ВВЕДЕНИЕ

В ТЕОРИЮКИШ ; ЧЕС КИЛУРАВНЕНИЙ

INTRODUCTION TO THE THEORYOF KINETIC EQUATIONS

RICHARD L. LIBOFF

CORNELL UNIVERSITY

JOHN WILLEY and SONS, INC.

NEW YORK • LONDON • SYDNEY • TORONTO

1969

Р. ЛИБОВ

ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮКИНЕТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

Перевод с английского

О. И. ТКАЧЕНКО

Под редакцией

Л. П. СМИРНОВА

Издательство «Мир»

Москва 1974

У ДК 533.7

Интерес к кинетическим уравнениям связан с возможностью их применения в различных областях механики и физики — в кинетической теории газа, механике взвешенных частиц, плазме, астрофизике, теории реакторов. Книга Р. Ли- бова написана как учебник повышенного типа. В ней дано ясное изложение основ теории кинетических уравнений, обсуждаются методы анализа уравнения Больцмана, рассмотрены вопросы о приближении к равновесному состоянию, о соотношении между микро- и макросостояпиями. Устанавливается связь между известными теориями и обсуждаются области их применимости.

Богатство содержания и методические достоинства книги делают ее весьма ценной для различных специалистов по прикладной математике, механике, физике. Она может служить учебником повышенного типа для студентов и аспирантов физико-технических специальностей.

Редакция литературы по математическим наукам

20302—044И

Л q4^qi)174~ 44-74© Перевод на русский язык, «Мир», 1974

ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА

Вниманию читателя предлагается весьма своеобразная по содержанию и построению книга Р. Либова, посвященная кинетическим уравнениям, их обоснованиям, выводу при различных условиях и получающимся из них следствиям.

В настоящее время метод кинетических уравнений получил широкое развитие и применение в механике жидких и газообразных сред, при исследованиях плазмы, в задачах о движении газовых смесей при наличии протекающих в них релаксационных или химических процессов. Делаются более или менее удачные попытки использовать кинетические методы также в механике аэрозолей, при изучении дисперсных и многофазных сред. Вопросы обоснования применяемых макроскопических уравнений наиболее удобно и просто разрешаются путем обращения к методам, истоки которых лежат в основополагающих работах Больцмана по кинетической теории газа. Вычисление коэффициентов переноса (коэффициентов вязкости, теплопроводности, диффузии) для простых и сложных систем также является прерогативой кинетических подходов.

Несомненно, что значение и место кинетических методов в современной механике газоподобных и жидких сред требует при обращении к ним хорошей ориентировки в вопросах о пределах их применимости, их обоснованиях, связях между различными модификациями кинетических уравнений и возможностями использования при встречающихся условиях. Задачу освещения этих вопросов поставил перед собой автор настоящей книги и довольно успешно решил ее. В этой книге собраны воедино сведения о различных кинетических уравнениях и подходах и дано их сопоставление.

В первой главе автор дает краткий обзор основных положений аналитической динамики, включая лагранжевы и гамильтоновы уравнения, скобки Пуассона, канонические преобразования, теорию Гамильтона — Якоби и интегральных инвариантов Пуанкаре. Эта вводная глава позволит читателю, не обращаясь к специальной литературе, освежить в памяти имеющиеся у него сведения по аналитической меу«т»^и якпр.итипурт внимание читателя

на тех положениях динамики, которые лежат в основе вывода кинетических уравнений.

Во второй главе рассматривается концепция ансамбля, уравнение Лиувилля и его решение, а также различные виды функций распределения. Здесь же дается представление о цепочке ББКГИ- уравнений и об уравнении Чепмена — Колмогорова. Большое внимание уделено анализу уравнения Лиувилля, проведенному Пригожиным.

В третьей главе рассматриваются взаимоотношения между кинетическими уравнениями и гидродинамикой, в первую очередь на основе одночастичной функции распределения. Читатель знакомится с анализом Боголюбова цепочки ББКГИ-уравнений, а также с другим подходом, связанным с введением корреляционных функций и групповых разложений. В зависимости от значений определяющих параметров, связанных с близко- или дальнодействием наложенных силовых полей, степенью разреженности газа, его температурой и интенсивностью взаимодействий молекул, изучаются различные случаи получения соответствующей цепочки уравнений и их решения. Здесь же в качестве примера кинетического уравнения рассматривается уравнение Власова. Особо обсуждается радиальная функция распределения и получающееся при ее использовании уравнение состояния.

В самой обширной четвертой главе приводятся различные выводы уравнения Больцмана, начиная с выводов самого Больцмана, причем подчеркиваются все допущения, лежащие в основе вывода. Далее рассматриваются выводы уравнения Больцмана, которые даны Грэдом и Кирквудом. Еще раньше, в гл. III, коротко был намечен вывод уравнения Больцмана, вытекающий из анализа Боголюбова. Сопоставление и анализ всех этих выводов основного кинетического уравнения интересны и поучительны. В качестве следствий, вытекающих из уравнения Больцмана, рассматриваются гидродинамические уравнения сохранения, а затем (^-теорема Больцмана и условия равновесия, приводящие к распределению Максвелла. Далее приводятся некоторые обоснования релаксационного уравнения Крука — Бхатнагара — Гросса и подчеркивается его нелинейный характер. Рассматриваются столкновения при дальнодействующих потенциалах взаимодействия и дается вывод уравнения Фоккера — Планка из уравнения Больцмана и из уравнения Чепмена — Колмогорова. Показывается справедливость ^-теоремы для уравнения Фоккера — Планка и дается представление о родственных кинетических уравнениях — уравнениях Ландау и Балеску — Ленарда.

Наконец последняя пятая глава содержит различные методы решения у равнения. Больцмана и подробную трактовку вопроса о релаксации макроскопической системы к положению равновесия. Обосновывается и подробно разъясняется метод решения

Чепмена — Энскога и выводятся гидродинамические уравнения, вытекающие из приближений различного порядка. Получаются выражения для, коэффициентов вязкости и теплопроводности. Далее подробно рассматриваются свойства линеаризованного оператора Больцмана, а затем автор переходит к изложению метода моментов Грэда, дающего возможность получить одно из наиболее общих решений уравнения Больцмана путем использования разложений по полиномам Эрмита и вывести при определенных предположениях замкнутую систему гидродинамических уравнений.

В последней части пятой главы обсуждается с различных точек зрения приближение системы к положению равновесия и связанная с этим процессом проблема необратимости макроскопических явлений. Этого вопроса автор касался уже в предыдущих главах. Вводятся понятия о микро- и макросостояниях и о «крупнозернистом» разбиении фазового пространства. Используется принцип равных априорных вероятностей и другие положения статистической механики и термодинамики, в частности различные аспекты понятия энтропии. Выводится знаменитая формула Больцмана для энтропии, распределение Больцмана для наиболее вероятного макросостояния. Дается представление о трех видах канонических ансамблей в статистической механике, о статистических суммах и связях этих понятий с энтропией и другими термодинамическими функциями системы. Наконец, применяются понятия о флуктуациях и среднеквадратичном отклонении.

Кроме априорного, рассматривается также и апостериорный подход к проблеме необратимости макроскопических явлений, связанный с эргодической гипотезой, с помощью которой вопросы необратимости могут быть наиболее чистым образом сопоставлены с обратимыми динамическими законами. Проблема связи необратимых макроскопических процессов с обратимыми динамическими законами имеет исключительно важное принципиальное значение в физике, и настоящая книга, привлекающая внимание читателя к этим вопросам и дающая достаточно подробную их трактовку, приобретает тем самым дополнительную ценность.

По манере изложения материала книга имеет характер учебника и вполне может рассматриваться как таковой, имеющий впрочем повышенный уровень и требующий для усвоения материала определенных усилий и проработки. Этому способствуют, однако, предлагаемые читателю многочисленные задачи, вкрапленные в основное содержание книги, и обширные списки литературы, сопровождающие каждую главу книги. К спискам, предложенным автором, добавлены некоторые не упомянутые им работы советских исследователей.

Проведенный здесь обзор содержания книги показывает широкий охват ею многочисленных вопросов теории и приложений

кинетических методов. Она может служить хорошим путеводителем, освещающим основы применяемых подходов и связи между ними. Несомненно, что книга будет полезна студентам, аспирантам и научным работникам, интересующимся возможностями, которые открывает перед исследователем метод кинетических уравнений, и желающим более отчетливо представить себе место, занимаемое этим методом в общем плане построения науки, включающем динамические и статистические закономерности.

Перевод книги сделан О. И. Ткаченко, которая хорошо справилась с не всегда легким, живым языком автора книги.

Л. П. Смирнов

ПРЕДИСЛОВИЕ

Настоящая книга возникла из курса лекций по статистической механике, который был мною прочитан в Нью-Йоркском университете в 1964 г. В наши дни среди физиков вновь пробудился интерес к уравнению Больцмана, хотя полвека о нем почти не вспоминали. Выражение «кинетическое уравнение» стало частью словаря таких разделов физики, как физика плазмы, теория реакторов, астрофизика. В аэродинамике кинетическая теория давно уже привлекается для исследования сложной проблемы, касающейся структуры ударной волны. Кроме того, становится все очевиднее увеличивающийся разрыв между материалом, излагаемым в стандартных курсах по статистической механике, и новыми оригинальными работами по кинетическим уравнениям, которые начали появляться в литературе. Это побудило меня включить в курс несколько лекций на данную тему.

Когда в 1965 г. я приехал в Корнелл, было целесообразно предложить вниманию аудитории двухгодичный курс по физике плазмы, охватывающий дисциплины, которые примыкают к теории кинетических уравнений. Этот курс лекций предназначался для студентов, специализирующихся в области аэромеханики, механики, электротехники, космических исследований и некоторых других областях физики.

Недавно мне довелось прочесть курс, основанный на материале данной книги, и я нахожу, что при трех часах лекций в неделю легко можно изложить за год почти три четверти всего материала.

Необходимо отметить, что предлагаемую вниманию читателя книгу можно было назвать «Введение в теорию классической неравновесной статистической механики», поскольку теория кинетических уравнений является частью более широкой области неравновесной статистической механики.

Я пытался, насколько это возможно, представить материал в замкнутой форме, не требующей чтения дополнительной литературы. Введение в динамику в гл. I служит этой цели и, кроме- того, является хорошим обзором для студентов инженерных специальностей. Концепция Г-пространства, также встречающаяся в гл. I, подводит нас к уравнению Лиувилля, которое детально исследуется во второй главе. В этой же главе обсуждается цепочка

уравнений ББКГИ. Первое из них, называемое в тексте БИ1, дает общий вид кинетических уравнений.

В главе IV проведен детальный анализ уравнений Больцмана, Крука — Бхатнагара — Гросса, Фоккера — Планка. Эта глава является центральной для всего материала книги.

Основным предметом изучения в книге служат кинетические уравнения как часть более общей дисциплины — неравновесной статистической механики. В связи с этим показано, как ББКГИ- цепочка ведет к кинетическим уравнениям и как из последних следуют законы сохранения. Меньшая часть материала посвящена необратимости макроскопических систем и приближению к равновесию. Другая часть касается концепции напряжений и природы привносимых сюда вкладов кинетического и потенциального характера. Выясняется также различие между «абсолютными» и «относительными» гидродинамическими переменными. Включено обсуждение неадекватности конечных систем уравнений полному описанию явлений, происходящих в газе. Это отражается в ББКГИ-цепочке, любая подсистема уравнений которой содержит больше неизвестных, чем уравнений. На данном уровне описания этот недостаток преодолеть нельзя, и он вновь возникает в уравнениях гидродинамики. Именно в связи с этой ситуацией и вводятся коэффициенты переноса. Обсуждается также роль уравнений Чепмена — Колмогорова в теории кинетических уравнений, описывающих марковские процессы.

Я пытался в своих рассуждениях ориентироваться на студентов, а не на более искушенных в предмете лиц. Эта книга — учебник, и я надеюсь, что она будет использована как таковой.

Мне хочется выразить благодарность профессору О. Бунеману, любезно пригласившему меня прочесть курс лекций в летнем семестре 1966 г. в Стэнфорде. Это пришлось как раз на то время, когда черновая рукопись книги была приведена к более «отшлифованному» виду. Я также благодарен сотрудникам Принстонской лаборатории физики плазмы, чья критика оказалась очень полезной на последней стадии написания книги.

Я особо обязан нетолько за эту, но и за все мои предыдущие работы моему учителю и другу Гарольду Грэду — приношу ему самую глубокую благодарность. Его поощрение и творческая критика постоянно сопутствуют моей деятельности. В подготовке книги к изданию участвовало также много моих студентов. Профессор Нью-Йоркского университета Г. Вейцнер и профессора Корнеллского университета Т. Файн и Р. Садэн вели со мной плодотворные дискуссии по многим вопросам. Я благодарен всем им и многим другим, любезно принявшим участие в создании этой книги.

Р. Либов

ГЛАВА I

ЭЛЕМЕНТЫ КЛАССИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ

Вводные замечания

Одна из главных целей данного курса состоит в том, чтобы определить, какое место в неравновесной статистической механике занимает теория кинетических уравнений. Грубо говоря, кинетическая теория находится между «микроскопическими» и «макроскопическими» дисциплинами. Более точное представление иллюстрируется на рис. 1.1. Квадратики со значком У означают

Рис, 1.1. Связь теории кинетических уравнений с другими дисциплинами.

«усилители». Они служат для разработки подобластей теории,, вытекающих из ее более широких разделов, отмечаемых в рамочках, расположенных левее. Например, теория ББКГИ уравнений (обсуждаемая в гл. II) является малой частью темы «Уравнение- Лиувилля...», помещенной в верхней рамочке. Двигаясь внизг мы переходим ко все менее детальному описанию физических явлений.

На этой диаграмме теория кинетических уравнений находится между двумя крайними областями — задачей TV-тел и гидродинамикой. Так оно и есть на самом деле. Для того чтобы понять этот факт, необходимо достичь некоторой ясности по всему кругу вопросов, относящихся к «соседним» областям. В соответствии с этим наша книга состоит из трех главных разделов: 1) уравнение Лиувилля, 2) кинетические уравнения и 3) уравнения сохранения. В качестве подготовки к исследованию уравнения Лиувилля совершим экскурс в классическую механику.

Формализм Лагранжа

Говорят, что система имеет N степеней свободы, если не менее чем N переменных единственным образом определяют положение и ориентацию системы в физическом пространстве. Эквивалентное утверждение состоит в том, что данная система имеет N и только N обобщенных координат.

При выборе надлежащей последовательности обобщенных координат необходимо удостовериться, что ойи независимы. Наличие функционального соотношения между переменными (либо фиксирование одной из переменных, например х = 3 см) делает их зависимыми. Такое соотношение является математическим выражением связи. Если, например, движение шарика ограничено жесткой проволокой, имеющей форму окружности радиуса а, то декартовы координаты этого шарика будут связаны соотношением х2 + у2 = а2. Шарик имеет только одну степень свободы, и «система» имеет только одну обобщенную координату.

Задача 1.1. Определить число степеней свободы каждой из следующих систем и найти совокупность переменных, которые можно принять за обобщенные координаты.

Шарик, движущийся по круговому обручу, положение которого фиксировано.

Шарик, перемещающийся по неподвижной винтовой пружине постоянного шага и радиуса.

Прямолинейный стержень конечной длины, движущийся в плоскости.

Прямолинейный стержень, движущийся в трехмерном пространстве.

Растяжимая одномерная пружина, движущаяся в плоскости.

«Ножницы», движущиеся в плоскости.

«Точечная» частица, движущаяся в трехмерном пространстве.

Две частицы, движущиеся в трехмерном пространстве.

N частиц, движущихся в трехмерном пространстве.

Твердое тело произвольной формы, движущееся в трехмерном пространстве.

Твердое тело произвольной формы с одной неподвижной точкой, движущееся в трехмерном пространстве.

qqРис. 1.2. Вариация относительно экстремали.Рис. 1.2. Вариация относительно экстремали.Рассмотрим систему с N обобщенными координатами. Пусть (^i, q2l . . ., Qn) = q, так что символом q обозначается TV-мерный вектор. Отсюда следует, что кинетическая энергия системы, вообще говоря, будет функцией q и q, где q = (^, q2l . . ., q^ также является TV-мерным вектором. Если потенциальная энергия V зависит только от q, т. е. V = V (#), то вы- ражение

q

q

Рис. 1.2. Вариация относительно экстремали.

Рис. 1.2. Вариация относительно экстремали.

L=T(q,q)-V(q')(1.1)

называется лагранжианом системы. (Точкой обозначено дифференцирование по времени.) Законы классической механики можно выразить через функцию L, не опираясь на второй закон Ньютона. Основным постулатом этого нового формализма является принцип

Гамильтона, согласно которому движение динамической системы между двумя точками, 1 = t^1), ^] и 2 = [^2), £2L таково, что

2

б ^L(q, q, t)dt=O.(1.2)

1

2

Пусть q (t) — движение, сообщающее интегралу ^ = J Ldt

1

экстремальное значение. Положим, что q заменено на

(1.3)(1.3)q ^ + 6q (t),

(1.3)

(1.3)

где bq — произвольная функция, бесконечно малая в интервале от £ = ^ до £ = £2 (рис. 1.2) и такая, что

б? ^ = 6q (tj = 0.б? ^ = 6q (tj = 0.(1.4)(1.4)

б? ^ = 6q (tj = 0.

б? ^ = 6q (tj = 0.

(1.4)

(1.4)

Изменение «действия» 8, обусловленное такими вариациями, должно равняться нулю, поскольку q (£) сообщает 8 экстремум:

22

65 = j L (q + 8q, q + 6g, ^) dt — j L (q, q, t) dt,

2

&s= | ^-^^^-^V'

Здесь мы проинтегрировали последний член второй строки по частям х). Проинтегрированная часть равна нулю согласно условию (1.4). Так как оставшийся интеграл должен обращаться в нуль при любой произвольной (бесконечно малой) вариации 6q, то необходимо, чтобы

-А(-^)-^=о.(1.6)

Здесь мы вернулись к записи через компоненты (qC). В (1.5) каждое произведение скалярное, так что производится суммирование по компонентам вектора q. Дифференциальное уравнение (1.6) представляет необходимое и достаточное условие того, что 65 = О).

В вариационном исчислении уравнения (1.6) известны как уравнения Эйлера и могут быть применены при решении всевозможных вариационных задач. Ниже дано несколько соответствующих примеров.

Задача 1.2. Показать, что наикратчайшее расстояние между двумя точками на плоскости есть прямая линия.

Задача 1.3. Пусть поверхность образована вращением вокруг оси. у кривой, проходящей через точки (^, yj и (ж2> У^- Показать,, что кривая у = a Arch (ж/а) + b порождает поверхность с минимальной площадью.

В динамике уравнения (1.6) называются уравнениями Лагранжа. Ими удобно пользоваться для получения соответствующих уравнений движения, выражающих закон F = та. При этом задача полностью формализуется, и вся трудность сводится к тому, чтобы получить правильное выражение для кинетической энергии системы.

Задача 1.4. Найти уравнение движения шарика по прямой жесткой проволоке, конец которой фиксирован, а сама она вращается в плоскости с угловой скоростью со.

Ответ. Поскольку потенциальная энергия в задачу не входит, то L = Т. Кинетическая энергия определяется равенством

Т = у m(r2 + r2co2), со = 9.(1.7)

Здесь г — расстояние от закрепленного конца, 0 — угол между положением проволоки в момент t и ее начальным положением и m — масса шарика.

Уравнение Лагранжа имеет вид

г — г со2 = 0.(1.8)

Его общее решение

г = Aetot-V Ве"^ 9 = со^,(1.9)

где А и В — произвольные постоянные, определяемые из начальных условий.

Отметим, что выражение для кинетической энергии также может быть получено формальным путем. Для каждой из частиц, составляющих систему, Т = ~ m (ж2 + у2 + z2).

Чтобы найти Т в новых переменных (|, ц, £), необходимо- задать преобразование

g = g (ж, у. z,

ц = ц (х, у, z, t),(1.10)

£ = £ (я, У, 7. IY

Самым важным вопросом при построении лагранжиана является выбор такой совокупности переменных, которая наиболее тесно связана с геометрией задачи.

Задача 1.5. Найти уравнение движения шарика по жесткой винтовой линии

х = a cos 0t

у = a sin 0,(1.11)

z = Ь0.

Ось винтовой линии расположена вертикально и параллельна гравитационному полю. Вследствие ограничений z = Ь0 и г = а имеется только одна степень свободы 0.

Задача 1,6. Шарик движется по проволочной окружности радиуса а. Окружность вращается с угловой скоростью ю вокруг

Рис. 1.3,

фиксированной оси, совпадающей с диаметром. Найти движение шарика, начальный радиус-вектор которого определяется углом 0 относительно диаметра (сила тяжести отсутствует).

Задача 1.7. Шарик движется по жесткой проволочной окружности радиуса Ь. Плоскость окружности вертикальна и ее центр связан жестким стержнем длины а с фиксированным началом координат. Этот стержень вращается в горизонтальной плоскости с частотой со/2л (рис. 1.3). Силой тяжести пренебрегаем. Найти движение.

Ответ. Основная трудность состоит в определении кинетической энергии

Уравнения преобразования имеют вид z = Ь sin 0, х = a cos гр + A sin гр, гр = cot,(1.13)

у = a sin гр — A cos гр, А = Ь cos 0.

Существует только одна обобщенная координата, 0. Остальные переменные удовлетворяют записанным выше уравнениям связи. Кривая, изображающая путь частицы в трехмерном пространстве, задается параметрическими уравнениями:

2 = Ь sin 0f

х = a cos tot + Ъ cos 0 sin tot,(1.14)

у = a sin tot — b cos 0 cos co£,

где решение 0 = 0 (0 завершает параметризацию. Уравнения1(1.14) являются уравнениями преобразования особого вида — нестационарного преобразования. С важными свойствами таких преобразований мы вскоре встретимся.

Используя уравнения (1.14) и проводя ряд длинных вычислений, получаем выражение для Т, а следовательно, и для L (= Г). Теперь можем записать уравнения Лагранжа. Остается, однако, неисследованной интересная проблема устойчивости. Мы рассмотрим ее в задаче 1.8.

Задача 1.8. Из рис. 1.3 видно, что существуют четыре «равновесных» решения. Исследуя уравнения движения, убедимся в этом. Затем подставим решения в форме 0(1) = 01 + s^M в уравнения движения и пренебрежем членами порядка е2. Получим условие для X (в виде алгебраического уравнения), которое должно удовлетворяться, чтобы записанные выше выражения для 0 действительно были решениями. Исследуя корни характеристического уравнения %х, . . ., Х4, можно судить об устойчивости равновесных решений. Например, если %i > 0, то любое бесконечно малое возмущение равновесного решения 0 экспоненциально растет со временем, т. е. равновесие 01 не является устойчивым.

Задача 1.9. Пренебрегая силой тяжести, решить задачу 1.5, когда ось винтовой линии расположена в горизонтальной плоскости и вращается относительно фиксированной оси с угловой скоростью со.

Формализм Гамильтона

Уравнения Лагранжа являются лучшим средством для исследования многих задач, возникающих в классической механике. При подробном рассмотрении уравнений обнаруживается интересный факт. Если L не зависит от qi, то величина dLldqi постоян-

на по времени. Такие координаты qi называются циклическими. В механике существует метод, который не только использует этот факт, но и позволяет представить обширное поле механики как науку с принципами симметрии. Этот метод воплощен в формализме Гамильтона.

Первой задачей нашего нового подхода является переход от переменных (^, ^) к (^, dLldqY Такой переход достигается при использовании преобразования Лежандра, которое переводит L — функцию q, q и t — в гамильтониан Н, являющийся функцией q, dLldq, t. Преобразование имеет вид

N

(1.15)

1=1 д^1

Образуя дифференциал от Н, легко проверить, что Н действительно является функцией q, dLldqi и t.

Если мы введем

~^Pl(1.16)

9qi

— канонические импульсы, или импульсы, сопряженные координатам qb то Н = Н ^q, р, t).

Чтобы найти уравнения движения системы через эту новую динамическую функцию, мы сначала запишем дифференциал Н как функцию q, р (г t, если Н явная функция времени). Это дает

NN

dH^^qt dpt — 2 Pi dqt — 77 dt,(1.17)

1=11=1

где при построении дифференциала мы воспользовались уравнениями Лагранжа. Отсюда следует, что

Р*"-^-(1Л8б>

и dHIdt = —dLldt. Если L не зависит явно от времени, то имеют смысл только уравнения (1.18). Они называются уравнениями Гамильтона и, как мы видим, представляют собой 2N уравнений? первого порядка в противоположность уравнениям Лагранжа, которые являются N уравнениями второго порядка.

Из уравнения (1.186) видно, что если гамильтониан не зависит от координаты qi (т. е. q'i циклическая), то импульс рь сопряженный этой координате, сохраняется. Этот факт, связанный с неотъ-

емлемыми свойствами симметрии пространства и времени, приводит к основным теоремам сохранения в механике. Сначала мы исследуем свойство однородности пространства.

Рассмотрим изолированную систему из N частиц, координаты которых относительно некоторой фиксированной системы координат равны rf. Пусть система может иметь поступательное виртуальное перемещение А, так что координаты тг -> г^ = rf + А. Уравнения движения системы после такого перемещения не отличаются от уравнений, которые описывали систему в первоначальной ориентации. Простой эксперимент покажет, что принцип однородности пространства будет нарушен, если эти уравнения окажутся различными. Если уравнения движения инвариантны при указанных перемещениях, то этим же свойством должен обладать и гамильтониан, т. е.

NN

Согласно определению виртуальных перемещений, ни импульсы, ни время не варьируются. Так как приращение А — произвольно, то наш эксперимент означает, что гамильтониан изолированной системы подчиняется условию

N

Объединяя это свойство с уравнениями Гамильтона, получаем желаемый результат:

т(2р.) = 0-<*-20)

Что представляют собой г^ и pf? Ясно, чтогг являются радиус-векторами частиц, составляющих систему, так что кинетическая энергия Г равна

N

тЦ^тЯ(1.21)

Поскольку потенциал взаимодействия частиц от скорости не зависит, импульс

Pi^ — = rniTi)(1.22)

dTi

т. е. это обычный линейный импульс.

Таким путем устанавливается, что однородность пространства означает постоянство по времени полного линейного импульса изолированной системы.

Рис. 1.4. Виртуальный поворот на угол 66.Рис. 1.4. Виртуальный поворот на угол 66.Другим исследуемым свойством пространства является его изотропность. Это свойство означает, что уравнения движения изолированной системы инвариантны относительно виртуального бесконечно малого поворот системы вокруг некоторой фиксированной оси. Такой поворот показан на рис. 1.4. Каждая частица испытывает перемещение, при котором гг- г£ = = rz + 6rz, где 6rz = 60 х rf.

Рис. 1.4. Виртуальный поворот на угол 66.

Рис. 1.4. Виртуальный поворот на угол 66.

Снова гамильтониан должен быть инвариантным; таким образом, NN

6я_2^.6г,=бе.2г,х^=о.

(1.23) Поскольку 60 произвольна, мы получаем второе важное свойство гамильтониана изолированной системы:

N

2ггХ-^ = 0.(1.24)

Это соотношение совместноЭто соотношение совместнос уравнением (1.22) и кинематиче

Это соотношение совместно

Это соотношение совместно

ским равенством d (rf X x^ldt = гг X (dti/df) дает желаемый результат:

N

4(2г^р0=о’<L25a)

N 2ггхрг = ^.(1.256)

Полный] угловой момент Ж (относительно произвольного фиксированного начала координат) постоянен во времени.

Задача 1.10. Как изменяется полный угловой момент системы при преобразовании координат rz г^ + а, где а — постоянный вектор?

Задача 1.11. Построить в декартовых координатах (исходя из лагранжиана) гамильтониан для свободной частицы, движущейся в трехмерном пространстве. Какие величины сохраняются при таком движении?

Задача 1.12. Решить задачу 1.11, выражая Н в сферических координатах (г, 0, ф). Построить уравнения движения (т. е. уравнения Гамильтона) для координат, не являющихся циклическими.

Задача 1.13. Построить гамильтониан для частицы, движущейся по поверхности цилиндра радиуса а, если ось цилиндра горизонтальна. Сила тяжести направлена вниз. Найти движение при следующих начальных условиях (рис. 1.5):

z (0) = 0, 0 (0) = л/2, z (0) = v, 0 (0) = 0.

Мы подошли теперь к важной теореме о гамильтониане: для консервативных систем, связи которых не зависят от времени, гамильтониан равен полной энергии Т + V и постоянен по времени. Точнее, условие независимости связей от времени означает,

Рис. 1.5.Рис. 1.5.

Рис. 1.5.

Рис. 1.5.

что уравнения преобразования (ср. с (1.10)), общий вид которых есть гг = rf (дь . . ., qNl t) (индекс ъ связан с полным числом частиц в системе), явно от времени не зависят (заметим, что уравнения (1.14) являются хорошим примером связи, зависящей от времени).

Так как силовое поле консервативно и связи не зависят от времени, то лагранжан L не содержит время явно. Следовательно,

dL yn / dL dqi . dL dqi \

dt I]

NSd / dL \ * iSt “ qi^\ 8qt /NSd / dL \ * iSt “ qi^\ 8qt /dL dqidL dqiV dt oqiV dt oqiNSd I * dL^VlTNSd I * dL^VlT(1.26)(1.26)

N

Sd / dL \ * i

St “ qi^

\ 8qt /

N

Sd / dL \ * i

St “ qi^

\ 8qt /

dL dqi

dL dqi

V dt oqi

V dt oqi

N

Sd I * dL

^VlT

N

Sd I * dL

^VlT

(1.26)

(1.26)

При получении этого результата мы использовали уравнения Лагранжа. Результат можно переписать в виде

Таким образом,Таким образом,Н = const.Н = const.(1.27)(1.28)(1.27)(1.28)

Таким образом,

Таким образом,

Н = const.

Н = const.

(1.27)

(1.28)

(1.27)

(1.28)

Кроме того, если потенциал V не является функцией скорости, то pi = dL/dqi = dT/dqi и сумма в уравнении (1.27) имеет вид 2^z (dT/dqi). Если уравнения преобразования не содержат время

явно, то Т будет однородной квадратичной формой скоростей:

Г = 2(1 -29)

к

Коэффициенты а^^ не содержат обобщенных скоростей.

Задача 1.14. Исходя из

N

Z=1

(TV — число частиц в системе) и уравнений преобразования в форме г? = гг (д1? . . ., qN^ доказать, что коэффициенты а1к не содержат обобщенных скоростей.

Из .теоремы Эйлера, которая утверждает, что если g является однородной функцией порядка v от переменных хь то ^xi(dg/dxi) = = 4g (для нашего случая v = 2), следует, что

Y^JL^r(1.зо)

9qi

И

H=^qlPl-L = 2T-y-V^ = T-VV (1.31) — полная энергия системы. Для консервативной системы с независящими от времени связями гамильтониан равен полной энергии и постоянен во времени. Отметим, что изолированная система не может описываться уравнениями преобразований, явно содержащими время. В таком случае гамильтониан также не будет явной функцией времени, и Н сохраняется. Тот факт, что гамильтониан изолированной системы не может содержать явно время, выражает однородность времени. В данном случае, как мы уже видели, Н представляет собой константу движения, а именно энергию.

Время, также как и пространство, обладает еще одним фундаментальным свойством — свойством изотропности. Этого рода симметрия ведет к принципу динамической обратимости. Если одномерный объект, такой, как время, является изотропным, то не существует различия между временем прогрессирующим и временем регрессирующим. При обращении времени законы движения остаются инвариантными, так что Н (t) = Н (—£). В свете уравнений Гамильтона это означает, что если Vq (t), р (£)] является динамическим решением, то [^ (—£),— р(—£)] также будет решением.

Чтобы сделать доказательство более убедительным, рассмотрим сначала начальные и конечные условия:

р (0) = Ро, q (0) = q0; р М = ръ q (#0 = q^

Рис. 1.6. Движение а и динамически обращенное движение б.Рис. 1.6. Движение а и динамически обращенное движение б.Далее найдем динамический путь, соответствующий новым начальным условиям р* (0) = — р^ q* (0) = qv Имеем решение

Рис. 1.6. Движение а и динамически обращенное движение б.

Рис. 1.6. Движение а и динамически обращенное движение б.

Р* = -Р bt* +'^, q* = q (-t* + *i), где t* есть время в задаче с переменными, отмеченными звездочкой (заметим, что р и q — те же самые функции, что и в первом случае). Таким образом, мы находим, что

Р* (t* = 0) = — р (^ = —Р^ q* (0) = 91, так что начальные условия выполняются.

При t* = t^ имеем р* (^) = = — Ро И q* (^1)=^о- Следовательно, полученное решение является точным обращением решения [^ (^), р (£)]. Уравнения, которые порождают решения с такими свойствами, называются динамически обратимыми. На рис. 1.6 изображены два таких движения. Каждому решению динамических уравнений соответствует другое обращенное решение.

Задача 1.15. Как в задаче 1.6 изменяется по времени энергия

шарика? Если эта энергия возрастает (убывает), то откуда (куда) идет прирост (убыль) энергии?

Утверждение, что некая динамическая переменная постоянна по времени, означает, что существует функция координат и импульсов, которая не изменяется при изменении qt и pi по времени. Такая функция

(91, • • -, Р^ • • ., Pn, 0, постоянная вдоль «динамического пути системы», называется константой движения. Эта концепция, в сущности, является одной из наиболее важных во всей классической динамике. Сколько независимых констант движения существует для системы с N обобщенными координатами? Из второго закона Ньютона либо из уравнений Лагранжа или Гамильтона мы видим, что решение включает 2У постоянных интегрирования. Обращая эти решения так, что постоянные интегрирования становятся функциями динамических переменных, получаем совокупность 2У независимых констант движения. Разрешенные относительно индивидуальных

Р и с. 1.7. Динамическая траектория точки системы для простого гармонического осциллятора в трехмерном Г-пространстве.Р и с. 1.7. Динамическая траектория точки системы для простого гармонического осциллятора в трехмерном Г-пространстве.рическим представлениемрическим представлением

Р и с. 1.7. Динамическая траектория точки системы для простого гармонического осциллятора в трехмерном Г-пространстве.

Р и с. 1.7. Динамическая траектория точки системы для простого гармонического осциллятора в трехмерном Г-пространстве.

рическим представлением

рическим представлением

координат и импульсов, эти 27V первых интеграла уравнений движения, как мы видим, будут эквивалентны решению задачи. Существование 27V независимых констант движения можно также

усмотреть из геометрического построения.

27V-MepHoe декартово пространство с координатами (gi, . . ., qN; Pi, . . ., pN) называется разовым пространством (а также Г-про- странством). В этом пространстве вся система изображается одной

точкой. Состояние системы в любой момент есть точка Г-пространства. Так как система изменяется по времени, то точка системы прочерчивает путь (динамическую траекторию системы) в Г-пространстве. Однако в этом пространстве временной параметр отсутствует. Таким образом, кривая в Г-пространстве не показывает временную эволюцию точки системы. Она дает соотношение, которому должны удовлетворять координаты и импульсы системы.

Решение задачи для одномер-

.ного гармонического осциллятора можно записать в виде p = acostot, х = bsincoZ. В соответствующем двумерном Г-пространстве данные уравнения будут парамет- эллипса ^р!аУ + (я/&)2 = 1. Хотя

уравнение этой динамической кривой является важным соот

ношением, которому должны удовлетворять р и х, она не дает информации о развитии системы во времени. С другой стороны, в (2N + 1)-мерном расширенном фазовом пространстве (Г-пространстве), которое включает ось времени, кривая, прочерчиваемая точкой системы, дает полное динамическое решение задачи. Для рассмотренной задачи с гармоническим осциллятором эта кривая является пересечением двух поверхностей а = p/cos tot, b = я/sincoZ. Динамический путь изображен на рис. 1.7.

Для одномерного движения свободной частицы кривая системы в трехмерном Г-пространстве представляет собой пересечение двух плоскостей р = р0 и х0 = х — и^, как показано на рис. 1 8.

Обычно решением для системы с N обобщенными координатами служит кривая в (2N + 1)-мерном Г-пространстве. «Кривая» в таком пространстве соответствует пересечению 2N «поверхностей» в этом же пространстве. Кривая в пространстве с любым числом измерений является одномерным геометрическим местом

точек. В трехмерном пространстве два независимых уравнения ^ (х, у. z) = 0 и /2 (я, у, z) = 0 определяют кривую, так как только одна координата точки этого многообразия может быть выбрана произвольно. Геометрически кривая является пересечением двух соответствующих поверхностей. Поверхность в ^-мерном пространстве есть (N — 1)-мерное многообразие. Таким обра-

Рис. 1.8.Рис. 1.8.Динамическая траектория свободной пространстве.Динамическая траектория свободной пространстве.частицы в трехмерном Г-частицы в трехмерном Г-

Рис. 1.8.

Рис. 1.8.

Динамическая траектория свободной пространстве.

Динамическая траектория свободной пространстве.

частицы в трехмерном Г-

частицы в трехмерном Г-

зом, в трехмерном пространстве уравнение g (х, у, z) = О определяет поверхность, так как только две координаты могут быть выбраны произвольно.

В ^N + 1)-мерном Г-пространстве уравнение

toi. • •., 9^; pi» • •., pN, t) — Ci = о

представляет собой поверхность. Пересечение 2N таких различных поверхностей образует одномерное многообразие в Г-пространстве, т. е. кривую. Но кривая в Г-пространстве может быть записана в параметрической форме qt = qt ^у, pt = pt (я); t — х, что дает динамическое решение задачи. С другой стороны, 2N — 1 констант определяют двумерное многообразие, т. е. две переменных могут быть выбраны произвольно. Обозначим их через Pi и t. Если р^ и t независимы, то задача не решена. Итак, мы заключаем, что 2N независимых констант движения полностью определяют решение.

Хотя концепция констант движения является полезным геометрическим понятием в теории неравновесной статистической механики, в любой задаче классической механики только часть этих констант имеет значение. Например, насколько важны начальные значения координат? После утомительного решения системы 2N

дифференциальных уравнений такие константы, конечно, необходимы, чтобы единственным образом определить движение. Но до этого они, несомненно, были не нужны. С другой стороны, как мы видели, существуют константы, которые следуют из неотъемлемых свойств симметрии системы. Эти функции координат и импульсов, постоянные вдоль динамической траектории системы, являются крайне важными. Во многих случаях с помощью этих констант решение можно представить в виде квадратур (мы вернемся к этой теме в нашем последнем обсуждении эргодической теоремы в гл. V).

Задача 1.16. а) Рассмотреть две частицы в трехмерном пространстве с потенциалом взаимодействия V (| ^ — г2 |). Выбрать обобщенные координаты таким образом, чтобы они включали координаты центра масс системы. Построить гамильтониан и показать, что задачу можно описать через движение относительно центра масс. Доказать также, что это движение происходит в плоскости, вектор нормали которой постоянен по времени.

б) Построить гамильтониан для плоского движения, выбирая за обобщенные координаты скаляр г = | г4 — г2 | и угол 9 между векторами ^ (0) — г2 (0) и ^ (^) — г2 (^). Получить константы движения и свести задачу к квадратурам.

Скобки Пуассона и канонические преобразования

Рассмотрим некоторую динамическую характеристику системы, т. е. функцию и от координат, импульсов и времени. Скорость изменения этой функции со временем задается равенством

N

du ( du * . ди * \ ди

—<L32)

1=1

Подставляя уравнения Гамильтона (1.18) в это выражение, получим:

N

du / ди дН ди dll \ ди_

\ dqt dpi dpi dqi Н dt 1\ '/

1=1

или, что эквивалентно,

^ = уи,Щ + ^.(1.34)

Скобки Пуассона для любых двух динамических переменных А и В определяются как

N

1=1

и сами являются динамической функцией. Образование скобок Пуассона представляет математическую операцию, обладающую рядом простых алгебраических свойств, часть которых дается соотношениями (1.36). (Постоянная к не зависит от q и р.)

[Л, У] = -[У, Л],(1.36а)

[Л, кА = 0,(1.366)

[Л + В, FA = [Л, FA + [У, У],(1.36в)

[ЛУ, FA = А [У, У] + В [Л, У],(1.36г)

[Л, [У, У]] 4- [У, [У, Л]] + [У, [Л, У]] = 0.(1.36д)

Соотношение (1.36д) известно как тождество Якоби. Производная по времени от скобки Пуассона удовлетворяет соотношению

^M,S)-[^,S]+[A^].(1.36е)

Задача 1.17. Показать, что динамическая переменная и, не содержащая время явно и имеющая нулевую скобку Пуассона с гамильтонианом, является константой движения.

Задача 1.18. Показать, что если и и и — константы движения, то Yu, v] также является константой движения. Исследовать общий случай, когда и и и — явные функции времени

Если совокупность координат и импульсов выведена формально из лагранжиана, то они, конечно, удовлетворяют уравнениям Гамильтона, которые через скобки Пуассона запишутся в виде

5(1.37а)

^ = \РиН\.(1.376)

Данная совокупность координат и импульсов системы не обязательно представляет действительные динамические координаты. Это можно полностью уяснить на следующем примере. Рассмотрим свободную частицу в двумерном пространстве. Переходя от декартовой системы координат (я, у) к полярной (г, 9), мы не можем произвольно вводить новые импульсы (рГ1 ре). Формальное построение этих переменных из лагранжиана дает

/z = rCOs9\(Рх = РтС№^ —^Sin9\

.•(1.38а)

\z/ = rsin9/ уРу = pr sin 9+ -^7-cos 9у

Преобразуя гамильтониан, имеем в результате

ц-^^+й^и'-^^'+^У <L386>

Уравнения Гамильтона для г и 0 дают истинную динамическую траекторию. Полагая, например, рх = 2pr cos0 — (^е/г) sin 6 вместо предшествующих уравнений преобразования, мы получили бы в результате

Я' = -^- ^Зрт cos20 + рт — 2pr-^-« sin 0 cos 0+ (^)2] •

Такой гамильтониан не дает верных уравнений движения. Совокупность координат и импульсов, которые являются динамически согласованными и приводят к физически реализуемым выводам из уравнений Гамильтона, называются каноническими координатами и импульсами. Преобразование qi-^ ql = qi^h.^ • • •> qN-» Pi, - • -, Pn, ty pi-+pi = pi foi, . . ., qN, Pi, - - Pn, ty удовлетворяющее этим условиям, называется каноническим. Или, что эквивалентно, преобразование является каноническим, если существует функция Я' (qy р', ty посредством которой движение между двумя точками q^t^) и q'^ задается уравнением

N

J \_^q'iPi-H' ^q', p',t^dt = O,(1.39)

1

т. е. является истинным динамическим движением. Это не что иное, как принцип Гамильтона, записанный в новых координатах. Старые координаты (q\, Pi) также удовлетворяют принципу Гамильтона, так что

6 j [У ?р-Я(9, р, <)]^ = 0.(1.40)

Для того чтобы уравнения (1.39) и (1.40) были одновременно справедливы, подинтегральные выражения этих двух интегралов должны отличаться самое большее на полную производную по времени от произвольной функции G. Интеграл от dGIdt задается через значения G в конечных точках, где, по определению, вариации равны нулю.

Функция G называется производящей функцией и имеет большое значение в теории преобразований классической механики. Любое каноническое преобразование q -> qr = qr (q, рУ p -> pr = p\q, p) полностью определяется производящей функцией. Поскольку имеется 2N уравнений преобразования, то G может быть функцией самое большее от 2N независимых переменных и времени. В противоположность этому полное число «старых» и «новых» переменных равно 4N. Четырьмя возможными формами функции G являются:

G^G^q, q\ ty

Ga = G2 (q, рУ ty

G3 = G3(Pl qy ty(1.41)

G4 = G^ (p, рУ t).

Чтобы понять, каким образом G определяет каноническое преобразование, рассмотрим функцию Gv Разность подинтегральных выражений в уравнениях (1.39) и (1.40) является полной производной по времени от Gv

=p'q' + [H'-H).(1.42)

Полную производную по времени от Gy можно также записать в виде

=(1.43)

Приравнивая коэффициенты при независимых параметрах q и qr, придем к желаемому результату

^=-^;t1-446)

И

Н' = Н + ^-.(1.45)

Число уравнений (1.44) равно 2N, что позволяет нам решить их и выразить (/, р') через (q, р). Таким образом, G «производит» каноническое преобразование.

Задача 1.19. а) Построить G2 из Gt, используя преобразование Лежандра. Далее, повторяя проведенную выше процедуру, найти неявные уравнения преобразования через производные ют G^.

Проделать то же самое для G3 (из G^.

Проделать то же самое для G4 (из Gi).

Во всех трех случаях установить соотношение между Н и Н'.

Ответ, a) G2 (7, р', f) задается равенством

G2(q, p',t) = G1(_q, q^t'i+^q'p'.(1.46)

Подстановка в уравнение (1.42) дает

414 " 2 ч’Л = 2^-2 pV+^'-Hv (i-47) так что

^ = 2^+24' + (я'“^)-(1-48)

Сравнивая это выражение с

^=2>^+2>р'+>>(1-49)

получим

56^2

(1.50a)

,56?2

сц^-г •

8Pi

(1.506)

Ответ, б)

6i=Sp<? + 63(g', р, t),

(1.51a)

5^3

9= =8Р1 ’

(1.516)

, _dG3

Pl8ii ‘

(1.51b)

Ответ, в)

£4=61+ ^p'q' — 2 pq,

(1.52a)

OGl 9 =9p ’

(1.526)

/

dp- •

(1.52b)

Рассмотрим преобразование, производимое функцией

G^^pih to, e,

(1.53)

так что

qk=fk to, 0,

(1.54a)'

•' ^fI

(1.546)

Преобразование, в котором новые координаты суть функции одних только старых координат, называется точечным. Частым- заблуждением является отождествление всех точечных преобразований с каноническими. После задания преобразования координат только специальный выбор новых импульсов согласно уравнению (1.546) делает преобразование каноническим. Если, например, преобразование координат (1.38а) подставить в (1.546),. то это дает

дг ,50пл

Рх = Рг-^А-Р9^ = РтС.№й—-^бтй.

Однако уравнение точечного преобразования (1.38а) совместно* с рх = Рт не является каноническим преобразованием.

Два других важных примера канонических преобразований в рамках производящих функций составляют тождественное преобразование и преобразование обмена. Первое получается из

G^qp'.(1.55а).

Вместе с (1.50) это дает:

р' = Р,q' = q. i

Н' = Н(1.556)

— тождественное преобразование. С другой стороны,

^ = 2?/(1.56а)

вместе с (1.44) определяет q' = р, р' = — q(1.566)'

— преобразование обмена. Новые координаты равны старым импульсам, а новые импульсы равны старым координатам со знаком минус. В новом представлении координаты и импульсы поменялись ролями.

Остается обсудить два важных вопроса, касающихся канонических преобразований. Первый относится к преобразованию координат и импульсов, дающему действительное перемещение, которое точка, изображающая систему, совершает в фазовом пространстве за интервал времени от t до t + Т. Мы увидим, чти таким — самым важным из всех преобразований — является каноническое. Второй вопрос связан с концепцией канонических инвариантов. Канонические инварианты суть динамические вели- чийы, инвариантные по отношению к каноническим преобразованиям. Примером канонического инварианта служит функция [A, S], где А и В — две любые динамические функции. Это можно расписать в явном виде. Если (q, р) -»- (#', pY то

Л (д, р) -> А' (д’, р'^ = А [д (д', р'); р (д', /)]

И

NN

2

/ дА дБ дВ дА \X ^В' дБ* дА' \

Другим примером являются фундаментальные скобки Пуассона*.

[^ь ?й1 = 0,(1.58а)

[pi, Pk\ = ^(1.586)

Iqn Phi = Sih-(1.58b)

Инвариантность этих соотношений относительно любой канонической системы независимых переменных дает другой критерий, которому должны удовлетворять канонические переменные.

Для того чтобы рассмотреть действительное перемещение системы как каноническое преобразование, введем понятие бесконечно малого преобразования. Бесконечно малым каноническим

является такое преобразование, при котором новые координаты и импульсы отличаются от старых на бесконечно малые величины. Если е — бесконечно малый параметр, то преобразование

qi = qi+ ^qb

(1.59)

Pt = pi-V брь

где 6g и bp имеют порядок О (е), представляет собой бесконечно малое каноническое преобразование. Это можно просто показать, построив функцию, которая производит преобразование (1.59). Поскольку это преобразование отличается от тождественного членом О (е), попытаемся взять в качестве производящей функцию С2, которая отличается от функции, задаваемой уравнением (1.55а) (дающий тождественное преобразование), членом О (е):

^2 = 5 qiPi + еФ (з, p'V(1-60)

Тогда уравнения (1.50) дают , дф

Или, что то же,

6qi = qi—qt = e-^r,(1-62)

б^=6[^г+°(6)]'

Последнее выражение показывает, что замена dldpl на dtdpi будет взаимно согласованной, если первоначальный оператор включает множитель е.

Из полученных уравнений следует, что бесконечно малое преобразование определяется только возмущенной производящей функцией ср, поэтому достаточно сказать, что (р производит преобразование.

Ясно, что ввиду отсутствия каких-либо ограничений на функцию ф ^q. р) вид вариаций Ьр и bq совершенно произволен. Среди всех этих преобразований наиболее существенно бесконечно малое преобразование координат и импульсов, происходящее при действительном движении системы за время dt. Такое пре-

образование задается соотношениями

bql = dql = qidt = -^-dt1

$• ан(L63)

6pi = dpl = pldt = —^ dt.

Отсюда следуют два важных вывода: 1) гамильтониан производит действительное движение системы; 2) это движение, совершаемое системой за время dt, является бесконечно малым каноническим преобразованием. «Произведение» двух канонических преобразований будет также каноническим преобразованием. Отсюда следует, что динамическая траектория точки, изображающей систему, представляет собой каноническое преобразование, поскольку она является не чем иным, как последовательностью бесконечно малых канонических преобразований, уводящих систему от начальных величин q0 и pQ. Гамильтониан производит движение системы во времени.

Существует более прямой путь, показывающий, чтЪ перемещение, которое система совершает из одного динамического состояния [д (О, Р (01 в Другое \qr (^ + T?Y р' (t + Т)] за время Т. является каноническим преобразованием. Рассмотрим преобразование q' = qr Vq (t), p (t), TA; pr = pr Vq (0, P (0, ТА. В любой момент t это преобразование дает новую совокупность переменных д', рг. Частный вид преобразования зависит от одномерного параметра Т. В качестве специального случая преобразования такого типа рассмотрим интеграл действия

t+T

S(t,T)~ j ^pq-H^dx.(1.64)

t

Переменная интегрирования x под знаком интеграла — это время. Интеграл всегда распространяется на фиксированный интервал времени Т. Нижний предел интегрирования — переменная t. Эквивалентной записью для (1.64) будет

t-v-т t

S^P)=^-^,(1.65)

о о

так что

£-[2 й-»1„,+г - [2 й-яЪ(1-66.)

т™[2р'»'-я']-[2й-я] ,(«.веб)

где pr = р (t + Г), д' = д (t + Г). Параметризованное действие S (^ Г) производит каноническое преобразование (д, р) -> (д', р'^ которое само является действительным движением системы (ср. с (1.42)).

Переменные «действие — угол» и теорияГамильтона — Якоби

Тот факт, что движение системы само является каноническим преобразованием, очень важен для нашего дальнейшего исследования уравнения Лиувилля. Остается еще другой класс канонических преобразований, представляющий для нас особый интерес. Это преобразования, которые приводят к переменным «действие— угол». Они используются в анализе Пригожина уравнения Лиувилля, который будет рассматриваться в гл. II.

Теория переменных «действие — угол» основана на более общих представлениях, называемых теорией Гамильтона — Якоби. В этой теории стремятся найти каноническое преобразование, которое приводит к гамильтониану, циклическому по всем новым координатам. Преимущество такого преобразования огромно. Если все новые координаты циклические, то все новые импульсы — константы движения. С другой стороны, новый гамильтониан Н' (р') является функцией только новых постоянных импульсов. Поэтому, продифференцировав его по этим импульсам, получим функцию от новых постоянных импульсов, дНЧдр' = д'у которая сама будет константой. Уравнения Гамильтона в новых координатах просто интегрируются и дают дг = v^ + Рь Следовательно, проблема сводится к алгебраической задаче обращения преобразования, т. е. переходу к первоначальным координатам и импульсам.

Таким образом, решение данной динамической задачи заключается в нахождении такого канонического преобразования (т. е. производящей функции), чтобы новые импульсы были константами движения. А эта последняя задача тесно связана с непосредственной проблемой интегрирования уравнений движения, что является в свою очередь не более чем формальной операцией отображения начальных координат и импульсов на их величины в момент времени t. Действительно, для всех динамических задач, кроме особого класса, теория Гамильтона — Якоби более важна своей близкой причастностью к нейтральной области между классической динамикой и квантовой механикой, чем своими приложениями.

Как было отмечено ранее, теория Гамильтона — Якоби опирается на нахождение производящей функции, которая все новые импульсы делает константами движения. Из четырех фундаментальных форм производящей функции наиболее подходящей будет функция G2 = G2 (д, p'Y

Напомним уравнения (1.50):

■Pz=-Sg7^1’ ' ‘PnY(1.50а)

?i=-^|-(9i,Pi, Рл)-(1.506)

Предположим, что задача такая, в которой движение разделимо. Если это так, то функция G имеет вид

G = Gt (q^ р\, ,.., pY) + G2 (<?2; Pi, • • •, Pn) + • • •,

*,(1.

G= 2j Gt Qli> pi» • • PnY i=l

Обозначим через (аь ..., aN) новые постоянные импульсы, которые образуются при надлежащем выборе G, так что

G=2 Gi^ai, aNY(1.68)

1=1

Тогда уравнения (1.50а) примут вид pz = gGz to«b—»«y) ,

или, что эквивалентно, pi = pi (qi; «i, • • ., o-n).(1.70)

Каждое из этих соотношений есть проекция1) орбиты в 2тУ-мерном Г-пространстве на плоскость (qi, pi). Говорят, что движение будет периодическим если pi является периодической функцией qi или если орбита в плоскости (qi, pi) замкнута. Эти два случая изображены на рис. 1.9, а и 1.9, б.

Формализм «действие — угол» использует эту периодичность в спроектированном на (gz, pi) движении для определения новых постоянных импульсов в виде

Jt = $ ^LStisl ^(171)

где интегрирование производится по полному периоду колебания либо вращения в соответствии со спецификой задачи.

Из (1.71) совершенно ясно, что переменные Ji — функции одних только констант af и, следовательно, так же постоянны.

х) Эти кривые расположены в гиперплоскостях (gz>Pz)- Они могут и не быть проекцией одной-единственной кривой системы. Это имеет место, когда гиперповерхности в Г-пространстве, порождаемые кривыми (дд, рг), не пересекаются. С другой стороны, очевидно, что кривая системы ^qt = qt (t)- Pl ~ Pt (0} G = 1» • • •> N) имеет проекции на гиперплоскостях (q^ р{).

Подставляя (1.69) в последнее уравнение, получим Ji как функции (рь qi):

(1.72)(1.72)Ji = § Pi dqi-

(1.72)

(1.72)

Рис. 1.9. Периодические орбиты в фазовом пространстве. а — периодичность вращательного типа; б — периодичность колебаРис. 1.9. Периодические орбиты в фазовом пространстве. а — периодичность вращательного типа; б — периодичность колебаСогласно введенному ранее интегралу действия 5, эти новые переменные Jг называются переменными действия. Так как каждая Ji определяется только через независимые пары (qi, pi), они

Рис. 1.9. Периодические орбиты в фазовом пространстве. а — периодичность вращательного типа; б — периодичность колеба

Рис. 1.9. Периодические орбиты в фазовом пространстве. а — периодичность вращательного типа; б — периодичность колеба

тельного типа.

образуют систему N независимых констант и, следовательно, действительно являются новыми постоянными импульсами.

Подстановка Ji = J i (cq, . . ., aN) в G (^i, . . ., qN, at, . . .

. . ., aN) дает

G = G (^i, . . ., qN, Ji, . » Jn)*(1.73)

В то же время новый гамильтониан является функцией только новых постоянных импульсов, поскольку он должен быть циклическим по всем новым координатам:

Н’ =Н^ . . ., JN).(1.74)

Координаты, сопряженные переменным действия Ji, называются угловыми переменными ©ь Они связаны с Ji через производящую функцию G согласно уравнению (1.506):

(1.75)

Из последних двух уравнений вместе с уравнениями Гамильтона мы получим

JNy(1.76)

Переменные vz, как функции N констант J ^ также будут постоянными. Проинтегрировав уравнение (1.76), получим

©z = v^+ S6v(1.77)

Каков физический смысл переменных (0?, J^ Чтобы получить ответ, вычислим 6^0; — полное изменение 0;, когда qi совершает целый цикл:

6г@, == & -Лт~ dqb(1.78)

j J dqi 41 J dqidJj ч1’4'

и мы окончательно получим, что

6г07. = ^-/г=67Ъ(1.79)

где 6;z — дельта Кронекера, б; г = 1, если / = Z, и 831 = О, если / =/=1. Отсюда следует, что 0; изменится на единицу, если Qj пройдет полный цикл, и останется неизменной в любом другом случае. Когда qi совершает полный цикл, из уравнений (1.77) и (1.79) вытекает, что

©г (т?) - ©г (0) = vztz = 1.(1.80)

Очевидно, что Tz есть период колебания для движения, связанного с изменением qi. Но ^i определяется через % г предшествующим уравнением,

и, следовательно, является частотой периодического движения, соответствующего изменениям qi. Если мы положим ©z = 0^/2л, уравнение (1.77) примет вид

6; = 2nvzZ 4“ а®!,

0; = to it + d^Z?(1.82)

так что переменная 2л0г играет роль углового перемещения, связанного с периодическим изменением qi.

Для системы, координаты которой осуществляют периодические движения, настоящая техника дает метод получения частот движения без детального решения динамической задачи.

Теперь совершенно очевидно, что имеется значительный пробел в нашей теории. Весь анализ опирается на производящую функцию G. Рассмотрим вкратце метод ее вычисления. Тогда мы получим замкнутую теорию в переменных «действие — угол».

Напомним прежде всего, что для всех четырех ранее рассмотренных типов производящих функций старый гамильтониан Н и новый гамильтониан Н' всегда связаны равенством IT = Н + + dG/dt.

Для систем, у которых Н постоянна и не содержит времени явно, мы можем принять, что dG/dt = 0. Полагая ЕГ = «1 в равенстве Я' = Я, получим (используя (1.50а))

(1.83)

Это уравнение называется пространственно неоднородным уравнением Гамильтона — Якоби. Чтобы показать, что все новые импульсы р' постоянны, мы положим

G = G (94, . . ., qN, ап . . ., aN).

Новый гамильтониан зависит только от р\ = ап так как он цикли- чен по всем новым координатам. Следовательно, все новые импульсы суть константы а1? . . ., aN. Чтобы удостовериться в том, что новые переменные (q\ а) являются «хорошими» координатами, вспомним, что они получаются с помощью производящей функции, которая делает их «хорошими» согласно определению. Функция G называется характеристической функцией Гамильтона.

В новых координатах движение становится тривиальным:

==(1.84а)

(1.846)

так что

t1-8581

(1.856)

Функция G, определенная из дифференциального уравнения (1.83). совместно с уравнениями (1.85) дает решение qi = qi (0* Для разъяснения метода обратимся к задаче об одномерном гармоническом осцилляторе:

н=^^’<1>86)

где к — коэффициент упругости, а т — масса. Уравнение Гамильтона — Якоби (1.83) имеет вид

1 / dG \2 2т \ Oq /1 / dG \2 2т \ Oq /kq^2kq^2= 0^ = a= 0^ = a(1.87)(1.87)

1 / dG \2 2т \ Oq /

1 / dG \2 2т \ Oq /

kq^2

kq^2

= 0^ = a

= 0^ = a

(1.87)

(1.87)

(только одна степень свободы). Оно легко интегрируется и приводит к следующему результату:

(1.88)(1.88)G = Vтк ^dq j/"-у- — q2 = G (a, g).

(1.88)

(1.88)

Подстановка в уравнение (1.85а) дает

^ + Р = —= 1/ — \ .-= = — 1/ -у- arccosg]/ -5-. (1.89)

Р da V к J д/^k^ — qiV к Ч 2а х

Полагая kjm = со2 и обращая последнее уравнение, получим

g = cos со (i + P\(1.90а)

в: = А.(1.906)

Если в начальный момент осциллятор находится в положении q (0) = q0 и ро = 0, то «новый импульс» а = kq*/2 является функцией только начальных условий.

В формализме переменных «действие — угол» действие J задается согласно уравнениям:

‘J=^-^dq = Vmk ^ dq^^ — q2,(1.91)

7=2ла)/^=^,(1.92)

где v = со/2л, и а = Я, так что

а = Я = уЛ(1.93)

Угловая переменная 0 определяется из уравнения (1.75):

9J

dG da да dJ

dG = v — .

да

(1.94)

2 Л

arcsin q 1

V 2a '

(1.95)

Задача 1.20. Построить формально преобразование (q, р) -> (0, J) и показать (в случае гармонического осциллятора), что оно имеет вид

q = ^J^kY*2 sin 2л0,р = (2mvJ)1/2 cos 2л 0.

Интегральные инварианты Пуанкаре

Прежде чем закончить этот краткий обзор классической механики, вернемся ненадолго к одному очень важному классу канонических инвариантов — к каноническим инвариантам Пуанкаре.

Чтобы понять значение этих инвариантов, полезно сначала рассмотреть некоторые простые примеры преобразований переменных под знаком интеграла.

Рис. 10. Геометрическая интерпретация щадь.Рис. 10. Геометрическая интерпретация щадь.ограничимся двумерными кривая в декартовом проограничимся двумерными кривая в декартовом про

Рис. 10. Геометрическая интерпретация щадь.

Рис. 10. Геометрическая интерпретация щадь.

ограничимся двумерными кривая в декартовом про

ограничимся двумерными кривая в декартовом про

интегралов, определяющих пло-

В настоящем обсуждении мы интегралами. Если С — замкнутая

странстве (ж, у), то площадь, ограничиваемая этой кривой, равна А = j j dx dy, как показано на рис. 1.10, а. При пре- D

образовании переменных (ж, у) ->- (ж', у') интеграл А -> А' =

Площадь, _™

неизменной. Она не зависит от того, в каких координатах ее вычислять. Символ J обозначает якобиан преобразования. Кривая С" представляет собой тот же геометрический объект, что и кривая С. Это есть кривая С, выраженная через новые координаты.

Кривые, на которых х* и z/' являются соответственно постоянными, образуют координатную сетку в плоскости (ж, z/). Они также изображены на рис. 1.10, а. Площадь поверхности Л,, естественно, не зависит от того, какой координатной сеткой она покрыта. Это обеспечивается наличием якобиана, который дает правильное значение элемента площади в новой системе координат.

Существует другое важное геометрическое представление координат (ж', у') — в их собственном декартовом пространстве. Оно иллюстрируется рисунком 1.10, б. Что представляет собой кривая С, являющаяся кривой С в этом новом декартовом пространстве? В общем случае, это, конечно, не тот же самый геометрический объект, что кривая С в начальном декартовом пространстве (ж, у). Вычислим площадь Л, ограниченную кривой С, т. е.

(1.97)(1.97)Л =\ dx'dy'.

(1.97)

(1.97)

Согласно предшествующему обсуждению,

так что Л = Л, если J = 1. Хотя кривые С" и С представляют собой один и тот же аналитический объект, в большинстве случаев они являются различными геометрическими объектами. В случае^ когда якобиан J (хЧ уЧх, у) равен единице, площадь, ограниченная кривой С в декартовом пространстве (я, у), будет той же* самой, что и площадь, ограниченная искаженной кривой С в декартовом пространстве (ж', у'у

Следующий тривиальный пример разъясняет сказанное выше. Пусть преобразование (х, у) -> (ж', у') задается уравнениями

у'=а,у; а>1,у'=а,у; а>1,(1.99)(1.99)дх' Ох' дх ду ду' ду' дх дудх' Ох' дх ду ду' ду' дх ду0 а0 а= 1.= 1.(1.100)(1.100)

у'=а,у; а>1,

у'=а,у; а>1,

(1.99)

(1.99)

дх' Ох' дх ду ду' ду' дх ду

дх' Ох' дх ду ду' ду' дх ду

0 а

0 а

= 1.

= 1.

(1.100)

(1.100)

Рассмотрим площадь

ь ъ

(1 Л01>

о о

Через новые координаты она выразится следующим образом:

Ъ/аЪаЪ/ааЪ

Л-^Л'= j dx' j dy'J = ^ dx* ^ dy' — j ^ dx' dy' = А. (1.102) 0000

Кривая С и соответствующая область изображены на рис. 1.11, а: С и D представлены на рис. 1.11, б.

Хотя С и С — различные геометрические объекты, площади А и А одинаковы. Преобразование с У = 1 сохраняет величину dx dy, хотя геометрический объект С может измениться*

D

Рис.Рис.1.11. Пример интегрального инварианта.1.11. Пример интегрального инварианта.

Рис.

Рис.

1.11. Пример интегрального инварианта.

1.11. Пример интегрального инварианта.

Теперь мы подошли к тому, чтобы сделать важное утверждение, геометрические следствия которого будут очевидны: якобиан канонического преобразования (д, р) ->- ^д^ /?') равен единице. Геометрические и иные следствия этого утверждения имеют фундаментальное значение в теории неравновесной статистической механикиI

Поскольку якобиан канонического преобразования равен единице, объем

(1.103)(1.103). . j dtp ... dqN dpt ... dpN, D

(1.103)

(1.103)

ограниченный поверхностью 2 в декартовом фазовом пространстве, имеет то же самое значение, что и объем Q, ограниченный деформированной поверхностью S в новом (отмечаемом штрихом)

декартовом фазовом пространстве г):

Q = Q= J ... j dq[ . .. dq^dp^ ... dpN. (1.104) D

Тогда, согласно предыдущему определению, объем Q является каноническим инвариантом.

Существует подкласс в классе всех канонических преобразований, для которого эти интегральные инварианты имеют особое динамическое значение. Этот подкласс представляет собой множество преобразований, соответствующих действительному динамическому перемещению системы. Мы вернемся к этой теме при одном из наиболее простых выводов уравнения Лиувилля.

В конце девятнадцатого столетия теория динамических преобразований находилась в своем зените. Основы этой теории были заложены Лагранжем (1788) и Гамильтоном (1833), а ее дальнейшее развитие связано с работами Максвелла (1859) и Пуанкаре (1890). Почти на рубеже двух столетий эта фундаментальная основа познания дала начало новой науке — неравновесной статистической механике. Новый формализм опирался на явления необратимости и концепцию ансамбля (Больцман (1871), Максвелл (1879), Гиббс (1902), Эйнштейн (1902)).

В главе II вводится понятие ансамбля. которое естественным образом приводит к определению новой динамической переменной — N-частичной функции распределения. Уравнение, которому удовлетворяет эта функция,— уравнение Лиувилля — является одним из наиболее важных во всей классической неравновесной статистической механике. Из теории этого уравнения исходит теория кинетических уравнений, а из последней — количественное описание явлений необратимости.

Некоторые темы, развитые в этой главе, найдут применение в последующих главах. Переменные «действие — угол» будут использованы в анализе Пригожина уравнения Лиувилля, представленном в гл. II. Концепция констант движения применяется при нахождении самого общего решения уравнения Лиувилля и в заключительной дискуссии этой книги, касающейся эргодической теории. К динамической обратимости орбит мы будем часто возвращаться в связи с парадоксом видимой необратимости

х) Интегральные инварианты Пуанкаре определяются с большей общностью и включают такие формы, как j j ^dqidpi. где интегрирование ведется по двумерным поверхностям в фазовом пространстве. Соответствующие интегралы для четырех-, шести-, . . . TV-мерных поверхностей в фазовом пространстве также будут каноническими инвариантами. Для дальнейшего ознакомления с этими вопросами можно обратиться к литературе, указанной в конце главы.

макроскопических систем. У равнения Гамильтона являются наиболее широко используемым аппаратом на протяжении всей книги.

Основой теории кинетических уравнений служит динамика. Теория только тогда будет незыблемой, когда этот фундамент прочен.

Задача 1.21. Показать, что произведение двух канонических преобразований само будет каноническим преобразованием.

Задача 1.22. Показать, что скобки Пуассона для любых двух динамических переменных являются каноническим инвариантом.

Задача 1.23. Показать, что если преобразование (д, р)

(fl' , Р) (Для ^ обобщенных координат) каноническое, то якобиан J (g, plq', р') равен единице.

Задача 1.24. Вычислить якобиан преобразования, задаваемого^ уравнениями (1.38а). Каково будет значение этого определителя, если вместо рх = рТ cos 9 — (pe/r) sin 0 положить рх = 2рг?

Задача 1.25. Показать, что скобки Пуассона для двух декартовых компонент углового момента X частицы удовлетворяют соотношению VX^ Х^} = Хк, где (г, ], к) представляют собой круговую перестановку переменных (ж, у, z).

Задача 1.26. Рассмотреть одномерную задачу о рассеянии:.

т d V МДО О—> <—О,

у7 m MV’ после <—о о—>.

Указание. Соотношение между v, V и v', V можно записать в матричной форме:

и*V’и*V’#и а12#21 ^22#и а12#21 ^22/ V \\v) ’/ V \\v) ’

и*

V’

и*

V’

#и а12

#21 ^22

#и а12

#21 ^22

/ V \

\v) ’

/ V \

\v) ’

Предположим, что эксперимент производится много раз, так что начальные скорости располагаются в малой непрерывной области 2 около (v, V). Показать тогда, что

ssdV dV'.dV dV'.

s

s

dV dV'.

dV dV'.

Рис. 1.12. Каноническое отображение процесса бинарного столкновения.

Задача 1.27. Для свободной частицы, движущейся в одном измерении, имеются две константы движения:

ht = P,

т

Показать, что Vht, Я] = 0 и [Я2? НА + dhjdt = 0.

Задача 1.28. а) Если в данной задаче переменные q и р канонические, показать, пользуясь уравнениями Гамильтона, что они удовлетворяют уравнению

ЭдЭр^

ддЭр *

Решение данной динамической задачи приводит к уравнениям

д=з2—р2,p = sin^.

Будут ли переменные (д, р) каноническими?

Задача 1.29. Показать, что [u, g (и)] = 0.

Задача 1.30. Доказать равенства (1.57) и (1.58).

Задача 1.31. Формализмы Лагранжа и Гамильтона можно сохранить для случая сил, зависящих от скоростей, если выполнены некоторые условия. Требуется, чтобы сила Я{ в направлении обобщенной координаты qi выражалась в форме

„ av . d / 6V \

В противоположность этому для консервативных сил выполняется условие

При таких ограничениях динамика системы по-прежнему может быть задана через уравнения Лагранжа или Гамильтона, где

L = T-V,

dL

Рг = — ,dqi

H='21Plql-L.

Рассмотрим частицу с массой т и зарядом е, движущуюсясо скоростью v в электрическом поле Е и магнитном поле В.Сила, действующая на эту частицу, равна (в гауссовых единицах}F = e[E+l(vxB)J .

Пытаясь использовать формализм канонического электромагнитного поля, удобнее работать с потенциалами АиФ, чем с Е и В, Потенциалы и поля связаны уравнениями:

E=-VO-1^,

B = Vx А,

Последнее уравнение служит для того, чтобы сделать соотношение определенным (Ф Ф' = ф — d^ldt и А —> А' = А + V ф оставляет первые два уравнения неизменными), и называется преобразователем Лоренца.

Показать, что обобщенный потенциал для заряженной частицы в электромагнитном поле равен

7 = е(ф—-v-А) .

X с )

Показать, что канонический импульс

р = mv + y А.

Показать, что гамильтониан для такой частицы

2т *

Какие уравнения вытекают из уравнений Максвелла для Ф и А, связанных преобразователем Лоренца?

Задача 1.32. Если гамильтониан не зависит от времени, то всегда ли перестановочны операции d/dt и dldpl То есть справедливо ли, что

d / дН \ д / dH \dt \ др ) др \ dt /

Ответ. Если dHIdt = 0, то Н = const и dHIdt = 0, что обращает в нуль правую часть предшествующего уравнения. Однакп левая часть равна q и не обязательно равна нулю.

Задача 1.33. а) Показать, что движение, соответствующее гамильтониану

Я(Ф)=-^ + Ф(х),

инвариантно относительно преобразования

Н (Ф^Н' = Н (Ф 4~ лр (0), гдеф — произвольная функция времени.

Исследовать инвариантность движения, соответствующего гамильтониану

Я(А,Ф)_<£^1А2 + «Ф,

при преобразованиях:

Я (А, Ф)^ Н' = Н(Д, Ф + ^0),

Я->Я'= Я (А + Ч*" (<), Ф),

Я^Я' = Я(А + Т1р(ж, О, Ф-^У) .

Задача 1.34. а) Если х — перемещение, то какая форма второго закона Ньютона следует из гамильтониана

Пытаясь устранить явную зависимость этого гамильтониана от времени, вызывающую затруднения, можно перейти к новому каноническому представлению, где Н’ постоянна. Используя метод Гамильтона — Якоби, это можно сделать следующим образом. Записать уравнение Гамильтона — Якоби для G (х, £)? построить решение, при котором / и g будут линейными функциями, т. е. / = at и g = ^х. Какой вид имеет «новый» гамильтониан?

Ответ.

тх= — f^gx,

477 ^х + ^* + fg = а-

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

А. Ранние работы по аналитической механике

Гамильтон (Hamilton W. R.)

Problem of Three Bodies by My Characteristic Function.

On a General Method in Dynamics, by which the Study of the Motions of all Free Systems of Attracting or Repelling Points is Reduced to the Search and Differentiation of One Central Relation, or Characteristic Function. Phil. Trans. Roy. Soc., Part II, 247—308.

Second Essay on a General Method in Dynamics, Phil. Trans. Roy. Soc., Part I, 95—144.

Лагранж (Lagrange J.L.)

(17 73) Mecanique Analytique (1788); Oeuvres, v. 6, p. 335 (1773). Русский перевод: Лагранж Ж. Л., Аналитическая механика, М.— Л., ГИТТЛ, 1950.

Mem. de L’Institute de France.

Лиувилль (Liouville J.)

Note sur la theorie de la variation des constants arbitraries, J. de Math., 3, 342.

Пуанкаре (Poincare H.)

(1951—54) Oeuvres, Paris, Gauthier — Villars.

Methodes Nouvelles de la Mechanique Celeste, 1892. Reprinted by Dover, New York, 1957. Русский перевод в сб. Пуанкаре А., Избранные труды, М., «Наука», т. 1, 1971, т. 2, 1972.

Sur le problemе des trois corps et les equations de la dynamique, Acta Math., 13, 1; Oeuvres, v. 7, p. 272«

Пуассон (Poisson S. D.)

Sur la chaleur des gaz et des vapeurs, Ann. Chim., 23, 337 (1823), Ann. Physik, 76, 269 (1824). Английский перевод с примечаниями Хиапаса (J. Herapath), Phil. Mag., 62, 328 (1823).

Memoire sur la theorie du son, Nouv. Bull. Sci. Soc. Philomat (Paris), 1, 19 (1807), J. Ёсо1е Polyt (Paris), 7, 14e Cah., 319 (1808).

Nouvelle theorie de Paction capillaire, Paris, Bacheliere

Theorie mathematique de la chaleur, Paris, Bachelier,

Якоби (Jacobi K. G. J.)

Vorlesungen uber Dynamik, Berlin, G. Reimer, 1866; second edition, 1884. Русский перевод: Якоби К. Г. Я., Лекции по динамике, Л.— М., ОНТИ, 1936.

Ве Ранние работы по кинетической теории и статистической механике

Больцман (Boltzmann L.)

Vorlesungen liber Gastheorie, Leipzig, (1896—1898); Wien. Ber., 66, 275 (1872). Имеется английский перевод (S. G. Brush):

Lectures on Gas Theory, University of California Press, Berkeley, California. Эта книга содержит исчерпывающую историю развития

теории и обширную библиографию. Русский перевод: Больцман Л., Лекции по теории газов, М., Гостехиздат, 1956.

Гиббс (Gibbs J. W.)

The Scientific Papers of J. Willard Gibbs, London and New York, Longmans, Green, 1906. Second edition. The Collected Works of J. Willard Gibbs, 1928. Reprinted by Yale University Press, 1948, and by Dover, New York, 1960.

On the equilibrium of heterogeneous substances, Trans. Conn. Acad., 3, 108, 343 (1875); Amer. J. Set., 16, 441 (1878); Works, v. 1, p. 55. Немецкий перевод (W. Ostwald): Thermodynamische Studien, Leipzig, Engelmann, 1892. Французский перевод (G. Matisse): L’equilibre des substances heterogenes, Paris, Gauthier — Villars, 1919. Русский перевод в сб. Гиббс Дж. В., Термодинамические работы, М.—Л., ГИТТЛ, 1950.

Elementary principles in statistical mechanics, developed with especial reference to the rational foundation of thermodynamics, New York, Scribner, Works, v. 2, p. 1. Русский перевод: Гиббс Дж. В., Основные принципы статистической механики, излагаемые со специальным применением к рациональному обоснованию термодинамики, М.— Л., Гостехиздат, 1946.

Максвелл (Maxwell J. С.)Максвелл (Maxwell J. С.)(1890)(1890)(1859-1860)(1859-1860)(1866)(1867)(1873)(1875)(1878)(1879)(1866)(1867)(1873)(1875)(1878)(1879)The Scientific Papers of James Clerk Maxwell, Cambridge University Press, 1890; reprinted by Hermann, Paris, 1927, and by Dover, New York. 1952.

Максвелл (Maxwell J. С.)

Максвелл (Maxwell J. С.)

(1890)

(1890)

(1859-1860)

(1859-1860)

(1866)

(1867)

(1873)

(1875)

(1878)

(1879)

(1866)

(1867)

(1873)

(1875)

(1878)

(1879)

Illustrations of the dynamical theory of gases. I. On the motions and collisions of perfectly elastic spheres. II. On the process of diffusion of two or more kinds of moving particles among one another. III. On the collision of perfectly elastic bodies of any form, Phil. Mag. [4], 19, 19; 20, 21, 33 (1860); Brit. Assoc. Rept., 29 (2), 9 (1859); Athenaeum, p. 468 (Oct. 8, 1859); L’Institut 364 (1859).

Viscosity or internal friction of air and other gases, Phil. Trans., 156, 249 (1866); Proc. Roy. Soc. (London), 15, 14 (1867). On the dynamical theory of gases, Phil. Trans., 157, 49; Proc. Roy. Soc. (London), 15, 146.

A discourse on molecules, Nature, 8, 437 (1873); Phil. Mag. [4], 46, 453 (1873); Les Mondes, 32, 311, 409 (1873); Pharmaceut. J., 4, 404, 492, 511 (1874).

On the dynamical evidence of molecular constitution of bodies (lecture). Nature, 11, 357, 374; J. Chern'. Soc., 13, 493; Gazz. Chim. Itai., 5, 190.

On stresses in rarified gases arising from inequalities of temperature, Phil. Trans., 170, 231 (1880); Proc. Roy. Soc. (London), 27, 304 (1878).

On Boltzmann’s theorem on the average distribution of energy in a system of material points, Trans. Cambridge Phil. Soc., 12, 547 (1879); Phil. Mag. [5], 14, 299 (1882); Ann. Physik Beibl., 5, 403 (1881).

Эйнштейн (Einstein A.)

(1902—03) Ann. Physik, 9, 417 (1902); 11, 170 (1903). Русский перевод в сб.

Эйнштейн А., Собрание научных трудов, М., «Наука», т. 3, 1966, статьи 3, 4.

В. Классическая механика

Аппель (Appell Р.)

(1902—37) Traite de Mechanique Rationelle (5 vols), 2nd ed., Paris, Gauthier — Villars, Русский перевод (с 5-го франц, изд.): Аппель П., Теоретическая механика (в 2-х томах), М., Физматгиз, 1960.

Вебстер (Webster A. G.)

The Dynamics of Particles and of Rigid, Elastic and Fluid Bodies, Leipzig, B. G. Teubner, 1904 (New York, Stechert—Hafner, 1920), Chapters 5, 7, 10. Русский перевод: Вебстер А. Г., Механика материальных точек, твердых, упругих и жидких тел, Л.— М., ГТТИ, 1933.

Голдстейн (Goldstein Н.)

Classical Mechanics, Reading, Mass., Addison — Wesley. Русский перевод: Голдстейн Г., Классическая механика, М., Гостехиздат, 1957.

Детуш (Destouche J. L.)

Principes de la Mechanique Classique, Paris, Centre National de la Recherche Scientifique.

Зоммерфельд (Sommerfield A.)

