ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА

В сентябре 1972 г. в Вене состоялся международный симпозиум, посвященный столетию уравнения Больцмана. Труды этого симпозиума 】)включают более двадцати лекций крупнейших ученых мира, и речь в них идет не столько об истории уравнения Больцмана, сколько о современном состоянии проблем, связанных с этим неиссякаемым источником идей и приложений. В математической физике известно не так уж много уравнений, содержание которых со временем неуклонно обогащается. Трудно указать другое нелинейное уравнение достаточно сложной структуры, сочетающее в себе такие же глубину и общность, как уравнение Больцмана. Продолжая развиваться вглубь и вширь, метод Больцмана часто уподобляется узловой станции, на которой пересекаются пути, идущие по очень разным областям физики и других наук.

Выпускаемая в русском переводе книга К. Черчиньяни «Теория и приложения уравнения Больцмана» представляет собой попытку объединить достижения разных ветвей метода и изложить теорию уравнения Больцмана в форме, одинаково приемлемой для различных приложений. Хотя изложение построено в основном на материале кинетической теории газов, данная книга отличается от предыдущей монографии этого автора ) тем, что здесь содержится более глубокий анализ основ кинетической теории, в большей мере рассматриваются нелинейные проблемы, шире применяется уравнение Больцмана для решения конкретных задач.

Краткиii обзор содержания книги сделан в авторском предисловии. Следует отметить, что почти в каждой главе есть новые результаты, принадлежащие автору. Особенно значителен его вклад в линейную теорию переноса (гл. IV) и аналитическое

. 1) The Boltzmann equation. Theory and applications. Proceedings of the international symposium “100 years Boltzmann equation” in Vienna, 4—8th September 1972 (Cohen E. G. D., Thirring W., eds.), Springer, 1973.

решение модельных уравнений (гл. VI). Удачные новинки в изложении свидетельствуют о выполненном автором плодотворном труде по подбору и расположению материала.

В конце глав приведены списки литературы, с которой автор имел дело в ходе работы. Так как многие существенные публикации, особенно на русском языке, в этой библиографии не отражены, переводчики и редактор сочли целесообразным дополнить списки литературы. Число добавочных ссылок составляет примерно четверть числа авторских. По каждой главе эта литература расположена, как правило, в хронологическом порядке. Номера дополнительных ссылок отмечены звездочкой.

Переводы на русский язык указаны во всех случаях, за исключением статей из AIAA Journal, поскольку известно, что этот журнал с 1961 г. выходит в русском переводе (изд-во «Мир») под названием 《Ракетная техника и космонавтика».

Опечатки, замеченные в английском тексте, исправлены без оговорок. Изменения, сделанные в гл. VIII, согласованы с автором.

Исследования уравнения Больцмана, ведущиеся в нашей стране, в книге отражены мало. Поэтому перевод снабжен дополнением, в котором дан обзор результатов по двум таким направлениям, оставшимся вне поля зрения автора. Первая часть дополнения, написанная редактором перевода, посвящена исследованию законов взаимодействия газов с поверхностями, знание которых необходимо при записи граничных условий для уравнения Больцмана. Вторая часть, написанная Н. Б. Масловой, содержит теоремы о разрешимости начальных и граничных задач для уравнения Больцмана как в линейной, так и в нелинейной постановке.

Перевод книги выполнили Э. А. Гурмузова (предисловие и гл. I, VI), В. П. Мемнонов (гл. II, III), Г. Е. Скворцов (гл. IV, VIII), И. А. Эндер (гл. V, VII).

Р. Г. Баранцев

Посвящается Сильване

ПРЕДИСЛОВИЕ

Уравнение Больцмана ——интегродифференциальыое уравнение, описывающее поведение разреженного газа,——было выведено Людвигом Больцманом в 1872 г. Оно до сих пор остается основой кинетической теории газов и оказывается плодотворным не только для исследования классических газов, которые имел в виду Больцман, но ——при соответствующем обобщении——и для изучения переноса электронов в твердых телах и плазме, переноса нейтронов в ядерных реакторах, переноса фононов в сверхтекучих жидкостях и переноса излучения в атмосферах звезд и планет. За последние двадцать лет эти исследования привели к значительным достижениям как в новых областях, так и в старой.

В настоящей книге дается единый подход к задачам, возникающим в этих областях, причем используются аналогии (каждый раз, когда они существуют) и подчеркиваются различия (когда это необходимо). Однако основная линия изложения связана с классическим уравнением Больцмана, и поэтому подробное описание приложений относится почти исключительно к одноатомным нейтральным газам. Но при этом даются соответствующие ссылки на работы, в которых рассматриваются аналогичные задачи, возникающие в других областях, причем особое внимание уделяется переносу нейтронов, газовым смесям и многоатомным газам.

В первой главе излагаются основные идеи кинетической теории, дается краткое введение в вероятностные концепции и об- суждаются уравнение Лиувилля, средняя длина свободного пробега и равновесное распределение. Во второй главе рассматривается проблема неравновесных состояний; выводится уравнение Больцмана из уравнения Лиувилля для газа из твердых сфер без предположения о «молекулярном хаосе》】)，а затем излагаются основные свойства уравнения Больцмана и дается представление о модельных уравнениях. Обсуждаются родственные

J) Фактически автор показывает, что бесконечная цепочка уравнений ББГКИ (Боголюбова — Борна — Грина — Кирквуда — Ивона) имеет решение, удовлетворяющее условию хаоса. — Прим. ped.

уравнения, такие, как уравнения Больцмана для многоатомных газов, смесей, переноса нейтронов, излучения, а также уравнения Фоккера ——Планка и Власова.

Третья глава посвящена граничным условиям. В связи с этим обсуждаются явления, происходящие при взаимодействии газа с поверхностью, и роль, которую они играют при доказательстве Я-теоремы Больцмана. В четвертой главе рассматриваются линейные уравнения переноса, в особенности линеаризованное уравнение Больцмана, уравнения переноса нейтронов и излучения, а также линейные модельные уравнения. Основное внимание уделяется общим аспектам этих задач и их решения. В пятой главе обсуждаются предельные случаи бесстолкновительного и почти континуального течений. Шестая глава посвящена аналитическому решению линейных кинетических модельных уравнений с приложением к ряду задач о течениях газа и распространении звука в разреженных газах.

В седьмой главе излагаются приближенные методы решения задач, в которых средняя длина свободного пробега сравнима с некоторой характерной длиной, фигурирующей в задаче (переходный режим); в частности, подробно обсуждаются течения разреженного газа между параллельными пластинами и коаксиальными цилиндрами, структура ударной волны, задача о передней кромке, истечение газа в вакуум; при этом обращается внимание на сравнение теории с экспериментом. Восьмая ——н последняя ——глава содержит обзор математически наиболее развитой части теории, связанной с теоремами существования и единственности.

Автор надеется, что данная книга будет полезна в качестве учебного пособия по углубленному курсу кинетической теории, а также как справочное руководство для специалистов по прикладной математике, физике и аэродинамике, интересующихся теорией и приложениями уравнения Больцмана.

Милан, ИталияНоябрь 1974Милан, ИталияНоябрь 1974Карло Черчиньяни

Милан, Италия

Ноябрь 1974

Милан, Италия

Ноябрь 1974

Основные положения кннетическо访 теории газов

Введение

Согласно молекулярной теории, макроскопический объем газа (скажем, 1 см3) представляет собой систему очень большого числа (порядка 1020) молекул, двигающихся довольно беспорядочно. В принципе, пренебрегая квантовыми эффектами, можно считать молекулы частицами (материальными точками или другими системами с небольшим числом степеней свободы), подчиняющимися законам классической механики. Можно также предполагать, что законы взаимодействия между молекулами полностью известны, так что в принципе эволюция системы вычислима, если заданы соответствующие начальные условия. Например, если молекулы являются материальными точками, то уравнения движения имеют вид

&j = X/, X/=畠， (1・1а) или

х, = Х〃 (1.16)

где Xi ——радиус-вектор ，-й частицы (，= 1, ..., ^), а 三t ——ее вектор скорости; как х厶 так и 自* являются функциями времени 力；точки сверху, как обычно, означают дифференцирование по /. Здесь X» ——действующая на i-ю частицу сила (на единицу массы). Эта сила в общем случае равна равнодействующей внешних сил (например, гравитационной или——в случае неинернн- алыюй системы ■ сил инерции, таких, как центробежная н кориолисова) “ сил, характеризующих действие других частиц системы на 厂ю частицу. Как указывалось выше, выражение для таких сил должно быть задано как часть описания этой механической системы.

Для того чтобы рассчитать временную эволюцию системы, нужно решить систему из 6^ дифференциальных уравнений первого порядка (1.1а) с 6N неизвестными — компонентами 2乂 векторов (х；, |7-) «= 1, 2, ..., N). Для этого необходимо задать 6N начальных условий

(1.2)(1.2)X, (0) = х? xz (0)=当(0)=斗

(1.2)

(1.2)

где компоненты х? и &，суть 6^ заданных постоянных, описывающих начальное состояние системы.

Однако решение такой задачи с начальными данными для реального по порядку величины числа частиц (скажем, 1020) невозможно и бесполезно по следующим причинам.

Необходимо знать начальные данные х? и 窮，т. е. радиусы-векторы и скорости всех молекул при / = 0, а получить эти данные трудно даже в принципе. В самом деле, это потребовало бы одновременного измерения координат и скоростей всех молекул в момент времени 力=0.

Даже если бы, несмотря на предыдущее замечание, информация о начальных данных была доступна, она оказалась бы огромной, и всей человеческой жизни нехватило бы для того, чтобы зафиксировать хотя бы небольшую часть этих данных (допустим, что за секунду можно зафиксировать шесть данных для одной частицы, и заметим, что в году меньше чем 108 секунд, так что человеческая жизнь составляет менее 1010 секунд).

Даже если бы было возможно получить эти данные и заложить их в вычислительную машину, кажется невозможным представить себе машину, способную решить такое количество уравнений (подумать только, сколько карточек потребовалось бы для того, чтобы снабдить ее начальными данными!).

Независимо от того, насколько точно мы измеряем или задаем начальные данные, последние не могут быть абсолютно точными; например, мы никогда не рассматриваем в наших вычислениях больше 100 десятичных значащих цифр, вводя тем самым ошибки аппроксимации порядка 10~100.

Вследствие этого нужно рассматривать не эволюцию одной системы, а эволюцию ансамбля идентичных систем, начальные данные которых отличаются друг от друга на величины порядка допускаемых ошибок. Можно показать (разд. 5 настоящей главы) ,что для системы из 1020 молекул ошибки аппроксимации порядка 10~100 не позволяют рассчитать движение этих молекул в течение времени, большего миллионной доли секунды.

Даже если бы мы могли работать с бесконечно большим числом значащих цифр (!), в наши расчеты надо было бы включить все частицы Вселенной. Действительно, согласно Борелю (см. разд. 5), перемещение на один сантиметр одного грамма вещества на не слишком далекой звезде (скажем, Сириусе) приводит к изменению типичной силы, действующей на молекулу, большему произведения этой силы на IO-10®, и если мы не захотим включить в наши вычисления все частицы Вселенной (!), то снова возникнут трудности, указанные в предыдущем пункте.

Даже если преодолеть все указанные трудности и рассчитать последовательную эволюцию рассматриваемой системы,

эта подробная информация будет бесполезной, потому что дан- ные о радиусах-векторах и скоростях отдельных молекул представляют собой информацию, которая не дает нам того, что мы фактически хотим знать, например давление газа на стенку ПрИ заданной плотности и температуре.

Из всего этого следует вывод, что единственно значимыми и полезными являются статистические данные о поведении многих систем, т. е. информация о вероятностных распределениях. Эту информацию можно получить путем усреднения по области нашего неведения (имея в виду неспособность макроскопических тел воспринимать некоторые микроскопические детали других макроскопических тел) или по ошибкам, возникающим от пренебрежения влиянием других тел.

В результате возможно вычислить лишь средние величины, но только они и нужны (если они связаны с такими макроскопическими величинами как давление, температура, напряжения, тепловой поток и т. д.). В этом состоит основная идея статистической механики.

Первый тип усреднения, фигурирующий в любом основанном на статистических представлениях исследовании по механике, представляет собой, как подсказывают проведенные выше рассуждения, усреднение по неизвестным начальным данным. Однако для учета взаимодействия частиц в статистическом методе обычно требуются и другие процессы усреднения и предельные переходы. Сюда входит и взаимодействие молекул газа с жесткими стенками, ограничивающими область течения и также состоящими из молекул.

Таким образом, когда мы имеем дело со статистической механикой, речь идет о вероятностях вместо достоверностей, т. е. в нашем описании нельзя говорить об определенных положении и скорости данной частицы, а только о вероятностях реализации ее различных положений и скоростей. В частности, это справедливо для кинетической теории газов, т. е. для статистической механики молекул газа, и для теории переноса частиц (нейтронов, электронов, фотонов и т. д.). При надлежащих предположениях информацию, требуемую для расчета средних в этих системах, можно свести к решению одного уравнения, так называемого уравнения Больцмана. В случае нейтронов оно часто называется транспортным, в то время как для фотонов обычно используется название «уравнение переноса》 (перенос излучения).

Основная цель настоящей книги состоит в том, чтобы дать введение в математические методы и идеи, связанные с уравне- нием Больцмана и в частности с граничными задачами, которые возникают в связи с этим уравнением.

Вероятность

Как отмечалось выше, вероятностные представления играют фундаментальную роль в кинетической теории газов и вообще в статистической механике. Общеизвестно, что при вероятностном подходе основная трудность состоит в приписывании вероятностей элементарным событиям. В некоторых случаях это тривиально, как, например, в известных опытах по бросанию «правильных» игральных костей или монеты, когда решается вопрос о вероятности выпадения чисел от одного до шести или герба и решетки.

Вероятность реализации определенного события равна числу между нулем и единицей, которое на опыте, грубо говоря, можно интерпретировать как относительную частоту появления этого события в большой серии испытаний (в случае бросания монеты Р(а) =Р(р) = %, где Р(а) и 夕(。)一вероятности выпадения герба и решетки соответственно). В случае взаимоисключающих событий сумма вероятностей всех возможных событий должна равняться единице, поскольку хотя бы одно из них заведомо произойдет (в предыдущем примере выпадет либо герб, либо решетка).

Однако необходимо подчеркнуть, что в статистической механике переменные пробегают непрерывное, а не дискретное множество значений (как в случае бросания монеты, когда множество состоит из двух элементов: герба и решетки). Поэтому, строго говоря, вероятность получения любой заданной величины из континуума возможных в общем случае равна нулю; с другой стороны, 《сумма》вероятностей должна, равняться единице. Здесь нет ничего странного (или по меньшей мере нового), поскольку это утверждение совершенно аналогично тому, что геометрическая точка не имеет длины, в то время как отрезок, являющийся множеством точек, обладает ненулевой длиной. Следовательно, надо рассматривать вероятность получения результата, не имеющего фиксированного значения, а заключенного в бесконечно малом интервале (или, более общо, множестве). Эта вероятность будет, вообще говоря, бесконечно малой величиной того же порядка, что и длина интервала (или мера множества). Таким образом, в случае п непрерывных переменных 21,22, ..., гп, т. е. векторной переменной z =(引，...,之九),следует ввести плотность вероятности Р (z), такую, что 戸(z)d"z представляет собой вероятность того, что z лежит между z и z + dz, причем daz ——объем бесконечно малой ячейки, обозначаемый также через dzxdz2 ... dzn. В этом случае условие равенства 《суммы》вероятностей единице записывается в виде

、P(z)dz = l, (2.1)

е z — область n-мерного пространства, которой принадлежит z (возможно, и все n-мерное пространство); верхний индекс “ в обозначении элемента объема опущен, так как это не приводит к путанице.

для чего нужна плотность вероятности? Ответ прост: плот- ность вероятности необходима для вычисления средних ——если известна плотность вероятности Р (z), то можно рассчитать среднее значение любой заданной функции cp(z) вектора z. Действительно, средние можно определить формулой

〈屮(z)〉=而=\ 夕(z)屮(z) dz, (2.2) z

где ломаные скобки или черта сверху ——обычные обозначения усреднения. Иначе говоря, для того чтобы вычислить среднее значение функции, нужно проинтегрировать ее по всем значениям z с весовой функцией, равной плотности вероятности реализации события в dz. Ясно, что это определение согласуется с нашим интуитивным представлением о средних.

Рассуждение о плотностях вероятности очень полезно, но на первый взгляд кажется связанным с серьезным неудобством. Иногда оказывается удобным рассматривать весьма идеализированный случай, когда некоторые переменные известны с полной определенностью. Тогда, если z достоверно имеет значение z0, то плотность вероятности для любого z 声 z0, очевидно, будет равна нулю. С другой стороны, должно выполняться условие (2.1). Никакая обычная функция не удовлетворяет этим двум условиям одновременно, и если мы хотим рассматривать достоверность как частный случай вероятности, необходимо расширить понятие функции.

Требуемое обобщение достигается при помощи так называемых «обобщенных функций» или 《распределений》. Обобщенные функции могут быть определены различными способами, например как пределы последовательностей достаточно регулярных функций, подобно тому как вещественные числа являются пределами последовательностей рациональных чисел. Поэтому можно сказать, что обобщенная функция g(z) 《есть》 последовательность {gm(z)} (m = 1, 2, 3, ...) обычных функций в том же смысле, в каком вещественное число а《есть》последователь- ность, например, рациональных чисел {сст}, получаемых усече- нием десятичного представления а на m-й значащей цифре. Аналогично тому как при расчетах никогда не оперируют с иррациональным числом, а используют только его рациональные приближения, вместо «значений, принимаемых обобщенной Функцией», всегда имеют дело с последовательностью аппроксимирующих ее функций. И так же, как мы рассматриваем и

успешно используем сложение, умножение и т. д. действительных чисел, можно ввести и использовать операции над обобщенными функциями.

Наиболее важным понятием является понятие скалярного произведения обобщенной функции g(z), определяемой последовательностью {gm(z)}, и достаточно гладкой обычной функции (p(z) (основной функции):

〈g,屮〉=Hm 7n ⑵屮(z)dz (2.3) /П->оо J

для любой основной функции (p(z), для которой существует указанный предел.

Обычно предполагается, что множество основных функций плотно в множестве непрерывных функций (т. е. любую непрерывную функцию можно с любой заданной точностью аппроксимировать линейной комбинацией основных функций). Для того чтобы последовательность {gm(z)} можно было называть обобщенной функцией (на выбранном классе основных функций) ,должен существовать предел в правой части уравнения (2.3).

Для обобщенных функций легко вводится операция сложения: если g(z) и /i(z) являются обобщенными функциями, определяемыми последовательностями {gm(z)} и {hm(z)}, то их сумма g(z) + ^(z) определяется последовательностью {gm(z) + .+ hm(z)}. Однако в общем случае нельзя определить произведение двух обобщенных функций g (z) и h (z), удается определить лишь произведение обобщенной функции g(z) и обычной гладкой функции 2(z); их произведение представляет собой обобщенную функцию, определяемую последовательностью {2(z)gTn(z)}, причем основная функция (p(z) для “(z)g(z) такова, что 2(z)(p(z) представляет собой основную функцию для g(z)・

Наконец, можно определить интеграл от обобщенной функции g(z) по области Z, которой принадлежит z, при условии, что функция 〃(z), тождественно равная единице в Z, является основной функцией для g(z). В этом случае полагают

\ g (z) dz =〈g, 〃〉= lim \ gm (z) dz・ (2.4) J /П-»оо v

Если (p(z)——основная функция для g(z), то можно рассматривать обобщенную функцию g(z)(p(z), которая допускает в качестве основной, функции a(z)三 1; согласно (2.4), интеграл от g(z)(p(z) определяется следующим образом:

\ g (z)屮⑵ dz н lim \ gm (z)屮(z) dz = (g, qp). (2.5)

Следовательно, интеграл от произведения g(z)(p(z) по области z равен «скалярному произведению» 〈g,屮〉，определенному равенством (2.3).

Простейшим примером обобщенной функции является так называемая дельта-функция Дирака, которая иллюстрируется плотностью вероятности для упомянутого выше случая, когда /г-мерный вектор z имеет достоверное значение z0.

Дельта-функцию 6 (z ——z0) можно определить при помощи последовательности

^m(Z — Zo) = -^- Я (-^— I z — Zo I),(2.6)

где "(%)——ступенчатая функция Хевисайда, равная 1 для х > О и 0 для % V 0, а Тп ——объем м-мерного единичного шара, связанный с площадью поверхности этого шара ⑴九 соотношением Тп = 3九/孔,причем (см. приложение к настоящей главе)

2 d/2

•而2 二i)「仇к0е),

而2 二Tj(〃/2 —2)仇 четное).

В частности, при п = 2 имеем(о2 = 2л, Т2 = л, а при п = 3 имеем (оз = 4л, т3 = 4л/3. Для п = 1 формула (2.7) теряет смысл, но ясно, что 口 = 2 (одномерный единичный шар сводится к отрезку от ——1 до +1). Следовательно, в одномерном случае равенство (2.6) принимает вид

Эта последовательность для случая 20 — 0 иллюстрируется рис. 1. Функция 6m (-2)равна нулю для z вне интервала (——1/m, i/力)и равна т/2 внутри этого интервала; интеграл от Вт (%), взятый от ——оо до + 8, равен площади соответствующего прямоугольника, т. е. (2/т) (т/2) = 1 для любого т. Ясно, что предел последовательности {3他(之)} не может быть обычной функ- Ние比 действительно, поскольку этот предел равен нулю при 之喚 No и + оо при z — No, вряд ли его можно принять за определение функции.

Аналогично, в м-мерном пространстве 6m(z — z0) равна нулю вне шара радиуса 1/т с центром в точке z° и равна mn/rn, т. е. величине, обратной объему этого шара, внутри него. Интеграл От ^m(z — Zo) по /^мерному пространству соответственно равен единице:

，*九(z — z0)dz= i. (2.9)

мирующих дельта-фу нкц ию.

В более общем случае для функции, непрерывной в окрестности точки zo, имеем

\ d (z — z0) ср ⑵ dz = lirn \ dm (z — z0) cp ⑵ dz =屮(z°) (2.10) как среднее значение cp(z), когда вероятность сосредоточена в одной точке z = z°. Формула (2.10), между прочим, показывает, что для последовательности {3m(z ——z0)} все непрерывные функции являются основными.

Для того чтобы доказать (2.10), заметим, что, в силу непрерывности ср(z), при любом заданном £〉0 можно найти такое 〃z, что в замкнутом шаре | z — z0|《1/m равномерно справедливо следующее неравенство:

—匕 V q (z)—(『(zq) < 8. (2.11)

Умножая его на 6m(z — z0) ^ 0, интегрируя результат по 拉-мер- ному пространству и используя равенство (2.9), получаем

—£ V \ 5m(z — z0) Ф (z) dz — ср (z0) < 8,(2.12)

откуда, согласно определению предела, следует формула (2.10).

Прежде чем возвращаться к общему рассмотрению плотностей вероятности, заметим, что, хотя последовательность {gm(z)} вполне определяет обобщенную функцию, последняя не определяет первую однозначно, т. е. различные последовательности могут иметь пределом одну и ту же обобщенную функцию, аналогично тому как различные последовательности рациональных чисел могут иметь пределом одно и то же вещественное число. Так, дельта-функцию можно было бы также определить через последовательность функций 佈}:

6m(z — z0) = (тя~Чг)п exp [~ m2 (z — z0)2].(2.13)

Еще одна последовательность, сходящаяся к одномерной дельта-функции, такова:

6〃,(之一2о) = т/{л [1 +(2 — 2о)2 泊}.(2.14)

Единственное различие между этими последовательностями и рассмотренной выше связано с основными функциями, которые помимо того, что они непрерывны в точке z = z0, должны удовлетворять дополнительным условиям.

В настоящее время по обобщенным функциям существует обширная литература (см., например, [1——3]), хотя часто в ней используются различные подходы к этому понятию; приведенные выше отрывочные сведения, надо полагать, будут достаточными для понимания обобщенных функций в той ограниченной мере, в какой они используются в этой книге.

Вернемся теперь к обсуждению плотностей вероятности для того, чтобы ввести приемлемый способ измерения отклонений от среднего значения, определенного равенством (2.2). Локальное отклонение от среднего равно(p(z)——ср (z), но мы хотим определить среднее отклонение; среднее от локального отклонения бесполезно, так как, согласно (2.2) н (2.1),

\ [ф(г)—①(z)] Р \z) dz =,屮⑵ P (z) dz —①(z)，P (z) dz =

=屮⑵一(p(z) = O. (2.15)

Среднюю меру отклонений от среднего значения(p(z) можно получить, вычисляя так называемое среднеквадратичное откло- ненне, квадрат которого определяется следующим образом:

[ср (z) — ф(г)]2 = [ [ф(z) — ^7^『夕(z) dz・ (2.16)

Другой возможный способ измерения отклонения z от z0 при заданной плотности вероятности состоит в вычислении среднего |(p(z)——(p(z) I вместо [(p(z)——(p(z)]2. В общем случае результат не будет квадратным корнем из предыдущего выражения, но квадрат среднего не будет превышать среднего от квадрата.

Из формул (2.2), (2.5) и (2.10) следует, что, если P(z) = =B(z — zo), то(p(z) =(p(zo). Подставляя в эти формулы вместо (p(z) выражения [(p(z)——(p(z)]2 и |(p(z)——(p(z) |, находим, что

[ф ⑵一而]2 = [ф(Z。)一 ф (z0)]2 = 0, T— ；一

I 屮⑵一ф (z) I = I 屮(z0)—屮(z0) I = 0.

Таким образом, в том случае, когда плотность вероятности равна дельта-функции, среднее отклонение, независимо от того, как оно определено, оказывается равным нулю, что естественно для плотности вероятности, которая должна представлять достоверность.

. Фазовое пространство и теорема Лиувилля

Для исследования поведения системы ^ материальных точек, описываемого уравнениями (1.1а), удобно ввести так называемое фазовое пространство. Оно представляет собой 6N- мерное пространство, образованное 3N декартовыми координатами N радиусов-векторов х^ и 3丿V компонентами ^ скоростей 自公

В этом пространстве состояние системы в заданный момент времени / (если оно точно известно) изображается точкой, имеющей 6” координат——компонент радиусов-векторов и скоростей ^ частиц. (Часто вместо скоростей рассматривают импульсы, но для наших целей это различие несущественно.) Введем 6Л^-мерный вектор z, который задает положение этой изображающей точки фазового пространства. Ясно, что компоненты z задаются соответственно ЗМ компонентами N трехмерных векторов Хг и 3N компонентами N трехмерных векторов 自з Из уравнений (1.1а) следует, что эволюционное уравнение для z имеет вид

z=^ = Z,(3.1)

где Z представляет собой 6Л^-мерный вектор, компоненты которого задаются соответственно 3加 компонентами N трехмерных векторов Х» и 3^ компонентами N трехмерных векторов ". Если задано начальное состояние, т. е. некоторая точка z0 в фазовом пространстве, то уравнение (3.1) определяет значения z во все последующие моменты времени (при условии существования и единственности решения).

Если точные значения начальных данных неизвестны, то необходимо ввести плотность вероятности P°(z), которая задает паспределение вероятности для начальных данных, и попытать- поставить задачу нахождения плотности вероятности P(z, t) в последующие моменты времени. Для достижения этой цели нужно найти эволюционное уравнение для P(z, /); как будет видно из дальнейшего, это легко сделать, если силы известны, т. е. если неопределенность содержится только в начальных данных.

Основанный на интуиции способ получения уравнения для F(z,力)состоит в следующем. Заменим изображающую точку непрерывным распределением с плотностью, пропорциональной плотности вероятности. Это означает, что система точечных масс заменяется некоторой жидкостью с плотностью, пропорциональной Р, и скоростью z = Z. Тогда закон сохранения массы выражается уравнением

系+ div(PZ)=0,(3.2)

где, как обычно, для любого вектора и фазового пространства ди. д

divu = £ 石и・(3.3)

Уравнение (3.2) есть уравнение Лиувилля (отметим, что компоненты вектора z являются независимыми переменными).

Поскольку

div (PZ) = Z • grad Р + Р div Z,(3.4)

где, как обычно, grad Р = дР/dz — вектор с компонентами dP/dziy величина Р удовлетворяет уравнению

+ Z • grad Р + Р div Z = 0.(3.5)

Обычно div Z == 0. Действительно, так как х^ и 蚤——независимые переменные, имеем

divZ=E(^

и если сила, отнесенная к единице массы, не зависит от скорости, то (0/凭?)• Х^ = 0, т. е. div Z = 0, как указано выше.

Заметим, однако, что равенство (0/0*)・Х? = 0 выполняется и для некоторых сил, зависящих от скорости. Одним из наиболее известных примеров таких сил является сила Лоренца, действующая на заряженную частицу в магнитном поле. В даль- еишем изложении всегда будут рассматриваться только такие

силы, для которых divZ = 0 (как правило, силы, не зависящие от скорости). Поэтому уравнение Лиувилля будем записывать в следующем виде:

奈+ Z.嚟=0.(3.7)

Уравнение (3.7) можно, конечно, переписать в переменных xz и 募：

NN

票+2Т+2 …=0,(3.8)

где dP/dxi ——градиенты в трехмерном пространстве координат гй частицы, а 。尸/0& ——градиенты в трехмерном пространстве скоростей i-й частицы.

Чтобы вывести уравнение Лиувилля более строго, заметим, что эволюционное уравнение (3.1) определяет в каждый момент времени отображение фазового пространства на себя; при этом отображении каждой точке z0 соответствует точка z = z(z0, 0, в которую в момент времени / приходит точка, находившаяся при / = 0 в точке z0. Отображение является взаимно однозначным, если, как предполагается в дальнейшем, уравнение имеет единственное решение, соответствующее заданным начальным условиям, как при f V 0, так и при / > 0. (Если уравнение обладает свойством временной обратимости, как в случае сил, не зависящих от скорости, то существование и единственность для f V 0 вытекают из соответствующих свойств для / > 0.)

,Вероятность нахождения точки, представляющей систему, в момент времени t в области R фазового пространства равна

Prob (z w А)=，尸(z, /) dz,(3.9)

где z 三 R, как обычно, обозначает 《z принадлежит R》. Вышеупомянутая вероятность равна вероятности нахождения изображающей точки в момент времени / = 0 в области R。, образуемой точками z0, которые являются прообразами точек z w R в рассмотренном выше отображении. Действительно, точка может находиться в момент времени t в области R тогда и только тогда, когда в момент времени t = 0 она находилась в R°. Следовательно,

\ Р (z, Q dz = \ PQ (z0) dz()・(3.10)

R%

Здесь множество точек z 三 R совпадает с множеством точек z = z(z°,/), где zo 巨 Ro・ Воспользуемся этим обстоятельством, чтобы произвести в первом интеграле замену переменной интег-

рирования z на z0：

(3.11)(3.11)\ Р (z, /) dz = ^ Р (z (z0, /), /) J (z/z0) dzo,

(3.11)

(3.11)

RRo

e J(z/zo)—якобиан преобразования от старых переменных к новнм (или абсолютное значение этого якобиана, если он ока- жется отрицательным). Поскольку R。——произвольная область, сравнение формул (3.11) и (3.10) дает

Р (z (z0, /), /) / (z/zo) = A (zo). (3.12)

Так как правая часть этого равенства не зависит от времени, полная производная по времени от левой части должна обра

щаться в нуль:

(3.13)

Здесь аргументами Р являются z и Z, а аргументами / — соответственно zo и /. Ниже будет показано, что / * 0. Использовав этот факт, а также уравнение (3.1) (заметим, что dz/dt в уравнении (3.13) есть производная z по времени при постоянных начальных данных, т. е. то, что в уравнении (3.1) было обозначено через z), получим

等+ Z•票+予条=0.等+ Z•票+予条=0.(3.14)(3.14)

等+ Z•票+予条=0.

等+ Z•票+予条=0.

(3.14)

(3.14)

= /divZ, (3.15)= /divZ, (3.15)6N6NВычислим теперь dJ/dt. Пусть Jrs ——алгебраическое дополнение элемента dz/d* в якобиане; тогда по правилу дифференцирования определителей 6N dJ

= /divZ, (3.15)

= /divZ, (3.15)

6N

6N

ре в соответствии с уравнением (3.1) произведена замена 似 на и использовано известное равенство Jrs = / <32^d2r, которое следует из теоремы Лапласа об определителях и пра- ВилД Дифференцирования сложной функции.

Подстановка выражения (3.15) в уравнение (3.13) снова приводит к (3.5), т. е. к уравнению Лиувилля (3.2). В частно- ти, при div Z = 0 получается уравнение (3.7).

7°^ТН0 заметим, что, как видно из (3.15), J = const при пн поскольку / = 1 при / = 0, это означает, что / = 1

я "Рбого /. Следовательно, в случае div Z = 0 объем области

фазового пространства инвариантен относительно отображения, получаемого при движении системы (теорема Лиувилля). Этот результат записывается в виде (3.11) при Р = 1:

(3.16)(3.16)\ dz = \ / (z/zo) dz()= \ dz°・ RRo&

(3.16)

(3.16)

Уравнение Лиувилля (3.7) или (3.8) просто утверждает, что в момент времени / в точке z плотность вероятности Р имеет то же значение, какое она имела в момент времени / = 0 в точке фазового пространства z0, которая переходит в точку z при движении, описываемом уравнением (3.1) или (1.1а) при условии, что div Z = 0. Действительно, левая часть уравнения (3.7) представляет собой производную от Р по времени в системе координат, движущейся в фазовом пространстве со скоростью z = Z. Поэтому, если вероятность постоянна в области Ro, то она будет сохранять то же самое значение в области 7?з в которую R。отображается преобразованием, описывающим движение системы в фазовом пространстве; в частности, если при / = 0 плотность вероятности равна нулю всюду, за исключением z = Zo, в последующие моменты времени она будет равна нулю всюду, за исключением z = z(z(),/). Это утверждение можно сформулировать также следующим образом: решение, соответствующее начальному условию в виде дельта-функции (сосредоточенной в z = z°), является дельта-функцией (сосредоточенной в z = z(z(),/)) и при Z 0.

Таким образом, уравнение Лиувилля представляет собой иную запись уравнении движения, содержащую информацию не только о данном движении, но также о движениях, близких к нему, в смысле, который следует кратко пояснить. Если начальные данные известны абсолютно точно, то Р является дельта-функцией в момент времени / — 0 и решение уравнения Лиувилля будет дельта-функцией во все последующие моменты вре- менн: точка z = z(z0, /), в которой дельта-функция имеет пик, дает решение уравнений движения (заметим, что для применения уравнения Лиувилля к этому весьма идеализированному случаю необходимо обратиться к понятию производной от обобщенной функции, которое ради краткости не рассматривалось в разд. 2; однако его можно найти в предыдущей книге автора [4] и в цитированных книгах по обобщенным функциям [1——3]). Если, что более реально, задана просто плотность вероятности начальных данных, то уравнение Лиувилля определяет не только наиболее вероятное движение, но также и распределение отклонений от него.

Твердые сферы и жесткие стенки.

Средняя длина свободного пробега

В предыдущих разделах мы рассмотрели случай материаль- ннх точек, которые непрерывно взаимодействуют одна с другой согласно уравнениям движения (1.1). Часто бывает удобно рассматривать предельные случаи, в которых между точками происходят только дискретные взаимодействия с конечными импульсами (жесткие столкновения); при этом силы не могут быть описаны обычными функциями и с уравнением Лиувилля нужно обращаться иначе. Предельный случай жесткого столкновения полезен, так как он дает более наглядное представление об эволюции системы и служит хорошим приближением для интенсивных сил отталкивания, с которыми реальные молекулы взаимодействуют на близких расстояниях. Эти соображения приводят к концепции газа из твердых сфер, т. е. системы многих «биллиардных шаров», которые не взаимодействуют на расстоянии и сталкиваются по законам упругого удара. Диаметр сфер о эквивалентен радиусу действия сил взаимодействия реальных молекул. Фактически газ из твердых сфер можно представлять как систему материальных точек, которые не взаимодействуют, если расстояние между ними больше о, и взаимодействуют с формально бесконечной центральной силой отталкивания, когда это расстояние становится в точности равным о, так что большее сближение невозможно.

Другой пример мгновенного взаимодействия рассматривается в том случае, когда предполагается, что молекула упруго отражается жесткой стенкой. Эта модель менее реальна, чем модель твердых сфер, потому что жесткая стенка имеет макроскопические размеры и безусловно обладает весьма сложной структурой на микроскопическом уровне. В гл. III будет подробно показано, что эта структура не допускает упругого столкновения с регулярной геометрической поверхностью, изображающей стенку в макроскопическом описании.

Несмотря на это, для иллюстративных целей полезно рассмотреть случай абсолютно упругих отражений на жесткой стенке.

Если стенка считается неподвижной, то в результате столкновения знак нормальной составляющей скорости изменится, в то время как касательная составляющая останется без изменения- Таким образом, если 自/ обозначает скорость молекулы пе- столкновением, а | — скорость после столкновения, то 自/ и S °УПут связаны соотношением

§ = Г-2п(п-Г),(4.1)

п Циничный вектор нормали к стенке. Равенство (4.1) Р сто ВЬ1ра>кает тот факт, что молекулы зеркально отражаются

Рис. 2. Зеркальное отражение материальной точки.

стенкой (см. рис. 2). Если стенка не покоится, а движется со скоростью и0 относительно системы координат, выбранной для описания движения, то (4.1) применяется к скоростям относительно стенки, т. е.自 и 自/ должны быть заменены на 自一и。и V ——u0. При этом формула (4.1) запишется в виде

E = F —2n[n・(M-Uo)]. (4.2)

В случае столкновения между двумя одинаковыми твердыми сферами соотношения, которые связывают скорости после столкновения 畐 и 自2 со скоростями до столкновения 鼻；и 三;， имеют вид -

где п ——единичный вектор, направленный вдоль прямой, соединяющей центры двух сфер (ориентация не имеет значения). Равенства (4.3) получаются при помощи следующих соображенш"]. Согласно законам сохранения импульса и энергии,

畠 + &2 = 2； + g

自：+肾=号+酬. (4.4丿

Введем единичный вектор п, направленный вдоль 鼻[—鼻；; это направление делит пополам угол между направлениями 畠 и — 3； (следовательно, п — единичный вектор, направленный вдоль линии, соединяющей центры молекул в момент столкновения, так как предполагается, что импульс направлен вдоль этой линии, что соответствует центральному взаимодействию) ■

(4.5)(4.5)При таком определении п имеем

(4.5)

(4.5)

(4.6)(4.6)е С ——скаляр, который необходимо определить. Первое из уравнений (4.4) дает「

(4.6)

(4.6)

Подстановка выражений (4.5) и (4.6) в (4.4) приводит к следующему результату:

酬 一 2n ・自；。+ С2 + 甘 + 2п .^С + С?=熒 + 證.(4.7)

Одинаковые члены в правой и левой частях взаимно уничтожаются, что дает

—n.因一聡0十02 = 0.(4.8)

Следовательно, опуская случай С = 0, который соответствует тривиальному решению уравнений сохранения (отсутствию взаимодействия), получаем

С = п*У)・(4・9)

Подставляя это значение в (4.5) и (4.6), приходим к формулам (4.3).

Покажем теперь, что теорема Лиувилля (сохранение объема в фазовом пространстве) остается справедливой для мгновенных взаимодействий, рассматриваемых в этом разделе. Заметим, что соотношения (4.1) и (4.3) являются обратимыми, т. е. их можно разрешить относительно отмеченных штрихами переменных и получить

У = а — 2п(п・3)(4.10)

и

g>^-n[n.^-?2)],

соответственно. Это те же самые уравнения, что и (4.1) и (4.3), но в них переменные до столкновения и после него поменялись местами. Чтобы получить уравнение (4.10), достаточно вычислить сначала п•自/ (это легко сделать, скалярыо умножив равен-

на п), а затем подставить результат n•自/ = 一口•自

(4」). Аналогично, чтобы получить уравнения (4.11), вычис- ”“м сначала величину п •芯一^) через переменные после ^толкновения; для этого вычтем второе равенство (4.3) из пер- 「°，что даст соотношение между относительными скоростями

瓦一& =自；一^一 2n[展国一^)].瓦一& =自；一^一 2n[展国一^)].(4.12)(4.12)

瓦一& =自；一^一 2n[展国一^)].

瓦一& =自；一^一 2n[展国一^)].

(4.12)

(4.12)

После скалярного умножения иа п получаем п •(自;——"；)= =—п •(瓦一自2), а подстановка этого результата в (4.3) приводит к соотношениям (4.11).

Заметим теперь, что в обоих слуаа只х (взаимодействие со стенкой и столкновение, двух твердых сфер) составляющие скоростей подвергаются линейному преобразованию, описываемому матрицей А (3 X 3 или 6X6), элементы которой зависят от п. В обоих случаях сравнение прямых и обратных преобразований (уравнения (4.1) н (4.10); (4.3) и (4.11)) показывает, что обратная матрица А-1 равна А, т. е. А2 ——единичная матрица. Следовательно, квадрат определителя матрицы А (который является просто якобианом 厶 линейного преобразования) равен единице, так что J】=士 1.

Нетрудно видеть, что фактически 厶=——1. Действительно, в первом случае можно использовать в качестве переменных нормальную составляющую скорости, которая при столкновении меняет знак, и составляющие вдоль двух осей в касательной плоскости, которые остаются неизменными, откуда и следует этот результат.

一 Во втором случае можно сначала перейти к переменным Г = %(目 + 三》，&= %(瓦 + 三2) (скорости центра масс до столкновения и после него) и V’= *； ——《 V = &——自2 (относительные скорости до столкновения и после него). При столкновении новые переменные подвергаются следующему преобразованию:

V = V' = -2n(n・ V').V = V' = -2n(n・ V').(4.13)(4.13)

V = V' = -2n(n・ V').

V = V' = -2n(n・ V').

(4.13)

(4.13)

Первое из этих уравнений совпадает с первым уравнением (4.4), а второе ——с уравнением (4.12). Поскольку 冒‘ не изменяется, якобиан преобразования (4.13) дается просто якобианом преобразования от Vх к V, который равен ——1 (так как матрица та же, что и в предыдущем случае взаимодействия с твердой стенкой). Следовательно,

/(I V|K W) = -l.(4.14)

Но если /о обозначает якобиан преобразований (三厶 自；)一＞ (匕 V') и (g,三2)—(三，V) (очевидно, что они имеют одинаковый определитель), то для якобиана /】преобразования (4.3) имеем 了1 /自，"21 M，期=J 陶，显博 V"(1, V I? V) / (? W I 工◎= = /o・(一l)・(l〃o) = —1.(4.15)

Якобиан / преобразования фазового пространства, соответствующий жесткому столкновению, представляет собой нроизве’

Рис. 3. Зеркальное отражение элемента объема от плоской стенки.

дение двух якобианов /〔 и /2, соответствующих преобразованиям пространственных и скоростных переменных. Мы показали, что /1 =——1, и увидим, что /2 = —1； следовательно, / = 1, и инвариантность объема фазового пространства с учетом (3.16) доказана.

Чтобы показать, что /2 = —1, достаточно рассмотреть случай отражения точки от неподвижной стенки, так как столкновение между двумя твердыми сферами сведется к этому случаю преобразованием переменных х = % (х〔 + х?), г = х〔一 х?, х = % (х： + X；), г' = х； —х； если заметить, что х'тх со

ответствует жесткому движению, а г'->г эквивалентно отражению от неподвижной стенки.

Рассмотрим сначала случай отражения материальных точек от плоской стенки; при этом отображение, создаваемое движением, не деформирует бесконечно малую область пространства, но изменяет ее ориентацию (см. рис. 3; достаточно рассмотреть плоскую картину, поскольку изменения происходят в плоскости

Следовательно, в этом случае 厶——1.

Отражение от искривленных поверхностей является более 水ним, потому что для конечных областей имеет место де~ Рмация (см. рис. 4). Однако бесконечно малая область прение 3^еТСЯ (за бесконечно малый промежуток времени, в тече- ема КОтоР°го происходит столкновение) в область того же объ- 'но противоположной ориентации.

Чтобы показать это, заметим, что можно рассмотреть преобразование, которое происходит в плоскости (плоскости движения) .Так как законы отражения зависят только от ориентации касательной к кривой, от которой происходит отражение, то якобиан будет содержать производные первого порядка от единичного вектора касательной, т. е. самое большее вторые производные от преобразованных координат по исходным. Следователе- но, границу можно заменить соприкасающейся окружностью; в этом случае якобиан, т. е. отношение объема бесконечно малой области после столкновения к объему соответствующей области до столкновения, вообще говоря, мог бы быть любой конечной безразмерной функцией радиуса этой окружности и угла падения. Но он не может зависеть от радиуса, поскольку невозможно образовать безразмерную функцию, содержащую единственную длину; следовательно, якобиан должен быть одним и тем же для любого значения кривизны, т. е. он должен быть равен величине 厶 =——1, как при отражении от плоской стенки (что соответствует предельному случаю бесконечно большого радиуса).

Рассматривая твердые сферы, удобно ввести понятие длины свободного пробега. Это расстояние, проходимое сферой Si м& жду двумя последовательными столкновениями. Оно, конечна зависит от количества сфер в единице объема п, скорости в»

Рис. 5. Сфера действия и средняя длина свободного пробега.Рис. 5. Сфера действия и средняя длина свободного пробега.

Рис. 5. Сфера действия и средняя длина свободного пробега.

Рис. 5. Сфера действия и средняя длина свободного пробега.

бранной сферы Si и скорости сферы S2, с которой Si сталкивается. В связи с этим имеет смысл только понятие средней длины свободного пробега.

Простая оценка средней длины свободного пробега / твердой сферы получается в предположении, что другие сферы покоятся. Окружая каждую из них сферой радиуса, равного диаметру частиц о, движущуюся сферу Si можно представлять точкой (рис. 5). Тогда, если Si проходит в среднем между двумя столкновениями расстояние /, это означает, что в цилиндре с основанием ла2 и высотой I находится только одна молекула, а именно Si, т. е.

九冗阖4]. (4.16)

5・ Рассеяние в фазовом5・ Рассеяние в фазовомСледовательно, средняя длина свободного пробега приближенно определяется формулой

5・ Рассеяние в фазовом

5・ Рассеяние в фазовом

элементарного объема пространстве

Рассмотрим материальную точку, движущуюся вдоль некоторой оси между двумя жесткими стенками.

Пустьх — абсцисса точки, Е — скорость, ±/ — абсциссы стек. Изобразим эволюцию этой системы в фазовой плоскости (см. рис. 6). Предположим, что начальное состояние системы задано неточно, но известно, что точка, соответствующая на- "а〃ьному состоянию, лежит в прямоугольнике.

о&X&Ах,无《自《无+纯.о&X&Ах,无《自《无+纯.(5.1)(5.1)

о&X&Ах,无《自《无+纯.

о&X&Ах,无《自《无+纯.

(5.1)

(5.1)

означает, что начальные условия для х и 自 задаются с ошиб- 由"，Не превосходящими Ах и А自 соответственно. Исследуем формацию этого прямоугольника в результате движения, т. е.,

.KBOSO^a SOSBO^OH о SHO^MK^SS»^ Ewoqgo SMOKOS Hoss 如 у SHOO&5 江 OHqFphpHSI°OHHOKO 口 oduouH S-MS .oygadlo eh к°5яотАЖМип CH/hoI 在0HqlrBHdoIEsOESHEdsodll^овоерф m ^§s^os KPHHOWUdg .0 .OK^.KBOSO^a SOSBO^OH о SHO^MK^SS»^ Ewoqgo SMOKOS Hoss 如 у SHOO&5 江 OHqFphpHSI°OHHOKO 口 oduouH S-MS .oygadlo eh к°5яотАЖМип CH/hoI 在0HqlrBHdoIEsOESHEdsodll^овоерф m ^§s^os KPHHOWUdg .0 .OK^

.KBOSO^a SOSBO^OH о SHO^MK^SS»^ Ewoqgo SMOKOS Hoss 如 у SHOO&5 江 OHqFphpHSI°OHHOKO 口 oduouH S-MS .oygadlo eh к°5яотАЖМип CH/hoI 在0HqlrBHdoIEsOESHEdsodll^овоерф m ^§s^os KPHHOWUdg .0 .OK^

.KBOSO^a SOSBO^OH о SHO^MK^SS»^ Ewoqgo SMOKOS Hoss 如 у SHOO&5 江 OHqFphpHSI°OHHOKO 口 oduouH S-MS .oygadlo eh к°5яотАЖМип CH/hoI 在0HqlrBHdoIEsOESHEdsodll^овоерф m ^§s^os KPHHOWUdg .0 .OK^

иначе говоря, эволюцию неопределенности состояния системы. Если на время пренебречь влиянием стенок (что приводит к дви- *ению с постоянной скоростью), то точка, находящаяся при / = 0 в (%, W), в результате движения перейдет в точку (х + У, g). Матрица Якоби рассматриваемого преобразования имеет вид =；］，(5.2)

а определитель, очевидно, равен единице, как и следовало ожидать (в силу теоремы Лиувилля). В момент времени t положение точки будет известно с ошибкой Ах + ZAg, а скорость ——с ошибкой Ag. Рис. 6 иллюстрирует эту ситуацию. Поскольку точки с большими значениями 自 движутся быстрее, начальный прямоугольник деформируется и образуется параллелограмм с теми же основанием и высотой и, следовательно, с той же площадью. В момент Z — т получается показанное на рис. 6 распределение, наклон которого увеличивается с течением времени. Поскольку мы пренебрегли влиянием стенок, параллелограмм будет выходить за пределы интервала (——厶 /) (см. незаштрихо- ванную площадку, соответствующую f = Зт).

Чтобы перейти к случаю движения с отражением, достаточно рассмотреть движение без отражения, разрезать полосу go V VEv£o + AJ на куски длины 2/ и затем помещать их поочередно на часть полосы между —Z и Z и ее зеркальное отражение относительно оси %. При этом отражение переводит точку (/, W) в (厶——W), а (——厶——自)в (——/,占).Таким путем можно получить распределения, соответствующие / = 2т, Зт, 4т, 5т, 6т (изображенные на рис. 6) и т. д.

С течением времени при движении область становится все уже и уже и, наконец, распадается на слои. Действительно, к некоторому моменту времени точки со скоростью Ео + Ag отразились п 4- 1 раз, в то время как точки со скоростью 自。еще не отразились п-й раз (см. рис. 7).

Вообще, в некоторый момент времени точки со скоростью & + /Ц отразятся на несколько раз больше, чем точки со скоростью Ео, что приводит к картине, схематически изображенной На Рис. 8. Область распадается на большое число «нитей», ко- т?рне стремятся заполнить два прямоугольника 自о V 自 V Ео + 十仪，一邑一戢VE V-Чо (-/V%V/)・」

Случай движения материальной точки в двух- или трехмер- "°м пространстве значительно сложнее, поскольку для него от- ?тствует геометрическое представление фазового пространства.

Движении в двух измерениях фазовое пространство четы- в мерно, однако, не рассматривая величины скорости, ошибка Оторой постоянна во времени, эволюцию в фазовом простран、

Рис. 7. Более поздняя стадия временной эволюции, начальная картина которой изображена на рис. 6 (2 = 24т). Точки со скоростью 自о + 厶昌 уже отразились п + 1 раз, в то время как точки со скоростью ^0 еще не отразились 〃-ii раз.

Рис. 8. Цальнейшая эволюция состояния системы, рассмотренной па рис. 6 и 7 (/ = 179т). Первоначальный прямоугольник распадается на большое число «нитей», которые стремятся заполнить всю доступную часть фазового пространства.

стве можно представить трехмерной картиной. Для этого достаточно построить траектории с координатами % и у в качестве абсциссы и ординаты декартовой системы и углом а между вектором скорости и осью % в качестве третьей координаты.

Уравнения, описывающие движение при отсутствии стенок, таковн:

х = х0 + ^ cos a, y = yo + %Rsina, а = а0,(5.3)

где %о, //о, а0 — начальные значения %, у, a, a R ——константа, связанная со скоростью.

Если начальные данные расположены в интервалах между %о, Уо，а。и %。+ А%, Во + Ау，£о + Асе, то изображающая точка в момент времени / будет находиться в параллелепипеде (при Аа《1) с двумя ребрами (длины А% и &/), параллельными плоскости (招办 но очень наклонном, поскольку его основания движутся с различными скоростями. И снова через достаточно большое время параллелепипед превратится в очень длинный тонкий стержень, а с учетом отражений от стенок прямоугольного ящика этот стержень распадется на большое число нитей. Точно такая же картина наблюдается при движении в трехмерном ящике.

При отражении от искривленной поверхности возникают дополнительные эффекты рассеяния, особенно если поверхность выпуклая и имеет малый радиус кривизны. Этот случай особенно важен, так как он соответствует столкновению между двумя твердыми сферами; как было указано в конце разд. 4, рассматриваемую сферу можно заменить точкой, сталкивающейся со сферической поверхностью радиуса о, равного диаметру твердых сфер (которые считаются одинаковыми).

Элемент объема (в физическом, а не в фазовом пространстве) за время свободного пробега после столкновения увеличивается в /2/^2 раз (где / — средняя длина свободного пробега, введенная в конце разд. 4) в результате расхождения двух первоначально параллельных прямых, проходящих через две различные точки сферы и, следовательно, соответствующих различным углам падения (см. рис. 4, где этот эффект пропорционален 2/о, так как, по предположению, движение происходит во вполне определенной плоскости). Вследствие этого т столкновений приводят к увеличению объема области, в которой может находиться частица, в (〃о)2优 раз. Разумеется, этот объем является проек- “ней из шестимерного фазового пространства частицы в физическое, а соответствующая этому объему область в фазовом пространстве будет очень 《длинной》 (первоначальная 《длина》 умножается на (//(j)w) и очень «тонкой» (первоначальная 《тол- Зна》умножается на (о//严).При движении между жесткими :нками область, представляющая нашу систему в фазовом Р°странстве, должна складываться.

отнп ЛИ 〃о ' 10 (что является вполне допустимой оценкой для ле Шения между длиной свободного пробега и диаметром мо-

Ул не слишком плотного газа), то коэффициент уменьшения

толщины полос, образующих фазовую область нашей системы, будет величиной порядка 10~1000 после тысячи столкновений, т. е. для твердых сфер, представляющих молекулы газа при нормальном давлении и температуре, через миллионную долю секунды. Число полос, на которые разбивается фазовая область возможных состояний данной молекулы, следовательно, будет порядка 101000.

Э. Борель, которому принадлежат эти соображения [5, 6], добавил следующее интересное замечание. До сих пор мы предполагали, что неопределенность содержится только в начальных данных, в то время как дифференциальные уравнения движения точно известны и разрешимы. Это означает не только то, что нам точно известны законы взаимодействия между любыми двумя частицами, но также и то, что мы включаем в дифференциальные уравнения движения силы, действующие на частицы нашей системы со стороны любых других масс Вселенной и способные существенно изменить движение.

Для того чтобы оценить значение последнего утверждения, заметим, что перемещение на один сантиметр одного грамма вещества на какой-либо звезде (скажем, Сириусе) приводит к изменению гравитационного поля Земли, превышающему произведение типичной силы, наблюдаемой в повседневной жизни, на 10~100. Следовательно, если мы не хотим в качестве нашей системы рассматривать всю Вселенную, то невозможно избежать флуктуаций порядка Ю~100%. Но расслоенная на узкие ленты структура, в которую превращается область фазового пространства, состоящая из первоначально очень близких одна к другой точек, представляется слишком тонкой, чтобы сохраниться; через миллионную долю секунды 101000 лент, теоретическая толщина которых составляет 10~1000 начальной толщины, перекрываются и отображение первоначально небольшой области практически целиком заполняет всю доступную часть фазового пространства, а не только область объема, равного начальному, как следовало бы из идеализированного расчета. Таким образом, плотность в фазовом пространстве не сохраняется, и мы получаем распределение, значительно менее плотное, но гораздо более 《растянутое》， чем первоначальное.

Такое же замечание справедливо по отношению к погрешностям в вычислениях; если мы работаем со ста значащими цифрами, то вносим ошибки порядка 10~1Q0 и возникает упомянутое выше перекрывание лент в фазовом пространстве.

Для того чтобы исследовать коллективные свойства рассматриваемых молекул, устойчивые относительно небольших возмущений, недостаточно усреднять только по начальным уело* ьиям ——необходимо усреднение и по деталям взаимодействия. Это задача статистической механики. Заметим, однако, что при*

веденные соображения справедливы для систем из твердых сфер й вероятно, могут быть распространены на системы материаль- нкх точек, между которыми действуют интенсивные коротко

действующие силы отталкивания; но только после тщательной проверки можно попытаться распространить их на системы то- дек, между которыми действуют силы притяжения, стремящиеся внести устойчивость и, следовательно, приводящие к более упо- рядоченному поведению. Физически это означает, что мы находимся на верном пути, пока речь идет о газах, в то время как исследование жидкостей и твердых тел требует совершенно

иного подхода.

6. Временные средние, эргодическая гипотеза

и равновесные состояния

Если принять гипотезу, что газ состоит из большого числа молекул (материальных точек или твердых сфер), то любая физическая величина, характеризующая газ, должна определяться в данный момент времени совокупностью значений координат и скоростей молекул. Задача вычисления этих величин приводит к методологическим проблемам, обсуждавшимся в разд. 1 и 5.

Для того чтобы в какой-то мере избежать этих трудностей, заметим, что измерение физической величины осуществляется не мгновенно, а требует некоторого промежутка времени, который, сколь бы малым он нам ни казался, как правило, очень велик по сравнению с характерными временными масштабами, связанными с эволюцией системы. Последняя претерпевает существенные изменения за промежуток времени, необходимый для измерения, что приводит к большим изменениям измеряемой величины. Таким образом, экспериментальные данные необходимо сравнивать не с отдельными значениями функций координат и скоростей, а со средними значениями этих функций по относительно большим интервалам времени. Это означает, что вместо плотности вероятности Р, рассмотренной в разд. 3, следует ввести ее среднее по времени на промежутке т:

戸(z, /) = ；(夕(z,幻山1・(6.1)

t

величина т постоянна для всех моментов времени и точек фазового пространства, то, интегрируя уравнение Лиувилля по времени и используя перестановочность операций диф- Ференцирования по z и усреднения по т, получаем

4■仍(z, /+力一尸(z,川+ Z •第=0(6.2)

при условии, что Z не зависит от времени (т. е. что силы не зависят от времени) Из (6.1) следует, что

(6.3)(6.3)ОР — Р (z, / + т) •—尸(z /) di —т

(6.3)

(6.3)

и равенство (6.2) показывает, что P(z, /), как и Р (z, Z), удовлетворяет уравнению Лиувилля. Единственное отличие состоит в том, что начальное условие теперь задается функцией

户(Z, O) =』\p(z,幻阳， (6.4) о

в общем случае более гладкой, чем 尸(z, 0) (которая уже является гладкой, так как содержит неопределенность начальных координат и скоростей). Следовательно, усреднение по времени сводится к дальнейшему усреднению начальных данных. Если т достаточно велико, то новое усреднение, как следует из примеров разд. 5, будет стремиться к распространению вероятности по всей области, доступной этой системе. В частности, когда система находится в макроскопическом равновесии, так что любое макроскопическое измерение дает результаты, не зависящие от времени измерения, можно взять т сколь угодно большим, т. е. положить т~> оо. _

В этом случае из (6.3) следует, что dP/dt -> 0, если P(z, 0) ограничено почти всюду; действительно, величины P(z,力+ т) и P(z,/) таковы же, как и P(z, 0), и, следовательно, ограничены, поскольку, как мы видели в разд. 3, рассматриваемое движение переводит начальные значения P(z, 0) в различные точки, не меняя их величины.

В соответствии с этим в состоянии равновесия после перехода в (6.1) к пределу при т-> оо величина 戸 не зависит от времени и удовлетворяет стационарному уравнению Лиувилля:

Z =0, (6.5)

или

Если бы удалось на^ти общее решение стационарного уравнения Лиувилля 戸=Q(z) = Q(x?・，*), то задача вычисления равновесного распределения, по-видимому, оказалась бы решенной. Нетрудно указать рецепт для нахождения этого общего решения, но этот рецепт невозможно практически использовать. Прежде всего заметим, что функция 户(z) удовлетворяет уравнению (6.5) тогда и только тогда, когда она является интегралом

движения для нашей системы, т. е. функцией координат и скоростей, производная по времени которой тождественно обращается в нуль, когда z изменяется в соответствии с уравнениями движения (3.1).

Действительно, если z = z(f) удовлетворяет уравнениям (3.1), то__一

дР дР dz 歹 дР心力

石=(6.7)

так что равенство dP/dt = 0 приводит к (6.5) и обратно.

При наличии k функционально независимых интегралов движения /1, /2,，з,・••, /а общее решение уравнения (6.5) или (6.6) имеет вид

戸=f(厶，/2,・・•，/) . (6.8)

Однако существует трудность, которую нелегко преодолеть. Она состоит в том, что система из N взаимно не связанных точек, обладающая 3N степенями свободы, имеет 6N——1 интегралов движения. (В самом деле, можно разрешить 6N скалярных соотношений, соответствующих векторному равенству z = = z(zo,/), что даст zo = z()(z,/), и затем использовать одну из компонент для исключения /.) Вычисление этих 6N——1 функций от z столь же безнадежная задача, как и вычисление временной эволюции системы. Допустим, однако, что мы знаем эти функции и что для данной системы в состоянии равновесия в качестве Ц берутся величины //； тогда

_ 6^-l

戸=4 И 5(//г*), (6.9)

где Л — нормировочный множитель, который должен выбираться таким образом, чтобы 、夕 dz=l. Выражение (6.9) определяет плотность вероятности, которая очень близка к «достоверности» и которую можно было бы использовать, если бы только удалось экспериментально измерить 6^——1 величин, но при этом возникают те же трудности, что и обсуждавшиеся выше в связи с определением начальных условий.

Существует, однако, обстоятельство, смягчающее все эти трудности. Одним из интегралов движения системы является полная энергия, которая хорошо известна и имеет вполне определенный физический смысл. Для системы точек с короткодей'. ствующими силами отталкивания оказывается, что все другие’ интегралы движения отличны от полной энергии в том смысле, что они являются весьма специфическими функциями, поверхности уровня которых в фазовом пространстве сколь угодно близко подходят к любой точке данной поверхности постоянной

энергии (импульс и момент импульса можно или исключить из интегралов движения, если заключить эту систему в жесткий неподвижный ящик, или учесть тем же способом, что и энергию) .

В качестве примера рассмотрим материальную точку в прямоугольном ящике с зеркально отражающими стенками (рис. 9). Ее движение можно описать уравнениями (5.3), если учесть эффект отражения от стенок. Это можно сделать следующим формальным приемом: из (5.3) вытекает, что если 〃 и b -—стороны прямоугольника, то

"三 sin (费)sin (券(%。+ 心 cos 啕)，

(6.10) и = sin (嗡)=sin (备仇 + Rf sin a0)),

где —〃 W % W 〃，—b w У W 匕，так что хну можно заменить новыми координатами и ii v. При этом эффект отражения учитывается автоматически, ибо при %0 + Rt cos aQ> а значение 〃 будет соответствовать точке с абсциссой 2〃——(х()+ Rf cos 竄。)， как и должно быть после отражения в точке х = 〃.

В этом примере помимо рассмотренных интегралов движения (т. е. полной энергии и а — а0) еще один интеграл получается исключением t из (6.10). Проекция поверхности уровня на физическую плоскость есть не что иное, как траектория, соответствующая заданным начальным условиям; из рис. 9 ясно, что траектория будет проходить достаточно близко к любой точке прямоугольника, если отношение (b cos ссо)/(а sin а°) не является рациональным числом; если это отношение иррационально, то траектория подходит сколь угодно близко к любой точке прямоугольника. Это справедливо также и для плоскости (а, и), в которой траектории не кусочно прямые, а кривые; здесь уравнения (6.10) представляют траектории движения, получаемого наложением двух ортогональных гармонических движений с частотами R/(4〃)，R/(4b), т. е. в результате возникают общеизвестные фигуры Лиссажу, которые, как мы знаем, являются плотными в квадрате ——1 V а V 1, —1 V и V 1, если отношение между частотами ——иррациональное число.

Ясно, что интегралы движения такого же вида, что и интеграл, соответствующий рассмотренной выше траектории, не препятствуют достижению любой области фазового пространства. Кром того, если не существует предпочтительных областей, т. е. если соответствующие траектории проходят одинаковое число раз (в течение длительного времени) через каждую область заданных размеров, то эти интегралы не нагадывают никаких ограничений на какую-либо физически измеряемую величину и.

Рис. 9. Эволюция в физическом пространстве материальной точки, движущейся в прямоугольном ящике с зеркально отражающими стенками. На верхнем рисунке изображена физическая (%, //)-плоскость, па нижнем — вспомогательная (“,у)-плоскость.

следовательно, не должны приниматься во внимание при вычислении равновесной плотности вероятности Р(z).

В частности, если для всех интегралов движения, за исключением полной энергии, не существует предпочтительных областей фазового пространства (эргодическая гипотеза), то равновесное распределение зависит только от полной энергии £ и имеет вид

戸⑵= /6(Е-Ео),(6.11)

где Ео——(экспериментально измеримое) значение полной энергии.

Недавно Я- Г. Синай [7——8] доказал, что эргодическая гипотеза, приводящая к соотношению (6.11), верна (и, следовательно, переходит в эргодическую теорему) для систем из твердых сфер в неподвижном зеркально отражающем ящике. Его доказательство сложно и длинно и потому выходит за рамки данной книги; при помощи интуитивных рассуждений мы попытаемся только показать правдоподобность результатов.

Прежде всего, достаточно ясно, что в физическом пространстве не будет предпочтительных областей, если мы исключим весьма специфические множества начальных данных меры нуль (это уже верно для нашего простого примера одной точки в прямоугольном ящике); следовательно, Р будет зависеть не от пространственных координат Хг, а только от N скоростей &. При каждом столкновении функция скоростей двух частиц остается постоянной тогда и только тогда, когда она зависит лишь от полного импульса (m^j + m.^ = пг^} + m2g2)и полной кинетиче- сксй энергии ^l^m^ + 'А^? = 72^^? + 72^2)ДВУХ молекул.

Поскольку это справедливо для любой пары f, / «,/= 1,... ...,^), все функции, которые сохраняют постоянное значение и устойчивы относительно начальных данных, должны быть N

функциями полного импульса g 团需,и полной кинетической /=1

энергии 1/2 Z ш斬(фактически все интегралы движения не должны зависеть от того, какие частицы сталкиваются, а столкновение между двумя частицами в заданный момент времени в значительной степени зависит от начальных условий и, следовательно, не может быть описано точно, если начальные условия известны приближенно). Однако при столкновениях со стенками полный импульс не сохраняется, так что Р зависит только от полной кинетической энергии. При предположении, что Е。 можно измерить точно, отсюда следует соотношение (6.11).

Рассуждения такого рода можно распространить и на молекулы с интенсивными короткодействующими силами оттал-

кивания, поскольку потенциальная энергия, соответствующая этим силам, мала по сравнению с кинетической, за исключением областей пренебрежимо малого объема (которые заполняются за очень короткое время). Строгое доказательство пока отсутствует, но есть основания ожидать, что теорема Синая можег быть обобщена и на этот случай. При комбинации сил отталкивания и притяжения справедливость эргодической гипотезы не очевидна, и эта гипотеза, вообще говоря, не верна для систем с конечным числом степеней свободы (вопрос о том, ведет ли к эргодичности предельный переход N -> оо, остается открытым) .Мы будем рассматривать только случай механических систем, моделирующих поведение достаточно разреженных газов, и примем на веру справедливость эргодической гипотезы.

Для описания равновесного состояния газа воспользуемся плотностью вероятности (6.11). Чтобы подчеркнуть зависимость от числа частиц, будем писать Pn вместо Р (черту можно опустить без ущерба для понимания) и AN вместо А. Благодаря предположению о малости потенциальной энергии всюду, за исключением пренебрежимо малых объемов, имеем

Pn = AJ@、喑-2N), (6.12)

где ц； = т///л, т=(/)加——средняя масса и введена энер-

гия, рассчитанная на единицу массы:

_N -_N -

_N -

_N -

которая является макроскопической величиной и точное значение которой может считаться известным. Как указано выше, An ——постоянная, определяемая из условия

An 卜(2 卩咼-2Ne)鸣…d瓦 \ …dx,v = 1. (6.13)

Интеграл по пространственным переменным х〔，...，Xn дает для каждого из них множитель V — объем ограничивающего ящика, а для вычисления интеграла по скоростям в (6.13) введем неременные у； = Vl1/ ?/ и запишем

AnVn П 叮"卜(П 质 一 2Ме )外「• • dy% = 1 ・(6.14)

Переходя в 3^-мepнoм пространстве скоростей от декартовых координат, компонент векторов у^, к полярным, имеем

Х% = р2, 旳・・・ dy〃 = рзмт dpd3"Q, (6.15)

где р ——радиальная координата, a d^Q ——элемент поверхности единичного 3^-мepнoгo шара. Следовательно, уравнение (6.14) принимает вид

7yzM 口旷％ 卜(р2 — 2Nc)p3“i dp \ d3NQ = 1. (6.16) /=i

Обозначая через зз^ поверхность единичного 3N-MepHoro шара (см. формулу (2.6) и приложение) и используя одномерное уравнение (2.9) (с 之=р2, dz = 2Pdр), получаем

勺号(g厅/)(2Ne产-2)/2例l1, (6」7) откуда

(6.18)

Эта формула дает решение задачи о вычислении плотности вероятности в фазовом пространстве для статистически равновесного газа. Однако в этой форме она не очень наглядна; преобразуем ее, чтобы извлечь полезную информацию. Допустим, мы выбрали наугад молекулу (не рассматривая других молекул) и интересуемся плотностью вероятности Р$) гого, что она имеет скорость между | и 自 + dg и расположена между х и х + dx; это означает, что надо «просуммировать» PN по всем возможным положениям и скоростям всех молекул, кроме выбранной. Пусть выбранная молекула характеризуется величинами Xi, |i, что всегда можно сделать за счет маркировки молекул. Затем проинтегрируем по всем координатам и скоростям частиц с индексами 2, 3,М

叫=\ р2竭…共n ,右2…dxw =叫=\ р2竭…共n ,右2…dxw =卩,号-(2Nc -卩,号-(2Nc -吗…恋"..(6.19)吗…恋"..(6.19)

叫=\ р2竭…共n ,右2…dxw =

叫=\ р2竭…共n ,右2…dxw =

卩,号-(2Nc -

卩,号-(2Nc -

吗…恋"..(6.19)

吗…恋"..(6.19)

Последний интеграл отличается от предыдущего лишь тем, что интегрирование проводится не в ЗМ-мерном, а в (3N — 3) -мерном пространстве и вместо 2Мс появляется 2Ne — ц^^.

Следовательно, вместо (6.18) имеем

Р%)= 4 F (才唄)纱…喑严f2

(при 自；＜ 2Nc/Q, (6.20)

p中=0p中=0(при *；＞2Ne/Nj,

p中=0

p中=0

где второе соотношение обусловлено тем, что при 自：＞ 2Ne/[i{ аргумент дельта-функции, входящей в равенство (6.19), нигде не равен нулю, так что интеграл обращается в нуль.

Формула (6.20) показывает, что, хотя случайная молекула с одинаковой вероятностью может находиться в любой точке пространства, занимаемого газом (成 не зависит от xj, распределение по скоростям отнюдь не является равномерным. Если сделать небольшое отверстие в любой точке границы и выпустить небольшое количество молекул (небольшое по сравнению с общим числом), измеряя их скорости и строя распределение молекул по скоростям, то, повторяя испытание до бесконечности, в пределе получим, что плотность вероятности обнаружить скорость молекулы в интервале (&,& +匪i) действительно зависит от |1 и дается формулой (6.20).

Фактически здесь нужно действовать несколько аккуратнее, так как после удаления молекул формулу (6.20) применять нельзя, ибо она относится к газу, содержащему точно N молекул. Однако удаление небольшого числа молекул не должно вызывать беспокойства; следует ожидать, что при больших N небольшое изменение числа молекул не повлияет существенно на (6.20). Математически это означает, что должен существовать предел при М-＞ оо; физически ——что этот предел можно использовать в качестве функции распределения. (Второе утверждение оправдывается большим числом молекул, которые обычно рассматриваются, первое ——непосредственным вычислением предельной формы (6.20).) Подставляя в (6.20) выражение (6.17) для Адг, получаем

8)=广5/1 一8)=广5/1 一卩咼、"5)/21吗卩咼、"5)/21吗2/Ve2/Ve(2е)% N%%n '(2е)% N%%n '(6.21)(6.21)

8)=广5/1 一

8)=广5/1 一

卩咼、"5)/21吗

卩咼、"5)/21吗

2/Ve

2/Ve

(2е)% N%%n '

(2е)% N%%n '

(6.21)

(6.21)

Далее,Далее,limlim*М5)/2~2Ne )*М5)/2~2Ne )11d*/(2ё)d*/(2ё)= [exp(—吟)]=exp (—号9,= [exp(—吟)]=exp (—号9,(6.22)(6.22)

Далее,

Далее,

lim

lim

*М5)/2

~2Ne )

*М5)/2

~2Ne )

1

1

d*/(2ё)

d*/(2ё)

= [exp(—吟)]=exp (—号9,

= [exp(—吟)]=exp (—号9,

(6.22)

(6.22)

и, как показано в приложении,

lim^->oolim^->oo%2一 < __.乂"吗2%2一 < __.乂"吗2(6.23)(6.23)Следовательно, полагаяСледовательно, полагая*=lim Р亿N~>8*=lim Р亿N~>8получаемполучаем(嚣)\(嚣)\(6.24)(6.25)(6.24)(6.25)

lim

^->oo

lim

^->oo

%2一 < __

.乂"吗2

%2一 < __

.乂"吗2

(6.23)

(6.23)

Следовательно, полагая

Следовательно, полагая

*=lim Р亿

N~>8

*=lim Р亿

N~>8

получаем

получаем

(嚣)\

(嚣)\

(6.24)

(6.25)

(6.24)

(6.25)

Рассматривая другую молекулу с массой т2 =卩2^, мы получили бы аналогичное распределение с ц2 вместо рц. Параметр с, энергия на единицу массы, входит во все распределения по скоростям независимо от массы выбранной молекулы; это означает, что с представляет собой величину, которая принимает одно и то же значение для каждого из нескольких газов, находящихся в контакте друг с другом при тепловом равновесии. Иначе говоря, е должна быть функцией температуры смеси и может зависеть от средней массы т, но не от масс отдельных молекул. Из макроскопического уравнения состояния совершенного газа, которое будет рассмотрено ниже (разд. 8 гл. II), следует, что

c = 3/2RT, (6.26)

где R—газовая постоянная, связанная со средней молекулярной массой т и универсальной постоянной Больцмана k (k = =1,38-10~23 Дж/К) соотношением

R =力/欣R =力/欣(6.27Г

R =力/欣

R =力/欣

(Универсальность k вытекает из того факта, что если привести в контакт два газа с одинаковой температурой Т, то Г останется неизменной, в то время как полная энергия Nine будет суммой энергий этих газов, скажем N而回 и %2历2。2, и Nm = =Nxm\+就包，N = N、 ~\~万2.)

Если выражение （6.26） подставить в формулу （6.25）, то последняя сведется к формуле Максвелла для распределения по скоростям, которая будет подробно обсуждаться в гл. III.

В дополнение к одночастичной функции распределения Р&） （или ее пределу Р（〔）） стоит сказать несколько слов о двухчастичной функции распределения Рр определяемой как плотность вероятности того, что скорости двух случайно выбранных молекул заключены в интервалах ^】 и §i + dg【 и L и §2 + ^§2 соответственно, а координаты ——в интервалах х】 и Xi + dxi и х2 и х2 + dx2 соответственно независимо от положений и скоростей остальных N — 2 молекул. Это означает, что надо 《просуммировать》PN по всем возможным положениям и скоростям всех молекул, кроме двух выбранных. Тогда

嘅）（х” х2;目，&）=、％骗.・.恋〃厶3・・・dx& =

=М-2^ Д 卩戸％“_б 丸2Мс _ （卩窗 + 联I）产-8）/2 =

/=з

=盜丄仙卩Г广2(2с)т(1 -

林尚+此虚丫n一8）/2

2〃e丿

（при 自；+ 爲 V 2^）, （6.28）

T)(X" X?；瓦爲)=。

（при Е； +務 >2Nc）,

где вычисления аналогичны предыдущим. Далее, положив М-> 8 и перейдя к пределам （первый аналогичен （6.22）, второй можно найти в приложении）

/义 О（6.29）

題曲卜（困），（6.30）

найдем, что

=做明=（"£?） L exp ［一备（喑+噴）卜

= P°）（Xb 印 A"% 自 J.

Таким образом, мы получили замечательный результат: в газе из очень большого числа молекул в равновесном состоянии две случайно выбранные молекулы никак не коррелируют. Иначе говоря, плотность вероятности одновременного пребывания первой молекулы в заданном месте с заданной скоростью （т. е. в состоянии, которое назовем первым состоянием） и второй молекулы в другом заданном месте с другой заданной

скоростью (во втором состоянии) равна просто произведению плотности вероятности пребывания первой молекулы в первом состоянии, а второй молекулы в любом состоянии на плотность вероятности пребывания второй молекулы во втором состоянии, а первой молекулы в любом состоянии.

Это означает, что факт пребывания молекулы в заданном состоянии не влияет на вероятность пребывания второй молекулы в другом заданном состоянии, т. е. что состояния молекул (в случае равновесного газа из молекул, являющихся твердыми сферами с пренебрежимо малым общим объемом или материальными точками с пренебрежимо малой потенциальной энергией, за исключением областей пренебрежимо малых размеров) статистически некоррелированны. В качестве элементарного примера статистически некоррелированных случайных событий можно привести результаты бросания двух игральных костей, когда мы получаем, что число, выпадающее на одной кости, не влияет на число, выпадающее на другой кости, и вероятность реализации заданной комбинации (скажем, 6 на первой кости и 1 на второй) равна 7зб, т. е. произведению вероятности выпадания заданного числа на первой кости и любого числа на второй (равной i/б) и вероятности выпадания заданного числа на второй кости и любого числа на первой (также равной 7б). (Заметим, что в этом примере мы различаем кости ——как если бы, например, одна была синей, а другая красной ——и, следовательно, события «один и шесть》и 《тесть и один» считаем разными.)

Эти результаты относятся к функциям распределения динамической системы, которая, по предположению, представляет собой одноатомный совершенный газ в равновесном состоянии.

Слово «одноатомный» означает, что молекулы не имеют внутренних степеней свободы. Состояние каждой молекулы полностью описывается тремя пространственными координатами и тремя компонентами скорости (как в случае материальных точек и гладких твердых сфер). Слово «совершенный» (или ^идеальный», хотя последний термин часто употребляется в смысле «невязкийх>) означает, что потенциальная энергия межмолекулярных сил пренебрежимо мала, если не рассматривать частицы, расстояние между которыми меньше некоторой величины о («диаметра молекул》), обычно пренебрежимо малой по сравнению с любым другим интересующим нас линейным размером и такой, что суммарный объем областей со значительной потенциальной энергией (имеющий порядок ^a3) пренебрежимо мал по сравнению с общим объемом газа V.

Эти два обстоятельства (пренебрежимо малая потенциальная энергия вне некоторых областей и пренебрежимо малые размеры таких областей) не означают пренебрежимо малых

взаимодействий; скорее они означают, что (на нашем уровне описания) единственно существенными эффектами интенсивных сил отталкивания, которые возникают между молекулами, находящимися одна от другой на расстоянии порядка о, являются отклонение этих молекул от их прямолинейных путей и изменение их скоростей (которые вовсе не являются пренебрежимо малыми). Данные обстоятельства отражаются в том, что равенство (6.12) справедливо только в областях, где потенциальная энергия является пренебрежимо малой, в то время как в формулах (6.13), (6.19) и (6.28) интегрирование ведется по всему объему V. Это означает, что полученные результаты верны в предельном случае, когда о—>0 и /V—>оо таким образом, что ^a3/V —> 0 (совершенный газ).

Приложение

В настоящем приложении мы вычислим площадь поверхности и объем шара в n-мерном пространстве, а также некоторые пределы, связанные с этими величинами.

Пусть

书 + 卷+= &(П.1)

—уравнение сферической поверхности в /г-мерном пространстве. Радиус сферы равен R, а центр ее расположен в начале координат. Объем соответствующего шара представляет собой объем области внутри поверхности, заданной уравнением (П. 1): t九(R) ■—~ ,,.…, dz] dz? • • • dz九=~=

=* ，，…\ %i d先…d厶，(П.2) y^+…+吟&i

где второе выражение получается путем замены переменных z左=Ryn (用=1,п). Поэтому, как и следовало ожидать,

吃(R) = t№(П.З)

где тп = тп(1)— объем единичного шара. Площадь поверхности шара лучше всего определить, исходя из данного Минковским общего определения, согласно которому она является пределом отношения разности объемов двух смежных шаров к расстоянию 6 между их поверхностями при 8 To. Отсюда

(R) = lim 乙(А + ^ 二(& =黑=研〃r"L(n.4)

В частности, если з 九——площадь поверхности единичного шара, то

з〃 孔弋 п；(П.5)

этот результат упоминался в разд. 2.

Для того чтобы вычислить тп и, следовательно, з^ (при помощи (П.5)), введем в плоскости (z/n-i, Уп) полярные координаты

Dl1 = Pcos(p, yn = psin^).(П.6)

Поскольку dyn-idyn = pdpd屮，имеем

% = V・・・,*對]%2・・・d拆一2P dp d(p =

U：+% +…+成一2+M《1

д/1-("；+.♦•+吟一2)2冗

=、,・••、 d^i d^2 .・・ dy%—2, p dp \ d(p =

4+* …+ 成一2&1°0

==冗 、、…• \[1 — (//； + 质+ •…+ 窮-2)]"% • • •〃一2。

片+* + •••+*一2《1(П.7)

Если ввести сферические координаты в (п — 2)-мерном пространстве (у” •・・, у%—?)， 「е. положить 「2 =必十.・・ + 呢_2, dn~2Q — элемент поверхности единичного шара, dy* ・•• dyn-2 = =р^-3 dpdn~2Q, то получится

1

t/г =冗、(1 — р2) р"-3 dp \ d'TQ = о

= Л ( 二—7 2冗 f С0%—2(П.8)

\ п — 2/7 丿〃/ п (п — 2)\ 丿

и, в силу (П.5),

①九==国二2 一①几_2。(п.9)

Таким образом, мы получили простую рекуррентную формулу для ①卅 Применяя ее, имеем для четных п

пляпля1—7 ①2 =1—7 ①2 =В®】В®】2, =2"讯2, =2"讯(П.10)(П.10)

пля

пля

1—7 ①2 =

1—7 ①2 =

В®】

В®】

2, =2"讯

2, =2"讯

(П.10)

(П.10)

а для нечетных п

лл冗冗n万n万冗玄-i冗玄-iП(也一3)/2П(也一3)/2——莎4л =——莎4л =2冗(〃-D/22冗(〃-D/2331 •1 •••万万••万万(П.11)(П.11)Формула (2.7) основного текста следует из этих результатов.Формула (2.7) основного текста следует из этих результатов.ВычислимВычислимтеперьтеперьn->oo S〃一1n->oo S〃一1(П.12)(П.12)Допустим, показать приДопустим, показать причто этот предел существует (это можно легко более подробном анализе). Если это так, точто этот предел существует (это можно легко более подробном анализе). Если это так, тоlim № Trt->oo S/г —2lim № Trt->oo S/г —2lim%->ООlim%->ООS/г —1 〃->ooS/г —1 〃->oo8〃一28〃一2limlim〃 一2、/〃（〃一 1）〃 一2、/〃（〃一 1）lim,П->ооlim,П->оо铀铀а2. (П.13)а2. (П.13)S〃一 1S〃一 1В силу соотношения равна 2л, откудаВ силу соотношения равна 2л, откуда(П.9), левая часть этого равенства просто(П.9), левая часть этого равенства простоа = д/ 2 л.а = д/ 2 л.(П.14)(П.14)В качестве простого чается в разд. 6, аВ качестве простого чается в разд. 6, аследствия вычислим предел, который встре- именноследствия вычислим предел, который встре- именноlim —^- V->oo N /2co.lim —^- V->oo N /2co.Зз.м-з =Зз.м-з =*3/V*3/V=limN->8=limN->8①3N — 3①3N — 3S3/V —2S3/V —2"3口万吗N一2 <3"一1g“]V'而吗/V"3口万吗N一2 <3"一1g“]V'而吗/V(3^-l)(3^-2)(3^-l)(3^-2)832-1832-1%2%2

л

л

冗

冗

n

万

n

万

冗玄-i

冗玄-i

П(也一3)/2

П(也一3)/2

——莎4л =

——莎4л =

2冗(〃-D/2

2冗(〃-D/2

3

3

1 •

1 •

••万万

••万万

(П.11)

(П.11)

Формула (2.7) основного текста следует из этих результатов.

Формула (2.7) основного текста следует из этих результатов.

Вычислим

Вычислим

теперь

теперь

n->oo S〃一1

n->oo S〃一1

(П.12)

(П.12)

Допустим, показать при

Допустим, показать при

что этот предел существует (это можно легко более подробном анализе). Если это так, то

что этот предел существует (это можно легко более подробном анализе). Если это так, то

lim № T

rt->oo S/г —2

lim № T

rt->oo S/г —2

lim

%->ОО

lim

%->ОО

S/г —1 〃->oo

S/г —1 〃->oo

8〃一2

8〃一2

lim

lim

〃 一2

、/〃（〃一 1）

〃 一2

、/〃（〃一 1）

lim

,П->оо

lim

,П->оо

铀

铀

а2. (П.13)

а2. (П.13)

S〃一 1

S〃一 1

В силу соотношения равна 2л, откуда

В силу соотношения равна 2л, откуда

(П.9), левая часть этого равенства просто

(П.9), левая часть этого равенства просто

а = д/ 2 л.

а = д/ 2 л.

(П.14)

(П.14)

В качестве простого чается в разд. 6, а

В качестве простого чается в разд. 6, а

следствия вычислим предел, который встре- именно

следствия вычислим предел, который встре- именно

lim —^- V->oo N /2co.

lim —^- V->oo N /2co.

Зз.м-з =

Зз.м-з =

*3/V

*3/V

=limN->8

=limN->8

①3N — 3

①3N — 3

S3/V —2

S3/V —2

"3口万吗N一2 <3"一1g“]V'而吗/V

"3口万吗N一2 <3"一1g“]V'而吗/V

(3^-l)(3^-2)

(3^-l)(3^-2)

832-1

832-1

%2

%2

=44^3%=(去)".(口・15)

При этом три раза используется формула (П.12): для п = 3^ —2, а ~ 3^ — 1 и n = 3N. Аналогично

limN->OOlimN->OO8з«-68з«-6№°3N№°3Nlim —2->oo N3lim —2->oo N32л2л①3仪-6 2л 2л①3仪-6 2л 2л32-2 3N — £ 37V — 6一_632-2 3N — £ 37V — 6一_61 「 kg lim 3)з а—81 「 kg lim 3)з а—8(3"2) (32 -4) (3N-6)(3"2) (32 -4) (3N-6)^3^3=(/=(/

limN->OO

limN->OO

8з«-6

8з«-6

№°3N

№°3N

lim —

2->oo N3

lim —

2->oo N3

2л

2л

①3仪-6 2л 2л

①3仪-6 2л 2л

32-2 3N — £ 37V — 6一_6

32-2 3N — £ 37V — 6一_6

1 「 kg lim 3)з а—8

1 「 kg lim 3)з а—8

(3"2) (32 -4) (3N-6)

(3"2) (32 -4) (3N-6)

^3

^3

=(/

=(/

здесь три раза н 3N — 4.здесь три раза н 3N — 4.

здесь три раза н 3N — 4.

здесь три раза н 3N — 4.

используется формула (П.9): для n = 3N、3N —

Более компактный вывод этих результатов можно осуществить при помощи гамма-функций, использования которых мы избежали.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Гельфанд И. М., Шилов Г. Е., Обобщенные функции и действия над ними, изд. 2, М., Физматгиз, 1959.

Lighthill J. М., Fourier analysis and generalized functions, Cambridge, Univ. Press, 1958.

Schwartz L., Theorie des distributions, Paris, Hermann, Part I, 1957; Part II, 1959.

Cercignani C., Mathematical methods in kinetic theory, New York, Plenum Press, 1969; русский перевод: Черчиньяни К., Математические методы в кинетической теории газов, М., «Мир», 1973.

Borel Е., Introduction geometrique a quelques theories physiques, Paris, Gauthier-Villars, 1914.

Borel E., Mecanique statistique classique, Paris, Gauthier-Villars, 1925.

Синай Я. Г., УМ", 25, 141 (1970).

Синай Я. Г., Вестник МГУ, матем. серия, № 5 (1962).

] Хинчин А. Я., Математические основания статистической механики, М.—几，ГИТТЛ, 1943.

] Крылов Н. С., Работы по обоснованию статистической физики, М. — Л., изд-во АН СССР, 1950.

] Цянь Сюэ-сень, Физическая механика, М., «Мир», 1965.

] Уленбек Дж., Форд Дж., Лекции по статистической механике, М., «Мир», 1965.

] Гуров К・ П., Основания кинетической теории, М., «Наука», 1966.

] Валландер С. В., Вероятностная трактовка вопросов кинетики разреженных газов, в кн. «Аэродинамика разреженных газов», вып. 3, Л., изд-во ЛГУ, 5—21, 1967.

] Мирошин Р. Н., Уточненный анализ функций распределения и кинетических уравнений разреженного газа, в кн. «Аэродинамика разреженных газов», вып. 3, Л., изд-во ЛГУ, 22—42, 1967.

Уравнение Больцмана

Проблема неравновесных состояний

В предыдущей главе мы видели, что задачу описания состояния теплового равновесия одноатомного идеального газа можно решить точно. В частности, для одночастичной функции распределения 夕⑴ была получена очень простая формула в виде максвелловского распределения. Этот результат находит разнообразные применения при статистическом описании вещества в газообразном состоянии.

Ясно, однако, что состояние теплового равновесия представляет собой весьма специальный случай, ибо на практике нам обычно приходится иметь дело с неравновесной газовой средой, которой может быть, например, газ, окружающий летящее в атмосфере тело или движущийся в трубе. Условия в такой среде существенно отличаются от условий, соответствующих содержащемуся в сосуде газу, в котором поддерживаются равномерные температура и давление. Можно ли подходить к этим более общим задачам неравновесных газов, опираясь на те же предпосылки, что и в разд. 6 гл. I?

Ответ может быть отрицательным или положительным в зависимости от точного смысла вопроса. Разумеется, безнадежно пытаться, например, определить простыми средствами функцию распределения 夕°)для газа в общем неравновесном состоянии, но кое-что все же можно сделать: можно вывести уравнение, которому удовлетворяет функция 尸⑴ при тех же предположениях, что и в разд. 6 гл. I, за исключением, конечно, условия статистического равновесия. Это уравнение называется уравнением Больцмана. Затем можно пытаться решать уравнение Больцмана чисто математическими средствами при помощи более или менее стандартных методов, приближенных или точных.

С самого начала нужно сказать, что решить уравнение Больцмана весьма трудно даже для очень простых неравновесных состояний. Об этом еще много придется говорить в дальнейшем, поскольку методы решения уравнения Больцмана будут подробно рассматриваться в следующих главах.

Ради чего выводится и решается уравнение Больцмана? Можно различать два основных типа приложений. Первый связан с установлением, закономерностей макроског[吧яркого лонм дения газовой средь】 ^ основе микроскопической мопелькогда средняя длина свободного^ пробега(определеннаяв конце разд. 4 предыдущей главы) много меньше других характерных длин. Эти приложения являются, следовательно, частным случаем общей проблемы статистической механики ——установить связь между ^алшло百 структур。询 вещества mfro контидальным поведением на м^кроско而1еском урю^Хе. 'Гй1而чны疝L[定冢启7 татами таких исследований являются объяснение макроскопического поведения газов и вычисление коэффициентов вязкости и теплопроводности на основе постулируемых законов взаимгк действия пари мо变瑾g [1——3]. Помимо самостоятельного качения, эти исследования "интересны еще и потому, что они дают представление о гом, что надо было бы сделать для других агрегатных состояний вещества (жидкостей, твердых тел, многофазных систем).

Приложения второго рода связаны не с построением макроскопической теории в обычном смысле, а скорее с изучением поведения газа в тех случаях, когда средняя длина свободного пробега уже не является пренебрежимо малой по сравнению с характерным размером геометрии потока. В таких случаях, очевидно, нельзя ожидать, что «макроскопическое поведение» можно легко описать с помощью таких величин, как плотность, массовая скорость, температура, давление и т. д., хотя все эти понятия сохраняют смысл и конечные результаты выражаются в виде измеряемых и практически важных величин, таких, как лобовое сопротивление движущихся в разреженной атмосфере объектов. При этом оказывается полезной одночастичная функция распределения и уравнение Больцмана приобретает особое значение как уравнение, охватывающее весь диапазон разрежений и соответствующее этому диапазону поведение, начиная от жидкостноподобного режима умеренно плотного газа и кончая свободномолекулярным режимом, при котором молекулярными столкновениями практически можно пренебречь.

Наша первая цель состоит в том, чтобы вывести уравнение Больцмана для системы твердых сфер, не находящихся в статистическом равновесии. Это означает, что мы возвращаемся к началу разд. 6 предыдущей главы, где доказано, что среднее по времени Р от плотности вероятности в фазовом пространстве Р удовлетворяет уравнению Лиувилля. Временной интервал у не будет строго определенным, но должен быть соизмерим со временем, которое требуется молекуле для прохождения расстояния порядка ее собственного диаметра (или ——для материальных точек, взаимодействующих на расстоянии, — радиуса

действия сил). Это усреднение по времени не вносит ничего существенно нового, и в дальнейшем мы будем писать Р вместо Р.

На первый взгляд кажется невозможным описать приближение к равновесию, потому что объем в фазовом пространстве будет сохраняться даже после усреднения по времени, и, следовательно, равномерное распределение на энергетической поверхности при / —► оо не может быть достигнуто. Мы обошли эту трудность в разд. 6, принимая временной интервал, по которому проводится усреднение, равным бесконечности. Таким образом, равновесие характеризуется такими равномерными распределениями, которые не относятся к данному моменту или к короткому временному интервалу, а проявляются в среднем поведении в течение предельно большого интервала времени. Если мы хотим описать приближение к равновесию или, что более общо, описать неравновесные состояния, то нельзя переходить к пределу т—► оо (напротив, t должно быть очень малым) ;следовательно, в наше описание надо ввести некоторые новые характеристики.

Прежде всего важно отметить, что газ состоит из большого числа одинаковых молекул (или ——в случае смеси ——из нескольких множеств молекул, каждое из которых состоит из большого числа одинаковых молекул), а в макроскопических экспериментах мы не в состоянии различать одинаковые молекулы (давление на стенку, например, не зависит от номеров, которые мы придадим молекулам, соударяющимся со стенкой). Следовательно, макроскопически измеряемые средние будут иметь вид

@ =，屮(Х[, Х2, ..., Ху； 11,自2, &,•••, 1у) X

ХР(Х1, х2, ..., Хм；薪，自2, •…，嬴；/)JJdxM/, (1.1) i = l

где можно считать, что ф(хь х2, ..., х^;畐，三2, ..., |n) не меняется при произвольной перестановке двух молекул (например, Х1 — Х2, х2 -> Xi, §i ->§2, &->•&) по крайней мере для простых газов (случай смеси требует очевидных модификаций).

Тогда интеграл в формуле (1.1) можно записать следующим образом:

@ =，屮(Xi, х2, . .., Хм；畠，&,・・・，玩)义

XS[P(X1, X2,・・・，Хм；自 1,自2,…，“；/)] 口 dx,•竭，(1.2)

где S [Р]——функция, получающаяся из Р полной симметризацией по всем ^ молекулам, т. е. сумма ^! плотностей Р, аргументы которых соответствуют ^! перестановкам ^ молекул, деленная на N\.

Это означает, что для вычисления измеряемых величин Р можно заменить на S[P]. Очевидно, что было бы удобно с самого начала, если это возможно, работать с S[P]. Очень просто модифицировать наше описание таким образом, чтобы можно было заменить Р на S[P]. В самом деле, достаточно заметить, что S[P] удовлетворяет уравнению Лиувилля, потому что последнее симметрично по отношению к одинаковым молекулам (одинаковость подразумевает, конечно, одинаковые законы взаимодействия между молекулами). Следовательно, единственное изменение, которое потребуется для того, чтобы использовать S [Р] вместо Р, будет опять-таки относиться к начальным данным, причем начальное значение для S[P] является, очевидно, симметризованным выражением S [Ро] начального значения Ро для Р.

В соответствии со сказанным в дальнейшем будем пользоваться функцией S[P], обозначая ее через PN для того, чтобы подчеркнуть число молекул. Единственное отличие от использовавшейся ранее плотности вероятности состоит в том, что Pn всегда предполагается симметричной по аргументам, относящимся к одинаковым молекулам. Это условие влечет за собой дальнейшее рассеяние элементов объема в фазовом пространстве, но еще не объясняет, почему возможно приближение к равновесию.

Мы можем, однако, воспользоваться двумя обстоятельствами: во-первых, ^ можно устремить к бесконечности, как было сделано в случае равновесия, и, во-вторых, достаточно вычислить только s-частичные функции распределения

P^=、Pn П dxM费 (1.3)

i = s + l

с s《N (обычно s= 1, 2, как в разд. 6 гл. I). Второе обстоятельство связано с тем фактом, что интересующие нас средние ф относятся к функциям, представляющим собой симметричные суммы членов, каждый из которых содержит координаты и скорости одной или двух молекул. При N + со объем в фазовом пространстве теряет смысл (заметим, что, когда гг-> оо, объем куба со стороной 〃，ап, стремится к 0, 1, сю при о V 1, 〃= 1, 〃> 1 соответственно; это противоречит возможности произвольного выбора единицы длины!). В частности, «сохранение объема» в бесконечномерном фазовом простран-

стве не препятствует заполнению подпространства произвольной (конечной) размерности.

Следовательно, предельный переход при 8 дает нам возможность описать приближение к равновесию. Однако, если мы рассмотрим конечный объем V и допустим, что число молекул ^ —► оо, то, если не потребовать одновременно о —0, собственный объем молекул (aN(j3) будет стремиться к бесконечности, что абсурдно (巾03 Vl/). Поэтому статистическая механика по существу имеет дело с предельным переходом ^ -> оо, 0. Правда, возможны и другие варианты. Например, можно рассматривать газ, для которого в пределе Ng3fb > 0, или газ, для которого No3 0; поскольку N9 с точностью до тривиальных численных множителей совпадает с собственным объемом молекул, Ng§ — G означает, что молекулы занимают пренебрежимо малую часть доступного объема. В этом случае мы говорим, что газ совершенный (идеальный) .

В случае идеального газа в свою очередь существуют две возможности: либо Ng? остается конечным, либо No2 To. В первом случае средняя длина свободного пробега / (/ V/ (^а2), согласно (I. 4.17)) конечна, т. е. столкновения нужно учитывать (больцмановский газ); во втором случае средняя длина свободного пробега бесконечна, что позволяет пренебрегать столкновениями (кнудсеновский газ). Более интересен, разумеется, случай конечной длины свободного пробега (кнудсеновский газ может быть получен как предел больцмановского газа при оо). Для того чтобы дать представление о действительных порядках величин, заметим, что в обычных условиях, если V^ 1 см3, то число частиц N = 1020, в то время как оа 10~8 см; отсюда ^(J3 — 10~4 см3, No2 d [04 см2 (д<ля более низких плотностей обе величины, ^(J3 и N* уменьшаются и если /~ 1 см, то No2dl см2, /V(j3a[0_8 смз в объемесм3).

Для согласованности массу молекулы т следует считать стремящейся к нулю, в то время как полная масса газа остается конечной:

/и->0, Ntn f М < 8.(1.4)

Как мы увидим впоследствии, в этом пределе уравнение Лиувилля формально эквивалентно системе бесконечного числа уравнений, в которых неизвестными являются s-частичные функции распределения (1 Ws&8, так как М->8). Будет показано также, что эта система в свою очередь обладает частным решением, для которого s-часгичная функция распределения представляется произведением s множителей, каждый из которых равен одночастичной функции распределения, удовлетворяющей уравнению Больцмана.

Уравнения для многочастичных функций распределения в газе из твердых сфер

В этом разделе мы выведем уравнения, которым удовлетворяют s-частичные функции распределения (s — 1,..., ^) для газа из ^ твердых сфер, находящихся в области R объема V. Для плотности вероятности PN = PN(xi} 1,0 имеем

厶=0(丨 х» — X/1 V о, %В /),(2.1)

так как сферы не могут проникать одна в другую; соответственно этому PN в общем случае будет разрывной в тех точках фазового пространства, где |х^ — х/ = о, причем предел с одной стороны равен нулю, а с другой (|х^ ——х/>о), вообще говоря, отличен от нуля. Поэтому, рассматривая Р^ при некоторых |хг-——х/ = о, мы всегда будем подразумевать 《внешний》 предел, т. е. переход из области |х^ ——х； | > а. В этой области состояние молекул соответствует движению по инерции; следовательно, уравнение Лиувилля (I. 3.8) сводится к уравнению

N

= °(|Х, —Х/|>о, у/),(2.2)

где, согласно сказанному в разд. 1, Pn симметрична по отношению к перестановке ^ молекул.

Проинтегрируем уравнение (2.2) в области его определения по координатам и скоростям N — s частиц. Без потери общности можно проинтегрировать по частицам с номерами от s + 1 до ^. Если ввести s-частичные функции распределения 夕仍 определенные формулами (1.3), то (2.2) дает

+Е 5 ■醬' П 岗幅+

i = 1/ = s+l

+ £ \ 畠• II 厶/ 為=0,(2.3)

/=s+l/ /=s+l

где интегрирование no ^ (/ = s + l, ..., ^) распространяется на все пространство, а интегрирование по X/ (i = s+l, ...

^) — на область R, за исключением множеств |х^ — xj < а « = 1, N, ，*/)• Для удобства члены с индексами 1 W，W s отделены от членов с индексами s + 1 W i W N.

Типичный член первой суммы в уравнении (2.3) содержит интеграл от производной по переменной х厶 по которой не производится интегрирование, однако изменить порядок интегрирования и дифференцирования нельзя, так как область нмеет

границы (I x^ ——X/1 == а), зависящие от х». Для того чтобы получить правильный результат, следует добавить граничный член

\П也隔=

“Z=s+1

=三「鳥 \П “X/d& - 2 Jp^.n^da^^ Д dxtdl^

'，=s+l/=s+lZ=s+1

0P(S)3

(2.4)(2.4)"dZ 2 \ 嘅+%• . П" d。"嗚，

(2.4)

(2.4)

где Пг；——внешняя нормаль к сфере |х» ——х；| = о (с центром в точке Xj), d^ij ——элемент поверхности той же сферы, а Р^+1) является (s + 1) -частичной функцией распределения с аргументами (х储爲)(6 = 1,2,s, j).

Типичный член второй суммы в уравнении (2.3) можно сразу же проинтегрировать (при помощи теоремы Гаусса), так как здесь подынтегральная функция включает производную по одной из переменных интегрирования. Получаем

N

，方君П dxi為=

/ l—s+I

=2\壊+鸣』jd。订吗+ £，壊+%••明・d%吗小% + ，=-1k=s+1

+ \p^rnJdAjdlji (2.5)

где dAj ——элемент поверхности границы области R в трехмерном подпространстве, связанном с х；, а п；——единичный вектор, перпендикулярный к такому элементу поверхности и направленный внутрь газа. Последний член в равенстве (2.5) представляет вклад от твердой границы области R; если молекулы отражаются от нее зеркально, то рассматриваемый член, оче

видно. равен нулю, потому что при зеркальном отражении 畠・п) меняет знак. Этот граничный член, однако, равен нулю и при более общих предположениях; достаточно предположить, что результат взаимодействия твердой сферы со стенкой не зависит от эволюции состояния других сфер и что частицы не захватываются жесткими стенками. Мы обсудим эют вопрос в конце данного раздела, а пока опустим граничный член.

Подставляя выражения (2.4) и (2.5) в уравнение (2.3), находим

n订d0订呜一n订d0订呜一穿+^，零=£ I )屮*

n订d0订呜一

n订d0订呜一

i = lt = l /=s+1

E、壊+2)V“％jd* 吗飙％ (2.6) 々Jhs+1

здесь Vij = |i — ^.j ——скорость f-й частицы относительно /-Й и принято во внимание, что во второй сумме вследствие антисимметрии п订 по отношению к индексам можно заменить gj・n订 на T2V订・п订.Переменными интегрирования в уравнении (2.6) являются х/ и gj； следовательно, суммы по / составлены из одинаковых слагаемых, так же как и сумма по 尼 во втором интеграле. Подчеркивая, что индекс / немой, будем писать х*, |$ вместо X), gj； кроме того, будем писать х0, go вместо х/г,自九, а также просто V〃，必，d仿 вместо V订，n订，do叮 и Vo, n(o, doo вместо V^j, nkj, dokj- Тогда получим

警 + E §< •需=(N _ S) £ “/1)V厂 n; do. d& _

一 V" — s—D \ 屮)％ •&d。。映嗎dx。， (2.7)

где咐D зависит от аргументов (хь ^, ..., xs, ^s, х*,三*, /), а Р^+2)—от аргументов (хь &,・•・,xs,氤,х*, £, х0, &， /)・

Отметим теперь, что кратные столкновения (т. е. одновременные соприкосновения более чем двух сфер) не вносят вклада в эти интегралы (по крайней мере, если Р^+ °, Р^+2) — обычные интегрируемые функции). Действительно, интегралы по doit do。 берутся по поверхности

丨 х* — х» I = о Q = 0, 1,・・.，s, s&N) (2.8) с центром в X；, но не по всей поверхности, потому что следует вырезать те части, которые находятся внутри других подобных поверхностей:

丨 х* — X/1 = о (/ = 1, ..»)• (2.9)

(Это обусловлено тем фактом, что внутри таких поверхностей PN = 0.) Кратные столкновения соответствуют границе области интегрирования, и, следовательно, одномерному подмножеству, так что их вклад в интегралы равен нулю, если не появляются сингулярности, которые мы исключаем, используя сглаженные Pn・

Теперь важно разбить каждый из интегралов в (2.7) на аналогичные интегралы, распространенные по подмножествам 修“<0 и Vrn； > 0 « = 0, 1,..., s) соответственно. Первое подмножество соответствует молекулам, вступающим в столкновение, в то время как второе соответствует молекулам, которые только что испытали столкновение (следует помнить, что 成+ D — предельное значение со стороны, внешней к сфере х* — x^ = о с центром в Хг, так что значение р戸) для Хг ——х* = о и Vrn； > 0 соответствует пределу из состояния непосредственно после столкновения, поскольку п^ = (х»——х*)/сг). Согласно сказанному, уравнение (2.7) принимает вид

0成丄v占0用

=(N—s) £ [厂壊+D IV, • 11 do,隔一『”沖)I V, 口 I ^Z %]—

-d(「T [V+)壊+2)I V。• ％ I ^0 d& d 瓦 dx° _

一『°俨門 Vo・n°|k 吗骗 dx°] (s=l, .・・，N),(2.10)

где верхние индексы (+) и (——)у интегралов относятся кН •口之 0 (i = 0, 1,…，s) соответственно.

Приведенные уравнения еще не полны, потому что мы пока не использовали законов упругого соударения (1.4.3) или (1.4. 11).

Согласно этим законам, скорости после столкновения 自彳 и 自* связаны со скоростями перед столкновением ^ и 自; соотношениями

a+ ， 匕）

(VH)

(2.Н)

или

VJ,

《r+m口「匕）

(V—T),

(2.12)

где Пг = (x； — x$)/or —единичный

вектор, направленный

вдоль

прямой, соединяющей центры двух сфер, и совпадающий с внешней нормалью к сфере |х^ ——х*| = о с центром в х* и переменной Хг или с внутренне访 нормалью к сфере |х* х/= о с центром в Xj и переменной х*. Относительные скорости до столкно-

вения и после него V1 и Vi связаны между собой соотношением (1.4.12):

Vz = V；-2nz(n..V；).(2 •⑶

Таким образом, любая молекула, вступающая в столкновение со скоростью 自：в х., оказывается в то же самое время (или после исчезающе малого промежутка времени) в после- столкновительном состоянии со скоростью li, связанной с 自7 и и. == (х. — х^усг соотношением (2.11); поэтому

Р时)(Х[,猊，•••，Xj, &•,・•・，Xs，為，X*, £, 0 =

+ nz(n,. V；), /) (Z = 0,l, s, 1&sM 乂一1)・(2.14)

Рассмотрим сначала член в (2.10), содержащий Р^+2\ и покажем, что он равен нулю, т. е. что

『时)Mi收喘吗小 =

=『"/2)1V。•叫d%喝座。厶0.(2.15)

Действительно, заменяя переменные 自)и 気 на 烏 н 展二 заданные соотношениями (2.12) (с ，= 0), и учитывая (2.14) (с，= 0 и с s + 1 вместо s), левую часть равенства (2.15) можно записать в виде

Л •】=，㈠ Р尹2)，I % ・ ％ I d^ d^ 恋彳 dx°, (2.16)

где аргументы Р^+2} те же, что и у Pn+2\ только 自* и 自о заменены на 盛 и 開；при этом учтено, что якобиан преобразования от W*, & к g, go по модулю равен 1 (см. разд. 4 гл. I). Интеграл берется по полусфере Vq • п0 < 0, так как равенство (2.13) (с 2 = 0) означает, что

V0 • no = — Vo • п0-⑵ 17)

Теперь в (2.16) можно опустить штрихи, так как 畠 и 自：一 переменные интегрирования; в результате получаем

Л. q.=『)0俨2)]v。 • "0|厶0厶0筵0成* = 口. ч.,(2.18)

и равенство (2.15) доказано.

Подобное рассуждение нельзя применить к интегралам, содержащим Р^+" . Однако можно использовать соотношение (2.14) для того, чтобы выразить оба интеграла через функцию распределения перед столкновением или, наоборот, через функ-

цию распределения после столкновения. Действительно, соотношение (2.14) полностью обратимо и может применяться для выражения либо функции распределения молекул, которые только что испытали столкновение, через функцию распределения молекул перед столкновением, либо этой последней через первую. Очевидно, первый путь должен использоваться, если мы хотим предсказать будущее по прошлому, а не наоборот. Ясно, однако, что в этом месте мы связываем себя с определенным направлением времени, так сказать, вводим разницу между прошлым и будущим, как увидим подробнее в дальнейшем.

В соответствии со сказанным получим из соотношения (2.14) равенство

厂)峨+】)I V厂 nJ do, % = \")咪+D」匕・ nJ d^ %, (2.19) где p!v+1) — значение, которое принимает P俨"，когда аргументы |i и g* заменены на " и < заданные формулами (2.12). С учетом соотношений (2.19) и (2.15) уравнение (2.10) принимает вид

i 1 ' i = 1

^^P^^v^n^dn.dt^ (s=l, ・・・，N); (2.20)

здесь мы заменили do^ его выражением a2rfni через радиус о сферы (2.8) и элемент телесного угла йп^. Мы можем даже отказаться от индекса i у п^, если аргумент х* в i-м интеграле заменить на

х* = х% —пи (2. 21)

Наконец, два интеграла по V「nV0 и V『n>0 можно преобразовать в один, заменив, например, п на —п во втором интеграле. В результате имеем

=(N _ S)°2 £ ,［咪+D，_ Р^ IV, • n I dn •港*(2.22)

i = 1

(s=l, M,

где интегрирование проводится по полусфере V厂 п>0, а аргументы у 蹂 + " те же, что у 壊十"，за исключением g、которые заменены на 耳 ％ заданные формулами (2.12), и х? — по, который заменен на х^ + по.

Подчеркнем то обстоятельство, что уравнение (2.22) получено только при условии симметричной зависимости 夕瞅 от молекул и достаточной регулярности Р$) (последняя необходима для того, чтобы можно было пренебрегать вкладом линии в интеграл по поверхности, т. е. пренебрегать тройными столкновениями) .Кроме того, в уравнении (2.5) мы пренебрегли интегралом по поверхности.

Чтобы оправдать это отбрасывание интеграла по поверхности, следует обсудить граничные условия, которым удовлетворяет Pn, когда x^ принадлежит границе dR области R, в которую заключен газ. Этот вопрос будет детально рассматриваться в следующей главе. Здесь же мы предположим, что молекула, падающая на твердую границу dR в некоторой точке х со скоростью F, вылетает практически в той же точке с некоторой другой скоростью I, причем длительность взаимодействия молекулы со стенкой пренебрежимо мала.

Характер этого взаимодействия определяет плотность вероятности Л (§' —► I; х, /) перехода от скорости g к скорости | в точке х в момент времени /; будем предполагать, что эта вероятность не зависит от состояния других молекул и что молекулы не захватываются твердыми стенками.

Вероятность того, что /-я молекула вылетает из элемента поверхности dAj около точки х； в течение интервала времени dt со скоростью между |； и |； + dg?, в то время как /-只 молекула (/#/) находится в элементе объема dx, и имеет скорость между 1- и & + d^i, составляет

N

d* 俨= PN\lrnj\dt dAf d 畠 П dx/ d&,(2.23)

где n；——единичный вектор нормали в х；, направленный в сторону газа. В самом деле, это вероятность того, что /-я молекула находится внутри цилиндра, заполненного частицами, покидающими dAj в течение интервала времени dt (см. рис. 10) со скоростью между I； и |j + d^j, в то время как Z-я молекула (/ 千 /) находится в элементе объема dxL со скоростью между 昌 и gz 4- dgi, и эти две вероятности, очевидно, одинаковы.

Аналогично, вероятность того, что та же самая молекула ударит в тот же элемент поверхности со скоростью между и ^ + d財 в течение df, в то время как Z-я (Z 峻 /) молекула находится в dx/ со скоростью между ^/ и ^z + ^自厶 составляет

d* 歹=dAj 呜 П 喝・ dx/, (2.24)

Рис. 10. Схема расчета числа молекул со скоростью &?, соударяющихся с элементом поверхности dAi с единичной нормалью п力 за время dt.Рис. 10. Схема расчета числа молекул со скоростью &?, соударяющихся с элементом поверхности dAi с единичной нормалью п力 за время dt.

Рис. 10. Схема расчета числа молекул со скоростью &?, соударяющихся с элементом поверхности dAi с единичной нормалью п力 за время dt.

Рис. 10. Схема расчета числа молекул со скоростью &?, соударяющихся с элементом поверхности dAi с единичной нормалью п力 за время dt.

где аргументы Р； те же, что и у PNi за исключением того, что 自;заменяет *，Если умножить d*勿，на вероятность изменения скорости при рассеянии на стенке от 自;до скорости между 自)и Wj + d^j, т. е. на R (自;一＞ 自/ х/} t)吟,и «просуммировать», т. е. проинтегрировать по всем возможным значениям 昌，то мы должны получить d*勿：

南•、＞ 0), (2.25)南•、＞ 0), (2.25)d3 = % J *号-斗X/,方)d*火

南•、＞ 0), (2.25)

南•、＞ 0), (2.25)

g；・ti/vo

или, используя выражения (2.23) и (2.24) и сокращая на общий множитель d^^XL^i^i) dA^dt\

I ^/ • Пу I PN(X1, §1? . . . , X/,畠，...，X%, |дг,力)=

=\ R 匾f 忌；X? 0^(x1}瓦，•・•，X/,",…，X%,恥，/)х

V0

• х I g； • nz. I 呜 (X/ w OR,耳• П/ ＞ 0).(2.26)

Это граничное условие, которому удовлетворяет Pn на твердых границах в предположении мгновенного взаимодействия. В частности, если стенка отражает молекулы зеркально, то имеем

R (Г f 三；X, Z) = 5 (F — 自 + 2n (n Y))・(2.27)

В общем случае R должна удовлетворять некоторым ограничениям, которые будут обсуждаться в следующей главе. Единственное ограничение, которое мы здесь рассмотрим, связано с предположением, что молекулы не захватываются стенками. Это означает, что любая молекула, падающая на стенку, в конце концов вылетает с некоторой скоростью 短 и, следовательно, 《сумма》 элементарных вероятностей R(g/f W)d^ по всем возможным значениям § должна быть равна единице:

，R(gf 三；х, f)dW= 1 (х w OR, g • n < 0)・(2.28) l-n>0

Равенство (2.26) после интегрирования no gj с учетом (2.28) дает

\陶—|%%=，P^r^d^ ，厶陶•叫嗚

^/，n/>°yn^<02/・П/<0

(Х/WdR), (2.29)

где третье выражение получается заменой 耳 на 耳.Соотношение (2.29) можно переписать в виде

\ 畠• п产n 呜=ОХ・ w GR),(2.30)

где 歯 пробегает оба полупространства 自厂出 之 0.

Наконец, интегрируя равенство (2.30) по d4)и координатам и скоростям ^ — s — 1 молекул (отличных от /-й), получаем

\lrnlP^dlfdAj = Qi(2.31)

т. е. последний член в уравнении (2.5) действительно равен нулю при наших предположениях.

Уравнение Больцмана для газа

из твердых сфер

Предыдущий раздел был посвящен выводу уравнений (2.22) для Р$)(s== 1, . . ., ^). В частности, при s = 1 имеем

響 + 方警=("- 1)01 [%-型4 N • n I dn 喝.(3.1)

Это уравнение показывает, чго эволюция во времени одночастичной функции распределения Р^ зависит от двухчастичной функции распределения Р^. Чтобы получить уравнение для 鬪)в замкнутой форме, необходимо выразить Р^ через Р^; простой интуитивный путь к этому состоит в том, что нужно предположить отсутствие корреляции и записать

峻)(хр &, х*, ", /)=崂)(Х|,瓦，/) Р^) (х*,&, /). 32)

Это соотношение было получено в случае теплового равновесия для ^ —► оо. Если принять его и в неравновесном случае и подставить (3.2) в (3.1), то получится уравнение, содержащее только Р^. Это, в сущности, гипотеза молекулярного хаоса (Stosszahlansatz), использованная Больцманом [4——7, 1] при выводе уравнения для Р^‘, которое соответственно называется уравнением Больцмана.

Однако мы не имеем права постулировать (3.2), потому что Р^ определяется из другого уравнения ((2.22) с 5 = 2), содержащего 夕^), а последнее в свою очередь из уравнения (2.22) с s = 3, содержащего 夕优 и т. д. Поэтому минимальное требование должно состоять в том, чтобы показать непротиворечивость соотношения (3.2) с уравнением, описывающим изменение 夕型(s》2) во времени. В настоящий момент мы не можем доказать это утверждение, по крайней мере если понимать его буквально.

Действительно, как было указано в связи с (I. 6.30), соотношение (3.2) означает, что состояния двух рассматриваемых молекул статистически не коррелированы. Это имеет смысл для любых двух случайно выбранных молекул газа, поскольку они не взаимодействуют, когда находятся далеко одна от другой и, следовательно, ведут себя независимо. В частности, это ка* жется справедливым для двух молекул перед столкновением, потому что они представляют собой как раз две случайные молекулы, пути которых пересеклись; но та же самая статистическая независимость заведомо не имеет места для двух молекул сразу после столкновения. Отметим, однако, что уравнение (3.1) включает 尸贤 для молекул перед столкновением, так как мы воспользовались соотношением (2.14), чтобы исключить значения Р^+", соответствующие состояниям после столкновения.

Это замечание важно, но проблемы все же возникают, потому что уравнение (2.22) для Р令 выполняется при условии, что Хг (i=l,...,s) не принадлежит множествам |х^ ——х/& о (j = 1, s; j#i); объем этих множеств растет с s, будучи пропорциональным sa3. Этими множествами, однако, можно

пренебречь в пределе о —► О, /V -> оо при фиксированном s (или даже при росте s вместе с N (s W 2), если No3 f• о, как в случае идеального газа). Мы приходим к выводу, что гипотеза Больцмана (3.2) неверна в буквальном смысле, но может стать верной в пределе при “一8, о —0, если считать, что соотношение (3.2) выполняется почти всюду, т. е. перестает быть верным лишь на исключительных множествах меры нуль (в которые нужно включить множество послесголкновительных состояний) .

Таким образом, мы должны доказать, что условие (3.2) (для ^ -> оо, о—>0) не противоречит уравнениям, описывающим изменение夕型(s》2) во времени. Мы докажем большее, а именно что свойство факторизации

ps)=立夕⑴(х,・,0,(3.3)

i = I

где

р9= lim 珠)，(3.4)

^->oo

не противоречит уравнениям (2.22) при условии, что а—* 0 таким образом, что Ng? ограничено (следовательно, /Vo3 f。). Чтобы доказать это, предположим, что предел, указанный в (3.4), существует для любого конечного s и что получающаяся в результате функция Р")достаточно гладкая.

Тогда, если зафиксировать s и положить в уравнении (2.22) оо, о—>0 таким образом, что 乂炉 ограничено, то получится

争 + £ 方霎=(”。2) £，仍(s+> - ps+叫 Vj • n I dn 喝“ i=l

(s=l, 2, 3, ...), (3.5)

где аргументы у Rs+i)‘ и p(s+i)такие же, как и ранее, за исключением того, что х* = х： = х, в соответствии с равенством (2.21) при о —0. Уравнения (3.5) дают полное описание эволюции больцмановского газа во времени при условии, что для этой системы уравнений задача Коши поставлена корректно.

Частное решение уравнений (3.5) может быть найдено в форме (3.3), если одночастичная функция распределения удовлетворяет уравнению

穿 + 三•閣=(“⑺，РР： - РР)IV • n I dn 畴，(3.6)

где I и х стоят вместо & и Xi, Р — вместо 夕⑴，а Р*, Р, Р* означают, что аргумент |, входящий в Р, следует заменить на £, У, ^ соответственно. Это утверждение легко проверить под-

становкон выражения (3.3) в уравнения (3 5), используя правило Лейбница для дифференцирования произведения при вычислении производной по времени от Р($).

Следовательно, если система уравнений (3.5) при заданных начальных условиях допускает единственное решение, то можно сделать вывод, что решение, соответствующее начальным данным, удовлетворяющим《гипотезе хаоса»

⑴(Xj, о) (/ = 0), (3.7)

t = I

будет оставаться факторизованным во все последующие моменты времени и одночастичная функция распределения Р = Р⑴ будет удовлетворять уравнению Больцмана. Таким образом, предположение о факторизации (3.3) не противоречит динамике твердых сфер в пределе ^ —► оо, о->0 (Ng? ограничено) и ведет к уравнению Больцмана.

Остается открытым вопрос, почему мы должны считать справедливым условие (3.7) при / = 0. Ответ не вполне ясен, но можно использовать одно из следующих рассуждений.

Допустим, что в пределе о —0, ^ —► оо теряется возможность описания переходного режима, в ходе которого произвольно заданная начальная функция релаксирует к факторизованному распределению. Это предположение не кажется достаточно обоснованным и, по-видимому, означает, что задача Коши для системы уравнений (3.5) не является корректно поставленной, если начальное состояние не удовлетворяет условию (3.7).

Начальное состояние не выбирается специально, а является следствием предшествующей эволюции, в течение которой газ также удовлетворяет уравнениям (3.5). Достаточно, следовательно, чтобы соотношение (3.3) было справедливо в некоторый момент времени в отдаленном прошлом, чтобы выполняться в последующем (в частности, если газ был выведен из равновесного состояния вследствие взаимодействия с твердой границей).

Даже если рассматривать все возможные начальные данные, большинство из них будут факторизованными [8] в следующем смысле. Если 户⑴ задано, средняя величина (со знаком минус) логарифма Р^ (которая являемся мерой правдоподобия распределения, как показано в приложении) достигает макси-

S

мума при P(s)= Н Р⑴(х%・，⑶，т. е.

