . . . . ., rN) к (rz, yt, . . ., ум) величина Mlq не изменяется, и этого достаточно, чтобы доказать лемму 6 для (rz, . . .,ум)-

Зададим некоторое направление 0 в пространстве; пусть С (6) — конус с вершиной в точке rz, осью, параллельной 0, и с углом при вершине, равным 60°.

Пусть п (0) —число точек (yt, . . ., ум), которые лежат в С (0), и пусть из всех точек п (0) точка yk лежит на наибольшем (или на одном из наибольших) расстоянии от точки rz. Для любого Уз из С (0) с / V= &

I Уз — тг К | yk — rz J,I Уз — тг К | yk — rz J,(12.2)(12.2)угол (узГгук) С 60°.угол (узГгук) С 60°.(12.3)(12.3)

I Уз — тг К | yk — rz J,

I Уз — тг К | yk — rz J,

(12.2)

(12.2)

угол (узГгук) С 60°.

угол (узГгук) С 60°.

(12.3)

(12.3)

(12.4)(12.4)Тогда | Ун — Гг \ — самая длинная сторона треугольника (УзТгУн) и

(12.4)

(12.4)

I Уз — Ук К | Ук — г г |.

Неравенство (12.4) выполняется для п (0) — 1 точек у3, а в точке rz, как мы знаем, расположен р-й ближайший сосед к точке ук (при р ^q).

(12.5)(12.5)Поэтому для любого направления 0

(12.5)

(12.5)

п (9) ^ q.

Интегрирование (12.5) по всем направлениям приводит к

(12.6)(12.6)п (0) d£l<^4n.q.

(12.6)

(12.6)

В левой части неравенства (12.6) стоит полное число точек у3, умноженное на полный угол раствора конуса С (0), поэтому

(12.7)(12.8)(12.7)(12.8)М iq2st (1 — cos 30°) ^ 4л^,MgC4(2 + K3)7<15^.

(12.7)

(12.8)

(12.7)

(12.8)

Правило запрета

В нескольких следующих лекциях будут рассматриваться ферми-системы, устойчивость которых обусловлена правилом запрета.

Применению теории возмущений к кулоновскому газу ферми-частиц посвящено большое количество работ (см., например, [7]). Теория возмущения показывает, что в случае высокой плотности система ферми-частиц вполне устойчива, поскольку благодаря правилу запрета кинетическая энергия системы преобладает над кулоновским взаимодействием. Доказывая теорему 2, мы хотим подтвердить выводы теории возмущений строгими методами.

Очень интересной работой, о которой я расскажу, является работа Теллера [8].

Постараемся придать точную количественную формулировку следующей физической идее: чтобы удержать вместе несколько ферми-частиц, необходима большая кинетическая энергия. Для этого рассмотрим такую лемму.

Лемма 8. Пусть T (rt, . . ., rv) —любая антисимметричная функция координат v фермионов, определенная и дифференцируемая для каждого tj внутри сферы. S:

(13.1)(13.1)I О I ^ Я, / = 1, . . ., V.

(13.1)

(13.1)

Тогда

- - - j 5 IV^IMn dr^

s 5=1

>(V-1)№2 j. . . j m2^ ,.. drv, (13.2) s

где £=2,082— наименьший корень уравнения

_^.(^21)=0.(13.3)

Доказательство леммы 8. Как и в лемме 5, мы имеем дело с задачей минимизации без граничных условий. Отношение левой части неравенства (13.2) к правой будет минимально для функции Y, удовлетворяющей естественным граничным условиям:

п-\7^ = 0 на | rj | = Я.(13.4)

Пусть теперь фа (г) — одночастичная собственная функция уравнения Шредингера

V^.a (г) + е^^ (г) = 0,|г|<Л,(13.5)

удовлетворяющая граничному условию

7Z.V^a(r) = 0,|г|=^.(13.6)

Функцию Y можно разложить в ряд

Т = 3 С (а^ а^ П Ф»ц (гД (13.7) аН=1

с антисимметричными коэффициентами С.

Отношение

L.l 2 I VjY|Мп ... drv

■п = ——, (13.8)

j j | V |2 dn ... drv

является минимальным, когда Ч1* представляет собой детерминант, составленный из v наинизших одночастичных состояний,

Таким образом,

Л ^ 80 + 81 + . . . + 8v_i!,(13.9)

где e„ расположены в порядке возрастания. Наинизшее состояние фо (г) постоянно в области S, и его энергия е0 = 0. Следующие три Состояния являются Р-состояния- ми равной энергии с волновыми функциями

^<г)=^[-^-7^]’а=1> 2’-3’ <13Л°)

и энергией

е« = -^-1а=1, 2, 3.(13.11)

Выше еа расположено второе S-состояние с волновой функцией [r^sin (5'г/Р)] и энергией (£'2/Р2), где ^' —■ первый положительный корень уравнения (d/d'9 X X (£' -isin £') = 0. Очевидно, что §' > §.

Подстановка (13.10) в граничное условие (13.6) приводит к уравнению (13.3), определяющему |. Поскольку еа возрастает с ростом ^, то неравенство (13.9) сводится к

^ ^ (v _ 1) £2д-2,(13.12

которое и доказывает лемму.

Может показаться странным, что мы не учитывали зависимость 8„— а2/з при больших а. Выражение в правой части неравенства (13.2) линейно по v, хотя мы знаем, что при больших v могло бы получиться выражение, пропорциональное v5/s. Учет нелинейной зависимости не улучшает наши результаты, поскольку в нашем анализе существенны малые v, для которых линейная зависимость справедлива. Физически это означает, что система достаточно устойчива благодаря правилу запрета, действующему между парами и триплетами соседних электронов. Плотность никогда не достигает такого высокого значения, когда становится существенным тот факт, что энергия ферми - частиц изменяется пропорционально v5/3.

Следствием леммы 8 является следующая лемма.

Лемма 9. Пусть (гъ . . ., rv) —координаты v фермионов, принадлежащих q различным классам, причем правило запрета действует только внутри каждого класса. Пусть Т

определено в области (13.1). Тогда из неравенства

V

J. . . j S IV^I2^ ...dr^

s 5=1

drv (13.13)

s следует, что

4>2q.(13.14)

Доказательство леммы 9. Пусть vp — число частиц в классе р. Тогда при выполнении (13.14) из (13.2) вытекает (13.13), если коэффициент V2V заменить на

9

5 (vp— l) = v — q>l-M.(13.15)

p=i

При выборе 2^ в качестве минимального значения v допускается возможность неоптимального v. Преимущества выбора оптимального v незначительны, поэтому мы использовали значение 2q в целях упрощения расчета.

Теперь можно формально получить основной результат, вытекающий из существования правила запрета.

Лемма 10. Пусть функция Y (г^ . . ., гN^ относится к произвольному состоянию системы N фермионов, принадлежащих q классам, причем действие правила запрета распространяется только на частицы данного класса. Тогда

(К2д-1У<20Т,(13.16)

где определение Т дано в (9.2), a K2q-i —в (9.5).

Отметим, что это утверждение касается только кинетической энергии Т и справедливо для любой ферми-системы независимо от характера взаимодействия между частицами.

Доказательство теоремы 2.

Верхняя граница для энергии системы, подчиняющейся правилу запрета в пределах каждого класса частиц

Прежде чем доказывать лемму 10, покажем, что из нее немедленно следует справедливость теоремы 2. Пусть выполняются все предположения теоремы 2. Тогда энергия

основного состояния Е удовлетворяет неравенству

E^NT + W,(14.1)

где Т определено в (9.2). Для доказательства теоремы 2 нам необходимо лишь объединить три полученных ранее результата.

Во-первых, согласно лемме Онсагера 1, потенциальная энергия ограничена снизу

W>—Ne^Kv(14.2)

Во-вторых, в соответствии с леммой 10 при наличии правила запрета кинетическая энергия также ограничена снизу

Т>^кК^.(14.3)

Третье необходимое нам соотношение устанавливает связь между Кл и K^q-i- Оно задается неравенством (9.35), которое было доказано без использования правила запрета; однако это неравенство справедливо, в частности, для системы фермионов. При доказательстве теоремы 3 мы воспользовались неравенством (9.35) при q = N; теперь мы используем (9.35), заменив q на (2q — 1), так что

Ki ^ a,2q-iK2q-l 4~ 2 (a2g-l 1) 1^ 15Т.(14.4)

Практически (2q — 1) является малым числом порядка 3 или 7.

Объединяя (14.3) с (14.4), получаем

Ki^^VT,(14.5)

^q — 2 }/5 a2Q~i + 2 ^15 («27-1 — 1)-(14.6)

Последнее неравенство совместно с (14.1) и (14.2), дает

Е>^МТ- У^ V"T^ - yqN Ry. (14.7)

Используя грубую оценку (9.37) для a2g i найдем из (14.6)

Т^гхб^З/б + З/Тб^з^оу б^/з,(14.8)

Е> —SOOq^aN Ry.(14.9)

А это и есть формулировка теоремы 2.

Коэффициент в этом неравенстве необычайно велик, однако ясно, что мы не сможем уменьшить его в 100 раз просто за счет повышения точности расчета. Нашему методу расчета вообще свойственны большие коэффициенты.

Для случая q = 2 была сделана попытка получить более строгий результат, чем (14.9), обращая больше внимания на детали вычислений. При этом вместо леммы 10 мы пришли к такой лемме.

Лемма 11. Исходим из предположений леммы 10 для q — 2. Тогда

(К2У > 157\(14.10)

Отличие от леммы 10, выражающееся в изменении коэффициента с 20 на 15, не слишком велико, однако замена Кг на К2 очень существенна. Теперь из (9.35) следует

Ki^K^-YVXCT,(14.11)

откуда при учете (14.10) имеем

К^-^-УХЭТ.(14-12)

Итак, для <7 = 2 вместо (14.7) и (14.9) получается

^MRy> —lOOWRy.(14.13)

Это неравенство выглядит несколько лучше, чем (14.9), однако такая оценка энергии основного состояния все еще очень далека от истинной, которая, как нам известно из теории возмущений и из эксперимента, имеет порядок одного Ридберга на электрон.

В разделе 5 мы установили, что теорема 6 является следствием теоремы 2. Из доказательства леммы 2 мы видели, что численный коэффициент А в теореме 6 почти в 22/з < 1,6 раза больше, чем коэффициент в теореме 2. Таким образом, (14.9) означает, что фигурирующая в теореме 6 энергия основного состояния Е+ (V) для фермионов класса q в компенсирующем поле V удовлетворяет неравенству

Е+ (Ю > —ЗОО^ЛГНу.(14.14)

Доказательство леммы 10.

Нижняя граница для кинетической энергии

Мы докажем лемму 10, исходя из леммы 9, содержащей правило запрета, точно так же, как, используя лемму 5 для кулоновских сил, мы доказали лемму 3.

Выберем произвольный радиус R и зададим функцию X (г) в виде

(15.1)(15.1)(3/(4л^3), |гКЯ,Х(г)-10, И>Я.

(15.1)

(15.1)

Поскольку для любого г справедливо

J Х^ — y^d?y= 1, то (9.2) можно переписать в форме Т = N-1 ^ dsy J • ■ • J ^ri • • • drN х

x[Sx(G-^)|V^|3].(15.2)

J=i

Внутренний интеграл совпадает с интегралом (13.13) из формулировки леммы 9, согласно которой

Т ^ N 1 1 d3y \ . ; . \ di\ . .. drN X

N

х^Х(гз-уН^\2Р(у, Г1, .... ^)-^]>(15.3)

где F (у, г^ . . ., г^ по определению равно единице, если по крайней мере 2^ точек г у находятся внутри сферы

(15-4)(15-4)I И — у IС R,

(15-4)

(15-4)

и равно нулю, если число точек внутри сферы меньше чем 2^.

Проводя теперь в (15.3) интегрирование по у, получаем

N

т>^г\"Л<1О...<1г,, YI^SF,). (15.5)

3=1

где Fj — часть объема сферы (15.4), которая по крайней мере (2q — 1) раз перекрывается другими сферами радиусом R с центрами в точках г и. Если Rj, 2g-i <_R, то сфера радиусом (R— Rj, 2g-i) с центром' в точке г, наверняка (2</—1) раз перекрывается другими сферами. Поэтому

o>(i —^f^-Y<15-6)

и (15.5) сводится к N

3=1

Пусть р (х)— вероятность нахождения (2^—1)-го ближайшего соседа в состоянии Y. Тогда

■jp(x)dx=l, J р (х) х-1 dx — K2q-i (15.8) оо

и (15.7) можно переписать в виде

R

J (R-x^yi^dx^^-R5,0<R<oo. (15.9)

о

Теперь перед нами стоит чисто математическая задача: получить из (15.8) и (15.9) неравенство, связывающее R2g-i с Т. Эта задача оказалась неожиданно трудной и увлекательной.

Предположение 2. Пусть р (х) принимает любое положительное значение в области (0, оо), причем

J p(x)dx=l, j р (х) х-1 dx = К, (15.10) оо

R (R—x)3p,(x)dx<CR5,0<R<oo.(15..11)

о

Тогда

Если р (х) — пилообразная функция,

х<2/^ х > 2//С,х<2/^ х > 2//С,(15.13)(15.13)

х<2/^ х > 2//С,

х<2/^ х > 2//С,

(15.13)

(15.13)

то знак неравенства в (15.12) заменяется равенством. Мы предполагаем, что в (15.12) должен входить именно коэффициент 40, но все попытки доказать это оказались неудачными. Самое лучшее, что нам удалось показать, сформулировано в лемме 12.

Лемма 12. При соблюдении условий предположения 2 выполняется неравенство

К2 СК2 С43С.43С.(15.14)(15.14)

К2 С

К2 С

43С.

43С.

(15.14)

(15.14)

Этого, конечно, вполне достаточно для приложений. Доказательство неравенства (15.12) является интеллектуальным вызовом для людей, подобных мне, которые привыкли к строгости математических расчетов. Надеюсь, что кто-нибудь из слушателей попытается это сделать.

Поскольку

^2 = 4,33>4,3,(15.15)

лемма 12 совместно с соотношениями (15.8) и (15.9) дает (ti4 -^<20Т,(15.16)

что доказывает лемму 10.

Прежде чем приступить к доказательству леммы 12, вернемся несколько назад и покажем, как следует модифицировать доказательство леммы 10 для q = 2, если мы хотим прийти к лемме 11.

Для начала мы заменим Кз на К2 и используем лемму 9 для v ^> 3 вместо v^4; это приведет к замене множителя V2 на V3 в правой части неравенства (13.13). В (15.5) F, соответствует теперь той части сферы (15.4), которая перекрывается другими сферами по крайней мере дважды. Самое неблагоприятное расположение двух сфер с центрами в местах нахождения двух ближайших-к г3 соседей соответствует случаю, когда эти два соседа расположены по разные стороны и на одинаковом расстоянии Rj2 от г,.

Если рассчитать объем двух сфер для этого неблагоприятного случая, то можно получить нижний предел для величины Ff. .

Р3>1-Зу^4у\у^^-с^.(15.17)

Вместо (15.8) и (15.9) имеем

j р (х) х-1 dx = Ks,(15.18)

в

J (У?3|- /?2х + -|-х3) р (х) dx <

о

<^-R5,0<7?<со.(15.19)

Теперь необходимо сформулировать аналог леммы 12.

Лемма 13. Если р (х) — любая положительно определенная функция, удовлетворяющая условиям (15.10), а также неравенству

R

j \RR — ^R2x-V^(15.20)

о

то

К^-^-С.(15.21)

Как это уже было сделано раньше, выскажем недоказанное предположение о величине коэффициента в неравенстве (15.21).

Предположение 3, При условиях (15.10) и (15.20) должно выполняться неравенство

(15.22)(15.22)тот же вид13 приводит(15.23)тот же вид13 приводит(15.23)К2 < 20С.

(15.22)

(15.22)

тот же вид

13 приводит

(15.23)

тот же вид

13 приводит

(15.23)

Оптимизирующая функция р (х) имеет (15.13), что и раньше.

Неравенство (15.15) совместно с леммой к следующему неравенству:

(^C-f^TciST,

т. е. к лемме 11.

Математическое отступление. Доказательство лемм 12 и 13

У нас нет серьезных оснований для беспокойства по поводу справедливости предположений 2 и 3, однако мы все же уделим им некоторое время. Посмотрим на предположение 2. Интегрирование (15.11) по R дает

в

j (R—x^VL^dx^-^-GR6.(16.1)

о

Проводя аналогичное интегрирование (в— 3) раза, получаем

f(х) Л < -STI^W- С^.(16.2)

О

Теперь можно обобщить предположение 2.

Предположение 2„. Если выполняется (15.10), а неравенство

R

(n+l)(n + 2)J {R—x^^^dx <URn+2, 0<R<^, о

(16.3) справедливо для любых п, то

К2 < 2U.(16.4)

Предположение 2 получается отсюда в частном случае п = 3. Предположение 2П легко доказать для п = 1, однако для п = 2 это, по-видимому, уже трудно сделать. Чем больше п, тем слабее условие (16.3) и тем самым сильнее предположение. Для всех конечных п делается более сильное предположение, чем если в (16.3) положить п = sR и устремить п —> со, оставляя s фиксированным. Тогда мы придем к следующему предположению.

Предположение 2Ю. Если справедливо (15.10) и неравенство

^ р, (х) e-sx dx < L/s-2,0 <s<: оо,(16.5)

о

то

К2К2< 2U.< 2U.(16.6)(16.6)

К2

К2

< 2U.

< 2U.

(16.6)

(16.6)

Если бы мы могли доказать предположение 2оо, из этого доказательства немедленно следовала бы справедливость предположения 2П и, в частности, предположения 2. Легко также проверить, что неравенство (15.20) получается из (16.5) при U = ЮС и, таким образом, из предположения 2оо следует также предположение 3. Поэтому вместо того чтобы возиться с предположениями 2 и 3, лучше попытаться доказать предположение 2оо.

Самое большее, чего нам удалось добиться в этом направлении, это доказать, что при выполнении условий (15.10) и (16.5) справедливо неравенство

№ < С ch2 1 = 2,38 . . . U. (16.7)

Доказательство леммы 12. Допустим, что (15.10) и (15.11 выполняются, и докажем справедливость неравенства (15.14). Во-первых, разделим (15.11) на Д5 и проинтегрируем по R, тогда

в

J (Д — *)4 И (я) х-1 dx < 4CR5.(16.8)

о

Добавив к (16.8) неравенство (15.11), умноженное на п/4, получим

в

j (R— xy ^R-V^x^ ^х~Мх <^Lqr5.(16.9)

о

Функция

0<z/<l,(16.10)

расположена выше прямой линии

g^^l-^y,(16.11)

которая касается кривой / (у) в точке у = V3 и пересекает ее при у = 0 (фиг. 1). Наша идея заключается в нахождении такой функции / (z/), которую можно с минимальными

потерями заменить прямой g (у), ограничивающей функцию f (у) снизу.

Так как f (у) ~> g (у), то из (16.9) и (15.10) следует

K-^R-^-^CR,(16.12)

откуда при соответствующем выборе R нетрудно получить (15.14).

Доказательство (16.7) совершенно аналогично, если использовать пару функций

f (у) = (1 + ау) е~У, g(y) = l—Ay, (16.13) графики которых касаются друг друга в точке у — 2, если а==-1(е2-3),Л = ^(е-2+1).(16.14)

Доказательство леммы 13. Доказать лемму 13 еще проще, поскольку из (15.20) по аналогии с (16.8) вытекает неравенство к

J (3R4—47?3х + х4) р, (х) х"1 dx < 12С/?5.(16.15)

о

Опуская член х4, получаем

ЗК — 4#"1 ^ 12CR,(16.16)

откуда сразу следует неравенство (15.21).

Смешанные Ферми — Бозе системы

Приступим теперь к очень длинному вычислению, в результате которого будет доказана теорема 4. Начиная с этого момента будет рассматриваться система из N отрицательных частиц, расположенных в точках (г1; . . ., г^, обладающих массами m, ^ т, зарядами е, —е и принадлежащих к q разным классам, в пределах каждого из которых действует правило запрета. Удобно изменить принятые ранее обозначения так, чтобы термины «ближайшие соседи» и «7-е ближайшие соседи» относились теперь только к отрицательным зарядам независимо от расположения положительных зарядов. Таким образом, Ki соответствует среднему расстоянию между двумя ближайшими отрицательными зарядами. Используя неравенства (14.5) и (14.8), полученные ранее, найдем

Ю^Уз V5T, (17.1)

где Т, определенное в (9.2), также относится только к отрицательным зарядам. Неравенство (17.1) является основой всех дальнейших расчетов. Оно означает, что отрицательно заряженные частицы .не могут подойти друг к другу на более близкое в среднем расстояние, чем величина, кратная длине волны де Бройля.

Число положительных зарядов М необязательно равно N. Для них нет никакого правила запрета, а также ограничения на величины их масс. Допустим, что они расположены в точках (St, . . ., SM) и имеют заряды Д ^ е. Полный гамильтониан рассматриваемой системы состоит из пяти слагаемых:

Н = Т_ + Т^ + W— + lF+_ + IF+ + , (17.2) где Т_ — кинетическая энергия отрицательных зарядов, W__ — кулоновское взаимодействие отрицательных зарядов и т. д.

При нахождении нижней границы для (Н) можно сразу сделать несколько упрощений. Во-первых,

NT. (17.3)

Кроме того, член Т + нам ничего не даст, поскольку нет никаких требований, ограничивающих массы положительных зарядов. Поэтому мы можем либо совсем опустить его, либо придать всем положительным частицам бесконечную массу, т. е. рассматривать их просто как точечные классические заряды, находящиеся в точках Sh. Волновая функция системы Ф (гъ . . ., rN; Sb . . ., SM) удовлетворяет уравнению Шредингера относительно переменных (п, . . ., rN), а от (Si, . . ., SM) зависит только параметрически. Энергия взаимодействия W++ является С-числом, a W+- представляет собой сумму членов

N

W^ = ^ W(rj),(17.4)

где W (г) — классический кулоновский потенциал, определяющий взаимодействие с положительными зарядами. Наконец, поскольку Н линейно относительно зарядов е} и fk, энергия основного состояния Е является выпуклой функцией величин е, и fh. При изменении е, от 0 до (—е) наименьшее значение Е должно достигаться либо при ej = 0, либо при в, = —е. Аналогично наименьшее значение Е как функции от fh достигается либо при fh = О, либо при fh = е. Поэтому при расчете нижней границы Е достаточно рассмотреть случай, когда все е, равны либо О, либо (—е), а все fh равны либо 0, либо (+е). Но нулевой заряд для нас неинтересен, и его не нужно учитывать. Итак, можно принять, что для любых / и к

е, = —б, fh = +е.(17.5)

Самым опасным членом в Н является W+_, так как потенциал W (г) в (17.4) отрицателен и неограничен. Мы справимся с этим членом, используя общее неравенство, которое интересно и само по себе.

Лемма 14. Пусть V(г)—любая действительная, аф (г) — произвольная комплексная функции, причем эти функции определены во всем пространстве, дифференцируемы и стремятся к нулю на бесконечности. Тогда

' | J V (г) | ф (г) |2 d3r | < (-^ [ | vV (г) |2 d3r^1/2 х

X ( j | Фф (г) \2d3r^ ^ ( j Ф (г) ^d3^'4-(17.6)

По-видимому, это неравенство не встречается в других книгах, а для нас оно очень полезно, так как накладывает ограничения на величину взаимодействия

1 = — е j 7|ip|2d3r(17.7)

для частиц, находящихся в поле потенциала V. Выражение (17.7) оказывается связанным с кинетической энергией частиц

t = ^- J Wd?r(17.8)

и электростатической энергией зарядов, создающих потенциал V:

w = -j— [ I NV I2 d3r.(17.9)

Действительно, подставляя (17.7)—(17.9) в (17.6), получаем

|/| < 2^/2/174 Ryl/4.(17.10)

Если в поле V находится только одна отрицательная частица, гамильтониан которой

H1 = t-Vw-V I,(17.11)

то, используя (17.10), для энергии основного состояния получаем

(Я^ >t-Vw— Iw^ (/Ry)1/» > / — (/Ry)1/^ >i-Ry. (17.12)

С помощью леммы 14 нам удалось найти нижний предел для энергии основного состояния одной частицы, находящейся в произвольном поле V. Отметим, что здесь Ry включает только заряд и массу рассматриваемой частицы и не зависит от зарядов, создающих потенциал V.

К сожалению, такое простое выражение нижней границы для энергии неприменимо к системам, состоящим более чем из одной отрицательно заряженной частицы, потому что при получении (17.12) предполагалось, что вся собственная энергия w зарядов, создающих потенциал V, компенсирует взаимодействие с одной частицей. Чтобы применить лемму 14 к системе, состоящей из многих частиц, следует отделить частицы друг от друга и воспользоваться леммой для 5*

каждой частицы в отдельности. Основная трудность доказательства теоремы 4 состоит в необходимости разделить конфигурационное пространство на множество областей таким образом, чтобы отрицательные заряды можно было рассматривать независимо друг от друга.

Формулировка леммы 14 для того случая, когда частицы находятся в конечной области, имеет следующий вид.

Лемма 15. Пусть функции V (г) и ^ (г) определены и дифференцируемы в конечной области С со стороной L. Пусть V — среднее значение функции V (г) в области С. Тогда

I f (V (г) -ю I W I2d^a < 8 J IW (г) I2 d3^ х

(m(r)|2d3r) •(17.13)(m(r)|2d3r) •(17.13)?ф (г) |2 d3r^ /4

(m(r)|2d3r) •(17.13)

(m(r)|2d3r) •(17.13)

сс

Мы вводим также очередное предположение.

Предположение 4. Лемма 15 справедлива при замене постоянного множителя 8 на 4.

Для более общей формулировки леммы 15 необходимо сделать еще одно предположение.

Предположение 5. Пусть С — произвольная область с гладкими (в определенном смысле) границами. Тогда неравенство (17.13) выполняется при замене числа 8 на коэффициент, зависящий только от формы, а не от размера области С.

Мы не пытались строго доказать оба эти предположения. Оказалось, что выбор области С в виде куба удобен в двух отношениях: во-первых, при этом легче доказать лемму, а во-вторых, проще разбить конфигурационное пространство на неперекрывающиеся области. Поэтому лемма 15 вполне пригодна для наших целей.

Похоже на то, что выбор численных множителей — 1 в лемме 14 и 4 в лемме 15 — не лучший из возможных. Было бы интересно найти наилучший коэффициент для такого изящного неравенства, однако у нас нет времени, чтобы заняться этим, стоящим несколько в стороне вопро-

сом. Нам, кроме того, необходима лемма, аналогичная лемме 15, для случая, когда V (г) — кулоновский потенциал.

Лемма 16. Пусть функция ф (г) дифференцируема в кубе С со стороной L. Тогда для любого положительного X справедливо неравенство

■^ j-7-l W)|2rf3r< fl^(r)|M3r + сс

+ (1г+^) J IW^- (17.14)

с

Приведем также другую лемму такого же типа.

Лемма 17. Пусть S — сфера | г | С b, а С — куб со стороной L ^ Ь, содержащий точку г = 0, и пусть R — область пересечения S и С. Тогда для любого положительного X

-Lx j -2-1 ф (Г) |2 d?r < J | ?ф (г) |2 d3r+ RR

+ (^ + -^) JlW^-(17.15)

R

Отметим, что обе леммы не требуют, чтобы точка г = О была в центре куба. Для приложений существенно, что центры куба и сферы могут не совпадать (эксцентричная сфера). В этом смысле последние две леммы отличаются от леммы 5, которая состоит в утверждении неравенства (9.12), похожего на (17.14) для сферы с центром в г = 0. То, что неравенство (9.12) неприменимо для случая эксцентричной сферы, заслуживает пристального внимания; когда b велико, а точка 0 находится вблизи поверхности сферы, минимальное собственное значение оказывается меньшим, чем это следует из (9.15). Мы доказали, что для случая эксцентричной сферы справедливо неравенство (9.12), левая часть которого, однако, умножена на малый коэффициент, но это доказательство очень длинно и сложно. Как только исчезает сферическая симметрия, работать

со сферой оказывается гораздо труднее, чем с кубом. В дальнейшем нам понадобятся только результаты, полученные для куба.

Для оценки W+-, помимо лемм 15,—17, нам понадобится строгая форма онсагеровской леммы 1.

Лемма 18. Для совокупности зарядов gj, расположенных в точках tj, и произвольной совокупности отрезков длиной aj имеет место неравенство

(17.16) где

0,(а 4- b— г^^аЬг,1- / 1 1mm — , -с r\ a b0,(а 4- b— г^^аЬг,1- / 1 1mm — , -с r\ a br">a-Vb,

0,

(а 4- b— г^^аЬг,

1- / 1 1

mm — , -с r\ a b

0,

(а 4- b— г^^аЬг,

1- / 1 1

mm — , -с r\ a b

А (г, а, Ь) = <А (г, а, Ь) = <b— а|<г<а: + Ь,

А (г, а, Ь) = <

А (г, а, Ь) = <

г<ДЬ — a\.

(17.17)

Доказательство леммы 18. Смысл функции А состоит в том, что выражение

-1--А (г, а, Ь) представляет собой энергию взаимодействия двух единичных зарядов, равномерно размазанных по поверхности сфер с радиусами а и Ь, расстояние между центрами которых равно г.

Слушатели могут в порядке упражнения проверить справедливость (17.17). Правая и левая части неравенства (17.16) отличаются на величину полной электростатической энергии, включающей также собственную энергию зарядов gj, каждый из которых равномерно размазан по поверхности сферы радиусом а, с центром в точке tj. Так как электростатическая энергия положительна, то лемма тем самым доказана. Лемма Онсагера 1 получается как частный случай леммы 18, когда величины aj выбраны настолько малыми, чтобы можно было пренебречь слагаемыми с А в (17.16).

При рассмотрении системы отрицательных фермионов и положительных классических зарядов следует пользоваться леммой 18, а не старой леммой Онсагера, поскольку для положительных зарядов нас не интересует расстояние между ближайшими соседями [имеется лишь соотношение (17.1) для расстояний между отрицательными зарядами]. При выборе aj мы встретимся с двумя противоречивыми требованиями: 1) член, соответствующий собственной энергии положительных зарядов, не должен быть слишком большим; 2) для каждой положительной частицы должна найтись одна отрицательная частица, и тогда они вместе дают неисчезающий член А в (17.16).

Существует одно важное условие, определяющее схему наших расчетов. Мы хотим применить леммы 15 и 16 к отрицательно заряженным частицам, движущимся в поле потенциала А (г, аг, а^, связанного с наличием вблизи них положительных зарядов. Но пока отрицательные заряды движутся в пределах области С, потенциал должен оставаться фиксированным. Поэтому первым делом мы должны выбрать область С, внутри которой движутся отрицательные заряды, а затем выбрать величины а, в зависимости от области С, но независимо от положения отрицательных частиц в этой области.

Области С нужно выбрать так, чтобы отделить отрицательные частицы друг от друга, тогда к каждой из них могут быть применены леммы 15 и 16. После выбора области С мы займемся выбором а3, а затем перейдем к оценке вкладов в Н отдельных членов гамильтониана.

Разбиение конфигурационного пространства

Рассмотрим ЗЛ/-мерное конфигурационное пространство S для Nотрицательных зарядов, расположенных в точках (ri, . . ., г^. Пусть S1— (3N— 3)-мерное подпространство S, в котором две координаты rt и г, совпадают. Мерность пространства S1 равна нулю, и оно не дает вклада ни в какой интеграл по пространству S. При оценке интегралов мы можем исходить из пространства So = = S — S1.

Лемма 19. Пространство So заполнено бесконечным числом неперекрывающихся областей U. Каждая область U

определяется так, чтобы точки (14, . . ., rN) лежали соответственно в кубах (Ci, . . ., Cn) со сторонами (Li, . . . . . ., L^. Выбрав постоянную а, ^ 7, мы можем расположить области U так, чтобы

aLjC RjCBaLj, j = 1, 2, . . N, (18.1) где Rj — расстояние между частицей, находящейся в точке rj и ее ближайшим соседом, расположенным в точке rh.

Напомним, что (18.1) должно выполняться независимо от расположения точек г^ в кубах Ch. Смысл (18.1) заключается в том, что отношение размера каждого куба к его расстоянию до ближайшего соседнего куба выбирается примерно постоянным.

Доказательство леммы 19. Пусть Мр — конечная последовательность гиперкубов в р-мерном пространстве, причем ребро куба равно 2V (v — произвольное положительное или отрицательное число), а вершины куба расположены в точках, координаты которых кратны 2V. Такие кубы много раз заполняют пространство и обладают тем свойством, что любые два из них либо совсем не связаны, либо один содержится в другом. Частичное перекрытие пары кубов невозможно.

Рассмотрим последовательность Мб в шестимерном пространстве пары трехмерных векторов (х, у). Куб С в М6 назовем «выделенным», если его ребро равно 2V и если

[ х — у | > a2v (18.2)

для каждого (х, у) в С. Для любого (х, у) при х Д= у существует выделенный куб, содержащий (х, у), кроме того, выделен любой куб в М6, который содержится в этом выделенном кубе. Пусть Л16 — ряд выделенных кубов в Л46, которые не содержатся в каком-либо большем выделенном кубе. Кубы из М6 покрывают все пространство (х, у) при х ^ у и не пересекаются друг с другом.

Пусть С — любой из кубов Л16 со стороной L = 2V, и пусть (х, I/) — произвольная точка в С. Тогда выполняется (18.2). Допустим, что С' — куб из Мв со стороной 2L, содержащий точку (х, у). По предположению, С' не является выделенным кубом и поэтому в нем имеется

такая точка (х', у'\ что

I к’ — у* К 2La.(18.3)

Но поскольку и (х, у) и (х', у') принадлежат области С', то

1 х — х* 1 < 2L КЗ, | у — у* | < 2L ]/"3.(18.4)

Из (18.2) — (18.4) получаем

La С | х — у | < 2L (а + 2^3) < 3aL, (18.5) так как а ^ 7.

Обозначим через Вц разбиение ЗМ-мерного пространства So на кубические призмы Сц. Каждая Сц выбирается так, чтобы координаты некоторой пары точек (гч, г^ относились к кубу С, принадлежащему последовательности Мв, а остальные (N — 2) из точек rh располагались произвольно. Всего имеется X/2N (N —1) различных разбиений Вц, по одной на каждую пару индексов (i, j). Пусть В — результат одновременного разбиения So на всевозможные Btj. Тогда В представляет собой разбиение So на бесконечное число областей U. Каждая U определяется тем, что координата Г) должна находиться внутри куба С} со стороной Lj = 2VL Для каждого j целое число v7- является наименьшим из (N— 1) целых чисел ц^ (&=£/), которые благодаря (18.5) удовлетворяют неравенству

а2ц^ < | г. _ Гь | < за2^\(18.6)

Определяя минимум (18.6) по отношению к к, получаем (18.1), а тем самым и доказательство леммы 19.

Начиная с этого момента, все расчеты будут относиться к отрицательно заряженным частицам, расположенным в точках (гъ . . ., rN) области U.

19» Оценка кулоновской энергии

Рассмотрим область U, определенную в лемме 19. Пусть имеются кубы С, со сторонами Lj, которые удовлетворяют условию (18.1), причем в каждом кубе находите я по одной отрицательно заряженной частице. Координаты Sft положительно заряженных частиц могут быть

любыми, т. е. эти частицы могут располагаться как внутри, так и вне кубов. Мы хотим найти нижнюю границу для величины Ш )Ut которая представляет собой вклад в среднее значение Н такой волновой функции отрицательно заряженных частиц Ф (гь . . ., г№), для которой каждое г, находится в своем С;, причем этот вклад нужно разделить на интеграл от | Ф [2 по области U. Итак,

ЩЪХГ- + W-^ ++ (Г^.(19.1)

Здесь (WV^y — просто С-число:

Величина (Т_ + W_)u не зависит от координат Sh, а

(W+_)u = -г2 ^ f(19-3)

к

где р (г) — соответствующее состоянию Ф среднее значение плотности отрицательно заряженных частиц в точке г при учете того, что каждая rj принадлежит С;. По определению р (г) равно нулю всюду, кроме области внутри кубов Cj. Если теперь зафиксировать Ф и С, и изменять только Sh, то соответствующее изменение <Н>и определяется решением уравнения Пуассона:

Th Щ^и = 4ле2 [р (S&) - 3 6 (Sk - 5г)](19.4)

и не имеет минимума в точке Sh, если р (Sh) = 0. Поэтому минимальное значение функции (Н)и достигается только, если Sh->- оо или когда Sh лежит в одном из кубов Cj.

Значение (Н)и при 5Й ^- оо соответствует случаю полного отсутствия положительного заряда. Если последовательно проминимизировать (Н)и по всем Sh, то в конце концов придем к такой конфигурации, в которой некото- _ рые положительные заряды вообще отсутствуют, а все оставшиеся расположены внутри кубов С,. После получения такого распределения положительных зарядов выбор новой функции Ф будет соответствовать еще более низкому

энергетическому состоянию. Поэтому при оценке минимума Ш^и можно с самого начала предположить, что все положительные заряды находятся в кубах С,.

Теперь нетрудно выбрать величину радиуса, фигурирующего в лемме 18.

Естественно принять для радиуса, соответствующего отрицательно заряженной частице г3 и всем положительно заряженным частицам S\, находящимся в кубе Су

aj=ah = ^Lj, а = 2(0+1).(19.5)

Условия (18.1) и (19.5) обеспечивают отсутствие перекрытия сфер, относящихся к различным кубам С;.

Используя неравенства

4>А(Г’ а, а)>-14’<19-6)

получаем из леммы 18

2 тз^+ут—S3 3 (i+^+y. (19.7) sk в cj i

где п3 — число положительно заряженных частиц в С,. Правая часть этого неравенства представляет собой сумму независимых вкладов от различных кубов Cj, что дает возможность применить к ним леммы 15— 17. Тогда найдем

Wv>S ^Tlu+Wtoy(19.8)

5 где

J | 7/V |2 drk ... drN

^iu--(!'++■) (^) A-Xj^-Yju, (19.10)

(19.11)

(19.12)(19.13)(19.12)(19.13)Iе (^ ^MlYpdn ... dr^)у UiU^l^dn drN

(19.12)

(19.13)

(19.12)

(19.13)

и

WArl-e^^SK-rV1.

Очевидно, что сумма в (19.11) и (19.13) распространяется только на St и Si в Cj.

Доказательство теоремы 4.

Нижний предел для энергии систем, в которых отрицательные заряды в пределах каждого класса подчиняются правилу запрета

Теперь мы сумеем довести до конца доказательство теоремы 4. Завершив доказательство основной теоремы, мы вернемся назад и докажем леммы 14, 15, 16 и 17.

Последний этап доказательства нестрог и весьма неудовлетворителен. Нашей целью было — любыми средствами добиться результата, но мы надеемся в дальнейшем сделать это более изящно.

Нам осталось, исходя из (19.9) — (19.13), определить нижнюю границу для величины [(А2/2т) Тго 4- WjuL которая по существу является полной энергией (кинетической плюс кулоновской) для одной отрицательно и n.j положительно заряженных частиц в кубе Сь причем только отрицательно заряженная частица требует квантовомеханического рассмотрения. Интуитивно ясно, что нижняя граница для полной энергии должна определяться неравенством

(20J)

где константы At и Аг не зависят от числа и расположения положительно заряженных частиц. Если гц мало, главную роль будет играть энергия связи отрицательно заряженной частицы, а если п, велико, будет превалировать кулоновская энергия X, положительно заряженных частиц. Итак,

наша цель—доказать справедливость неравенства (20.1) (или несколько более строгого).

Лемма 15 сформулирована как раз так, что ее можно применить к выражению типа Y to (кулоновская энергия отрицательно заряженной частицы) и найти для него нижний предел, зависящий от X, (кулоновская энергия положительно заряженных частиц) и Т Зи (кинетическая энергия отрицательно заряженной частицы). Но, к сожалению, лемму 15 нельзя применить непосредственно для оценки потенциала W 3 (г), так как интеграл J | V Wj (г) ^d3r расходится. Поэтому мы должны были бы использовать лемму 15 для модифицированного потенциала, а это усложнило бы рассмотрение. Удобно вывести еще одну, последнюю, лемму, которая расширяет область применимости леммы 15 на случай потенциала, обладающего особенностью. Доказательство этой леммы довольно утомительно, но зато нам потом останется сделать всего один шаг для доказательства теоремы 4.

Лемма 20. Пусть (Si, . . ., Sn) —п точек в кубе С со стороной L, и пусть ф (г) — любая дифференцируемая в С функция.

Если

Х~3 iSfc-SH ’(20-2)

h<l

у - с 1 ?,(20.3)

j |W)Mr

с

$ I ^ф W I2 d3r

t = Д,(20.4)

I Ф (r) I2 й3г

, с то

у< 102^1/2 + L-14-x1/2(2^1/44-L-1/2)].(20.5)

Отметим, что если справедливо (20.5), то полная энергия системы, состоящей из (zz+l) частицы, задается равенством

^^^Н-еЧ-е’-у,(20.6)

которое, согласно (20.1), автоматически удовлетворяет условию

(Я)>-Л, (-^-)-Л2Ку.(20.7)

Доказательство делимы 20. В случае п = 1, когда г = 0, из леммы 16 следует, что

у < 32^ + 48L"1,(20.8)

т. е. лемма 20 выполняется. Будем далее считать, что n > 1 и соответственно

(20.9)

Обозначим через р^ расстояние от Sk до ближайшего к нему St, l=^= k. Пусть ак — сфера радиусом х1уук с центром в точке Sk. Очевидно, что различные сферы oh не перекрываются. Применим теперь лемму 15 к кулоновскому потенциалу V (г), создаваемому единичными положительными зарядами, равномерно распределенными по поверхности сфер ак. Полная электростатическая энергия этих зарядов, включающая собственную энергию, равна

(20.10)

k

Каждый член [S^— Sz |-1 суммы х может появиться в s р*1 самое большее дважды, поэтому

2(20.11)

и, следовательно, из (20.10) получаем

-^ j | 7К|2г/3г<:Зх.(20.12)

с

Среднее значение V потенциала V (г) в области С по крайней мере в п раз меньше, чем среднее значение величины (1/г) в области С, т. е.

У<-^-.(20.13)

Итак, мы оценили все множители в утверждении (17.3) леммы 15, кроме интеграла j V (г) | ф (г) |2 d3r. Запишем с выражение

Ыг) = Зт51У7Г""('-),(20.14)

где у (г) отлично от нуля только внутри сферы Oh, где оно равно

12

=<20-15)

Если сфера ок полностью содержится в области С, можно оценить J у (г) [ ф (г) |2<i3/', используя лемму 5.

Но в общем случае ок будет частично лежать вне области С и следует воспользоваться леммой 17. Физически ясно, что положительно заряженные частицы, находящиеся вблизи углов куба С, вызывают больше беспокойства, чем частицы вблизи центра, так как отрицательно заряженной частице легче попасть в потенциальную яму, расположенную вблизи угла куба, чем вблизи его центра.

Условие b = ЧгРь ^ L леммы 17 удовлетворяется автоматически. Поэтому для любых положительных X .лемма дает

j у (г) | ф (г) ]2 d3r < у- j | Уф (г) |2 d3r +

+ (— + 2Х) f | ф (г) |2 d3r. (20.16) \ Pfc /J

В пределах каждого ak

(20.17)(20.17)V (г) > 2р^.

(20.17)

(20.17)

Используя (20.17) и суммируя (20.16) по всем од, найдем J у (г) | -ф (г) [2 d3r < -^- J | V-ф (г) |2 d?r + сс

+ J (11И(г) + 2Л)|^(г);2б?3г.(20.18)

с

Учтя (20.14) и определения (20.3) и (20.4), приведем (20.18) к виду

12($ У(г)|ф(г)[МЗг)

с >y-^-t-2X>y-8t^. (20.19)

J I Ф v) г d3rл

С

Лемма 15 совместно с (20.12) и (20.13) дает

у _ 8^/2 _ ^L < 96 (3x)V2 /Vs(20.20)

а отсюда, используя условие (20.9), получаем неравенство у < № + 72 (2ху/= L~1/2 + 96 (Зх)1^ ^/<,(20.21)

которое включает в себя (20.5). Таким образом, лемма 20 полностью доказана.

Доказательство теоремы 4. Если вместо полной энергии (20.6) рассмотреть только выражение для половины кинетической энергии и кулоновской энергии положительных зарядов, то можно в соответствии с. леммой 20 получить

^t^l-e4-eV>-Av-^--A^,(20.22)

где константы Л1)2 — большие числа:

Ai = 102 X 103, А2 = 32Л1-

Можно применить теперь неравенство (20.22) для оценки величин Тго, Xj, Y 5и, определенных в (19.9)—(19.13), так как при интегрировании (20.22) по (М — 1) координатам, отличным от г,-, знак неравенства сохраняется. Так мы приходим к неравенству

~^Т juA- "2" Xj-\-YjV^-—A^j Л3 Ry, (20.23)

грубо совпадающему с неравенством (20.1), которое мы интуитивно записали с самого начала. Благодаря (20.9) при > 1

Х^^.(20.24)-

и мы можем окончательно выбрать константу 0 [см. (19.5)]:

0 — 8, а= 18,a3 = SLb(20.25)

так что

-г^-^'^г^0’ n^v <20-26)

Таким образом,- мы выбираем радиус в лемме 18 достаточно большим, так что члены, включающие а, в (19.7), превалируют над кулоновской энергией положительно заряженных частиц. Тогда из (19.8), (19.10), (20.23) и (20.26) вытекает неравенство

№„3-2 [^^-(l +4) ЛКу], (20.27)

которое при учете (18.1) преобразуется к виду

<H>v>"T чТ^-МАз^ кК^и-ХАз Ry, (20.28)

где Аз — За (1 + Л^. Последнее соотношение справедливо для любого U.

Согласно лемме 19, можно просуммировать неравенство (20.28) по всем U и получить для полной энергии

Е>^Т-НАзе^К1 — M3Ry, (20.29)

определенной на введенной выше последовательности S1 меры нуль, которая была исключена из всех рассматриваемых нами областей U.

Теперь, чтобы навести окончательный лоск, используем выражение (17.1). Поскольку отрицательно заряженные частицы подчиняются правилу запрета, то

Е > J^L _ 1 о УБ Азд^ЫеЧ^ — А^^

> - lOOOX^WRy-X^Ry> ™Л4^72WRy, (20.30)

а это и есть утверждение теоремы 4, где численный коэффициент равен

А4 = [(1000 X 542) + 32] [(102-103) + И2 < 4-1014.

(20.31)

Совершенно очевидно, что доказательство могло бы быть и лучше. Интересно, что колоссальная константа, входящая в (20.30), возникла в результате перемножения малых чисел типа 2 и 3.

Доказательства лемм 14 — 17

Займемся теперь недоказанными леммами, причем будем их рассматривать в обратном порядке: 17, 16, 15, 14.

Доказательство леммы 17. Пусть rt — некоторая точка в R. Отразим ее относительно граней куба С и получим ряд точек (г2, г3, . . .) — отображений точки г^. Точки rj образуют 8 кубических решеток с параметром 2L, и поскольку b ^ L, то в сфере S может находиться не больше чем одна точка из каждой решетки. Поэтому внутри сферы S имеется не больше чем 8 изображений гх, включая само Tv И наоборот, каждая точка г' в S является изображением некоторой точки г в С. Так как предполагается, что точка г = 0 принадлежит С, то имеет место неравенство | г | ^ ^ | г* | ^ Ь, и г принадлежит R. Итак, каждая точка области S является изображением гь одной и той же точки г^, принадлежащей R.

Продолжим функцию ф, определенную в лемме 17 в области R, на всю область S следующим образом:

Ф (г7-) = ф (г^.(21.1)

Определенная таким образом функция ф непрерывна в S. Кроме того, если функция ф, заданная в области R, выбирается в качестве минимизирующей функции в задаче на собственные значения (17.15), то производная ф по нормали к границе области 7? равна нулю, и поэтому продолженная функция ф дифференцируема во всей области S. Применим лемму 5 в формулировке (9.12) к продолженной

функции ф и получим

X j Iф (г) I2 d3r < f I 7ф (r) I2 d3r + ss

(

QI 12 \ P

^ + 4") J IW)Mr. (21.2) s

Используем теперь определение (21.1). Каждой точке г в левой части равенства (21.1) соответствует по крайней мере одна точка гх из области R, а каждой точке г в правой части (21.1) соответствует не более 8 точек г- из R.

Таким образом, неравенство (17.15) выполняется и лемма доказана.

Лемма 17 справедлива также и в отсутствие дополнительного условия (точка г = О содержится в С), однако доказательство леммы оказывается более длинным. Мы не будем здесь останавливаться на этом более общем случае, поскольку нам потребуется лемма 17, когда дополнительное условие выполнено.

Доказательство леммы 16. Общую формулировку этой леммы нетрудно свести к случаю, когда точка г = 0 лежит в области С. Допустим, во-первых, что г = 0 находится вне С. Тогда мы выбираем новую систему координат, начало которой помещаем в самой близкой к г = О точке г0 в области С. Для всякой точки г из С расстояние до точки г0 меньше, чем до г = 0. (Здесь мы используем тот факт, что кубическая область является выпуклой.) Следовательно, неравенство (17.14) безусловно выполняется в старой системе координат, если оно справедливо в новой. Поэтому с этого момента будем считать, что точка г = 0 лежит в С.

Мы теперь можем применить доказательство леммы 17 при условии, что сфера S достаточно велика, чтобы полностью включить в себя область С, так что R = С и Ь< <,V3L. Доказательство проводится так же, как и раньше, с тем отличием, что рассматриваемая совокупность изображений (гь г2, . . .) образует 32 объемноцентрированные кубические сверхрешетки со стороной 2L 1^3. В области S может находиться не более чем 32 изображения каждой точки. Поэтому мы приходим к неравенству (17.14) с коэффициентом 1/32.

Доказательство леммы 15. Во-первых, мы сведем доказательство леммы к случаю, когда обе функции V (г) и ф (г) являются периодическими функциями в кубической решетке с постоянной решетки L. Пусть Л — максимальное значение отношения

Q = l j^W-^I^P^K-gL- j\w\M3ry^x с с

X ( j . Уф \Ч3г^ "V4 ( j I Ф ^г) -3/4 (21.3) с с

для любых дифференцируемых У и ф, и пусть А' — максимальное значение величины Q для периодических функций V и ф. Рассмотрим функции V и ф, для которых достигается, максимум А. Обе они должны иметь нулевую производную по нормали к границе области С, и поэтому, используя отражение от граней С, можно найти их аналитическое продолжение, которое будет повсюду дифференцируемо и периодично в решетке с постоянной решетки 2£. Тогда функции V (2г) и ф (2г) периодичны в решетке с постоянной L и дают для Q величину Л2-3/2. Таким образом,

А ^2/2 А'. (21.4)

Отсюда ясно, что лемма 15 выполняется в общем случае, если она справедлива для периодических V и ф, но при замене коэффициента 8 на 2 ]/2. Если лемма 15 доказана для периодических функций V и ф, то справедливо и предположение 4, следует лишь заменить 8 на V2.

Будем теперь считать, что V (г) и ф (г) определены в кубической решетке с постоянной L и периодичны. Тогда эти функции можно разложить в ряд Фурье:

У(г) = 5Упехр[^Ё^1], (21.5) ф (/■) = 2 сп ехр [, (21.6)

где индекс п определяет трехмерный набор целых чисел, а

Лемма 15 с множителем 2^2 (поскольку V и ф теперь периодичны) может быть записана через коэффициенты Фурье:

| 2 Vm-nCmCn | < 2л К2 (2 «2 [ y7i |2)X т=^пп

х(2и2Ы2)1/4(2Ы2)3/4. (21.8)

Далее мы будем доказывать справедливость неравенства (21.8).

Для любого угла 0 выполняется соотношение

cosec2 0>0-2.(21.9)

Интегрируя обе части этого неравенства от 0 до л/2, получаем

ctg0>0-1-4,0<0<^,(21.10)

откуда для любого положительного А,

arctg (lx?)2(1 + лХ) 1(21.11)

Рассмотрим теперь сумму

sw-2 „ч„‘+хЧ ■.<2,л2)

п=#0

где я по-прежнему означает трехмерный набор целых чисел. Функция

(21ЛЗ)

зависящая от непрерывно меняющегося трехмерного вектора х, удовлетворяет условию

V2f(x)>0,(21.14)

и поэтому f (п) меньше среднего значения / (х) в сфере радиусом 1/2 с центром в точке п. Отсюда при учете (21.11) следует оценка для S (%):

5J ДДДДДД d"X =

1х|>1/2

24 / л ,1 \12л2/ci 1

= —Ь~ ^‘е^гИтн»- <21Л5)

Неравенство

SW<SW<16 л41+4л2Х16 л41+4л2Х(21.16)(21.16)

SW<

SW<

16 л41+4л2Х

16 л41+4л2Х

(21.16)

(21.16)

является более грубым, чем (21.15), однако вполне достаточным для наших целей. По-видимому, можно без особых трудов ослабить неравенство (21.16) на множитель 2.

Если т и п — ненулевые векторы, то из элементарных алгебраических соображений следует, что

/пЗ(п2 + Х2)ra2(m2+X2)п2(п2 + Х2) •

(21.17)

Отсюда для любого фиксированного вектора q находим

S«w= 2 ^”^<5».,. (21.18) n^O, q

Определим коэффициенты рт следующим образом:

Ро^П, Pm = (т2 + А,2)1^ дЛя m#=0,(21.19)

а т] будет выбрано чуть позже [см. (21.21)]. С помощью неравенства Коши получим неравенство для произвольного комплексного сп:

I'S' CwiCm~4 I I "VI X) / стРт \ / cm-qPm-q \ I

I?2| J\ ] q | Pm-q / \ | Я I Pm / I

q*0q^o

<2 2JS^-n1|e1,FS(X) +

q^O 4 PTn-q

+ 2 (m3 + Xs) | cm|2 [sm(X)+^-J.(21.20)

m=f=0

Воспользуемся теперь неравенством (21.18) и выберем т) в виде

П2 = 4л2Х[5(Х)]-1.(21.21)

Тогда при учете (21.16) из (21.20) следует

Scmcm-gдфйScmcm-gдфй< 4л2% | c0'J2 4-< 4л2% | c0'J2 4-

Scmcm-g

дфй

Scmcm-g

дфй

< 4л2% | c0'J2 4-

< 4л2% | c0'J2 4-

+ 2 (т=+^)|Ст|=$от(1+^)<

т^=0

<т5 km?-V^\cm\^.(21.22)

771

Поскольку (21.22) выполняется для любых X, находим

|S2 J^_|<8„,(2m2|Cm|2)-'-(S|Cm|2)1/‘.

(21.23)

Кроме того, для любого q справедливо неравенство Коши |3^п-д|<2|М2-(21.24)

Л

Умножая под знаком суммы левую часть неравенства (21.23) на (21.24), получаем

2 v-12 c^-<i Г < 8л2 (2 т21 Ст |2)1/2 (21 ст I2)3/2- дУ=0 т

(21.25)

Наконец, запишем неравенство Коши

| 2 2 ит--п.СтС-п. | < 771=7=71

< ( 3 ^ | 3 |Г ( 3 »а I ”. Is) (21-26) g^=0 m

Объединяя (21.25) и (21.26), приходим к (21.8), и, таким образом, лемма 15 доказана х).

Это доказательство не слишком прозрачно, так как оно сведено к чисто алгебраическим преобразованиям. Наиболее трудным местом является получение (21.22). Интуитивно

г) При доказательстве леммы 15 переход от (21.23) й (21.24) к (21.25) недостаточно обоснован, поскольку в (21.23) абсолютное значение берется после суммирования. Однако, исходя непосредственно из (21.20), мы приходим на самом деле к выражению (21.23), в котором знак модуля стоит под знаком суммы, и тогда переход к (21.25) вполне оправдан.

мы можем приписать равенству (21.22) следующий физический смысл. Функция

я (^ = 5 -^ехр[2л/-^] ■ (21-27) чФ О

представляет собой функцию Грина для куба С с периодическими граничными условиями. Эта .функция 7? (х) есть не что иное, как кулоновский потенциал, образованный единичными положительными зарядами, находящимися в однородном компенсирующем поле отрицательных зарядов. Неравенство (21.22) эквивалентно утверждению, что для частицы массой т в поле периодического кулоновского потенциала [—e^R (г)] энергия основного состояния больше чем (—16 Ry), или, в символическом виде:

е2 J Я(г)|Ф(г)|2<~ j |Vlp|2 + 16Ry j | ф |2 (21.28)

независимо от постоянной решетки L. Трудность доказательства связана главным образом с тем, что R (г) не обладает сферической симметрией, и поэтому неприменима лемма 5. Отметим, что R (г) определяется так, чтобы его среднее значение было равно нулю, так что в выражении для энергии основного состояния нет члена, пропорционального е2.

Теперь мы знаем, что в пределе А-> оо, когда R (г) превращается в кулоновский потенциал (1/г), энергия основного состояния равна одному ридбергу. Поэтому неравенство (21.28) справедливо при L-^ оо без множителя 16. Легко также показать, что при L -> 0 справедливо (21.28) с коэффициентом, меньшим единицы. Эти соображения можно считать физическим обоснованием того, что неравенство (21.28) выполняется без множителя 16 для любых L. А это в свою очередь означает, что неравенство (21.22) должно быть справедливо без множителя 4, и, наконец, неравенство _(21.8) должно оставаться справедливым при замене 21/2 на ]/2. Предположение 4, сделанное в связи с леммой 15, было бы доказано, если бы мы смогли показать, что энергия основного состояния для потенциала [—e^R (г)] монотонно уменьшается с ростом L.

Доказательство леммы 14. Хотя мы формально и не использовали лемму 14, для завершения нашей работы приведем ее краткое доказательство.

При L-> оо ряды Фурье (21.5) и (21.6) превращаются в интегралы, а неравенства (21.8) и (21.22) по-прежнему выполняются, если суммы заменить соответствующим образом нормированными интегралами. В частности, лемма 14 будет следовать из (21.22), если опустить множитель 4. Но мы видим, что неравенство (21.22) эквивалентно (21.28), и, таким образом, лемма 14 вытекает из неравенства (21.28), если опустить множитель 16. В случае L = оо неравенство (21.28) выполняется без множителя 16. Это просто означает, что энергия основного состояния атома водорода равна (—Ry). В этом случае неравенство (21.28) формально следует из леммы 5. Итак, лемма 14 доказана.

При доказательстве леммы 14 мы обошли трудную часть доказательства леммы 15, апеллируя к известным свойствам кулоновского потенциала. Если бы мы больше знали о свойствах периодического потенциала 7? (х), мы бы, вероятно, смогли найти более удовлетворительное доказательство леммы 15 и предположения 4.

22. Заключительные замечания

Основное содержание этих лекций было впоследствии опубликовано (см. [9]). Неудовлетворительный метод получения верхней границы энергии (раздел 7) был заменен (см. [10]) строгим доказательством теоремы 1. Тем временем Гарднер и Нейман показали, что предположения 2 и 2оо несправедливы в большинстве интересующих нас случаев (их работа не опубликована). По-видимому, предположения 3 и 2П также ошибочны.

Остальные предположения, использованные в лекциях, до сих пор не доказаны. Но главная проблема, которая осталась открытой, заключается в нахождении более прямого и экономичного доказательства теоремы 4. Коэффициент 4-1014 в теореме 4 слишком велик. Кроме того, весь вывод следует сделать более прозрачным.

Нам представляется важным, что главная трудность • доказательства леммы 15, на которой основано доказательство теоремы 4, заключается в оценке энергии основного

состояния электрона в поле периодического кулоновского потенциала. Физическая интуиция подсказывает, что в случае высокой плотности вещества энергия основного состояния должна быть связана с периодическим кулоновским потенциалом. Мы привыкли к мысли, что водород или любое другое вещество при достаточно сильном сжатии переходит в металлическую фазу, в которой электроны свободно движутся сквозь ионную (необязательно кубическую) решетку. Отсюда ясно, что периодическая кулоновская решетка должна играть решающую роль в изучении проблемы устойчивости вещества. В связи с этим нам кажется неразумным, что при доказательстве теоремы 4 энергия основного состояния кулоновской решетки учитывалась не прямо, а чрезвычайно окольными путями через леммы 15—20. Как-то кажется, что изящное и физичное доказательство теоремы 4 должно обойтись без искусственного метода разбиения конфигурационного пространства на кубы, а должно исходить непосредственно из рассмотрения периодической кулоновской решетки с тем, чтобы затем оценить энергию основного состояния произвольной апериодической системы. Такой прямой метод доказательства не только обеспечил бы значительно лучшие численные коэффициенты, но также привел бы к ясному пониманию природы устойчивости вещества. Это понимание, а не просто получение количественно точных результатов, является основной целью нашей работы.

В заключение я бы хотел поблагодарить слушателей за то, что они терпеливо выслушали работу, не относящуюся к области их непосредственных интересов как по стилю, так и по сути. Большинство слушателей привыкло работать либо с твердыми телами, либо со статистической механикой, причем с помощью методов, которые хотя и не претендуют на особую строгость, но дают результаты, вполне пригодные для практического использования и для получения согласия с экспериментальными данными. В такой аудитории очень трудно оправдать нашу попытку полного отказа от очень правдоподобного метода теории возмущений. Мне остается лишь надеяться, что более точный и строгий стиль работы может вызвать у некоторых слушателей чувство здорового скептицизма против предпочитаемых до сих пор приближенных методов.

ЛИТЕРАТУРА

Fisher М. Е., Ruelle D., Journ. Math. Phys., 7, 260 (1966).

Ruelle D., Helv. Phys. Acta, 36, 183, 789 (1963); Fisher M. E., Arch. Rati. Meeh. Anal., 17, 377 (1964).

Onsager L., Journ. Phys. Chem., 43, 189 (1939).

Foldy L. L., Phys. Rev., 124, 649 (1961); Girardeau M., Arno- witt G., Phys. Rev., 113, 755 (1959); Girardeau M., Phys. Rev., 127, 1809 (1962); Bassichis W. H., Foldy L. L., Phys. Rev., A133, 935 (1964); Bassichis W. H-, Phys. Rev., A134, 543 (1964); Stephen J. M., Proc. Phys. Soc. (London), 79, 994 (1962).

Боголюбов H. H., Journ. Phys. (U.S.S.R.), 11, 23 (1947).

Ninham В. V., Nucl. Phys., 53, 685 (1964); Lee D. R., Feen- berg E., Phys. Rev., A137, 731 (1965); Brueckner R. A., Saxyada R., Phys. Rev., 106, 1117, 1128 (1957); Gross E. P-, Ann. Phys. (New York), 20, 44 (1962).

Gell-Mann M., Brueckner R., Phys. Rev., 106, 364 (1957); Gell- Mann M., Phys. Rev., 106, 369 (1957); Saxyada R., Phys. Rev., 106, 372 (1957).

Teller E., Rev. Mod. Phys., 34, 627 (1962).

Dyson F. J., Lehard A., Journ. Math. Phys., 8, 423-(1967); Dyson F. J., Lenard A., Journ. Math. Phys., 9, 698 (1968).

Dyson F. J., Journ. Math. Phys., 8, 1538 (1967).

Э. Монтролл

Лекции по модели Изинга

Новые экспериментальные результаты, полученные при изучении критических явлений

Для реальных систем, обладающих большим числом степеней свободы, характерны два замечательных равновесных свойства: высокая степень упорядочения при низких температурах и внезапность исчезновения или появления дальнего порядка при фазовых переходах.

Фазовый переход представляет собой макроскопическое проявление молекулярного движения, при котором система, состоящая из огромного числа взаимодействующих частиц, подвергается резкой внутренней перестройке при незначительных изменениях внешних условий. Такая перестройка может происходить только благодаря коллективности молекулярного движения. Построение теории, описывающей разкий переход системы из одного упорядоченного состояния в другое, является одной из наиболее трудных проблем теоретической физики. Сложность проблемы не связана с постановкой задачи; наиболее трудным является расчет статистической суммы для большого канонического ансамбля, так как в настоящее время не существует математического аппарата, позволяющего решать задачи с большим числом зависимых переменных.

Постоянный интерес теоретиков к кооперативным явлениям и фазовым переходам сильно вырос в связи с проведенными в последнее время очень точными экспериментами.

Одним из первых таких экспериментов было измерение теплоемкости жидкого Не4 вблизи Х-точки, проведенное Бакингемом, Фейербенком и Келлерсом (БФК) [1]. Наблюдаемое изменение темплоемкости Не4 с температурой вблизи Х-точки может быть с большой точностью описано эмпирической формулой с особенностью логарифмического типа.

Экспериментальная установка, которая позволила провести такие точные измерения, включает медный сосуд, обладающий высокой теплопроводностью, наполненный жидкостью. При этом гелий находится на расстоянии не больше 0,007 см от поверхности меди, что гарантирует специально выбранная ребристая форма внутренней поверхности сосуда.

Обычно при измерениях теплоемкости в большом объеме жидкости трудно добиться быстрого установления равновесия в связи с ростом флуктуаций при приближении к критической точке. В эксперименте БФК используется очень малый объем гелия, а высокая теплопроводность меди способствует сравнительно быстрому выравниванию флуктуаций. Теплоемкость гелия вблизи Л,-точки очень велика и при приближении к точке перехода резко изменяется, в то время как теплоемкость меди при низкой температуре перехода (2,17 К) практически равна нулю и очень мало меняется в пределах нескольких десятых градуса. Поэтому для проведения эксперимента достаточно малого количества гелия.