Vorlesungen uber Theoretische Physik. Vol. 1: Mechanik, 4th ed., Wiesbaden: Dieterich’sche Verlagsbuchhandlung, Chapters 2, 3, 5. Русский перевод с 3-го издания: Зоммерфельд А., Механика, М.г ИЛ, 1947.

Коэ (Сое С. J.)

Theoretical Mechanics, New York, MacMillan Co., Chapter I.

Ландау Л. Д., Лифшиц E. M.

Теоретическая физика; т. 1, Механика, М., «Наука», изд. 3-е.

Лэмб (Lamb Н.)

Higher Mechanics, 2nd ed., Cambridge, Cambridge University Press. Русский перевод: Лэмб Г., Теоретическая механика (в 3-х томах),. М?— Л., ГТТИ, 1935.

Мак-Миллан (MacMillan W. D.)

Theoretical Mechanics, New York, McGraw-Hill. Vol. 1: Statics and the Dynamics of a Particle, 1937, Chapter 3. Vol. 3: Dynamics of Rigid Bodies, 1936, Chapter 5. Русский перевод: Мак-Миллан В. Д., Динамика твердого тела, М., ИЛ, 1951.

Милн (Milne Е. А.)

Vectorial Mechanics, New York, Interscience, Chapters 1, 5.

Осгуд (Osgood W. F.)

Mechanics, New York, MacMillan, Chapters 1, 2, 4.

Синг, Гриффис (Synge J. L., Griffith B. A.)

Principles of Mechanics, 2nd ed., New York, McGraw-Hill, Chapters 1, 5.

Слейтер, Фрэнк (Slater J.C., Frank N.H.)

Mechanics, New York, McGraw-Hill, Chapters 3, 11.

Тимошенко, Юнг (Timoshenko S., Young D.H.)

Advanced Dynamics, New York, McGraw-Hill, Chapters 5, 10.

Уиттекер (Whittaker Е.Т.)

(1901—35) Encyklopadie der Mathematischen Wissenschaften. Vols. IVi and IV2: Mechanik, A: Grundlagen der Mechanik; B: Mechanik der Punkte und Starrer Systeme. Leipzig, B. G. Theubner.

Handbuch der Physik, Vol. V: Grundlagen der Mechanik der Punkte und Starrer Korper, Berlin, Julius Springer, Chapters 1, 5, 7, 8, 9.

A Treatise on Analytical Dynamics of Particles and Rigid Bodies, New York, Dover. Русский перевод: Уиттекер Э., Аналитическая динамика, М.— Л., ОНТИ, 1937.

Шефер (Schaefer С.)

Eifiihrung in die Theoretische Physik. Vol. 1: Mechanik materieller Punkte; Mechanik starrer Korper und Mechanik der Kontinua (Elasti- zitiit and Hydrodynamik), 3rd ed. Berlin, Walter de Gruyter, 1929 (Ann. Arbor: J. W. Edwards, 1948). Русский перевод: Шефер К., Теоретическая физика, т. 1—3, М.— Л., ГТТИ, 1934—1938.

Эймс, Мурнаган (Ames J. S., Murnaghan F. D.)

Theoretical Mechanics, Boston, Ginn and Company.

Г. Дифференциальная геометрия

Эйзенхарт (Eisenhart L. P.)

An Introduction to Differential Geometry, Princeton N. J., Princeton University Press.

Список обозначений к гл. I

А — векторный потенциал,

А — динамическая переменная, В — магнитное поле,

В — динамическая переменная, с — скорость света, Е — электрическое поле,

F — сила,

Gi — производящая функция,

Н — гамильтониан,

J — переменная действия,

J — якобиан,

L — лагранжиан,

X — угловой момент, N - - число степеней свободы.

р — канонический импульс, q — каноническая координата, S — действие, Т — кинетическая энергия, и — динамическая переменная, V — скорость,

У — потенциальная энергия, Д — перемещение, б/п — дельта Кронекера, е — бесконечно малая, Ф — потенциал, [,] — скобки Пуассона,

v — частота,

Q — объем в Г-пространстве, 0 — угловая переменная, т — период.

ГЛАВА II

УРАВНЕНИЕ ЛИУВИЛЛЯ И ФУНКЦИИРАСПРЕДЕЛЕНИЯ

Концепция ансамбля и уравнение Лиувилля

Представим себе стеклянный сосуд, заполненный газом. В сосуде имеется огромное количество частиц (молекул). Если частицы являются точечными и всего их А, то имеется ЗА обобщенных координат и размерность Г-пространства равна 6А. Состояние газа в любой момент времени изображается единственной точкой в Г-пространстве. Представим себе другой сосуд, идентичный первому во всем, кроме одного: в любой данный момент состояние во втором сосуде отлично от состояния в первом сосуде. Состояния двух одинаковых сосудов — с идентичными молекулами —изображаются двумя различными точками Г-пространства. В ходе изменения времени два идентичных множества молекул в двух сосудах перемещаются и одновременно две точки, описывающие эти множества, прочерчивают две различные динамические траектории в Г-пространстве. Эти траектории не пересекаются. Если бы они коснулись одна другой, то состояние первого газа, определяемое 6А числами (^, рУ совпало бы с состоянием второго газа. Эти два множества из 6А чисел можно было бы принять за начальные условия, которые в свою очередь единственным образом определили бы движение, и данные две траектории слились бы в одну. Следовательно, одна и только одна динамическая траектория проходит через каждую точку Г-пространства.

Задача 2.1. а) Обращаясь к рис. 1.6 и предшествующей аргументации, доказать, что двумерное движение (с исключенным временем, так что q = q ^рУ всегда удовлетворяет условию dqldp = = 0 при р = 0. Показать также, что замкнутая орбита, пересекающая ось р, должна иметь симметричное отражение относительно оси q. (Эти теоремы теряют силу на границах фазового пространства.)

Указание. Предположить, что кривая р = р (q) не пересекает ось q по нормали, и затем построить обратную динамическую траекторию. (Заметим, что доказательство должно включать соображения о гладкости dp/dq.)

Утверждение можно доказать без применения геометрии путем рассмотрения гамильтониана изолированной системы в виде Н = Т ^р^ + V (qy Поскольку Н = 0 = 2ррТрг + qVQl то dq/dp = —2pTpa/Vq.

б) Доказать (аналитически) пункт а) в случае N измерений для движения в плоскости (qb pi).

Пусть теперь мы имеем две динамические траектории в Г-про- странстве, и они не пересекаются. Каждая из этих двух кривых представляет один из двух идентичных газов. Различие между двумя плавно изменяющимися последовательностями состояний объясняется только несовпадением начальных условий. Мы представили себе второй сосуд, чтобы легче усмотреть различие между двумя динамическими траекториями, проистекающее из несовпадения начальных условий.

Вместо только двух (одинаковых) сосудов, наполненных газом, рассмотрим 30 миллионов таких сосудов, или, что эквивалентно, рассмотрим один и тот же газ при 30 миллионах различных начальных условиях. Чтобы физически реализовать последнюю ситуацию, необходимо провести 30 миллионов экспериментов.

В любом случае представляющие точки каждой из этих многочисленных газовых систем образуют скопление (не пересекающихся) динамических траекторий в Г-пространстве. Пусть число таких тождественных систем достаточно велико, так что можно ввести функцию плотности D (р, q, t) точек системы в Г-пространстве 1). Эта плотность такова, что

D (q, р, t) dq dp = D (q, p, t) dQ(2.1)

есть число точек системы в объеме dq dp около точки (р, q) в в момент I.

Число точек в конечном объеме Q фазового пространства в момент t равно DdQL Поскольку эти точки не создаются и не Q

уничтожаются (каждая из них представляет мыслимое воспроизведение одной-единственной системы), скорость изменения со временем величины ^ DdQ. должна равняться со знаком минус Q

потоку частиц через поверхность 2, ограничивающую Q. Если и — скорость точек системы в окрестности элемента поверхности d2, то суммарный поток через поверхность 2 равен J uD-d^.

Отсюда следует, что

( Dd& = - ( uD-dZ = — [ V.uDdQ, (2.2а)

QSQ

d^ ^ D-\-V.uD^=0.(2.

о

x) Напомним, что в силу наших обозначений ^ = (^, . . ., дзр^ Р= = (р^ . . ., p3N) (для N точечных частиц).

В пределе, когда Q -> 0 (используя теорему о среднем значении), получим хорошо известное в гидродинамике уравнение неразрывности;

4o + V.uD = 0.(2.3)

Это уравнение выражает закон сохранения точек системы. Оно никак не связано с динамикой индивидуальных систем. Информация о последней заключена в переменной и —«скорости». Что представляет собой этот вектор в точке (q, р) в момент t? Если движение точки системы задано уравнениями qt = qt ^, pi = = Pi(f) (для TV частиц индекс I пробегает значения от 1 до 37V), то «скорость» точки системы (q, р) равна (^, . . ., q3N; pVl . . ., р^- «Скорости» бесконечно близких динамических траекторий будут отличаться от (^, . . ., pVl . . .) на бесконечно малые (поскольку соответствующие начальные условия отличаются на бесконечно малые). Отсюда следует, что скорость и точек в элементе (d^, . . ., dq3N; dpi, . . ., dp3N^ около (^, p) задается производными координат и импульсов частиц, образующих систему, которая проходит через точку (^, р) в момент t;

u — {Q.i4 • • •) 93N1 Ph • • - i PsnY

Оператор градиента V — это вектор (.d/dq^ . . ., d/dq3N\ d/dpi, ... . . ^0ldp2N). Выражение дивергенции V-uD через компоненты {для N точечных частиц) имеет следующий вид:

3N3N

= 2(D^ + ^D)+2(°^ft + ^D)- (2-46)

-^ v 9qt dpi 1 41 dqt / 1 ZJ \ dpt 9qt 1 J< dpi / ’ (2.4b) (2.4г)

При выводе равенства (2.4в) были использованы уравнения Гамильтона для скорости ^q, р) точек траектории системы, так что в соотношении (2.4г) учитываются динамические законы движения. Теперь уравнение (2.3) принимает вид

4о^ц.^О = 0.(2.5)

Здесь функция D — это плотность точек динамической системы, в то время как в уравнении (2.3) эта функция представляла просто плотность точек, которые не возникают и не уничтожаются.

Из уравнения (2.5) следует, что «жидкость», для которой D является плотностью, несжимаема. Рассмотрим для простоты одномерное движение жидкости с массовой плотностью р = = р (ж, f). Если жидкий элемент находится в положении х в момент t, то он будет находиться в точке х + мАг в момент t + Аг, где и — скорость жидкого элемента. Если жидкость несжимаема, то при движении жидкого элемента количество жидкости рАж в объеме Аж остается неизменным. Отсюда следует, что р (ж, г) Аж= = р (ж + мЛг, t + Аг) Аж'. Объем Аж' — это новый объем, который занимает в момент t + Аг количество жидкости р (ж, г) Аж. Если жидкость несжимаема, то Аж = Аж'. Разлагая правую часть написанного выше равенства по степеням Аг, получим

Р^. 0 = Р (ж, О + (ы"£-р + -^-р) д< + • • • • (2-6)

В пределе, когда Аг—>■ 0, будем иметь уравнение для плотности несжимаемой жидкости:

4р + -^Р = О. (2,7.)

Согласно этому уравнению, плотность в окрестности точки является инвариантным свойством точки, когда последняя совершает свое динамическое движение.

То, что уравнение (2.5) отражает свойство несжимаемости динамической переменной D, можно увидеть более наглядным путем. Сначала перепишем это уравнение в виде

Тс+27-^°+2й^О-0, (2.76)

где мы опять использовали уравнения Гамильтона. Вспоминая обозначение скобок Пуассона, можно записать последнее уравнение иначе:

^-+[/),Я] = 0. (2.8)

Но в гл. I мы установили, что полная производная по времени от любой динамической переменной задается как раз таким выражением. Отсюда следует, что полная скорость изменения D по времени равна нулю:

^- = 0. (2.9)

В производную dDldt входят производные решений q (г) и р (г). В любой момент t дифференцируемые функции q и р определяют положение точки системы в этот же самый момент времени. Опера-

ция dDIdt представляет производную по времени от D (q, р)* вычисленную в системе отсчета, которая движется вместе с точкой динамической системы.

Уравнение (2.8) называется уравнением Лиувилля. Выведем его снова, используя теорему об интегральных инвариантах Пуанкаре. Теорема утверждает, что при каноническом преобразовании (q, р) -> (q', р')

( ... j dqi ... dqN dpt ... dpN = j ... j dq[ . .. dq'N dp[ .. . dp’N,

~(2.10}

где Й — образ области й, ограниченной поверхностью 2 в новом Г'-пространстве при данном (но произвольном) каноническом преобразовании.

Применим эту теорему к каноническому преобразованию f(T)

(g, Р^> ОЛ Р'^ которое представляет собой действительное- перемещение системы за время Г. Координаты и импульсы со»

Рис. 2.1. Каноническое преобразование в различных фазовых пространствах.

Штрихом равны значениям, которые принимают q (£) и р (£) в момент t + Т. При изображении изменения формы, которое претерпевает поверхность 2 в силу канонического преобразования С (71), имеются две возможности. Либо мы можем рассматривать Г'-про- странство отдельно от начального пространства Г, либо мы можем эти два пространства наложить одно на другое.

Для свободной частицы с единичной массой движение задается Уравнением q = p^t-Vq^ (если q — линейное перемещение, а р — Линейный импульс). Пусть начальные условия для этой частицы «размазаны». Область в Г-пространстве, занимаемая этими начальными точками, изображена на рис. 2.1, а. Спустя время Т пре-

•образование £ (Г) переведет эту область Q и ограничивающую ее кривую S в область Q' (Г) с границей S' (Г), как показано на рис. 2.1, б.

Задача 2.2. а) Описать аналитически кривую S' и доказать, что Q' = Q для случая, изображенного на рис. 2.1.

Повторить предшествующее геометрическое построение и доказательство для движения g = g, где g — постоянная. Масса предполагается равной единице.

С другой стороны, если пространства Г' и Г наложены одно на другое, то динамическое преобразование будет таким, как

Р

Рис. 2.2. Каноническое преобразование в одном и том же фазовом прост-ранстве.

показано на рис. 2.2. Поскольку преобразование t, (71) порождает само динамическое движение, область Q' представляет собой •совокупность таких точек системы в момент времени Г, которые в момент £ = О находились в Q.

Физически более естественно рассматривать теорему Пуанкаре с точки зрения представлений о геометрическом наложении, как изображено на рис. 2.2. Хотя для только что рассмотренного простого одномерного случая равенство Q = Q' почти тривиально, теорема Пуанкаре говорит нам, что даже для более общего случая f(T),

TV-мерной задачи Q>Q' остается инвариантом, так что Q = Q . Каково число точек системы в Q? Может ли внутренняя точка -стать внешней точкой при преобразовании £ (Г)? Обозначим через S геометрическое место граничных точек области Q. Если точка, внутренняя по отношению к S, станет внешней к S после преобразования £ (Г), то она должна пересечь граничную точку. Пусть она пересечет ее в момент t', удовлетворяющий условию

О < f < Т. В момент t' значения q и р для граничной точки и рассматриваемой внутренней точки имеют соответственно одинаковые значения. Но движение точек единственным образом определяется «начальными данными». Таким образом, в последующие моменты времени, включая время f, положение этих точек

Рис. 2.3. Теорема Лиувилля в интерпретации Пуанкаре.Число точек системы: N N' = N.Объем: Q -> Q' = Q.Поверхность 5 искажается: 5 Ф 2'.Рис. 2.3. Теорема Лиувилля в интерпретации Пуанкаре.Число точек системы: N N' = N.Объем: Q -> Q' = Q.Поверхность 5 искажается: 5 Ф 2'.

Рис. 2.3. Теорема Лиувилля в интерпретации Пуанкаре.

Число точек системы: N N' = N.

Объем: Q -> Q' = Q.

Поверхность 5 искажается: 5 Ф 2'.

Рис. 2.3. Теорема Лиувилля в интерпретации Пуанкаре.

Число точек системы: N N' = N.

Объем: Q -> Q' = Q.

Поверхность 5 искажается: 5 Ф 2'.

системы должно совпадать. Следовательно, внутренняя точка не может пересечь границу. Число точек N (й) в й сохраняется;

N (Й) N’ (й') = 7V (Й) (рис. 2.3).

Задача 2.3. а) Доказать, что для данной системы (т. е. для заданного гамильтониана) из точки (р (0), q (0)) выходит только одна динамическая траектория.

Указание. Разложить q (£) около t = 0 и использовать уравнения Гамильтона.

Доказать, что две траектории системы, выходящие из двух различных начальных точек в Г-пространстве, не могут пересечься.

В пределе, когда й становится очень малой, предшествующие Доказательства остаются в силе. Число точек AvV в малом объеме Ай (называемое согласно Гиббсу протяженностью по фазе) пропорционально Ай с коэффициентом D, так что

A7V = ДАЙ.(2.11а)

А^' = Д'АЙ',А^' = Д'АЙ',Если мы подвергнем это соотношение преобразованию £ (Г), то получим (разумеется, А#' по-прежнему пропорционально Ай'), что

А^' = Д'АЙ',

А^' = Д'АЙ',

(2.116)

ИЛИ

A7V = П'^й.(2Л1в>

Сравнение этого последнего равенства с (2.11а) показывает, что» t^D-D'-D.(2.11г)

Отсюда следует, что величина D является постоянной для рассматриваемого малого объема, так что

Таким образом, мы снова приходим к уравнению Лиувилля.

Вернемся к одномерной задаче, изображенной на рис. 2.2. Каков физический смысл множества точек, которые содержатся в объеме Q? Если мы примем момент времени t за начальный, то эти точки представят непрерывную область начальных условий для одной и той же единственной одномерной системы. Динамические траектории точек системы являются траекториями множества систем, воспроизводящих одну-единственную систему. Различие между ними заключается только в начальных условиях. Совокупность этих точек представляет образец ансамбля. Существенно, что понятие ансамбля связано с описанием единственной системы.

В только что рассмотренном простом случае системой является единичная частица, движущаяся в одном измерении. Для газа, заключенного в сосуд, система имеет 37V обобщенных координат и 3N сопряженных импульсов. Тем не менее в обоих случаях системы изображаются единственной точкой Г-пространства. Если начальные условия изменить на бесконечно малую величину, то начальная точка получит бесконечно малое смещение. Если начальные условия изменяются непрерывно, так что представляющая точка описывает непрерывную область Q в Г-пространстве, то эта область представит тогда начальную конфигурацию ансамбля системы.

Решение уравнения Лиувилля

Обратимся теперь к построению наиболее общего решения уравнения Лиувилля. Если система, которую представляет ее ансамбль, имеет N степеней свободы, то существует 2N констант движения. Рассмотрим одну из них вида

^i (^п • • Qni Pi> • • • > Pish i) = G.(2.13)

Это поверхности в Г-пространстве. Если t входит явно, то она будет перемещаться и деформироваться, в противном случае эта поверхность будет неизменной. С течением времени точка системы движется в Г-пространстве по поверхности hY — С^. Движение

таково, что hv не изменяется за время б^, так что

6hx = hi (р + pbt, q + q^t, t + б^) — hi (p, q, t) = 0,

«=[з(>*+|^+1](‘-(2Л4)

г

Откуда для б^^О следует:

-^ + №,7/1 = 0.(2.15)

Таким образом, любая константа движения является решением уравнения Лиувилля и обратно, любое решение уравнения Лиувилля является константой движения. Но существует 2N таких независимых констант г). Следовательно, самым общим решением уравнения Лиувилля будет произвольная функция 2N констант движения:

D = D (ht) h2, . . ., h2N).(2.16)

Самым общим называется такое решение уравнения, которое включает в себя все решения как частные случаи. Какая-либо определенная функция всех констант движения не будет являться самым общим решением уравнения Лиувилля. Например, решение D = hih^ . . . h2N не включает решения D = hi +^4. Следовательно, самое общее решение может быть только вида D = = D (hi, h2, . . ., h2NY Чтобы построить это решение, надо запивать 2N уравнений:

^1 = К (71, • . Ph . . •, PNi fy (2.17)

^2N = ^2^ (71, • • •> QNi Ph • • -, PNi 0-

Обращение этих уравнений дает соотношения:

7i = 71 (^i, • • ., H2N, tY

5 (2.18)

Pn — Pn (^h • • •, h2Ni ^), которые являются решениями динамических уравнений движения. Отсюда мы заключаем, что самое общее решение уравнения Лиувилля эквивалентно знанию всех N динамических орбит. Одноединственное уравнение Лиувилля описывает поведение всей системы.

^ Когда полное число степеней свободы равно N, Г-пространство явля- °тся 2/У-мерным. Когда N—полное число частиц системы и каждая частица Имеет у степеней свободы, Г-пространство является 2у.У-мерным. С обоими этими толкованиями мы встречаемся в тексте.

К этому заключению можно прийти и другим путем. Напомним уравнение Лиувилля:

РР _L у ( РР_РР 9D 9Н \ — о/2 19}

^ 1 dqL дР1 дР1 dqt )

I

В (2N + 1)-мерном Г-прострапстве градиент D имеет компоненты

г \ dt dq^dpN ) 1'

так что уравнение (2.19) можно записать в виде

V.V~Z)=0.(2.21)

Компоненты х) вектора V (в Г-пространстве) равны (1, Нр^ . . . . . ., —HqNY Согласно уравнению (2.21), решение D таково, что- его градиент нормален вектору V. Для того чтобы это обеспечить, поверхности, описываемые уравнением D = С, где С — переменный параметр, должны быть образованы кривыми, которые в каждой своей точке касаются векторного поля V. Такие кривые задаются уравнениями:

1 дН/др^ дН1др2 —~ dHtdqN *

Это будут уравнения движения в форме Гамильтона (если проста приравнять каждый член первому). И опять мы нашли, что самое общее решение уравнения Лиувилля является произвольной функцией всех динамических орбит.

Из предшествующих рассуждений следует, что, зная самое общее решение уравнения Лиувилля, мы тем самым знаем движение всех частиц, составляющих систему. Такова вторая интерпретация функции D. В первой интерпретации D определялась как плотность ансамбля точек системы в фазовом пространстве. Разумеется, эти две интерпретации взаимно согласуются. Так как самое общее решение уравнения Лиувилля является произвольной функцией всех* констант движения, то оно само будет константой движения. Как мы знаем, константа движения — это динамическая функция, которая остается неизменной при эволюции системы во времени. Она постоянна вдоль динамической траектории точки системы в Г-пространстве. Примечательно, что плотность точек ансамбля около любой точки, изображающей систему, остается постоянной. Плотность изображающих точек в бесконечно малой окрестности произвольной точки -системы остается связанной с этой точкой, когда последняя движется по своей динамической траектории. Плотность точек системы

9 В наших обозначениях НР1 = дШдр^.

ведет себя подобно плотности несжимаемой жидкости. Она остается постоянной, если следовать за элементом жидкости, но может изменяться поперек динамических траекторий.

Получение самого общего решения уравнения Лиувилля хотя и поучительно, связь его с классом решений, относящихся к «проблеме ансамбля», является не больше чем академической. Более целесообразно рассматривать задачу с начальными данными. Пусть задана функция Dq = D (р, q, 0). Каково будет значение D через бесконечно малое время Аг? Разложение D в ряд Тейлора около t = 0 имеет вид

(2.23)(2.24)(2.25)(2.23)(2.24)(2.25)D (р. q, - D („, q, 0) + -%- М +|(=о.

(2.23)

(2.24)

(2.25)

(2.23)

(2.24)

(2.25)

Согласно теореме Лиувилля,

Таким образом,

4^=о = [Я, [Я, Я]]|<=о = [Я, [Я, D0H,^|<=о = [Я, [Я, [Я, Я]]]|1=0 = [Я, [Я, [Я,ЯоШ-

Решение (равенство 2.23) можно теперь записать только через начальные данные Do:

D(p, q, At) = Do + At [Я, Р0]+-^-[Я, [Я, Do]] +

+ -^[Я, [Я, [Я, Do]]]+....(2.26)

Задача 2.4. Распространить решение (2.23) на случай, когда Н явно зависит от времени (используя равенство (1.36е)).

Разложение решения по степеням Аг определяется единственным образом через одно начальное условие. Это, конечно, не является неожиданностью, поскольку уравнение Лиувилля — дифференциальное уравнение первого порядка по времени.

Решению, полученному таким путем, можно дать геометрическую интерпретацию. Значение/) при t = 0 соответствует заданию D па «плоскости» t = 0 в (27V + 1)-мерном Г-пространстве. Ряды Тейлора (2.23) определяют значение D (pQl qQl Аг) через значение De^Po, (/о) в непосредственно «нижней» точке, лежащей в плоскости t = 0, в которой задано одно из начальных значений (рИс. 2.4).

Значение D в точке (pOl qOl Аг) совпадает со значением D в точке (Poi Qoi 0), которая является пересечением с плоскостью г = 0 Динамической траектории, проходящей через точку (pQl qOl Аг).

При построении D через Do (pOl qOl 0) с помощью ряда Тейлора переменные (q, р, t) должны рассматриваться как независимые. Это требование особенно легко выполнить при нашем прежнем подходе, если просто предусмотреть специальную форму решения. Если, например, для одиночной свободной частицы начальное условие выражается равенством Do = Ир sin qn то в последующее время t решением будет D = Ир sin [g — (р/т) d, т. е.

Рис. 2.4. Геометрия построения рядов Тейлора при решении уравнения Лиувилля.

функция р, q, t. Она оказывается постоянной вдоль динамического пути С\ = g — (р/т) t; р = р0. Но это не мешает нам вычислить величину D (р, q, t) (для любых трех чисел (р, q, t)) из начальных данных, используя разложение в ряд Тейлора.

Задача 2.5. Для начального ансамбля свободных частиц Do = = 1/1 р | sin | q |. Найти D (А^), используя разложение в ряд Тейлора.

В общем случае мы можем применять разложения типа рядов Тейлора, чтобы найти изменение функции N переменных вдоль заданного направления. Рассмотрим функцию / (^, . . ., xN). Мы хотим найти / в точках х + 6, т. е. в окрестности точки х = = (^, . . ., xN). Разложение в ряд Тейлора можно записать следующим образом:

/ (х + 6) = е6•v/ (х) = / (X) + 6. V/ + ± (6. V)2/ 4- .. . (2.27)

Предположим, что 6 имеет направление базисного вектора Xj (в декартовом пространстве). Тогда 6-V = Ьд/дх^. Именно такой тип разложения имеет место в равенстве (2.26).

Хотя данное решение уравнения Лиувилля можно получить, зная действительные динамические орбиты, в своем конечном виде оно является функцией q. р и t. Для любого фиксированного значения t мы можем рассматривать D как функцию (^, р"). Это, разумеется, соответствует переходу с одних динамических орбит на другие при заданном значении t. Для каждой динамической траектории D принимает определенное значение, которое остается постоянным вдоль траектории.

Последнее утверждение указывает наиболее элегантный метод решения задачи с начальными значениями для уравнения Лиувилля. Он напоминает метод характеристик в теории гиперболических уравнений с частными производными. Сходство состоит в том, что решения обоих типов уравнений остаются постоянными вдоль некоторых характеристических линий.

Мы знаем, что D не меняется вдоль динамических траекторий в Г-пространстве. Пусть движение системы задается уравнениями q = 9o + g ^Y Р = Ро+Р Ц^ так что q (0) = р (0) = 0. Пусть начальное значение D равно Do (q, р). Тогда D (q, р, ^) будет определяться соотношением

D = Dolq — q (£), р — р (01.

В такой форме D является функцией констант движения, и ее нахождение сводится к заданию начального значения D при t = 0. Однако задача о решении уравнения Лиувилля ничуть не упростилась. Если в предыдущем методе необходимо было знать D в окрестности (^0, р0^ то настоящий формализм требует знания решений динамических уравнений движения.

Задача 2.6. На сферической поверхности (в Г-пространстве) ^рг + ^Чг = я2 задается начальное значение D : DQ = Sgt X X exp [—Sp2]. Функция D — это плотность ансамбля одномерных гармонических осцилляторов с потенциалом V = д2/2. Найти решение D (q, р, ^ уравнения Лиувилля.

Анализ Пригожина уравнения Лиувилля

Недавно Пригожин отметил, что уравнение Лиувилля удивительно похоже на уравнение Шредингера, и воспользовался этим, чтобы дать новый метод его решения. Здесь уместно дать обзор сделанных им выводов.

Определим линейный оператор Лиувилля А, исходя из расширенного уравнения Лиувилля:

. 9J)• rZJ Щ л п /• 9^9 г • ^И д \ /о OQx

г = г [Н,= М) = — ^ -т~—к г — 7). (2.28)

dt l > jу др дц ' dq дрх '

Для N обобщенных координат оператор Л будет таким: N

\ dPl dqi dqL dpi /v 7

Z=1

Уравнение Лиувилля, записанное через оператор Л, i^ = KD(2.30)

очень похоже на уравнение Шредингера в квантовой механике:

~г^)ф-Р'31>

В этом уравнении Н — оператор Гамильтона с импульсом, замененным на градиентный оператор —idldq. В уравнении Лиувилля оператор Лиувилля представляет собой просто оператор скобки Пуассона, умноженный на г ^i? = —1), т. е. Л = г [Я,].

Перечислим теперь несколько свойств оператора Л, которыми также обладает и оператор Гамильтона Н.

Суперпозиция

Если Di и D2 — решения уравнения Лиувилля (2.28), то ввиду присущих ему свойств линейности и однородности сумма

D = аЛЗ^ -р a2D 2(2.32)

также будет являться его решением.

Л — эрмитов оператор

Пусть б — произвольный оператор, определенный на полном множестве функций {Фп}- Тогда матричное представление О имеет вид

Оы = j j Ф^ОФ, dp dq,(2.33)

где звездочкой обозначена комплексно-сопряженная величина. Пусть функции {Фп} таковы, что они обращаются в нуль на границах фазового пространства. Оператор О называется эрмитовым, если элементы матрицы удовлетворяют соотношению

Okl = Otk.(2.34)

Каждый матричный элемент должен равняться 'своему эрмитову сопряженному. Записанное через соответствующие интегралы, это условие имеет вид

j j Ф*hdФ[dpdq=^ J J ФtOФkdpdqУ = J ^(дФЛ)*Ф^р</д. (2.35)

Эрмитовость оператора Л можно показать прямой подстановкой, используя интегрирование по частям:

. . г г ая , эф^ . ре 8н 8Фк д .

Г 8Н 9Ф* ан дф*-!

ФЧ -^ —+ ^Г—1^^ = Л&-<2-36)

Задача 2.7. а) Показать, что оператор Л' = IX не является эрмитовым.

Каким свойством должен обладать гамильтониан Н, чтобы равенства (2.36) были справедливы?

Собственные значения X — действительные числа

Собственные значения cot и собственные функции ф? (^, р) оператора Л определяются уравнением

Лф^согфг.(2.37)

Отсюда следует, что на базисе этих функций

(2.38)(2.38)Afeft = j j ^tXilpkdpdq = tok ^ ^ |фй|2(/р^.

(2.38)

(2.38)

Так как Xkk = X*k вследствие того, что оператор Л — эрмитов, и J j I Фь I2 dp dq — действительное число, сок также должно быть действительным. То обстоятельство, что собственные значения эрмитова оператора действительны, является, конечно, хорошо известной теоремой.

Ортогональность собственных функций

Пусть две различные собственные функции ф: и ф^ удовлетворяют соответственно уравнениям

(2.39а)(2.39а)Лфг = согф,,

(2.39а)

(2.39а)

Л»ф^ = <о6ф$.(2.396)

Умножая уравнение (2.39а) на ф*, а (2.396) на фг, получим

(2.40а)(2.40а)Ф*Лфг = ®гф^фг,

(2.40а)

(2.40а)

ф;Л*фй = а>ьфгф*.ф;Л*фй = а>ьфгф*.(2.406)(2.406)

ф;Л*фй = а>ьфгф*.

ф;Л*фй = а>ьфгф*.

(2.406)

(2.406)

Вычитая одно равенство из другого и интегрируя по всему фазовому пространству, получим следующий результат:

(2.41)(2.41)Льг—A*ft = (®i—ton} j j ipf^t dp dq.

(2.41)

(2.41)

Так как Л — эрмитов оператор, то левая часть предшествующего уравнения обращается в нуль; следовательно, если со? #= coft, то

j фгф*йрйд = О (&#=/)-(2.42)

Это равенство выражает свойство ортогональности системы функций {фп}, что снова представляет собой хорошо известную теорему относительно собственных функций эрмитовых операторов.

Собственные функции можно нормировать. Это следует из того факта, что если ф^ является решением уравнения (2.37), то Лфд также будет его решением. Постоянная А — произвольна. Следовательно, функции фь всегда можно выбрать так, чтобы

=(2.43)

Эти функции {фп} образуют ортонормированную последовательность собственных функций оператора Лиувилля Л.

Собственные функции оператора Л — комплексные

Образуя уравнение, комплексно-сопряженное уравнению (2.37), получим

А*ф? = (о/фГ(2.44)

Из (2.29) следует, что

Л*=-Л,(2.45)

так что уравнение (2.44) примет вид

Лф^-^фГ,(2.46)

и мы можем заключить, что ф* — собственная функция оператора Л, соответствующая—соь афг — собственная функция, соответствующая со^. Если фг действительна, то ф* равна фг и им должны соответствовать одинаковые собственные значения. Из соотношения (2.46) следует, чФо либо со г равно нулю, либо ф? является комплексной.

Так как ф? комплексная (для нетривиального со?), ее можно представить в виде

фг = НгАгПъ(2.47)

где функции R и I являются действительными. Подействовав на это равенство оператором Л2, получим

Х^г^ХЧ^ + гХЧь(2.48)

или, что эквивалентно,

Л2ф^ = Л (Лф;) = со/Лф; = со?ф; = to№i + i^th* (2.49)

Так как оператор Л2 действительный, то единственный мнимый член в правой части равенств (2.48) и (2.49) — это слагаемое, содержащее число г. Следовательно, действительные и мнимые части этих двух тождественных комплексных функций выделены явно и соответственно равны.

Таким образом,

(Л2- со?) Нг = О, (Л2- cd?) h = 0.(2.50)

Мы видим, что действительная и мнимая части собственных функций ф; удовлетворяют одному и тому же уравнению второго порядка по р и q.

Тот факт, что собственные функции комплексны, можно установить другим путем, записав их в виде

^ = 1^1*4(2.51)

где

1^1 = (^?)1/8.(2.52)

Отсюда следует, что

Лф^ = Л|фН А(2.53)

или

Л | т|?г | + г |-фг | Лхг = сог [-фг ].(2.54)

Из соотношений (2.37) и (2.46) вытекает:

Л|фН = О,(2.55)

поэтому

Axz= —-г^г.(2.56)

Напомним, что полная производная по времени от динамической функции F задается равенством

^ = "^- = ^- + VF, Щ =(2.57)

Если F является константой движения, то F = 0, и обратно, если F = 0, то F — константа движения. Произвольная констан-

та движения удовлетворяет уравнению

-^ + ^ = 0,(2.58)

или, что то же,

i-^=AF.(2.59)

Уравнение (2.55) говорит о том, что модули собственных функций фг оператора Л являются константами движения, если они не зависят от времени явно.

Опираясь на эти свойства оператора Лиувилля, перейдем к более общему исследованию. А именно, построим формальное решение уравнения Лиувилля в рамках формализма Пригожина.

Более точно, займемся опять решением задачи с начальными данными. Пусть D0 = D (#, р, 0). Решение уравнения Лиувилля, записанного через оператор А (т. е. (2.30)), которое удовлетворяет начальным данным DOl имеет вид

t

D(q, р. t) = ехр ( — ^ j dtA.^ D(q, р, 0).(2.60)

о

Экспоненциальный оператор определяется через свое разложение:

t

exp ( — i j dtK) Z>o = о

tt

= [i + (-i j <йа)+|(-« J &л)2+..,Jp0.(2.61)

В случае, когда гамильтониан не является явной функцией времени, оператор А также от времени не зависит и

t

^dtX = Xt.(2.62)

о

При таких условиях разложим D по собственным функциям оператора А:

о (я, р, 0) = 2«пфп.(2.63)

о

Подставляя это выражение в (2.60), получим

D(q, р, ^=е~гМ 2 «пфп = 2 «пе-^^Фп (g, PV (2.64) оо

Задача 2.8. Доказать второе равенство в (2.64).

Задача 2.9. Показать, что

an = j ^2) (9, р, 0) dq dp.

Построим теперь решение уравнения Лиувилля для системы, состоящей из N невзаимодействующих частиц. Гамильтониан такой системы задается равенством

Н=7.$-.(2.65)

Соответствующий оператор Лиувилля имеет вид

N

К=_гу SL.JL(2.66)

mi vdxt'1

Z=1

Если куб, содержащий газ, настолько велик, что специальный выбор граничных условий становится несущественным, то мы тогда свободны в выборе условий, которые лучше всего подходят для иллюстрации метода. С этой целью наложим периодические граничные условия на собственные функции ф^:

^{к} (х) = -ф{к> (х + L).(2.67)

Здесь L — вектор, направленный по ребру кубического контейнера и равный его длине. Последовательность {к} представляет систему векторов (kt, . . ., kN), которые входят в собственные функции оператора Л:

N

фро = LTsni2 exp (г 2 кг *хг) .(2.68)

Собственные значения 0){к} определяются равенством

N

<o{k} = 2kr-EL.(2.69)

Z=1

Каждый вектор

к, = ^пг(2.70)

выбирается таким образом, чтобы удовлетворялось граничное условие (2.67). Компоненты вектора щ являются целыми числами.

Мы теперь можем выразить начальное значение

Do = D (хь . . ., х^; pi, . . ., pN, 0)

для N невзаимодействующих частиц через собственные функции (2.68) и собственные значения (2.69).

Поскольку собственные функции Л не зависят от р, коэффициенты аи в уравнении (2.63) являются теперь функциями импульсов р. Кроме того, индекс п заменен на переменную {к}, характеризующую последовательность. В соответствии с этим обозначим коэффициенты ап через D{к} (рь • • -, Pn). Они таковы, что начальное распределение Do задается выражением

Do^, ...,xn, рь ...,p^ = 3Ak}(Pi, •••>P^^{k}, (2.71а){k}

или, что эквивалентно,

До = L~3N/2 2 D№ exp (i S kr хг) .(2.716)

{k}Z=1

Каждому набору переменных {k} соответствуют различные экспоненциальные члены в слагаемых выражения (2.71а). Используя ортогональность функций ф{кь получим значения коэффициентов ^{к}* Учитывая (2.70), находим

£{к> (Рь • • ■, P,v) = J • • • j ОДш dxt ... dxN. (2.72)

Зная эти коэффициенты, а также собственные значения, определяемые равенством (2.69), получим нестационарное решение уравнения Лиувилля (ср. с (2.64)). Оно имеет вид

О(хь ..., xN, р,, ..., pw, t) =

^-sw^^p,, ...,р„)[^(2.73)

:{k}

Суммирование указывает на то, что D является функцией переменных

(Р1, Р2, • • •, Pw5 [Xt —(Pi/TTli) /], [х2 — (Р2/ТП2) /], . . .).

Кроме того, если каждую из этих 2N независимых переменных положить равной константе, то D будет постоянна. Таким образом, D постоянна вдоль траекторий

Pl-Pl, Xt-—-xt,

5(2.74)

Px = Pn, xn —^- = x°n.

Эти уравнения описывают динамическую траекторию точки системы, состоящей из N свободных частиц. Элемент упрощения, введенный в данную задачу о свободных частицах, обусловлен главным образом следующим фактом. Оператор Лиувилля А действует только на конфигурационные переменные xz. В более реальных случаях Л

будет включать в себя также и оператор dld^i- Разумеется, было бы весьма полезно рассмотреть эти более сложные задачи в новых координатах, которые все отсутствовали бы в преобразованном гамильтониане. В нашем обзоре классической механики мы встречались с формализмом «действие — угол», который именна это и осуществляет. Напомним, что через переменные действия J («новые» импульсы) гамильтониан записывается в виде

н = н ^ . . JNy

Сначала ограничимся задачей с одной степенью свободы, Н = = Н (JY Тогда получим следующий оператор Лиувилля Л (ср. с (1.76); со = 2nv):

Л г (2л)-^--^- = — гсо^ •(2.75)

Мы достигли желаемого результата: свели Л к оператору; действующему только на пространственную переменную. Как и в- обычном формализме «действие — угол», трудность заключена в том, чтобы найти производящую функцию, с помощью которой и выполняется требуемое преобразование. Предположим, однако, что такая функция найдена, и обратимся к формальному анализу. Нормированными собственными функциями (периодическими с периодом 2л) оператора Л являются

<2л6)

где п — целое число. Собственные значения соп (см. уравнение (2.37)) имеют вид

соп = псо.(2.77)

Они равны произведению целого числа на фундаментальную частоту со, связанную с рассматриваемым периодическим движением одномерной системы. Когда число степеней свободы больше единицы, задачу все еще можно хорошо формализовать, при условии разделимости гамильтониана; это означает, что

N

H = ^H^Jt)(2.78)

(каждая из N степеней свободы отделима). В этом случае собственные функции имеют вид

ipn = (2л)"^/2 exp i 5 n$i-(2.79)

2=1

Компоненты вектора п — целые числа:

n = (nt, . . ., nNY(2.80}

Собственные значения, соответствующие собственным функциям (2.79), равны

СОП = п^ + п2о>2 + - . . + nNmN.(2.81)

Аналогично тому, что было выполнено в случае задачи о свободном движении N тел, мы можем построить решение задачи с начальными значениями, гамильтониан которой задается равенством (2.78), а начальное распределение — соотношением Do = = Dq (J, 9, 0). Решение имеет вид

D (J^ . . ., JN, 9^ . . ., 9дг, t) =

= (2лГ"/22Яп(А, J^expttSraz^-^)]. (2.82) n

Суммирование распространяется на все векторы п. Коэффициенты Оп равны 2л2л

On (Л, • • • 1 <7"jv) = ^ ... ^ D (Ji, ..., J^, 91, .. •, 9jy, 0) х оо

X ехр ( —z 2 n$i^ ^91 ... d9N. (2.83) Из решения (2.82) следует, что D остается постоянной вдоль траекторий:

Л = Д, 61 - «it = 6?;

(2.84)

J j^ = J^N 1 6 N — ® Nt == ^N*

Тот факт, что это решение похоже на решение задачи о свободном движении N тел, не является неожиданностью. В новой системе координат — системе Гамильтона — Якоби — все новые импульсы постоянны. А это эквивалентно ситуации свободно-молекулярного течения.

Рассмотрим теперь, каким образом можно обобщить теорию, чтобы учесть взаимодействие частиц, образующих систему. Ограничимся случаем слабых взаимодействий, т. е. взаимодействий, вызывающих малые возмущения описанной выше ситуации свободно-молекулярного течения. В соответствии с этим полный гамильтониан имеет вид

H = H0(Ji, . . ., JNH ^V(Ji, . . ., JN, 91? . . ., 9^, (2.85) где e — малый параметр, а У — взаимодействие. Соответствующее уравнение Лиувилля записывается в форме

i^- = tX0+^A^D.(2.86)

Вспоминая решение, определяемое равенством (2.60), видим, что удобно перейти от D к новой переменной D:

Z)-^5 = exp(^A0)D.(2.87)

D удовлетворяет следующему уравнению:

1^- = 8(е«Ло6Ле-«ло) Ь.(2.88)

В координатах «действие—угол» невозмущенный оператор Лиувилля Ло =—£со(д/д0) (см. 2.75), так что

е^ло / (0) = ^(д/дО) / (6) = / (9 + toty(2.89)

Таким образом, оператор ехр ^Ло производит сдвиг начальной функции плотности для задачи о свободной частице в момент времени t.

Уравнение (2.88) записывается в форме

^ = еК(х, t^D^x, t),(2.90)

где К — оператор, явно зависящий от параметров х и t. Если D (х, 0) = Do, то интегральная форма уравнения (2.90) имеет вид

t

D^x, 1^ = Во^-г ^ К (х, t') D (х, t') dt'.(2.91)

о

Поскольку е — бесконечно малый параметр, удобно искать решение в виде

D (х, t) = Do + sDi + e?D2 + ... .(2.92)

Подставляя этот ряд в уравнение (2.91) и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях 8, получим:

Do — Dq,

Dl=^KD0,(2.93)

52 = J KD„

Это есть бесконечная последовательность зацепляющихся уравнений, которую формально можно решить до любого желаемого порядка по 8. Подставляя уравнения (2.93) в ряд (2.92), получим t

D (х, t) = Dq (ж) + е J К ^х, t') Dq (ж) df +о

tг

+ е2 j К (ж, Г) j К (х, И Ьо (ж) dt' dt"+ ... . (2.94) оо

Отсюда следует, что решение уравнения (2.88) представляется в форме

t

D (J, О, i) = 50 (Л 0) - is j е«'^бХе-«'АоПо df + ... . (2.95) О

Другой эквивалентный метод решения уравнения (2.86) вытекает из так называемой нестационарной теории возмущений, хорошо известной в квантовой механике. Первый шаг состоит в разложении решения D (J, 9, ^) по собственным функциям невозмущенного оператора Лиувилля Ао, а именно по функциям, задаваемым выражением (2.79). Разложение имеет вид

D (J, 6, i) = 2 Dn (J> ^ 'Фп (6) ехР ( — г 2 ^«^У (2.96) п

Подставляя его в уравнение (2.86), получим

i 2 % exp ( — i 2 п1®^ )~&Da = n

= eSA 2 ^пфп exp ( — i 2 n^it) • (2.97) n

Умножая обе части этого равенства на оператор

2л2л

jd^ ... ре^-^, ...,е№),(2.98)

Оо

получим

i-^-Dn- = e2 ехР ( + ^ 2 n'®^) (n'|6A|n)x n

X exp ( - i 2 Tii^it) Dn (J^ .... JN, Z) (2.99)

(хотя оператор SA может зависеть от времени, он не содержит операторов производной по времени). В последнем выражении введено обозначение

2л2л

<п' | 6А | п) = j cZOt ... j йОдгфп'бАфп-(2.100)

оо

Уравнение (2.99) — это не что иное, как уравнение (2.88), записанное в особой форме — в так называемом представлении взаимодействия. Метод возмущений, введенный для решения

уравнения (2.90), можно снова использовать, что дает t

Dn (J, 0 = Dn (0) — ie 2 j ^i <n 16Л | n') x n' 0

X exp £ — i 2 (OzM^t —^z)]Ai' (0) — t и

— 8222 j ^ j ^2<n| SA I n') exp [ —t 2 ^iW-^)] X n" n' 00

X <n'| 6Л | n"> exp [- i 2 ^p^^p — пр'^ Sn"(0)+ • •• • (2.101)

После исследования математических аспектов] уместно теперь указать некоторые физические интерпретации теории Пригожина. До сих пор мы дали две интерпретации решения уравнения Лиувилля. Мы дадим еще третью интерпретацию — самую важную. Она связана с тем фактом, что средняя величина любой динамической переменной G в любой момент времени t равна

G = j DGdpdqJ j Ddpdq*

(Более подробно это будет обсуждаться в разд. 2.4.) Такая формулировка средних величин поразительно схожа с формализмом квантовой механики, задаваемым через функцию состояния Т. Более того, как мы видели, уравнения, которым удовлетворяют ^ и D, имеют одинаковую математическую структуру.

Аналогия простирается и далее. Ранее мы нашли, что решение уравнения Лиувилля можно выразить через ряды по собственным состояниям оператора А, т. е. по функциям ехр (—tcon£) X X фп (р^ q) (см. уравнение (2.64)). Каждая такая функция, будучи решением уравнения Лиувилля, представляет возможное независимое состояние системы. Для многомерных периодических систем расширенные собственные состояния ехр (/2согпг^) фп (9ь • • -, 6n) становятся связанными с собственными колебаниями такой системы. Задача с начальными данными, решение которой дается выражением (2.101), иллюстрирует значение элементов матрицы (п | 6А | п'). Коэффициент Dn — это распределение собственных состояний, характеризуемых вектором п. Элементы (n | SA | п') пропорциональны вероятности того, что взаимодействие SA индуцирует переход от множества п' к множеству п. Для очень слабых взаимодействий, когда е2 <^ 8, имеют место только переходы первого порядка', тогда как если 82 значительно, то и переходы второго порядка будут вносить вклад в скорость изменения Dn (0). В переходах второго порядка б А сначала индуцирует изменение от п" до п', а затем от п' до п.

Важным коэффициентом является Do- Он задается следующим равенством (см. (2.96)):

^0 " /П \N/2 ( ^^ ' ' ' ^(Jh . . . , Jni 61» • • • » ®N> ^) • (2-102)

о0

Поскольку движение периодическое, энергия Е связана с переменными действия посредством соотношения Е = Svz7z. Как мы вскоре увидим, D пропорциональна вероятности того, что состояние системы в момент времени t соответствует конфигурации (7Ь . . ., 7N, 0Ь . . ., 0N). Если D проинтегрировать по всем значениям 0, то в результате получим функцию распределения энергии. Она связана с энергией системы, находящейся в данном частном состоянии в момент t.

Задача 2.10. Показать, что

(n | е^о | п') = е{2>Л{ §п п,.

Задача 2.11. Рассмотрим частицу с зарядом е, находящуюся в нестационарном электрическом поле гЕ (^. Невозмущенное движение является одномерным и гармоническим, так что полный гамильтониан имеет вид

Показать, что в переменных «действие — угол»

Я = со7 + е sin QJ1^ g^,

где g (£) включает все величины, не зависящие от 7 и 0.

Вывести выражение для возмущенного оператора Лиувилля 6Л и потом показать, что

<„l6A|„+l> = -L/-2g(<)[^ + ^hl],

(п | 6Л | и') = 0 для п' =^П + 1 или п — 1.

Используя решение раздела б), получить уравнение для dDjdt.

Возвращаясь к анализу задач, где используемыми переменными являются ^х, р^ можно разложить функцию D (ж, р, f) по собственным функциям ф{к} свободной частицы:

D (рп ..., хь ..., 0 = 5 Dw (рп р^ OW^ xnY

Тогда аналогом уравнения (2.99) будет такое уравнение:

i -^ = 62 ехр (г 3 kz - vz£) «к} | 6Л [ <k'}> X {к'}

X ехр ( — г 2 kz-v;#) D^, (2.104)

V; = — .

ТГЦ

Выясним теперь, какой вид имеют элементы матрицы б Л для системы частиц, которые попарно взаимодействуют по законам притяжения или отталкивания центров тяготения с потенциалами <pZn. В этом случае гамильтониан имеет вид

Я = 2^+е2 <Pzn(|xz-xn|).(2.105)

1<п

Если потенциалы взаимодействия <pZn разложить в ряды Фурье,

Фгп = (-^-)3 2 ФкехрЖ-(хг — хп), (2.106)

К

то возмущенный оператор Лиувилля будет иметь вид

^=i 2^.(4—Л) =

2-1 9xt \ dpz dpn)

1<п

=Ц^)3 2 2 фкехр[ж-(х'-х^ж-(^-^;) = 1<п К

= 2 6AZ’ п. (2.107) z<n

Элементы субматриц оператора 6Л определяются равенством

({к} 16AZ-п | {к'}) = ^)" j dx, ... dxN х

X ехр ( — i 2 ks*xs) 6Az,nexp (z 2 ks*xs j =

= * (т^)3 ("Tj)” 2 J dxi • • • dxNexp ( —z 2 ks-Xs) X К

X exp (Ж«(хг — хп))фКЖ.Г^- —^-lexp(i 2 k;-xs) . (2.108)

Отсюда следует, что

<{k) I 6Л-’" I (k')> - i (^)3 s Фк,К ■ [^ - у X к

хб(кг'-кг+к)д(к;-кп-к) JJ б(к;-к,). (2.109)

8^(2, п)

В последнем равенстве использовалось соотношение

j йхе^^ = Р6^(2.110)

L3

{для больших L\ б-Функция обращается в нуль для всех р, кроме Р = 0, где она равна единице. Отсюда мы заключаем, что единственными отличными от нуля элементами субматрицы будут следующие:

(кц, к2, ..., kz, ..., к„, ..., kw|6A',n|k;, к', ..., к;,..., К, ...

...,к^) = (кг, кп, (к}|6Л^|кг-К, кп + К, (к}) =

Мы проделали эти выкладки, чтобы показать сохраняемость волновых векторов:

kz + kn = (кг - К) + (kn + К) = kz + К. (2.112) Все волновые векторы с другими индексами сохраняют свои значения (ks = ks, s #=Z, ny Этот принцип сохранения следует из инвариантности ф;п относительно поступательного смещения:

ф (] xz - хп ]) = ф (I (xz + Ь) - (xn + Ь) I ).(2.113)

Подставив в уравнение (2.104) матричные элементы, задаваемые равенствами (2.111), получим

~^- = 8^^гУ 2 2 ехр(»(кг.у,+кп.уп)0Фк X

Кп К

XtK.^-^) exp{-i[(kz-K).vz + (kn + K).vn]0x

X Д{кь..kz-Kкп+кк^}-(2.114)

Это явный вид уравнений, которые определяют коэффициенты разложения функции D. Данные* уравнения по форме совпадают с уравнениями (2.90), и, следовательно, к ним применимы те же методы решения.

В другом способе разложения по возмущениям используется метод резольвентного оператора. Для этого надо сначала перейти к преобразованию Лапласа D (s) для функции плотности D (£):

5(s) = jdte~s<Z)(<).(2.115)

о

Уравнение для D получается, если произвести операцию

^dte-st^i^- = M)y(2.116)

о

Это приводит к следующему результату:

— i£>(0) + is5(s) = A5(s),(2.117)

из которого вытекает операционное соотношение

5(s)=-i(A-is)-4)(O).(2.118)

Если D (з) известна, то D (£) получается из формулы обращения:

V-J-^00-y-J-^00

D^ = -^ ( dsetsD (s') =-=Д- ( dseu (K—is^D (O'). (2.119)

7—2007 — 200

Путь интегрирования параллелен мнимой оси Im (s), и все особенности D (s) лежат слева от него. (Замыкание контура полукругом слева обеспечивает сходимость для I > 0.) Последнюю формулу удобнее записать через переменную z = is:

— 004-13)

d^)=__L J aae-^ix-^WY (2-12°)

+oo4-iv

Интегрирование проводится теперь параллельно действительной оси Re (z), выше особенностей оператора

Н^ ее (A-z)"1.(2.121)

Этот оператор называется резольвентным оператором, соответствующим оператору Лиувилля А. Так как А — эрмитов оператор,

Рис. 2.5. Точками обозначены возможные особенности R (z).Рис. 2.5. Точками обозначены возможные особенности R (z).то, как было показано, он имеет только действительные собственные значения. Отсюда следует, что 7? ограничен г) для всех комплексных z, так что особенности R лежат на действительной оси. Вследствие этого факта и наличия экспоненциального множителя, exp (— ZzZ), (Z^O), гори

Рис. 2.5. Точками обозначены возможные особенности R (z).

Рис. 2.5. Точками обозначены возможные особенности R (z).

зонтальный путь ,интегрирования в рассмотренном выше

интеграле можно замкнуть

полукругом, лежащим в нижней половине плоскости, как показано на рис. 2.5. Отсюда следует, что

(2.122)(2.122)D (t1) = - Л <5 dze-i2tR (2) D (0).

(2.122)

(2.122)

4 7 2лг j\\ /

С

Если R действует на пространстве функций S с нормой Ц ф Ц, то R ограничен, если для любой ф Е S существует такая постоянная М > 0, что II Яф II с М IIФ ||. к этой теме мы вернемся в гл. V.

В методе возмущений будем исходить из невозмущенной резольвенты

^^(Ao-z)-1(2.123)

и соотношения

Я-Д0 = Д (^-/Г^До-Д^^^Во =

= -еД6ЛЯ0.(2.124)

Подставляя разложение для Д,

Д = 2епДп,(2.125)

в уравнение(2.124)и приравнивая коэффициенты при одинако

вых степенях е, получим

Д =2(-б)"Я0[бЛЯ0Г.(2.126)

Мы подставим теперь этот результат вместе с разложением (2.103) в интеграл равенства (2.122). Прежде всего мы получим

2 ^{к'Лк'} = — ^ § йт,е-гг1К ^ 2 D^ (0) ф{к'}. (2.127) {к'}С{к'}

Подействовав на это равенство оператором £ dXi ..« dx^*^, будем иметь

D№ ®=~^i§ dze~i2t 2 <W IЯ Ф I {к'}) D{k'} (0). (2.128) с{к'}

Теперь подставим сюда выражение для R из равенства (2.126) и получим, что

D№ №S3 (- e)n «Ч Iй» ^оГ I {к'}) D^Y

С{к'} п=0

(2.129)

Эта формула является наиболее важным результатом анализа Пригожина. Так как мы еще не подошли к наиболее подходящей интерпретации функции D, то нам пока трудно выяснить физический смысл коэффициентов D^. В данный момент это просто коэффициенты, определяющие плотность D. В следующем разделе будет установлена их связь с приведенными s-частичными функциями распределения, смысл которых также будет выяснен позднее. Здесь же мы рассмотрели лишь основы метода Пригожина, который важен сам по себе как метод решения полного уравнения Лиувилля.,

Третья интерпретация D: JV-частичная функцияраспределения /у

Теперь вполне очевидно, что уравнение Лиувилля является важным инструментом исследований в классической механике. Мы убедились в этом дважды. Во-первых, с точки зрения аналитической динамики одно скалярное уравнение Лиувилля полностью эквивалентно 2JV (JV — число степеней свободы) динамическим уравнениям движения — уравнениям Гамильтона. Физическая уместность такой интерпретации заключается лишь в том, что появляется возможность исследовать задачи совершенно иным образом, минуя формализм Ньютона, Лагранжа или Гамильтона.

Вторая интерпретация состоит в том, что решение уравнения Лиувилля является плотностью точек ансамбля в фазовом пространстве. Эти две интерпретации представляются не имеющими ничего общего. Понятие ансамбля и его отношение к уравнению Лиувилля введены абстрактно. Однако эта концепция приводит к новому подходу, который позволяет нам получить более глубокое понимание уравнения Лиувилля. В свете новой интерпретации уравнение Лиувилля приобретает наибольшую ценность и приводит к важным физическим следствиям. Это проявляется через связь функции/) с JV-частичной функцией распределения fN to, ^2> • • • • • •> Qni Ph • • -, Pni О- Функция fN такова, что произведение

In tel, • • м Qn, Pi, • • •. Pn, 0 dqi • • . dpN (2.130) представляет вероятность нахождения системы [с каноническими координатами to, . . ., qN, р^ . . ., pN)I в состоянии dqt . . . • . . dpN около фазовой точки to, . . ., pN^ в момент t. Из вероятностного характера функции jN следует, что

J • • • J In ^i * * • ^Pn = 1,(2.131)

где интегрирование распространяется на все фазовое пространство.

Какова связь между fN и D1 JV-частичная функция распределения относится к одной-единственной системе, в то время как плотность распределения D — к множеству идентичных систем, различающихся по фазе.

Предположим, что в начальный момент функция In отлична от нуля только в фазовой точке to, . . ., pnY Отсюда следует, что

In (0) = 6 to - Й ... 8(pN- р%)(2.132)

есть JV-мерная 6-функция Дирака. В более поздние моменты времени значение fN определяется соотношением

fN = б to ~ [<Zi + qi (W - - • 6 (pN - [Л + Pn №}], '(2-133)

где

(2.134)(2.134)9г = 9?+|/(0,Pi = P°i+'pi (О

(2.134)

(2.134)

— уравнения динамических траекторий.

Из предшествующего анализа следуют два очевидных вывода. Во-первых, представляется нелепым вводить в этом случае понятие вероятности. Точность результатов и начальных данных делает применение вероятностных представлений ненужным. Во-вторых, мы имеем дело с одной представляющей точкой, блуждающей в Г- пространстве. Предшествующий анализ при выводе уравнения движения для плотности D показал, что ансамбль должен быть настолько плотным, чтобы к нему можно было применить формализм механики континуума. Одноточечная система далека от удовлетворения этому требованию.

При каких условиях в сферу классической механики вводится вероятностный формализм? Рассмотрим шарик, ограниченный в своем движении прямой проволокой длины а. Классическая динамика такой системы может быть точно сформулирована и точно решена. Но предположим, что начальные условия для системы (шарика) точно не известны. Мы можем только сказать, что первоначально шарик находится где-то в области 0 ^ ж ^ а/2. В равной степени вероятно, что шарик находится в любой точке этого интервала в момент t = 0. Предположим далее, что начальные импульсы лежат в некоторой малой области, так что все значения р из интервала р' — бр' ^ р ^ р' + бр' равновероятны.

Эти начальные условия определяют характер любых вопросов, касающихся последующей динамики такой системы. Можем ли мы спросить, где будет частица в момент времени Й Предположим, что кто-то, проведя длинные вычисления, заключил, что в момент t частица будет находиться в точке (р, qY Если это так, то такая частица должна была находиться в точке (р0, ^о) при t = 0, поскольку существует одна и только одна динамическая траектория, проходящая через точку (р, qY Но если при t = 0 частица находится в точке (ро, qoY т0 утверждение, согласно которому она может с равной вероятностью находиться в начальный момент времени в любой точке области (р' — бр', 0) ^ (р, 7) < (р' + + бр', а/2), становится неверным. Следовательно, поставленный вопрос несовместим с описанием начального состояния системы.

Мы можем лишь спросить: каково вероятное состояние системы в момент времени Й Такой вопрос не только корректен, но на него и не слишком трудно дать ответ. Сначала изобразим область в соответствующем двумерном фазовом пространстве, которая содержит все допустимые точки рассматриваемой системы. Эта область (прямоугольник (-—бр, бр, 0, а)) показана на рис. 2.6. Отметим, что

допустимым величинам импульсов соответствуют значения энергии между энергетическими поверхностями Н = Е и Н = Е + ^Е. Для удобства мы выбрали Е = 0. На рис. 2.6 изображены все возможные начальные состояния (при t = 0). Мы задались условием, что каждое такое состояние равновероятно. Это означает, что если произвести эксперимент в момент t = 0 для измерения

Рис. 2.6. Фазовое пространство для шарика на прямой; £0 — время движения шарика от а] 2 до а?В заштрихованной области /4 = (адр)-1; в незаштри- хованной области /1 = 0.Рис. 2.6. Фазовое пространство для шарика на прямой; £0 — время движения шарика от а] 2 до а?В заштрихованной области /4 = (адр)-1; в незаштри- хованной области /1 = 0.

Рис. 2.6. Фазовое пространство для шарика на прямой; £0 — время движения шарика от а] 2 до а?В заштрихованной области /4 = (адр)-1; в незаштри- хованной области /1 = 0.

Рис. 2.6. Фазовое пространство для шарика на прямой; £0 — время движения шарика от а] 2 до а?В заштрихованной области /4 = (адр)-1; в незаштри- хованной области /1 = 0.

(^о» Ро)» то с равной вероятностью можно получить любую величину Vp-i^i которая лежит внутри начального энергетического слоя Е ^ Н ^ Е + ЬЕ фазового пространства. Совокупность этих начальных состояний можно рассматривать как ансамбль. Свяжем далее начальное распределение вероятностей с начальной плотностью точек ансамбля. Более точно, пусть р — полное число точек системы в ансамбле, так что (возвращаясь на момент к общему случаю 2/V-MepHoro Г-пространства)

Т]Т]Ddqv... dqNdpr . .. dpN,Ddqv... dqNdpr . .. dpN,(2.135)(2.135)QQ

Т]

Т]

Ddqv... dqNdpr . .. dpN,

Ddqv... dqNdpr . .. dpN,

(2.135)

(2.135)

Q

Q

где интегрирование проводится по всему объему Q. Тогда величина

-^ j • • • j D dqi ... dqN dp1 ... dpN = j .. . j fN dqv ... dpN (2.136) Q'Q'

выражает «отношение числа систем, находящихся в пределах области Q', к полному числу систем. А это не что иное, как вероятность того, что некоторая система ансамбля находится внутри данной области» г). В предельном случае континуума ц обращается в бесконечность, но отношение (2.136) остаетсяжонечным, причем таким, что

j • .» j fN dq^ . • < dpN = 1.(2.137)

Это уравнение выражает тот факт, что вероятность нахождения системы в некоторой точке внутри всего допустимого объема в Г- пространстве равна единице. Функция fN является А-частичной функцией распределения и такова, что произведение fNdqi . . .dpN есть вероятность нахождения системы в состоянии dq^ . . . dpN около состояния (^, . . ., pN) в момент t. Поскольку функция jN отличается от D на постоянный множитель

^=ТЪТТ(2Л38)

.} D dp dq

она также удовлетворяет A-частичному уравнению Лиувилля.

Другой путь, иллюстрирующий связь между fN И D, состоит в использовании понятия средней по ансамблю. Пусть G — некоторая динамическая характеристика системы, такая, например, как полная кинетическая энергия HLp^m, полная потенциальная энергия 22 ф/7- (ср^- — потенциал взаимодействия двух частиц), полный линейный импульс 2 рр Если D — плотность ансамбля данной системы, то средняя по ансамблю от G определяется равенством

(2.139)(2.139)л j G ^ Pl ^ D ^ p’ ^ dp dq

(2.139)

(2.139)

(jr (t\ —

j D dp dq

Равенство предполагает, что D (д, р, 0) dp dq пропорциональна вероятности нахождения системы в начальный момент времени в состоянии dpdq около (р, qY

Экспериментально G определяется следующим образом. Произведем N экспериментов. Начальное макроскопическое состояние системы во всех экспериментах одинаково. Спустя t секунд изме-

ряем G(t). Тогда в пределе, когда N^> 1 (более точно, когда ф — G)2 < G2), средняя величина G определяется равенством

N

5(^ = 2 т*(2Л4°)

1=1

где Gi — значение G, измеренное в процессе Z-ro эксперимента. Если мы введем вероятностную функцию, в соответствии с которой fN dpdq является вероятностью нахождения системы в состоянии dpdq около (р, q) в момент t, то получим другое выражение для среднего значения G:

G = ^ fNG'dpdq.(2.141)

Сравнение этого соотношения с (2.139) снова дает нам равенство (2.138).

Вернемся к рассмотренной ранее задаче о шарике на прямой проволоке. TV-частичное распределение станет одночастичным распределением Д. Начальными условиями для /t будут Д = = (абрУ1 = К, 0 ^ q ^ а/2, —6р ^ р ^ 6р и /1=0 вне этой области. Кроме того, Д удовлетворяет одночастичному уравнению Лиувилля

^-+1А,Я] = 0(2.142)

при

я = ^ + г,(2443)

V = 0,0<.q<.a;

V = ОО,q<0, q > а.

Решением уравнения (2.142) является функция A (q, р, t) = К для величин (р, q) и Z, которые связаны с начальными значениями (т. е. вдоль динамических орбит), а для всех других (q, р, t) — функция, равная нулю: Л (q, р, t) = 0. Графически это решение изображено последовательностью фигур на рис. 2.6. Почти очевидно, что с течением времени начальный ансамбль станет однородно заполнять весь допустимый объем Г-пространства. Это составляет сущность эргодической теоремы, которая будет более полно обсуждаться в гл. V. Чтобы лучше понять временную последовательность графиков на рис. 2.6, проследим за траекторией одного шарика в Г-пространстве, как показано на рис. 2.7. Учтем, что за равные промежутки времени частицы с меньшим импульсом покрывают меньшие расстояния, чем частицы с большим импульсом. Этим объясняется скос начальной области на рис. 2.6.

В настоящий момент физическая целесообразность введения TV- частичной функции распределения еще не является очевидной. Несомненно, эта функция пригодна для задачи о шарике на проволоке, но введения вероятностного формализма там не требуется. Этот формализм не нужен, когда имеется одна степень свободы. С другой стороны, для систем с большим числом степеней свободы

вероятностная концепциявероятностная концепцияqио-а/2 -а -qио-а/2 -а -а/2Оа/2а/2Оа/2+$>!?.+$>!?.Р и с. 2.7. Траектория единичного шарика в Г-пространстве.Р и с. 2.7. Траектория единичного шарика в Г-пространстве.становится оправданной. Для систем, содержащих ~ 1023 частиц, мы обычно имеем сведения лишь о температуре системы и о начальной области, которую она занимает в фазовом пространстве.

вероятностная концепция

вероятностная концепция

q

и

о-

а/2 -

а -

q

и

о-

а/2 -

а -

а/2

О

а/2

а/2

О

а/2

+$>!?.

+$>!?.

Р и с. 2.7. Траектория единичного шарика в Г-пространстве.

Р и с. 2.7. Траектория единичного шарика в Г-пространстве.

Примером такого описания яв- ляетсягаз, первоначально заключенный в одной половине герметического сосуда, который в свою очередь помещен в термостат. Два существенных факта справедливы для такой системы. Во-первых, для нее, как и для любой другой системы, законы природы, специфически выражаемые квантовой механикой, таковы, что энергия системы, измеряемая в интервале времени 6Z, определяется с точностью до дополнительного члена 6Е, ограниченного снизу величиной h/bt (h — постоянная Планка). Сле-

довательно, в лучшем случае известно, что энергия системы лежит внутри некоторого интервала значений. Во-вторых, вспомним, что в началь

ный момент на газ наложено ограничение, согласно которому он занимает одну половину всего объема сосуда. Если убрать перегородку, то газ будет диффундировать в пустую половину и через достаточно длительный интервал времени весь сосуд будет однородно заполнен газом. Интересен не сам этот вполне обычный процесс, а тот факт, что система не возвращается к начальному состоянию (хотя для отдельной частицы это возможно).

Проблему легко разрешить, если допустить, что динамические формализмы Ньютона и других основоположников механики не обеспечивают полного описания поведения системы. Необходимо еще привлечь вероятностные закономерности. Наблюдение, согласно

которому газ никогда не возвращается к первоначальному состоянию (в сущности, за время эксперимента), можно обосновать с помощью вероятностных аргументаций. С точки зрения классической динамики этот факт является крайне парадоксальным

и называется парадоксом обращения времени (или, более внушительно, Umkehreinwand по Лошмидту и Wiederkehreinwand по Цермело). Мы займемся этими парадоксами позднее. В данный момент наше основное внимание будет обращено на тот факт, что естественная эволюция системы (со многими степенями свободы) может быть истолкована вероятностными методами. Можно пока^ зать (используя TV-частичную функцию распределения), что описание такой эволюции частично опирается на основные понятия теории вероятностей.

Обратимся к определению функции fN для системы многих тел. Относящийся к этой (первичной) системе ансамбль состоит из совокупности идентичных копий данной системы. Когда первичная система изолирована, ее классическая константа энергии не является точной, а скорее «размазана» с неопределенностью 6Е1 о которой уже упоминалось. В соответствующем Г-пространстве уравнение Н (р. q) = Е представляет поверхность. Так как параметр Е принимает значения от Е до Е + 6Е, то энергетическая поверхность «выметает» энергетический слой в Г-пространстве.

Важность энергетических поверхностей в противоположность другим константам движения была отмечена Пуанкаре (1892) и Ферми (1923). Пуанкаре доказал, что единственной поверхностью, которую точка системы не покидает при своем движении, является энергетическая поверхность. Он показал, что если динамическая траектория системы не сходит с поверхности, то такая поверхность может быть только энергетической. Ферми обобщил эти результаты и доказал, что для систем, которые он назвал Kanonische Nor- malsysteme, не существует никаких других однозначно определенных стационарных аналитических интегралов, кроме интеграла энергии.

Задача 2.12. В ящике, имеющем форму куба с длиной ребра L, движутся две частицы. Потенциал взаимодействия частиц равен V (| Xi — х2 | ), так что гамильтониан задается соотношением

Я=-^^ + 7(|Х1-х2|).

Г-пространство является 12-мерным. Выяснить (геометрически и физически) пригодность трех констант движения: 1) энергии, 2) линейного момента (импульса), 3) углового момента. В каком смысле энергия является единственной «пригодной» константой движения?

Ответ. Столкновения со стенками изменяют угловой и линейный моменты, но не энергию.

Задача 2.13. Показать, что угловой момент системы частиц, движущихся внутри полой сферы с идеально гладкими стенками, сохраняется.

Начальное энергетическое состояние исходной системы неопределенно и может отклоняться от значения Е на величину, не превышающую 65. Это определяет энергетический слой. Кроме" того, если начальное состояние стеснено условием, что оно лежит в подпространстве допустимой области конфигурационного пространства, то заполняется только некоторый подобъем энергетического слоя. Такая начальная конфигурация схематически изображена на рис. 2.8.

Свойства симметрии энергетической поверхности следуют из обратимости (относительно времени) орбит, порождающих поверхность х) (см. гл. I). Хотя энергетическая поверхность несомненно

Рис. 2.8. Энергетический слой в Г-пространстве. Область из допустимых точек, J J dpdq = Q.

является важнейшей классической константой движения, в статистической механике более уместно рассматривать энергетический слой. Ранее было показано, что уравнение Лиувилля следует из объемных интегральных инвариантов Пуанкаре и единственности траекторий системы. Уравнение Лиувилля является утверждением, относящимся к объемным, а не к поверхностным элементам. Именно из этого уравнения для объемной плотности D получаются все динамические орбиты. Геометрический объект в Г-простран- стве, которому динамика не уделяет внимания, представляет собой объемный, а не поверхностный элемент.

| J1) Гамильтониан Н не обязан быть четной функцией рр Для случая простого гармонического осциллятора в координатах «действие — угол» Н ГТ — со/, т. е. является нечетной функцией J.

Р и с. 2.9. Начальное распределение в Г-пространстве.Р и с. 2.9. Начальное распределение в Г-пространстве.Первоначально In (0) = 1/&о в предписанной выше области й у^ = 0 вне ее. В последующие моменты времени решение таково, что In остается постоянной вдоль динамических траекторий. Когда начальная область заполнения деформируется, то это происходит таким образом, что объем деформированной области остается постоянной величиной Qo. Если точка (ро»^о) переходит в точку ^р ^, q (Т)), то In Vq Ц^рМ=1м (qo,p<>)= = 1/QO.

Р и с. 2.9. Начальное распределение в Г-пространстве.

Р и с. 2.9. Начальное распределение в Г-пространстве.

Совсем не обязательно, чтобы начальный ансамбль однородно заполнял подобласть объема Q. Например, для газа, заключенного внутри цилиндра, можно сделать начальное

состояние таким, чтобы начальная плотность моно-

тонно убывала от одного

конца оси цилиндра к другому. Положим, что первоначально более вероятным является состояние, когда большая часть молекул находится в левом конце, а не в правом. Плотность начального ансамбля

такова, что она меньше для координат, лежащих справа от центра, и больше для координат, лежащих слева от центра. Схематически этот случай изображен на рис. 2.9.

TV-частичная функция распределения подчинена ограничению: j fN = 1 в любой момент времени, и изменяется со временем в соответствии с уравнением Лиувилля. В любом случае правильно определенная функция распределения fN удовлетворяет уравнению Лиувилля и содержит в себе всю классическую информацию, относящуюся к изучаемой системе.

Задача 2.14. Дать интерпретацию задаче 2.6, используя TV-час

тичную функцию распределения.

Динамика системы, выраженная через функцию /у:приведенные распределения. ББКГИ-уравнения

Как описать динамическую эволюцию системы, если для нее задано начальное распределение вероятности fN (0)? Динамика системы задается через физические наблюдаемые величины (или свойства), связанные с системой. Аналитически эти наблюдаемые величины являются некоторыми определенными функциями координат и импульсов системы. Они представляют собой функции состояния системы.

Пусть динамическое свойство (например, полная кинетическая энергия У pV2mb N — число частиц) записывается как G (q, р, t). Снова, вследствие формализма //-частичной функции распределения, единственным уместным вопросом, который мы можем поставить относительно эволюции во времени наблюдаемой величины G, будет вопрос: каково среднее значение G в момент Й Вспоминая, что fN — функция распределения вероятности, получим ответ (см. уравнение 2.141):

^ ^ = И G ^р’ q' ^ ^ ^’ q' ^ dpdq* (2.145) Среднее значение, или математическое ожидание G в момент времени t, равно взвешенному интегралу от fN по всему допустимому фазовому пространству.

Здесь удобно ввести новые обозначения. Пусть zf = (дь р^г так что dz^ = dqidpi. Другие важные свойства системы, помимо G, можно сформулировать через приведенные распределения f г; I < N» Эти функции таковы, что

ftdz^dz^ • • • dzt(2.146)

есть вероятность того, что система находится в состоянии d^. . .dzt около (zn . . ., zz) в момент t. В определении молчаливо подразумевается фраза: «независимо от того, какие значения принимают (zz+ь . . ., z,NY>- Функции fN и fi связаны соотношением

h = j /n dzM • * • dzN.(2.147)

Обратимся теперь к выводу уравнений, которым удовлетворяют эти Z-частичные функции распределения. Введем прежде всего ренормированную функцию распределения FN, связанную с fN простым соотношением:

F8 = V8 fNdz8+1...dzN=V8f8,(2.148)

так что

F^=V f fN dz^ . .. dzN = Vfi,

\(2.149)

F^V^ ] fNdz3...dzN = V2f2.

Кроме того, вероятность нахождения частицы в состоянии dzt около z^ в момент времени t равна (FJV) dzY = F^dp^ ^dxJV\ и т. д.А

Введем снова оператор Лиувилля L, через который уравнение* Лиувилля запишется в виде

(4 + Ln)/n = 0;(2.150)

^-частичный (s<2V) оператор Лиувилля определяется равенством

18(гъ ...,z$) = 2^-.^—(2-151) хdpi dxi dxi dpix '

l=\

Вводя гамильтониан

^s = 5 Im + S S Ф (Гг^’

(2.152)

можем записать Zs в виде

f _ v £-

~ Zj m <?xz

Z=1

Z=1 г <5

(2.153)

x 7 Рис. 2.10. Расстояние между части- Чтобы отметить тот факт, чтоцами.

оператор (d/dxz), примененный

к Ф kruY Дает нетривиальный результат только когда г = I либо

1 = 1 (см. рис. 2.10), перепишем соотношение (2.153) следующим образом:

9 (^и)9xi9 (^и)9xi]-^7- <2Л54>]-^7- <2Л54>SSs

9 (^и)9xi

9 (^и)9xi

]-^7- <2Л54>

]-^7- <2Л54>

_ VI pz # 9V Г V V s ^ т dxiдх?

1=1 г < j

Выполняя во втором члене суммирование по индексу Z, получим

^=2(-^)-22(^ф.^+

г < з

+(2.155)

где

<2Л56>

и

0s = SS0w.(2.157)

< 3

Операторы @)kj задаются равенствами

^-^VM-^ + ^-VT^.(2.158)

Оператор Лиувилля Ls выражается через эти операторы (пр^ явной записи оператора К&) в виде

г < j

Так как LN включает LSl мы можем записать s NN

L- = L.-2 2 <М(2-^М".']. (2.160) г—1 j=s+ls+1

Оператор 0N’ s, который является «остатком» от суммы по 6^. таков, что

j &8+1 ... dsN0N’ sfN = 0(2.161)

(как будет показано). Более того, весь член в квадратных скобках обладает тем же свойством. Этот способ выражения LN в виде

Рис. 2.11. Упорядочение членов 6tj в LN.

линейной комбинации операторов Ls, ©^ и 6N»\ определяемой равенством (2.160), изображен схематически на рис. 2.11.

Все члены 0^-, входящие в LN) заполняют целый треугольник.

Члены этого же вида, входящие в L81 занимают область, отмечен-

дую как Ls. Оставшиеся члены 6^ занимают области, обозначенные буквами Л и Б. Ясно, что оператор 2S ©и в равенстве (2.160) занимает только область А, тогда как оператор ©^»8 занимает область Б.