后押=，P(s)In 尸⑶ Д dx”・ d& (3.8)

имеет минимум при P(s) = JJ 尸⑴(х% £). Эго легко проверить, так как w (г) = z In г — z ^ —1 (te/(z) = [口 z обращается в нуль тогда и только тогда, когда z = 1, 3〃(z)=l/z>0 при z > О и 侬(1) =——1) и, следовательно (положим z = x/y),

尤 In % —尤》x In у — у(3.9)

при любых %, у》0; равенство имеет место тогда и только тогда, когда % = у. Подставив Р^ вместо % и 口 尸⑴(х%, ^) i= 1 вместо у и проинтегрировав, получим

\ RS) m Р^ [[ dx, d畠》s，Р⑴(х, § In 夕⑴(x, § dx 成，(3.10) где равенство достигается тогда и только тогда, когда ps) = [[p⑴.При выводе использовано равенство

i = l s

\ 尸⑻ Д dxz d^ = \pa)dxdW=l,z=i

а также симметрия Р⑻ по отношению к перестановке молекул. Соотношение (3.10) доказывает, что выражение (3.8) достигает минимума при

ps) = j[p⑴(X3 畠).

Если одно из этих рассуждений или каг<ая-либо их комбинация справедливы, то уравнение Больцмана (3.6) полностью описывает эволюцию больцмановского газа во времени. Следует заметить, что этот результат существенно зависит от того обстоятельства, что мы использовали соотношение (2.14) для выражения функции распределения молекул непосредственно после столкновения через функции, относящиеся к молекулам перед столкновением, а не наоборот. Если бы мы сделали противоположный выбор, то получилось бы точно такое же уравнение как (3.6), за исключением того, что правая часть имела бы знак минус? Этот результат кажется парадоксальным и является таковым, если утверждать, что уравнение (3.6) описывает эволюцию системы для любого набора начальных данных.

Фактически мы предположили гладкость функций распределения в пределе М->8, о—>0; если эта гладкость имеет место при t = 0, то она сохранится в том и только том случае, когда система развивается в среднем не к более неоднородному рас-

пределению, а к более однородному. Это означает, что описываются такие процессы, которые ведут от «маловероятного» распределения к более вероятному (совместному с данными граничными условиями), а не наоборот. Мы отмечали, что свойство факторизации (3.3) отсутствует на некоторых множествах пренебрежимо малой меры, среди которых мы ожидаем найти и состояния после столкновения. Это ожидание оправдано, если описывается процесс эволюции от «нерегулярной» функции распределения к 《регулярной》 (заметим, что 《регулярная》 функция распределения означает неупорядоченное однородное состояние и, следовательно, «вероятную» функцию распределения) .Напротив, если эволюция происходит от неупорядоченного состояния к упорядоченному, то это означает, что должна существовать сильная корреляция между двумя молекулами перед столкновением, и мы должны провести противоположное рассуждение и получить «антибольцмановское уравнение», т. е. уравнение (3.6) со знаком минус перед правой частью!

Это обстоятельство связано с тем, чго рассеяние элемента объема в фазовом пространстве (разд. 5 гл. I) является полностью обратимым свойством, так что, в то время как близкие точки расходятся, некоторые другие точки, которые были удалены одна от другой, в ходе эволюции системы сближаются. Если система находится в наиболее хаотическом микроскопическом состоянии, то этот процесс смешения не меняет макроскопического состояния (описываемого симметричными средними), потому что цепочка событий, ведущих к упорядоченному состоянию, крайне маловероятна, хотя динамически и возможна. Однако если микроскопическое состояние в какой-то степени упорядочено, то рассеяние элемента объема в фазовом пространстве ведет к смешению и превращению его в неупорядоченное состояние. Эта тенденция является не строгим динамическим свойством, а лишь следствием того факта, что число неупорядоченных состояний, имеющих одни и те же макроскопические средние, несравненно больше числа упорядоченных состояний.

Для того чтобы смысл этого утверждения стал ясен, рассмотрим эксперимент с встряхиванием сосуда, содержащего большое число черных и белых шариков. Если два сорта шариков первоначально разделены, то в конце концов вследствие встряхиваний они окажутся перемешанными; в то же время, встряхивая сосуд, содержащий достаточно однородную смесь, практически невозможно получить упорядоченное состояние, в котором оба сорта разделены. Последний процесс, однако, не является динамически невозможным, потому что он представляет собой первый процесс в обратном порядке, а уравнения динамики обратимы во времени (если прокрутить кинопленку

первого процесса в обратном направлении, то получится второй процесс; и если вглядеться в его детали, то не обнаружится никаких противоречий с законами динамики).

При выводе уравнения Больцмана удалось отсеять эти маловероятные процессы; множество послестолкновительных состояний было исключено из уравнений, а все другие состояния предполагались достаточно неупорядоченными для гого, чтобы их можно было описывать гладкими функциями распределения (столкновение создает некоторую степень корреляции и, следовательно, порядка). Уравнение Больцмана нельзя использовать для описания обратного процесса, потому что мы отказались от описания послестолкновительных состояний, которые в обратном процессе становятся достолкновительными.

Перед тем как закончить этот раздел, рассмотрим более внимательно полученное уравнение (3.6). Отметим, что оно представляет собой нелинейное иытегродифферен циальное (в час!ных производных) функциональное уравнение. Слово «функциональное» соответствует тому обстоятельству, что неизвестная функция Р входит в интегральный член не только с аргументами I (текущая переменная скорости) и g* (переменная интегрирования), но также с аргументами 自/ и ^. Последние связаны с * н g* тем условием, что преобразуются в них в результате столкновения, согласно равенствам (2.12), г. е.

(V = * — £)•(V = * — £)•(3.11)(3.11)F =三一n (п • V), 自：=£ + п(п • V)

(V = * — £)•

(V = * — £)•

(3.11)

(3.11)

Интеграл в правой части уравнения (3.6), который называется столкновительным членом, берется по всем значениям g* и по полусфере | n| = 1, V-n > 0. Отметим, чго его можно распространить на всю единичную сферу, разделив результат на два, так как при замене п на ——п подынтегральное выражение не меняется.

Имея дело с уравнением Больцмана, часто вводят другую неизвестную 力 связанную с Р соотношением

f = NmP = MP, (3.12)

,Pdx 恋=1,Pdx 恋=1где ^ ——число молекул, m ——масса молекулы, М ——общая масса. Функция / представляет собой (ожидаемую) массовую плотность в фазовом пространстве одной частицы, так сказать (ожидаемую) «массу в единице объема》шестимерного пространства (х,|). Заметим также, что вследствие условия нормировки

,Pdx 恋=1

,Pdx 恋=1

(3.13)

имеемимеем\ f dx dW = М,\ f dx dW = М,(3.14)(3.14)

имеем

имеем

\ f dx dW = М,

\ f dx dW = М,

(3.14)

(3.14)

Ясно, что / удовлетворяет уравнению

+О：- ff^\V-n\dn 眼， (3.15)

Cz 40X〃厶 J

где f^f^,匚= f(9,『 = /(?)• Эта форма уравнения Больцмана для газа из твердых сфер будет использоваться в дальнейшем.

Проведенное рассуждение можно повторить для случая, когда на молекулы действует внешняя сила X, отнесенная к единице массы. Влияние этой силы состоит лишь в том, что в левую часть уравнения (3.15) добавляется член X-df/d^. Поскольку мы обычно будем рассматривать случаи, когда внешнее воздействие на газ осуществляется через твердую границу (поверхностные силы), этот член, представляющий объемные силы, мы обычно писать не будем. Однако не следует забывать, что такое упрощение, помимо всего прочего, означает пренебрежение гравитацией.

Обобщения

В предыдущем разделе, следуя статье автора [9], мы показали, что при определенных предположениях уравнение Больцмана получается из уравнения Лиувилля для газа из одинаковых твердых сфер в больцмановском пределе, определенном условиями N —> 8, о->0, Ng? конечно.

Напрашиваются четыре возможных обобщения: 1) молекулы, взаимодействующие на расстоянии, 2) системы, состоящие из нескольких сортов молекул, например смеси газоз, 3) многоатомные газы, 4) плотные газы (N—>8, of 0, Nd конечно).

На первый взгляд кажется, что случай молекул, взаимодействующих на расстоянии, приводит к уравнениям, совершенно отличным от уравнения Больцмана. Действительно, уравнение Лиувилля (I. 3.8) можно записать в виде

(4.1)(4.1)N

(4.1)

(4.1)

OP NдР 乂дР N

r + 2%代+ 2 x〃•丁=0.

Здесь мы предполагаем, что объемная сила X*, действующая на /-ю молекулу, представляет собой равнодействующую N — 1 двухчастичных сил Х〃 (Хн = 0), обусловленных взаимодействием с остальными молекулами и таких, что X订= Х(ХзХ» зависит только от координат х* и х)・.

Проинтегрировав уравнение (4.1) по координагам и скоростям N ——s молекул и использовав выражение (1.3), определяющее s-частичную функцию распределения Р^, получим

+ L LXir +

i“ I /=1/

s

+(" 一 s) 2 备• \ 冰+°X, dx* 据=0,(4.2)

где Xt = X(Xi,x*). Для вывода уравнения (4.2) достаточно заметить, что в последней сумме уравнения (4.1) слагаемые с / ^ s + 1 при интегрировании обращаются в нуль, так как их можно преобразовать в интеграл по бесконечно удаленной поверхности в пространстве скоростей i-й молекулы (считаем, что Р —* 0 при Е, —>8), в то время как слагаемые с j > s -\- I

дают идентичные вклады; наконец, члены, содержащие производные по Хг (I ^ s + 1), преобразуются в интегралы по поверхности, совпадающей с физической границей системы, которые можно считать равными нулю по тем же соображениям, что и в разд. 2.

Уравнения (4.2) составляют так называемую цепочку ББГКИ (по именам Боголюбова [10], Борна и Грина [11], Кирквуда [12, 13], Ивона [14]). Не вполне ясно, как обращаться с этими уравнениями в больцмановском пределе. Существует, однако, другой предел, при котором из (4.2) можно извлечь простой результат. Если каждая из сил Х?・) является равномерно малой порядка £, так что при ^ -> оо, 8 0 произведение ^8 конечно (т. е. полная сила представляет собой величину конечного порядка), то из (4.2) получаем

孥+ £方幾+ "£ 言 7 W+”Xj dx* 唄=0, (4.3) i=l ' 1

где Р($)= lim P⑸, как и ранее. Эта система уравнений обла- ?/-> ОО

дает частным решением со свойством факторизации (3.3), что проверяется непосредственной подст ановкой. Одночастичная плотность вероятности Р = Р°) удовлетворяет уравнению

дР , дР . дР пл

万 + s+ Х=0・(4.4)

Здесь

又(х) = N \ Р (х*, g*, f) X (х, xj dx* d^=^n(x*, /)X (x, xj dx*, (4.5)

причемпричем〃(x*, /) = %，尸(x*,£, /)%〃(x*, /) = %，尸(x*,£, /)%(4.6)(4.6)

причем

причем

〃(x*, /) = %，尸(x*,£, /)%

〃(x*, /) = %，尸(x*,£, /)%

(4.6)

(4.6)

—численная плотность в физическом пространстве, т. е. число молекул в единице объема в окрестности точки х* в момент времени t.

Уравнение (4.4)——это замечательное уравнение, называемое уравнением Власова. Оно совершенно отлично от уравнения Больцмана и полезно для описания системы слабо взаимодействующих материальных точек в течение короткого промежутка времени; это случай разреженного газа, частицы которого взаимодействуют посредством сравнительно слабых дальиодеГь ствующих сил, например электроны в ионизованном газе (кулоновская сила) или звезды в звездно自 системе (гравитационная сила). Однако в '"обычном газе, когда част и цы нахо^ дятся близко одна от другой, межмолекулярная сила довольно велика; следовательно, модель жестких столкновений, хотя и весьма грубая, при описании существенных особенностей си、 стемы оказывается точнее модели непрерывно распределенной слабой силы.

В кинетической теории газов обычно рассматривают молекулярные модели, которые учитывают молекулярное взаимодействие более или менее точно. Одна из них ——это модель твердых сфер, которая детально обсуждалась выше; другие модели представляются в виде материальных точек, взаимодействующих с центральными консервативными силами и отличаются одна от другой лишь видом выражения для потенциала U этих сил. Простейшая форма U такова: U(р) = k^[-n, где р ——расстояние между двумя взаимодействующими молекулами; при этом сила X =——grad U считается отталкивающей (^>0). Часто используется (особенно при вычислении коэффициентов переноса) модель Леннарда-Джонса, которая содержит как отталкивающую, так и притягивающую части (см. рис. 11):

и = (%〉Е) (4.7)

с типичными значениями 拉=13, 〃'= 7. В других моделях первый член заменяется экспонентой от р или потенциалом твердой сферы: U = 0 при р > о, U = 8 при р V о. Сила, соответствующая потенциалу типа Леннарда-Джонса (4.7), хорошо аппроксимируется степенным потенциалом на коротких расстояниях (р & (月/归/)"“-，)) и может быть заменена обрезанной силой с потенциалом

/ 々pi При р С а,I /гсг1-п при р》о.

Если принять такой обрезанный потенциал, то можно вывести уравнение Больцмана, предполагая о0, оо, NW конечно, при условии, что U(о)—малая величина порядка

массы молекулы т с^(j2M//V (V ——объем, / ——средняя длина свободного пробега). Последнее условие неплохо выполняется для одноатомных газов, так как U(o)/(/nR) (где R ——газовая постоянная) по порядку величины сооизетствует типичной температуре (изменяющейся от 10 до 230 К).

Чтобы доказать это утверждение, введем усеченные функции распределения

。m=\Pn П 厶/吗，(4.9)

De /=s+l

где область интегрирования не включает те части пространства, где Pn обращалась бы в нуль по определению, если бы молекулы были твердыми сферами радиуса о/2. Частные случаи таких усеченных функций распределения рассматривал Грэд [15].

Теперь можно повторить вывод, данный в разд. 2 и 3, за исключением следующих двух обстоятельств.

Кратные столкновения не являются множеством меры нуль на множестве всех столкновений, потому что теперь столкновения заменяются взаимодействиями конечной длительности. Однако если положить "оЗ — о, как должно быть для больцма- новского газа, то эта мера стремится к нулю, поскольку вероятность тройного столкновения мала как Ng31V (V ——объем). Следовательно, в случае больцмановского газа можно пренебречь кратными столкновениями и рассматривать каждое столкновение как задачу двух тел, даже если мы имеем дело не с газом из твердых сфер.

Молекула вылетает из сферы действия (р = о) другой молекулы (см. рис. 12) в точке, отличной от той, в которой она вошла в эту сферу. Тем не менее закон рассеяния можно записать в форме (2.14), если вектор п^ направить вдоль средней линии траектории «молекулы-пули» по отношению к «молекуле- мишени» (средняя линия проходит через центр молекулы-мишени и точку наибольшего сближения; см. рис. 12), а переменные

Рис. 13. Проекция элемента поверхности сферы действия на плоскость, перпендикулярную V

х?・，х*, / в правой части заменить на х；, х； Л, которые отличаются от хз х*, t малыми членами порядка о. Эта поправка стремится к нулю при а—>0. Однако имеется еще одна деталь, которую мы сейчас рассмотрим. Пусть п（вх）и п（ВЬ1Х）—единичные нормали в точках, где «молекула-пуля» входит в сферу действия и выходит из нее; тогда

（4.10）（4.10）巒 I V’ • П（вх） I dn（BX）=（у2 I V . п（вых） I dn（Bbix）,

（4.10）

（4.10）

потому что траектории полностью симметричны относительно средней линии и Vх — V. Но, вообще говоря, величина

丨 V’• П（вх）I dn（BX）= |V・n（BHX）|dn（BMx）

I V • n I dn — I V • n I <7n

не будет равна единице. Поэтому, если всюду использовать п, то нужно оценить это отношение. Элементарные геометрические соображения дают

G21 V . п（ВЬ1Х） I dn（BbIX） = Vr dr d8,（4.12）

где V — относительная скорость, а г, 8—полярные координаты в плоскости, перпендикулярной к V, так что rdrd& ——проекция элемента поверхности сферы действия o2dn^^ （см. рис. 13）. Когда точка on onисывает сферу действия, точка （г, 8） пробе-

гает соответствующий диск дважды, но на положительной полусфере (V • п >> 0) ее образ встречается только один раз. Величина г есть не что иное, как прицельный параметр, т. е. расстояние наибольшего сближения двух частиц, если бы они продолжали свое движение без взаимодействия. Задача состоит в вычислении г как функции V и 0, где 0 ——угол между п и V; мы имеем dn = sin BdBds и, следовательно,

021V. 口…)1dli(вмх)= ]/г 嘉 d6d£ = B(0, V) rf0 de = Us (В, У) dn,

(4.13) где

В (В J) = 黑，(4.14)

s(e，v)= 7^r 嘉(4/5)

и величина s(0, V) называется дифференциальным сечением рассеяния, так как она имеет размерность площади; для твердых сфер 厂=о sin 9, В (0, V) = Vo2 sin 0 cos 0, s (0, V) = a2 cos 0. Подробности вычисления В(0, V) или, что эквивалентно, s(0, V) при заданном потенциале U(р) будут даны в следующем разделе.

Если учесть все эти замечания, то точно так же, как и в случае твердых сфер, в пределе N —оо, о —О, NW конечно, получится уравнение Больцмана, в котором | V-n(BbIX)|dn(BbIX)= =В(0, V) = d^d& вместо |V・n|dn. Таким образом, уравнение Больцмана для материальных точек, между которыми действуют центральные силы, имеет вид

* + "融=№(%-疗*)3(仇 Qde加悔.(4.16)

Следовало бы обсудить еще один момент, связанный с тем, что мы используем обрезанный потенциал, но мы отложим это обсуждение до разд. 9.

Далее рассмотрим вопрос о том, как обращаться со смесью различных газов. Если молекулы представляют собой твердые сферы, то единственное возможное различие состоит в том, что молекулы имеют разные радиусы и массы, но для точек, взаимодействующих на расстоянии, возможны различия также в законах взаимодействия и в значениях входящих в них параметров. При статистическом подходе первое огличие возникает в связи с ^-чacтичнoй функцией распределения PN, которая может быть симметризована по отношению к молекулам каждого сорта, но не по всем молекулам смеси; следовательно, возникает различие в s-частичных функциях распределения, которые

отличаются тем, по каким N — s молекулам проводится интегрирование. В частности, если имеется п сорюв молекул, то будет существовать п разных одночастичных функций распределения и 〃(〃——1)/2 двухчастичных функций распределения. Обозначения становятся громоздкими, но, вообще говоря, не требуется никаких новых идей, за исключением того очевидного факта, что нужно вывести п уравнений для п одночастичных функций распределения fj (j = 1, ..., п). В результате получаем

粵+1需=t上 N餡几ТN ВV) dS厶& (4•⑺

где mi ——масса молекулы i-ro сорта, В订(В, V) определяется формулой (4.14) при условии, что 厂=厂(0, V) вычисляется из закона взаимодействия молекул ，-го и /-го сортов, а аргументы F, К У 力 н 片* в i-м члене выражаются через |,三*, 0, £ при помощи законов сохранения импульса и энергии (см. следующий раздел).

Описание поведения многоатомных газов можно также свести к описанию поведения смеси газов с надлежащей модификацией. Заметим, что уравнение (4.17) можно записать в виде

等+自，粤=1^ m [%低')%日) 闺%阳]X

xi%/(a, 7，切眼禍阳，(4.18)

где F,巻二 &,之* теперь не зависят друг от друга (т. е. не связаны законами сохранения) и

wa ("Y* I二9 = s〃 (仇V)"蚱+①忌一吗.f 一他定)X

X 3 (/%廿 + 偽8 - %自/2 -他同2),(4.19)

причем

0 = аГС C0S [|£—：)i|£ — t*|]，

ВЦ (0, V)9(4・20)

S订(仇V) = 2 17cMF 6 (色+m戸他阿,.

В частности, для твердых сфер с одинаковыми диаметрами а и массами m имеем Sij = 2o2m4. Величина 解订(三，* | 匸 Q представляет собой плотность вероятности столкновения, при котором скорости молекул ， и / изменяются от g, ^ до 三，£,. Дельта-функции, входящие в (4.19), теперь обеспечивают выполнение законов сохранения импульса и энергии. Уравнение (4.18) сводится к (4.17), если воспользоваться (4.19). Это легко

проверить, выполняя тривиальное интегрирование по 三:，заменяя переменную интегрирования К на 九=mJ三 —— 三')(0& = =呜3dз*0 и переходя к соответствующим сферическим координатам 九，仇 屮 с полярной осью вдоль V

(0九=Л2 dk sin 0 d6 d(p,

тД2 + m^ —勺У? _ 乃守=2ЛУ cos 0 —(乃 + my) Z2/(m.m;.)).

Интегрирование по Л дает искомый результат, так как, полагая

忆+勺厶tn.m, I忆+勺厶tn.m, Iт. +勺т. +勺v cos a)v cos a)

忆+勺厶tn.m, I

忆+勺厶tn.m, I

т. +勺

т. +勺

v cos a)

v cos a)

и используя (1.2.10), получаем

6 0^炉一2大八。56）炉〃=

XX8822—/ + -И cos 0〃？, + m.〃7 / + Шу以cos 6.(匕+勺)2—/ + -И cos 0〃？, + m.〃7 / + Шу以cos 6.(匕+勺)2mi + m.mi + m.(4.21)(4.21)

X

X

8

8

2

2

—/ + -И cos 0

〃？, + m.〃7 / + Шу

以cos 6.

(匕+勺)2

—/ + -И cos 0

〃？, + m.〃7 / + Шу

以cos 6.

(匕+勺)2

mi + m.

mi + m.

(4.21)

(4.21)

После небольшой модификации уравнение (4.18) можно распространить на такую смесь, в которой столкновение может преобразовывать две молекулы сортов 々，/ в две молекулы других сортов I, / (очень частный тип реакции). В этом случае соотношения для скоростей до столкновения и после него отличаются от использованных до сих пор, но тем не менее можно написать систему уравнений Больцмана для п сортов молекул: 穿+自・寥=£ 士\陋一吃产呢媒喝,

(4.22) где Wt^1 ——плотность вероятности перехода от скоростей У, &： к скоростям I,自* в таком столкновении, где две молекулы сортов 厶 k превращаются в две молекулы сортов /, i соответственно. В случае когда при столкновениях не происходят такие реакции, Во"' = Wijdik^ji, a Wjj сводится к выражению, приведенному выше (5消一символ Кронекера, т. е. В泊=1 при，=々，8沔=0 при i k].

Молекулу многоатомного газа удобно моделировать следующим образом [16, 2]. Молекула представляет собой механическую систему, которая отличается от точечной массы тем, что имеет набор внутренних состояний, которые обозначаются индексом /, принимающим целочисленные значения (можно рассматривать и непрерывное множество внутренних состояний). В простейших случаях (здесь будут рассматриваться только такие) эти состояния отличаются друг от друга тем, что молекула, кроме кинетической энергии, обладает внутренней энергией, принимающей различные значения £)в различных состояниях. Столкновение между двумя молекулами наряду с изменением скоростей может изменить внутренние состояния молекул, и, следовательно, внутренняя энергия входит в энергетический баланс.

С точки зрения записи эволюционных уравнений статистического поведения системы многоатомный газ удобно представлять себе как смесь различных одноатомных газов. Каждый из этих газов образуется молекулами, соответствующими данной внутренней энергии, и столкновение, изменяющее внутреннее состояние хотя бы одной молекулы, можно считать реактивным столкновением типа рассмотренного выше, причем Wц1 (^,自*|『，三：)—— плотность вероятности столкновения, преобразующего две молекулы с внутренними состояниями 力,/ и скоростями 自‘,Е： в молекулы с внутренними состояниями f, / и скоростями 三，自* соответственно.

Можно продолжить обобщение, чтобы включить химические реакции, в которых молекулы диссоциируют и атомы перегруппировываются, или ядерные реакции, в которых происходит деление ядер с испусканием и поглощением нейтронов. Аналогичные подходы применимы к явлениям ионизации и процессам эмиссии и адсорбции излучения. В этом случае необходимы добавочные члены в j-м уравнении (по одному для каждой реакции, в которую вступает /-й сорт частиц); величина, представляющая собой обобщение И7”，является плотностью вероятности того, что имеет место реакция, порождающая или уничтожающая частицу /-го сорта.

Перейдем теперь к последнему вопросу, связанному с обобщением уравнения Больцмана на плотные газы. При этом ^ —> оо, iim(No3)>0； следовательно, No^ — g и уравнение (2.22) в пределе становится сингулярным. Соответственно мы пренебрегаем s лишь по сравнению с ^ и считаем s изменяющимся от 1 до оо. В результате уравнения сохраняют форму (3.5), но аргументы х* н х： в i-м члене правой части остаются в виде

瘍=X厂一ПО, X； = X/ + no,瘍=X厂一ПО, X； = X/ + no,(4.23)(4.23)

瘍=X厂一ПО, X； = X/ + no,

瘍=X厂一ПО, X； = X/ + no,

(4.23)

(4.23)

а не стягиваются к х?・. Другое существенное различие состоит в том, что мерой множества точек, для которых |х» ——x/Vo (/声 Q, пренебрегать нельзя, и при переходе к пределу ст —>0 должен приниматься во внимание тот факт, что на этом множестве P(s+D обращается в нуль. Эффект такой экранировки одной молекулы другой должен уменьшать вероятность столкновений. Однако общий объем молекул сравним с объемом, занимаемым газом; это приводит к уменьшению объема, в котором может находиться центр любой молекулы, и тем самым к увеличению вероятности столкновения. Более подробное обсуждение этих эффектов завело бы нас слишком далеко.

Структура столкновительного члена

Чтобы полностью раскрыть правую часть уравнения Больцмана

* + I 黑=У('% 一 小)В © 6 ^ 它 (5.1)

нужно найти выражение В(0, V), определяемое формулой (4.14). Для этого необходимо исследовать задачу двух тел при заданном потенциале U(р). Пусть т и т* ——массы двух молекул; тогда известно, что относительное движение происходит так, как если бы одна из молекул («молекула-мишень») находилась в покое, а другая («молекула-пуля») имела массу, равную приведенной массе

卩=(5.2)

(в частности, если т = т^ то р, = ш/2). Если р и ср ——радиальная и угловая координаты в плоскости движения (см. рис. 12), то законы сохранения энергии и момента импульса (по отношению к полюсу, расположенному в центре молекулы-мишени) дают

%W (р2 + Р2Ф2) + U (р) = %旷2 + и ⑹(р < в,

%=厂］)

где г ——прицельный параметр, а V ——относительная скорость; правые части этих уравнений вычисляются, когда молекула-пуля находится вне сферы взаимодействия, кинетическая энергия постоянна и равна |ыV2/2, потенциальная энергия также постоянна и равна U(о), а момент импульса равен произведению импульса на прнцельнып параметр. В первом из равенств (5.3) можно было бы опустить U(о), поскольку всегда возможно положить U(g) = 0, однако более поучительно сохранить эту константу.

Ограничимся рассмотрением потенциалов отталкивания, которые представляют собой важный случай ближних взаимодействий между молекулами в газе, как мы видели ранее.

Теперь можно легко проинтегрировать приведенные выше уравнения (исключая производные по времени и используя 中 как независимую переменную); траектория, как предполагалось в разд. 4, симметрична по отношению к средней линии. Угол 0 легко получить, так как это угол между V и средней линией (направленной по п), и решение уравнений (5.3) дает

0 = (^У w j р-2 [今呼(1 _ £) _ и ⑹ + и ⑹厂％ +

Оо'

+ arcsin(g), (5.4)

где ро — расстояние наибольшего сближения, которое удовлетворяет уравнению

^'2(? -^) = U^-U^^(5・5)

Отметим, что ро W о (в противном случае не будет отклонения, так как молекулы не попадут в область взаимодействия); ясно также, что 厂 W о, как это следует из р° & о и предположения об отталкивающем действии потенциала [которое означает, что U (ро)— U (о) ^ 0].

Теперь нужно обратить функцию (5.4), получить зависимость г = г(0) (предположение об отталкивающем действии потенциала гарантируе! монотонность зависимости 0 = 9(г)) и подставить ее в (4.14), чтобы найти В(0,丿).Если существует несколько сортов частиц, то нужно вычислить 8订(6, V) для всех возможных пар (всего п(п — 1)/2 для п сортов частиц).

В случае смеси необходимо получить соотношение между F,三： м 自，自*‘ так как равенства (3.11) верны только тогда, когда молекулы имеют одинаковые массы (см. разд. 4 гл. I). В этом общем случае уравнения сохранения $нер「ни и импульса следует записать в виде

/欣/ + 〃2占：=〃虑+①自，

從‘2十吗Е/ = т^十т^л・

Первое из этих уравнений удовлетворяется тождественно, если положить

где п ——единичный вектор нормали, а С ——скаляр, который еще нужно определить. Подставив эти выражения во второе из уравнений (5.6), получим

2Cn Y + ± — 2Сп 々 + 農=0.(5.8)

Следовательно, если С 方 0, то

С = — 2卩п •(自 一 £) = 一 2цп • V,(5.9)

где V ——относительная скорость 自—W*, а ц — приведенная масса, определенная формулой (5.2). Подстановка значения (5.9) в равенства (5.7) дает

f ="争(5 V),生n(n • V)

Чтобы выяснить геометрический смысл п, вычислим Vх = =自/ ——自二 т. е. относительную скорость перед столкновением:

V‘ = V -2п(п • V).(5.11)

Значит, п делит пополам угол между прямыми, направленными вдоль ——V’ и V, и направлен вдоль средней линии. Используя углы 0 и 8, имеем, очевидно,

п • V = I/ cos 0,

n = (sin 0 cos 8, sin 9 sin 8, cos 0),(5.12)

так как 0 ——угол между п и V, а 8 ——азимутальный угол в плоскости, перпендикулярной к V. Угол £ меняется от 0 до 2л, а 0 от 0 (лобовые столкновения, г = 0) до 冗/2 (скользящие столкновения, г = а). Отметим, что 只кобиан d (自二 胃)/0 (自*, § равен ——1, поскольку здесь можно повторить соответствующие рассуждения разд. 5 гл. I.

Видно, что все сложные детали двухчастичного взаимодействия концентрируются в функции В (0, V) (или 8订(В, V)), представляющей (ненормированную) плотность вероятности относительного отклонения л ——20 для пары молекул с относительной скоростью V. Функция В (0, V) не может быть выражена в элементарных функциях даже для таких простых потенциалов как степенные (。=句-";〃抬 2,3); случаи обратного квадрата и обратного куба поддаются аналитическому исследованию, но описывают слишком мягкое взаимодействие на малых расстояниях, чтобы быть реальными для нейтрального газа.

Несмотря на эти негативные замечания, стоит исследовать случай степенных потенциалов более подробно. Равенство (5.4) при этом принимает вид

00РоРоk plk pl+ arcsin (£)，(5.13)+ arcsin (£)，(5.13)

0

0

Ро

Ро

k pl

k pl

+ arcsin (£)，(5.13)

+ arcsin (£)，(5.13)

где ро удовлетворяет уравнению

上m2 2上m2 2-^- = 0.-^- = 0.(5.14)(5.14)Если положитьЕсли положить2女2女丿2 女、/2 卩宀"1）丿2 女、/2 卩宀"1）!/(«-!)!/(«-!)то из (5.13) имеемто из (5.13) имеемX =-- роX =-- ро1 +1 +1 +1 +(5.15)(5.15)dxdxд/ 1 - %2 — (%/姆д/ 1 - %2 — (%/姆=+ arcsin (—), e一1k a 7=+ arcsin (—), e一1k a 7(5.16)(5.16)

上m2 2

上m2 2

-^- = 0.

-^- = 0.

(5.14)

(5.14)

Если положить

Если положить

2女

2女

丿

2 女、/2 卩宀"1）

丿

2 女、/2 卩宀"1）

!/(«-!)

!/(«-!)

то из (5.13) имеем

то из (5.13) имеем

X =-- р

о

X =-- р

о

1 +

1 +

1 +

1 +

(5.15)

(5.15)

dx

dx

д/ 1 - %2 — (%/姆

д/ 1 - %2 — (%/姆

=+ arcsin (—), e一1k a 7

=+ arcsin (—), e一1k a 7

(5.16)

(5.16)

где Хо удовлетворяет уравнению

(5.17)(5.17)1一党一(的/旷7=0.

(5.17)

(5.17)

Ясно, что вычисление функций 6 = 6(几 V)——довольно сложная задача. Существенное упрощение происходит в предельном случае о->8 при анализе многочастичного взаимодействия как последовательности скользящих бинарных столкновений (см. обсуждение в разд. 9). Так как обычно вся работа по вычислению коэффициентов вязкости и теплопроводности [1, 2] основы-

ваетсямулы:ваетсямулы:на этом предположении, приведем соответствующие фор-

ваетсямулы:

ваетсямулы:

dxdx(5.18)(5.18)%0

dx

dx

(5.18)

(5.18)

о

*广（号）2*5’*广（号）2*5’(5.19)(5.19)

*广（号）2*5’

*广（号）2*5’

(5.19)

(5.19)

где Хо удовлетворяет уравнению (5.17). Взятые совместно уравнения (5.18) и (5.17) дают 0 — 0 (&), а после обращения 6 =

=Ь(6). Тогда (5.19) приводит к выражению

厂尸⑼，(5.20)

которое показывает, что зависимость г от V и 0 факторизуется, и, следовательно, из (4.14) имеем

В (6/) = /Ki 件户％需=吸(0),(5.21)

где 丫 = (〃 一 5)/(〃 — 1) и

6(e)= d『m〜黑.(5.22)

Таким образом, существенное упрощение для необрезанных степенных потенциалов состоит в том, что В (0, V) становится произведением функции только от 0 на дробную степень V. Значительное упрощение возникает при 拉=5, потому что тогда зависимость от R исчезает. Это упрощение было открыто Максвеллом [17], и фиктивные молекулы, взаимодействующие таким образом, обычно называются максвелловскими молекулами. Хотя в действительности молекулы не являются максвелловскими, все-таки эта концепция полезна, потому что предположение о законе обратной пятой степени часто сильно упрощает вычисления и дает удовлетворительные результаты или по крайней мере первое приближение к ним.

Отметим, что р(0) ведет себя следующим образом: р(е)= о(е)(е->о),

(i(e)= о [(л/2 - e)~(n+1)/(n~!)](е-> 冗/2),')

где О (%) означает величину порядка х. Первое из этих соотношений легко получить, заметив, что при 0—>0 имеем %0—► 0, как видно из (5.18), и, следовательно, /?~х0—>0, согласно (5.17), а формула (5.18) принимает вид

ь1

0 ~ \ / 9"- = b ( - / °" ..=,(5.24)

так что & ~ /(0, где ^ ^ 0, bdb ~ fe20J0, (3(8)= 0(0). Когда 0 -> л/2, имеем & —> оо (как видно из (5.18) при переходе к пределу & -> оо). Таким образом, %о — 1 — как это следует

из (5.17), и

е = л；。\

о

оо"I - "2 + (6 -尸7)/旷7"I - "2 + (6 -尸7)/旷7ооdy«1 一Уdy«1 一У2 bn~] I 1 - "22 bn~] I 1 - "2-5一-5一2 2，i2M-1 J (i—力)％ 丿一2 2，i2M-1 J (i—力)％ 丿一

о

о

"I - "2 + (6 -尸7)/旷7

"I - "2 + (6 -尸7)/旷7

о

о

dy

«1 一У

dy

«1 一У

2 bn~] I 1 - "2

2 bn~] I 1 - "2

-5一

-5一

2 2，i2M-1 J (i—力)％ 丿一

2 2，i2M-1 J (i—力)％ 丿一

=号+。(击)仇＞3)■В результате имеем=号+。(击)仇＞3)■В результате имеем(5.25)(5.25)

=号+。(击)仇＞3)■

В результате имеем

=号+。(击)仇＞3)■

В результате имеем

(5.25)

(5.25)

(5.26)(5.26)

(5.26)

(5.26)

откуда легко получаются соотношения (5.23).

Элементарные свойства оператора столкновений.

Инварианты столкновений

Правая часть уравнения (5.1) содержит квадратичное выражение Q(『，/), определяемое формулой

Q 亿 /) = ^ “f才一爲)В (6, V)哀* ^ ds.(6.1)

Оператор Q действует на скоростные аргументы функции f. Он описывает эффекты взаимодействий и в связи с этим называется оператором столкновений. Величина Q (力 f), т. е. интеграл (6.1), называется интегралом столкновений или просто столкновительным членом. В этом разделе мы изучим некоторые свойства интеграла Q, которые, несмотря на его сложную форму, позволяют выполнять различные преобразования во многих принципиально важных задачах. Фактически мы исследуем здесь несколько более общее выражение, а именно билинейное выражение

Q(f, g) = R 卜厂g： + "У Tg* — f*g) 8 (“ U) d£ dHde. (6.2)

Ясно, что при g = / выражение (6 2) сводится к (6.1); кроме того,

Q亿 g) = Q(g, /)•(6.3)

Наша первая цель состоит в изучении некоторых преобразован ий восьмикратного интеграла

\q亿g)中(三)昼=

=击卜厂乩 + fg 一 fg. - f^ Ф е b (0, V)密暗 de 也(6.4) где интегрирование по § распространяется на все пространство скоростей, а 屮(自)——произвольная функция 自，для которой эти интегралы существуют.

Произведем перестановку переменных 自一蔡，自*一三(которая означает также -> ^,史一>У вследствие (3.11)). Тогда, поскольку как В (0, V), так и выражение в скобках преобразуются в сам их себя, а якобиан преобразования очевидно равен единице, имеем

\Q(f, g)屮(3公=

=i 卜厂広 + 匚口 —匝—f^) ф (£) в(6, У)密若* da ds • (6.5)

Это уравнение совпадает с (6.4), за исключением того, что вмесю 屮(自)появилась(р(^). Рассмотрим теперь другое преобразование переменных в (6.4):自一胃 и 2*-> 上(здесь, как и выше, единичный вектор п в (3.11) считается фиксированныгл). Как мы знаем (разд. 4 гл. I), модуль якобиана этого преобразования равен единице, так что dWd&* = dM 吗 и формула (6.5 принимает вид \q(/, g)屮闺麻=

=i卜片出+ Mb - ig* -九g) T㈢8 (仇V)宫其dH厶，(6.6)

где нужно выразить 自 и g* через переменные интегрирования g, 1 при помощи соотношений, обратных (3.11). Эти соотношения (см. (I. 4.3)) таковы:

* = М-п(п・")，

g— + n(n・ V";2

здесь скорость V’= У——£ связана с V = ^ — ^ равенством (5.1) и, следовательно,

Vz • п = — V • п.(6.8)

Полусфера V- п > 0 соответствует полусфере V'・n V 0; однако, не меняя выражений, зависящих от можно заменить п на ——п и выполнить интегрирование по полусфере Vх - п > 0. Можно также сменить наименование переменных интегрирования и переобозначить У,三;через 自，蔡.Тогда, в силу (3.11) и (6.7),自，自* превращаются в g,工 и формула (6.6) записывается в виде

\Q 亿 g)(p®da =

=^ 卜也 + f^ 一 厂式-fg)中(SB(仇 V)龙吗de ds, (6.9)

где В (0, V) при такой замене не меняется, так как из (5.11) следует, что『= V.

Перепишем выражение (6.9) следующим образом:

\Q亿g)屮(3密=

= -^"fW + ETg*-f*g)a(SB(ej)d^*dad£・ (6.10)

Это выражение совпадает с (6.4), за исключением того, что появился знак минус н вместо ср依)стоит(р(『)・

Наконец, поменяем в (6.10) местами | и £, как при переходе от (6.4) к (6.5). В результате получим

，Q(f, g)屮阳旋=

=一击\0n+ ^一也一^)屮@#(6/)密喝如厶.(6.11)

Выражение (6.11) отличается от (6.4) только знаком минус и тем, что вместо 屮(官)стоит 屮("：).

Таким образом, для одной и той же величины получены четыре различных выражения: (6.4), (6.5), (6.10) и (6.11). Теперь можно строить другие выражения, составляя их линейные комбинации. В частности, нас интересует комбинация, которая получается сложением этих четырех выражений и делением на четыре, т. е.

\ Q 亿 g)中® 然=R k，m + fg — fg* 一 九g) X

X (ф + Ф., — <pz — фЭ В (0, V)dld^ dOrfe. (6.12)

Эго равенство выражает основное свойство столкновитель- ного члена, которое часто будет использоваться в дальнейшем.

В частном случае g = / оно принимает вид

w (力f)屮@d3 = E卜卄一露)X

X (ф + Ф, - ф7 - Ф：) в (0, V) dl dl dQ ds. (6.13)

Заметим теперь, что независимо от f и g интеграл в (6.12) равен нулю, если соотношение

屮+屮* =中’+中:(6.14)

верно почти всюду в пространстве скоростей. Так как интеграл в левой части (6.11) представляет собой среднее изменение функции ср(|) за единицу времени вследствие столкновений, то функции, удовлетворяющие соотношению (6.14), обычно называются «инвариантами столкновений)». Имеет место следующее свойство: если 屮(自)непрерывна, то равенство (6.14) удовлетворяется в том и только том случае, когда

屮闺=〃 + b •自 + с^,(6.15)

где а и с ——скалярные, а b ——векторная постоянные. Обычно функции 5=1,(屮 1,屮2,屮з)=自，*4 = F называются элементарными инвариантами столкновений, так что общий инвариант столкновении представляет собой линейную комбинацию пяти величин 屮.

Для доказательства утверждения, что равенство (6.14) удовлетворяется в том и только том случае, когда 屮(自)имеет форму (6.15), нам потребуется следующая

Лемма. Пусть х — вектор 8 п-мерном пространстве Е九,и пусть функция f (х) непрерывна хотя бы 8 одной точке и удовлетворяет функциональному уравнению

f (x) + f(xi) = f(x + xj(6.16)

для любых х, Xi се Еп. Тогда f(x)=A・x, где А ——постоянный вектор.

Действительно, если f непрерывна, скажем, в точке х0, то она будет непрерывна всюду, потому что из (6.16) при Xi = h имеем

f(x + h)-f(x) = f(h) = f(xo + h)-f(xo)・(6.17)

Уравнение (6.16) для любого целого р по индукции дает

f= f (х);(6.18)

в частности, для х? = х "=1, .・•, р)

/ (°х) = р/(х),(6.19)

и, заменяя р на 7, а х на x/q, получаем

f(x/q)=»(x).(6.20)

Далее, учитывая (6.19) (с x/q вместо х) и (6.20), имеем

или простоили простоf (ах) = а/ (х)f (ах) = а/ (х)(6.21)(6.22)(6.21)(6.22)

или просто

или просто

f (ах) = а/ (х)

f (ах) = а/ (х)

(6.21)

(6.22)

(6.21)

(6.22)

для любого рационального а〉0. Вследствие непрерывности /(х) равенство (6.21) верно для любого вещественного а〉0. Из (6.16) следует, что f(0) = 0 (при x = Xi = 0), и, полагая X] = —х, имеем f(—х) = —f(x); следовательно, равенство (6.22) верно для любого вещественного а. Теперь легко получается требуемый результат, ибо если а& (々=1, ..., 〃) суть 〃 ортогональных векторов, то любой вектор х можно записать

в виде £ (х • aj а^. Поэтому, в силу (6.18), получаем

〃х)= f (X (х . a。a J = tf ((х • aj а。= ^ х • a J 做)=

=х •広 f (а/а)= А • х=х •広 f (а/а)= А • х(А = £ J (а/г)а),(А = £ J (а/г)а),(6.23)(6.23)

=х •広 f (а/а)= А • х

=х •広 f (а/а)= А • х

(А = £ J (а/г)а),

(А = £ J (а/г)а),

(6.23)

(6.23)

и лемма доказана.

Равенство (6.14) означает, что 屮 + ср* имеет одно и то же значение для всех пар векторов (自，自*，， которые удовлетворяют уравнениям сохранения; т. е.屮 + 屮* является константой каждый раз, когда 自 + 自* и 自？ + 片 постоянны.

Иначе говоря,屮 + ср* представляет собой функцию только этих последних величин:

ф© + ф皀)=Ф 父 + 自；自 + t)«(6.24)

Определим

中土 (3 =屮闾±中(一9,

①土(F +高三+ L)=①(1 +自：* +自*) 士①(1 +自)一自一D

(6.25) и сложим (6.24) с уравнением, полученным из него заменой (I, ^*)->(—^,——三*), а затем вычтем последнее уравнение из (6.24). В результате найдем

中士 (三)+中土(Q = Ф±佇+歌自+写(6.26)

Если в уравнении для 屮土 положить & = —— *, то получим (ф± (— Ю = Ф± (Ю) равенство

2屮+闺=<1)+(21，0),(6.27)

которое показывает, что (р+ зависит только от 干，ф+ = -ф (^2). Тогда из (6.26) следует, что Ф+ зависит только от 1 +片，потому что никакая функция от 三+W* не может быть образована из 1 и gj. (Равенство /(三+ " = g(『，£) при & = 0 означало бы, что f (^) = h (g2); следовательно, 力(1 + 1 + 2自 Y*) = = g(『，② что невозможно, если Л не является постоянной, так как левая часть принимает различные значения при ^ • ^ = 0, 自：=九专2 и 堂* =九自，в то время как правая часть принимает одинаковые значения при так выбранных аргументах функции %.) Отсюда заключаем, что (6.26) можно переписать в виде

3 (『)+ 2 W)=① + 父 + 刁=2 (1 + Z + 屮(0),(6.28)

где последнее выражение для Ф+ получается при 三* = 0. Если положить f (廿)=2 (『)——3 (0), то равенство (6.28) перейдет в (6.16) для одномерного случая (с 工=『，占=片)；применяя лемму, приходим к выводу, что /(Е?) = 2с自2, где с _ некоторая постоянная. Следовательно,

屮+ (1)=中(廿)=w(0) + "自 2) = 2〃 + 2喈，(6.29)

где 2。= 2(0) — постоянная.

Рассмотрим уравнение (6.26) для (р_. Если выбрать 自 и £ взаимно ортогональными, то можно считать, что функция Ф_ зависит только от второго аргумента, так как при этом 1 + £ =(自 + 三/значит, можно записать

屮—闺 + 屮—氐)= h^ + ^ = у 倡 + t)；(6.30)

последнее выражение для 力(鼻 + 三*) получается, если положить 自* = 0 и учесть тот факт, что (р_ (0) = 0 в силу (6.25). В (6.30) можно не пользоваться условием 自•自* = 0. Чтобы показать это, возьмем произвольные 自 и 自* и третий вектор р, который ортогонален этим двум:

@ •& = 0 V* = 0(6.31)

и абсолютная, величина р которого задается соотношением

р2 = &Н》о.(6.32)

Применяя (6.30) к ортогональным векторам (自,@) и (自*, =F р), имеем

屮—低 + Р) = Ф_ (Ю + Ф_(Р),

屮—息干 @)=屮一(£) + ф_ (干 р) = ф_ (U 干 ф_ Ф),(633)

где знак минус или плюс во втором уравнении берется в соответствии с неравенством & ・自* 导 0. Теперь, в силу этого выбора и соотношений (6.31), (6.32), имеем

低 +。)•(2* 干 @) = & Y* 干自• @ + @ Y* 干 Р? = 0,(6.34)

и можно применить равенство (6.30) к 自 + p и £ 干 @, а также к g + ^ и р Т р, что дает

Ф_ (2 + @) + Ф_ (L 干 @)=屮_ (自 + £ + @ 干 Р)=

=屮_(三 + Q + 中_(。干 p).(6.35)

Подставляя в левую часть (6.35) выражения (6.33), получаем

Ф_ (Ю + Ф_ (t) + Ф_ (Р)干中-⑹=屮一低 + L) + ф_(Р +。)・(6.36)

Если 自 Y* > 0, то имеет место знак минус и

屮一闺+ 忆&)=中_(8 + "・(6.37)

В частности, если положить 三=2乎=@ (р • р = р2 > 0), то формула (6.37) дает

2ф_ (р) = ф_ (2р).(6.38)

Подставляя этот результат в (6.36), когда ^ • g, < 0 и имеет место знак плюс, мы, наконец, доказываем, что уравнение (6.37) совпадает с (6.16), если 自，，(р_ отождествить с х, xt, f. Применяя лемму, получаем

屮一⑶=2b Y,(6.39)

где b — постоянный вектор. Поскольку из (6.25) следует, что 屮=(屮+——屮_)/2, соотношение (6.15) доказывается сложением равенств (6.29) и (6.39).

Итак, если ср — инвариант столкновений, заданный формулой (6.15), то

、屮(S Q (力 g)恋=0.(6.40)

В случае смеси газов этот вывод можно обобщить и показать, что, если Q” 亿，f/) обозначает столкновительный член для взаимодействия между частицей /-го сорта и частицей z-го сорта, как представлено правой частью уравнения (4.17) (которая равна

JQ"仇，场)，ТО

，屮 ^Q"d,%)da = O(6.41)

для любых 力，%, если ср есть константа (сохранение массы частиц /-го сорта), и

建=0,(6.42)

если ср； = const, ср； = I или 屮)=廿(сохранение общей массы, импульса, энергии). Это, конечно, справедливо при отсутствии реакций; в противном случае равенство (6.41), вообще говоря, не выполняется, а (6.42) выполняется при ф； = 1,(内=自，屮)= =g2 + 2Ej/mj, где E；——внутренняя энергия молекул /-го сорта (это применимо, в частности, к исследованию многоатомных газов, согласно замечаниям разд. 4).

Решение уравнения Q(f,/)=0

В этом разделе исследуется вопрос о существовании положительных функций 力 обращающих в нуль интеграл столкновений:

Q(f,力=，(卄一疗*)5(е/)昼*ded£ = o. (7.1)

Мы хотим показать, что такие функции существуют и что вес они даются выражением

f(§ = exp(〃 + b 弋+喈)，(7.2)

где。，b, с те же, что и в (6.15). Для этого докажем сначала результат, который будет важен и в дальнейшем и который состоит в том, что независимо от вида функции распределения выполняется следующее неравенство (неравенство Больцмана):

，lnfQ(f, f)港《0,(7.3)

причем равенство осуществляется в том и только том случае, когда f имеет вид (7.2). Ясно, что первое утверждение есть простое следствие второго. Действительно, если равенство (7.1) выполняется, то, умножая его на 1п/ х интегрируя, получаем (7.3) со знаком равенства, откуда следует (7.2), если справедливо второе утверждение. И обратно, если имеет место (7.2), то, применяя результаты предыдущего раздела к ср — Inf, иолу- чаем f7* ~ ff, и, следовательно, (7.1).

Докажем поэтому, что соотношение (7.3) всегда выполняется для f > 0, а знак равенства влечет за собой (7.2) и вытекает из (7.2). Используя уравнение (6.13) с ср = In Д получаем ，infQ(f,力成=亲",才一甘*)1n⑺*/(厂加)8(ё, I/)港成*ded£ = =亲口力(1-九)1口九3(岂I/)舞鴻. de虑， (7.4) где

^=ffj(m-亿5)

Далее, Xf： > 0, 8》0 (равенство достигается только при 0 = 0); кроме того, для любого 九 >0

(1 ~Z)lnX<0(7.6)

и равенство достигается тогда и только тогда, когда 九=I (заметим, что 1——X и —In X отрицательны или положительны одновременно и оба обращаются в нуль только при 入=1). Используя соотноизение (7.6), из (7.4) можно получить (7.3), и равенство осуществляется тогда и iолько тогда, когда 入=1, т. е. когда

甘* =почти всюду.(7.7)

Логарифмируя обе части этого равенства, находим, что (p = ln，удовлетворяет уравнению (6.14), так что ср = Inf имеет вид (6.15). Следовательно, f имеет вид (7.2), что и требовалось доказать.

Заметим, что постоянная с в (7.2) должна быть отрицательной, так как функция f должна быть интегрируемой по всему пространству скоростей. Если положить с =——a, b = 2av, где V ——новый постоянный вектор, то (7.2) можно переписать в виде f @ =厶 exp [—«(§ — v月，(7.8)

где А ——постоянная, связанная с 〃， а, у2 (а, v, Л составляют новый набор произвольных постоянных). Выражение (7.8)——это известное распределение Максвелла; оно отличается от (I. 6.25). так как описывает газ, который не находится в состоянии покоя (при V ^ 0). Однако (7.8) сводится к (1.6.25) (не считая тривиальных изменений), если перейти к системе отсчета, движущейся со скоростью V по отношению к прежней, где выполнялось соотношение (7.8), и должным образом выразить величины А и а через внутреннюю энергию и плотность. Справедливость такой интерпретации будет показана в следующем разделе.

В случае смеси газов приведенное выше доказательство можно модифицировать и показать, что

^\^flZQi^fh 力)成《°，(7.9)

причем знак равенства достигается тогда и только тогда, когда

(7.10)(7.10)力=%/ ехр [ — amy (三—v)2],

(7.10)

(7.10)

где Aj, v, a ——постоянные. В случае многоатомного газа нужно учесть внутреннюю энергию; тогда

力=4 ехр [— ат,(鼻—v)2 — 2a£/]・(7.11)

Связь между микроскопическим и макроскопическим (газодинамическим) описаниями

В этом разделе рассмотрим задачу вычисления макроскопических величин при заданной функции распределения. Мн иногда уже пользовались плотностью в физическом пространстве р (х, /), которая есть не что иное, как интеграл от плотности в одночастичном фазовом пространстве f (х, §, /) по всем возможным скоростям:

Р(Х, t)=\f dt(8.1)

Согласно вероятностному смыслу 力 плотность р ——математическое ожидание массы в единице объема около точки (х, /) или произведение массы молекулы т на плотность вероятности нахождения молекулы в (х,/), т. е. на (ожидаемую) численную плотность

〃 (х, /) = р (х, /)/т = \ Р 恋，(8.2)

где Р ——плотность вероятности, связанная с f соотношением (3.12).

Массовая скорость v получается осреднением скорости молекул 三：

[泸d自恋

v = 4———，(8.3)

где интеграл в знаменателе появляется потому, что Р не нормирована на единицу при фиксированном х, а интегрирование ведется только по 自.С учетом (8.1) равенство (8.3) можно записать в виде

pv= ^ Ifdl,(8.4)

или в компонентах .

PS =，bf *•(8.5)

Л1ассовая скорость v есть тот эффект молекулярного движения, который мы можем воспринимать посредством макроскопических наблюдений; она равна нулю в случае стационарного состояния газа в замкнутом неподвижном сосуде с зеркально отражающими стенками. Каждая молекула обладает некоторой скоростью 三，которая раскладывается на сумму v и другой скорости

с = 2 —V, (8.6)

описывающей случайное отклонение скорости молекулы от упорядоченного движения со скоростью v. Скорость с обычно называют собственной или тепловой скоростью; она совпадает с 自，когда газ макроскопически покоится. Заметим, что в силу (8.6), (8.5) и (8.1)

\ с if 灌=\ 自 J d 三—v^f d^ = ps — ps = 0. (8.7)

Величину pVi в (8.5) можно интерпретировать как плотность импульса или, иначе, как поток массы (в 厶м направлении). В дальнейшем нам понадобятся также поток импульса, плотность энергии и поток энергии. Так как иглпульс — векторная величина, нужно рассматривать поток j-й компоненты импульса в，-м направлении:

\^ 忌 if)dW=\EgidW. (8.8)

При этом используется следующее общее правило: если некоторая величина имеет плотность G в фазовом пространстве (в нашем случае G = ^jf), то ее поток через поверхность S (т. е. количество этой величины, которое проходит через единицу поверхности S в единицу времени) определяется выражением

，G& dt dS 咼(dSdt) 7 Glz dl

Здесь интеграл берется по всем возможным скоростям, dS обозначает площадь элемента поверхности, а / компоненту 自 по нормали к этому элементу. Соотношение (8.8) показывает, что поток импульса описывается симметричным тензором второго ранга.

Следует ожидать, что при макроскопическом описании идентифицируется только часть микроскопически определенного потока импульса, поскольку интеграл в (8.8), вообще говоря, отличен от нуля, даже если газ макроскопически покоится (отсутствует макроскопический поток импульса). Чтобы выяснить, как упомянутый поток импульса проявится при макроскопическом описании, воспользуемся разбиением 自 на массовую скорость v

и тепловую скорость с согласно (8.6). Имеем

，七也if d三=\ (s + q)(力 + с» f 港=

=〃q V 龙 + s \ Cjf d三 + ”, c J "自 + \ QQ/ d之=

=pu*j+ \ ssf d&,(8.9)

где использованы соотношения (8.1) и (8.7). Таким образом, поток импульса распадается на две части, одна из которых определяется как макроскопический поток импульса (плотность импульса, умноженная на скорость), а вторая часть представляет собой скрытый поток импульса, обусловленный тепловым движением молекул. Как проявится эта вторая часть при макроскопическом описании? Если взять фиксированную область газа и наблюдать за изменением импульса внутри нее, то можно обнаружить, что (при отсутствии внешних объемных сил) изменение лишь отчасти может быть приписано веществу, входящему в эту область и выходящему из нее. При этом остается вторая часть, для которой нет макроскопического объяснения, если не приписать ее действию некоторой силы, действующей па границу рассматриваемой области со стороны примыкающего газа. Иначе говоря, интеграл ^cicjf d^ появляется как вклад в тензор напряжений (и фактически единственный вклад в тензор напряжений, если газ является больцмановским, для которого действием молекул одной области на молекулы другой области пренебрегают). Поэтому запишем

(8.10)

(отождествление вполне оправдывается тем фактом, что, как будет показано ниже,卩订 играет в макроскопических уравнениях, полученных из уравнения Больцмана, ту же роль, что и тензор напряжений в уравнениях сохранения, выведенных из макроскопических соображений).

Аналогичное разбиение нужно провести для плотности энергии и потока энергии. Плотность энергии задается выражением % \ Ff d三，и достаточно лишь положить в (8.9) / — i и просум-

мировать от i = 1 до i = 3, чтобы получить

(8.11)

Снова первый член в правой части макроскопически отождествляется с плотностью кинетической энергии, тогда как второй

газа.газа.член может быть приписан «внутренней энергии»

газа.

газа.

Следовательно, если ввести внутреннюю энергию единицы массы газа е, то плотностью внутренней энергии единицы объема будет величина

9e=^\c2f dt(8.12)

Отметим, что существует связь между плотностью внутренней энергии и следом (т. е. суммой трех диагональных членов) тензора напряжений. Действительно, из (8.12) и (8.10) следует, что

Pn = \c2f ^ = 2ре.(8.13)

(Здесь и далее, если не оговаривается противное, будет использоваться условие суммирования по повторяющимся индексам от

до 3; таким образом, ри 三 2 ри. 1 След, деленный на 3, дает i = l/

изотропную часть тензора напряжений; поэтому удобно отождествлять р = рц/З с давлением газа по крайней мере в случае равновесия. Такое отождествление в случае одноатомного газа справедливо и для неравновесных состояний, но в общем случае неверно. Поэтому

Р = 2/зРс・(8.14)

Соотношение (8.14) называется уравнением состояния газа; оно позволяет выразить любую из трех величин р, р, е через две другие. Как мы видели в разд. 6 гл. I, для одноатомного идеального газа е является функцией температуры, т. е. такой величины, которая имеет свойство принимать одно и то же значение для двух систем, находящихся в контакте в состоянии равновесия. Из (8.14) следует, что р/р постоянно при постоянной температуре для разреженных одноатомных газов. Именно это свойство служит определением для идеального газа, подчиняющегося уравнению Клапейрона

p = pRT,(8.15)

где Т——абсолютная температура, a R ——постоянная (зависящая от массы молекулы согласно (1.6.27), где m — ш для однокомпонентного газа). Соотношения (8.14) и (8.15) приводят к выражению

е = ° I ?RT、(8.16)

которое использовалось в гл. I (формула (I. 6.26)).

Теперь нужно исследовать поток энергии. Полный поток энергии, очевидно, равен

Используя (8.6), получаем

=2 V d"+ W八 Cjf rf^ + у Vt 卜2f d* +

+ 4" °7 ‘力 °之 + 力 \ CiCjf 舞 + ^ \ &C2f d£ (8.18)

или с учетом (8.1), (8.7). (8.12), (8.10)

у \ &Ff d"= 〃・Р (y y2 + e) + viPii + у , &"'成・(8・19)

В результате получились три члена. Первый из них, очевидно, представляет поток энергии, обусловленный макроскопической конвекцией. Второй с макроскопической точки зрения интерпретируется как следствие работы, совершаемой напряжениями в единицу времени.

Третий член представляет собой еще один вид потока энергии. Этот добавочный член обычно называют вектором теплового потока и обозначают через q:

仇=^\&，2fd£ (8.20)

Как и в случае тензора напряжений, такое отождествление оправдывается тем, что, как будет показано в дальнейшем, q играет ту же роль, что и вектор теплового потока в макроскопических уравнениях. Однако термин «тепловой поток》 отчасти вводит в заблуждение, так как встречаются ситуации, когда 夕^ 抬 0, а температура практически постоянна всюду; в этом случае приходится говорить о тепловом потоке при постоянной температуре. Термин «неконвективыый поток энергии» был бы более подходящим для q, но он не употребляется.

Проведенные рассуждения связывают функцию распределения с величинами, которые используются при макроскопическом описании; в частности, р订，например, можно применять для расчета силы сопротивления, действующей на движущееся в газе тело, a q ——для определения теплопередачи от горячего тела к холодному, когда они разделены заполненным газом пространством.

Чтобы завершить описание этой связи и представить ее как простое математическое следствие уравнения Больцмана, выведем теперь пять дифференциальных уравнений, которым удовлетворяют рассмотренные выше макроскопические величины. Эти уравнения обычно называют уравнениями сохранения, так как физически их можно интерпретировать как уравнения, выражающие сохранение массы, импульса и энергии.

Для получения этих уравнений рассмотрим уравнение Больцмана

* + a，^ + X,^ = Q(S,(8.21)

где ради общности введен член с объемными силами, который обычно опускается. Умножим обе части уравнена月(8.21) на пять инвариантов столкновений 2a (а = 0, 1, 2, 3, 4), определенных в разд. 6, и проинтегрируем по |. Из (6.40) с g =厶 屮=巾аимеем

、2aQ(f, f)凄=0 (a = 0, 1, 2, 3, 4)(8.22)

для любой функции f. Следовательно, для любой f, удовлетворяющей уравнению (8.21),

易卜⑪她 + /\ М d"+储 \也署 昼=0 (a=0 J 2, 3, 4) (8.23)

при условии, что Xq не зависит от g.

Если взять последовательно се = 0, 1, 2, 3, 4 и воспользоваться соотношениями (8.1), (8.4), (8.9) — (8.12), (8.19) и (8.20), то будем иметь

粤 + (PS)= 0,

-^■(PU/) + ~^~^vivi + Pt» = pXj, (8.24)

* [p (4■标 + e) + -^|— [ps (^ и? + c) + PiM + ⑦]=рХ^・

Здесь использованы также соотношения

卜力饶J d三=0, J哥(df/dU成=一卜疗庶=一P6〃，

4 5 廿自\ 延_ p〃・，(8,25)

которые получаются интегрированием по частям с учетом условий lim 仲а力=°, необходимых для существования встречаю-

пхихся в данном разделе интегралов. Здесь 8订=1 при i = j н 6订=0 при i */. Уравнения (8.24)——это основные уравнения механики сплошной среды, в частности макроскопической газовой динамики. Однако в таком виде они являются пустой схемой, поскольку дают 5 уравнений для 13 величин (если принять во внимание (8.13)). Чтобы получить уравнения, которыми можно пользоваться, нужно каким-то образом выразить 〃仃 и

д» через р, из е. Или же надо вернуться к уравнению Больцмана и решать его; но если это сделано, то сделано уже все и уравнения (8.24) бесполезны!

При любом макроскопическом подходе к динамике жидкости приходится постулировать (на основе экспериментов или правдоподобных рассуждений) некоторые феноменологические соотношения (так называемые определяющие уравнения) между pij, qi, с одной стороны, и р, и厶 е ——с другой. В случае газа или вообще жидкости существуют две хорошо известные модели: жидкость Эйлера (или идеальная):

Р“ = Р> 小幻=。 (8.26)

и жидкость Навье ——Стокса ——Фурье (или вязкая и теплопроводная) :

где к и X ——коэффициенты вязкости (обычно пренебрегают так называемой объемной вязкостью, тогда 入=—2/зц), а 冗一коэффициент теплопроводности (卩，X и х могут быть функциями плотности р и температуры Т).

При микроскопическом описании таких соотношений вводить не нужно; единственная неизвестная функция / содержит всю информацию о плотности, скорости., температуре, напряжениях и тепловом потоке! Конечно, это возможно только потому, что / является функцией семи переменных вместо четырех; макроскопический подход (пять функций четырех переменных) проще, чем микроскопический (одна функция семи переменных), и если он может быть применен, то его следует предпочесть. Поэтому одна из задач теории, основанной на уравнении Больцмана, состоит в получении некоторой приближенной макроскопической модели для газа при обычных условиях (в частности, соотношений (8.27) с ц,九，х, выраженными через молекулярные константы) и нахождении пределов применимости подобной модели. Эта часть теории будет рассматриваться в гл. V.

Существуют, мнai^Q^^)е.жи^ш ким разрежением, что никакая общая макроскопическая теория в обычном смысле невозможна (определяющие уравнения типа (8.26) и (8.27) теряют силу); в этом случае нужно решить уравнение Больцмана, а не только использовать его для обоснования макроскопических уравнений.

Заметим, что если в (8.1), (8.3), (8.12) подставить максвелловскую функцию распределения (7.8), то окажется, что

входящая в выражение (7.8) постоянная v действительно представляет собой массовую скорость, а

а = 3 (4е『=(2RT)”4 = р (%咽〜=р (2冗RT)一力・(8.28)

Далее,

Рц ==仇=0,(8.29)

так что газ с максвелловским распределением удовлетворяет определяющим уравнениям идеальной жидкости (8.26).

Сказанное выше можно распространить на случай смеси газов. При этом для каждого компонента имеем все определенные выше величины и, кроме того, можем рассматривать суммарные или средние величины для всей смеси. В случае многоатомных газов полная внутренняя энергия на единицу массы, с, равна сумме з/zRT (поступательной энергии) и средней внутренней энергии молекулы £ (вращательной и колебательной энергии).

При отсутствии реакций в газе закон сохранения массы выполняется для каждого компонента, но уравнения сохранения импульса и энергии справедливы только для суммарных величин. Если в газе протекают реакции, то даже уравнение сохранения массы для отдельного компонента не выполняется.

Необрезанные потенциалы и скользящие столкновения.

Уравнение Фоккера—Планка

В этом разделе кратко обсуждаются некоторые вопросы, связанные с использованием необрезанного потенциала, и в частности эффект скользящих столкновений.

Эти вопросы возникают, если включить в уравнение Больцмана влияние дальнодействующнх сил. Можно было бы модифицировать рассуждения разд. 4, допуская, что производная dU/dr отлична от нуля при г〉о; тогда появляются дополнительные члены, точно так же, как в уравнениях (4.2), (4.3), (4.4) (однако с отличной от нуля правой частью). Интеграл, определяющий X, берется теперь по области |х — х*| > о:

X (х) =\р(х*, /)Х(х, xjdx*,(9.1)

I х-х* |>о

где р = тп ——массовая плотность, определенная формулой (8.1). Если X ——центральная сила, величина которой меняется как Iх — х*|-“ при |х — х*| ->оо, то этот интеграл пренебрежимо мал для больцм а невского газа при условии, что 儿〉4. Действительно, если мы имеем | Х(х, х*) | W gq"-i/|x——х* 1rz для

|х —х*|>о, где а ограничено при о—>0, и Л = тах( | р(х)— .X, X*

—р(х*) |/| X — X* I), ТО

|Ху^р(х) J Xdx* +3 \ (р* —p)Xdx* & г > ог > о

& 产" =(9⑵

где г = Iх ——х*|, М = Nm — полная масса газа и , X dx* = О для центральной силы.

Из (9.2) следует, что | Х| ->0 при ^cг3->0, если п > 4. Заметим, что это условие достаточно, но может оказаться не необходимым, так как наши грубые оценки могли помешать возможным сокращениям. Во всяком случае, условие /г > 2 является необходимым, и это исключает, например, кулоновские силы. В последнем случае, как упоминалось раньше, коллективное поведение, описываемое власовским членом X-(дР/д^), очень важно. Фактически власовский член достаточен для описания влияния далы-юдействующих сил на коротких интервалах времени, но не годится для изучения поведения на больших интервалах времени и на больших расстояниях. Аналогичное замечание справедливо и в случае нейтрального газа, так как, хотя взаимодействия на больших расстояниях формально пре- небрежимы, они могут быть неравномерно малыми и дать ощутимый, а возможно, и доминирующий эффект, когда время и расстояние стремятся к бесконечности (как в е + е~\ где £《 1 и / оо).

Лучший способ учесть эффект далънодействующих сил таков: надо рассматривать их влияние статистическим образом, основываясь на том, что они производят непрерывную последовательность малых и почти случайных изменений скорости. Это можно сделать следующим образом. В уравнении движения частицы с координатами х и скоростью | сила на единицу массы заменяется случайно изменяющейся силой, средние свойства которой отражают влияние других частиц. Запишем

今=Х(/, х, §(9.3)

и предположим, что, если R = X(Z)——средняя сила в момент времени /, то не существует корреляции между X(/i)— R(^) и Х(%2)—R(%2) при % отличном от /2- Иначе говоря, сконцентрируем все корреляции (которые имеют место на некотором временном интервале) в один момент времени, так что

[X (幻-X (幻][X (/2) 一 X (切]=2D5(厶一 /2),(9.4)

где черта означает усреднение, a D — тензор с компонентами >§, называемый тензором диффузии по причинам, которые выяснятся впоследствии. Средняя сила R = X должна равняться нулю для частицы, скорость которой равна массовой скорости соседних частиц. Если же это условие не выполняется, то следует ожидать среднего изменения 三 и, следовательно, R = =R(|)方 0. Для среднего изменения 自 за временной интервал А/ уравнение (9.3) дает

纯=\ Х(т, х, §dt.(9.5)

t

Отсюда

Нт lim 与 \ X(q x, &dt = R(x, §(9.6)

И

i + M

Hm 气譬=lim ± \ X(q, x, 3X(3, x, Д/->ооJ

= 2D(x, §•(9.7)

Высшие корреляции, такие, как А|А|А|Д|, являются величинами более высокого порядка относительно А/ по крайней мере при предположении о гауссовском распределении Х(/, х, |) около среднего значения R (х, |).

Обозначим через Т (х, х‘，|,匕 А/) плотность вероятности того, что молекула, находящаяся в точке х‘ и имеющая скорость У， в результате рассматриваемого случайного движения через время А/ будет находиться в точке х и иметь скорость | (следовательно, Т определяется уравнением (9.3) по крайней мере в принципе). Тогда функция распределения f в момент / + А/ выражается через f в момент / так:

f(x, g, t + ^)=\T (х, К 三，Г zW) f (х‘，匕 /) dx‘ dR (9.8)

Соотношения (9.5) и (9.7) эквивалентны следующим:

Km Е 卜三 一 У) Т (х, х；三，Г, А/)會 dx = R 便，Г),

lim 与、但一 F)(三 一 У) Т (х, х‘，自，F, ДО 成 dx = 2D (х‘，Г),

Ит(^Г)Х(9・9)

ХТ(х, х；之，F,zv)d自 dx = 0S>2),

Кроме того, поскольку dx/dZ =自，

JEo Е К* 一 х‘) Т (х, х‘，三，g А/)成 dx =匕

lim 与〈(x — x‘) (x — xl (x — x) X

X т(X, к 三，匕 AZ)成 dx = 0 仇 > 1).(9. 0)

Наконец, из самого смысла величины Т следует, что

、Т(х, х‘，三，匕 zV)dxdg= 1.(9.11)

Если ср(х, § —произвольная гладкая функция, то

\<р(х, § 吟〉)dxd%

=Iim ± } \ $(X，自)f (х, I, / 4- Af) dx d& —

—\ 屮(X, §f(X, w, 0 dx 闺.(9.12)

Используя равенство (9.8) и разложение Тейлора по х［ 自‘, находим

\©(х, §〃х, §, / +А/) dx dl =

u\<P(x,§T(x, x［三，К A/)f(xz,匕 /)dx'dydxd^ =

= \<P(K F)f (K 匕 /)改眼 +

+ 加，［詹• F 十碧• R (Г) + ^r • D (Sp (x‘，匕 /)改阳 +

+ o(/V),(9.13、

где произведение произвольных тензоров А и В определяется так: А- В = AijBji, а о (А/) означает члены, стремящиеся к нулю быстрее, чем АЛ Заменив в (9.13) х_ 三‘ на х, |, уравнение (9.12) можно записать в виде

、①(х, §*dxdW =

=\ ［黑 Y +患• R(x，^ + lf<- D(x，矶 f (x, ?, t)dxdj

=) ［T •亲一击• *力+蕊•①川屮(X, 3厶港， (9.14)

где последнее выражение получается в результате соответствующего интегрирования по частям. В силу произвольности Ф(х,三)из (9.14) вытекает, что j удовлетворяет следующему уравнению (обобщенному уравнению Фоккера — Планка в пространстве скоростей):

祭+自，3 =為.(Df)一崇•(*(9.15)

Первый член в правой части описывает диффузию в пространстве скоростей и именно по этой причине D назван тензором диффузии.

Поскольку рассматриваемая частица произвольна, а спла X создается другими частицами, не должно быть каких-либо потерь импульса и энергии в среднем; т. е. должны выполняться соотношения

\ 自•(力)一击• (Rf)] dl = 0,^[矗•(屮)一击・(呐港=。，

которые после интегрирования по частям принимают вид

\ Rf d^ = 0,

Г「(9.17)

^(TrD)f^ + 昼=0,

где Tr(D)=九=О” + Z)22 + &з — след D. Уравнения (9.17) не могут удовлетворяться для любых 力 если R и D не зависят от самой функции / (тривиальный случай R = 0, Тг D = 0 исключается). Это не только допустимо, но и необходимо, так как случайная сила Х«) зависит от распределения частиц.

Соображения изотропии ведут к соотношениям

D = ZM, R =— 尸低一V),(9.18)

где I ——фундаментальный тензор (единичная матрица), v —— массовая скорость газа, определенная формулой (8.3), а О н 尸——соответствующие функции от х и || ——v|. В этом случае уравнение (9.15) принимает вид

* + * .区=& ("力 + + •底-V)f丹， (9.19)

где Ag ——оператор Лапласа в пространстве скоростей. Особенно простой вариант получается в том случае, когда D и F не зависят от 三.Тогда первое из уравнений (9.17) выполняется тривиально, а второе ——если воспользоваться определением темпера-

туры Т (см. разд. 8)—дает

D = RTF・(9.20)

При выводе уравнения Больцмана для молекул, взаимодействующих посредством центральной силы, можно повторить рассуждения разд. 2, 3 и 4, за исключением того, что эволюция ве-

N

ЛИЧИНЫ 尸m = 2 [f (X厶 J, /)/m] между двумя последователь- i = 1

ными столкновениями включает диффузию и трение в пространстве скоростей, описываемые уравнением (9.15). Это означает, что член того же типа, что в правой части последнего уравнения, должен добавляться и в правую часть уравнения Больцмана (4.16).

Еще один способ учета взаимодействий между далекими молекулами состоит в допущении о -> оо в столкновительном операторе Больцмана, что приводит к распространению анализа парных столкновений на расстояния, где он, строго говоря, не применим. На первый взгляд это кажется очень странным, потому что о, как определено выше, является величиной порядка 10-8 см и при выводе уравнения Больцмана использовался предельный переход ст -> 0. Однако можно оправдать и предположение о=8； дело в том, что о входит в (4.16) только через В (0, V) и увеличение о означает, что учитываются «более скользящие» столкновения. Эти добавляемые столкновения настолько скользящие, что они едва отклоняют молекулы от их первоначальных путей; молекула, претерпевающая такое скользящее столкновение в определенном состоянии движения, выходит из него практически в том же самом состоянии, и, следовательно, вклад от таких столкновений в интеграл в (4.16) практически равен нулю (f'f： ^ ff^. Иначе говоря, если согласиться с этим рассуждением, то нужно сказать, что при произвольном увеличении о, и в частности при а -> оо, мы ничего не изменяем, поскольку просто добавляем одно и то же большое число к каждому из двух членов разности

(N力少(8/)龙*成^)一(m ffB (0, 1/煦厶吩.(9.21)

Насколько велики эти числа, легко усмотреть из того, что для любого безграничного потенциала эти два интеграла расходятся! Для наглядности полезно вспомнить, что, например, второй интеграл можно представить (см. 4.14) в виде

о 2л

\drd8 = f^[\f (J 心* —自 I 畴]故2,(9.22)

о и

в котором расходимость при а -> оо совершенно очевидна.

Верно, что, хотя оба интеграла расходятся, если не разделять их и записывать столкновительный член, как в (4.16), то результат конечен (для достаточно гладких ，). Однако это еще не оправдывает предельного перехода о -> оо; такое оправдание должно быть основано на доказательстве, что скользящие столкновения, соответствующие очень большим значениям прицельного параметра, правильно описывают эффект большого числа одновременных скользящих взаимодействий. В этом случае интеграл столкновений должен содержать в себе эффекты, которые ранее были описаны с помощью члена Фоккера ——Планка. Это можно показать и формально, замечая, что для малых отклонений (0 -> л/2), |х близко к I，а Е к &, и пользуясь тем, что \ d^ ⑥ V \ (円：一疗*) В (0, V) dg d® ds =

=W 屮(厂匸一FFJ 3 (8, Q 成唸 de de =

=V de 厶［V 哂什尹(0, V)成 dg — U 哂f# (0, V)恋d&］= =V dё 公［V q/疗产(6, V)成提* 一 V 出*B (0, V)港悔］=

=V V 6 — 屮)ff.B (0, V) dWd£ d® 也(9.23)

где ср == ср (^) — достаточно гладкая функция, q/ = cp(?) и переменные интегрирования 自 и g в интеграле, содержащем f,f，, заменены на g,三； причем d^ d^ = d^ d^ (см. разд. 4 гл. I, а также разд. 6 настоящей главы). Разложение в ряд Тейлора дает

6一中=負一§，崇+ ^停一3它一9・蟲 +

+。(1 WF), (9.24)

где 0(|三’——1|) обозначает члены, которые для дважды дифференцируемой функции f являются величинами выше второго порядка по 1^ ——1| при IV ——1| -> 0. Для скользящих столкновений |У ——1| очень мало, и этими членами можно пренебречь. Подставляя выражение (9.24) в (9.23), находим

卜(自""(厂匚一兑)3(3丿)这/9混=

= \［R 闾•需+D(9•备］=

=\ 屮［~^Г .(")—託.(Rf)］唸(9.25)

где интегрирование по 0 относится только к скользящим столкновениям (т. е. проводится по интервалу от 冗/2 ——tj до л/2, П c n/2) и

(9.26)(9.26)R©= J^(V-^)f,B(e, v)d^Mds,2D (9 =，U修一訴胃一®f*B (3丿)吗de也

(9.26)

(9.26)

В силу произвольности 屮 из (9.25) вытекает, что вклад скользящих столкновений имеет в точности форму члена Фоккера——Планка из уравнения (9.15). Этот вывод дает также точные выражения для R и D, которые в соответствии со сказанным выше оказываются зависящими от f. Те же самые выражения получатся из формул (9.6) и (9.7), если учесть, что частота столкновений данной молекулы с молекулой, имеющей скорость между 三* и 三* 十 d自*, при углах столкновения между 0 и 0 + d0, 8 и е + de равна

//(3 喝 d®dE.

Приведенные выражения для R и D можно упростить, заметив, что в системе отсчета с осью г, направленной вдоль V,

Iх — I = — п (п • V)=

=—V (sin 0 cos 0 cos £, sin 0 cos 0 sin e, cos2 0).(9.27)

Следовательно,

л/2 2л

\ de J d^B^, у)(г-Ю =

几/2-n0

л/2

二一V ］片(3 V)(o, 0, cos2 9) d® = — VF (V),(9.28)

л/2 -Л

где

n/2

F(V)= I cos2 ев (e, V)M,(9.29)

n/2-n

и» значит,

R = 一，VF ") f (U 竭 (V =三 一 t).(9.30)

Аналогично

л/2 2л

\ \ (F-S 停一 §8(仇 I/)dBdE =

л/2 —” 0

л/2 /72 Sin2 0=U j0n/2-八0л/2 /72 Sin2 0=U j0n/2-八000 \

л/2 /72 Sin2 0

=U j0

n/2-八0

л/2 /72 Sin2 0

=U j0

n/2-八0

7г sin2 90 I cos2 05 (0, V) dQ =

0 cos?"

л/2

=(У21 - VV)1 J sin2 6 cos2 ев (6, V) de +

л/2 — П

л/2

+ VV \ cos46B(6, V)d6.(9.31)

Л/2 —T]

Интеграл, содержащий cos4 0, имеет порядок величины, уже отброшенной выше, а интеграл, который содержит sin2 0 cos2 0= =cos20 ——cos40, отличается от F(V) на гакую же пренебрежимо малую величину. Следовательно, в рамках принятого прнблнже- ния второе из выражений (9.26) принимает вид

2Da)= ^(V4^VV)F(V)f^d^ (V = W — @. (9.32)

Заметим, что R и D, заданные формулами (9.30) и (9.32), удовлетворяют уравнениям (9.17).

Действительно, имеем

^fdl==~^^~^)F(\l---^\)f^f^dld^ = Qt (9.33)

так как интеграл меняет знак при замене 自二 J

Далее,

卜・仪建=一^ Y — £)尸(I 鼻一 w」)f@)f(£)dWd£ = ^~^^-^^-^f^f^)F(\l-^)\dldl =

= -Tr(D),(9.34)

где для симметризации интеграла использована та же замена, а для вычисления Tr(D) использовано соотношение V- V = =V2 = Tr(V2I —VV)/2.

Для степенных потенциалов из (9.29), (5.21) и (5.23) (при п > 2) имеем

尸 ")=h-5)/(”])0 (产2/")),(9.35)

откуда следует, что D и R малы при 几 > 2 (“《 л/2). Следовательно, скользящими столкновениями формально можно пренебречь (при 几 > 2) при условии, что / ——достаточно гладкая функция и достаточно быстро убывает при | -> оо. Тем не менее скользящие столкновения могут оказать влияние на поведение газа при больших значениях времени и расстояния. Соответствующие масштабы длины и времени при этом имеют порядки /^-2+2/(п-1)и /^-2+2/(n-iy^ Где / ——средняя длина свободного пробега, а с——подходящая средняя скорость； экспериментальная проверка эффектов при таких масштабах, видимо, очень трудна, поэтому скользящие столкновения можно опустить, если мы не собираемся обсуждать столь необычные эффекты. В этой связи нужно также указать, что разложения, использованные выше для вывода члена Фоккера ——Планка из уравнения Больцмана, не являются равномерно пригодными.

Таким образом, в большинстве задач включение дальнодей' ствующей части потенциала (при условии, что показатель сте~ пени в выражении силы при г-> оо больше двух, что исключает кулоновские силы) не должно иметь большого значения. Физический смысл соответствующей части оператора столкновений, однако, уже не тот, что при выводе уравнения Больцмана, так как ее нужно интерпретировать как описание многих одновре~ менных отклонений вследствие многочастичного взаимодействия, а не описание двухчастичных столкновений. В самом деле, строгий анализ на основе бинарных столкновений не имеет смысла для расстояний больше чем 〃-%, где п — численная плотность. Чтобы быть последовательными, необходимо принять ограничение о V о。^ 几-% [18]. Именно малость отклонений позволяет использовать бинарный анализ, так как можно применить принцип суперпозиции и описать результат многочастичного взаимодействия как линейную комбинацию результатов нескольких двухчастичных взаимодействий.

Другой подход к теме этого раздела, а также дополнительные подробности для случая кулоновских сил можно найти в работах [19—21].

Модельные уравнения

Одна из главных трудностей, возникающих при решении уравнения Больцмана, обусловлена сложной структурой интеграла столкновений (6.1).

Поэтому не удивительно, что для столкновительного члена были предложены другие, более простые выражения. Они известны как модели интеграла столкновений, и любое уравнение больцмановского типа, в котором интеграл столкновении

заменен его моделью, называется модельным уравнением или кинетической моделью.

Идея, лежащая в основе такой замены, состоит в том, что многие детали двухчастичного взаимодействия (отраженные в столкновительном члене) вряд ли существенно влияют на значения многих экспериментально измеряемых величин. Иначе говоря, если речь идет не об очень тонких экспериментах, то еле* дует ожидать, что тонкую структуру оператора Q (f J) можно заменить смазанным изображением, основанным на более простом операторе / (/), который сохраняет только качественные и средние свойства истинного оператора столкновений.

Наиболее известная модель интеграла столкновений обычно называется моделью Бхатнагара, Гросса и Крука (БГК-мо- делью), хотя Веландер предложил ее независимо примерно в то же самое время, что и упомянутые авторы [22, 23]. При построении БГК-модели (и более сложных моделей) полагают, что оператор столкновений обладает следующими основными свойствами.

Истинный оператор столкновений Q(Д f) удовлетворяет условию (8.22); поэтому и модель /(f) должна удовлетворять условиям

J W(f)^-0 3 = 0, 1, 2, 3, 4). (10.1)

Столкновительный член удовлетворяет неравенству (7.3). Значит, и для / (f) должно выполняться условие

，lnf7 (f)^CO, (10⑵ где равенство достигается тогда и только тогда, когда f—максвелловская функция распределения.

Как будет видно в гл. III, второе свойство выражает стремление газа к максвелловскому распределению. Это свойство, пожалуй, проще всего учесть, предположив, что средний з巾、 фект столкновений сводится к изменению функции распределения f(I) на величину, пропорциональную отклонению f от макс- веллиана ①(&)】)• Тогда, если v не зависит от 自,получается следующая модель:

= (Ю.З)

Согласно (7.8) и (8.28), максвеллиан содержит пять свободных скалярных параметров (р, v, Т); однако они фиксируются условиями (10.1), из которых следует

\ 2a①低)或=\ 2 J (自)* (10.4)

Для удобства【штате*兄 термин «максвеллиан» (Maxwellian) (вместо слов «максвелловская функция распределения») будет использоваться иногда и в русском переводе. — Прим. ред.

так что в любой точке пространства и в любой момент времени функция Ф (§) должна давать точно те же плотность, скорость и температуру, что и функция распределения f(g) (см. (8.1), (8.3), (8.12), (8.16)). Так как последняя, вообще говоря, изменяется во времени и пространстве, то это справедливо и для параметров функции ①(自)，которая соответственно называется локальным максвеллианом. «Частота столкновений» v на этом этапе ничем не ограничивается и должна определяться из дополнительных соображений; заметим, однако, что и v может быть функцией локального состояния газа и, следовательно, изменяться во времени и пространстве.

Нужно еще доказать, что БГК-модель удовлетворяет условию (10.2), причем знак равенства достигается тогда и только тогда, когда f — максвеллиан. Имеем

Jin fJ ①成=卜口(〃①)/ (f) dg+Jin Ф/ (f) dW =

= JvO [(l-f/Ф) ln(f/O)] ^ (10.5)

где интеграл, содержащий In Ф, равен нулю, потому что эта величина представляет собой линейную комбинацию функций 2a и выполняются условия (10.1). Тогда из соотношения (7.6) для Л = f/Ф следует, что последний интеграл в (10.5) неположителен; он равен нулю в том и только том случае, когда f — Ф, т. е. когда f — максвеллиан, что и требовалось доказать.

Видно, что нелинейность модели /(f) много хуже, чем нелинейность столкновительного члена Q (/,/)； действительно, последний просто квадратичен по 厶 в то время как J(f) содержит f в числителе и знаменателе экспоненты (v и Т, входящие в Ф, являются функционалами от f, согласно (8.3), (8.12) и (8.16)).

Основное преимущество БГК-модели столкновительного члена состоит в том, что для любой задачи можно получить интегральные уравнения для макроскопических переменных р, v, Т (см. гл. VII); эти уравнения существенно нелинейны, но упрощают некоторые итерационные процедуры и делают возможным решение интересных задач на ЭВМ. Другое преимущество БГК- модели проявляется при использовании ее в линеаризованной форме (см. гл. IV).

БГК-модель сохраняет большинство основных свойств интеграла столкновений Больцмана, но не лишена и недостатков. От некоторых из них можно избавиться путем соответствующих модификаций, правда, ценой простоты модели. Первая модификация состоит в том, чтобы допустить зависимость частоты столкновении от скорости молекулы, не оставляя ее просто локальной постоянной; это изменение диктуется тем обстоятельством, что из расчетов частоты столкновений для физических

моделей молекул (твердых сфер, потенциалов конечного радиуса действия) вытекает зависимость v от скорости молекул, и эта зависимость, по-видимому, важна для больших скоростей.

Формально эта модификация совсем проста [24]; нужно только допустить зависимость v от ^ (точнее, от абсолютной величины с тепловой скорости с, определенной формулой (8.6)), требуя в то же время, чтобы условия (10.1) по-прежнему выполнялись. Все основные формальные свойства, включая (10.2), сохраняются, но плотность, скорость и температура в максвел- лиане Ф теперь уже являются не локальными плотностью, скоростью и температурой газа, а некоторыми фиктивными локальными параметрами, связанными с пятью функционалами /, отличными от р, V, Г; это следует из того, что (10.1) теперь дает

卜(с) 2a①楚=卜(c) %f dW(10.6)

вместо (10.4).

Другой тип коррекции БГК-модели получается при выводе модельного уравнения, приводящего к таким же уравнениям Навье ——Стокса, что и полное уравнение Больцмана. Действительно, как будет показано в гл. V, БГК-модель дает значение числа Прандтля Рг = 1, т. е. значение, которое отличается от получаемых и из уравнения Больцмана, и из эксперимента для одноатомных газов (которые, согласуясь друг с другом, дают Рг ~ 2/3). Чтобы получить правильное значение числа Прандтля, требуется дополнительный подгоночный параметр, кроме уже имеющейся частоты v. Это ведет [25, 26] к обобщению БГК-модели путем подстановки локального анизотропного трехмерного гауссовского распределения вместо локального максвеллиана (который представляет собой изотропное гауссовское распределение) :

Гз-

① = P冗T2(detA产exp — £ 4/•(畠•一叫・)怎一и,)

L/=i」(10.7)

A = П 4/ II = II (2RT/Pr) %• — 2 (1 — Pr) %・/(p Pr)尸.

Если положить Pr = 1, то мы вернемся к БГК-модели. Недостатком модели (10.7) (называемой ЭС-моделыо, или эллипсоидной статистической моделью) является то, что для нее не удалось доказать (или опровергнуть) справедливость неравенства (10.2). Предлагались также другие модели с различными вариантами Ф [27, 28], но, за исключением линеаризованных задач (см. гл. IV), они не представляют интереса из-за крайне сложной для решения формы.

Еще одна модель дается столкновительным членом типа Фоккера —Планка в форме (9.18), упрощаемой предположением.

что D не зависит от скорости; тогда в силу (9.20) F также не зависит от скорости и модель интеграла столкновений записывается в виде

з

｛證+W8)

где Vk (й — 1, 2, 3)——компоненты (локальной) массовой скорости, а Т——(локальная) температура газа. По-видимому, впервые эту модель предложили Фриш, Хелфанд и Лебовиц [29] в связи с кинетической теорией жидкостей, но она хорошо описывает и скользящие столкновения в газе, как было показано в разд. 9. Интересно отметить, что если D считать пропорциональным давлению р = ®RT, то в (10.8) будет тот же тип нелинейности (т. е. квадратичный), что и в полном уравнении Больцмана; это представляется преимуществом по сравнению с БГК-моделыо.

Идею кинетических моделей можно естественно распространить на смеси и многоатомные газы [27, 30, 31]. Типичный столк- новительный член типа БГК имеет вид

пп

厶亿)=2 /订(勿=Z 5 (师一》(10.9)

i = 1i = 1

где Vij ——частоты столкновений, a ①订——максвеллианы, определяемые из соответствующих условий, обобщающих условия (10.1). “

Приложение

В этом приложении будет показано, что если Р ——плотность вероятности, то величина

"(p) = 一百予=一 \pinP如 (\p如=1) (n. 1) (где dp,——элемент объема в пространстве М событий, плотность вероятности которых равна Р) является подходящей мерой правдоподобия плотности Р. Иначе говоря, если взять «случайно» несколько функций Р, положительных и нормированных, то большинство из них будет близко к плотности вероятности Р, для которой величина И (Р) максимальна. Чтобы придать смысл слову «случайно», разобьем пространство М на /г ячеек йг объема pit и заменим плотность вероятности Р множеством чисел Рг, представляющих собой средние от Р по ячейкам:

(П. 2(П. 2

(П. 2

(П. 2

Возьмем теперь ^ предметов и распределим их случайным образом по ячейкам. Если N? из них окажутся в ячейке Qi (°WM W"), то будем считать, что число Р^ = NJ(N^i) дает вероятность для ячейки й^. И обратно, заданную плотность вероятности 户 можно сколь угодно точно представить при помощи распределения ^ предметов по п ячейкам, выбирая /г и N достаточно большими. Однако для приближения заданного порядка существует только конечное, хотя и очень большое, число возможных распределений. Если распределять предметы случайно, то существует 步(「)= М/(М!М!…^!) способов реализации распределения Р = (Р^ Р?, Р^).

Действительно, первое множество N、предметов можно выбрать из N предметов

способами, второе множество ^2 предметов из остальных ^ — ^1 предметов — ( м 丿 способами и т. д., так что распределение (Pi, ..., PQ может быть реализовано

(乂 一 ("1 + • • • + — N\ o\ Nn 丿=MIMI"九! W

способами, как и утверждалось. Используя формулу для N-Й степени полинома, общее число возможных распределений можно представить в виде

£^(р= 2 "号；卞=а +1 г(口・ $ ^1,…，N几 п членов

Следовательно, за меру правдоподобия для дискретного распределения (Pi,。2,Рп) мы имеем право принять величину 诊(P)/〃n или ее натуральный логарифм, деленный на ^ (чтобы получить конечный предел при ^ -> оо)：

"(Р)= Уп(м!М! Н5)

Вычислим предел при ^ -> оо, который должен дать выраже^ ние для "(Р), когда R принимает все возможные вещественные значения. При N т со справедлива следующая оценка:

ln^! = ^ln^-^ + o (N), (П. 6)

где о(yV) означает такую величину, что отношение о(^)/N стремится к нулю при ^ -> оо. Эта оценка следует из формулы Стирлинга [32, 33] или из неравенства

2 <2 <(П.7)(П.7)где е = 2,71828 В свою очередь неравенствагде е = 2,71828 В свою очередь неравенства...—основание натуральныхнеравенство (П.7) вытекает из...—основание натуральныхнеравенство (П.7) вытекает излогарифмов, элементарного(П.8)логарифмов, элементарного(П.8)Действительно, положим aN = ^!e^/^^;Действительно, положим aN = ^!e^/^^;〃n+i/(N+1) < aN/N в силу (П.8), чается по индукции, поскольку а\ = ставляя оценку (П.6) в соотношение〃n+i/(N+1) < aN/N в силу (П.8), чается по индукции, поскольку а\ = ставляя оценку (П.6) в соотношениетогда 0^+1 > aN итогда 0^+1 > aN ии неравенство (П.7) полу- е〉2 и 611/1 = е V 3. Под- (П.5), находими неравенство (П.7) полу- е〉2 и 611/1 = е V 3. Под- (П.5), находим〃(P) = EN - 1 一 £今(ед/, _ 1)~1пп + -Ц^- =i = 1〃(P) = EN - 1 一 £今(ед/, _ 1)~1пп + -Ц^- =i = 1i = li = lO(MN 一O(MN 一=一 £ PNi In (2研)+；(П. 9)здесь учтены также соотношения £ N尸 N и Р» = NJ (N@i). В пределе N-> oo последним членом в (П.9) можно пренебречь.Полагая /г-> оо,卩力一> 0, всегда можно добиться того, чтобы 〃卩》~>口》 (суммарный объем 口 пространства событий ради простоты считается конечным); для этого достаточно взять 卩》= =R/几. Тогда (А】，〃2, •.., Рп) стремится к непрерывной плотности вероятности Р и выражение (П.9) принимает вид"(Р) = 一 \ Р 1口 (夕田 ЙЦ = - j Р In Р rfjLL - In Д J Р d|i ==—\ Р Е Р 如一In jl.(П. 10)Эта формула совпадает с (П.1), если пренебречь несущественной аддитивной постоянной (которая к тому же обратится в нуль, если меру dp. нормировать так, что 卩=1).Отметим одну трудность. Если произвести замену переменных, описывающих пространство событий, то d\i превратится в d^ = Jd^, где d^C ——элемент объема в новых переменных, а / ——якобиан перехода от старых переменных к новым. Тогда соответствующая плотность вероятности в новых переменных=一 £ PNi In (2研)+；(П. 9)здесь учтены также соотношения £ N尸 N и Р» = NJ (N@i). В пределе N-> oo последним членом в (П.9) можно пренебречь.Полагая /г-> оо,卩力一> 0, всегда можно добиться того, чтобы 〃卩》~>口》 (суммарный объем 口 пространства событий ради простоты считается конечным); для этого достаточно взять 卩》= =R/几. Тогда (А】，〃2, •.., Рп) стремится к непрерывной плотности вероятности Р и выражение (П.9) принимает вид"(Р) = 一 \ Р 1口 (夕田 ЙЦ = - j Р In Р rfjLL - In Д J Р d|i ==—\ Р Е Р 如一In jl.(П. 10)Эта формула совпадает с (П.1), если пренебречь несущественной аддитивной постоянной (которая к тому же обратится в нуль, если меру dp. нормировать так, что 卩=1).Отметим одну трудность. Если произвести замену переменных, описывающих пространство событий, то d\i превратится в d^ = Jd^, где d^C ——элемент объема в новых переменных, а / ——якобиан перехода от старых переменных к новым. Тогда соответствующая плотность вероятности в новых переменных

2 <

2 <

(П.7)

(П.7)

где е = 2,71828 В свою очередь неравенства

где е = 2,71828 В свою очередь неравенства

...—основание натуральныхнеравенство (П.7) вытекает из

...—основание натуральныхнеравенство (П.7) вытекает из

логарифмов, элементарного

(П.8)

логарифмов, элементарного

(П.8)

Действительно, положим aN = ^!e^/^^;

Действительно, положим aN = ^!e^/^^;

〃n+i/(N+1) < aN/N в силу (П.8), чается по индукции, поскольку а\ = ставляя оценку (П.6) в соотношение

〃n+i/(N+1) < aN/N в силу (П.8), чается по индукции, поскольку а\ = ставляя оценку (П.6) в соотношение

тогда 0^+1 > aN и

тогда 0^+1 > aN и

и неравенство (П.7) полу- е〉2 и 611/1 = е V 3. Под- (П.5), находим

и неравенство (П.7) полу- е〉2 и 611/1 = е V 3. Под- (П.5), находим

〃(P) = EN - 1 一 £今(ед/, _ 1)~1пп + -Ц^- =

i = 1

〃(P) = EN - 1 一 £今(ед/, _ 1)~1пп + -Ц^- =

i = 1

i = l

i = l

O(M

N 一

O(M

N 一

=一 £ PNi In (2研)+；(П. 9)

здесь учтены также соотношения £ N尸 N и Р» = NJ (N@i). В пределе N-> oo последним членом в (П.9) можно пренебречь.

Полагая /г-> оо,卩力一> 0, всегда можно добиться того, чтобы 〃卩》~>口》 (суммарный объем 口 пространства событий ради простоты считается конечным); для этого достаточно взять 卩》= =R/几. Тогда (А】，〃2, •.., Рп) стремится к непрерывной плотности вероятности Р и выражение (П.9) принимает вид

"(Р) = 一 \ Р 1口 (夕田 ЙЦ = - j Р In Р rfjLL - In Д J Р d|i =

=—\ Р Е Р 如一In jl.(П. 10)

Эта формула совпадает с (П.1), если пренебречь несущественной аддитивной постоянной (которая к тому же обратится в нуль, если меру dp. нормировать так, что 卩=1).

Отметим одну трудность. Если произвести замену переменных, описывающих пространство событий, то d\i превратится в d^ = Jd^, где d^C ——элемент объема в новых переменных, а / ——якобиан перехода от старых переменных к новым. Тогда соответствующая плотность вероятности в новых переменных

=一 £ PNi In (2研)+；(П. 9)

здесь учтены также соотношения £ N尸 N и Р» = NJ (N@i). В пределе N-> oo последним членом в (П.9) можно пренебречь.

Полагая /г-> оо,卩力一> 0, всегда можно добиться того, чтобы 〃卩》~>口》 (суммарный объем 口 пространства событий ради простоты считается конечным); для этого достаточно взять 卩》= =R/几. Тогда (А】，〃2, •.., Рп) стремится к непрерывной плотности вероятности Р и выражение (П.9) принимает вид

"(Р) = 一 \ Р 1口 (夕田 ЙЦ = - j Р In Р rfjLL - In Д J Р d|i =

=—\ Р Е Р 如一In jl.(П. 10)

Эта формула совпадает с (П.1), если пренебречь несущественной аддитивной постоянной (которая к тому же обратится в нуль, если меру dp. нормировать так, что 卩=1).

Отметим одну трудность. Если произвести замену переменных, описывающих пространство событий, то d\i превратится в d^ = Jd^, где d^C ——элемент объема в новых переменных, а / ——якобиан перехода от старых переменных к новым. Тогда соответствующая плотность вероятности в новых переменных

будет Р‘ = PJ (такая, что РУ* = Pd[i и, следовательно, ，口出=1), а "(Р) примет вид

〃(「) = — \ P'm(p〃)dJ=— , P」nPdk+，卩 ln/dj =

= 〃(『)+，MnJdK(П. 11)

Если якобиан J постоянный, то величина 〃'(Р‘) отличается от 〃(Р) на константу и, следовательно, эквивалентна ей как мера правдоподобия (в частности, если /=1, то Н「(Р)= = 〃(Р)). Если / не постоянный, то Н' (Р') и Н (Р) не эквивалентны. Значит, формула (П.1) имеет смысл только при использовании специального класса переменных, такого, что два варианта переменных этого класса связаны между собой преобразованием с постоянным якобианом. Этот класс выделяет меру, которая должна обладать некоторым физическим свойством, чтобы быть выбранной для такой цели.

В случае динамической системы частиц, взаимодействующих посредством сил, не зависящих от скорости, естественно использовать физические переменные, например декартовы компоненты радиусов-векторов и скоростей частиц, или переменные, связанные с ними преобразованием с постоянным якобианом (в частности, для консервативных сил так называемые канонические переменные связаны с декартовыми компонентами радиусов-векторов и импульсов преобразованием с единичным якобианом). Действительно, в силу теоремы Лиувилля элемент объема Hdxkdlk не меняется при эволюции системы, и именно данное свойство выделяет этот элемент объема среди других возможных мер.

При помощи формулы (П.1) в основном тексте было показано, что при заданном P(D наиболее вероятное s-частичное рас-

S

пределение Р^ факторизуется, т. е. = Ц Р(1) (xz, J). Дру

гое возможное применение формулы (П.1)——доказательство того факта, что наиболее вероятное одночастичное распределение для идеального газа с заданной полной энергией является максвелловским. В самом деле, максимизируя величину

"仍)=一 \ PlnP龙dx(П. 12)

при условиях (е — энергия единицы массы)

\ Pd^dx= 1, ^^Р dldx = e,(П. 13)

находим

一(1+小尸)+ 卩 + ^2 = 0,(n. 14)

где А н ц — (постоянные) множители Лагранжа. Отсюда

Р = 4ехр(—^•廿)(4 = ехр(1 —卩)).(П. 15)

Подстановка выражения (П.15) в (П.13) дает соответствующие значения 4 н А, и мы приходим к (I. 6.25).

Для получения наиболее вероятной ^-чacтичнoй функции распределения требуется более тонкое доказательство. Используя условия (ради простоты считаем массы равными)

N/ N 、 N

忆П%%=1, ■引％Пк%=мс(П. 16) k=\' k=l

при максимизации величины

находимнаходимилиили"(Pv)= 一，尸3口尸л/n厶也昼也， k=\—(1 + In PJ + н + 等 2 皆=О,i = l% = 4 exp (-今工皆)"(Pv)= 一，尸3口尸л/n厶也昼也， k=\—(1 + In PJ + н + 等 2 皆=О,i = l% = 4 exp (-今工皆)(П. 17)(П. 18)(П. 19)(П. 17)(П. 18)(П. 19)

находим

находим

или

или

"(Pv)= 一，尸3口尸л/n厶也昼也， k=\

—(1 + In PJ + н + 等 2 皆=О,

i = l

% = 4 exp (-今工皆)

"(Pv)= 一，尸3口尸л/n厶也昼也， k=\

—(1 + In PJ + н + 等 2 皆=О,

i = l

% = 4 exp (-今工皆)

(П. 17)

(П. 18)

(П. 19)

(П. 17)

(П. 18)

(П. 19)

так что не получается правильной функции распределения, заданной выражением (1.6.12). Причина этого кроется во втором из условий (П.16), которое слабее, чем точное условие для N- частичной функции распределения

/V

Р,у = 0 при £ 4(П. 20)

/г = 1

Условие (П.20) можно учесть двумя способами. Во-первых, можно видоизменить величину "(尸n) так, чтобы интегрирова-

N

ние распространялось на гиперсферу = 2Ne с мерой, за- i 1

даваемой элементом поверхности (в этом случае условие (П.20) автоматически удовлетворяется и равенство Pn = const на поверхности максимизирует //(Р、)， что и требуется формулой (1.6.12)). Во-вторых, можно считать, что Р^ = О А〃Н

N£^-2^в >N£^-2^в >е, и положить затем 8 -> 0 (в этом случае

N

£^-2^в >

N

£^-2^в >

и An должно быть пропорционально 1/е, чтобы удовлетворить условию нормировки Pn； тогда при 8 -> 0 величина Р$) стремится к дельта-функции с надлежащим множителем, что легко проверить, положив с = 1/т, /и -> оо и вспомнив соотношение (1.2.8)),

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Chapman S., Cowling Т. G., The mathematical theory of nonuniform gases, Cambridge Univ. Press, 1952; русский перевод: Чепмен С., Кау- линг Т., Математическая теория неоднородных газов, М., ИЛ, 1960.

Hirschfelder J. О., Curtiss С. F., Bird R. В., Molecular theory of gases and liquids, New York, Wiley, 1954; русский перевод: Гиршфельдер Дж., Кертис Ч., Берд Р., Молекулярная теория газов и жидкостей, М., ИЛ, 1961.

Waldmann L., in “Handbuch der Physik”，Band XII, S. 384, Berlin, Springer, 1958; русский перевод: сб. «Термодинамика газов», М., «Машиностроение», 169—414, 1970.

Boltzmann L., Wissenschaftliche Abhandlungen (Hasenorl F., ed.), Band II, Leipzig, J. A. Barth, 1909; русский перевод: Больцман Л., Лекции по теории газов, М., Гостехиздат, 1956.

Carleman Т., Problemes mathematiques dans la theorie cinetique des gaz, Uppsala, Almqvist and Wiksells, 1957; русский перевод: Карлеман T., Математические задачи кинетической теории газов, М., ИЛ, 1960.

Jeans J., Dynamical theory of gases, New York, Dover, 1954.

Коган M. H., Динамика разреженного газа, M.,《Наука», 1967.

Grad Н., Сотт. Pure Appl. Math., 14, 323 (1961).

Cercignani С., Transport Theory and Statistical Physics, 2, 211 (1972). Боголюбов H. H., Проблемы динамической теории в статистической физике, М. — Л., ГИТТЛ, 1946.

Г61刀Г8191тГ61刀Г8191тBorn М., Green Н. S., A general kinetic theory of fluids, Cambridge Univ. Press, 1949.

Г61刀Г8191т

Г61刀Г8191т

Kirkwood J. G.,丄 Chem. Phys., 14, 180 (1946).

Kirkwood J. G., /. Chem. Phys., 15, 72 (1947).

Yvon J., La theorie statistique des fluides, Actualites Scientifiques et Industrielles, no. 203, Paris, Hermann, 1935.

Grad H., in "Handbuch der Physik”，Band XII, Berlin, Springer, 1958; русский перевод: сб. «Термодинамика газов》，М, «Машиностроение», 5—109, 1970.

Wang Chang С. S., Uhlenbeck G. Е.. de Boer J., in “Studies in statistical mechanics”(de Boer J., Uhlenbeck G. E., eds), vol. II, Part c, Amsterdam, North Holland Publishing Company, 1964.

Maxwell J. C., Phil. Trans. Roy. Soc., 157 (1866); перепечатано в "The scientific papers of J. C. Maxwell： New York, Dover, 1965.

Cercignani C., Phtjs. Fluids, 10, 2097 (1967).

Prigogirie I., Non-equi!ibriuni statistical mechanics, New York, Interscience, 1962; русский перевод- Пригожин И., Неравновесная статистическая механика, М., «Мир», 1964.

[21][21][22][22][23][23][24' ：25, 26’[24' ：25, 26’[27][27][28][28][29] ：30' =ЗГ ‘32一 ：33：[29] ：30' =ЗГ ‘32一 ：33：Press, 1969; русский перевод: Черчиньяни К・，Математические методыPress, 1969; русский перевод: Черчиньяни К・，Математические методы

[21]

[21]

[22]

[22]

[23]

[23]

[24' ：25, 26’

[24' ：25, 26’

[27]

[27]

[28]

[28]

[29] ：30' =ЗГ ‘32一 ：33：

[29] ：30' =ЗГ ‘32一 ：33：

Press, 1969; русский перевод: Черчиньяни К・，Математические методы

Press, 1969; русский перевод: Черчиньяни К・，Математические методы

Balescu R., Statistical mechanics of charged particles, New York, Inter- science, 1962; русский перевод: Балеску P., Статистическая механика

заряженных частиц, M., «Мир», 1967.

Liboff R. L., Introduction to the theory of kinetic equations, New York,

Wiley, 1969; русский перевод: Либов Р., Введение в теорию кинетиче-

ских уравнений, М.,《Мнр》，1974.

Bhatnagar Р. L., Gross Е. Р., Krook М., Phys. Rcu., 94, 511 (1954); русский перевод: сб. «Проблемы современной физики», № 2, стр. 82, М., ИЛ, 1956.

Welander Р., Arkiv Fysik, 7, 507 (1954); русский перевод (сокращенный) :дополнение в кн. Девиен М., Течения и теплообмен разреженных газов, М., ИЛ, 1962.

Krook М., J. Fluid Meeh., 6, 523 (1959).

Holway L. H., Jr., Ph. D. Thesis, Harvard, 1963.

Cercignani C., Tironi G., in “Rarefied gas dynamics” (Brundin C. L., ed.), vol. I, p. 441, New York, Academic Press, 1967.

Sirovich L., Phys. Fluids, 5, 908 (1962); русский перевод: сб. «Некоторые вопросы кинетической теории газов», М., «Мир», 1965

Cercignani С., Mathematical methods in kinetic theory, New York, Plenum

в кинетической теории газов, М., «Мир», 1973.

Lebowitz J. L., Frisch Н. L., Helfand Е., Phys. Fluids, 3, 325 (I960).

Morse T. F., Phys. Fluids, 7, 2012 (1964).

Hanson F. B., Morse T. F., Phys. Fluids, 10, 345 (1967).

Jeffreys H., Asymptotic approximations, Oxford Univ. Press, 1962.

Artin E., The gamma function, New York, Holt, Rinehart and Winston, 1964.

[34*] Валландер С. В., Новые кинетические уравнения в теории одноатомных газов, Докл. АН СССР, 131, № 1, 58—60 (I960).

[35*] Баранцев Р. Г., Филиппов Б. В., Упрощенный вариант интегрального кинетического оператора, Ж. прикл. механ. и техн, физ., № 2, 129——131 (1964).

[36*] Эндер А. Я., Эндер И. А., Уравнение Больцмана в а, и-представлепии, Механ. жидкости и газау № 4, 117—123 (1972).

[37*] Хонькин А. Д., Шаповалов Г. Н., О выводе уравнений гидродинамики из кинетического уравнения Больцмана и области их применения, в кн. «Числ. методы мех. сплошной среды», Новосибирск, СО АН СССР, 4, № 4, 144—149, 1973.

『38*] Шахов Е. А4., Метод исследования движений разреженного газа, М., «Наука», 1974.

[39*] Зубарев Д. Н., Новиков М. Ю., Ренормализованные кинетические урав* нения для системы со слабым взаимодействием и для газа малой плотности, Теор. и матем физика, 19, 237 (1974)f

[40*] Климонтович Ю. Л., Кинетическая теория неидеального газа и неидеальной плазмы, М., «Наука», 1975.

[41*] Бобылев А. В., О точных решениях уравнения Больцмана, Докл. АН СССР, 225, № 6, 1296—1299 (1975); Об одном классе инвариантных решений уравнения Больцмана, Докл. 4" СССР, 231, № 3, 571—574 (1976).

[42*] Дубровский Г. В., Богданов А. В., К выводу обобщенного кинетического уравнения больцмановского типа, Вестник，〃广У, № 13, 66—76 (1976).

[43*] Ферцигер Дж., Капер Г., Математическая теория процессов переноса в газах, М., «Мир», 1976..

[44*] Черемисин Ф. Г., К построению моделей ин геграла столкновений Больцмана, Инж. ж-л, 5, № 6, 1058—1063 (1965).

IllIll

Ill

Ill

Взаимодействие газа с поверхностью и //-теорема

Граничные условия и взаимодействие газа с поверхностью

В этом и следующих разделах мы будем исследовать условия, которым должна удовлетворять функция распределения f на границе OR области R, где происходит движение рассматриваемых частиц. Эта тема была частично затронута при выводе уравнения Больцмана для газа из твердых сфер (см. разд. 2 гл. II). Там обсуждение граничных условий, которым удовлетворяет ^-чacтичнaя функция распределения, понадобилось для того, чтобы избавиться от некоторых интегралов по поверхности. Ясно, что такие условия требуются и для решения уравнения Больцмана, так как оно содержит производные от / по координатам.

В случае течения газа около твердого тела или внутри области, ограниченной одним или несколькими твердыми телами, граничные условия описывают взаимодействие молекул газа с твердыми стенками. Нетрудно проследить, что именно это взаимодействие является источником лобового сопротивления и подъемной силы тела в потоке газа, а также теплопередачи между газом и твердой границей. К сожалению, как теоретическая, так и экспериментальная информация о взаимодействиях газа с поверхностью довольно скудна.

Трудности теоретического исследования обусловлены главным образом недостатком сведений о структуре поверхностных слоев твердых тел и, следовательно, о потенциале взаимодействия молекул газа с молекулами твердого тела. Когда молекула падает на поверхность, она адсорбируется !) и может образовывать химические связи, диссоциировать, может стать ионизованной или сместить молекулы поверхности. Состояние поверхностного слоя зависит не только от температуры поверхности, но также и от степени ее шероховатости и чистоты. Последняя в свою очередь может изменяться со временем, так как дегазация или предварительное нагревание способствуют очищению. В общем случае на поверхности может существовать ад-

])Автор расширяет здесь понятие адсорбции до сколь угодно малой по времени задержки молекулы на поверхности.——Прим. ред.

сорбционный слой; тогда взаимодействие данной молекулы газа с поверхностью зависит также от распределения молекул, налетающих на данный элемент поверхности !).

Главным источником экспериментальных данных являются характеристики распределения молекул, вылетающих с поверхности при бомбардировке ее молекулярным пучком (см. разд. 7).

Рис. 14. Скорость 自 вылетающей молекулы однозначно определяется скоростью, которой она обладала перед соударением со стенкой, только тогда, когда отражение является зеркальным (штриховая прямая).

Простейшая возможная модель взаимодействия газа с поверхностью получается при предположении, что молекулы отражаются зеркально от твердой границы:

f (х,三，，)=f (х,自一2n(n • §, /), (х 三 OR,三• n > 0), (1.1) где п ——единичный вектор нормали к поверхности в точке х (см. рис. 14). Это предположение, вообще говоря, весьма далеко от действительности и может быть использовано только в частных случаях. В общем случае молекула, налетающая на поверхность со скоростью 『，отражается от нее со скоростью 三, которую можно строго определить только тогда, когда можно точно вычислить весь путь молекулы внутри стенки. Но это вычисление практически невозможно, так как оно зависит от очень большого числа деталей, таких, как местоположение н скорости всех молекул стенки. Следовательно, мы можем только надеяться подсчитать плотность вероятности /?传'一►& х, /; т) того, что молекула, налетающая на поверхность со скоростью

Имеется в виду, что состояние адсорбционного слоя зависит от окружающего газа. — Прим. ред.

между У и g + dg в точке х в момент времени /, вылетает практически в той же самой точке со скоростью между 三 и 自 + 2三 по прошествии временного интервала т (время адсорбции или задержки). Если R известно, то легко записать граничное условие для f с помощью следующего рассуждения, в котором мы считаем, что стенка неподвижна (в противном случае скорости 三，g всюду следует заменить на 三一и°, У ——Uo, где u0 — скорость стенки).

Масса молекул, вылетающих со скоростью между 三 и 三 + dg с элемента поверхности dA около х в течение промежутка времени от / до Z + dt, записывается в виде (см. аналогичное рассуждение при выводе формулы (II. 2.23))

d*4 = f(x, §, t^l-^dtdAdl (хм OR, ^ n > 0). (1.2)

Аналогично, вероятность того, что молекула сталкивается с тем же самым элементом поверхности со скоростью между g и g + dg в течение промежутка времени от t — т до / ——т + dt, равна

d*jT = f(x,匕 /-т)|Г-n|A ^4^z (xwdR, V • n < 0). (1.3)

Если d*4‘ умножить на вероятность рассеяния с изменением скорости от У до скорости между 三 и 三丄壮三 и временем адсорбции между т и т + dr, т. е. на R(F~>W； х, f; x)d^dx, и просуммировать (проинтегрировать) по всем возможным значениям g и т, то получится d*跋(здесь мы предполагаем, что каждая молекула вылетает с того же самого элемента поверхности, с которым сталкивается первоначально, хотя это и неправдоподобно, когда т не мало):

d\4 = dwjdT \ R(gf W;x,/;Qd*jT (xwdRY•口 >0). (1.4) 0 V・nV0

Подставляя сюда выражения (1.2), (1.3) и сокращая общий множитель dAd^dt, получаем

I 自• п If (х,自，/)=

=\ dt \ R (『—三；х, /; t) f (х, К / — т) I F • n I 阳 0V-n<0

(xwdR, g • n > 0).(1.Б)

Если f ——среднее время адсорбции, v ——средняя нормальная составляющая скорости, с которой молекулы газа сталкиваются с поверхностью, а 〃，как обычно, численная плотность газа, то nvdA молекул столкнется за единицу времени с элементом по-

верхности %4 н будет оставаться там в среднем в течение времени т; если о。——эффективный радиус взаимодействия газа с поверхностью, то каждая молекула займет площадь тсс^ и суммарная площадь, занятая адсорбированными молекулами, будет nvrno^ dAy так что доля поверхности, равная nvxn^ будет занята. Это рассуждение является, конечно, грубой оценкой порядка величины, так как молекулы могут несколько проникать внутрь твердой стенки, а не обязательно оставаться на ее поверхности.

Если п(5^дх не близко к нулю, то характер взаимодействия каждой налетающей молекулы зависит от общего числа и энергии налетающих молекул. В условиях очень низкой плотности (например, для находящегося на орбите спутника п^х <С 1) каждая налетающая молекула взаимодействует с поверхностью независимо от других. Такая же независимость может проявляться в другом предельном случае п^х 亠 1 (например, при химической адсорбции, когда т может быть очень большим, или в плотном газе, когда п очень велико); в этом случае образуется адсорбционный слой и молекулы взаимодействуют с этим слоем, а не с атомами твердой поверхности (и время адсорбции при таком взаимодействии может быть много меньше).

Каждый раз когда эффективное время адсорбции т и численная плотность п таковы, что /гс^О亏《 1, можно считать, что R(g->W； х, /; т) не зависит от функции распределения f (х, §х, /); следовательно, можно вычислять R(&‘一>自；х, /; т) в предположении, что на стенку налетает одна молекула газа с заданной скоростью R Если к тому же т мало по сравнению с любым характерным временем, важным для эволюции f, то в аргументе 厶 стоящей в правой части равенства (1.5), можно положить t = 0； в этом случае оно принимает вид

I自・n|f(x,自，Z)=

=\ R&-^l； x, /) f (x, Г, t)\^ -n\d^ (x^dR;l-n> 0), (1.6) ^•n<0

где

R (F -> 自；x, %) = j R (g f 三；x, /; t) dt. (1.7) о

Формула (1.6) справедлива, в частности, для стационарных задач.

Если стенка возвращает все молекулы газа (т. е. она не пориста и не является адсорбирующей), то полная вероятность того, что падающая молекула вылетит обратно с какой-либо

скоростью I，равна единице:

\ R(?-> 三；х, /)d^=l (Г • n < 0).(1.8)

^•n>0

Отсюда вытекает простое следствие: нормальная компонента vn массовой скорости на стенке должна быть равна нулю. Физически это очевидно, особенно учитывая смысл равенства (1.8), но формальное доказательство также представляет некоторый интерес:

乙=\自・万(3成=\化.n1f阳港一J l^-nlf© dl = ^•n>0『nV。

=\ 眼、dlR^^f{^\^\ 丨？."卄(?)阳=

CnVO a・n>0F・nV0

=\ ig.nQSdg— \ |〕n|f(Sdg = 0.(1.9)

SnVO^-n<0

Здесь опущены несущественные аргументы х,力 и использованы формулы (1.6) и (1.8).

Очевидным свойством ядра R(W‘一>三；х,力)является его неотрицательность

R 停 f W； х, /)>0.(1.10)

В случае зеркально отражающей границы из (1.1) и (1.6) следует, что

R(gf 三；х, Z) = 6(自一F +2n [“•&])•(1.11)

Возможны ситуации, в которых стенка возвращает не все частицы и равенство (1.8) нарушается. В предельном случае ни одна частица не попадает в область R с границы dR (при этом ядро R(W'-> W； х,力)равно нулю); это имеет место в случае нейтронного газа на ограничивающей поверхности ядерного реактора, фотонного газа на поверхности полностью поглощающей среды или электронного газа на положительно заряженной пластинке.

На практике встречаются и другие явления, такие, как химические реакции на стенке или распыление ионов и атомов твердого тела вследствие ударов молекул газа о поверхность. В этом случае в газе появляются новые сорта молекул и нужно ввести ядра Rl (¥-> 自；х, /; т), определяющие вероятности переходов от частицы сорта г со скоростью 歓 к частице сорта / со скоростью |.

Расчет ядер рассеяния

Задача расчета ядра рассеяния /?(『一>自；х, /), определенного формулой (1.7), допускает дальнейшее математическое исследование при следующем дополнительном предположении: хотя молекулы газа возмущают отдельные атомы стенки, эти атомы перед столкновением с молекулой газа находятся в локальном тепловом равновесии друг с другом при температуре То, которая может меняться от точки к точке в макроскопическом масштабе. В этом случае естественно предполагать, что зависимость R(^—>三；х, /) от х и / осуществляется только через температуру Г。и химический состав стенки. Их можно считать известными, и далее мы не будем писать х и / в аргументах

Рассмотрим математическую постановку задачи расчета R(gf W) Для данной поверхности с известной температурой Г。 при условии, что R (V —► I) не зависит от х и / (т. е. п^х <С 1* Тогда молекула газа, захваченная поверхностью, и ^ атомов твердого тела образуют механическую систему, описываемую (乂+ 1)-частичной функцией распределения Pn+i, которая удовлетворяет уравнению Лиувилля (L3.8). Если мы хотим вычислить ядро R(g->g), задаваемое формулой (1.7), то достаточно взять стационарное уравнение Лиувилля (уравнение (1.6.6) с N + 1 вместо ^):

^方中+! X仆寸=0,(2.1)

月=0左 j,右=0k

где индекс нуль относится к молекуле газа, а X沔=X汴(х“ обозначает силу взаимодействия между /-й и 々-自 молекулами (отнесенную к единице массы). Эти силы удерживают атомы твердого тела вместе, но ради того, чтобы иметь вполне определенную задачу, допустим, что на некоторой геометрической границе (границе твердого тела) все частицы, кроме молекулы газа, отражаются зеркально (это исключит возможность распыления). Так как, по предположению, ядро зависит только от локального состояния поверхности, будем рассматривать плоскую стенку и считать, что твердое тело занимает полупространство х-п < 0.