Поскольку температура перехода жидкость — газ для гелия при критической плотности равна 5,2 К, можно использовать метод БФК для определения температурной зависимости теплоемкости гелия при критической плотности вблизи точки перехода жидкость — газ. Такая работа была выполнена Молдовером и Литтлом в Стэнфордском университете [2]. В этом случае также теплоемкость вблизи критической точки оказалась логарифмической функцией температуры.

Такой же метод использовали Воронель и др. [3] для изучения температурной зависимости темплоемкости аргона вблизи критической точки при объеме, равном критическому. В результате этих экспериментов тоже была обнаружена логарифмическая особенность темплоемкости вблизи критической точки (150,5 К). Аналогичные, но менее точные результаты были получены для кислорода [4].

Прекрасные данные, полученные Фридбергом и др. [5, 61 для теплоемкости антиферромагнитных солей СоС12“6Н2О и NiCl2’6H2O, также свидетельствуют о логарифмической особенности теплоемкости вблизи антиферромагнитной критической точки.

Весьма примечательно, что во всех случаях точное измерение теплоемкости привело к логарифмической особенности. Вопрос о том, универсален ли этот результат, т. е. зависит ли он от закона взаимодействия между молекулами, является фундаментальным вопросом теории фазовых переходов. Интересно отметить, что единственный имеющийся строгий теоретический расчет теплоемкости системы взаимодействующих частиц также приводит к логарифмической особенности. Это, конечно, замечательный результат Онса- гера для двумерной изинговской модели ферромагнетика.

Определенные закономерности проявляются также в уравнении состояния жидкостей. В 1945 г. Гуггенгейм [7] обработал лучшие из имеющихся в то время экспериментальных данных по определению формы огибающей двухфазной области. Из данных для Ne, Ar, Кг, Хе, N2, О2, СО и СН4 следовало, что

Pl — Pg ~ Л (Гс-ту/з (1.1)

(рь и ре — плотности жидкости и газа на границе двухфазной области) и что для этих веществ справедлив «закон прямолинейного диаметра»:

Др (рь + Pg) = Pg Н + а—у;—J , (1.2)

где а = 2,5.

Точные эксперименты на ксеноне, выполненные в 1952 г. Вайнбергером и Шнайдером [8], подтверждают «закон V3» Вопрос об универсальности этого закона был поднят Эдвардсом 19], который считал, что для Не4 лучше пользоваться предложенной Бакингемом формулой

где

Y= Pl —PgлPl + Pg ”

Для ферромагнетиков роль уравнения состояния играет температурная зависимость спонтанной намагниченности. Наилучшее согласие с экспериментальными данными для непроводящих ферромагнетиков [10, 11] EuS и СгВг3 дает

зависимость

где вблизи критической точки для EuS, р = 0,33 ± 0,01, для СгВг3, Р = 0,365 ± 0,015.

Измерение ядерного магнитного резонанса на ядрах F19 в антиферромагнетике MnF2 показало, что уравнение (1.3) справедливо для каждой подрешетки в температурной области 7 -10~5 ^ АТ/Тс ^0,1 при Р = 0,333 ± 0,003.

Для ферромагнетиков и жидкостей можно сравнить еще два критических индекса, характеризующих поведение магнитной восприимчивости и сжигаемости жидкости. Если приближаться к критической температуре Тс со стороны высоких температур, то магнитная восприимчивость

/ дМ \,. ..

Хо~ \ дН )н-0 обладает особенностью типа

Хо = -;^ГГ<L5)

\1 с 5

Из экспериментов по рассеянию нейтронов Якрот [12] нашел, что для железа у = 1,3, в то время как Ноукс и Эррот [13], непосредственно измеряя восприимчивость, получили у = 1,37 ± 0,04. Кувел и Фишер [14] тщательно проверили старые экспериментальные данные Вейсса и Фор- рера [15] по никелю и нашли, что у = 1,35 ± 0,02. Грэхем [16] для гадолиния нашел у = 1,3. Для кобальта значение у= 1,21 ± 0,04, полученное Грэхемом, по-видимому, несколько меньше, чем для железа и никеля,. Как мы увидим ниже, в модели Изинга 4 = 1,25. Бейкер и др. [17] показали недавно, что в модели Гейзенберга у = 1,43.

Изотермическая сжимаемость жидкости

Р =(1.6)

v р \ др 1тv '

является аналогом величины %0 для ферромагнетика. Экспериментальные данные для жидкостей вблизи критиче-

ской точки хуже приведенных выше данных для %0, так что критический индекс у в данном случае не так хорошо известен.

Прекрасный обзор последних результатов по всем типам критических явлений был недавно опубликован в трудах Вашингтонской конференции по критическим явлениям [18].

Модель Изинга

Изинговский ферромагнетик [19—23]

Модель Изинга представляет собой единственную модель системы взаимодействующих частиц, для которой проведен строгий математический расчет критических индексов. Хотя первоначально эта модель была сформулирована для ферромагнетиков, она пригодна для описания фазового перехода в любой системе, характеризуемой набором переменных, которые связаны с узлами кристаллической решетки, причем на каждом узле' соответствующая переменная может принимать только два значения. Для ферромагнетика — это два возможных значения спина частиц, находящихся в узлах решетки.

Каждый у-й узел решетки характеризуется переменной ар

Oj =Oj =+ 1, если спин направлен «вверх»,

Oj =

Oj =

— 1, если спин направлен «вниз». (2.1)

Для бинарного сплава, состоящего из атомов двух сортов (Д и В), переменная а3 равна (+1), если у-й узел занят атомом сорта А, и (—1) — для сорта В. В случае жидкости или газа надо разделить объем на большое число эквивалентных ячеек, настолько малых, что в каждой из них не может находиться более одного атома или молекулы, и тогда Oj — 1 (или —1), если у-я ячейка занята (или свободна).

Сначала мы обсудим магнитный вариант модели Изинга, а затем другие интерпретации. Предположим, что взаимодействуют лишь ближайшие соседи. Тогда энергия взаимодействия пары частиц, расположенных в точках у и к,

равна

— JojCki если узлы / и к являются ближайшими соседями,(2.2)

О в остальных случаях,

где aj и CTft — спиновые переменные для /-Й и ^-й частиц.

Константа J, определяющая величину энергии взаимодействия соседних атомов, является параметром теории. Кроме того, припишем каждой частице магнитный момент р., и тогда гамильтониан системы N частиц во внешнем поле

2 aikOjOk—v-H^Gj, (2.3а) з, k=l5=1

где f 1, если узлы / и к ближайшие соседи,

(2.36) ( 0 в остальных случаях.

Ферромагнитному упорядочению соответствует J > О, антиферромагнитному — J < 0.

Разумеется, термодинамические и магнитные свойства системы можно определить из статистической суммы

2 ••• 2 ехР (1Г 22 ^1 ’

СТ1=±1о^=±13,к=1з=1

(2.4а) где

(2.46)(2.46)

(2.46)

(2.46)

Например, внутренняя энергия U и намагниченность М, отнесенные к одной частице, равны соответственно

<2-5)

^=4-454-<2-6>

7—0826

Бинарный сплав

При соответствующем выборе J. и р,Н модель Изинга можно применить для описания фазовых переходов в двух- компонентной системе. Пусть компоненты перенумерованы. В случае твердого тела мы «привязываем» отдельные атомы или- молекулы к узлам решетки. Для бинарной жидкой системы весь объем делится на равновеликие ячейки, занятые частицами первого или второго сорта, т. е. системе навязывается некоторая «псевдорешетка». Энергия взаимодействия пары ближайших соседей равна ejk = ekj, если один из соседей относится к /-му сорту, а второй — к ^-му; например, etl —энергия взаимодействия двух частиц первого сорта.

Если [ij — химический потенциал частиц сорта /, то статистическая сумма для большого канонического ансамбля

N

Zg- 2 ^expp^+h^^^ ^1=0 i

XI XI pxn { Hl^l + ^2^2 + ^z \/9

Ni4-N2=N i

где Nt, N2 — числа частиц первого и второго сортов, а Ег — энергия i-ro состояния системы для данных Nt и N 2. Среднее число частиц типа j есть

№ = кТ -А_ In Zg,/ = 1, 2.(2.8)

Если Nj задано, то соотношение (2.8) является уравнением для нахождения р,7-.

Энергетические уровни системы Ег могут быть выражены через скалярные координаты решетки Изинга, если приписать величине о5 значение (+1), когда /-й узел занят частицей первого сорта, и (—1), когда он занят частицей второго сорта. Тогда ^(l + Oj) равно единице, или нулю в зависимости от того, какого сорта частица находится на /-м узле. Поэтому

N

^1 = 4-5 (^^(2-9)

2=1

и аналогично

^2=45<2Л0)

i=i

так что автоматически удовлетворяется условие ^ + ^2 = = -N.

Если /и к — ближайшие соседи, то величина

^2(ajak) = ~^" G Ч^./) (1 +ak)+

+ ^L (1 _ Oj) (1 - Ок) + ^_ (1 _ ^(2.Ц)

равна еп, е22 или е12, когда /-й и к-й узлы заняты соответственно двумя частицами первого сорта, второго сорта или разных сортов. Поэтому полная энергия системы

З^'М0^)’(2Л2)

к

где ajk определено в (2.3), а суммирование проводится при дополнительных условиях (2.9) и (2.10).

Теперь можно переписать уравнение (2.7) для статсум- мы большого канонического ансамбля в переменных о:

N

Zg= 2-’-2 ехРР {4 2 ^i(l+^) + И2(1—^j)! — ai=±l а^+1з=1

-4 2 aj*W^ =(2,13)

3, й=1

= ехр^₽а) 2---S ехР (^ 5 -~^-азОкА-

<31=±1 CN=±1з,к=1

N

+ Ho^S°v)’ <2Л4)

3=1

где

а — -g- [4 (pi + р2) — с (вн 4- е22 + 2е12)],

(2.15)

К = —4~(^н + ^22—2е12),

(2.16)

но^=4"12 ^—^—с (е“ ~еа2^’

(2-17)

N

С = 2 djk- 3, й=1

.(2.18)

Константа с, называемая иногда координационным числом, определяет число ближайших к данному узлу соседей.

Функция Zg, как это видно из (2.14), представляет собой с точностью до множителя exp lNa/(kT)A статистическую сумму (2.4) для решетки Изинга; таким образом, установлена простая связь между моделью Изинга и бинарным сплавом.

При этом важнейшие термодинамические свойства ферромагнетика и бинарного сплава оказываются тесно связанными друг с другом. Например, среднее число узлов, занятых атомами каждого сорта, можно выразить через намагниченность:

та=.4(1+«г,»=4+^. (2.19) да1>=4(1-ш)=4—£-■ (2-2°)

В специальном случае решетки Изинга без магнитного поля, когда Н, а следовательно, и ©^ равны нулю, больц- мановский множитель в статсумме (2.4) инвариантен относительно преобразования оу-^.—о,, так что <оу> = 0 и поэтому М = 0. Для бинарного сплава соответствующее свойство описывает равенство (N^ = < TV2) = N/2. Поэтому решетка Изинга без поля изоморфна сплаву, состоящему из одинакового числа атомов первого и второго сорта.

При К > 0 решетка Изинга является моделью ферромагнетика, при К < 0 — антиферромагнетика. Для бинарного сплава К > 0 соответствует однородному раствору, расслаивающемуся при низких температурах на две фазы, а К < 0 — сплаву замещения, для которого упорядочен-

ным состоянием при низких температурах является чередование атомов первого и второго сортов в кристаллической

решетке.

Если предположить, что магнитное уравнение состояния, вытекающее из модели Изинга, подобно уравнению,

то рассчитанные кривыето рассчитанные кривыеполученному из эксперимента,

то рассчитанные кривые

то рассчитанные кривые

охлаждения для твердых растворов и р — у-изотер- мы окажутся качественно правильной формы. Следовательно, на модели Изинга видно, каким образом многочастичные взаимодействия приводят к различного рода критическим явлениям.

Предполагая, что модель Изинга качественно верно передает магнитное уравнение состояния, перейдем к дальнейшему рассмотрению модели бинарных твердых растворов. Для твердых растворов заданной концентрации NJN значение намагниченности эквивалентной решетки Изинга определяется формулами (2.19) и (2.20).

M/N/4qNt/NM/N/4qNt/NФиг. 1. Связь между намагниченностью при постоянном внешнем магнитном поле и двухфазным равновесием в бинарной системе.Фиг. 1. Связь между намагниченностью при постоянном внешнем магнитном поле и двухфазным равновесием в бинарной системе.Тогда, зная температуру Т, можно найти эквивалентное

M/N/4q

Nt/N

M/N/4q

Nt/N

Фиг. 1. Связь между намагниченностью при постоянном внешнем магнитном поле и двухфазным равновесием в бинарной системе.

Фиг. 1. Связь между намагниченностью при постоянном внешнем магнитном поле и двухфазным равновесием в бинарной системе.

внешнее магнитное поле Н, если двигаться вдоль изотермы и выбрать величину Н, связанную с данным М. Заметим, что при фиксированной концентрации Н растет

с увеличением температуры.

Другая возможность установления связи между NJN, Al/(iVpo), Н и Т состоит в построении графика функции /И/р-о от температуры Т при постоянном Н (фиг. 1), причем на этом же графике может быть изображена и концентрация Ni/N. Очевидно, что если Н — фиксированно, то с ростом Т кривая M/(Np,0) стремится к нулю, т. е. Nt/N. —>- Va- По-видимому, наиболее интересной из

кривых с постоянным Н является кривая спонтанной намагниченности. Она соответствует кривой критических концентраций, что видно из следующего рассуждения. Возьмем твердый раствор, содержащий, скажем, 90% частиц второго сорта (см. пунктирную линию на фиг. 1). При температурах, более высоких, чем температура замерзания, твердый раствор продолжает существовать вплоть до температуры Т^, когда частицы первого сорта начинают выпадать в осадок. Если температура продолжает понижаться, кривая Н = 0 достигает максимума, соответствующего максимальному числу частиц первого сорта, которые можно растворить в веществе, состоящем из частиц второго сорта, при выбранной температуре.

Модель Изинга изоморфна также ячеечной модели жидкой бинарной смеси. Опять-таки нужно разделить объем на ряд тождественных ячеек, достаточно больших, чтобы почти все ячейки содержали по одной молекуле, и достаточно малых, чтобы в одной ячейке практически никогда не находилось больше одной молекулы. Тогда соответствующие величины вводятся также, как это было сделано для твердых растворов.

2.3. Модель Изинга для решеточного газа

Статсумма для большого.канонического ансамбля, соответствующего газу в объеме V,

Zg (Т, р, V) = 3 ^Ze (Т) N) уу (2.21) N

= (2л/Г2т£Т)3/2 ехр ,(2.22)

где Zc— конфигурационная статсумма:

Zc^T exA—nSM dq- (2123) v

Плотность и давление определяются следующими выражениями:

Р^^ПГ^1112^ ^’ УЬ (2.24) *

p = kT\nZg (Т, р, К).(2.25)

Так как обычно, кроме температуры и объема, известна либо плотность, либо давление, то для определения входящего в (2.22) химического потенциала р, нужно решить либо уравнение (2.24), либо (2.25).

Ли и Янг [24] рассмотрели в качестве модели газа решетку, которая получается, если объем V разделить на V равных частей (соответствующим выбором единиц можно привести объем каждой ячейки к единичному объему). Предполагается, что потенциал ф является суммой парных потенциалов ф2;

z-оо,если два атома находятсяв одной

Iи той же ячейке,

(2.26)(2.26)J —4J, если атомы занимают соседние |ячейки,

(2.26)

(2.26)

х0во всех остальныхслучаях.

Такой потенциал взаимодействия удовлетворяет обычным требованиям, а именно: отталкивание между частицами на очень малых расстояниях, притяжение — на промежуточных и отсутствие Взаимодействия на достаточно больших расстояниях.

Припишем /-й ячейке координату о,, равную (+1), если в ячейке находится атом, и (—1), когда ячейка пуста. В узле решетки не может находиться более одного атома (так как фа = °о). Потенциальная энергия газа может быть записана в виде

v

ф=-кТК 2 ^-(1 + агу)(1+агк), (2.27)

3, k=i

так что

V

Zc=2,exP[5 3 -^(1+^)(1 + ^)],(2.28)

з, ь=1

где штрих у знака суммы означает, что суммирование по 04 = ± 1, .. ., Ov = ± 1 проводится при дополнительном v

условии 2 Va (1 + °з) = ^- Использование статсуммы для большого канонического ансамбля позволяет избавиться

от этого ограничения, так что

V

А 2 (Ц-аф

zg= 2 ••• S ^i=1 X

Ol—ilOy=±l

xexp[K 2 ^■(1 + ^)(1 + ^)]!(2.29)

й=1

г^ехр[(р0<^-^)и] 22 *

ai=±lак=±1

vу

X ехр [/(" 2 “Т" ^j6^ + Ио<^ 2 ^] ’(2-30)

3, к=13=1

где

Vc0<^ = cK^-ytok1 = cKJr ^Хп^тск-^ткТ^^-, (2.31)

ас — координационное число решетки. Таким образом, статсумма для большого канонического ансамбля в модели решеточного газа пропорциональна статсумме в модели Изинга. Тем самым основные термодинамические свойства ферромагнетика и решеточного газа оказываются связанными. Например, плотность решеточного газа равна

v

^ = Т^^|п2ИГ, !-,(2.32)

3=1

или

Давление определяется следующим образом:

Р = — In г8 (Т, и, V) = Ио^- ' (2.34) где FIN — свободная энергия, приходящаяся на одну частицу в решетке Изинга.

Связь между р — у-изотермами и магнитным уравнением состояния в модели Изинга ясна из фиг. 2. Предположим, что (М, //)-изотермы модели Изинга качественно.

такие же, как у реальных магнитных материалов. Эти изотермы показаны на фиг. 2, где в первом квадранте изображена зависимость функции M/^Np,^ от Н, а в четвертом квадранте — зависимость М/^р,0) от (—Н). Высокотемпературные изотермы расположены ниже оси Н. В левой полуплоскости фиг. 2 показано также изменение и в зависимости от M/(Np,o) [см. (2.33)1.

Для температуры Tt ^Т^-с^Т^ р—у-изотерма получается следующим образом. Нужно определить величину Н,

Фиг. 2. Схема перехода от магнитного уравнения состояния к уравнению состояния для жидкости.

соответствующую большому значению удельного объема у (обозначенного на фиг. 2 буквой Л), и подставить ее в выражение (2.34) (напомним, что J постоянно, a F зависит только от Н и Т^. Величина Л4/(М|1о), соответствующая у, определяется точкой В, а величина Н —точкой D. Значение Н растет с уменьшением у (для больших у Н отрица: тельно) до тех пор, пока не будет достигнута точка Е, которой соответствует Н = 0, причем Н остается равным нулю, когда у меняется от Е до F. Так как в этой области Н и Т постоянны, то остаются постоянными также свободная энергия Изинга F, а значит, и давление р, так что спонтанная намагниченность в модели Изинга прямо связана с равновесием газ — жидкость в решеточном газе. При дальнейшем уменьшении у (правее точки F) продолжается

рост Н и проявляется «жидкая» ветвь р — о-изотермы. Если Т > Тс (как для изотермы Т2 на фиг. 2), спонтанная намагниченность равна нулю, Н и р — монотонно убывающие функции и равновесие жидкость — газ невозможно.

Очевидно, что если модель Изинга качественно верно передает магнитное уравнение состояния, то модель, исходящая из двух возможных значений переменной и учитывающая взаимодействие ближайших соседей, будет также качественно верно описывать и другие кооперативные явления. Расчет статсуммы для модели Изинга будет сделан после обсуждения одномерных систем.

Применение матричного метода при исследовании статистики решетки

Одномерная решетка Изинга и матричный метод [25—30]

Для изучения термодинамических и магнитных свойств модели Изинга использовались два различных метода. В первом статсумма выражается через шпур матрицы высокого порядка и, следовательно, расчет сводится к нахождению наибольшего собственного значения матрицы. Именно таким методом Онсагер впервые рассчитал стат- сумму для двумерной решетки. В дальнейшем мы будем применять иной, комбинаторный метод; однако здесь мы сделаем несколько замечаний относительно матричного метода, в частности замечания касаются расчета одномерной цепочки и общих условий существования дальнего порядка.

Расчет статсуммы для одномерной цепочки Изинга в отсутствие внешнего поля весьма прост. Заметим, что

N-1

ZN= S • • • S exp (к S OjOj+1) = ^=±1 ff_v=±l3=1

Л'—2

= 2 • • • ■ 5 exp К S Oj<5j+t 2 exp (Kon-iOnY

Но

5 ехр (Ко^^о^) = exp <KoN-^ + exp (— Ко^ = 2 ch К

независимо от значения oN_t (+ 1 или — 1). Следовательно,

ZN = Z^ (2 ch /С) = ZN_2 (2 ch КУ = Z2 (2 ch /С)”-2.

Ho

Z2 =5 exp (Кб^) = 4 ch K,

ai, O2=±l

так что

ZN = 2(2chK)N-1.(3.2a)

Отсюда найдем, что теплоемкость как функция температуры

~К = ^ ( АТ ) sec^2 (дт)(3.26)

имеет при Т > О максимум, а не сингулярность.

В присутствии магнитного поля статсумма

NN

z= 52 ехр(/С 2 ^j^+i+Ho^ 3 ^)(3.3)

^=±1а№±!з=13=1

в отличие от (3.1) не может быть непосредственно вычислена. Для расчета Z матричным методом вводится матрица Р второго порядка с матричными элементами

Р (Ph бм) = exp (KOjOj-ц + Po^oj),(3.4а)

где О; = ±1 определяет две строки, а о,-+1 = ± 1 — два столбца матрицы Р. Тогда

р /ехр (/С+ ц0^) ехр ( — К + Но<^)\

\ехр( — К — Ро<^) ехр(7< — р0<^)/

Если теперь обозначить матричный элемент P<kt (о, о') через Рк, то статсумма запишется в виде

Z= 22 P(^i, б^Р^, о3) ...

at—±1aN_t—±l

= • - S Р (6N^, СГдг) Р (бм, Oj) = azV=±l

= 2 ... 2 Р(^, а2)...

<^=±1 ^_1=±1

• • • Р {^N-^ ^N-if Р^ (рМ-1л Ой) =

= 2 Рт(бь a2) = SpPw = 2Af, (3.5) ^=±1j

где kj— собственные значения матрицы Р. Из (3.3) следует, что

кл )

. J=eKchp0^ Ме2К^уь03£Зе-2КУ^. (3.6)

Для больших N необходимо использовать лишь наибольшее собственное значение kt, так как

7 = ^[1 +(-h-^j-^ при N-*oo. (3.7а)

Следовательно, lim-^=lnM.(3.76)

N-+0O N

Таким образом, основной результат матричного метода состоит в сведении проблемы нахождения статсуммы к нахождению наибольшего собственного значения матрицы, характеризующей рассматриваемую модель.

Термодинамические свойства системы непосредственно вытекают из соотношений (3.5) и (3.7). Намагниченность

W- = ^Г = ^о sh (ио^) [sh2 ^) + а-^]-1^. (3.8)

Отсюда видно, что спонтанная намагниченность (предельное значение М при 36 ->0) равна нулю, т. е. рассматриваемая система не обладает ферромагнетизмом, или дальним порядком. Теплоемкость является непрерывной функцией температуры, и, следовательно, в данной модели невозможен фазовый переход.

Для решения вопроса о существовании дальнего порядка лучше всего обратиться к изучению корреляций на больших расстояниях. При этом тоже можно воспользоваться матричным методом. Действительно, предположим, что для цепочки со свободными концами вероятность нахождения первого спина цепочки в определенном состоя-

нии задаетсянии задаетсявекторомвектором«1 = «1 (оа) =«1 = «1 (оа) =' «1(1) ' _«! ( — 1)_' «1(1) ' _«! ( — 1)_(3.9)(3.9)е =е =' 1 "1' 1 "1тоНапример, еслитоНапример, еслии^е = 1.и^е = 1.(3.10)(3.11)(3.10)(3.11)и^ =и^ =

нии задается

нии задается

вектором

вектором

«1 = «1 (оа) =

«1 = «1 (оа) =

' «1(1) ' _«! ( — 1)_

' «1(1) ' _«! ( — 1)_

(3.9)

(3.9)

е =

е =

' 1 "

1

' 1 "

1

то

Например, если

то

Например, если

и^е = 1.

и^е = 1.

(3.10)

(3.11)

(3.10)

(3.11)

и^ =

и^ =

или еслиили еслиВероятности нормированы так, чтобы «!(!) + «!(—1)= I,

или если

или если

то вероятность того, что спин направлен «вверх» в три раза больше, чем «вниз». Вектор, определяющий вероятность распределения «вверх» или «вниз» для второго спина в цепочке из двух спинов.

2 и! (Oi) exp (К<Т1<г2 + po^i)

<Г1=±1

25 “1(°1) ехр (/Со^а + ро^О!)

<Г1=±1 <Г2=+1

или с помощью матрицы Р'— транспонированной матрицы Р [см. (3.46)]:

«2«2и^Р и^Реи^Р и^Ре(3.12)(3.12)

«2

«2

и^Р и^Ре

и^Р и^Ре

(3.12)

(3.12)

Точно так же вектор, определяющий вероятности распределения для последнего спина (в цепочке из N спинов) по отношению к первому, равен

un =•(3-13)

и^Р е

Собственные значения к, матрицы Р и Р' совпадают.

Если у, и w у— собственные векторы, т. е.

Pvj = kjX)j, P’wj^kjWj,(3.14)

(3.15)(3.15)то хорошо известно, что при соответствующей нормировке

(3.15)

(3.15)

У>к = 6jk.

Вектор uv можно представить в виде линейной комбинации векторов wy.

“1=2]^./,Cj^UjUv(3.16)

3

Тогда из

(3.13) получаем

UN " 5 с^РМ"^ - 2 сА^^-е ’(3J7)

33

или

, . с2 / Х2 \1

Х2 А-1 , •(3-18)

Ci \ Ai /

Так как

Xi>X2, то (Х^Х^^-1-^-0 при М-^-оо, так что

^ = ^-(3.19)

Таким образом, вероятность состояния для N-го спина не зависит от коэффициентов Ct и са, а значит, и от вероятности состояния «1 для первого спина. Такое отсутствие корреляции между спинами означает отсутствие дальнего порядка.

Матричный метод, использованный нами для расчета статсумм и выяснения вопроса о существовании дальнего порядка, может быть применен не только для одномерных, но и для многомерных моделей. В общем случае можно считать, что решетка состоит из последовательных слоев (например, ряд за рядом —в прямоугольной решетке или плоскость за плоскостью — в кубической). Слой / взаимодействует только с (/ + 1)- и (/ — 1)-слоями, так что элементами матрицы Р являются больцмановские множители, соответствующие взаимодействию /-го слоя с (/ + 1)-м, а также с внешним полем. Тогда, как и выше, статсумма является шпуром матрицы Рт, где т—число слоев.

Существенно, что в предельном случае бесконечной решетки матрица Р, вообще говоря, бесконечна. Тем не менее уравнение (3.7) по-прежнему справедливо и статсумма выражается через наибольшее (по абсолютной величине) собственное значение матрицы Р. Это верно даже для случая вырожденных собственных значений (за исключением экспоненциального роста степени вырождения с ростом размерности матрицы).

Общий метод расчета параметра дальнего порядка не меняется, и (3.18) переписывается в виде

ац + 2 ^срс^

им =,(3.20)

j

где предполагается, что I ^-i I ^ I ^a I ^ I ^з I ^- • • • • Однако теперь вопрос о вырождении X, становится принципиально важным; так, для | Xt | = | Х2 | > | Х3 | ^ . . .

(3.21)(3.21)^l+^a/Cl) (Х2/Х1)№ 1ш2

(3.21)

(3.21)

им я>кщт

Wie-V^jci) (X2Ai) ®2e

так что и'м зависит от ct и с2, т. е. и от щ. А это и соответствует наличию дальнего порядка. Таким образом, необходимым условием существования дальнего порядка является равенство | Хх | = | Х2 |.

Теорема Фробениуса [31] позволяет сделать некоторые общие выводы. Теорема утверждает, что если все элементы конечной матрицы положительны и конечны, то имеется только одно наибольшее (по модулю) собственное значение, а все характеристические векторы положительны. В применении к одномерной решетке эта теорема подтверждает уже известный нам результат об отсутствии дальнего порядка, поскольку вероятности им, а значит, и все величины w\ в (3.19) положительны. Согласно этой теореме, дальний порядок невозможен даже в решетке, содержащей бесконечное число конечных слоев. Для бесконечного числа слоев теорема неприменима.

На самом деле, как будет показано в разделе 5, в бесконечной прямоугольной решетке Изинга происходит фазовый переход и существует дальний порядок.

Комбинаторный подход н решению задачи Изинга

Комбинаторный метод будет использоваться в дальнейшем для получения точных формул, описывающих термодинамические и магнитные свойства двумерных решеток и оценок различных критических индексов для трехмерных решеток. Этот метод был впервые использован Кацем и Уордом [32] с целью упрощения точного решения Онса- гера для двумерной решетки. Домб и сотр. [33] впервые использовали полученные комбинаторным методом ряды для оценок критических индексов.

В этом разделе содержится систематическое изложение высоко- и низкотемпературных рядов для статистической суммы в виде определенных решеточных диаграмм. Для двумерного случая дана связь этих диаграмм с моделью Изинга и способ размещения димеров на двумерной решетке. Этот результат был впервые получен Кастелейном [34].

Высоко- и низкотемпературные разложения

Мы покажем, как можно получить высоко- и низкотемпературные ряды для различных термодинамических и магнитных величин. Сначала рассмотрим случай, когда магнитное поле отсутствует. При этом статсумма (2.4) представляет собой сумму произведений множителей вида ехр (Коо'). Разложение такого множителя в ряд по К с учетом того, что сг2 = 1, имеет вид

exp (Коо') = 1 + -1- /С2 (ш/) + ^- (оо')4 + ... + К (оо') +

+-^-(ас/)3 + • • • = ch Х+ оо’ sh К = ch К (1 --zoo'), (4.1) где z — th/G

Тогда статсумма равна

Z=(chK)Nc^ 2 И U+20^),(4.2)

<г=±1 б. с

где с — число ближайших соседей для каждого узла решетки, N — общее число узлов, а индекс б. с. означает операцию для ближайших соседей. Раскрывая произведе-

ние в (4.2), получаем

1 + Z S ^j + Z3 2 OiOj 2 OiOm +

б. Сб. С б. с

+^з ^i^j 2 ^l^m 2 C^sCTf + • • • •(4.3)

б. с б. с б. с

Фиг. 4.Фиг. 4.Этот ряд представляет собой высокотемпературное разложение статсуммы, так как . z = th [ J/(kT)] -*■ 0 при Т —>■ оо.

Фиг. 4.

Фиг. 4.

Фиг. 3.

Каждое произведение OiOj, относящееся к паре ближайших узлов решетки, может быть изображено отрезком (связью), соединяющим узлы i и /'. Тогда

Фиг. 5.Фиг. 5.каждое слагаемое, содержащее z, может быть представлено графиком типа фиг. 3, а слагаемые с z2 — одним из двух изображенных на фиг. 4 графиков соответственно со связанными и несвязанными между собой отрезками.

Фиг. 5.

Фиг. 5.

В графиках второго типа / = т, так что QiOjOiOm = OiOjOt s= otot. Любая

точка, через которую проходит четное

число связей, дает множители о2, которые равны единице. Полностью замкнутые графики (фиг. 5) содержат произведения о видао1(Т20г20гз0’з0’40’40’5О'5°"б0"б0'1 = 1 • Следовательно, для замкнутых графиков исчезают все о, в то время как для графиков со свободными концами остается столько о, сколько свободных концов у данного графика. Так как

(4-4)(4-4)

(4-4)

(4-4)

то все слагаемые в (4.3), которым соответствуют графики' со свободными концами, обращаются после суммирования по о в нуль.

8-0826

Так как

2 1=2,(4.5)

<т=±1

то каждое слагаемое, которому соответствует замкнутый график, вносит в статистическую сумму вклад 2^ (ch K)cNl2. Таким образом, получаем

(4-6)(4-6)Z = 2N (ch KYN'2 2 ” (г) z\

(4-6)

(4-6)

где п(0) = 1, а п (г)—число замкнутых графиков с г связями, которые можно разместить в данной решетке.

Для квадратной решетки п (2) = п (3) = О, а п (4) — число способов, которыми можно расположить квадрат

Фиг. 6.Фиг. 6.

Фиг. 6.

Фиг. 6.

с четырьмя связями на решетке из N узлов (для удобства будем использовать периодические граничные условия, так что решетка имеет форму тора). Это число равно N, так как левый нижний угол каждого квадрата может располагаться в любом из N узлов решетки. Точно так же п’(6) = — 2N, так как многоугольник с шестью связями может быть ориентирован большими сторонами по вертикали или по горизонтали (фиг. 5).

На фиг. 6 показаны различные типы многоугольников с восемью связями, причем на фиг. 6, а — в, д многоуголь-

ники связаны, а на фиг. 6, г не связаны. Всего возможно N графиков типа a, 2N—типа б, 2N—типа в и 4N— типа д. Для случая г первый квадрат может быть размещен N способами на решетке из N узлов. Второй квадрат, который не соприкасается с первым, может занять (N — 9) узлов. Всего, таким образом, возможны N (N — 9)/2 графиков типа г. Итак, общее число восьмиугольников равно

пм , N (N—9)№ , 9N

-f-22 + 2 .

Первые слагаемые ряда (4.6) имеют следующий вид:

Z = 2N (chK^^l-^Nz^A- 2Wz® + y(N2 + 9A0z8 + ...]• Так что при N—>■ оо

Zvw = 2(ch2/0(l+z4 + 22« + -f-z8 + ...).

Таким же способом получаются разложения статистической суммы для других двухмерных, а также для трехмерных решеток. Конечно, построение и расчет всех замкнутых многоугольников данного порядка для трехмерной решетки сложен и утомителен, хотя группа из Королевского колледжа добилась заметных успехов в этом направлении. Например, согласно данным этой группы, разложения корня степени N из статистической суммы для трех кубических решеток имеют вид:

для простой кубической решетки

Z1/jV = 2(ch К)3Х

Х(1+ Зг4 + 22г®+192г®+2046г10+24853г12+...), (4.7а) для объемноцентрированной кубической решетки Z^n = 2 (ch К)4 (1 + 12г4 + 148г® + ■

+ 2568г® + 53944г10 +...),(4.76)

для гранецентрированной кубической решетки

ZMN _ 2 (ch Л)® (1 + 8г3 + 33г4 + 168г5 + 962г® +

+ 5928г7 + 38907г® + 268056г9 + . . .).(4.7в)

Используя эти ряды, можно получить разложения для всех термодинамических величин — внутренней энергии, теплоемкости и др.

Гораздо проще работать с высокотемпературными рядами для восприимчивости в нулевом поле; эти ряды будут рассмотрены в разделе 7.

Уравнение (4.6) можно обобщить, включив в него более сложные взаимодействия. Так, если, например, Kt—величина взаимодействия между ближайшими по горизонтали соседями в квадратной решетке, а Кг — аналогичная величина для вертикальных соседей, то статистическая сумма имеет вид

" Z^ch/Qch/Q^ S ^«(r, s)thr/GthsK3. (4.8) Т 8

Подобным же образом можно получить низкотемпературные ряды. Наинизшая энергия ферромагнитной решетки Изинга соответствует параллельной ориентации всех спи-

Ф и г. 7. Основное (а), а также первое (б) и второе (в) возбужденные состояния для квадратной решетки Изинга.

нов. Больцмановский множитель, связанный с этим состоянием, равен exp (NKcl2), где с, как и раньше, число ближайших соседей данного узла решетки. Статистический вес этого состояния равен двум, поскольку в отсутствие внешнего поля магнитный момент упорядоченного состояния может быть направлен либо «вверх», либо «вниз».

Первое возбужденное состояние — состояние с одним перевернутым спином (фиг. 7, б). При этом энергия изменяется на величину 2К для каждой пары «неправильных» связей, а число таких пар равно с. Перевернутый спин может находиться в любом из N узлов. Таким образом, при К —*■ °° имеем

(

NKc \

+ • • ■ , (4-9а)

так что

Z1,N~ 21,NeKc/2(l+e-^Kc+..^.(4.96)

Слагаемые следующего порядка соответствуют перевороту двух спинов, находящихся на соседних узлах решетки (фиг. 7, в). Возникновение множителя «два» связано с равновероятностью направления параллельных спинов «вверх» или «вниз» в- основном состоянии системы в отсутствие внешнего поля. В общем случае при Н = О

2 = 2еМКс/2^т(г)е-2К1-,(4.10)

Г

где т (г) — число способов, какими г «неправильных» связей могут быть размещены в решетке. В качестве примера приведем первые пять членов низкотемпературного разложения статистической суммы для объемноцентрированной кубической решетки:

Z1,N = ay"2 (1 + су8 + 4m14 — -|- су16 + 28су30 — 64су33 +...),

(4.Н)

где w = ехр (—27<).

Дуальность

Используя определенную симметрию, которая проявляется при матричном методе решения задачи Изинга, Крамере и Ваннье [25] получили интересное соотношение между высоко- и низкотемпературными рядами для статистической суммы квадратной решетки. Хотя это соотношение и не помогает найти аналитическое выражение статистической суммы, оно позволяет определить положение точки Кюри, если она существует. Онсагеру удалось обобщить это соотношение на широкий класс двумерных решеток.

Каждой решетке Онсагер ставит в соответствие «дуальную» решетку, построенную из перпендикуляров к середине каждой связи исходной решетки, пересекающихся в центрах ячеек исходной решетки. На фиг. 8, а сплошными линиями изображена квадратная решетка, а пунктирными— дуальная ей, на фиг. 8,6 показаны гексаго-

нальная и дуальная ей треугольная решетки. Квадратную решетку будем называть самодуальной, поскольку дуальная ей решетка также квадратная.

Фиг. 8. Построение «дуальных» решеток.Фиг. 8. Построение «дуальных» решеток.

Фиг. 8. Построение «дуальных» решеток.

Фиг. 8. Построение «дуальных» решеток.

Фиг. 9. Связи для квадратной решетки.Фиг. 9. Связи для квадратной решетки.В двумерном случае связи в дуальной решетке, которые охватывают перевернутые спины, образуют замкнутые многоугольники.В двумерном случае связи в дуальной решетке, которые охватывают перевернутые спины, образуют замкнутые многоугольники.

Фиг. 9. Связи для квадратной решетки.

Фиг. 9. Связи для квадратной решетки.

В двумерном случае связи в дуальной решетке, которые охватывают перевернутые спины, образуют замкнутые многоугольники.

В двумерном случае связи в дуальной решетке, которые охватывают перевернутые спины, образуют замкнутые многоугольники.

Квадратная решетка самодуальна (а); треугольная решетка дуальна гекса-гональной (б).

Для установления связи между высоко- и низкотемпературными рядами для статистической суммы проведем

геометрические рассуждения на примере квадратной решетки (фиг. 9). Узлы решетки, для которых ст = +1, обозначим точками, а узлы, соответствующие о = —1,— крестиком. Каждая связь, соединяющая узлы с противоположно направленными спинами, делится пополам связью дуальной решетки. Ясно, что

в случае периодических граничных условий совокупность связей дуальной решетки образует замкнутые многоугольники типа описанных в предыдущем параграфе и что число связей у даль- ной решетки в точности равно

числу пар противоположно направленных спинов в исходной решетке. Действительно, существует взаимно однозначное соответствие между расположением связей, соединяющих узлы с противоположно направленными спинами в исходной решетке, и замкнутыми графиками с тем же числом связей в дуальной решетке.

Сравнивая определения (4.6) и (4.10) функций п (г) и m (г), замечаем, что

т (г) = nD (г), mD (г) = п (г),(4.12)

где индекс D относится к функциям дуальной решетки. Эти соотношения справедливы не только для рассмотренной нами квадратной решетки, но и для других типов двумерных решеток. Для квадратной решетки можно опустить индекс D, поскольку дуальная решетка тоже квадратная.

Определим К* с помощью соотношения

th^*=e-2K.(4.13)

Можно записать выражения (4.6) и (4.10) для Z в следующем виде:

Z (К) e-Wc^2 = S (г) е-2Кг =

= ^\nD (г) thr К* = ZD (К*) [2^ (ch К*)^^72]"1.

Т

Число связей в исходной и дуальной решетках одинаково: NDcD!2 = Nd2, поэтому можно несколько упростить последнее соотношение:

Z (70 = 2О (К*) 2"^D (2 sh 2^^/4.(4.14)

Большое значение величины К* связано с малостью К. Следовательно, высокотемпературный ряд для статистической суммы любой решетки непосредственно связан с низкотемпературным рядом для статистической суммы дуальной решетки.

Для самодуальной решетки, например для квадратной, соотношение (4.14) означает, что если имеется сингулярность при температуре Т = J IkK, то имеется также сингулярность при температуре Т* = ЛкК* (К). Если, однако, интуитивно ясно, что возможна только одна сингулярность, она должна быть при Т = Т*. Из (4.13) видно, что эта критическая точка определяется равенством

| sh 2/<с | = 1, Кс = т^А^Л (4.15) где К с положительно для J > 0 и отрицательно для J < 0. Подставляя Т = Тс в (4.14), видим, что соотношение (4.14)

удовлетворяется тождественно, т. е. при Тс функция Z остается непрерывной.

Приведенные выше рассуждения непосредственно неприменимы к треугольной и гексагональной решеткам, поскольку они не самодуальны. Однако Онсагер нашел точку Кюри с помощью другого, несколько отличного соотношения для треугольной и гексагональной решеток, так называемого звездно-треугольного преобразования. Оно связывает высокотемпературное поведение треугольной решетки с низкотемпературным поведением гексагональной. Сочетая звездно-треугольное и дуальное преобразования, можно связать низко- и высокотемпературное поведение треугольной (а также гексагональной) решетки.

Связь между статистической суммой двумерной решетки Изинга и димерными конфигурациями

Прежде чем приступить к расчету статистической суммы двумерной решетки Изинга, рассмотрим задачу о размещении на двумерной решетке димеров — двухатомных молекул, занимающих два узла решетки. Предположим, что имеется столько димеров, сколько необходимо, чтобы все узлы решетки были заняты, но каждый узел относился бы только к одному димеру.

Размещение 32 димеров на 8 X 8 квадратной решетке эквивалентно размещению на шахматной доске 32 костей домино при условии, что каждая из них занимает две клетки доски. На фиг. 10 показаны типичные конфигурации димеров на квадратной решетке. Фаулер и Рашбрук впервые рассмотрели вопрос о числе способов размещения димеров на решетке при расчете энтропии двухатомного газа, адсорбированного на поверхности кристалла.

Для аналитического исследования статистики димеров удобно ввести производящую функцию димеров. Для квадратной решетки, содержащей N узлов, со статистическими весами zt и 22 соответственно для горизонтальных и вертикальных димеров эту функцию можно задать в виде

Ф^, 23) =g (гц, Пз)(4.16)

ni+na=jV/2

где g (n-t, n2) — число возможных конфигураций с гц горизонтальными и п2 вертикальными димерами. В тривиальном случае квадратной решетки (2 X 2)

Ф (гь г2) = г® + г^. (4.17)

Общее число конфигураций димеров всегда равно Ф (1, 1). В следующем параграфе мы найдем производящую

474247424546474845464748

4742

4742

45464748

45464748

••еееяее

5334353637383940

2526272829*3031*32

е——е•——• . е——е••

1718192021222324

•— ■ ••••—>—во я

910И1213141516

•— ■ ••—•вее•

12345678

Фиг. 10. Две типичные конфигурации димеров.Фиг. 10. Две типичные конфигурации димеров.

Фиг. 10. Две типичные конфигурации димеров.

Фиг. 10. Две типичные конфигурации димеров.

функцию димеров с помощью так называемых пфаффианов.

В этом параграфе мы закончим рассмотрение комбинаторики доказательством непосредственной связи статистической суммы изингового ферромагнетика для квадратной решетки с производящей функцией димеров для не-

Фиг. 11. Декорированная решетка, для которой конфигурации димеров соответствуют конфигурациям многоугольников для квадратной и гексагональной решеток Изинга.

Фиг. 12. Однозначное соответствие между конфигурациями димеров в единичной ячейке декорированной решетки и связями в квадратной решетке Изинга.

сколько более сложной декорированной решетки, показанной на фиг. 11. Связь между конфигурациями димеров и моделью Изинга была впервые установлена Кастелей- ном [34]. Декорированная решетка, которую мы сейчас рассмотрим, эквивалентна решетке, впервые использованной Фишером [35].

Покажем, что имеется однозначное соответствие между каждой возможной конфигурацией замкнутых многоуголь-

Ф и г. 13. Единичные ячейки для квадратной решетки Изинга (а) и для декорированной решетки (б).

ников в квадратной решетке Изинга и конфигурацией димеров в декорированной решетке (фиг. 12).

Заметим, что квадратная решетка может быть построена из показанных на фиг. 13, а единичных ячеек, представляющих собой замкнутый квадрат, который всеми четырьмя сторонами примыкает к другим единичным ячейкам. Аналогичным образом декорированная решетка может быть построена из ромбических единичных ячеек (фиг. 13, б), каждая из четырех сторон которых соприкасается с соседними ячейками. Если наша декорированная решетка составлена из такого, же числа единичных ячеек по горизонтали и по вертикали, что и исходная квадратная решетка, то имеется однозначное соответствие между единичными ячейками квадратной и декорированной решеток. Точно так же имеется соответствие между сторонами квадратной и ромбической единичных ячеек.

Различные слагаемые в высокотемпературном разложении статистической суммы (4.6) и соответствующие им

замкнутые многоугольники можно охарактеризовать, задав определенную конфигурацию связей, исходящих из каждого узла исходной решетки Изинга. В случае квадратной решетки существуют восемь таких конфигураций; они показаны на фиг. 12. При этом одна из них соответствует четырем связям, приходящим в данный узел, четыре — двум связям, выходящим из узла под прямым углом друг к другу, две—двум связям, лежащим на одной прямой, и одна не содержит ни одной связи.

На фиг. 12 показано однозначное соответствие между указанными восемью состояниями и конфигурациями димеров в единичной ячейке декорированной решетки. Благодаря однозначному соответствию между единичными ячейками и конфигурациями связей в этих ячейках существует также однозначное соответствие между конфигурациями замкнутых многоугольников на решетке Изинга и конфигурациями димеров на декорированной решетке. Таким образом, если zt — статистический вес для каждого горизонтального димера, пересекающего первую и третью стороны единичной ячейки декорированной решетки, а г2 — для вертикального димера, пересекающего четвертую и вторую стороны, то статистическая сумма для квадратной решетки Изинга с точностью до множителя ^сЬ^сЬ/Сг)^ равна производящей функции димеров для декорированной решетки в предположении, что каждый димер, локализованный внутри ромба и не пересекающий его сторону, имеет статистический вес, равный единице, т. е.

Z (2!, г2) = (гсЬ^сЬКг)-^ (zt, г2), (4.18) где N — число узлов решетки.

Статистика димеров и расчет статистической суммы для двумерной решетки Изинга

Характеристика димерных конфигураций и пфаффиан

На фиг. 10 показаны некоторые возможные конфигурации димеров для квадратной решетки, имеющей четное число узлов. Удобно приписать каждой конфигурации димеров некоторый набор чисел, состоящий из последова-

тельности пар чисел, соответствующих парам узлов, на которых расположены димеры. Для простоты будем вести отсчет слева направо в нижнем ряду, затем слева направо — в следующем ряду и т. д., пока не дойдем до самого верхнего ряда. Так, конфигурация, изображенная на фиг. 10, описывается следующим набором чисел:

(1, 9) (2, 3) (4, 12) (5, 13) (6, 7) (8, 16) (10, 18) (11, 19)

(14, 15) (17, 25) (20, 21) (23, 24) (26, 34) (27, 35)

(28, 36) (29, 37) (31, 39) (32, 40) (33, 41) (38, 46)

(42, 43) (44, 45) (47, 48). (5.1)

Нижний ряд заканчивается' на (8, 16), верхний начинается с (10, 18) и т. д. Каждое из чисел последовательности 1, 2, . . ., 48 входит в какую-нибудь пару. Очевидно, что любая возможная конфигурация димеров описывается рядом

(Pt, РА (Рз, PiV - - (Рм, PisY(5.2)

где последовательность pt, pz, . . ., р48 представляет собой такую перестановку чисел 1, 2, . . ., 48, что

Pi < Рз, Рз С Р», Рз < Рв, • . .,(5.3а)

Pi < Рз< Рз, • - . •(5.36)

Возможны только такие перестановки, которые затрагивают пары чисел (р, р'), соответствующие ближайшим узлам решетки. Существует связь'между конфигурациями димеров и разложением определенных алгебраических объектов, так называемых пфаффианов. Пусть дана антисимметричная матрица А четного порядка, скажем 2W, элементы которой а (р, р') удовлетворяют условию

а (р, р’) = —а (р', р\(5.4)

Тогда пфаффиан, соответствующий этой матрице, определяется следующим образом:

Pf (4) = 2 6ра (р15 р^ а (р3, р4) ...a Vp^N-t, p2NY (5.5а)

Pl <- Рз, Рз < Р4, Рз*С Рв, • • .,(5.56)

Pi < Рз < Рз . . - .(5.5в)

Суммирование, в (5.5а) проводится по всем перестанов

кам, удовлетворяющим указанным выше условиям, которые задаются неравенствами (5.3). Знак перестановки Р определяется множителем 6Р, причем 6Р = +1, если (Pi, Рг, Рз, •'. ., P2N-) получено чет-

Ф и г. 14. Конфигурации димеров вслу-Ф и г. 14. Конфигурации димеров вслу-чае двух димеров и четырех узлов решетки.чае двух димеров и четырех узлов решетки.ным числом перестановок из натурального ряда (1,2, . . ., 2^), и 6Р = —1 при нечетном числе перестановок. Кроме того, хорошо известно [36, 37], что

Ф и г. 14. Конфигурации димеров вслу-

Ф и г. 14. Конфигурации димеров вслу-

чае двух димеров и четырех узлов решетки.

чае двух димеров и четырех узлов решетки.

Pf (Д) = (det А)1'2.

Если элементы матрицы А выбраны так, что а (р, p') — Q, когда р и р* не относятся к ближайшим сосе-

дям, то существует однозначное соответствие между слагаемыми в Pf (Д) и конфигурациями димеров на решетке, содержащей 2N узлов [38, 39].

Пфаффиан можно записать и в другой форме:Пфаффиан можно записать и в другой форме:Pf (Л) = I а (1, 2) а (1, 3)а(1, 4) ... а(1, 2N) а (2, 3)а(2, 4) .. . а (2, 2^)

Пфаффиан можно записать и в другой форме:

Пфаффиан можно записать и в другой форме:

(5.6)(5.6)а (2^—1, 2^)

(5.6)

(5.6)

| а(1, 2) а (1,3) а (1,4)| а(1, 2) а (1,3) а (1,4)а (2, 3) а (2, 4) а (3, 4)а (2, 3) а (2, 4) а (3, 4)= а (1, 2) а (3, 4) — — а(1, 3)а(2, 4)4- + а(1, 4) а (2, 3).= а (1, 2) а (3, 4) — — а(1, 3)а(2, 4)4- + а(1, 4) а (2, 3).(5.7)(5.7)Это выражение может быть раскрыто по строкам или по столбцам так же, как это делается при разложении детерминантов. Однако минор элемента а (г, s) представляет собой пфаффиан 2 (N — 1)-го порядка, полученного из исходного Pf (Д) вычеркиванием r-го и s-ro столбцов и r-й и s-й строк. Полное разложение общего пфаффиана для N = 2 имеет, вид

| а(1, 2) а (1,3) а (1,4)

| а(1, 2) а (1,3) а (1,4)

а (2, 3) а (2, 4) а (3, 4)

а (2, 3) а (2, 4) а (3, 4)

= а (1, 2) а (3, 4) — — а(1, 3)а(2, 4)4- + а(1, 4) а (2, 3).

= а (1, 2) а (3, 4) — — а(1, 3)а(2, 4)4- + а(1, 4) а (2, 3).

(5.7)

(5.7)

Рассмотрим теперь простейшую квадратную решетку, четыре узла которой показаны на фиг. 14. Если ввести

обозначения

а (1, 2) = а (3, 4) = гъ а (1, 3) = —г2- = —а (2, 4),

а для узлов, на которых не могут быть размещены димеры, положить

а (1, 4) = а (2, 3) = О,

то, согласно (5.7), получаем выражение

Pf (Л) = г® 4- г®,(5.8)

которое точно совпадает с производящей функцией димеров (4.17) для этой решетки.

На фиг. 15 показан несколько более сложный случай восьми узлов. На этой фигуре изображены пять возмож-

•———••■ •••

5678

।'»•। >

/гз❖

Фиг. 15. Конфигурации димеров в случае четырех димеров и восьми узлов решетки.

ных конфигураций димеров. Следовательно, производящая функция димеров равна

Ф (гь г2) = г» + Зг^ + ^.

(5.9)

Эта функция совпадает с величиной пфа< ^ 00-z2000

2100z200

2i00— г3 0

000г3

2100

Z1 0

21

})фиана:

в котором

а (1, 2) = а (2, 3) = а (3, 4) - а (5, 6) = а (6, 7) = — а (7, 8) = гъ

—а (1, 5) = а (2, 6) = —а (3, 7) = а (4, 8) = г2.

Хотя очевидно, что соответствие между производящей функцией димеров и пфаффианом однозначно, остается, однако, неясным вопрос о выборе знака различных г2 — выборе, который обеспечивал бы положительный знак

5678

Фиг. 16. Суперпозиционные многоугольники, образованные наложением стандартной конфигурации димеров на произвольную конфигурацию.

всех слагаемых в разложении пфаффиана. Кроме того, необходимо установить общее правило выбора знаков, поскольку нам придется иметь дело с производящей функцией димеров для весьма сложных решеток. Прежде всего обозначим через -Vz^ статистический вес для всех горизонтальных связей между ближайшими соседями. Теперь нам осталось определить знаки для вертикальных связей.

Кастеляйном была развита очень изящная общая теория выбора знаков для связей, которую мы сейчас изложим. Будем исходить из стандартной конфигурации (см. фиг. 10, верх), в которой все связи горизонтальны. При наложении стандартной конфигурации на произвольную конфигурацию димеров (фиг. 16) возникает диаграмма, состоящая

из замкнутых многоугольников и перекрывающихся изолированных димеров. Назовем замкнутые многоугольники супер позиционными. В любом суперпозиционном многоугольнике димеры стандартной конфигурации, изображенные на фиг. 16 пунктиром, могут быть превращены в димеры произвольной конфигурации (показанные сплошными линиями) с помощью циклической перестановки, соответствующей перемещению по часовой стрелке всего многоугольника на величину, равную постоянной решетки.

Использованная выше процедура описания конфигураций димеров была удобна для выяснения однозначного соответствия между конфигурациями димеров и разложением пфаффиана. Однако эта процедура не единственная, а при установлении правила знаков она оказалась не самой удобной. Прежде чем ввести новый способ записи конфигурации димеров, следует заметить, что можно так записать каждое слагаемое в разложении пфаффиана, соответствующее конфигурации димеров, чтобы без изменения величины этого слагаемого избавиться от одного или обоих типов неравенств (5.3). Эти неравенства вводились для того, чтобы каждая перестановка входила в разложение пфаффиана один и только один раз.

Если в типичном слагаемом из формулы (5.5а)

8Ра (Pi, Ра) а (рз, р4) . . ., (5.10)

которое соответствует перестановке чисел рь рз, р3, . . ., нарушено условие р4 < р2, то замена a (plt р2) на а (рг, Pt) = —a (pi, Ра) не приведет к изменению выражения (5.10), так как одновременно с изменением знака первого матричного элемента изменится и знак бр, поскольку сделана лишь одна перестановка ближайших соседей в последовательности р^, рз, . . . . Можно отказаться и от требований (5.36), поскольку при этом произойдет лишь перестановка коммутирующих величин а (/?!, р^ и а (р3, р4) в (5.10), а последовательности pi, р2, р3, р4, . . . и р3, р4, pt, Рз, . . . отличаются четным числом перестановок и 6Р = 1.

Новый способ описания конфигурации димеров, наиболее удобный для выяснения правил выбора знаков, связан с поворотом каждого замкнутого супер позиционного многоугольника по часовой стрелке. На фиг. 16 в правом 9-0826

нижнем углу изображен многоугольник а (5, 13) а (14, 15) а(16, 8) а (7, 6). Стандартной конфигурации соответствует часть этого многоугольника: а (13, 14) а (15, 16) а (8, 7) а (6, 5).

При циклической перестановке, преобразующей последовательность чисел (13, 14, 15, 16, 8, 7, 6, 5) в (5, 13, 14, 15, 16, 8, 7, 6), часть многоугольника, соответствующая стандартной конфигурации, превращается в другую его часть, соответствующую произвольной конфигурации димеров.

Перестановка чисел, которая связана с произвольно выбранной конфигурацией димеров, представляет собой совокупность последовательностей p'j, причем каждая последовательность соответствует расположению конечных точек димеров в су пер позиционном многоугольнике. Порядок, в котором различные суперпозиционные многоугольники появляются в наборе чисел p'j, несуществен. Если Ро — перестановка чисел, связанная со стандартной, a Pt— с рассматриваемой произвольной конфигурацией, то

Р1=Р^Р0, (5.11)

где Р2 — результат циклических перестановок, преобразующих стандартную конфигурацию в данную. Известно, что если три перестановки связаны соотношением (5.11), то

бР^бР^Ро, (5.12)

С другой стороны, если Р2 состоит из п циклов ct, с2, . . ., то

6Р2 = 6С,6С,6С,. . . . (5.13)

Поскольку все суперпозиционные многоугольники имеют четное число сторон, каждая циклическая перестановка нечетна, так что каждое 6С — —1.

Если можно выбрать знак каждого слагаемого в разложении пфаффиана таким же, как для стандартной конфигурации, то каждый член пфаффиана будет, как и требуется, положительным. Этого можно добиться, если, например, потребовать, чтобы величина '

а (Ръ Ра) а (р3, р4) а (р5, р6) . . .,

соответствующая стандартной конфигурации в суперпозиционном многоугольнике, имела такой же знак, как и величина

6С« (pa, Рз) а (р4, р5) . ■ характеризующая рассматриваемую произвольную конфигурацию. Так как 6С = —1, то это требование будет выполнено, если

sign [а (ръ р2) а (р3, р^ а (р5, р6)...1 =

= —sign [а (р2, рз) а (р4, р5) . . Л, т. е. если

П sign а (рг, pi+1) = — 1,(5.14)

i

где в произведение входят все матричные-элементы, взятые вдоль суперпозиционного многоугольника.

Необходимым условием выполнимости соотношения (5.14) является появление нечетного числа множителей (—1) при повороте супер позиционного многоугольника по часовой стрелке.

Для наглядного выявления знака суперпозиционного многоугольника полезно приписать определенное направление (обозначаемое стрелкой) каждой связи, соединяющей соседние узлы решетки. Если а (р, //) > 0, то между точками р, р' стрелка направлена от р к р*, если же а (р, р') <: < 0, то — от р' к р. Будем называть четными или нечетными многоугольниками те, которые содержат соответственно четное или нечетное число стрелок. Условие (5.14) означает, что все суперпозиционные многоугольники нечетны.

Рассматриваемые двумерные периодические решетки состоят из примыкающих друг к другу элементарных многоугольников, внутри которых нет узлов решетки. Для квадратной решетки такими элементарными многоугольниками являются малые квадраты, образованные из узлов решетки (1, 2, 10, 9), (2, 3, 11, 10) и т. д. (см. фиг. 10, верх), а для декорированной решетки (см. фиг. 11) элементарными, ячейками являются треугольники и двенадцатиугольники. Все элементарные многоугольники можно сделать нечетными (при обходе по часовой стрелке). Действительно, направим все стрелки в данном элементар-

ном многоугольнике произвольным образом, а последнюю так, чтобы сделать многоугольник нечетным. Затем повторим эту же процедуру на соседнем многоугольнике для всех его сторон, кроме тех, которые касаются первого многоугольника, и т. д. Таким образом, можно сделать все элементарные многоугольники нечетными. Кастеляйн [38] обосновал важный вывод о том, что с помощью такой процедуры можно сделать нечетным любой суперпозиционный многоугольник независимо от его длины.

Последнее утверждение следует из теоремы Кастеляй- на, которую мы сейчас докажем.

Так как эта теорема является общей для произвольных планарных диаграмм, введем сначала несколько определений. Планарной называется диаграмма, состоящая из совокупности точек на плоскости и связей, произвольным образом соединяющих эти точки. Конечно, рассмотренные выше двумерные решетки являются планарными. Точки диаграммы, находящиеся внутри замкнутого многоугольника, образованного связями, называются внутренними точками. Элементарный многоугольник не содержит внутренних точек. Если при разрыве связей, проходящих через некоторую точку, оставшаяся диаграмма будет состоять из двух или более несвязанных частей, назовем такую точку точкой сочленения.

Теорема Кастеляйна. Дана планарная диаграмма, в которой отсутствуют точки сочленения и пересекающиеся связи, соединяющие точки диаграммы. Предположим далее, что стороны всех элементарных многоугольников снабжены стрелками так, что все эти многоугольники при обходе по часовой стрелке нечетны. Тогда четность любого многоугольника противоположна четности числа внутренних точек для этого многоугольника.

Доказательство. Доказательство теоремы проводится методом полной математической индукции. Для всех элементарных многоугольников теорема справедлива, так как они по определению не содержат внутренних точек (нуль — четное число) и, по предположению, являются нечетными многоугольниками. Пусть Гп — многоугольник, состоящий из п элементарных многоугольников (по определению Гх — элементарный многоугольник). Теорема будет доказана,

если мы покажем, что из ее справедливости для Гл следует ее справедливость для Гл+1. Пусть у и а — числа внутрен

них точек и направленных по часовой стрелке связей для Гл. Многоугольник Гл+1 получается из Гл добавлением

некоторого произвольного общих для Ft и Гп связей в Ft. Чтобы убедиться внекоторого произвольного общих для Ft и Гп связей в Ft. Чтобы убедиться вF^ Предположим, что число равно р, а а' — число связей справедливости доказываемой

некоторого произвольного общих для Ft и Гп связей в Ft. Чтобы убедиться в

некоторого произвольного общих для Ft и Гп связей в Ft. Чтобы убедиться в

теоремы для Гл+1, надо сравнить с числом нечетных связей на границе Гл+1 число внутренних точек

у + Р-1 (5.15)

(Р — 1 — число находящихся на общей границе Гх и Гл точек, которые являются внутренними для Гл+1). Число нечетных связей на границе Гл+1 представляет собой сумму нечетных связей Г, и Гл минус те из них, которые не лежат на границе Гл+1. Так как любая связь, лежащая на общей границе Fi и Гл, должна быть направлена по часовой стрелке либо в Гь либо в Гл (фиг. 17), то ни одна из р связей, лежащих на этой

Фиг. 17. Связи на общей границе многоугольников П и Гл.Фиг. 17. Связи на общей границе многоугольников П и Гл.Стрелка, соответствующая связи, общей для Г1 и Гл, направлена по часовой стрелке для одного из многоугольников и против часовой стрелки — для другого; например, стрелка, проведенная нз а в 6, направлена по часовой стрелке для Г, и против часовой стрелки для Г„.Стрелка, соответствующая связи, общей для Г1 и Гл, направлена по часовой стрелке для одного из многоугольников и против часовой стрелки — для другого; например, стрелка, проведенная нз а в 6, направлена по часовой стрелке для Г, и против часовой стрелки для Г„.границе, не входит в число свя

Фиг. 17. Связи на общей границе многоугольников П и Гл.

Фиг. 17. Связи на общей границе многоугольников П и Гл.

Стрелка, соответствующая связи, общей для Г1 и Гл, направлена по часовой стрелке для одного из многоугольников и против часовой стрелки — для другого; например, стрелка, проведенная нз а в 6, направлена по часовой стрелке для Г, и против часовой стрелки для Г„.

Стрелка, соответствующая связи, общей для Г1 и Гл, направлена по часовой стрелке для одного из многоугольников и против часовой стрелки — для другого; например, стрелка, проведенная нз а в 6, направлена по часовой стрелке для Г, и против часовой стрелки для Г„.

зей, направленных по часовой стрелке в Гл+1. Следовательно, число связей, лежащих на границе Гл+1 и направленных по часовой стрелке, равно

а' + а — р.

(5.16)(5.16)Теорема будет доказана, если удастся показать, что числа (5.15) и (5.16) имеют противоположную четность, т. е. если отличается четность чисел (у — 1) и (а + а'), поскольку от четности р четность выражений (5.15) и (5.16) зависит одинаково. По предположению, а и у имеют противоположную четность, а, значит, четность а и у — 1 одинакова. Мы предполагали, однако, что а' нечетно и, таким

(5.16)

(5.16)

образом, числа (у — 1) и (а + а') имеют противоположную четность, а это доказывает теорему Кастеляйна.

Каждый суперпозиционный многоугольник содержит четное число точек диаграммы, так как он образован из одинакового числа связей стандартной и рассматриваемой конфигурации димеров. Число внутренних точек у суперпозиционного многоугольника четно, поскольку

Фиг. 18. Расположение направленных связей для квадратной и декорированной решеток Изинга, при котором все элементарные многоугольники нечетны.