Используя теорему о дивергенции, можно записать интеграл (2.161) как поверхностный интеграл, распространенный по границам (импульсным) фазового пространства, где функция fN обращается в нуль. Аналогичные рассуждения остаются в силе для

оператора 2 (Рг^У (9/дх^.

s+1

Имея удобное разбиение LN согласно равенству (2.160), мы можем теперь вывести уравнение, которому удовлетворяют Fs. Для этого подействуем на уравнение Лиувилля (2.150) (где LN имеет вид (2.160)) оператором

Vs j dzw .. . daN.(2.162)

Мы получим

s N

-^F^UFs-T ^daw dsN^ 2 0г^ = О (2.163) 1=1 j=s4-l

Интегральный член можно еще более упростить. Запишем его в развернутой форме:

s Nп

J +\ axt dpt 1 ax, apj /J N

1=1 J=s4-1

Na

^V8-^- 3 J^ ...^(^)/„(21, ...» Z„). (2.164) 1=1j=s4-i

Остальные члены (d/dp;) сводятся к поверхностным интегралам. Чтобы упростить ряды из интегралов в выражении (2.164), рассмотрим случай трехчастичного газа при $ = 1. Соответствующие интегралы принимают вид

j dz2dz3 [-^ф(х!, x2)p8(Z1, г2, г3) +

+ j dz2dz3 [-^-ф(Х1, x3)p3(Z1, г2, г3).(2.165)

Поскольку мы имеем дело с идентичными частицами (массы частиц не снабжены индексами), то должна существовать симметрия относительно нумерации частиц. Напомним, что произведение

dz1dz2dz3f3 (zi, z2, z^, f)(2.166)

определенным образом связано с состоянием частиц 1, 2 и 3. На вопрос, имеет ли смысл произведение

^^Za^g/s (2Ь Z3, Z2, t^^^Za^g/s (2Ь Z3, Z2, t^(2.167)(2.167)

^^Za^g/s (2Ь Z3, Z2, t^

^^Za^g/s (2Ь Z3, Z2, t^

(2.167)

(2.167)

можно ответить утвердительно. Оно определяет вероятность того, что частица 3 находится в состоянии dz2 около z2. Другими словами, место фазовой переменной Z& в символе функции fN указывает, какой частице «принадлежит» данное состояние. Отличие между выражениями (2.166) и (2.167) состоит в том, что частицы 2 и 3

Рис. 2.12. Перестановка идентичных частиц; состояния инвариантны (стрелками обозначены импульсы; dld2d3/(l,2,3)=dld3d2/(1,3,2).а — начальное состояние; б — состояние после замены: частица 3 приобрела состояние частицы 2, и наоборот.Рис. 2.12. Перестановка идентичных частиц; состояния инвариантны (стрелками обозначены импульсы; dld2d3/(l,2,3)=dld3d2/(1,3,2).а — начальное состояние; б — состояние после замены: частица 3 приобрела состояние частицы 2, и наоборот.

Рис. 2.12. Перестановка идентичных частиц; состояния инвариантны (стрелками обозначены импульсы; dld2d3/(l,2,3)=dld3d2/(1,3,2).

а — начальное состояние; б — состояние после замены: частица 3 приобрела состояние частицы 2, и наоборот.

Рис. 2.12. Перестановка идентичных частиц; состояния инвариантны (стрелками обозначены импульсы; dld2d3/(l,2,3)=dld3d2/(1,3,2).

а — начальное состояние; б — состояние после замены: частица 3 приобрела состояние частицы 2, и наоборот.

обменялись состояниями; в (2.167) частица 2 имеет состояние 3, а частица 3 — состояние 2. Чтобы понять смысл такой операции, обратимся к рис. 2.12. Здесь импульсы обозначены стрелками. На рис. 2.12, а изображено начальное состояние. Частицы отмечены соответствующими числами. На рис. 2.12, б частице 2 даны начальные координаты и импульсы частицы 3, а частице 3 — начальные координаты и импульсы частицы 2. Результирующее состояние (б) идентично состоянию (а), таким образом,

/з (Z1, Z2, z3) = /з (zn z3, z2).(2.168)

На рис. 2.13 показано преобразование замены для неидентичных частиц. В этом случае написанное выше равенство теряет силу.

Интегралы (2.165), которыми мы интересуемся, включают член (^ijldxjY описывающий взаимодействие. Первое подинтегральное выражение имеет вид

(2.169)(2.169)[^ Ф^’ X2)]/s(Zl> Z2, Z3).

(2.169)

(2.169)

Предположим, что мы применили к нему преобразование замены. Исходное состояние показано на рис. 2.14, а. Штриховой линией изображено взаимодействие. Стрелки на штриховой линии указывают частицу, на которую действует сила. Преобразованное

Рис. 2.13. Перестановка неидентичных частиц; состояния не инвариантны; <И</2</3/ (1,2,3) ^ dld3d2f (1,3,2).а — начальное состояние; б — состояние после замены.Рис. 2.13. Перестановка неидентичных частиц; состояния не инвариантны; <И</2</3/ (1,2,3) ^ dld3d2f (1,3,2).а — начальное состояние; б — состояние после замены.а6а6Рис. 2.14. Перестановка при наличии взаимодействия. Для идентичных частиц состояния инвариантны; dld2d3G^f (1,2,3) = dld3d2G^3f (1,3,2). а — начальное состояние; б — состояние после замены.Рис. 2.14. Перестановка при наличии взаимодействия. Для идентичных частиц состояния инвариантны; dld2d3G^f (1,2,3) = dld3d2G^3f (1,3,2). а — начальное состояние; б — состояние после замены.

Рис. 2.13. Перестановка неидентичных частиц; состояния не инвариантны; <И</2</3/ (1,2,3) ^ dld3d2f (1,3,2).

а — начальное состояние; б — состояние после замены.

Рис. 2.13. Перестановка неидентичных частиц; состояния не инвариантны; <И</2</3/ (1,2,3) ^ dld3d2f (1,3,2).

а — начальное состояние; б — состояние после замены.

а6

а6

Рис. 2.14. Перестановка при наличии взаимодействия. Для идентичных частиц состояния инвариантны; dld2d3G^f (1,2,3) = dld3d2G^3f (1,3,2). а — начальное состояние; б — состояние после замены.

Рис. 2.14. Перестановка при наличии взаимодействия. Для идентичных частиц состояния инвариантны; dld2d3G^f (1,2,3) = dld3d2G^3f (1,3,2). а — начальное состояние; б — состояние после замены.

состояние изображено на рис. 2.14, б. Соответствующая диаграмма для неидентичных частиц представлена на рис. 2.15.

Преобразованное состояние в случае идентичных частиц

очевидно, совпадает с исходным состоянием:

["^Ф^’ хз)]/з(21, Z3, г2) = [-^-ф(Х1, x2)]/3(z1, z2, z3) (2.171)

(обе части равенства умножаются на dzYdz2dz^. Таким образом, два интеграла в (2.165) идентичны. Более того, все N — $(/) интегралов в уравнении (2.164) совпадают.

Интегралы не зависят от выбранного нами значения /. Для удобства положим 7 = s + 1. В результате получим

sN

2 vs "577"2 J dZs+i • * • dzN<pijfN=

t=i рг;=s+iJ

8

= (Ns) 2 Г -^ J d2s+1 ...dbN [^^-] In- ^A12)

1=1

Учтем последнее замечание, которое дает возможность дальнейшего приведения интегралов. Потенциальный член в подинтег-

Р и с. 2.15. Перестановка при наличии взаимодействия. Для неидентичных частиц состояния не инвариантны; £Hd2d3Gi2/(1,2,3) =^ dld3d2Gi3/(1,3,2).а — начальное состояние; б — состояние после замены.Р и с. 2.15. Перестановка при наличии взаимодействия. Для неидентичных частиц состояния не инвариантны; £Hd2d3Gi2/(1,2,3) =^ dld3d2Gi3/(1,3,2).а — начальное состояние; б — состояние после замены.

Р и с. 2.15. Перестановка при наличии взаимодействия. Для неидентичных частиц состояния не инвариантны; £Hd2d3Gi2/(1,2,3) =^ dld3d2Gi3/(1,3,2).

а — начальное состояние; б — состояние после замены.

Р и с. 2.15. Перестановка при наличии взаимодействия. Для неидентичных частиц состояния не инвариантны; £Hd2d3Gi2/(1,2,3) =^ dld3d2Gi3/(1,3,2).

а — начальное состояние; б — состояние после замены.

ральном выражении не зависит ни от каких переменных интегрирования, кроме zs+1. Вспоминая, что

;s+2 • • • dzN — fs+h;s+2 • • • dzN — fs+h(2.173)(2.173)

;s+2 • • • dzN — fs+h

;s+2 • • • dzN — fs+h

(2.173)

(2.173)

мы можем переписать правую часть равенства (2.172) следующим образом:

(W-s)2 V^-pZs+it^cpbHi)/^ (2.174) 1=1

Выражая интегралы в последней сумме через функцию распределения Fs, получим

2 157- J dz8+1Gf.,+1F,+1)(2.175)

1=1

где GZi s+1 — сила, действующая на частицу с номером г со стороны частицы с номером 5 + 1:

G/>s+1=-~<pbs+1.(2.176)

Мы можем теперь записать уравнение (2.163) в окончательной форме:

-Lfs + LsFs + ^^ -^7- J ^8+1Сг.8+А+1 = 0. (2.177) 1=1

Совокупность этих уравнений называется ББКГИ-уравнениями (Борн, Боголюбов, Кирквуд, Грин, Ивон). Запишем в явном виде первые два уравнения. Первое уравнение

F1 + (V-)- 0 <2Л78“)

далее всюду будет называться БИР Уравнение

^^2 । / Р1 ^। Р2 ^ \ Z? | П ^ Z? |

+°2' ^"^^^(^v^") ("4г* J dz>^3F^~l5;‘ $ ^з^.з^з) = о (2.1786) мы назовем БИ2 и т. д.

Задача 2.15. Показать, что из уравнения (2.1786) следует уравнение (2.178а).

Вся совокупность уравнений образует систему N зацепляющихся интегро-дифференциальных- уравнений для последовательности приведенных распределений F^ F^ . . ., F N. Единственным автономным уравнением является последнее, которое представляет само уравнение Лиувилля. (N — 1)-е уравнение содержит F N_t и Fn. Если уравнение Лиувилля решено для FN, то в принципе (N — 1)-е уравнение можно решить для FN_t. После того как FN^ найдена, (N — 2)-е уравнение является тогда уравнением для единственной неизвестной FN_2 и в принципе также может быть решено. Таким образом, после того как мы найдем FN, оставшуюся систему ББКГИ-уравнений можно последовательно решить для распределений более низкого порядка. Однако существует, разумеется, более простая процедура: если FN известна, то Fs получается

из соотношения

Fs = V5~N j FN &3+1 ... dzN(2.179)

по определению. При таком формальном подходе ББКГИ-уравне- ния являются бесполезными. С другой стороны, кажущийся логически несостоятельным метод решения, когда сначала находится Fls имеет важное значение в теории неравновесной статистической механики.

Сейчас мы ненадолго вернемся к анализу Пригожина, для того чтобы установить связь между коэффициентами разложения Фурье в равенстве (2.103) и приведенными распределениями/s. Для этого сначала запишем разложение функции fNl аналогичное разложению функции D;

МР1, ₽№ хь . XN, =2/{k)(Pl, .P^, t^x

<k}

Х1|){к}(Х1, . .Xw).(2.180)

Эти ряды чрезвычайно сложны. Чтобы выписать явно характерный член ряда, потребуется около 1014 лет (если считать, что для системы из 1022 частиц за секунду можно выписать 3 k-векторов). Но положение не является столь плохим. Дело в том, что для макроскопической физики наиболее важными коэффициентами /{к} будут те, у которых почти все k-векторы нулевые. Имея в виду именно этот случай, упорядочим члены записанных выше рядов.

Пусть /0 (0) — коэффициент Фурье, у которого все к-векторы нулевые, /i (kz) — коэффициент Фурье с единственным ненулевым k-вектором, относящимся к Z-й частице, /2 (кг, кт) — коэффициент Фурье только с двумя ненулевыми k-векторами для частиц I и тп соответственно. Подробно это можно записать так:

/2 (k;, кт) =/{о, окр о,.,., о, кт, оо}-(2.181)

Эти коэффициенты зависят от импульсов. Ряды (2.180) в таких обозначениях примут вид:

N

^ = TT^Fm { М°) + 4" 2 2 ^ <k>) ехР ^• х>) + V ’э kj

N

+ 4? 2 2 2 (j + ^6к,+к() Ta (к/, kz) exp [i (k, • x, + kz • xz)] + 3<l kj k^

N

+2 2 2 2 1^+^ (8к;+к{+6кг+кт+6к^+кт+6к7.+к;+кт)1 x

3<l<m kj kz km

хТз^ь kz, km)exp[i(krx^krxz + km.xm)] + . .. } ,(2.182)

где V = Г/(2л)3.

В таком представлении функция /8 при s =^0 обращается в нуль, если любой ее k-векторный аргумент равен нулю. Например,

Тз (ку, 0, кт) = 0.

Согласно определению, такой элемент уже включен в суммирование в членах /2-

Разделение слагаемых на члены, включающие в себя коэффициенты Фурье с нулевой суммой k-векторов (Sk; = 0), и на члены, не обладающие этим свойством, обусловлено следующими соображениями. Когда fN описывает пространственно-однородную систему, то

fN (Рь • • •, Pw, Xi + a, х2 + а, . . xw + a) =

In (Pi. • • •, Px, x15 x2, . . ., x^).(2.183)

Тогда из разложения (2.180) следует, что

2 Ak) exp (i 2 krxz) = 2 Аю exp (i 2 кгхг) exp (ia-2 kz). (2.184) {k}{k}

Это равенство справедливо, если

Ak) = 0, когда 2 к; #= 0.

Отсюда вытекает, что дополнительные коэффициенты имеют особое значение в однородном случае.

Возвращаясь к нашему анализу, перейдем теперь к термодинамическому пределу

N

N-^oo, У—^оо, — = const.

В этом случае суммирование по к переходит в интегрирование согласно правилу

бк-> dk6(k),

и разложение (2.182) примет вид

N

fN (х, Р, о = -^- { /о (0) + 2 J ^jTi (к,) exp (fkr X;) +

N

+ 2 ? <&Д сМг (к/, кг) exp [i (к, • х, + кг • хг)] +

з<1 J

N

+ 2 j ^^(к;, — kj)exp[ikr(x^хг)]+...) .(2.186)

з<1 J

Рассмотрим теперь обращение этого уравнения. С этой целью сначала подействуем на него оператором

j dpi . . . dpN dxr . . . dxN.

Уцелеет только первый член, поскольку fs обращаются в нуль вместе с любым из своих k-векторов (s ^0). В результате имеем j /n Ф1 • • • dPN dxk ... dxN = 1 = j /о (0) dpt ... dpN. (2.187) Чтобы получить выражение для Д (kz), подействуем на уравнение (2.186) оператором

j dpA . . . dpN dxv .. . dx^Y dxi+i . .. dxN.

Придем к следующему результату:

J In ^Pi • • • dpN dxY . . . dx7-i dxi+l . . . dxN ее Hy (xz, t) =

= v[1 + dkl^k^exp^ikrx^dpt ... dp^ . (2.188) Функция Nn^ = n — это числовая плотность частиц (или плотность числа частиц) в динамике жидкости; о ней мы будем говорить в начале гл. III.

Чтобы получить выражение для /2 (km, k^), подействуем на (2.186) оператором

J ^Pi • • • ^P^ • • • dxm_^dxm^ .. . dxh_Y dx^Y • • • dx^.

В результате получим

/jV^Pi • • • dpNdxt - -. dxm_Y dxm+Y . .. dxh_v dxh+i . . . dxN

1 Г1

S n2 (xm, Xhl /) = -y | «! (xm, t) + Tlv (xh, <) — j +

+ j72 { j dkm ^» (km, kh) exp [ i (km • xm + k/t • xA)] dpv ... dpN +

+ J </km/2 (kmi km)exp [ ikm.(xm — xh)] dp,. . . .dpjV) .(2.189)

Функция V2n2 = g — это радиальная функция распределения, хорошо известная в кинетической теории жидкостей. С этой функцией мы ознакомимся более подробно в гл. III.

В пределе, при однородном распределении, уравнения примут вид

Nп = Nnv^i, £) =-у = const,g=72n2(xm, xh, £) =

= 1+ j dk/2(k, — k) exp [ik-(xm —x^Jdpi ... dpN. (2.190)

Задача 2.16. Получить соответствующее выражение для пг (хг, xk, xh, ^) в однородном пределе.

Функции ns связаны с приведенными s-частичными функциями распределения через интегралы:

«I (Х1, 0 = j /1 (Рь Xi, Z) c?Pi,

n2(Xi, Х2, 0= j^Pb Р2, Xi, х2, Z)dpidp2, (2.191) ns (Xi, ..., x„ Z) = j fs dpi ... dps.

Задача 2.17. Вывести формулы, аналогичные равенствам (2.187), (2.188) и (2.189) для пространственно-приведенных функций распределения импульсов:

Фо (Pi • • •, Pn. #) = j &1 ... dxNfN,

Ф1 (pi, ..., рх, хь t)= ^ dxt .. . dxwdxi+1 ... dxNfN,

Фг(Р1, • P.v, хг, xh, t) =

= j dxv ... dx^ dxM ... dxh_v dxM ... dxNfN.

Задача 2.18. а) Какой вид имеют «зацепляющиеся» уравнения, описывающие эволюцию во времени функций fs (kz, k;, . . .)?

) Каков характер этих уравнений для однородного газа?

Условные и Z-числовые функции распределения

Условные вероятности

Мы увидим, что при некоторых исследованиях удобно обозначить точки фазового пространства числами. В этих обозначениях число 2 есть фазовая точка z2 = (р2, Цг)» a d 2 — элемент фазового объема dp2dq^. Двухчастичная функция распределения записывается как /2 (1>2). Произведение /2 (1,2) ^1^2 определяет вероятность того, что частица 1 находится в фазовом элементе di около 1, а частица 2 — в фазовом элементе d2 около 2. Функция /2 — это совместная вероятность. Аналогично fN (1, 2, . . ., N) X X dld2. . . dN есть совместная вероятность того, что частица 1 находится в dY около 1, частица 2 —в d2 около 2, ... и частица N в dN около N.

Кроме совместной функции распределения можно определить Условную функцию распределения, которая записывается как ^ (1 1 2, 3, . . ., Z).

Эта функция такова, что

h^ (1 | 2, 3, . . ., Z) dl(2.192)

представляет собой вероятность нахождения частицы 1 в состоянии dl около 1 при условии, что частица 2 находится в состоянии 2, 3 — в состоянии 3, . . . и Z — в состоянии I. В случае, когда все частицы не зависят одна от другой, h,^ (1 | 2, . . ., Z) dl становится просто вероятностью того, что частица 1 находится в состоянии dl около 1, т. е. она равна ]х (1) dl. Таким образом, для независимых вероятностей

h<1^ (1 | 2, 3, . . ., Z) dl = Л (1) dl, (2.193) или, что то же,

А(0(1 (2, . . ., Z) =Л (1).(2.194)

Этому равенству противопоставляется форма произведения сомножителей

Ы1, 2, . . ., Z) = Д (D Л (2) .../iW,(2.195)

на которые расщепляется // в случае, когда все частицы независимы.

В общем случае /г и h,^ связаны соотношением

^(1|2,=.(2.196)

(Отметим, что у функции /И (2, . . ., Z) первая цифра 2 обозначает состояние частицы 2 и т. д.)

Для Z частиц можно ввести также другие условные распределения вероятности. Например, h^ (1, 2 | 3, . . ., Z) такова, что h^ (1, 2 | 3, . . ., Z) dld2(2.197)

есть вероятность того, что частица 1 находится в состоянии dl около 1 и 2 в состоянии d2 около 2 при условии, что 3 находится в состоянии 3, 4 — в состоянии 4 и т. д. Соотношение между ji и hW имеет вид

h? (1, 21 з,..., z) = '^^^•(2.198)

Для случая независимых вероятностей

^(1, 2 13, . . ., Z) = А (1) Л (2).(2.199)

Задача 2 19. а) Как связаны между собой h^ njxVN^l^Ti^

К какой функции сводится К^ в случае независимых вероятностей?

У равнение Чепмена — Колмогорова

s-частичное совместное распределение fs (1, . . ., s, Z), отнесенное к начальному состоянию (10, . . ., s0, Zo), принимает форму условного распределения.

Соответствующая функция распределения такова, что

jsdA. . . . ds | с начальными

условиями

Щ (1, 2, . . ., s, t | 10, 20, . . SO, ^о) dl. . .&(2.200)

является вероятностью нахождения системы из s частиц в состоянии dl . . .ds около (1, . . ., s) в момент t при условии, что в момент t0 система находилась в состоянии (10, • • ., $о) )- Такая функция удовлетворяет хорошо известному в теории вероятностей уравнению Чепмена — Колмогорова ) (или Смолуховского). Это уравнение получается следующим образом. Сначала мы запишем (2.200) в таком виде:

П (z, t I z0, to) dz.(2.201)

Поскольку в момент t система, очевидно, находится в некотором состоянии, то П подчинена условию нормировки:

Jn(z, £|z0, t^dz = V.(2.202а)

Точно так же очевидно, что за нулевой интервал времени состояние системы не изменится, следовательно,

П (z, to | z0, to) = 6 (z - z0),(2.2026)

где 6 — дельта-функция Дирака.

Пусть f — любой промежуточный момент времени, tQ < f < t. Достигнув состояния z в момент t, система должна была пройти через некоторое состояние z' в момент t'. Отсюда следует, что

П (z, Z|z0, to)= П (z, £| z', ^')H(z', £' | z0, to)dz*. (2.203)

Мы получили непрерывную форму уравнения Чепмена — Колмогорова. Его также называют допущением Маркова. Смысл последнего уравнения становится совершенно ясным, если рассмотреть более общее уравнение, из которого следует (2.203) (переменная t в записи опущена):

п (z I z0) = j П (z I z', z0) П (zz I z0) dz'.(2.204)

Функция П (z | z', z0) определяет вероятность того, что система в момент t находится в состоянии z при условии, что она была в z' в момент f и в z0 в момент t0. При сведении уравнения (2.204) к вырожденной форме (2.203), мы вводим предположение, что сис-

тема «потеряла память». В уравнении (2.203) вероятность П (z | z', z0) не зависит от того, где была система в момент t0. Описываемый таким уравнением процесс называется марковским.

Чаще встречается запись уравнения Чепмена — Колмогорова через интервалы т = f — tQ и о = t — f. Йзменения в обозначениях таковы, что

П (z, t | z0, Zo) = П (z | z0; a + t).(2.205)

В силу этого равенства П не зависит от t0. Тогда уравнение Чепмена — Колмогорова примет вид

II(z|z0; r + d) = j П (z | z'\ о)П(г'|г0; ^Az ,(2.206a)

или, что эквивалентно,

H(z|z0; %)= jll(z|z', X — т)П(/|г0; ^dz*.(2.2066)

В квантовой механике состояния z могут образовывать дискретное (счетное) множество. Для учета этого изменения запишем:

Z; Z = 0, 1, 2, . . .

П (z [z'; т) -^П (Z[ Z'; т).(2.207)

При таких условиях интегральное уравнение (2.2066) примет вид

n(Z|Z0;X)= 3n(Z|j; % —т)П(;р0;т).(2.208)

Условие (2.202) запишется в виде

Sn(Z|Z0; Х) = 1,(2.209)

n(Z|Z0; 0)=6ii0.(2.210)

Рассмотримтеперькак получается такназываемое основное

уравнение, или уравнение Паули -1), которое, как часто говорят, представляет собой квантовомеханический аналог уравнения Лиувилля. Чтобы вывести это уравнение, рассмотрим вероятность того, что за малый интервал времени А^ система переместится из состояния / в состояние Z. Для Z #=7 эта «переходная вероятность» стремится к нулю вместе с AZ, и мы получим, что

n(Z|/; AZ) = azjAZ+ ...(2.211)

Коэффициент aij — это скорость переходной вероятности. Когда I = у, вероятность П (Z | Z; А^) стремится к единице при А£-> 0. Кроме того, она должна всегда оставаться положительной. Отсюда

х) Pauli W., Festschrift zum 60. Geburtstage A. Sommerfelds, Leipzig, 1928, L. Van Hove, in Ergodic Theories, Course 14, Academic Press, New York, 1960, and B. R. A. Nijboer, in Fundamental Problems in Statistical Mechanics, cd. E. G. D. Cohen, Interscience, New York, 1962.

следует, что

П (Z I Z; AZ) = 1 — вероятность того, что Z не стремится к Z за AZ=* = 1- 2 П(Г |Z; AZ) = 1-AZ 2 а1Ч.(2.212)

V=£lU =pl

Уравнения (2.211) и (2.212) можно объединить в одно:

П(/|/; AZ) = aZyAZ + 6zj(l —AZ 2 ai'i\ (2.213) по всем Г'

Если это уравнение подставить в уравнение Чепмена — Колмогорова (т = Z, а = AZ)

П(/р0; Z + AZ)=2n(Z|y; А/) П (7 | Zo; Z),

з то мы получим

IMto2±^hJL(LLtiz)-^n(Z|z0; 0).

3

В пределе при AZ -> 0 приходим к основному уравнению ^1Ж^А = 2 [az,n(/|Z0; Z)-aj7n(Z|Z0; /)].(2.214)

3

Оно описывает скорость изменения переходной вероятности

Р и с. 2.16. Члены, дающие вклад в скорость изменения П (Z |Z0). Суммирование производится по всем промежуточным состояниям ;.

для систем, которые эволюционируют, следуя марковскому процессу. На рис. 2.16 изображена модель, удовлетворяющая этому уравнению.

[-числовые распределения

Другой важной функцией распределения является ^г — Z-числовая функция распределения.

Произведение

2, . . ., I^did2 . . . dl(2.215)

ость вероятное число таких совокупностей из I частиц, для которых одна из частиц находится в состоянии di около 1, другая — в d2 около 2 и т. д. до Z-ro состояния включительно. Например, jFi^l ость вероятное число частиц в фазовом элементе di около 1 в мо-

мент t ). Произведение ^2dld2 есть вероятное число пар частиц^ ®аких, что в каждой паре одна из частиц находится в состоянии dl около 1, а другая — в состоянии d2 около 2.

Как связаны между собой g^z и /z? Функция /z относится к конкретному множеству из I частиц, которые в определенном порядке распределены по всем I состояниям. С другой стороны, ^z хотя и относится к тому же самому множеству I состояний, является невосприимчивой 1) к особому порядку, в котором I частиц занимают эти состояния, и 2) к тому, какие I частиц выбираются из всего множества N частиц. Аргументы (1, 2, . . ., Г) функции ^ i (1, 2, . . ., Z) определяют только состояния, но не указывают, что какая-то определенная частица находится в состоянии 1 либо в состоянии 2 и т. д., в то время как /z (1, 2, . . ., Z) связывает именно частицу 1 с состоянием 1 и т. д.

Чтобы получить ^z из /?, вычислим сначала число способов выбора Z частиц из множества N частиц. Этим числом будет

/w\ _ ЛИ

\ I) =•

Каждая такая совокупность из I частиц, упорядоченных определенным образом путем нумерации от 1 до Z, с определенной вероятностью находится в состоянии (1, . . ., Z). Эта вероятность равна /1(1, 2, . . ., Z) dld2 . . . dl. Отсюда следует, что величина

iN\

di ... dl^*={/1(1, ..., Z)dl ... dl (2.216)

есть вероятное число совокупностей, каждая из которых состоит из I частиц, занимающих состояния (1,2, . . ., Z), причем в каждой совокупности частицы занумерованы и определенным образом распределены по состояниям (1, . . ., Z). Другими словами, при вычислении З7* мы каждой совокупности частиц приписываем только один из возможных способов распределения по состояниям (1, . . ., Z). Однако остается много других способов распределения каждой совокупности из Z частиц по состояниям (1, 2, . . ., Z). Действительно, полное число таких возможных способов равно Z!. Соответствующее вероятное число совокупностей из Z частиц в состоянии dl . . . dl около (1, . . ., Z) равно

dl ... dZ^z=^ j [/z(l, 2, ...J) + /z(2, 1, ..., Z) +

+ ...+/z(Z, I — 1, ..., l)]dl ... dZ, (2.217) где содержится Z! одинаковых функций. Следовательно,

/ДГ\ ДИ

(2.218)

Приведем несколько соответствующих примеров:

^2 = TV(1V-1) /2.

Если частицы независимы одна от другой, то ^2(1, 2) = N(N-IMiWfi (2),

JT2 =^^ ^i (1) ^i (2) ~ ^i (1) ^i (2).

(2.219а)(2.219а)(2.2196)(2.2196)Последняя аппроксимация справедлива в предельном случае, когда N> 1.

(2.219а)

(2.219а)

(2.2196)

(2.2196)

123451 А | В | С | D |)1 А | В | С || D |1 А | В || С | D |1 А | В || D | С |1 А | В | Р || С |1 А I В 1 Р I С I J123451 А | В | С | D |)1 А | В | С || D |1 А | В || С | D |1 А | В || D | С |1 А | В | Р || С |1 А I В 1 Р I С I J1234512345Сейчас мы попытаемся разрешить дилемму относительно функции ^ у. При выводе соотношения (2.218) казалось бы более умест-

12345

1 А | В | С | D |)

1 А | В | С || D |

1 А | В || С | D |

1 А | В || D | С |

1 А | В | Р || С |

1 А I В 1 Р I С I J

12345

1 А | В | С | D |)

1 А | В | С || D |

1 А | В || С | D |

1 А | В || D | С |

1 А | В | Р || С |

1 А I В 1 Р I С I J

12345

12345

Рис. 2.17. Модель, иллюстрирующая смысл функции ^2.

а — число конфигураций, дающих вклад в /2 (Л, В^ равно ^) 2!; полное число конфигураций равно ^j 4!; следовательно, /2 (Л, 5) = Qj 2! / / (т) ^’ И3 ^“^^ для ^2 нах°дим ^2 (1) 2) = (4) 2! /2 = 3/5.

б — число конфигураций, дающих пару частиц в первых двух ящиках, равно 3; полное число конфигураций равно (^) ; следовательно, вероятность нахождения пары частиц в первых двух ящиках равна 3/5; среднее число пар, находящихся в первых двух ящиках, равно 3/5.

Из (2.218) функция ^2 (1, 2) равна среднему числу пар в ящиках 1 и 2 и равна вероятности нахождения пары частиц в ящиках 1 и 2.

ным определить ^гй1 ... 41 как вероятность (а не вероятное число) того, что совокупность из I частиц находится в элементе 41 . . . dl фазового пространства. В данном случае обе интерпретации одинаково справедливы. Для примера рассмотрим задачу о четырех идентичных частицах, распределенных в пяти ящиках (в каждом ящике может быть только по одной частице). Присвоим ящикам номера 1, . . ., 5. Тогда вероятность нахождения пары Частиц в ящиках 1 и 2 равна3/5. Это есть также среднее число пар, таких, что одна частица находится в ящике 1 и одна — в ящике 2 (рис. 2.17).

Р и с. 2.18. Конфигурационная часть Г-пространства для двух шариков на прямой длины L.Р и с. 2.18. Конфигурационная часть Г-пространства для двух шариков на прямой длины L.

Р и с. 2.18. Конфигурационная часть Г-пространства для двух шариков на прямой длины L.

Р и с. 2.18. Конфигурационная часть Г-пространства для двух шариков на прямой длины L.

Определяя ^^как /-числовое распределение вероятности, мы встречаемся с противоречием: ^ ^ idl . . . dl ^=1. С другой стороны, достоверно, что совокупность Z-частиц занимает какое-то состояние из \ di . . . dl. Разрешение этого парадокса заключает-

с я в следующем: интерпретация ; как функции распределения вероятности является ошибочной.

Для элемента фазового объема di . . . dl произведение 3*1 di . . . dl будет отличаться от истинной вероятности на член порядка объема, к которому имеет отношение вероятность. Таким образом, вероятностная интерпретация З7 i по отношению к элементарным объемам является почти точной. Для всего пространства такая интерпретация 3i абсолютно не пригодна. Более правильно трактовать 33 как /-числовую плотность. Для элемента фазового объема di . . . dl соотношение 3 i ^1 • • - dl

определяет среднее число совокупностей из I (незанумерован- ных) частиц, находящихся в объеме di . . . dl. Для всей области \ di . . . dl функция Зг нормируется на

т. е. на число различно упорядоченных последовательностей из частиц, которые можно получить из N занумерованных частиц.

Чтобы сделать все наши рассуждения более ясными, исследуем соотношение 3 i = ^/i Для очень простого случая двух (7V = 2) невзаимодействующих идентичных свободных частиц (шариков), движущихся по прямой жесткой проволоке длины L. Проволока натянута между двумя абсолютно отражающими стенками. Кроме того, ограничимся лишь конфигурационной частью задачи (считая импульсы обеих частиц определенными и известными). Фазовое пространство этой системы из двух частиц есть квадрат с длиной стороны L, как показано на рис. 2.18. Вероятность того, что частица 1 находится в «объеме» dx^ около х^ равна площади Ldx^, разделенной на полную площадь Л2, т. е. Л (a?i) dx^ = dxJL, как показано на рис. 2.19, а. Отметим, что заштрихованная площадь есть геометрическое место точек всех состояний в Г-пространстве, для которых частица 1 находится в dx^ около xv Вероятность того, что частица 2 находится в dx^ около х^ аналогичным образом равна /i (я2) dx^ = dx^L^ как показано на рис. 2.19, б.

Теперь остановим наше внимание на вычислении функции ^(ж) dx. Это — вероятность нахождения частицы (более точно, либо частицы 1, либо частицы 2) в интервале dx около х. Площадь, соответствующая . этой вероятности, есть геометрическое место

Рис. 2.19.Рис. 2.19.

Рис. 2.19.

Рис. 2.19.

точек всех состояний двух частиц, таких, что либо частица 1, либо 2 находятся в элементе dx около хп как изображено на рис. 2.20, а. Это не совсем то же, что сумма /t (ж) dx + К (^) dx = 2/t (я) dx = = 2dx!L. При простом сложении двух одночастичных вероятностей

Рис. 2.20.а — вероятность нахождения либо частицы 1, либо частицы 2 в интервале dx около х; б — вероятность равна [/i(^i) dx^ + ^2 (Ръ) ^^х-^х^х*Рис. 2.20.а — вероятность нахождения либо частицы 1, либо частицы 2 в интервале dx около х; б — вероятность равна [/i(^i) dx^ + ^2 (Ръ) ^^х-^х^х*

Рис. 2.20.

а — вероятность нахождения либо частицы 1, либо частицы 2 в интервале dx около х; б — вероятность равна [/i(^i) dx^ + ^2 (Ръ) ^^х-^х^х*

Рис. 2.20.

а — вероятность нахождения либо частицы 1, либо частицы 2 в интервале dx около х; б — вероятность равна [/i(^i) dx^ + ^2 (Ръ) ^^х-^х^х*

перекрываемая площадь (dx^ считается дважды (рис. 2.20, б). Но существует только одна совокупность состояний в этой области пересечения (состояний в Г-пространстве), и она должна быть сосчитана только один раз. Отсюда следует, что

^^dx = 2^-—^-~2-^- = ^^dx.(2.220>

Отметим, что это выражение представляет собой как вероятность нахождения частицы в интервале dx около х, dx, так и среднее число частиц в интервале dx около х, ^dx (2/L есть числовая плотность) .

Ясно, что вероятность нахождения частицы в интервале (а, Ъ) можно опять вычислить путем простого построения (заштрихованных) пересекающихся прямоугольников на рис. 2.20, а. Выражение для вероятности будет отличаться от приближенного результата (который получается, если ^4 принять за распределение вероятности)

bь

j ^4 dx = j 2/i dx = 2(/i = const) (2.221)

aa

на величину (b — a^ll?, пропорциональную площади перекрытия (b— а)2. В пределе для всего интервала (а = 0, b = L) площадь перекрытия занимает целый квадрат. Вследствие этого некорректное выражение для ^j, т. е. 2dxlL, приводит к неверной нормировке:

LL

^ ^ (ж) dx = j 2 ^- = 2.(2.222)

оо

Правильное выражение для функции распределения ^4 приводит к надлежащей нормировке:

LLLL

^tdx= ^2hdx-^^ = 2-1 = 1.(2.223)

0000

Задача 2.20.Обозначимцифрой1только конфигурационную

часть состояния, так что dl = d3xY. Для однородного газа, заключенного в объем V и находящегося в равновесии,

= Т"

и

^^Хх = nd3x1,

где n = N/V — числовая плотность частиц. Если частицы независимы, то какова функция ^2 (1,2)? Решить задачу двумя способами, используя сначала формулу (2.219), а затем подсчитав число пар частиц в элементах объема d3x^ и d3x2.

Ответ. Используя (2.219), получим

^2^1 ^2 = jFi (1)^1^1 (2) d3x2 = nd3xtnd3x2l так что

^2 = И2-

Кроме того, ^2 можно вычислить, если заметить, что nd^x^ частиц находится в d?xt и nd3x2 частиц — в d3x2l так что общее число пар будет равно п2.

Задача 2.21. Найти связь между Рг = Vlfi и 1) ^ь 2) ^>; 3) К^. Здесь V — объем сосуда, заполненного газом.

В начале этой главы мы впервые встретились с концепцией ансамбля и уравнением Лиувилля. Там они использовались главным образом для изучения геометрических свойств Г-пространства. Глубокий смысл уравнения Лиувилля становится очевидным в свете вероятностной интерпретации его решения, что немедленно приводит к методу получения средних значений динамических переменных. К теории ансамбля мы вернемся в гл. V в связи с принадлежащей Гиббсу и Эйнштейну формулировкой равновесной статистической механики.

Если обратиться к рис. 1.1, то в настоящий момент мы находимся в области, схематически обозначенной вторым усилителем. Он ведет от BHi к теории кинетических уравнений. Само уравнение EHt важно для нас тем, что оно является «предшественником» всех кинетических уравнений — уравнений для одной неизвестной функции F^ (более полное определение будет дано ниже). Исключительное значение функции Ft заключается в том, что из нее следует большая часть гидродинамики. Связь Ft с гидродинамикой мы подробно обсудим в начале гл. III, а в конце ее выясним, какое значение для гидродинамики имеет функция F2. Вопрос о соотношении между гидродинамикой и кинетической теорией снова встретится в гл. IV в связи с интегралом столкновений в уравнении Больцмана и, наконец, в гл. V при рассмотрении анализа Чепмена — Энскога уравнения Больцмана.

ББКГИ-уравнения исследуются в гл. III двумя способами. Вначале мы ознакомимся с анализом Боголюбова цепочки ББКГИ- уравнений. По существу, эта теория вскрывает физический смысл одночастичной функции распределения. После этого ББКГИ-по- следовательность будет разложена около «нулевых корреляций» и будет получено формальное упорядочение простых кинетических уравнений. Одно из них, уравнение Власова, приведет к понятию самосогласованных решений.

Уравнение Чепмена — Колмогорова, рассмотренное в этой главе, опять встретится нам в гл. IV в одном из выводов другого важного кинетического уравнения — уравнения Фоккера — Планка.

Задача 2.22. Если через ВИ5 обозначено s-e уравнение в ББКГИ- последовательности, то покажите, что

( (БИ5) dk ... ds — БИ^

Задача 2.23. Доказать, что s-частичная (s ^ N^ функция распределения удовлетворяет уравнению

-^+Vs./sUs = 0, где

- = $... dNUS” fNd($ + ^ dN ’

Un = (qi, •. -, 4n, Pi, ..., Pn)

И

V = f ^999 \

s \ dqi ’ * * *’ dqs ’ 5pi ’ " dps / ’

Задача 2.24. Используя уравнение Лиувилля, доказать, что для произвольного гамильтониана j In^ • • • dN = const. В частности, доказательство должно иметь силу как для потенциалов, зависящих от импульсов, так и для нестационарных гамильтонианов .

Указание. Проинтегрировать j cZl . . . dN [fN, H] по частям.

Задача 2.25. Доказать, что

/1 (хь pi) = g (pi) и

/2 (хь р/, х2, р2) = h (I х2 — Xi I, Pi, р2),

если fN инвариантна по отношению к поступательному сдвигу, т. е. если

In (Xi + a, pi; х2 + а, р2; . . .; xN + a, pN) =

= /n (х1, Pl? X2> P2? • • •? XN, PnV Функции g и К — произвольны.

Задача 2.26. Доказать, что движение проекции ансамбля на гиперплоскость (^, . . ., qs; р^ . . ., р<?) (s ^ N — число степеней свободы системы) является несжимаемым.

Ответ. Это движение задается уравнениями:

qi = qi W,

Pi=Pi(t), 0<Ks^.N.

Оно будет несжимаемым, если

v.u=o=3-/-^+/-;z=2

дуг 1 dpt rL ^ \ dqt дрг Opt dqi /

Задача 2.27. Показать, что ББКГИ-уравнения (2.177) можно записать следующим образом:

^+lsfs-^ j d(s+D 2 0г,5+1^+1=о.

г=1

Задача 2.28. Проинтегрировать разложение (2.186), чтобы найти соотношение между функциями

{7г(кь кг)} и

/1 (х, р, ty

/2 (х, р; х', р', ty

Ответ.

а)

(xz, Pz, О = 4" j dPi • • • dPz-idPz+i ... dvN X

x [7 (0) + j cM, (kz) exp (ikrxt)] .

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Л. Ансамбли; N-частичные функции распределения и ВВКГИ-уравнения

Боголюбов Н. Н.

Проблемы динамической теории в статистической физике, М.— Л., Гостехиздат.

Де Боер (de Boer J.)

(1948—49) Repts. Progr. Phys., 12, 305 (1948—1949).

Больцман (Boltzmann L.)

Vorlesungen fiber Gastheorie, Leipzig, 1896—1898; Wien. Ber., 66, 275 (1872). Русский перевод: Больцман Л., Лекции по теории газов, М., Гостехиздат, 1956.

Борн, Грин (Born М., Green Н. S.)

(1946—47) Proc. Roy. Soc. (London), A188, 10 (1946); A189 103 (1947); A190, 455 (1947); A191, 168 (1947).

Гиббс (Gibbs J.W.)

The Collected Works, London, Longmans, Green and Co.

Грин (Green M. S.)

Proceedings of the International Symposium on Transport Processes in Statistical Mechanics (Brussels, 1956), New York, Interscience.

ГРЭД (Grad H.)

6958) Handbuch der Physik, v. XII, Berlin, Springerverlag.

Ивон (Yvon J.)

(1935) La Theorie Statistique des Fluides et 1’Equation d’Etat, Paris, Hermann.

Кац (Кас M.)

Probability and Related Topics in] Physical Sciences, New York, Interscience. Русский перевод: Кац M., Вероятность и смежные вопросы в физике, М., «Мир», 1965.

Кирквуд (Kirkwood J. G.)

(1946—47) J. Ghent. Phys., 14, 180 (1946); 15, 72 (1947).

Кирквуд, Росс (Kirkwood J. G., Ross J.)

Proceedings of the International Symposium on Transport Processes in Statistical Mechanics (Brussels, 1956), I. Prigogine (ed.), New York, Interscience, 1958.

Ландау Л. Д., Лифшиц E. M.

Теоретическая физика. T. 5. Статистическая физика, изд. 2-е, М., Физматгиз.

Майер Дж., Майер М. (Mayer J. Е., Mayer М. G.)

Statistical Mechanics, New York, Wiley. Русский перевод: Майер Дж., Гепперт-Майер М., Статистическая механика, ИЛ, М., 1952.

Пригожин (Prigogine I.)

Proceedings of the International Symposium on Transport Processes in Statistical Mechanics (Brussels, 1956), New York, Interscience.

Толмен (Tolman R. C.)

1938) The Principles of Statistical Mechanics, Oxford, Clarendon Press.

(Фаулер, Гуггенгейм (Fowler R., Guggenheim E.A.)

Statistical Thermodynamics, Cambridge, Cambridge University Press. Русский перевод: Фаулер P., Гуггенгейм Э. А., Статистическая термодинамика, М., ИЛ, 1949.

Хаар (ter Haar D.)

Elements of Statistical Mechanics, New York, Rinehart.

Хилл (Hill T. L.)

Statistical Mechanics, New York, McGraw-Hill. Русский перевод: Хилл T. Л. Статистическая механика, М., ИЛ, 1960.

Гиршфельдер, Кертисс, Берд (Hirschfelder J. О., Curtiss С. F., Bird R. В.) (1954) The Molecular Theory of Gases and Liquids, New York, Wiley. Русский перевод: Гиршфельдер Дж., Кертисс Ч., Берд Р., Молекулярная теория газов и жидкостей, М., ИЛ, 1961.

Эренфест Р., Эренфест Т. (Ehrenfest Р., Ehrenfest Т.)

(1911) Begriffliche Grundlagen der Statistischen Auffassung der Mechanik, Encyclopedie der Mathematischen Wissenschaften, v. 4, p. 4, 1911» reprinted by Cornell University Press, Ithaca, N. Y., 1959.

В. Метод Пригожина

Балеску (Balescu R.)

Statistical Mechanics of Charged Particles, New York, Interscience. Русский перевод: Балеску P., Статистическая механика заряженных частиц, М., «Мир», 1967.

Пригожин (Prigogine I.)

Non-Equilibrium Statistical Mechanics, New York, Wiley. Русский перевод: Пригожин И., Неравновесная статистическая механика, М., «Мир», 1964.

В. Парадоксы обращения времени и константы движения

Лошмидт (Loschmidt J.)

Wien. Вег., 73, 139.

Пуанкаре (Poincare Н.)

Methodes Nouvelles de la Mechanique Celeste, Paris, Gauthier — Villars, 1892; reprinted by Dover, New York, 1957. Русский перевод в сб. Пуанкаре А., Избранные труды, М., «Наука», т. 1, 1971, т. 2, 1972.

Ферми (Fermi Е.)

Physik. Z., 24, 261.

Цермело (Zermelo Е.)

Ann. Physik., 57, 485; 59, 793.

Г. Квантовая механика

Бом (Bohm D.)

Quantum Theory, Englewood, Cliffs N.J., Prentice-Hall. Русский перевод: Бом Д., Квантовая теория, М., Физматгиз, 1961.

Дирак (Dirac Р. А. М.)

The Principles of Quantum Mechanics (third edition), Oxford, Clarendon Press. Русский перевод (с 4-го англ, изд.): Дирак П. А. М., Принципы квантовой механики, М., Физматгиз, 1960.

Д. Корреляционные функции

Делькруа (Delcroix J. L.)

Plasma Physics, New York, Wiley.

Крамер (Cramer H.)

Mathematical Methods of Statistics, Princeton, N. J., Princeton University Press. Русский перевод: Крамер Г., Математические методы статистики, М., ИЛ, 1965.

Либов (Liboff R. L.)

(1965—66) Phys. Fluids, 8, 1236 (1965); 9, 419 (1966).

Майер Дж., Майер М. (Mayer J. Е., Mayer М. G.)

Statistical Mechanics, New York, Wiley. Русский перевод: Майер Дж., Гепперт — Майер М., Статистическая механика, М., ИЛ, 1952.

^рселл (Ursell Н. D.)

Proc. Cambridge Phil. Soc., 23, 685.

Список обозначений к гл. II

а1п — скорость переходной вероятности, D — плотность системы точек в Г-пространстве, /8 — s-частичная функция распределения, нормированная на еди- _ ницу,

}— коэффициенты Фурье, /<к} 1

F — динамическая функция,

Fs — s-частичная функция распределения, нормированная на Vs, JTZ— /-числовая функция распределения, нормированная на ^ ) /! G — динамическая функция,

Gkn— сила взаимодействия между частицами, Н — гамильтониан,

К — константа движения,

"№ — функция распределения условной вероятности, I — мнимая часть ф, J — переменная «действие», К — волновое число для потенциала взаимодействия частиц, Ks — s-частичный оператор кинетической энергии, Ls — s-частичный оператор Лиувилля, т — масса частицы, ns — пространственное s-частичное распределение, N — число частиц, N — число степеней свободы, 6 — произвольный оператор, р — канонический импульс, q — каноническая координата, R — действительная часть ф, Т — кинетическая энергия, Т — интервал времени, и — скорость точек системы в Г-пространстве, V — потенциал, V — объем системы в физическом пространстве, V — ренормированный объем, х — координата, zn — координаты и импульсы n-й частицы, 6Zn — дельта Кронекера,

ф — решение уравнения Шредингера,

фп — произвольная собственная функция,

ср — потенциал взаимодействия частиц, х — фаза ф,

Л — оператор Лиувилля,

со — собственные значения оператора Л, фп — собственные функции оператора Л, П — функция распределения условной вероятности, р — плотность жидкости,

S — поверхность в Г-пространстве,

0 — угловая переменная,

©и— оператор потенциальной энергии,

®N,S— оператор потенциальной энергии, £(Z)— динамическое преобразование.

ГЛАВА III

ФОРМАЛЬНОЕ РАЗВИТИЕ ТЕОРИИ КИНЕТИЧЕСКИХ

УРАВНЕНИЙ И ИХ СВЯЗЬ С ГИДРОДИНАМИКОЙ

Одночастичная функция распределения и еесвязь с гидродинамикой

При исследовании свойств газа мы чаще всего имеем дело с измерением некоторых макроскопических, или гидродинамических, переменных. Эти переменные определяют макроскопическое состояние системы. Таких переменных бесконечно много, но все они могут быть определены, если известна одночастичная функция распределения Д.

Большинству из нас эти макроскопические переменные хорошо известны. Первыми из них являются плотность числа частиц п, макроскопическая скорость и и температура Т. Если нам известна только плотность числа частиц п (х, £), то мы знаем о данном газе значительно меньше, чем знали бы, имея п (х, £) и и (х, £) и т д. Другими менее стандартными макроскопическими переменными являются напряжение Р^ и тепловой поток q. Последовательность гидродинамических переменных неограниченна, >и хотя, кроме перечисленных, они не имеют наименований, но тем не менее многие из этих переменных обладают физическим смыслом.

Чтобы установить связь между макроскопическими переменными и /1, необходимо ввести одночастичную функцию распределения с новой нормой. Если N есть полное число частиц в газе, то положим ^f = Nfv Плотность числа частиц п (х, Z) определяется через ^i следующим образом:

n(x, t) = j tZp^ (х, р, f). (3.1)

Произведение ndx дает число частиц в элементе объема dx. Очевидно, что это определение совместимо с введенным ранее определением для /1? согласно которому произведение A dx dp представляет собой вероятность того, что частица находится в состоянии dxdp около (х, р) в момент I.

В настоящем исследовании, оказывается, намного удобнее иметь дело со скоростями |, чем с импульсами р. (В гидродинамике чаще используется макроскопическая скорость жидкости, а не макроскопический импульс.) В связи с этим введем функцию / (х, |, IY Произведение / (х, g, ^) dx d^ есть вероятность того, что частица находится в состоянии dxd | около (х, |) в момент t. Функция ^ (х, |, £) — это функция распределения, нормирован-

пая на N ^ = Nf). Макроскопическая скорость u (х, t) определяется из следующего равенства:

(3.2)(3.2)n(x, i)u(x, ^ ^ j d.^^ (х, I, /),

(3.2)

(3.2)

п^х. t)=^d^{x, |, t\(3.1')

Другие макроскопические параметры, дающие более детальное описание системы, приобретают смысл только тогда, когда они измеряются в системе координат, движущейся со (средней) макроскопической скоростью и (х, £). Например, газ, у которого все частицы движутся с одинаковыми скоростями, обладает большой полной кинетической энергией, но его температура равна нулю. Гидродинамическая внутренняя энергия такого газа (без потенциала взаимодействий) также равна нулю.

Введем относительную скорость с, так что

с^ ^ - и.(3.3)

Переменная с удовлетворяет уравнению

jj^cd| = O.(3.4)

Напряжения Рц определяются согласно равенству

Рц = ^ ^ CtCj^d^,(3.5)

в то время как (кинетическая) внутренняя энергия п 8 равна половине суммы нормальных напряжений или половине следа матрицы напряжений ТгР15. (Согласно обозначению Эйнштейна,, по повторяющимся индексам производится суммирование.)

п8 = -±-Рц = -^ m<?^d^ = -ynkT = ^Р,

р-^Ри,(3.6)

п = п§,

гДе р — скалярное давление, ап — внутренняя энергия единицы объема. Это равенство служит также для определения темпе-

Ратуры Т через одночастичную функцию распределения ^; к — постоянная Больцмана.'

Хотя тензор третьего ранга

(3.7)(3.8)(3.7)(3.8)8ijh =d^

(3.7)

(3.8)

(3.7)

(3.8)

Не имеет названия, его свертка

^ = -A-S.^^^-m j c^^d^

является хорошо известным вектором теплового потока, который определяет среднюю скорость переноса энергии через поверхность в направлении г в системе координат, движущейся со скоростью и. Аналогичным образом Рц определяет среднюю скорость потока i-й компоненты импульса через единичную площадку с нормалью в направлении /.

Во всех этих определениях предполагается, что взаимодействие между молекулами через заданную поверхность мало по сравнению с кинетическим вкладом. Такое предположение наиболее справедливо, когда газ является идеальным газом, где взаимодействие между частицами отсутствует.

Экспериментальные наблюдения подтверждают тот факт, что для жидкости вблизи равновесия определяющими переменными являются п, и и Т. Вблизи равновесия моменты от ^ более высокого порядка становятся малыми, и состояние системы целиком определяется тремя отмеченными переменными.

Предположим, что начальное состояние газа отличается сильной нерегулярностью, т. е. в газе имеются большие градиенты температуры, напряжения, тепловые потоки и т. д. С течением времени состояние «сглаживается», нерегулярности стремятся к нулю и единственными нетривиальными переменными остаются моменты низшего порядка — п. u‘ Т.

Данное состояние газа с любым конечным числом макроскопических переменных, как бы велико это число ни было, является сильным упрощением микроскопического описания. При микроскопическом описании требуется знать функцию ^^ которая в свою очередь определяет бесконечную последовательность макроскопических переменных:

И <Лик...) — f ^CtCjCk ... ^ = J ^^k • •. (с) d3?, (3.9) где Л — полиномиальный тензор по компонентам с, т. е. Ло = 1, А; = С^ Н“ U^.

Пусть газ приближается к равновесию. Существует ли интервал времени, для которого состояние системы определяется по меньшей мере функцией Д? Из этого вопроса вытекает и более общий вопрос: существует ли интервал времени, для которого состояние системы можно определить, только зная функцию f^

Формализм, который применил Боголюбов для решения цепочки ББКГИ-уравнений, основывается на выяснении этих двух вопросов.

Анализ Боголюбова ББКГИ-уравнений

Для любого реального газа существуют три характерных интервала времени.

т0 — среднее время, в течение которого две частицы находятся каждая в области влияния другой. Это время называется

временем столкновения. Для газа этот интервал времени обычно много меньше, чем следующий, рассматриваемый нами.

£0 — среднее время, в течение которого столкновения отсутствуют, называемое также средним временем между столкновениями.

То — интервал времени, много больший первых двух, представляет собой среднее время, которое требуется частице, чтобы пересечь сосуд, заполненный газом.

С этими тремя интервалами времени связаны три характерные длины.

г о — радиус потенциала взаимодействия.

I — средняя длина свободного пробега.

L — характерный размер сосуда, заполненного газом.

При средней скорости 300 м/сек (и давлении = 1 атм) порядок величины этих характерных времен и расстояний дан в табл. 3.1.

Таблица 3.1

Фундаментальные времена и расстояния в анализе Боголюбова

то

1

L

см

ЗхЮ-8

3x10-5

3

т0

^0

т»

сек

10-12

IO"»

Ю-4

Характерные времена т0, t0 и То удовлетворяют соотношению т0« ^о« То.(3.10)

Предположим, что на прямой проволоке длины L имеется только два шарика. Диаметр каждого шарика равен г0. Шарики могут проникать один через другой. Если оба они движутся со скоростью V, то т0 = г0/У, TQ = LIV = Iq (рис. 3.1) и неравенство грубо нарушается. Очевидно, что, чем больше будет шариков На прямой, тем лучше будет удовлетворяться правая часть соот- Мошепия (3.10) (см. рис. 3.2). Точно так же ясно, что если N (полное число частиц) становится слишком велико, то нарушается левая часть неравенства (3.10): если условие Nr0<^L перестает выполняться, то т0 не будет много меньше чем tQ.

Задача 3.1. Поместить на прямую проволоку три шарика и найТа соотношение между tQ и Tq. Произвести оценку для t0 и Tq в пре-

дельном случае TV ^ 1 • При этом предполагается, что как бы ни было велико N, имеет место Nr0 <^ L.

Предположим, что газ достаточно разрежен, так что левое неравенство (3.10) выполняется, а также и достаточно плотен, чтобы и правое неравенство (3.10) удовлетворялось. В этом случае

хt

L

Рис. 3.1. Времена Боголюбова для задачи о двух шариках на прямой, уместно говорить о трех интервалах времени в развитии газовой системы, начиная с некоторых заданных начальных условий и кончая неким равновесным состоянием, либо, возможно, состоянием, достаточно близким к равновесному.

В первом интервале времени

0 < t < т0, (З.И)

называемом начальной стадией, N частиц еще не сталкивалось. Какой уровень описания будет достаточным, чтобы определить поведение газа в этом интервале времени? Мы должны помнить, что начальные условия являются произвольными. Предположим! что в начальный момент одна из N частиц движется с постоянном

скоростью по прямой линии (в направлении к другой частице), в то время как оставшиеся N — 1 частиц покоятся. Спустя неко- которое время, после достаточного числа столкновений, газ будет термализован — установится равновесие. В конечном счете не будут существовать, например, тепловые потоки сквозь любую

заданную поверхность в газе, температура станет однородной и т. д. На этих конечных стадиях эволюции естественно описывать состояние газа через гидродинамические переменные. При этом, если начальные возмущения почти полностью затухли, состояние системы определяется гидродинамическими переменными.

Например, для рассмотренного выше начального состояния, Когда только одна из N частиц находится в движении, введение Гидродинамической скорости и лишено смысла. Единственный важный факт — движение одной из N частиц — будет утерян в процессе осреднения, при котором получается и:

(3.12)(3.12)nu = N ^ f^dc,, fi= ^ fNdz2 ... dzN.

(3.12)

(3.12)

Если с помощью функции и нельзя описать состояние системы, то обратимся к более детальному описанию, которое дает функция /1. До первого столкновения TV-частичная функция распределения имеет вид

/n = 6 (xt — £t0 6 (х2 — х°) б (х3 — х“) . . .

. . . 6 (xN - х&) 6 & - 1») б (|2) 6 (|3) ... б (|N).(3.13).

Интегрируя по z2, . . zN, получим:

Л = б(х-^)6(|-1°)(0<<<т0),

[nu = iv j f&d^N^ 6(х —§°о] .(3,14>

Какую полезную информацию несет в себе полученное соотношение? Оно определяет только то, что вероятность, с которой частица 1 находится в положении х и имеет скорость | в момент t (в интервале dx d^), отлична от нуля лишь для тех значений х и |, которые принадлежат кривой х = |°Т. Но что мы можем сказать относительно остальных частиц? Тот факт, что они остаются в покое в определенных начальных положениях был совершенно утерян при вычислении /р В самом деле, предположим, что в выражении (3.13) для функции fN множитель б (х2 — х°) б (|2) заменен на б (х2 — |2 £) б (|2 — |г). Теперь частица 2 также движется по прямой ЛИНИИ СО скоростью |g. Вычисляя /1, мы должны выполнить интегрирование

j dx2 J ^2б(х2-^)6(^2-^) = { dx26(x2-&)=b (3.15)

в результате которого будет полностью утеряна информация относительно частицы 2. Допустим тогда, что достаточно знать функцию /2, чтобы описать начальное состояние до столкновения любых двух частиц. Опять очевидно, что в процессе осреднения при вычислении /2 исчезает информация относительно N — 2 оставшихся частиц. Продолжая далее такие же рассуждения для /3, /4, . . ., придем к заключению, что в интервале времени 0 < t < т0 состояние газа определяется функцией fN и никакой другой.

Следующий интервал времени т0 < t < t0 — это кинетическая стадия, когда после ряда столкновений частицы приобретают некоторый элемент сходства. При таких условиях среднее состояние любой из частиц дает нам информацию относительно всех частиц, так что динамика газа определяется функцией /1. Формально эти идеи можно выразить так: предполагается, что на кинетической стадии все функции распределения /s являются функционалами от /4, так что

ная стадия: 0<£ < т0, /^ определяет состояние га-ная стадия: 0<£ < т0, /^ определяет состояние га-г=1 "Папомним, что Рг =г=1 "Папомним, что Рг =за; б — кинетическая стадия: т0 «< t«<t0. Частицы приобретают некоторый элемент сходстваг /s = fs [/11; в — гидроди-за; б — кинетическая стадия: т0 «< t«<t0. Частицы приобретают некоторый элемент сходстваг /s = fs [/11; в — гидроди-намическая стадия: £0 << t < То. Состояние га-за близко к равновесно-му и задается через функ-ции п, и, Т.намическая стадия: £0 << t < То. Состояние га-за близко к равновесно-му и задается через функ-ции п, и, Т.симость между Fs и Ft имеет следующий вид:симость между Fs и Ft имеет следующий вид:Pi). Функциональная завиPi). Функциональная зави

ная стадия: 0<£ < т0, /^ определяет состояние га-

ная стадия: 0<£ < т0, /^ определяет состояние га-

г=1 "

Папомним, что Рг =

г=1 "

Папомним, что Рг =

за; б — кинетическая стадия: т0 «< t«<t0. Частицы приобретают некоторый элемент сходстваг /s = fs [/11; в — гидроди-

за; б — кинетическая стадия: т0 «< t«<t0. Частицы приобретают некоторый элемент сходстваг /s = fs [/11; в — гидроди-

намическая стадия: £0 << t < То. Состояние га-за близко к равновесно-му и задается через функ-ции п, и, Т.

намическая стадия: £0 << t < То. Состояние га-за близко к равновесно-му и задается через функ-ции п, и, Т.

симость между Fs и Ft имеет следующий вид:

симость между Fs и Ft имеет следующий вид:

Pi). Функциональная зави

Pi). Функциональная зави

Кроме того,/8 зависит от времени неявно, через функцию Л. Примером такой зависимости может служить функция /8 для s статистически независимых частиц:

Л=ПЛ(к). (3.17)

Наконец, на гидродинамической стадии 1оО ^ То все функции распределения /8 зависят только от и, и и 71, т. е. первых пяти моментов функции /4.

На рис. 3.3 схематически изображена последовательность только что рассмотренных случаев (когда при У = О только одна частица из всего стационарного газа приходит в движение).

При изменении состояния системы от начального хаотического до конечного хорошо организованного равновесного состояния нам требуются резко различающиеся уровни описания системы. Вначале необходимо знать не меньше чем TV-частичную функцию распределения. В конечной, равновесной, стадии достаточно знать термодинамические переменные, дающие несравненно менее подробное описание системы.

Анализ Боголюбова иерархии ББКГИ- уравнений касается кинетической стадии и включает следующее ограничение:

^(^^(А).!, ,3.18)

где Uv является конечным малым пара

метром. (Соответствующим безразмерным малым параметром будет г^/и, где г0—радиус взаимодействия.) В этом предельном случае (см. задачу 2.27) уравнение БИ/

имеет вид

G + 1)®ь i-nFz+i = О- (3.19)

Fs = Fs (1, . . ., s; F^.(3.20)Fs = Fs (1, . . ., s; F^.(3.20)Vlh и г = ( X/,

Fs = Fs (1, . . ., s; F^.(3.20)

Fs = Fs (1, . . ., s; F^.(3.20)

Уравнения (3.19) для I = 1, . . ., s запишутся так:

^ = _Lsfs + 2-2 р(5 + 1)0г,зЧЧ. (3.22)

1=1

Используя (3.20), производную по времени от Fs можно представить следующим образом:

а^з/^ dFt\at - \6^ ’ at / 1

где скобками обозначено внутреннее произведение по всем функциям, a 8Fs/8Fi — функциональная производная от Fs по Fv В простейшем случае, когда Fs является алгебраической функцией от F^ эта производная запишется в виде

dFs _ ^ dF s dFt (Z)dt 9Fy w dt 'Z=1

Исходными уравнениями анализа Боголюбова являются последние три уравнения (3.21) — (3.23). Формальное разложение, которое будет использовано для получения замкнутой системы уравнений, задается равенством

^(1,Л)=^’+4^+... ,(3.24)

Ft = Fi (F^ не разлагается, поскольку она является «независимой переменной»).

Подставляя (3.24) в (3.21), получим

^ = --^.-^4— (Й2012 Ч°Ч—^Ч •••’I =dt т dx^ v JL vJ

= Л<оч4-^аЧ4ч<2Ч .(3.25)

Это соотношение служит для определения коэффициентов Л(/)*

Aim = —BL.^1 = -L^F^ т dxt1

Ат = + ^ d2etoF^,(3.26)

Л(0= + j d2^F^\

Если мы подставим разложение (3.25) для dFJdt в функциональное внутреннее произведение (3.23), то в результате будем иметь

= ^ w^+tw^^i, л,„+А А™ +... у (3.27)

Путем перемножения членов, получим

^-<^.^> + т{<^.^> + <^‘.^>} + .-..

(3.28)

Это разложение можно записать в следующем виде:

^ = 6(тЕ^ + ^- ID^F^ + D^F*”] + ...,(3.29)

где операторы Д(0) и Д(1) определяются равенствами:

О'" - (^, Л'") , Ь-» « (А , Л»') .(3.30)

Вернемся теперь к оставшимся уравнениям ББКГИ (3.22) и используем в них разложение (3.24). В результате получим

+ т2 )<г(» + <)ё..«[Ч1+4^>1+.,.].(3.31)

1=1

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях у-1 в разложениях (3.29) и (3.31), придем к замкнутой системе функциональных уравнений для переменных F^ [1, . . ., s; FJ:

D^F^^ -LSF^\(3.32a)

D^F? + Hl” = - LSF^ + 2 [ a (s +1) ©L S+1F^,:i=i

2 D^F^ = - LSF^ + 2 J d (s + i) ®h s+(3.326) 1=01=1 J

Последовательный ход решения этих уравнений представлен на рис. 3.4.

Резюмируя изложенное, отметим три этапа анализа Боголюбова: 1) предполагается, что Fs = Fs [F^; 2) находится уравнение Для Fs [FJ; 3) построение завершается выводом двух разложений Для dFJdt. Ими являются уравнения (3.29) и (3.31).

В данном формализме мы вывели замкнутую систему уравнений для функций FS1 но две задачи остались нерешенными. Это, во-первых, получение конкретных выражений для операторов Dw и, во-вторых, метод вычисления F^.

Именно на этих двух проблемах мы сосредоточим сейчас наше внимание. В частности, дадим стандартный метод, с помощью

Рис. 3.4. Метод решения системы уравнений (3.32).

которого получается уравнение для F^ справедливое до членов порядка р”1. Для этого используем замкнутую систему уравнений, получаемую из (3.25) и (3.32а),

^■+ —•^1 = — f d2012^°\(3.25')

dt 1 т dxi и Jа 7х '

D^F^ = -L^\(3.32а')

Первый шаг состоит в том, чтобы решить второе из этих уравнений для

2; ^1)

при некоторых определенных «граничных условиях». Это дает явную функциональную зависимость Т^05 от Fv при соответствующим образом выбранном начале отсчета времени. Последнее означает, что система частиц (со взаимодействиями, препятствующими существованию связанных состояний) становится некоррелированной, когда протечет достаточно длительный интервал времени в обратном направлении. Уравнение (3.32а) решается именно при этом условии. Такое условие поставлено в связи с его дальнейшим приложением к процессам столкновения и означает, что до столкновения частицы не коррелированы.

На втором шаге полученное таким образом решение для F^ подставляется в уравнение (3.25') и выводится соответствующее выражение для 012^2О)> чт0 приводит к характерной форме боголюбовского обобщения уравнения Больцмана.

Для решения этих задач вводится оператор сдвига

^ = e^ltLi\,(3.33)

где Ьг — /-частичный оператор Лиувилля (ср. с Ль который задается уравнением (2.30)). Определение Li вытекает из уравнения Лиувилля для изолированной системы из / частиц:

^ = 1НЬ F^ = —LtFi.(3.34)

Решение этого уравнения имеет вид

F^i, ...Д; 1") = ^^!,0),.(3.35)

Оператор Д^т действует на фазовые переменные Fi. Он «сдвигает» их обратно по времени на интервал т по отношению к значениям, определяемым /-частичным гамильтонианом Hi. Для единичной свободной частицы мы получим

AL^x, р, 0=^(х--£т, р, <) .(3.36)

В более общем случае (возвращаясь к обозначению фазовой переменной через z) для произвольной фазовой функции ф мы имеем

А^ф^,...,Д^; <)•(3-37)

Из (3.35) следует, что Ft постоянна вдоль траекторий системы в Г- пространстве / частиц. Ниже приведено несколько других свойств оператора А:

Ао=1,(3.38)

^T1^T2 — А(Т14-Т2)>(3.39)

^ = -LLx=-K-xL(3.40)

Последнее соотношение справедливо дляоператоров, не завися

щих от времени. Решением неоднородного уравнения Лиувилля

—^LF^, t^ = P^ f)(3.41)

является функция t

F^, t) = ^tF (z, OH^-t J dt'^t-P^, t')(3.42)

0

(здесь использовалось свойство (3.40)).

Упомянутое выше граничное условие для s-частичной функции Распределения как функционала от F^ легко задать через опера-

торы А. Как мы помним, это условие состоит в том, что система s взаимодействующих частиц в далеком прошлом была некоррелированной, т. е.

lim K^F, [1, ..., s; ^ (1, 01 = Ит Д(Л П Fv (Z, Z). (3.43) Т—>оо Т->оо Z=1

Поскольку данное условие справедливо для произвольной функции F^ оно будет справедливо и для F^ = lim A^Ft (1, t). Подставляя эту функцию в предшествующее равенство, получим

lim Д^Л [1, .,., s; №v (1, Z)] = Ит Д^ П ^Ft (I, Z). (3.44) Т—>оо Т—>оо 1=1

Такая форма граничных условий используется при решении функционального уравнения (3.32а). Явный вид правой части (ПЧ) равенства (3.44) легко получить, используя (3.36). Это дает

ПЧ (3.44) = lim Д(ДП ^[(х^-^-т), рЛ = т->оо z=i L 'т , j

- П ^Н" Л (3.45)

1=1

Переменная рр> — это постоянный импульс, который имеет 1-я частица, взаимодействующая с совокупностью s частиц, если проследить за этой частицей из состояния р? в далекое прошлое. Переменная х(/5) — это координата, которую имела бы Z-я частица, если бы она двигалась с импульсом pis) при начальной координате А^Хь Такая интерпретация обусловлена той операцией, которая определена последним равенством:

х(Л = lim Д(Л (хг + -^ т) = lim ( Д(Лхг + т ) . т-уоо 'w ' т—>оо 'т f

Как мы увидим, эта интерпретация весьма полезна при нахождении явного выражения для 0i2^2O) в уравнении (3.25').

Перейдем теперь к интегрированию уравнения (3.32а):

D^F^ = -LSF^.

Согласно (3.26) и (3.30), операция D^F^ определяется следующим образом:

DWF^=^A^ (FJ = (-LJW(3.46)

Эту функциональную операцию можно привести к виду, удобному для дальнейшего исследования и в то же время позволяющему включить предшествующее граничное условие, если воспользоваться следующим приемом. Поскольку (3.46) справедливо для любой функции Ft) оно будет справедливо также и для k^Fi. Таким образом,

D№F“» [1, ..., s; AL1^] =^5°’ Г -Mi-Vil • (3.47)

Вспоминая свойство (3.40), мы можем записать это уравнение так:

что дает нам желаемый вид функциональной операции:

Д'0^!, ...)$;да^Д^Ь (3.49)

Подставляя это выражение в (3.32а), получим

4; F^ [1, ..., s; A^^i] = - LSF^ [1, ..., s; A 2^]. (3.50) Рассмотрим пробное решение

^[l, . ..,з; Д(2)тЛ1 = А-т^0>(1,F^.(3.51)

Подстановка его в (3.50) дает

-^ АЗД” (1, • •., s; F^ = - L8^i\F($m (1, ..., s; F^. (3.51а)

Если мы вспомним (3.40) и заметим, что F^ в таком виде, как она записана в уравнении (3.51а), не зависит от т, то увидим, что это уравнение является тождеством. Отсюда следует, что решением уравнения (3.50), а следовательно, и уравнения (3.32а) будет произвольный функционал от функционала, заданного соотношением (3.51).

Другой формой решения может быть следующая:

/■“"(I, ...,з; F^AlV^l, ^FO- (3.52)

Это решение пригодно для всех интервалов т, так что

F(s0> (1, ..., s; F^ = lim ДЗД0> (1, ..., s; Ь^ (3.53)

также является решением. Используя предшествующее граничное условие, а также (3.44) и (3.45), получим

F^ (1, ..., s; F^ = Д Ft (х^, p)s)).(3.54)

Это решение удовлетворяет уравнению (3.32а) и граничному условию (3.44). Таким образом, первая часть задачи о получении одного уравнения для F^ из уравнений (3.25') и (3.32а') завершена. Из (3.54) видно, что решение низшего порядка Fsm в анализе Боголюбова обнаруживает s-частичную корреляцию между частицами (через переменные x(S), p(S)).

Следующий шаг состоит в том, чтобы получить в уравнении (3.25') соответствующее выражение для Q^F^. С этой целью напомним сначала соотношение (2.155) и последующие:

L2 = К2— 012?

К Р1 I Рг

2 “ т dXj ' т ' дх2 '

Отсюда вытекает, что

&ttF^ = K2F^-L2F"\(3.55)

Чтобы получить надлежащее выражение для L2F^\ вернемся опять к уравнениям (3.32а') и (3.26):

-l2f™ = ty№F^ =, Л(0’\ ,

J 1(3.56)

л«”= —EL.^±(XbPz).т oxi v

Выполняя функциональное суммирование, соответствующее внутреннему произведению ( , ), и вспоминая решение F^ , которое задается посредством (3.54), получим явный вид для L2F^x

L^ = ^Et [^’, р-1 -^ Ft [х-\ р->] + р<2>(3-57)

+^Л[хЛрГ’].^Л[хГ\рП.

пис/Л. 2

Наконец, чтобы получить нормальную форму обобщенного уравнения Больцмана, произведем в операторе ^2 замену переменных хА и х2 на хА и г = х2 — х1т что дает

Используя выражение (3.57) для L2F^ и (3.58) для K2F^, подставим (3.55) в (3.25') и придем к обобщенному уравнению Больцмана в форме Боголюбова:

^ + 4 ' ^ = 4 P27W"’ + 4 р2 (К; - Д^^ (3.50)

В случае, когда F^ однородна по всей области взаимодействия, второй интеграл обращается в нуль (^' и Ь2 оба содержат про-

странственные производные), в то время как Tt2, б переходит в обычный больцмановский оператор столкновений.

Чтобы это показать, в соотношении

j d2K2, ^ = J dxadpaV.-L {Ft [pi2>] F, [p">]}(3.60)

(где аргумент x в ^ выпадает, поскольку Ft однородна по всей области столкновения) выполним интегрирование по х2 в цилиндрических координатах с осью цилиндра ц, параллельной относительной скорости

V= P2~P1 ;=(3.61)

т 1 Vх ’

Радиус цилиндра Ь и азимут ф лежат в плоскости, нормальной к V. Отсюда следует, что

dx^ = bdф db dr],

у.а=уд(3.62)

dr дт]x z

Интегрируя сначала по ц, получим

+j dr) ^ {Л [р)”] F, [р‘2’]} = F, [р™] F, [р^-(3.63)

Области после столкновения соответствует и = 4*00 (рис. 3.5).Области после столкновения соответствует и = 4*00 (рис. 3.5).Если из этой области (ц = +оо) прошлое, то каковы будут значения pi и р2 в случае парного взаимодействия частиц? Ими должны быть те значения импульсов, которые перейдут в pt и р2 после столкновения, т. е. импульсы р* и р' инверсивного столкновения. (Эти понятия будут подробно обсуждаться в гл. IV.)Области до столкновения соответствует ц = —оо (рис. 3.5). Каковы будут значения pi и р2 при парном взаимодействии частиц, если из этой области (ц = =—оо) проследить в бесконечное прошлое, которое представляет собой состояние «до до столкновения», т. е. область,Если из этой области (ц = +оо) прошлое, то каковы будут значения pi и р2 в случае парного взаимодействия частиц? Ими должны быть те значения импульсов, которые перейдут в pt и р2 после столкновения, т. е. импульсы р* и р' инверсивного столкновения. (Эти понятия будут подробно обсуждаться в гл. IV.)Области до столкновения соответствует ц = —оо (рис. 3.5). Каковы будут значения pi и р2 при парном взаимодействии частиц, если из этой области (ц = =—оо) проследить в бесконечное прошлое, которое представляет собой состояние «до до столкновения», т. е. область,проследить в бесконечно далекоепроследить в бесконечно далекоеРис. 3.5. Связь между знаком т] и областью столкновения.Рис. 3.5. Связь между знаком т] и областью столкновения.

Области после столкновения соответствует и = 4*00 (рис. 3.5).

Области после столкновения соответствует и = 4*00 (рис. 3.5).

Если из этой области (ц = +оо) прошлое, то каковы будут значения pi и р2 в случае парного взаимодействия частиц? Ими должны быть те значения импульсов, которые перейдут в pt и р2 после столкновения, т. е. импульсы р* и р' инверсивного столкновения. (Эти понятия будут подробно обсуждаться в гл. IV.)

Области до столкновения соответствует ц = —оо (рис. 3.5). Каковы будут значения pi и р2 при парном взаимодействии частиц, если из этой области (ц = =—оо) проследить в бесконечное прошлое, которое представляет собой состояние «до до столкновения», т. е. область,

Если из этой области (ц = +оо) прошлое, то каковы будут значения pi и р2 в случае парного взаимодействия частиц? Ими должны быть те значения импульсов, которые перейдут в pt и р2 после столкновения, т. е. импульсы р* и р' инверсивного столкновения. (Эти понятия будут подробно обсуждаться в гл. IV.)

Области до столкновения соответствует ц = —оо (рис. 3.5). Каковы будут значения pi и р2 при парном взаимодействии частиц, если из этой области (ц = =—оо) проследить в бесконечное прошлое, которое представляет собой состояние «до до столкновения», т. е. область,

проследить в бесконечно далекое

проследить в бесконечно далекое

Рис. 3.5. Связь между знаком т] и областью столкновения.

Рис. 3.5. Связь между знаком т] и областью столкновения.

Находящуюся далеко за пределами зоны взаимодействия двух частиц? В этой области две частицы движутся независимо одна от

другой как свободные, поэтому их импульсы равны pi и р2. Следовательно,

Л 1рП Fl [рП |t« = Ft (рЭ Ft (р;)-F, (Р1) F, (р2).(3.64)

Подставляя это соотношение в (3.63), а затем в (3.59) (и удерживая только однородный вклад К^ б)> получим обычное уравнение Больцмана:

-ЛСрОЛ»(3.65)

Уравнение Больцмана подробно рассматривается в гл. IV, где представлены три других его вывода. Более прямой из них не опирается на последовательность ББКГИ-уравнений. Но весьма примечательно, что анализ Боголюбова дает независимый (т. е. опирающийся только на уравнение Лиувилля) метод, который позволяет получить больцмановский интеграл столкновений в явном виде. В данный момент важно, что такой метод существует. В главе IV будет дана всесторонняя трактовка уравнения Больцмана, которая обеспечит более глубокое его понимание.

Групповые разложения

Совсем недавно были предложены другие методы разложения для исследования ББКГИ-уравнений. Сюда относятся работы Ростокера и Розенблюта (1960), Гернсея (1960), Ленарда (1960), Балеску (1960), Сэндри (1963) и Дюпри (1961). Однако эти работы в противоположность предыдущим больше связаны с выводом определенного кинетического уравнения, чем с получением решения для TV-частичной функции распределения. (Кинетическим называется любое уравнение в переменных (t, |, х) для неизвестной функции Д.) Тем не менее все эти методы объединяет то, что в каждом из них решение ищется в виде некоторого разложения. В частности, метод Боголюбова связан с разложением по обратным степеням параметра и — удельного объема.

Существуют другие способы разложения, непосредственно опирающиеся на свойства F2l F3j . . ., FN в предельном случае, когда и-10. Что это за свойства? Очевидно, что, когда объем, приходящийся на одну частицу, становится большим, а следовательно, и расстояние между частицами также возрастает, тогда фаза какой-либо частицы становится менее связанной с фазой любой другой частицы. Это утверждение о независимости состояний, записанное через функцию распределения Fs, выглядит так:

Fs = П Fv (Z).(3.66)

Z=1

Для случая s = 2

F2(l, 2) =Л(1)Л(2).(3.67)

Если состояния двух частиц не зависят одно от другого, то говорят, что эти частицы не коррелированы. Мера влияния состояния одной частицы на состояние другой частицы (отличной от первой) определяется корреляцией между частицами. Равенство (3.67) справедливо в предельном случае, когда корреляция отсутствует. Отклонение функции F2 (1, 2) от факторизованной формы F\ (1) ^i (2) называется корреляционной функцией ^2. Таким образом,

F^ (1, 2) = ^ (1)^ (2) + g2 (1, 2).

Если ^2 мала по сравнению с ^ (1) ^2 (2), состояния частиц 1 и 2' являются независимыми. Ясно, что это будет иметь место в случае «большого» удельного объема и при условии, что газ однородно заполняет конфигурационное пространство. Этот результат можно сформулировать более точно с помощью г0 — радиуса потенциала межмолекулярного взаимодействия ф и средней тепловой скорости V^TIm (к — постоянная Больцмана, Т — температура, пг — масса частицы). Если и — средний объем, приходящийся на одну частицу, то при и, большом по сравнению с г^, каждая из частиц «не подозревает» о существовании другой. В этом случае соответствующим малым параметром будет 8! = (г^).