Тогда

РN +1(Х(),畠，X],自],X/,••♦, Хдг, W/V)

= Р%+1(Хо,瓦，X], 3, • . Xi, ^ — 2n(n •&),・・・，Xn,玩)

(1 &，& м X「口 = 0,爲• 口 < 0).(2.2)

Если обозначить через у0 двумерный радиус-вектор в плоскости х0 -п = 0, то граничное условие в этой плоскости запишется в виде

Pyv + i %, ^) = 6 低° — g) 6 (уо 一 у') Рn(X/, &)

(Хо •口 = 0, so • п < 0),(2.3)

где k меняется от 0 до Л/, / от 1 до ^ и PN представляет собой “-частичное равновесное распределение атомов твердой стенки. Равенство (2.3) выражает условие, что молекула газа, попадающая на поверхность в точке у' со скоростью 三‘，встречается с системой атомов, находящихся в тепловом равновесии. Если предположить, что равенство (I. 6.11) выполняется для твердого тела, то PN следует заменить дельта-функцией; так как молекула газа взаимодействует со сравнительно небольшим количеством атомов твердого тела и в конечном итоге мы будем интегрировать по координатам и скоростям всех атомов, можно записать

厶=Z「exp {- [£ 72^z + V (x/)]/(吗)}，(2・4)

где U(Xj)——потенциальная энергия системы атомов, mz——масса /-го атома,尼 ——постоянная Больцмана и ZN ——нормирующий множитель (так называемая функция состоянии). Выражение (2.4) эквивалентно дельта-функции 6 (品2 岁 团工；+ V (х,)—— 七。) проинтегрированной по большинству координат и скоростей в пределе ^ -> оо, как видно из выражений 「乳 и Р’^, рассмотренных в разд. 6 гл. I.

Если бы мы были в состоянии решить уравнение (2.1) с граничными условиями (2.2) и (2.3), то можно было бы вычислить A(W'->W) следующим образом:

R(* f § = тМт 5 [内3(X。，<.„=0 d4 =

=|'^ • n \，[尸N + 1M,自/e)】xo・n = O % H °Xj d§・，(2.5)

где dAQ — элемент поверхности в плоскости х0-п = 0. Первое выражение в (2.5) следует из (1.6), если заметить, что в нашей задаче f пропорционально 6(| — &'), когда |- п < 0, и пропорционально одночастичной плотности вероятности 壊% (х0,耳), когда Wo・n>O; интегрирование по dAQ связано с тем фактом, что мы не заботимся о точной точке вылета (при условии, что она не слишком далека от точки, где молекула столкнулась с поверхностью). Второе выражение в (2.5) вытекает из определения через Pn十卜

В такой постановке задача очень трудна для решения, за исключением, может быть, случая гармонических сил. Вообще удобнее перейти к уравнению, содержащему только одночастичную функцию распределения Р = ^+i, определяемую формулой

Р(Хо,自о) = \ Рм+1 (х左，気)口 dxk d^k.(2.6)

月I

Для этой цели необходимо рассматривать дальнодействую- щие силы и кратковременные взаимодействия (столкновения) раздельно, поступая с первыми так же, как в уравнении Власова (см. разд. 4 гл. II), а со вторыми так же, как в уравнении Больцмана; если попытаться учесть промежуточный масштаб взаимодействий, то появится еще член Фоккера ——Планка (см. разд. 9 гл. II). В результате получим уравнение

6 黑 + 4f • М(X*)X (%, х) dx* = “，(2.7)

где

LP = \ (珞尸—P°Q В (6, V) dl d® dE +

3

+ e 国小(2.8)

Здесь X обозначает дальнодействующую силу (отнесенную к единице массы), с которой атом твердого тела (находящийся в точке х*) действует на молекулу газа (находящуюся в точке х = (х, у, z) и имеющую скорость § — (^, т]Л)) i 〃(х*) обозначает численную плотность атомов твердого тела; Р^ = ^ (^J, Р^ = PQ ^^ где Ро ——равновесное максвелловское распределение атомов твердого тела; 0?)и 尸订——тензоры диффузии и трения в пространстве скоростей (см. разд. 9 гл. II). Величина В(0, У) имеет тот же смысл, что и в уравнении Больцмана, за исключением того факта, что опа должна вычисляться с учетом деталей столкновения между молекулой газа и атомом твердого тела. Интеграл в (2.8) является столкновительным членом для столкновений типа газ ——твердое тело; столкновениями типа газ ——газ мы пренебрегли, а атомы твердого тела по предположению находятся в тепловом равновесии (см. также разд. 3 гл. IV) •

Если рассматриваемое твердое тело полностью однородно и неполярно, а ось х направлена вдоль п, то уравнение (2.7) сводится к виду

6 雲+ff・X(x)= U，(2.9)

5 Зак. 706

где X (%) — среднее от Х(х*, х), вследствие симметрии имеющее лишь компоненту X, которая зависит только от х. Эти предположения исключают важный случай кристалла, для которого X зависит также от 〃 и z (периодическим образом).

Уравнение (2.9) нужно решать с учетом граничного условия

Q = 6 低一m), х = 0,自=自.口<0,(2.10)

и условия обращения Р в нуль на бесконечности (Р->0 при х ->——оо). Так как, снова в силу симметрии, Р не будет зависеть от 〃 и 乙 уравнение (2.9) можно записать в форме

崇 X(x)=LP⑵ 11)

и решать его при граничных условиях, указанных выше. Равенство (2.5) в этом случае сводится к следующему:

"Ff3二\1^ [尸(X，М1・"Ff3二\1^ [尸(X，М1・(2.12)(2.12)

"Ff3二\1^ [尸(X，М1・

"Ff3二\1^ [尸(X，М1・

(2.12)

(2.12)

Взаимность

Как было указано выше, основная задача взаимодействия газа с поверхностью, уравнение (2.1) с граничными условиями (2.2) и (2.3), представляется безнадежной для решения, и для вычисления R&一^) приходится использовать уравнение (2.11) с граничным условием (2.10). Тем не менее из уравнения (2.1) можно получить важный результат для случая, когда двухчастичная сила X沔 не зависит от скоростей частиц.

Обозначим через Gn+i g,贏；х^,最“)функцию Грина уравнения (2.1) для полупространственной задачи, определяемой условиями (2.2) и (2.3); иначе говоря, предположим, что Gn+i ——функция (считаем, что она существует), удовлетворяющая уравнению

2 X/々・^^=[[6区一X⑴6用一畠々)(3.1) 々=0々/, ^ = 0々 々=0

и условиям

匾•口 <。，x° • 口 = 0),(3.2)•

G^+l (Х0, "о, х1, W1, Xj,畠，X", Wn)=

=Gyy + 1 (%0, "о, X1,三1, • • • , xi > & — 2n (tl • ^), . . . , X”，Wn)

(УXZ -n = 0, 5口 >0).(3.3)

Функции Gn+i тоже должны обращаться в нуль на бесконечности как в пространстве скоростей, так и в физическом

2欠/, /С = ОN2欠/, /С = ОNXXX G/V+1(X2也，一賜；X力,X G/V+1(X2也，一賜；X力,一切口厶歹我2〃 (3.4)/=0一切口厶歹我2〃 (3.4)/=0

2欠/, /С = О

N

2欠/, /С = О

N

X

X

X G/V+1(X2也，一賜；X力,

X G/V+1(X2也，一賜；X力,

一切口厶歹我2〃 (3.4)

/=0

一切口厶歹我2〃 (3.4)

/=0

пространстве. В (3.3) мы опустили некоторые из аргументов, от которых зависит

G — G (х^, &； %女，％).

Используя основное свойство дельта-функции (см. формулу (I. 2.10)), имеем

Gn + 1(X/c, Ek Х1 月，三=

.V

=\ G“+1 (х”，①；*1々，畐々)JJ d(X” — X/J6 (息々一h) Clx2k d^2k =

左=0

/V

kk=\ Gw+1 (*2々，薪/0； Xi/c, *1/J —〉, ％ .

k

k

вследствие граничных условии, гю-вследствие граничных условии, гю-где интегрирование распространяется на область x%・nV。 и использовано уравнение (3.1) (с х2/г, х】储 ——三2储 ——三一1月 вместо x/t, x出区，|u), чтобы исключить произведение дельта-функций. Интегрируя теперь по частям и замечая, что внеинтегральные члены обращаются в нуль лучаем

вследствие граничных условии, гю-

вследствие граничных условии, гю-

GN+ \ 8м 自2々；Xi/c，?u) XGN+ \ 8м 自2々；Xi/c，?u) XGn+i(x左，&; x出三1力)=

GN+ \ 8м 自2々；Xi/c，?u) X

GN+ \ 8м 自2々；Xi/c，?u) X

/г = 0i#h

-力=0

/V

XG" + i(X2硏一昌2/c； 乂々，一J Z d*2j d&2j =

=\ 口 5 (x2^-X1G 5 危々-Q) GN + 1 (x2力，一自2/г； X斩一自々)JJ dx" d；2/, If (3.5)

где использовано уравнение (3.1) с 薪々，x2k вместо 嬴，х.. Пользуясь еще раз основным свойством дельта-функции, из (3.5) получаем соотношение

G/V + 1 (х力，栽；Xi比，鼻］々)=GN +1(X］伞,-三uс； X々，一気)， (3.6) которое выражает основное свойство функции Грина уравнения Лиувилля с граничными условиями (3.2) и (3.3). Это свойство решающим образом связано с обратимостью по времени уравнений динамики (когда силы не зависят от скоростей); как след-

ствие оператор Лиувилля, входящий в уравнение (3.1), меняет знак при замене | на —三.

Для вычисления R (&' — &) достаточно знать Gn+i・ Действительно, если Pn+i удовлетворяет уравнениям (2.1)——(2.3), то

Pn+i % ^； = $ 味+1X，辅 п 6 х - О 6 因—簫 № 喝=

N-

々=0々 /,々=0々

N

XG(x；,-酸；x^, 一^)口厶:港:=k—\

= -^o-no[G«, -% %,一舗味+1区,麓]+,尸)<

N

X。4 吗 JJ dx: 2可 + \ Gn+] X，可；X女，鼠)X

XX月=0"/,女=0月=0"/,女=0NЦ К喝=々=oNЦ К喝=々=o

X

X

月=0"/,女=0

月=0"/,女=0

N

Ц К喝=

々=o

N

Ц К喝=

々=o

=-【n，［G/V+I X，Y； 乂々,-浦％『。X

V

Х6（У。一 У；）%（Х/，МП^<>（37）

где мы действовали так же, как выше, с той лишь разницей, что Pn+i удовлетворяет уравнениям (2.1) и (2.3), а не (3.1) и (3.2). Символ d#o, конечно, обозначает элемент поверхности в плоскости Xq • п = 0. Используя (2.5) и обозначая через ，。(三) максвелловскую функцию распределения, соответствующую газу в равновесии при температуре и скорости стенки, имеем

L n|R(?f§fo(S =

^l^nlir-nlZ；1 jG^+1(x；,—哥；x„ —^)5(уо —yj)X

£ (%叫｝+ р(х；))N

Xexp dAodA^dx^kdxkdlk1 (3.8)

где верхний индекс нуль у G^+i означает, что Gn+\ должно вычисляться при хо-п = х^-п = О,裁=立 \ =自・ Теперь GN + обращается в нуль, если не выполняется соотношение

Z(%〃”詢+1/ X)=z(%团風)+ v(X；.),

потому что она является функцией Грина уравнения Лиувилля (3.1), которое выражает сохранение полной энергии. Следовательно, интеграл в правой части (3.8) инвариантен по отношению к замене

соответственно левая часть инвариантна по отношению к замене (自，F)f(—К —自)，и мн получаем (%(—&) =/о(?), так как стенка предполагается неподвижной):

= IW・n|fo(SR(-Wf-F) (^ П > О, г • П < 0). (3.9)

Соотношение (3.9) является основным свойством ядра R(W'f W) н может быть названо «законом взаимности» или «принципом детального баланса》. Физическая интерпретация его состоит в том, что, если газ находится в равновесии при температуре стенки Г。 и, следовательно, имеет функцию распределения /о, то число молекул, рассеянных из интервала скорости (&', F dg) в интервал скорости (盲，三 + 壮三)(за единицу времени на единичном элементе поверхности), равно числу молекул, рассеянных с любой скорости между ——自 и ——盲——d& к любой скорости между ——g и —三‘——d^. Соотношение (3.9) было предложено автором [1,2] на основе этих интуитивных представлений, за исключением того факта, что 自 ——2n(n-|), V ——2n(n-|z) заменены на —| и ——g; это обстоятельство не имеет значения для обычных поверхностей, для которых существует вращательная симметрия в касательной плоскости.

Соотношение взаимности в виде (3.9) впервые появилось в работе Кущера [3]. Выводы (3.9) различной степени строгости были даны в последующих работах [4——6]. Приведенный здесь вывод по существу взят из статьи автора [6]. Следует отметить, что Кущер [5] доказал соотношение (3.9) в случае квантовомеханических систем и обобщил его на молекулы с внутренними степенями свободы. Соотношения, аналогичные (3.9), появлялись ранее в ряде статей по неравновесным процессам, где взаимодействие газа с поверхностью описывалось посредством импульсных членов, содержащихся в уравнении Лиувилля [7——9].

Отметим одно простое следствие взаимности. Если распределение падающих молекул представляет собой максвеллиан /)

при температуре стенки и масса на поверхности сохраняется в соответствии с (1.8), то функция распределения вылетающих молекул оказывается снова /0, или, другими словами, поверхностный максвеллиан удовлетворяет граничным условиям. Действительно, если проинтегрировать (3.9) по 三/ и использовать (1.8), то получится

\ |g・n|%(g)/?(gf 9dM = | 自・п|%(3 低・n>0), (3.10)

и этот результат с учетом (1.6) доказывает наше утверждение. Следует отметить, что равенство (3.10), будучи следствием (1.8) (когда выполняется (3.9)), оказывается более общим, чем соотношение (3.9), и может оставаться в силе даже тогда, когда (3.9) нарушается.

Одно замечательное неравенство

Докажем следующую теорему.

Теорема. Пусть C(g)——строго выпуклая непрерывная функция аргумента g (см. рис. 15). Тогда для любого ядра рассеяния R (§х —► I), удовлетворяющего условиям (1.8), (1.10) 〃 (3.10), выполняется следующее неравенство'.

V°W・nC(g)da&0,(4.1)

где /о ——поверхностный максвеллиан, g =/7%, 〃 интегрирование распространяется по полным областям изменения компонент &, причем значение / для g・n〉0 се兄зань, с ее знамени兄мы для §• п < 0 посредством (1.6). Равенство 6 (4.1) имеет место тогда и только тогда, когда g = const почти всюду, если только R(W'f W) не пропорционально дельта-функции.

Действительно, выпуклость C(g) означает, что

°& £ %。(修)，£ %• = 1,(4.2)

\ z = 1/i = 1i == 1

и, полагая & =泌公寂，修=g(J) и устремляя объем А*。к'нулю., имеем

с (卜丿(S g (Г) d^ & \ 取(Г) с (g (Г)) dg (4.3)

для любого набора положительных весовых функций, удовлетворяющих условию

(4.4)(4.4)\ »(g)dg= 1・

(4.4)

(4.4)

Рис. 15. Выпуклая функция.

Неравенство (4.3) известно как неравенство Йенсена [39—41]. В частности, если взять (для любого фиксированного |)

，(4.5)

то условие (4.4) удовлетворяется вследствие (3.10), а (1.6) и (4.3) дают

C(g(3) = C( \〒^г!；；。胃g(F)dF)&

\l，-n<0°/

《 5(自2 c (g (g))第(自•" >0).(4.6)

HnVO

Умножая на |g - n |f0(l), интегрируя по | и используя (1.8), получаем

，丨三• 口 I % (3 с (g О^< Jir-n|fo (Г) c(g (S)齊，(4.7)

т・ е. неравенство (4.1). Равенство достигается в том и только том случае, когда оно имеет место в (4.6) (за исключением множества меры нуль); это можег случиться, если только одно значение g будет входить в обе части, т. е. если имеем либо

g = const, либо

= 6(F —£),= 6(F —£),(4.8)(4.8)R (…W) fo(F)位/ ・n|fo(g)|&・n|

= 6(F —£),

= 6(F —£),

(4.8)

(4.8)

откуда g(自)=g(自*) (здесь |* может быть любой функцией I при условии, что выполняется равенство (1.8)). На этом доказательство заканчивается.

Эта теорема встречается у Даррозе и Гиро [10] в частном случае; приведенное доказательство взято из статьи автора [6]. Сформулируем результат Даррозе и Гиро в виде следствия.

Следствие I. Для любого ядра рассеяния, удовлетворяющего условиям (1.8), (1.10), (3.10), выполняется следующее неравенство'.

，三• nf In f dW & — r^o (仇 + Pa^j)几〃(4.9)

где qj ——вектор теплового потока, р订——тензор напряжений в газе, Vj ——скорость газа относительно стенки (значения 厶。订，Vj берутся, конечно, на стенке), а Г。——температура стенки (А, как обычно, газовая постоянная). Равенство g (4.9) имеет место в том 〃 только том случае, когда f = Д) [если ядро R(W，f 三)не пропорционально дельта-функции').

Действительно, если взять

C(g) = glng (g>0),

С (0) = 0,

то неравенство (4.1) дает

，三• ngln gfod^&O.(4.11)

Для f = fog, используя (1.8), получаем

^l- nfinfdl^^l- nfinfQdl =

=一 •^訐，三• ^f哀=一法(仇+，订勺)勺，(4.12)

а это и есть неравенство (4.9).

Отметим, что даже если газ движется относительно стенки, правая часть неравенства (4.9) пропорциональна тепловому потоку от поверхности твердого тела к газу. Действительно, из закона сохранения энергии вытекает следующее соотношение (в системе координат, неподвижной относительно сгенки):

[(仇+p口勺)匂газ =[(仇+r・了勺)匂стенка =[q • "ктенка* (4.⑶

Это равенство выражает тот факт, что, если газ скользит над стенкой, то возникает скачок нормальной составляющей теплового потока.

Введем теперь линейный оператор, определенный следующим образом:

4g=伉闺 &h|L \ %(f)R(—§g(g)|F・n|dg = F・n>0

=\ H^ ^g^dii^(4.14)

V-n>0

где

"(I, Г) = R (— g f g)伉(§ I g • n I『，(4.15)

如=1自・口1%(自)昼.(4.16)

Тогда имеем

Следствие II. Оператор А определяет отображение сжатия 8 пространстве Lp (р > 1) функций от | (自•口 > 0) с интегрируемой р-〃 степенью по мере, определенной в (4.16). То есть

IMgllpWIIgg(4.17)

где

Ullp = r \ lg(SF如Т"(4.18)

L^-n>0J

〃 знак равенства имеет место в том 〃 только том случае, когда g постоянно почти всюду (если R (自'—*自)не пропорционально дельта-функции).

Чтобы доказать это следствие, достаточно положить C(g)= = |g|& в приведенной выше теореме.

Граничные условия Максвелла.

Коэффициенты аккомодации

Материал, изложенный в разделах 1 и 2, показывает, чги теоретические исследования взаимодействия газа с поверхностью чрезвычайно трудны из-за сложности явлений, происходящих на поверхности. Даже если ограничиться линейными граничными условиями вида (1.6) с не зависящим от / ядром, то все равно мы сталкиваемся с необходимостью най ги R (|z —> |). Общие рассуждения могут привести лишь к установлению ограничений На зто ядро, таких, как закон взаимности (3.9); чтобы достичь большего, нужно построить физическую модель поверхности и постараться вычислить соответствующее ядро /?(V—>|).

Первая попытка решить такую задачу была предпринята Максвеллом. В приложении к статье, опубликованной в 1879 г. [11], он обсуждает задачу нахождения граничного условия для функции распределения. В качестве первой модели физической стенки он принимает идеально упругую гладкую фиксированную поверхность, без малейших отклонений совпадающую с видимой формой тела. В этом случае молекулы газа отражаются зеркально, следовательно, газ не может создавать на поверхности никаких напряжений, кроме нормалы-iых. Затем Максвелл указывает, что, поскольку в действительности газы создают на реальных поверхностях и касательные напряжения, такие поверхности нельзя представлять идеально отражающими.

В качестве второй модели реальной сгенки Максвелл рассматривает слой из упругих шаров, расположенных достаточно далеко друг от друга, так что ни один из них не заслонен другими от удара молекул. Он считает также слой настолько толсты м, что каждая молекула, которая попадает из газа на такую стенку, должна столкнуться хотя бы с одним шаром. Когда наконец она покидает этот слой pi возвращается в газ, ее скорость, конечно, должна быть направлена от поверхности в газ, но вероятность любой величины и направления скорости будет такой же, как в газе, находящемся в тепловом и механическом равновесии с твердым телом.

Затем Максвелл рассматривает более сложные модели физических поверхностей и приходит к выводу, что лучше всего трактовать поверхность как нечто промежуточное между идеально отражающей и идеально поглощающей поверхностями и, в частности, считать, что часть каждого элемента поверхности поглощает все падающие молекулы, которые затем испаряются со скоростями, соответствующими таковым в неподвижном газе при температуре твердой стенки, тогда как остальная часть идеально отражав( все падающие на нее молекулы.

Если обозначить через а долю испаряющихся молекул, то предположение Максвелла эквивалентно выбору ядра в виде

R (М 三；х, /) = (1 — a) d(lz-g + 2n [пЧ]) + а/0 (g) | ? • п |(5.1)

(5 • п > О, V • п < 0),

где

fo =3 (ВД^ехрЕ-廿(2RTo)F，(5.2)

а То—температура стенки, причем нормировка проведена так, что выполняется условие (1.8).

Формула (5.1) написана в предположении, что стенка неподвижна; в противном случае 自 следует заменить на 三——u0, где

и0 ——скорость стенки; величины а, и0, Т° могут зависеть от координат и от времени.

Легко видеть, что максвелловское ядро (5.1) удовлетворяет условию (3.9) и, следовательно, также (3.10); условие (1.8) выполняется при этом по построению. Следует подчеркнуть, однако, что Максвелл не имел возможности решить задачу полностью и был вынужден обратиться к качественным соображениям и ввести феноменологический параметр сс (0《包《1), который непосредственно не связан со структурой поверхности.

Отметим, что, согласно граничным условиям Максвелла, касательная компонента импульса и тепловая энергия вылетающих молекул зависят частично от скорости и температуры поверхности и частично от импульса и тепловой энергии приходящего потока. Если сх = 0 (зеркальное отражение), то выходящий поток не《ощущает》границы (по отношению к касательной компоненте импульса и кинетической энергии), если же сс = 1 (полностью диффузное испарение), то выходящий поток полностью утрачивает «память» о приходящем потоке (за исключением сохранения числа частиц). По этой причине коэффициент а (первоначально определенный как доля диффузно испарившихся молекул) иногда называется «коэффициентом аккомодации», потому что он выражает тенденцию газа приспосабливаться к состоянию поверхности. Нужно отметить, однако, что аккомодация импульса и энергии при физических взаимодействиях происходит различно, причем импульс теряется или приобретается значительно быстрее чем энергия; это обстоятельство указывает на основную неточность граничных условий Максвелла .

В общем случае можно определить коэффициент сс(ф) аккомодации для л гобой функции ф (I) от скорости молекул следующим образом:

，中化)1自・n|Y)/一，中传)1)n1?(三)若

а (ср) =,(5.3)

^•n<0in>0

где 力0偌)задана выражением (5.2) и таким образом является поверхностным максвеллианом, а /0 ——нормировочный множитель, выбранный так, что /о力° дает такой же поток массы, что и А Числитель в (5.3) представляет собой разность между приходящим и выходящим потоками величины 屮(盲)，знаменатель имеет тот же смысл, но при полной аккомодации молекул (/ = =」ofo для g-п > 0). В частности, положив 屮(自)=三八 п (где 八 означает векторное умножение), получим коэффициент аккомодации для касательной компоненты импульса; аналогично,

положив ср = |-п или g2/2, получим коэффициент аккомодации для нормальной компоненты импульса и энергии. Заметим, что числитель в (5.3) равен ，屮(三)三• nf (§ d^.

Удобно ограничить определение (5.3) только функциями, обладающими свойством ср(|) =ф(| ——2п [п -^]), которые являются четными функциями от § п. Это условие не выполняется при ср = |-п； поэтому, если желательно определить коэффициент аккомодации для нормальной компоненты импульса, то нужно взять

Ф(Ю = 1^-п|.(5.4)

Вообще говоря,竄(屮)оказывается зависящим от функции распределения набегающих молекул, так что определение (5.3) не очень удачно. Понятие коэффициента аккомодации становится более осмысленным, если несколько ограничить f. С этой целью положим

(屮，2) = (2,屮)=\ 屮(§ 2 (§ 如=\ Ф (目 2 (§ f0 (Ю I ^ • n I d£

^•n>og・n>o(5.5)

где dfi определено равенством (4.16), a (屮，2)——скалярное произведение в гильбертовом пространстве функций, определенных для |-п > 0 и квадратично интегрируемых по мере б/ц. Соответствующая норма дается выражением (4.18) с р = 2. Если выполняется закон взаимности, то оператор Л, определенный формулой (4.14), симметричен относительно скалярного произведения (5.5):

Ф, Лгр) = U <р (0 % ⑦ R (一 у - у 屮(У)疋• n |dg 这=

=V 屮⑶％(§ R (—三 f F) 2 (F) I F・h I 昼‘成=(Ap,屮).(5.6)

Определим теперь операторы отражения или инверсии в пространстве скоростей следующим образом:

p屮=屮(-Ю,

乙屮=屮(三一2n [п闾)，(5.7)

匕中=ср (- ^ + 2n [n • I])

и отметим, что

戸=& =片=/, ptpn = PR = R @, P仲)={pt^ 吩，(5.8)

где / ——тождественный оператор. Как указано выше, функция ф в выражении (5.3) выбирается так, что она удовлетворяет условию Р^ = фе

Определим 2(§ формулой

f(9=/ofo(§[l +"(一三)]=/。%(1 +Q电(g - n < 0),(5.9)

где fo(§ и J。такие же, как в (5.3).

Тогда (1,「) = 0, а выражение (5.3) принимает вид

a т血=(p中，2)一(① /")1 _ 仰，4屮)_ (中，/3)=

n丿(Р中，屮)(Rp,屮)(?中.3)一

（屮，/屮）（屮2屮）（屮，/屮）（屮2屮）（/屮、w）（2中屮）.（/屮、w）（2中屮）.(5.10)(5.10)

（屮，/屮）

（屮2屮）

（屮，/屮）

（屮2屮）

（/屮、w）

（2中屮）.

（/屮、w）

（2中屮）.

(5.10)

(5.10)

Здесь написано а((р, гр) вместо а(ф), чтобы подчеркнуть, что коэффициент аккомодации зависит также от ”.

Из (5.10) видно, что, если в качестве 屮 взято некоторое решение 屮)уравнения

Лф = А,Р/ф,(5.11)

соответствующее собственному значению X = X； (/ — 0, 1, 2, ...), то коэффициент аккомодации

52) = 1 - •爲;?)= 1 一％ (5.12)

не зависит от 2 и, следовательно, от функции распределения набегающих молекул. Это представляет собой очевидное преимущество данного определения 々力 принадлежащего автору [1, 2]; недостатком является то, что эти коэффициенты аккомодации соответствуют собственным функциям 屮力 которые, вообще говоря, не имеют простого физического смысла.

Другая возможность была рассмотрена Шеном и Кутером [12, 5]. Если взять набор физически значимых величин {ср? (§)} и положить ср = фь 屮=cpj (таким образом ограничивая функцию распределения), то получится матрица коэффициентов аккомодации с элементами

(5.13)(5.13)（屮"/中了•）=_（中了，/中0

(5.13)

(5.13)

瓦匕"）一—（9,乙％）

Эти коэффициенты имеют ясный физический смысл, но лишь для специальной функции распределения / = %(1 +。叫).В общем случае они вычисляются легче, чем приведенные выше, потому что не требуется предварительно решить уравнение (5.11).

6・ Математические модели взаимодействия газа с поверхностью

Из-за трудности вычисления ядра R(g-> 自)на основе физической модели поверхности (см. разд. 7) обсудим сейчас другой подход, который менее физичен по своей природе и аналогичен

моделированию интеграла столкновений (разд. 10 гл. II). Идея состоит в том, чтобы построить математическую модель ядра 7?(§'->§), удовлетворяющую основным условиям (1.8), (1.10), (3.9) и не ограниченную более ничем, кроме требования не быть •слишком сложной.

Возможный подход к построению таких моделей заложен в уравнении (5.11). Пусть 九j — собственные значения, образующие дискретную последовательность, а 屮j ——соответствующие собственные функции (/ = 0, 1, 2, ...). Для простоты предполо- )кнм, что 储方 ％ при i 方 j. Тогда

入, (恥，匕中力=8, 4pj) = (4pa叼)=儿(匕也，T/)=儿®,匕叫•(6.1)

Если X；片九力 т. е.屮° * 屮)，то из (6.1) вытекает, что

(6,匕屮/) =。 С 方 /)•(6.2)

Допустим, что (ср%, P«i)，0 (справедливость этого для неполярных поверхностей легко доказать), и нормируем ср； так, что (6, 2。)= 1； тогда

(6•，巳9)= 6 什(6.3)

Предположим далее, что 屮?・ образуют полную систему, так что любая достаточно регулярная функция 2 может быть разложена в ряд

屮=£q中(6.4)

Тогда из (6.3) следует, что коэффициенты разложения определяются так:

д・ = СФ,匕屮/)•(6.5)

Подставляя выражение (6.5) в (6.4), получаем

屮（В = £ 件，匕W）W （三）=2 \ 屮（？）匕回• （？）]屮/ （3 W =

-\屮（？）｛?匕廂（S]⑦闿卜。（F）忐. n|床'，（6.6）

где последний шаг справедлив, если уравнения понимаются в смысле теории обобщенных функций (см. разд. 2 гл. I). Следовательно, полнота эквивалентна выполнению соотношения

(6・7)(6・7)

(6・7)

(6・7)

Таким образом, используя соотношения (5.11), (5.5), (5.6)? (6.7), (4.16), имеем

=£ (2, 4屮/)屮/阳=£ G2,屮/) W (自)= j=0/=0

=£ (匕4ф, Р仰j) Ф/ (Ю = Pt^ = /=0

= [fo(»W・n|『，R(—gf — w +2nm.m )2(?)如[(6.8)

V-n>0

где предпоследний переход основан на равенствах (6.4) и (6.5) с %屮 вместо яр. Так как 屮(§ в сущности является произвольной функцией 三，из (6.8) следует, что

R —三 + 2п [п Y]) = % (§ & 口 I 纟 ^Pt [(р7 (Г)] ФУ (Ю- (6・9) /=о

Заменив g на ——F, а 三 на — g + 2п (п • ^), получим

R (f - 9 = %⑥& " I纟九产. ® (- S]匕回阳]=

=fo(^) I ^ • и I Е 九押/ (— F)屯⑶，(6.10)

/=о

где

屯(3 =匕回倒=⑦(一自+ 2n[ti・詛.(6.11)

Формула (6.10) представляет собой разложение ядра R田 + 0; если ^j не стремятся к нулю достаточно быстро при / -> оо, то его следует понимать в смысле теории обобщенных функций.

Конкретный выбор % и 必 в (6.10) порождает модели R(gf 三)・ Условие сохранения массы (1.8) заставляет взять

入 о = 1,5=1,(6.12)

если поверхностный максвеллиан % нормирован, как в (5.2). Условие взаимности при этом автоматически выполняется. Единственным ограничением, которому остается удовлетворить, является (1.10). Это условие представляет некоторые затрудне-

ния, если пытаться оборвать сумму в (6.10), как было сделано автором [1, 2]. Получающиеся" ядра могут быть полезными в линеаризованных задачах (см. гл. IV), но в общем случае неприемлемы. Единственно удовлетворительный подход состоит в суммировании рядов для специальных бесконечных наборов X, и 屮/ в надежде получить положительный результат. Простейший возможный вариант ——полное вырождение, когда 入)=1 (/ — 0, 1,2, ...). Тогда формулы (6.10) и (6.7) приводят к тому, что

(V -^ §) = б (|z ——j 4- 2n [n-g]) и получается граничное условие для чисто зеркального отражения.

Следующее возможное предположение ——взять 入о = 1, л；= =1 — a (j = 1, 2,…)；тогда

R (g f S = fo (目位• " 丨[业(一g)也值)+ (1 - a) 自 电(一F)屯(Ю

=% (三)1• n |[aw0 (- У)业(9 + (1 -a)^ 屯(-M)屯(三)]=

(6.13)(6.13)=如闺丨自•口丨+ (1 - a) 6(『一 W + 2n [n闯),

(6.13)

(6.13)

где снова используется (6.7) и тот факт, что 屮。= 1. Этот результат совпадает с (5.1), так что получается граничное условие Максвелла. Отметим, что R 纟 0 означает 0 W a W 1.

Ясно, что для получения более сложных ядер нужно либо делать более специальные предположения о собственных функциях 2)・，либо использовать совершенно другой подход. В первом варианте простейшее предположение состоит в том, чтобы в качестве собственных функций брать полиномы, взаимно ортогональные в том смысле, что выполняются равенства (6.2). Если эти полиномы выбираются с определенной четностью по ^, так что Rt^j = 土2), то это требование сводится к обычной ортогональности (скалярное произведение берется в виде (5.5)).

Можно выбирать 屮)двумя путями, считая их полиномами либо по любой из трех компонент 三，либо по двум тангенциаль>- ным компонентам 自九，自％ и квадрату ^ нормальной компоненты (как обычно, предполагаем, что | ——скорость молекулы в системе отсчета, неподвижной относительно стенки; в противном случае 三 следует заменить на |——u0, где u0 ——скорость стенки). Первый алгоритм порождает полу пространственные полиномы, введенные Гроссом и сотрудниками [13] для других целей, в то время как второй обладает тем преимуществом, что порождает классические полиномы. Действительно, второй метод, которому мы будем сейчас следовать, дает собственные функции в виде

= (mW.2m+,1) /工(含)”т(^^)”"(^^}

(6.14)

где Li есть Z-й полином Лагерра, а Нп есть 几-й полином Эрмита (см. приложение). Численный коэффициент в (6.14) выбран так, что функции ^imn не только ортогональны, но и нормированы по мере 壮卩，заданной равенством (4.16广(см. приложение). Справедлива также следующая формула (см. приложение):

〉[plQm^lmn (§ ^Imn (У)=

Z, m, п

_1Г Р城+宓丄

=/ …….… expP

(1 -p) V(l -^2)(1 -s2) S 11

I q (阮+ G q (自九-竹I十 2(1 +q) —2(1 -q)—派冗 Г

*s % +分山「或严1 V

十 2 (1 +s) ~^2(1 —s) 2RT。」八

*/。(*7落^)(⑺，1八 IslVl), (6.15)

где /о (%)一модифицированная функция Бесселя первого рода нулевого порядка, определяемая так:

2л

/о (%) = (2冗)т \ ехр (х cos ср) dcp.(6.16)

о

Если сравнить выражения (6.15) и (6.10), то можно сразу найти ядро в замкнутой форме, выбирая собственные значения kimn, соответствующие ^imn, в виде plqmsn, потому что тогда ряд, входящий в (6.10), можно просуммировать при помощи (6.15). Поскольку мы не интересуемся анизотропией в касательной плоскости, для упрощения уравнений положим в (6.15) s = q. Тогда получим заслуживающее внимания ядро вида

R(W'f W) = fo(3l三•口丨 £ Plqm^lmn(― §')ф/mn ® = /, m, п

=Е Jo 阳(1 — О)- (1 — q『exp [—击宅餐 +

十「2(1 +%) ―E2(1 -q) —2RTo 一Г丿

=%(詆几(1—Р『(1—令旷以

A P L 1 - р 2R7q 1 — d 2RTo 十

一2我（A几）2號ёхрl一父a分F一用

1 & -司У ] T^ _2Ж- j

X等)(Ln VO, 6n>。)，(6.17)

где & =三—— 门三九 ——двумерный вектор с компонентами g九 и &?• Ядро в (6.17) удовлетворяет условиям взаимности н нормировки по построению, если \р\ < 1, \q\ < 1, а условию R^O в том и только том случае, когда q вещественно, а р вещественно и неотрицательно (при р V 0 аргумент /0 становится мнимым и /0 принимает как положительные, так и отрицательные значения). Следовательно, выражение (6.17) дает двупараметрическое семейство ядер, обладающих всеми требуемыми свойствами при условии, что эти два параметра вещественны и удовлетворяют неравенствам 0&р&1, ——1 W q W L Значения р= 1, q = ±1 являются предельными; при приближении к ним ядро становится пикообразным и в пределе стремится к произведению дельта-функций. Если учесть формулы (П.11) и (П.26) приложения, то легко видеть, что ядро (6.17) вырождается в (1.11), соответствующее зеркальному отражению.

В чем состоит физический смысл параметров р и «? Из сказанного выше ясно, что р и q связаны со свойствами аккомодации поверхности. В частности, формула (5.12) показывает, что q =九oio можно связать с коэффициентом аккомодации величины 2oio(g) = Ез («То)-% (воспользовавшись представлением (6.14) и тем фактом, что 厶о(х) = "°(х) = 1, g(x) = 2x согласно формуле (П.З) приложения). Множитель (RT。)-% не имеет значения, так как в (5.12) он сокращается, и мы приходим к выводу, что q очень просто связан с коэффициентом аккомодации касательной компоненты импульса oq:

(6.18)(6.18)(X/'— 1 q.

(6.18)

(6.18)

Аналогично р связан с коэффициентом аккомодации величины Pio。(А) = 1—既(2父丁0)一〔 Поскольку последняя не имеет простого физического смысла, исследуем коэффициент аккомодации ^ или, что то же самое, ^©尺厶尸=1 —屮厠(？• Согласно (5.10), этот коэффициент, который мы обозначим через ап, выражается формулой

—(11 —卩(电。。，也(619)

где учтены соотношения /1(1)= 1, Л (трюо) = Рфюо, Rt (ipioo)= =“io。и (1,屮)=0, причем последнее вытекает из определения

2 (равенства (5.9)). Следовательно, р= 1― аПу где ап ——коэффициент аккомодации той части кинетической энергии, которая соответствует движению по нормали к стенке.

Если попытаться вычислить коэффициенты аккомодации для нормальной компоненты импульса и полной кинетической энергии, то сразу станет ясно, что в рамках рассматриваемой модели они не являются постоянными, а зависят от функции распределения налетающих молекул.

Равенства (6.18) и (6.19) можно использовать для выражения ядра (6.17) через физически значимые параметры ап и 5卜 В результате получим

R& f 自，°Ч)— 2n (AT。)？ 鼠 *

ХехрХехр_ 焉 + 0 - a?)27].[%—(1 - %)三:了

Хехр

Хехр

2—0% 虱力(2 — %)2A「0

司 <0，^ > 0;0= %&2;。&吃&1). (6.20)

Два параметра ап и at зависят, конечно, от физической природы газа и поверхности, а также от температуры последней. Заметим, что & может быть больше чем I, но меньте чем 2. Крайний случай имеет место при 竄九一> 0 и а力一>2; тогда A (F 今三)=6(自 4~型)，так что каждая молекула меняет свою скорость точно на противоположную. Для грубых физических поверхностей следует ожидать, что значения cq довольно близки к единице и, возможно, несколько больше единицы.

Ядро, заданное выражением (6.17) или, что то же самое, (6.20), никоим образом не является единственным ядром типа (6.10) с функциями 屮 вида (6.14). Ядра более общего вида могут быть получены линейной комбинацией нескольких ядер типа (6.17) с различными значениями р и q； при этом весовые множители линейной комбинации должны иметь суммой единицу (чтобы обеспечить нормировку) и быть положительными (чтобы обеспечить выполнение неравенства R^0). Распределение значении р 込 q может быть непрерывным; в этом случае получается ядро

X W 2RTNl—p)一 T=^ 2Ж」'оF)^q,

где

1 1

侬 9, q)》0,，\ w(p、q)Q — р)(\ — q2) dpdq = L (6.22)

о -1

Выражение (6.21) представляет собой наиболее общее ядро с полиномиальными собственными функциями (6.14), удовлетворяющее всем физическим условиям (включая отсутствие выделенных направлений в касательной плоскости), при условии, что весовая функция w (р, q) может быть обобщенной функцией. Выражение (6.20), например, получается, если положить

о 9, 4)=(2 — %)L 6 (。+ % — 1) 6 句 + 电一1)・(6.23)

Все ядра вида (6.21) обладают коэффициентами аккомодации для тангенциальной компоненты импульса и кинетической энергии движения по нормали, не зависящими от распределения падающих частиц. Чтобы получить ядра более общего вида, можно использовать полиномы ^imn, заданные посредством (6.14), как векторный базис в гильбертовом пространстве, не считая их собственными функциями оператора Л в смысле (5.11). В этом случае вместо (6.10) имеем

R^-^^ = \l-n\fQ^ t 儿巾(一Г)屯阳，(6.24)

где i и / заменяют тройки индексов (/, т, и), (?, т/,吟.

В силу взаимности ((入仃))является симметричной матрицей. Матрицу ((&ij ——^ij)) можно рассматривать как «матрицу аккомодации» [1, 2]. Такие модели были независимо исследованы Черчиньяни [1,2] и Шеном [14]. Определенную трудность опять представляет невозможность оборвать ряд без нарушения условия R 2 0. Можно ожидать, что любая попытка просуммировать ряд вида (6.24) с 入仃 声 0 для бесконечно большого числа » 抬 / приведет к чрезвычайно громоздким выкладкам.

Для того чтобы получить простые, но не слишком специальные ядра, видимо, нужно исследовать другие подходы. Недавно было показано [15], что в выражении (6.20) можно считать либо cq зависящим симметрично от 己九 и —£п, либо ап зависящим симметрично от 畠 и без нарушения условий (1.8), (1.10) и (3.9). При этом получаются ядра с непостоянными коэффициентами аккомодации соответственно для тангенциальной компоненты импульса или энергии движения по нормали.

Общий метод построения ядер таков. Возьмем произвольную симметричную положительную функцию ^ (|, |х) и положим

A (gf з =化• 口 I 九⑶["闺 я (— s + К & — Г)]

(^ • n < 0,三•口 >0),(6.25)

где

1 -、 К (自一自).

Я 但)=—尸：一■.(6.26)

仙К(y，自)加外

s-n>0,

y・n<0

Взаимность удовлетворяется тривиально, удовлетворяется и нормировка благодаря (6.26). Условие R 三 0 обеспечивается положительностью "(*).

В качестве примера возьмем

К 倡 Г) = 8 (§ 6 (三 + g — 2п [п • F]),(6.27)

где В (^) — произвольная положительная четная функция скорости молекулы. Тогда

"但)=-尸1二一名⑵与后.®(6.28)

л /1 - \ 5(自)自"。代)如

и (6.25) принимает вид

R (g - § = I 陰• n I % 闿「—F)a&)+[l—a 倒 5 伯—F+2暄力], \ a信)dn

(6.29) где

a(§=l—U)(§8(S(6.30}

——произвольная четная функция от 三，удовлетворяющая условию 0 < a (^Х 1.

Ядро (6.29) было предложено Эпштейном в 1967 г. [16] как обобщение граничных условий Максвелла; действительно, (6.29) переходит в (5.1), когда а постоянна. Эпштейн выбирал свою модель из условий сохранения массы (1.8) и сохранения поверхностного максвеллиана (3.10). Интересно отметить, что взаимность, о которой в статье Эпштейна даже не упоминается, оказывается автоматически выполненной благодаря принятым ограничениям; это, конечно, является следствием специальной формы, выбранной Эпштейном для ядра.

Физические модели взаимодействия газа с поверхностью

Подход, представленный в разд. 6, может быть очень полезным для получения сравнительно простых выражений для семейств ядер рассеяния с несколькими параметрами. Недостатком его является то, что эти параметры не связаны с основными

Рис. 16. Движение молекулы газа внутри жесткой стенки. Фиктивная жест、 кан степка помещена при % = — d, чтобы моделировать объемную силу. Область —2d < х < — d является просто зеркальным изображением физической области —d < х < 0.

физическими величинами, такими, как массы атомов газа и твердого тела, интенсивность и радиус действия силы, темпера、 тура п плотность атомов поверхности. В частности, например, параметры а九 и аь входящие в выражение (6.20), в этом смысле никак не охарактеризованы.

Чтобы получить более детальную информацию, необходимо рассмотреть физическую модель поверхности и вычислить ядро рассеяния из динамики поведения молекулы, захваченной поверхностью. Ясно, что такие вычисления должны быть либо очень схематичными, либо очень сложными [17——24]. Этот под^ ход может быть объединен с подходом разд. 5: второй дает аналитические выражения для функции распределения, а первый — численные значения или простые выражения для параметров, оставшихся не определенными в этих аналитических выражениях.

По-впдимому, более полезный, хотя и мало развитый в настоящее время, подход состоит в использовапрш уравнения (2.9) с LP, заданным посредством (2.8), где В (6, V),力订・，匕)，> должны вычисляться из динамических соображений. Представляется, что главной проблемой при этом будет решение уравнения (2.9) для реальных или по крайней мере не слишком далеких от действительности выражений В,尸订，。订，X. Здесь мы рассмотрим предельно простой случай [6], в котором В (0, ]/) = 0 (т. е.

эффектом жестких столкновений нию с эффектом одновременных

можно пренебречь по сравне- скользящих столкновений), а

Q — 2RT。

Qii =。22 = ~т™ & I,尸订=DijKRTS,

(7.1>

где 1п и lt ——константы с физическим значением длин диффузии в нормальном и касательном направлениях (здесь ，= 1, 2 соответствует двум взаимно перпендикулярным направлениям в касательной плоскости). Далее предположим, что объемная сила представляется дельта-функцией, сосредоточенной в л：= =——d (% = Хз), так что непрерывное взаимодействие заменяется (фиктивной) жесткой стенкой, помещенной внутри физической поверхности (см. рис. 16). Тогда нужно решать уравнение

/九 L din V 1 din RTo 十

+学&務+ ^(煮Р)+『哥(試P)]。2)

в полосе — d < х < 0 (рис. 16) с граничными условиями

Р (0,3 = 5(—У) Йп < 0),

尸(一d,") = P(—d,三—2n[n・/),

что эквивалентно решению того же уравнения в полосе —— 2d&x&0 (рис. 16) с граничными условиями

Q(0, § = 6(JF)風 СО),

p (一 2d, 9 =0低一g + 2口 [П у)& > 0).

Кроме того, для существования производных, входящих в уравнение (7.2), Р и 三八。尸/。自九 должны быть непрерывными.

Для решения нашей задачи воспользуемся следующим приемом [6]; интерпретируя |自九| как радиальную координату в фиктивной плоскости, введем компоненты фиктивной скорости:

& = |?Jcos(p, Е： = К|, 自4 =后卜m中，自:=0,

где 屮一фиктивный угол. Пусть Q = Q(x,储，自2, Ез,自4) непрерывна, непрерывно дифференцируема и удовлетворяет уравне-

(7.7)(7.7)4

(7.7)

(7.7)

ТогдаТогдаQ（0,自］,自2, 自з,自4）=Д/圈一助•

Тогда

Тогда

(7・8)(7・8)。=司|，Q（Ei，自2,胤 |C0S（p,回 |sE（p）d（p

(7・8)

(7・8)

удовлетворяет уравнению (7.2) и условиям (7.4) при 自九 V 0, что видно после перехода в уравнениях (7.6) и (7.7) от Ез,三4 к I , Ф и интегрирования по ср. (Заметим, что

阙 卜a一恥6圈一打两="(中)6("一因1)两=

i国T)(Ef )，(7.9)

как следует из преобразования дельта-функции из декартовой системы координат в полярную.)

Уравнение (7.6) допускает разделение переменных, так что решение может быть факторизовано следующим образом (заметим, что граничное условие (7.7) также факторизуется):

仏=‘2 = 〃； 1} = Ц =乙)，

где G (у, y\ f) удовлетворяет уравнению (проверяется непосредственной подстановкой)

号П察+备①G),既⑵一力. (7.11)

Теперь произведем замену

z = ye‘；(7.12)

при этом уравнение (7.11) примет следующий вид (OG/。/f OG/0/十 十 2 dG/dz, dG/dy -> e‘ dG!dz)\

粤"若+ G.(7.13)

Если положить

U7 = GeT,

(7.14)

то (7.13) запишется так:

dW — 2f 02ttz

(7.15)

Наконец, если ввести

т= %(e2f — i),

(7.16)

то W будет удовлетворять уравнению теплопроводности

dW _02 取

打dz2 '

(7.⑺

имеющему общеизвестное фундаментальное решение [25]

W = (4лт)-，/2 ехр [— (г — гЭ2/(4т)]=

=[2л (е2f - 1)]-，/2ехр {- (г 一 力?/[2 32f — 1)]},(7.18)

откуда (之0 =少0 согласно (7.12) при / = 0)

G = [2冗(1 一 е—2£『厶 ехр {_(% 一 /)2/[2 (仪匕 一 1)] }=

=[2Л (1 一。-2旷% exр {-匂 一 /ет)?/[2 (1 — e-〃)]}. (7.19)

Следовательно,

Q = [2kRTq]~2X

X[([_e-2]Х%)(1一。一2ь4)「1 =

= (2л/?Г0)~2[(1 -e~2lx,/z0(l -е~2]х 心)厂 X

v Г_ (…宀竺 _ (戏+詣厶)一2自忠jx%c。s<p] eXPL 2RTo(l —e-2l”％)2/^o(l -e~2lxl/^)_

(7.20)

и, согласно (7.8) и (6.16),

Р(%, 9 =自；(2兀广依g厂2(1 —ё-2"%)-(1 一ё^g/m一х

X exP [ - 2收。(1 一户人")-2心。(1-]2 J X

L оJ

Для того чтобы найти R(g—>三)，нужно вычислить Р (0,三) при &Z > °・ Но благодаря симметрии граничных условий (7.4)

Р(0, § = P(—2d, g-2n[n-§])

и равенства (2.12), (7.21) дают

R © f 2) = / (2л)-1 (心0厂2 (1 - С-4d/%)T ( ] 一。-4叽尸 x

Xexpr

X/o[^LMl - L")f] ⑶ V。，員>。)・(7.22)

Выражение (7.22) совпадает с ядром (6.20), если положить

а% = 1 — e~w^, % = 1 —。一2叫.(7.23)

Здесь коэффициенты аккомодации связаны с отношениями d/ln, d/〃，где d — глубина проникновения, а /п и lt — две характерные длины, связанные с диффузией в пространстве скоростей.

Любопытно, что при помощи решения уравнения Фоккера — Планка получено ядро, постулированное в разд. 6. Следует заметить, что такое же ядро было найдено Уильямсом [26] посредством аналогии с рассеянием электромагнитных волн поверхностью, а соответствующее одномерное ядро, содержащее 己九 и g； вместо & и 畐，было получено Кущером и др. [27] на основе аналогичного уравнения Фоккера -- Планка и совершенно иной интерпретации.

Возможно, кажется удивительным, что уравнение (7.2) решено при 2雇 V 0 без какой-либо ссылки на то, что происходит при 己九〉0. Вообще следует ожидать довольно сложного взаимодействия между решениями при 匕九 > 0 и при ^ V 0. Эта завязка происходит при раздельном рассмотрении областей потому, что при 占八=0 требуется одно граничное условие для того, чтобы определить решение для 占九 > 0, а другое для того, чтобы определить решение для 占九 V 0. Эти условия суть не что иное, как з

непрерывность Р и £ D3i дР/д^ при 占九=0, и в случае общего уравнения Фоккера ——Планка они приводят к системе двух интегральных уравнений [6].

Если Dij = 0 при 3? = 0, то все чрезвычайно упрощается, потому что тогда условия на границе 自八=0 выполняются автоматически, если дР/д^ там конечна. Физически это происходит

благодаря тому, что молекула газа участвует в некотором диффузионном процессе в пространстве скоростей, при котором знак Е?? не может измениться, так как коэффициент диффузии обращается в нуль при Еп = 0; следовательно, молекула может повернуть назад только на искусственной границе х =——d, моделирующей объемную силу.

Рассеяние молекулярных пучков

Как было указано ранее, рассеяние молекулярных пучков твердыми поверхностями является главным источником экспериментальных данных о взаимодействии молекул с твердой стенкой. В этих экспериментах пучок молекул с заданной функцией распределения падает на стенку и функция распределения вылетающих молекул определяется подсчетом молекул. Экспериментальные результаты по характеристикам рассеяния обычно представляются для рассеяния только в плоскости падения (т. е. в плоскости, содержащей вектор скорости падения U и нормаль к поверхности п). Кроме того, эти результаты обычно относятся только к угловым распределениям. Фактически измеряется отношение числа молекул ^(0, ср), рассеянных в единичный телесный угол, к общему числу рассеянных молекул без различения молекул по скоростям:

N(9,中)=事中"3曰"因成(『口 >0),(8.1)

/Vo J

0

где 0 и ср ——сферические углы в пространстве скоростей с полярной осью вдоль нормали, а

М= J М・пМ・(8.2)

1-п> О

Идеальная функция распределения для падающего пучка представляв! люноэнергетический коллимированный пучок:

/ = Мб(2 — и)/|*・п| =

=^oд (В —石°) д (0 — 0О) 6 (屮一屮о)/(〃2 sin 0О cos %),(8.3)

где Е = ^2/(2/п)——энергия пучка (молекулы предполагаются одноатомными). Такие пучки, однако, трудно получить в лаборатории, и чаще используется другой гип падающего пучка —— «коллимированный тепловой пучок». Он получается коллимацией атомов газа, вылетающих из равновесного печного и стой-

ника, и, следовательно,

f^N.m^RT^ I cos 60 sin 601'1 ехр[-^2/(2/?Г5)] 6 (О-6о)6 (屮一屮。)= =^0 (RTs)-2 I COS 60 Sin 60 Г1 exp [— E^kT^] 6 (8 — 90) 6 (屮一屮о), (8・4) где Ts—температура источника.

Полный поток в телесном угле вычисляется особенно просто, если принять предположение (8.3) и воспользоваться формулой (1.6); тогда

N(8,cp) = i「, R^^^^^-^l-n^2 ^ =

О Lv-n<0 」

= [к(и-> §1『口因 dE = cosejR(Uf 証з 恋.(8.5) о 0

Выражение (8.5) показывает, что если известно R(g-> 三) и выполняется равенство (8.3), то простая квадратура дает ^(0, ср). Если равенство (8.3) заменить на (8.4), то потребуется дополнительное интегрирование по U.

В частности, формулой (8.5) можно воспользоваться в связи с ядром (6.20) и сравнить результаты с экспериментальными [4, 28]. Согласование оказывается удовлетворительным. Здесь мы представили только один случай (рис. 17); данные взяты из эксперимента с пучком аргона при 295 К на платине при 1081 К [29]. Четыре полярные диаграммы относятся к четырем различным углам падения и представляют индикатрисы рассеянных молекул в плоскости падения. Кружки соответствуют экспериментальным данным, а кривые вычислены с помощью ядра (6.20) при ап = 0,3, а^ = 0,1; отметим, что согласование достигается не просто хорошей подгонкой, так как величины ап и at одни и те же во всех четырех случаях. Стоит обратить внимание на то, что экспериментальные данные существенно отличаются от индикатрис, соответствующих зеркальному и диффузному отражению.

До того как изложенный метод моделирования ядер рассеяния был развит и применен, наилучший способ представления экспериментальных данных состоял в том, что для функции распределения вылетающих молекул подбиралось некоторое специальное выражение, содержащее свободные параметры, которые доопределялись путем подгонки к экспериментальным данным. Первые работы в этом направлении были выполнены Шамбергом [30] и Ночиллой [31, 32] В модели Шамберга пред、 полагается постоянная скорость вылета, и эта модель довольно громоздка. Модель Ночиллы основана на сравнительно простой форме для функции распределения вылетающих молекул, кото-

Рис. 17. Сравнение модели, основанной на ядре рассеяния (6.20), с экспериментальными данными Хинчена и Фоли [29]. Значения угла падения 0/ (сверху вниз): 15; 22,5; 30; 45°.

рая принимается максвелловской с массовой скоростью Ur и температурой Т「，отличной от температуры стенки:

f = р「(2МТ「)」％хр[—(自 一 Ur)7(2/?rr)],(8.6)

причем рт определяется из условия сохранения массы. Частные случаи этой модели были ранее рассмотрены Кнудсеном [33]

(U「= 0) и Грэдом [34] (Т「= То). Расчеты, основанные на (8.6), приемлемы, но серьезным недостатком модели является отсутствие какои-либо корреляции между распределениями падающих и вылетающих молекул. Правда, эту трудность можно обойти, интерпретируя (8.6) [35, 27, 4] как распределение вылетающих молекул в случае произвольного монохроматического падающего пучка (8.3). В этом случае (8.6) предполагает ядро рассеяния, являющееся максвелловским по |; условия взаимности (3.9) и нормировки (1.8) сужают это семейство ядер, ограничивая тем самым гибкость модели [4, 27].

В заключение отметнм, что эксперименты по рассеянию на кристаллах при сравнительно низкой температуре обнаружили новое явление, сос/юящее в том, чго индикатриса рассеяния имеет несколько максимумов. Это обусловлено, вероятно, периодичностью кристалла, свойством, которое не учитывалось в моделях, описанных выше.

Н-теорема. Необратимость

Покажем, что если ввести

,"2%(9.1)

第・=心力旧建，(9.2}

где f ——любая функция, удовлетворяющая уравнению Больцмана (II.8.21), то

等+瓷y。。93)

Соотношение (9.3) есть очевидное следствие неравенства (II. 7.3) и того факта, что f удовлетворяет уравнению Больцмана; достаточно умножить обе части уравнения (II. 8.21) на 1+lnf и проинтегрировать по всем возможным скоростям g, учитывая тождество d(f\nf) — (\ + In f) df, неравенство (II.7.3) и тот факт, что 1 есть инвариант столкновений (подразумв- вается также обращение f в нуль при >оо).

Теперь мы можем интерпретировать неравенство (9.3), не- реписав его в виде

餐 + 察？=\lnfQ(f，f)d三&0(9.4)

и введя

"=，驚dx,(9.5)

где R ——область, заполненная газом. Если бы имело место равенство 夕=0, то величина " сохранялась бы, подобно массе, энергии и импульсу, поскольку вектор 務=(第卜舒2,箔з) можно трактовать как поток величины Н (заметим, что здесь 非——не модуль вектора 咏，а плотность, соответствующая потоку 贪). Так как, вообще говоря, » 声 0, а именно < & О, можно утверждать, что молекулярные столкновения действуют как сток для величины Н. Известно также, что источник 5r равен нулю в том и только том случае, когда функция распределения является максвелловской.

Наконец, заметим, что, как и в случае потока импульса (разд. 8 гл. II), вектор 箔 может быть расщеплен ыа макроскопический (конвективный) поток величины ",非и, и микроскопический поток ",箔一％'и.

Интегрируя обе части уравнения (9.4) по х в пределах области R и учитывая возможное движение границы dR этой области со скоростью и0, получаем

*一、(雍• 口 - %现•⑴ dS = \ 夕 dx & 0, (9.6) dR R

где dS ——элемент поверхности границы GR, а п——внутренняя нормаль. Второй член в интеграле появляется потому, что в случае движущейся границы при дифференцировании Я по времени нужно учитывать изменение во времени области интегрирования.

Из неравенств (9.4) и (9.6) выведем две классические формулировки знаменитой Я-теоремы Больцмана.

Если газ однороден (df/dx = 0 и, следовательно, д^ёг/dxi = 0 в (9.3)), то величина 箔(которая зависит только от времени) никогда не возрастает во времени и постоянна в том и только том случае, когда функция распределения является максвелловской (действительно, d^jdt = 0 означает <7 = 0 и в силу результатов разд. 7 гл.II f представляет собой максвеллиан).

Если газ находится в такой области, что интеграл, стоящий в левой части равенства (9.6), неположителен:

\ (翁一％Uo)・ndS《O, (9.7) dR

то величина Я (которая зависит только от времени) никогда не возрастает во времени и постоянна в том и только том случае, когда функция распределения является максвелловской.

Вторая формулировка Я-теоремы охватывает более общие ситуации, но несколько неудовлетворительна, потому что может

применяться только после проверки выполнения условия (9.7). Например, это условие удовлетворяется (со знаком равенства) при зеркальном отражении молекул от границы dR (в системе отсчета, где dR неподвижна); это единственный случай, который рассматривается в традиционных курсах [36, 35].

Можно, однако, получить более точную и важную формулировку Я-теоремы, если границу dR считать такой поверхностью, на которой выполняется условие (1.6). Достаточно заметить, что

\ (Ж -非叫• n dS =卜三 一 и。) • nf In f dW dS =

GR

=Jgr.nflnf^r dS, (9.8)

где 自r = ^.——Uo — скорость молекулы в системе отсчета, движущейся вместе со стенкой. В этой системе отсчета выполняются соотношения (4.9) и (4.13). Следовательно,

、(施—非и。) • n dS & —[(% + Pij^j) ^/]газ dS =

GR

J_ f (q • П)тв. тело dS /q q\

dR и (9.6) дает

dH y f (q • п)тв. тело dS 1 f d*Q/ci

где To может изменяться от точки к точке на OR, a d*Q ——тепло, передаваемое от тела к газу при температуре Т°.

Таким образом, получается следующая

Теорема (обобщенная Я-теорема). Если газ ограничен непористыми твердыми стенками, на которых выполняется линейное граничное условие (1.6), то величина ", заданная формулой (9.5), удовлетворяет неравенству (9.10). В частности, если ни 6 одной точке границы тепло не передается от газа к твердому телу (т. е. ни 6 одной точке OR не реализуется d*Q V0), то Н всегда убывает со временем и может быть постоянной только при максвелловской функции распределения.

Я-теорема Больцмана очень важна, так как выявляет фундаментальное свойство уравнения Больцмана ——необратимость: величина " всегда уменьшается, даже когда она не уходи г в окружающее пространство (знак равенства в (9.7) или в (9.10)) при отсутствии обмена энергией между газом и его окружением.

Кажется, что эти обстоятельства находятся в противоречии с тем? что молекулы, из которых состоит газ, подчиняются за-

конам классической механики, обратимым во времени. Действительно, если задано некоторое движение в момент времени £ = %о со скоростями V], vn, всегда можно рассматривать также движение со скоростями —Vi,…，一Vn (в тех же точках) при t =力°; эволюция назад последнего состояния будет одинаковой с эволюцией вперед первоначального состояния. Следовательно, если dHfdt < 0 в первом случае, то во втором будем иметь dH/d (—/) V 0, т. е. dH/dt >> 0, что противоречит //-теореме Больцмана. Это парадокс Лошмидта (для простоты предполагается, что газ заключен в сосуд с зеркально отражающими стенками; в противном случае такое же возражение применимо к неравенству (4.9)).

Ответ на этот парадокс, грубо говоря, состоит в следующем: при действии законов механики понятия «прежде» и 《после》не имеют строгого значения, так что можно использовать уравнения движения для «предсказания» как будущего, так и прошлого. Однако мы перешли от строго динамического описания к статистическому, основанному на уравнении Больцмана. При выводе уравнения Больцмана (разд. 2 и 3 гл. II) было указано, что соотношение (II. 2.14) приходится использовать для выражения функций распределения, соответствующих послестолкно- вительному состоянию, через функции распределения, соответствующие состоянию перед столкновением, а не последние через первые. Очевидно, что первый путь приемлем, если уравнение нужно использовать для предсказания будущего по прошлому, но не наоборот; ясно, однако, что этот выбор ввел связь с обиходными понятиями прошлого и будущего, чуждыми молекулярной динамике. Иначе говоря, мы подготовили путь для определения этих понятий на основе статистического поведения многочастичных систем.

Когда был взят больцмановский предел (N—>оо, о->0, No2 конечно), получилось уравнение ——уравнение Больцмана,—— описывающее статистическое поведение молекул газа. Поразительное следствие нашего основного выбора состоит в том, ч го это уравнение описывает только движения, для которых величина Я уменьшается, в то время как противоположный выбор привел бы к уравнению, содержащему знак минус перед стол к- новигельным членом и, следовательно, описывающему только движения с возрастающим Я! Эти последние движения не невозможны, а только чрезвычайно маловероятны; они соответствую г начальным данным, при которых скорости молекул перед сголкновением проявляют необычную корреляцию (эта ситуация можс! быть смоделирована вычислительной машиной при изучении движения большого числа взаимодействующих част п и и нр и водит, как и следует ожидать, к эволюции с возрастающее! 〃，в то время как «случайно» выбранные начальные

данные неизменно приводят к эволюциям с убывающей //). Иначе говоря, то обстоятельство, что Н уменьшается, является не внутренним свойством динамической системы, а скорее свойством уровня описания; в свою очередь выбор последнего диктуется намерением описывать физически реализуемую совокупность измерений над системой («макроскопических» измерений) .

Тот факт, что Н проявляет свойство уменьшаться, а не увеличиваться, является вопросом определения; т. е. можно сказать, что 厶〉九 "。определению^ если "a2)V"(厶)，и это фиксирует стрелку направления времени в сторону будущего в согласии с обычными понятиями прошлого и будущего. Это может быть сделано, так как все физические системы Вселенной взаимодействуют одна с другой, и, следовательно, было бы необычно (представляется исключением, например, явление спинового эхо), если то, что оказывается «раньше» для одной системы, будет《позже》для другой (распространение электромагнитного излучения сыграло бы важную роль в исчерпывающем обсуждении этого вопроса).

То обстоятельство, что система никогда в действительности не является изолированной, не следует забывать также и в связи с другим парадоксальным возражением относительно любой механической интерпретации необратимости. Это возражение много тоньше, чем доводы, основанные на обращении скоростей молекул. Оно основано на теореме Пуанкаре, которая утверждает, что любая конечная механическая система, подчиняющаяся законам классической механики, возвратится сколь угодно близко к своему начальному состоянию при почти любом выборе последнего, если подождать достаточно долго. Для состоящего из взаимно отталкивающихся молекул газа, заключенного в ящик с зеркально отражающими стенками, это следует из закона сохранения энергии, в силу которого изображающая точка в фазовом пространстве движется по ограниченной поверхности S (поверхности постоянной энергии). Эти факты означают, что мера м(4) (《площадь》 А) связана с каждым подмножеством А поверхности S так, что если At есть множество точек, в которые точки Л трансформируются вследствие движения к моменту времени /, то 雜(％广=閥(4) и 卩(S)Voo.

Чтобы доказать теорему Пуанкаре, рассмотрим такое подмножество Л поверхности S, что все точки А никогда не возвращаются назад к ,4. Выберем А достаточно малым, а т достаточно большим, так что Дт и Л не перекрываются (если это невозможно, то теорема тривиально верна); тогда никакие из множеств А2т, Л3т, ... не перекрываются, потому что если А пХ и A{n^h}x имели бы общие точки, то, прослеживая движение назад и пользуясь единственностью движения через любую дан-

ную точку фазового пространства, мы получили бы, что Л и Akx должны иметь общие точки, а это противоречило бы определению А. Если множества Д, Дт, Л2т, не перекрываются, то, поскольку р,(Л) = ц(Лт) = ц(Л2т) = ..., общая мера объединения этих множеств будет бесконечной (что невозможно, так как m(S) V оо), если ц(Д) не равно нулю, и теорема Пуанкаре доказана 】).

Из этой теоремы следует, что рассматриваемые молекулы по истечении «времени возврата» могут иметь положения и скорости, настолько близкие к первоначальным, что одночастичная функция распределения f будет практически той же самой. Следовательно, величина " также будет практически той же самой, и если она возрастала вначале, то в некоторые последующие моменты времени должна была убывать.

Ответ на это возражение (парадокс Цермело) состоит в том, что время возврата настолько велико, что практически никто никогда не наблюдал сколь-нибудь заметной части возвратного цикла; действительно, согласно приближенным расчетам, время возврата для типичного количества газа оказывается очень большим числом, даже если за единицу времени принять расчетный возраст Вселенной. Ясно, что при таком огромном масштабе нет нужды беспокоиться о том, что обратимость исчезает. (Снова заметим, что теорема должна применяться ко всей Вселенной и включать излучение; при этом возникает интересная возможность связи между необратимостью и расширением Вселенной.)

В чем смысл функции Я? Существуют две интерпретации: одна для микроскопического описания, другая для макроскопического. Первая следует из того факта, что (см. приложение к гл. II)——Я можно истолковать как степень правдоподобия микроскопического состояния; соотношение (9.6) тогда утверждает, что в изолированной системе (при отсутствии интеграла по поверхности) эволюция происходит в направлении более вероятных состояний. Можно сказать по-другому: чем вероятнее микроскопическое состояние, тем больше число состояний с той же самой функцией Д и, следовательно, знание / дает мало информации о микроскопическом состоянии; поэтому Я как мера неправдоподобия является также мерой информации, содержащейся в 厶 о микроскопическом состоянии, и эта информация уменьшается со временем, поскольку уравнение Больцмана описывает эволюцию в направлении более вероятных состояний. Вторая интерпретация Я ——интерпретация на макроскопическом уровне — раскрывается при помощи соотношения (9.10). Если

1) См. также примечание 4 к гл. I книги [I. 12*]. — Прим. перев.

"связано с энтропией газа п формулой

" = — n/R,(9.11)

то соотношение (9.10) переходит в хорошо известное в термодинамике неравенство Клаузиуса — Дюгема.

В разд. 10 будет показано, что равенство (9.11) выполняется для равновесных состояний, если в качестве п взять обычное выражение для идеального газа; для неравновесных состояний соотношение (9.11) можно рассматривать как определение энтропии п для больцмановского газа. При такой интерпретации Н ясно, что Я-теорема представляет собой не что иное, как доказательство второго начала термодинамики (для больцмановского газа). В этой связи второе начало не является строгим следствием законов механики (в силу парадоксов Лошмндта и Цер- мело это было бы несостоятельно), но зависит от статистических аргументов, асимптотических оценок (для М-> оо, о — 0, Ng? конечно, см. разд. 2 и 3 гл. II) и определения будущего как направления времени, для которого существует статистическая тенденция переходить от маловероятных состояний к более вероятным.

Равновесные состояния

и максвелловские распределения

Убывание Я при отсутствии обмена энергией с окружающей средой (d*Q = 0 в (9.10)) показывает, что уравнение Больцмана описывает эволюцию в направлении состояния с минимумом Н (совместимого с наложенными ограничениями, такими, как объем области, содержащей газ, число молекул, температура соседних твердых тел и т. д.) при условии, что притока Я извне нет. Конечное состояние (которое должно достигаться при 力一а 8) предположительно будет стационарным состоянием, если такое состояние допускается граничными условиями и является устойчивым. Если в (9.10) d*Q ^ 0, то стационарное состояние может быть достигнуто в том и только том случае, когда имеет место знак равенства, а это, как известно, означает, что функция распределения почти всюду в пространстве скоростей представляет собой максвеллиан. Если максвелловские распределения несовместимы с граничными условиями, то никакое стационарное состояние не достигается.

Аналогично, если рассматривать стационарную задачу, для которой максвелловское распределение не является решением, то интеграл ，d*Q/T0 должен быть обязательно отрицательным; это вполне естественно, потому что если f не максвелловская,

то столкновения порождают энтропию, которая должна уноситься посредством надлежащего теплообмена с окружающей средой. Таким образом, если газ находится между двумя параллельными пластинами с температурами Т。】и 7\, Го1 > Tq,, то должен существовать тепловой поток от пласт ины 1 к пластине 2, такой, что (d*Q)i < 0, (d*Q)2= — (d*Q)i < 0 и

J dp/T。- ( (^Q), (Го2 - 7。)/(7。7仇)< 0;

это, конечно, одна из элементарных иллюстраций второго начала термодинамики.

Более частными, чем стационарные состояния, являются равновесные состояния, которые определяются как стационарные состояния без обмена энергией с окружающей средой. Из "-теоремы при d*Q = 0 вытекает

С л е д с 1' в 11 е I. В равновесном состоянии функция распределения должна быть максвелловской.

В частности, обмен энергией на стенке всегда отсутствует при зеркальном отображении. Следовательно, как частный случай имеем

Следствие II. Когда газ ограничен зеркально отражающими стенками, не существует никаких стационарных решений уравнений Больцмана, кроме максвелловских функций распределения {списывающих равновесные состояния).

Этот результат, конечно, неприменим для более реалистических граничных условий.

Попытаемся найти наиболее общую максвелловскую функцию распределения, которая удовлетворяет уравнению Больцмана. Добавим для общности силовой член, как в (II. 8.21), и запишем

*+ ^・黑+ X・* = Q(/J).(Ю.1)

Если / — максвеллиан, то Q(/J) = 0 и, согласно (II. 7.2),

m f =。+ ь 弋 + 喈=〃 + %嶽 + 喈， (Ю.2)

где a, bk и с ——подлежащие определению функции / и х. Подставляя (10.2) в (10.1), имеем

出 丁 0力I s G/十‘ dх. ' J十

•+干以許+儿仇+ 2次自=0;(10.3)

罂+ x也=0,

(Ю.4)

dbk 1(

£ + 2c.O,

(10.5)

дс ~di

д^ + т(7

f ) =。’

(10.6)

要=0. dxi

(Ю.7)

Дифференцирование

равенства

(10.6) no Xj с учетом

(10.7) дает

02bh

0々 дx.'

3i —o dxkdxi

(10.8)

Переставляя индексы в (10.8),

имеем также

02九，

矛力С

Gx jdxk 1

dx：dxk =。，

d2bj

dxk 0% +

dXjd%，

(10.9)

здесь, как обычно, подразумевается суммирование по повторяющимся индексам от 1 до 3.

Приравнивая коэффициенты при различных степенях Е， получаем

Если сложить два уравнения (10.9) и вычесть из результата (10.8), то после сокращения на 2 получится

d2bi

0%jd%也

(10.10)(10.10)Так как все вторые производные каждого bj равны нулю, то bj имеют вид

(10.10)

(10.10)

% (九 х)=ау (/) + рп (0(10.11)

Уравнение (10.6) тогда принимает вид (согласно (10.7), с не зависит ог координат)

++=(Ю.12)

Следовательно,

队=一号m+句)，(10.13)

где со 消=——3肌——а нтис и м м етр и ч ный декартов тензор.

Подставляя в (10.5) выражения (10.11) и (10.13), имеем da, d2c doo, / да

丁 Г 而% + 才"修十 ^+ 2cx总=0.(10.14)

Дифференцируя по х% и вычитая полученное уравнение из такого же уравнения, в котором переставлены индексы i и 々, получаем (зд, с и ①班 не зависят от координат)

Следовательно,Следовательно,(10.15)(10.16)(10.15)(10.16)

Следовательно,

Следовательно,

(10.15)

(10.16)

(10.15)

(10.16)

где 屮=(р«,х) — потенциал. Иначе говоря, внешняя сила не вполне произвольна: она должна быть суммой консервативной силы и неконсервативной силы весьма частного вида, линейно зависящей от координат (декартовых).

Подставляя в уравнение (10.14) выражение (10.16), по

лучаем

dctj d2c да 0(р

(10.17)(10.17)~dT -而/ + 西一2С 百=0,

(10.17)

(10.17)

откуда

1 d2c с

а = 2с(р (/, х) + -j ~^г %^у ^^ + у (Z),(10.18)

где y(/)——постоянная интегрирования, являющаяся произвольной функцией времени, а %? = %»%-

Наконец, нужно удовлетворить уравнению (10.4). Подставляя в это уравнение выражения (10.18), (10.11), (10.13), находим

de

2еr + 2 屮 77-浜”=

1 d'% 卢% 万而X +b/1 d'% 卢% 万而X +b/办,1 М・/厶 毋+五丁"也•办,1 М・/厶 毋+五丁"也•(10.19)(10.19)

1 d'% 卢% 万而X +b/

1 d'% 卢% 万而X +b/

办,1 М・/厶 毋+五丁"也•

办,1 М・/厶 毋+五丁"也•

(10.19)

(10.19)

Уравнение (10.19) можно рассматривать либо как уравнение в частных производных для потенциалов, совместимых с локальным максвелловским распределением, при произвольно заданных величинах с = c(t),⑴川=(о泊(/)=—⑴冗厶 а^ = а；г(0, у = = Y(f), либо как ограничение, наложенное на эти последние величины при заданном потенциале.

Важный частный случай имеет место, когда внешние силы допускают стационарный потенциал. Из (10.16) тогда следует, что з/叮 постоянны, а (10.19) сводится к уравнению

(10.20)(10.20)de ^qp1 d% Q〃2a 左外

(10.20)

(10.20)

2中石一瓦九=一万而匕+ k/一丁.

Предположим теперь, что потенциал ср четырежды дифференцируем в некоторой окрестности. Дифференцируя уравнение (10.20) последовательно по X), хт и x7b имеем

因叫九沙丁市"—0力0\n 0rl —0匕“/-

—51~—一= 0. (10.21)

^国入团叫,cjxidxldxindxn^ dt

Это система десяти однородных линейных уравнений для семи неизвестных; dc/d/,⑴〃± (3 различных компоненты), а? (3 компоненты). Детерминант, вообще говоря, отличен от нуля (заметим, что коэффициенты меняются от точки к точке, в то время как неизвестные функции не зависят от координат). Следовательно, можно заключить, что если потенциал не имеет какого-либо специального вида (такого, например, что третьи производные всюду обращаются в нуль), то со沾=0,竄？ = 0, с = const и в силу уравнений (10.20) и (10.18) 〃 = 2сср(х) + у, где с и 丫 ——постоянные. Поэтому для достаточно общих стационарных потенциалов единственно возможными максвелловскими решениями уравнения Больцмана являю гея стационарные максвелловские распределения; если к тому же нет обмена энергией с окружающей средой, то любое заданное начальное состояние будет стремиться к равновесному состоянию с максвелловским распределением (так называемым барометрическим распределен нием или распределением Максвелла ——Больцмана):

f = exp [2сср(х) + 丫 + с с2] = р0 ехр [—^7^^~]， (10.22)

где Т ———(2Ac)—i——(постоянная) температура газа, а р° =。丫 — плотность в точке, где ср = 0.

Рассмотрим теперь потенциалы с равными нулю третьими производными (это включает случай отсутствия внешних сил). Тогда

屮=4 巧 + у BhnX[Xtni(10.23)

и из уравнения (10.20), приравнивая коэффициенты при соот- ве1ствующих степенях, получаем

deс/2а.

2/L方4一用/9/ =("厂,(1。.24)

Это система десяти дифференциальных уравнений с восемью неизвестными: 丫, 口厶 & з订九.Несмотря па это, система имеет нетривиальные решения в случае, когда члены второго порядка изотропны, BLi = 5M厶 В этом случае последнее из уравнений (10.24) сводится к единственному условию

25万+扌*=0，(1°・25)

которое дает

с = с。+，i cos(2 д/吕/) + czsin(2 д/в /),(10.26)

где с。， q, с2 ——константы. Второе из уравнений (10.24) принимает вид

"2а.de2 А. / d3c dc\

В + 及,・=24 一 a^h = 一 寸(而 + 8石)一 A^Ui

(10.27) где последнее выражение получается с помощью (10.25). Уравнение (10.27) легко решается:

屯=—3 宕 石^1 + & cos (д/台 Z)+ J sin («В f);(10.28)

здесь ，з и ，4 — константы, тогда как с (%) дается выражением (10.26).

Первое из уравнений (10.24) записывается так: dy1/ d2a.clc \

W = 4q =否 4+ 24 石)，(1。・29)

откуда 1 da. 2

y =—耳4~di~ + ~в 44, + а,(10.30)

где ，5 ——константа, a a^ и с определяются формулами (10.26) и (10.28).

Этот результат, принадлежащий Больцману [37], показывает, что в гармоническом поле равновесие не обязательно достигается. Согласно (10.26), (10.29) и (10.28), плотность, скорость и температура осциллируют с собственной частотой поля ил л с удвоенной его частотой.

(10.31)(10.32)(10.31)(10.32)Другой частный случай получается при отсутствии поля, BLm = At = 0. Тогда уравнения (10.24) дают

(10.31)

(10.32)

(10.31)

(10.32)

dt 勿2"3

так что

Y = Yq,电=S0 + 电"，C = Cq + c^ + cj\

где yo, ©о, co, an, &, q — константы. Особенно интересная ситуация возппкаег при поисках стационарного решения; тогда

Ci = С2 = а订=0 и равенства (10.2), (10.11), (10.18) приводят к выражению

f = exp(Yo + «о * ь + 吗М行 + 庇2)=

=p (2臟T)* exp [-(*/卢],(Ю.ЗЗ)

где температура Г = — (2Rc)~l постоянна, и если v0 = /?^«0, О = RT(С1)23, 0)31,① 12)，ТО

V = Vo + 6 八 X,

…2厂(10.34) р = ро exp (而丿

где 厂——расстояние от оси вращения, а р0 ~- плотность при 厂=() (чтобы получить последнее выражение в (10.33), нужно в качестве Vo взять скорость оси вращения, принятой, например, за ось г).

Таким образом, наиболее общее стационарное максвелловское распределение при отсутствии объемных сил описывает газ при постоянной температуре, жестком движении и плотности, заданных в виде (10.34); пространственное изменение плотности отражает центрифугирование газа вследствие вращения.

Эти результаты вместе с тем фактом, что при наличии зеркально отражающих стенок единственными стационарными решениями являются максвелловские распределения (следствие II), показывают, как мал класс стационарных задач, для которых может применяться предположение о зеркальном отражении. Для более общих граничных условий на максвелловское распределение будут накладываться дальнейшие ограничения; следовательно, это распределение при наличии реальных граничных условий является скорее исключением даже в стационарных (неравновесных) состояниях.

Закончим этот раздел вычислением Я в равновесном состоянии, чтобы доказать равенство (9.11). Как было показано, в равновесном сосюянии f задается выражением (10.33). Из формул (9.5) и (9.1) получаем (предполагая, что р н Т постоянны)

” = ln[p(2;aRT「/1 \j dMdx — (2RT尸 \ c2fdldx==

= Л11п[р (2лЖ)門=

=一 TH m (产/р) + [一 |_ /и |п (2献)一 ^ 间，(10.35)

где Л4 ——полная масса газа. Энтропия 刀 одноатомного газа равна

r| = RM In (Т %) + const,(10,36)

где константа может зависеть от полной массы газа, но не от его состояния. После надлежащей и допустимой идентификации аддитивных постоянных отсюда получается соотношение (9.11), что и требовалось доказать.

Приложение

В настоящем приложении дается краткий обзор основных сведений о полиномах Эрмита и Лагерра. Эги полиномы лучше всего определить при помощи разложений в степенные ряды так называемых производящих функций:

ехр (― X + 2х» = £ ^ "九(%),(П. 1)

п = 0

(1 — г)"1 ехр [— (хг)/(1 —%)] = £ 之& (%)•(П. 2)

п=0

Иначе говоря, 〃-й полином Эрмита, 〃九(尤)по определению представляет собой умноженный на п\ коэффициент при в разложении ехр (——之2 + 2xz) в степенной ряд, а /z-й полином Лагерра, Ln (х),— коэффициент при zn в разложении (1—г)-1 ехр [——(xz)/(1——г)] в степенной ряд. Тот факт, что Нп (х) и Ln (х) действительно являются полиномами степени “， очень легко проверить при помощи формул (П.1) и (П.2), из которых можно также получить явные выражения для "气 и Ln. В частности,

"о(х)=1,〃i(x) = 2x, Н2 = 2х2 — 1;

丄 о(х)=1,&(х)=1—х.•

Ряд (П.1) сходится для любых комплексных г, а ряд (П. 2) для |之| 之 1 (что сразу следует из сингулярности в левой части (П.2) и отсутствия сингулярности в левой части (П.1)). Заметим, что левая часть (П.1) инвариантна по отношению к преобразованию х, N + ——x,——z. Следовательно,

/(—x) = (—l)”(x),

так что полином Эрмита имеет четность своего собственного индекса.

Если умножить (П.1) на то же самое выражение с zr вместо %, а затем умножить результат на ехр (——х2) и проинтегри-

розать но 犬 си ——оо до оо, то получится

П = 0 /，' = (、—оо

= \ exp (― a? —+ 2工之 + 2x2/ — %) dx =

=犀之才 \ exp [― (% — 2 — n')2] dx =

=V^。2力'= 7^t ^г~ •(П. 4)

п = 0

Сравнение двух степенных рядов, входящих в (П.4), показывает, что

\ Нп (х) 〃紋(х) dx = Vn 献 2忆〃球.(П. 5)

Из (П.5) следует, что полиномы Эрмита ортогональны по мере ехр (—-х?) dx.

Если теперь взять выражение (П. 1) с z = р ехр (/ф), умножить его на такое же выражение с у вместо х н 2 = р ехр (——kp) вместо 之，а затем умножить результат на р ехр (——p2/s) и проин- гегрировать от ср = 0 до 2л и от р = 0 до оо, то получится

е-2“р)+ 2P (叉标，+ У。-")] р dp dcp =е-2“р)+ 2P (叉标，+ У。-")] р dp dcp =

е-2“р)+ 2P (叉标，+ У。-")] р dp dcp =

е-2“р)+ 2P (叉标，+ У。-")] р dp dcp =

со2поо

= X -^7]- нп (х) Нп^ (z/) [ е'(〃—/Mdcp § p〃+〃'-b-K/sdp =

71,出=0Оо

(П.6)(П.6)2 為 Нп (%) Нп，9) 2//” i р?" b-м/s dp =

(П.6)

(П.6)

ЦН/2(Х)Нп 匂)・

/г = 0

так как тогда имеем

彳=J J exp[一层(? + 2)一标(--2)+ + 2 (% + ?/)" + 2i (к — у) и] d〃 dv =

=4"一(h2)[-耳*打｝d"X

x exp [(x + у)2 承 一(X — у)2=

(П.7)(П.8)(П.7)(П.8)= exp Г s (宀厂一上少 ； «1—4s2 卜L 1+2s l—2s 」

(П.7)

(П.8)

(П.7)

(П.8)

здесь был использован известный интеграл

\ °-а (〃一8)2 d〃 = д/п/а .

Сравнивая два выражения для ? и сокращая на общий множитель ns, получаем

几=0几=011expexp「S (% + 疗L 1 +2s「S (% + 疗L 1 +2sS(Y - y)21 — 2sS(Y - y)21 — 2s]• (П.9)]• (П.9)

几=0

几=0

1

1

exp

exp

「S (% + 疗

L 1 +2s

「S (% + 疗

L 1 +2s

S(Y - y)21 — 2s

S(Y - y)21 — 2s

]• (П.9)

]• (П.9)

E託/⑴明⑻=% = 0E託/⑴明⑻=% = 0(П. 10)(П. 10)Это очень важная формула для работы с операторами, собственными функциями которых являются полиномы Эрмита. Целесообразно заменить s на s/2 и переписать (П.9) следующим образом:

E託/⑴明⑻=

% = 0

E託/⑴明⑻=

% = 0

(П. 10)

(П. 10)

S—s2 P|_2(l+s)2(1—s)」

(|S| Vl)・

Полагая, в частности, s-> 1, видим, что сходимость в обычном смысле отсутствует; однако имеет место сходимость в смысле обобщенных функций, и в этом смысле

£ 鳥必(X)Нп 匂)="X(х — 〃)，(П. 11)

九=0

что доказывает полноту системы полиномов Эрмита.

Далее, если (П.2) умножить на такое же выражение с z' вместо 之，а затем умножить результат на е~х и проинтегрировать по х от 0 до оо, то получится

У £ МУ" [& (%) Ln (х) с—% dx =

几=(J /九=и<1

=[(1 -力(1 -寸)L jexp[—X (Ту + 1 ； 2,) — x]dx =

Сравнение двух рядов в этом равенстве показывает, что

j丄九(х)丄加(％)dx = 6师，(П. 13)

о

откуда следует ортогональность полиномов Лагерра на полуоси (0, оо) по мере e~xdx.

Положим теперь в (П.10) х = р cos 屮，y = picosq)i, умножим его на такое же выражение с х = р sin 屮，у = pi sin 屮】 и проинтегрируем по 屮卜 Тогда

三 £ £ 快!(儿一期!]-"加(P cos cp)(p sin ср) X 九=0 左=0

2л

X，Hk (Pi cos cpj Hn-k^{ sin cpj dcp!= 0

=T^- exp [—(p2 + P?)] J exp[-j^ cos (叫-(p) ] d% =

о

2л

=-pz—2 exp[—(P2 + P?)] \ exp[-^|^ coscp^cp!, (П. 14)

о

где последнее выражение получается заменой 屮】на 屮i + 屮 с учетом периодичности подынтегрального выражения. Правая часть (П.14) не зависит от ф； следовательно, суммы

s% (р, Р1) = £ X 硝丄①[Hk (р cos ф) Hn-k (р sin 屮)X 左=0

5

X \ нк (Pi cos фО Hn-k (Pi sin cpj rfcpi, (П. 15) о

являющиеся коэффициентами разложения правой части (П.14) в степенной ряд по s, тоже не зависят от ср. Таким образом, проинтегрировав обе части (П.15) от 0 до 2л, получим другое выражение для Sn (р, pi), симметричное по р, pi：

п2л2л

Sn (р, Р1) = ；2研丄初云\\ H^(pcoscp)^-^(psin(p)X

々=0()о

X Hk(Р1sin Ф!)Hn-k(pjcos ф!) dcpd^x= Sn (рьp).(П. 16)

При замене ф на ср + ^ интегралы должны остаться неизменными, так как интегрирование проводится по периоду подынтегрального выражения; с другой стороны,

Hk(Р cos ср)(р sin ср)

превращаются в

(—If Hk (р cos ср) (psinф)

в силу свойства четности полиномов Эрмита. Следовательно, Sn(p, pi)=——S”(p, pi) для нечетных п, так что

S2m+1 (р, Р1)=。(他=0, 1,・・・)•(П. 17)

Теперь фиксируем р】и будем менять р. Из (П.16) ясно, что S2m(р, pi)——полином, содержащий только четные степени р и имеющий степень 2m и, таким образом, являющийся (ненулевым, за исключением конечного набора значений pi) полиномом степени т по р2.

Применим формулу (П.15) для вычисления интеграла

ОО 2л

\ \ S2%(p, Pi)S(р, pi)Lpdpdg)= о о

2〃 2m

22n+2m/г! (2/г —丸)！ /г! (2〃z — /г)!

X j j / (x) Hh (x) H2n-k(y) H2m-h (u) e-^+^ dx dy x

2л

X \ Hk(P! cos фО H2n-k (pj sin Ф0 d^x X

2л

X \ ”〃(Pl COS 屮2)^2/n-Jpl Sin 6)^Ф2,(□• 18)

0

где произведена замена полярных координат р,屮 на декартовы х = р cos ср, у = р sin ср. Воспользуемся теперь независимостью ^п (р, pi)Sm(p, р!) от ф, а также соотношением (П. 5); это даст

2 ^S2n (р, pi)S2m (р, Pi)cRpdp =(D(pi)6^,(П. 19)

о

где

2九2门2л

①(Р1)=声 X 矶3)! \ \ нk (pl cos Ф!)H2n-k (Pi sin фО X 々=0о о

X "Мр1 COS ф2) ”2Gi (pl sin 屮2)^Ф1 ^ф2 (П. 20)

и принято во внимание равенство 8^г82п-к,2т-ь = б^б^т.

Из (П.19) следует, что при фиксированном pi полиномы $2"(р, pi) по р2 ортогональны по мере 2ре~р2 dp, так что полино мы Рп (х) = S2n (Vх » Pi) ортогональны по мере e~^dx. Однако последовательность полиномов всех степеней, которые ортогональны по данной мере, определяется с точностью до некоторого множителя, поскольку они легко строятся рекурреытно (методом Грама ——Шмидта). Следовательно, полином Рп (х)= =52九("工,pi) при любом фиксированном pi должен быть пропорционален 厶八(х), так что имеем S2n (р, pi) = Qn (pi)Ln (р2). С другой стороны, S2几(р, pi) = S2九(pi,p); значит, 0九(р】) должен совпадать с 厶沱(р；) с точностью до постоянного множителя kn. В результате имеем

52ДР, ^ = kLn^ Ln^.(П. 21)

Эта формула устанавливает связь между полиномами Эрмита и полиномами Лагерра. Тогда с учетом соотношений (П.15) и (П.21) формула (П.14) принимает следующий вид:

2 s2”"4*2) 4(哨= n=0

2л

=T~^ ехр [— 什 + Р；)] jexp (浜毕二尸)d^ . (П. 22) о

Для того чтобы вычислить константы kn, ПОЛОЖИМ Р1 = р и проинтегрируем обе части равенства (П.22) по р, предварительно умножив его на e-#2pdp.

Используя (ПЛЗ) с т = п н х = р2, получаем

£j \ exp ( — У — j^： + P2 cos cp) 2p dp d(p =

n = 00()

—1 - s2 J 1 +2s2(l -s2)T -2；(1 -s2) —】cos(p —

=[= 丁空丁 = 2n > C八(п. 23)

J 1 + s2 — 2s cos ф 1 — s2 乙 ，'/

о/г = 0

где последнее выражение следует из разложения (1——s2)-1. Сравнение коэффициентов двух рядов в (П.23) показывает, что kn = 2n. Если еще заменить s? на s, то формула (П.22) запишется в виде

2*〃廿)厶八5)=

=Г二 exp[— т4т (р2 + Р|)]呑 § ехр(^^ cos ср) d^ =

()

=14тс*!"占(Р2 + 片)]/。С^9•(П. 24)

Здесь /о——модифицированная функция Бесселя нулевого порядка первого рода [38], которую можно определить с помощью интегрального представления 2л

(П.25)

Равенство (П.24) является основным соотношением при работе с полиномами Лагерра. Если положить s -> 1, то получим в смысле теории обобьценных функций

=(П. 26)

/2 = 0

что доказывает полноту системы 厶〃 (х). Соотношение (П.26) легко проверить, заметив, что правую часть формулы (П.24) можно записать в внде

/ (s, р, р J * схр :丁(Р2 + 巾]X

X Т『\ 彳\ s「ХР [—Г^У (卩‘十 Р； — 2рР] cosy)] d(p, (П. 27)

где подынтегральное выражение положительно и стремится к нулю при s -> 1, за исключением случая, когда р? + р；——2рР]Х X cos ф = 0, т. е. когда p=pi,屮=0. С другой стороны, полагая х = р cos 屮，у = р sin ср, имеем

8 28

\ \ exp [— Y^ (p2 + P； — 2Ppi cos(p)J d (p2) d(p =

о 0

=2，，y^7 exp ^ — y^ [Cr — pj2 + y2] ^dxdy = 2л. (П. 28)

Следовательно, при s -* 1 подынтегральное выражение в (П. 27) стремится к 2л:6(р2——р：) 6((р). Так как множитель вне интеграла в (П.27) стремится к легко вычисляемому конечному пределу, получаем

|i"/(s, р, р]) = exp (-^-^-) д (р2 — р2) = е"д (р2 — р2), (П. 29)

и соотношение (П.26) подтверждается.

Из свойств полиномов Эрмита и Лагерра заключаем, что полиномы ^)imn от компонент 員，&小 星 вектора скорости, определенные равенством (6.14) основного текста:

^1тп 闺Н" 2m2"厂也 Lz (嬴)(vftr) "" (“％)

(П.30) удовлетворяют соотношению

)电^ (3电…(9九阳化• П丨舞=^4nm,6内(n. 31)

Кроме того, из формул (П. 10) и (П. 24) следует, что имеет место равенство

£ plqmsn^imn (?) ^lmn (gz)=

I, т, п

Г р.

=/ _二zrzr exp I ——Г

, q(团+以了 q& - G I

十 2(1 + e) —E2(1-7) 2RTo 十

s 闻+编2 S (玩一编2] ( Vp 自忠) 十2(1+ s)一一0(1 _ S)一家7； —万丁丿

(|p|, \q\, |s|< 1),(П.32)

Т. е. формула (6.15) основного текста,

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

[1]

[2]

[3]

[4]

[7] 8

9 閤

口2]

[13]

[И] [15]

[16]

*18' 」9' ：20' 2Г '22' 23 '24' [25]

[28]

[29]

[30]

[31]

[32]

[35]

Cercignani С., in “Transport theory" (Birkhoff G. et al„ eds.), SIAM- AMS Proceedings, vol. I, p. 249, Providence, AMS, 1968.

Cercignani C., Mathematical methods in kinetic theory, New York, Plenum Press, 1969; русский перевод: Черчиньяни K・，хМатематические методы в кинетической теории газов, М., «Мир», 1973.

Kuscer I., in “Transport theory conference”，AEC Rep. ORO-3858-1, Blacksburg, Va., 1969.

Cercignani C., Lampis M., Transport Theory and Statistical Physics, 1, 101 (1971).

Kuscer I., Surface S“，25, 225 (1971).

Cercignani C., Transport Theory and Statistical Physics, 2, 27 (1972); русский перевод: сб. Механика № 6 (148), 38—56 (1974).

Lebowitz J. L., Frisch H. L., Phys. Rev., 107, 917 (1957).

Bergmann P. G., Lebowitz J. L., Phys. Rev., 99, 56 (1955).

Lebowitz J. L., Bergmann P. G., Ann. Phys., N. Y., 1, 1 (1957).

Darrozes J., Guiraud J. P., Compt. Rend. Ac. ScL, A292, 1368 (1966).

Maxwell J. C., Phil. Trans. Roy. Soc., I, Appendix (1879); перепечатано в The scientific papers of J. C. Maxwell, New York, Dover, 1965.

Shen S. F., Kuscer I., in “Rarefied gas dynamics” (Dini et al., eds.), vol. I, p. 109, 1974.

Gross E. P., Jackson E. A., Ziering S., Ann. Phys., N. Y., 1, 141 (1957); русский перевод: сб. Механика, № 5 (51), 33—55 (1958).

Shen S. F., Entropie, 18, 138 (1967).

Cercignani C., Lampis M., in “Rarefied gas dynamics,^ (Karamcheti K・, ed.), p. 361, 1974.

Epstein M., A1AA Journal, 5, 1797 (1967).

Goodman F.O.,Phys.Chem.Solids,23,1269(1962).，

Goodman F.O.,Phys.Chem.Solids,23,1491(1962).

Goodman F.O.,Phys.Chem.Solids,24,1451(1963).

Goodman F.O.,Surface S%7, 391(1967).

Trilling L., Surface Sci., 21, 337 (1970).

Logan R. M., Stickney R. E.,丄 Chem. Phys., 44, 195 (1966).

Logan R. M., Keck J. C., /. Chem. Phys., 49, 860 (1968).

Logan R. M., Keck J. C., Surface ScL, 15, 387 (1969).

Соболев С. Л., Уравнения математической физики, M.—Л., ГИТТЛ, 1950.

Williams М М. R., /. Phys., ser. D. Appt. Phys., 4, 1315 (1971).

Kuscer I., Mozina J., Krizanic F., in “Rarefied gas dynamics” (Dini et al., eds.), vol. I, p. 97, 1974.

Cercignani C., in “Rarefied gas dynamics” (Dini et al., eds.), vol. I, p. 75, 1974.

Hinchen J. J., Foley W. M, in “Rarefied gas dynamics,^ (de Leeuw J. IL, ed.), vol. II, p. 505, New York, Academic Press, 1966.

Schambcrg R., Proc. 1959 Heat Transfer and Fluid Dynamics Institute, p. 1, Stanford Univ. Press, 1959.

Nocilla S., in “Rarefied gas dynamics^^ (Talbot L., ed.), p. 169, New York, Academic Press, 1961.

Nocilla S., in “Rarefied gas dynamics^^ (Laurmann J. A., ed.), vol. I, p. 327, New York, Academic Press, 1963; русский перевод： сб. «Взаимодействие газов с поверхностями», М., «Мир», 136—153, 1965.

Knudsen М., Ann. der Phys., 34, 593 (1911).

Grad H., in “Handbuch der Physik”，Band XII, S. 205, Springer, 1958; русский перевод: сб. «Термодинамика газов», AV, «Машиностроение», 109, 1970.

Коган М. Н., Динамика разреженного газа, М.,《Наука》，1967,

[36][37][38][39][40][36][37][38][39][40][43*]「44*][43*]「44*][45*] [46*] 「47*] [48*][49*] 「50*][51*] [52*] [53*] 「54*] 「55*] [56*] 「57*][58*] [59*][45*] [46*] 「47*] [48*][49*] 「50*][51*] [52*] [53*] 「54*] 「55*] [56*] 「57*][58*] [59*]

[36]

[37]

[38]

[39]

[40]

[36]

[37]

[38]

[39]

[40]

[43*]

「44*]

[43*]

「44*]

[45*] [46*] 「47*] [48*]

[49*] 「50*]

[51*] [52*] [53*] 「54*] 「55*] [56*] 「57*]

[58*] [59*]

[45*] [46*] 「47*] [48*]

[49*] 「50*]

[51*] [52*] [53*] 「54*] 「55*] [56*] 「57*]

[58*] [59*]

Chapman S., Cowling Т. G., The mathematical theory of non-uniform gases, Cambridge Univ. Press, 1952; русский перевод: Чепмен С., Кау- липг Т., Математическая теория неоднородных газов, М., ИЛ, 1960.

Boltzmann L., Wissenschaftliche Abhancllungen (Hasenorl F., eel.), Band II, S. 83, Leipzig, J. A. Barth, 1909; русский перевод: Больцман Л., Лекции по теории газов, М., Гостехиздат, 1956.

Watson G. N., A treatise on the theory of Bessel functions, Cambridge Univ. Press, 1958; русский перевод, изд. 1945 г.: Ватсон Г., Теория бесселевых функций. Ч. 1, Ч. 2, М., ИЛ, 1949.

Jensen J. L. W. V., Acta Mathematica, 30, 175 (1906).

Zygmuncl A., Trigonometrical series, p. 67, New York, Dover, 1955; русский перевод: Зигмунд A., T ригонометрические ряды, М., «Мир», т. I, т. II, 1965 (стр. 45 т. I).

Rudin W., Real and complex analysis, London, McGraw-Hill, 1970.

Barantsev R. G., Some problems of gas-solid surface interaction, Progress in Aerospace Sci., vol. 13, 1—80, 1972.

Баранцев P. Г., Взаимодействие газов с поверхностями, в кн. «Итоги науки и техники. Гидромеханика», т. 6, М., В14НИТИ, 5—92, 1972.

Koran М. Н., Макашев Н. К., О граничных условиях для течений с химическими реакциями на поверхности, Механ. жидкости 〃 газа, № 1, 129—138 (1972).

Климонтович К). Л., Я-теорема Больцмана для неидеалыюго газа, Ж. экспер. и теор. физика, 63, № 1, 150—156 (1972).

Луцет М. О., О течении релаксирующего газа вблизи твердой поверхности, Ж. прикл. механ. и техн, физ, № 4, 33—39 (1973).

Филиппов Б. В., Аэродинамика тел в верхних слоях атмосферы, Л., изд-во ЛГУ, 1973.

Богданов А. В., Сергеев В. Л., Эпкональпая модель отражения атома газа от кристаллической поверхности, Вестник ЛГУ, № 19, 69—72, (1974); Индикатриса рассеяния атома газа на кристаллической поверхности в эйкональном приближении, в кн. «Аэродинамика разреженных газов», вып. 7, Л., изд-во ЛГУ, 71—76, 1974.

Пярнпуу А. А., Взаимодействие молекул газа с поверхностями. М., «Наука», 1974.

Barantsev R. G., Gas-surface interaction and free molecular interference, Rarefied gas dynamics, Proc 9th Intern. Symp., Gottingen, E2-1-E2-16, 1974.

Steele W. A., The interaction of gases with solid surfaces, Oxford, Pergamon Press, 1974.,

Kiiscer I., Boundary con"让ions in linear kinetic theory, Colloques Intern. C. N. R. S., № 236, 59—70, 1975.

Ku see г I., Viclav I., Properties of surface scattering operators, ZAMP, 26, № 2, 165—171 (1975).

Nah г H., Atomic scattering, Surface science, Lectures, vol. II, 9—62, 1975. Waldman L., Vestner H., On the theory of boundary conditions, Physica, S0A, No. 6, 523—549 (1975).

Кузнецов В. M., Кузнецов М. М., О граничных условиях для гечений многоатомных газов,水.прикл. механ. и техн, физ., № 4, 93—102 (1975). Goodman F. О., Wachman Н. Y., Dynamics of gas-surface scattering, New York, Academic Press, 1976; готовится к печати русский перевод (изд-во «Мир»).

Москалев О. Б., Я-теорема Больцмана для газа в термостате, Докл. АН СССР, 232, № 3, 521—523 (1977).

Ннбаров В. А., О граничных условиях для уравнений аэромеханики и параметрах граничной функции рассеяния на химически активной поверхности, Вестн. ЛГУ, № 1, 120—126 (1977).

1) См. также список литературы к части I дополнения.——Прим. ред.

IV

Линейная теория переноса

Линеаризованный оператор столкновений

Из-за нелинейного характера столкновителы-юго члена решение и анализ уравнения Больцмана связаны со значительными трудностями. В разд. 10 гл. III был исследован весьма частный класс решений, а именно максвелловские распределения. Смысл этих распределений ясен: они описывают равновесные состояния (или несколько более общий класс состояний, характеризующихся отсутствием теплового потока и вязких напряжении). Для того чтобы описать более реальные неравновесные состояния, когда имеются вязкие напряжения и теплоперенос, приходится полагаться на приближенные методы.

Часть наиболее действенных методов решения основана на теории возмущений: выбирается параметр £, который в некотором классе задач может быть малым, и функция распределения / раскладывается в ряд по степеням £ (или, в более общем виде, по функциям o?i(£), таким, что lim о八+ 1(£)/0八(£)= 0). Получаю- 0

щееся разложение, которое является, вообще говоря, не обязательно сходящимся, а лишь асимптотическим решением уравнения Больцмана, дает полезные сведения для некоторого интервала малых значений £ (иногда большего, чем можно было бы ожидать).

Существует много вариантов теории возмущении, соответствующих различным способам выбора е. В этом разделе мы намереваемся изучить общие свойства любого метода возмущений применительно к оператору столкновений Q (/, /), ограничиваясь степенным разложением по е：

f=f £力.(1.1)

Подставляя это разложение в Q (f J) и приппмая во внимание квадратичность оператора столкновенн]!, а также правило Коши для произведения двух рядов, находим

Q.f—W^^QC/Ui),(L2)

где Q(j, g) — билинейный оператор, определенный формулой (II. 6.2). Симметрия полученного выражения обусловлена тем, что можно комбинировать члены с 々=«о и k = п — k0 (для любого 々°, О W 々° W 儿).

Выражение (1.2) показывает, что разложение f в ряд по степеням е приводит к аналогичному разложению столкновитель- ного члена, коэффициенты которого равны

Qn=XQ(九，fn-k)-(1・3)

々=0

Многие разложения теории возмущений, которые применяются к уравнению Больцмана, обладают тем свойством, что членом нулевого порядка в них служит максвелловское распределение или как решение уравнения нулевого порядка, или как следствие предположений, лежащих в основе метода возмущений. Ограничиваясь далее этим случаем, заметим, однако, что параметры максвеллиана (плотность, массовая скорость и температура) могут произвольным образом зависеть от времени и координат (при этом он, вообще говоря, не является решением уравнения Больцмана), но это можно не принимать во внимание при рассмотрении оператора столкновений, поскольку он не затрагивает зависимости функции f от координат и времени.

С учетом принятого допущения имеем (см. разд. 7 гл. II)

Q(fo, fo) =。， Qo — 0-(L4)

Отметим теперь, что величины Qn (儿 ^ 1), согласно (1.3), представляются следующим образом:

Q/, = 2Q仇，九)+ Eq(九九f)仇1),(1.5)

k= 1

причем первое слагаемое соответствует значениям 々=0 и h = п в (1.3), а второй член включает в себя /% при 左 V 几 и, следовательно, известен на п-м шаге теории возмущений (в частности, он равен нулю при 几=1). Поэтому оператором, который нужно рассматривать, является линейный оператор 2Q(fo, ；九)，действующий на неизвестную функцию ，九；остальную же часть можно считать членом типа источника (обозначим его через foS^). Обычно полагают fn — fohn и /ч рассматривают как неизвестную; тогда выражение (1.5) записывается в виде

Qn = fQLhn + f0S^(1.6)

где, по определению, линеаризованный оператор столкновений 厶 дается формулой

Lh = 2/о~ !Q (/о, ^)=』U。* 侬 +

Х8(о, У) d^ d& de. (1.7)

Второе выражение получено с учетом формулы (II. 6.2) и того факта, что Д), будучи максвеллианом, удовлетворяет уравнению (II. 7.7).

Используя свойства Q 优 g) и определение оператора 厶，получим некоторые основные свойства L. Если записать соотношение (II. 6.12) при f = fo, g = АЛ и 屮=g, то будем иметь u0乳"^ = 2 ,虱仇，f0A)塞=-亲、(% + "一儿一用)X

X(g： + g' — g* — g2(e, U)d£d三如阻(1.8)

Это выражение показывает, что при перемене местами g и h интеграл переходит в комплексно сопряженную величину (и, следовательно, остается при такой перемене неизменным, если g и Л вещественны). Поэтому естественно ввести гильбертово пространство 第[1——5], в котором скалярное произведение (g, %) и норма ||^11 определяются формулами

(g, %) = V。⑶爲阳 h ⑶公 II h II2 = (%, A).(1.9)

Тогда соотношение (1.8) принимает вид

®, /Л) = (厶g, %),(1.10)

и, следовательно, оператор А — самосопряженный (здесь g и 九 принадлежат области определения L). Полагая в (1.8) g = %, получаем

(Л? L/z) = _ J_ J I /г； + ^-^-1гП^,У) dg dt ^ d0, (1.11) и, так как В (0, У) > 0, имеем

(%, //)&0,(1.12)

причем равенство имеет место тогда и только тогда, когда величина, квадрат которой стоит в подынтегральном выражении, равна нулю, т. е. когда h является инвариантом столкновений.

Соотношение (1.12) означает, что А ——неположительный оператор в 第.Если выражение (1.11) равно нулю, т. е. если Л — инвариант столкновений, то из (1.7) следует, что

/力=0;(1.13)

обратно, умножив скалярно это равенство на Л, согласно (1.9), получим

伍，厶/г) = 0,(1.14)

а это означает, что Л——инвариант столкновений. Таким образом, инварианты столкновений 屮々(и только они) являются собственными функциями оператора 厶，соответствующими собственному значению 九=0; все другие собственные значения, если

они существуют, в силу (1.12) должны быть отрицательными. Как легко убедиться, неравенство (1.12) представляет собой линеаризованное неравенство (II. 7.3); действительно, если в последнее подставить / = /о(1 + ^) и пренебречь членами выше второго порядка (члены нулевого и первого порядков взаимно yi-пгчтожаются), то получится (1.12). Отметим свойство А, вытекающее из равенств

(a=0, 1, 2, 3, 4)(1.15)

и (1.10) (при g = wj а именно свойство

(也，厶 ％) = 0.(1.16)

Это линеаризованный вариант формулы (II. 8.22).

Линеаризованное уравнение Больцмана

Как было отмечено в предыдущем разделе, значительная часть разложений теории возмущений, применяемых к уравнению Больцмана, имеет вид (1.1). Результат подстановки такого разложения в уравнение Больцмана

* + ?^ = Q(/J)(2.1)

зависит от смысла параметра £. Если £ не входит явно в уравнение (2.1), то, приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях 8, получаем

三• 4^ = Q(%，%)'(2・2)

禦+ W •察=Q*(2.3)

где Qn имеет вид (1.3).

Из (2.2) следует, что функция f0 должна быть решением уравнения Больцмана. Так как мы не знаем других решений, кроме максвелловского (за исключением некоторых малоинтересных) ,мы практически вынуждены выбрать в качестве % максвелловское распределение; иначе начальный шаг теории возмущений будет столь же трудным, как и решение исходного уравнения. Хотя и существуют максвелловские распределения с переменными плотностью, скоростью и температурой, удовлетворяющие уравнению Больцмана (см. разд. 10 гл. III), они имеют частный характер, поэтому в качестве % возьмем макс- веллиаы с постоянными параметрами. Такой выбор вполне достаточен для последующего анализа. Физически это означает, что изучаются случаи малых отклонений от состояния полного равновесия.

Можно ПОЛОЖИТЬ /\ = /о"?? (2.3) в виде

0/2% I .0储1 dt 十 S • Ox

(n 1) и записать

■厶%九+ S注,

уравнение

(2.4)

где, согласно (1.5) и (1.6),

S]=0, S九=% 1 £] Q (/也，fo/j_ J.(2.5)

Последовательность уравнений (2.4) описывает алгоритм последовательных приближений для решения уравненнн Больцмана. Удобно, что на каждом шаге приходится решать одно и то же уравнение только с новым свободным членом, который вычисляется по предыдущим приближениям. Уравнения, которые нужно решать, содержат сложный интегродифферепцпа ль- ный оператор и по виду почти столь же сложны, как и исходное уравнение Больцмана, за тем исключением, что мы избавились от нелинейности. Поскольку на каждом шаге мы имеем дело с одним и тем же оператором, можно сосредоточиться на первом шаге и исследовать уравнение

*+自，^ =丄么(2・6)

которое называется линеаризованным уравнением Больцмана.

Наличие свободного члена в последующих шагах незначительно усложняет решение уравнении, поскольку хорошо известным способом можно решить неоднородное линейное уравнение, как только мы справились с соответствующим однородным (см. разд. 11). Однако практически обычно делается лишь первый шаг и решается линеаризованное уравнение Больцмана вместо нелинейного.

Изучение линеаризованного уравнения Больцмана важно, по меньшей мере, по двум причинам.

Существуют условия (которые будут уточнены ниже), когда результаты, полученные с помощью линеаризованного уравнения, достаточно точно отражают физические явления.

Линеаризованное уравнение имеет такую же структуру (за исключением нелинейности в столкыовителыюм члене), что и полное уравнение Больцмана; это позволяет надеяться получить ценные сведения относительно свойств решен и ii полного уравнения, изучая линеаризованное; конечно, имеются в впду свойства, связанные не с нелинейными эффектами, а, например, с поведением газа вблизи границы, для которых можно ожидать, что нелпнейныи характер столкновении не существен.

Уточним теперь условия, при которых можно использовать линеаризованное уравнение Больцмана для получения физнчс-

ски интересных результатов. Поскольку параметр е, по предположению, нс входит в само уравнение, следует рассмотреть начальные и граничные условия. Так как мы ищем решение в виде f = %(1 +九)при условии, что 儿 в том или ином смысле, мало по сравнению с единицей, необходимо, чтобы h было мало и при / = 0 и па границах.

Следовательно, первым условием является малость отклонения начальных данных от основного максвеллиана Д); это не обязательно означает, что h мало всюду при / = 0, а может означать ||川If J_, где \\h\\ определена формулой (1.9). В частности, если р, V, Т ——начальные плотность, скорость и температура, а ро, Vo, 「о — соответствующие параметры в f0, то величины |р — ро|/ро, |v —Vo|/(RTo) и \T—Tq\/Tq должны быть малы по сравнению с единицей.

Аналогичная (хотя это менее очевидно) ситуация имеет место при рассмотрении граничных условий. Если подставить

f = fo(l+m(2.7)

в граничное условие (III. 1.6), то получится

用(х, t 0 = % (х ,三，/) + \ 8 (胃 f 自；х J) % (x,工力 dg

(xwdR, c • n > 0),(2.8)

где c・n V 0 заменяет W'・n V 0, чтобы учесть возможное движение границы, и

力о (х,自，/)=

= [%(》c・n|L\ R(gf 自；х, f)fo(F)|cJn|dg — 1,(2.9)

c'・n <0

8(g-> 自；x, ?) = [% (露 c・n|L 火停 f 三；x, 0 /о micz-n|. (2.10)

Как видно из (2.8), h может быть мало (в некотором смысле) лишь тогда, когда свободный член hQ тоже мал. Пусть fw(|, х, t) (х е dR) — максвеллиан со скоростью и температурой, равными скорости и температуре стенки. Тогда R (|z g, х, /) удовлетворяет условию (III. 3.10) с заменой % на fw и выражение (2.9) можно переписать в виде

%(3 = |С・П「\ A(gf §[^_^Г|е・п| 阳，(2.11) с'-п <0

где аргументы х (х 三 OR) и t для краткости опущены.

Из (2.11) видно, что если скорость uw и температура Tw на стенках близки к скорости и0 и температуре Т° основного максвеллиана %, то й0 должно быть малым. Следовательно, линеа-

ризация допустима (по крайней мере формально), если относительные возмущения скорости и температуры малы. Отметим также, что %о может быть мало даже тогда, когда /о и fw не очень близки; крайний пример такого рода дает зеркальное отражение (формула (III. 1.11) с заменой 三， 苧 на 三一uw, 自'——uw). В этом случае легко вычислить

%0 = еXр [_ 2 代"-y 蜉- 〃加)]_1(2.12)

(индекс п обозначает нормальную составляющую), так что Ло (формально) мало, если

Это соотношение может удовлетворяться, в частности, когда вектор и0 ——u^ образует малый угол с касательной плоскостью в каждой точке границы (такая ситуация возникает при обтекании тонкого профиля под малым углом атаки). Ясно, что линеаризация еще возможна, если граница отражает не зеркально, но отклонение от зеркального отражения достаточно мало [6].

Рассмотрим более подробно случай, когда отражение молекул от стенки существенно отличается от зеркального. При этом 火偌'一>三；х, /), вообще говоря, должно зависеть от Tw и uw, чтобы выполнялось соотношение взаимности, а величины | Tw—■ —То|/То и |u^ — Uo|(2R7o)-% должны быть малыми, чтобы линеаризация была законной. Тогда удобно воспользоваться упрощением, которое не влияет на точность линейного анализа.

А именно линеаризуем R (自'一> 三；х, /) относительных малых параметров | Tw—TQ\/T0 и | % —现 |/«2RT。. Такую линеаризацию можно провести в обеих формулах (2.9), (2.10). В первом случае следует сохранить члены первого порядка (члены нулевого порядка взаимно уничтожаются вследствие взаимности) ,а в (2.10) достаточно сохранить лишь члены нулевого порядка, поскольку члены первого порядка в В (|z->§; х, /) после умножения на Л дадут члены второго порядка в (2.8)——(2.10).

Нулевое приближение для R(g-> 陰；х,彳)не зависит более от хи/ (если эти аргументы и появляются, то лишь через и„；(х, /) и Tw(x, /), что обычно имеет место) и удовлетворяет тем же соотношениям, что и полное ядро R(W，f 三；х, /), только при этом максвеллиан стенки заменяется основным максвеллианом fo(g). В результате формулы (2.8) и (2.9) принимают вид

/?+ = & + APh~ (х 三 OR), (2.14)

^ = ^~АР%^ (2.15)

где /z+ и %- обозначают величину h для g- п > 0 и g-n < 0 соответственно, операторы Л и Р определены формулами (III. 4.14) п (III.5.7), а”

业= 37T 低—Uo) •(U” — uo) + [ “2R J т] W To ° •(2」6)

Формула (III. 5.5) определяет скалярное произведенпе для функций, заданных на границе. Чтобы не путать его со скалярным произведением, введенным в разд. 1, будем впредь добавлять индекс В к скалярному произведению (III. 5.5), т. е. для любых функций g н ", заданных на границе, будем писать

(g,矶=\ g(S/z(§dN= \ g (目力(三)/о(§ |с • n| d" с • п >0с • и > 0

(с 三三一u0)(2.17)

и аналогично для нормы, связанной с таким скалярным произведением,

№% = (g, g)夕(2・18)

Соотношения (III. 5.6) и (III. 4.17) показывают, что оператор А симметричен по отношению к рассматриваемому скалярному произведению:

(g, /矶= (』g,矶，(2.19)

а его норма не превосходит единицы

IMglb(2.20)

причем равенство имеет место тогда и только тогда, когда g постоянна (если ядро R (^ —> §) не является дельта-функцией).

Итак, мы нашли, что линеаризация формально оправдана, если неоднородные члены в начальных и граничных условиях малы. Чтобы выяснить, будут ли эти условия достаточными в строгом смысле, необходимо исследовать задачи с начальными и граничными условиями для линеаризованного уравнения Больцмана п доказать, что существует одно и только одно решение данной задачи и это решение остается малым (в некотором с?лысле), если упомянутые неоднородные члены достаточно малы. Следует также доказать, что разность между решениями линеаризованного и нелинейного уравнении мала п имеет более высокий порядок, когда формальные условия линеаризации удовлетворяются. Эти вопросы будут обсуждаться в гл. VIII; здесь же будем считать формальные условия достаточными.

Линейное уравнение Больцмана.

Перенос нейтронов и излучения

Рассуждения разд. 1——2 легко распространить на случай смеси многоатомных газов, исходя из уравнении (II. 4.17) и (II. 4.22) и полагая

f^f^d+h^ (3.1) где 『в ——максвелловские распределения, отличающиеся друг от друга только плотностью и индексом внутреннего состояния и сорта /.

Другая интересная возможность возникает в случае бинарной смеси, когда один из компонентов /V имеет очень малую плотность, так что столкновениями его частиц между собой можно пренебрегать по сравнению со столкновениями с частицами другого компонента М, которые в свою очередь являются редкими сравнительно с самостолкповенпями частиц компонента М. При этом эволюция компонента N не влияет на состояние частиц М, в то время как его поведение зависит от состояния частиц М. Особо интересен случай, когда компонент М находится в равновесном состоянии, т. е. имеет максвелловское распределение 尸。；тогда функция распределения компонента 〃 удовлетворяет уравнению

穿 亲— 产"8(В, I/)da厶(3.2)

где /〃о— масса частицы М, а 8(0, У) = 3八巾/(仇 V) дается формулой (II. 4.14), в которой г = г (0) вычисляется из закона взаимодействия частиц /V и М. Уравнение (3.2) будем называть линейным уравнением Больцмана.

Частный случай уравнения (3.2) уже встречался ранее в разд. 2 гл. III, где уравнение (2.7) описывает поведение молекул газа (компонента N), захваченных твердой стенкой (атомы которой образуют компонент М). Другими важными примерами являются перенос нейтронов в газовом замедлителе, перенос электронов в твердых телах и слабоиопизоваыных газах и перенос излучения в атмосферах звезд и планет, находящихся в локальном тепловом равновесии. В этих случаях, однако, необходимы существенные уточнения, которые будут обсуждаться ниже.

Уравненпе (3.2) удобно представить в несколько пион (и более общей) форме. Для этого представим правую часть уравнения (3.2) в виде разности

击\厂凡/(0, V)dё厶暗一 [+ J尸0/(9 J) d8源di] /闺= =、К (»/(#)* — ”◎ f(§. (З.З)

Здесь

=I/) de dt(3.4)

и

К (匕日=团⑺+ m) \ -^ ^k汽£)X

X 6 (唯2 + 7n盒-唯々-但)守)唄吟=

〃芍 J cos 0 sin 0%丿

X 6(2 ［自一自 1 卡一WJ _ ^^^ I 自一门2)昼*,(3.5)

где т — масса частицы компонента N и

0 =0 =arc cosarc cos「（三一£）・行’一三）］ ［吒一飞，1宙一自|」.「（三一£）・行’一三）］ ［吒一飞，1宙一自|」.(3.6)(3.6)

0 =

0 =

arc cos

arc cos

「（三一£）・行’一三）］ ［吒一飞，1宙一自|」.