их либо нет совсем, либо они относятся также к другим суперпозиционным многоугольникам. Следовательно, из теоремы Кастеляйна вытекает, что все супер позиционные многоугольники нечетны, как этого требует условие (5.14), а, значит, все члены разложения пфаффиана, которым мы сопоставляем производящую функцию димеров, положительны.

На фиг. 18 показано расположение стрелок для квадратной и декорированной квадратной решеток Изинга. Так как все элементарные многоугольники нечетны, то, согласно теореме Кастеляйна, нечетны также все суперпозиционные многоугольники, т. е. в качестве производящих функций димеров можно использовать пфаффианцц

Построение производящей функции димеров для квадратной решетки [38]

Построим теперь производящую функцию димера как квадратный корень из антисимметричного детерминанта, равного нашей производящей функции.

Из фиг. 19 видно, что наша квадратная решетка, состоящая из горизонтальных и вертикальных связей, может

Фиг. 19. Соотношение между различными соседними единичными ячейками, использованное при подсчете числа конфигураций димеров на квадратной решетке.

быть разбита на совокупность тождественных единичных ячеек, каждая из которых содержит два узла решетки. Нам необходимо построить матрицу Л, удовлетворяющую условию

det Л = [Pf (Л)]3. (5.17)

Обозначим через (р^ р^) единичную ячейку, причем рг и р2 — номера этой ячейки соответственно по горизонтали и по вертикали. Сданной ячейкой (plt р2) могут соприкасаться лишь ячейки (pi ± 1, р^ и (р17 р2 ± 1). Следовательно, все матричные элементы, которые соответствуют

(5.20)(5.20)

(5.20)

(5.20)

связи данной ячейки с более далекими, чем ближайшие соседи, ячейками, равны нулю.

Матрица А для решетки с п горизонтально расположенными единичными ячейками будет иметь вид

(

(1,1) (2,1) (3,1)... (п, 1)

(1,2)(2,2)(3, 2) . . . (п, 2)

(1,3) (2, 3) . . .

(1,1)

Г аР0 . . .0

7 ‘000

00. . .

(2, 1)

3' а Р .. .0

0700

00. . .

3, 1)

03' а . . .0

00 v . . .0

00. . .

ОЬ 1)

000 . . . а

000 . . . .7

00 . ’ ”

(1.2)

7'00 . . .0

а 30 .. . о

70. . .

(2,2)

000

Р' а р ...0

0v . . .

(3, 2)

007' . . .0

0 Р' а .. .0

0 б . . .

(П.‘ 2)

000 . . .7'

00 оа

о о ‘":

(1,3)

000 .. .0

00 ...0

а 3 . . .

(2,3)

000 . . .0

07'0. . .0

Р' а . . .

(5.18)

Здесь а, Р, Р', V — матрицы с двумя строчками и двумя столбцами. Отличные от нуля 2x2 матрицы располагаются в (5.18) вдоль центральной диагонали на двух ближайших к ней субдиагоналях и двух субдиагоналях, отстоящих от центральной на п единиц. Из-за трансляционной симметрии решетки связь между единичными ячейками (1,1) и (2, 1) такая же, как между (2, 1) и (3, 1) и вообще между (pi, Рг) и (pi + 1, р^. Конечно, такая же эквивалентность существует между ячейками, являющимися ближайшими соседями по вертикали.

Найдем теперь точный вид матрицы, определяющей связь некоторой единичной ячейки с самой собой.

Матричный элемент (L, L) или ^R, R) в такой матрице:

помощи горизонтального димера со статистическим весом zv Матричный элемент (j?, L) равен —zt, так как стрелка направлена из L в R.

Точно так же

L R

L ГО 0"” R .2, 0.

так как между (рь р^ и (^ + 1, р^ может находиться единственный димер, связывающий точку R в (pi, р2) с точкой L в (р! + 1, р2), причем димер направлен от R к L.

Фиг. 20. Статистические веса, придаваемые различным димерам, которые могут располагаться в типичной единичной ячейке декорированной решетки.

L R

L ‘ О z^

Аналогично,

а = _

R L —21

О

(5.19)

равен нулю, так как левая часть единичной ячейки (фиг. 20) не может быть связана сама с собой при помощи димера. Однако левая часть может быть связана с правой при

— z20

— 21 0

(5.21)

(5.22)

Произвольный матричный элемент (р1( р2; р^, р'") 2 Х2 матрицы из-за наличия трансляционной симметрии в рассматриваемой квадратной решетке зависит лишь от совокупности pj— pt и р'— рг, а не от каждого в отдельности. Следовател ьно,

“ (Pi, Р^ P'v Р^ = а- № — Pi, Р'—Р^.(5.23)

Тогда отличны от нуля только следующие элементы матрицы а (р, р'):

а (0, 0) = а, а (1, 0) = 0,а (— 1, 0) = 0';

а (0, 1) = у, а (0, —1) = у'.(5.24)

Матрица Л, определенная соотношениями (5.18)—(5.24), обладает свойством трансляционной инвариантности (5.23), которое позволяет рассчитать ее детерминант [20, 40]. Выберем решетку из т узлов в каждой строке и п в каждом столбце и используем периодические граничные условия

а Уг' ^2) = аФ' Р^(5.25а)

a (j>i, п) = а (р!, 0).(5.256)

Благодаря цикличности матрицы А, которая следует из уравнения (5.23), ее можно разложить в двойной ряд Фурье. Такое преобразование проводится с помощью набора базисных векторов — собственных функций двух операторов циклической перестановки, которые оставляют решетку инвариантной. (Один из операторов обладает вертикальной симметрией, другой — горизонтальной.) Определим матрицу R размерности 2 (mn/2) с матричными элементами

R ^1, к^ k'v к;) = (^-) "1/2 /2 ехр [ - 2л/ (^-+^-) ].

(5.26)

В (5.26) использованы те же условия, что и в (5.24). Здесь /2 — единичная, a R (k^; k^k') — произвольная матрицы второго порядка. Если определить В с помощью соотношения

(5,27)(5,27)В = rar-1,

(5,27)

(5,27)

то det В — det Л. Используя соотношение ортогональности для экспонент, входящих в разложение Фурье, легко получить, что

В (k^ к^ к\к'^ =

m/2 п

=W»-. 2 2 " to, л) «рМ^+^П • <5-28>

Р1=1 Р2=1

Отличны от нуля лишь те элементы матрицы В, для которых k5 = kj (/ = 1, 2). Тогда из (5.24) получаем

В (k^ fc2; k'v к^г

= В (кь к^ = а + pe^i + 0'е-4** + уегф= + у'е~*Ч (5.29а)

' — 2tz3 sin ф22^ sin-^ exp ( — -^) '

В (ki, к^ =ф ( 1Фг\ о. •,

2tZi sin-y-exp tpj 2zz2sm^2

(5.296) и

det В^къ &2) = 4z2sin2-^- + 4z2sin2 ф2,(5.29в)

где

и(5.29г)

Поскольку det Л = det В, то

det Л = detB =т2 1 2 detB(feb кгу (5.30)

А1=0 ^2=0 так что

— lndetЛ = — У YhndetB^i, k^.(5.31)

ht=O] k?^Q

При переходе к пределу п -> со и т -> со переменные Ф1 и ф2 становятся непрерывными и d^ = 2л/(/тг/2) и с1ф2 = = 2л/п, т. е.

2л

-^-In det Л = -^2- У У In (4z2 sin2 -^- + 4z| sin2 ф^аф^ф^ о

(5.32)

Если теперь обозначить ф^ = 0t и ф2 = 0г/2, то производящая функция димеров Ф (zt, z2) определится выражением

Ф™ (Zi, z3) = Pf (Л) = (det Л)1/2 =

2л

=ехр {т^ И1п 2 ^+^ "^ cos 61—22 cos 021 ri6i d02} ■

(5.33)

Двукратный интеграл в (5.33) может быть вычислен с помощью дифференцирования Фтга (zt, z2) по z2, после чего можно последовательно проинтегрировать по + и 02. Разложив полученное выражение в ряд по степеням (zt/z2)2 и проинтегрировав его по Zi, получим окончательный результат. В частности, для Zi = z2 при п-* со и т-*- со имеем [34]

Фт«(1, 1)~ (exp-^-)mn/2,(5.34)

где G — постоянная Каталана

G=l--^-4-^-—^-+...=0,915 965 594.

Так как число узлов решетки равно тп, то число димеров — тп/2. Следовательно, число конфигураций димеров экспоненциально возрастает с ростом числа димеров.

Численный счет приводит к

е2С/л = 1,791623.(5.35)

Очень приятно, что результат оказывается такой простой комбинацией универсальных постоянных 2, л, е иб.

Фишером и Кастеляйном [34, 35] были получены точные результаты также для конечных прямоугольников и торов. Интересен численный результат Фишера: число способов, каким 32 косточки домино могут покрыть шахматную доску (квадрат размером 8X8), равно

Ф8>8 (1, 1) = 12 988 816 = 2»-(901)2.

Статистическая сумма для квадратной решетки Изинга

В качестве второго примера определим производящую функцию димеров для декорированной квадратной решетки (см. фиг. И), которая связана со статистической суммой модели Изинга для квадратной решетки. В этом случае, как показано на фиг. 18, каждая единичная ячейка содержит шесть точек, т. е. рассмотренная выше квадратная матрица a (р^г) будет уже не второго, а шестого порядка. Прежде всего нужно сопоставить каждой связи такое направление, чтобы все элементарные многоугольники были нечетными. Одна из возможностей показана на фиг. 18. На фиг. 20 указаны статистические веса, приписанные всем димерам. Будем по-прежнему полагать, что

г3 = Wi = w2 = w3 = w4 = w5 = w6 = 1, (5.36a) zt = th Ki, z2 = th Кг-(5.366)

Именно такие величины использовались нами при нахождении статистической суммы квадратной решетки Изинга. Для других типов решеток удобнее пользоваться иными обозначениями.

Как и в случае конфигураций димеров в квадратной решетке, отличны от нуля лишь матрицы a (pi, р^, указанные в (5.24). Теперь, однако, матрица а (0, 0) = а шестого

порядка:

PJPa

1

2

3

4

5

6

1

Г °

Wi

w3

0

0

0\

2

— а?!

0

w2

0

0

0

3

— йУ3

— ш2

0

z3

0

0

. (5.37)

4

0

0

— z2

0

w4

toe

5

0

0

0

— ОУ 4

0

Ш5

6

< 0

0

0

— w6

— w5

о J

При указанном(о—®i— о>30Zi ехр (1Ф1) 0" 5При указанном(о—®i— о>30Zi ехр (1Ф1) 0" 5Матрица р =а(1, 0) имеет только один отличный от нуля элемент zv в пятой строке и первом столбце; Р' = — а (_1, 0) — элемент (—z^ в первой строке и пятом столбце; у — а (0, 1) — элемент z2 в шестой строке и втором столбце, а у' = а (0, —1) — элемент (—z2) во второй строке и шестом столбце.

При указанном

(о

—®i

— о>30

Zi ехр (1Ф1) 0" 5

При указанном

(о

—®i

— о>30

Zi ехр (1Ф1) 0" 5

выше выборе матриц a (р1} р^ получаем

wt и>з 0 — Zi ехр (—/Ф1)0 х

0 и>вI*а>510/(5.38)0 и>вI*а>510/(5.38)0W200— Z2 ехр(—/ф2) |

0 и>вI*

а>51

0/

(5.38)

0 и>вI*

а>51

0/

(5.38)

—to 20гз0

0— Z3 0W4

00—to40

[ехр(£ф2)0—wg—tog

Отсюда

det В (&i&2) = WjW^I + щ^4 + w^^ + ЛАА + 2ziz2 X

X (Ш2®3®4®6 — г^Шд) cos (ф1 — ^>2) +

2z2z3 (ау^з^Щд — w^zX) cos ф2 +

4- 2ziZ3 (wiw2w5w6 — w^w^ cos ^t.

(5.39)

Учитывая значения величин z и w для квадратной решетки Изинга [см. (5.36а)], найдем

det В (W = (14-zD (14-zl)4-

2zi (1 —zl) cos ф14- 2z2 (1 —zX) cos ф2.(5.40)

Тогда для производящей функции димеров Ф (г^ z^ получим

Ф (zt, z2) — Pf (Л) = ехр [у In П det ^ (^1^2)] X

2rt

Хехр {7(^)2 И ln[(l+zl)(14-zl)4-2z1(l— г^созф^

4-2z2(l—z?) cos ф2^ d^id^2|» (5.41) где N —общее число узлов решетки.

Таким образом, из (5.366) и (5.41) получаем известную формулу Онсагера для статистической суммы:

-^-lnZ(KiK^ =

2зг

= 1п 2+2^2 f j* ^n(ch2K1ch2K2+c1sh2Ki-\-c2sh2K2')dф1dф2.

(5.42)

Здесь введено обозначение с, = cos ф^

Выражение (5.39) можно также использовать для расчета статистической суммы гексагональной решетки Изинга [35]. Существует однозначное соответствие между любой возможной конфигурацией замкнутых многоугольников на гексагональной решетке и любой конфигурацией димеров на рассматриваемой декорированной решетке. Как и в случае квадратной решетки, в существовании такого соответствия можно убедиться, рассматривая все возможные конфигурации связей, проходящих через данный узел решетки (фиг. 21).

равныz1=z2= z3 = \,(5.43а)w5 = ^ = (th Кг -th /Сз)1/2,(5.436)w4 = w3 = (th Ki -th КгУ<\(5.43b)_ еу6 = гу2 = (th/C3'th ТС)1/2.(5.43г)равныz1=z2= z3 = \,(5.43а)w5 = ^ = (th Кг -th /Сз)1/2,(5.436)w4 = w3 = (th Ki -th КгУ<\(5.43b)_ еу6 = гу2 = (th/C3'th ТС)1/2.(5.43г)Если, как это показано на"фиг. 21, обозначить параметры взаимодействия для гексагональной решетки Изинга через Ki, Кг, Кз, то соответствующие статистические веса для различных положений димеров, изображенных на фиг. 20, и значения параметров, входящих в уравнение (5.39),

равныz1=z2= z3 = \,(5.43а)

w5 = ^ = (th Кг -th /Сз)1/2,(5.436)

w4 = w3 = (th Ki -th КгУ<\(5.43b)

_ еу6 = гу2 = (th/C3'th ТС)1/2.(5.43г)

равныz1=z2= z3 = \,(5.43а)

w5 = ^ = (th Кг -th /Сз)1/2,(5.436)

w4 = w3 = (th Ki -th КгУ<\(5.43b)

_ еу6 = гу2 = (th/C3'th ТС)1/2.(5.43г)

Возникновение квадратного корня в (5.436)—(5.43г) связано с тем, что димер в рассматриваемой декорированной решетке, который исходит из угла, образованного двумя связями в решетке Изинга, «делится» на две связи. Иначе говоря, данная связь соответствует «половине» димера, , так как к каждому углу подходят два димера. Следовательно, каждому углу соответствует множитель (th КУ^, а произведение двух таких множителей соответствует целой связи.

Фиг. 21. Однозначное соответствие между конфигурациями димеров и конфигурациями связей в модели Изинга для гексагональных решеток.

Димеры изображены сплошными линиями. Случаи о и 6 соответствуют узлам решеток Изинга, которые не содержат связей, образующих замкнутые многоугольники.

При указанном выборе величин гит выражение (5.39) принимает следующий вид:

det В ^к^ = (г^с^)-1 [ch 2^ ch 2^ ch 2К3—

—sh 2 Ki sh 2 Ka cos (^2— Ф1) — sh 2K3 sh 2^ cos ^2 —

— sh2/C2sh2/C3cos^i], (5.44) где

c3 = ch Kj.

Статистическая сумма для гексагональной решетки записывается аналогично выражению (4.18) для квадратной решетки:

Z = 2^ (ch Ki ch Ka ch Ka^2 (det Л^).(5.45)

В гексагональной решетке на единичную ячейку приходится два узла решетки. Поэтому при JV -> оо получаем

ln(deM)1/2 = ^^-JJlnB^, ф2)dф1dф4. (5.46) — Л

Комбинируя теперь (5.44) — (5.46), приходим к хорошо известному выражению для статистической суммы [41, 42]:

In Z= In 2 + -^- j j InA [ch 2 Kt ch 2^ch 2K3 +

+1 — sh 2Кг sh 2K3 cos ф! — sh 2/Q sh 2Ki cos ф2 —

— sh2^sh2Ksсоз(ф2—ф1)] dф1dф2.

Из этого выражения при учете равенства (4.14), которое связывает статсуммы данной решетки и дуальной ей, нетрудно получить статистическую сумму для треугольной решетки.

Детальный расчет термодинамических свойств квадратной решетки можно проделать, используя тождество, сводящее двукратное интегрирование в выражении (5.42) к. однократному:

^ In (2 ch х—2 cos ф) dф = лх. о

Внутренняя энергия, равная производной от InZ по температуре, в изотропном случае К1 = Кг = К имеет следующий вид:

и = "ат ( дГlnZ) = ~ Ж (lvlnZ)

= -Jcth2^[l ^.A-^th^K-nKi^Oy (5.47) где

&i = 2sh 2К ch"2 2К,(5.47а)

a Kt (^i) — полный эллиптический интеграл первого рода:

Л/2

К1(^1)= j (l-^sin2^)“1/2^.о

10—0826

Положение критической точки для рассматриваемой системы, как уже было показано в разделе 4, определяется из условия | sh 27<с = 1. При К = КС) &i — 1 и 2th2 2/С— = 1. Несмотря на то что при &t = 1 функция Ki (^i) имеет логарифмическую особенность, коэффициент при Ki (^i) обращается в нуль по линей

Ф и г. 22. Теплоемкость двумерных решеток Изинга.Ф и г. 22. Теплоемкость двумерных решеток Изинга./) j, = J2 (изотропный случай), 2) Ji = 100 J2, 3) J2 = О (линейная цепочка). См. [23]./) j, = J2 (изотропный случай), 2) Ji = 100 J2, 3) J2 = О (линейная цепочка). См. [23].ному закону так,, что функция U непрерывна в точке Тс, т. е. скрытая теплота отсутствует.

Ф и г. 22. Теплоемкость двумерных решеток Изинга.

Ф и г. 22. Теплоемкость двумерных решеток Изинга.

/) j, = J2 (изотропный случай), 2) Ji = 100 J2, 3) J2 = О (линейная цепочка). См. [23].

/) j, = J2 (изотропный случай), 2) Ji = 100 J2, 3) J2 = О (линейная цепочка). См. [23].

Теплоемкость системы определяется равенством

dUG дТ '

Так как одно из слагае-

мых в (5.47) вблизи Т — Тс пропорционально | Т — — Тс | In | Г— Тс |, то выражение для теплоемкости С

содержит слагаемое, пропорциональное In | Т— Тс I, т. е. теплоемкость имеет логарифмическую особенность при Т = Тс.

В . общем случае Kt ^ Кг анализ гораздо сложнее, однако он по-прежнему приводит к наличию логарифмической особенности при температуре, определяемой из условия

sh 2/Ci sh ^Кг = 1. (5.48)

Для фиксированной величины Л + А — энергии спин- спинового взаимодействия при ОК — с уменьшением J2 уменьшается и критическая температура. Если J^ -*■ 0, критическая температура тоже стремится к Т = 0 и, наконец, обращается в нуль при У2 = 0 (фиг. 22).

Корреляции и спонтанная намагниченность двумерных решеток

Корреляции как статистические суммы решеток с дефектами [43, 44]

Корреляции между спинами, находящимися в узлах (1, 1) и (1 + I, 1 + т) квадратной решетки, определяются

выражением

(OblOl+e -1+m) = Z"1 (ch K1 ch K2)N 3 Оь^ШЛ+тп X

П (1 -pZl^a. p^a.p+l) (1 +22Oa, pQa+i, p).(6.1)

б. о

Для решетки с периодическими граничными условиями или для бесконечной решетки корреляции зависят только от относительного расстояния между спинами, т. е.

(O'l.i^l+Z.l+m) = (O'Z',m'O'Z, + Z,m'+m).(6-2)

Произведение спинов, которое входит в [корреляционную функцию (6.1), можно записать в виде

O'l.l^l+z.l+m — (<^1,1^1.2) (ОщгСъз) • • •

• . (^l.m^l.l+m) (o'!• l+m^.l+m) (^.l+mOs.I+m) • • •т

• • (^Z. l+m°i+Z> 1+m) — Ц (^l.m'^l, 1+m') Xm'=l

I

X [J ^l', 1 +m& 1+Z, 1 +m),(6-3)

так как все о2 = 1. Это означает также, что

аа' (1 + zoo') = z(l + z-1oo'),(6.4)

и выражение (6.1) можно переписать следующим образом: ZzT22 (<T1,1^1+Z. 1+m) =

771

= (ch Ki ch Kz)^ 2 П (1 +Z1 1<J1, m'°4,l+m') Xa=±l m'=l

I

x П (1 + z2 ^r,1 + пД 1 + Z',1 + m) X Z'=l

X ГГ G + ^a, P^a.e+1) (1 ,+ 22Oa.pOa+1> p).(6.5)

c

Правая часть уравнения (6.5) представляет собой статистическую сумму ферромагнетика — решетки Изинга с параметрами взаимодействия zv = th Kt по горизонтали и z2 = th Кг по вертикали для всех связей, не расположенных на пути, соединяющем узлы (1, 1) и (1 + /, 1 + пг). Если эти связи направлены по горизонтали, то они характеризуются. величиной z;1, а если по вертикали, то z^1. Таким образом, расчет корреляций эквивалентен расчету статистической суммы для решетки с дефектами, когда вдоль некоторого пути, связывающего изучаемые коррелирующие

спины, zt заменено на г?. Хотя этот результат получен здесь лишь для квадратной решетки, в действительности аналогичный результат справедлив для любой периодической решетки произвольной размерности.

Теперь расчет корреляций может быть сведен к расчету пфаффиана или квадратного корня из кососимметричного детерминанта. Обобщая (4.18) на произвольную решетку и проводя соответствующее обобщение (5.33), можно свести (6.5) к виду

Z^mzl21 (а1Д a1+t, 1+m)2 det А = det (А + 6)

или

(ai.^,. I+m)2 ^z^zf det (1^ Л^б). (6.6) Здесь А — антисимметричная матрица, детерминант этой матрицы связан с решеткой Изинга, для которой рассматриваются корреляции спинов, а 6 учитывает изменение матрицы А, связанное, как показано в (6.5), с заменой zt на z^1, a z2 на Zg1. Все элементы антисимметричной матрицы 6 равны нулю, за исключением тех, для которых zt и z2 в А заменены на Z71 и z^1. Всего имеется (2/ + 2m) отличных от нуля элементов матрицы б, которые равны ± (27 х—zt) и ±(27*— z2). Выражение (6.6) может быть существенно упрощено, так как большинство из элементов 6N X 6N матрицы б равны нулю:

Предположим, в качестве примера, что б12 и б21 — отличные от нуля элементы матрицы б. Тогда, обозначая через оу1 элементы матрицы Л-1, получаем

/ -

h д-16 = 7 +

^21 alt

a^t ам а"^

а13 ^23 а^з

...\

( 0 621

0

612 0 0

о -Л о ... о ...

•

о у

1 + ct^^aiQ.^ 6f20.°= х

«226211 +П'^0...

У 32 $21«31 6121***

откудаоткуда

откуда

откуда

1 + a^i 01^612^22 ^211 "А-а21^12

1 0\/а^о J +1 0\/а^о J +^^ / 0 612«м/ \б21 О^^ / 0 612«м/ \б21 О= |' + <M= |' + <M(6.8)(6.8)

1 0\/а^

о J +

1 0\/а^

о J +

^^ / 0 612

«м/ \б21 О

^^ / 0 612

«м/ \б21 О

= |' + <M

= |' + <M

(6.8)

(6.8)

где у — подматрица матрицы 6, полученная из 6 вычеркиванием строк и столбцов, содержащих только нулевые элементы, а матрица Q получена вычеркиванием тех же строк и столбцов из матрицы Л-1.

Заметим, что в левую часть равенства (6.8) входит единичная матрица 4Л^-го порядка, а в правую часть — второго. Этому не следует удивляться, так как единичная матрица / должна быть того же порядка, что и матрица, к которой она добавляется.

Возвращаясь теперь к уравнению (6.6), перепишем его в виде

<<^Oi+^+m)2 = zMl\I + Qy\. (6.9)

Здесь у и Q — кососимметричные матрицы порядка (21 + 2/п), которые получаются из матриц 6 и Л"1 вычеркиванием строк и столбцов, содержащих лишь нулевые элементы.

Воспользовавшись соотношением

K + Q^HI^ + Ql^l

и заметив, что из кососимметричности матрицы у следует кососимметричность матрицы у-1, а значит, и матрицы y^-VQi получим

H + ^HlP^ + Q)/5^)]2 и, следовательно,

<^1,1 <>i+z, i+m) = ± х^г1гР (у”1 + Q) Р (у). (6.9а) Знак в (6.9а) выбирается из требования положительности корреляций.

Конечно, в общем случае легче всего рассчитать пфаф- фианы1 как квадратные корни из детерминантов кососимметричных матриц. Однако очевидно, что, когда I или т обращаются в нуль, Р (у) сводится просто к Р (у-1 + Q).

Так как решетка инвариантна относительно трансляций на целое число постоянных решетки, элементы матрицы, обратной к Л, определяются следующим образом:

Л-1 W^PiP^=-^ ^ (р^р^фж^-р^А"1 (фь ф^йф^фг,

(6.10) где А-1 (фи ф2) — обратная (6 х 6) матрица, определенная в (5.38). Так как матрица А-1 (р^рд ptp2) зависит только от разностей р'— pv и р'— р2, элемент (t, /) этой матрицы можно записать в сокращенной форме:

^-1(Р^ Р^ Р^ P^ = \Py — PV Рг — pXVv(6.11)

Кроме того, поскольку матричные элементы (5.38) обладают свойством

а-а = —а*г, находим, что

(Pi, P^xi = —[—Pi, — Palp.(6.12)

Легко показать, что диагональные элементы матрицы имеют следующий вид:

А-1 (Ф1фа)и =

2ZiZ2wzwiw5 sin ф2 det В (At, А2)’

(6.13а)

А 1 (^1^2)22 —

2г13зШдШ5Ш6 sin Ф1 det В (&i, А2)’

(6.136)

Л (^>1^2)33

^ZiZ^tW^e з1п(ф1 —ф2) det В {ki, h^’

(6.1 Зв)

А (фгфъ)^

гг^гШгШзШд sin (ф2 — ф!) det В (ki, кД1

(6.13г)

Л 1 (Ф1фг)б5 =

2z2z3oDiaDaGue sin ф2

(6.13д)

det В (kf, кД ’

А (ф1ф2)вв

2ziZ3BDtBD2W4 sin Ф1 det В (fe1; кД

(6.1Зе)

Для квадратной решетки z3 — Wt = . . . = w5 = 1 det В Qi^, k^ является четной функцией «^ и ф2 [см. (5.38)1. При этом можно показать, что

[р, 0]и = [0, р]22 = [0, q]66 = [р, 0]55 = 0: (6.14а)

Для доказательства этих соотношений достаточно убедиться, например, в том, что

IP-°1» = ^ J J ^тет&З—°- <6-146)

Различные матричные элементы могут быть выражены через полные эллиптические интегралы.

Коррелятор (оы <r2,i>

В качестве иллюстрации применения полученных выше формул для расчета корреляторов найдем выражение корреляционной функции (оы о211> для пары ближайших по горизонтали соседей в квадратной решетке. Из фиг. 13 и 20 видно, какие из элементов матрицы 6 отличны от нуля. Заметим, что связь, направленная от точки 5 (см. фиг. 20), расположенной в единичной ячейке (1, 1), к точке 1, находящейся в единичной ячейке (2, 1), имеет статистический вес zb который при расчете корреляторов надо заменить на zf1. Следовательно, отличными от нуля элементами матрицы 6 будут:

51 элемент 6 (1, 1; 2, 1) = z^1 — Zi и

15 элементов 6 (2, 1; 1, 1) = —(z^1 — zj.

Образуем теперь из матрицы 6 кососимметричную подматрицу у, используя только те строки и столбцы матрицы 6, которые содержат ненулевые элементы. В результате получаем

(6.15а)

(6.156)

Матрица второго порядка Q, полученная из А-1 вычеркиванием всех строк и столбцов, кроме тех, которые обо-

значены через (2, 1)1 и (1, 1) 5, равна

Г [0, 0]65У Ll-l,0]15Г [0, 0]65У Ll-l,0]15[-1, 0]51' [ О, О]^[-1, 0]51' [ О, О]^(6.16)(6.16)

Г [0, 0]65

У Ll-l,0]15

Г [0, 0]65

У Ll-l,0]15

[-1, 0]51' [ О, О]^

[-1, 0]51' [ О, О]^

(6.16)

(6.16)

к кососим-(6.17)к кососим-(6.17)Используя (6.14) и (6.12), сведем матрицу Q метричному виду:

к кососим-

(6.17)

к кососим-

(6.17)

0 г 0 ц,о]6г

Чтобы привести корреляторЧтобы привести коррелятор4 L-[l,0]61 о . '

Чтобы привести коррелятор

Чтобы привести коррелятор

<а1Л о1>2> = ±г1Р (у-1 + Q) Р (у)(6.18)

к виду (6.9), рассмотрим пфаффианы для матриц у и

У 1 + <2 =

Г 0-(^-г.г+и.оь,!

[^‘-ZiP-tl, 01м0]■ (6.19)

Пфаффиан равен квадратному корню из детерминанта соответствующей антисимметричной матрицы

Р^У^г^-г^(6.20)

Р {У~г + Q) = - (z?1 - 2^ + [ 1, 0]61.(6.21)

Подставляя (6.20) и (6.21) в (6.9), получаем

<»1, i^i, 2> = ±zj (z;1 — zj) { — (zr1 — z^"1 + [ 1, 0]sl} =

= ±{-z1 + (l-z?)[l, 0]51}.(6.22)

Матричный элемент Д-1^, ^2]si> согласно (5.38), при z3 = w4 = ... = w4 — 0 равен

-(1 — zj) + zi (1 +zp егф1 — 22122егф1 cos ф2

det В ^Ь4, k^’

так что

(^i.i^i.a) =±"(2^)2 j j 21 +

. (1 -2p e"^ [(! -zi) + 2! (1 +zj) ^-22^*1 cos ф2] ,2 _

(1 + z?) (1 + zf) + 2zj (1 - 2i) cos ф i + 2z2 (1 - 2?) cos ф2 ° V —

1 Л [2Zj(l + 21) + (1-2|) (e-^ + z^i)]^!^ _

~ (2Л)2 J J(1 + Z^ (1 + 21) + 221 (1 -2j) COS ф^

-Л+222 (1 — 2f) cos ф2

_1 Г* •[221 (I +z»-(l -zj) ^ + 216-^ da=

~ ± 2л J {[1 + zf) (1 + Z2) — 2211— 2i)COS®]2 — 4zf (1 — г^}^

(6.24)

2Л

= i J exP l^* H^ rf(0'(6.25)

о

В (6.25) входит функция 6* (co), впервые введенная Онса- гером и равная

(6.26)(6.26),2i6» = ^e^-Y^z^-z^(е^-г1г*)(г*1+>-21) ’

(6.26)

(6.26)

где

,» ^ 1 — z2*1 + z2,» ^ 1 — z2*1 + z2Z2Z2 1 —zf- 1+^ • 1 —zf- 1+^ •(6.27)(6.27)

,» ^ 1 — z2

*1 + z2

,» ^ 1 — z2

*1 + z2

Z2

Z2

1 —zf

- 1+^ •

1 —zf

- 1+^ •

(6.27)

(6.27)

В (6.24) выбран знак плюс, так как (аы а1>2)->1 при Т оо, 6* -*- 0, как и должно быть.

Различные спиновые корреляционные функции могут быть выражены через функции Грина квадратной решетки, определяемые следующим образом:

Л

р _ 1 Г Г ехР U (Ф 1^1 + Фатг^ dф1 dф2/«

Гт1,гп2- (2л)2 J J а + ^созф^^соз ф2 •

—л

В данном случае мы выбираем a, Yi, у2 в виде

a=(l + z=)(l+z=), где zj = th^,(6.29)

Yi = 2zi (1 —г2), V2 = 2z2 (1 — z2).(6.30)

Для т.^ = т2=т функция Грина сильно упрощается:

Fm,m- л(Т1?2)1/2 Qm-lh v•<6-31)

Здесь Qra (х) — функция Лежандра второго рода с равным нулю верхним индексом. Она связана с полным эллиптическим интегралом второго рода К (k) следующим соотношением:

Q_i/2 (ch ц)]= 2е-^К ^Y(6.32)

Вспоминая определение критической точки (5.48)

sh 2Kt sh 2Л"2 = 1sh 2Kt sh 2Л"2 = 1(6.33)(6.33)

sh 2Kt sh 2Л"2 = 1

sh 2Kt sh 2Л"2 = 1

(6.33)

(6.33)

и указанный выше выбор величин а, уъ у2 [см. (6.29) и (6.30)], приходим к следующему:

(2л th Kt th K^Y1 К [(sh 2^ sh 2^)-x]

Fq. 0 — *Fq. 0 — *(6.34)(6.34)при T<_TC1

Fq. 0 — *

Fq. 0 — *

(6.34)

(6.34)

-^ ch2 Kt ch2 K^K (sh 2Ki sh 2K^ при T > Tc.

Функции Fmi, mi удовлетворяют дифференциальному уравнению

aFmil ma 4“ "^ (Fmi+l, ma 4~ Fmi— i, m2) 4~

H 2~ ^Fm^, m% ~Ь Fmi, m2— 1) = ^mi, 087712, 0 •(6.35)

Спиновая корреляционная функция для ближайших соседей (6.23) может быть выражена через функции Грина

(^i,1^1.2) — 2zi (1 -J- z2) Fo, о + (1 — z2) F-i, о 4"

+ zi (1—zD^bo-(6.36)

Комбинируя' (6.34) и (6.35), можно получить для частного случая Zj = z2 результат такой же, как у Кауфман [45] и Онсагера [46]:

(а1, 1<71. 2) =(а1, 1<71. 2) ='(1+^)V2^ /1+^\1/2 р—1 к )\ л'(1+^)V2^ /1+^\1/2 р—1 к )\ л^W + y) ПРИ Т<ТС,К(к) + ^ при Т>ТС1^W + y) ПРИ Т<ТС,К(к) + ^ при Т>ТС1(6.37)(6.37)

(а1, 1<71. 2) =

(а1, 1<71. 2) =

'(1+^)V2^ /1+^\1/2 р—1 к )\ л

'(1+^)V2^ /1+^\1/2 р—1 к )\ л

^W + y) ПРИ Т<ТС,К(к) + ^ при Т>ТС1

^W + y) ПРИ Т<ТС,К(к) + ^ при Т>ТС1

(6.37)

(6.37)

где

(6.38)(6.38)sh"2(2K) при Т<ТС,sh2(27<) при Т>ТС.

(6.38)

(6.38)

В эти формулы входит эллиптический интеграл первого рода К (#).

В этом параграфе изложение велось в духе работы [43]. - Впервые расчет спиновых корреляторов в модели Изинга был выполнен Кауфман и Онсагером.

Коррелятор (сты Сты+т)

Проведенный выше анализ можно обобщить для расчета коррелятора (оы о1>1+п1) для любых двух спинов, расположенных на одной и той же горизонтали. Из фиг. 23 видны все отличные от нуля элементы матрицы 6, а именно:

Фиг. 23. Измененные связи, использованные при расчете коррелятора (Л1,1^1,1 +т ^ -

элемент 51 6(m', 1; т' +1, l) = z11— zt

и

элемент 15 б(щ'4-1, 1;щ', 1) =—(z?1—zt),m* = 1, 2, ..., т.

Тогда кососимметричная матрица у 2т-го порядка равна

51

5 <

' о, 1) (2, 1)

(1, 1) 0 0

(1, 2) ... 0 0

(m, 1) 0 0

(2, 1) 1

0

(3, 0

1

1) . . . (т+1,

. . .0

. . .0

1)

U^z^-zO

<т, I)

0

0

0'

0

0

1

Г (2, 1)

-1

0

0

0

0

0

(3, 1)

0

-1

0

0

. . .0

1 ^

*

•

...

. (m+1, 1)

_ 0

0. . .

-1

0

0

. . .0

(6.39)

или, как естественное обобщение (6.156), /0

i/ = (z1I—Zi)(6.40)

Матрица Q 2т-го порядка, полученная из матрицы А-1 вычеркиванием строк и столбцов, содержащих лишь нулевые элементы, равна

/ О 3\

<Н-3 о)-<6-41)

где введена матрица 5 /тг-го

порядка

Г[ — 1,0]51

[2, 0]51

13, 0]51

... [/тг, 0]51

[0,оь

[1,0]51

[2, 0]51

.. . [иг — 1,0]51

5 =

[ — 1,0]51

[0,0]51

П,0]51

... \т — 2, 0]51

.[2 — щ, 0]51

]3 — иг, 0]ы

[4 —m,0]5i

...[l,0]5i.

(6.42)

Чтобы свести коррелятор

<01,1 °ч, i+m) = ± z^P (z/-1 + Q) Р (у)

(6.43)

к виду (6.9), потребуем, чтобы

P(z/)-(271-21)m

(6.44)

р (у-1 + Q) = | - (г;1 - 21) -Ч + S I.

(6.45)

При выводе (6.45) использовано вытекающее

из (6.40)

соотношение

,,Г°

</^(^-Zi)"1

(6.46)

Подставляя (6.44) и (6.45) в (6.43), получаем

№,1»1л+т) = ± |— г^ + Ц — 2=)S|. '(6.47)

По определению

«0= —2t + (l ^-2=) [1,0]51,

«г = (1 —2,) [ 1 -|- г, 0]5i, г = 1, 2, . . ., т — 1,(6.48)

Я-г= (1 — 2=) [ 1 — Г, 0]51.

Коррелятор может быть

записан в виде детерминанта

Теплица [43, 47]:

«о

^1 tig ... cim— i

а_у

tigtif ... &m—?.

(^1.1^1. 1+zn) =

а_г

ай ... am^ . (6 49)

Л—т+1 Я—

-m+2 CZ-m+3 . . . Uq

Здесь выбран знак плюс в соответствии с требованием положительности коррелятора. Нам уже известно выражение величины а0 через функцию б* (со) [см. (6.25)]. Аналогичное разложение приводит к

2Л

ar = _L^ e~iraei6*'^ dco.(6.50)

о

Таким образом, величины ат представляют собой коэффициенты разложения функции exp (t’6*) в ряд Фурье.

Спонтанная намагниченность

(6.50)(6.50)Для вычисления спонтанной намагниченности М можно воспользоваться равенством (6.49), так как величина М связана с корреляционной функцией (6.49) соотношением

(6.50)

(6.50)

Л12= ИШ (ОыОц.^,!),тп—>оо

т. е. выражается через детерминант матрицы Теплица (6.49). Интересующая нас величина может быть определена с помощью теоремы, доказанной Жего [48] для эрмитовых матриц Теплица, а затем обобщенной Кацем [49] на неэрми- товский случай. Пусть Dm (/) — детерминанты последовательности матриц Теплица m-го порядка, элементы которых аТ представляют собой коэффициенты разложения функции / (со) в ряд. Лорана при условии, что | / — 1 | < 1. Тогда

limlim[i^^tx] — еХР (5^-n),[i^^tx] — еХР (5^-n),11(6.51а)(6.51а)

lim

lim

[i^^tx] — еХР (5^-n),

[i^^tx] — еХР (5^-n),

1

1

(6.51а)

(6.51а)

гдегде2л6(^ = ехр[^^ lnf((D)p®о2л6(^ = ехр[^^ lnf((D)p®о(6.516)(6.516)ИИlnf(®) = § кке™ю.П=— ООlnf(®) = § кке™ю.П=— ОО(6.51в)(6.51в)

где

где

2л

6(^ = ехр[^^ lnf((D)p®о

2л

6(^ = ехр[^^ lnf((D)p®о

(6.516)

(6.516)

И

И

lnf(®) = § кке™ю.П=— ОО

lnf(®) = § кке™ю.П=— ОО

(6.51в)

(6.51в)

Условие |f—1 |<1 выполняется, пока температура Т остается меньше критической. Для Т — Тс это условие больше не выполняется, и при Т^> Тс необходимо использовать другую теорему, несколько отличную от приведенной выше.

В рассматриваемой задаче f (®) = егб* и

Л

(6.52)(6.52)G (f) = exp [^ J i6*] dm = I,— Л

(6.52)

(6.52)

поскольку б* — нечетная функция ®.

Для определения кк разложим в ряд Фурье функцию

In f (") - ^* (®) | In ^g^ ^Zg . (6.53)

Здесь мы воспользовались соотношением (6.26). Так как для Т<.ТС

'9*^2'9*^2(6.54)(6.54)то в этой области температурто в этой области температурIn f (<о)In f (<о)2 (l-Z1zte-ito)[l-(z$/z1)ei“l ’2 (l-Z1zte-ito)[l-(z$/z1)ei“l ’1пН») = 4-3 т[-(2А')"+(^-)"]е*"“ +1пН») = 4-3 т[-(2А')"+(^-)"]е*"“ ++ 7 Г - (т")"+ <zAT1Следовательно,+ 7 Г - (т")"+ <zAT1Следовательно,(6.55)(6.56)(6.57)(6.55)(6.56)(6.57)

'9*

^2

'9*

^2

(6.54)

(6.54)

то в этой области температур

то в этой области температур

In f (<о)

In f (<о)

2 (l-Z1zte-ito)[l-(z$/z1)ei“l ’

2 (l-Z1zte-ito)[l-(z$/z1)ei“l ’

1пН») = 4-3 т[-(2А')"+(^-)"]е*"“ +

1пН») = 4-3 т[-(2А')"+(^-)"]е*"“ +

+ 7 Г - (т")"+ <zAT1

Следовательно,

+ 7 Г - (т")"+ <zAT1

Следовательно,

(6.55)

(6.56)

(6.57)

(6.55)

(6.56)

(6.57)

И

(6-58)(6-58)3 "V-,. =4 3 1 [ - (4)2п+2гГ“- (гА")"],

(6-58)

(6-58)

СО2 nknk_n1СО2 nknk_n1.4 n : п^гр ~.4 n : п^гр ~

СО

2 nknk_n

1

СО

2 nknk_n

1

.4 n : п^гр ~

.4 n : п^гр ~

-тЦ1-тЦ1(6.59)(6.59)(6.60)(6.60)(I — zf)2 zf2 (1—z*2)2z2 _

-тЦ1

-тЦ1

(6.59)

(6.59)

(6.60)

(6.60)

Подстановка (6.59) в (6.51) приводит к

Нт гпйй = lim С0-!- i^+m- i> =

m->oo Vi)т-юо

Г(l-z3)2(l-zi)2-|i/4

“L (l-zf3)2z3J ~ L162^1]

Окончательно получаем выражение для спонтанной намагниченности ниже критической температуры:

(6.61а)

м = [1 - (sh 2^ Sh 27<а)-2]1/8,(6.61 б)

^»4W-(6.61В)

где

А~ [^ kJ1 cthЙ + ^ cthSc) ] /8 •

Этот результат был впервые получен Онсагером [50], однако он лишь упоминался в дискуссиях на различных конференциях, а его доказательство не было опубликовано. Первое опубликованное доказательство принадлежит Янгу [51]. Приведенный здесь анализ взят из работы [43]. Недавно подобное исследование было проделано Вдовиченко [52] и Румером [53]. Стивенсон [54] применил пфаффианы для расчета корреляторов треугольной и гексагональной решеток. Он также воспользовался теоремой Жего — Каца для расчета спонтанной намагниченности. Треугольные

решетки исследовались, кроме того, Кано [55] и Ваксом, Ларкиным и Овчинниковым [56].

Детальные расчеты корреляторов для температур выше температуры перехода были недавно выполнены Рязановым [57], By [58] и Кадановым [59].

Магнитная восприимчивость вблизи критической температуры.

Мы закончим этот раздел обсуждением поведения магнитной восприимчивости в нулевом поле при температурах, превышающих критическую, но близких к ней. Эта величина следующим образом выражается через спиновые корреляционные функции:

Ь Ю = ^ (1 + 5 <<W) ,(6.62)

гфО

где суммирование проводится по всем узлам решетки, кроме г — 0. При получении асимптотического вида функции /о (7) при Т —> Тс мы будем придерживаться метода Фишера [23, 60].

Для температур выше температуры перехода, но близких к ней, можно записать

fr (7) = (о0<Тг) ~ е-^со, (Т),(6.63)

где <ог (Г) —функция г, которая при больших г меняется гораздо медленнее, чем экспонента. Как было впервые показано Онсагером,

х ~ С (Т — Тс) при Т -> Тс, (6.64)

где С — постоянная. Онсагер нашел также точное выражение для функции fr (Тс), когда г направлено по диагонали, т. е. когда г = (а/, al)—расстояние между ближайшими (по диагонали) узлами (0, 0) и (al, al):

fal, al (Tc) = П №TV <6'65)

Здесь Г (/) — гамма-функция. При Z —> оо

Таг. аг (Тс) ~ D0T^ (1g^- + . .. ) ,(6.66)

где Do « 0,645002, так что при г —>• оо

fol. al (Тс) ~D^ 1/4 ,(6.67)

a D = 21/8 Do ^ 0,70338. По-видимому, в непосредственной близости от точки перехода функция /г (Т) обладает круговой симметрией, так что можно предположить справедливость формулы (6.67) для любого направления, а не только вдоль диагонали. Такое утверждение несправедливо-для температур далеких от температуры перехода.

Так как при Т -*- Тс, сог (Т) -»- fT (Тс), то

Гт (Т) = (G0Gr) ~ Dr-1^ exp [ — С (Т-Тс) г].(6.68)

Сумма в (6.62) расходится при Т ->• Тс, но так как при этом коррелятор (а0ог) медленно меняется с ростом г, сумму в (6.62) можно заменить интегралом. Тогда при Т —>- Тс"-

Хо (Т) ~"^-^^r^1/4 ехр [ - С (Т-Тс) г] dr ~ о

- л -^ D ^1,4 (Т - ТСГ7'4 ^г^ dx ~ о

~-^.А(Т-Тс)-44,(6.69а)

где

Я = Ол (-£у/1р (2_) .(6.696)

Степенной закон «7/4» был впервые получен Домбом [21, 33] в результате обработки высокотемпературных степенных рядов для восприимчивости. Онсагер не опубликовал вывод выражений (6.65) и (6.66) однако это было недавно сделано несколькими авторами [57—59] 1).

г) В русском издании мы сочли возможным опустить последний, седьмой раздел, содержащий результаты рядов для термодинамических функций в трехмерной модели Изинга. Эти вопросы подробнее изложены, например, в монографии [23].— Прим. ред. 11—0826

ЛИТЕРАТУРА

Fairbank W. М., Buckingham М. J., Kellers С. F., Proc. 5-th Intern. Conf. Low Temp. Phys. (Madison, Wisconsin, 1957); Buckingham M. J., Fairbank W. M., Progr. Low Temp. Phys., Vol. 3, Amsterdam, 1961, Ch. 3.

Moldover M. R., Little W. A., cm. [18], стр. 79.

Багацкий M. И., Воронель А. В., Гусак В. Г., ЖЭТФ, 43, 728 (1962).

Воронель А. В., Чашкин Ю. Р., Попов В. А., Симкин В. Г., ЖЭТФ, 45, 828 (1963).

Robinson Г. К., Friedberg S. A., Phys. Rev., 117, 402 (1960).

Scalyo J., Jr., Friedberg S. A., Phys. Rev. Lett., 13, 133 (1964).

Guggenheim E. A., Journ. Chern. Phys., 13, 253 (1945).

Weinberger M. A., Schneider W. G., Cah. Journ. Chern., 30, 422 (1952).

Edwards M. H., cm. [18], стр. 84.

Heller P., Benedek G. B., Phys. Rev. Lett., 14, 71 (1965).

Senturia S. D., Benedek G. В., см. доклад Бенедека на конференции [18], стр. 42.

Jacrot В., Konstantinovic J., Parette G., Gribier D., Sympos. Inelastic Scat, of Neutrons, Chalk. River, 1962.

Noakes J. E., Arrott A., Journ. Appl. Phys., 35, 931 (1964).

Kouvel J., Fisher M. E., Phys. Rev., A136, 1626 (1964).

Weiss P., Forrer R., Ann. Phys. (Paris), 5, 153 (1926).

Graham G. D., Journ. Appl. Phys., 36, 1136 (1965).

Baker G. A., Gilbert H. E., Ebe J., Rushbrooke G. S., Phys. Lett., 20, 146 (1966).

Critical Phenomenon, Proc, of Washington, Conf., eds. M. S. Green and J. V. Sengers, NBS, 1966.

Ising E., Zs. f. Phys., 31, 253 (1925). Обзор исследований по этой модели дан в работах [20—23].

Newell G. F., Montroll Е. W., Rev. Mod. Phys., 25, 253 (1953).

Domb C., Adv. Phys., 9, 149 (1960).

Green H. S-, Hurst C. A., Order Disorder Phenomenon, Interscience, 1964.

Fisher M. E., Lectures in Theoretical Physics, University of Colorado Press, 1965. (Имеется перевод: M. Фишер, Природа •критического состояния, изд-во «Мир», 1968.)

Yang С. N., Lee Т. D., Phys. Rev., 87, 404, 410 (1952).

Kramers Н. A., Wannier G. Н., Phys. Rev., 60, 252 (1941).

Lassetre E. N., Howe J. P., Journ., Chern. Phys., 9, 747 (1941).

Montroll E. W., Journ. Chem. Phys., 9, 706 (1941).

Ashkin J., Lamb W. E., Jr., Phys. Rev., 64, 159 (1943).

Onsager L., Phys. Rev., 65, 117 (1944).

Schultz T., Mattis D., Lieb E., Rev. Mod. Phys., 36, 856 (1964).

Frobenius S. B*., Preuss Acad. Wiss., 514 (1909).

Кас M., Ward J. C., Phys. Rev., 88, 1332 (1952).

Domb C., Journ. Roy. Stat. Soc., B26, 367 (1964).

Kasteleyn P. W-, Physica, 27, 1209 (1961).

Fisher M. E., Journ. Math. Phys., 7, 1776 (1966).

Thomson, Tait, Treatise on Natural Philosophy, Cambr. Univ. Press, 1879. In Dover reprint entitled Principles of Mechanics and Dynamics, Pt. I, p. 394.

Caianello E., Nuovo Cimento 14, 177 (1959).

Kasteleyn P. M., Journ. Math. Phys., 4, 287 (1963).

Temperley H. N. V., Fisher M. E., Phil. Mag., 6, 1061 (1961).

Montroll E. W., в книге Applied Combinatorial Mathematics, ed. E. F. Beckinbach, Wiley, 1964, Ch. 4, p. 96.

Newell G. F., Phys. Rev., 79, 876 (1950).

Houtappel R. M. F., Physica, 16, 425 (1950).

Montroll E. W., Potts R., Ward J., Journ. Math. Phys., 4, 308 (1963).

Green H- S., Zs. f. Phys., 171, 129 (1963).

Kaufmann B., Phys. Rev., 76, 1232 (1949).

Kaufmann B., Onsager L., Phys. Rev., 76, 1244 (1949).

Potts R., Ward J., Progr. Theor. Phys., 13, 381 (1955).

Grenander F., Szego G., Toeplitz Forms and Their Applications, Univ, of California Press, 1958.

Кас M., Duke Math. Journ., 21, 501 (1954).

Onsager L., Nuovo Cimento, 6, 261 (1949).

Yang C. N., Phys. Rev., 85, 808 (1952).

Вдовиченко H. В., ЖЭТФ, 48, 526 (1965).

Румер Ю. Б., ЖЭТФ, 47, 278 (1964).

Stephenson J., Journ. Math. Phys., 5, 1009 (1964).

Kano K-, Progr. Theor. Phys., 35, 1 (1966).

Вакс В. Г., Ларкин А. И., Овчинников Ю., ЖЭТФ, 49 1180 (1965).

Рязанов Г. В., ЖЭТФ, 49, 1134 (1965).

Wu Т., Phys. Rev., 149, 380 (1966).

Kadanoff L. P., Nuovo Cimento’, 44, 276 (1966).

Fisher M. E., Physica, 25, 251 (1959).

М. Кац

Математические механизмы фазовых переходов

Вводные замечания

Теория Ван-дер-Ваальса была первой статистико-механической теорией фазовых переходов. По существу теория спонтанной намагниченности Кюри — Вейсса и теория фазовых переходов в бинарных сплавах Брэгга — Вильямса математически эквивалентны теории Ван-дер- Ваальса.

В основе теорий Ван-дер-Ваальса и Кюри — Вейсса лежало предположение о слабости и дальнодействующем характере сил притяжения. С тех пор, как эти теории появились, и до последнего времени не было оснований считать, что эти теории недостаточно хороши. Точное решение двумерной задачи Изинга, предложенное Онса- гером, оказалось, вероятно, самым сильным возражением против этих теорий особенно в связи с тем, что в этом решении была получена логарифмическая особенность в выражении для теплоемкости, в то время как теории, основанные на предположении о слабых дальнодействующих силах, предсказывали скачок теплоемкости.

Обычно считают, что механизмы возникновения фазовых переходов в классической теории и в теории Онсагера существенно отличаются друг от друга. Однако приведенное ниже исследование математического механизма фазовых переходов показало, что выводы, сделанные на основании изучения различных моделей, по-видимому, имеют весьма общий характер. Хотя некоторые рассмотренные здесь вопросы представляют собой скорее иллюстрации, чем доказательства, все же нам удалось выявить наличие глубокой связи между классическими идеями Ван- дер-Ваальса и Кюри — Вейсса и новыми идеями Онсагера.

Двумерная модель Изинга

Мы начнем с обзора некоторых результатов изучения двумерной модели Изинга.

Рассмотрим N X М двумерную решетку, состоящую из М строк и N столбцов, в узлах которой располагаются «спины» p,p = ±l. Энергия взаимодействия при заданной конфигурации спинов

£=-^.3W(2-1)

Звездочка при знаке суммирования в (2.1) означает, что в сумму входят лишь те узлы решетки Р и Q, которые являются ближайшими соседями. Кроме того, предполагается равенство энергии взаимодействия ближайших соседей по вертикали и по горизонтали, а также J > О, т. е. взаимодействие носит ферромагнитный характер, так что в основном состоянии все спины направлены одинаково: р = +1 или р = —1.

Статистическая сумма

Q^,м = 3 е-Е^Т=^ exp(v2*pPpQ), (2.2) {И}{И}

причем здесь и в дальнейшем символ {р.} означает суммирование по всем 2м N возможным конфигурациям, a v определяется равенством

Для свободной энергии ф, отнесенной к одному спину, получаем после перехода к термодинамическому пределу

lim (^Г1 In Qn,m-(2.4)

M, N-yoo

Важно подчеркнуть, что переход к термодинамическому пределу М, N —> со нужно совершить до всех других предельных переходов.

Крамере и Ваннье [1] свели задачу расчета величины Qn.m к определению собственных значений 2м X 2м

матрицы перехода L;

мм

L (р, р') = ехр (А- 2 М-№+1) exp (v 2 Р-ьР*) X h=lЬ=1

И

X exp (A- 2 Р^-ц) •(2.5)

Если (p) = (pi, p2, -.., Рм) представляет собой совокупность столбцов в решетке Изинга и на решетку наложены тороидальные граничные условия (т. е. в каждом столбце Рм+1 = Ръ а N-й столбец совпадает с первым), тогда легко показать [2], что

2м

Qn, м = 2 LN (р, Р) = Sp (/Л) = 2 Af, (2.6) (Ю5=1

где Ашах = Ai > Л2 > Л3 > ... > Л2м— собственные значения матрицы L, Если устремить N к бесконечности, из (2.6) сразу следует, что

Hm^-MnQ^ ,м=1пЛ1,(2.7)

N->oo

а поэтому, согласно (2.4),

lim М 1 InAi.lim М 1 InAi.(2.8)(2.8)

lim М 1 InAi.

lim М 1 InAi.

(2.8)

(2.8)

Расчет величины Лтах был впервые выполнен Онсаге- ром [3]. Перечислим здесь только те свойства Лтах, которые нам понадобятся в дальнейшем.

При конечном М величина Лтах является аналитической функцией v, т. е. фазовый переход в решетке, ограниченной в одном измерении, невозможен.

При М -> оо для температур Т, меньших некоторой критической температуры Тс, величина Лтах становится асимптотически вырожденной; точнее говоря, при Т > Тс матрица L имеет невырожденный, спектр, а интервалы между величинами (1/Л4) (In Aj) имеют порядок \/М. Ниже Тс существуют два таких же спектра с теми же

интервалами для величин (1/Л4) (In Л;), но эти спектры сдвинуты друг относительно друга на величину порядка ехр (—сМ), где с — положительная константа.

Ашкин и Лэмб [4] впервые заметили, что асимптотическое вырождение связано с существованием дальнего порядка. Таким образом, можно сказать, что асимптотическое вырождение наибольшего собственного значения матрицы перехода лежит в основе математического механизма фазового перехода в двумерной решетке Изинга.

Можно показать, что такой механизм носит весьма общий характер. Мы надеемся, что для каждого данного гамильтониана удастся построить линейный оператор, наибольшее собственное значение которого дает свободную энергию системы, а вырождение этого собственного значения можно связать с фазовым переходом. Примеры, подтверждающие этот вывод, и будут составлять содержание лекций.

Модель Кюри —Вейсса

Прежде чем перейти к дальнейшему обсуждению связи между асимптотическим вырождением и дальним порядком, рассмотрим кратко модель Кюри — Вейсса. В модели предполагается существование решетки N спинов р,г = ±1, причем энергия взаимодействия для данной конфигурации спинов равна

Е=—2 №s ^>0, (3.1) i^iO^N

т. е. все спины взаимодействуют друг с другом одинаковым образом, причем энергия взаимодействия пропорциональна 1/А. Подчеркнем два недостатка этой модели: а) нет зависимости от размерности пространства и б) энергия взаимодействия зависит от размера системы 1).

Первое ограничение нежелательно, поскольку наиболее интересные особенности фазовых переходов связаны с размерностью системы, а второе — противоречит основным принципам статистической механики.

*) Это замечание относится и к теории Ван-дер-Ваальса.

Преимущество рассматриваемой модели состоит в том, что она допускает точное решение. Действительно, так как

N NNN

Е= ~4"3 3 №+4-3 += -4г (3 М«)г + А (3.2) г=1 7=1i=l1=1

то статистическая сумма равна

N

Qn - 5-v 2 exp [v (2 -^-)2] •(3.3)

<U11=1 *

Используя тождество

e^=—L_ J exp ( -^- + К2^) d^(3.4)

получаем

e"=w i схр(~< [Sexp(6j/4r3 ».)]«•

V — oo{ц}1=1

(3.5) Теперь можно провести суммирование для каждого р.^ в отдельности, что дает

р — V р/у Оу . NT

Qn=^T J e~g2/2(2chgr ^-<3-6)

После замены переменных § = 13]^^ получаем

3„ = г-*2”)/^ J (e-W2ch4]<^^(3.7)

Используя метод Лапласа (т. е. метод перевала), находим для больших N

QN ~ е-^ V^С max (е-^2/2 ch я У^Л (3.8) — OO<<T1<<OO

где С — некоторая постоянная.

Поэтому

.= lim N-'1 In Q^ = In 2 + In e%7 (v),(3.9)

а%* (v) = max (e-na/2 ch т) ]Л2v).а%* (v) = max (e-na/2 ch т) ]Л2v).— со<^<оо— со<^<оо(ЗЛО)(ЗЛО)Очевидно, что максимум выражения, стоящего в круглых скобках в (ЗЛО), имеет место для величины т), удовлетворяющей следующему уравнению:Очевидно, что максимум выражения, стоящего в круглых скобках в (ЗЛО), имеет место для величины т), удовлетворяющей следующему уравнению:г] = ]^2v th т] V2v.г] = ]^2v th т] V2v.(З.И)(З.И)Положительное решение т]о уравнения (ЗЛ1) называется вейссовским средним полем.При v < V2 (высокие температуры) уравнение (ЗЛ1) имеет лишь тривиальное решение т) = О, но для v > V2Положительное решение т]о уравнения (ЗЛ1) называется вейссовским средним полем.При v < V2 (высокие температуры) уравнение (ЗЛ1) имеет лишь тривиальное решение т) = О, но для v > V2е"^г dt\T)V2vе"^г dt\T)V2vФиг. 1.Фиг. 1.(низкие температуры) существует также и ненулевое решение этого уравнения. Общая картина схематически показана на фиг. 1. Тогда из (3.9) получаем(низкие температуры) существует также и ненулевое решение этого уравнения. Общая картина схематически показана на фиг. 1. Тогда из (3.9) получаемIn 2,In 2,^<^кТ^Тс\^<^кТ^Тс\ln2 + ln3T(v), v>^-(T<Tc).ln2 + ln3T(v), v>^-(T<Tc).(3.12)(3.12)Температура Кюри соответствует vc —1/2, т. е. Тс = = 2.11%. Из (3.12) немедленно следует, что при Т — Тс внутренняя энергия остается непрерывной функцией температуры, а теплоемкость имеет скачок.Несколько позже мы вернемся к результатам (3.9)— (3.12) и покажем, что они могут быть строго получены для одномерной модели путем определенного предельного перехода (у -*- 0). Тщательное изучение предельного переходаТемпература Кюри соответствует vc —1/2, т. е. Тс = = 2.11%. Из (3.12) немедленно следует, что при Т — Тс внутренняя энергия остается непрерывной функцией температуры, а теплоемкость имеет скачок.Несколько позже мы вернемся к результатам (3.9)— (3.12) и покажем, что они могут быть строго получены для одномерной модели путем определенного предельного перехода (у -*- 0). Тщательное изучение предельного переходагде

а%* (v) = max (e-na/2 ch т) ]Л2v).

а%* (v) = max (e-na/2 ch т) ]Л2v).

— со<^<оо

— со<^<оо

(ЗЛО)

(ЗЛО)

Очевидно, что максимум выражения, стоящего в круглых скобках в (ЗЛО), имеет место для величины т), удовлетворяющей следующему уравнению:

Очевидно, что максимум выражения, стоящего в круглых скобках в (ЗЛО), имеет место для величины т), удовлетворяющей следующему уравнению:

г] = ]^2v th т] V2v.

г] = ]^2v th т] V2v.

(З.И)

(З.И)

Положительное решение т]о уравнения (ЗЛ1) называется вейссовским средним полем.

При v < V2 (высокие температуры) уравнение (ЗЛ1) имеет лишь тривиальное решение т) = О, но для v > V2

Положительное решение т]о уравнения (ЗЛ1) называется вейссовским средним полем.

При v < V2 (высокие температуры) уравнение (ЗЛ1) имеет лишь тривиальное решение т) = О, но для v > V2

е"^г dt\T)V2v

е"^г dt\T)V2v

Фиг. 1.

Фиг. 1.

(низкие температуры) существует также и ненулевое решение этого уравнения. Общая картина схематически показана на фиг. 1. Тогда из (3.9) получаем

(низкие температуры) существует также и ненулевое решение этого уравнения. Общая картина схематически показана на фиг. 1. Тогда из (3.9) получаем

In 2,

In 2,

^<^кТ^Тс\

^<^кТ^Тс\

ln2 + ln3T(v), v>^-(T<Tc).

ln2 + ln3T(v), v>^-(T<Tc).

(3.12)

(3.12)

Температура Кюри соответствует vc —1/2, т. е. Тс = = 2.11%. Из (3.12) немедленно следует, что при Т — Тс внутренняя энергия остается непрерывной функцией температуры, а теплоемкость имеет скачок.

Несколько позже мы вернемся к результатам (3.9)— (3.12) и покажем, что они могут быть строго получены для одномерной модели путем определенного предельного перехода (у -*- 0). Тщательное изучение предельного перехода

Температура Кюри соответствует vc —1/2, т. е. Тс = = 2.11%. Из (3.12) немедленно следует, что при Т — Тс внутренняя энергия остается непрерывной функцией температуры, а теплоемкость имеет скачок.

Несколько позже мы вернемся к результатам (3.9)— (3.12) и покажем, что они могут быть строго получены для одномерной модели путем определенного предельного перехода (у -*- 0). Тщательное изучение предельного перехода

7^-0 покажет, что рассмотренный механизм фазового перехода фактически может быть интерпретирован как асимптотическое вырождение наибольшего собственного значения соответствующего интегрального уравнения.

Асимптотическое вырождение и дальний порядок

Вернемся теперь к вопросу о соотношении между асимптотическим вырождением и дальним порядком.

Парная корреляционная функция двух спинов й-й строки Z-ro и (Z + г)-го столбцов pN,M М = (Pfe.iPfe.i+r), зависящая благодаря трансляционной симметрии решетки лишь от относительного расстояния между узлами, определяется выражением

p^> м (г) = Qn,m 2 Рь. zP^. z+re-E/%r. (4.1) {и}

Используя матрицу L, можно переписать это выражение в виде

P^. м (r^Q^, и 2 2 2 L1 1 (Р, Р') P^r (р', Р") XP^. м (r^Q^, и 2 2 2 L1 1 (Р, Р') P^r (р', Р") X(И) (И') (И")(И) (И') (И")X р^-г-,+1 (р", р),(4.2X р^-г-,+1 (р", р),(4.2

P^. м (r^Q^, и 2 2 2 L1 1 (Р, Р') P^r (р', Р") X

P^. м (r^Q^, и 2 2 2 L1 1 (Р, Р') P^r (р', Р") X

(И) (И') (И")

(И) (И') (И")

X р^-г-,+1 (р", р),(4.2

X р^-г-,+1 (р", р),(4.2

где для конфигурации столбцов снова использовано обозначение (р) = (р1? р2, ..., p^). Разлагая матрицу L по соответствующим образом нормированным собственным функциям фу (р) и собственным значениям Л,-

2м

(4.3)(4.3)5=15=1L8 (Р, р') = 2 Л^фу (р) фу (р')

(4.3)

(4.3)

5=1

5=1

и используя условие ортонормировки фу (р), преобразуем (4.2) к следующему виду:

2М 2м

Ptv.m (r) = QN, м 2 2 Л” ГЛИ2 фДи) РьФ5 (р)]2-(4.4)

г=1 5=1(и)

Учтем, что при У -> со QN1M — Л^, а для конечных М и г — порядка единицы

(4.5)(4.5)v / Лг \N-r fh Z — 1,2V-»-oo ' -^-1 'L 0, I =^= 1.