Классический механизм взаимодействия между частицами осуществляется через потенциал ф. Если температура такова, что кинетическая энергия значительно превышает потенциальную, то последняя не будет играть роли в изменении фаз рассеивающихся частиц. В этом случае малым параметром является е2 = = фо/^То» где фо — «напряженность» потенциала.

Существование в различных предельных случаях малых корреляций между частицами было использовано Сэндри для приведения ББКГИ-уравнений к безразмерному виду. Получающаяся в результате теория одновременно и формальна и иллюстративна. Введем сначала обозначение, в котором последовательность ВБКГИ-уравнений (3.19) примет следующий вид:

9b + LsFs = n0ksFs+v(3.68>

Здесь no^v"1 и оператор As определяется равенством

S

(3-69),

Кроме того, напомним, что

.7(з-70)

zj ' Oxt ^ dpt + Oxj ^u * др3- *

Запишем систему ББКГИ-уравнений (3.68) через эти новые операторы:

^ + KsFs-esFs=n0KsFs+v(3.71)

При такой записи уравнений выявляется только действие параметра п0. Однако рассматривать предельный случай большого размерного удельного объема физически бессмысленно. Корректно только лишь сравнение и с некоторым известным постоянным объемом.

Для того чтобы устранить все размерные параметры в уравнении (3.71), мы должны привести к безразмерному виду все переменные, входящие в это уравнение. С этой целью введем безразмерные (отмечаемые значком ~) переменные:

Х = Т^х.

Фо' = ФоФо ( либо Ои = ^- Gu ) ,

V s

s — T^ ,

Ро где

р0 = тС, тС2 = кТ0.(3.73)

Расстояние г0 — это радиус потенциала взаимодействия. Определение безразмерной силы G и потенциала ср обеспечивает согласованность введенных переменных.

Подставляя эти новые переменные в уравнение (3.71), получим

Ш <з-74)

Опуская значки «тильда» (все переменные и операторы являются «безразмерными), придем к ББКГИ-уравнениям в форме Сэндри:

(А + Ks - «08) Fs = apAsf s+1,

Х'(3.75)

Сильное дзаимодеистбие; низкая температура c-i

1

Слабое ВзаимоВейстбие;

Высокая температура ^

(г1, О

(1,е)

(1,1)

(!,€-*)

+ «)

(<,1)

€1€ 1 р = П^Г^

КороткодеистВу-Далънодейстбу

юшие силы;ющие силы;

разреженнаяплотная среда

среда

Рис. 3.6. Упорядочение параметров (а, 0) в групповых разложениях.

Эти уравнения имеют два характерных физических параметра: cpo/fc^o и пог^. Область, представляющая физический интерес, полностью исчерпывается, если позволить этим параметрам принимать значения, равные по порядку величинам 8"1, 1 и 8 (б — бесконечно малая). Возникающие в результате девять возможных случаев представлены на рис. 3.6.

Задача 3.2. Что можно сказать относительно ^з, если ^2 = О, и относительно ^2, если ^3 = 0? Описать словами «физику» каждой ситуации.

Корреляции более высокого порядка определяются по следующей схеме:

F2(l, 2) = ^t (1)^2(2) + ^2(1, 2),

F3 (1, 2, 3) = Ft (1) F, (2) F, (3) + ^ (1) ®2 (2, 3) +^ (2)^2(3,1) + + ^(3)^(1, 2) + ^3(l, 2, 3),

(1, 2, 3, 4) = Fv (1) F, ^ Ft (3) F, (4) + F, (1) F, (2) ^2 (3, 4) + + Fi (2) Ft (3) ^ (4, 1) + ^ (3)F,(4) «2(1, 2) + + F, (4) Fx (1) ^2 (2,3) + F, (1) Ft (3) ^2 (4, 2) + (3.76) + Fi (2) Fi (4) «2 (3,1) + Fi (1) ^3 (2, 3, 4) + + Fi (2) ^3 (3, 4, 1) +Л (3) ^ (4, 1, 2) + + Л(4)«3(1, 2, 3) + ^2(l, 2) $2(3, 4) + + ^2 (2, 3) ^2 (4, 1) + ^2 (1, 3) «2 (2, 4) + + tMl, 2, 3, 4).

Эти формулы обладают следующим свойством:

П ПРИ 0, 2 г s.

Z = 1

Кроме того, если из данной группы частиц выделяется некоторая подгруппа, то функция распределения этой группы частиц соответствующим образом разлагается на множители. Предположим, например, что в группе из четырех частиц (1, 2, 3, 4) частицы 1 и 2 находятся каждая в области влияния другой, но далеки от частиц 3 и 4. Каждая из последних двух частиц, подобно первым двум, находится в области влияния другой. Такое состояние характеризуется следующими соотношениями:

F, (1, 2, 3, 4) = 7М1, 2)^ (3, 4),

®4 = 0, ®з = о,

®2 (1, 4) - «2 (2, 3) = ®2 (1, 3) = «2 (2, 4) = 0.

Подставляя эти выражения в последнее из равенств (3.76), получим

F4(l, 2, 3, 4) = Л(1)Л(2)Л(3)Л(4) + Л(1)Л(2)®2(3, 4) +

+ F, ^F^^Y, 2) + ®2(1, 2)^(3, 4) =

= 1Л(1)Л(2) + ^2(1, 2)ЛЛ(3)Л(4) + ^2(3, 4)] =

= ^2(1,2)^2(3, 4).(3.77;

Рассмотрим также другое часто встречающееся представление корреляционных функций. Оно соответствует так называемому разложению Кирквуда, хорошо известному химикам-теоретикам. Корреляционные функции в этой схеме обозначаются через (1, 2), Л (1, 2, 3), К (1, 2, 3, 4) и т. д. Они определяются следующим образом:

F, (1,2) = Ft (1)^ (2) [1 + ? (1,2)1,

F3(l, 2, 3)=Л(1)Л(2)Л(3) [1 + ^(1, 2) + ^(2, 3)+^(3, 4)+й(1, 2,3)].

Предположим, что рассматриваемая система бесконечно близка к состоянию с нулевыми корреляциями. В таком случае все Z- частичные корреляционные функции имеют порядок е и выше, так что

^ = Дзд + О(8) = ^оЧе^п+...,(3-78)

где F^ записывается в форме произведения (3.66).

Поскольку ^0) описывает равновесное состояние (разреженного газа), то представленное выше разложение справедливо для

состояний, близких к равновесию. Рассмотрим теперь некоторые из предельных случаев, изображенных на рис. 3.6.

Случай а: 0 = О (е), а = О (1).

Если положить р = поГо = е, то система уравнений (3.75) сведется к следующей (удержим только члены наинизшего порядка по е):

4 + ^ = 0,(3.79а)

( 4 + ^ ) (№) - а&№ = 0,(3.796)

(4 + ^s-a0s) fl F^=0.^Л^

Имеем N уравнений для одной неизвестной функции Ft. В этом случае нетривиальное решение возможно, только если уравнения совместны. То же самое справедливо относительно всех разложений ББКГИ-системы около нулевых корреляций. Данное условие существования нетривиального решения следует из предположения о форме ведущего члена в разложениях (3.78), соглас-

S

но которому F^ = П ^i W- Совместность уравнений нулевого 1=1

порядка является необходимым условием факторизации F^.

Задача 3.3. Установить, являются ли совместными уравнения (3.79).

Случай б: a = О (е), р О (1).

Полагая a = О (е) в разложении (3.78) и удерживая в (3.75) только члены наинизшего порядка по 8, придем к следующим уравнениям:

^^Ц n/HO=o.(3.80)

Эта согласованная система уравнений имеет решение в виде свободно-молекулярного течения:

^(х, р, o=^[x—(4) ^; р] ,(3-81)

где ф — любая функция от х — (p/m) t и р. Таким образом, решения уравнений (3.80) постоянны вдоль траекторий свободных частиц р = р0 и х — (p/m) t = х0.

Полученный результат имеет силу, когда Р ^ О (1), так что решение пригодно для областей (s, е) и (е, 1) (рис. 3.6). Следова-

тельно, г о может быть порядка п0-1^ при условии, что напряженность потенциала много меньше кинетической энергии кТ0. Пер^ вые два уравнения системы (3.75) до членов О (е) включительно имеют вид:

(-^ + Ki) Fl (1) = sapA^ 1 (1) Fv ^,(3.82а)

(4 + Я2) [Л (1) Ft (2) + s^2] - еа©^ (1) Ft (2) =

= барА2Л(1)Л(2)Л(3).(3.826)

Для s = 3 будем иметь

( 4 + ^з) kFiFiFi ++ ... + е^з) -

— ваёз^^^! = еарАдГ^^Гр(3.82в)

Получающуюся в результате систему уравнений в принципе очень легко решить. Во-первых, Е^ получается из (3.82а). Когда Г4 найдена, оставшиеся уравнения все являются неоднородными уравнениями следующего вида:

[A + Ks] ^-Р» (F^ ^).(3.83)

При таком методе решения функции распределения находятся в соответствии со следующей схемой (до членов О (е)включительно):

Полезно, между прочим, отметить одно важное свойство корреляционных функций ®z (1,2, . . ., V). Рассмотрим уравнение, определяющее ^2-

F2 (1, 2) = Ft (1) Fi (2) + £2 (1, 2).(3.84)

Но функция Ft в, свою очередь определяется через F2:

J ^2(1, 2) </2 = ^(1);^(2)^ = 7.(3.85)

Сравнивая последние два уравнения, заключаем, что

j ^2(1, 2)d2= J ^2(1, 2)dl=0.(3.86)

Для ^з мы находим

J d2d3 [Л (2)^(1, 3) + ^ (3) ^2(1, 2) + ^3(1, 2, 3)] = 0,

f di аг (Л (1) ®2 (2, 3) + ^ (3) ^2 (1, 2) + ^3 (1, 2, 3)] = о,

,(3.87),

j di d2 [Л (1) ^2 (2, 3) + Л (2) ^ (3,1) + ^з (1, 2, 3)] = О

или, используя соотношение (3.86),

j d2 d^^ = j di d3^3 = j di d2ig3 = 0.(3.88)

Аналогичные утверждения справедливы для ^S1 s > 3. Эти условия могут служить дополнительными уравнениями в любом данном методе разложения. Они определяют ограничения, наложенные на корреляционные функции. Так, например, из условия (3.86) следует, что ®2 не может быть четной функцией по всем из своих аргументов.

Задача 3.4. Доказать, что j^sd/c = O, к = 1, 2, . .., s. Случай в: а = О (е), $ = О (е-1).

Этот предельный случай впервые был введен Розенблютом и Ростокером (1960) при исследовании соответствующих уравнений для высокотемпературной плазмы. Плазмой называется состояние вещества за пределами атомарной газообразной фазы. Когда атомарный газ нагревается выше некоторого предела, появляется механизм, который непрерывно поглощает кинетическую энергию хаотического движения. Это подобно энергии диссоциации в жидкости с полукристаллической структурой, которая является как бы каналом для непрерывного поглощения энергии при переходе из жидкого состояния в газообразное. При переходе в плазменную фазу поглощающим каналом является механизм ионизации, и в новой фазе частицами будут положительные ионы и отрицательные электроны. Законы, управляющие поведением плазмы, так же сильно отличаются от законов газообразной фазы, как законы газообразной фазы отличаются от законов жидкой фазы. Силы взаимодействия в плазме — кулоновские. Они отличаются от всех других сил взаимодействия между частицами очень большим радиусом действия. Эти две характеристики — Дальнодействие и высокая температура — дают возможность предположить, что Фо/^^о ~ е и г^о ~ е-1, так что фо^о/^^о ~ 1-

Для кулоновского закона взаимодействия

^ = ^Т^7Г (мкс)’(3'89)

где е — заряд каждой частицы, а е0 — диэлектрическая проницаемость вакуума. Радиус г0 и напряженность ф0 взаимодействия

связаны соотношением

фо _ g2Го 4ле0г^ *

В силу того что фо^о/^^о ~ 1, мы можем оценить соответствую, щий радиус взаимодействия гр:

г;.(3.91)

Характерная частота сор определяется равенством

(3.92)(3.92)„2/ с \2g2”o

(3.92)

(3.92)

Р\ Гр /80^ '

Расстояние гр — это эффективный радиус действия кулоновского потенциала в плазме. Более точные вычисления (впервые проведенные для электролитов Дебаем и Гюкелем (1923)) показали, что заряженная частица, помещенная в нейтральную плазму, вызывает перераспределение заряда, стремящееся экранировать пробную частицу, так что вне гр {радиус Дебая) кулоновский потенциал в е-1 (In е = 1) раз меньше своего значения в вакууме.

Частота сор связана также с основным коллективным колебанием, которое будет совершать возмущенная плазма, выведенная из состояния локальной зарядовой нейтральности. Установлено, что время образования около пробного заряда дебаевского экранирующего облака имеет порядок (Ор1.

Ознакомившись с самыми элементарными понятиями физики плазмы, вернемся теперь к разложению ББКГИ-уравнений, когда а ~ е и (3 ~ 8-1, и к концепции предельного случая нулевых корреляций между частицами. До настоящего момента мы просто считали, что надо положить ^; ~ г^г^г = О (1)), чтобы формально описать этот предел. Однако мы получим более последовательный формализм, если положим ^ ~ &к~1(ёк. В этом случае ^4 имеет порядок е3, ^2 имеет порядок еит. д. Но обосновано ли физически такое упорядочение? Иными словами, если ®2 мала, то будет ли «3 еще меньше?

Хотя точное доказательство этого факта получить трудно, некоторые простые оценки, по-видимому, подтверждают правильность сделанного нами предположения. Их можно получить, вычисляя объем допустимых областей фазового пространства, где r6s отлична от нуля1). Рассмотрим элементарную задачу о трех шариках на прямой проволоке длины L. Областью взаимодействия между любыми двумя из них является г0 (в данном случае это диаметр шариков). Чтобы вычислить ^2 (1, —)> зафиксируем шарик 1 в начале координат, тем самым мы определим пло-

х) Можно рассматривать ^ как /с-частичное распределение. В этом случае мера ^h равна отношению объема в Г-пространстве, который включает состояния с /с-частичными корреляциями, ко всему объему Г-пространства.

скость в трехмерной конфигурационной части пространства Г6. Области, в которой ^2 (1, —) отлична от нуля, соответствует заштрихованная площадь на рис. 3.7, а. Когда шарик 2 находится в интервале —г0 ^ я2 ^ + г0, то при ^2 (1, —) ¥=0 шарик 3 может находиться где угодно на прямой. То же самое справедливо, если шарики 3 и 2 поменять местами. Отношение Л2 площади, для которой ®2 (1, —) =£0, к полной площади равно (^rQIL) [1 — (г0/А)] для ^Tq!L^ < у и равно единице в любом другом случае. Чтобы определить, где ®3 (1, —, —) =^0, поместим опять шарик 1 в точку (0, 0, 0). Состояниям с ненулевой функцией

Рис. 3.7. Корреляционные функции для трех шариков на прямой.

^з (1, —, —) соответствует заштрихованная область на рис. 3.7, б. Относительная площадь, на которой ^3 (1, —, —) конечна, равна Л3 = 8г2/1А Если мы обозначим tq!L = е, то в пределе, когда 8-^0, Л3 = 2еЛ2. В более общем случае Л2 ~ Л^2 (1 — Л*/2).

Наши вычисления сильно упростились, поскольку мы пренебрегли кинетической энергией частиц. Вообще говоря, для любого заданного прицельного параметра (в классическом случае) действие рассеивающего потенциала сводится к нулю, когда энергия падающей частицы становится достаточно велика. Можно утверждать, что в пределе при ^Q!kT0 —> 0 эффективная область взаимодействия уменьшается. С другой стороны, когда ^JkT Q -> оо, эффективный радиус взаимодействия становится равным г0. Простейший способ включения этих соображений в предшествующий анализ состоит в замене г0 на r0 [1 — ехр (—фо/^^о)]; тогда Л2 ~ — ^ (1 — ^), Л3 ~ .^2, где

Если ®2 и ®з сравнительно однородны в областях, где они отличны* от нуля, то приведенные выше доводы дают возможность предположить, что

^2 ~ 1 —р (1_^-«)

(где Р ~ Tq!L и а ~ фо/%Го). В области высоких температур (а = О (е)) эта зависимость сводится к следующей:

^-^«2,(3.94)

в то время как в области низких температур

~ ртгр ^2»

и корреляции более высокого порядка могут быть значительными.

Это простое эвристическое рассуждение показывает, что в некоторых предельных случаях корреляционные функции можно упорядочить по величине в соответствии со степенью рассматриваемой корреляции. Пределы задаются посредством введенных ранео коэффициентов а и р. Интересно отметить, что даже в таком очень простом представлении мы встречаемся с трудностью, которая появляется в сингулярном пределе а ~ е, Р ~ е-1 (высокая температура, дальнодействие), когда упорядочение согласно степени корреляции становится сомнительным.

Мы пытались показать, что упорядочение по относительным величинам корреляционных функций в соответствии со степенью корреляции подсказывается некоторыми простыми физическими соображениями. Соглашаясь с этим, мы формально приходим к следующей последовательности корреляционных функций:

^2 = [6^> + 82^”

-ё3 = е [е^ + е2^*(3.95) ^4 = 82[8^1> + 82^>

Полагая а -> еа, 0 -> 8-10 и используя (3.95) и (3.76) в уравнениях (3.75), получим следующую систему уравнений (до членов О (е)):

(4 + ^)Л = а0А1[Л(1)^(2) + 8^п(1, 2)],(3.96а)

(4 + А2-еаё2) №(1) Л(2) + ^п1 =

= «0А2 [Ft (1) Л (2) F, (3) + eF, (1) ^ (2, 3) +

+ eFt (2) ^' (3, 1) + eF, (3) ^> (1, 2)]. (3.966>

Сохраняя в них только члены низшего порядка, получим;

(^- + к,) л (1) = «Р^Л (1) Ft (2),(3.97а)

(4г+^ Ft (1) Ft (2) =арА2Л (1) F, (2) F, (3),(3.976)

у ЛX 5

4+^s П ^i (О = ~0AS [J F,^.(3.97в)

'1 z=iz=i

Легко показать, что система (3.97) взаимно согласована. Для этого рассмотрим два простых равенства:

(4+^) П/.й-

'2=1

= 2^(1) ...Л(?-1)Л(Н1)FM^^'V^ (3-98)

Z=1 и

A,fl ^i(0= 5^(1) ... Л (/-1)^ + 1) ... 2=1Z=1

F, (s)A^i(Z) F± ($+4),(3.99)

jd(s + l)Gb8+1.

Задача 3.5. Доказать справедливость формул (3.98) и (3.99).

Подставляя эти соотношения в (3.97в), получим:

2 л (1) . •. (I -1) F, (I +1) ... F, (s) (4 + К\) F, (Z) = 1=1

=ap 2^0) ...Fdi-twnrV)...

... Л(8)№(г)^($+1), (З.юо) или, что эквивалентно,

2П ^ [ (4г+^)F^ ^ -a0A^i W Fi ($+1)] = о. (з.ю1)

Член в квадратных скобках обращается в нуль согласно (3.97а). Отсюда следует, что уравнению (3.97в) удовлетворяет та же самая функция Ft, которая удовлетворяет уравнению (3.97а). Таким образом, система (3.97) совместна. При данном апостериор-

148 Гл. III. Формальное развитие теории кинетических уравнений ном подходе мы убедились, что в предельном случае а ~ 8 и р ~ 8-1 предположение о факторизации F^ в разложении (3.78) не приводит к противоречиям.

Отметим следующее различие между случаями (б) и (в). Для случая (б), когда а ~ 8, р ~ 1, сила взаимодействия между частицами не входит в уравнение нулевого порядка (3.80) и мы получаем решение в виде свободно-молекулярного течения. Только лишь когда учитываются члены О (е), начинают действовать операторы 0S и As и частицы «видят» одна другую. Это противоположно случаю (в), когда интенсивность взаимодействия все еще значительно меньше тепловой энергии (а ~ е), но радиус взаимодействия очень велик (Р ~ е-1). Вследствие этого уравнения наиниз- шего порядка (3.97а) характеризуют непосредственно влияние соседних частиц. Однако из развитой нами теории как раз следует, что уравнения первого порядка для Ft (3.82а) в случае (б) (р ~ 1; умеренный радиус взаимодействия) имеют тот же вид, что и уравнения наипизшего порядка для F^ (3.97а), в случае (в) (Р ~ е-1, очень большой радиус взаимодействия).

В последнее время этому уравнению уделяется много внимания, а для нас оно представляет особую важность, поскольку является кинетическим уравнением, которое, как было показано, формально следует из ББКГИ-системы. По причинам, которые для нас уже вполне очевидны, уравнение (3.97а) часто называют бескорреляционнъъм уравнением.

Определение кинетического уравнения.Самосогласованные решения

Используя метод разложения около нулевых корреляций между частицами, мы впервые сталкиваемся с кинетическим уравнением. Кинетическим является любое уравнение вида

=(З.Ю2)

где М — известный функционал, отображающий Ft на функции от (р, х, t\ F^. Исходной формой любого кинетического уравнения является БИр

PL.^L= --4— ( d2G12F2(l, 2)(3.103)

dt т dX! v dp! Jz v 1

(в размерном виде).

(3.104)(3.104)^ = Z^2 (1, 2; F^^ = Z^2 (1, 2; F^Чтобы получить из него кинетическое уравнение, необходимо ввести некоторую аппроксимацию для F^ т. е. мы должны вычислить

(3.104)

(3.104)

^ = Z^2 (1, 2; F^

^ = Z^2 (1, 2; F^

и получить 7^2 как некоторый известный функционал от F v Внося (3.104) в (3.103), получим кинетическое уравнение:

—[<220^2(1,2;^).(3.105)

dt 1 т dxi v dpt Jz \v \/

Мы нашли, что в пределе, когда а —> 8, Р -> 1, е, е-1, уравнение, которое получается для Ft при разложении около нулевых корреляций (ср. (3.82а) и (3.97а)), имеет такой вид:

■ > + 7 i ^-А № f, (2) = 0 (3.106) (переменные размерные).

Это уравнение известно как "уравнение Власова и широко используется в теории высокотемпературной плазмы. Оно также применяется в теории кристаллических структур (Власов (1961)), теории конденсации (Либов (1963)) и в кинетическом описании теории Ньютона — Джинса образования звезд (Линден-Белл (1962)). Объединяющее общее свойство всех таких приложений связано с коллективными взаимодействиями и дальнодействую- щей природой доминирующих сил.

Уравнение Власова (3.106) можно привести к более традиционной форме записи, если вспомнить, что числовая плотность п (х, Г) задается через Ft соотношением (ср. с (3.1))

n(x, #)=А j Ftdp.(3.107)

Кроме того, если мы определим среднюю силу G (х) в точке х как

G (хц) = j n2 (х2) G12 (х„ х2) dx2,(3.108)

то интеграл в уравнении (3.106) можно выразить через G и Ft*.

• j d42 d3p2G12 (хп х2) Fv (1)=

= ^ Pi (1)' j ^%G12n (х2) = -^i (1) G (xt). (3.109)

Теперь уравнение (3.106) можно записать так:

8F р 8F 8F „ п„.

^r+TT--^-+^-G = 0’(ЗЛ1°)

G (xt) = j G12 (хь x2) n ^ d3z2,(3.111)

vn (x2) = j F^ (2) d3p2.(3.112)

Интересно сравнить уравнение Власова с уравнением Лиувилля для одной частицы в силовом поле, потенциал которого равен

Ф (х), т. е.

°(х)=-^ф«-

В этом случае гамильтониан системы имеет вид н=^г+ф^<гл^

и соответствующее «одночастичное уравнение Лиувилля» будет таким:

(3.114) dt 1 др дх дх др''

Очевидно, что оно совпадает с уравнением (3.110). Следовательно, уравнение Власова описывает динамику одиночной частицы в поле средней силы. Это поле является результатом осреднения двухчастичного взаимодействия по плотности оставшихся частиц. Сила G в уравнении Власова (3.110) является функционалом от F, что видно из соотношений (3.111) и (3.112). Силовое поле G, которое присутствует в одночастичном уравнении Лиувилля, приложено извне и от F не зависит. В так называемой «теории орбит первого порядка» мы считаем силовое поле в уравнении Власова известным и постоянным, и в этом случае уравнение Власова вырождается в одночастичное уравнение Лиувилля. А решением уравнения Лиувилля является плотность точек системы в Г-пространстве. В данном случае каждая система — это одиночная частица, поэтому в таком простом случае и Г- и ц-пространства являются шестимерными. К тому же динамика ансамбля будет идентична динамике множества невзаимодействующих частиц, эволюционирующих под влиянием внешнего потенциального поля. Решением являются «орбиты первого порядка», которые дает уравнение Власова в случае силы G, не зависящей от F.

Так как уравнение Власова описывает движение частицы под влиянием силы, осредненной по всем оставшимся частицам, то можно предполагать, что траектория частицы будет гладкой. Это можно показать, найдя решение уравнения (3.110). Из предыдущих рассмотрений в гл. II нам известно, что самое общее решение этого уравнения будет являться функцией решений характеристических уравнений х)

^ = -^ = ^,(3.115)

^jm G (х)

которые представляют собой уравнения орбит одной частицы,

v = Tn^.G=^.(3.116)

atat

2) Обозначения таковы, что

^ __ ^Х аУ а2b bx by bz

Исключая р, получим: d^x п х дф m = G (х) =— .

dt2 х ’ дх

Это уравнение дает интеграл

т(^)2+ф<х)=£-

(3.117)(3.117)(3.118)(3.118)М^+фФ^М^+фФ^(3.119)(3.119)Полученные формулы показывают, что для Ф, гладкой по х и ^ производная dx/dt будет гладкой. То же справедливо и для х (£) (в определенных пределах). Помимо этого, мы заключаем, что любая функция вида

(3.117)

(3.117)

(3.118)

(3.118)

М^+фФ^

М^+фФ^

(3.119)

(3.119)

является решением уравнения Власова, если потенциал Ф удовлетворяет уравнению

^^- =~jf (х2, р2) G12 (хь х2) ^х2 ^р2.(3.120)

Это пример самосогласованных уравнений. Задавая Ф, мы можем затем получить F согласно (3.119). Эти функции определят Ф

Рис. 3.8. Стационарные самосогласованные решения уравнения Власова.Рис. 3.8. Стационарные самосогласованные решения уравнения Власова.

Рис. 3.8. Стационарные самосогласованные решения уравнения Власова.

Рис. 3.8. Стационарные самосогласованные решения уравнения Власова.

через уравнение (3.120). Будет ли это тот самый потенциал Ф, который мы задали вначале? Если это так, то мы нашли самосогласованные поле и распределение (рис. 3.8).

Более часто уравнение Власова встречается в форме (3.110)— (3.112). В эти уравнения входят три переменные — F, G и п. 'Самосогласованность здесь проявляется в следующем. Функция F определяет G и п через уравнения (3.111) и (3.112). Поле G определяет затем F из (3.110). Полученное значение F должно совпасть с первоначальным (рис. 3.9).

Другие интерпретации уравнения Власова можно получить, 'Сравнивая его с БИр Интегралы в уравнении Власова и в урав-

нении EHi соответственно равны

Zb = Ft (1) j F^ (2) G12 (хь x2) d3z2 d3p2,Zbh, = (^(1,2) G12 (хъ x2) d?x2 d3p2.

(3.121)(3.122)(3.121)(3.122)Рис. 3.9. Самосогласованная схема для уравнения Власова.Рис. 3.9. Самосогласованная схема для уравнения Власова.Оба интеграла определяют средние силы в точке хР В первом интеграле интенсивность источника для силы взаимодействия двух частиц около состояния z2 равна Ft (2) d2 и не коррелиро- вана с частицами около Zp В Zbhi интенсивность источника около

(3.121)

(3.122)

(3.121)

(3.122)

Рис. 3.9. Самосогласованная схема для уравнения Власова.

Рис. 3.9. Самосогласованная схема для уравнения Власова.

состояния z2 характеризуется величиной F2 (1, 2) d2 и зависит не только от частиц в состоянии z2, но также и от частиц в zP В описании Власова типовая частица в каждый момент времени «ощущает» силовое поле, создаваемое остальными, мгновенно зафиксированными частицами системы, которые в этот же самый момент не коррелируют с типовой частицей. В уравнении Бй^ частицы системы, напротив, коррелируют с типовой частицей. Напомним, что для вывода уравнения Власова из BHi мы просто полагаем F2 = F^Fi, или, что эквивалентно, ®2 = 0.

Если имеется внешняя сила К (х), которая действует на рассмотренную выше систему частиц, уравнение (3.110) заменяется следующим:

^ + ^-^+С-1С« + к«1 = 0'<зл23>

Сила К не является самосогласованной. Это известная заданная сила. В таком случае (3.119) примет следующий вид:

Г п2

^41 + ФМ + ¥(х)1’(3.124)

где

-^- = — j F (х2, р2) G12 (хь x2) d3x2 d?p2l (3.125)

^=-К(х).(3.126)

Задача 3.6. Пусть сила взаимодействия] G12 = к (г2 — Г1)г-^, где I ri — г2 | = г и к — постоянная. Внешний потенциал — 1йнейный гравитационный, V = mgz. Он одномерный и возрастает с высотой. «Барометрическая формула» получается, если задать F следующим образом:

(

п2\

—^— / •(ЗЛ27>

Оценить погрешность между этим значением Fo и самосогласованным решением F. Отметим, что постоянная нормировки А такова, что интеграл от Fo по всем импульсам и по цилиндру бесконечной высоты с единичной площадью поперечного сечения равен единице.

Задача 3.7. Вывести ББКГИ-уравнения, учитывая потенциал У (х), так что гамильтониан системы имеет следующий вид:

1=1гфэ1=1

Задача 3.8. Показать, что уравнения Власова динамически обратимы. То есть если F (р, х, t) — решение, то F (—р, х, —^) также будет являться решением.

Формальное выражение для ^2в однородном пределе

В любом из предшествующих разложений около нулевых корреляций мы сталкивались с проблемой, как найти ^2, если известна F^. В данном разделе мы исследуем метод, позволяющий это сделать. В частности, будет рассмотрен предел Розенблюта — Ростокера. Большая часть анализа проводится согласно работе Дюпри (1961). Получаемые результаты служат также индуктивным обоснованием гипотез Боголюбова.

Уравнения, которые в указанном предельном случае (случай (в), уравнения (3.96); безразмерный вид; верхние индексы опущены) связывают ®2 с 7^, имеют вид

(4 + ^1) Л = «РА! [Л (1) F, ^ + 8^2 (1, 2)],(3.128)

(4 + М [^ (1) Ft (2) + е«2 (К 2)] - ea^F^ =

= а0А2 [Л(1)Л(2)Л(3) + е 2 ^(№(7,^)] , (3-129) Р[г, К &]

гДе Р U, ь кА — перестановка из чисел 1,2,3, такая, что ®2 Ui &) 11 ^2 (&, У) подсчитываются только один раз. Предположим, что

мы решили уравнение низшего порядка, т. е. уравнение Власова для Ft. Если мы теперь подставим это решение в последние два уравнения, то в результате получим:

0 = арА^2(1, 2) = -ар-А. J d2G12^2(l, 2),(3.130)

(1, 2)-а©2Л(1)Л(2) =

= а₽Л2[Л (1)^(2, 3) + /’1(2)^2(3, 1) + Л(3)«2(1, 2)]. (3.131) Переписывая уравнение (3.130) в виде

^. j а№1к%2 (i, k') = 0(3.132)

и подставляя в (3.131), получим

( 4 + ^2) ^2 (1, 2) - а©^ (1) F, (2) =

= -ар [-А ■ j d3G13 [Л (1) «2 (2, 3) + Л (3) «2 (1, 2)] +

+ — • j ЙЗО23[Л(2)«2(|3, 1) + Л(3)^2(1, 2)]]. (3.133)

Задача 3.9. Третье уравнение (т. е. БИ3) в системе (3.128) опять является уравнением для Ft и ^2- Установить, будет ли это уравнение излишним.

Обычно в данном месте исследования вводится ограничение, а именно предполагается пространственная однородность функции Ft) так что dFJdXt = 0. Функция Ft зависит только от импульсов. При таком ограничении два интеграла в уравнении (3.133) обращаются в нуль:

j ЙЗв18Л (р3) ^2 (1, 2) = j Й3623Л (р3) «2 (1, 2) = 0. (3.134)

Чтобы получить эти равенства, достаточно рассмотреть в них интегрирование только по пространству конфигураций. Сила <jtj имеет вид

Gh = гф (г),

3(3.135)

Г = X; — XJe

Рассмотрим первый интеграл. Конфигурационная часть этого интеграла в сферических координатах с началом в частице 1 запишется так:

Л (p№(1, 2) j j jri|)(r)Л (p№(1, 2) j j jri|)(r)d cos 0 Apr2 dr = 0.d cos 0 Apr2 dr = 0.(3.136)(3.136)

Л (p№(1, 2) j j jri|)(r)

Л (p№(1, 2) j j jri|)(r)

d cos 0 Apr2 dr = 0.

d cos 0 Apr2 dr = 0.

(3.136)

(3.136)

Интеграл равен нулю, поскольку подинтегральное выражение представляет собой изотропное векторное поле. Аналогичный

результат получается для второго интеграла, если начало коорди- нат выбрать в частице 2. Подставляя оба результата в уравнение (3.133), получим:

(Д + £2) ®2 (1, 2) + ар Г^- F, (Р1). ( d3GI3^2 (2,3) +

+ -^Л(Р2)- j ^3G23^2(3, 1)]=а@2Л(Р1)Л(р2), (3.137)

или, что то же,

+= <* • 2) + [+ + + "I1 + ^ (РО j ®= < ' 2) +

= а [в12.-^-+О21.-^-]Л(Р1) Л(Р2). (3.138)

Обозначения таковы, что

+ ' + + “Р+f> <Р>) )“■■]«"< ,2)-

= + + @= <1' 2> + “0 »+‘' J 1,36* <3' 2> = Л*■ <3'139>

Опущенные аргументы таковы, что при их подстановке соответствующие операторы становятся некоммутирующими с ^2. Среднее равенство в (3.139) служит для определения оператора Л^ Полагая далее [(p2/m)-(d/dx2) + а₽ (^Рг)-Л (Р2) j d3G23] ^2 ( , 1)= Л2^2, введем оператор

Л^Л + Л.(3.140)

Гогда уравнение (3.138) примет вид

(4 + л)^2=5,(3.141)

гДе через S обозначен неоднородный член в правой части уравнения (3.138). Такая форма уравнения была получена Дюпри.

Задача 3.10. Установить, является ли обратимым уравнение (3.141).

Задача 3.11. Показать, что Л1Л2 = Л2Л1.

Уравнение (3.141) легко разрешить относительно ^2, если Иьт заметим, что Л не зависит явно от времени, a exp At является интегрирующим множителем. Интегрируя от 0 до t, получим

решение t

ад = j eA^s^dT^e-^^,(3.142)

О t

^2(О = j e-Ai(i-T)e-A2(t-T)s (T)cZT + e-Aiie--42/^2(0). (3.143)

О

Последнее равенство справедливо, поскольку операторы At и Л2 коммутируют. Уравнение (3.142) представляет собой формальное

Рис. 3.10. Предположение адиабатичности.Рис. 3.10. Предположение адиабатичности.обращение уравнения (3.138) через операторы At и Л2. Это решение принимает более простой вид, когда в начальном состоянии газа можно пренебречь корреляцией между частицами, так что F2 (0)=FiFi и ^2 (0)^0. Кроме того, мы можем ввести предположение адиабатичности, которое состоит в том, что Ft (£) пренебрежимо мало меняется за время, необ

Рис. 3.10. Предположение адиабатичности.

Рис. 3.10. Предположение адиабатичности.

ходимое для изменения ^2 (рис. 3.10). Это аналогично боголюбовскому описанию кинетической стадии,

когда все распределения высшего порядка сводятся к функционалам от одночастичной функции распределения F^. При таких ограничениях (3.142) примет следующий вид:

j e-AiV-^e-A^t-^dTS^.(3.144)

о

Поскольку член типа источника 5 — известный функционал от Ft, уравнения (3.142), (3.143) или (3.144) определяют ®2 каК функционал от ^ и, следовательно, F2 также будет являться функционалом от Fv Таким образом, мы пришли к уравнению в форме (3.20) для s = 2, что некоторым образом подтверждает гипотезу Боголюбова. Тот материал, который мы здесь рассмотрели, конечно, не исчерпывает анализа Дюпри. Так, в случае кулоновского потенциала из анализа Дюпри получается явное выражение для с62, что приводит к уравнению Балеску — Ленар' да, которое будет рассмотрено в гл. IV.

Радиальная функция распределения и уравнения состояния

Для достаточно разреженного газа обычно полагают, что аппроксимация F2 = FVF\ справедлива большую часть времени- Это означает, что большую часть времени всякая наугад выбраИ"

^ая частица не будет находиться в области влияния любой другой частицы. С возрастанием плотности среды это интуитивное предположение становится все менее справедливым. В предельном случае жидкости оно абсолютно не верно. Дело обстоит так, что классическая теория жидкости в своем развитии за прошедшие 50 лет была сосредоточена главным образом на вычислении объектОв, тесно связанных с парной функцией распределения ^2. Таким объектом является функция g:

j ^2(1, 2)d3p2d3p1 = g(x1, х2).(3.145)

Отсюда следует, что

g (х1? х2) cZ3^ cZ3^2(3.146)

определяет вероятное число таких пар частиц, что одна из частиц находится в конфигурационном объеме dx^ около х1? а другая — в объеме dx2 около х2. Для жидкости в состоянии равновесия, когда g изотропна, мы полагаем

g^n x2) = g(r),(3.147)

r = |x2 —xj.

В пределе, когда положения любых двух молекул жидкости некоррелированы, мы получим

g d^xY d^x2 = N ^2 ■ ^ d^x^ d?x2.(3.148)

Если мы теперь определим

« =

то будем иметь, что в предельном случае отсутствия корреляций между двумя частицами

g~l.(3.150)

Функция g называется радиальным распределением.

Представим теперь себе следующий воображаемый эксперимент. Выберем в жидкости наугад две молекулы. Окрасим одну молекулу в красный цвет, а другую — в синий, оставив без изменения все другие свойства молекул. Теперь мы хотим выяснить вид функции g (г), когда, скажем, красная молекула приближается к синей из положения, находящегося далеко вне области влияния красной молекулы (г ^ г0). Можем ли мы сразу сказать, что g (г) = 1? Да, при условии, что влияние синей молекулы на красную достаточно мало. Это будет тот случай, когда (фо/^^о) <С 1 (если сила взаимодействия между частицами не относится к классу далънодействующих). Исключая такие сингуляр-

ные случаи, мы можем предположить, что g ~ 1 при г ^> С другой стороны, для г<^ г0 начинают действовать отталкивав

Рис. 3 11. Вид экспериментальной радиальной функции распределения для? инертных жидкостей.

и^ие ядерные силы и g ~ 0. Экспериментальные кривые, полученные для рассеяния рентгеновских лучей в жидкости (рис. 3.11), подкрепляют эти ин- |туитивные предположения.

IПочему радиальная

Iфункция распределения

Iимеет пик непосредственно-

Iв окрестности границы

Iядра, можно легко понять,

1если вспомнить характер-

Iный вид потенциала взаи-

Iмодействия ср, изображен-

I, ного на рис. 3.12. В боль-

—Отталкивающее „ядроптинстве случаев отталки-

Iвание является результа-

,I Т том принципа исключения

ЧПаули, а притягивающий

\«хвост» обусловлен вандер-

\ у^^^-Притяеибающии ваальсовым диполь-ди- X—/„хдост” польным взаимодействием.

Рис. 3.12. Типичный потенциал взаимо- Найдем теперь, как вы- действия.ражаются напряжения че

рез радиальную функцию* распределения. В начале этой главы мы обсудили связь между одночастичной функцией распределения и гидродинамическими

переменными. Мы отметили, что при определении напряже- ^йй Рц был учтен только кинетический вклад. Однако в бо- 1ее общих случаях потенциал взаимодействия частиц также ряосит вклад в напряжения. Определение этих напряжений более общего вида приводит нас в конце концов к уравнению состоя- я0я, записанному через радиальную функцию распределения.

Перепишем уравнение БИ1, заменяя импульс р на скорость g:

|л+^+|-{^ЛЛ.-о.(ЗЛ51>

Напомним, что гидродинамическая скорость и задается соотношением

nu = j ^^ d3g

и что

^2 = 21(2 )/2 = W(7V-l)/2.

При переходе к системе координат, движущейся с локальной скоростью и, уравнение (3.151) примет вид (с = | — и):

4^, + (« + и).^1-+А.(ЗЛ52>

Необходимо отметить, что с не коммутирует с д/дх либо с dldt.. Запишем следующие соотношения:

m {^сс4^ = Р^-и’

m J=т j ^ (757Ci5F+5?)=

= т J d3c^CiCi^+Cj^"&yUt+Ct^^7uA =

= j ^cmcicJ-^ = g^y

Действуя на уравнение (3.152) оператором j md^c. получим (р = тп j jFd3^ — массовая плотность):

» + 7Lp„, = °.(ЗЛ53)-

(Интегральный член обратился в нуль, поскольку он преобразо- Швается в интеграл по поверхности.) Уравнение (3.153) представ-

ляет собой хорошо известное уравнение неразрывности. Оно выра^ жает тот факт, что масса данного объемного элемента может меняться только при наличии потока массы через ограничивающую этот элемент поверхность. Такая форма уравнений характер, на для всех законов сохранения1). Эти законы, будучи записаны в указанной выше форме, вскрывают механизмы, посредством которых происходит изменение во времени рассматриваемых величин. Все уравнения гидродинамики могут быть записаны в такой форме, для чего надо образовать соответствующие моментные уравнения (по скоростям) от уравнения (3.152).

В заключительном разделе данной главы мы рассмотрим моментное уравнение, которое описывает изменение во времени импульса жидкого элемента. Это просто второй закон Ньютона, записанный в несколько ином виде.

Применяя к уравнению (3.152) оператор J (Рстс^ получим

Р ^мг + рм;-^иг + ~ Р:$+ [ d?cct -^. ^ й№^гй3сгйЧг=--0, 3‘(3.154)

где тензор Р^ определяется соотношением (3.5) (индекс К означает «кинетический»). Интегральный член имеет вид

1= j ^сс,с) =

= j d3cA_ciAl-^d3cAt^-=-^d3cAl. (3.155) Интеграл j (Pc (d/dci) CiAi обращается в нуль, так как он преобразуется в поверхностный. Подставляя этот результат в уравнение (3.154), получим

Р ( 4t + Ul 4гг ) Ui +“ J d3c ^ ^^^г = °* (3‘156)

Произведя интегрирование по скоростям и вспоминая соотношение (3.145) и следующие за ним, придем к уравнению

/ дд \. д пк N (N— 1) Г iq /-Н /\ л

Р (+ Ul "д^ ) Ui +Г5 J ^1^ (Х1, Х2) = 0.

(3.157)

Чтобы привести это уравнение к нормальной форме, положим ^ЭД25(Х1,х2),(3.158)

г) Эти вопросы значительно подробнее будут обсуждаться в разд. 4.^

где индекс Ф означает «потенциальный». В этих новых переменных уравнение (3.157) примет следующий вид:

Р +Рц =0,

(3.159)(3.159)r L dt х дх^ Д dxj’

(3.159)

(3.159)

1 lJ 27 I

Из этого уравнения видно, что скорость изменения импульса жидкого элемента (измеренная в системе координат, движущейся с локальной скоростью жидкости и) обусловлена напряжениями, передаваемыми через ограничивающую этот элемент поверхность. На такой элемент жидкого объема т (достаточно малый, так что в пределах т локальная скорость считается постоянной), ограниченный поверхностью 2, действует сила '

=Ри(13х =

i dxjт

= a^j ^ d^cmciCj^—^^"^ j d4v ^ d^G^g (хь х2). (3.160) 2TV

Первый интеграл есть сила, обусловленная скоростью переноса импульса через ограничивающую поверхность 2, а второй интеграл — это сила, обусловленная взаимодействием между молекулами объема т и внешними к нему. Первый интеграл дает кинетический вклад и зависит только от одночастичной функции распределения, в то время как второй интеграл определяется потенциальной энергией взаимодействия между частицами и является функционалом от радиальной функции распределения g и двухчастичной силы G12. Этот потенциальный член ответствен за любое отклонение от идеального уравнения состояния.

В первом разделе настоящей главы мы ввели скалярное давление

р = уТг 1к = пкТ.(3.161)

Теперь мы нашли, что в более общем случае

р = уТг(^к + ^ф) = п/сГ + 1Тг^ф(3.162)

Чтобы записать потенциальную часть тензора Р в обычном виде# положим, во-первых,

=(3.163)

где г$ является i-й компонентой единичного вектора

2г2-Г1 _ г

|Г2 —Fi|Г -

(3.164)

Подставляя это соотношение в (3.158), получим

_Lp®= —У^ ^ J a^x^^g^ х2\(3.165)

Чтобы завершить преобразование переменных, введем (см. Грин а(1952)) переменную R (рис. 3.13) (ж, заме-

7\йены на гг):

Г/ \г = г2—rlt r1 = R—-^-г;(3.166а)

/V\1

7^77^^2R = r2 + r1, r2=R+yr, (3.1666)

Фгг = аЧ\(3.166в)

„R^(ч, r2)->g(R—|r’R + yr)=g'(r, R).

Рис. 3.13. Векторы г\/

и R-(3.166г)

Вектор R определяет положение середины отрезка между двумя молекулами, аг — радиус-вектор, направленный от молекулы 1 к молекуле 2. Так как обычно g изменяется медленно вместе с R в пределах молекулярных размеров, то разложение (штрихи опущены)

g(r, R) = g(r, ri) + (R—rj)-^-g(r, R) |R=n+ ... =

= g(r, Ti)+y-g^-g(r,r1)+...(3.167)

должно быстро сходиться. Подставляя последнее выражение в (3.165), получим

jA^;r.^e(r.r,>(3.168)

(первый член обратился в нуль, как интеграл от изотропного векторного поля). Вынося дОт^ за знак интеграла, будем иметь

Рф =J d?r«g (г, г,) ^ ,(3.169)

так что

рф s | тг Эф = —j d3rrg ^ .(3.170)

В однородном изотропном пределе g не зависит от положения молекулы 1; она зависит только от расстояния между молекулами, так что g = g (г). Для N ^ 1 (что для жидкости всегда выполняется) комбинируя последнее равенство с (3.162) и вводя условие

однородности и изотропности, придем к соотношению NkT — 6VkT j 4nr3gxp dr.(3.171)

О

Это есть хорошо известное уравнение состояния жидкости, записанное через радиальную функцию распределения g.

Задача 3.12. Выяснить, как влияют на давление, передаваемое через поверхность в жидкости, межмолекулярные силы отталкивания и притяжения.

Задача 3.13. Чему будут равны Т-Рф и Р^ в однородном Vg (гь г2) = g (г)] изотропном [g = g (г)1 пределе? Используйте точное выражение (3.158). Обсудите полученный результат, исходя из принципов симметрии. Следует ли из равновесия однородность g?

Частичный ответ. Дивергенция обращается в нуль, и, следовательно, сила взаимодействия в любом малом элементе объема также равна нулю. Чтобы ответить на последний вопрос, надо просто построить пример равновесия с неоднородной плотностью.

В этой главе мы показали, что одночастичное распределение единственным образом определяет макроскопические переменные. Эти макроскопические переменные являются компонентами термодинамического состояния. Из одной функции получаются все данные, которые необходимо знать в гидродинамике. Если плотность становится слишком большой, так что межмолекулярные силы вносят вклад в напряжение, как это имеет место в жидкости, то в гидродинамические переменные начинает давать вклад двухчастичная функция распределения.

Двухчастичная функция распределения, неся в себе больше информации, чем одночастичная функция распределения, обладает и большим числом свойств. Из функции Р2 получается F^ для Р2 существует счетное множество моментов по скоростям (импульсам). Мы встретились только с первым из них, j Рг d^x d^ который называется радиальным распределением и имеет крайне важное значение в теории жидкостей. Когда мы имеем дело с жидкостью, то для любого полного гидродинамического описания мы должны вводить функции распределения более высокого порядка именно потому, что межмолекулярные взаимодействия становятся существенными. Когда это имеет место, то одночастичной функции распределения недостаточно, чтобы описать гидродинамическое состояние. То, что жидкость может находиться в равновесии, не умаляет роли межмолекулярных взаимодей-

Н*

ствий, и чтобы дать полное описание, все еще необходимо знать радиальную функцию распределения.

Это можно представить себе как более подробное описание гидродинамического состояния в анализе Боголюбова. Напомним, что в анализе Боголюбова «история» газа подразделяется на три этапа. Чтобы описать газ в начальной стадии, необходимо знать не меньше чем TV-частичную функцию распределения. На кинетической стадии, которая наступает после нескольких столкновений, состояние газа определяется одночастичным распределением. На конечной, гидродинамической, стадии существенными являются только первые пять моментов (по скоростям) функции Fv, т. е. р, u, Т. Для более плотного газа вклад межмолекулярных сил в функцию распределения, а следовательно, и в гид- родинамические переменные становится существенным. В этом случае идеальная боголюбовская последовательность описательных интервалов увеличивается, так что конечные стадии исследуются более подробно, и для полного описания необходимо знать некоторые свойства функции F2.

Теория двухчастичного распределения, так же как и распределений более высокого порядка, может быть рассмотрена в рамках корреляционных функций. Эти функции определяются как разность между Fs и некоррелированным факторизованным распределением П^1(0- Корреляционная функция характеризует

свойства функции распределения. Например, зная двухчастичную корреляционную функцию, мы не можем определить двухчастичную функцию распределения. Наиболее просто в этом можно убедиться, полагая ^2 = 0; в этом случае мы знаем только, что ^2 = Pi^i- Разумеется, две функции Fv и г^2 определяют F2, так что разложения, из которых сначала находится Р^, а затем ^2, Дают нам много информации. Другим свойством F^ является радиальная функция распределения g (гь г2), которая связана только с совместной вероятностью в пространстве конфигураций. Когда и потенциальное взаимодействие вносит вклад в напряжения (дополнительно к кинетической компоненте), единственной частью F2s через которую выражаются напряжения, является радиальное распределение.

Выяснив, какую роль в макроскопической физике играют функции распределения низшего порядка, мы приступим теперь к получению других уравнений для одночастичной функции распределения. Пока мы познакомились со следующими кинетическими "уравнениями*, с уравнением свободно-молекулярного течения (совпадающим по форме с одночастичным уравнением Лиувилля); с уравнением Власова и очень кратко (как упражнение в анализе Боголюбова) с уравнением Больцмана. Последнее уравнение.

а также уравнения Крука —Бхатнагара —Гросса и Фоккера — Планка детально исследуются в гл. IV, где рассматриваются и другие, тесно связанные с ними кинетические уравнения.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Радиус Дебая

Дебай, Гукель (Debye Р., Hiickle Е.)

Physik. Z., 24, 185, 305.

Либов (Liboff R. L.)

Phys. Fluids, 2, 40.

Лэндшофф (Landshoff R.)

Phys. Rev., 76, 904.

Маршак (Marshak R. E.)

Ann. N. Y. Acad. Sci., 41, Art. 1, 49.

Спитцер, Коэн, Роутли (Spitzer L., Jr., Cohen R.S., Routly P.) (1950) Phys. Rev., 80, 230.

Б. Анализ Боголюбова

Боголюбов H. Н.

Проблемы динамической теории в статистической физике, М.— Л., Гостехиздат.

Коэн (Cohen Е. G. D.)

Fundamental Problems in Statistical Mechanics, ed. by E. G. D. Cohen, New York, Wiley

Уленбек (Uhlenbeck G. E.)

Probability and Related Topics in Physical Sciences, compiled by M. Kac, New York, Wiley. Русский перевод: Кац M., Вероятность и смежные вопросы в физике, М., «Мир», 1965.

Кинетические уравнения и групповые разложения

Балеску (Balescu R.)

Phys. Fluids, 3, 52.

Гернсей (Guernsey R. L.)

Ph. D. dissertation, University of Michigan.

Грэд (Grad H.)

Handbuch der Physik, vol. XII, Berlin, Springerverlag.

Делькруа (Delcroix J. L.)

Plasma Physics, Wiley, New York.

Дюпри (Dupree T. H.) (1961) Phys. Fluids, 4, 696.

Ленард (Lenard A.)

Ann. Phys. (N.Y.), 3, 390.

Либов (Liboff R. L.)

(1965—66) Phys. Fluids, 8, 1236 (1965); 9, 419 (1966).

Либов, Пирона (Liboff R. L., Perona G.) (1967) J. Math. Phys., 8, 2001.

Майер Дж., Майер M. (Mayer J. E., Mayer M.G.)

Statistical Mechanics, New York, Wiley. Русский перевод: Майер Дж., Гепперт-Майер М., Статистическая механика, М., ИЛ, 1952.

Монтгомери, Тидмен (Montgomery D., Tidman D.) (1964) Plasma Kinetic Theory, New York, McGraw-Hill.

Ростокер, Розенблют (Rostoker N., Rosenbluth M. N.) (1960) Phys. Fluids, 3, 1.

Стелл (Stell G.)

The Equilibrium Theory of Classical Fluids, ed. by H. Frisch and J. Lebowitz, New York, Benjamin.

Сэндри (Sandri G.) (1963) Ann. Phys. (N. Y.), 24, 332.

Урселл (Ursell H.)

Proc. Camb. Phil. Soc., 23, 685.

Фриман (Frieman E. A.) (1963) J. Math. Phys., 4, 410.

Чен (Tchen С. M.) , (1959) Phys. Rev., 114, 394.

Г. Теория жидкостей и радиальная функция распределения

Де Боер (de Boer J.)

Repts. Prog. Phys., 12, 369.

Борн, Грин (Born M., Green H. S.)

A General Kinetic Theory of Liquids, Cambridge.

Грин (Green H. S.)

(1952) The Molecular Theory of Fluids, Amsterdam, North Holland.

Зумипо (Zumino B.)

Phys. Fluids, 2, 20.

Орнстейн, Зернике (Ornstein L. S., Zernike F.)

Proc. Amst. Acad. Sci., 17, 793.

райе, Грэй (Rice S. A., Gray Di)

The Statistical Mechanics of Simple Liquids, New York, Interscience, Уленбек, Бэч (Uhlenbeck G. E., Beth E.)

(1936—37) Physica, 3, 729 (1936); 4, 915 (1937).

фишер И. 3.

Статистическая теория жидкостей, М., Физматгиз.

Френкель Я. И.

Кинетическая теория жидкостей, М.— Л., изд. АН СССР.

Фриш, Либовиц, (Frisch Н., Lebowitz J. (eds))

The Equilibrium Theory of Classical Liquids, New York, Benjamin.

Хилл (Hill T. S.)

Statistical Mechanics, New York, McGraw-Hill. Русский перевод: Хилл T. С., Статистическая механика, М., ИЛ, I960,

Д* Приложения уравнения Власова к изучению явленийв неплазменных средах

Власов А. А.

Теория многих частиц, М.— Л., ГИТТЛ,

Либов (Liboff R. L.)

Phys. Rev., 131, 2318; Physics Letters, 3, 322,

Линден-Белл (Lynden-Bell D.)

(1962) Month. Not. Roy. Soc., 124, 279.

Список обозначений к гл. Ill

Л 2, Л3 — относительные площади, связанные с корреляционными функциями ®2 и ®з соответственно,

А<1) —коэффициент в разложении Боголюбова,

А — оператор в БИ2,

As —интегральный оператор в ББКГИ-уравнениях,

^ — корреляционная площадь,

БИз — s-e уравнение ББКГИ-системы,

С — тепловая скорость,

®з —s-частичная корреляционная функция,

с — относительная микроскопическая скорость, D^ — оператор в разложении Боголюбова,

Е — энергия,

Fs — s-частичная функция распределения, нормированная на V%

fs — s-частичная функция распределения, нормированная на единицу, jFi — одночастичная функция распределения, нормированная на Л7, Gkn —сила взаимодействия между частицами, g — радиальная функция распределения, у, А, А —‘2,3,4-частичные корреляционные функции, Ks —s-частичный оператор кинетической энергии,

К —внешняя сила,

к — постоянная Больцмана,

L — длина ребра контейнера,

I — средний свободный пробег, т —масса, N —полное число частиц, п —числовая плотность частиц (плотность числа частиц), п0 — равновесная концентрация, Ps —s-перестановочный оператор, _Р —тензор давлений, Рф —- потенциальная часть тензора давлений, Рк — кинетическая часть тензора давлений, Ро — тепловой импульс,

Q —тепловой поток,

R — вектор перемещения,

г — вектор, соединяющий две частицы, гр — плазменная длина (дебаевский радиус), г о — радиус взаимодействия, Т — температура, То — характерное макроскопическое время, ^о —- среднее время между столкновениями, и — гидродинамическая скорость, V — объем сосуда, и — удельный объем, а — коэффициент в безразмерном уравнении Лиувилля,

Р — коэффициент в безразмерном уравнении Лиувилля, 80 — диэлектрическая проницаемость вакуума,

Д — динамический проектирующий оператор (оператор сдвига),

Ф — потенциал,

ф — потенциал взаимодействия частиц,

ф0 —напряженность потенциала,

о)р — плазменная частота,

¥ — потенциал,

05 — s-частичный оператор потенциальной энергии, т0 —время столкновения.

ГЛАВА IV

УРАВНЕНИЯ БОЛЬЦМАНА,КРУКА - БХАТНАГАРА - ГРОССА, ФОККЕРА - ПЛАНКАИ РОДСТВЕННЫЕ ИМ.

ВЫВОД УРАВНЕНИЙ И ИХ СВОЙСТВА

Дальнейшее толкование необратимости

До настоящего момента мы познакомились с двумя кинетическими уравнениями: уравнением свободно-молекулярного течения, или одночастичным уравнением Лиувилля (3.79а), и уравнением Власова (3.106) 1). Оба они естественным образом следуют из TV-частичного уравнения Лиувилля или, что эквивалентно, из 3TV совместных дифференциальных уравнений второго порядка (второй закон Ньютона для TV частиц). Поэтому не является неожиданностью тот факт, что решения этих двух кинетических уравнений удовлетворяют принципу динамической обратимости. Это означает, что одновременно с решением / (х, |, £) существует и решение / (х, —|, —£). Уравнения в такой форме сами по себе не могут выражать необратимый макроскопический закон. Макроскопический закон А [^ (£)] для макроскопической переменной У ^ является обратимым, если А [9 (—£)] также представляет собой закон. В этом случае никакой эксперимент для 3 не может указать, возрастает или убывает время t. Если А [9 (—^)] не имеет смысла, то закон А является необратимым. Функция 9 характеризует некоторое свойство данной макроскопической системы.

Пусть 9 —числовая плотность частиц газа п (х, £), занимающего в начальный момент одну половину замкнутого прямоугольного контейнера, разделенного перегородкой. В момент t = 0 перегородка убирается и п (х, ^) асимптотически приближается к значению, постоянному для всего сосуда. Проследим за изменением плотности в точке х, где первоначально плотность была нулевой. Вид этой функции изображен на рис. 4.1, а. Динамически обращенное решение показано на рис. 4.1, б.

Разумеется, это динамически обращенное решение в природе не встречается. Предположим, что в некоторый момент времени мы можем внезапно обратить импульсы всех частиц. Тогда изменение во времени фактической плотности будет происходить так, как показано на рис. 4.1, в. Равновесное состояние не восприимчиво к описанному выше изменению микроскопического состояния-

Казалось бы, что законы динамики, составляющие основу науки, не допускают такого свойства равновесного состояния-

х) И очень кратко с уравнением Больцмана,

Рис. 4.1. Эволюция числовой плотности частиц в случае обратимой и необратимой диффузии.

а — начальное движение; б — обращенное движение (для обратимой диффузии); в — обращенное движение (для необратимой диффузии).

Другое описание этого кажущегося парадокса состоит в следующем. Предположим, что начальное состояние газа таково, как описано выше. Оно изображается точкой в Г-пространстве. Эта точка вычерчивает в Г-пространстве динамическую траекторию. Из опыта нам известно, что такая точка движется по направлению к равновесному состоянию (с одинаковой плотностью по всему Конфигурационному пространству и соответствующим максвелловским распределением в пространстве импульсов). Но динамическая кривая такова, что если обратить все начальные импульсы,

172 Гл. IV. Уравнения Больцмана, Крука — Бхатнагара — Гросса и др то рассматриваемая точка будет двигаться к состоянию с боле& «испорченным» распределением плотности, чем заданное началу ное распределение. (Это состояние должно предшествовать дан^ ному начальному состоянию.)

Пусть известно, что начальное состояние

Гм (хь . . ., xN; Pi, . . ., pN; 0) естественным образом эволюционирует к равновесному состоянию /р (Рь • • м Pn)- Состояние же/^ (х1? . . ., xN; — рь . . ., — р^;0) будет удаляться от равновесия. .Законы динамики сами по себе не отдают предпочтения одному из этих состояний. Тем не менее эксперимент говорит нам, что в природе происходит иначе.

Это противоречие явилось источником парадокса обратимости, выдвинутого первоначально в 1876 году Лошмидтом в связи с работой Больцмана. Больцману удалось получить кинетическое описание, которое согласовывалось с наблюдаемыми необратимыми явлениями в природе, но противоречило основным законам механики. Парадокс равным образом вытекает из обоих фактов: утверждающей необратимость макроскопических состояний (^-теоремы Больцмана (которая вскоре будет обсуждаться) и наблюдаемых необратимых явлений в природе. Парадокс заключается в следующем: каким образом обратимые законы микроскопической механики (законы Ньютона, уравнение Лиувилля) могут приводить к наблюдаемым (релаксация к равновесию) либо формулируемым (^-теорема Больцмана) необратимым макроскопическим законам?

Другое возражение по поводу результатов, полученных Больцманом, которое к тому же придает парадоксальную окраску наблюдаемым необратимым свойствам естественных макроскопических явлений, заключено в парадоксе возвратимости Цер- мело. Этот парадокс основан на возвратной теореме ^Wie- derkehrsatz) Пуанкаре и называется парадоксом возвратимости. Теорема Пуанкаре утверждает, что изолированная динамическая система с ограниченной энергией и конечными размерами вернется за достаточно большой промежуток времени (называемый временем возврата Пуанкаре) к состоянию, сколь угодно близкому к первоначальному. Однако этот промежуток времени неестественно велик. Для газа, заключенного в сосуд умеренных размеровг время возврата превышает оцениваемый возраст вселенной- В этом смысле данная теорема не противоречит наблюдаемым явлениям — она не имеет к ним отношения. Но очевидно, можно было бы думать, что макроскопический закон будет совместим с теоремой Пуанкаре; однако второй закон термодинамики, урав^ нение диффузии, (^-теорема Больцмана и другие закономерности с ней не согласуются. (Рассказывают, что столкнувшись с воа'

рением Цермело, Больцман ответил: «Вам придется долго я-дать».)

Итак, в чем же состоит учение Больцмана, которое, несомненно, возбудило негодование пуристов того времени и явилось единственным наиболее важным связующим звеном между полностью обратимым микромиром и несовершенным необратимым макро- миром? Оно объединяет уравнение Больцмана и его непосредственное следствие — больцмановскую ^-теорему, которая, образно выражаясь, возвышается как монумент новаторскому гению Людвига Больцмана (род. в 1844, ум. в 1906).

Оставшаяся часть данной главы посвящена классическим методам вывода и изучению свойств уравнения Больцмана, которое было первым кинетическим уравнением, появившимся в литературе, и до сих пор является наиболее важным из всех существующих кинетических уравнений.

До настоящего момента мы познакомились с тремя кинетическими уравнениями. В этой главе мы рассмотрим еще три других: уравнения Крука — Бхатнагара — Гросса, Фоккера — Планка и Ландау. Все они получены сравнительно недавно, большей частью в последние десятилетия. Каждое уравнение определяет по существу один и тот же объект — одночастичную функцию распределения. Поскольку уравнения различны, очевидно, что они применимы в разных областях. Тем не менер мы увидим, что уравнение Больцмана, как ни одно из других,' связано со всей совокупностью кинетических уравнений.

Кроме того и помимо возражений, выдвинутых Цермело и Лош- мидтом, уравнение Больцмана благодаря работам Чепмена, Энскога и позднее Грэда явилось основой для последовательного получения коэффициентов переноса (см. классическую монографию Чепмена и Каулинга (1939)). Побочный продукт теории —• разложение Чепмена —Энскога и моментный метод Грэда — позволит нам получить замкнутые системы гидродинамических Уравнений (например, уравнений Эйлера, Навье —Стокса, Барнетта) и выделить области, где эти уравнения справедливы. Некоторые из этих методов будут подробно обсуждаться в гл. V.

Непосредственная цель настоящей главы — ознакомить читателя с теорией уравнения Больцмана. Что касается упомянутых Ранее противоречий, связанных с необратимостью, то относящиеся к ним рассуждения Гиббса и Больцмана будут рассмотрены в гл. V.

Концепция столкновений

Чтобы получить уравнение Больцмана, необходимо более детально ознакомиться с теорией парных столкновений. Столкновения двух частиц можно исследовать в одной из трех систем ^°ординат. Ими являются а) лабораторная система координат,

система координат, связанная с центром масс, и в) систем^ координат, связанная с одной из частиц.

Гамильтониан двух частиц, взаимодействующих посредством центрального потенциального поля Т (г), в лабораторной системе координат имеет вид

Я = ^Г + < + ^(^(4-1)

где пн и т2 — индивидуальные массы частиц, г — модуль вектора относительного смещения г = г2 —г1? а (рь rj и (р2, г2) сопряженные импульсы и координаты. Рассмотрим теперь преобразование системы переменных (рь р2, гь г2) в систему (Р, R, р, г), определяемое следующими соотношениями:

тгрг—пцр!

(4.2а\

Рm^-V т2 ’

г = г2 —Г1?

(4.26)

Р = Р1 + Р2>

(4.2в)

Д 7n1r1 + 7n2r2

^1 + ^2*

(4.2г)

В новой системе координат, гамильтониан, заданный уравнением (4.1), примет вид

H=5^+w(4-3)

где

P^MR^^ + m^R(4.4)

— импульс центра масс, а

_W_(45)

mt + т2х

— приведенная масса. Р2/2М есть кинетическая энергия тела массы М, имеющего скорость R, т. е. это кинетическая энергия центра масс. Обозначим ее Яцм. Оставшаяся часть гамильтониана, (р2/2ц) + ^, — это энергия частицы с массой ц и импульсом р> находящейся в центральном потенциальном поле Т (г). Эта часть гамильтониана, обозначаемая ЯОтн» представляет собоп энергию рассматриваемых тел относительно системы координат, движущейся со скоростью центра масс. В таких обозначениях (4.3) примет вид

Я = Яцм + Яотн.(4.6)

Поскольку Н является циклическим по R, то Р сохраняется» а следовательно, Р^М также сохраняется и Яцм будет констаН' той движения. Как только заданы начальные условия R (0) и Р (0)т

движение центра масс тотчас же может быть определено. Затем определяется и все движение, если известен радиус-вектор г (£). Поскольку Яцм постоянна, ее можно включить в У (г), и при этом уравнения движения останутся теми же. (Законы движения

А^1А^1Р и с. 4.2. Радиус-вектор г (/) «выметает» плоскость.Р и с. 4.2. Радиус-вектор г (/) «выметает» плоскость.инвариантны относительно смещения потенциала.) Следовательно, мы можем записать, что

А^1

А^1

Р и с. 4.2. Радиус-вектор г (/) «выметает» плоскость.

Р и с. 4.2. Радиус-вектор г (/) «выметает» плоскость.

Н = Яотн, (4.7) и все еще получим корректную динамику. Из уравнений Гамильтона находятся г и р, которые вместе с сохранением движения центра масс определяют полное движение системы.

Таким образом, задача двух тел с центральным потенциалом взаимодействия свелась к задаче одного тела. Массой такой частицы является при-

веденная масса р,, а координатой — отно

сительный вектор г = г2 —Гр Сила, действующая на эту квазича

стицу (или |ы-частицу), положение которой совпадает с положением частицы 2, направлена вдоль радиуса-вектора (задачу можно сформулировать и для частицы 1, результат будет тот же).

На (ы-частицу действует момент —г X (dT7dr) (относительна начала координат г = 0). Он обращается в нуль, так что угловой момент (ы-частицы относительно центра силы сохраняется. Пусть угловой момент направлен по вектору I. Через заданный интервал времени At вектор г перейдет в г + dr. Угловой момент, соответствующий этому интервалу времени, будет пропорционален *2 (г X dr) = К I - вектору-площади треугольника (г, dr). В сле

дующий интервал времени радиус-вектор г + dr перейдет в г + + dr + dr', и угловой момент будет пропорционален -^ (r + dr) X X dr' = KI —вектору-площади треугольника (г + dr, dr'). Отсюда следует, что эти два треугольника с общей стороной r + dr имеют параллельные векторы-площади и поэтому лежат 13 одной плоскости (рис. 4.2). Продолжая рассуждение для последующих моментов времени, придем к заключению, что траектория г (£) будет плоской.

Начальные данные [rj (0), г2 (0)1 и [pi (0), р2 (0)1 определяют значения R (0) и Р (0) = Р (^). Решение для двумерного вектора г (0 завершает задачу. Соответствующее движение изображено Ва рис. 4.3.

Задача 4.1. в°го движенияЗадача 4.1. в°го движенияКак построить на рис. 4.3 плоскость относитель- масс?

Задача 4.1. в°го движения

Задача 4.1. в°го движения

Процесс рассеяния подразделяется на три этапа: до взаимоде^ ствия, в течение и после него. Как до, так и после столкновения частицы являются свободными и не взаимодействуют одна с дру.

Рис. 4.4. Движение в лабораторной системе координат.

гой. Типичное рассеяние в лабораторной системе координат изображено на рис. 4.4. Мы видим, что в лабораторной системе координат т^ отклоняется на угол 02. Ситуация в системе коор"

динат, связанной с центром масс (т. е. когда мы ведем наблюдение, будучи «привязанными» к центру масс), показана на рис. 4.5.

Смысл понятий до и после столкновения определяется через потенциал взаимодействия ^ (г) либо через радиус взаимодействия г0. До столкновения — это любой момент времени, когда частицы приближаются одна к другой и г > г0, или, что эквивалентно, Т (г) = 0. После столкновения —это любой момент времени, когда частицы удаляются одна от другой и Т (Л = - 0 (г > г0).

Относительная скорость г до и после столкновения обладает очень важным свойством. Обозначим относительную скорость до и после столкновения через V. Так как относительный импульс р равен цг, то из (4.3) с учетом того, что Н является константой движения, следует равенство

l^^^y^(48а)

так что

7=Р,(4.86)

Рис. 4.5. Ориентация относительного радиуса-вектора г до и после столкновения в системе координат центра масс.Рис. 4.5. Ориентация относительного радиуса-вектора г до и после столкновения в системе координат центра масс.где V —величина относительной скорости до столкновения, а V' — после столкновения. Таким образом, величина относительной скорости после завершения столкновения сохраняется. Она не является константой движения, а, вернее, принимает свое первоначальное значение после столкновения.

Рис. 4.5. Ориентация относительного радиуса-вектора г до и после столкновения в системе координат центра масс.

Рис. 4.5. Ориентация относительного радиуса-вектора г до и после столкновения в системе координат центра масс.

Задача 4.2. Доказать следующую теорему. Угол рассеяния в системе координат, связанной с центром масс, равен углу рассеяния в системе координат, связанной с какой-либо из двух рассеивающихся частиц. В системе координат, связанной с данной частицей, последняя находится в состоянии покоя.

Отв^т. В системе координат, связанной с частицей, угол рассеяния 0Р есть угол поворота вектора относительной скорости V при рассеянии, т. е.

cos 9Р — у2

Здесь мы использовали полученный ранее результат: V = V'. В системе координат, связанной с центром масс, угол рассеяния

бс —это угол поворота скорости ^ — R при столкновении, т. еcos0 _ (li-R)*^-^)

I £1—к 11R' I

(Отметим изменение в обозначениях: 1, = ^.) Но

— R = — m^f ^ =(I,-|2) = —^V.

т т 2 т т 2т

Аналогично

так что

cos 0С=——-.

Сравнивая последнюю формулу с предшествующим выражением для 0Р, получим желаемый результат:

0С = 0Р.

Соответствующие углы и векторы, использованные в данном доказательстве, показаны на рис. 4.5 и 4.6.

Рис. 4.6.а — рассеяние в системе координат частицы ме координат ЦМ.Рис. 4.6.а — рассеяние в системе координат частицы ме координат ЦМ.т2; б — рассеяние в систе-т2; б — рассеяние в систе-

Рис. 4.6.

а — рассеяние в системе координат частицы ме координат ЦМ.

Рис. 4.6.

а — рассеяние в системе координат частицы ме координат ЦМ.

т2; б — рассеяние в систе-

т2; б — рассеяние в систе-

Pl + Р2 = Pi + Рг,Pl + Р2 = Pi + Рг,(4.9а)(4.96)(4.9а)(4.96)

Pl + Р2 = Pi + Рг,

Pl + Р2 = Pi + Рг,

(4.9а)

(4.96)

(4.9а)

(4.96)

В лабораторной системе координат уравнения сохранения импульса и энергии имеют вид

Pi | Рг = Pi I Р23 ,2т1 "* 2т22т^ г 2т 2

Эти уравнения связывают pi, pi с pi, р2. Однако для заданной совокупности начальных импульсов рь р2 существует континуум значений pi, р', удовлетворяющих уравнениям сохранения. Это но является неожиданностью, поскольку уравнения сохранения не содержат информации относительно потенциала взаимодействия Т* (г). Какую начальную информацию достаточно иметь, чтобы определить конечные импульсы pi, р'? Мы нашли, что задач

Рис. 4.7. Рассеяние в системе координат, связанной с относительным вектором г.

двух тел эквивалентна задаче одного тела с фиктивной массой р и радиусом г. Случай рассеяния в системе координат, где начало этого вектора фиксировано, изображен на рис. 4.7. Единичный апсидальный вектор а делит пополам угол между V и V'. Прицельный параметр s таков, что угловой момент рассматриваемой совокупности частиц в данной системе координат (эквивалентный моменту в системе координат, связанной с центром масс) равен цУз. Прицельный параметр s, а также векторы относительной скорости V и V' характеризуют свойства асимптотических состояний при столкновениях. Модуль скорости V и прицельный параметр $ сохраняются при данном столкновении, так что эти две- скалярные величины могут характеризовать данное столкновение.

Задача 4.3. Пусть в данный момент времени положение и импульс центра масс системы двух тел определяются векторами (R, Р). Показать, что угловой момент системы равен

L = R X Р + ец$У,

где е — единичный вектор нормали к плоскости, в которой лежит вектор г (^).

Как будет показано, pi и р2 определяются через V' и постоянный вектор Р. Вектор V' имеет величину У, а его ориентация

задается углом рассеяния 9 (или углом ф = у (л —9)). Угол рассеяния определяется как функционал от потенциала взаимодействия ^ (г), относительной скорости V и прицельного параметра 5, т. е.

9 = 9 (s, Г, У).(4.10)

(Это также будет установлено позднее.) Теперь мы можем заключить, что для заданного взаимодействия ^(г) и импульса центра

Рис. 4.8. Столкновение и его инверсия.

масс Р конечные импульсы pi, р' определяются через s и рь р2. Поэтому изменение импульсов при парном столкновении можно представить следующим образом:

UPi, Рг) (рЬ PDls- (4.11)

Индекс 5 указывает, что прицельный параметр есть свойство столкновения.

Существуют два типа столкновений, которым в теории кинетических уравнений уделяется особое внимание. Это инверсивные п реверсивные столкновения. Инверсивным по отношению к [(pi, рг) ~> (pi, P^L является столкновение, которое имеет конечным состоянием (рь р2). Мы видим, что если [(рь р2) -> (pi, p^ls удовлетворяет уравнениям сохранения, то [(р^ р0 -> (pi, Рг)^ также им удовлетворяет (следует только прочитать уравнения сохранения справа налево). Прицельный параметр $ гарантирует, что (pi, р^) правильно ориентированы, чтобы дать (рь р2). Отсюда следует, что начальными импульсами инверсивного столкновения являются (pi, pi)s, т. е. конечные импульсы первоначального столкновения (рис. 4.8). Можно применить следующую символи-

ческую запись:

Инверсия [(pt, р2) -> (р;, р;)]8 = [(р;, р;) -> (рь р2)]8. (4.12)

Второй важный тип столкновения — реверсивное столкновение, реверсивным по отношению к [(рь р2) -> (pi, p^L является столкновение, которое имеет конечным состоянием (—Pi, — р2). Обращаясь опять к уравнениям сохранения, приходим к выводу,

-^— Время

Рис. 4.9. Столкновение и его реверсия.

что начальными импульсами будут (—pi, —p0s (рис. 4.9). То есть, если частицы с импульсами (—Рр —р') взаимодействуют с прицельным параметром s, то в результате взаимодействия получаются (—рь —p2)s. Снова можно использовать символическую запись:

Реверсия [(р^ р2)-> (pi, PDL=I(—pH — Pi)-*(~ Pi, —Рг)^. (4.13)

Хотя эти утверждения выведены для общего случая, когда т^^т^ при изучении уравнения Больцмана для газа из одинаковых частиц достаточно рассмотреть только частный случай mv = т2. Тогда уравнения сохранения импульса и энергии (4.9) будут зависеть только от скоростей |i и |2 (р = т^. Они примут вид:

£1 + ^2 = ^ + £2»/, Л/Х

(4Л4)

Эти уравнения имеют решения:

li = ^ + a(a.V),

§i = l2-a(a.V),(4.15)

(См. рис. 4.7.) Из последних формул явно видно, что существует целый континуум скоростей рассеяния (I*, ^, совместимых в силу уравнений сохранения с начальными скоростями (^, |2). Этот континуум порождается при варьировании единичного апсидального вектора а. Однако, если заданы 5, У и взаимодействие Т (г), то динамическое решение для орбит определяет значение а, (т. е. либо 9, либо ф), которое в свою очередь фиксирует (§', §').

Здесь остаются нерешенными две задачи. Во-первых, угол рассеяния 9 должен быть записан как функционал от s, У и потен-

Р и с. 4.10. Координаты в эксперименте по рассеянию.

циала взаимодействия Т\ Во-вторых, мы должны определить, какая часть пучка (невзаимодействующих) частиц рассеивается на данном рассеивателе. Мы найдем, что, сформулировав решение второй задачи, мы естественным образом придем к решению первой.

Рассмотрим однородный пучок падающих частиц с энергией Е и интенсивностью I (число частиц/сек см2). (См. рис. 4.10.) Число частиц, рассеянных в элементе телесного угла йй около Q, пропорционально интенсивности падающего пучка I и элементу телесного угла йй. Множитель пропорциональности а— это дифференциальное сечение рассеяния..

Za (Q) йй равно числу частиц, отклонившихся в пределах йй около Q за секунду.(4.16)

Но такое же число частиц прошло через элемент кольца s ds d^, так что

Io dQ. = I dtps ds.(4.17)

Азимутальный угол ср, который определяет сечение падающего пучка частиц,— это тот же угол, что и в сферической системе

координат с началом, фиксированным в рассеивателе. Таким образом, йй = d cos 9 Ар. Подставляя это равенство в (4.17), получим

(4.18)

Как находится s = s ^Е, 9), будет описано ниже. В то время как о связано с числом частиц, рассеянных в определенном направлении, величина

2 = ^ cdti^nr^ (4.19)

4 л

— полное сечение рассеяния, связана с полным числом частиц, рассеянных из падающего пучка. Радиус взаимодействия равен г0, так что частицы с прицельным параметром s > г0 не рассеиваются из пучка. Полное поперечное сечение 2 — это заградительная площадь, которую представляет рассеиватель для падающего пучка частиц. Для однородного пучка с площадью поперечного сечения Л ^ 2 величина 5/Л является долей частиц, рассеянных из пучка (по всем направлениям).

В дальнейшем мы вернемся к более детальному описанию того, как вычисляется дифференциальное сечение рассеяния or (9, Е), что, в свою очередь, связано с более точной оценкой угла рассеяния 9. Этот угол просто вычисляется при исследовании приведенного движения фиктивной частицы массы ц, управляемого относительным гамильтонианом. Хотя сама частица фиктивная, ее радиус-вектор г — нет. Действительно, г является относительным вектором между т^ и т2. Угол между векторами гд0 и гПОСле (прежнее обозначение соответственно гиг') равен углу рассеяния 9.

