ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА

В последнее десятилетие в различных областях знаний возникает все больше задач, которые нельзя решить на макроскопическом уровне. Такие задачи, требующие кинетического подхода па молекулярном уровне, возникают, например, в теории плазмы, в динамике разреженных газов, в теориях переноса излучения и нейтронов, в теории гомогенных и гетерогенных химических реакций и т. д. Более того, и в случаях, поддающихся макроскопическому описанию, кинетическая теория позволяет вывести соответствующие макроскопические уравнения, обосновать область их применимости и снабдить их необходимыми граничными и начальными данными и коэффициентами переноса.

Большое число различных практических задач вызвало к жизни много разнообразных методов решения кинетических уравнений. В частности, для кинетического уравнения Больцмана даже для простейшего случая однокомпонентного одноатомного газа предложено большое число приближенных и численных методов. Многие из этих методов построены скорее на правильной физической интуиции, чем нЯ "строгом математическом обосновании.

- Предлагаемая читателю монография профессора Миланского университета Карло Черчиньяни ставит своей целью изложение лишь аналитических методов решения уравнения Больцмана. Ставя перед собой такую цель, автор, естественно, вынужден был ограничить круг рассматриваемых задач и посвятить значительную часть книги методам решения линеаризированного уравнения Больцмана и модельных уравнений, для которых только и развиты строгие аналитические методы.

Автор дает строгое обоснование выбранных методов, приводя Доказательства существования и единственности решений и сходимости методов. В тех случаях, когда таких доказательств нет, автор указывает на трудности, которые-должны быть преодолены Для их построения. Такой характер книги делает ее интересной как для исследователей-прикладников, которым она поможет отточить математический аппарат, так и для математиков, которые найдут в ней указания на целый ряд математических проблем, связанных с решением уравнения Больцмана.

Автор не претендует на изложение всех имеющихся в литературе методов решения уравнения Больцмана и подобных ему уравнений. Изложенный материал примыкает к кругу интересов автора, внесшего значительный вклад в развитие методов решения линеаризированного уравнения Больцмана и модельных уравнений Больцмана. В соответствии с этим ссылки на литературу достаточно скупы и могли бы быть существенно дополнены.

Не пытаясь, однако, дать сколько-нибудь полный список дополнительной литературы, укажем лишь на некоторые монографии и сборники, которые вышли в Советском Союзе за последние годы и посвящены вопросам, затрагиваемым в книге или близким к ним, и в которых имеется обширная библиография. Это, в первую очередь, ставшие классическими монографии

Боголюбов Н. Н., Проблемы динамической теории в статистической физике, М.- Л., 1946;

Чепмен С., Каулинг Т., Математическая теория неоднородных газов, ИЛ, М., 1960;

Г up шф ель дер Дж., Кертис Ч., Берд Р., Молекулярная теория газов и жидкостей, ИЛ, М., 1961.’

Вопросы, связанные с выводом уравнения Больцмана и гидродинамических уравнений, можно найти в книгах

Уленбек Дж., Форд Дж.^ Лекции по статистической механике, изд-во «Мир», -М., 1965;

Гуров К. П., Основания кинетической теории, изд-во «Наука», Мм 1966; Балеску Р., Статистическая механика заряженных частиц, изд-во «Мир», М., 1967;

Зубарев Д. Н., Неравновесная статистическая термодинамика, изд-во «Наука», М., 1971;

Силин В. П., Введение в кинетическую теорию газов, изд-во «Наука», М., ■ 1971.

Решения конкретных задач имеются в монографиях

Паттерсон Г. И., Молекулярное течение газов, Физматгиз, М., 1960;

Девиен М., Течения и теплообмен разреженных газов, ИЛ, М., 1962;

Шидловский В. П.% Введение в динамику разреженного газа, изд-во «Наука», М., 1965.

Значительное число оригинальных работ собрано в сборниках

Некоторые вопросы кинетической теории газов, изд-во «Мир», М., 1965; Вычислительные методы в динамике разреженных газов, изд-во «Мир», М., 1969;.

Численные методы в теории разреженных газов, ВЦ АН СССР, 1969;

а также в сборниках

Аэродинамика разреженных газов,

выпускаемых с 1963 г. Ленинградским университетом под редакцией С. В. Валландера. Следует отметить также труды восьми международных симпозиумов по динамике разреженных газов -).

Русское издание книги будет полезным для научных работников, сталкивающихся с решением уравнения Больцмана, а также для студентов старших курсов университетов как пособие по кинетической теории газов.

М. И. Коган

ПРЕДИСЛОВИЕ

Когда плотность газа становится достаточно низкой, так что средняя длина свободного пробега больше не является- пренебрежимо малой по сравнению с характерным размером течения, результаты, полученные методами механики сплошной среды, требуют поправок, которые становятся все более и более значительными по мере увеличения степени разреженности. Если разреженность достаточно велика, то вместо механики сплошной среды необходимо пользоваться кинетической теорией газов, а вместо уравнений Навье — Стокса — уравнением Больцмана. Последнее представляет собой весьма сложное нелинейное интегро- дифференциальное уравнение, решение которого для практических задач осуществимо, по-видимому, только при помощи соответствующих приближенных математических методов.

Проблемы течений газов при произвольной разреженности стали интересовать аэродинамиков с практической точки зрения в последние двадцать лет, и решение уравнения Больцмана больше не является академической задачей. С другой стороны, математический характер этого уравнения таков, что для успешного применения классических методов математической физики в кинетической теории газов требуется их существенное развитие. Поэтому назрела необходимость специального рассмотрения математических методов, используемых в кинетической теории.

Цель настоящей книги — представить математическую теорию разреженных газов в систематической и современной форме. Книга, следовательно, коренным образом отличается от классической монографии

Чепмен С., Каулинг Т.^ Математическая теория неоднородных газов, ИЛ, М., 1960.

Последняя представляет собой исчерпывающий трактат по отдельной теме: теория уравнения Больцмана была развита в связи с проблемой вычисления коэффициентов переноса для замыкания уравнений сохранения механики сплошной среды. Она несколько отличается также от книги

Коган М. Н., Динамика разреженного газа, изд-во «Наука», М., 1967,

недавно переведенной на английский язык. Настоящая книга и книга Когана взаимно дополняют друг друга. С одной стороны, книга Когана посвящена скорее результатам, чем методам, а с другой стороны, в ней рассматривается более широкий круг вопросов, в том числе и такие темы, как многоатомные газы и смеси газов.

Данная книга посвящена краевым задачам, возникающим при исследовании уравнения Больцмана. Последнее берется в основном в линеаризованной форме, так как только для этого случая в настоящее время развита систематическая теория. Исходные положения излагаются, конечно, в полной общности, т. е. без ограничений линейной теории.

Большое значение придается использованию модельных уравнений, которые, по нашему мнению, являются не только очень эффективным орудием для решения определенных задач, но и строгим методом решения, если рассматривать каждую модель как элемент бесконечной последовательности, аппроксимирующей уравнение Больцмана сколь угодно точно.

Сделана попытка отвести достаточное место обсуждению граничных условий для уравнения Больцмана. Важность граничных условий состоит в том, что они описывают эффекты взаимодействия молекул газа с соответствующими молекулами твердого тела, в контакте с которым находится газ. Это взаимодействие ответственно за силу, которая действует на тело, движущееся в газе, и за теплопередачу между газом и твердыми стенками.

В соответствии с сформулированными выше весьма скромными целями нужно было очень жестко ограничить отбор рассматриваемых методов. Наиболее очевидными жертвами нашего подхода стали различные моментные и разностные методы, лишь кратко описанные в гл. 8, а также кинетическая теория свободномолекулярных и близких к ним течений. Решение сократить обсуждение указанных тем было принято с большей легкостью, когда автор узнал о переводе на английский язык книги Когана, в которой эти вопросы рассматриваются более детально.

Книга рассчитана на читателя с небольшим знанием предмета или вовсе с ним незнакомого, но она быстро вводит в сущность вопроса. Математический уровень книги не является чрезмерно высоким, хотя иногда все же приходится прибегать к методам функционального анализа, особенно в гл. 6 (§ 2—5). Читатели, интересующиеся скорее приложениями, чем математическими обоснованиями предмета, могут опустить эти параграфы. Для того чтобы не требовать от читателя слишком высокого уровня математических знаний, в § 2 и 3 гл. 1 дано краткое изложение некоторых положений теории обобщенных функций.

В заключение отметим, что, хотя на выборе материала отразились вкусы и наклонности автора, можно надеяться, что эта книга даст полезную информацию тем, кто занят исследованиями

в области динамики разреженного газа, и вообще может служить руководством для курсов повышенного типа по прикладной математике или аэродинамике. Книга может заинтересовать также и тех, чьи интересы лежат в других областях науки, где возникают аналогичные математические проблемы, в таких, как теория переноса нейтронов в реакторах, теория переноса электронов в твердом теле, теория переноса фононов в жидком гелии и теория переноса излучения.

Карло ЧерчинъяниКарло ЧерчинъяниМилан, Италия

Карло Черчинъяни

Карло Черчинъяни

Сентябрь 1968

Глава 1

ОСНОВНЫЕ ПРИНЦИПЫ

Введение

Кинетическая теория газов является частью статистической механики, т. е. статистической теории динамики механических систем, образованных большим числом частиц, таким, как число молекул, содержащихся в объеме вещества макроскопических размеров. Цель статистической механики состоит в объяснении макроскопического поведения вещества посредством изучения поведения молекул, из которых оно состоит, т. е. движения и взаимодействия большого числа частиц. Мы будем предполагать, что применима классическая механика и, следовательно, движение молекул подчиняется второму закону Ньютона:

Хг = Хг, хг = |г,(1.1а)

ИЛИ

хг = Хг,(1.1b)

где х7 — радиус-вектор i-й частицы (i = 1, . . ., N), а ^ — вектор скорости; как х7, так и ^ являются функциями времени t, точки сверху означают, как обычно, дифференцирование по I. Здесь Х7- — действующая на i-ю частицу сила, отнесенная к массе частицы. Эта сила в общем случае равна сумме внешней силы (например, гравитационной или центробежной) и силы, характеризующей действие других частиц системы на f-ю частицу. Выражение для таких сил должно быть задано при описании свойств механической системы.

Чтобы определить полностью динамическое поведение системы, нужно решить 6N дифференциальных уравнений первого порядка (1.1а) с 6N неизвестными — компонентами 2N векторов х7, |7 0 — 1, . . ., N"). Для этого необходимо задать 6N начальных значений

xf (0) - х?, kt (0) = ^ (0) - 1?,(1.2)

где х® и ^ — это 6N заданных постоянных, описывающих начальное состояние системы.

Однако даже при помощи высокоскоростных вычислительных машин невозможно — и это часто подчеркивается — решить указанную задачу с начальными данными для реального по порядку

величины числа частиц (скажем, N = 1020). Действительно, приведенные выше 6N дифференциальных уравнений взаимосвязаны, так как сила Xt — функция радиусов-векторов всех частиц х7- (у = 1, • • • , N). Но это лишь техническое ограничение, которое в принципе можно преодолеть будущим прогрессом вычислительной техники. Имеются, с другой стороны, две более фундаментальные прйчины, вынуждающие нас взглянуть на проблему с иной точки зрения и приводящие к основной идее статистической механики..

Первая состоит в том, что, если бы мы и были способны преодолеть указанные вычислительные трудности, мы должны' были бы снабдить задачу начальными данными х?, |?, т. е. значениями радиусов-векторов и скоростей всех молекул при £ = 0. Получение этих данных представляется невозможным в принципе: для этого необходимо было бы одновременно измерять положения и скорости 6N частиц без существенного возмущения их состояния, в частности без изоляции одной частицы от влияния других.

Вторая причина заключается в том, что если бы даже кто-то (например, демон Максвелла) и снабдил нас начальными данными и мы были бы достаточно умны, чтобы быть способными рассчитать последующую эволюцию системы, то такая детальная информация оказалась бы. бесполезной. Действительно, знание положения и скорости каждой молекулы есть информация, которая в такой форме не дает нам того, что мы практически хотим знать, например величину давления, действующего на стенку в газе при заданных плотности и температуре.

Основная идея статистической механики состоит в «усреднении», вытекающем из нашего «невежества» (имеется в виду неспособность макроскопических тел воспринимать некоторые микроскопические детали другого макроскопического тела), и исследовании данной системы в статистическом смысле. Различия процессов усреднения несущественны, если последние связаны с такими макроскопическими величинами, как давление, температура, тепловой поток, напряжения и т. д.

Первым типом усреднения, имеющим место в любом исследовании, основанном на статистической механике, является, как подсказывают проведенные выше рассуждения, усреднение по неизвестным начальным данным. Однако обычно необходимы и другие процессы усреднения, например по деталям взаимодействия между частицами. Последнее включает и взаимодействие молекул газа с твердыми стенками, ограничивающими течение и также состоящими из молекул. Каков практический результат этого усреднения? Это усреднение приводит к тому, что мы оперируем с вероятностями вместо достоверностей: в рамках нашего подхода нельзя говорить об определенных положении и скорости

данной частицы, а только о вероятностях реализации ее различных положений и скоростей.

Статистическая механика тел в тепловом и механическом равновесии развита достаточно хорошо (по крайней мере для случая одной фазы), в то время как статистическая механика неравновесных процессов надежно обоснована лишь для не слишком плотных газов.

Для газов имеется уравнение, так называемое уравнение Больцмана, дающее в принципе полное описание поведения не слишком плотного газа. Математическое исследование этого уравнения, особенно в случае малых отклонений от равновесия, является основным содержанием настоящей книги. В гл. 1 кратко объясняется смысл уравнения Больцмана и его место в общей теории статистической механики.

Вероятность и достоверность.

Обыкновенные и обобщенные функции

Как отмечалось выше, вероятностные понятия играют фундаментальную роль в кинетической теории газов и вообще в статистической механике. Мы будем говорить о вероятности в несколько интуитивном смысле, иллюстрируя ее, известными опытами по бросанию игральной кости или монеты, когда ставится вопрос о вероятности выпадения одного из чисел от 1 до 6 в первом случае и вероятности выпадения герба или решетки во втором.

Вероятность реализации определенного события равна числу между 0 и 1, которое, грубо говоря, на опыте может быть интерпретировано как частота появления этого события в большом количестве испытаний (в случае бросания монеты Р (Н) = Р (Т) = = 1/2, где Р (Я) и Р (71) — вероятности выпадения герба и решетки соответственно). Если события взаимно исключающие, то сумма вероятностей всех возможных событий должна равняться 1. Это означает, что хотя бы одно из событий заведомо произойдет (например, выпадет или герб, или решетка).

Однако необходимо подчеркнуть, что появляющиеся в статистической механике переменные обычно пробегают непрерывное множество значений, а не дискретное (как множество из двух элементов, герба и решетки, возникающее в результате бросания монеты). Поэтому, строго говоря, вероятность получения любой заданной величины из континуума возможных равна 0. В то же время «сумма» вероятностей должна равняться 1.

Здесь нет ничего необычного, ибо это точная аналогия утверждения о том, что геометрическая точка не имеет длины, а отрезок, т. е. множество точек, имеет ненулевую длину. Следовательно, необходимо рассматривать вероятность реализации события, не имеющего фиксированного значения, а заключенного в бесконеч-

но малом интервале (или, более общо, множестве). Эта вероятность будет, вообще говоря, бесконечно малой величиной того же порядка, что и длина интервала (или мера множества). Иными словами, необходимо ввести в рассмотрение плотность вероятности Р (z), т. е. такую величину, что Р (z) dnz — вероятность того, что z заключено между z и z + dz. Здесь z = (z17 z2, . . ., zn) есть вектор, содержащий все непрерывные переменные, необходимые для описания множества, a dnz — объем бесконечно малой ячейки, dPz = dzt . . . dzn.

В этом случае условие равенства единице «суммы» вероятностей записывается в виде

^P(z)dz=l, (2.1) Z

где Z — область тг-мерного пространства (или, возможно, все тг-мерное пространство), в которой изменяется z; верхний индекс п у символа, обозначающего элемент объема, опущен, так как это не приводит к путанице.

Для чего нужна плотность вероятности? Ответ простой: плотность вероятности необходима для вычисления средних. Если известна плотность вероятности Р (z), то можно рассчитать среднее значение любой заданной функции ср (z) вектора z. Действительно, средние можно определить формулой

(ф (z)) = tN = j Р (z) <р (z) dz; (2.2) z

ломаные скобки и черта сверху обычно обозначают усреднения. Другими словами, чтобы вычислить среднее значение функции ф (z), нужно проинтегрировать ее по всем z с весовой функцией, равной плотности вероятности реализации z. Ясно, что это определение согласуется с нашим интуитивным представлением о средних.

Рассуждать о плотностях вероятности очень полезно, однако это, на первый взгляд, кажется связанным с серьезным неудобством. Иногда необходимо считать некоторые переменные известными с абсолютной достоверностью — или потому, что мы хотим исследовать высоко идеализированный случай, или потому, что на самом деле требуется располагать подробной информацией о механической системе. Тогда если z достоверно имеет значение zo, плотность вероятности для любого z ^ zo будет, очевидно, равна 0. С другой стороны, условие (2.1) должно быть выполненным. Поэтому для достоверного события плотность «вероятности» не может быть обычной функцией. Необходимо расширить понятие функции, если мы хотим рассматривать достоверность как частный случай вероятности.

Требуемое обобщение достигается при помощи так называемых «обобщенных функций», или ’«распределений». Ввиду важности этого понятия для дальнейшего мы дадим краткий обзор соответствующей теории; более подробную информацию можно найти в литературе.

Обобщенные функции определяются многими способами,-например как пределы последовательностей достаточно регулярных функций (аналогично тому, что действительные числа есть пределы последовательностей рациональных чисел). Строго говоря, обобщенные функции не имеют локального значения. Иными словами, бессмысленно задавать вопрос, какое значение принимает данная обобщенная функция в данной точке. Здесь важно то, что точный смысл можно придать «скалярному произведению» обобщенной функции Т (z) и достаточно гладкой обыкновенной функции ф (z) (основной функции):

(Г, ф)= j Т (z) ф (z) dz. (2.3) z

Чтобы пояснить смысл этого интеграла, рассмотрим последовательность {^m (z)} обыкновенных функций, предел которой равен Т (z). Тогда

f Т (z) ф (z) dz = lim Г Tm (z) ф (z) dz (2.4) J m->oo J

для любой основной функции ф (z), для которой указанный предел существует. Обычно предполагается, что множество основных функций плотно в множестве непрерывных функций.

Простейший пример обобщенной функции — так называемая дельта-функция Дирака, иллюстрирующая плотность вероятности для упомянутого выше случая, когда тг-мерный вектор z имеет достоверное значение zo.*

Дельта-функцию 6 (z — zo) можно определить следующим образом:

d (z — z0) = lim (-^Д™ exp [ — тп2 (z —z0)2]. (2.5)

Из этого определения ясно, что 6 (z — zo) не может быть обыкновенной функцией: указанный предел равен 0 для z 7^= zo и +оо для z = zo, а это нельзя принять за определение функции. Тем не менее, как говорилось выше, соотношение (2.4) полностью определено, если ф (z) непрерывна в точке z = zo и удовлетворяет «мягким» условиям интегрируемости. Действительно, легко показать, что при таких предположениях интеграл

6 (z — z0) ф (z) dz6 (z — z0) ф (z) dz— lim— lim/ m \71/ m \71exp [ — m2 (z — z0)2] ф (z) cZzexp [ — m2 (z — z0)2] ф (z) cZz(2-6)(2-6)

6 (z — z0) ф (z) dz

6 (z — z0) ф (z) dz

— lim

— lim

/ m \71

/ m \71

exp [ — m2 (z — z0)2] ф (z) cZz

exp [ — m2 (z — z0)2] ф (z) cZz

(2-6)

(2-6)

существует и равен ф(г0). Итак,

j 6 (z — Zq) ф (z) dz = ф (zg)•(2.7)

Здесь опущен символ, указывающий область интегрирования Z. В частности, если ф(г) = 1, то

j 6 (z — z0) dz = 1.(2.8)

Если же ф (z) = z, то

j 6(z — z0) zdz = z0.(2.9)

Следовательно, 6 (z — zo) есть плотность вероятности, описывающая тот случай, когда среднее значение z равно zo (см. формулы (2.1) и (2.2)). Но можно показать больше: как и ожидалось, дельта-функция описывает ситуацию, когда известно с абсолютной достоверностью, что переменная z имеет значение zq. Действительно, рассмотрим возможность реализации значений, отличных от zo, путем вычисления среднего отклонения z от zo и покажем, что оно равно 0, если плотность вероятности есть 6 (z — zo). Чтобы сделать это, нужно подходящим способом определить отклонение от среднего значения. Необходимо прежде всего заметить, что если определить zo как среднее для z формулой z0 = j zP (z) dz,(2.10)

то в силу (2.1) для любой плотности вероятности получим j (z — z0) Р (z) dz = j zP (z) dz —z0 j P (z) dz= z0 — zo = O. (2.11)

Следовательно, среднее значение z — zo не дает никакой информации об отклонении z от zo. Причина этого заключается в том, что при данном определении среднего отклонения от zo «слева» компенсируются отклонениями «справа».

Среднюю меру этих отклонений можно найти, вычисляя интеграл

j (z —z0)2P(z)dz,(2.12)

т. е. как среднеквадратичное отклонение. В этом случае не может быть никакой компенсации, и мы получаем полезную информацию о разбросе z около zo. Однако, как отмечалось выше, в случае 6-функции и интеграл (2.12) равен 0. Это означает, что разброса нет, т. е. что z точно имеет значение zo. Действительно, в силу (2.7) j (z — z0)26(z — z0) dz = (z0 —zo)2 = O.(2.13)

Отметим также другой возможный способ определения отклонения z от zo при заданной плотности вероятности, состоящий в вычислении среднего от | z — zo |, а не от (z — zo)2 = | z — zo |2. В общем случае результат не будет равен корню квадратному из предыдущего, т. е. квадрат среднего значения | z — zo |, вообще говоря, отличен от среднего значения квадрата | z — zo |. Действительно, в силу неравенства Коши — Буняковского

j | z — z0 [ Р (z) dz j2< j | z — z0 |2 P (z) dz j /э (z) dz =

= j |z-z0|2P(z)dz,(2.14)

т. e. квадрат среднего не больше среднего значения квадрата. Однако знак равенства имеет место для Р ^ = 6 (z — zo), ибо в этом случае обе части (2.14) равны 0.

Некоторые свойства обобщенных функций

и дальнейшие примеры

Как было сказано выше, обобщенная функция Т определяется последовательностью {Тт} обыкновенных функций. Однако сама последовательность не определяется однозначно видом Т. Именно, различные последовательности могут иметь своим пределом одну и ту же обобщенную функцию (так же, как разные последовательности рациональных чисел могут иметь в качестве предела одно и то же действительное число). Например, дельта-функция может быть введена и последовательностью

6m (z z0) = -^— Н ^—|z z0 Q .(3.1)

Здесь Tn — объем /г-мерного единичного шара, связанный с площадью con поверхности этого шара формулой T^^toydn, причем

где Г (я) — гамма-функция, Н (я) — ступенчатая функция Хевисайда, равная 1 при х > 0 и 0 при х < 0. В одномерном случае (3.1) принимает вид

MZ-2o)=-^#(-^-|z-Zo|),(3.3)

откуда ясно, чему равен предел при тп оо.

, Другой последовательностью, сходящейся к дельта-функции в одномерном случае, будет

6m (г - zo) =,2 2] .(3.4)

' jr[l + (z — z0)2 mA\х '

Легко доказать, что 6т (z — z0) -> 6 (2 — z^. Отметим также, что, хотя в приведенных примерах предполагалось, что тп стремится к оо по целым числам, ничто не изменится, если тп будет стремиться к оо, пробегая непрерывное множество значений. Вообще, если ц—действительный параметр, то при ц ^ Цо предел обыкновенной функции Т (z; ц) будет обобщенной функцией Т (z), если для любой последовательности {цт}, для которой Цт ^ Цо при тп оо, функции Т (z; T]m) образуют последовательность, определяющую Т (z). В частности, полагая m — М& в формуле (3.4) и устремляя тп к + оо по положительным числамг получаем

lim — —гт = 6 (z — 20).(3.5)

£—>0 л[(2 —Z0)2 + e2] кv /

Частными случаями обобщенных функций являются обыкновенные функции (это оправдывает название первых!). В самом деле, если последовательность сходится (почти всюду) в обычном смысле к обыкновенной функции, то эту сходимость можно использовать в качестве определения обыкновенной функции. В частности, можно ввести нулевую обобщенную функцию, рассматривая последовательности, сходящиеся почти всюду к нулю.

Это обстоятельство можно применить для точного определения понятия равенства двух обобщенных функций. Две обобщенные функции будут считаться равными, если разность между любой последовательностью, определяющей первую из них, и любой последовательностью, определяющей вторую, дает нулевую (обобщенную) функцию.

Другое интересное свойство обобщенных функций — их дифференцируемость сколь угодно много раз; в результате каждого дифференцирования получается обобщенная функция, для которой справедлива формула (2.4), если, конечно, рассматриваемые основные функции достаточно гладкие. Производная Т' обобщенной функции Т определяется последовательностью обыкновенных функций, состоящей из производных функций, образующих последовательность, определяющую Т (конечно, необходимо «набирать» ее из непрерывно дифференцируемых функций).

В качестве примера рассмотрим производную одномерной дельта-функции 6' (2 — zq\ Она может задаваться последовательностью

^m^, — z^ = — 2тп3л-1/2(2 —z0)exp [ —тп2 (z —z0)2L(3.6)

возникающей цри дифференцировании входящей в формулу (2.5) последовательности при п = 1.

Класс основных функций, подходящих для 6' (z — z^, есть класс функций, обладающих необходимыми свойствами интегри-

^ 3. Некоторые свойства обобщенных функций и дальнейшие примеры 19 руемости и непрерывно дифференцируемых в окрестности точки 2 = ^0.

Пусть ф — основная функция, допустимая для Т и для Т . Тогда легко показать, что

(Г, ф) = -(7, ф'), (3.7)

где ф' — производная от ф. Это соотношение можно рассматривать также как определение производной от Т. Из формул (3.7) и (2.8) имеем

j 6' (z —20) ф (z) dz = — j 6 (z — z0) ф' (z) dz = — ф' (z0); (3.8) этим равенством определяется 6'.

В случае более чем одной независимой переменной вводятся частные производные по любой из этих переменных и, в частности градиент дельта-функции, т. е. векторная обобщенная функция. Она записывается в виде |^ (z — zo), это вектор с компонентами (96/^17 . . ., (96/<92п.

Можно очевидным образом определить операции сложения и вычитания для обобщенных функций. Однако умножение двух обобщенных функций в общем случае нельзя ввести так, чтобы скалярное произведение (2.3) имело смысл, когда Т — произведение двух обобщенных функций; в частности, нельзя придать простой смысл квадрату дельта-функции.

В то же время существует произведение обобщенной функции Т (z) и обыкновенной гладкой функции / (z). Оно связано с последовательностью / (z) Тп (z), а основные функции ф (z) таковы, что / (z) ф (z) — основная функция для Т (z).

Например, в одномерном случае можно определить произведение 26(2) или, более общо, (z — zo) 6 (2 — z0). При выборе основных функций ф достаточно потребовать их ограниченность в точке 2о и соответствующие свойства интегрируемости. Однако оказывается, что

(2 — Zo) 6 (2 — Z0) = 0. (3.9)

Действительно, если взять любую из последовательностей, введенных выше для определения 6 (z — z0), и умножить ее на (z — zo), то получим последовательность функций, сходящуюся в обычном смысле к обыкновенной функции, всюду равной нулю. Можно также показать, что С6 (z — zo), где С — произвольная постоянная, есть общее решение уравнения (z — zo) Т (z — z0) = = 0. Заметим, что, из уравнения (3.9) следует, что

z6 (z — zo) = z06 (z — zo). (3.10)

Умножение двух или более обобщенных функций можно легко выполнить также и в том случае, когда они зависят от разных

переменных. Например, если zh (& = 1, . . ., п) — компоненты вектора z, то можно определить 6 ^Y — ^ 6 (я2 — 2®) . . . . . . 6 (zn — z^), где zk (к = 1, . . ., п) — произвольные числа, как предел последовательностей произведений соответствующих членов последовательностей, дающих различные одномерные дельта-функции. В частности, можно положить

6^ —zj)6(z2 —z°) . . . 6 (zn — zy = lim TT-Д-ехр [ — (zk —zyzm.8] = m—>oo '

k = 1

= limexp [ — m? (z — z0)2], (3.11)

m-^-oo у Я /

где zo — это тг-мерный вектор с компонентами zk (к = 1, . . ., п). Из (3.11) и (2.5) вытекает, что

6 (^ - z^ 6 (z2 - ^) . . . 6 (zn - 4) = 6 (z - zo). (3.12)

'Наконец, иногда возникает проблема деления на обыкновенную функцию. Если функция / (z) всюду отлична от нуля, то деление сводится просто к умножению на обыкновенную функцию 1// (z). Но если функция / (z) в некоторой точке равна нулю, то в этой точке 1// (z) не существует и в общем случае включающие 1// скалярные произведения также не существуют в обычном смысле. Тем не менее деление на такие функции можно выполнить во многих важных случаях. Рассмотрим частный, но очень существенный случай, когда требуется найти такое наиболее общее распределение Т. что

(^ - z^ Т ^ = 1.(3.13)

Для z Ф z0 имеем Т (z) = l/(z — zo). Но это выражение не имеет смысла при z = z0 и, в частности, интегралы типа (2.3) не существуют в обычном смысле. Однако можно определить обобщенную функцию, например, как предел последовательности функций

удовлетворяющий уравнению (3.13). Тогда будут существовать скалярные произведения этой функции и достаточно гладких функций (для которых выполняется условие Гёльдера в окрестности точки z = zo). Такая обобщенная функция обозначается

Р — lim772,2 (z — zo)

где Р называется «главной частью». Скалярное произведение (р уд-у* , ф^ есть не что иное, как интеграл от ср (z)/(z— z0)

в смысле главного значения Коши:

2 — Z0 T2 — Z0 TС ^-dz.(3.16)Jz — zoI Z - Z0 | > 8С ^-dz.(3.16)Jz — zoI Z - Z0 | > 8Посмотрим теперь, является лиПосмотрим теперь, является линием уравнения (3.13). Оказывается, нет.нием уравнения (3.13). Оказывается, нет.Р -™2™ единственным решеР -™2™ единственным решерешением будет сумма «главной части» Ррешением будет сумма «главной части» РДействительно, общим и общего решенияДействительно, общим и общего решенияоднородного уравненияоднородного уравнения(2 - 20) Т (2) = 0.(2 - 20) Т (2) = 0.(3.17)(3.17)

2 — Z0 T

2 — Z0 T

С ^-dz.(3.16)

Jz — zo

I Z - Z0 | > 8

С ^-dz.(3.16)

Jz — zo

I Z - Z0 | > 8

Посмотрим теперь, является ли

Посмотрим теперь, является ли

нием уравнения (3.13). Оказывается, нет.

нием уравнения (3.13). Оказывается, нет.

Р -™2™ единственным реше

Р -™2™ единственным реше

решением будет сумма «главной части» Р

решением будет сумма «главной части» Р

Действительно, общим и общего решения

Действительно, общим и общего решения

однородного уравнения

однородного уравнения

(2 - 20) Т (2) = 0.

(2 - 20) Т (2) = 0.

(3.17)

(3.17)

Как отмечалось выше, общее решение этого уравнения пропорционально 6 (2 — 2о). В итоге общее решение уравнения (3.13) имеет вид

Т^ = рр— + сц2-.го),(3.18)

2—

где С — произвольная постоянная.

Полученные результаты можно применить к вычислению, следующего предела, часто встречающегося в прикладной математике (I — мнимая единица):

lim8->0 +lim8->0 +11. z —— ie

lim

8->0 +

lim

8->0 +

7ТТЛ9

2 — 20 + is е^0+ (z — Zq)2 + 8 2

lim .—z ,2Z° --a —i lim 7

£_+o (z-zop + e2 E^o+ (z —z0)2 + e2

(3.19)(3.19)= 8 Д7 -1Л6 (z-z0). 2 Zg

(3.19)

(3.19)

Здесь были использованы формулы (3.5) и (3.15) с m = в-1. Отметим также следующее. Устремим 8 к нулю не по положительным, а по отрицательным значениям. Так как это эквивалентно замене г на —Д то в результате вместо (3.19) получим соответствующее комплексно сопряженное ему выражение

lim -^^-^ = pi=??rM^_^- (3120) Е->0- 2 — 2оД-^8 Z—Z0

дена'к правильному определению класса вводимых в рассмотрение основных функций. Обычно легко найти широкие классы, для которых указанные приемы оправданы. Поэтому в дальнейшем, когда это необходимо, мы будем предполагать, как это обычно делается в прикладной математике, что допустимые основные функции обладают нужными свойствами.

Фазовое пространство и уравнение Лиувилля

Вернемся теперь к нашей системе материальных частиц. Предположим временно, что начальные данные известны и решение динамических уравнений (1.1) может быть найдено. Тогда мы знаем, что

X, = X; (zt), |г = хг (/),(4.1)

где x^ (£) и их производные по времени xz (£) — известные функции времени. Поставим теперь вопрос о плотности совместной вероятности одновременного (т. е. в некоторый фиксированный момент времени ^) пребывания первой молекулы в точке с ’радиусом-вектором X! со скоростью |1? второй молекулы в точке х2 со скоростью |2, . . ., Лг-й молекулы в точке х^ со скоростью |N. Конечно, эти утверждения нужно понимать в смысле, разъясненном в § 2: слова «в точке х^ со скоростью |р> в действительности означают «между точками х^ и х^ + б/х^ со скоростью между Хг и Xi d^i».

Далее, так как по предположению траектории частиц известны, упомянутая плотность вероятности равна 0, если xf 7^= 7^ x^ (О или Xi ^ ^г (^) хотя бы для одного I. Иными словами, здесь вероятность сводится к достоверности. Поэтому если обозначить эту плотность «достоверности» через С (х1? . . .*, х^; 1ь 1г» • • •, ^; 0 или, короче, через С (хк1 Xin ^)^ то ее можно записать в виде

С (xk, |k, f) =

= 6 (х, — х^ (Z)) 6 (х2 — х2 (^)) ... 6 (Xjv — xw (<)) X

X 6(1, — x1(<))6(§2 — x2 (Z)) ... 6(1N —xN(Z)) =

N

=(4.2)

где 6 обозначает дельта-функцию. Необходимо подчеркнуть, что здесь одинаковым символом хк обозначены две совершенно различные вещи: хк (£) — заданная константа в заданный момент времени t (как zo в 6 (z — zo)) и хк — независимая переменная, изменяющаяся по занятому системой объему (как z в 6 (z — zo)).

Чтобы избежать путаницы, будем помнить, что t играет ту же роль, что и нижний индекс в zo. Аналогично можно было бы написать ^к ^ вместо хк (2), но мы думаем, что принятые обозначения позволяют лучше видеть различие между х^ и хк (t).

Плотность достоверности С (xk, ^к, t) является обобщенной функцией 6N + 1 переменных и содержит точно такую же информацию, что и уравнения (4.1). Действительно, если вычислить средние от xt или ^ (1 = 1, 2, . . ., А), то найдем даваемые (4.1) значения; отклонения от них строго равны 0 (доказательство то же, что и в конце § 2). Таким образом, показано, что xz и ^ строго те же, что и даваемые уравнениями (4.1).

Теперь рассмотрим преимущества и недостатки использования описания, основанного на одной функции С (хк, ^к, t) от 6N + 1 переменных вместо 6N функций xz- (О, §z (^) одной переменной. Как мы видели, оба описания системы эквивалентны. Далее, использование одной независимой переменной и 6N зависимых переменных в принципе не связано с большими или меньшими трудностями по сравнению с рассмотрением одной зависимой переменной и 6N + 1 независимых переменных. С интуитивной точки зрения ясно, что можно легко вообразить облако частиц с заданными положениями в любой момент t, согласно основанному на (4.1) описанию; вместе с тем несомненно, что не так-то просто представить себе в любой заданный момент времени точку в бА-мерном пространстве с координатами хк1 ^к (к = 1, . . ., А). Тем не менее введение этого бА-мерного пространства, называемого фазовым пространством системы, обладает тем преимуществом, что данное состояние системы (определяемое положениями и скоростями всех частиц) изображается одной точкой фазового пространства; поэтому если забыть о трудности «визуализации» пространства с таким большим числом измерений, состояние системы во втором представлении является гораздо более простым понятием, чем в первом.

Однако имеется действительно важная причина перехода от первого способа ко второму: последний (с плотностью вероятности вместо плотности достоверности) сохраняет смысл даже тогда, когда описание системы неполное, а для первого это не так. Действительно, при наличии неопределенности в определении положений и скоростей частиц основанное на траекториях частиц представление теряет свой смысл (особенно с точки зрения предсказания эволюции при заданных начальных условиях). В то же время ту же самую неопределенность можно легко учесть в описании, использующем фазовое пространство, путем такого «размазывания» даваемой формулой (4.2) плотности, чтобы имели смысл средние от положений и скоростей, а отклонения от средних значений уже не были бы равными 0.

Поэтому легко предвидеть, что в статистической механике будет играть очень большую роль понятие о TV-частичной функции распределения (это — общепринятое наименование плотности вероятности одновременного пребывания первой частицы в точке Xi со скоростью |1? . . ., TV-й частицы в точке xN со скоростью ^).

Необходимо отметить, однако, следующее: функция С (х^, 1^, t) введена пока в предположении, что мы способны решить задачу с начальными данными (1.1), (1.2) и, следовательно, записать формулы (4.1); это не может удовлетворить нас, ибо делает второе описание жестко связанным с первым, в результате чего теряются преимущества использования второго описания. Другими словами, мы не сделали второе описание полностью независимым — с математической точки зрения — от первого. Чтобы сделать это, необходимо вывести уравнение, которое позволило бы определять функцию С (х^, |ь, t) в любой момент времени, если она известна при t = 0, без обращения к системе (1.1). Это можно сделать, и в итоге мы получим уравнение в частных производных для С (х^, ^kl t), известное под названием уравнения Лиувилля.

Чтобы вывести уравнение Лиувилля, вычислим производную по времени от С (xkl ^kl t). Так как С есть функция 6N + 1 переменных, нужно, конечно, брать частные производные. Имеем

N N

^-=—2 [П 6(хь—xft(t))6(^—xk(0)] х

j=l Ь=1

X Xj • -^- (Xj — X; (/)) 6 ^i ~ XJ №) —

N N

— 2 [П 6(xfe —xft (i))6(^ — xft(0)] X

7=1 b=l.

' x 6(Xj — Xj(t))xj-~ (Ij — Xj^y (4.3)

Здесь к (4.2) применимо правило дифференцирования произведения и использовано обозначение § 3 для градиента трехмерной 6-функции. Если теперь применить уравнение (3.10), читаемое справа налево, то получим

X; (i) 6 (I; - Xj (ty = £j6 (lj - Xj (t)).(4.4)

Кроме того, xj (Z) — это сила Xj, действующая на единицу массы /-й частицы, ибо Xj (t) удовлетворяет уравнению (1.1b)

по определению. Тогда

N

-5 ^-4r^Xj-Xj (())6(^-х^ №)х

7=1'

N

х [ П 6 (xh —хк (i)) 6 (In —xR(i))j —

R=1М=з

N

^1 ^^"d^j ^J Xj ^^ ^ ^Xj Xj ^ 7=13

N

x [ Д 6 (xh —xk (i)) 6 (Ik —xk (0)T(4.5}

k=l

Множитель, на который скалярно умножается ^ равен dC/dxj, а множитель, на который скалярно умножается Xj, равен dC/d^j. Следовательно,

NN

^^r^^J^.(4.6}

7 = 17 = 1

Это линейное однородное уравнение первого порядка в частных производных для С и есть уравнение Лиувилля. Все входящие в уравнение (4.6) величины известны (за исключением, конечно, неизвестной С): х^ ^j — независимые переменные, изменяющиеся в заданной области фазового пространства (возможно, во всем бЛ^-мерном пространстве), t — переменное время, Xj — известная функция различных х^. Поэтому если С (хк1 |^, 0) задано, можно найти С (х^, |fe, t), не используя первое описание в обычном пространстве. Но какие начальные данные должны быть выставлены? Если мы утверждаем, что нам известно начальное состояние механической системы, т. е. точно известны начальные положения х? и скорости |? N частиц, то начальное значение С есть просто

N

С (Xk, Ik, 0) = П 6 (Хк - Ху 6 (Ik - W •(4.7}

Тогда решение уравнения (4.6) дается точно формулой (4.2), где хк (t) и хк (t) получены при помощи уравнений (4.1) с начальными условиями (1.2).

Действительно, функция С постоянна вдоль характеристических линий уравнения (4.6), которые точно даются уравнениями (1.1а). Следовательно, С будет в любой момент времени t дельтафункцией в точке, по мере изменения t движущейся вдоль харак-

герпетической кривой xz = х^ (^), |z = х^ (t), соответствующей начальным значениям х?, 1?, а это и требовалось доказать. Таким образом, показано, что два рассмотренных способа описания (первый — в обычном пространстве, второй — в фазовом пространстве) не только полностью эквивалентны, но и автономны, т. е. можно применять второй способ и развивать необходимую формалистику без использования физических понятий или результатов первого.

Как отмечалось выше, описание с помощью фазового пространства становится важным, когда мы отказываемся от идеи полного описания механической системы и начинаем говорить о вероятностях и средних. Действительно, проведем усреднение по всем возможным начальным данным, приводящим к одинаковому макроскопическому поведению системы (уровень описания произвольно выбирается нами в соответствии с видом измерений, которые мы считаем возможными при нашем теоретическом рассмотрении). Тогда вместо С (xk, |fe, t) получим более гладкую функцию Р (х^, |^, f) (тем не менее Р может быть обобщенной, а не обыкновенной функцией в том случае, когда мы располагаем частичной, но точной информацией о состоянии системы, например о ее полной энергии). Первым следствием процесса усреднения будет симметричность функции Р (х^, |&, f) относительно положений и скоростей N частиц (если частицы идентичны, т. е. имеют равные массы, и если все пары частиц взаимодействуют по одному и тому же закону), так как макроскопические измерения не позволяют отличить одну частицу от другой.

Несмотря на смысловое различие между функциями С и Р, обе эти функции удовлетворяют уравнению Лиувилля: последнее есть линейное однородное уравнение, а преобразующее С в Р усреднение проводится по начальным данным, которые не входят в коэффициенты уравнения (4.6). Поэтому

N N

-^ + 3^+2Хг^ = 0. (4.8) 5=1 5=1

Хотя трудно представить себе, в каком смысле должно быть выполнено усреднение по начальным данным, и хотя выполнение такой процедуры в действительности никогда не требуется, можно проиллюстрировать сказанное следующим. Вообразим^ что у нас есть большой ансамбль копий исходной системы N частиц. Эти копии имеют различные начальные данные для микроскопических переменных х° и |°, но макроскопическое состояние (определяемое такими переменными, как плотность, давление, температура, массовая скорость и т. д.) всех копий ансамбля одно и то же. Тогда принципиально можно «сконструировать»— в пределе бес-

конечно большого числа копий — плотность вероятности определенного начального микроскопического состояния как «частоту» -его появления во множестве возможных начальных состояний.

Пример: тепловое равновесие одноатомного идеального газа

В этом параграфе мы рассмотрим простое, но важное приложение рассуждений, типичных для статистической механики. При этом мы введем понятие об одноатомных идеальных газах, которые будем подробно изучать всюду ниже. Итак, рассмотрим одноатомный идеальный газ в тепловом равновесии. Чтобы это простое предложение было понятным, требуется дать по меньшей мере четыре определения. Именно, необходимо объяснить, что понимается под словами «одноатомный», «идеальный», «газ» и «тепловое равновесие».

Под «газом» мы понимаем динамическую систему, которая состоит из большого числа N частиц, имеющих достаточно малую массу т. Утверждение «газ является идеальным» означает, что потенциальная энергия межмолекулярных сил несущественна, если расстояние между рассматриваемыми частицами не меньше некоторого размера сг (диаметра молекулы), пренебрежимо малого по сравнению с любой другой характерной длиной.

Эти два обстоятельства (несущественность потенциальной энергии вне некоторых областей и малость размеров этих областей) не означают, хоть это иногда и утверждают, что потенциальная энергия и, следовательно, межмолекулярные взаимодействия несущественны, т. е. пренебрежимо малы. Они скорее означают, что при используемом уровне описания единственно важные эффекты больших сил отталкивания, которые возникают между молекулами, сблизившимися на расстояние меньше определенного (диаметра молекулы), — это отклонение траекторий молекул от прямолинейных и изменение их скоростей (последнее вовсе не является пренебрежимо малым). Поэтому можно ввести некоторое усреднение., именно усреднение по деталям взаимодействия, сохраняя единственную представляющую интерес информацию о вероятности того, что две молекулы со скоростями ^ и S' в начале взаимодействия разлетаются после взаимодействия со скоростями ^ и §2 соответственно. Мы еще вернемся к этому новому типу усреднения, сейчас же ограничимся сделанным кратким замечанием.

«Одноатомный» означает, что молекулы не имеют внутренних степеней свободы и состояние каждой из них полностью описывается тремя пространственными координатами и тремя компонентами скорости.

Наконец, при «тепловом равновесии» плотность вероятности данного микроскопического состояния, усредненного (как отме-

чалось выше) по деталям взаимодействий, не изменяется во времени (dPIdt = 0) и однородно по пространству (dPIdxj = 0) (последнее можно не предполагать, ибо однородность следует из остальных предположений; однако это предположение корректно и позволяет обойтись без излишне подробных рассуждений, поэтому мы рассматриваем его как часть определения). Кроме того, предполагается, что система заключена в покоящийся сосуд и не обменивается энергией с другими системами или частями систем. Это следует понимать не только как строгое постоянство полной энергии во времени, но также и как локальное выполнение закона сохранения энергии в каждой точке границ, отделяющих систему от ее окружения. Конечно, здесь должно быть использовано дополнительное усреднение по локальным деталям взаимодействий с частицами стенок сосуда; при этом сохраняется только представляющая интерес информация о вероятности того, что налетающая на границу со скоростью ^ молекула отлетает от нее после взаимодействия со скоростью |. Эта информация дает граничное условие для уравнения в частных производных, описывающего наш газ (это или уравнение (4.8), или несколько другое* уравнение, в котором уже учтено усреднение по деталям межмолекулярных взаимодействий). Пока мы интересуемся только тепловым равновесием, это граничное условие можно взять в очень идеализированной форме, например предположить, чти молекулы отражаются от границы зеркально. В таком случае*

Р (xlt . . /, X;, . . xN; |1; . . -Ль • •^; Й =

= Р (xlt . . ., хг, . . ., xw; 1Ъ . . ., 1г — 2п (п-1;), . . ., I,,; i)

(5.1)

(xtEdR; 1г-п>0),

где 9R — граница области R обычного физического пространства, занятой газом, ал — внутренняя нормаль в точке х, границы. Заметим, что граничное условие ,(5.1) согласуется с данным выше определением теплового равновесия, так как оно «сохраняет» энергию. Действительно, ^ входит в выражение для энергии только через свой квадрат и

(1; - 2n (l;-n)]2 = Е? - 4 (1; -в) (1; -п) + 4 (| г • п)2 = ^ (5.2)

Необходимо, однако, отметить, что граничное условие зеркального отражения является слишком идеализированным: оно достаточно для анализа равновесного состояния, но абсолютно бессмысленно для многих неравновесных состояний, которые будут рассмотрены ниже. Предположение о том, что стенки сосуда находятся в покое, также содержится в (5.1).

Теперь мы дали полное (в статистическом смысле) описание газа и нам нужно найти плотность вероятности Р (х^, 1ь, Q системы.

Как отмечалось вскользь выше, Р не будет удовлетворять уравнению Лиувилля из-за проведенной процедуры усреднения по деталям взаимодействий; такое среднее отличается от среднего по начальным данным, так как детали последних не входят в коэффициенты Ху уравнения Лиувилля. Если, однако, в соответствии с определением идеального газа исключить из рассмотрения область фазового пространства, определяемую как объединение множеств | Xi — ху | < а (I =£ у; I, у = 1, . . ., 7V), то будет справедливо уравнение Лиувилля с Ху = 0. Но тогда оно тривиально удовлетворяется, ибо dPIdt = dPIdxj = 0. Следовательно, решением задачи будет Р (|h) — произвольная функция N скоростных переменных |h; она описывает поведение газа в области фазового пространства, ограниченной совокупностью границ dRk (к = = 1, . . ., N), определенных соотношениями хк Е ЭН, где 0R — граница занятой газом области обычного пространства, и границами o'ZJ- (j, у = 1, . . ., ^; i Ф j\ даваемыми уравнениями | Xi — ху | = О'. Однако необходимо еще удовлетворить граничным условиям.

Независимо от того, какой закон центрального взаимодействия выбран нами для вычисления вероятности двух взаимодействующих молекул с начальными скоростями |' и |' разлететься после взаимодействия со скоростями ^ и |2 соответственно, функции скоростей, являющиеся инвариантами столкновения, должны зависеть только от полного импульса (т|' -{- т^ = пг^ + ттг|2) и полной кинетической энергии (^ т^2 4-^ тХ'22 = ^ ^Xi 4~ + ^т^ пары молекул, ибо эти величины остаются неизменными в процессе взаимодействия. Так как это справедливо для любой пары 4 j (4 7 = ^ --^^^ то плотность Р должна быть N

функцией полного импульса т 2 Xj и полной кинетической энергии— m^XY С ДРУгой стороны, согласно граничным условиям (5.1), полный импульс не сохраняется, и поэтому плотность Р должна зависеть только от полной кинетической энергии ~2т^ Хг Далее, в силу определения идеального газа вкладом потенциальной энергии межмолекулярных сил в полную энергию Е газа можно пренебречь; тогда

N

^'%% = E = Nme,(5.3)

7=1

где е — энергия на единицу массы газа, т. е. величина, которая имеет макроскопический смысл и, следовательно, может рассматриваться как известная точно.

N

Итак, искомая функция Р должна зависеть только от 2 ^з

и выражать достоверность того, что ее значение равно ^Ne. В соответствии с этим она должна представляться через: 6-функцию:

^ = ^6(2 ^-2jVe).(5.4)

3 = 1

Здесь с помощью нижнего индекса N указана зависимость Р от N, An—постоянная, подлежащая определению из условия нормировки (2.1). В данном случае z — это 6TV-мерный вектор, компонентами которого являются компоненты всех векторов х и |, Z — область фазового пространства, равная прямому произведению (R3N ® R^N) TV-й прямой степени (R®N) трехмерной области R, занятой газом в физическом пространстве, и всега Замерного пространства R3Nl натянутого на 37V компоненты N векторов |^. Следовательно,

N

j 6 (2 ^-2Ne)d^ ... dlN J dx1...dxN = l. (5.5)

R3N ^^R^N

Интеграл по пространственным переменным равен просто VN, где V — объем сосуда, а интеграл по пространству R3N проще* всего взять, если ввести в этом пространстве полярные координаты. Тогда

2 У = Р2,d^... dlN = рЗЛ- 1 dpd^ti,

з=1

где d3Ntl— элемент поверхности 3TV-мерного единичного шара. Поэтому

AnVn j 6(р2 —27Ve) р3^-1 dp j d3Na = l. 0

Обозначая через созу площадь поверхности ЗЛ^-мерного единичного шара (см. § 3) и используя формулу (2.7) для случая одного измерения с z = р2, получаем

ANVN(5.6)

Следовательно,

N

<5'7*

Эта формула и есть решение нашей задачи. Но в таком виде она не очень наглядна. Преобразуем ее, чтобы извлечь полезную информацию.

Предположим, что мы выбрали наугад молекулу и задались вопросом о плотности вероятности Р$ того, что скорость этой молекулы заключена между | и | + d|, а положение — между х и х + с/х, независимо от того, где расположены другие молекулы и каковы их скорости. Это означает, что надо «просуммировать» PN по всем возможным положениям и скоростям всех молекул, кроме выбранной. Мы будем считать, что эта молекула характеризуется величинами х4 и |17 так как порядок индексов / (/ = = 1, . . ., N) можно выбрать произвольно. Тогда

Pn = j PNd^ ... с^ dx2 . .. dxN =

= VN~tAN j 6 (^ y-27Ve) d^... dlN. (5.8) R3N-3^~^■

Введем теперь полярные координаты в (3N — 3)-мерном пространстве, натянутом на 3N — 3 компоненты N — 1 трехмерных векторов ^ (к = 2, . . ., N\ Имеем

3 ^ = Р2, ^2 . . . d^N = рЗ*-4 5=2

и в итоге получаем выражение для P(n (для так называемой одночастичной, функции распределения):

Pn'= VN-tANto3N_3 j 6[р2-(27Уе-^)]р3*-4Ф =

= W^^S _L(2_ye)-(3W-2)/2 (2^е_§2)(3^-5)/2 =

_ Г^\-3/2! /,У \(3N-5)/21 (2J

дляй<2Л'«,

^ = 0для^>2^е.V '

Здесь использована формула (3.2).

Полученный результат означает, что случайно выбранная молекула с равной вероятностью может находиться в любой точке области, занятой газом (Р(^ не зависит от xj, но распределение скоростей отнюдь не однородно.

Вообразим теперь, что мы открыли маленькое отверстие в некоторой точке стенки, выпустили через него очень малое число молекул (малое по сравнению с их общим числом), измерили их скорости и построили распределение молекул по скоростям. В предельном случае бесконечного числа таких испытаний найдем, что плотность заполнения интервала (|1? ^ + d^) зависит от |i и дается формулой (5.9). Но при этом нужно быть очень осторожным, ибо при извлечении молекул из газа формула (5.9) становится непригодной, так как она справедлива для газа, число молекул которого точно равно N. Тем не менее если выборка мала, то это не должно вызывать тревогу: можно ожидать, что, когда N очень велико, формула (5.9) изменится несущественно, если N меняется на малую величину. Поэтому обычно формула (5.9) рассматривается в пределе при N ^- оо, и это вполне оправданно, поскольку, как правило, число молекул бывает достаточно велико. Но тогда легко показать, что

= 11m Р^ = (4 ле) -3/2 7-1 ехр [ - 3^/4е]. (5.10) N-yoo V d /

Отсюда, в частности, следует один элементарный результат (мы его получим позже), касающийся связи между е и температурой Т идеального одноатомного газа в тепловом равновесии:

е = Гйт. (5.11)

Здесь Л — газовая постоянная, связанная с массой молекулы и универсальной постоянной Больцмана к (к = 1,38* 10~23 Дж/град) соотношением

Л = А. (5,12)

Если подставить (5.11) в формулу (5.10), то последняя сведется к формуле Максвелла для распределения молекул по скоростям, которая обычно выводится различными способами в элементарных курсах по кинетической теории.

В дополнение к одночастичной функции распределения Р$ (или ее предела Р«) рассмотрим двухчастичную функцию распределения Р^, равную плотности вероятности того, что скорости двух случайно выбранных молекул заключены соответственно в интервалах (^, li + й^ и (|2, §2 + ^2)1 а положения — в интервалах (х1? х4 + dx^ и (х2, х2 + dx2) независимо от положения и скоростей остальных N — 2 молекул. Это означает, что

надо «просуммировать» PN по всем возможным положениям и скоростям всех молекул, кроме двух выбранных. Тогда Р$ (xi, х2; §i, |2) = j PNd^,3 ... d^N dx3 ... dxN =

дл„8+е<2ж

PS>(X„ Xl; S„5,) = o для g+g>2JVe. 1 'lal

Здесь проведены выкладки, аналогичные предыдущим, и использована рекуррентная формула для Г-функции. Полагая N-^oo, находим

р~ (х1, х2; 11, |2)=(4-яе) 3V 2 exp [ — 3 (g + g)/4e] =

= 7)™(х1, li)^>(x2, |2). (5.14)

Мы получили замечательный результат: в газе из чрезвычайно большого числа молекул две случайно выбранные молекулы не подвержены никаким корреляциям. Иначе говоря, плотность вероятности одновременного пребывания первой молекулы в заданном месте с заданной скоростью (т. е. в состоянии, которое назовем первым состоянием) и второй молекулы в другом заданном месте с другой заданной скоростью (во втором состоянии) равна просто произведению плотности вероятности пребывания первой молекулы в первом состоянии, а второй молекулы — в любом другом состоянии, и плотности вероятности пребывания второй 'молекулы во втором состоянии, а первой молекулы — в любом другом состоянии. Это значит, что факт пребывания молекулы в заданном состоянии не влияет на вероятность пребывания второй молекулы в любом другом заданном состоянии, т. е. что состояния молекул в случае теплового равновесия одноатомного идеального газа статистически некоррелированы. '

Элементарный пример случайных событий, статистически некоррелированных, дает бросание пары игральных костей: ясно, что число, выпадающее на одной кости, не влияет на число, выпадающее на другой кости, и вероятность реализации заданной комбинации (скажем, 2 на первой кости и 5 на второй) равна

1/36, т. е. произведению вероятности выпадения заданного числа на первой кости и любого числа на второй (равной 1/6) и вероятности выпадения заданного числа на второй кости и любого числа на первой- (также равной 1/6). (Отметим, что в этом примере мы различаем две кости — например, красная и зеленая — и поэтому считаем, что событие «2 и 5» отличается от события «5 и 2».)

Проблема неравновесных состояний.

Уравнение Больцмана

В § 5 мы видели, что проблему описания состояния теплового равновесия одноатомного идеального газа можно легко решить; в частности, для одночастичной функции распределения Р^ была найдена очень простая формула, имеющая широкое поле приложений при статистическом изучении материи в газообразном состоянии.

Ясно, однако, что состояние теплового равновесия представляет собой очень специальный случай, ибо на практике мы обычно встречаемся с газами в неравновесных состояниях (например, с газами, текущими в канале или окружающими тело, летящее в атмосфере), очень сильно отличающихся от состояния газаг заключенного в сосуд и поддерживаемого при постоянных температуре и давлении. Можно ли решить эти более общие проблемы неравновесных газов использованными в § 5 средствами? Ответ может быть и положительным, и отрицательным — в зависимости от смысла, придаваемого слову «решить». Разумеется, попытка найти простыми средствами функцию распределения Р^ для газа в общем неравновесном состоянии безнадежна, но кое-что все же можно сделать. Например, можно вывести уравнение, которому удовлетворяет функция Р(^ при тех же предположениях, что и в § 5, кроме предположения о тепловом равновесии (этим уравнением будет уже упоминавшееся уравнение Больцмана). Тогда можно попытаться решить его чисто математическим путем, при помощи стандартных приемов приближенного или точного характера. Но необходимо сразу же подчеркнуть, что уравнение Больцмана оказывается исключительно сложным для решения даже очень простых неравновесных задач. Об этом мы будем подробнее говорить ниже, поскольку описание методов решения уравнения Больцмана составляет основное содержание данной книги.

Каковы мотивы вывода и решения уравнения Больцмана? Можно выделить два главных типа приложений. Первый связан с обоснованием макроскопического поведения газа, исходя из его микроскопических свойств; эти приложения являются, следовательно, частным случаем общей проблемы статистической механики — возведение «моста» между атомной структурой материи

и ее континуальным поведением на макроскопическом уровне. После основополагающих исследований Максвелла и Больцмана в прошлом столетии эта часть теории получила большое развитие в период между двумя мировыми войнами. Основные результаты этих исследований — объяснение макроскопического поведения газов и вычисление коэффициентов вязкости и теплопроводности, исходя из постулируемых законов взаимодействия между парой молекул газа. Помимо самостоятельного значения, эти исследования дают образец того, что надо было бы сделать для других агрегатных состояний материи (жидкостей, твердых тел, многофазных систем).

В последние 15 лет, однако, возникло новое направление, стимулируемое полетами в верхних слоях атмосферы и аналогичными, но более сложными, проблемами, с которыми столкнулись физики в процессе освоения контролируемых термоядерных реакций.

Можно ожидать, что в этой новой ситуации теория газа опять будет играть двойную роль, давая имеющие самостоятельное значение полезные результаты (для аэродинамических приложений) и показывая путь другим отраслям исследований; но мы должны отметить, что еще далеко от конечной цели, и теория в целом является предметом дальнейших исследований.