(4.5)

(4.5)

Тогда (4.4) сводится к

°° Л-

Р (г) = lim lim pN, м (г) = Нт 2 (-Л)' (ф1, ^Ф/)3, (4.6)

3=1

где введено скалярное произведение1)

(ф> Х) = StWxW-(4.7)

(и)

Заметим, что слагаемое / = 1 в (4.6) тождественно обращается в нуль благодаря тому, что функция ф1 (р) симметрична и (фъ p^J =0. При Т> Тс Aj не вырождено, т. е. для />1 Игл (Л,-/Л1)г = 0. Тогда для Т">ТС

(4.8)(4.8)lim р (г) = 0, т-*оо

(4.8)

(4.8)

т. е. дальний порядок отсутствует. При Т <_ТС Ai вырождено и, следовательно,

Р И > (“^^(фь Рьфг)2 — (Ф1, Рьфа)2 (4.9)

независимо от г.

Так как ф2 (р) — антисимметричная функция, то входящий в (4.9) коррелятор (ф1, рьф2)2 отличен от нуля и, следовательно, при Т < Тс асимптотическое вырождение означает наличие дальнего порядка. Для доказательства обратного утверждения — вырождения At при наличии

? * х) Заметим, что благодаря циклической симметрии (ф1, ф^Ц^) не зависит от А. Следует упомянуть, что выражение для р (г) при Т < Тс оказывается иным, если сначала подставить М = N, а затем перейти к пределу N -> оо. Это связано с асимптотическим вырождением Ль приводящим к. QN1 N — 2Л^ и, следовательно»

lim pN, N (г) = 4- У (Ф1>№, Фу)2, N-^oo&\Л1/

3==1

Представляется более удобным (и естественным) независимо устремлять N и М к бесконечности, а не связывать их условием М = N.

дальнего порядка)—заметим, что, согласно (4.6),

P^^k^Y 2 <Ф1’ Н^)>(4-Ю)

5=1

а из теоремы Парсеваля следует, что

2 (ф1, НИьУМФь М*Ф1) = (Ф1> Ф1) = 1.(4.11)

5=1

т. е.

Р(г)<(4г)''t-^)

и вырождение) Ai есть следствие существования конечного предела функции р (г) при г-> со.

(4.13)(4.13)Нормированная собственная функция Ф1 (р) матрицы L, соответствующая наибольшему собственному значению, также играет важную роль при описании фазового перехода в упорядоченном состоянии. Это видно из следующего рассуждения. Рассмотрим Z-й столбец решетки. Вероятность данной конфигурации (р) спинов в этом столбце независимо от конфигураций спинов во всех остальных столбцах определяется выражением

(4.13)

(4.13)

Р (р) = lim Qn, м 2' е-Е^т,N->oo{ц}

где штрих у знака суммы означает, что суммирование по всем конфигурациям проводится при фиксированной конфигурации (р) в l-м столбце. Нетрудно записать Р (р) с помощью матрицы перехода:

Игл Ln (ц, р)

Р ^ (И). (4.14)

Последнее равенство в (4.14) получено при учете (4.3).

Таким образом, ф? (р.) служит мерой упорядочения в решетке и поэтому следует ожидать, что при низких температурах функция ф^ (р.) будет в основном определяться упорядоченными конфигурациями, а при высоких температурах все конфигурации будут давать одинаковый вклад в функцию ф® (р,). Проиллюстрируем это утверждение на простом примере. Пользуясь методом Рэлея — Рица, выберем в качестве пробных векторов для Ль

(4.15)(4.15)(сМ^

(4.15)

(4.15)

4(<р, ф) ’

две функции:две функции:<Pz>W = 2"M/2<Pz>W = 2"M/2(4.16)(4.16)

две функции:

две функции:

<Pz>W = 2"M/2

<Pz>W = 2"M/2

(4.16)

(4.16)

и

<Ро (Р) = jn<Ро (Р) = jnР1 = Рй ■=•••- Рм = + 1 ИЛИ — 1,

<Ро (Р) = jn

<Ро (Р) = jn

(4-17) в остальных случаях.''

Здесь фс (р) соответствует полному разупорядочению, а 4>о (р) — полному упорядочению, причем следует ожидать, что при низких температурах Ло > Лс, где Ло и Лп — наименьшие значения величины Л1; полученные подстановкой в (4.15) соответственно ф0 (р) и фо (р). Вспоминая теперь соотношение (2.8), связывающее свободную энергию и величину Ль видим, что ф0 (р) приводит к меньшему значению свободной энергии, чем фо (р). Противоположная ситуация реализуется при высоких температурах. Действительно, элементарный расчет показывает, что для пробного вектора ф0 (р,)

Л1>е2^ = л0,(4.18)

а для фо(р-)

Ai>2"MSS L(p, р/).(4.19)

(ц) (и')

Входящая в (4.19) сумма может быть интерпретирована как статистическая сумма для 2 X М решетки Изйнга. Матрицу перехода для этого’ случая можно построить, добавляя строку за строкой. При этом получается, что

где (Ощах — максимальное собственное значение «малой» матрицы перехода

-e2v

1

11 -

1

1

e-2v 1

1

e-2v

1 1

(4.21)

_ 1

1

1 e2v.

Нижний предел величины tomax можно получить, выбрав в качестве пробного вектора в методе Рэлея — Рица величину V2 (1, 1, 1, 1), что приводит к неравенству

Ai > (2 + sh2 v)^ = As.(4.22)

Сравнение (4.18) и (4.22) показывает, что для e2v^ ^ 1 + 2//3

Ло ^ As,(4.23)

что и требовалось доказать. Оценка величины Vain [1 + (2/^3)] % 0,382, к которой приводят эти грубые соображения, случайно оказалась близкой к точной критической величине vc ~ 0,4407 для двумерной модели Изинга.

Одномерная модель с потенциалом взаимодействия vexp ( — v I i~ jl)

Рассмотрим теперь одномерную модель *): цепочку из А спинов цг = ±1 с энергией взаимодействия

E=—J^2е-71{-^цгр.у.(5.1)

i^i<j<N

Малое у соответствует большому радиусу взаимодействия, т. е. у-1 может рассматриваться как эффективное число спинов, взаимодействующих с данным спином. Таким образом, у1 соответствует величине 2 в формулах Браута,

х) Эта модель впервые рассматривалась мною в 1959 г. (б—8] и в 1961 г. другим методом — Бэйкером [9]. Континуальная модель стержней, взаимодействующих друг с другом по закону и (х) = = — Jy exp (— у I х I) подробно обсуждалась Кацем, Уленбеком и Хеммером [10]. Более подробно эти вопросы рассмотрены в недавно вышедшем обзоре Гельфанда [11].

поэтому можно ожидать, что в пределе при у—>0 (после перехода к термодинамическому пределу N -э- со) мы придем к теории Кюри — Вейсса. Это и будет сейчас показано.

Перепишем в симметричном виде энергию взаимодействия спинов

N N

E^—Lj^ Sexp(-T]i-/|)№ + ±jVJ7(5.2)

i=t j=i

и статистическую сумму

N N

Q^e-viw^expJ-^ 2, (5.3)

{11}i=l j=l

где снова введено обозначение v = J/kT. Важную роль при расчете QN играет тождество [12]:

N

ехр (т 2 М/Ъ) =

j=l

ооN

= ^yN^ (det АГ^ JJ exp (3 g^) x

— co1=1

N

Xexp[ —4" 5 Xi H^u^j] dxi • • • dxN, (5.4) i, 3=1

где Si—действительные числа, a A— любая вещественная, симметричная, неособая, положительно определенная матрица. В частном случае Аи = ехр ( — у ] i — j ]) и ^i = Vvvp-i, используя тождество (5.4), можно переписать выражение для статистической суммы в следующем виде:

ООN

Qn — e"vJVv/2 ^ j ... J ехр (^vy 2 ^Pk) X {11} — ook=i

X H^ (^-11 x2l . .., x^^ dx^ dx^ • - • dx^-^(5.5)

где128

W (xt, ..., xN) =

(5-6)(5-6)= W (X^ P^ (Xi | X2) P"; (x21 X^) . . . Pу (xN_i | XN^),

(5-6)

(5-6)

а величины w (x) и Pv (x | у) равны

w (x) = —7=- e-*2^2,x '"|/2л

P^x I У)P^x I У)[2n(l-e-2V)]1/2 ^[2n(l-e-2V)]1/2 ^км—хе”^2(1— e~2?) Jкм—хе”^2(1— e~2?) J(5.7)(5.7)

P^x I У)

P^x I У)

[2n(l-e-2V)]1/2 ^

[2n(l-e-2V)]1/2 ^

км—хе”^

2(1— e~2?) J

км—хе”^

2(1— e~2?) J

(5.7)

(5.7)

Представление функции I?7 (x1; . . ., x^) в виде произведения простых множителей, которое будет существенно для дальнейшего упрощения выражения (5.5), связано с тем, что матрица, обратная к ехр (—у | i —/ |), имеет отличные от нуля элементы лишь на главной и двух ближайших к ней диагоналях. Полученные выше формулы могут быть легко проверены. Поскольку нам придется иметь дело с более сложными случаями, удобно дать вероятностную интерпретацию полученных результатов. Обратим внимание на то, что ехр (—у | t |) представляет собой корреляционную функцию стационарного гауссовского марковского процесса (процесса Орнштейна — Уленбека)

е-^|4| = (Х(т)Х(^ + т)).(5.8)

Входящий в (5.5) интеграл можно записать в виде ; N

<(ехр [K'v? S Рл^ (£)]/> а факторизация (5.6) просто отра- h—i

жает факт марковости процесса.

Упрощение выражения (5.5) для QN проводится следующим образом. Проводя суммирование в (5.5) по конфигурациям (р), получаем

ООN

Qn = e“vN?/22w j ... j JJ ch (Кvyxft) w (xj x

— co h=l

N-l

X JJ Pv (xh I Xk+i) dXi ... dxN. (5.9) k=l

Вводя ядро K(x, у),

К (х, у)=-

=(5.10)

[ш (х) ш (у)] /2

приведем (5.9) к симметричному виду

N-i

X JJ К (xk, Xk+i) h (xN) dxt ... dxN, (5.11)

где величина Н^ определяется равенством

h (х) = ^w (х) ch уЧу х)1/а.(5.12)

Выполняя в (5.11) интегрирование по х2, х31 ..., xN_^ получаем

QN = е-^/22^ j ... j dxdyh (х) KN~i (х, у) h (у),(5.13)

где К8 (х, у) — s-ая итерация ядра К (х, у).

Теперь естественно обратиться к интегральному уравнению: во

j К (X, у) ф (у) dy = х-ф (х)о(5.14)

Так как ядро К ^х, у) — симметричная, положительно определенная функция типа Гильберта—Шмидта, т. е.

№ (х, у) dx dy < оо,№ (х, у) dx dy < оо,(5-15)(5-15)

№ (х, у) dx dy < оо,

№ (х, у) dx dy < оо,

(5-15)

(5-15)

то уравнение (5.15) имеет дискретный ряд положительных собственных значений Xi > Х2 > ... и полный ряд соответствующих им собственных функций ф1(х), ф2(х)... , Отсюда следует, что К® (я, у) может быть представлено в виде

£оо

№ (^, У) - S ^^7 (X) Ф, ^-(5.16)

j=i

Подставляя (5.16) в (5.13), получаем

QN=e-™^^ ХГ1 ( J h^^dxy. (5.17)

J=1—ОО

Используя известные термодинамические формулы и переходя к термодинамическому пределу, находим окончательное выражение для свободной энергии, приходящейся на один спин:

Иш ЛГЧп(^ = 1п2 — ^-4-lnM.(5.18)

Сразу подчеркнем формальную аналогию между формулой (5.18) и соответствующим выражением (2.8) для модели Изинга, в котором свободная энергия на спин выражена через наибольшее собственное значение матрицы.

Выражение для парной корреляционной функции в рассматриваемой одномерной модели также аналогично формуле (4.6) для двумерной модели Изинга. Корреляционная функция (ць рч+г) двух спинов, находящихся внутри Цепочки, т. е. между I и N — I узлами (чтобы избежать влияния границ, поскольку мы рассматриваем разомкнутую цепочку), и отстоящих друг от друга на расстоянии г порядка единицы, определяется выражением

И = (РгРг+г) = Qzv1 S №1+ге-Е/иТ.(5.19)

Повторяя те же рассуждения, которые были использованы при упрощении формулы (5.5), получаем

соN

Pjv (г) = QN^e"^^12 2 j • • • J №+r exp (Kvy 2 -w) X W -OOi=l

X W (xt, ..., xN) dxt .■. * dxN =

- Q^e^^'2^ J... j th (/^x?) th (K^xz+r) X — co

X JJ ch (p^vyxfe) W (xi, .,., Xjv) dxt... dxN. (5.20)

fe=l

i Можно переписать (5.20), вводя ядро К (х, у),

j Pjv (г) =

?= Qn 1е" vNv/2 j j j J dx, dxt dxi+1 dxNh ^ Kv ~ ° (xt, Xi) x

IX th (K^yxj) K(r) (xb xl+r) th yv^xt+r) x

|X^-’-'^Xz+r, х^)/1(х^).(5.21)

,Проделывая теперь те же преобразования, что и в мо-

i дели Изинга при получении выражения (4.6) из (4.2), и используя (5.16) и (5.17), окончательно находим1)

Р (г) = lim pw (г) =

N-yco

= 3 (тгУ ( J ^ M-th (Kvyx) ^ (х) dx^2. (5.22)

;3=1— оо

' Это выражение полностью аналогично (4.6) для двумерной модели Изинга. Снова отметим, что если Xj не вырождено, то р(г)->0 при г—> оо и дальнего порядка не существует.

В дальнейшем мы будем иметь дело лишь с предельно малыми значениями у. С этой целью удобно записать ядро К (х, у) в виде

: к (X, у) = ev/2e - (т/гжх) expl—^2/4shy] e_(v/2)?(y),5 23.

'”1/2л2з11т

где

Y7(x) = -^-th ^^ xa —In ch(Kvyx). (5.24)

Заметим теперь, что величина

R (х, z) = Jf (y) dy (6 25)

■Jу

!) Заметим, что слагаемое / = 1 в (5.22) тождественно обращается в нуль, так как tpi (х) — симметричная,? th(l/vyx) — антисимметричная функция.

является решением уравнения теплопроводности

(5.26)(5.26)1 d^R _ dR

(5.26)

(5.26)

2 дх2 ~ at *

Поскольку благодаря тому, что

Игл {ехр [ — (х — z/)2/2Z])/K 2л? = 6 (х — у), t-f-O

начальное значение функции R (х, / = 0) = f (х), формальное решение уравнения (5.26) имеет вид

R(x, 0 = [ехр (4"^)]^^-(5'27)

Используя (5.27), получаем из (5.23) (для f = 2shy), что интегральный оператор Z< (х, у) формально эквивалентен оператору

ехр (-£) ехр [ —^-q (х)] exp (sh у -^-) х

Хехр[ — -^-<7(1/)] 6 (х— у) (5.28) и, следовательно, интегральное уравнение (5.14) эквивалентно уравнению

ехр [ — 4 Ч (х)] ехр (sh у -^ ) ехр [ — ^ q (х)] ф (х) =

= Хе-?/2ф(х).(5.29)

Вообще говоря, уравнение (5.29) столь же сложно, как и исходное интегральное уравнение, так как произведение экспонент в (5.29) можно преобразовать по формуле Бэйкера — Хаусдорфа, которая имеет следующий вид для операторов А и В:

gB/2gAgB /2 ——

= ехр{Л+5+^[Л, [Л, В]]+^[В, [Л, В]] + ...}. (5.30)

Это разложение в общем случае нельзя представить в компактной форме. Однако для малых у коммутаторы в (5.30), состоящие из трех или более операторов, будут величинами порядка у2 и более высокого порядка [8]. Поэтому, оставляя лишь члены порядка у, можно собрать все экспоненты в (5.29), и получающаяся при этом задача

на собственные значения эквивалентна следующему уравнению Шредингера (при замене sh у на у и пренебрежении слагаемыми более высокого порядка по у):

—^ + q to ^ to - (Е +1) ф(х),(5.31)

где q (х) задается формулой (5.24), а Е определяется из соотношения

X = e-Ev.(5.32

Таким образом, максимальное собственное значение Xi равно ехр (— Ео^), где Ео — наименьшее собственное значение уравнения (5.31). Потенциал q{x) при сохранении членов наинизшего порядка по у имеет вид

q^=^у-1 Inch'Kvyx.(5.33)

Функция (?(х) достигает минимума при х==цУ2/у, где ц— решение уравнения

т) = V2v th (/2^)-(5.34)

Из сравнения (3.10) и (3.11) непосредственно вытекает, что

min [у(/ (х)] = — In Ж (v),(5.35)

где <%" (v) определено в (3.10). Таким образом, в классическом приближении получаем

у ^+.£0) =min [yg(x)] = — InST (v).(5.36)

Поправки к соотношению (5.36) являются величинами порядка у2, поэтому в пределе у ->- 0 равенство (5.36) становится точным ^ Сравнение (5.36) и (5.18) показывает, что в пределе у -> 0 мы приходим к выражению Кюри — Вейсса (3.12) для свободной энергии.

Для малых у можно провести стандартный анализ уравнения (5.31) с помощью теории возмущений [7, 8]. Так, для достаточно малых v (2v < 1, т. е. для высоких температур) функцию In ch V^У-^ можно разложить в ряд, и оказывается, что в наинизшем порядке- по у уравне-

*) В работе [7], исходя из интегрального уравнения, дано непосредственное доказательство этого утверждения,

ние (5.31) сводится к уравнению для гармонического осциллятора (£ = £ + V2):

[ —^+т<! - 2v) *2] ^ to = ^ to <5'37) с собственными значениями

Ёп = У 1—2^ (л + у) ,п = 0, 1, 2,...(5.38)

и собственными функциями (функциями Вебера)

(х) = (^У^Г ) ехр ( “4 Vl-2v П Х

Х77п[х(1— 2^/4],(5.39)

где Яп (х)— полином Эрмита «-го порядка. Можно рассчитать и следующий порядок теории возмущений, что дает [7]:

-1 Г1 \ 11 । ( 1 —1/1—2v \.

Х^ехр^ — (£0 — TJ = 1 + ^+

+ [т(2) —4-ТЗ=^1те+-.:. 2v<l.(5.40)

Для 2v > 1 потенциал q (х) имеет два минимума при х = ±Ло V2/у, где т)о — положительное решение уравнения (5.34). Поэтому прежде чем прибегать к теории возмущений, следует разложить функцию q (х) в ряд по Но 1/2/7. Сохраняя члены наинизшего порядка, получаем [ -^- -Т"1 In ^ (V) +| (1 - 2Vx^ ф (х) = £ф (х), (5.41) где введено обозначение

v'=v[l- th2 (г] 1/2^)1-(5.42) "

Используя (5.40), можно сразу определить ^^^^[^^-(l—1/Г^27)у+...], 2v>1. (5.43)

Относительно полученных выше результатов следует сделать два замечания:

высокотемпературное разложение (5.40) является неаналитической функцией при 2v = 1 во всех порядках по у, т. е. теплоемкость имеет скачок в точке Кюри 2vq = 1;

строго получено низкотемпературное разложение (2v > 1) по степеням у.

Так как ^ — аналитическая функция v х) при всех конечных у, то из замечания 1) вытекает необходимость модификации высокотемпературного разложения при 2v -> 1~. Мы вернемся к этому вопросу несколько позже.

Получение низкотемпературного разложения является преимуществом развиваемого метода. В общем разложении Б раута по степеням 1/z нельзя получить низкотемпературного разложения без дополнительных предположений.

Очевидно, что в нашем методе механизм фазового перехода (в пределе у -> 0) связан с тем, что при 2v < 1 потенциал имеет один минимум, а при 2v > 1 — два. Чтобы убедиться в том, что такое свойство потенциала соответствует асимптотическому вырождению, заметим, что при 2v > 1 два минимума потенциала отстоят друг от друга на величину 2т)0 У 2/у.

При малых у можно рассматривать каждый из этих минимумов независимо. Тогда в наинизшем порядке для собственной функции, соответствующей Ео, имеем [ср. (5.39) и (5.41)]:

у[фо (х — 4o]/y) + Фо (^ + ПоУ у)], (5.44)

где

фо (х) = у -^=- ехр ( — ^ У1 — 27 х2) .(5.45)

Собственная функция, соответствующая следующему собственному значению Еь является в отличие от (5.44) антисимметричной комбинацией функций ф0. При этом легко увидеть, что

с>0, (5.46)с>0, (5.46) /Г 9 \ — 8Г 9 V

с>0, (5.46)

с>0, (5.46)

j dx^0 (х — Но]/ у) ^о (х + г1ор y)=0^_C/^’

а) Аналитичность по v вытекает из того, что детерминант Фредгольма для интегрального уравнения является аналитической функцией v при всех конечных у.

определяет расстояние между Е^ и Ео. Таким образом, при у —> 0 максимальное собственное значение ^ становится вырожденным при 2v> 1.

К приведенным соображениям следует относиться с осторожностью, так как функция i|)0 (я) получена методами теории возмущений, а множитель ехр (—с/у) выходит за пределы применимости этой теории (фактически во всех порядках теории возмущений Ео = Е^. Можно, однако, строго доказать сформулированное выше утверждение непосредственно, исходя из интегрального уравнения.

Хотя, строго говоря, в рассмотренном случае нет асимптотического вырождения, ситуация вполне аналогична двумерной модели Изинга (напомним, что в двумерной модели Изинга вырождение возникает просто при переходе к термодинамическому пределу, а здесь для получения вырождения следует еще совершить предельный переход у->0). Если, исходя из этих соображений, вернуться к формуле (5.22) для парной корреляционной функции, то видно, что при 2v > 1 корреляции существуют на расстояниях порядка ехр (1/у), а при 2v <; 1 — радиус корреляции — величина порядка 1/у. Для малых у эффект огромен, хотя, строго говоря, это и не соответствует дальнему порядку (за исключением предельного случая у -> 0).

Вернемся теперь к вопросу об аналитичности высокотемпературного разложения (5.40) при 2v->l-. Удерживая следующий член разложения в ряд In ch (]Агух), вместо (5.37) получаем

[-^-+t<1-2v)j;8+^^J,i,--(£+7)’I’' <5Л7>

До тех пор пока 2v < 1, а 1 — 2v достаточно велико, слагаемое с х4 в (5.47) может рассматриваться как возмущение, т. е.

-Е0 = 1-^-УТ^?\(5.48)

Эта величина мало отличается от первого слагаемого в (5.40) [ср. (5.38)1. Поправочное слагаемое к (5.48) имеет

вид [ср. (5.39), (5.40)1:

1212хаха4(1—2v) *(5-49)4(1—2v) *(5-49)

12

12

ха

ха

4(1—2v) *(5-49)

4(1—2v) *(5-49)

Область значений v, для которой эта поправка того же порядка, что и У1 — 2v [см. (5.48)1, соответствует так называемой критической области. В этой области теория возмущений неприменима, и надо использовать другую процедуру суммирования. Из приближенного равенства у/(1 —2v)— V1 —2v непосредственно вытекает, что 1 — 2v — у2^, поэтому естественно полагать, что в критической области

2v — 1 + v1V2/3.(5.50)

Хотя равенство (5.50) получено при приближении к критической области со стороны высоких температур (vt < 0), мы увидим, что величина у2/3 представляет собой разумный масштабный множитель и при подходе со стороны низких температур. Если подставить (5.50) в (5.47), дифференциальное уравнение примет следующий вид:

(—-(£+1)^- <5-51) Полагая

Ф W = Ф (§),§ = Т1^,(5.52)

сведем (5.51) к

ф= — ®Ш (5.53) где

<5-54)

Хотя безразмерный потенциал

обладает теми же свойствами, что и исходный потенциал g (х) [одним минимумом в высокотемпературной (vt <; 0) и двумя — в низкотемпературной (vt > 0) области], функция со (vt) теперь аналитична при всех Vt и точка Vt — 0 (т. е. 2v = 1) вообще не является точкой сингулярности функции! Из (5.54) и (5.31) следует лишь, что разложение функции In ХШах,

In Aqnax = ^ ® (^1) у4/3 -{- ..., (5.55)

является в критической области аналитической функцией Vt с точностью до у4/з. Можно, однако, не сомневаться в том, что все коэффициенты при слагаемых более высокого порядка в (5.55) также являются аналитическими функциями

Чтобы понять, в каком смысле выражение (5.55) соответствует высокотемпературному разложению (5.40), рассмотрим слагаемые в (5.40) с наибольшей сингулярностью, а именно:

и другие. При подстановке 1 — 2v = v^/s все эти слагаемые становятся величинами одного порядка (как и должно быть в критической области) и вклад двух приведенных выше членов в коэффициент при у4/з соответствует двум первым слагаемым в асимптотическом разложении функции cd (vt) при больших отрицательных vt. [Это разложение получено из (5.53) с помощью ряда теории возмущений по величине v^1.] Нет никаких оснований сомневаться в том, что если бы можно было провести полное суммирование слагаемых в высокотемпературном разложении, обладающих наибольшей сингулярностью, то мы получили бы асимптотическое разложение функции cd (vj при больших отрицательных vb

Для полноты рассмотрения одномерной модели дадим строгое доказательство асимптотического вырождения величины Vt при малых у. Мы докажем, что

^_=1 —O(e-c/v), ОО,(5.56)

где Х2 — второе по величине собственное значение интегрального уравнения^ (5.14).

Так как собственная функция ф! (х), соответствующая наибольшему собственному значению, симметрична [поскольку К (х, у) = К (—х, —у)\, то антисимметричная комбинация

Ф (г) = ф+ (х) — ф7 (х)(5.57)

ортогональна к Ф1(х). Здесь

[ ^(х), х>0,( 0,х>0,

х<0, W = { ф,(х), х^О. (5'58)

Таким образом, ф(х) является подходящей пробной функцией для определения Х2 по методу Рэлея — Ритца, который приводит к

Х2 = max(5.59)

(ЛФ1)=О v. •)

Здесь введены обозначения: (f, g) = ^ f(x)g (х) dx и (А/) (х) =

= J К (х, у^ f (у) dy.

Итак, взяв ф (х) в качестве пробной функции в (5.59) и заметив, что ф! (х) — ф^ (х) + Ф7 (х) и что функции Ф1 (х), а следовательно, и ф (х) нормированы, получим

Xi > Х2 > (ф, Аф) = Ч — 4 №, Аф7).(5.60)

Теперь нам осталось показать [ср. (5.46)], что интеграл перекрытия (ф^, АфГ) — величина порядка ехр (—с/у).

Используя неравенство Шварца и выражение (5.23) для ядра к (X, у),

К (X, у) = eV/2e-(v/2)g(=)/7 (Х) у) e-(?/2)g(2/)i(5.61)

где

F (х, у) = ехр [ — ^^-/Vastly],(5.62)

найдем

e-v/2 ^+7/с^^ =

= j dx j dy [^i (x) e-(v/2)q(x) уP (^ y)] x 0— co

X [ifi (</) e-(^2>9<^> vF (x, г/)] < OO0

C ^ dx^i (x)exp[ — 77 (x)] j dyF (x, y).(5.63)

0—oo

Интеграл по у сразу берется, если сделать подстановку х — y = zV2shY-

О00_5?2

J dyF(x,y) = -^- J dze 2<Гёехр (-^).

(x>”)«/(2shV)V2

(5.64)

Так как из (5.34) следует, что

—77 (х) ^ In (v),(5.65)

то из (5.64) и (5.65) получаем

ОО

е-^ ДО, ^i) < Ж (у) Ve J dx^ (х) exp ( - ^) <

oo.

^.б^С ^Vе § с?хф2 (х) е 2 , (5.66)

если у выбрано достаточно малым, чтобы 2 sh 7< 1.

Если теперь умножить обе части интегрального уравнения для %! на лр! (х) ехр (—х2/2), проинтегрировать правую и левую части этого уравнения и воспользоваться неравенством Шварца, то в результате окажется, что

ООX2

Xig-v/2 j cixipi (х) е 2 =

^) VF (X, у)}х^) VF (X, у)}х

^) VF (X, у)}х

^) VF (X, у)}х

X {-Ф1 (у) exp [ — £7 (z/)J e"V"F(x, ^)} С

С j dx^^e 2 ехр[ — 77 (х) + (sh у) х2].(5.67)

Помимо неравенства Шварца, мы при получении (5.67) воспользовались тем, что

J dyF (х, у) = К exp [(sh у) х2](5.68а)

и

dxF (х, у) е"^ = ехр [-^..^^ ]/(1 + 2 shy)1/2<

<exp[-^- + (shy)x2]. (5.686)

Используем теперь соотношение (5.24). Для всех х, удовлетворяющих условию | х | ^ а ]/2Ту [причем, согласно (5.34), аСЯоЬ получаем

max [ — 77 (х)] = (у th -¥-j а2 + In ch a ]/2v = In 6 (а). (5.69)

Если теперь разбить область интегрирования в (5.67) на две части: | х | < а V2/7 и | х | > а V2/у (обозначаемые соответственно | х |< и |х|>), то, воспользовавшись (5.69), придем к неравенству

X1e-v/2 J dxf (ху<.

<6(ц)е2"2 j dxf(x}-y J dxf (х) exp [~y7(x) + (shy)x2], I X !<I х 1^

(5.70) где через f (х) обозначена функция

/ (х) = ф2 (х) Г^.

(5.72)(5.72)Но так как, согласно (5.43),

(5.72)

(5.72)

X, = ST (v) + О (у),

то из (5.65) и (5.69) вытекает возможность выбора настолько

малого а, чтомалого а, чтоX16v/2 > 6 (а) е-2°а.X16v/2 > 6 (а) е-2°а.(5.73)(5.73)

малого а, что

малого а, что

X16v/2 > 6 (а) е-2°а.

X16v/2 > 6 (а) е-2°а.

(5.73)

(5.73)

Поэтому неравенство (5.70) можно переписать в следующем виде:

[X^-V/2 — § (а) е2аЗ J j dxf ^

^[Xie~v/2 — 6(а)е2а1] J dxf ^Л-^е-^/а ^ dxftx') —

I X I <I x |^>

= Xie-v/2 J dxf(x)— 6(a)^2aI J dxf^x)<.

— oo|x|<

< j dxf (x)exp[ — yg(*) + (shy)x2]. (5.74) i«i>

Используя теперь (5.65) и (5.71), имеем

f dxf (x)exp[ — yg (x) 4-(sh y)x2K

<ST(v) j dxipf (x) exp [ —(1 — 2shy)-^-Jc

\x\>aV^/2

C0%*(v)exp[— (1—2shy)^-J J dx^)(x)C

| x (>а V 2/v

c sr (v) exp [-(1-2 shy) 4-]-(5-75)

Последнее из неравенств в (5.75) является следствием нормировки функции ip! (х).

Итак, из (5.75) и (5.74) следует, что для достаточно малых у

с/хф1 (х) е-^2^ Ae~c/v,(5.76)

гдегдеА = Ж (v) УЦе-^ — б (а) е2°а]А = Ж (v) УЦе-^ — б (а) е2°а](5.77)(5.77)ии

где

где

А = Ж (v) УЦе-^ — б (а) е2°а]

А = Ж (v) УЦе-^ — б (а) е2°а]

(5.77)

(5.77)

и

и

с = а2 (1 — 2 shу) > 0.

Комбинируя (5.76), (5.66) и (5.60), получаем доказательство асимптотического вырождения.

6. Одномерные модели с потенциалом взаимодействия

1

YP(Yii — jI) = V J Ьаехр( —ХуП —j|)dl о

Обобщим теперь изученную в предыдущем разделе одномерную модель, выбирая потенциал взаимодействия в виде суммы экспонент. Тогда энергия взаимодействия определяется выражением

Е=—1^ 2 Р(?1* — /1)№у,Е=—1^ 2 Р(?1* — /1)№у,(6.1)(6.1)

Е=—1^ 2 Р(?1* — /1)№у,

Е=—1^ 2 Р(?1* — /1)№у,

(6.1)

(6.1)

где

pW= 2 Cke'^lil, ah>o, ak>0.(6.2)

Следует ожидать, что для конечных т получатся качественно такие же результаты, как и для рассмотренного в предыдущем разделе потенциала взаимодействия (5.1). Однако в интересующем нас случае m оо (после перехода к термодинамическому пределу) появятся, вероятно, какие-то новые результаты. Действительно, будут приведены веские соображения в Пользу того, что при специальном выборе величин ан и он после перехода к пределу т -> -> оо [когда сумму (6.2) можно заменить интегралом] фазовый переход наступает при конечном у, а не только в пределе у—>0, когда мы получали просто результаты теории Кюри — Вейсса.

Повторяя рассуждения, приведенные в начале прошлого раздела, снова сведем расчет статистической суммы для модели (6.1) к нахождению наибольшего собственного значения интегрального уравнения. Можно воспользоваться тождеством (5.4), но проще говорить на языке теории вероятности. Итак, рассмотрим совокупность независимых процессов Орнштейна — Уленбека xt (t), xa (t), . . .

xm (/), для которых хг (0) — 0, а корреляторы определяются выражениями:

<хк ^ хк (t + т)) = е-(Т^|т!, k = 1, 2, . . ., т. (6.3)

Независимость процессов означает, что

<хк (Z) xt (t + т)> = 0 для k ^ L (6.4)

Используя (6.3) и (6.4), легко показать, что стационарный гауссовский процесс

X (Z) = 2 Ко* хк (t)(6,5)

h—1

удовлетворяет условию

(X(Z)X(Z + T))=p(T),(6,6)

где функция р(т) определена в (6.2). Симметризуя (6.1), можно сразу записать выражение для статистической суммы

{mJ

N

_e-p(0)№vv/2 2 ехр[^- 2 P(?h‘— /!)№?] ={MlЬ 3=1

N

= rp(0)^/2 ^ <^exp[K^ 2 X W M j> ={fl}3=1

2V

= е-р(0)^7/22^ ^ Д ch V^ x U$^ ,(6.7)

3=1

Используя то, что векторный процесс х (О = = (*i (0. • • •, хт (t)) является марковским, можно по аналогии с (5.6) записать совместную плотность вероятности для этого процесса в виде

N

^(х1? x2V) = ay(x1) [J pv(xa|xa+11) (6.8)h=l

где т2

П [^^S^J(6.9)

h= 1 v

И т-va

р, (X | у) = П {«Р [ - ^^J/^-^^} .

(6.10)

Теперь дословно повторим вывод формул (5.9) — (5.18) заменив скаляры векторами х, что дает

"^Г = ^т ("дГ) In Qn =2" Р (0) vy + In 2 -j- In Xmax*

(6.11) Здесь Zmax— наибольшее собственное значение (/«-мерного) интегрального уравнения

j • • • j К(х, у)Ф(у)^1 ... dym = X^(x)(6.12)

т— оо

с ядром К(х, у) вида [ср. (5.10)]:

К(х, у) = у ch (Kv? 2 ^«h^ X

А = 1

Xch (Гп 2• (613)

R=5 1

Произведя действия, аналогичные (5.23) — (5.28), придем к выводу, что интегральный оператор К (х, у) эквивален- 13—0826

тен оператору т

X ехр (у 2 ак ^ ехр[ -^-^(у)] д (х-у). (6.14)

Введенная в (6.14) функция уд(х) равна

79 (х) =-2" 2 th VY'V0^ *1 — Inch (Kv? 2 K^^k) •ft=iЛ = 1

n(6.15)

Ограничиваясь членами низшего порядка по у, можно, как и прежде, объединить экспоненты в (6.14) и получить (пренебрегая членами порядка у2)

771

Атах = ехр (у У 2 ffil-y£o) -(6.16)

к=1

где Ео — наинизшее собственное значение дифференциального уравнения тт

fc=2 Rfe=l

— In ch7— In ch7771(Kv? 2771(Kv? 2V^k Xk ) J ф = —Еф.(6.17)V^k Xk ) J ф = —Еф.(6.17)

— In ch7

— In ch7

771

(Kv? 2

771

(Kv? 2

V^k Xk ) J ф = —Еф.(6.17)

V^k Xk ) J ф = —Еф.(6.17)

Производя замену переменных хк = Ускхи, .преобразуем уравнение (6.17) к более удобному виду. Если, кроме того, определить величину ф с помощью равенства

Ф (х;, ..., х^ = ф (У^х;, ..., У^х™)(6.18)

и заменить в конце расчета х' на х, то уравнение (6.17) сведется к следующему:

771 771

h=lRft=i

т

— у lnch (Kvy 2 1^^^^)]^= — £ф.(6.19)

Прежде всего заметим, что в пределе у О мы снова возвращаемся к теории Кюри — Вейсса. Простой расчет показывает, что потенциал в уравнении (6.19) имеет минимум при х = х(0), где

^0) = 2^0) = 2v V анОкv V анОк7 °к7 °кth Т1,th Т1,(6.20)(6.20)

^0) = 2

^0) = 2

v V анОк

v V анОк

7 °к

7 °к

th Т1,

th Т1,

(6.20)

(6.20)

а величина ц является решением уравнения

ц = (2vv0) th тр(6.21)

причем, согласно (6.2), 771оо

2 ^7-= ( P(Z)^<OO.(6.22)

h=l0

Условие v0< оо является просто условием устойчивости, необходимым для существования термодинамического предела. Очевидно, что равенство 2vc = l/v0 определяет точку Кюри, а Ео — минимальное значение потенциала при у—>0. Подставляя (6.20) в (6.15) и используя (6.16), получаем

Нт Хшах —V-+0Нт Хшах —V-+01,exp [—(w0) th2 r]04-lnch Но],1,exp [—(w0) th2 r]04-lnch Но],2v< l/v0,2v> I/Vq,2v< l/v0,2v> I/Vq,(6.23)(6.23)

Нт Хшах —

V-+0

Нт Хшах —

V-+0

1,

exp [—(w0) th2 r]04-lnch Но],

1,

exp [—(w0) th2 r]04-lnch Но],

2v< l/v0,

2v> I/Vq,

2v< l/v0,

2v> I/Vq,

(6.23)

(6.23)

где Цо — положительное решение уравнения (6.21) (для 2v>l/v0). Для малых у опять можно применять теорию возмущений. Тогда для высоких температур (2v< l/v0)

т

можно разложить lnch(y"vy 2 V^kOkXk) в уравне- к=1

нии (6.19) в ряд и, сохраняя члены наинизшего порядка по у, свести (6.19) к следующему уравнению:

771,771771

2 ■^"['г 2 «м—^ 2 К№^)2]ф= —дф-

h=l hА=1й=1

(6.24)

Собственные функции и собственные значения квадратичной формы, соответствующей (6.24), легко получаются 13*

минимизацией выражения

тт

4" 2 а^хкГ ( S V«^k xr) 2 к=1к=1

т—f 2 ^- (6.25)к=1т—f 2 ^- (6.25)к=1При этом оказывается, что собственные значения cos являются решениями уравненияj (схематически показанного на фиг. 2)

т

—f 2 ^- (6.25)

к=1

т

—f 2 ^- (6.25)

к=1

(6.26)

,т1 XIdk^k2vЬ=1ак-Ю‘,т1 XIdk^k2vЬ=1ак-Ю‘а^Rа^R1V ак<$кNs ak—tos ’1V ак<$кNs ak—tos ’т к= 2 к=1т к= 2 к=1Ctk^k(a»-tos^ *Ctk^k(a»-tos^ *(6.27)(6.27)Собственным значениям cos соответствуют нормированные собственные векторные функции: a<s>=(a<s>, а^Х ..., tz<£>), где

,т

1 XIdk^k

2vЬ=1ак-Ю‘

,т

1 XIdk^k

2vЬ=1ак-Ю‘

а^R

а^R

1V ак<$к

Ns ak—tos ’

1V ак<$к

Ns ak—tos ’

т к= 2 к=1

т к= 2 к=1

Ctk^k

(a»-tos^ *

Ctk^k

(a»-tos^ *

(6.27)

(6.27)

Проведя ортогональное преобразование

т

Xk=^a^ys,(6.28)

S—1

перепишем уравнение (6.24) в виде

771 771

3 -V"-Т 2 “-^= -£ф.(6.29)

3=143=1

которое является уравнением Шредингера для т несвязанных осцилляторов. Поэтому 1[в наинизшем порядке по у получаем

^0=4-5^(6-3°)

8=*1

и, согласно (6.16),

т

Хтах = ехр { —4[5 (К®^ — <*»)]} ‘(6131)

з=1

Из фиг. 2 видно, что при V2v < v0, ti>i < 0, т. е. ниже точки Кюри, одна из мод невозмущенной системы осцилляторов неустойчива и уравнение (6.29) не может служить первым приближением для (6.19), так как оно не учитывает связанные состояния.

Ниже точки Кюри нужно, как и раньше, разложить потенциал в ряд вблизи минимума, а затем уже использовать методы теорий возмущений. Мы вернемся к этому несколько позже.

Рассмотрим теперь частный предельный случай потенциала взаимодействия (6.2):

1

р(^) = J Ve-MtldX, а>0.(6.32)

о

Заменим этот интеграл суммой

р^~ у ^кху ДХе-^мт, дх = ± <6‘33) д=1

и, сравнивая с (6.2), положим

«ь = (^ДХ)" ДХ, аь = АДХ.(6.34)

При этом свободная энергия получается из (6.11) с помощью предельного перехода m оо. Легко проверить, что

v0= j p^dt = l.(6.35)

о

и

Fг( оо, а < 1

\ tp^dt = \ Г“МХ=] ’(6.36)

оJ1<оо, а>1.

Так как при а < 1 интеграл J tp (t) dt, являющийся о

в определенном смысле мерой области взаимодействия), обращается в бесконечность, то в этом случае можно ожидать нетривиального поведения системы). В действительности мы предполагаем, что при а < 1 в рассматриваемой модели возможен фазовый переход не только в тривиальном случае у = 0, но и при любом у. Это предположение подтверждается поведением рассматриваемой системы в критической области (которое будет обсуждаться позже), а также «сферическим вариантом» потенциала (6.32), когда для статистической суммы вместо (6.7) получается следующее выражение [14]:

N

Q^=J... J ехр[^ 2 р№'~ /1)ргр,]аа. (6.37) Nг, 1

к=1

х) В этом случае величина у-1 не может служить мерой области взаимодействия. Такой мерой является величина

Так как при переходе к «сферическому» потенциалу сингулярности стремятся исчезнуть (о чем свидетельствует исчезновение сингулярностей в двумерной модели Изинга при переходе к двумерной сферической модели), то можно думать, что наличие сингулярности в сферической модели (6.37) будет свидетельствовать о наличии сингулярности в исходной модели дискретных спинов. Чтобы доказать, что при а < 1 потенциал (6.37) действительно приводит к появлению сингулярности, поступим следующим образом. Рассмотрим интеграл

j. j exp If (p)] do =

0jV

ooN

= j . . . j exp [ — s 2 ^ + / (H) J do = -ook = 1

N

= (2л)№/3 [det (2s/—vX)J-1/2 = (2n)W2H (2s—^XA"1’2, (6.38)

3=1 где через f (ц) обозначена функция

2 р№ —/1)№Х(6.39)

г, j"=l

матрица A N-ro порядка имеет вид

Л; = 4-ур(у| г — /|),^6Л0^

а %; — собственные значения матрицы А.

Подставляя в (6.38) R = Vn и применяя обратное преобразование Лапласа, получаем

- j «plfWlda»

k=l с —гооN

J {exP[s-wS 1п(2з-^,)р} ds, (6.41) c-f-iooj= 1

где знак ««» означает пренебрежение константами, возведенными в N-ю степень, а величина с выбрана так, чтобы все сингулярности подынтегрального выражения, как функции от s, располагались слева от прямой s = с. Тогда входящий в (6.41) интеграл может быть вычислен методом перевала. Уравнение для определения перевальной точки имеет вид

N

1 ЧГ! 1

^ = "n"24"Ts(6.42)

а требования, предъявляемые к величине с, сводятся к 2s/v > I Xmax [. Для больших N в выражении (6.42) суммирование можно заменить интегрированием, используя теорему, сформулированную в [15], согласно которой

Nл

Нт ^ 2 A (Xj) = А- $ h(f (0)) d6,(6.43)

где

f (0) = 2 a(/n)eim0,(6.44)

m=—»o

причем Xj — собственное значение матрицы Теплица (a(i— /)) N-ro порядка, а функция А (х) интегрируема в смысле Лебега в области (— л, л). Поэтому для больших N уравнение (6.42) превращается в

f dO

2л J 2s’(6.45)

-л ^SW

(6.46)(6.46)где g (О) определяется выражением [ср. (6.44) и (6.40)]

(6.46)

(6.46)

^(6)=-} 2 Р(т|ю|)е*т0-

т=—оо

Заметим теперь, что если интеграл в (6.45) расходится при 2s/v ->- [max g (0)]+, то уравнение (6.45) имеет решение для любых v и фазовый переход невозможен 1).

х) Например, для одномерной модели при учете лишь взаимодействия между ближайшими соседями g (0) = cos 0 и интеграл расходится при 2s/vI"1".

Наоборот, если интеграл сходится при 2s/v = max g (0) (как это, например, имеет место для трехмерной модели, учитывающей лишь взаимодействия между ближайшими соседями), что означает v = vcjh s = s, то при v < vc седловая точка соответствует s = s и в данной модели имеет место фазовый переход при v = vc.

В нашем случае из (6.32) и (6.46) получаем для больших т

Р (I /п I) ~ | т |-<1+“>(6.47)

и, следовательно, для малых 6

g (0) ~ 1 _ | е г.(6.48)

Это означает, что для а < 1 интеграл в (6.45) сходится при 2s/v = max g (9), а при tz > 1 расходится. Поэтому сферическая модель (6.32) также приводит к наличию фазового перехода лишь при а<_1.

Подобно тому как это было сделано в разделе 5 для одномерной модели, можно, изучая низкотемпературные ряды теории возмущений, привести эвристические соображения о наличии фазового перехода при а < 1, используя интегралы перекрытия. При низких температурах (2v "> а), прежде чем использовать теорию возмущений, необходимо разложить потенциал в ряд вблизи минимума х(0). Тогда в наинизшем порядке по у получаем из (6.19) и (6.20)

ттт

2^-[т2 «-^(2 Г^»)2]^,-

= 1 kh=lЙ=1

= — [Е + у"1 In ST (v)J ip, (6.49) где_

xh=xh — x^,(6.50)

v' определяется равенством [ср. (5.42)1

v' = v (1 — th3 T]0),(6.51)

a —y-1 In dP (v) соответствует минимальному значению потенциала (т. е. дР (v) — предел Кюри — Вейса величины ^тах (6.23)1:

In дР (V) = — ^ + In ch Т)О.(6.52)

Здесь т|о — положительное решение уравнения (6.21).

Уравнение (6.49) тождественно уравнению (6.24) при замене v на V, а хк на хк. Поэтому квадратичная форма, входящая в (6.49), может быть диагонализована с помощью преобразования т

xk=^a^ys,(6.53)

з=1

где аку задается выражением (6.27), в котором нужно заменить v на V. При этом уравнение (6.49) сводится к следующему:

т т

2 "5f2 Ю^"Ф = — [-E + v^lne^Ml^, (6.54)

s=l S8 = 1

где a>s — решения уравнения (6.26), в котором v заменено на v'.

Используя (6.21) и (6.51), легко убедиться в том, что

(6.55)(6.55)_1

(6.55)

(6.55)

2v' V° — а '

т. е. (см. фиг. 2), что все а>з положительны. Сохраняя только члены наинизшего порядка по у, имеем из (6.31) для 2v > а

т

Хтах = ^ (v) ехр { — -£[У (К<5 — <7s)]} .(6.56)

8=1

Собственная ненормированная функция уравнения (6.54), соответствующая максимальному собственному значению, равна [ср. (5.39)1

т

Ф (х) = ехр ( — У Vto'sy^ =

8 = 1

-ехр[-1у (У Лг-^°>)2],(6.57)

8=1Г=1

где, согласно (6.20), (6.22), (6.26) и (6.27),

тXV /Y<s>y(o> стXV /Y<s>y(o> с(6.58)(6.58)

т

XV /Y<s>y(o> с

т

XV /Y<s>y(o> с

(6.58)

(6.58)

г=1

И

с = (2 ]/v th т]0) (-^г —-^-) .(6.59)

Собственная функция (6.57), (ф+) локализована вблизи положительной потенциальной ямы (х^0’ > 0). Функция (ф-), локализованная вблизи отрицательной ямы (х^0) с 0), получается из (6.57) заменой (уз0)) на (—^0)). Интеграл перекрытия функций ф+ и ф“, являющийся мерой расстояния между уровнями энергии Ео и Е1; равен

m

(в-во)

Для tz < 1 сумма, стоящая в экспоненте формулы (6.60), расходится при т—>оо и, следовательно, для конечных у появляется асимптотическое вырождение. Однако для а > 1 сумма сходится при m ^ оо и асимптотическое вырождение возникает лишь в пределе у 0.

Для проверки сходимости суммы в (6.60) вернемся к формуле (6.26) (где v заменено на v'), откуда следует, что cos — корни полинома

Рт П (ю — п!) -Г 2V П dkOk П (“ — °д) = k=lk=l /—1

т

= П (®-^)-(6.61)

т •

Умножая обе части равенства (6.61) на П (<о — о^) и лога- h=l

рифмируя полученное выражение, получаем

2 1п(1—Ztoh) —2 In (1 — ZO^) —

k=lА=1

m

= ln(l + 2Vz2 y^r)’(6‘62)

;i=ik.

где (о = 1/г (и | z | предполагается достаточно малым). Дифференцируя обе части равенства (6.62) по V и исполь-

зуя выражениезуя выражение1 Ov'2 ^ю®N? — dv' ’1 Ov'2 ^ю®N? — dv' ’(6.63)(6.63)

зуя выражение

зуя выражение

1 Ov'2 ^ю®

N? — dv' ’

1 Ov'2 ^ю®

N? — dv' ’

(6.63)

(6.63)

получающееся при дифференцировании обеих частей уравнения (6.26) по V и при учете (6.27), находим

тУ5= 2Vл/'2(1-^)8=1тУ5= 2Vл/'2(1-^)8=11т1+2v'z2 8=11т1+2v'z2 8=1a8os1-zofa8os1-zof(6.64)(6.64)

т

У5= 2V

л/'2(1-^)

8=1

т

У5= 2V

л/'2(1-^)

8=1

1

т

1+2v'z2 8=1

1

т

1+2v'z2 8=1

a8os

1-zof

a8os

1-zof

(6.64)

(6.64)

к=1к=1

к=1

к=1

Можно воспользоваться уравнением (6.64) для расчета моментов

(6.65)

поскольку fl представляет собой коэффициент при 2l+1 в левой части равенства (6.64). Таким образом, имеем

1

|^<§^j^^dX)"1 при т-^оо, (6.66)

о

где контур интегрирования в комплексной плоскости представляет собой достаточно малую окружность, охватывающую начало координат. Так как 2V < а, подынтегральное выражение не имеет полюсов, однако наличие точки ветвления заставляет провести разрез вдоль положительной вещественной полуоси от единицы до бесконечности. Поэтому можно деформировать путь интегрирования в контур С, показанный на фиг. 3, и свести интеграл (6.66) к интегралу по вещественной оси х, взятому от единицы до бесконечности. Заменяя переменную х на 1/х, окончательно получаем

' т „ 1

-^2 = \Xlg ^ ^(6 -6?)

4VSJ

где

г W=-^j^-x«2 [(в—v'1п(г—х) +

+ ™*Чт^^(6.68)

И

6=1—^>0.(6.69)

Из уравнения (6.67) и общей теоремы для моментов следует, что для ограниченной, интегрируемой в смысле

Плоскость г

СС

С

С

Фиг. 3.

Римана функции / (х) (которая, следовательно, может быть аппроксимирована набором полиномов) справедливо уравнение

m1

(6.70)(6.70)Иш 2 А^г = f f W g W dx.

(6.70)

(6.70)

n->°° s=1s J

Это уравнение нельзя непосредственно применить в случае f (х)=х-3/2. Однако если обрезать функцию х~3/2 при значении х = е, то уравнение применимо и

1

lim 2 7^7757-2 = ^~3/2g to dx. (6.71) т->ооГМ й j

(С0'>8) S S8

Легко убедиться, что для 8-> 0 интеграл (6.71) расходится при а< 1 и сходится при а > 1.

Хотя приведенные выше эвристические соображения убедительно свидетельствуют о том, что при а < 1 ^тах

асимптотически вырождено для больших т и малых, но конечных у (и для достаточно низких температур), строгого доказательства не существует.

Обратимся теперь к изучению дифференциального уравнения (6.19) в критической области, где мы снова увидим существенное различие случаев а <С 1 и а> 1. Мы покажем, что для а > 2 наша модель по существу эквивалентна случаю одного экспонента (см. раздел 5), когда размер критической- области пропорционален у2/3, а величина, соответствующая коэффициенту <о (vj в (5.55), является аналитической функцией Vj. Однако для tz < 1 (мы не рассматриваем здесь интервал 1 < а < 2) размер критической области окажется величиной порядка у, т. е. для а < 1 критическая область определяется равенством

2v = а + Vty,(6.72)

а коэффициент при у в разложении величины vmax окажется при критическом значении vt — vlc неаналитической функцией Vj. Теперь критическая точка уже не является точкой Кюри 2vc = а, а с точностью до членов первого порядка по у определяется выражением

2vc = а + vlcy.(6.73)

В принципе, продолжая этот процесс, можно определить последовательность критических областей, уменьшающихся (по у) размеров, и получить разложение vc в ряд по у. Равенство (6.73) содержит два первых члена такого разложения.

Для того чтобы увидеть, каким образом получаются уравнения (6.72) и (6.73), напомним [ср. (5.49) и последующее обсуждение], что для высоких температур (2v < tz). критическая область соответствует той части области изменения величины v, в которой невозмущенная энергия До и поправка первого порядка теории возмущений оказываются величинами одного порядка.

Определение критической области следует несколько изменить для рассматриваемого случая, когда потенциал взаимодействия является суммой экспонент (6.2). При 771

этом в пределе 2v —> а выражение До — 1/2 S^ не стремит- 1

ся к нулю, а лишь становится малой величиной разность Ео (2v) — Ео (а).

Поэтому критическая область определяется требованием, чтобы величина Ео (2v) — Ео (а) была того же порядка, что и первая поправка теории возмущений.

Разлагая в ряд потенциал в уравнении (6.19) и удерживая только члены первого порядка по у, найдем (для 2v С а) m 'mm

m

■ +-^Г (2 V dkGk ^fe)4] 4’ = — ^-(6.74)

mmm2 KSS»=s^2й=1s=l 8 h=lmmm2 KSS»=s^2й=1s=l 8 h=lДалее, если выполнить преобразование (6.28) и использовать вытекающее из (6.26) и (6.27) равенство

mmm

2 KSS»=s^2

й=1s=l 8 h=l

mmm

2 KSS»=s^2

й=1s=l 8 h=l

m

2v 2 "^’(6.75)

s=l S

то уравнение (6.74) примет вид

2 ду^ E 4 2 ^У8 aY(2 д;)4]ф=-^ф> (6.76)

s=lS=iS=18 '

где

a=w^(6-77)

И

^ky^ = ^&aWtilY(6.78)

Поэтому ДЛЯ невозмущенной энергии имеем [ср. (6.30)]

m

Eq^^Eo^I-'^iV"^;,(6.79)

S=1

Р = 23=1Р = 23=1(6.81)(6.81)a<_ 1,1 < a < 2, a 2> 2.a<_ 1,1 < a < 2, a 2> 2.(6.86)(6.86)

Р = 2

3=1

Р = 2

3=1

(6.81)

(6.81)

a<_ 1,

1 < a < 2, a 2> 2.

a<_ 1,

1 < a < 2, a 2> 2.

(6.86)

(6.86)

а поправка первого порядка теории возмущений равна

оотт

“v j- -. J (2 1^Уехр (~т2 v^Vyi-*-dtim

— ОО3=18=1'

j . . . J exp ( —у ^ V®s У^ dyt ... dym. — оо8=1

= Заур2, (6.80)

где введена величина р,

Как уже говорилось, критическая область определяется условием

2 V^s (2v) — 2 K™s (а) ~ Заур2, (6.82)

S=18=1

поэтому нужно исследовать поведение величин 2 Vм® (2v) 8=1

и р при 2v—>а.

Обозначая z — —£~2, получаем из (6.62)

Теперь, производя элементарные расчеты, легко пока зать, что

тт

2 v “s (2v)—2 V™s и

8=18=1

-1 — 2v/a,

< (l-2v/n)1/a,.(1 — 2v/a)1/2,

Следует также заметить, что /п->оо:

оо1

2 (KM^)-ors)->^ f ^1п U-а Г

8=1Л J К J А2 + ё2

причем интеграл существует для всех tz>0

Диф^ренцируя равенство (6.85) по v и используя формулу (6.63), в которой v заменено на v, найдем

ттт

3ln(l+f)-Sln(l+f) = ln(l-2,,S^).

8=18=11

(6.83)

Интегрирование обеих частей этого равенства по 5 °? — оо до -j- оо дает

7ПОО771

s (V^M^) - ®.) = 4-J ^ ш (1 -2v 2 ёст) =

8=101S

ОО1

= — fdgln(l—2v (’(m-^oo). (6.84)

оо

ОО 771m

^[2^/0-^^)]^ 0 3=18=1

2 W Г Г f W „ н , Г Ха+1 X -I

J L J l2+irdX/(l-2v j -^-^dX\3d^. (6.87) 00ОJ

Из (6.87) следует", что

( 1,

р« J(l-2v/ti)1/°-11(1—2v/«)~1/2

а<_ 1,

1 СПС 2, а > 2.

(6.88)

При этом мы воспользовались очевидным соотношением

Например, при а > 2 имеем

j ln(U

~) d§ = 2л ]Ло. 52 /

(6.85)

1

1

о

Ха+1 Л1 _ 12v

£2+ха М — I—

1

+ 2^\^rdX

о

и, подставляя ^ — ]/1—2v/a£', получаем для малых (1 —2v/a)

2 (2v)2 / ^ 2v \ — Va Гdg'

Р\j 1+[2v/(a —2)] ^ "

Таким образом, исходя из (6.86), (6.88) и (6.82), приходим к следующему определению критической области (при 2v < а):

11< ^«/(20-1), у/з,< ^«/(20-1), у/з,а< 1,1 <а<2, а > 2.а< 1,1 <а<2, а > 2.(6.89)(6.89)

1

1

< ^«/(20-1), у/з,

< ^«/(20-1), у/з,

а< 1,

1 <а<2, а > 2.

а< 1,

1 <а<2, а > 2.

(6.89)

(6.89)

Критическую область со стороны низких температур можно определить аналогичным образом как область значений v, в которой энергия в классическом приближении (соответствующем требованию минимума потенциальной энергии) и энергия нулевых колебаний (т. е. первая квантовая поправка) — величины одного порядка. При этом мы снова придем к тому же результату (6.89), где, однако, (1 —2v/a) заменено на (2v/a — 1).

Чтобы получить поправки теории возмущений к энергии Ео в критической области (2v = а + vy, вернемся к формуле (6.76) и заметим, что при Vi С 0, т. е. 2v с а, все величины <о8 положительны, и, следовательно, можно, как это делалось раньше, сразу применять метод теории возмущений. Однако при vt > 0 одна из мод для системы невозмущенных осцилляторов «неустойчива»: а^ = —а> < < 0; поэтому следует пользоваться модифицированной теорией возмущений. Получим разложение для величины Eq в два этапа: сначала найдем нижнюю границу е0, а затем (вариационным методом) верхнюю границу s'. Будет показано, что в первом порядке по у s' = s0, и, таким образом, мы получим Ео в первом порядке по у.

Нижняя граница для Ео внаходится следующим образом. Запишем (6.76) в виде

VHi (-4) + Н2 (х1; х2, ..., хт)] ср = — £ф, (6.90)

где введены операторы

(6.91)

Нг №, • - •, хт) = ^—

s=2

ттгт

-[t2<"^+«v(^ + 3-^)'J- (6-92) s=2s=2

Оператору Н2 соответствуют только «устойчивые» моды, и, следовательно, к нему применима обычная теория возмущений. Если обозначить через [—g0 (xjl наименьшее собственное значение оператора Н2, то

Ео <> е0,(6.93)

где е0 — наименьшее собственное значение уравнения

№(Xi)- §о Ml f = —ef.(6.94)

Докажем справедливость неравенства (6.93). Следуя вариационному методу Рэлея — Ритца, запишем

Ео J dx^ ^. . . ^ dx2 . ■ . dxmcp (х) 7Дф (х) —j—

+ j • • - J dx2 . . . dxmtp (х) Н2^ (х) J х

X Ц ‘ ‘ J ^Х1 ‘ ‘ " ^™Ф2 (х)](6.95)

Второе слагаемое в (6.95) можно рассматривать как коэффициент Рэлея — Ритца при [ — So(^i)], т. е.

Eqdx^ .. . dXyn^p (х) [Н^ ^о (^i) 1 Ф (^) X

Применяя еще раз вариационный метод Рэлея — Ритца, придем к (6.93).

Рассмотрим теперь задачу на определение собственных значений уравнения 'ттт

3=23=23=2

= -^g. (6-97) где

£ = -^-(6-98)

Если непосредственно применить метод теории возмущений к уравнению (6.97) [т. е. принять в качестве нулевого приближения систему (т — 1) осцилляторов], то поправки второго порядка теории возмущений содержат слагаемое порядка у (это следует из равенства 2v = а + + vtY). Отсюда ясно, что обычную схему применять нельзя. Можно, однако, сначала произвести замену переменных

Х^Ха+хР*,(6.99)

а затем использовать теорию возмущений, выбрав величины х<0) так, чтобы из поправки второго порядка теории возмущений выпали нежелательные слагаемые.

С точностью до величин первого порядка теории возмущений находим

т,т

^о^)=: “^ 2 Т^^з + -j- 2 tos^°)2 + ЗаУР2 +

+ 6атр(5 + ^)2 + ау(5 + Ю\ (6.100) где величина р по-прежнему задается равенством (6.81) с той лишь разницей, что суммирование по s начинается с s = 2, а не с s — 1, aS определяется соотношением

т

s =(6Л01)

з=2

Оказывается (быть может, не столь неожиданно), что величины Ха0’, необходимые для исключения пропорциональных у слагаемых в поправках второго порядка, мини-

мизируют выражение (6.100), т. е.

где S является решением уравнения

5= _8ау^[Зр(5 + Ю + (5 + Г1,(6-103)

a R определено соотношением

т

^-Зл=7-(6.104)

5=2

Подставляя теперь (6.102) и (6.103) в (6.100), получаем в первом порядке по у

^о(9 = у2 У®^ + Заур2 +

4-^- + 6ayp(S + g)2 + ay(S + ^. (6.105)

Можно теперь рассчитать величину е0 из уравнения (6.94), которое после подстановки x^N^ = | примет вид

1У2- 5 + LT ^l^2 - ^0 (^)1 Г = - «Л(6.106)

В уравнении (6.106) можно с точностью до величин порядка у пренебречь слагаемыми, соответствующими кинетической энергии (приближение Борна — Оппенгеймера), поскольку

^._т2/«-1 и ЮМ2—у.(6.107)

Кинетическая энергия положительна, поэтому приходим к неравенству

£0 >so > min ^0 (В) - т ^^^J •(6-108)

Легко показать, следуя вариационному методу (дающему верхнюю границу для Бо), что с точностью до величин порядка у знак неравенства в (6.108) можно заменить на равенство, т. е.

Ло^тш^®-^®^2]-(6.109)

Минимум выражения (6.109) можно определить, используя (6.105) и (6.103):

(S + l) [8ayQ(5 + |)2 + 24aypQ—1]=0,(6.110)

где

771

S=1

Если 24aypQ — 1 > 0, то

5 + 1=0

[согласно (6.103), это означает, что 5 = 1=0] и

^o^ + S K«s + 3ayp2.(6.112)

3=2

Если 24aypQ—1 < 0, то

s+5=±/I^S(6.113)

И

771

£«+2 V5+3«Tp«-^=^p®l.(6.114)

s=2

С учетом формулы (6.111), а также равенств 2v = = а + VtY и а = 1/(48а2) (с точностью до величин порядка у) получаем

^° = Т >J^.(6.115)

s=2

РРКритическое значение величины vi определяется из условия 24aypQ=l, т. е., согласно (6.111), выражением

Р

Р

(6.116)

а функция Ео — неаналитична в точке Vj = vlc"

Стоит заметить, что энергия g0 (1) — ^дшЛ/^2 также, как и исходный потенциал, имеет при vj «< vlc один мини-

мум в точке £ = 0, а при vt > vlc — два минимума в точках £ = ±1. Начиная с критической величины vlc собственная функция локализуется вблизи значения ± (N^, х^\ . . х^ (в то время как при vt < vlc xs = 0).