Поскольку относительное движение, описываемое вектором г, лежит в плоскости, состояние системы определяется двумя обобщенными координатами, углом ф и модулем г. Относительный гамильтониан частицы с массой ц и импульсом р, движущейся в поле центральной силы с потенциалом Ткг\

Я=^г+^(г)’ (4-2°)

запишется через эти переменные в виде

я“4+^+у'«- <4-21>

Так как Н цикличен по ф, то рф является константой движения, обозначаемой через L. Относительный гамильтониан сам по себе также постоянен, поскольку энергия совокупности частиц, измеренная в системе координат, связанной с центром масс, будет

равна г-<+^+^«'(4-22)

Уравнения Гамильтона дают:

2l = JL = V Л(£_^)—^L,(4.23)

р dt V р. х'(Л2г2')

(4.24)

Выражая в первом уравнении dt через dф, получим д = f L+ const.(4.25)

? J l/2p[^—^ (r)] —(W2)

Типичный случай рассеивания вследствие отталкивания в системе координат, где начало вектора г фиксировано, показан на рис. 4.7.

Рис. 4.11. (Сечение рассеяния одинаково для всех трех столкновений.)

Это не есть система координат, связанная с центром масс. В последней г вращается относительно фиксированного центра масс (рис. 4.5). Однако, как мы видели, угол рассеяния 9 в этой системе координат тот же самый, что и в системе координат центра масс. В каждом случае 9 — это угол между гд0 и гПОсле, который не зависит от выбора начала координат.

Диаграмма рассеивания (рис. 4.7) симметрична относительно 511нйи апсиды rmin, так что г = О для rmjn. Эта симметрия являет- *сЯ следствием сохранения углового момента L = pKs = рУ'У л относительной скорости У = У', так что s = s'. Поскольку г обращается в нуль на апсиде, из уравнения (4.23) следует, что в этой точке знаменатель в интеграле (4.25) равен нулю. Однако сам интеграл остается ограниченным.

Угол ip, изображенный на рис. 4.11, получается при интегрировании (4.25) от rmjn до оо. В результате будем иметь

(4.26)

J У2ц(£-^)-(2,2/г2)v 7

rmin

Угол рассеяния 9 связан с ip, как показано на рис. 4.7:

6 + 2^ = л.(4.27)

Лучше выражать угол тр через величину, обратную радиусу, и = г-1. Кроме того, угловой момент L = рУ$ связан с энергией Е = — рУ2 соотношением

Т 2

Если этим воспользоваться, то (4.26) примет вид

и

(4.29)(4.29)Гs du

(4.29)

(4.29)

Так как ф определяет вектор а, то (4.29) представляет собой явное решение для а, выражаемое через Т^ Е и s. Для потенциала в форме

(4.30)(4.31)(4.30)(4.31)s duV1 — s^ — KunIE 's duV1 — s^ — KunIE 'Т ^ = Kr-N = KuN(4.29) примет вид

(4.30)

(4.31)

(4.30)

(4.31)

s du

V1 — s^ — KunIE '

s du

V1 — s^ — KunIE '

Вводя безразмерный обратный радиус

0 = su0 = su(4.32)

0 = su

0 = su

186 Гл. IV. Уравнения Больцмана, Крука — Бхатнагара — Гросса и др, и безразмерный прицельный параметр

в (4.31), получим

Задача 4.4. Для притягивающих потенциалов из (4.34) получаем:

p-i+d)".

Показать, что это уравнение не имеет положительных решений для N ^ 2 и b < 1.

Ответ. Перепишите уравнение в форме

02 = 1+(тГ^.

Как мы далее увидим, Уо d cos 0 является важным множителем, входящим в уравнение Больцмана. Вспоминая (4.17), получим, что

Уa d cos 9 = Vs ds.(4.35)

Через безразмерный параметр b это сечение выражается следующим образом:

PCT d COS 9 = ^ yiNV<N-^Nb db.(4 36)

Полученный результат явным образом демонстрирует зависимость сечения рассеяния от скорости У, которая целиком заключена в мультипликативном коэффициенте V^—M/n,

Очевидно, что случай N = 4 заслуживает особого внимания. Молекулы, взаимодействие которых описывается таким потенциалом, называются максвелловскими молекулами. Для таких молекул вес рассеяния Уa d cos 9 не зависит от У. Этот факт значительно упрощает вычисления, относящиеся к линеаризованному уравнению Больцмана. С этими вопросами мы столкнемся в гл. V, где линеаризованное уравнение Больцмана будет подробно обсуждаться.

Сейчас обратимся к вычислению а для кулоновского взаимодействия, когда Т = К!т. Интегрируя (4.34) при N = 1, получим

№ = ^ tg2 aj;.(4.37)

tjepes 0 (0 + 2ф = л) это равенство выразится так:

^ = Actg2|.(4.38)

Подставляя полученный результат в (4.36), которое можно переписать в виде

(4.39)(4.39) / К \2 b db

(4.39)

(4.39)

°\ Е / d cos 0 ’

(и учитывая, что 2 sin2 (9/2) = 1 — cos 0) получим:

\ 45 / sin4 (6/2) ’\ 45 / sin4 (6/2) ’ай cos 0 =ай cos 0 =d cos ф Tv24cos3i|) E2 *d cos ф Tv24cos3i|) E2 *(4.40)(4.40)

\ 45 / sin4 (6/2) ’

\ 45 / sin4 (6/2) ’

ай cos 0 =

ай cos 0 =

d cos ф Tv24cos3i|) E2 *

d cos ф Tv24cos3i|) E2 *

(4.40)

(4.40)

Это хорошо известное сечение Резерфорда для кулоновского рассеяния. Расходимость при 0 = 0 обусловлена далънодействующей природой кулоновской силы.

Другим очень важным законом взаимодействия в природе является взаимодействие жестких сфер. В этом случае при вычис-

Рис. 4.12, Рассеяние жестких сфер в относительной системе координат.Рис. 4.12, Рассеяние жестких сфер в относительной системе координат.

Рис. 4.12, Рассеяние жестких сфер в относительной системе координат.

Рис. 4.12, Рассеяние жестких сфер в относительной системе координат.

лении о исходят прямо из геометрии. Опять рассмотрим рассеяние в системе координат, где начало относительного вектора фиксировано. Если сферы имеют радиусы а и b соответственно, то взаимодействие определено ограничением г ^ а + Ь и симметрией рассеяния в относительной системе координат. Схема рассеяния в этой системе координат представлена на рис. 4.12. Отметим еще раз, что данная система координат не является системой координат центра масс. В системе координат, связанной с центром масс, сферы а и Ъ «привязаны» к концам относительного вектора г,

который проходит через фиксированный центр масс и вращается относительно него. На рис. 4.12 фиксирована сфера Ь. Тем $е менее о (0) имеет одно и то же значение в обеих системах коорди_ нат. Сечение о получается прямо из треугольника, изображенного на рис. 4.12, для которого

D = а + Ь,

s = Z) sin ф,(4.41)

D-sds = D2 sin ф cos ф йф =— sin 0 ^0.

Отсюда следует, что

(4.42)(4.42)<7(9)=-^-,

(4.42)

(4.42)

так что в системе координат, связанной с центром масс, рассеяние

изотропно. Полное сечение 2 равно

1

(4-43)(4-43)5 = 2л j ad cos 0 = л£)2,-i

(4-43)

(4-43)

т. е. площади диска радиуса D.

В следующих разделах, где будет получено выражение для интеграла столкновений уравнения Больцмана, мы придем к такому заключению: система координат, в которой будет рассматриваться рассеяние при вычислении интеграла столкновений, — это относительная, связанная с любой из рассеиваемых частиц система координат, в которой, как было показано выше, значение о то же самое, что и в системе координат центра масс. При формулировке уравнения Больцмана и его приложений к частным видам сил взаимодействия предшествующий формализм для вычисления о (в системе координат центра масс) является достаточным. Однако любое описание рассеяния не может рассматриваться как полное, пока оно каким-либо путем не будет связано с типом рассеяния, который мы наблюдаем в «реальной жизни», т. е. рассеяние в лабораторной системе координат. В заключение мы дадим метод вычисления oL (сечения рассеяния в лабораторной системе координат) через ос (сечение рассеяния в системе координат центра масс, обозначавшееся прежде через о).

Вычисления проводятся следующим образом. Запишем вновь уравнения сохранения (4.9) (в лабораторной системе координат):

(4.44)(4.44)Pi + P2 = PiZ + P2,

(4.44)

(4.44)

Pi। Р2Р? , Рг2

2mj 1 2m22mt ~ 2 т 2 "

уведя черту над переменными в системе координат центра масс, запишем, что до столкновения

|’1(4.45)

р2 = — р.У.

2 _

После столкновения имеем опять 2 Pi = О и

i=l

(4.46)

Относительные скорости до ственно V и V'. Последние два уравнения можно записать для скоростей:Относительные скорости до ственно V и V'. Последние два уравнения можно записать для скоростей:е; = --t-v.Соответствующиее; = --t-v.Соответствующие(4.47)(4.47)соотносоотношения в лабораторной системе координат получаются, если к правой части этих уравнений для скоростей прибавить скоростьшения в лабораторной системе координат получаются, если к правой части этих уравнений для скоростей прибавить скоростьр^= — рУ'.р^= — рУ'.и после столкновения равны соответ-и после столкновения равны соответ-Р и с. 4.13. Геометрия связи индивидуального импульса с импульсом ЦМ.Р и с. 4.13. Геометрия связи индивидуального импульса с импульсом ЦМ.центра масс:центра масс:

Относительные скорости до ственно V и V'. Последние два уравнения можно записать для скоростей:

Относительные скорости до ственно V и V'. Последние два уравнения можно записать для скоростей:

е; = --t-v.

Соответствующие

е; = --t-v.

Соответствующие

(4.47)

(4.47)

соотно

соотно

шения в лабораторной системе координат получаются, если к правой части этих уравнений для скоростей прибавить скорость

шения в лабораторной системе координат получаются, если к правой части этих уравнений для скоростей прибавить скорость

р^= — рУ'.

р^= — рУ'.

и после столкновения равны соответ-

и после столкновения равны соответ-

Р и с. 4.13. Геометрия связи индивидуального импульса с импульсом ЦМ.

Р и с. 4.13. Геометрия связи индивидуального импульса с импульсом ЦМ.

центра масс:

центра масс:

Отсюда следует, что в лабораторной системе координат импульсы частиц после столкновения равны:

Pi=pv'+^ р’

<4-49)

Р = Р1 + Р2‘

(4.50)(4.50)Уравнения (4.49) представляют нужное нам обращение уравнений (4.44). Векторные уравнения (4.49) дают векторную диаграмму, как показано на рис. 4.13. Если мы примем, что частица 2 До столкновения покоится, то pi = m^, р2 = 0 и Р = т^. Отсюда следует, что

(4.50)

(4.50)

-^Р = цУ.тл

Соотношение V = V' указывает, что на рис. 4.13 векторы цу, и (ц/апЦ Р являются радиусами одного и того же круга. Случаи (а) ^i < т2 и (б) т^ > т2 представлены на рис. 4.14. На этом рисун-

Р и с. 4.14. Геометрия связи между углами рассеяния в различных системах координат. Здесь 0j (02) — угол рассеяния частицы mi (т2) в лабораторной системе координат; 0 — угол рассеяния в системе координат ЦМ.Р и с. 4.14. Геометрия связи между углами рассеяния в различных системах координат. Здесь 0j (02) — угол рассеяния частицы mi (т2) в лабораторной системе координат; 0 — угол рассеяния в системе координат ЦМ.Рис. 4.15. Углы 01? 02 и 0.а — лабораторная система координат, б — система координат ЦМ.Рис. 4.15. Углы 01? 02 и 0.а — лабораторная система координат, б — система координат ЦМ.

Р и с. 4.14. Геометрия связи между углами рассеяния в различных системах координат. Здесь 0j (02) — угол рассеяния частицы mi (т2) в лабораторной системе координат; 0 — угол рассеяния в системе координат ЦМ.

Р и с. 4.14. Геометрия связи между углами рассеяния в различных системах координат. Здесь 0j (02) — угол рассеяния частицы mi (т2) в лабораторной системе координат; 0 — угол рассеяния в системе координат ЦМ.

Рис. 4.15. Углы 01? 02 и 0.

а — лабораторная система координат, б — система координат ЦМ.

Рис. 4.15. Углы 01? 02 и 0.

а — лабораторная система координат, б — система координат ЦМ.

ке 01 —угол между рА и р* (следовательно, это угол рассеяния частицы тгц в лабораторной системе координат), 02 —угол между Рз и Pi (т. е. угол рассеяния частицы т2 в лабораторной системе

(4.52)(4.52)координат центра масс с угломкоординат центра масс с угломРис. 4.16. Геометрия связи углов рассеяния в системе координат ЦМ и в лабораторной системе координат.Рис. 4.16. Геометрия связи углов рассеяния в системе координат ЦМ и в лабораторной системе координат.

(4.52)

(4.52)

координат центра масс с углом

координат центра масс с углом

Рис. 4.16. Геометрия связи углов рассеяния в системе координат ЦМ и в лабораторной системе координат.

Рис. 4.16. Геометрия связи углов рассеяния в системе координат ЦМ и в лабораторной системе координат.

оорДиЯат)- Наконец, 0 — угол между V и V' —угол рассеяния ь сйстеме координат центра масс. Резюмируя сказанное, запишем: г’ 04 — угол рассеяния mY в лабораторной системе координат, 09 — угол рассеяния т^ в лабораторной системе координат, 9 — угол рассеяния ^ (или т2) в системе координат центра масс.

,]тп углы рассеяния показаны на рис. 4.14 и рис. 4.15. Связь между углами рассеяния в лабораторной системе координат п в системе координат центра масс наглядно представлена на рпс. 4.16:

tg 0! = , . ^$-^7 а .(4.51)

® 1 (/Z4M2) pF + pF cos 0х 7

Подставляя соотношение V = V', получим

m2sin0

” 1 ^i + w2 cos О

Таким образом, мы пришли к нужной нам формуле, которая свя

зывает угол рассеяния в системе рассеяния в лабораторной системе координат.

Итак, мы получили ас (0) и выражение, связывающее 0 с 0Р Теперь из самого определения о (см. (4.16)) получим окончательное соотношение между ас и aL. Выражение /о (Q) dQ представляет число частиц, рассеянных из пучка (интенсивности /) внутрь телесного угла dQ (около Q) за секунду. Очевидно, это число пе зависит от того, в какой системе координат наблюдать рассеяние. Все эти системы координат относятся к

одному и тому же случаю рассеяния и используются просто для Различных способов его наблюдения. Следовательно,

Iol (Ql) d^L = Ioc (Qc) а^С1(4.53)

11 мы получаем искомое соотношение:

aL (0t) d cos 0! = oc (0) d cos 0.(4.54)

Задача 4.5. Как связаны Sc и SL?

Задача 4.6. Каково значение ос для максвелловских молекул?

Задача 4.7. Каково значение oL для кулоновского рассеяния?

Задача 4.8. Каково gl для рассеяния жестких сфер?

частицчастицЗадача 4.9. Какова связь между 0! и 9 при рассеянии одинаковой массы?

частиц

частиц

Задача 4.10. Показать, что полное сечение рассеяния 2 обра_ щается в бесконечность, если | Т (г) | > 0 для всех г.

Задача 4. И. Каково значение 2, если потенциал У (г) является ■усеченным при г = г0 (т. е. Т (г) = 0 для Г > г0)?

Задача 4.12. Какой максимальный угол рассеяния может иметь налетающая частица ^ при столкновении с покоящейся частицей т2, если а) ^/^2 = а, а < 1; б) а > 1?

Рис. 4.17. Геометрическое построение 0 для случая рассеяния жестких сфер.Рис. 4.17. Геометрическое построение 0 для случая рассеяния жестких сфер.

Рис. 4.17. Геометрическое построение 0 для случая рассеяния жестких сфер.

Рис. 4.17. Геометрическое построение 0 для случая рассеяния жестких сфер.

Указание. Решить эту задачу геометрически, используя диаграммы рассеяния (рис. 4.13).

Задача 4.13. Показать (геометрически), что в предельном случае, когда mY = m2, две частицы всегда рассеиваются под прямым углом одна к другой, т. е. р^Рг = 0.

Задача 4.14. Доказать, что для неразличимых частицы-мишенп и налетающей частицы с энергией Ev сечение рассеяния в лабораторной системе координат (для кулоновского взаимодействия) определяется соотношением:

odcos0-=2n-cos0dcos0.

\ El / \ sin40 1 cos40 /

Задача 4.15. В плоскости рассеяния лежат два жестких дискя* Рассеяние в системе координат центра масс имеет вид, изображен ный на рис. 4.17.

Поясните геометрическое построение, которое определяет 9.

Будет ли 9 определяться однозначно в пределе, когда b < D О?

Ответ. Начертить вектор к' параллельно вектору к на расстоянии b от последнего. Далее повернуть вектор к (к' закреплен), пока он не пересечет точку О.

Сечение рассеяния о является инвариантной величиной при инверсии, обращении времени, при вращении координат относительно некоторой оси и при отражении координат относительно плоскости.

Инвариантность о при некотором процессе означает следующее. В данном эксперименте по рассеянию измеряемой величиной

Рис. 4.18. Схема каналов рассеяния.

является ZadQ (см. (4.16)). Инвариантность а относительно операции S (8 [adQ] = a'dQ') означает, что величина I^dQ^ измеряемая в новом эксперименте, совпадает со своим значением в первоначальном эксперименте, т. е. lodQ. = /a'cZQ'.

Этим свойствам инвариантности легко придать наглядность, введя понятие о каналах рассеяния. Обычно физический процесс протекает по множеству каналов (подобно тому, как вход корабля в порт может осуществляться различными путями). В классическом эксперименте по рассеянию каналы рассеяния образуют континуум, непрерывную область Q. Соответствующая диаграмма рассеяния имеет вид, изображенный на рис. 4.18.

В эксперименте по рассеянию измеряется, скажем, отношение [С : Z] исходов, идущих по каналу С, к числу случаев I нале- тания частиц. В эксперименте с обращенным временем отрицательные по импульсу события С становятся числом случаев налетания частиц, а канал I —каналом рассеяния. Инвариантность q по отношению к обращению времени означает, что мы получаем то же самое отношение для двух совокупностей событий: [-Z : —С] и [С : П.

При инверсии совокупность событий +С становится исходной, а события +Z будут финальными событиями.

Инвариантность а относительно вращения координат означает постоянство этих отношений при вращении системы координат, в которой ставится эксперимент по рассеянию. Однако сам эксперимент остается фиксированным в пространстве т).

Инвариантность относительно отражения означает, что при наблюдении за отражением эксперимента в плоском зеркале «отраженные отношения» будут те же самые, что и первоначальные отношения (т. е. измеренные в реальном эксперименте).

Задача 4.16. Доказать четыре свойства инвариантности а для случая двух частиц (частицы двумерные), которые имеют следующую форму:

Уравнение Больцмана

а) Вывод Больцмана — Stosszahlansatz {вероятностная гипотеза о столкновениях)

Рассмотрим изолированный газ, подверженный действию однородного силового поля К. Пусть газ состоит из невзаимодействующих частиц, т. е. частицы никогда не сталкиваются. Это означает, что газ идеальный. Каким кинетическим уравнением будет описываться такой газ? Чтобы ответить на этот вопрос, сначала ясно представим себе, что в случае невзаимодействующих частиц закономерно рассматривать только одну частицу без оставшейся совокупности других. Уравнение Лиувилля для этой системы (т. е.

х) Если указанное выше отношение [остается постоянным, [когда сам эксперимент вращается в пространстве (а система координат, [в которой проводится измерение, фиксирована), то будет иметь место менее тривиальный физический закон. Эти два случая инвариантности эквивалентны, если пространство изотропно.

одной частицы во внешнем силовом поле) имеет вид

д/ , 4.8L : JL.^_ = O^4 55^

dt + $ дх пг 0^ *\ • /

Это не уравнение Власова, а одночастичное уравнение Лиувилля, поскольку сила К в (4.55) — это известная внешняя сила, а в уравнении Власова — это самосогласованная сила, являющаяся функционалом от /. Но использовать уравнение (4.55) для описания динамики изолированной частицы бессмысленно, поскольку намного проще пользоваться непосредственно вторым законом Ньютона. В чем же заключается польза одночастичного уравнения Лиувилля?

Рассмотрим ансамбль одночастичных систем. Пусть общее число идентичных систем ансамбля равно N.. Г-пространство является шестимерным. Каждая система представляется точкой в Г-пространстве (определяющей состояние одной частицы во внешнем силовом поле). Предположим, что в любой данный момент времени мы рассматриваем ансамбль в трехмерной конфигурационной части шестимерного Г-пространства. Мы будем наблюдать ^-частичный газ. ,Следить за движением ансамбля одночастичных систем в Г-пространстве (рис. 4.19, а) —это все равно, что следить за динамикой системы из N невзаимодействующих частиц (рис. 4.19, б). В этом состоит отличие одночастичного уравнения Лиувилля от TV-частичного уравнения Лиувилля (N = 2, 3, . . .). Определяемый им ансамбль является динамической системой, имеющей физический смысл.

То, что уравнение (4.55) относится к системе невзаимодействующих частиц в силовом поле К, можно показать путем простых вычислений. Число частиц в элементе фазового пространства 6x61 в момент времени t равно

6N = б|6х У (х, |, г).(4.56)

(Напомним, что S' нормирована на N, в то время как / нормирована на единицу.) Во время t + 62 эти 6TV частиц будут находиться в другом месте фазового пространства. Так как единственное возмущающее влияние на частицы обусловлено силой К, то очень просто определить, куда перешли частицы. Частица, находящаяся в момент t в точке (х, §), в момент t + 62 будет находиться в точке (х 4- §6^, | + (К/тп) б£], так что (вспоминая инварианты Пуанкаре)

6W = 6x6^ (х, |, ^) =

= 6(х + ^)д(| + ^6<)^(х + ^, ^ + ^6/, < + 6z). (4.57)

Разлагая правую часть около 6t = 0, получим в пределе при б^ О

6fl = 6x6S«(^ + S.»+5..^)_0.(4.58)

Это есть суммарное число частиц, которые входят в движущийся фазовый элемент б|бх за время 6t. Так как уравнение справедливо

Рис. 4.19. Схематическое изображение а двух траекторий в Г-пространст- ве и б соответствующих кривых в конфигурационном пространстве.

для малых, но в остальном произвольных бх, б|, б^, то из него следует уравнение (4.55).

Это мысленное построение проделано нами не только для того, чтобы формально показать связь уравнения (4.55) с системой невзаимодействующих частиц, но оно служит отправной точкой рассматриваемого вывода уравнения Больцмана. Соотношу

ние (4.58) отличается по смыслу от (4.55), поскольку в нем присутствует элемент объема. Левая часть (4.58) представляет полное число частиц, входящих в элемент фазового объема бхб| (примыкающий к траектории | (£), х (^)) за время б£. Согласно правой части (4.58), это число равно нулю. Отсутствие потока внутрь данного элемента фазового объема объясняется тем, что движение фазового элемента точно совпадает с движением ускоряющихся частиц (т. е. с движением, описываемым соотношением (4.55)).

Далее, хотя частицы, описываемые уравнением (4.55), могут иметь пересекающиеся орбиты в конфигурационном пространстве (см. рис. 4.19), они не взаимодействуют одна с другой.

В результате чего возникает взаимодействие (точнее столкновение) частиц в нашей первоначальной системе без взаимодействий? Рассмотрим две частицы, которые не коррелируют и расположены каждая вне области взаимодействия с другой, но находятся на пути к столкновению (т. е. прицельный параметр s меньше радиуса взаимодействия). В процессе столкновения (войдя каждая в область взаимодействия другой) они становятся коррелированными. Столкновения порождают корреляции. С другой стороны, пусть две частицы а и Ь, каждая из которых находится вне области взаимодействия другой, будут коррелированы. После того как частица b столкнется с тремя последующими частицами с, d и в, любая начальная зависимость (например, в виде начальных условий) между состояниями b и а будет ослаблена. Столкновения разрушили корреляцию. В более общем случае столкновения разрушают и создают корреляции.

Вернемся к нашей задаче. Мы хотим учесть взаимодействия, или столкновения, в первоначальном газе из невзаимодействующих частиц. В теории уравнения Больцмана рассматриваются только такие столкновения, которые подчиняются неравенствам

тС1» (4-59) to I

где о — это среднее время между столкновениями и Z — средний свободный пробег. Если произвольная частица сталкивается N раз за время Г, то в предельном случае, когда N ^ 1, имеем £0 = TIN. Если С —тепловая скорость, то I = Ct0 и г0 — Ст. Время т — это среднее время, в течение которого одна частица находится в области взаимодействия другой. Область взаимодействия имеет размер г0. Величина | G | силы взаимодействия равна ф0/г01 где Фо — напряженность взаимодействия.

Согласно неравенствам (4.59), частица должна большую часть времени проводить между столкновениями, и расстояние, проходимое частицей между столкновениями, значительно превышает радиус взаимодействия. Если на газ не действует внешняя сила,

то вместе с (4.59) это обеспечивает прямолинейность движения частиц между столкновениями. С другой стороны, если К =^0, мы должны наложить ограничение, согласно которому частицы входят в области взаимодействия по прямолинейным траекториям. Это будет так, если отклонение от прямолинейности, создаваемое силой К за время tQ, мало по сравнению с отклонением, вызываемым силой G за время т, что выполняется, если

К < G. (4.60)

Условие (4.59) эквивалентно требованию, чтобы газ был разреженным. Условие (4.60) обеспечивает прямолинейность движения частиц непосредственно перед столкновением. Второе условие заключено в первом, если К = 0, но для К ^0 оно должно быть оговорено особо. На рис. 4.20 показано несколько типичных траекторий, для которых выполняются эти условия.

Теперь мы лучше подготовлены, чтобы рассмотреть влияние столкновений на первоначальную систему невзаимодействующих частиц. Существуют два подхода к получению кинетического уравнения. Во-первых, мы можем обратиться к TV-частичному уравнению Лиувилля и исследовать соответствующее Б^ уравнение для описанного выше случая разреженного газа с взаимодействующими частицами. Этот метод имеет преимущество, будучи автономным и формальным. Но его недостаток состоит в том, что кинетическое уравнение по своему характеру противоположно уравнению Лиувилля в том смысле, что первое необратимо, а второе обратимо, следовательно, придется вводить целый ряд предположений, чтобы учесть необратимость. В этом состоит слабость метода, исходящего из уравнения Лиувилля, поскольку он в значительной мере формален по своей природе. Заметим, что при разложениях около нулевых корреляций, выполненных в гл. III, необратимость никак не вводилась в теорию. Все полученные кинетические уравнения были обратимыми.

Второй подход осуществляется совершенно иначе. Рассматривают только одночастичное распределение, для которого надо найти уравнение. Вместо того чтобы исходить из уравнения Лиувилля для ^-частичного распределения и продвигаться вплоть до одночастичного распределения, берут за основу уравнение свободно-молекулярного течения (одночастичное уравнение Лиувилля) и получают кинетическое уравнение, включающее эффекты столкновений. Такова точка зрения Больцмана.

Исходным является соотношение (4.58), которое, как мы помним, дает полное число частиц, входящих в элемент фазового объема 6х6| за время бЛ Если частицы не взаимодействуют, это число равно нулю. Если они взаимодействуют (в описанном выше случае разреженного газа), то, прослеживая за группой частиц внутри их собственного фазового элемента 6x61, нельзя

быть уверенным, что ни одна из частиц не покинет этот объем 0ли что в него не войдет «посторонняя» частица.

Пусть число частиц, которые входят в элемент фазового объема 6x61 за время 6^, вследствие столкновений равно 6/?+, а 6/?_ —

Рис. 4.20. Траектории Больцмана.

а — К = 0; б — К однородна и направлена вниз; в — пробная частица несет заряд, К = е| X Во. Магнитное поле Во направлено перпендикулярно чертежу.

число частиц, покидающих за время 6t объем 6х6|. Тогда вместо (4.58) имеем:

5/6x6$ (Т + ^+^’О-“+-“-

Поскольку естественной системой координат для уравнения (4.61) является система, фиксированная относительно частицы, движущейся со скоростью |, то уместно и рассеяние рассматривать

в этой же системе координат. Сначала рассмотрим 6Д_. Скорость всех частиц газа можно разделить на две группы. В первую входит небольшой диапазон скоростей, заключенных в интервале 6^ около |, а во вторую — все остальные скорости, которые обозначим через переменную |Р Число частиц, которые выходят из элемента фазового объема 6х6| за время 6^, — это просто полное число столкновений «|-частиц» со всеми другими частицами (т. е. «|г частицами») за время 6t. Следовательно, чтобы вычислить 6/?_, мы должны учесть все столкновения между парами частиц, при

•> ^ - частица1 имеет скорость V б системе•> ^ - частица1 имеет скорость V б системеРис. 4.21. Рассеяние в системе координат «1-частицы».Рис. 4.21. Рассеяние в системе координат «1-частицы».которых одна из частиц «выбрасывается» из интервала 6| около X* Другими словами, это должны быть пары, обладающие следующими свойствами.

•> ^ - частица1 имеет скорость V б системе

•> ^ - частица1 имеет скорость V б системе

Рис. 4.21. Рассеяние в системе координат «1-частицы».

Рис. 4.21. Рассеяние в системе координат «1-частицы».

Одна частица находится в фазовом элементе 6|6х около (|, х), а другая — в фазовом элементе 6|i6xi около (11, Х^.

gi-частицы в 6xt претерпевают столкновения с 1-частицами в 6х за время 6t

Согласно определению ^2, число таких пар частиц задается следующим соотношением:

d (6Д_) =

= ^2 (2, Zi) 6|i6Xi6|6x. (4.62)

Чтобы построить элемент объема 6Xi так, чтобы он обладал свойством 2, рассмо

трим рассеяние в системе координат, связанной с частицей | (рис. 4.21). В этой системе координат все |1-частицы, расположенные в цилиндре с высотой | |1 — | | 6^ и площадью основания sdsd<p, претерпевают столкновение с 1-частицей за время 6^. (Частицы, находящиеся немного выше цилиндра, не достигнут его основания за время 6^.) Следовательно, элемент объема 6xi равен

6xi = Sts ds dtp || — |i |, и выражение (4.62) примет вид

d (8RJ = ^^ | | — §i | 8tsdsd<p8^8x. (4.63)

Интегрируя по всем ^, $ и ф, получим полный вклад в 6/?_: №- = ^ d(6^) = ^ ^ y'a^Sill — li| s ds dtp) 6|6хбЛ(4.64)

(XI, §1)11, s, ф

Столкновение переводит скорости (g, |i) в ^, |') и подчиняется уравнениям сохранения (4.9).

Чтобы получить б/?+, мы должны учесть все парные столкновения, в результате которых одна из частиц попадает в интервал

Рис. 4.22. Рассеяние и его инверсия в системе координат «^-частицы». Объемы цилиндров равны. Их положения не совпадают.

скоростей б| около | за время б^. Согласно определению, это точная инверсия столкновения

(I, li)-*(!', II), Т. е

(1\ 10^(1, li).

Рассеяние k^^-^kVi^ и его инверсия показаны на рис. 4.22 — опять в системе координат, связанной с ^-частицей. Выражение для 6Д+ имеет вид

d (6/?+) =^2 С^, *') 6|'бх'б|'бх',(4.65)

т. е. столкновение между парой частиц (£', |'), выходящих из элементов фазового пространства, в которые пара (|, 1^ пришла- после столкновения, восстанавливает пару (|, |i).

В выражении (4.65) объем бх' = V'6ts' ds'dq/. Вследствие наличия симметрии между столкновением и его инверсией s' ds'dyf ^ = sdsd^) (или, что эквивалентно, o'dtt' = o^Q). Кроме того У = У', что справедливо для любого столкновения. Отсюда следует, что

бх! = бх;.(4.66)

Сейчас мы покажем, что дифференциалы в (4.65) совпадают с дифференциалами в (4.62). Обычный метод таков: уравнение (4.66) используется для подстановки бх' в (4.65) и далее проводится доказательство для остальных членов.

Однако существует более простой метод. В интегральные инварианты Пуанкаре входит форма 6x6|6xi6|i для двух частиц в системе из N частиц. Следовательно, 6x6|6xi6|i = бх'б|'бх'б|', и, таким образом, наша цель достигнута.

Отметим, между прочим, что выражение ^^хв^вх^^ выглядит как величина, сохраняющаяся в силу теоремы Лиувилля. Это справедливо, если система состоит только из двух частиц. Тогда JF2 — функция распределения для ансамбля двухчастичных систем, и из соответствующего уравнения Лиувилля следует, что с^бхв^х^^ —инвариант действительного движения системы. Но, конечно, в данном случае это не имеет места, поскольку в нашем доказательстве распределение JF2 относится к двум частицам в системе из N частиц.

Окончательно уравнение (4.65) примет следующий вид:

d (б/?+) = ^2 (zj, /) 6|t | |t — || 6^q)S(Zs6|6x,(4.67)

так что суммарное число частиц, рассеянных внутрь фазового интервала б|бх около (|, х) за время 6i, равно

6Я+ = [ J ^2^, z')| £ — It I d^sdsdcpj 6|6хб£.(4.68)

(51,s, ф)

Хотя это утверждение является точным относительно скоростей рассеянных частиц, оно не точно относительно их пространственного положения. Приращение б/?+ пополняет число частиц в пространстве скоростей (около значения |), но не число частиц в конфигурационном пространстве (около значения х). При инверсивном столкновении частица не обязана появиться около значения х. Куда же она попадет? Инверсивное столкновение, как видно из рис. 4.22, инжектирует частицу в систему в положение Ь, которое смещено относительно положения вновь введенных частиц (б/?+) на расстояние порядка величины радиуса взаимодействия г0. Предположим теперь, что 5\ (х, |) не изменяется при смещении

произвольного х на г0, т. е.

(х) = (х + уг0),(4.69)

где У — величина порядка единицы. Это означает, что число частиц г интервале бх около точки а (рис. 4.22) то же самое, что и в интервале бх около точки Ь. Следовательно, хотя частицы из числа 6/?+ (4.68) инжектируются в элемент объема бх около Ъ, число их такое же, что и в элементе бх около а (при условии, что выполняется соотношение (4.69)). В этом случае б/?+ — это в точности число частиц, входящих за время б^ в фазовый элемент бхб| около х, | вследствие столкновений.

Объединяя уравнение (4.61) с соотношениями (4.64) и (4.68), получим

dt дх * т * д^

Г)-^^, 1)1 ^-Ц. (4.70)

Уравнение (4.70), подобно ББКГИ-системе, представляет собой одно уравнение для двух неизвестных. Чтобы прийти от него к уравнению Больцмана, необходимо только наложить ограничение, подобное тому, которое мы ранее называли ограничением нулевых корреляций:

(I, 11) =М (4*71а)

Ы =(4.716)

В первом равенстве скорости (|, ^) независимы. Однако скорости (V, I') не являются независимыми. Если заданы скорости налетающих частиц (|, ^), то скорости (§', |') связаны с ними уравнениями сохранения (4.9) г). Этим дается формальное пояснение того утверждения, что столкновения создают корреляции. Чтобы наш анализ был последовательным, необходимо показать, что столкновения также и разрушают корреляции. За достаточно длительный интервал времени после данного столкновения каждая частица испытывает множество столкновений и поэтому обязана вновь вернуться к общему столкновительному состоянию, для которого снова должны быть справедливы уравнения (4.71), и частицы опять будут некоррелированными. Таким образом, в результате столкновений корреляции разрушились.

Свойство, описываемое уравнением (4.71), называется молекулярным хаосом. Внося это ограничение в уравнение (4.70) и пренебрегая единицей по сравнению с N, получим уравнение Больц*

х) Уравнение (4.716) несколько менее корректно, чем уравнение (4»71а).

мана1) (ср. с (3.65)):

"+5-^ + ^-<“П ^V” ^ С#^' - .^). (4.72) где

^>^(11), ^' = 54^ ^i^^(li).(4.73)

(Теперь JF означает одночастичную функцию распределения. Индекс «1» указывает на то, что аргументом функции является |ь) Конечные скорости являются известными функциями начальных скоростей, что получается из уравнений сохранения при силе взаимодействия G, которая также определяет сечение рассеяния о = о (У, 6, параметры G).(4.74)

Заметим, что система координат, в которой рассматривается рассеяние и вычисляется о, связана с «1-частицей». Однако, как было, замечено выше, то же самое о будет описывать рассеяние и в системе координат центра масс (см. задачу 4.2). Уравнения (4.72) и (4.73) составляют уравнение Больцмана. Оно является автономным, только когда известен явный вид уравнений (4.74) и (4.15). Уравнение (4.72) часто записывают в сокращенной форме:

=(4.751

где D/Dt —индивидуальная производная:

Dао дКд,. поХ

Dt =di дхm5§(4-76)

a J—нелинейный оператор столкновений;

J(^)= j jadQ^p^^#-^^).(4.77)

Задача 4.17, Получить явный вид оператора столкновений J (^) для газа, состоящего из жестких сфер диаметра D*

Ответ. В данной задаче удобно пользоваться сферическими системами координат, изображенными на рис. 4.23. Угол ф тот же самый, что и на рис. 4.7. Отметим, что вектор а можно изменять, оставляя V фиксированным, а вектор ^ можно изменять, оставляя | фиксированным. Различные элементы J (JF) в этом пред-

г) Отметим сходство между уравнением [Больцмана и следующим управляющим уравнением, предложенным Клаузиусом (около 1862 года):

k, I

где коэффициенты а — скорости перехода.

давлении будут иметь вид:

s ds dtp d3^ = D4 cos ip d cos ip dtp^du d cos X d^,

V2 = ^+ £2 -2^cosX,

a = (cos ip, sin ip sin <p, sin ip cos <p), a-V = У cosip.

Рис.

4.23.

Подставляя эти выражения в дифференциал оператора Д^ и в аргументы функций

^ =^[|+ a(a«V)L

получим решение.

Задача 4.18. Определить, являются ли обратимыми следующие уравнения (т. е. показать, что если у {t} —решение, то у (—0 — также решение; штрихами обозначены производные по времени):

а)

а

у' — \ У ^ ^

6)

г)

a

V =\ху (^йж'о

t

У* = J у (%) dx,о

a

у' = I у(х — t) dx.

Ответ. Для уравнения а) исследуем, является ли также решением у ^—1\ Подставляя у (—t) вместо у (t), получим:

о

или, что эквивалентно,

^=L^a2.

0

Это уравнение не совпадает с а), так что у (—£) не является решением и уравнение а) необратимое. С другой стороны, мы могли бы показать, что данное уравнение не инвариантно при преобразовании обращения времени, 1-^1* = —t. Здесь уместно отметить, что правая часть данного уравнения постоянна и не зависит от времени. Способом, аналогичным первому, мы найдем, что б) необратимое, в) обратимое и г) необратимое. Отметим, что при дифференцировании а) получается обратимое уравнение. Решения уравнения у" = 0 являются обратимыми относительно этого уравнения. Подмножество этих решений, которое является решением а), состоит из решений, необратимых относительно а).

Задача 4.19. Показать, что уравнение Больцмана необратимое^ т. е. если / (|, £) —решение, то / (—|, —£) не обязано быть таковым.

При получении уравнения Больцмана были сделаны следующие предположения.

Тройными столкновениями можно пренебречь.

Непосредственно перед столкновением орбиты прямолинейны в противоположность столкновительной части траектории.

Функция распределения частиц не меняется на расстояниях порядка размера области столкновения.

Справедлива гипотеза молекулярного хаоса.

б) Вывод Грэда

Описанный только что метод получения уравнения Больцмана концентрируется в основном на вычислении членов 6R±. Одночастичная функция распределения изменяется (вдоль траектории частицы) только благодаря беспорядочным столкновениям, вследствие которых частицы выходят из элемента фазового объема и входят в него. Но это не единственная причина изменения функции Полный механизм изменения определяется интегралом в уравнении БИ1 [см. уравнение (2.178а)].

Было бы очень поучительно вывести уравнение Больцмана непосредственно из БИ<. Можно вполне надеяться, что при таком

подходе различные предположения, которые необходимы для получения уравнения Больцмана, выявятся яснее. За последнее время был проведен ряд таких попыток. Это работы Кирквуда (1947), Боголюбова (1946) и совсем недавняя работа Грэда (1958). В настоящем разделе мы рассмотрим вывод Грэда, после чего в общих чертах ознакомимся с выводом Кирквуда. Анализ Боголюбова был рассмотрен в гл. III.

Прежде всего запишем уравнение Лиувилля в следующем виде:

NN

Полная сила, действующая на частицу I со стороны всех других частиц, равна Gz. Она связана с введенной ранее двухчастичной силой Gf7- соотношением

N

Gz = ?4z = 2 GW (хг, X;)-(4-79)

Выпишем формулы, необходимые нам в дальнейшем.

J -^-.А(х, y)dy =j divAdy= — ^> A-dS, (4.80)

1У-Х|>а|y-x|>a|y-x|=^

-^ j A (x, y)dy = J -^.A d^ — A-dS. '(4.81) |y-x|>a|y-x|>a|y-x|=a

Для того чтобы получить уравнение, похожее по форме на уравнение Больцмана, оказывается полезным ввести усеченное распределение t^vY Эта функция определяет вероятность того, что в пределах расстояния а от частицы 1 нет ни одной молекулы, а частица 1 находится в состоянии Zj. Чтобы получит! уравнение для /f, проинтегрируем уравнение Лиувилля по области D. Область D содержит все такие состояния частиц (2, . . ., А), в которых ни одна частица не находится ближе чем на расстоянии о от частицы 1 (рис. 4.24). JB результате будем иметь:

NN

j 42 ... 4N {4^+ 2 ^.+ ^2 G,■} = о, (4.82)

D

f==^Nd2 ... dN,(4.83)

D

D = {|x1 — x2|>a; |х,—x3|>o; ... | xt—xN | > 5).

66

6

6

Рис. 4.24. Области в конфигурационном пространстве при выводе уравненияБольцмана методом Грэда.

а — область D; б — область Р2; в — область DT.

Dr* | xt—хг|Х0,

D=D2xD3x...xDN, ^=^fNd2...dN;

D

D'=D3X. .XDn, £= j fNd3 ... dN.

D'

Если через DT обозначить область |xt— хг|>а, то

D=D2 X D3X . . X DNeD=D2 X D3X . . X DNe(4.84)(4.84)

D=D2 X D3X . . X DNe

D=D2 X D3X . . X DNe

(4.84)

(4.84)

Из этих уравнений мы получим

- N

%-+2 j {^-(W^lt G-Md2 ■••"-о. 0-85> D

Дусть Si — сфера | x^ —Xf | = а. Рассмотрим первый член суммы

N

2^‘№),(4.86)

Z=1

интеграл от которого есть

N

j -^W d2---dN = -~- (Ш + 2 j $/?(1, Z) ^.dS db.

D1=2 St

(4.87)

Здесь мы использовали соотношение (4.81), отождествляя интеграл в левой части (4.87) с первым интегралом в правой части (4.81). Аналогичным образом можно разложить оставшиеся члены суммы (4.86):

NN

2 ^4Wd2 ...dN=-^ ^f^l, WdSdb (4.88)

1=2 Ь1=2 J St

В этом случае использовано соотношение (4.80).

В силовом члене уравнения (4.85) все слагаемые, кроме члена с д/9^1, приводятся к поверхностным интегралам, которые обращаются в нуль. Соответствующий множитель при dfd^ после интегрирования дает

N

( GJNd2 ... dN = 2 j Gu (хъ x^jNd2 ... dN =

Ь1=2 D

= (W-1) J G12(xb x2)/g(l, 2)d2.(4.89)

Область D2 содержит все состояния частиц 1 и 2, в которых расстояние между частицами не будет более близким чем о (т. е. I х2 —Xi | > о). Усеченное двухчастичное распределение /£ определяется через интеграл

/?(1, 2)= j /^ (1, ..., N)d3 ...dN,(4.90)

D'

D' = D3 x D^ x . . . X Dn.

Область Dr содержит все состояния молекул (3, . . ., N), в которых ни одна из этих частиц не подходит к частице 1 ближе чем на о.

Объединяя уравнения (4.82) и (4.89), получим требуемый результат:

-^ + ^•^ + (^-1) J ^dS.^-^d^-b

St

<«1)

В2

Это уравнение называется первым -уравнением Грэда.

При выводе данного уравнения было учтено, что поверхностные интегралы в правой части соотношений (4.87) и (4.88) представляют собой (TV — 1) одинаковых членов. Это отождествление было сделано почти по той же причине, что и в ББКГИ-последо- вательности, где мы также получили (АГ— s) одинаковых членов [ср. с уравнением (2.150) и последующими, а также с относящимися к ним рассуждениями]. Область В2 в уравнении (4.91) включает I х2 — xt | > а, тогда как поверхностный интеграл в этом же уравнении вычисляется по поверхности | х2— xt | = о.

Чтобы раскрыть смысл первого уравнения Грэда, предположим, что G12 = 0 для | х2 — xi | > о (что выполняется для жестких сфер диаметра а). Тогда мы придем ко второму уравнению Грэда*.

(4.92)

Левая часть этого уравнения представляет полную производную по времени от функции /f. Из вида поверхностного интеграла в правой части мы заключаем, что скорость изменения числа частиц в данном элементе фазового объема обусловлена только убылью пары частиц, когда они входят каждая в область влияния другой, либо приростом пары частиц, когда они покидают каждая область влияния другой.

Эта ситуация резко противоречит тому, что имеет место в случае уравнения EHf.

4 93) dt 1 дхтj*

которое описывает изменение А, обусловленное действием непрерывной коллективной силы со стороны всех оставшихся частил.

Второе уравнение Грэда (4.92) дает точное описание газа из твердых сфер, для которого единственным имеющим смысл распределением является tw В следующих разделах мы покажем, что это уравнение, кроме того, является естественным предшественником уравнения Больцмана.

Эти замечания наводят на мысль, что между любым газом, хорошо описываемым уравнением Больцмана, и фундаментальным газом (т. е. газом из жестких сфер) существует формальное сходство. Оно состоит в следующем. Для обоих классов газа (мы имеем в виду систему из жестких сфер) траектория характерной частицы

N'd S < 0 (до столкновения)

Каждый такой элемент площади имеет проекцию на S^ и S^Каждый такой элемент площади имеет проекцию на S^ и S^V- d S> 0 (после столкновения)V- d S> 0 (после столкновения)Рис. 4.25. 52-сфера в выводе уравнения Больцмана методом Грэда. является свободной, за исключением стохастических дискретных отклонений, которые испытывает частица, когда она входит в сферу влияния другой.Для того чтобы представить второе уравнение Грэда (4.92) в форме уравнения Больцмана, рассмотрим сначала сферу 8^ которая изображена на рис. 4.25.Точки 8^ отображаются на меридиональный диск простым проектированием. Точки диска имеют радиальную координату s (прицельный параметр) и азимут ср. Чтобы сделать отображение взаимнооднозначным, две полусферы различают согласно условиям:8^ : V-dS > 0 (после столкновения),S~ : У -dS < 0. (до столкновения).Относительная скорость V задается соотношениемРис. 4.25. 52-сфера в выводе уравнения Больцмана методом Грэда. является свободной, за исключением стохастических дискретных отклонений, которые испытывает частица, когда она входит в сферу влияния другой.Для того чтобы представить второе уравнение Грэда (4.92) в форме уравнения Больцмана, рассмотрим сначала сферу 8^ которая изображена на рис. 4.25.Точки 8^ отображаются на меридиональный диск простым проектированием. Точки диска имеют радиальную координату s (прицельный параметр) и азимут ср. Чтобы сделать отображение взаимнооднозначным, две полусферы различают согласно условиям:8^ : V-dS > 0 (после столкновения),S~ : У -dS < 0. (до столкновения).Относительная скорость V задается соотношением

Каждый такой элемент площади имеет проекцию на S^ и S^

Каждый такой элемент площади имеет проекцию на S^ и S^

V- d S> 0 (после столкновения)

V- d S> 0 (после столкновения)

Рис. 4.25. 52-сфера в выводе уравнения Больцмана методом Грэда. является свободной, за исключением стохастических дискретных отклонений, которые испытывает частица, когда она входит в сферу влияния другой.

Для того чтобы представить второе уравнение Грэда (4.92) в форме уравнения Больцмана, рассмотрим сначала сферу 8^ которая изображена на рис. 4.25.

Точки 8^ отображаются на меридиональный диск простым проектированием. Точки диска имеют радиальную координату s (прицельный параметр) и азимут ср. Чтобы сделать отображение взаимнооднозначным, две полусферы различают согласно условиям:

8^ : V-dS > 0 (после столкновения),

S~ : У -dS < 0. (до столкновения).

Относительная скорость V задается соотношением

Рис. 4.25. 52-сфера в выводе уравнения Больцмана методом Грэда. является свободной, за исключением стохастических дискретных отклонений, которые испытывает частица, когда она входит в сферу влияния другой.

Для того чтобы представить второе уравнение Грэда (4.92) в форме уравнения Больцмана, рассмотрим сначала сферу 8^ которая изображена на рис. 4.25.

Точки 8^ отображаются на меридиональный диск простым проектированием. Точки диска имеют радиальную координату s (прицельный параметр) и азимут ср. Чтобы сделать отображение взаимнооднозначным, две полусферы различают согласно условиям:

8^ : V-dS > 0 (после столкновения),

S~ : У -dS < 0. (до столкновения).

Относительная скорость V задается соотношением

V = 12 - 11-(4.94)

Для фиксированной скорости V,

= St + 5-.

Точка на 8^ которая проектируется на (s, ср), обозначается х* (s, ср), а точка на 8^ которая проектируется в эту же точку, обозначает-

с я х2 (а, ср). В результате получим:

(Si—£2)^8 = —Vsdsd^ на S^(4.95)

(§i— ^У dS = +V sdsdq> на 8^.

Если через 2+ обозначить точку (§2, х2), а через 2" — точку (§2) х~У то в наших координатах уравнение (4.92) примет вид

#+Ь-<--("-О {№

= ^ -1) J № (1, ^-f= (1,2-)] Vs ds d^ d^. (4.96)

Пока это то же самое уравнение, что и (4.92), просто записанное в другой форме. Однако сходство его с уравнением Больцмана (4.72) вполне.очевидно. Введем сейчас ряд ограничений, почти таких же, как в выводе Больцмана.

Заменим аргументы в /£ (1, 2+, ^) на значения, которые они должны иметь в начале бинарного столкновения (скажем, 1, 2, 7), для того чтобы в момент t они приняли значения (1, 2+). Начало столкновения определяется условием | х2—xt | = о. Эта операция аналогична использованию инверсивных столкновений (/^ /') в представленном ранее выводе Больцмана. Оба приема вводятся для того, чтобы член с положительным коэффициентом в интеграле столкновений вносил вклад в ВУ (iyBt в момент t.

Положим

/5(112-) = /?(1)/»(2-),/"(1, 2) = /?(!)/"(2),

т. е. введем предположение о молекулярном хаосе.

В четырех функциях /£(1, ty /^(2”, ty /? (1, ty f? (2, t) заменим x2, x1? x~ на xt и ? на t.

Произведя соответствующие изменения в уравнении (4.96) и пренебрегая единицей по сравнению с N, получим (вспоминая, что ^i = МУ) уравнение Больцмана:

- ^1 &) ^, (62) ] оdsiv d^(4.97)

(a dQ = s ds d^.

Это завершает вывод уравнения Больцмана методом Грэда. Обратимся теперь к выводу Кирквуда уравнения Больцмана.

Задача 4.20. Показать, что второе уравнение Трэда обратимо, т- е. показать, что его решением является также

[/?(-^1, -tv fn-h, -^2, -Ob

Задача 4.21. Установить справедливость соотношений (4.95). Ответ.

V .^S = Ко2 d cos 0d(p cos0 вместе с

s2 = о2 sin2 0

дает желаемый результат.

в) Вывод Кирквуда уравнения Больцмана

Вывод уравнения Больцмана Кирквудом (1947) ) также основывается на уравнении Лиувилля. Он использовал последнее, чтобы вывести уравнение для расширенной функции распределения. В этом смысле вывод Кирквуда подобен выводу Трэда, который получил уравнение для усеченной функции распределения, обладающей характерным свойством в пространстве конфигураций (ни одна из частиц не приближается к данной ближе чем на расстояние or). С другой стороны, отличительной чертой распределения Кирквуда является его временное свойство, s-частичное усредненное по времени распределение Кирквуда /s задается уравнением

/s(l, ..., s, 0 = v J/s(^ 2’ s> ^ + л)^Л-(4.98)

о

Эта операция обладает эффектом «сглаживания» функции по времени. Чтобы это увидеть, рассмотрим производную

‘(4.99)

dtт

Тангенс угла наклона /s в точке t зависит от значения /s в двух точках (in t + т) и не чувствителен к виду функции /s между этими двумя точками. Чем больше т, тем более гладкой получается функция /s. Ступенчатая функция S и ее сглаженный по времени «дубликат» 5 показаны на рис. 4.26.

Предположим опять, что мы проинтегрировали уравнение

Лиувилля (АГ—1) раз, чтобы получить БИ! (2.178а):

(4.100)

Заменяя t на £ + ц и затем действуя на это выражение оператором т'1 j ЙЦ, получим о

# + -^ ■ ^ Т,+(N -1)• J ажД - о. (4.10!)

Заметим, что интеграл содержит оператор Gi2*d/dpi. Чтобы преобразовать этот оператор, введем первое предположение: за интер-

s5

Рис. 4.26. Ступенчатая функция S и сглаженная по времени функция 5.Рис. 4.26. Ступенчатая функция S и сглаженная по времени функция 5.

Рис. 4.26. Ступенчатая функция S и сглаженная по времени функция 5.

Рис. 4.26. Ступенчатая функция S и сглаженная по времени функция 5.

а — парное взаимодействие; б — тройное взаимодействие.

вал времени (t, t + т) частица 1 взаимодействует только с частицей 2 (т. е. в любое время не более чем две частицы сталкиваются одна с другой). Такая ситуация изображена на рис. 4.27, а. Если

это так, то

Pi=2gu(4.102)

1=2

СВОДИТСЯ к

Pi = Gi2(4.102а)

и

■(4.103)

Предположим далее, что справедлива следующая цепочка неравенств:

2)|>|p2-^J2| ; |х1-^/ф |х2-^Г2| ; J-^l * (4.104)

Тогда полная производная по времени

■^^Ц^+^+^+^+^М (4.105) примет вид

(4.106)

Из (4.103) и (4.106) следует, что в пределах радиуса взаимодействия | х± — х2 | ^ г0 (т. е. для ненулевой области взаимодействия) интеграл в усредненном по времени уравнении БИ1 (4.101) будет равен

j d2G12 • -A /2 = J d2 A h = j A [/2 (t + т) -/2 (J)].(4.107)

При получении этого равенства мы использовали (4.99). Подставляя в уравнение (4.101) полученное выражение для интеграла и пренебрегая единицей по сравнению с N\ придем к следующему уравнению:

' Ж? i">+" j V+ т) -1= И1 - о. (4.108) Для дальнейшего преобразования интегрального члена этого уравнения перейдем к системе координат, связанной с частицей 1, и построим 5tosszahlansatz-диаграмму (рис. 4.21). Однако вертикальный рассеивающий цилиндр имеет теперь высоту | ^—|2 I т вместо | |1 — |2 | 6^. Элемент объема с/3ж2 равен sdsdxp | ^ — §2 I т. Переходя теперь в (4.108) от р к |, получим следующее уравнение:

=-N j s ds dtp tf^i-WW-fait+ ^1-(4-109)

Из условий (4.104) следует, что функция /2 однородна на разме_ рах области столкновений. Кроме того, эти условия означают что /2 не зависит явно от времени, хотя может от него зависеть через §! и |2. Если в момент t + т скорости равны (^ |2), то в момент t они равны (^, ^. Напомним, что в результате инверсивного столкновения начальные скорости восстанавливаются.

Внося соответствующие изменения в (4.109), используя гипотезу молекулярного хаоса (/2 = Л/i) и проведя ренормализацию, так что ^i = N/1, придем к уравнению Больцмана.

Необходимые для предшествующего вывода неравенства (4.104) и уравнения (4.101) и (4.102а) интересны сами по себе. Они, в сущности, определяют область применимости уравнения Больцмана. Их можно сравнить с теми предположениями, которые понадобились при выводе методом Больцмана и перечислены непосредственно после уравнения (4.77) (условия 1—4).

Таким образом, мы показали, что области применимости уравнения Больцмана, подразумеваемые каждым из трех приведенных методов его получения, очень схожи между собой, как это и должно быть, поскольку они относятся к одному и тому же уравнению — уравнению Больцмана. (Их также необходимо сравнить с предположениями, которые делаются при выводе Боголюбова, представленном в гл. III.)

Свойства больцмановского оператора столкновений

а) Сумматорные инварианты

В разделе 3.1 мы показали, что все гидродинамические переменные можно получить, зная функцию JS. Отсюда следует, что из верного кинетического уравнения должны получаться уравнения движения для гидродинамических переменных (уравнения гидродинамики). Таким образом, первое «испытание», которое должно пройти предлагаемое кинетическое уравнение, состоит в том, что оно должно привести к уравнениям гидродинамики. Их также называют макроскопическими уравнениями, гидродинамическими уравнениями и уравнениями сохранения. Для того чтобы получить их из уравнения Больцмана, необходимо сначала ввести понятие сумматорных инвариантов.

Напомним вид оператора столкновений J.

J (^) = j j a dQ ^V [^>' - ^.FL (4.110) Отсюда следует, что

(4.111)(4.111)=и$adQd^d3^ (£)V (FlF' —FiF)-

(4.111)

(4.111)

Если переменные интегрирования 1 и It поменять местами, то мы найдем, что

Цф) = ЦфО-(4.112)

рассмотрим теперь интеграл

Цф')= J j j sdaa^a^^v (^'-^^Y (4.нз) Вводя (li,V) в качестве переменных интегрирования (они связаны с (li, 1) уравнениями динамики столкновений), получим)

/(<П = j j j^^;^^')^(4.114)

Поскольку odQ и У —инварианты столкновений, последнее выражение можно переписать так:

Цф')=- J j J о'а^'й^Жф^У' (^^-^0 = -Ш

(4.115}

Наконец, если в (4.114) поменять местами переменные интегрирования (li, 1'), мы получим

цфо=нфо-(4.нб>

Объединяя эти результаты, будем иметь

4/ (ф) = I(ф) +1 (фО -ЦфО-1 (ФО, (4.117} ИЛИ

Цф) = -^ Цф + Ф^— Ф' — ФО-

Задача 4.22. Показать, что

/ W=4 j (Ф' + Ф^Ф-ФОУ^^о^а^а^,

цф)= j (ф'-ф^у^-^оа^а^а^.

Задача 4.23. При получении уравнений (4.112) и (4.116) подразумевалось, что о Ай является инвариантной величиной. Какие* конкретные свойства инвариантности здесь участвуют?

Функция гр (|) является сумматорным инвариантом (или инвариантом столкновении^ тогда и только тогда, когда

Чч + ^ = ^ + ■ф',(4.118)

Т. е. когда гр представляет собой свойство молекулы, сохраняющееся при столкновении. Объединяя последнее определение-

с уравнением (4.117), получим, что

7(ф) = 0,(4.119)

если ф —инвариант столкновения. Существуют три фундаментальных сумматорных инварианта: 1, |, £2. Эти функции связаны с тремя законами сохранения (вещества, импульса и энергии):

7(1) =Л® = 1 Q2) = 0.(4.120)

Задача 4.24. Доказать, что оператор 7 линейный, т. е. что

7(У + Х)=7(У) + 7(Х).

Задача. 4.25. а) Определить достаточное условие существования равенства

j j у (^ У)2 (у) j j У (^, *) 2 (^) д-Уйж-

Каков будет вид интеграла

7= j Z [ж (y)J W (у) dy,а

если произвести преобразование переменных

у у* = х (уУ

В следующем разделе мы покажем, как от этих сумматорных инвариантов можно легко прийти к уравнениям сохранения. Другие свойства оператора столкновений будут обсуждены в гл. V.

б) Уравнения сохранения

При рассмотрении уравнений сохранения используются два различных способа представления гидродинамических переменных. Во-первых, их можно вычислять в фиксированной системе координат, где скорость равна |. Такая формулировка приводит к так называемой нормальной консервативной форме уравнений сохранения. Переменные р, u, е, р, q — это абсолютные макроскопические переменные. Их определения через функцию ^ и уравнения, которым они удовлетворяют, представлены следующими равенствами:

п-\- V«nu = 0,(4.121а)

п=\^аа^(4.1216)

— pu + V-p = pK,pu = m ^ ^|d3^;

-^n<? + V.q = pK.u,ne = -^-m j ^2d3^;

p = m J jF« d3E„

4 = Tm j ^l^2^,

(4.122a)(4.1226)(4.123a)(4.1236)(4.124)(4.125)(4.126)(4.122a)(4.1226)(4.123a)(4.1236)(4.124)(4.125)(4.126)Чтобы получить три уравнения сохранения (4.121—4.123), мы просто подействовали на уравнение Больцмана

(4.122a)

(4.1226)

(4.123a)

(4.1236)

(4.124)

(4.125)

(4.126)

(4.122a)

(4.1226)

(4.123a)

(4.1236)

(4.124)

(4.125)

(4.126)

(4.127)(4.127)тремя операторами мы получимтремя операторами мы получимj d3^, j ^ j £2d3tj d3^, j ^ j £2d3tИспользуя (4.120),Используя (4.120),

(4.127)

(4.127)

тремя операторами мы получим

тремя операторами мы получим

j d3^, j ^ j £2d3t

j d3^, j ^ j £2d3t

Используя (4.120),

Используя (4.120),

/i\/ iW \ /о\

5^(1 pm = l t($ |=P .(4.128)

W\ /(£2) / W

Хотя при такой записи уравнений сохранения (в абсолютных переменных) физический смысл их ясен, этого мы не можем утверждать относительно самих переменных (особенно е, р, q). Например, внутреннюю энергию более уместно вычислять в локальной системе координат, движущейся с жидкостью, где скорость частицы будет равна с (например, температура воды в стакане не зависит от движения стакана как целого). Эти относительные макроскопические переменные определяются следующим образом (см. (3.6) и (3.8)):

(4.129)(4.130)(4.131)(4.129)(4.130)(4.131)п^ = -^т j ^c2d3^Р = т j ^сс d3^Q = А-т ^ ^cc2d3£.

(4.129)

(4.130)

(4.131)

(4.129)

(4.130)

(4.131)

Если в эти соотношения подставить с = | — и, то в результате получим:

/? = ^+рии,(4.132)

пе = п^-\-^-,(4.133)

q = Q + p-u-)-u (ne —pu2) = Q + T5 • u + ung + u-^- . (4.134) Внося эти выражения в нормальную форму уравнений сохранения (4.121) — (4'.123), получим обычный вид уравнений сохранения для относительных переменных (Р, Q, g):

Р (Н^ u'V) u + V.^ = pK,(4.135)

_^- + V.u8 +Г. V^ + V.Q^O.(4.136)

В этом уравнении 8 является энергией единицы объема. Она связана с S (энергией, отнесенной к одной частице) и р соотношением

(4.138)(4.139)(4.140)(4.138)(4.139)(4.140)е = ng j c2jr^ = -|-T^^n/cr, (4.137) которое служит также для определения температуры Т. Константа пропорциональности к —это постоянная Больцмана. Часто встречается другая форма записи уравнения (4.136). Введем симметричный тензор скоростей деформаций Л: 1 / ^ । ди5 \ tJ 2 \ dxj ' дх^ / ' Тогда уравнение (4.136) примет вид

(4.138)

(4.139)

(4.140)

(4.138)

(4.139)

(4.140)

-^-+V.ue + V.Q-]-^: Л = 0.

Задача 4.26. а) Доказать, что Р : Vu = Р : Л, б) Для Ptj = Stjp доказать, что Р : Л = р^-хк. в) Вычислить Тг Л.

Дифференциальный оператор

иногда называют индивидуальной производной. Действуя на функцию от х и ^, он дает скорость изменения функции в системе координат, движущейся с локальной скоростью и (или, как говорят в гидродинамике, вдоль линий тока). Поскольку относительные гидродинамические переменные определяются через относитель-

иую скорость с = | — и, то, естественно, что многие из предшествующих уравнений определяют скорость изменения этих переменных не в фиксированной системе координат (d/dt), а в системе координат, движущейся с локальной скоростью (dldt + u-V). Именно в этой системе координат, если ограничиться адиабатическими невязкими течениями, уравнение энергии приводится к хорошо известному виду. Количественно эти ограничения выглядят так:

VQ = 0.

Pu = 6ijP, р = ^-ТгК(4.141)

При этом уравнение энергии (4.136) примет вид

Объединяя его с уравнением неразрывности и исключая V-u, получим

ж1п^=°-(4Л43)

Из этого фундаментального уравнения следует, что величина d3/5

-^— = const(4.144)

вдоль линий тока. Уравнение (4.143) называется адиабатическим законом.

Интересное различие между уравнениями сохранения для относительных и для абсолютных переменных заключается в том, что в уравнении относительной энергии не проявляется какое-либо непосредственное действие силового поля К (см. уравнение (4.136)). В уравнение Больцмана макроскопическая сила К входит в виде члена

(4-145)

Уравнение для относительной энергии § получается, если на уравнение Больцмана подействовать оператором

O=^d^A-mc2.(4.146)

Когда оператор О действует на AjF, то в результате получается о\^ = j ^^-тс=к.^=

= — тК- Г-pK.(u-u) = 0. (4.147)

С другой стороны, внешнее силовое поле К непосредственно влияет на абсолютную энергию е. Это легко показать, действуя на Дgz оператором абсолютной энергии

о = j б/з^^г.(4.148)

В результате получим правую часть уравнения (4.123а), так что внешнее силовое поле оказывает непосредственное влияние на изменение во времени абсолютной энергии е.

Из абсолютных уравнений сохранения явно видно, что физические переменные (например, п, ри, пе) изменяются во времени вследствие дивергенции соответствующих переменных типа векторов потока (например, пи, р, q). Если вычислить интеграл по конечному объему от любого из уравнений (4.121) — (4.123), то мы придем к заключению, что изменение любого конечного элемента плотности, импульса или энергии обусловлено только полным несбалансированным потоком этих величин через замкнутую поверхность, ограничивающую рассматриваемый элемент объема. Это точно выполняется для плотности числа частиц, независимо от того, действует или нет внешняя сила К. Независимо от присутствия внешнего поля частицы сохраняются. Однако законы сохранения импульса и энергии справедливы только для изолированных систем, или, что эквивалентно, для систем, на которые не влияет внешнее силовое поле. Если на систему действует поле К, то оно влияет на изменение во времени импульса ри и энергии пе согласно (4.122а) и (4.123а).

Однако для некоторых частных силовых полей возможно записать эти потоковые члены в виде

рК=-(-^-Г + Т.б) ,(4.149)

pu.K=-(4-^+V.S) .(4.150)

Здесь Г — это плотность импульса, связанного с силовым полем К, Q —напряженность поля, U —плотность внутренней энергии поля и S —вектор проводимости энергии поля. Подставляя эти соотношения в абсолютное уравнение импульсов (4.122а) и абсолютное уравнение энергии (4.123а), вновь придем к нормальной консервативной форме этих уравнений:

А(ри + Г) + Т.(р + 6) = О,(4.151)

-^-(ne + ?7) + V.(q + S) = 0.(4.152)

Очень хороший пример формализма, связанного с гидродинамическими полями, дает плазма. Плазма состоит из частиц трех

сортов —нейтральных молекул, ионов и электронов. В гидродинамическом пределе плотность частиц достаточно велика, так qT0 плазма хорошо описывается уравнениями гидродинамики. Соответствующими переменными будут плотность (полная) частиц ^ (частица — это ион, электрон или молекула), напряжение р, макроскопическая скорость и и тепловой поток q. Все эти четыре переменные связаны с гидродинамическим описанием плазмы п целом в противоположность переменным, относящимся к инди- пидуальным компонентам (например, плотность электронов). Гидродинамическое описание завершают следующие переменные: плотность заряда q, ток J, электрическое Е и магнитное В поля. Уравнения сохранения имеют вид:

-^- п + V • пи = 0,(4.153)

^_g + V.J = 0,(4.154)

-^-pu + V.^=gE + JxB,(4.155)

^-ne + V.q = J.E,(4.156)

Vx 6 = ^+4# ,(4.157)

V.B = 0,(4.158)

VxE=-^,(4.159)

V.E = -^- .(4.160)

Последние четыре уравнения этой системы (уравнения Максвелла) связывают поля с током и плотностью электрического заряда системы. Здесь с —скорость света, р,0> е0—соответственно магнитная и диэлектрическая проницаемость вакуума (в МКС). Уравнения импульса (4.155) и энергии (4.156) не соответствуют нормальной консервативной форме записи уравнений сохранения. Однако, используя уравнения Максвелла, легко показать, что мы можем записать силовой член в уравнении импульсов в виде

gE + JxB=—^Г-V.^(4.161)

й член типа источника в уравнении энергии как

J.E= —^U — V.S.(4.162)

Подставляя эти выражения в уравнения (4.155) и (4.156) соответственно, получим нормальную форму уравнений сохранения.

Новыми переменными, характеризующими электромагнитное поле являются:

Г = е0ЕхВ —плотность импульса поля,

(4.163)

^ар — бар ~2

ВаВ^ \

^оЕаЕ^

Н —J—тензор напряжений Максвелла,

(4.164)

S = —ЕхВ = с2Г— вектор Пойнтинга, Но

(4.165)

и=

-^ ( е0^2 + "^52)—плотность энергии поля.

(4.166)

Задача

4.27. Получить приведенные выше выражения для

Г, Q, S, U из уравнений Максвелла.

Задача 4.28. Пусть макроскопическая переменная (Л*) определяется согласно равенству

п (Л*) — f Л* (с) d3^.

Используя уравнение Больцмана, доказать, что (Л*) удовлетворяет следующему уравнению:

(п (Л*)) + „ <Л->. и +^. (»<Л*с»-

Это уравнение часто называют максвелловским уравнением переноса.

Задача 4.29. Каково различие между уравнениями импульсов, полученными из уравнения Больцмана и из БИ! уравнения (см. разд. 3.6)?

St-теорема Больцмана

Рассмотренные выше свойства больцмановского оператора столкновений приводят нас к выводу, что из уравнения Больцмана вытекают макроскопические уравнения сохранения. Все кинетические уравнения должны удовлетворять этому требованию- Однако то свойство оператора «7, которое мы хотим сейчас обсудить, не обязательно должно выполняться для всех кинетических уравнений. Это свойство подразумевает существование динамической функции, убывающей со временем. Из трех свойств онера' тора столкновений Больцмана это свойство исключительно важ#0

с точки зрения физики. Из него следует, что особая динамическая величина — ^-функция Больцмана рассматриваемой системы — ведет себя необратимым образом, давая предпочтение одному направлению течения времени перед другим. Она убывает при прямом течении времени и возрастает при обратном.

^-функция Больцмана (так называемая энтропия Больцмана) определяется уравнением

5€| flnfd^ d?x.5€| flnfd^ d?x.(4.167)(4.167)

5€| flnfd^ d?x.

5€| flnfd^ d?x.

(4.167)

(4.167)

Аналогичная функция для fN

S£n = j /Л- In fN dl d2 ... dN(4.168)

называется энтропией Гиббса. Напомним, что fx удовлетворяет уравнению Лиувилля:

Я1=°’(4.169)

где Н — гамильтониан для N частиц. Из этого уравнения следует, что

4^= f(l + ln^)^dl ... dN = 0.(4.170)

Cl LJLLL

Таким образом, S£x подчиняется обратимому уравнению и является константой.

Функция <9б N связана с неравновесной термодинамической энтропией S соотношением

S = -Шх,(4.171)

где к —постоянная Больцмана. Это уравнение дает чисто кинетическое описание энтропии для изолированной системы из N частиц. То, что из уравнения Лиувилля следует постоянство энтропии S, согласуется со вторым законом термодинамики, который утверждает: если в изолированной системе происходит какой-либо процесс, то AS ^ 0, причем равенство имеет место для обратимого процесса. Поскольку уравнение Лиувплля относится к изолированной системе и включает только обратимые процессы, то вытекающее из него постоянство S, как мы видели, согласуется с термодинамикой.

Вблизи равновесия (для нулевых взаимодействий)

N

In~ II /1(0

Z=1

И

N N

~ 2 jпл(О 1пло)dN^

j=1 i=1(4.172)

N'

Отсюда получается хорошо известное выражение для энтропии, данное Больцманом:

8 = -NkS6.(4.173)

Свойство обратимости уравнения означает, что если уравнение имеет решение для возрастающего времени, то оно также должно содержать решение для убывающего времени. Уравнение (вытекающее из больцмановского), которому удовлетворяет энтропия Больцмана, не обладает этим свойством. Из него следует, что <96 убывает со временем (о%> <0). Кроме того, 56 становится постоянной для некоторого частного вида функции / — для распределения Максвелла, которое описывает равновесное состояние газа. Этот важный факт впервые был экспериментально установлен Цартма- ном в 1931 году.

То, что функция 56 всегда убывает со временем, есть необратимый закон, ибо если мы «наблюдаем» возрастание 56^ то мы должны прийти к заключению, что на этом интервале время течет в обратном направлении. С другой стороны, если перемещение свободной частицы происходит согласно неравенству х > 0, то это не является необратимым законом. Существует другое, также верное решение, которое удовлетворяет условию ^<0 (а именно отраженное движение рассматриваемой частицы). «Закон», управляющий движением свободной частицы, — это х = 0. Он допускает как возрастающие (я > 0), так и убывающие (я < 0) со временем решения. «Закон», которому подчиняется 56 ^56 < 0), допускает только убывающие решения (для времени, текущего в прямом направлении).

Формулировка «^-теоремы Больцмана начинается с уравнения Больцмана:

4г+ § •# +—-U^W(4.174)

at 1 дх 1 тv пх

где J —оператор столкновений Больцмана. Напомним также, что все символы Ft, F, fa, f, ^i и ^ изображают одночастичную функцию распределения. Они отличаются тем, что соответствуют различным нормировкам функции.

Действуя на (4.174) оператором j d3x d3^(l ^Inf^ получим ® [<№inf+ [A--^ln/^^+ f ^^1п^^Л =

= J d3^d4J(/)(! + In/) = J 7(1 + 1п/)Л.(4.175)

Оператор J определяется выражением (4.111). Свойство J, задаваемое соотношением (4.117), позволяет нам записать:

4/(l + ln/) = 7(l + ln/) + Z(l + ln/1)-Z(l + ln/')-

-7(l + ln/;) = Z(l+ln/+l + ln/1-l-ln/'-l-ln/;) =

= -/(ln-^).(4.176)

Среднее равенство справедливо ввиду линейности оператора J. Явный вид этого уравнения следующий:

4Z= - j ^ J ^adQV^/'-^ln (-^) .(4.177)

Если мы обозначим /'/' = X и fj = Y. то уравнению (4.177) можно придать более компактную форму:

4Z= - J da^ d^d&V (X-Y) In (^) =

= - j d^ j d’^ad^VL (X, Y).(4.178)

Функция L (X, У) определяется как

Zz = (X-y) In (A)(4.179)

Все значения X и Y таковы, что X и Y положительны и либо X = У, либо X > У, либо X < У. Для X = У имеем L = 0. Для X > У и X < У имеем L > 0. Следовательно,

L > 0,(4.180)

п равенство справедливо тогда и только тогда, когда X = У. Остальные множители в интеграле (4.178) все либо больше нуля, Либо равны нулю: d^d3^ — элемент объема в пространстве скоростей, odQ. — площадь поперечного сечения, V — модуль скорости. Итак, мы заключаем, что

J (1 + In/) ^0.(4.181)

Т

теперь докажем, что равенство имеет место тогда и только тогда, ^°гда Д'/' = Л/. Достаточность непосредственно следует из того Факта, что L = 0, когда fj' = /1/- Для доказательства необходи-

мости заметим, что оставшиеся множители в интегралу все положительны либо равны нулю, так что для всех значений §41 таких, что Г ^0 и шЮ. ^0, L должна равняться нулю, чтобы оператор J обратился в нуль. Но УодЙ = 0 тогда и только тогда, когда нет столкновений. Следовательно, для всего спектра (§4, |)% который включает конечные столкновения, условие YJ' = Д/ является необходимым для обращения в нуль оператора J.

Обратимся к формулировке (УЛтеоремы. Если неравенство (4.181) подставить в (4.175) и использовать определение <9€ согласно (4.167), то мы получим

j V.^Injd^d4-V ( Vvj\nf^-d3^d3x<0. (4.182)

Используя теорему Гаусса, объемный интеграл можно преобразовать в поверхностный. Если 2Х —поверхность в конфигурационной части фазового пространства, a S^ —поверхность в пространстве скоростей, то уравнение (4.182) примет вид

+ ^х. j^/ln/+ pSr p3^/ln/<0.(4.183)

Если система ограничена, то / -> 0 при х -> оо и / -> 0 при £ -> оо, поскольку не существует частиц с бесконечными скоростями. Опуская поверхностные члены, окончательно будем иметь ^<0.(4.184)

Для произвольной начальной функции / функция 3£ монотонно убывает до момента, когда начинает выполняться равенство Yj’ = = YY после чего S6 все время остается постоянной.

Важное следствие функционального уравнения для /, Yj’ = — YY заключено в следующей теореме: если газ находится в равновесии, то YJ' = YY (Это условие часто называют условием детального, или статистического баланса.} Эта теорема была впервые установлена Максвеллом (1867), а затем Больцманом в связи с его о^-теоремой (1872). Справедливость ее можно показать следующим образом. Если газ находится в равновесии, то

(^v о)=Л^-=о)^(/;/'=л/).(4.185)

\ ot /\ аг /

Следовательно, ^=о^=чпг=ш(4.186)

Первая цепочка равенств следует из определения 3£, согласно которому

( ^3^3ж4т(1 + 1п/)-(4.187)

at JOt хх

Если К = О, и / — функция только |, то прямо из уравнения Больцмана (4.72) следует, что равенство tj' = fj является также достаточным условием равновесия.

Задача 4.30. Показать, что уравнение для J/ In fdl, которое следует из БИ^ обратимое.

Задача 4.31. Рассмотреть случай, когда К = 0. Показать, что произвольная функция / = / (|) не может быть равновесным решением.

Указание. Используйте уравнение Больцмана для получения противоречия. Отметим тот факт, что если даже djldt = 0, то данная функция / не обязана быть (совместимым с налагаемыми условиями) равновесным распределением.

Подведем итог.

Условие fjr = А/ является необходимым для равновесия. Если внешнее силовое поле отсутствует и / зависит только от |, то это условие также является и достаточным условием равновесия.

Равенство f'J' = /1/ является необходимым и достаточным условием стационарности 36.

Для того чтобы / была постоянна во времени, необходимо, чтобы 36 обладала этим же свойством.

Распределение Максвелла

Физический смысл функционального уравнения fjr = Д/ вполне очевиден. Теперь возникает вопрос относительно метода решения такого уравнения. Решив его, мы получим функцию распределения, которая является как необходимой, так и достаточной для равновесия, при условии что внешние силы отсутствуют и / зависит только от |. Обозначив решение этого уравнения индексом нуль, находим

vГЧП=М^(4Л88)

где /о — равновесная одночастичная функция распределения. Прологарифмировав это равенство, получим

In/^ + In/; == In/Oji + In/0,(4.189)

или, в более явном виде,

In /0 ^ + In /0 (Г) = In /о (^) + In /0 (I).(4.190)

Далее, любое свойство У молекулы, удовлетворяющее уравнению ^;^’_^^(4.191)

является инвариантом столкновения, т. е. оно сохраняется при столкновении. Обратно, если свойство У сохраняется при столк-

новении, то оно удовлетворяет уравнению (4.191). Отсюда следует, что самое общее решение уравнения (4.190) является линейной комбинацией всех величин, которые сохраняются при столкновении. Это — три компоненты скорости, энергия и числовая постоянная; таким образом

In /0 = -А (| - 1о)2 + In В,(4.192а)

или, что эквивалентно,

/о - В exvV-А (1 -10)2Ь(4.1926)

Постоянные А, В и |0 определяются через плотность числа частиц п, макроскопическую скорость и и температуру Т, которые выражаются с помощью функции распределения. Чтобы отметить, что эти макроскопические переменные вычисляются для равновесного состояния, им также приписывается индекс нуль. Возвращаясь к функции ^Q = NfQ, напомним, что

^0= j ^о^, ^oUo= j ^о§^3^

3n0RT0 = j ^o(l-uo)2^,(4.193)

Отметим, что R не является «газовой постоянной», последняя равна J? = кА0, где Ао —число Авогадро.