Цель этого — современного — аспекта кинетической теории, который будет представлять для нас основной интерес, состоит вовсе не в выводе макроскопической (в обычном смысле) теории, хотя конечные результаты и будут выражены через измеряемые, и практически нужные величины, такие, например, как сопротивление объекта, движущегося в разреженной атмосфере. Действительно, современная кинетическая теория рассматривает ситуации, где газ настолько разрежен, что средняя частота столкновений молекул оказывается равной (или меньше) по порядку величины частоте столкновений молекул со стенками, ограничивающими исследуемую область, или частоте «звукоподобных» возмущений, распространяющихся через газ. Ясно, что в таких условиях нельзя ожидать «макроскопического поведения», описываемого просто в терминах таких величин, как плотность, давление, температура, массовая скорость и т. п., хотя все эти понятия сохраняют свое значение (в статистическом смысле). При этом оправдано использование одночастичной функции распределения, а уравнение Больцмана становится очень важным как уравнение, пригодное для описания всего спектра разрежений и, следовательно, поведения газа на режимах от континуального (для умеренно плотного газа) до свободномолекулярного (когда межмолекулярные столкновения практически несущественны).

Дадим теперь краткий вывод уравнения Больцмана из уравнения Лиувилля в предположении усреднения по деталям меж-

молекулярных взаимодействий. В этом выводе будет фактически оставлена небольшая логическая брешь (закрываемая только интуитивными соображениями).

Как и в случае теплового равновесия, предположим, что действующая на молекулу сила равна 0, если эта молекула не находится внутри «сферы действия» другой молекулы, т. е.

Xj = 0, если | xz- — х7- | > а (£, у = 1, . . ., N; г у). (6.1)

Поэтому если рассматривать, как и раньше, область фазового пространства U6Nl ограниченную совокупностью границ 8Rk и Otj (см. §5), то уравнение (4.8) примет вид

N

0.0.(6.2)(6.2)9Pn । V' t., 9Pn

0.

0.

(6.2)

(6.2)

Ot ' ^-J dxj

3=i

Проинтегрируем обе части этого уравнения по х; и lj для j = 2, . . ., N; |у изменяется по всему множеству своих значений, а ху — по трехмерному телу, образованному пересечением U6N с трехмерным пространством, описываемым самим Xj. Тогда

(D

+ §1'^2 W(xi, х,.; |ь ^-n^^H-

3=2

N

"К 2 J ^^ (xi’х^’ ^ь к?) ^j *пу ^^j ^j ~ o, (6.3) 3=2

где Pn* — двухчастичная функция распределения, dSj — элемент площади сферы | Xi — ху | = or (здесь Xi понимается как фиксированный центр шара, а ху меняется по его поверхности), лу — внутренняя нормаль к этой сфере. Оба поверхностных интеграла берутся по всей сфере, но они имеют различное происхождение: второй появляется просто в результате интегрирования N — 1 слагаемых с у Ф 1 суммы, входящей в уравнение (6.2), и применения теоремы Гаусса, а первый обусловлен тем, что при перемене местами интегрирования и дифференцирования в остающемся слагаемом (у = 1) упомянутой суммы нужно учесть зависимость от Xt области интегрирования (| Xi — ху | = а). Остальные интегралы по границе области, занятой газом, положены равными нулю, ибо они выражают разность вероятностей влета и вылета молекул из указанной области, а по предположению молекулы ее не покидают.

Так как х; и ^j — переменные интегрирования в уравнении (6.3), то все члены каждой суммы равны, и мы имеем

ataxv

+ (W-1) j ^(X1, x2; ^, |2; ^) (^-^-n^S^^O. (6.4)

Теперь выделим на сфере интегрирования две полусферы: первая там, где (|2 — li)*n2 > 0, вторая там, где (|2 — li)*n2<0. Первая полусфера (которую будем называть плюс-полусферой)

Рис. 1. Обозначения для процесса столкновений двух тел. Здесь М —«молекула- мишень», П -—«молекула- пуля», плоскость рисунка есть плоскость движения, образующая угол 8 с фиксированной плоскостью, проходящей через V.

дает вклад от молекул, влетающих в «сферу действия» первой молекулы; вторая (минус-полусфера) дает вклад от молекул, покидающих ту же «сферу действия». Полезно представить первую молекулу (молекулу-мишень М) как находящуюся в покое и окруженную «защитной сферой», радиус которой равен диаметру молекулы, а другие молекулы (молекулы-пули П) — как материальные точки, влетающие в «защитную сферу» и вылетающие из нее (рис. 1).

Чтобы вычислить интегралы по обеим полусферам, удобно рассмотреть разделяющую их плоскость и ввести в качестве переменных интегрирования полярные координаты (г, е) точки, полученной в результате ортогонального проектирования сферы на эту плоскость. Когда точка описывает всю сферу, ее образ дважды описывает соответствующий круг — образ точки плюс-полусферы и образ точки минус-полусферы. Если принять во внимание элементарные геометрические соображения, которые дают

(§2 — 11) п2 ^2 = ± I 12 — 11 | Г dr d^

где двойной знак + соответствует двум возможным знакам (§2 — li) *n2i то получим

(W-l) j №, х2; |ь |2; i) ai~W^dS2d^ ='

= ^-1) j [Р^(хь х§; |ь |2; Г)-Р№, х^, 1ь ^ <)] X

X I §2 —111 г dr аг d^.(6.5)

Здесь х£ и х” означают точки сферы, проектирующиеся в точку с полярными координатами г и 8 и расположенные на плюс-полу- сфере и минус-полусфере соответственно.

Теперь мы должны объяснить, почему нас не удовлетворяет уравнение (6.4) и зачем делаются преобразования, как те, что уже сделаны, так и те, которые будут сделаны ниже. Дело в том, что уравнение (6.4) не является уравнением для интересующей нас неизвестной Р^\ ибо оно содержит также еще одну неизвестную Р$\ Наша цель поэтому заключается в том, чтобы всюду, где это возможно, заменить Р^ Эквивалентным выражением, содержащим лишь Р$\ Итак, первоочередная задача состоит в нахождении такого выражения.

Кажется разумным ожидать, что ^ля этого мы должны использовать1 предположение об усреднении по деталям межмолекулярных взаимодействий и предельный цереход к бесконечно большому числу частиц, поскольку в частном случае теплового равновесия это привело к изящному результату, представленному формулой (5.10). Напомним, что в случае теплового равновесия мы получили интересное соотношение между Р^ и Р^:

Р^ (хь х2; 1ь |2; <) = P^^; ^V, t) Р™ (х2; |2; i).(6.6)

Если бы можно было показать, что нечто в этом роде выполняется и в неравновесном случае, то нашу проблему можно было бы считать решенной. Однако сразу же видно, что соотношение (6.6) непосредственно использовать нельзя (даже если бы мы и смогли его доказать!). Действительно, подставляя (6.6) в уравнение (6.4), находим, что интеграл содержит разность

[^(^; 12; t)-P^^; |2; 01-

Но эта разность практически равна 0, поскольку | х£—х“ | ^ ^ 2а, а по деталям взаимодействия на таких расстояниях мы хотим провести усреднение функции распределения (позже мы будем пренебрегать любыми различиями между разными точками «защитной сферы»; пока же так делать нельзя, потому что по х^ или х~ опознается полусфера, к которой принадлежат молекулы). Следовательно, входящий в (6.4) интеграл должен быть отброшен. Это очень простой, но, несомненно, неправильный

результат (ниже будет показано, что указанный интеграл равен О только в случае теплового равновесия, когда соотношение (6.6), разумеется, применимо).

Этот результат предостерегает нас от прямого применения (б-бу б уравнении (6.4); легко выявить и соответствующую физическую причину.

Как отмечалось в конце § 5, соотношение (6.6) означает, что состояния двух рассматриваемых молекул статистически некор- релированы; оно имеет смысл для любых двух случайно выбранных молекул газа, так как они не взаимодействуют, когда удалены друг от друга, и, значит, ведут себя независимо. В частности, это справедливо и для двух начинающих взаимодействовать молекул, потому что они-являются как раз такими случайными молекулами, траекториям которых' суждено пересечься. Но для двух только что закончивших взаимодействовать молекул такая статистическая независимость не имеет места, потому что взаимодействие создает сильную корреляцию между ними. В итоге: в предельном -случае очень больших значений N можно подставить (6.6) не во все выражение (6.5), а только вместо P(n (х4, х2; |ь ^2; 0, так как х2 изменяется по полусфере, отвечающей молекулам, влетающим в «сферу действия» первой молекулы. Такую же процедуру для Р^ (xt, х2; §!, |2; ^) провести нельзя, но можно добиться успеха несколько более сложным путем.

Предположим, что диаметр молекулы очень мал (в частности, что полный объем молекул, равный по порядку величины Nd3, пренебрежимо мал). Тогда в процессе взаимодействия первой и второй молекул других молекул около них не будет, т. е. вероят-' ность пересечения двух множеств | х^ — х7- | < аи | х7- — х^ | < а для i^p j ^^ч k^t пренебрежимо мала. Поэтому внутри сферы уравнение Лиувилля можно записать в виде

N

9РN । s । г 9Pn 5п a 9Pn । V d?N , v " at + axt + ax2 • 2j дх5 a^ a^2

3=3

(6.7)

где X12 — сила (на единицу массы), с которой вторая молекула действует на первую, а Х21 — сила (на единицу массы), с которой первая молекула действует на вторую (Х12 = —Х21 в соответствии с третьим законом Ньютона). Далее, проинтегрировав уравнение (6.7) по положениям и скоростям остальных N — 2 частиц, йолучим

^ , t 8Р$ t дР^ v ЭР^ ~t ^^"^ ^S2'-^ г^2”^—^ , t 8Р$ t дР^ v ЭР^ ~t ^^"^ ^S2'-^ г^2”^—Х21-Х21-дР^ "ЖдР^ "Жо,о,(6.8)(6.8)

^ , t 8Р$ t дР^ v ЭР^ ~t ^^"^ ^S2'-^ г^2”^—

^ , t 8Р$ t дР^ v ЭР^ ~t ^^"^ ^S2'-^ г^2”^—

Х21-

Х21-

дР^ "Ж

дР^ "Ж

о,

о,

(6.8)

(6.8)

I xt — х2|О.

Поверхностные интегралы не появляются, ибо мы решили пренебрегать тем, что уравнение (6.7) несправедливо в малом подпространстве, а это дает возможность проинтегрировать его для 7^3 по всему фазовому пространству N — 2 молекул.

Уравнение (6.8) выражает довольно очевидное обстоятельство: двухчастичная функция распределения изменяется согласно уравнению Лиувилля для системы двух частиц. Пусть т — время взаимодействия, х', х2; ^, ^ — положения и скорости пары молекул перед столкновением, хь х^; |ь §2 — соответствующие «финальные» значения, даваемые законами динамики двух тел:

-^=1б 4г = 4г4г=х^- <6-9>

Так как уравнения (6.9) являются также уравнениями характеристик приведенного выше уравнения в частных производных (6.8), то

Х2; 11, §2; ^ = РмЧХ'г 11, 12,‘ —т),

поскольку функция Р^ постоянна вдоль характеристик уравнения (6.8). Но х' — координата молекулы, влетающей в «сферу' действия» первой молекулы, и можно применять идею о статистической независимости, или о «молекулярном хаосе», т. е. формулу (5.14) в предельном случае очень больших значений N. Тогда

(N-ч J^Wi, х2; 11, |2; i)(|2-|i)-n2^2^2^

N j [Рй’ (хь ^; i) Р^ (х2; |2; t^ — P^ (х^; ^ t — x) х

XP™^ l2; t — Т)1 Ц2 — Id г dr dsdl2, (6.10)

где мы опустили верхний индекс + у х2, так как он больше не нужен, и заменили N — 1 на N, что, разумеется, допустимо при сделанных предположениях. Стрелка в (6.10) означает, что проводимое преобразование справедливо в предельном случае очень больших N и очень малых о (таких, что величина N о2 конечна; см. ниже).

Далее, точки хь х', х2, х' удалены друг от друга на расстояния порядка o', так что их можно отождествить (х^ = х2 = х2 = = х^ в аргументе функции Р£\ ибо учет их различий дает вклад того же порядка, что и отброшенные уже величины. Так как т равно по порядку величины о, деленному на характерную скорость молекул, то надо также пренебречь различиями порядка т в аргументе функции Рй\ т. е. в (6.10) положить t — т равным I. С учетом этих упрощений подстановка (6.10) в уравнение (6.4) приводит (при N оо, 0, No2 = const) к уравнению Больц-

мана для Р:

-^+^^-=N ^VP&W^-P®pOVr^ (6.11)

Здесь индекс 1 опущен, индекс 2 заменен на 1, написано Р вместо Р^. У вместо | |2 — |i | (относительная скорость) и указана зависимость Р только от скоростных-переменных, поскольку другими аргументами всюду будут х, t. Наконец, интегральный член перенесен в правую часть уравнения, чтобы получить обычно используемую форму записи уравнения Больцмана; этот член называется интегралом столкновений, так как в нем учитываются взаимодействия между молекулами.

Как отмечалось выше, проведенное доказательство содержит «логическую брешь». Действительно, мы не доказали, что выражение (5.14) применимо для молекул, начинающих взаимодействовать. Было сказано лишь, что «оно имеет смысл», ибо две сталкивающиеся молекулы являются как раз двумя случайно- выбранными молекулами из бесконечного (при N ->- оо) множества. Как это ни странно, упомянутая «брешь» не следует иа неполноты наших представлений, а обусловлена скорее сущностью- явления. В самом деле, насколько нам известно, никто не предложил удовлетворительного доказательства «гипотезы хаоса» (было разработано много формальных доказательств, базирующихся на разложении JV-частичной функции распределения в степенной ряд по времени столкновения, однако они едва ли могут рассматриваться как удовлетворительные). И все же мы верим, что удовлетворительное доказательство можно построить на основе двух предположений — об очень большом числе молекул (N -»• оо) и о пренебрежимо малом радиусе взаимодействия (п -> 0),— если их последовательно применять с самого начала, как было сделано в случае теплового равновесия. Заметим, что- стремления к пределам (7V ^ оо и а 0) не независимы, так как No2 должно оставаться конечным (No2 — порядок величины правой части уравнения (6.11)). Чтобы дать представление об осуществимости этого положения, отметим, что при N ^ 1020, и (Г ^10'8 см будет JVa2 ^ 1020,10"16 см2 = 1 м2, т. е. величина порядка площади макроскопической поверхности, в то время как, например, No3 порядка 1020'10 '24 см3 = 10~4 см3 = 10"10 м3, т. е. пренебрежимо мало по сравнению с обычными макроскопическими объемами (No3 — параметр, который служит мерой порядка величины отброшенных членов; они становятся все более и более- важными по мере увеличения плотности газа).

Рассмотрим теперь внимательнее полученное уравнение, а именно уравнение (6.11). Это — нелинейное интегральное функциональное уравнение в частных производных. Функциональным оно названо потому, что неизвестная функция Р входит в инте-

гральный член не только с аргументами 1 (основная скоростная переменная) и ^ (переменная интегрирования), но также и с аргументами £' и |р Последние связаны с | и ^ неявно условием преобразования их в | и ^ в процессе столкновения и явно — -соотношениями, которые будут изучены в следующем параграфе.

Часто в уравнение Больцмана вводится другая неизвестная функция /, связанная с Р соотношением

/ = NmP.(6.12)

где N — число молекул, а т — масса молекулы. Смысл этой функции состоит в том, что она есть (ожидаемая) массовая плотность в фазовом пространстве одной частицы, т. е. (ожидаемая) «масса на единицу объема» шестимерного пространства (х, |). Иногда используется также числовая плотность

F = NP = — ,(6.13)

т4'

представляющая собой ожидаемое число молекул на единицу объема фазового пространства. Заметим, что в силу условия нормировки

^ Pdxd^l(6.14)

выполняется соотношение

j fdxdl = Nm = M,(6.15)

где М — масса всего газа, и

^Fdxd^ = N.(6.16)

Ясно, что

#+^-&=4- J ^fn-mvrdr^dh,(ел?)

где к = t (ID, f = f (!'), K=f (ID- Это и есть та форма уравне- ния Больцмана, которая будет использоваться в дальнейшем. Подчеркнем также, что проведенные рассуждения справедливы и тогда, когда кроме короткодействующих межмолекулярных сил имеется действующая на молекулы внешняя сила X, отнесенная к единице массы; единственным эффектом этой дополнительной силы будет добавление слагаемого X-8f/d^ к левой части уравнения (6.17). Так как мы будем в основном рассматривать случаи, когда внешнее воздействие на газ производится твердыми границами (поверхностные силы), то упомянутое слагаемое, обусловленное внешней силой, выписываться, как правило, не будет. Однако следует иметь в виду, что при таком упрощении пренебре- гается, например, влиянием гравитации.

Отметим еще, что не составляет труда распространить проведенные рассуждения на случай, когда имеется несколько газов, т. е. молекулы обладают разными массами и разными законами взаимодействия. В таком случае получается система уравнений Больцмана, где функции распределения /7 отдельных компонент смеси связаны через операторы столкновений, описывающие взаимодействие молекул разных сортов.

Наконец, отметим, что данный выше вывод уравнения Больцмана не является общепринятым (см. литературу в конце этой главы); схема его заимствована из статьи Грэда [9].

Свойства оператора столкновений

Чтобы закончить исследование правой части уравнения (6.17), нужно выразить X и 1J через |, |ь г и е. Величины ^ и £' были определены как скорости двух сталкивающихся молекул, имеющих после столкновения скорости | и ^ соответственно. Эволюция от | к |' и от |i к ^ описывается уравнениями (6.9), которые теперь запишем в виде

dx dxy ir е dx 1 dU р . dx^ _ 1 dU р

dt ’ dt V1’ dt m dp p ’ dt m dp p *

(7.1)

Здесь x и v — соответственно положение и скорость первой молекулы (скорость которой меняется от ^ до |); X! и V! — соответственно положение и скорость второй молекулы (скорость которой меняется от ^ до U; р = х — хк р = | р |; U (р) — потенциал взаимодействия двух тел, так что —dUIdp — сила, с которой вторая молекула действует на первую, a dUIdp = = —dUld (— р) — сила, с которой первая молекула действует на вторую.

Простое сложение двух последних уравнений дает уравнение

выражающее закон сохранения импульса. Это означает, в частности, что

Г +1; = 1 + ii.(7.3)

Если те же самые уравнения умножить скалярно на v и Vi соответственно, то после сложения получим т)

/=1 ^^ Р /v L=

dt \ 2' 2т dp р 'т dp р \ dt dt )

_1 dU * dp _ d / U \

m dp * dtdt \ m / ’' * '

т) Как правило, если набранная «жирным» шрифтом буква означает вектор, то та же буква, набранная курсивом, означает модуль этого вектора.

Т. е.

-^[^+»:+^у]-о.(7.5).

Уравнение (7.5) выражает закон сохранения энергии. В частности, так как U в начале и в конце процесса взаимодействия имеет одинаковую величину (потенциал U постоянен вне сферы | х — — Xi | = а), то

Г2 + ^2 = ^ + ^.(7.6)

Уравнения (7.3) и (7.6) связывают |' и ^ с | и Ip Однако этих уравнений недостаточно для полного определения искомых величин |‘ и |р В самом деле, у нас 4 скалярных уравнения для 6 скалярных величин.

Чтобы использовать информацию, содержащуюся в уравнениях (7.3) и (7.6), введем единичный вектор направления 1' — |:

V - 1 = аС, а2 = а-а = 1.(7.7)

Здесь С — скаляр. Мы хотим теперь в качестве первого шага выразить |' и ^ через |, |t, а. Наша задача сведется тогда к нахождению подходящего выражения для а. Имеем

где первое уравнение следует из (7.7), а второе — из (7.7) и (7.3). Обратно, из (7.8) следует уравнение (7.3); таким образом, мы уже полностью использовали закон сохранения импульса. Поэтому чтобы найти С, обратимся к закону сохранения энергии. Подстановка уравнений (7.8) в уравнение (7.6) дает

^^C^^-^^^^^^^^(79)

Уничтожая одинаковые члены в обеих частях уравнения и полагая V = |1 — | (относительная скорость перед взаимодействием), получаем

-аУС + С2 = 0.(7.10)

Отсюда, опуская случай С = 0, соответствующий тривиальному решению уравнений сохранения (т. е. отсутствию взаимодействия), находим

С = «У(7.11)

и, следовательно,

Г = 1 + a(a-V);^ - |i - а(а-У).(7.12)

Итак, искомые выражения для 1' и |' через |, |15 а получены. Из этих выражений следует, что если положить V' = ^ — V

(относительная скорость после взаимодействия), то

V - V - 2а (а-У),(7.13)

откуда

Г2 = У2 - 4 (а-У) (а-У) + 4 (а-У)2 = У2,(7.14)

т. е. величины относительных скоростей до и после взаимодействия равны.

Посмотрим теперь, каков угол между У и У (этот угол характеризует отклонение траектории молекулы в системе центра масс). В силу (7.13)

v'-v = У2 - 2 (а-У)2.(7.15)

Обозначая через ф угол отклонения, а через 0 — угол между а и У (рис. 1), с учетом (7.14) и (7.15) имеем

cos-ф = 1 — 2 cos2 6 = —cos (26),(7.16)

т. е. ф = л — 26. Введем теперь для а полярные координаты (6, е), а У пусть будет полярной осью; тогда

а-У = У cos 6,(7.17)

а = (cos 6, sin 6 cos 8, sin 6 sin e).

Как хорошо известно (и это легко показать при помощи уравнений (7.1)), относительное движение двух тел, силы взаимодействия которых являются центральными, происходит в плоскости, содержащей, конечно, как V, так и а и определяемой углом 8 между плоскостью движения и произвольной фиксированной плоскостью, содержащей полярную ось У. По определению этот угол равен координате 8 вектора а, а также углу 8 в диаметральной плоскости (ортогональной к V) «защитной сферы», введенной в § 6. Поэтому мы сможем выразить |' и ^ через |, 1^ 8 и г, если найдем связь между 6 и радиальной координатой г в диаметральной плоскости «защитной сферы» | х — х4 | = а. Для этого надо глубже изучить взаимодействие двух тел в плоскости взаимодействия.

Из уравнений (7.1) обычным способом получаем уравнения -l-^^+pvi+y(p)=4mF2+t7^ ф<°)' , - р2ср = гУ,’

где ф — азимутальный угол в плоскости движения, р — радиальная координата, аг — прицельный параметр, т. е. расстояние между молекулами при их максимальном сближении, которое они имели бы, продолжая двигаться без взаимодействия. Ясно (см. рис. 1), что этот параметр г есть не что иное, как полярная координата г в диаметральной плоскости «защитной сферы», так

как полярная координата г была определена как расстояние между первой материальной точкой и относительной траекторией, по которой движется вторая материальная точка в отсутствие взаимодействия. Уравнения (7.18) также можно выписать непосредственно, потому что они выражают законы сохранения энергии и момента количества движения в системе координат, связанной с первой частицей (вторая частица при этом наделяется приведенной массой тп/2 вместо т\ Мы можем опустить U (а) в уравнениях (7.18), полагая U (а) = 0, что всегда возможно; однако- поучительнее сохранить эту константу. В дальнейших рассмотрениях мы ограничимся случаем потенциалов отталкивания, важным при близких взаимодействиях молекул газа.

Далее, легко проинтегрировать выписанные уравнения (для этого нужно исключить производные по времени, используя Ф в качестве независимой переменной); траектория, конечно, симметрична относительно прямой линии, так называемой линии центров, на которой находятся обе молекулы при их максимальном сближении. В соответствии с этим линия центров является биссектрисой угла между прямыми, направленными вдоль —V и V, т. е. она направлена вдоль а. Поэтому угол 6 вычисляется легко, ибо он равен углу между V и линией центров. Этот угол можно найти из уравнений (7.18):

j рД^(1-^)-17(р) + 17(а)]~1/2 dp-V Po

4-arcsin (^ , (7.19)

где po —расстояние при максимальном сближении, удовлетворяющее уравнению

(1—J) =U^-U(<3). (7.20)

Отметим, что po ^ o', ибо в противном случае отсутствует отклонение, так как молекулы не вступают во взаимодействие. Кроме того, ясно, что г ^ О'. Интересно подчеркнуть, что последнее следует из неравенства po ^ or и предположения об отталкивательном характере потенциала (это означает, что U (ро) — - U (о) > 0). f

Для того чтобы получить окончательные выражения для | и |' через |, |1, г и е, следует теперь подставить формулу (7.19) в уравнение (7.17), а затем уравнение (7.17) в (7.12). Ясно, что после такой подстановки аргументы неизвестной функции / в интеграле столкновений будут чрезвычайно сложными. Поэтому более удобно в качестве переменной интегрирования использовать & вместо г. Тогда окончательные выражения для |' и |' получаются

в результате подстановки уравнения (7.17) в (7.12). Одновременна надо еще произвести замену переменной г на 6. Предположение об отталкивательном потенциале гарантирует монотонность функции 0 = 0 (г); поэтому можно обратить это соотношение и получить г = г (0). Тогда полагая

Vr^B^VY(7.21)

записываем уравнение Больцмана в виде

2л л/2

4 + ^=J J j UT-HW^d^dfc. (7.22).

SOO

Здесь аргументы функций f и /' выражены через |, 1Ь е и 0 при помощи уравнений (7.12) и (7.17); интегрирование по ^ проводится по всему трехмерному пространству скоростей S, интегрирование по е проводится, очевидно, от 0 до 2л, а угол 0 меняется от 0 (лобовые столкновения, г = 0) до л/2 (скользящие столкновения, г = d).

Легко видеть, что все сложные детали взаимодействий двух тел «суммированы» величиной В (0, У), которая дает по существу ненормированную плотность вероятности отклонения на угол гр = л — 20 для пары молекул, имеющих относительную скорость У. Функцию В (0, У) нельзя выразить через элементарные функции даже для таких простых потенциалов, как степенные потенциалы (U = krr~n, п^2, 3). Однако мы увидим, что это не мешает использовать уравнение (7.22) и получать интересные результаты.

Для сил взаимодействия, обратно пропорциональных квадрату и кубу расстояния (обрезанных, конечно, при г > а), возможно аналитическое исследование. Однако они соответствуют слишком мягким нереальным взаимодействиям на малых расстояниях. С другой стороны, можно рассмотреть исключительно жесткое взаимодействие, предполагая молекулы упругими шарами радиуса a (U = 0, г ^ а; U = оо, г < а). В этом случае вычисление В (0, У) проводится просто: всякий раз, когда точечная молекула- пуля ударяется о «защитную сферу» молекулы-мишени, она отражается зеркально, поэтому угол 0, образованный начальной траекторией с нормалью к сфере, будет связан с прицельным параметром соотношением

г = a sin 0,(7.23)

которое получается с помощью простых тригонометрических рассмотрений. Поэтому (7.21) дает

В (0, У) = У a2 cos 0 sin 0,(7.24)

Целесообразно кратко обсудить смысл понятия диаметра молекулы О'. Мы предположили, что межмолекулярная сила равна нулю для межмолекулярных расстояний, больших о. Известно, однако, что сила взаимодействия между парой молекул отлична от нуля при любом межмолекулярном расстоянии, будучи, вообще говоря, сильно отталкивающей на малых расстояниях и слабо притягивающей на больших. Мы пренебрегаем этой слабой притягивающей составляющей, что оправдано для идеальных газов. В соответствии с этим мы могли бы определить молекулярный диаметр а как размер, на котором отталкивание сменяется притяжением. Однако такое определение далеко не общепринято. В самом деле, в классических исследованиях уравнения Больцмана для моделей, отличных от модели упругих сферических молекул, радиус а защитной сферы предполагается равным оо! На первый взгляд это кажется очень странным, потому что определенное выше значение о равно по порядку величины 10'8 см, а при выводе уравнения Больцмана был использован предел о0. Однако предположение о = оо оправдано. Действительно, в уравнение (7.22) о входит только через В (6, У) и увеличение о означает, что принимаются в рассмотрение все более и более скользящие столкновения. Эти добавочные столкновения являются настолько скользящими, что они практически не отклоняют молекулы от их начальных траекторий; поэтому молекула, вступающая в процесс такого скользящего столкновения в определенном состоянии движения, выйдет из него практически в том же ■состоянии. Следовательно, вклад таких молекул в интеграл уравнения (7.22) будет практически нулевым (/'Д ^/Л)- Другими словами, принимая этот аргумент, мы должны сказать, что произвольно увеличивая о и, в частности, полагая о-> оо, мы ничего не меняем, так как при этом прибавляем одно и то же большое число к обоим членам разности

2лл/22л л/2

(j J j П;в (е, v) d^ de de) - (j j ( ffB (e, v) d|i de d0 j .

s b оs о b

(7.25)

Насколько велико это число, легко видеть из того, что для любого распространяющегося до бесконечности потенциала указанные интегралы расходятся! Это становится очевидным, если вспомнить, например, что второй из них можно записать в виде интеграла 2л о

J j ^fhVd^rdrde = H^\№)\^^(7.26)

SOOs

который явно расходится при о оо.

Несмотря на то что оба интеграла расходятся, окончательный результат будет конечным, если эти интегралы не разделять, а оператор столкновений записывать, как в уравнении (7.22). Однако это не оправдывает предположение о = оо; это скорее реабилитация главного преступления — введения несобственных интегралов! Полное оправдание должно базироваться на доказательстве того, что скользящие столкновения, соответствующие очень большим значениям прицельного параметра, дают пренебрежимо малый вклад в интеграл столкновений. Но это неверно, ибо можно указать такие функции /, для которых вклад больших расстояний преобладает. Более того, выбор о = оо налагает ограничение, согласно которому нельзя проводить указанное в (7.25) разбиение, а это неудобно как при обсуждении свойств общего характера, так и при решении конкретных задач.

С другой стороны, выбор конечного О' является искусственным, так как реальные потенциалы взаимодействия распространяются до бесконечности. Тогда почему вместо того, чтобы подставлять в уравнения истинные, распространяющиеся до бесконечности потенциалы, мы вводим искусственный молекулярный диаметр о? Ответ простой: потому что иначе нельзя даже написать уравнение Больцмана. В самом деле, исходное предположение о пренебрежи- мости взаимодействий более чем двух молекул означает, что вычисления, основанные на задаче двух тел, не имеют смысла для расстояний, больших п-1!^ где п — числовая плотность, т. е. число молекул в единице объема. Иными словами, чтобы быть логичными, мы должны ввести ограничение о< Оо ^ 7г-1/з. Первым важным шагом в обосновании стандартного рассмотрения с o' = оо было бы доказательство того, что практически безразлично, полагаем ли мы О' = оо или о = й0 ^ п”1^. Но такое доказательство кажется маловероятным, когда имеются существенные изменения на длинах порядка среднего пробега молекулы между двумя последовательными столкновениями (так называемой средней длины свободного пробега).

В дальнейшем мы, как правило, будем применять потенциалы, обрезанные на некоторой (неконкретизированной) длине o'. Так как, однако, использование распространяющихся до бесконечности потенциалов приводит к определенным упрощениям (особенно в случае степенных потенциалов), мы будем иногда рассматривать предельный случай о = оо. Чтобы показать, где возникают упрощения, заметим, что в случае степенных потенциалов

U (г) = /^г^71”^

(^ >> 3, так как при п ^ 3 учет больших расстояний приводит к расходимостям, несмотря на частичную компенсацию, обусловленную упомянутой разностью). ’Если теперь положить

о = оо, U (о) = 0, то (7.19) принимает вид

9=^J р-2 [т ^2 (1 —£) - ^]"1/21^)

Ро

где р0 удовлетворяет уравнению

<7-28>

Полагая теперь

получаем

Яо

0= j ^1_Ж2_ ^^-‘J-1^^ .(7 30)

о

где

l-^-(^)n-1 = 0.(7.31)

Уравнения (7.30) и (7.31) дают 0 = 0 (Ь) и, как следствие, Ь — Ь(ву эта связь чисто математическая и не зависит ни от какой другой переменной или параметра (в частности, не зависит от У). Тогда

в(е, v)„vr^=r(^p"-‘>6» =

= ^l^y^^yt^^(7 32)

Следовательно, полезное упрощение для степенных законов состоит в том, что В (0, У) оказывается произведением функции только от 0 и дробной степени У.

Особенно значительное упрощение достигается при п = 5, потому что тогда исчезает У. Это упрощение, обнаруженное Максвеллом, настолько заинтересовало его, что он пытался на основе имевшихся тогда скудных экспериментальных и теоретических данных показать, что реальные молекулы взаимодействуют с силой, меняющейся как обратная пятая степень расстояния. В связи с этим взаимодействующие таким путем фиктивные молекулы обычно называют максвелловскими молекулами. Хотя в настоящее время известно, что реальные молекулы не являются максвелловскими, все же это понятие чрезвычайно полезно, ибо его применение обычно значительно упрощает выкладки и дает хорошие результаты по меньшей мере в первом приближении.

Указания

§ 1. Из многих книг, посвященных статической механике (иногда называемой также статистической термодинамикой), отметим только книгу

Шрёдингер {Schrodinger Е.^ Statistical thermodynamics, Cambridge

University Press, Cambridge, 1964 (имеется перевод предыдущего издания:

Шрёдингер Э., Статистическая термодинамика, ИЛ, М., 1948), в которой основные положения объясняются ясно и четко (однако в ней не рассматриваются практические приложения).

§ 2, 3. Элементы теории обобщенных функций см.

Шварц {Schwartz L.^ Theorie des distributions, Paris, Part I (1957), Part II (1959);

Гельфанд И. M., Шилов Г. Е., Обобщенные функции, вып. 1, Физматгиз, М., 1958.

Однако вполне достаточен для наших целей короткий и легко читаемый обзор

Лайтхилл {Lighthill J. М.^ Fourier analysis and generalized functions, Cambridge University Press, Cambridge, 1958.

Понятие о характеристиках уравнений в частных производных дано, например, в монографии

Курант Р.. Уравнения с частными производными, изд-во «Мир», М., 1964.

Стандартный вывод уравнения Больцмана принадлежит самому Больцману, его можно найти, например, в книгах

Больцман Л., Лекции по теории газов, Гостехиздат, М., 1956;

Чепмен С., Каулинг Т., Математическая теория неоднородных газов, ИЛ, М., 1960;

Карлеман Т., Математические задачи кинетической теории газов, ИЛ, М., 1960;

Грэд Г., в сб. Термодинамика газов, изд-во «Машиностроение», М., 1970;

Коган М. Н., Динамика разреженного газа, изд-во «Наука», М., 1967.

В книге [10] излагается также вывод уравнений Больцмана, описывающих газовые смеси и многоатомные газы.

Содержание этого параграфа — классическое, за исключением подробного обсуждения ограниченности п, что является, по-видимому, новым (см. однако, [7]). Стандартные выкладки можно найти в книгах [6]—[9]. Понятие о максвелловских молекулах введено в работе

Максвелл {Maxwell J. С.^ Phil. Trans. Roy. Soc., 157 (1866); перепечатано

в «The Scientific Papers of J. C. Maxwell», Dover Publ., New York. 1965.

Г лава 2

ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА

Простейшие преобразования оператора столкновений.

Инварианты столкновений

В этой главе будут изучены основные свойства уравнения Больцмана. И с математической, и с физической точек зрения ясно, что левая и правая части уравнения (7.22) гл. 1 совершенно различны по характеру. В левой части стоит линейный дифференциальный оператор, который действует на временную и пространственные переменные функции /. Приравняв эту часть нулю, получим уравнение, описывающее эволюцию / в отсутствие столкновений; поэтому дифференциальный оператор называется «свободномолекулярным оператором».

В правой части уравнения (7.22) гл. 1 стоит квадратичный интегральный оператор

Q U,D = ^ J (/71 - /Л) В (6, 7) d^ da de, (1.1)

который действует на скоростные переменные функции /. Он описывает влияние взаимодействий и поэтому называется интегралом столкновений или оператором столкновений. Для простоты записи здесь опущены пределы интегрирования, приведенные в уравнении (7.22) гл. 1.

Ясно, что свободномолекулярный оператор интересен сам по себе и что при реальных граничных условиях с ним связаны сложные проблемы, но именно оператор столкновений вследствие своей необычной формы характерен для уравнения Больцмана. Поэтому уместно изучить некоторые свойства, позволяющие во многих задачах общего характера преобразовывать оператор Q.(fi f)i несмотря на его сложность.

Мы изучим здесь даже чуть более общую билинейную форму

<?(/, Я^-^^Г^+Г^'-^-ШВф, V)dlldade. (1.2)

Ясно, что при g = f форма (1.2) сводится к (1.1). Кроме того,

■С (Л g) = Q(g, tY(1.3)

Точнее, в этом параграфе мы изучим некоторые преобразования восьмимерного интеграла

J Qy, g)^W = s

= i J ^ + ^g' - ^ - ^ V ® B^^ d^ ^d^ < (*-4)

где ф (I) — такая произвольная функция от |, что указанные интегралы существуют.

Сделаем замену переменных 1~>1ь 11~>1 (при этом |'-^li, ^'-^-^ в силу соотношений (7.12) гл. 1). Так как В (6, У) и величины в скобках переходят в себя, а якобиан преобразования, очевидно, равен единице, то

J У (Л ^)ф(§)^ =

= ij^ + A^'-/^-/^)(P^)^(e> v^a^a^dsde. (1.5)

Это уравнение подобно уравнению (1.4), только вместо ф (|) стоит ф (IJ. Сделаем теперь в уравнении (1.4) другую замену переменных, а именно 1^1', ^ ^ ^ (здесь, как и выше, а можно считать фиксированным).

Из уравнения (7.13) гл. 1 имеем

«У' - -аУ(1.6)

и, подставляя это выражение в соотношения (7.12) гл. 1, получаем

§ - Г + а (а-V),^ - 1; - a (a-V).(1.7)

Очевидно, что эти соотношения обращают соотношения (7.12) гл. 1. Если рассматривать (7.12) как линейное преобразование (с коэффициентами, зависящими от а) шести переменных в другие шесть переменных, то сравнение соотношений (7.12) гл. 1 и соотношений (1.7) этого параграфа показывает, что коэффициенты прямого и обратного преобразований одинаковы. Поэтому если А — квадратная матрица с шестью строками, описывающая прямое преобразование, а А-1 — обратная к ней, то

А1 - А, А2 = АА = 1,(1.8)

гДе I — единичная матрица, а А-А означает обычное матричное произведение с перемножением строк на столбцы. Из (1.8) в соответствии с теоремой Бине об определителе произведения следует, что

(1.9)(1.9)(det А)2 - 1,

(1.9)

(1.9)

т. е.

| det А | = 1(1.10)

(вертикальные черточки означают абсолютную величину). Но det А — это в точности якобиан и прямого, и обратного преобразований. Тогда из (1.10) следует, что й^й^ =^ и уравне

ние (1.4) переходит в

в

= 2^$(/'^+/^'-^1-/^)ф(1)В(е„ v^'a^a^, (i.ii) где при помощи (1.7) нужно выразить | и ^ через ^ и ^ поскольку последние являются переменными интегрирования. Однако обозначения переменных интегрирования также можно заменить и ввести | и ^ вместо §' и |'. Из-за инволютивности преобразования (1.7) переменные, которые ранее обозначались £ и 1Ь можно обозначить соответственно |' и |' и записать (1.11) в виде j QU. §^^^- В

=-^ J <М+hg-fg; - П g') ф (Г) в (0, V) a^ а^ аг ае,(1.12)

где В (0, V) не меняется при изменении обозначений, ‘поскольку 7' = 7 (см. (7.14) гл. 1).

Уравнение (1.12) можно переписать так:

J Qtf, g)^^ а^ =

В

= - У У^ +^' ~ fgi - ^ *Р ^')5 (9- у)^ ^idsd0- ^ лз)

Это уравнение подобно (1.4), только вместо ф (|) стоит ф (^Э*

Поменяем, наконец, местами § и ^ в (1.13), как уже делали, когда получали уравнение (1.5) из (1.4). В результате получим j <Ж £)ф(1№ =

В

=i j У^ +Ш~ i^ - Л?) Ф (i;) В (9, V) а^ аъ а&ао.(1.14)

Это уравнение подобно (1.4), только вместо ф (|) стоит ф (|j).

Итак, найдены четыре различных выражения для одной и той. же величины: уравнения (1.4), (1.5), (1.12) и (1.13). Линейная комбинация этих четырех уравнений дает дополнительные соотношения. Особенно интересна комбинация, полученная сумми-

рованием найденных четырех выражений и делением суммы на четыре:

j QU, gM^=

= 8^- j U'g'i + fig' — fgi — Ш (Ф + Ф1 — ф' — Ф1) X

хВф, V^d^d&de. (1.15)

Это уравнение выражает основное свойство оператора столкновений, которое в дальнейшем будет часто использоваться. В частном случае g = f уравнение (1.15) принимает вид j QU,U4>^)^ =

= i j ^ - ^) (Ф + Ф1 - ф' ~ Ф1') ^ (0, 7) d^ d^dzdQ. (1.16) Ясно, что интеграл в (1.15)’равен нулю при произвольных / g, •если

<р + ф! = <р' + ф' почти всюду.(1.17)

Так как интеграл, стоящий в левой части уравнения (1.15); есть среднее изменение функции ф (|) в единицу времени за счет столкновений, то функции, удовлетворяющие равенству (1.17), обычно называют инвариантами столкновений ).

Справедливо следующее утверждение: уравнение (1.17) удовлетворяется тогда и только тогда, когда

Ф(Ю = а + Ь-§ + ^,(1.18)

где а и с — постоянные скаляры, а Ь — постоянный вектор. Функции фо = 1, фь ф2, Фз — ^ Ф4 ~ £2 обычно называют элементарными инвариантами столкновений; тогда общий инвариант ■столкновений есть линейная комбинация пяти элементарных.

Доказать сформулированное только что утверждение можно и математически, и физически. Чисто математические доказательства длиннее и требуют качественных предположений относительно ф (например, непрерывности). Мы их рассматривать не будем, а за дальнейшей информацией отсылаем читателя к библиографии, приведенной в конце этой главы.

С физической точки зрения соотношение (1.17), безусловно, удовлетворяется выражением (1.18), поскольку скаляры а взаимно уничтожаются, а равенства |' + |' = | + |i и ^ + ^^ = ^2+^2 выполняются из-за сохранения импульса и энергии. Кроме того,

не может существовать других функций ф, линейно независимых от ф, так как они дали бы дополнительное соотношение между скоростями до и после столкновения. Тогда было бы пять скалярных уравнений вместо четырех и можно было бы выразить |' и % через |, li и один скалярный параметр вместо двух (0 и е). Это, очевидно, неверно, поскольку, например, направление линии, соединяющей молекулы в начале взаимодействия, можно определить только заданием двух дополнительных скаляров. Таким образом, выражение (1.18) представляет наиболее общее решение, что и требовалось доказать.

Решение уравнения Q (f, /) = О

В этом параграфе исследуется вопрос существования положительных функций /, обращающих интеграл столкновений в нуль:

Q V, П = j У'П - /А) в (0, v) d^ de de = о. (2.1)

Мы докажем, что такие функции существуют и имеют вид

/(1) = ехрк + М + ^2],(2.2)

где а, Ь, с означают то же, что и в (1.18).

Для этого получим сначала результат, который будет важен и далее, а именно покажем, что независимо от вида функции распределения

J (log/) С (Л /)^<0,(2.3)

а равенство достигается тогда и только тогда, когда / имеет вид (2.2).

Ясно, что первое утверждение есть простое следствие второго: если соотношение (2.1) удовлетворено, то умножение его на log / и последующее интегрирование приводят к (2.3) со знаком равенства, откуда следует (2.2), если справедливо второе утверждение. Докажем поэтому, что (2.3) выполняется всегда, а при знаке равенства справедливо (2.2) (и обратно, из (2.2) следует равенство в (2.3)). Используя равенство (1.16) при ф = log /, находим J(iog/)C(/, п^=

= i j ^ - //i) [log ^] в (0, 7) d^ d^ de de. (2.4)

Далее, S ^ 0 (равенство возможно только при 9 = 0 и 6 = = л/2), кроме того, для любых х > 0, у > 0

и равенство достигается тогда и только тогда, когда у = х (неравенство (2.5) получить легко, полагая ylx = z и замечая, что- z — 1 и log z положительны или отрицательны одновременно- и оба обращаются в нуль только при z = 1). Тогда если положить //1 — Ui f ti — и использовать (2.5), то из (2.4) следует (2.3) и равенство выполняется тогда и только тогда, когда

//1 = /'Л почти всюду.(2.6)

Логарифмируя обе части этого равенства, находим, что ф = log / удовлетворяет соотношению (1.17), а, значит, ф имеет вид (1.18)т откуда следует (2.2), что и требовалось доказать.

Заметим, что постоянная С в (2.2) должна быть отрицательной, поскольку функция / должна быть интегрируемой во всем пространстве скоростей. Если положить с = —a, b = 2czv, где v — новый постоянный вектор, то (2.2) можно записать в виде

f^ = A exp [-а (§ - v)2],(2.7)

где А — постоянная, связанная с а, а и z;2 (новый набор произвольных постоянных составляют a, v, А\ Выражение (2.7) — это- обычное максвелловское распределение. Оно отлично от выражения (5.10) гл. 1, поскольку описывает газ, не находящийся в состоянии покоя. Но (5.10) сводится к нему, если изменить систему координат на движущуюся со скоростью —v по отношению к газу, а в (2.7) выразить должным образом величины А и а через внутреннюю энергию и плотность в физическом пространстве. Справедливость такой интерпретации будет показана в следующем параграфе.

Связь микроскопического описания

с макроскопической газовой динамикой

До сих пор мы рассматривали функцию распределения, не- исследуя, как с ее помощью получить макроскопические величины. В этом параграфе мы рассмотрим вопрос о нахождении таких величин при известной функции распределения. Если нужна локальная информация (например, плотность в некоторой точке- физического пространства), то по определению функции распределения необходимо взять средние по всем возможным скоростям; а для того чтобы получить суммарные величины (например, общую массу газа), требуется дополнительное интегрирование по пространственным координатам.

Из определения функции распределения / ясно, что обычная плотность в физическом пространстве дается формулой

р(х, <) = j/^;(3.1)

здесь и далее интегрирование ведется по всему пространству скоростей S.

Массовая скорость v определяется как среднее молекулярной скорости §, т. е.

V =

Upd^ $lfdl

(3.2)

где P — плотность вероятности, связанная с / соотношением (6.12) тл. 1. Интеграл в знаменателе появляется из-за того, что Р не нормирована на единицу, когда х рассматривается фиксированным, а интегрирование ведется только по |. В силу (3.1) соотношение (3.2) можно записать в виде

pv = j

или, в составляющих,

(3.3)(3.3)pvi = j W (%.

(3.3)

(3.3)

Здесь и далее, если не утверждается противное, латинские нижние индексы принимают значения 1, 2, 3.«

Макроскопически движение молекул можно воспринять как движение с массовой скоростью v; она равна нулю, если газ находится в покоящемся сосуде. Скорость | отдельной молекулы можно представить в виде суммы v и новой скорости

С = 1 — V,(3.4)

описывающей хаотическое отклонение скоростей молекул от скорости направленного движения v. Обычно скорость с называют собственной скоростью или тепловой скоростью; когда газ с макроскопической точки зрения покоится, она совпадает с |. Заметим, что в силу (3.4), (3.3) и (3.1)

jcjd| = j Ы<^ — Ui ^ fdl = pvi — vtp = O. (3.5)

Величину рть определенную в (3.3), можно интерпретировать как плотность импульса или, иначе, как поток массы (в направлении 1\ В дальнейшем нам понадобятся следующие величины: поток импульса, плотность энергии и поток энергии. Поскольку импульс — векторная величина, необходимо рассмотреть поток ;-й составляющей в i-м направлении:

= (3.6)

где ^jf — плотность импульса в фазовом пространстве. Как видно из (3.6), поток импульса описывается симметричным тензором второго порядка. Нужно ожидать, что только часть микроскопи-

чески определенного потока импульса будет определена как таковой при макроскопическом описании, поскольку интеграл в (3.6), вообще говоря, отличен от нуля, даже если газ находится в состоянии покоя с макроскопической точки зрения (в отсутствие макроскопического потока импульса). Чтобы обнаружить, как упомянутый поток импульса будет проявляться при макроскопическом описании, используем разложение | на массовую и собственную скорости. Тогда в соответствии с (3.4), (3.5) и (3.1) получим

j ^yf d^ = ^ (vi + c*) (ту + Cj) fd^ =

ViVj^ f d^ + vi jj сг/й1 +j CiCjfd^ =

pvt Vj + j CiCjf dl.(3.7)

Таким образом, поток импульса распадается на две части, одна из которых определяется как макроскопический поток импульса (плотность импульса, умноженная на скорость), а вторая есть скрытый поток импульса, вызванный тепловым движением молекул. Как проявится эта вторая часть при макроскопическом описании? Если взять фиксированный объем газа и наблюдать в нем изменение импульса, то обнаружится, что (в отсутствие внешних массовых сил) изменения лишь отчасти можно приписать материи, приходящей в этот объем или уходящей из него. При этом остается вторая часть, для которой нет макроскопического объяснения, если не допустить, что на выделенный объем действует сила со стороны газа, который находится с внешней стороны этого объема и к которому поэтому приложены напряжения. Отождествим, следовательно, -вторую часть потока импульса с тензором напряжений

Ру = j Wil гД(3.8)

(справедливость отождествления-доказывается тем, что, как увидим дальше, р^ играет в макроскопических уравнениях, выведенных из уравнения Больцмана, ту же роль, что и тензор напряжений в уравнениях сохранения, выведенных при макроскопическом рассмотрении).

Аналогично разложим плотность энергии и поток энергии. Плотность энергии равна

и чтобы вывести соотношение

Aj^^ = |py2 + ^ J с»№(39)

достаточно в определении (3.7) положить / = г и просуммировать по г от 1 до 3. В этом случае снова первый член в правой части отождествляется с плотностью кинетической энергии при макроскопическом описании, а второй — с внутренней энергией газа. Итак, если введем внутреннюю энергию единицы массы газа еТ получим

ре = Г jc2/^,(ЗЛО)

так как очевидно, что плотность внутренней энергии равна произведению внутренней энергии единицы массы газа и массовой плотности.

Заметим, что существует связь между плотностью внутренней энергии и следом (т. е. суммой трех диагональных членов) тензора напряжений. Действительно, из (3.10) и (3.8) следует, что

7^ = j^^_2pe(3.11)

(здесь и далее, если не оговаривается противное, предполагается суммирование по повторяющимся индексам от 1 до 3). Одна треть следа — это изотропная часть тензора напряжений, так что удобно отождествить р = р^73 с давлением газа, которое, как известно, изотропно по крайней мере в равновесии (принцип Паскаля; это отождествление справедливо для одноатомного идеального газа также и в неравновесном случае, но, вообще говоря, неверно). Таким образом,

^ = 4ре.(3.12)

Уравнение (3.12) называют уравнением состояния газа; оно позволяет выразить любую из трех величин р, р, е через две другие. Поскольку макроскопическое уравнение состояния — это уравнение Клапейрона

р = 7?рТ,(3.13)

где 7? — постоянная (зависящая от сорта газа), а Т — температура газа, приходим к соотношению (5.11) гл. 1:

e = ^RT.(3.14)

Теперь нужно исследовать поток энергии. Полный поток энергии, очевидно, равен

j^ (|ф^=Ц^2м.

Используя (3.4), получаем

4 j ЫЧ d^^Hi + cO+^jCj+с2) / аг =

— 4У;у2 j /<^4-^ J cjja^A-^vt ^ сЧаг+

+ 4у2 ^cifdl + vj j CiCjfd^ + ^ о^аг,

или с учетом (3.1), (3.5), (3.10) и (3.8)

4 j ^v аг=рД4 рр2+ре)+^рч+4 jcic^ ^^•15^

Итак, получили три члена: первый — поток энергии из-за макроскопической конвекции; второй интерпретируется с макроскопической точки зрения как работа напряжений в единицу времени; третий определяет другой вид потока энергии. Этот третий член обычно отождествляют с вектором потока тепла и обозначают через qp.

qi=-^ c^f аг.(3.16)

Как и для тензора напряжений, такое отождествление оправдывается тем, что, как будет видно далее, qt входит в макроскопические уравнения так же, как и вектор потока тепла. Однако термин «поток тепла» отчасти вводит в заблуждение, поскольку существуют условия, когда qt ^ 0, а температура везде практически постоянна; в этом случае приходится говорить о потоке тепла при постоянной температуре, что звучит несколько парадоксально. Термин «неконвективный поток энергии» для qt был бы более точен, но он не употребляется.

Функция распределения выше была связана с величинами, которые используются при макроскопическом описании; в частности pij можно использовать для вычисления силы, действующей на движущееся в газе тело, a q^ — для определения теплопередачи от горячего тела к холодному, когда они разделены заполненным газом пространством.

Выведем теперь как простое математическое следствие уравнения Больцмана пять дифференциальных уравнений, которым удовлетворяют рассмотренные выше макроскопические величины. Эти уравнения обычно называют уравнениями сохранения, поскольку физически их можно интерпретировать как уравнения, выражающие сохранение массы, импульса и энергии.

Чтобы получить эти уравнения, выпишем уравнение Больцмана

где ради общности введен член массовых сил, который обычно опускается.- Умножим обе части уравнения (3.17) на пять инвариантов столкновений фа (а = 0, 1, 2, 3, 4) и проинтегрируем по g. В соответствии с результатами § 1

^WM /Ж = 0(3.18)

для любой функции /, так что

4г j W ах,+-^7 j ^ W ax+Xi J % ^L di=о(3.i9)

для всех /.

Если взять последовательно а = 0, 1,2, 3, 4 и использовать соотношения (3.1), (3.3), (3.7) — (3.10), (3.15) и (3.16), то будем иметь

(р^о== о?

dt 1 дх^ '

-^^iW-^7^ViVi-YPi^=pXb(3.20)

4t [р (4у2 + е)] + "^7 [рУг (4у2 + е) + Р^+?«] =рХц;{.

Здесь были использованы также соотношения

(-^| = 0; Ьг #^= - ( Ш= -р6г,;

4 L г(3-21)

4 Ь2#^=-Ьг/^=-р^,

которые легко получить интегрированием по частям с учетом условий lim (фа/) = 0; последние необходимы для того, чтобы 1->СО

существовали интегралы, рассмотренные в уравнениях настоящего параграфа (6zj в (3.21) означает символ Кронекера, равный 1 при г = j и 0 при г Ф j).

Уравнения (3.20) — это основные уравнения макроскопической газодинамики. Однако в том виде, в каком они выписаны,, они являются пустой схемой, поскольку для 13 величин (если принять во внимание (3.12)) они дают лишь 5 уравнений. Чтобы иметь содержательные уравнения, нужно как-то выразить р^ и дг через р, yz и е. Иными словами, надо вернуться к уравнению Больцмана и решить его; но если это сделано, то все известно, и уравнения (3.20) не нужны!

При любом макроскопическом подходе к формулированию газовой динамики необходимо на основе экспериментов или правдоподобных рассуждений постулировать некоторые феноменологические соотношения (так называемые «определяющие уравнения») между ptj ^q^ с одной стороны, и р, d^ е — с другой.

В случае газа или жидкости существуют две хорошо известные модели: газ Эйлера (или совершенный):

Ри = Р&и, qt = 0,(3.22)

и газ Навье — Стокса (или вязкий):

Pij=P5ij — P ।

, эт q="k^T'

3(3.23)

где р, и X — коэффициенты вязкости (так называемой объемной вязкостью обычно пренебрегают, тогда X = — 2/3ц), а к — коэффициент теплопроводности (ц, X и к могут быть функциями плотности р и температуры Т).

При микроскопическом описании никаких соотношений вводить не нужно; единственная неизвестная / уже содержит всю информацию о плотности, скорости, температуре, напряжениях и тепловом потоке! Разумеется, это возможно потому, что / зависит от 7 переменных, а не от 4. Макроскопический подход (5 функций от 4 переменных) проще микроскопического (1 функция от 7 переменных), и, если только он возможен, его следует предпочесть. Таким образом, одна из задач теории, основанной на уравнении Больцмана, состоит в выводе для газа при обычных условиях некоторой приближенной макроскопической модели и в отыскании пределов применимости этой модели. Эту часть теории мы изучим в гл. 5. ■

Существуют, однако, такие степени разрежения, при которых общие макроскопические модели в обычном смысле неприменимы; в этом случае нужно решать уравнение Больцмана, а не использовать его лишь для обоснования макроскопических уравнений (и для выражения значения величин ц, X ^к через молекулярные константы). "

Закончим эту главу замечанием, что если в (3.1), (3.3) и (3.10) подставить максвелловскую функцию распределения (2.7), то обнаружим, что входящая в это выражение постоянная v, действительно, есть массовая скорость и

- а = 3 (4г)-1, Л = р(4-л^ 3/2, (3.24)

Далее, о

Ра=рб15 = -зРе&и, q, = 0, (3.25)

т. е. газ с максвелловской функцией распределения удовлетворяет соотношениям (3.22), определяющим газ Эйлера.

■§ 4. Граничные условия

До сих пор мы не пытались исследовать условия, которым должна удовлетворять функция распределения для газа, находящегося в соприкосновении с твердым телом. Однако ясно, что такие условия необходимы, так как в уравнение Больцмана входят пространственные производные от /. Эти условия очень важны, поскольку они описывают взаимодействие молекул газа с молекулами твердого тела, т. е. взаимодействие между телом и газом, следствием которого являются сила, действующая на тело со стороны газа, и теплопередача между газом и границей твердого тела.’

В соответствии с принятой статистической точкой зрения надо знать плотность вероятности В (^ -^ |; х) того, что молекула, попадающая на поверхность 9R твердого тела в некоторой точке х с некоторой скоростью |', вылетит практически в той же точке с некоторой другой скоростью |. Таким образом, если л — внутренняя нормаль и ио — скорость стенки, то | en < uo -п, |-л > > ло-л. Поэтому общий вид принятых граничных условий таков:

(I —u0)-n|/(x, |) =

= j 2?(Г^1;Х)|(Г-и0).п|/(ХЛ'Ж,

I'n<uon

|-п>л0-п, x^dR. (4.1)

При написании соотношений, выполняемых на поверхности, мы использовали поток массы |(|— л0)*л|/(х, |), т. е. число молекул, попадающих на или вылетающих с поверхности в единицу времени. Величина Б(|'->|;х) как плотность вероятности нормирована на единицу:

j В^'-^х)^!, l'.n<u0.n.(4.2)

H>uo-n

Это означает, что предполагается отсутствие накопления молекул. Из (4.2) следует.

j(|-u0W(x, 1)^-0, x^dR,(4.3)

где интегрирование теперь ведется по всему пространству скоростей. Действительно, в силу (4.1)

j (1 — «о) • п/ (х, 1)^1 =•

= j |(l-u0).n|/(x,l)^- j |(|-ио)-п|/(х,|)^ =

I n>uo n-|-n<uo-n

= j [ J 5(r^;x)^]|(|'-u0).n|/(x^W- l^lKUo.n |-n>uon

- j |(|'-u0).n|/(x, IW, (4.4)

|-n<uon

где изменены порядок интегрирования в первом интеграле и обозначение переменных интегрирования во втором. Поскольку имеет место нормировка (4.2), то величина, стоящая в квадратных скобках, равна единице, откуда следует (4.3). Если обозначить массовую скорость газа через v и использовать определения (3.1) и (3.3), то уравнение (4.3) можно записать в виде

•vn — uo*n = 0, xf dR,(4.5)

т. е. нормальная составляющая массовой скорости газа у стенки равна нормальной составляющей скорости стенки. Это также означает, что'

|-п — u0*n = |-п — vn = с-п,(4.6)

где с — собственная скорость молекул, определенная соотношением (3.4). Поэтому уравнение (4.1) можно записать в виде |c-n|/(x, |)= j В^'-^; х)|с-п|/(х, Г) ^\ c-n>0; x^dR. с' • п<0

(4.7)

Теперь нужно конкретизировать В (£' -> |; х). Это не простая задача, так как на стенке происходят сложные явления адсорбции и испарения, которые приводят к чрезвычайно запутанным условиям на ней. Первое исследование этого вопроса, не потерявшее значения до сих пор, было дано Максвеллом в дополнении к статье [1]. Максвелл рассмотрел задачу нахождения граничных условий для функции распределения. В качестве первой модели он рассматривает поверхность физической стенки как абсолютно упругую, гладкую, фиксированную поверхность, совпадающую с видимой формой тела, без каких-либо местных шероховатостей. В этом случае молекулы газа отражаются зеркально; поэтому газ не может действовать на поверхность с силой, имеющей направление, отличное от нормального. Затем Максвелл указывает, что поскольку на самом деле газ на реальных поверхностях создает и касательные силы, то такие поверхности нельзя представить как зеркально отражающие.