Для полноты покажем, что [ср. (6.108) и (6.109)1

Ео ^ ео-Ео ^ ео-(6.117)

Ео ^ ео-

Ео ^ ео-

Рассмотрим сначала более простой случай vt < vlc и выберем пробную функцию (для вариационного метода Рэлея — Ритца) в виде

т

ф w =ех^ ехР [—т 21^4 • (6-118)

(ст V 2л)8=2

Из простого расчета следует

^<45 К^ + Заур2 + С, (6.119)

з=2

где

C = G2 (баур — ^-wN^ +Зауа2 + -^|^-.(6.120)

Пусть теперь а2 = у(1-“)/«.(6.121)

Тогда, поскольку соЛ/2 ~ у и 1//V2— у2/»-1, С ~ у1/"; так как а<1, величина С вносит в (6.119) поправки более высокого порядка малости по у. При v!>vlc удобно выбрать пробную функцию в виде

Ф (х) =Ф (х) =ехр [ —(^—§)2/(4ст2)](aV^W2

Ф (х) =

Ф (х) =

т

X ехр |2 V^s [xs —х£” (|)]2| , (6.122)

з=2

где g, Xs0) (У и а определяются соответственно формулами (6.110), (6.102) и (6.121). Легко показать, что коэффициент Рэлея — Ритца равен выражению, стоящему в правой части (6.114) с поправками порядка у1/".

По-видимому, очень трудно обобщить проведенный выше расчет с целью учесть слагаемые порядка ^а. Можно думать, что для этого лучше выбрать пробную функцию вида

Ф (х) = / (g) ф (х — х(0) (Ж(6.123)

чем функцию вида (6.122), где ф (х) — собственная функция уравнения (6.97), полученная' в первом порядке теории возмущений.

При этом мы получим поправки следующего приближения к величине So (У, но, так как х£0) (g) зависит от g, верхняя и нижняя границы е0 отличаются на величину кинетической энергии, соответствующей перекрестным членам оператора энергии системы

J " ' ' J1 ° йХт NX ‘/ NX ^2тз/2 •

— oos=21 8

(6.124)

Выражение (6.124) является величиной более высокого порядка малости, но входящая в него сумма расходится,, когда т-^-оо [см. (6.71)1.

Указанную трудность с расходимостью можно преодолеть, если выделить в отдельный оператор не один осциллятор', которому соответствует «неустойчивая» мода, а I осцилляторов. Поступая таким образом и повторяя рассуждения (6.95) и (6.96), получим

Е0>е0,(6.125)

где е0, So (х! — хг) — наименьшие собственные значения уравнений

ii

2 §-[т2 ^s-to(^i . .. ^)]f= -sf (6.126)

5=1 Ss=l

И m-rnm

2 SHt 2 »^+»7(6+ 3 ^-)‘]г--#»

$=7-Цs=l-Ms=!+i

(6.127)

где

I

6-2 <•(6Л28)

5=1

Для решения уравнения (6.127) можно непосредственно применять теорию возмущений без сдвига типа (6.100), а затем оценить возникающие при этом ошибки ). В результате получаем

1о(*ь . . ., Xz) = 4-2Заур24-

z+l

+ «Т (t4 + 6pt2)+0(Ti+=),(6.129)

где

р= 5 у^Г(6Л30)

s=Z+i

и, как и раньше,

i

Ей>- min Г^0(^ь • • •, ^z)+-|-2 ^’Т (6.131)

Легко видеть, что при соответствующем выборе I формула (6.131) дает прежние результаты (6.112) и (6.114).

z

Для этого необходимо выполнение трех условий: 2 Vtos, s=2

р — р, 2? — R должны быть величинами более высокого порядка, чем первая степень у. Эти требования удовлетворяются, если I таково, что

(6.132)

Используя вариационный метод, можно, кроме того, показать, что с точностью до величин порядка у знак неравенства в (6.131) можно заменить знаком равенства. С помощью этой же процедуры можно избежать также

трудности с расходимостью «перекрестной» кинетической энергии. Действительно, эта энергия теперь равна

Zт

и входит в отличие от (6.124) с конечным коэффициентом. К сожалению, такой подход не помогает при нахождении поправок в следующих порядках теории возмущений, так как «перекрестная» кинетическая энергия, являющаяся разностью между оценками верхней и нижней границы величины До, имеет порядок у/® 1), т. е. тот же порядок, что и слагаемые, которые мы хотим учесть.

Указанные выше результаты (6.112) и (6.115) можно получить также и другим методом, если исходить из уравнения (6.49) и разложить потенциал q (х) в ряд вблизи его минимума с точностью до членов более высокого порядка. На этом пути удается избежать «неустойчивых» мод (все (o's положительны), и если снова произвести сдвиг и минимизацию, то для Ео получаются те же формулы (6.112) и (6.115). Можно найти также члены следующего порядка теории возмущений и определить слагаемое порядка у1/®, но эта процедура до сих пор строго не обоснована. Преимущество такого подхода состоит в том, что удается избежать сложностей, связанных с расходимостью «перекрестной» кинетической энергии, которая заставила нас выделить неустойчивую моду из набора нормальных мод.

Мы закончим рассмотрение этой модели выявлением различия в поведении системы в критической области Vi > О при а< 1 и при а > 4 (случай 1 < а < 4 несколько более сложен и здесь не рассматривается). Можно снова повторить рассуждения (6.90) — (6.103), но теперь, поскольку а 5> 4, критическая область определяется условием [см. (6.89)]

2v = tz + ViY/.(6.134)

*) Другими словами, нельзя выбрать такое значение I, чтобы

Таким образом, из (6.111) при учете

ю ^7 (2v--ti:)’ W2 ~ ^-^ для а > 2 (6.135) и (см. приложение, стр. 241) ограниченности (при а >4 и Vi > 0) величины

р-Зу^Г (6Л36) s=2

следует, что R~^-2la. Из (6.103) видно, что S ~ у1/® и, следовательно, в наинизшем порядке по у сдвиг равен нулю. Поэтому для а >4 и Vi>0 имеем, согласно (6.93), (6.105) и (6.106). т

£о>^о + у 2 У^+Заур2,(6.137)

"8=2

где 8g — наименьшее собственное значение уравнения

^^“(“T^^ + ^VPF + aTB4) Z = -sf. (6.138)

Применяя вариационные методы, снова можно заменить знак неравенства в (6.137) равенством, но теперь, поскольку W2 ~ 1/(а — 2), нельзя пренебречь кинетической энергией в (6.138).

Из того факта, что при а < 1 потенциал [ср. (6.106)1 h (Е) = g0 (^) — Ч^М^ имеет один минимум при vx < < р/2 и два — при Vi > р/2, вытекает неаналитичность функции Ео (vj. Это связано с тем, что при Vi = р/2 слагаемое, содержащее £2 в g0 (£), компенсируется величиной — 1/4«>N^2 в h (£) [т. е. при Vj = р/2 коэффициент при ^2 в h (£) становится отрицательным]. При а > 4 слагаемое в ^0 (Ю> пропорциональное Е2, имеет вид баур^2 (см. выше) и является величиной порядка у, т. е. оно не может скомпенсировать слагаемое —^co/V2^2, порядок которого —у2/з для всех vt порядка единицы. Тогда с точностью до членов наинизшего порядка по ух можно пренебречь слагаемым 6aypg2 в (6.138), и это уравнение сводится к

f = -4- (6.139)

Уравнение (6.139) имеет точно такой же вид, как и уравнение (5.51) для модели, рассмотренной в разделе 5. Поэтому, сделав ту же самую замену переменных |=ху1/в, мы увидим, что'е (vj ~ у1/з и, следовательно, Ео является аналитической функцией Vp

7. Класс двумерных моделей

Модель, рассмотренная в предыдущем разделе, была слишком специфичной в том смысле, что задача считалась одномерной, а силы взаимодействия имели бесконечный радиус действия. В двумерном случае фазовый переход имеет место и для сил с конечным радиусом взаимодействия, что ближе к реальности. В этой главе будет рассмотрена некоторая специальная модель (так называемая модель А, впервые введенная в работе [8]) двумерной решетки, состоящей из М строк и N столбцов, для которой энергия взаимодействия имеет вид

Е = ^' V (^, /, k , ^ ) P'fe, zP'h*, I'? ft• 1 ) l^Kl'^M

где (0 < т < 1)

v(£, I; k', I'^J^^-H [6r, z + т (6г, z+i+6r, z-i)J, (7.2) т. е. учитываются взаимодействия спинов со всеми другими спинами той же самой и двух соседних строк, причем взаимодействие экспоненциально убывает с расстоянием между спинами. Благодаря экспоненциальному характеру взаимодействия можно использовать методы, развитые в предыдущих разделах, и свести расчет статистической суммы к задаче нахождения наибольшего собственного значения Л1-мерного интегрального уравнения. Мы увидим, что имеются интересные аналогии между результатами этого и предыдущих разделов, а также результатами для двумерной модели Изинга, которая, как будет показано, получается из (7.1) в некотором предельном случае [при у —э- оо и специальном выборе / (у) и т (у)]. Будет также показано, что в пределе Изинга интегральный оператор сводится просто к матрице перехода.

Точно так же, как в разделе 5, сведем расчет статистической суммы к нахождению наибольшего собственного значения интегрального уравнения. Рассмотрим совокупность М независимых процессов Орнштейна — Улёнбека Ut (k), I — 1,2, . . ., УИ, для которых иг (0) = 0, а корреляторы равны

<^г(А)^(£')) = е-^-ь'16г,,г.(7.3)

Предположим, что УИ-я строка связана с первой так, что Um-hW = Ui^. Тогда легко увидеть, что

и (£, /; к', I') = Jy (X (£, Z) X (к', Vy, (7.4) где процесс X (k, Г} определяется выражением

X (к, I) = VI Ui № + КТ^ Ul+1 (к),(7.5)

а | удовлетворяет уравнению

^(1-Ю = т/(7.6)

Повторяя соображения, приведенные в начале раздела 6, получим

Qx, м = S (2e-vv/2)^ ( П п ch YV^X (к, Z)]Y {ц}xfe=l Z=1'

(7.7)

Совместная плотность вероятности векторного процесса u^^^Ut^k), и^ку ...,им(ку равна

1У(ц(1), и(2), ..., u(X)) = ^(u(l)) П Pv(u(^)|u(^ + 1)), h=l

(7.8) где

м -xf/2

“M-nCys) <7-9) и

м

рч (XI У) - II {exp [ - to-^-^V^Vl-e-^ ■ (7.10)

I

Окончательно находим

— Ит In Qn.m =

N, М-*со '•

= 1п2 — lim In Лтах. (7.11) z М-*оо ''

Здесь Лтах — наибольшее собственное значение М-мерного интегрального уравнения

j ... j К (х, у) ф(у)^ .. . dyM = A^W, (7.12)

ядро К (х, у) которого имеет вид

К(х, у) — П [ch У^у (У1х& + У1 — gxfe+1)]1/2 х k=l

М

Ь=1

xJI [chy^^^ + yr^^+t)]172. (7.13)

Уравнение (7.12) можно переписать в другой форме:

м

ехр [ — ^ W (х)] ехр (у 2 ^) ехР Г — ^79 (х)]ф (х) =

= Лф (х) е-^/2,(7.14)

где

м

Т7 (х) = [4" th (1) ] 2 х^-

м ft==1

-2 1псИУ^(У!^ + УГ=^Хк+1).(7.15)

k=l

Удерживая лишь члены наинизшего порядка по у, можно собрать все экспоненты в (7.14), что дает

Атах = ехр [(^-) — у^о],(7.16)

где Ео— наименьшее собственное значение уравнения Шредингера:

м

^ ^~q^^=-E^- (7Л7)

Чтобы показать, что модель Изинга является предельным случаем рассмотренной выше модели, положим

т = ]<e-2v(l —e-2v)(7.18)

и

(7.19)'

Подставим (7.18) и (7.19) в (7.2) и перейдем к пределу у ->• оо. Тогда, поскольку (к ^ к’)

lim eve-? !*-*'! = 6V> fe+i + ^, ft-1,(7.20)

получим

lim v (к, I; k', Z') = a0 [6^, t (6^, ft+i + 6k._ к_^ +

+ 6^, fe(^,z+i + 6r,,_!)],(7.21)

которое и является взаимодействием, характерным для модели Изинга.

Следуя Штиллингеру [16], покажем, каким образом при у —>- оо интегральный оператор К (х, у) сводится к матрице перехода. Используя (7.18), (7.19) и (7.13), а также произведя замену переменных

= yvev/2 v==_£o/7.22)

Ук')\Ук) 1кТ>

перепишем интегральное уравнение (7.12) для больших у:

ООМ

(^)м/2 J . .. j exp [ — 1 q (x)] Д —^ exp [y ^xhxk+v + — ook=l y

+ -vxkyh +1- уукУк+1^ exp [ — -1 q (y) ] ip (y) dyx . . . dyM = ’

= Aip(x), (7.23)

где м

q(^) = ^f^ ке-^хн + У1 — e-2v^+1)2 —

М

— 2 Inch vev(e-v.rfe + "{/I—e~2vxk+1).(7.24)

Легко видеть, что для больших -у функция ^(х) имеет ряд острых максимумов одинаковой амплитуды при х = = (l*i, Р-2, • • -1 Р-ц), гДе Р/ = ± 1- Поэтому, если разложить функцию q (х) в ряд вблизи точек максимума, то уравнение (7.23) примет следующий вид:

SSII {® «хрНт^^-^гЛх

(ц) (ц') &—^

ооММК

X L..^ dyt ... dyM exp (у v 2 xkxh+1 + v 2 ^^4- -oo■k=ik=l

MM

+ у V 2 УьУк+^ П exp [ —у V eV (yh — р^)2] ф (у) = k=lй=1

= [Лехр (—^^]]ф(х). (7.25)

Если теперь записать ф (х) в виде м

Ф (х) = 2 Ф (И) ехР [ — Т ^ 3 (Хй ~ Р-ь)2] ’ (7-26) (И)к=1

умножить обе части уравнения (7.25) на

7 ехр[~ T^V2 ^k~ Рь)2]’Й=1

проинтегрировать их по Xj, .».,хм и использовать тождество

lim j/"y^exp[— у а(х — р)2] = 8 (х — р),(7.27)

то при у—>оо уравнение (7.25) сведется к

2 ^(Н, И') Ф (И') = ^-Ф (И).(7.28)

(Ю

где

^ = 1™{А[2ехр (-¥)]"}•(7-29)

a L(p-, р/) представляет собой матрицу перехода [ср. (2.5)]: мм

L(^, |V) = exp (yv^ Hk^k+i) exp ^v 2 w) Xk=lfe=l

X exp (4-v 2 №+i) • (7.30) k=l

Наконец, из (7.29), (7.19) и (7.11) получаем [ср. (2.8)] т^ ( ~(^") 1п

Основное возражение против выбора т и / в виде (7.18), (7.19) состоит в том, что при у —*- 0 потенциал взаимодействия не может быть записан в виде (7.2) с постоянными т и J. Если, однако, взять и в виде

и (£, I; к*, Г) =

= J (ev - 1) e-v I fe-ft' I {дг, г + (2 ch у)"1 [бг, ,+1 + 6Г, г_ J),

(7.31)

то при у —*• 0 (7.31) переходит в (7.2) (с т = V2), а при у —>- оо соответствует модели Изинга. Соображения Штил- лингера, касающиеся перехода у^-оо, можно с тем же успехом применить и в случае (7.31), и, таким образом, можно сказать, что выражение (7.31) обеспечивает связь между теорией Кюри — Вейсса (у —>- 0) и моделью Изинга (т -> °°).

Повторяя соображения, использованные при получении формул (4.1) — (4.6) для модели Изинга и формул (5.19) — (5.22) для модели, рассмотренной в разделе 5, получим выражение корреляционнрй функции двух спинов, нахо- 15— 0826

дящихся в одной и той же строке и отстоящих друг от друга на расстоянии г порядка единицы:

p(r)= lim <p,fe,zP-k+r.z>= Нт 2 UrY ( ^ (х) X

М, N-юоМ-юоJ

3=1—оо

X th Vvy (VI Xi + к 1 — £хг+1) Ф; (х)]2 dx^ ... dxM. (7.32)

Корреляционная функция для двух спинов, находящихся в одном и том же столбце и отстоящих друг от друга на расстоянии t порядка единицы, равна

(Pfe.zPfe. i+t).=

= (Зе-^^Ой м (th V^X (k, I) th Vv? X (A, I +t) X

хП П chV^X^', Г»-(7.33)

fe'=l Z'=l

= (^-^“^Qn, M J. . у du^u duNh (щ) x

X K^ (ub u) th Vvy (VI Ui +

+ V1 — £«z+i) th vvy ( VI«z+< + V1 — £ «z+z+i) X

X XW-k- n (u, u^) h (u„), (7.34) где

м

h ^ = z0i ^ ^ Ch ^^ (K^ + l/"l—^z+i)F/2. (7.35)

Повторяя предыдущие рассуждения, окончательно получаем

Д^= lim <p,fe. zP-k.z+z) =

M, N-*-oo

= lim Г. . . С ф® (x) th Kv? WXxi + Vl —£ хг+1) x M-^CO VJ

X th (Vv^(Vlxl+f + Vl— gXz+z+1)dXl ... dxM- (7.36)

Интересно заметить, что корреляционная функция (7.36) для спинов, находящихся в одном и том же столбце, не за-

висит от собственных значений интегрального уравнения, а определяется лишь собственной функцией, соответствующей наибольшему собственному значению.

Напомним, что такая собственная функция модели Изинга допускает непосредственную физическую интерпретацию [см. (4.14)]: Ф1 (р,) представляет собой вероятность Р (р) того, что столбец (скажем, А-й) имеет конфигурацию (р) независимо от конфигураций остальных столбцов. Хотя собственная функция ф^ (х) интегрального уравнения не допускает непосредственной физической интерпретации, она связана с Р (р,) следующим образом. По определению

Р.(р.) = lim S' е"Е/иГ = lim Qn, м (2e"^I^NM X

N—>оо{ц}N-*oo

М

х <П {-^6Xp [K^P-zX(£, Z)]} х

z=i

м

мм

(7.37)

[Штрих у суммы в (7.37) означает, что суммирование проводится по всем конфигурациям, за исключением заданной конфигурации (р) k-vo столбца.]

Если теперь повторить для функции Р (р) те же рассуждения, которые были сформулированы раньше для a (f), то окончательно получим

^(н) = р • • j^iWfl у t1+^z th^r^^^z + — ОО1=1

TV 1 — gxz+1)] dXi ... dxM. (7.38)

Нетрудно показать, что при использований (7.18), (7.19) и переходе к пределу у —оо формулы (7.32), (7.36) и (7.38) будут описывать модель Изинга.

Рассмотрим теперь подробнее свойство нашей модели при малых у. Для простоты ограничимся случаем t = V2 (что означает 1^1 = У1 — Л = 1/]/2), так что дифференциальное уравнение (7.17) примет следующий вид:

ммм

3 жг-[тЗ^-^131псЬУ ^+»«)>—ВЧ-. fe=l “k=lfe=l

(7.39)

Для достаточно высоких температур функцию In ch Vvy/2 х X (хь + Xfe+i) можно разложить в ряд по у, оставляя лишь члены наинизшего порядка. Тогда уравнение (7.39) примет вид ммм

2 S—[т2 »~h2 (»+^*]t= -st. (7.40) k=l hk=lЛ=1

(7-42)(7-42)причемпричем11Ум ',• Г лг0~ О 1V м sm L мУм ',• Г лг0~ О 1V м sm L мcoscosл(г-1)(/-1)Мл(г-1)(/-1)Мг= 1,г четное,г нечетное,г= 1,г четное,г нечетное,(7.43)(7.43)Квадратичная форма в (7.40) (для определенности считаем М нечетным числом)

(7-42)

(7-42)

причем

причем

1

1

Ум '

,• Г лг0~ О 1

V м sm L м

Ум '

,• Г лг0~ О 1

V м sm L м

cos

cos

л(г-1)(/-1)М

л(г-1)(/-1)М

г= 1,

г четное,

г нечетное,

г= 1,

г четное,

г нечетное,

(7.43)

(7.43)

(7.44)(7.44)<вг= 1 — 4v + 4vsin (^-) •

(7.44)

(7.44)

Поэтому уравнение (7.40) сводится к следующему:

ЛГ — 1М-1

3 ^-Т 2= -£ф,(7.45)

Ь=0Й к=0

где

мф(^)=-ф(5 агтУт^.Г=1

Здесь в наинизшем порядке по у имеем

м

Ашах = ехр ^—g" 3 (Р^®ь—1)J(7.46)

и с помощью (7.11), (7.43) и (7.46) находим выражения для свободной энергии, приходящейся на один спин:

-^+f yi-4v + 4vsin20d0.

О

(7.47)

Заметим, что входящий в (7.47) интеграл представляет собой эллиптический интеграл, часто появляющийся в двумерных задачах, в частности в двумерной модели Изинга.

Полученные результаты справедливы для случая, когда все coz положительны, что, согласно (7.44), соответствует 4v < 1. Таким образом, v = 1/4 совпадает с обычным определением температуры Кюри.

При 4v > 1, прежде чем воспользоваться методами теории возмущений, следует разложить потенциал в ряд вблизи его минимального значения х). Так как

мм

— 9(4 = —Y 2 4+?-1 2 lnch]/'^L(xK^xkv^ = k=lА=1

*) Это приводит к правильному результату в наинизшем порядке по у. Для получения членов следующего порядка нужно разложить потенциал в ряд вблизи х<°> и проминимизировать окончательное выражение для £0 по х^.

м

= — ^ S ^Хк + ^+1)2 + (Хк—Хк+1У1 +к=1

М М

+V-12 ln ch V Ч" (Хк+Хк^ ^ — в 2 (Хк+Хк+^+

к=1к=1

(7.48)

то, если все Хк одинаковы, получаем

~-^Г^^Стах [ — Д^+у"11псЬ)Л^ z/] = у"1 In ST (v),

(7.49) где

ST (v) = е-ч^г ch 2 ]/vt],(7.50)

а 13 — неотрицательное решение уравнения

т] = 2 V'v th 2 ]/vt|.' (7.51)

Минимальное значение функции q (х) равно [ — Му-1 х X In ST (v)], причем этот минимум достигается, когда все Xj равны либо т|]Л2/у, либо (— т|]Л2/у). Функция ST (v) снова представляет собой кюри-вейссовский предел (у-*0) величины Лтах.

Разлагая потенциал в ряд вблизи минимума, т. е. подставляя в (7.39) Хь = хь + тП/27у, получаем в наинизшем порядке по у

ММММММ= - [ Е + ^- In sr (V)] ф, (7.52)= - [ Е + ^- In sr (V)] ф, (7.52)

МММ

МММ

= - [ Е + ^- In sr (V)] ф, (7.52)

= - [ Е + ^- In sr (V)] ф, (7.52)

где

(7.53)(7.53)v' = v(l — th3 2 l/^-VT]).

(7.53)

(7.53)

Квадратичная форма в (7.52) может быть диагонализована с помощью преобразования (7.42), и окончательно получаем

(ср. (6.56)]

м

Лтах = sr (v) ехр [ — 1 у 2 (К®; — 1)],(7.54)

s=i

где g>s определяется выражением (7.44) при замене v на v'.

Ненормированная собственная функция уравнения (7.52), соответствующая наибольшему собственному значению и локализованная вблизи положительной потенциальной ямы (т] > 0), имеет вид

М-1

Ф+ (х) = ехр ( — 1 2 V^yX) =

з=0

М-1М

= ехр[-1 2 К°Ц2 arsxr-6S10^-/^]-, (7.55)

а собственная функция ф~ (х), локализованная вблизи отрицательной потенциальной ямы, получается из (7.55) заменой ц на (— т]). Поэтому интеграл перекрытия равен

J ф+ф- dx ~ ехр ( —^ ®о) = ехР [ — ^ (1 — 4v')], (7.56) т. е. мы снова эвристически показали, что при низких температурах и (малых) конечных значениях у величина Лщах асимптотически вырождена. К сожалению, строгого доказательства асимптотического вырождения не существует, хотя Гриффитс [5] показал, что в рассматриваемой модели при достаточно низких температурах имеет место дальний порядок.

Рассмотрим теперь критическую область. С этой целью необходимо разложить потенциал в ряд с точностью до величин первого порядка по у. Тогда вместо (7.39) при 4v < 1 получим

м

чп д2ф дхг Л=1”

ммм

— [tS^- TV 2 (^+^+i)2 + «V 2 С^+^1)4]ф =

Й=1k=lk=l

гдегдеа -а -уз48 -уз48 -(7.58)(7.58)

где

где

а -

а -

уз

48 -

уз

48 -

(7.58)

(7.58)

Применяя преобразование (7.42), сведем это уравнение к виду

М-1М-1М М-1

3 S — [т 2 ^^+“7 2 ( 3 ^.г^)4]ч>= —Е^, k=0”к=0к=1 г=0

(7.59) где

Ьк, г — О-к, г+1 Ч~ dh+i, г+1 •(7.60)

Отсюда, учитывая (7.44), находим в нулевом приближении

Мл^

Ео = 2 V®s-> -^- У У 1 — 4v + 4v sin2 9 dQ s=l~ О

при М—>со, (7.61)

а поправка первого приближения равна

оо М М— 1

“т [f • • • j 2 (3 ьп.тУгУх

— оо k—1 Г—0

М— 1

X ехр ( —у 2 V^y^ dyi... dyM^ х

s=0

ooM — 1

X [ j. . . J exp ( —1 3 V"^yl^ dyx... — oo5=0

••.dyM^ ^ЗауМр2,••.dyM^ ^ЗауМр2,(7.62)(7.62)

••.dyM^ ^ЗауМр2,

••.dyM^ ^ЗауМр2,

(7.62)

(7.62)

где, согласно (7.60) и (7.43),

при М—>оов (7,63)при М—>оов (7,63)м 1 Ь^т 4(1+cos 29) 49

при М—>оов (7,63)

при М—>оов (7,63)

~л J 1/1 +4v-|-4v sin2 0 r=o v т о

Как и раньше, определим критическую область условием при

мм

2Й 2 V3; - ^ 2 V “• (т) ~ 3“W’>(7.64)

S=11

М котором наиболее сингулярные слагаемые [1/(274)] 2 У®» 8=1 и 3 аур2 оказываются величинами одного порядка.

Входящие в (7.61) и (7.63) интегралы легко свести к эллиптическим интегралам, что приводит при малых значениях (1 — 4v) к

м

2^5 Г^~4-[т(1-4^)1П1^ + 8=1

+ (1— 4v) (in 2—|-) + 1] (7.65) и

р-Ш^г^21"2-1]-<7'66>

Таким образом, критическая область определяется условием

т. е.т. е.(7.67)(7.68)(7.67)(7.68)(l-^ln^-v (in^)2,

т. е.

т. е.

(7.67)

(7.68)

(7.67)

(7.68)

4v-l=^ 1Пг4-.

41 —4v

Для низкотемпературной области (4v > 1) получается такое же условие, но с заменой под знаком логарифма (1 — 4v) на (4v — 1).

Чтобы получить ряд теории возмущения для Ео в критической области при Vi > 0 (случай Vj < 0 относительно, прост), выделим «неустойчивые» моды 1, 2, . . ., s— 1 (т. е. <B[s/2] < 0, <0[(s+i)/2] > 0) и, поступая совершенно, аналогично (6.90) — (6.96), получим

где е0 — наименьшее собственное значение уравнения

S—1S—1

З^-[тЗ^ + ^ь •••’^-1)]^=-^ (7.70) г=0г=0

и ^о(У1,, Ув-0—наименьшее собственное значение урав

нения

М-1М-1М-1М-1

М-1М-1

М-1М-1

ММ-1

+'^У ^ \Ь+ ^ Ьк,тУгУ^§=—eg, (7.71)

(7.72)(7.72)а—1

(7.72)

(7.72)

6k — 5 Ьк, тУт-г=0

Прежде чем. применить к уравнению (7.71) методы теории возмущений, следует провести замену переменных

Уг = Уг + у(Лr = s, ..., М-1,(7.73)

после чего в наинизшем порядке по у получаем ^о =

= ^2 K^ + 3aYMpa + aY2 [(Sft+^ + 6p(Sft + gfe)2]. T=Sk=l

(7.74)

где

Sk^bk.^,(7.75)

r=s

и p определяется формулой (7.63), в которой, однако, суммирование начинается не с г = 0, ас г = s.

Соответствующие значения у^ получаются минимизацией выражения (7.74), что приводит к результатам, подобным (6.102) и (6.100). Проще, однако, сразу исходить

из формулы, аналогичной (6.108), а именно:

s —1

£0>min (g0 + -L ^ to?^) ,(7.76)

г=0

и минимизировать не отдельно по величинам (z/0, . .

• • Ув-л) и, №. . . ., z/^Li), а сразу по (у0, - • ., ys-i; У^\ . . ., у^-д = (г0, гп . . ., zM\ Затем точно так же, как в предыдущем разделе, легко показать с помощью вариационной техники, что в наинизшем порядке по у знак неравенства в (7.76) можно заменить равенством. Поскольку

М-1

Sk + ^= 2 bk, rzr,(7.77)

то в переменных [см. (7.42)] м

Xi = 2 ®itZt-i(7.78)

r=l

и при учете (7.60) и (7.41) выражение (7.76) примет следующий вид:

мм

Ео= min Jl-^ ^1—^v^ (^ + ^+1)2 + {жг--жм} L h—1k=i

м

+ “V 2 I(^ + Xk+1)4 + 6Р (^ + ^k+l)2] } +

М-1

+ 4 2 K^ + 3ayyWV- (7.79)

T=S

Повторяя рассуждения, которые привели к выражению (7.48), можно показать, что выражение (7.79) имеет минимум, когда все хк равны между собой; следовательно,

M-t1—4

Eo-^^V^ + aaW^Mu*^^, (7.80)

r=s

где у— решение уравнения

у [32ауг/2 + (1 — 4v + 96аур)] = 0

(7-81)

при 1 — 4v + 96а?р > 0, соответствующее у = 0, и

М-1

£о = | 2 К^+ЗаутИр2,

(7.82)

а при 1 — 4v + 96аур < 0

—п/ 4v—1—96аур З2ат

(7.83)

Критическая точка определяется условием

4v — 1 = 96аур,

(7.84)

которое при использовании соотношений (7.66), (7.68) ^ а также равенства а = V48 х Vig, выполняющегося в критической области, превращается в

^и-^. (7.85)

Таким образом, при v4 < vlc Ео определяется выражением (7.82), а при vt > vlc — формулами (7.80) и (7.83)г которые после упрощений сведутся к

3V1PY__VP1 (786)

£0-2 2j|'(l)r64'64128’V-00/

r=s

где

(7'87>

В наинизшем порядке по у ln(l/| 1—4v|) в выражениях (7.87) и (7.68) можно заменить на 1п(1/у), и тогда, согласно (7.68) и (7.84), критическая точка определяется следующим образом:

^=4+^1п(7)-(7-88>

т) Можно показать, что в наинизшем порядке по р в (7.66) получается тот же результат (7.84) с | 4v — 1 | вместо 4v — 1.

Упрощается также выражение для Ео, а именно:

^“^{v + Ta^-^vMT)]2}. v.<A, (7.89,

^ = ^{^+з^(^-4-^)?[1п(±)У},

9

V1>-.(7.90)

Формула (7.89) правильно описывает область vt < 0 (исследованную с помощью высокотемпературных разложений), и, следовательно, точка перехода Кюри — Вейсса (vt = 0) не является теперь критической точкой, т. е. функция Ео в наинизшем порядке по у аналитична в точке vj = 0, а сингулярность сдвигается в точку vt = 2/л.

При попытке проведения указанного выше расчета в следующем порядке по у мы придем к такой же, как и в предыдущем разделе, трудности с «перекрестной» кинетической энергией, которая окажется величиной того же порядка, что и поправочные члены. Эту трудность можно преодолеть с помощью метода, указанного в конце раздела 6, а именно при подходе к критической области не со стороны высоких температур, как мы поступали до сих пор, а из низкотемпературной области.

Вкратце ход рассуждений состоит в следующем.

Если разложить потенциал, входящий в уравнение (7.39), вблизи его минимума [ср. (7.52)1 и использовать преобразование (7.42), то уравнение (7.39) примет следующий вид:

М—1М-1М М-1

2 [т 2 f^+PV72 2 (2 Ьн.тУт^

&=0^k=0h=l r=0

М М-1

+ а'?2 (2г«/г)4 ] ф = —^ф,(7.91)

1г=0

где величины <йк определяются формулой (7.44), в которой v ^заменено на V [см. (7.53)]; bk, г — формулой (7.60), а Е — выражением

Ё = E-V Му 1 In ST (v).Ё = E-V Му 1 In ST (v).(7.92)(7.92)

Ё = E-V Му 1 In ST (v).

Ё = E-V Му 1 In ST (v).

(7.92)

(7.92)

Сюда вошли функция ST (v), определенная в (7.50), и величины р' и а.'-.

(7-93)

^-^^-^Н1-^-<7-м>

В критической области получаем в наинизшем порядке по у Ц^^,(7.95)

Y-iln^(v) = ^-,(7.96)

^Чг/^-^-^(7-97>

Снова сделаем в (7.91) замену переменных ^=Я+^(7-">

и применим теорию возмущений. Тогда в наинизшем порядке по у получим

М-1М-1

я=4 2 Уч+^р'2+4" 2 Ч^°>2 +

h=0h=0

М-1М-1

+ а? 2 (S£ + 6p'Sl) + p? 2 №+3p'Sk), (7.100)

h=0й=0

где штрихованные величины получаются из нештрихованных заменой v на v'.

Те же соображения, которые привели к (7.79), показывают, что минимум функций Ео по ^УкЛ имеет место при равенстве всех Ук\ а следовательно, при равенстве всех величин 8^=48. Уравнение для определения 8 оказывается следующим:

у 8 = -[4а?Я' (83 + 3p\S) + 3₽V#'(S2 + p')b (7.101)

Здесь

м М-1

(7.102)

?=1 7=0 Г

Используя (7.97), (7.98) и (7.101), получаем

S3 + 3 J/^6vf S2 + (12vj + Зр') S + Зр'6vi =

= (S4-]/6^) (sa + 2]/6vTs + 3p') = 0, (7.103) т. е.

S ——р^бу^ или 3 =—p^6vi ± p^Gvj— Зр'. (7.104) При Vj < р'/2, т. е. Vi < 2/л, из (7.104) следует, что S = —V6уъ а при vt > р'/2, т. е. vt > 2/л, S = —V6^ ± ± V6vi — Зр', и можно сравнительно просто показать, что в наинизшем порядке по у получаются прежние выражения (7.89) и (7.90) для Ео. Нетрудно получить также поправки следующих порядков малости по у, но строгого обоснования соответствующих разложений не существует. Однако погрешности можно оценить исходя из результатов, полученных для высокотемпературной области.

8. Заключение

Каковы основные выводы, вытекающие из нашего рассмотрения?

Главный вывод состоит в том, что не существует столь сильного различия, как можно было бы ожидать, между моделями, учитывающими слабые дальнодействующие или короткодействующие взаимодействия (как, например, моделью Изинга с учетом взаимодействия между ближайшими соседями).

В действительности мы убедились в том, что во всех случаях математическим механизмом, ответственным за возникновение фазового перехода, является асимптотическое вырождение собственного значения соответствующего линейного оператора (хотя мы не можем во всех случаях строго доказать наличие такого вырождения).

Последнее утверждение становится неверным при переходе к пределу у —> О (кюри-вейссовский или вандер- ваальсовский предел). Как было впервые показано Ван Кампеном [17] или, более изящно, Лебовицеми Пенроузом £181 (ограничимся здесь одномерным случаем), теория Кюри — Вейсса получается в пределе у —> 0 в случае, любого взаимодействия типа

VP (Т I t I) (Р > 0), если выполняется условие устойчивости

J р (0 dt < со. о

При доказательстве не использованы ни интегральные уравнения, ни другие линейные операторы. Хотя это утверждение имеет весьма общий характер, его доказательство основано скорее на интуиции.

До тех пор, пока мы интересуемся только предельным случаем у->0, нет никакой разницы между значениями выражения 1

р (£) = J Х°е~м dXо

при а < 1 и а> 1, хотя, как мы видели, различие между этими двумя случаями носит принципиальный характер.

Точно так же при переходе у -> 0 имеет место лишь количественное различие между двумерной моделью Л и одномерной моделью с экспоненциальным взаимодействием, рассмотренной в разделе 6. В действительности же этим двум моделям соответствует качественно разное поведение вещества в критической области.

К этому вопросу можно подойти несколько иначе, если учесть «связь» (7.31) между моделями Кюри — Вейсса и Онсагера.

Можно сказать, что случай у = 0 качественно отличается от 77^0, в то время как случаи малого у и у — со отличаются лишь количественно.

Если это утверждение правильно (строгого доказательства не существует), то можно надеяться, изучая модели

с малым у, выявить некоторые общие закономерности, присущие дву- и трехмерным моделям.

Имеется, однако, следующее осложняющее обстоятельство. Так как, по всей вероятности, в любом порядке (по у) теории возмущений сингулярность будет такого же типа, как в теории Кюри — Вейсса, то представляется совершенно безнадежным доказательство того, что истинная сингулярность является, например, логарифмической. В то же время, если наши методы не могут привести к точному аналитическому описанию поведения системы, они должны дать результаты, качественно отличные в критической области от результатов теории Кюри — Вейсса.

Более серьезное возражение против общего подхода к проблеме фазовых переходов, основанного на асимптотическом вырождении, состоит в отсутствии ясного физического смысла вводимых в теорию линейных операторов.

Можно попытаться придать матрице перехода L и ядрам К некий физический смысл с помощью таких рассуждений. Все корреляционные функции для любого конечного числа спинов могут быть записаны через собственные значения и собственные функции матрицы L. Поскольку эти корреляторы, по-видимому, содержат всю информацию о системе, находящейся в условиях термодинамического равновесия, то из них, вероятно, можно сконструировать линейный оператор, максимальное собственное значение которого определяло бы свободную энергию системы, а вырождение этого собственного значения указывало бы на наличие фазового перехода.

cos в случаеcos в случаеПриложение

cos в случае

cos в случае

Здесь мы получим выражения для величин а >4. Мы видели (6.88), что при 2v < а

~ (1~ (12v \ -Vz а )2v \ -Vz а )приприаа

~ (1

~ (1

2v \ -Vz а )

2v \ -Vz а )

при

при

а

а

Интересно, что при 2v>a и 2v — а->0+ величина р, которая задается теперь выражением (так как cot = — со < 0) 16—0826

т

(ПЛ)(ПЛ)p=s?2 ^У^’

(ПЛ)

(ПЛ)

остается конечной.

Для доказательства этого утверждения продифференцируем соотношение (6.83) по v и полученное равенство перепишем в следующем виде:

д ^+Шз Nl -

mт

- w2 ^V~^^ -^Sr)

Интегрируя это выражение по £ и переходя к пределу т —> оо, получаем

ОО11

(П.2)

Используем теперь следующее равенство:

1 — 2v С= 2v (Е2 — ю) С510+1

При получении (П.З) учтено, что

^^З^+ХГ-(П.4)

о

Преобразуем подынтегральное выражение (П.2):

Nl (£2-<0)3 g2 + X2

о.

3 (62 + A.2) (co + %2)J L3 (£2 + X2)(co + X2)2j J •(П.5)

Используя (П.4), а также равенство

1

(П.6)(П.6)I

(П.6)

(П.6)

1 J (V +0)2)2 ’О

1г%а+1 ДХLJ (52 + А2)(О) + Х2)2О1г%а+1 ДХLJ (52 + А2)(О) + Х2)2Олегко преобразовать числитель в выражении (П.5) к

1

г%а+1 ДХ

LJ (52 + А2)(О) + Х2)2

О

1

г%а+1 ДХ

LJ (52 + А2)(О) + Х2)2

О

2vA2 ГЛл+МЛ,"I

1 J (g2 + ^) (0) + X2)J о

и, следовательно,

1 7 ( Г Г x“+1 d^ лр~ J XLJ (ё2+Х2)(0)+Х2)2 о о

1

о л 72 Г ka+ldk "1 Г Г ka+Ydk П-И ™

2vN1 J (52 + A2)(w+^2)J (S2 + X2)(oj + MJ J ^' (H-7) 0.0

Если a >4, то даже при <в = 0 интегралы в (П.7) сходятся в точке £=0 [в то время, как для а < 2 при со—>0, ^i ■— П(а — 2)]. Чтобы показать, что интегралы сходятся также в точке | = оо (даже при со —0), представим подынтегральное выражение в (П.7) в виде

L2vA^ j (^+W(^+^)— о

Г ka+3dk 1 rt2 f k^1 dk "1-1

J (^ + A2) (co + A2)2jJ (^+V)(0) + X2)J

.0.0

откуда видно, что при любых а > 0 подынтегральное выражение при ^->0 пропорционально 1/£а (даже для <в = 0).

ЛИТЕРАТУРА

Kramers Н. A., Wannier G- Н., Phys. Rev., 60, 252, 263 (1941).

Kerson Huang, Statistical Mechanics, New York, London, 1963. (Имеется перевод: Хуанг K-, Статистическая механика, изд-во «Мир», 1966.)

Onsager L., Phys. Rev., 65, 117 (1944).

Ashkin J., Lamb W. E., Jr., Phys. Rev., 64, 159 (1943); см. также обзор: Newell G. F., Montroll E. W., Rev. Mod. Phys., 25, 353 (1953).

Griffiths R. B., Phys. Rev., A136, 437 (1964).

Кас M., Phys. Fluids, 2, 8 (1959).

Кас M., Studies in Mathematical Analysis and Related Topics: Essays in Honor of George Polya, Stanford Univ. Press, Stanford, California, 1962.

Кас M., Helfand E., Journ. Math. Phys., 4, 1078 (1963).

Baker G. A., Jr., Phys. Rev., 122, 1477 (1961).

Кас M., Uhlenbeck G. E., Hemmer P. C., Journ. Math. Phys., 4, 216, 229 (1963); 5, 60 (1964). (Имеется перевод в приложении к книге: М. Кац, Вероятность и смежные вопросы в физике, изд-во «Мир», 1965.) См. также Uhlenbeck G. Е., в книге «Statistical Physics: 1962, Brandeis Lectures», ed. W. A. Benjamin, Inc. .Vol. 3, New York, 1963.

Helfand. E., в книге «The Equilibrium Theory of Classical Fluids» ed. Frisch H. L., Lebowitz J. L., W. A. Benjamin, Inc., New York, 1961.

Cramer H., Mathematical Methods in Statistics, Princeton Univ. Press, Princeton, New Jersey, 1946, p. 118.

Van Hove L., Physica, 16, 137 (1950).

Berlin T. H., Кас M., Phys. Rev., 86, 821 (1952).

Grenander U., Szego G., Toeplitz Forms and their Applications, Univ, of California Press, Berkeley, California, 1958.

Stillinger F. H., Jr., Phys. Rev. A138, 1174 (1965).

Van Kampen N. G., Phys. Rev., A135, 362 (1964).

Lebowitz J. L., Penrose 0., Journ. Math. Phys., 7, 98 (1966).

Теория

син гуля рностей в критической точке

Введение

Мои лекции, как одни из первых в этой школе, должны быть вводными. Однако в ходе лекций я буду обсуждать некоторые новые идеи, а при изложении старых вопросов постараюсь обратить особое внимание на тонкости, о которых обычно не упоминают. Среди новых вопросов будет обсуждаться так называемый «параметрический скэйлинг», причем общий и систематический анализ позволит установить новые теоремы об аналитичности и чисто степенных законах. Будет развит расширенный «четырехфункционный параметрический скэйлинг», допускающий более сложные, чем степенные, сингулярности. В четвертой лекции речь пойдет о недавних интересных исследованиях капельной модели и ее приложениях к критическим явлениям. Наконец, если позволит время, мы обсудим особенности поведения вещества в критической области, обусловленные наличием границ и конечными размерами.

Тем, кто впервые сталкивается с критическими явлениями, можно рекомендовать обзорные работы [1—5], охватывающие, в частности, разложения в ряды и численные экстраполяции для модели Изинга и более общих решеточных моделей, анализ применимости классической теории Орнштейна — Цернике для корреляционных функций и анализ критического рассеяния — эти вопросы не будут подробно рассматриваться в настоящей школе.

Работы [1, 5] дают краткое, а [2]—более подробное введение в равновесную теорию критических явлений. Теоретические [3,. 4] и экспериментальный [6] обзоры весьма обстоятельны, но они описывают ситуацию, которая была три-четыре года тому назад. В работе [7] рассматривается также теория критического рассеяния.

Ashkin. J., Lamb W. E., Jr., Phys. Rev., 64, 159 (1943); см. также обзор: Newell G. F., Montroll E. W., Rev. Mod. Phys., 25, 353 (1953).

Griffiths R. B., Phys. Rev., A136, 437 (1964).

Кас M., Phys. Fluids, 2, 8 (1959).

Кас M., Studies in Mathematical Analysis and Related Topics: Essays in Honor of George Polya, Stanford Univ. Press, Stanford, California, 1962.

Кас M., Helfand E., Journ. Math. Phys., 4, 1078 (1963).

Baker G. A., Jr., Phys. Rev., 122, 1477 (1961).

Кас M., Uhlenbeck G. E., Hemmer P. C., Journ. Math. Phys., 4, 216, 229 (1963); 5, 60 (1964). (Имеется перевод в приложении к книге: М. Кац, Вероятность и смежные вопросы в физике, изд-во «Мир», 1965.) См. также Uhlenbeck G. Е., в книге «Statistical Physics: 1962, Brandeis Lectures», ed. W. A. Benjamin, Inc. ,Vol. 3, New York, 1963.

Helfand E., в книге «The Equilibrium Theory of Classical Fluids» ed. Frisch H. L., Lebowitz J. L., W. A. Benjamin, Inc., New York, 1961.

Cramer H., Mathematical Methods in Statistics, Princeton Univ. Press, Princeton, New Jersey, 1946, p. 118.

Van Hove L., Physica, 16, 137 (1950).

Berlin T. H., Кас M., Phys. Rev., 86, 821 (1952).

Grenander U., Szego G., Toeplitz Forms and their Applications, Univ, of California Press, Berkeley, California, 1958.

Stillinger F. H., Jr., Phys. Rev. A138, 1174 (1965).

Van Kampen N. G., Phys. Rev., A135, 362 (1964).

Lebowitz J. L., Penrose 0., Journ. Math. Phys., 7, 98 (1966).

Теория

сингулярностей в критической точке

Введение

Мои лекции, как одни из первых в этой школе, должны быть вводными. Однако в ходе лекций я буду обсуждать некоторые новые идеи, а при изложении старых вопросов постараюсь обратить особое внимание на тонкости, о которых обычно не упоминают. Среди новых вопросов будет обсуждаться так называемый «параметрический скэйлинг», причем общий и систематический анализ позволит установить новые теоремы об аналитичности и чисто степенных законах. Будет развит расширенный «четырехфункционный параметрический скэйлинг», допускающий более сложные, чем степенные, сингулярности. В четвертой лекции речь пойдет о недавних интересных исследованиях капельной модели и ее приложениях к критическим явлениям. Наконец, если позволит время, мы обсудим особенности поведения вещества в критической области, обусловленные наличием границ и конечными размерами.

Тем, кто впервые сталкивается с критическими явлениями, можно рекомендовать обзорные работы [1—5], охватывающие, в частности, разложения в ряды и численные экстраполяции для модели Изинга и более общих решеточных моделей, анализ применимости классической теории Орнштейна — Цернике для корреляционных функций и анализ критического рассеяния — эти вопросы не будут подробно рассматриваться в настоящей школе.

Работы [1, 5] дают краткое, а [2] — более подробное введение в равновесную теорию критических явлений. Теоретические [3,. 4] и экспериментальный [6] обзоры весьма обстоятельны, но они описывают ситуацию, которая была три-четыре года тому назад. В работе [7] рассматривается также теория критического рассеяния.

В первой лекции в общих чертах обсуждаются фазовая диаграмма и критическая точка, но особое внимание обращается на отсутствие полной симметрии для некоторых систем и на определение параметра порядка. Во второй лекции будут введены широко распространенные критические индексы и сформулированы гипотезы термодинамической однородности. Те, кто знаком с этим более или менее «подготовительным» материалом, могут пропустить первые две лекции. В третьей лекции будет обсуждаться соотношение между степенными законами и требованиями аналитичности.

Фазовые переходы и параметр порядка

Фазовые диаграммы и симметрия

Фазовые переходы первого рода характеризуются скачками одной или нескольких производных свободной энергии по температуре или соответствующему внешнему упорядочивающему полю £. Типичные примеры (фиг. 1):

Система а) ферромагнетик б) жидкость упорядочивающее

поле t,Яр, (или р) (1.1)

Здесь Н — магнитное поле (в первом приближении — это внутреннее магнитное поле, поправочные члены вводятся для учета размагничивающих факторов), р, — химический потенциал, а р — давление.

На линии фазовых переходов Т ^ Тс,

£=№, На = 0, р, = р,ст (Т),(1.2)

возможно сосуществование двух фаз. Разные фазы характеризуются, в частности, различными значениями термодинамической переменной — параметра порядка

Т, М, р (или р — рс),(1.3)

где М — намагниченность, ар — плотность (числа частиц). На изображенной (фиг. 1) фазовой плоскости (С, Т) линия фазовых переходов первого 'порядка заканчивается точкой, которая называется критической. При приближении к критической точке две сосуществующие фазы становятся все

Теория сингулярностей в критической точке 247 более и более похожими друг на друга; выше критической точки исчезает всякое различие между фазами (практически это происходит постепенно); при этом критическую точку можно обойти непрерывным образом (как показано линиями с двумя стрелками на фиг. 1). Удобно выбирать

Фиг. 1. Фазовые диаграммы в переменных (С, Т) для типичной симметричной (а) и типичной несимметричной (б) систем.Линии раздела фаз изображены двойными линиями, критические изохоры — пунктиром. Линиями с двумя стрелками показаны аналитические пути вокруг критических точек.Фиг. 1. Фазовые диаграммы в переменных (С, Т) для типичной симметричной (а) и типичной несимметричной (б) систем.Линии раздела фаз изображены двойными линиями, критические изохоры — пунктиром. Линиями с двумя стрелками показаны аналитические пути вокруг критических точек.

Фиг. 1. Фазовые диаграммы в переменных (С, Т) для типичной симметричной (а) и типичной несимметричной (б) систем.

Линии раздела фаз изображены двойными линиями, критические изохоры — пунктиром. Линиями с двумя стрелками показаны аналитические пути вокруг критических точек.

Фиг. 1. Фазовые диаграммы в переменных (С, Т) для типичной симметричной (а) и типичной несимметричной (б) систем.

Линии раздела фаз изображены двойными линиями, критические изохоры — пунктиром. Линиями с двумя стрелками показаны аналитические пути вокруг критических точек.

параметр порядка так, чтобы он обращался в нуль в критической точке (£с, Ус); поэтому для жидкости в качестве параметра порядка обычно выбирают величину р — рс [см. (1.3)1.

ПолнаяПолнаясимметриясимметрияСимметрияСимметрияН^—НМ-^—мН^—НМ-^—мИз анализа фиг. Г и из физических соображений вытекает. очень интересное различие ферромагнетиков и жидкостей: наличие полной симметрии у ферромагнетиков и отсутствие ее у жидкостей.

Полная

Полная

симметрия

симметрия

Симметрия

Симметрия

Н^—Н

М-^—м

Н^—Н

М-^—м

Отсутствие симметрии

р—ра-^ (р—Ра) р->?(1.4)

Одно из следствий симметрии кривых сосуществования, т. е. симметрии величин Ч*^ (71) [значений ЧТ (У) в двух сосуществующих фазах], показано на фиг. 2. Для магнетиков эта симметрия является прямым и очевидным след-

ствием симметрии исходного гамильтониана. Для жидкости, конечно, нет такой очевидной симметрии. Поразительно, однако, что наблюдаемое поведение жидкости вблизи критической точки почти полностью симметрично в переменных ±(р. — р-а) и ±(р — рс) (например, «прямолинейный диаметр» кривой сосуществования почти прямо-

Ф и г. 2. Кривые сосуществования в переменных (Т, Г) для а) симметричной (ферромагнетик) и б) несимметричной (жидкость) систем.

Сплошными утолщенными лнинями изображены диаметры кривых сосуществования — а) «прямолинейный» и б) «криволинейный», пунктирными — критические изохоры. Линин с двумя стрелками показывают аналитические пути, пересекающие критические изотермы, изображенные на фигурах точечными линиями.

линеен; фиг. 2, а). Это могло бы быть указанием на какую-то менее очевидную, скрытую симметрию, но в настоящее время природа такой симметрии неизвестна т). С отсутствием явной симметрии связаны определенные трудности теоретических исследований и сравнения с экспериментом.

Нашей ближайшей задачей является экстраполяция линии фазовых переходов на область температур выше критической. Мы можем всегда определить критическую

х) Вайдом и Раулинсон [8] недавно предложили остроумную континуальную модель жидкости, которая имеет нетривиальную скрытую симметрию.

изохору.

^^.D — ^c, р = рс = О, р(ц, Т)=рс. (1.5)

Для систем, обладающих симметрией, например для ферромагнетика, введение критической изохоры тривиально: она является аналитическим продолжением линии фазовых переходов за критическую температуру, а именно Н = Но (Т) = 0. В случае «несимметричной» критической точки линия фазовых переходов не обязательно должна быть аналитичной при Т = Те. Так, для жидкости производная d2po/dT2 могла бы иметь такую же особенность *), как и теплоемкость при Т —> Тё (хотя существующие эксперименты [9] показывают, что это, вероятно, не так). В таком случае аналитйческое продолжение было бы невозможно; однако, даже если аналитическое продолжение существует, оно не должно, вообще говоря, и в общем случае не будет совпадать с критической изохорой даже асимптотически близко к Те; конечно, очень трудно осуществить аналитическое продолжение в практических расчетах.

Термодинамика

Естественно теперь поставить вопрос, который мы до сих пор обходили: каково «правильное» или фундаментальное определение параметра порядка? Термодинамика сама по себе мало помогает нам в поисках ответа на этот вопрос, так как она позволяет выбрать любой набор переменных для описания термодинамически равновесного состояния. В частности, эквивалентны приведенные ниже термодинамические описания системы.

Теплоемкость жидкости при постоянном объеме определяется, согласно термодинамике, следующим образом: CV!T = и ^plBT^^y— — (d2u/dT1)v-. В двухфазной области ниже Тс при р = рс (д2р/д72)у= = d^paldT2 и — (d2p,/dT2)v = — ^y.aldTaY Если Cv (Г) со при Т —> Тс и р — рс, то одна или обе эти производные тоже должны расходиться. Эксперимент с определенностью показывает, что d^Pa/dT2 расходится, так что кривая насыщенного пара ра (Т) неаналитична при Т = Тс. Это служит достаточно сильным аргументом против выбора р в качестве упорядочивающего поля вместо р (см. ниже).

Термодинамические потенциалы

А) являются функциями полей («большой канонический» ансамбль),

ТуТуF = F(H,T),-р^-р^ту (1.6)

Ту

Ту

Т= —, М= —, р=(4£-) , (L7)

\ д^ )т\ дН ) т г \ др / г' 7

или, если использовать преобразования Лежандра,

Б) являются функциями сопряженных плотностей («канонический» ансамбль),

^=^Ф, ту=-^ + ^Т\ д'¥ 1т^=^Ф, ту=-^ + ^Т\ д'¥ 1тА = А(М, Т)=-= FyMHн — ( дА \ п \ дМ }тА = А(М, Т)=-= FyMHн — ( дА \ п \ дМ }тА = А(и, Т) =(1-8)= —ру+р.А = А(и, Т) =(1-8)= —ру+р.^ = [-^<Р^)]х-О-Э)^ = [-^<Р^)]х-О-Э)

^=^Ф, ту=

-^ + ^Т

\ д'¥ 1т

^=^Ф, ту=

-^ + ^Т

\ д'¥ 1т

А = А(М, Т)=-

= FyMH

н — ( дА \ п \ дМ }т

А = А(М, Т)=-

= FyMH

н — ( дА \ п \ дМ }т

А = А(и, Т) =

(1-8)

= —ру+р.

А = А(и, Т) =

(1-8)

= —ру+р.

^ = [-^<Р^)]х-О-Э)

^ = [-^<Р^)]х-О-Э)

В этих соотношениях свободная энергия Гельмгольца А (и, ТУ рассчитана на одну частицу, а не на единицу объема, что удобнее при изучении критических явлений. Энтропия (на единицу объема) определяется следующим образом:

( д^ \/ d.^ \ _/ 5F \/ дА \

X дТ X дТ /чг”\ дТ )н~( дТ )м"

<1Л°)

Перейдем теперь к определению величин, наиболее важных для критических явлений,— это, во-первых, спонтанное упорядочение;

^0 (Т) = 4- [^ (Г) - То (Т)] =

(1.Н)(1.11а)(1.116)(1.Н)(1.11а)(1.116)= lim JL(k±bJl^Tfelb21

(1.Н)

(1.11а)

(1.116)

(1.Н)

(1.11а)

(1.116)

АГ0(Т)= lim АГ (Я, ТУн->о+

Рж — Рг p(p-g + e, Г) — р (р<т — е, Г)

2в->о+2

где индексы «ж» и «г» соответствуют жидкости и газу; во-вторых, изотермическая восприимчивость (сжимаемость):

%т~ \”d£jr’ %т- \дН!т ' Р^т~(1-12)

которая обычно «сильно» расходится в критической точке, и, в-третьих, теплоемкость при постоянном параметре порядка:

V дТ hy’ См~ \ ЭТ )м’ pCv~\dTJv* (L13)

См=о - Сн=о,

причем Gy (Т) и Cs (Т) тождественны для симметричного перехода, когда t, = t,c (Т) = 0. Как правило, но не всегда, теплоемкость «слабо» расходится при Т ->- Тс. Наконец, определим уравнение состояния:

^ = ^^,7), М = ЯЦН.Т), p^^i^T)(1.14)

или, наоборот,

^З^, Т), Н = ^(М,Т), ц = 3 (Р, Т).(1.15)

Поля и плотности

В качестве иллюстрации объективности термодинамики напомню, что традиционными и привычными термодинамическими переменными для описания состояния жидкости являются переменные р, о и Т, а не используемые нами р, р, и Т. Однако наш выбор не случаен. Например, производная d^p^/dT^ расходится при Т^-Тё, скажем для Не4, как уже отмечалось раньше, в то время как d?,p,aldT‘i остается конечной [9]. Более внимательный подход к термодинамике реальных веществ приводит нас к способу выбора переменных в соответствии с так называемыми условиями «выпуклости», или устойчивости.

В связи с этим целесообразно подразделять переменные на два класса, которые мы будем называть полями и плотностями 4). Условие устойчивости заключается в требо-

х) Традиционная термодинамика разделяет переменные на интенсивные §, не зависящие от размера системы, скажем от ее объема, и экстенсивные X, пропорциональные V. В то же время любая

вании положительности теплоемкости при постоянном Н и постоянном М для ферромагнетиков или при постоянном р и постоянном у (точнее, р) для жидкости. В общепринятых обозначениях это сводится к

так что З7 и ^ — выпуклые функции температуры. Теперь мы рассмотрим условия устойчивости по отношению к переменным £ и Y, т. е. Н и М или р и .р. Основное требование здесь состоит в том, чтобы изотермическая восприимчивость и сжимаемость были существенно положительными. Это означает, согласно (1.7), (1.9) и (1.12),, что

( —) -^ 9 И —р ( —I -^ 9 -(1-1 7) \ д£2 ) т\ от2 / тv '

Таким образом, термодинамический потенциал S' (£, У) должен быть выпуклой функцией поля £, так же как и температуры Т; наоборот, термодинамический потенциал ^ (Т, 7) должен быть вогнутой функцией сопряженной плотности, в то время как по отношению к температуре он является выпуклой функцией. Заметим, что это различие инвариантно по отношению к изменению знаков полей или термодинамических потенциалов.

Сказанное выше не исчерпывает вопроса о «выпуклости» термодинамических потенциалов т), но проясняет различие между полями и плотностями. Вообще говоря, условие устойчивости в переменных — полях — £о = У, £i — = £, £2, • • • записывается проще, чем в других перемен-

экстенсивиая переменная X, например общая намагниченность или общая внутренняя энергия, может быть превращена в интенсивную переменную х = X/V делением на объем. Следовательно, различие это не слишком глубокое. Действительно, поскольку при исследовании фазовых переходов необходимо совершать переход к термодинамическому пределу (V —>■ со), экстенсивные переменные вообще ие должны входить в формулы! В то же время, несмотря на это, в литературе часто встречается величина, равная плотности, умноженной на объем, которую считают экстенсивной переменной, в то время как «интенсивными переменными» называют реальные «поля» (см. [10, 11]).

^ Следует рассмотреть перекрестные производные: d^^jd^dT и др., а также матрицу, составленную из вторых производных.

ных, так как здесь оно сводится к требованию положительной определенности матрицы (—d2J^Id^d^jY Более существенное различие, однако, вытекает из следующего известного факта: хотя в равновесном состоянии возможно сосуществование нескольких фаз с разными плотностями (например, рг и рж или +М0 и —УИ0), температура и все другие поля (например, Н, р, и р) должны быть одинаковыми для всех фаз -1). Это обстоятельство без обсуждения учтено на фиг. 1 и 2. В действительности не столь очевидно; что нельзя указать пример, когда две жидкие фазы находятся в равновесии при одинаковых плотностях и температурах, но, скажем, различных давлениях,— другими словами, что кривая р (р, Т) разрывна при некотором Pt СП, когда газ конденсируется в жидкость.

Естественно теперь продолжить рассмотрение на микроскопическом уровне. Исходя из гамильтониана для системы частиц, можно вполне строго получить условия устойчивости, определяя обычным образом свободную энергию как логарифм статистической суммы [12, 13]. В частности, можно показать в достаточно общем виде, что давление р (р, Z) и химический потенциал р (р, /) всегда являются непрерывными функциями плотности [хотя р (р, П или р (р, И могут быть разрывными]. Идеи и методы расчета, использованные при получении этих результатов, приводят к указанному ниже микроскопическому или механическому различию между полями и плотностями. А это в свою очередь определяет выбор соответствующей плотности в качестве параметра порядка.

Для описания механической системы необходимо, во- первых, выбрать ряд основных, локально определенных микроскопических переменных (или операторов):

ф (г), Sx (г), Sr (г), Sz (г) — спины, (1-18) п (г) — плотность числа частиц,

через которые выражается полный гамильтониан 36 [ф (г)Ь

*) Именно это свойство полей положено Гриффитсом и Уилером [10] в основу определения «поля». О других различиях полей и плотностей см. также [11].

Во-вторых, надо конкретизировать оперцию взятия шпура Зрф, входящую в определение статистической суммы:

Z (Т) = SpM)[e-^’w/ftBT],(1.19)

е. указать рецепт интегрирования по ip (г)-

ЕслиК а (г, гь г2, . . ., гп) — короткодействующее,

е. быстро стремящееся к нулю с ростом (гг — г), ядро, то можно определить произвольную локальную механическую переменную n-го порядка следующим образом:

А (г) = j dn . .. j <1гпКа (г, п, г2, . . ., гп) ip (г^ .. . тр (гп).

(1.20)

Очевидно, простейшей локальной переменной является сама одночастичная переменная тр (г) [с ^ (г, rj = = 6 (г — rj], Если переменная А (г) входит в полный гамильтониан для области Q в виде

^(ip^^oW-U p(r)dr,(1.21)

£2

то мы назовем ^А термодинамическим полем, сопряженным термодинамической плотности

Л^ lira У^1 Ьл (r))dr,(1.22)

где Vq — общий объем области Q, а символ (...) означает обычное статистическое усреднение. Из этого определения ясно происхождение термина «плотность». Свойства выпуклости свободной энергии по отношению к переменным Т и t,A прямо следуют из этих определений и тождества

JT(U, Т)=- lim -^InZ^, Т).(1.23)

1.4. Определение параметра порядка

Самый общий способ выбора параметра порядка для данной критической точки состоит в том, что этот параметр должен быть такой локальной переменной наинизшего порядка из набора основных переменных, которая «непо-

средственно» связана с переходом. Конечно, это не слишком точное утверждение! Чтобы уточнить его, заметим, что характерная изотермическая восприимчивость хт = = (дЧг/д^)г, как правило, быстро стремится к бесконечности при приближении к критической точке. Эта расходимость вследствие известного соотношения.

Хт (t, Т) = (А^Т)- j drG^ (г; С, Г) (1.24) связана с медленным затуханием вблизи критической точки основной корреляционной функции G^- (г) при | г | --лее. Напомним общее определение двухчастичной корреляционной функции:

Gaa (г) = (Л (0) Л (г)) — (Л (0)) (Л (г)). (1.25)

Для введения параметра порядка выясним теперь, какая локальная переменная Т (г) наинизшего порядка по ф (г) ^ связана с наиболее медленным затуханием корреляционной функции в критической точке. Наиболее медленное затухание должно, естественно, привести к самой сильной расходимости хт (Т) при Т ->- Тс, скажем, вдоль критической изохоры. Тогда термодинамический параметр порядка Т определяется как среднее от Т (г), согласно соотношению (1.22).