Соотношения (4.193) служат для определения постоянных |0> А и В. В результате получим

=■<4Л94>

Рассмотрим, например, как определяется |0- В декартовом пространстве, где вектор |0 направлен вдоль оси z (|0 = tSo)^ будем иметь

nouo = В J J J (iHx + ,Х + Цг) exp { — 4 [^ + + (^ - g0)2]} X

X d^x d^y d^ = kB J J j ^ exp { - A [(Ez - E0)2 +

(4.195)

Остальные интегралы обращаются в нуль ввиду нечетности подынтегральных функций. Переходя от переменной gz к ц = gz — 20»

получим

«оио = кВ J J j (Т] + Ео) ехр [ — А (Е= + gj + л2)] <%х &у &Л =

= Н0^^ = п^.(4.196)

Следовательно, £0 = ио- Отметим, что при интегрировании по ц член с р обратился в нуль, поскольку он является нечетным вкладом в подинтегральную функцию.

В однородном случае ф!дх = 0) при отсутствии силового поля (К = 0) ^о становится абсолютным распределением Максвелла. Входящие в него функции п0, u0 и Го не зависят от пространственных координат и времени.

Хотя абсолютное распределение Максвелла подразумевает равновесное состояние и само вытекает из равновесия, оно не является распределением самого общего вида, для которого ЗВ стационарна. 38 будет стационарной и в том случае, если nQ, u0 и Го (в выражении (4.194)) являются функциями х и t. Очевидно, что функция такого вида удовлетворяет уравнению (4.188). Если в равенстве (4.194) nQ, и0 и Го выбрать так, чтобы они представляли собой фактическую числовую плотность, макроскопическую скорость и температуру газа (в точке х в момент £), то jF0 перейдет в

■ (4Л97>

Эта функция называется локальным распределением Максвелла. Она обладает двумя очень важными свойствами: а) первые пять моментов функций .^0 и ^ совпадают:

j ^о^ = J ^^з^(4.198а)

(4.1986)

j ^0(|-u)2^= j ^(|-u)2^;(4.198b)

б) если спустя некоторое время jF = jF°, то ЗВ становится постоянной ).

Обычно считают, что при подходе к равновесию сначала устанавливается локальное максвелловское распределение. Отметим, что на этой конечной стадии описания системы функция распределения определяется через п, и и Т. Таким образом, мы получаем грубое представление о переходе от (боголюбовской) кинетической стадии к гидродинамической стадии. На первой из них

состояние газа определяется одночастичной функцией распределения, которая в свою очередь подчиняется уравнению Больцмана. Эволюция системы характеризуется функцией 98, которая монотонно убывает. Когда 98 приближается к своему минимальному значению, устанавливается локальное распределение Максвелла. Здесь / определяется через п, и и Г, и система находится в гидродинамической стадии. Затем система релаксирует к абсолютному равновесию, когда динамические функции не зависят от пространственных координат и времени. Механика этого последнего этапа релаксации описывается гидродинамическими уравнениями.

Задача 4.32. Как изменяется 98 при переходе / от локального к абсолютному максвелловскому распределению?

То, что с помощью уравнения Больцмана нельзя описать релаксацию к абсолютному равновесию, объясняется приближениями, присущими интегралу столкновений. Дело в том, что он не чувствителен к изменениям в пространстве и времени. На конечной же стадии релаксации к абсолютному равновесию изменяются именно эти два параметра, и только они.

Неоднородный газ во внешнем силовом поле

Рассмотрим опять уравнение Больцмана (4.174), когда К #=0 и д!дх 5^0. Мы хотим получить равновесное распределение и в этом случае.

Сила К консервативная, так что она может быть выведена из потенциала Ф:

К=-^.(4.199)

Если JF такова, что

S.=1(4.200)

ь дх дх д| тv

И

(4.20D

то распределение 5р 0 является равновесным, и при этом из уравнения Больцмана следует, что д^7 Jdt^O. И, обратно, чтобы быть равновесным, распределение ^^ не может явно зависеть от времени.

Далее, JF будет удовлетворять уравнению (4.201), если ^'х^' = Я^х^ • Поскольку последнее уравнение налагает ограничение только на скорости, его решение самого общего вида задается не соотношением (4.192а), а выражением, содержащим дополнительное слагаемое:

[-^ (§-и0)2 + Ф(х)кТ"о[-^ (§-и0)2 + Ф(х)кТ"ооо^0^RT^2^0^RT^2(4.203)(4.203)Подставляя его в (4.200), получим, что % —это потенциал Ф, ^рп условии что §о* ^Ф — 0. Обращением уравнения (4.202) является

[-^ (§-и0)2 + Ф(х)кТ"о

[-^ (§-и0)2 + Ф(х)кТ"о

о

о

^0

^RT^2

^0

^RT^2

(4.203)

(4.203)

Параметры nOl u0 и То являются константами, и вектор и0 нормален к Vф. Равновесная плотность числа частиц задается выражением

"(х)= j ^о^ = «оехр[—^^-J , (4.204)

так что п0 — это значение п при Ф = 0. Равновесная температура определяется следующим образом:

^SM]. (4.205)^SM]. (4.205)Зтг (х) RT = ^ ^о (I — «о) ^ = З^ДГо ехр [

^SM]. (4.205)

^SM]. (4.205)

следовательно, постоянная То равна значению Т при Ф = 0.

Задача 4.33. Вычислить равновесную скорость газа при наличии внешнего потенциала.

Уравнение Крука — Бхатнагара — Гросса г)

В предыдущем разделе мы пришли к заключению, что из кинетического уравнения должны получаться уравнения сохранения. Более «ценное» кинетическое уравнение будет также давать релаксацию к равновесному состоянию. Однако если оно описывает этот процесс, то получаемое равновесное состояние должно быть максвелловским. Больцман (1877) впервые показал, опираясь на равновесную статистическую механику, что физически корректное равновесное состояние является максвелловским состоянием. В статистической механике максвелловское состояние называется каноническим. Этот подход будет подробно обсуждаться в гл. V.

Уравнение, обладающее всеми желаемыми свойствами, и в то же самое время вполне простое по форме, — это уравнение Крука — Бхатнагара —Гросса. С целью обоснования этого уравнения рассмотрим опять оператор столкновений Больцмана J (^), который можно записать в виде

W)= j S^'VadCid^-^ j ^yodad3^. (4.206)

Во втором члене мы вынесли функцию JF за знак интеграла поскольку она не зависит от ^. Напомним теперь, что штрихам^ обозначены переменные, соответствующие состоянию после столкновения. Скорости (^, Ю до столкновения переходят в скорости (V, Щ) после столкновения. Предположим, что система приближается к равновесию, т. е. к максвелловскому состоянию. Воспользовавшись результатами (^-теоремы, придем к заключению, что будет существовать такое время, когда функция .^ станет локальным максвелловским распределением. В интервале времени представляющем близкую окрестность этого критического значения, система характеризуется тем свойством, что распределение более близко к максвелловскому после столкновения, чем д0 столкновения. Следовательно, можно считать, что в некоторый момент времени, близкий к равновесному, З"' — 3^' • Вводя это предположение в (4.206), получим:

^(^) ^ { ^«'^"‘Vadtid^-y j ^Vod&d3^. (4.207)

Но так как jF0' —максвелловское распределение, то 3^* З^Х = = tF°jF?. Следовательно, выражение (4.207) сводится к следующему:

J(^) = ^0 j 3:^(5dCld3^-5: j ^VadQd3^. (4.208)

Вспомним теперь, что 3^ обладает некоторыми общими свойствами с распределением ,^: их первые пять моментов (по скоростям) совпадают (см. (4.198)). Если мы предположим, что остальная часть подинтегрального выражения в (4.208) разложена по степеням §!, то эти интегралы станут не чем иным, как суммой моментов функций jFi и 3'1- Первые пять из этих членов будут равны согласно определению 3^* Оставшиеся члены уменьшаются с приближением к равновесию.

Задача 4.34. Вычислить Q и Р, если 3" — З-^ *

Если все это учесть, то мы получим окончательную форму J для КБГ-уравнения:

=(4.209)

v(|)= J ^Vo d£ d3Ev(4.210)

Функция v называется частотой столкновений. Произведение v (|) d3^ представляет собой число столкновений, испытываемых в единицу времени частицами, имеющими скорости в интервале d?^ около |, причем состояние частиц описывается функцией распределения Максвелла. Хотя соотношение (4.210) дает точную меру частоты столкновений при равновесии, более общее выражение

Р^лючает ^i вместо jF^ Однако, как мы показали, в области применимости КБГ-уравнения в выражении для v можно использовать ^?.

Полный вид КБГ-уравнения следующий:

Если это действительно кинетическое уравнение, то оно должно обладать уже отмеченным свойством —необходимо, чтобы из него получались уравнения сохранения. Если, к тому же, оно приводит газ к равновесному состоянию, то оно является еще более полезным уравнением.

Чтобы упростить исследование этих свойств, рассмотрим частный случай, когда частота столкновений v постоянна, т. е. когда v не зависит от |. Подействуем на уравнение (4.211) операторами

j a^ т J а^ и 4L j а^.

Получим три уравнения сохранения, (4.121) —(4.123). Это еле дует непосредственно из свойств jF°, заданных соотношениями (4.198). Возвращаясь к абсолютным переменным, будем иметь

Задача 4.35. При каких значениях а, Р, у, С функция^° = (а + ₽^ + ^2)ехр (-^-)будет удовлетворять отношениям (4.198)?

Рассмотрим теперь релаксационные свойства КБГ-уравнения. Так как проблема установления равновесия прежде всего связана с исследованием временной зависимости, то ограничимся рассмотрением однородного (д/дх = 0) случая без внешнего силового поля (К = 0). При этих условиях уравнение (4.211) примет вид

(4.212)(4.212)dtdt■Р Ng7 = vjT°.

(4.212)

(4.212)

dt

dt

Предполагается, что частота столкновений не является явной функцией времени. С другой стороны, локальное распределение Максвелла зависит от времени через гидродинамические переменные гц и и Г.

Проинтегрировав уравнение (4.212), получим

^ (<) = ve-v( j e+vt'^° У') dt' + ^ (0) е-^.(4.213)

о

Если 5го изменяется медленно по сравнению с e-v*, т. е.

то, вынося ^° из под знака интеграла, можно получить для него хорошую аппроксимацию. В результате будем иметь

= J^o (1 -е-^ + ^ (0) е-^,(4.215а)

так что

^^°(4.2156)

после нескольких столкновений.

Из КБГ-уравнения вытекает надлежащая релаксация к максвелловскому состоянию. Может показаться, что КБГ-уравнение приводит к тем же выводам,что и уравнение Больцмана, и в то же время обходит очень трудный анализ, навязываемый больцманов- ским интегралом столкновений. В действительности кажущаяся простота структуры КБГ-уравнения обманчива.

Рассмотрим прежде всего параметр v. Любые следствия, которые получаются из анализа КБГ-уравнения, существенно зависят от параметра v. В приведенном выше «выводе» предполагалось, что частота столкновений v есть взвешенный интеграл определенного вида от локального максвелловского распределения jF°. Однако этот «вывод» является не более чем обоснованием «типа наведения». Мы могли бы просто постулировать это кинетическое уравнение и показать, что из него следуют законы сохранения (при постоянной v).

Задача 4.36. Как должны изменяться во времени п, и и Т, чтобы не нарушалось условие (4.214)?

Задача 4.37. Является ли условие постоянства v необходимым, для того чтобы КБГ-уравнение давало законы сохранения?

Задача 4.38. Вычислить v, заданную выражением (4.210), для газа, состоящего из жестких сфер диаметра D. Получаются лй уравнения сохранения из КБГ-уравнения с такой частотой v?

Задача 4.39. Для какого значения N в потенциале взаимодействия Т = K!rN частота v является постоянной?

КБГ-уравнение, в которое входит внешний параметр v, является феноменологическим уравнением, поскольку оно не следует логическим путем из некоторых исходных принципов, а, вернее говоря, оправдано своей явно пригодной формой. Наличие такого внешнего параметра, как v, — очевидная слабость КБГ-уравнения. Получающиеся из него результаты зависят от v, и мы должны искать другие средства (отличные от КБГ-уравнения), чтобы найти выражение для v. С этим феноменологическим свойством КБГ-уравнения тесно связана и узкая область его применимости. Приведенное выше обоснование типа наведения дает возможность предположить, что КБГ-уравнение лучше всего подходит для описания газообразных состояний, близких к равновесному, т. е. находящихся в интервале, отделенном от максвелловского состояния только несколькими временами столкновений. Это очень узкая область.

В чем заключается кажущаяся простота КБГ-уравнения? В том, что оно похоже па линейное неоднородное уравнение. Это «сходство» можно увидеть, если записать КБГ-уравнение в следующей форме:

(-^-^v) jr = v^0,'(4.216)

которая наводит на мысль, что если g^ К являются его решениями, то существует и решение ^g + Д)/2. Однако ошибочно рассматривать правую часть данного уравнения как неоднородный член, не зависящий от д^. Это, скорее, (сильно) нелинейный оператор от jF-Чтобы показать это, напомним, что JF0 содержит фактические значения /?, и и Т для газа, которые в каждый момент времени и в каждой точке определяются функцией ^. Таким образом д^ определяет п, и и 7\ которые в свою очередь определяют jF°. Чтобы обнаружить, что КБГ-уравнение сильно нелинейно, надо просто записать д^ как явную функцию от д^. Тогда мы увидим, что КБГ-уравнение намного более громоздкое, чем уравнение Больцмана.

Задача 4.40. Записать КБГ-уравнение, заменяя д^ на др0. Будут ли в этом случае следовать из него уравнения сохранения?

Задача 4.41. Следуют ли уравнения сохранения из уравнения Власова (см. разд. 3.4)?

Уравнение Фоккера — Планка г)

<^ Столкновения при дальнодействии

В главе III мы встречались с понятием радиуса взаимодействия г0. Что характеризует процесс столкновения между двумя частицами, потенциал взаимодействия которых является далъно-

х) Фоккер (1914), Планк (1917).

действующим^ При дальнодействии, как бы велик ни был прицелу ный параметр, частицы" все же обмениваются конечными импуль- сами. Концепция дальнодействия первоначально была введена

Рис. 4.28. Вычисление Npx для дальних столкновении.

в кинетическую теорию газов при вычислении некоторых интегралов. Эти интегралы связаны с различными макроскопическими свойствами системы, как, например, вязкость, теплопроводность. Такие параметры называются коэффициентами переноса. Они будут подробно исследованы в гл. V.

Чтобы выяснить смысл столкновений при дальнодействии» обратимся к вычислению полного импульса, сообщенного в заданном направлении пробной частице в результате столкновений за единицу времени с остальными частицами газа. Разобьем все

такпе столкновения на два вида в зависимости от того, является лй прицельный параметр s меньше либо больше некоторой харак- териой величины s0. Столкновения, прицельный параметр которых больше s0, называются дальними столкновениями. Для достаточно больших 5 можно ввести некоторые упрощающие предположения, которые значительно облегчат вычисления. Например, чтобы получить грубую оценку приращения импульса при дальних столкновениях, считаем, что скорость рассеиваемой частицы постоянна.

Пусть 6рх —импульс, сообщенный пробной частице в случае единичного (дальнего) столкновения, вычисленный в системе координат ЦМ, как изображено на рис. 4.28.

Пусть движение газа двумерное (в плоскости рис. 4.28). Кроме того, нас интересует только тот вклад в 6рХ) который обусловлен частицами, движущимися в направлении + у со скоростью и. Пусть плотность п (число частиц на единицу площади) таких частиц однородна. Двумерный газ простирается до х = —оо. Полное приращение импульса \рХ1 сообщенное пробной частице со стороны всех частиц, движущихся в направлении +у (за единицу времени), дается интегралом

j 6рх (dsvkt) п,(4.217)

80

где Д^ = 1. Если сила взаимодействия G такова, что приращение kpx бесконечно, то G — далънодействующая сила. Если интеграл конечен, то сила G — короткодействующая. В такой схеме легко классифицировать все силы взаимодействия, определяемые законом степенной зависимости от обратных расстояний между частицами

G = кг^, N = 1, 2, . . . .(4.218)

Кулоновская (или гравитационная) сила получается, если положить N = 2. Приращение импульса за столкновение, 6рХ1 связано с силой Gx соотношением

(4.219)(4.219)4-008рх= ^ Gxdt.

(4.219)

(4.219)

Обращаясь к рис. 4.28, получим:

Gx^xsinOr-^,

(4.220)(4.220)SГ = .,

(4.220)

(4.220)

dt —— (-у) dcosO.

Подставляя эти значения в (4.219), получим

л

(Мл--^^(4.221)

о

Задача 4.42. Доказать, что

IN=^IN=^Г (^/2)Г [(7V+1)/2] ’Г (^/2)Г [(7V+1)/2] ’

IN=^

IN=^

Г (^/2)

Г [(7V+1)/2] ’

Г (^/2)

Г [(7V+1)/2] ’

где Г (я) —гамма-функция (см. Приложение 2).

Для7У = 1 интеграл /1 = л. Для кулоновского случая /2=2. Для N = 3 интеграл Z3= л/2. (Отметим, что всюду здесь мы вычисляли абсолютные значения интегралов.) Для N ^ 1 импульс IN —конечен. Подставляя выражение (4.221) в (4.217), получим

(kp^ =hhIn J sx-Nds.(4.222)

«о

Для N > 2 kpx—конечно. Для N-<2 интеграл расходится. Для кулоновского случая

(4.223)(4.223)(ApJ^Hm 2х?г1п (-^-)

(4.223)

(4.223)

S->oo' S0 /

расходимость логарифмическая.

Итак, мы пришли к выводу, что две силы взаимодействия при N = 1 и N = 2 являются дальнодействующими.

Задача 4.43. Вычислить (Др)у для трехмерного случая.

Расходимость обусловленной дальними столкновениями компоненты (Дрх) означает, что в кулоновском газе на движение частицы оказывают значительно большее влияние дальние коллективные взаимодействия по сравнению со столкновениями в ближней зоне. При-выводе уравнения Больцмана методом Грэда (см. разд. 4.36)) для N = 2 мы должны были бы сохранить интеграл столкновений дальней зоны, а столкновительный член ближней зоны опустить. Интеграл столкновений ближней зоны дает уравнение Больцмана.

При другом подходе к выводу кинетического уравнения для кулоновского газа исходят из того факта, что в этом случае доминирующую роль играют дальние столкновения. Но для большинства дальних столкновений углы столкновения малы. Этот факт положен в основу двух наиболее известных выводов уравнения Фоккера —Планка.

Вывод из уравнения Больцмана

Уравнение Больцмана, которое получено в разд. 4.3а), учитывает столкновения при всех значениях прицельного параметра-

Хотя интеграл столкновения в уравнении Больцмана записан через угол рассеяния йй = dtp d cos 0, это эквивалентно интегрированию по прицельному параметру, что следует из соотношения sds = cd cos 9. Область, где справедливо уравнение Фоккера — Планка, можно определить либо большими величинами прицельного параметра, либо малыми углами столкновения. Важно отметить, что это есть подобласть той области, где применимо уравнение Больцмана. Это лучше всего проиллюстрировать следующим образом. Мы покажем, что для частного случая кулоновского газа уравнение Фоккера — Планка следует из разложения уравнения Больцмана в ряд Тейлора около нулевого угла столкновения.

(4.224)(4.224)Для кулоновского газа с силой взаимодействия

(4.224)

(4.224)

^ij = "7Г (Гг — Г>)

13 4леог3 v 133

уравнение Больцмана имеет вид

Xdt'^dx'm.Р J(Fcosi|9)3 ’

(4.225)

Напомним, что V — это относительная скорость gt — g2, a (|ь %) связаны с (Щ, g') соотношениями:

(4.226)(4.226)Г = 1 + «(«.V),^ =-«(a-V).

(4.226)

(4.226)

Если полярную ось направить по V, то гр — это угол между a и V, а ср — азимутальный угол (см. рис. 4.23). Если преобладают столкновения с малыми углами рассеяния, то |' — | и ^ — ^ малы. Это позволяет разложить разность (^^' — ^{^) в ряд Тейлора около |' = | и ^ = |i. Соответствующие разложения имеют вид:

jF' = [exp (V-a) (a*V)] ^ = jF+T cos гр (a-V) ^ +

+ yF2cos2T|>(a.V)2jr+... .(4.227)

^'i = [exp — (V-a)(a-V1)]jr1 = i^-1—Vcosi|)(a-V1)^1 +

+ y F^os^^-V,)2,^^ ... .

(Вспомните (2.27) —экспоненциальное представление рядов Тейлора.) Оператор V —это оператор градиента в пространстве скоростей. Выполняя в уравнении (4.225) сначала интегрирова-

ние по ср и затем подставляя туда соотношения (4.227), получим J (З^’ — .Fi3^^Ф =

= л cos2 Ip { 2V.(V — Vt) ^Г^+1 [Sjn2 ^ (/72_ W) +

+ 2cos2i|>W]:[Vyi-2W1+^] _^1} +.(4.228)

Задача 4.44. а) Вычислить интеграл

j a^ax dtp.

б) Показать, что уравнение (4.228) следует из уравнений (4.225) -(4.227).

Расходимость последующих интегралов по тр демонстрирует дальнодействующую природу кулоновской силы. Угол (л — 2хр) — это угол отклонения вектора V (V = ^ — |), тогда как тр есть угол между а и V (рис. 4.7). Отметим, что тр изменяется от нуля до л/2. Следовательно, малые углы столкновения соответствуют ip ^ у, где оба интеграла по тр расходятся. Чтобы интеграл по ф был конечным, его «обрезают», т. е. проводят интегрировании не от нуля до л/2, а от нуля до л/2 — е. Тогда получаются два сходящихся интеграла:

л/2-е.

f cos2 ip ■S1= — In | sin e |,

JY cos3x|)I

0 л/2—e,

j cos2 ip sin2^*^^ = —In | sin e | — у 2^ — In | sin e |.(4.229)

о

Пренебрежение 1/2 по сравнению с логарифмом, согласуется с отбрасыванием в рядах Тейлора членов с большим углом рассеяния. Подставляя интегралы (4.229) в уравнение (4.225), выполняя интегрирование по ф и вычисляя интеграл по частям, получаем нормальную форму уравнения Фоккера — Планка:

д^Г , t д^ , К д^д , ч , 1с?2,, х ,, 9пт

—+6~+(4.230)

где

лрЧпк"-1 Г

г г _(4.231)

ах 2лР2Ine-1 j^-id^•

Задача 4.45. Показать, что V-d = а, где V = д/д|.

Из уравнения Фоккера —Планка в форме (4.230) можно получить интерпретацию коэффициентов а и Ъ. Коэффициент Ъ управляет изменением во времени функции ^ следующим образом:

(4.232)

(Предполагается, что тензор b изотропен и не зависит от |.)

(4.233)(4.234)(4.233)(4.234)Оператор V2 представляет диффузию в пространстве скоростей. Как возникает это упрощенное линейное уравнение диффузии? Рассмотрим газ (с дальнодействующей силой взаимодействия), находящийся в равновесии (максвелловском состоянии) с тепловой скоростью С = VRT и плотностью п^. Пусть в момент ^ = О в эту систему вводится небольшое число «холодных» частиц (^ = п§ ^у Эти холодные частицы взаимодействуют с максвелловским фоном посредством коэффициента 6, который вычисляется для распределения Максвелла. Дальнейшее поведение холодных частиц описывается (приближенно) уравнением (4.232), согласно которому возникает диффузия скоростей этих частиц от нуля до нормального распределения

(4.233)

(4.234)

(4.233)

(4.234)

За время

RT С^Т — Ь — Ъ

холодные частицы «разогреваются» до равновесия с температурой Т,

^=^RT)^ 6ХР ( ” Ат ) '

Спустя время т начинает «действовать» коэффициент силы трения а, который стабилизирует распределение Максвелла. Вычисляя коэффициент b для этого максвелловского распределения, получим

Ь = 2^1ф1п6-1, (4.235)

(4.236)(4.236)где символом ф обозначен безразмерный интеграл. Исключая Ъ из выражений (4.235) и (4.234), получим

(4.236)

(4.236)

m in р-1пплР2 ® 1 6 '

Это время релаксации часто выступает в вычислениях как время которое необходимо для возвращения в равновесное состояние газа, выведенного из равновесия.

Другой коэффициент в уравнении Фоккера —Планка, а, называется коэффициентом трения. Влияние а на эволюцию во времени функции ^ определяется следующими членами уравнения Фоккера —Планка:

+(4.237)

(Предполагается, что а не зависит от |.) Общее решение этого уравнения имеет вид

(1 — а^). '(4.238)

Вид этого решения говорит о том, что частицы «ощущают» силу тпа. В зависимости от знака коэффициента а эта «самосила» будет либо ускорять (а > 0), либо замедлять {а < 0) частицы. Однако в более общем случае вектор а зависит от | и его знаку нельзя придать такого явного смысла.

Предшествующий вывод уравнения Фоккера — Планка опирается на особенности кулоновского взаимодействия, а именно на его дальнодействие. Теперь мы дадим другой вывод, который следует непосредственно из того факта, что в системе преобладают «скользящие» столкновения.

Задача 4.46. Предполагая, что частица движется только в одном направлении, доказать, что для диссипации Рэлея

а = —а0£ (и Ъ = Ьо)

уравнение Фоккера —Планка дает равновесное решение jFo- Как а0 и Ъо выражаются через п0 и Го? Получаются ли при этих значениях а и Ъ уравнения сохранения?

Вывод из уравнения Чепмена — Колмогорова

Предположим, что частицы газа испытывают случайные перемещения в результате большого числа малых отклонений. Такой стохастический процесс хорошо описывается условным вероятностным распределением

П (1 + АШ; АО,(4.239)

введенным в гл. II (уравнение (2.200) и следующие за ним). Для фиксированной скорости § произведение

П (| + Al 1 1; АО d (1 + А§) - Пй^ (4.240) представляет вероятность того, что скорость частицы | перейдет в § + А| за время AL Функция П удовлетворяет уело-

в0ю нормировки:

j П (g + Ag | g; AZ) dAg = 1(4.241)

и уравнению Чепмена — Колмогорова (2.203):

П (^, i | g0, ^ =

= j dAgn(g, f| I —Ag, i-Ai)H(g-Ag, t-M | g0, toY (4.242)

Напомним обозначение: П (ж | у; t — t^ = VL (х, t \ у, £0)- Чтобы записать уравнение (4.242) через ^, вспомним, что П — это одночастичная функция распределения / (|, £), которая содержит начальные данные (см. (2.200)). Отсюда следует, что если мы умножим уравнение (4.242) на N (N — полное число частиц), то в результате будем иметь

^(§, 0 = j^(^-Ag, f-ДОП (| | g-Ag; Ai)dAg. (4.243)

При получении последнего уравнения мы считали, что П не зависит явно от времени. Это предположение требует, чтобы эволюция системы происходила таким образом, что изменение состояния системы в момент t зависело бы только от ее состояния в интервале времени А^ около ^, но совершенно не зависело от более ранней предыстории системы. Стохастический процесс, который обладает этим свойством (т. е. процесс, происходящий в момент t и зависящий явно только от состояния системы в этот же момент £), называется марковским процессом.

Задача 4.47. Какому уравнению будет удовлетворять 5*. если процесс ее развития не является марковским?

Абсолютно ясно, что в той области, где применимо уравнение Фоккера —Планка (т. е. где доминируют столкновения при дальнодействии), П обладает особым свойством. В обозначении

П (1 + Al 1 1; АО = П (1, Д^)(4.244)

это свойство запишется следующим образом: П (|, А %) имеет пик около А| = 0 (и гладко изменяется по |). В таком обозначении интеграл в уравнении Чепмена —Колмогорова (4.243) имеет следующий вид:

Интеграл (4.243) = j ^ (£—Ag, t - М) П (g - Ag, Ag) dAg.

(4.245) Подинтегральное выражение является функцией трех переменных I — А|, t — А^, А|. Причем по первым двум оно изменяется гладко, но имеет пик по А| вблизи Ag = 0. Отсюда следует, что наибольший вклад в интеграл дает именно эта область около Ag = 0.

Поскольку подинтегральное выражение изменяется гладко по переменной | — Д|, оно хорошо аппроксимируется разложением в ряд Тейлора около любого значения | — Д|. Характерным значением этой переменной является | —то значение, при котором подинтегральное выражение имеет максимум. Выполняя это разложение, мы не нарушаем характера зависимости функции П (^ _ — Д|, Д|) от переменной Д|. Эта зависимость такова, что подинтегральное выражение быстро убывает при удалении от Д| = 0.

Рис. 4.29. Характерный вид функции 5(ж, у).

Отсюда следует, что разложение подинтегрального выражения в (4.245) по переменной | — Д| в окрестности £ дает аппроксимацию уравнения Чепмена — Колмогорова, пригодную для газа, в котором преобладают столкновения дальнодействия. Чтобы пояснить эту ситуацию, рассмотрим криволинейный интеграл

X = j Е (ж, у) di.(4.246)

г

Кривая Г задается параметрическими уравнениями:

х = а — I, у = 1.(4.247)

Она показана на рис. 4.29. Тогда интеграл % записывается явно:

Х= j B(a — lt l)dl.(4.248)

Пусть теперь функция В (ж, у^ имеет пик около оси х, т. е. при у = 0, и довольно однородна по х при любом фиксированном у»

так что производные д^Удх™ малы. Для такой функции разложение

s(^y) = 2 пs(^y) = 2 п(4.249)(4.249)J^L^L^hl (^ —^о)Пдх™ |х=хо п\

s(^y) = 2 п

s(^y) = 2 п

(4.249)

(4.249)

является хорошей аппроксимацией и быстро сходится. Полагая ^0 = а, х = а — Z, у —- Z и внося это разложение в выражение (4.248), получим

4-00

Х = j [В(а, 1Н^В(жД)^-1Н..^а1. (4.250)

Записанное таким образом подинтегральное выражение дает значение В в точке кривой Г через ряд Тейлора около линии х = а. Это разложение является хорошей аппроксимацией особенно для функций типа В, рассмотренной выше и представленной на рис. 4.29. Наибольший вклад в интеграл % получается в точке х = а, у = 0, где функция В имеет максимум. Это такая точка, где Г-линия пересекается с линией х = а, так что именно это значение подинтегрального выражения входит в аппроксимацию (4.250). Для больших у значения функции 8 при х = а и на кривой Г становятся различны, и, чтобы это учесть, необходимо в разложении для В удержать большее число членов. Однако, поскольку В быстро уменьшается при удалении от оси х^ то вклад в интеграл % в этой области мал, и достаточно ограничиться несколькими первыми членами разложения (4.250), чтобы получить хорошую аппроксимацию для %. Эта .качественная оценка тем точнее, чем быстрее спадает функция В с удалением от оси у.

Для уравнения (4.243) имеет место именно такой тип разложения:

^(1. 0 = j ^(1~А|Л-А0П (I-A|, \^d\V(4.251)

Разлагая подинтегральное выражение около § — А§ = § описанным выше способом и удерживая члены до О [ (А^)2] включительно, получим

(|, О = jdA| [^ (1, О П (I, А|) - М ^’ ‘V П (§, А|) -

;) П (§’ Д|) _ц 1 7^ д^(§’г) П (§’ А§)1 (A 9W

^+ уА|А|: ]. (4.252)

Интегрируя полученное выражение по всем А| и вспоминая условие нормировки (4.241), придем к соотношению

(I, Д|) d^+

+ 4^-: & jЖ^П(^ М^. (4.253) При выводе уравнения (4.253) из (4.252) было учтено, что функция ^, которая фигурирует в рядах Тейлора в (4.252), не зависит от А|, так что ее можно вынести за знак интегралов по Д|.

Введем определения:

и

(т) = j (^ЙЧп ^’д^)^-(4-255>

Тогда уравнение (4.253) сведется к следующему:

at |столкн“ а^ \ мрг а^Г

Величина д^ / д^толкн представляет скорость изменения jF вследствие столкновений, при условии что доминирующий вклад в такое изменение дают «скользящие» столкновения. Опять полагая D^lDt равной этому изменению вследствие столкновений, получим а^ ।а^ . к д^

dt 'дх ' т * д^

Это есть уравнение Фоккера —Планка. Необходимо отметить, что предположения, перечисленные в том разделе, где было выведено уравнение Больцмана, опять имеют силу, а также учитывается сделанное выше предположение о «скользящих» столкновениях. При вычислении d^ldt |столки предположения Больцмана опираются на ограничения о пространственной однородности, наложенные на 3F.

Последний вывод уравнения Фоккера — Планка имеет преимущество по сравнению с предыдущим (когда рассматривался кулоновский газ). А именно, коэффициенты (А|/АО и (А|А|/АО> возникшие в процессе получения уравнения, имеют ясный физический смысл.

Сравнивая уравнения (4.257) и (4.230), мы увидим, что коэффициент трения а надо отождествлять с (Д|/ДО, тогда как коэффициент диффузии b = <Д|Д|/ДО. Такая интерпретация прямо следует из определения интегралов (4.254) и (4.255). Рассмотрим сначала

<4-258>

Это есть среднее приращение скорости частицы за интервал времени Д^. С другой стороны, в пределе, когда Д^->0, это будет среднее ускорение частиц, обусловленное столкновениями. А это совпадает с нашей прежней интерпретацией коэффициента трения а.

Оставшийся коэффициент

<Т>= (4.259)

при Д^ -> 0 дает среднее значение произведения 2-й компоненты ускорения на /-ю компоненту отклонения скорости вследствие столкновений.

При таком толковании коэффициентов (Д|/ДО и (Д|Д|/ДО возможно получить выражения для этих коэффициентов через функцию распределения jF• Рассмотрим, например, коэффициент трения (Д|/ДО- При столкновении g с gA

V = 1 + д^.

Вероятная частота таких столкновений с «^-частицами» в интервале скоростей d^t около |i (вспомните формулу (4.210) для частоты столкновений) определяется соотношением

d^ =1^-11 ^^ а^ай (4.260)

При каждом таком столкновении | изменяется на Д|. Следовательно, вероятная скорость изменения | вследствие таких столкновений равна

^а^ = дц^ - § 15^ а^а^. (4.261) Средняя скорость изменения | в результате столкновений со все- ии частицами (напомним, что V = |i — g) равна

(4г) = j Al d^ = J MV^ (|i) d^o da. (4.262}

Поучительно показать, что для случая кулоновского рассеяния это выражение для (Д|/ДО сводится к (4.231). Для таких столкновений

VO da = Р2-^^^8^ (4.263) (V-a)3 ’ v •

где Р2 определяется соотношением (4.225). Отклонение скорости равно (см. (4.226))

А 5 = а (а- V).(4.264)

Подставляя эти величины в (4.262), получим:

{#) = j «(a-V^^a^Q,(4.265а)

2л 1

<т> - Р! J ) ^ j “# «,)•(4.2656)

О о

Если за полярную ось выбрать вектор V, то декартовы координаты единичного вектора а будут иметь вид

a = (cos гр, sin гр cos ф, sin гр sin ф).(4.266)

Одна только V-компонента (т. e. cos гр) уцелеет при интегрировании по ф. В результате получим

<» - ^ ) 45Ь j ■<4'267>

и

Чтобы обойти особенность при интегрировании по cos гр, нижний предел принимаем равным 8. (Отметим еще раз, что особенность возникает из-за столкновений с нулевым углом рассеяния: яр = л/2, 0=0.) В результате получим

Х^-Х=2л^21п 81 J ^^у11, > ^ •(4-2б8>

А это не что иное, как соотношение (4.231).

Задача 4.48. Проделав аналогичные вычисления, получить (А|А|/АО в зависимости от ^ (аналогично соотношению (4.262) для (А|/А^)). Для частного случая кулоновских взаимодействий установить, удовлетворяет ли полученная формула для b соотношению V-Ь = а, и показать, что она сводится к (4.231).

Ответ.

<^> = j J (a-V^VadQ.^^.

Используя (4.263) для кулоновского взаимодействия, можно это выражение представить в виде

<¥>= J ^а ) J -^^(т!^) •

Полагая•

a = (cos гр, sin гр cos ф, sin гр sin ф)

(вектор V опять направлен вдоль полярной оси) и интегрируя по Ф и Ф» увидим, что все недиагональные элементы обращаются в нуль. Два диагональных элемента вдоль осей, нормальных к V, расходятся, а компонента в направлении V остается конечной. Соответствующие интегралы имеют вид

/Т = j j ^г^sin2 ^cos2 ф> ТТ = j j ^ёг^sin2 ^sin2 ф

I» —I» —d(p d cos ф cos ф,d(p d cos ф cos ф,

I» —

I» —

d(p d cos ф cos ф,

d(p d cos ф cos ф,

так что

1

7^ = 7^>=л j-^(l-^) = n [ins^-y + fl-nine"1, е

То есть две компоненты (Д|Д|/Д^), которые не обратились в нуль, равны между собой и являются диагональными компонентами, нормальными к V. Теперь система координат, в которой проводились эти вычисления, содержит одну ось в направлении V. В данной системе координат тензор ^V^tj — ViV^lV^ имеет только две ненулевых компоненты. Они равны (с точностью до У"1) и лежат вдоль двух направлений, нормальных к V. Поскольку тензор является объектом, не зависящим от системы координат, то нижеследующая запись ^V^tj — ViV^/V3, приводящая к правильным значениям в частных осях, справедлива в любой системе координат. Приходим к соотношению

что совпадает с ранее полученным нами результатом (4.231).

г) S£-теорема

После того как мы двумя способами вывели уравнение Фоккера — Планка, остается показать, следует или нет из уравнения Фоккера — Планка (^-теорема и является ли она совместимым с уравнениями сохранения.

Напомним т), что ^-функция Больцмана задается равенством

х) Предлагаемое ниже доказательство впервые было проведено Либови- Цем (1961) для случая кулоновского газа; см. также работу Либова и ФидеЛя (1967). Хочется отметить весьма полезные дискуссии по этим вопросам с А. Оппенгеймом.

Из уравнения Фоккера — Планка следует, что

где мы учли, что а = V-Ь (см. задачу 4.45). Интегрируя последнее уравнение по частям, получим

=-A j^^-^). (4.270)

Это уравнение служит также для определения Л и В. Чтобы завершить доказательство, предположим, что коэффициент диффузии имеет следующий характерный вид:

brs = j №8 - VrVs) А (7) ^ (n) d3r).(4.271)

Функция А зависит от частного вида (дальнодействующей) силы взаимодействия и положительна для всех V. Подставляя (4.271) в (4.270), получим для первого члена:

В = j d^A^ (W^ (^gln JF)2 -(V- Vsln ^)2L (4.272) или, что эквивалентно,

в = A j d^ d?^^ (I) ^ (ч) [V2 (Vg In ^)2 -

(V • Vg In ^)2 + 72 (Vn In ^)2 - (V • Vn In <F)2]. (4.273)

Определим далее:

y^Vgln^); X ^ Тч In jF (ч).(4.274)

Тогда выражение (4.273) можно записать в следующем виде:

В = А j d3^d3^^ (^(^(уа^^^у.Х + гу-Х)-

[(V- Y)2 + (V- X)2-2 (V.у) (V.X) + 2 (V.у) (V-X)]}. (4.275)

Задача 4.49. Используя соотношение

^-UkE-irs = ^jr^ks 8js6kri

доказать, что для любых двух векторов Р и F справедливо следующее равенство:

р^ — (P-F)2 = (Р X F)2.

Учитывая результаты последней задачи, соотношение (4.275) ^ожно записать в следующем виде:

5 = Т J ^ А^^ «V X (Y- Ь)12 +

+ 2[P2Y.X-(V-Y)(V-X)]}. (4.276) Рассмотрим теперь последний член в этом выражении:

С S j d^ (I) V j d^ (n) Л [F2X-V (V-X)] =

= ( d^Yr ( A)A [V26rs - VrFs] g .(4.277)

Интегрируя по частям, получим

c= f d^r td^-^ (,])] jL[A(P26rs —Prys]. (4.278) Так как V — это величина относительной скорости V = т] — |, то dld^s = —dld'x\s. Внося это соотношение в (4.278), будем иметь с = [ d^^A-^brA= [ d3^Y-a,(4.279)

где мы учли, что dbrsld^s = ат.

Сравнивая этот результат с членом А в уравнении (4.270), получим А = С. Следовательно, в выражении для В уцелеет только член с векторным произведением (см. (4.276)). В результате получим

^= —A j j d»zdW^ [Vx (v-X)]2C0. (4.280) Кроме того, dSEIdt = 0, когда V параллелен у — X либо когда Л — 1 параллелен вектору {[d In ^ (§)/^§1 — [^ In ^ (т))/дт)]}. Это будет так, если

^^ = It + 2Sgr,(4.281)

где 1 —постоянный вектор, a S —постоянный скаляр. Выражение (4.281), в свою очередь, означает, что

In ^ = U + 1-1+ S^(4.282)

где U —другой постоянный скаляр. Используя последнее урав- нение, можно сделать следующий вывод.

Из кинетического уравнения Фоккера — Планка следует, что ^ -— монотонно убывающая функция. Она перестает уменьшать- Ся> когда ^ становится распределением Максвелла. Все это верно пРи условии, что коэффициент диффузии имеет вид (4.271).

В последние годы уравнение Фоккера — Планка нашло широкое применение в плазме -— двухкомпонентном кулоновском газе- из электронов и ионов. В этом случае имеются два кинетических уравнения: одно для JT+ и другое для ^_. Вид этих уравнении следующий:

D^+DtD^+Dt

D^+

Dt

D^+

Dt

Аналогичное уравнение можно записать для ^^

Задача 4.50. Исследовать однокомпонентное уравнение Фоккера — Планка, чтобы показать, совместимо ли оно с тремя уравнениями сохранения. С этой целью вычислить сначала три момента (1, |, £2) для столкновительного члена Фоккера — Планка.

Сейчас уместно сделать одно замечание относительно кинетических уравнений и столкновений при дальнодействии. В гл. III мы пришли к заключению, что уравнение Власова пригодно для газа, частицы которого испытывают дальнодействующие столкновения, которые^ в свою очередь, были определены через радиус взаимодействия. Соответствующим параметром для кулоновского газа является плазменный параметр nd3, где d — радиус Дебая. Для nd3 ^ 1 (в дебаевской сфере много частиц) мы получили уравнение Власова. В настоящей главе (исходя из импульса, сообщаемого при столкновении пробной частице) была введена концепция дальнодействующих столкновений и получено уравнение Фоккера — Планка.

Различие между этими двумя уравнениями связано с природой входящих в них сил, действующих на частицу. В уравнении Власова — это «моментальное» «размазанное» силовое поле. Оно не восприимчиво к индивидуальным парным столкновениям. В каждый момент времени на типовую частицу действует сила со стороны всей совокупности частиц газа. Эта частица «не ощущает» действия отдельных частиц. С другой стороны, столкновительпыи член Фоккера — Планка, хотя он также соответствует случаю дальнодействия, содержит двухчастичные столкновения. При таком взаимодействии частицы «видят» одна другую. Чтобы отличить столкновения Фоккера — Планка от власовских столкновений в плазме, мы введем понятие «дальних» и «самых дальних» столкновений.

Для самых дальних столкновений прицельный параметр больше дебаевского радиуса и они хорошо описываются моделью Власова- Дальние столкновения — это столкновения между данной части; цей и другими, находящимися в периферийной зоне дебаевской

г(Ьеры. Такие взаимодействия вызывают суперпозицию большого- ч0Сла малых сил и хорошо описываются столкновительным членом Фоккера — Планка. Такое истолкование мотивировано предшествующим выводом уравнения Фоккера — Планка из уравнения рольцмана, если учесть, что последнее получается из уравнения Лиувилля методом Грэда. Там, как мы помним, область столкновения была разделена на две зоны: ближнюю и дальнюю. Первая йз них приводит к уравнению Больцмана, вторая (самые дальние столкновения) дает уравнение Власова. Радиус сферы, которая разделяет две зоны — это радиус Дебая, так что для столкновений внутри этой сферы применимо уравнение Больцмана. Для дальних столкновений в п редел ах этой сферы мы получаем уравнение Фоккера — Планка.

Таким образом, мы показали, что плазма хорошо описывается уравнением Власова со столкновительным членом Фоккера — Планка. Именно, столкновительный член Фоккера —Планка вводит необратимость в модель Власова.

Родственные уравнения

В последнем разделе этой главы мы вкратце остановимся на некоторых совсем недавно полученных кинетических уравнениях, которые находят широкое применение в кинетической теории плазмы. Это уравнение Ландау (1937) и уравнение Балеску — Ленарда (1960). Они тесно связаны с уравнением Фоккера — Планка. Первое непосредственно следует из уравнения Фоккера — Планка для кулоновского газа, что видно из предлагаемой ниже задачи.

Задача 4.51. Показать, что столкновительный член уравнения Фоккера — Планка в случае кулоновского газа может быть представлен в форме Ландау:

Dt 2 1П 6 5g; V3 ^1) agn W

.^ (11)1 (4.284)

Второе кинетическое уравнение, тесно связанное с изучением Плазмы, уравнение Балеску — Ленарда, является самым новым Из всех имеющихся в настоящее время кинетических уравнений. В нашем вводном курсе достаточно просто записать это уравнение и Указать на его сходство с уравнением Ландау.

Уравнение Балеску — Ленарда получается с помощью метода Преобразования Фурье и записывается в форме квадратуры с явНым интегралом по преобразованной переменной к. Уравнение

имеет следующий вид:

D^(2л)3 л а Г к d^k | Ф (/с) р

Dt ~ m2 д§ " J |£>(-к, гк.|)|2Х

(4.285)

G(“) = j ^(т|)б(и —

niv л-П WW [ д^ йЧ 1

( ’ ' L1 " m ' J dX z + ik-Xj ’

_ к§ .8к 8

U к ’ Эи к д§ ’

где б — дельта-функция Дирака.

Функция Ф (&) является фурье-образом потенциала взаимодействия Ф (ж), который для кулоновского газа имеет вид Ф = = еЧх (Ф ~ к"^ (в системе СГС). Плотность числа частиц равна п, и масса частицы — т.

Уравнение (4.285) можно привести к виду, очень схожему с уравнением Ландау (см. задачу 4.50):

^•=^^’ 5 ^'§^' ^Е^')^-^)^2]- (4-286)

При сравнении этого уравнения с (4.285) увидим, что

5 = [ dk-^6 ГAfclll —l^f—. (4.287)

J к L к J |/)( —k, ik-g)I2 v 7

Задача 4.52. Показать, что уравнения (4.286) и (4.287) совпадают с уравнением (4.285).

Хотя уравнения Ландау и Балеску — Ленарда похожи по форме, необходимо ввести ряд аппроксимаций и предположений, прежде чем О приведется к виду [6fJ- — У^У/У2].

Задача 4.53. Показать, что для кулоновского газа уравнение Балеску — Ленарда с D = 1 дает уравнение Ландау.

При вычислении коэффициентов в столкновительном члене Фоккера — Планка необходимо было «обрезать» интеграл при интегрировании по углу рассеяния, чтобы получить конечный результат. В этом смысле уравнение Балеску —Ленарда не требует такой вольной процедуры. Однако надо быть аккурат; ным при вычислении сингулярного интеграла по X, который содержится в выражении для диэлектрической функции D в (4.285). Другим характерным свойством данного уравнения является то, что в нем учитывается эффект экранирования меЖДУ частицами. Это свойство уравнения Балеску —Ленарда заклЮ'

чено в диэлектрической функции D. Фурье-образ Ф (й) —это образ неэкранированного парного взаимодействия, который появляется в уравнении Балеску — Ленарда в форме Ф/D. Наличие «фона» частиц вызывает экранирование ), которое в свою очередь усиливает неэкранированное парное взаимодействие Ф.

Этот краткий вводный обзор наиболее известных из недавно полученных кинетических уравнений завершает раздел, посвященный уравнению Фоккера — Планка. Некоторые из наиболее важных свойств рассмотренных кинетических уравнений собраны в табл. 4.1.

Итак, мы ознакомились со свойствами наиболее широко применяемых кинетических уравнений. В главе V дано решение уравнения Больцмана методом Чепмена — Энскога и методом Трэда. В заключение вновь исследуется проблема релаксации к равновесию макроскопических систем как в духе классической статистической механики, где мы опять сталкиваемся с ансамблями в Г-пространстве, так и методом эргодической гипотезы. Первый, априорный подход, опирается на постулат равных априорных вероятностей, тогда как при втором (апостериорном) подходе делаются попытки доказать эргодическую гипотезу. Оба метода исследуют необратимое приближение к равновесию макроскопических систем. Они представляют собой статистическо-механиче- ский эквивалент метода теории кинетических уравнений, в котором с помощью ^-теоремы изучается та же самая проблема.

Задача 4.54. Напомним, что фурье-образ Ф (к) функции Ф (х) имеет вид

Ф№-т^Ш=*к'*ф(х) d3x.

Найти фурье-образ кулоновского взаимодействия Ф = е^/х.

Ответ.

Ф ^ = e1!^^.

Задача 4.55. Уравнение Больцмана для двухкомпонентного газа имеет вид

где ^ — одночастичная функция распределения, J — интеграл столкновений следующего вида:

J кЗ а| 3b) = J ^3 аЗ b 3 аЗ b) ^^b^abVab d^ab-

Таблица 4.1

Уравнение

Вид уравнения

Классификация по времени

Уравнения сохранения

Характерная траектория

BHi

DFX (N-^ 9{.с„ п

Dt + К др/J^G^Z-^O

(2.178а)

R

Да; вытекают из кинетического уравнения с потенциальным вкладом в напряжение

Точное уравнение

Свободно-молекулярного течения

(3.79а)

R

Да

Предполагается, что взаимодействие отсутствует

Власова

^+т4Н“--"’><,’''-<2>-0

(3.106)

R

Да; дальподействующая сила даст вклад в напряжение

Предполагается, что

F2 = FiFi или высокая температура и дальнодействие

Продолжение табл. 4.1

Больцмана

DFa

~or=J^^^

I

Да

Столкновения парные. F^ однородна в области столкновения

Крука—Бхатнагара- Гросса (КБГ)

^ = ^kF»_F^(4.211)

I

Да, для постоянной частоты столкновений

Система находится вблизи равновесия

Фоккера—Планка (ФП)

Dtд§ 7 1 1 2 д§д§ 1 67 1

(4.230)

I

Да, для кулоновского взаимодействия

Преобладают дал ыю- действующие столкновения

Второе Грэда

£3=(JV-1) )i F,««S.&-to »ь

(4.92)

R

Да

Частицы взаимодействуют только на расстоянии о

R — обратимое;'/ — необратимое,

Рассмотрим предельный случай:

j ^ad^a = na<nb= j ^bd^b,

Ма < Mb.

Это означает, что плотность па и масса Ма частиц a-газа много меньше соответствующих величин 6-газа. В этом случае «перекрестные столкновения» J ^да | дь) определяют изменение функции g а. тогда как «самостолкновения» J ^gb I jFb) определяют ЭВОЛЮЦИЮ дъ.

Предполагая, что дь известна и равна постоянной и что VabQab = СаЬ2аЬ/4л = const, вывести уравнение

^ — ^ab ^^а^" J да d£2ab^ = ^ab^ ан-

Выяснить структуру двух членов, которые входят в ^ан. В предшествующем выражении индекс «ан» означает «анизотропный». Изотропная компонента дИ30 удовлетворяет соотношению

5^ изо—j д d^.

Ответ, а)

^ab = Саь 2 nb-ab

Допшидт (Loschmidt J.)

(1876—1877) Wien. Вег., 73, 139 (1876); 75, 67 (1877).

рейхенбах (Reichenbach Н.)

The Direction of Time. Berkeley, University of California Press. Русский перевод: Рейхенбах Г., Направление времени, М., ИЛ, 1962.

цермело (Zermelo Е.)

Ann. Phys., 57, 485.

Ранние работы по кинетической теории

Больцман (Boltzmann L.)

Further Studies on the Thermal Equilibrium among Gas-Mole

cules, Wien. Ber., 66, 275.

(1875)- On the Thermal Equilibrium of Gases Subject to External Forces, Wien. Ber., 72, 427.

On the Formulation and Integration of Equations which Deter

mine the Molecular Motion in Gases, Wien. Ber., 74, 503.

(1880—1883) Wien. Ber., 81, 117 (1880); 84, 40, 1230 (1881); 86, 63 (1882);

835 (1883).

Jahresb, d. D. Math. Verein, 6, 130.

Максвелл (Maxwell J. C.)

On the Dynamical Theory of Gases, Phil. Trans. Roy. Soc., 157, 49.

Nature, 8, 537.

Nature, 16, 244.

On Stresses in Rarefied Gases Arising from Inequalities of Temperature, Phil. Trans. Roy. Soc., 170, 231.

В. Кинетические уравнения (см. также литературу к гл. III)

Балеску (Balescu R.)

Phys. Fluids, 3, 52.

Гросс, Бхатнагар, Крук (Gross Е., Bhatnager D., Krook М.)

Phys. Rev., 94, 511.

Грэд (Grad Н.)

Thermonuclear Reaction Rates in an Electrical Discharge, NYO-7977, New York, University (Jan.).

Principles of the Kinetic Theory of Gases, Hand. d. Physik, vol XII, Berlin, Springer.

Theory of Rarefied Gases, in Rarefied Gas Dynamics, ed. by F. Devienne, New York, Pergamon Press.

The Many Faces of Entropy, Comm. Pure and Ap. Math., 14, 323.

Кейлсон, Сторер (Keilson J., Storer J.)

Quart. Ap. Math., 10, 243.

Кирквуд (Kirkwood J. G.)

^947) J. Chern. Phys., 15, 72.

Кирквуд, Росс (Kirkwood J. G., Ross J.)

Proceedings of the International Symposium on Transport Processes in Statistical Mechanics, I. Prigogine (ed.), New York, Interscience.

Ландау Л. Д.

ЖЭТФ, 1, 203.

Ленард (Lenard А.)

Ann. Phys., 3, 390.

Монтгомери, Тидмен (Montgomery D., Tidman D.)

Plasma Kinetic Theory, New York, McGraw-Hill.

Планк (Planck M.)

Sitz, der Preuss. Acad., 324.

Розенблют, Мак-Дональд, Джудд (Rosenbluth M., McDonald W., Judd D.) (1951) Phys. Rev., 107.

Уленбек, Вонг (Uhelenbeck G., Wang M. C.)

Revs. Mod. Phys., 17, 323.

Фоккер (Fokker A.)

Ann. d. Physik, 43, 312.

Чандрасекхар (Chandrasekhar S.)

Rev. Mod. Phys., 15, 1.

Г. Гидродинамика и кинетическая теория

Ватсон, Бонд, Уэлч (Watson К. М., Bond J. W., Welch J. А.)

Atomic Theory of Gas Dynamics, Reading, Mass., Addison-Wesley. Гиршфельдер, Кертисс, Берд (Hirschfelder J. О., Curtiss C. F., Bird R. B.) (1954) The Molecular Theory of Gases and Liquids, New York, Wiley. Русский перевод: Гиршфельдер Дж., Кертисс Ч., Берд Р., Молекулярная теория газов и жидкостей, М., ИЛ, 1961.

Грэд (Grad Н.)

Сотт. Pure and Ар. Math., 2, 331.

Гуггенгейм (Guggenheim Е. А.)

Elements of the Kinetic Theory of Gases, New York, Pergamon Press.

Джинс (Jeans J.)

An Introduction to the Kinetic Theory of Gases, Cambridge, Cambridge University Press.

Kinetic Theory of Gases, Cambridge, Cambridge University Press. Зоммерфельд (Sommerfeld A.)

Thermodynatnics and Statistical Mechanics, New jfork, Academic Press. Русский перевод нем. изд.: Зоммерфельд А., Термодинамика и статистическая физика, М., ИЛ, 1955.

Кеннард (Kennard Е. Н.)

Kinetic Theory of Gases, New York, McGraw-Hill.

Лоэб (Loeb L. B.)

The Kinetic Theory of Gases, 2d ed., New York, McGraw-Hill.

Паттерсон (Patterson G. N.)

Molecular Flow of Gases, New York, Wiley. Русский перевод: Петтер' сон Г. Н., Молекулярное течение газов, М., Физматгиз, I960.

Презент (Present R. D.)

Introduction to the Kinetic Theory of Gases, New York, McGraw-Hill, уолдмен (Waldman L.)

Transporterscheinungen in Gasen von mittlerem Druck, Hand. d. Phy- sik, vol. XII, p. 295—514, Berlin, Springer.

Чепмен, Каулинг (Chapman S., Cowling T. G.)

The Mathematical Theory of Non-Uniform Gases, Cambridge, Cambridge University Press. Русский перевод: Чепмен С., Каулинг Т., Математическая теория неоднородных газов, М., ИЛ, 1960.

Д. ^6-теорема {см. также литературу к гл. V)

Больцман (Boltzmann L.)

.(1964) Lecture on Gas Theory, translated by G. Brush, Berkeley, University of California Press. Русский перевод нем. изд.: Больцман Л., Лекции по теории газов, М., Гостехиздат, 1956.

Трэд (Grad Н.)

On Boltzmann’s ^-Theorem, J. Soc. Indust. A ppi. Math., 13, 259»

Либов, Фидель (Liboff R., Fedele J.)

Phys. Fluids, 10, 1391.

Либовиц (Lebowitz J.)

Bull. Am. Phys. Soc., Ser. II, 6, 289.

Толмен (Tolman R. C.)

The Principles of Statistical Mechanics, Oxford.

Эренфест П., Эренфест T. (Eherenfest P., Eherenfest T.)

Encykl. d. Math. Wiss., vol IV, part 32, Leipzig.

E. Экспериментальный максвеллиан

Миллер, Куш (Miller R., Kusch P.)

J. Chern. Phys., 25, 860.

Цартман (Zartman I. F.)

Phys. Rev., 37, 383.

Список обозначений к гл. IV

а — радиус твердой сферы,

а —коэффициент Фоккера — Планка,

b — радиус твердой сферы,

b — безразмерный прицельный параметр,

b — коэффициент Фоккера — Планка, с — скорость света, ЦМ —центр масс,

D —диаметр твердой сферы,

D —диэлектрическая функция,

D —область в конфигурационном пространстве, DIDt —индивидуальная производная по времени,

Е — энергия, е — абсолютная внутренняя энергия, § —относительная внутренняя энергия на частицу г е —плотность относительной внутренней энергии, /£ — одночастичное усеченное распределение, /о — абсолютное распределение Максвелла, нормированное на единицу,

^о —абсолютное распределение Максвелла, нормированное на Ns

/° — локальное распределение Максвелла, нормированное на единицу,

/s —усредненное по времени s-частичное распределение, нормированное на единицу,

^ — одночастичная функция распределения, нормированная на N,

^2 —парная функция распределения,

G —сила взаимодействия между частицами, §' = § (£') — значение динамической переменной § после столкновения,

§ —макроскопическая переменная,

—ка№ — энтропия Больцмана,

—kS6N —энтропия Гиббса,

Н —гамильтониан,

Z —интегральный оператор,

J —интегральный оператор Больцмана, К — внешнее силовое поле, К —константа в выражении для силы, к —постоянная Больцмана, I — средний свободный пробег,

L —угловой момент р,-частицы,

т — масса частицы,

М —масса системы двух тел, п — плотность числа частиц, О — оператор относительной энергии, о — оператор абсолютной энергии, р — относительный тензор давлений, Р —импульс центра масс р — канонический импульс р —импульс ц-частицы, р' —импульс после столкновения, р —импульс в системе координат ЦМ, р — абсолютный тензор давлений, Q — относительный вектор теплового потока, q — абсолютный вектор теплового потока, q — плотность заряда, R — радиус-вектор центра масс

62?± —число частиц, которые (входят/покидают) фазовый элемент 6x6^ за время б£, г — радиус-вектор между двумя частицами, г о — радиус взаимодействия,

S — вектор элемента площади поверхности, S — вектор Пойнтинга, 5 — прицельный параметр, параметр столкновения, t0 —среднее время между столкновениями, U — плотность энергии поля, и —величина, обратная радиусу, и — гидродинамическая скорость, и — скалярная скорость в уравнении Балеску — Ленарда,

V —относительная скорость системы двух тел, Т — потенциал взаимодействия частиц, х3 — каноническая координата s-й частицы, а — единичный апсидальный вектор, Р — безразмерный обратный радиус-вектор, Р — безразмерная константа в выражении для силы,. Ф — потенциал взаимодействия частиц, ср — азимутальный угол рассеяния,

ф —динамическая функция, ф —полярный азимут, Г —плотность импульса поля, Г —кривая в пространстве ^х, у), х — силовая постоянная,

Л —тензор скоростей деформаций,

Л* — полином от микроскопической скорости, ц —приведенная масса, v —частота столкновений, Q —телесный угол,

Q —тензор максвелловских напряжений,

П —функция распределения условной вероятности, ф —динамическая функция, ф — угол рассеяния, 2 — полное сечение рассеяния,

ст — дифференциальное сечение рассеяния, т — время столкновения,

9 —угол рассеяния,

Е — произвольная функция,

| — скорость частицы,

^ —скорость частицы в системе координат ЦМ.

ГЛАВА V

РЕШЕНИЕ И ДАЛЬНЕЙШИЕ СВОЙСТВАУРАВНЕНИЯ БОЛЬЦМАНА.

РЕЛАКСАЦИЯ К РАВНОВЕСИЮ

Анализ Чепмена — Энскога уравнения Больцмана.Приближение малого среднего свободного пробега

.а) Коэффициенты переноса

До сих пор мы мало касались вопроса о решении произвольного кинетического уравнения и о возможностях его каких-нибудь других практических приложений. Одно из наиболее важных применений кинетического уравнения связано с вычислением коэффициентов переноса. Эта задача особенно поучительна, поскольку она сосредоточена на построении одночастичной функции распределения, т. е. на получении решения данного кинетического уравнения.

Коэффициенты переноса играют большую роль в кинетической теории газов. Неотъемлемая слабость теории макроскопических уравнений состоит в том, что системы этих уравнений всегда незамкнуты: число неизвестных всегда больше числа уравнений. Уравнение неразрывности является одним уравнением для четырех скалярных величин (п, и). Если мы попытаемся исправить положение, вводя уравнение импульсов, то в действительности ситуация только ухудшается. В уравнения импульсов, которые состоят из трех скалярных уравнений, входит шесть независимых компонент тензора напряжений Р. Следовательно, первые два закона сохранения дают четыре уравнения для десяти неизвестных. Очевидно, что добавление к системе третьего уравнения сохранения, уравнения энергии, не улучшит дела, точно так же как добавление любого уравнения из оставшегося счетного множества моментных уравнений. Мы всегда будем иметь больше неизвестных, чем уравнений.

Выход из этой «безнадежной» ситуации — на феноменологическом пути. Феноменологическими называются утверждения физики, основанные на эксперименте (и интуиции) и не вытекающие из фундаментальных законов. Например, если ограниченный (но свободный от внешних воздействий) газ первоначально обладает градиентом плотности, то с течением времени система будет релаксировать к однородному состоянию с нулевым градиентом. Другими словами, макроскопическая скорость и «сдвигает» жидкие элементы из плотных областей в разреженные. Этот феноменологический закон описывается уравнением

пи = — D V п,(5.1)

где D называется коэффициентом диффузии. Если это уран, нение подставить в уравнение неразрывности (одно уравнение дда четырех скалярных величин п и и)

дп , _ А

_+ V.nu=0,

то мы получим (считая, что D не зависит от х)

(5.2)

— так называемое уравнение диффузии, где D —коэффициент, переноса. Этот простой пример показывает, каким образом коэффициенты переноса помогают получить замкнутую систему гидродинамических уравнений. Но так как D все еще неизвестная величина, то мы попросту только изменили задачу, а не решили ее. Тем не менее существует формальный подход к вычислению коэффициентов переноса1). Он основан на построении самой функции Например, пусть решение уравнения Больцмана имеет вид

(х, 1, 0 =(1) •(х, с,(5.3)

где g —известная функция | и п —числовая плотность:

Образуя моментное (по скорости) соотношение от равенства (5.3), будем иметь:

^u= j ^W^ — ^п ^ gd3^.(5-4)

Из последнего равенства заключаем следующее. Во-первых, если мы положим D = j ^3L то (5.4) примет вид

пи = — D V п.

Это означает, что феноменологическое утверждение, заключенное в (5.1), в действительности является точным аналитическим утверждением. Во-вторых, коэффициент D должен определяться тождеством D = j gd3^.

Вообще для газовой динамики важны следующие три коэффициента переноса.

Коэффициент диффузии D, который связывает и с градиентом п согласно (5.1).

х) Менее формальный подход состоит в вычислении средней длины свободного пробега. Иллюстрацию этого метода можно найти в работе Ли> Сирса, Таркотта (1963).

Коэффициент вязкости ц, связывающий Р с градиентом функции и следующим образом:

Р = Тр—2ц (X—^-V-uZ).(5.5)

1—

Отметим, что такая форма записи требует, чтобы р = уТгР. Здесь I — единичная матрица, р —скалярное давление и Л — (симметричный) тензор скоростей деформаций, определенный равенст- уОм (4.138); хх и ^-компоненты тензора Р имеют вид

D2дихдиудигх

?хх — Р3^(2 дхдуdz ) ,(5.6а)

ди.. \

(5.66)

Задача 5.1. Показать, что тензор давлений, задаваемый в форме (5.5),_ _____

Р = Тр — 2р (a-|v.u7) =Tp-S, обладает следующими тремя свойствами:

Р не содержит пространственных производных порядка выше первого, т. е. Р = О (Vu);

8 равен нулю, если жидкость вращается как твердое тело, т. е. если и = Я х г, где Я — вектор постоянной угловой скорости;

Tr Р = Зр.

В этой формулировке, связанной с разреженным газом, только перенос импульса, обусловленный потоком частиц, вносит вклад в напряжение. Вкладом от межмолекулярных взаимодействий можно пренебречь (см. разд. 3.6). Феноменологический смысл равенства (5.5) очевиден. Оно утверждает, что силы, которые стремятся вызвать диссипацию любых градиентов скорости, могущих возникнуть в жидкости, линейно пропорциональны этим градиентам.

Коэффициент теплопроводности х, который связывает вектор теплового потока Q с градиентом температуры:

Q = —х XT.(5.7)

Феноменологическое обоснование этого соотношения также ясно. Если в газе существуют две области с разными температурами, то тепло будет переходить из области более теплой в область более холодную, чтобы произошла диссипация градиента температуры. (Тепло никогда не течет в противоположном направлении — это второй закон термодинамики.)

Все феноменологические законы, в которые входят коэфф^ циенты переноса, стремятся сохранить пространственную одно" родность (равновесие) в системе. Они служат для замыкания системы уравнений сохранения, но при этом система становится необратимой. Обратимые уравнения, несомненно, не могут описывать релаксацию системы к равновесию. В противном случае существовало бы нечто, дающее нам возможность определить прямое направление времени, а именно направление, которое ведет к равновесию г).

Казалось бы, что решить уравнение Больцмана для функции jr а потом вычислить коэффициенты переноса и получить замкнутую систему гидродинамических уравнений —все равно, что «стрелять из пушки по воробьям». Если функция jF известна, то может показаться, что и все макроскопические переменные известны. И какой тогда смысл решать уравнения сохранения, чтобы определить эти макроскопические переменные, коль скоро одночастичная функция распределения JF известна? Однако, зная jF, мы не можем определить гидродинамические переменные, так как они могут входить в ^ в виде параметров. Прекрасным примером этого является локальный максвеллиан

пГ(^ — u)2 1

Если мы проинтегрируем ^°, чтобы найти, скажем, плотность числа частиц п, то получим

j^3g = n.(5.8)

Это равенство ничего не говорит о структуре п. Оно представляет собой просто часть определения локального максвеллиана jF°.

Назначение коэффициентов переноса состоит в том, чтобы сделать систему уравнений сохранения замкнутой:

-^п Jr^ ^^ = 0^(5.9а)

р (^- + u.v)u + V.^=pK,(5.96)

^-^пкТ+ Г-и-^/сГ + ^ + ^^-О.(5.9в)

Два из этих уравнений являются скалярными, а одно — векторное. Они включают две скалярные величины п и Г, две векторные и и Q и одну тензорную Р. Выражая последние две (не скалярные)

х) Более точно: если решение обратимого уравнения описывает приближение к равновесию, то существует другое, также верное решение, согласно которому происходит отклонение от равновесия.

ременные через п, и и Т, получим в результате замкнутую систе- гидродинамических уравнений г). Отметим, что знание коэф- дпдиента вязкости р, (уравнение (5.5)) и коэффициента теплопроводности х (уравнение (5.7)) как раз обеспечивает такое замы- Ванне системы уравнений. Если д и х известны, то коэффициент диффузии становится излишним.

Задача 5.2. Подставить (5.5) и (5.7) в уравнения (5.9) и получить замкнутую систему гидродинамических уравнений с д и х в явном нпде.

^ формальное разложение и решение

Анализ Чепмена — Энскога начинается с того, что уравнение Больцмана записывается в виде

(5.10)

где е — бесконечно малый параметр. Такую запись уравнения Больцмана можно обосновать следующим образом. Оператор J задается равенством

j j(5.11)

Если сечение рассеяния о положить равным

о = г02о,(5.12)

то о будет безразмерным параметром, который, как мы ожидаем, должен быть порядка единицы; г0 — радиус взаимодействия. Для жестких сфер (см. (4.42)), где г0 = 2а,

г2

Введем безразмерное распределение ^ согласно уравнению

=(5.14)

где С — тепловая скорость и п —плотность числа частиц. НакоНеЦ, все скорости запишем в виде

(5.15)

х) Вспомните определения

р = ^- J mc^d^b,LnkT = ^ Г me^d^.

В этих безразмерных переменных уравнение Больцмана прим ВИД1 ет

— = пСгу^.(ЗЛб)

Размерность произведения пСг^ равна величине, обратной вре^ ни. Это согласуется с тем фактом, что время t в левой части урав_

Рис. 5.1.Рис. 5.1.

Рис. 5.1.

Рис. 5.1.

нения является размерным. Полностью безразмерное уравнение Больцмана получается, если положить

(5.17)(5.17)t = nCr^t.

(5.17)

(5.17)

Но физически более целесообразно иметь дело с уравнением в форме (5.16). Переменные п и г0 связаны простым соотношением лг^ п-1 = и.(5.18)

nVr^ ^ 1.

Величина, обратная числовой плотности — это удельный объем v, а I —средняя длина свободного пробега. На рис. 5.1 приведено построение, поясняющее соотношение (5.18).

Идея такова, что в среднем частицы проходят без столкновений (после любого данного столкновения) расстояние Z, так что в объеме лZr^ имеется только одна частица. Используя (5.18)» чтобы выразить г0 через Z, получим уравнение (5.16) в виде

Тепловая скорость С и средняя длина свободного пробега Z связаны с частотой столкновений v приближенным равенством

Zv С.(5.20)

В среднем частица проходит расстояние Z за время v1. Поскольку параметры Z, v и С связаны соотношением (5.20), только Дра

и3 них могут быть выбраны произвольно. Как только такой выбор сделан, третий параметр определяется из (5.20). Другими словами, мы вправе рассмотреть предельный случай, когда в уравнении (5.19) Z-^О и С = const. Это будет предельный случай малой средней длины свободного пробега или, что то же (из (5.20)), высокой частоты столкновений. Он также называется гидродинамическим пределом. (Противоположный экстремальный случай описывается газом Кнудсена, в котором частицы сталкиваются со стенками значительно чаще, чем друг с другом.)

Вид уравнения (5.19) дает возможность предположить, что мы получим хорошую отправную точку для исследования решений уравнения Больцмана в предельном случае малой средней длины свободного пробега, если запишем его в виде

Введение параметра е представляет собой математический прием. Этот параметр именуется «бухгалтерским» параметром и служит цели учета членов одинакового порядка величины.

Первый шаг анализа Чепмена — Энскога состоит в том, чтобы записать уравнение Больцмана в виде

(4+^)^=P^i^’<5-22)

где

<5-23>

и

/(/|g)= J j^adQF^-/^).(5.24)

Такая более явная запись оператора столкновений будет полезна для дальнейшего анализа.

В качестве второго шага надо ввести разложение

^ = ^ + ejr^ + e2jr<2)+iii .(5.25)

Это в свою очередь порождает разложения в виде рядов для трех операторов, d/dt, 9) и J.

Прежде чем получить эти разложения, полезно обсудить вопрос о нормализации ^. Константы, содержащиеся в ^, задаются согласно определениям:

n — ^ ^d?^ nu= j ^^d^ -| nkT ^у j ?nc2^^3^

Подставляя ряд (5.25) в эти равенства, получим разложения макроскопических переменных п, u, Т. Если мы предположим, что все эти переменные являются величинами О (1), то

/ 1\

[^(i) | 1^ = 0, />0;(5.26а)

\с2/

/IX / й \j^<0>| § И3£= »U L(5.266)

\с2/ \ЗпкТ/т/

Однако, переменные Q и Р все еще содержат полные ряды по V^^V так что

Q = 2 8!QU) = 4 2 8' j ^mc4as^ (5.27) ^=2 8^Ф = 2 8' J ^’^сс^-(5.28)

Метод Чепмена— Энскога содержит два сильных предположения. Первое из них, о котором мы уже говорили, состоит в том, что гидродинамические переменные п, u, Т все являются величинами порядка единицы. Второе предположение, с которым мы вскоре столкнемся, заключается в том, что ^ зависит от времени только через п, и и Т.

Из бесчисленного множества гидродинамических переменных только эти три определяют равновесное состояние системы. Напомним, что в боголюбовском описании релаксации к равновесию на гидродинамической стадии одночастичное распределение является функцией и, и и Т. Следовательно, мы можем считать, что решение Чепмена— Энскога описывает эволюцию ^ на этой конечной гидродинамической стадии.

На каждой ступени анализа Чепмена — Энскога получается соответствующая система уравнений законов сохранения. Например, как будет показано, решение низшего порядка ^(0) не содержит тепловых потоков и напряжений. Если эту функцию подставить в уравнение Больцмана и образовать три первых момента, то вследствие структуры ^(0) получаемые в результате макроскопические уравнения будут содержать только п, и и Т. Это уравнения Эйлера. Они описывают газ, который не содержит ни тепловых потоков, ни напряжений (идеальная жидкость). Такое свойство присуще состоянию жидкости, близкому к равновесию. Чтобы описать состояния, более удаленные от равновесного, где существуют напряжения и тепловые потоки, необходимо использовать следующие члены разложения^. Например, J^(1) уже содержит Q и S. Соответствующие макроскопические уравнения называются

уравнениями Навье — Стокса. Их также можно получить, подставляя выражение (5.5) для Р и (5.7) для Q в уравнения сохраненИя (5.9). Такое феноменологическое задание Р и Q заключает в себе предположение, согласно которому Р и Q вполне определяются пространственными производными (только) первого порядка от гидродинамических переменных низшего порядка (например, и, ТУ Это предположение вполне пригодно вблизи равновесия, где полагается, что пространственные вариации более высокого порядка стремятся к нулю.

Макроскопические уравнения, получающиеся при учете членов более высокого порядка в разложении д7, содержат и пространственные производные высшего порядка в соответствующих аппроксимациях Р и Q. Смысл введения членов высшего порядка в разложении Чепмена — Энскога для ^ состоит в том, что получающиеся в результате макроскопические уравнения лучше описывают состояния, отклоненные от равновесного.

Возвращаясь к получению разложений для операторов 2) и 7, отметим, что они вытекают из (5.25) для JT, так что

=+•(5.29)

Для J мы получим

7(^|^')-J(§e'^'<4 2 8nF(n>) =Z=0n=0

= §(5.30)

Z—0 n—0

С использованием соотношения

ГкГ”, .F'1’,^^ = УР£3 кЗ^ЛЗ7^ l + n^s, (5.31)

n I

(5.30) запишется в виде

j ^ | ^) = J^ (^) + ^ ^^\ j^1') +

+ eV(2) (^(0), ^(1), jT2)) + ... .(5.32)

Равенства (5.29) и (5.32) определяют разложения Йд7 и / (jFljF) по степеням е.

Разложение dg^dt нельзя получить непосредственно, так как его обоснование связано со вторым предположением метода Чепмена— Энскога, согласно которому зависит от времени неявно, через п, и и Т, так что

дЗ7 дЗ7 дп \ dF du । дЗ7 дТ^ох

"дГ *(0.33)

Из этого уравнения следует, что d^ldt задается через шесть величин: д^!дп. дер! ди, д^!дТ, dnldt, duldt, dTIdt. В разложении

операторы д J dt определяются через производные по времени от макроскопических переменных п, и и Т. Мы получим эти соотношения таким способом, который обеспечит, чтобы макроскопические переменные, получаемые из jF, удовлетворяли уравнениям сохранения (5.9). Подставляя ряд (5.34) вместе с разложениями (5.27) и (5.28) в уравнения сохранения (5.9) и учитывая, что п, и и Т все являются членами порядка единицы, получим

^L= -V-nu, dt

^- = 0, r>0, dt

^=_(u.V)u + K-4v.^,л -(5-35)

^U ~1 47 .p^ r>0dt p’’

r>°-

Вводя тензор скоростей деформаций Л, последние два выражения можно записать в виде

dtопк L1

4r-=-^rlv-Q<r4A:^(r,J, r>0.

dt Зпк L x ।

Подставляя ряды для jF, dfdt, $g^ и J в уравнение Больцмана (5.21), получим

4(6+е^+ ‘ • •) (Ч'Чг^Ч • • .)+(^Ч<0Ч^ЧаЧ ...)] =

-уГ^^^гГ^З^, ^<i>)+...],(5.36)

где

э^2_ _ ^TL 5hl _l ^71_ д^ 9^w 9tTdt dn dt * du dt * dT dt

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях е, придем к искомой бесконечной системе зацепляющихся интегральных

уравнений для ^(г):

0 = ^0)(^<0,),(5.37а)

(A + ^j jr<0>=/<i>(jr0>, ^<i>),(5.376)

\ оъ /иъ

Решение нулевого порядка получается из (5.37а):

^<0)|^<0))=0.

Из предыдущего обсуждения ^-теоремы (разд. 4.4 (в)) следует, что решением этого уравнения является локальное распределение Максвелла ^°:

<5-38)

Напомним, что относительная скорость с равна

С = 1 — U.

Согласно предыдущим ограничениям (равенства (5.26)), п, и и Г в ^° представляют собой фактическую концентрацию, макроскопическую скорость и температуру газа. Все они являются функциями х и t.

Решение нулевого порядка в приближении малого свободного пробега дается локальным максвеллианом ^°. Это решение в свою очередь можно использовать для получения системы гидродинамических уравнений нулевого порядка. Чтобы их построить, вычислим сначала тепловой поток Q и напряжение Р. Из определений, данных в гл. III,

Q = t J сч^а^,Р = m f cc^d3^.

Подстановка ^° в эти две формулы дает

(5.39а)(5.39а)Р(0> = Ip = InkT.Р(0> = Ip = InkT.(5.396)(5.396)Q<°> = О,

(5.39а)

(5.39а)

Р(0> = Ip = InkT.

Р(0> = Ip = InkT.

(5.396)

(5.396)

ВВ

В

В

записи по компонентам последнее равенство имеет вид

Р^ = 6t)P = ЬипкТ.

Подставляя эти величины в уравнения .сохранения (5.9), получим аппроксимацию нулевого порядка, т. е. уравнения Эйлерсг.

Al+V.nu = 0,(5.40а)

Р (^ + U"V) u + vP = pK,(5.406)

^+"'^^™0'<5-40">

Напомним, что размерность К равна силе, деленной на массу. Условие адиабатичности течения (даваемое уравнением (5.40в)) согласуется с тем, что в максвелловском состоянии тепловые потоки отсутствуют.

Построив аппроксимацию нулевого порядка для ^ и соответствующие ей макроскопические уравнения, мы можем теперь найти, какой вклад в ^ дают члены первого порядка, а именно найти ^(1\ Метод решения, которому надо следовать, схематически изображен на рис. 5.2. Функция ^ определяется уравнением (5.376):

(-^- + ^)^<0, = /<1>(jr<0>, ^а>).(5.41)

При исследовании этого, а также последующих уравнений системы (5.37) удобно ввести функции {Ф(Г)}, определяемые соотношением

^^ = ^°ф(г\(5.42)

Решение нулевого порядка ^^ = jF° дает

Ф(0) = 1.(5.43)

Кроме того, если мы определим линейный оператор □ Ф = -^>(Г, ^°ф) =

= j^ J ай7^^)[Ф^) + Ф%')-Ф^)-Ф(У],(5.44)

то уравнение (5.41) примет вид

iMir + ^j^0^0^(5-45>

Первую производную по времени вычислим с помощью определенной ранее последовательности равенств (5.33) и (5.35):

50 ^o= J^Ali^i 50u д^о доГ

8tЭп 8t ' Эи * at ' ЭТ dt

Рис. 5.2. Метод Чепмена — Энскога интегрирования уравнения Больцмана.