В качестве второй модели Максвелл рассматривает слой из закрепленных упругих шаров, расположенных так далеко друг от друга, что ни один из них не затеняет других шаров от удара молекул. Он также предполагает слой настолько толстым, что ни одна молекула не может пролететь слой, не ударившись с одним

или несколькими шарами. Каждая молекула, которая прилетает от газа к такой стенке, должна удариться об один или более шаров; когда, наконец, она покинет слой шаров и вернется в газ, ее скорость, конечно, должна быть направлена от поверхности к газу, а вероятность того, что скорость имеет данные величину и направление, такая же, как у газа, который находится в тепловом и механическом равновесии с твердым телом.

Затем Максвелл рассматривает более сложные модели материальных стенок и заканчивает статью замечанием, что лучше рассматривать поверхность как нечто промежуточное между зеркально отражающей и абсолютно поглощающей поверхностями и, в частности, считать, что часть каждого элемента поверхности поглощает все прилетающие молекулы, испаряющиеся затем со скоростями, которые соответствуют скоростям покоящегося газа при температуре стенки тела, и что другая часть элемента поверхности зеркально отражает все прилетающие к нему молекулы.

Если обозначим через а долю диффузно отраженных молекул, то предположение Максвелла равносильно соотношению

В^'^ x) = (l-a)6(r-| + 2n[n.c]) + J

+ aTVo (2л7?70Г3/2 | с • п | exp [ - (I - u0)2 ^НТ.УЧ, с-п>0, с'-п<0,(4.8)

где ио и 7о — соответственно скорость и температура стенки (которые могут меняться от точки к точке), а No нужно определить так, чтобы удовлетворялось условие (4.2). Таким образом,

Отметим здесь, что если граничное условие зависит от температуры стенки, как в случае граничных условий Максвелла, то ядро В (§'|; х) должно обладать двумя дополнительными

свойствами. Чтобы увидеть это, отметим, что если функция распределения газа — максвелловская с температурой и массовой скоростью, равной температуре и скорости стенки, то такой газ находится в тепловом и механическом равновесии со стенкой (по крайней мере локально). Поэтому число молекул, меняющих из-за взаимодействия со стенками свои скорости с |' — ио на | —ио, должно быть равно числу молекул, меняющих скорости с | — ио — 2п [п-с] = ^R на |' — uo — 2n [n- с'] = ^ R (очевидно, что в состоянии равновесия имеет место зеркальная симметрия). Следовательно,

| с'.п|В(|'-^|; х) ехр [ — ^^^ ] =

= | с -п IВ (§д ^ х) exp [ - ^^J - (4Л°) где использовано равенство (|д — uo)2 = (V — uo)2. Это урав-

нение выражает то, что иногда называют «принципом детального равновесия»; легко видеть, что максвелловское ядро В ^r-^- 1; х) удовлетворяет условию (4.10).

Далее, если вновь рассмотреть состояние равновесия, то соответствующее максвелловское распределение должно удовлетворять граничному условию (4.1), т. е.

11 с' -п [ В (V I; х) exp I —^оГ^21 d?' =

= |с-п|ехрГ—^~^0^2 I, с-п>0, х^дВ. (4.11)

Легко проверить, что максвелловские граничные условия удовлетворяют и условию (4.11).

Если в граничные условия не входит температура стенки (как, например, в (4.8) при а = 0 — случай зеркально отраженного газа), то максвелловская функция при любой температуре удовлетворяет и принципу детального равновесия, и условию (4.5). Если это справедливо в каждой точке границы (включая возможную границу на бесконечности), то ясно, что такие граничные условия в общем случае совершенно нереальны, поскольку они позволяют газу оставаться в тепловом равновесии при любой заданной температуре независимо от окружающих тел. Этот факт, как правило, исключает возможность использования таких граничных условий (адиабатических стенок), однако в частных случаях они могут применяться.

Что можно сказать в настоящее время о максвелловских граничных условиях? Имеющаяся информация невелика, но можно сказать, что они дают удовлетворительные результаты при значениях а, близких к 1; кроме того, в задачах, где динамика интереснее термодинамики (большая передача импульса и малый перенос энергии), cz = 1 — довольно точное предположение.

Отметим, что максвелловские граничные условия ни в коей мере не являются единственно возможными, и, по нашему мнению, обычно они не очень хороши. Фактически доводы Максвелла предполагают, что зеркальное отражение приемлемо для молекул, летящих под малым углом к поверхности, которые, возможно, ударяются о полюса шаров, составляющих стенку, тогда как соотношение (4.3) распространяет это предположение на все молекулы (даже на те, которые летят перпендикулярно стенке). Удовлетворительнее было бы граничное условие

В^-^, х) = (1-а) j б(|'-| + 2Р[р.(|-и0)])Я(М,п)<ф + рп>0

+ «Яо | с-п | (2лЯ70)-3/2 ехр [ -^^] , (4.12) с-п>0, с'«ПС 0,

где р — единичный вектор, й = |/£, а Я — функция, описывающая частичное затенение шара внешнего слоя соседними шарами. Отметим, что условие (4.12) приводится к (4.8), если принять Н (Й, р, п) = б (Р - п).

Однако"максвелловские граничные условия часто используют из-за их простоты и приемлемой точности; к этому вопросу мы вернемся позже и покажем, что условие (4.8) при а = 1 дает разумное приближение к различным более сложным граничным условиям.

2ЕГ-теорема Покажем, что если ввести функции

(5.1)(5.2)(5.1)(5.2)^ = J/log/d|,

(5.1)

(5.2)

(5.1)

(5.2)

где / — произвольная функция, удовлетворяющая уравнению Больцмана, то

а^еatа^еat^-<0^-<0(5.3)(5.3)

а^еat

а^еat

^-<0

^-<0

(5.3)

(5.3)

Уравнение (5.3), очевидно, следует из неравенства (2.3) и того факта, что / удовлетворяет уравнению Больцмана: достаточно умножить обе части уравнения Больцмана на (1 + log /) и проинтегрировать по всем возможным скоростям, приняв во внимание, что d (/ log /) = (1 + log /) df и что 1 есть инвариант столкновений.

Чтобы прояснить смысл уравнения (5.3), перепишем его в виде

-Т + ^- = ^’^=((10^/)С(/, /)^<о,(5.4)

и введем величину

H=^S6dx,(5.5)

R

где R — область, занятая газом. Если бы было <У = 0, то Н сохранялась бы подобно массе, энергии и импульсу, поскольку вектор ^ = ^Vl S-g^ S^^ можно интерпретировать как поток величины Н (отметим, что здесь S8 не модуль вектора 3€ а плотность, соответствующая потоку 3CY Поскольку обычно £Р отлично от нуля и всегда неположительно, то можно сказать, что столкновения молекул действуют как отрицательный источник величины Н.

Мы знаем также, что член типа источника <^ равен нулю тогда и только тогда, когда функция распределения — максвелловская. Наконец, отметим, что так же, как поток импульса, 3€ можно

разложить на макроскопический поток величины Н (т. е. d%?u) и микроскопический поток (<Э^ — S6u^.

Из уравнения (5.3) можно вывести знаменитую Я-теорему Больцмана: если через границу нет микроскопического потока величины Н или если граница действует как отрицательный источник величины Н, то Н со временем никогда не растет и остается постоянной, только когда функция распределения — максвелловская.

Действительно, если проинтегрируем обе части уравнения (5.3) по х, то получим

^- j [^-n-^Uo-nJdScO,(5.6)

SB

где dS — элемент поверхности границы М, а п — внутренняя нормаль. Второй член под интегралом появляется из-за того, что если стенка движется, то при взятии производной от Н нужно принять во внимание изменение во времени области интегрирования в (5.5). Если на границе нет потока величины Н, направленного во внутрь области, то

j [<^-^u0]-nd5<0,(5.7)

и уравнение (5.6) дает

(5-8)

что и требовалось доказать. Ясно, что равенство достигается только тогда, когда оно достигается в уравнениях (5.7) и (5.6), а в (5.6) оно достигается только тогда, когда достигается в (2.3), т. е. когда / — максвелловская функция.

В связи с этим результатом сделаем несколько замечаний. Прежде всего выясним, какие граничные условия допускают условие (5.7)..

Легко видеть, что в случае зеркального отражения в (5.7) достигается равенство:

j [^-<^и0].п^= j /(log/)|c.n|^c?5-

ORc-n>0

- j /(log/) I c-n I d^dS.(5.9)

c- n<0

Равенство в (5.7) следует из равенства интегралов в правой части формулы (5.9), которое выполняется, поскольку / (|) = / (1 — — 2п (п- с)).

В случае стенки, отражающей только диффузно (максвелловское граничное условие с cz = 1), интеграл в (5.9) принимает вид

j ХеК — c$?Uo] •пй£= j /o(l°g/o) I с-п!^^ — dRс-п>0

- J /(log/)|cn|^d5,(5.10)

с - п<0

где /о — максвелловская функция (возможно, меняющаяся от точки к точке вдоль границы), которая определяет распределение отраженных молекул. Нетрудно видеть, что для любой пары действительных чисел х > 0 и у

х log х ^ (1 — у) х — ехр (—у)(5.11)

(найдите минимум функции ф (х) = х log х — (1 — у) х\ Тогда если х = /, у = —log/о, то

/ log / > / —/о + / log/о.(5.12)

Интегрируя, получаем

J /(log/)|c.n|^>

c-n<0

> j /|c-n|d| — j /0|c.n|^+ j /(log/o)|c.n|^. (5.13) c-n<0e-n<0' c-n<0

Второй интеграл в правой части можно взять по области с-п > 0 вместо с-п < 0, так как /о — четная функция от с-п; тогда разность первых двух интегралов в правой части превращается в левую часть уравнения (4.3) и поэтому равна нулю. Следовательно,

j \^ — Жпц\-пс18^

< j /o(log/o)|c.n|^^- J /(log/0)|cn|^^, (5.14) c-n>0c*n<0

и если К = а exp [ — cz (| — u0)2] (где а и cz = (ЗУ?^)-1 могут меняться вдоль границы), то

j [еК — <^и0] • n cZS < дн

< j [(loga) j /0|с-п|^ —a j (| — u0)21 c-n |/0^ —

ORc»n>0c-n>0

— (loga) J /|c-n|^4-aj (I —и0)2|с-п|/^]^. (5.15) c-n<0c-n<0*

Первый и третий интегралы в правой части взаимно уничтожаются в силу (4.3), и так как /о = / для сп>0, то j \е№ — Ми0] • П dS < — j ос (I — u0)2 /с • n d^ dS =

= — j a [c2 + 2(v — u0)-c + (v-u0)2] fc-nd^dS. (5.16)

Последний член в скобках опять в силу (4.3) не дает вклада, так что

j [^-^Uol.ndS^-^-jq.nTV^- —^рИ^-'^МЗ.(5.17)

Здесь использованы соотношения (3.16) и (3.8), определяющие тепловой поток и тензор напряжений; рп — вектор с составляющими РаЩ. Отметим, что в это выражение входят только касательные напряжения, поскольку, согласно (4.5), вектор v — ио -ортогонален л. Если газ не скользит на границе (v = ио) или касательные напряжения равны нулю (pnJ- = 0, j ^ п), то в (5.17) последний член исчезает. Первый интеграл положителен или равен нулю, если газ не отдает тепла окружающим телам. Эти замечания определяют условия, достаточные для выполнения условия (5.7). Напомним, что условие (5.7) выполняется и в случае зеркального отражения (q = 0, р1п = О, i #= пУ оно должно выполняться для любого реального граничного условия, но, насколько мне известно, никаких исследований по этому вопросу до сих пор не проводилось.

/7-теорема Больцмана очень важна, поскольку она показывает, что уравнению Больцмана присуще фундаментальное свойство необратимости: величина Н всегда уменьшается, даже если она не отводится к внешним телам (знак равенства в (5.7)). Казалось бы, это противоречит тому, что молекулы, из которых состоит газ, подчиняются законам классической механики. Действительно, наряду с движением, заданным при ^ = ^о скоростями уь . . ., у^, всегда можно рассматривать движение со скоростями —Vi, . . . . . ., —v^ при t = to (и тех же положениях молекул при t = ^о); эволюция газа назад (^ > £о) из последнего состояния будет совпадать с эволюцией газа вперед (t > to) из исходного состояния. Поэтому если dHldt<Z® в первом случае, то dH!d(—t) < О во втором; т. е. dHIdt > 0, что противоречит /7-теореме Больцмана.

Объяснение этого парадокса примерно следующее: если придерживаться только законов механики, то понятия «до» и «после» не имеют точного смысла, т. е. уравнения движения можно использовать для «предсказания» как будущего, так и прошлого. Однако

это не так в других разделах физики (например, в термодинамике) и в нашей повседневной жизни, поскольку мы непрерывно ощущаем присутствие «стрелы времени», которая вводит существенное различие между прошлым и будущим. В частности, на макроскопическом уровне никто не может предсказать прошлое даже в вероятностном смысле: нельзя спрашивать о вероятности прошедшего события, поскольку событие либо безусловно произошло, либо нет, а при подсчете вероятности нужно использовать всю информацию, имеющуюся на макроскопическом уровне (в рассматриваемом случае — также и знание того, произошло ли событие на самом деле).

Находящуюся в распоряжении неполную информацию можно использовать только для предсказания будущего в вероятностных терминах; очевидно, что информация, если она неполна при £ = О, обычно убывает при t > 0. В этом смысле Н (величину, убывающую со временем) можно интерпретировать как величину имеющейся информации о микроскопической динамике системы; слово «имеющаяся» означает, что она имеется у какого-то макроскопического прибора; следовательно, закон убывания информации есть не субъективное, а объективное свойство Вселенной на макроскопическом уровне. Иными словами, величина Н должна быть чем-то, что может быть также измерено макроскопически; однако с этой точки зрения она потеряет всякую связь с понятием информации, так как полная информация на макроскопическом уровне отлична от полной информации на микроскопическом уровне (в первом случае это объемы, состав, массовые скорости, температуры и т. д., во втором — положения и скорости большого числа частиц). Доэтому не нужно удивляться, обнаружив, что Н, т. е. величина информации на микроскопическом уровне, связана с энтропией, которая в макроскопической термодинамике определена так, что не имеет ничего общего с количеством информации и, конечно, есть часть информации на макроскопическом уровне. Эта интерпретация подсказана свойством необратимости энтропии и доказывается тем, что в равновесных состояниях, как будет показано в следующем параграфе,

н=—^^ (5.18)

где ц — энтропия газа. Поскольку ц — функция состояния и определена только для равновесных состояний, можно считать, что уравнение (5.18) справедливо всегда, и его можно рассматривать как обобщение определения р на неравновесные состояния.

Отметим, что условие (5.17) также согласуется с отождествлением (5.18) и макроскопическими свойствами энтропии. Приведенная интерпретация показывает, что следствия уравнения Больцмана согласуются с макроскопической термодинамикой;

единственное отличие состоит в замене строгого утверждения вероятностным (нарушение второго закона термодинамики теперь не невозможно, но крайне невероятно).

Не надо забывать, однако, что вначале обсуждалось согласование необратимого поведения, описываемого уравнением Больцмана, и полной обратимости механической модели, на которой основано уравнение Больцмана. Как указывалось ранее, необратимость связана с направлением времени, которое отличает прошлое от будущего таким образом, что если £2 > ^ то имеющаяся информация в момент t^ меньше имеющейся информации в момент t^ (при отсутствии потоков новой информации), если она была микроскопически неполна в момент tv Иными словами, если не уносится часть энтропии, то при термодинамическом описании энтропия системы при £2 больше, чем при tv Можно также обратить эту связь, сказав, что если Н (£2) < НЦ^ то /2 > ^; т. е. использовать убывание Н (или возрастание ц) для определения направления времени без ссылки на какой-либо субъективный элемент. Это можно сделать, поскольку все физические системы во Вселенной взаимодействуют друг с другом, и поэтому не может случиться, что то, что было «раньше» для одной системы, будет «позже» для другой (системы, состоящие из антиматерии, могут представлять исключения).

Тот факт, что система в действительности всегда не изолирована, надо помнить также в связи с другим парадоксальным возражением против любой механической интерпретации второго закона термодинамики; это возражение тоньше довода, основанного на обращении скоростей молекул. Возражение основано на теореме Пуанкаре, в которой утверждается, что любая конечная механическая система, подчиняющаяся законам классической механики, за достаточно большой промежуток времени возвратится как угодно близко к начальному состоянию при почти всех начальных условиях. Изщтой теоремы следует, что спустя «время возвращения» положения и скорости молекул могут стать столь близки к начальным, что макроскопические величины (плотность, температура ит. д.), подсчитанные по ним, должны быть практически теми же, что и в начальном состоянии. Следовательно, энтропия, которую можно подсчитать по макроскопическим величинам, также должна быть практически той же, и если она вначале возрастает, то должна уменьшаться в какой-то более поздний момент. На это возражение обычно отвечают, что время возвращения столь велико, что в сущности никогда не наблюдались значительные части цикла возвращения; действительно, время возвращения для обычного количества газа будет огромным, даже1 если за единицу измерения времени принять примерный возраст Вселенной. Не говоря уже о применимости принятой модели? классических точечных молекул, ясно, что при таком огромном.

интервале не важно, выполняется ли уравнение Больцмана, или, что равносильно, второй закон термодинамики (с этой точки зрения также представляется возможной связь направленности времени и второго закона термодинамики с расширением Вселенной).

Равновесные состояния и максвелловские распределения

Убывание Н показывает, что уравнение Больцмана описывает эволюцию к состоянию с минимальным значением Н (совместимым с определенными ограничениями, такими, как объем области, занятой газом, число молекул, температура твердых тел, окружающих газ, и т. д.), если извне нет потока дополнительного количества Н. Конечное состояние (достижимое при t ->- оо), по-видимому, будет равновесным. Если равновесное состояние определяется как состояние, при котором распределение газа однородно и не зависит от времени (djldt = djldx = 0), то из уравнения Больцмана следует, что

<?(/,/) = 0, (6.1)

и, значит, в соответствии с результатами § 2 распределение — ^максвелловское.

Более общо: если условие (5.7) выполняется, то из простого предположения стационарности следует, что функция распределения — максвелловская; т. е. если стенки покоятся (или, в более общем случае, движутся с постоянной скоростью в направлении, перпендикулярном стенкам, и с произвольной скоростью в касательном к ним направлении), / не зависит от времени и условие (5.7) выполняется, то / — максвелловское распределение. Действительно, если условие (5.7) выполняется, то выполняется 77-теорема:

^-«0. (6.2)

С другой стороны, из предположений о стационарности (или их обобщений) следует, что в (6.2) достигается равенство, а это может произойти, в соответствии с результатами § 5, только если / — максвелловская функция.

В частности, если границы зеркально отражающие, то условие (5.7) выполнено и, следовательно, функция распределения должна быть максвелловской для любого стационарного состояния (это неверно при более реальных граничных условиях!).

Найдем теперь наиболее общее максвелловское распределение, удовлетворяющее уравнению Больцмана в стационарном случае, ч. е. найдем допустимые зависимости от пространственных пере-

менных параметров р, v, Т, участвующих в формуле

/ = р(2лД7)-3/2ехр[—(6.3)

Так как д^д1 = О и Q^, /) = 0, то нужно удовлетворить уравнению

Sg--O,(6.4)

где / имеет вид (6.3), ар, v, Т зависят только от х. Подстановка (6.3) в (6.4) дает

1др. etc; dvi. с jc 7 дТ3дТ. 1др

р" Ci ”8x7 + 7rF 7^7+ 2№ Ci 1772ГСг 177+ "р" Уг 1^7 +

(6.5)(6.5)। cpi dvjcjcj дТ3дТ.

(6.5)

(6.5)

+ "нГ 177+ ЖР Vr "8^7 -lFUi "9^7— ^

Левая часть является полиномом третьей степени от составляющих вектора с, который должен равняться нулю при всех значениях переменных. Приравнивая коэффициенты при различных членах нулю (и учитывая, что ctCj совпадает с c^c^, получаем

1 др 13 дТ р 1 др 1 3 дТ . yz dvj р ^Vi~d^7~Vi~8?7 = u’ ^"а^-Т^рту + 'вГ'д^"- ’

dvj, . dvj 1дТ я п дТ п( • /

dxj 1 дх^ 1 Тдхт Jдх^

Из последнего уравнения следует,^ что Т = const; тогда третье превращается в

Эти уравнения обычно называют уравнениями движения без деформаций; общее решение хорошо известно:

у = у0 + со X х,(6.8

или, в составляющих,

У; — v? + e.iiktoi$kl(6.9)

(6.10)(6.10)где 8^^ — абсолютно антисимметричный тензор, равный 1, если (^ 7"^) —четная перестановка (1 2 3), равный —1, если нечетная, и равный 0, если любые два индекса равны. Векторы v° и (О — постоянные; они определяют движение твердого тела. Как хорошо известно, подходящим выбором начала вектора х можно добиться того, чтобы векторы у0 и о были параллельными, т. е. чтобы выполнялось равенство

(6.10)

(6.10)

^j тг ^ т^г —: 6.

Подставляя (6.9) во второе из уравнений (6.6) (при Т— const), находим

^Р I ^I ^isktosXk n1 Й

р dxj + "RT 6jrt г ’ ДТ 8jrltor —и.(0.11^

Если выбрать начало вектора х так, чтобы (6.10) выполнялось, то второй член исчезнет. Учитывая тождество

^isk^iTi ~ ^is^kT ^ik^sri имеем

4 4^^ 4т («^а-ю^но(6.12)

и, интегрируя, получаем

p_poeXp[S112L55MW](6ЛЗ)

где р0 — постоянная. Направим со вдоль оси z декартовой системы координат, и пусть х—^х, у, z); тогда

р = Ро ехр [-^г (ж2 + у2)] .(6.14)

Итак, наиболее общее максвелловское распределение описывает движение газа как твердого тела с постоянной температурой и плотностью, задаваемой уравнением (6.14); в этом уравнении зависимость плотности от координат отражает центробежный эффект вращения газа с постоянной угловой скоростью.

Полученные результаты вместе с доказанным выше утверждением о том, что единственным стационарным решением при зеркально отражающих стенках является максвелловское распределение, показывают, как узок класс стационарных задач, к которым приложимо предположение о зеркальном отражении.

Функция /, определяемая соотношением (6.3), где Т постоянно, р задается формулой (6.14), a v — формулой (6.8), должна, конечно, удовлетворять граничным условиям. Это налагает дальнейшие ограничения: при реальных граничных условиях единственным возможным решением будет поступательное движение с постоянной скоростью, а вращение газа как твердого тела допустимо, только если газ находится в сосуде цилиндрической формы бесконечной длины с осью, параллельной вектору со ).

Таким образом, мы исследовали все возможные максвелловские распределения, удовлетворяющие уравнению Больцмана при условии стационарности движения и отсутствия внешних сил. Более общие максвелловские решения уравнения Больцмана можно найти, если допустить зависимость от времени и наличие внешних

консервативных сил, но и эти решения образуют очень ограниченный класс решений уравнения Больцмана.

Чтобы показать, что соотношение (5.18) выполняется для равновесного состояния, вычислим Н. Из уравнений (5.5), (5.1) и (6.3) следует (в предположении, что р и Т постоянны), что

Я = j / (log /) d^ dx =

= log [p (глЯТ1)-372] J / dl dx-^RTy1 J c2/ dS, dx. (6.15)

Используя определение (6.16) гл. 1 и равенства (3.10) и (3.14) настоящей главы, получаем

Н = М1о§Ур(2лНТу3,^-^;М,(6.16)

где М — общая масса газа. Энтропия газа ц такова, что

dx\ = A-\_McpdT-Vpd^y(6.17)

где ср — удельная теплоемкость при постоянном объеме. Так как р=рВТ и для одноатомного газа ср = ЗД/2, то

d4 = RM^^ + pd^y(6.18)

Отсюда

тЗ/2 ц = RM log—-—(-const,(6.19)

где постоянная может зависеть от общей массы, но не от состояния газа (определяемого величинами Т и р). Теперь (6.16) можно записать в виде

Н= -Mlog^+[—^Mlog(2n7?)—|м].(6.20)

Поскольку т] определена с точностью до аддитивной постоянной, постоянную в (6.19) можно отождествить с величиной, стоящей в квадратных скобках в (6.20). Отсюда и следует соотношение (5.18).

Указания

Содержание этой главы в основном традиционно. Литературу [6—10] гл. 1. можно использовать как основную.

Математическое доказательство утверждения о том, что (1.18) определяет все решения уравнения (1.17), см. в работе [8] гл. 1.

Рассуждения Максвелла о граничных условиях можно найти в статье

Максвелл (Maxwell J. С.), Phil. Trans. Royal Soc. I, Appendix (1879), перепечатано в The Scientific Papers of J. C. Maxwell, Dover Pub. (1965).

Полемика об Я-теореме отражена в статьях Больцмана, Цермело, Пуанкаре в сборнике

Браш (Brush G. (e'd.)), Kinetic theory, vol. II, New York — London, 1966.

Современное доказательство теоремы Пуанкаре см.

Каи,, М., Вероятность и смежные вопросы в физике, изд-во «Мир», М.^ 1965.

припри§ 6. Нестационарные максвелловские решения уравнения Больцмана наличии внешних сил обсуждаются в книге Когана (работа [10] гл. 1).

при

при

Глава 3

ЛИНЕАРИЗОВАННЫЙ ОПЕРАТОР СТОЛКНОВЕНИЙ

Общие замечания о методах возмущений для уравнения Больцмана

В гл. 2 было найдено решение уравнения Больцмана, а именномаксвелловское распределение. Это — точное решение уравнения Больцмана и практически единственное известное точное решение (другое решение (см. работу [1] в конце настоящей главы) интересно лишь для иллюстраций). Смысл максвелловского распределения ясен: оно описывает равновесные (или чуть более общие) состояния, характеризующиеся тем, что отсутствуют и тепловой поток, и напряжения, не совпадающие с нормальным давлением. Для того чтобы описать более реальные, неравновесные состояния, когда существуют касательные напряжения и теплопередача, приходится прибегать к приближенным методам.

Часть наиболее действенных методов основана на теории возмущений: выбирается параметр 8, который в некоторых случаях может быть малым, и функция / разлагается в степенной ряд по е (или, в более общем виде, в ряд по функциям о^ (е), для которых lim ап + 1 (е)/ап (е) = 0). Получающееся разложение 8-^0

(в общем случае можно ожидать, что оно будет сходиться лишь асимптотически к решению уравнения Больцмана) дает полезную информацию для некоторого интервала малых значений 8 (иногда большего, чем можно было бы ожидать).'

Существует много различных методов возмущений, соответствующих различным способам выбора 8. Здесь мы исследуем общие свойства всех методов возмущений по отношению к интегралу столкновений Q (f, fr мы ограничимся рассмотрением степенных рядов по е:

' /= S(1.1)

п=0

Подставляя это разложение в Q (/, /), учитывая квадратич- ность оператора столкновений и применяя правило Коши умножения рядов, находим

QU, П = § еп У(1-2)

п ь~п

где Q yKl fn-k) — билинейный оператор, определенный соотношением (1.2) гл. 2. Симметрия полученного выражения связана с тем, что в коэффициенты при 8П в (1.2) входят одинаковые члены ‘С к = ко ^ к = п — ко для любого к0 между 0 и п. Из уравнения (1.2) видно, что разложение функции / в степенной ряд по параметру 8 влечет аналогичное разложение интеграла столкновений Q с коэффициентами

Qn= 2 Q(h, М п>0.(1.3)

к=0

Значительное число разложений, используемых при решении уравнения Больцмана, обладает тем свойством, что нулевой член разложений есть максвелловское распределение. Это свойство следует или из уравнения нулевого приближения, или из предположений, на которых основан метод возмущений. Мы будем изучать здесь именно такие разложения. Отметим, однако, что параметры в максвелловском распределении (плотность, массовая скорость, температура) могут произвольным образом зависеть от времени и пространственных переменных (в общем случае не требуется, чтобы максвелловское распределение удовлетворяло уравнению Больцмана). Но это не существенно при рассмотрении оператора столкновений, поскольку он не действует на пространственно-временную зависимость функции /.

Если выполнены сформулированные выше предположения, то

С(/о,/о)=О, т. е. Qo = 0.(1.4)

Рассмотрим теперь коэффициенты Qn (п ^ 1), определяемые соотношением (1.3). Легко видеть, что первый и последний члены суммы содержат функцию /о, которая, согласно сказанному выше, есть максвелловское распределение, и функцию /п, т. е. n-й коэффициент в разложении /; в остальные члены (1 ^& ^ п — 1) входят только /^ порядка, меньшего чем п. Если подставить разложение (1.1) в уравнение Больцмана, то получим последовательность уравнений. Очевидно, что рекуррентное решение ее дает на n-м шаге fk при к ^ п — 1. Следовательно, Qn можно представить в виде суммы

Сп = 2<2(/0, /п)+2 fn-k), п>1,(1.5)

к=0

где второй член на п-м шаге приближения известен (при /г = 1 он равен нулю) и его можно записать как член типа источника 5n.

Итак, наша задача свелась к исследованию на каждом шаге линейного оператора 2Q (/о, /п), действующего на неизвестную /п. Удобно положить /п = fohn и взять в качестве неизвестной вели-

чину Н^. Тогда можно написать

(1.6)(1.6)Qn = f^Lhn + Sni п ^ 1,

(1.6)

(1.6)

где по определению линеаризованный оператор Больцмана L имеет вид

^ = 2/'1(? (/о, М).^ = 2/'1(? (/о, М).(1.7)(1.7)

^ = 2/'1(? (/о, М).

^ = 2/'1(? (/о, М).

(1.7)

(1.7)

Проведенный анализ показывает, что при решении уравнения Больцмана методами возмущений особенно важен линеаризованный оператор столкновений. В связи с этим мы изучим в настоящей главе свойства оператора L.

Основные свойства линеаризованного оператора столкновений

Определение (1.7) линеаризованного оператора столкновений L и формула (1.2) гл. 2 позволяют написать следующее выражение для L:

Lh = (mf0) 1 j ГХ(^ + ^') — /o/oi(^i + ^)]S(9, У)^^^,(2.1)

где максвелловское распределение /о удовлетворяет равенству (2.6) гл. 2. Так как функция /о не зависит от переменных интегрирования, то ее можно вынести за знак интегрирования и сократить с /д1; тогда

ЛЛ = ± С f^^-h'-h^-H^B^ V^dadS. (2.2)

В (2.2) линеаризованный оператор столкновений представлен в его стандартной форме.

Для того чтобы вывести некоторые основные свойства оператора L, можно воспользоваться его определением (1.7) и свойствами билинейной формы Q (f, gY Полагая / = /о, g = foH и ф = g в соотношении (1.15) гл. 2, получаем

f togLh, d^ =

= — 4^7 j /0/01 №+^' — ht — h) (/, + / — gi — g)B(Q, V)d^d^d&d9.

(2-3)

Как видно из правой части равенства, перемена местами 1г и g не изменяет величины интеграла, стоящего в левой части. Это позволяет 'ввести гильбертово пространство ^ со скалярным произведением

U, fy^fQ®g^h® dl.

(2.4)

(В случае комплексных функций надо вместо g взять комплексно сопряженную функцию; но здесь это не важно, так как мы ограничиваемся функциями, принимающими лишь действительные значения.)

Из (2.3) тогда следует,, что

(g, Щ - (Lg, НУ(2.5)

т. е. L — формально самосопряженный оператор (здесь g и К принадлежат области определения оператора Еу Положив в (2.3) g = h, получим

(А, LA)= - ^ ро/о1(й; + Л'-^-Л)215(0, У)^!^^^, (2.6)

и так как В (6, У) > 0, то

(К, Щ ^0.(2.7)

Равенство в (2.7) достигается тогда и только тогда, когда подинтегральное выражение в (2.6) равно нулю, т. е. когда h —инвариант столкновений. Из (2.7) следует, что L — неположительный оператор в ^. Отметим, что в случае, когда в (2.7) достигается равенство, т. е. когда И — инвариант столкновений, из (2.2) вытекает, что

Lh - 0,(2.8)

и обратно, если в соответствии с определенным выше скалярным произведением в ^ умножим скалярно это уравнение на 1% то получим

(Н, Щ = 0,(2.9)

откуда следует, что h — инвариант столкновений. Таким образом, инварианты столкновений — это собственные функции оператора I/, соответствующие собственному значению % = 0, причем - только они и являются собственными функциями, соответствующими этому собственному значению: остальные собственные значения, если они существуют, должны быть в силу (2.7) отрицательными.

Легко видеть, что неравенство (2.7) есть линеаризованное неравенство (2.3) гл. 2. Действительно, если в последнее подставить / = /о (1 + h) и пренебречь членами выше второго порядка (члены нулевого и первого порядков взаимно уничтожаются), то получим (2.7). Отметим, что иногда удобно ввести функцию

Л = /о/2Л(2.Ю)

и оператор

L = ^/2L/o1/2,(2.11)

так как при этом в скалярном произведении (2.4) не будет весовой функции; мы этими обозначениями пользоваться не будем.

Заметим, что если область действия потенциала взаимодействия мрлекул не простирается до бесконечности или если искусственно введено обрезание столкновений под малыми углами (см. § 3), то L можно разбить на две части:

Lh = Kh—v (I) h.(2.12)

Удобно также разбить К на две части:

К = К^ - Kv(2.13)

Здесь

V(l) = ^j/oi5(0,(2.14)

Kvh = ^^ 1<АВ (0, V) й^ cZ0,(2.15)

^ = -^- J /oi(^ + A')5(0, V)d^d9de.(2.16)

Подстановкой убеждаемся, что ^ — интегральный оператор с ядром л/2

■^ (1,10 = ^ /о (10 J В (0, Hi - § I) dQ. (2.17)

о

Чтобы найти ядро оператора Х2, надо проделать некоторые преобразования. Напомним (§ 7 гл. 1), что для отталкивающих потенциалов 0 изменяется в интервале (0, л/2) (а интегрируется по полусфере а-V > 0). Поворот а на л/2 (9л/2 — 0, 8

^ 8 + л) меняет местами векторы 1' и |' (отметим, что если вектор Р лежит в плоскости векторов а и V и направлен под углом 90° к а, то V = а (а* V) + Р (Р* V), откуда | + а (а- V) — = 11 — Р (Р-V), 11 — а (а-V) = 1 + Р (РеУ)). Следовательно, если ввести

в» (0, 7) = 1[5(0, УрВ (|л-0, г)],(2.18)

то можно записать

= /о (10^(1) ^*(6, V)dOded^ (2.19)

(якобиан равен 1, поскольку в терминах 0 и 8 указанный поворот вектора а есть не что иное, как перенос).

Заметим далее, что преобразования (7.12) гл. 1 инвариантны относительно замены а ^ —а, т. е. 0 л — 0, 88 + л.

Таким образом, если доопределить В* (0, У) на интервале 0 < С 0 < л равенством

ВЧп - 0, У) - В* (0, У),(2.20)

то, вводя коэффициент 1/2, можно вести интегрирование в (2.19) по всему интервалу 0 < 0 < л. Теперь а изменяется уже по всей сфере, так что, обозначая

Q =(2.21)

v sin 9v 7

можно написать

^2Л = ± j /о (II) ^ (!')<? (Г cos 0, 7sm0)dadV, (2.22)

где, следуя Трэду, в качестве аргументов функции Q для дальнейших преобразований вместо У и 9 выбраны У cos 0 и У sin 0, а вместо переменной интегрирования ^ введена переменная V (отличающаяся от ^ только сдвигом на |).

Рассмотрим далее параллельную и перпендикулярную к a составляющие вектора V:

V = v + w,v = a (a* V), w = V — a (a-V).(2.23)

В этих переменных Q зависит от и = У cos 0 и w = У sin 0. Установим следующий порядок интегрирования: сначала по w, затем по v и потом по а. При постоянном а замена V на v и w равносильна специальному выбору декартовой системы координат для V, якобиан этого преобразования равен единице. После интегрирования по плоскости w (перпендикулярной к а) одномерный интеграл по v в направлении а и интеграл по а по единичной сфере можно объединить в трехмерный интеграл по компонентам вектора v = ay, введя множитель 2, поскольку первоначальный интервал изменения у — это вся прямая —оо < у < + оо. Якобиан преобразования от dv к da dy (от прямоугольных к сферическим координатам) равен просто у2. Итак,

da dV = 2у-2 dv dw.(2.24)

В новых переменных интегрирование по w надо вести по плоскости, перпендикулярной к v, а по v — во всем пространстве скоростей. Соотношения (2.23) дают

Г = 1 + a (a* V) = § + V, li = l + V = l + v+ w

(2.25) и, следовательно,

К^г = ^ J /о (1 + v + w) Л (| + v) (? (^ гу) у-2 dw dv. (2.26)

Вводя вместо v переменную |i = | + v> имеем

К^ = ^Д /о (11 + w) Л (10 е (111 -11, ^) 11 -11 Г2 ^w d^. (2.27)

Следовательно, ядро оператора К^ равно

^(1, 11) = -^-11 — 11 г2 У /о (11 + w) (? (I^ — IJ, w^dw, (2.28) где интегрирование ведется по плоскости, перпендикулярной к 1 — 1г.

Для упругих сферических молекул предыдущие выражения можно еще упростить. Действительно, из (7.24) гл. 1 следует, что Q (V cos 6, V sin 6) = о27 cos 6,(2.29)

так что (2.28) сводится к равенству

к. (|, 11) = -^-1С - с, Г1 J /о (li + w) dw (2.30)

(с — собственная скорость в максвелловском распределении, равная |, если массовая скорость, соответствующая этому распределению, равна нулю; 1 — ^ = с — щ). Зададим /0 явно:

/о(1) = ро(2л7?7о)-3/2ехр [~^] ; (2.31)

/о (11 + w) = ро (2л7?70)-3/2 ехр [ - ^g^ ] =

= р0(2л^0Г3/2ехрГ-^Ш5‘±^(2.32)

где учтено, что c-w^c^w. Далее, (с1 + с)/2 можно разложить на составляющую (Скажем, £) в плоскости w и составляющую вдоль If — |. Квадрат этой второй составляющей равен ^ (с2 — с2)2] с, — с |"2, так что

to.2 + (Cl + с). w = (w + g)2 — 1 (Ci + с)2 +1 (с2 — С2) I с, — с I"2. (2.33)

Таким образом,

^2 (I, li) = 2о2ро (2лД70Г3/2 (то | с-С11)"1 х

Гс1 — у (01 +С)2+^-(4 — ci) I Ci—с |-2

X ехр [

(2.34)(2.35)(2.34)(2.35)X f ехр Г —] ^w;

(2.34)

(2.35)

(2.34)

(2.35)

здесь и w, и

g = y(ci + c)-l(Ci-c) (^ —с2) |ci —ср2

— двумерные векторы, лежащие в плоскости, перпендикулярной К С! — С.

Поскольку интегрирование в (2.34) ведется по всей плоскости w, легко показать, что величина интеграла равна 2л2?7п; поэтому

К» (I, ^) = 2а2р0 (2л5Г0)"1/2 (тп | с - с, Г1 X

X ехрX ехр(2.36)(2.36)4-у (С1 + с)2 - ^ ^Х-^ | С1—с |-2'

X ехр

X ехр

(2.36)

(2.36)

2ЯГо

Этот результат для упругих сферических молекул принадлежит Гильберту [3]. Ядро KY в этом случае также существенно упрощается: в силу (7.24) гл. 1 и (2.17) настоящей главы

М^ = £mRTor (2nRTa) "1/2 р0о2| С1 - с | ехр [ - ^ ] . (2.37)

Наконец, частоту столкновений v (|), определенную соотношением (2.14), можно записать в виде.

^ = ^^rnRT0Y4^R^ j exp[-^]|c1-c|de1. (2.38)

Последний интеграл легко вычислить в сферических координатах:

v (с) = р0о2т 1 (2n.Rro)1/2v (с) = р0о2т 1 (2n.Rro)1/2(2.39)(2.39)

v (с) = р0о2т 1 (2n.Rro)1/2

v (с) = р0о2т 1 (2n.Rro)1/2

(2.39)

(2.39)

где

X

Ч*" (ж) = ехр ( — ж2) + ^2ж + ^) j ехр (— у2) dy. (2.40) о

Чтобы подчеркнуть зависимость v только от модуля вектора с, мы написали v (с) вместо v (|).

Степенные потенциалы и угловое обрезание

В случае степенных потенциалов с бесконечным интервалом взаимодействия (см. конец § 7 гл. 1) разбиение (2.12) уже невозможно, ибо интегралы порознь не сходятся. Но поскольку, с одной стороны, эти потенциалы являются простейшими с вычислительной точки зрения, а с другой — разбиение (2.12) упрощает математическое описание оператора L, Грэд развил теорию, основанную на введении обрезания, исключающего столкновения под малыми углами. Его определение обрезанного степенного потенциала исходит из требования равенства нулю функции В (0, У) при 6, превосходящем некоторое 6о < л/2. Для потенциалов, обратно пропорциональных некоторой степени расстояния (см. (7.32) гл. 1),

5(0, 7) =7^(0), Т = ^,(3.1)

где р (0) зависит от 0, причем

0(9)=0(9)=Г 0(6)Г 0(6)'6-^0,'6-^0,-(п+1)/(п-1)-(п+1)/(п-1)ЛЛ(3.2)(3.2)

0(9)=

0(9)=

Г 0(6)

Г 0(6)

'6-^0,

'6-^0,

-(п+1)/(п-1)

-(п+1)/(п-1)

Л

Л

(3.2)

(3.2)

Поведение функции р (0) при 0 -^ л/2 показывает, что она неин- тегрируема, что уже отмечалось ранее; расходимость исчезает, если ввести упомянутое обрезание. Действительно, при обрезании можно рассмотреть величину

Po = ^jp(6)^6(3.3)

О и написать

^аЛ1) = Ро/о(1Ж-£Г.(3.4)

v(c)=Po(3.5)

Беря

т-ге^т=‘в9<3-6>

в качестве аргумента функции

имеем

<2 (у, w) = ^ + ш2^2 9 (т)(3.8)

^2(1, L) =

= 41 Г j /о (§1 + w) (I § - ^ I2 + ^)v/2 q {-J^p) ^w. (3.9)

Это выражение можно преобразовать далее (См. [2]) и показать, что для степенных потенциалов с угловым обрезанием ядро Я2 (1» 11) ограничено константой, умноженной на соответствующее ядро для упругих сферических молекул. В той же работе [2] показано, что третья итерация симметризованной формы f^K^1^ этого ядра интегрируема с квадратом. Следовательно, оператор К^ вполне непрерывен в ^ (понятия функционального анализа см. в книге [4]) при любых степенных потенциалах с угловым обрезанием и для упругих сферических молекул. Так как это, очевидно, верно и для Kt (в этом случае ядро само интегрируемо с квадратом), то отсюда следует, что оператор К вполне непрерывен. Ясно, однако, что это свойство бесполезно, если переходить

к пределу при 6о -> л/2, поскольку оператор К не определен при этом предельном переходе.

Легко доказать еще одно свойство, а именно что частота столкновений v (с) есть монотонная функция от с. Действительно,

=j/o^c.V^-2^,(3.10)

где V = Ci — си, следовательно, dVIdc, = —V/V. Так как функция /о (li) пропорциональна exp (—ас2), где а > 0 и с\ = = (с + V)2 = с2 + Е2 + 2с-V, то вклад в интеграл от полупространства c-V>0 по абсолютной величине меньше, чем вклад от полупространства c-V<0. Так как первый интеграл положителен, а второй отрицателен, то полный интеграл отрицателен и dvldc больше или меньше нуля в зависимости от того, больше или меньше нуля у. Поскольку у = (п — 5)/(тг — 1), частота столкновений монотонно возрастает при п > 5 (в том числе в предельном случае сферических молекул п -^- оо) и монотонно убывает при п < 5. Если п > 5, то v ограничено снизу:

v (с) >v0 >0,(3.11)

и если п < 5, то v ограничено сверху:

0< v (с) ^v0;(3.12)

здесь vo = v (0) — конечная величина.

Свойства оператора К и функции v (с) определяют соответствующие свойства оператора L. Для последнего, как для самосопряженного оператора в jg, всегда возможно спектральное разложение, но спектр может быть частично дискретным, частично непрерывным. Точкам дискретного спектра (собственным значениям) соответствуют собственные функции, принадлежащие ^; точкам же непрерывного спектра (обобщенным собственным значениям) не соответствуют никакие интегрируемые с квадратом собственные функции, хотя можно найти обобщенные собственные функции, не принадлежащие ^ (вообще говоря, это не обычные функции).

Легко показать, что оператор «умножения на v (с)» является самосопряженным с чисто непрерывным спектром, состоящим как раз из тех значений, которые принимает функция v (с) (в этом случае обобщенным собственным значениям X соответствуют обобщенные собственные функции 6 (X — v (с))). Для степенных потенциалов при п > 5 спектр простирается от vo до бесконечности, а при п < 5 заполняет отрезок от vo до нуля; при /г = 5 спектр v = vo состоит из одной точки X = vo с бесконечной кратностью вырождения. Далее, от прибавления к самосопряженному оператору вполне непрерывного оператора непрерывная часть спектра не меняется (точнее, не меняется существенный спектр, но это

различие неважно для наших целей); поэтому для любых потенциалов с угловым обрезанием, как и для упругих сферических молекул, непрерывный спектр оператора L состоит из значений, принимаемых функцией —v (с) (исключение составляют молекулы, взаимодействующие с силой, обратно пропорциональной пятой степени расстояния, для которых Vo — точка сгущения собственных значений). Оператор L может иметь и дискретный спектр; при п = 5 только такой спектр и существует.

При п ^ 5 существует такая положительная постоянная рс, что

— (к, Щ > ц (к, к) = ц || к ||2(3.13)

для всех функций к, ортогональных инвариантам столкновений ф^:

^^ = о, i = 1, 2, 3, 4, 5.(3.14)

(В (3.13) || к || означает норму в гильбертовом пространстве ^.) Действительно, если существуют дискретные собственные значения между значением X = О (которому соответствуют собственные функции фt) и Vo) то положим ц равным наименьшему из этих собственных значений, ц = 2ц; в противном случае примем ц = vo.

Укажем некоторые полезные преобразования, справедливые для потенциалов, обратно пропорциональных некоторой степени расстояния. Формулы (2.31) и (2.32) дают явный вид максвелловского распределения; его можно переписать в форме

/о (11 +W) = Ро (глЯГо)-372 ехр Г,(3.15)

где g определяется соотношением (2.35), или, иначе,

?=±4(с1 + с)х^^=±(3.16)

выбор знака в (3.16) зависит только от с и с^

Пусть w, е — полярные координаты вектора w, причем 8 — угол между w и £. Тогда-

К» (|, ^i) =(2л7?70)-3/2 I с - С1 Г2 X

xjexp[-^~l]x

X (| £—^ |2 + ^)v/2 q ( ,g \ .■■) w diode. (3.17) Si I /

Удобно опять ввести переменную 6, связанную с w соотношением (3.6) (величина Ц —Ii| остается постоянной при интегри-

ровании по w). Тогда

Кй^ 11)=^ ^^Г^с-с^Х

X j (sec 0)v+2 tg 0 q (tg 0) X

X exp [ ^ + 2|cXc1|cos^6 + |c-c1|2tg20] °.18)

где учтено (3.16).

Интегрирование по е можно выполнить с помощью модифицированной функции Бесселя 10; в результате получим

^2 (1, Ii) = ^ (2л7?70)-3/2 | с - С1 |v j (sec 0)v+2 tg 0 q (tg 0) X

Xexp[-№^]x

xZo(?|c^^(3.19)

Далее, обозначим

Ml, If, 0) = ^(2nZ?7o)-3/2|c-c1|vx Xexp[-№^]x

X z0 (^$7^) (sec 9)T+2 tg 6 4 (tg 6) (3-2°) и аналогично

Ki& If бН^гл^Г^-е^ехрГ-^(3.21)

v (c; 0) = ^ (2nZ?Z0)~3/2 { exp Г - ^] | C1 - с Г dc^O), (3.22)

К (|, |f 0) = К. (|, |f 0)-Kv (|, |f 0);(3.23)

тогда можно написать

Lh= j [j K^ |f 0)/Ц|М1-^; 0)A(|)]d0.(3.24)

Это выражение имеет смысл даже при 6о ->■ л/2, т. е. обрезание можно убрать. Легко видеть, что для потенциалов с бесконечным радиусом взаимодействия можно записать L в виде интеграла по параметру 6 от разности интегрального оператора К^ и оператора умножения ve (оба оператора К^ и ve зависят от 6); но так как зависимость от 6 каждого из операторов неинтегрируема вблизи 6 = л/2, то их нельзя интегрировать порознь и, следовательно, нельзя привести Lh к виду (2.12).,

Потенциалы с конечным радиусом взаимодействия

Преимущество углового обрезания, введенного в § 3, состоит в том, что оно приводит к довольно простой математической теории оператора столкновений, не изменяя зависимости дифференциального поперечного сечения (которое пропорционально В (0, V)) от относительной скорости. Однако нужно рассматривать угловое обрезание как математический прием, который приобретает смысл, только если можно перейти к пределу 0о л/2. С другой стороны, из анализа § 7 гл. 1 следует, что учет лишь парных взаимодействий физически оправдан только для потенциалов с конечным радиусом взаимодействия; в этом случае для получения разбиения (2.12) не нужно вводить угловое обрезание. Недостатком обрезанного потенциала по сравнению с потенциалом бесконечного радиуса с угловым обрезанием является то, что оператор К тогда слишком сложен в обращении. В частности, трудно доказать или опровергнуть утверждение о том, что оператор К вполне непрерывен в (см. [5]). Можно, однако, доказать, что интегральный оператор с ядром К (1, ^) [v (1) v (|i)]~a вполне непрерывен при соответствующих значениях а (легко показать, что это верно при всех а ^ 2). Но трудно, если вообще возможно, показать, что значения а могут быть уменьшены до нуля; по мнению автора, хотя при a = О полной непрерывности может и не быть, но очень возможно, что при a = 1/2 оператор вполне непрерывен. Этот результат, как будет видно в следующей главе, позволит построить последовательную и стройную теорию.

Некоторые полезные свойства линеаризованного оператора столкновений можно получить, даже не доказывая, что К вполне непрерывен. Очень интересное свойство дает следующая

Теорема. Если U (р) ^ О (р~<п~Э) (р 0; п ^ 5), где U (р) — меж молекулярный потенциал, то неравенство (3.13) выполняется для любой функции h, для которой условия (3.14) выполнены и существует (yh, h).

Для доказательства теоремы рассмотрим общее выражение для L, т. е. формулу (2.2). Представим L в виде

(4.1)(4.1)L — L6 + 7/6,

(4.1)

(4.1)

где I/6 и L^ определяются той же формулой (2.2), что и L, но

вместо В (0, У) употребляются срезки

В6 (6, 7) =В6 (6, 7) =В6(0, 7) =В6(0, 7) =В (9, 7)О0В (9, 7)В (9, 7)О0В (9, 7)при при при припри при при прие <6,9 >6,9 <6;9 >6;е <6,9 >6,9 <6;9 >6;(4.2)(4.2)

В6 (6, 7) =

В6 (6, 7) =

В6(0, 7) =

В6(0, 7) =

В (9, 7)

О

0

В (9, 7)

В (9, 7)

О

0

В (9, 7)

при при при при

при при при при

е <6,

9 >6,

9 <6;

9 >6;

е <6,

9 >6,

9 <6;

9 >6;

(4.2)

(4.2)

здесь 6 — любой фиксированный угол между 0 и л/2. Так как L6 и L^ определены формулой (2.2), то для них выполняется неравенство (2.7), т. е.

(A, L^ ^ 0,(h, L6h) ^ 0.(4.3)

Предположим, что теорема неверна, т. е. для любого сколь угодно малого р > 0 можно найти функцию, ортогональную инвариантам столкновений и такую, что

- (fc, Щ < ц ^h, hY(4.4)

В силу разбиения (4.1) и свойства (4.3)

- (Л, Lbh) = — (h, Lh) + (h, L^h) ^-^Lh^pi <h, hY (4.5)

т. e. для любого сколь угодно малого рс > 0 можно найти такую функцию h, что выполняется (4.5). Это означает, что нуль не является изолированным собственным значением оператора L^. Но L^— это оператор с угловым обрезанием и законом взаимодействия более жестким, чем п ^ 5. Следовательно, можно с помощью выводов Грэда показать, что неравенства (4.5), а значит, и (4.4) неверны, что и требовалось доказать.

В доказанной теореме сделано предположение о существовании скалярного произведения (vA, hY которое явно не применяется, но необходимо для того, чтобы существовали появляющиеся в доказательстве скалярные произведения, в частности (Л, LhY Действительно, из (2.12) следует, что (h, Lh) существует, если существуют (fo, Kh) и (fe, vfe); если принять существование последнего, то существование первого устанавливает следующая

Теорема. Оператор К удовлетворяет неравенству

| (Л, Kh) \^А (yh, hY h^JT,(4.6)

где X — некоторая положительная постоянная, a J^ — Гильбертово) пространство функций, для которых существует ГК hY

Начнем с простейшего утверждения:

(h, Kh) ^ ГК hY'(4.7)

оно вытекает из (2.12) и (2.7). Отметим также, что, поскольку ядра К^ и К2 неотрицательны, из (2.13) следует, что

| (h, Kh) \^(\h\, K^\h\) + (\h\, K,\h I),(4.8)

а соотношения (2.13) и (4.7) дают

(I ^ h K^ I h J) = (| h I, К, I h I) + (I h I, К | h I) C

^ (| h I, К, I h I) + (K vhY (4.9)

в последнем члене знак абсолютной величины не нужен. Под- ■ставляя (4.9) в (4.8), получаем

| (А, КК) | ^ (vh, h) + 2 (| К |, К^ | h |).(4.10)

Далее, в силу (2.15) и неравенства Шварца

(IH ^1) =

=™ j <20 j ^diM^/oda в(0, |11-Ш1/21Ч1)|}х

X {[/о (1) /о (li) В (0, | Ij -i ]) ]4/21 h ^ l}<

<™ j de {j di d^/» (1) /о (li) в (e, | ii-i i) | h (i) |2}1/2 x

x {j didi1/o(i)/o(li)S(e, i^-iDiAda,2}172.(4.И)

Интегралы в фигурных скобках равны, что видно при замене | на |i и обратно. С учетом (2.14) имеем тогда

(\Н к^ЦХ

< jdi(^ jde dij0 (io в (e, | it-11)}/0 (i) | h (i) |2 =

= plv(l)/0(l)|A(l)|2 = (vA, h).(4.12)

Подстановка этого выражения в (4.10) приводит к неравенству (4.6) при X = 3.

Другое заслуживающее внимания свойство оператора столкновений состоит в том, что «частота столкновений» v (§) для любых обрезанных потенциалов равна частоте столкновений упругих сферических молекул с диаметром, равным радиусу обрезания о межмодекулярных сил. В самом деле,

V(1)=^ Js(e, |11-1|)/о(11)^1^0 = j/oOli-lk-g^ded!^

=(rdr j/0(ia l^-Hdi1 =

= j/о (11)111-1№,(4.13)

и, сравнивая c (2.38), получаем нужный результат. Следовательно, справедливо и соотношение (2.39) и, в частности, v (с) растет пропорционально с при с оо.

§ 5. Случай максвелловских молекул

В § 3 было указано, что степенные потенциалы очень трудны для строгого математического анализа. Единственный достаточно общий результат (неравенство (3.13)) можно получить как следствие первой теоремы § 4, применимой также и в случае потенциалов с бесконечным радиусом взаимодействия, если предположить существование (fe, Lk^ а не (fe, vА) (последнее в этом случае не имеет смысла). Помимо этого простого и интересного результата, сведения об операторе столкновений при потенциалах с бесконечным радиусом взаимодействия неполны; исключение представляет случай максвелловских молекул, для которого можно явно вычислить и собственные значения, и собственные функции.

Чтобы сделать это, заметим, что для максвелловских молекул (п = 5, т. е. у = 0) зависимость ядра Ко (|, li) (см. (3.19) или (3.20)) от с и С! определяется множителем

Ф (I, 11) = ехр { — [с2 + (с2 + с?) tg2 0]} exp [2cq tg2 0 cos <p'] x

X I» (2cct sin <p' tg 0), (5-1)

где временно приняты такие единицы измерения скорости, что 2RTq = 1, и введен угол ф' между с и с^ Используем тождество exp [ar cos гр cos ф'] /0 kar sin Ф sin фЭ —

■= ( 2^г)1/2 2 (2Z + ^ ZHi/2 М Pl (cos ф') Pl (cos ф), (5.2)

где 1^ — модифицированная функция Бесселя порядка v, a Pi — полином Лежандра степени I. Простейший способ вывода соотношения (5.2) — считать г, ф' и, скажем, 8 сферическими координатами точки трехмерного пространства; тогда, обозначая левую часть равенства (5.2) через Т и рассматривая ее как функцию координат этой точки, получаем

ДТ = сс2^. (5.3)

При разделении переменных в этом уравнении в сферических координатах имеем следующее общее решение, регулярное в начале координат:

Т = 5 Qir-^iJ^^P^cos^'V (5.4)

где коэффициенты Qi должны быть выбраны так, чтобы правая часть равенства (5.4) была равна левой части равенства (5.2); они, конечно, могут зависеть от а и гр, но не от г и ф\ Однако левая часть равенства (5.2) симметрична относительно замены

сх -<-> г, ф -<-> ф и, следовательно, Q^b^-'-^Pt (cosip),(5.5)

где Ъг уже не зависит от сх и ф. Тогда ехр [cxr cos ф cos ф'] /0 kar sin Ф 8^п ф') =

= 2 Z>z (аг)_1/2^+1/2 (аг)Рг (cosq/) Pi (cosip). (5.6) О

Полагая теперь ф = 0 и сравнивая с хорошо известным тождеством, являющимся частным случаем формулы Сонина (см. указания в конце настоящей главы)

exp (az) = (у)1/2 2 (2Z + 1) (ar)-1/2 h+^/2 («г) Pi (cosq/), (5.7) ' о

Z = Г COS ф', находим, что

b=(2Z + l)(^)1/2,(5.8)

и равенство (5.2) доказано.

Чтобы воспользоваться им, положим ctgф = tg0, ar = 2^c1tg0sec0;(5.9)

тогда

ф= Uc.tgesece)1/2 ехР{~ ^ + (с2 +с^^2еПх

х2 (2Z+1) А+1/2 (2cct tg 6 sec 6) Pt (cosq/) Pi (sinO). (5.10)

Применим теперь другое тождество, так называемую формулу Мелера — Лебедева (см. указания), которую можно записать в виде

п=0’

где Ln — присоединенные полиномы Лагерра порядка сх степени п. Полагая в этой формуле

Х = сй,у^с^, Z = sin29, Р = ^ + 4(5Л2)

и подставляя результат в (5.10), получаем

<Р (1,11) =-^ cos3 9 ехр [—с? 1 2 (2Z + l)gni(c)gnz(ci) X Z, п=0

' X Pi (cos ф') Pi (sin 0) sin2n+z0,(5.13)

где

gm (с) = [r(n4-Z + 3/2)J* (с2)-(5.14)

Из формулы суммирования сферических гармоник Y™ следует, что

рг(со8ф') = ^т 2 УГ(0, ^^(Оь Ф1),(5.15)

где 0, ф и 9Ь ф1 —углы, определяющие векторы с и q в произвольной системе отсчета. Подставляя (5.15) в (5.13), имеем ^(1, li) =

= л3/2 cos3 0 ехр [ — с2 ] 2 ^nim (с) фп(т (q) Pi (sin 6) sin2n+z0, Z, n, m

(5.16) где

^zm(c) = gnztoyr(O, Ф).(5.17)

С учетом хорошо известных свойств присоединенных полиномов Лагерра и сферических гармоник легко проверить, что

^ ^nlm (г) ^n'l'm' (с) ехр [ С2] cZc = ^nn'^ll'^mm'•(5.18)

Подставляя (5.16) в (3.20) (конечно, нужно использовать также и (5.1)), получаем

к, а. 1г, 6) = ^RT^ ехр [ - 4 (2КТОУЧ х

X 2 Hnzmnzm[c(27?7VF1/2]fe^^

Z, n, m

(5.19)

где‘

Ипг (0) = ^ pt (sin 0) sin2"+'+10g (tg 0);(5.20)

основные единицы измерения скоростей молекул восстановлены.