Следует заметить, что ядро К а (г; г1? . . ., гп), определяющее локальную переменную, не обязательно должно быть полностью трансляционно инвариантным. Так, чтобы определить «намагниченность подрешетки», которая является параметром порядка для антиферромагнетика, выберем

/Ст (г, Г1) = ^ю г6 (г— г^, (1.26)

где q0— так называемый волновой вектор сверхструктуры, характеризующий антиферромагнитное спиновое упорядочение. Это приводит к

^(^ = 74'(г) = е^о"-5(г),(1.27)

(1.28)(1.28)Y = М' = VV 1 е*чо ■ г (Sz ^^ ^г.

(1.28)

(1.28)

Аналогичная ситуация имеет место для бинарных металлических сплавов типа 0-латуни (50 : 50 CuZn), для которых характерен фазовый переход порядок — беспорядок. В этом случае подходящей микроскопической переменной является величина, принимающая на каждом узле два значения в соответствии с типом иона в данном узле (если возможны и вакансии, то эта переменная принимает три значения). Ниже Тс, но на линии фазовых переходов £ = ^ст (Т), корреляционная функция для параметра порядка Силу (г) не должна стремиться к нулю на больших г, как это имеет место в остальных точках фазовой диаграммы. Предельное значение этой функции, G^ (со), описывающее дальний порядок, является в случае антиферромагнетика или бинарного металлического сплава типа 0-латуни знакопеременной величиной. Этот параметр дальнего порядка должен в свою очередь равняться [Ч^Т)]2— квадрату величины спонтанного упорядочения (по крайней- мере в системах, обладающих симметрией).

Наконец заметим, что если симметрия системы более высокого порядка, чем элементарное отражение £ —£, Y —> —Чг, то и параметр порядка должен удовлетворять этой симметрии. Например, кубический ферромагнитный кристалл имеет шесть (или более) эквивалентных осей «легчайшего намагничивания», а не два направления, как говорилось выше. Существуют также и непрерывные группы симметрии, когда параметр порядка может быть представлен векторной - величиной Т (г) = (Ч^, Ч*"») или (^, ^, Tz).

Пример возьми снова из области магнетизма: в полностью изотропном ферромагнетике вектор спонтанного намагничивания Мо может свободно вращаться и, следовательно, иметь любое направление. Точно так же в сверхпроводниках и сверхтекучих жидкостях реальную и мнимую части «макроскопической волновой функции» ф = = ф' + 1ф" можно рассматривать как две компоненты двумерного вектора-параметра порядка. Векторный характер параметра порядка существен как для наличия соответствующего фазового перехода и величины спонтанного упорядочения (см., например, [5]), так и для значений критических индексов. Мы здесь, однако, не будем рассматривать этот вопрос.

Способ введения, единственность и максимальная общность данного выше определения параметра порядка ни в какой мере не являются очевидными, но, по-видимому, «хорошо работают» во многих случаях как для реальных физических систем, так и для различных моделей, в частности моделей решеточных газов. Слова «хорошо работают» нужно понимать в том смысле, что наше определение дает простейшее, наиболее естественное и адекватное описание явлений, а также хорошо передает многочисленные аналогии между различными физическими системами. Мы позже вернемся к некоторым аспектам этих основных вопросов — особенно для систем, не обладающих симметрией. По мере углубления наших знаний и понимания критических явлений мы будем рассматривать все более тонкие и общие свойства параметра порядка.

2. Критические индексы и скейлинг

Индексы, характеризующие сингулярность

Существование спонтанного упорядочения ниже точки перехода и отсутствие его выше Тс достаточно для следующего утверждения: критическая точка должна быть точкой неаналитичности т) полной свободной энергии ^ (С, Т\ Вообще говоря, линия фазовых переходов t^ (Т) тоже является геометрическим местом точек неаналитичности функции ^ ^ Т), но здесь сингулярности более слабые (во многих случаях можно ожидать, что все термодинамические производные остаются конечными при подходе к линии раздела фаз со стороны температур ниже критической). С большой степенью надежности (а во многих случаях это можно доказать строго) свободная энергия

Напомним, и это будет важно в дальнейшем, что термины «неаналитический» или «сингулярный» обычно используются в смыс- ле теории функций. Неаналитичность функции f (х). в точке х = хс означает, что эта функция не может быть представлена сходящимся рядом Тейлора по степеням (х — хс). Чауто точку неаналитичности определяют как такую точку, в которой бесконечна какая-нибудь достаточно высокая производная функции. Такое требование, однако, йе является необходимым, как это видно на примере определенной на вещественной оси функции exp I—1/(х —хс)2], у которой все производные обращаются в нуль при х -*• хс.

является аналитической функцией £ и Т всюду вне критической точки и линии фазовых переходов. Задача статической теории критических явлений состоит в описании и понимании природы сингулярностей функции ^ (g, Т) в критической точке. Задача упрощается, если на первом этапе исследовать поведение функции ^ (£, Г) и, что еще удобнее, ее производных при приближении в критической точке вдоль определенных линий на фазовой диаграмме. Мы будем рассматривать три такие линии: а) линию фазовых переходов t>a (Т) (охватывающую обычно критическую изохору Y = Фе) ниже Тс-, б) критическую изотерму Т — Тс и в) критическую изохору Y = Тс выше Тс.

В некоторых случаях можно рассматривать и другие линии, например критическую изоэнтропу S = Sc, но указанные выше три линии кажутся наиболее удобными для практических целей —: опять-таки особенно для систем, обладающих симметрией.

Для описания поведения функции / (х), когда х сверху стремится к точке неаналитичности («критической точке») хс, введем индекс X, определяемый соотношением

/ (х) ~ (Ах)х при Ах = х — хс -> 0+ (2.1) или, более точно,

(2.2)(2.2)нш Г^ЦУ.

(2.2)

(2.2)

Конечно, если функция f (х) специальным образом осциллирует, предельного значения может не существовать. Однако такие случаи, по-видимому, не встречаются при изучении критических явлений и мало вероятны где-либо еще! Экстремальные значения X = -фоо и X = —со соответствуют, как обычно, более быстрому, чем любая степень Ах, стремлению функции к бесконечности или к нулю.

Существование предела (2.2), конечно, не означает, что функция f (х) действительно пропорциональна (Ах)Л —просто имеет место «асимптотическая пропорциональность». Вообще говоря, не ясно, насколько хорошим асимптотическим приближением является простая степенная зависимость. Полезно различать по возрастающей сложности три основных случая:

чисто степенная зависимость-.

/ (х) = Л (Дх)\ Л = const;(2.3)

простой случай;

f (х) = (Ax) Vo to,(2.4)

где функция

/о to — /о + Л (Ах) + /2 (Ах)2 + . ...(2.5)

аналитична вблизи точки х = хс;

сложный случай;

f (х) = (Ах) Vo (х),(2.6)

но /о (х) неаналитична в точке х = хс.

Полезно, кроме того, различать два варианта реализации случая 3):

«.сходящиеся» слабые сингулярности

I In /о (х) | -^ | In /0 | < оо при х-> хс,(2.7)

например,

/о (х) = /о + f^ + . . . ,(2.8)

где 0 < ц < 1;

расходящиеся сингулярности

| In /о (х) | оо при х -> хс,(2.9)

например,

/о (х) = (In x-^Voo to,(2ЛО)

или

fo (х) = exp [v (In x)^l f00 (x), p<l. (2.11)

С математической точки зрения случаям 1) и 2) соответствуют просто алгебраические точки ветвления функции f (х) (которую бывает полезно, хотя это и не обязательно, продолжить на комплексную плоскость х). В случае 3 сингулярности имеют более сложный и менее наглядный характер.

2,2, Критические индексы

Определенные выше критические индексы оказались полезными при изучении критических явлений благодаря тому, что чаще, чем можно было ожидать, и в теории и в эксперименте реализуется простой случай 2) или даже случай чисто степенной зависимости. Так, если обозначить f = -^ = ^=^-(2Л2)

и характеризовать критическим индексом р величину спонтанного упорядочения т)

Vo (7) ~ \t |» при /-^0-(2.13)

то оказывается, что для многих простых теоретических моделей и большинства приближений реализуется случай 2) с р = 1/2 (так называемая «классическая» величина). Более существенно, что «простой случай» Р =1 /8 получился также в онсагеровском точном расчете спонтанной намагниченности для двумерной квадратной решетки Изинга (см., например, [3]), хотя метод расчета отнюдь не прост! Такое же значение р = /8 имеет место для других плоских решеток: треугольной, Кагомё и др. Простой случай 2) реализуется также при строгом расчете таких свойств двумерной модели Изинга, как расходимость корреляционного радиуса (в отсутствие поля) выше и ниже Тс, обращение в нуль , поверхностного натяжения при Т -> Тё и т. д. Кроме того, исследование решений, полученных для. трехмерных моделей Изинга в виде числовых рядов, подтверждает наличие простого степенного закона (или, самое худшее, случая 3(a)) с одинаковыми индексами для всех типов решеток.

Каждый, кто никогда или давно не видел экспериментов, касающихся определений величины критического индекса 0, обязательно должен -увидеть результаты этих экспериментов. В лучших работах, как, например, в измерениях Хеллера и Бенедека на антиферромагнетике MnF2 или Лоренцена на СО2 (см. [3, 4, 6], результаты очень убедительны. Как правило, измерения охватывают три (или

более) порядка по приведенной температуре t вплоть до нескольких единиц на 10-5 или 10-в. Во всей этой области наблюдается степенной закон, а индекс Р определяется с точностью до нескольких процентов. Естественно, что для t« 10~2—10-1 наблюдаются отклонения от чисто степенного закона, однако реализуется случай 2) с очень малыми величинами коэффициентов ft и Д. Величина отношения коэффициентов /Vf0, конечно, обратно пропорциональна так называемому «размеру критической области», в которой справедлив чисто степенной закон. Следует, однако, помнить, что «критическая область» определена не строго и размеры ее могут, вообще говоря, меняться от одного свойства к другому (скажем, для изотермической восприимчивости, теплоемкости и т. д.) даже для одного и того же вещества. Необходимо в связи с этим подчеркнуть, что вполне вероятны большие значения величины fjfo. Этого нельзя забывать, иначе можно прийти к большим и систематическим ошибкам в определении величины индекса.

Экспериментальные значения индексов будут приведены в других лекциях этой школы — здесь мы только заметим, что полученная теоретически величина индекса 0 и других определенных ниже индексов, по-видимому, слабо зависит от типа физической системы. Для многих веществ получаются близкие значения 0; так, 0 = 0,34—0,36 достаточно хорошо описывает все эксперименты для широкого класса чистых жидкостей, а также бинарных и многокомпонентных жидких смесей.

В качестве дополнения к уже определенным критическим индексам введем индексы у и у', характеризующие особенности изотермической восприимчивости:

Хт(Т) ~ М при t-> 0+ (Т = Тс), (2.14)

ХГ(Т) ~ Д М' при ^ Q- [^ = ^(Т)1, (2.15)

где ниже Тс восприимчивость «в нулевом поле» рассчитывается в пределе S —> £а СО- Штрих у индекса означает, что индекс берется для Т < Тс и употребляется в тех случаях, когда индекс имеет смысл и для Т > Тс. Типичные значения у = 1,15—1,35; «классическая величина» у = 1; трехмерная сферическая модель приводит к у = 2, а приближенный расчет для трехмерной модели Изинга дает у =

= 1,25. В системах, не обладающих симметрией, надо в принципе различать индексы у^ и у! для двух фаз £ = = ta- До сих пор, однако, нет разумных теоретических оснований для такого различия, а экспериментов по определению V явно недостаточно. Точно так же можно было бы различать 0+ и 0_, но экспериментальные данные противоречат этому (хотя существуют теоретические модели, приводящие к несовпадающим р+ и р_; см. четвертую лекцию).

Определим индекс 6 на критической изотерме:

| Л? | - | AY р, At -> О (Т = Тс\ (2.16) Экспериментальные данные для «несимметричных» систем снова указывают на равенство 6+ и 6_. Для реальных систем эксперимент дает 6=4,2—4,6; классическое значение 6 = 3; трехмерная сферическая модель приводит к 6 = = 5; расчеты для модели Изинга дают.6 = 5,0—5,2 в трехмерном случае и 6 = 15 в двумерном.

Определим, наконец, индексы для теплоемкости

Счг — t-»,о+ (Т = Тс), (2.17)

Схр ~ | t |~«',О’ (Т = Тс).

Найденные экспериментально и рассчитанные теоретически значения величин а и а' всегда очень малы, обычно меньше чем 0,2, и близки к нулю. Существенно, что теплоемкость лучше всего описывается моделью 3(a), т. е. можно ожидать, что

С^ (Г) = А ^ f® + В (tY(2.18)

причем даже если амплитуда A (f) и слагаемое В (z1) — гладкие (или даже аналитические) функции, то

Cv (Л = 1"» [До + Bot» + Att + В^*« + ...]. (2.19) Второе и четвертое слагаемые в квадратных скобках имеют сингулярности; так как а мало, эти сингулярности относительно сильны и затрудняют надежное и однозначное определение а и а'. Заметим, что, поскольку

dC™.

— а V-^06) [а2до —а(1 — ^Д^—аВ^^Ч- . . .],

(2.20)

Iэтими же сингулярностями обладают и производные от

;Счг (Т), хотя при переходе к производным усиливается

jосновная сингулярность.

I2.3. Слабые сингулярности

jЕсли функция обладает слабыми сингулярностями, как,

)например, теплоемкость, то дифференцирование может ока-

Iзаться полезным для нахождения критических индексов.

;Пусть функция / (х) остается конечной (и не равной нулю)

при х -> хс или характеризуется более слабой расходимостью, чем степенная. Приведем наиболее важные примеры: 1) логарифмическая сингулярность

f (х) = A In | Ах Г1 + В + . . ■(2.16)

пик с низкой степенью

f W = /о — а I Ах Г + • • • (О < и < 1).(2.22)

Оба примера имеют отношение к поведению теплоемкости и в соответствии с определением (2.2) дают X = О (или индекс для теплоемкости а = 0). С другой стороны, при дифференцировании получаем выражения

^=-А<Аху^...~<Аху\

(2.23)

^ = а<Аху-^

что соответствует индексам у = —1 и — (1 — ц). Если рассматривать операцию дифференцирования как «извлечение» сингулярной части функции f (х), то эти случаи можно охарактеризовать индексами Xs = —1 + 1 = 0 и Xs = — (1 — Р-) + 1 — Ц- Логарифмическая расходимость теплоемкости, наиболее убедительно наблюдаемая в Х-точ- ке гелия [14], соответствует as = 0. На практике индекс s обычно опускают. Так, например, a = —0,1 означает, что теплоемкость остается конечной в Тс, но при малых t меняется как (Qc —At0-1 + . . .). Если предполагается, что особенность близка к логарифмической, ее следует искать в виде

Cv (Т) = ALa (f) -J- В -|- • - •,

гдегде

где

где

(2.25)(2.25)La^=-L-__L

(2.25)

(2.25)

Такая запись функции допускает и степенную расходимость (а>0), и чистый логарифм (а->0), и пик (а < 0).

Итак, в общем случае можно сказать, что

f (%) ~ (Ax)Xs, х->- х? (сингулярная часть), (2.26) если для достаточно больших целых к

А-^ ■ ~ (&x)~h+Ks -> ±оо при х —> хс.(2.27)

Связь между индексами и неравенства

' Одним из достижений теории критических явлений явилось предсказание соотношений между различными индексами, которые, по-видимому, достаточно хорошо подтверждаются и экспериментальными данными, и расчетами теоретических моделей. Одно из первых соотношений было получено Вайдомом [15]:

6=1 + -^» (2.28)

Примерно в то же время автором и Эссамом [16] было предложено соотношение

а' + 20 + V = 2, (2.29) которое в этой же работе было количественно подтверждено для моделей Изинга. Гипотеза, лежащая в основе этого соотношения, будет рассмотрена в четвертой лекции при изучении капельной модели критических явлений.

Несколько позже соотношение (2.29) обсуждалось Раш- бруком [17], который, исходя из чисто термодинамических соображений и используя приведенные выше условия устойчивости, обнаружил, что можно доказать лишь неравенство

а' + 20 + / > 2. (2.30)

В ходе доказательства функция С^ — Счг была выражена через % (Т) и (дЧ7дТ)з и были использованы неравенство Cqr ^ 0 и определение критических индексов (см,

[2, 3]). Вскоре после этого неравенство (2.30) было обобщено с учетом некоторых тонкостей на несимметричную критическую точку [11.

Комбинируя (2.28) и (2.29), получаем

а' + 0 (I + 6) = 2.(2.31)

Гриффитс установил [18], что и это соотношение можно строго получить лишь в виде неравенства

а' + 0 (1 + 6) ^ 2.(2.32)

Доказательство Гриффитса непосредственно вытекает из общего положения статистической механики —«выпуклости» свободной энергии. Следует заметить, что ниоткуда не следует неравенство, соответствующее (2.28) (оно, вероятно, и не существует). В то же время Гриффитс получил ряд других, более сильных неравенств, связывающих введенные выше и другие индексы. При этом он исходил из бесспорного факта — выпуклости свободной энергии — и использовал некоторые более частные предположения, как, например, невозрастание функции Т (£, Г) с температурой Т при фиксированном £ или выпуклость Y (£, Т) в функции С ^ 0 при фиксированном Т. Эти предположения были строго доказаны для модели Изинга и решеточных газов. По этой и по ряду других причин они кажутся весьма правдоподобными. В связи с этим возможность использования других неравенств Гриффитса заслуживает самого пристального внимания.

Важность термодинамических соотношений (2.28) и (2.29), связывающих критические индексы, а также равенств а = а', у = у',(2.33)

как это отмечалось многими авторами, состоит в том, что только два индекса должны быть определены независимо — тогда все остальные можно будет найти из указанных соотношений ). Наиболее прямой и общий способ получения этих результатов — термодинамический скэйлинг или гипотеза однородности, к изложению которых мы теперь при-

ступим. Простейший вариант этой теории принадлежит Вайдому [21], и мы будем следовать его схеме. Заметим, что столь же эффективные и по сути эквивалентные идеи были в то же время выдвинуты Кадановым [22] в США, Дом- бом и Хантером [23] в Англии, Покровским и Паташин- ским [24] в СССР и автором [25] (капельная модель).

Гипотеза однородности

Прежде чем перейти к изложению гипотезы однородности, коротко остановимся на рассмотрении классической феноменологической теории критических явлений. Будем при этом исходить из «канонической» свободной энергии d (Y, Т), а не из «большой канонической» энергии jr ( Т) (см. стр. 250). Для простоты мы ограничимся симметричным случаем (^ = 0, ^ = 0). Используя аналитичность свободной энергии, разложим ее в ряд

^ (V, Т) = а (Т) + с (Т) Ф2 + e (Т) Y4 + . . ., (2.34) который справедлив для любого фиксированного Т > Тс. Однако область применимости этого разложения может, а вообще говоря, должна, стремиться к нулю при Т ->■ Tt. Предположение о том, что (2.34) всегда справедливо,— основная ошибка феноменологического подхода!

Из разложения (2.34) непосредственно следует уравнение состояния:

£ = 3 (V, Г) = 2с (Т) V + 4е (Т) V3 + . . . . (2.35)

Допустим теперь, что коэффициенты с (7) и е (Т) можно разложить по АТ в ряд1). Таким образом, мы предполагаем, что

(2.36)(2.37)(2.36)(2.37)с (Т) = с^Т + с2АТ2 + . . .

(2.36)

(2.37)

(2.36)

(2.37)

е (Т) = е0 + е±АТ -Т . . . .

Отсутствие слагаемого с0 = с кТ^ следует из того, что обратная восприимчивость в нулевом поле обращается

х) В общем случае это, конечно, несправедливо: в частности, такое разложение совершенно неверно для двумерной модели Изинга.

11 лjл? ijT11 лjл? ijTв нуль в критической точке:

11 л

j

л? i

j

T

11 л

j

л? i

j

T

^= (^)г = с(Т) = С1А7\(2.38)

Ясно, что эта теория всегда предсказывает у = 1! Сделанное предположение х) о том, что коэффициенты е0 и сх отличны от нуля, является самым простым.

Подставляя (2.36) и (2.37) в (2.35), получаем

2 = Т [2С1АТ + 4е0Т3 + О (АТ, АТТ2, Т4)].(2.39)

Полагая теперь 2 = 0, решая уравнение (2.39) для Т и отбрасывая тривиальное решение Т = 0 (которое дает большую величину свободной энергии 2)), получаем для спонтанного упорядочения

^o^^^Wl^n+^Ani при Т->Тс. (2.40)

Таким образом, оказывается, что

(2.41)(2.41)0-4-

(2.41)

(2.41)

Заметим теперь, что в предельном случае (АТ-э-0, 2 -»- 0 и Т —> 0) уравнение состояния может быть переписано в виде

2 = 3 (Т Т) ^ 60Т Ш + | Т IVP], (2.42)

где, как и раньше, t = АТ/ТС. Слагаемое в квадратных скобках является однородной функцией первого порядка (именно потому, что у = 1) относительно переменных t и | Т |1/р. Следуя Вайдому, обобщим теперь наше простое феноменологическое рассмотрение, постулируя асимптоти-

х) Предполагая ci = 0, с^ > 0, е0 = 0, е, > 0 и g0 > 0, можно получить такое же уравнение состояния, как и для сферической модели (см. ниже), но- это не противоречит гипотезе однородности, которая нас сейчас интересует.

ческое уравнение состояния вида

^% W (<, | Т |V₽), Z, t> ^ ~** о,(2.43)

где Ф (х, у) — однородная функция порядка у, т. е.

Ф (Zx, Zy) = /?ф (х, у)(2.44)

для произвольного действительного и положительного числа Z. Обозначение у для степени однородности предвосхищает результат у = у, который будет получен несколько позже. Мы увидим также, что можно будет заменить у на | Т |1/₽, где, вообще говоря, р =# р. Лишь в самом конце расчета мы сумеем доказать, что р = р.

Гипотеза (2.43) может быть выражена многими другими способами. Если выбрать Z в виде 1/| Т |1/р и обозначить

6=1+^-,(2.45)

получим

Ensign (Т) I TI5 Л ( у^-)(2.46)

— такой вид уравнения состояния был предложен Гриффитсом [26]. Из (2.46) видно, что гипотеза однородности состоит, в сущности, в сведении общей функции двух переменных з (T, Z) к скэйлинговой функции h (х) одной переменной, а также во введении двух индексов Р и у. В следующей лекции мы вернемся к этому вопросу.

Отметим, хотя это и не существенно, что гипотеза однородности содержит предположение о симметрии ^-«-*- — С, Т -«-> — Т. Следовательно, можно сделать более общее предположение:

£ - to (Г) ~ В (Z, AT) (Z, At, АТ -> 0),(2.47)

где В удовлетворяет расширенному соотношению однородности :

B(Zx, Z^) = ZS+v В (х, у).(2.48)

Это соотношение в точности эквивалентно (2.46), а следовательно, и (2.43), что сразу видно, если снова представить Z

в виде / = | АТ | VP и потребовать выполнения условия симметрии:

S (*, —У) = — S (х, у).(2.49)

Для большей общности следует, однако, ввести две скэй- линговые функции:

h+ (х) = 8 (х, 1) и h_ (х) = — 8 (х, —1),(2.50)

допускающие отсутствие полной симметрии в уравнении состояния. Как мы увидим позже, эта возможность не может привести к различию индексов 6+ и 6_ или уА и уУ для - Са (Л 0.

Следствия из гипотезы однородности и связанные с ними трудности

Прежде чем приступить к систематическому изложению следствий из гипотезы однородности (2.43), (2.46) или (2.47) и ограничений, которые должны быть наложены на скэйлин- говую функцию h (х), сформулируем основные выводы. Единственное необходимое дополнение к приведенным формулам касается более точного смысла асимптотического значка ««». Во-первых, мы предположим, что асимптотическое уравнение состояния описывает в первом приближении все важнейшие сингулярности в критической точке, и, во-вторых, что асимптотическая функция вдали от критической точки сохраняет те же свойства непрерывности, гладкости и, возможно, даже аналитичности, что и полное уравнение состояния 3 (V, 7). Без такого рода предположений (которые часто не формулируются в явном виде) в действительности нельзя извлечь никаких выводов из гипотезы однородности. Возможно, однако, что последующие теоретические и экспериментальные исследования позволят освободиться от некоторых из этих предположений.

Первый полученный нами результат состоит в том, что все критические индексы должны определяться через р и 6 (или у), так как только эти индексы входят в сформулированную выше гипотезу. Мы позже увидим, что 6 = 6 и у = у, а сейчас перепишем полученные ранее соотноше-

ния между критическими индексами в более общем виде: <xs 2р -|- у' = 2,(2.51)

«; + р (1 + 6) = 2,(2.52)

который допускает также возможность конечной теплоемкости в критической точке. В частности, равенство 2₽ + у' = Р (1 + ?) = 2 означает простую логарифмическую расходимость теплоемкости С^ (Т) [о^ = 0 или а —> —> 0 в (2.24)1, хотя амплитуда А_ сингулярности может при некоторых условиях [261 обращаться в нуль (как это имеет место в феноменологических уравнениях).

Кроме того, непрерывность и гладкость при пересечении критической изотермы при g, Т ^= 0 приводят к необходимости выполнения условий симметрии:

«; ~ а.5, у' = у.(2.53)

При логарифмической особенности теплоемкости (2р + у' = 2) условия симметрии еще более жесткие, поскольку

Сч, (Т) « А± In | t Г1 + В± + . . . (Т ^ Тс), (2.54)

Другими словами, амплитуды Д+ и А_ должны быть равны [26] (хотя, вообще говоря, В+ =А= В_). При этом снова допускается возможность А+ = А_ е= 0.

По-видимому, этот результат скэйлинговой теории больше всего противоречит имеющимся в настоящее время экспериментальным данным1). Как уже говорилось, теплоемкость гелия вблизи его Х-точки меняется [14] по закону, близкому к логарифмическому, при изменении температуры примерно на четыре порядка, вплоть до t « 10-7. Известные эксперименты Букингема, Фэйербенка и Келлерса соответствовали А+ « А_, однако недавние эксперименты Алерса [141 не согласуются с полной симметрией логариф-

х) Однородность и скэйлинговая гипотеза успешно применялись и оказались весьма точными во многих случаях (и это будет показано в других лекциях). Поэтому, когда мы подчеркиваем некоторые трудности этих теорий, не следует забывать и об их больших достижениях.

мической зависимости теплоемкости, а дают вдоль кривой насыщенного пара

^>1,04. (2.55)

Эксперименты, проведенные позже для больших давлений, показали, что при переходе через %-кривую наблюдается явный рост отношения Л+М- с ростом давления. Мои исследования, которые будут изложены в следующей лекции, как раз и направлены на обобщение и расширение идей скэй- линга и однородности с целью устранить это противоречие теории и эксперимента.

По-видимому, другим тревожным фактом, противоречащим скэйлинговой гипотезе, является явное отсутствие симметрии индексов, характеризующих восприимчивость, полученное для трехмерных моделей Изинга. Конечно, эти индексы могут быть получены лишь экстраполяцией точных, но оборванных высоко- и низкотемпературных рядов. Разные авторы подходили к этому вопросу очень внимательно, а используемые методы расчета были проверены на задачах, допускающих строгое решение. Выше Тс оказалось, что у = 1,250 ± 0,005, где ошибка взята с запасом, а ниже Тс лучшие оценки сходятся на у' = 1,29—1,31. Даже с учетом малой точности, скажем ошибки ±0,02, различие у и у' вполне заметно. Отсюда следует, что ниже Тс возрастает поправочный член к чисто степенному закону и мы в действительности имеем дело со случаем 3(a), а возможно, и с 3(6).

Теоретическая возможность, которая позволяет в принципе сохранить однородное уравнение состояния, устраняя в то же время указанную выше трудность, состоит в том, что на кривой сосуществования (которая является естественной границей области определения переменной х) скэй- линговая функция h. (х) не должна описывать все сингулярности. Но тогда в уравнение состояния необходимо ввести некоторые малые «добавки». Указание на такую возможность содержится, быть может, в сферической модели для размерности d ^ 5. Эта модель удовлетворяет асимптотическому феноменологическому уравнению состояния [(2.40) и (2.41)1, которое, в частности, предсказывает конечность всех производных ^т1 = (д^/д^т при £—>0_для Т <

< Тс. Однако известно, что в сферической модели для достаточно больших п (по сравнению с d) *) и фиксированном Т <_ Тс производные %тп) (g, 7) стремятся к бесконечности при £->0. Таким образом, скэйлинговая функция плохо описывает детали поведения высоких производных на границе однофазной области. Мы подробно покажем это в приложении А, а сейчас заметим только, что вопрос о точных условиях, при которых справедливо «асимптотическое» уравнение состояния, является весьма деликатным ).

Скэйлинговая функция

В заключение этой лекции приведем скэйлинговую гипотезу в форме, предложенной Гриффитсом:

S-signt^lYI^ (y^g-),(2.56)

и рассмотрим непосредственно вытекающие из нее следствия. При этом мы покажем, что скэйлинговая функция h (%) должна удовлетворять некоторым достаточно строгим требованиям.

Рассмотрим прежде всего критическую изотерму Т — = 7С или t = 0, где

С = sign (T) h (0) | V | при | V | -> 0.(2.57)

Сравнивая (2.57) с определением (2.16), видим, что 6 = 6 и что Ао = h (0) должна быть положительной и отличной от нуля. Напомним теперь (см. фиг. 2), что при фиксированном Ч' > 0 разложение вблизи 7 = 7С должно иметь вид

С - 20 (Т) + Z1 (V) Д7 + 22 (Т) Д72 + . . . .(2.58)

Для того чтобы такое же разложение получалось из скэй- линговой гипотезы, необходимо

h (х) = Ао + ^х + А2х2 + . . .,(2.59)

и, следовательно, из аналитичности $ (T, Т), т. е. из сходимости (2.58), следует, что А (х) должна быть аналитичной

Фиг. 3. Общий вид скэйлинговой функции h (х).Фиг. 3. Общий вид скэйлинговой функции h (х).Точка х = х0 соответствует кривой сосуществования; х = 0 — критической изотерме и х -♦ со — критической изохоре при Т > Тс.Точка х = х0 соответствует кривой сосуществования; х = 0 — критической изотерме и х -♦ со — критической изохоре при Т > Тс.

Фиг. 3. Общий вид скэйлинговой функции h (х).

Фиг. 3. Общий вид скэйлинговой функции h (х).

Точка х = х0 соответствует кривой сосуществования; х = 0 — критической изотерме и х -♦ со — критической изохоре при Т > Тс.

Точка х = х0 соответствует кривой сосуществования; х = 0 — критической изотерме и х -♦ со — критической изохоре при Т > Тс.

также при х = О (и во всех других точках). Подставляя (2.59) в (2.56) и сравнивая с (2.58), видим, что

г0 (Т) ~ I Ф |6, zt (Т) — | V ^/Ю . . . .(2.60)

Рассмотрим теперь кривую сосуществования $ -^- 0, Т —> То. Очевидно, следует предположить, что h (х) обращается в нуль при х = х0 = — | х0 |, т. е.

g = 0 = А (х0).(2.61)

Тем самым определяется величина спонтанного упорядо

чения

(2.62)(2.62)То (Т) - | х0 |~₽1 t Is (/-*0-)

(2.62)

(2.62)

и показатель степени р отождествляется с соответствующим индексом. Из сказанного выше вытекает, что функция h (х) должна в общем случае иметь вид, схематически изображенный на фиг. 3. Если, как естественно ожидать, 18—0826

разложение для слабых полей и 7< Тс имеет вид

Т (С, 7) = То (7) + Хт (Т) ^ + Х^+ . •(2.63)

то функция h (х) также должна разлагаться в ряд вблизи х = х0:

h (х) = ^ (х — х0) + &2 (х — х0)2 + . . . (х > х0). (2.64)

Это приводит после некоторых преобразований к тождеству

XH^)^^^-)где ?,==р(6_1)(/_^0-),

(2.65)

которое доказывает соотношение между индексами, полученное Вайдомом.

Обратимся, наконец, к критической изохоре при Т > Тс. При этом необходим переход к пределу Т -> 0 для t > О, откуда в свою очередь следует х->оо. В соответствии с (2.35), разложение £в общем случае имеет вид

С = хо (7) Т + Х2 (Т)Ч*-з + Х4 (7) Т5 + . . лт> Тс\ (2.66)

Сравнивая (2.66) с (2.56), получаем, что для больших х скэйлинговая функция должна быть представлена рядом h (х) =

= х^"1) (Но + Н2х-^ + НзХ^ +...) (х^ оо), (2.67) причем множитель перед круглыми скобками должен содержать | У |б, так что после сокращения ё (2.56) остается только множитель Т. Учитывая это, получаем для восприимчивости в нулевом поле при Т > Тс

Хт m - Хо (7)"1 = Н^М, где

у = р (6 — 1), ф = 0),(2.68)

в то время как

Х2 (Г) = Н2М-^ , . . . .(2.69)

Сравнивая (2.68) с низкотемпературной формулой (2.65), опять приходим к ожидаемому-условию симметрии: у = у'.

В случае отсутствия симметрии [см. (2.50)1 можно предположить, что индексы 6+ и 6_, Р+ и р_ различны для функ-

ций h.\. (х) и h_ (х), однако соотношение (2.66) для обеих скэйлинговых функций должно быть одинаковым. В частности, так как Хо (Т), Xi (Т), Х2 (7), . . . — однозначные функции, из (2.68) и (2.69) вытекают равенства 6+ = 6_ и Р+ — р_, а следовательно, и у+ = yl. [В то же время амплитуды на критической изотерме и кривой сосуществования могут быть различными для С— Са (Т) ^ 0.]

Для расчета теплоемкости надо сначала проинтегрировать уравнение состояния по Т, чтобы получить свободную энергию ^ (Т, ТУ а появляющуюся при интегрировании произвольную функцию определить из условия отсутствия сингулярности свободной энергии вдали от Тс. Мы не будем приводить здесь детали вычисления (см. [21, 261), но все указанные выше результаты непосредственно получаются таким же методом.

В заключение заметим, что неочевидна совместимость двух требований: а) аналитичности функции h (х) при конечных х, в частности при х = 0 и х = х0 [см. (2.59) и (2.64)1, и б) существования разложения (2.67), т. е. аналитичности по х-2Р функции х-₽(б-9 /i (х). В самом деле, я предлагаю каждому из слушателей, не думавшему раньше над этим вопросом, попробовать найти такую функцию для произвольного р ). С этого мы и начнем следующую лекцию.

Скэйлинг, степенные законы и аналитичность)

Введение

В этой лекции мы более подробно остановимся на упоминавшихся ранее гипотезах однородности и скэйлинга. Основная цель состоит в том, чтобы показать, насколько

можно уточнить или развить скэйлинговые идеи для получения, в частности, более общих, чем степеннйе, типов сингулярностей в критической точке. В отличие от предыдущей лекции я не буду здесь обсуждать возможные поправки к скэйлингу. По моему мнению, прежде чем ввести поправочные члены, необходимо глубже изучить основную гипотезу. Главная задача — избежать, если это удастся, условия полной симметрии относительно Тс и особенно утверждения о равенстве амплитуд А+ = А_ для теплоемкости выше и ниже Тс при логарифмической расходимости теплоемкости [21, 26]. Как уже говорилось, это предсказание скэйлинга противоречит экспериментам Алерса [14] на гелии вблизи Х-точки, из которых вполне определенно вытекает, что А^!А_ ^ 1,04.

Прежде всего мы хотим проверить, действительно ли, как это считается само собой разумеющимся, чисто степен- нь'е законы являются ключевым моментом для различных вариантов теории скэйлинга. Требования аналитичности и эквивалентности различных формулировок скэйлинга особенно тесно связаны со степеннйми законами. Однако при обсуждении идеи параметрического скэйлинга [31], которая сразу обеспечивает аналитичность (иначе, чем в изложенной выше схеме Вайдома — Гриффитса), мы расскажем о более гибкой «четырехфункционной» формулировке скэйлинга, которая допускает., любые сингулярности в критической точке, а также условие А+ ^= А _ для логарифмической особенности теплоемкости. Будет строго показано, какой ценой удалось этого добиться.

Однородность и скэйлинг

В переменных £ (упорядочивающее поле), Т (параметр порядка) и Т (температура) уравнение состояния

^ = В^,т). (3.1)

можно записать с помощью одной неизвестной функции двух переменных. Напомним еще раз, что гипотеза однородности состоит в том, что вблизи критической точки можно в асимптотическом виде переписать

А£ ^ Art (,(3.2)

где

AS = С - ?а т, АТ = Т - Тс, (3.3)

(3.4)

В формуле (3.3) t,a (Г) — линия фазовых переходов в плоскости (С, Т) x). Для простоты мы всюду будем предполагать, если не оговорено обратное, что А£ и АТ не отрицательные величины. Очевидно, как это уже отмечалось, что предположение об однородности приводит к замене неизвестной функции двух переменных 3 (х, у) неизвестной функцией одной переменной h (х) и двумя неизвестными индексами р и б, т. е. 3 ~ Цу ₽> 6}.

Теперь мы можем переформулировать эту гипотезу в скэйлинговой форме, предложенной Кадановым [4, 22].

Для этого покажем, что 3 (*, У) следует заменить функцией одной переменной, связывающей две масштабные переменные:

= <р (Т) ’= t (V) ’

т. е.

(3.6)

Масштаб выбран по отношению к переменной Т, a q> (Т) и т (Т) — соответствующие скэйлинговые функции для t, и t. Таким образом, мы заменили 3 (х, У) тремя функциями одной переменной: h (х), ф (х) и т (х), так что 3 ~ {fy ф, т}. Ясно, что это эквивалентно гипотезе однородности лишь при дополнительном предположении о том, что скэйлинговые функции определяются чисто степенными законами:

Ф (Т) = А^б, т (V) = AV-VP.(3.7)

Зададим теперь естественный, хотя как будто никем пока не поставленный вопрос: возможна ли последовательная, систематическая модель скэйлинга без допущения о чисто степенном законе? Для ответа на этот вопрос сформулируем в более общем виде математические основы теории скэйлинга.

т) Обозначения см. в первой лекции.

Суть гипотезы скэйлинга

Проблема термодинамического описания критических явлений в достаточно общем виде сводится к нахождению «уравнения состояния», связывающего три «термодинамические» переменные х, у иг:

F (х, у, z; g) = 0.(3.8)

Здесь £ — вспомогательный параметр, который удобным образом выражает «произвольность» уравнения состояния, т. е. тот факт, что уравнения состояния для различных систем могут отличаться, например, различными амплитудами и т. д. Привычные значения, приписываемые переменным х, у, z, указаны в табл. I.

Таблица 1

Различные значения критических скэйлинговых переменных

Система

Термодинамическая переменная

Параметр

X

и

2

Общий случай

t=\T!Tc

AC

AT

g

Ферромагнетик

t

H

M

^±^11

t

^^HldM^

M

t

H

F-Fc

Жидкость

t

И Pa (П

P —Pc

Л*

t

P —Pc

A — Ac

A-

t

P Pa (П

P — Pc

Л*

Сверхтекучий

t

V

1^1

Л*

гелий

t

А — Лс

1^1

Л*

Примечания 1) J^ и J^ — спин-спиновые обменные энергии, связывающие перпендикулярные и параллельные компоненты спина; Hj^ — перпендикулярная (не упорядочивающая) компонента общего магнитного поля Н = (Н, Н । ) в анизотропном ферромагнетике."

2) д* = (й/теоЗ)1/2 — квантовый параметр де Бура; т, г и а — соответственно масса молекулы, глубина потенциальной ямы и сечение рассеяния.

3) v и ф — недиагональное поле и макроскопическая волновая функция для сверхтекучего гелия.

Подчеркнем, однако, некоторую необычность выбора переменных в табл. I, где, например, г отождествляется

с сингулярной частью свободной энергии F — Fc. Заметим, кстати, что в принципе нет причины, по которой линейные комбинации обычно используемых переменных не могли бы использоваться в качестве масштабных переменных. Так, А£ всегда представляет собой, согласно (3.3), линейную комбинацию £ — Сс и АТ, так как t,a (Т) = tc + bt + ... при ^^ 0. Тогда в более общем случае следует положить

х = / + я (£ — £с)>(3.9)

у = (£ - У + bt(3.10)

и т. д. Подчеркнем, что это отнюдь не чисто академическая возможность. В частности, она реализуется для некоторых допускающих точное решение моделей классической жидкости «со взаимодействием между кластерами», исследованных Фельдергофом и автором [32], о чем пойдет речь в следующей лекции. Представляется вполне вероятным, что такого рода линейные комбинации окажутся удобными при изучении реальных несимметричных систем типа переход газ — жидкость. Конечно, такая возможность должна быть специально изучена.

Предположим, что переменные х, у, г выбраны так, что критической точке соответствуют их нулевые значения, т. е.

F(0, 0, 0;£)=0.(3.11)

Если переменная, с которой мы хотим работать, расходится в критической точке, как, например, восприимчивость %т, то мы будем чаще всего пользоваться обратной величиной. Конечно, в принципе уравнение (3.8) может быть «решено», скажем, в таком виде:

г = 3(х, у\ £),(3.12)

что по сути совпадает с исходной формулой (3.1) (во всяком случае, если отождествить z с £ и у с Т).

Теперь наша задача состоит в том, чтобы переписать уравнение состояния (3.8) в несколько «исправленной форме». Имея в виду приложения, мы хотим привести его к асимптотическому виду, однако сейчас мы рассмотрим уравнение F = 0.

Чтобы выявить суть гипотезы скэйлинга, выделим сначала одну переменную, скажем х, и введем скэйдинговые

функции р (х) и а (х) для оставшихся переменных у и z. Тогда гипотеза заключается в возможности записать уравнение состояния в виде чистого х-скэйлинга".

Это уравнение можно решить относительно у:

$]■<3-14)

Предполагая чисто степенной" закон

р (х) = Схх и о (х) = С'х*1,(3.15)

мы получили бы, в соответствии с табл. 1Д = рд и р, = р.

Очевидно, что вместо чистого х-скэйлинга мы могли бы постулировать чистый у-скэйлинг,

у=0,(3.16)

Х(И /v ’

или чистый z-скэйлинг,

Z=0.(3.17)

\ т (г) <р (г) ъх 1

Уравнение (3.17) тоже можно разрешить относительно у

^]-(за8)

Можно исследовать также различные варианты смешанного или обратного скэйлинга 133], но мы не будем здесь на этом останавливаться.

Предположим, что все скэйлинговые функции р (г), о (х), л (z/)... допускают для положительных значений своих аргументов по крайней мере однократное дифференцирование; точно так же однократно дифференцируемы функции U Vu; £], V (v; £] и т. д. Разумеется, эти предположения просто соответствуют дифференцируемости уравне-. ния состояния вдали от критической точки.

Эквивалентность различных скэйлингов

Наш первый вопрос и отвечающая на него теорема относятся к эквивалентности различных чистых скэйлингов. Рассмотрим, например, гипотезы чистых х- и z-скэйлингов.

Формулы (3.14) и (3.18)—-два различных представления уравнения состояния, решенного относительно у;

у = 2/ (х, z; g).(3.19)

Вопрос состоит в следующем: могут ли эти два выражения соответствовать одной и той же функции У, т. е. приводить к одинаковым термодинамическим функциям, и если да, то при каких условиях? Если при определенных обстоятельствах ответ на этот вопрос положительный, то те же физические результаты получаются при выборе любой показавшейся наиболее удобной переменной в качестве масштаба. С другой стороны, при отрицательном ответе мы должны решить, является ли х-скэйлинг (скажем, Т-скэйлинг) физически более «правильным», чем z-скэйлинг (скажем, ^-скэйлинг). Ответ на вопрос об эквивалентности содержится в следующей теореме.

Теорема 1. Эквивалентность и степенные законы. Чистый х-скэйлинг эквивалентен чистому z-скэйлингу тогда и только тогда, когда скэйлинговые функции р (х), о (х), т (z) и ф (z) — чисто степенные; более того, если они чисто степенные, то без потери общности их можно записать в виде-

<з (х) =СуХ^, р (х) = PiXx.(3.20)

Доказательство достаточности этой теоремы элементарно. Действительно, исходя из (3.14) и степенных законов, имеем

6]' <3'2»

что можно сразу переписать в форме z-скайлинга:

^/-<р(2)У (^; 5),(3.22)

если взять

Ф (z) = р^1^, т (z) = о-^цД/ц' (3.23)

и

У (у; y = ^(/(u-u; Н).(3.24)

Таким же образом, задавая чисто степеннйе скэйлинговые функции, легко доказать эквивалентность всех остальных вариантов скэйлинга (обоих чистых, смешанного и обратного). Более того, так как эквивалентность сохраняется при интегрировании и дифференцировании, то однородность свободной энергии (или ее сингулярной части) означает однородность уравнения состояния, а также восприимчивости, и наоборот.

Доказательство необходимости теоремы 1 является более тонким, хотя это доказательство нетрудно провести, используя методы, обычно применяемые при решении функциональных уравнений. Схема вычислений такова: нужно приравнять две формулы 1(3.14) и (3.18)1, подставить г = = ио (х), прологарифмировать и, дифференцируя по х и В, разделить слагаемые, содержащие независимые переменные. Так мы придем к дифференциальным уравнениям для скэйлинговых функций а (х) и т (z), интегрирование которых приводит к чисто степеннйм законам. Детали вычислений будут опубликованы [33].

Теорема 1 подчеркивает ту сторону обычной формулировки гипотезы скэйлинга, которую часто используют, но редко четко формулируют, а именно свободу выбора масштабной переменной. Однако если мы хотим ввести логарифмические множители, так чтобы а (х) = о^ (In х)^* (возможно, для описания какой-нибудь кривой сосуществования или критической изотермы), то нужно выбрать одну масштабную переменную и предпочесть ее всем остальным.

Требование аналитичности

Так как мы еще стремимся к обобщению идеи скэйлинга даже ценой отказа от соображений удобства' (или, быть может, от «красоты»), будем считать х-скэйлинг основной гипотезой и исследуем требования, вытекающие из аналитичности. (При этом можно опустить зависимость от £.) Теперь, как уже отмечалось в прошлой лекции, из условия аналитичности уравнения состояния, скажем в форме (3.19), при всех х и z, за исключением критической точки х = 2 = = б, следуют определенные ограничения на скэйлинговую функцию к (х) в (3.2) или U (и) в (3.14). В частности, для случая чисто степенного закона функция h (х) должна быть

Теория сингулярностей в критической точке283 аналитичной для всех конечных х, в том числе и для х= 0) в то время как для | х ) —>■ оо нужно потребовать аналитичности функции х-Р^-1)^ (х) по переменной х-^. Позже мы покажем, что общие функции, обладающие таким свойством, действительно можно построить, а теперь зададимся только вопросом’ возникают ли из условия аналитичности какие-либо ограничения на класс возможных скэйлинго- вых функций р (х) и о (х), в частности, могут ли они содер жать логарифмические множители? Следующая теорема показывает, что эти ограничения весьма сильны, и в конце концов снова приводят к степенным законам.

Теорема 2. Аналитичность и степенные законы. Если функция

у (х, z) = р (х) и [уУ. (3.25)

и ее производные dyldz и d^yldz2, аналитичны по х вблизи точки х = 0 (при z ^=0) и если U (ы) не является чисто степенной функцией \т. е. U (и)/иа^= const], то

z

Р W = Ро W ^ ехр ( — 2-г-)(3.26)

5=1 х3 '

и

т ь

о(х) = о0(х)х^ехр ^ — 2 -у) ,(3.27)

5=1

где ро (х) и о0 (х) — аналитические функции, не обращающиеся в нуль вблизи х = 0 при I ^т и ЬтФ 0 (за исключением случая т — 0, когда нет суммирования).

Для доказательства этой теоремы заметим прежде всего, что аналитичность функции у (х, г) по х и z, когда х =^ 0, обеспечивается просто предположением, что U (и) аналитична при конечных и и что р (х) и о (х) аналитичны для х > 0 (т. е. для х ^ 0). Поэтому существенна лишь аналитичность функции р (х) по х при х — 0, которая [так как мы можем предположить, что р (х) и о (х) —> 0 при х—> 0+] означает х->0~. Исключение из рассмотрения случая чисто степенной функции U (и) вызвано соображениями удобства и несущественно, поскольку скэйлинговая функция такого типа маловероятна.

Мы видим, если не обращать внимание на экспоненциальные множители в (3.26) и (3.27), что теорема 2 в сущности эквивалентна следующему утверждению: аналитичность обусловливает степенные законы. Единственное обобщение состоит в том, что степенная часть скэйлинговых функций может быть умножена на аналитические амплитуды р0 (х) и а (х). (Сравните с «простым случаем» 3(6) в классификации сингулярностей во второй лекции.) Несмотря на то что практическое использование этого свойства скэйлинговых функций обеспечивает соответствие с экспериментальными данными, может оказаться, что переход к скэйлингу по одной переменной обойдется нам слишком дорого.

Что можно сказать об экспоненциальных множителях? Их появление—неожиданное и удивительное обстоятельство, возникающее при обобщении скэйлинга. Однако поведение функции ехр [—ЫхЧ при х -> О (для положительных или отрицательных с) показывает, что эти множители не имеют физического смысла. Эти экспоненты несущественны до тех пор, пока мы не интересуемся свойствами, для которых характерные величины при приближении к критической точке расходятся или стремятся к нулю быстрее, чем любая степень АТ (или А£, или АФ).

Доказательство теоремы 2 для случая у (0, z) ^ О дано в приложении Б [33]. Мы не будем подробно останавливаться на трудностях, связанных с включением, скажем, логарифмических множителей в р (х) и <т (х) и попыткой избавиться от них при разложении функции у (х, z) при больших х. Отметим лишь, что эти трудности связаны с появлением бесконечного числа логарифмов и их степеней, а это в свою очередь приводит к недоказуемости теоремы 2.

' Теперь мы перейдем к так называемому параметрическому скэйлингу [29—31] и покажём, что он очевидным образом обеспечивает аналитичность уравнения состояния, также позволяет выйти за рамки чисто степенных законов, хотя они по-прежнему предпочтительны.

Явная аналитичность; параметрическое представление

Задача нахождения скэйлинговых функций h (х), U (и) ит. д„ которые явно удовлетворяют условиям аналитичности, была решена Джозефсоном [31] для чисто степенного

закона. Примерно в это же время Шофилд [29] предложил конкретный вид параметрического представления гипотезы однородности, который обеспечил очень удобное решение проблемы аналитичности, хотя Шофилд непосредственно и не занимался этой стороной дела. Основная идея весьма частного подхода Шофилда оказалась, как мы увидим, очень плодотворной, и мы воспользуемся ею в более общем случае.

е=ес

6 = + 19 = -16 = + 19 = -1(t)(t)

6 = + 1

9 = -1

6 = + 1

9 = -1

(t)

(t)

Фиг. 4. Иллюстрация к введению параметрических координат(г, 0).

На фигуре указаны значения 0 для некоторых характерных кривых.

Центральным пунктом термодинамики критического состояния является наличие выделенной точки (х, у, г) — = (0, 0, 0) и специальной линии или поверхности — границы раздела фаз,— сходящейся к критической точке и «разрезающей» пространство. Основная идея состоит во введении «полярных координат», причем радиальная переменная г > 0 определяет расстояние от критической точки г — 0, в то время как «угловая» переменная 0 определяет поворот вокруг критической точки. Для конкретности мы будем придерживаться первой строки табл. I, т. е. (х, у, z) = (/, С, V), т. е. (/, Н, М) для ферромагнетика. Рассматриваемая ситуация показана на фиг. 4, где в (х, у) плоскости сделан разрез вдоль отрицательной части оси х. Припишем определенные значения 0 характерным линиям на фазовой диаграмме:

0=0, z = 0 («критическая изохора»);

0О, положительная часть оси х или у = 0;

±0С, положительная (или отрицательная) часть оси у или х s 0;

±1, отрицательная часть оси х, при обходе у = 0 сверху или снизу.

Однако координаты г и 0 не являются общепринятыми полярными координатами; точнее сказать, мы постулируем, что уравнение состояния (3.8) определяется исключением г и 0 из общего параметрического представления;

х=^^к (0),(3.28)

У = Ч (г) I (6),(3.29)

2 = £ (г) m (0),(3.30)

где г > 0, —1 < 0 < 1 и

£ (г) -> 0, т] (г) —> 0, £ (г) —> 0 (при г ->■ 0).(3.31)

Предположим также, что радиальные функции £, г] и £ положительны, непрерывны и монотонно убывают (по крайней мере для малых г). В простейшем случае они снова могут быть простыми степенными функциями, определяющими термодинамическое поведение на характерных линиях фазовой диаграммы.

Чтобы удовлетворить приведенным (и показанным на фиг. 4) значениям величины 0 на этих характерных линиях, мы, кроме того, должны предположить, что

к (±0С) = 0, I (0О) = I (±1) = 0, т (0) = 0.(3.32)

Следует, однако, подчеркнуть, что для общей формулировки параметрического скэйлинга условия (3.32) не являются необходимыми; они обусловлены лишь конкретным выбором переменных (х, у, z) = (t, t,, V) и нашими знаниями относительно общей структуры уравнения состояния. Эти общие сведения подробно показаны на фиг. 5, где изображены функции к, I и т, согласующиеся с (3.32). Эта фигура иллюстрирует существо идеи параметрического скэйлинга, и я рекомендую каждому подумать о следствиях.

Для изучения некоторых из них положим сначала 0 = = ±1. Тогда параметрическое уравнение состояния приобретет вид

х = — | &i I ё М, 2 = т^ (г), у = 0+,(3.33)

Фиг. 5. Схема типичных угловых функций к (9), I (9) и т (9) для обобщенного параметрического скэйлинга.

(-хг, у,?) отождествляются с (6 £, ХР*) [т. е. U, Н, М) для ферромагнетика или Дц, для жидкocтиJ. указаны также нули и соответстпутопиир ампли- туды других функций.

где^!=^(1) и т^ — m (1). Исключая из этих уравнений г, получаем кривую сосуществования:

z = o+(|.x|)=m^ (Г1-^) (z/-=0, х<0). (3.34) Если известна, скажем, из эксперимента положительная ветвь кривой сосуществования <т+ (| х |) и задана функция

£ (г), то из этого уравнения можно определить радиальную функцию:

С (г) = [| ^t I § (г)]. (3.35)

Положим теперь 9 = 9С; тем же методом найдем уравнение критической изотермы

у = 4^ = 1^^ (^)] (х = 0, z>0), (3.36)

где lc = I (9С) й mc = m(9c). Опять-таки если известна положительная ветвь критической изотермы, то (3.36) можно переписать в виде

г) (г) = /сТФ+ 1^ (г)], (3.37) определяющем г] (г) через £ (г) и, следовательно, согласно (3.35), через £ (г) и положительную ветвь кривой сосуществования о+ (г).

Аналогично получаются уравнения других характерных линий на фазовой диаграмме, но прежде, чем перейти к подобному исследованию, сделаем ряд общих замечаний о параметрическом скэйлинге.

а. Аналитичность. Как следует из (3.28) —(3.30), аналитичность угловых функций по 0 и радиальных по г> О полностью обеспечивает аналитичность уравнения состояния всюду вдали от критической точки и линии фазовых переходов. [Мы ожидаем, исходя из (3.35) и (3.37), что при г = 0 радиальные функции имеют по крайней мере степенные сингулярности.] Это замечание решает вопрос об аналитичности. В приложении В к этой лекции будет подробно показано, как обобщить выражение для скэйлинговой функции h (х).

Неаналитичность. Любой тип неаналитичности на характерной линии, например на пересечении с критической изохорой или при приближении к линии фазовых переходов (см, следующую лекцию), может быть просто описан включением соответствующих сингулярностей в угловые функции.

Симметрия. Если считать к (9) четной функцией \к (0) = к (—9)], а / (9) и т (9) — нечетными [/ (9) = = — I (—0) и т (0) = — т (—9)], то очевидно, что уравнение состояния симметрично: F (х, у, z) — F (х, —у, —z\

Наоборот, несимметричное уравнение состояния сразу получается (для всех х, у, 2), если одна или несколько угловых функций несимметричны относительно 0 = 0. Именно такая ситуация показана на фиг. 5. Действительно, методом, использованным при получении (3.34) и (3.36), найдем

2 = <r_6|x|) = m.1g(r1-^) (3.38) и

y = (P_(|z|) = Z_ci1(ri-^7) (3.39)

соответственно для отрицательной ветви кривой сосуществования и критической изотермы. Они отличаются от положительных ветвей этих кривых лишь двумя численными скэйлинговыми множителями или. амплитудами.

Изменение формы параметрической гипотезы

На первый взгляд параметрическая гипотеза (3.28) — (3.30) использует шесть функций одной переменной (£, 4, £; k, I, т) вместо исходной функции двух переменных. Мы покажем, однако, что, не теряя общности, можно умень- |шить число функций до четырех, в качестве которых удобно

ввыбрать (т|, £; к. Г). Чтобы это увидеть, напомним, что

g (г) — монотонная и непрерывная функция, так что существует однозначная и непрерывная обратная функция

г = е (г) = g"1 (/).(3.40)

Воспользовавшись этим соотношением, перепишем основные уравнения в переменных г и 9:

х = гк(9), y = i\(r) I (в), 2 = \^т^,(3.41)

где

Ч (г) = ч[е (г)], £ (г) = С [е (г)].(3.42)

Отсюда следует, что в самом общем случае можно выбрать g (Г) = Г,(3.43)

что мы и сделаем.

Разумеется, мы не надеемся задать в общем виде остальные радиальные функции ^ (г) и ц (г), поскольку мы видели, что уравнение (3.35) и (3.36), переписанные следующим образом:

£ (г) = m"?y+ (I & I г), П (г) = Ic1^ [^- а+ (I ^11 ^j • (3-44) определяют критическую изохору и изотерму, вид которых не зависит от нашего желания. Действительно, если эти функции задаются обычными степенными законами, мы немедленно получаем

£ (г) = СогР, Я (г) = ПоН*, (3.45)

где

_<т1+|А1р <PiXPilP6пч ’ т&1с *

Эти формулы будут сопоставлены с первоначальной гипотезой однородности.

Чтобы продемонстрировать произвольность выбора угловых функций, полезно рассмотреть следующий пример:

х = гк (0), у = г3/2/ (6), 2 = Wm (в), (3.46) соответствующий 0 = V2 и 6=3. Тогда, если угловые функции связаны соотношением

I (6) = gQm (9) \к (0) + glm? (6)1 (3.47) (оставляющим, конечно, еще большой произвол для выбора этих функций), то, исключая г и 0, можно прийти к следующему уравнению состояния:

У = goZ (х + ^z2). (3.48)

В этом разложении легко узнать феноменологическое уравнение состояния, полученное в методе самосогласованного поля [см. уравнение (2.42)].

Шофилд в своей работе [29] выбрал функцию $ (г) в виде (3.43), постулировал степенные законы (3.45) и не рассматривал другие возможности, которые мы кратко наметили выше. Кроме того, он сделал предположение (без какого-либо обсуждения) о том, что функции к (0) и / (0) можно выбрать в виде простейших симметричных

полиномов, нули которых задаются формулой (3.32). Так, по Шофилду

^(в) = 1—602 (6>1), I (0) = в (1 — 02).(3.49)

Теперь легко проверить, что соотношение (3.47) удовлетворяется, если функция т (0) линейна по 0:

т (0) = то0.(3.50)

Здесь т0 = go1 и 6 = 1 + ^т2 ^ 1. Эти полиномиальные выражения для угловых функций определяют так называемую «линейную модель» [30], которая — при разумном выборе параметров т0 и Ь, а также индексов 0 и 6 — приводит к хорошему и с теоретической и с экспериментальной точек зрения уравнению состояния (см., например, лекции д-ра Матильды Вицентини-Миссони). Вопрос о том, действительно ли т (0) — линейная функция 0, серьезно обсуждался в литературе. С рассматриваемой нами общей точки зрения этот вопрос лишен смысла, так как из (3.47) сразу ясно, что даже феноменологическое уравнение состояния (3.48) можно описать бесчисленным набором функций к, I и т. Можно было бы спросить, почему не используются тригонометрические функции, и взять / (0) ==sin л0. Однако тем не менее мы покажем, что, не теряя общности, можно выбрать в качестве т (9) линейную функцию. Прежде чем перейти к этому общему исследованию, заметим, что асимптотическое уравнение состояния для трехмерной сферической модели [34]

У = g# (х + g^(3.51)

может быть получено при значениях индексов 0 = V2, 8 = 5 и любых угловых функциях,. удовлетворяющих условию

/ (0) = gom (0) [к (0) + g^tn? (0)12.(3.52)

Тогда, если, как и раньше, положить & (0) = 1 — 602 и т (0) = то0, то I (0) будет нечетной функцией пятого порядка по 0. Наоборот, нельзя получить соотношение (3.52) или удовлетворить условию (3.51) в рамках линейной модели (3.49) и (3.50).

Докажем возможность выбора линейной функции (3.50) при т0 — 1. Согласно фиг. 5, можно ожидать монотонного

19»

изменения функции m (6), т. e. ей однозначно соответствует обратная функция

6 = п (ё) = т"1 (0)(| 0 К 1).(3.53)

Теперь, подобно тому как это было сделано с радиальной функцией g (г), выразим функции к и I через переменную ё:

к (0) = к \п (0)] и I (0) = I [п (0)],(3.54)

где т (0) = 0. Если т (0) — немонотонная функция, то можно разбить область изменения 0 на отдельные участки, построить в каждом из них обратные функции и «сшить» в граничных точках. Практически это довольно трудно сделать, но принципиальных сложностей не возникает.

Четырехфункционный скэйлинг

Формулировка скэйлинга сводится теперь к четырех- функционной схеме

х — rk (0), у = т] (г) I (0), 2 = £ (г) 9,(3.55)

где функции т] (г) и £ (г), согласно (3.44), могут быть непосредственно определены из вида кривой сосуществования и критической изотермы. Резюмируем преимущества такой формулировки: а) сингулярности функций т] (г) и £ (г) в критической точке могут быть весьма различными (в частности, произвольные комбинации чистых степеней, степеней логарифмов и аналитических множителей); б) обеспечена явная аналитичность уравнения состояния; в) неаналитичности на характерных линиях фазовой диаграммы легко вводятся с помощью соответствующего выбора угловых функций к (0) и I (0); г) естественно, описываются системы, обладающие и не обладающие симметрией.

Относительно последнего пункта можно заметить, что в несимметричной ситуации (0О У= 0) критическая изохора (0 = 0) задается уравнением типа

У^^Ч^) (z = 0, х >0),У^^Ч^) (z = 0, х >0),(3.56)(3.56)

У^^Ч^) (z = 0, х >0),

У^^Ч^) (z = 0, х >0),

(3.56)

(3.56)

а линия 0 = 0О определяется как

г = е0Ц^-) (z/ = 0, х = 0), (3.57) где кйй = к (0О) [и, может быть, т90 = т (0О) — ©ol- В чисто степенном случае (3.45) эти. формулы приводят соответственно к у ~ л£б и z ~ х^_ 6J

Остался невыясненным еще один принципиальный вопрос: действительно ли необходимы две угловые функции к (6) и I (6) или одна из них может быть выбрана произвольно? Этот вопрос довольно естествен, так как первоначальное обобщение гипотезы однородности [(3.5) и (3.6) или (3.14)1 содержало только три функции одной переменной, а именно {/i; ф, т} или ^U; р, <т}, а не четыре {тр £; к, /}. Однако в случае трех функций возникали трудности с аналитичностью для не чисто степенных законов. С другой стороны, приведенные выше ([3.46) — (3.52)1 примеры параметрического скэйлинга допускали задание двух функций: m (0) = 0 и произвольной, скажем, к (0), но эти примеры соответствовали чисто степенным функциям г] и £. Итак, мы предполагаем, что правильно ситуацию описывает следующая теорема.

Теорема 3. Четырехфункционный скэйлинг и степей” ные законы. Угловая функция к (0) в параметрических уравнениях (3.55) может быть выбрана произвольно (в рамках известных ограничений) тогда и только тогда, когда обе радиальные функции т] (г) и £ (г) описываются чисто степенными законами.

1\ля доказательства этой теоремы, которая снова утверждает, что степенные законы приводят к самой «приятной» формулировке скэйлинга, необходимо понять, что означает произвольный выбор к (0). Пусть задана определенная функция к (0), и мы хотим заменить ее новой функцией к (в). Эту процедуру можно описать изменением параметра к от нуля до единицы в выражении

к (0, У) = к (0) + ХА& (0), А£ (0) = к (0) — к (0). (3.58)

Теперь мы хотим выяснить, можно ли заменить функцию I (0) новой функцией I (0) так, чтобы новые параметрические уравнения описывали то же самое уравнение

состояния при изменении переменных г и 9 в пределах области их определения. Если увеличить % на dX, следует потребовать, чтобы

dx=kdr-V-rk' d9-V-rA.kdX = 0,(3.59)

dy = -x\'ldr^x\V de + r]-~d^ = O,(3.60)

dz = ^9dr+^de = 0,(3.61)

где штрихи означают дифференцирование по г или 9 (при постоянном %). Исключая дифференциалы, получаем

iW = Q(.a, Ч[4ж-««]■(3-62)

где

• U V (г) Ч (г) ’ g ^ rg' (г)(3163)

И

С^-^ТТ'(3.64)

Теперь продифференцируем~(3.б2) по г:

f'(r) = Q(9, Х)У(г).(3.65)

Так как 9 и г—независимые переменные, равенство (3.65) выполнимо лишь при одном из двух условий:

Q (9, X) = q = const '

или.(3.66)

Первую возможность можно сразу отбросить. В этом легко убедиться, если проинтегрировать 1) и учесть, что нули функций k (9) и I (9) не совпадают. Интегрирование второго условия (3.66) приводит к чисто степенным законам:

Ч (Г) = ЛА С (г) = Вгь,(3.67)

где в наших обозначениях а = 06 и 6 = 0.