Подставляя значения (см. (5.35))

^- = _ u.Vu + K — р-^пкТ,(5.47)

^.= _u.VT7—l^'Udt3

в уравнение (5.46), получаем d^^/dt как функцию только пространственных градиентов от n, и и Т. Если затем подставить выражения (5.46) и (5.47) в уравнение (5.45), то после некоторой перегруппировки и сокращения членов мы получим

= "p25r(s2-|)s.Vlnr + 2(ss-ls27): W=nO(1>,(5.48)

где s — безразмерная относительная скорость,

=(5.49)

Если Ф(1) найдена, то S' известна до членов первого порядка:

^- = ^о(1+Ф<1>),(5.50)

$^° =П чЪ e~s2> ^"0cZ3^ = —^-e""s2tZ3s.

(глят)3/2л3/2

Чтобы найти Ф(1), мы должны решить линейное неоднородное интегральное уравнение (5.48), при условии что

/ 1 \

С ^гоф(1)[ । Ьс = 0.(5.51)

Общее решение уравнения (5.48) получается путем сложения некоторого частного решения Ф{п этого уравнения с общим решением Ф^ однородного уравнения

□Фкп = 0.(5.52)

Решением этого уравнения будет являться линейная комбинация трех сумматорных инвариантов:

ф^ = а + р-тс + у угас2,(5.53)

где а, р, у —произвольные постоянные. Форма среднего члена продиктована тем фактом, что Ф скаляр. Чтобы получить частно0

решение уравнения (5.48), отметим сначала, что его левая часть имеет вид

X (s) • (27?Г)1/2 V In Г + f (s): Vu.(5.54)

Поскольку оператор □ линейный, а Ф(1) —скаляр, из (5.54) следует, что частное решение уравнения (5.48) имеет вид

Ф|п = А (з) • ^ВТ^№ ЧХиТД-В (s): V^.(5.55)

Таким образом, получение неоднородного решения Ф|Х) свелось к задаче отыскания вектор-функции А и тензор-функции В. Подставляя эту форму решения в уравнение (5.48) и приравнивая коэффициенты при различных компонентах V In Т и Vu, получим следующие уравнения, которым должны удовлетворять А и В*.

□ А = Х = s (s2—у) ,(5.56а)

□ ^=F=2 (ss-ys27).(5.566)

Теперь А зависит только от s, п и Т. Из этих трех величин можно образовать только одну векторную величину — сам вектор s. Таким образом, мы запишем, что

А = — § (s2) s, где ^ — некоторая скалярная функция. (Вектор □ А должен иметь направление вектора s.)

Помимо этого, из линейности уравнения (5.566) и вида входящего в него неоднородного члена следует, что В — симметричный тензор с нулевым следом. И опять В зависит только от s, п и Т. Из этих переменных можно образовать единственный симметрич- ss —, так что

В = — @ (s2) (ss-ys2f).(5.57)

[Тензор П.В должен иметь «направление» тензора ^ss — у s27 j . J Скалярные функции g и S удовлетворяют интегральным уравнениям:

□ (s5) = — s (s2— 4) ’(5.58а)

□ [(S-4s2f)@] = -2(ss-yS2f).(5.586)

Если эти уравнения разрешить относительно g и @, то Ф(1) будет Оцределена. Однако однородная часть решения Ф/Х) все еще

содержит неизвестные постоянные (а, 0, ^Y Они определяются из условий (5.51). Подставляя

^-^^-о^+ф^+фа)](5.59)

в эти ограничительные уравнения получим три интегральных условия:

j ^° (а + уутс2) tic = 0,(5.60а)

j ^° [§ (s2) V 1пГ — mP] mctdc, = 0,(5.606)

j ^° [« + -§■ mc2yj у mc^de — O.(5.60в)

Из первого и третьего уравнений следует, что

а = у = 0.(5.61)

Из второго уравнения вытекает, что Р имеет направление вектора V In Т, следовательно, его можно объединить с членом Vin Г в Ф)1*.

Полное решение уравнения Больцмана до членов первого порядка включительно имеет вид

^ = jT0[l+(2,R7’)1/2A.Vln7’-|-5: V^] =

= J^°[1 —(2fl7’)1/2g(s)s.Vln7’-@ (s) (S-yS2f): w], (5.62) где скалярные функции ^, @ являются частными решениями интегральных уравнений (5.58).

Определив ^ до членов О ^Y можно теперь построить Q(1) и Р(1). Они получаются путем подстановки последнего выражения для ^ в определяющие уравнения:

^ = т2ДГ jss^-dc = 7p + ^(1>,(5.63а)

Q = у т ^Rlf12 j s2s jr tic = 0 + Qa>.(5.636)

Здесь мы выделили члены низшего порядка в выражениях для Р и Q. Для Р(1) мы будем иметь

Р^ = _2-^-V^g [ss(S —ys2f)@(s)^°tic.(5.64)

Чтобы получить отсюда коэффициент вязкости ц, надо представить результат в виде (5.5). Проще всего это сделать с помощью следующей теоремы, доказательство которой предлагается читателю в качестве задачи.

Задача 5.3. Доказать следующую теорему. Пусть W — любой еНзор1 не зависящий от с, a F —любая скалярная функция от с (с2)]. Тогда следующие пять интегралов представляют один и тот же тензор (F такова, что интегралы являются сходя- ^имися):

, ^ j Fee (сс0: W) de,

j Fee0 (cc: W) de,

j Fee0 (cc0: W) de,

-| ^s0 j F (cc°: cc°) dc'

В этих выражениях тензор ==4=—

ab0 = ab —у (Trab) 1 имеет нулевой след и =4=3= Л=7—

abs0 = у (ab + Ьа) — у (Tr ab) I

является симметричным тензором с нулевым следом. Напомним, что транспозиция тензора ab определяется так:

ab = ba, (ab)zft = atbk = Ъгак, и что

Тг СС — Сх^х Н- су Су Н- czcz — ^ >

Tr V u = Vxux + . . .= V -и.

Использование равенств (1) и (3) предшествующей теоремы дозволяет записать (5.64) в виде (W = V и; кроме того, V из = Л)

^<i> =[JIj е-^@ (s) s6 ds] (Л- у V. u7).(5.65)

И л о

Сравнение этого выражения с равенством (5.5) дает следующую Формулу для коэффициента вязкости ц:

|г = 1£5Г L-»=@(s)s6ds.(5.66)

Ул J

Равенство (5.65) (также как и (5.62)) указывает, что @ Им размерность времени, так что более правильно записать ® е* = @ (s, Т, nY

Коэффициент теплопроводности х определяется из (5.7). ц0 ставляя (5.62) в (5.636), получим'

(5.67)(5.67)

(5.67)

(5.67)

Следовательно, коэффициент теплопроводности равен

(5.68)(5.68)SOjR^t1\ j

(5.68)

(5.68)

х = -■1 s6e-* § (s) ds.

Ул J

Опять мы видим, что §, как и @, имеет размерность времени, так что более правильно писать 9 = 9 (з, т, пУ

Таким образом, данный формализм позволил нам получить выражения для коэффициентов теплопроводности, и вязкости. Метод Чепмена — Энскога схематически представлен на рис. 5.2. При всех условиях мы не должны забывать, какой важный вклад в теорию дает уравнение (5.62). Оно представляет собой формальное разложение функции распределения до членов О (е). Однако задача определения функций % и @ остается нерешенной. Этп функции удовлетворяют линейным интегральным уравнениям (5.58). Кроме того, линейный оператор □ можно преобразовать к виду

□ ^ (I) = - V (|) 1|) (|) + j к (I, у ^ (10 d^, (5.69)

где К —симметричная функция | и |Р Тогда уравнения (5.58) станут известными линейными симметричными неоднородными интегральными уравнениями второго рода (в уравнения первого рода однородный член не входит). Решения таких уравнений в виде рядов подробно исследованы многими авторами1). Так как эти решения в лучшем случае можно получить в виде ряда, то окончательная структура решения Чепмена — Энскога представляет собой аппроксимацию внутри аппроксимации. Решение уравнения Больцмана до данного порядка по е является первой ступенью аппроксимации. Вторая ступень аппроксимации связана со степенью точности решения соответствующих интегральных уравнений (например, уравнения (5.69)).

х) См., например, Курант, Гильберт (1953) и Гильдербранд (1952).

5 2. Свойства линейного больцмановского оператора столкновений 285 функция v (|) называется частотой столкновений. Такая тер- ^нология обусловлена следующей записью оператора Пф:

£ 4. = j d^o d^V^l (яр; + яр' - яр, - яр) =

= - яр (I) j d^to cKW^ + j d’^a dQy^J (яр; + яр' - яро ^

= — у(£)яр(|)+j d^odQFj^^H^' — 1р!) =

- j ^[-б^-^^^ + К^, ^Ш^),(5.70)

где § (g — li) — дельта-функция Дирака. Последняя форма записи оператора □ иллюстрирует его сингулярную природу. Следующее отсюда определение функции v (g) тождественно определению (4.209) для частоты столкновений в кинетическом уравнении КБГ.

Задача 5.4. Показать, что для жестких сфер диаметра D частота столкновений v (£) имеет вид

v(s)=v0[e-s24-(2s+1) О

о с2т ^ 2ккТ

и что в пределе, когда s^l,

v (s) ~ У л vos = кпВЧ.

Функция К (|, |1) в уравнении (5.69) является симметричным ядром. Это будет показано в разд. 5.2, где исследуются свойства яипейного оператора столкновений □.

5.2. Свойства линейного больцмановского операторастолкновений

Если состояние газа близко к равновесному, то ^ близка к ^0- Бри таких условиях мы положим

^=^<Л1 + ФШ(5.71)

ГДе Ф (1) мала по сравнению с единицей. Если эту форму функции ^ подставить в уравнение Больцмана (без внешней силы)

и пренебречь квадратичными членами по ф, то мы получим

(5.72)(5.72)^+^+^=0,ХФ = J d3^dQ.v^01 (ф + ф^ф'-ф;).

(5.72)

(5.72)

Оператор <56 равен со знаком минус оператору □, определенному равенством (5.44). Отметим также, что максвеллиан в пред, шествующем уравнении является абсолютным максвеллианом в то время как в анализе Чепмена — Энскога мы имели дело с локальным распределением Максвелла. Однако, что касается свойств ^-зависимости операторов X и — □, они идентичны.

Оператор Ж имеет следующие важные свойства.

Симметрия ядра

Ядро оператора X определяется соотношением

Хф = j .ЯА* (I, 11) Ф (11) = J d^K (I, ^) ф (It),(5.73).

где dp —весовая функция,

^-^0^(5.74)

Чтобы доказать симметрию ядра К, т. е. что

К^Л0=К^^,(5.75)

мы введем следующее матричное представление для Ж:

^фф = (ф | X | tp> = j d^^ = j dp dp^ (I) К (I, |t) ip (|i) = = J dp dptcr dWф [ip + ipi — ip' — ip”].

Сначала мы покажем, что

^фф = ^Фф,(5.76)

т. е. что Хф^ — симметричная матрица. Тем же самым путем, что и при выводе инвариантов столкновений (см. гл. IV), мы получим

£Фф=1' ^^^7(<^+</>i-<p'-^;)(ip+ipi-ip'-ip;). (5.77)

Это в свою очередь можно переписать как

Хф-ф = J' ^ ^На dQVip (Ф + Ф1 — Ф' — Ф1) = Х^ф, Ф^!

что и доказывает справедливость равенства (5.76).

Следствием из (5.77) является положительность всех диагональ^

ных элементов Хфф1 кроме случаев, когда ф —любая линейна

5.2. Свойства линейного больцмановского оператора столкновений 287 комбинации сумматорных инвариантов (1, |, Н2):

^ФФ > 0,(5.79)

Хфф = 0, только если ф = а + £-| + yg2. (5.80) рассмотрим разность

0 = Жфф— <5?фф= ^ d^idf! (фК^ — ^Кф^.(5.81)

Меняя местами | и |i во втором интеграле, получим

0= ( йцф,! [ф£(£, §i) ipi —^(§1, ЮФЬ г ..(5.82)

о= Jd^t^, ia—^(ii, m^w-

В последнем выражении подразумевается, что ядро К (х, у) действует только на функции от у. Если мы определим ядро

М ’^Ш ^-к^ 1),(5.83)

то (5.82) можно записать в виде

J(5.84)

для всех допустимых фиф. Функции фиф называются допустимыми, если

II ф ||2 = 7фф < ОО и || ф ||2 = 7W < ОО, где 7 = ^ dpi, а || ф || называется нормой функции ф. (|| ф || также называют £2-нормой функции (ф). Множество всех функций с конечной Т/2-нормой образует Т/2-пространство.)

Предположим, что ядро Г не равно тождественно нулю. Это означает, что существует ;гакая функция G, что TG отлична от нуля в некоторой области пространства |, ^ Тогда существует подобласть D этой области, в которой TG не меняет знак. Определим ^=GbDhG = 0 вне D. Для такой функции G интеграл j TG ^0. Это противоречит равенству (5.84). Следовательно, единственный способ удовлетворить условию J 7\рф = 0 для всех ? и ф —это тождественное обращение в нуль ядра Т. Итак, ^ —симметричное ядро.

Положительность собственных значений и сумматору инвариантность собственных векторов 1)

Собственные значения vn и собственные функции фп оператора ^ определяются обычным образом:

<^^n = vn'ipn(5.85)

(при условии, что & имеет дискретный спектр). Матричные элементы, соответствующие этим собственным векторам, являются диагональными элементами, что обусловлено симметрией ^ (см разд. 2.3):

Хпт— J ^рфп^фт — ^т ^ ^рфифтп — ^т^пт-(5.86)

Диагональные элементы удовлетворяют неравенству (5.79) и равенству (5.80), так что

0 -^ Хпп = vn J йцфп = vn || фп ||2.(5.87)

Следовательно,

Vn > 0.(5.88)

Равенство нулю будет только в том случае, если фп — любой из пяти скалярных сумматорных инвариантов. Если начать нумеровать собственные значения и собственные векторы оператора X с этих нулевых величин, то для произвольнойсилы взаимодействия^ первыми пятью собственными функциями всегда будут

^ = а

^2 = ^х

фз = Цу= Р2 = ^3 = ^4 = ^5 = °

А = У&

^5 = Х^

где а,' р, б, у, % —произвольные постоянные. Кроме этого пятикратного вырожденного нуля, все остальные vn положительны (опять для произвольной силы взаимодействия), т. е.

vn > 0, п > 5.(5.89)

Эти свойства vn и фп для п ^ 5 являются следствием трех законов сохранения, а сами законы, конечно, не зависят от частного вида силового поля. Положительность остальных собственных значении вытекает из ^-теоремы Больцмана.

Чтобы убедиться в этом, рассмотрим задачу с начальными данными для пространственно-однородного (д/дх = 0) случая»

х) Метод собственных функций в анализе линеаризованного оператор9 столкновений первоначально был введен Вэнь-Ченем и Уленбеком (1952)-

когда уравнение (5.72) принимает вид

(5.90)

Будем искать решение этого уравнения, обращающееся в фо (1) при t = 0:

ф(^О) = фо(^.(5.91)

Если ф = ап (£) фп подставить в предыдущее уравнение, то мы получим ап = exp (—vn^). Любая суперпозиция этих решений также является решением уравнения (5.90). Чтобы построить решение, обращающееся в ф0 при t = 0, полагаем

ф(1, 0 = 2апехр(— vnf)4>n(g),(5.92)

так что

фо(1) = 2аЖ(1).(5.93)

Вследствие ортогональности последовательности {фп} из равенства (5.93) имеем

ап = j Фо (I) Фп (1) Ф,(5.94)

что вместе с (5.92) дает искомое решение.

Параметры v^1 являются временами релаксации для собственных состояний фп. Будем считать, что начальное значение функции распределения ф (|, £) задается (невырожденной) собственной функцией фп. Тогда соответствующим решением уравнения (5.90) будет

Ф (1, 0 = Фп (1) exp (—vnQ.(5.95)

Система остается в состоянии фп и затухает экспоненциально во времени. Время релаксации этого собственного состояния — время, за которое ф0 уменьшится в е раз по сравнению со своей первоначальной величиной, — равно v^1• Так как все собственные значения больше либо равны нулю, то ни одно из собственных состояний системы не растет со временем.

Собственные частоты {vn} интересны с формальной точки зрения. Эти параметры связаны с микроскопическим описанием системы. В частности, они описывают эволюцию во времени функции распределения jF (до членов О (ф)). Если какие-либо собственные частоты отрицательны, то в системе может развиться микронеустой- нивостъ. Эта неустойчивость связана с функцией распределения. Простым примером такого явления служит непрерывный рост числа частиц в некотором интервале скоростей. Понятно, что такой процесс может не вызвать никакого заметного изменения в любой из макроскопических переменных.

Дальнейшие свойства X и vn

До сих пор мы лишь отметили тот факт, что последовательность {vn} содержит пятикратное вырожденное собственное значение (Vi = 0), соответствующее пяти сумматорным инвариантам. Остальные собственные значения оператора X все лежат на положительной части действительной оси.

Недавно Грэд (1963) доказал четыре других свойства спектра (т. е. последовательности собственных значений) оператора ^, Для уяснения этих свойств необходимо сначала ввести концепцию жесткого потенциала, который определяется через частоту столкновений (ср. с (5.70))а

v(g)= J^adQV^^. (5.96)

Потенциал является жестким, если v (g) изменяется от минимального значения до бесконечности, и мягким, если v (5) изменяется от максимума до нуля. Отметим, что потенциал жесткого ядра, рассмотренный в задаче 5.4, включается в класс жестких потенциалов, так как для него v (5) возрастает как § для больших £. Для взаимодействий по закону обратной степенной зависимости (см. задачу 4.39) G ~ r*N и при N > 5 функция v (g) является монотонно возрастающей функцией |, изменяющейся с ростом § от своего минимального значения v (0) до бесконечности. Следовательно, взаимодействия такого рода относятся к классу жестких потенциалов. Для N < 5 частота v (5) монотонно убывает от своей максимальной величины v (0) до нуля, когда | неограниченно растет (рис. 5.3). Для особого случая максвелловских молекул N = 5 и v = v0 не зависит от £.

Для широкого класса пороговых потенциалов Грэд (1963) установил следующие свойства оператора X.

Для жестких потенциалов частота vi = 0 изолирована от остального спектра частот оператора X. Кроме Vi = 0, спектр X содержит континуум значений, принимаемых частотой столкновений v (£), т. е. все значения от минимума v (0) до бесконечности. Для мягких потенциалов континуум собственных значений простирается от максимума v (0) до нуля.

Запишем ^ в виде

(5.97)

Жесткий потенциал

Рис. 5.3. Частота столкновений, потенциал взаимодействия и спектр оператора столкновений для жесткого и мягкого потенциалов.

ИО)

Мягкий потенциал

гДе v задается равенством (5.96), а К —равенством (5.70). Оператор &с ограничен, т. е. для любого ip из L^ (см. стр. 287) существует постоянная М, такая, что

II ^||<М II ми-II ^||<М II ми-кроме того, если мы положимкроме того, если мы положимЖ*Ж*<^ (§. §i) V^ (£Mli) ’<^ (§. §i) V^ (£Mli) ’(5.98)(5.99)(5.98)(5.99)

II ^||<М II ми-

II ^||<М II ми-

кроме того, если мы положим

кроме того, если мы положим

Ж*

Ж*

<^ (§. §i) V^ (£Mli) ’

<^ (§. §i) V^ (£Mli) ’

(5.98)

(5.99)

(5.98)

(5.99)

то легко установить следующее. Если (ф', X') —соответственно собственная функция и собственное значение оператора (/ — %^ т. е. если’

(7—е%,')ф' = Л'ф',(5.100)

то

Х^ = К^,(5.101)

где

t = ^(5.102)

И

% = vV.(5.103)

Это преобразование лучше всего годится для случая усеченного максвелловского закона взаимодействия (см. разд. 4 ниже), при котором v не зависит от |.

Оператор Ж является вполне непрерывным. Ограниченный линейный оператор ^ называется вполне непрерывным, если он обладает следующим свойством. Для любой ограниченной последовательности {фп} функций пространства L2 (это означает, что || Фп || ^ R Для некоторого R и любого п) последовательность {^Фп} содержит по крайней мере одну сходящуюся подпоследовательность. Из этого факта и спектральной теоремы х) следует, что Ж имеет дискретный точечный спектр с единственной предельной точкой в начале.

Физический смысл непрерывной части спектра X заключается в следующем. Предварительно отметим, что собственные значения V; входят в решение задачи с начальными значениями в виде членов ехр (—v^). Для жестких потенциалов, где v отделена от нуля (0<v<v), все вклады экспоненциальной формы убывают по крайней мере так же быстро, как ехр (— v(0) t). С другой стороны, для мягких потенциалов v может быть как угодно близка к нулю и вполне вероятно, что некоторые свойства функции ^ не будут убывать со временем по экспоненциальному закону.

Для усеченного максвелловского взаимодействия G ~ г'5 для г ^ r0; G = 0 для г > г0; спектр оператора У является чисто дискретным с единственной точкой накопления v = const. Кроме того, для максвелловских молекул собственные функции оператора X будут полиномами Эрмита Н^ с соответствующими собственными значениями:

v(in) = (Н(^ | XI Н1^.(5.104)

х) Краткое изложение этих вопросов можно найти у Лорча (1962). Более полное представление см. в книге Стоуна (1932).

Двойной индекс у полинома Эрмита Н^ указывает на то, что это полиномиальный тензор ранга п в трехмерном пространстве. Символом i обозначена последовательность из п индексов ^ Ч^ • • •» 4Y Полиномы порождаются весовой функцией

ю^=7^ехр (~4)- (5Л05)

Полином Н^ = Н*^ ...,5п задается равенством

(5.106) или через порождающую функцию

ехр [—1(а2 —ж2)] = ^ Н^ ...iin^yityi2.^

Несколько первых полиномов имеют вид

Я(0) = 1,

; ■ 11(5.Ю8)

Нгз — ^i^j б^у,

Hijk = ^i^j^k Q^i^jk “Ь ^j^ik 4~ «Ч^иУ

Нормировка Н№ задается равенством

J н^... .X?,... j^ ax=п\ д& ::::^, (б.юэ) где

если {zz} является перестановкой {yj, и

• • •, дп — и

в противном случае. Таким образом, Н^ образуют ортогональную с весом d\x, систему функций (см. (5.74)).

В следующем разделе мы коснемся в общих чертах метода исследования нелинейного уравнения Больцмана, который в значительной мере опирается на только что рассмотренные свойства Полиномов Эрмита.

Задача 5.5. Установить, является ли вполне непрерывным На интервале (0,1) при нулевых граничных условиях оператор ^/dx2.

Моментный метод Трэда

В 1949 году Трэд в своей докторской диссертации (1949) разработал более общий метод решения уравнения Больцмана. Оц известен сейчас как моментный, метод Грэда. Причина такого названия вскоре станет ясна. Моментный метод отличается от метода Чепмена — Энскога, поскольку построенные решения не имеют функциональной формы (х, | | р, и, Г).

Исследование начинается с определения безразмерной скорости у:

с = § —и (х, £) = у^-НГ ^v = V^ (5.110) и безразмерного распределения g для функции ^^ нормированной на полную массу системы М = J ^ d^ dx:

^ = СО (у).(5.111)

<RTf^^RTf/2'

Отсюда сразу следуют три свойства функции g:

^ gdv = l,

^ gydv = 0,(5.112)

j gv2dv = 3.

Функция распределения g, разложенная по полиномам Эрмита с весовой функцией со, определенной равенством (5.105), имеет вид

g(x, V, i) = ®(0 2 2-^Га™)(х, t)H№ (5.113) п=0 г

или, что то же, можно выразить ^ через локальное распределение Максвелла

^=^°2^a™n,(v).(5-114)

Функция Н^ является тензором порядка п и полиномом степени п. Нижним индексом i обозначена совокупность из п индексов Некоторые примеры таких функций даны в (5.108).

В развернутом виде (5.113) будет выглядеть так:

g = <o[a(»>tf(”4araM+^. (5.115)

Разложение справедливо (в смысле средней квадратичной сходимости), если функция to-^g квадратично интегрируема, т. е.

если существует интеграл

(5.116)(5.116)) jF Мх.

(5.116)

(5.116)

Обращая ряды (5.114), получим

аГ = ( gH^dv^l ^ ^H^dV(5.117)

Так как функции Н^ — полиномы по скорости |, то коэффициенты а^ являются моментами функции распределения jF- Каждый из этих моментов будет некоторой гидродинамической переменной. Коэффициенты а^ разложения функции распределения по полиномам Эрмита являются гидродинамическими переменными . Н апример,

а(0) = 1, а^О,а(0) = 1, а^О,«у’ =«у’ =игззигзз^Ц— P^ij Р 2Qj_ pVrt^Ц— P^ij Р 2Qj_ pVrtTr a(2’ = 0,Tr a(2’ = 0,(5.118)(5.118)

а(0) = 1, а^О,

а(0) = 1, а^О,

«у’ =

«у’ =

игзз

игзз

^Ц— P^ij Р 2Qj_ pVrt

^Ц— P^ij Р 2Qj_ pVrt

Tr a(2’ = 0,

Tr a(2’ = 0,

(5.118)

(5.118)

(повторяющиеся индексы означают свертку).

Чтобы построить решение ^, мы должны получить выражения для коэффициентов а^. С этой целью мы сначала подставим разложение (5.114) для jF в уравнение Больцмана и над полученным выражением произведем операцию ^HY^dv. Полагая

получим

Ра(п)DtРа(п)Dtdu \^7)du \^7)а<п> I п__ / Д^2 \ а(П) I^i

Ра(п)Dt

Ра(п)Dt

du \^7)

du \^7)

1 + 2С2 ( Di / “'° дх.

av

+ Са?™ A- In (РС”«) + С 2 а'""1’ +

+ Nr# + С ^ 1п(рС^)1 а<^ + A (g-) ба^Ч-

+ (4-^6 + 2u^ a’"-2> + -^(2C2)6a‘n-3> = J<n>. (5.119)

Для простоты записи нижние индексы у aw и Jw опущены; D,Dt —индивидуальная производная, а символом 2 обозначена

симметричная сумма градиентов. Например,

2 а<2> =2 а<2> =дх^ * dxj * дх^дх^ * dxj * дх^(5.120)(5.120)

2 а<2> =

2 а<2> =

дх^ * dxj * дх^

дх^ * dxj * дх^

(5.120)

(5.120)

Символом 6 обозначен дельта-тензор Кронекера1). Столкнови-

тельный член Jw имеет вид

Jw = ^ У sr(v)g(v1)/<n> (v, v^dvdvi, (5.121)

/<»> = рст^д[я<п>],/<»> = рст^д[я<п>],(5.122)(5.122)где

/<»> = рст^д[я<п>],

/<»> = рст^д[я<п>],

(5.122)

(5.122)

[Я‘”> ] = Н№ (v') + Н^ (v;) - HW (v) - H^ ^xy

Уравнение (5.119) тензорное порядка n. Полезно самим убедиться, что каждый член этого уравнения является тензором п-го порядка. Примером может служить член

Д<п> = Ас26ар-1),

если его записать более подробно:

^С^^.^А&о...

Задача 5.6. Доказать следующие тождества:

4-Н№ = Ь,Н<п-г\

х 'dvt

нгЯ<п> = Я^+1> + 6гЯ<п-1>,

аДЯ‘п> = аЯ‘п>,

нг -^ Н‘п> = пН^ + 26Я(П-2>.

Выражение с 6г представляет сумму по всем членам, в которых индекс г привязан к 6. Например, ZZfc-компонента 6^Я(1) равна S^(1> = 6iftpz + 6Hvft.

Метод решения состоит в аппроксимации рядов (5.113) конеч- ным числом членов. Так как старший член разложения пред* ставляет собой локальное распределение Максвелла (см. (5.115)), то, чем ближе состояние газа к равновесному, тем меньше членов ряда требуется для описания состояния газа.

х) В предыдущих обозначениях д = д; компоненты д (или д) равны dj-

Самой простой является аппроксимация первого порядка

=.(5.123)

Опуская в (5.119) все члены с а(3\ получим

J»\ (5.124)J»\ (5.124)дхт 41 дхгдхт 1

J»\ (5.124)

J»\ (5.124)

ф дхз ф дхг +с^ Dt

Если при вычислении J^ пренебречь всеми членами выше а(2\ т0 в последнее уравнение будут входить {р, u, Т, а^} или, что то же, {р, u, Т, РцУ Поскольку а^ —симметричный тензор с нулевым следом, то он (а(2)) имеет только шесть компонент. В сумме с переменными р, u, Т это составит одиннадцать скалярных величин, которые определяют состояние системы в приближении первого порядка.

Тензорное уравнение (5.124) содержит шесть скалярных величин. Эти уравнения вместе с уравнением неразрывности

др dtдр dtj-V.pu = 0,j-V.pu = 0,

др dt

др dt

j-V.pu = 0,

j-V.pu = 0,

уравнением импульсов

р (-5-+и,Ти)+т^=0

и условием

Тг а^ = О

составят одиннадцать скалярных уравнений. Система замкнута.

Задача 5.7. Вычислить вектор теплового потока Q, используя аппроксимацию первого порядка (уравнение (5.123)).

Задача 5.8. Используя приближение (5.123), получить явное выражение для /(2) в частном случае взаимодействия максвелловских молекул. Другими словами, показать, что

Г<2) _ , Р „(2)

где

^ == л j Vo sin2 0 cos2 9 d9. о

5.4. Релаксация к равновесному состоянию

я) Дальнейшее толкование необратимости

Мы уже встречались с понятием необратимости в разд. 2 гл. I в разд. 4 гл. II и в разд. 1 гл. IV. В главе I в основном обсуждалась динамическая обратимость. В главе II явление обратимости кратко рассматривалось с точки зрения TV-частичной функции

Рис. 5.4. Эволюция числовой плотности, описываемая уравнением диффузии.

распределения. В главе IV было замечено, что любой закон, где существенно направление изменения времени, является необратимым законом.

Примером необратимого закона может служить уравнение диффузии

^- = D^.(5.125)

dt дх^х

Решение этого уравнения таково, что начальный пик плотности рассеивается со временем таким образом, что устраняется пространственная неоднородность функции п. Процесс прекра' щается, когда п становится однородной (рис. 5.4).

Явление, происходящее в жидкости согласно уравнению (5.125), ^ожно объяснить геометрически. В области, где кривизна кривой

Рис. 5.5. «Сглаживающий» механизм уравнения диффузии.

п (я) положительна (jtxx <1 0), п уменьшается, а в области'с отрицательной кривизной (пхх > 0) п растет. Это ведет к сглаживанию кривой п = п (ж) (рис. 5.5).

Задача 5.9. Газ находится в одномерном контейнере (0 ^ х ^ ^ L). В начальный момент задается распределение плотности

п ^х = 0, t = 0) = п^ п (х = L, t = 0) = п^ п0 < nt;

n(x) = nQ-\--^-(щ — по) для 0<.6<.x<.L — 6,

где б <^ L. Это начальное распределение изображено на рис. 5.6, а.

Доказать, что решение п = п^ + •£- (ni —п^ удовлетворяет уравнению диффузии (5.125) и начальным условиям.

Почему это решение физически некорректно?

Ответ, б) Оно не дает корректной скорости и (х, ty Скорость и определяется уравнением

пи = —D -^— .ох

Так как жидкость ограничена, то в каждый момент времени и (х = 0) = и (х = L) = 0, оледовательно, начальные условия для п должны также включать (граничные) условия: дп I дп I ~ дх |^=о ~ дх |X=L ~

Полные начальные условия для п показаны на рис. 5.6, б.

Рассмотрим теперь процесс, который подчиняется уравнен^ (5.125) при обратном течении времени. То есть события развор^ чиваются так, что время t последовательно уменьшается. Этого легко достигнуть, заменяя t на —f и считая время t' возраста^ щим. Тогда обратный процесс описывается уравнением

дп ~ д^п/г

"dt7 —е(5-12б)

Это уравнение не совпадает с (5.125), и и (я, ^) не обязана совпадать с п (ж, Г). Однако, очевидно, что положительные значения

Рис. 5.6. Начальные условия задачи 5.9.

а — заданные начальные данные; б — полные согласующиеся начальные данные.

пхх вызывают убыль гц а отрицательные значения пхх вызывают рост п. Таким образом, поведение плотности п противоположно поведению плотности п из уравнения (5.125). Процесс изменении п показан на рис. 5.7.

Кроме того, различие между уравнениями (5.125) и (5.126) хорошо выявляется при исследовании устойчивости их решении- Пусть мы хотим исследовать устойчивость равновесного состояния п = п = nQ. Для этого внесем возмущения, так что при

0 плотность будет такова:

п = п = nQ + 8 cos kx = {n0 + A ^x, £)} |(=0»(5.127)

где e С ^o и & — действительная положительная постоянная, рассмотрим решение вида

А ^х, t) = 8 cos kx expcoL(5.128)

Оно принимает при t = 0 заданное начальное значение. Чтобы

Рис. 5.7. Изменение числовой плотности, описываемое уравнением диффузии при обращенном течении времени.

найти со, надо подставить это решение в исходное уравнение ((5.125) либо (5.126)). Подстановка в (5.125) дает

СО = -Dk\(5.129)

Следовательно, начальные возмущения затухают, и равновесие ^о устойчиво.

Для исследования устойчивости решения п = п0 в случае боратного направления времени подставим решение

А = е cos kx exp со^'(5.130)

в уравнение (5.126). Получим

(О = A-D№. (5.13^ Начальные возмущения А (0) = е cos кх растут со временем и равновесие п = nQ является неустойчивым. ’

Если уравнение (5.125) выражает истинный закон природы то в мире с обратным течением времени состояние однородной плотности должно быть неустойчивым. Из этого факта следует простой эксперимент по определению направления течения вре~ мени. Пусть газ однородно заполняет некоторую колбу ). Встряхнем ее. Если будут образовываться капельки, то время течет назад. Поскольку существует эксперимент, определяющий направление течения времени, то уравнение (5.125) описывает необратимый закон.

Для обратимого закона нельзя указать эксперимента, определяющего направление течения времени. Если бы все фундаментальные законы природы были обратимы, то невозможно было бы определить, куда течет время, назад или вперед. Точно так же, как законы природы не зависят от того, в какой момент времени их начали применять, они также не будут зависеть и от направления течения времени. Время будет однородным и изотропным.

Рассмотрим опять эксперимент со свободным расширением. Предположим, что в начальный момент газ заполняет весь сосуд. Но потом (что совершенно неправдоподобно) он внезапно сжимается. Или, что более впечатляюще, пусть все, что мы наблюдаем, внезапно обратит свое направление движения, подобно обратному движению киноленты. Люди будут молодеть, земля станет вращаться в противоположную сторону. Тогда, конечно, время потечет в обратном направлении. Но этого нет!

Хотя справедливо, что такое движение будет иметь место, когда время изменит свое направление, неверно считать, что при обратном течении времени возможно только такое движение. Существуют процессы, вполне согласующиеся с законами природы и при обратном течении времени.

Динамические законы обратимы. Если бы из только что рассмотренного движения (при включении его в число фундаментальных законов) следовало, что время течет в определенном направлении, то это давало бы эксперимент, опирающийся на закон, который указывал бы направление течения времени. А это в свою очередь означало бы, что законы необратимы, а это не так. Отсюда следует, что такое движение ничего не говорит относительно направления течения времени.

Мы показали, что необратимое уравнение диффузии даеТ дисперсионное соотношение со = — Dk? для прямого направления

ремени и со = -V-Dk? — для обратного. В более общем случае линеаризация обратимого закона около равновесного состояния тяжна включать как возрастающие, так и затухающие решения, ^ак чт0 °$а Движения возможны для прямого течения времени. Если существуют только возрастающие решения, то, несомненно, должен быть возможен эксперимент, устанавливающий различие между Двумя направлениями течения времени.

Задача 5.10. а) Рассмотреть дисперсионное соотношение для уравнений Максвелла в вакууме и доказать обратимость этих уравнений.

б) Подобным же образом исследовать обратимость уравнений

дд I dJ _0 at дх

J = gE,дЕ qдх е0 *

В чем заключается основное различие между этими уравнениями и электромагнитным уравнением в вакууме?

Равновесные распределения. Микросостояния и макросостояния. Априорный подход

Уравнение диффузии

^ = D^ (5.125) dt дх* х '

и ему подобные необратимы и, следовательно, находятся в противоречии с фундаментальными законами механики, которые являются обратимыми. Однако эксперимент подтверждает справедливость уравнения (5.125). А раз оно всегда удовлетворяется (при условии, что имеется достаточное число частиц, чтобы можно °ыло ввести плотность п), то, по-видимому, закон диффузии (называемый иногда законом Фика) является верным. Но если этот закон справедлив, то существует различие между временем, текущим в прямом и обратном направлениях (стрелка времени).

Экспериментальное подтверждение уравнения (5.125), казалось бы, ставит под сомнение справедливость законов механики (которые, по-видимому, также всегда верны). Как согласовать Эти два факта?

Хорошего «примирения» можно достичь, если ввести в теоРИЮ вероятностные законы. Это так называемый априорный под- Х°Д — вывод следствий из определений или принципов, рассматриваемых как самоочевидные. Введем прежде всего постулат равных ^риорных вероятностей, согласно которому все состояния на иергетической поверхности равновероятны.

Данный принцип применим к системам, находящимся в равно весии. В этом отношении данный формализм весьма близо" к равновесной термодинамике, которая хотя и всегда способа •описать равновесные состояния, однако не может указать направ^ ление изменения системы,

Ясно, что подобную методику можно ввести в равновесную •статистическую механику. Рассмотрим простой пример. Пусть известно, что вероятность одного состояния системы (газ занимает половину сосуда) много меньше вероятности другого состояния (газ однородно заполняет сосуд). Все «шансы» за то, что более вероятным является то состояние системы, которое мы наблюдаем. С другой стороны, предположим, что система приведена в наименее вероятное состояние (газ сжат в одном конце сосуда). Если существует механизм, изменяющий состояние системы, то при последующем наблюдении мы должны увидеть систему в более вероятном состоянии (т. е. в однородном состоянии).

Этим идеям можно дать количественную основу, формулируя их через микросостояния и макросостояния. Микросостояние изображается вектором в Г-пространстве. Макросостояние определяется через ^-пространство. Это фазовое пространство для одной частицы (ц —для молекулы; Г —для газа). Хотя координаты и импульсы для N частиц системы изображаются одной точкой в 6#-мерном Г-пространстве, в 6-мерном ц-пространстве они будут представлены множеством из N точек (отдельной точкой изображаются координаты и импульсы каждой частицы).

Разделим теперь ^-пространство на маленькие «ячейки». Последовательность чисел заполнения, задающая количество частиц в каждой ячейке, определяет макросостояние. В этом состоит процедура крупнозернистого разбиения ц-пространства.

Когда определено микросостояние, то известны координаты и импульсы всех частиц. Каждой частице присваивается индекс. То есть мы должны считать, что частица 1 находится в (q1? pi), частица 2 —в (q2, р2) и т. д. для того, чтобы определить микро- оостояние.

С другой стороны, чтобы определить макросостояние системы, мы просто говорим, что п^ частиц находятся в ячейке 1, тг2 в ячейке 2 и т. д. Какие частицы из всей совокупности N частик находятся в ячейке 1, не существенно. Макросостояние несет в себе много меньше информации об объекте, чем микросостояние. Чтобы задать микросостояние системы, нужно знать всю ее стрУк' туру- Чтобы знать макросостояние, необходимо знать лишь сово- купность чисел заполнения.

Можно проиллюстрировать различие между этими двумя уроГ нями описания на примере системы из двух частиц. Система таК°' ва, что каждая частица может быть только в одном из четыре возможных состояний. Обозначая частицы через а и Ъ, моЯ^°

представить микросостояние в виде диаграммы! Д I 1^1 I

Так как таблица LJ—I—I—I представляет состояния одной частицы, то она изображает ^-пространство. Одним из возможных делений ц-пространства является | i I i I , т. е. разбиение его на две ячейки. Тогда типичные макросостояния задаются парами чисел заполнения, например (1, 1); (2, 0); (0, 2).

Макросостояние (1,1) представлено графически на рис. 5.8. Как много микросостояний соответствует этому одному макро-

I • I »J

Рис. 5.8. Макросостояние, соответствующее последовательности чиселзаполнения (1,1).

состоянию? Мы изобразили эти микросостояния на рис. 5.9. Восьми микросостояниям соответствует одно и то же макросостояние. Таким образом, имеется восемь путей реализации одного макросостояния.

С точки зрения этих понятий постулат равных априорных вероятностей означает, что все микросостояния изолированной системы, находящейся в равновесии, равновероятны 1).

I а ।ЬЛ—।I Mi Mi J

1 Д I 11 6 11 ^ |1| д 1

1 I Д 1 616 1 Д I 1

1|_° 11 6 111 6 11 ° 1

Р ж с. 5 9. Микросостояния, соответствующие макросостоянию ] • | • |

Каким бы, однако, всеобъемлющим ни было знание микро- состояния системы, оно гораздо детальнее того, которое тре-

А) Результирующая сила для изолированной системы равна нулю. Следовательно, все состояния изолированной системы равновесные. Сила, взывающая свободное расширение, не относится к типу F — та.

буется в макроскопической физике, где мы чаще имеем дело с макросостояниями. Например, распределение энергии п (Е) dE задающее число частиц с энергией dE около Е, характеризует макросостояние. Одночастичное распределение по скоростям J^i d?^ задающее число частиц со скоростями в элементе d3^ около |, также определяет макросостояние.

В рассмотренной элементарной задаче с двумя частицами каждая из которых может находиться в одном из четырех упомянутых состояний, мы нашли, что существует восемь микросостояний, соответствующих макросостоянию I • I • 1 . Аналогично можно установить, что существуют два микросостояния, дающие одно макросостояние I •• I I , и два микросостоя-

ния, реализующие одно макросостояние I I •• I . Длярас- смотренной системы эти три макросостояния являются единственно возможными.

Итак, в целом имеется двенадцать микросостояний, и все они равновероятны. Это означает, что в любой заданной (достаточно многочисленной) совокупности производимых измерений системы все микросостояния встречаются одинаково часто. При достаточно большом числе экспериментов 4/6 измерений дадут макро

состояние I • | • | , 1/6 измерений придется на макросостоя

ние I •• 1 I и 1/6 —на ] j ее [, . Этот простой пример

иллюстрирует два момента. Во-впервых, как видно из рис. 5.9Т одному макросостоянию соответствует много микросостояний. Во-вторых, вероятность макросостояния (называемая иногда термодинамической вероятностью) пропорциональна полному числу различных микросостояний, реализующих данное макросостояние.

Так как концепция макросостояния основана на разбиений ц-пространства на ячейки с некоторыми шестимерными объемамит то уместно вывести правило для получения вероятностей макро- состояний через объемы Г-пространства, которое является естественной системой координат для микросостояния.

Поскольку любое заданное макросостояние определяется через объем в ц-пространстве, относящиеся к нему микросостояний

также находятся внутри соответствующего объема в Г-простран- сТве. Пусть, например, шестимерные ячейки в ^-пространстве (числа заполнения которых образуют макросостояние) имеют каждая одинаковый объем т. Тогда для совокупности N частиц любое соответствующее микросостояние лежит в области с объемом ^ в Г-пространстве. Это можно легко понять из следующего рассуждения. Пусть объем в Г-пространстве равен со, так что о) = ^ • • • J ^91 • • • dq^ dpi • • • dp^N =

= У dx^p! J dx2dp2, . . . J dxNdpN = TN. (5.132) TTT

В последнем интеграле dxt dpi является элементом фазового объема Z-й частицы.

Теперь предположим, что макросостояние (задаваемое последовательностью чисел заполнения {п^}) эквивалентно любому из W микросостояний. Тогда объем, занимаемый в Г-пространстве этим множеством микросостояний, равен

Q = tnW.(5.133)

Число микросостояний W является функцией последовательности чисел заполнения VnV которая определяет макросостояние. Вероятность макросостояния пропорциональна Q.

Рассмотрим изолированную систему из N частиц, полная энергия которой изменяется в пределах Е и Е + 6Е, ЬЕ <^ Е.

Полагая гамильтониан Н равным Е, получим поверхность Н = Е в Г-пространстве. Когда Е изменяется от Е до Е + 6Е, то поверхность «выметает» энергетический слой. Точка системы движется внутри энергетического слоя.

Разделим теперь ц-пространство на ячейки с шестимерным объемом т. Любое макросостояние ^п^ порождает объем в энергетическом слое:

Q Цп^ =«пг».(5.134)

Когда точка системы движется в энергетическом слое, она входит и выходит из областей различных макросостояний. Предположим, что существует макросостояние, которое порождает объем Q, занимающий подавляющую часть энергетического слоя. Тогда, если точка системы находится в этом объеме, то почти несомненно, что она никогда его не покинет, а если она находится вне его, то столь же вероятно, что точка войдет в этот объем.

Для реального газа это утверждение означает, что газ будет находиться наибольшую часть времени в том состоянии, которое <<вьтрезает» подавляющую часть энергетического слоя.

Хотя из постулата равных априорных вероятностей вытекает, Ито вероятность макросостояния пропорциональна Q, мы должны

ввести в априорный подход второй постулат, связывающий эти утверждения с наблюдаемыми фактами. Этот второй постулат гласит: наблюдаемое равновесное состояние имеет наибольшую вероятность. Или, привлекая понятие энергетического слоя:

Рис. 5.10. Разбиение Г-пространства для двух шариков на прямой.

наблюдаемое равновесное состояние — это макросостояние» порождающее наибольший подобьем внутри энергетического слоя (рис. 5.10).

Как мы вскоре покажем, таким наиболее вероятным является макросостояние с однородным распределением чисел заполнения в конфигурационном пространстве и распределением БольцмаНа в пространстве импульсов. Кроме того, соответствующий этоМУ

макросостоянию объем в Г-пространстве почти целиком заполняет энергетический слой.

Задача 5.11. Рассмотрим газ из N атомов, заполняющий контейнер. Предположим, что каждый атом может занимать ячейку такого размера, что 2v ячеек заполняет весь контейнер.

Пусть 1 <^ N ^ v ( газ разрежен). Найти относительную вероятность R того, что газ заполнит только половину сосуда по сравнению с вероятностью того, что заполнится весь сосуд. Каково значение R для N = 1020?

Ответ.

г,v!(2v — TV)! _ V(v—1)[v —(TV —1)]

— TV! (2v) ~! (2v) ! ~ 2v(2v —1)[2v —(TV —1)] *

Для v ^ ^

Для TV-1020

д = 2-1020<(100-1)-1°20 = 10-1019.

Таким образом, в среднем «сжатое» состояние будет встречаться (менее чем) один раз на 101019 случаев однородного состояния.

Если однородное состояние наблюдается каждую секунду, то в среднем необходимо ждать Ю1()19 секунд (^10(1°19-7) ~ ~ 101019 лет), прежде чем мы заметим сжатое состояние. Но возраст вселенной равен только ~1010 лет!

Перечислим два постулата, являющиеся частью априорного подхода в равновесной статистической механике: 1) принцип равных априорных вероятностей и 2) наблюдаемые равновесные состояния являются наиболее вероятными. Последний постулат служит для установления связи теории с термодинамикой.

В термодинамике говорят о термодинамических состояниях. Термодинамическое состояние задается последовательностью термодинамических переменных. Термодинамическими переменными являются макроскопические свойства системы, например температура Т, объем У, полная внутренняя энергия Е, полное число частиц N. Термодинамические переменные обладают тем свойством, что их значения в любой заданный момент времени не зависят °т предистории системы. Очевидно, что упомянутые переменные обладают этим свойством. Термодинамические переменные подразделяются на два класса: экстенсивные и интенсивные переменные. Рассмотрим термодинамическую переменную X однородной

системы. Перегородкой разделим систему па две части, 1 и 2 Значение X для подсистемы 1 равно Х^ а для подсистемы 2 — Если*

Х^ = Xa = X,(5.135)

то переменная X —интенсивная. Если

X — Xi + Х2,(5.136)

то переменная X — экстенсивная. Такие переменные, как N, У и Е, являются экстенсивными. Температура Т —интенсивная переменная.

Другой очень важной экстенсивной переменной является энтропия 8. Она определяется согласно дифференциальному соотношению

=,(5.137)

где индекс R указывает, что тепло dQ передается в результате обратимого процесса при температуре Т. Обратимый процесс — это геометрическое место точек равновесных состояний.

Второй закон термодинамики утверждает, что если термодинамическое состояние изолированной системы изменяется, то связанное с этим изменение энтропии подчиняется неравенству

AS >0,(5.138)

причем равенство справедливо только для обратимых процессов.

Истоки этого закона лежат в теории коэффициента полезного действия (к. п. д.) тепловых машин. Тепловой машиной называется циклический процесс, при котором тепло забирается от горячего резервуара, часть его поглощается холодным резервуаром, а часть превращается в работу. Неравенство (5.138) вытекает из того факта, что к. п. д. ц (полученная работа/отобранное от горячего резервуара тепло) для любой такой тепловой машины ограничен сверху согласно неравенству

(5.139)

1 2

где 71 и Г 2 —температуры холодного и горячего резервуаров соответственно. Равенство справедливо для обратимого режима (цикл Карно). Второму закону термодинамики можно придать другую формулировку: не существует полностью совершенных машин (с ц = 1).

Этой последней формулировкой второй закон термодинамики обязан работам Румфорда (1798), Карно (1824), Клапейрона (1834), Клаузиуса (1850) и Кельвина (1851). Термодинамика была полностью сформировавшейся наукой уже в середине девятнадца-

того столетия. Однако корректная микроскопическая интерпретация энтропии оставалась загадкой для этой науки.

Только на рубеже двух столетий, благодаря главным образом работе Больцмана, была дана микроскопическая интерпретация энтропии, которая легла в основу третьего постулата априорного подхода в равновесной статистической механике. Этот постулат гласит: энтропия системы, находящейся в данном термодинамическом состоянии, пропорциональна объему Q в Г-пространстве, который занимают микросостояния, совместимые с данным термодинамическим состоянием:

(5.140)

Объем Q иногда называют объемом, допустимым для системы. Система может иметь любое микросостояние в Q, а заданное термодинамическое состояние останется одним и тем же. Термодинамическое состояние — это форма макросостояния, которая может быть реализована посредством большого числа микросостояний. Опять, как уже было обсуждено, чем больший объем в Г-пространстве занимают эти микросостояния, тем больше вероятность соответствующего макросостояния.

Вполне очевидно, что естественная тенденция развития системы состоит в движении к макросостояниям, которым соответствуют большие по объему области в Г-пространстве. Система эволюционирует к более вероятным макросостояниям. Эти идеи можно сформулировать в виде следующего утверждения. При изменении макроскопического состояния изолированной системы соответствующий объем в Г-пространстве увеличивается:

AQ >0.(5.141)

Равенство достигается при макросостоянии с максимальным объемом.

Постулат (5.140) основан на уравнениях (5.138) и (5.139). Согласно этому постулату энтропия интерпретируется как мера термодинамической вероятности состояния системы.

Итак, мы выяснили смысл пропорциональности между S и й, но вопрос о функциональном соотношении между ними пока еще остается открытым. Чтобы получить это соотношение, вспомним, что S — экстенсивный параметр и Q — объем в Г-пространстве. Рассмотрим некоторую систему, разделенную на две части. Пусть ^i — объем в Г-пространстве, допустимый для первой подсистемы, a Q2 —объем, допустимый для второй подсистемы:

Qi = У . . . У dp dq,

i(5.142)

Q2 = J .. . У dpr dq'.

2

Объем, допустимый для всей системы, равен

Q= j * * ' j ^ *" * j dpdp' dqdq' = 62^2-(5.143)

12

С другой стороны, если Si и S2 суть энтропии первой и второй подсистемы соответственно, то вследствие свойства экстенсивности энтропия S всей системы будет равна

S = S4 -)- Sa.(5.144)

Объединяя (5.143) и (5.144), получим функциональное соотношение между S и Q:

S (Q) = S (Q^ + S (Q2) = ^ (Qi^2).(5.145)

Его решением будет

S = IV In Q,(5.146)

где к' не что иное, как постоянная Больцмана! Это можно показать следующим образом.

Рассмотрим свободное расширение идеального газа, при котором объем его удваивается, т. е. идеальный газ переходит из состояния (Т, У) в состояние (Г, 2У). Происходящее при этом изменение энтропии можно вычислить двумя путями: термодинамически и статистически.

Термодинамический метод опирается на тот факт, что энтропия является «хорошей» термодинамической переменной, т. е. ее величина зависит только от состояния системы, но не зависит от того, как данное состояние было достигнуто. Вследствие этого мы можем вычислить AS вдоль любого удобного термодинамического пути, соединяющего точки (Т7, У) и (Т7, 2У). Выберем изотермический процесс. Так как внутренняя энергия Е идеального газа является функцией только Т, то первый закон термодинамики примет вид

Т dS = dE + р dV = 0 + р dV,(5.147а)

dS = -^ = Nk^-,(5.1476)

2V2

AS = J dS = Nk у^ = Ж1п2.(5.147b)

Чтобы найти AS методом статистической механики, надо вычислить допустимый объем в Г-пространстве, которым обладает система в каждом состоянии. Начальный и конечный объемы соответствен" но равны

Qin = 4 J ... у dqv ...dq3N = AVN, (5.148а) firin = л j . .. У dqv...dq3N = A^Vf. (5.1486)

церез А обозначен результат интегрирования по импульсной части Г-пространства. При свободном расширении идеального га3а А не изменяется. Согласно (5.146), энтропии этих двух состояли имеют вид

Sin = NW In V + k' In A,(5.149a)

5fin = NW In 27 + W In A.(5.1496)

Следовательно,

AS = NW In 2.(5.150)

Сравнивая это равенство с термодинамическим результатом AS = Ж In 2,

ВИДИМ, что

к' = к — постоянная Больцмана.(5.151)

Отметим, между прочим, что объем Q является функцией объема 7, занимаемого системой, и энергии Е этой системы. Тогда соотношение (5.146) дает: S—S (Е, 7), где Е и 7—это так называемые «естественные» независимые переменные для энтропии (см. (5.147а)).

Наиболее вероятное макроскопическое состояние

Для идеального газа, т. е. газа, состоящего из невзаимодействующих частиц, ц-пространство приобретает особое значение: энергия частицы является функцией только ее положения ^рх, Ру, Рг, %, У, z) в ц-пространстве. Если, например, к системе не приложен извне никакой потенциал, то энергия частицы е равна

п2

е =(5.152>

При наличии внешнего потенциала

8 = ^г + ф(ж’ У' ^(5.153)

и в все еще является функцией только (х, р). В этом частном случае имеет смысл разбить ц-пространство на ячейки таким образом,. Чтобы внутри заданной ячейки все частицы обладали одинаковой энергией. Если этим ячейкам присвоить номера, 1, 2, . . ., Z, . . . • • ., то в Z-й ячейке будет п^ частиц, каждая из которых имеет энергию 8^. Такое разбиение ц-пространства изображено на Рис. 5.11, где Т; — шестимерный объем Z-й ячейки.

Последовательность чисел заполнения nv, п^ . . . = ^п^ обра- эует (энергетическое) макросостояние. Мы хотим найти наиболее ВеРоятное макросостояние или, что то же, макросостояние с наибольшим допустимым объемом в Г-пространстве. При этом

должны выполняться два условия:

2пг = N — полное число частиц системы, , 'Zntel = E— полная энергия системы.54)

Объем й допустимой области Г-пространства, соответствующе макросостоянию V^Y равен

Й = ^Ъ^2---=ТОП^(5.155)

Это выражение получается следующим образом. При макросостоянии {nj} имеется yiy частиц в первой ячейке. Если любая из них заменена, скажем, частицей из 20-й ячейки, то макросостояние

(^1,€!) <Иг, 62)---(^1,€!) <Иг, 62)---| И | Т2 | f3 | Т4 |• • •

(^1,€!) <Иг, 62)---

(^1,€!) <Иг, 62)---

Рис 5*11. Энергетические ячейки в ^-пространстве.

остается тем же самым. Однако вектор состояния в Г-пространстве изображает теперь новое состояние. Следовательно, полное число микросостояний W, реализующих одно и то же макросостояние ^mY равно числу способов распределения N объектов по ячейкам так, что п^ из них находятся в первой ячейке, п^ —во второй, . . . . Это число равно

(N\ IN-пЛ IN-^—пЛ т NX

=L..=—j—;—= =—(5.156)

\ гц / \ n2 / \ n3 /n^n^.... Пп^!

Каждое такое микросостояние лежит в области Г-пространства с объемом (т^1 Т22 . . .) (ср. с (5.132)). Таким образом, объем в Г-пространстве, соответствующий макросостоянию Vn^ определяется равенством (5.155).

Теперь мы хотим найти макросостояние {^z}, сообщающее максимум объему й при выполнении условий (5.154). Вместо $ удобнее иметь дело с энтропией

5 = НпЙ.(5.157)

Ясно, что макросостояние (п;), сообщающее максимум InQ, также максимизирует и й.

Запишем выражение для In й, используя (5.155). Получим ^- = In N\ + 5 n, In tz - 2 In пД аг

lnjV! + 2nzlnTz — ^тц^ппг— 1). (5.158)

^ использовали аппроксимацию Стирлинга, заменив In п\ на * ? (In тг — 1). Это справедливо для п, достаточно больших по сравнению с единицей.

Если {nz} — макросостояние, которое сообщает максимум объему й, то при вариации ^п^ около этого состояния значение Q Iie изменяется. То есть для максимального Q

б{п,} In Q = 0.(5.159)

Символом 6{П^ обозначена вариация последовательности чисел заполнения VniY Из (5.159) имеем

0 = 2 бпНп(^-) •(5.160)

Когда варьируются соотношения (5.154), мы получаем два дополнительных условия:

0^|ьг2 6пь(5.161а)

0 = — Р 2 £г$^-(5.1616)

Постоянные ц и р называются неопределенными множителями Лагранжа. Назначение этих множителей и знака минус в (5.1616) вскоре станет ясно. Суммируя последние три уравнения, получим

о= 2[|t-p8, + ln(^.)] .(5.162)

Теперь все перемещения бп^ кроме двух, могут быть выбраны произвольно. Как только такой выбор сделан, оставшиеся два перемещения определяются из (5.154). Обозначим эти два перемещения через бпр и ЬпГ'. Предположим, что ц и р выбраны так, что

и-рег+1п(-^)=0,(5.163а)

^-рег„ + 1п(^1)=0.(5.1636)

Тогда все оставшиеся вариации ^пЛ в сумме (5.162) могут быть выбраны произвольно. Чтобы обеспечить равенство нулю всей сУммы, необходимо потребовать

и_рег + 1п(-^)=0, 1=^1', Г. (5.163в)

Из (5.163) следует, что написандый выше трехчлен равен нулю ^я всех I. Мы можем сделать заключение: если объем Q максимаЛен, то макросостояние {пЛ задается распределением Больцмана п^т^е-^i.(5.164)

Задача 5.12. Предшествующий анализ показывает, что, корп объем Q экстремален, ^п^ — распределение Больцмана. Дщ^ зать, что экстремум является максимумом.

Ответ.

62 In Q |Больцмал = - 2 ^ < 0.

Задача 5.13. Показать, что для изолированного газа однород. ное распределение является наиболее вероятным пространстве^ ным распределением.

Задача 5.14. Величина Q, задаваемая равенством (5.155),-^ это объем в Г-пространстве, занимаемый макрососто'янием ^щу Если весь объем ц-пространства равен соо, то полным допустимым объемом Г-пространства будет со^. Показать, что вероятность макросостояния равна

Показать также, что

Р {пр

где р^пЛ —множество перестановок из ^mV

Ответ. Переписывая со^ в виде

ni+H2+. . . .ЛЧ-.М

О)о Oq^o ^o * e * ’

получим, что

Т^т"2, . ./ Tj / T2 \"2

(0^\ Ш0 / \ too /

Так как ®0 — полный объем ^.-пространства и последнее разбито на ячейки с объемами ть то

где gi = —1.

Тогда

2 р «"» - 2 туй^ ю ■ ■ ■ - (8.+8= + • ■ ■)‘v-1 ■

Здесь мы использовали теорему о разложении многочлена N'^ степени вида (gi + g2 + - - -)^ •

Макросостояние, задаваемое распределением Больцмана, являе?' ся наиболее вероятным. Из полного достижимого объема в энер' гетическом слое в Г-пространстве данное макросостояние вырезает

наибольший объем. Этот подобъем является не только наибольшим п данном классе, а он подавляюще велик. Это означает, что почти всегда выполняется следующее: точка системы, движущаяся Б энергетическом слое, войдет в область распределения Больцма- Iia, если ее там нет, и не покинет область распределения Больцма-

« А

W

рис. 5.12. Объемы в Г-пространстве, соответствующие различным макросостояниям.

на, если она уже находится там. Это утверждение символически можно изобразить в виде зависимости Q от ^п^ (рис. 5.12). Каждая точка абсциссы — это отдельная последовательность чисел заполнения.

В предельном случае, когда последовательность энергий {ej переходит в континуум, распределение Больцмана принимает вид

^z —я (р) dp — T (р) е^е-^6 <р),

п(р^р = 4тсрМре^ехр ( —^--j . (5.165)

В этом выражении мы положили

т (р) = 2лр2 dp,

(5.166) 2т ’

4кр2 dp —объем сферического слоя радиуса р и толщины dp. Причем считается, что все состояния внутри этого слоя обладают энергией е ^pY Из теоремы о равномерном распределении энергии Для идеального газа следует, что средняя энергия частицы равна

Перез распределение п (р) это условие запишется в виде

(р2/2тп) 4л;?2 dpexp (— Рр2/2тп)

4 КТ =.(5.168)

J' 4лр2 Jpexp (— ^р2/2т)

О

Кроме того, интегрируя п (р) по всем р, получим

N = e^ 4np2dpexp ^j^ -(5.169)

О

Последние два условия служат для определения постоянных п и р. В результате получим

”О (Р) — ^kTImf^ ехр ( Зт^Г ) "

Мы видим, что ^о —распределение Максвелла. Это равновесное распределение, к которому, согласно ^-теореме* Больцмана, будет приближаться система. Хотя о^-теорема имеет сугубо необратимый вид, наш анализ иллюстрирует, как этот вывод совмещается с обратимой динамикой. Даже при обратном течении времени «судьба» точки системы в энергетическом слое останется той же — она фактически ничего не будет «видеть», кроме максвелловских макросостояний (по импульсам) и пространственно-однородных макросостояний.

Рассмотренный вероятностный анализ, который приводит к тем же результатам, что и ^-теорема, первоначально был осуществлен Больцманом как возражение против критики результатов (^-теоремы, считавшихся неверными ввиду их свойства необратимости.

а) Г-пространственное описание несовершенных систем. Ансамбли

Изложенный выше метод вычисления наиболее вероятного макросостояния хотя и является вполне общим, тем не менее уязвим в одном отношении. А именно, он основан на разбиении р- пространства. Энергии е? связаны с ячейками ^-пространства — фазового пространства одной частицы. Это вполне пригодно для систем, состоящих из невзаимодействующих частиц (идеальный газ), где энергия частицы является функцией только ее положения в ^-пространстве. Такое описание также годится и для системы невзаимодействующих частиц при наличии внешнего потенциала. В этом случае состояние частицы все еще определяется ее положением в ^-пространстве. Например, для вертикального столбика газа энергия частицы в Z-й ячейке равна

где z — вертикальное перемещение, a g — ускорение силы тяжести .

Для неидеального газа энергия молекулы зависит от взаимодействий этой молекулы со всеми остальными молекулами систе'- мы. При таких условиях положение частицы в ц-пространстве

^е определяет ее энергию. Теперь правильнее принять за систему е одну молекулу, а целый газ. Состояние всего газа определяется

т0чкой в Г-пространстве. Энергия системы является функцией точки х) (91, 9г, . . ., 9з^ Pi, Pz, ■ ■ ., Psn) и выражается через- гаМильтониан

2

я=3^г+33^’(5Л70>

I1<к

где фгь —потенциал взаимодействия частиц:

ЧЧк = W (I rz — rft |)(5.171)

(ср. с (2.152)). Вектор гг задает положение Z-й частицы, а г^ — ^-й, так что двойное суммирование по ф^ ведется до N.

Для несовершенного газа уместно использовать Г-пространство, поскольку состояние такой системы характеризуется точкой в Г-пространстве. Формализм ансамбля наилучшим образом объединяет все эти свойства. Он был введен в самом начале XX века независимо Дж. У. Гиббсом (1902) и А. Эйнштейном (1902).

Концепция ансамбля уже обсуждалась на многих страницах гл. II. Там мы определили ансамбль как совокупность идентичных систем. Каждая система имеет представляющую тонну в Г-про- странстве. Число таких тождественных систем достаточно велико, так что можно ввести плотность D (j), q, t) точек систем в Г-про- странстве. В гл. II было доказано, что функция D удовлетворяет уравнению Лиувилля:

^ + [ДЯ] = 0,(5.172)

где Н — гамильтониан системы. Функция плотности D и функция совместной вероятности fN отличаются только постоянной норми

ровки, fN = D J ^ D dp dq, так что fN также удовлетворяет уравнению Лиувилля.

В равновесной статистической механике нас интересуют только Установившиеся решения уравнения (5.172), т. е. решения уравнения '

(5.173)(5.173)to, т = о.

(5.173)

(5.173)

Самое общее решение уравнения (5.172) является произвольной Функцией 2N (N — число степеней свободы) констант движения системы. Эта же функция будет решением уравнения (5.173) при Условии, что константы явно от времени не зависят. Решения Уравнения (5.173) называются стационарными решениями.

т) Частицы предполагаются точечными. Для частиц с / степенями сво- °Дны Г-пространство является 2/тУ-мерным.

Задача 5.15. Гамильтониан изолированной свободной частиц равенЦЬ1

р22тр22т

р2

2т

р2

2т

Доказать, что

есть решение уравнения Лиувилля (5.172).

Доказать, что

ф = ф ^

— (стационарное) решение.

Заметим, что шестью константами движения для гамильтониана свободной частицы будут

hi = х —— ^,

т

h2 = p.

Функция плотности D определяет среднее (по ансамблю) от любой динамической переменной G (см. гл. II, разд. 2.5) согласно равенству

—G (р, q, D (р, q, dp dq

G (t) = AA(5.174)

j D (p, q, 2) dp dq

Эквивалентное утверждение состоит в том, что вероятность нахождения системы в состоянии dp dq около (р, q) равна

fNdpdq=(5.175)

j D (q, p) dp dq

Чтобы использовать это соотношение для случаев, когда D зависит от времени, надо ввести в теорию формализм, связывающий начальное значение D с начальным состоянием рассматриваемой системы. Это уже обсуждалось в гл. II.

С другой стороны, в стационарном случае D постоянна, а следовательно, и G. Именно для этого случая концепция ансамбля наиболее применима. Число типов ансамблей, необходимых для описания (равновесных) систем, обычно встречающихся в природе, исчерпывается тремя: а) микроканонический ансамбль, б) канонический ансамбль, в) большой канонический ансамбль. Во всех трех случаях принцип равных априорных вероятностей определяет плотность D посредством такого соотношения, что вероятность макросостояния равна бй/йПолн- Допустимый объем точек системы, соответствующий упомянутому выше макросостоянию, равен 6Q (см. задачу 5.19).

Микроканонический ансамбль

Рассмотрим изолированную систему с разбросом энергии Е ^ Н ^ Е + 6Е. Полагая гамильтониан равным этому интервалу энергий, получим энергетический слой —полную допустимую область системы в Г-пространстве. Ввиду того что система изолирована, ее состояния подчинены постулату равных априорных вероятностей. Так как все состояния имеют одинаковую вероятность, то /N в (5.175) равна константе. Это в свою очередь означает, что плотность D постоянна по всему энергетическому слою и равна нулю вне его. Соответствующий (однородный) ансамбль называется микроканоническим. Таким образом, мы получили формулировку постулата равных априорных вероятностей через формализм ансамбля:

(5.176)(5.176)D = const, Е ^ Н ^ Е + 6Е;D = 0 вне этой области.

(5.176)

(5.176)

Макросостояние (или термо динамическое состояние) обладает соответствующими микросостояниями, которые занимают объем бй в Г-пространстве. Вероятность макросостояния с допустимым объемом бй равна

макромакро(5.177)(5.177)| 1) dp dq

макро

макро

(5.177)

(5.177)

Йполн j D dp dq

Я-слой

И вновь вероятность макросостояния пропорциональна его допустимому объему в Г-пространстве. Наконец, связь с термодинамикой выражается уравнением

(5.178)(5.178)S = k In бй,

(5.178)

(5.178)

где бй — объем в Г-пространстве, соответствующий термодинамическому состоянию с энтропией S. Микроканоническое распределение, определяемое равенствами (5.176) и (5.177), применяется далее к изолированной системе, находящейся во вполне определенном термодинамическом равновесном состоянии вместе с любой своей малой частью. В одном случае (канонический ансамбль) две компоненты системы могут обмениваться энергией, тогда как в другом случае (большой канонический ансамбль) они могут обмениваться как частицами, так и энергией.

Канонический ансамбль

Обратимся теперь к рассмотрению ансамбля, который наилучшим образом описывает систему, находящуюся в контакте с тепловым резервуаром. С этой целью рассмотрим сначала изолирован-

ную систему из N частиц, предварительно приведенную к равновесию при температуре Т. Пусть, далее, система разделена на две подсистемы (рис. 5.13), подсистему 1 с гамильтонианом Н^ и подсистему 2 с гамильтонианом Н2. Частицы в каждой подсистеме фиксированы. Имеется Nt частиц в подсистеме 1 и N2 —в подсистеме 2. Объемы подсистем Ki и V2 фиксированы и таковы, что

Hi « V2.(5.179а)

Кроме того,

Nt < N2.(5.1796)

Энергии подсистем могут изменяться таким образом, чтобы выполнялись ограничения

Е = Е^ -|- E2i(5.179в)

Е^ < Е2.(5.179г)

Подсистемы не могут обмениваться частицами. Однако они обмениваются энергией. Это завершает описание нашей модели, представляющей систему (1) в контакте с тепловым резервуаром (2).

Теперь возникает вопрос, какова вероятность того, что вся система находится в только что описанном состоянии, или, что

Е = Ех 4- Е2= COnst^1«Е2Ni<^N2 и фиксировано! ^«Уг и фиксированыЕ = Ех 4- Е2= COnst^1«Е2Ni<^N2 и фиксировано! ^«Уг и фиксированыРис. 5.13. Система (1), описываемая каноническим распределением.Рис. 5.13. Система (1), описываемая каноническим распределением.

Е = Ех 4- Е2= COnst

^1«Е2

Ni<^N2 и фиксировано! ^«Уг и фиксированы

Е = Ех 4- Е2= COnst

^1«Е2

Ni<^N2 и фиксировано! ^«Уг и фиксированы

Рис. 5.13. Система (1), описываемая каноническим распределением.

Рис. 5.13. Система (1), описываемая каноническим распределением.

эквивалентно, каков достижимый объем этих состояний в Г-про- странстве? Какую часть энергетического слоя занимают эти состояния? Ограничение, согласно которому искомые состояния включают разделение энергии, несколько осложняет задачу. Чтобы учесть это, применим соотношение, следующее из первого закона термодинамики:

as = г-1 ав + рт-1 av.(5.147)

А именно

r--S|r.(5.180)

Сначала нам надо будет получить вероятность 6Рмакро, соответствующую термодинамическому состоянию (Ntl Vi, Еь N2i V2, Ег)

кри предположениях (5.179). Это мы сделаем, вычисляя объем в Г-пространстве, совместимый с данным состоянием. После того как мы найдем 6Рмакр0, соответствующая плотность точек ансамбля получается, если использовать (5.177).

Обозначим фазовые координаты Л^-частиц через zb а фазовые координаты 7V2-частиц —через z2. При упомянутых ограничениях допустимый объем z2 равен Q2. Пусть теперь состояние Л^-частиц фиксировано, в то время как ТУ2-частицы могут находиться в любом состоянии, совместимом с указанными выше ограничениями. ^гчастицы находятся в состоянии d^ около Zp Состояния ТУ2- частиц находятся где угодно в допустимом объеме Q2- При этих условиях допустимый объем 6Q всей системы станет равным

6Q = dz1dz2 = dziQ.2(E2^(5.181)

Q2

6Й = dz^2 (Е — Е^.(5.182)

Энтропия системы 2 равна

S2 (Е - Е^ У2) = k In Q2 (Е - Б,, У2).(5.183)

При этом предполагается, что система 2 является изолированной (как член микроканонического ансамбля). Справедливость такого предположения оправдана жесткостью неравенств (5.179).

Так как Е^ <^ Е2, то (5.183) можно разложить около Е^ = 0. В результате, используя термодинамическое соотношение (5.180), получим

S2 (5 - £ь У2) = 52 (5, V2) - Е, ^^Хй. I+....=

= S2(E, v2)-^l+....(5.184)

Отсюда с ледует, что при упомянутом выше ограничении (Е^^Е^

Q2^exp(^)-A) .(5.185)

Мы получили объем Q2 в виде явной функции параметров, описывающих термодинамическое состояние (Е^ Т) подсистемы 1. Подставляя это выражение в (5.181), получим

6Q = davK ехр (^1) ,(5.186)

гДе К = const = exp VS2 (Е, V2)/k]. Вероятность 6Рмакро и плотность Dc получаются из (5.177):

срPc ^Y 6Q dz^Ksxp( E^/kT),r 4074

О-г макро — г.— Q — 5 .(а. 10 / )

\ D ах Мполпь^полн

Отсюда плотность канонического ансамбля равна

Ок = К'ехр(^-) ,Ок = К'ехр(^-) ,(5.188)(5.188)

Ок = К'ехр(^-) ,

Ок = К'ехр(^-) ,

(5.188)

(5.188)

где мы положили Е^ = Н^ —гамильтониан подсистемы 1. Функция DK является плотностью точек системы, которая удовлетворяет ограничениям (5.179), и поэтому она также является мерой вероятности того, что ^l-пoдcиcтeмa находится в описанном выше состоянии.

Как непосредственное приложение полученного результата, запишем выражение для средней энергии Е системы, находящейся в контакте с тепловым резервуаром при температуре Т. Вспоминая соотношение (5.174) (и опуская индекс 1), получим

FН!МлЧЛР\e-H<kTdqdpFН!МлЧЛР\e-H<kTdqdp(5.189)(5.189)

FН!МлЧЛР

\e-H<kTdqdp

FН!МлЧЛР

\e-H<kTdqdp

(5.189)

(5.189)

Задача 5.16. Какова средняя внутренняя энергия идеального газа, который заполняет сосуд объема V и находится в тепловом равновесии с резервуаром при температуре Т?

Ответ. Для упрощения вычислений заметим, что равенство (5.189) можно переписать в виде

Ё= In ( е~№ dqdp = -4o-^Z,dp Jдр

что служит определением функции Z —статистической суммы. Для идеального газа гамильтониан чисто кинетический,

и не зависит от q, так что

Z — ^ e-№ Apdq = VN ^ exp (—”^^”) ^Pi • • • ^n ~

0

В результате получим

E=^NkT.

Задача 5.17. Решить задачу 5.16 для идеального газа, состою щего из твердых гантелеобразных молекул.

Задача 5.18. Как с помощью одного гамильтониана можно ввести в теорию ограничительную длину L (I? = У)?

Ответ. Положим

Я-Яо+Ф,

Ф = Ф (91) Ф

где ф имеет вид, изображенный на рис. 5.14, а аргументами являются координаты центра масс каждой частицы.

Рис. 5.14. Потенциал твердой стенки.Рис. 5.14. Потенциал твердой стенки.5Р = Й1/атн =A/L25Р = Й1/атн =A/L2Рис. 5.15.Рис. 5.15.

Рис. 5.14. Потенциал твердой стенки.

Рис. 5.14. Потенциал твердой стенки.

5Р = Й1/атн =A/L2

5Р = Й1/атн =A/L2

Рис. 5.15.

Рис. 5.15.

Свободный гамильтониан Яо Следовательно,Свободный гамильтониан Яо Следовательно,задается равенством (5.170).задается равенством (5.170).

Свободный гамильтониан Яо Следовательно,

Свободный гамильтониан Яо Следовательно,

задается равенством (5.170).

задается равенством (5.170).

LL

j ... j dq^ ... dq3Ne~^H =... j ^ ... dq3Ne""№o.

bо

Задача 5.19. а) Рассмотреть одномерную систему из двух частиц. Система разделена так, что 0 х^ ^ а, а ^ х2 ^ L. Изобразить допустимую часть Г-пространства (только его я-часть) до и после разбиения.

б) Какова вероятность того, что система из двух частиц находится в описанном выше состоянии?

Ответ. См. рис. 5.15.

В настоящем исследовании канонического распределения остается найти выражение для энтропии. Постулат S = k In Q относится к микроканоническому ансамблю. Однако меньшая из Двух подсистем, описанных выше (подсистема (1)), несомненно, не является изолированной. Существуют два подхода к решению отой проблемы. В первом случае мы определим энтропию канонического ансамбля со средней энергией Е как равную энтропии ^икроканонического ансамбля с энергией Е. С точки зрения термо-

динамики такой путь возможен, поскольку в термодинамике энтропия фиксируется заданием энергии (и объема) независимо от того, находится ли система в равновесии с тепловым резервуаром или она изолирована.

Другой метод связан с введением понятия внешних параметров. Внешними являются параметры, которые входят в гамильтониан системы иначе, чем канонические координаты и импульсы. Примером может служить объем V (либо длина L ребра грани) интенсивности приложенных извне полей. В общем случае мы можем написать

Н = Н (q, р; xi, х^ . . ., яп) = Н (q, р; х^, (5.190) *£ = G^l? *^2» • • •» ^п)»

где хг —внешние параметры. Отсюда следует, что среднее значение любой динамической переменной А является функцией внешних параметров:

^AD^dpdq

(5.191)(5.191)= = A(Xi, х2, . .., хА.

(5.191)

(5.191)

D (Н) dp dq у

Когда система «перемещается» таким образом, что изменяется только внешний параметр хк, вариация энергии системы определяется равенством

6fc£=(5.192)

При этом изменении энергии система находится в микросостоянии (q, р). Работа, совершаемая системой при таком перемещении, равна

6kW=-^6xk.(5.193)

(Если 65 > 0, то 6ГИ < 0, и работа совершается над системой.) Средняя работа при таком перемещении равна

\hW = MV=—^-6xh== -^-6хк=—^-\хк, (5.194а) R кдхк К дхк к дхкх

&kW = F^xh.(5.1946)

Это уравнение служит для определения обобщенной силы Fk и обобщенного перемещения Аяк.

Рассмотрим пример, где хк —объем. Тогда

АРИ = ^АГ = pkV,(5.195)

так что

(5.1*

Для канонического ансамбля

"эн _I (ЭНЮУ) е~рн dp dq _ 1 ( (,9е-^н/ЭУ^ dp dq /с_

"ЭУ$ e-»Hdpdq ₽5 e^dpdq (}

или, что эквивалентно,

p = |^ln j ^«dp^^j^lnZ. (5.198)

Функция Z называется статистической суммой. Как макроскопический параметр, она является функцией внешних параметров х

и 0:

Z = Z (ж, 0).

(5.199)

В данном примере

Z = Z (У, 0).

(5.200)

Средняя внутренняя энергия системы равна

» 1„г

j е ^Hdpdq^0

(5.201)

Образуя дифференциал от In Z (У, 0), получим

dlnZ^211£dy + -^-ti0,

dlnZ= 0р dV-Ed^,

d In Z = 0p dV - d (^E) + 0 dE,

(5.202)

d()nZ+ 05) = 0 (p dV + dEy

(5.203)

Согласно первому закону термодинамики, правая часть последнего соотношения равна 0Г dS, так что (вспоминая, что 0 г МкР)

d [к (In Z + 05)] = dS.

(5.204)

С точностью до аддитивной постоянной

TS = кТ In Z + Е.

(5.205)

Вводя свободную энергию

F = Е — TS = —кТ In Z

(5.206)

и используя первый закон термодинамики, получим

dF =— р dV — S dT,

(5.207)

так что

р=--^| =kT4r^Z

rdV \тdv

(5.208)

И

9Т |у- дТ

(5.209)

Уравнение (5.208) тождественно уравнению (5.198). Оно является одним из наиболее важных соотношений в равновесной статистической механике, поскольку дает способ получения уравнения состояния, если известен гамильтониан. Равенство (5.209) задает энтропию как функционал канонического распределения.

Задача 5.20. Вычислить Z и затем р для идеального газа, заполняющего ящик с длиной ребра L.

Задача 5.21. а) Показать, что

\^-H4pdq=V

б) Продифференцировать обе части этого равенства по р, чтобы прийти опять к уравнению (5.209).

Ответ.

o-\kF-H+^UeK"'n,ii,d'- o=J?-£+p"|v,

F-E + T^^-E-TS.

Следовательно, сI 6 “ дТ

Отметим мимоходом, что более универсальной корректной формой статистической суммы является выражение

J е №dpdq.