G другой стороны, если воспользоваться тем, что ф000 = л-3/4, то ^ (|, li; 0) можно записать в виде (у = 0)

Рор (9) (2ДГ0)"3/2 ехр ( - Д-) Фооо [с ^о)^2] х

Хф^о^Ж)-172],(5.21)

v (с; 0) приводится к (2л/тп) рор (0), a h (|) можно разложить по полной системе функций

7г(|) = (2ДГ0)-3/2 2 фпгт[с(2ДТ0)-1/2]х

X Jexp (—Д-^ Ш№тМНТоу^^ (5.22)

Таким образом, в силу (3.24) л/2

Lh = (2RT0y3<2 j d9{ ^ ^(0)^to[c(27?7,o)-1/2]x 0 n, I, m

X f ^(^^^iMsJ^mlMa^or^2^^(5.23)

где

(0) = Hnz (0) - ^ Pop (0) (6,io6zo + 1).(5.24)

Теперь можно почленно проинтегрировать по 0 (интегралы сходятся даже в отсутствие обрезания); тогда

Lh = 2 ^nz^nzm [с (2RTQ) ^ ] X п, I, т

х J tizm [Cl (гЛГо)-^2] exp ( -ДД h ^ ^RTo)"3'2 d^,(5.25)

где

л/2

Хт= j Xnz(0)^0.(5.26)

о

Полагая в (5.25) 1г = ^ит, и учитывая (5.18), получаем

L'^Pulm—XTbi'^Pnlmi(5.27)

т. е. ^nim — собственные функции оператора L, соответствующие собственным значениям Хп1. Предпочтение, отдаваемое максвелловским молекулам в сравнении с другими, более реальными молекулярными моделями, объясняется именно этим основным результатом.

Отметим, что собственные значения не зависят от ттг; следовательно, значения Xni по крайней мере 2Z + 1 раз вырождены. Если бы функция Р (6) была интегрируемой, то собственные значения Хк1 были бы ограничены некоторой константой, поскольку Pz(sin0) и sin2n+z+16 равномерно ограничены. Из неинтегри- руемости Р (6) следует, что Хп1 неограниченно растут при zz-> сю; интересно найти их асимптотический рост. Напомним, что (см. (3.2) при п = 5)

0(0) «Л (cos0)~3/2,0->-у,(5-28)

где А — постоянная. Очевидно, что именно характер сингулярного поведения Р (6) при 6 -> л/2 определяет поведение Хл1 для больших п, так как иначе Хп1 были бы ограниченными. Так как величина Pjsin (л/2)] = 1 конечна, то

%nz(9)~^vl[cos0r3/2[sm^^0-*^->(5-29)

поскольку отброшенные члены либо равны 0, либо стремятся к оо медленнее, чем оставленные. Итак, надо найти асимптотическое поведение при п оо интеграла

л/2

j [cos0r3/2[sin2n+i+10 —1] d0.(5.30)

о

При замене sin0 = e-/ можно заменить cos 0 на (2£)1/2, a <50 на d^(2i)“1/2, так как ошибка будет порядка отброшенных ранее величин. Тогда

Ki «Jг 5/4 (ехр [ _ (2и + Z +1) /] - 1} &,П ОО.

о

(5.31)

Последний интеграл, очевидно, пропорционален (2тг + ^ + 1)1/4 (постоянный множитель легко вычислить с помощью Г-функции, но он здесь несуществен). Таким образом,

Kz ^ -В ^п + I + I)1/4, п ^ оо, (5.32) где В — новая (положительная) постоянная. Следовательно, собственные значения оператора столкновений для максвелловских молекул растут асимптотически, как корень четвертой степени из натурального числа. Можно также показать, что существует дополнительная постоянная составляющая и что остальная часть стремится к нулю, как п-^ при тг-^-оо. Так как собственные функции оператора L совпадают с собственными функциями квантовомеханического оператора Гамильтона М для трехмерного осциллятора, то симметризованный оператор L (формула (2.11)) можно представить в виде суммы корня четвертой степени из М, константы и вполне непрерывного оператора.

Указания

Точное решение уравнения Больцмана, упомянутое в этом параграфе, можно найти в статье

Икенберри, Трусделл (Ikenberry Е., Truesdell С.), J. Rat. Meeh. Anal., 5 (1956), 1.

При преобразованиях оператора L мы следовали работе

Трэд Г., сб. «Некоторые вопросы кинетической теории газов», изд-во «Мир», М., 1965.

Результаты для упругих сферических молекул были впервые получены в статье

Гильберт (Hilbert D.), Math. Ann., 72 (1912), 562.

Другой метод для общих молекулярных моделей можно найти в работе [7]

Результаты этого параграфа принадлежат Грэду [2]. Основные положения функционального анализа, связанные со спектральной теорией, см.

Рисе Ф., Секефалъви-Надъ Б., Лекции по функциональному анализу» ИЛ, М., 1954.

Содержание этого параграфа основано на статье

Черчинъяни (Cercignani С.), Phys. Fluids, 10 (1967), 2097.

Тот факт, что полиномы Лагерра (или Сопипа), умноженные на сферические гармоники, являются собственными функциями для максвелловских молекул, впервые явным образом указан в работе

Ван Чан, Уленбек (Wang Chang С. S., Uhlenbeck G. Е.), On the propagation of sound in monatomic gases, University of Michigan Press, Project M999, Ann Arbor, Michigan, 1952.

Используемые в этом параграфе формулы Сонина и Мелера -^ Лебедева можно найти в книге

Бейтмен Г., Эрдейи А., Высшие трансцендентные функции, изд-во «Наука», М., 1966, стр. 63 и 183.

Асимптотическое поведение собственных значений оператора столкновений для максвелловских молекул впервые дано в работе

Мотт-Смит (Mott-Smith Н. М.), A new approach in the kinetic theory of gases, MIT Lincoln Laboratory Group Report, V-2 (1954).

Глава 4

МОДЕЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Интуитивные модели: нелинейная модель Бхатнагара, Гросса и Крука и обобщения

Одна из основных трудностей, возникающих при решении уравнения Больцмана, обусловлена сложным характером интеграла столкновений как в нелинейном (выражение (1.1) гл. 2), так и в линейном (выражение (2.2) гл. 3) случаях. Поэтому неудивительно, что для интеграла столкновений были предложены другие, более простые выражения. Их называют моделями интеграла столкновений. Любое уравнение типа Больцмана, в котором интеграл столкновений Больцмана заменен его моделью, назы-. Бается модельным уравнением или кинетической моделью.

Идея, лежащая в основе такой замены, состоит в том, что многие детали взаимодействия двух тел (которые содержатся в интеграле столкновений и проявляются, следовательно, в спектре линеаризованного оператора) вряд ли существенно влияют на значения многих измеряемых в эксперименте величин. Иначе говоря, если речь идет не об очень детальных экспериментах, то можно не учитывать тонкую структуру оператора Q У, f) и ограничиться более грубым описанием, основанным на использовании более простого оператора J (/), сохраняющего только качественные и средние свойства истинного оператора столкновений.

Самая известная модель интеграла столкновений обычно называется моделью Бхатнагара, Гросса и Крука (БГК-моделью), хотя Веландер независимо предложил ее примерно в то же самое время. При построении БГК-модели (и более сложных моделей) полагают, что оператор столкновений обладает следующими основными свойствами:

Истинный оператор столкновений Q (f, f) удовлетворяет равенствам (3.18) гл. 2, поэтому и модель интеграла столкновений должна удовлетворять условиям .

JW(/)^ = 0, а = 0, 1, 2, 3, 4. (1.1)

Оператор столкновений должен учитывать стремление к максвелловскому распределению (^-теорема).

Простейшим путем второе обстоятельство можно учесть, предположив, что каждое столкновение изменяет функцию распреде-

ления / (|) на величину, пропорциональную отклонению / от максвелловской функции распределения Ф ^. Тогда если v не зависит от |, получаем следующую модель интеграла столкновений:

№ (I) - / (1)1- (1.2)

Максвелловская функция Ф (|) имеет пять свободных скалярных параметров (р, у, Т\ Однако они определяются условиями (1.1), требующими, чтобы

j ^РсоФ (1) ^ = J фес/ (§) 6Z§. (1.3)

Иначе говоря, в любой точке пространства и в любой момент времени функция Ф (|) должна содержать плотность, скорость и температуру газа, определяемые функцией распределения У (1). Так как последняя, вообще говоря, изменяется во времени и в пространстве, то это справедливо и для параметров, входящих в Ф (9; эту функцию поэтому называют локальной максвелловской функцией. На этом этапе на значения «частоты столкновений» v не наложено никаких условий и она должна определяться из дополнительных соображений. Следует отметить, однако, что v может быть функцией локального состояния газа и, следовательно, изменяться, в зависимости от времени и от пространственных координат.

Легко видеть, что нелинейность оператора J (У) много хуже нелинейности истинного оператора столкновений Q (f, fY Действительно, последний просто квадратичен по У, в то время как J (У) содержит / как в числителе, так и в знаменателе подэкспоненциального выражения (у и Т, входящие в Ф,— это моменты функции У).

Основное преимущество при использовании БГК-оператора — возможность для любой задачи вывести интегральные уравнения для макроскопических переменных р, v, Т (гл. 8). Эти уравнения обладают сильной нелинейностью, но они упрощаются при помощи некоторых итерационных процедур, так что решение интересных задач оказывается выполнимым на быстродействующих вычислительных машинах. Другое преимущество БГК-модели проявляется при использовании ее в линеаризованной форме

4

LK = n\^ фа(фа, h>) — h\, (1.4) а=0

где И — возмущение функции распределения, рассмотренное в гл. 3, а ( , ) означает скалярное произведение в ^. Инварианты столкновений фа здесь нормированы так, что

(Ф«, Фв) = 6аВ, а, р = О, 1, 2, 3, 4. (1.5)

Очевидно, что формула (1.4) имеет существенно более простую структуру, чем истинный линеаризованный оператор столкновений.

При использовании БГК-модели особенно легко решается задача о релаксации к равновесию в пространственно однородном случае. Задана произвольная функция распределения g (1), зависящая только от вектора скорости, и требуется найти эволюцию ее во времени согласно кинетической теории. Задачу нельзя решить аналитически при помощи полного уравнения Больцмана, но она тривиальна при использовании БГК-модели. Действительно,

^ = у(ф_/), /(I, 0) = g®, (1.6)

где пространственные производные опущены, так как функция распределения остается однородной по физическому пространству в любой момент времени. Далее, условия (1.1) (или, что эквивалентно, уравнения (3.20) гл. 2) дают

^- = 0, -^- = 0, 4^ = 0, (1.7) dt 1 dt 1 dt 1 х 7

. р, v, Т не зависят от времени (масса, импульс и энергия в однородном случае сохраняются в каждой точке пространства). В силу этого (1.6) является очень простым дифференциальным уравнением с постоянными коэффициентами и постоянным членом типа источника. Его решение имеет вид

/ (1, t^-g (§) е^ + (1 - е-^ Ф (|). (1.8)

Входящие в Ф величины р, v, Т можно найти как моменты от g (|). Интерпретация формулы (1.8) очень проста: она описывает экспоненциальное стремление к равновесному распределению Ф (|) со временем релаксации 1/v.

Другое простое свойство БГК-модели заключается в том, что она позволяет легко доказать Я’-теорему: для любой функции распределения / справедливо неравенство

j(Iog/V(/)^<0, (1.9) где равенство достигается только тогда, когда функция / — максвелловская. Действительно,

J (log /) J (П ^ = j V (log /) (Ф - /) ^ =

= i V(Iog4) (Ф-/М + ^Ф).7(/Ж (1.10)

Так как log Ф — линейная комбинация инвариантов столкновений, то из условий (1.1) следует, что последний интеграл равен

нулю. С другой стороны, (ф-/)1о§-^<0(1.11)

(см. (2.5) гл. 2) и равенство достигается только тогда, когда / = Ф. Отсюда получаем неравенство (1.9).

БГК-модель сохраняет большинство основных свойств интеграла столкновений Больцмана, однако она обладает определенными недостатками. От некоторых из них можно избавиться путем соответствующих видоизменений за счет, правда, простоты модели. Первое видоизменение можно ввести так, чтобы частота столкновений оказалась зависящей от скорости молекулы, а не была просто локально постоянной. Это видоизменение связано с тем, что для упругих сферических молекул, всех потенциалов с конечным радиусом действия и степенных потенциалов с угловым обрезанием (за исключением максвелловских молекул) частота столкновений зависит от скорости молекул. Можно ожидать, что это изменение при больших Скоростях молекул будет существенным. С формальной точки зрения видоизменение очень просто: достаточно предположить, что в формуле (1.2) v зависит от g (точнее, от с), но условия (1.1) должны по-прежнему выполняться. Все основные формальные свойства (в том числе и /Г-тео- рема) сохраняются, но плотность, скорость и температура, входящие в максвелловскую функцию Ф, теперь уже не локальные плотность, скорость и температура, а некоторые фиктивные локальные параметры, связанные с пятью моментами функции / с весом v (с). Это следует из того, что в этом случае условия (1.1) дают

j V (с) ФфаЙ| = j V (с) t^a а-^,(1.12)

вместо (1.3). В итоге решение задачи с начальными данными становится не таким простым, как прежде.

Другой тип коррекции БГК-модели получается при выводе модельного уравнения, приводящего к таким же уравнениям Навье — Стокса, что и полное уравнение Больцмана. Действительно, как будет показано в следующей главе, модельное уравнение (БГК) дает значение числа Прандтля Pr = 1, т. е. значение, отличающееся от получаемых и из уравнения Больцмана, и из эксперимента для одноатомных газов (эти результаты согласуются ДРУГ с другом, они дают Рг ^2/3). Чтобы иметь правильное значение числа Прандтля, требуется еще один свободный параметр, кроме уже использованного параметра v. Это приводит (см. указания) к обобщению БГК-модели путем подстановки локального анизотропного гауссовского распределения вместо локального

максвелловского (которое является изотропным гауссовским):

з

O = pn-3/2(detA)1/2exp [- 2 aij ^_Vl^, (1.13)Ц j=l

где

A = || ati || = || (Pr)-i (2RT) 8tj -2(1- Pr) (pPr)-i Pij ||-i.

Если положить число Прандтля Pt равным 1, то снова придем к БГК-модели.

Недостаток построенной модели (которую будем называть эллипсоидальной статистической моделью) состоит в том, что для нее нельзя ни доказать, ни опровергнуть Я’-теорему.

Дедуктивные модели: метод Гросса и Джексона и обобщения

Одна из отрицательных черт БГК-модели заключается в том, что она не выводится из уравнения Больцмана при помощи какой- нибудь систематической методики, а «угадывается» на основе определенной качественной информации. То же относится и к двум вариантам моделей, кратко рассмотренных в конце предыдущего параграфа.

В настоящем параграфе мы изучим систематические методики получения моделей с возрастающей точностью. Удовлетворительное рассмотрение можно провести только для линеаризованного оператора, но кое-что можно сказать также и о нелинейных кинетических моделях.

Простейшая модель линеаризованного оператора — линеаризованная форма (1.4) БГК-модели. Эта модель обладает следующими свойствами:

Лфа = О, а = 0, 1, 2, 3, 4,(2.1)

4

(ft, Lh)^0 ( = 0, только если ^=2 с«Фа)> (2.2) а=0

и, Щ = KY(2.3)

Полагая g = фа в соотношении (2.3) и используя уравнение (2.1), находим

(фа, Щ = 0, ос - 0, 1, 2, 3, 4.(2.4)

Три основных свойства, выражаемые соотношениями (2.1) — (2.3), должны сохраняться в любых разумных моделях. Выполнение условий (2.1) и (2.3) для БГК-модели почти очевидно, а соотношение (2.2) следует из того, что равенство (1.4) можно записать также в виде

Lh = v ^Pk — h) = —v(I — P)h.(2.5)

Здесь Р — оператор проектирования на пятимерное пространство §0 натянутое на фа (a = 0, 1, 2, 3, 4), I — тождественный оператор (таким образом, I — Р есть оператор проектирования на Ж, ортогональное дополнение к §). Из (2.5) имеем

(И, Щ = -v Qi, (I - P)h) = -v || (Z - Р) К || ^ 0;

очевидно, что равенство здесь достигается только тогда, когда (/ - P)h = 0.

Систематическая методика уточнения линеаризованной БГК-модели, в которой последняя является первой из последовательности моделей, аппроксимирующих оператор столкновений для максвелловских молекул с произвольной точностью, была предложена Гроссом и Джексоном [6]. Авторы исходили из разложения оператора столкновений для максвелловских молекул в ряд по собственным функциям (формула (5.25) гл. 3), который здесь представим в виде

Lh= 2 ^нФк (Фн, ^(2-6)

к=о

где 7? — единый индекс, заменяющий тройку (п, I, т) так, что инварианты столкновений фа соответствуют R = 0, 1, 2, 3, 4. Систематическая методика аппроксимации оператора L состоит в частичном нарушении тонкой структуры его спектра путем стягивания всех собственных значений, соответствующих R > N, в одно собственное значение, которое будем обозначать через —v^ (напомним, что XR ^ 0). Это равносильно замене оператора L приближенным оператором LNl определяемым равенством

NОО

LNk— 2 ^нФн (Фн? ^)—2 Фк (Фк? ^)-(2-7)

Н=0H=N+1

• Так как фл образуют полную систему, то

& = 2^)-(2.8)

. н=о-

Это — просто разложение функции И в ряд Фурье по фл. Тогда

В частности, если N = 4, то %R = 0 для O^2?^7V и, следовательно, формула (2.10) сводится к формуле (1.4) (с v4 = v). Беря все большие и большие значения N, включаем в модель все больше и больше деталей спектра оператора L. Если положить N = 9, то-, учитывая пять собственных функций, соответствующих п = 0, I = 2 в уравнении (5.17) гл. 3, получим линеаризованную форму эллипсоидальной статистической модели (см. (1.13)).

Описанная методика применима только в случае максвелловских молекул. Однако уже незначительное обобщение разложения (2.6) дает возможность создавать модели интеграла столкновений для любого типа линеаризованных операторов столкновений. Действительно, ничто не мешает нам разложить h в ряд по фл (по собственным функциям оператора столкновений для максвелловских молекул), даже если мы рассматриваем другую модель молекул. В этом случае имеем

Lh=^k^ W(2.11)

Q=0 или, снова разлагая результат по фн,

Lh = 2 Pqb (Фф ^) Фв?(2.12)

в, Q=0 где

Pqb— (Фв> ^q) = Phq-(2.13)

Формула (2.12) обобщает формулу (2.6). Она сводится к последней при ^rq = Xr6rq. Если теперь предположить, что Pq^ = = — vn8qr для Q, R^N, то получим модель

N

LNh= 2 (yN^RQ 4" Рфв) Фв (Ф^, ^) Vn^ -(2.14)

В, Q=0

т. е. обобщение формулы (2.10) на случай линеаризованных операторов столкновений молекул, отличных от максвелловских. Полагая N = 4, приходим снова к БГК-модели.

Теперь ясно, как можно распространить этот метод на случай нелинейного оператора столкновений: достаточно разложить / в ряд по величинам ф, соответствующим локальному максвелловскому распределению Ф,

Q U, П= § №р, Ж М^р- Ф^)(2-15)

Р, Q=0

(в скалярные произведения теперь не входит максвелловская функция в качестве весовой), и результат разложить по тем же ф:

<?(/,/)=Ф 3 IW^p,/Ш<?,/Ж,(2.16)

Р, Q, R=0

где

Рр$н = (Фн, Q (Ффр, Фф^))-(2.17)

Если мы теперь положим

Ppqb=2" [8pq6qh + Sqo^fr] ^ (ф0, У)"1, Р, Q, R>N, (2.18) то вместо Q (/, /) получим нелинейную модель

N

•Лу(/) = Ф 2 ₽FQR (Фр, Л №qi /)Фл +Р, Q, В=о

+ ^[ S Ф(Фф MQ-fL(2.19)

Q=0

Отметим, что (фд, /) = (ф^, Ф) = 0 для Q = 1, 2, 3, 4, ибо Ф — локальное максвелловское распределение. Последнее равенство следует из ортогональности величин ф. Поэтому если взять N = 4 и принять во внимание, что Ppqh = 0 для R^4, то снова придем к нелинейной БГК-модели.

Линеаризованные модели для случая молекул, отличных от максвелловских, и нелинейные модели, рассмотренные выше, были предложены Сировичем [7].

Модели с частотой столкновений, зависящей от скорости

Характерная черта рассмотренных в § 2 моделей линеаризованных интегралов столкновений — их связь с ограниченными операторами с чисто дискретным спектром (с бесконечнократно вырожденным собственным значением). Действительно, упомянутые выше операторы столкновений можно представить в виде Ln = KN — v^Z, где ^ N — константа, I — тождественный оператор, a KN отображает любую функцию на конечномерное подпространство, натянутое на фй (R^.Ny В частности, взяв проекции уравнения LN^ = Хф на это подпространство и его ортогональное дополнение, можно показать, что собственные функции являются линейными комбинациями по фй и, следовательно, полиномами (в случае модели, определяемой равенством (2.10), собственные функции равны, очевидно, фй).

Вспомним теперь, что операторы столкновений для упругих сферических молекул или для жестких потенциалов с угловым обрезанием неограничены и имеют непрерывный спектр (то же, вероятно, верно и для потенциалов с радиальным обрезанием, но это строго не доказано). Эти свойства оператора могут оказывать влияние на решение частных проблем, но когда мы применяем любую из моделей, предложенных в § 2, такого влияния нет.

Поэтому естественно ввести и изучить модели, сохраняющие упомянутые выше свойства линеаризованного оператора столкновений. Это можно сделать многими различными способами.

Нетрудно видеть, что простейшим будет способ, основанный -на использовании следующего факта: как мы знаем (упругие сферические молекулы и потенциалы с угловым обрезанием) или предполагаем (потенциалы с радиальным обрезанием), оператор К* = v-V2^"1/2 самосопряжен и вполне непрерывен в ^ (здесь применяются терминология и результаты гл. 3), так что его ядро можно разложить в ряд по его интегрируемым с квадратом собственным функциям ф^ ^2 (таким, что Кфн = Х^ср^. Другими словами, можно записать

Kh. = v(c) У Хдфд(уфд, Л)(3.1)

R=0и, обрывая этот ряд, получить модельN

LNh = \’(p У %дфд^фд, /») —v(c)A.(3.2)

R=0

Так как первые пять функций фн являются инвариантами столкновений и XR^1 (0~^Д~^4), то для N = 4 имеем

4

L4/l = v(c) У ф«(Фа, vh) — V (с)/l,(3.3)

а=0

где инварианты столкновений ортонормированы:

(Фа, Уфв) = 6аВ.(3.4)

Формула (3.3) есть не что иное, как линеаризованная форма нелинейной модели с частотой столкновений, зависящей от скорости, которую мы кратко обсуждали в § 1.

Если мы хотим получить модели, соответствующие N ^ 5, то сталкиваемся с таким" затруднением: у нас нет аналитических выражений для фл при R ^ 5. Правда, можно рассчитать их численно, но это, очевидно, слишком сложно. Кроме того, в методе, при помощи которого выведены уравнения (3.2) и (3.3), зависимость v (с) фиксирована исходной моделью молекул; следовательно, нет свободных параметров, позволяющих получить правильный «континуальный» предел (см. конец § 1).

Можно ввести свободный параметр, слегка изменив описанный метод: вместо простого обрывания ряда (3.1) (т. е. вместо допущения XR = 0 для R > N) можно положить XR = к для R > N. В результате получится точно такая же модель, что и (3.2), но только теперь вместо v (с) появится (1 — к) у (с), а вместо XR появится (XR —&)/(! —к). В частности, при N = 4 единственное изменение будет состоять в появлении свободного коэф-

фициента в v (с), и это даст модель такой же гибкости, как и БГК-модель.

Большую гибкость можно достичь при использовании моделей более высоких порядков. Здесь снова возникает упомянутая выше трудность: мы не знаем фн при R ^ 5. Это затруднение можно обойти с помощью приема, аналогичного использованному в § 2 при выводе «немаксвелловских» моделей: берем полную систему ортогональных функций и разлагаем все в ряды по этим функциям, как было сделано в § 2. Конечно, если мы хотим сохранить описанные в настоящем параграфе особенности моделей, нужно подходящим образом выбрать систему; простейший выбор — полиномы, ортогональные с весом /ov (с), где /о — абсолютная максвелловская функция. Тогда модель вновь будет иметь форму (3.3), но теперь ее уже легко обобщить на модели произвольно высокого порядка (здесь рассчитать численно надо лишь коэффициенты, но не функции); методика очевидна, и мы не будем ее подробно рассматривать.

Другие способы построения моделей могут быть основаны на требовании, чтобы модель в континуальном пределе воспроизводила поведение не только определенных коэффициентов, но также и функции распределения. Такие модели можно построить (как будет ясно из результатов гл. 5), если принять во внимание, что уравнения типа

LK-^g-P^ (3.5) имеют такие же решения для определенного класса функций типа источника g, что и соответствующие уравнения с LN вместо L (здесь Р — оператор проектирования на подпространство, натянутое на 5 инвариантов столкновений). Точнее, исходим из пяти инвариантов столкновений для g и шаг за шагом строим систему функций И, используя результаты каждого шага и ортогонализуя систему по мере необходимости. Снова трудность состоит в том, что, за исключением случая максвелловских молекул, у нас нет аналитических способов для решения уравнения (3.5) и, следовательно, для вывода упомянутых моделей в явном виде. Однако иногда такая методика может быть достойной внимания, потому что она позволяет получать результаты с очень хорошей точностью для молекул, отличных от максвелловских. Это, в частности, справедливо тогда, когда окончательные результаты выражаются в квадратурах, которые могут быть оценены численно.

Модели граничных условий

Важность граничных условий постоянно подчеркивалась в предыдущих главах. Из § 4 гл. 2 мы помним, что теоретические исследования взаимодействия газа со стенкой исключительно трудны

из-за сложности процессов, происходящих на стенке. Даже если ограничиться линейными граничными условиями (4.1) гл. 2 с ядром, не зависящим от /, то остается еще проблема отыскания В (£' -^ |; х). Общие рассмотрения могут привести лишь к получению ограничений на это ядро, например условий детального баланса (уравнения (4.10) и (4.11) гл. 2). Поэтому необходимо «сконструировать» физическую модель поверхности и попытаться вычислить соответствующее ядро В ^^ х)- Это как раз тог

что сделал Максвелл при выводе своих граничных условий. Однако он не смог дать полную постановку задачи и был вынужден прибегнуть к качественным соображениям и ввести феноменологический параметр a (O^cz^l), который не связан непосредственно со структурой поверхности.

Согласно граничным условиям Максвелла, тангенциальный импульс и кинетическая энергия отраженных молекул зависят частично от скорости и температуры стенки и частично от импульса и кинетической энергии молекул налетающего потока. Если а = 0 (зеркальное отражение), то отраженный поток не «чувствует» границу (это касается как тангенциального импульса, так и кинетической энергии). Если же а = 1 (полностью диффузное отражение), то этот поток полностью теряет информацию о налетающем потоке (сохраняя лишь число молекул). По этой причине коэффициент а (первоначально определенный как доля диффузно отраженных молекул) обычно называют «коэффициентом аккомодации», чтобы подчеркнуть тенденцию газа аккомодировать (приспосабливаться) к состоянию стенки.

Отметим, однако, что при физических взаимодействиях импульс и энергия аккомодируют по-разному: импульс теряется или приобретается много быстрее, чем энергия. Это указывает на основную неточность граничных условий Максвелла (того же порядка величины, что и даваемая БГК-моделью ошибка в значении числа Прандтля). Хотя предложенная Максвеллом физическая модель стенки допускает определенные уточнения, подобные условию (4.12) гл. 2, здесь мы обсудим другой метод, полностью феноменологический в том смысле, что он основан не на физической модели стенки, а только на общих свойствах взаимодействий со стенкой и на введении числовых параметров, которые должны определяться в эксперименте или с помощью других теоретических соображений.

Рассмотрим следующее уравнение, определяющее собственные значения:

Лф = J К^ ^’Ш^Ж = М^ с.п>0.(4.1)

с' -п>0

Если |д = §'— 2п(п-с') (так что Сд.п<0), положим

К (|, |') = [ | с'-п |Fo (|')]V2 [ | сп | Ео (Dl^B (^-^|, х).(4.2)

В силу (4.10) гл. 2 ядро К ^, |) симметрично. Кроме того, (4.11) гл. 2 показывает, что

Фо (|) = [2л (Т?^)2]-V2 | с.п р/2 ехр [ - ^-и0)2 (42?^0)^](4.3)

есть собственное решение уравнения (4.1), соответствующее собственному значению % = 1. Если оператор А имеет чисто дискретный спектр, то можно записать

^(^Г)=2^(У^(П(4.4)

п=0 где фп — нормированная собственная функция, соответствующая собственному значению X = Хп. Обобщение на случай, когда спектр не является чисто дискретным, возможно, но здесь не представляется интересным..

Из формулы (4.4) следует аналогичная формула для ядра В (§'|, х), которую можно получить из соотношения (4.2).

Предположим, что все собственные значения Хп лежат на отрезке

0<Ап<1, п = 0, 1, 2, . . .(4.5)

и Xn = 1 только для п = 0. Условие Х^ < 1 для п ^ 0 вытекает из требования, чтобы максвелловское распределение соответствовало устойчивому равновесию (и, следовательно, максимальной величине собственного значения), а условие X ^ 0 — из того, что плотность вероятности В (£'|, х) должна быть положи

тельной.

Мы можем теперь использовать полученные соотношения для вывода моделей граничных условий во многом тем же способом, которым в предыдущих параграфах были выведены модели интеграла столкновений. Простейшим допущением будет предположение о полном вырождении, т. е. Хп = 1 для любого п (заметим, что это нарушает общее положение, согласно которому %n = 1 только для п = 0). Тогда из (4.4) следует, что К (1', £) = 6 (V — 1), и мы получаем граничное условие при чисто зеркальном отражении. -

Другим возможным допущением, в котором учитывается указанное выше ограничение на собственное значение X = 1, является предположение о существовании двух различных собственных значений Хо = 1, Хп = 1 — а (0 < а 1, п = 1, 2, . . .). Тогда к (1, Г) = фо (I) Фо (Г) + (1 - а) § Фп (I) фп (V) =

П=1

= «Фо (?) Фо (Г) + (1 — а) 5 фп (1) фп (I') = -п=0

= а [2л (RW1 [ | с-п 11 с' - п | ]V2 exp [-(l-u0)2 (4RT^-

- (V - u0)2 (4RT0Y4 + (1 - a) 6 (1 -1').(4.6)

С помощью (4.2) и (4.3) можно показать, что при таком предположении получаются граничные условия Максвелла (4.8) гл. 2; в частности, простой выбор Хо = 1, Хп = 0 (п = 1, 2, . . .) соответствует cz = 1 и дает граничные условия для чисто диффузной (по Максвеллу) стенки.

Ясно, что для того, чтобы ввести более сложные граничные условия, нужно либо сделать специальные предположения относительно собственных функций ф7г, либо взять разложение, более общее, чем (4.4). В первом случае можно допустить, что фп имеет форму

Ф» (I) = Фо (1) Рп (1), (4.7)

где Рл — полиномы в полупространстве, выбранные так, чтобы функции ф7г были ортонормальны в смысле скалярного произведения в гильбертовом пространстве интегрируемых с квадратом функций от | (для с-п>0). Можно выбрать Рп двумя путями, считая, что это полиномы либо относительно трех компонент вектора | — ио, либо относительно | с-л |2 и двух тангенциальных компонент вектора | — ио. Первый путь приводит к полиномам в полупространстве, введенным Гроссом и др. [14] для других целей, а преимущество второго в том, что он дает классические полиномы (полиномы Эрмита относительно тангенциальных компонент и полиномы Лагерра относительно | с-л |2).

Собственные значения Хп можно выразить через коэффициенты аккомодации, если рассматривать 1 — Хп как обобщенный коэффициент аккомодации соответствующего момента функции распределения. В случае зеркального отражения Хл = 1 для любого п и, следовательно, аккомодации нет. В случае граничных условий Максвелла для всех моментов (за исключением плотности, которая не аккомодирует) коэффициенты аккомодации равны 1 — (1 — а) = а.

Описанный метод подобен тому, который использовался применительно к моделям для максвелловских молекул в § 2 (основное различие состоит в том, что мы не знаем, существует ли динамическая модель, в которой соответствующие функции ф7г представимы в виде (4.7)). Более общий и обоснованный метод аналогичен моделированию линеаризованного оператора столкновений немаксвелловских молекул, также рассмотренному в § 2. Согласно последнему, берем функции фп, определяемые формулой (4.7), в качестве базиса гильбертова пространства, даже если они не являются собственными функциями оператора А. В этом случае (4.4) имеет вид

Г) = 3 Wn©W> (4.8)

т, п=0

где Хпт — элементы симметричной матрицы, выражающей «неаккомодирующие» свойства стенки (Хоо = 1 в силу (4.11) гл. 3). Матрицу || 6mn — XmTL || можно рассматривать как «аккомодационную матрицу»; при этом ее диагональные элементы будут иметь тот же смысл, что и описанные выше числа Хп, а недиагональные элементы будут мерой того, как много информации о моментах налетающего потока сохраняется моментами отраженного потока. Ясно, что данный метод сводится к предыдущему, когда недиагональные элементы равны нулю.

Проиллюстрируем применение только что описанных методов на следующем примере. Возьмем в качестве ф17 ф2 и Фз тангенциальные компоненты вектора | — ио и положим

^00 = 1» ^11 ~ ^22 = ^33 “1Р? ^44 — • • • =а>

Хщп =0,ш Ф п,(4.9)

где 0 < а < 1, 0 < Р < 1. Тогда

К (^ Г) = (1 - а) 6 (1 -1') + [2л (ЯТ^Т1 X

X ехр { - [(1 - п0)2 + (Г - и0)2] (47?7о)-1} X

XII — Uo] II'— UO]} [ I c-n [ I с' .П ] J1/2.(4.10)

Указания

§ 1. БГК-модель предложена независимо в работах

Бхатнагар, Гросс, Крук {Bhatnagar Р. L., Gross Е. Р., Krook М.), Phys. Rev., 94 (1954), 511 (русский перевод в сб. «Проблемы современной физики», № 2, ИЛ, М., 1956);

Веландер (Welander Р.), Arkiv Fysik, 7 (1954), 507.

Возможность использования зависящей от скорости частоты столкновений указана в статье

Крук (Krook М.), J. Fluid Meeh., 6 (1959), 523.

Эллипсоидальная статистическая модель предложена независимо в работах т)

Колеей (Holway L. Н., Jr.), Approximation procedures for kinetic theory, Ph. D. Thesis, Harvard, 1963;

Черчинъяни, Тирони (Cercignani C., Tironi G.), в сб. «Rarefied Gas Dynamics», Vol. 1, Academic Press, New York, 1967.

§ 2. Рассмотренные здесь линеаризованные модели предложены в работах

Гросс, Джексон (Gross Е. Р., Jackson Е. Л.), Phys. Fluids, 2 (1959),.432;

Сирович (Siromch L.), Phys. Fluids, 5 (19§2), 908 (русский перевод в сб. «Некоторые вопросы кинетической теории газов», изд-во «Мир», М., 1965).

!) См. также Holway L. Н., Phys. Fluids, 9 (1966) (русский перевод в сб. «Механика», № 6 (106), (1967), изд-во «Мир», М.).— Прим. ред.

Простота и практическая ценность линеаризованной эллипсоидальной статистической модели игнорировалась всеми исследователями, кроме

Холвей {Holway L. Н., Jr.), Sound propagation in a rarefied gas calculated from kinetic theory by means of a statistical model, Raytheon Co. Report T-578 (1964);

Черчинъяни, Тирони {Cercignani C., Tironi G.), Nuovo Cimento, 43 (1966), 64.

Линеаризованные модели с частотой столкновений, зависящей от скорости, были предложены в работах

Черчинъяни {Cercignani С.), Ann. Phys., 40 (1966), 469;

Лойалка, Ферцигер {Loyalka S. К., Ferziger J. Н.), Phys. Fluids, 10 (1967), 1833.

Теоретический материал этого параграфа взят из работы

Черчинъяни {Cercignani С.), в сб. «Proc. Sympos. Appl. Math. Soc. and Soc. Industr. and Appl. Math., New York, 1967, Vol. 1, Transport Theory», Providence, 1969,

но аналогичный подход независимо был изложен в статье

Шен {Shen S. F.), Entropie, 18 (1967), 138.

Полиномы Эрмита в полупространстве впервые появились в статье

Гросс, Джексон, Зиринг {Gross Е. Р., Jackson Е. A., Ziering S.), Ann. Phys., 1 (1957), 141 (русский перевод в сб. «Механика», № 5 (51), (1958), изд-во «Мир», М.).

Глава 5

МЕТОДЫ ГИЛЬБЕРТА И ЧЕПМЕНА - ЭНСКОГА

Мост между микроскопическим и макроскопическим описаниями

В § 1 гл. 3 было отмечено, что при решении уравнения Больцмана для реальных неравновесных ситуаций следует воспользоваться приближенными методами, в частности методами возмущений.

Чтобы сделать это, нужно выявить параметр е, который можно в определенных случаях считать малым; поэтому первым шагом будет исследование порядков величины различных членов, входящих в уравнение Больцмана. Если Т — характерное время, d — характерная длина, и? — характерная скорость молекул, то ^-(ЦТ-чу, ^-ОН'ЧУ QUJ^o^iY (1.1) где п = р/тп — числовая плотность молекул и о — диаметр молекулы.

Хорошо известное элементарное доказательство дает следующую связь произведения п^ со средним свободным пробегом Z, т. е. со средней длиной свободного пробега молекулы между последовательными столкновениями:

I «(шу2)"1.(1.2)

. Необходимо отметить, однако, что понятие среднего свободного пробега можно строго определить только для упругих сферических молекул или для обрезанных потенциалов (с радиусом действия порядка длины, на которой притяжение заменяется отталкиванием); в случае дальнодействующих потенциалов молекулы взаимодействуют всюду (а = оо) и, следовательно, средний свободный пробег, строго говоря, равен нулю. Несмотря на это, указанное понятие можно сохранить как средство выражения порядка величины правой части уравнения Больцмана, который оказывается равным О (wl""1^. Величину (wl"1)"1 можно считать естественным определением среднего свободного времени 0, а обратную к ней wl"1 — мерой частоты столкновений.

Этот анализ указывает на существование двух основных безразмерных параметров в уравнении Больцмана: BIT и Ud. Вначале масштабы длин и времени можно взять сопоставимыми, т. е. НА « ^ 6/Т. Поэтому вначале левую часть уравнения Больцмана

можно рассматривать как один член, равный по порядку величины wd-1. В итоге относительные значения левой и правой частей уравнения Больцмана будут определяться единственным безразмерным параметром

Кп = 2. (1.3)

Позже мы увидим, что необходимо также рассматривать явления, для которых d?^ITl? 1, причем Т и d могут иметь различные порядки величин.

Ясно, что число Кнудсена Кп, определенное формулой (1.3), изменяется от 0 до оо, Кп -> 0 соответствует плотному газу, а Кп оо — свободномолекулярному течению (т. е. течению, в котором молекулы пренебрежимо мало взаимодействуют друг с другом).

Это наводит на мысль о двух типах методов возмущений: один для Кп 0, другой для Кп оо. Последний мы кратко обсудим позже (§ 3 гл. 8), а первый будет предметом ближайшего рассмотрения. Можно ожидать, что разложение по малому параметру для Кп -> 0 позволит завершить задачу, начатую в § 3 гл. 2, т. е. доказать, что в случае плотного газа макроскопическое описание возможно, и определить пределы его применимости. Ясно, что подобный переход от микроскопического описания к макроскопическому должен быть очень сингулярным, так как он основан на замене интегро-дифференциального уравнения для одной неизвестной, зависящей от 7 переменных, системой дифференциальных уравнений для 5 неизвестных, зависящих от 4 переменных.

Разложение Гильберта '

Чтобы получить разложение, справедливое при Кп 0, причем Кп равно порядку отношения любого члена левой части уравнения к его правой части, можно формализовать процедуру, вводя искусственный параметр 8 (предполагаемый малым) перед левой частью (или, что эквивалентно, переходя к безразмерным переменным и обозначая число Кнудсена через е):

<21>

Сингулярный характер метода возмущений при 8 —►- О обусловлен тем, что на 8 умножаются все производные, входящие в уравнение Больцмана. Несмотря на это, будем искать решение в виде ряда по степеням 8 (разложение Гильберта):

' /= § (2.2)

п—О

Подставляя (2.2) в уравнение (2.1), получаем п=1п=0

где Qn определяется соотношением (1.3) гл. 3. Следовательно,

<2о = О,(2.4)

T + ^^ = ^’<2'5>

Уравнение (2.4) гарантирует, что функция /0 максвелловская; поэтому в силу (1.6) гл. 3

(4 + ^тО (foM = №»+Sn,« = 1, 2,(2.6)

\ U vих J

' п— 1

5t = 0; Sn = 2 QUohk, john_^, n>2,(2.7)

ь=1

fn = fo^nt ^o — ^ •(3.8)

Таким образом, мы пришли к системе уравнений относительно неизвестных h^ можно последовательно решать эти уравнения» заметив, что они имеют вид

' Lh = g.(2.9)

где g — заданный член типа источника. Решение этого уравнения равносильно нахождению оператора, обратного к L\ последнее в общем случае сделать нельзя, потому что нуль принадлежит спектру оператора L (X = 0 — пятикратно вырожденное собственное значение, а инварианты столкновений фа (а = О, 1, 2» 3, 4) — соответствующие собственные функции). Однако если вектор g принадлежит гильбертову пространству ^ и ортогонален к фа, т. е.

(^а, g)=0,(2.10)

то решение h уравнения (2.9) существует и принадлежит ^, если только потенциал жесткий (не требуется обрезания).

Чтобы доказать это, рассмотрим функцию g, удовлетворяющую условию (2.10), и решим уравнение (2.9) в подпространстве Ж cz ^, ортогональном к подпространству, натянутому на 5 инвариантов столкновений (заметим, что Ж инвариантно относительно L\ Оператор L на подпространстве Ж самосопряжен и нуль не принадлежит его спектру в силу уравнения (3.13) гл. 3 (которое, как было показано в § 4 гл. 3, справедливо для жестких потенциалов). По определению спектра обратный L"1 существует в Ж, и решение fe(0) £ Ж cz ^ найдено. Функция fe(0) является единственным решением в Ж\ в ^ к fe(0) можно добавить произ-

вольную линейную комбинацию пяти инвариантов столкновений, и эта сумма будет удовлетворять уравнению (2.9)'.

Итак, во-первых, на каждом шаге можно найти ЪП1 если только 5 условий (2.10) (а = 0, 1, 2, 3, 4) удовлетворяются членом типа источника, и, во-вторых, решение hK зависит от 5 параметров с^ (которые могут быть функциями временной и пространственных переменных). Так как член типа источника вычисляется при помощи предыдущих приближений, то эти два утверждения связаны циклически таким образом, что 5 условий ортогональности для тг-го члена типа источника «определяют» 5 параметров, оставшихся неизвестными на (п — 1)-м шаге; реализация начала цикла возможна потому, что нулевое приближение уже содержит 5 свободных параметров (плотность, компоненты массовой скорости и температура — параметры в максвелловской функции /0).

Посмотрим теперь, как условия ортогональности определяют 5 свободных параметров. Заметим, что на п-м шаге член типа источника равен разности левой части уравнения (2.6) и Sn. В силу (2.7) и свойств билинейной формы Q (f, g) (§ 1 гл. 2) Sn удовлетворяет условиям ортогональности, поэтому

(№, (ж+^)/°М=0’(2Л1)

или

J^(4 + ^)/n^ = °’ re>0-<2Л2)

Так как инварианты столкновений зависят только от §, то при подходящих условиях можно изменить порядок дифференцирования и интегрирования и записать

^+divj“=O, п>0; а = 0, 1, 2, 3, 4,(2.13)

гдер£=J КМ1;— это п-е члены разложенийгдер£=J КМ1;— это п-е члены разложенийJn — У 1Фа/п ^§Jn — У 1Фа/п ^§ра = j W ^1;ра = j W ^1;за = j Wf ^за = j Wf ^(2.14)(2.15)(2.14)(2.15)

где

р£=J КМ1;

— это п-е члены разложений

где

р£=J КМ1;

— это п-е члены разложений

Jn — У 1Фа/п ^§

Jn — У 1Фа/п ^§

ра = j W ^1;

ра = j W ^1;

за = j Wf ^

за = j Wf ^

(2.14)

(2.15)

(2.14)

(2.15)

в ряды по степеням е (любое разложение в ряд функции / влечет аналогичное разложение ее моментов).

Можно представить себе ра в виде пятимерного вектора, a ja — в виде (5 X 3)-матрицы; компоненты выражаются через опре-

деленные в § 3 гл. 2 физические величины:

Р

рд,

РЩ

(2.16)(2.16)PViVj + Pij

(2.16)

(2.16)

г, / = 1, 2, 3; а = 0, 1, 2, 3, 4.

С помощью ра и ja можно формально записать уравнения сохранения (уравнения (3.20) гл. 3 с Xt = 0):

_^ + divja = O, a = 0, 1, 2, 3, 4.(2.17)

Таким образом, уравнения совместности (2.13) — это не что иное, как п-е члены разложения уравнений (2.17). Однако уравнения, полученные разложением, содержательнее уравнений (2.17). Чтобы это показать, обратим внимание на то, что единственными неизвестными в /п являются 5 коэффициентов с^ линейной комбинации функций фа, добавляемой к /о^; отсюда

4

Рп = j % /()№£ + 2 Cn j ФаМ₽ ^-(2.18)

₽=0

Это уравнение можно использовать для того, чтобы выразить с^ через pg (легко показать, что определитель матрицы || j фа/оФр ^11 отличен от нуля). Так как это справедливо для каждого тц то все коэффициенты eg будут выражены через pg, т. е. неизвестными величинами в /п можно считать pg (a = 0, 1, 2, 3, 4). Но отсюда следует, что и jg можно выразить через pg.

Иными словами, мы нашли соотношения (в виде разложений в ряды) между тензором напряжений и вектором теплового потока, с одной стороны, и основными макроскопическими неизвестными (плотность, скорость и температура либо внутренняя энергия) — с другой. Это означает, что данный метод позволил замкнуть (по крайней мере формально) систему уравнений сохранения и построить макроскопическую модель, базирующуюся на понятиях плотности, скорости и температуры, из микроскопического описания, основанного на функции распределения.

Для лучшего понимания ситуации рассмотрим уравнения сохранения, записанные в виде

£« (рР) = £а(2.19)

где Еа — нелинейный оператор Эйлера (такой, что Еа (р^) = О есть уравнение невязкой жидкости) и

0

(2.20)(2.20)-^(ри-рМ

(2.20)

(2.20)

5^7 (PijVj — pvi + qi)

Если р₽ разложить в ряд по степеням 8, то получим

Я“(р₽)= 5 е"Ео^+2 8П£“Л(2.21)

п=0п=1

где суммирование происходит по повторяющимся индексам от О до 4, а £оР — оператор, содержащий р§ и линейный, если все рР известны; если же он действует на рР, то £^ р^ = Еа (р§). В Е^ содержатся р® только при к ^ п — 1. После разложения р^ уравнение (2.19) дает

^Ppg = o (Е“(ро) = О),(2.22)

=(2.23)

где

0

-^-(р^-р^М

n

—[ s (^ - p№m ^+e]A=1

(^гП\ P$\ Р(п) и q^ обозначают соответственно n-e члены разложений в степенной ряд функций vtl р^, р и q^. Равенство нулю члена типа источника в уравнении нулевого приближения (2.22) обусловлено тем, что функция/0 максвелловская и, следовательно, тензор напряжений изотропен, а тепловой поток равен нулю.

Мы должны объяснить теперь, почему члены S^ рассматривались как члены типа источника. Имеем

4

jn = J Ш<4 = j ^№Л^+^ сп J IWo^ ^ (2.25)

Легко видеть, что правую часть равенства (2.25) можно записать в виде суммы Е^Рп и слагаемого, зависящего только от Дп? и, следовательно, только от р^, к ^ п — 1 (для этого нужно вычислить явно интегралы из (2.18) и (2.25), не содержащие кп\ и подставить (2.18) в (2.25)). Таким образом, п-е приближения

для ри — P^ij и Qt (и, значит, для 5а) выражены через р£ (к ^ < п — 1) и их можно считать известными на тг-м шаге.

Итак, в нулевом приближении мы должны решать обычные уравнения невязкой жидкости, а на следующих этапах — неоднородные линеаризованные «невязкие» уравнения.

§ 3. Разложение Чепмена — Энскога

Из приведенных выше рассуждений видно, что если допустить возможность разложения функции распределения / в степенной ряд по числу Кнудсена, то можно построить макроскопическое описание газа с помощью плотности, массовой скорости и температуры. Это описание в главном члене дается уравнениями невязкой жидкости; поправки можно найти, решая линеаризованные уравнения. Это замечательный результат: он позволяет выразить функцию / через ее 5 моментов (которые являются также- пятью основными макроскопическими величинами, соответствующими /) и показывает, следовательно, что отсюда вытекает макроскопическое в известном смысле описание.

Необходимо отметить, однако, что мы действовали формально- Поэтому встает очевидный вопрос: когда допустимо разложение1 Гильберта? Мы попытаемся ответить на этот вопрос позже (§ 4). Сейчас же обратим внимание на предостережения, следующие из- нашего знания макроскопических теорий. Мы знаем, что в определенных ситуациях уравнения невязкой жидкости нереалистичны и неприменимы; хуже того, регулярные методы возмущений не позволяют исправить в следующих приближениях неудовлетворительные свойства описания газа как невязкой жидкости.

Иными словами, независимо от того, насколько малы параметры, характеризующие отклонения от уравнений невязкой жидкости, решение может быть неразложимым по степеням этих параметров (такими параметрами являются коэффициенты вязкости и теплопроводности в континуальной теории, средний свободный пробег здесь): зависимость / от 8, вообще говоря, неаналитическая — это обусловлено тем, что на 8 умножены все производные в уравнении (2.1) (ср. с неаналитическим характером решений уравнения 8 dfldt + / = 0 при 8 = 0).

Возможный путь преодоления указанных трудностей открывает метод внутренних и внешних разложений, хорошо известный из континуальной теории; он будет рассмотрен позже (§ 5).. В настоящем параграфе мы обратимся к ранним широко известным попыткам Чепмена [3] и Энскога [4]. Их метод основан на правдоподобной аргументации, которая состоит в следующем. Решения как континуальных уравнений сохранения, так и уравнения Больцмана, вообще говоря, неаналитичны по соответствующему параметру 8 и, следовательно, разложения в ряды по степеням 8

не дают равномерно пригодных решений задач с заданными начальными и граничными значениями. Однако некоторые трудности можно обойти, разлагая не решения, а уравнения.Чтобы понять это утверждение, заметим, что, умножая уравнения (2.23) на 8П и суммируя от 0 до оо, получаем

(з.1)

П=1

где Sa (рР) — такой же член типа источника, что и в (2.19), но теперь он является нелинейным оператором, действующим на рР, а £а — нелинейный оператор Эйлера (мы использовали формулу (2.21)). Оператор 8а стремится к нулю вместе с 8; этот оператор Sa известен только тогда, когда величины рР разложены в ряд по степеням 8 (это основной результат разложения Гильберта). Однако можно предположить, что Sa существует (по крайней мере в асимптотическом смысле при 8-^0) даже тогда, когда рР разложить нельзя. Действительно, разложение Гильберта будет давать верные решения, если рассматривать лишь малые области, удаленные от имеющихся сингулярных поверхностей (§ 4); отсюда следует, что Sa существует почти всюду (по крайней мере в асимптотическом смысле при 8—^0).

Мы можем считать, что 8^ содержит только пространственные производные и не содержит производных по времени, так -как последние всегда можно исключить из (2.6), заметив, что функции /п—i = /о^п-1 зависят от времени и координат только через величины р^ (к ^ п — 1), производные по времени от которых выражаются через пространственные производные по формуле (2.13). В соответствии с этим можно считать,,что входящий в (3.1) оператор 8а действует только на «пространственную зависимость» величин рР.

Идея метода Чепмена — Энскога заключается в разложении оператора 8а в случае, когда величины рР не разложены. При этом предполагается, что хотя зависимость рР от 8, вообще говоря, неаналитическая, но оператор 8а аналитичен по 8 (или по крайней мере имеет асимптотическое разложение по степеням 8). Это предположение отнюдь не противоречиво, так как, например, в уравнение Навье — Стокса вязкость и теплопроводность входят аналитически (именно линейно), а средних решений есть, в общем случае, такие, которые нельзя разложить в ряды по этим параметрам. Чтобы формализовать эту идею в алгоритм, заметим, что уравнения (3.1) можно записать в виде

-^=7)Р(Р"), (З.Г)

где D|з — нелинейный оператор, действующий на пространственную зависимость величины ра и полученный вычитанием из опера-

тора Sa (р^) пространственных производных в Еа. Ясно, что разложению оператора Sa соответствует разложение оператора D^:

(3.2)

n=0

где D^ — нелинейные операторы, подлежащие определению данным методом; в частности, D^ будет состоять из пространственных производных в Еав (с обратным знаком). Разложение оператора Dr означает, что рассматривается эволюция р13 во времени, вызванная процессами различных порядков величины по е.

Наше разложение по существу равносильно перегруппировке разложения Гильберта в соответствии с некоторым новым критерием. Поэтому мы должны сохранить основной результат разложения Гильберта, являющийся необходимым условием построения замкнутой макроскопической теории из уравнения Больцмана, а именно то, что функция распределения зависит от временной и пространственных переменных только через ра. Другими словами,

at у at д (?ьра)

at ь о 9 ^k^ at 1\ • )

где через Vk формально обозначены пространственные производные k-го порядка. Из уравнения (3.1') получаем •

(3.4)

так что разложение (3.2) означает и разложение «временной эволюции» /. Формально это можно записать в виде

п=0

где d^tdt — просто вклад в df/dt от D^ в соответствии с формулами (3.2) — (3.4). В методе Чепмена — Энскога выражения для операторов d^ldt (или, эквивалентно, D^ и зависимость / от ра являются неизвестными.

Как отмечалось выше, величины ра оставляют неразложенны- ми, однако надо разложить j1 если мы хотим избежать тривиальных результатов. Для этого запишем просто

/=2еп/п(3.6)

-п=0

И

(3.7)(3.7)Jlpa/n^ = O, 72-^1.

(3.7)

(3.7)

Отсюда следует, что функция / не есть разложение в ряд по степеням е; в самом деле, коэффициенты /п зависят от е сложным путем. Но зависимость осуществляется только через ра, и это однозначно определяет алгоритм. Если теперь подставить обе формулы (3.5) и (3.6) в уравнение (2.1), то получим

Со = 0,(3.8)

(Й)

^9_3№^1^.М^А = 1йьКи^8Т1, п>1, (3.9) UbОХ

k=0

где обозначения те же, что и в § 2.

Из уравнения (3.8) следует, что /0 — снова максвелловская функция. Однако данный метод существенно отличается от метода Гильберта: параметры газа (плотность, скорость и температура), входящие в эту максвелловскую функцию, являются теперь полными (неразложенными), в то время как в функцию распределения нулевого порядка метода Гильберта входят параметры газа только нулевого приближения.

Уравнение (3.9) снова записывается в общей форме (2.9). Условия ортогональности (2.10) здесь принимают вид

2 ^jWn-fe^ + div[j|Wn^] = 0.(3.10)

k=0

Но теперь нет свободных параметров, так как из (3.7) следует, что hn £ Ж (п ^ 1), т. е. ИЛ (п ^ 1) определяется единственным образом как функция от | и функционал от ра. Из (3.7) следует также, что все интегралы, стоящие под знаком суммы в (3.10), обращаются в нуль, за исключением одного, равного просто ра. Итак,

^l + div[J|Wn^]=0.(3.11)

Удовлетворить этим условиям совместности значит решить нашу задачу, т. е. найти d^^ldt (или DaY Действительно, после того как решено п-е уравнение из последовательности (3.9), из (3.11) определяется в явном виде зависимость D1^ от пространственных производных от ра.

Основной результат разложения Чепмена — Энскога состоит в том, что У-е приближение для макроскопических уравнений можно записать в виде

N

^ + div [j ^а 3 ^fnd^=O,(3.12)

n=0

где /п — функционалы от ра и функции от |, известные явно из решения последовательными приближениями. Главное отличие от процедуры Гильберта, основанной на решении нелинейного уравнения нулевого порядка и линейных уравнениях для вычисления поправок более высоких порядков, заключается в том, что теперь мы выбираем фиксированное N и получаем решение в этом приближении; чтобы найти решение более высокого порядка, мы должны решить совершенно новую, более сложную систему нелинейных уравнений.

На нулевом уровне мы снова имеем уравнения невязкого газа, ибо функция /о остается максвелловской. Чтобы посмотреть, что происходит на следующем уровне, запишем уравнение (3.9) для п = 1:

1 / Э^с. д \/ с23 \1 / д(0)о 3 \

р \ at' ёг Эх1 )р ' \ irt2 /г \ at axt )

(3.13)(3.13)

(3.13)

(3.13)

Здесь был использован явный вид /0 и, как обычно, с = | —v. При п = 0 из уравнения (3.11) получаем

dtdt0t0)Tdtdtdt0t0)Tdt9vk1^1dxiр8хк ’...ЭТ2dvj1dxi38xj "9vk1^1dxiр8хк ’...ЭТ2dvj1dxi38xj "p = pRT,p = pRT,(3.14)(3.14)

dt

dt

0t0)Tdt

dt

dt

0t0)Tdt

9vk1^

1dxiр8хк ’

...ЭТ2dvj

1dxi38xj "

9vk1^

1dxiр8хк ’

...ЭТ2dvj

1dxi38xj "

p = pRT,

p = pRT,

(3.14)

(3.14)

Подстановка этих соотношений в уравнение (3.13) дает

/с25\1 dT 1/1 оо \ dvt/о

\ 2RT ~т)Ci"т~a^ + "rt ViCh” с ^к) "a^ — L^v (3-15)

Уравнение (3.15) можно использовать для вычисления величины или, что эквивалентно, Д, которая требуется для записи в явном виде уравнения (3.12) при N = 1. Заметим, что левая часть уравнения (3.15) есть полином по с; более того, результаты умножения этого полинома на градиенты скорости и температуры можно отождествить с функциями ^Л1т (п = О, Z = 2 и /г = 1, I = 1, — I ^ т ^ Z), введенными в § 5 гл. 3. Отсюда следует, что уравнение (3.15) в случае максвелловских молекул решается тривиально, ибо тогда ^ш будут собственными функциями оператора L. Точнее,

^1 = Р гА^сг (-2ДГ —"2") "^г +

+ p-iB(Z)(CfCft-l^ft)^,(3.16)

где р — плотность, А (Г) и В (Г) зависят только от температуры и молекулярных констант и могут быть выражены через собственные значения %и и Z02 оператора столкновений (Л (Г) = (^ц/р)-1; В (Т) = (^TZoJp)”1); отметим, что р входит как множитель в выражения для Х^.

Мы видим, что Д = foh^ где hi определяется формулой (3.16), удовлетворяет условиям (3.7) и дает следующий вклад в тензор напряжений и тепловой поток:

у г \ dxj ' dxt J ' 3 г дх^ J и дх^ х ' Здесь ц и к пропорциональны В (Т) и А (71) соответственно и зависят только от температуры и молекулярных констант. Ясно, что уравнения (3.12) при N = 1 есть не что иное, как уравнения Навье — Стокса с соответствующими значениями коэффициентов вязкости и теплопроводности (так называемых коэффициентов переноса).

В случае более общих взаимодействий с центральным законом сил уравнение (3.15) нельзя решить в замкнутой форме. Однако угловая зависимость собственных функций при любом центральном законе дается сферическими гармониками (это следует из того, что L коммутирует с любым оператором поворота, действующим на с), так что формулу (3.16) можно записать в виде

h^A^c, Па^т^В^ г)^^-^^^, (ЗЛ8) где Л (с, Г) и В (с, Т) теперь являются еще и функциями скорости молекулы. Они удовлетворяют уравнениям

Ci ( 2RT 2") B^ctA),

1 / 1 х (3.19)

ду ^CiCk—g-c26ik) =L^ctck—c^ik) В]

с дополнительным условием

jл(c, 71) с4ехр [ — с2 (2Д71)"1] dc = O, . (3.20) о

которое требуется, чтобы выполнялись соотношения (3.7) при 72 — 1.

Легко проверить, что формулы (3.17) справедливы и здесь. Таким образом, первые два члена (п 1) разложения Чепмена — Энскога дают макроскопическую модель типа Навье — Стокса с коэффициентами переноса, зависящими только от температуры и молекулярных констант. Напомним, что вывод о независимости вязкости от плотности был одним из первых достижений кинетиче-

ской теории, ибо его получили прежде, чем были проведены соответствующие экспериментальные измерения.