「（三一£）・行’一三）］ ［吒一飞，1宙一自|」.

(3.6)

(3.6)

При этом использованы уравнение (II. 4.18) и соотношения (II. 4.19), (II. 4.20) и проведено интегрирование по ^ с учетом свойств дельта-функции.

Дальнейшее интегрирование можно выполнить, если взять сферические координаты вектора V = * —— 氤 (с полярной осью вдоль 三——У) за переменные интегрирования. Тогда, полагая

n = V/U = (sin 0 cos е, sin 0 sin е, cos 0), (3.7) получаем

K(F,目K(F,目（团+团0）2（团+团0）2В (6 J)2 cos 0 sin 0В (6 J)2 cos 0 sin 0

K(F,目

K(F,目

（团+团0）2

（团+团0）2

В (6 J)

2 cos 0 sin 0

В (6 J)

2 cos 0 sin 0

x 6(2 I § - ГI у cos e - ^±7^ 化一门2)и db dn =

/%。〈2〃z()) J I ' 2m0 cos 07

XR(3 +育旨一ь一^>"1三一口)dё 也(3.8)

Согласно (3.3), уравнение (3.2) можно записать в виде

*+ 自•*=)/((匕 ^f^ dg-v^f^, (3.9)

Основное различие между линейным и линеаризованным уравнением Больцмана (2.6) заключается в том, что линеаризованный оператор столкновений 厶(1.7) имеет пять собственных

функций для нулевого собственного значения 入=0 (1.15), в то время как линейный оператор в правой части (3.2) или (3.9) имеет лишь одну собственную функцию (，= fo(W)— =尸0(三［/九/^。］%) ) • Последнее соответствует наличию лишь одного закона сохранения при столкновении (закона сохранения массы); импульс и энергия фактически передаются частицам М. Функция %(&) представляет собой, конечно, равновесное решение для компонента N.

Другое различие вытекает из того, что f в уравнениях (3.2) и (3.9) должна быть положительной, тогда как в уравнении (2.6) А может быть отрицательной, поскольку является малым отклонением от единицы, и требуется лишь, чтобы величина 1 + h была положительной, согласно (2.7). Это различие может показаться несущественным, так как 1 + 用 удовлетворяет уравнению (2.6) одновременно с 乃 и нужно сопоставлять f и 1 + 耳 или %(1+用).Однако это не совсем так, поскольку h, вообще говоря, не мало по сравнению с единицей в локальном смысле (не обязательно, чтобы было |/i(x, &,/) |《 1 для всех х, |, Z), а мало лишь в глобальном смысле (см. гл. VIII). В частности, 1 + h часто отрицательна для некоторого множества значений

Как уже было отмечено, линейное уравнение Больцмана нашло особенно широкое применение в теории переноса нейтронов в связи с развитием технологии ядерных реакторов. При этом выписанное выше линейное уравнение Больцмана можно обобщить таким образом, чтобы охватить более широкий круг задач, имеющих важное практическое значение.

Прежде всего, компонент М который мы будем называть средой, не обязательно должен быть газом; он может быть или твердым замедлителем, или защитным экраном, или ядерным горючим реактора, или комбинацией различных материалов. Благодаря малой концентрации (число нейтронов в 10й раз меньше числа атомов замедлителя даже для реакторов с большой плотностью потока нейтронов) и чрезвычайно малому радиусу нейтрон-нейтронного взаимодействия (в 105 раз меньше радиуса молекулярных сил) столкновениями нейтронов между собой можно с уверенностью пренебречь п описывать нептрон- атомные взаимодействия как парные.

Конечно же, ядра рассеяния К(『，三)и частота столкновений в уравнении (3.9) определяются природой среды и, следовательно, будут меняться от точки к точке, если рассматриваемая область занята различными средами. Кроме того, могут происходить такие явления, как неупругие столкновения, поглощение нейтронов и деление ядер, приводящее к появлению новых нейтронов. В общем случае уравнение (3.9) записывается с использованием поперечного сечения 。(自，х) и дифференциального сс-

чения o(g->g, х) в таком виде:

% + * •夫 + 自。© х) f =

= \g%(y-> 三，x)f(V)< + S(x, ^, /).(3.10)

Здесь добавлен еще член источника, чтобы учесть возможность появления не11тронов со скоростью | в точке х в момент t. Полное сечение о(^, х) содержит вклады от столкновении или рассеяния (как упругого, так н неупругого) о$ и от поглощения о.:

0=% +0少(3.11)

Дифференциальное сечение (иногда называемое также ядром рассеяния) обычно содержит лишь вклад от рассеяния (упругого и неупругого). Таким образом, если рассеяние только

упругое, то

(3.12)

где V (自)п K(g,自)——частота столкновений и ядро рассеяния из уравнения (3.9). Иногда вклад от деления тоже включается в о(Е'-> 自)，и это легко сделать, когда можно считать, что испускание нейтронов равносильно одновременному делению (быстрые нейтроны). Однако после процесса деления некоторые осколки оказываются в сильно возбужденном состоянии и в конечном счете переходят в более устойчивое состояние за счет р-излучепия, сопровождаемого нейтронной эмиссией [7]; поэтому удобнее учитывать испускание нейтронов, вызываемое процессом деления, посредством члена источника S (х, g, /). Наличие запаздывающих нейтронов в стационарных задачах несущественно, и этот член для них обычно записывается в виде

S(x, ")=\of(g, x)f(x, Г) vZ(r->s； х)<, (3.13)

где (if ——сечение деления, /(gz -> £; х)——вероятность того, что в точке х нейтрон со скоростью F породит нейтрон деления со скоростью между 三 н 自 + dg, a v ——среднее число нейтронов, возникающих при одном делении. Часто с достаточной точностью можно считать, что / не зависит от ^ п направления 自，так что % = %(2，х)・

Если эффекты деления включепы в S, то o(g—>g;x) owns нает лишь рассеянно Следовательно, сохранение массы в процессе рассеяния сиг 'г

(3」4)

или, согласно (3.12),

，К(У, 2) d2 = ”(？)•(3.15)

В случае одноатомного газового замедлителя для любых функций g и % имеем

\1。(胃一А 3仇阳「》(F)g(B媒密=

=、К (二 §[%(S「％(F)g®dFdW =

=± \ 尸。(S [% (SL h (F) g(§ 3 (8,丨三一三* I)或喝，(3.16) где % (3 =尸о (三[俏〃"о『")，как и выше, a g и ^ связаны с 三 и 自* законами сохранения импульса и энергии, так что d^d£= =鹼眼，&它)伉闵L = a(q[a<)l и iw-£i = |g-j・ Поэтому последнее выражение в (3.16) можно записать в виде £\^b(F)g(§8(e,忐一詛)眼慮=

= ±\^Ш%(9д⑨з(е,丨三一£1)%唸(3•⑺ где последний переход сводится к смене ролей «штрихованных» и «нештрихованных» переменных (см. разд. 6 гл. II). Последнее выражение совпадает с (3.16), только величины Л и g переставлены. Следовательно, можно поменять местами h и g во всех выражениях, входящих в (3.16). В результате получается

，9(У-3什。@「％(Sg(§ 用筵=

=\ F。(F 一 浦％ 倒-g (^)h^ 関港=

=，自。(3-> S 伉(？)尸 g ③ /2 (?)港出. (3.18)

Так как g и Л произвольны, это равенство эквивалентно соотношению

” (У f Ю [/0 倒т =自0 (自 f F) [% (F)『，(3.19)

или

У о (g § fQ (Г)=自。(W F) % (Ю；(3.20)

последнее является соотношением взаимности (называемым также детальным балансом) н подобно аналогичному свойству, исследованному в разд. 3 гл. III. Обобщение (3.20) на случай, когда среда не является одноатомным газом, рассматривалось в работах [8, 9]; единственное возникающее при этом изменение

в (3.20) сводится к замене о(盲一 У) на о(——自―——&) в правой части (соотношение (3.20) в том виде, как оно записано, получается, если нейтрон-атомное взаимодействие симметрично относительно пространственного отражения). Свойство взаимности служит дополнительный причиной для отделения в (3.11) деления от рассеяния; ядро, описывающее деление, не обладает этим свойством.

Еще одно свойство ядра в уравнении (3.9) устанавливается следующим образом. Для любой функции f, в силу соотношений (3.20) и (3.12), имеем

V(3"。闺「"К (К§"з阳]昼=

= \[%(3『К(К ^f^f&) d^dl =

=j [K (匕 §〃o 低‘产 f (S [K 怎 У)/% (Г)]，/2 f (§ 篋用 & 《j\K(W,詛%(8厂f(？)产昼篋‘><

怎？)[%阳「切闺К港阳厂=

=卜(?)[%(?)『什停)尸眼=

=i”但)九(三)厂切阳产昼，(3.21)

где использованы неравенство Шварца [1 — 5]

\ hg dl 昼‘ & [，A2 d自成]g2 港 dg『(3.22)

и формула (3.15). Неравенство (3.21) аналогично неравенству (1.12).

Таким образом, если положить h = “%, то перенос нейтронов в чисто рассеивающей среде (без поглощения и деления) описывается уравнением, которое обладает всеми формальными свойствами линеаризованного уравнения Больцмана (2.6), за исключением того, что при этом существует лишь один инвариант столкновений 屮。=1. Если имеет место поглощение, а делением можно пренебречь, то ни одного инварианта столкновений не существует, но все другие свойства сохраняются, включая и неравенство (1.12) (в котором равенство, однако, не достигается) .Если же следует учитывать деление, то возникает качественно иное положение.

В случае переноса излучения рассматриваемые частицы — фотоны различных частот; они рассеиваются, поглощаются и из-

лучаются атомами среды, как и нейтроны в ядерном реакторе. Среда обычно является атмосферой звезды или планеты. Если можно считать, что атомы находятся в состоянии теплового равновесия (хотя бы локальном), то коэффициент испускания /v, соответствующий частоте v, определяется через коэффициент поглощения 々v по закону Кирхгофа, который гласит, что в каждой точке выполняется соотношение

(3.23)(3.23)/v = kvBv (Т),

(3.23)

(3.23)

где Т — локальная (абсолютная) температура, и

& (Т) =響(*/(⑺ 一 1)& (Т) =響(*/(⑺ 一 1)cici(3.24)(3.24)

& (Т) =響(*/(⑺ 一 1)

& (Т) =響(*/(⑺ 一 1)

ci

ci

(3.24)

(3.24)

—распределение ные Больцмана и определяется как—распределение ные Больцмана и определяется какdtдхdtдх=С2а=С2а/2力”3厅2/2力”3厅2

—распределение ные Больцмана и определяется как

—распределение ные Больцмана и определяется как

dtдх

dtдх

=С2а

=С2а

/2力”3厅2

/2力”3厅2

Планка (々 ——скорость света, k и h — постоян- Планка соответственно). Сечение поглощения «”р, где р — плотность атомов, и источник из

лучения характеризуется величиной /vp. Следовательно, уравне* ние переноса можно записать в виде [10]

+ QA [，g (Q‘ —A Q) f (Q‘) dQ‘ 一 f], (3.25)

где Os — сечение рассеяния, o$g(Q，f Q)——дифференциальное сечение, и Q =三/，厶 Часто делается предположение о «равновесности излучения»:

\ ®(T)-〃dQ = 0. (3.26)

Равенства (3.25) и (3.26) образуют усложненную нелинейную систему двух уравнений для f и Т. Упрощение возможно, например, в случае так называемого серого излучения (см. разд. 9).

Граничные условия для нейтронов и фотонов обычно намного проще, чем для молекул газа, и обладают теми же общими свойствами. Например, соотношение (2.14) с h0 = А = 0 часто используется для нейтронов (см. разд. 1 гл. III).

В заключение заметим, что рассуждения, относящиеся к переносу нейтронов, можно использовать при исследовании переноса электронов в твердом теле и ионизированных газах. При этом, однако, существенна роль силового члена (см. уравнение (II. 8.21)), который обычно опускается в уравнении Больцмана. Этот член описывает действие на электроны электрического и магнитного полей. Дополнительным свойством является малость, массы электрона по сравнению с массой рассеивающих атомов..

Единственность решения для задач с начальными

и граничными условиями

В этом разделе мы рассмотрим в общих чертах вопрос о единственности решения линеаризованного (или линейного) уравнения Больцмана для задач с начальными и (или) граЕШЧ- ными условиями. Пусть задано начальное значение, и пусть на твердых границах выполняется условие (2.14). Обозначим через %i и 八2 два возможных решения задачи, а через h = h\ ——Л2 их разность.

Тогда функция h удовлетворяет уравнению (2.6) и однородным граничным условиям, соответствующим (2.14):

h+ = APh~.(4.1)

Чтобы включить случай области R, простирающейся до бесконечности, предположим, что

V口/z2 d 三 dS-> 0,(4.2)

когда точки поверхности Е и R стремятся к бесконечности.

Поскольку й зависит не только от х, но и от |, удобно ввести

также скалярные произведения и нормы:

((g, 3) = \ (g，%)厶=\ \ fog% 匪 dx,(4.3)

1m片=债，初，(4.4)

((g,初в = \ (g, /% dS= J \ ghfQ\l^n\dldS, (4.5) ORGR g・n>0

Im喘=((瓦初夕(4.6)

Неравенства (1.12) и (2.20) означают, что для любого h

Р, М))<0, |||Л/г Hb^lll/г |||в,(4.7)

причем равенство в первом случае достигается тогда и только тогда, когда h (почти всюду) является инвариантом столкнове- 4

нип X caipa, а во втором тогда и только тогда, когда h по- а=0

стоянна почти всюду на границе.

Предположим, что |||/z|||} \\\Ph~ |||B, ((А, АА)), ((%, W・O/z/Ox)), ((h, dh/dt)) существуют и конечны. Умножив уравнение (2.6) на h и проинтегрировав, получим

■^(■Й^В + З,三•黑))=(伍，2)・(4・8)

Второй член левой части можно преобразовать к интегралу по поверхности; тогда

4г (4 III Л III2) = III 力+ % -III Ph~ Uli + ((%,厶初・ (4.9)

В силу (4.1) и (4.7), отсюда следует, что

-^(4рг)<°5(4.Ю)

причем равенство имеет место тогда и только тогда, когда h является инвариантом столкновений в R и постоянной на 0R. Из (4.10) следует, что ||| h ||| не может возрастать со временем, и так как она не может быть отрицательной, а при / = 0 равна нулю (как разность решений, удовлетворяющих одному и тому же начальному условию), то очевидно, что ||| h ||| = 0 для /〉0, ИЛИ 小=%2 (почти всюду).

Таким образом, единственность решения задачи с начальными и граничными условиями установлена. Доказательство непосредственно переносится на линейное уравнение Больцмана (с h = f//0), когда среда является чисто рассеивающей или когда поглощение преобладает над испусканием. Однако доказательство проходит и тогда, когда испускание частиц преобладает над поглощением, как в случае ядерного реактора. Тогда первое из неравенств (4.7) теряет силу и заменяется неравенством

((/z, Lh))<c\\\h\\\\(4.11)

где с ——некоторая положительная константа, а вместо (4.10) имеем

44 hi Л in2 ip г(4・i2)

так что

>(|ЦЛ|||^)<0,(4.13)

и по тем же соображениям, что и выше, величина ||| h )|| ^一^, и следовательно |||%|||, должна быть равна нулю.

Довольно интересное положение возникает для стационарных задач {dhldt = 0). В этом случае нет начальных условий и равенство (4.9) сводится к виду

0 =心+*一卄/广段+ (仇厶%))，(4.14)

Соотношения (4.1) и (4.7) при этом указывают, что Л должна быть инвариантом столкновений в R и постоянной на гра-

нице:

4

用=X，aWa, ХЕ R,(4.15)

а=0

用=&,хм OR.(4.16)

Подставляя (4.15) в уравнение (2.6) с dh/dt = 0, получаем с。= const,，4 = const и

дс. дс,

丸 + 贰=。…= 1,2,3).(4.17)

Как известно (см. (III. 10.6) и (III. 10.11)), это означает

ci = ^ikxk + cl(4・18)

где с? и 3/ ——постоянные, причем 3沦=一①左厂 Соотношения (4.18), (4.16) и (4.17) могут одновременно удовлетворяться только в том случае, когда с4 == 0 и

со%% 马+ с? = 0 (xwdR).(4.19)

Последнее равенство может выполняться только тогда, когда граница вырождается в прямую линию или когда з注=0, с? = 0. Если граница представляет собой обычную поверхность, то Ci = с4 = 0 и Л сводится к постоянной. Следовательно, в стационарном случае два решения одной задачи могут отличаться на аддитивную постоянную； последнюю можно фиксировать, если задать полное число частиц, например, условием

((5,用)) = 0(4.20)

или условием

((业“+)% = 0・(4.21)

Для линейного уравнения Больцмана получается такой же результат в случае чисто рассеивающей среды; если, кроме того, имеет место поглощение, получается то же самое, и даже более простым путем. В случае возникновения частиц, например появления нейтронов вследствие распада ядер, положение существенно изменяется. При заданной форме области существует ее критический размер, ниже которого единственность сохраняется; когда размер становится критическим, решение существует при отсутствии внешних источников (самоподдерживающпйся ядер- нып реактор).

Выше критического размера стационарное решение с положительно!! функцией распределения f отсутствует, т. е. нет физически приемлемого стационарного решения [11, 12]; в этом случае число нейтронов непрерывно возрастает со временем л ядерный реактор становится атомной бомбой.

Дальнейший анализ линеаризованного столкновительного члена

В разд. 3 было показано, что линейное уравнение Больцмана (3.2) можно представить в виде (3.3), который удобен тем, что столкновительный член разбивается на две части. Первая часть содержит интегральный оператор с ядром K(R&), которое дается выражением (3.8), вторая же получается умножением искомой величины на функцию, зависящую от скорости и имеющую физический смысл частоты столкновений. В этом разделе будет изучено аналогичное преобразование линеаризованного опера

тора столкновений (1.7). Можно записать

Lh = K2h-K{h-v^)h.(5.1)

где =\l-^\)d^Mds +

+ ^ \ У。ЮНЮ s(e, Ig-tl)吗 d® 厶，(5.2)

凡用=U^ V。息)8(®，丨 * T* I)。W? &)喝 >(5.3)

" & =得 V。@)8 (仇 I 自一W* I)成* dё, (5.4)

при условии что все эти интегралы существуют (см. ниже). Два последних члена в правой части (5.1) имеют желаемую форму (интегральный оператор и оператор умножения). Первый член требует дополнительного преобразования. Согласно (5.2), К?月— сумма двух интегралов, отличающихся аргументом у Л, который равен 三；=£ + п (и • V) в первом интеграле и ?=三 ——n(n-V)―■ во втором (V = I —氤).Но

£ =三 一 V + n(n • V)=三 一 m (m • V),(5.5)

где m ——единичный вектор в плоскости V и п, ортогональный к п (так что V = п (п • V)} m (гл • V)). Следовательно, если мы повернем п на угол л/2 (что сводится к замене 0 -> л/2 ——0, е 8 ± л, с учетом равенства якобиана единице), то ^ перейдет в & и (5.2) запишется в виде

K2h = ^\f^h^B{^ 1自一自*1)喝^丸 (5.6) где_

в(е, v^b^, v)+ b(冗/2 — e, v).(57)

Выражение (5.6) можно записать так：

х в (g + Е — 三一Е) в (L + 守一守一蜀 d? d^ d^；(5.8)

здесь угол 0 определен формулой (II. 4.20) и использованы равенства (II. 4.18) (II. 4.19) (для однокомпонентыого газа).

Если провести тривиальное интегрирование по 三：и перейти от 蔡 к сферическим координатам |三* —三|, 0, 8, то получится

K2/z=^U(<)/O 夙仇化一£|)Х

X cos-1 ев (2 I 昌一g 11 £ —三 I cos е —

一21自一门2)哀，邑一自S(位一自1)^公=

= i(A(r)/o^ + n|g-r |/cose)x

X cos-3 ев(0, ^P) dg de dE,(5.9)

где n ——единичный вектор с угловыми координатами 0 и 8. Подставляя в равенство (5.1) выражения (5.9) и (5.3), получаем

〃2=\К(匕 S/z(g)dg-v(W)/z,(5.10)

где

К (匕 § = %(?, 3 —Ki(K Ю,(5.11)

% (Г, Ю = ^5^(е, l^-ri/cos е)+ в(冗/2 一 “ । 自一门/cos 0)] х

X cos-3e/o(^ + п| 三一gz l/cos 6) de de, (5.12)

Ki (< § = 3 V。(F) 5 (仇丨三一门)d® d&.(5.13)

Выражение (5.12) можно еще упростить, так как

fo(^ + n|g- ri/cos®) =

= %(?+ 店一S + 口化一门/cos®) =

=Po(2冗RTo)—%xp {— (2仪0尸[Г2 + l^-r |2/cos2e + 2g •(三一g) + + l§-ri2 + 2n.ri^-r l/cos 0 + 2n.(g-r)l^-r l/cos 0]}

(5.14)

Здесь и далее предполагается, что массовая скорость в макс- веллиане равна нулю (в противоположном случае достаточно заменить | на относительную скорость с); при этом частота v зависит только от модула вектора В, так что вместо v(g) мы будем писать v(^).

Если плоскость е = 0 выбрана надлежащим образом и сс (0 W a W 兀)обозначает угол между 三‘ и полярной осью, на-

правленной вдоль 三‘——三，то имеют место соотношения

n •(自一g)=一1三一Flcose,(5.15)

n • g I 三一g I I 三一g IУ cos 0 cos a + I I t,z sin 0 since cos £ = =但 __ ?). g cos 0 + I (§ — g)八 F| sin 0 cos £ = =—(^ — ^z) • ^ cos 0 + I ^ A ^ I sin 0 cos 8,(5.16)

где § A V обозначает векторное произведение g и g. В результате (5.14) принимает вид

% (W + 口 丨 W — Fl/cos е)=

=Ро (2МТо『％хр [— (2RTo『(1 + |g-^ |2tg2e +

+ 2|^Д ritgOcose)], (5.17) а (5.12) — вид

% (К 3 = Ро〃2」(2冗仪0)-% [ [8 (®,化一г I/COS е) +

+ в (冗/2 — е, I 三一门/cos 0)] cos-3 0 x

X exp [一 (2收尸(『+ I 自一口2 tg2 9 +

+ 2|gA§,|tg6cose)]ded8.(5.18)

Интеграл по £ выражается через модифицированную функцию Бесселя первого рода нулевого порядка (см. формулу (III. 6.16)), так что

凡代，y) = ^ (2球t。)-"义

冗/2

X \ [В (е, I g - г 1/cos 0)+ в(л/2 - е, I g - gz i/cos е)] х о

X cos-3 6 ехр[- (2RTo『(产十 । 三 一 g 12tg 0)] X Х/о(1^А^1[Ж]~^ёО)б/е.(5.19)

В результате получим

Lh = Kh-»®h,(5.20)

где »(自)дается формулой (5.4) и

О= J/<(^ ®h®)dg,(5.21)

к(匕 §=)К(к & 6) de,(5.22)

К (二 W； е) = 2ЯР0/П- (^nRT^ exp (2/?Г0)~1 ^，21 X

X { [В (0,1 ^ - ^ l/cos 0) + В (冗/2 -0, |§-^ l/cos 0)] X

X (cos 0)- exp [- (2收。尸| 2 一门? t『6] A ( I 自入门體)一 一8(6,丨自一门)}.(5.23)

Проделанные выкладки имеют смысл, если радиус действия потенциала конечен (в частности, для твердых сфер); если же потенциал безграничен, то три члена &瓦 К2瓦 vA в (5.1) не существуют порознь】).В этом случае можно сначала ограничить угол рассеяния 0 некоторым значением 00 V 冗/2, а затем провести все указанные выше преобразования и получить

"=况 К(К 自；0)八(S 恋‘ 一 w ⑶ 0) h ⑶]d& (5.24) где К (У,自；0) определено формулой (5.23) и

V 倡；0) = 2 冗 рот」(2 球 Г。)「％ \ exp [- ^(2RT^[~] 5 (6,咚一门)df.

(5.25)

Выражение в (5.24) сохраняет смысл даже тогда, когда 0о -> л/2, т. е. когда ограничение на 0 снимается; следовательно, для безграничных потенциалов можно представить L как интеграл по параметру 0 от разности интегрального оператора Кз и оператора умножения ve, зависящих от 0. Так как, однако, зависимость каждого оператора от 0 не интегрируема в окрестности 0 =冗/2, нельзя интегрировать каждый член отдельно и получить выражение (5.20).

В случае твердых сфер в (5.19) можно выполнить интегрирование по 0. Действительно, для твердых сфер В (0, V)= =。2丿 sin 0 cos 0 (см. разд. 4 гл. II), так что

К (匕 Е； е)= 2про(Л72」(28АТо：Г%ехр[-(2/?То)ту2]><

X {21 自一门 tg 6 (cos 0)~ exp [— (2RTo)T (自 一 ^)2 tg20] X

X /о (比八门[RTo『 tg 6)— I 自 一 g I sin e cos 0}.(5.26)

Чтобы провести интегрирование, положим / = tg 0 (山= «= cos~20d0) и используем известную формулу [13]

\ /0 (或)exp (―隐2“ 山=(2p2)-1 exp [a2 (2p)~2](5.27)

.0

С p = \l — ^ \ (2RTq)~1/\ а = I 2 /\ У I 便丁0尸；В результате получим К (匕 3) = pdm」(2冗rt『/2 exp [- (2RT°)t 泪{?化 一 у「Х

X exp [(2RTo)T I § - Г Г2 (2 А Г)2] 一 丨 W — F 丨(2RTo『}・ (5.28)

Интеграл (5.4), определяющий частоту столкновений v(J), можно легко вычислить для любого потенциала конечного радиуса (в частности, для твердых сфер). В самом деле, вспомнив, что В (0, V) связана с прицельным параметром 厂 формулой (II. 4.14), а 厂 меняется от 0 до сг (радиус потенциала или диаметр сфер), получим

”怎)=^ \ % 色)1 ^-t\d^\rdr =宇 ро (2 冗 RT。)-% X о

cos 0 + V2)] V2 dV sin 6 de =cos 0 + V2)] V2 dV sin 6 de =X J iexp[-(2RTo)T(F + 2l/g о о

cos 0 + V2)] V2 dV sin 6 de =

cos 0 + V2)] V2 dV sin 6 de =

=警的(2球7。广气7 \ eхр[-(2/??0)-1a2 + И]x о

X {exp[(RTo『 嗔]一 exp[-便几尸 嗔]} V2dV =

=冗喙o(唯)т (2冗KT。)-% { J exp[—(2RTo)T (V 一 g)2] V2dV 一

exp [—(2RTo『(l/+@2] 172 dlz о

=Podm-I(2冗RTo产屮 U (2RTo)%)・(5.29)

При интегрировании по &* мы перешли здесь к сферическим

•координатам V = | 自一|*|, 0, ср и ввели величину

“(%)=；\ е~/2(/ + х)2 dt — ^ £-尸(/ —%)2山

р XXоооо—

J 卜-附2 山+ %2 Je-/2d/ + 2x J te-^dt + ^x \ 5产由 =

X—%尤一％.

(5.30)(5.30)= е"+(2% + }) \ e-件 dt, о

(5.30)

(5.30)

где последнее выражение получено интегрированием по частям.

Общим свойством частоты столкновений для твердых сфер, потенциалов конечного радиуса и потенциалов с обрезанием по углу является монотонная зависимость v(g) от g. Действительно, из (5.4) и (II. 5.21) находим

贵=УРоГ1 V。(L) “ (" 1Ж — Qi 處*,(53)

где

冗/2

6。= ^\ B(e)d6・(5.32)

о

Поскольку f()(自*) пропорциональна exp(——a±；), где a > 0 и ：=占2 + (2 — ЗУ — 9自•(2 — &), вклад в этот интеграл от полупространства |- (I ——&*) < 0 по абсолютной величине меньше, чем от полупространства & •(三——蔡)> 0. Так как первый вклад отрицателен, а второй положителен, весь интеграл положителен и 0”/0己 больше или меньше нуля одновременно с величиной у. Далее, у = (и ——5)/(〃——1) для потенциалов с обрезанием по углу и 丫 = 1 для твердых сфер и потенциалов конечного радиуса. Следовательно, частота столкновений монотонно возрастает для твердых сфер и потенциалов конечного радиуса. Для степенных потенциалов с обрезанием по углу она монотонно возрастает при /2 > 5 н монотонно убывает при 〃 V 5. Таким образом, в последнем случае (〃 V 5) частота ограничена сверху, 0<va)<v0,(5.33)

а при 〃 > 5 — снизу,

v(H)>v0>0,(5.34)

где v0 = V (0) — конечная величина.

Подход к равновесию и спектр оператора столкновений

Простейшая задача, которую можно изучать с помощью линеаризованного уравнения Больцмана, формулируется так: пусть газ при / = 0 имеет распределение, не зависящее от координат и мало отклоняющееся от максвелловского fo： f = fo(l +九)• Что будет при f > 0? (Это — задача с чисто начальными данными.) Согласно Я-теореме, можно ожидать, что f будет стремиться к максвелловскому распределению, т. е. А должна стремиться к нулю при / -> оо, если f0 выбрано так, что имеет те же плотность, скорость и температуру, что и /. Этот результат непосредственно вытекает из линеаризованного уравнения Больцмана

для возмущения 瓦 которое получается из (2.6) при dh/dx = 0:

* =(6.1)

Действительно, если функция Л такова, что ||/i|| и (瓦 L/г) существуют, то, в силу (1.12), умножение на й и интегрирование по скоростям дает

•^力1力『]=仇，厶/г)《0,(6.2)

так что

IIЛ (/2) II < II/1(/0 II 他> 厶)，(6.3)

причем равенство имеет место тогда и только тогда, когда й —— инвариант столкновений; но так как было принято, что f и Д) имеют одинаковые плотность, скорость и температуру, то

(也，力)=0(a=0, 1, 2, 3, 4)(6.4)

и единственный инвариант столкновений, удовлетворяющий этим соотношениям, есть й = 0. Следовательно, ||ft|| всегда убывает (если опа отлична от нуля); при / -> оо величина ||ft||, будучи ограниченной снизу и убывающей, должна достигать предела с нулевой производной. Этот предел должен удовлетворять со- отноп1ению (6.2) с d\\h\\2/dt == 0, т. е., по предыдущему, должен быть равен нулю.

Следующий вопрос заключается в том, каким образом " стремится к нулю. Чтобы ответить на него, нужно изучить решения уравнения (6.1) и, в частности, их поведение при / оо. Некоторые общие свойства могут оказаться достаточными для решения проблемы: если, например, удастся показать, что

(6, L/г) V-卩оМ『(м>0)(6.5)

для любого 瓦 удовлетворяющего условию (6.4), то (6.2) можно свести к неравенству

务以卄 II2] <-НоР ||2, или ^ (m。/ II h II2) & 0,(6.6)

и, следовательно,

II/1(0 II СII/1(0)(6.7)

что означает экспоненциальный подход к равновесию при оо. Анализ затухания Л при 力今 оо приводит к задаче о собственных значениях оператора 厶：

厶 g = Ag・(6.8)

Как нам известно (разд. 1), эта задача имеет пять собственных решений (g = ра，а = 0, 1, 2, 3, 4) для 九=0; все другие значения 入 должны быть отрицательными.

Заметим, что уравнение (6.8) могло бы вообще не иметь решений при 九，0, если бы потребовать, чтобы g была обычной функцией. Если, однако, допустить, что g может быть обобщенной функцией, то, поскольку оператор L самосопряженный (см. (1.10)), общие теоремы [14] гарантируют не только существование решений уравнения (6.8), но и возможность представления общего решения уравнения (6.1) в виде разложения

4

九=\(§ 4 °厶 + £ &心，(6.9)

f ооa=o

где g入一решение, соответствующее «собственному значению» X.

——произвольная функция А, а интеграл берется по всем значениям А，0, для которых существует g入，0 (если все 厶 или часть их образуют дискретное множество, то соответствующий интеграл нужно заменить суммой 2«一"贬8々(§4/・ Если в (6.9) k

aza ? = Ойо кнмaza ? = Ойо кнмто h затухает экспоненциально к инварианту столкнове- Лагра (в частности, к нулю при условии (6.4)); если же то подход к равновесию не является экспоненциальным

aza ? = Ойо кнм

aza ? = Ойо кнм

и зависит от начальных данных (которые определяют коэффициенты Дх) 1).

Из сказанного ясно, что очень важно изучить множество значений 九，для которых уравнение (6.8) имеет ненулевые решения, т. е. спектр оператора L.

Согласно обычному определению [1——5], спектр оператора представляет собой множество значений А, для которых оператор (厶一V)-1 не существует как ограниченный оператор в 第 или не является однозначно определенным; в рассматриваемом случае (厶——самосопряженный оператор, и допускаются обобщенные решения) оба определения эквивалентны. При этом 《дискретный》и 《непрерывный» спектры в точности соответствуют своим названиям.

Прежде чем рассматривать спектр оператора столкновений для частных случаев, полезно оценить порядок величины X в (6.8). Переходя к безразмерной скорости, отнесенной, например, к средней g=(2RTo)%, и вспоминая, что, согласно (II. 4.14), В (0, V)~ Va2, где Ua 冒 и о — эффективный радиус молекулы, будем иметь Lh = p^m-^Sh, где Sh ——безразмерная величина порядка единицы. Следовательно,九ipoo^/mi

В случае взаимодействий с частотой столкновений, убывающей как (и/и?)-丫 при и -> оо, закон затухания имеет (в существенном) вид ехр [— ^^j, a = 2/(2 + у) [60*]. В указанной работе рассмотрена более общая задача 。подходе к равновесию больцмановских систем.——Прим, персе.

4百/厶 где / — средняя длина свободного пробега (1.4.17), символ а означает равенство по порядку величин, 0 = //£ можно рассматривать как время среднего свободного пробега молекулы (см. разд. 1 гл. V).

Полное решение уравнения (6.8) найдено лишь в случае максвелловских молекул, т. е. молекул, отталкивающихся с силой, обратно пропорциональной пятой степени расстояния. В этом случае Ван Чан и Уленбек [15, 16] доказали, что спектр является дискретным и определяется двумерным набором собственных значений 入欣：

л/2

九^ = 2冗pom" \ {В (sin 0) sin^+/ 0 [p (0) + p (冗/2 — 0)]— о

一包(До + 1)р(6)}de (他 / = о, i, 2,..・)，(6.10)

где р(0) определяется формулой (II. 5.22) с у = 0 (что соответствует максвелловским молекулам), а Р% есть Z-й полином Лежандра. Для каждого собственного значения kni существуют 2/ + 1 собственных функций, которые удобно снабдить тремя индексами и записать в виде

[一〃黑+ %)丁(豪)‘厶"(A:)小，中)(6」1) 仇，/ = 0, 1, 2,・・・；

где Е, 0, ср ——сферические координаты в пространстве скоростей, Г — гамма-функция, l}^l2} — присоединенные полиномы Ла- герра и У尸(6, ср)——сферические гармоники [17, 18].

Эти собственные функции удовлетворяют соотношению ортогональности

(2RT°)i \ 以/M)g人M)exp[T2(2RT。)-]恋木曲“也“

(6.12)

где черта над буквой означает комплексное сопряжение. В частности, для 几=0, I = 0; и = 0, / — 1; n = 1, I = 0 формула (6.10) дает kni = 0, и соответствующие пять собстгенных функций являются линейными комбинациями инвариантов столкновений 屮々.Для 几一＞8, как можно показать, собственные значения kni стремятся к ——8 (по абсолютной величине они растут асимптотически как 几％) [16, 19]. Их расположение на комплексной ^-плоскости показано на рис. 18. Несколько первых собственных значений приведены в табл. I; более подробные таблицы содержатся в работе [20].

%-тшоскость

Рис. 18. Спектр оператора столкновений для максвелловских молекул.

Случай молекул ——твердых сфер также изучен довольно подробно. Для него полезная информация получается из теоремы Вейля о возмущении спектра самосопряженного оператора V при добавлении достаточно регулярного интегрального оператора К, так что получается оператор W = V -}- К. Согласно теореме Вейля [2—4], если К ——вполне непрерывный оператор, т. е. переводит ограниченную последовательность функций {g^ в сходящуюся последовательность {Kg/J (сходимость понимается в подходящем функциональном пространстве, в данном случае в гильбертовом пространстве 窮，где норма дается формулой (1.9)), то непрерывные спектры W и V совпадают. Таким образом, влияние К сводится к изменению дискретного спектра. Точнее говоря, остается неизменным так называемый существенный спектр (т. е. множество предельных точек спектра).

Значения 入〃〃入^Значения 入〃〃入^Грэд [21] и Дорфман [22] показали, что оператор К в (5.15) вполне непрерывен в 翁 для степенных потенциалов, если ис-

Значения 入〃〃入^

Значения 入〃〃入^

、0 1

2

3

4

5

6

0

0

0

1

1,5

1,8731

2,1828

2,4532

1

0

0,6667

1,6667

1,5704

' 1,9106

2,2066

2,4703

2

0,6667

1

1,3432

1,6670

1,8633

2,2415

2,4936

3

1

1,2281

1,4915

1,7631

2,0288

2,2824

2,5215

4

1,2281

1,4037

1,6193

1,8533

2,0917

2,3262

2,5525

5

1,4037

1,5475

1,7310

1,9371

2,1533

2,3710

6

1,5475

1,6698

1,8302

2,0148

7

1,6698

1,7767

8

1,7767

Таблица /

ключаются скользящие столкновения или рассматриваются твердые сферы {). Следовательно, в этих случаях непрерывный спектр L, если он существует, определяется непрерывным спектром оператора умножения —v(W). Спектр же последнего находится из уравнения

—w(»g = Ag, (6・ 13 丿 или

[九+ ”(&)] g = 0・ (6.14)

Следует различать два случая: или v(E)——постоянная (как для максвелловских молекул с обрезанием по углу), и тогда уравнение (6.14) дает 九=——v, т. е. спектр сводится к одной точке, или же v(自)не является постоянной и 九+ v(E) может равняться нулю не более чем в одной точке (по крайней мере, если %(自)монотонна, как в случае степенных потенциалов и твердых сфер, рассмотренном в разд. 5), и тогда уравнение (6.14) означает, что g должно равняться нулю всюду, за исключением одной точки. Так как g ——нетривиальное решение, то с точностью до множителя оно должно быть д-функцией:

g = 6Q + w(a))・ (6.15)

Действительно, хб (%) = 0 в смысле теории обобщенных функций (разд. 2 гл. I), и можно показать, что нет другой обобщенной функции, обладающей этим свойством (произвольный постоянный множитель, конечно, допускается). Выражение (6.15) дает решение, отличное от нуля, тогда и только тогда, когда 九+ v(E) обращается в нуль для некоторого 己，т. е. когда 九一一одно из значений, принимаемых функцией ——v(E). Эти значения образуют континуум, и следовательно, теорема Вейля утверждает, что для твердых сфер и степенных потенциалов с обрезанием по углу имеется непрерывный спекгр, который 'может быть описан явно. В частности, для твердых сфер и степенных законов взаимодействия с показателем, большим пяти, v(E) изменяется от минимального значения у。， соответствующего 自=0, до +оо (разд. 5). Следовательно, оператор столкновений имеет непрерывный спектр, простирающийся от ——v() до —оо (рис. 19). Для степенных законов с показателем, меньшим пяти, непрерывный спектр заполняет интервал (——vo, 0) (рис. 20); случай м = 5 (рис. 21), очевидно, является особым.

Из приведенных результатов вытекает, что подход к равновесию является экспоненциальным для твердых сфер и степенных законов взаимодействия с показателем, большим или рав-

1) Условие полной непрерывности, указанное Грэдом [21], охватывает весьма широкий класс сечений, вычисляемых согласно квантовой механике; это можно установить проверкой для малых и больших энергий взаимодействия.— Прим, персе.

1

Я -плоскость

Рис. 19. Спектр оператора столкновений для твердых сфер и степенных законов взаимодействия с обрезанием по углу и показателем, большим пяти.

^.-плоскость

-%

Рис. 20. Спектр оператора столкновений для степенных законов взаимо-действия с показателем меньшим пяти и с обрезанием по углу.

А

-%-%Л-плоскость

-%

-%

Рис. 21. Спектр оператора столкновений для максвелловских молекул с об-резанием по углу.

ным пяти, поскольку дискретные собственные значения не могут произвольно близко подходить к началу (九=0, в силу теоремы Вейля, не может быть предельной точкой спектра) и, значит, в формулах (6.5) и (6.9)卩о〉0.

Следующий вопрос заключается в том, существуют ли в действительности наряду с непрерывным спектром дискретные собственные значения (кроме 九= 0). Для случая твердых сфер положительный ответ на этот вопрос дали Кущер и Уильямс [23], которые пришли к такому выводу при помощи метода Ленера—Винга [24], использованного ранее в теории переноса нейтронов. Метод основан на введении искусственного пара-

метра с множителем при [v(E) +九]九 в уравнении для собственных значений (6.8) (где Lh заменялся на Kh ——vh) и изучены и собственных значений сп = сп (入)как функций непрерывного параметра л, меняющегося от 0 до ——vq. Тогда собственные значения рассматриваемой задачи получаются как корни уравнения c“〃J= 1. В результате оказывается, что £ имеет бесконечное число дискретных отрицательных собственных значений в интервале (——v0, 0) с точкой сгущения 九* =——v(0).

Рассмотрим теперь общий случай молекул с центральным законом взаимодействия. Как мы видели выше, для степенны к законов обрезание по углу рассеяния приводит к результатам, аналогичным тем, которые имеют место для твердых сфер. Результат Кущера и Уильямса не обобщался на этот случай, однако кажется правдоподобным, что он может быть обобщен таким образом. Если же не вводить обрезание по углу, то для безграничных потенциалов положение существенно усложняется; единственным случаем, который анализируется просто, оказывается рассмотренный выше случай максвелловских молекул. Интересно, что спектр при этом получается точно таким, как можно ожидать при непосредственном предельном переходе в результате с обрезанием по углу; действительно, при удалении ——vo в ——оо из рис. 19 получается рис. 18. Заманчиво предположить, что аналогичное положение имеет место для степенных законов с /г 力 5; это приведет к чисто дискретному спектру. Недавно Пао [53] дал строгое доказательство справедливости этого предположения.

В случае потенциалов с конечным радиусом для того, чтобы произвести указанное в (5.15) разбиение, обрезание по углу не требуется, однако оператор К намного труднее анализировать; в частности, нелегко доказать или опровергнуть, что К вполне непрерывен в 第 [25].

Легко доказывается следующий довольно общий результат [25].

Теорема I. Неравенство (6.5) имеет место для любой функции й, такой, что выполняется условие (6.4) и существует (瓦£用)，если межмолекулярный потенциал удовлетворяет условию

|U(P)I》O(P"+i) (р->0, 〃》5).(6.16)

Чтобы это доказать, рассмотрим общее выражение (1.7) для L и разобьем £ на два слагаемых:

L = L6 + L6,(6.17)

где £° и L6 определяются тем же выражением (1.7), что и 厶， причем В (0, У) заменяется соответственно на 3° и ^6, которые

записываются в видезаписываются в виде炉(е/) = {'в(о, V)、одлядля9 <д, е>а,• 0для9 <д,凡(6/) = 1、в(е, V)для0>д;炉(е/) = {'в(о, V)、одлядля9 <д, е>а,• 0для9 <д,凡(6/) = 1、в(е, V)для0>д;

записываются в виде

записываются в виде

炉(е/) = {

'в(о, V)

、о

для

для

9 <д, е>а,

• 0

для

9 <д,

凡(6/) = 1

、в(е, V)

для

0>д;

炉(е/) = {

'в(о, V)

、о

для

для

9 <д, е>а,

• 0

для

9 <д,

凡(6/) = 1

、в(е, V)

для

0>д;

здесь 6 ——произвольный фиксированный угол в интервале между 0 и 冗/2. Операторы £° 0 £§ с общим выражением (1.7) обладают свойством (1.12), в частности

(瓦 L曲《0,(6.19)

Если, однако, неравенство (6.16) выполняется, то L6 ——оператор с обрезанием по углу для потенциала более жесткого, чем максвелловский, и, согласно приведенным выше результатам,

(й, L6h)^-ii0nhlf (氏>0,仲а, /г) = 0)・(6.20)

Складывая неравенства (6.19) и (6.20), получаем требуемый результат (6.5). Обобщая это рассуждение, можно показать, что при 6л/2 все собственные значения возрастают по абсо

лютной величине, т. е. сдвигаются влево.

Если разбиение (5.20) применимо, то существование (й, Lh), необходимое для того, чтобы неравенство (6.5) имело смысл, вытекает из существования (й, yh), как показывает следующая

Теорема II. Оператор К, входящий в выражение (5.20), удовлетворяет неравенству

|(/i, Kh)\^{vh, h) (/iw“)(6.21)

для некоторого положительного 九.Здесь Л9 означает [гильбертово) пространство функций, таких, что (vft, h) существует (Л9—— подпространство 第 для потенциалов более жестких, чем максвелловский) .

Предварительный простой результат

(瓦 ОХИ, /2)(6.22)

следует из соотношений (1.12) и (5.20). Заметим также, что, согласно (5.1) и (5.20), К = К? — Кз причем операторы К\ и /<2 имеют неотрицательные ядра (см. формулы (5.12) и (5.13)). Поэтому, используя тривиальные неравенства и результат (6.22), получаем

1(儿 О)|<(I/2|, %丨们)+ (1们，К/力 1)=

=(1们，(/(2 —长川们)+ 2(1们，(|们)=

=(1们，k1/21) + 2(1们，KJ们)《

&2(|们，KJ/2|) + (/2, v/г)(6.23)

(в последнем члене знак модуля не требуется). Далее, в силу формулы (5.3) и неравенства Шварца [2], имеем

(I们，n1们)=^卜可%粪{庆(自)%信向9,1£ —自1)]%|/2但1此

X{[fo^)fo(UB(9, It-^I)]'/2|A(U|}<

《 ^ \ de {\施応丸(自)% (U)引3比一£ I) 也 (3产}% x 义{ \ 證 d Jo (自)fo &) в (仇丨 £ 一 三 I) № (U I2 }% • (6.24)

Интегралы в скобках равны, в чем можно убедиться, поменяв местами g и 自*. Учитывая равенство (5.4), находим

(I们，/(/们)《卜"{^卜9喝%&)в(9, 1£一自1)}%(自)1/2(912= =\虑"(自)%(自)也@[2 = (^, A).(6.25)

Подстановка этого результата в соотношение (6.23) дает неравенство (6.21) с 九=3.

Из теоремы I вытекает очень важное

Следствие. Уравнение

Lh = g (gw%)(6.26)

имеет решение тогда и только тогда, когда свободный член д ортогонален пяти инвариантам столкновений,

仇，g) =。，(6.27)

при условии, что потенциал удовлетворяет неравенству (6.16). Решение определяется с точностью до аддитивной линейной комбинации величин 2a.

Для того чтобы доказать это следствие, допустим, чта- g 巨爲 удовлетворяет условиям (6.27) и уравнение (6.26) решается в подпространстве W и %, ортогональном подпространству с базисом из пяти инвариантов столкновений (заметим, что' g ^ W по предположению, a Lh ^W согласно (1.16)). В подпространстве W оператор L является самосопряженным и его спектр не содержит нуля, в силу теоремы I; по определению спектра 厶一】существует в 呼 и имеется единственное решение 左⑼ w I丿 и % "z(°)=厶一ig). Хотя в W решение 九⑼ единственно, возвращаясь к 第，можно добавить к 九⑼ произвольную линейную комбинацию пяти инвариантов; при этом уравнение (6.26) по-прежнему удовлетворяется, и, таким образом, доказательство завершено.

Заметим, что решение h^ ^ W уравнения (6.26) минимизирует функционал

/伍) = (2g — L瓦 й)伍 wW)・(6.28)

Это вытекает из того простого факта, что если положить Л = =/1(о)+ 6九，Tо

/ (й(0) + d/i) = /(/г⑼)十 2 (g — Lh{0\ M)— (厶M, 6/i) >

》/ (/i⑼)+ 囱 II bh II2 (d/i w W\(6.29)

где использовано неравенство (6.5) и то обстоятельство, что h^ ——решение уравнения (6.26). Последнее неравенство показывает, что /(无)》/(奴°)), причем равенство будет иметь место тогда и только тогда, когда 6/г = 0, или Я = h^\

Стационарные одномерные задачи.

Коэффициенты переноса

Соображения, развитые в предыдущем разделе, дают довольно полную картину временной эволюции решения линеаризованного уравнения Больцмана в пространственно однородном случае. Успех, достигнутый в задачах такого рода, побуждает к изучению формально похожих задач, решения которых не зависят от времени и двух координат, скажем %2 и Хз； при этом нужно решить уравнение

&瞪W(7.1)

относительно функции h = h (打，&, &, Ез)=用(修，§).

Сходство уравнений (6.1) и (7.1) наводит на мысль, что решение следует искать в виде

/1 =次%g(§,(7.2)

где g удовлетворяет уравнению•

Lg =入自 ig,(7.3)

•аналогичномууравнению(6.8). Преждевсего встаетвопрос,

имеетлиуравнение(7.3)достаточнорешений длятого,чтобы

посредством их суперпозиции можно было построить общее решение уравнения (7.1), подобное (6.9). Далее нужно исследовать множество значений 九，для которых уравнение (7.3) имеет решение.

Задача здесь труднее вследствие взаимного влияния операторов L и умножения на J. Кроме того, наличие инвариантов столкновений препятствует тому, чтобы оператор L был строго

отрицательным. Для уменьшения этой трудности разобьем гильбертово пространство 第 на два ортогональных подпространства: 第+, содержащее все четные функции 己卜 и 舒一,содержащее все нечетные функции. Любая функция g соответственно представляется в виде

g = g+ +

(7.4)

где

g+ = % (g + Pg), g- = % (g - Pg),

(7.5)

a Pi — оператор отражения no ^:

Bg （自1，自2,自3）=g（-自1,自2,自3）■

(7.6)

Ясно, что

В 怎 ig) = — WiBg,

(7・7>

причем

P\Lg = U\g,

(7.8)

так как при центральных силах оператор L инвариантен относительно любого отражения в пространстве скоростей при условии, что максвеллиан f0 изотропен. Применяя к обеим частям равенства (7.3) операторы 里2(/士尸i), где / — тождественный оператор, при помощи соотношений (7.7) и (7.8) получаем эквивалентную систему:

Lg+ =循/ (g+ w%+, g- w 第一)，(79

Lg- = %g+・(7.10)

В этих уравнениях L означает, конечно, сужение оператора L на 第+ и 第-соответственно.

Далее, четыре инварианта столкновений (屮о,屮2,屮з,屮4) принадлежат 第+ и лишь один,屮 1, принадлежит 宠Вместе с тем любое решение системы (7.9) и (7.10) для 入 # 0 таково, что g~ ортогонально xpi =自卜 поскольку скалярное произведение в 彩 обеих частей равенства (7.9) на 业=1 дает

入怎，g-) = 0・(7.ID-

Воспользуемся этим обстоятельством и заменим уравнение (7.10) следующим:

(7.12)，(7.12)，-Ng- = A&g+, где

(7.12)，

(7.12)，

(7.13}(7.13}Ng- = — Lg-, если 怎，g-) = 0,

(7.13}

(7.13}

Система системеСистема системеN& =陡 1,

Система системе

Система системе

Z? — любая фиксированная положительная постоянная. Уравнений (7.9) и (7.12) по существу эквивалентна (7.9) и (7.10), поскольку оператор ——N отличается от 厶

одномерном подпространстве 烫，которое ортогонально g—, со-

гласно (7.11), если 为声 0; здесь теряется лишь одно решение g- = 3, отвечающее 九=0, которое при необходимости можно добавить позднее. Таким образом,第-представляется в виде суммы 舒厂㊉窓 где 第『ортогонально 屮i и, следовательно, всем инвариантам столкновений. Оператор N имеет единственный обратный N~l в (оператор N~' даже является ограниченным, как ясно из следствия, доказанного в конце предыдущего раздела, при условии, что потенциал достаточно жесткий) .Это означает, что N имеет обратный оператор и в .%一=%[㊉弘а именно

N^g-= 一 丄-七一，если (a, g「) = 0,

N飞-心.•

Следовательно, g一= 一入旷5十).(7.15)

Подставляя это выражение в (7.9), получим уравнение для g+： 厶8十=—炉(^A^-1^) g+ (g+ 三 Ж+).(7.16)

Как только функция g+ найдена, функция g~ определяется из (7.15). На первый взгляд может показаться, что рассматриваемая задача чрезмерно усложнена, так как мы заменили уравнение (7.3), содержащее операторы L и 自卜 уравнением (7.16), которое включает L и оператор 己1”一宅1； последний намного сложнее оператора умножения и в явном виде не известен. Выигрыш, однако, состоит в том, что оператор 己1乂-曰， действующий на функции из 第+, является положительно определенным. Это вытекает из того, что, согласно (7.14), N-，— положительно определенный оператор (厶一】——отрицательно ■определенный в любом подпространстве, ортогональном инвариантам столкновений, и ^ >> 0). В результате имеем

(d,畠旷&g十)=依店十，n一 国d)) > 0.(7.17)

Следовательно [3], существует самосопряженный оператор С, такой, что

自 W一£ =炉・(7.18)

Видно, что С, вообще говоря, неограниченный оператор, ко имеет единственный обратный С-1, поскольку 己14一生1 ——положительно определенный оператор; в общем случае С-1 ——также неограниченный оператор. Будем сначала использовать С формальным образом, а затем учтем его неограниченность.

Учитывая равенство (7.18), уравнение (7.16) можно представить в виде

Lg+ = — ^C2g+,(7.19)

или

Л1（р =—九 2屮，（7.20}

где

（P = Cg+,（7.21}

M = C~}LC~\（7.22）

Отметим, что М ——самосопряженный и неотрицательный оператор, т. е.

（中，m屮）=_（中，e7lС72）=一（e7中，L0一喇=

=一（丄。—屮，C~l^） = -[C~lLC^^ ф） = （Мф,屮），（7.23） （中，m口）= -（中，C-1LC-1（p） = -（[C-1（p],l[e7中]）》0.（7.24）

Равенство здесь достигается тогда и только тогда, когда。一1屮—— инвариант столкновений. Следовательно, уравнение （7.20） допускает множество собственных функций 屮入 с К2 > 0 или X2 = 0, причем нулевому значению соответствуют четыре собственные функции q）a = С”а （а = 0,2,3,4）, в общем же случае спектр может быть частично непрерывным и частично дискретным. Множество функций 屮入，согласно общей геории [14]. является полным в 第f, так что для любой ср 三 ％『 имеем

中（三）=£ 4A+，耿@川丸（7・25）

где 0《入0<8, 0 V 九8 W 8, 4a ——произвольные постоянные и Ла ― произвольные функции 九；интеграл по дискретной части спектра, если она есть, должен быть заменен суммой. Выражение （7.25） означает, что любая функция 九十，такая, что Ch+ 三 三非丁 или

1（小，^"^Ж^?亿26）

может быть представлена в виде разложения

4九со

九+= t儿也+ \ gj@4■丸（7.27）

а = 0А о

где

或畋.（7.28）

Конечно, здесь следует расширить оператор С-1 за рамки %： （если функция 屮^ принадлежит непрерывному спектру）; это можно легко сделать, интерпретируя выражение （7.29） в смысле

обобщенных функций (такая же интерпретация требуется для (7.25) и (7.27)).

При заданной функции h+ коэффициенты Ла и Д^ в (7.25) и (7.27) определяются при помощи соотношений ортогональности, которые получаются из уравнения (7.20):

(屮九，(pv) = 0, если 九，М,(7.29)

или

(欧，自］"［自出"］)=。，если 九，九‘.(7.30)

Таким образом, коэффициенты Ла в (7.27) (при й = й+) имеют вид

4=(自1旷飞也］，力/信旷弋山］，⑵)(a= 0,2, 3,4) (7.31) при условии, что ра означают не инварианты столкновений 1,自2, £з,己2, а линейные комбинации этих инвариантов, удовлетворяющие условиям

(&n7后屮j 必)=0 (a*6)■(7.32)

В частности, формула (7.31) дает

4 =(吊厶)/圈，1)，

儿=("7后也］/)/僞「r3」也)(« = 2,3,4). (7.33)

Как только вычислена gj, соотношение (7.15) дает нам нечетную часть g元 собственного решения уравнения (7.3); точнее говоря, каждая функция gj (九，0) порождает две функции g元， отличающиеся знаком, поскольку в (7.12) в качестве 九 можно взять любое значение квадратного корня из %2. Далее, из (7.27) получаем, что любая функция й_, которую можно записать в форме

/Г = №^^+ ^{h+ = Nh~)(7.34)

(здесь h+ ——четная функция, имеющая вид (7.27)), допускает разложение'

4九оо

"=£ а^Т (自也)+「Аr1邑或(詛用^> (7.35) a=0九 о

a 1

или, согласно (7.14) и (7.15),

4入оо

九一 =4电+ 2纥厶一 (Ш+ \以%丸 (7・36) a=2入 о

где Л1 стоит вместо 4о/財 а Ва вместо Ла (а = 2, 3,4) и Д^ — =—ЛГД. Разложение (7.36) справедливо при условии

\{Nh~, h~)\< 8,(7.37)

как следует из (7.26) и (7.34).

Теперь можно доказать следующее утверждение.

Теорема. Любая функция h = h^)y четная 〃 нечетная части й+ 〃 hr которой удовлетворяют условиям (7.26) “ (7.37)卜 может быть представлена 6 виде разложения

44-

h = £儿也+ e"「I倡必)+ \ + \纵® 4丸(7.38》 а=0а=2—九 оо九 о

где g^ = g j + g兄—собственные решения уравнения (7.3), соответствующие 九声 0, а коэффициенты даются формулами (7.33) и формулами

Дх =(九自1耿)，

4 =(儿 &)/因，&),(7.39)，

统=(儿自也)/(自2a,「%也］)

при условии, что ра удовлетворяет соотношению (7.32) и g^ надлежащим образом нормирована (б рассуждении предполагается, что g入幺 gv 〃夕〃九=й= V, что, вообще говоря, неверно; однако вырождение легко снимаете兄,и при доказательстве мы этого не касаемся).

Чтобы доказать теорему, достаточно представить h в виде суммы й+ + h~ и использовать выражения (7.27) и (7.36). Это приводит к (7.38) с

так как g^=gt九 и 且兄=——g二九. Коэффициенты вычисляются с учетом того, что уравнение (7.3) после стандартных операций дает

(欧，自倒,) = 0 (九，")•(7.41)

В частности, при * = 0

(g储自 1也)=0 3 = 0, 1,2, 3, 4,入 ¥=0),(7.42)

и, как следствие, имеем

(自也一飞 1 屮J g/ =(L 'HlPcJ，"gj = 4■(自件a，欧)=。(7.43)

(a = 2, 3, 4,厶声 0).

При надлежащей нормировке g入 коэффициенты (7.39) получаются при помощи скалярных произведений выражения (7.38) И величин &g储 &2а，自丄一传 12а).

Заметим, что ограничения, наложенные на /г, сильнее, чем это необходимо. Фактически существования скалярных произведений в (7.33) и (7.39) (в смысле теории обобщенных функции, если требуется) достаточно для гого, чтобы оправдать разложение (7.38) (также в смысле обобщенных функций).

Полученный результат очень похож па теорему полноты для собственных решений уравнения (7.3). Действительно, в (7.38) находятся все ‘【акне собственные решения, соответствуюилие 九* °, g*，и 九=0, 2a. Теорема утверждает, однако, что этих решений недостаточно, чтобы представить любую функцию Л; необходимо добавить три функции 厶-«自仲忆)(а = 2, 3, 4), которые не являются собственными решениями.

Этот факт представляет несомненный интерес. В самом деле, мы считаем, что можно найти решение Л уравнения (7.1), которое принимает, по существу, произвольное значение в некоторой точке х (скажем, х = 0)； поэтому указанный результат означает, чю невозможно представить любое решение уравнения (7.1) как суперпозицию решений с разделенными переменными вида (7.2). Данная выше теорема вместе с тем утверждает, что хотя этацель не достигается, однако мы очень близки к ней; достаточно найти три частных решения Ла (а = 2,3,4) уравнения (7.1), которые принимают в данной точке 尤，например х = 0, в точности значения 丄-1 (占伸々)，и добавить их к множеству решений, имеюш,их форму (7.2), чтобы получить общее решение уравнения (7.1) в виде линейной комбинации расширенного набора решений. Три требуемых решения Ла (а = 2, 3,4) можно взять в форме

+「(Е12а),(7.44)

в чем легко убедиться, подставив эти выражения в (7.1).

Таким образом, справедлива следующая

Теорема. Любое решение Л уравнения (7.1), такое, что скалярные произведения, входящие s выражения (7.33) 〃 (7.39), существуют (б смысле теории обобщенных функций, если необходимо), может быть представлено s виде разложения

厶=£ ^а^а + е 统［修屮а + 丄 т &2ан +

а5=3 0а=2

+, + \g九⑥公%4dA (7.45)

1九8入0

(° w 入0 V 入00 《 8),

где 2a (а = 0, 1,2, 3, 4)——пять инвариантов столкновений, g入(三)——собственные функции уравнения (7.3), отвечающие 九 2 0, 〃 Да, Ва, Лх ——произвольные коэффициенты (если значения 九 образуют дискретное множество, то интеграл, как обычно, должен быть заменен суммой).

Действительно, пусть Л ——решение уравнения (7.1); умножив это уравнение скалярно на g入(g), получим

寻 后欧，3 = (g储L力)= (上以，3 =a(己以，例，(7.46) или

&翫，力)= 4Z%,(7.47)

где Дх — постоянная. Аналогично

含&也，h) = ^a, Щ = 09(7.48)

или_

(自мa,例=儿，(7.48，)

Ла — постоянная. Наконец,

言~(自丄7 任NaL 力) = (「広毋a], L/z) = &2a,力)=Лх 3=2, 3, 4),

1(7.49)

или_

飞前J力)=儿后+员，(7.4V)

Ba — постоянная. Теперь Л для любого фиксированного х{ можно представить разложением (7.38) с коэффициентами 儿(修)，凡(修) и /1九(修)，которые вычисляются по формулам (7.33) и (7.39). Используя соотношения (7.47), (7.48') и (7.49'), сразу находим

4 (^1) = 4决修；Дх (修)=』a (a = 0, 1);

4(修)=4 + 统工1 (a = 2, 3, 4);统(X])=凡，(7.50)

где А^ ——постоянная, входящая в разложение (7.45), а Аа и Ва ——постоянные, связанные с 才々,后々 простыми соотношениями. В результате получается разложение (7.45).

Общее решение (7.45) составляется из двух частей hA и Лв, причем 44

% = £ 4恥 + X 凡[xi2a+ 厶一(自件a)]，(7.51)

a = 2

+ \ 分故(3 4以，(7.52)

где собственные значения 九 имеют порядок величины, обратной длине свободного пробега /; действительно, обсуждение порядка величины собственных значений оператора L (разд. 6) показало, что Lh/h ~ 1/1, и так как &、Е, то, согласно (7.3), 入上/т. Ясно, что hB описывает пространственную зависимость, которая существенна вблизи границ и исчезает на расстояниях от них, равных нескольким длинам свободного пробега. То обстоятельство, что (7.52) содержит экспоненты с^〉0и 九 V0, отражает необходимость описывать затухание как при 打 > так и при %)< 元 1, где %]——координата границы.

Общее решение (7.45) теперь показывает, что если размеры области, в которой содержится газ (полупространство или слой толщины d, так как, по предположению, h не зависит от двух координат), много больше средней длины свободного пробега, d》厶 то hB пренебрежимо мала всюду, кроме пограничных слоев толщины порядка нескольких длин пробега. Эти слои называются 《кнунсеновскнми》или «кинетическими пограничными^ слоями, чтобы отличать их от прандтлевских пограничных слоев, известных в гидродинамике. Вне кнудсеновских слоев решение достаточно точно описывается асимптотической частыо определенной формулой (7.51), которую удобно переписать в виде

з

% = " + b •自 +。(『一5RT。) + 2 底& + L (自昌)]必 +

i = 2

+ 氏修一5RT。) + L (& 冒 一 5RT。])] g, (7.53) где a, b, c, d厶 g — восемь произвольных постоянных, а 屮々 взято в виде 屮4 =严——5R「o для согласования с условием (7.32), которое для а = 0 и 6 = 4 дает (屮。=1)

借，屮4)= °・(7・54>

Интересно вычислить плотность р, скорость 卫与，температуру 7', напряжения 「仃 и тепловой поток qiy соответствующие hA. Для этого отметим сначала, что если произвести линеаризацию относительно максвеллиана f0 с нулевой скоростью, плотностью ро и температурой То, то получатся следующие результаты: 、

Р = \ fo (1 + 公旋=ро + \『о/г 晦(7.55)

и^^\^^+1г^^-[\^^с1^^(7・56>

Т = (3Rp) — I 野°( 1 + 用喈=роГор-] + (3Rp) т J 自喷力 dl =

=7。一 p「\ f% 密 + (3Rp°『\ 自2九〃哀 + О (炉)=

=То 十(ЗАР。)-卜廿 一 3RT°) f°/z 応 + О (/г2),(7.57)

--2 1-2 1-2 『 一一 一一--2 1-2 1-2 『 一一 一一(7.58)(7.58)］自也¥0"d自—^" RpoTo% +。(們=］自也¥0"d自—^" RpoTo% +。(們=(7.59)(7.59)

--2 1-2 1-2 『 一一 一一

--2 1-2 1-2 『 一一 一一

(7.58)

(7.58)

］自也¥0"d自—^" RpoTo% +。(們=

］自也¥0"d自—^" RpoTo% +。(們=

(7.59)

(7.59)

где 0(九2) означает члены второго порядка по возмущению, не учитываемые в линейной теории. Подставляя h = hA и пренебрегая членами второго порядка, получаем

р(а)= р^ ［1 + 〃 一 2RT。(с + gxj,(7.60)

t^ = biRTQ + /djRT。 (i = 2, 3),(7.61)

嚟)=6尸0，(7.62)

T(a)= Г。［1 + 2R「o (o + gx)］,(7・63)

哨)=RT。Po 0 + 吟一 R m凡 十 46") RT。, (7.64) 学)=—〃•俨 2R 爲 g,(7.65)

где

n=一保70厂1自&%l7 (自息)dl=-(RT^ \聂3%厶7 (昊3)这，(7.66) %=(4RT旷 V。諸2/厂瓜®-5rtJ］龙；(7.67)

при этом использована инвариантность L относительно отражений в пространстве скоростей, чтобы установить равенство нулю некоторых содержащих L~{ интегралов.

Формулы (7.64), (7.65), (7.61) и (7.63) показывают, что

仍,)=/у = _ R ^― (/ 声 i),(7.68)

023 =。， Рп — Р22 — Рзз = P^RT^ + О(Л2),(7.69)

严)=_乂*， 女)=疗)=0.(7.70)

Эти равенства показывают, что на расстояниях в несколько длин свободного пробега от стенки (где применимо распределение f = fo(l+九а)) тензор напряжений и вектор теплового потока связаны со скоростью и температурой соотношениями Навье — Стокса и Фурье (II. 8.27), причем коэффициенты вяз-

кости 卩 и теплопроводности х даются формулами (7.66) и (7.67). Второй коэффициент вязкости не появляется, поскольку dvkjdxh = dvjdxi = 0. Однако формула (II. 8.27) дает для след^ pij выражение

. dv,

Ра = Зр — (2卩 + ЗА)(7.71)

где давление р есть равновесное значение р”. Но формулы (П. 8.13) и (И. 8.16) указывают, что (для одноатомного газа) ри = Зр независимо от вида，； следовательно,九=——2/3 卩 и выполняется так называемое соотношение Стокса.

Полученные результаты нас вполне устраивают. Действительно, мы нашли, что, когда средняя длина свободного пробега пренебрежимо мала по сравнению с макроскопической длиной, удовлетворяются определяющие соотношения Навье —— Стокса для сжимаемой жидкости (обобщение на трехмерный случай дается в разд. 11). Кроме того, получены общие формулы (7.66) и (7.67) для коэффициентов вязкости и теплопроводности. Следует отметить, что эти коэффициенты переноса оказываются зависящими только от температуры и молекулярных констант (плотность исключается, поскольку она входит в /о и 厶-1 как множитель с показателями степени 1 и ——1 соответственно) .Этот факт независимости вязкости от плотности был одним из первых успехов кинетической теории, так как он был предсказан до соответствующего эксперимента.

Ясно также, что х и 卩 пропорциональны средней длине свободного пробега (так как Lh 〜 (^/l)h согласно оценкам разд. 6); это объясняет, почему число Прандтля

Рг = ср (ц/х) (7.72)

(где ср ——удельная теплоемкость при постоянном давлении) для газа всегда является величиной порядка единицы. В случае максвелловских молекул ц и %, а следовательно, и Рг вычисляются легко, поскольку 邑& и 三i (自？ 一 5RT。) являются собственными функциями оператора столкновений с собственными значениями 九02 и 九и, определяемыми формулой (6.10). Соответственно, так как для одноатомного газа ср = 5R/2, то '

卩=一 PoRT°/%2，冗=一 ％ p№/%] = - c&RTqA，

Рг = М/九 02； (7.73)

используя формулу (6.10), можно показать, что последнее отношение равно 2/3 (см. также табл. I в разд. 6). Для немаксвелловских молекул число Прандтля (которое для нестепенных потенциалов зависит от температуры, хотя и очень слабо) всегда близко к 2/3.

Лгплоскость

Л-плоскость

Рис. 22. Спектр собственных значений задачи (7.3). Верхний рисунок отно-сится к твердым сферам, нижний ——к степенным потенциалам с обрезаниемпо углу.

Эти результаты хорошо согласуются с экспериментальными данными.

Главный результат этого раздела ——разложение (7.45), демонстрирующее структуру общего решения линеаризованного уравнения Больцмана для одномерных задач. Следующий шаг состоял бы в отыскании значений 九о п 九8 для любого заданного оператора L. Основной вопрос здесь в том, равно 入。нулю или нет; во втором случае стремление к асимптотическому решению % экспоненциально на масштабах длины, не зависящих от граничных условий. Качественное обсуждение возможно, когда допустимо разбиение Ыг = Kh ——vh, где К вполне непрерывен. Действительно, можно применить теорему Вейля или ее надлежащее обобщение [3] и прийти к заключению, что если К —— вполне непрерывный оператор, то множество особых точек (Л —九自 1)т = {К — k(E) +觴i]}j (т. е. спектр рассматриваемой задачи) отличается от множества нулей функции ”(己)+ 觴1 лишь дискретным множеством точек.

Это справедливо в случае твердых сфер и степенных потенциалов с обрезанием по углу. Для них получаем, что непрерывный спектр представляет собой множество значений, принимаемых функцией — v(g)/Ei, когда компоненты 自 меняются от ——оо до + оо. Соответственно имеем

入0 = lim ,九оо н lim .(7.74)

В частности, для твердых сфер 九о > О, А^ = оо, а для степенных потенциалов с обрезанием по углу 九о = 0,九《> = оо (см. рис. 22). Вопрос о том, существуют ли собственные значения в интервале О V |А| V Ао, для твердых сфер, кажется, не был исследован.

В заключение сделаем несколько замечаний относительно обобщения этих результатов на случай переноса нейтронов. Очевидно, что если отсутствует деление или преобладает поглощение, так что £ является отрицательным оператором, то основные построения в приведенном рассуждении не нужны, поскольку спектр можно получить из уравнения для собственных значений оператора (—£)一％(—乙广％; собственные решения образуют полный набор.

В случае чистого рассеяния доказательство проходит даже в более простой форме, так как нечетные инварианты столкновений отсутствуют. Однако рассуждения теряют силу, когда спектр L содержит точки на положительной полуоси; при этом можно лишь сказать, что если деление описывается вполне непрерывным оператором, то (согласно обобщенной теореме Вейля [3]) невещественные собственные значения образуют дискретное множество.

Общий случай

Достаточно общие результаты, полученные в разд. 6 и 7, побуждают нас исследовать, можно ли представить общее решение линеаризованного уравнения Больцмана как суперпозицию «элементарных решений》с разделенными переменными. При разделении переменных мы находим, вообще говоря, что пространственно-временная зависимость экспоненциальна:

^ = g(§c'3J'k・x, (8.1) причем функция g(|), описывающая зависимость от скорости молекул, удовлетворяет уравнению

(沁一jk • У ? = Lg, (8.2) а(о и к в общем случае представляют собой комплексные скаляр и вектор (со = —Е, к = 0 в разд. 6; з = 0, к =(认，0, 0) в разд. 7). Уравнение (8.2) будет иметь решения только тогда, когда (о и к связаны между собой определенным образом; для допустимых значений со и к можно найти соответствующие решения g, которые либо принадлежат 第(«собственные решения》), либо не принадлежат ему («обобщенные собственные реше^ ния»).

В первом случае связь между со и к обычно называется дисперсионным соотношением, а решение gexp (心/ — ik・x) — нормальной модой. Для того чтобы получить общее решение линеаризованного уравнения Больцмана, нужно построить комбинацию как собственных, так и обобщенных собственных решений:

/г= \ 4(з, k) exp (ZcdZ — zk • х) g (^; cd, k)dQ; (8.3) D (co, k)

здесь g ——решение уравнения (8.2), нормированное надлежащим образом, а интеграл представляет собой набор интегралов по всему множеству D (со, к) допустимых значений со и к (соответственно здесь будут суммы по дискретным значениям со и к и интегралы по непрерывным множествам). В общем случае выражение (8.3) не будет самым общим решением, как показывает (7.45), но есть основания ожидать, что исследование множества D (со, к) внесет ясность и в этот вопрос.

При изучении уравнения (8.2) имеется несколько возможностей, так как можно фиксировать три из четырех комплексных параметров з,归卜々2,々з и искать спектр значений параметра, оставленного свободным. В частности, можно фиксировать к и рассматривать со; подробно исследован случай вещественных к. Этот случай возникает при изучении свободных звуковых волн [26—28] и является стандартной задачей о собственных значениях оператора 厶+，к・^:

(L + zk • §) g = Ag 仇=施). (8.4)

Основная трудность здесь заключается в том, что оператор L + fk• I не самосопряженный. Это означает, что общих теорем о полноте собственных функций не существует. Кроме того, непросто провести качественный анализ спектра при помощи теоремы Вейля, когда £ = К ——v и ^——компактный оператор. Действительно, теорема Вейля утверждает, что если оператор 4 замкнут и самосопряжен, а К вполне непрерывен и самосопряжен, то

+ = (8.5)

где оге(Л) обозначает существенный спектр, т. е. множество предельных точек спектра А. Однако А =——》+ »k•自 не является самосопряженным, и теорема Вейля в такой форме не применима [29] 9 • Чтобы устранить это неприятное обстоятельство, было предложено несколько модификаций определения о?; для некоторых из них теорема Вейля не выполняется в полной мере

Обобщенная теорема Вейля, учитывающая это обстоятельство, приведена в работе [54*]. На ее основе в статьях [55*, 60*] была указана общая картина спектра. — Прим, перев.

Рис. 23. Спектр собственных значений задачи (8.4) для фиксированного вещественного значения к.

А,-плоскость

[29, 30]. Николаенко [28] заметил, что это обстоятельство породило ряд неточностей в некоторых статьях, где используется инвариантность 龜 в связи с уравнением Больцмана. Так, авторы работ [27, 31, 34] утверждали, что

% ([- w + * 闾 + К) = % ([-v + 汰•詛， (8.6)

следуя, таким образом, определению существенного спектра, при котором справедлива теорема Вейля, однако предполагая неявно, что ”一 множество предельных точек спектра, т. е. что дополнение о?—множество, где (丄 + 注七尸 существует, за исключением изолированных точек. Основное упущение, как заметил Николаенко [28], состоит в том, что Ое может не включать целые открытые множества точечного спектра. Он показал также, что для изучаемого оператора этого не происходит.

Таким образом, непрерывный спектр оператора Л + ik-^, где к — вещественный вектор и L = K — v с вполне непрерывным К (как в случае твердых сфер), состоит из точек

九=_ ” 但)+ /к • £(8.7)

где I пробегает все возможные значения (см. рис. 23).

Относительно дискретного спектра, по-видимому, еще ничего не доказано, за исключением результата Мак-Леннана [32] для случая твердых сфер. Согласно [32],丄 + ik•自 при достаточно малых к имеет пять изолированных собственных значений 九(а)(к) (а = 0, 1, 2, 3, 4) (не обязательно различных), которые сводятся к 九(а) = 0 при к = 0 и аналитичны по | к |. Это вытекает из теоремы о возмущении спектра [3], в которой утверждается, что если 入 есть /rz-кратное собственное значение самосопряжеы- ного оператора L и Z/ ——самосопряженный оператор, удовлетворяющий неравенству

II ГйЦ^Л4(||Л|| + || Lh\\)(8.8丿

(М не зависит от й для любой й из области определения как L, так и Z/), то оператор L 4~ г^х при достаточно малых значениях комплексного параметра г имеет т изолированных собственных значений, которые приводятся к 厶 при 2 = 0 и аналитичны по 2.

Для того чтобы применить этот результат к пятикратно вырожденному собственному значению 入=0 оператора 厶 нужно лишь положить к =々е (е ——единичный вещественный вектор), 2= /, // = е•自 и доказать, что неравенство (8.8) выполняется. Последнее непосредственно вытекает из следующих фактов.

L = К — v.

В случае твердых сфер v(E) линейно возрастает при больших 自(значит, существует такое Mi, что |е-|| V Mv(W)).

К ——вполне непрерывный и, следовательно, ограниченный оператор (значит, существует такое М2, что IIK/i|| VM2II川I).

Выполняется неравенство треугольника (II/+ gll W Hfll + + 11^11).

Используя эти свойства, получаем

II 厶々 || = || (e^h НМ II vh II = M II (К—L) h^Mx (II Kh\\+\\ 厶们 I) <

< 此(№ II h ll+ll Lh II) &M (II h ll+ll Lh II) (M=max (闿,M.M^

(8.9)

ЧТ© и следовало доказать. Это локальный результат, так как радиус сходимости рядов для 厶(《)= А(а)(", по-видимому, не превосходит величины А。，определенной формулой (7.74). Действительно, для z вещественных, а не чисто мнимых 厶+ 之信・е) имеет непрерывный спектр, который достигает нуля при г = =土入°. По этой же причине следует ожидать, что для потерь

Рис. 24. Спектр собственных значений задачи (8.10) для фиксированного вещественного значения со.

циалов с обрезанием по углу (九о = 0) не существует дискретных собственных значений, разложимых в ряды по степеням 々.

Это завершает обсуждение случая вещественного и фиксированного к. Полнота собственных функций, по всей видимости, еще не обсуждалась в литературе, хотя должно быть не трудно получить результаты при помощи методов теории полугрупп.

Подробно рассматривался и другой случай, а именно случай, когда 九=心 фиксировано (со вещественна), а к =/е, где вещественный единичный вектор е также фиксирован. Здесь k играет роль собственного значения, но является множителем при неограниченном операторе умножения g・e, что, конечно, создает дополнительную трудность. Теперь следует изучить уравнение

(is — L) g = th 依• e)g. (8.10)

Если L = К ——w и К вполне непрерывен, то, как доказал Николаенко [28], непрерывный спектр для обобщенной задачи на собственные значения (8.10) дается значениями 少,определяе-

мыми формулой

山=三j：⑶,(8.11)

где g пробегает все возможные значения (см. рис. 24)】).

Более сложное положение возникает в случае, когда к нельзя записать в виде к =々е с вещественным единичным вектором е. Тогда задача на собственные значения является нестандартной. Случай (о = 0, соответствующий уравнению

-ik Yg = Lg,(8.12)

особенно интересен, так как соответствует стационарной задаче. Если k =々е (е-е = 1, е ——вещественный вектор), то, выбирая в пространстве скоростей первую ось декартовых координат в направлении е и полагая ——ik =九，мы вновь приходим к уравнению (7.3). Согласно известным для него результатам, решения уравнения (8.12) не образуют полного набора. Случай комплексного е не рассматривался.

Следует заметить, однако, что в общем случае множество всех значений з и к, для которых уравнение (8.2) имеет решение, слишком велико в том смысле, что не все решения из него являются линейно независимыми. Это обстоятельство затрудняет получение выводов из анализа «задачи на собственные значениям для более чем двух комплексных параметров. Альтернативой является использование преобразования Лапласа ——Фурье

应=\ \'Tw+‘k・x'(% /)"х 山.(8.13)

О R

Тогда

(Z(d-ik^h = Lh + g0,(8.14)

где свободный член go включает граничные и начальные значения. Уравнение (8.14) — неоднородное уравнение, соответствующее (8.2) с вещественным к. Изучение спектра н собственных функций уравнения (8.2) приводит, хотя бы в принципе, к построению обратного оператора (厶一心+，k •自)т (см. разд. 11, где обсуждается стационарный случай з = 0).

Таким образом, величину 近=(厶——，(о + ik・W)~igo можно считать известной, если известна go・ Трудность заключается в том, что для задачи с граничными условиями величина go, вообще говоря, неизвестна, так что решение можно получить лишь

Картина непрерывного спектра, определяемого формулой (8.11), была установлена в работах [55*, 60*]; при этом рассматривался весьма широкий класс взаимодействий, включающий и случай стремящейся к нулю частоты столкновений.——Прим, перев.

для частных случаев при помощи специальных методов (например, некоторые полупространственные задачи могут быть решены методом Винера — Хопфа [35]).

Линеаризованные кинетические модели

В разд. 10 гл. II обсуждалась возможность замены столкно- вптельного члена в уравнении Больцмана более простым выражением, названным столкновительной моделью. Идея состояла в том, что многие детали парного взаимодействия, содержащиеся в столкновительном члене и отражающиеся, например, в тонких свойствах спектра линеаризованного оператора, вероятно, не влияют существенным образом на значения многих экспе- рнментально измеряемых величин. Это привело к Б Г К-модели п ее вариантам, которые обсуждались в гл. II.

Та же возможность существует для линеаризованного и линейного уравнения Больцмана, для которых имеются удовлетворительные систематические методы построения моделей.

Простейшая модель линеаризованного оператора столкновений получается при линеаризации БГК-модели. Полагая в (II. 10.3) / = /о(1 + Л) и пренебрегая степенями й выше первой, имеем

=1%(2а,力)一力]'(9.1)

где инварианты столкновений 2a нормированы таким образом, что

(也，咻)=6呼(а, Р = о, 1, 2, 3, 4),(9.2)

а ( , ) обозначает скалярное произведение в 第，определенное формулой (1.9). Очевидно, что выражение (9.1) определяет оператор существенно более простой, нежели точный линеаризованный оператор.

Заметим, что выражение (9.1) можно переписать в виде

Lh = v(flh-h) = -v(I -U^h^(9.3)

где П ——оператор проектирования в пятимерное пространство 歹, построенное на инвариантах гр, а / ——единичный оператор (соответственно / — П есть проектор в W, ортогональное дополнение 歹 в %). Выражение (9.1) или (9.3) означает, что линеаризованный БГК-оператор обладает свойствами (1.10), (1.12), (1.15) и, следовательно, (1.16). Для свойств (1.10), (1.12) и (1.16) это почти очевидно, а свойство (1.15) вытекает из (9.3) с учетом того, что

(Й, Uz) = — ”(/2, (/ — n)/2)=-v||(/ — II)/2『&0,

где равенство достигается, очевидно, только тогда, когда (/ — П)й = 0, или

力=£ %屮а・а

Алгоритм уточнения линеаризованной БГК-модели, включающий ее как первый член в последовательность моделей, аппроксимирующих оператор столкновений для максвелловских молекул с любой заданной точностью (в подходящей норме), предложен Гроссом и Джексоном [36]. Исходным при этом является разложение й в ряд по собственным функциям оператора столкновений для максвелловских молекул (разд. 6), образующим полную систему ортогональных функций

/2= Z 也"а，〃)，(9.4)

где а — единый индекс, представляющий тройку (м, /, т) так, что инварианты столкновений 屮忆 соответствуют значениям а = 0, 1, 2, 3, 4. Тогда, поскольку для максвелловских молекул £冲々—%屮а，имеем

^^ = Е 5(2а,力)=玄九а2а(3а,力)・ (9・5) а=0 а=0

Алгоритм аппроксимации L заключается в частичном нарушении тонкой структуры спектра L посредством сведения всех собственных значений для cz〉М к одному, которое будем обозначать через —

Это равносильно замене L аппроксимирующим оператором £n, определенным так:

Nоо

LNh= 2 Ma(^a, ^-^N X 也(屮a,以 (9.6) а=0a=N+l

Разложение (9.4) дает

ооN

2 Wa (也，九)=/" - Z 也(2a,力)，(9.7)

a = ^+la««0

и (9.6) принимает вид

L6 =2 & + "n) Wa(2a,九)一VN瓦(9.8)

a=0

В частности, при ^ = 4,九々=° для 0 W a W N и выражение (9.8) сводится к (9.1) (с v4 = v); увеличивая N, мы включаем в модель все больше деталей спектра L. Если взягь ^ = 9, подключив пять собст венных функций, соответствующих

〃 = 0, / = 2 в (6.10), то получится линеаризованный вариант ЭС-модели (II. 10.7).

Указанная схема применима лишь к случаю максвелловских молекул. Однако небольшое обобщение разложения (9.5) позволяет получать столкновительные модели, соответствующие любым линеаризованным операторам столкновений [37]. Действительно, ничто не мешает использовать разложение (9.4) даже в том случае, когда % (собственные функции максвелловского оператора столкновений) не являются собственными функциями рассматриваемого оператора. Применение Л к обеим частям (9.4) дает

Lh = Д 丄屮廿(％, 3,(9・9)

но ко второму знаку равенства в (9.5) мы перейти не можем. Однако можно разложить правую часть (9.9) в ряд по 屮竄 и получить

丄力=£ 4aB (%,')屮а,(9.10)

а, 6=011

где

九ав = СФа,丄必)=%в(х・(9.11)

Выражение (9.10) является обобщением (9.5) и сводится к нему, когда 九々В =九а@а8・ Если теперь ввести аппроксимацию 入аВ = —УмбаВ для а, Р > ^, то получится модель

= § 。 (Vnm8 + 入a/Wa (咻，九)一"n九， (9.12)

которая обобщает (9.8) на немаксвелловские операторы. Выбор ^ = 4 снова дает БГК-модель.

Заметим, что Ln можно записать в виде LN = ^ — vNI, где vN ——постоянная, / — единичный оператор и Kn отображает любую функцию в конечномерное пространство 契义 с базисом Wa (々W%). Если написать уравнение (6.8) для собственных значений оператора Ln и взять его проекции в 兔, и в его ортогональное дополнение, то окажется, что эти два уравнения не связаны; тогда легко показать, что спектр состоит из ^ собственных значений между —vN и 0 (с собственными функциями в виде полиномов; в частности,屮々"力只 модели, определяемой (9.8)) и собственного значения ——бесконечной кратности.

Отметим снова, что операторы столкновений для твердых сфер и жестких потенциалов с обрезанием по углу являются неограниченными и имеют непрерывный спектр; операторы для жестких потенциалов без обрезания также неограниченны. Если

эти свойства операторов и влияют как-то на решение конкретных задач, то это влияние исчезает, когда применяются модели вида (9.12) (или ——в частном случае ——вида (9.8)). Поэтому- удобно ввести и исследовать модели, которые сохраняют указанные выше характерные черты линеаризованного оператора столкновений; сделать это можно несколькими способами.

С общей точки зрения простейшая схема основывается на обстоятельстве, которое известно (для твердых сфер и обрезания по углу) или предполагается (для потенциалов конечного радиуса) и состоит в том, что £ = К — ”/ и К* =『％/(『％ — самосопряженный и вполне непрерывный в 舒 оператор (см. разд. 6). При этом ядро К* можно разложить в ряд по его квадратично суммируемым собственным функциям 屮。”％ (таким, что К(Ра =卩а”屮а), т. е. можно написать

K^ = W(E)W 卩а屮а("а, 3・(9」3)

а=0

Обрывая этот ряд (приближение вырожденного ядра), получаем модель [38]:

N

厶解=V ⑹ £ НаФа ("а, 3 — ” ⑹瓦(9・ 14)

а=0

Этот оператор автоматически удовлетворяет всем основным требованиям, выраженным соотношениями (1.10), (1.12), (1.15) и (1.16). Так как первые пять собственных функций(ра являются инвариантами столкновений 屮仪 и соответствуют ца = 1 (0 W а W 4), из (9.14) при ^ = 4 следует

4

丄4力=w 怎)X % (v^a, h) — v g) h.(9.15)

a = 0

где инварианты столкновений нормированы так, что

(Wa, v^^)= 6ap-(9.16)

Выражение (9.15) как раз представляет собой линеаризованный вариант нелинейной модели, в которой частота столкновений зависит от скорости и которая кратко обсуждалась в разд. 10 гл. II.

При получении моделей, соответствующих N А 5, мы сталкиваемся с той трудностью, что у нас нет аналитических выражений для(ра (а ^ 5); правда, их можно определить численно, но это, очевидно, значительно усложнит задачу. Вместе с тем способ получения моделей (9.14) и (9.15) показывает, что %(自) фиксируется выбором исходной молекулярной модели, и, следовательно, у нас не остается свободных параметров, чтобы получить точные значения коэффициентов вязкости и теплопроводно-

сти (которые, согласно (7.66) и (7.67), однозначно определяются оператором L).

Заметим, что БГК-модель, построенная методом Гросса и Джексона, содержит свободный параметр \м который можно использовать для получения верного значения одного из двух коэффициентов переноса. Эта гибкость достигается и в рассматриваемой модели, если несколько изменить рассуждение и ввести дополнительный параметр. Вместо простого обрывания ряда в (9.13) (ца — 0 для а > ”) можно положить % =々n для а >/V (имея в виду, что kN ~^0 при ^ —> оо). В результате получается та же модель (9.14), только вместо v(g) будет (1 —々n)v(E), а вместо ца — величина (ца — kN)/(1 —林)；в частности, при ^ = 4 единственным изменением будет появление перед v(E) свободного множителя, который сообщает модели желаемую гибкость (однако смещает непрерывный спектр).

Можно достичь большей гибкости, используя модели более высокого порядка), но при этом мы встречаемся с упомянутой трудностью ——отсутствием функций сра (cz ^ 5). Эту трудность можно обойти, применив способ, аналогичный использованному выше при немаксвелловском моделировании, т. е. взяв полный набор ортогональных функций и разложив все величины по этим функциям, как это делалось при получении (9.10). Конечно, если мы хотим сохранить характерные свойства моделей (9.14), (9.15), то следует выбрать подходящую систему функций; проще всего взять множество полиномов, ортонормирован- ных с весом fo(E)v(E), где % — основной максвеллиан. Простейшая модель снова принимает вид (9.15), однако теперь можно без особых трудностей получить модели произвольно высокого порядка (при этом численно определять нужно лишь коэффициенты, а не функции); способ построения очевиден, и мы не будем описывать его подробно ').

Полезные схемы построения моделей могут основываться па требовании, чтобы для малых длин свободного пробега эти модели верно воспроизводили поведение не только некоторых коэффициентов, но и самой функции распределения. Согласно результатам разд. 7, решения уравнения Больцмана для стационарных одномерных задач принимают вид й = йА на расстоянии от границ в несколько длин пробега, hA дается выражением (7.51). Поэтому для получения из столкновительной модели верного асимптотического поведения необходимо, чтобы выполнялось равенство 厶『(*2,=厶一(自2а)， если 上^ ——оператор, заменяющий L. С учетом того, что 上3 и L~[ — операторы, об-

Рациональные модели, о которых здесь говорится, введены, обоснованы и эффективно использованы для решеяия задач, связанных со спектром, в работах [36, 55* — 57*, 60*]. — Прим, перев.

ратные 厶n 0 厶 в подпространстве », ортогональном инвариантам столкновении, это условие можно записать в следующем виде:

色也一口目也］)=信也一口 ［自押J)，(9・⑺

где i = 1 н П — проектор на 歹，подпространство с базисом фа. Так как первая ось равноправна с другими, (9.17) должно быть справедливо и для i = 2, 3. Условие (9.17) указали Лоялка и Ферцигер ［39］. Заметим, что, хотя а может принимать пять значений, при а = 0 это условие дает тождество 0 = 0. Поэтому остается

厶丁 G咼一%1乐)=「飞尚一%1%) = 4 (自)(睛一%『心)(9.18)

^1 & H — 5RT。］)=厶7 值『一5RT。］) = Е/ ⑶，(9.19)

где вследствие симметрии зависимость L~} (^j——Vs^Si；) и L-i(Et ［自2 — 5/?То］) от & определяется с точностью до множителя, зависящего от величины скорости. Вместе с тем, поскольку Е»В(Е) должно принадлежать W, функция В (^) должна быть такой, что

(邑 5 他)) = 0.

Условия (9.18), (9.19) могут быть удовлетворены, если выбрать модель такого рода:

*3九="⑹g0"业，九)+电"也，九)+ *"屮4, 3 +

+ 屮订(мф〃，力)+ p£4(Wz・4,力)一川，(9.20)

где, как обычно, подразумевается суммирование по повторяющимся индексам f, / от 1 до 3, а 屮仃，屮” имеют вид

^ij =怎角一%自弟订)e (自)，f

54 =回)，()

причем С(^) и 0(E)——функции скорости молекул 自，которые определяются из формул (9.18) и (9.19) и выражаются через 4 隽)，В (g) и v(W). Простое вычисление дает

e(自) = m ⑶+ ［"(m} {九［(4 У)+ "4 恋旷上

Q⑹={b 阳 + ［V 0"1 (干 一 5RT。)一 ［(V,廿)L(V,廿8)} X (9.22)

X {% 鹰B,廿一5RTo) + (VB,廿⑶］一［3(%『厂［(% 廿B)F}"

Трудность опять состоит в том, что, за исключением максвелловских молекул (Л = const, В = const), мы не имеем аналитических способов вычисления А (^) и В (^). Однако иногда модель (9.20) оказывается полезной, так как она позволяет полу-

чить достаточно точные результаты для молекул, отличных от максвелловских; это справедливо, в частности, в тех случаях, когда конечные зависимости выражаются через квадратуры, которые берутся численно.

Аналогичные рассуждения пригодны и для случая переноса нейтронов. Положение здесь несколько проще, так как имеется, самое большее, один закон сохранения. Поэтому можно выкинуть четыре из пяти членов в (9.15) и заменить правую часть уравнения (3.9) выражением

Lf =屮⑹ ％ ⑵卜(В) / (F) d^-x^f ©(9.23)

где

厂⑹应.(9.24)

Эта модель для переноса нейтронов, по-видимому, предложена Корнгольдом и др. [40]. Ее, конечно, можно улучшить, добавив интегральные члены, как в случае газов. Такие модели, однако, недостаточны для описания кристаллических замедлителей, где возникает явление когерентного рассеяния, вызываемое интерференцией нейтронных волн. Это явление существенно влияет на спектр, рассмотренный в разд. 8, и его нельзя игнорировать [41, 42]. Особую осторожность при использовании упрощенных моделей следует проявлять в том случае, когда имеются высокоэнергетические источники; в этом случае существуют модели [43], в которых нарушается взаимность (последняя не имеет особого смысла, когда энергия нейтронов существенно, например в 106 раз, превосходит энергию теплового движения замедлителя) .

Модель (9.23) приводит к следующему виду линейного уравнения Больцмана:

I" + *•-£■ = Y” ⑧ f。⑧卜(В) f(S 眼一-(E) f ◎ (9・25)

Приближение другого рода, которое часто делается в теории переноса нейтронов, состоит в исключении зависимости от ско； роста на основе допущения, что все частицы имеют одну и ту же скорость I; при этом уравнение (3.10) записывается в виде

+ Q+ и(х)屮=\o(QJQ, х)屮(Q/)dQ' + S(x, Q, Z), 自0/dxJ

(9.26)

где 屮=屮(乂，C)—некоторое среднее по скорости значение 力 а I ——подходящая средняя скорость. Часто рассеяние считается изотропным, т. е. or(Qz-Й, х) предполагается не зависящим от

Q・C‘. Тогда, поскольку источник нейтронов деления также приближенно изотропен, можно записать

+ Q•嘗 +。屮屮")dQ/ + q(x, Q,f). (9.27) 自 0%Ox4л J

Здесь 7(x, Q, Z) — внешний источник, a c—среднее число вторичных нейтронов на столкновение, определяемое так:

(°s, о。 и 07 ——сечения рассеяния, поглощения и деления соответственно; о = Os + Оа).

Уравнения (9.26) и (9.27) используются также в теории переноса излучения. Если предположить, что сга и os в (3.25) не зависят от частоты (так называемое серое излучение) и проинтегрировать (3.25) по частоте, то с учетом (3.26) получится уравнение (9.26) с £ =匂(скорость света) и

o(QJQ) = qg(€y ・Q) + %/(4冗).

При этом четвертая степень температуры играет роль, аналогичную плотности нейтронов. В частности, если рассеяние； отсутствует или изотропно, то получается уравнение (9.27) с = =1 и Е = Ci).

Вариационный принцип

В этом разделе исследуем возможность получения вариационного принципа для линеаризованного уравнения Больцмана. Будем рассматривать стационарный случай, хотя, используя свертку или преобразование Лапласа, можно изучать и нестационарный случай. Итак, рассмотрим уравнение

dhdh上九+ go,上九+ go,(Ю.1)(Ю.1)

dh

dh

上九+ go,

上九+ go,

(Ю.1)

(Ю.1)

где go ——член типа источника, который обычно равен нулю, однако сохраняется здесь ради общности. Граничные условия, которые следует добавить к уравнению (10.1), записываются в виде (2.14), а основной максвеллиан % имеет нулевую массовую скорость.

Нетривиальный вариационный принцип для линейного уравнения обычно основывается на самосопряженности линейного оператора который входит в уравнение

^h = S, (10.2)

где S——член типа источника. Как только будет показано, что Z является самосопряженным относительно определенного скалярного произведения (( , )), так сразу же доказывается, что функционал

J@)=((忆 ①向)-2 ((S,历)) (10.3) удовлетворяет условию

6/ = 0 (10.4)

тогда и только тогда, когда й = й + 6/г, где h — решение уравнения (10.2), а 6/г бесконечно мало. Хотя Л ——оператор, самосопряженный в % и, значит, в гильбертовом пространстве 箔区契， где скалярное произведение задается формулой (4.3), оператор Q=&・0/ix с граничными условиями вида (2.14) с /г。= 0 (й0 можно, хотя бы формально, отнести к источнику) не является самосопряженным в 第宫5? или в любом гильбертовом пространстве с положительной нормой. Однако легко видеть, что имеет место равенство

((g, PDh)) = ((PDg, Л)) + ((^, РИЗ,九+%, (10.5) где Р ——оператор четности в пространстве скоростей, определенный формулой (Ш.5.7). Тогда соотношения (2.14), (2.19) и (4.5), в которых g и /? заменены на Pg~ и Ph~, дают

(也 pm))=((PDg, Л)), (Ю.6)

так что оператор PD является самосопряженным относительно скалярного произведения в 第区笈.Заметим, что для любого центрального взаимодействия 厶 коммутирует с Р при условии, что в основном максвеллиане f0 скорость 〃о равна нулю (см. (7.8)). Соответственно

(g, РЩ = © LPh) = (Lg, М) = (P/g Л), (10.7) так что не только Л, но также и PL — оператор, самосопряженный в % и, следовательно, в 第区灰.Иначе говоря, хотя оператор O —— L не является самосопряженным в 箔㊈灰，оператор Р (D ——Л) таковым является, или, если угодно, D ——L ——самосопряженный оператор в псевдогильбертовом пространстве с билинейной формой ((f, g)) Р= ((f, Pg)), которая обладает всеми обычными свойствами скалярного призведения, за исключением того, что ((/, /)) р не является нормой, поскольку может принимать как положительные, так и отрицательные значения.

Самосопряженность Р (D — Л) означает, что можно сразу же сформулировать вариационный принцип, отождествляя 尸(。——厶) с Z и Pg。с 3 в (10.3). В этом вариационном принципе 力 должна удовлетворять тем же граничным условиям, что и 九,а это

оказывается неудобным во многих приложениях. Поэтому обобщим /(力)следующим образом [44]:

/仿) = ((瓦0(Q一П历一2尸统))+ ((尸方，3一apк—2|г分B. (Ю.8)

Легко вычислить

6/ = (3瓦 p ① 一 L) Я 一 2尸统))+

+ ((瓦尸(0一上)m))一(停仁，5广М 一 ((P忆,APbh-))B +

+ ((万 + 一 APk — 2儿)，m~))B. (10.9)

Теперь можно использовать симметрию P(D —— 厶)；однако следует учесть, что, вообще говоря, Я не удовлетворяет граничным условиям. Соотношение (10.5) тогда дает

((瓦 p ①一L) 6用)=((p (D 一 L)瓦 次))+

+ ((庐，代仁))3 一((“ 一，北+))比(Ю.10)

Кроме того, в силу (2.19) с 〃 =。6百一，g = Ph~, имеем

((尸应，АР6厂))в = ((АРк, m~)).(10.11)

Подставляя (10.10) и (10.11) в (10.9), получаем

5/ = 2 ((Р ①-Цй- Pg°, М)) + 2 ((万+ — APh~ 一 ％, РдЯ~))в.

(10.12)

Соответственно, если 万=瓦 где h ——решение уравнения (10.1) с граничными условиями (2.14), то 6/= 0. Обратно, если 6/ = 0 для любой 6й в занятой газом области и на ее границе, то отсюда следует, что 万=h.

Заметим, что этот вариационный принцип отличается от принципа минимума, данного в конне разд. 6 для уравнения Lh—g.

Интересно рассмотреть значение, принимаемое функционалом / при 万=用；из (10.8) имеем

/(") = — (电尸统))一((佩 М-))в.(10.13)

Смысл этого результата полностью раскрывается лишь поело изучения выражений для h^ и go. Вообще говоря, go = 0 (см., однако, разд. 5 гл. VI), а Ло имеет вид (2.15); при этом

/(力)=—((屮工 Р/г-))в + ((ДР<, Р!г—»в =

= -(«, ^-% + ((p2鼠 Ap/T))в =

=-((需，e/厂))5 + ((p屮(7, 力+ -屮^ * 4夕1分))8 =--(«, M-))B + ((P<, h^B + ((Р^\—甘)"•(10.14)

Последний член представляет собой известную величину, в то время как первый и второй члены можно записать в таком виде (принимаем в (2.16) и° = 0, чтобы выполнялось равенство (Ю.7)):

((PM/+))b — (W\ Ph~^B=^-n^^ -Юй(х,驚。⑹/dS = =7號口g(g.n) fo(g)ft(x, ^) dl\dS +

+ t2^№・nG&；-4)^(x, §d 三皿卜

=一依丁。)-% [, % • pm) dS + \ ^bl qn ds] • (10.15)

Здесь pg)——вектор нормальных напряжений, a qn = q n —— нормальная компонента потока тепла. Учтено также сохранение массы на границе.

Заметим теперь, что, не уменьшая общности (вследствие линейности задачи), удобно рассмотреть отдельно два случая: uw = 0 и 7W = TQ. Часто бывает, хотя это и не обязательно, что в этих случаях Tw и иш можно считать постоянными (как, например, в важном случае обтекания твердого тела). Когда последнее имеет место, функционал становится пропорциональным некоторой суммарной величине, представляющей физический интерес (например, коэффициенту сопротивления или теплопередачи) .

Как отметили Ланг и Лоялка [45, 46], рассмотренный принцип можно обобщить, введя наряду с й решение А* линеаризованного уравнения Больцмана с другим свободным членом g；; в этом случае вводится функционал /(瓦万*), который стационарен при h = h и й* = й*, и можно выбрать величину, которая связана с 7 (Л, й*) при подходящем выборе g；.

Функция Грина

Как указано в конце предыдущего раздела, наряду с уравнением Больцмана, линеаризованным относительно максвеллиа- на с нулевой массовой скоростью,

Dh = Lh + g0,(11.1)

где D — оператор &・0/0х, рассмотренный в разд. 10, иногда удобно использовать то же уравнение с другим свободным членом:

Dh* = L/г* + g；・(U ⑵

ЛАы рассматриваем стационарный случай, так как зависимость от времени учитывается при помощи преобразования Лапласа и замены 丄 на 厶一s/, где s — параметр Лапласа (при этом нужно обращаться с s как с вещественной величиной —— даже когда это не так — для того, чтобы в скалярные произведения не входило комплексно сопряженное значение s). Самосопряженность L и оператор четности Р дают

(У g。))一((九 Pg:)) = (W*，Dh 一 32))一 ((p(Q 一 D 忆例)=

=(仇*, PDh)) - ((PW, /г)).(11.3)

Из (10.5) получаем

(ИЛ go)) —((瓦 Pg：)) = ((力*+, Ph^^-^Ph-, h+»B・ (1L4)

Это ——общее соотношение между решениями 力，/г* и соответствующими свободными членами g。, g；. Представляют интерес частные случаи. Если, например, g удовлетворяет уравнению (11.1) в области R с обычными граничными условиями на dR и /г* удовлетворяет уравнению (11.2) со свободным членом вида

g； = 6(x-W"(a-S(Н.5)

(скалярное произведение (( , )) имеет смысл даже для элементов, не принадлежащих пространству 第)во всем пространстве с подходящими условиями на бесконечности, то соотношение (11.4) принимает вид (для х е 7?)

\\g(x, —鼻；X； F)go(x, W)fu®dgdx-h(x\ -?)%(?) = R

=—№・nG(x, т； к Г) h (х, §%(a)d2dS, (11.6)

OR

где G(x,自;xz, |z) обозначает решение уравнения (11.2) со свободным членом (11.5) и соответствующими условиями на бесконечности. После простых преобразований получаем из (11.6)

% (自)h (х, § = U G (К — Г； х, 一 § 统(xz, Г) % (У) dg d^ +

+ VMfG(x‘，-Г； х, -®ftg F)%(y)dFdS‘ (xwR)・ (11・7)

dR

Это равенство показывает, что решение h уравнения (11.1) выражается через свободный член и значения h на 0R, коль скоро известна функция Грина для бесконечного пространства. Трудность здесь, конечно, состоит в том, что значения h на границе не известны (в простейшем случае, когда в (2.14) 4 = 0, 八 известна для g・n > но не для g・n V 0).

Если взять &丿=臥，где g] имеет вид (11.5), и принять подходящие граничные условия для Л, то /z =/f = G (х,三；х] g) и (11.7) сводится к соотношению

fo("G(x,三；К g) = G(x‘，一У; х, — 3%("(Н.8)

где интеграл по поверхности отброшен в силу предположения, что при OR — оэ он обращается в нуль. Соотношение (11.8) является условием взаимности для функции Грина линеаризованного уравнения Больцмана. С учетом (11.8) равенство (11.7) можно переписать в виде

/г (х, 3 = Н G (х,三；х‘，？) go (х‘，g) dg dx‘ +

十 V【n'G (х,三；К Г) Л (х； Г) d^ dS. (11.9) dR

Чтобы полностью использовать этот результат, можно попытаться определить при его помощи й(х, |) для х w R. Для этого устремим х в (11.7) к точке границы, что даст

й(х, § = U G (х,三；х‘，К) go (х1 У)際，dx‘ +

+，，М・пР+(х,三；К ^)^« ¥)dgdS‘ (XWOR); (11.10)

dR

здесь G+ обозначает предел G(x〃，|; x‘，g) (xGOR) для x〃一＞x изнутри R (как показывает интегрирование (11.2) c g； в виде (11.5) по тонкому слою, содержащему участок 0R, при переходе через границу G претерпевает разрыв, пропорциональный дельта-функции).

В частности, если в качестве h взять функцию Грина для бесконечного пространства G+(x, |; х〃，『)，x〃wOR, то go = 0 и (11.10) принимает вид

G+ (х,三；х〃，丁) = J ^z • nzG+ (х,三；К У) X

OR

X G+ (К к х〃，『)龙‘ dS' (х, х〃 wdR). (11.11)

Если, с другой стороны, мы возьмем в качестве Л функцию Грина G(x, х〃，丁)，х〃三 R, то go = 6 (х — х〃)6 偌一&〃)и из (11.10) имеем (первый интеграл в правой части взаимно уничтожается с левой частью)

0 = \ \ 胃• п(+ (х, W; х‘，У) G (К R х〃，『)d? dS' (11.12) °"(х 三 OR; x〃 三 R)・

Соотношения (11.11) и (11.12)——основные тождества, которым удовлетворяет функция Грина линеаризованного уравнения Больцмана. Некоторые из них были указаны Кейзом [47]. Данные тождества полезны при обсуждении одного парадоксального замечания относительно равенства (11.10). Можно попытаться решить это интегральное уравнение для й(х, g) (хм OR) и найти h на dR и, следовательно, h в R при помощи (11.9). С другой стороны, значения й на границе для ^・п > 0 могут быть заданы произвольно' или во всяком случае должны быть связаны с таковыми для g-n < 0 граничным условием (2.14), где 4 — известный оператор и й0 ——заданный свободный член. Таким образом, получается, что уравнение (11.10) решить нельзя, но система уравнений (2.14) и (11.10) должна быть разрешима относительно неизвестных й+, hr. В связи с этим заметим, что уравнение (11.10) можно записать в виде

h = Wg. + Bh,(11.13

где W и В ——интегральные операторы, определяемые очевидным образом. Соотношения (11.11) и (11.12) суть тождества для ядер этих операторов и эквивалентны равенствам

炉=民 BW = Q.(11.14)

Если применить оператор В к обеим частям уравнения (11.13) и использовать (11.14), то получится тождество Bh = Bh, и это подтверждает, что (11.13) не определяет й единственным образом. Введем й+, h~ и операторы В++, 8+—，В-+, В—, W+, W~, определяемые как сужения 呼 и В из одного из двух подпространств функций, определенных для ^・п〉0 и 自・nV0 соответственно, в другое (возможно, то же) подпространство. Тогда уравнение (11.13) принимает вид

/г+ =坦+go + 歹+广 + B+~h~,(11.15)

h~ =取「go + B~+h+ +(11.16)

и равенства (11.14) порождают шесть тождеств, в частности §++§++ + §+-§-+ = §++,

В^В+~ + В+~В~~ = в+一，(11•⑺

B++W+ + B+~W~ = 0.

Применяя к обеим частям (11.15) оператор В++ и учитывая (11.17), получаем

0 = B^-^h-—呼у。一 台一十/2十-В—/Г)(11.18)

и в силу правдоподобного предположения, что оператор В— имеет обратный, уравнения (11.15) и (11.16) оказываются эквивалентными, так что одно из них можно исключить, а второе объединить с (2.14), составив систему

(11.19)(11.19)h+ = h^ + APh~,

(11.19)

(11.19)

h~ = W~gQ + 8~+犷 + B~~h~,

или

力一=彰 у。+ B~+h^ +(B~+AP + 台一)h".(11.20)

Это интегральное уравнение для 八一 в принципе решает граничную задачу для линеаризованного уравнения Больцмана. Так как этот метод не применяется на практике, мы не будем углубляться в детали и обосновывать проведенный формальный анализ.

Рассмотрим теперь задачу о построении функции Грина; не умаляя общности, возьмем х‘= 0, поскольку G (х, |; х‘, |х)= =G(x ——xz; I; 0, g). Нужно решить уравнение

■^ = Lg + 6(x)6(g —『)・■^ = Lg + 6(x)6(g —『)・(11.21)(11.21)

■^ = Lg + 6(x)6(g —『)・

■^ = Lg + 6(x)6(g —『)・

(11.21)

(11.21)

Воспользуемся преобразованием Фурье по пространственным переменным

G(k,自；F)=、G(x, I; g)eikxdx(11.22)

с формулой обращения

G(x, I; Г) = (2л)-3，G (к,麻 Г) еТк・х &.(11.23)

Из (11.21) тогда имеем (если G не стремится к нулю при хт 8, то уравнения следует понимать в смысле обобщенных функций)

一小•自G = L@ + 6 (自一 Г).(11.24)

Если первую ось направить вдоль к, то получится

一瓏]占=L@ + 6 (J V),(11.25)

где k ——абсолютное значение к. То же самое уравнение получается, если исходить из соответствующего (11.21) одномерного уравнения

a4^ = ^] + 6(修"(自一？)(11.26)

(источник здесь не точечный, а плоский, в плоскости х】=0) и использовать одномерное преобразование Фурье

6(电3,自丄； 《 ⑦=\%(/,畐，红；自：，配)*出修，(11.27) где |i—двумерный вектор с компонентами 己2, Ь- Таким образом, если мы сможем решить уравнение (11.26), то G(k,自;『)= =匕1(电自；V) вычисляется по (11.27) при 五=(|-k)/fe и 自丄= =I ——[(|-к)/й]. Далее, можно выразить решение уравнения (11.26) с подходящими условиями на бесконечности через собственные решения, рассмотренные в разд. 7. Предположим, что Gi не возрастает экспоненциально при %i —► оо и 修一► —оо. Уравнение (11.26) показывает, что для jq > 0 и %i V 0 функция G】 удовлетворяет уравнению (7.1) и, следовательно, дается выражением вида (7.45), т. е.

44

亿 = 2 ^必+ £坳同也+(自也)]+

а=0а=2

+ \ g大④产犷以(^ > 0),

44 一仆(1L28)

gi=S%也+ £"民也+^1(自电)]+

а=»0а*=2

+ 5 ё^^А-dK (% VO),

где учтены условия на 土оо. С другой стороны, если проинтегрировать (11.26) от Xi = —8 но ли = £ и затем положить 8 —► 0, то получится

^[ lim G]— lim GJ = 5(W — S・(11.29)

ai->0+ai ->0-

Еслм при помощи (11.29) определить Л^, ЛГ, В^, В/, ｛力，ЛГ, то (11.28) дает решение уравнения (11.26) с указанными условиями на бесконечности. Следовательно, должно быть

44-居

2(Х 一线)%+£(Х 一")厶飞也)+ 5欧@川认+

十 \ g% (自)A。入=丄 5 (W —『)=3 6 (W — H)・(1L3Q) ?&瓦

Согласно теореме, доказанной в разд. 7, для любой функции й имеем

力（自）=力（自）=謂+白芯謂+白芯&&4а=24а=2^/「飞现）丫 +乳厶7隔%）］必^/「飞现）丫 +乳厶7隔%）］必

力（自）=

力（自）=

謂+白芯

謂+白芯

&

&

4

а=2

4

а=2

^/「飞现）丫 +乳厶7隔%）］必

^/「飞现）丫 +乳厶7隔%）］必

+ \ + \乖大(胃)風(目山4/0時(11.31) "=\就哌 第=^北厂(自此)厶賞(a=2, 3,4). (11.32) Равенство (11.31) означает, что

+ | \ + 口8九(У)g九(三)以=+3(自一g)■(Н.33)

Интеграл по непрерывному спектру здесь следует понимать в смысле теории обобщенных функций (так чтобы можно было умножить (11.33) на 九(&), проинтегрировать по |х и изменить порядок интегрирования для достижения равенства (7.38) вместе с (7.39) и (7.33)). Значения 4^ — 47 跳一В] Дл можно выбрать путем сравнения равенств (11.33) с (11.30). Величины 4^, Да , 8^, Ва определяются однозначно, если принять <^ =

^4a", 8a.

Итак, из (11.28) имеем

@ = jZ亮sgng +

<a=2丿

4/九 оо

+ £|修1 時 + \ L”k，(Sg 九，(§认 (11.34) a=2九 о

где V = к sgn %ь Зная Gi, можно по формуле (11.27) вычислить G], а затем из (11.23) определить G.

Ясно, что G разбивается на асимптотическую часть GA и остаток G。в соответствии с разбиением й на йА и hB, рассмотренным в разд. 7 (формулы (7.51) и (7.52)). Величина GB важна лишь вблизи начала координат и пренебрежимо мала на рас-

стоянии в несколько длин свободного пробега от него (затухание экспоненциальное, если 九 о〉О). Интересно исследовать асимптотическую часть решения, которая получается из

「[传"а)]/%, 丄

G^=] -^сГ^+L跋[sgn/ +

<а = 2丿

+ 21修丨尝•(11.35)

а = 2

Вместо вычисления преобразования Фурье от sgn х】и ]xi|, которое требует использования теории обобщенных функций, заметим, что соотношения (7.70)——(7.72) выполняются для G\A, являющейся частным решением уравнения (7.1) (при Х[，0). Следовательно, преобразования Фурье для давления, скорости, температуры, тензора напряжений и теплового потока связаны следующими соотношениями (〃『)= const):

qG) = tKkTe^ 冃 ? = #5)6( + 小々"y b" + 2々"『)0 "，(11.36) где ei = (ей, с,, 。13)——единичный вектор в направлении оси ,口 (так что с» = 312). Далее, заменив е】на е = k/汽 из (11.36) получим соответствующие соотношения для фурье-преобразова- ний тензора напряжений и вектора теплового потока в трехмерном случае, а именно

犷)=i%k^A\ 門)=0⑷в：] + 巾(財〃『)+ 勺守))・(11.37)

Если произведем обратное преобразование Фурье в трехмерном пространстве, то получим, что q^ и р\? связаны с Т(')и 〃，*) соотношениями Навье ——Стокса ——Фурье (II.8.27) (дик/дхк = 0 Для х # 0, как следует из интегрирования умноженного на fo уравнения (11.21)).

Уравнение (11.9) показывает, что при go = 0 решение задачи с граничными условиями можно выразить через интеграл, включающий G(x —х‘，&, У) для х е dR. Поэтому если для любой точки xz, х‘w 0R, значение | х — х[ велико по сравнению со средней длиной свободного пробега (т. е. если точка х удалена от границы на расстояние в несколько средних длин свободного пробега), то решение зависит от координат и скорости так же, как и GА. В частности, заключаем, что все решения будут удовлетворять соотношениям Навье ——Стокса ——Фурье на расстояниях от границы в несколько длин свободного пробега, причем коэффициенты вязкости и теплопроводности даются формулами (7.66) и (7.67).

12. Использование интегрального уравнения

Результаты разд. 11 показывают, что решение граничной задачи для линеаризованного уравнения Больцмана можно свести к решению интегрального уравнения (11.20) для функции распределения молекул, падающих на границу. Даже для простейших граничных условий (А = 0) это уравнение решить нелегко, так как ядро оператора В~~ выражается через функцию Грина, в свою очередь выражающуюся через собственные решения уравнения (7.3), которые, вообще говоря, неизвестны в явном виде. Однако для некоторых задач и при изучении вопросов существования и единственности решений полезно свести граничную задачу к решению интегрального уравнения. В частности, это наиболее целесообразно, как мы увидим ниже, для модельных уравнений, описанных в разд. 9.

Можно получить полезное интегральное уравнение, когда оператор столкновений представляется в виде Lh = Kh — v/г, где К ——интегральный оператор. Это, как известно, возможно для твердых сфер, обрезанных потенциалов и модельных уравнений.

В этих случаях можно записать уравнение (11.1) в виде

Dh + vh = g{ (gi = go + О) (12.1) и считать gi свободным членом. Затем можно повторить рассуждения разд. 11, используя функцию Грина U (х, |; х‘， |х) уравнения (12.1) (gi = 6(x — x')6(W — |z)) вместо функции Грина уравнения (11.1) (g° = 6 (х — xz)6(| —『)).Результат аналогичен равенству (11.10) (G —► U, go —► gi):

h^ D=\\U (x*； /, Г) gi (К S dx‘ dg +

Г • nU+ (x, ^; x； V)h^, SdFdS'Г • nU+ (x, ^; x； V)h^, SdFdS'(xwdR), (12.2)(xwdR), (12.2)GRGR

Г • nU+ (x, ^; x； V)h^, SdFdS'

Г • nU+ (x, ^; x； V)h^, SdFdS'

(xwdR), (12.2)

(xwdR), (12.2)

GR

GR

или, если через U и Uo обозначить операторы с ядрами U(x, g; xz, g) и『・nU+(x, g; xz, g) (xwR, x'wOR) и, согласно (12.1), положить gi = go + Kh, то

h = Ugo + UKh + Uoh.(12.3)

Основное преимущество заключается в том, что U(x,自；х',£‘) можно вычислить явно:

и(X, £ k s = 丁力但.[x _ xl) еXp [一 g」里【自+ "⑧]X

X б2 (― A [x - x[) 6 (三 一 g), (12.4)

где Н ——ступенчатая функция Хевисайда, 62 ——двумерная дельта-функция в плоскости, ортогональной 三，а 入一векторное умножение. Выражение (12.4) получить легко: следует учесть, что так как оператор Q + у не перемешивает различные значения I，то 自 можно рассматривать как параметр, a D 4- v как дифференциальный оператор в частных производных первого порядка с постоянными коэффициентами. В любом случае это выражение легко проверяется прямой подстановкой. Уравнение (12.3), таким образом, эквивалентно следующему:

力(х, § =

=\ 鼠力(g • [X - * ) ехр[-皇区一丁)^1)]6? (yд[x-xl) X

X[go(х； Ю + ^(Г, l)h(К У)庞[收 +

十 № •喳一力但・[х_ xz])62 (|л[х- xl) х

dR

X exp [—左(邑-J9«)]力(К 3 dS. (12.5)

Заметим, что это уравнение справедливо для области R любой формы, а также для области, простирающейся до бесконечности. Однако для невыпуклых областей (см. рис. 25) интегралы по объему и по поверхности достаточно распространить на те части Ах и dRx области R и ее границы dR, которые «видны» из точки х (т. е. на такие х； что прямая, соединяющая х‘ с х, не пересекает OR).

Физически это очевидно, так как функция Грина описывает влияние точки х‘ на х, a U ——функция Грина, описывающая прямолинейные движения частиц. Математически это получается применением уравнения (11.9) с gi вместо go и U вместо G к «невидимой» области R — Rx・ Тогда, поскольку х 巨 Rx, левая часть равна нулю (а не /г(х,三))，и мы получаем

V U(x,自；К F)gi(K F)dx'dg +

R-Rx

+ \ и (x Y; x； ^) & ・nh (x‘，『)dg dS' + OR-dRx

+ \ и(X Y； X； S Ln/г (x‘，У) dW"S‘ = 0, (12.6)

Рис. 25. Невыпуклые области. За область интегрирования в (12.5) можно -взять ту часть R, которая «видна» из точки х.

где S — поверхность, отделяющая Rx от R — Rx・ Но формула (12.4) дает*

\ • n'U (х КУ) h (х‘，F)第 dS‘ =

=卜•喳一"低• [X — x1"2(4 A [X - xl) X

X exp[- J(x-£”⑶]as，= 0, (12.7)

так как 自'・n = 0 на 2. Таким образом, согласно (12.6), вклады от R—-Rx и dR — OR^b (12.2) или (12.5) взаимно уничтожаются,

что и нужно было показать. Благодаря этому обстоятельству, уравнение (12.5) можно записать в виде

/г(х, ?= \「"位• [х —х1)Х

Rx

X exp [-自•(X 飞"上&q d2 (告 A [x - xl) x x [go(x\ a) + \ к 停*)用(x‘，s 港]改 +

+ 卜• n『"但• d) d2 (|a[x- xl) X 0Rx

(12.8)(12.8)Xexp! - ?r-£-化)]力仅/, a) dS\

(12.8)

(12.8)

где 〃偌・[x —x[) заменено на H(|-nz), поскольку для x w dRx и прямых x ——x‘， параллельных 三(согласно аргументу дельтафункции) ,знаки величин『(х —х‘)и『・ одинаковы. Следовательно, в (12.8) интеграл по поверхности содержит лишь значения 瓦 соответствующие выходящим молекулам, что физически естественно.

Если граничные условия задают на границе 九+ явно, то (12.8) представляет собой интегральное уравнение, решающее исходную граничную задачу; в ином случае следует рассматривать систему уравнений (12.8) и (2.14). В частности, можно, например, использовать уравнение (12.8), чтобы выразить Л~ (х 三 OR) через 九(xwR) и 近+ (xwdR) и, подставив результат в (2.14), получить уравнение, которое вместе с (12.8) образует систему двух интегральных уравнений для й и й+.