Приступим теперь к доказательству достаточности теоремы 3. Если условие (3.67) выполнено, то уравнения (3.62) и (3.64) сводятся к дифференциальному уравнению в частных производных для функции I (9, %), которое удобно за-

писать через функциональные производные:

6/(9) _ ЬЫ' (9)- al (9)_

66(9) ~ 69А'(9)—W) '(о.оо)

Это уравнение можно проинтегрировать всегда, за исключением случая £ (6) = ^i б1/», когда знаменатель в (3.68) обращается в нуль. Решение уравнения (3.68) показывает, как нужно изменить I (6), чтобы скомпенсировать любое изменение функции k (9) [значение k (9) = k^R* исключено как противоречащее требованию (3.32)]. Следовательно, для чисто степенного случая к (9) может быть выбрано произвольным образом.

Заметим в заключение, что в чисто степенном случае очень легко показать, что трехфункционный параметрический скэйлинг, вообще говоря, сводится к обычной гипотезе однородности. Детали этих вычислений приведены в приложении В. Как и следовало ожидать, удается найти выражение для скэйлинговой функции h (х), которое обеспечивает правильные аналитические свойства.

9. Заключительные замечания

Из предыдущего следует, что за попытки выйти за пределы обычной гипотезы однородности или скэйлинга с чисто степенными законами нам приходится расплачиваться. При этом четырехфункционный скэйлинг (3.55) представляется наилучшим методом для описания произвольных, а не только чисто степенных сингулярностей в критической точке, несмотря на то что приходится определять на одну угловую функцию больше, чем в параметрическом скэйлинге с простым степенным законом.

В заключение этой лекции вернемся к нашей исходной идее — попытке построить такую формулировку скэйлинга, которая допускала бы логарифмическую аномалию теплоемкости, но с асимметричными амплитудами выше и ниже Тс. Теперь мы можем это сделать! Допустим, что кривую сосуществования описывает обычный степенной закон:

o(r) = Ur)=BA(3.69)

С другой стороны, постулируем наличие логарифмической особенности на критической изотерме (которая для гелия

принципиально ненаблюдаема, так как нельзя создать необходимое для этого конечное недиагональное поле):

<р (г) — D | г |б In | г |-1.(3.70)

Напомним, что, согласно (3.37), это уравнение определяет функцию т] (г). Теперь необходимо определить функцию, обратную к (9):

е = /(^_^-1(е)](3.71)

и вспомогательную функцию

£ (Ф = Г (&) О' (^) V [/ (&)] — 6Z [/ (&)]} =

= ^о + q^k + qjk% + . . . при к ->- 0. (3.72)

Для получения логарифмической особенности теплоемкости предположим, как обычно, что а = 2 — р (1 + 6) = = 0, а также, что q^ = 0. Это «случайное» обращение в нуль производной dqldk при к = 0 необходимо, чтобы погасить слагаемое (In ]1 ])2 в теплоемкости. (Напомним, что в обычном феноменологическом случае с Р = Va, 6=3 такая же «случайность» полностью исключает логарифмическую особенность теплоемкости.) При выполнении этих условий мы действительно получаем особенность теплоемкости в виде

с (Г) = Л± In I t I"1 + В± + . . . при 0±, (3.73)

где Л +Л_.

Точные выражения для Л+ и Л_ содержат интегралы от функции q (к) и достаточно сложны [33] даже в случае обычной гипотезы однородности [26].

Отметим наконец, что, хотя на этот раз в уравнении кривой сосуществования (3.69) не появляется лишний логарифмический член, он снова «выскочит» где-нибудь в другом месте! В частности, восприимчивость на изохоре выше Тс и на кривой сосуществования ниже Тс имеет теперь следующий вид:

= -1т (Г) та—± ,(3.74)

где, как обычно, у = у' = р (6 — 1). Такую (недиагональную) восприимчивость также, по-видимому, невозможно наблюдать на Делии.

Имея асимметричный логарифм для теплоемкости (3.73), мы вновь получили возможность описания свойств сверхтекучего гелия в рамках теории скэйлинга, хотя и несколько более расширенной, поскольку теперь эта теория требует определения по крайней мере еще одной дополнительной функции одной переменной сверх необходимых для формулировки простой гипотезы однородности. По-види- мому, еще рано говорить о том, стоит ли это делать, не изменятся ли экспериментальные данные для гелия (что кажется пока маловероятным!), не появятся ли более сильные противоречия скэйлинга с экспериментом.

Капельная модель: ее развитие и особенности 4.1. Введение

Капельная модель — или, может быть точнее, капельный подход — представляет собой приближенный метод исследования критических явлений [2, 25], обладающий рядом преимуществ по сравнению с существенно феноменологической гипотезой однородности и скэйлинговыми постулатами, которыми мы занимались до сих пор. Принципиальное преимущество состоит в том, что этот подход в рамках микроскопической картины позволяет понять влияние, оказываемое на критические явления: а) близкодействующими силами взаимодействия и б) размерностью пространства d. Существенно, что это — единственный известный мне метод (не считая точные решения для модели Изинга и другие), который делает по крайней мере некоторые численные предсказания для критических индексов, а не ограничивается общими соотношениями, вытекающими из скэйлин- гового описания. Хотя эти предсказания и не точны, они, как мы увидим, очень эвристичны. Как недавно показано Киангом [35], капельная модель приводит также к некоторым другим численным предсказаниям, которые, как оказалось, удивительно хорошо соответствуют как теоретическим расчетам, так и эксперименту. Благодаря тому что в модели явно фигурируют силы взаимодействия, она, как было недавно показано Вагнером [36], может быть использована для изучения эффектов связи «основных степеней свободы», скажем набора взаимодействующих1 спинов в фер-

принципиально ненаблюдаема, так как нельзя создать необходимое для этого конечное недиагональное поле):

<р (z) = D | г |б In \ z |-1.(3.70)

Напомним, что, согласно (3.37), это уравнение определяет функцию т] (г). Теперь необходимо определить функцию, обратную к (0):

0 =/(^) ^^^ (0)](3.71)

и вспомогательную функцию

q № = /' ^ {/ (к) V Ц (АД - 61 [/ (АД) =

= ^о + q^ + q^k? + . . . при к ->- 0. (3.72)

Для получения логарифмической особенности теплоемкости предположим, как обычно, что а = 2 — р (1 + 6) = = 0, а также, что q^ = 0. Это «случайное» обращение в нуль производной dqldk при к = 0 необходимо, чтобы погасить слагаемое (In ]1 |)2 в теплоемкости. (Напомним, что в обычном феноменологическом случае с р = V2, 6=3 такая же «случайность» полностью исключает логарифмическую особенность теплоемкости.) При выполнении этих условий мы действительно получаем особенность теплоемкости в виде

С (Г) = А± In | t Г1 + В± + . . . при 0±, (3.73)

где А^^ А_.

Точные выражения для А+ и А_ содержат интегралы от функции q (к) и достаточно сложны [33] даже в случае обычной гипотезы однородности [26].

Отметим наконец, что, хотя на этот раз в уравнении кривой сосуществования (3.69) не появляется лишний логарифмический член, он снова «выскочит» где-нибудь в другом месте! В частности, восприимчивость на изохоре выше Тс и на кривой сосуществования ниже Тс имеет теперь следующий вид:

С.

(Л ^ ,(3.74)

где, как обычно, у = у' = р (6 — 1). Такую (недиагональную) восприимчивость также, по-видимому, невозможно наблюдать на гелии.

Имея асимметричный логарифм для теплоемкости (3.73), мы вновь получили возможность описания свойств сверхтекучего гелия в рамках теории скэйлинга, хотя и несколько более расширенной, поскольку теперь эта теория требует определения по крайней мере еще одной дополнительной функции одной переменной сверх необходимых для формулировки простой гипотезы однородности. По-види- мому, еще рано говорить о том, стоит ли это делать, не изменятся ли экспериментальные данные для гелия (что кажется пока маловероятным!), не появятся ли более сильные противоречия скэйлинга с экспериментом.

4. Капельная модель: ее развитие и особенности

Введение

Капельная модель — или, может быть точнее, капельный подход — представляет собой приближенный метод исследования критических явлений [2, 25], обладающий рядом преимуществ по сравнению с существенно феноменологической гипотезой однородности и скэйлинговыми постулатами, которыми мы занимались до сих пор. Принципиальное преимущество состоит в том, что этот подход в рамках микроскопической картины позволяет понять влияние, оказываемое на критические явления: а) близкодействующими силами взаимодействия и б) размерностью пространства d. Существенно, что это — единственный известный мне метод (не считая точные решения для модели Изинга и другие), который делает по крайней мере некоторые численные предсказания для критических индексов, а не ограничивается общими соотношениями, вытекающими из скэйлин- гового описания. Хотя эти предсказания и не точны, они, как мы увидим, очень эвристичны. Как недавно показано Киангом [35], капельная модель приводит также к некоторым другим численным предсказаниям, которые, как оказалось, удивительно хорошо соответствуют как теоретическим расчетам, так и эксперименту. Благодаря тому что в модели явно фигурируют силы взаимодействия, она, как было недавно показано Вагнером [36], может быть использована для изучения эффектов связи «основных степеней свободы», скажем набора взаимодействующих1 спинов в фер-

ромагнетике со «скрытыми переменными» или «неосновными степенями свободы», например такими, как колебания решетки, что может привести к появлению эффективного дальнодействующего спин-спинового взаимодействия. Существенный недостаток модели, который может в конце концов привести к неправильному результату, состоит во введении физических и математических приближений, точность которых трудно оценить и которые трудно усовершенствовать, не теряя общности модели. Однако основные идеи капельного подхода можно использовать для анализа точных моделей — с определенными фиксированными гамильтонианами,— которые допускают строгое решение и в то же время описывают фазовые переходы и критические явления. Некоторые выводы, сделанные на основе моделей с кластерным взаимодействием, достаточно удивительны [32], однако не абсурдны; они ясно показывают решающую роль характера взаимодействия между частицами, которая иногда затемняется при феноменологическом подходе. Конечно, возможность пользоваться моделями, допускающими точные решения, должна быть оплачена. Такой платой является одномерность моделей и лишь приближенный учет многочастичных взаимодействий в гамильтониане. Однако большинство сингулярностей в критической точке, которые могут быть точно исследованы (включая также и те, которые противоречат скэйлингу), компенсируют упрощения, содержащиеся в этих моделях.

Основной целью этой лекции является обзор некоторых новых исследований, но, по-видимому, естественно начать с общей схемы простой капельной модели. Я не буду здесь критически обсуждать различные предположения и методы,— более полное изложение можно найти в работе [25].

Капельная модель

Основная идея капельной модели состоит в предположении, что любую конфигурацию частиц, образующих, скажем, газ или, говоря несколько более смело, плотную жидкость, можно составить из набора отдельных «капель» или «кластеров». Каждая капля состоит из 1, 2, 3... I... частиц (атомов или молекул), тесно связанных друг с дру-

ГОМ и эффективно образующих для больших I плотную каплю, свободная энергия которой такая же, как и у плотной жидкости при той же температуре. Для конкретности можно предположить, что парное взаимодействие между молекулами имеет конечный радиус действия г = Ъ, и назвать г = b = с кластерным расстоянием в том смысле, что две .части, находящиеся на расстоянии, меньшем с, принадлежат одному и тому же кластеру ). (В отличие от «кластеров» Майера в его знаменитом кластерном разложении наши кластеры, во всяком случае, в постановке задачи представляют собой реальные кластеры или капли, а не /-частичные группы в ряду теории возмущений.)

• Чтобы сформулировать эту физическую идею на математическом языке, сделаем ряд предположений.

Невзаимодействующие капли. Будем предполагать, что отдельные капли можно считать независимыми, т. е. пренебрежем объемом, занятым каплями, по сравнению со всем объемом. Это верно при малых плотностях, но остается открытым важный вопрос о критической плотности, которая обычно равна примерно х/з плотности, соответствующей «плотной упаковке». Предполагается, однако, что ошибки могут быть исправлены некоторой «перенормировкой» входящих в теорию параметров.

В этом предположении мы получаем с помощью стандартных методов статистической механики [25]

-^-=^-1пВ (г, Т) = 2 ("Пр") z'’ С4-1)

где В — большая статистическая сумма для системы, находящейся в объеме V, в то время как г — активность, нормированная, как обычно, на величину, стремящуюся к нулю при р —> 0. Множитель qt (Т)— статистическая сумма для изолированного кластера из I частиц, движущегося в объеме V. Эта статсумма связана со свободной энергией, энергией и энтропией капли соотношением

--^=1пГ^]---* (4.2)

Объемные и поверхностные слагаемые. Предположим, что Fjk^T содержит объемный вклад

<4-3>

пропорциональный I, где Ео — энергия связи частицы в большой капле, т. е. в жидкости. Кроме того, предположим, что поверхностный член может быть записан в виде

где w — положительная поверхностная энергия (обусловленная «уменьшением» взаимодействия или «уменьшением» энергии связи для частиц, находящихся на поверхности), а со — поверхностная энтропия, связанная с «неглад- костью» поверхности (и, быть может, дополнительными поверхностными конфигурациями, обусловленными уменьшением плотности и т. д.). Множитель s (Z) в (4.4) — средняя, или эффективная, площадь поверхности (или длина периметра в двумерном случае, d = 2). Этот множитель неограниченно возрастает при Z—э-оо, но не может расти при фиксированном I. Таким образом, мы постулируем, что

7(Z) « а01°, где 0 < о < 1.(4.5)

Поскольку площадь поверхности реальной капли из геометрических соображений не может расти медленнее, чем /2/з в трехмерном и Z1/2 в двумерном случаях, мы предполагаем, что

а для d = 2,

2.(4.6)

о— для d = 3.

Это простое замечание послужит основой для наших численных оценок критических индексов. Приближенность равенства в (4.6) учитывает возможность того, что ст может быть несколько больше из-за «негладкости» поверхности (это, вероятно, наиболее важная причина при критических температурах), с чем связано образование кластеров типа «морской водоросли», а не компактных сферических образований. С другой стороны, пренебрежение возможностью

,Теория сингулярностей в критической точке 301 перекрытия отдельных капель может привести к значениям ст, меньшим чем величины, указанные в (4.6), так как s"(Z) представляет собой лишь эффективную площадь поверхности.

Геометрическое слагаемое. Наконец, мы должны добавить к общей свободной энергии капли геометрическое слагаемое

qi = — т In I + In q0. (4.7) Второе слагаемое представляет собой несущественный амплитудный множитель в статистической сумме qt (7^. В то же время первое слагаемое приводит к появлению в статистической сумме множителя /-т, т. е. второго индекса т. Возникновение этого слагаемого связано с необходимостью такого выбора формы поверхности кластера, чтобы уменьшилась общая энтропия [25], связанная с поверхностью. В двумерном случае множитель такого типа хорошо известен и представляет собой отношение общего числа случайных путей или цепочек из s звеньев к тем из них, которые замкнуты, т. е. через s шагов возвращаются в исходную точку. Действуя таким образом, можно прийти к заключению, что т должно быть больше единицы, но трудно сказать насколько.

Объединяя все эти предположения (а, б и в), запишем

« q^x^y1, (4.8) где множитель

, = ехр[_^=5П_] (4-9)

связан с температурой и принимает значения от нуля до единицы и больше единицы, когда Т меняется от нуля до Тс и выше Тс, в то время как

(^ + -^-) -«Р [■ ^т7' ] <4Л0>

определяет приведенную активность и меняется от нуля до единицы, когда г меняется от нуля до го (У) — величины, соответствующей конденсации (для Т ^ Т^, или когда р, меняется от — оо до ро (У). В этих обозначениях все тер-

Фиг. 6. Изотермы давление — плотность для капельной модели. На фигуре показаны критическая точка (/) и точки, где имеются существенные особенности при конденсации, (2). Ниже Тс отсутствует жидкая, в собственном смысле этого слова, фаза.Фиг. 6. Изотермы давление — плотность для капельной модели. На фигуре показаны критическая точка (/) и точки, где имеются существенные особенности при конденсации, (2). Ниже Тс отсутствует жидкая, в собственном смысле этого слова, фаза.

Фиг. 6. Изотермы давление — плотность для капельной модели. На фигуре показаны критическая точка (/) и точки, где имеются существенные особенности при конденсации, (2). Ниже Тс отсутствует жидкая, в собственном смысле этого слова, фаза.

Фиг. 6. Изотермы давление — плотность для капельной модели. На фигуре показаны критическая точка (/) и точки, где имеются существенные особенности при конденсации, (2). Ниже Тс отсутствует жидкая, в собственном смысле этого слова, фаза.

модинамические свойства системы описываются уравнением

^ = .0 2 г^,Бi=i^ = .0 2 г^,Бi=i(4Л1)(4Л1)

^ = .0 2 г^,Бi=i

^ = .0 2 г^,Бi=i

(4Л1)

(4Л1)

а плотность определяется соотношением

Р-^ТГг-^З'1"’^.(412>

Б1=1

Исследуя эти уравнения, нетрудно [25] прийти к следующим выводам (фиг. 6).

При х < 1 (т. е. Т <1 Тс) система конденсируется, когда у достигает величины уа.= 1. По существу конденсация имеет место внутри одной^бесконечной капли.

Изотермы р (р) и р (р) обладают сингулярностями (в смысле теории функций)] при р -> рст (Т)~ или р -> р„ = = Рг к^У ниже Тс. Но это — существенно особые точки, для которых все производные, (дпр!дрп)т и т. п., остаются конечными даже в точке конденсации, т. е. эти особенности экспериментально необнаружимы.

Уравнение (4.12) в сущности непригодно для описания жидкости и ветви кривой сосуществования, соответствующей жидкости при Т ^ Тс (фиг. 6), в основном потому, что мы пренебрегаем возможностью образования «пузырь- ков»Лв плотной жидкой фазе, которые были бы аналогом капель в газовой фазе малой плотности ).

При Т = Тс, р = рс и р = рс имеется обычная критическая точка, в которой сжимаемость расходится как при Т -> Тс для р = рс, так и при Т -^ Тс вдоль кривой сосуществования р = рг (7) (фиг. 6).

Все критические индексы определяются через индексы пит; в частности, получаем

а==а'=2—^-, (4.13)

, v==v =—_ (4.14) и т. д.

До сих пор мы рассматривали общие термодинамические свойства; перейдем теперь к некоторым численным расчетам, а затем к скэйлингу в капельной модели.

Численные расчеты

Из уравнений для критических индексов (4.13) и (4.14) можно получить выражения для ст (и т; см. ниже) через непосредственно наблюдаемые индексы. Так,

я=Тгк-а-15)

Сравним теперь этот результат с имеющимися данными. Для двумерного случая существуют лишь расчеты для плоских моделей Изинга или для моделей решеточных газов [31, где Р = V8 и у = 7/4. Тогда

1Р+т1Р+тА-^0,533,А-^0,533,(4.16)(4.16)

1Р+т

1Р+т

А-^0,533,

А-^0,533,

(4.16)

(4.16)

что очень хорошо согласуется с ожидаемой величиной ст = = V2 1см. (4.6)1.

Для трехмерного случая расчеты для модели Изинга [3] и эксперименты на бинарных сплавах дают р яу б/16 и у = 6/4, что приводит к величине

^_=^.=0,640.^_=^.=0,640.(4.17)(4.17)

^_=^.=0,640.

^_=^.=0,640.

(4.17)

(4.17)

которая весьма близка к ожидаемому по (4.6) значению ст « 2/3, хотя и несколько меньше его. Для реальных газов Р=0,34—0,36 и у = 1,15—1,26, откуда ст = 0,62—0,67. Из (4.16) и (4.17) видно, что капельная модель очень хорошо передает зависимость ст от размерности пространства.

Кианг недавно заметил [351, что капельная модель при более внимательном рассмотрении описывает также корреляцию между критическим отношением рс/рс&Б Тс и индексом 6, характеризующим форму критической изотермы. Чтобы увидеть это, вернемся к формулам (4.11) и (4.12) и поставим в них Т = Тс и р = pff, т. е. х = 1 и у = 1. Это приводит к соотношению

z-T=»"S(t),(4.18)

Б с "

где g(s)— дзета-функция Римана, а

Рс = ^о3 /1"т = ^(т—1),(439)

z=t

если только т > 2 (предполагаем, что это условие выполнено,- чтобы обеспечить конечную величину критической плотности). Для того чтобы исключить т, можно воспользоваться приведенными выше соотношениями между индексами, но более поучительно перейти к непосредственному изуче-

Теория сингулярностей в критической точке305 нию критической изотермы, на которой

р = Рс + Рс^Б Те (у — 1) + . . .,(4.20)

так что

Рс^б2 с Рс^б2 с кроме того,

Р= q. 2 7^" ^ рс" Л ^-«У™2 + • • •(4-22)

z=i

— соотношение, которое можно было получить и другим путем. Исключив (1 — у), получим (В ~ А —другая константа)

Др = рс — р ^ ВАр^.(4.23)

Показатель степени в (4.23), согласно обычным обозначениям, нужно отождествить с 6 по следующему правилу:

6 = -^72" или т = 2 + -у.(4.24)

Комбинируя эти соотношения с (4.18) и (4.19), получаем [35] _Л=._ = 5 (2 + 6-1).

рс&БГс g (1+6-1)'

На первый взгляд кажется, что определение (4.25) критического отношения ничем не лучше, чем результат расчета с учетом известных (приближенно) первых шести вириальных коэффициентов. В защиту выражения (4.25) можно заметить, что, во-первых, амплитуда qQ сокращается и, во-вторых, ряды для g (1 + 6-1) слабо расходятся (так как 6“i < 0,2), так что капли достаточно больших размеров весьма существенны. Во всяком случае, пусть числа говорят сами за себя!

В верхней части табл. II приведены значения величины 6 для различных теоретических моделей и приближений, а также полученные из эксперимента и даваемые формулой (4.25) критические отношения. Сразу заметим, что истинные критические отношения зависят не только от 6. Тем не менее при изменении критических отношений примерно в четыре раза теоретически предсказываемые величины отличаются от истинных только на 5—9% — это действительно замечательный результат!

20—0826

Таблица II

Проверка предсказываемых теорией Кианга [35] критических отношений

d

Система

б

Рс<РсЧТс

Предсказания

^с^Рс^Б^с

б

2

Квадратная решетка Изинга

Треугольная решетка Изинга

15 .

15

0,0986

0,1112

0,1018

3

Простая кубическая решетка Изинга

Гранецентрированная кубическая решетка Изинга

5,2±0,2

5,2±0,2

0,246

0,258

0,258±0,006

ОО

Ван-дер-Ваальс

Брэгг — Вильямс

3

3

0,375

0,3863

0,392

3

со2 Хе Не»

4,6±0,4

4,6±0,2

4,45±0,2

0,287

0,290

0,305

4,56

4,50

4,22

В нижней части табл. II ситуация обратная: наблюдаемое критическое отношение использовано для предсказания величины 6 (которая не слишком точно определяется в эксперименте). Корреляция снова поражающая —и критические отношения и величины 6 явно отличаются от приведенных в первой части таблицы, но хорошо согласуются между собой. Кианг предложил также формулу для расчета индекса б для различных углеводородов (предсказанные значения б = 4,7—5,2) и для жидкостей с полярными молекулами (в то время еще экспериментально не исследованных). В последнем случае предсказанные величины были угрожающе велики. Так, для воды была предсказана величина б = 6,2. Штрауб [37] измерил критическую изотерму воды и нашел б = 4,2 (используя 0 = 0,35 и т. п.; скэйлинговые соотношения предсказывают б = 4,4).

Истинная величина явно отличается от предсказанной, что вызывает определенные сомнения относительно общности формулы (4.25). С другой стороны, такого рода противоречие, вероятно, следовало предвидеть! Так, полярный характер молекул воды (и их хорошо известная тенденция к образованию молекулярных агрегатов в жидком состоянии) наводит на мысль, что источником ошибок в противоположность случаю простых веществ может служить перенесение результатов рассмотрения поведения больших капель на капли, состоящие лишь из дюжины молекул. Со временем мы сможем проверить это предположение с помощью детального изучения малых молекулярных кластеров, скажем методом Монте-Карло или молекулярной динамики.

Скэйлинг в капельной модели

Для капельной модели были получены соотношения между индексами

а'+ 2Р + у' = 2, а' + р (1 + 6) = 2,(4.26)

6=1 + ^-,(4.27)

а = а', у = у',(4.28)

но не было показано, что вытекающее из (4.11) и (4.12) уравнение состояния действительно удовлетворяет обычной гипотезе однородности Вайдома ).

Для того чтобы это показать и получить точную формулу для скэйлинговой функции, перепишем уравнение (4.12) для плотности в виде

Р-Рс = 9о 21) I1"1.(4-29)

i=i

Так как хс= 1 и ус = 1, то вблизи критической точки можно переписать (4.9) и (4.10) следующим образом:

(4.30)(4.31)(4.30)(4.31)х = е^«е^

(4.30)

(4.31)

(4.30)

(4.31)

* сгде Qi = const, ис

Эти формулы, за исключением нормировки на k^Tc, согласуются с нашими прежними общими соотношениями. Для малых t и С сумма в (4.29) медленно сходится; при этом можно в первом приближении заменить сумму интегралом. Тогда мы получаем

ДТ = р-рс^7о j (eOit^-s^j)/1-^/, (4.32) о

причем интеграл сходится при £ ^ 0 и 1 > а > т — 2 (это неравенство выполняется при р < 1). С помощью замены переменной в подынтегральной функции, и — У, формула (4.32) может быть легко переписана в скэйлинго- вой форме:

^«у-^Х^У (4.33)

где точное значение скэйлинговой функции равно

X (w) = q0 J(eeiwu»-u_ J) ut-^du. (4.34) о

Эта функция аналитична для всех вещественных, а также и всех комплексных оу, но имеет особенности при w = ±6°, что соответствует С —*- 0. Для £ < 0 (т. е. Т <_ Т^ эти сингулярности хорошо соответствуют наблюдающимся при конденсации существенно особым точкам, о которых говорилось выше как об интересном свойстве нашей модели. Для t > 0 (т. е. Т > Тс) сингулярности смещаются в сторону бесконечных плотностей (см. фиг. 6); это, конечно, отражает искусственность модели, связанную с отсутствием истинной жидкой фазы ниже Тс.

Соотношение (4.33) нетрудно переписать в более привычной форме Гриффитса (3.2). Тогда так же, как и в прошлой лекции, получим

|UT|L| АТ |ст/(х-2)|UT|L| АТ |ст/(х-2)(4.35)(4.35)

|UT|L| АТ |ст/(х-2)

|UT|L| АТ |ст/(х-2)

(4.35)

(4.35)

где

А (х) = g"1 (х), g (у) = у^ ^-^.(4-36)

Так как рассматриваемая модель по своей сути несимметрична по С и АТ, функция h (х) должна иметь две различные ветви —- одну при АТ > 0 и другую при АТ ^ 0, которые должны сливаться при х-*оо. Сравнение (4.35) с приведенными выше формулами дает, как и раньше, т — 2 = 1/6 и о = 1/(Р6).

Конечно, с этих позиций можно изучить асимптотическое поведение вблизи критической точки и получить соотношения между индексами (4.26)—(4.28) так же, как это было сделано выше при анализе общей скэйлинговой гипотезы. Единственное различие связано с тем, что известно точное выражение для скэйлинговой функции и можно рассчитать все входящие в теорию амплитуды. Кроме того, было бы интересно исследовать вид добавок к асимптотическим формулам, содержащихся в соотношении (4.32). Эту задачу никто еще не пробовал решать, хотя она могла бы дать способ изучения поведения реальных веществ.

Сжимаемые ферромагнетики

Один из очень интересных общих вопросов теории критических явлений связан с изучением искажений асимптотического поведения вещества вблизи критической точки, вносимых дополнительными по отношению к идеальной системе «скрытыми переменными».

Некоторые аспекты этой проблемы достаточно хорошо изучены, как, например, перенормировка критических индексов [38] на множитель (1 — а)-1 за счет неупорядочивающего поля. Другие аспекты, особенно учет микроскопических локальных связей со многими другими степенями свободы, гораздо менее понятны. К этой последней категории относится и вопрос о влиянии колебаний решетки на магнитные критические явления.

Связь между системами взаимодействующих спинов и взаимодействующих ионов обусловлена главным образом сильной зависимостью энергии обменного взаимодействия Ju спинов, локализованных на z-м и /-м узлах, от расстояния между ионами R;,. Это расстояние в свою очередь модулируется колебаниями решетки, которые, следовательно, связаны с конфигурациями спинов. Нетрудно увидеть некоторые общие следствия, вытекающие из нали-

чия такого взаимодействия. Пусть J ц (R^) растет при уменьшении | R;; |. Тогда в ферромагнитно-упорядоченном состоянии система может понизить свою магнитную энергию при сжатии за счет увеличения обменных интегралов. Такое сжатие действительно будет происходить для сжимаемой решетки, т. е. сжимаемость решетки должна стабилизировать ферромагнитное состояние и повышать температуру перехода. Наоборот, когда спины при высоких температурах разупорядочены, т. е. энергия магнитного обменного взаимодействия мала, решетка будет расширяться, стремясь уменьшить свою упругую энергию.

Итак, даже чисто гармоническая решетка будет с ростом температуры расширяться и разупорядочивать спины. С другой стороны, если исходить из упорядоченной системы спинов и совершить переход к другой конфигурации спинов, то энергия возбуждения спиновой системы будет отличаться от той энергии, которая была бы для неподвижной решетки, так как решетка подстраивается под новую конфигурацию спинов. Тогда эффект спин-решеточного взаимодействия проявляется в перенормировке спин-спинового взаимодействия. Если это перенормированное спин-спино- вое взаимодействие короткодействующее, как и исходное обменное взаимодействие (это возможно для некоторых моделей), критические явления не должны сильно измениться (при этом Тс изменится, а индексы и скэйлинговые свойства останутся прежними). С другой стороны, если решетка вызывает дальнодействующие взаимодействия, естественно ожидать существенных изменений в критической области — но каких и какой величины?

Я не буду здесь углубляться в эту проблему х), хочу лишь кратко остановиться на недавней работе Вагнера [36], использовавшего капельную модель, так как она хорошо иллюстрирует преимущества «работающей модели» (даже если эта модель весьма груба), в которой можно проследить влияние взаимодействий на критическое поведение. Это по крайней мере даст нам возможность получить более надежные оценки и высказать разумные предположения.

Ц Подробные ссылки на литературу даны Вагнером и Свифтом [39].

Вагнер [36] рассмотрел трехмерный ферромагнетик Изинга со спиновыми переменными sr = ±1 и парным взаимодействием вида

— j (Вг, б) srsr+6,(4.37)

где векторы г и г' = г + 6 определяют равновесные положения узлов решетки, в то время как Rr и Rr, (a Rr, б = = Rr — Rr+б) соответствуют истинным координатам ионов. Колебания ионов предполагаются чисто гармоническими, так что их гамильтониан квадратичен по смещениям ur = Rr — г. Затем обменный интеграл J (Rr> б) разлагается в ряд по смещениям ионов с точностью до линейных членов так, что ответственная за спин-решеточное взаимодействие часть гамильтониана имеет вид

(^спин-решетка — — 2 2 ur" VtJ (^)StSr_^6.(4.38)

г б

Градиент Vr действует на переменную Rr, а затем как это и обозначено в (4.38), подставляется равновесная координата иона.

Далее показано, что это выражение можно точно проинтегрировать по всем решеточным степеням свободы, т. е. по смещениям ионов ur. В результате получается исходный спиновый гамильтониан ^спин плюс добавочное слагаемое <Жспин, появление которого вызвано решеткой. Это последнее слагаемое — величина четвертого порядка по спиновым переменным, а именно:

St-спин " 2 2 2 2($) (Г Г ^'^t'J (6 ) SrSr-|_dSr'Sr'-|-6',

г г' б б'

(4.39)

где тензорный потенциал взаимодействия

^(г)_(4 40)

х 7J (2л)3(q)х 7

з

Здесь р — массовая плотность решетки, ш, (q) — дисперсионное соотношение для решеточной колебательной моды с волновым вектором q и поляризацией / = 1, 2, 3, a eJ (q)— вектор поляризации. Основная ценность формулы (4.40)

состоит в утверждении дальнодействующего дипольного характера потенциала взаимодействия, а именно:

^(|г|-»=),(4.41)

4jtpvz (г)

где v2 — квадрат средней скорости фононов в пределе | q | —>• 0. Кроме того, можно показать, что величина ^спин исчезает для ферромагнитной конфигурации спинов, а во всех других случаях отрицательна. Это означает, что взаимодействие с решеткой препятствует ферромагнитному упорядочению спинов.

Эффект, связанный с этим дополнительным взаимодействием между спинами, иллюстрируется Вагнером на капельной модели. Прежде всего он показывает, что, несмотря на дальнодействующий характер функции 3 (г), не существует никакого результирующего дальнодействующего взаимодействия между двумя отдельными кластерами или микродоменами, составленными из перевернутых спинов. Этот на первый взгляд парадоксальный результат является следствием диполь-дипольного характера взаимодействия (4.40). Да льнодействующее взаимодействие имеет место лишь между «неправильными» связями противоположно направленных спинов, но конечный кластер из перевернутых спинов окружен замкнутой поверхностью «неправильных» связей (типа дипольного слоя), так что полное взаимодействие, полученное интегрированием по поверхности, оказывается равным нулю. (Этот же результат можно получить иначе, используя проинтегрирование по частям, и учесть, что V2 (1/| г |) = 0.) Взаимодействие, связанное с решеткой, приводит лишь к изменению собственной энергии кластера из I перевернутых спинов. Разумеется, именно эта собственная энергия Ei капли входит в общую статистическую сумму. Объемный вклад в эту энергию просто равен 2/р,077, где р,0 — магнитный момент на один спин, а Н — внешнее поле. Для оценки поверхностного вклада Вагнер рассматривает почти сферический кластер радиусом R, содержащий / ^ ^^/(За3) спинов, где а — постоянная решетки. Тогда две «неправильные» связи на поверхности такого кластера, которые направлены под углом 26 к центру, определяют энергию взаимодействия

вида

А (0)^ (®)/л ДОХ

|r12|3 —8^3sin3 0 ’

причем А (6) не обращается в нуль при 0 —> 0. Учитывая также короткодействующее взаимодействие между ближайшими соседями J и обычный член с поверхностной энтропией на узел со, получаем выражение для полной поверхностной свободной энергии

Я/2

п/ 4л^2 Гог j, 1 Г 4л/?2 sin20Л (6) <$1/4 43’1

— (07 — т J 8a2^3sin3 0 J ’(4-4d)

fa]R

где f > 2 определяет нижний предел интегрирования по углу 0. Существование этого предела обусловлено дискретностью решетки. Значение интеграла в (4.43) на нижнем пределе пропорционально

Г л (0) -1. Л(0)Г444,

L a^RQfa? ’

что означает просто эффект перенормировки энергии взаимодействия J на некоторую фиксированную величину J'. С другой стороны, ясно, что значение интеграла на верхнем пределе определяется дальнодействующими взаимодействиями и пропорционально Ala?R, где Л — некоторая средняя величина от А (0). Наконец, заменяя R на I, получаем

Wt « (36л)1/3 (2JZ — со Г) Z2/3 + sZ1/3. (4.45) Более тщательный расчет показывает, что новый параметр — энергия

8 = (36 л)2/3 ^MW пКт, (4.46) где

1 4 In J (а) ,4

Чм з dln(a) (4-4

определяет изменение J за счет колебаний решетки (и, следовательно, определяет величину магнитоупругой связи), п ^— плотность числа частиц и Кт — сжимаемость идеальной решетки. (Последние две величины связаны со средним значением скорости фононов .соотношением пКт = 1/Ми2, где М — масса атома.)

В формулах (4.45) и (4.46) содержатся важные результаты. Первый член в выражении для Wь как и в (4.4), представляет собой обычную короткодействующую поверхностную свободную энергию капли (с энергетическим и энтропийным слагаемыми). Новое, второе слагаемое в (4.45) расходится слабее, чем первое, так что оно несущественно до тех пор, пока не обращается в нуль величина (2J' — (оТ1) ~ (Тс — Т). Это второе слагаемое, однако, не связано с энтропией, и поэтому оно не обращается в нуль в критической точке (которая целиком определяется первым слагаемым). Чтобы увидеть вытекающие отсюда следствия, заменим, как мы это делали раньше, степени 2/3 и V3 соответственно на ст и %, причем, вероятно, % « о/2.

Тогда в капельной модели полная свободная энергия будет содержать слагаемое

— kbTq0 5 Z"Wy\ (4.48) 2=1

где

у = ехр (— 2р0^).х = exp (-^-t^ ,(4.49)

а

w(4 so)

Очевидно, что если е = 0, то мы получаем результат, соответствующий обычной капельной модели с известным поведением в критической области; если, однако, е #= 0, то легко увидеть, что все производные от свободной энергии должны оставаться конечными в критической точке (х = = у — I, но tiy-< 1). Это означает, что особенности в критической точке «сглаживаются» или «смазываются». Однако при е/^вТс) <С 1 эт0 «сглаживание» происходит лишь для температур, более близких к Тс, чем некоторая «переходная» температура Т*. Эту температуру можно оценить, полагая в (4.48) у = 1 и приближенно заменяя сумму интегралом с безразмерными переменными. При X = ст/2 получаем

^jv^ _ ^^^(4 51)

В рассмотренном Вагнером примере [36] для типичных значений параметров найдено t* « 3 • 10-6. Это соответст-

вует очень малой области «сглаживания». Тем не менее можно надеяться обнаружить изменения в теплоемкости (которая является весьма чувствительной величиной), скажем, при t « 10^*. Таким образом, взаимодействие с колебаниями решетки может оказаться важной причиной х) «зарезания» наблюдаемых аномалий теплоемкости, которое даже в хороших твердых образцах наступает при t »5 » 10~®— 10~4, в то время как в жидкостях теплоемкость не «зарезается» вплоть до t~ 10~5 и меньше.

Модели взаимодействующих кластеров

С точки зрения теории все упомянутые выше работы, использующие капельную модель, обладают дефектами, связанными с наличием двух основных, плохо обоснованных приближений: а) с пренебрежением взаимодействием между каплями (или учетом этого взаимодействия лишь как источника «перенормировок» о и т) и б) с представлением свободной энергии капли в виде суммы объемного, поверхностного и вполне определенного геометрического слагаемого и особенно с предполагаемым линейным изменением поверхностной энергии при Т —>• Тс.

Сейчас мы перейдем к описанию моделей [25, 32], допускающих точное решение, которые, однако, воспроизводят многие черты капельной картины. Эти модели возникли из капельной модели и соответствующие им гамильтонианы обладают определенными «капельными» свойствами. Как уже говорилось, точное решение возможно лишь в одномерном случае d = 1 и в предположении, что многочастичные взаимодействия (а не двухчастичные, как обычно) являются основной причиной фазового перехода. Так как расчеты в этом случае проводятся точно, без использования каких бы то ни было приближений, то нет оснований сомневаться в правильности получаемых в критической точке сингулярностей!

Конечно, имеется и довольно много других источников «сглаживания» особенностей в критической точке твердых систем, как, например, беспорядочно распределенные по образцу замороженные примеси, эффекты «конечных размеров», связанные с микрокристаллической структурой, и другие.

Для конкретизации моделей «взаимодействующих кластеров» [25, 32] обозначим через /4 < r2 < r3 < . . . < гj < С г/+1 < . . . < rN координаты классических частиц, движущихся вдоль линии (одномерный случай) с общей энергией взаимодействия UN (п, . . ., г^у). Этим моделям соответствует фиксированный гамильтониан в том смысле, что UN задано раз и навсегда (до расчета) и не совершается переход к вандерваальсовскому пределу [40, 41] или какие-нибудь другие подобные операции для получения фазового перехода после перехода к термодинамическому пределу N —>-оо. Гамильтонианы устойчивы, т. е. UN X (гь . . ., г^у) ^ —NwA для некоторого фиксированного wA и любого N; это — общее условие, необходимое для обеспечения разумного термодинамического поведения. Кроме того, предполагается, что имеется «строго ограниченная» область взаимодействия в том смысле, что если две группы, состоящие из N' и N" частиц, находятся на расстоянии R друг от друга, полная потенциальная энергия взаимодействия

Фту'ту" СЮ = Un'+n” — UN- — UN~ (4.52) тождественно обращается в нуль, как только R превысит некоторое значение Ro. Это условие вместе с условием устойчивости обеспечивает правильное термодинамическое поведение.

Взаимодействие между частицами описывается обычным парным потенциалом взаимодействия

f оо для г<а,,,

Фг (г) —_(4.53)

v '( 0 для г>2а,

т. е. потенциалом «твердых сфер» с резкой границей. Последнее означает, что парами могут взаимодействовать только ближайшие соседи. Кроме того, мы введем многочастичные потенциалы Ф/(г1, . . ., г г), I = 3, 4, . . ., которые описывают взаимодействие частиц, достаточно далеких друг от друга.

Используем теперь идею капельной модели: введем размер кластера с С> а) и пусть частицы i и / (с г} > г^ принадлежат к одному* и тому же кластеру тогда и только тогда, когда

| Г) г/_1 I ^ С, I Fj^i Г;-2 | ^ с, . . ., I ri + 1 Ci I ^с,

т- е. когда из точки rt можно перейти в rj с помощью с или меньшего числа шагов. Тогда многочастичные силы действуют только между I последовательными частицами, относящимися к одному и тому же кластеру. Таким образом, мы навязываем системе сильное кластерное свойство

Фг (ri, . . ., rz) = О, если | rj+1 —г3 | ^ с для

любых /, (4.54) которое, конечно, физически вполне разумно. Наконец, для того чтобы задача стала решаемой, предположим, что многочастичные силы, если они имеются, допускают парное разложение:

Ф; (П, ..., rz) =

z-i

= S ФгИ^ч-! — rj)(|гу+1 — г> К с для всех /). (4.55)

3—1

Это — существенное упрощение модели.

Три соотношения (4.53)—(4.55) определяют общий класс моделей. Легко видеть, что эти соотношения могут быть сформулированы в следующем виде: энергия изолированного кластера

Z-1

Ui(k i'll • • •, rz) = 2 ^ih (rzt+i — гн), (4.56)

где <pzk (г) — эффективный парный потенциал взаимодействия между Д-й и (^ + 1)-й частицами кластера размером L Тогда конкретизация модели может быть связана с выбором потенциала <pzk для k = 1, 2, . . ., I — 1 и / = 2, 3, 4, . . .. Действительно, такой выбор наиболее удобен, так как именно tpZft (г) непосредственно входит в решение.

Решение для этих моделей [25, 32] состоит в основном в классификации всевозможных наборов кластеров. Для полноты мы объясним, как это делается в приложении Г в конце этих лекций. Анализ показывает, что основные результаты содержатся в функции W (I; р, Т), которая определяется через преобразование Лапласа от больцманов- ских множителей ехр [—q>lk ^!кьТА [см. (Г.8)]. Эта функция является, по сути, «поверхностной» свободной энергией Гиббса для кластера из I частиц, находящегося при температуре Т и давлении р [ср. с формулой (4.4) капель-

ной модели]. Чтобы описать все термодинамические свойства системы, надо указать рецепт расчета «производящей функции»

У (а; л Т) = 3 «' ехр [ - ^^-] ,(4:57)

2=1Б

которая есть не что иное, как изобарическая статистическая сумма для изолированного кластера, а затем решить уравнение

г (и; Р.Г,- в>/т5 ,(4.58)

где функция В (р, Т) аналитична по Т и р [см. (Г. 13)1. Термодинамика полностью определяется корнем (единственным) этого уравнения, а именно:

р, (р, Т) = р» (р, Г) + кьТ In и (р, Т).(4.59)

Здесь poo (р, Т) — известная функция, зависящая только от г-1

ф=о(г) = Нш ^ Фгк(г).(4.60)

1-»оо ' 1 i

Действительно, р» является по существу химическим потенциалом (или свободной энергией Гиббса на одну частицу) для бесконечного кластера.

На фиг. 7 показано типичное поведение «производящей» функции для разумных потенциалов в двух различных областях изменения переменных р и Т. В случае a) Y (м) —>- —> оо при и-*- 1, и решение (4.58) плавно изменяется как функция от \!В. При этом состояние системы всегда газоподобно и описывается большим числом малых и несколькими большими кластерами. С другой стороны, в случае б) Y (и)-^- Y (1) < оо при и—>- 1, и решение (4.58) для достаточно больших 1/В может «заканчиваться» при и = 1. Такое поведение соответствует, фазовому переходу; это означает,, что система сконденсирована в жидкоподобное состояние, состоящее по существу из одного бесконечного кластера -— с определенным выше эффективным потенциалом взаимодействия для ближайших соседей ф» (г). Если кривая Y (и) и вертикальная прямая и = 1 пересекаются

под острым углом, это соответствует фазовому переходу первого рода, для которого характерен скачок плотности при В (pa, Т) = UY (1). Однако если кривая Y (и) касается вертикальной прямой и = 1 (или, что то же самое, если

Фиг. 7. Поведение производящей функции Y (и; р, Т} для модели взаимодействующих кластеров в двух типичных случаях: а) У -> оо при и -> 1 и б) У—*- Y (1) < оо при и —> 1.

Показан ход решений и для некоторых значений функции В, а также ход функций вблизи значения и = 1 для случая б.

(<ЭУ7ди) —>• оо при и-- 1), то фазовый переход будет переходом высшего порядка, т. е. непрерывным, без скачка плотности.

На фиг. 8 показана типичная фазовая диаграмма *) для этой модели. Линия фазовых переходов первого рода или кривая насыщенного пара ро (Т) разделяет газоподобную фазу низкой плотности (кластеры конечных размеров, область //) и жидкоподобную плотную фазу (один бесконечный кластер, область /). Заметим, однако, что возможны

две линии фазовых переходов первого рода. Кривая насыщенного пара заканчивается в критической точке. В реальных системах можно, обойдя критическую точку, перейти от газоподобной к жидкоподобной фазе, непрерывно изменяя плотность. Искусственность рассматриваемой модели состоит в том, что при обходе критической точки

Фиг. 8. Типичная фазовая диаграмма для модели взаимодействующих кластеров.Фиг. 8. Типичная фазовая диаграмма для модели взаимодействующих кластеров.Сплошными кривыми показаны линии раздела фаз, а пунктирной — геометрическое место «предельных точек», разделяющих газоподобную (область /7) и жидкоподобную (область 7) фазы. Переход через пунктирную линию непрерывен (см. текст).Сплошными кривыми показаны линии раздела фаз, а пунктирной — геометрическое место «предельных точек», разделяющих газоподобную (область /7) и жидкоподобную (область 7) фазы. Переход через пунктирную линию непрерывен (см. текст).

Фиг. 8. Типичная фазовая диаграмма для модели взаимодействующих кластеров.

Фиг. 8. Типичная фазовая диаграмма для модели взаимодействующих кластеров.

Сплошными кривыми показаны линии раздела фаз, а пунктирной — геометрическое место «предельных точек», разделяющих газоподобную (область /7) и жидкоподобную (область 7) фазы. Переход через пунктирную линию непрерывен (см. текст).

Сплошными кривыми показаны линии раздела фаз, а пунктирной — геометрическое место «предельных точек», разделяющих газоподобную (область /7) и жидкоподобную (область 7) фазы. Переход через пунктирную линию непрерывен (см. текст).

придется пересечь геометрическое место «предельных точек» (показано на фиг. 8 пунктирной линией), разделяющих «истинную жидкость» и «истинный газ». Это обстоятельство связано, как и в капельной модели, с пренебрежением взаимодействующими «пузырьками» в жидкоподобной фазе. Обычно при пересечении этой линии имеет место «слабый» переход, при котором сжимаемость непрерывна, а высшие производные от свободной энергии могут расходиться. При этом возможен даже переход бесконечного порядка, когда все соответствующие производные по обе стороны от рассматриваемой линии равны друг другу — в таком случае переход в принципе не обнаружим!

4.7. Сингулярности и скэйлинг

Для получения определенных результатов в модели взаимодействующих кластеров следует конкретизировать вид потенциалов. Действительно уже говорилось, что надо задать такой многочастичный потенциал Фг или парный потенциал ср^ (г), который не слишком быстро убывает при Z—э-оо, чтобы какой-нибудь переход имел место. В наиболее полно исследованных моделях эффективный парный потенциал задавался в виде

Фгь (г) = Фе» (г) + (-Д-) и (г) + (-^у ) w (г), (4.61) который при

Sz ~ 1° и Лг ~ In I (1-^00) (4.62) очень напоминает потенциал капельной модели г\ Заметим, что индекс ст и логарифмический член вводятся прямо в потенциалы. Конечно, в реальных трехмерных системах индексы должны, как это было показано выше, вытекать из геометрических соображений. Но в одномерном случае мы должны чем-то возместить отсутствие геометрических соображений! Из (4.61) и формул приложения Г следует, что при Z —> оо «поверхностная» свободная энергия кластера имеет вид

^j^«6U), Т^^х^р, Т)Лг+... (4.63) при условии o^Vg (что будет предполагаться и в дальнейшем), где

Q(p,T)=^- и т(р, Т)=^. (4.64) Входящее в (4.64) статистическое среднее определяется следующим образом:

(/)»(/)»e-ST-^=c^dr.e-ST-^=c^dr.аааа(4.65)(4.65)

(/)»

(/)»

e-ST-^=c^dr.

e-ST-^=c^dr.

аа

аа

(4.65)

(4.65)

) Можно рассмотреть и проанализировать и более общие случаи.

Из этой формулы видно, что критические индексы т [= т (рс, Те)] и скэйлинговые переменные 6 (р, Т) полностью определяются потенциалами взаимодействия. Вид функции w (г) вряд ли существен; он определяет лишь значение т в критической точке. Для остальных потенциалов наиболее удобен следующий простой вид:

{

+ ОО,

— s0 —s(r/a), и ( г) = О,

((О,— VQes*T (r — ~ а—~с} ,О,О,— VQes*T (r — ~ а—~с} ,О,а,а,С 2а,С 2а,(4.66)(4.66)

(

(

О,

— VQes*T (r — ~ а—~с} ,

О,

О,

— VQes*T (r — ~ а—~с} ,

О,

а,

а,

С 2а,

С 2а,

(4.66)

(4.66)

где характерные энергии е0, 8 и Ио положительны, a s* может быть любого знака.

Некритическое поведение. Некоторые аспекты поведения вещества вдали от критической точки достаточно интересны, и о них стоит упомянуть. Имеются существенные сингулярности на изотермах р (р) или р (р) при Т < Тс, когда р или р достигает линии фазовых переходов со стороны низких плотностей. Это строго подтверждает выводы, полученные в капельной модели. Все производные опять остаются конечными, но n-я производная растет как (п!)1/а при п -> оо. Следовательно, вблизи точки конденсации не существует сходящихся рядов Тэйлора, и никак нельзя сконструировать единственное «метастабильное продолжение» изотермы. Наоборот, со стороны высоких плотностей или жидкоподобной ветви линии фазовых переходов на изотерме нет никаких сингулярностей, предупреждающих о приближении к точке фазового перехода. Я думаю, что это упрощение модели по отношению к реальному случаю связано (как и все прочие упрощения модели жидкого состояния) с отсутствием какой-либо попытки смоделировать образование пузырьков в жидкой фазе.

Интересно, что, хотя изотермы со стороны высоких плотностей могут быть продолжены вниз, в метастабильную область, нет никаких оснований предполагать, что существует какая-либо «спинодальная» точка, в которой ежи-

маемость расходится. Напротив, сжимаемость быстро убывает до нуля, и изотермы быстро переходят в область отрицательных давлений.

В заключение снова напомним, что наша модель приводит к существованию физически нереальной линии, являющейся абсолютной границей между жидкостью и паром. Для заданных потенциальных функций (р, р)- изотермы всегда гладкие, и при фазовом переходе сжимаемость изменяется непрерывным образом. Высшие производные в зависимости от выбора ст также могут изменяться непрерывно [32]. Тем не менее наличие еще одной линии фазовых переходов является весьма прискорбным следствием упрощений, присущих рассматриваемой модели.

Кривые сосуществования. Оказывается, что формы кривых сосуществования рж (7) и рг (7) могут быть весьма разнообразными. Скачок плотности описывается обычным степенным законом

Др = рж — рг ~ Н Is, (4.67) причем в случае ст ^ V2

Р = для 1 с тс < 1 + а, 2-т <4'68)

Р = —— ДЛЯ тс > 1 + ст.

Однако такой степенной закон справедлив только для газоподобной ветви рг (7); жидкая ветвь рж (Т) асимптотически описывается линейным законом (хотя имеются сингулярности более высокого порядка). Это отражает сильную асимметрию всех получаемых кривых сосуществования, которая резко отличает их от экспериментально наблюдаемых. Так как возможно значение индекса Р = 1, кривая сосуществования может быть заострена; ничему не противоречат и значения Р > 1, т. е. кривые сосуществования могут иметь форму пика, когда рж (Т) и рг (7) имеют общую касательную! Кроме того, оказалось, что обе ветви [рж (Т) и рг (Т1)! могут подходить к рс либо сверху, либо снизу. Наконец, при т > 2 кривые сосуществования имеют плоский участок, т. е. рж (7) и рг (Т) стремятся к различным пределам рЖс > ргс при Т —э- Тс. Газовая ветвь опять-таки

может быть закругленной или прямой, а жидкая — подходить к рс сверху или снизу. Фиг. 9 иллюстрирует некоторые из этих возможностей, другие приведены в оригинальной работе [32].

Заметим, что ни одно из этих странных и до сих пор не наблюдавшихся свойств фазовых переходов никоим

Фиг. 9. Возможные (в модели взаимодействующих кластеров) кривые сосуществования.

Несимметрично закругленная (а), в форме пнка (б), заостренная и подходящая к рс сверху (г) или снизу (в) с плоскими вершинами (5 и е).

образом не противоречит термодинамике, статистической механике или просто классической механике! Сравнительная простота свойств, наблюдаемых у реальных веществ, объясняется, по-видимому, специфическими (хотя вполне универсальными) свойствами реальных взаимодействий.

Сжимаемость и теплоемкости- Оказалось, что при 3/2 ■< С т -< 3 сжимаемость Кт на «газовой» ветви кривой сосуществования расходится как | t |-v' при Т ->■ Тс, т. е. так же, как и при обычном переходе газ — жидкость.

Однако для 1 < т < 3/2 (или т > 3) сжимаемость остается конечной при Т ->- Тс. Действительно, в первом случае критическая (р, р)-изотерма — гладкая кривая, имеющая конечную производную в критической точке. (По-види- мому, в этих случаях Р> 1, т. е. кривая сосуществования имеет форму пика.) Несмотря на это, можно определить сингулярную часть Кт, которая характеризуется индексом у'<< 0.

Вопрос о поведении теплоемкости в критической точке является более тонким; можно, однако, ввести критический индекс а' с 0, характеризующий особенность теплоемкости и удовлетворяющий обычному соотношению для индексов: а' + 20 + у' = 2.

Скэйлинг. Тот факт, что давление вблизи критической точки, по крайней мере в газоподобной области, вплоть до линии раздела жидкость — газ (см. фиг. 8) описывается уравнением скэйлинга, является одним из наиболее интересных выводов, сделанных на основе модели взаимодействующих кластеров. Если £ — сингулярная часть химического потенциала [см. (4.59)], а ^p = р — рс, то из обычной гипотезы однородности следует асимптотический вид уравнения состояния:

(4.69)

где индексы фиф можно выразить через а, р, у и т. д. с помощью уже рассмотренных соотношений. В то же время оказалось, что скэйлинг неприменим в переменных ^р и t. Следует ввести две специальные критические переменные:

0 Vp, f) ^ 0J + 02Ар, (4.70) которая была определена в (4.64), и

g (р7 Г) ^ V + ЬЛр, (4.71) определяемую аналогично, но через потенциалы и т. д. Из двух асимптотических «осей» 9 = 0 и £ = 0 одна является вполне естественной и задается тангенсом угла наклона кривой насыщенного пара в критической точке.

В то же время другая ось совершенно новая; как следует из (4.69), она не параллельна оси р или Т. Таким образом, должно выполняться соотношение

£т-1 ~ (4.72) где введена скэйлинговая функция

X0(w) = j (g-^-w^_ i) u-zdu, (4.73) о

которая очень похожа на функцию (4.34) капельной модели. Как уже говорилось, можно думать, что необходимость введения «косых» критических осей для скэйлинга в модели взаимодействующих кластеров может возникать и в других несимметричных моделях, а также в реальных системах.

Стоит также обратить внимание на существенные сингулярности скэйлинговой функции (4.73) в точках конденсации ниже Тс; напомним, что то же самое имеет место и в капельной модели. В прошлой лекции уже говорилось, что интересно было бы понять, в какой мере точны эти свойства скэйлинговой функции, т. е. насколько такая асимптотическая функция отражает структуру точного аналитического решения.

Соотношения между индексами. Как уже обсуждалось во второй лекции, можно ожидать, что из скэйлинговых уравнений (4.69)—(4.72) будут следовать обычные соотношения между индексами (4.26) — (4.28). Однако в ходе вычислений всегда предполагается, что не происходит «ничего плохого», и действительно в приложении А показано, каким образом свойства скэйлинговой функции на краю области определения могут привести, например, к неравенству у < у' вместо обычного симметричного результата у = у'. В заключение, не входя в детали, заметим, что аналогичные явления могут происходить и в модели взаимодействующих кластеров; в частности, для определенных типов потенциалов можно получить у < у' и (или) а > а' [32]. Эти результаты связаны с наличием «предельных точек» перехода жидкость — газ (разумеется, не для реальных систем), криволинейных осей, а также

весьма интересных типов кривых сосуществования, принципиальная возможность которых была ранее указана Стилом [42].

Хотя можно ожидать, что некоторые из этих патологических результатов объясняются резкой асимметрией жидкости и газа в модели взаимодействующих кластеров, все же остается острое ощущение сложности и тонкости проблемы фазовых переходов и критических явлений в многочастичных системах! Будем надеяться, что Природа окажется к нам снисходительной!

5. Конечные размеры и граничные эффекты

В этой лекции будет рассмотрена теория критических явлений в больших, но конечных системах и в «толстых» пленках. В числе новых результатов — последовательная скэйлинговая теория для этих эффектов, а также точные расчеты для модели Изинга и сферической модели.

Возможные искажения критических явлений

В конечной системе, например в ферромагнетике, состоящем из взаимодействующих спинов, не может быть истинного фазового перехода. Это утверждение является очевидным следствием аналитичности статистической суммы любой конечной системы как функции температуры и всех полей, входящих в гамильтониан. Хорошо известно, что фазовый переход можно обнаружить лишь после перехода к термодинамическому пределу АГ —>• оо в свободной энергии системы. Предположим, однако, что предельная теплоемкость, приходящаяся на один спин,

Ссо(Т) = НтС^(Т) = НтА/-,С^щ (Т), (5.1) N-^oo N-^oo

имеет, как показано на фиг. 10, а, резкую аномалию %-типа. Тогда теплоемкость CN (Г) для больших систем (^ > 1) должна иметь такого же типа аномалию, которая будет все более и более походить на (5.1) при N-*oo. Отсюда следует, что теплоемкость конечной системы должна иметь вид, показанный схематически на фиг. 10, б, а именно — большой пик с максимумом при Tmax (N), близким к истин-

ной или предельной критической температуре Тс = Тс (оо).

Вследствие конечности N высота этого пика должна быть конечна:

^N.max “ Cjy [Тщах (АОЬ(5.2)

Эта функция должна быть гладкой и аналитической; иными

Фиг. 10. Аномалия теплоемкости в бесконечной системе (а) и в большой, но конечной системе (б).

Показаны относительный сдвиг е и «сглаживание» б (в).

словами, резкий в пределе N —>■ оо фазовый переход сглаживается для конечной системы.

В общем случае возможны два типа искажений:

относительный сдвиг

е (N) =;(5.3)

относительное «сглаживание»

6^=^,(5.4)

где ДТ* определяет величину «сглаживания» (фиг. 10, в).

Без специального анализа точное определение AT* невозможно, но можно дать следующее не вполне точное определение.

Во-первых, сдвинем температурную шкалу ) для конечных систем так, чтобы Ттах (А/) « Тс. При этом можно ожидать, что функция СN (Т) и несмещенная предельная функция будут очень близки на крыльях; тогда мы сможем ввести температуру Т* (А) [скажем, более высокую, чем Ттах W1, при которой график функции отклоняется от графика С» (Т). Тогда определим АТ* = Т* (N) — — Тщах (N) как ширину, измеренную по отношению к сдвинутой «критической точке». Разумеется, здесь остается некоторая неясность, например возникает вопрос, не изменится ли ответ, если выбрать в качестве Т* (N) температуру более низкую, чем Тс.

Во-вторых, можно воспользоваться такими критериями, как традиционная «полуширина» на половине высоты или на 95% высоты. Если бы при этом оказалось, что различные критерии дают существенно разные результаты, мы бы кое-что смогли понять. Важно, что характерная «ширина» или «интервал сглаживания» действительно существует.

На самом деле не очень ясно, является ли Tmax (W) наилучшей температурой для определения «сдвига» 8 (NY Быть может, лучше использовать, например, температуру Т\ (W), при которой достигает максимума отрицательный .градиент —(dCN/dT), или какую-нибудь другую температуру. Естественно, однако, ожидать, что относительный сдвиг, определенный соответствующим образом, будет для больших N отличаться от величины 8 [см. (5.3)1 только постоянным множителем.

Ясно, что наиболее интересны асимптотические поведения сдвига s (7V), «сглаживания» 6 (TV), максимума CN,max, а также детальное изучение предельной «формы» сглаженной аномалии. Как отмечалось несколько лет тому назад [44], нет никаких оснований ожидать, что 8 (W) и 6 (Л/) будут иметь похожее асимптотическое поведение, хотя мы, естественно, надеемся, что они будут описываться характерными степенными законами! Фактически есть основания предполагать, что асимптотический сдвиг может оказаться больше, чем сглаживание.

Далее будут приведены общие соображения по этому

поводу, а также точные теоретические результаты, иллюстрирующие обе возможности: s (7V) ^ 6 (Л/) и 8 (Л/) ^ ^ 6 (W) при N —>■ оо. Мы обсудим также экстраполяцию точных рядов для модели Изинга. Однако прежде чем заняться этими вопросами, обратим внимание на то, что наличие сдвига, сглаживание и изменение формы кривой обусловлены одними и теми же причинами.

Пленки и слои

Пусть g— параметр, характеризующий специфику гамильтониана системы (включая размер системы и граничные условия), причем значение g = 0 соответствует «идеальному» критическому поведению, а значения g > 0 — искажению, т. е. «сглаживанию» критических явлений. Можно предположить, что вблизи нуля функция g непрерывна или квазинепрерывна (как, например, при g = 1/W). Тогда из простых соображений следует, что для любого интересующего нас свойства можно, как и прежде, определить сдвиг е (g), относительное сглаживание 6 (g) и сглаженную форму аномалии (включающую информацию о максимальной высоте пика и пр.). Наибольший интерес представляет асимптотическое поведение этих величин при g-^- 0. В качестве «вырожденного» параметра g можно выбрать даже обычное упорядочивающее поле А£ (т. е. Н в ферромагнетике), поскольку оно удовлетворяет всем сформулированным выше требованиям.

Довольно естественно распространить эти идеи и на тот случай, когда параметр g не вносит искажений в фазовый переход, а лишь модифицирует его, изменяя, в частности, критические индексы. Пусть при g = 0 система характеризуется идеальными индексами а, р, у, . . ., а при g > > 0 — измененными (но тоже постоянными) величинами а, р, у, . . . . Тогда сдвиг s (g) непосредственно связан с истинным сдвигом критической точки:

/ ч ТС (0) — Тс (£)

е (g) =■■.(5.5)

' с

Естественно, теперь, исходя из величины сглаживания 6 (g), определить «температуру пересечения» Т* (gy. 1

6(^) = Ш^12к<£).(5.6)

1 с

Здесь AT* (g) соответствует примыкающей к точке перехода области, в которой имеет место модифицированный индекс у, скажем, для восприимчивости Хт (Т), в то время как вне этой области еще применим идеальный индекс у.

Фиг. 11. Зависимость (в двойном логарифмическом масштабе) восприимчивости от безразмерной [по отношению к Тс (g)] температуры.

Показано отклонение от идеального (g = 0, тангенс угла наклона —у) к модифицированному (g > 0, тангенс угла наклона — у) поведению.

Как показано на фиг. 11 (в двойном логарифмическом масштабе), можно вполне отчетливо указать «температуру пересечения»; однако искажение функции может быть гораздо более плавным (см., например, работу [45], в которой приведены графики нескольких очень плавно меняющихся функций).

Следует теперь заменить выражение «форма сглаженной аномалии» выражением «измененная форма функции», показывающим различие между расходимостями, описываемыми, скажем, индексами у и у. Частично это различие будет определяться величинами новых индексов у. Фак-

тически в такое рассмотрение можно также формально включить случай искаженного фазового перехода. Тем самым будет описано ’ аналитическое поведение систем при g = 0 и g > 0.

В теории магнетизма имеется важный и интересный пример реализации указанной ситуации: в гамильтониан реального ферромагнетика, помимо изотропного гейзенберговского обменного взаимодействия, часто вводят малые анизотропные слагаемые, которые определяют положение пространственных осей легкого намагничивания. Величина этих анизотропных членов определяется измененным параметром g. Прежде чем обсудить этот пример х) — и даже до обзора общей теории ),— остановимся на одном непосредственно относящемся к нашей теме примере «изменения размерности», которое происходит, когда конечная толщина L «пленки» или слоистой системы становится бесконечной, а сама пленка превращается в объемную трехмерную систему.