Добавим, что вопрос о расчете ц и к (или А (с, Т) и В (с, Т)) для заданной модели молекул хорошо изучен, поэтому мы не будем его подробно рассматривать. Заметим только, что основная проблема состоит в решении уравнения

Lk = g, g, к^ Ж. (3.21) с заданным полиномом g. Можно использовать разложения по ^nim (^ = 1, 2; 0 ^ п ^ оо) или, что более эффективно, применить вариационный метод. Последний основан на том, что если к — решение уравнения (3.21), a к = к + 8k — любая другая функция из Ж1, то, полагая

Т (к) = (к, Lk) - 2 (g, к), (3.22) получаем

1$) = ^ LhH^. L8h) + (8h, Lh)+(8h, L8h)—2(g, h)-2(g, 8h)=

= -(^ h,K№ L8hY (3.23) где учтены симметрия оператора L и равенство (3.21). Но в силу (3.13) гл. 3

Т (X) < - (g, к) - Цо || 6k ||2, Но > 0, 8k £ Ж, (3.24) а это значит, что функционал Т достигает своего максимума (абсолютного), когда 8k = 0, т. е. h = k.. Тогда можно взять к в качестве пробной функции, содержащей определенное число параметров, и максимизировать Т (к) подходящим выбором этих параметров; результирующее значение к будет приближением к к. Эффективность метода значительно повышается тем, что можно связать значение, которое принимает Т (Н) при к = к, со значениями коэффициентов переноса. Благодаря этому относительная ошибка порядка, скажем, 6 в аппроксимации к при помощи к влечет за собой относительную ошибку порядка 62 в вычисляемых значениях ц и к.

Отметим также, что теория Чепмена — Энскога позволяет выразить коэффициенты вязкости и теплопроводности через молекулярные константы и показывает, что эти коэффициенты пропорциональны среднему свободному пробегу (действительно, согласно проведенному в § 1 рассмотрению, L'1 имеет порядок среднего свободного пробега). Это объясняет, почему число Прандтля

Рг = ср(т)’ (3.25)

где ср — удельная теплоемкость при постоянном давлении, для газа всегда порядка единицы. В случае максвелловских молекул

«очень легко вычислить Рг, ибо, выражая ц и к через ХЮ2 и Хи и учитывая, что для одноатомного газа ср = 57?/2, имеем

Рг = ^-,(3.26)

а последнее отношение равно 2/3, что можно показать при помощи уравнения (5.26) гл. 3.

Для немаксвелловских молекул число Прандтля слегка зависит от температуры, но всегда очень близко к 2/3. Следовательно, последнее значение можно считать типичным для одноатомного газа; эти результаты хорошо-согласуются с экспериментальными данными.

Отмеченный выше факт, а именно пропорциональность коэффициента вязкости определенному соответствующим образом среднему свободному пробегу, позволяет дать точное определение лоследнего понятия через первое. Часто используется определение

_ у^НГТ21,о 97\

рр*( •)

‘Оно согласуется с данным в § 1 качественным определением л позволяет ставить в соответствие понятию среднего свободного лробега определенное число. Кроме того, оно позволяет легко -сравнивать результаты, соответствующие различным макроскопическим моделям, ибо дано через макроскопически измеримые величины и, следовательно, не зависит от предположений о межмолекулярных взаимодействиях.

Преимущества и недостатки разложений Гильберта и Чепмена — Энскога

Мы уже указывали, что при помощи разложения Гильберта нельзя получить равномерно пригодные решения. Это следует из того, что решения уравнений невязкого газа невозможно уточнить так, чтобы они описывали вязкие пограничные слои, даже путем учета поправок высших порядков, а также из того, что параметр 8 входит в уравнение Больцмана сингулярным образом, из результатов исследования нестационарных проблем (где сингулярные члены вводятся высшими приближениями) и т. д. Все это, однако, не препятствует тому, чтобы оборванное разложение Гильберта с любой заданной точностью удовлетворяло уравнению Больцмана в подходящим образом выбранных пространственновременных областях (которые мы будем называть нормальными областями) при условии, что расстояния от известных сингулярных поверхностей конечны, а 8 достаточно мало. Рассмотрим кратко этот вопрос.

Очевидно, что если подставить оборванное разложение Гильберта в уравнение Больцмана, последнее будет выполняться с ошибкой порядка е,п. Поэтому можно использовать разложение Гильберта для аппроксимации определенных решений (нормальных решений) уравнения Больцмана со сколь угодно малой ошибкой при достаточно малом е (строгие оценки в случае линеаризованного уравнения Больцмана приведены в работе Грэда [6]).

Чтобы понять, что представляют собой эти нормальные решения, заметим, что упомянутый выше остаток порядка еп содержит пространственные производные порядка п; следовательно, для существования нормальных решений требуется высокая степень их гладкости. Это наводит на мысль, что нормальные' решения неприменимы в пространственно-временных областях, где профили плотности, скорости и температуры становятся очень крутыми. Ясно, что к таким областям относятся окрестности границ (пограничные слои), начальная стадия (начальный слой) и ударные волны (ударные слои).

К тому же выводу можно прийти, если заметить, что в разложении Гильберта предполагается, что djldt и dj!^ имеют одинаковый порядок с /, в то время как они порядка //е всякий раз, когда изменения / на масштабе среднего свободного пробега существенны. Еще одной недопустимой областью для разложения Гильберта является «финальный слой», т. е. эволюция на временах порядка 1/е; на таком масштабе величина djldt ~ е/ пренебрежимо мала по сравнению с /, а разложение становится неравномерным, ибо djldx ~ / стремится стать того же порядка величины, что и dfldt.

В соответствии с проведенным анализом заключаем, что нормальные решения аппроксимируют (для достаточно малых е) решения любых задач, если только указанные выше слои исключены. Однако для того чтобы решить дифференциальные уравнения, которым в соответствии - с методом Гильберта подчиняются параметры течения ра, необходимо дополнить их соответствующими начальными данными, граничными условиями или условиями сращивания на ударной волне, т. е. нужно пройти через те области, где теория не имеет места. Очевидно, для завершения теории мы должны решить следующие три проблемы «связи» через слои, внутри которых разложение Гильберта теряет силу:

Установить связь между заданной начальной функцией распределения и решением по Гильберту, справедливым после начального переходного процесса.

Установить связь между заданным граничным условием для функции распределения и решением по Гильберту, справедливым вне пограничного слоя.

Найти правильные условия сращивания решений по Гильберту, «управляющих» течением с двух сторон ударного слоя.

Обзор нынешнего состояния этих трех проблем «связи» будет дан в § 5; коротко говоря, для начального слоя имеется довольна полная теория, для пограничного слоя — качественная теория, а сращивание через ударные слои было проведено только с феноменологической точки зрения.■

В методе Чепмена — Энскога делается попытка преодолеть одну из многочисленных неоднородностей разложения Гильберта. В качестве исходной здесь используется макроскопическая информация о том, что, кроме кинетических слоев (порядка е), в окрестности границ существуют и вязкие слои (порядка е1/2), и дается единое описание как вязких слоев, так и нормальных областей. В то же время этот метод ликвидирует неоднородность «финального слоя», так как в нем учитываются вклады различных порядков по е в производные по времени от пространственных производных. На самом деле факты существования вязких слоев и «финального слоя» взаимосвязаны, и в теории Чепмена — Энскога просто принимается во внимание существование и практическая важность режимов с, cZ2 (еТ1)-1 ^ 1 (где Т и d — характерные время и длина; Т можно заменить другой характерной длиной, отличной от d\

Основной результат метода Чепмена — Энскога заключается в возвращении к макроскопическому описанию Навье — Стокса — Фурье путем соответствующего разложения определенных решений уравнения Больцмана. Таким образом, можно ожидать, что теория Чепмена — Энскога гораздо точнее теории Гильберта. С другой стороны, рассматривая высшие приближения метода Чепмена — Энскога, мы получаем дифференциальные уравнения все более высокого порядка (так называемые барнеттовские и супербарнеттовские уравнения), относительно которых ничего неизвестно, нет даже должных граничных условий. Эти уравнения более высокого порядка никогда не имели заметного успеха в описании отклонений от механики газа как континуума. Более того, предварительный анализ проблемы граничных слоев, по-ви- димому, дает одинаковое число граничных условий для приближений любого порядка (см. следующий параграф), в то время как порядок производных увеличивается.

Эти и другие факты наводят на мысль, что теория Чепмена — Энскога идет слишком далеко в направлении учета вкладов различных порядков по 8 в производную по времени: допустимы режимы не только с cZ2 (еГ) «1, но и с dnvl (^Т)'11 (п ^ 0).

Это означает, что «финальный слой» описывается слишком подробно (физически неуместно) и к тому же учитываются граничные слои (возможно, несуществующие) порядка 8пЛп+1> (п ^ 2). Практически мы усложняем уравнения либо ненужными, либо несуществующими подробностями.

Тот факт, что разложение Чепмена — Энскога может вводить решения, которые просто не существуют, не является странным:

в методе Чепмена — Энскога оператор Sa (рР) (существование которого доказано по крайней мере в асимптотическом смысле для 8—^0 при помощи разложения Гильберта) разлагается в ряд по дифференциальным операторам, несмотря на то, что о свойствах Sa (рР) ничего не известно. Очевидно, что такой метод может вводить посторонние решения. Проиллюстрируем это на примере оператора Де:

Ае/ = / (ж + е) — / (ж),(4.1)

причем

М = о.(4.2)

Оператор Де допускает разложение

- 8 дх + 2! дх^ + * * * + п\ дх^ + * * * 1^’^

сходящееся в случае, когда оно применяется к достаточно гладким функциям от х (аналитическим функциям). Если оборвать разложение на первом члене, то уравнение (4.2) превращается в уравнение

^ = 0;(4.4)

если же оборвать на втором члене, то получим

df 82d2f n,, г.

+(4.5)

дх 12дх2х 7

Уравнение (4.4) имеет общее решение /* = const, удовлетворяющее и уравнению (4.2). Общее решение / = А + В ехр (—2^/s) уравнения (4.5) удовлетворяет уравнению (4.2) только при В = 0. Это значит, что разложение Чепмена — Энскога может вводить ложные решения. Заметим, что уравнение (4.2) имеет и другие решения, кроме / = const, а именно все периодические функции с периодом 8. Однако эти функции изменяются так быстро (при малых е), что их нельзя получить разложением в ряд по степеням 8. Разложение Гильберта для уравнения (4.2) (/ разлагается вместе с Д8 по степеням 8) снова дает / = const, но без дополнительных решений (в любом приближении). Отметим также, что решение первого порядка по Чепмену — Энскогу содержит член (ложный член), который меняется на масштабе порядка 8, т. е. на том же масштабе, что и отброшенные решения. Аналогичные явления наблюдаются при изучении членов высших порядков разложения Чепмена — Энскога решений уравнения Больцмана.

Возможный способ избежать трудностей высших приближений, сохранив преимущества разложения Чепмена — Энскога, может базироваться на том, что режимы с d2 (сГ)-1 ^1 признаются важными, а режимы с (Zn+1 (8ПГ) ^1 (^ ^ 2) рассматри-

ваются как физически неинтересные. Это приводит к новому типу разложения, когда производная по времени разбивается на две части

а / разлагается в ряд

/= 2 е"/п. (4.7) п=0

Наличие второго члена в (4.6) налагает ограничение на разложение /. Если учесть, что разбиение (4.6), вызвано взаимодействием между членами нулевого и первого порядков по 8, то проще всего предположить, что вклад в параметры течения от членов нечетных порядков равен нулю:

jWn^ = 0, м=1, 3, 5, .... (4.8)

Ясно, что такое разложение есть только частный пример из бесконечного числа возможных разложений этого типа. Наиболее общее разложение основано на оборванном разложении производной по времени (разложение (3.5), оборванное на п = N^ и определенных условиях, регулирующих вклады различных порядков в параметры течения (условия (3.7) для п ^ (N + 1) к; к = 1, 2, 3, . . .). Разложение Гильберта соответствует значению N = 0, а разложение Чепмена — Энскога — значению N = оо; предложенный выше частный способ соответствует значению N = 1. Этот частный выбор диктуется имеющейся на макроскопическом уровне информацией; он также подсказывается предварительными исследованиями кинетических граничных слоев (см. следующий параграф). Действительно, эти исследования, по-види- мому, доказывают, что выбор 'N = 1 является единственным, для которого процедура сращивания дает число граничных условий, необходимое и достаточное для решения математически правильно поставленных задач.

Предложенный метод (N = 1) идентичен методу Чепмена — Энскога вплоть до приближения Навье — Стокса. Дальнейшие приближения аналогичны разложению Гильберта; существенными отличиями будут только следующие: вместо линеаризованного оператора Эйлера Е^ входит линеаризованный оператор Навье — Стокса N^, полная система уравнений сохранения выписывается на каждом втором (а не на каждом) шаге.

Закончим этот параграф замечаниями по поводу часто задаваемого вопроса: сходятся ли разложения Чепмена— Энскога и Гильберта? В общем это трудный вопрос, хотя для частных случаев сходимость можно доказать или опровергнуть в рамках линеари-

Проблемы начальных данных, граничных условий и ударных слоев 133 зованного уравнения Больцмана (см. гл. 6). Однако с практической точки зрения этот вопрос не имеет существенного значения; важнее то, что указанные выше ряды дают асимптотические решения (для 8-^0) уравнения Больцмана в определенных областях, выделяемых условием существования и ограниченности (вообще говоря, не равномерной по отношению к порядку) всех пространственных производных от гидродинамических переменных. Существование и ограниченность всех производных является, конечно, жестким требованием, но это по существу есть условие, определяющее нормальные области.

Проблемы начальных данных, граничных условий и ударных слоев

Как отмечалось выше, теория Гильберта неполна, а чтобы сделать ее полной, необходимо решить три задачи связи о начальном, пограничном и ударном слоях. Те же проблемы возникают и в случае разложения Чепмена — Энскога, а также и в случае модифицированного разложения, предложенного в § 4. Мы рассмотрим сначала задачу о начальном слое, следуя работе Грэда [6]. Полная теория должна заниматься сращиванием упомянутых разложений с произвольными начальными данными, однако такая теория включает в себя решение нелинейных интегро-дифференциальных уравнений д практически мало полезна. Действительно, принимая во внимание характер гильбертова и аналогичных ему разложений, мы можем ограничиться выбором начального условия того же типа, что и само решение, т. е. условия, сводящегося при 8 0 к максвелловской функции. Итак, начальные данные произвольны в рамках условия, согласно которому их можно записать в виде jM + sfNl где fM — максвелловская функция.

Чтобы исследовать начальный слой, изменим масштаб времени: т = 2. (5.1)

Эта замена обеспечивает конечную продолжительность начального слоя в масштабе т. Будем искать решения уравнения Больцмана (2.1) в виде

/ = /н (х, 1, t; 8) + е/д (х, I, т; е), (5.2)

где т = t/в. Главный член /н дается гильбертовым или аналогичным ему типом разложения (в дальнейшем называемым просто разложением Гильберта), а «остаток» fR разлагается' так:

е/н = 2 8п+1/Я(п+1) (х, 1, ty (5.3)

Дополнительный множитель 8 появляется из-за сделанного выше предположения о допустимых начальных состояниях. Разложение Гильберта /н формально удовлетворяет уравнению Больцмана; поэтому после подстановки в уравнение (2.1) имеем

= M + ^QUr, /r)-(5-4)

Чтобы получить уравнение, содержащее только т, запишем /н (х, |, V, е) = /и (х, 1» 8Ч е) и разложим последнее по степеням е. Это приводит к перегруппировке ряда по степеням 8, даваемого разложением Гильберта:

/н= 3 8П/н(п)(х, I, т),(5.5)

71=0

где первый член /що) — это не зависящая от времени локальная максвелловская функция. Заметим также, что разложение по ет не изменяет исходного ряда при t = т = 0.

Подставляя разложения (5.3) и (5.5) в уравнение (5.4), находим

^ = Lgu^G^n>i,(5.6)

где

= fH(0^gnsп> 1,

n- 1

Gn= -[1-^^+ ^QUhw + W Ir^]^(5.7)

R=i'

Линеаризованный оператор столкновений L базируется на максвелловской функции /що)? следовательно, его собственные значения и собственные функции зависят от пространственных переменных, но не от времени. Так как функция / в виде (5.2) должна удовлетворять начальным условиям, то /що) есть не что иное, как фигурирующая в начальных данных максвелловская функция /м; это полностью определяет L. Теперь разложим заданную в начальный момент времени функцию / в ряд по степеням 8

7= 3 е"7п(5.8)

п=0

и потребуем почленного удовлетворения начальных условий:

/н(п) + /п(п) = /п,П^^.(5.9)

Уравнение (5.6) спроектируем на пространство J^, натянутое на инварианты столкновений. Тогда

где р“п;— вклад в ра от тг-го члена разложения остатка fpw Из уравнения (5.10) вытекает, что

т

Рт>(х, т) = Р“п)(х. 0) — j dT j Ы-"^^2-^-(5.11)

О

Заметим, что можно вычислить вклад тг-го порядка в ра (х, 0), ч. е. р“ (х), с помощью заданной в начальный момент времени величины /; однако необходимо знать, как эта величина должна быть «распределена» между р^ (остатком) и р^ (разложением Гильберта). Стоит разрешить эту проблему, и начальные данные, соответствующие разложению Гильберта, будут известны; пока же мы знаем только, что

Pn(x, 0) + p»,(x, 0)=р“(х).(5.12)

Выставить начальное значение для разложения Гильберта значит выбрать то частное разложение Гильберта, которое описывает определенную задачу; действительно, фигурирующие в разложении Гильберта величины р должны быть физическими величинами р, когда разложение Гильберта справедливо, т. е. после нескольких средних времен свободного пробега. Мы не можем сказать, что начальные значения р^ для решения Гильберта — это просто р^, так как это было бы равносильно требованию, чтобы асимптота (решение Гильберта) кривой (данное решение) пересекала кривую при t = 0, что заведомо бессмысленно. Вместо этого мы должны потребовать, чтобы на больших временах полное решение / отличалось от fH на пренебрежимо малую величину. В частности, вклад р^} (х, f) остатка в гидродинамические переменные должен стремиться к нулю при т -> оо; этого легко достичь, используя уравнение (5.11) и полагая

р“, (X, 0) = рт j -^n^- d^.(5.13)

о

Подставляя (5.13) в (5.12), получаем начальные условия для уравнений Гильберта:

р£(хЛ = РЙ(х)-рт д™(5-14)

О

Эти условия включают как физические данные р“, так и вклад решения fRm-n в предыдущем приближении. Можно показать, что интегральный член не дает вклада в начальные данные первого порядка, так что первая поправка будет порядка е2; в этом приближении поправка к начальному значению плотности отсутствует, и уточненные начальные условия для скорости и тем-

пературы принимают вид (Грэд [6]):

v (х, 0) = у — a ^div (a' gradu) grad (а/ div u) J , (5 15) Г (x, 0) = T — b div (b' grad u),

где v и T — физические начальные данные для скорости и температуры соответственно, а четыре коэффициента а, а', Ь, Ъ' таковы, что аа/ и ЪЪ' — порядка е2. Эти коэффициенты можно вычислить точно в случае максвелловских молекул; в частности,

аа ——, ЪЪ —, (5.16)

где Z — средняя длина свободного пробега, определяемая соотношением (3.26).

Полученные результаты показывают, что естественный подход, основанный на предположении р% (х, 0) = р£ (х), по существу справедлив на уровне уравнений Эйлера и Навье — Стокса; он неприменим на уровне уравнений Барнетта, статус которых, однако, не ясен, а практическая важность незначительна. Это означает, что разложение типа Гильберта корректным образом описывает начальный слой и не учитывает (обычно пренебрежимо малые) члены порядка е2. '

Ситуация иная в случае пограничных слоев. Мы уже знаем, что разложение Гильберта полностью «не замечает» не только кинетические пограничные слои, но также и вязкие пограничные слои; последние выявляются при помощи метода Чепмена — Энскога и метода, кратко описанного в § 4. В то же время кинетические слои порядка е опускаются всеми описанными до.сих пор разложениями по степеням е; чтобы «восстановить» их, мы должны применить растянутую переменную X = ж/е, аналогичную переменной т, использованной выше для начального слоя.

Рассмотрим случай границ, радиусы кривизны которых велики по сравнению со средним свободным пробегом, и граничные условия, не изменяющиеся существенно вдоль границы (на масштабе среднего свободного пробега); если эти условия не удовлетворяются, задача усложняется и становится двумерной или трехмерной по пространственным переменным вместо одномерной. Предположим далее, что отклонение функции распределения от максвелловской будет порядка 8 также и в окрестности границы; это допущение аналогично высказанной выше гипотезе о допустимых начальных данных.

При таких предположениях можно следующим образом построить в окрестности границы недекартову систему координат: выберем пару координат , at (i = 1, 2) на поверхности, через каждую точку х проведем прямую по нормали к поверхности

и возьмем в качестве координат точки х расстояние х вдоль нормали и координаты а^ (2 = 1,2) точки х0, в которой прямая встречает поверхность. Если л — единичный вектор нормали в точке X, то

Xj — xoj + ocTbji 71? 2, 3.

Из этого соотношения и из параметрических уравнений поверхности (tOj- = х05 (czi, а2)) легко получить daJdX^ (2 = 1, 2; к — = 1, 2, 3) и nft = дх/дхк как функции от az- и записать

/ = /с (х, atl §, t; ^ + е/в (X, аь ^ Z; с), X = ~ . (5-17)

Главный член /с дается разложением Чепмена — Энскога (или любым разложением, описывающим вязкий слой), a fR удовлетворяет уравнению

2

^n^ + d^+^.^^\=QU=JRWbQUr, Ir)• (5.18)- UЛ\ и иОХ UU^ /

2=1

Если теперь проделать то же самое, меняя ролями X и т,. то основное уравнение окажется таким:

^n^- = Lgn-VGn, п>1,(5.19)

причем Gn определяется из предыдущих приближений.

Задача решения уравнения (5.19) гораздо труднее аналогичной задачи решения уравнения (5.6); в частности, нельзя спроектировать уравнение (5.19) на ,f и получить уравнение, для гидродинамических переменных р^р ибо множитель |*п связывает гидродинамические переменные со всей функцией распределения. Это не позволяет написать уравнения, аналогичные уравнениям (5.14), до тех пор, пока мы не построили теорию решения уравнения (5.19) — задача нелегкая даже в случае максвелловских молекул. Более того, вто решение зависит от граничных условий, существенно более сложных по сравнению с начальными условиями.

Решение задачи связи для пограничных слоев гораздо важнее решения такой же задачи для начального слоя: можно показать, что влияние пограничных слоев проявляется уже в первом порядке по 8, т. е. на уровне уравнений Навье — Стокса. Можно показать также, что экстраполированными граничными условиями (в 8-приближении) будут

(5.20)(5.20)v"4n . A [v-n (n.v)J1/2n X [ X n] = и0,

(5.20)

(5.20)

г~та.-|Г-%(2Я7у1/2 [nx (nx^)^(v-n(n.v)) = r0,

где и0 и 70 — соответственно скорость и температура границы, ^ оз, т — коэффициенты порядка среднего свободного пробега. В частности, £ характеризует тенденцию газа скользить по твердой стенке при наличии градиентов скорости и называется коэффициентом скольжения, а т характеризует тенденцию газа иметь температуру, отличную от температуры стенки, и называется коэффициентом температурного скачка. Коэффициенты £, оз и т были вычислены при помощи кинетических моделей; использованная для этих вычислений методика будет изложена в гл. 7. Заметим, что когда средний свободный пробег не просто мал, а пренебрежим, то граничные условия сводятся к v = и0, Т = То, т. е. газ не скользит и полностью приспосабливается (аккомодирует) к температуре стенки.

Третья задача связи (ударный слой) была изучена только, с помощью аналогии с пограничными слоями (Пэн и Пробстин [15]). Решить эту задачу для разложения Гильберта с помощью кинетической теории трудно уже в нулевом приближении (задача о структуре скачка), но условия сращивания тривиальны (условия Ранкина — Гюгонио). Аналогичная задача для теории Чепмена — Энскога (или модифицированной теории, предложенной в § 4) представляется интересной и возможно более легкой, чем задача для разложения Гильберта, но попытка ее постановки в рамках уравнения Больцмана никогда не предпринималась.

Кинетические модели и теория Чепмена — Энскога

Изложенные в этой главе методы применяются не только к самим уравнениям Больцмана, но и к уравнениям типа Больцмана, которые получаются, когда квадратичный оператор столкновений заменяется модельным оператором J (/) (гл. 4). Отличия возникают только в связи с разложением нелинейных членов по •степеням 8, ибо нелинейность моделей, вообще говоря, сложнее квадратичной. Эта особенность не проявляется, однако, раньше второго (члены порядка 82) приближения. Вследствие этого модели правильно «воспроизводят» уравнения Эйлера и Навье — Стокса, причем можно подогнать даже значения коэффициентов вязкости и теплопроводности так, чтобы они были согласованы с точными, если модели содержат по крайней мере два свободных параметра. Это несправедливо в случае простейших моделей, таких, например, как БГК-модель, и мы должны решать, что подогнать — вязкость или теплопроводность.

Так как БГК-модель часто используется, мы бегло опишем первые приближения теории Чепмена — Энскога применительно к этой модели. Как уже отмечалось, уравнения нулевого и первого порядков будут формально такими же, что и в случае уравнения Больцмана: функция /0 — максвелловская, a ft foh^

необходимо найти из уравнения (3.15), где теперь, однако, L — линеаризованный БГК-оператор. Описанный в § 2 гл. 4 метод Гросса и Джексона построения моделей показывает, что линеаризованный БГК-оператор имеет те же собственные функции, что и оператор столкновений максвелловских молекул; различных собственных значений теперь только два: X = О (соответствующее пяти инвариантам столкновений) и X = —v (соответствующее •остальным собственным функциям). Следовательно, решение уравнения (3.15) в случае БГК-модели снова дается формулой (3.16), где А (Т) и В (Т) по существу те же, что и для максвелловских молекул (отличие только в числовых множителях). Главное следствие бесконечнократного вырождения собственного значения X = = —v состоит в том, что число Прандтля (по-прежнему даваемое формулой (3.25)) равно теперь 1, так как %и = Х02 = —у. Этот вывод подтверждает упомянутый выше результат, что нельзя одновременно подогнать ц и к, если применяется БГК-модель; однако это можно сделать, используя эллипсоидальную статистическую модель или нелинейные модели, описанные в § 2 гл. 4.

Указания

Разложение Гильберта см.

Гильберт (Hilbert D.\ Math. Ann., 72 (1912), 562;

{2] Гильберт, (Hilbert D.), Grundzuge einer Allgemeinen Theorie der Linearen Integralgleichungen, Chelsea Publishing Co., New York, 1953.

Метод Чепмена — Эпскога изложен в работах

] Чепмен (Chapman 5.), Phil. Trans. Roy. Soc., A216 (1916), 279; 217 (1917), 115;1

] Энског (Enskog D.), Dissertation, Uppsala (1917); Arkiv Mat., Ast. och. Fys., 16 (1921), 1.

Результаты для различных законов межмолекулярных сил, газовых смесей и т. д. подробно изложены в [7] гл. 1 и в книге

Гиршфельдер Дж., Кертисс Ч., Берд Р., Молекулярная теория газов и жидкостей, ИЛ, М., 1961.

Доказательство того, что разложение Гильберта дает асимптотические решения линеаризованного уравнения Больцмана, приведено в статье

Грэд (Grad, Н.), Phys. Fluid, 6 (1963), 147 (русский перевод в сб. «Некоторые вопросы кинетической теории газов», изд-во «Мир», М., 1965).

Три проблемы связи поставлены в [9] гл. 1. Неоднородность разложения Гильберта при больших временах отмечена в статье

Богуславский (Boguslawski 5.), Math. Ann., 76 (1915), 431.

Уравнения Барнетта получены в работе

Барнетт (Burnett D^, Proc. London Math. Soc., 39 (1935) 385; 40 (1935), 382.

Модифицированные двухвременные разложения предложены здесь впервые, а предыдущие попытки аналогичной перегруппировки ряда Чепмена — Энскога можно найти в работах

Шэмберг (Schamberg R.^ Ph. D. Thesis, Calif. Inst. Technology (1947);

Черчиньяни (Cercignani C.^ Higher order slip according to the linearized Boltzmann equantion, University of California Report № AS-64-1S (1964);

Триллинг (Trilling L.^ Phys. Fluids, 7 (1964), 1681.

Теория начального слоя описана в [6], а краткий анализ пограничного слоя дан в [10] (вычисления до конца проведены для плоского случая с БГК-моделыо). Влияние кривизны стенки изучено в работах

Трэд (Grad Н.^ в сб. «Proc. Sympos. Appl. Math. Soc. and Soc. Industr. and Appl. Math., New York, 1967, Vol. XX, Transport Theory», Providence, R. J., 1969;

Соун (Sone Y.^ в сб. «Rarefied Gas Dynamics» под ред, Trilling L.y Wachman H., Vol. 1, Academic Press, New York, 1969;

Даррозе (Darrozes J. 5.), веб. «Rarefied Gas Dynamics» под ред. Trilling L.,

Wachman H., Vol. 1, Academic Press, New York, 1969<

Граничные условия (5.20) хорошо известны, впервые они были предложены Максвеллом в [1] , гл. 2. Ударный слой исследован в работе

Пэн, Пробстин (Pan Y. S., Probstein R. F?p в сб. «Rarefied Gas Dynamics» под ред. Laurmann J. A., Vol. 2, Academic Press, New York, 1963.

Глава 6

ЛИНЕАРИЗОВАННОЕ УРАВНЕНИЕ БОЛЬЦМАНА

Общие рассмотрения

Метод Гильберта и метод Чепмена — Энскога — это методы теории возмущений для решения уравнения Больцмана в предположении малости числа Кнудсена; другие методы, основанные на предположении, что число Кнудсена велико, будут кратко описаны цозже (§ 3 гл. 8). Указанные два подхода справедливы в режиме, близком к режиму сплошной среды, или режиме скольжения (Кп ^ 0), ив так называемом почти свободномолекулярном режиме (Кп оо). Оба они основаны на определенном предположении о порядке величины числа Кнудсена. Таким образом, промежуточный режим (так называемая переходная область) остается незатронутым ни тем, ни другим подходом, поскольку его нельзя описать ни с помощью высших приближений теории сплошной среды, ни с помощью поправок к теории невзаимодействующих частиц. Изучение переходного режима требует использования полного уравнения Больцмана (или по крайней мере достаточно точных моделей последнего). Следовательно, если мы хотим исследовать переходный режим, то необходимо или отказаться от мысли использовать методы возмущений, или разыскать какой-либо другой параметр, отличный от числа Кнудсена, который можно было бы считать малым в подходящих условиях.

В соответствии с проведенным анализом (§ 1 гл. 5) заключаем, что в уравнение Больцмана входит по существу один безразмерный параметр (число Кнудсена); поэтому необходимо найти новый «малый» параметр не в самом уравнении Больцмана, а в начальных или граничных условиях. Примем, что такой параметр 8 (или параметры) существует и определяется начальными или граничными условиями (причины его появления будут рассмотрены позже). Не выясняя физический смысл этого параметра, разложим / в степенной ряд по 8

/= §(1-1)

п=0

и подставим это разложение в уравнение Больцмана ^№^-Qkf,tY(1-2)

В результате получим

^JrV^-Qy«.to,(1.3)

+(1.4).

(см. § 1 гл. 3).

Из уравнения (1.3) видно, что /0 должно быть решением уравнения Больцмана. Так как нам не известно решений, отличных от максвелловских, то мы фактически вынуждены выбрать функцию /0 максвелловской; в противном случае определение нулевого приближения было бы столь же трудным, как и решение исходного уравнения. Хотя имеются максвелловские функции распределения с переменными плотностью, скоростью и температурой, являющиеся решениями уравнения Больцмана, они составляют очень узкий класс решений, пригодный только при весьма специальных условиях (специальные начальные и граничные- данные). Выберем поэтому функцию /0 максвелловской с постоянными параметрами (в частности, выбирая подходящую систему отсчета, мы всегда можем положить массовую скорость равной нулю). Для наших целей этот выбор достаточно широк. Теперь можно положить /п = /0^п (п ^ 1) и написать

SrW^T^Lh^-VS^ п>1,(1.5)

п- 1

51 = 0; И'^РШоМ. п>2,(1.6)

'к=1-

где опять использованы результаты § 1 гл. 3; в частности, L — линейный оператор, соответствующий /0.

Уравнения (1.5) описывают метод последовательных приближений решения уравнения Больцмана. Интересно, что на каждом шаге надо решать одно и то же уравнение с различным неоднородным членом, который должен быть выражен через функции распределения предыдущих приближений. В этом отношении метод подобен методам Гильберта и Чепмена — Энскога; здесь, однако, оператор, действующий на неизвестную функцию КП1 не просто оператор L, а более сложный интегро-дифференциальный оператор. Иными словами, уравнения, которые нужно решать, столь же сложны, как и исходное уравнение Больцмана, не считая нелинейности, которой мы избежали. Появление в каждом приближении одного и того же оператора позволяет рассмотреть лишь первое приближение, т. е. изучать уравнение

(1.7)(1.7)dh ЭК Т1

(1.7)

(1.7)

St 1 3 dx

Присутствие неоднородного члена в последующих приближениях едва ли усложняет решение уравнений, так как хорошо известные методы дают возможность решать линейное неоднородное уравнение, коль скоро получено решение соответствующего однородного уравнения. -

Как указывалось выше, уравнение (1.7) подобно полному уравнению Больцмана, за исключением того, что оно линейно; поэтому его называют линеаризованным уравнением Больцмана.

Изучение линеаризованного уравнения Больцмана важно по крайней мере по трем причинам:

Существуют условия (определяемые ниже), при которых результаты, полученные из линеаризованного уравнения Больцмана, можно использовать для достоверного описания физической картины.

Из совпадения структур линеаризованного и полного уравнений Больцмана (за исключением нелинейности интеграла столкновений) следует, что, изучая линеаризованное уравнение, можно понять свойства решения полного уравнения Больцмана. Эти свойства, очевидно, не связаны с нелинейными эффектами, а определяются, например, поведением вблизи границ. Действительно, в последнем случае нелинейность интеграла столкновений, вероятно, вносит малые изменения и основные свойства вытекают из общей формы уравнения и граничных условий.

Частными случаями линеаризованного уравнения Больцмана являются уравнения, встречающиеся при изучении проблем сопряжения начальных и граничных условий с разложениями Гильберта и Чепмена — Энскога; следовательно, при решении уравнения (1.7) в качестве побочного результата будут изучены кнудсеновские слои, которые обсуждались в гл. 5.

Теперь нужно определить условия, при которых для получения результатов, имеющих физический смысл, можно использовать линеаризованное уравнение Больцмана; как указано раньше, эти условия должны быть определены начальными и граничными условиями. Поскольку решение уравнения Больцмана разыскивается в- виде / = /0 (1 + й) при условии, что h можно рассматривать как величину, в некотором смысле малую по сравнению с единицей, необходимым условием является малость К при t = 0 и на границе.

Следовательно, первое условие заключается в малости отклонения начальных данных от основной максвелловской функции распределения /0; это не обязательно означает, что h мало всюду при t = 0, а только, например, что \\h || < 1 (весовая функция в определении нормы есть /о/ро)- Функция / (х, |, 0) = / (х, |), например, может быть тоже максвелловской функцией, зависящей от координат, с плотностью, скоростью и температурой, слегка отличающимися от соответствующих параметров функции /0. Это

условие означает, что величины

1 Р"Ро |_ I ^~^0 I I У —v0 I/л о\

Ро ’^о ’^r^

(где р0, v0 и ^ — параметры функции /0, а р, v и Т — параметры начальной функции /) малы по сравнению с единицей. Можно показать, что при выполнении этого условия две максвелловские функции, действительно, близки друг к другу.

Когда рассматриваются граничные условия, положение точно такое же; теперь нужно отбросить ограничение на плотность, не имеющее, очевидно, смысла, но условия для температуры и массовой скорости те же, что и выше (Т и v означают теперь температуру и скорость стенки). Поскольку этот результат не так очевиден, как для начальных условий, заметим, что если положить

/=/о(1+А),(1.9)

то граничные условия, т. е. уравнение (4.7) гл. 2, можно переписать в виде

h® = MlW j А^^(1.10)

с' • п<0

где

Ы1) = 1/о(1)|с-п|Г j В(|'^1,х)/0Ос'.п|^'-1,(1.11)

с' • п<0

Л(|'^|,х) = [/0(|)|с.п|ГВ(^^|,х)/0(П|с'.п|.(1.12)

Теперь очевидно, что К может быть малым в некотором смысле, только если неоднородный член hQ мал (в некотором подходящем смысле). Это означает, что если / (|, х) (х £ 0R) — максвелловская функция с той же плотностью, что и /0 (1), но со скоростью и температурой; равной скорости и температуре стенки в точке х (так что / удовлетворяет принципу детального баланса в точке х), то разность 1 — (///0) мала по сравнению с единицей и определяет порядок величины К (на границе). Это в свою очередь означает, что скорость и температура границ (в том числе и возможных границ на бесконечности) должны быть мало возмущены, т. е., как указывалось ранее, относительные скорости и разности температур должны быть малы в том смысле, что должны быть малы величины (1.8).

Уравнения (1.10) — (1.12) точные; удобно, однако, произвести упрощения, не нарушающие точности линеаризации, т. е. линеаризовать В (£'|, х) по отношению к малым параметрам

| Т — Tq \! Т^ и | и — u0 |/)/7?710. Линеаризовать можно оба

уравнения (1.11) и (1.12); в первом случае должны быть сохранены члены первого порядка (члены нулевого порядка пропадают из-за принципа детального баланса), а во втором остаются члены только нулевого порядка (так как члены первого порядка в A (l'^- 1, х) при умножении на h, становятся величинами второго порядка, как в уравнении (1.10)).

Приближение нулевого порядка для В (§' |, х) больше не зависит от х (для граничных условий, зависящих лишь от локальных значений скорости и температуры границы) и удовлетворяет тем же соотношениям, что и точная функция В (§' х), но только теперь граничная максвелловская функция заменяется на основную /0 (g). Для граничных условий остаются справедливыми, с очевидными изменениями, все полученные ранее результаты; в частности, модель граничных условий для линеаризованного уравнения Больцмана можно построить так же, как это сделано в гл. 4 для полного уравнения.

Как было указано, необходимое условие для-линеаризации — малость неоднородных членов в начальных и граничных условиях. Для того чтобы определить, является ли это условие также и достаточным, надо исследовать начальную и граничную задачи для линеаризованного уравнения Больцмана и доказать, что существует одно и только одно решение данной граничной задачи и что это решение остается малым, если упомянутые неоднородные члены достаточно малы. Нужно также доказать, что если выполнены необходимые условия линеаризации, то разность между нелинейным и линеаризованным уравнениями есть величина более высокого порядка малости; это нужно, чтобы необходимые условия были также и достаточными.

В настоящей главе мы будем в основном заниматься этими задачами. Мы рассмотрим также тесно связанную с ними задачу о возможности аппроксимации с заданной точностью решения нелинейного уравнения Больцмана последовательностью решений, которые удовлетворяют последовательности модельных уравнений, аппроксимирующих линеаризованное уравнение Больцмана.

Характер материала, представленного в настоящей главе, таков, что удобно использовать «симметризованные» обозначения Я, L, введенные в § 2 гл. 3, чтобы в определение скалярного произведения в не входила максвелловская весовая функция. Однако мы будем писать h и L, подразумевая под ними прежние h и L. Путаницы возникнуть не должно, поскольку в этой главе h и L не употребляются в старом смысле.

Будем считать, что для обсуждаемых граничных задач выполняются предположения, сделанные относительно граничных условий в § 4 гл. 4. В частности, из- условия (4.5) гл. 4 следует,

ЧТО

J ||.п||^|2^С J Ц.п||/1|2^,(1.13)

£-п>0|.п<0

где

Ah = - j [/о^)]172'^'^)^)]-17^(1.14)

V-n<0

Здесь A^' 1)—приближение нулевого порядка к Л (!'->- |, х), определенное выше (из-за линеаризации и принятого равенства нулю массовой скорости основной максвелловской функции всюду вместо | с»п | стоит | |»п |). В только что введенных обозначениях граничные условия запишутся в виде

Д = До + Ah, §-п>0.(1.15)

В дальнейшем для функций, определенных вдоль границы, удобно использовать норму

IlHW. h)B(1.16)

и скалярное произведение

<h,g^B=^as j ^.ni^,(1.17)

-dH |-n>0

где dS — элемент поверхности. Тогда неравенство (1.13) преобразуется к виду (для любой функции h, определенной при |«п < 0)

\\ Ah \\B^\\Rh ||в,\\ Ah \\B^\\Rh ||в,(1.18)(1.18)

\\ Ah \\B^\\Rh ||в,

\\ Ah \\B^\\Rh ||в,

(1.18)

(1.18)

где R — оператор зеркального отражения. Как указывалось в гл. 4, равенство в (1.18) достигается только тогда, когда h — постоянная, умноженная на /У2. Мы будем предполагать, что выполняется большее, а именно: если

(1.19)(1.19)yV\ h^B = 0,

(1.19)

(1.19)

то найдется такая постоянная о'<1, что

IKPy'^^l^^olKpy^TZA-IlB, <5<1,(1-20)

где Р = Р (9 — функция молекулярной скорости, причем 0 < < Р (1) < Ро (1 + 12)-1/2. Очевидно, что максвелловские граничные условия при а = 1 — а удовлетворяют неравенству (1.20).

В настоящей главе мы ограничимся линеаризованным уравнением Больцмана с «разделенным временем»

sh-H-^Lh,sh-H-^Lh,Re 5>0,Re 5>0,(1.21)(1.21)

sh-H-^Lh,

sh-H-^Lh,

Re 5>0,

Re 5>0,

(1.21)

(1.21)

которое следует из (1.7), если постулировать экспоненциальную зависимость от времени (h ~ esl\ Уравнение (1.21) описывает стационарные задачи (s = 0), задачи об установившихся колебаниях (s = ш, со — действительное число), а также любую задачу с начальными данными, если ее изучают при помощи преобразования Лапласа по временной переменной (вообще говоря, при применении преобразования Лапласа появляются начальные данные, но так как они входят в виде неоднородного члена, то это, как указывалось ранее, несущественно усложняет задачу). Задачи с начальными данными можно также исследовать непосредственно (без применения преобразования Лапласа) методами, предлагаемыми в этой главе; ради краткости мы здесь этого делать не будем. (Исследование задач с начальными данными в бесконечных областях или в областях с зеркально отражающими границами см. в работах, цитируемых в конце главы.)

Свободномолекулярвый оператор

В этом параграфе мы рассмотрим свободномолекулярный оператор ^-д/дх, действующий на функцию h, при граничных условиях

К (х0, I) = Ah, x0£dR, g-n>0, (2.1)

где OR — граница ограниченной области R, а А — оператор, удовлетворяющий всем предположениям § 1. Введем еще дополнительное условие

((/1/2, ^ = 0, (2.2)

где двойные скобки означают скалярное произведение в гильбертовом пространстве функций, интегрируемых с квадратом по обеим' переменным х и | и определенных для любых 1 и х е r. Условие (2.2) необходимо для одноаначного определения h при обращении свободномолекулярного оператора, так как при сложении h с постоянной, умноженной па f^, оператор ^*д!дх не изменяется и h продолжает удовлетворять граничным условиям.

Покажем, что для любой функции Р (£), зависящей от молекулярной скорости и удовлетворяющей условиям 0 < Р (£) < < Ро (1 + £2)-1/2, выполняется неравенство

J|l ^ ^Wdx>^mw\\d№ (2.3)

если интегралы существуют. Здесь интегрирование по 1 ведется по всему пространству скоростей, а по х — по всей области R; d — хорда максимально возможной длины в R и у — положительная постоянная (зависящая от р и R).

Начнем с уравнения

=x^R, £€8,(2.4)

где к удовлетворяет указанным выше условиям. Для того чтобы функция к могла удовлетворить условиям сохранения числа молекул на стенке (v-n = 0 на стенке), g должна удовлетворить уравнению

jg(x, Vo^dx-O,(2.5)

которое следует из (2.4), если последнее умножить на /J/2, проинтегрировать и применить теорему Гаусса — Остроградского.

Проинтегрировав (2.4) вдоль характеристики оператора ^-д/дх, получим

h = go(s)+ho,"(2.6)

go^ = j g^do,'(2.7)

О

где 5 — параметр, меняющийся вдоль характеристики; к0 — значение fe, соответствующее 5 = 0, подлежащее определению из граничных условий. Здесь использовано сокращенное обозначение: g (s) — это значение g (х, |), вычисленное в некоторой (определяемой 5) точке выбранной характеристики. Для молекул, прилетающих в некоторую точку границы, равенство (2.6) имеет вид

MxOl "^ — g^x^W^G^"^ x0^dR, |.n<0, (2.8)'

где х0 — точка, сопряженная относительно | с точкой х0, т. е. х0 — х0 = к^, к > 0; если последнему соотношению удовлетворяет несколько точек границы, то нужно выбрать ту, которая соответствует минимальному значению к (отметим, что |*п > 0 в точке Хо, если |*п < 0 при том же 1 в точке х0).

Уравнение (2.8) можно теперь записать, поменяв ролями

х0 и х0 (очевидно, что х0 = х0):

^о (х0, 1) = —go (х0, 1) + ^о (х0, ^, х0 б дН, |-п > 0. (2.9)

Кроме того,

ЙО = Zo + Ако.(2.10)

где ____.

Ак0 = Ако. ко = ко (х0, ^), Zo (x0,£)=4g0(x0, ^).(2.11)

Уравнение (2.10) — это уравнение для к0; оно связывает значения ко в различных точках 0R при различных значениях | (|«п > 0). Если (2.10) решено, то результат можно подставить в (2.6) и выразить таким образом решение уравнения (2.4) через g.

Чтобы обсудить решение уравнения (2.10), представим й0 и g0 в виде

Ыхо, 1) = н(хо)/о/2 + ^(хо, I),

</9 -(2.12)

Z0(x0,I)=-v(x0)/S/2-Z(x0, |),

причем равенство

j У (х0, I)|I-n|[/o(I)]1/2^ = O Чх^дК (2.13) |-п>0

выполняется и при Y— К, и при Y = Z, так что

(hjVX=aa^X=o.(2.14)

Очевидно, что при соответствующем выборе ц и v разбиение (2.12) всегда возможно. Если Н удовлетворяет равенству (2.13), то и АН удовлетворяет этому равенству, и, значит, (2.10) можно записать в виде

ц (х0) = — V (х0) + -^- j |й'-п| р,(х0)</й',(2.15)

Й'ЧХО

h= —"T-VAh,(2.16)

где Q = |/g = (x0 — х0)/|х0 — х0|.

Согласно нашим предположениям, при выполнении условия (1.19) справедливо неравенство (1.20). Отсюда, если принять во внимание, что | §-n | d£ ds не изменяется при зеркальном отражении и замене граничной точки на сопряженную, имеем

||(₽Э1/227И|В<*||(^^а<1.(2.17)

Из теоремы о сжимающих отображениях следует, что существует единственное решение Н уравнения (2.16), для которого

(2.18)

С другой стороны, уравнение (2.15) равносильно уравнению Н(х0)=-у(х0) + ± f । <х°-^хп 11Г и (х;) dS'; (2.19)

дК(х0)

вместо х0 здесь стоит х' (сопряженность точек х0 и х0 больше не играет роли), х0 — х' = (2 | х0 — х' |; dQ = cos (х' — х0, n') dS'\ л' и dSr — соответственно нормаль и элемент поверхности в точке х'; 6R (х0) — это та часть границы 0R, которая видна из х'; Для односвязной области с невыпуклой границей она, следовательно, совпадает со всей границей 9R.

Отметим, что ядро интегрального уравнения (2.19) симметрично и интегрируемо с квадратом для любой области с ограниченной кривизной. Это легко проверить, если учесть, что обе'точки х' и х0 лежат на границе 9R и, таким образом, при х^ х0 особенность существенно слабее, чем кажется на первый взгляд.

Далее, ц = const — единственное решение уравнения (2.19) при v = 0 (это следует из неравенства Шварца и из того, что j ] й'-n | dft' = л). Таким образом, необходимым условием Q' -п<0 существования интегрируемого с квадратом решения при интегрируемом с квадратом неоднородном члене является ортогональность функций v (х0) и 1, т. е. j v (х0) dS = 0. В силу определения v (соотношение (2.12)), определения g0 (формула (2.7)) и равенства (2.5) функция v (х0) ортогональна к 1 (отметим, что | 1*п | ds dS = d3x). Теперь решение ц (х0) определено с точностью до постоянного слагаемого, которое вычисляется из условия (2.2).

Итак, доказано, что решения ц (х0) и А (х0, |) существуют и однозначно определены, а потому До (хо, 1) также существует и однозначно определено. Кроме того, доказано, что

11№2Йо Ъ^Н\№ £о Ik-(2.20)

Действительно, это неравенство вытекает из неравенства (2.18) и полной непрерывности ядра в (2.19) (из которой следует, что j | ц I2 dS < /q J I v I2 dS).

Равенство (2.6) теперь дает

. II ₽W II2 ^ II №. II2 + II №o II2, (2.21) где нормы берутся в гильбертовом пространстве функций, интегрируемых с квадратом по х и по | (x^R). Используя определение функции g0 (формула (2.7)) и неравенство Шварца, получаем

Ы1/2Ы12=]₽Ш2| j ^(^)^| dldx<о

s(x, I)

.с(р(Ю^^(х, l)| j \gWdod№. (2.22)

-0

Учитывая, что | s (x, £) | ^ d/^ где d — максимальная хорда в 7?, полагая t = ^а и меняя порядок интегрирования,

находим

||Р/2Ы|2<й j d/J₽(|)|g(x, |)|2d|dx =о

= d2 j ₽ © | g (x, I) |2 d^ dx = d21| pV2g jp. (2.23)

Аналогично (учитывая, что d3x = | |n | dS do и | s (x, |) | ^ ^ d/^) имеем

IIP^oIP- J Ж№ ^)|2|^n№dS^C

<d j ^WMWVHdW-

= d\\^y,2h0\\B<.kd\\ (P91/2^o||b =

S(X0, 1)

= /cdjp(|)|| j g(<y)da|2||.n|d|d5< 0

с Ы2 j p © I g (x, |) |* II • n I d| dS do = kd* || № ||2.

(2.24)

В силу (2.23) и (2.24) неравенство (2.21) сводится к неравенству

II ^^ ||2 ^^(1 + fc) II PV2^ [|2?(2.25)

а это и есть (2.3), где учтено (2.4) и обозначено у = (1 + к)-1?

Интегральная форма уравнения Больцмана и ее свойства

Чтобы построить нетривиальную теорию граничных задач, а также чтобы дать метод построения решения в предельном случае больших чисел Кнудсена (см. гл. 8), удобно преобразовать линеаризованное уравнение Больцмана из интегро-дифференциальной формы в чисто интегральную. Это можно сделать многими способами, каждый из которых может быть удобен для конкретных целей. Проще всего рассмотреть уравнение (1.21) и проинтегрировать обе части вдоль характеристик дифференциального оператора D = ^«818х^ при этом надо учесть нужные граничные условия. Это по существу равносильно построению оператора, обратного к D, при данных однородных граничных условиях. Уравнение Больцмана принимает тогда вид

h - hv + У"1 kLh - sh^(3.1)

где к^ (значение к на границе) связано с неоднородным членом в (1.15); оно получено решением уравнения Dkv = 0 с граничными условиями (1.15). Исследование уравнения (3.1) аналогично приведенному В' § 2. Полученный в § 2 результат означает, что оператор У)-1 ограничен по норме с весом Р (9; сам оператор D~\ однако, неограничен. При попытках решить уравнение (3.1) итерацией (итерация Кнудсена, гл. 8) это приводит к нежелательным последствиям; особенно плохие результаты получаются в одномерных задачах.

Указанный метод, однако, вовсе не единственно возможный способ устранения пространственных производных. Можно, например, добавить к обеим частям уравнения (1.21) член рс (£) к (функция рс (£) положительна и зависит от молекулярной скорости), а затем построить оператор U, обратный к оператору s + § dldx + + pi (£), появляющемуся в левой части. Опять-таки нужно проинтегрировать вдоль характеристик оператора У/дх и использовать граничные условия; при этом из-за дополнительных членов возникнут только некоторые экспоненциальные множители. Применяя оператор U к обеим частям уравнения (1.21), получаем к = hQ + UHk,(3.2)

где

_Н - L + рс (9,(3.3)

а к0 строится как решение уравнения

1-^+иМ = 0,(3.4)

удовлетворяющее неоднородным граничным условиям .(1.15).

Произвольную по существу функцию рс (£) можно выбрать разными способами; так как она положительна, то экспоненты, входящие в U, подавят рост множителя 1/^ и его степеней в окрестности точки £ = 0, а это необходимо, чтобы итерационные методы имели смысл. Поскольку рассматриваться будут только те случаи, когда L можно представить в виде

Lk - Кк -v (9 к.(3.5)

разумно выбрать рс (9 = v (9; в таком случае Н = К. В действительности так обычно и выбирают, но здесь, как увидим, удобно будет выбрать рс так, чтобы оператор Н был положительным, т. е.

(Л, ЯЛ) >0.(3.6)

В соответствии с теоремой, доказанной в § 4 гл. 3, это всегда возможно, если выбрать Н = К + Ллц где X — постоянная в неравенстве (4.6) гл. 3. Возможно также, что (3.6) будет справедливо, даже если выбрать Н = К (% = 0), поскольку положительность

оператора К установлена для упругих сферических молекул (Финкельштейн [3]). Однако без дополнительной информации мы будем придерживаться более общего описания, основанного на Н, а не на К. Отметим, что в любом случае из неположительности оператора L и из равенства (3.3) следует

О ^ (h, Hh) ^ (A, ^Y^У

Докажем, что справедлива

Лемма 1. Существует такая положительная постоянная ц (зависящая от формы границы), что если

'р(9= |[ц(^) + Ке5]2 + -^}1/2(3.8)

(^де, как и в ^ 2, d — максимальная хорда в R), то

«pUg, Ug^ С ((р-1^, gY);(3.9)

двойные скобки имеют тот же смысл, что и в § 2.

Чтобы доказать неравенство (3.9), отметим, что если положить

Ug = И,(3.10)

то (3.9) перейдет в

((рЬ, ьу<

^((р-Д^^+^^+^Д ,{1-4t + ^(9 + s1a}))’ (3.11)

где И удовлетворяет однородным граничным условиям (2.1). Правую часть неравенства (3.11) можно записать в виде

пч= [ р-111 .^ I2axах+2 [ р-1 [р(9+Res]ax-dx+

+ j|p© + S|2p-i|/tp^x,(3.12)

причем

j р-1 [р (Ю+Re sj кх .^- ах ах =

(3.13)(3.13)= j ^V-^dxax-v j [р(Ю + Ве$—^^hx-^-axax.

(3.13)

(3.13)

Последний член в (3.13) по абсолютной величине меньше, чем

1№2р^,((р-1!-^, ^ХУ (3.14)

если подходящим образом определить фигурирующую в (3.8) постоянную ц. Тогда, применяя теорему Гаусса — Остроградского к первому члену правой части равенства (3.13) и используя

соотношения (2.1) и (1.13), находим, что

X ((р'^-й*’ ^^/^(Р'^ + Ве^, й)). (3.15)

Рассмотрим теперь отрезок 0 ^ р ^ р0, где р0 — произвольное фиксированное число. Для любого значения ц из этого отрезка соответствующая функция к удовлетворяет неравенству (2.3) при Р = р-1 и некотором у = у (ц) > 0. Поскольку функция у непрерывно зависит от ц, она достигает своего минимального значения у0, которое также положительно. Возьмем в качестве ц наименьшее из двух чисел у0/4 и ц0- Дважды применяя (2.1), получаем

ПЧ>7о(2й)-1(№1^) ^Ш^Чц + Ве^й, к^ =

= №^^^№4^^ ^>№, W, . (3.16)

и лемма доказана.

Лемма 2. Для жестких потенциалов с угловым или радиальным обрезанием существует такая'постоянная сх<1, что

^НД Нк) ^ ос2 (рЛ, /г), р^^Е^, а2 < 1, (3.17) где оператор Н = К + Av (0 ^ X ^ 3) задается формулой (3.3), а функция р определена в (3.8).

Чтобы доказать эту лемму, заметим сначала, что ^НН, НК) || / (р1^) ||2 /(pV2fe, J (p1^))

(pTi, 71)|| plz2^ Ц2 ^pl/2;i£^||p1/2/i||2

(3.18)(3.18)= max I №. H^ I2

(3.18)

(3.18)

где J = p^ZTp*1/2 — самосопряженный оператор в ^§. В силу (3.18) достаточно показать, что существует такая постоянная <х, что

(A, Кк) 4- X (k, ^k^ ^ a (k, рк\ а < 1, р^е ^.(3.19)

Имеем.

(к, Кк^ + X {к, -vk) < (к. Lk) + (^ +1) (к, vk) <

^ -ц0 II (I -PU ||2 + (^ + 1) (к, vh\ (3.20)

где Р — оператор проектирования на пятимерное подпространство ^, а Цо — постоянная, фигурирующая в уравнении (3.13) гл. 3 (как было доказано, последнее уравнение справедливо и для операторов с радиальным обрезанием; см. § 4 гл. 3).

Для доказательства неравенства (3.19) покажем просто, что наименьшая верхняя грань спектра самосопряженного оператора Л = р-1 (X + 1) v - ро (р"1 - р-^^р"1^)(3.21)

меньше единицы. Найдем сначала верхнюю грань существенного спектра. Он совпадает с существенным спектром оператора В, т. е. оператора умножения на b (§) — [(X + 1) v — р0] р-1, поскольку оператор р-^Рр-1^ вполне непрерывен. Оператор В имеет только непрерывный спектр, состоящий из значений b (1). Ясно, что эти значения меньше 1 для любого конечного £ ((X + 1) v/p < 1 и цо > 0), b ® 1 - цо [^ + 1) v (О)]"1 < 1 при £ 0 и b (£) [1 + ^к^1йЧ 1 < 1 при §-^оо? где /с2 = lim [^/v (^)Р (X + I)-1 (при угловом обрезании к = оо и b О 0). Таким образом, существенный спектр оператора А ограничен постоянной, меньшей единицы.

Чтобы показать, что это справедливо также и для дискретного спектра, рассмотрим уравнение, которому удовлетворяют собственные функции оператора А, соответствующие произвольному собственному значению ас .

Р-1 (А + 1) Уф; — Рр (р-1 — р-^Рр'^ф; =а;ф;. (3.22)

Умножая обе части уравнения (3.22) скалярно на ф^ и принимая во внимание положительность оператора I — Р, получаем

«г (фь фг) = Р + 1) (Фь Р"^Фг) — Ио (р"1/2Фг, (I — Л Р~1/2Фг)

^ Р + 1) (Фй Р'1^),(3.23)

т. е.

(3.24)(3.24)(фг, (Х+1) ур"1ф<)

(3.24)

(3.24)

Н Фг II2

Так как на любом множестве ненулевой меры (А + 1) -vp-1 < 1, то

OS f <'СOS f <'С1,1,(3.25)(3.25)

OS f <'С

OS f <'С

1,

1,

(3.25)

(3.25)

и равенство в этом случае не может достигаться, поскольку функции ф^ отличны от нуля на множестве ненулевой меры. Итак, неравенство (3.19) доказано, а из него следует лемма 2.

Существование и единственность решений линеаризованных и слабо нелинейных граничных задач

Докажем теперь, что справедлива

Теорема 1. В гильбертовом пространстве Ж функций, интегрируемых (и по пространственным, и по скоростным переменным') с квадратом с весом р (£), существует единственное решение интегральной формы уравнения Больцмана, если область R

ограничена и член типа источника /г0 также принадлежит oZC. Это единственное решение в принципе можно получить сходящимися итерациями.

Эта теорема является очевидным и прямым следствием теоремы о сжимающих отображениях и результатов § 3. В силу лемм 1 и 2 ^UHK, UH^X^Hh, Hh)X^№, h)),(4.1)

или

\\иНЦ\^.<а?\\Ц\^(4.2)

где || || ^ — норма в ST. Это означает, что оператор UH — сжимающий в 5Г, и теорема доказана.