Применение интегрального уравнения особенно удобно в том случае, когда используется одна из столкновительных моделей, описанных в разд. 9. В этом случае Kh ——явная функция |, линейным образом зависящая от нескольких неизвестных функций от х, 乂々=(v(pa,九).Поэтому уравнение (12.8) выражает h через величины Ma (и граничные значения); используя эти выражения для вычисления М。= (v(pa,九)(a = 1, ..., /V), получаем линейные зависимости между ними, которые дают систему N уравнений для ^ неизвестных величин Ма (a = 1, N). Преимущество такого способа состоит в том, что теперь мы имеем дело с N функциями от трех переменных (координат) вместо одной функции от шести переменных (компонент х и |). Это большое преимущество, особенно если ^ мало и имеют место симметрии, которые дополнительно уменьшают число переменных.

Рассмотрим подробнее случай моделей вида (9.14), когда граничное условие соответствует полной диффузии (соотношение

(2.14), где Л задается формулами (III.4.14) и (III.5.1) с а = 1), т. е. когда

h+^h0 + N (х) (хм OR, § • п > 0).(12.9)

Если TQ — температура основного максвеллиана %, то

N(x) = [2n(RTo)2『\ expl-^^RT^h- (g)ILn|dg. (12.10)

SnVO

Для краткости положим в (12.8) go = O (обобщение на случай go ¥= 0 провести легко). Уравнение (12.8) принимает вид (поскольку (х — xz) • I = I х — xz I ^ из-за дельта-функции и ступенчатой функции)

N

/2 (х, 3 = 2 1v ⑶ U \ " (Q • [х — xl) exp[- "xj ⑶]x

8=0Rx

X62(OA[x- xl) фр (券)g(x‘) dx‘ + S (x, § +

+ \ Q • n‘" (Q • n‘) d2 (Q A [x — x]) X

X exp[- |x”③]N(x‘) dS‘，(12.11)

где Q =詆，S (x, I) дается последним интегралом в (12.8) с /г° вместо h и

Ma(x) = W(pa, 3 (а = о, 1,・・・，N)・(12.12)

Теперь используем формулы (12.12) и (12.11) для вычисления //：

N

Ма(Х)=2 \ Ка(з(Х— Х‘)Мв(х')б/х' +

Р = 0 Rx

+ \ Ka(x — x/)N(x')dS' + Sa(x) (а = 0, 1, ..., N);(12.13)

здесь•

Кав(X — Х‘)=呪"[v ®]2 g" (Q ・[х — х1)鲍(Q А [х — х1) X

X ехр [- 1Х一；必)]屮。(券)屮В(券)fQ ⑶ ^ dQ, (12.14)

Ка(X — х‘) =，V 怎)廿Q • if" (Q • [x — xz]) d2 (Q A [x — x[ ) X

x exp [— •区二 xj『屮a (战)％ (E)恋 dQ, (12」5)

Sa(X)= (vq)a，S)・(12.16)

Равенства (12.13) образуют систему N + 1 интегральных уравнений для ^ + 2 неизвестных Мр (х)偉=0, 1, . .., “)и N (х). Еще одно уравнение получается путем использования (12.11) при х 三 0R для вычисления N (х):

N

N (х) = £ \ Кб (х — xz) % (xz) " +

+ J K^-x^N^}d^ + S(x\ (12.⑺ где

К% (х 一 X，) = (2冗/(RT。))％ р”/в (х - х);

К (х — W) - (2n/(RT。))％ PG Г 鼠 I q . 口 11 q .出 I 廿 g а к — xl) X

X exp [— ?⑶ lg —x「] % ⑤ ^ d^ (12.18)

S(x) = (2R(RTo))%p「(l, S(x,汕.(12.19)

Уравнения (12.13) и (12.17) образуют систему интегральных уравнений, решение которых дает Ма (х) (а = 0, 1, ..., N) и N (х) и, следовательно, функцию й (х, § посредством (12.11).

Благодаря наличию дельта-функции д2 интегрирование по единичному вектору Q в (12.14), (12.15) и (12.18) проводится явно и дает

ка6 =卩3[[V ⑧『自 I x 一 X，「2 exp [- I X - x]V (自)// X 0

Хфа(&|^-)ф3 ^Т^)Ш^(12・2。)

Ka = \ " ⑧廿(X - X‘)• if I X - X‘「3 exp [- I X - X‘ I V ⑹店]X 0

Х^а (^Т^т) /о(Ю ^ (1221) k = (2 唄 RT。))% P「，引(X 一 e). n 11(X - x) . g1 x - x"T x

X exp [— I x — x‘ I v ⑹阳 fo ⑧ 4. (12.22丿

Дополнительное интегрирование по Е нельзя провести, не конкретизируя у(2); однако, даже если зависимость v(E) достаточно проста, ядра Ка^, Ka и К не являются элементарными функциями х ——х‘. В простейшем случае, когда v постоянна и (ра —

полиномы (см. (9.8) и (9.12)), ядра выражаются через известные трансцендентные функции Тп (х):

Тп (%) = j Г exp [-产 一 х〃] dt.(12.23)

о

(12.24)(12.25)(12.24)(12.25)Функции Тп обладают некоторыми примечательными свойствами, которые легко выводятся из их определения (12.23)：

(12.24)

(12.25)

(12.24)

(12.25)

2 (2) !(п нечетное),

п — 〃 一 31 V、

22• • • 22(〃 четное),

(12.26)

Тп(х) = ^-Тп_2(х) + ^-Tn-3l

где Г ——гамма-функция. Имеются разложения этих функций для малых и больших значений х (см. [18], где функции Тп обозначаются через fn), которые можно использовать для вычисления 7\(х) с любой желаемой точностью. Заметим, что вместо Тп часто используется обозначение

Особенно простой случай имеет место в теории переноса нейтронов, когда в (9.26) используется односкоростное приближение. В этом случае, если сечение не зависит от х к ядро апроксими- руется вырожденным, можно повторить предыдущий анализ, не выделяя максвеллиана у возмущения и не интегрируя по скоростям в (12.14) — (12.16) и (12.18) — (12.22). При этом ядра /<В， К окажутся элементарными функциями. Если рассеяние предполагается изотропным (см. (9.27)), то происходит дальнейшее упрощение. Тогда при обычном граничном условии,屮=О для Й-п > 0, остается только одно интегральное уравнение

Р(X)= \ ^Р【к巴:/｝」』[許 Р(。+ q(х『改，(12.27)

известное под названием уравнения Пайерлса [48]. Несколько сложнее случай, когда рассеяние изотропно, ио поперечное сечение о зависит от х; при этом в (12.27) показатель экспоненты 1

заменяется на — \ о (х‘+ А [х——х]) dA, а множитель о перед о

р(х') на о(х'). Интеграл в показателе экспоненты часто называют «оптической толщиной»; в этом, очевидно, сказывается влияние теории переноса излучения.

Если обозначить через и вектор-столбец, образованный из ^ + 2 величин 此，М то уравнения (12.3) и (12.17) можно записать в форме

u = S + Au, (12.28) где А ——матричный интегральный оператор и и(°)——член типа источника.

Ядра элементов матрицы А суть КаВ, Ka, К&, К・ Легко проверить, что вариационный принцип, изложенный в разд. 10, можно применить к уравнению (12.28) (см. [49—52]), если функционал /1(〃)，такой, что 6/1 = 0 при и = и, записать в виде

厶(汾=(РК, u~ Au- 2u(。))， (12.29)

где P ——диагональная матрица с элементами (—1)р6ар, (—1)「= =土1 согласно четности (ра, а К — диагональная матрица, элементы которой 卩幻(2冗/(RTo))-% Ро・ Равенство (12.29) справедливо, потому что

РКА = РКА, (12.30)

где А ——оператор, сопряженный А, т. е. получающийся из А перестановкой строк и столбцов, х и х‘. Соотношение (12.30) непосредственно следует из выражений для Р, К, А.

Преимущество применения вариационного принципа 6厶=0 с функционалом (12.29) заключается в том, что /】содержит лишь функции координат, относительно которых проще делать предварительные предположения, нежели относительно й; кроме того, для некоторых задач с той или иной симметрией этот принцип сводится к принципу истинного максимума или минимума [49, 50, 52]. Наконец, часто удается связать значение, достигаемое 厶 при 〃 = 〃， с суммарными величинами, представляющими основной интерес (сопротивление, расход, поток тепла, вращающий момент и т. д.). Это вытекает из того факта, что РКи = PKh, Au = UKh, u(°)= IlUgo, r“e go — источник в уравнении (10.1), а П ——проектор на подпространство с базисом сра (а = 0,1, ... L /V) (для простоты мы принимаем йо = 0). Таким образом, для h = h имеем

/ (/2)— /】(U)=((瓦 Pg。)) + ((PKh, nt/g0))=

=一(仍[h 一 UKh], go))= 一((尸[UgJ go)), (12.31)

т. e. значения, принимаемые функционалами / (10.8) и /1 (12.29) в точках, где они стационарны, отличаются друг от друга на известную величину. Тогда связь между /1 (и) и соответствующей суммарной величиной следует из аналогичного результата ДсПя /(/z).

[1]⑵[3][4][5][6][7][81 [9]『10][111 12[И][15][16][17][18][19][20][21][22' ‘23’ 24' 25" 26[1]⑵[3][4][5][6][7][81 [9]『10][111 12[И][15][16][17][18][19][20][21][22' ‘23’ 24' 25" 26

[1]

⑵

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[81 [9]

『10]

[111 12

[И]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

[21]

[22' ‘23’ 24' 25" 26

[1]

⑵

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[81 [9]

『10]

[111 12

[И]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

[21]

[22' ‘23’ 24' 25" 26

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Ахиезер Н. И., Глазман И. М., Теория линейных операторов в гильбертовом пространстве, М・，《Наука》，1966.

Riesz F., Sz. Nagy В., Legons d'anaiise fonctionnele, Budapest, 1953; русский перевод: Рисе ①.，Секефальви-Надь Б., Лекции по функциональному анализу, М., ИЛ, 1954.

Kato Т., Perturbation theory for linear operators, New York, Springer, 1966; русский перевод: Като T., Теория возмущений линейных операторов, М., «Мир», 1972.

Schechter М., Principles of functional analysis, New York, Academic Press, 1971.

Dunford N., Schwartz J., Linear operators, Interscience, vol. I, 1958, vol. II, 1963; русский перевод: Данфорд H., Шварц Дж., Линейные операторы, т. 1, М., ИЛ, 1962, т. 2, М., «Мир», 1966.

Cercignani С., High Mach number flow on an almost specularly reflecting plate with sharp leading edge, VIII Symposium on Rarefied Gas Dynamics, Stanford, 1972.

Weinberg A. M., Wigner E. P” The physical theory of neutron chain reactors, Univ, of Chicago Press, 1958; русский перевод: Вейнберг A., Вигнер E., Физическая теория ядерных реакторов, М., ИЛ, 1961.

Hurwitz Н., Nelkin М. S., Habetler G. J., Nucl. Sci. Eng., 1, 280 (1956). Kuscer I., Summerfield G. C., Phys. Rev., 188, 1445 (1969).

Chandrasekhar S., Radiative transfer, Oxford Univ. Press, 1950; русский перевод: Чандрасекар С., Перенос лучистой энергии, М., ИЛ, 1953.

Marek I., A ppi. Mat., 8, 442 (1963).

Mika J., /. Quant. Spectrosc. Radiat. Transfer, 1, 869 (1971).

Watson G. N., Theory of Bessel Functions, Cambridge Univ. Press, 1958; русский перевод изд. 1945 г.: Ватсон Г., Теория бесселевых функций, Ч. 1, Ч. 2, М., ИЛ, 1949.

Гельфанд И. М., Шилов Г. Е., Обобщенные функции и действия над ними, изд. 2, М., Физматгиз 1959..

Wang Chang С. S., Uhlenbeck G. Е., On the propagation of sound in monatomic gases, Univ, of Michigan Press, Project M 999, Ann Arbor, Michigan, 1952; перепечатано в uThe kinetic theory of gases”，Studies in statistical mechanics, vol. V, Amsterdam, North-Holland, 1970.

Cercignani C., Mathematical methods in kinetic theory, New York, Plenum Press, 1969; русский перевод: Черчиньяни К., Математические методы в кинетической теории газов, М., «Мир», 1973.

Abramowitz М., Stegun I. A., Handbook of mathematical functions, New York, Dover, 1965.

Bateman Manuscript Project, Higher transcendental functions, New York, McGraw-Hill, 1953; перевод: Бейтмен Г., Эрдейи А., Высшие трансцендентные функции, М., «Наука», т. 1, 1965, 1973; т. 2, 1966, 1974; т. 3, 1967. Mott-Smith Н. М., A new approach in the kinetic theory of gases, MIT Lincoln Laboratory Group Report V, 2, 1954.

Alterman Z., Frankowski K・，Pekeris C. L., Astrophys. J. Suppl., 7, 291 (1962).

Grad G., in “Rarefied gas dynamics” (Laurmann J. A., ed.), vol. 1, 26, New York, Academic Press, 1963; русский перевод: сб. «Некоторые вопросы кинетической теории газов», М., «Мир》，93—128, 1965.

Dorfman J. R., Proc, of the Nat. Acad, of Sci. U. S. 4, 50, 804 (1963). Kuscer I., Williams M. M. R., Phys. Fluids, 10, 1922 (1967).

Wing G. M., An introduction to transport theory, New York, Wiley, 1962. Cercignani C., Phys. Fluids, 10, 2097 (1967).

Sirovich L., Thurber J. K・，in “Rarefied gas dynamics” (de Leeuw J. H., ed.), vol. I, 21, 1965.

'29] 30’ 31' 32' '33' ；34‘ ：35‘'29] 30’ 31' 32' '33' ；34‘ ：35‘[36] [37][38] '39' '40'"42"[43]「44] [45][46] [47][48] '49] "50]⑶1 [52][53] [54*] [55*] [56*] [57*] [58*] [59*] [60*] [61*][36] [37][38] '39' '40'"42"[43]「44] [45][46] [47][48] '49] "50]⑶1 [52][53] [54*] [55*] [56*] [57*] [58*] [59*] [60*] [61*]

'29] 30’ 31' 32' '33' ；34‘ ：35‘

'29] 30’ 31' 32' '33' ；34‘ ：35‘

[36] [37]

[38] '39' '40'

"42"

[43]

「44] [45]

[46] [47]

[48] '49] "50]

⑶1 [52]

[53] [54*] [55*] [56*] [57*] [58*] [59*] [60*] [61*]

[36] [37]

[38] '39' '40'

"42"

[43]

「44] [45]

[46] [47]

[48] '49] "50]

⑶1 [52]

[53] [54*] [55*] [56*] [57*] [58*] [59*] [60*] [61*]

Sirovich L., Thurber J. K・，丄 Math. Phys., 10, 239 (1969).

Nicolaenko B., Dispersion laws for plane wave propagation, in “The Boltzmann equation^^ (Griinbaum F. A., ed.), Courant Institute, New York Univ., 1972.

Schechter M., /. Mat. Anal, and Appl., 13, 205 (1966).

Gustafson K・，Weismann T., J. Math. Anal, and Appl., 25, 12i (1969).

Bixon M., Dorfman J. R., Mo K・ C., Phys. Fluids, 14, 1049 (1971).

McLennan J. A., Phys. Fluids, 8, 1580 (1965).

McLennan J. A., Phys. Fluids, 9, 1581 (1966).

Scharf G., Helvetica Physica Acta, 40, 929 (1967).

Case К. M., The soluble boundary value problems of transport theory, in “The Boltzmann equation0 (Griinbaum F. A., ed.), Courant Institute, New York Univ., 1972.

Gross E. P., Jackson E. A., Phys. Fluids, 2, 432 (1959); русский перевод: сб. Механика, № 5 (63), 65—81 (I960).

Sirovich L., Phys. Fluids. 5, 908 (1962); русский перевод: сб. «Некоторые вопросы кинетической теории газов», М., «Мир», 246—269, 1965.

Cercignani С., Ann. Phys., N. Y., 40, 469 (1966).

Loyalka S. K・，Ferziger J. H., Phys. Fluids, 10, 1833 (1967).

Corngold N. et al., Nucl. Sci. Engng., 15, 13 (1963).

Ku seer I., Corngold N., Phys. Rev., 139, A981 (1965).

Corngold N., in "Transport theory" (Bellman R. et al., eds.), p. 79, Providence, American Mathematical Society, 1969.

Williams M. M. R., The slowing down and thermalisation of neutrons, Amsterdam, North-Holland, 1966.

Cercignani C., J. Stat. Phys., 1, 297 (1969).

Lang H., Loyalka S. K・，On variational principles in the kinetic theory,

VII Symposium on Rarefied Gas Dynamics, Pisa, 1970.

Lang H., Acta Mechanica, 5, 163 (1968).

Case K・ M., in "Transport theory” (Bellman R. et al., eds.), p. 17, Providence, American Mathematical Society, 1969.

Pejerls R. E., Proc. Cambr. Phil. Soc. Math. Phys. ScL, 35, 610 (1939).

Cercignani C., Pagani C. D., Phys. Fluids, 9, 1167 (1966).

Cercignani C., Pagani C. D., in “Rarefied gas dynamics” (Brundin C. L., ed.), vol. I, New York, Academic Press, 1967.

Cercignani C., Pagani C. D., Phys. Fluids, 11, 1399 (1968).

Bassanini P., Cercignani C., Pagani C. D., Int. /. Heat and Mass Transfer, 11, 1359 (1968).

Pao Y. P., in “Rarefied gas dynamics0 (Becker M., Fiebig M., eds.), vol. I, A.6-1, Porz-Wahn, DFVLR-Press, 1974.

Глазмап И. M., Прямые методы качественного спектрального анализа сингулярных дифференциальных операторов, М., Физматгиз, 1963.

Скворцов Г. Е., Пропагациоппые решения уравнения Больцмана, ЖЭТФ, 49, № 4, 1248-1260 (1965).

Corngold N., Shapiro Ch. S., Approach to equilibrium of a neutron gas, Phys. Rev., A137, No. 6, 1686—1696 (1965).

Sirovich L., Thurber J., Propagation of forced sound waves in rarefied gasdynamics J. Acoust. Soc. Amer., 37, No 2, 329—339 (1965).

Некоторые вопросы кинетической теории газов, сборник статей, М., «Мир», 1965

Sirovich L., Thurber J., Plane wave propagation in kinetic theory, J. Math. Phys., 8, No. 4, 888—899 (1967).

Скворцов Г E. Спектр и эволюция больцмановских систем, ЖЭТФ, 52, № 5, 1283—1295 (1967).

Скворцов Г. Е., О динамике больцмановских систем, ЖЗТФ> 57, № 6, 2054—2065 (1969),

[62*] Duderstadt J., Theory of propagation of plane wave disturbances in distribution of thermal neutrons, J. Math. Phys., 10, No. 2, 266—276 (1969).

[63*] Иванов В. В., Перенос излучения и спектры небесных тел, М.,《Наука》, 1969.

[64*] Хонькин А. Д., Об одном методе решения задачи Коши для линеаризованного уравнения Больцмана, ТМФ, 4, № 2, 2 53—267 (1970).

[65*] Теоретические и экспериментальные проблемы нестационарного переноса нейтронов, сборник статей, М., Атомиздат, 1972.

[66*] Нагирнер Д. И., Теория нестационарного переноса излучения, Астрофизика, 10, № 3, 445—469 (1974).

[67*] Davison В., Neutron transport theory, Oxford Univ. Press, 1957; русский перевод: Дэвисон Б., Теория переноса нейтронов, М., Атомиздат, 1960.

VVМалые и большие длины свободного пробега

V

V

Число Кнудсена

В разд. 1 гл. IV было указано, что при решении уравнения Больцмана в реальных неравновесных ситуациях нужно полагаться на приближенные методы, в частности на методы теории возмущений. Для этого следует найти параметр £, который при некоторых условиях можно считать малым. В разд. 2 гл. IV предполагалось, что параметр е не входит непосредственно в само уравнение Больцмана. Это привело к рассмотрению линеаризованного уравнения Больцмана, оказавшегося полезным при описании ситуаций, в которых скорость и температура мало отклоняются от своих средних значений. Если искать другие разложения, то первый шаг должен состоять в исследовании порядков величины различных членов, входящих в уравнение Больцмана. Пусть т ——характерное время, d ——характерная длина, t一характерная скорость молекул; тогда (см., например, (II.3.15))

与〜工”Q(O〜底#，(J)

где 〜означает, что две величины имеют один и тот же порядок, 〃 =р/m — численная плотность молекул, а о ——диаметр молекул (или радиус действия потенциала).

Согласно (1.4.17), имеем

Q(f, f) = ELf,(1.2)

где /——средняя длина свободного пробега. В этой связи следует заметить, что понятие среднего свободного пробега может быть строго определено только в случае твердых сфер или обрезанных потенциалов (о<оо); для дальнодействующих потенциалов (о=оо) молекулы всегда взаимодействуют, так что длина свободного пробега, строго говоря, равна нулю. Несмотря на это, понятие средней длины свободного пробега можно сохранить как средство для выражения порядка величины правой части уравнения Больцмана. Тем самым средняя длина свободного пробега определяется качественно. При желании это определение можно сделать количественным, если вспомнить (см.

(IV.7.66)), что коэффициент вязкости 卩 пропорционален /; это позволяет определить среднюю длину свободного пробега через коэффициент вязкости. Часто используется следующее определение:

I =卩(冗RT/2)%/p =卩 WRT^1^, (1.3)

где, как обычно, р = pRT означает давление. Это определение связывает понятие средней длины свободного пробега с некоторым числом; оно обладает тем преимуществом, что позволяет легко сравнивать результаты, соответствующие различным микроскопическим моделям, так как, будучи выражено через макроскопически измеряемые величины, не зависит от предположений о молекулярных взаимодействиях. Комбинацию 扌т, входящую в соотношение (1.2), можно рассматривать как меру частоты столкновений, а обратную ей величину |~Ч = 0 ——как определение среднего времени свободного пробега (см. разд. 6 гл. IV).

Соотношения (1.1) и (1.2) указывают на существование в уравнении Больцмана двух основных безразмерных параметров: 0/т и 〃d. Безразмерный параметр 〃d называется числом Кнудсена и обозначается через Кп:

Kn = 〃d. (1.4)

Ясно, что Кп меняется от 0 до оо； Кп —► 0 соответствует довольно плотному газу, а Кп —► оо ——свободномолекулярному течению, т. е. течению, в котором можно пренебречь взаимодействием молекул. Другой безразмерный параметр 0/т связан с Кп следующим образом:

0/т = U〃t = (d/玩)Кп = Sh Кп, (1.5) где

Sh = d/(斤) (1.6)

——аналог числа Струхаля, употребляемого в континуальной теории (так как | обычно имеет порядок скорости звука, точнее было бы вместо Sh писать Sh М, где М ——число Маха). Часто 0/т тоже называют числом Кнудсена, неявно предполагая, что Sh ~ 1. Однако существуют важные явления, такие, как переход вязкого газа к равновесию, для которых 0d2/ (т/2)2^ 1 или Sh ~ Кп с Кп《1 и, следовательно, Sh《1. Конечно, в стационарных задачах появляется только один параметр, а именно число Кнудсена. Однако это рассуждение относится к задачам, в которых кроме средней длины свободного пробега есть лишь одна характерная длина; в противном случае нужно рассматривать несколько чисел Кнудсена.

Число Кнудсена можно связать с числом Рейнольдса Re. Согласно (1.3),

/〜MP，)，(1・7)

где с = (уКТ)"——скорость звука (у = 5/з для одноатомного газа) ;соответственно

Кп =卩/(ped) = (U/c)(卩/(pUd)) = М/Re,(1.8)

где U——характерная массовая скорость (следовательно, вообще говоря, с 〜3 но U，Q).

В связи с числом Кнудсена сами собой напрашиваются два вида разложения, один для Кп —► 0, другой для Кп — 8・ Эти два разложения описывают ситуации, относящиеся соответственно к предельно малой и предельно большой средним длинам свободного пробега. Обе ситуации будут исследованы в данной главе.

Разложение Гильберта

Первый пример применения теории возмущений для решения уравнения Больцмана был рассмотрен Гильбертом в 1912 г. [1,2]. Он основан на предположении, что число Кнудсена Кп мало, а число Струхаля Sh ——величина порядка единицы. Тогда отношение типичного члена левой части уравнения Больцмана к типичному члену правой части имеет величину порядка Кп и метод Гильберта можно формализовать, введя перед левой частью искусственный малый параметр е (или, что эквивалентно, перейдя к безразмерным величинам и обозначив число Кнудсена через е):

£(* + W・g) = Q(M・(2・1)

Сингулярность при е —► 0 ясна из того, что на £ умножаются все производные, входящие в уравнение Больцмана. Несмотря на это, попытаемся разложить f в ряд по степеням е (разложение Гильберта):

f=t^(2.2)

/г = 0

Подстановка (2.2) в (2.1) дает

£(^ + "乌沪)=£8a，(2.з)

%=i%=о

где Q〃 определяются из (IV. 1.5):

Qo = O,(2.4)

%1" + 自• %2- = Q〃 (〃》1).(2.5)

Равенство (2.4) означает, что f0—максвеллиан; как следствие из (IV. 1.6) имеем

О I 糸)UoHL* + Sn (；Z=1, 2,・・・)，(2.6)

n —1

Si = 0, S〃 = X Q 仇龜，fo%-々)(〃》2),(2.7)

= 1

九=fo 焼，^o= 1 •(2・8)

В результате получается система уравнений для неизвестных 〃* можно решать эти уравнения последовательно, учитывая, что они имеют вид (IV.6.26). Согласно следствию, сформулированному в конце разд. 6 гл. IV, hn находятся на каждом шаге в том случае, если свободный член удовлетворяет условиям (IV. 6.27) (ортогональность к пяти инвариантам столкновений), причем определяются с точностью до линейной комбинации пяти инвариантов столкновений 屮々，содержащей пять параметров 僚 (которые могут зависеть от времени и координат). На %-м шаге свободный член

Sn =[(耳 + 三・負)(％&т)— sj/fo (2.9)

строится по предыдущим приближениям. Два упомянутых обстоятельства связаны циклически таким образом, что пять условий ортогональности, налагаемых на n-й свободный член, «определяют» пять параметров, оставшихся неизвестными на (%——1)-м шаге. Начало цикла возможно потому, что нулевое приближение уже содержит пять свободных параметров (плотность, компоненты массовой скорости и температуру максвеллиана %).■

Посмотрим теперь, в каком смысле условия ортогональности (IV.6.27) при g = g^ определяют пять свободных параметров

В силу (2.7) и (II.6.40) Sn/fQ автоматически удовлетворяет условиям ортргональности н мы имеем

(广幅[£ + а • 4] (/也一))=。0» 1)⑵ 1。)

или

\ "% (* + 自，言)(九)这=。(%^0)，(2.11)

Так как инварианты столкновений зависят только от |, то при подходящих условиях можно изменить порядок дифференцирования и интегрирования и записать

寸+divj； = O (忆》0, а = 0, 1,2,3,4),(2.12)

где

Рп=，^afn 后j； = J 池Л 恋⑵ 13)

представляют собой %・е члены разложений функций

pa=,Wafd£ 产=,三屮/港(2.14)

в ряды по степеням 8 (любое разложение f в ряд влечет за собой соответствующее разложение ее моментов j 自；宅^龍3f 壮三).

Можно рассматривать ра как пятимерный (абстрактный) вектор, а 产 (как (3 X 5)-матрицу; их компоненты выражаются через физические величины, определенные в разд. 8 гл. II:

(% 絞 + e) //U PS (% v2 + e)+pnVi+ 仇•丿丿

亿/=1,2,3;Используя pa и ja, уравнения можно записать в видеОра+ div ja = O亿/=1,2,3;Используя pa и ja, уравнения можно записать в видеОра+ div ja = Oa = 0, 1, 2, 3, 4).сохранения (II. 8.24)a = 0, 1, 2, 3, 4).сохранения (II. 8.24)(a = 0, 1, 2, 3, 4).(a = 0, 1, 2, 3, 4).(2.15) при Xi = 0(2.15) при Xi = 0(2.16)(2.16)

亿/=1,2,3;

Используя pa и ja, уравнения можно записать в виде

Ора

+ div ja = O

亿/=1,2,3;

Используя pa и ja, уравнения можно записать в виде

Ора

+ div ja = O

a = 0, 1, 2, 3, 4).

сохранения (II. 8.24)

a = 0, 1, 2, 3, 4).

сохранения (II. 8.24)

(a = 0, 1, 2, 3, 4).

(a = 0, 1, 2, 3, 4).

(2.15) при Xi = 0

(2.15) при Xi = 0

(2.16)

(2.16)

В результате условия совместности (2.12) являются просто %-ми членами разложения уравнений (2.16). Однако уравнения, полученные разложением, содержательнее уравнений (2.16). Чтобы это показать, обратим внимание на то, что неизвестными величинами в выражении для fn являются только пять коэффициентов с；； линейной комбинации функций 屮々，добавляемой к 九厶圾，где 力册三 1〃 (подпространство, ортогональное инвариантам столкновений) определяется однозначно через предыдущие приближения; следовательно,

4

(2.17)(2.17)p； = \也九碎建+ X 砚 ) 2就必贬・

(2.17)

(2.17)

(3=0

國 через р£國 через р£Это равенство можно использовать для выражения

國 через р£

國 через р£

(легко показать, что определитель матрицы ((［屮々%屮8壮自)) отличен от нуля). Так как это справедливо для каждого 〃？ все

коэффициенты 戏 выражаются через р；, т. е. неизвестными величинами в fn можно считать р：. Но это означает, что j片 также выражаются через р£. Таким образом, мы нашли связь (в виде разложений в ряды) между тензором напряжений и вектором теплового потока, с одной стороны, и основными макроскопическими неизвестными (плотностью, скоростью, температурой или внутренней энергией)——с другой. Отсюда следует, что данный метод позволяет (по крайней мере формально) замкнуть систему уравнений сохранения и построить макроскопическую модель, основанную на нон^тнях плотности, скорости и температуры, по микроскопическому описанию, основанному на функции распределения!

Чтобы лучше оценить ситуацию, рассмотрим уравнения сохранения в виде

£a(p8)=sa,(2.18)

где £а (нелинейный) оператор Эйлера (такой, что Еа(рР) =0 —— операторная запись уравнений движения невязкой жидкости) и

Н0

Sa= —粉(九—3")(2.19)

—^f~(°订办—，s + q)、

Разложив рб в ряд по степеням е, получим

оо00

(J)=炉Q) + e不炉吋+ 2Je：(心)，⑵20)

n=l几=2

где подразумевается суммирование по повторяющимся греческим индексам от 0 до 4, а Еа^ — оператор, зависящий от 碍 и линейный, если р? считать известными; нелинейные выражения £；(р?) содержат только р^ при 归&孔一1. После разложения рВ уравнение (2.18) дает

炉(Р；) =。， (2・21)

гдегдеs；=s；=eF = s；"；'(心 1;牙=。),eF = s；"；'(心 1;牙=。),(2.22)(2.22)(223)(223)

где

где

s；=

s；=

eF = s；"；'(心 1;牙=。),

eF = s；"；'(心 1;牙=。),

(2.22)

(2.22)

(223)

(223)

а 叫叱彌)，р5)и 严)обозначают 几-e члены степенных разложений s, Pij, р н qi соответственно. Равенство нулю свободного члена в уравнении нулевого порядка (2.21) обусловлено тем, что fo ——максвеллиан и, следовательно, имеет изотропный тензор напряжения и нулевой вектор теплового потока.

Теперь следует объяснить, почему S^ рассматривались как свободные члены. Имеем

4

in = J ^fn 共=\ K^fQh(n d^ + ^cn\ 池必 fo 幅(2.24)

Легко видеть (вычисляя в явном виде интегралы в (2.17) и (2.24), не содержащие 九？)，что *；/OZ + divj：(〃》1) МОЖНО записать в виде суммы Е'^р? и слагаемого, зависящего только от 7г?)и, следовательно, только от р^ (归&儿一1). Таким образом, вклады 几-ro порядка в S。выражаются через р* (/с&〃——1) и на 几-м шаге их можно считать известными.

Итак, в нулевом приближении мы должны решать обычные уравнения для невязкой жидкости, а в следующих приближениях—неоднородные линеаризованные уравнения для невязкой жидкости.

Как было указано выше, основной результат метода Гильберта состоит в том, что если допустить возможность разложения функции распределения в степенной ряд по числу Кнудсена, то можно получить макроскопическое описание газа в терминах плотности, массовой скорости и температуры. Это описание по существу дается уравнениями невязкой жидкости, но содержит поправки, вычисляемые путем решения линеаризованных уравнений. Необходимо отметить, однако, что мы действовали формально. Поэтому встает очевидный вопрос: когда допустимо разложение Гильберта?

Чтобы ответить на этот вопрос, заметим, что разложение Гильберта не дает равномерно пригодных решений. Это связано с тем, что параметр & входит в уравнение Больцмана сингулярным образом (полезно сравнить с неаналитическим характером решений уравнения & df/dt + f — 0 при е = 0). Мы знаем также, что в определенных ситуациях уравнения невязкой жидкости нереалистичны и неприменимы; хуже того, регулярные методы возмущений не позволяют исправить в следующих приближениях неудовлетворительные свойства описания газа как невязкой жидкости. Последняя трудность проявляется, в частности, при изучении (вязких) пограничных слоев и заключительной стадии эволюции в нестационарных задачах.

Однако эти обстоятельства не мешают тому, чтобы оборванное разложение Гильберта представляло решения уравнения Больцмана с любой заданной точностью в подходящим образом выбранных пространственно-временных областях (которые будем называть нормальными областями) при условии, что рас- сто51ния от известных сингулярных поверхностей конечны^ а е достаточно мало. Действительно, если подставить оборванное разложение Гильберта в уравнение Больцмана, то последнее удовлетворится с ошибкой порядка еп; поэтому разложение Гильберта можно использовать для аппроксимации определенных решений (нормальных решений) уравнения Больцмана, причем ошибка будет сколь угодно малой для достаточно малого е (строгое доказательство с оценками существует в случае линеаризованного уравнения Больцмана [3]).

Для того чтобы увидеть, что представляют собой эти нормальные решения, можно заметить, что упомянутый выше остаток порядка £九 содержит производные по координатам порядка п, поэтому для существования нормальных решений требуется высокая степень гладкости. Это означает, что нормальные решения перестают быть справедливыми в тех пространственно-временных областях, где профили плотности, скорости и температуры становятся очень крутыми. Ясно, что к таким областям относятся окрестности границ (пограничные слои), начальный этап (начальный слой) и ударные волны (ударные слои). Первые два типа слоев существуют также и для линеаризованного уравнения Больцмана, что следует из (IV.6.9), где 卩〜 g-】и (II.7.45), где 九о〜е-1. Ударный слой — это область больших градиентов, возникающая внутри газового потока и обладающая структурой, тесно связанной с нелинейностью уравнения Больцмана.

В упомянутых выше слоях функция f заметно меняется на расстоянии порядка средней длины свободного пробега, так что df/dt или df/dx (или обе эти производные) являются величинами порядка /7&, в то время как в разложении Гильберта предполагается, что производные от f по координатам и по времени имеют тот же порядок, что и f. Существует еще одна область, где разложение Гильберта теряет силу: это «финальный слой》，т. е. эволюция в интервале времени порядка 1/е. В таком интервале величина df/dt 〜gf пренебрежимо мала по сравнению с Д а разложение становится неравномерным потому, что df/dx 〜f стремится стать величиной того же порядка, что и df/dt, в результате чего в более высоких приближениях появляются вековые члены [4, 5].

Итак, проведенный анализ показывает, что нормальные решения аппроксимируют (для достаточно малых 8) решения любых задач, если упомянутые слои исключены. Однако, чтобы

решить дифференциальные уравнения, которые, согласно методу Гильберта, определяют параметры течения ра, необходимо дополнить их подходящими начальными данными, граничными условиями или условиями сращивания на ударной волне, т. е. нужно пройти через те области, где теория не имеет места. Очевидно, для завершения теории необходимо решить три задачи связи через слои, внутри которых разложение Гильберта теряет силу. Эти задачи таковы.

Установить связь между заданной начальной функцией распределения и решением по Гильберту, справедливым после начального переходного процесса.

Установить связь между заданным граничным условием для функции распределения и решением по Гильберту, справедливым вне пограничного слоя.

Найти правильные условия сращивания решений по Гильберту, существующих по обе стороны от ударного слоя.

Обзор современного состояния этих проблем будет дан в разд. 5.

Разложение Чепмена — Энскога

Как было отмечено выше, решения уравнений сохранения континуальной теории и решения уравнения Больцмана являются, вообще говоря, неаналитическими по некоторому параметру е, описывающему отклонение от уравнений невязкой жидкости. Таким параметром могут быть коэффициенты вязкости и теплопроводности в теории сплошной среды и средняя длина свободного пробега в кинетической теории. В связи с этим разложения в ряды по степеням е не дают равномерно пригодных решений для задач с начальными и граничными условиями. Однако некоторые трудности можно преодолеть, если вместо разложения решений использовать разложение самих уравнений, как это делается в так называемом разложении Чепмена — Энскога. Чтобы понять это утверждение, заметим, что, умножив уравнения (2.22) на еп, просуммировав от 1 до оо и сложив результат с (2.21), мы получим

Ea^=f^ = Sa^), (3.1)

где Sa(pB)——такой же член типа источника, как и в уравнении (2.18), но теперь он представляет собой нелинейный оператор, действующий на рВ, в то время как 七《 — нелинейный оператор Эйлера (была использована формула (2.20)). Оператор Sa стремится к нулю вместе с е, он известен пока лишь в случае, когда

величины рВ разложены в степенные ряды по 8 (это основной результат разложения Гильберта). Однако можно предположить, что Sa существует (хотя бы в асимптотическом смысле при 8 -> 0) и тогда, когда рВ не раскладываются. Действительно, разложение Гильберта не дает равномерно пригодных решений, но, как было указано в разд. 2, оно дает верные решения, если ограничиться нормальными областями; следовательно, Sa существует почти всюду (хотя бы в асимптотическом смысле при 8 -> 0).

Можно считать, что S； содержит только производные по координатам и не содержит производных по времени, так как последние всегда можно исключить из (2.6), заметив, что величины fn_i = fo^n-i зависят от координат и времени только через р^ (左&〃——1), а производные по времени от р^ выражаются через производные по координатам (см. формулу (2.12)). В соответствии с этим можно считать, что входящий в (3.1) оператор Sa действует только на зависимость величин рВ от координат.

Идея метода Чепмена — Энскога [6—8] состоит в том, чтобы разложить Sa, оставляя величины рВ ыеразложенными, т. е. предполагается, что, хотя зависимость рВ от е во многих случаях оказывается неаналитической при £ = 0, оператор Sa аналитичен по £ (или по крайней мере представляется асимптотическим разложением по степеням е) при е = 0. Это предположение отнюдь не противоречиво, так как, например, уравнения Навье ——Стокса аналитически (линейно) зависят от коэффициентов вязкости и теплопроводности, но у них есть решения, которые в общем случае нельзя разложить по степеням этих параметров. Чтобы формализовать эту идею и превратить ее в алгоритм, заметим, что уравнение (3.1) можно записать в виде

弗6偿(pa), (3.2) где D^ — нелинейный оператор, действующий на пространственную зависимость величины ра и полученный вычитанием из Sa(pB) производных по координатам в Еа. Ясно, что разложению соответствует разложение

n3=f 8П<\ (3.3)

м = 0

где D^ — нелинейные операторы, подлежащие определению данным методом; в частности, Q『)будет состоять из производных по координатам, входящих в (с обратным знаком). Разложение Dp означает, что рассматривается эволюция рВ во времени, обусловленная процессами, которые характеризуются величинами различных порядков по 8.

Наше разложение по существу равносильно перегруппировке разложения Гильберта в соответствии с новым критерием. Поэтому мы должны сохранить основной результат разложения Гильберта, являющийся необходимым условием построения замкнутой макроскопической теории из уравнения Больцмана, а именно то, что функция распределения зависит от времени и координат только через функциональную зависимость от ра. Иначе говоря, мы имеем

0『=У0 (吟а)方 У d戸р«) F~0『=У0 (吟а)方 У d戸р«) F~(3.4)(3.4)

0『=У0 (吟а)

方 У d戸р«) F~

0『=У0 (吟а)

方 У d戸р«) F~

(3.4)

(3.4)

В силу уравнения (3.2),В силу уравнения (3.2),M^p6 = VSJpa),M^p6 = VSJpa),(3.5)(3.5)

В силу уравнения (3.2),

В силу уравнения (3.2),

M^p6 = VSJpa),

M^p6 = VSJpa),

(3.5)

(3.5)

где V九 обозначает производные k-ro порядка по координатам.

(3.6)(3.6)так что разложение Ср в (3.3) означает и разложение оператора, описывающего изменение f во времени. Формально это можно записать в виде

(3.6)

(3.6)

恭iy争,Пщ0

где d^f/dt ——просто вклад в df/dt от D^ в соответствии с формулами (3.3) — (3.5). В методе Чепмена — Энскога неизвестными являются выражения для операторов d^/dt (или, что то же самое,。俨)и зависимость f от ра.

Как было отмечено выше, величины ра остаются неразложен- ными; однако надо разложить 力 если мы хотим избежать тривиальных результатов. Чтобы согласовать эти два требования, запишем просто

f=Z^nfn (3.7) п=0

И

，也九恋=0 仇=1,…；а = о, 1, 2, 3, 4). (3.8)

Отсюда следует, что / как функция от х, |, t не есть разложение в ряд по степеням 8； в самом деле, коэффициенты fn зависят от £ сложным образом. Однако зависимость fn от £ осуществляется только через ра, и это определяет алгоритм полностью, так как означает, что / как функционал от ра раскладывается в степенной ряд по 8. Подставив теперь (3.6) п (3.7) в уравнение (2.1),

получим

… Qo = O, (3.9) £。屮尸т•屮F =① + Sn 仇=1, 2, ...), (3.10) fe = 0

где обозначения те же, что и в разд. 2 (см. формулы (2.6)— (2.8)).

Из уравнения (3.9) следует, что fo — снова максвеллиан. Однако данный метод существенно отличается от метода Гильберта, ибо параметры газа (плотность, скорость, температура), входящие в этот максвеллиан, являются теперь точными (неразло- женными), в то время как в методе Гильберта функция распределения нулевого порядка содержит только нулевые приближения параметров газа.

Уравнения (3.9) снова записываются в общей форме (IV. 6.26), рассмотренной в разд. 6 гл. IV. Условия ортогональности (IV. 6.27) здесь принимают вид

£ \ 2сЛт»" div (\ 池九陶=0 (忆=0, 1,・・・)・(3・11) 内=0

Но теперь в нашем распоряжении нет свободных параметров, так как из (3.8) следует, что hn^ W (% 安 1), т. е.八九(几戸 1) определяется единственным образом как функция от & и как функционал от ра.

Из (3.8) вытекает также, что все интегралы, стоящие под знаком суммы в (3.11), обращаются в нуль, кроме одного, равного просто ра. Итак,

div ° 帥/您)=0 (忆=0, I...). (3.12)

Удовлетворить этим условиям совместности — значит решить нашу задачу и найти 0(“)ра/0/ (или Q^))・ Действительно, как только решено n-е уравнение цепочки (3.10), из уравнения (3.12) сразу находится явное выражение D^ через производные от ра по координатам.

Основной результат разложения Чепмена — Энскога состоит в том, что N-e приближение для макроскопических уравнений можно записать в виде

где fn ——функционалы от ра и функции от 自,известные в явном виде из предыдущих приближений. Главное отличие от метода

Гильберта, основанного на нелинейном уравнении нулевого порядка и линейных уравнениях для вычисления поправок более высоких порядков, заключается в том, что теперь мы выбираем фиксированное N и строим решение в этом приближении; для получения решения более высокого порядка нужно решить совершенно новую, более сложную систему нелинейных уравнений.

На нулевом уровне мы снова имеем уравнения невязкого газа, поскольку f0 остается максвелловской. Чтобы выяснить, что происходит на следующем уровне, запишем уравнение (3.10) ДЛЯ /2=1：

Здесь использован явный вид % и, как обычно, с = | ——v. Уравнение (3.12) теперь дает (〃 = 0)Здесь использован явный вид % и, как обычно, с = | ——v. Уравнение (3.12) теперь дает (〃 = 0)叫~дГ叫~дГ一診 包），I一診 包），I(р = pRT),(р = pRT),(3.15)(3.15)

Здесь использован явный вид % и, как обычно, с = | ——v. Уравнение (3.12) теперь дает (〃 = 0)

Здесь использован явный вид % и, как обычно, с = | ——v. Уравнение (3.12) теперь дает (〃 = 0)

叫

~дГ

叫

~дГ

一診 包），

I

一診 包），

I

(р = pRT),

(р = pRT),

(3.15)

(3.15)

Подставляя эти соотношения в (3.14), получаем

(3.16)(3.16)

(3.16)

(3.16)

Это уравнение можно использовать для вычисления величины 小 или, что эквивалентно, величины 九=fQh^ которая требуется для записи в явном виде уравнения (3.13) при ^ = 1. Уравнение (3.16) нужно решать в пространстве W, ибо как левая часть, так и h{ принадлежат W. Поскольку L имеет обратный оператор в W, можно записать

=(&・% 一 ^。2嶋)4© t)(рат)T^ + /(2ат2)73& T)詣，

'(3.17)

где функции 4(с; Т) и В (с; Т) определяются формуламир-%(о; Т)(0“・ —％因j) = L (党д・—/ММ/),QP“(。； T) =「Gd —5RT)].)

Эти функции уже рассматривались в разд. 9 гл. IV, где зависимость от Т(= То) не была выделена явно. Функция fo^i дает следующие вклады в тензор напряжений и тепловой поток:

后?=一卩（不可后?=一卩（不可+詛仔*汨,+詛仔*汨,(3.19)(3.19)

后?=一卩（不可

后?=一卩（不可

+詛仔*汨,

+詛仔*汨,

(3.19)

(3.19)

где ц и X даются выражениями (IV. 7.66) и (IV. 7.67) с Т вместо То. Таким образом, первые два члена (п = 0, 1) разложения Чепмена ——Энскога приводят к макроскопической модели типа Навье― Стокса с коэффициентами переноса, зависящими только от температуры и молекулярных констант (см. замечания в разд. 7 гл. IV).

Вопрос о практическом вычислении 卩 и х (через _Л(*Т) и В(с;Т), которые, согласно (3.18), появляются в (IV. 7.66) и (IV. 7.67)) для конкретных молекулярных моделей всесторонне изучен [8—10], и мы не будем его подробно рассматривать. Заметим только, что, согласно (3.18), задача о вычислении Л (с; Т) сводится к решению уравнения (IV. 6.26) для заданного полинома g ^ W (и h ^W). Метод решения такого уравнения основан на разложении h в ряд по собственным функциям максвелловских молекул gnim (/ = 1, 2; 0 & 〃 & 8); этот метод тривиально точен, если мы имеем дело с максвелловскими молеку- лагли, для которых 4 (с; Т) = 4 (Т), В (с; Т) = В (Г) (с2 — 5RT), где Л (Г) и В (Г) не зависят от с.

Другой метод основан на применении вариационного принципа, рассмотренного в конце разд. 6 гл. IV. Берется пробная функция 瓦 содержащая несколько параметров, которые подбираются так, чтобы минимизировать функционал /(万) в (IV. 6.28); в результате получается аппроксимация для 瓦 Цеьь ность метода повышается тем обстоятельством, что значение /(Я) при h = h можно связать с коэффициентами переноса; действительно, из (IV. 6.28) при /г = h (так что L/г = g) паходим /[p-и(0; 7)0&]=(50, p一3(0； T)ci0)=, %0臼l7(3。2)公=卩,

(3.20)

J [c{p-[B (с; T)] - © (” 一 5RT), p-%归(с; Т))=

=一 J fQc{c2L~l [q(。？ 一 5RT)] de = 4收2戈(3.21)

где использованы соотношения (IV. 7.66) и (IV. 7.67) (с § = с и То= Т). Благодаря этому относительная ошибка, скажем порядка б, при аппроксимации й функцией Я влечет за собой относительную ошибку порядка б2 в ji и х.

Итак, основной результат теории Чепмена — Энскога состоит в том, что можно вернуться к макроскопическому описанию Навье ——Стокса——Фурье, надлежащим образом разложив соответствующие решения уравнения Больцмана. При этом преодолеваются некоторые из многочисленных неравномерностей разложения Гильберта; вязкие пограничные слои (толщиной порядка &%) и финальный слой (порядка е-1) описываются единым образом вместе с нормальными областями, однако начальный и кнудсеновский слой толщиной порядка е-1 все еще не охватываются. Теория Чепмена ——Энскога просто учитывает существование режимов с d2(er)~1 1 (где t и d — характерные время и длина; t можно заменить некоторой длиной, отличной от d).

Таким образом, можно ожидать, что теория Чепмена ——Энскога гораздо точнее теории Гильберта. Однако, если рассматривать высшие приближения метода Чепмена — Энскога, то будут получаться дифференциальные уравнения все более высокого порядка (так называемые барнетовские и супербарнетовские уравнения), относительно которых ничего не известно, нет даже надлежащих граничных условий. Эти уравнения никогда не приводили к сколько-нибудь заметным успехам при описании отклонений от модели Навье — Стокса.

Обсуждение метода Чепмена — Энскога

Как было указано в конце предыдущего раздела, большим преимуществом метода Чепмена — Энскога является то, что он приводит непосредственно к уравнениям Навье — Стокса — Фурье для вязкой сжимаемой жидкости. Но плохо то, что он ведет к уравнениям более высоких порядков, статус которых неясен, а практическая ценность ничтожна. Это происходит потому, что, согласно (3.6), допускаются режимы не только с ^2(ет)-1 — 1, но также и с dn^x (епт)-1 1 (〃^2). В результате «финальный слой» описывается слишком подробно (физически неуместно), и к тому же учитываются пограничные слои (возможно, несуществующие) порядка &九/(九+D (〃力2). Практически мы усложняем уравнения либо не относящимися к делу, либо несуществующими подробностями.

Тот факт, что разложение Чепмена — Энскога может вносить решения, которые просто не существуют, не является странным. Действительно в методе Чепмена ——Энскога оператор Sa(p^) (существование которого доказано, по крайней мере асимптотически при е -> 0 с помощью разложения Гильберта) разлагается в ряд по дифференциальным операторам, несмотря на то что о свойствах Sa (рР) ничего не известно. Такая процедура не

вызывает возражений (если вопросы сходимости не рассматриваются, а разложения понимаются только в асимптотическом смысле), когда получающиеся уравнения применяются для решения задач с чисто начальными данными в бесконечном пространстве (ибо тогда можно сказать, что Sa (рР) действует на заданные функции), но она становится в значительной мере неудовлетворительной в случае граничных задач, так как тогда необходимо определять рВ путем «обращения Sa». Последняя операция может приводить к посторонним решениям, которые должны исключаться с помощью надлежащих граничных условий. В качестве иллюстрации рассмотрим оператор Де, определенный так:

A J = /(% + &) — f (х),(4.1)

и уравнение

М = 0.(4 ⑵

Оператор А8 допускает разложение в ряд

а ^. е2 д2 .. &п дп .々о、

& = 6一(4.3)

которое даже сходится, если применяется к достаточно гладким функциям от х (аналитическим функциям). Обрывая разложение на первом шаге, из уравнения (4.2) получаем

喑=。，(4・4)

а обрывая на втором шаге —

Уравнение (4.4) имеет общее решение f = const, удовлетворяющее также уравнению (4.2). Общее решение уравнения (4.5), / = 4 + В ехр (2%/е), удовлетворяет уравнению (4.2) только при 8 = 0. Это означает, что разложение «Чепмена — Энскога» внесло посторонние решения. Заметим, что помимо f = const уравнение (4.2) имеет и другие решения, а именно все периодические функции с периодом е. Однако эти функции изменяются настолько быстро (при малых е), что их нельзя получить разложением в ряд по степеням е. Разложение типа Гильберта для уравнения (4.2) (f разлагается по степеням е вместе с Ае) также дает f = const, но без дополнительных решений (любого порядка).

Заметим еще, что решение «Чепмена — Энскога» первого порядка содержит член (посторонний), который изменяется на масштабе порядка е, т. е. таком же, что и отброшенные решения. Аналогичные явления наблюдаются при изучении членов

более высокого порядка в разложениях Чепмена — Энскога решения уравнения Больцмана.

Чтобы отсечь посторонние решения, нужно иметь граничные условия, способные их выделять. Хотя и возможно приступить к поискам таких условий, по-видимому, довольно неестественно строить граничные условия с целью исключения большого класса решений без всякой связи с физическими задачами. Более естественно, пожалуй, пользоваться системой уравнений, которая не имеет лишних решений. Такие уравнения получаются путем иного упорядочения членов в разложениях. Эту перегруппировку можно сделать апостериори, переразлагая решение уравнений Чепмена ——Энскога по степеням средней длины свободного пробега и сохраняя решение Навье — Стокса в качестве главного члена. Однако удобнее выполнить перегруппировку априори, как было предложено в частном случае Триллингом [13], а в общем случае Грэдом [14] и Черчиньяни [15, 16]. Простой и общий метод, указанный автором [16], основан на следующем расщеплении производной по времени:

df _煦 I d⑴fdt — dt 十 & dt

в то время как f разлагается в ряд

(4・7)

Наличие второго члена в (4.6) налагает ограничение на разложение 厶 Если учесть, что разбиение (4.6) основано на взаимодействии между членами п-го и (〃+ 1)-го порядков по е, то проще всего предположить, что члены нечетных порядков не дают вклада в параметры течения, т. е. что

，2сЛ港=0 (几=1, 3, 5,・・・)・ (4.8)

Ясно, что такое разложение только частный пример из бесконечного множества подобных разложений. Наиболее общее разложение основано на усеченном разложении производных по времени (разложение (3.6), оборванное на 〃 = ") и определенных условиях, регулирующих вклады различных порядков в параметры течения (соотношение (3.8) для n^{N -\- 1)&,々= 1, 2, 3, ...). Разложение Гильберта соответствует ^ = 0, а разложение Чепмена — Энскога ——М=оо; только что описанный частный пример соответствует N= 1.

Этот частный выбор диктуется информацией, имеющейся на макроскопическом уровне описания, и к нему ведет также сравнение с результатами гл. IV. Там (разд. 7 и 11) мы обнаружили, что решение стационарной задачи, линеаризованной около

максвеллиана с нулевой массовой скоростью, состоит из двух частей, одна из которых hA по существу эквивалентна решению Чепмена ——Энскога с переменными, удовлетворяющими уравнениям Навье ——Стокса ——Фурье, а другая hB содержит показательные функции, такие, как ехр (—x/g) (напомним, что Ло — е), и, следовательно, не разлагается в степенной ряд по е. Взяв N= 1, т. е. выбрав для вычисления f уравнения (4.6)——(4.8), можно быть уверенным в том, что по крайней мере для стационарных линеаризованных течений мы сохраняем все необходимые члены и отбрасываем все посторонние решения. Интересно заметить, что разложение Гильберта дает тот же результат в применении к частному случаю стационарных течений [14], линеаризованных около максвеллиана с нулевой массовой скоростью.

Все эти разложения, будучи оборванными, удовлетворяют уравнению Больцмана с ошибкой £九丸九(х,自,f; £), которая формально имеет порядок еп. Для разложения Гильберта Rn не зависит от 8, но растет алгебраически как /п в задачах, зависящих от времени (из-за вековых членов). Следовательно, разложение Гильберта является асимптотическим только на ограниченном интервале времени 备 V 方 V 方卜 Оценок остаточных членов разложения Чепмена ——Энскога в приближениях, следующих за приближением Навье — Стокса, конечно, не существует. Методика, определяемая соотношениями (4.6)——(4.8), дает остаточный член, который убывает при больших / для любого 〃> 1; поэтому соответствующее разложение превосходит ряд Гильберта по области применимости, а ряд Чепмена ——Энскога ——по отсутствию лишних решений и приводит к известной системе дифференциальных уравнений в частных производных.

Закончим этот раздел замечаниями по поводу часто задаваемого вопроса: сходится ли разложение Чепмена ——Энскога? В общем случае этот вопрос весьма труден, но в случае линеаризованного уравнения Больцмана все же можно получить некоторые результаты. В связи с этим отметим, что как линеаризация уравнения Больцмана, так и разложение Чепмена ——Энскога являются результатом соответствующих методов теории возмущений, примененных к уравнению Больцмана.

Эти два метода в своей основе различны, поскольку параметры разложения совершенно разные: отклонение начальных и граничных распределений от однородного распределения в случае линеаризации и отношение средней длины или среднего времени свободного пробега к другим характерным длинам или временам в случае разложения Чепмена ——Энскога. Таким образом, локальные градиенты в последнем случае и глобальные разности в первом должны быть малы. Ясно, что, если реализуются оба обстоятельства, то метод Чепмена ——Энскога можно

применять к линеаризованному уравнению Больцмана. Одна из главных причин для такого шага состоит в том, что ответы на некоторые вопросы, относящиеся к линеаризованному случаю, помогут лучше разобраться в более сложном нелинейном случае.

Как мы знаем, теория Чепмена — Энскога в значительной мере заключается в разложении оператора; поэтому сходимость имеет смысл только по отношению к определенному классу функций, па которые действует этот оператор. В случае линеаризованного уравнения Больцмана легко указать нормальные решения, разложения которых сходятся тривиальным образом, так как содержат только конечное число членов. Такова, например, асимптотическая часть hA общего решения одномерных задач (IV. 7.44).

Для исследования менее тривиальных случаев рассмотрим решения с разделенными переменными, которые обсуждались в разд. 8 гл. IV. Если такое решение записано в форме (IV. 8.1), то ясно, что ряд Чепмена ——Энскога будет сходиться или нет в зависимости от того, сходится или нет разложение (о = з(к) (со(0)= 0) в ряд по степеням |к|. Согласно результатам разд. 8 гл. IV, можно утверждать, что сходимость имеет место для твердых сфер, если | к | достаточно мал, и предполагать, что сходимость отсутствует для потенциалов с обрезанием по углу. Можно также предполагать, что для твердых сфер радиус сходимости по |к| не бесконечен. Сходимость для |к| V £о, очевидно, означает сходимость разложения Чепмена ——Энскога для очень ограниченного типа зависимости от координат; все производные от параметров течения должны быть равномерно ограничены по порядку величины, а это значит, что они являются не только аналитическими, но также и целыми функциями.

Начальные, граничные и ударные слои

В разд. 2 уже было указано, что теория Гильберта неполна. Чтобысделать ее полной, нужно решить три задачи связи относительно начальных, граничных и ударных слоев. Те же задачи связи возникают и при разложении Чепмена — Энскога, а также и при модифицированном разложении, предложенном в разд. 4.

Прежде всего рассмотрим задачу о начальном слое, следуя работе Грэда [3]. В полной теории должна рассматриваться связь упомянутых выше разложений с произвольными начальными данными; но такая теория включала бы в себя решение нелинейного уравнения Больцмана и была бы совершенно непрактична. Однако, если принять во внимание характер рядов Гильберта, то можно ограничиться срашлванием с начальными

функциями того же типа, что и решение, т. е. брать функции, которые сводятся к максвелловской при £ — 0. Итак, начальную функцию f будем считать произвольной в рамках условия, что она представима в виде fM + ^n, где fM — максвеллиан.

Чтобы начальный слой имел конечную продолжительность, изменим масштаб времени, введя

т = //е.(5.1)

Будем искать решения уравнения Больцмана (2.1) в виде

f = % (х, W, st； 8)+ 8^ (х, ^, т; 8),(5⑵

где главный член /н = %< (х,三，f; е) соответствует разложению Гильберта, а «остаток» & допускает разложение

叭=三产%m+i)(х,三，t)・(5.3)

Добавочный множитель & появляется из-за сделанного выше предположения о допустимых начальных состояниях. Заметим, что, поскольку / = £t, разложение Гильберта для /н уже не является степенным рядом по е, так что нужно провести перераз- ложение

W £”％m)(x, t 唸м = 0W £”％m)(x, t 唸м = 0(5.4)(5.4)

W £”％m)(x, t 唸

м = 0

W £”％m)(x, t 唸

м = 0

(5.4)

(5.4)

где главный член /尺⑼——это не зависящий от времени локальный максвеллиан. Заметим также, что при / = т = 0 разложение (5.4) совпадает с первоначальным разложением Гильберта. Разложение Гильберта формально удовлетворяет уравнению Больцмана, поэтому подстановка (5.2) в (2.1) дает

穿 + 噫•察= 2Q(%，厶)+ 恥(厶，У- (5.5)

(5.6)(5.6)Подставляя разложения (5.3) и (5.4) в (5.5), находим dgn 巾=Lgn + Gn,

(5.6)

(5.6)

гдегдеfR ⑺=f"(0) ^n (〃》AJ5+n- 1fR ⑺=f"(0) ^n (〃》AJ5+n- 1+ £[2Q 隔(左+1)) + Q ('r (々+1)，/2=1丿+ £[2Q 隔(左+1)) + Q ('r (々+1)，/2=1丿(5.7)(5.7)

где

где

fR ⑺=f"(0) ^n (〃》A

J5+

n- 1

fR ⑺=f"(0) ^n (〃》A

J5+

n- 1

+ £[2Q 隔(左+1)) + Q ('r (々+1)，

/2=1丿

+ £[2Q 隔(左+1)) + Q ('r (々+1)，

/2=1丿

(5.7)

(5.7)

Линеаризованный оператор столкновений L основан на макс- веллиане，н(о), поэтому его собственные значения и собственные функции зависят от координат, но не от времени. Поскольку f

вида (5.2) должна удовлетворять начальным условиям, то /н(о) есть не что иное, как максвеллиан /^, входящий в начальные данные. Этот факт полностью определяет L. Разложим теперь начальную функцию f по степеням е:

f=^£砲(5.8)

n=0

и потребуем почленного удовлетворения начальных условий fH^ + fR^ = fn 仇》1)・(5・9)

Проектируя (5.6) на пространство 歹,натянутое на инварианты столкновений, получаем

辱5 龙=-\幡• 區 (5.10) где р^} — вклад в ра от п-го члена разложения остатка /^(几)・ Уравнение (5.10) дает

Ри) (х,工)=Р^) (х, 0) - j М，踪• W*7L 痺 (5.11)

о

Пусть р^ — вклад /г-го порядка в начальное значение ра величины ра; разумеется, этот вклад можно определить из начальной функции f. Тогда

р：(х, 0) + р^ (х, О) = 0：(х)・(5.12)

Было бы неточным положить р^)(х, 0) = 0 и таким образом приписать величине р： истинное начальное значение 0：(х). Действительно, разложение Гильберта становится справедливым по прохождении нескольких средних времен свободного пробега и бессмысленно добиваться совпадения точного и асимптотического решений при / = 0. Вместо этого нужно потребовать, чтобы при больших значениях времени полное решение f отличалось от fH на пренебрежимо малую величину (см. рис. 26, где опущена зависимость от х и |). В частности, вклад остатка р^)(х, 0 в параметры течения должен стремиться к нулю при т-> оо; этого легко достичь, используя (5.11) и полагая

p^)(X, 0)=j断 \屮点・^^成・(6.13)

6

Подставляя (5.13) в (5.12), получаем начальные условия для уравнений Гильберта:

僚(X, 0)=戏一.也,也自1^；з码 (5.14) о

Рис. 26. К правильному выбору начальных данных для решения Гильберта. 7 — начальные данные для разложения Гильберта, 2 — истинные начальные данные, 3 — решение Гильберта, 4 — полное решение, 5 — решение Гиль- берта с неуточненными начальными данными.

Эти условия включают в себя как физические данные 0；, так и вклад от решения，五(九一1)на предыдущем шаге. Можно проверить, что интегральный член не дает вклада в начальные данные первого порядка, и поэтому первая поправка имеет порядок 82. В этом приближении нет поправки к начальной плотности, а уточненные начальные условия для скорости и температуры принимают вид [3]

V (х, 0) = V — a [div (а‘ grad v) + % grad (优 div v)]，

-—(5.15)

T(x, O) = T — bdiv(/gradT),

где v и Т ——физические начальные данные для скорости и температуры соответственно, а коэффициенты а, а', & и 匕‘——величины порядка средней длины свободного пробега. Эти коэффициенты можно вычислить точно для максвелловских молекул; получается [3]

b"=15戶/(4冗)，(5.16)

где / ——средняя длина свободного пробега, определенная выражением (1.3).

Приведенные результаты показывают, что этот прямолинейный подход, основанный на предположении р^ (х, О) = 0：(х), по существу является точным на уровне уравнений Эйлера и Навье — Стокса; он не достаточен на уровне уравнений Барнета, однако практическая ценность этих уравнений весьма мала. Это означает, что разложение типа Рпльберт.а корректно описывает

Рис. 27. Система координат для исследования кинетического слоя.

начальный слой, за исключением (обычно пренебрежимо малых) членов порядка 82 (начальное скольжение).

Для пограничных слоев возникает ситуация, в принципе аналогичная описанной выше, но практически существенно отличающаяся от нее. Мы уже знаем, что в разложении Гильберта совершенно не представлены не только кинетические, но также и вязкие пограничные слои; последние учитываются методом Чепмена — Энскога и методом, кратко описанным в разд. 4. Но кинетические слои порядка е отсутствуют во всех существующих разложениях по степеням е; чтобы учесть их, нужно использовать 《растянутую》переменную X = х/е, аналогичную переменной т, использованной ранее для начального слоя.

Рассмотрим граничные поверхности, радиус кривизны которых велик по сравнению со средней длиной свободного пробега, и граничные условия, которые меняются медленно вдоль границы (в масштабе средней длины свободного пробега) и во времени (в масштабе среднего времени свободного пробега). Если эти условия не удовлетворяются, то анализ усложняется и задача из одномерной превращается в двух- пли трехмерную (по координатам). Примем также, что отклонение распределения от максвелловского вблизи границы остается величиной порядка е; это полностью аналогично случаю начального слоя.

При этих предположениях в окрестности границы удобно ввести следующую систему криволинейных координат (см. рис. 27). Возьмем две координаты 勿(i= 1, 2) на поверхности 2, ограничивающей область течения. Затем через каждую точку х проведем прямую, соединяющую х с точкой х()三 2, ближайшей к х (очевидно, эта прямая представляет собой нормаль к 2). Наконец, в качестве координат точки х выберем расстояние % по

нормали от х0 и координаты а. (г = 1, 2) точки х0. Если п — единичный вектор нормали в точке х(), то

%/ = %о/ + xnf (/ = 1, 2, 3).(5.17)

Из параметрических уравнений поверхности (xQj = xOj(ai,出), / = 1, 2, 3) можно найти dat/dxk (i = 1, 2;由=1, 2, 3) и nh как функции от ai и, значит, записать (5.17) в виде 修= %)(%&)• Таким образом,

f = fc (&Х, а,・，自，/; e) + ef^(X,必，自，/； e) (X = %/£)• (5」8)

Главный член fc определяется разложением Чепмена ——Эн- скога (или любым разложением, способным описывать вязкий слой), a fR удовлетворяет уравнению

^•n嘉+ ё(窖+ £^•翁裁) = 2Q(%，厶)+恥(底，fR).

(5.19)

Если теперь провести разложения, как и выше (меняя ролями X и т), то основным уравнением будет

l-n^ = Lgm + Gm (m》l),(5.20)

где

『r(/П)=厶(o)gm (俏 1)，

-2.m-1

G尸一 ^^+〉•嘉"^^+ e2Q(fcM, fR{k^ +

Li = l'/г = 1

+ 2 Q (f r(々+iJ$H (0)・(5.21)

k = l

Решить уравнение (5.20) значительно труднее, чем аналогичное уравнение (5.6) (сравн. разд. 6 и 7 гл. IV); в частности, проектирование (5.20) на 歹 не дает уравнении для параметров течения р%)，так как множитель 三・п связывает такие параметры со всей функцией распределения. Поэтому мы не можем написать уравнения, подобные (5.14), до тех пор пока не разработана теория решения уравнения (5.20). Качественно это было сделано в разд. 7 гл. IV, но количественные результаты нелегко получить даже для максвелловских молекул. Такую теорию можно частично построить для модельных уравнений (см. гл. VI). Кроме того, решение зависит от граничных условий, которые, согласно результатам гл. III, гораздо сложнее начальных условий.

Рассмотрим члены первого порядка более подробно. Для 孔=1 уравнение (5.20) принимает вид (/〃(())= 0 по аналогии с (5.3))

自・11需=丄81,(5.22)

т. е. совпадает с одномерным стационарным линеаризованным уравнением Больцмана, исследованным в разд. 7 гл. IV (уравнение (7.1) при 自i=^・n,尤i = X). В силу наших предположении 丄 представляет собой оператор столкновений, линеаризованный около максвеллиана стенки fw при соответствующей плотности. По аналогии с (5.9) (для %= 1) имеем

sz-n>0

(2・n>0, X = 0),(5.23)

где

fc ⑴=九伍• (^ A n) + BjjL 1 (自，一1/зЕ%〃)+ С (1 — 5RT®) +

+ D.L-1^^2 + 5/?rJ)};(5.24)

при этом скорость стенки uw считается равной нулю (в противоположном случае 三 нужно заменить на | —砧，Tw — температура стенки и

A = v/(RT®), В» 尸噹

С =D = дТ1dx(5.25)

一2 火贬' 一 一RTj

Здесь v, Т, dv/dx, дТ/дх — скорость, температура и их производные у стенки. Постоянные А и С появляются из-за переразло- жения решения Чепмена — Энскога нулевого порядка около максвеллиана стенки. Остаток fc(i) содержит члены первого порядка разложения Чепмена ——Энскога, вычисленные на стенке.

Рассуждая так же, как в случае начального слоя, заключаем, что gi должна стремиться к нулю при Х->оо； значит, в общем решении (IV. 7.4) следует положить Аа = 0, В^ = 0, 4入=0 для 九〉0. В уравнение (5.23) входит только комбинация fc^ + fwgi- Таким образом, для того чтобы удовлетворить граничным условиям при X = 0, мы располагаем функцией 4* и постоянными A, Bfj, С и D. Судя по тому, что известно для частных случаев (см. разд. 3 гл. VI) и из общих теорем (см. разд. 4 гл. VIII, ссылки [38—40]) должно быть достаточно постоянных А, С и функции 若入；поэтому уравнение (5.23) приводит к трем скалярным соотношениям между v, Т, iv/0x, дТ/дх, а не к полному определению постоянных. Вследствие

инвариантности уравнений и граничных условий по отношению к поворотам в касательной плоскости эти соотношения должны иметь вид

V 一 匕粤一©(2R/T)% (4^ — 口 黑)=▼，

八、(5.26)

7 一 t肃 f (2RT)f (div —=不，

где v, 7 — соответственно скорость и температура границы;工 ①，工，X—коэффициенты, имеющие порядок средней длины свободного пробега, V/ = V — n (п • v) и д/дп = п • д/дх. В частности, С характеризует меру стремления газа к скольжению над твердой стенкой при наличии градиента скорости и называется коэффициентом скольжения; т характеризует тенденцию отклонения температуры газа от температуры стенки и называется коэффициентом температурного скачка. Коэффициенты g,(о, т были вычислены при помощи кинетических моделей для полностью диффузного отражения от стенки. В этом случае уравнение (5.23) сводится к следующему:

力⑴+ Mgi = 0 (W・n>0, Х = 0),(5.27)

так что если известны так называемые полупространственные соотношения ортогональности (см. разд. 3 гл. VI), то задача решается явно. В противном случае можно применить вариационный метод, описанный в разд. 10 и 12 гл. IV, или решить численно соответствующую систему интегральных уравнений (см. разд. 12 гл. IV). Все эти методы уже использовались [17—30]. Для нескольких моделей коэффициент скольжения был вычислен с особой точностью; для БГК-модели вычисление g сводится к квадратурам (разд. 4 гл. VI), поэтому можно получить очень точное численное значение [19]:

С = 1,1466/,(5.28)

где / ——средняя длина свободного пробега, определенная выражением (1.3). Аналогичный результат получается для простейшей модели с частотой столкновений, зависящей от скорости [27]. Численные значения для реальных моделей частоты столкновений [28] лежат несколько ниже (на 3%) значений для моделей с постоянной частотой. Последняя оказывается по существу точной для максвелловских молекул [24, 26]. Коэффициент т также вычислен с хорошей точностью [17, 23] для БКГ-модели. В этом случае из-за того, что в БГК-модели число Прандтля равно единице (разд. 6), а не 2/з, как должно быть для одноатомного газа, нужно проявлять осторожность при выборе значения для частоты столкновений; при вычислении т подходящим будет значение» приводящее к точному коэффициенту теплопро-

водности. Если для числа Прандтля использовать точное значение 2/3, то для т получается [23]

1冃

T==-^-l,1682/ = 2,1904Z, (5.29)

где I снова задается выражением (1.3). Величина со (коэффициент температурного крипа) была вычислена Соуном [29], Уильямсом [30] и Лоялкой [22]; в результате

со= —0,7662 / = 0,648 /, (5.30)

2

если частота столкновений в БГК-модели выбирается из условия, чтобы получился подходящий коэффициент теплопроводности. Влияние граничных условий на g, t, со исследовали Uep^ чиньяни [31], Черчиньяни и Пагани [32], Лоялка и Чиполла [33], Клинч и Кущер [34].

Отметим, что в случае, когда длина свободного пробега не просто мала, а пренебрежимо мала, соотношения (5.26) сводятся к равенствам v = v, Т = 7, так что газ не скользит и полностью аккомодирует к температуре стенки.

Граничные условия второго порядка значительно сложнее; автором были выполнены расчеты в случае плоской границы [12]. Эффекты, связанные с кривизной стенки, исследовали Грэд [14] и Соун [35, 36].

В общем случае в (5.26) нужно включить члены, содержащие вторые производные от скорости и температуры, а также произведения первых производных и главных кривизн границы; коэффициенты при этом, конечно, имеют порядок /2. Некоторые из таких коэффициентов вычислены для БГК-модели [12, 35—37].

Другой подход предложил Даррозе [38], рассматривавший степенные разложения типа Гильберта, но не по е, а по д/ 8. В результате он обнаружил два пограничных слоя: внешний слой толщины О(£%), который можно отождествить с прандт- левским вязким пограничным слоем, и внутренний слой толщины О (е), соответствующий кнудсеновскому, или кинетическому, пограничному слою. В прандтлевском слое функция распределения не относится к гильбертовскому классу, но сохраняет свойства функциональной связи с макропараметрами течения (как это известно из успешного применения метода Чепмена—■ Энскога на уровне Навье — Стокса). Однако при таком разложении уравнения Навье ——Стокса не появляются; вместо них получаются уравнения Прандтля для пограничного слоя.

Другая неравномерность и, следовательно, другой тип пограничного слоя возникает при движении молекул почти параллельно границе. Действительно, если ||-п|/^~е, то первый член в правой части уравнения (5.19) имеет порядок sdfR/dX\

с другой стороны, для того чтобы задача была регулярной, этот член на границе должен быть конечным. Следовательно, около границы функция fR должна заметно меняться на масштабе Х~ е или ха &2. Конечно, поскольку £ является величиной порядка средней длины свободного пробега, соотношение вида %а&2 верно только при условии, что его понимают в сглысле х^^/Ь\ где U ——некоторая характерная длина (аналогично |^-n|/g~e означает ||-п|/^ а〃//). Эта длина должна определяться локальной геометрией границы и может быть отождествлена с радиусом кривизны самой границы. Таким образом, новый пограничный слой обусловлен кривизной границы и не может появиться около плоской стенки (Rc = оо).

Рассмотрим, как возникает этот эффект. Заметим, что для х, расположенных достаточно близко к границе, так что х —— —х0 = |х ——Хо||/^, влияние границы на функцию распределения /(х, I) зависит главным образом от отношения расстояния |х ——х0| к средней длине свободного пробега /. Если начало радиуса-вектора выбрано в центре кривизны для точки х0, a Rc —— соответствующий радиус кривизны (для простоты мы рассматриваем плоский случай), то (см. рис. 28)

I X — Хо I S У 产—=

=，心一I х |2sin2(p — I х I cos ф, (5.31)

где ср — угол между х и 自.Пусть |х| = Ас ± 6, где минус соответствует вогнутой границе, а плюс ——выпуклой. Из (5.31) получаем

❷С /1 土亞 tgZ cp + ^tg2 cp ―I COS ф I，

(5.32)

Если tg ф О (1), то для 6《Rc имеем

—土^击г+。保)(5,33)

и происходит заметное изменение при изменении 6 в масштабе /; на этом масштабе остаточный член составляет O(〃Rc) и, значит, ведет себя регулярно при / 0. Если же tg ср О (Rc/l), то величина

受~tg2屮=0«"2)

становится сравнимой с единицей при 5 = О (9R) Следовательно, величина |х — х°|// в (5.33) меняется заметно на масштабе d = O(l2/Rc), когда cos ср — ctg ф = О (l/Rc).

При вычислении плотности, скорости и т. д. или вообще «моментов» функции распределения

M」・h I (х, 0=5 &自漑• • Л/f 證(5.34)

следует интегрировать по цилиндрическим координатам р = =Л^ +/，屮，自z，ес/и рассмотренная выше плоскость соответствует 2 = 0. Если f равномерно непрерывна по ср, то обусловленный кривизной пограничный слой толщиной 52/(RJ) исче^ зает, так как вклад от скользящих молекул сглаживается интегрированием. Это легко обнаружить, заменив угловую переменную. Вместо ср, т. е. угла между 自 и х, возьмем в качестве переменной интегрирования О ——угол между х и х0. Тогда

」х 二工吐=} /您+ |х|2 — 2此 IxIcosO =

=/\/若 + 2a ” ± 6)(1 一 cos 呛).(5.35)

Если ср меняется от 0 до 2л, то 仆 меняется от ——л до л, и множитель при cos О' изменяется очень мало (B《Rc)； следовательно, остается только зависимость от В//. Иначе говоря, моменты функции распределения не отражают существования пограничного слоя, связанного с кривизной, а приводят лишь к обычному кнудссновскому слою, если интегрирование по ср не ограничено соответствующем образом. Ограничение по ф возникает автоматически, когда граница (локально) выпукла.

Кнудсенобский слои

Рис. 29. Кинетический подслой, обусловленный кривизной, в случае выпуклого тела.

Действительно, в этом случае молекулы, достигающие точки 尸，прилетают как раз с гого участка границы, для которого sinq)WRc/|x| или | cos® | > "| х 产一鶴/| х |. Поэтому при вычислении моментов пределы интегрирования зависят от отношения IхI/Rc, Углы, соответствующие этим пределам интегрирова- ния, таковы, что tg 屮=凡(| х 产一此)'=凡田(2凡 + 6「％ имеет порядок RJ厶 если 6 ——величина порядка l2/Rc. Следовательно, в течении около (локально) выпуклого тела пограничный слой, обусловленный кривизной, представлен также и в моментах.

Этот пограничный слой состоит из точек, которые не достигаются с границы по отрезкам прямых, длина которых значительно превышает среднюю длину свободного пробега (см. рис. 29, где РА = РВ а Г). Данный факт был обнаружен Соуном [39], который использовал частную модель на уровне интегрального уравнения для одного из моментов и поэтому упустил

из виду то обстоятельство, что новый пограничный слой существует даже для вогнутых тел, хотя и только на уровне функции распределения.

Третья задача связи (ударный слой) должна привести к вычислению поправки к классическим соотношениям Рэнкина —— Гюгонио, необходимой для того, чтобы вычисления на континуальном уровне давали те же самые результаты, что и решение уравнения Больцмана вдали от ударного слоя. Та же необходимость возникает в теории Навье — Стокса [40], когда требуется учесть взаимодействие между ударным и пограничным слоями. Несмотря на то что уравнения Навье ——Стокса дают гладкую структуру ударной волны, они должны допускать разрывы, чтобы описать кинетические эффекты. Для разложения Гильберта кинетическое решение задачи связи трудно уже в нулевом приближении (задача о структуре скачка; см. разд. 6 гл. VII), но условия сращивания тривиальны (соотношения Рэнкина ——Гю- гонио); аналогичная задача для теории Чепмена ——Энскога (или модифицированного разложения, рассмотренного в разд. 4) пока еще не сформулирована.

Дальнейшие замечания о методе Чепмена — Энскога и о вычислении коэффициентов переноса

Методы, изложенные в разд. 2——5, применяются не только к нелинейному уравнению Больцмана для одноатомного газа, но также к линеаризованному уравнению Больцмана, к уравнениям типа Больцмана, которые получаются при замене квадратичного столкновительного члена модельным членом /(f) (разд. 10 гл. II и разд. 9 гл. IV), и к обобщенным уравнениям Больцмана, описывающим смеси и многоатомные газы. Сделаем в связи с этим несколько замечаний.

Применение метода Чепмена ——Энскога к линеаризованному уравнению Больцмана уже рассматривалось в конце разд. 4. Здесь мы только отметим, что упрощение по сравнению с полным уравнением обусловлено отсутствием S^ в уравнениях (2.6) и (3.10).

При исследовании нелинейных столкновительных моделей, таких, как описанные в разд. 10 гл. II, изменения возникают только в связи с разложением нелинейных членов по степеням 8, поскольку нелинейность модели, вообще говоря, сложнее, чем квадратичная. Это обстоятельство, однако, не сказывается до второго приближения (члены с 82). В результате модели точно воспроизводят уравнения Эйлера и Навье — Стокса и даже можно добиться того, чтобы коэффициенты вязкости и теплопроводности совпадали с точными, если модели содержат по крайней

мере два свободных параметра. Для простейших моделей, таких, как, например, БГК-модель, это не выполняется и приходится решать, что согласовывать — коэффициент вязкости или коэффициент теплопроводности.

Поскольку модель БГК используется часто, кратко опишем первые приближения теории Чепмена ——Энскога для этой модели. Как уже упоминалось, уравнения нулевого и первого порядков формально такие же, как и для уравнения Больцмана; fo — максвеллиан, а 厶=/о"】 находится из решения уравнения (3.16), где теперь, однако, L ——линеаризованный БГК-оператор. Методика, примененная в разд. 9 гл. IV для построения моделей Гросса и Джексона, показывает, что линеаризованный БГК-оператор столкновений имеет те же собственные функции, что и оператор столкновений для максвелловских молекул; различных собственных значений теперь только два:九=0 (соответствующее пяти инвариантам столкновений) и 九=——v (соответствующее остальным собственным функциям).

В результате решение уравнения (3.16) для БГК-модели снова имеет вид (3.17) с 4(% Т) = 4(Т), В (с, 7) = 8(Т) 0 —5RT), как и в случае максвелловских молекул, а 卩 н 乂 определяются выражениями (IV.7.66) и (IV.7.67) при 九02 =九口 =——v. Основным следствием бесконечнократной вырожденности собственного значения 九=——v является равенство единице числа Прандтля (все еще определяемого соотношением (IV.7.73)). Тем самым подтверждается сделанное выше утверждение о невозможности одновременно согласовать значения 国 и 貝 при использовании БГК-модели, однако этого можно добиться, используя ЭС-мо- дель или более сложные нелинейные модели.

Общая задача вычисления коэффициентов переноса для газовых смесей может быть решена способом, аналогичным тому, который применялся для простого газа [8——10]. Дополнительно к вязкости и теплопроводности возникают два новых явления переноса, а именно диффузия и термодиффузия: средняя скорость отдельных компонентов, вообще говоря, отличается от массовой скорости смеси, и оказывается, что разность, представляющая собой скорость дифф}гзии, содержит члены, пропорциональные градиенту концентрации, градиенту давления, разности между внешними силами, действующими на различные молекулярные компоненты, и градиенту температуры. Первые три члена соответствуют обычной диффузии, а четвертый ——термодиффузии. Термодиффузия была впервые предсказана Энскогом [41] и Чепменом [6] на чисто теоретической основе и подтверждена экспериментально Чепменом и Дутсоном [42]. Она выпала из поля зрения предыдущих исследователей по той причине, что для максвелловских молекул коэффициент термодиффузии в точности равен нулю,

Как отметил Грэд [43], в случае смеси возможны разные варианты при разложении в ряды по степеням средней длины свободного пробега. Вместо того чтобы перед каждым интегралом столкновений Qap ставить множитель 8-1, можно различать типы столкновений, вводя перед разными интегралами разные множители вида 8~3, £-2, £-i, i. Такие новые разложения можно использовать для смесей с большой разницей масс. Этот метод был недавно вновь рассмотрен Джонсоном [44].

Даже для многоатомных газов задача построения разложения Чепмена ——Энскога почти полностью сводится к длинным, но сравнительно простым вычислениям. Подробности и ссылки на литературу можно найти в книге Ферцигера и Капера [10].

Свободномолекулярное обтекание выпуклых тел

В разд. 1 свободномолекулярное течение определялось как течение, получаемое в пределе, когда число Кнудсена Кп стремится к бесконечности. В этом случае уравнение Больцмана (при отсутствии внешних сил) принимает вид

Так как мы пренебрегаем столкновениями молекул друг с другом, главную роль играет взаимодействие молекул с твердыми стенками. Такая ситуация типична для спутников (на высоте 200 км средняя длина свободного пробега составляет около 50 м). Общее решение уравнения (7.1) имеет вид

fk X, 9 = g(x —眾，§, (7.2)

где g—произвольная функция двух векторов (формально g —— это значение / при / — 0). Равенство (7.2) означает просто, что / постоянна на прямолинейных траекториях молекул (х —陰/= = х°); при отсутствии столкновений это вполне естественно. В стационарном случае уравнение (7.1) сводится к

ОхОхи имеет общее решениеи имеет общее решениеf(X, §) = g(xA^, g),f(X, §) = g(xA^, g),(7.3)(7・4)(7.3)(7・4)

Ох

Ох

и имеет общее решение

и имеет общее решение

f(X, §) = g(xA^, g),

f(X, §) = g(xA^, g),

(7.3)

(7・4)

(7.3)

(7・4)

которое можно получить либо непосредственно, либо из (7.2) (заметим, что функция от х ——Е/,自 является также функцией от x•自一守f, x八自,自). ~

Рис. 30. Классы векторов скорости и другие детали течения около выпуклого тела.

Часто легче иметь дело с наглядным утверждением, что / постоянна вдоль траекторий, чем с аналитическими решениями (7.2) и (7.4).

Рассмотрим в качестве примера стационарное обтекание выпуклого тела однородным равновесным потоком с плотностью Роо, скоростью V и температурой Т^. Молекулы, падающие на тело, прилетают непосредственно из бесконечности (рис. 30) и, следовательно, их функция распределения ，一 равна

L = Роо (2球7 8)i ехр [— (2 — V)2 (2RT『]・ (7.5)

В точке 尸 вне тела (см. рис. 30) векторы скорости подразделяются на два класса. Первый класс содержит такие векторы 三,что прямая, проведенная вдоль 三 через точку Р, пересекает тело в некоторой точке Ро, и вектор 三 направлен от тела к бесконечности; векторы 三 из этого класса (отложенные из точки Р) образуют конус с вершиной в Р. Функция распределения для 自 вне этого конуса (т. е. для 三,принадлежащих второму классу) равна /а, в то время как функция распределения для 自 внутри конуса равна функции распределения /+ молекул, отраженных в точке Ро. Таким образом, решение полностью определяется, как только функция распределения молекул, вылетающих с поверхности тела, становится известной. Но эта функция как раз

и находится из граничных условий (III. 1.6); действительно, = foo, так что

f+= \ К(У-W； xULnl&nLfg^dg (xwOR). (7.6) g・nV0

Следовательно, решение зависит главным образом от ядра рассеяния R (V ->§; х), свойства которого были исследованы в гл. III.

Обычно интересуются лишь суммарными коэффициентами обмена импульсом и энергией между молекулами газа и твердым телом. По ним легко вычислить как аэродинамические силы, действующие на тело, так и теплопередачу между газом и телом. Импульс и энергия молекул, падающих на единичный элемент поверхности в единицу времени, вычисляются по формулам

р-= \审・п|厂唸(7.7)

1-п<0

\号日n1厂%(7.8)

S-n<0

а импульс и энергия молекул, вылетающих с единичного элемента поверхности в едршицу времени, — по формулам

р+= \ 詆・n|f+唸(7.9)

E・n>0

尹=\号I自・n1广后(7.10)

E・n>0

Вычисление p~ и q~ проводится легко. Рассмотрим элемент поверхности, наклоненный к потоку под углом атаки 0; иначе говоря, такой элемент, что скорость V потока образует с нормалью, направленной в газ, угол л/2 + 6 (см. рис. 31). Тогда, подставляя в (7.7) и (7.8) f~ = fg, получаем

=(n+ysine),(7.11)

PS =嘗{ sin е 6 + S2)[1 + erf (S sin 0)] +

+ ^^ exp (~ S2 sin2 6)},(7.12)

PL^~[l+erf(Ssine)],《7.13)

q- = 'APoo (2火兀产[» + %) Ssin0[l + erf (S sin 0)] + 十 S^jl 2- exp (— S2 sin2 0)] .(7.14)

Рис. 31. Обозначения, используемые при вычислении обмена импульсом и энергией на элементе поверхности.

Здесь S — так называемое скоростное отношение

S =S =(7・15)

S =

S =

Моо ——число Маха свободного потока, у ——отношение удельных теплоемкостей, а

erf % = —\ dl(7.16)

о

—функция ошибок [45].

Вектор р- записан таким образом, что его легко спроектировать на направление V (причем проекция равна р~) и на любое направление, перпендикулярное V (проекция равна р[= =—p^cos£ если В — угол между этим направлением и п). Результаты в такой форме полезны для вычисления сопротивления и подъемной силы, действующих на тело. Однако часто результаты представляются в компонентах по п:

PZ = 一 Р5 sin 0-рх cos? 0 = ‘-册^ {(у+ 52 sin2 0)X

X [1 + erf (S sin 0)]十 ^Д exp(- S2 sin2 0)J(7.17)

и по t = V/(V cos 0) + n tg 9:

p- = p~ cos 0 — p^ sin 0 cos 0 =

色工 cos 0 ( S sin 0[1 + erf (S sin 0)] +』2s (V 冗

Расчет p+ и q+ решающим образом зависит от вида ядра рассеяния. В классическом изложении [46——48] эти расчеты обходят путем введения подходящих «коэффициентов аккомодации» для нормальной составляющей импульса (а%), касательной составляющей импульса (ат) и энергии (cze); формально эти коэффициенты определяются выражениями вида (III. 5.3) с Ф = |1*п|, ср = ^ —n(W・n),屮=自2/2 и считаются зависящими от V, V-n, Ло, а также от температуры стенки Tw. Таким образом, этот подход является в основном феноменологическим, однако он дает точные результаты для ядер рассеяния с постоянными ат, czn, %£. Выражения (III. 5.3) тогда принимают вид (для 屮=|自П|, 自2/2)：

_ Рп + 涼 _ Pi — Pt an - c-丄 ， 鱼7 一 T3 而Рп + 乙Pt - Pt_ Рп + 涼 _ Pi — Pt an - c-丄 ， 鱼7 一 T3 而Рп + 乙Pt - PtaE =aE =厂-q+q~~ -严厂-q+q~~ -严(7.19)(7.19)

_ Рп + 涼 _ Pi — Pt an - c-丄 ， 鱼7 一 T3 而

Рп + 乙Pt - Pt

_ Рп + 涼 _ Pi — Pt an - c-丄 ， 鱼7 一 T3 而

Рп + 乙Pt - Pt

aE =

aE =

厂-q+

q~~ -严

厂-q+

q~~ -严

(7.19)

(7.19)

где pj, p『,равны р+, p+, g+, когда f+ =Jwfw, где максвеллиан стенки, a 7W — нормировочный множитель, выбранный так, что Jwfw дает тот же поток массы, что и 广.Тогда 毋=0, в то время как

%'化・口产九医警国[化・n|foodW =

=—^ /\J?• {exp (— S2 sin2 6) + Vя 5 sin 0 [1 + erf (S sin 0)]},

°°(7.20)

=Ps * (2/Y 8产(宀 exp (— S2 sin2 0) +

2/ POI V

十 S sill 8[1 +erf (Ssin 0)j |.(7.21)

Далее,

弘=—= О - %)р\ — %* =—

+ [l + erf(SsinO)] [(2 — *卜2 sid e + ^) +

+ 乎 л/詮 S sine]}, (7.22)

Pt = РГ~ Pt = %Pf =°°

=a「P；；-cos 0 {S sin 0 [1 + erf (S sin 0)] + 冗一％ exp (— S2 sin2 0)},

(7.23)

q = q- + q+ =&e 句一 + 严)=

=1 年 Ps (2RTJ/2 {(S2 + !■ — 2 号)S sin 6 [1 + erf (S sin 9)] + + 冗一％ 卜2+ 2 (1 - Ь^-)] exp (- S2 sin2 9) } .(7.24)

Следует отметить, что выражение (7.24) определяет энергию, передаваемую стенке одноатомным газом. Для многоатомного газа (7.24) определяет вклад поступаз'ельных степеней свободы, к которому следует добавить вклад от вращательных степеней свободы [47].

Определение суммарных аэродинамических коэффициентов сводится, таким образом, к квадратурам в случае ядер рассеяния с постоянными коэффициентами аккомодации (как, например, максвелловского ядра (III. 6.13), для которого aN = ат = =々е = а не зависят от V, V п, Т^). Интегрировать выписанные выше выражения фактически приходится по всей поверхности обтекаемого тела; конечно, кроме случаев тел самой простой формы, квадратуры будут сложными. Расчеты были проведены для нескольких тел [46——48], включая плоские пластины, сферы, конусы и цилиндры.

Если искать температуру Teq, которую принимает термически изолированный элемент (7 = 0), то из формулы (7.24) следует интересный результат. При этом получается

-^-=1 + —+1й厂3 L2-1.

Tg24 (1 + 冗厶 S sin 8 exp(S2 sin 0)[1 + erf (S sin 0)] J

(7.25) Очевидно, функция в знаменателе никогда не будет меньше единицы и, следовательно, множитель при % всегда неотрицателен. Значит,

Teq》Too(l + 等).(7.26)

Температура адиабатически заторможенного газа Т° равна

м=几(1 + 吋 mm)=

= ^(1 十^1 52)=〃(1 + I S2) < 7eq, (7.27)

где у = 5/з, как принято для одноатомного газа. Соответственно коэффициент восстановления, характеризующий разность между 7eq и 70 и определяемый формулой

т — т

，(7・28)

оказывается больше чем 5/4, так что диссипация механической энергии преобладает над теплопередачей. Этот результат резко расходится с известным результатом теории ламинарного пограничного слоя, согласно которому г всегда меньше единицы [49]. Нужно заметить, что для конечного тела Teq определяется как однородная температура, которую нужно поддерживать в теле, чтобы получить нулевую суммарную теплопередачу. Следовательно, указанный результат для Teq не является строгим для конечного тела; однако можно ожидать, что г > 1 для конечных тел достаточно симметричной формы. Этот результат подтверждается как расчетами теплопередачи для конечных тел, так и экспериментами, проведенными Столдером, Гудвином и Кригером [50].

На практике, конечно, температура тела определяется балансом всех форм теплопередачи на его поверхности. Для искусственных спутников значительная часть тепла теряется за счет излучения, и этот процесс необходимо надлежащим образом учитывать в балансе.

Приведенные результаты примут особенно простую форму, если в выражениях (7.22)——(7.24) формально положить S -> оо. Тогда, если Т^Т^ ——величина порядка 1 (и sin 0 > 0), то

Рп = — pg” (2 — aj sin2 0, р = a PgI/2 sin е cos 比

1+(7.29)

Соответственно

р = a^gUV sin 6 —(2 — а「一 aj p^V2 sin2 0n.(7.30)

Тогда вклад каждого элемента поверхности в сопротивление и подъемную силу имеет вид

pD = ^t9ooV2 sin Q + (2 — а〃 一 а「)PgI/2 sE3 в,

pL = ~ (2 ~ ат — а^) р^У2 sin2 0 cos р.<

В частности если &丁 = а^ = 1, то подъемная сила обращается в нуль и

^ = РооУ28т0 = РооУ2^-,(7.32)

где dA——площадь элемента поверхности, a d4* ——площадь проекции этого элемента на плоскость, перпендикулярную V. Соответственно, если отнести коэффициент сопротивления к площади миделя %*=，d/*, то получится особенно простой результат (при S -> оо вклад от задней части поверхности тела равен нулю)

=(7・33)

Выражения (7.29) не являются равномерно пригодными по 0; поэтому для любого фиксированного скоростного отношения существует область значений 0 (такая, где S sin 0 «<1 1), для которой формулы (7.29) применять нельзя. Практически можно пользоваться формулами (7.29) в случае, когда S》1, а площадь областей, где SsinBgl, мала. Результаты оказываются более сложными, если оставить члены первого порядка по S-】 [51—52].

Использование коэффициентов аккомодации ат, а^, а^ составляет как силу, так и слабость изложенной теории. Если эти коэффициенты нельзя считать постоянными, то описанная выше методика теряет силу. В частности, на коэффициент подъемной силы решающим образом влияет отклонение от полной аккомодации, а значит механизм взаимодействия газа с поверхностью. Мы не можем удовлетвориться приведенными выше результатами, так как отношение подъемной силы к сопротивлению имеет решающее значение для расширения коридора входа космического корабля с экипажем.

В связи с этим граничные условия рассматривались более детально [53——59]. В частности, для вычисления аэродинамических сил [57——58] и теплопередачи в свободномолекулярном потоке применялась модель рассеяния, описанная в разд. 6 гл. III (см. формулу (III. 6.20)). При этом выражения (7.11)——(7.13) для р_ и 7~, конечно, сохраняются, в то время как р+ и д+ определяются формулами

р+ = — 若营 + Р犬(n + 3sinB),(7.34)

Pd = Р/Д%) + Р/(а J р+ = Р((4)+ На) (7・35)

р/ = — (1 — aj 武 рто cos2 0 X

X {冗-% exp (一 S2 sin2 0) + S sin 0 [1 + erf (S sin 0)]},(7.36)

PdPdpgW 联 sinepgW 联 sineл/2X< exp (— S2 sin2 0) ^ d(p ол/2X< exp (— S2 sin2 0) ^ d(p оt (1 — Ct几)COS?(Peta + t (1 — a%) sin?屮t (1 — Ct几)COS?(Peta + t (1 — a%) sin?屮(1 +叫(1 +叫a几 + t (1 — a几)sin2 屮a几 + t (1 — a几)sin2 屮++

Pd

Pd

pgW 联 sine

pgW 联 sine

л/2

X< exp (— S2 sin2 0) ^ d(p о

л/2

X< exp (— S2 sin2 0) ^ d(p о

t (1 — Ct几)COS?(Peta + t (1 — a%) sin?屮

t (1 — Ct几)COS?(Peta + t (1 — a%) sin?屮

(1 +叫

(1 +叫

a几 + t (1 — a几)sin2 屮

a几 + t (1 — a几)sin2 屮

+

+

Л/2S2 si「2 M(1 -a^sidq)]

+ "^ j °中—二+?(占标鬻山」u(1 + erf U)х о

X[4+(4 + g不也端：2•而]卜(7・37)

Pa' = - -Si"瓦，Pa =而/sin 0,(7.38)

q+ =号(2RTg)% {冗一％ exp (— S2 sin2 0) + S sin 0 [1 + erf (S sin 0)] X

X [(1 一 * (1 + S2 sin2 0) + (1- s)2 (1+ S2 cos2 0) +

+ 工」(％ + % [2 —电])]十 ~^ (1 — aj S sin 0 [1 十 erf (S sin 0)] },

(7.39)

где at и an ——два параметра, входящие в формулу (III. 6.20), и т = Т“，(7.40)

U = a” sin “％ + 工(1 一 <)sin2 屮厂葭 (7.41)

Расчеты, приводящие к этим результатам, до некоторой степени упростятся, если учесть, что а% и ап имеют смысл коэффициентов аккомодации для касательной составляющей импульса (так что ат = а%) и части кинетической энергии, соответствующей движению по нормали (значит,仪^方仪九).Для рассматриваемой модели aN и cz^ не постояннее

Если считать, что S —> сю, а т ——величина порядка единицы (и sin 0 > 0), то для pD) pL, q получится

Pd = PooV2 sin 0 {% + [(1 — *% + (1 — %)] sin 0),

Pl= — pool/2sin20cosp[(l — %) + (l — a/%],(7.42)

夕=_£^K1 口几 sin2 0 + af (2 — aj cos2 0].

Сравнивая эти выражения с (7.31), видим, что результаты Для подъемной силы и сопротивления эквивалентны (при S—>оо) результатам обычной теории, основанной на коэффициентах а к-

комодации, если эффективный коэффициент аккомодации нормальной составляющей импульса а% определить следующим образом:

匾=1--(1-а//2. (7.43)

Однако стоит подчеркнуть, что такое отождествление возможно лишь потому, что рассматривается очень специальная функция распределения падающих молекул, представляющая собой предельный случай максвелловского распределения при Sоо (с фиксированной К), т. е. дельта-функцию. Что касается q, то сопоставление с (7.29) дает

砾(0) = % (2 — a, cos2 8 + а九 sin2 0 =

=电(2 — az) cos2 0 4- а\ (2 — а^) sin2 0. (7.44)

Иначе говоря, даже для такого специального распределения налетающих молекул, как дельта-функция, невозможно определить постоянный коэффициент аккомодации энергии. Однако если а\ = аг, т. е. если 1 ——а九=(1 ——aj2, то а% = а? (2 ——а?)= =az (2 — aj — постоянная величина.

Расчеты суммарных аэродинамических коэффициентов на основе двухпараметрической модели вида (III. 6.20) были проведены [57, 58] для таких тел, как плоские пластины, сферы, цилиндры, конусы и эллипсоиды. Конечно, результаты для элемента поверхности настолько сложны, что большинство вычислений приходилось проводить численно. Однако расчет теплопередачи проще и может быть проведен аналитически для таких тел, как плоские пластины, цилиндры и сферы [59]. В случае сферы результаты совпадают с классическими, если аЕ заменить на

连=4" U(2 —勿)+ %」• (7・45)

Практически Teq такая же, как и в классическом случае, однако для плоской пластины и цилиндра 7\q зависит от отношения а/*. Это может привести к коэффициенту восстановления, меньшему единицы (при надлежащих значениях отношения a也/a2).

Свободномолекулярные течения в случае невыпуклых границ

При исследовании свободномолекулярных течений около границ с вогнутыми участками нужно учитывать как затенение одних участков поверхности тела другими, так и падение на некоторые участки поверхности молекул, отраженных от других участков.

Рис. 32. Эффект затенения при обтекании невыпуклого тела.

Пусть Р — точка на поверхности 0R тела (см. рис. 32), а (о (х)——телесный угол, под которым из точки Р (с радиусом^ вектором х) видна остальная часть тела (которая в действительности может состоять из нескольких несвязных областей). Тогда функция распределения молекул, падающих на границу, представляется в виде

f (х, § =厶(9 (三・n>0, xwdR,三強①(x)),(8.1)

广(x, 3 =位・"」7 \ R(gf 三，X‘)厂£ F)1，n1 眼 М・пУ0

(三• n > 0, X 三 OR,三 eE(o(x)),(8.2)

где х‘ ——точка границы, которая достигается из точки х при движении вдоль вектора ——g (без пересечения с самой границей) ,а пх — единичный вектор нормали в точке х‘. Уравнения (8.1) и (8.2) образуют систему, определяющую f~ (по крайней мере в принципе). Решение можно найти с помощью сходящегося итеративного процесса (если исключить некоторые сингулярные случаи), но аналитических решений, вообще говоря, не получается.

Практически отражение часто считают диффузным, используя формулу (III. 6.13) с а = 1. Тогда (8.2) приводится к виду 厂=J 便)3 (RTjL exp [- ^I^RT^

(x w OR,昌• n > 0,三三⑴(x)), (8.3)

где J(x')——поток массы молекул, падающих на стенку в точке Xх, Т^ — температура стенки в х： Таким образом, задача сводится к нахождению / (х) длн х 三 dR.

Поток массы в точке х равен

/ (Х) = q(X)+ \ J (х) [2兀便％)2「&р [—廿/(2火％)]丨 а • п 陵；

(8.4)

здесь х‘ 三 dR определяется соотношением х‘ = х ——三 | х‘ ——х |. а 」8(х') ——поток массы, приходящий непосредственно из бесконечности:

<(х)= \ 忆(§&п|*(8.5)

自• n V О

а со, — дополнение к со. Вводя величину скорости 自 и единичный вектор Q = */W, можно выполнить интегрирование по 自 в (8.4), что дает

J(x) = <(x) + ；\ J(xz)|Q.n|dQ.(8.6)

Q-n<0.

а三со

Поскольку (см. рис. 33)

Q=J I 口二等(8.7)

I х — х I JI X — X I2\ 丿

где dAf ——элемент поверхности в точке х‘， равенство (8.6) можно преобразовать к виду

/(х) = <(х/) + ； \(8.8)

JL JI л л I

GR (х)

где dR (х)——часть поверхности тела, «видимая» из х. Уравнение (8.8) представляет собой интегральное уравнение с симметричным ядром (если X，三 0R(x), то х 三 OR(x’)). Это ядро ограничено, если, например, кривизна поверхности изменяется непрерывным образом.

Большое преимущество уравнения (8.8) состоит в том, что его можно использовать для вычисления /(х), исходя непосредственно из геометрии тела. В частности, уравнение (8.8) может быть использовано для исследования свободномолекулярных

Рис. 33. К вычислению элемента поверхности dAf == rfQ | х — xz |2 | nz • Q |.Рис. 33. К вычислению элемента поверхности dAf == rfQ | х — xz |2 | nz • Q |.Рис. 34. Два резервуара, соединенные трубкой, толщина которой много меньше средней длины свободного пробега.Рис. 34. Два резервуара, соединенные трубкой, толщина которой много меньше средней длины свободного пробега.

Рис. 33. К вычислению элемента поверхности dAf == rfQ | х — xz |2 | nz • Q |.

Рис. 33. К вычислению элемента поверхности dAf == rfQ | х — xz |2 | nz • Q |.

Рис. 34. Два резервуара, соединенные трубкой, толщина которой много меньше средней длины свободного пробега.

Рис. 34. Два резервуара, соединенные трубкой, толщина которой много меньше средней длины свободного пробега.

течений в трубах произвольного (постоянного) поперечного сечения с диаметром, много меньшим средней длины свободного пробега (для течений в капиллярах).

Такое течение возникает в тонкой трубке, соединяющей два резервуара, которые содержат газ в равновесии при различных давлениях pi, 〃2 и температурах 7\, 72 (рис. 34). Поскольку предполагается, что молекулы не сталкиваются друг с другом, молекулярный поток образуется наложением двух независимых потоков молекул, входящих в трубку слева и справа. Так как эти потоки вычисляются независимо, без потери общности можно считать /^(х) потоком массы молекул, достигающих х прямо из резервуара 1 без соударений. Тогда

х‘)I I п‘ •(х _ х‘)Iх‘)I I п‘ •(х _ х‘)II X - x'FI X - x'F(8.9)(8.9)

х‘)I I п‘ •(х _ х‘)I

х‘)I I п‘ •(х _ х‘)I

I X - x'F

I X - x'F

(8.9)

(8.9)

здесь интегрирование проводится по входному поперечному сечению Si, а /1 — поток массы через Si：

厶=J |W・n1 储喝 np^*)/』；^^，(8・10) 占・n'>0

где foi ——максвеллиан, соответствующий плотности и температуре в резервуаре 1.

В частности, если трубка представляет собой круговой цилиндр радиуса 厂 и 2 ——координата х вдоль оси трубки, а %', yf —— координаты х‘ в соответствующей декартовой системе координат, то

7^ = —2 ( d/ 〈 d/丄 2】2 =

°° 冗 J[(% —厂)2 + У 2 + *2

0 一'产一g'2

=生(г汇=

n厘|_22 + 2产一2厂V产—y/222 + 2产+ 2r *2 —'2」

2л

—/1之 C r cos 0 d^ — Z? + 2 —

~ 2л J 22 + 2г2 — 2г2 cos 0 _ 2 («声" 丿，*

где Z = z/厂 и последнее интегрирование легко осуществляется при помощи контурного интегрирования в комплексной плоскости или, не так быстро, стандартными методами.

Аналогично, поскольку благодаря симметрии J(x') = /(z‘)， имеем .

5 ,便)」2不吟产一，)心,=dR (х)5 ,便)」2不吟产一，)心,=dR (х)L 2лг / Zx4产 sir?(д//2)厂 dq/WJ 3 丿[4产 siM (U/2) +(2 — 2"2]2 • о оL 2лг / Zx4产 sir?(д//2)厂 dq/WJ 3 丿[4产 siM (U/2) +(2 — 2"2]2 • о о(8.12)(8.12)

5 ,便)」2不吟产一，)心,=

dR (х)

5 ,便)」2不吟产一，)心,=

dR (х)

L 2л

г / Zx4产 sir?(д//2)厂 dq/W

J 3 丿[4产 siM (U/2) +(2 — 2"2]2 • о о

L 2л

г / Zx4产 sir?(д//2)厂 dq/W

J 3 丿[4产 siM (U/2) +(2 — 2"2]2 • о о

(8.12)

(8.12)

плос-плос-2л昌о2л昌о4广3 sir? (g//2) dq/4广3 sir? (g//2) dq/[4г2 sin2 (屮72) + (% — г')2]2Т JZ —Z，|[4г2 sin2 (屮72) + (% — г')2]2Т JZ —Z，|(Z-Z')2 +6(Z-Z')2 +6[4 +(Z 一 ZM]%[4 +(Z 一 ZM]%(8.13)(8.13)

плос-

плос-

2л

昌

о

2л

昌

о

4广3 sir? (g//2) dq/

4广3 sir? (g//2) dq/

[4г2 sin2 (屮72) + (% — г')2]2

Т JZ —Z，|

[4г2 sin2 (屮72) + (% — г')2]2

Т JZ —Z，|

(Z-Z')2 +6

(Z-Z')2 +6

[4 +(Z 一 ZM]%

[4 +(Z 一 ZM]%

(8.13)

(8.13)

Интегрирование по ц/ (углу между проекциями х‘ и х на кость, перпендикулярную оси трубки), дает

гдегдеZ‘ = z'/几 Следовательно, уравнение (8.8) принимает вид

где

где

Г

(8.14)(8.14)% (Z) = %。(Z) + \ К (I Z — Z' I) % (Z"匕

(8.14)

(8.14)

о

гдегде% = //厶，工=l"，

где

где

笈（z）= ^（卷告— z）,

(8.15)(8.15)K(|Z — Z「)」[1 _ I Z _ Z'l 6 ±(Z _ Z[号 I.

(8.15)

(8.15)

2 I[4 + (Z-Z/)2]/2 J

Уравнение (8.14)——это уравнение Клаузинга [60]. Если рассмотреть очень длинную трубку и пренебречь влиянием концов, то удобно положить Z = У + 工/2, Z' = У' + Z/2, а затем устремить £ к оо. Тогда член типа источника исчезает; следовательно, для длинной трубки

+ оо

(8.16)(8.16)%(У)= \ К(|У —Г|)%(『)犷.

(8.16)

(8.16)

\ К(|У — у/|)犷=1.\ К(|У — у/|)犷=1.(8.17)(8.17)Легко проверить, что

\ К(|У — у/|)犷=1.

\ К(|У — у/|)犷=1.

(8.17)

(8.17)

Это предельный случай (Z = У + Z/2, Zz = Ух + ^/2, Z -> оо) соотношения

Г

笈広一Z) + %o(Z) + \ K(|Z — Z'|)dZ/ = l, (8.18) о

соответствующий тому факту, что % = 1, если поток одинаков на обоих концах трубки. Формулу (8.18) можно использовать также для вычисления K{\Z — Zf\)A если найдена %o(Z). Действительно, дифференцирование по £ в (8.18) дает

K(|Z — Z") = — %(|Z — Z"),(8.19)

где — производная %。по ее аргументу.

Таким образом, как и следовало ожидать, %(У) = const является решением уравнения (8.16) (равновесным решением). Кроме того, существует решение с % пропорциональным У. Действительно, если написать %(У‘) = У，= У + (У——У), то сразу можно увидеть, что У'——У дает нулевой вклад в интеграл уравнения (8.16), поскольку (X—Y) K^Y^—У|) — нечетная функция по переменной Z = У'——У. Тогда, благодаря условию (8.17), этот интеграл сводится к У = %(У). Отсюда заключаем, что в очень длинной трубке плотность, а следовательно, и давление, линейно меняется вдоль трубки. Численные результаты показывают, что это приблизительно верно и для трубок умеренной

длины [61]. Влияние концов длинной трубки исследовали Пао и Чао [62].

Из уравнения (8.18) следует, что %(Z) удовлетворяет соотношению

%(£—Z)=l-%(Z).(8.20)

Действительно, уравнение (8.14) дает

%(匚一 Z)十％(Z) - 1 =加(工 一 Z) + %°(Z) — 1 +

Г

+ \ К (I Z — Z，I)仪広一 Z) + % 亿/)] dZ，= о

Г

=\ К (I Z — Z，I) [% (工 一 Z) + X (?) — 1] dZ\ (8.21) о

где последний переход основан на (8.18). Следовательно, выражение %(£ ——Z)4~%(Z)——1 удовлетворяет однородному уравнению Фредгольма. Поскольку К > 0, в соответствии с (8.18)

Г

\ K^Z-Z^^dZ^l -с< 1,(8.22)

о

где—

с= inf _[%о広一Z) + %o(Z)]・(8.23)

0<Z<L

Уравнение (8.21) имеет только тривиальное решение

%(E—Z) + %(Z)—l=0,(8.24)

и (8.20) выполняется. В частности, (8.24) означает, что 箱/2)=%・

Как только / (х) (в частности, %(Z) в цилиндрическом случае) вычислена (итерациями, вариационным методом или методом дискретных ординат), сразу можно вычислить любую другую характеристику течения. Особенно интересен расход. Чтобы его найти, заметим, что 卩《> (х)//】]d4 представляет собой вероятность того, что молекула достигнет элементарной площадки dA в точке х прямо из резервуара 1 без столкновений. Поскольку уравнения движения обратимы по времени, то с такой же вероятностью молекула покидает элементарную площадку dA в точке х, чтобы достичь резервуара 1 без столкновений.

Умножение на /(х) и интегрирование по боковой поверхности W трубки дает обратный поток массы на входе. Следовательно, массовый расход на выходе (разность между JiAb где Ai — площадь поперечного сечения входа, и обратным потоком)

равен

J/oo(x)J(x)dA.(8.25)

В частности, для цилиндрической трубки 」8(х) определяется выражением 丿次亿)，причем в соответствии с (8.11), (8.15) элемент dA можно заменить на 2nrdz = 8nr2dZ, J(x) = Ji%(Z), А\ =兀广2; следовательно,

Q = 口产厶[1 — 2 J Хо (Z) % (Z) dz] .(8.26)

Для того чтобы использовать это равенство, полезно преобразовать его при помощи соотношения, вытекающего из (8.14) и (8.19). Проинтегрируем (8.14) ог 0 до Z〃：

z〃z〃匚「Z〃-

卜(Z)dZ=\%o(Z)dZ — \ J ^\Z-Z^\)dZ %(Z”Z'・ (8.27) ооо L о-

Однако

z〃

\%(]Z —Zl)dZ = о

=sgn (Z〃 - Z‘) Xo (I z〃 一 Z‘ I) + Xo (Z‘)一 Я(z〃 一 7), (8.28)

где " (Z — Z‘)= [1 + sgn (Z — Z')]/2 — ступенчатая функция Хевисайда (в соответствии с (8.15) принято /0 (0) = 72)• Подстановка значения (8.28) в (8.27) дает

ГГz〃

Г

Г

о

о

Г 4。亿/)%(7)% о

Умножив теперь на %(Z〃)и проинтегрировав по Z" от получим

(8.29)

0 до Z,

J [j 加(Z)dZ卜(Z")dZ

L

(8.30)

При этом используется тот факт, что один из интегралов в правой части (8.29) обращается в нуль (он меняет знак при замене

о

Z' Z〃). Кроме того, как следует из (8.24),

\ %(Z)dZ = 〃2.(8.31)

о

Наконец, непосредственное интегрирование дает

z〃

\ Хо (Z) dZ =九(Z〃 “Z〃2 + 4 — z〃2)(8.32)

о

и (8.30) можно переписать в виде

7Г

\ Хо (Z) % (Z) dZ = (2匚尸 \ (Z “I7^ — Z2)% (Z) dZ. (8.33) о0

В силу соотношений (8.31) и (8.33) из (8.26) следует, что

Q/Qo =工7，(Z2 + 2 — Z V^+T)% (Z) dZ, (8.34)

0

где в соответствии с (8.26) Qo =冗八厶一расход при L = 0 (через входное отверстие).

В частности, если трубка очень длинная, то %(Z)——линейная функция и %(0)= 1, %(Г/2) = %, так что

%(Z)=1—Z/E(8.35)

и равенство (8.34) дает

Q/Qo =，(1 _ Z/Q [Z2 + 2 — Z (Z2 + 4产]dZ =

= 丄尸+ 1 + 上_ ——l(Z? + 4产一丄 g2 + 4产十

123厶12厶2厶 ' 丿I

=专 + 卡mE-"I"专+。(厶一3)•(8.36)

Следовательно, для длинных трубок получается формула

Q/Qo = 8/(30,(8.37)

восходящая к результатам Кнудсена [63] и Смолуховского [64].

Околосвободномолекулярные течения

Рассмотрим течения, для которых число Кнудсена сравнительно велико, но эффектом межмолекулярных столкновений полностью пренебречь нельзя. Для стационарных течений уравнение Больцмана записывается в виде

W •思= К(О・(9.1)

где е, обратное число Кнудсена, мало.

Кажется естественным разложить f, как в (2.2), в степенной ряд по £ (конечно, £ имеет другой смысл). Тогда уравнение (9.1) дает

7"=°，員需= Q〃f(92)

где Qn определяются по формулам (IV. 1.5). Первое из этих уравнений, как и следовало ожидать, является уравнением свободномолекулярного течения. В следующих уравнениях свободный член Q九—1 определяется предыдущими приближениями. Таким образом, решение уравнения Больцмана сводится к решению последовательности линейных дифференциальных уравнений. Эти уравнения имеют вид

自展= S(x, S,(9.3)

где S — свободный член. Решение данной краевой задачи может быть найдено методом характеристик или при помощи функций Грина. Последние можно получить из уравнения (IV. 12.4), полагая v = 0:

4(xY； X； у)=厂力(三• [х —х1"2 (I A [x—x1)B(W—F)・ (9.4)

При 三=0 из-за множителя 自一】возникает особенность. Поэтому следует ожидать, что решения, получаемые разложением в ряд по £ (так называемые кнудсеновские итерации, ибо то же самое получается методом итераций, если в качестве нулевого приближения выбрать свободномолекулярное решение), непригодны для малых скоростей молекул. Однако при вычислении моментов при помощи интегрирования функции распределения (см. (5.34)) вкладом медленных частиц обычно пренебрегают, по крайней мере в ограниченной области, поскольку d&= &d&!Q и множитель ^2 компенсирует сингулярность. Это остается верным и в задачах с плоской двумерной симметрией, Для которых соотношение (9.4) будет справедливо, если заменить 62 одномерной дельта-функцией, а 己——величиной проекции ^ на соответствующую плоскость. Если же задача обладает

одномерной плоской симметрией, то 62 исчезает и Uq сводится к

U, (/К； <, F) = ^力(自/% - О) 6(自一S，(9・5)

но сингулярность при Ei = 0, вообще говоря, не исчезает даже при вычислении моментов. Кроме того, ясно, что в двух- или трехмерном случае и слабая сингулярность, которой на первом шаге можно пренебречь, в следующих приближениях может вырасти до сильной. Трудности увеличиваются в неограниченных областях, где последовательные члены расходятся на бесконечности. Последнее объясняется тем, что отношение средней длины свободного пробега / к расстоянию d от тела определяет локальное число Кнудсена, которое стремится к нулю при d—>оо; следовательно, столкновения обязательно возникают в неограниченной области и преобладают на больших расстояниях. На этом основании мы должны ожидать, что на бесконечности имеет место континуальное поведение даже тогда, когда размеры твердого тела, движущегося в газе, много меньше средней длины свободного пробега. Это подтверждается общим решением стационарного линеаризованного уравнения Больцмана (разд. 11 гл. IV).

Как отметил Виллис [65——69], обе трудности можно устранить, если при построении функции Грина (IV. 12.4) сохранить частоту столкновений. Конечно, для этого требуется, чтобы столкновительный член можно было представить в виде

QJ f) = QML D-vf,(9.6)

где частота столкновений•

v = v(f) = ^ W*3(e, ia — £l)d£dO厶 (9.7) конечна. Величина v зависит от | и х через f неизвестным образом. Но это не мешает использовать итерационный метод следующего вида:

L] =0,

(9.8) 自• -^7- + £%т九= &Qi (九-1,力2-1)仇=0, 1, • •

где vn-i = v(fn-i)- Следовательно, fn является приближением n-го порядка к f и соответствует £ ^fk предыдущего метода;

々=0 однако теперь решение не представляется степенным рядом по £. Функция Грина для дифференциального оператора в левой части уравнения (9.8) (у»_1 предполагается известной из предыдущего приближения), снова дается выражением (IV. 12.4) при условии, что показатель у(Л (х ——x')/f экспоненты за-

меняется на

£、Uo(x,自；х‘，У)%7(х‘，SdW'dx'

(Uo определяется соотношением (9.4)). Таким образом, fn находится в квадратурах, как только известно fn-i・

Обычно осуществляется лишь первая поправка к свободномолекулярному потоку. Поскольку можно получить тот же результат, если сначала с помощью функции Грина (IV. 12.4) преобразовать уравнение Больцмана в интегральное уравнение (с

£，〃о(х, *； х「©"(х7, F)阳 dx‘

вместо v(g)W・(x — х，)/自2 в показателе экспоненты) и затем решать это интегральное уравнение итерациями со свободномолекулярным решением в качестве нулевого приближения, этот метод обычно называется методом интегральных итераций. Для одномерных задач типичные интегралы, вычисляемые при расчете моментов (см. (5.34)), имеют вид

in(£%) = [ехр [— exv 倡)/自 J 小臂嗎(n = — 1, 0, 1, ...).(9.9)

о

Для двумерных задач п начинается с 0, а для трехмерных задач с 1 (в последнем случае gi =自).

Можно разложить экспоненту в ряд по степеням £ везде, кроме малых значений ^. Чтобы учесть вклад от малых значений Ji, следует рассмотреть интегралы вида

1

厶(哨=，ехр(-п咼闵嗎 (n = e%Vo； n = —l,0, 1, ...),(9.10) о

где vo — значение v(g) для 己〔=0 н соответственно е 〔 заменено единицей. Интегралы такого вида получаются при разделении в (9.9) вкладов от интервалов (0, 1) и (1, оо) и разложении первого интеграла по степеням gi. Если в (9.10) положить 三 1 = г|〃，то получится

厶(n) = n"+i j。-‘广5+2)必=

(8 九1 Гn+1广

< n 々=on L々=o -

+ j dt + j 卜一 £ 中>i+" 出｝

т)1 L 々=0」丿

仇=—1、0, 1 ...), (9.11)

где первый член в последнем выражении, конечно, отсутствует, когда п =——1. Второй и четвертый интегралы ——величины порядка единицы при е —> 0, причем второй конечен при е О, а четвертый не зависит от е. Первый и третий интегралы легко вычисляются, так что

⑺=£初三普F - 13詳In Г) + 0 卄) 々=0

(rj = evox； 〃 = — 1, 0, 1, . . .). (9.12)

Здесь первый член также считается равным нулю при п =——1. В этом случае

^-1(П)= — 1пт)+ 0(1) О1 = £*ох)・ (9.13)

Первая поправка к типичному моменту в одномерной задаче дается величиной £, умноженной на интеграл вида (9.9). Следовательно, она имеет порядок 81п 8 = 1п(Кп)/Кп. В двумерном случае та же поправка будет порядка £, но за ней следует е2 In е; в трехмерном случае логарифм появляется в членах третьего порядка е3 In е. В любом случае эти результаты показывают невозможность разложения f в равномерно пригодный степенной ряд по £.