Чтобы понять общую постановку задачи, рассмотрим конечную во всех измерениях d-мерную систему. Для конкретности возьмем ферромагнитную решетку «кубического» типа -— линейную цепочку при d = 1, квадратную решетку при d = 2, простую кубическую при d = 3 и т. д. — с постоянной решетки а и рассмотрим

N = nv X п2 X . . . X пй (5.7) спинов, где rtj — число спинов, направленных по /-й оси решетки. Если теперь размер системы в каком-то одном направлении стремится к бесконечности, скажем гц—^ со, то возникает истинная, хотя и одномерная, термодинамическая система. Этого еще недостаточно для фазового перехода в случае короткодействующих сил взаимодействия. Однако если теперь и п2-*оо, то возникает двумерная система и в ней (как правило) возможен фазовый переход. Таким образом, предельный переход п2-* оо (после перехода гц -*- со) совершенно аналогичен конечной во всех

■*) Теория критических явлений в анизотропных ферро- и антиферромагнетиках подробно обсуждается в работе Риделя и Вегнера [46].

измерениях системе, в которой проявляется объемное поведение (т. е. N -*■ оо, nj!nd = const). С другой стороны, если совершен также переход л3—>- оо, то возникает трехмерная система, критические индексы которой а3, 03, у3, . . . будут отличаться от индексов а = а2, Р = р2, у = ?2 • • • двумерной системы (например, для модели Изинга у2 = 7Ль а у3 = 5/4). Отождествляя г1п3 с параметром g, мы приходим к рассмотренному выше примеру модифицированных критических явлений.

При d = 3 последний случай соответствует построению объемной простой кубической решетки при бесконечном увеличении числа па = п слоев двумерной квадратной решетки. В общем случае можно взять ^ = п2 = . . . = = пд_^ = со, а число пд = п (d — 1)-мерных «слоев» оставить конечным. Другими словами, п определяет толщину L = na «пленки». Критические индексы ad-i, Pd-i, ^а-i, • . . при п -*- со сведутся к «идеальным» индексам «а, Ра, Yd, ... . В дальнейшем будут получены точные выражения сдвига и «сглаживания» критической точки для случая любого d в рамках ферромагнитных сферических моделей. Мы обсудим также результаты разложения в ряды для трехмерной модели Изинга.

Границы и граничные условия

Для конечных систем сразу возникает вопрос о граничных условиях на внешних поверхностях или «стенках» системы. Можно в каком-то смысле обойти этот вопрос, как это обычно делается, введением периодических граничных условий. В слоистых системах это просто означает отождествление, (и + 1)-го слоя с первым, т. е. образование «тора». При этом, конечно, не возникает свободных границ или стенок.

В некоторых случаях удобно вводить антипериодические граничные условия, когда (л + 1)-й слой отождествляется с первым, но знак локального параметра порядка Д (г) меняется на обратный — в ферромагнетике это соответствует «повороту» вектора намагниченности на 180° на противоположной границе образца. Когда точка на фазовой диаграмме (2, Г) попадает на линию фазовых переходов, т. е.

t, = ^а (Т), антипериодические граничные условия приводят к образованию своего рода межфазной поверхности (между фазами с противоположным направлением намагниченности) или «стенки Блоха» с медленно поворачивающимся параметром порядка. Сравнение общей свободной энергии для периодических и антипериодических граничных условий дает возможность рассчитать межфазную свободную энергию 2 (7) (или поверхностное натяжение) [44] или (для «изотропных» систем, где параметр порядка — вектор) соответствующие «спиральные модули» Y (Г) [27]. Для случая сверхтекучести эти спиральные модули просто пропорциональны плотности сверхтекучей компоненты ps (7) [27]. Мы не будем здесь рассматривать этот вопрос подробнее; по крайней мере ясно, что в случае антипериодических граничных условий тоже отсутствуют свободные границы.

С другой стороны, поскольку мы имеем дело с внешними граничными поверхностями (как в любых реальных конечных или слоистых системах), навязываемые граничные условия должны быть строго определены. Для реальных систем вопрос этот весьма тонкий и спорный. В модельных системах граничные условия обычно просты и наиболее естественны. Так, для жидкостей, как правило, рассматриваются твердые стенки с бесконечным потенциалом отталкивания, в то время как для магнетиков просто «обрывают» взаимодействие с «отсутствующими» (по ту сторону границы) спинами. Интересно, что из сравнения моделей решеточных газов и магнетиков Изинга вытекает неэквивалентность этих двух граничных условий. Твердая стенка в решеточном газе соответствует скорее «закреплению» всех граничных спинов магнетика в полностью упорядоченной ферромагнитной ориентации [44]. Вообще говоря, можно ввести конечное магнитное поле, действующее только на граничные спины [48].

Из всего сказанного непосредственно следует, что' асимптотическое выражение полной свободной энергии J^tv (^) большой системы должно содержать, кроме обычного объемного члена NF«> (Т), пропорционального N, также граничный вклад WF* (_Т), где W — площадь границы или стенки, измеряемая, быть может, числом граничных спинов N*.

В случае конечной системы имеем

= N* = 2 (п2и3 . .. Ий + П1П.3 . . . и^ + • ■ • + И1И2 • • • Rd-i) =

= 2^(пД + п-1 + . .•+n51) = ^-j(5.8)

и можно записать для фиксированного Т и при N —>- оо

З^н (7) NFo= (7) + N*F* (7) + . . . .(5.9)

Граничная свободная энергия 7* (7) должна зависеть от конкретного вида граничных условий. В случае периодических (или антипериодических) условий можно ожидать, что 7* (7) тождественно обращается в нуль; это действительно может быть проверено на различных моделях. Самой простой для расчета моделью является гармонически колеблющаяся кристаллическая решетка, но приведенный выше результат может быть также проверен для плоской квадратной решетки Изинга [44, 49], для <7мерной сферической модели [50] и для идеального бозе-газа [51].

В случае слоистой системы толщиной /г, согласно (5.9), можно предполагать следующее асимптотическое поведение: 7П (7) 7оо (7) + Sn^F* (7) + . . . при п со,

7 = const.(5.10)

Предельная функция Foo (7) содержит все объемные индексы ад, Ра, ?d, • • • (подразумевается, что включено упорядочивающее поле £). Соответственно граничная свободная энергия 7* (7) также будет иметь особенности в критической точке, и, следовательно, можно ввести критические индексы а* и а'* для граничной теплоемкости С* (7), у* и у'* для граничной восприимчивости %* (7) и.т. д. Сразу же возникает вопрос о величине граничных индексов а*, у*, . . .: связаны ли они с объемными индексами? А если да, то как? В дальнейшем мы обсудим некоторые возможные ответы на эти вопросы, а затем применим их для модельных расчетов. До этого, однако, следует обсудить применимость формул (5.9) и (5.10).

Первый член Foo (7) содержит все объемные сингулярности в критической точке; пусть, например, Со= (Т) стремится к бесконечности при 7 —э- 7С (оо). Напомним теперь, что в конечных системах CN (7) остается конечной при

всех Т; однако основная объемная расходимость не может быть устранена «граничными» слагаемыми или возможными слагаемыми более высокого порядка (которые тоже расходятся в Тс). В слоистом случае возникает такая же трудность: теплоемкость конечного слоя Сп (Т) может быть и расходится, но в общем случае эта расходимость имеет место в другой критической точке Тс (п) ^ Тс (оо). Отсюда следует, что для фиксированных, пусть даже очень больших п или N, асимптотические приближенные формулы (5.9) и (5.10) справедливы лишь вдали Тс; они перестают быть верными вблизи Тс, вероятно, в областях «сглаживания» Тс (1 ± 6) и сдвига Тс (1 ± 8). Перейдем теперь к применению скэйлинговых идей, с помощью которых удается устранить эту трудность, а также получить ответы и на некоторые другие из поставленных выше вопросов.

Сдвиг, сглаживание и корреляционная длина

Первое соображение, которое приходит в голову при исследовании вопроса о зависимости сдвига е от конечных линейных размеров системы, заключается в том, что критическая температура является мерой сил взаимодействия. Так, с ростом любых обменных взаимодействий в ферромагнитной модели Изинга величина Тс растет. Последнее справедливо также в простой картине самосогласованного поля [441, где величина къТс пропорциональна энергии основного состояния — Е°бщ (W). Для конечной системы модель Изинга с учетом взаимодействий между ближайшими соседями дает

NkB Тс ~ Е^Щ (W) « dJN — JN*, (5.11) где второй член соответствует уменьшению энергии связи за счет спинов, находящихся на поверхности (конечно, имеются также поправки высшего порядка, связанные с краями и углами).

Это сразу приводит к величине сдвига

где Х=1 (п->оо).(5.12)

Здесь Ъ « 1, а средняя величина п при гармоническом усреднении определена в (5.8); для слоистых систем п = dn,

но обычно пишут е « b/nk. По этим же причинам периодические граничные условия должны привести к b = 0, а для ферромагнитно-упорядоченных на границе спинов к 6 « —1.

Хотя из сказанного выше несомненно следует, что свободная энергия, теплоемкость и другие величины содержат члены, пропорциональные 1/й, это соображение естественно поставить под сомнение, так как простая теория самосогласованного поля применима только для дально- действующих сил (точнее, обладающих бесконечной областью действия). В этом случае каждый спин эффективно взаимодействует со всеми другими спинами и, следовательно, непосредственно «чувствует» границу. Наоборот, для наиболее интересных систем с типичными короткодействующими силами спин, находящийся в центре конечной системы (или пленки), может получить «информацию» о наличии границы лишь эстафетным образом благодаря корреляциям, обусловленным взаимодействиями. Это совершенно иной процесс. В то же время мы убедимся в справедливости (при выполнений определенных условий) формулы (5.12).

Упорядочение в системе описывается, конечно, основной корреляционной функцией для параметра порядка

Счгчг (г; Г) = СУ (0) ^ (г) > — (V (0) >2, (5.13) о которой говорилось выше. Вдали от критической точки затухание функции Сл^ (г) при | г | -*- оо описывается обычно экспоненциальной зависимостью [1—41:

Очгчг (г; Т) ~ <?-*/№), | г | -> оо, (5.14) которая определяет радиус корреляции § (Т) = 1/х (Г). В свою очередь функция § (Т) расходится при приближении к критической точке как

(5.15)(5.15)1Z-V при Т-^Т*^^^с),

(5.15)

(5.15)

lurv' при Т-^Тс & = U,

где, как и раньше, Z = (Т — Т<^!ТС. Эти соотношения определяют важные индексы v и V, которые для трехмерных систем принимают типичные значения 0,63—=0,72, или примерно v « 2/3. Даже если неверна экспоненциальная зависимость (5.14), естественно ожидать, что характерным

масштабом изменения корреляционной функции будет некоторое § (Г), точное определение которого может быть предметом специального обсуждения (см. лекции Хохен- берга в этой школе и обзор [27]). Самое важное в развиваемом подходе — наличие только одного расходящегося радиуса корреляции в системе; это является основой корреляционной скэйлинговой гипотезы [1—4].

Важность понятия радиуса корреляции § (Т) связана с введением естественного предположения о том, что когда корреляционная длина для ограниченной трехмерной системы станет равной характерному размеру конечной системы или толщине пленки L = па, «что-то» должно произойти с фазовым переходом. Так, спины, находящиеся на противоположных границах системы, окажутся полностью скоррелированными и из-за ограниченности системы упорядочение не сможет продолжаться дальше. Можно думать, что область «сглаживания» или «пересечения» будет определяться этим критерием [44]. Таким образом, если аргумент сингулярной функции £ (Т) отсчитывать от сдвинутой критической температуры слоя Тс (п) или от соответствующей конечной псевдокритической точки ^шах, ТО

L = na^0 (HlW^kWL)"v; (5.16) здесь §о — амплитуда сингулярности функции § (Т). Это сразу приводит к следующей оценке для сглаживания [44]:

6”^Г’ е = т- <5-17)

где для слоистых систем с « (^oM1/v ~ 1 и п = п. Так как для типичных трехмерных систем 1/v > 1, то (5.17) вместе с соотношением (5.12) приводит к выводу, что величина сглаживания может быть асимптотически меньше, чем величина сдвига на множитель nH-Wv « тг~°>5.

Можно высказать предположение, что в случае конечных систем некубической формы ^п, ^ пд) правильное усреднение п определяется «зарезанием» — нижним пределом в некотором интеграле, аппроксимирующем «оборванную» сумму, по соответствующей tZ-мерной обратной решетке, волновой вектор которой q входит в предельном случае

в изотропном виде <у2 = | <7 |2. Это означает, что п = d1^ х X («Г2 + • • • + ^52)-1/2; подчеркнем, однако, что мы пришли к этой формуле чисто умозрительным путем и скорее всего она является лишь наводящим соображением.

Эта формула полезна также при выяснении вопроса о зависимости сглаживания от формы конечной системы. Мы еще вернемся к этому вопросу при обсуждении выводов из точных расчетов для модели Изинга.

Ортодоксальный приверженец скэйлинга считал бы, что сдвиг Тс должен определяться условием равенства радиуса корреляции и размера системы L, что дает

* = V (5-18)

вместо (5.12). В этом случае асимптотические величины сдвига и сглаживания были бы одного порядка. Мы увидим (об этом уже говорилось и раньше), что такой вывод не всегда верен, хотя он, по-видимому, справедлив для модели Изинга слоистой системы с d = 3. Заметим также, что условие (5.18) никак не помогает в определении знака Ь. Однако даже если принять наше первое предположение (5.12), то для периодических граничных условий все равно должно быть справедливо (5.18), так как в этом случае коэффициент b в (5.12) должен обращаться в нуль. Мы покажем, что это иногда верно, а иногда нет! Однако прежде чем перейти к детальным модельным расчетам, остановимся более подробно на теории скэйлинга.

Теория скэйлинга для конечных систем

Для определенности мы будем здесь говорить об изотермической восприимчивости % (Т) ферромагнетика в нулевом поле, однако все выводы будут применимы к сжимаемости газа или, например, к теплоемкости газа и магнетика и т. п. Мы будем пользоваться переменной п для обозначения конечного размера или толщины и будем главным образом иметь дело с пленками или слоистыми системами; при переходе к ограниченным во всех измерениях системам будет показано, как осуществить такой переход.

Пусть предельная или идеальная восприимчивость имеет особенность вида

Х= (Т) « АМ при Т^ Т* (оо),(5.19)

где

и у = yd. Для конечного и фиксированного п при Т-*ТС (ri)

%п(Т)^АпМ,(5.21)

где у ^у^, а «сдвинутая» безразмерная температура определяется равенством

i=-fcT(^ =! + »№'(5-22)

Тогда для относительного сдвига критической точки имеем

8(rt)=^^=^WТе (со)8(rt)=^^=^WТе (со)(5.23)(5.23)

8(rt)=^^=^WТе (со)

8(rt)=^^=^WТе (со)

(5.23)

(5.23)

Пока мы оставляем в стороне вопрос о зависимости сдвига е от п. Заметим, что в конечных системах у = 0 и тогда величина Xn.шах = Хп [Тс (л)1 сводится к Ап, причем Тс (ri), как уже говорилось выше,— псевдокритическая температура, определенная соответствующим образом.

Теперь сформулируем скэйлинговую гипотезу в виде утверждения о том, что существует единственная переменная Li^, (Т) ~ niy, обеспечивающая переход от (5.19) к (5.21). Наиболее удобна следующая форма гипотезы:

Xn (Т) « ri»X W, 6 = ±. (5.24)

Обратим внимание на появление переменной t в аргументе функции X в (5.24). Индекс ю мы определим несколько позже. Очевидно, что функция X (х) определяет форму, сглаженной особенности в критической точке для конечных п. Следовательно, «сглаживание»

д(п)д(п)J1 п9 ~ п^ 'J1 п9 ~ п^ '(5.25)(5.25)

д(п)

д(п)

J1 п9 ~ п^ '

J1 п9 ~ п^ '

(5.25)

(5.25)

Для определения со надо совершить предельный переход п -*- оо и результат сравнить с формулой (5.19), т. е. нужно потребовать выполнения условия

Х(х)^-^_ при х->оо(5.26)

для того, чтобы воспроизвести закон I//7. Оставшаяся зависимость от п исчезнет при

о> = 67 = ^-=2-п,(5.27)

где введен известный индекс я [1—4]. Следует также положить

X» = А.(5.28)

Как уже говорилось, индекс у содержится в скэйлинго- вой функции X (х), так что для малых х (т. е. 0 при фиксированном п) должно быть

Х(х)«^ при х—>0.(5.29)

х»

Из сравнения с (5.24) видно, что амплитуда Ап для образца конечных размеров меняется по следующему закону:

Ап « Х0п9^-^ = X0/z(v-v)/v.(5.30)

Обычно у = yd < Td-i = у, так что Лп уменьшается с ростом п. Это предсказание теории может быть непосредственно проверено, так как индексы у, v и у определяются независимо от амплитуды.

Чтобы учесть возможность логарифмической особенности, присущей, в частности, теплоемкости, надо несколько обобщить предположение (5.24), а именно:

Xn (Т) ~ п® [X W - X W] + Хп (То), (5.31) где /0 — некоторое фиксированное некритическое значение величины t, скажем /0 — L 2, а То —соответствующая абсолютная температура. Последний член слабо зависит от п ив дальнейшем будет опускаться. Для этого случая

анализ проводится так же, как и для предыдущего, так как добавочный член не дает вклада в особенность, хотя им определяется некоторая дополнительная информация.

Для логарифмического случая, который может быть записан в виде

%оо(7)«^Д1п(Г2)+... (^0), (5.32) найдем, что при п-*- оо'(5.26) заменится на

X (х) « Хоо In (х-1) при х—>- со. (5.33) Отметим, что при этом дополнительное слагаемое n“ In (п)к в (5.31) сократится. Одновременно мы должны потребовать со=О, что при у = 0 согласуется с (5.27), и в согласии с (5.28) приходим к X» = А.

Соотношение (5.29) должно быть справедливо и для малых х; тогда для у ^ 0 получаем (5.30), однако нам следует положить у = 0. Наиболее интересен случай системы, ограниченной во всех измерениях. Для такой системы, отождествляя Тс (п) с Гтах (п), найдем

X (х) -*- Хо при х—> 0 (5.34) [ср. с (5.29)], а затем, учитывая также (5.33), получаем

Хп, шах ~ 6-Д In П + ... та -^- In п -)- . . . . (5.35) Опущенные в этом выражении слагаемые Хо +1 UA In (ф+ + Хп (^о) в первом приближении постоянны. Обратим внимание на то, что здесь предсказываются как логарифмическая зависимость функции Хп, шах от п, так и амплитуда этой функции.

Граничные или поверхностные сингулярности

Из скэйлинговой гипотезы можно, кроме того, сделать вывод о расходимости поверхностной восприимчивости и других величин. Для этого надо исследовать полученные выражения в предельном случае п ^ 1 при фиксированном t. Из общей формулы (5.10) следует

Хп (7) ~ Х= т + 2п-Ч* {Т} + ... оо), (5.36)

Теория сингуляр ноетей в критической точке 343 где х* — искомая поверхностная восприимчивость. Полученная ранее формула (5.26) [или (5.33)] для асимптотического поведения скэйлинговой функции дает правильное выражение для первого слагаемого в (5.36). Напишем следующие члены в асимптотическом разложении, предполагая, что

X (х) ~ %oox-v Н- У=х"* -]-...,(5.37).

где индекс ф определен ниже (окажется, что он больше чем у) 1). Подстановка (5.37) в (5.24) [или в более общую формулу (5.31)] и использование соотношений (5.22) и (5.28) приводят к

Хп <Т) « Х_ [/ + в (н)]-т +

+ п^ФУоо И + е («)]-* + . . . . (5.38)

Подставляя сюда выражение (5.12) для сдвига е (га), найдем, что

Хп (Г)Л/^ — уЛбга-^-^- +

+ ГооП®-0*^* + . . . .(5.39)

Рассмотрим теперь несколько случаев.

Индекс, характеризующий сдвиг, больше единицы: Х>1. Тогда поверхностный член появляется в (5.39) лишь при ю — вф = —1, т. е. если

ф = т + V.(5.40)

Из сравнения (5.39) с (5.36) следует, что поверхностная восприимчивость меняется по закону

X* (Т) « A*t~^*,(5.41)

где поверхностный индекс и амплитуда имеют вид

y* = y4_v2)?^* = 2.^.(5.42)

Заметим, что ни величина, ни даже знак амплитуды Л* не определены.

Предположим теперь, что X = 1. Тогда дополнительный вклад в восприимчивость равен

^^«-^^АЬГ^А-^У^-^. ^ЬА^

[Конечно, если ^ > у + v, то второго слагаемого в (5.43; не будет.] Для v< 1, как, например, в случае d ^ 3, первое слагаемое больше второго и результат отличается от (5.42):

т* = ?+1 и А* = — 1уЛ&.(5.44)

В этом случае определяется также значение величины А*. Значение А* отрицательно для положительных Ь, т. е. критическая точка для конечных, п ниже чем Тс (оо). Наоборот, А* должно быть положительным для таких граничных условий, которые приводят к увеличению Тс.

В случае X < 1 (который, по-видимому, маловероятен для короткодействующих сил) мы приходим к заключению, что либо асимптотическое разложение (5.37) содержит слагаемые, компенсирующие зависимость типа в (5.40), либо становится неверным разделение на поверхностные и объемные слагаемые. Это, несомненно, имеет место для достаточно дальнодействующих сил.

Приведенный выше анализ нетрудно повторить, используя (5.31), для идеальной логарифмической зависимости типа (5.32). Оказывается, что в этом случае по-прежнему справедливы формулы (5.42) и (5.44) для индексов, но выражение для амплитуды в (5.44) следует заменить

А*=—^АЬ (у = 0).(5.45)

Напомним, что в нашем анализе была использована сдвинутая переменная / в скэйлинговой гипотезе (5.24) [или (5.31)]. Очевидно, что это можно делать в случае произвольной зависимости сдвига е от п. В ортодоксальном скэйлинговом подходе отдается предпочтение переменной t, т. е. формулировка гипотезы (5.24) заменяется на

Xn (Т) « n«XQ0 = 1.(5.46)

Индекс 0 в скэйлинговой функции просто означает что в аргументе функции используется несдвинутая переменная t. Действуя совершенно так же, как и раньше, получаем для большого п;

Х°(х)«^ при х-^со,(5.47)

где to = бу = y/v и К.» = Л. Однако для малых, или, точнее, для конечных, х формула (5.29) заменяется на

Х°(х)«—^-т- при х->хс.(5.48)

(^ —^с)7

Другими словами, предполагается, что скэйлинговая функция расходится при х = хс, а не при х = 0. Тогда восприимчивость для конечного п

Хп (Т) « Лп [Z + e (и)]-7 при —в. (5.49) Здесь сдвиг определяется выражением е (п)«Ь/п^, где

X = V и Ь = — хс.(5.50)

Итак, мы снова получаем исходное скэйлинговое предсказание для величины сдвига § (Т) = La, а амплитуда Ап по-прежнему определяется формулой (5.30). Если речь идет о поверхностной восприимчивости х* СО> в выражении (5.38) будут отсутствовать слагаемые, содержащие е, и, следовательно, реализуется только случай а), приводящий к (5.41) и (5.42), где, в частности, у* = у + v. Напомним, что альтернативная формула у* = у + 1 справедлива лишь в случае б) — сдвига с индексом Я, = 1.

5Л. Плоская квадратная решетка Изинга

Остановимся теперь на некоторых деталях расчета, которые позволяют проверить справедливость изложенной выше теории скэйлинга п. Сначала рассмотрим работу

Как это часто бывает, большинство точных и приближенных численных расчетов было выполнено до создания строгой теории скэйлинга.

Фердинанда и автора [44, 49] по расчету теплоемкости квадратной ферромагнитной решетки Изинга, состоящей из п X т узлов, при учете взаимодействия между ближайшими соседями и в случае периодических граничных условий. Для такой модели точное выражение для статистической суммы было впервые получено Кауфман. Однако для того чтобы детально рассчитать асимптотики теплоемкости, пришлось проделать очень большую работу.

Безусловно, теплоемкость конечной системы [даже бесконечного (т ->- ею) цилиндра с конечным поперечным сечением nA оказывается нерасходящейся и сглаженной функцией. Основной результат состоит в том, что сглаживание происходит в области 6 ~ \!п, так что индекс, характеризующий сглаживание,

9=1. (5.51)

Так как для бесконечных плоских моделей Изинга индекс, определяющий особенность радиуса корреляции, равен единице (v2 = 1), то равенство (5.51) подтверждает справедливость вывода теории скэйлинга 0 = 1/v.

Полное выражение для теплоемкости при и—>-оо, х = nt и фиксированном множителе / = т!п, характеризующем форму объекта, имеет вид [49]

^бД л ln" + B(nB 0+^^ф^ +

+^П.+ 0|-<!^]. (6.52)

Амплитуда А такая же, как и в объемном случае (пг=п=со), когда

22^1 = ±Aln^-^ + Ai + O^ln/-2) (при >0).. (5.53)

Выражения для входящих в (5.52). функций В (х, /), Bi (х) и В2 (х, f) очень длинны и сложны; они включают новые функции: обобщенные эллиптические тэта-функции и другие. Очевидно, что формула (5.52) соответствует скэй- линговой гипотезе (5.31) при ю = О, как и должно быть для теплоемкости, содержащей логарифмическую особенность [конечно, в (5.52) содержится информация и о структуре слагаемых высшего порядка].

(5.54)(5.54)Максимум теплоемкости равен выражению Сттг. max ~ А In П + Smax (/),

(5.54)

(5.54)

которое находится в строгом согласии с соотношением (5.35), предсказанным теорией скэйлинга. Положение максимума теплоемкости может быть найдено из формулы (5.52), и, следовательно, для сдвига получаем

е(п)«^ при А=1, Дб.55)

что согласуется с высказанным ранее предположением для периодических граничных условий (см., однако, ниже!). Для симметричного или «квадратного» тора находим

b (!) = —0,36029 . . ., Bmax (1) = 0, 2013 . . ., (5.56) т. е. максимум лежит выше Тс. На первый взгляд этот результат представляется весьма разумным, поскольку усиление корреляции между спинами из-за наличия двух различных направлений, по которым спины взаимодействуют (одно из направлений — вокруг периодического тора), должно привести к более высокой псевдо критической температуре. В этом рассуждении содержится некоторая доля истины, но при изменении структурного множителя f = = mln результаты становятся весьма странными. Во-первых, b (f) уменьшается, когда f отличается от единицы; во-вторых, &(/)->0 при f-+0 или f-^-oo. Последнее просто означает, что для очень длинного тонкого тора, который в пределе переходит в бесконечный цилиндр, Тщах асимптотически приближается к Тс (оо). [В действительности, как было установлено Онсагером еще в 1944 г., различие между ними определяется величиной порядка (In га)/га2.] Во всем этом пока нет ничего необычного; сюрпризы возникают для тора промежуточной формы, когда /0 = mln = 3,1392. . . (или когда mln = 1//0), где b (f) меняет знак! Таким образом, для «длинного» тора, когда отношение длины тора к его ширине превышает величину f0, максимум теплоемкости лежит ниже Тс, в то время как для достаточно «короткого и толстого» тора максимум расположен выше Тс. Это совершенно непонятный результат, и было бы интересно его объяснить. Несмотря на академичность поставленного вопроса, ответ на него явился

бы хорошим критерием для понимания (или непонимания) того, что же происходит в действительности.

Фердинанд получил также (эта работа не опубликована) точное выражение для теплоемкости п X оо полоски Изинга (или одномерной пленки) со свободными краями (границами). Полный анализ асимптотического поведения не был проведен, но оказалось, что теперь положение максимума соответствует более низкой температуре, чем Тс, а индекс и амплитуда сдвига 11 равны соответственно

л = 1 и boo « 0,900 ± 0,007, (5.57)

т. е. по-прежнему 0 = 1/v = 1. Точный численный расчет [491 для тХ п квадратных решеток с малыми значениями пг и п дает

X = 1 и bY « 1,35 ± 0,08. (5.58)

Индекс k = 1 в (5.58) согласуется с предсказаниями (5.12) теории самосогласованного поля для сдвига в системе со свободными границами. Однако из-за «случайного» результата v = 1 для плоских ферромагнетиков Изинга фактически нельзя отдать предпочтение какому-либо одному из двух результатов: К = 1 или X = 1/v. Знаки амплитуд boo и bt также соответствуют выводам теории самосогласованного поля, однако значение отношения 61/6» « 1,5 отличается от значения bjboo = 2, вытекающего из (5.12). Это, по-видимому, снова указывает на то, что учет зависимости от формы образца — вопрос более тонкий, чем простое определение (5.8) значения п _для гармонического случая [среднеквадратичное значение п, приведенное после формулы (5.17), давало бы значение bjboo = 2^2 « 1,414, что согласуется с (5.57) и (5.58) при учете указанных там погрешностей].

Далее можно проверить предсказание скэйлинга для поверхностной теплоемкости на двумерной модели Изинга, так как она допускает точное решение как для свободных, так и для ферромагнитных граничных -условий [44, 48].

1> Численные оценки для амплитуды были проведены совместно с Барбером. Характеристикой точности расчета может служить тот факт, что сделанные тем же способом оценки дали для величины b (1) в (5.56) значения — 0,358 ± 0,007, что очень близко к точному результату.

Теория сингулярностей в критической точке349 Для свободных границ получаем

^)=_|Д*|Г1 + Л? ln|/| + <± + O(Zln|Z|)

при Z->0±. (5.59)

Заметим, что объемная теплоемкость С» (7) всегда должна быть интегрируемой функцией, даже если она расходится. В то же время поверхностная теплоемкость не должна быть и в данном случае действительно не является интегрируемой функцией. Индекс а* = 1, характеризующий расходимость теплоемкости, согласуется как с равенством а* = а + 1 (когда сдвиг пропорционален 1/п), так и с равенством а* = а + v. Поскольку а = О и v = 1, как и в предыдущем случае, обе эти возможности неразличимы. Однако отрицательный знак основного слагаемого в (5.59) соответствует предсказанию теории самосогласованного поля, и, действительно, при ферромагнитных граничных условиях это слагаемое становится положительным. С другой стороны, величина этого слагаемого должна приводить, согласно (5.45), к значениям &i яу 1,135 и б.» = 0,568, которые не согласуются с (5.57) и (5.58).

Как и следовало ожидать, точные расчеты в случае периодических граничных условий показывают, что в выражении для свободной энергии нет слагаемого типа 1/п, другими словами, вместе с исчезновением поверхности исчезает и поверхностная свободная энергия. Более того, оказалось, что при фиксированном Т ^= Тс теплоемкость Ст™ (Т) и все другие производные от свободной энергии приближаются при п —> оо к своим предельным значениям по экспоненциальному закону г\ Точнее, при фиксированном Т ^ Тс и при ге —> оо

С= (7) — Cmn (7) ~ е-г(Т*(5.60)

где Г (7) обращается в нуль при Т -> Тс. Вероятно, такого рода зависимость является весьма общей (см. дальше). Из скэйлинговой гипотезы сразу вытекает, что Г ~ §-1 = = х, так что

Г (7) « Го^' при ^->0.(5.61)

Онсагер в своей основной работе по модели Изинга обратил внимание на этот факт для случая бесконечного цилиндра-

Этот результат подтверждается расчетами для плоских моделей Изинга. Экспоненциальное поведение означает, что для систем с периодическими граничными условиями второй член в асимптотическом разложении скэйлинговой функции (5.37) пропорционален ехр (—gx1^, где g — константа.

Трехмерные пленки Изинга

Для выбора одного из двух возможных значений индекса для сдвига X = 1 или % = 1/v и соответственно для поверхностных индексов у* = у + 1 или у* = у + v естественно обратиться к трехмерной модели Изинга. Рассмотрим простейший и во многих отношениях наиболее важный случай: пленку, состоящую из п. параллельных двумерных слоев. При этом, конечно, придется обратиться к численным методам расчета. При рассмотрении критических явлений лучше других оправдал себя метод, использующий точные разложения в ряды [2, 3]. Результаты предварительного изучения высокотемпературных рядов были уже опубликованы Алланом [54], а здесь мы приведем более поздние и более полные результаты. Самой трудной частью расчета является определение коэффициентов аДп), входящих в разложение приведенной восприимчивости пленки, состоящей из п слоев:

-^ Xn (Т) = 1 + 2 ат (га) у',(5.62)

Г=1

где, как это обычно делается в расчетах модели Р1зинга, оказалось удобным ввести высокотемпературную переменную

(5.63)

Представление коэффициентов ат (га) в виде совокупности графиков сводит задачу к суммированию графиков с соответствующими «весами». Большую помощь здесь оказывает численный счет, который, однако, требует большой осмотрительности и внимания. Ряды, полученные Алланом для «пленки»— простой кубической решетки с двумя свободными поверхностями,— содержат по одиннад-

цати членов разложения для числа слоев п = 3, 4, 5, 6, 7 и двенадцать — для п — 2 .

Подобная ситуация имеет место для пленок с периодическими граничными условиями . Кроме того, Аллан получил одиннадцать членов разложения поверхностной восприимчивости простой кубической решетки и десять —для поверхностной теплоемкости. Наконец, Ватсон [55] рассчитал восемь членов ряда для поверхностных свойств объемноцентрированной кубической решетки и семь — для гранецентрированной. При анализе рядов для восприимчивости с целью нахождения критической точки ис (л) мы пользовались главным образом известным методом отношений [2, 3]. Этот метод основан на асимптотической формуле:

Мт ^ = «Sh")" ~ ^с ^^ I1 + (V- J) г"1+ • • -1 ПРИ г-^оо.

(5.64)

Входящий в (5.64) индекс у мог бы в принципе зависеть от числа слоев п, причем известно, что у (1) = у2 = 7 4 и у (оо) = у (3) = 5/4. Однако, как уже говорилось выше, мы думаем, что для всех конечных п у (га) = у2 = 7/4. Для га = 2 и га = 3 это, действительно, достаточно надежно установлено прямой экстраполяцией отношения коэффициентов в функции от 1/г [2, 3]. Одновременно очевидно, что для больших га должны проявляться переходные явления, и, в самом деле, первые га отношений напоминают скорее объемный случай, чем двумерную пленку .

Это обстоятельство следует учитывать при оценке ус (га). Удобнее всего исходить из равенства у (га) = у2 =

= 7/4 (« < °°) и. исследовать отношения членов ряда для величины [(£B7Vm2) yj1/^, которая должна иметь особенность типа простого полюса. В таких отношениях член первого порядка по 1/г должен быть постоянным, и, действительно, найдено, что отношения практически линейны по 1/г2. В табл. III представлены оценки критической тем-

Таблица III

Оценки критической температуры для пленки Изинга, состоящей из п слоев

Число слоев

Свободные поверхности ( 1)

Периодические граничные условия (0)

п

1/ис («)

/1 х1/^

1/ус (")

п2Дус (п)

1

2,4142...

0,3683...

2,4142...

0,19606...

2

3,311

0,349

3,715

0,2042

3

3,738

0,347

4,165

0,1976

4

3,968

0,352

4,338

0,1979

5

4,114

0,353

4,423

0,199

6

4,217

0,349

4,475

0,193

7

4,284

0,351

4,505

0,19

8

4,522

0,19

ОО

4,5840

(0,350)

4,5840

(0,1974...)

пературы для и = 1 — 7 или п = 1 — 8. Результат является точным для п = 1, а величины для и = со (или d = 3) взяты из предыдущей работы [2, 3]. Погрешность в оценках 1/ус для пленок со свободными границами составляет около ±6 к последней цифре после запятой; для периодических решеток и п^ 3 погрешность такого же порядка или несколько меньше.

Как уже говорилось выше (см. также [3, 7]), первоначально предполагаемые значения для индекса к, характеризующего сдвиг [44], были: ^ = 1 для пленок со свободной поверхностью и Хо « l/v3 « 1,56 для периодических граничных условий. Из табл. III видно в соответствии

с ожидаемым результатом, что в случае периодических граничных условий Тс (п) стремится к Тс (<х>) значительно быстрее, чем в случае свободных границ. Результаты давней работы [54] не противоречили ^ = 1 и %0 ^ 1,56, хотя несколько большие значения этих величин Xt « 1,3 и Хо « 2,0 давали лучшее согласие с расчетом. Приведенные в табл. III данные не оставляют сомнения в том, что большие значения At и Хо лучше соответствуют расчетным. Так, в последнем столбце табл. III даны оценки разности ус W — у с (°°) — Аус (я), умноженной на п?. С точностью до погрешностей расчета, которые растут примерно от 0,5% для п = 2 до 5% при п = 6, эти величины почти постоянны. Фактически простая формула

ус (п) « ус (оо) + (А) 2 (5.65)

определяет значение ус (и) в пределах указанной точности для всех п ^ 2; даже для п = 1 она отличается от точного результата менее чем на 0,4%. Конечно, не следует слишком серьезно относиться к такой формуле, но она показывает, что для периодических граничных условий расчетные величины очень хорошо описываются индексом

Хо = 2,0. (5.66)

Для проверки точности этой величины можно отложить графически [Аус (п)]-1^ как функцию от п для различных X и посмотреть, который из этих графиков ближе всех к прямой линии. При этом оказывается, что ошибка в определении % составляет ±0,1.

Проводя точно такие же оценки для свободных границ (фиг. 12), получаем с той же точностью, что

(5.67)(5.67)%!=— « 1,56

(5.67)

(5.67)

1 Та ’

обеспечивает наилучшую линейную зависимость. Однако соответствующая прямая отстоит от начала координат на величину Ап « —0,5. Соответственно в табл. III включены оценки для величины (п + 1/2)1/v Аус (п), которая оказалась постоянной с точностью 1—3%. Постоянство

этой величины свидетельствует о том, что формула

Ус (п) « Ус (оо) + —(5.68) Г + т)

обеспечивает хорошую точность вплоть до п = 2.

Из сказанного следует, что предсказание теории скэй- линга об индексе сдвига X = 1/v подтверждается расчетами для моделей Изинга со свободными границами для d = 2

Фиг. 12. Зависимость (1/ДУс)1^ от п для пленок из п слоев со свободными границами.

Здесь Дус = Ус(п) — Ус(°°). У = th (j/feB Т). Приведены кривые для значений величины X, равных 1 (кривая /), 1/V (кривая 2). 2 (кривая 3).

и d = 3. Точно так же предварительный анализ рядов для трехмерной поверхностной восприимчивости привел к значениям у* « 1,95 ± 0,08, что согласуется с предсказанной в теории скэйлинга величиной у + v «5 1,89. С другой стороны, для периодических граничных условий и в том и в другом случаях сдвиг Тс уменьшается при учете высших степеней п, что до сих пор не объяснено с общих позиций,

Сферическая модель для d-мерных пленок

Сферическая модель была предложена Берлином и Кацем [56]. В этой модели строгое условие

(sr)2 = 1 для всех г,(5.69)

налагаемое на каждую локальную спиновую переменную sr в модели Изинга (где sr = d=l), «ослаблено» и заменено общим сферическим условием для N спинов

^2 = 3(sr)2 = V.(5.70)

Г

Здесь sr считается непрерывной переменной, а оператор шпура сводится к TV-кратному интегралу. В термодинамическом пределе (взятом по крайней мере в одном измерении) точное сферическое условие может быть заменено усредненным

<(sr)2>,= 1.(5.71)

Такую процедуру удобнее всего провести, вводя в исходную статистическую сумму сопряженное к t^2 сферическое поле К^з и соответственно дополняя термодинамические формулы [56, 57].

К сожалению, многие свойства сферической модели весьма нереалистичны; например, она дает фазовый переход лишь для d ^ 3, а критический индекс ц всегда обращается в нуль [1—4]. Тем не менее она допускает точные решения для всех измерений (и для любых взаимодействий) и дает значения критических индексов [56, 57]. Поэтому не лишено интереса исследование свойств сферической модели для d-мерных пленок, состоящих из п (d — 1)-мерных слоев [50, 58]. Наиболее интересные для нас результаты расчета приведены в табл. IV ^

Во-первых, индекс, характеризующий сглаживание для любых граничных условий и произвольного d, равен

(d>3),(5.72)

как это и предсказано теорией скэйлинга. Правильными оказались даже добавочные логарифмические множители

г> Другие результаты относятся к случаю антипериодических граничных условий и сводятся к расчету спиральных модулей [50].

Таблица IV

Результаты расчета сферической модели для пленки, состоящей из п слоев

Размерность

Объемный индекс

Сглаживание

Сдвиг 8 (п)

Поверхностный индекс

d

V W

v (d)

б (п)

свободные поверхности (1)

периодические граничные условия (0)

V*(<0

з

2

1

~ га-1

161 1

6g

3

п

п

4

1 (X log)

1 /

X log1/2)

~ (In га)/га2

|6Ц

6g

2

2 I

п

га2

5

1

1

^ п-2

1611

6g

2

2

п

га3

>6

1

1

2

~ га-2

п

6$

rad-2

2

для d = 4. Кроме того, из детального анализа [50] следует возможность введения скэйлинговой функции и ее явный вид.

Во-вторых, для свободных границ сдвиг критической точки во всех случаях определяется (нескэйлинговым) индексом

А, = 1,(5.73)

так что для d ^ 4 сдвиг асимптотически больше, чем сглаживание. Однако. знак асимптотического сдвига всегда соответствует увеличению Тс вопреки ожидаемому уменьшению, которое получается в модели Изинга для свободных границ! Отсюда следует, что Тс (/г) не может монотонно приближаться к Тс (оо). Мы вскоре вернемся к этому, а здесь заметим только 1>, что для трехмерных пленок первая поправка к члену —\!п в выражении для сдвига имеет вид + (In ii)!n\ т. е. Тс (ft) ниже Тс (оо) для п С 24, а для ft ^ 25 становится больше, чем Тс (оо). Ясно, что в этом

Следуя очень подробным расчетам Барбера.

случае нельзя провести разумную экстраполяцию, имея результат расчета лишь для, семи или восьми слоев!

Исходя из сдвига типа AJn, теория скэйлинга предсказывает для поверхностного индекса значение у* = у + 1; очевидно, что это предсказание полностью подтверждается г\ В действительности специальное исследование показывает, что выражение для поверхностной восприимчивости содержит также расходящийся член, характеризуемый индексом у + v, в соответствии с (5.43) [55].

В пленках с периодическими граничными условиями Тс (п) всегда монотонно стремится к Тс (оо). Более того, так как

Хо = d — 2 (d > 3),(5.74)

то асимптотический сдвиг меньше, чем сглаживание (за исключением «случайных» причин при d = 3). Как уже отмечалось, неясно, почему этот эффект необычайно сильно зависит от размерности пространства d.

Для периодических граничных условий расчеты снова приводят к экспоненциально быстрому достижению предельного значения восприимчивости при Т ^ Тс; об этом уже говорилось ранее в связи с моделью Изинга. Точнее говоря, получается

Хоо(Т)-Хп(Т)«ВИЛп-1/2^^^^(л-^оо),(5.75)

где в согласии с гипотезой скэйлинга

Г^Т)»1^ при ^0+(5.76)

и

В^ (Т) « Bodr1+1/ltd~6)X(5.77)

а для d = 4 появляется также соответствующий логарифмический множитель. Кроме того, в случае периодических граничных условий скэйлинговые функции X (х) правильно передают асимптотическое поведение (5.75).

Общий вывод, к которому мы пришли, рассмотрев сферическую модель, состоит в том, что, за исключением

В “анализе, приведенном ранее в работе Ватсона 153], допущена в этом месте ошибка.

зависимости типа 1 (п) для сдвига, скэйлинг хорошо работает ^ во всех случаях, когда границы свободны.

С другой стороны, такой сдвиг не согласуется также с теорией самосогласованного поля, так как он имеет противоположный знак. (Кроме того, хотя теория самосогласованного поля дает для модели Изинга правильный знак сдвига, она не дает ни правильной величины сдвига для d = 2 или для d = 3, ни даже правильного индекса.) Как это объяснить — неясно.

Хотя ситуация в целом и неясна, можно все же отметить следующее. В сферической модели сферическое поле X^ все время должно поддерживаться таким, чтобы обеспечивалось выполнение сферического условия (5.71). Таким образом, X^ зависит не только от Т (и от внешнего упорядочивающего поля £ = 77), но также должно зависеть и от числа слоев п. Вид зависимости от п можно предсказать из следующих соображений. Спины вблизи границы менее упорядочены из-за уменьшения величины взаимодействий, приводящих к ослаблению корреляции (как в модели Изинга). Сам по себе этот эффект привел бы к тому, что Тс («) < Тс (°о)- Однако эти граничные спины, составляющие, вероятно, Мп часть полного числа спинов, будут вносить меньший вклад также и в сферическую сумму ^ [см. (5.70)]. Следовательно, для того чтобы выполнялось общее сферическое условие, поле Х^ должно увеличиться на величину порядка 1/п. Возрастание величины Х^, действующей на спины во всем объеме, приводит к пропорциональному увеличению слагаемых, соответствующих спин- спиновому взаимодействию, тем самым увеличивая температуру перехода на величину \!п порядка сдвига.

Таким. образом, сферическое поле, которое, вероятно, можно рассматривать как замаскированное дальнодей- ствующее взаимодействие, обеспечивает прямую связь между граничными и внутренними спинами. Эта связь и явилась причиной сдвига пропорционального Мп\

Заметим, что необъясненная зависимость l/nd~2 для сдвига в случае периодических граничных условий (пленки) наверняка связана со слагаемыми высшего порядка и, следовательно, соответствует просто вкладу точки хс = 0 в скэйлинговую функцию; см. (5.46)—(5.48).

Может быть, в действительности нельзя считать, что сферическое слагаемое в статистической сумме обусловлено дальнодействующими силами (в конце концов оно представляет собой сумму строго локальных слагаемых). Скорее следует сферическое поле Х^ считать «скрытым полем» такого типа, как вводимое в эффектах перенормировки [38]. Термин «скрытое» вполне можно здесь применять, так как при рассмотрении пленок из идеального бозе-газа (как это было недавно показано [51]) оказалось, что сдвиг Тс (нескэйлинговый и немонотонный) пропорционален 1/п. «Естественно» изучать поведение пленки газа толщиной L при условии, что плотность всюду постоянна. В противном случае без этого «навязанного условия» постоянства химического потенциала в идеальном бозе-газе вообще невозможен фазовый переход. Но так как локальная плотность вблизи стенок меньше, чем в объеме, полный химический потенциал (который не играет решающей роли в конденсации бозе-газа) должен увеличиться на величину порядка L-1. Этот «скрытый» эффект как раз и приводит к росту температуры перехода на величину того же порядка.

5.10. Выводы

Если указанное выше объяснение правильно, а я думаю, что оно действительно правильно, то оно тем самым привело к приятному синтезу различных, высказанных ранее точек зрения. Скэйлинг по-прежнему оказался очень полезным, однако крайне важен правильный выбор переменных: скорее всего нужно использовать поля, а не плотности.

Здесь мы ограничились только обсуждением теории, хотя уже настало время сравнить ее с поведением реальных веществ. К сожалению, почти из всех физических материалов очень трудно изготовить однородную пленку известной толщины, поэтому имеется лишь несколько достаточно точных экспериментов. Однако экспериментальная техника в этой области быстро развивается, и мы можем рассчитывать на появление в недалеком будущем хороших экспериментов, в частности, на жидкостях и особенно на сверхтекучем гелии. В последнем случае подобные эксперименты дадут возможность измерить объемный критический индекс v, характеризующий недиагональный радиус корреляции, который нельзя найти ни из какого другого эксперимента.

Приложения

Л. Отказ от требования симметрии у = у'

Для того чтобы равенство у = у', вытекающее из (2.65) и (2.68), перестало выполняться, можно было бы предположить, что при переходе через Тс индекс 0 в (2.56) принимает значение 0*. Очевидно, что это не может повлиять на критическую изотерму (2.57), которая не зависит от 0. Рассмотрим, однако, производную (^/дТ)^ — —(dS/d4r)r, которая на критической изотерме есть не что иное, как коэффициент 2i (Т) в (2.58). Из (2.60) видно, что 2i (Т) по определению [должно зависеть от 0. Следовательно, из предположения о разных величинах 0 для Т ^ Тс и т > Тс вытекает наличие скачка (дЗ/д^т при пересечении критической изотермы вдали от критической точки (т. е. при t„ Т > 0). Более того, интегрируя (дЗ/дЧГ)т от S — Sc при Т = 0, получаем также скачок и самой энтропии, что совершенно бессмысленно. Все наши представления, как теоретические, так и экспериментальные, говорят о непрерывности энтропии, а также вообще всех производных от энтропии при Ф > 0. Итак, предложенным способом не удается избежать требования выполнения условия симметрии у = у'.

Можно, однако, проиллюстрировать на конкретном примере, что упомянутый выше способ доказательства у =£ у' неприменим, если предположить, что Л (х) описывает не все важнейшие особенности. Так, предположим, что коэффициент &i = h' (х0) в (2.64) равен нулю; тогда перестает выполняться (2.65) и вытекающее из него соотношение у' = 0 (6 — 1), так как восприимчивость в нулевом поле будет зависеть от неисчезающих поправок высшего порядка к асимптотическому уравнению состояния. По аналогии с анализом, сделанным для корреляционных функций [27, 28], можно постулировать следующий вид уравнения состояния:

+(^>о)

ь 11\ | ф р/Р / ‘ 11\ | р/Р / 14у

6, >6.6, >6.(АЛ) с

6, >6.

6, >6.

(А.2/

Это условие на 6j обеспечивает возможность пренебрежения слагаемым с ht (%), если h (%) не обращается в нуль. Допустим также, что ht (х) линейным образом обращается в нуль в той же точке х0, где и h (х), т. е.

(А.З)(А.З)Ai(xo) = O, a k^ = /г[(хо)^О.

(А.З)

(А.З)

Тогда при расчете низкотемпературной восприимчивости в нулевом поле получаем для х->х0:

^О + МФ^-ХоУ+.-.Ч-^Ч^Чх-ХоН ..., (АЛ)

при х = ti\ Y |i/S—>х0 | Т | ^- Yq > 0, и, следовательно, второй, или «поправочный», член в этом разложении становится важнее первого. Тогда восприимчивость все еще определяется формулой (2.65), но kv должно быть заменено на ^i1’, в то время как у' определяется теперь следующим образом:

(А.5)(А.5)/ = р (6t - 1) > р (6 - 1) = ?.

(А.5)

(А.5)

Итак, мы сумели нарушить симметрию, но только ценой введения довольно искусственной гипотезы о «случайном» обращении в нуль главного коэффициента к^ и учета слагаемых более высокого порядка с новыми индексами. У нас, однако, имеются некоторые соображения на этот счет; действительно, есть основания полагать, что существенные поправки к асимптотическому уравнению состояния могут быть записаны в виде (А.1) (см. лекцию Домба на этой школе).

Б. Доказательство теоремы 2 об аналитичности

Мы приведем доказательство теоремы 2 при дополнительном условии

(Б.1)(Б.1)у (0, 2) ^ 0.

(Б.1)

(Б.1)

Доказательство для случая у (0, 2) = 0, причем нуль — кратности h, будет опубликовано в [33]. Для удобства введем обозначения

(Б.2)(Б.З)(Б.2)(Б.З)W = In 2, и — —In иq (w, х) = In у (х, г).

(Б.2)

(Б.З)

(Б.2)

(Б.З)

ф (%) = In р (%), со (%) = In а (%),(Б.4)

L (у) = —In U (е-*).(Б.5)

Исключим в дальнейшем случай степенной функции U (и), когда L (у) прямо пропорционально у. При этом получаем

(Б-6)

Учтя введенные выше обозначения, перепишем основную формулу (3.25) в виде

q (w, х) = ф (х) — L [to (х) — су](Б.7)

и потребуем, чтобы q (ш, х) было аналитично по х вблизи х = 0 для всех конечных w [здесь мы воспользовались также условием (Б.1)].

Предполагая дифференцируемость функции у (х, г), дифференцируя (Б.7), получаем

^ = |7 = Ф7^) —L4®(x) —т] о/(х),(Б.8)

9Ш = ^-=Б'[ю(х)-®],(Б.9)

^ = S = U [“ W * ^ “' W’ (Б-1 °)

Qiow — ~g^= Б [to (х) tw].(Б.11)

Учитывая соотношение (Б.6), можно исключить U (го — да) из последних двух уравнений, что приводит к

о/ (х) = —(Б. 12)

и с помощью (Б.8) и (Б.9) найдем

(Б.13)

Предположим, что все функции qx, q^, qwx и gwui аналитичны в точке х = 0 (для всех wY При этом допускается лишь, что при х = 0 функция qwu> может обратиться в нуль кратности, скажем, т + 1. Отсюда вытекает возможность разложения функции w' (х) в ряд Лорана, сходящийся

в интервале е < | х | < х0 для всех е > 0:

®' w = 2 Cfe+iZ?l=да? + •

k= —т— 1

С С-у^ -^- 0 И

। с-1 , со , „ ,

। х-а 1 х 1• • •

(Б.14)

Ф' W = §

к=—т

dk+i^, -1

(Б.15)

где d-m может обратиться в нуль, так как дш (w, х), gwx (w, х) могут иметь нули.

Интегрируя эти уравнения, получаем

Z

Ф— 5 -^- + Х1пх + ф0(х),

функции

(Б. 16)

где 1<.т, и

т

3=1 где

X = do, а функции

р 1пх4-(оо (х),

(Б.17)

Р = Cq,

(Б. 18)

Фо W = 2 ^хк, к=0

too (х) = 2 to^xk k=0

(Б.19)

— аналитичны для малых х, причем коэффициенты ф(0) и to<0> произвольны, а

^>=^з(^>1).(Б.20)

Кроме того,

«7=^-»67 = ^(/>1).(Б.21)

Вводя функции (Б. 16) и (Б. 17) в показатели экспонент и обозначая

ро(х) = ^о(х), сто(х)=е“о<х),(Б.22)

получаем функции р (х) и о (х) в такой форме, как требуется в теореме 2.

В. Сведение параметрического скэйлинга к гипотезе однородности

Как уже было показано, можно исходить из четырех- функционной формулировки скэйлинга

X = rk (0), у = 7] (г) I (0), z = £ (г) 0,(В. 1)

которая с очевидностью обеспечивает аналитичность. В случае степеннйх законов

(г) = Ага, £ (г) = Вгъ,(В.2)

где а = рб и b = р, можно исключить г, что дает

Для исключения 0 определим функцию 0 (X) с помощью уравнения

^(0)=ХВ1/ь|0|1/ь.(В.4)

Используя эту функцию (которая имеет как положительную, так и отрицательную ветвь), получаем

у = AB"aib \z\aib(В.5)

1 1 [в (Х)]а/Ьv '

где

х- <в-6>

Сравнение этого результата с формулой Гриффитса

У = 1 2 |в h (X)(В.7)

приводит к

V 7| fl@ (X) [6'’

где’ б = а/Ь.

В случае простого полинома

уравнение для 0 (X) примет вид

(В.10)(В.10)02 + /х01/ь —0с = О, где f = ^BUb.

(В.10)

(В.10)

Очевидно, что решение этого уравнения в замкнутой форме возможно, если Ь = р = г1г или 6 = 1, однако в наиболее интересной области V2 < 6 < 1 уравнение не имеет аналитических решений.

Г. Решение для модели взаимодействующих кластеров

Во всех одномерных континуальных моделях такого типа наиболее эффективно использование преобразования Лапласа

^(z, р, х) = J e~sLB (z, Р, L)dL(ГЛ)

о

большой канонической статистической суммы В (z, р, Ц для цепочки длиной L.

В этом приложении будет использовано обозначение

(Г.2)

которое не следует путать с критическим индексом.

Если в точке s' (z, Р) функция T (s) обладает сингулярностью с наибольшей действительной частью — или, обобщая, наибольшей «абсциссой» сходимости,— то термодинамическое поведение системы определяется после перехода к бесконечному пределу по L простым уравнением:

Рр = s0 (z, Р).

Переход к преобразованию Лапласа позволяет выделить парные взаимодействия и, согласно (4.56), ввести основные преобразования:

С

ЫМ=\ e^-^^dr(Г.З)

а

И

К(Р, s) = j e-ST-№^ar^l--V -(Г.4)

о

тем самым конкретизируя модель. Тогда нетрудно учесть вклад всевозможных кластеров из / = 1, 2, 3, . . . частиц Н (2, Р, S) =

2 + 22/214-237з1/з2 + 24741/427434- ... = 5 2' П Ль(Р, s). Z=1 fe=l

(Г.б)

ото выражение можно переписать в виде

Н ^ Р, s) = Д zl [Joo (р, s)]^1 e-sw(z р, s)|(Г-6)

где

Z-1с

(Р, s) = Hm I Д jlh (р, S) |1-Z = J е-8Г-^^ dr (Г 7) ft.—1Д

— преобразование Лапласа для бесконечного кластера. Функция^ W (I; P,s), которая является «поверхностной» св?9°^?ои энеР™ей Гиббса для кластера из I частиц [ср. с (4.4)1, определяется из сравнения (Г.5) и (Г.6):

=(Г.8)

1

Отсюда следует ^№ р. S) _ 0 при I оо,

что, очевидно, должно быть справедливо для «поверхностных» членов. Наконец, всевозможные последовательности г = 0, 1, 2, 3,.. . . кластеров на линии могут быть записаны в виде

Ч'(з)=Г + у//1 + 4./№Л +

+ ^НКНКН^-+(Г.9)

г=0

Нетрудно показать, что этот ряд расходится и функция 1 (s) обладает сингулярностью, являющейся простым полю-

сом, если выполнено внешнее условие

Н kz, р, s0) К (Р, s0) = 1. (Г. 10)

Это обычное условие для определения s0 (2, Р); оно соответствует газоподобным конфигурациям жидкости с множеством малых и несколькими большими кластерами. Кроме того, функция T (s) обладает сингулярностями (т. е. неаналитична), если сама функция Н (z, р, s) имеет сингулярности. Согласно (Г. 6), это возможно, если выполнено внутреннее условие

и = zJao (Р, s) - 1 при s = s0 (2, Р), (Г. 11) которое соответствует жидкости с жидкоподобной конфигурацией, состоящей по существу из одного бесконечного кластера. Переход от одного из этих условий или состояний к другому (в зависимости от того, которое из них дает наибольшее s0) соответствует фазовому переходу.

После того как выяснилось, что задача сводится лишь к анализу двух условий (Г. 10) и (Г-Н), имеет смысл перейти к иной формулировке на языке производящей функции

Y (и; р, s) = § ule-»w^ ₽> *>. (ГЛ2) z=i

В этой формулировке заключена вся существенная информация о «поверхностной» свободной энергии W (I; Р, s) кластера из /-частиц [ср. с (Г.5)1. Тогда из (Г.9) следует, что для нахождения и (Р, s) необходимо решить уравнение

<ГЛЗ>

Наконец, согласно (Г. 11), все термодинамические функции системы могут быть получены из химического потенциала (или свободной энергии Гиббса), определяемого следующим образом:

р(А Т) = йБТ1пЫ(р, рр)-^БТ1пГ^^М1, (ГЛ4) L 21 ^2 ) J

где А (У) = [/12/(2лщ^б У)11/2 —длина волны де Бройля. Эти результаты (в несколько измененных обозначениях) приведены в лекции.

ЛИТЕРАТУРА

Fisher М. Е., Journ. Math. Phys., 5, 944 (1964).

Fisher M- E., The Nature of Critical Points, в книге: «Lectures in Theoretical Physics», Univ, of Colorado, Press. Colorado, 1965. (Имеется перевод: Фишер M., Природа критического состояния, изд-во «Мир», 1968.)

Fisher М. Е., Rep. Progr. Phys., 30, 615 (1967).

Kadanoff L. P., et al.. Rev. Mod. Phys., 39, 615 (1967).

Fisher M. E., Phase Transitions and Critical Phenomena, в книге «Contemporary Physics. Triesbe Symposiym 1968», Vol. 1, IAEA, Vienna, 1969, p.19.

Heller P., Rep. Progr. Phys., 30, 731 (1967).

Fisher M. E., Burford R. J., Phys. Rev., 156, 583 (1967).

Widom B., Rowlinson J. S., Journ. Chern. Phys., 52, 1670 (1970).

Moldoyer M. R., Phys. Rev., 182, 342 (1969).

Griffiths R. B., Wheller J. C., Phys. Rev., A2, 1047 (1964).

Fisher M. E., Phys. Rev., 176, 257 (1968).

Fisher M. E., Arch. Rati. Meeh. Anal., 17, 377 (1964).

Ruelle D., «Statistical Mechanics — Rigorous Results», ed.

W. A. Benjamin, Inc., New York (1969). (Имеется перевод: Рюэль Д., Статистическая механика. Строгие результаты, изд-во «Мир», 1971.)

Ahlers G., Phys. Rev. Lett., 23, 464 (1969).

Widom В., Journ. Chern. Phys., 41, 1633 (1964).

Essam J. W., Fisher M. E., Journ. Chern. Phys., 38, 802 (1963).

Rushbrooke G. S., Journ. Chern. Phys., 39, 842 (1963).

Griffiths R. B., Journ. Chern. Phys., 43, 1958 (1965).

Gunton J. D., Buckingham M. J., Phys. Rev. Lett., 20, 143 (1967).

Fisher M. E., Phys. Rev., 180, 594 (1969).

Widom B., Journ. Chern. Phys., 43, 3892, 3898 (1965).

Kadanoff L. P., Physics, 2, 263 (1966).

Domb C., Hunter D. L., Proc. Phys. Soc., 86, 1147 (1965).

Поташинский A. 3., Покровский В. Л., ЖЭТФ, 50, 439 (1966).

Fisher М. Е., Physics, 3, 255 (1967).

Griffiths R. В., Phys. Rev., 158, 557 (1967).

Jasnow D. M., Fisher M. E., Theory of Correlations in the Critical Regions (в печати).

См. [3], гл. 9.3.

Schofield P., Phys. Rev. Lett., 22, 606 (1969).

Schofield P., Litster J. D., Ho J. T., Phys. Rev. Lett., 23, 1098 (1969).

Josephson B. D., Journ. Phys., C2, 1113 (1969).

Felderhof B. U., Fisher M. E., Ann. Phys., New York, 58, 176, 217, 268 (1970).

Fisher M. E., (в печати).

Gunton J. D., Buckingham M. J., Phys. Rev., 166, 152 (1968).

Kiang C. S., Phys. Rev. Lett., 24, 47 (1970); см. также. Kiang C. S., Stauffer D., Zs. Phys., 235, 130 (1970).

Wagner H., Phys. Rev. Lett., 25, 31, 261 (1970).

Straub J., Phys. Lett., 31A, 453 (1970).

Fisher М. Е., Phys. Rev., 176, 257 (1968).

Wagner Н., Swift J., Zs. Phys., 239, 182 (1970).

Кас M., Uhlenbeck G. E., Hemmer P. C., Journ. Math. Phys., 4, 216, 229 (1963). (Имеется перевод в приложении к книге: Кац М., Вероятность и смежные вопросы в физике, изд-во «Мир», 1965.)

Lebowitz J. L., Penrose О., Journ. Math. Phys., 7, 98 (1966).

Steel G., Phys. Rev., 173, 314 (1968).

Fisher M. E., Journ. Phys. Soc. Japan, Suppl., 26, 87 (1969).

Fisher M. E., Ferdinand A. E., Phys. Rev. Lett., 19, 169 (1967).

Fisher M. E., Scesney P. E., Phys. Rev., A2, 825 (1970).

Riedel E. K-, Wegner F., Zs. Phys., 225, 195 (1969).

Riedel E. K-, Journ. Appl. Phys., 42, 1383 (1971).

McCoy В. M., Wu T. T., Phys. Rev., 162, 436 (1967).

Ferdinand A. E., Fisher M. E., Phys. Rev., 185, 832 (1969).

Allan G. A. T., Barber M. N., Fisher M. E., Conference on Statistical Mechanics, Chicago, 1971; и дальнейшие публикации.

Barber M. N., Fisher M. E., Conference on Statistical Mechanics, Chicago, 1971; и дальнейшие публикации.

Halperin В. I., Hohenberg P. C., Phys. Rev., 177, 952 (1969).

Watson P. G., Journ. Phys. Soc., 1, 268 (1968).

Allan G. A. T., Phys. Rev., Bl, 352 (1970).

Watson P. G., Ph. D. thesis (Univ, of London, 1969).

Berlin T. H., Кас M., Phys. Rev., 86, 821 (1952).

Joyce G. S., Phys. Rev., 146, 349 (1966)..

Fisher M. E., Allan G. A. T., Finite Size Effects in the Spherical

Model, report, April 1970.

3) Ван-Хов [13] доказал невозможность фазового перехода в одномерном классическом газе с резко ограниченной конечной областью взаимодействия (когда взаимодействие равно нулю, начиная с некоторого конечного расстояния). Представляется вероятным, что фазового перехода не будет и при ^ /р (/) dt < сю, но это утвер- о

ждение не было никем доказано.

3) В ситуации, когда стала очевидной неприменимость некоторых тонких предсказаний скэйлинга для описания корреляционных функций в критической области, были введены термины «силь

ного» и «слабого» скэйлинга. Однако, как показано в обзоре [27],

представляется очень сложным, а быть может, и невозможным

2) Равенство у* = у + v было впервые получено Ватсоном [53]

ла основе несколько менее общего подхода.