Теорему 1 можно взять в качестве отправной точки при построении строгой теории граничных задач, поскольку она позволяет говорить о решении, которое, как было показано, существует и единственно. Отметим, однако, что показано было лишь существование функции Л, интегрируемой с квадратом по обеим переменным х и |, а о гладкости решения ничего не известно. В частности, не известно, дифференцируема ли К по пространственным переменным почти всюду так, чтобы удовлетворялась не только интегральная форма (3.2), но и первоначальная интегро-дифференциальная форма (1.21) линеаризованного уравнения Больцмана. Оказывается, что существует производная по направлению Х-дЫдх, а отсюда следует, что первоначальное интегро-дифференциальное уравнение удовлетворяется по крайней мере в обобщенном смысле.

Чтобы получить более сильные результаты, необходимо показать, что дополнительные предположения об Ао Дают новые свойства Л; в частности, если h^SZT' X^Y то ^С^\ где $£Т (вообще говоря) — банахово пространство, элементы которого образуют подпространство в ST. Исследование в этом направлении уже начато; некоторые интересные результаты были доказаны Пао [4], который использовал функциональные пространства Т и § с нормами

P||^ = max f^pa)^(x, I),(4.3)

||й||2 = шах (1+^)| й(х, |)|.(4.4)

Пао рассмотрел лишь стационарный одномерный случай с конкретными граничными условиями; он основывался на раннем варианте (Черчиньяни [2]) теоремы 1, справедливом в этом случае, и рассматривал операторы с угловым обрезанием. При таких ограничениях он смог доказать следующие утверждения (здесь Н^ —

решение уравнения (3.4) при ц (с) = v (с) (или % = 0), а Но — член типа источника в уравнении (1.15)):

Теорема 2. Если KY б Т^ тпо существует единственное решение h ^У линеаризованного уравнения Больцмана и || h \\^ < < Р || HY ||^, где (3 — постоянная.

Теорема 3. Если 7^ £ §, то существует единственное решение К £ § линеаризованного уравнения Больцмана и || h ||^ > > ™ ll^i 11g- '

Теорема 4. Если И^^^ (или 7а0 £ Т*), то все моменты функции t^h непрерывны по х.

Теорема 5. Существует такая постоянная т > 0, что граничная задача для нелинейного уравнения Больцмана имеет единственное решение / = /о + У1^2 А* и ft* £ § при всех Н^ удовлетворяющих условию || HY ||^ < т. Если И — решение линеаризованного уравнения Больцмана-с той же самой функцией h^ то при ll^i 11^0

Последняя теорема оправдывает применение линеаризованного уравнения Больцмана.

Сходимость решений кинетических моделей

Из теоремы существования и единственности, доказанной в § 4 (теорема 1), следует, что решение существует при любом (ненулевом) числе Кнудсена, построенном по хорде максимальной длины. Доказательство теоремы конструктивно, поскольку она позволяет в принципе выписать решение в виде ряда. Однако с практической точки зрения сложный вид операторов U и Н делает этот метод бесперспективным (если только число Кнудсена не слишком велико). При нахождении решения приходится использовать модельные уравнения, в которых оператор столкновений L заменен таким более простым приближенным оператором LNl что эти уравнения можно удовлетворительно исследовать аналитически или численно.

. Для установления логической связи между приведенной теорией и практическими методами, основанными на кинетических моделях, важно показать, что если в каком-то смысле LN-^L (N ->- оо), то последовательность решений КN модельных уравнений сходится к решению И истинного (линеаризованного) уравне-

ния Больцмана в соответствующем смысле (существование и единственность HN определяются тем, что развитая в предыдущих параграфах теория применима также и к кинетическим моделям). Точный смысл сформулированному свойству (hN h при LN L) придает

'Теорема 6. Пусть L — оператор столкновений, допускающий разбиение (3.3), a {LN^ — последовательность операторов, допускающих аналогичное разбиение с той же функцией ц (£), что и L, и пусть

II p-V2 (Ln - П^"ш 11-^0 при N^OO, (5.1) где р определено равенством (3.8) с соответствующими ц, и ц (норма в формуле (5.1) — это операторная норма в ^\ Тогда последовательность решений KN интегральной формы модельных уравнений, соответствующих LN, стремится (по норме в Ж) к решению И аналогичного уравнения, соответствующего L с теми же граничными условиями.

Чтобы доказать эту теорему, рассмотрим интегральные формы модельного и истинного уравнений:

Hn — ^о UH ,(5.2}

h-hQ-VUHh.(5.3)

Отметим, что h0 и U одинаковы в обоих уравнениях и оба решения h и hN существуют и однозначно определяются в силу теоремы существования и единственности, доказанной в § 3. Если положить

А = hN 4- гN,(5.4)

то из уравнений (5.2) и (5.3) получим

rN - и (Н - HN) h 4- UH Nr N.(5.5)

Применим неравенство (4.2) к UHN; тогда

\\UHNrN\\^<a"N\\rN\\\(5.6)

а в силу (5.1)

С№||р-1/2 (ЯЛ,-Я)р-‘/2||_>0,(5.7)

Можно выбрать aN так, чтобы aN-*a при N -^ со, где а — постоянная в неравенстве (4.2). Поскольку бесконечность — это единственная точка сгущения для последовательности целых чисел, то существует такая постоянная а0 < 1, что о^< aG при любом N. Поэтому

\\UHNrN\\^<a0\\rN\\\ а0<1*(5.8)

Применяя теорему о сжимающих отображениях к равенству (5.5)у находим, что

1Ы|2 <tss ^ Ф-н^ъ,и (Н-Н^ h)) <

ВД —II(5.9)

где было использовано (3.9). Но так как с^-^О (см. (5.7)), то 11г^112^0 при N-^ оо, что и требовалось доказать.

Неограниченные области и внешние течения

Теория, развитая в предыдущих параграфах, относится к случаю, когда область R ограничена. Однако ее можно обобщить и на неограниченные области с некоторой симметрией, как, например, на область между параллельными пластинами или на внутренность цилиндра с конечным поперечным сечением. Для этих случаев внутри областей существуют хорды произвольной длины,, но решение зависит только от одной или двух пространственных переменных, а длины хорд, параллельных соответствующей оси или соответствующей плоскости, ограничены.

Чтобы осуществить это обобщение, надо ввести небольшое изменение в предыдущее рассуждение. Лемма 1 остается справедливой, если в члене p2^2/d2 формулы (3.8) и в связанных с ним уравнениях заменить £ модулем проекции вектора | на соответствующую ось или плоскость. Лемма 2 остается тогда справедливой для упругих сферических молекул и потенциалов с угловым обрезанием,^ но доказательство нужно изменить и явно использовать полную непрерывность оператора v-1/2^-1/2.' Поскольку не известно, выполняется ли последнее свойство при потенциалах с конечным радиусом взаимодействия (без углового обрезания), для таких потенциалов нужны дальнейшие видоизменения. Можно заменить ц (£) некоторой степенью функции v ® так, чтобы оператор ц"1/2^^-1/2 был вполне непрерывен (см. § 4 гл. 3), а остальные свойства сохранялись. При этих изменениях по-прежнему справедливы две основные леммы, а следовательно, и основные теоремы 1 и 6.

Однако положение существенно отличается для внешних течений, т. е. когда область R простирается до бесконечности вне внутренней границы dR; последняя совпадает с поверхностью твердого тела (или поверхностями нескольких тел) и может быть частично выпуклой, частично вогнутой. Докажем лемму, из которой следует, что во внешних задачах свойство интегрируемости с ква-

дратом может быть слишком сильным требованием к решению линеаризованного уравнения Больцмана.

Лемма 3. Пусть h удовлетворяет стационарному линеаризованному уравнению Больцмана (уравнению (1.21) npu-s = 0) в области R, внешней к некоторой границе dR, на которой выполняются граничные условия обычного вида (1.15). Пусть тело имеет постоянную температуру То, и пусть К будет возмущением максвелловского распределения f0 с нулевой массовой скоростью, температурой Т^ и плотностью роо, равной плотности газа на бесконечности. Тогда если определить

a = lj^4§(6.1)

и принять, что

Ja-ndS-^O,(6.2)

когда расстояние от dR до поверхности 2 стремится к оо, то h будет постоянной, умноженной на f^.

Чтобы доказать эту лемму, заметим прежде всего, что из-за выбора максвелловского распределения и в силу принципа детального баланса функция Но (заданная равенством (1.11)) равна нулю и граничные условия однородны. Если умножить уравнение (1.21) (при s = 0) на h и проинтегрировать по ^, то из определения (6.1) получим

(6.3)

Из неположительности оператора L следует, что

(6.4)

Проинтегрируем теперь неравенство (6.4) по области, заключенной между 21 и 2 2, где 2Р 23 — непересекающиеся поверхности, 22 односвязна и расположена с внутренней стороны от 24 и с внешней от dR. Тогда

j a-ncZS^ j a-ncZS.(6-5)

5 iS2

Применяя это неравенство дважды и принимая во внимание условие (6.2), имеем

0< j o.nds<. j o-ndS,(6.6)

SOR

где 2 — любая односвязная поверхность, не пересекающая дН и расположенная вне ее. Но из определения (6.1), граничных условий (1.15) при ^0 = 0 и неравенства (1.13) вытекает, что a-n^A j Ц-пЦА!2^--^ J ||.np|M|<0, x£3R, (6.7) |-п>0'|-п<0

и

j a-n dS <0,(6.8)

dR

Следовательно,

j G-ndS= { a.ndS = 0.(6.9)

t SOR

В силу произвольности выбора 2 равенство (6.9) влечет

^.о = 0,x^R.(6.10)

Учитывая (6.3), получаем

^Шг 6,^ = 0,(6.11)

откуда,

А = (Л + В.| + С|2)Л/2,(6.12)

где Л В и С могут зависеть от х.

Функция h в виде (6.12) может удовлетворить и уравнению Больцмана, и граничным условиям, только если В = 0 и С = 0. В самом деле, из (6.9) следует равенство в (6.7), а в силу свойств оператора А, заданного формулой (1.14), отсюда в свою очередь вытекает, что на границе В = С = 0. При подстановке (6.12) в линеаризованное уравнение "Больцмана имеем А = const, С = = const и В = а + b X х, где а и Ь — постоянные векторы. Общий вид В и С и их обращение в нуль на границе позволяют заключить, что они равны нулю всюду (отметим, что а + b X х может обращаться в нуль на всей поверхности, только если а = = Ь = 0). А это означает, что h — постоянная, умноженная на /^а, что и требовалось доказать. „

Если бы в реальных течениях выполнялись все условия леммы 3, то из нее следовал бы очень неприятный результат: единственно возможным состоянием, описываемым линеаризованным уравнением Больцмана, является состояние газа, покоящегося около твердого тела. Выясним, верен ли этот результат, если не предполагать выполненным неочевидное условие (6.2). Физически условие (6.2) означает, что на бесконечности отсутствуют источник и сток энтропии (—а есть вектор потока энтропии;

см. § 2 гл. 3 и § 2 гл. 2). Очевидно, что лемма 3 справедлива, даже если допустить существование источника энтропии на бесконечности. Если однако, допустить сток энтропии, то л.емма 3 не выполняется. Смягчение предположения, описываемого условием (6.2), вызывает некоторое беспокойство, поскольку можно ожидать, что область на бесконечности не связана с необратимыми процессами, возникающими при обтекании газом твердого тела. Однако если линеаризация справедлива неравномерно, то «область на бесконечности» при линеаризованном описании не совпадает с физической «областью на бесконечности».

Итак, мы пришли к основному вопросу: всюду ли абсолютно справедлива линеаризация около максвелловского распределения с нулевой массовой скоростью относительно тела. Очевидно, что ответ отрицательный, поскольку при достаточном удалении от тела отброшенные квадратичные члены не малы по сравнению с пространственными производными в уравнении Больцмана. Положение точно такое же, как и в классических течениях Стокса, ибо при кинетическом описании единственное отличие состоит в наличии кинетического слоя (который может быть очень большим, но всегда конечен). Толщина этого кинетического, или кнудсеновского, слоя примерно равна средней щлине свободного пробега вблизи тела (г < г^ где ri ^ Z; I — средняя длина свободного пробега, аг — расстояние до тела). Тогда в большом слое (ri < г < г^ где г2 ^ ИМ; М — число Маха, т. е. отношение скорости невозмущенного потока к тепловой скорости (КТУ^ предположения, оправдывающие линеаризацию, все еще справедливы (при М ^ 1) и течение по существу можно описать стоксовским решением. Наконец, при г > г2 линеаризация неверна, условия на бесконечности сильно влияют на течение, которое можно описать озееновским решением (обсуждение аналогичных задач в теории сплошной среды и понятий стоксовского и озеенов- ского течений см., например, у Ван-Дайка [6]). Таким образом, условия, необходимые для линеаризации около максвелловского- распределения с нулевой массовой скоростью относительно тела, несомненно, удовлетворяются при малом, но конечном М в большей части течения, но не всюду.

В трехмерных течениях положение в некотором смысле удовлетворительное, так как известно, что решение Стокса хорошо ведет себя на бесконечности в том смысле, что профиль скорости сколь угодно точно приближается (для достаточно малых МаЦг где а — характерный размер тела) к условиям в невозмущенном потоке, прежде чем теория перестает быть верной. Поэтому решение Озеена требуется, только если интересоваться полем вдали от тела (г > I/М') или если надо получить члены порядка М^ методом итерации. В последнем случае неудача определяется тем, что линеаризованное решение приближает всю функцию рас-

пределения неравномерно. Если ограничиться, первым приближением в окрестности тела, то нужно только отбросить условие (6.2) и использовать предположение, что при г оо решение описывает невозмущенное течение.

Для двумерных течений положение более сложно. Действительно, если рассмотреть, например, течение около осесимметричного тела, то можно доказать, что выводы леммы 3 справедливы, даже если отбросить условие (6.2) и требовать просто однозначности и ограниченности массовой скорости при г оо. Это следует из асимптотического анализа (Черчиньяни [5]) решения линеаризованного уравнения Больцмана для двумерных течений, когда доказывается, что условие (6.2) выполняется, если при г -^ оо массовая скорость однозначна и ограничена. Чтобы получить нетривиальное решение для двумерных течений, приходится допустить логарифмическое поведение массовой скорости при г -> оо. Таким образом, при помощи линеаризованного уравнения Больцмана нельзя получить равномерную аппроксимацию распределения скорости и приходится прибегать к методу сращивания внутреннего решения (определяемого линеаризованным уравнением Больцмана) и внешнего решения, справедливого при г > ИМ. Последнее можно найти разложением по числу Маха, предварительно растягивая пространственные переменные. При формальном разложении по степеням М видно, что решение во внешней области подобно разложению Гильберта, если газодинамические переменные в приближении низшего порядка определяются несжимаемым течением Озеена (Черчиньяни [5]).

Хотя внешние течения при малых числах Маха требуют дальнейшего исследования, из анализа, набросок которого только что был дан, следует, что необходимо по крайней мере для двумерных течений рассматривать подходы более сложные, нежели простое применение линеаризованного уравнения Больцмана; иначе можно разыскивать несуществующие решения.

Влияние различных спектров

Значительное преимущество линеаризованного уравнения Больцмана перед нелинейным состоит в том, что можно применить суперпозиции и выписать общее решение как линейную комбинацию «полного набора» «элементарных решений» с разделенными переменными. Этот метод будет подробно исследован и использован для решения конкретных задач в следующей главе; здесь мы сделаем только некоторые общие замечания. При разделении переменных обнаруживается, что, вообще говоря, зависимость от пространственных и временных переменных экспоненциальная, скажем exp [Zk-x + Zco^] (хотя для построения полноТо набора иногда требуются некоторые полиномиальные решения,

см. следующую главу). При этом функция, описывающая зависимость от молекулярной скорости, удовлетворяет уравнению

(^ + Zk-g) g = Lg.(7.1)

Вообще говоря, со и к комплексны, и уравнение (7.1) имеет решение, только если со и к удовлетворяют специальному соотношению; в соответствии с допустимыми значениями со и к можно найти функции g, которые либо интегрируемы с квадратом («собственные решения»), либо нет («обобщенные собственные решения»). В первом случае соотношение между со и к обычно называют дисперсионным соотношением, а решение g exp [Zk-x + ZcoZ] — нормальной модой. Комбинация «собственных решений» и «обобщенных собственных решений» дает общее решение линеаризованного уравнения Больцмана:

й = А (со, к) exp [Zk-x-f-ZoV] g (|, со, к) dD, (7.2) D (со, к)

где g—решение уравнения (7.1), нормализованное должным образом, а интеграл есть интеграл Лебега по всему множеству D (со, к) допустимых значений со, к (соответственно в него входит суммирование по дискретным значениям со и к и интегралы по непрерывным множествам). Для решения конкретных задач необходимо уметь решать следующие две задачи:

Найти решения g (§, со, к), соответствующие всему множеству D (со, к); это позволит выписать наиболее общее решение уравнения Больцмана в форме (7.2).

Найти способ вычисления коэффициентов Л (со, к) по начальным и граничным условиям.

Ясно, что эти две задачи (особенно вторая) вовсе не тривиальны; однако, как будет видно в следующей главе, их можно решить в частных случаях. Во многих случаях даже просто знание множества D (со, к) дает возможность качественно понять природу решений и оценок асимптотического поведения. В частности, хотя различие между непрерывным и дискретным спектрами в основном математическое, но в нем могут заключаться очень важные физические следствия.

Существуют два возможных источника непрерывного спектра: свободномолекулярный оператор ^*01дх и оператор столкновений L. Как было указано выше, нужно найти множество D (со, к), но, вообще говоря, весь набор значений со и к, для которых уравнение (7.1) имеет решение, слишком широк в том смысле, что не все решения этого набора линейно независимы. Для упрощения настоящего обзора ограничимся случаями, когда множество D (со, к) можно найти, полагая к = ке, где е — действительный

единичный вектор, а для со и к выбирается подходящим образом прямая или контур С в комплексной плоскости (этот выбор определяется природой конкретной задачи). Тогда достаточно найти множество Т допустимых значений со или к (спектр), а множеством D будет С ® Т. Таким образом, при исследовании уравнения (7.1) полагаем, что е — заданный действительный единичный вектор, а со или к — заданное комплексное число, и ищем допустимые значения со или к и соответствующее решение g.

Теперь исследуем влияние на спектр (либо со, либо к^ операторов |*д/дх и L. Начнем с частных случаев, когда для отделения влияния различных операторов отбрасываются определенные члены. Пренебрежем сначала Lh (свободномолекулярное течение); тогда уравнение (7.1) принимает вид

(со + ке-^) g = 0, k = ке, е-е = 1.(7.3)

Если со задано, то к может принимать все значения —со/(е-|), т. е. имеем непрерывный спектр, заполняющий прямую в комплексной плоскости (или полупрямую, так как введение единичного вектора е уже учитывает наличие —к вместе с к\ Наклон прямой равен Im co/Re со (в частности, для действительных значений со прямая совпадает с действительной осью). Если же считать заданным к, то со может принимать все значения —Це-1^ т. е. опять имеем непрерывный спектр, заполняющий прямую. В обоих случаях обобщённые собственные решения равны (с точностью до произвольного нормирующего множителя, зависящего от |)

g = 6 (со + te-1)(7.4)

(см. уравнение (3.17) гл. 1). Следовательно, общее решение можно записать в виде

J^(|, к, со) ехр [ка£+zk-х] 6 (со4-к*|) cZco^(7.5)

где интегрирование ведется, скажем, по всей области действительных значений со и к. Свойства дельта-функции позволяют представить h в виде

h = ^Л(|, к) exp [Zk-(x —^)] cZk,(7.6)

или, поскольку это интеграл Фурье, в виде

х-Ю,(7-7)

т- е. h — по существу произвольная функция от | и х — |t Этот результат легко обнаружить при интегрировании уравнения

^. + |.^L = 0(7.8)

dt х дхх 7

вДоль его характеристик.

Как указано выше, вторым источником непрерывного спектра может быть оператор столкновений; это ясно уже в простейшем случае пространственно однородной задачи (дИ!дх = 0), для которой

i^g = Lg. (7.9)

Так как вектор к фиксирован (к = 0), то произвольно задавать со нельзя; действительно, со должно быть таким, чтобы точка 1ю принадлежала спектру оператора L. Известно (гл. 3), что L, вообще говоря, имеет и дискретный, и непрерывный спектры; замечательным исключением являются максвелловские молекулы. Если собственные функции оператора L обозначить через gt, обобщенные собственные функции — через g^, а соответствующие собственные значения — через —Хг и —X (Xi, X > 0), то общее решение можно записать в виде

А(1, = (7.10)

г

В частности, первые пять собственных функций, соответствующих Xt = 0 (0 г 4),— это инварианты столкновений. Из выражения (7.10) видно, что А (|, £) релаксирует к линейной комбинации пяти инвариантов столкновений (т. е. к линеаризованной форме максвелловского распределения). Однако только для жестких потенциалов (ц0 > 0) все решения уменьшаются быстрее некоторой экспоненты с показателем, не зависящим от начальных данных. Если бы непрерывный спектр содержал нуль (как в случае мягких потенциалов с угловым обрезанием, для нейтральных газов эти потенциалы нереальны), то физически отсюда следовало бы, что стремление к равновесию может быть не экспоненциальным и может зависеть от степени гладкости начальных данных.

Спектр усложняется, если допустить взаимодействие оператора столкновений и свободномолекулярного оператора. Простейший случай дают стационарные (dhldt = 0) задачи, для которых

ike-^g = Lg (7.11)

и спектр состоит из допустимых значений к.

Так же, как раньше в уравнении (7.9) действительными были значения fco, теперь действительны .значения гк, хотя доказать это не так просто (и результат зависит от предположения, что е — действительный единичный вектор). Грубо говоря, действительность гк следует из того, что и (g, e-^g), и (g, Lg) действительны (скалярное произведение здесь — обычное скалярное произведение комплексных функций: (/, g) = j / (1) g (§) ^ черта означает комплексное сопряжение).

Для упругих сферических молекул можно также показать, что начало координат к = 0 является изолированной точкой спектра; этот результат кажется разумным и для потенциалов со строго конечным радиусом взаимодействия. Но для степенных потенциалов с угловым обрезанием и для кинетических моделей с постоянной частотой столкновений точка к = 0 уже не изолирована (можно показать, что непрерывный спектр состоит по крайней мере из значений —v (1)/(|*е)). Спектр допустимых значений был подробно исследован для модельных уравнений, а в некоторых случаях были решены упомянутые выше задачи 1 и 2 (Черчиньяни [7, 10—12]); соответствующая теория будет изложена в следующей главе.

В более общем случае в уравнении (7.1) сохраняются все члены. При этом имеются две возможности: фиксировать либо о, либо к. Второй способ пригоден для задач с начальными данными в отсутствие границ; первый более гибок. Общий случай опять-таки был исследован с помощью модельных уравнений, и для ряда ситуаций были решены упомянутые задачи 1 и 2 (Черчиньяни и Сернаджотто [8], Черчиньяни [10—12], Бакнер и Фер- цигер [13]). Вообще говоря, при фиксированных со и к непрерывный спектр заполняет двумерные области, исключения составляют максвелловские молекулы и модели с постоянной частотой столкновений. Действительно, непрерывный спектр состоит по крайней мере из значений — [v ® + &<»]/(£-е) в одном случае и из — [v (^ + Ш (е-|)] в другом.

Тот факт, что и для стационарных, и для нестационарных задач начало координат к = 0 принадлежит спектру для одних моделей столкновений и не принадлежит для других, вносит, по-видимому, основное качественное различие. В принципе это различие должно было бы быть заметно при измерении фазовой скорости и затухания звуковых волн, но существующая экспериментальная аппаратура, по-видимому, не позволяет провести решающих измерений.

Линеаризованное уравнение Больцмана и теория

Чепмена — Энскога

Мы видели, что и линеаризация уравнения Больцмана, и разложение Чепмена — Энскога, и аналогичные ему разложения получаются в результате применения к уравнению Больцмана соответствующих методов возмущений. Существенное различие двух методов вызвано тем, что параметры разложения совершенно различны: «малое» отклонение начальных и граничных данных от максвелловского распределения в случае линеаризации и малое отношение средней длины свободного пробега или среднего времени свободного пробега к другим характерным длинам или временам в случае разложения Чепмена — Энскога. Ясно, что если

справедливо и то, и другое, то метод Чепмена — Энскога можно применить к линеаризованному уравнению Больцмана. Одним из основных доводов для осуществления этого является возможность, вследствие упрощений алгоритма для линеаризованного уравнения, ответить на некоторые вопросы, связанные с разложением Чепмена — Энскога, и достичь, таким образом, эвристического понимания в более сложном нелинейном случае.

Как указывалось в § 4 гл. 5, если рассмотреть задачу с начальными данными, то можно получить строгое доказательство того, что разложение Гильберта является асимптотическим (при 8-^0) решением уравнения Больцмана и что то же самое справедливо для процедуры Чепмена — Энскога, оборванной на приближении Навье — Стокса. Из этих результатов ясно, что рассмотренные разложения, действительно, дают разумные приближения (при определенных значениях параметров), но вопрос о сходимости разложений и, следовательно, о самом существовании нормальных решений не проясняется. Ввиду того что сходимости иногда придают большое значение (хотя при обычных применениях основное свойство ряда — его асимптотичность, а не сходимость), отсудим кратко вопрос о сходимости разложения Чепмена — Энскога для линеаризованного уравнения Больцмана.

Как известно, ряд Чепмена — Энскога по существу есть разложение оператора; таким образом, его сходимость имеет смысл только для определенного класса функций, на которые действует этот оператор. В случае линеаризованного уравнения Больцмана для любого вида оператора столкновений легко получить нормальные решения, разложения которых определенно сходятся, так как они состоят из конечного числа членов. Решения эти — полиномы по пространственным и временной переменным. Например, легко проверить, что не зависящая от времени функция

н = Ы^г + Ъ^г (? - 5ДГ0) + L^ [М& 4- Т^ (^-57?^)], '(8.1)

где у г — произвольный (постоянный) вектор, Р^ — произвольный (постоянный) тензор с нулевым следом, Тй — температура основного максвелловского распределения, является точным решением линеаризованного уравнения Больцмана в форме степенного ряда по средней длине свободного пробега (состоящего всего из членов нулевого и первого порядков).

Чтобы исследовать менее тривиальные примеры нормальных решений, примем экспоненциальную форму зависимости от пространственных и временной переменных; тогда зависимость от скорости определяется членом g (|), удовлетворяющим уравнению (6.1). Если вспомнить, что в методе Чепмена — Энскога

временная производная разлагается в ряд по пространственным переменным, то будет ясно, что ряд Чепмена — Энскога для функции g (|) exp [ik*| + ZcoZ] сходится или нет в зависимости от сходимости разложения со = со (к) (со (0) = 0) в степенной ряд по к. Мак-Леннан [14] показал, что при достаточно малых к ряд сходится для упругих сферических молекул и расходится, вообще говоря, для степенных потенциалов с угловым обрезанием. Последнее утверждение — это только очень правдоподобное предположение, так как строгого доказательства нет; предположение есть следствие того, что спектр со = tv (с) — к* с простирается до начала координат, если к изменяется в комплексной плоскости внутри круга с центром' в к = 0 (см. § 7).

Результат для упругих сферических молекул (который, вероятно, справедлив для любых потенциалов со строго конечным радиусом взаимодействия) вытекает из некоторых результатов теории возмущений. Действительно, если записать уравнение (7.1) в виде

i®g = Lg + е (е-|) g, е = —ik, (8.2)

то самосопряженный оператор е-^ = L' можно рассматривать как возмущение самосопряженного оператора L. Если

WUH || « (|| h || + \\ Lh ||) (8.3)

(М не зависит от h, || к || — норма в ^) для всех к из области определения операторов L и L\ то можно применить хорошо известные результаты теории возмущения спектра. В частности, если к — кратное собственное значение оператора L с кратностью т и выполняется неравенство (8.3), то для достаточно малых значений комплексного параметра 8 оператор L + sU имеет т изолированных собственных значений (не обязательно различных) ^z (б) (5 = 1, . . .. тп), равных к при 8 = 0 и аналитичных по 8. Чтобы применить этот результат к пятикратно вырожденному собственному значению к = 0 оператора L и, следовательно, доказать предыдущее утверждение о разложении Чепмена — Энскога для упругих сферических молекул, достаточно показать, что неравенство (8.3) выполняется. А это очень просто вытекает из следующих фактов.

L = К — v.

В случае упругих сферических молекул для больших £ Функция v (£) возрастает линейно (поэтому существует такое число Мь что | e-g | < М^ (£)). ,

Для упругих сферических молекул оператор К вполне непрерывен (поэтому существует такое число М^ что || Кк || < ^-^НИ). -

Неравенство треугольника.

Используя эти факты, получаем

|| (е• 1) h || СМ, || ^h || = М, || (К - L) К || < М^ (|| КН || +1| LH ||) С

(М21| КII + || Lh ||)<М (|| h || + || Lh II), (8.4)

где М = max VM^ М^М^, так что неравенство (8.3) выполняется.

Ясно, что из доказанной сходимости разложения со в степенной ряд по к для достаточно малых значений | к | следует сходимость разложения Чепмена — Энскога для очень ограниченного класса зависимостей от пространственных переменных: все производные газодинамических переменных должны быть равномерно ограничены по порядку производных, а это означает, что -они не только аналитические, но также и целые функции.

Указания

§ 2. Описанные в этом параграфе свойства свободномолекулярного оператора были впервые изложены в статье

Черчиньяни {Cercignani С.), J. Math. Phys., 9 (1968), 633.

Задачу с начальными данными в бесконечных областях или в конечных -областях с зеркально отражающими границами см. в работе [2] гл. 3.

Свойства интегральной формы уравнения Больцмана впервые исследованы в статьях [1],

Черчиньяни {Cercignani С,), J. Math. Phys., 8 (1967), 1953;

и в работе [5] гл. 3. Положительность оператора К для упругих сферических молекул доказана в диссертации

Финкельштейн {Finkelstein L.), Transport phenomena in rarefied gases, Ph. D. thesis, Hebrew University, Jerusalem, 1962.

Теория существования и единственности в ^ представлена в работах [1, 2]. Теоремы 2—5 доказаны в статье

Пао {Рао Y. Р.^ J. Math. Phys., 8 (1967), 1893;.

где в качестве исходного пункта использована работа [2].

Изложение в этом параграфе следует работе [1].

Результаты для одно- и двумерных областей взяты из работ [1, 2]. В остальной части этого параграфа приведены результаты статьи

Черчиньяни {Cercignani С.), Phys. Fluids, И (1967), 303.

Подробно о течениях Стокса и Озеена в теории сплошной среды можно прочитать в книге

Ван-Дайк М., Методы возмущений в механике жидкости, изд-во «Мир», М., 1967.

Непрерывный спектр для пространственных переменных был впервые указан, и явно изучен для модели БГК в статье

Черчиньяни {Cercignani С.), Ann. Phys., 20 (1962), 219.

Непрерывный спектр в пространственно однородных задачах указан Трэдом в работе [2] гл. 3. Более общие случаи исследованы в работах

Черчинъяни, Сернаджотто {Cercignani С., Sernagiotto F.), Ann. Phys., 30 (1964), 154;

Грэд {Grad Н.^ Theory of the Boltzmann equation. New York University Report MF40, AFOSR 64-1377 (1964);

Черчинъяни {Cercignani СЛ, Elementary solutions of linearized kinetic models and boundary value problems in the kinetic theory of gases, Brown University Report, 1965;

Черчинъяни {Cercignani C.^ Ann. Phys., 40 (1966), 469;

Черчинъяни {Cercignani C.), Ann. Phys., 40 (1966), 454;

Бакнер, Ферцигер {Buckner J. K., Ferziger I» НЛ, Phys. Fluids, 9 (1966), 2309.'

Сходимость ряда Чепмена — Энскога для линеаризованного уравнения Больцмана исследована в статье

Мак-Леннан {McLennan J. A.), Phys. Fluids, 8 (1965), 1580.

Глава 7

АНАЛИТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ

Введение

Теоретический анализ, проведенный в предыдущих главах, показывает, что имеет смысл исследовать линеаризованное уравнение Больцмана и что многие свойства его решений могут быть сохранены при использовании модельных уравнений. Мы можем сказать даже больше: правильно выбранное модельное уравнение практически сохраняет все свойства. Преимущество этих уравнений по существу заключается в упрощении как аналитического исследования, так и численного решения конкретных граничных задач. В частности, польза - модельных уравнений неоценима в тех случаях, когда решение доводится до конца (выражено в квадратурах или через функции, поведение которых можно изучить аналитическими методами). Поэтому мы посвятим эту главу аналитическим методам исследования, с помощью которых можно извлечь интересную информацию из модельных уравнений.

Мы подробно рассмотрим метод разделения переменных, кратко изложенный в § 7 гл. 6. При решении задачи этим методом надо, во-первых, найти полный набор решений уравнений с разделенными переменными (элементарных решений) и затем представить общее решение в виде суперпозиции этих решений и, во-вторых, с помощью граничных и начальных условий найти коэффициенты в общем решении. В то время как первую проблему для модельных уравнений, которые обсуждались в гл. 6, можно, решить, вторую можно точно решить лишь в некоторых случаях. Тем не менее метод полезен даже тогда, когда вторая проблема неразрешима или только приближенно разрешима, потому что он дает возможность получить решение в аналитическом виде и, следовательно, представить картину его поведения.

Следует заметить, что метод разделения переменных не является единственно возможным методом для решения этих задач: метод Винера — Хопфа полностью эквивалентен методу элементарных решений. Однако, по мнению автора, метод, который будет описан в нескольких следующих параграфах, более эффективен и проще в обращении, особенно в случае, когда другими методами нельзя найти аналитическое решение и необходимо прибегнуть к приближенному или качественному описанию.

Разбиение одномерного уравнения БГК

Начнем с простейшего типа задач — одномерных стационарных — ис простейшего модельного уравнения — уравнения БГК.

Рассмотрим уравнение

^ = Lh,(2.1)

где ^— компонента молекулярной скорости £ в направлении х и

4

ZJl==V [ 2 СФа, — (фа, Ф@) = 6а@.(2.2)

а=0

Здесь фа — инварианты столкновений, v — константа и ( , ) — обычное скалярное произведение в ^. За единицу скорости мы выбрали ^ЯТо)1^ а 9 УЛТ^ = x^RГ0)1/2 = ^,4 приняли за единицу длины (Го — температура невозмущенного потока, I — длина среднего свободного пробега, определяемая формулой (3.27) гл. 5, 9 = v-1).

Интегрируя уравнение (2.1) по всему пространству скоростей, получаем следующее уравнение (макроскопическое уравнение неразрывности):

i(^^)=0,(2.3)

т. е.

(^? ^ - С,(2.4)

где С — константа.

Часто в задачах С = 0; если же нет, введем новую переменную

h = h — 2С^,(2.5)

которая, как легко видеть, удовлетворяет уравнению (2.1) и

(^, А) = 0.(2.6)

Поэтому, не нарушая общности, можно в уравнении (2.4) положить С = 0. В результате правую часть уравнения (2.1) можно записать в виде

Ыг = (Р—1^ v = 1,(2.7)

где I — тождественный оператор, а Р — ортогональный проектор на подпространство гильбертова пространства jg, порожденное функциями 1, £2, £3, £2 = £1 + ^ + ^..

Допустим временно, что х и ^ — параметры, a h — вектор в гильбертовом пространстве функций %2 и £3 со скалярным про-

изведением

(A, g^ = Jj^&, У S'№2, £з)ехр[-^-М2^3,2/?Г0 = 1.

(2.8)

Тогда h, можно разбить на 5 компонент: вдоль вектора (в смысле гильбертова пространства) ф0 = 1, вдоль ф! = ^ +^ — 1, вдоль Ф2 = £21 вдоль ф3 = £3, а последняя принадлежит подпространству, ортогональному к конечномерному подпространству, натянутому на функции фо, Ф1, ф2, Фз-

/^ ^, а2, £3) = Уо(^ ^ + (^+^-1)^^, ^) +

+ 2g2y2 (я, ^) + 2^3Уз ^ ^) + У4 ^ ^, g2, аз). (2.9)

Спроектируем уравнение (2.1) на ф0, ф1? ф2, ф3 и на упомянутое выше ортогональное подпространство. Тогда в силу определения Уо, У1, У2, У3, У4 и структуры оператора столкновений получим систему

^^ + У0 = л-1/2 j У^, £;)ехр(-^Ж +

Xexp(-^)yof,

+ J ехр(-^)У1(жЛ1)^1],(2.10)

^-^ + ^ = 4^1/2 J (^2-|)ехр(-^)Уо(Ж, ^;)^; +

+ |л-1/2 j expf-^y,^, ^d^;,(2.11)

^-^ + Уг = л-з/2 J ехр(-^)Уг^, ^dXV i = 2,3,(2.12>

^^ + У4 = 0.(2.13)

Уравнение (2.13) легко решается; общее решение имеет вид у4 (^, ^, ^2, 5з) = Л (I) ехр (^) , .(2.14>

где А (|) — произвольная функция от |, ортогональная к срОг Фь Ф2? Фз в смысле скалярного произведения (2.8).

Уравнения (2.10) и (2.11) составляют систему двух совместных уравнений, описывающих эффекты теплопередачи. Уравнение (2.12} при г = 2,3 дает два независимых уравнения, описывающих сдвиговые течения в направлениях у и 2.

Мы начнем с простейшего случая, когда имеется лишь одно- из двух уравнений (2.12).

Элементарные решения уравнения сдвигового течения

Подставив £, ^ и У вместо ^, ^ и У^ перепишем уравнение (2.12) в виде

^уУ^Л^-М^ J ехр^У^Ж. (3.1>

Произведем разделение переменных, положив

У (х, ^ = g (^ X k$Y(3.2)

Легко видеть, что или У = Ло (произвольная постоянная), или

У„ <х, ^ = e-Vgu ^,(3.3)

где gu © удовлетворяет уравнению

И"1)+1]^(9=я"1/2 Jм

а и — параметр, используемый для выделения элементарного- решения.

Хотя априори можно было предполагать, что и — комплексная величина, легко видеть, что и—действительное число. Это следует из непосредственного рассуждения [7, гл. VI] или из общих соображений, приведенных в § 3 гл. 6.

Итак, значения и должны быть действительными. Это требует некоторой осторожности, поскольку в уравнении (3.4) нельзя делить на и — £. Если допустить, что gu (£) — обобщенная функция, то эта трудность исчезнет (§ 2, 3 гл. 1). Тогда, Пренебрегая постоянным множителем (т. е. нормализуя gu так, чтобы правая часть уравнения (3.4) была равна 1), запишем gu (£) в виде

gu® = P'^ + p(u)b(u-^,(3.5)

причем константа С, фигурирующая в уравнении (3.18) гл. 1Г теперь может зависеть от и, и мы ее обозначили р(и).

Для того чтобы обобщенная функция (3.5) удовлетворяла уравнению (3.4), должно быть выполнено условие нормировки

для gu (£), т. е. правая часть уравнения (3.4) должна быть равна 1. Так как это условие выполняется для любого действительного и, его можно использовать для определения р (и):

°° _£2

р^ = е-^Р [^^^„^и ^e-^aty (3.6)

— ООО

Первое из равенств (3.6) получено непосредственно, второе следует из первого; р (и) можно выразить через затабулированные ■функции (см. литературу в конце главы).

Обобщенные собственные функции обладают многими свойствами ортогональности и полноты. Одни из свойств ортогональности во всем интервале —оо << £ < оо можно легко доказать обычными выкладками. Другие свойства ортогональности в частичных интервалах (особенно в интервале 0 < £ < оо) и свойства полноты доказать труднее, так как они требуют решения сингулярных интегральных уравнений. Тем не менее к таким задачам можно применить стандартные методы (Мусхелишвили [4]) и получить следующие результаты (Черчиньяни [7] и [10] гл. 6):

Теорема 1. Обобщенные функции gu ^ (— оо < и < оо) goo = 1 вместе с функцией g^ = ^ образуют полную систему для функций g (£), определенных на действительной оси, удовлетворяющих условию Гёлъдера в любом открытом интервале и таких, что

j ^е-^(^)^<оо.(3.7)

Коэффициенты обобщенного разложения

g а) = Ло + A, g+ ] А (и) gu a) du(3.8)

однозначно и в явном виде определяются формулами

Л0 = 2л-1/2 J(3.9)

А, = 2л-V2 J(3.10)

А (и) = [С (и)Г1 ] ^g ® gu (У dt, (3.11) где

С (и) = ue-^^Vp (ы)]2 + л2^2}.(3.12)

Теорема 2. Обобщенные собственные функции gu (Е) (О < и < оо) и g^ = 1 образуют полную систему для функций g (£), определенных на положительной полуоси, удовлетворяющих условию Гёлъдера в любом открытом интервале этой полуоси, ограниченных величиной А | ^ |_?, у < 2, в окрестности точки § = 0 и интегрируемых с весом ^е~^. Коэффициенты обобщенного разложения

g& = A^A(u)gu®du(3.13)

о

однозначно и в явном виде определяются формулами

Ло = 2я~ V2 j р ^ ^g ® ^,(3.14)

о-

А (и) = [С (U) Р (ы)Г1 J ^Р ^ ёи ® g (^ <%,(3.15)

О

где

P© = E=xp{-AjMctg(_5L)_£_},Е>0,(3.16)

О

причем arctg изменяется от —л до 0, когда t изменяется от О до оо.

Теорема 1 .показывает, что обобщенные собственные функции ортогональны с весом ^“^2 на (—оо, + оо). Однако поскольку этот вес не везде положителен, необходимо отметить некоторую иррегулярность. Во-первых, по аналогии с известными разложениями можно было бы ожидать, что выражения для Ло и At (формулы (3.9) и (3.10)) будут переставлены. Во-вторых, появление в системе функции g* = ^ совершенно неожиданно, потому что g* не является решением уравнения (3.4) ни при каком и (g^ — решение при и = оо). Однако существует частное решение уравнения (3.1) У* = £ — х, которое не получается методом разделения переменных (в обычном смысле) и которое нельзя представить в виде суперпозиции элементарных решений Yu = е~х/и ga (£) И Уоо = 1.

Последнее утверждение непосредственно следует из теоремы 1; в самом деле, если можно написать

£-^ = Л0 + J A(u)gLL®e-^du(3.17)

для некоторого х (можно без потери общности считать я = 0) и —оо <^<оо, то

О = Ло — £+ J A^gu^du, —оо<£<оо, (3.18}

при соответствующих Ао и А (и). Но это означает, что функция, тождественно равная нулю на действительной оси, имеет два различных разложения вида (3.8): тривиальное с коэффициентами Ло = At = А (и) = 0 и разложение (3.18). Это противоречит единственности разложения (3.8), утверждаемой теоремой 1. Итак, (3.17) неверно, £ — х нельзя представить в виде суперпозиции решений, полученных методом разделения переменных, и, следовательно, для построения общего решения недостаточно элементарных решений У^ (— оо << и < оо) и Yoo.

Докажем теперь, что добавление функции У* = £ — х к набору элементарных решений дает полную систему, т. е. общее решение уравнения (3.1) имеет вид

Y(x^ = A0 + Mx-SH J A^e-^gu®^. (3.19)

Действительно, если У (х, £) — решение уравнения (3.1), то в силу теоремы 1 для произвольного фиксированного х можно найти такие Ло, Ai и A (и), что Y (х, £) имеет вид (3.19). Осталось только показать, что Ло, Ai и А (и) не зависят от х. Подставим (3.19) в (3.1) и учтем, что Уо, У*, Yu удовлетворяют уравнению (3.1). Тогда

^- + ^<х-9+ [ = (3.20)

Но это уравнение дает для любого фиксированного х разложение функции, тождественно равной нулю на действительной оси; из единственности разложения следует, что дА^дх = дА^дх — = дА1дх = 0, что и требовалось доказать.

Таким образом, теорема 1 дает возможность утверждать, что (3.19) — общее решение уравнения (3.1). Теорема 2 столь же или, может быть, даже более важна, ибо позволяет решать граничные задачи. Она показывает, что обобщенные собственные функции ортогональны на (0, +оо) с весом ^е"^Р ^. Это свойство ортогональности является более классическим, чем ортогональность на всей прямой (— со, со), поскольку здесь весовая функция положительна. Единственное, что теперь представляет затруднение, это сложный вид функции Р ®. Однако, хотя функция Р (£) вовсе не элементарна, она удовлетворяет двум важным тожде-

хх

х

х

ствам, которые позволяют преобразовать интегралы, содержащие Р (^), более легким способом, чем можно было бы ожидать, а именно (Черчиньяни [7] и [10] гл. 6)

2K-V^^W.dt=\P№\(3.21)

О

л) tg\pW/ 2 J VpW + ^Р^‘ (p.ZZ)

оо

Кроме того,

Р (0) = 2'1/2.(3.23)

§ 4. Применение основного метода к задаче Крамера

В этом параграфе мы применим полученные выше результаты к решению типичной задачи кинетической теории газов. Эта задача, обычно называемая задачей Крамера, исследовалась

Р и с. 2. Профиль скорости вблизи стенки при наличии градиента скорости к в основной части потока. Здесь к^ — макроскопическая скорость скольжения, р3(0) — микроскопическое скольжение. Штриховой линией отмечена толщина кинетического пограничного слоя, или слоя Кнудсена.

многими авторами. Постановка ее следующая (рис. 2): газ заполняет полупространство х > 0, ограниченное физической стенкой, расположенной в плоскости х = 0; газ неоднороден из-за градиента ^-компоненты массовой скорости вдоль оси х, причем

градиент стремится к константе при х -> оо. Требуется найти функцию распределения молекул в газе.

Ясно, что эту задачу можно рассматривать как предельный случай плоского течения Куэтта, когда одна из пластин отодвигается на бесконечность. Более общо, задачу Крамера можно интерпретировать как задачу связи через пограничный молекулярный слой с внешним потоком (§ 5 гл. 5). В этом случае «бесконечность» означает область, где справедливо решение Гильберта и градиент скорости «на бесконечности» можно считать постоянным, потому что он слабо меняется на расстоянии порядка длины среднего свободного пробега (это выполняется с точностью до членов порядка е2).

Обе эти интерпретации задачи Крамера наводят на мысль, что удобной линеаризацией является линеаризация около максвелловского распределения с наложенной в направлении z поступательной скоростью кх. Вследствие неоднородности максвелловского распределения линеаризация приводит к неоднородному линеаризированному уравнению Больцмана

2^3 + ^ = ^,(4.1)

где с = (cj, с2, с3) = (^, g2, £3 — кх\

Вычитая частное решение из уравнения (4.1), можно получить однородное уравнение Больцмана. Одно частное решение, не зависящее от х, следует из теории Гильберта; это решение L'1 (2кс^с3) для модельного уравнения БГК равно —2А:с1с30, где 6 — время среднего свободного пробега, ранее выбранное равным единице. Таким образом, ,

h = —2/^с^зб + 2с3У (х, с^,(4.2)

где У (х, £) удовлетворяет уравнению (3.1), если х измеряется в единицах 6. Так как не должно возникнуть недоразумений, мы опять будем писать £ вместо ^, с^ . . . . Массовая скорость дается выражением

^з^^ + л-1^ j е-^хД^(4.3)

причем первый член — это вклад от максвелловского распределения.

Что касается граничных условий, то мы будем предполагать, что молекулы отражаются от стейки с максвелловской функцией распределения, полностью аккомодировавшей к состоянию стенки (позже мы рассмотрим и более общие предположения). Поэтому граничное условие для h запишется в виде

h (0, с) = 0,с,> 0,(4.4)

или

(4.5)(4.5)Y (О, У = Ж

(4.5)

(4.5)

Кроме того, функция Y должна быть ограниченной на бесконечности.

Согласно соображениям, приведенным в § 3, общее решение уравнения (3.1), ограниченное на бесконечности, имеет вид

(4-6)(4-6)(4-7)(4-7)Y (х, Q = Ло+ j A (u) e-x/ugu (£) du,О

(4-6)

(4-6)

(4-7)

(4-7)

а условие, удовлетворяющееся на пластине, есть

/с6^ = Л0 + j A^gu® du.

О

Решить уравнение (4.7) значит разложить к№> в соответствии с теоремой 2 § 3; поэтому Ло и А (и) получаются из (3.14) и (3.15), если туда вместо g (£) подставить ^6^. Тогда

J aKtg (^L)J ^/„V (4-8)

Оо

А (и) = — к9нV2^2 [Р (^)] 1 {[р (^)]2 + А2} х; (4.9) здесь было использовано тождество (3.21), из которого непосредственно следует формула (4.9), а также тождество

2Л-1/2 j ^Р ^ dl= 1 j arctg (-^-) dt, (4.10) оо

полученное асимптотическим разложением для больших значений и ц сравнением с (3.22) или (3.16).

Тождество (4.10) дает выражение (4.8) для Ло, формула (4.9) находится интегрированием по частям.

Подставляя (4.8) и (4.9) в (4.6), получаем решение задачи Крамера. Массовую скорость легко найти из уравнений (4.3) и (4.6):

у3 (я) = kx-VЛ0Ц- j А (и) е-^йи,(4.11)

о

где Л о и А (и) имеют вид (4.8) и (4.9). Из формулы (4.11) видно, что Ао — макроскопическая скорость скольжения газа на стенке (§ 5 гл. 5): ее можно записать в виде t)k1 где £ — коэффи-

циент скольжения

£ = 0Л1/2 j о£ = 0Л1/2 j о^-^2 d^Ip О2 + л2ё2^-^2 d^Ip О2 + л2ё22Z (О2Z (О^2 d^[p№ + ^2 •^2 d^[p№ + ^2 •(4.12)(4.12)

£ = 0Л1/2 j о

£ = 0Л1/2 j о

^-^2 d^

Ip О2 + л2ё2

^-^2 d^

Ip О2 + л2ё2

2Z (

О

2Z (

О

^2 d^

[p№ + ^2 •

^2 d^

[p№ + ^2 •

(4.12)

(4.12)

Здесь I — длина среднего свободного пробега, определяемая формулой (3.27) гл. 5 и связанная с 6 соотношением 0 = 2n”1/2Z, и 2RT0 = 1.

Интеграл в (4.12) был найден численно (Альбертони и др. [5]); он равен

£ = (1,01615) 0 = (1,1466) Z.(4.13)

Возвращаясь к физическим единицам, запишем (4.11) в виде

(4.1Г)(4.1Г)

(4.1Г)

(4.1Г)

где I (^/0) практически равно нулю вне кинетического слоя; профиль скорости изображен на рис. 2. Значения I (а/6) легко вычис-

Р и с. 3. Структура кинетического пограничного слоя в сдвиговом течении, найденная для модельного уравнения Б ГК. На графике изображена поправка к профилю, соответствующему уравнению Навье — Стокса с условиями скольжения на стенке (см. (4.1Г)).

Макроскопическую скорость скольжения, т. е. скорость газа на стенке, можно найти непосредственно, не прибегая к численным расчетам. Имеем

у3 (0) = fc (£ —Z J

^2 [Р(^)]-1[Р ©12 + ^2

(4.14)

последнее равенство мы получим, полагая и 0 в (3.22) и учитывая соотношения (3.23) и (4.12).

Аналогично можно найти функцию распределения для молекул, достигающих поверхности пластины:

Y (0, g) = 2n-WZg + 2n-^klP (-9,£ < 0,(4.15)

где было использовано тождество (3.22). Тогда К (0, с) (возмущение максвелловского распределения на пластине) равно

И (0, с) - 4л~^klc2P (| q |), q < 0,(4.16)

и функция Р (Q (£ > 0) получает физическую интерпретацию через функцию распределения молекул, достигающих стенки. Из тождества (3.22) вытекает, что

| q | + 0,7071 < Р (| q ]) < | q | + 1,01615.(4.17)

Следовательно, функция распределения приходящих на стенку молекул очень близки к распределению Гильберта; действительно, разложение Гильберта приводит к формуле (4.16) с функцией Р (| с^ |), линейно зависящей от | q | (это распределение справедливо вне кинетического слоя; см. (4.2) и (4.6)). Тот факт, что распределение молекул, приходящих на пластину, близко к распределению вне кинетического пограничного слоя, не является неожиданным: каждая Молекула обладает скоростью, приобретенной после ее последнего межмолекулярного столкновения, которое в среднем происходит на расстоянии от стенки, равном длине среднего свободного пробега, т. е. в области, где распределение близко к распределению Гильберта.

Интересно отметить, что Максвелл (см. [1] гл. 2) предполагал, что функция распределения приходящих на стенку молекул совпадает с функцией распределения, которой обладают молекулы вдали от стенки. Используя это предположение и закон сохранения количества движения, он смог оценить коэффициент скольжения, не решая задачи Крамера. Он получил £ — Z (с ошибкой 15%) и-

К (0, с) = ^Шсз (| q | + 0,8863), q < 0,(4.18).

т. е. хорошее приближение к точному результату (см. (4.16) и (4.17)).

Обсудим теперь вкратце случай более общих граничных условий. Положим а = 1 в формуле (4.10) гл. 2. Тогда

А (0, с) =~ (1 — Р) с3 J c'Jq) А(0, с') ехр( —c'2)cZc', q>0. (4.19)

с'<0

Это граничное условие, выраженное через У (ж, £), принимает вид

У(0Л) = Аф+4(1-₽)^1/2]-

О

— 2(1 —Р) j^y^^expf-^)^.,^>0,(4.20)

ИЛИ•

У(0,^ = М^ + А(1-Р)л1/2] +

+ 2(l-p)J^y(0, ^)exp(-g)^i,^>0,(4.21)

О

поскольку в силу равенства (4.6) и теоремы 1

J У (^, £)^2^ = 0.(4.22)

Если мы умножим (4.21) на ^~^2 и затем проинтегрируем от 0 до оо, то получим'

р J ^У (0, Юе-«2^ = |/се(2-р)л1/2.(4.23)

О

Подставляя (4.23) в (4.21), находим

У(0Л) = Ж+[Мл1/2 (^-)].(4.24)

Равенство (4.24) показывает, что У = У — [Абл1/2 (1 — Р)/Р1 удовлетворяет тому же уравнению и тем же граничным условиям, что и У с Р =1. Поэтому-

У (ж, ^ Р) = [/с9л1/2 (^-)] + У(у ^ 1),(4.25)

а У ^х. £, 1) было найдено выше. В частности, коэффициент скольжения можно теперь записать в виде

Ш^р^Хг!)]^!),(4.26)

или

£ ф) = _2H2^LL I.(4.27)

Течение между параллельными пластинами

Мы только что показали, что задачи для полупространства, сводящиеся к уравнению (3.1), можно решить аналитическими методами. Это неверно для течений между параллельными пласти-

нами, таких, как течение Куэтта и течение Пуазейля. Однако можно использовать метод элементарных решений для нахождения решений в виде рядов и построения качественной картины решения.

Перепишем общее решение (3.19) уравнения (3.1) в виде

У (ж, 9 = Ло + А(ж —9+ J Л(и)ехр[ — — -^-j-J gu(^M (5.1}

где 6 — расстояние между пластинами в единицах 0; функция А (и) переопределена для удобства введением множителя ехр [—6/(2 | и |)]; пластины расположены в плоскостях х = ±6/2.

Равенство (5.1) показывает, что любое решение можно разбить на две части, одна из которых

Ло + А^х-^(5.2)

дает решение уравнений Навье — Стокса для рассматриваемой геометрии (постоянное напряжение, линейный профиль скорости), а другая

J А (u) fu (У ехр [ —- ^ J du(5.3)

в связи с быстрым затуханием экспоненциального множителя важна только около границ.

Итак, для достаточно больших 6 картина такова: ядро потока, где превалируют представления сплошной среды (описываемые уравнениями Навье — Стокса), окружено кинетическими пограничными слоями, возникающими из-за взаимодействия молекул со стенками. Однако с уменьшением 6 пренебрежение экспонентами становится недопустимым, т. е. кинетические слои сливаются с ядром, образуя поле течения, которое нельзя описать набором известных понятий. Наконец, когда 6 становится пренебрежимо малой величиной, Y (х, £) перестает зависеть от х, и молекулы сохраняют распределение, которое они имели сразу после их последнего взаимодействия с границей.

В случае течения Куэтта (т. е. когда две пластины, находящиеся на расстоянии ±6/2, движутся со скоростями ± Z7/2 в направлении г) поведение решения хорошо описывается на основании анализа, проведенного выше, хотя можно построить более детальную картину течения, найдя А^ и A (и) (Ло = О, A (и) — нечетная функция от и вследствие присущей этой задаче антисимметрии). Поэтому мы рассмотрим более подробно плоское течение Пуазейля между двумя параллельными пластинами, исследование которого» более интересно.

Рис. 4. Профиль скорости в плоском течении Пуазейля.Рис. 4. Профиль скорости в плоском течении Пуазейля.

Рис. 4. Профиль скорости в плоском течении Пуазейля.

Рис. 4. Профиль скорости в плоском течении Пуазейля.

Плоским течением Пуазейля (рис. 4) называется течение жидкости между двумя параллельными пластинами, вызываемое градиентом давления, параллельным к пластинам. В случае течения сплошной среды нет различия между градиентом давления, обусловленным градиентом плотности, и градиентом давления, обусловленным градиентом температуры. Напротив, при использовании кинетической теории это различие должно приниматься во ънимание. Мы ограничимся первым случаем (случай температурного градиента см. Черчиньяни [8]).

Выведем основное линеаризованное уравнение Больцмана для течения Пуазейля в канале произвольного поперечного сечения (включая плоский канал как частный случай). Предположим, что стенки отражают молекулы с максвелловской функцией распределения /0, с постоянной температурой и неизвестной плотностью Р = Р (2) (z —координата, параллельная потоку). Если длина канала много больше других характерных длин (длины среднего сво

бодного пробега, расстояния между стенками), то можно провести линеаризацию около максвелловского распределения /0; в действительности р (z) меняется слабо и /0 будет решением в случае, когда р — константа. Таким образом,

+ + (5.4)

В силу предположения о малости изменения р (вдоль длины трубы) можно считать (1/р) dpfdz константой (т. е. мы пренебрегаем производными от р более высокого порядка и степенями производных первого порядка). Если считать (1/р) dp/dz постоянной величиной, то dh/dz = 0, ибо z в явном виде не фигурирует ни в уравнении, ни в граничных условиях. Последнее можно записать в виде

h (х, у, z, £) = 0,(х, у) £ д^; хп^ + уп^ > 0,(5.5)

где <92 — контур поперечного сечения и п = (п1? п^ — нормаль, направленная во внутрь канала. Следовательно,

где к = (1/р) dp/dz = (1/р) dpldz. Уравнение (5.6) описывает линеаризованное течение Пуазейля в очень длинной трубе произвольного поперечного сечения.

Ограничимся анализом течения Пуазейля между пластинами и используем модельное уравнение БГК; тогда

h = 2^(^, U(5.7)

где Z (х, ^) удовлетворяет уравнениям

^-Цк = К~М2 J exp(-^)Z(^, ^i-ZW. (5-8)

z(-|sgn^)=0,(5.9)

при условии что х выражено в единицах 9.

Уравнения (5.8), (5.9) получаются разбиением, аналогичным разбиению, описанному в § 2.

Уравнение (5.8) отличается от уравнения (3.1) наличием неоднородного члена AV2. Если найдено частное решение уравнения (5.8), то для того, чтобы найти общее решение, достаточно к частному решению добавить общее решение уравнения (3.1).

Дифференцируя уравнение (5.8), найдем, что dZIdx удовлетворяет уравнению (3.1). Поскольку общее решение последнего содержит экспоненты (которые воспроизводятся при дифференцировании и интегрировании) и линейную функцию от х, мы будем искать частное решение уравнения (5.8) в виде квадратичной функции от х (с коэффициентами, зависящими от £).

Нетрудно убедиться, что решения в такой форме существуют, и одно из них есть

=(5.10)

Поэтому

z^A^ = WAWWAY(5.11)

где У (х, £) имеет вид (5.1). Уравнение (5.9) дает следующее граничное условие для У (х, В):

У (_lSgn£, £) = -[|£|-(1-2^)4]4-<5'12)

В силу симметрии задачи

У(Ж,^) = У(-Ж,(5.13)

так что Л^О, Л(и) = Л(— иУ Учитывая это, перепишем (5.12) в виде

Л + р (и) gu (£) du =[£- (1 - 2^) 1] -

О'

е-6/иаи £>0(514>

о

уравнение для ^ < 0 не нужно, ибо А (и) = А (—и).

Обозначим правую часть уравнения (5.14) через g (£); тогда (5.14) перейдет в (3.13). Применяя (3.14) и (3.15), находим

Л = -{^ + 4 (l + p-p-X^p^-M^duj (5.15) О

Л(и)=4^1/2 (ы+4 + ст) ^[^MHUp (ы)]2 +л2и2}-1 +

„1/2

+е«2 [Р (и) Г {[^ (ы)]2 + n2uV х

х ClZJ^e-6/U(№ ^>0,(5Л6)

О

где были произведены допустимые перестановки порядков интегрирования и использовано тождество (3.21). Здесь а = £/9 (см. (4.12) и (4.13)).