Если исследовать зависимость от х, то необходимо рассмотреть эффект последующего интегрирования по 尤(скажем, от О до х, где % = 0 соответствует границе).

Таким образом, для малых значений y (и любого фиксированного £, так как в (9.13) важно только rj = evo%) типичный момент в одномерной задаче при х->8 будет вести себя как х In %, что означает логарифмическую расходимость производной на границе.

Во внешней области наряду с влиянием частиц малой скорости сказывается влияние частиц, прилетающих из бесконечности. Вклад от этих частиц дается такими же интегралами, как и выше, интегрирование проводится от оо до %. В этом случае интегрирование по скоростям играет незначительную роль, и поэтому мы рассмотрим

£(&)=、ехр (— £%х) Qo (%) dx, (9.14)

где vi = у/gi, х ——переменная, измеряющая, скажем, расстояние от границы, a Qo(x)——столкновительный член Qi(f,/) из (9.6), вычисленный для отклонения fd свободномолекулярного решения от максвеллиана на бесконечности. Функция fd отлична от нуля в точке х внутри телесного угла, под которым видно тело (или тела), ограничивающее поток газа. Таким об-

разом, величина Q° (которая получается из /d интегрированием по пространству скоростей) пропорциональна этому телесному углу. Соответственно Qo = const в одномерной (полупростран- ственной) задаче, Qi = О(х」)в двумерной задаче, Q2 = О (%-2) в трехмерной. Следовательно, интегралы, которые нужно вычислить, имеют вид

&(£)= j ехр(— £%х)亲 (〃 = 0, 1, 2, . . .), (9.15)

где п = Q характеризует одномерный случай, п = 1 ——двумерный и т. д. Нижний предел для определенности взят равным 1 (вклады от конечных областей можно учесть непосредственно). При 〃 = 0 получаем

厶0(£)=\ 6Xp (一叫工)dx = 1/(£21) (9.16) 1

и итерационная процедура приводит к совершенно неверным результатам, поскольку этот член, умноженный на е, дает вклад того же порядка, что и нулевое приближение ! Поэтому положим 〃戸 1. Пусть х = 〃г|, г] — evi； тогда

и—2ь-

= > 汨L 7:In 贝 +。(出1)

乙左一1)(/г — 1)!1 1)

/с = 0

(г] = 8V]；儿=1, 2, . . .). (9.17)

Следовательно, в двумерном случае (〃 = 1) вклад от далеких частиц дает член порядка 1пт)в 厶i(r)) и поправку порядка 8 In е, или In (Kn)/Kn в моментах. В трехмерном случае поправке порядка In (Kn)/(Kn)2 предшествует член порядка Кп-1. Заметим, что логарифмический член, обусловленный далекими молекулами, имеет более низкий порядок, чем логарифмический член, обусловленный медленными молекулами. Соответственно во внешней задаче влияние далеких частиц преобладает над неравномерностью, обусловленной медленными частицами.

При использовании приведенных выше результатов в конкретных численных расчетах необходима известная осторожность. В самом деле, для больших (но не очень больших) чисел Кнудсена (скажем, 10 Кп ^ 100) In Кп невелик, хотя In (Кп) -> оо при Кп -> оо. Таким образом, члены порядка In (Кп)/Кп, математически доминирующие над членами порядка l/Кп, практически НМерт тот же порядок, что и последние. Вследствие этого члены

порядка l/Кп должны вычисляться вместе с членами порядка In (Kn)/Kn, если в указанном интервале чисел Кнудсена желательна численная точность.

С этим замечанием связан тот факт, что любой множитель перед Кп в аргументе логарифма не имеет значения до тех пор, пока одновременно не вычисляется член порядка Кп-1. Это особенно важно в тех случаях, когда такой множитель содержит параметр, принимающий очень большие (или малые) значения (обычно скоростное отношение). Так, Хамель и Купер [70——71] показали, что первое приближение метода интегральных итераций не может правильно описать зависимость от скоростного отношения, и применили метод сращивания асимптотических разложений в областях вблизи тела и вдали от него. В частности, для гиперзвукового обтекания двумерной полосы газом из твердых сфер они получили коэффициент сопротивления в виде

% =0"%[1+(£出明(2叽(9.18)

где обратное число Кнудсена отнесено к средней длине свободного пробега А = п%о2〃8sly (о ——диаметр молекул, 〃оо — численная плотность на бесконечности и S^ = S(TW1Toо)% в обозначениях разд. 7).

Если столкновительный член таков, что разбиение вида (9.6) невозможно, то разложение решения при Кп —► оо содержит дробные степени Кп. Для молекул, взаимодействующих по степенному закону (X ~ kr~s), первая поправка в одномерной задаче имеет порядок Kn_(s~1)/(s+1) [72, 69].

Важное следствие этих закономерностей состоит в том, что приближенные методы решения, которые не могут учесть неаналитичность при Кп-> 8, дают плохие результаты для больших чисел Кнудсена.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Hilbert D„ Math. Ann., 72, 562 (1912).

Hilbert D., Grundziige einer allgemeinen Theorie der linearen Integrai- gleichungen, New York, Chelsea, 1953.

Grad H., Phys. Fluids, 6, 147 (1963); русский перевод: сб. «Некоторые вопросы кинетической теории газов», М., «Мнр》，7—92, 1965.

Boguslawski S., Math. Ann., 76, 431 (1915).

Morse T. F., Phys. Fluids, 7, 1691 (1964).

：6] Chapman S., Phil. Trans. Roy. Soc, A216, 279 (1916); 217, 118 (1917).

'7] Enskog D., Dissertation, Uppsala, 1917; Arkiv Mat., Ast. och. Fys., 16, 1 (1921).

Chapman S., Cowling T. G., The mathematical theory of nonuniform gases, Cambridge Univ. Press, 1958; русский перевод: Чепмен С., Кау- линг Т., Математическая теория неоднородных газов М., МЛ., 1960.

Hirschfelder J. О., Curtiss С. F., Bird R. D., Molecular theory of gases and liquids, New York, Wiley, 1954; русский перевод: Гиршфельдер Дж.,

[10][10]1* 2 3 41* 2 3 4[15] [⑹【17][15] [⑹【17]18]19]20]18]19]20]21]22]23]21]22]23]24]25]26]27]28]24]25]26]27]28]29]29][30][30]311311：32]：32]33]'34]33]'34]：35]：35]「36]「36][37][37][38][38]「39]「39][40][40]41] "421 ：43]41] "421 ：43]「441[45]「441[45]Кертис Ч., Берд Р., Молекулярная теория газов и жидкостей, М., ИЛ, 1961.

[10]

[10]

1* 2 3 4

1* 2 3 4

[15] [⑹

【17]

[15] [⑹

【17]

18]

19]

20]

18]

19]

20]

21]

22]

23]

21]

22]

23]

24]

25]

26]

27]

28]

24]

25]

26]

27]

28]

29]

29]

[30]

[30]

311

311

：32]

：32]

33]'34]

33]'34]

：35]

：35]

「36]

「36]

[37]

[37]

[38]

[38]

「39]

「39]

[40]

[40]

41] "421 ：43]

41] "421 ：43]

「441

[45]

「441

[45]

Ferziger J. Н., Kaper Н. G., Mathematical theory of transport processes in gases, Amsterdam, North Holland, 1972; русский перевод: Ферци- гер Дж., Капер Г., Математическая теория процессов переноса в газах, М., «Мир», 1976.

Chamberg R., Ph. D. Thesis, Calif. Inst. Technology, 1947.

Cercignani C., Univ, of California, Rep. No. AS-64-18, 1964.

Trilling L., Phys. Fluids, 7, 1681 (1964).

Grad H., in ''Transport theory^^ (Bellman R. et al., eds.), SIAM-AMS Proceedings, vol. I, p. 269, Providence, AMS, 1968.

Cercignani C., 〃z “Transport theory" (Bellman R. et al., eds.), SIAM- AMS Proceedings, vol. I, p. 249, Providence, AMS, 1968.

Cercignani C., Mathematical methods in kinetic theory, New York, Plenum Press, 1969; русский перевод: Черчиньяни K・，Математические методы в кинетической теории газов, М., «Мир》，1973.

Welander Р., Arkiv Fysik, 7, 507 (1954); русский перевод (сокращенный) в дополнении к кн. Девиен М., Течения и теплообмен разреженных газов, М., ИЛ, 164—186, 1962.

Cercignani С., Ann. Phys., М У., 20, 219 (1962).

Albertoni S., Cercignani C., Gotusso L., Phys. Fluids, 6, 993 (1963).

Willis D. R., Phys. Fluids, 5, 127 (1962); русский перевод: сб. Механика. № 2 (78), 87—103 (1963).

Loy a Ika S. К..戶询 s. Fluids, 14, 21 (1971).

Loya Ika S. K・，Phys. Fluids, 12, 2301 (1969).

Bassanini P., Cercignani C., Pagani C. D., Int. /. Heat and Mass Transfer. 10, 447 (1967).

Loyalka S. K., Ferziger J. H., Phys. Fluids, 10, 1833 (1967).

Loyalka S. K・，Ferziger J. H., Phys. Fluids, 11, 1668 (1968).

Cercignani C., Tironi G., Nuovo Cimento, 43, 64 (1966).

Cercignani C., Ann. Phys., 40, 469 (1966).

Cercignani C., Foresti P., Sernagiotto F., Nuovo Cimento, X, 57B, 297 (1968).

Sone Y., /. Phys. Soc. Japan, 21, 1836 (1966).

Williams M. ". R,丄 Fluid Meeh., 45, 759 (1971).

Cercignani C., /. Math. Anal, and Appl., 10, 568 (1965).

Cercignani C., Pagani C. D., in “Rarefied gas dynamics” (Trilling L., Wachman H., eds ), vol. I, p. 269, New York, Academic Press, 1969.

Loyalka S. K., Cipolla J W., Phys. Fluids, 14, 1656 (1971).

Klin? T„ Kuscer I., Phys. Fluids, 15, 1018 (1972).

Sone Y., in “Rarefied gas dynamics” (Trilling L., Wachman H., eds.), vol. I, p. 243, New York, Academic Press, 1969.

Sone Y., 7th Symposium on Rarefied Gas Dynamics, Pisa, 1970.

Ganz A., Sirovich L., Phys. Fluids, 16, 50 (1973).

Darrozes J. S , in "Rarefied gas dynamics” (Trilling L., Wachman H., eds.), vol. I, p. Ill, New ^ork, Academic Press, 1969.

Sone Y., Kyoto Univ. Research Rep. N. 24, 1972.

Pan Y. S., Probstein R. F., in “Rarefied gas dynamics4* (Laurmann J. A., ed.), vol. II, p. 194, New York, Academic Press, 1963.

Enskog D., Physik Zeitschr., 12, 533 (1911).

Chapman S., Dootson F. W., Phil Mag., 33, 248 (1917).

Grad H., in “Rarefied gas dynamics” (Devienne M., ed.), p. 100, New York, Pergamon Press, 1960; русский перевод: сб. «Газодинамика разреженных газов», М., ИЛ, 171 —232, 1963.

Johnson Е. A., Phys. Fluids. 16, 45 (1973).

Abramowitz М., Stegun I. A., Handbook of mathematical functions, Washington, National Bureau of Standards, 1964.

[46][47][48][49][50][46][47][48][49][50][53 '541 55] ，56‘ '5/ ‘58 ：59：[60] ЪГ [62 ЪЗ' '64' 65' [66[53 '541 55] ，56‘ '5/ ‘58 ：59：[60] ЪГ [62 ЪЗ' '64' 65' [66[67][67]Г68] 69] [70] 「71] [72]Г68] 69] [70] 「71] [72][73*][73*][74*][75*][74*][75*][76*][77*][78*][79*][76*][77*][78*][79*]

[46]

[47]

[48]

[49]

[50]

[46]

[47]

[48]

[49]

[50]

[53 '541 55] ，56‘ '5/ ‘58 ：59：

[60] ЪГ [62 ЪЗ' '64' 65' [66

[53 '541 55] ，56‘ '5/ ‘58 ：59：

[60] ЪГ [62 ЪЗ' '64' 65' [66

[67]

[67]

Г68] 69] [70] 「71] [72]

Г68] 69] [70] 「71] [72]

[73*]

[73*]

[74*]

[75*]

[74*]

[75*]

[76*]

[77*]

[78*]

[79*]

[76*]

[77*]

[78*]

[79*]

Schaaf S. A., Handbuch der Physik, Band VIII/2, S. 591, Berlin, Springer, 1963.

Коган M. H., Динамика разреженных газов, M.,《Наука», 1967.

Шидловский В. П., Введение в динамику разреженных газов, М., «Наука», 1965.

Schlichting Н., Grenzschicht-Theorie, Karlsruhe, 1951; русский перевод: Шлихтинг Г., Теория пограничного слоя, М., «Наука», 1974.

Stalder J., Goodwin С., Creager М., NASA Rept.' Nos. 1032, 1951; 1093, 1952.

Gustafson W. A., A. R. S. Jour., 29, 301 (1959).

Schrello В. M., A. R. S. Jour., 30, 8 (I960).

Cook G. E., Planet. Space Sc，.，13, 929 (1965).

Мое О. K-, Ph. D. Thesis, Univ, of Calif., Los Angeles, 1966.

Hurlbut F. C., Sherman F. S., Phys. Fluids, 11, 486 (1968).

Riganti R., Chiadd Piat M. G., Meccanica, 6, 132 (1971).

Cercignani C., Lampis M., Entropie, 44, 40 (1972).

Cercignani C., Lampis M., ZAMP, 23, 713 (1972).

Lampis M., in “Rarefied gas dynamics” (Karamcheti K・，ed.), p. ,759, New York, Academic Press, 1974.

Clausing D., Ann. Physik, 12, 961 (1932).

Sparrow E. M., Johnson V. K・，，of Heat Transfer, 6, 841 (1963)

Pao Y. P., Tchao J., Phys. Fluids, 13, 527 (1970).

Knudsen M., Ann. Phys., 28, 75 (1909).

Smoluchowski M., Ann. Physik, 33, 1559 (1910),

Willis D. R., Princeton Univ. Aero. Engineering Lab. Rep. No. 440, 1950.

Willis D. R., in “Rarefied gas dynamicsn (Devienne M., ed.), p. 246, New York, Pergamon Press, 1960; русский перевод: сб. «Газодинамика разреженных газов», М.. 14tЛ, 385—400, 1963.

Willis D. R., Taub P., Princeton Univ. Gas Dynamics Lab. Rep. No. 726, 1965.

Willis D. R., General Electric Co. TIS 60SD399, 1960.

Willis D. R., Rand Corporation Memo「andum TM, 4638, PR, 1965.

Cooper A. L., Hamel В. B., Phys. Fluids, 16, 35 (1973).

Hamel В. B., Cooper A. L., Phys. Fluids, 16, 43 (1973).

Smolderen J., in “Rarefied gas dynamics” (de Leeuw J. H., ed.), vol. I, p. 277, New York, Academic Press, 1965.'

Баранцев P. 「.， У Цзжень-юй, Силы и моменты, действующие па тела вращения в свободпомолекулярпом потоке, Вести. ЛГУ, № 13, 79—92 (1961).

Баранцев Р. Г., Об асимптотических решениях кинетического уравнения, в кн. «Аэродинамика разреженных газов», вып. 1, Л., пзд-во ЛГУ, 246— 266, 1963.

Струмиыский В. В., О методе Гильберта решения кинетического уравнения Больцмана, Докл. АН СССР, 158, № 1, 70—73 (1964); О некотором обобщении кинетической теории газов, Докл. АН СССР, 171, № 3, 541—544 (196 6).

Алексеева Е. В., Баранцев Р. Г., Свободномолекулярпое обтекание тел сложной формы, в кн. «Аэродинамика разреженных газов», вып. 3, Л., изд-во ЛГУ, 58—66, 1967.

Баранцев Р. Г., Аэродинамика невыпуклых тел в установившемся свободномолекулярном потоке, в кн. «Аэродинамику разреженных газов», вып. 4, Л., изд-во ЛГУ, 46—55, 1969.

Баранцев Р. Г., Федорова В. М., Применение лучевой схемы отражения к расчету околосвободномолекулярных течений газа, в' кн. «Аэродинамика разреженных газов》，вып. 5, Л., изд-во ЛГУ, 91 —106, 1970.

Мусанов С. В., Сферическая полость в свободномолекулярном потоке, Ученые записка ЦАГИ, 2, № 2* 40—49 (1971); Аэродинамические харак-

теристики осесимметричных полостей в свободномолекулярном потоке, там же, 3, № 5, 104—109 (1972).

[80*] Струминский В. В., К теории кинетического уравнения Больцмана, в кн. «Аэрогазодинамика», Новосибирск, «Наука》，11 —16, 1973.

[81*] Алексеева Е. В., Баранцев Р. Г., Сергеев В. Л., Свободномолекулярная интерференция цилиндров при лучевом отражении по нормали, в кн. «Аэродинамика разреженных газов», вып. 6, Л., изд-во ЛГУ, 40—46, 1973.

[82*] Алексеева Е. В., Диффузно отражающая сфера в гиперзвуковом потоке сильно разреженного газа, в кн. «Аэродинамика разреженных газов», вып. 7, Л., изд-во ЛГУ, 148—157, 1974.

[83*] Галкин В. С., Коган М. Н., Макашев Н. К., Обобщенный метод Чепмена—Эпскога, Ученые записки ЦАГИ, 5, № 5, 66—76 (1974); 6, № 1, 15—27 (1975); Докл. АН СССР, 220, № 2, 304—307 (1975).

[84*] Закиров М. А., Об аэродинамических коэффициентах некоторых сложных тел в свободномолекулярном потоке, Ученые запаски ЦАГИ, 6, № 4, 82—85 (1975).

[85*] Баранцев Р. Г., Взаимодействие разреженных газов с обтекаемыми поверхностями, М., «Наука》，1975.

[86*] Коган М. Н., Галкин В. С., Фридлендер О. Г., О напряжениях, возникающих в газах вследствие неоднородности температуры и концентраций. Новые типы свободной конвекции, Успехи физич. наук, 119, № 1, 111—125 (1976).

[87*] Жук В. И., Рыков В. А., Течение разреженного газа от сферического источника при малых числах Кнудсена, Ж. вычисл. мат. 〃 мат. физики, 16, № 3, 738—749 (1976).“

[88*] Копылова А. В., Поведение потока сильно разреженного газа около сферы при лучевом отражении по нормали, в кн. «Аэродинамика разреженных газов》，вып. 6, Л., изд-во ЛГУ, 29—33, 1973; Расчет полей газодинамических величин при околосвободномолекулярном обтекании сферы, там же, вып. 8, 136—152, 1976.

[89*] Шаповалов Г. К., О начальных условиях для уравнений гидродинамики разреженного газа, в кн. «Аэромеханика», М., «Наука》，303—306, 1976.

[90*] Баранцев Р. Г., Сергеев В. Л., Свободномолекулярная интерференция при околодиффузном отражении, в кн. «Аэродинамика разреженных газов», вып. 8, Л., изд-во ЛГУ, 113—126, 1976.

[91*] Алексеева Е. В., Федорова В. М., Расчет гиперзвукового обтекания конуса в околосвободномолекулярном режиме с отражением по нормали, в кн. «Аэродинамика разреженных газов》，вып. 8, Л., изд-во ЛГУ, 127—135. 1976.

[92*] Буров А. В., Маслова Н. Б., Свободномолекулярное обтекание невыпуклых тел. Некоторые математические вопросы, в кн. «Аэродинамика разреженных газов», вып. 8, Л., изд-во ЛГУ, 46—56, 1976.

VIVI

VI

VI

Аналитические решения модельных уравнений

Метод элементарных решений

Теория, развитая в гл. IV, показывает, что изучение линеаризованного уравнения Больцмана имеет смысл и что многие свойства его решений могут быть сохранены при использовании модельных уравнений (разд. 9 гл. IV). Можно сказать даже больше: правильно выбранное модельное уравнение практически сохраняет все свойства. Преимущество этих уравнений заключается, по существу, в упрощении аналитических и численных методов решения граничных задач, представляющих значительный интерес.

В частности, польза модельных уравнений неоценима в тех случаях, когда их решение получается в явном виде (выражается интегралами от функций, качественное поведение которых может быть изучено аналитически). Поэтому данная глава будет посвящена аналитическим методам, при помощи которых можно извлечь интересную информацию из модельных уравнений.

Всюду (за исключением разд. 13 и 14) будет использоваться метод разделения переменных, уже описанный в общих чертах в разд. 6——8 гл. IV. На первом шаге этого метода строится полная система решений с разделенными переменными («элементарных решений》)и общее решение представляется линейной комбинацией найденных элементарных решений. На втором шаге при помощи граничных и начальных условий определяются коэффициенты, входящие в эту комбинацию.

Для модельных уравнений, рассмотренных в разд. 9 гл. IV, можно решить первую задачу, вторую же удается точно решить лишь в отдельных случаях. Тем не менее метод остается полезным даже тогда, когда вторая задача неразрешима или решается только приближенно, потому что он дает возможность найти аналитическое представление решения и, следовательно, качественно характеризовать его поведение (см. разд. 5).

Следует отметить, что метод разделения переменных не является единственно возможным для решения этих задач: метод Винера ——Хопфа [1——3] полностью эквивалентен методу элементарных решений. Обсуждение этого вопроса будет продолжено в разд. 11.

Расщепление одномерного модельного уравнения

Начнем с задач простейшего типа ——стационарных и одномерных——и с простейшей модели столкновений (IV. 9.15), включающей линеаризованную модель Крука с частотой, зависящей от скорости.

Рассмотрим уравнение

а"L九，(2.1)

где х ——декартова координата, от которой зависит h,己1 ——соответствующая компонента скорости молекул g, а

S （"也，力）一九］,（2a，叫）=6аР •（2.2）S （"也，力）一九］,（2a，叫）=6аР •（2.2）Lh — v (§ [

S （"也，力）一九］,（2a，叫）=6аР •（2.2）

S （"也，力）一九］,（2a，叫）=6аР •（2.2）

Неизвестную функцию h можно представить в виде суммы 九="1 + 儿 + 〃з,(2.3)

где

h^n.h^^i + p^h,

海=£九三｝ (/ + 2)(/ — A)瓦(2.4)

h^n.h^^I + P.^I-P^h,

a Р% как обычно, представляет собой оператор отражения К-Й компоненты 自[Рз,(己，占2,自з)三 f (Ei,自2,——Ез)Т Таким образом, гильбертово пространство 雍，которому принадлежит Л, разбивается на три взаимно орготогональных подпространства 舒卜 箔2,舒3 (из равенств Pl = I и PkPh = PhPh следует, что операторы Щ удовлетворяют соотношениям П^Щ = б^Щ,

з

2( = /). Частоту столкновений v будем считать четной по всем компонентам | (обычно она зависит только от величины скорости Е); инварианты яро,屮1,屮％ будучи линейными комбинациями 1, Ji,自2, принадлежат 雍卜 инвариант гр2 принадлежит 第2, а инвариант рз принадлежит 雍3. Следовательно, применяя к уравнению (2.1) операторы П), П2, П3, получаем

薪^- = ”(V中0,力1)业+h%，九)屮1 + (叫4,九)+4一场J, (2.5)

& 4f " 卜‘2 (叫2,初一九2]，(2.6)

&欝^ = "伸3 (V屮3,用3)-九з].(2.7)

Весьма существенно, что уравнения (2.5) — (2.7) оказываются независимыми; кроме того, в уравнения (2.6) и (2.7) входит только по одному «моменту» (vip/t, hk) (々 = 0,3), а в уравнение (2.5)——три вместо пяти «моментов» уравнения (2.1),

Уравнение (2.5) описывает процессы теплопереноса вдоль оси х, а (2.6) и (2.7)——эффекты сдвига, обусловленные течениями в направлениях осей у и z соответственно. Рассмотрим сначала простейший случай уравнения (2.7) (или (2.6), которое отличается от (2.7) только наименованием осей). Полагая 八з = 2зУ, получаем

占| У)— 4 (2.8)

Заметим, что в случае простейших моделей переноса нейтронов, (IV. 9.25) и (IV. 9.27), такого расщепления не требуется, поскольку столкновительный член с самого начала содержит только один «момент». Положив в (IV. 9.25) f = fQY, получим, что У удовлетворяет уравнению (2.8) с у вместо i|^.

Элементарные решения простейшего

уравнения переноса

Согласно результатам разд. 2, простейшие задачи переноса нейтронов и динамики разреженных газов приводят к уравнению

El V ® У (х, У = у (а，统闺 У (х,自)幅 (3.1)

в котором

go(§ =唸嗎 (сдвиговое течение газа),(3.2)

go(W) = Yvfo(термализация нейтронов).(3.3)

Введем переменную 侬：

w = 片 ,(3.4)

v(&,自2, Ез)'' 丿

считая эту зависимость однозначно обратимой, так что

& = Ei (叫自2,自з)・(3.5)

Это, очевидно, возможно, если производная。底加倡，占2,Ез)]/况i отлична от нуля при любых ^2, Ез・ В таком случае уравнение (3.1) примет вид

侬4^ + y=\ Z(x, wJd侬],(3.6)

z（X, W）= ^ go后（3，自2,自3）,自2,自з] у （居侬，自2,自3）寨"嗎2呢3,（3.7）

а

считается не зависящим от ^2, ^з (что выполняется, если V = у(Е)) •

Положим

Zo (侬)=，go 后 (叫自2,自3),自2,自3]黑-电恋3。(3.9)

Умножив (3.6) на go(OEi/。⑵)и проинтегрировав по ^2, ^з, получим

w~ + Z(xt w) = Z()(w) j Z(,% 叽 (3.10)

К аналогичному уравнению можно прийти, исходя из (IV. 9.27), которое в стационарном случае при отсутствии внешних источников записывается в виде

+ 1 2л

V黑+。中=m\，屮泣m屮‘)加加， (3.11) т о

где ц = cos 0 — косинус угла между х н Q, ср — азимутальный угол Q (с н а — постоянные). Если положить

2л

w = -~t Z (%,侬)=* \ 2(%,卩，q/) dq/, Zo = y， (3.12) о

,Z（）dw =卜九单 d* = 1,Z（）dw =卜九单 d* = 1卜%施=1卜%施=1а затем умножить (3.11) на (2冗)一〔и проинтегрировать по ср, то получится уравнение (3.10) с 々=1/о. Заметим, что

,Z（）dw =卜九单 d* = 1

,Z（）dw =卜九单 d* = 1

卜%施=1

卜%施=1

(сдвиговое течение газа),

(термализация нейтронов), (3.13)

(односкоростной перенос нейтронов).

В последнем случае интеграл равен единице только при с = 1, т. е. в чисто рассеивающей среде. Это означает, что при с*1 законы сохранения отсутствуют. Общее решение уравнения (3.10) было изучено Кейзом [4] для случая односкоростного переноса нейтронов и Черчиньяни для сдвигового течения газа

как с постоянной [5], так и с переменной [6] частотой столкновений. В этих работах использован метод элементарных решений, который и описывается в данном и следующем разделах.

Начнем с разделения переменных. Полагая

Z(xf) = X(x)g(g)Zo 侬)，(3.14)

легко видеть, что либо Z = До (^о — произвольная постоянная), либо

Zw(x, w) = e~xfugu(w) Z^w),(3.15)

где gu (^) удовлетворяет уравнению k

(—w/u+ i)gu(w)= \ gu (w^Z^w^dw^ (3.16) —k

а параметр разделения 〃 использован как индекс элементарного решения.

Хотя априори можно было предположить, что 〃 ——комплексная величина, легко видеть, что если ^ Zo dw ^ 1, то и ——вещественное число. Это следует из непосредственных рассуждений [4—6] или из общих результатов разд. 7 гл. IV. Если ZQ dw > > 1 (односкоростной перенос нейтронов с с > 1), то существует дискретное множество комплексных собственных значений (см. конец разд. 7 гл. IV); если \ Z°d侬=1 и fe < оо, то легко по- казать, что вне интервала (——良 k) нет вещественных собственных значений.

Эти результаты можно доказать [4—6] тем же способом, который используется в разд. 6 при рассмотрении дискретного спектра в нестационарном случае; в частности, если Zo dw > 1, то существует точно два комплексных собственных значения, которые оказываются чисто мнимыми [4]. Если не рассматривать достаточно простой случай [ Zo dw 抬 1 (см. разд. 6), то значения 〃 должны быть вещественными и находиться в интервале (——归，左).Это требует некоторой осторожности, поскольку уравнение (3.16) нельзя разделить на и — w. Однако эта трудность преодолевается, если g〃(w) считать обобщенной функцией (см. разд. 2 гл. I). Пренебрегая постоянным множителем (т. е. нормируя gu так, чтобы правая часть (3.16) равнялась 1), получаем уравнение для gu(^) •

A^8"(侬)=1・(3.17)

Если 侬，〃，то gz,(侬)=〃/ (〃 —— 侬)，но при w = и это теряет смысл (в частности, интеграл в (3.16) не существует в обычном смысле). Однако можно ввести обобщенную функцию, например, как предел последовательности

gm (з)=俏2〃(〃 — w)/(m2 {и —侬У + 1). (3.18)

в разд. 2 [7]. Такаяв разд. 2 [7]. Такая(3.19)(3.19)Этот предел, понимаемый в смысле, указанном гл. I, существует и удовлетворяет уравнению (3.17) обобщенная функция обозначается через

в разд. 2 [7]. Такая

в разд. 2 [7]. Такая

(3.19)

(3.19)

р и _ *(" 一 5)

"一51 +m2 (" 一 5户，

где Р может читаться как «главная часть...». Интегралы, содержащие эту обобщенную функцию, должны интерпретироваться в смысле главного значения Коши [8]:

(Р —-— ср (te;) dw = P Т 〃屮(叨-dw = lim \?&@)du・(3.20)

I W — U |>8

Можно спросить, является ли Р [и/(и —侬)]единственным решением уравнения (3.17). Ответ на этот вопрос отрицательный. В самом деле, наиболее общее решение будет суммой Р[и/(и ——侬)]и общего решения однородного уравнения

(〃一侬)Т (侬) = 0.(3.21)

Наиболее общим решением уравнения (3.21) является кратное дельта-функции Дирака 0(〃一侬)，определенной в разд. 2 гл. I. Следовательно, общее решение уравнения (3.17) имеет вид

g〃侬丿)=Р 不%• + р(и)6(и — w),(3.22)

где множитель перед дельта-функцией может зависеть от и и поэтому обозначается через 〃(〃)• Для того чтобы выражение (3.22) удовлетворяло уравнению (3.16), должно выполняться условие нормировки для gu (w), так что правая часть (3.16) должна быть равна единице. Это условие выполняется для любого вещественного 〃 (——k V 4 V 归)и служит для определения

—k—kр(〃)：九

—k

—k

(3.23)

Здесь использован тот факт, что \ ZQ (w) dw = \,

-k

Обобщенные собственные функции g〃(侬)обладают многими свойствами ортогональное ги и полноты. Для полного интервала

(——左 V 侬 V 左)эти свойства вытекают из результатов разд. 7 гл. IV. Другие свойства ортогональности и полноты в частичных интервалах (особенно в интервале О V 侬 V 力)доказать труд- нее, так как для этого требуются решения сингулярных интегральных уравнений. Однако к таким задачам можно применить стандартные методы (см. [8] и приложение) и получить следующие результаты [4—6].

Теорема I. Обобщенные функции Z°(侬)g〃(侬)(—々V V 4 V 力)〃 gs = Z()(侬)вместе с функцией g^ = wZ0(w) образуют полную систему для функций Z (侬)，определенных на ее- и^ественной ос〃，удовлетворяющих условию Гёльдера е любом открытом интервале, содержащемся в (——力，力)，и таких, что

k

w2Z (侬)dw < oo.(3.24)

При этом коэффициенты обобщенного разложения

Ло + А^ + \ Л (и) gu (w) du Z°(w)(3.25)

однозначно и е явном виде определяются формулами

p k- 1 k

4 = , w2Zq (w) dw \ w2Z (w) dw,

4= \ w2Z0 (w) dw , wZ (w) dw9

k

4 (〃) = £(〃)『\ wZ H gu (w) dw, —k

где

C (〃)= 〃Z° (w) {[p (〃)]2 + 冗2吟・

(3.26)

(3.27)

(3.28)

(3.29)

Теорема II. Обобщенные собственные функции Z^w)gu (侬) (О V 〃之 左)4 g8 = Z° (侬)образуют полную систему для функций Z (侬)，определенных на интервале 0 < w < ^, удовлетворяющих условию Гёльдера в любом открытом интервале, содержащемся 6 (0,力)，и интегрируемых с весом w2. При этом коэффициенты обобщенного разложения

z (w)=卜。+ Г (u) 侬)dffij] Zo (w) (3.30)

однозначно 〃 е явном виде определяются формулами

ЗдесьЗдесь4=[iL-a4=[iL-a—I — 1 kw2Zq (@)dw ，wP (侬)Z (侬)dw,—I — 1 kw2Zq (@)dw ，wP (侬)Z (侬)dw,4 (〃) = [С (〃) Р (〃力4 (〃) = [С (〃) Р (〃力」 оT \ wP (侬)gu (侬)Z (侬)dw. о」 оT \ wP (侬)gu (侬)Z (侬)dw. оP®)=^exp{-J jarctg (謂)备}侬 >0), где арктангенс меняется от ——л до 0, когда / меняется отP®)=^exp{-J jarctg (謂)备}侬 >0), где арктангенс меняется от ——л до 0, когда / меняется от(3.31)(3.31)(3.32)(3.32)(3.33)(3.33)0 до 归.0 до 归.

Здесь

Здесь

4=[i

L-a

4=[i

L-a

—I — 1 k

w2Zq (@)dw ，wP (侬)Z (侬)dw,

—I — 1 k

w2Zq (@)dw ，wP (侬)Z (侬)dw,

4 (〃) = [С (〃) Р (〃力

4 (〃) = [С (〃) Р (〃力

」 о

T \ wP (侬)gu (侬)Z (侬)dw. о

」 о

T \ wP (侬)gu (侬)Z (侬)dw. о

P®)=^exp{-J jarctg (謂)备}侬 >0), где арктангенс меняется от ——л до 0, когда / меняется от

P®)=^exp{-J jarctg (謂)备}侬 >0), где арктангенс меняется от ——л до 0, когда / меняется от

(3.31)

(3.31)

(3.32)

(3.32)

(3.33)

(3.33)

0 до 归.

0 до 归.

(3.35)(3.36)(3.37)(3.35)(3.36)(3.37)

(3.35)

(3.36)

(3.37)

(3.35)

(3.36)

(3.37)

Согласно общим результатам разд. 7 гл. IV, теорема I гарантирует, что общее решение уравнения (3.10) имеет вид

г■

Z (%, w)=[人 + 4 (% — w) + \ А (〃) ？7/*口 (侬)du Zo (侬)・(3.34)

Теорема II не менее (а может быть, и более) важна, поскольку она позволяет решать граничные задачи. Эта теорема показывает, что обобщенные собственные функции ортогональны на (0, й) с весом wZQ(w)P(w). Такое свойство ортогональности является более стандартным, чем ортогональность на всем интервале, так как весовая функция положительна. Единственное, в чем теперь состоит трудность, заключается в сложном виде функции Р (w); однако следует заметить, что, хотя Р (w) отнюдь не является элементарной функцией, она удовлетворяет двум важным тождествам, которые позволяют преобразовать интегралы, содержащие Р(侬)，гораздо легче, чем можно было бы ожидать. Эти тождества таковы (см. [4—6]):

[\/z。 (侬)也]J勺瑞也М^[р(и)Г\

"-』卜2g(謁)出一 o

尼」0

Кроме того,

Р (0) = \ u2Zq (〃) d〃 •

После того как уравнение (3.10) решено, общее решение уравнения (3.6) и, следовательно, (3.1) выписать легко, поскольку все сводится к решению обыкновенного дифференциального уравнения с заданным свободным членом. В результате получаем

У U, I) = До + 4 {工一E/w (自)]} + k

,%(〃) e~^gu (烏■) du + B 闺 (叫 (3.38)

где 3(g) — произвольная функция, которая должна удовлетворять только условию

\[g。居)8 耻告(^))}-Ъм., 嘔=。•(3.39)

Закончим этот раздел замечанием о том, какой вид принимают рассмотренные результаты в частных случаях. Если v(^) = V постоянна (БГК-модель) и за единицу длины взята ($RTo) %厂1 = 2лг%/, а за единицу скорости (2RT。)％ (Т° — невозмущенная температура, /——средняя длина свободного пробега, определяемая формулой (V. 1.3)), то 恥=д/5&з, ^0 == 2^f0, W = ^р 归=ОО И

Z。(ш)==冗-％«-叫(3.40)

Соответственно

8W2/"、

р (〃)=及/ \ ^^ dw =冗％ ( с〃2 — 2〃 \ 2件 dt).(3.41)

ОО'0'

Таким образом, p(w) выражается через затабулированные функции [9, 10]. Выражения (3.26), (3.27), (3.31), (3.34), (3.36), (3.37) несколько упрощаются, так как

k

\ 侬2Z()(侬)d© = ^ ・(3.42)

-k

Если у(Е) =(т自(постоянная длина свободного пробега), 2з = =[3/(4项% •П飞3, 侬= &i/(go),归=1/о и за единицы скорости и длины взяты соответственно (2RT。)％ и 1/а, то

Z。(侬)=4(1 一喇，(3.43)

p(〃)=侬(1血+(3.44)

Наконец, в случае, когда в уравнении (3.11) с = 1 и за единицу длины взята L, имеем

Р® = Р t ^5г = 2 + 〃1п (岸).(3.45)

~ 1

Применение общего метода к задачам Крамерса и Милна

В этом разделе мы применим полученные выше результаты к решению двух типичных граничных задач теории переноса, задач Крамерса и Милна.

Задача Крамерса состоит в нахождении функции распределения молекул газа при следующих условиях (см. рис. 35). Газ заполняет полупространство х 〉 0, ограниченное стенкой в плоскости х = 0, будучи неоднородным из-за градиента z-компоненты массовой скорости вдоль оси %, который стремится к постоянному значению а при оо. Ясно, что такую ситуацию можно рассматривать как предельный случай плоского течения Куэтта (течение сдвига между двумя параллельными пластинами) ,когда одна из пластин отодвигается на бесконечность, в то время как отношение разности скоростей пластин к расстоянию между ними остается постоянным.

При более общем подходе задачу Крамерса можно интерпретировать как задачу связи через кинетический пограничный слой (см. разд. 5 гл. V); в этом случае «бесконечность» означает область, где справедливо решение Гильберта, а градиент скорости 《на бесконечности» можно считать постоянным, поскольку в масштабе средней длины свободного пробега его изменения незаметны.

Обе эти интерпретации задачи Крамерса наводят на мысль, ч^о удобно воспользоваться линеаризацией около максвеллиана с,массовой скоростью ах вдоль оси 2. Вследствие неоднородности этого максвеллиана линеаризация приводит к неоднородному уравнению Больцмана

2gg + с】黑= Lh, (4.1)

где с = (сь а, Сз) = (3, ® Ез —а%)・ Уравнение (4.1) сводится к однородному уравнению Больцмана вычитанием частного решения. Одно частное решение, не зависящее от 尤,следует из теории Гильберта; это решение L-1 ^ас}с^) для модели (2.2) равно —2ac\c3lv(c). Такнм образом,

〃 =一 2oqq/v (с) + 2с：У (%? с), (4.2.)

Рис. 35. Схематический профиль скорости вблизи стенки при наличии градиента скорости в основной части потока.

где У(х, g) удовлетворяет уравнению (3.1). Массовая скорость равна

03 =以 + 2р丁「自式(%, §九(3 唸(4.3)

причем первый член является вкладом от максвеллиана %(с).

Относительно граничных условий предположим, что молекулы отражаются от стенки с максвелловским распределением при полной аккомодации к состоянию стенки (более общие предположения см., например, в [11]). Поэтому граничное условие для h запишется в виде

/г(0, с) = 0(^ > 0),-(4.4)

или

У (0,自)=脸厶怎).(4.5)

Кроме того, функция У должна быть ограничена на бесконечности.

Согласно результатам разд. 3, общее решение уравнения (3.1), удовлетворяющее условию ограниченности на бесконечности, имеет вид

k

У (%, Ю = А0 +JA (〃) e~^gu (-^у) du + B ⑶ ^―⑶用，(4.6) о

где В (I) удовлетворяет уравнению (3.39). Условие на стенке дает

V^F = 4 + [ 4 (〃)g〃(7^ ) "〃 + 8 闺. (4.7) о

Из (4.7) и (3.39) легко получить, что В (|) = 0. Таким образом, решить задачу ——значит разложить Z(w) = awZQ(w) в соответствии с теоремой II разд. 3; поэтому До и А (и) сразу находятся из формул (3.31) и (3.32) в виде

(4.8)(4.8)k

(4.8)

(4.8)

4о = — ал-1，arctg [nw/p (侬)]dw,о

k

A(u) = — a [Zo M P (^)]"1 {[p M]2 + л2^2}"1 ^ w2Z (w) dw, (4.9)

где использовано тождество (3.35), ведущее прямо к (4.9), а также тождество, получающееся асимптотическим разложением для больших значений и и сравнением с (3.36) или (3.33), т. е. тождество

I-々*1 — I kk

\ ^2Z0 (®) d侬\ 苏Zo (侬)尸侬)d5 = — g \ arctg [nt/p (/)]必，

Li」。о(4.10)

из которого следует формула (4.8).

Подставляя выражения (4.8) и (4.9) в (4.6), получаем решение задачи Крамерса. Массовую скорость легко найти из (4.3) и (4.6) в виде

из (%) = 61% + Ло + ^ Л (〃) 〃 (〃) е~х/и d〃，(4.11)

о

где

n[u) = 2p-^f^gu(^ dl(4 •⑵

а До и А (и) определены формулами (4.8) и (4.9). Из (4.11) видно, что До一 макроскопическая скорость скольжения газа на

стенке (см. разд. 5 гл. V); ее можно записать в виде ga, где С ——коэффициент скольжения:

k

3 =—冗一「arctg [nw/p (w)] dw.(4.13)

0

Таким образом, вычисление коэффициента скольжения в случае произвольной функции v(g) сводится к квадратурам. В частности, если v(£) = const (БГК-модель), то, учитывая (3.40) и интегрируя по частям, получаем

自=「尸：；.竇 ".(4.13a) U 0

Здесь р (侬) дается формулой (3.41), а / ——средняя длина свободного пробега, определенная формулой (V. 1.3) и, следовательно, связанная с 0 = v-1 соотношением 0 = 2冗一％2 (2RT& = 1). В работе [12] численно найден интеграл, входящий в (4.13а), и получен результат

^= 1,016150= 1,1466/. (4.14)

Если v(E) не постоянная, то 之 нужно вычислять по (4.13). Некоторые частные случаи были рассмотрены в [13]. Оказалось, что для v(E), возрастающей линейно при g оо, значение 彳 несколько ниже (на 3%), чем для БГК-модели (с постоянным коэффициентом вязкости).

Далее в этом разделе ограничимся рассмотрением БГК-модели (постоянная частота столкновений). Тогда выражение (4.11) можно переписать в виде

禽(%) = а [% + 4 一 (冗佃/2) / (х/0)], (4.15)

где функция /(х/0) практически равна нулю вне кинетического слоя; профиль скорости изображен на рис. 35. Функция /(х/0) легко вычисляется [14]; ее график приведен на рис. 36.

Непосредственное вычисление микроскопического скольжения, т. е. скорости газа на стенке, не требует никакого численного интегрирования. В самом деле,

3(0)=m一 % ] T/З^К^dj =⑵"产m(4.16)

где последний результат получается подстановкой 〃 = 0 в формулу (3.36) и учетом соотношений (3.37), (4.13) и (3.42).

Аналогично находится функция распределения молекул, прилетающих на стенку. Воспользовавшись (3 36), получим

У (0, !) = /(0,自1) = 2V%0后 + 2兀-%07(一自])(L < 0).(4.17)

Рис. 36. График функции I (х/0), входящей в формулу (4.15).

Тогда 场(0, с) (возмущение максвелловского распределения на стенке) определяется формулой

А(0, с) = 4л-^а1с3Р(\с{\) (з<0)(4.18)

и функцию Р (侬)(侬 > 0) можно физически интерпретировать, используя функцию распределения молекул, прилетающих на стенку. Из (3.36) вытекает, что

I 3 I + 0,7071 </)(|с1|)<|с1|+ 1,01615.(4.19)

Следовательно, функция распределения прилетающих молекул довольно близка к распределению Гильберта; в самом деле, разложение Гильберта приводит к формуле (4.18) с линейной функцией P(|cJ) (таково распределение вне кинетического слоя согласно (4.2) и (4.6)). То, что распределение молекул, прилетающих на стенку, близко к распределению вне кинетического пограничного слоя, не удивительно; действительно, каждая молекула имеет скорость, приобретенную в результате последнего столкновения, которое происходит на расстоянии средней длины свободного пробега от стенки, т. е. в области, где функция распределения определяется по Гильберту. Интересно отметить, что Максвелл [15] считал функцию распределения прилетающих на стенку молекул такой же, как вдали от стенки; Используя это предположение и закон сохранения импульса, он

смог оценить коэффициент скольжения, не решая задачу Кра- мерса, и нашел, что 之=/ (с ошибкой 15%), а

h (0, с) = 4冗一％山& (I з I + 0,8863) (з < 0),(4.20)

что является хорошим приближением к точному результату, определяемому соотношениями (4.18) и (4.19).

Задача о переносе нейтронов, соответствующая задаче Кра- мерса, называется задачей Милна. Массовая скорость в направлении оси г заменяется плотностью нейтронов, после чего все делается так же и формула (4.11) относится к плотности нейтронов. Коэффициент скольжения заменяется так называемой экстраполированной длиной а。. В частности, в односкоростном приближении эта длина (с=1) определяется по формуле (4.13) ср(侬)в виде (3.45):

11[р (и)]2 + ^ о[р (и)]2 + ^ о(4.21)(4.21)

1

1

[р (и)]2 + ^ о

[р (и)]2 + ^ о

(4.21)

(4.21)

где Z = 1/о — средняя длина свободного пробега. Численный расчет дает

20// = 0,710446.(4.22)

Подробности можно найти у Кейза и Цвайфеля [16].

Течение между параллельными пластинами и задача о критическом слое

Как мы только что видели, задачи для полупространства, связанные с уравнением (3.1) или эквивалентным ему уравнением (3.10), можно решить аналитическими средствами. Для течений газа между параллельными пластинами, таких, как течения Куэтта и Пуазейля, или для переноса нейтронов в слое получить аналитические решения не удается. Однако метод элементарных решений можно использовать для того, чтобы* найти решение в виде ряда и представить себе качественное поведение этого решения.

Рассмотрим сначала задачи о течениях, ограничиваясь случаем постоянной частоты столкновений v = 0-1.

Перепишем общее решение (3.38) уравнения (3.1) в виде

+ 8

У (%, У Л + ^1 (^ — Ю + \ 4 (〃)ехр ( —^^Гр)眾⑶ d〃・ к(5.1)

Здесь последний член в правой части (3.38) опущен, поскольку он обычно отсутствует,己 обозначено просто через 己，так как недоразумений при этом не возникает, 6 ——расстояние между пластинами (0 = 1 и 2RT()= 1, как обычно), функция А (и) для удобства переопределена введением множителя ехр[——5/(2|〃|)] и предполагается, что пластины расположены в плоскостях % = 士8/2.

Согласно теории, изложенной в разд. 7 гл. IV, формула (5.1) показывает, что для достаточно больших 6 картина течения такова: ядро потока, где доминирует континуальное описание сплошной среды (основанное на уравнениях Навье —— Стокса), окружено кинетическими пограничными слоями, создаваемыми взаимодействием молекул с пластинами и описываемыми интегральным членом в (5.1).

Однако с уменьшением 8 экспонентами в последнем члене пренебрегать уже нельзя, так что кинетические слои сливаются с ядром, образуя поле течения, которое нельзя описать на уровне простых понятий. Наконец, когда 8 становится пренебрежимо малым, У(%, Е) перестает зависеть от х и молекулы сохраняют распределение, которое они имели сразу после их последнего взаимодействия с границей. Течение Куэтта (когда две пластины, расположенные в плоскостях % = ±6/2, движутся со скоростями 士 丿/2 в направлении оси г) хорошо описывается теорией, кратко изложенной выше, хотя можно получить более подробную картину течения [17], если найти приближенные выражения для 儿 и 4(〃)(人=0, а А (и)——нечетная функция от 〃 вследствие присущей этой задаче антисимметрии). Поэтому мы рассмотрим подробнее плоское течение Пуазейля между двумя параллельными пластинами, исследование которого более интересно.

Плоским течением Пуазейля (рис. 37) называется течение жидкости между двумя параллельными пластинами, вызываемое градиентом давления, параллельным пластинам. В случае сплошной среды нет различия между градиентом давления, возникающим из-за градиента плотности, и градиентом давления, обусловленным градиентом температуры. В кинетической теории, напротив, это различие должно приниматься во внимание. Мы ограничимся первым случаем, следуя работе [18]; случай градиента температур рассмотрен в [19].

Рис. 37. Профиль скорости в плоском течении Пуазейля.Рис. 37. Профиль скорости в плоском течении Пуазейля.

Рис. 37. Профиль скорости в плоском течении Пуазейля.

Рис. 37. Профиль скорости в плоском течении Пуазейля.

Выведем основное линеаризованное уравнение Больцмана для течения Пуазейля в трубе произвольного поперечного сечения (включая плоский слой как частный случай).

Предположим, что стенки отражают молекулы с максвелловским распределением 力°, с постоянной температурой и неизвестной плотностью p = p(z) (z—координата, параллельная потоку). Если длина трубы много больше других характерных длин (средней длины свободного пробега, расстояния между стенками), то можно провести линеаризацию около максвеллиана %； действительно, р(а) меняется медленно, а % должно быть решением, когда р строго постоянна. Таким образом;

邑黑+ &黑+ Ез罟+/*Ез =丄瓦 (5.2)

В силу предположения о медленности изменения р (длинная труба) можно считать величину (1/р) (dp/dz) постоянной (т. е. пренебрегать производными от р более высокого порядка и степенями производных первого порядка). Если (1/pj (dp/dz) постоянна, то dh/dz = 0, поскольку 2 не входит явно ни в уравнение, ни в граничное условие. Последнее можно записать в виде

А (%, у, 2, 1) = 0 ((х, у)三 0£, х© + рт2 > 0), (5.3)

где 02 — граница поперечного сечения, а п = (п\, п2) — нормаль, направленная внутрь трубы. Следовательно,

自段+自2器+修"瓦自段+自2器+修"瓦(5.4)(5.4)

自段+自2器+修"瓦

自段+自2器+修"瓦

(5.4)

(5.4)

где k = (1/р) (dp/dz) • Уравнение (5.4) описывает линеаризованные течения Пуазейля в очень длинных трубах произвольного

поперечного сечения. Если ограничиться случаем плоского слоя и воспользоваться модельным уравнением БГК, то получится /2 = 2Ез【》(х, J),(5.5)

где W (х, Е) удовлетворяет уравнениям

4-00

自裏+\ё7沁‘(修备)恋1 一取(X, Ei), (5.6)

羽(一^sgng,力=0(5.7)

при условии, что % измеряется в единицах 0. Эти уравнения получаются расщеплением, аналогичным рассмотренному в разд. 2.

Так как W(%, g) не зависит от у- и г-компонент ^ и v = 1, уравнение (5.6) отличается от (3.1) свободным членом 左/2. Если известно частное решение уравнения (5.6), то его общее решение находится как сумма этого частного решения и общего решения (5.1) однородного уравнения. Дифференцируя равенство (5.6), находим, что dWIdx удовлетворяет уравнению (3.1) с V = 1; поскольку общее решение этого уравнения содержит экспоненты (которые воспроизводятся при интегрировании и дифференцировании) и линейную функцию от 尤，будем искать частное решение уравнения (5.6) в виде квадратичной функции от % (с коэффициентами, зависящими от g). Нетрудно убедиться, что решения в такой форме существуют и одно из них таково:

外(X, а =告仗 一 ；_ 一 2您-(1 一 2『)]・(5.8)

Поэтому

Е) = %(Х, Е) + У(х,Е),(5.9)

где У (%, Е) имеет вид (5.1). Уравнение (5.7) дает следующее граничное условие для У (%, g):

У ( —^ sgng, Е)= — 0 Е 丨 一(1 — 2自2)皆]亭・(5.10)

В силу симметрии задачи

У(х, Е) = У(-х, -Ю,(5.11)

так что 4=0 и {(〃)= /(—и). С учетом этого из формул (5.1) и (5.10) следует, что

&)+，/(〃) gu (J) du = о

=一号 & 一(1 -2自2)三!一i 黑 ё-6/〃如 怎＞0),(5.12)

о

а уравнение для 自 V 0 не требуется, так как {(〃) = /(—и). Если обозначить правую часть этого равенства через ^1^2Z(g) и воспользоваться формулой (3.40), то равенство (5.12) перейдет в (3.30) [k = оо) ； применяя (3.31) и (3.32), находим

4 =—卜 + ^ (^ 十。2)一 J ие—вур (〃)L 4 (〃) d“ 4"，(5・ 13)

4(〃)=备冗％ (〃+■! + a)義[尸(〃)L {[p (叫2 + 咼2}Т + +与"仍(4)]7{历⑷]2 +冗2〃2}7[11銀]2一6/汕阳恋怎＞0)；

0(5.14)

при этом были произведены допустимые изменения последовательности интегрирования и использована формула (3.35). Здесь ог = С/8 (см. формулы (4.13) и (4.13а)). Таким образом, задача сведена к решению интегрального уравнения (5.14) с неизвестной 4(〃). Это классическое- уравненние Фредгольма второго рода с симметризуемым ядром. Можно показать, что соответствующий ряд Неймана ——Лиувилля сходится для любой заданной положительной величины 6 [18]. Очевидно также, что этот ряд сходится тем быстрее, чем больше 6. Это позволяет получить некоторые результаты для режима, близкого к континуальному. В частности, если членами порядка ехр [—3 (6/2)3^] можно пренебречь, то останется только член нулевого порядка

/ (〃) =4 Л1/2 {(4 +。) + 〃卜2 俨(〃厂{历(叫 2 + 閻 2}(5. 15)

С той же точностью 4° определяется как

(5.16)(5.16)

(5.16)

(5.16)

Отметим, что это приближение нулевого порядка гораздо точнее решения уравнения сплошной среды (даже если использовать для них граничные условия со скольжением). В самом деле, даже в нулевом приблихсении выясняется следующее.

Около стенок существуют кинетические пограничные слои.

В основной части потока массовая скорость удовлетворяет уравнению движения Навье ——Стокса, но соответствующие граничные условия, полученные экстраполяцией, обнаруживают наличие скольжения не только первого, но и второго порядка: % (士 ^)=干О(黑)…6/2 T G + *)(験)…в// S ⑺

Для того чтобы получить эти результаты, заметим, что массовая скорость равна

0з (х)=n一力\取(х,自)Ст處=

="^ ("2 一 4~) + "о + ,%(〃) ехр [—^ — }])『]d〃； (5.18)

при этом учтены равенства (5.8) и (5.9). Формула (5.18) является точной; если членами порядка ехр [——3(6/2)%] можно пренебречь, то Ао и 4(〃) определяются равенствами (5.16) и (5.15). В частности, интегральный член в (5.18) описывает быстрые переходы в кинетических пограничных слоях; в основной части потока интегральный член пренебрежимо мал и мы имеем

3 (%) = ^ 卜一号-об 一 3 + а2)] (6》1).(5.19)

Легко проверить, что (5.19) удовлетворяет уравнению движения Навье ——Стокса для плоского течения Пуазейля и граничным условиям (5.17).

Нетрудно выписать и функцию распределения в основной части потока. Фактически У (%, Е) сводится здесь к /и, так что (5.8) и (5.9) дают

呼(%,自)=^ [/ —^2您—(1 — 2『)— ad — G + 経)](6》1).

(5.20)

С учетом (5.19) выражение (5.20) можно переписать в виде 步(х,自)=0(х) - 8 譬自 + 但 一 ^_) 82 需 (6》1),(5.21)

где для 尤 восстановлены размерные единицы (т. е. вместо х/0 записано х). Равенство (5.21) ясно показывает, что в основной части потока, как и следовало ожидать, функция распределения является функцией типа Гильберта — Чепмена—Энскога (ряд по степеням 0). Ряд оборван, но не таким образом, который соответствует уровню описания Навье ——Стокса. Фактически (5.21) дает функцию распределения Барнета, и с формальной точки зрения это объясняет появление скольжения второго порядка.

Интуитивно скольжение второго порядка можно объяснить тем, что молекулы с ненулевой скоростью в направлении 2 по-

падают в область с другой плотностью, прежде чем испытают столкновения, и поэтому существует перенос массы, обусловленный градиентом плотности. Иначе говоря, молекулы движутся преимущественно в область более низкой плотности, даже еще нс испытав столкновений, и поэтому на расстоянии средней длины свободного пробега от стенки возникает эффект добавочного макроскопического скольжения.

Для заданных значений градиента давления и расстояния между пластинами наличие дополнительного скольжения означает, что через поперечное сечение проходит больше молекул, чем предсказывается уравнениями Навье——Стокса со скольжением первого порядка. Это легко проверить для достаточно больших 6, используя равенства (5.18), (5.15) и (5.16), которые дают для расхода следующее выражение:

d/2

尸=\ P6(x)dx4—^ 黑d2*6 + o + ^Z^} (6》1). (5.22) -d/2

Здесь x и z выражены в размерных единицах, a d = 68 — расстояние между пластинами в тех же единицах. Следовательно, для заданных геометрии и градиента давления безразмерный расход равен

Q^n^O + o+^f1 (°》1)・(5.23)

Последний член представляет собой поправку к теории скольжения первого порядка; он появляется отчасти из-за скольжения второго порядка, отчасти из-за наличия кинетических пограничных слоев. Действительно, газ около стенок движется медленнее, чем можно было бы ожидать из экстраполяции формулы (5.19), это дает вклад в Q (6) того же порядка, что и скольжение второго порядка, тем самым уменьшая (но не исключая полностью) влияние последнего. Ясно также, что, хотя формула (5.23) верна для больших значений 6, увеличение Q(0) по сравнению с предсказанием теории скольжения первого порядка имеет место и для малых значений 6, потому что молекулы со скоростями, почти параллельными стенке, заметно влияют на движение, перемещаясь вниз по потоку на расстояние среднего свободного пробега. В частности, в предельном случае свободномолекулярного течения уравнение (5.6) формально сводится к виду

自能+ 专=0,(5.24)

откуда

^ = -4(1 +ЖТ)^(5.25)

где использована размерная единица длины. Формула (5.25) показывает, что в свободномолекулярном течении нет молекул, движущихся почти параллельно стенке (^ ~ 0). Можно считать, что эта формула справедлива для |自| V 8 (напомним, что величина |Е| безразмерна). Следовательно, при 5 —>0 имеем

0з4 —^" ^"n一% \ -р^у gY?您 4 --2— d 1口 0 (0《1) (5.26)

И Q(6)i —(6《1)・ (5.27)

Это нестрогое рассуждение подтверждается при изучении режима, близкого к свободномолекулярному (6 -> 0.) Такое исследование может основываться или на методе итераций, описанном в разд. 9 гл. V [19], или на ином использовании метода элементарных решений [18]. В обоих случаях устанавливается, что формула (5.27) верна, и это означает, что при 6—>0 вклады более высокого порядка, обусловленные кинетическими слоями, уничтожают член порядка 1/6 в (5.23), но оставляют слабую расходимость при д -> 0 (существенно связанную с молекулами, движущимися параллельно стенке). Поведение расхода при больших (формула (5.23)) и при малых (формула (5.27)) значениях 6 указывает, что для расхода существует по меньшей мере один минимум. Этот минимум давно обнаружен экспериментально Кнудсеном [20], а затем и другими авторами для длинных труб различного поперечного сечения. Исследование, проведенное выше, качественно объясняет наличие минимума, точное положение которого для плоских слоев и течений с более сложной геометрией должно находиться другими методами (см. разд. 5 гл. VII).

Аналогичное исследование можно провести в задаче о переносе нейтронов в слое с плоским источником (внутри слоя или на его границе). Если в уравнении (3.11) допустить с> 1, то обнаружится новое явление. В этом случае существует критическое значение d толщины слоя, такое, что имеется ненулевое решение при отсутствии источника. Это соответствует режиму, при котором ядерные реакции являются самоподдерживаю- щимися без разрушения системы. В таком случае говорят, что слой достиг критического состояния.

Методы, аналогичные рассмотренным выше, были применены к решению задачи о критичности Митсисом [21]; два элементарных решения, соответствующих комплексным собственным значениям (см. разд. 3), играют при этом первостепенную роль. Подробности, касающиеся результата Митсиса, приведены у Кейза и Цвайфеля [16].

Нестационарные решения кинетических модельных уравнений с постоянной частотой столкновений

В нестационарном одномерном БГК-уравнении эффекты сдвига можно отделить от эффектов, связанных с нормальными напряжениями и теплопередачей, так же, как и в стационарных задачах. Соответствующее уравнение для течений сдвига имеет вид

票+自票 + 1妈 Е) =『％ (6.1)

Это нестационарный аналог уравнения (3.1) (если положить V = 1 и считать, что У не зависит от & и &, что обычно выполняется) .Как %, так и / здесь выражены в единицах 0, ибо, по предположению, у =『=1.

Односкоростное приближение теории переноса нейтронов приводит к аналогичному уравнению, элементарные решения которого были изучены Боуденом и Уильямсом [22] методом, весьма сходным с тем, который применяется в данном разделе к уравнению (6.1). Этот метод заимствован из работы [23] и состоит в следующем. Используется преобразование Лапласа по времени и тем самым нестационарная задача сводится к стационарной. Решение задачи теперь зависит от комплексного параметра s. После разделения пространственных и скоростных переменных исследуется спектр значений параметра разделения 〃 в зависимости от s (это нужно для решения задачи обратного преобразования).

Итак, применим к уравнению (6.1) преобразование Лапласа. Не нарушая общности, начальное значение У будем считать равным нулю. Действительно, частное решение неоднородного преобразованного уравнения, соответствующее ненулевому начальному условию, можно построить при помощи функции Грина, которую легко найти, зная общее решение однородного уравнения. Поэтому ограничимся однородным преобразованным уравнением

(s+l)P + &g = v% jcT»(%,Ei)為， (6.2)

где Y — преобразование Лапласа от У. Такое же уравнение (с s =心j описывает состояние газа, испытывающего стационарные поперечные колебания с частотой о).

Разделение переменных в (6.2) дает

У〃(М, ^; s) = gu^\ s)exp[—(s 卜 1)ф], (6.3)

Где и ——параметр разделения, а функция gu (g; s) удовлетворяет уравнению

(5 + 1)(1 -告)g〃(E； S)=『％ \ gj&；s)c/唱.(6.4)

Правая часть этого уравнения не зависит от 自 и может быть нормирована на единицу. Таким образом, мы пришли к типичной задаче разделения, совершенно аналогичной задаче в стационарном случае. Если множитель и —自 не обращается в нуль, т. е. если 〃 не является вещественным числом, то gu(^； 5) ~ обычная функция, равная

g〃(「) =』，(6.5)

при нормировочном условии

j £dE = s+l・(6.6)

Если, напротив, и ——вещественное число, то gu (g) нужно рассматривать как обобщенную функцию и из (6.4) следует

g〃 (Е； s) = P Uy + р (〃； s)。(〃 —自)，(6.7)

где р(〃； s), согласно (6.6), имеет вид

р (a; s) — п%с% + р (〃)，(6.8)

а р(〃) определена формулой (3.41). Формула (6.7) дает обобщенные собственные решения, соответствующие непрерывному спектру (—ooV〃V°°)・ Основной вопрос теперь состоит в изучении возможных значений “， удовлетворяющих условию (6.6) и, следовательно, образующих дискретный спектр. Согласно (6.6), такие значения совпадают с нулями следующей функции комплексного переменного г:

MQ； s) = l—冗-%(s+I)— ，^^d九(6.9)

Эта функция аналитична в комплексной плоскости а с разрезом вдоль вещественной оси, где Af(z； s) претерпевает разрыв. Действительно, формулы Племеля (см. приложение) дают Для предельных значений Л4± (〃； s) = lim М土 (辽士毘；s) (〃 веще- е>о

ственно, £ > 0) следующий результат:

М± (u; s) = 1 —冗一％ (s + 1) 1 р ^ 嘗_ / dt 土 兀山e-屛］.(6.10)

Равенство (6.10) можно переписать в виде

Л4± (〃； s) = с* (s + 1)7 冗-% [р (〃； s) 土冗阂.(6.11)

В предельном случае, когда s такое, что

р(〃； s) 土冗加=0 (〃 вещественно),(6.12)

дискретный спектр переходит в непрерывный. Уравнения (6.12) выполняются на замкнутой сердцевидной кривой в комплексной плоскости s (рис. 38). Параметрическое уравнение это кривой (назовем ее у) таково:

Re s =—冗一％е—“2P (u),

Ims = —冗％例一"2 (— оо < u < оо).(6.13)

Эти уравнения получены из (6.12) и (6.8) с учетом того, что 〃(〃)вещественна. Уравнение М(г; s) = 0 определяет отображение из плоскости г в плоскость s; действительно, оно однозначно переводит точку плоскости г, не принадлежащую вещественной оси, в точку плоскости s. Когда г приближается к вещественному значению 〃，уравнение М(г； s) = 0 в силу (6.11) переходит в уравнение (6.12); ясно, что двойной знак связан с возможностью подхода к оси сверху или снизу.

Следовательно, когда 〃 пробегает вещественную ось, s описывает кривую у против часовой стрелки, если считать вещественную ось границей верхней полуплоскости, и по часовой стрелке, если считать вещественную ось границей нижней полуплоскости. В обоих случаях равенства (6.13) устанавливают взаимно однозначное соответствие между кривой 丫 в плоскости s и вещественной осью в плоскости z. Из этого факта и из принципа аргумента следует, что верхняя и нижняя полуплоскости конформно отображаются в область внутри у посредством уравнения Л4(г; s) = 0 и для каждой полуплоскости это отображение взаимно однозначно. Отсюда следует, что для любого s из области внутри у существуют два комплексных значения 〃， удовлетворяющих условию (6.6), а для s вне этой области ——ни одного такого значения. Из (6.6) видно, что эти значения различаются только знаком; обозначим их 士 〃o(s).

Теперь можно воспользоваться результатами для стационарного случая s = 0 и, в частности, теоремами I и II разд. 3. Свойства полноты остаются в силе, и лишь в самом уравнении появляются незначительные изменения. Таким образом, в случае полного пространства (—оо V 自 V 8)любую функцию g(E), такую, что C(E) = eY2g (占)удовлетворяет условиям теоремы I, можно представить в виде

g ⑹=4十女十侶；s)+ 4_g_(W； $)+ j ^(^) Su (ь； s)d〃， (6.14)

Рис. 38 Кривая, ограничивающая область, в которой существуют два дискретных собственных значения.

где gu(^； s) задается равенством (6.7), a g土一 равенством (6.5) с w = 土〃о・ Коэффициенты А+ и /_ вне у равны нулю (g+ и g_ вне у не определены), а внутри у принимают значения

/土2喲⑧庵.(6.15)

Для любой точки s функция 4(〃) определяется формулой (3.28) при условии, что р(〃) всюду заменено на р(〃； s), C(w) = ==ZQ(w)g(w) и Z0(w) задается формулой (3.40). Очевидно, что 9土, Аи и, возможно, g(E) зависят от s, хотя эта зависимость в Уравнениях явно не указана. В случае полупространства 0 V 自 V 8 функцию g(£) можно представить в виде

g⑶=4十g+(自；s) + ^ A(u}gu^ s)du,(6.16)

о

где %+ = О ДЛЯ s вне у и

4+ = [2味n%0(%)「j Eg(E)g+(E； s)P经 s)eY 電(6.17) о

для s внутри у. Здесь

Р(〃； s)= ^rexp{—^ jarctgl^^y)备}.(6.18)

Для любого s функция /(〃) определяется по (3.32), где Z(3)= =ZlQ(w)g(w) и Z°(侬)имеет вид (3.40), а Р(〃)задается формулой (6.18), когда s находится внутри у, и той же формулой с 〃о = 0, когда s лежит вне у. Функция Р(〃； s) снова удовлетворяет определенным тождествам, которые делают обращение с ней проще, чем можно было бы ожидать [23, 14, 24].

Аналитические решения конкретных задач

Теорию, изложенную в общих чертах в разд. 6, можно применить для аналитического решения задач о сдвиговом течении газа в полубесконечной и бесконечной областях. Можно решить, например, следующую задачу. Пусть два полупространства разделены плоскостью х = 0, и пусть первоначально газ в обеих областях имеет одинаковую плотность р0 и температуру Т。，но в области % > 0 он равномерно движется в направлении 2 со скоростью 匕 а в области % V 0 — в том же направлении со скоростью —V. Требуется найти эволюцию газа, включая сглаживание и диффузию разрыва скорости. Задачу можно решить [25], используя теорему полноты во всем пространстве для построения преобразования Лапласа. Можно даже получить аналитическое обращение преобразования Лапласа и записать ре« шение для массовой скорости в виде

о (х, /) = и sgn % [1 - 2л-% j Н m/% - 1/Z] X

X ехР {—£ + q®'}卜cos [-^(/ - -j) ©-"] +

+ 与*也冷d}d〃], • (7.D

где 〃 一 ступенчатая функция Хевисайда, sgn х = " (х)— ■— // (— х) и

q (а)=冗一％一〃力(〃)・(7.2)

Точное решение можно использовать для нахождения асимптотических разложений в случае малых и больших значений времени и для численного табулирования пространственно-временного поведения газа. Решение показывает, что с ростом времени профиль скорости выравнивается, но после 12 столкновений все еще существует примерно десятипроцентное отличие от решения уравнений Навье — Стокса.

Полу пространственные задачи труднее для решения, поскольку они требуют применения теоремы полноты для полупространства и, следовательно, уравнений, содержащих Р(〃； s). Тем не менее для задач с начальными условиями решение всегда можно свести к двойным квадратурам, а для задач со стационарными колебаниями ——к одной квадратуре, при условии что граничные условия дают явное выражение для функции распределения молекул, входящих в полупространство (как в случае полной диффузии от стенки).

В качестве примера полупространственной задачи рассмотрим распространение волн Рэлея в полупространстве. Предположим, что полупространство заполнено газом с плотностью р0 и температурой 70 и ограничено бесконечной плоской стенкой, колеблющейся в своей собственной плоскости с частотой (о. Мы будем рассматривать систему в установившемся состоянии, когда закончатся все переходные процессы. Поэтому, если скорость стенки равна вещественной части Ue^ (U = const), то решение линеаризованной задачи будет вещественной частью функции й, зависящей от времени, как е沁厶 и удовлетворяющей уравнению

施力+自1黑= L"•(7・3)

Линеаризованное граничное условие на стенке, согласно которому молекулы отражаются диффузно с основным распределением Максвелла /0, можно записать в виде

力(0,畠 /) = 2О0・з& 怎 >0).(7.4)

Потребуем также, чтобы решение было ограниченным на бесконечности. Если предположить, что столкновения описываются модельным уравнением БГК, то можно написать

ли,三，/) = 2С/С心&声(招 &),(7.5)

где Y (%,占)удовлетворяет уравнению (6.2) (с s = /со) и граничному условию

汽0,自)=1 (自 >0).(7.6)

Так как приведенные ниже результаты справедливы для любого комплексного s (Res?—1), будем писать s вместо i(o;

эта более общая форма будет полезна и позже. Используя граничное условие (7.6) и полу пространственную полноту (см. разд. 6) вместе с ограниченностью на бесконечности в физическом пространстве, находим [14, 24, 23]

歹(х,自)=一 n%s \ 嶠/帶 2 exp [— (s + 1子 + 叫 du (7.7) о

для s вне у (тогда P(〃；s) задается формулой (6.18) с 〃о = О). Аналогично для s внутри у

步(х,自)=—2g+ ⑶ exp [— (s + 1) x/拠][P (%； s)『一

—f [P (阳 s)]T g〃 传；s) exp [— (s + 1) %/〃 + 〃2] (〃； S)]2 十冗2〃2 0

где 〃o = 〃o(s) выбирается между двумя возможными значениями так, чтобы выполнялось неравенство

Re|^]>。，(7§)

а 尸(〃；s) имеет вид (6.18).

Теперь вкратце обсудим найденное решение. Прежде всего заметим, что существует предельная частота ①。(f(o0 ^ у), такая, что при(о > «о имеются только собственные решения непрерывного спектра. Поэтому, казалось бы, при (о > о)о плоских волн сдвига нет. Однако можно показать, что при ① > ①。существует дискретный член [24]. В самом деле, в формуле (7.8) можно повернуть путь интегрирования вниз при условии, что добавляется вклад от всех полюсов подынтегрального выражения, расположенных между этим лучом и вещественной полуосью. Легко показать, что для частоты, большей со。，но все же близкой к ней, найдется по крайней мере один полюс 〃о, удовлетворяющий условию

р (〃о； s) — лш0 = 0,(7.10)

где p(〃；s) задается формулой (6.8) и вторым выражением в (3.41), имеющим смысл для любого комплексного и. Уравнение (7.10) является аналитическим продолжением уравнения (6.12) при со〉о)о. С этой точки зрения со。теряет характер критической частоты.

Другая особенность наших результатов состоит в том-, что на достаточно большом расстоянии от стенки при любой фиксированной частоте вклад от непрерывного спектра доминирует над вкладом дискретного члена, поскольку первый затухает медленнее, чем экспоненциально. Эта особенность тесно связана с тем, что спектр значений и простирается до бесконечности, и

он бы не существовал, если бы частота столкновений возрастала хотя бы линейно со скоростью молекул для больших значений последней. Экспериментальная проверка этого асимптотического поведения при современной технике эксперимента не представляется возможной. Оказывается, что физически подходящая область (скажем, от 1/10 до 10 длин свободного пробега) характеризуется тем. что доминирующим является дискретный член (либо он сам, либо его аналитическое продолжение), согласно оценкам Дорнинга и Тёрбера [26] для аналогичной задачи о нейтронных волнах.

Еще одна задача, которую можно решить таким путем, состоит в следующем. Пусть полупространство заполнено газом с плотностью ро и температурой Го и ограничено плоской стенкой. Первоначально газ находится в абсолютном равновесии, а стенка неподвижна; затем она мгновенно приводится в движение в своей плоскости с постоянной скоростью U. Требуется исследовать распространение возмущений в газе, вызываемых движением стенки. Эта задача известна под названием задачи Рэлея; мы хотим решить ее аналитически с помощью линеаризованного модельного уравнения БГК-

Возмущенная функция распределения удовлетворяет линеаризованному уравнению Больцмана и следующим начальным и граничным условиям:

九(& 0, 9 = 0,(7.11)

/г (0, /,自)=2實3 因 >0)・(7.12)

Кроме того, при %-> оо функция 九(％, t, g) должна быть ограничена для любых фиксированных / ng. Применяя модельное уравнение БГК, имеем

/г(%, f; 9 = 2呢3y(鸠 /,昊)，(7.13)

где У(%,/,自)удовлетворяет уравнению (6.1) и следующим начальным и граничным условиям:

1%, 0, » = 0,(7.14)

Г(0, /, Ю=1 (&>0)・(7.15)

Вводя преобразование Лапласа от У, У (%, s, &), сводим уравнение (6.1) к (6.2); при этом граничное условие на стенке принимает вид

Г (0, s, "=l/s (g > 0).(7.16)

Таким образом, У можно найти из уравнений для колеблющейся стенки, умножив правую часть уравнения на 1/s; то же

самое справедливо для массовой скорости и напряжения. Важно отметить, что функция У, определяемая формулами (7.7) и (7.8) для s вне у и внутри ее, является аналитической функцией s не только вне у и внутри ее, но также и на самой этой кривой [23]; иначе говоря, (7.8) представляет собой аналитическое продолжение (7.7) внутри у. Это следует из того, что выражение в (7.7) претерпевает разрыв, когда s пересекает у, и этот разрыв равен предельному значению дискретного члена в (7.8). Следовательно, если в каждой области используется соответствующее выражение, то при обращении преобразования Лапласа можно сдвигать путь интегрирования через у. С другой стороны, легко видеть, что из-за выбора 〃° в (7.9) отрезок (—1, 0) вещественной оси является линией разрыва. Согласно известным теоремам о преобразовании Лапласа, У (%, /,己)имеет вид

i оо ,

У(居厶 & [ 4产(%, s,W)ds, (7.17)

где У определяется формулой (7.7), а путь интегрирования — вертикальная прямая справа от у. Благодаря аналитичности У этот путь интегрирования в плоскости s можно деформировать в путь, состоящий из отрезка (——1, 0) вещественной оси и вертикальной прямой Re(s+l) = 0. Получающиеся интегралы можно записать в полностью вещественной форме.

Таким образом, задача решается в квадратурах, которые в принципе можно вычислить с любой желаемой точностью. Однако наши результаты можно также использовать для получения интересной информации аналитическими методами. Например, можно распространить эти результаты на малые и большие значения времени [14].

Для больших значений времени массовая скорость определяется формулой

g (%, /)/U 4 1 —(冗位厂％ 禽(%)优 f оо), (7.18)

где V ——кинематическая вязкость (0 = 2v, если 2RT^ = 1), а из (%)—массовая скорость, соответствующая единичному градиенту на бесконечности в задаче Крамерса (формула (4.15) с о = 1). Следовательно, как в стационарном, так и нестационарном случаях (для больших значений времени) течение имеет одну и ту же структуру кинетического пограничного слоя. Это не удивительно, так как мы знаем, что уравнения, описывающие кинетический слой (гл. V), не зависят от конкретной задачи. В частности, коэффициент скольжения в этой нестационарной задаче для достаточно больших значений / принимает те же самые значения, что и в стационарном случае.

Аналитическое решение приводит также к простым выражениям для скорости и напряжения на пластине [14]. Например, ?以卫/ 卜「— 1产 成=｝十｝ § e-叱-% (и) dv, оо

(7.19) где /1 обозначает, как обычно, модифицированную функцию Бесселя первого рода первого порядка [27]. Эти выражения показывают, что Оз (0, %) медленно возрастает от первоначального значения U/2 до окончательного значения U.

Более общие модели

После детального исследования как стационарных, так и нестационарных течений сдвига представляется вполне естественным рассмотреть уравнение (2.5), описывающее стационарные процессы теплопередачи. Однако это уравнение содержит не один, а три момента. Можно использовать метод, описанный в разд. 3, определяя w формулой (3.4) и полагая

Z(/。)=卜必^舒瞄喘，

(8 1)

при этом до интегрирования 自卜 конечно, выражается через w,己2 и Ез. Тогда, если Z и Zo обозначают вектор с компонентами Z3)и матрицу с элементами Z『"，то

k

如籌+ Z = Z()j Z (%, wj dwb(8.2)

и, таким образом, мы получаем систему трех уравнений.

Оперируя с векторами и матрицами вместо скаляров, можно повторить выкладки предыдущих разделов во всем, что касается построения элементарных решений уравнений (8.2) и доказательства их полноты во всем пространстве. Как будет показано ниже, полнота в полупространстве имеет существенные отличия.

Поскольку те же самые методы можно применять к более общим моделям, рассматривая (〃义拉)матрицы вместо (3x3)- или (2 X 2) -матриц, то при решении задач теплопередачи или нестационарных задач с нормальными напряжениями нет смысла исследовать столкновительную модель (2.2) отдельно от модельных уравнений более высокого порядка. Поэтому рассмотрим здесь более общие модельные уравнения, опи-

санные в разд. 9 гл. IV. Чтобы упростить обозначения и включить нестационарный случай, ограничимся моделями с постоянной частотой столкновений. Наиболее общее модельное уравнение такого рода можно записать (для одномерных задач) в виде

м

+&需=2 a优仇电(8.3)

где время столкновения v-1 взято за единицу времени, а 屮)一 собственные функции максвелловского оператора столкновений.

Прежде всего исключим поперечные компоненты массовой скорости, представив Л (%, Z, |) следующим образом:

力=Z &(%，厶自 l)gj 怎 2,自 з) +力к(х,九 §•(8.4)

Здесь {gj}——последовательность полиномов, ортогональных в смысле скалярного произведения

g)2 =冗"V 力 &，Ез) g &，第)exp (一 / 一 粉偈喝(8.5) (2RTo=l),

a hR определяется однозначно как функция, ортогональная к g^ (j = 1, 2, ..., п); п — целое число (&М), такое, что все 屮左 (々=1,2, ..., М) выражаются через gj (/ = 1,...,几)с коэффициентами, представляющими собой полиномы от &. Тогда уравнение (8.3) сводится к системе

К+自£+%(爲力自)=?，(中々，')/，⑹°'=l""⑻6) r= 1 々=0

dhn dhn /(%,力 9 = 0,(8.7)

где {(p/i(E)} — последовательность полиномов, ортогональных в смысле скалярного произведения

仇 勛=丁％ j/2(E)g(E)eYdE,(8.8)

т — целое число (^ Л4), равное наивысшей степени коэффициентов разложения функций ^ti (力=1, М) по- gj (/ = 1, ..., n), a Xjhr ——соответствующие полиномы (степени не выше т).

Уравнение (8.7) решается сразу, и, так как оно не связано с системой (8.6), мы его не будем больше рассматривать. Разделяя переменные в (8.6) обычным образом, находим

(s+d(t)%(…)=££(屮九J Xjhr (E).(8.9)

Из этого уравнения получаем следующую систему моментных уравнений: т м

〃(s+ 1)(4, %)i —(自叶，％)]=〃 £ £ ®,厶)i(qv, Xj%Ji (8.10) 々=0 /=1

(厂=0, 1, . . ., т — 1; / = 1, . . ., ri).

Так как 自屮八 можно представить в виде комбинации 屮厂—i и (pr+i, эту систему тп уравнений можно непосредственно решить относительно тп величин (屮小 %) (г — 1, 2, ..., m; j = 1, ..., /г), которые тем самым выразятся через (фо,月力1. Коэффициенты этой линейной комбинации будут рациональными функциями от 〃 и s (полиномами в случае максвелловских молекул). Тогда уравнение (8.9) примет вид

(1 一 4) % (В "，s) = £ Tik (自；4, s)儿(〃，s),(8.11)

где 7朵一полиномы по 自，〃，s,

4(〃，s) = (1,九々)JQ(〃, s)(s + I)]"1,(8.12)

a D(u, s)——определитель системы (8.10) (для максвелловских молекул D (w, s) = 1, но для более общих моделей это полином по 〃 и s). Систему (8.11) можно записать в матричной форме:

(1 — » h 怎〃,s) = Т (自;〃,s) А (〃, s),(8.13)

где h и А — векторы, а Т — матрица. В соответствии с обычным непрерывным спектром имеем теперь следующие собственные функции:

h (自 〃,s) = Т (自；〃，s) A (〃，s) P ^y + p (〃； s) A (〃, s) 6(〃 一 g). (8.14) Здесь в силу (8.9)

p(4； s) = “ 卜2。("；了山一P j 口自;；;!竺二0趙,(8.15)

где I ——единичная матрица. Интеграл в (8.15) легко выражается через функцию р("), введенную в разд. 3, и, следовательно, через затабулированные функции.

Рассмотрим матрицу, элементы которой являются функциями комплексного переменного 2：

М Q; s) = М (〃； s) I +[工代；善；卢二恋.(8.16)

Легко видеть, что дискретный спектр (если он существует) определяется комплексными решениями 〃 уравнения

Det М (u; s) = 0.(8,17)

Кривые плоскости s, ограничивающие область существования дискретных собственных значений, в случае БГК-модели были исследованы Р. Мэсоном [28].

Сравнительно легко доказать полноту собственных решений во всем пространстве (—oo < g < оо) и найти коэффициенты разложения через квадратуры. Для произвольной функции g(g) разложение имеет вид

ОО

g 也)=2 а % s) A Js) + \ g (自；〃，s) A (弘 s)加，(8.18)

где

g怎；“，s) = T(&; 〃，s)P + p(a; s)6("—④(8.19)

и

g，(&；s) = T(W；Uz・，s)P^p(8.20)

причем 〃守 (i=l, ・・.,N)——возможные решения уравнения (8.17). Коэффициенты A^(s) и А(〃, s) можно выразить в явной форме через квадратуры, содержащие данную функцию g(E). Главную роль здесь играет матрица M(z； s) и ее очевидная связь с р(〃； s), которая позволяет решить нужные интегральные уравнения с помощью алгебраических операций над матрицами [24]. Отметим также, что в стационарном случае (s == 0) мы должны прибавить к правой части (8.18) решения, полученные из инвариантов столкновений, а также частные решения (линейные по %), которые указываются формулой (IV 7.53). В этом случае не существует комплексных решений уравнения (8.17) и, следовательно, нет изолированных точек спектра для моделей с постоянной частотой столкновений; эти точки могут появиться для более общих модельных уравнений, таких, как (8.2) с ^ < 0 в интервалах —oo V 〃之一玄 々 V 〃 V 8 (см. работы [29, 30] и разд. 9).

Нетрудно догадаться, что элементарные решения обладают свойством полноты в частичном интервале. Это легко доказать косвенными методами [24], но прямое доказательство, эффектив*

ное в случае одного уравнения, нельзя перенести на случай системы. Основная трудность состоит в том, чтобы найти замкнутую форму для некоторой матрицы (аналога функции Р(〃) в скалярном случае), играющей фундаментальную роль в аналитическом процессе решения. Блестящую, но безуспешную попытку преодолеть эту трудность предпринял Даррозе [31] для БГК-модели; в этом случае закон сохранения массы позволяет избавиться от одного из трех уравнений, и остается задача с (2 X 2) -матрицами.

Даррозе указал, что задачу Гильберта, связанную с доказательством полупространственной полноты, нужно привести к диагональному виду; это возможно, но диагонализация внесла дополнительные сингулярности в комплексной плоскости, приводящие к трудностям, с которыми Даррозе не справился. Решение найдено в недавней статье автора [32], где показано, что для решения некоторого класса систем сингулярных интегральных уравнений полезно воспользоваться теорией интегралов от алгебраических функций Мы не будем входить в детали метода, использованного в этой статье, так как это увело бы нас слишком далеко. Заметим только, что эти методы можно применить также в многогрупповой теории переноса нейтронов, когда нейтроны делятся на группы с различной энергией (вместо использования непрерывной переменной для скорости) [2, 3, 16].

Некоторые частные случаи

Результаты раз几.8 указывают на то. что задачи о течениях сдвига для моделей, рассмотренных в разд. 2—7 (в частности, БГК-модели при v — const), являются весьма частными в том смысле, что для нх решения можно использовать аналитические методы в большей мере, чем для более общих модельных задач. Можно, однако, рассмотреть и другие задачи, для которых аналитические методы могут быть развиты столь же успешно без обращения к более сложным идеям, упомянутым в конце разд. 8.

Первый класс задач возникает при упрощении модельного БГК-уравнения: можно нарушить закон сохранения энергии при изучении так называемых изотермических волн [33, 34], или можно оставить закон сохранения энергии, но рассматривать только одномерные столкновения [35], или. наконец, отделить одну из трех стрпрпей свободы молекул от двух остальных [24]. Все эти модификации позволяют упростить уравнения таким образом, что задача сводится к решению одного уравнения вместо системы.

Другой интересный случай связан с использованием ЭС-модели (формула (IV. 9.8) с ^ = 9). Для одномерных задач о те-

чениях сдвига это уравнение отличается от БГК-модели лишь интегралом, пропорциональным напряжению сдвига; но с помощью закона сохранения импульса его можно исключить, выразив через интеграл, пропорциональный массовой скорости, и тогда уравнение будет очень похоже на модельное уравнение Б ГК Для стационарных задач дело обстоит очень просто [36]: решение задачи о течении сдвига с ЭС-моделью выражается через аналогичное решение с БГК-моделью. В частности, можно показать, что коэффициенты скольжения, полученные с этими двумя столкновительными моделями, одинаковы.

Еще один частный случай получается при использовании модели (2.2) рассмотренной в разд. 2, с частотой столкновения, пропорциональной скорости, v(g)=o三(о = const). Кассел и Уильямс [30], решая полупространственную задачу методом Винера——Хопфа, показали, что в эюм случае уравнение тепло- переноса (2.5) можно свести к уравнениям, содержащим только один момент. Чтобы убедиться в этом, возьмем а-1 за единицу длины, (2RTq)% за единицу скорости и рассмотрим уравнение (2.5), которое в данном случае принимает вид

卩需+ % =冬,㈱气d^ + T北喝\聚％% dg +

十亭窗 一2) \%门丁 _2)%dg,(9.1)

где 卩=gi/g и fo =冗-3/2 exp (——g2). в пространстве скоростей удобно использовать переменные 自，経 и ①(полярный угол в плоскости (自2,三з))・ Пусть J ——гильбертово пространство функций 自 и 屮，в котором скалярное, произведение определяется по формуле

(g,/%= V°g階 d&d(p,(9.2)

и пусть h{ представляется в виде суммы:

h{ = Y + Y^(9.3)

где У принадлежит подпространству пространства » с базисом 1, Е,占2 — 2, а У丄——ортогональному дополнению к этому подпространству.

Тогда

快* + У =等\ ‘V 階d^加+ 7歩空旺#5&4叱^% 十半老一2) 口г得2 一 2)号眼dq/加，(9.4)

R号+ y丄=0■(9.5)

Последнее уравнение решается тривиально Чтобы решить уравн^нне (9.4), заметим, что, по определению, У можно записать в виде

У = У。(х”) + % 怎 ц) + 管—2)八(х, ц).(9.6)

Подставив выражение (9.6) в (9.4) и приравняв коэффициенты при 1,自 и У — 2, получим

Н -^- + ^о — у ^ ^о U> Цл) ^Цл + у Vя [П(х,卩“如‘，(9.7)

卩岩+ %=T^"n卩\卩%(%，S" +

+ у Ц цТ 1(X, цЭ б/цх + -^ д/^ И \卩乍2(爲凶加，(9.8)

""^" + % =备 V" ， УI (х,"‘)如‘ + у，у2 (X, S 如‘.(9.9)

После интегрирования по ц уравнения (9.7)——(9.9) дают

言\必如="!"冗、匕d出

言 \卩匕小+ \у“м = 0,(9.10)

Использовав второе из этих соотношений для того, чтобы исключить 、У1^к из двух других, получим

±[\卩九山丄+亍"不«匕如=0,

:一 ](9.11)

ИЛИИЛИ(9.12)(9.12)

ИЛИ

ИЛИ

(9.12)

(9.12)

где А и В—постоянные. При помощи (9.12) можно исключить У° и У? из (9.8), что приведет к следующему результату:

卩-^ + 匕=— -^ 冗)卩 \ Mi(%，p/)dj +

+ -^ Vя (“ + "f")氏(9・13) Полагая

0=(1 一蔡冗卜。，。％(9.14)

匕(%,卩)=^ 舍(Д+4)ц + Mi (修卩)，(9.15)

имеем

卩票• + Z尸等 \ ^Z^ J) w・ (9.16)

Как только это уравнение решено, У】 находится из (9.15) и подставляется в (9.7) и (9.9). Уравнения (9.16), (9.7) и (9.9) можно решить методами, рассмотренными в предыдущих разделах. Заметим, что уравнение (9.16) не приводит к закону сохранения и похоже на (3.11). Так как, согласно (9.14), с V 1, можно ожидать, что уравнение (9.16) имеет два дискретных вещественных собственных значения вне интервала (—1, 1) (см. замечания в разд. 3). Действительно, если 〃亥(——1, 1), то существует решение L/〃gn (卩)при условии, что

1

^ j 餐如=1,(9.17)

или

3。陪 1口 (志)-1]=L(9・18)

Поскольку с довольно мало, можно ожидать, что корни бу дут очень близки к ±1. В самом деле, полагая 〃= 士(1 +&) и пренебрегая членами более высокого порядка по 8, получаем

(9.19)(9.19)一方-E于』,

(9.19)

(9.19)

8 = 2g-2/(3c)4 2gTUJ43・ 1()7°, (9.20) т. е. действительно очень малое число.

Поскольку У】，Уо, У2 можно найти из независимых уравнений, полупространственные задачи решаются аналитически. В частности, задача об определении коэффициента температурного скачка (см. разд. 5 гл. V) была решена Касселом и Уильямсом [30] методом, эквивалентным методу Винера ——Хопфа. Этот коэффициент получен в виде

gg+笠泉脸， (9.21)

где V ——отношение экстраполированной длины к средней длине свободного пробега 7 для односкоростного переноса при изотроп* ном рассеянии (4.22), a U。определяется аналогичным, хотя и более сложным выражением [30]. Если принять во внимание, что в уравнении (9.16) с мало, то это выражение упрощается и дает 4 = ”А/з, так что

" = ^』，498 泰， (9.22)

где / — средняя длина свободного пробега (V. 1.3), а Рг ——число Прандтля (для корректной модели одноатомного газа Рг^ 2/3). Если этим упрощением не пользоваться, то поправка составит примерно 0,15% [30].

Нестационарные решения кинетических модельных уравнений с частотой столкновений, зависящей от скорости

В этом разделе рассматривается возможность распространения результатов разд. 6 на случай переменной частоты столкновения. Вместо (6.1) теперь имеем уравнение

* + а 4^ + V (Е) у = V 叫统(Г) у (х, Г)阳，(ю.1)

где 九=трзУ ——возмущение функции распределения (см. (2.7)), a go(g) определяется формулой (3.2). Предполагается, что частота столкновений зависит от скорости молекул g.

Если взять преобразование Лапласа от уравнения (10.1)： и, как обычно, не рассматривать возможный свободный член； Связанный с начальным условием, то получится уравнение

[V 怎)+ S]户 + & 幫=V (g)，go (М) У (%, Г) d< (IQ.2)

где У — преобразование Лапласа от У. Такое же уравнение (с s = /(о) описывает установившиеся поперечные колебания газа с частотой (о. Если s ——вещественное число, то ситуация очень похожа на стационарный случай; достаточно ввести переменную 叫 связанную с & и g соотношением (3.4) с v(^) + s вместо v(E). Если же s ——комплексное число, то w тоже оказывается комплексной величиной:

侬=a+ 峪=丁(訂；• (i°.3)

Для любого заданного комплексного значения s, когда gi и р = ^/^2 + ^з меняются соответственно от ——оо до оо и от 0 до оо, величина w заполняет некоторую область G(s) в плоскости (а, |3). Для вещественных значений s эта область сводится к отрезку вещественной оси, но при Ims*0 и ду/д^ ^ 0 это двумерная область. Удобно ввести функцию

Z(x, w) = ^^ \ Yd^ (Ю.4) о

где ср——полярный угол В ПЛОСКОСТИ (自2, Ез) и для простоты записи не указана явно зависимость Z от s. Полезно также отметить, что запись Z(x,侬)не означает, что Z является аналитической функцией комплексного переменного 侬；это только сокращенная запись Z (%, а, |3). В новых переменных уравнение (10.2) принимает вид

7 1 oz

Z +

1 дх

•=M

'G(s)

d«i rfPiO (g) Z (x, g)・

(10.5)

Здесь

①®)=

1 Im s

(» + S |4 p2&

1|自111"飞)1»'

(10.6)

где

V

0

v怎）。一吒4電，

(Ю.7)

а Е，Ei ствии с

надо заменить их выражениями через а и |3 в соответ- (10.3). Разделение переменных в (10.5) дает

Z〃 (х,侬)=g〃侬)exp(— %/〃)，

(10.8)

где и =

:ао+ /|3.0 —параметр разделения, а функция g〃(侬)

удов-

летворяет уравнению

(1 -з倒)gu (w)=

daid0i(D(g)g〃(g).

(10.9)

G(s)

Правая часть r (10.9) не зависит от 侬，и ее можно нормировать на единицу. Таким образом, мы пришли к типичной задаче разделения, совершенно аналогичной рассмотренным ранее. Если множитель (〃——о<)/〃 не обращается в нуль, то gu(^) — обычная функция, определяемая по формуле

g〃W)g〃W)и — wи — w(10.10)(10.10)

g〃W)

g〃W)

и — w

и — w

(10.10)

(10.10)

с условием нормировки

[Wd 限侬)H = LG(s)[Wd 限侬)H = LG(s)(10.11)(10.11)

[Wd 限侬)H = L

G(s)

[Wd 限侬)H = L

G(s)

(10.11)

(10.11)

Если же (〃——侬)/〃 = 0 для некоторого 侬，то gu (w) нужно считать обобщенной функцией. Это имеет место при и w G (s). Мы должны тогда учитывать член с дельта-функцией, обращаю- щнйс只 в нуль при умножении па 〃一 w. Обозначая 6(а — —czo)6(|3 — |3о) через 6(〃一侬)，имеем

Su (^) = u^ w + P (^； s)6(〃一 w),(Ю.12)

где

/ф; s) =「l — JJdadpO И --4-1 /ф(г/).(10.13)

- G(s)J /

Формула (10 12) дает собственные решения, соответствующие непрерывному спектру. Заметим, что в этом случае нет необходимости брать интеграл от 〃/(〃 ——侬)в смысле главного значения, поскольку двойной интеграл с полюсом первого порядка в любой точке области интегрирования существует в обычном смысле.

Что касается дискретного спектра, то анализ условия (10.11) показывает [37], что решение качественно такое же, как для модельного уравнения БГК, т. е. существует такая кривая у, что имеются две точки 土〃° дискретного спектра, когда s находится внутри у, и нет ни одной такой точки, когда s находится вне у. Можно найти параметрическое представление кривой 丫 и показать, что она симметрична относительно вещественной оси. Эта кривая пересекает вещественную ось в двух точках: абсцисса одной из них равна ——v(0), другая имеет положительную абсциссу (0 в предельном случае = оо).

Общее решение уравнения (10.5) можно теперь записать в виде

Z (修侬)=V —daQ d^Q + p (吗 s) A 侬；s) ст® +

+ Л+―—+ /一禽 (10.14)

где 土〃 o(s) — возможные собственные значения дискретного спектра,力土 ——произвольные коэффициенты (равные нулю при отсутствии дискретного спектра), а Л (u; s) — «произвольная функция».

Основное различие между (10.14) и общими решениями модельных уравнений, рассмотренных в предыдущих разделах, состоит в том, что здесь мы имеем двойной интеграл (который существует в обычном смысле) вместо однократного (типа Коши)'. Трудность заключается в том, что не существует стандартной теории для уравнений с комплексным ядром Коши (〃 ——侬)-】 и двукратным интегрированием; такая теория необходима для конструктивного доказательства полноты и ортогональности. Однако эту теорию можно построить [37], используя некоторые результаты теории обобщенных аналитических функций [38]. В общем случае, если ш = а + Ф — комплексная переменная, то обобщенная аналитическая функция f = ср + ^ является комплексной функцией а и В，удовлетворяющей уравнению

% + gi (侬)f (侬)+ g2 (加 f (侬)=八(w)(w已 G), (10.15)

где черта сверху означает комплексно сопряженное, gi, g2, ft — заданные функции от а и |3 и

(10.16)(10.16)

(10.16)

(10.16)

Последнее определение имеет смысл, если f дифференцируема по а и В； в противном случае d/dw следует понимать как обобщенную производную Соболева или ареолярную производную Помпью [38]. Очевидно, что соответствующим подбором gi, g2, h можно добиться того, чтобы любая дифференцируемая функция от а и р удовлетворяла уравнению (10.15). Но это нецелесообразно, ибо обобщенные аналитические функции полезны, когда имеется полностью весь класс функций, удовлетворяющих уравнению (10.15) с фиксированными gi, g2 (九 может меняться).

Название «обобщенные аналитические функции», очевидно, связано с тем, что при g〔 = g?=九=0 мн получаем уравнения Коши — Римана для аналитической функции f(w) =(р(а, р)+ + 2(а, В). Любую интегрируемую функцию h(w) от а и р (а, G, G ——замыкание G) можно использовать для построения обобщенной аналитической функции, удовлетворяющей урав- нению (10.15) с gi = g2 = 0. Эта функция имеет вид

(10.17)

где w = ао + фо — переменная интегрирования. Чтобы доказать это утверждение, заметим, что

О 1dw и — wО 1dw и — w—лд (и — w).—лд (и — w).(10.18)(10.18)

О 1dw и — w

О 1dw и — w

—лд (и — w).

—лд (и — w).

(10.18)

(10.18)

Это равенство можно получить сразу, заметив, что безвихревое векторное поле v = (и〔，и?) (где vx — iv2 = (^ — w)-1) соответствует единичному точечному источнику в плоскости (а, |3), и использовав формулу (10.16).

Из (10.17) и (10,18) следует (менее формальный вывод можно найти в книге Векуа [38]) уравнение

鳥=V 九(〃"(а —効时帆 i(w)侬 wG), (10.19)

которое при gi = g2 = 0 совпадает с (10.15). Заметим, что при 如柒 G функция f аналитична по w и стремится к нулю при w — 8. Это доказывает, что для любой интегрируемой функции Л функция TGh аналитична вне G, стремится к нулю на бесконечности и

-^TGh = h.(Ю.20)

Обратно, если df/dw = Л в G, функция f аналитична вне G и стремится к нулю при 侬今 оо, то f = TGh. Это следует из того, что разность f — TGh аналитична везде и равна нулю на бесконечности, а тогда, согласно теореме Лиувилля, она равна нулю всюду. Эти результаты позволяют решить уравнение (10.15) в квадратурах для случая g?(⑪)=0 [37, 38]. С другой стороны, если мы хотим доказать полноту во всей или в частичной области, мы должны решить уравнения вида

p 侬)4 侬)—яtн [wA 侬)]=Z ®)，(10.21)

где Th — оператор, определенный равенством (10.17) (с Н вместо G), a Z(w) задана. Область Н может быть либо всей областью G(s), либо частью ее (обычно это половина области G, соответствующая Rew》0). Ясно, что если положить

f(w) = TH М(W)],(10.22)

то из (10.21) получится

р (w)黑一nwf = mZ (w) (w e Я),(10.23)

т. e. уравнение типа (10.15) с g2(叫=0 и Н вместо G. Теперь очевидно, что это уравнение можно решить аналитически. Действительно, общим решением однородного уравнения является [Х(®]т, где

X ㈣=屮(侬)exp { — & [j^y]} ,(10.24)

а 4)(i^) — аналитическая функция в Н. Тогда общим решением уравнения (10.23) будет

f = [X (&川- Tн [x (侬)•^2] + 中(侬)[X (砌Т, (10.25) где 屮(®) аналигична в области 〃. Формула (10.25) следует из результатов, относящихся к уравнению (10.20), и из того, что равенство (10.23) можно переписать в виде

詣=(10.26)

Аналитическая функция 屮(侬)в (10.24) может быть выбрана раз и навсегда, в то время как функция <р(〃)определяется так, чтобы / была аналитической вне Н и обращалась в нуль при 5Toо, согласно (10.22). Как видно из (10.25), можно добиться аналитичности, взяв 中(侬)=0 при условии, что К'(и)——аналитическая функция, отличная от нуля и ограниченная вне 〃； согласно общим результатам для (10.20) (примененным к (10.26)), других решений не существует. На границе дН, однако, Х(5)должна быть такой, чтобы А (^) была не слишком сингулярна, когда /(侬)регулярна (wA (w) должна быть интегрируемой). Чтобы исследовать это условие, заметим, что экспонента в формуле (10.24) может быть сингулярной только в тех точках ", где р(侬)=0, так что, согласно (10.23),

L(w)=l — nwT0Ф = 0 (侬三").(10.27)

При наличии дискретного спектра 厶(5) обращается в нуль при = 土辽о； поэтому, когда обходит границу dG в положительном направлении, 1口 厶(侬)изменяется на —4nt. Следовательно, при наличии дискретного спектра 厶(з) должна обращаться в нуль также в некоторой точке области G; иначе In L(w) будет однозначным и возникает противоречие. Если Ui — один из таких нулей L (侬)，то

"汕=(黑)2 一 〃)+ (^^-ii^ + O^w-u, I2),(10.28)

где dL/dw =——л^Ф 声 0 в ". При обходе малого контура, окружающего 〃i, изменение 1口厶(侬)дается выражением

A In厶㈣=АI叫(黑讣…J德)J (а=агд(Щ, В = агд(|Д)''

и, следовательно, равно 2л/, 0,——2л/ в соответствии с тем, какое из условий имеет место: | (dL/dw) 11 > | (dL/dw) i [, I (dL/dw) 11 — I (dL/dw) 11, | (dL/dw) 11 V | (dL/dw))|. Вслед за

Клинчем и Кущером [39], которые первыми явным образом указали на существование нулей 厶(侬)в области ", будем называть 〃i нормальным нулем, нейтральным нулем или антинулем соответственно. Кратные нули исключаются, потому что dL/dw 片 0; обращение в нуль на некоторой кривой возможно только при равенстве | (。厶/А侬)| = | (dL/dw) | на этой кривой.

Если имеются только изолированные нули, то существование дискретного спектра означает, что каждая половина области G (по симметрии) содержит антинулей на единицу больше, чем нормальных нулей. Можно предположить [39], что в каждой половине области G существует только один антинуль и нет ни нормальных нулей, ни нейтральных нулей, ни нулевых кривых. Следует ожидать, что если s изменяется так, что 士侬о подходят к дН извне, то антинули ±и{ одновременно подходят к границе изнутри. В дальнейшем они сольются там с нулями ±〃о и «аннигилируют» (см. рис. 39). Это предположение, подтвержденное пока только численными расчетами для частных случаев [39], принимается в последующем рассуждении. Для простоты ограничимся случаем, когда Н является в точности половиной области G (Re 侬扌 0).

Используя комплексный вариант формулы Грина [38], имеем

一 In厶（侬）4一 In厶（侬）4* [肃]=<* [肃]=<2л/ JдН+Г2л/ JдН+ГIn L (г) у—dzz — wIn L (г) у—dzz — w(w w Я),(10.30)(侬亥")，(w w Я),(10.30)(侬亥")，

一 In厶（侬）4

一 In厶（侬）4

* [肃]=<

* [肃]=<

2л/ J

дН+Г

2л/ J

дН+Г

In L (г) у

—dz

z — w

In L (г) у

—dz

z — w

(w w Я),

(10.30)

(侬亥")，

(w w Я),

(10.30)

(侬亥")，

где Г——петля, окружающая разрез С, соединяющий 〃】с точкой на дН, если 〃i существует (In [L(w)] однозначен в 〃一 С), и контур обходится против часовой стрелки. Как следствие при

侬 т〃1，учитывая, что 〃i — антинуль, и используя известные результаты для сингулярных интегралов Коши (см. [8], а также приложение, формулу (П.5)), получаем

О (1)при отсутствии дискрет

т Г тс 侬"1" L Р (侬)」一т Г тс 侬"1" L Р (侬)」一ного спектра,

т Г тс 侬"1

" L Р (侬)」一

т Г тс 侬"1

" L Р (侬)」一

—21n|〃i —侬 | +。⑴ при наличии дискретного бпектра.

(10.31)

В соответствии с этим положим в (10.24)屮(侬)=(〃i——侬)一九, где h = 1 или 0 в зависимости от того, существует дискретный спектр или нет. Таким образом, функция Х(侬)всюду ограничена; хотя X(U1) = O при наличии дискретного спектра, [Х(侬)]-1 интегрируема. Решение /(侬)уравнения (10.23) тогда имеет вид

=卜唄黑『打•(10.32)

Однако, согласно (10.22), f(侬)今0 при 侬一＞8, поэтому из (10.32) следует, чго

\ ©X ^L^(侬"^岂 呻=° (если существует дискретный спектр),н …(10.33)

так как при существовании дискретного спектра Х(侬)= =(—w)-i + O(l) при 侬一＞оо. Равенство (10.33) представляет собой налагаемое на Z(侬)условие, но оно легко удовлетворяется, потому что, согласно (10.21), Z(侬)равняется функции, подлежащей разложению, минус член, соответствующий дискретному спектру, а условие (10.33) фиксирует коэффициент 4 дискретной собственной функции, соответствующей 〃° (Re w0 ^

Раскроем 4(侬)，дифференцируя согласно формулам (10.22) и (10.20):

4(3)= ^{[x®Lth[5#"]} =

— 侬z (侬)丄冗侬7 「侬X (⑪)Z (侬)1

—小)一十 p ®)X®) / H L Fw J*

Трудность возникает из-за нуля 〃i функций p(w) и Х(侬), который в общем случае создает в A (w) полюс второго порядка. Тем не менее интеграл в разложении по собственным функциям существует в смысле главного значения [39].

Проведенное исследование показывает, что все задачи, разрешимые с помощью модельного уравнения БГК, могут быть решены также и с помощью уравнения (10.1). В связи с этим заметим, что функция Х(〃)удовлетворяет нескольким важным

тождествам, аналогичным тем, которые имеют место в случае БГК-модели [37, 40]. Отметим также, что после того, как установлены основные формулы, удобнее вернуться от w = а + i^ к первоначальным переменным 邑 и g.

Ясно, что изложенный выше метод можно применить и к модельным уравнениям, описывающим перенос нейтронов. Несколько работ такого рода посвящено изучению нейтронных волн [39, 41—43].

Аналитическое продолжение

Использование обобщенных аналитических функций, кратко описанное в разд. 10, приводит к интересному явному представлению непрерывного спектра, заполняющего двумерную область. Однако непрерывные спектры обычно не дают четкой информации о результатах, которые следует ждать из эксперимента. Фактически может оказаться, что из экспериментальных данных вытекает отчетливо выраженное собственное значение даже в том случае, когда теория предсказывает непрерывный спектр. Мы уже сталкивались с подобной ситуацией в разд. 7 при исследовании плоских волн сдвига с помощью модельного уравнения БГК- Там было показано, что дискретные собственные значения могут быть получены посредством аналитического продолжения соотношения, определяющего дискретный спектр (так называемого «дисперсионного соотношения»). Для модели, рассмотренной в разд. 10, дисперсионное соотношение дается формулой (10.9), или формулой

L(〃； s) = 0,(11.1)

где

厶依s) = l 一 出 i如諮察曰,(11.2)

0- 1

P(自)=^[V ⑶产自。*,(11.3)

a U определяется равенством (10.7). Выполнив в (11.2) интегри

рование по ц, получим

1

{ 岁"(1 一吟如:

J " [v (自)+ s]一印一

—i

=" 8 一 歩 W 位)+ 歼} In {隱m露'} 一 2 箱[V (自)+ s], (11.4)

?сли s таково, что и не принадлежит непрерывному спектру. Следовательно, формулу (11.2) можно переписать в следующем виде:

""；s)= 1 - [ ар也)也2-公w色)+ S]2｝]П｛、一号瓷巽 ｝志+ 0

+ 2畤 EW(B + s]p(adE・ (11.6)

0

Первый интеграл теперь можно взять по частям, положив

R 也；〃；s) = [ 〃р (У)廿—彦[v (у) + 汙｝农 (11.6)

В резу тьтате имеем

厶 з； S)= 1 f а а； %； S)｛ f \ 匕 呼…｝虚 + I' I " [V 传)+ s] + 自 " W 传)+ s]-自 J …

0

+ 2〃2 jw⑹+ s]p ⑹咚(11.7)

0

В этом выражении первый интеграл позволяет использовать метод аналитического продолжения по и при условии, что частота столкновений является аналитической (или кусочно аналитической) функцией g. Действительно, если положить

то рассматриваемый интеграл можно переписать в виде

/(〃, s)=\&K)d侬, (11.9)

где А ——часть границы области G в комплексной плоскости w (см. рис. 40), a Q (侬，〃，s)——аналитическая функция от w, которая локально получается путем обращения равенства (11.8) и подстановки g =自(® s) в (11.7).

Выражения (11.7) и (11.9) еще не свидетельствуют о наличии двумерного непрерывного спектра. Сингулярности распределены вдоль А, иначе говоря, вдоль части границы непрерывного спектра. Следовательно, равенство (11.7) дает аналитическое продолжение L в непрерывный спектр, так что функция 厶(〃；s) теперь определена в комплексной плоскости w с разрезом вдоль А. Можно продолжить функцию 厶(〃；s) через разрез,

деформируя путь интегрирования и вычитая 2m，Q(w, 〃，s) в соответствии с формулами Племеля (см. приложение).

Таким образом, мы рассматриваем 厶(“；s) как многозначную функцию w, значения которой лежат на многолистной римановой поверхности; аналитическое продолжение ведет с физического листа на другой лист (точно так же, как в случае вынужденных волн сдвига, которые исследовались с помощью Б ГК- модели в разд. 7). Если £°(〃；s)——аналитическое продолжение 厶(“；s) в непрерывный спектр (т. е. та ветвь многозначной функции L(〃；s), которая достигается через А из области вне непрерывного спектра), то уравнение Lc (w; s) = 0 может иметь корень 〃о даже тогда, когда уравнение 厶(〃；s)=0 не имеет корня (здесь L(〃；s) определяется формулой (11.2) даже при G (s)). В частности, для s, близких к критическому значению, при котором 〃o = 〃o(s) вливается в непрерывный спектр, 厶c(〃；s) будет иметь нуль, являющийся аналитическим продолжением 〃o(s). Если решения граничной задачи достаточно гладки, то можно попытаться использовать это обстоятельство для того, чтобы найти аналитическое продолжение подынтегрального выражения на непрерывный спектр и затем воспользоваться эти^4 результатом для стягивания контура интегрирования около сингулярных точек и линий аналитически продолженного подынтегрального выражения.

Рассмотрим процесс аналитического продолжения для полу- пространственных задач с заданной функцией распределения молекул, входящих в это полупространство.

Функцию X (w), определяемую формулой (10.24) (с ", равной половине G), можно аналитически продолжить, преобразуя сначала интеграл в экспоненте по второй формуле Грина

Так как 屮(侬)= (а】一w)~h (ft = 0, 1), в результате получим

Х(®) = (〃1 -侬)-"ехр, —壶 \ 侬亥"，(11.10)

где Г ——контур около разреза С (см. рис. 39), который существует тогда и только тогда, когда 九=1; зависимость от s здесь не указана.

Преобразуем интеграл в экспоненте. Если 侬о — точка пересечения разреза С с дН (九=1), то удобно выбрать w0 так, чтобы она совпадала с краем А (см. рис. 40), что всегда можно сделать. Тогда

i 5ая+гi 5ая+гIn L (之)之--wIn L (之)之--wdzdz1 f In 厶(г)2л/ J z ~ wdH1 f In 厶(г)2л/ J z ~ wdH庇十"m(^^)，(1L11)庇十"m(^^)，(1L11)

i 5

ая+г

i 5

ая+г

In L (之)之--w

In L (之)之--w

dz

dz

1 f In 厶(г)

2л/ J z ~ wdH

1 f In 厶(г)

2л/ J z ~ wdH

庇十"m(^^)，(1L11)

庇十"m(^^)，(1L11)

н формула (11.10) принимает следующий вид:

Х(侬) = (5一侬宀Xp｛一詣J.吧券龙｝.(11.12)

Заменяя L (г) на 厶& можно сжать контур дН в Д и получить Х(汕=(叫)一侬厂"^p｛一击，空*Lz｝, w^H. (11.13)

При необходимости можно, конечно, преобразовать Д в другой путь /V. Аналитическое продолжение Х(з), таким образом, получено. Заметим, что выражение (11.13) дает аналитическое продолжение X (侬)уже в Л — А.

Формула (10 34) показывает, что wA (w), а значит и wA (w) ^/w, является производной по w от функции, выражаемой через Х(侬)и граничные условия. Следовательно, при помощи комплексных формул Грина вклад от непрерывного спектра можно преобразовать в интеграл по границе. Подынтегральное выражение является аналитической функцией вне Н и может быть аналитически продолжено в Я указанным выше способом, если граничное условие Z(w) аналитически продол- жимо в Н. Таким образом, аналитическое продолжение возможно при соответствующих граничных условиях. Однако, сдвигая путь интегрирования, мы включаем вклады вычетов от нулей аналитически продолженного дисперсионного соотношения. Следовательно, даже когда уравнение (111) не имеет решения, основной вклад в последнее может появиться от «дискретной собственной функции».

Создается впечатление, что аналитическое продолжение устраняет двумерный непрерывный спектр. Это верно в том

смысле, что интеграл по G можно преобразовать в интеграл по границе; последующее преобразование в интеграл по разрезу возможно только Toi да, когда Z (^) может быть аналитически продолжена в Н. Типичное граничное условие для возмущения h (задача волн сдвига, см. выражение (7.4)) приводит к Z(侬)=const и, следовательно, допускает аналитическое продолжение в Я; в этом случае двумерный спектр исчезает и вклад в решение дают только полюсы и интегралы по разрезу.

На основании этих фактов часто утверждают [44—46], что метод решения, опирающийся на использование обобщенных аналитических функций, является излишне сложным и приводит к громоздким результатам. Эта критика сопровождается рекомендацией использовать для полупространственных задач метод Винера ——Хопфа [1—3]. Пока нет сомнений, что любую задачу, которая решается методом Винера— -Хопфа, можно решить методом элементарных решений и обратно, выбор того или иного метода определяется личным вкусом исследователя.

Например, автор данной книги предпочитает метод элементарных решений потому, что он сразу же дает общее решение уравнения (10.5), справедливое даже для задач, которые нельзя решить точно ни тем, ни другим методом, в то время как метод Винера — Хопфа приводит к тому же результату только после сложного контурного интегрирования. С другой стороны, некоторые исследователи отдают предпочтение методу Винера —— Хопфа, поскольку он определяет 厶(辽；s) сначала только для мнимых и (辽=(洪)т, где 々一переменная, соответствующая 尤 в преобразовании Фурье), в го время как метод обобщенных аналитических функций использует функцию L(a; s), определенную равенством (11.2) для всех комплексных и (и, следовательно, неаналитическую в конечной области G комплексной плоскости). Однако в любом случае мы прибегаем к аналитическому продолжению, чтобы получить результаты в удобной для применения форме.

В связи с этим заметим, что, хотя дисперсная функция 厶(a;s) несомненно может быть продолжена и для более сложных модельных уравнений и даже для самого линеаризованного уравнения Больцмана [47—49], это утверждение не очевидно для подынтегральных выражений интегралов по непрерывному спектру, возникающих в связи с граничными задачами, поскольку возможность аналитического продолжения зависит от гладкости граничных условий.

Подводя итоги, можно сказать, что отбрасывание области непрерывного спектра допустимо при условии замены этой области ее границей; дальнейшая замена на дискретные члены плюс интеграл по линии ветвления, отличной от dG, возможна только тогда, когда граничные условия являются «гладкими».

Можно утверждать, что условие《гладкости》всегда выполняется для «физических» задач, и его всегда можно допускать; но нельзя считать, что область G (или, гочнее, граница 0G) не нужна в общем решении уравнения (10.2). Иными словами, отрицание «реальности» непрерывного спектра, математически нестрогое, может быть приемлемым для физических целей.

Распространение звука в одноатомных газах

Одной из задач, для которой полезна теория, развитая в разд. 8, является задача о распространении звука. Пластина колеблется в направлении своей нормали с частотой со; периодическое возмущение распространяется через газ, заполняющий пространство по одну сторону пластины. Если частота з очень велика, то даже при обычных плотностях уравнения Навье —— Стокса не достаточны, потому что ⑴一】может быть величиной одного порядка со средним временем свободного пробега.

Фазовую скорость и затухание возмущения можно определить экспериментально, если считать это возмущение локально плоской волной (что в общем случае неверно, поскольку существует вклад от континуума). Трудность состоит в том, что имеется приемник, который в принципе не позволяет рассматривать эту задачу как полупространственную., особенно из-за того, что иногда его помещают очень близко к пластине (на расстоянии, не превышающем среднюю длину свободного пробега [50,51]). Пренебрегая возмущением от приемника, можно исследовать эту задачу как полупространственную [52] методом элементарных решений.

Если принять простое, но реалистичное предположение, что отражение молекул от пластины полностью диффузное, то задача вычисления коэффициентов собственных функций, рассмотренная в разд. 8, сведется к использованию полупространствен- ной полноты (конечно, нужно учитывать также условие ограниченности на бесконечности). Однако сам факт полноты еще не дает полезных выражений для коэффициентов разложения, если не используется недавно развитая более сложная теория, описанная в конце разд. 8.

Бакнер и Ферцигер [52] решили эту задачу приближенно. Они начали с замечания о том, что граничную задачу можно всегда заменить соответствующей задачей в бесконечном пространстве, задавая распределение источников на границе. Бакнер и Ферцигер предложили ввести распределение источников, содержащее свободные параметры, которые затем выбираются из условия минимизации решения в полупространстве х < 0 (где точное решение равно нулю). Их результаты (см. рис. 41

Рис. 41. Сравнение различных i еоретических результатов по распространению звука с экспериментальными данными. Величина, обратная безразмерной фазовой скорости, в зависимости от отношения частоты столкновений к частоте звука.

расчеты Сировича и Тёрбера (11 моментов);расчеты Сиро- вича и Тёрбера (8 моментов); ——|1h расчеты Бакыера и Фер цигера

(5 моментов);теория Навье ― Стокса; * экспериментальные данные

Мейера и Сесслера; 0 экспериментальные данные Гринспена.

Рис. 42. Сравнение различных теоретических результатов по распространению звука с экспериментальными данными. Скорость затухания в зависи- ■ мости от отношения частоты столкновений к частоте звука.

Обозначения те же, что па рис. 41.

и 42) хорошо согласуются с экспериментом для низких и очень высоких частот (сплошная среда и свободномолекулярный режим) ;в переходном режиме хорошее согласование получено только для фазовой скорости, а коэффициент затухания отличается от экспериментальных значений примерно на 30%. Это означает, что либо недостаточно точна выбранная Бакнером и Ферцигером аппроксимация свободного члена в уравнении, либо оказались неподходящими взятые ими модели столкновений (модели Гросса и Джексона с тремя и пятью моментами), либо то и другое вместе. Этот вопрос будет обсуждаться ниже.

Метод, который приводит к хорошему согласованию с экспериментом на всех режимах,——это метод аналитического продолжения дисперсионных соотношений, использованный Сировичем и Тёрбером [47]. В принципе этот метод описан в разд. 7 и 11 для случая волн сдвига. Однако в этом случае было известно полное решение и аналитическое продолжение дисперсионного соотношения делалось только для того, чтобы получить другое представление решения. В частности (см., например, уравнение (7.10)) вклад от дискретного спектра может появляться даже тогда, когда дисперсионное соотношение не имеет решения при простом аналитическом продолжении самого дисперсионного соотношения. Вопрос состои г в том, дает ли вклад от дискретного спектра (или его аналитического продолжения) точное представление всего решения.

Согласно оценкам Дорнинга и Тёрбера [26], существует область, где этот вклад является достаточным для представления решения; нужно лишь исключить области, очень близкие к границе и очень далекие от нее В первой области доминируют однократные столкновения свободных частиц, во второй ——высокоскоростные молекулы, так что функция распределения зависит от хвоста максвеллиана стенки (см. разд. 7 и работы [35, 33, 24, 53]). Последнее происходит на нескольких длинах свободного пробега от стенки и не относится к области порядка средней длины свободного пробега; это не имеет места и в случае частоты столкновений, растущей линейно при высоких скоростях, как для твердых сфер и потенциалов конечного радиуса действия.

Размер области свободномолекулярного режима много меньше средней длины свободного пробега; фактически, согласно оценкам Сировича и Тёрбера [54], даже если излучатель и приемник находятся на расстоянии 7ю длины свободного пробега, то 25% молекул, покидающих излучатель, могут испытать столкновение прежде, чем достигнут приемника. Высокий процент столкновений обусловлен тем, что молекулы имеют составляющие скорости, параллельные плоскостям излучателя и приемника.

Метод Сировича и Тёрбера состоит в том, что вместо граничной задачи рассматривается дисперсионное соотношение (или его аналитическое продолжение). Это равносильно предположению, что в экспериментально изучаемой области доминируют вклады от дискретного спектра. Согласно упомянутым выше оценкам Дорнинга и Тёрбера [26], это, по-видимому, верно [55] для экспериментов Гринспена [50], а также Мейера и Сес- слера [51].

Преимущество метода, используемого Сировичем и Тёрбе- ром, состоит в том, что он требует только изучения дисперсионного соотношения (равенства (8.17) с s = ico), а не решения граничной задачи. Следовательно, можно выполнить расчеты для довольно сложных модельных уравнений. Сирович и Тёрбер [47] вычислили скорость звука и скорость затухания для моделей Гросса и Джексона (IV. 9.8) с 3, 5, 8 и 11 моментами (максвелловские молекулы) и обобщенных моделей, предложенных Сировичем, (IV. 9.12) с 3, 5, 8 и 11 моментами в линеаризованном операторе столкновений для твердых сфер.

Результаты для максвелловского газа (с 11 моментами) качественно согласуются с экспериментальными данными (см. рис. 41 и 42); в частности, поведение фазовой скорости при сот 8 (свободномолекулярное течение) определяется с ошибкой порядка 15%, а скорости затухания ——с ошибкой порядка 25% для ①令 V 5 (здесь 存——среднее время свободного пробега, определяемое по формуле 令=卩/p, где 卩一коэффициент вязкости, р--давление). Результаты для газа из твердых сфер (11 моментов) хорошо согласуются с экспериментальными в высокочастотной области (з令=>5), но затухание в переходном режиме определяется с ошибкой в 20%.

Как ни странно, результаты Бакнера и Ферцигера для модели максвелловского газа (5 моментов) ближе к результатам Сировича и Тёрбера для твердых сфер, чем к их результатам для максвелловского газа. Дать точную оценку тем более трудно, что результаты Сировича и Тёрбера для восьмимоментной модели твердых сфер ближе к экспериментальным, чем те же результаты для одиннадцатимоментной модели.

Бесспорно, единственными методами, которые приводят к хорошему согласованию с экспериментом, пока являются метод элементарных решений, использованный Бакнером и Ферциге- ром [52], и метод аналитического продолжения, использованный Сировичем и Тёрбером [47]. Выбор между этими двумя методами——вопрос более тонкий. Совпадение с экспериментальными данными немного лучше в методе аналитического продолжения, как видно из приведенных выше примеров. Однако следует заметить, что метод элементарные решений должен давать точное решение, если его применять к достаточно сложным модельным

уравнениям (Бакнер и Ферцигср рассматривали только модели низкого порядка из-за трудоемкости точных расчетов для моделей более высокого порядка) и с достаточно гибким свободным членом (между прочим, большая часть расчетов Бакнера и Фер- цигера по недосмотру была выполнена без аппроксимации свободного члена, соответствующей физическим условиям). Проблему свободного члена можно вообще исключить при помощи метода, описанного в конце разд. 8, но за счет громоздких аналитических выражений.

Упомянем также интересную работу Р. Мэсона [56], который рассматривал распространение звука в случае зеркально отражающего излучателя; при этом нужна лишь полнота во всем пространстве (благодаря симметрии), и Мэсон смог решить задачу аналитически (он использовал, однако, преобразование Фурье, а не метод элементарных решений). Его результаты согласуются с экспериментом хуже, чем у Бакнера и Ферцигера пли ^/фовича и Тёрбера, но не ясно, связано ли это с особым видом граничного условие [“то было бы интересным результатом) или, что более вероятно, с некоторыми аппроксимациями, использованными Мэсоном при численной оценке его аналитических результатов.

Следует особенно подчеркнуть замечательный успех описанных выше методов, потому что другие методы, основанные на разложении решения линеаризованного уравнения Больцмана в ряды по ортогональным полиномам, не оправдали ожиданий. В первом из этих методов, которым пользовались Ван Чан и Уленбек [57], а также Пекерис и его сотрудники [58], решение раскладывалось по собственным функциям максвелловского оператора; результаты совершенно не согласовались с экспериментом. Поскольку Пекерис с сотрудниками использовал 483 момента (!), мы заключаем, что их разложение, если оно и сходится, не приводит к правильному решению для больших значений со.

Другой подход был предложен Каном и Минцером [59]; в их решении неизвестные в линеаризованном уравнении Больцмана раскладываются в ряды по ортогональным полиномам с весовой функцией, основанной на свободномолекулярном репзении, а не на максвеллиане. Неожиданно оказалось, что их результаты стремятся к правильному континуальному пределу. В связи с этим обстоятельством метод Кана и Минцера привлек большое внимание и вызвал благоприятные отклики [52, 53, 60——65]. Однако последующие работы [66, 67] показали, что эта неожиданная точность объясняется некоторыми ошибками, допущенными Каном и Минцером; в самом дело, Тоба [66] обнаружил ошибку в граничных условиях, а Хансон и Морс [67]——ошибку В асимптотической оценке некоторых интегралов.

Хансон и Морс заново провели асимптотику и нашли, что согласование с экспериментами не улучшилось; наоборот, поведение для низких частот оказалось совершенно неправильным и даже физически абсурдным (возрастающее, а не затухающие моды). Согласование с экспериментом для очень высоких частот, как и следовало ожидать, было достаточно хорошим.

Двумерные и трехмерные задачи.

Обтекание твердых тел

Как уже было указано выше (разд. 8 гл. IV), метод разделения переменных можно применять не только для одномерных задач, но и в более общих случаях. Основная трудность состоит не в разделении переменных и обсуждении возможных собственных решений, а в выделении полной системы и в доказательстве ее полноты. В силу этого решить до конца можно, по-видимому, только задачи во всем пространстве или задачи, сводящиеся к ним. В этом случае можно работать с функцией Грина, введенной в разд. 11 гл. IV.

Согласно полученным там результатам, функцию Грина легко построить, как только найдены элементарные решения (полупространственная полнота не требуется). Из-за громоздкого вида результатов обычно лучше работать непосредственно с фурье-преобразованием решения. Если имеются границы, то в фурье-преобр азованном уравнении Больцмана появляются граничные значения неизвестной й в виде свободного члена. Поскольку й на границе точно не известна (в простейшем случае она известна для | п > 0, но не для |-п < 0), задачи, содержащие границы, решить этим методом совсем не просто. Исключение составляет только внешняя задача с зеркальным отражением (внутренняя задача для граничного условия такого рода дает лишь тривиальные результаты, см. разд. 10 гл. III). Если в этом случае границей является плоская пластина в плоскости (х, у) и задача симметрична относительно отражения 〃一►——у, то можно явно вычислить свободный член в фурье-пре- образованном уравнении (см. ниже).

' При решении задач об обтекании тела, находящегося в покое при фиксированной температуре, возникает трудность, связанная с использованием линеаризованного уравнения Больцмана [68]. Ситуация совершенно аналогична так называемому парадоксу Стокса в линеаризованной теории вязких течений [69]. При линеаризации около максвеллиана тела /0 в двумерном течении не существует решения, ограниченного на бесконечности (за исключением случая 力=0, т. е. f = /0) • Для доказательства этого заметим, что h удовлетворяет линеаризованному уравне-

нию Больцмана (IV. 2.6) при однородных граничных условиях на теле (IV. 4.1); следовательно,九=0 является решением. Если, кроме того,

“三・1Й2 盅 dSf 0, (13.1)

когда точки поверхности S, окружающей тело, стремятся к бесконечности, то единственным решением в соответствии с теоремой единственности, доказанной в раз” 4 гл. IV, будет решение h = 0. Поэтому, если условие (13.1) выполняется, то из него вытекает очень неприятное следствие: единственной ситуацией, которую описывает стационарное линеаризованное уравнение Больцмана, является состояние покоя в газе, окружающем тело.

Этот результат связан с тем, что линеаризация не является равномерно пригодной на бесконечности; на достаточно больших расстояниях от тела производные по координатам в уравнении Больцмана уже не превышают квадратичные члены, которыми мы пренебрегли. Это имеет место на расстоянии 〃М, где I ——средняя длина свободного пробега, а М — число Маха (вообще говоря, чтобы линеаризация была законной, должно быть М《1). Однако задача состоит в том, чтобы проверить, справедливо ли условие (13.1) на бесконечности. Ответ на этот вопрос может дать исследование общего решения линеаризованного уравнения Больцмана, полученного в разд. 11 гл. IV.

Для того чтобы найти поведение h на бесконечности, нужно знать асимптотику функции Грина. Согласно результатам разд. 11 гл. IV, решение на бесконечности всегда определяется оборванным разложением Чепмена — Энскога со скоростью, давлением и температурой, удовлетворяющими стационарным линеаризованным уравнениям Навье ——Стокса. В таком случае нетрудно выяснить, выполняется ли условие (13.1) для решений, стремящихся на бесконечности к линейной комбинации инвариантов столкновений (линеаризованный вариант стремления к максвеллиану).

Результат состоит в том, что условие (13.1) не выполняется для трехмерных течений (так что для них существуют нетривиальные решения), но должно иметь место для двумерных те« чений [68]. Это следует из того, что в трехмерном случае реше* ние Стокса, как известно, хорошо ведет себя на бесконечности в том смысле, что профили скорости выходят на условия одно- родного течения (для достаточно малых Мо/厶 где а — характер* ный размер тела) прежде, чем линеаризация станет некорректной, в то время как для двумерных течений это невозможно [69].

Во избежание только что описанной неприятности необходимо имитировать процедуру, применяемую в аналогичной ситуации в теории вязких течений [68]. Можно использовать либо

внутренние и внешние разложения, либо линеаризацию около максвелловского распределения на бесконечности (что эквивалентно линеаризации Озеена в вязком течении [69]). Необходимо отметить, что во втором случае получается уравнение Больцмана, линеаризованное около ненулевой скорости; когда задача стационарна, это уравнение не эквивалентно уравнению Больцмана, линеаризованному около нулевой скорости, которым мы до сих пор пользовались. Действительно, мы применяем систему координат, связанную с телом, а линеаризацию проводим относительно потока на бесконечности; если же попытаться стать на единую точку зрения, взяв систему координат, связанную с потоком на бесконечности, то задача становится нестационарной. Полагая 自=Vg 十 с, приведем уравнение Больцмана к виду (Voo + c) •靄=£Д(13⑵

где оператор L линеаризован относительно максвеллиана со средним значением |, равным Vg, и, следовательно, среднее значение с равно нулю. В терминах с это уравнение больше похоже на нестационарное уравнение Больцмана, чем на стационарное.

Уравнение (13.2) можно исследовать по аналогии с частным случаем 人=0, рассмотренным в разд. 11 гл. IV, однако вид собственных решений в нашем случае более сложен. Таким образом, общее представление асимптотической части решения найти не легко. Шарф [70] получил разложение асимптотического решения в степенной ряд по k вплоть до членов второй степени. Конечно, это равносильно решению Чепмена — Энскога, оборванному на уровне Навье — Стокса; соответственно и результаты, получаемые с помощью решения Шарфа, могут быть получены непосредственно из уравнений Навье — Стокса [71].

Уравнение (13.2) было использовано автором [72] для исследования обтекания почти зеркально отражающего профиля (рис. 43) при умеренно больших числах Маха. Предполагается, что функция распределения удовлетворяет максвелловским граничным условиям (III. 5.1), а скорость набегающего потока VTC направлена вдоль оси х. Коэффициент аккомодации а и угол & (%) между поверхностью профиля и осью х считаются малыми. Точнее, предполагается, что выполнены следующие неравенства (М. — число Маха набегающего потока):

еМ <С 1.(13.3)

f^f^^+hlf^f^^+hl(13.4)(13.4)Конечно, при М V 1 достаточно ограничиться первым и третьим из этих условий, а при М > 1 — вторым и четвертым. При этих предположениях задачу можно линеаризовать, полагая

f^f^^+hl

f^f^^+hl

(13.4)

(13.4)

Рис. 43. Обозначения для случая обтекания тонкого профиля под малым углом атаки.

где foo ——максвеллиан набегающего потока, величина h2 пренебрежимо мала, а Л удовлетворяет уравнению (13.2) с Vg = =Vsi (i и j ——единичные векторы вдоль осей хор соответственно) .Граничные условия (Ш.5.1) принимают следующий вид (членами высшего порядка пренебрегаем):

九(х, с) —九(х, с —2j [j ・с]) = a A«f(!pS — ^^ с . j&土(x)

(y = 0 士； Q < x < Ц 士 j・c>0), (13.5)

где £+(%) и Е—(%)—углы наклона верхней и нижней поверхностей профиля, а 厶 ——длина его хорды. Заметим, что в (13.5) граничные условия записываются на интервале (0,厶)оси х, а не на границе профиля; это связано, конечно, с малостью £±(х).

Чтобы получить аналитическое решение задачи, целесообразно использовать для описания столкновений модель БГК； тогда, если hg = ®g]々2RTg , где 8оо ——время между столкновениями на бесконечности, уравнение (11.2) запишется так:

S -|^- + с • "^ =厶8‘卜 + 2с • u + t (с? —I) — Л j, (13.6) где S = Y J72RTg — скоростное отношение, с измеряется в единицах VwT и

г ==冗-/ \ Цг (х, с) de,

и ==冗一％，L2ch (х, с) de, (13.7) t \ е-с'(с? — з/j 八(X, с) rfc.

Для решения задачи необходимо рассмотреть фурье-преобразование h от h по пространственным переменным. Как было отмечено выше, в фурье-преобразованном уравнении появляется свободный член, включающий i раничные условия для неизвестной функции h. Поскольку граничные условия записываются на отрезке О V х V 厶 оси х, этот член зависит только от скачка А на оси у = 0 (0VxV^)・ В случае симметричного профиля, когда подъемная сила отсутствует (£_(х) = £十(工)=? (%)), в силу симметрии h(x, 0_, с) = h(x, 0+, с ——2j [j • с]) и условие (13.5) можно записать в виде

/г (%, 0+, с) — Л (%, 0_, с)=

=sgn (с - j) - 4Sc • js (х) (О V х V 厶)，(13.8)

так что скачок h на оси у = 0 известен в явном виде. Используя этот результат, легко получить, что Л удовлетворяет уравнению

г = ； + 2с• G + 彳(絞—％)о (々％, с)/in

•九8(S^ — k「c) 十九8(S& + k二с)，〈丄°

где

О (底，с) = + 2S ^/^，£ (x) e-泌%% dx +

0

+ 2(5 j)丿受：二L.(13.10)

Уравнение, аналогичное Сирович [74] при изучении тела; однако в этом случаеУравнение, аналогичное Сирович [74] при изучении тела; однако в этом случае(13.9), рассматривали Грэд [73] и дальнего поля в задаче обтекания свободный член зависел от с и был

Уравнение, аналогичное Сирович [74] при изучении тела; однако в этом случае

Уравнение, аналогичное Сирович [74] при изучении тела; однако в этом случае

неизвестен.

Если для вычисления г, и, т по формулам (13.7) использовать выражение Л из (13.9), то получится

(13.11)(13.11)4

(13.11)

(13.11)

X MaeU0 = Oa (а = 0, 1, 2, 3, 4),

где II Ма(3 II — матрица, а "伐，о^а — векторы, определяемые как

力九В =\ jr(13.12)

аР°)J 1 + 认8 (S右％ + к • с)' 丿

И

^3 = (^, R, 0a = (Wa, 6,(13.13)

(,)—скалярное произведение в 箔 и 屮& нормированы обычным образом ((屮办 Rs) = 3cxr).

При помощи надлежащего поворота в пространстве скоростей можно показать, что четыре уравнения системы (13.11),

описывающие течение в плоскости (%, у) (а = 0, 1, 2, 4), преобразуются в две подсистемы из одного и трех уравнений (для этого достаточно взять две оси параллельно и перпендикулярно к). Оказывается, что определители этих систем такие же, как У уже изученных систем; обращение в нуль знаменателя решения одного уравнения эквивалентно обращению в нуль М(а, s) из (6.9) (с s =，入8s々х, и — —(1 +，九8s3)/К), а обращение в нуль определителя системы трех уравнений эквивалентно равенству (8.17).

Задачу о корнях этих уравнений можно изучать при помощи кривой у, рассмотренной в разд. 6, н аналогичных кривых, исследованных Мэсоном [28] и упомянутых в разд. 8. Обсуждение этих корней, конечно, чрезвычайно важно для обращения преобразований Фурье; они вносят вклады в структуру акустических фронтов (слабых ударных волн), пограничных слоев и волн Эти результаты кратко изложены в упомянутой выше статье [72], но подробно до настоящего времени не обсуждались. Ясно, что напряжение сдвига на стенке дается формулой

匕2 = —а Их, Ю^П^^ —« 5 ^-^ d^ — a \ f^hd^ Т|<0 Т|<0 1]<0

(Л n = *・j), (13.14)

где использованы равенства (11.4) и (III 5.1). Эта точная формула показывает, что касательное напряжение состоит из двух частей. Первая часть имеет порядок а2 и соответствует свободномолекулярному значению; вторая часть имеет порядок а2, поскольку Л—-величина порядка а. Следовательно, поправка к свободномолекулярному значению ло^пвого сопротивления имеет поряпок а?： таким образом мы rhпим что иычис^ение h в первом приближении, которое лаез'ся линейной теорией кратко изложенной выше обеспечивает правильное выражение для лобового сопротивления с точностью до члена второго порядка по а.

Флуктуации и рассеяние света

Как известно (см. гл. II), уравнение Больцмана является усредненным уравнением, описывающим детерминированную Эволюцию одночастичной функции распределения. Это означает, что в уравнении Больцмана мы не учитываем флуктуаций функции распределения относительно ее среднего значения. Такие флуктуации можно формально учесть (по крайней мере, на уровне линеаризованного уравнения Больцмана), добавляя флуктуационный член S(x,聲，％); но можно сделать и точные

утверждения относительно его среднего значения, которое должно быть нулем, а также относительно корреляционной функции (S(х, I, QS(хх, |\ Г)), где ломаные скобки означают усреднение. Эта задача исследовалась Фоксом [75——77]. Однако если нас интересуют только флуктуации плотности, скорости и температуры, то благодаря уравнениям сохранения можно вычислять корреляционные функции для этих величин (〈р(х,/)р(х[/)〉=〈р(х, / — f)p(x, 0)) и т. д.), решена линеаризованное уравнение Больцмана (без флуктуационного члена) с начальным условием, соответствующим возмущениям плотности, импульса и энергии частиц.

Флуктуации плотности могут наблюдаться экспериментально при исследовании рассеяния лазерного света в одноатомных газах. Характеристики света, рассеиваемого жидкостями, зависят от флуктуаций диэлектрической постоянной материала, заключенного в заданном элементе объема. Вообще говоря, диэлектрическая постоянная & зависит от локальной массовой плотности и температуры, но для газообразных систем, состоящих из простых неполярных молекул, зависимость & от температуры очень мала. Спектр рассеянного света зависит от временной корреляции флуктуаций диэлектрической постоянной и, следовательно, от корреляционной функции плотность-плотность G(Iх — х[, %) = 〈р(х, Z)p(x‘，0)〉 или, точнее, от ее фурье-преобразования S (к, ш).

Длина волны света, используемого в экспериментах, обычно мала по сравнению со средней длиной свободного пробега частиц газа, но волновое число |к|, входящее в S(k,(о), равно 21 к。I sin (0/2), где ко ——волновой вектор падающего излучения, а О ——угол между к0 и волновым вектором ks рассеянного света. Соответственно для каждого угла наблюдения существует определенная флуктуация длины волны, и потому, меняя угол, можно измерить преобразование Фурье корреляционной функции плотность-плотность. При достаточно малых углах мы находимся в континуальном режиме и можно использовать гидродинамическую теорию, основанную на уравнениях Навье — Стокса. Однако следует ожидать, что, если средняя длина свободного пробега велика по сравнению с длиной волны, а угол 令 не очень мал, то профили, предсказываемые континуальной теорией, не совпадут с экспериментальными. Поэтому Ип и Нелькин [78] предложили использовать эксперименты по рассеянию для проверки линеаризованного уравнения Больцмана. Действительно, согласно проведенному выше рассуждению, корреляционная функция плотности G(r, £) определяется формулой

(14.1)(14.1)G (& 9 =，％ (Ю 力(х, I, %)恋(厂=I х I),

(14.1)

(14.1)

где /о(自)一равновесное максвелловское распределение, соответствующее плотности и температуре газа, a h удовлетворяет линеаризованному уравнению Больцмана в бесконечном пространстве и начальному условию

^(х, S, 0) = 6(х),(И.2)

представляющему заданную частицу в начале координат.

Эту задачу можно решить аналитически, если воспользоваться кинетическими модельными уравнениями. Решение легко находится с помощью фурье-преобразования этих моделей методами, аналогичными изложенным в предыдущих разделах. Некоторые из этих решений были получены Ипом и Нелькином [78], Ипом и Ранганатаном [79] и Сугаварой, Ипом и Сировичем [80]. Применимость этих результатов в широком интервале длин волн и частот была подтверждена тщательными экспериментами Грейтага и Бенедека [81].

Приложение

Изложим здесь некоторые результаты, относящиеся к сингулярным интегральным уравнениям и лежащие в основе свойств полноты собственных решений, изучаемых в основном тексте.

Напомним прежде всего некоторые свойства аналитических функций, регулярных в комплексной плоскости с разрезом вдоль кривой 厶；дальнейшие детали и доказательство можно найти в [8].

Пусть f(2)—аналитическая функция, стремящаяся к нулю при г -> оо, регулярная в комплексной плоскости с разрезом вдоль ориентированной незамкнутой кривой L. Пусть пределы /(г) при стремлении г к точке t w L существуют; обозначим эти пределы при подходе к L слева и справа через /+(/) и f~{t) соответственно. Если с обозначает любую из концевых точек L, то пусть I f (г) I < Л (г —，)-丫 при г -> с и некоторых Л и Y V 1. Пусть, наконец,

a(f) =广(。一厂⑴(П.1)

—скачок f (z) при переходе через разрез. Тогда A (Z) — функция типа Гёльдера на 厶(т. е. | f (八)一f (/2) \< A\t{ —/2|а, 0 <1

для /i, G 三丄)н

f(z)= *T"(口⑵

л

Кроме того, 广⑺+厂(/)=3八泻"，(п.з)

L

где Р — главное значение в смысле Коши.

Обратно, если задана функция △(力)типа Гёльдера на незамкнутой кривой L и А(/) <Z A\t——с\~У в обеих концевых точках для некоторых Л и у С 1, то функция f (г), определяемая формулой (П.2), регулярна в комплексной плоскости с разрезом вдоль L, стремится к нулю при г —> оо, и ее пределы при подходе к L слева и справа существуют, конечны и связаны с А (/) соотношениями (П.1) и (П.З). Эти соотношения, которые обычно называют формулами Племеля, можно переписать в эквивалентной форме:

产")= * j、巨力士^a(/)，(口⑷

Точное поведение f (z) при z + с описывается формулой

〃2)= ±4^1n(С一2)+ 81),(n.5)

если А(с)声 оо; знак плюс берется для верхнего предела интеграла (П.2), а минус ——для пижиего.

Рассмотрим теперь сингулярное интегральное уравнение с ядром Коши

Л (/) y(t) + B (/) Р J 乃？ ” = С (/) (У L),(П.6)

где А (/), В (/) и С«)——заданные функции, a L ——заданная незамкнутая кривая в комплексной плоскости. Способ аналитиче* ского решения уравнения (П.6) состоит в следующем. Введем функцию комплексного переменного 2：

"⑶= £[★”•(П.7)

Тогда уравнение (П.6) можно переписать в виде

[А (0 + 欣8 (切 ％+(/) — [A (Z) — 冗込⑺]AT (/) = С (/), (П.8)

где использованы формулы Племеля (П.1) и (П.З) (с \ — у, f = N). По заданному соотношению (П.8) между %+«) и A/一(力)нужно определить аналитическую функцию ^(г); эта задача известна как задача Гильберта. Будем считать, что A ±iB =^ Q на L. Как только N(г) найдена, 〃(％) получается, по формулам Племеля.

Чтобы решить задачу Гильберта, заметим, что если бы нужно было найти функцию X(z), аналитичную, отличную от нуля в комплексной плоскости с разрезом вдоль L и такую, что

[Л (Z) + 就 3 (/)] х -⑺=[Л С) 一 шВ (/)] х+ (О,(П.9)

то можно было бы записать соотношение (П.8) в виде

Х+ (/)犷(£) 一厂(/)旷⑺=备❷謡у(П.10)

и, согласно получитьи, согласно получитьформулам Племеля, примененным кформулам Племеля, примененным кNQ) =NQ) =1 11 1厂(f) C⑴ dt厂(f) C⑴ dtX (2) 2加 J A(t) — niB (/) t — zX (2) 2加 J A(t) — niB (/) t — zX⑵"⑵,(П.Н)X⑵"⑵,(П.Н)

и, согласно получить

и, согласно получить

формулам Племеля, примененным к

формулам Племеля, примененным к

NQ) =

NQ) =

1 1

1 1

厂(f) C⑴ dt

厂(f) C⑴ dt

X (2) 2加 J A(t) — niB (/) t — z

X (2) 2加 J A(t) — niB (/) t — z

X⑵"⑵,

(П.Н)

X⑵"⑵,

(П.Н)

при условии, что произведение X (z) N (z) стремится к нулю при %—>8. Следовательно, мы можем решить неоднородную задачу Гильберта, связанную с уравнением (П.6), если известно решение однородной задачи Гильберта (П.9). Но формулу (П.9) можно переписать в виде

In 廿(/) 一 In 厂(/) = In 黯t；g體,(П.12)

и применение формул Племеля к In X(2)дает

I V A(t) + niB(t)i⑴一就8(/)」I V A(t) + niB(t)i⑴一就8(/)」dtdt,(П.13),(П.13)

I V A(t) + niB(t)i

⑴一就8(/)」

I V A(t) + niB(t)i

⑴一就8(/)」

dt

dt

,(П.13)

,(П.13)

где а и |3 — концевые точки Л; у и 6 — и,елые числа, которые должны выбираться так, чтобы в обеих концевых точках выполнялось соотношение \X(z)\ k(z — с)° (—1 VoVl). Это требуется для того, чтобы было справедливо равенство (П.Н).

Следовательно, может оказаться, что А/(2) определяется не полностью, если можно выбрать более чем одну пару (у, 6) или, наоборот, если на функцию С(/) должно быть наложено какое- либо ограничение, поскольку поведение X (z) на бесконечности может быть таким, что "⑶ в виде (П.11) не стремится к нулю при г —► оо для произвольной С (/). Последнее имеет место для уравнений, рассматриваемых в основном тексте, каждый раз, когда собственные решения непрерывного спектра должны быть дополнены дискретными членами; ограничение на С(/) определяет коэффициенты этих дискретных членов.

Частным, но важным является случай, когда одна из концевых точек находится на бесконечности. Рассмотрим только пример, когда

[А (0 + 冗込(3/[4 (/) 一 тв(3

стремится к 1 при Z-> оо； тогда в (П.13) нужно взять ту ветвь логарифма, для которой логарифм стремится к нулю при 8. Кроме того, 8 = 0, если а — концевая точка, лежащая не на бесконечности.

[3][3][8]⑶[Ю][11] ：12：[14][15] [16][8]⑶[Ю][11] ：12：[14][15] [16]

[3]

[3]

[8]

⑶

[Ю]

[11] ：12：

[14]

[15] [16]

[8]

⑶

[Ю]

[11] ：12：

[14]

[15] [16]

Наконец, заметим, что теоремы I и II разд. 3 получены с помощью применения описанного выше метода к разложениям (3.25) и (3.30). В частности,尸(侬)一это просто [X (—侬)]一】，определенная формулой (ПЛЗ) с А (/) = p(t), В (/) = ^, а = 0, Y =——1 и 6 = 0. Этот факт можно использовать для того, чтобы доказать соотношения (3.35) — (3.37), применив к Х(2)формулы Племеля [4—6].

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Noble В., The Wiener-Hopf technique, Oxford, Pergamon Press, 1950; русский перевод: Нобл Б., Метод Винера ——Хопфа, М., ИЛ, 1962.

Davison В., Neutron transport theory, Oxford Univ. Press, 1957; русский перевод: Дэвисон Б., Теория переноса нейтронов, М., Атомиздат, 1960.

Williams М. М. R., Mathematical methods in particle transport theory, Butterworths, 1971.

Case К. M., Ann. Phys., N. 'Y., 9, 1 (I960).

Cercignani C., Ann. Phys., N. Y. 20, 219 (1962).

Cercignani C., Ann. Phys., N. Y., 40, 469 (1966).

Гельфанд И. M., Шилов Г. Е., Обобщенные функции и действия над ними, изд. 2. М., Физматгиз, 1959.

Мусхелишвили Н. И., Сингулярные интегральные уравнения. Граничные задачи теории функций и некоторые их приложения к математической физике, изд. 3, М., «Наука》，1968.

Фаддеева В. Н., Терентьев Н. В., Таблицы значений интеграла вероятностей от комплексного аргумента, М., Гостехиздат, 1954.

Fried В. D., Conte S. D., The plasma dispersion function: the Hilbert transform of the gaussian, New York, Academic Press, 1961.

Cercignani C., J. Math. Anal. AppL, 10, 93 (1965).

Albertoni S., Cercignani C., Gotusso L., Phys. Fluids, 6, 993 (1963).

Cercignani C., Foresti P., Sernagiotto F., Nuovo Cimento, X, 57B, 297 (1968).

Cercignani C., Sernagiotto F., in “Rarefied gas dynamics” (Brundin C. L., ed.), vol. I, p. 381, New York, Academic Press, 1967.

Maxwell J. C., Phil Trans. Roy. Soc., I, Appendix (1879); перепечатано в The scientific papers of J. C. Maxwell, New York, Dover, 1965.

Case К. M., Zweifel P., Linear transport theory, Reading, Addison-Wesley, 1967; русский перевод: Кейз К., Цвайфель П., Линейная теория переноса, М., «Мнр〉〉，1972.

Cercignani С., /. Math. Anal. Appl., 11, 93 (1965).

Cercignani С., /. Math. Anal. Appl., 12, 234 (1965).

Cercignani C., in “Rarefied gas dynamics" (Laurmann J. A., ed.), vol. II, p. 92, New York, Academic Press, 1963.

Knudsen M., Ann. d. Physik, 28, 75 (1909).

Mitsis G. L., Nucl. Sci. and Eng., 17, 55 (1963).

Bowden R. L., Williams C. D., /. Math. Phys., 5, 1527 (1964).

Cercignani C., Sernagiotto F., Ann. Phys., N. Y., 30, 154 (1964).

Cercignani C., Elementary solutions of linearized kinetic models and boundary value problems in the kinetic theory of gases, Brown Univ. Rep., 1965.

Cercignani C., Tambi R., Meccanica, 2, 25 (1967).

Doming J. J., Thurber J. K., in “Neutron transport theory conference4, ORO, 3858-1, USAEC, 1969.

[27][27][28] 29： 30][31] 32' '33= ：34][35][36" 37' ：38' ：39：[40][41] [42][28] 29： 30][31] 32' '33= ：34][35][36" 37' ：38' ：39：[40][41] [42][43][44][45] '46' '47' ：48：[49][50]：52： ‘53’■54 ：55：[56][57][43][44][45] '46' '47' ：48：[49][50]：52： ‘53’■54 ：55：[56][57][58]p[58]p

[27]

[27]

[28] 29： 30]

[31] 32' '33= ：34]

[35]

[36" 37' ：38' ：39：

[40]

[41] [42]

[28] 29： 30]

[31] 32' '33= ：34]

[35]

[36" 37' ：38' ：39：

[40]

[41] [42]

[43]

[44]

[45] '46' '47' ：48：

[49]

[50]

：52： ‘53’

■54 ：55：

[56]

[57]

[43]

[44]

[45] '46' '47' ：48：

[49]

[50]

：52： ‘53’

■54 ：55：

[56]

[57]

[58]p

[58]p

Watson G. N., Theory of Bessel functions, Cambridge Univ. Press, 1958; русский перевод изд. 1945 г.: Ватсон Г., Теория бесселевых функций, U 19 M И Л 1Q4Q

М&п R： 「Phys： Fluids, 13, 467 (1970).

Williams М. М. R., Spain J., /. Fluid Мес九.，42, 85 (1970).

Cassel J. S., Williams M. M. R., Transport Theory and Statistical Phy- sics, 2, 81 (1972).

Darrozes J. S., La Recherche Aerospatiale、119、13 (1967).

Cercignani C., Transport Theory and Statistical Physics (в печати).

Ostrowski H. S., Kleitman D. J., Nuovo Cimento, XLIV В 49.

Mason R. J., in “Rarefied gas dynamics^^ (Brundin C. L., ed.), vol. I, p. 395, New York, Academic Press, 1967.

Weitzner H., in “Rarefied gas dynamics^^ (de Leeuw J. H., ed.), vol. I, p. 1, New York, Academic Press, 1965.

Cercignani C., Tironi G., Nuovo Ctmento, 43, 64 (1966).

Cercignani C., Ann. Phys., N. Y., 40, 454 (1966).

Веку а И. H., Обобщенные аналитические функции, M., Физматгпз, 1959.

Kling Т., Kuscer I., Transport Theory and Statistical Physics, 1, 41 (1971).

Cercignani C., Sernagiotto F., in “Rarefied gas dynamics" (Brundin C. L., ed.), vol. I, p. 381, New York, Academic Press, 1967.

Ka per H. J., /. Math. Phys., 10, 286 (1969).

Duderstadt J. J., Ph. D. Thesis, California Inst, of Technology, Pasadena, 1968.

Карег H. G., Ferziger J. H., Loyalka S. K・，in “Neutron thermalization and' reactor spectra", Vienna, IAEA, 1968.

Case К. M., in “The Boltzmann equation” (Griinbaum F. A., ed.), New York Univ., 1972.

Case К. M., Hazeltine R. D., /. Math. Phys., 11, 1126 (1970).

Case К. M., Hazeltine R. D., /. Math. Phys., 12, 1970 (1971).

Sirovich L., Thurber J. K・，丄 Acoust. Soc. Am., 37, 329 (1965).

Nicolaenko B., Thurber J. K・，Doming J. J., /. Quant. Spectrosc. Radiat. Transfer, 11, 1007 (1971).

Nicolaenko B., in uThe Boltzmann equation" (Griinbaum F. A., ed.), p. 173, New York Univ., 1972.

Greenspan M.. /. Acoust. Soc. Am., 28, 644 (1956).

Meyer E., Sessler G., Z. Physth、149, 15 (1957).

Buckner J. K・，Ferziger J. H., Phys. Fluids, 9, 2315 (1966).

Grad H., SIAM J. Appl. Math., 14, 935 (1966).

Sirovich L., Thurber J. K・，/• Acoust. Soc. Am , 38, 478 (1965).

Thurber J. K・，in “The Boltzmann equation" (Griinbaum F. A., ed.), p/ 211, New York, Univ., 1972.

Mason R. J., 2力 “Rarefied gas dynamics" (de Leeuw J. H., ed.), vol. I, 48, New York, Academic Press, 1965.

Wang Chang C. S., Uhlenbeck G. E., Univ, of Michigan Engineering Research Institute Project M 999; перепечатано в Wang Chang C. S； Uhlenbeck G. E., The kinetic theory of gases, Studies in statistical mechanics, vol. V, Amsterdam, North-Holland.

Pekeris C. L., Alterman Z., Finkelstein L., Frankowski K・，Phys. Fluids, 5, 1608 (1962).

Kahn D., Mintzer D., Phys. Fluids, 8, 1090 (1965).

Abarbanel S. S., in "Rarefied gas dynamics11 (Brundin C. L., ed.), vol. I, p. 369, New York, Academic Press, 1967.

Sessler G., /. Acoust. Soc. Am., 38, 974 (1965).

Maidanik G., Fox H. L., Heckl A(, Phys. Fluids, 8, 259 (1965); русский перевод: сб. Механика, № 6 (94), 53—64 (1965).

Hohvay L. H., Phys. Fluids, 10, 35 (1967).

躋躋66" '67' ：68' 69：66" '67' ：68' 69：[70][70][73][74][73][74]「75] 76； 77* 78； 79' 80' '8Г[82*'「75] 76； 77* 78； 79' 80' '8Г[82*'[83*][84*][85*][83*][84*][85*]Lees I,, S/4M 丄 Appl. Math., 13, 278 (1965).

躋

躋

66" '67' ：68' 69：

66" '67' ：68' 69：

[70]

[70]

[73]

[74]

[73]

[74]

「75] 76； 77* 78； 79' 80' '8Г

[82*'

「75] 76； 77* 78； 79' 80' '8Г

[82*'

[83*]

[84*]

[85*]

[83*]

[84*]

[85*]

Cercignani C., Mathematical methods in kinetic theory, New York, Plenum Press, 1969; русский перевод： Черчиньяни К., ДАатемэтические методы в кинетической теории газов. NI., «ДАир», 1973.

Toba К„ Phys. Fluids, 11, 2495 (1968).

Hanson F. В., Morse T. F., Phys. Fluids, 12, 1564 (1969).

Cercignani C., Phys. Fluids, 11, 303 (1968).

Van Dyke AV, Pei lurbation methods in fluid mechanics, New York, Academic Press, 1964; русский перевод: Ван-Дайк M., Методы возмущений в механике жидкости, М., «Мир», 1967.

Scharf G., Phys. Fluids, 13, 848 (1970).

Cercignani C., Phys. Fluids, 15, 957 (1972).

Cercignani C., 8th Symposium on Rarefied Gas Dynamics, Stanford Univ., 1972.

Grad H„ New York Univ. HYO-2543, 1959.

Sirovich L., in “Rarefied gas clynamics,> (Talbot L., ed.), New York, Academic Press, 1961.'

Fox R. F., Ph. D. Thesis. Rockefeller Univ., New York, 1969.

Fox R. F., Uhlenbeck G. E , Phys. Fluids, 13, 1893 (1970).

Szu H. H., Ph. D. Thesis, Rockefeller Univ., New York, 1971.

Yip S„ Nelkin M„ Phys. Rev., 136, A1241 (1964).

Yin S., Ranganathan S., Phys. Fluids, 8, 1956 (1965).

Sugawara A., Yip S., Sirovich L., Phys. Fluids, 11, 925 (1968).

Greytag T. J., Benedek G. B., Phys. Rev. Letters, 17, 179 (1966).

Арсеньев А. А., О решении дисперсионного уравнения для линеаризованного уравнения Больцмана в кинетической теории разреженных газов, Ж. вычисл. мат. 〃 мат. физики, 6, № 2, 375—380 (1966).

Коган М. Н., Макашев Н. К., О течении газа в плоском канале, вызванном продольным градиентом температуры при произвольном числе Кнудсена, Ученые записки ЦАГИ, 1, № 2 (1970).

Черемисин Ф. Г., Проверка качества аппроксимации интеграла Больцмана релаксационной кинетической моделью Крука, Мех ан. жидкости и газа, № 4, 3—7 (1970).

Скворцов Г. Е., О динамике больцмановских систем, ЖЭТФУ 52, № 6, 1283—1297 (1967).

VII

Переходный режим

Введение

Сложность результатов, полученных в гл. VI даже для сравнительно простых задач и моделей столкновений, заставляет считать, что для более сложных задач и более точных моделей необходимо искать менее тонкие методы, дающие приближенные, но по существу правильные результаты. В пределе больших и малых чисел Кнудсена такие методы исследованы в гл. V; в настоящей главе будет рассмотрен переходный режим, промежуточный между почти континуальным и почти свободномолекулярным течениями.

В случае линеаризованного уравнения Больцмана для переходного режима можно развить последовагельные, точные и сравнительно простые методы решения. Они основаны на вариационных методах (разд. 3) и методе дискретных ординат (разд. 2). Обычно результаты, полученные такими методами, хорошо согласуются с экспериментом и вносят ясность в основные построения теории переходного режима в тех случаях, когда нелинейными эффектами (в частности, ударными волнами) можно пренебречь.

Для нелинейных задач можно воспользоваться «моментными методами» (разд. 2), которые сводятся к решению системы нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных. Вообще говоря, решение этой системы вызывает большие трудности, чем решение уравнений Навье ——Стокса, поэтому для решения таких систем приходится прибегать к численным методам. Но тогда может оказаться более удобным применять численный метод, основанный на методе дискретных ординат, непосредственно к самому уравнению Больцмана (разд. 2). Наконец, много исследований посвящено методу статистического моделирования Монте-Карло (разд. 4).

Применяя все эти методы, можно упростить вычисления, если использовать модельные уравнения, но следует заметить, что в нелинейных задачах точность кинетических моделей менее очевидна, чем в линеаризованных.

Моментный метод

и метод дискретных ординат

Если умножить обе части уравнения Больцмана на функции (рг- (I) (1=1, ..., ^), образующие полную систему, и проинтегрировать по всем скоростям молекул, то получится бесконечная система уравнений

/，О (Ю f (х,募 О 密 + ^ • \ 0 (S f (x,三，f)三愈=

= ^i^Q(f, ^dl (i=l,^, ...), (2.1)

которой должна удовлетворять функция распределения. Эта бесконечная система уравнений (максвелловские уравнения переноса) эквивалентна уравнению Больцмана в силу полноты системы функций ｛屮分.Общая идея так называемых моментных методов состоит в том, чтобы удовлетворить только конечному числу уравнений переноса, или моментных уравнений. Это приводит к большой неопределенности в функции распределения f, так как только бесконечная система уравнений (2.1) с заданными начальными и граничными условиями может определить /. Таким образом, можно выбирать f до некоторой степени произвольно и с помощью моментных уравнений доопределить те детали, которые остались неопределенными.

Моментные методы отличаются друг от друга различными системами функций ｛恥｝ и степенью произвола самой функции f. Их общей чертой является предположение о том, что f есть заданная функция от * и содержит ^ произвольных параметров (/ = 1, ..., ^), зависящих от х и /; таким образом, если взять N моментных уравнений, то получится N уравнений в частных производных для определения неизвестных Mi (х, t). Несмотря на значительную степень произвола, можно надеяться, что любой алгоритм даст для достаточно больших ^ результаты, по существу не зависящие от первоначального выбора. Более того, на практике можно надеяться, что и для достаточно малых ^ при надлежащем выборе произвольных элементов можно получить хорошие результаты.

В простейшем случае [1] предполагается, что f представляет собой максвелловскую функцию распределения f0, умноженную на полином

N - 1

f =Q^(x, /)%(§,(2.2)

где для удобства полином представлен через трехмерные полиномы Эрмита "儿(W), ортогональные с весом f0- Удобно также выбрать в качестве f0 локальный максвеллиан (при этом

Qo=l, Qi = Q2 = Q3 = Q4 = 0) • Если в уравнение (2.1) подставить (p^ = Hi (2 = 0, ..., /V—1) и решить полученную систему уравнений в частных производных, то можно определить N произвольных величин, отождествив их с основными моментами (р,。高 Т, ptj, qt и моментами более высокого порядка). Подходящим будет ^ = 13; в этом случае неизвестными являются р, и», Т, pij — p^ij, дз а соответствующие уравнения известны под названием тринадцатимоментной системы Грэда.

Представление (2.2) неудобно, так как функция распределения предполагается непрерывной в пространстве скоростей, а это не имеет места, например, на плоской границе. Более того, и некоторых нелинейных задачах на вопрос о сходимости полиномиальных приближений можно дать определенно отрицательный ответ; так, Холвей [2] показал, что для молекул с конечным радиусом взаимодействия (таких, как твердые сферы) ряды полиномов Эрмита, по которым разлагается функция распределения в ударной волне, не сходятся, если число Маха набегающего потока М больше чем 1,851.

Чтобы избавиться от первого из упомянутых выше неудобств, можно в качестве f выбрать функцию, которая уже учитывает разрывы в пространстве скоростей, например функцию, которая представляется различными выражениями типа (2.2) в различных областях пространства скоростей. При этом в качестве системы функций {cpj можно выбрать либо кусочно непрерывные [3—6], либо непрерывные функции [7]. Второй метод, по-види- мому, результативней и проще в обращении; в самой грубой постановке он сводится к представлению функции распределения кусочно непрерывной максвелловской функцией, причем местоположение разрывов определяется свободномолекулярным решением.

Для устранения расходимости решения в нелинейных задачах, особенно в течениях, включающих ударные волны, можно использовать линейные комбинации максвелловских распределений [8] и брать подходящие моменты (см. разд. 6). С другой стороны, в качестве /0 можно рассматривать не локальные, а глобальные максвелловские распределения [9]. Кроме того, результаты Чорена [10], по-видимому, указывают на то, что в задаче о структуре ударной волны при умеренных числах Маха можно устранить трудности, связанные с расходимостью, если рассматривать решение стационарной задачи как предел при t + д решения соответствующей нестационарной задачи.

Можно получить более точное (но обычно и более сложное) приближение к функции распределения, используя результаты аналитического исследования особенностей решения; для этого нужно выбрать аппроксимирующие функции таким образом,

чтобы они точно воспроизводили особенности при соответствующем предельном переходе [11].

Ясно, что, если разумно выбирать произвольные элементы, то моментные методы могут давать хорошие результаты, но — и это следует помнить — в конце концов они приводят к столь сложным уравнениям, что для их решения могут быть применимы только численные методы.

Особым свойством обладают максвелловские молекулы: если в качестве {(рг} выбрать последовательность полиномов, то интегралы в правой части уравнений (2.1) выражаются явно через моменты по всему пространству скоростей ，屮Jd三， причем в правую часть z-го уравнения входят моменты степени не выше, чем степень 屮小 Это означает, что в пространственно однородном случае можно последовательно определять зависимость моментов от времени путем решения обыкновенных дифференциальных уравнений (по существу линейных даже в нелинейном случае) [12].

Все описанные выше методы могут быть применимы и уже применялись к линеаризованному уравнению Вольцмана [13—— Г9, 3——5]. Аналогичные методы хорошо показали себя в задачах переноса нейтронов и переноса излучения. Особенно много работ выполнено с помощью разложения по сферическим гармоникам и полипомам Лежандра [20, 22] и так называемого двойного Р「мето“а, основанного на кусочно непрерывной аппроксимации [22—23].

Важной проблемой для моментных методов является выбор граничных условий, которым должны удовлетворять решения моментных уравнений. Особых трудностей не возникает для методов, основанных на кусочно непрерывных функциях от |, если разрывы расположены так, что они имеют место на границах при |-п — 0. В случае аппроксимации функции распределения непрерывными функциями типа (2.2) мы сталкиваемся с той трудностью, что граничные условия выражают функцию распределения вылетающих с поверхности частиц через функцию распределения падающих; поэтому из граничных условий можно получить соотношения только для полупрострапственных моментов.

Помимо малой точности, которую следует при этом ожидать, возникает вопрос, сколько условий нужно ставить в каждой задаче на разных участках границы и каковы должны быть эти условия. Очевидно, что число j словий нельзя считать просто равным числу моментов или порядку уравнений. Этот вопрос детально обсуждался в задачах переноса нейтронов, где рассматривалось несколько вариантов граничных условий, причем

самыми известными из ннх являются условия Маршака и условия Марка [22].

Применительно к задачам кинетики газов граничные условия, аналогичные условиям Маршака, рассматривали Грэд [1], а также Ван Чан и Улеыбек [14—16] ).

Следует отметить, что моментные методы, основанные на непрерывных аппроксимациях функции f, плохо применимы в пределе свободномолекулярных течений, так как в этом случае граничные условия играют определяющую роль.

К моментным методам тесно примыкает метод дискретных ординат (или дискретных скоростей). Выберем ряд значений скорости 自力 где ，= 0, 1, ..., ^—1; затем, используя какой- либо ингерполяционный метод, выразим функцию распределения через ее значения, соответствующие скоростям |(. После этого подставим ф； = 5(§ ——li) в систему (2.1) и получим систему уравнений для "(х, Z), т. е. f (х,自，/) при g = £». В результате интегродифференциальное уравнение Больцмана заменяется системой нелинейных дифференциальных уравнений для ^ функций 厶.Решение полученных уравнений (численными методами) было найдено для БГК- и ЭС-моделей [24—31] и для линеаризованного уравнения Больцмана и кинетических моделей [30, 32—38].

Этот метод, конечно, хорошо известен в задачах переноса нейтронов и переноса излучения [23, 39, 40]. Если в качестве скоростей ^ выбрать нули полиномов Эрмита Нк (|) и воспользоваться соответствующей интерполяционной формулой, то метод дискретных ординат будет по существу эквивалентен моментному методу, основанному на разложении (2.2) с фиксированной, а не локальной максвелловской функцией %. Для переноса нейтронов в случае односкоростного приближения этот результат был детально рассмотрен Гастом [41].

Уравнения, полученные методом дискретных ординат, всегда содержат в левой части простой линейный дифференциальный оператор, в то время как в моментных методах для полного уравнения Больцмана получаются квазилинейные дифференциальные выражения (если разложение типа (2.2) основано не на фиксированном максвелловском распределении).

Существуют и другие типы методов дискретных ординат; мы упомянем только так называемый 3Лг-метод Карлсона [42], широко используемый в задачах переноса нейтронов.

Моментные методы и метод дискретных ординат могут применяться к интегральной форме уравнения Больцмана (разд. 12 гл. IV) еще с большим успехом, чем к его стандартной интегро- дифференциальной форме [43——46]. Это обстоятельство должно

быть принято во внимание, когда для описания столкновений используются модели типа Б Г К. Действительно, в этом c/yqae, используя интегральную форму уравнения Больцмана, можно получить конечную систему точных интегральных уравнений, включающих только конечное число моментов (пять в случае БГК-модели). Хотя эти уравнения могут быть очень сложными, существенным преимуществом является переход от семи независимых переменных (х, |, /) к четырем (х,/), что очень важно для численных расчетов. Эти точные интегральные уравнения можно решать при помощи применения дискретной схемы по координатам и времени (единственным оставшимся независимым переменным). В одномерных линеаризованных задачах [47——53] это приводит к системе нескольких интегральных уравнений с одной независимой переменной, и тогда можно добиться практически точного результата при ограниченном времени счета.

Вариационный метод

При решении уравнения Больцмана методом моментов или замене столкновительного члена простой моделью отказываются от намерения точно, исследовать функцию распределения и ограничиваются изучением пространственных изменений некоторых моментов, имеющих конкретный физический смысл, таких, как плотность, массовая скорость, температура и тепловой поток. Однако следует заметить, что для сравнения с некоторыми экспериментальными данными не требуются даже столь ограниченные сведения. В самом деле, типичным результатом экспериментального исследования течения Пуазейля является зависимость расхода от числа Кнудсена. Аналогично экспериментально определяются константа напряжения в течении Куэтта, константа теплового потока в задачах о теплопередаче, лобовое сопротивление при обтекании тела потоком газа. С точки зрения нахождения этих суммарных величин любое вычисление полей потока представляется бесполезной тратой времени.

Конечно, знание полей потока всегда интересно и вносит ясность во многое, но часто мы качественно представляем себе пространственное поведение неизвестных величин настолько четко, что можем предложить для них простые аналитические аппроксимации, содержащие небольшое число неопределенных констант. Естественно, поэтому, что наиболее полезным можно считать метод, который наряду с правилами точного определения указанных выше констант позволял бы с высокой точностью оценивать и другие средние характеристики, представляющие практический интерес. Все эти черты являются типичными для

вариационных подходов, так чю именно в этом направлении следует искать нужный метод.

Вариационный метод основан на существовании вариационного принципа, соответствующего данному уравнению. Вариационный принцип утверждает, что пробная функция 瓦 содержащая некоторое число неопределенных постоянных сй обращает вариацию функционала /(”) в нуль тогда и только тогда, когда й — й, где h ——решение данного уравнения. Выражение J является функцией констант &; приравнивая нулю частные производные от этой функции по Q, получаем систему уравнений, которая, согласно вариационному принципу, определяет «наилучшие» значения с^ Метод особенно ценен благодаря тому обстоятельству, что обычно суммарные величины, представляющие наибольший интерес, можно выразить через величину J при 历=/z； кроме того, если ошибка в определении й имеет порядок & то ошибка в определении J имеет порядок 82.

Вариационные принципы для линеаризованного уравнения Больцмана излагались в разд. 10 и 12 гл. IV. Если вариационный принцип применять к интегродифференциальному уравнению (разд. 10 гл. IV), то трудно сделать простые, но разумные предположения о функции распределения, однако если удается сделать такие предположения, то они приводят к простым выражениям для приближенного решения. Использование модельных уравнений в интегральной форме (разд. 12 гл. IV) приводит к длинным вычислениям и громоздким результатам даже для простых пробных функций, но результаты окупаются даже при не слишком удачных предположениях. В самом деле, примене； ние модельных кинетических уравнений в интегральной форме означает, что предположение о конечном числе моментов приводит к функции распределения, которая автоматически удовлетворяет граничным условиям; какие бы предположения ни делались, результат все равно останется верным по структуре в свободномолекулярном пределе.

В качестве примера применения вариационного метода рассмотрим решение задачи Крамерса (разд. 4 гл. VI) для БГК- модели [54]; мы знаем, что данную задачу можно решить точно, но теперь игнорируем это обстоятельство. Если следовать методу, изложенному в разд. 12 гл. IV, то возмущение функции распределения можно выразить через единственный момент, а именно через г-компоненту массовой скорости, Оз(%). Дело в том, что плотность, температура и оставшиеся компоненты скорости остаются невозмущенными при линеаризованной постановке задачи (как нам известно из процедуры разбиения, использованной в гл. VI). Следовательно, можно записать интегральное уравненпе для из, взяв соответствующий момент от

функции Л, выраженной через из. Если положить

屮(х)=应(х) — ох]/(ое),

т. е. вычесть из из член, описывающий ее асимптотическое поведение, и привести неизвестную к безразмерному виду, то получится интегральное уравнение

冗％屮(х) = * (х) + " г I х — 川)屮(〃)出(％》0),(3.1)

где величина 0 считается равной единице, скорость, как обычно, выражается в единицах (2RT)%, а трансцендентные функции Тп (%) определяются формулой (IV. 12.23).

Положи м

n=呼中(х)=冗"/⑵)，(3.2)

где С——коэффициент скольжения, а / ——средняя длина свободного пробега. Тогда, вводя функцию

2(Х)=中(%) - 国(3.3)

получаем

4"(х)-卜_|(1工一川)屮(")d， =7\(工)一以0(X)(х三0),(3.4)

где использовано соотношение (IV. 12.24).

Так как функция W(x) интегрируема на (0, оо), уравнение

можно дважды проинтегрировать от х до оо, что даст

"(к — 〃 I) 2 匂)dy =財2 (х) - Тз (х) (х》0);(3.5)

здесь использованы соотношения (IV. 12.24) и (IV. 12.25).

Основной функционал для этой задачи имеет вид

J®)=疗％『dx { [ф (x)F —『7一1 (I I) @ (х) @ 匂)dx —

— 2@(x)Ti(x)}・(3.6)

Этот функционал достигает минимума, когда ф = ср, где 屮—— решение уравнения (3.1). Уравнение (3,5) при х = 0 дает

[丁1 (，)W (，) dy = %卩冗％ — %,(3.7)

так что в силу (3.2)

白/ [2/冗 + (4/п)『ф (у)•(3.8)

Отметим теперь, что при ф = ср

J (屮)=min [/ (初=—『屮 ®) & ①)dy(3.9)

и

и (3.8) принимает вид

С = / {2/л 一 (4/л) min 卩®)]}•(3.10)

Таким образом, мы нашли прямую связь между коэффициентом скольжения и минимальным значением, достигаемым функционалом J(@)； это означает, что даже грубая оценка для ф может дать точное значение для 軍 Поэюму возьмем простейший вариант пробной функции:屮=с (константа).

Непосредственным вычислением находим

J(c) = %c2__%n%c.(3.11)

Минимальное значение достигается при

с = % 吟(3.12)

что соответствует

)(%П%) = 一%m(3.13)

При этом из (3.10) получается значение

e=[%+(2/n)]?= 1,13662,(3.14)

сравнимое с точным значением (IV. 4.14), равным 白= 1,1466 /. Мы видим, что даже очень грубый выбор ф, выбор, который, как известно, совершенно не соответствует описанию кинетического пограничного слоя, дает довольно точную оценку коэффициента скольжения g.

Такую же процедуру можно применять к моделям с частотой столкновений, зависящей от скорости [55, 56].

Приведенный пример показывает, что если мы располагаем вариационным принципом, то небольшой объем вычислений дает достаточно точные результаты: как станет ясно из дальнейшего изложения (разд. 5 и 7), тут не просто случайное совпадение. Это обстоятельство побуждает искать вариационный принцип и для нелинейного уравнения Больцмана. К сожалению, это не так просто. Дело в том, что для любого уравнения

N(f) = 0,(3.15)

вообще говоря, можно построить вариационный принцип методом наименьших квадратов, полагая

/(f)=, W(f)PdQ, 6/ = 0,(3.16)

где dQ ——элемент объема в соответствующем пространстве (для стационарного уравнения Больцмана dQ = W(x,三)dxd^, где W(x, I)——любая функция, например W = 1). Однако уравнения, определяющие приближенные решения, обычно довольно сложны. Кроме того, при f = f функционал 丿 обращается в нуль и не может давать значения физически интересных величин. Такие вариационные принципы мы будем называть тривиальными. Нетривиальный вариационный принцип обычно отражает некоторую основную симметрию рассматриваемого уравнения; подобные симметрии легче найти для линейных уравнений, хотя систематические методы исследования существуют и для нелинейного случая [57].

С другой стороны, можно ввести дополнительную неизвестную ф и рассмотреть функционал

7(/, ср) = J ^f dQ.(3.17)

Тогда при варьировании f и 屮 по отдельности равенство 3/ = О будет иметь место тогда и только тогда, когда

Nf = O,市 f(p = O,(3.18)

где Nf ——производная Гато [57] от W по / (М/ ——линейный оператор, в общем случае нелинейно зависящий от f), a Nf ——оператор, сопряженный N卜 В случае стационарного уравнения Больцмана

希№ = 一自•生-V*3‘-d-①-*)3(0，也*一自1)如盘畴，

(3.19)

где используются стандартные обозначения (разд. 4 гл. II).

Подход, основанный на использовании функционала (3.17), полезен только в том случае, когда мы располагаем хорошими приближенными представлениями не только для f, но и для ср (решением уравнения (3.19)). Вторую аппроксимацию сделать трудно, поскольку ф не имеет простого физического смысла.

Вариационные методы широко применялись к задачам переноса нейтронов. Здесь, конечно, уравнение линейно и метод работает вполне хорошо, хотя в тех случаях, когда доминируют захват или деление, выбор пробных функций — дело нетривиальное [22, 58—66].

Упомянем также так называемый метод граничных условий [67——69], который в какой-то мере связан с вариационным методом [69] и, по-видимому, может быть распространен на нелинейные задачи. Суть метода состоит в использовании уравнений Навье ——Стокса (при любых значениях числа Кнудсена!) с надлежащими граничными условиями, моделирующими эффект кнудсеновских слоев.

По самой своей природе этот метод удобен для вычисления суммарных величин. Некоторые незамеченные численные ошибки привели к результатам, побудившим создателей метода отказаться от него. Появившаяся затем статья Лоялки [69], по-вп- димому, указывает на то, что метод заслуживает дальнейшего изучения.

Методы Монте-Карло

Название метода Монте-Карло относится к целому ряду вычислительных процедур, общим свойством которых является скорее математическое моделирование физических явлений на быстродействующих вычислительных машинах, чем решение уравнения Больцмана как такового.

_ Простейший случай ——свободномолекулярное обтекание вогнутого тела [70]. Как было указано в разд. 8 гл. V, эта задача приводит нас к решению интегральных уравнений. Согласно методу Монте-Карло, прослеживаются траектории отдельных молекул и вычисляется функция распределения по фактическому числу пробных частиц, находящихся в каждой дискретной ячейке, на которые разбито все фазовое пространство. Частица, столкнувшаяся с поверхностью, заменяется частицей, скорость которой выбрана случайным образом в соответствии с вероятностным распределением, заданным граничными условиями.

Этот метод можно обобщить на гиперзвуковое околосвобод- иомолекулярное течение, если рассматривать но только столкновения с твердыми границами, но также и первые столкновения отраженных частиц с молекулами свободномолекулярного течения [71, 72].

При меньших значениях числа Кнудсена уже нельзя ограничиваться первыми столкновениями и анализ существенно усложняется. В связи с этим было предложено несколько модификаций метода Монте-Карло.

Первый метол является обобщением метода «пробных qa- стида и основывается на итерационном процессе. В этом случае принимаются во внимание также столкновения пробных частиц с полевыми. На первом ware функция распределения полевых частиц задается из априорных соображений, а на ка?клом еле-

дующем шаге итерационного процесса уточняется на основе оценки, получаемой из всей истории пробных частиц. Итерационный процесс продолжается до тех пор, пока функция распределения пробных частиц не совпадает с приемлемой точностью с функцией распределения полевых частиц. Этот метод был впервые предложен Хэвилендом и Левином [73, 74], а затем обобщен и модифицирован другими авторами [75—78].

Второй метод ——это метод прямого моделирования, впервые предложенный Бердом [79—89]. Газ представляется несколькими тысячами частиц, распределенными в начальный момент равномерно со скоростями, выбранными случайным образом из максвелловского распределения с ненулевой средней скоростью. Область пространства, в которой рассчитывается течение, делится на ряд смежных ячеек такого размера, чтобы свойства газа в пределах каждой ячейки были почти постоянными на любой стадии движения. Граничные условия зависят от рассматриваемой задачи.

Например, стационарное обтекание твердого тела получается как решение за большой промежуток времени задачи нестационарного обтекания, создаваемого мгновенным внесением тела в равномерный поток При этом предполагается, что частицы, представляющие газ, движутся с начальными скоростями в течение времени Д/т, малого по сравнению со средним временем свободного пробега в невозмущенном газе. Частицы, попадающие за время Д/ш на возмущающую границу, мгновенно отражаются с новой скоростью, выбранной случайно в соответствии с принятым законом отражения. По прошествии времени A/加 все молекулы «останавливаются» и те из них, которые расположены внутри данной конфигурационной ячейки, рассматриваются как возможные партнеры по столкновению (независимо от их положения внутри ячейки).

Однако действительная вероятность столкновения случайной пары частиц зависит от молекулярной модели. Следовательно, некоторая случайная пара включается в столкновение с вероятностью, пропорциональной произведению относительной скорости V на сечепке столкновения d(，). Азимутальный угол е и прицельный параметр b при расчете столкновения выбираются случайным образом (с однородным и линейно возрастающим распределением соответственно). Для степенных потенциалов вводится обрезание по углу, так что b ^ bmax(V). Скорости после столкновения вычисляются и запоминаются.

При расчете каждого столкновения счетчик времени для данной ячейки продвигается на Af = (2//Vc)[n(&max)2Vn]-1, где 九——численная плотность, a N,——фактическое число представляющих газ молекул в ячейке. Второй множитель в выражении для Д/ равен среднему времени между столкновениями,

когда пучок молекул плотности п проходит через один рассеивающий центр с относительной скоростью V. Множитель 2/N, уменьшает среднее время между столкновениями пропорционально числу рассеивающих центров (множитель 2 вводится для того, чтобы не считать каждую молекулу одновременно и рассеивающим центром, и частицей пучка).

Расчет столкновений ведется до тех пор, пока приращение времени не достигнет в сумме величины порядка Д/т. Когда эта процедура выполнена в каждой ячейке, общее время передвинулось на А/ш и каждая молекула прошла расстояние, равное произведению ее скорости на Мт. Затем следует другой интервал столкновений и т. д.

В избранных интервалах времени замеряется численная плотность п в каждой ячейке. Это делается потому, что п требуется при расчете столкновений. Можно производить выборочные замеры и других величин, таких, как потоки массы, импульса и энергии на границах. Для течений, которые в конечном итоге становятся стационарными, последовательные выборки после установления стационарных условий можно усреднять для того, чтобы оценить объем выборки и уменьшить статистический разброс в конечных результатах. Для нестационарных течений подобный эффект достигается осреднением результатов ряда отдельных серий.

Аналогичные процедуры широко использовались в задачах переноса нейтронов [90——92], где можно опираться на тот факт, что полевые частицы имеют фиксированное распределение, так что метод пробных частиц применим без необходимости итераций.

Следует указать, что методом Монте-Карло называют также статистический метод вычисления интегралов столкновений [93——95] при численном решении уравнения Больцмана,

Течения и теплоперенос в областях, ограниченных плоскостями

или цилиндрическими поверхностями

К простейшим задачам газовой динамики относится исследование течений газа между двумя параллельными пластинами. Таковы плоские течения Куэтта и Пуазейля, рассмотренные в разд. 5 гл. VI, и теплоперенос в неподвижном газе, заключенном между параллельными пластинами, на которых поддерживаются различные температуры. Следующими по сложности являются соответствующие задачи цилиндрической геометрии: течение Куэтта между двумя вращающимися коаксиальными цилиндрами, течение Пуазейля в трубах цилиндрического н

кольцевого сечения и теплоперенос между коаксиальными цилиндрами.

Главная цель данного раздела состоит в том, чтобы изложить результаты, полученные для этих задач при помощи различных методов, описанных в предыдущих разделах.

Начнем с течения Куэтта между двумя параллельными пластинами (см. разд. 5 гл. VI). Такая задача решена точно для линеаризованной БГК-модели. Если в этом случае через ср(х) обозначить отношение массовой скорости к U/2 (土U/2 ——скорости пластин), то получится следующее интегральное уравнение [47]:

6/2

冗％(p(x) = T()g/2-x)-T()(5/2 + x)+ \ Т_x{\x-y\^{yWy, (5.1) -6/2

где 6 ——расстояние между плоскостями в единицах 0. Аналогично можно найти

6/2

冗xz = & (5/2 — %) + & (5/2 + х) — £ Sgn (х—у) Т。( | %—у |)屮(у) -6/2

(5.2)

где nxz ——отношение тензора напряжений pxz к его свободномолекулярному значению (—pUjr-%/2). Заметим, что nxz постоянно, несмотря на то что в уравнение (5.2) входит %; постоянство 兀в? следует из закона сохранения импульса, в чем легко убедиться, продифференцировав равенство (5.2) и сравнив результат с (5.1). Поэтому для вычисления лХ2 можно использовать формулу (5.2) в любой точке; проще всего взять арифметическое среднее от значений выражения (5.2) при % = ±5/2. Тогда

= % + 2 3) + % [ [То (5/2 + у) — То (5/2 — //)]屮匂)dy. (5.3)

Уравнение (5.1) было решено численно Виллисом [47] для 6 в интервале от 0 до 20. Его результаты для лГ2 представлены в табл.I (второй столбец). В связи с уравнением (5.1) использовался также вариационный метод [54]. Рассмотрим функционал

6/26/2 А/2

J (@) = \ [ф (х)К dx — JT% \, т _{{\х — y^^^^^dxdy +

-6/2-6/2 -6/2

6/2

十2冗-％，[То (5/2 十％) —То (5/2— %)]©(%)〃，(5.4)

-6/2

Таблица /

Зависимость напряжения от обратного числаКнудсена для течения Куэтта [54]

6

Результаты Виллиса [47|

Линейная пробная функция

Кубическая пробная функция

0,01

0,9913

0,9914

0,9914

0,10

0,9258

0,9258

0,9258

1,00

0,6008

0,6008

0,6008

1,25

0,5517

0,5512

0,5511

1,50

0,5099

0,5097

0,5096

1,75

0,4745

0,4743

0,4742

2,00

0,4440

0,4438

0,4437

2,50

0,3938

0,3935

0,3933

3,00

0,3539

0,3537

0,3535

0,2946

0,2945

0,2943

5,00

0,2526

0,2524

0,2523

7,00

0,1964

0,1964

0,1963

10,00

0,1474

0,1474

0,1473

20,00

0,0807

0,0805

0,0805

который достигает своего минимального значения

6/2

j((p)= min/®)= v% \ [г。(5/2 + х) —「° (6/2 —х)]屮⑴厶，(5.5) — 6/2

когда @ =屮(％) удовлетворяет уравнению (5.1). Сравнивая (5.3) и (5.5), имеем

冗％2 = 4 + Т1 (5) + %冗％ min / @).(5.6)

Таким образом, напряжение непосредственно связано с минимальным значением функционала /(小).В качестве пробной функции можно взять решение, соответствующее сплошной среде, т. е.

ф (х) = Л%, (5.7)

где А ——неопределенная константа. После ряда несложных преобразований, основанных на свойствах функций Тп, находится [54] выражение для /(А%) через Тп (6) (1《〃03). Условия минимума легко определяются, и соответствующие величины Д = 4о(5) и J (Аох) снова выражаются через Тп (б). Подставляя / (Ло^) в (5.6), получаем яХ2. Результаты затабулированы в зависимости о】3 в табл. I (третий столбец).

Сразу видно, что эти результаты прекрасно согласуются с .результатами Виллиса. Но можно увидеть и нечто большее, а именно что результаты, полученные при помощи вариационного метода, точнее, чем результаты Виллиса. В самом деле, вариационный метод дает для лХ2 завышенные значения. В то же время величины в третьем столбце не превышают соответствующих значений во втором.

Четвертый столбец дает результаты, найденные с использованием кубической пробной функции

ф (х) = Ах + Вх\ (5.8)

В этом случае алгебраические выкладки более громоздки, но все еще осуществимы. Следует заметить, что полученные значения 冗汇2 мало отличаются от предыдущих; это еще одна проверка точности метода.

Вариационное решение линеаризованного интегродифферен- циального уравнения Больцмана для плоского течения Куэтта приводится в работе [96]. При любой молекулярной модели для напряжения на пластине получается следующее приближенное выражение:

% = 7；1"匸；62， (5.9)

где а, Ь, с ——постоянные, которые для любой модели можно вычислить при помощи квадратур. Если перейти к безразмерной длине, используя равенство (ц/р) (2RT^2 = 2// Vя (М ——коэффициент вязкости, / ——средняя длина свободного пробега, определенная формулой (V. 1.3)), то значения а, Ь, с будут [96] такими:

4 - n7冗、/冗

а =0,2225,b = 2,1400,

с = 1 (БГК-модель),(5.10)

с — 1(максвелловские(5.11)

молекулы),

а =0,3264, b = 2,1422,

с = 1 (твердые сферы).(5.12)

Максимальное расхождение между формулой (5.9) (с 〃，仇 с, определенными из (5.10)) и результатами Виллиса составляет около 0,5%. Результаты для БГК-модели и максвелловских молекул очень хорошо согласуются друг с другом, за исключением больших чисел Кнудсена (6 < 2), когда расхождение увеличивается до 3%. Достаточно неожиданным является то, что результаты для твердых сфер много ближе к результатам для БГК-модели.

(5.13)(5.13)Моментные методы использовались широко, но для около- свободиомолекулярных течений их точность невысока. Это связано с тем, что аналитическое поведение при д -> 0 не воспроизводится с достаточной точностью моментными методами. В самом деле, как известно (разд. 9 гл. V), в точные аналитические выражения для скорости и напряжения сдвига входят логарифмические члены, в то время как моментные методы имеют дело лишь с рациональными функциями (те же возражения относятся, конечно, и к вариационному решению, приводящему к (5.9), но не к вариационному решению интегрального уравнения) .В простейшем варианте метод приводит к следующей формуле для напряжения сдвига:

(5.13)

(5.13)

которая отличается от точного численного решения примерно на 5%. Точное, но громоздкое решение, дающее правильный свободномолекулярный предел, получается при надлежащем учете неаналитической зависимости f от длины свободного пробега [11].

Те же методы применялись и к задаче теплопереноса между плоскими пластинами в линейном приближении [15, 5, 53, 30, 97—99]. На рис. 44 приводится сравнение, теплового потока, соответствующего точному численному решению по БГК-модели [53], с экспериментальными данными Тигсна и Спрингера [100]. Численные результаты лежат всюду ниже, чем экспериментальные. То же самое имеет место и для вариационных решений, основанных на различных моделях (твердые сферы, максвелловские молекулы) [99], и это, по-видимому, исключает возможность того, что расхождение обусловлено использованием БГК- ^4oдeли. Как указал в частном сообщении Спрингер, это расхождение, возможно, объясняется разницей между давлением в камере и давлением между пластинами, в то время как экспериментальные данные получаются в предположении, что эти давления одинаковы. Расхождение такого же типа обнаружено в работе [30], в которой течение Куэтта двухатомного газа исследуется методом дискретных ординат на основе модели Хол- вея [101].

Полные нелинейные задачи о течении Куэтта и теплопере- носе между параллельными пластинами также рассматривались разными авторами. Эти методы включают моментный метод Лиза [102], численное решение интегральных уравнений для БГК- и ЭС-моделей [103, 104, 461, методы дискретных ординат [25, 30] и методы Монте-Карло [74]. Насколько известно автору, сравнение с экспериментом в широких масштабах не проводилось.

Рис. 44. Тепловой поток между параллельными пластинами. Сравнение вариационной теории [53] с экспериментальными данными Тигена и Спрингера [100]. Здесь 7 — нормальный тепловой поток, q^m ——его значение для свободномолекулярного течения; результаты расчета вариационным методом представлены сплошной кривой, данные Тигена — крестиками (для а = 0,826) и кружками (для а = 0,759).

Следующий пример ——течение Пуазейля. Отправным пунктом служит уравнение (VI. 5.4). Если воспользоваться БГК-мо- делью, то можно получить интегральное уравнение для массовой скорости ^з(х), где х — двумерный вектор, описывающий поперечное сечение канала. Полагая у3(х) = 72^0 [1——屮(х)], где 々=p~]dp/dz, запишем интегральное уравнение в виде [49, 50]

Ф (х) = 1 + л-1 ^ Г0(|х — у |)|х —у Г1 屮(y)dy, (5.14) Е (х)

где х измеряется в единицах 0, a S (х)— та часть поперечного сечения, все точки которой можно соединить с точкой х отрезками прямых, не пересекая границ (2 (х) переходит в полное сечение S, когда кривизна границы знакопостоянна). Если ис-

пользовать вариационный метод, то нужно рассматривать функционал

，(@)=，[ф(х)]2 dx — \ @(х) \ То(|х —у|)|х —yL@(y)dy —

一 2 \ @(x)dx.(5.15)

Он достигает своего минимума при @= ср, где ср удовлетворяет уравнению (5.14); при этом

/ @) = — \(р(х) dx.(5.16)

Очевидно, что эта величина связана с расходом. Расчеты вариационным методом проводились для плоского слоя [54] и цилиндра [105] в предположении параболического профиля (т. е. решения, аналогичного решению задачи для сплошной среды).

В плоском случае можно выразить расход через функции Тп, тогда как в цилиндрическом необходимо еще выполнить численное интегрирование, включающее эти функции.

Таблица 〃

Зависимость расхода от обратного числа Кнудсенадля плоского течения Пуазейля [54]

Результаты работы [48] Вариационный

метод завышенные заниженные

1 о1 о1ОООООООООООООО о 1 5 79 J3 力1ОООООООООООООО о 1 5 79 J3 力—19711637788 7 93292944691625 4 3054345941499 00655555567892 СО О'! 1 -< in 1 -< 11 и ■ ■ . • I >J—19711637788 7 93292944691625 4 3054345941499 00655555567892 СО О'! 1 -< in 1 -< 11 и ■ ■ . • I >J6087 2 04 2 8 -217659861 305333484 065555 5 566087 2 04 2 8 -217659861 305333484 065555 5 5696679^96679^и 2 3 1* 79 3 6 5 40 4 8 8 47 8 9 2 7и 2 3 1* 79 3 6 5 40 4 8 8 47 8 9 2 7947169702020348811917234894813430543 44-59401x89 6СО ох^ 1 -< 11 1 -< и 11 11 и 1 -< 11 и 11 ож^ 04947169702020348811917234894813430543 44-59401x89 6СО ох^ 1 -< 11 1 -< и 11 11 и 1 -< 11 и 11 ож^ 04

1 о

1 о

1ОООООООООООООО о 1 5 79 J3 力

1ОООООООООООООО о 1 5 79 J3 力

—19711637788 7 93292944691625 4 3054345941499 00655555567892 СО О'! 1 -< in 1 -< 11 и ■ ■ . • I >J

—19711637788 7 93292944691625 4 3054345941499 00655555567892 СО О'! 1 -< in 1 -< 11 и ■ ■ . • I >J

6087 2 04 2 8 -217659861 305333484 065555 5 56

6087 2 04 2 8 -217659861 305333484 065555 5 56

9

6

6

7

9^

9

6

6

7

9^

и 2 3 1* 7

9 3 6 5 4

0 4 8 8 4

7 8 9 2 7

и 2 3 1* 7

9 3 6 5 4

0 4 8 8 4

7 8 9 2 7

947169702020348

811917234894813

430543 44-59401x89 6

СО ох^ 1 -< 11 1 -< и 11 11 и 1 -< 11 и 11 ож^ 04

947169702020348

811917234894813

430543 44-59401x89 6

СО ох^ 1 -< 11 1 -< и 11 11 и 1 -< 11 и 11 ож^ 04

Таблица III

Зависимость расхода от обратного числа Кнудсенадля цилиндрического течения Пуазейля [105]

<5

Численное решение [49]

Вариационный метод

0,01

1,4768

1,4801

0,10

1,4043

1,4039

0,20

1,3820

1,3815

0,40

1,3796

1,3788

0,60 、

1,3982

1,3971

0,80

1,4261

1,4247

1,00

1,4594

1,4576

1,20

1,4959

1,4937

1,40

1,5348

1,5321

1,60

1,5753

1,5722

2,00

1,6608

1,6559

3,00

1,8850

1,8772

4,00

2,1188

2,1079

5,00

2,3578

2,3438

7,00

2,8440

2,8245

10,00

3,5821

3,5573

В обоих случаях можно вычислить расход с большой точностью и сравнить с численными результатами Черчиньяни и Данери [48] и Черчиньяни н Сернаджотто [49]. Как показано в табл. II н III, совпадение очень хорошее. Результаты хорошо согласуются также и с экспериментальными данными Донга [106] и Кнудсена [107] (рис. 45 и 46). В частности, расход имеет минимум при 6^1,1 в плоском случае (6 — расстояние между пластинами в единицах 0) и при 6 а 0,3 в цилиндрическом случае (0 ——радиус цилиндра в единицах 0). Положение минимума прекрасно согласуется с экспериментальными данными, а значения расхода для цилиндра отклоняются от экспериментальных данных на величину порядка 3%. Следует указать, что такая же задача может быть решена и для ЭС-модели [108], причем если известно решение для БГК-модели (Рг = 1), то можно найти решение для ЭС-модели при любом числе Прандтля; в частности, безразмерный расход в случае цилиндра равен 、 Q© Pr) = Q(6Pr, 1) + (1-Рг) 6/4. (5.17) Если выбрать значение Рг = 2/3 как наиболее подходящее для "одноатомного газа, то получаются результаты, отклоняющиеся 「от экспериментальных данных только на 1 или 2% (см. [109] и рис. 46) . - -

Рис. 45. Сравнение теории [48] с экспериментом [108] для безразмерного расхода в плоском течении Пуазейля. Здесь д — отношение рас( тояния d между пластинами к 6(2RT)%; Q—отношение потока массы к валнинне —0 (2R7)-%(d./dz)； О — водород (Н2); ▲ — углекислый газ; △ — воздух; □ -фреон-12; • — гелий.

Рис. 46. Сравнение между теорией и экспериментом для цилиндрического течения Пуазейля. Здесь д — отношение радиуса цилиндра а к 8(2RT)%； Q ——отношение потока массы к —ла3 (2RT)~^2 (dp/dz); штрих-пунктирная кривая соответствует интерполяционной формуле Кнудсена, штриховая ——решению для БГК-модели, сплошная — решению для ЭС-модели.

На основе интегрального уравнения точно решена также задача о течении Пуазейля в кольцевой трубе [50]. Моментные методы [НО] и метод дискретных ординат [35] не дают удовлетворительных результатов для задач такого рода. Из других задач цилиндрической геометрии, решенных с использованием БГК-модели, можно назвать цилиндрическое течение Куэтта и теплоперенос между коаксиальными цилиндрами [111, 45].

Структура ударной волны

Как известно из теории невязкой сжимаемой жидкости, в сверхзвуковом потоке могут возникать ударные волны. В рамках невязкой жидкости ударные волны описываются как поверхности разрыва. При использовании уравнений Навье — Стокса ударная волна представляет собой область, в которой физические величины изменяются гладко, но быстро, а ударный слой имеет конечную толщину, вообще говоря, порядка средней длины свободного пробега. Эта малая толщина указывает на то, что, строго говоря, уравнениями Навье ——Стокса здесь пользоваться нельзя. Чтобы получить надежные результаты для структуры ударных волн, нужно обратиться к уравнению Больцмана.

стационарная нормальнаястационарная нормальнаяПростейшим случаем является

стационарная нормальная

стационарная нормальная

плоская ударная волна: поток газа параллелен оси % и все величины не зависят от времени и двух остальных координат. Газ находится в равновесии на бесконечности вверх и вниз по потоку, так что соответствующие функции распределения f_ и /+ представляют собой максвеллианы:

(6.1)(6.2)(6.1)(6.2)& = Р土 (2冗收士)exp [-(2RT土尸(自一Законы сохранения массы, импульса и энергии даютри = Л,

(6.1)

(6.2)

(6.1)

(6.2)

Р* + Р11=В,ри (%标 + 3/?rt)+ puV + 力=&

где Л, В, С ——константы. В частности, при х->±8 значения р, и, рн, Т, 91 стремятся к р土, и土, р士 = р士欠孑土, 丁土, 0 соответственно и равенства (6.2) переходят в известные соотношения Рэнкина —Гюгонио:

р+ (咚 + RQ) = р_ (吧 + &Т_),(6.3)

"耳 (%% + W + ) =(%畛 + 5/2也.).

(6.4)(6.5)(6.4)(6.5)£q （九九一仇=1，2, 3）.用=0£q （九九一仇=1，2, 3）.用=0^0 н д/5/з^^0 = Со,^0 н д/5/з^^0 = Со,(6.9)(6.9)

(6.4)

(6.5)

(6.4)

(6.5)

£q （九九一仇=1，2, 3）.

用=0

£q （九九一仇=1，2, 3）.

用=0

^0 н д/5/з^^0 = Со,

^0 н д/5/з^^0 = Со,

(6.9)

(6.9)

Задача о структуре ударной волны является самой простой задачей, в которой нелинейный характер уравнения Больцмана играет существенную роль.

Если ударная волна слабая, так что разности значений плотности, скорости и температуры выше и ниже ее по потоку невелики, то можно ожидать, что производная df/dx——малая величина порядка интенсивности скачка £ (определяемой, например, как £ = (р_——р+)/(р_ + р+)), и попытаться разложить решение в ряд по степеням £ [112, 113]. Результат аналогичен разложению Гильберта, рассмотренному в разд. 2 гл. V, так как мы приходим к соотношениям

Q（f。，繭=о,

Поскольку 8 мало, решение должно описывать слабые отклонения от однородного состояния. Следовательно, мы удовлетворим уравнению (6.4), так же как и условиям ортогональности, появляющимся на следующем шаге, если будем считать плотность ро, скорость и。и температуру 7。в f0 постоянными. Таким образом,

+(6.6)

где pi, гм, 7]——вклады первого порядка в величины р, и, Т. Условия ортогональности на следующем шаге приводят к уравнениям

% + р。芻=

吟需 + 2Р。% 碧 +=。，

R?。芻 + p。公芻 +1 po%R 醬 + ^比第 +

+ 4 Powo w + PoRT。粵 + °oRT。芻 + °oRp。需=°， которые представляют собой алгебраическую систему для dp，d%, dvjdx, dTJdx. Для того чтобы существовало ненулевое решение, определитель

Q = pM「/,rt。— *](6.8)

должен обращаться в нуль. Если исключить и。= 0, то полу-* чнм

где с0 ——скорость звука. Этот результат означает, что слабая ударная волна может быть возмущением равномерного потока только тогда, когда число Маха в нем равно единице; это очевидно из теории ударных волн в невязком газе. Следуя дальше, можно вычислить выражение для /2 [ИЗ]. Условия ортогональности на этом шаге приводят к неоднородной алгебраической системе для dpz/dx, dv2/dx, dT21dx с тем же определителем 0 = 0. Следовательно, свободный член алгебраической системы должен удовлетворять условию ортогональности

где [ИЗ]где [ИЗ]

где [ИЗ]

где [ИЗ]

Здесь х и ц ——коэффициенты вязкости и теплопроводности. Интегрирование уравнения (6.10) дает

= th= th(6.12)

= th

= th

Заметим, что постоянная L, мера толщины ударного слоя, имеет величину порядка отношения средней длины свободного пробега к интенсивности ударной волны (р^~ 8). Уравнения Навье — Стокса также приводят к соотношению (6.12) для слабых ударных волн [114], и, следовательно, они верны с точностью членов

низшего порядка.

Другой крайний случай ——ударные волны бесконечно большой интенсивности. Грэд [115] предположил, что предел f при & тоо существует (для операторов с конечной частотой столкновений) и выражается через сумму величины, кратной дельтафункции, которая сосредоточена в точке, соответствующей скорости набегающего потока, и сравнительно гладкой функции, для которой нетрудно вывести уравнение. Последнее, видимо, более сложно, чем само уравнение Больцмана, но предполагае

мая гладкость позволяет надеяться на получение простого приближенного решения. Проще всего в качестве гладкого остаточного члена взять максвеллиан [115], параметры которого определяются из законов сохранения.

Приближение Грэда является, по-видимому, новейшим аналитическим методом для решения задачи о структуре ударной волны. В простейшем варианте данный метод непосредственно связан с первым подходом к рассматриваемой задаче (и, возможно, обязан ему своим появлением); этот подход предложил в 1951 г. Мотт-Смит [8], представивший аппроксимирующую функ-

цию распределения в виде

/(X, Ю = % (х) f+ ⑶ + "一(X)f_ (9,(6.13)

где f+ и /_ определяются формулой (6.1), а а+ и а_ находятся из подходящих моментных уравнений. В качестве первых моментных уравнений естественно взять уравнения сохранения, приводящие к (6.2), т. е. уравнения

% (х) P+% + "一(％) Р/一 = pj土，

% (x) P+咚 + a+ (%) R7\p+ + "_ (%) Р/匕 + "_ (x) RT_p一 =

= P±u； + p±RT±, (6.14)

% (x) %p+ (%咚 + 5/2RT+) + "_ (%) Р»一(％畛 + %RT_)=

= P±u±(%uZ + %R7士).

После деления на р+^+ = р_и_ первое из этих уравнений дает “+ (х) + “—(х) = 1.(6.15)

Остальные два уравнения выполняются автоматически, если, конечно, значения величин выше ударной волны и ниже ее по потоку удовлетворяют соотношениям (6.3). Поэтому нужно еще одно моментное уравнение. Можно положить ф. = ^ в уравнении (2.1) (с d/dt = д/ду = d/dz — 0 и f в виде (6.13)). Тогда P/一(3RT. + 吧)* + P+% (3也+ + 呢)*=

=—aa+“一， (6.16) где

a = \ 阳一 Ef) f+(^ f_ 色)b (9, V) M de 龙* 恋.(6•⑺

Если С ПОМОЩЬЮ (6.15) ИСКЛЮЧИТЬ "+, то получится

尝=—0*(1—*),(6.18)

где, согласно третьему из соотношений (6.3),

В = 2p_U—R(7_ - J) *@ 19)

Уравнение (6.18) легко интегрируется:

"-(х)=[[产，(6，2。)

причем произвольная постоянная положена равной нулю, так как это эквивалентно фиксации положения центра волны (ко-

торое произвольно). Следовательно,

厶⑺=7^'(6・21)

р_ + Р+册1 + 4M土(3 +

P (x) = a_p_ + "+P+ = - 1 + 户一=p-7亦，

(6.22)

U(X)== u_■— ,(6.22a)

P (幻]+4М±(3 + М±)〕6%、 丿

Т(х) = Т_(1 +^ML)a— + T+(l_^M；)%_^(^)2ML

(6.23)

где

M- = и— “3/(5RT—), М+ = ” « 3/(5RT+)(6.24)

—числа Маха выше ударной волны и ниже ее по потоку.

Вычисление постоянной р оказывается сложным, за исключением случая максвелловских молекул, для которых

Р [з + М上 16Mt —(3 + M±)2 % 15 J ，

где Z_ ——средняя длина свободного пробега выше ударной волны по потоку, вычисляемая по формуле (V. 1.3) при р = р_, ц = =卩_, Т = Т_. При M_f 8 имеем 削一亠(6.2п/15)/М_О, т. е. отношение средней длины свободного пробега выше ударной волны по потоку /_ к толщине ударной волны (~p-J) стремится к нулю. Это происходит для любого степенного закона молекулярного взаимодействия; для твердых же сфер такое отношение стремится к конечному пределу.

Если вместо уравнения, соответствующего ср. = ^, выбрать другое моментное уравнение, то получатся те же самые результаты, изменятся только выражение и величина постоянной 0. Последнее, однако, очень важно, так как связано с толщиной ударной волны. Выбрав, например, qp. =^ вместо ср, = ", получим изменение в толщине ударной волны на величину порядка 25%. Этот факт указывает на то, что, хотя метод Мотт-Смита качественно корректен, он не точен количественно. Кроме того, результаты Мотт-Смита для слабых ударных волн (М-> 1) не согласуются с теорией слабых ударных волн или, что эквивалентно, с результатами Навье ——Стокса. По этой причине несколько авторов предложили различные модификации метода Мотт-Смита. Наиболее интересными из них оказались предложения Солвена и др. [116], a iакже Холвея [117]. Согласно пер-

вому методу, формула (6.13) заменяется формулой

f (х, § = % (х) f+(^) + а_ (%) f_ (§ + а。(х)九 ©(6.25)

причем /+ и Д_ определены так же, как выше, и

fo =倡一40)(力/冗尸 exp {- /2 [(三一Uoi丹},(6.26)

где 〃о и и。——постоянные. Эти постоянные должны определяться из уравнений сохранения, которые связывают также три функции Оо(х), о+(х), О—(х).

Таким образом, нужны еще два моментных уравнения. Сол- вен и др. [116] рассмотрели два варианта: Ф,=储，誚 и ср.= =(2；,J自2)・ Полученные в результате дифференциальные уравнения были решены численно. Разница между соответствующими решениями оказалась значительно меньшей, чем для «бимодального распределения» Мотт-Смита Однако самым замечательным улучшением было устранение расхождения с теорией слабых ударных волн при М_—> i.

Метод Холвея [117] сводится к использованию представления (6.13) с /_ в виде (6.1), но с /+, определенной равенством

* = (%/叫/2 (电/冗)exp [一%包—Q)2 一 出信 + 时],(6.27)

где Q, /и,九2 — три функции, которые должны быть найдены вместе с а±. Во всех этих теориях отмечается наличие максимума температуры, превышающего Т+. Максимум выражен не очень четко, и не ясно, не получается ли он из-за неточности аппроксимаций. Примечательно, что тепловой поток не меняет знака вместе с градиентом температуры. Сравнение различных результатов для толщины ударной волны, определяемой формулой

дано на рис. 47; сравнение «бимодального распределения» для межмолекулярного потенциала Леннарда-Джонса [118] с экспериментальными результатами [119] проведено на рис. 48.

Ясно, что результаты Навье — Стокса не согласуются с экспериментальными при М- > 2. Положение не улучшается при использовании уравнений Барнета (разд. 3 гл. V) или тринадцатимоментных уравнений Грэда. Эти системы уравнений фактически не имеют решений при М—〉2,1 и М一 >1,65 соответственно. Вообще, как было указано в разд. 2, при М_ > 1/851 в моментных методах возникают трудности.

Более общим, чем приближение Мотт-Смита, будет, видимо, метод, использующий линейную комбинацию нескольких макс-

Рис. 47-. Различные результаты для толщины ударной волны. Сплошные кривые соответствуют результатам Солвена, Гроша и Зиринга для различных систем моментных уравнений (сверху вниз: ⑶，雜?)，国，睛?), (^2, ^j). Штриховые кривые соответствуют результатам Мотт-Смита для двух различных систем моментных уравнений (сверху вниз: ^ и 自：).Пунктирная кривая соответствует результатам Холвея. Штрих-пунктирной кривой представлены значения величины, обратной толщине ударной волны, соответствующие теории Навье — Стокса.

веллианов; в этой связи могут оказаться весьма ценными аналитические результаты Десхпанде и Нарасимхи [120].

Главной проблемой для методов типа приближения Мотт- Смита остается выбор моментных уравнений; можно было попытаться обойти эту трудность, применив вариационный метод, но, как было указано в разд. 3, для нелинейных задач ситуация здесь не очень обнадеживающая, хотя Обере [121], а также На- расимха и др. [122] и получили интересные результаты для структуры ударной волны, используя метод наименьших квадратов (см. формулу (3.16)).

Точное численное решение задачи для БГК-модели было получено Липманом и др. [43] на основе интегральной формы уравнений. Они пришли к трем интегральным уравнениям для трех макроскопических величин: р, v, Т. Эти уравнения решались методом последовательных приближений с решением Навье ——Стокса в качестве нулевого приближения. БГК-реше- ние не дает отмеченного выше максимума температурной кривой, а профили плотности и скорости значительно менее анти-

Рис. 48. Сравнение результатов для величины, обратной толщине ударной волны, вы численных на основе бимодального распределения с потенциалом Леннарда-Джонса [118], с экспериментальными данными различных авторов [119]. Верхняя кривая соответствует теории Навье — Стокса, нижняя — бимодальному распределению.

симметричны относительно соответствующего центра волны, чем профили, полученные с помощью бимодальной и трехмодалы-юй аппроксимаций решения уравнения Больцмана.

Решение на основе БГК-модели с большей точностью было повторено Андерсоном [104]. Сегал и Ферцигер [123] недавно исследовали задачу, используя несколько моделей уравнения Больцмана: БГК- и ЭС-модели, описанные в разд. 10 гл. II, полиномиальную модель из класса нелинейных моделей Сировича [124] и новую, так называемую трехмодальную модель интеграла обратных столкновений. Последняя была развита как раз для решения задачи о структуре ударной волны; она основана, в сущности, на замене Ф в уравнении (II. 10.3) функцией вида (6.25), где коэффициенты и параметры выражаются надлежащим образом через р, v, Г и их значения выше ударной волны и ниже ее по потоку. Таким образом, качественные черты приближения Мотт-Смита включены в эту модель, но детальное соответствие многомодальной аппроксимации искомому решению не гарантировано.

Задача о структуре ударной волны решалась рядом авторов при помощи методов Монте-Карло [73, 76, 87, 95]. Полученные результаты, как и численные результаты для трехмодалы-юй модели Сегала и Ферцигера [123], по-видимому, сходятся в том,

что не обнаруживают каких-либо признаков температурного пика, упомянутого выше.

Что касается сравнения с экспериментом, то в настоящий момент не ясно, известны ли экспериментальные данные (включая и данные о свойствах газа) с точностью, достаточной для сравнительной оценки различных результатов. Действительно, как отмечал Берд [87], сравнение, основанное на толщине ударной волны или даже на полном профиле плотности, еще не дает возможности оценить, какой из методов обеспечивает лучшее описание структуры скачка, а перспективы достаточно точного экспериментального определения высших моментов не слишком обнадеживающи.

Много исследований было посвящено также задаче о структуре ударной волны в смесях и многоатомных газах. В частности, в случае бинарной смеси ударная волна может приводить к диффузионному разделению компонентов. Шерман [125] разработал континуальную теорию этого эффекта. Согласно его результатам, более тяжелый газ, проходя через волну, двигается быстрее, чем смесь, которая в связи с этим обогащается легким компонентом. При довольно малой концентрации тяжелого компонента (2% для смеси аргона и гелия с отношением масс, равным 10) Шерман обнаружил, что даже в очень слабых волнах тяжелый компонент сначала ускоряется, а затем замедляется, достигая максимальной скорости, на 18% превышающей скорость набегающего потока.

Эти результаты показали, что континуальная теория не достаточна и необходима кинетическая теория. Обере [126] ггс- гюльзовал метод Мотт-Смита и получил результат, которого можно было ожидать: так называемая аномалия Шермана лишена физического смысла и обусловлена применением уравнений сплошной среды там, где их применять нельзя. Задача пересматривалась несколькими авторами [83, 127, 128], и выводы Обере подтвердились.

Изучение ударных волн в многоатомных газах приводит к очень интересным задачам, связанным с процессами установления равновесия между энергией вращательных и поступательных степеней свободы. Мы ограничимся ссылками на некоторые из основных работ [129—132].

Внешние течения

В этом разделе обсудим результаты, полученные для течений и процессов теплопереноса, происходящих в бесконечном объеме газа, ограниченного твердыми поверхностями. Математически самыми простыми задачами являются чистый перенос тепла

(при малой разности температур) и обтекание медленно вращающихся тел. Задача теплопереноса от сферы решена вариационным методом, и результаты хорошо согласуются с экспериментом [133]. Задача о медленно вращающемся цилиндре (предельный случай течения Куэтта) решена как численно, так и приближенным аналитическим методом [51]. Крутящий момент на медленно вращающейся сфере был найден [68] методом граничных условий, упомянутым в конце разд. 3.

Переходя к более интересным задачам обтекания твердых тел, естественно сначала исследовать случай малых чисел Маха. Здесь мы встречаемся с аналогом парадокса Стокса (см. разд. 13 гл. VI), который не позволяет применять простейшую линеаризацию для двумерных течений. Можно, однако, рассмотреть обтекание трехмерных тел. Течение около осесимметричного тела при малых числах Маха рассчитывалось [134] вариационным методом, примененным к интегральной форме БГК-уравнения. В явном виде вариационные расчеты были сделаны для случая сферы [135].

На рис. 49 представлены результаты для коэффициента сопротивления сферы С。， вычисленные вариационным методом и по полуэмпирической формуле, предложенной Милликеном [136] для интерполяции его экспериментальных данных. Там же приведены результаты, соответствующие классической формуле Стокса и интерполяционной формуле Шермана для коэффициента сопротивления. Последняя имеет вид

CD(R)/CDFM = [l + Qfi85R]-\ (7.1) где Q ——радиус сферы в единицах B(2RT) ч\ a CDFM = CD(0)—— коэффициент сопротивления в свободномолекулярном течении. Формула (7.1) — частный случай общей формулы [137], связывающей любую величину, зависящую от числа Кнудсена Кп (здесь Кп = 1/R), с ее значением Ffm для свободномолекулярного течения и значением ^(Кп), соответствующим континуальной теории, при условии, что Fc(Kr\)/Ffm -> 0 при Кп —► 0. Эта общая формула Шермана выглядит следующим образом:

尸/尸fm = (1+4m/PJ-・ (7.2)

Она достаточно хорошо согласуется с экспериментальными данными для большинства дозвуковых экспериментов. Исключением является течение Пуазейля в длинных трубах, для которого формула Шермана (примененная к 1/Q (6)) не предсказывает минимума расхода. Это исключение обусловлено, по-види- мому, тем, что величина 1/Q(5) отличается от других суммарных величин, таких, как коэффициенты сопротивления или теплопереноса, и связана не однозначно с потоком сохраняющейся величины.

Рис. 49. Коэффициент сопротивления сферы при малых скоростях в зависимости от безразмерного радиуса 火. Кривая Милликена (штриховая кривая) интерполирует его экспериментальные данные. Сплошная кривая соответствует расчетам по вариационному методу, штрих-пунктирная ——по формуле Шермана, пунктирная — по формуле Стокса.

Течение около тонких профилей в общих чертах рассматривалось в разд. 13 гл. VI для почти зеркально отражающих поверхностей и умеренных значений числа Маха.

Когда число Маха не мало и взаимодействие газа с поверхностью далеко от зеркального отражения, задача обтекания твердого тела становится весьма сложной даже для тел простейшей формы. Помимо аналитических исследований дальнего поля [138, 139], использовались такие методы, как метод дискретных ординат и интерполяция между околосвободномолокулярным режимом и течением со скольжением.

Особое внимание уделялось гиперзвуковому потоку (Мто^> 1), так как результаты очень важны для полетов в верхней атмосфере. Мы не можем здесь касаться деталей расчетов и результатов, полученных различными авторами в режиме скольжения, так как было бы невозможно отдать должное всем авторам

в рамках настоящей книги. Отошлем читателя к монографиям Шидловского [140] и Хейза и Пробстина [141], а также к обзорам Шаафа [142], Шермана [137] и Поттера [143]. В связи с расчетами околосвободномолекулярных течений особенно заслуживают упоминания работы Виллиса [144—146] и асимптотические результаты для тонких тел, полученные Грэдом и Ху [147], Хамелем и Купером [148], а также Пэном [149]】).

Фундаментальная задача возникает в связи с течением газа около параллельной набегающему потоку плоской пластины с заостренными кромками. Если число Рейнольдса Re = =pooUooL/jioo, вычисленное по длине пластины, очень велико, то обычная картина потенциального течения с пограничным слоем справедлива везде, за исключением окрестности передней и задней кромок. Оценки, основанные на недавних работах Стюарт- сона [150] и Месситера [151], показывают, что число Кнудсена на задней кромке является величиной порядка MgRe-%, где Моо ——число Маха набегающего потока. Поэтому нет необходимости в исследовании основных свойств течения около задней кромки с точки зрения кинетической теории. Для передней же кромки число Кнудсена является величиной порядка М^; следовательно, в сверхзвуковом или тем более гиперзвуковом потоке течение в окрестности передней кромки следует рассматривать как типичную задачу кинетической теории.

В частности, пограничный слой и внешнее течение уже не разделяются, хотя структуру типа ударной волны все еще можно различить [152——154]; в таком случае говорят о режиме размытого слоя. Существует ряд методов, основанных на упрощенных моделях сплошной среды, представленных в работах Огути [155], Шоренстина и Пробстина [156], Чоу [157, 158], Рудмана и Рубина [159], Чжена и др. [160], а также Кота и Теркотта [161], которые успешно предсказывают поверхностные и другие общие свойства в режиме размытого слоя.

Хорошее согласование такого рода теории с экспериментом вновь свидетельствует о важности уравнений Навье ——Стокса. Тем не менее, если подойти к передней кромке достаточно близко, то следует отказаться от уравнений Навье ——Стокса в пользу уравнения Больцмана. Однако полное кинетическое описание слишком трудно, и лишь небольшое число работ посвящено этой задаче.

Коган и Дегтярев [162] исследовали течение около очень короткой плоской пластины, когда весь поток находился в около- свободномолекулярном режиме; поэтому трудно сделать суще-

См. также дополнительные ссылки на работы советских авторов, Прим- ped,

ственные выводы об эффектах передней кромки. Харват [163] предположил, что область передней кромки находится в свободномолекулярном режиме, что весьма сомнительно. Хуанг и его сотрудники [28, 29, 164] провели обширные вычисления, основанные на методе дискретных ординат для БГК-модели, и смогли продемонстрировать процесс формирования картины потока, принятой в упомянутых выше упрощенных континуальных моделях. Вогенитц и др. [165] решили задачу о передней кромке достаточно длинной пластины методом Монте-Карло.

Все эти работы свидетельствуют о наличии около пластины области течения сдвига, отделенной от набегающего потока областью сжатия. Результаты для давления на поверхности (или, скорее, нормального напряжения pzz) показали, что у передней кромки оно по меньшей мере вдвое превышает значение для свободномолекулярного течения (при 5,5 < Мто < 30), что указывает на значительное влияние вверх по потоку (в опытах Джосса и Богдонова [166] было обнаружено влияние вверх по потоку на расстоянии, равном по меньшей мере пяти длинам свободного пробега при Моо = 26).

Истечение газа в вакуум

Одной из основных теоретических и экспериментальных задач динамики разреженного газа является свободное истечение газа в вакуум. Такое течение происходит, например, при выходе газа через отверстие в камеру низкого давления. Эта задача охватывает в простой форме переход от континуального до почти свободномолекулярного течения без обычных сложностей, связанных с эффектами взаимодействия газа с поверхностью.

Как отметили Ашкенас и Шерман [167], течение вдоль оси вытекающей струи в какой-то мере можно моделировать сферически симметричным течением одноатомного газа от почти континуального источника. Поэтому ряд авторов исследовали течение ог сферически симметричного источника. Согласно теории невязкого газа, такое течение расширения может ускорить газ до любого числа Маха и произвольно низкой плотности. Однако на больших расстояниях от источника плотность становится столь низкой, что молекулярные столкновения уже не могут поддерживать континуальный режим расширения. Действительно, энергия теплового движения, перпендикулярного линиям тока, непрерывно понижается и передается как среднему движению газа, так и тепловому движению вдоль линий тока. Поскольку тепловое движение связано с температурой, то это свойство часто называют «замораживанием» продольной тем* пературы.

Первые попытки тщательного количественно! о описания га- кой картины сферического расширения средствами кинетической теории были сделаны Хамелем и Виллисом [168] и Эдвардсом и Чженом [169], которые использовали моментные уравнения и так называемое гиперзвуковое приближение. Последнее основано на разложении всех моментов функции распределения по степеням S~\ где S ——скоростное отношение. Таким образом достигается рациональное усечение бесконечной системы моментных уравнений. Можно найти решение этих уравнений, которое асимптотически приближается к решению для изэнтропического течения при малых значениях радиального расстояния, измеренного в надлежащем масштабе. Математическая теория была сформулирована Фрименом [170] и применена к нестационарным задачам Фрименом и Гранди [171].

Метод, предложенный Фрименом, фактически сводится к асимптотическому разложению по степеням числа Кнудсена для источника. Хотя на больших расстояниях от источника обычное разложение (Чепмена ——Энскога) теряет силу, в этой внешней области можно изменить масштаб уравнения Больцмана и получить моментные уравнения, которые образуют следующую замкнутую систему:

(8.2)(8・3)(8.4)(8・5)(8.2)(8・3)(8.4)(8・5)

(8.2)

(8・3)

(8.4)

(8・5)

(8.2)

(8・3)

(8.4)

(8・5)

Здесь р((——нормальное напряжение в радиальном направлении, а V ——средняя частота столкновений. Радиальная скорость постоянна с точностью до величины порядка О(1/г2), и, следовательно, p = pi(ri/r)2； здесь индекс 1 означает принадлежность к точке вверх по потоку, где течение гиперзвуковое, но еще изэнтропическое. Так как v пропорционально р, уравнения (8.1) можно переписать в виде dT. ° 岩=偉/产)(7 一 n1),

где а

6 =粤何p)

зависит только от Г, по крайней мере для максвелловских молекул (в более общем случае возможна зависимость как от 7,

так и от Т^ [168]). Исключая 7\ из уравнений (8.2) и (8.3，получаем

+('十 В) "^" + + М = 0.(8.6)

Для степенных потенциалов зависимость 0 от Т имеет вид

6 =限(£)\(87)

е = т“8, s = 〃M,е = т“8, s = 〃M,(8.8)(8.9)(8.8)(8.9)где показатель а связан с показателем потенциала. Полагая

е = т“8, s = 〃M,

е = т“8, s = 〃M,

(8.8)

(8.9)

(8.8)

(8.9)

преобразуем уравнение (8.6) к виду

$2 饗+(3s + e。)黑+ ^е「а = о.

При сс = 0 (максвелловские молекулы) уравнение (8.9) решается через вырожденные гипергеометрические функции и находится единственное решение, удовлетворяющее условиям 6(s)->s при s—8, 0 = 0(s_4/3) при s->0 (выход на изэнтропическое решение). В других случаях уравнение (8.9) интегрируется численно [168, 169]. Некоторые результаты для а — О (максвелловские молекулы) и а = V2 (твердые сферы) приведены на рис. 50 и 51. Асимптотическое поведение 0 можно найти, положив

0=1+|+.0=1+|+.(8.10)(8.10)

0=1+|+.

0=1+|+.

(8.10)

(8.10)

(8.11)(8.12)(8.11)(8.12)Подстановка (8.10) в (8.9) и сравнение коэффициентов при степенях 1/s дает с = 4/з- Теперь можно найти асимптотическое поведение поперечной температуры:

(8.11)

(8.12)

(8.11)

(8.12)

2•

Из (8.3) видно, что 73 dB 3 с1

М = Т7 = —彳$石=彳三十

Таким образом, для сферического источника имеет место замораживание продольной температуры. Для цилиндрического источника такого замораживания не получается в отличие от более раннего весьма упрощенного анализа Брука и Омана [172]. Обнаруженное явление замораживания для сферического случая нельзя точно предсказать при помощи уравнений Навье ——Стокса в гиперзвуковом приближении, так как решение, начинаясь по изэнтропе на малых расстояниях от источника, в дальнейшем нарушает условие гиперзвукового тсчсчшя, на котором оно основано.

Рис. 5U. Результаты Хамеля и Виллиса для продольной температуры при течении, создаваемом сферическим источником.

Рис. 51. Результаты Хамеля и Виллиса для поперечной температуры при течении, создаваемом сферическим источником,

Когда впервые были опубликованы результаты кинетической теории по замораживанию поступательного движения, они казались противоречащими данным экспериментов на молекулярных пучках относительно распределения тепловых скоростей, перпендикулярных линиям тока. А именно, согласно (8.12), энергия этих степеней свободы в конечном итоге уменьшается как 厂-1, в то время как эксперименты ясно указывали на зависимость вида 厂2 [173],

Это кажущееся противоречие было разъяснено Эдвардсом и Чженом [174]. Они обнаружили, что при г —► сю распределение тепловых скоростей, перпендикулярных линиям тока, имеет узкий центральный пик, но с довольно толстыми крыльями. Ширина пика убывает как 1/г, и так как измерения поперечной температуры основаны на ширине пика, то ясно, почему они указывают на спад температуры, пропорциональный 1/г2. Однако измерения энергетического вклада крыльев, если они возможны, должны привести к закономерности вида г-1. Фримен и Томас [175] исследовали моменты четвертого порядка функции распределения для максвелловских молекул. Их результаты качественно согласуются с предыдущими результатами Эдвардса и Чжена [174].

Те же выводы косвенно подтверждаются результатами Миллера и Андреса [176], которые, стремясь сделать межмолекулярный потенциал реальным, взяли функцию распределения в форме (6.27), справедливую, согласно Виллису, Хамелю и Лину [177], только при Т/Т丄 ^2・ В результате поведение Т丄 не следует закону 厂вытекающему из (8.12). Законность пред* положения о том, что свободную струю можно аппроксимировать сферическим источником, была подтверждена Гранди [178] при исследовании решения уравнения Больцмана для полностью осесимметричной свободной струи. Чтобы построить правильное решение уравнения Больцмана для максвелловских молекул, Гранди использовал сращиваемые асимптотические разложения.

В последнее время задачу о сферическом истечении в вакуум рассматривал Берд, который, используя свой вариант метода Монте-Карло [89], изучил поведение как максвелловских молекул, так и твердых сфер. Продольная температура Гц и по его расчетам имеет тенденцию к постепенному замораживанию, что хорошо согласуется с результатами предыдущих авторов. Однако результаты для 7丄 не обнаруживают определенного асимптотического поведения, не согласуясь с зависимостью вида /-1, предсказываемой формулой (8.12). Неудачу метода в этом случае Берд объясняет вычислительными ограничениями на моделирование столкновений в дальнем поле. Очень слабые столкновения для экономии вычислений не учитывались. Кроме того, случайная выборка, возможно, недостаточно представляет

крылья функции распределения, которые, согласно аналитическим результатам, изложенным выше, содержат основную часть кинетической энергии поперечного движения вдали от источника.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

2[3]

5 6 7 8

[9]

4 56789

2 2 2 2 2 2

Grad Н., Сотт. Pure and A ppi. Math., 2, 33 (1949); русский перевод: сб. Механика, № 4 (14), 71—97; № 5 (15), 61—96 (1952).

Hol way L W., Jr., Phys. Fluids、7, 911 (1964).

Gross E. P., Jackson E. A., Ziering S., Ann. Phys., 1, 141 (1957); русский перевод: сб. Механика, № 5 (51), 33—55 (1958).

Gross E. P., Ziering S., Phys. Fluids, 1, 215 (1958); русский перевод: сб. Механика, № 6 (58), 3—20 (1959).

Gross E P.. Ziering S., Phys. Fluids, 2, 701 (1959).

Cercignani C., Nuovo Cimento, X, 27, 1240 (1963).

Lees L., GALCI1 Hypersonic Research Project Memo. No. 51, 1959.

Mo!t Smith H. M., Phys. Rev., 82, 885 (1951); русский перевод： сб. Механика、№ 1 (17), 72—91 (1953).

Butler D. S., Anderson W. M., in “Rarefied gas dynamics,^ (Brun- din C. L., ed.), vol. I, p. 731, New York, Academic Press, 1967.

Chorin A. J , in “The Boltzmann equation” (Griinbaum F. A., ed.), Courant Institute, New York, Univ., 1972.

Shen S. F., in “Rarefied gas dynamics^^ (Laurmann J. A., ed.), vol. II, p. 112, New York, Academic Press, 1963.

Ikenberry E., Truesdell C.,丄 Rat. Meeh. Anal., 5, 1 (1956).

Wang Chang C. S., Uhlenbeck G. E., Engineering Res. Inst., Univ, of Michigan, Project M 999, 1952; перепечатано в The kinetic theory of gases, vol. V, p. 43, Studies in statistical mechanics (de Boer J., Uhlenbeck G. E., eds.), Amsterdam, North Holland, 1970.

Wang Chang C. S., Uhlenbeck G. E., Engineering Res. Inst., Univ, of Michigan, Rep. 1999-I-T, 1954.

Wang Chang C. S., Unhlenbeck G. E., Engineering- Res. Inst., Univ, of Michigan, Project M 999, 1953.

Waiig Chang C. S , Uhlenbeck G. E., Engineering Res. Inst. Univ, of Michigan, Project 2457, 1956.

Mott-Smith H. M., M. I. T. Lincoln Lab. Rep. V, 2, 1954.

Pekeris C. L., Alterman Z., Finkelstein L., Frankowski K・，Phys. Fluids, 5, 1608 (1962).

Frankowski K., Alterman Z., Pekeris C. L., Phys. Fluids, 8, 245 (1965). Williams M. M. R., The slowing down and thermalisation of neutrons, Amsterdam, 1966.

Conkie W. R., Nucl. Sci. Eng., 7, 295 (I960).

Davison B., Neutron transport theory, Oxford Univ. Press, 1957; pyo скип перевод: Дэвисон Б., Теория переноса нейтронов, М., Атомиздат, 1960.

Thompson J. J., Australian Atomic Energy Comm. Rep. AAEC/E 107, 1963.

Huang A B., Georgia Tech. Aerospace Engineering Rarefied Gas Dynamics Rep. No. 4, 1967.

Huang A.B„HartleyD.L.,PhysFluids, 11, 1321 (1968).

Huang A.B.,HartleyD.L„Al A AJournal, 6, 2023 (1968)

Huang A.B„HartleyD.L,Phys.Fluids, 12, 96 (1969).

Huang A.B.,HwangP.F.,Phys.Fluids, 13, 309 (1970).

Huang A. B., in “Rarefied gas dynamics” (Trilling L., Wachman H., eds.), vol. I, 529, New York, Academic Press, 1969.

[30] ⑶]

[32]

[33]

34] 35' ‘36 ‘37’ ‘38 ；39； 40；

[41]

[42]

[43]

[44]

[45] [46]

[47]

[48] ：49'

50 51

Huang А. В., Hwang Р. F., Phys. Fluids, 16, 466 (1973).

Wachman М., Hamel В. В., in “Rarefied gas dynamics^^ (Brundin C. L., ed.), vol. I, 675, New York, Academic Press, 1967; русский перевод: сб. «Вычислительные методы в динамике разреженных газов», М., «Мир», 259—275, 1969.

Hamel В. В., Wachman М.,切 “Rarefied gas dynamics" (de Leeuw J. H., ed.), vol. I, 370, New York, Academic Press, 1965; русский перевод: сб. «Вычислительные методы в динамике разреженных газов》，М.,《Мир》, 231—258, 1969.

Huang А. В., Giddens D. Р., in “Rarefied gas dynamics,^ (Brundin C. L., ed.), vol. I, 481, New York, Academic Press, 1967.

Huang A. B., Phys. Fluids, 11, 61 (1968).

Huang A. B., Giddens D. P., Bagnal C. W., Phys. Fluids, 10, 498 (1967).

Huang A. B., Giddens D. P., A1AA Journal, 5, 1354 (1967).

Huang A. B., Giddens D. P., Phys. Fluids, 10, 232 (1967).

Huang A. B., Giddens D. P., Phys. Fluids, 11, 446 (1968).

Wick G. C., Z. Phys., 121, 702 (1963).

Chandrasekhar S., Radiative transfer, New York, Dover, 1960; русский перевод: Чандрасекар С., Перенос лучистой энергии, М., ИЛ, 1953. Gast R. С., Bettis Report, WAPD-TM, 118, 1958.

Carlson В. G., Lathrop К，D., in “Computing methods in reactor physics” (Greenspan H., Kalber C. W., Okrent D., eds.), p. 171, New York, Gordon and Breach, 1968.

Liepman H. W., Narasimha R., Chahine M. T., Phys. Fluids, 5, 1313 (1962).

Willis D. R., in “Rarefied gas dynamicsn (Laurmann J. A., ed.), vol. I, p. 205, New York, Academic Press, 1963.

Anderson D., /. Plasma Phys., 1, 255 (1968).

Cercignani C., Tironi G., in “Rarefied gas dynamics” (Brundin C. L., ed.), vol. I, p. 441, New York, Academic Press, 1967.

Willis D. R., Phys. Fluids, 5, 127 (1962); русский перевод: сб. Механика, № 2(78), 87—103 (1963).

Cercignani С., Daneri A., J. AppL Phys., 34, 3509 (1963).

Cercignani C., Sernagiotto F., Phys. Fluids, 9, 40 (1966).

Bassanini P., Cercignani C., Sernagiotto F., Phys. Fluids, 9, 1174 (1966).

Bassanini P., Cercignani C., Schwendimann P., in “Rarefied gas dynamics” (Brundin C. L., ed.)> vol. I, p. 505, New York, Academic Press, 1967.

[52] [53]

[54] [55]

圈

[58] ：59； 60' ‘61’ 62' ；63' •64] 65 66'

Cercignani C., Sernagiotto F., Phys. Fluids, 10, 1200 (1967).

Bassanini P., Cercignani C., Pagani C. D., I nt. Jour, of Heat and Mass

Transfer, 10, 447 (1967).

Cercignani C., Pagani C. D., Phys. Fluids, 9, 11 (1966).

Cercignani C., Foresti P., Sernagiotto F., Ntiovo Cimento, X, 57B, 297 (1968).

Loyalka S. K・，Ferziger J., Phys. Fluids, 10, 1833 (1967).

Вайнберг M. M. Вариационные методы исследования нелинейных операторов, М., Гостехиздат, 1956.

Rowlands G., /. Nucl. Energy, А13, 176 (1961).

Kladnik R., Kuscer I., Nucl. Set. Eng., 11, 116.(1961).

Kladnik R., Kuscer I., Nucl. Set. Eng., 13, 149 (1963).

Le Caine T., Can. /. Res., A28, 242 (1950).

Pomraning G. C., J. Math Phys., 8, 2096 (1967).

Pomraning G. C.,丄 Math. Phys., 9, 155 (1968).

Pomraning G. C., Clark M., Jr., Nucl. Sci. Eng., 16, 147 (1963).

Pomraning G. C., Clark M., Jr., Nucl. Sci. Eng., 16, 155 (1963).

Cercignani C.,，几 “Fisica del reaftore,\ p. 633, Roma, Consiglio Nazio- nale della Ricerche, 1966.

[67] [68]鬪 [71] [72] 圜 [75][67] [68]鬪 [71] [72] 圜 [75][76][77][78][76][77][78][85][85][861 ■87' §8： ：89； ；90'[861 ■87' §8： ：89； ；90'[91][92][93][91][92][93][94][95][96][97][94][95][96][97]

[67] [68]

鬪 [71] [72] 圜 [75]

[67] [68]

鬪 [71] [72] 圜 [75]

[76]

[77]

[78]

[76]

[77]

[78]

[85]

[85]

[861 ■87' §8： ：89； ；90'

[861 ■87' §8： ：89； ；90'

[91]

[92]

[93]

[91]

[92]

[93]

[94]

[95]

[96]

[97]

[94]

[95]

[96]

[97]

Cercignani С., Tironi G., J. Plasma Phys., 2, part 3, 293 (1968).

Cercignani C., Tironi G., in “Rarefied gas dynamics” (Trilling L, Wach- man H., eds.), vol. I, p. 281, New York, Academic Press, 1969.

Loyalka S. K・，Z. Naturforsch., 26a, 1708 (1971).

Stewart J. 0., in “Rarefied gas dynamics” (Trilling L., Wachman H., eds.), vol. I, p. 545, New York, Academic Press, 1969.

Коган M. H., Динамика разреженных газов, «Наука», М., 1967.

Robertson S. J., 〃z “Rarefied gas dynamics” (Trilling L., Wachman H., eds.), vol. I, p. 767, New York, Academic Press, 1969.

Haviland J. K・，Lavin M. L., Phys. Fluids, 5, 1399 (1962).

Haviland J. K., in “Rarefied gas dynamics” (Laurmann J. A., ed.), vol. I, p. 274, New York, Academic Press, 1963.

Perlmutter "., in “Rarefied gas dynamicsM (Brunclin C. L., ed.), vol. I, p. 455, New York, Academic Press, 1967; русский перевод: сб. «Вычислительные методы в динамике разреженных газов», М., «Мир», 116— 139, 1969.

Perlmutter М., in “Rarefied gas dynamics” (Trilling L., Wachman H., eds.), vol. I, p. 327, New York, Academic Press, 1969.

Yoshizawa Y., in “Rarefied gas dynamics” (Trilling L., Wachman H., eds.), vol. I, p. 177, New York, Academic Press, 1969.

Kondo J., Koura K・，in “Rarefied gas dynamics” (Trilling L., Wachman H., eds.), vol. I, p. 181, New York, Academic Press, 1969.

Bird G. A., Phys. Fluids, 6, 1518 (1963).

Bird G. A., in **Rarefied gas dynamics" (de Leeuw J. H., ed.), vol. I, 216, New York, Academic Press, 1965; русский перевод: сб. «Вычислительные методы в динамике разреженных газов》，М.,《Мнр》，140—147, 1969.

Bird G. A., AIAA Journal, 4, 55 (1966).

Bird G. A., /., Fluid Meeh., 30, 479 (1967); русский перевод: сб. «Вычислительные методы в динамике разреженных газов》，«Мир», М., 148—158, 1969.

Bird G. A., J. Fluid Meeh., 31, 657 (1968).

Vogenitz F. W., Bird G. A., Broadwell J. E., Rungaldier H., AIAA Journal, 6, 2388 (1968).

Bird G. A., in “Rarefied gas dynamics'： (Tirlling L., Wachman H., eds.), vol. I, p. 301, p. 85, New York, Academic Press, 1969.

Bird G. A., J. Fluid Meeh., 36, 571 (1969).

Bird G. A., Phys. Fluids, 13, 1172 (1970).

Bird G. A., Phys. Fluids, 13, 2676 (1970).

Bird G. A., AIAA Journal, 8, 1998 (1970).

Goertzel G., Kalos M. H., Monte Carlo in transport problems, in uPro- gress in nuclear energy", Sect. I: Physics and mathematics, London, Pergamon Press, 1958.

Cashwell E. D., Everett C. J., The Monte Carlo method for random walk problems, New York, Pergamon Press, 1959.

Spanier J., Gelbard E. M., Monte Carlo principles and neutron transport problems, Reading, Addison-Wesley, 1969.

Nordsieck A., Hicks B. L., in ^Rarefied gas dynamics,^ (Brundin C. L., ed.), vol. I, p. 695, New York, Academic Press, 1967; русский перевод: сб. «Вычислительные методы в динамике разреженных газов», М., «Мир», 215—230, 1969.