• Итак, задача сведена к решению интегрального уравнения (5.16) относительно неизвестной функции А (и). Это уравнение является классическим уравнением Фредгольма второго рода с симметризуемым ядром. Можно показать, что соответствующий ряд Лиувилля — Неймана сходится для любой данной положительной величины 6 (Черчиньяни [7]).

Очевидно также, что чем больше 6, тем быстрее сходимость. Это позволяет получить некоторые результаты в режиме, близком к режиму сплошной среды. В частности, если членами порядка ехр [ —3 (6/2)3/21 пренебречь, то останется только член нулевого порядка:

А^ = ^^^ _fp + a)+u} eu2lP^)]-i{[p(M)p + ^^(5.17)

С той же точностью

<5J8>

Отметим, что это приближение нулевого порядка точнее решения уравнений сплошной среды (даже если для уравнений сплошной среды использовать граничные условия со скольжением). В самом деле, даже в нулевом приближении 1) кинетические пограничные слои существуют вблизи стенок, 2) в основной части потока массовая скорость удовлетворяет уравнению количества движения Навье — Стокса, но соответствующие граничные условия на стенке, полученные экстраполяцией, не являются обычными условиями скольжения, а содержат в себе члены второго порядка:

v3 (±= + о—у (4 +* (5-19)

\2 /\ дх /зс=±6/2‘2 \ 21 \ дх^ /^=±6/2 х ’

Для того чтобы получить эти результаты, заметим, что массовая скорость равна

v3(^) = n-V2 [ /(ж, £)е~^ =

= у — ^ +Л+ J ^^exp^-^--^-]^; (5.20)

здесь были учтены равенства (5.10) и (5.11).

Формула (5.20) является точной; если членами порядка ехр [—3 (6/2)3/2] пренебречь, то Ло и А (ы) определяются равенствами (5.18) и (5.17). В частности, интегральный член в (5.20) описывает быстро меняющуюся в кинетических пограничных слоях часть. Так как в основной части потока интегральный член пренебрежимо мал, то

из^=^ [д2— ("т)—б(т—(4+ст2) ]•<5-21)

Легко проверить, что (5.21) удовлетворяет уравнению Навье — Стокса для плоского течения Пуазейля и граничным условиям (5.19). Нетрудно записать и функцию распределения в основной части потока. В самом деле, Y (хп ^ сводится здесь к Ло, так что (5.10) и (5.11) дают

Z^ = ^+(5-22)

С учетом (5.21) равенство (5.22) принимает вид

Z (^ Ю = Рз (Р -6 % ^+ (^-4) №^ ;(5.23)

мы восстановили размерность х (т. е. мы подставили х№ вместо я).

Равенство (5.23) ясно показывает, что в основной части потока, как и следовало ожидать, функция распределения является функцией Гильберта — Чепмена — Энскога (ряд по степеням 6). Однако это не обычное распределение, соответствующее описанию на уровне Навье — Стокса.

Равенство (5.23) дает функцию распределения Барнетта, С формальной точки зрения это объясняет появление членов второго порядка в скорости скольжения. Скольжение второго порядка с интуитивной точки зрения следует из того, что молекулы с, ненулевой скоростью в направлении 2 попадают в область с другой плотностью, прежде чем испытают столкновения, и поэтому существует результирующий перенос массы из-за градиента плотности. Иными словами, молекулы движутся преимущественно по> направлению к области малой плотности, даже до того, как они испытают какое-либо столкновение, и, следовательно, на расстоянии длины среднего свободного пробега от стенки появляется эффект добавочного макроскопического скольжения.

Для заданного градиента давления и данной геометрии задачи наличие дополнительного скольжения означает, что через поперечное сечение проходит больше молекул, чем предсказывалось,, исходя из уравнений Навье — Стокса и скольжения первого- порядка. Это легко доказать для достаточно больших 6 с помощью равенства (5.20), которое дает для потока следующее выражение:

d/2

F= j pv3^dx=-l^d?^6 + 6+^±y 6 >1, (5.24) -d/2

если пренебречь членами более высокого порядка, чем 1/6 (здесь были использованы формулы (5.17) и (5.18)).

В формуле (5.24) х и z выражены в размерных единицах, a d = 60 — это расстояние между пластинами, выраженное в тех же единицах. Следовательно, для заданных геометрии и градиента давления безразмерный поток есть

^(6) = Аб + а + -^1, 6»1. (5.25)

Последний член является поправкой к выражению Навье — Стокса. Происхождение его связано частично с наличием скольжения второго порядка, частично с наличием кинетических пограничных слоев.

Действительно, газ вблизи стенок движется медленнее, чем можно было бы ожидать из экстраполяции формулы (5.21); это дает поправку к величине Q (6), которая имеет тот же порядок, что и поправка из-за скольжения второго порядка. Эта поправка уменьшает влияние скольжения второго порядка, но не устраняет его, по крайней мере при достаточно больших 6.

Однако ясно, что этот эффект нельзя устранить полностью' и при меньших значениях 6, так как молекулы, обладающие вектором скорости, почти параллельным стенке, оказывают ощутимое влияние на движение газа, перемещаясь вниз по потоку на расстояние среднего свободного пробега. Это рассуждение подтверждается исследованием режима, близкого к свободномолекулярному (6 0). Такое исследование может быть основано или на методе итераций, который будет описан в гл. 8 (Черчиньяни [9]), или на ином использовании метода элементарных решений (Черчиньяни [7]). В обоих случаях

Q (6) ^ —л"1^ log 6, 6-^0. (5.26)

Это означает, что вклады более высокого порядка, обусловленные кинетическими слоями, уничтожают член порядка 1/6 в формуле (5.25), но оставляют слабую расходимость при 6 -> 0 (связанную по существу с наличием упомянутых выше молекул, движущихся параллельно пластинам). Поведение величин при больших 6 (формула (5.25)) и при малых 6 (формула (5.26)) указывает на существование по крайней мере одного минимума в выражении для потока.

Для трубы круглого сечения этот минимум был экспериментально обнаружен в 1909 г. Кнудсеном [10] и затеи для длинных труб различных поперечных сечений другими исследователями. Обсуждение, проведенное выше, качественно объясняет наличие минимума, а его точное местоположение для течения между пластинами и задач с более сложной геометрией должно быть найдена приближенными методами (§ 5 гл. 8).

Элементарные решения для нестационарных сдвиговых течений

В нестационарном модельном уравнении БГК в одномерном случае сдвиговые эффекты и эффекты, связанные с нормальными напряжениями и теплопередачей, можно разделить точно так же, как и в стационарных задачах. Тогда уравнение для задачи о сдвиговом течении принимает вид

^ + ^ + ¥(^ = ТХ~Ш f ехр(-^)У(ж, (6-1)

Т. е. зависимость от времени аналогична зависимости в уравнении (3.1). Здесь обе переменные х и t выражены в единицах 6.

Для решения уравнения (6.1) применим следующий метод. Возьмем преобразование Лапласа относительно t и тем самым сведем нестационарную задачу к стационарной. Теперь решении задачи зависит от комплексного параметра s. После разделения

пространственных и скоростных переменных исследуем зависимость от 5 спектра значений параметра разделения у, что необходимо для проведения обратного преобразования.

Возьмем преобразование Лапласа от обеих частей уравнения (6.1). Не нарушая общности, можно положить начальное значение Y равным нулю. Действительно, частное решение неоднородного преобразованного уравнения, соответствующего ненулевому начальному условию, можно построить при помощи функции Грина, которую легко найти, если известно общее решение однородного уравнения.

Итак, будем решать однородное уравнение

($ + 1)У + ^ = л-1/2 J ехр(-^)У(Ж, ^d^,(6.2)

где Y — преобразование Лапласа от У. Такое же уравнение (с 5 = Zco) описывает состояние газа, совершающего установившиеся поперечные колебания с частотой со.

Разделение переменных в (6.2) дает

У„ (ж, £, s) = gu (9 exp ( —,(6.3)

где и — параметр разделения и gu® удовлетворяет уравнению (s + l) (1-^^и(9==л-1/2 j 8и&)ехр(-1^.(6.4)

Правая часть этого уравнения не зависит от £, и ее можно нормировать на 1.

Таким образом, мы пришли к типичной задаче разделения, полностью аналогичной задаче в стационарном случае. Если и — £ не обращается в нуль, т. е. и не является действительным числом, то gu (£) — обычная функция, равная

с условием нормировкис условием нормировкиf ие\ лf ие\ л(6.5)(6-6)(6.5)(6-6)

с условием нормировки

с условием нормировки

f ие\ л

f ие\ л

(6.5)

(6-6)

(6.5)

(6-6)

Если же и — действительное число, то gu^— обобщенная функция и в силу (6.4)

gu® = Ps)8(u — у,(6.7)

где функция р(и, s), определяемая условием (6.6), имеет вид р (и, 8) = кМ2еи28 +р (и);(6.8)

функция р (ы) введена в § 3.

Формула (6.7) дает обобщенные собственные решения, соответствующие непрерывному спектру (— оо < ^ < оо). Основной вопрос теперь состоит в исследовании возможных значений и, удовлетворяющих условию (6.6) и, следовательно, образующих дискретный спектр. Такие значения, согласно (6.6), являются нулями функции комплексного переменного

М (z, s) = 1-e-V2(s + 1)-i I(6.9)

Эта функция аналитична в комплексной плоскости 2 с разрезом вдоль действительной оси, где она терпит разрыв. В самом деле, в силу (3.18) и (3.19) гл. 1 для предельных значений М~ (и, s) = = lim М (и ± ie, s) (и — действительное число, 8 > 0) имеем 8->0

М~ (и, s) = l-nV2(s+l)-i^p ( ^_^ + niue“2J, (6.10)

или

М~ (^, s) = е~и2 ($ + I)-1 л-1/2 [р (ц, 5) ц- uiu\.(6.11)

В предельном случае, когда s таково, что

р (и, s) + лш — 0 (и — действительное число), (6.12) дискретный спектр переходит в непрерывный.

Условие (6.12) выполняется на замкнутой сердцевидной кривой в комплексной плоскости (рис. 5). Уравнение этой кривой (назовем ее у) можно записать в параметрической форме (— ооО<оо)

Re s = —n-^2e~u2p (и),

Ims = —л1/2^-^2.(6.13)

Уравнения (6.13) получены из (6.12) и (6.8) для действительной функции р (ы). Уравнение М (z, s) = 0 определяет отображение из плоскости z в плоскость s; оно однозначно переводит точку плоскости z, не лежащую на действительной оси, в точку плоскости 5. Когда z приближается к действительному значению и, уравнение М (z, 5) — 0 (в силу (6.11)) превращается в уравнение (6.12); двойной знак связан с тем, что можно двигаться и сверху, и снизу.

Когда и пробегает действительную ось, точка s описывает кривую против часовой стрелки, если мы считаем действительную ось границей верхней полуплоскости, и по часовой стрелке, если

мы считаем действительную ось границей нижней полуплоскости. В обоих случаях уравнения (6.13) устанавливают взаимно однозначное соответствие между кривой у в плоскости s и действительной осью в плоскости 2. Отсюда и из принципа аргумента следует, что обе полуплоскости плоскости z отображаются посредством уравнения М (z, s) = 0 в область внутри у и для^каждой полуплоскости это отображение взаимно однозначно.

Рис. 5. Кривая у, разделяющая плоскость s на область, где нет дискретного спектра и (внешняя область), и область с двумя дискретными собственными значениями.

Поэтому для любой точки 5 из области внутри у существуют два комплексных значения и, удовлетворяющих условию (6.6) (точке 5 из области вне у не соответствует ни одно значение и\ Из условия (6.6) видно, что эти значения равны по модулю и имеют противоположные знаки; обозначим их +и0 ($)•

Теперь мы можем распространить на наш случай результаты стационарной задачи (s = 0) и, в частности, теоремы 1 и 2 § 3. Свойства полноты остаются в силе, и лишь в небольшой степени изменяется уравнение. Таким образом, в случае всего простран2

ства — оо < g< оо любую функцию g ®, удовлетворяющую условиям теоремы 1, можно представить в виде

j A^gP^du, (6.14)

где gu О задается равенством (6.7), a g+— равенством (6.5) с ^ = + ^о- Коэффициенты А+ и А_ вне у равны нулю (вне у функции g+ и g_ не определены), а внутри у

Л± = е-1/2[5(1-2^) + 1Г ^^-g^dX-(6.15)

Для любой точки 5 функция А (и) имеет вид (3.11), где вместо р (и) должно стоять р (у, s). Очевидно также, что А±, А (и) и, возможно, g (£) зависят от 5, хотя эта зависимость явно не указана.

В случае полупространства 0 < £ < оо функцию g (£) можно представить в виде

g (У = A+g+ (У + р W gu ^ du,(6.16)

о

где Д+ = 0 для 5 вне у и

Д+=№л1/^(г/0)]-1 J ^g^p^^^(6.17)

о

для 5 внутри у. Здесь

^M’s) = ^expf~Tf arets (^)т^]- (6-18)

о

Для любой точки 5 функция А (и) имеет вид (3.15), где Р (и) дается формулой (6.18), когда s внутри у, и той же формулой с ^0 = 0, когда 5 вне у. Функция Р (и, s) снова удовлетворяет определенным тождествам, которые делают обращение с ней проще, чем можно было бы ожидать.

Аналитические решения конкретных задач

Теорию, разработанную в § 6, можно применить для аналитического решения задач о сдвиговом течении газа в полубесконеч- ной и бесконечной областях. Можно, например, решать следующую задачу: предположим, что два полупространства отделены друг от друга плоскостью х = 0 и первоначально газ имеет одну и ту же плотность р0 и температуру Т^ в обеих областях. В области х > 0 газ течет однородно в направлении 2 со скоростью U,

а в области х < 0 течет однородно в том же направлении со скоростью — Щ мы хотим найти эволюцию газа, т. е. размывание и диффузию разрыва скорости. Задачу можно решить (Чарчиньяяи и Тэмби [11]), применив теорему полноты для всего пространства для построения преобразования Лапласа. Можно даже найти аналитическое обращение преобразования Лапласа и записать решение для массовой скорости в виде

у (ж, f)=U sgna? [1—2n-V2 j н (т) exp [ ~^+g ^ ^H ""] x

X' {e-«2 cos [^ (i - ^) e-"2 ] +

Здесь H — функция Хевисайда и

q (и) = n-1/2e”u2T? (м).(7.2)

Это точное решение можно использовать для нахождения асимптотических разложений в случае малых и больших времен и для численного табулирования пространственно-временного поведения газа. Решение показывает, что профиль скорости становится все более и более гладким с ростом времени, но по прошествии 12 времен между столкновениями все еще остается десятипроцентное отличие от решения Навье — Стокса.

Задача для полупространства труднее для решения, ибо требует использования теоремы полноты для полупространства и, следовательно, уравнений, содержащих Р (и). Для Задач с начальными условиями решение всегда можно свести к двойным квадратурам, а для задач со стационарными колебаниями — к одной квадратуре.

Как пример последних рассмотрим распространение волн Релея в полупространстве: предположим, что полупространство заполнено газом с плотностью р0 и температурой То и ограничено бесконечной плоской стенкой, колеблющейся в ее собственной плоскости с частотой.со. Мы будем рассматривать систему в установившемся состоянии, когда исчезнут все переходные процессы. Следовательно, если скорость стенки равна действительной части величины Ue^ (U = const), то решение линеаризованной задачи будет действительной частью функции А, зависящей от времени, как е^, и удовлетворяющей уравнению

(7.3)

Линеаризированное граничное условие на стенке можно записать в виде

А (0, 1, *) =£3 > 0.(7.4)

Мы потребуем, чтобы решение на бесконечности было ограниченным. Если предположить, что модельное уравнение БГК описывает столкновения, то можно написать

h (х, I. ^ = 2№^ук g1)?(7.5)

где Y (х, 9) удовлетворяет уравнению (6.2) (с s = Zco) и граничным условиям

*У (0, 9 = 1,^>0.(7.6)

Так как приведенные ниже .результаты справедливы для любого комплексного s (Re s ^ —1), мы будем писать s вместо ico; эта более общая форма будет полезной и позже. Применяя граничное условие (7.6) и свойства полноты в полупространстве (см. § 6) вместе с ограниченностью на бесконечности в физическом пространстве, находим■

Y(x, y=-ni/2s f f“ ® ^ (“’ ^ exp Г - (s+ 1) - + u2l du (7.7)

x\ui $)]2 + п2^2 L x ' и x Jx '

0

для 5 вне у (тогда Р (и, s) задается формулой (6.18) с мо = О). Аналогично для s внутри у

Y (х, 9=-2£+(9ехрГ -Н1)^[Р«1-

— nV2s Г ^_®И1^ДХехр Г_ (s_pi)Z. Дйи (7.8) о

где w0 = и0 (s) выбрано между двумя возможными значениями так, чтобы было

ВеГ^Ш>0,(7.9)

а Р ^ имеет вид (6.18).

Для нахождения массовой скорости и касательного напряжения можно проинтегрировать уравнения (7.7) и (7.8). Особенно простые выражения получаются для х = 0 (Черчиньяни и Сер- наджотто [12], Черчиньяни [10] гл. 6).

Проанализируем теперь найденное решение. Прежде всего отметим, что существует такое предельное значение частоты соо (£соо € у), что для со > соо будут только собственные решения непрерывного спектра. Поэтому, казалось бы, для со > соо не должно быть плоских сдвиговых волн. Однако можно показать,

что при со > соо есть и дискретный спектр. В самом деле, можно распространить интегрирование в (7.8) на луч Re и + т Im и = О (Re и > 0), где т = max (со, 1), при условии, что добавляется вклад от всех полюсов подинтегрального выражения, расположенных между этим лучом и действительной полуосью. Легко показать, что для частоты, большей соо, но все же близкой к соо, найдется по крайней мере один полюс и^ удовлетворяющий условию

р (Щ, ^) — пш^ = 0, ' (7.10)

где р (и, s) задается формулой (6.8) и последним равенством в (3.6), имеющим смысл для любого комплексного и. Уравнение (7.10) является аналитическим продолжением условия (6.6) для со > со0. С этой точки зрения соо теряет свой характер критической частоты.

Другая особенность наших результатов состоит в том, что если мы находимся достаточно далеко от стенки, то для любой фиксированной частоты вклад от непрерывного спектра доминирует над вкладом от дискретного члена, поскольку первый затухает медленнее, чем экспонента. Эта особенность тесно связана с тем фактом, что спектр значений и простирается до бесконечности и он бы не существовал, если бы частота столкновений возрастала по крайнёй мере линейно с молекулярной скоростью для больших значений последней. Экспериментальная проверка этих результатов при существующей технике эксперимента не представляется возможной.

Можно решить еще одну задачу: предположим, что полупространство заполнено газом с плотностью р0 и температурой То и ограничено плоской стенкой; газ первоначально находится в состоянии абсолютного равновесия, а стенка неподвижна, затем пластина мгновенно приводится в движение в ее собственной плоскости с однородной скоростью U. Требуется исследовать распространение в газе возмущений, вызываемых движением пластины. Эта задача называется задачей Релея; мы хотим решить ее аналитически с помощью линеаризированного модельного уравнения БГК.

Возмущенная функция распределения удовлетворяет линеаризированному уравнению Больцмана, начальному условию

Л <х. 0, 1) - 0 (7.11) и граничному условию

h (0, t, ^ - 2С^, ^>0. (7.12)

Далее, при х оо функция И (х, t. ^ должна быть ограниченной для любых фиксированных < и t Применяя модельное уравнение БГК, получаем

Нх, t. §) - 2^3 У (^ t, Z{\ (7.13)

где Y (х, t, ^) удовлетворяет уравнению (6.1), начальному условию

У (^,0,9-0(7.14)

и граничному условию

У(0, ^э=1,^ > 0.(7.15)

Беря преобразование Лапласа от У, т. е. У ^х, s, £), сводим уравнение (6.1) к уравнению (6.2); граничные условия на стенке принимают вид

У(0, s, 9 = 1,^>0.(7.16)

Таким образом, У можно найти из уравнений для колеблющейся стенки, умножая правую часть уравнений на 1/s; то же можно сделать для массовой скорости и напряжения.

Важно отметить, что функция У, определяемая равенством (7.7) для s вне у и (7.8) для 8 внутри у, является аналитической функцией от 5 не только вне и внутри у, но также и на самой кривой у. Иными словами, (7.8) — аналитическое продолжение (7.7) внутрь у. Это следует из того, что функции и интегралы в (7.7) терпят разрывы, когда 8 пересекает у, и эти разрывы вносят вклад в дискретный член, равный предельному значению дискретного члена в (7.8). Поэтому можно в обратном преобразовании Лапласа деформировать путь интегрирования так, чтобы он пересекал у при условии, что для каждой области используется соответствующее выражение. С другой стороны, в силу выбора ^0 (неравенство (7.9)) отрезок [—1, 0], как легко видеть, является линией разрыва. Согласно хорошо известной теореме о преобразовании Лапласа,

y^ t, 9 = ^ J(7.17)

где У задается формулой (7.7), а путь интегрирования — вертикальная прямая справа от у.

Этот путь интегрирования в плоскости s благодаря аналитичности У можно деформировать в путь, состоящий из отрезка [—1, 0] действительной оси и вертикальной прямой Re (s + 1) = = 0. Получающиеся интегралы можно записать целиком в действительной форме и тем самым свести задачу к квадратурам, которые в принципе можно вычислить с любой точностью.

Можно также использовать наши результаты для получения аналитическим путем интересной информации. Например, можно распространить паши результаты на малые и большие времена (Черчиньяни и Сернаджотто [12]). В частности, интересно сослаться на результат для массовой скорости, справедливый для боль-

ших времен:

(7.18)(7.18)— (hv£) 1/2 W ^х\

(7.18)

(7.18)

где v — кинематическая вязкость (0 = 2v), a w (х) — массовая скорость, соответствующая единичному градиенту на бесконечности в задаче Крамера (формулы (4.11), (4.8) и (4.9) с k = 1). Следовательно, как в стационарном, так и в нестационарном случаях (для больших значений времени) течение имеет одну и ту же

Р и с. 6. Эволюция во времени массовой скорости у пластины для линеаризированной задачи Релея, полученная для модельного уравнения БГК. Сплошной линией отмечена скорость у пластины, штрихпунктирной — решение Релея.Р и с. 6. Эволюция во времени массовой скорости у пластины для линеаризированной задачи Релея, полученная для модельного уравнения БГК. Сплошной линией отмечена скорость у пластины, штрихпунктирной — решение Релея.

Р и с. 6. Эволюция во времени массовой скорости у пластины для линеаризированной задачи Релея, полученная для модельного уравнения БГК. Сплошной линией отмечена скорость у пластины, штрихпунктирной — решение Релея.

Р и с. 6. Эволюция во времени массовой скорости у пластины для линеаризированной задачи Релея, полученная для модельного уравнения БГК. Сплошной линией отмечена скорость у пластины, штрихпунктирной — решение Релея.

структуру кинетического пограничного слоя. Этот факт не является неожиданным, так как мы знаем,, что вид уравнений, описывающих кинетические слои (гл. 5), не зависит от конкретной задачи. В частности, в этом нестационарном течении коэффициент скольжения принимает то же значение, что и в стационарном случае.

Другие приложения аналитического решения состоят в оценке скорости и напряжения на пластине. Получены довольно простые выражения (Черчиньяни и Сернаджотто [12]); в качестве примера

приведем

уз № о = !—L Г (v-1 — iy/2 e-^du =О

Z/2=4+т j e~vv~xii м^о

где IY обозначает, как обычно, модифицированную функцию Бесселя первого рода первого порядка. Эти выражения показывают, что у3 (0, ^ слабо возрастает от своего первоначального значения [7/2 к окончательному значению U (рис. 6).

Более общие модели

После детального изучения как стационарного, так и нестационарного сдвиговых течений кажется вполне естественным перейти к исследованию уравнений (2.10) и (2.11), описывающих, согласно модельному уравнению БГК, стационарные процессы теплопередачи. Однако эти уравнения связаны. Поскольку мы имеем дело с линейными уравнениями, можно, употребляя матричную запись, проделать выкладки, близкие к выкладкам предыдущего параграфа. Таким способом можно легко доказать, например, полноту элементарных решений во всем пространстве и получить в явной форме коэффициенты разложения. К сожалению, в полупространстве это не так легко сделать из-за наличия сильно нелинейной зависимости функции Р (£) от функции р (£) (формула (3.16)). Поэтому следует применить другой метод; при этом теряется часть точной информации, ее надо восстановить приближенными методами.

Так как те же методы можно применить к более общим модельным уравнениям, но только рассматривать (п X тг)-матрицы вместо (2 X 2)-матриц, то при решении задач теплопередачи или нестационарных задач с нормальным напряжением нет смысла исследовать модельное уравнение БГК отдельно от модельных уравнений более высокого порядка. Поэтому займемся здесь более общими уравнениями, описанными в § 2 гл. 4.

Более общее модельное уравнение с постоянной частотой столкновений можно записать (для одномерных задач) в виде

м

^• + h^ = 2 “^^ t/)^—А(8.1)

где ф; — собственные функции максвелловского оператора столкновений.

Сначала исключим поперечную компоненту молекулярной скорости, представляя h (зс, t. ^ в виде

п

(ж, t, ^) g, (^2, Is) + hR (к, t, I),(8.2)

где {g;} — последовательность полиномов, ортогональных в смысле скалярного произведения (2.8), а функция hR однозначно определяется как ортогональная к gj (у = 1, 2, . . ., п), п — целое число ^М, так что все ф^ (А: = 1, . . ., М) можно выразить через gj (у = 1, . . ., ?г) с коэффициентами, представляющими собой полиномы от ^. Тогда уравнение (8.1) можно свести к системе

OKj dhjJI ™

4 + ^ + М*, <Л) = 5 ^ (Фь, h^X^, j = l,...,n, (8.3) r=l /1=0

^r + ^^r + hbt^,t,^ = 0,(8.4)

где {фк (9) — последовательность полиномов, ортогональных в смысле скалярного произведения

(Ь, g^u-Ш j И^Ш^'^(8.5)

звездочка означает комплексно сопряженную величину. В уравнениях (8.3) т — целое число ^7И, равное максимальной степени коэффициентов разложения функций ф^ (k = 1, . . ., 7И) по gj (у = 1, . . ., п^ a Xjhr — соответствующие полиномы (имеющие максимальную степень т\ Здесь предполагается, что v = 1.

Уравнение (8.4) решается непосредственно, и так как оно не свцзано с системой (8.3), мы его не будем больше рассматривать. Разделяя переменные в (8.3) обычным образом, находим

(s+l) (1--1) № s) = 2 2^уХ№^. (8.6)

Г=1 h=0

Из уравнения (8.6) получаем следующие моментные уравнения:

и (s4" 1) (фг, hj^Y — (^Фг? ^y)i = 2 2 (ф^’ ^s)i (фг> ^yhs)i> (8-7) /t=0 s=l

г = 0, 1, . ... т ~ 1; j = 1, . . ., п.

Поскольку ^фг можно представить в виде комбинации фг_4 и фг+i, последнюю систему тп уравнений можно непосредственно решить относительно тп величин (фг, hj^ (г = 1, 2, . . ., т; j = l, . . ., п), которые тем самым выразятся через (xpOl hj^v

Коэффициенты этой комбинации будут рациональными функциями от и и 5 (полиномами в случае максвелловских молекул). Тогда (8.6) примет вид

6 -Т)& и^ ^^^ Т1к (£’ и- s) s)' 7 = °> • • •, т, (8-8)

л=о

где ТзК — ПОЛИНОМЫ ПО £, и И 5,

Ак (и, s) = (1, Afe) ID (и, s) (s + I)]"1,(8.9)

D (и, s) — определитель системы (8.7) (для максвелловских молекул D (и, s) = 1, а для более общих моделей это полином по и и s).

Систему (8.8) можно записать в матричной форме

(1 —-^) h(£, и, s)=T(£, и, s) A (u, s),(8.10)

где h и А — векторы, а Т — матрица.

Теперь мы имеем следующие собственные функции, определяемые обычным непрерывным спектром:

h (£, и, s) = Т (£, и, s) А (^, s) Р —+ р (u, s) А (u, s) 6 (и — £), (8.11)

где в силу (8.9)

P(u, s) = e“2[n1/2£)(W) s)(s+l) I-P ^ ПкМ^^],(8.12)

I — единичная матрица. Интегралы в (8.12) легко выразить через функцию р (и), введенную в § 3, и, следовательно, через затабу- лированные функции.

Рассмотрим матрицу, элементы которой являются функциями комплексного переменного z:

°°_?2

М(2, 8) = ^ЧЦи, 5)1 + ^ j(8.13)

Легко видеть, что дискретный спектр (если такой существует) образуют комплексные значения и, удовлетворяющие уравнению

Det М (и, s) = 0.(8.14)

Нетрудно доказать полноту собственных решений во всем пространстве ( — оо < £ < оо) и найти коэффициенты в виде квадратур. Разложение для общей функции g (^) имеет вид

NОО-

g №) = 2 St (^ s) ^i (s) + j S (£, it, s) A (u, s) du, (8.15) 2=1—oo

где

g (5, u, s) = Т (1, и, s) Р -^ + р (и, s) 6 (и — у (8.16) и

gi&S) = T& ut, s^P-^, (8.17)

иг (i = 1, . . ., N) — возможные решения уравнения (8.14). Коэффициенты A; (s) и А (и, s) можно выразить в явной форме через квадратуры, включающие данную функцию g (Q. Основную роль играет матрица М (2, s) и ее очевидная связь с р (и, s), позволяющая решать нужные интегральные уравнения с помощью алгебраических операций над матрицами ([10] гл. 6).

Отметим также, что в стационарном случае (s = 0) величина и принимает лишь действительные значения и поэтому нет дискретного спектра. Однако в этом случае мы должны добавить решения, возникающие из инвариантов столкновений, а также из частного решения (линейного по х), которое получается, если применить (8.1) гл. 6 к одномерным задачам.

Легко догадаться, что элементарные решения обладают свойством полноты в частичном интервале. Однако непосредственное доказательство, эффективное в случае одного уравнения, нельзя перенести на случай системы, ибо нельзя найти замкнутую форму для матрицы (аналога функции Р (ы) в скалярном случае), играющей основную роль в аналитическом процессе решения. Но для случая полупространства 0<£<оо, наиболее важного в приложениях, можно доказать, что свойство полноты, действительно, имеет место ([10] гл. 6). Невозможность конструктивного доказательства означает, что мы не можем точно решать задачи для полупространства. Но можно предложить простые приближенные методы, которые оказываются очень эффективными: можно аппроксимировать матричный аналог функции Р (и) (который является очень гладкой функцией для и > 0) ([10] гл. 6) или угадать (с соответствующими константами) функцию распределения налетающих молекул (которая также является очень гладкой функцией и близка к полиному); см. § 4 и [13].

Некоторые частные случаи

Результаты § 8 указывают на то, что задача о сдвиговом течении в рамках модельного БГК-уравнения является особой в том смысле, что для ее решения можно использовать аналитические методы в большей степени, чем для более общих задач и модельных уравнений. Можно, однако, рассмотреть и другие задачи, для которых аналитические методы могут быть столь же успешно развиты.

Первый класс задач возникает при упрощении модельного БГК-уравнения: можно нарушить закон сохранения энергии при изучении так называемых изотермических волн (Островский и Клейтман [14], Мэсон [15]), можно оставить закон сохранения энергии, но рассматривать только одномерные столкновения (Вейцнер [16]) или, наконец, отделить одну из степеней свободы от двух остальных (Черчиньяни [10] гл. 6). Все эти модификации позволяют упростить уравнения так, чтобы свести задачу к решению одного уравнения вместо системы уравнений.

Другой интересный случай связан с использованием эллипсоидальной статистической модели (уравнение (2.10) гл. 4 с N ;= 9).

Для одномерных задач о сдвиговом течении это уравнение отличается от БГК-уравнения лишь интегралом, пропорциональным касательному напряжению. Но с помощью закона сохранения количества движения его можно исключить, с тем чтобы получить интеграл, пропорциональный массовой скорости, и тогда уравнение будет очень похоже на модельное уравнение БГК.

Для стационарных задач дело обстоит весьма просто (Черчиньяни и Тирони [9] гл. 4): можно выразить решение задачи о сдвиговом течении для эллипсоидальной статистической модели через решение, найденное для этой задачи с использованием модельного уравнения БГК. В частности, можно показать, что коэффициенты скольжения, полученные этими двумя способами, равны. Интересными возможностями обладает модельное уравнение с частотой столкновений, зависящей от скорости (уравнение (3.3) гл. 4). Это модельное уравнение не исследовалось в § 8, но и здесь можно отделить задачу о сдвиговом течении от задачи об изменении плотности, нормальной скорости и температуры (Черчиньяни [10] гл. 4). Задача о сдвиговом течении описывается уравнением

д¥ ~д¥v

сю1

= ^Я( ^ ( ^(^IJexpC-^a-^y^f,^^), (9.1) V0-1

где

v = 4jv(№~^?(9-2)

о

£ц — компонента вектора | в направлении х (так что ц, — это косинус угла между вектором | и осью х), а функция У связана с А (х, t, ^ соотношением

И - 2^з Y (х, t, £, ц).(9.3)

В стационарном случае уравнение (9.1) решается довольно легко. Положим

w = ^r.(9.4)

д¥

Тогда (9.1) при -^-=0 можно записать в виде

к

ш ^ + У = 4 J dwiz^ w^(9-5)

-к

где

/c = lim—1^-(9.6)

и

ZM = J й^®-Ю«ьа1)Пехр(-^1*№¥(г,шЛ).(9.7)

Здесь мы ввели функцию ^(w), которая обращает соотношение 4,-м.<9-8>

Умножая уравнение (9.5) на e-^2 [v @]2 {^2—^2[v(Q]2} и интегрируя по | от ^(w) до оо, имеем

к

w^a-z=(W^ a^z^w^(9.9)

-к где

Ф^И"1 j t^^^OW^(9.10)

Полезно заметить, что Ф (и?) ^ 0, ^Ф' (и?) ^0 и

к

J ФИ dw = l.(9.11)

— к

Равенство (9.11) легко получить интегрированием по частям.

Уравнение (9.9) очень похоже на модельное БГК-уравнение, и его можно решить аналогичными методами. Общее решение таково:

к

Z ^х, w) =Ф (w) ^Ло + ^1 ^ — ^) + j А (и) e~x/ugu ^ du^ ,(9.12)

-к

где

(и;) = Р-^-^-+ р (и) 6 (u — wY(9.13)

к

р (и) = [Ф (п)Г Р J ^5" dU-(9Л4)

— к

Общее решение уравнения (9.5) теперь легко написать, ибо это решение обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка с постоянными коэффициентами и заданным неоднородным членом. Итак, к

Y (х, w, 9 = v-1 {Лд + А (х — и?)+ ^ А (и) е~х'и fu (w) du+

-к

+ В(ы>, У ,(9.15)

где В (w, £) — произвольная функция, для которой

j ^{^-^[vO2}eXp(-g)[vO2B(n;,^) = 0. (9.16) £(w)

Для массовой скорости vs (ж) получаем

кк

y3.(^) = v-1 ^Ло + Д^+ j А (и) п (и) е~х/ис1и + j В (и) е~х!и dtl^ , — к—к

(9.17) где к

п (и) = ^ dwfu(w)^ (w),(9.18)

-к

Ч» = 2л-1/2 j ^{^_^мж(9.19)

Полнота во всем пространстве и в полупространстве легко доказывается. Функция Р (ы), появляющаяся в качестве весовой функции в условиях ортогональности для полупространства, имеет вид

к

Р (u) = u exp { - ± j arctg [^ ] ^}(9'2°)

О

и удовлетворяет тождествам и соотношениям, аналогичным тем, которые выполняются в случае модельного уравнения БГК.

В результате все конкретные задачи, решаемые с БГК-уравнением,

могут быть решены и с рассматриваемыми более общими модельными уравнениями. В частности, можно точно решить задачу Крамера и найти коэффициент скольжения (Черчиньяни [10] гл. 4, Черчиньяни и Сернаджотто [17])

к

£ = — л-1 ( arctg Г^1 dt.(9.21)

JL Р V) J

О

Эта формула использовалась для выяснения зависимости £ от v О (Черчиньяни, Форести, Сернаджотто [18]). Для функции v О, возрастающей линейно при £ оо, значение £ получилось заниженным на 3% по сравнению со значением £ для модельного БГК-уравнения (при фиксированном значении коэффициента вязкости).

Только что приведенные результаты показывают, что, пока мы ограничиваемся стационарными задачами, не возникает существенно новых трудностей по сравнению с модельным БГК-урав- нением. Этого нельзя сказать о задачах, зависящих от времени и пространственных координат. Это связано с появлением спектра, заполняющего двумерную область, о которой говорилось в § 7 тл. 6 и которая будет подробнее исследована в следующих параграфах.

Нестационарные решения кинетических модельных уравнений с частотой столкновения, зависящей от скорости

Если мы возьмем преобразование Лапласа от уравнения (9.1) и, как обычно, не будем временно рассматривать неоднородный член, связанный с начальными условиями, то получим уравнение [v© + s]y + ^^- =

оо1

= Ж{^ ]^(^)^ехр(-^)(1-^) У^^Лъ Hi), (10.1)

V О -1

где У — преобразование Лапласа от У.

Такое же уравнение (при s = ico) описывает установившиеся поперечные колебания газа с частотой со. Если s — действительная величина, то метод решения аналогичен методу в стационарном случае: достаточно ввести переменную w, зависящую от £ и р (соотношение (9.4) с v © + s вместо v (Q). Но если s — комплексная величина, то w тоже будет комплексной величиной:

(10.2)

Для любого комплексного значения s при изменении § от 0 до оо и р, от —1 до +1 величина w заполняет некоторую область G (s) в плоскости (а, Р). Эта область сводится к отрезку действительной оси для действительных значений s и двумерна, когда Im 5=^=0. Удобно ввести функцию

Z<x, to)=2®±£y,(Ю.З)

где для простоты записи не указана в явной форме зависимость Z ОТ 5.

Полезно отметить, что запись Z (х, ш) не означает, что Z — аналитическая функция комплексного переменного и)\ это только сокращенная запись для Z ^х, а, Р). В новых переменных уравнение (10.1) принимает вид

Z + w -^- ~ j j ^ai ^Р1Ф (w^ Z {х, w^,(10.4)

G(s)

где

причем £ и ц надо выразить через а и Р в соответствии с (10.2), Разделяя переменные в (10.4), получаем

2 и (х, w) = gu (w) e-»!u,(10.6)

где и = у + 16 — параметр разделения и gu (w) удовлетворяет уравнению

(1 —у) gu (to) = j j da^ с^Ф ^ gu (wvy (10.7) G(s)

Правая часть уравнения (10.7) не зависит от w, и ее можно нормировать на единицу. Таким образом, мы снова пришли к типичной задаче разделения переменных, полностью аналогичной ранее рассмотренным. Если (и — w)/u =£ 0, то fu (w) — обычная функция

(1О)

с условием нормировки

J рай₽Ф («0-^ = 1.(10.9)

G(s)

Если же (и — и^!и — 0 для некоторого w, то gu (ш) должна быть обобщенной функцией. Это происходит, когда и g G (s). Мы должны тогда учитывать член с дельта-функцией, обращающийся в нуль при умножении на u — w. Если обозначить 6 (и—w) =

= 6 (а — 7) 6 (Р — 6), то получим

guM= ^^ +р(ц, S) 6(и — wY(10.10)

где

Р (и, s) = [Ф (и)Г [1 - j j da Й₽Ф И -^] .(10.11)

G(s)

Соотношение (10.10) дает собственные решения, соответствующие непрерывному спектру. Отметим, что в этом случае интеграл от и/(и — w) не требуется брать в смысле главного значения, поскольку двойной интеграл с полюсом первого порядка в точке интегрирования существует в обычном смысле. Что касается дискретного спектра, то анализ условия (10.9) (Черчиньяни [12] гл. 6) показывает, что картина качественно такая же, как и для модельного БГК-уравнения, а именно существует кривая у, отделяющая область с двумя точками ±^0 дискретного спектра (s внутри у) от области, где нет ни одной точки дискретного спектра (s вне у).

Можно найти неявный параметр для у и показать, что у симметрична относительно действительной оси. Кривая у пересекает действительную ось в двух точках: абсцисса одной из них равна —v (0), а другая имеет положительную абсциссу (0 в предельном случае к —.со\

Общее решение уравнения (10.4) можно теперь записать в виде Z ^ w) = j j ^^^ и- е~х^ dy йб + р (w, s) A (w, s) g-^/w 4-

G(s)

+ A+-. U° exp ( —) +A--- exp (—V (10.12) где +^o (s) — возможные собственные значения дискретного спектра, А^ — произвольные коэффициенты (равные 0, если нет дискретного спектра) и А (и, s) — произвольная функция.

Основное различие между (10.12) и общими решениями модельных уравнений, рассмотренных ранее, состоит в том, что здесь мы имеем двойной интеграл (который существует в обычном смысле) вместо простого интеграла (типа Коши). Неудобство в настоящем случае заключается в том, что не существует стандартной теории для уравнений с комплексным ядром Коши (и — w)"1 и двухкратным интегрированием; такая теория необходима для доказательства полноты и ортогональности.

Такую теорию можно построить (Черчиньяни [12] гл. 6) с помощью некоторых результатов из теории обобщенных аналитических функций (Векуа [19]). В общем если w — функция комплексного переменного, w = а + ф, то обобщенная аналитическая функция / = ф + ^ф есть комплексная функция, удовле-

творяющая уравнению

^- + ^1И/(^) + ^2 И7(») = ^И, w^g, (10.13) dw

где черта сверху означает комплексное сопряжение, gb g2 и h— данные функции и

dw 2 \ da ' др / *dw 2 \ da ' др / *(10.14)(10.14)

dw 2 \ da ' др / *

dw 2 \ da ' др / *

(10.14)

(10.14)

Определение (10.14) имеет смысл, если / дифференцируема по а и Р; другими словами, dldw следует понимать как обобщенную производную Соболева или ареоларную производную Помпью (Векуа [19]).

Очевидно, что соответствующим подбором g^ g2l К можно добиться, чтобы любая функция от а и Р удовлетворяла уравнению (10.13). Но этот подход не эффективен: обобщенные аналитические функции полезны, когда мы имеем весь класс функций, удовлетворяющих уравнению (10.13) с постоянными коэффициентами g^ и g2 (h может меняться). Название «обобщенные аналитические функции», очевидно, связано с тем, что при g^ = = £2 = = 0 мы получаем уравнение Коши — Римана для аналитических функций / (ш) = ф (а, Р) + Zip (а, Р). Если k (w) — интегрируемая функция от а и Р (а, Р g G, где G — замыкание области G), можно непосредственно построить обобщенную аналитическую функцию в G:

w№, (10.15)

G '

где u^^-V Z6 — переменная интегрирования.

Чтобы убедиться, что /— обобщенная аналитическая функция, заметим, что

д иdw u~wд иdw u~wд д 1хdwд д 1хdw

д и

dw u~w

д и

dw u~w

д д 1х

dw

д д 1х

dw

= _^A{log[(a-T) + i(p-6)]}-^-6(M-w),(10.16)

где А — оператор Лапласа в плоскости (а, Р); последний член появился из-за невозможности поменять порядок дифференцирования относительно а и Р при а = Р = 0. Учитывая, что

A {log [(а —у) + i (Р —6)]} = 2л6 (а — у) 6 (Р — 6) = 2л6 (u — w),

(10.17)

получаем из (10.16)

-НтМ = -яб(м)-(10Л8>

Подставляя (10.18) в (10.15), имеем (менее формальный вывод см. Векуа [19])

j h^^^u — w^^db^h^wY w^G, (10.19)

т. е. уравнение (10.13) с gv = g^ = 0. Отметим, что при w ^ G функция / аналитична по w и стремится к нулю при w -^ оо. Это доказывает, что для любой интегрируемой функции h функция TGh аналитична вне G, стремится к нулю на бесконечности и

-^TGh = H.(10.20)

dw

Обратно, если dfldw = h в G, функция 7г- аналитична вне G и стремится к нулю при со, то / = TGh. Это следует из того, что разность / — TGh аналитична везде и равна нулю на бесконечности, а потому по теореме Лиувилля она равна нулю всюду.

Эти результаты позволяют разрешить уравнение (10.13) в квадратурах для случая g2 (^) — 0 (Черчиньяни [12] гл. 6). С другой стороны, если мы хотим доказать полноту во всем интервале или в частичном, мы должны решить уравнения вида

р (id) A (id) — nTG [wA (г^)] = К (id), w g G, (10.21)

где TG — оператор, определяемый равенством (10.15). Область G может быть либо всей областью G (s), либо частью ее (обычно это та половина от G, где Re w ^ 0). Ясно, что если положить

/ (id) = TG [wA (w)T,(10.22)

то получим

р(ш) Дnwf = wh (id),(10.23)

dw

т. е. уравнение вида (10.13) с g^ (zz;) = 0. Теперь очевидно, что это уравнение можно решить аналитически и, следовательно, можно найти A (id) из уравнения

wAH = -^L.(10.24)

dw

Итак, все задачи, разрешимые с помощью модельного БГК-урав- нения, можно решить с помощью предложенного выше модельного уравнения, поскольку у нас есть алгоритм решения, полностью эквивалентный алгоритму, применяемому при решении модельного уравнения БГК: (подробности см. Черчиньяни [12] гл. 6 и Черчиньяни и СернаДжотто [17]).

Отметим также, что, получив основные формулы, удобнее вернуться к первоначальным переменным £ и ц; действительно, при установлении связи между настоящим анализом и основными теоремами об обобщенных аналитических функциях применение- комплексной переменной ио очень полезно, но оно может быть неудобно при решении конкретных задач.

Плоские и пространственные задачи

Как уже отмечалось (§ 7 гл. 6), метод разделения переменных можно применить не только для решения одномерных задач, но и в более общем случае. Основная трудность состоит не в разделении переменных и нахождении возможных собственных решений, а в выделении полной системы и в доказательстве ее полноты. Ситуация станет простой, если при разыскании плоских волновых решений ввести единичный действительный вектор е так, чтобы волновой вектор к равнялся ке, как мы это делали в § 6. Действительно, если это сделать, можно повторить процедуру одномерного случая при условии, что § е подставляется вместо ^ и (е X |) X е вместо £3j + £3k (j и k — единичные векторы вдоль осей у и 2).

Единственное существенное отличие состоит в том, что теперь коэффициенты разложений зависят произвольным образом от е и поэтому их необходимо проинтегрировать по всем возможным ориентациям е. Решение, найденное таким путем, однако, не будет общим, потому что, вообще говоря, вектор е должен быть комплексным (т. е. этот вектор должен задаваться комплексными углами).

Это ясно видно уже в случае отсутствия столкновений (уравнение (7.3) гл. 6). Действительно, могла уже привлечь внимание странная черта общего решения (7.5) гл. 6: коэффициент А (§, к, со) зависит от переменной £ (что видно из формулы), в то время как он должен зависеть только от параметров разделения к и со. Но если опустить зависимость от |, то мы не сможем найти общего решения уравнения (7.8). Однако если положить е комплексной величиной (так что, вообще говоря, к будет определяться тремя комплексными числами) и проинтегрировать по Im е, то можно исключить зависимость от § и тем не менее найти общее решение. Этот факт становится особенно важным в общем случае, учитывающем оператор столкновений, потому что тогда прием, состоящий во введении зависимости А от |, очевидно, не работает (операторы, действующие на величины, зависящие от £, не являются просто операторами умножения), так что мы должны положить е комплексной величиной.

Если е — комплексная величина, то анализ перестает носить одномерный характер, так как §е не действительная величина.

и мы не можем разложить действительный вектор | на |е и (е X |) X е, используя только свойства действительных век- лоров. Рассмотрение всегда можно свести к двумерному, вводя к = Не к + г Im к и разлагая | на составляющую в плоскости действительных векторов Re к и Im к и на составляющую, ортогональную к этой плоскости. Когда это разложение сделано, удобнее вместо двух действительных векторов Не к и Im к использовать комплексный вектор k = ке с к и е комплексными. Действительно, если мы задаемся вектором е и ищем приемлемое к, то произведение |-е определяет комплексную переменную, к которой могут быть применены методы, аналогичные методам §10 (обобщенные аналитические функции). Таким образом, несмотря на то, что в этом параграфе не были даны детали методики решения задач, тем не менее приведенный анализ можно считать оправданным, ибо основные методы решения аналогичны тем, которые применялись для нестационарных задач для модели с частотой столкновений, зависящей от молекулярной скорости.

Связь с методом Чепмена — Энскога

Метод элементарных решений связан с методом Чепмена — Энскога по крайней мере с двух точек зрения. Во-первых, разложение решения на дискретную и непрерывную части отражает (по крайней мере в простейших модельных уравнениях) отделение решения Чепмена — Энскога (справедливого вдали от твердых границ и некоторого начального состояния) от решения в переходной области, описываемой кинетическими слоями. Во-вторых, элементарные решения особенно эффективны при исследовании задач связи для методов Гильберта и Чепмена — Энскога (особенно для установления граничных условий). Это продемонстрировано нахождением коэффициента скольжения для модельного уравнения БГК. Для более общих модельных уравнений задачу определения граничных условий аналитически решить, вообще говоря, нельзя. Но всегда можно получить довольно точное описание решения, оценивая коэффициенты разложений или поправки к модельным уравнениям низшего порядка. В частности, отделяя нормальные и поперечные степени свободы, можно найти в квадратурах температурный скачок (Черчиньяни [10] гл. 6), результат оказывается очень близким к точному.

Другая связь между методами элементарных решений и теорией Чепмена — Энскога прослеживается в двумерных течениях; дей- •ствительно, обычно в линеаризированном исследовании нельзя удовлетворить условиям на бесконечности (§ 6 гл. 6), и приходится искать методом Чепмена — Энскога внешнее решение из уравнений сплошной среды, в то время как внутреннее решение выражается через элементарные решения.

Распространение звука и рассеивание света в одноатомном газе

Одной из задач, которую можно решить с помощью теории, изложенной в § 8, является задача о распространении звука. Пластина колеблется в направлении своей нормали с частотой со; в газе, заполняющем пространство с одной стороны пластины, распространяются периодические возмущения. Если частота колебаний со достаточно высока, то теория сплошной среды не справедлива даже при обычных плотностях, потому что 1/со может быть одного порядка с временем среднего свободного пробега. Можно экспериментально измерить фазовую скорость и затухание возмущения, предполагая, что последнее является локально плоской волной (в общем случае это неверно из-за влияния всего пространства, заполненного газом). Одна из трудностей возникает из-за присутствия измерительного прибора, наличие которого не позволяет в принципе считать задачу полупространственной, особенно из-за того, что измерительный прибор обычно помещают очень близко к пластине (на расстоянии длины среднего свободного пробега или меньше). Если пренебречь возмущениями, вызываемыми измерительным прибором, то можно решать задачу, считая ее полупространственной (Бакнер и Ферцигер [13]), методом элементарных решений. Результаты исследований показывают, что дискретный спектр вносит основной вклад в решение при со0 ^ 1 (0 — время среднего свободного пробега). При 0)0^1 важен непрерывный спектр. Для умеренных значений 0)0 вклад от дискретного спектра (или его аналитического продолжения, см. § 7) дает качественно верную картину поведения решения. Это объясняет, почему результаты Сировича и Тёрбера [20], в которых учитывался вклад только от дискретного спектра и его аналитического продолжения, все же согласуются с экспериментами.

Для очень больших значений со0 (скажем, со0 ^ 25) течение газа между источником и измерительным прибором становится практически свободномолекулярным; это объясняет, почему результаты исследований Майданика и др. [21], Кана и Минцера [22], в которых применялась свободномолекулярная теория, хорошо согласуются с экспериментальными данными при больших значениях со.

Влияние спектра оператора столкновений может быть сильно ощутимо вдали от пластины, где ни один из имеющихся измерительных приборов не может обнаружить его; поэтому по крайней мере сейчас невозможно исследовать в экспериментах по распространению звука поведение частоты столкновений при больших скоростях.

Интересный экспериментальный метод исследования структуры оператора столкновений дает рассеивание света, вызванное

флуктуациями плотности в газе (Нелькин и Ип [23]). Когда падающий свет с длиной волны X рассеивается на одноатомном газе, свет, рассеянный на угол 6, имеет распределение частот, пропорциональное S (К, со), где К = (4лА) sin (0/2), со/2л — смещение частоты из-за рассеивания, S (К, со) — двойное преобразование Фурье плотности корреляционной функции G (г, t). Последняя равна

G (г, 0= J Ш№ I, г), r = \x\,(13.1)

где /0 (|) — равновесное максвелловское распределение, соответствующее плотности и температуре газа, h, — решение линеаризированного уравнения Больцмана для бесконечного пространства, удовлетворяющее начальному условию

h (х, |, 0) = 6 (х).(13.2)

Эту задачу можно решить численно для максвелловских моле кул и точно для всех рассмотренных до сих пор модельных уравнений (нужна только полнота во всем пространстве). Некоторые из этих решений были вычислены Ранганатаном и Ином [24].

Указания

1. Основной литературой в этой главе является работа [10] гл. 6.

2—4. Изложение в этих параграфах следует работам [7], [10] гл. 6 и

Черчиньяни (Cercignani С.), J. Math. Anal. AppL, 10 (1965), 93.

Функции, подобные р (и), затабулированы в книгах

Фаддеева В. Н., Терентьев Н. М., Таблицы значений интеграла вероятности от комплексного аргумента, Гостехиздат, М., 1954;

Фрид, Конте (Fried В. D., Conte S. D.^ The plasma dispersion function: The Hilbert transform of the Gaussian, Academic Press, New York, 1961.

Теория сингулярных интегральных уравнений изложена в книге

Мусхелишвили II. И., Сингулярные интегральные уравнения, изд. 2-е, Физматгиз, М., 1962.

См. также

Алъбертони, Черчиньяни^ Готуссо (Albertoni В., Cercignani С., Gotusso L.^ Phys. Fluids, 6 (1963), 993.

Приложения метода элементарных решений для течения Куэтта см. в статье-

Черчиньяни (Cercignani С.}, J. Math. Anal. AppL, 11 (1965), 93.

Аналогичное изложение для течения Пуазейля приведено в работе

Черчиньяни (Cercignani С.), J. Math. Anal. AppL, 12 (1965), 234.

Случай с градиентом температуры рассмотрен в работе

Черчинъяни (Cercignani С.), Flows of rarefied gases supported by density and temperature gradients, University of Calif. Report № AS-64-18, 1964.

Теоретически существование минимума расхода для плоского течения Пуазейля доказано в статье

Черчинъяни (Cercignani С.), в сб. «Rarefied Gas Dynamics» под ред. Laur- mann J. A., Vol. II, Academic Press, New York, 1963;

а его существование в экспериментах (для цилиндрических труб) известно со времени работы

Кнудсен (Knudsen М.^, Ann. Physik, 28 (1909), 75.

§ 6, 7. Изложение в этих параграфах следует работам [8] и [10] гл. 6.

Диффузия разрыва скорости описана подробно в статье

Черчинъяни, Тэмби (Cercignani С., Tambi R.), Meccanica, 2 (1967), 1; задача Релея — в статье

Черчинъяни, Сернаджотто (Cercignani С., Sernagiotto F.^, в сб. «Rarefied Gas Dynamics» под ред. de Leeuw J. H., Vol. 1, Academic Press, New Vork, 1965.

Изложение в этом параграфе следует работе [10] гл. 6, в которой впервые аналитически исследованы основные модельные уравнения. Аналогичные результаты с некоторыми формальными модификациями приведены в статье

Бакнер, Ферцигер (Buckner J. К., Ferziger J. Н.), Phys. Fluids, 9, (1966), 2315;'

где дается приближенный анализ задач для полупространства и его применение к задаче о распространении звука.(

Различные упрощения Б ГК-модели предлагаются в работах

Островский, Клейтман (Ostrowski Н. S., Kleitman D. У.), Nuovo Cimem to, XLIV, B49 (1966);

Мэсон (Mason R; J.), в сб. «Rarefied Gas Dynamics» под ред. Brundin C. L., Vol. 1, Academic Press, New York, 1967;

Вейцнер (Weitzner Я.), в сб. «Rarefied Gas Dynamics» под ред. de Leeuw J. H., Vol. 1, Academic Press, New York, 1965;

и в [10] гл. 6. Сдвиговые течения с эллипсоидальной статистической моделью исследуются в [9] гл. 4. Сдвиговые течения с модельным уравнением, в котором частота столкновений зависит от скорости, изучаются в [10] гл. 4 и в статье

Черчинъяни, Сернаджотто (Cercignani С., Sernagiotto F.), в сб. «Rarefied

Gas Dynamics» под ред. Brundin С. L., Vol. 1, Academic Press, New York, 1967.

Зависимость коэффициента скольжения от вида столкновений исследована в работе.

Черчинъяни, Форести, Сернаджотто (Cercignani С., ForestiP., Sernagiotto F.), Dependence of the slip coefficient on the form of the collision frequency, Nuovo Cimento, X, B57 (1968), 297.

Результаты этого параграфа взяты из [12] гл. 6. Теория обобщенных аналитических функций изложена в книге

Векуа И. А., Обобщенные аналитические функции, Физматгиз, М., 1959.

Для понимания некоторых деталей при решении частных задач, а также вопроса использования новых переменных е и ц вместо го см. [17].

. Коэффициент температурного скачка для упрощенного модельного уравнения вычислен в [10] гл. 6.

. Задача о распространении звука исследована в работах [13—16] и

Сироеич, Тёрбер (Sirovich L., Thurber J. К?), J. Acoust. Soc. Am., 37 (1965), 329;

Майданик, Фокс, Хекл (Maidanik G., Fox H. L., Heki M.), Phys. Fluids, 8 (1965), 259.

Кан, Минцер (Kahn D., Minter D\ Phys. Fluids, 8 (1965), 1090.

Использование рассеивания света в газах для исследования уравнения Больцмана предлагается в статье

Нелькин, Ип (Nelkin М., Yip 5.), Phys. Fluids, 9 (1966), 380;

а связанные с ним вычисления — в статье

Ранганатан, Ип (Ranganthan S, Yip 5.), Phys. Fluids, 9 (1966), 372.

Глава 8

ДРУГИЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ

Введение

В предыдущих главах были рассмотрены некоторые методы решения уравнения Больцмана, основанные на его линеаризации и разложениях по малому параметру, разложениях типа Гильберта и Чепмена — Энскога. Процедура линеаризации обычно применялась вместе с использованием кинетических модельных уравнений. Однако можно показать, что модельные уравнения способны аппроксимировать не только линеаризованное уравнение Больцмана, но также и его решения (гл. 6); следовательно, метод гл. 7 можно считать точным до тех пор, пока использование линеаризованного уравнения Больцмана оправдано.

Сложность результатов даже для относительно простых задач, полученных в гл. 7, наводит на мысль, что для более сложных задач, как линейной, так и нелинейной природы, необходимо искать менее тонкие методы, дающие приближенные, но по существу правильные результаты. Такие методы можно легко построить для линейных задач или в предельных случаях больших или малых чисел Кнудсена.

Решение в промежуточной по числам Кнудсена области (переходной области) в настоящее время ищется при помощи интерполяционных процедур более или менее утонченного характера. К тому же необходимо отметить, что хорошая процедура не обязательно предполагает хороший метод решения, так как во многих случаях процедура приводит к системе нелинейных уравнений в частных производных. Последняя должна быть решена в соответствии с конкретными задачами, и, вообще говоря, решение этой системы вызывает большие трудности, чем решение уравнений Навье — Стокса для тех же самых задач. Поэтому для решения таких систем прибегают к численным методам.

Интерполяционные подходы к решению уравнения Больцмана в переходной области развиваются в двух основных направлениях: моментные методы и методы, связанные с решением интегральных уравнений. В первом случае получают дифференциальные уравнения в частных производных, во втором пытаются найти- или разложения, справедливые для больших чисел Кнудсена, или численные решения. В этих двух направлениях можно упростить вычисления (иногда существенным образом), используя модельные

уравнения, но необходимо помнить, что точность кинетических модельных уравнений в нелинейных задачах, по-видимому, меньше, чем в линеаризованных. Наконец, в связи с обоими методами можно применить вариационные подходы; и опять последние более важны и, вероятно, более точны для линеаризованных задач.

В настоящей главе мы кратко рассмотрим этот вопрос, акцентируя внимание на задачах, которые можно решить точно, и методах, по-видимому обеспечивающих систематическое продвижение в сторону переходного режима в разреженных газах.