Hicks В L., Yen S. М., in “Rarefied gas clynamics^^ (Trilling L., Wachman H., eds.), vol. I, p. 313, New York, Academic Press, 1969.

Hicks B. L., Yen S. M., Railly B. J., J. Fluid Meeh., 53, 85 (1972); русский перевод: сб. Механика, № 6 (148), 57—84 (1974).

Cercignani С., J. Stat. Phys., 1, 297 (1969).

Ziering S., Phys. Fluids, 3, 503 (I960).

『109〕 110' 11Г『109〕 110' 11Г[112[112[113 [114 [115[113 [114 [115[1161UE[1161UE卩18][1191卩18][1191[120][121][122][120][121][122][123][124][123][124][125][126][127][128][125][126][127][128][129][130][131][129][130][131]

『109〕 110' 11Г

『109〕 110' 11Г

[112

[112

[113 [114 [115

[113 [114 [115

[1161UE

[1161UE

卩18][1191

卩18][1191

[120]

[121]

[122]

[120]

[121]

[122]

[123]

[124]

[123]

[124]

[125]

[126]

[127]

[128]

[125]

[126]

[127]

[128]

[129]

[130]

[131]

[129]

[130]

[131]

Lavin М. L., Haviland J. К., Phys. Fluids, 5, 274 (1962).

Cercignani C., Cipolla J., VII Symposium on Rarefied Gas Dynamics, Pisa, 1970.

Teagan W. P., Springer G. S., Phys. Fluids, 11, 497 (1968).

Holway L. H., Jr., Phys. Fluids, 9, 1658 (1966); русский перевод: сб. Механика, № 6 (106), 46—83 (1967).

Lin C., Lees L., in “Rarefied gas dynamics” (Talbot L., ed.), p. 391 New York, Academic Press, 1961.

Willis D. R., in “Rarefied gas dynamics^^ (Laurmann J. A., ed.), vol. I, p. 209, New York, Academic Press, 1963.

Anderson D., J. Fluid Meeh., 25, 271 (1966).

Cercignani C., Pagani C. D., in “Rarefied gas dynamics^^ (Brundin C. L., ed.), vol. I, p. 555, New York, Academic Press, 1967.

Dong W„ Univ, of Calif. Rept. UC RL, 3353, 1956.

Knudsen M., Ann. der Physik, 28, 75 (1909).

Cercignani C., Tironi G., Proceedings of the AIDA-AIR Meeting, p. 174, Roma, AIDA-AIR, 1967.

Cercignani C., Phys. Fluids, 10, 1859 (1967).

Huang A. B., Stoy R. L., Jr., Phys Fluids, 9, 2327 (1966).

Bassanini P., Cercignani C., Pagani C. D., Int. J. Heat and Mass Transfer, 11, 1359 (1968).

Hu P. N., неопубликованная работа, цитируемая в [115].

Cercignani С., Meccanica, 5, 7 (1970).

Taylor G. I., Proc. Roy. Soc. London, A84, 371 (1950).

Grad H., in “Transport theory”(Bellman R. et al., eds.), p. 209, Providence, American Mathematical Society. 1969.

Sal wen H., Grosch C., Ziering S., Phys. Fluids, 7, 180 (1969).

Holway L. H., Jr., in “Rarefied gas dynamics” (de Leeuw J. H., ed.), vol. I, p. 193, New York, Academic Press, 1965.

Muckenfuss C., Phys. Fluids, 5, 1325 (1962).

Linzer M., Hornig D. F., Phys. Fluids, 6, 166 (1963).

Deshpande S. M., Narasimha R., J. Fluid Meeh., 36, 545 (1969).

Oberai M. M., J. de Mec., 6, 317 (1967).

Narasimha R., Deshpande S. M., Ananthasayanam M. R., in “Rarefied gas dynamics^^ (Trilling L., Wachman H., eds.), vol. I, p. 417, New York, Segal В. M., Ferziger J. H„ Phys. Fluids, 15, 1233 (1972).

Sirovich L., Phys. Fluids, 5, 908 (1962); русский перевод: сб. «Некоторые вопросы кинетической теории газов», М., «Мир», 246—269, 1965. Sherman F. S., /. Fluid Meeh., 8, 465 (I960).

Oberai M. M., Phys. Fluids、9, 1634 (1966).

Sirovich L., Goldman E., in “Rarefied gas dyпamics^^ (Trilling L., Wachman H., eds.), vol. I. p. 407, New York, Academic Press, 1969. Abe K., Oguchi H., 〃z “Rarefied gas dyпamics,^ (Trilling L., Wachman H.. eds.). vol. I, p. 425, New York, Academic Press, 1969.

Talbot L., Scala M.. in “Rarefied gas dynamics" (Talbot L., ed.), p. 603, New York. Academic Press, 1961.

Turcotte D. L., in “Rarefied gas dynamics^^ (Trilling L., Wachman H., eds.), vol I, p. 331, New York, Academic Press, 1969.

Brau C. A., Simons G. A., Macomber H. K・，？〃 “Rarefied gas dynamics^^ (Trilling L., Wachman H., eds.), vol. I. p. 343, New York, Academic

Press, 1969.

[132] Venkataraman R, Mo>'se T. F., in “Rarefied gas clynarпics^^ (Trilling L., Wachman H. eels.), vol. I, p. 353, New York, Academic Press, 1969.

[133J Cercignani C , Pagani C. D., "z “Rarefied gas dynamics^, (Brundin C. L., ed.), vol. I. p 555, New Academic Press, 1967.

[134] Cercignani C., Pagani C. D., Phi/s. Fluids, 11, 1395 (1968).

[135] = 136： 137：U38] [139] [140] [141][135] = 136： 137：U38] [139] [140] [141][142][143][142][143]144]144]147]147][148][149][148][149]口 53][154] [155][156] 157' 158’ 159’ 160'口 53][154] [155][156] 157' 158’ 159’ 160'[161] [162' [163][164] [165][166][167][168] 169' 170' 17Г[161] [162' [163][164] [165][166][167][168] 169' 170' 17ГCercignani С., Pagani С. D., Bassanini Р., Phys. Fluids, И, 1399 (1968).

[135] = 136： 137：

U38] [139] [140] [141]

[135] = 136： 137：

U38] [139] [140] [141]

[142]

[143]

[142]

[143]

144]

144]

147]

147]

[148]

[149]

[148]

[149]

口 53]

[154] [155]

[156] 157' 158’ 159’ 160'

口 53]

[154] [155]

[156] 157' 158’ 159’ 160'

[161] [162' [163]

[164] [165]

[166]

[167]

[168] 169' 170' 17Г

[161] [162' [163]

[164] [165]

[166]

[167]

[168] 169' 170' 17Г

Millikan R. A., Phys. Rev., 22, 1 (1923).

Sherman F. S., in “Rarefied gas dynamics” (Laurmann J. A., eel.), vol. II, p. 228, New York, Academic Press, 1963.

Grad H., Proceedings of the Conference on Aerodynamics and the Upper Atmosphere, Rand Corp., 1959.

Sirovich L., in “Rarefied gas dynamics” (Talbot L.> ed.), New York, Academic Press, 1961.

Шидловский В. П., Введение в динамику разреженных газов, М., «Наука», 1965.

Hayes W. D., Probstein R. F., Hypersonic flow theory, New York, Academic Press, 1975: русский перевод: Хейз У. Д., Пробстин Р. Ф., Теория гиперзвуковых течений, М., ИЛ, 1962.

Schaaf S. A., in "Handbuch der Physik” (Flugge S., ed.), Band VIII, S. 591, Berlin, Springer, 1963.

Potter J. L., in “Rarefied gas dynamics” (Brundin C. L., ed.), vol. II, p. 881, New York, Academic Press, 1967.

Willis D. R., Princeton Univ. Aeronaut. Eng. Lab. Rept. No. 440, 1958.

Willis D. R., J. Fluid Meeh., 21, 21 (1965).

Willis D. R., Phys. Fluids, 8, 1908 (1965).

Grad H., Hu P. N., in “Rarefied gas dynamics” (Trilling L., Wach- man H., eds.), vol. I, p. 561, New York, Academic Press, 1969.

Hamel В. B., Cooper A. L., in “Rarefied gas dynamics” (Trilling L., Wachman H., eds.), vol. I, p. 433, New York, Academic Press, 1969.

Pan Y. S., in “Rarefied gas dynamics^^ (TrillingL, Wachman H., eds.), vol. I, p. 779, New York, Academic Press, 1969.

Stewartson К. O., Mathematika, 16, part 1, 106 (1969).

Messiter A. F., SIAM Л Appl. Math., 18, 241 (1970).

McCroskey W. J., Bogdonoff S. M., McDougall J. G., AIAA Journal, 4, 1580 (1966).

Harbour P. J., Lewis J. H., in “Rarefied gas dynamics” (Brundin C. L., ed.), vol. II, p. 1031, New York, Academic Press, 1967.

Joss W. W., Vas I. E., Bogdonoff S. M., AIAA Paper 68-5, January 1968.

Oguchi H., in “Rarefied gas Dynamics^^ (Talbot L., ed.), p. 501, New York, Academic Press, 1961.

Shorenstein M., Probstein R. F., AIAA Journal, 6, 1898 (1968).

Chow W. L., AIAA Journal, 5, 1549 (1967).

Chow W. L., AIAA Journal, 6, 1 (1968).

Rudman S., Rubin S. G., AIAA Journal, 6, 1883 (1968).

Cheng H. K・，Chen S. Y., Mobly R., Huber C., in “Rarefied gas dyna- micsn (Trilling L., Wachman H., eds.), vol. I, p. 451, New York, Acade- mic Press, 1969.

Kot S. S.：Tu「colte D. L., AIAA Journal, 10, 291 (1972).

Kogan M. N., Degtyariev L. M., Astron. Acta, 11, 36 (1965).

Charwat A. F.,切 “Rarefied gas dynamics^^ (Talbot L., ed.), p. 553, New York, Academic Press, 1961.

Huang A. B., Hwang P. F., IAF Paper RE 63, October 1968.

Vogenitz F. W., Broadwell J. E., Bird G. A., AIAA Journal, 8, 504 (1970).

Joss W. W., Bogdonoff S. M., in “Rarefied gas dynamicsn (Trilling L., Wachman H., eds.), vol. I, p. 483, New York, Academic Press, 1969. Ashkenas H., Sherman F., i几 “Rarefied gas dynamics” (de Leeuw J. IL, ed.), vol. II, p. 84, New York, Academic Press, 1965.

Hamel В. B., Willis D. R., Phys. Fluids, 9, 829 (1966).

Edwards R. H., Cheng H. K・，AIAA Journal, 4, 558 (1966).

Freeman N. C., AIAA Journal, 5, 1696 (1967).

Freeman N. C., Grundy R. E., /. Fluid Meeh., 31, 723 (1968).

[172] Brook J. W., Oman R. A., in “Rarefied gas dynamics^^ (de Leeuw J. H., ed.), vol. I, p 125, New York, Academic Press, 1965.

[173] Abuaf N., Anderson J. B., Andres R. D., Fenn J. B., Miller D. R., in «Rarefied gas dynamics" (Brundin C. L., ed.), vol. II, p. 1317, New York, Academic Press, 1967.

[174] Edwards R. H., Cheng H. K・，in “Rarefied gas dynamics14 (Brundin C. L., ed.), vol. I, p. 819, New York, Academic Press, 1967.

[175] Freeman N. C., Thomas D. R., in “Rarefied gas dynamics^^ (Trilling L., Wachman H., eds.), vol. I, p. 163, New York, Academic Press, 1969.

[176] Miller D. R., Andres R. P.,历 “Rarefied gas dynamics”(Trilling L., Wachman H., eds.), vol. II, p. 1385, New York, Academic Press, 1969.

[177] Willis D. R., Hamel В. B., Lin J. T., Univ, of Calif. Berkeley Aero. Sci. Rept. AS-70-8, 1970.

f 178] Grundy R. E., Phys. Fluids, 12, 201 1 (1969).

[179*] Тамм И. E., О ширине ударных волн большой интенсивности, Труды ФИ АН, 29, 239—249 (1965) (выполн. в 1947 г.).

[180*] Баранцев Р. Г., Об асимптотическом законе выравнивания скачка в одноатомном газе, ЖЭТФ, 42, № 3, 889—895 (1962); Структура скачка максимальной интенсивности в одноатомном газе, в кн «Аэродинамика разреженных газов», вып. I, Л., изд-во ЛГУ, 234—245, 1963.

[181*] Kvkcchko Б В., Метод расчета течений разреженного газа, Локл. АН СССР, 151, № 5, 1042—1045 (1963).

[182*] Баранцев Р. Г., Метод {штегральных моментных кинетических уравне- нпп, Докл. АН СССР, 151, № 5, 1038—1041 (1963); в кн. «Аэродинамика разреженных газов», вып. 2, Л., изд-во ЛГУ, 62——78, 1965.

[183*] Баранцев Р. Г., 56-моментная система дифференциальных кинетических уравнении, в кн. «Аэродинамика разреженных газов», вып. 2, Л., изд-во ЛГУ, 98—113, 1965.

[184*] Власов В. И., Улучшение метода статистических испытаний (Монте- Карло) для расчета течений разреженных газов, Докл. АН СССР, 167, № 5, 1016—1018 (1966).

[185:i：] Перепухов В. А., Аэродинамические характеристики сферы и затупленного конуса в потоке сильно разреженного газа, Ж. вычисл. мат. “ мат. физики, 7, № 2, 444—452 (1967).

[186*] Баранцев Р. Г., О решении моментных уравнений, в кн. «Аэродинамика разреженных газов», вып. 3, Л., изд-во ЛГУ, 51-—57, 1967.

[187*] Баранцев Р. Г., Луцет М. О.. О граничных условиях для уравнении Навье —Стокса, Докл. АН СССР. 173, № 5, 1021 — 1023 (1967).

[188*] Маслова Н. Б., О решении уравнения Больцмана для случая пространственно-однородного газа из максвелловских молекул, Вестник ЛГУ, № 13, 88—95 (1968).

[189*] Анолик М. В., Баранцев Р. Г., Вторая итерация интегрального кинетического оператора в ударной волне одноатомного газа, в кн. «Методы вычислений», вып. 5, Л., изд-во ЛГУ, 43—48, 1968.

[190*] Шлажа Ю., Асимптотическое поведение потоков массы, импульса и энергии па полубескопечпой пластинке при больших «ислах Маха, Вестник ЛГУ, № 1, 120—138 (1968).

[191*] Баранцев Р. Г., Луганская И. Б., Моменты высокого ранга в слабо разреженном газе, Докл. АН СССР, 180, № 3, 554—555 (1968).

[192*] Горелов С. Л., Коган М. Н., Решение линейных задач динамики разреженного газа методом Монте-Карло, Мех. жидкости 〃 газа, № 6, 136—139 (1968).

[193*] Численные методы в теории разреженных газов, Труды ВЦ АН СССР, 1969.

[194：i：] Баранцев Р. Г., Копылова А. В., К вопросу о замыкании уравнений сохранения п разреженном газе, в кн ^Аэродинамика разреженных газов», вып. 5, Л., изд-во ЛГУ, 73—82, 197(),

[195*] Власов В. И., Расчет методом Монте-Карло потока тепла между параллельными пластинами в разреженном газе, Ученые записки ЦАГИ, 1, № 4, 46—51 (1970).

[196*] Горелов С. Л., Коган М. Н., Течение разреженного газа между двумя параллельными пластинами, Ученые записки ЦАГИ, 1, № 6, 126——130 (1970).

[197*] Черемисин Ф. Г., Численное решение кинетического уравнения Больцмана для одномерных стационарных уравнений газа, М. вычисл. мат. 〃 мат. физики, 10, № 3, 654—665 (1970).

[198*] Власов В. И., Расчет аэродинамических характеристик плоской пластины бесконечного размаха в гиперзвуковом потоке разреженного газа, Ученые записки ЦАГИ, 2, № 6, 116—118 (1971).

[199*] Скакун С. Г., Суетин П. Е., Черняк В. Г., Плоское течение Куэтта для трех молекулярных моделей, Мех. жидкости и газа, № 2, 158—160 (1971); Бароэффект при произвольных числах Кнудсена, ЖТФ, 42, № 3, 642—646 (1972).

[200*] Гусев В. Н., Климова Т. В., Липин А. В., Аэродинамические характеристики тел в переходной области при гиперзвуковых скоростях потока, Труды ЦАГИ, вып. 1411, 3—53, 1972.

[201*] Черпяк В. Г., Породнов Б. Т., Суетин П. Е., Движение разреженного газа в длинных трубах с аккомодирующими стенками при произвольных числах Кнудсена,水Т①,43, № 11, 2420—2426 (1973).

[202*] Численные методы в динамике разреженных газов, сборник статей, М., ВЦ АН СССР, вып. 1, 1973; вып. 2, 1975.

[203*] Бунимович А. И., Соотношение между силами, действующими на тела, движущиеся в разреженном газе, в потоке света и в гиперзвуковом ньютоновском потоке, Мех. жидкости 〃 газа, № 4, 89—95, 1973; Аэродинамические характеристики осесимметричных тел при обтекании в условиях «закона локальности», Вестник МГУ, серия матем. и мехам., № 4, 97—102 (1974).

[204*] Геодаков Н. А., Сходимость метода Хэвиленда ——Левина решения уравнения Больцмана, в кн. «Аэродинамика разреженных газов》, вып. 7, Л., изд-во ЛГУ, 19—25, 1974; Сходимость в малом итераций метода Хэвиленда ——Левина решения уравнения Больцмана, там же, вып. 8, 37—46, 1976.

[205*] Зворыкин Л. Л., Изучение структуры ударной волны в одноатомном газе методом интегральных моментных уравнений, в кн. «Аэродинамика разреженных газов», вып. 7, Л., изд-во ЛГУ, 198—210, 1974.

[206*] Шахов Е. М.、Метод исследования движений разреженного газа, М., «Наука», 1974; Решение осесимметричных задач теории разреженных газов методом конечггых разностей, Ж. вычасл. матем и матем. физики. 14, № 4, 970—981 (1974).

[207*] Щербак С. Я., Численное исследование задачи о передней кромке па оспсве полного уравнения Больцмана, Вестник ЛГУ, № 19, 109——115 (1974).

[208*] Эндер И. А., Построение ядра столкновительного оператора в (а, 〃)- представлении уравнения Больцмана, Вестник ЛГУ, № 19, 116—125 (1974).

[209*] Бакапов С. П., О некоторых интегральных соотношениях в кинетической теории газов. ЖТФ, 44. № 12, 2625—2629 (1974); Прикл. матем. и мех ан № 5, 932—934 (1975): Расчет теплового скольжения при произвольной аккомодации газа на границе раздела фаз, ЖТФ. 47, № 2, 421—427 (1977).

[210*] Бишаев А М., Рыков В А., Решение стационарных $2艮〃斗 кинетической теории газов при умеренных н малых числах Кнудсена методом итераций,水.вычисл. мат> w матем. физики, 15, № 1, 172—182 (1975).

[211*] Бунимович А. II., Чистолинов В. Г., Аналитический метод расчета аэродинамических сил в пространственной задаче в условиях «закона локальности», Прикл. матем. 〃 мех ан., № 3, 466——472 (1975); Аналитический расчет аэродинамических характеристик тел вращения в условиях закона локальности, Механ. жидкости и ааза, № 5, 94——100 (1975).

[212*] Власов В. И., Расчет течения разреженного газа около пластины под углом атаки, Ученые записки ЦАГРЦ 6, № 2, 48—55 (1975).

[213：i：] Лимар Е. Ф., Расчет обтекания ннлиндра разреженным газом, Ж. вы- числ. мат. и мат. физики, 15, № 1, 266—269 (1975).

[214*] Трощиев В. Е., О математических свойствах Sn-методов решения кинетических уравнений, Ж. вычисл. мат. и мат. физики, 15, № 5, 1209—— 1221 (1975).

[215*] Ерофеев А. И., Перепухов В. А., Расчет обтекания пластины, расположенной вдоль потока разреженного газа, Ученые записки ЦАГИ, 6, № 3, 51—57 (1975); Расчет обтекания пластины бесконечного размаха потоком разреженного газа, там же, 7, № 1, 102—106 (1976); Расчет поперечного обтекания пластины потоком разреженного газа, Мех. жидкости и газа, № 4, 106—112 (1976).

[216*] Алексеева Е. В., Баранцев Р. Г., Локальный метод аэродинамического расчета в разреженном газе, Л., изд-во ЛГУ, 1976.

[217：i：] Аристов В. В., Черемисин Ф. Г., Расщепление неоднородного кинетического оператора уравнения Больцмана, Докл. АН СССР, 231, № 1, 49—52 (1976).

[218*] Баранцев Р. Г., Копылова А. В., Об уравнениях сохранения в разреженном газе на поверхности тела, в кн. «Аэродинамика разреженных газов》，вып. 7, Л., изд-во ЛГУ, 191 —197, 1974; Построение газодинамических полей в сильно разреженном газе на основе уравнений сохранения, там же, вып. 8, 153—161, 1976; О замыкании уравнений сохранения в разреженном газе на основе классов точных решении, Труды IV Всесоюзной конференции по динамике разреженного газа, 418—421, М., ЦАГИ, 1977.

[219：i：] Горелов С. Л., Термофорез и фотофорез в разреженном газе, Механ. жидкости и газа, № 5, 178—182 (1976).

[220*] Гусев В. Н., Климова Т. В., Рябов В. В., Основные закономерности изменения аэродинамических характеристик в переходной области при гиперзвуковых скоростях потока, Ученые записки ЦАГИ, 7, № 3, 47—54 (1976).

[221*] Ермаков С. М., Некруткнн В. В., Прошкин А. Я., Сизова А.①.，О решении методом Монте-Карло нелинейных кинетических уравнен”％ Докл. 4" СССР, 230, № 2, 261—265 (1976).

[222*] Кудиш И. И., Рыков В. А., О схождении к центру и отражении сферической волны в газе, Ж. вычисл. мат. и мат. физики, 16. № 5, 1209— 1216 (1976).

[223*] Фридлендер О. Г., Интегрально-моментный метод решения задач динамики разреженных газов, Труды ЦАГИ, вып. 1742, 49—69, 1976.

[224*] Хлопков Ю. И., Клпы в потоке разреженного газа, Ученые записки ЦАГИ, 7, № 4, 144—147 (1976).

[225*] Белоцерковский О. М., Яницкий В. Е., Статистическое моделирование течения идеального одноатомного газа, в кн. «Аэродинамика», М., «Наука», 259—265, 1976; Численные методы в динамике разреженного газа, Труды IV Всесоюзной конференции по динамике разреженного газа, 101 — 183, М., ЦАГИ, 1977.

122b'' Bird G. A., Molecular gas dynamics, Oxford, Clarendon Press, 1976.

【227*] Жук В. И., Некоторые асимптотические свойства макропараметров разреженного газа при pacш^IpeнIШ в вакуум, Прикл. матем. и механ. 41, № 1, 72—78 (1977).

VHIVHIТеоремы существованияи единственности

VHI

VHI

Введение

В этой главе излагается математически наиболее развитая часть теории уравнения Больцмана, которая основывается на использовании методов функционального анализа.

Основное место занимают теоремы существования и единственности и качественный анализ решений уравнения Больцмана.

Построение полной теории существования и качественного поведения решений уравнения Больцмана служит нескольким целям. Первая из них ——получить представление о том, имеют ли решения конкретной задачи или модельного уравнения общее значение или носят лишь частный характер. Более важная цель ——определить, существует ли решение вообще. Решение в принципе может отсутствовать, несмотря на убедительность физической аргументации относительно справедливости уравнений и правдоподобность результатов, полученных нестрогими приближенными методами.

Хотя первое из доказательств существования и единственности решений уравнения Больцмана восходит еще к Карлеману [1], наиболее существенные успехи были достигнуты за последнее десятилетие благодаря детальному анализу линеаризованного уравнения Больцмана.

Этот анализ привел к развернутой теории существования и единственности в линейном случае и к некоторым интересным результатам для нелинейных задач.

Задачи с начальными условиями

Самая простая из всех задач, связанных с уравнением Больцмана, это задача для безграничного газа с начальными данными, не зависящими от координат (пространственно-однородная задача). Первая теорема существования и единственности была получена Карлеманом [1, 2] для модели молекул в виде твердых сфер. Он получил достаточно сильный нелинейный результат «в большом» при довольно слабых предположениях от-

носительно начального распределения: интегрируемость, неотрицательность и ограниченность сверху величиной 4i(1 +|g|)一气 где 41 >• 0 и ос 2 6 — постоянные. При этом показано, что решение существует, положительно и не превосходит А{ (1 + 11 для всех / 2 0.

Доказано также, что функционал //, определенный формулой (III. 9.5), существует, является невозрастающей функцией / для любого / 2 0 и стремится к максвелловскому распределению при %—>8. Уилд [3] и Моргенштерн [4] получили аналогичные результаты для более простого случая обрезанного максвелловского потенциала, однако эти результаты слабее теоремы Кар- лемана в той части, где рассматривается переход к равновесному состоянию. Недавно Аркерид [5] доказал результат, подобный карл ем айовскому, даже при более слабых ограничениях на начальное распределение 力 считая лишь, что оно интегрируемо и имеет функционал ".

Хотя математическая сторона дела достаточно сложна, указанные результаты физически тривиальны в том смысле, что они не содержат гидродинамики: плотность, скорость и температура остаются постоянными.

Ситуация становится более интересной и сложной в том случае, когда начальные данные зависят от координат. Моргенштерн [6] и Повзнер [7] решили задачу Коши для видоизмененного уравнения Больцмана, содержащего 《размазку》，т. е. оператор, сглаживающий пространственную зависимость. Такие уравнения были выбраны из-за математического удобства; их не следует путать с модельными уравнениями, неоднократно используемыми в настоящей книге и не вносящими заметных упрощений в нелинейную теорию существования. В частности, операторы столкновений со сглаживанием не имеют инвариантов столкновений, за исключением пространственно-однородного случая. Грэду [8] удалось доказать теорему существования и единственности для обрезанного максвелловского взаимодействия при довольно жестких условиях, наложенных на начальное распределение (которое должно быть ограничено некоторым максвеллианом), и лишь для конечного интервала времени.

Изучение существования и единственности для линеаризованного уравнения Больцмана было начато Карлеманом [2], который установил эти результаты для (линеаризованного) уравнения в случае взаимодействия типа твердых сфер с учетом зависимости от координат; однако при этом получалась экспоненциальная оценка роста е"° (0 — среднее время свободного пробега).

Позднее Грэду [9, 10] удалось построить довольно общую теорию линеаризованного уравнения для случая твердых сфер и потенциалов с обрезанием по углу. Он доказал [9] ограниченность

решения для всех t ^ 0, равномерную относительно средней длины свободного пробега, и даже конечный переход к равновесному состоянию [10].

Факт независимости оценок от средней длины пробега означает, что они распространяются на макроскопический режим и могут быть использованы для строгого обоснования теории Гильберта [11].

На основе этих результатов для линеаризованного уравнения при не слишком больших отклонениях от линейности была построена ограниченная нелинейная теория, охватывающая значения времени, представляющие интерес для макроскопической газодинамики [12].

Доказательство Грэда строится следующим образом. Прежде всего линеаризованное уравнение преобразуется к интегральной форме:

Л (х, Z)=瓦(х —三/,三)exp (— vZ) + t

+ \ exp [— v (/ — s)]々(x —自(力一s), s) ds. (2.1) о

Здесь предполагается, что оператор столкновений L представляется в виде разности (IV. 5.20), причем

々=О,(2.2)

а Л0(х, ^)——заданное начальное значение h. Уравнение (2.1) можно решить при помощи итераций. Грубая оценка, полученная в результате замены экспонент в (2.1) единицами, дает сходящийся итерационный процесс с ростом exp (kt) в любой из следующих норм:

"囲=[V0|们2密厶『=1||/2|||,(2.3)

Nr [Л]^шах [fod+mift(x, §1,(2・《)

х, g

Nr [h] = max (1 + 打仅[卜。| 们2 dxy(2・5)

и даже в более сложных нормах, в которые входят производные по координатам. Постоянная k в экспоненте exp (kt) является границей для К в выбранной норме. Для любого гладкого решения Л можно, кроме того, получить априорную оценку

N(h)0N&),(2.6)

которая есть не что иное, как линеаризованный вариант Я-тео- ремы (см. разд. 4 гл. IV). Использование (2.6) приводит к рав-

номерной оценке в Л2, которая может быть перенесена на другие нормы, указанные выше.

Заметим, что результаты Грэда для нелинейного случая получаются простым итерационным процессом с использованием интегральной формы уравнения Больцмана. Доказательство сходимости далеко не тривиально, результат же довольно слабый, поскольку существование и единственность получаются в классе функций с весьма ограничительной нормой %з(九) (九=(f —— —fo)/fo) •

Аналогичные результаты для линейных уравнений на основе предварительного изучения спектральной задачи (уравнение (IV. 8.4) с вещественным к) получил А. А. Арсеньев [13] при помощи преобразования Фурье.

Шарф [14] также воспользовался преобразованием Фурье и доказал теорему существования в целом и слабую форму стремления к равновесию при довольно широких предположениях относительно начального значения Л0- Он использовал теорию линейных полугрупп [15] и диссипативность оператора

Л = L — /к • ^ (к вещественно) (2.7) вместе с его сопряженным в гильбертовом пространстве 羽 функций к и 三，в котором норма берется с весом %. Диссипативность оператора Л легко устанавливается, согласно определению диссипативного оператора [15, 16], поскольку Л задан на плотном множестве и для любого элемента 丘三雍 из области определения 4 имеем

Re ((瓦 4角)=((瓦 LA)) CO. (2.8)

Далее, так как область значений 九——А совпадает с 宠 для любого 九〉0, существует семейство линейных операторов Т7, таких, что решение уравнения

学=4万+? (2.9)

(это решение существует и единственно) дается выражением

о

Такой же полугрупповой метод применили Фец и Шен [17], не пользуясь, однако, преобразованием Фурье. Преимущество полугруппового подхода заключается в том, что он может быть применен и при наличии границ при условии, что граничные условия однородны [14, 17].

Неоднородность граничных условий осложняет анализ, как будет видно из дальнейшего изложения,

Метод полугрупп был также применен Грюнбаумом [18] для слабо нелинейного пространственно-однородного случая.

Аналогичные результаты получаются, конечно, и для задач с начальными условиями при однородных граничных условиях; такие задачи возникают в теории переноса нейтронов. Среди работ по этой тематике особого внимания заслуживают работы Марти [19], Мики [20, 21], Альбертони и Монтаньяни [22, 23], а также Бедна ржа [24]. Хотя последние авторы не доказывали теорем существования, они обнаружили важные спектральные свойства оператора переноса.

Более подробный обзор этих результатов вместе с приложениями функционального анализа к задачам переноса нейтронов дается в капитальном труде Рибарича [25].

Оператор свободного переноса

Как следует из предыдущего раздела, теория существования и единственности решения задачи с начальными условиями для полного уравнения Больцмана весьма сложна; соответствующая же линеаризованная задача достаточно проста в том смысле, что здесь значительные усилия требуются лишь для получения точных оценок предельного подхода к равновесию.

Более глубокое изучение свойств уравнения Больцмана необходимо в тех случаях, когда рассматривается стационарная граничная задача (или нестационарная задача с неоднородными граничными условиями).

Действительно, непосредственное использование итеративного метода, применяемого в задаче с начальными условиями, позволяет доказать существование решения только при ограничениях, наложенных на размер области [26, 27]. Первые доказательства существования и единственности для области произвольных размеров [28, 29] основываются на детальном изучении [29] оператора свободного переноса 。=盲・0/0х, и в частности на неравенстве вида

N(Dg、NQa (3.1)

где ^ означает подходящую норму, у ——постоянная, зависящая от размера области, а й удовлетворяет однородным граничныл^ условиям вида (IV. 4.1), т. е. (IV. 2.8) с й0 = 0.

Было бы весьма желательно доказать неравенство (3.1) для любой области R、граница которой dR имеет конечную кривизну в любой точке, и для любого граничного условия вида (IV. 2.8), где ядро 5(gz -> §) удовлетворяет лишь условиям (IV.2.10), (III.3.9), (III. 1.8), (П1. 1.10). '

Для доказательства, которое удается сейчас провести, приходится использовать норму вида

N(g) = HI 畔gill,(3.2)

где В = В(Е)——соответствующий вес, а норма ||| g ||| определяется формулой (IV. 4.4). При этом приходится опираться на усиленный вариант неравенства (IV. 4.7), а именно на неравенство

III 郭产 ЛA 心 W 羽 III (弱产 h 心(0<^< 1),(3.3)

где h ——функция, определенная на dR для g・n〉0 и удовлетворяющая условию

((业，初8 = 0 (20 = const).(3.4)

Обозначения (( ))в и ||| |||в определены формулами (IV. 4.5) и (IV. 4.6). Физический смысл неравенства (3.3) не очевиден, однако оно удовлетворяется, например, для максвелловских граничных условий (III. 5.1).

Заметим, что однородные граничные условия Л+ = Ah_ недостаточны для того, чтобы сделать оператор D взаимно однозначным; действительно, если взять /z =屮。=const, то h удовлетворяет граничным условиям и уравнению Dh = 0 и неравенство (3.1) не может выполняться. Это обстоятельство отражает тот факт, что существует некоторый произвол в распределении плотности между /0 и возмущением ДЛ; данную трудность можно обойти, введя некоторое дополнительное условие. Выбор точной формы последнего не имеет существенного значения, и мы будем придерживаться условия (3.4), означающего, что Л не дает вклада в полный поток приходящих частиц.

Начнем с уравнения

三・^ = g(x, § (xwR, WeE),(3.5)

где h удовлетворяет указанным выше условиям; для того чтобы h могла fдовлетворять условиям сохранения числа молекул на стенке (v・n = 0 на границе), функция g должна удовлетворять уравнению

(№, g)) = 0,(3.6)

которое получится, если проинтегрировать (3.5) и использовать лемму Гаусса.

Интегрируя (3.5) вдоль характеристик оператора ^-д/дх, имеем

h = gi (s) + 瓦，(3.7)

gi (s) = j g(o)do,(3.8)

о

где s — параметр, меняющийся вдоль характеристики, а /^ —— значение h, соответствующее s = 0, которое должно определяться граничными условиями. Здесь используется сокращенное обозначение g(s) для величины go(x, ^), вычисляемой в определенной точке s выбранной характеристики. На границе соотношение (3.7) для прилетающих молекул записывается в виде

仙(хо, § = gi (х°, § + Ai (х0, § (х0 R。弋自• п > 0), (3.9)

где точка х0 (которую тельно 自)определяетсягде точка х0 (которую тельно 自)определяетсяназовем сопряженной для х0 относи- равенством х0 — х^ =晦 (々〉0); если

где точка х0 (которую тельно 自)определяется

где точка х0 (которую тельно 自)определяется

точек границы, удовлетворяющих пото следует взять такую, для которой (заметим, что 自・п〉0 в точке х°, если Хо)・точек границы, удовлетворяющих пото следует взять такую, для которой (заметим, что 自・п〉0 в точке х°, если Хо)・же имеются несколько следнему соотношению, значение 々 наименьшее |-п < 0 для того же I в

точек границы, удовлетворяющих пото следует взять такую, для которой (заметим, что 自・п〉0 в точке х°, если Хо)・

точек границы, удовлетворяющих пото следует взять такую, для которой (заметим, что 自・п〉0 в точке х°, если Хо)・

В силу граничных условий соотношение (3.9) принимает вид

(3.10)(3.10)% = gi + ^А1,

(3.10)

(3.10)

гдегдеAh{ = APh^ Я1 = hx (х0, §,Ah{ = APh^ Я1 = hx (х0, §,(З.И)(З.И)

где

где

Ah{ = APh^ Я1 = hx (х0, §,

Ah{ = APh^ Я1 = hx (х0, §,

(З.И)

(З.И)

а 尸，как обычно, — оператор отражения в пространстве скоростей.

Равенство (3.10) представляет собой уравнение для /ц; оно связывает значения h{ в различных точках границы dR для разных значений 自(自-п〉。). Как только это уравнение решено, можно подставить результат в (3.7) и таким образом получить решение Л уравнения (3.5), выраженное через g. Для того чтобы обсудить решение уравнения (3.10), представим hx и gi следующим образом:

力1(Хо, § =仍(X。)+ 海(Хо, ?),

gl(Хо, § = V (х0) + &(Хо,三)，'

причем Ph2 и Pg2 удовлетворяют условию

(p力2,业)8 =(pg2,业)8 = 0.(3.13)

Очевидно, что разбиение (3.12) всегда возможно, если положить

仍=(业，P"i)b,"=(业，Pgi)B・(3.14)

Если 九2 удовлетворяет уравнению (3.13), то ему удовлетворяет и 4^2； тогда уравнение (3.10) соответственно разбивается на два:

仍(х0) = V (х0) + ~ ^ I о • n i М. (х0) dQ, Q • n V 0,(3.15)

力 2Hg2+誑2,(3.16)

где Q ==自七=(Xo Xo) /1 Xq Xo [.

Согласно нашему предположению, условие (3.3) выполняется одновременно с (3.4); это означает, что

IH(废产N九2也V&IN(优产海通 &V 1),(3.17)

если учесть, что выражение |g・n|d自ds не меняется при зеркальном отражении или при переходе к сопряженным относительно 自 граничным точкам. Теорема об отображении сжатия гарантирует существование единственного решения й2 уравнения (3.16). которое удовлетворяет неравенству

心废产力2心"您产g2".(3.18)

С другой стороны, уравнение (3.15) можно записать в виде 卩係)=”的)+ 京 \—I串(K)dS', (3.19)

冗 J

。欠(Xo)100 1

где Xo стоит вместо х0 (так как учитывать сопряженность х0 точке х0 здесь уже не нужно), используются зависимости х° — х； = ◎ J *0 — х； J, dQ = cos (х； — х°, nz) dS\ п‘ и dSz — нормаль и элемент поверхности в точке хб; dR (х0) — час1ь OR которая видна из точки х(; для односвязной области с выпуклой границей она совпадает со всей границей dR.

Интегральное уравнение (3.19) имеет симметричное квадратично интегрируемое ядро для любой области с границей конечной кривизны. В этом легко убедиться, если учесть, что х0 и х； лежат на границе 9R, следовательно, сингулярность при х^-> х0 намного слабее, чем кажется на первый взгляд.

Заметим также, что 卩=const ——единственное решение уравнения (3.19) п^)и v = 0 (это вытекает из того факта, что \ I • п 丨 dQ‘ —冗,и из неравенства Шварца); следовательно, »・nV0 необходимым условием существования квадратично интегрируемого решения при заданной квадратично интегрируемой функции источника является ортогональность v(x0) и ^0 = 1, т. е. выполнение равенства v (x^dS = 0. Из определений v (второе из равенств (3.12)) и gi (равенства (3.8) и (3.6)) вытекает, что V (хо) автоматически ортогональна единице (заметим, что I三・п|力s dS = d3x). Теперь решение 卩(х°) определяется с точностью до аддитивной постоянной, однако значение последней фиксируется условием (3.4). Таким образом, доказано, что ц (х0) и Л2 (xo, I) существуют и определяются единственным oб^ разом; следовательно, это же справедливо для h] (х0, |).

Доказано также, что

(3.20)(3.20)III (用产小心《力心就g№

(3.20)

(3.20)

Это следует из неравенства (3.18) и полной непрерывности ядра в (3.19) (в силу чего выполняется неравенство ^ | pi |2 dS < V ® , WFds).

Теперь равенство (3.7) дает нам

in win2 < in m hi2+mm г (3.21)

Используя определение gi (3.8) и неравенство Шварца, получаем

s (х, g)2

1|出空同『=“(詆2 J g(0)公 眠dxw

0

s (X,自)

w\p(誑21s (x, SI \ |g(a) ^dodldx. (3.22) 。о

Так как | s (x, E)丨 &d/g, где d — наибольшая хорда в R, то, полагая / = go и меняя порядок интегрирования, получаем

雌空/<&4 山 W®|g(x, §F^dx = о

=d2 \ 8 ⑹ I g (x, Ю I2 d三 dx = R III ^g III2. (3.23)

Аналогично имеем (учитывая, что d^x = | ^ • n | dS da и |s(x,露 WO

III伊空瓦胪=\ 8⑹巴加(X。，»2 I自• n I箧ds do & n・>0

&d \ ее)自也(x°Y)产化・nswds' = g・n>0

s(Xo, A)s(Xo, A)22=^W(詆 \ g(6do &П 陸dS&=^W(詆 \ g(6do &П 陸dS&= с1^\ш/2^\\\2в^кс1\\\ 您)％|嶋=

s(Xo, A)

s(Xo, A)

2

2

=^W(詆 \ g(6do &П 陸dS&

=^W(詆 \ g(6do &П 陸dS&

о

&左 d2 \ В ⑶ I g(X,三)|2 位.n s 三 dS do =

=^2"伊唱『(3.24)

Подставляя результаты (3.23) и (3.24) в неравенство (3.21), получаем

Н(i + 育川俨*們 (3.25) что совпадает с (3.1), если учесть (3.2) и положить у = =/2(1 +田7 Y

Существование и единственность решения граничных задач

Как было отмечено в разд. 12 гл. IV, из стационарного линеаризованного уравнения Больцмана можно получить интегральное уравнение. В действительности можно получить сколько угодно таких уравнений, так как можно написать

I 栗 + 仙= Hh,(4.1)

где 卩一любая положительная функция Е，Я — Л + ц, а далее действовать по схеме, совершенно аналогичной использованной в гл. IV, где роль 快 играла частота столкновений у (см. формулу (IV. 12.1)). Таким образом, мы строим оператор U, обратный оператору D + ц/, и получаем

h = hQ + UHht(4.2)

где 历° находится как решение уравнения

三•票+n(自)瓦=0,(4.3)

удовлетворяющее неоднородным граничным условиям (IV. 2.8).

По существу произвольную функцию ц(^) можно выбирать различным образом^ ее положительность гарантирует, что экспоненты, входящие в U, компенсируют рост множителей l/g н их степеней в окрестности ^ = 0, как это требуется для осуществимости итерационного метода. Поскольку будут рассматриваться лишь случаи, когда Lh представляется в виде

Lh = Kh-v fe) й,(4.4)

естественно выбрать 財传)как v(g); при этом Н = К. Так обычно и поступают, однако полезней выбрать 卩 так чтобы оператор Я был положителен:

也、Hh) > 0.(4.5

Это всегда возможно в силу теоремы, ллл、，，，川 и в разд. 6 гл. IV; достаточно взять Н = К + Av/, где 九一постоянная, входящая в неравенство (IV.6.21). Естественно ожидать, что не-

равенство (4.5) будет выполняться и при Н == К (九= 0), так как для модели твердых сфер доказана положительность R [30]. При отсутствии подробной информации о свойствах К можно придерживаться более общего описания с использованием Н вместо К. Заметим, что в любом случае из определения Н (〃 =К + Ал7) и неположительности L следует неравенство

0<(Л, "力)&他，h例.(4.6)

Уравнение (4.2), так же как линеаризованное уравнение Больцмана с граничными условиями (IV. 2.8), заведомо не определяет функцию Л однозначно. (Если Л ——решение уравнения (4.2), то Л + ^о при любой постоянной 屮° тоже является его решением.) Можно, однако, получить интегральное уравнение Больцмана, имеющее единственное решение. Положим

Dfh = Q/z + 卩九一P^h, H‘ = L + 卩1 一 几，

九力=m(仇 初[(3, 1))l

и рассмотрим уравнение

D'h = g(4.8)

с граничными условиями

h = APh + h^ ((%, 1))в = 0.(4.9)

Задача (4.8), (4.9) (так же как соответствующая задача для уравнения (3.5)) разрешима только для функций g, удовлетворяющих условию (3.6). Решение задачи (4.8), (4.9), удовлетворяющее условию (3.4), допускает представление

h = ”U&(4.10)

где Ло — решение задачи

= 0,耳=АР% + %,((% 2°))в = 0.(4.11)

Полагая в (4.10) g ="‘瓦 получаем интегральное уравнение

万=% +u/"%(4.12)

Если R — область с гладкой границей, а оператор А удовлетворяет условию (3.3), то при весьма общих предположениях о свойствах оператора 厶 имеет место следующая теорема ])-

Теорема I. Интегральное уравнение (4.12) имеет единственное ре以ен〃仇 удовлетворяющее условию ((рЗД^ ft))< ооз

】)В английском издании теорема I (вошедшая и в предыдущую книгу К. Черчиньяни [32]) сформулирована и доказана неверно, что было обнаружено Н. Б. Масловой. С согласия автора мы помещаем здесь правильную формулировку теоремы и опускаем ее доказательство; последнее можно извлечь из результатов части II дополнения.——Прим. ред.

где р — функция, определяемая равенством

P(O = {[n®F +曙产，(4.13)

П ——некоторая положительная постоянная, зависящая от области R.

Замечание. Как следует из сказанного выше, решение, гарантированное теоремой I, удовлетворяет условию (3.4).

Теорему I можно рассматривать как отправной пункт при построении строгой теории граничных задач, так как она позволяет нам обсуждать решение, существование и единственность которого доказаны. При этом заметим, что h, как показано, является квадратично интегрируемой функцией по х и ^, однако ничего не известно о свойствах гладкости решения; в частности, мы не знаем, имеет ли Л производные по координатам почти всюду, т. е. удовлетворяется ли наряду с интегральным уравнением (4.2) исходное интегродифференциальное линеаризованное уравнение Больцмана (IV. 2.6) с dh/dt = 0. Довольно просто доказать, что исходное уравнение удовлетворяется по меньшей мере в некотором обобщенном смысле.

Для того чтобы получить более сильные результаты, необходимо показать, что дополнительные ограничения на h0 приводят к новым свойствам Л; в частности, если 历。三为'(и%), то 九三 三證 1 где (в общем случае) Жг——банахово подпространство пространства ^. Начало исследованиям в этом направлении положил Пао [31], получивший некоторые интересные результаты для функциональных пространств 么 и 君 с нормами

|||/z||lt = maxj^p(^) f0(^)ft2(x, §,(4.14)

|||Л^ = тах/0(1+^)|А(х,目『・(4.15)

Пао рассмотрел лишь стационарный одномерный случай с граничными условиями частного вида Л = 0; при этом он исходил из первоначального варианта теоремы I [28], справедливого для указанного случая, и рассмотрел лишь оператор столкновений с обрезанием по углу. При этих ограничениях ему удалось получить следующие результаты [далее Z обозначает решение уравнения (4.3) для 卩优)=v(^) (или 九=0), а 九о ——член источника в граничных условиях].

Теорема II. Если 友三弘 то линеаризованное уравнение Больцмана имеет единственное решение h 三叽 u ||| h Ц^ < < В HI 力 1 ||员，зОе р ——постоянная.

Теорема III. Если 力〔三若，то линеаризованное уравнение Больцмана имеет единственное решение 九已 齒 и ||| Л |||g < < m UI /г】阪.

Теорема IV. Если 九。三/ (или 每三勿)，то все моменты /о/i непрерывны по х.

Теорема V. Существует t〉0, такое, что граничная задача для нелинейного уравнения Больцмана имеет единственное решение f = %(1 十/i*),九* 三齒，при всех 耳，удовлетворяющих условию HI hx |||g < т. Тогда, если Л ——решение линеаризованного уравнения Больцмана с той же функцией 无卜 то при 巾力I Мк -> 0 имеем

p-^lll?/IPIh->0. (4.16)

Последняя теорема дает строгое обоснование законности использования линеаризованного уравнения.

Применяя методику, аналогичную использованной выше, можно доказать сходимость решений подходящей последовательности модельных уравнений к решению соответствующего (линеаризованного) уравнения Больцмана [29, 32].

Дальнейшие результаты по граничной задаче были получены Гиро [33——37], который изучал стационарную и нестационарную задачи. Гиро использовал вместо неравенства (3.3) другие предположения относительно оператора А, входящего в граничные условия. В частности, Гиро [37] доказал экспоненциальное стремление к равновесию в случае газа из твердых сфер при однородных граничных условиях.

Внешняя задача приводит к некоторым трудностям, как явствует из результатов разд. 13 гл. VI. Риголо-Турба удалось обойти эти трудности для одномерного случая и доказать теоремы существования и единственности для некоторых стационарных и нестационарных, линейных и слабо нелинейных задач [38—40].

Проблема существования и единственности для стационарных задач теории переноса нейтронов имеет ряд отличий. Действительно, поглощение и деление нарушают законы сохранения; взаимодействие нейтронов со средой приводит к их уничтожению или рождению (в среднем). В первом случае существование и единственность могут бьпь доказаны довольно просто [41], во втором же случае они могут иметь или не иметь места в зависимости от размера области, и при этом возникает критическая задача (см. разд. 5 гл. VI). Обсуждение существования и единственности положительного решения соответствующей задачи на собственные значения содержится в работе Мики [42].

Случай чисто рассеивающей среды (соответствующий газодинамической задаче), кажется, не был исследован (за исключением тривиальных случаев).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Carleman Т., Acta Mathematical 60, 91 (1933).

Carleman Т., Problems mathematiques dans la theorie cinetique des gaz, Uppsala, Almqvist and Wiksells, 1957; русский перевод: Карлеман T., Математические задачи кинетической теории газов, М., ИЛ, 1960.

З] Wild Е„ Proc. Camb. Phil. Soc., 47, 602 (1950).

]4] Morgenstern D., Proc. Nat. Acad. Sci. U.S.A, 40, 719 (1954).

5 Arkeryd L., Archiv Rat. Meeh, and Anal., 45, 1, 17 (1972).

Morgenstern D., J. Rat. Meeh. Anal., 4, 533 (1955).

Повзнер А. Я., Мат. сборник, 58, № 1, 62 (1962).

Grad H., in uHandbuch cler Physik”，Band XII (Flugge S., ed.), Sekt. 26, Berlin, Springer, 1958; русский перевод: сб. «Термодинамика газов》，М., «Машиностроение», 5—109, 1970.

Grad Н., in “Rarefied gas dynamics" (Laurmann J. A., ed.), vol. I, p. 26, New York, Academic Press, 1963; русский перевод: сб. ^Некоторые вопросы кинетической теории газов》，М., «Мир», 93—128, 1965.

flO] Grad Н., SIAM /., 13, 259 (1965).

Grad Н., Phys. Fluids, 6, 147 (1963); русский перевод: сб. «Некоторые вопросы кинетической теории газов», М.,《Мнр》，7—92, 1965.

Grad Н., Proc. Symp. Appl. Math., vol. 17, p. 154, Providence, American Math. Soc., 1965.

Арсеньев А. А., Ж. вычисл. мат. и мат ем. физики, 5, № 4, 864 (1965).

Scharf G., Helv. Phys. Acta, 40, 929 (1967).

Hille E., Phillips R. S., Functional analysis and semigroups, Providence, American Math. Soc., Colloquium Publications, 1957; русский перевод: Хилле Э., Филлипс Р., Функциональный анализ п полугруппы, М., ИЛ, 1962.”

Kato Т., Perturbation theory for linear operators, Berlin Springer, 1966; русский перевод: Като T., Теория возмущений лилейных операторов, М., «Мир», 1972.

17] Fetz В., Shen S. F.,尸II Rarefied Gas Dynamics Symposium, Pisa, 1970.

Griinbaum F. A., i〃'“The Boltzmann equation”(Griinbaum F. A., ed.), p. 103, Courant Institute, New York Univ., 1972.

Marti J. T., Nukleotiik, 8, 159 (1966).

Г20] Mika J., Nukleonik, 9, 200 (1967).

Г21] Mika J., Nukleonik, 9, 303 (1967).

Albertoni S., Montagnini B., in “Pulsed neutron research*', vol. I, p. 239, I/A.EA, Vienna, 1966.

Albertoni S., Montagnini B., /. Math. Anal, and Appl.,\3, 19 (1966).

Bednarz R., in “Pulsed neutron research", vol. I, p. 259, Vienna, IAEA, 1966.

Ribaric M., Functional analytic concepts and structures in neutron transport theory, Slovenska Akademya Znanosti in Umetnosti, Ljubljana, 1973

Willis D. R., in “Rarefied gas dynamics” (Talbot L., ed.), p. 429, New York, Academic Press, 1961.

Г27] Grad H„ SIAM /.,14, 935 (1966).

Cercignani C., /. Math. Phys., 8, 1653 (1967).

Cercignani C., /. Math. Phys., 9, 633 (1968).

] Finkelstein L., Ph. D. Thesis, Hebrew Univ., Jenisaleni, 1962.

31] Pao Y. P„ 丄 Math. Phys., 8, 1893 (1967).

[32][32]33' ‘34一 ‘35’ :36一 '37' 38' 39’ г4041'33' ‘34一 ‘35’ :36一 '37' 38' 39’ г4041'[42] [43*] [44*] [45*] [46*][42] [43*] [44*] [45*] [46*][47*][47*][48*][48*][49*][49*]

[32]

[32]

33' ‘34一 ‘35’ :36一 '37' 38' 39’ г40

41'

33' ‘34一 ‘35’ :36一 '37' 38' 39’ г40

41'

[42] [43*] [44*] [45*] [46*]

[42] [43*] [44*] [45*] [46*]

[47*]

[47*]

[48*]

[48*]

[49*]

[49*]

Cercignani С., Mathematical methods in kinetic theory, New York, Plenum Press, 1969, русский перевод： Черчиньяни К., Математические методы в кинетической теории газов, М., «Мир》，1973.

Guiraud J. Р., Jourti. Mecatiique, 7, 171 (1968).

Guiraud J. P., Jourti. Mecatiique, 9, 443 (1970).

Guiraud J. P., Journ. Mecaniqiie, 11, 2 (1972).

Guiraud J. P., Comptes Rendus A. S., 274, 417 (1972).

Guiraud J P., Comptes Rendus A. S., 275, 1259 (1972).

Rigolot-Turbat C., Comptes Rendus A. S., 272, 617 (1971).

Rigolot-Turbat C., Comptes Rendus A. S., 272, 763 (1971).

Rigolot-Turbat C., Comptes Rendus A. S., 273, 58 (1971).

Case К. M., Zweifel P. F., Linear transport, Reading, Addison-Wesley, 1967; русский перевод: Кейз К., Цвайфель П., Линейная теория переноса, М., «Мир», 1972.

Mika J., J. Quantitative Spectroscopy and Radiative Transfer, 11, 879 (1971).

Канторович Л. В., Акилов Г. П., Функциональный анализ в нормированных пространствах, М., Физматгиз, 1959.

Владимиров В. С., Математические задачи односкоростной теории переноса частиц, Труды Матем. ин-та имени В. А. Стеклова, LXI, М., 1961 Шихов С. Б., Вопросы математической теории реакторов, М., Атом- издат, 1973.

Guiraud J. Р., The Boltzmann equation in kinetic theory. A survey of mathematical results, in “Fluid dynamics transactions", vol. 7, part. II, Warszawa, 37—83, 1976.

Веденяпин В. В., Об одном неравенстве для выпуклых функций и об оценке интеграла столкновений уравнения Больцмана для газа упругих шаров, Докл. АН СССР, 226, № 5, 997—1000 (1976).

Маслова Н. Б., Теоремы о существовании и единственности решении нелинейного уравнения Больцмана, в кн. «Аэродинамика разреженных газов», вып. 8, Л., изд-во ЛГУ, 4—22, 1976.

Маслова Н. В., Стационарные задачи для уравнения Больцмана при больших числах Кнудсена, в кн «Аэродинамика разреженных газов», вып. 9, Л., изд-во ЛГУ, 140—156, 1978.

ДОПОЛНЕНИЕ

О взаимодействии газов с твердыми поверхностями

Р. Г. Баранцев

Постановка и решение граничных задач для уравнения Больцмана требуют знания законов взаимодействия газов с поверхностями. Как правильно отмечает автор книги в гл. III, сведения об этих законах пока недостаточны для надежного решения многих практически важных и теоретически интересных задач. Однако в настоящее время ведутся интенсивные исследования, и теория взаимодействия газа с поверхностью приобретает структурный вид. Дадим общую характеристику положения дел в этой области и краткий обзор новейших результатов. Подробное изложение о .новных разделов теории и текущей информации можно найти в монографиях [1, Ш. 57*] и обзорах [III. 43*, 2].

Основные понятия и структура задач

При ударе газовой частицы в состоянии i о твердую поверхность со скоростью У возможно отражение данной частицы в состоянии / со скоростью 自(рассеяние), выбивание других частиц (распыление) и,захват данной частицы поверхностью. Эти явления описываются соответственно плотностями распределения потоков рассеянных U/(g, Ю и распыленных Wi (?z,三) частиц и вероятностью захвата S (自').Функции взаимодействия I/, W, S входят в граничное условие для одночастичной функции распределения /, удовлетворяющей внутри газа уравнению Больцмана. В общем случае смеси газов с внутренними степенями свободы это граничное условие имеет вид

幫⑶蒔。=2，K\fi^^^^ l)d^ + 9i(^ (1.1)

где Ri = Vi + Wi, a 5^(g) -- плотности распределения потоков частиц, спонтанно эмитирующих с поверхности. Для бесструктурного газа при отсутствии распыления, захвата и спонтанной эмиссии взаимодействие полностью характеризуется функцией

V, а граничное условие (1.1) упрощается и принимает вид

自/(肌宀=J阔瞧"(二Sdг(1.2)

Это равенство совпадает с (III. 1.6), если в последнем опустить аргументы х, / и вместо скалярного произведения |-п писать проекцию 自九.Ядро £(&',&), следуя [1], будем называть функцией рассеяния.

Импульс и энергия, передаваемые газом поверхности, в случае (1.2) характеризуются безразмерными коэффициентами обмена

P(F) = cosMPJl J I/(KW)告咼，(1.3)

q(S = cosR[l —黃龙｝(1.4)

где 0i = Z (п,——g), a n ——внешняя нормаль. На изотропной поверхности

p(g) = —t(g)t — p(g)n,(1.5)

где т и р ——коэффиыиенты обмена касательной и нормальной компонентами импульса. Величины 工(胃),р(Е), q(F) — частные коэффициенты обмена, соответствующие заданной скорости падения Iх. Полные коэффициенты обмена получаются из частных интегрированием:

Р = ； \ f(r)P(V)-^^, Т \ f^q^^-^^(1-6) ^<0^<0

где 几，U — характерные численная плотность и скорость распределения падающих частиц /(自‘).Если частные коэффициенты обмена (1.3), (1.4) вполне определяются функцией рассеяния V(三'，&)，то функционалы (1.6) вычисляются только после нахождения f^). При решении уравнения Больцмана методом моментов (см. разд. 2 гл. VII) равенства (1.6) связывают коэффициенты р и с макропараметрами, через которые представлена функция распределения, и превращаются в граничные условия для моментных уравнений.

Коэффициенты обмена т, р, q легко связать с распространенными в литературе соответствующими коэффициентами аккомодации о. У, а. В условиях, далеких от равновесия, величины т, р, q естественнее и удобнее для употребления, чем о, (/, а. Практически постепенно к ним и переходят, хотя термин 《акко- модацця» пока сохраняется. Но он архаичен, ибо неравновесный

обмен импульсом и энергией на поверхности, вообще говоря, не носит характера «приспособления» атомных частиц к поверхностным условиям.

Динамика взаимодействия разреженного газа с твердой поверхностью захватывает три уровня описания: молекулярный, больцмановский и газодинамический. На молекулярном уровне моделируется структура поверхности и межатомные потенциалы, на больцмановском ——функция рассеяния, на газодинамическом——коэффициенты обмена. Для каждого уровня существует своя экспериментальная информация и свой набор теоретических моделей.

Моделирование поверхности

Функция рассеяния 丿(自'，g) связывает больцмановский уро вень с молекулярным, и ее приходится строить, начиная с молекулярного уровня, с дальнейшим усреднением по параметрам, теряющим детерминированность в больцмановском масштабе. Точная постановка задачи в рамках классической механики содержит систему уравнений Ньютона взаимодействующих частиц вместе с начальными условиями для координат и скоростей. Силы взаимодействия обычно определяются центральными парными аддитивными потенциалами U(г). Когда время эффективного взаимодействия т* не велико по сравнению с периодом колебаний атомов твердого тела т0, используются атомные модели поверхности. При этом моделируется геометрия кристаллической решетки и потенциалы взаимодействия.

Существует масса работ, посвященных численному решению различных вариантов такой задачи (см. упомянутые обзоры). Во многих из них используется решетка Эйнштейна, т. е. модель независимых гармонических осцилляторов. В [3] эта модель дополняется свойствами, призванными учесть явленияг связанные с увеличением энергии падения. В [4——6] развивается стохастическая теория, опирающаяся на идеи и результаты теории обобщенного броуновского движения, включающей многочастичные столкновения. Центральное место занимает обобщенное уравнение Ланжевена, в котором явно фигурируют только координаты атома газа и 〃 атомов поверхности. Остальная часть решетки влияет на столкновение через диссипативное ядро и гауссовскую случайную силу. При решении уравнения Ланжевена находятся 〃+1 траекторий и осредненная по температуре поверхности функция рассеяния.

Когда х* мало по сравнению с тп, во взаимодействие успевают включиться только один-два атома поверхности. Области действия соответствующих упрощенных моделей исследуются в [7], где решение задачи рассеяния на полубесконечной решетке

упруго связанных атомов строится в виде ряда по степеням отношения т*/то.

Полная постановка задачи рассеяния атома на кристаллической решетке содержит большое число параметров. Возможные аналитические решения, конечно, будут различными в отдельных характерных областях пространства этих параметров. В каждой области целесообразно найти простейшую модель и строить асимптотическое решение в окрестности такой модели. При энергиях падения £\ 〜1 + 100 эВ для легких газов эффективное взаимодействие исчерпывается одним-двумя парными столкновениями, причем главную роль играет отталкивающая ветвь потенциала. Аппроксимируя ее вертикальным барьером, в качестве простейшей атомной модели поверхности имеем решетку твердых сфер. Теория рассеяния на такой решетке содержит три основных параметра: угол падения 01, отношение масс 卩 и радусов а* атомов.

В [1,8] разработана модель мягких сфер, которая дает возможность учесть наклон потенциала отталкивания, существенно влияющий на распределение рассеянных частиц по направлениям. Малость наклона у при асимптотическом подходе позволяет строго расщеплять коллективное взаимодействие на последовательность парных столкновений и строить решение в аналитической форме. Оценка реального наклона в газокинетической области по экспериментальным данным для потенциалов отталкивания дает значения v порядка 10"1.

Силы притяжения и колебательное движение атомов поверхности характеризуются параметрами £а и £$, которые во многих задачах можно считать малыми. Задача учета сил коллективного притяжения разрешима в общем виде для произвольной модели решетки и потенциала отталкивания. Функция рассеяния на поверхности с притягивающим полем выражается непосредственно через функцию рассеяния на поверхности без поля. Асимптотика коэффициентов обмена при малых £。 зависит от аналитических свойств функции V. Асимптотические поправки ПО £а И 8s МОЖНО НЗЙТИ В [1].

При наличии потенциальной ямы появляется возможность захвата газовой частицы поверхностью. Адсорбционный слой существенно усложняет задачу взаимодействия. Численные расчеты, выполненные в [9], опираются на схему бинарных столкновений и модельный потенциал взаимодействия двухатомной молекулы с поверхностью. Другие работы по адсорбции освещаются в [2].

Возможные постановки обратной задачи взаимодействия атома газа с поверхностью обсуждаются в [10]. Выделяется модель, включающая главные факторы взаимодействия и допускающая аналитическое решение для потенциала с последую-

щим уточнением по дополнительным параметрам. Подчеркиваются существенные отличия ог обратной задачи столкновения двух свободных атомов. Доказывается, что при фиксированном \гле падения потенциал восстаиавливается не во всей области действия; на некотором интервале г его приходится считать известным. Исследуются также асимптотические постановки и [）ешенпя прямой и обратной задач для малых прицельных параметров и крутых потенциалов.

Развернутая и достаточно строгая квантовомеханическая теория рассеяния газа поверхностью с детальным исследованием различных дифракционных эффектов излагается в монографии [Ш. 57*]. Эйкональный подход, естественный для достаточно высоких энергий, развивается в работах [III. 48*].

Модели функции рассеяния

Наряду с решением молекулярных задач взаимодействия при различных моделях потенциалов ведутся работы по моделированию V（g,装）путем приближенного представления этой функции многих переменных через функции от меньшего числа переменных. Использование моделей функции рассеяния позволяет замыкать постановку задач на больцмановском уровне описания, не обращаясь к молекулярному, так же как использование моделей потенциалов взаимодействия позволяет замыкать постановку задач на молекулярном уровне, не обращаясь к электронно-ядерному.

Наиболее простые и распространенные модели, например зеркально-диффузная （III. 5.1）, дают представление V（ V, |） через две-три функции от 自'.В [fll.42*] обсуждается вопрос о систематизации моделирования V и предложен алгоритм последовательного построения моделей путем простейшего представления V через расширяемую совокупность макропараметров, характеризующих рассеяние. На первом этапе учитываются только средние характеристики рассеяния, затем дисперсионные и т. д. На изотропной поверхности выделяются две средние характеристики рассеяния: средняя величина 自^ и среднее направление 0т скорости вылета. Простейшее представление V через эти параметры осуществляется с помощью 6-функции: 1/（К 自）=5 [凄——g八（『）]. Сингулярность 6-функции влечет за собой некоторые изменения в интегральном кинетическом уравнении. Соответствующие особенности исследуются в [11] путем предельного перехода к этой модели от непрерывной функции рассеяния.

Расширением лучевой модели является дисперсионная модель функции рассеяния. В [1] она строится последовательно как

суперпозиция с возрастанием числа функций при уменьшении числа аргументов. Распределение отраженных частиц по величине скорости при фиксированном направлении вылета (0, ср) характеризуется положением максимума &九(自，6, ср) и шириной пика на полувысоте 九三(自，0, ср). Эти величины связаны со средней скоростью J。 и дисперсией og распределения вылетающих частиц f (I),隔〉0. Формулы связи зависят от вида /. Аналогично вводятся параметры 0m(^z),九&)(自‘)，связанные со средним направлением 6。 и дисперсией 喝 углового распределения вылетающих частиц /з. Наряду с 0т используется параметр 刀 = =仇〃——01, характеризующий отклонение пика от зеркального луча. В [12] собраны и систематизированы данные физического и численного эксперимента, содержащие информацию о поведении параметров функции рассеяния для нейтральных и атмосферных газов и металлических поверхностей при энергиях падения 10"1 + 10 эВ.

В разд. 6 гл. III модели ядра рассеяния строятся в классе неотрицательных нормированных по полупространству 自九〉0 функций, удовлетворяющих соотношению взаимности (III. 3.9). Такие исследования продолжаются [13——15]. Следует, однако, отметить, что соотношение взаимности имеет ограниченную область действия. При выводе его фактически подразумевается, что в момент вылета частицы газа атомы поверхности уже находятся в квазиравновесном состоянии; тогда обращенное движение дает V(——I,——自‘).В тепловом режиме рассеяния это так, потому что время релаксации в решетке меньше, чем время эффективного взаимодействия атома с поверхностью. При более высоких энергиях дело обстоит сложнее.

Коэффициенты обмена и граничные условия

На локальном газодинамическом уровне описания речь идет о моделировании зависимости р, q и других возможных моментов функции рассеяния от скорости падения и прочих параметров взаимодействия. При лучевом отражении из (1.3)——(1.5) имеем

т = cos M(sinei —晉 sin 6伍),p = COS 3 (cos M + 告 cos 吼)，

q — cos &

В случае дисперсионной модели рассеяния аналогичные простые формулы получаются при помощи асимптотических разложений

по параметрам % о^. Аппроксимация зависимости 自加，К, с^, а о от g' ведет к аналитическим моделям для т, ", q; некоторые из этих моделей предложены в [1]. Однако надежных сведений о зависимости средних и дисперсионных параметров рассеяния от скорости падения пока мало

Вопросы моделирования p(g'), g(^‘) можно решать и не обращаясь к функции рассеяния. Общие критерии выбора оптимальной аппроксимации зависимости коэффициентов обмена от угла падения анализируются в [1]. С учетом требований простоты, эффективности и универсальности выделяются разложения т = sin 0t cos 0t (т0 + r2 cos 20[ + ...),

р = COS2 0!(Ро + Р2 COS 201 + . . .),(4.1)

q = cos 0i (^o + 例 cos 20j + ...).

В аэродинамике сильно разреженных газов сейчас актуален вопрос о критериях подобия, связанных с законами взаимодействия газа с поверхностью. Температурного фактора уже недостаточно для хорошей корреляции экспериментальных данных, а на микроуровне количество параметров слишком велико. На промежуточном уровне можно использовать средние по 01 характеристики рассеяния. Вслед за средней скоростью вылетающих частиц, связанной в тепловом режиме взаимодействия с температурным фактором, естественно брать среднее направление вылета и т. д. Но все параметры, содержащиеся в моделях gm, 0m, or, Оз, вливаются затем в коэффициенты разложений (4.1). И хотя эти коэффициенты не имеют прямой физической интерпретации, именно их удобно принять за параметры подобия в аэродинамике сильно разреженных газов.

В околоравновесном режиме феноменологический анализ аккомодации газа на поверхности выполнен в [16]. При фиксированной скорости падения имеются 4 частных коэффициента аккомодации а^: три для компонент импульса и один для энергии. Усреднение по скоростям набегающего потока дает полные коэффициенты аккомодации. Если распределение падающих частиц отличается от равновесного за счет малой скорости сдвига и разности температур, то в линейном приближении получается, вообще говоря, 16 коэффициентов аккомодации &仃 (см. (III. 5.13)). Если учесть, что функция рассеяния должна удовлетворять условию нормировки и соотношению взаимности, то на изотропной поверхности остается 4 независимых коэффициента: ссц,以22 = азз,々44 и а/ = СЦ1・ Первые три являются общеизвестными коэффициентами аккомодации нормальной компоненты импульса, касательной компоненты импульса и энергии. Четвертый коэффициент описывает эпергообмен под влиянием нормального сдвига или аккомодацию нормальной компоненты

импульса под влиянием разности температур и называется радиометрическим коэффициентом аккомодации.

При ， или / > 4 коэффициенты а” характеризуют потоки моментов более высокого ранга. В свободномолекулярном режиме все газодинамические величины выражаются через ан, «22, см* 以14・ При малых значениях числа Кнудсена коэффициенты аккомодации высшего порядка а25, 々55, a&io входят в граничные условия через скорость скольжения и температурный скачок [III. 52*].

Нелинейный анализ граничных условий для моментных уравнений одноатомного газа при произвольной функции рассеяния выполнен в [17]. На основе принципа сочетания физической и математической замкнутости постановки задачи сделан вывод о необходимости в общем случае согласования функции рассеяния V с представлением f через моменты. Исследованы форма II характер этой связи, указан широкий класс функций рассеяния, допускающих замкнутую постановку задачи при разложении f по полиномам Эрмита в полном пространстве скоростей. Для структурных газов граничные условия изучаются в работах [III. 44*, III. 46*, Ш. 55*, Ш. 56*, Ш. 59*].

Шероховатая поверхность

При определении функций взаимодействия имеется в виду площадка поверхности %S, соответствующая размерам пространственного элемента, по которому усредняется функция распределения в уравнении Больцмана. Такая площадка представляет для падающего атома газа громадное поле с неровностями случайного характера и сложной структурой. Поэтому для построения функций взаимодействия нужно не только решить задачу столкновения атома с малой площадкой ds молекулярных масштабов, но и дать статистическое описание встреч и блужданий в пределах dS. В [1] показано, что, зная функцию рассеяния Vo на ровной поверхности, можно построить функцию рассеяния V на статистически шероховатой поверхности с помощью оператора шероховатости S*. В общем случае этот оператор содержит континуальный интеграл, описывающий условную вероятность пролета П без столкновений с поверхностью. В практических расчетах используются различные аппроксимации континуального интеграла. Одна из них рассматривается в [20], где учитывается также анизотропность поверхности.

На однородной изотропной гауссовской поверхности в приближении однократного отражения единственным параметром шероховатости является флуктуация наклона си. Измерения о】 на поверхностях различпых материалов дали значения порядка

lO-2+10-i, что позволяет считать реальные поверхности слабо шероховатыми. Асимптотические исследования для малых зна- аениВ параметра а = си tg 仇 привели к интересным результатам относительно моментов числа пересечений наклонной прямой гауссовским стационарным процессом. Полученная асимптотика дает эффективные оценки точности аппроксимаций П для широкого класса корреляционных функций [18, 19].

В случае сильно шероховатой поверхности моделирование и вычисление континуальных интегралов становится затруднительным. Предпочтительней оказывается метод прямого моделирования поверхности. Правда, при этом труднее ответить на вопрос, какой класс реальных поверхностей такие модели представляют. В [21] моделируется гауссовский стационарный дифференцируемый процесс. Используется прием экономии памяти, пригодный для процессов с быстроубывающими корреляционными функциями. При зеркальной и диффузной Уо вычисляются вероятности многократных .отражений N% (i=l, 2, 3, 4) для 5=0,5 и 1,仇=45 и 85°. В [22] моделируемая поверхность состоит из случайно ориентированных плоских элементов, имеющих форму треугольника или четырехугольника. Методом статистических испытаний с числом траекторий порядка 105 вычисляются индикатриса рассеяния и коэффициенты аккомодации при зеркальной и диффузной Vo для си = 0,5 и 1, М = 0, 30, 60, 75°. Сравнение с плоской моделью показывает, что пространственные эффекты существенно зависят от Vq.

СПИСОК «ЛИТЕРАТУРЫ

Баранцев Р. Г., Взаимодействие разреженных газов с обтекаемыми поверхностями, М., «Наука», 1975.

Баранцев Р. Г., Современное состояние теории взаимодействия газов с поверхностями, Труды IV Всесоюзной конференции по динамике разреженного газа, 221—248, М., ЦАГИ, 1977.

Гусев К. И., Рыжов Ю. А., Стриженов Д. С., Шкарбан И. И., Коэффициент аккомодации энергии частиц, падающих на поверхность твердого тела при Ео = 100 -4- 500 эВ, Труды МАИ, вып. 351, 50—55, 1976.

Adelman S. A., Doll J. D., Generalized Langevin equation approach for atom/solid-surface scattering: general formulation for classical scattering oiharmonic solids, /. Chern. Phys., 64, No. 6, 2375—2388 (1976).

Adelman S. A., Garrison B. J., Generalized Langevin theory for gas/solid processes: dynamical solid models, J. Chetn. Phys., 65, No. 9, 3751―3761 (1976).

Doll J. D., Dion D. R., Generalized Langevin equation approach for atom/ solid-surface scattering: numerical techniques for Gaussian generalized Langevin dynamics, J. Chem. Phys., 65, No. 9, 3762—3766 (1976).

Ерофеев А. И., О моделировании взаимодействия атомных частиц с поверхностью твердого тела, Механ. жидкости и ааза, № 1, 94—102 (1973).

Баранцев Р. Г., Меркулова Н. И., Рассеяние на решетке мягких сфер. IV. Трехмерная задача. Однократное отражение, Вестник ЛГУ, № 13, 53—60 (1975).

McCreery J. Н., Wolken G., Jr., Dynamics of adsorption: model calculations for several interaction potentials, J. Chem. Phys., 65, No. 4, 1310— 1316 (1976).

Баранцев P. Г., Сергеев В. Л., Обратная задача рассеяния атома газа поверхностью, в кн. «Аэродинамика разреженных газов», вып. 9, Л., изд-во ЛГУ, 91 — 102, 1978.

[И] Федорова В. М., Лучевая модель как предел максвелловской функции рассеяния, в кн. «Аэродинамика разреженных газов», вып. 8, Л., изд-во ЛГУ, 102—112, 1976.

Алексеева С. Н., Баранцев Р. Г., Определение параметров функции рассеяния из экспериментальных данных, в кн. «Аэродинамика разреженных газов», вып. 7, Л., изд-во ЛГУ, 83—102, 1974.

Kinslow М., A mathematical description of gas-surface interactions based on reciprocity, AIAA Journal, 14, No. 10, 1358—1361 (1976).

Cowling T. G., On the Cercignani-Lampis formula for gas-surface interactions, /. of Phys., 7D, No. 6, 781——785 (1974).

Miiller W. J. C., Parametric representation of beam accommodation coefficients, Rarefied gas dynamics, Proc. 9th Intern. Symp., Gottingen, E12-1— E12-12, 1974.

Kuscer I., Phenomenology of gas-surface accommodation, Rarefied gas dynamics, Proc. 9th Intern. Symp., Gottingen, El-1—El-21, 1974.

Баранцев P. Г., Луцет M. О., О граничных условиях для моментных уравнений разреженного газа, Вестник ЛГУ, № 1, 92—101, 1969.

Мирошин Р. Н., Цветков В. И., О нормировке вероятности встречи в задаче об отражении атомов газа от шероховатой поверхности, в кн. «Аэродинамика разреженных газов», вып. 7, Л., изд-во ЛГУ, 33—37, 1974; Асимптотика граничной трансформанты по параметру шероховатости. III, там же, вып. 8, 85—102, 1976; IV, вып. 9, 113—130, 1978.

Мирошин Р. Н., Использование неравенств при решении задачи об отражении молекул газа от шероховатой поверхности, в кн. «Аэродинамика разреженных газов», вып. 8, Л., изд-во ЛГУ, 57—85, 1976; Параметры слабошероховатой поверхности, влияющие на точность аэродинамического расчета в разреженном газе, там же, вып. 9, 103—112, 1978.

Ложкин В. Л., Рыжов Ю. А., О вероятности однократного отражения и о передаче импульса при взаимодействии молекул разреженного газа с шероховатой поверхностью, в кп. «Аэродинамика разреженных газов», вып. 7, Л., изд-во ЛГУ, 38—50, 1974.

Анолик М. В., Кюлвари И., О прямом моделировании отражения атомов газа от шероховатой поверхности, в кн. «Аэродинамика разреженных газов», вып. 7, Л., изд-во ЛГУ, 26—32, 1974.

Жук В. И., Трехмерная задача о взаимодействии потока газа с шероховатой поверхностью, в кн. «Численные методы в динамике разреженных газов», вып. 2, М., ВЦ АН СССР, 154—165, 1975.

Теоремы о разрешимости нелинейного уравнения Больцмана

". Б. Маслова

Теоремы, приведенные в гл. VIII, касаются в основном вопросов разрешимости линейных задач кинетической теории газов при предположении, что внешние поля отсутствуют, а межмолекулярные силы задаются центрально-симметричным потенциалом конечного радиуса действия. Здесь мы остановимся более подробно на соответствующих результатах для нелинейного уравнения Больцмана (см. (II. 5.1) и (V. 9.6)):

Df = Q5 f),

切=* + 三.*， Q0，f)= QW，/)一枚(f),

Qi (/, f)〃，£ x)=、喝 \ daft, F, x)f@ g；, x)5®, |v・a|u-i),

v (f) (/, W, x)=、喝f«,之 i, x) ^ dxB(v, |v・a|u-i),

У =陰一a (v • a),陰；=之 + a (v • a), v =三一畐，£ = {a： | a | = 1}, где В ——неотрицательная функция, вид которой определяется типом межмолекулярного взаимодействия. В частности, для степенных потенциалов KL с обрезанием по углу B(u,z) = =ui-4/36(z), причем 6 непрерывна на [0, 1] и существуют положительные постоянные ，i, с2, такие, что с】& 6(乞)乞一1 & с2. В предельном случае твердых сфер В (и, z) = c2vz.

Задача Коши

Начнем с самого простого частного случая ——задачи о релаксации в пространственно-однородном газе. Требуется найти функцию f(/, 1), t > 0, ^wR3, удовлетворяющую условиям

%=QJ 江 />。； f = h /=0а(1.1.1)

где fo ——заданная неотрицательная функция. Хотя гидродинамические параметры в задаче (1.1.1) не меняются, ее решение необходимо для построения асимптотических решений нестационарных задач при малых значениях числа Кнудсена [I. 12*, VIII. 8]. Кроме того, существуют численные алгоритмы [VIII. 8, VII. 185*], позволяющие свести решение общей задачи к нескольким более простым, одной из которых является задача (1.1.1).

Первые математические результаты о решении задачи (1.1.1) получены Карлеманом [VIII. 2] для случая твердых сфер. Обобщение результатов Карлемана на случай степенных потенциалов получено в работах [1——3]. Приведем эти результаты сразу в общей форме.

Теорема 1. Пусть выполнены следующие условия'. 1) существуют положительные постоянные с1} с2, такие, что с{三 &Q(U, 2)厂 ^7^02,九 >0； 2) %WC(R3), sup(l +F)a/2%®<8, a > CCO,

a0 = 2 + max {3, 4c2c(1.1.2)

Тогда существует единственное решение задачи (1.1.1), удовлетворяющее условиям f ^ 0; f, *®С([0, 8)X R3),

sup(l+^)a/2fa,陰)<8・

Теорема 2. Если М ——максвелловское распределение с параметрами, соответствующими f0, 丁。s условиях, теоремы 1 при / оо

Для приложений интересна оценка скорости сходимости ， к максвелловскому распределению. В условиях теоремы 1 ее получить не удается. Однако при более жестких предположениях относительно начального распределения такая оценка получена в работе Грэда [VIII. 12] для твердых сфер и жестких степенных потенциалов.

Теорема 3. Положим f = М+М%尸,^(F) = sup(l + ¥)" |尸 |.

Если 〃р〃 力=、0 N (尸)достаточно мала, то существуют положительные постоянные Ci, С2, такие, что /V(F) W С\ехр{——C2t}.

Условия теоремы 1 можно несколько ослабить, сняв требование непрерывности f0 и сохранив только требование ограниченности (1}三2严％. Тогда при всех / существует единственное

решение задачи (1.1) как решение интегрального уравнения

f(/，S = %®+，Q 亿 f)(q ^) dx. (1.1.3) о

Однако в этом направлении существенно более общий результат вытекает из работы Повзнера [VIII. 7].

Теорема 4. Пусть

sup В (и, z)(и + IL < 8, \ (1 + 廿产2 fodg < 8, а > 4.

Тогда при всех t существует единственная функция f, удовлетворяющая уравнению (1.1.3) (для почти всех 自)〃 условию

sup +?а/2,仏^施 <8, TV 8.

В работе [VIII.5] доказано, что если в условиях теоремы 4 f01 In fo I ^ < °°5 то \f|lnf|d自 <8 при всех t. Этот факт

GR3

использован для доказательства слабой сходимости решения к максвелловскому распределению при дополнительных ограничениях на функцию В. Частный случай максвелловских молекул исследовался в [VIII. 6].

Перейдем теперь к рассмотрению задачи Коши в общем случае. Требуется найти функцию f: [О, T]XR6“[。，оо), удовлетворяющую условиям

Df = QJ f), У М Л； f = fo, /=0,(1.1.4)

где /;0 — заданная неотрицательная функция. Не накладывая серьезных ограничений на начальное распределение, можно простыми средствами доказать локальные теоремы о разрешимости задачи (1.1.4) на промежутке времени [О, Т], величина которого зависит от начальных условий (теоремы 5, 6). С другой стороны, для начальных распределений, близких к равновесным, можно доказать однозначную разрешимость задачи (1.1.4) в целом (на бесконечном промежутке времени) и получить оценки скорости установления равновесия (теоремы 7, 8).

Для того чтобы сформулировать эти теоремы, нужно ввести несколько функциональных пространств. Пусть Й — область в Rn. Через №彳)(Q) будем обозначать множество функций f из Lp (й), которые имеют обобщенные производные D"/,々《厶

причем D叶 w Lp0). Норма в этом пространстве определяется равенствами

1/"

(07 三九 0 < 8),

Ilf |Р = vraisup X £ I Dkf I, 00xwS 々=0 仅)

где X означает суммирование всех возможных производных (fe)

порядка 归.Через 5?р (Q) (В^р ^ Вг> р) будем обозначать множество функций f (自，х),自 三 R3, х 三 0, которые для почти всех 自 принадлежат W^ (Q) и удовлетворяют условию || f (^, x)|g)三 三 L「(R3). Норма f в №" определяется равенством

№?р ①=ii f ® ь f(Ю = Il f & x)哈)(m,"三 n约).

Наконец, через 自？° (Q「)m 5 (Q「)будем обозначать множество функций f (/,自，х), / 三[0, Т],自三 7?з, х 三 Q, которые для почти всех / из [0, Т] принадлежат В%：р и удовлетворяют условию vrai sup N^p (f) < оо. Норма f в В определяется равенством

/е[0, Т] '人

№р (f) = vrai sup N?" (f).

Удобно иметь дело не с самим уравнением Больцмана, а с соответствующим интегральным уравнением Проводя в (1.1.4) формальное интегрирование, получаем

f = V^ /)，

V (/, g)亿邑 X)= fo (L X —舗 + \ Q (f, g)(£ a, x —自(/ — r)) dx. 0

(1.1.5)

Ясно, что решение нужно искать в классе функций, для которых имеет смысл правая часть (1.1.5). Предположим, что функция В удовлетворяет условию

万三 sup (1 + I и Iх)"1 \ 5(и, 2)dz V 8,九三[0, 1].(1.1.6)

ио

Простые оценки показывают, что если выполнены соотношения 哂。三 5, 8 (Q),讨三自，8 (%)，屮=(1 + 廿产2,(1.1.7)

то правая часть (1.1.5) принадлежит Ri,8(Qt). Поэтому решением задачи (1.1.4) будем называть функцию, удовлетворяю-

щую соотношениям (1.1.7) и уравнению (1.1.5) (для почти всех t,自，х).

Если соотношение (1.1.6) выполняется с 九=0, то легко указать пространство, в котором оператор V(f, f) ограничен. Точнее, если выполнено одно из следующих условий:

1)厂=1,屮=1;2)厂=8, ср = exp {Р^2}, р > 0, (1.1.8)

то верно неравенство

Я, ооФ^ (f, f) & Nr, 8Ф% + 2&Т [Я, оо (砌2,(1.1.9)

где Ci = R, Cg =后(лф-i)%.

Используя оценку (1.1.9) и метод итераций, можно доказать локальную разрешимость задачи (1.1.4).

Теорема 5. Предположим, что соотношение (1.1.6) выполнено с 入=0. Пусть (pf0 三吕?^ (R3) и выполнено одно из условий (1.1.8). Тогда существует Тх (Т{ >0), такое, что при Т ^Т{ задача (1.1.4) имеет единственное решение, удовлетворяющее условию 屮/三風乜(脖)(см. [VIII. 8, 4]).

Условия теоремы 5 исключают важные для приложений законы межмолекулярных взаимодействий (для твердых сфер и степенных потенциалов Kl с s〉4 условие (1.1.6) с 入=0 не выполняется). Трудности, возникающие в связи с такими законами взаимодействия, можно преодолеть при помощи идей Карлемана.

Теорема 6. Пусть функция В удовлетворяет условию 1) теоремы 1 е 九 > —1. Пусть, далее,中九 三吕^)(个)， 中= ~ (1 + ^2)a/2 exp {pg2}, причем выполнено одно из следующих условий'. 1) 6 = 0, а〉а。，а。определяется равенством (1.1.2); 2) 6〉0, а〉2. Тогда существует П (7\〉0), такое, что при Т & Т1 задача (1.1.4) имеет единственное решение, удовлетворяющее условию哂三没),8 (備)[5, 6].

Доказательство теоремы 6 опирается на оценки интеграла столкновений, которые приводятся в следующей лемме.

Лемма 1. В условиях теоремы 6 при любых положительных Y，5 выполняется неравенство

XL ОО (КЗ, f) (Y + V (f))T) & Woo, ОО (碱)出 + M-Woo, OO (cpf)), где 力2 ——положительная постоянная, зависящая лишь от а, р,九； k\ = 0, если 入 & 0 или р > 0, % > 0, а \ 2; & = 4с2с~] X X (1 + 5) (а — 2)-[ если [3 = 0, а > 5.

Замечание 1. Существенно, что за счет выбора постоянных а и 6 можно добиться выполнения неравенства 左i V 1.

Перейдем теперь к теоремам, относящимся к ситуациям, близким к равновесным. Пусть М — некоторое максвелловское распределение с постоянными параметрами Положим f = М -]■- + M'^F, ср = (1 -|- ^2)а/2, сс ^ 3 и ограничимся случаем твердых сфер.

Теорема 7([7, 8]). Пусть 中а w 片*," (川)Р[ 5^), 2(戸)，p三 三[1, 3/2)- Существует положительная посто兄儿ная с。, такая, что если

АС р ЗА) + А^ 2 (Ф&) & Q, (1 • 1 • 1。) то задача (1.1.4) при любом Т имеет единственное решение, удовлетворяющее условию

中f三理1.(砲П弱(硝.

Замечание 2. Из теорем вложения следует, что в условиях теоремы 7 屮尸三片^| ^ (/??)・ Условие 屮尺 三 А*,力 характеризует близость начального распределения к равновесному при боль- шнх I х I. Условие (1.1.10) означает, что начальное распределение близко к равновесному при всех х.

Скорость приближения к равновесию с ростом / в условиях теоремы 7 описывается следующими оценками:

ле оо (2 =0((1 + 厂/(2")),峻),2 (中尸)=。((1 + ")/").

Доказательство теоремы 7 опирается на использование свойств решений линеаризованного уравнения Больцмана, установленных в работах А. А. Арсеньева [VIII. 13] и Грэда [VIII. 12]. Уравнение для функции F можно записать в следующем виде:

DF = LF + »F(F, F),

где L — линеаризованный оператор столкновений, v = v(M), vF(尸，尸)=M-%Q(乂％尸，М%尸).Рассмотрим следующую вспомогательную задачу. Найти F: [0, Т] X R6-^ R\ удовлетворяющую условиям

DF = LF + vg, / > 0;尸=尸()，/ = 0. (1.1.11) Используя результаты Арсеньева, можно получить следующие оценки решений задачи (1.1.11):

(У »尸(厶三，х)产宏 jVq [х^) (/,尸)+jx^(?—T, g)ck , (1 丄⑵

где Сз ——положительная постоянная, 屮=(1 + 产)а/2, 以力 3, 卩三[1, 2],

您)(/, £) = (1+ 厂3/(如 ％% sA)+ exp {- ct} W工)(屮尺)(с > 0), 刘)(/, Л) = (1 + 0~'A (2~P)/P №, p (q)Fo) + exp {- ct} N^ ^Fo).

Имея оценки (1.1.12), (1.1.13) и используя идеи Грэда [VIII. 12], можно получить оценки N^t то (qp/7), 〃胃,2(屮尸).При этом можно доказать следующую лемму.

Лемма 2. Обозначим через U(G) решение задачи (1.1.11) с g = Г(б, G) и положим

11^11=观),ОО (М) + Ml 2 (М) + 糜1 2 (М，

аОе б = (1 +/)—'屮，屮2 = (1 +')-"屮，Фз = Ф = (1 + ^2)а/2, 81 = = 3(2р)-\ 团=3 (2 — р) (4р)-* pw [11%). Верно следующее неравенство'.

II。(GO 一 и (G2) IK с4(|| а II + II G2II) II G] 一 G2II,

где ，4 ——положительная постоянная, не зависящая от G], G2.

На основании леммы 2 теорема 7 доказывается без всякого труда. Действительно, если 尸⑼=0, то U (Л0))——решение линеаризованного уравнения Больцмана. В условиях теоремы 7 IIU (尸⑼)IIW С5 для некоторой постоянной С5. Из леммы 2 следует, что если 4c4c5 V 1, то U является оператором сжатия в шаре {F: II尸II & 2с5). Отсюда следует, в частности, оценка точности линейного уравнения: если f ——решение задачи (1.1.4),尸⑴ ——решение соответствующей линейной задачи (т. е. задачи (1.1.11) с g = 0), то

||(f 一 m)旷% 一 小1|&(1 -4cа)-&

Описание релаксации газа, находящегося в ящике с зеркально отражающими стенками, сводится к решению задачи (1.1.4) с периодической по координатам функцией f0- Для периодической функции f0 условия теоремы 7, конечно, не выполнены. Свойства решений задачи Коши в этой ситуации описываются в теореме 8. Без ограничения общности можно считать, что координаты принадлежат области Q = {х: —л & 修 & я}. Построим по /о максвелловское распределение М с параметрами, соответствующими [九 dx, н снова положим f =例 十 M%F、

Ф = (1 +占2)%2. Для твердых сфер и степенных потенциалов Kl с s ^ 4 п обрезанием по углу верна следующая теорема.

Теорема 8 ([9, 10]). Пусть 屮尸。三 5^),2 (◎)• Существует положительная постоянная с°, такая, что если М曾？(①尸о) &，()， т0 задача (1.1.4) имеет при всех Т единственное решение, удовлетворяющее условию фР ее В^, 2 (Qt).

Равновесие в рассматриваемой ситуации устанавливается экспоненциально быстро: существует положительная постоянная с, такая, что ^^ 2(F) = О (e~ct). Доказательство этой тео、 ремы аналогично доказательству теоремы 7.

Граничные задачи

Стационарные нелинейные задачи. Пусть газ находится в области ◎ (Q er Rn), ограниченной твердой поверхностью В. Требуется найти функцию /(§, х),三 w R3,尤三 Q, удовлетворяющую условиям

"条= Kn—Q(f, f), xwQ,(2.1.1)

广=/?(厂)，xwB(2.1.2)

Здесь Kn — положительная постоянная (число Кнудсена), R — заданный линейный оператор (см. (III. 1.5)), связывающий функции распределения частиц, падающих на границу (f~) и отраженных от границы (/+). Если на поверхности не происходит адсорбции и эмиссии частиц, то выполняется равенство 、(火厂)丨• п 丨 f I 三• n I d^. В этом случае к условиям

(2.1.1), (2.1.2) на жно присоединить нормировочное условие, фиксирующее среднюю плотность газа. Зададим это условие в следующем виде:

Z(f)三 \ dx \我广低，x)|『n| = 4(2.1.3)

S

где Л ——положительная постоянная, n(х)~ внутренняя нормаль к В в точке X. Ясно, что если diam Q V со, то без ограничения общности можно считать, что Л = 1, diam Q = 1; это и будет предполагаться в дальнейшем. (В одномерной задаче граница В состоит из двух точек, В = {0, 1}, и условие (2.1.3) сводится к следующему: £ 、广低，/) | 三• п | 恋=1.) Для простоты ограни- / = 0, 1 R

чимся случаем, когда отражение диффузное:

R(f-) = M^ х)、厂底，х)&・п|%

N(2.1.4)

М 低，х) = 2冗-力2 exp {— /г 低一и)2},九 > 0, u • n = 0,

где Л, и ——заданные на В функции. Начнем с рассмотрения течений при больших значениях числа Кнудсена Кп. Для того чтобы получить интегральное уравнение, соогветствующее задаче (2.1.1) — (2.1.3), рассмотрим две вспомогательные задачи.

Задача 1. Найти /: /?3 X Q -> R\ удовлетворяющую условиям

0 祟=Кп-1 (gi —汝2)，X w Q,自 W R3,

f+ = g+,X е В, g • п > О,

где gi, &, g+ — заданные функции, ^2>0.

Задача 2. Найти f: R3 \О.-> R1 у удовлетворяющую условиям

三• * = Кп"1 g, х 三 О,三三 R3,

f+ = R厂，x三优自三内，z①=1,

где g — заданная функция, удовлетворяющая условию

\ dx \ 龙 g& х) = 0.

<2 R

Решение задачи 1 легко выписать в явном виде, а решение задачи 2 при % = 2, 3 сводится к решению линейного интегрального уравнения (при 〃= 1 задача 2 решается тривиально).

Лемма 3. Пусть выполнены следующие условия'. 1) Q —— открытое ограниченное множество в Rn (拉=2, 3), граница которого есть поверхность Ляпунова^ 2) существует число 厶 такое, что любые две точки В можно соединить ломаной, лежащей в Й и содержащей не более чем I звеньев; 3) Zz, u w L^ (В), inf %〉0; 4) gw8i,8(Q). Тогда задача 2 имеет единственное решение^ удовлетворяющее условиям

"系三丛,8g)，Ф^ + /三瓦8仍)，

ф = (1 + 廿产2 exp {庞2}, 0 & В V inf А, где В+ ——оператор сужения на множество

^х： t^ R3, х^ В, I • п> 0}.

Решение задачи 1 обозначим через U(g+, gi,g2), а решение задачи 2 через ^(g). Ясно, что если функция f удовлетворяет условиям (2.1.1)——(2.1.3), то она должна быть решением интегрального уравнения

f = W； Wf = U (戸TQ (f, f), Q］亿 f), v (f))・(2.1.5)

С другой стороны, предположим, что функция В удовлетворяет условиям (1.1.6), область Q ~ условиям леммы 3, а функция / — условию

ф/三卅屮=(1 + 抖&(2.1.6)

Тогда если f удовлетворяет уравнению (2.1.5) для почти всех L х, то выполнены следующие условия: 1) для почти всех g х функция f абсолютно непрерывна на луче 1& х) = {у: у =%+自匸， Т < 0}, функции а •系，Q1 (f, f), fv(/) принадлежат 以亠，и выполнено соотношение (2.1.1); 2) если В ——оператор сужения / на множество {三，х:自 三 不 х 三 5}, то (l-n)Bf е BL^(B) и выполнены условия (2.1.2), (2.1.3). Поэтому решением задачи (2.1.1)——(2 1.3) будем называть функцию f, удовлетворяющую условию (2.1.6) и уравнению (2.1.5) для почти всех |, х.

Теорема 9 ([11, 12]). Пусть функция f удовлетворяет условию 1 теоремы 2 〃 выполнены условия 1——3 леммы 3. Тогда существует положительное число К°, такое, что при Кп〉Ко задача (2.1.1) — (2 1.3) имеет решение, удовлетворяющее условию "三乱,8(0), ф = (1 +^2)а/2ехр{р^2}, р^[0, inf/г), а 0. Это решение моэ/сет быть получено методом итераций，⑺)=1卜(，(?九-D), /⑼=0.

Скорость сходимости метода итераций дается следующими оценками:

%' ооФ (f —产)& (C Kn-')m N\' 8ФМ),〃 = з, (2.1.7)

^i. „Ф (f - fM) С (C Kn-' In Kn)m Nh ^epfo), 〃=1,2, (2.1.8)

где C — положительная постоянная, не зависящая от f, /(〃?)， Кп.

Как нетрудно понять, f⑴ представляет собой решение соответствующей свободномолокулярной задачи, так что при m = 1 неравенства (2.1.7), (2 1 8) дают оценку точности свободномолекулярной модели

Доказательство теоремы 9 опирается иа оценки интеграла столкновений, которые даются в следующей лемме. Положим

Ф = ехр {隹2}(1 + 廿产2, а о,心 с,

"h = sup \q)(»W — vLHf(£ х)忆喝 乂三[0, 1], V R、

II f lb = SUP:中(自)H f (自, x) h dg2 dg3,自=(自1,自2,自3)，

Лемма 3. Если функция В удовлетворяет условию 1 теоремы 1, то

IIQ)(f, ^)ll_xC^Wl|f||oll§L(x_x), 九Wx,

IIQi(/, g川0&&4呻「l/L(T)HgL], ₽>0,

IIQi(f, g)k&4yllNollgL(—> 九&1, где c(x)——положительная постоянная, зависящая только от х.

Разрешимость задачи (2.1.1) — (2.1.3) доказана также в ситуациях, близких к равновесным. Положим 九。—inf h, М = =С exp {——九0己2}, где постоянная С определяется из условия Z(M) = 1. Предположим, что молекулы газа взаимодействуют как твердые сферы (5 (и, z)=方吟.Тогда для широкого класса областей Q верна следующая теорема.

Теорема 10. Предположим, что %uwLg(5), inf h > 0. Существует постоянная Со, такая, что если

Mioh + IMW。,

то задача (2.1.1)——(2.1.3) имеет решение^ уОоваетворующее условию ^F^B^^, где F = (f-M)M~l/\ 屮=(1十督产2, а>3 (см. [VIII. 31, VIII. 35]).

Доказательство этой теоремы основано на оценках решения соответствующей линейной задачи:

KnW •亲=厶仍H—「(G, G), xwQ, (2.1.9)

x三民x三民(2.1.10)(2.1.11)(2.1.10)(2.1.11)F+ = Ro(£—) + £+(G),

x三民

x三民

(2.1.10)

(2.1.11)

(2.1.10)

(2.1.11)

Z(M[/2F)= 0,

c = (mes B「\

Пусть [/(G) — решение задачи (2.1.9) — (2.1.11), || 尸 || ="“ “(屮尸). Тогда существует постоянная Сь такая, что“

IIL/GII ^Q [II GII2 +||G|| 十”，

II U (GJ — U (G2) IK С*! II Gj — G2II (II Gj II 4- II G2II + 1).

Эти оценки позволяют доказать сходимость метода итераций 尸‘"=[/(£'”")，尸⑼=0 и оценить точность линейного уравнения.

Имея соответствующую теорему для линеаризованного уравнения, можно получить обобщение теоремы 10, включив в рассмотрение весьма широкий класс законов взаимодействия молекул друг с другом и с твердой поверхностью. В связи с этим исследуем линейную задачу более подробно.

Стационарные линейные задачи. Рассмотрим задачу о нахождении стационарных решений линеаризованного уравнения Больцмана в ограниченной области Q с границей В, которая удовлетворяет условиям Ляпунова. Задача состоит в отыскании функции h (х, ■§), х 三 Q,自 三 爲3, удовлетворяющей условиям

“黑=丄九(х三Q и R3),九+ = %夕/厂+自(x三В) (2.2.1)

(см. (IV. 2.6), (IV. 2.14)). Здесь и ниже через Л+ = B+h (соответственно h~ 三 B~h) обозначается сужение функции h на множество ^+ = {х,&| х е В, §• п > 0} (соответственно на множество 片-={х, ЕI х 三片，自• n V 0}).

Укажем свойства операторов Л, А и функции Ло, которые в этом пункте будут предполагаться выполненными.

Оператор 工 допускает представление L = К — М где К — вполне непрерывный симметричный оператор из % в %, v —— функция от Е, удовлетворяющая следующим условиям: ”三薪， inf у ^ vo〉0 (см. (IV. 5. 20), (IV. 5.24); полная непрерывность К при широких предположениях о законах межмолекулярного взаимодействия доказана Грэдом [VIII. 9]).

Если »%h 至 ％、то ($з L/z) = 0, L^a = 0, (/i, L/z) & 0 и из соотношения (Л, Lh) = 0 следует, что Л ——инвариант столкновений (см. (IV. 1.12), (IV. 1.15), (IV. 1.16)).

Положим П/г~ = Л~ — 1~(Ph~,「)в(1, 1)，тогда будут иметь место следующие соотношения:

41 = 1, (ЛЛ., 1)5 = (й, 1)в，(九0, 1)в = 0, (2.2.2)

III APh~ ||t С 1)1 Р/Г % — о HI PWT %, о > 0. (223)

Первое из равенств (2.2.2) является следствием равенства (III. 3.10), второе и третье — следствиями равенства (III. 1.8). Наконец, неравенство (2.2.3) гарантирует, что равенство в (IV. 2.12) выполняется только в том случае, когда 力一 не зависит от скорости. Соотношения (2.2.2), (2.2.3) заведомо выполняются для зеркально-диффузного отражения (III. 5.1) с а V L

Для того чтобы получить интегральное уравнение, соответствующее задаче (2.2.1), рассмотрим следующую вспомогательную задачу:

J(h = ^ • ~^- + ^h = ср, В*h = /г*, (2.2.4)

где ф, h+ — заданные функции. Решение этой задачи, которое легко выписать в явном виде, допускает представление h = =t/ф + Eh+. Обозначим через Н (соответственно /) пространство квадратично суммируемых функций на Q X R3 с весом М (соответственно на В 又 R3 с весом ||-n[Al). Легко убедиться, что если 屮三 Н,用+三"в, то верны соотношения

III vt/фЩ & III Ф III， III »"Uq J & HI Ф HI, HI DU^\\\ & 2 HI Ф HI,

(2.2.5)

III v/2Eh+ HI & HI h+ ||L HI PB~Eh+lB & III /7+|L

||h~1/2^+lll<lh+IIL (2-2-6)

贫 Оф = ф,片+u(p = o,。〃石/# = 0, B+Eh+ = h+t (2.2.7) где D =自• д[дх определяется как соответствующий предел в Н с весом v".

Решением задачи (2.2.1) будем называть функцию h из Я, удовлетворяющую следующим уравнениям:

А = UKh + Eh*、h+ = APh~ + 瓦.(2.2.8)

Теорема 11. Задача (2.2.1) имеет 〃о крайней мере одно решение ®. Любое решение задачи (2.2.1) допускает представление 九=用1十const.

План доказательства теоремы состоит в следующем. Исключив из уравнений (2.2.8) функции й+, 〃-, сведем решение задачи (2.2.1) к решению уравнения Л = S^h + ^Ло с ограниченными операторами 例 и 齒.Затем докажем, что оператор 宏 вполне непрерывен из Я в Я (лемма 5) и, следовательно, к оператору 例 применима альтернатива Фредгольма. Таким образом доказательство теоремы сводится к исследованию уравнений Л =例/% н g =例*g (例* ——оператор, сопряженный 例)и проверке условия ((醫用о, g)) = ° (леммы 6, 7).

Для того чтобы исключить из уравнений (2.2.8) функции 用+, Л~, рассмотрим следующую вспомогательную задачу:

儿九=ф, /# = APh~ + 瓦，(2.2.9)

где ср ——заданная функция из Я.

Лемма 4. Задача (2.2.9) имеет единственное решение в Н, Это решение допускает представлениг

用=勿屮+窗力0,(2.2.10)

где г = U + Е(1—Т)-ЫРВ~и,齒=£(/_ Г)", Т = АРВ~Е.

Доказательство Имеем h~ ~ B~U^ + B~Eh+. Следовательно, функция 用+ должна удовлетворять уравнению

Л+ - Th+ + APB~U^ + 瓦.(2,2.11)

Ясно, чге задача сводится к решению уравнения (2.2.11). Покажем сначала, что это уравнение имеет единственное решение в "в・ Действительно, пусть /zf, h^ — два решения, /z*=/zt——"^・ Тогда /г+ = Гй+. Положим h = Eh+. В силу (2.2.7) h является решением задачи (2.2.11) при ф = /?0 = 0. Для любого решения задачи (2.2.4) верно равенство

(Q,初=((w2, /2)) 一4("川偏一心/厂*•(2212)

(Равенство (2.2 12) легко получить, скалярно умножив в Н первое из соотношений (2.2.4) на Л и использовав формулу Гаусса — Остроградского.) При ^ = h^ = 0, Л+ = APh~ равенство (2.2.12) дает

(И,初一％3 APh-1£ -III Ph-\\Q = O,

Из этого равенства и условия (2.2.3) следует, что

Vo 111^ Г < (И, /2)) = 0.(2.2.13)

Поскольку Л = Eh+, из соотношения (2.2.13) следует, что Л+ = 0 почти всюду. Для того чтобы доказать разрешимость задачи (2.2.11), рассмотрим следующую вспомогательную задачу:

h+ = m+ + IAPB~U^ + Ло,入三卩/?, 1).(2.2.14)

При X < 1 уравнение (2.2.14) заведомо разрешимо, так как в силу условий (2.2.3), (2.2.6) при таких X оператор 入7 является сжатием в Нв. Если мы докажем, что при 入三卜厶，1) для решений задачи (2.2.14) верна оценка

111^|1Ь<С(|||ф111 + 1Ро1Ы (2.2.15)

с постоянной С, не зависящей ог 入，то решение уравнения (2.2.11) можно получить как предел решений задач (2.2.14) при 九一> 1. Таким образом, для завершения доказательства леммы нужно доказать (2 2.15).

Положим снова h = £%+. Тогда

Jth = ф, h+ = KAPh~ + й0.(2.2.16)

На основании соотношений (2.2.16), (2.2.12), (2.2.2) и (2.2.3) имеем

(wm 初一1(中，力)(心0/厂+ /2。%一111р/T1|1:)0

& 一 m/2) III pnh~ |||^ + ((AP『JNb + % lll/^o Ills = =一 (q/2)||| PII/Г III； + ((4РШГ,每爲 + 72 III % 优 C

& — (q/2) RI PRh- lll^ + HI PUh~ |ЦВ HI й0 № + % HI % 嶋,

следовательно,

(И,初 + m/2) III Pnh~ |||^ < ((2『尸 + 2一)III /% 鳴 +

+(2『尸11|中1『+ £22-(心11力-嵋 + ""2),(2.2」7)

где 8 ——произвольно малое положительное число. Из соотношения (2.2.17) очевидным образом следует оценка

||1/Ш/T 也&&(卩1中11| + 11|/紀個(2.2.18)

с постоянной Ci, не зависяш,ей от 入.Покажем теперь, что аналогичное неравенство верно для функции (Ph~, 1)в. Полагая F = (Ph~, 1)в = (PB^Eh+, 1)в, из уравнения (2.2.14) получаем

尸(х) = % К (х, у) 6(х, у)尸(y)dy + G, (2.2.19)

где

G = (l, PB-Eh^s+k^, PB~EAPnh~)B + %(\, PB^EAPB~U^)b)

0(x, y) = (l, l)；1 卜VI⑹®3exp{—|x — y|v®@7}或， о

Ь(х, у)=Ь(х, у)=I x — у Г4 I (x — у) • n (x) I I (x — у) • n (у) I, у 三 5 (x), о,у 陆 8(х),

Ь(х, у)=

Ь(х, у)=

В (х)——часть поверхности В, которая «видна» из точки х. Интегральный оператор с ядром Ь® вполне непрерывен в 厶2(8). В силу сказанного выше однородное уравнение (2.2.19) при X ее [0, 1] имеет только тривиальное решение. Поэтому в силу известных теорем верна оценка 11ali広 &。2 111Gl||乙上)с постоянной С2, не зависящей от 入.Последняя оценка вместе с оценками (2.2.6), (2.2.7), (2.2.18) гарантирует справедливость неравенства

11|^~|||в<С：-(111ф111+ 111^0 |11в).

Из последнего неравенства и условия (2.2.3) очевидным образом вытекает неравенство (2.2.15). Лемма доказана.

Полагая в (2.2.10) ср = О, на основании леммы 4 получаем, что соотношения (2.2.8) эквивалентны уравнению

h = Jh + 齒九。(円=勿 К).(2.2.20)

Лемма 5. Оператор 例 вполне непрерывен из Н в Н.

Доказательство. Покажем сначала, что оператор Z = KUК вполне непрерывен из 〃 в Н. Поскольку К вполне

непрерывен из % в %, достаточно доказать полную непрерывность оператора Z，= К，UК', где К'—конечномерный оператор в 第.Пусть 左'(Е，")——ядро оператора /С. Тогда

Г1 x-x^l

K'U/z (х, 2) = j 肥低，哨 М (т]) I т] Г1 \ 〃 & —⑺ т]尸 X П)X

X exp {— I т] Г1 V (“)r} dx] d”，(2.2.21) где x* = х*(т])——ближайшая к х точка на пересечении луча "х, “)= {у: у = х — "|"|一七 т > 0} с границей б. Вводя в интеграле (2.2.21) новые переменные и, у по формулам и = |т)|, у = х ——т] |т] |-1т, получаем -

KU九(х, § = j иМ (叶卜 х — у Г2ехр{— у (и) I и L I х — у |} X о

X/z(y, и(х —у)|х —у L)肥(X и(х —у)|х —y|T)dy]du・ Заменяя в последнем интеграле й на K'h, имеем

Z7z(x, §=，dy M(y\)d^ zz (х,自，у,哨九(У,哨，

N‘(X,三，y,刀)=

=\ u exp {— У (и) I и |7 IX — у |}肥(三，и (х — у) I х — у Г1) X о

X 耻(и (х — у) I х — у「* ")丨 X — у 厂2 dv. (2・2・22)

Не ограничивая общности, можно считать функцию 々/ финитной. Тогда из равенства (2.2.22) следует, что

sup I zz 11 х — у |2 < оо.(2.2.23)

X, у, L п

Согласно критерию Канторовича [VIII. 43*, теорема 3(2. X)], оператор Z' вполне непрерывен из "в ", если при каком-либо г из (1,2) выполнено условие

sup Ц J I / (X,自，у,叫「М⑺曲]dy < оо.

В силу (2.2.23) это условие выполняется при любом г из (1,3/2). Итак, мы доказали, что Z', а следовательно и Z, вполне непрерывен из 〃 в ". Докажем теперь, что UК вполне непрерывен из Н в Н, а В UK —из 〃 в Нв. Пусть {hn} — произвольная слабо

сходящаяся в Н последовательность, соотношение

III g/z — gm III + III ^^ (痂—§m) ||1в f 0

Заметим, что функция g = g泣一gm ^g = K(hn — Am),

Покажем, что выполняетсяПокажем, что выполняетсяпри 〃,/л —8, gn = UKhn.(2.2.24) является решением задачи 8% = 0・при 〃,/л —8, gn = UKhn.(2.2.24) является решением задачи 8% = 0・Поэтому в силу (2.2.12) верно равенство ((JTg, g)) = ((vg, g)) + + 'A III P§~ U%・ На основании этого равенства и уже доказанной полной непрерывности оператора KUК имеем

Покажем, что выполняется

Покажем, что выполняется

при 〃,/л —8, gn = UKhn.

(2.2.24) является решением задачи 8% = 0・

при 〃,/л —8, gn = UKhn.

(2.2.24) является решением задачи 8% = 0・

% III ^-|11в + “о III g III2 & ((К (『％), UK (% - %)))=

= ((& —九g KU к 也一hm)》f и при n, m-> oo.

Таким образом, соотношение (2.2.24) доказано, а вместе с ним доказана полная непрерывность операторов UK и В~ UK. Полная непрерывность оператора 例 следует теперь из ограниченности оператора Е(/ — Т)-[АР. Лемма 5 доказана.

Лемма 6. Имеют место следующие эквивалентности'.

力=勿/г台力=const,g = %*gOg = v • const. (2.2.25)

Доказательство. Справедливость соотношения с = ^c для любой постоянной с очевидна. Пусть h =例瓦 Тогда в силу (2.2.7), (2.2.11) имеем”

(2.2.26)(2.2.26)Используя (2.2.12) и (2.2.3), на основании соотношений (2.2.26) получаем

(2.2.26)

(2.2.26)

alPWh~f-{Lh, /z) = 0.

В силу предположения 2 из последнего равенства вытекают соотношения

4

九(X, 9=2 "а(х)屮а，"а 広=0 при а * 0.(2.2.27)

а = 0

Но для таких А имеем LA = 0 и, следовательно, ||| v~1/2 Dh ||| = 0,

許" (Q),2 24M畸扇許.需dx = 0.

a, 8=0 k, /=1<2 й “

Полагая вПолагая впоследнем равенстве сначала ^ = ^ей а затемпоследнем равенстве сначала ^ = ^ей а затем三=己(匕 + 0) (eb е； — орты осей координат), получаем

Полагая в

Полагая в

последнем равенстве сначала ^ = ^ей а затем

последнем равенстве сначала ^ = ^ей а затем

да.да{ да：

試= ^f = °，式 + 而=° 亿 /=1,2,3).

Отсюда и из (2.2.27) следует (см. (IV. 4. 18)), что аа = 0 при а * 0,的=const. Первое из соотношений (2.2.25) доказано; докажем второе. По определению оператора 仍* для любых h, g из Н выполняется равенство ((/?,例g)) = ((g,例*力)).Полагая в этом равенстве h = v, получаем

((乂例&)) = ((& ⑦为)).

Покажем, что левая часть этого равенства равна ((g, v))・ Действительно, пусть f = ^g； тогда 困 十 次=Kg,产=4片.Интегрируя первое из этих равенств по Q X ^ с весом М и используя условия (2.2.2), получаем

((R f)) = ((Kg, l)) = (Qg, l)) = ((g, v)).

Таким образом, для любой g из Я выполняется равенство ((g，у) ) = ((g，毋*у) ) • Отсюда вытекает, что 历*v = v. Следовательно, g = cv при любой постоянной с является решением уравнения g =毋*g. В силу первого из соотношений (2.2.25) это уравнение не может иметь других решений. Лемма доказана.

Лемма 7. Справедливо равенство ((齒力о, ”))= 0.

Доказательство. Положим g =齒九°. В силу соотношений (227), (2.2.11)

贫g = °，g+ = АР g~ + Ао.

Скалярно умножая в Н первое из этих соотношений на 1 и используя условие (2.2.2), получаем

0 = (", g))—[((APg—, l))b-((Pg—, 1))川一((％, D)b = ((R g))・

Лемма доказана, а вместе с ней доказана и теорема 11.

Замечание 3. Утверждение теоремы остается верным в том случае, когда Q — ограниченная область в Rn (几=1, 2), а также в том случае, когда задача (2.2.1) заменена задачей

Dh = Lh + g, h+ = APh~ + %,

((g, 1)) = 0,((/io, 1)) = 0, gwH.

Замечание 4. Для случая твердых сфер при несколько более жестких предположениях о свойствах оператора Л сформулированная выше теорема доказана Гиро [VIII. 34]. В приведенном выше доказательстве использованы некоторые идеи работ Гиро [VIII. 34] и В. С. Владимирова [VIII. 44*].

цей. Задача ставится следующим образом. Требуется найти функцию f«，盲，х), t е [О, Г],刍三 R3, х 三 С, удовлетворяющую условиям

Df = Q(ft f), / >0, x^Q, (2.3.1)

f =瓜 / = 0； 广=R厂，/》0, x w 艮 (2.3.2)

Для того чтобы получить соответствующее интегральное уравнение, положим f =尸G， и рассмотрим две вспомогательные задачи:

QF = gi —尸(& +Y), [尸=卜/ = 0;QF = gi —尸(& +Y), [尸=卜/ = 0;X 三 Q, / > 0, 尸=尸+, />0, xeB;X 三 Q, / > 0, 尸=尸+, />0, xeB;

QF = gi —尸(& +Y), [尸=卜/ = 0;

QF = gi —尸(& +Y), [尸=卜/ = 0;

X 三 Q, / > 0, 尸=尸+, />0, xeB;

X 三 Q, / > 0, 尸=尸+, />0, xeB;

(0尸=且一尸回 + y), />0, xwQ,

(И)(И)〔尸=九，/ = о； f+ = rfz />0, хе В,

(И)

(И)

считая заданными в обоих случаях функции g【,g2 (g2 ^ 0), а в первой задаче и функцию F+. Ясно, что если f — решение задачи (2.3.1) — (2.3.2), то F = fef — решение задачи (II) с gi = cy'Qi (尸，F), g2 = e、"v(F). Решение первой задачи можно записать в следующей форме:

f = %(K,且2)十九仇，g2)+ /(gl, g2)(2.3.3)

(функции Vj легко выписать в явном виде). Решение второй задачи сводится к нахождению функции 尸+, а задача нахождения 尸 + сводится в свою очередь к решению линейного интегрального уравнения

尸+ =u4(尸+) + G,(2.3.4)

где

V^F^^RB'V,^, g2)，

G =(％伍，室)+匕3(曰，④))

(B~F — сужение 尸 на множество 抬，х: xw5, ^ • n (х) < 0}). Пусть cpG 三 &8,8(%),屮=(1 + 产产 exp {隹2}. При довольно общих предположениях относительно Q и R существуют положительные постоянные у0 и С, такие, что при у > у0 уравнение (2.3.4) имеет единственное решение Л+ = (/ — V^1 G, удовлетворяющее условию

n8,8中(/ 一 乙)7 G & CN^ ^G,中]=ф (1 +1产(2.3.5)

(если Q ——внешность выпуклого тела, то V4F = 0). Полагай в (2.3.3) gi = 0"Qi (尸,尸)，g2 = eY'v(F),尸+= (/—廿4)-匕，получаем интегральное уравнение, соответствующее задаче (2.3.1)— (2.3.2):

F = WF.(2.3.6)

Теорема 12 ([4, 12]). Пусть выполнено соотношение (1.1.7) с 九=0 и неравенство (2.3.5) с а = 0, р > 0. Если 屮/。三 м^8,8(О), то существует Гь такое, что 〃ра Т & Т\ уравнение (2.3.6) имеет единственное решение, удовлетворяющее условию ф/ 三 ^8, ОО (Qt).

Теорема 13 ([5, 6, 12]). Пусть выполнены условия теоремы 6 (с / = 0) 〃 условия (2.3.5) с теми же а, р, что и 8 теореме 6. Тогда существует 7\, такое, что при Т & Т、уравнение (2.3.6) имеет единственное решение, удовлетворяющее 屮尸 w Bg, 8(^丁).

Разрешимость задачи (2.3.1)——(2.3.2) на бесконечном промежутке времени доказана только для ситуаций, близких к равновесным, ограниченной области Й и однородных граничных условий (т. е. в предположении, что существует максвелловское распределение М с постоянными параметрами, такое, что М+ = RM~}. Один из примеров соответствующей теоремы — теорема 8 из § 1. Более общий результат в этом направлении получен в работе [13].

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Маслова Н. В., Чубенко Р. П., Предельные свойства решений уравнения БоЛьцмана, Докл. АН СССР、202, № 4, 800—803 (1972).

Маслова Н. Б., Чубенко Р. П., Релаксация в одноатомном пространственно-однородном газе, Вестник ЛГУ, № 13, 90—97 (1976).

Маслова Н. Б., Чубенко Р. П., Миноранты решений уравнения Больцмана, Вестн. ЛГУ, № 7, 109—113 (1976).

Ильинская Г. Б., Филиппов Б. В., К вопросу о существовании и единственности решения кинетического уравнения, в кп. «Аэродинамика разреженных газов》，вып. 3, Л., изд-во ЛГУ, 44—50, 1967.

Маслова Н. Б., Чубенко Р. П., О решениях нестационарного уравнения Больцмана, Вестник, ЛГУ, № 19, 100—105 (1973).

Буров А. В., О решениях нестационарных граничных задач для уравнения Больцмана, Депон. в ВИНИТИ № 2425-76, Л., 1976.

Маслова Н. Б., Фирсов А. Н., Решение задачи Коши для уравнения Больцмана. Теорема существования и единственности, Вестник 〃厂У, № 19, 83—88 (1975).

Маслова Н. Б., Фирсов А. Н., Решение задачи Коши для уравнения Больцмана. II. Оценки решении неоднородного линеаризованного уравнения Больцмана, Вестник ЛГУ, № 1, 97—103 (1976).

Ukai S., On the existence of global solutions of mixed problem for nonlinear Boltzman equation, Proc. Japan Acad., 50, № 3, 179—184 (1974).

Фирсов A. H., Об одной задаче Коши для нелинейного уравнения Больцмана, в кн. «Аэродинамика разреженных газов», вып. 8, изд-во ЛГУ, Л., 22—36, 1976.

Маслова Н. Б., Стационарные задачи для уравнения Больцмана при больших числах Кнудсена, Докл. АН СССР, 229, № 3, 593—596 (1976).

Буров А. В., Существование н единственность решения стационарных граничных задач для уравнения Болыьмана, Депон. в ВИНИТИ, № 4153—76, Л., 1976.

Guiraud J. Р., An Н-theorem for a gas of Zgid spheres in a bounded domain, Colloq. int. CNRS, No. 236, 23—56, 1975.

Именной указатель

Акилов Г. П. 460

Алексеева Е. В. 318, 319, 435

Алексеева С. Н. 460

Альбертони (Albertoni S.) 317, 387, 440, 449

Андерсон (Anderson D.) 418, 429, 431

Андрес (Andres R. D.) 427, 433

Ано ли к М. В. 433, 460

Аристов В. В 435

Аркерид (Arkeryd L.) 437, 449

Арсеньев А. А. 389, 439, 449, 466

Ахиезер Н. И. 258

Ашкеназ (Ashkenas Н.) 423, 432

Баканов С. П. 434

Бакнер (Buckner J. 1(.) 372, 373, 375, 376, 388

Балеску (Balescu R.) 121

Баранцев Р. Г 121, 180, 318, 319, 433,

435, 459, 460

Беднарж (Bednarz R.) 440, 449

Бейтмен Г. 258

Белоцерковский О. М. 435

Бенедек (Benedek G. В.) 384, 389