Моментные методы

Если умножить левую и правую части уравнения Больцмана на функции дц (£) (i = 1, . . ., N, . . .), образующие полную систему, и проинтегрировать по всем молекулярным скоростям, то получим бесконечную систему уравнений

I, ^сп^-^ч^шх, I,

= i = (2.1)

которой удовлетворяет функция распределения.

Эта бесконечная система уравнений (уравнений переноса Максвелла) эквивалентна уравнению Больцмана в силу полноты множества {фг}- Общая идея, лежащая в основе так называемых моментных методов, состоит в замыкании системы и решении только конечного числа уравнений переноса, или моментных уравнений. При этом функция распределения / может оказаться в значительной степени неопределенной, так как лишь бесконечная система уравнений (2.1) (с заданными начальными и граничными условиями) может определить /. Это означает, что / можно выбрать с некоторой степенью произвола и затем при помощи моментных уравнений определить детали, которые мы не зафиксировали.

Различные моментные методы отличаются друг от друга выбором множества {фг} и произволом задания /. Их общая характерная черта состоит в том, что функция распределения / задается так, чтобы она была функцией от § и содержала N независимых параметров Mi (i = 1, . . ., TV), зависящих от х и t. Это означает, что если мы выберем N моментных уравнений, то получим N дифференциальных уравнений в частных производных для неизвестных Mt (х, Т).

Несмотря на большой произвол в наших действиях, можно надеяться, что найдется такой систематический подход, который при достаточно больших N приведет к результатам, не зависящим

от первоначального выбора. На практике можно надеяться, что и для достаточно малого N при разумном выборе моментов и вида функции распределения удастся получить хорошие результаты. Мы не будем пытаться описывать все возможные произвольные выборы и даже все те, которые уже были предложены, а ограничимся простейшими и часто используемыми.

В простейшем случае (Грэд [1]) / предполагается максвелловской функцией /0, умноженной на полином:

t = Qk^tW^Y (2.2) h=0

где для удобства полином представлен в виде суммы трехмерных полиномов Эрмита Нк (1), ортогональных с весом /0. Удобно также в качестве /0 взять локальную максвелловскую функцию; тогда Qq = 1, 2i = 2 2 = Qs = Qi = 0- Если в (2.1) положить фг = Нг (I = 0, . . ., N — 1), то можно определить N произвольных величин, идентифицировав их с основными моментами (р, ^, Т, Ptji Qi и моментами более высокого порядка). Приемлемым будет число N = 13, тогда неизвестными будут р, Vt, Т, рц — р6н3* и qt. Система этих уравнений известна как система 13 моментных уравнений Грэда. '

Выбор Грэда, очевидно, не совсем удачен: функция распределения предполагается непрерывной в пространстве скоростей, но это неверно на границах. Более того, в некоторых нелинейных течениях (Холвей [2]) на вопрос о сходимости -полиномиальных приближений можно дать явно отрицательный ответ. .

Для того чтобы исключить первое обстоятельство, можно в качестве / взять функцию распределения, учитывающую разрывы в пространстве скоростей; например, функцию, приводящую к различным представлениям типа (2.2) в разных областях пространства скоростей. Кроме того, можно в качестве функций ф^ взять или кусочно-непрерывные функции (Гросс, Джексон и Зиринг [14] гл. 4), или непрерывные функции (Лиис [3]). Второй метод, по-видимому, более удовлетворительный и удобный в обращении; в его простейшей постановке он сводится к предположению, что функция распределения является кусочно-непрерывной максвелловской функцией с разрывами, расположенными по аналогии со свободномолекулярным решением.

Для того чтобы избежать расходимости решения в нелинейных течениях, особенно в тех, где существуют ударные волны, можно использовать линейные комбинации максвелловских функций (Мотт-Смит [4]) и взять соответствующие моменты.

Очевидно, что, разумно выбирая произвольные элементы, можно с помощью этих методов получить удовлетворительные результаты, но следует помнить, что они в конце концов стано-

вятся очень сложными и приводят к уравнениям, которые можно решить только численно.

Интересной особенностью обладают максвелловские молекулы: если в качестве {cpz} взять последовательность полиномов, то интегралы в правой части уравнений (2.1) можно выразить явно через моменты J ср J ^|, по всему пространству скоростей; при этом в правой части Z-ro уравнения появятся моменты степени, не высшей, чем степень полинома ф^. Это означает, что в случае однородного пространства можно точно вычислить развитие во времени последовательных моментов, решая обыкновенные дифференциальные уравнения (по существу линейные даже в нелинейном случае) (Икенберри и Трусделл [1] гл. 3).

Использование интегральной формы уравнения

В § 3 гл. 6 было показано, что линеаризованное уравнение Больцмана можно преобразовать из интегро-дифференциальной формы в чисто интегральную форму. Это можно проделать и для нелинейного уравнения, поскольку дифференциальная часть линейна. Как и в линейном случае, преобразование можно провести многими способами (теперь произвольная функция р, (1) является функционалом от /). В результате получим

/ = 7о + ^(/), (3.1)

где /0 — член типа источника (в общем случае зависящий от /), a N — действующий на / нелинейный оператор. Выделение /0 и N (/), как и в нелинейных задачах, чисто формальное. К уравнению (3.1) можно применить метод последовательных приближений: начинаем с выбора /(0) для / и затем вычисляем /(1), /(2), . . . по формуле

+ (312)

Так как существуют различные интегральные уравнения, итерационные методы также будут различными. Формально: простейший метод соответствует интегральному уравнению, полученному простым интегрированием вдоль характеристик. Этот метод последовательных приближений называется итерационным методом Кнудсена, но, как упомянуто в гл. 6, его реализация связана с серьезными трудностями, особенно для одномерных плоских задач.

Лучших результатов можно достичь, если в основном методе, описанном в § 3 гл. 6, положить р, (£) > 0. Тогда итерационный метод (интегральные итерации, или метод последовательных столкновений, см. Виллис [3]) даст удовлетворительные результаты для достаточно больших чисел Кнудсена.

Метод кинетических модельных уравнений, записанных в интегральной форме, имеет еще большие преимущества. В самом деле, все модели интеграла столкновений (линейного или нет) можно разбить на две части, одна из которых (скажем, vФ) зависит только от конечного числа моментов функции распределения (пяти, если Ф — локально максвелловская функция, как для БГК-моде- ли), а вторая (скажем, v/) представляет собой произведение функции распределения и функционала, слабо зависящего от / (константы в линеаризованном случае). ,

Если при построении интегрального уравнения (3.1) положить ц = v, то N (/) и /0 будут зависеть от конечного числа моментов (а также от начальных и граничных условий). Это значит, что / известна, если эти моменты известны. Но так как эти моменты выражаются через /, можно с помощью (3.1) получить интегральные уравнения для основных моментов. Эти уравнения могут быть очень сложными, но их основное преимущество состоит в том, что независимых переменных только четыре (х, £), а не семь (х, |, f) — свойство, очень важное при численных расчетах. Фактически в случае одномерных стационарных задач эту систему можно свести к системе нескольких интегральных уравнений с одной переменной, а это уже задача для быстродействующих вычислительных машин. В линеаризованном случае можно достичь удовлетворительной точности даже при ограниченном времени счета.

Решения, полученные с помощью этих точных численных методов, очень важны по двум причинам. Во-первых, при сравнении с экспериментальными данными они могут показать точность модельных кинетических уравнений для соответствующих эксперименту ситуаций и, во-вторых, их можно использовать для выяснения точности приближенных методов решения. До сих пор использовались только БГК-модель и эллипсоидальная статистическая модель. В нелинейном случае были решены следующие задачи:

Структура ударной волны (Липман и др. [6]).

Теплопередача между двумя параллельными пластинами (Виллис [7] для БГК-модели, Черчиньяни и Тирони [5] гл. 4 для эллипсоидальной статистической модели).

Теплопередача между концентрическими цилиндрами (Андерсон [8]).

В линейной постановке были решены задачи:

Плоское течение Куэтта (Виллис [9] для БГК-модели, Черчиньяни и Тирони [10] гл. 4 для эллипсоидальной статистической модели).

Плоское течение Пуазейля (Черчиньяни и Данери [10] для БГК-модели, Черчиньяни и Тирони [9] гл. 4 для эллипсоидальной статистической модели).

Цилиндрическое течение Пуазейля (Черчиньяни и Сернад- жотто [11] для БГК-модели, Черчиньяни и Тирони [16] для эллипсоидальной статистической модели).

Течение Пуазейля в кольцевом канале (Бассанини и др. [12]).

Вращающиеся цилиндры (Бассанини и др. [13]).

Цилиндрическое течение Куэтта (Черчиньяни и Сернад- жотто [14]).

Теплопередача между параллельными пластинами (Бассанини и др. [15]).

Вариационный принцип

Мы видели, что для решения уравнения Больцмана в его полной или линеаризованной форме наиболее эффективны процедуры, основанные на применении моментных методов или на использовании кинетических модельных уравнений. При переходе от решения уравнения Больцмана к применению моментных методов или модельных кинетических уравнений отказываются от намерения точно исследовать функцию распределения и ограничиваются изучением пространственных изменений некоторых моментов, имеющих конкретный физический смысл, таких, как плотность, массовая скорость, температура и тепловой поток.

Однако при сравнении вычисленных теоретических данных •с экспериментальными не нужны даже такие ограниченные знания. В самом деле, типичным результатом экспериментального исследования течения Пуазейля является зависимость расхода от числа Кнудсена, в то время как в чисто теоретических исследованиях определяется фактический профиль скорости. Аналогично экспериментально проверяется, постоянное напряжение в течении Куэтта, тепловой поток, постоянный в задачах о теплопередаче, сопротивление, действующее на тело в потоке таза.

С точки зрения нахождения всех этих суммарных величин любое вычисление полей течения является пустой тратой времени. Конечно, знание полей течения всегда интересно и проясняет физическую картину течения, но часто мы так четко представляем себе пространственное поведение неизвестных величин, что можем получить для них простые аналитические аппроксимации, содержащие мало неизвестных констант. Таким образом, наиболее полезным оказался бы метод, который одновременно давал бы правила точного определения упомянутых выше констант и точные оценки представляющих интерес величин.

Описанные только что свойства типичны для вариационного метода; поэтому нужный метод следует искать именно в этом направлении. Так как вариационный принцип легко формулирует-

ся и эффективно используется только для линеаризованного уравнения Больцмана, мы ограничимся лишь этим случаем.

Нетривиальный вариационный метод для линейного уравнения обычно основан на самосопряженности линейного оператора Ж, удовлетворяющего уравнению

Хк = 5,(4.1)

где 5 — член типа источника. Как только показано, что оператор X самосопряжен относительно какого-то скалярного произведения (( , )), легко показать, что функционал

J (й) = ((й, Хк^ - 2 ((S, й))(4.2)

удовлетворяет условию

67 = О(4.3)

для бесконечно малого отклонения Ьк = h —' к от решения уравнения (4.1). Если дополнительные условия выполняются, то J (й) имеет относительный или абсолютный максимум при к = к.

В случае стационарного линеаризованного уравнения Больцмана . 5 является поверхностным членом (связанным, вообще говоря, с неоднородной частью граничных условий), а X есть оператор'

(4-4)

с однородными граничными условиями типа рассмотренных в § 1 гл. 6. Хотя оператор L самосопряжен в § и, значит, в пространстве интегрируемых с квадратом функций от | и х, оператор ^«818х несамосопряжен в таком пространстве и вообще в любом пространстве с положительно определенной метрикой. Рассмотрим, однако, комплексное линейное пространство с индефинитной эрмитовой метрикой, индуцируемой скалярным произведением ((^, ^)= j j ^)g^ х^а^ах,(4.5)

где черта сверху означает комплексное сопряжение; мы исключили весовую максвелловскую функцию при интегрировании по пространству скоростей (см. гл. 6).

Скалярное произведение (4.5) обладает всеми обычными свойствами, за исключением того, что оно задает норму, которая принимает действительные, но не обязательно положительные значения. Это можно непосредственно проверить, разбив функцию на нечетную и четную части относительно £ и вычислив ^к, kYY С помощью простых выкладок, учитывающих свойства однородности граничных условий, легко показать, что X — формальный самосопряженный оператор относительно рассмотренной псевдо-

метрики, т. е.

№ = №, g^. (4.6)

Это свойство можно использовать при исследовании собственных значений оператора X. Если бы оператор X был самосопряженным в обычном гильбертовом пространстве, то мы могли бы утверждать, что его собственные значения являются действительными, но сейчас мы можем только показать, что если существуют комплексные собственные значения, то соответствующие собственные функции принадлежат изотропному конусу в псевдо- гильбертовом пространстве, т. е. имеют нулевую норму.

Неопределенный характер метрики, однако, не препятствует возможности построения вариационного метода, ибо для выполнил уравнения (4.3) требуется только, чтобы выполнялось условие (4.6).

Функции К, удовлетворяющие уравнению (4.3), должны удовлетворять тем же самым граничным условиям, что и решение К линеаризованного уравнения Больцмана. Таким образом, можно искать К с некоторым числом параметров и затем определить их из вариационного принципа, делая J (к?) стационарным. Если граничные условия содержат неоднородный член вида 2U-|, где U — значение скорости на границе, или NT ^ — 5/2), где NT — отклонение температуры, заданной на границе, от средней температуры, то величина — ((S', ft)), т. е. J (А) для h = h, становится поверхностным интегралом или от рцп^^ (и тогда он дает сопротивление), или от д^гц (и тогда он дает поток тепла к телу). Это означает, что если при помощи вариационного метода А аппроксимируется со средней ошибкой 10%, то можно определить сопротивление или теплопередачу с ошибкой порядка 1%, потому что, согласно (4.3), члены порядка 61г взаимно уничтожаются и ошибка становится порядка | 6Д|2.

В случае течения Пуазейля (уравнение (5.6) гл. 7) граничные условия однородны и член типа источника равен S = кЕ3; это означает, что скалярное произведение ((5, ку пропорционально объемному расходу, так что последний можно точно вычислить.

Применимость вариационного метода, как разъяснялось выше, до некоторой степени ограничивается двумя обстоятельствами: нам нужно выбрать подходящую функцию распределения и к тому же удовлетворяющую заданным граничным условиям. В такой ситуации мы можем либо сделать плохой выбор, либо найти очень сложные пробные функции. Преимущества вариационного метода намного увеличиваются, если мы используем его для модельного кинетического уравнения, записанного в интегральной форме. Действительно, если используются модельные кинетические уравнения, записанные в интегральной форме, то выбор конечного числа моментов предполагает выбор функции распределения,

которая автоматически удовлетворяет граничным условиям (ибо последние входят в уравнения).

Если обозначить через ру (у = 1, . . ., А) основные моменты и через р вектор-столбец, составленный из всех ру, то р будет удовлетворять (Черчиньяни и Пагани [18]) уравнению

Р = р° + Ар,(4.7)

где А — матричный интегральный оператор.

Можно показать, что в случае модельных уравнений типа (8.1) гл. 7

A+as = saA,(4.8)

где а = || ajk ||, А+ — оператор, транспонированный к А относительно скалярного произведения

(р, ^v = j Р (х) -1|) (х) dx,(4.9)

V

s — диагональная матрица с элементами (1)р6^ ((— 1)р = ±1 в зависимости от четности р^. Тогда функционал

7(p) = (asp, р — Лр — 2р(0))у(4.10)

стационарен для р = р, если р удовлетворяет уравнению (4.7). Если симметрия задачи такова, что только четные или только нечетные pj отличны от нуля, то s равняется либо +1, либо —I, где I — единичная матрица, и легко показать, что условие стационарности становится условием минимума или максимума. Наконец, можно связать значение J при р = р с представляющими интерес суммарными величинами (сопротивлением, расходом, теплопередачей) и тем самым сохранить особенность метода точно определять эти величины.

Примеры решения конкретных задач

В настоящем параграфе мы продемонстрируем на очень простых задачах использование интегральной формы записи кинетических уравнений, а также вариационного метода.

Первый пример—задача Крамера для модельного кинетического БГК-уравиения (§4 гл. 7). Выше мы видели, что эту задачу можно решить точно, но здесь мы игнорируем этот факт. Методом, изложенным в § 3, можно выразить возмущение функции распределения через единственный момент — компоненту z массовой скорости р3 (ж). Действительно, в линеаризованной постановке (как нам уже известно из процедуры разбиения, примененной в гл. 7) плотность, температура и другие компоненты вектора v остаются невозмущенными. Следовательно, можно построить интеграль-

ное уравнение для v3, беря соответствующий момент от функции Тц .выраженной через v3. Если положить ср ^ = [v3 ^ — — кхМДО\ т. е. вычесть из у3 ^ член, описывающий ее асимптотическое поведение, и привести неизвестное к безразмерному виду, то получим интегральное уравнение

л1/2ф(ж) = 7'1(ж)_р Т^Цж — уУ^^ау, ж>0,(5.1)

О

где

Тп (я) = j Р exp — t2—^ At(5.2)

(здесь 6 = 1, а скорость, как обычно, выражена в единицах (2НТу/^. Формула (5.2) определяет семейство трансцендентных функций, которые всегда появляются при применении интегральной формы для решения модельных уравнений с постоянной частотой столкновения. Функции Тп обладают рядом важных свойств:

Тп (^ = -^ tjl—1) Тп-2 ХТ п-з,(5-4)

(0) = 4-Г (^^-) -(5.5)

Можно получить разложения для малых х и для больших х и вычислить 7\ с любой заданной точностью.

Отметим, что многие авторы пишут Ju вместо Тп. Положим

ц — lim ф((г) = —,(5.6)

Х->оо

где £ — коэффициент скольжения и I — длина среднего свободного пробега. Тогда если мы введем

ф (х) = ф (я) — ц,(5.7)

то получим

л1/21})(ж)_ j T_x<\x — y\^(^ay = Tv^ — ^(ж),ж>0, (5.8)

О

где использовано соотношение (5.3).

Так как функция ф (ж) интегрируема на (0, оо), можно проинтегрировать (5.8) от х до со дважды; тогда

j#|)1р(у)йу = |л72(ж) —73(ж),ж>0,(5.9)

о

где использованы соотношения (5.3) и (5.5). Рассмотрим функционал

7(ф)=л1/2 j cZ^^[cp(^)]2 — о

— T-id ж —у I) ф(ж)ф(у) dy — 2ф(ж) Л^)) •(5.10)

О

Этот функционал достигает минимума при Ф = Ф, где ф — решение уравнения (5.1).

Уравнение (5.9) при х = 0 дает

j TPy^^dy = -^ рл1^ — 2.,(5.Ц)

О

так что в силу (5.6)

^ = Z(4 + t5 «НуИ^У (5.12) О

Заметим, что для ф = Ф

J (ф) = min [/ (ф)] = — j ф (у) Ti (у) dy,(5.13)

О

и (5.12) принимает вид

Таким образом, мы нашли непосредственную связь между коэффициентом скольжения и минимумом величины, достигаемой функционалом /(ф); это означает, что даже грубая оценка для ф может дать достаточно точное значение для £. Поэтому мы сделаем простейший выбор для пробной функции: ф = с = const. Прямым вычислением находим

.у(с)=2-с2_1.я1/2с.(5.15)

Минимум достигается при■

с = -^-л1/2;(5.16)

при этом

J {2- nvaj -2- л.J {2- nvaj -2- л.(5-17)(5-17)

J {2- nvaj -2- л.

J {2- nvaj -2- л.

(5-17)

(5-17)

Тогда из (5.14) получаем значение

^=(т + т) ^ = (1.1366)/,(5.18)

сравнимое с точным значением £ = (1,1466) Z, приведенным в гл. 7. Мы видим, что даже очень грубый выбор ф, выбор, который, как мы знаем, далеко не отражает поведение ф в кинетическом пограничном слое, дает довольно точную оценку коэффициента скольжения £.

В качестве второго примера рассмотрим течение Куэтта между двумя параллельными пластинами (описанное в § 5 гл. 7). Если через ф (ж) обозначить отношение массовой скорости к У/2 (± £7/2 — скорости пластин), то получим интегральное уравнение (Виллис [9])

л1/2ф ^ = Tq (4-б-4 -^о (4-+4 +

6/2

+ j ^(^-уПф^)^,(5.19)

-6/2

где 6 —расстояние между пластинами в единицах 6. Аналогично имеем

^xz — ТY ^~2~ 6 X j ± ТY ^^ ^ ± ^ j —

6/2

— j sgn(^ —^Zoda; —y|)cp(z/)di/,(5.20)

-6/2

где nxz — отношение тензора напряжения рхг к его свободномолекулярному значению (—рС7л-1/2/2). Отметим, что nxz — константа, хотя в уравнение (5.20) входит зависимость от х\ в постоянстве nxz, следующем, очевидно, из закона сохранения количества движения, можно убедиться, продифференцировав (5.20) и сравнив результат с (5.19). Поэтому для определения nxz можно использовать (5.20) в любой точке; проще всего взять среднее арифметическое от значений, даваемых (5.20) для х = ±6/2. Итак,

6/2

лаг=4+л(б)+4- J [± (±6+4~^о (4-6-4]<pow

-6/2

.(5.21)

Уравнение (5.19) было решено численно Виллисом [9] для 6, изменяющегося от 0 до 20.

Если мы хотим использовать вариационный метод, мы строим функционал

6/26/2

^(ф)= j [ф(ж)]2йж —л-4/2 j j ^(Ц — т/1) ф (ат) ф (t/)d^rcZyн-

6/2— 6/2

6/2

+ 2Л-1/2 j [Го ^б + ж) _70 (-кб-^р^)^, (5.22) -6/2

который достигает своего минимального значения

J (ср) = min J (ср) =

6/2"

= л-1/2 j ^0 ^б + ^-Т1,, (Аб-ж)] <р(ж)&,(5.23)

-6/2

когда ф = ф (х) удовлетворяет уравнению (5.19). Из (5.21) и (5.23) имеем

яхг = -|-+Т1(6)4--|-л1/2тт/ (ф).(5.24)

Таким образом, напряжение непосредственно связано с минимумом функционала J (ф). В качестве пробной функции можно взять решение, соответствующее сплошной среде, т. е.

Ф (^ = Ах,(5.25)

где А — искомая константа.

В результате несложных преобразований, основанных на свойствах функции 2^, находим (Черчиньяни и Пагани [18]) зависимость J (Ах) от Т^ (6) (1 ^ п ^ 3). Условия минимума определяются легко, и соответствующие .величины А = Ао (6) и J (Ло^) опять выражаются через Тп (6). Подставляя J (Ло£) в (5.24), получаем nxz.

Полученные величины затабулированы в зависимости от 6 в табл. 1 (третий столбец). Во втором столбце этой таблицы представлены результаты, найденные Виллисом путем численного решения уравнения (5.19). Следует отметить исключительное совпадение. Но можно увидеть нечто большее, а именно: результаты, найденные при помощи вариационного метода, точнее результатов Виллиса. В самом деле, вариационный метод дает для ихг завышенные значения. В то же время величины в третьем столбце нигде не больше соответствующих значений второго столбца. В четвертом столбце приведены результаты, найденные с использованием кубической пробной функции

Ф (х) = Ах + Вх3.(5.26)

Таблица 1

Зависимость напряжения от величины, обратной к числу Кнудсена, для течения Куэтта *)

6

Результаты

Виллиса [9]

Линейная пробная функция

Кубическая пробная функция

0,01

0,9913

0,9914

0,9914

0,10

0,9258

0,9258

0,9258

1,00

0,6008

0,6008

0,6008

1,25

0,5517

0,5512

0,5511

1,50

0,5099

0,5097

0,5096

1,75

0,4745

0,4743

0,4742

2,00

0,4440

0,4438

0,4437

2,50

0,3938

0,3935

0,3933

3,00

0,3539

0,3537

0,3535

4,00

0,2946

0,2945

0,2943

5,00

0,2526

0,2524

0у2523

7,00

0,1964

0,1964

0,1963

10,00

0,1474

0,1474

0,1473

20,00

0,0807

0,0805

0,0805

1) Из работы Черчиньяни и Пагани [18].

Здесь алгебраические выкладки более громоздки, но столь же очевидны. Отметим, что полученные значения nxz мало отличаются от предыдущих; это еще одна оценка точности метода.

Следующий пример — течение Пуазейля. Отправным пунктом служит уравнение (5.6) гл. 7. Если мы используем БГК-модель, то сможем найти интегральное уравнение для массовой скорости из (х), где х — двумерный вектор, описывающий поперечное сечение канала. Если положить р3 (х) = /гО Г1 — ср (х)]/2, где к = = р-1 др!dz^ то интегральное уравнение можно записать в виде ср(х) = 1 + л-1 j jZodx — у [) IX — уГ1<р(у)йу, (5.27)

S(x)

где х измеряется в единицах 6, а 2 (х) — часть поперечного сечения, состоящая из таких точек, что прямые, соединяющие их с х, не пересекают границ (5 (х) совпадает со всем поперечным сечением S, если кривизна границы знакопостоянна).

Здесь функционал имеет вид

Лф) = j lv(x)]2dx—J дЩ) [ rodx —у|)|х —у|-1ф(у)йу —

222(х)

— 2 j ср (х) dx. (5.28) 2

Он достигает своего минимума при ср = ср, где ср удовлетворяет уравнению (5.27); при этом

I (ф) = — j ф ^ dx. (5.29)

Очевидно., что эта величина связана с расходом.

Вычисления выполнены для плоского канала (Черчиньяни и Пагани [18]) и цилиндра (Черчиньяни и Пагани [19]) в предположении параболического профиля (т. е. решения, подобного решению задачи в сплошной среде).

В плоском случае можно выразить расход через функции ТП1 тогда как в цилиндрическом случае нужно еще вычислить интегралы, содержащие эти функции. В обоих случаях можно определить расход с большой точностью и сравнить результаты с численными решениями Черчиньяни и Данери [10] и Черчиньяни и Сернад- жотто [11].

Таблицы 2 и 3 показывают хорошее совпадение результатов. Результаты очень хорошо совпадают также и с экспериментальными данными (рис. 7 и 8) и, в частности, расход минимален при 6 ^ 1,1 в плоском случае (6 — расстояние между пластинами в единицах 0) и при 6 ^0,3 в цилиндрическом случае (d — радиус

Таблица 2

Зависимость расхода от величины, обратной к числу Кнудсена, для плоского течения Пуазейля Ч

6

Результаты работы Черчиньяни и Данери [10]

Вариационный метод

Завышенные

Заниженные

0,01

3,0499

3,0489

0,10

2,0331

2,0326

• 2,0314

0,50

1,6025

1,6010

1,6017

0,70

1,5599

1,5578

1,5591

0,90

1,5427

1,5367

1,5416

1,10

1,5391

1,5352

1,5379

1,30

1,5441

1,5390

1,5427

1,50

1,5546

1,5484

1,5530

2,00

1,5963

1,5862

1,5942

2,50

1,6497

1,6418

1,6480

3,00

1,7117

1,7091

1,7092

4,00

1,8468

1,8432

1,8440

5,00

1,9928

1,9863

1,9883

7,00

2,2957

2,2851

2,2914

10,00

2,7669

2,7447

2,7638

1) Из работы Черчиньяни и Пагани [18].

Таблица 3

Зависимость расхода от величины, обратной к числу Кнудсена, для цилиндрического течения Пуазейля *)

6

Численное решение (Черчиньяни и Сернаджотто [11])

Вариационный метод

0,01

1,4768

1,4801

0,10

1,4043

1,4039

0,20

1,3820

1,3815

0,40

1.3796

1,3788

0,60

1,3982

1,3971

0,80

1,4261

1,4247

1,00

1,4594

1,4576

1,20

1,4959

1,4937

1,40

1,5348

1,5321

1,60

1,5753

1,5722

2,00

1,6608

1,6559

3,00

1,8850

1,8772

4,00

2,1188

2,1079

5,00

2,3578

2,3438

7,00

2,8440

2,8245

10,00

3,5821

3,5573

1) Из работы Черчиньяни и Пагани [19].

цилиндра в единицах 6). В цилиндрическом случае местоположение минимума прекрасно согласуется с экспериментальными данными, а значения расхода совпадают с экспериментальными результатами с ошибкой порядка 3%.

Эту задачу можно решить и для эллипсоидальной статистической модели (Черчиньяни и Тирони [16]), причем если известно решение БГК-уравнения (Pr = 1), то можно найти решение уравнения эллипсоидальной статистической модели для произвольного числа Прандтля. В частности, безразмерный расход в цилиндрическом случае равен

[С (6, Рг) = с (6 Pr, 1) + (1 - Рг) 4. (5.30)

Если выбрано Рг = 2/3, что соответствует одноатомному газу, то результаты отличаются от экспериментальных данных только на 1 % или 2% (Черчиньяни [17]; см. рис. 8).

Вариационным методом можно решить и другие задачи; например, задачи теплопередачи между параллельными пластинами (Бассанини, Черчиньяни и Пагани [15]) и к сфере (Черчиньяни и Пагани [19]), обтекание тела (Черчиньяни и Пагани [20], Черчиньяни, Пагани и Бассанини [21]), задачи теплопередачи между

Рис. 7. Сравнение решения, найденного для плоского течения Пуазейля на основании модельного уравнения Б ГК, с экспериментальными данными Донга [25]. Здесь 6 — отношение расстояния между пластинами к 6 (2R 71)1/2 и 6 — отношение массового потока к — d2 (2RT)-1^ dp/dz (как обычно, 6 — время среднего свободного пробега, Т — температура, dp/dz — градиент давления, d — расстояние между пластинами и R — газовая постоянная). На графике символические точки соответствуют следующим газам: О ~ Н2, А — СО2, А — воздух, □ — фреон 12, • — Не.

Рис. 8. Сравнение решений, полученных в кинетической теории для цилиндрического течения Пуазейля, с полуэмпирической формулой, выведенной Кнудсеном [26] для интерполяции его экспериментальных данных. Здесь 6 — отношение радиуса цилиндра а к 0 (2R 71)1/2 и Q — отношение массового потока к — ua^RTY1^ (dP/dz).

Наличие и местоположение минимума служит испытанием правильности теории при сравнении теоретических и экспериментальных данных; штрих- пунктирная линия соответствует интерполяционной формуле Кнудсена, штриховая — решению Б ГК-модели и сплошная — решению эллипсоидальной статистической модели.

концентрическими цилиндрами (Бассанини, Черчиньяни и Пагани [22]). Экспериментальные данные и теоретические расчеты для задач теплопередачи между параллельными пластинами (рис. 9) и к сфере (рис. 10) можно сравнить графически. Для плоского случая построены кривые при различных значениях коэффициента аккомодации а; теоретические расчеты проведены при граничных условиях (4.10) гл. 4.

Рис. 9. Сравнение результатов решения кинетического уравнения БГК для задачи теплопередачи между параллельными пластинами с данными, полученными Тигеном и Спрингером [27], для различных значений коэффициента аккомодации энергии. Здесь 6 — безразмерное расстояние между пластинами, q — поток тепла между пластинами и q см — его свободномолекулярное значение. Сплошными линиями отмечены результаты, найденные при помощи вариационного метода; крестиком (а = 0,826) и кружком (а = 0,759) — данные, полученные Тигеном.

На рис. 11 показаны для сравнения кривые, соответствующие результатам, полученным для коэффициента сопротивления CD сферы при помощи вариационного метода, и полуэмпирической формулы для СDl предложенной Милликеном [30] для интерполяции его экспериментальных данных. На этом же рисунке построены кривые, соответствующие классическим результатам Стокса и интерполяционной формуле Шермана

£в = [1 +(0,685) Д]"1,

Cd см

где 7? — радиус сферы в единицах 0 (27? 71)1/2 и CDm = CD (0) — коэффициент сопротивления в свободномолекулярном потоке. Формула (5.31) является частным случаем более общей формулы (Шерман [24]), связывающей значение некоторой величины F (Кп) (здесь Кп = 1/7?) с ее свободномолекулярным значением 7^см

Рис. 10. Сравнение решения модельного уравнения БГК для задачи теплопередачи к сфере с экспериментальными данными. Данные взяты из работы Каванау [28] (число Маха равно О ОДО? А 0,17; □ 0,21; V 0,35; X 0,37; 4-0,59; <>0,69) и Такао, [29] (число Маха равно О 0,00). Сплошная линия соответствует решению при М=0, найденному вариационным методом. На рисунке показана (следуя Шерману [24]) зависимость отношения радиального теплового потока q к его свободномолекулярному значению q0 от отношения значения теплового потока Qoo, соответствующего теории сплошной среды, к q0. Как q, так и qoo зависят, конечно, от числа Кнудсена.Биссектриса угла между осями представляет решение, соответствующее теории сплошной среды, а значение g/g0=l соответствует свободномолекулярному режиму.Рис. 10. Сравнение решения модельного уравнения БГК для задачи теплопередачи к сфере с экспериментальными данными. Данные взяты из работы Каванау [28] (число Маха равно О ОДО? А 0,17; □ 0,21; V 0,35; X 0,37; 4-0,59; <>0,69) и Такао, [29] (число Маха равно О 0,00). Сплошная линия соответствует решению при М=0, найденному вариационным методом. На рисунке показана (следуя Шерману [24]) зависимость отношения радиального теплового потока q к его свободномолекулярному значению q0 от отношения значения теплового потока Qoo, соответствующего теории сплошной среды, к q0. Как q, так и qoo зависят, конечно, от числа Кнудсена.Биссектриса угла между осями представляет решение, соответствующее теории сплошной среды, а значение g/g0=l соответствует свободномолекулярному режиму.

Рис. 10. Сравнение решения модельного уравнения БГК для задачи теплопередачи к сфере с экспериментальными данными. Данные взяты из работы Каванау [28] (число Маха равно О ОДО? А 0,17; □ 0,21; V 0,35; X 0,37; 4-0,59; <>0,69) и Такао, [29] (число Маха равно О 0,00). Сплошная линия соответствует решению при М=0, найденному вариационным методом. На рисунке показана (следуя Шерману [24]) зависимость отношения радиального теплового потока q к его свободномолекулярному значению q0 от отношения значения теплового потока Qoo, соответствующего теории сплошной среды, к q0. Как q, так и qoo зависят, конечно, от числа Кнудсена.

Биссектриса угла между осями представляет решение, соответствующее теории сплошной среды, а значение g/g0=l соответствует свободномолекулярному режиму.

Рис. 10. Сравнение решения модельного уравнения БГК для задачи теплопередачи к сфере с экспериментальными данными. Данные взяты из работы Каванау [28] (число Маха равно О ОДО? А 0,17; □ 0,21; V 0,35; X 0,37; 4-0,59; <>0,69) и Такао, [29] (число Маха равно О 0,00). Сплошная линия соответствует решению при М=0, найденному вариационным методом. На рисунке показана (следуя Шерману [24]) зависимость отношения радиального теплового потока q к его свободномолекулярному значению q0 от отношения значения теплового потока Qoo, соответствующего теории сплошной среды, к q0. Как q, так и qoo зависят, конечно, от числа Кнудсена.

Биссектриса угла между осями представляет решение, соответствующее теории сплошной среды, а значение g/g0=l соответствует свободномолекулярному режиму.

и значением Fс (Кп), соответствующим теории сплошной среды; причем Fс (Kn)AFCM 0 при Кп ->- 0. Формула Шермана в общем случае имеет вид

Fc 1Fc 1(5.32)(5.32)F

Fc 1

Fc 1

(5.32)

(5.32)

Fсм

и хорошо согласуется с экспериментальными данными для большей части экспериментов при дозвуковых скоростях. Исключение представляет течение Пуазейля в длинных трубах, для которого

Рис. И. Сравнение результатов, полученных для сопротивления сферы. Сплошной линией показано вариационное решение модельного уравнения БГК, штриховой — формула, предложенная Милликеном [30] для интерполяции его экспериментальных данных, пунктирной — классическое решение Стокса, штрихпунктирной — формула Шермана. Здесь R — радиус сферы в единицах 6 (2R T^h^ Cd — коэффициент сопротивления и Cdcm — его свободномолекулярное значение.

формула Шермана (примененная к MQ (6)) не предсказывает минимума расхода.

Наконец, вариационным методом решались задачи с модельными уравнениями, где частота столкновений зависела от скорости, особенно в связи с расчетами коэффициента скольжения (Лойалка и Ферцигер [11] гл. 4; Черчиньяни и Форести, Сернад- жотто [18] гл. 7).

Заключительные замечания

Обзор методов и задач, проведенный в предыдущих параграфах, никоим образом не является исчерпывающим. Многие методы должны быть еще испытаны и систематизированы; многие задачи

должны быть еще решены. Должна быть найдена основа для систематической теории по крайней мере в линеаризированном случае. Тот факт, что БГК-модель особенно хороша для описания линеаризованных сдвиговых течений — это лишь крупица знаний и к тому же не очевидная.

Чем больше решается задач, тем более общие выводы можно сделать относительно точности модельных уравнений. Для линеаризированных задач можно, вероятно, придумать модельное уравнение (скажем, эллипсоидальную статистическую модель с частотой столкновений, зависящей от • скорости), которое позволит более точно вычислять моменты низшего порядка. Конечно, для нелинейных задач ситуация менее ясна, и вероятно, потребуются годы исследований. В этих исследованиях могут играть важную роль методы, не проанализированные нами, поскольку они по существу численные; мы просто упомянем методы дискретных ординат [31, 32] и методы Монте-Карло. [33—37], применявшиеся различными авторами в течение последних пяти лет.

Указания

§ 2» Тринадцатимоментный метод Града изложен в статье

Грэд {Grad Я.), Commun. Pure Appl. Math., 2 (1949), 331 (русский перевод в сб. «Механика», № 4, 5, 1952).

На отсутствие сходимости полиномиальных разложений в задаче о структуре ударной волны указано в работе

Холвей (Holway L. W. Jr.), Phys. Fluids, 7 (1964), 911.

Приближения для полупространства предложены в работах [14] гл. 4 и [3] Лиис {Lees L.^ A kinetic theory description of plane compressible Couette flow, GALCIT Hypersonic Research Project, Memo. № 51 (1959).

Использование «мультимо дельного» представления функции распределе- ния^ состоящего более чем из одной максвелловской функции, начинается со статьи

Мотт-Смит {Mott-Smith Н. М.), Phys. Rev., 82 (1951), 885 (русский перевод в сб. «Механика», № 1, 1953).

Подробно моментные уравнения в полупространстве для максвелловских молекул рассмотрены в [1] гл. 3. Дальнейшие подробности по поводу моментных методов приведены в книге Когана [10] гл. 1.

Метод последовательных столкновений, или интегральных итераций, за последние 40 лет применялся многими авторами абстрактно, но для решения конкретных задач был применен впервые в диссертации

Виллис {Willis D. В.), A study of some nearly-free-molecular flow problems, Ph. D. Thesis, Princeton University, 1958.

Использование интегральной формы уравнения для решения нелинейных задач описано в работах

Липманн, Нарасимха, Чахине {Liepmann Н. W., Narasimha В., Chahi- пе М. Т.^ Phys. Fluids, 5 (1962), 1313;

Виллис (Willis D. В.), в сб. «Rarefied. Gas. Dinamics» под ред. Laur- mann J. A., Vol 1, Academic Press, New York, 1963;

в работе [5] гл. 4 и

Андерсон (Anderson DY On the steady Krook kinetic equation, Part 2, J. Plasma Phys., 1 (1968), 225.

Интегральное уравнение для линеаризированных задач было • решено численно в работах

Виллис (Willis D. В.), Phys. Fluids, 5 (1962), 127;

Черчинъяни, Данери (Cercignani С., DaneriA-Y J. Appl. Phys., 34 (1963), 3509;

Черчинъяни, Сернаджотто (Cercignani С., Sernagiotto F.Y Phys. Fluids, 9 (1966); 40;

Бассанини, Черчинъяни, Сернаджотто (Bassanini Р., Cercignani С., Sernagiotto F.Y Phys. Fluids, 9 (1966), 1174;

Бассанини, Черчинъяни, Сквендиманн (Bassanini P., Cercignani C., Schwendimann Р.), в сб. «Rarefied Gas Dinamics» под ред. Brundin C. L., Vol. 1, Academic Press, New York, 1967;

Черчинъяни, Сернаджотто (Cercignani C., Sernagiotto F.Y Phys. Fluids, 10 (1967), 1200;

Бассанини, Черчинъяни, Пагани (Bassanini P., Cercignani C., Pagani C. D^ Int. J. Heat, and Mass Transfer, 10 (1967), 447.

См. также [9] гл. 4 и

Черчинъяни, Тирони (Cercignani С., Tironi G.,Y Proc, of the AIDA — AIR meeting, AIDA — AIR, Rome, 1967;

Черчинъяни (Cercignani C.Y Phys. Fluids, 9 (1966), 1167.

Вариационный метод предложен в работе

Черчинъяни, Пагани (Cercignani С., Pagani С. D.Y Phys. Fluids, 9 (1966), 1167.

Примеры приложения вариационного метода см. в [18], в [И] гл. 4, в [18] гл. 7 и в работах

Черчинъяни, Пагани (Cercignani С., Pagani С. D .Y в сб. «Rarefied Gas Dynamics» под ред. Brundin С. L., Vol. 1, Academic Press, New York, 1967;

Черчинъяни, Пагани (Cercignani C., Pagani C. D.Y Phys. Fluids, 11 (1968), 1395;

Черчинъяни, Пагани, Бассанини (Cercignani C., Pagani C. D., Bassanini P.Y Phys. Fluids, 11 (1968), 1399;

Бассанини, Черчинъяни, Пагани (Bassanini P., Cercignani C., Pagani C. D\, Int. J. Heat and Mass Transfer, 11 (1968), 1359.

Влияние коэффициента аккомодации изучалось в [22] ив статье

Черчинъяни, Пагани (Cercignani С., Pagani С. D.), в сб. «Raregved Gas Dynamics» под’ред. Trilling L., Wachman H., Academic Press, New York, 1969.

Формула Шермана приведена в статье

Шерман (Shermann F. S.Y в сб. «Rarefied Gas Dynamics» под ред. Laur- mann J. A.), Vol. II, Academic Press, New York, 1963.

Экспериментальные результаты, приведенные на рисунках, взяты из работ

Донг {Dong W.^ University of California Report UCRL 3353 (1956);

Кнудсен {Knudsen M.^ Ann. Physik, 28 (1909), 75;

Тиген, Спрингер {Teagan W. P., Springer G. 5.), Phys. Fluids, 11 (1968), 497;

Каванау {Kavanau L.^ Trans. ASME, 77 (1955), 617;

Такао {Takao А.), в сб. «Rarefied Gas Dynamics» под ред. Laurmann J. A.r Vol. II, Academic Press, New York, 1963;

Милликен {Millikan R. A.), Phys. Rev., 22 (1923), 1.

Метод дискретных ординат изложен во многих работах, среди которых мы отметим

Хуанг, Гидденс {Huang А. В., Giddens D. Р.}, в сб. «Rarefied Gas Dynamics» под ред. Brundin С. L., Vol. 1, Academic Press, New York, 1967;

Бахман, Хамель {Wachman M., Hamel В. В.), в сб. «Rarefied Gas Dynamics» под ред. Brundin C. L., Vol. 1, Academic Press, New York, 1967.

О методе Монте-Карло см.

Хэвиленд, Левин {Haviland J. К., Lavin М. L.), Phys. Fluids, 5 (1962)^ 1399;

Перлъмуттер {Perlmutter М.), в сб. «Rarefied Gas Dynamics» под ред. Brundin С. L., Vol 1, Academic Press, New York, 1967 (русский перевод в книге «Вычислительные методы в динамике разреженных газов», изд-во «Мир», М., 1969);

Нордсик, Хикс {Nordsieck А., Hicks В. L.), в сб. «Rarefied Gas Dynamics»- под ред. Brundin С. L., Vol. 1, New York, 1967 (русский перевод в книге «Вычислительные методы в динамике разреженных газов», изд-во «Мир», М., 1969);

Балланс {Ballance J. О.), в сб. «Rarefied Gas Dynamics» под ред. Brundin С. L., Vol. 1, Academic Press, New York, 1967;

Берд (Bird G. А.), в сб. «Rarefied Gas Dynamics» под ред. de Leeuw J. H.^ Vol. 1, Academic Press, New York, 1965.

Подробное описание этих методов можно найти в книге Когана [10] гл. U

ИМЕННОЙ УКАЗАТЕЛЬ

Альбертони (Albertoni S.) 182, 216

Андерсон (Anderson D.) 223, 240

Бакнер (Buckner I. К.) 167, 171, 215, 217

Балеску (Balescu R.) 6

Балланс (Ballance J. О.) 241

Барнетт (Burnett D.) 139

Бассанини (Bassanini Р.) 224, 234, 236, 240

г Бейтмен (Bateman Н.) 99

Берд (Bird G. А.) 241

Берд (Bird R. В.) 6, 139

Боголюбов Н. Н. 6

Богуславский (Boguslawski S.) 139

Больцман (Boltzmann L.) 51, 69, 78

Браш (Brush S. G.) 78

Бхатнагар (Bhatnagar Р. L.) 100, ИЗ

Балландер С. В. 7

В ан-Дайк (Van Dyke М.) 170

Ван Чан (Wang Chang С. S.) 99

Вахман (Wachman М.) 241

Вейцнер (Weitzner Н.) 217

Векуа И. А. 210, 211, 212, 217

Веландер (Welander Р.) 100, ИЗ

Виллис (Willis R.) 222, 223, 230, 231, 239, 240

Гельфанд И. М. 51

Гидденс (Giddens D. Р.) 241

Гильберт (Hilbert D.) 86, 98, 116, 139

Тиршфельдер (Hirschfelder J. D.) 6, 139

Готуссо (Gotusso L.) 216

Гросс (Gross Е. Р.) 100, 105, 112 —

114, 221

Грэд (Grad Н.) 43, 51, 84, 86, 98 129, 133, 139, 140, 170, 171, 221, 239

Гуров К. П. 6

Данери (Daneri А.) 223, 233, 240

Даррозе (Darrozes J. S.) 140

Девиен (Devienne F. М.) 6

Джексон (Jackson Е. А.) 105, ИЗ.

114, 221

Донг (Dong W.) 235, 241

Зиринг (Ziering S.) ИЗ, 114, 221

Зубарев Д. Н. 6

Икенберри (Ikenberry Е.) 98, 222

Ип (Yip S.) 216, 218

Каванау (Kavanau L.) 237, 241

Кан (Kahn D.) 215, 218

Карлеман (Carleman Т.) 51

Каулинг (Cowling Т. G.) 6, 8, 51

Кац (Кас М.) 78

Кертис (Curtiss С. F.) 6, 139

К лейтман (Kleitman D. Y.) 205, 217

Кнудсен (Knudsen М.) 217, 235, 241

Коган М. Н. 8, 9, 51, 78, 241

Конте (Conte S. D.) 216

Крук (Krook М.) 100, ИЗ

Курант (Courant R.) 51

Лайтхилл (Lighthill J. М.) 51

Левин (Lavin М. L.) 241

Липманн (Liepmann Н. W.) 239

Лиис (Lees L.) 221, 239

Лойалка (Loyalka S. К.) 114, 238

Майданик (Maidanic G.) 215, 218

Мак-Леннан (McLennan J. А.) 169, 171

Максвелл (Maxwell J. С.) 50, 51, 65—

78, 110, 140, 183

Милликен (Millikan R. А.) 236, 238, 241

Минцер (Mintzer D.) 215, 218

Мотт-Смит (Mott-Smith Н. М.) 99, 221, 239

Мусхелишвили Н. И. 176, 216

Мэсон (Mason R. J.) 205, 217

Нарасимха (Narasimha R.) 239

Нелькин (Nelkin М.) 216, 218

Нордсик (Nordsieck А.) 241

Островский (Ostrowski Н. S.) 205, 217

Пагани (Pagani С. D.) 227, 231 — 234, 236, 240

Пао (Рао Y. Р.) 156, 170

Паттерсон (Patterson J. N.) 6

Перльмуттер (Perlmutter М.) 241

Пробстин (Probstein R. F.) 138, 140

Пуанкаре (Poincare Н.) 73, 78

Пэн (Pan Y. S.) 138, 140

Ранганатан (Ranganathan S.) 216, 218

Рисе Ф. (Riesz F.) 99

Ферцигер (Ferziger J. Н.) 114, 167, 171, 215, 217, 238

Финкельштейн (Finkelstein L.) 153, 170

Фокс (Fox Н. L.) 218

Форд (Ford J. W.) 6

Форести (Foresti Р.) 208, 217,*238

Фрид (Fried В. D.) 216

Хамель (Hamel В. В.) 241

Хекл (Heckl М.) 218

Хикс (Hicks В. L.) 241

Холвей (Holway L. Н. Jr.) ИЗ, 114, 221 239

Хуанг (Huang А. В.) 241

Хэвиленд (Haviland J. К.) 241

Цермело (Zermelo Е.) 78

Секефальви-Надь (Sz.-Nagy В.) 99Сернаджотто (Sernagiotto F.) 167, 171, 197, 199, 200, 208, 212, 217, 224, 233, 238, 240Силин В. П. 6Сирович (Sirovich L.) ИЗ, 215, 218Сквендиманн (Schwendimann Р.) 240Соун (Sone Y.) 140Спрингер (Springer G. S.) 236, 241Секефальви-Надь (Sz.-Nagy В.) 99Сернаджотто (Sernagiotto F.) 167, 171, 197, 199, 200, 208, 212, 217, 224, 233, 238, 240Силин В. П. 6Сирович (Sirovich L.) ИЗ, 215, 218Сквендиманн (Schwendimann Р.) 240Соун (Sone Y.) 140Спрингер (Springer G. S.) 236, 241Такао (Такао К.) 237, 241Терентьев Н. М. 216Тёрбер (Thurber J. К.) 215, 218Тиген (Teagan W. Р.) 236, 241Тирони (Tironi G.) ИЗ, 205, 223,224, 234, 240Триллинг (Trilling L.) 140Трусделл (Truesdell С.) 98, 222Тэмби (Tambi R.) 196, 217Уленбек (Uhlenbeck G. Е.) 6, 99Такао (Такао К.) 237, 241Терентьев Н. М. 216Тёрбер (Thurber J. К.) 215, 218Тиген (Teagan W. Р.) 236, 241Тирони (Tironi G.) ИЗ, 205, 223,224, 234, 240Триллинг (Trilling L.) 140Трусделл (Truesdell С.) 98, 222Тэмби (Tambi R.) 196, 217Уленбек (Uhlenbeck G. Е.) 6, 99Чахине (Chahine М. Т.) 239Чепмен (Chapman S.) 6, 8, 51, 121, 139Черчиньяни (Cercignani С.) 99, ИЗ, 114,156,163,167,170,171,176,186,188,191,196,197,199,205,208,210,212,214,216,223,224,227,231—234,236,238, 240Чахине (Chahine М. Т.) 239Чепмен (Chapman S.) 6, 8, 51, 121, 139Черчиньяни (Cercignani С.) 99, ИЗ, 114,156,163,167,170,171,176,186,188,191,196,197,199,205,208,210,212,214,216,223,224,227,231—234,236,238, 240Шварц (Schwartz L.) 51Шен (Shen S. F.) 114Шерман (Sherman F. S.) 237, 240Шидловский В. П. 6Шилов Г. Е. 51Шрёдингер (Schrodinger Е. W.) 50Шэмберг (Schamberg R.) 140Шварц (Schwartz L.) 51Шен (Shen S. F.) 114Шерман (Sherman F. S.) 237, 240Шидловский В. П. 6Шилов Г. Е. 51Шрёдингер (Schrodinger Е. W.) 50Шэмберг (Schamberg R.) 140

Секефальви-Надь (Sz.-Nagy В.) 99

Сернаджотто (Sernagiotto F.) 167, 171, 197, 199, 200, 208, 212, 217, 224, 233, 238, 240

Силин В. П. 6

Сирович (Sirovich L.) ИЗ, 215, 218

Сквендиманн (Schwendimann Р.) 240

Соун (Sone Y.) 140

Спрингер (Springer G. S.) 236, 241

Секефальви-Надь (Sz.-Nagy В.) 99

Сернаджотто (Sernagiotto F.) 167, 171, 197, 199, 200, 208, 212, 217, 224, 233, 238, 240

Силин В. П. 6

Сирович (Sirovich L.) ИЗ, 215, 218

Сквендиманн (Schwendimann Р.) 240

Соун (Sone Y.) 140

Спрингер (Springer G. S.) 236, 241

Такао (Такао К.) 237, 241

Терентьев Н. М. 216

Тёрбер (Thurber J. К.) 215, 218

Тиген (Teagan W. Р.) 236, 241

Тирони (Tironi G.) ИЗ, 205, 223,

224, 234, 240

Триллинг (Trilling L.) 140

Трусделл (Truesdell С.) 98, 222

Тэмби (Tambi R.) 196, 217

Уленбек (Uhlenbeck G. Е.) 6, 99

Такао (Такао К.) 237, 241

Терентьев Н. М. 216

Тёрбер (Thurber J. К.) 215, 218

Тиген (Teagan W. Р.) 236, 241

Тирони (Tironi G.) ИЗ, 205, 223,

224, 234, 240

Триллинг (Trilling L.) 140

Трусделл (Truesdell С.) 98, 222

Тэмби (Tambi R.) 196, 217

Уленбек (Uhlenbeck G. Е.) 6, 99

Чахине (Chahine М. Т.) 239

Чепмен (Chapman S.) 6, 8, 51, 121, 139

Черчиньяни (Cercignani С.) 99, ИЗ, 114,156,163,167,170,171,176,

186,188,191,196,197,199,

205,208,210,212,214,216,

223,224,227,231—234,236,

238, 240

Чахине (Chahine М. Т.) 239

Чепмен (Chapman S.) 6, 8, 51, 121, 139

Черчиньяни (Cercignani С.) 99, ИЗ, 114,156,163,167,170,171,176,

186,188,191,196,197,199,

205,208,210,212,214,216,

223,224,227,231—234,236,

238, 240

Шварц (Schwartz L.) 51

Шен (Shen S. F.) 114

Шерман (Sherman F. S.) 237, 240

Шидловский В. П. 6

Шилов Г. Е. 51

Шрёдингер (Schrodinger Е. W.) 50

Шэмберг (Schamberg R.) 140

Шварц (Schwartz L.) 51

Шен (Shen S. F.) 114

Шерман (Sherman F. S.) 237, 240

Шидловский В. П. 6

Шилов Г. Е. 51

Шрёдингер (Schrodinger Е. W.) 50

Шэмберг (Schamberg R.) 140

Фаддеева В. Н. 216Фаддеева В. Н. 216Энског (Enskog D.) 121, 139Эрдейи А. 99Энског (Enskog D.) 121, 139Эрдейи А. 99

Фаддеева В. Н. 216

Фаддеева В. Н. 216

Энског (Enskog D.) 121, 139

Эрдейи А. 99

Энског (Enskog D.) 121, 139

Эрдейи А. 99

ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие редактора перевода• 5

Предисловие 8

Глава!. Основные принципы 11

Введение И

Вероятность и достоверность. Обыкновенные и обобщенные функции 13

Некоторые свойства обобщенных функций и дальнейшие примеры 17

Фазовое пространство и уравнение Лиувилля . . . .22

Пример: тепловое равновесие одноатомного идеального газа 27

Проблема неравновесных состояний. Уравнение Больцмана 34

Свойства оператора столкновений 43

Указания 50

Глава 2. Основные свойства 52

Простейшие преобразования оператора столкновений. Инварианты столкновений 52

Решение уравнения <?(/,/)=0 56

Связь микроскопического описания с макроскопической газовой динамикой 57

Граничные условия 64

Я-теорема 68

Равновесные состояния и максвелловские распределения 74

Указания 77

Глава 3. Линеаризованный оператор столкновений 79

Общие замечания о методах возмущений для уравнения Больцмана 79

Основные свойства линеаризованного операторастолкновений 81

Степенные потенциалы и угловое обрезание 86

Потенциалы с конечным радиусом взаимодействия...91

Случай максвелловских молекул 94

Указания 98

Глава 4. Модельные уравнения 100

Интуитивные модели: нелинейная модель Бхатнагара, Гросса и Крука и обобщения 100

Дедуктивные модели: методы Гросса и Джексона и обобщения Ю4

Модели с частотой столкновений, зависящей от скорости 107

Модели граничных условий 109

Указания ИЗ

Глава 5. Методы Гильберта и Чепмена — Энскога 115

Мост между микроскопическим и макроскопическим описаниями 115

РазложениеГильберта 116

РазложениеЧепмена — Энскога 121

Преимущества и недостатки разложений Гильберта и Чепмена — Энскога 128

Проблемы начальных данных, граничных условий и ударных слоев 133

Кинетические модели и теория Чепмена — Энскога . . .138

Указания 139

Глава 6. Линеаризованноеуравнение Больцмана 141

Общие рассмотрения 141

Свободномолекулярный оператор.. . .147

Интегральная форма уравнения Больцмана и ее свойства 151

Существование и единственность решений линеаризованных и слабо нелинейных граничных задач 155

Сходимость решений кинетических моделей 157

Неограниченные области и внешние течения 159

Влияние различных спектров 163

Линеаризованное уравнение Больцмана и теория Чепмена — Энскога...’ 167

Указания 170

Глава 7. Аналитические методырешения 172

Введение 172

Разбиение одномерного уравнения БГК '. .173

Элементарные решения уравнения сдвиговоготечения175

Применение основного метода к задаче Крамера....179

Течение между параллельными пластинами 184

Элементарные решения для нестационарных сдвиговых -течений 191

Аналитические решения конкретных задач 195

Более общие модели 201

Некоторые частные случаи 204

Нестационарные решения кинетических модельных уравнений с частотой столкновения, зависящей от скорости 208

Плоские и пространственные задачи 213

Связь с методом Чепмена — Энскога 214

Распространение звука и рассеивание света в одноатомном газе 215

Указания 216

Глава 8. Другие методы решения 219

Введение 219

Моментные методы 220

Использование интегральной формы уравнения . . . .222

Вариационный принцип 224

Примеры решения конкретных задач 227

Заключительные замечания 238

Указания 239

Именной указатель• 242

УВАЖАЕМЫЙ ЧИТ АТЕЛЫ

Ваши замечания о содержании книги, ее оформлении, качестве перевода и другие просим присылать по адресу: 129820, Москва, И-110, ГСП, 1-й Рижский пер., д.. 2, издательство «Мир».

К. Черчиньяни

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ

В КИНЕТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ГАЗОВ

Редактор Штейнпресс Л. Б.

Художник Тельцова M. П.

Художественный редактор Шаповалов В. И.

Технический редактор Борисова Н. И.

Корректор Соколов В. С.

Сдано в набор 27/ХП 1972 г.

Подписано к печати 18/IV 19 73 г.

Бумага кн. журн. 60 х901/1в"-=7,75 б. л.

усл. печ. л. 15,50

Уч.-изд. л 14,73. Изд. № 1/6417

Цена 1 р. 68 к. Зак. 0809

ИЗДАТЕЛЬСТВО «МИР»

Москва, 1-й Рижский пер., 2

Ордена Трудового Красного знамени

Московская типография № 7

«Искра революции»

Союзполиграфпрома при Государственном комитете Совета Министров СССР по делам издательств, полиграфии и книжной торговли.

Москва, К-1, Трехпрудный пер. 9

MATHEMATICAL METHODS

IN

KINETIC THEORY

CARLO CERCIGNANI

POLITECNICO DI MILANO AND APPLICAZIONI E RICERCHE SCIENTIFICHE MILAN, ITALY

MACMILLAN

1969

К. ЧЕРЧИНЬЯНИ

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ

В КИНЕТИЧЕСКОЙ

ТЕОРИИ ГАЗОВ

ПЕРЕВОД С АНГЛИЙСКОГО

В. С. ГАЛКИНА, В. А. ПЕРЕПУХОВА,

О. Г. ФРИДЛЕНДЕРА

ПОД РЕДАКЦИЕЙ

М. Н. КОГАНА

ИЗДАТЕЛЬСТВО «МИР»

МОСКВА 1973

УДК 533

Исследования течений разреженного газа при помощи уравнения Больцмана приобретают все большее значение в связи с новыми задачами космической и ракетной техники. Книга посвящена аналитическим решениям этого уравнения, его свойствам, вопросам построения модельных кинетических уравнений и т. д. В разработку этих проблем автор внес существенный вклад, и в книге дано наиболее полное освещение современного состояния соответствующих аспектов кинетической теории газов.

Книга представляет интерес для научных работников, специализирующихся в области аэродинамики, кинетической теории газов, ракетно-космической техники, а также для инженеров. Она будет полезна преподавателям высшей школы, аспирантам и студентам соответствующих специальностей.

Редакция литературы по математическим наукам

Ч

0223-343

041(01)73

39-72