Множитель (TV! №N>)-1 остался от общей квантовомеханической формы записи. В частности, член N\ происходит от неразличимости идентичных частиц. (В классической физике идентичные частицы смогут быть различимыми, однако в квантовой механике они неразличимы.) Здесь К — постоянная Планка. Ее включение дает размер минимального объема №N в Г-пространстве, для которого можно определить микросостояние. Поскольку термодинамические переменные являются производными от In Z, то наличие множителя (ЛЧДз^)-1 для классического уравнения состояния не существенно.

Большой канонический ансамбль

Вновь рассмотрим изолированную систему, разделенную на две подсистемы. Однако теперь системы могут обмениваться не только энергией, но и частицами. Остается постоянным только объем каждой подсистемы (рис. 5.16). На систему наложены следующие

оГраничения:оГраничения:Ei + Е2 = Е,Ei <^ Е2,Ni + N2 = N.Ni < W2.

оГраничения:

оГраничения:

(5.210a) (5.2106) (5.211a) (2.2116)(5.210a) (5.2106) (5.211a) (2.2116)Е = Ег -VE2= constЕ = Ег -VE2= const^=^1 +jV2- const^=^1 +jV2- constHo Ni и n^n2Ho Ni и n^n2Ег<^ЕгVi<^v2 и фиксированыЕг<^ЕгVi<^v2 и фиксированыРис. 5.16. Система (1), описываемая большим каноническим распределением.Рис. 5.16. Система (1), описываемая большим каноническим распределением.N? могут изме- мятьсяN? могут изме- мятьсяМакроскопическую вероятность 6Рмакро, соответствующую термодинамическому состоянию (Ni, У^ Ev, N2, V2, E2Y теперь необходимо связать с возможностью изменения Ni и N2 согласна

(5.210a) (5.2106) (5.211a) (2.2116)

(5.210a) (5.2106) (5.211a) (2.2116)

Е = Ег -VE2= const

Е = Ег -VE2= const

^=^1 +jV2- const

^=^1 +jV2- const

Ho Ni и n^n2

Ho Ni и n^n2

Ег<^Ег

Vi<^v2 и фиксированы

Ег<^Ег

Vi<^v2 и фиксированы

Рис. 5.16. Система (1), описываемая большим каноническим распределением.

Рис. 5.16. Система (1), описываемая большим каноническим распределением.

N? могут изме- мяться

N? могут изме- мяться

(5.211). Эта вероятность опять получается при вычислении объема в Г-пространстве, совместимого с этим макроскопическим состоянием. Используя те же обозначения, что и выше, положим, что- Zj — фазовые координаты Л\-частиц, a z2 — фазовые координаты Лг2-частиц. Пусть известно, что ТУ^частицы находятся в элементе фазового объема dzi около гь в то время как 2У2-частицы — в любом состоянии из допустимого объема Q2. При таких ограничениях допустимый объем бй для всей системы равен

6Й = dz^2 (Е2, N2) = dz^2 (Е - Е^ N - Ni\ (5.212)

Энтропия большей системы задается приближенно как

52 (Е - Ei, N - WO = k In Й2 (E - E^ N - NiY (5.213)

Разложение в ряд Тейлора левой части этого равенства имеет вид

S^E2, N2) = S2(E, N^-E!-^-\-^-^1+... (5.214)

2/ 2v ,/1 dE2 |e2=e9N2 |w2=n 1 v '

Mo=NE^=E

S2(E2,N2') = S2<E,N')--^- + ^+... .15.215)

Термодинамический параметр у называется химическим потен циалом. Подставляя (5.215) в (5.213), получим

ехр (^) ~ а^ ехрехр (-^-) ехр ( ±§А_ ,

(5.216а)

6Q^dzi£exp(7^)exp(-±^-) .(5.2166)

где К — постоянная. Из (5.177) вместе с (5.2166) находим следую, щий результат:

яр _DBK44 6Q _ аЧК ехр [-(51-H^iW] -^

0Умакро “=• (5-217)

Плотность ансамбля, описывающая систему, находящуюся в равновесии с большей системой, с которой она может обмениваться частицами, задается равенством

ОБК = К* ехр [5^ы^] = K'e№Ne-№N. (5.218)

Здесь индекс 1 опущен, HN — гамильтониан системы из N частиц. Ансамбль, описываемый такой плотностью распределения, называется большим каноническим ансамблем. Выраженная через активность 2 плотность имеет вид

n rz'cvN ~$НЫD БК = К ^ е ,

3 = е№.

Поскольку число частиц N не постоянно, средняя от динамической переменной равнаПоскольку число частиц N не постоянно, средняя от динамической переменной равна(5.220)(5.220)NN

Поскольку число частиц N не постоянно, средняя от динамической переменной равна

Поскольку число частиц N не постоянно, средняя от динамической переменной равна

(5.220)

(5.220)

N

N

(5.221)(5.222)(5.221)(5.222)

(5.221)

(5.222)

(5.221)

(5.222)

Особенно важными являются средняя энергия Е и среднее число частиц N:

^XN ^e'^HNapdq2zN J е~№м dp dqN

N

q —- большая статистическая сумма. Она связана с ZN — статисТической суммой для системы из ^-частиц, соотношением

Q=^%NZN.(5.223)

N

Смысл активности 2 или ее логарифмического эквивалента, химического потенциала, становится очевидным, если рассмотреть выражение для среднего числа частиц N в системе. Вновь обращаясь к (5.220), получим

_2NZnZn

N = ^^ = 41п 3<-224)

NN

N = %^lnQ.(5.225)

Большая статистическая сумма так же просто связана с функцией Гиббса G, как каноническая статистическая сумма со свободной энергией F. Мы имеем:

pVV = G - F + р¥.(5.226)

Из левого равенства (которое, как можно показать, следует из правого; см., например, Райф (1965)) видно, что химический потенциал р — это удельная функция Гиббса (рассчитанная на молекулу). Функции G и Q связаны соотношением

eMG-F> = %NZn = q(5 227)

N

или, что эквивалентно, ^pV = In Q.(5.228)

К индуктивному обоснованию соотношения (5.227) можно прийти путем следующих логических рассуждений. Сначала перепишем это уравнение в виде

(5.233)(5.233)последнее уравнение можно переписать так: Е~\-Е-н 9Т Т эт

(5.233)

(5.233)

-E + F-T^ = Q.

Это уравнение служит для определения функции F (ср. с (5.206))

Задача 5.22. Вычислить N для идеального газа.

Ответ.

N-S-L-^Q.

Для идеального газа

7 _^/ 2ят \3w/2

N ~ N\h™\ ₽ )

так что

Л_ V [ZV(2mm/^p)3/2]jV_ Zy/X8

V-Zj № -е ’

N

где А—длина тепловой волны де Бройля*.

x=kV -Д- •

V 2лт

Итак, приходим к следующим равенствам:

р^ = 1п<2=^,

КТ8 . Л XV

N “ az ln хз ’ которые дают желаемый результат:

N = £pV.

д) Флуктуации

Одним из наиболее важных понятий в равновесной статистической механике является понятие флуктуаций. Нами были рассмотрены свойства системы, находящейся в наиболее вероятном состоянии. Эти свойства будут иметь смысл только в том случае, если система проводит в этом предпочтительном состоянии наибольшую часть времени. Для двух частиц в одномерном ящике при достаточно долгом интервале наблюдения макросостояние

| » | • | занимает половину времени, а на состояния | •• | J

# || •• | приходится по одной четверти времени наблюдения

(двум частицам разрешается занимать одно и то же положение). Если через единичные интервалы времени провести ряд замеров

Число шароВ В

леВой половине. Л .

м2=10 0, I

1 = 1 О , О I °=1 |ОО|

Рис. 5.17. Флуктуации около среднего положения для двух шаров в одномерном ящике.

Рис. 5.18. Флуктуации около среднего значения для макроскопической концентрации.

числа частиц в левой части, то типичная последовательность реализаций будет такой, как показано на рис. 5.17.

Совершенно очевидно наличие флуктуации около среднего значения 1. Однако с ростом числа частиц в системе эти флуктуации уменьшаются. Например, для ограниченного газа с большим числом частиц плотность п (х, t) в некоторой его точке имеет вид, изображенный на рис. 5.18.

Мера интенсивности флуктуаций наблюдаемой величины д задается средним квадратичным отклонением (6Л)2:

(W^(Z^.(5.234)

Из этого равенства следует, что

(6Л2) = ЛЧ^Ж-^АЛ = Л2 - (Л)2.(5.235)

Особенно важным является относительное среднее квадратичное отклонение т (Л):

™ (Л) =.(5.236}

Если эта величина мала, то равновесное значение величины Л хорошо представляется величиной Л. Если относительное среднее квадратичное отклонение не является малым (по сравнению с единицей), то Л теряет свой физический смысл.

Рассмотрим следующие две важные переменные. Для системы, которая может обмениваться энергией и частицами с резервуаром, мы получим выражение для относительного среднего квадратичного отклонения плотности (или «концентрации») NIV.

Используя представление большого канонического ансамбля» получим

№ 1^2^1-Ко (5 238}

Возводя первое уравнение в квадрат и вычитая его из второго, имеем

(5-239>

Но выражение в скобках равно N. Следовательно,

(5-240)

Для относительного отклонения получим

™ (N) ==4. V^ э ^_(5241)

v 7 N N vv

Г» случае идеального газа

N = K,,(5.242)

так чтотак что

так что

так что

вв(5.243)(5.243)(5.244)(5.244)(6^)2 = ^

в

в

(5.243)

(5.243)

(5.244)

(5.244)

wov)=—L

V N

Иля N ~ 1023 величина ^ ~ 10“12 <^ 1. Выражая ^ через п = - N!V1 будем иметь

(5.245)(5.245)у-1/2

(5.245)

(5.245)

^ (п) = -7="

Рассмотрим теперь другую интересующую нас переменную — энергию системы, когда последняя может обмениваться с резервуаром только энергией. Для этого случая используется представление канонического ансамбля. Сначала мы вычислим ЕЧ

^H^-^dpdq1 921 9 , 9 х 1 9

А - j e-№dpdqZZ dp

Отсюда мы заключаем, что

(6£)2 = £2-(£)2= --^Ё.(5.247)

Но (вспоминая определение 0)

= №=(5.248)

где Cv — удельная теплоемкость при постоянном объеме. Для идеального газа, состоящего из точечных частиц,

E = ^NkT,(5.249)

так что

—=(5.250)

др 2х '

$ относительное среднее отклонение принимает вид

Т/ 4 №Тй

^ (^) = —2=1,(5.251)

ЁКкТ

Задача 5.23. Показать, что для идеального газа

/j^^V/3 = jy-2/3\"

Для типичных газов N имеет порядок числа Авогадро, так что относительное среднее квадратичное отклонение является бесконечно малой величиной. Иногда этот результат рассматривают как доказательство эквивалентности канонического и микрокано- нического ансамблей, поскольку (5.252) указывает на то, что в каноническом ансамбле почти все системы обладают энергией Е. В более общем случае каноническое распределение пригодно когда -т (S).<^ 1, тогда как большое каноническое распределение имеет место при т (5) « 1 и m<N^ <^ 1. Эти предположения были использованы в приведенных выше выводах.

Апостериорный подход. Эргодическая гипотеза

Выше мы видели, что кажущаяся необратимость макроскопических систем естественным образом вытекает из постулата равных априорных вероятностей и формализма для вычисления вероятностей макросостояний. Однако, интуитивно являясь удовлетворительным, этот априорный подход специфичен в одном своем аспекте: он не является чисто динамической теорией. Это, скорее, объединение вероятностных и динамических закономерностей. Существует ли какой-нибудь способ получить необратимость макроскопических явлений чисто динамическим путем? Мы уже*сталки- вались с такой попыткой в ^-теореме Больцмана. Однако эта теорема опирается на справедливость уравнения Больцмана, вывод которого, если мы вспомним, включает множество предположений. Одним из них является гипотеза молекулярного хаоса. Этот Ansatz полагает двухчастичную функцию распределения /2 равной произведению одночастичных функций распределения Д^, что в представлении фазовых чисел записывается так:

/2 (1,2)= h (1) А (2).

Это, разумеется, представляет собой у тверждение о независимости вероятностей. Фазовые состояния частиц 1 и 2 независимы. В таком простом толковании ^-теорема Больцмана не является прямым следствием одной только динамики.

Другой путь к раскрытию необратимости макроскопических законов с использованием одной только динамики лежит через эргодическую гипотезу, также впервые выдвинутую Больцманом- Эргодическую гипотезу можно рассматривать как динамическое обоснование принципа равных априорных вероятностей. Эта гипотеза является краеугольным камнем апостериорного (т. е-

происходящего из принципов, основанных на обобщении фактов) подхода к проблеме макроскопической необратимости (рис. 5.19). Эргодическая гипотеза устанавливает равенство между средним

Рис. 5.19. Управляющая схема в статистической механике.

по микроканоническому ансамблю и средним по времени (за бесконечный временной интервал). Это означает, что для любой динамической переменной G ^р. q, Z)

Т§ GD dp dq

G = lim 4- f G (у, p, 0 dt = e^H5e+6e_(5.253)

7^00 Г J’j D dp dq*

Средняя по времени слева — это средняя по одной-единственной Динамической орбите. Микроканоническая средняя справа — это

средняя по ансамблю систем. Равенство легко установить, еслиС одна и та же для всех систем ансамбля, что в свою очередь может быть доказано, если система эргодическая. Система называется эргодической, если ее динамическая орбита за бесконечный интервал времени проходит через все точки энергетической поверхности или, что эквивалентно, если энергетическая поверхность состоит из единственной динамической траектории (это было исходным предположением Больцмана). Напомним, что орбита, проходящая через некоторую точку, единственным образом этой точкой определяется. Следовательно, все орбиты эргодической системы одинаковы. Единственное различие заключается во времени прохождения через заданную точку. Так как все орбиты совпадают, то G для всех них одна и та же, и равенство (5.253) установлено.

Однако можно показать, что это достаточное условие справедливости предшествующего равенства никогда не реализуется в природе. Одна из возможных аргументаций осуществляется через 2N (N — число степеней свободы) констант движения {^z}. Так как все орбиты на энергетической поверхности обладают одинаковой энергией, то остается 2N — 1 произвольных постоянных. Но одну из них можно использовать, чтобы фиксировать начальное время (см. следующую задачу).

Задача 5.24. Рассмотрим систему с N степенями свободы. Два члена представляющего ансамбля таковы, что все 2N констант движения, кроме одной пары, попарно одинаковы для обоих членов, т. е.

Н^ = Н^\ l^2N-^=^+д-Доказать, что орбиты точек двух систем совпадают, если неучитывать время запаздывания. Рассмотреть частный случайдвух свободных частиц, движущихся в одном измерении, чтобыустановить связь времени запаздывания с А.

Из задачи 5.24 следует, что две точки на одной и той же траектории могут иметь только одну пару констант (из 2N констант), различных для каждой из этих точек. Теперь выберем две точки,, у которых только одна постоянная движения общая, а все оставшиеся 2N — 1 постоянных различны. Это означает, что вторая точка никогда не может быть настигнута первой. Мы получили простую аргументацию в пользу того, что большая часть систем не являются эргодическими. Полностью убедительное доказательство этого факта было дано Розенталем и независимо Планчерелем в 1913 г. Они показали, что геометрическое место точек любой динамической траектории образует множество меры нуль на энергетической поверхности, мера которой отлична от нуля. Выра-

я<аясь нестрогим языком, единственная динамическая траектория не может «заполнить» энергетическую поверхность.

Сейчас уместно указать на некоторые существующие различия между константами движения. Например, константы, определяющие фиксированную поверхность в фазовом пространстве, называются изолирующими интегралами. Значение этих постоянных Тц таково, что траектория С системы лежит на гиперповерхности, являющейся пересечением энергетической поверхности и изолирующих интегралов:

С = {z I z£ Hv f) h^ П . .

Изолирующий интеграл уменьшает размерность многообразия фазового пространства, на котором лежит траектория системы.

Другой класс постоянных составляют аддитивные константы. Их значения для системы, состоящей из нескольких частей (взаимодействием которых можно пренебречь), равны суммам соответствующих значений для каждой отдельной части системы. Динамические постоянные, связанные со свойствами симметрии пространства и времени, являются аддитивными константами. К ним относятся энергия, импульс и угловой момент.

С более общей точки зрения динамические константы разделяются на два класса: глобальные и локальные. Глобальными называются интегралы, постоянные для всего времени и по всей энергетической поверхности. Локальные константы постоянны на ограниченной области энергетической поверхности и (или) в ограниченном интервале времени.

Возвращаясь к основному направлению нашей дискуссии вспомним, что вскоре после первого десятилетия нашего века было установлено, что эргодических систем не существует. Тогда были сделаны попытки доказать существование квазиэргодическик систем. Система является (слабо) квазиэргодической, если точка системы на энергетической поверхности доходит как угодно близко до всех точек этой поверхности.

Ферми (1923), обобщая теорему Пуанкаре (1892) (не существует никакого иного класса поверхностей, кроме энергетических, обладающих тем свойством, что орбита целиком лежит на поверхности), доказал существование большого класса систем, являющихся (слабо) квазиэргодическими.

Тем не менее одной этой теоремы недостаточно, чтобы установить равенство (5.253). Необходимо сделать дополнительное предположение. Его нестрогая формулировка состоит в следующем: время, проводимое точкой системы в некоторой области энергетической поверхности, пропорционально площади этой области,. Для более строгого обсуждения этой полной эргодической гипотезы необходимо обратиться к языку теории меры.

Как было указано в гл. II, концепция энергетического слоя была введена, во-первых, чтобы лучше использовать следствия уравнения Лиувилля. С другой стороны, именно к энергетической поверхности относится любое из предыдущих утверждений эргодической теории.

Существует простой путь, чтобы ввести в формализм энергетической поверхности свойства инвариантности, связанные с уравнением Лиувилля. Рассмотрим энергетический слой, порождаемый двумя поверхностями Н = Е ^ Н = Е + 8Е. В любой точке внутренней поверхности нормальное перемещение 6z между двумя поверхностями удовлетворяет соотношению. 6Е = = | 6z | | ^Н |. Таким образом, если 62 — элемент поверхности в той же самой точке, то соответствующий элемент объема в энергетическом слое равен | 6z | | 62 |. Но вектор ^Н нормален к поверхности постоянной энергии, откуда заключаем, что данный объем пропорционален 62/1 ТЯ |. Следствием теоремы Лиувилля является сохранение этого фазового объема (говоря более точно, это интегральный инвариант Пуанкаре).

Введем теперь меру ц (Л) множества точек 2g 4 на энергетической поверхности согласно равенству

^W=$T^T'(5-254)

А

Мерой множества точек (z g 5) на всей энергетической поверхности будет

^(£)=Jtw-(5-255)

Е

При естественном движении системы (порождаемом оператором ^) множество точекЛза время t перейдетвмножествоЛ', тогда

Л->Л' = М.(5.256)

Теорема Лиувилля утверждает, что

^[^(Л)] = ц(Л).(5.257)

Теперь мы можемсформулировать полнуюэргодическуюгипотезу.

Почти все (за исключением множества меры нуль г)) орбиты на энергетической поверхности Е проходят через каждую область поверхности Е с положительной мерой и остаются в данной обла-

г) Если для любого сколь угодно малого е существует открытое множество В, которое покрывает множество Лир (В) < е, то Л — множество меры нуль. Любое счетное множество на действительной прямой (множество, которому можно поставить во взаимно однозначное соответствие натуральный ряд чисел) является множеством меры нуль. Его покрытие составляют открытые интервалы, каждый длиной е/2п.

сти в течение среднего времени, равного отношению ее меры к мере Е.

В 1931 г. фон Нейман доказал так называемую среднюю эргодическую теорему, которая состоит в следующем. Пусть кривая Сг^ содержит начальную точку z0, и Т А (20, f) — часть времени из интервала I, проводимая кривой CZq в области А. Тогда теорема фон Неймана утверждает: если последовательность преобразований {^} является метрически транзитивной (определение этого понятиябудет дано позднее), то ТА сходится в среднем к ТА=^Ц~ .

То есть

lira 1ТА^0, t) — TAV = O, t->oo

гр И (^

Биркгоф (1931) уточнил эту теорему, доказав, что для z0 почти всюду в Е сходимость является точечной:

lim ^(zq, t^ = TA.(5.259)

Группа преобразований {^} множества точек Е называется метрически транзитивной, если единственными множествами, инвариантными по отношению к этим преобразованиям, является вся совокупность множеств меры нуль. Более наглядное определение таково: множество Е не может быть разложено (при преобразованиях {^} множество Е является метрически неразложимым) на два инвариантных множества г) At и Л2, имеющих положительную меру. Можно считать, что ^ полностью «перемешивает» множество Е. Именно в этом механизме «перемешивания» (или «рассеяния») заключена сущность эргодической теоремы. Он объясняет необратимость макроскопических законов.

Мы видим, что эргодическая гипотеза заключается в следующем. Ансамбль, первоначально занимающий только часть энергетической поверхности, со временем самораспределяется однородным образом по всей энергетической поверхности, чтобы принять микроканоническое распределение. На первый взгляд это кажется не совместимым с уравнением Лиувилля, которое требует, чтобы плотность ансамбля оставалась постоянной вдоль динамических траекторий. Наглядное разрешение этого кажущегося парадокса впервые было предложено Гиббсом с помощью следующей модели.

2) При данном преобразовании ^ точки системы изменяют свои начальные координаты [z (0) £ Л] и спустя время t достигают конечных координат ^(^^Л7]. Если эти конечные координаты занимают область начальных координат Л' = Л, то преобразование ^ отображает начальное множество Л на само себя, и Л является инвариантом преобразования ^.

Рассмотрим закрытую мензурку, наполовину заполненную водой, а наполовину маслом (обе жидкости предполагаются несжимаемыми). Вначале вода занимает нижнюю половину мензурки, а масло— верхнюю. После сильного встряхивания масло разбивается на множество мельчайших капелек, которые однородным образом заполняют всю мензурку. Если смотреть на расстоянии, плотность суспензии кажется однородной. Однако при близком осмотре обнаружится, что плотность осталась постоянной вдоль путей частиц, а суспензия в действительности является однородной самое большее в смысле крупнозернистости. Другое толкование «участия» динамических законов в необратимости может быть дано посредством так называемой «крупнозернистой» плотности ансамбля. Прежде чем коснуться этого формализма, нам хотелось бы рассмотреть вопрос о строгости предположения о метрической транзитивности операторов ^.

Например, предположим, что энергетическая поверхность является метрически неразложимой. Пусть начальное распределение ансамбля отлично от нуля в области A cz Е, р, (Е — Л) > 0. Тогда в любой последующий интервал времени этот начальный ансамбль должен исказиться, иначе Е была бы разложимой. Начальное множество z (0) g А переходит в т, ^ ^ А' Ф А. Те же рассуждения можно вновь применить к Л' и т. д. Таким образом, мы видим, что предположение, согласно которому гамильтониан порождает метрически транзитивные преобразования, влечет за собой очень схожие эргодические условия. Разумеется, если это свойство преобразований Гамильтона будет доказано, то аналцз Биркгофа станет, несомненно, уместным. В этом направлении было выдвинуто предположение (Окстоби, Улем (1941)), согласно которому почти каждая группа непрерывных преобразований является метрически транзитивной. С другой стороны, Кац (1959) доказал, что фактически невозможно установить, порождает ли гамильтониан метрически транзитивные преобразования. В качестве последнего замечания укажем, что если любая из оставшихся 2N — 2 (N — число степеней свободы) констант движения является изолирующим интегралом, то Е разложима.

Задача 5.25. Доказать справедливость последнего утверждения.

«Крупнозернистое» разбиение

Описываемый ниже метод был введен Гиббсом, чтобы согласовать возможное сглаживание и приближение к микроканоническому распределению с любым начальным распределением ансамбля, каким бы «искаженным» оно ни являлось. Анализ начинается с разбиения энергетического слоя на такие подобласти, что l-я подобласть имеет объем Qb Если D (z, f) — плотность

ансамбля во время t, то «крупнозернистая» плотность П?(^) определяется согласно равенству

Пг (^) = -^ j D (z', t) dp' dq' = П (z, t) (5.260)

для z^Q;. Отсюда следует, что П постоянна в каждой ячейке и что D и П имеют одинаковую нормализацию. Покажем это:

j Hdpdq = 2 П^ Q; = 2 ^"^ j D dpdq = н=еiiq,

— 2 j Ddpdq = j Ddpdq. (5.261)

Введем энтропию Гиббса1):

т] W = 2 ^ П; In П, = j П (z, t) In П (z, t) dp dq. (5.262) i

Подставляя введенное ранее интегральное выражение для П, получим энтропию Гиббса в виде

т] (£) = J D (z, t) In П (z, t) dp dq.(5.263)

Имея в нашем распоряжении эти определения и свойства, рассмотрим частный случай, когда в начальный момент функция D постоянна в пределах каждой ячейки. Тогда D (0) = П (0) и ц (0 —т] (0)= J Tl^lnn^dpdq- j D(0)lnD(0')dpdq =

= j [Z) (<) In П (£) — D(t) In £>(#)] dp dq. (5.264)

Здесь мы использовали теорему Лиувилля и равенство (5.263). Прибавляя и вычитая выражение

j Ddpdq— j Ildpdq, получим

11^-71(0)= j D [in (”-) + !-(” ^dpdq. (5.265)

Так как In у + 1 ^ у (рис. 5.20, а) и функция D положительна, то отсюда следует, что

Т) № - Т] (0) ^ 0.(5.266)

х) Она не совпадает с ранее введенной энтропией Гиббса <^N =

• dN.

Если ц переменна, то при условии, что начальное состояние D постоянно внутри каждой ячейки, р убывает. Кроме того, р перестает убывать, когда П становится однородной. Справедливость этого утверждения можно доказать следующим образом. Пусть

Рис. 5.20. График функций, рассматриваемых в теореме о крупнозернистом разбиении.

П — однородное распределение. Рассмотрим изменение функции П, при котором она переходит в П' = Пех , где х — произвольная функция z. Во-первых, из условия нормировки П следует, что [ (П' -П) dpdq = O.(5.267)

Кроме того, ввиду нашего выбора функции П

j (1+1пП)(П-П')йрйд = (1 + 1пП) j (П—W')dpdq = 0. (5.268)

Рассмотрим теперь изменение ц, обусловленное «удалением» от однородного распределения:

6т] = т]' —т) = ( (П'1пП' —ГИпЩ^рй?. (5.269)

Преобразуя этот интеграл с использованием (5.268), можем записать его в виде

j П (хех + 1 — e^dpdq^O.

Это неравенство следует из следующего соотношения (см. рис. 5.20, б)

I 0, х ^= 0; хех +1 — е^ \

I =0, х = 0.

(Таким образом, когда П однородна, ц — минимальна (поскольку любое изменение распределения П от однородного состояния вызывает увеличение энтропии ц).

На первый взгляд может показаться, что мы получили необратимый закон (5.266) из одной только динамики (уравнение Лиувилля). Но это не так. Слабым местом теоремы является предположение о том, что D изменяется, удаляясь от своего начального значения D (0), постоянного в подобластях энергетического слоя. Это очень сильное предположение. Оно эквивалентно предположению о метрической неразложимости. Во-вторых, теорема связана с введением «крупнозернистой» функции распределения П. При переходе к П-представлению часть информации теряется. Знать П — это много меньше, чем знать чисто динамическую* функцию распределения D. Знание П не дает никакой информации о структуре каждой ячейки. Именно на этом «рафинированном» детализованном уровне динамики законы природы являются обратимыми. При получении «крупнозернистых» макроскопических средних переменных приносится в жертву это детальное описание и тогда выступает необратимость макроскопической физики.

Задача 5.26. Используя теорему Биркгофа, доказать, что* частица, ограниченная в своем движении замкнутой сферической идеально отражающей стенкой, не является эргодической системой.

Указание. Сохранение углового момента означает, что прицельный параметр частицы (относительно центра сферы) постоянен. Используя этот факт, найти континуум траекторий, которые отображают фиксированную подобласть на саму себя.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

А. Работы, связанные с теорией газов, решением уравнения Больцманаи коэффициентами переноса

Барнетт (Burnett D.)

The Distribution of Velocities in a Slightly Non-Uniform Gas, Proc^ bond,. Math. Soc., 39, 385.

The Distribution of Molecular Velocities and the Mean Motion in? a Non-Uniform Gas, Proc. bond. Math. Soc., 40, 382.

Гильберт (Hilbert D.)

Math,. Ann., 72, 562.

ГРЭД (Grad H.)

Comm. Pure and Applied Math., 2, 331.

Д’комс (James G.G.F.)'

**921) Proc. Camb. Phil. Soc., 20, 477.

Джинс (Jeans J. Н.)

Phil. Trans. Roy. Soc. Л, 196, 399.

<1904) Quart. J. Math.. 25, 224.

Джонс (Леннард) (Jones J. E. (Lennard))

<1924) Proc. Roy. Soc. Л., 106, 441.

Лоренц (Lorentz H. A.)

On the Equilibrium of Kinetic Energy among Gas-Molecules, Wien Ber.. 95, 115.

<1905) The Motions of Electrons in Metallic Bodies, Proc. Amsterdam Acad, 7, 438, 585, 684.

Arch. Neerland. 10, 343.

Массей, Mop (Massey H. S. W., Mohr С. В. O.)

On the Rigid Sphere Model, Proc. Roy. Soc.. A. 141, 434.

<1934) On the Determination of the Laws of Force between Atoms and Molecules, Proc. Poy. Soc.. 144, 188.

Лиддак (Pidduck F. B.)

The Kinetic Theory of the Motions of Ions in Gases, Proc. bond. Math. Soc.. 15, 89.

<1922) The Kinetic Theory of a Special Type of Rigid Molecule, Proc. Roy, Soc. A. 101, 101.

Хэсс (Hasse H. R.)

<1926) Phil. Mag.. 1, 139.

Хэсс, Кук (Hasse H. R., Cook W. R.)

Phil. Mag.. 3, 977.

<1929) Proc. Roy. Soc.. 196.

Phil. Mag.. 12, 554.

Чепмен (Chapman S.)

Phil. Trans. Roy. Soc. A.. 211, 433.

On the Law of Distribution of Velocities, and on the Theory of Viscosity and Thermal Conduction, in a Non-Uniform Simple Monatomic Gas, Phil. Trans. Roy. Soc. A. 216, 279.

Phil. Trans. Roy. Soc. A. 217, 115.

Phil. Mag.. 34, 146.

Phil. Mag.. 38, 182.

On Certain Integrals Occuring in the Kinetic Theory of Gases, Manchester Mem.. 66, 1.

/d Q9Q\ 1VT n v) pT) p^I-pt Mptd7 1

On Approximate Theories of Diffusion, Phil. Mag.. 5, 630.

On the Convergence of the Infinite Determinants in the Lorentz Case, J. bond. Math. Soc.. 8, 266.

Чепмен, Хейнсуорс (Chapman S., Hainsworth W.)

<1924) Some Notes on the Kinetic Theory of Viscosity, Conduction and Dif' fusion, Phil. Mag.. 48, 593.

Энског (Enskog D.)

Phys. Zeit.. 12, 56, 633.

1912) Ann. der Phys.. 38, 731.

1917) The Kinetic Theory of Phenomena in Fairly Rare Gases, Dissertation* Uppsala.

1921) The Numerical Cumulation of Phenomena in Fairly Rare Gases, SvensH- Vet. Akad. (Arkiv. f. Mat. Ast. och Fys.), 16, 1.

/1922) Kinetic Theory of Thermal Conduction, Viscosity, and Self-Diffusion in Certain Dense Gases and Liquids, Svensk. Akad. Handl., 63, № 4.

^928) Svensk. Akad. (Arkiv. f. Mat. Ast. och Fys.), 21 A, № 13.

В. О линейном операторе столкновений

Вэнь-Чень, Уленбек (Wang-Chang С. S., Uhlenbeck G. Е.)

On the Propagation of Sound in Monatomic Gases, University of Michigan Engineering Research Inst. Rept.

Трэд (Grad H.)

Phys. Fluids, 6, 147 and in Rarefied Gas Dynamics, ed. by J.Laur- mann, New York, Academic Press.

Карлеман (Carleman T.)

Problemes Mathematiques dans la Theorie Cinetique des Gas, Almqvist and Wiksells, Uppsala. Русский перевод: Карлеман T., Математические задачи кинетической теории газов, М., ИЛ, 1960.

Мак-Леннан (McLennan J. А.)

Phys. Fluids, 8, 1580.

Мотт-Смит (Mott-Smith Н. М.)

A New Approach in the Kinetic Theory of Gases, M. J. T., Lincoln Lab. Rept.

Орович (Sirovich L.)

Phys. Fluids, 6, 10.

Финкельстейн (Finkelstein L.)

Phys. Fluids, 8, 431.

В. Прикладная математика и анализ

Гильдербранд (Hilderbrand F.)

Methods of Applied Mathematics, Englewood Cliffs N. J., Prentice- Hall.

Курант, Гильберт (Courant R., Hilbert D.)

Methods of Mathematical Physics, vols. I and II, New York, Interscience, 1953 and 1965. Русский перевод нем. изд.: Курант Р., Гильберт Д., Методы математической физики, т. 1, 2, М.— Л., ГИТТЛ, 1951.

Лорч (Lorch Е. R.)

Studies in Modern Analysis, vol. I, ed. by R. C. Buck, Englewood Cliffs N. J., Prentice-Hall.

Стоун (Stone M. H.)

Linear Transformations in Hilbert Space and Their Application to Analysis, New York, American Math. Soc.

Г. Ранние работы no термодинамике

Джоуль (Joule J. P.)

Phil. Mag., 14, 211.

^рно (Carnot S.)

11824) Reflections sur la Puissance Motrice du Feu.

Клапейрон (Clapeyron Е.)

J. <ГЁсо1е Polytech., 14, 153.

Клаузиус (Clausius R.)

Abhandlung liber die Mechanische Warmetheorie, Braunschweig Vieweg, 1864, 1867; second ed., 1879; third ed., 1887.

Кельвин (Kelvin W.)

On a Universal Tendency in Nature to the Dissipation of Mechanical Energy, Phil. Mag., 4, 304 (1852); Proc. R. C. Edinburgh, 3, 139 (1857), Румфорд (Rumford В. T.)

Inquiry Concerning the Source of Heat which is Excited by Friction Phil. Trans.

Хороший обзор этих работ можно найти в книге Тейта:

Тейт (Tait Р. G.)

Sketch of Thermodynamics, Edinburgh, Douglas.

Д. Основные работы no статистической механике, термодинамикеи кинетической теории

Андрюс (Andrews F. С.)

Equilibrium Statistical Mechanics, New York, Wiley.

Беккер (Becker R.)

Theorie der War me," Berlin, Springerverlag.

Бриллюен (Brillouin L.)

Science and Information Theory, 2nd ed , New York, Academic Press. Русский перевод 1-го изд.: Бриллюен Л., Наука и теория информации, М., Физматгиз, 1960.

Броут (Brout R.)

Phase Transitions, New York, W. A. Benjamin.

Вильсон (Wilson A. H.)

Thermodynamics and Statistical Mechanics, Cambridge, Cambridge University Press.

Гуггенгейм (Guggenheim E. A.)

Thermodynamics, 4th ed., New York, Interscience Publishers. Русский перевод 1-го изд.: Гуггенгейм Э. А., Современная термодинамика, изложенная по методу У. Гиббса, Л.— М., Госхимиздат, 1941.

Дэвидсон (Davidson N.)

Statistical Mechanics, New York, McGraw-Hill.

Земанский (Zemansky M. W.)

Heat and Thermodynamics, 4th ed., New York, McGraw-Hill.

Каллен (Callen H. B.)

Thermodynamics, New York, Wiley.

Кирквуд, Оппенгейм (Kirkwood J. G., Oppenheim I.)

Chemical Thermodynamics, New York, McGraw-Hill.

Киттель (Kittel C.)

Elementary Statistical Physics, New York, Wiley. Русский перевоД: Киттель Ч., Элементарная статистическая физика, М., ИЛ, I960»

Кнудсен (Knudsen М.)

Kinetic Theory of Gases, London, Methuen.

Ландау Л. Д., Лифшиц E. M.

Теоретическая физика., т. 5, Статистическая физика, М., Физматгиз.

Ли, Сирс, Таркотт (Lee J. F., Sears F. W., Turcotte D. L.)

Statistical Thermodynamics, Reading, Mass., Addison-Wesley.

Линдсей (Lindsay R. B.)

Introduction to Physical Statistics, New York, Wiley.

Майер Дж., Майер M. (Mayer J. E., Mayer M. G.)

Statistical Mechanics, New York, Wiley. Русский перевод: Майер Дж., Гепперт-Майер М., Статистическая Механика, М., ИЛ, 1952.

Мак-Дональд (MacDonald D. К. С.)

Introductory Statistical Mechanics for Physicists, New York, Wiley.

Мато, Такаги (Muto T., Takagi Y.)

Order — Disorder in Alloys, in Advances in Solid-State Physics, vol. 1, pp. 194—282, New York, Academic Press.

Мюнстер (Munster A.)

Statistische Thermodynamik, Berlin, Springerverlag.

(1959) Prinzipien der Statistischen Mechanik, in Handbuch der Physik, vol. III/2, pp. 176—412, Berlin, Springerverlag.

Пиппард (Pippard A. B.)

The Elements of Classical Thermodynamics, Cambridge, Cambridge University Press.

Рашбрук (Rushbrooke G. S )

Introduction to Statistical Mechanics, Oxford, Oxford University Press.

Райф (Reif F.)

Fundamentals of Statistical and Thermal Physics, New York, McGraw- Hill.

Толмен (Tolman R. C.)

The Principles of Statistical Mechanics, Oxford, Oxford University Press.

Трайбус (Tribus M.)

{1961) Thermostatics and Thermodynamics, Princeton N. J., D. Van Nostrand. Русский перевод: Трайбус M., Термостатика и термодинамика, М., «Энергия», 1970.

Уилкс (Wilks J.)

The Third Law of Thermodynamics, Oxford, Oxford University Press.

Фаулер (Fowler R. H.)

Statistical Mechanics, 2nd ed., Cambridge, Cambridge University Press.

Фаулер, Гуггенгейм (Fowler R. H., Guggenheim E. A.)

Statistical Thermodynamics, rev. ed., Cambridge, Cambridge University Press. Русский перевод 1-го изд.: Фаулер Р., Гуггенгейм Э., Статистическая термодинамика, М., 1949.

Ферми (Fermi Е.)

Thermodynamics, New York, Dover Publications. Русский перевод- Ферми Э., Термодинамика, изд. Харьк. ун-та, 1969.

Френкель Я. И.

Статистическая физика, М.— Л., Изд-во АН СССР.

Хаар (ter Haar D.)

Foundations of Statistical Mechanics, Rev. Mod. Phys.. 27, 289.

Elements of Statistical Mechanics, New York, Holt, Rinehart and' Winston.

Хилл (Hill T. L.)

An Introduction to Statistical Thermodynamics, Reading, Mass. Addison-Wesley.

Statistical Mechanics, New York, McGraw-Hill. Русский перевод; Хилл T. Л., Статистическая механика, М., ИЛ, 1960.*

Хинчин А. Я.

Математические основания статистической механики, М.— Л., Гос- техиздат, 1943.

Хуанг (Huang К.)

Statistical Mechanics, New York, Wiley. Русский перевод: Хуанг К., Статистическая механика, М., «Мир», 1966.

Чайшолм. Борд (Chisholm J. S. R., Borde А. Н.)

An Introduction to Statistical Mechanics, New York, Pergamon Press»

Шредингер (Schrodinger E.)

Statistical Thermodynamics, 2nd ed., Cambridge, Cambridge University Press.

Эйринг Г., Хендерсон, Стовер, Эйринг Е. (Eyring Н., Henderson Ц., Stover В. J., Eyring Е. М.)

Statistical Mechanics and Dynamics, New York, Wiley.

E. ^6-теорема и эргодическая теорема

Биркгоф (Birkhoff G. D.)

Proc. Nat. Acad.. 17, 650, 656.

Биркгоф, Купмен (Birkhoff G. D4 Koopman В О )

Proc. Nat. Acad.. 18, 279.

.Больцман (Boltzmann L.)

Nature. 51, 413.

Wien. Ber.. 76, 373.

Wien. Ber.. 95, 153.

Борн, Грин (Born M., Green H. S.)

(1948) Proc. Roy. Soc. (London), A192, 166.

Гиббс (Gibbs J. W.)

Elementary Principles in Statistical Mechanics (Vol. II of his Collected Works), Chap. XII, New Haven. Русский перевод 1-го изд.: Гиббс Дж. В., Основные принципы статистической механики, излагаемые со специальным применением к рациональному обоснованию термодинамики, М.— Л., Гостехиздат, 1946.

джинс (Jeans J. Н.)

The Dynamical Theory of Gases, Chap. IV, Cambridge.

Джордан (Jordan P.)

Statistische Mechanik auf Quantentheoretischer Grundlage, Braunschweig.

Кац (Кас M.)

Probability and Related Topics in Physical Theory, Interscience^ New York. Русский перевод: Кац M., Вероятность и смежные* вопросы в физике, М., «Мир», 1965.

Кембл (Kemble Е. С.)

Phys. Rev., 56, 1013, 1146.

Клайн М. (Klein М. J.)

Phys. Rev., 87, 111.

Клайн О. (Klein О.)

Z. Physik, 72, 767.

Кольрауш, Шредингер (Kohlrausch К. W. F., Schrodinger Е.)

Physik. Z., 27, 306.

Лоренц (Lorentz Н. А.)

Wien. Вег., 95, 115.

Лошмидт (Loschmidt J.)

Wien. Вег., 73, 139.

Wien. Вег., 75, 67.

Мизес (von Mises Re.)

Wahrscheinlichkeitsrechnung, Leipzig — Vienna.

Нейман (von Neumann J.)

Proc. Nat. Acad., 18, 70, 263.

Z. Physik, 57, 30.

Окстоби, Улем (Ox,toby L, Ulam S.)

Ann. of Maths., 42, 874.

Паули (Pauli W.)

Probleme der Modernen Physik (Sommerfeld Festschrift, ed. by P. Debye), Leipzig.

Паули, Фирц (Pauli W., Fierz M.)

Z. Physik, 106, 572.

Планчерель (Plancherel M.)

Ann. Physik, 42, 1061.

Пуанкаре (Poincare H )

Les Methodes Nouvellerde la Mechanique Celleste, vol. I, Paris. Русский перевод в сб. Пуанкаре А., Избранные труды, М., «Наука», т. 1^ 1971; т. 2, 1972.

Розенталь (Rosenthal А.)

(1913) Ann. Physik, 42, 796.

Смекаль (Smekal А.)

<1926) Encyklopadie der mathematischen Wissenschaften, V, Pt. 28, Lein zig — Berlin.

Смолуховский (Smoluchowski M.)

Physik. Z., 13, 1069. Русский перевод в сб. Эйнштейн А., Смолухов- ский М., Броуновское движение, М.— Л., ОНТИ, 1936, стр. 1бб'

Толмен (Tolman R. С.)

The Principles of Statistical Mechanics, Oxford, Oxford University Press.

Уленбек (Uhlenbeck G. E.)

Over statistische methoden in de theorie der quanta, Dissertation, Leiden.

Фаулер (Fowler R. H.)

1936) Statistical Mechanics, Cambridge.

Ферми (Fermi E.)

1923) Physik. Z., 24, 261.

Хаар, Грин (ter Haar D., Green C. D.)

1953) Proc. Phys. Soc. (London), A66, 153.

Халмош (Halmos P. R.)

1956) Lectures on Ergodic Theory, Math. Soc. Japan, Tokyo. Русский перевод: Халмош П. Р., Лекции по эргодической теории, М., ИЛ, 1959.

Хинчин А. Я.

Математические основания статистической механики, М.— Л., Гос- техиздат.

Хопф (Hopf Е.)

Ergodentheorie {Ergeb. Math., 5, № 2), Berlin,

Цермело (Zermelo E.)

Ann. Physik, 57, 485.

Чандрасекхар (Chandrasekhar S.)

Revs. Mod. Phys., 15, 1.

Эренфест П., Эренфест T. (Ehrenfest P., Ehrenfest T.)

Encyklopadie der mathematischen Wissenschaften IV, Pt. 32, Leipzig — Berlin.

<1907) Physik. Z., 8, 311.

Список обозначений к гл. V

А —множество точек,

А — вектор-функция, являющаяся множителем в Ф(1\

В -—тензор-функция, являющаяся множителем в Ф(1)1 С —тепловая скорость,

Czo —кривая системы в Г-пространстве, включающая начальную точку z0, D —коэффициент диффузии, Е — энергия, F — свободная энергия, g — скалярная функция, являющаяся множителем в А, ^о — абсолютный максвеллиан, jF — одночастичная функция распределения, @ — скалярная функция, являющаяся множителем в В, g — безразмерная функция распределения, Н^ — полиномы Эрмита,

J — оператор столкновений Больцмана,

К — ядро оператора ^,

К — внешнее силовое поле, еЖ* — оператор (v — J£), к —постоянная Больцмана, Ж —оператор (— □),

I — средняя длина свободного пробега, т — среднее относительное отклонение, т — масса частицы, п — плотность числа частиц, Р — относительный тензор давлений, р — скалярное давление, р — импульс частицы, Q — большая статистическая сумма, Q — вектор относительного теплового потока, R — постоянная к/т, г0 — радиус взаимодействия, S — энтропия,

S — относительный тензор напряжений, s — безразмерная скорость, Т —температура,

Та (zo> ^) — доля времени из интервала t, проводимого кривой С20 в области А, и — гидродинамическая скорость, V — объем, v —удельный объем,

W — число микросостояний, реализующих данное макросостояние,

W — работа,

Z — каноническая статистическая сумма, 2 — активность, Р — неопределенный множитель Лагранжа, Р —переменная (А:Т)-1,

е — бесконечно малая величина,

р — термодинамический коэффициент полезного действия,

р —«крупнозернистая» энтропия Гиббса, ^° ф(1> — аппроксимация первого порядка для ^

К —ядро оператора

Ф — потенциал взаимодействия частиц, х — коэффициент теплопроводности, Л —тензор скоростей деформаций, ц —химический потенциал, ц — коэффициент вязкости, ц — неопределенный множитель Лагранжа, ц (Л) —мера множества А, v — частота столкновений,

vn —собственное значение оператора «Ж,

Q — объем в Г-пространстве, со — безразмерный максвеллиан, П — «крупнозернистое» распределение, % —собственные функции оператора <56, р —массовая плотность, V

2 — симметричная сумма градиентных операторов, т — объем в ц-пространстве,

^ — оператор динамического преобразования, □ — линейный оператор Больцмана.

ВЕКТОРНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ, ТЕНЗОРНЫЕОБОЗНАЧЕНИЯ И НЕКОТОРЫЕ ПОЛЕЗНЫЕИНТЕГРАЛЫ

Векторная функция положения А (г) представляет собой систему трех функций 4^; ц = 1, 2, 3. Они являются проекциями вектора А на декартовы оси координат, так что Av = 4Х, й2 = = Ayi A3 = AZ. Ац — это тензорное обозначение вектора А.

В более общем случае система Зп функций,

•Фг1, i=,.- ..nW,

где каждый из п индексов {£р} изменяется от нуля до трех, называется тензором ранга п в трехмерном пространстве. Скаляр не содержит индексов и, таким образом, является тензором нулевого ранга. Вектор есть тензор первого ранга.

В тексте употребляется векторное обозначение тензора второго ранга ф^, а именно

Часто встречающийся тензор второго ранга в качестве своих девяти компонент имеет произведения компонент двух векторов А и В. Например,

Д = АВ,(ПЛ)

Duv = AUBV.(П.2)

Тензор второго ранга ф^ является симметричным если

Ф|1¥ ~ ФуЦ»(П-3)

и антисимметричным (или косым), если

Фц¥ — Ф¥Ц«(П.4)

Симметричный или антисимметричный тензор всегда можно образовать из произвольного тензора следующим образом:

■ф$ = т (^vn + ^hv),(П-5)

%v = т Ctnv —^vn).(П«6)

Следом тензора называется сумма его диагональных компонент: з

Tr^v— 2 'Фин*(П.7)

(П.8)(П.8)Тензор с нулевым следом также можно образовать из ip:

(П.8)

(П.8)

но равенствам

б^ = 1 при р, = V, б^ = 0 при р, ^v.(П.9)

Симметричный

тензор с нулевым следом задается равенством

<^ = ^ “^ (Тг ^ 6^-(П-.10)

А А — ^|iv2* (^^’ Ф) ^iw-

(По повторяющимся индексам производится суммирование.) Дельта-символ Кронекера второго ранга 6^v определяется соглас-

В векторных обозначениях равенства (П.8) и (П.10) запишутся так:

(П.80(П.10')(П.80(П.10')-ф(О) _ ^ __ A. (Tr гр) I,г^0) — ip<s> — A (Tr гр) /.

(П.80

(П.10')

(П.80

(П.10')

Символ Леви-Чивита третьего ранга eZvM, определяется так:

S/vy, = + А если Zvp, —четная перестановка из 1, 2, 3, = —1, если Zvp —нечетная перестановка из 1, 2, 3, = 0, ^ если любые два индекса совпадают.

Векторное, или перекрестное, произведение двух векторов опре -

деляется равенствомделяется равенством

деляется равенством

деляется равенством

i j k

АхВ =АхВ =А % Ay -^z Вх By BzА % Ay -^z Вх By Bz(П.11)(П.11)

АхВ =

АхВ =

А % Ay -^z Вх By Bz

А % Ay -^z Вх By Bz

(П.11)

(П.11)

Триада единичных векторов (i, j, к) лежит вдоль декартовых осей координат, причем i —по направлению х, j —по направлению у и к — по направлению z. Тензорное обозначение векторного произведения имеет вид

(А х В)^ = ^1рАгВр. (П.12)

Внутреннее, или скалярное, произведение двух векторов определяется следующим образом:

(П.13а)(П.136)(П.13а)(П.136)А • В — АХВХ -|- АуВу -j- AZB;А «В = А^Ву,.

(П.13а)

(П.136)

(П.13а)

(П.136)

Оператор V

записывается так:

г=‘^+^+к^’(п-14а)

(ПЛ46)

Градиент сш

шярной функции ф определяется так:

grad ф = Уф,(П.15а)

(grad ф)ц = -^—ф.(П.156)

Ротор некто]

за определяется так:

rotA = VxA,(П.16а)

(rot А)ц = е^-^-Av.(П.166)

Дивергенция

: вектора определяется так:

divA = V.A,(П.17а)

<п-176)

Ниже даютс с их эквивал

я некоторые полезные векторные формулы вместе [ентными тензорными обозначениями:

V • фА = ф (V. А) + (А • V) ф,(П. 18а)

^И.-^А.Ц-Л.^ф,(П.186)

V X фЛ = фТ X А — Ах Тф,(П.19а)

е0

‘SVy^- фА» = 8а^ф ^ Av +eapvAv ^^ ф,(П.196)

V.AxB = B V X A—A V ХВ,(П.20а)

a дх

V(A.B) = (A

~ е^хА^В^ = 6nVTAv у^^ Вх 4~ GyvtBx дж^ -^v,(П.206)

• V)B + (B.V)A + Ax(VxB) + Bx(VxA), (П.21а) ^^A-A^-Sa + S-^A,(П.216)

ТХ(Тф) = 0,(П.22а)

^^^^ = 0,(П.226)

V.(VxA) = 0,(П.23а)

^^^7^ = 0,(П.236)

Vx(VxA) = V(V.A) — (V.V) A,

(П.24а).

99 A99 A

4lk-^4np^Ap-4lh%hUp 9$i dXn Ap,

(П.246)

^klll^knp = ^^n^lp 6pjAn

(П.25;

(используйте равенство (П.25) в равенстве (П.246), чтобы получить (П.24а)),

V.r = 3,(П.26а)

9О

(П.266)

V хг = 0,

(П.27а)

ehzpхр = ^Mp^ip = 0,

(П.276)

(A.V)r = A,

(П.28а)

^ц 9х^ %1 = ^^Аи ~ ^Ь

(П.286)

V X (А х В)= -BV.A-A VB + AV B + B VA,

(П.29а)

е„, „^ 1,»АкВ„_ „^ В„А. ^ AjBi— ^ (В.А.

AaBt\

(П.296)

V X (А X В) = V. (ВА - АВ), (А х В)-(С х D) = (А-С) (B-D)-(A.D) (В-С),

(П.ЗОа)'

^kiAkB i^dp^d^p = А^С^ВкОн AnDnB jCj^

(П.ЗОб)

(A X В) x (С x D) = (А.В X D) С-(A.B x C) D,

(П.31а)

^Ь.\х^\хМ^1грАкВ ^C KD p = £^baA^BkDQCk ^j^AjBffiiDh.

(П.316)

Симметричная сумма градиентных операторов определяется

согласно равенству

VV

(П.32)

Некоторые полезные интегралы

j e~^d,y = Vл>

(П.ЗЗ)

I (п") = ^e~ax2xndx, п >0, а>0,

(П.34)

0

(П.35)

где

Г (и) = J е-у-1 dx.(П.36)

О

Запишем два значения Г-функции:

Г(4)=^’<п-37)

Г(1) = 1.(П.38)

Для целых п, больших единицы, Г-функция принимает значения Г (лг) = (лг — 1)!.(П.39)

Это следует из рекуррентной формулы

Г(п) = (п~1)Г(п-1)>.(П.40)

Некоторыми характерными значениями I являются:

I(O) = iyHa-№,

Z(l) = A«-\ 7(2) = -^/ла-3/2, /(З)Ца-*

I (4) = | Ул а-5/2, /(5) = а-з.

Интеграл вероятности ошибок определяется так:

и

erf^ =—^= f e~x2dx.(П.41)

Для у<1

еЙу-"^^-^у3 + ^у5--*^ 1(П>42)

(Подинтегральное выражение разложено в ряд Тейлора.) Для

(П'43)

(Повторное интегрирование по частям.)

ФИЗИЧЕСКИЕ КОНСТАНТЫ

Скорость света в вакууме

с

2,9973.10s м/с

2,9973-1010 см/с

Постоянная Планка

К

6,625-10~34 Дж-с

6,625-10-27 эрг-с

Число Авогадро

^•0

6,0247• 1023 атом/г-атом

Постоянная Больцма

к

1,3804-10-23 Дж/°С

на

1,3804-10-16 эрг/°С

Газовая постоянная

Объем одной грамм-молекулы совершенно

кА0 = Л

8,3166 Дж/(г-моль-°С)

8,3166-107 эрг/(г-моль • °C)

1,9870 кал/(г-моль-°С)

го газа при нормальных температу

ре и давлении

22,421 л

Заряд электрона

е

1,6021-10"19 Кл

4,8029-10-10 ед. СГСЭ

Масса покоя электро

т

9,1085-10-31 кг

на

9,1085-10-28 г

Масса покоя протона

мр

1,6724-10 ~27 кг 1,6724-10"24 г 1,00759 а. е. м.

Магнетон Бора

Цв — eh/2mc

2,2732-10-21 эрг-Гс"1

Масса покоя нейтрона

мп

1,00898 а. е. м.

Отношение массы протона к массе электрона

Мр/т

1836,1

Отношение заряда

elm

1,7589.10й Кл/кг

электрона к его массе

5,2730-1017 ед. СГСЭ/г

Постоянная Стефана— Больцмана

о

5,6697 • 10~5 эрг-см-2-сек-1 -град'

Постоянная Ридберга

Roo

109 737,31 см"1

радиус первой водо

а

0,52916 А

родной орбиты Тройная точка воды

273,16 °К

Атомная единица мас

1 а. е. м

. 1,6598-10-м г

сы

Полезные переводные константы и единицы

Масса электрона, ev

т

0,51098 МэВ

Атомная единица мас

а. е. м.

931,16 МэВ

сы, еи

Константы в системе

е0

8,8542-10 ~12 Ф/м

единиц МКС

Ио

4л-10"7 Г/м

Электрон-вольт

1 эВ

1,6021.10-1а эрг

1,6021-10-19 Дж

1 МэВ

10® эВ

1 ГэВ

109 эВ

1 кулон0,1

ед. СГСМ

3-109 Франклин (ед. СГСЭ)

1 вебер на квадрат

104 Гс

ный метр

Основание натураль-

е

2,718

ных логарифмов

СПИСОК ДОПОЛНИТЕЛЬНОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

Власов А. А.

Статистические функции распределения, М., «Наука».

Гуров К. П.

Основания кинетической теории, М., «Наука».

Зубарев Д. Н.

Неравновесная статистическая термодинамика, М., «Наука».

Коган М. Н.

(1967) Динамика разреженного газа, М., «Наука».

Румер Ю. Б., Рывкин М. С.

Термодинамика, статистическая физика и кинетика, М., «Наука».

Силин В. П.

(1971) Введение в кинетическую теорию газов, М., «Наука».

Терлецкий Я. П.

Статистическая физика, изд. 2-е, М., «Высшая школа».

Толмачев В. В.

Основные уравнения кинетической теории газов, М.

Андрюс (Andrews F. С.) 348

Аппель (Appell Р.) 49

Балеску (Balescu R.) 116, 136, 165, 255, 261

Барнетт (Burnett D.) 345

Беккер (Becker R.) 348

Берд (Bird R. В.) 116, 262

Биркгоф (Birkhoff G. D.) 341, 350

Боголюбов Н. Н. 99, 115, 165, 207

Де Боер (de Boer J.) 115, 166

Больцман (Boltzmann L.) 43, 48, 115, 172, 228, 233, 261, 263, 338, 350

Бом (Bohm D.) 117

Бонд (Bond J. W.) 262

Борд (Borde A. H.) 350

Борн (Born M.) 99, 115, 166, 350

Бриллюен (Brillouin L.) 348

Броут (Brout R.) 348

Бхатнагар (Bhatnager D.) 233, 261

Бэч (Beth E.) 166

Ватсон (Watson К. M.) 262

Вебстер (Webster A. G.) 50

Вильсон (Wilson A. H.) 348

Власов A. A. 149, 167

Вонг (Wang M. C.) 262

Вэнь-Чень (Wang-Chang C. S.) 347

Гриффис (Gruffith B. A.) 50

Гросс (Gross E.) 233, 261

Грэд (Grad H.) 115, 165, 207, 231,

262, 263, 290, 294, 345, 347

Грэй (Gray D.) 166

Гуггенгейм (Guggenheim E. A.) 116,

348, 349

Гюкель (Hiickel E.) 144, 165

Дебай (Debye P.) 144, 165

Делькруа (Delcroix J. L.) 117, 165

Детуш (Destouche J. L.) 50

Джемс (James C. G. F.) 345

Джинс (Jeans J.) 262, 346, 351

Джонс (Леннард) (Jones J. E. (Lennard)) 346

Джордан (Jordan P.) 351

Джоуль (Joule J. P.) 347

Джудд (Judd D.) 262

Дирак (Dirac P. A. M.) 117

Дэвидсон (Davidson N.) 348

Дюпри (Dupree T. H.) 136, 153, 155, 156, 165

Земанский (Zemansky M. W.) 348

Зернике (Zernike F.) 166

Зоммерфельд (Sommerfeld A.) 50, 262,

Зумино (Zumino B.) 166

Гамильтон (Hamilton W. R.) 43, 48

Гернсей (Guernsey R. L.) 136, 165

Гиббс (Gibbs J. W.) 43, 48, 86, 113, 115, 319, 341, 342

Гильберт (Hilbert D.) 284, 345, 347

Гильдербранд (Hilderbrand F.) 284, 347

Гиршфельдер (Hirschfelder J. O.) 116, 262

Голд (Gold T.) 260

Голдстейн (Goldstein H.) 50

Грин (Green M. S.) 99, 115, 166, 350, 352

Ивон (Ivon J.) 99, 116

Каллен (Callen H. B.) 348'-

Карлеман (Carleman T.) 347

Карно (Carnot S.) 310, 347

Каулинг (Cowling T. G.) 173, 263

Кац (Кас M.) 116, 342, 351

Кейлсон (Keilson J.) 261

Кельвин (Kelvin W.) 310, 348

Кембл (КётЫе E. С.) 351

Кеннард (Kennard Е. Н.) 262

Кертисс (Curtiss С. F.) 116, 262

Кирквуд (Kirkwood J. G.) 99, 116, 207, 261, 348

Киттель (Kittel С.) 348

Клайн М. (Klein М. J.) 351

Клайн О. (Klein О.) 351

Клапейрон (Clapeyron Е.) 310, 348

Клаузиус (Clausius R.) 204, 310, 348

Кнудсен (Knudsen М.) 349

Колмогоров А. Н. 105

Кольрауш (Kohlrausch К. W. F.) 351

Коэ (Сое С. J.) 50

Коэн Е. Г. Д. (Cohen Е. G. D.) 106, 165

Коэн Р. С. (Cohen R. S.) 165

Крамер (Cramer Н.) 117

Крук (Krook М.) 233, 261

Кук (Cook W. R.) 346

Купмен (Koopmen В. О.) 350

Курант (Courant R.) 284, 347

Куш (Kusch Р.) 263

Лагранж (Lagrange J. L.) 43, 48

Ландау Л. Д. 50, 116, 255, 262, 349

Ленард (Lenard А.) 136, 165, 255, 262

Ли Т. Д. (Lee Т. D.) 260

Ли Дж. Ф. (Lee J. F.) 349

Либов (Liboff R. L.) 117, 149, 165, 166, 167, 251, 263

Либовиц (Lebowitz J.) 167, 251, 263

Линден-Белл (Lynden-Bell D.) 149, 167

Линдсей (Lindsay *R. В.) 349

Лиувилль (Liouville J.) 48

Лифшиц Е. М. 50, 116, 349

Лоренц (Lorentz Н. А.) 346, 351

Лорч (Lorch Е. R.) 292, 347

Лошмидт (Loschmidt J.) 117, 261, 351

Лоэб (Loeb L. В.) 262

Лэмб (Lamb Н.) 50

Лэндшофф (Landshoff R.) 165

Майер Дж. (Mayer J. Е.) 116, 166, 349

Майер М. (Mayer М. G.) 116, 166, 349

Мак-Дональд (McDonald W.) 262, 349

Мак-Леннан (McLennan J.) 347

Мак-Миллан (MacMillan W. D.) 50

Максвелл (Maxwell J. С.) 43, 49, 228, 261

Маршак (Marshak R. Е.) 165

Массей (Massey Н. S. W.) 346

Мато (Muto Т.) 349

Мизес (von Mises R.) 351

Миллер (Miller R.) 263

Милн (Miln E. A.) 50

Монтгомери (Montgomery D.) 166

257, 262

Mop (Mohr G. В. O.) 346

Мотт-Смит (Mott-Smith H. M.) 347

Мурнаган (Murnaghan F. D.) 51

Мюнстер (Munster A.) 349

Нейман (von Neumann J.) 341, 351

Окстоби (Oxtoby I.) 342, 351

Оппенгейм (Oppenheim I.) 251, 348

Орнстейн (Ornstein L. S.) 166

Осгуд (Osgood W. F.) 50

Парсен (Parsen E.) *105

Паттерсон (Patterson G. N.) 262

Паули (Pauli W.) 106, 351

Пиддак (Piddack F. B.) 346

Пиппард (Pippard A. B.) 349

Пирона (Perona G.) 166

Планк (Planck M.) 237, 262

Планчерель (Plancherel M.) 338, 351

Презент (Present R. D.) 262

Пригожин (Prigogine I.) 65, 116, 117

Пуанкаре (Poincare H.) 43, 48, 89,

117, 339, 351

Пуассон (Poisson S. D.) 48

Райс (Rice S. A.) 166

Райф (Reif F.) 349

Рашбрук (Rushbrooke G. S.) 349

Рейхенбах (Reichenbach H.) 261

Розенблют (Rosenbluth M. N.) 136, 143, 166, 262

Розенталь (Rosenthal A.) 338, 351

Росс (Ross J.) 116

Ростокер (Rostoker N.) 136, 143, 166

Роутли (Routly P.) 165

Румфорд (Rumford В. T.) 310, 348

Синг (Synge J. L.) 50

Сирович (Sirovich L.) 347

Сирс (Sears F. W.) 349

Слейтер (Slater J. G.) 50

Смекаль (Smekal A.) 352

Смолуховский (Smoluchowski M.)

105, 352

Спитцер (Spitzer L. Jr.) 165

Стелл (Stell G.) 166

Стовер (Stover В. J.) 350

Сторер (Storer J.) 261

Стоун (Stone М. Н.) 292, 347

Сэндри (Sandri G.) 136, 166

Такаги (Takagi Y.) 349

Таркотт (Turcotte D. L.) 349

Тейт (Tait Р. G.) 348

Тидмен (Tidmen D.) 166, 257, 262

Тимошенко (Timoshenko S.) 50

Толмен (Tolman R. С.) 116, 263, 349, 352

Трайбус (Tribus М.) 349

Уилкс (Wilks J.) 349

Уиттекер (Whittaker Е. Т.) 50

Улем (Ulam S.) 342, 351

Уленбек (Uhlenbeck G. Е.) 165, 166,

262, 347, 352

Уолдмен (Waldman L.) 263

Урселл (Ursell Н. D.) 117, 166

Уэлч (Welch J. А.) 262

Фаулер (Fowler R.) 116, 349, 352

Ферми (Fermi Е.) 89, 117, 339, 350, 352

Фидель (Fedele J.) 251, 263

Финкельстейн (Finkelstein L.) 347

Фирц (Fierz М.) 351

Фишер И. 3. 166

Фоккер (Fokker А.) 237, 262

Френкель Я. И. 166, 350

Фриман (Frieman Е. А.) 166

Фриш (Frisch Н.) 167

Фрэнк (Frank N. Н.) 50

Хейнсуорс (Hainsworth W.) 346

Хендерсон (Henderson D.) 350

Хилл (Hill T. L.) 116, 167, 350

Хинчин А. Я. 350, 352

Хопф (Hopf E.) 352

Хуанг (Huang K.) 350

Хэсс (Hasse H. R.) 346

Ван Хов (L. Van Hove) 106

Цартман (Zartman I. F.) 263

Цермело (Zermelo E.) 117, 261, 352

Чайшолм (Chisholm J. S. R.) 350

Чандрасекхар (Chandrasekhars.) 262,

352

Чен (Tchen С. M.) 166

Чепмен C. (Chapman S.) 173, 263,

346

Шефер (Schaefer C.) 51

Шредингер (Schrodinger E.) 350, 351

Эйзенхарт (Eisenhart L. P.) 51

Эймс (Ames F. D.) 51

Эйнштейн (Einstein A.) 43, 49, 113, 319

Эйринг Г. (Eyring H.) 350

Эйринг E. M. (Eyring E. M.) 350

Энског (Enskog D.) 346

Эренфест П. (Ehrenfest P.) 116, 263, 352

Эренфест T. (Ehrenfest T.) 116, 263, 352

Юнг (Joung D. H.) 50

Хаар (ter Haar D.) 116, 350, 352

Халмош (Halmos Р. R.) 352

Якоби (Jacobi K. G. J.) 48

Активность 330

Ансамбль 319

— канонический 321, 324

— — большой 328, 330

— микроканонический 321, 341

Вектор апсидальный 182

— Пойнтинга 224

— теплового потока 121

Вероятность переходная 106

— термодинамическая 307

связь с энтропией 312, 329

Взаимодействие жестких сфер 187, 271

— кулоновское 186, 239, 241, 257

Взаимодействия напряженность 197

— радиус 138, 202, 271

Вращение виртуальное 20

Времени изотропность 22

— однородность 22

Время возврата Пуанкаре 172

— релаксации 244, 289

— среднее между столкновениями 123, 197

— столкновения 122

Газ идеальный 122, 194, 324

— Кнудсена 273

— кулоновский см. Плазма

— несовершенный (неидеальный) 318

— фундаментальный 211

Гамильтониан 18, 79, 93, 322

— включающий внешний потенциал 153

— для свободных частиц 71

— относительный 174

— как производящая функция 33

Гипотеза Боголюбова 122, 156, 164

— эргодическая см. Теорема эргодическая

Градиент 357

Давление (скалярное) 121, 163, 269

Дальнодействие 187, 237, 252

Движение периодическое 35

— разделимое 35

Действие 14, 33

Дивергенция 357

Длина волны де Бройля 332

— свободного пробега средняя 123, 197, 272

Допущение Маркова 105

Закон адиабатический 221

— феноменологический 267

— Фика 303

Инварианты канонические 31, 43

— Пуанкаре интегральные 43, 57, 202

— сумматорные (столкновений) 217, 229

Интеграл вероятности ошибок 359

Интегралы изолирующие 339

Каналы рассеяния 193

Константы движения 23, 43, 61, 89, 174

— — аддитивные 339

— — глобальные 339

— — локальные 339

— физические 360

Координаты и импульсы канонические 18, 28

— обобщенные 13, 53

— циклические 18

Коэффициент вязкости 269, 283

— диффузии в уравнении Фоккера —

Планка 243, 249, 252

— самодиффузии 268

— силы трения в уравнении Фокке

ра — Планка 244, 249

— теплопроводности 269, 284

Коэффициенты переноса 268, 270

Лагранжиан 13

Линии тока 220

Масса приведенная 174

Метод Грэда моментный 294

— характеристик 65

Механика квантовая 65, 77, 106

Микронеустойчивость 289

Множества мера 340

Множество метрически неразложимое 341

Множители Лагранжа неопределенные 315

Молекулы максвелловские 186, 297

Молекулярный хаос 203

Момент угловой 20, 185

Напряжения 121, 159, 269

— кинетическая составляющая 160, 164

— потенциальная составляющая 161, 164

Необратимость динамическая 298, 345

Обратимость динамическая 22, 153, 170

Оператор вполне непрерывный 292 — кинетической энергии 93, 134, 138 — Лиувилля Ln 92 — — линейный А 65, 66 возмущенный 74, 79 для невзаимодействующих частиц 71

свойства 66

собственные функции 73

приведенный Ls 92, 131

— набла 357

— ограниченный 291

— потенциальной энергии 93, 138

— резольвентный 81

— сдвига 131

— столкновений Больцмана линейный 278, 284, 286

— — — — свойства 285

— — — нелинейный 204, 233, 273

— — — свойства 216

— — — — спектр 288

Описание микроскопическое 122

Орбита динамическая см. Траектория динамическая

Отклонение среднее квадратичное 334

— — — относительное 334

Отклонение среднее квадратичное плотности 360

— — энергии 335

Парадокс возвратимости Цермело 89, 172

Параметр прицельный 179, 180

— безразмерный 186

Параметры внешние 326

Переменные гидродинамические (мак

роскопические) 120, 163, 274

— — абсолютные 218

— — относительные 219

— «действие — угол» 34, 36, 39, 73, 78, 90

— термодинамические интенсивные 309

— экстенсивные 309

Перемещение виртуальное 14, 19

обобщенное 326

Переходы первого и второго порядка 77

Плазма 143, 222, 254

Плотность импульса электромагнитного поля 224

числа частиц 120

— энергии электромагнитного поля 224

Поверхность энергетическая 85, 90,

Подход в статистической механике апостериорный 336

— — — — априорный 303

постулаты 309

Последовательность преобразований метрически транзитивная 341

Постоянная газовая 230

— Планка 88

Потенциал жесткий 290, 292

— пороговый 290

Предел гидродинамический 273

— Розенблюта — Ростокера 143, 153

— термодинамический 101

Предположение адиабатичности 156

Преобразование каноническое 28

— — бесконечно малое 31

— точечное 30

— обмена 31

— тождественное 31

Лежандра 18, 29

Принцип Гамильтона 13

— динамической обратимости 23, 43

исключения Паули 158

равных априорных вероятностей

303

Произведение векторное 356

— скалярное 356

Производная индивидуальная 220

Пространства изотропность 20

— однородность 19

Пространство Г 24, 53, 304, 309, 311, 319

— Г 24

— L2 287, 291

— ц 304, 313, 318

Процесс марковский 106, 245

Радиус дебаевский 144

Разложение Кирквуда 140

Разложения групповые 136

Распределение Больцмана см. Распределение Максвелла

— «крупнозернистое» 343, 345

— Максвелла 226, 229, 233, 243, 278, 290, 292, 315, 317

— — абсолютное 230, 231

— — локальное 231, 270, 277, 294

— нормальное 243

Расширение газа свободное 312

Ротор 357

Сечение рассеяния дифференциальное 182, 183

для кулоновского взаимодействия 187

— — полное 183

Сила дальнодействующая 239

— короткодействующая 239

— обобщенная 326

Символ Леви-Чивита 356

Система квазиэргодическая 339

— координат центра масс 174, 177, 178, 184, 187, 190, 238

— — лабораторная 174, 176, 188, 190

— эргодическая 338, 345

Скобки Пуассона 26, 44

— — фундаментальные 31

Скорости обобщенные 22

Скорость макроскопическая 120, 121

— относительная 121, 219, 277

— тепловая 243

Соотношение дисперсионное 302

Состояние макроскопическое 120, 304

наиболее вероятное 313, 316

— микроскопическое 304, 326

— равновесное 172, 229, 231, 270, 305; см. также Распределение Максвелла

— — неустойчивое 302

— термодинамическое 309; см. также Состояние макроскопическое

Сохраняемость волновых векторов 80 — импульса 19, 178

Среднее по ансамблю 86, 320, 326, 330

Стадия гидродинамическая 127, 164 231, 274

— кинетическая 126, 164, 231

— начальная 124, 164

Степени свободы системы 12

Столкновения дальние 239, 240, 254

— инверсивные 135, 180, 201

— реверсивные 181

— самые дальние 254

Стрелка времени 303

Сумма градиентных операторов симметричная 358

— статистическая 327, 328, 331

— — большая 331

Сфера дебаевская 254

Тензор напряжений Максвелла 224 — скоростей •деформаций 220, 269, 276

Тензора след 356

<^?-теорема Больцмана 172, 224, 277, 288, 318, 336

для уравнения Фоккера —

Планка 251, 253

Теорема Биркгофа 341, 345

— о гамильтониане 21

— Пуанкаре возвратная 172

— спектральная 292

— (гипотеза) эргодическая 87, 337

— — — полная 340

— — — средняя 341

Теория возмущений нестационарная 76

— — — метод 76

— Гамильтона — Якоби 34

— Ньютона — Джинса 149

— орбит первого порядка 150

Теплоемкость удельная 335

Термодинамика 309

— закон первый 312

— — второй 310

Тождество Якоби 27

Точка представляющая (изображающая) 319

Траектория динамическая 53, 61 89, 170, 341

Угол рассеяния 177, 180, 183, 185

Уравнение Балеску — Ленарда 156, 256

— Барнетта 173

— бескорреляционное 148

— Больцмана 136, 188, 204, 232, 241, 259

анализ Чепмена — Энскога 271, 274, 277, 282

Уравнение Больцмана безразмерное 272

в обобщении Боголюбова 134

— — вывод Боголюбова 122

— — — Больцмана 194

Грэда 206, 212

— — — Кирквуда 213

для двухкомпонентного газа 257

— — линеаризованное 186, 278

- БИ! 91, ИЗ, 148, 152, 159, 214, 258

- БИ8 91, ИЗ, 127, 153

— Власова 149, 237, 254, 258

— — обратимость 153

— Гамильтона — Якоби 38

— Грэда первое 210

— — второе 210, 213, 259

— диффузии 268, 298

— Крука — Бхатнагара — Гросса 235, 237, 259

— Ландау 256

— Лиувилля 56, 60, 66, 74, 90

одночастичное 87, 141, 195, 258

— — в представлении взаимодействия 76

— — решение 61, 64, 77

—анализ Пригожина 65, 100

— неразрывности 55, 159, 218, 297

— обратимое 205

— Паули 106

— переноса максвелловское 224

— состояния 163

— управляющее 106, 204

— Фоккера — Планка 239, 242, 244, 248, 251, 259

вывод из уравнения Больцмана 240, 242

— Чепмена — Колмогорова 105, 106, 245

— Шредингера 66

Уравнения ББКГИ 12, 91, 99, ИЗ, 115, 137

— — анализ Боголюбова 122

— — в форме Сэндри 138

— Гамильтона 18, 44, 56

— кинетические 148, 164, 233, 258, 259

— Лагранжа 14

— Максвелла 223

— моментные 160, 164

— Навье — Стокса 276

— решение самое общее 61

— решения самосогласованные 151

— самосогласованные 151

— сохранения 160, 216, 270

— в относительных переменных 220

Уравнения ББКГИ для плазмы в одножидкостном приближении 223

— — и КБГ-уравнение 235

— — нормальная форма 218

— — и ФП-уравнение 254

— Эйлера 275, 278

Условие детального (статистического) баланса 228

Флуктуации 332

Функции корреляционные 137, 139,

146, 164

в однородном пределе 156

представлении Кирквуда 140

Функция весовая 286

— Гамильтона см. Гамильтониан

характеристическая 38

— Лагранжа см. Лагранжиан

— плотности 54, 55, 83

— производящая 28, 34, 38

— распределения, анизотропные и изотропные компоненты 260

Кирквуда s-частичная усредненная по времени 213

— — Z-числовая 107

N- и s-частичная (s <С N) 83, 114

одночастичная, связь с гидродинамикой 120

приведенная 92, 114

радиальная 102, 157

скорости нормальная 243

совместная 103

усеченная 207

условная 103, 105

Формализм Гамильтона 17

— Лагранжа 12

Цикл Карно 310

Частицы идентичные 95

— неидентичные 96

Частота плазменная 144

— столкновений 234, 237, 285, 290

для двухкомпонентного газа 260

Числа заполнения 304, 314

Энергетический слой 85, 89, 90, 307, 321, 340

Энтропия Больцмана 225

— Гиббса 225, 343

— термодинамическая 226, 310—312, 321

Kanonische Normalsysteme 89

Stosszahlansatz 194, 215

Umkehreinwand 89*

Wiederkehreinwand 89

Wiederkehrsatz 172

ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие редактора перевода 5

Предисловие 9

Глава I. Элементыклассической механики 11

Вводные замечания И

ФормализмЛагранжа 12

ФормализмГамильтона 17

Скобки Пуассона и канонические преобразования . . . .26

Переменные «действие — угол» и теория Гамильтона — Якоби 34

Интегральные инвариантыПуанкаре 39

Список литературы 48

Список обозначений 51

Глава II. Уравнение Лиувилля и функции распределения 53

Концепция ансамбля и уравнение Лиувилля 53

Решение уравнения Лиувилля 60

Анализ Пригожина уравнения Лиувилля 65

Третья интерпретация D*. TV-частичная функция распределения fN 83

Динамика системы, выраженная через функцию fN: приведенные распределения.ББКГИ-уравнения 91

Условные и Z-числовыефункциираспределения 103

Список литературы 115

Список обозначений 117

Глава III. Формальное развитие теории кинетических уравнений и их связь с гидродинамикой 120

Одночастичная функция распределения и ее связь с гидродинамикой 120

Анализ Боголюбова ББКГИ-уравнений 122

Групповые разложения 136

Определение кинетического уравнения. Самосогласованные решения 148

Формальное выражение для 7^2 в однородномпределе...153

Радиальная функция распределения и уравнениесостояния156

Список литературы 165

Список обозначений 167

Глава IV. Уравнения Больцмана, Крука — Бхатнагара — Гросса, Фоккера — Планка и родственные им. Вывод уравнений и их свойства 170

170170Дальнейшее толкование необратимости

170

170

Концепция столкновений 173

Уравнение Больцмана 194

Свойства больцмановского оператора столкновений . . . .216

Уравнение Крука — Бхатнагара — Гросса 233

Уравнение Фоккера —Планка 237

Список литературы 260

Список обозначений 263

Глава У. Решение и дальнейшие свойства уравнения Больцмана, Релаксация к равновесию 267

Анализ Чепмена — Энскога уравнения Больцмана. Приближение малого среднего свободного пробега 267

Свойства линейного больцмановского оператора столкновений 285

Моментный метод Грэда 294

Релаксация к равновесному состоянию 298

Апостериорный подход. Эргодическая гипотеза 336

«Крупнозернистое* разбиение 342

Список литературы 345

Список обозначений 322

Приложение 1 355

Приложение 2 360

Список дополнительной литературы 362

Именной указатель 363

Предметный указатель . . 366

Либов Р.

ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ КИНЕТИЧЕСКИХУРАВНЕНИЙ

Редактор Л. Н. Бабынина

Художник Е. К. Самойлов

Художественный редактор В. И. Шаповалов

Технический редактор Л. П. Бирюкова

Сдано в набор 25/IX 1973 г.

Подписано к печати 6/II 1974 г.

Бумага тип. № 2 60х901/1в=11,75 бум. л.

23,50 усл. печ. л., Уч.-изд. л. 20,60Изд. № 1/6963

Цена 2 р. 09 к. Зак. 01243

ИЗДАТЕЛЬСТВО «МИР»

Москва, 1-й Рижский пер., 2

Ордена Трудового Красного знамениМосковская типография № 7

«Искра революции» Союзполиграфпромапри Государственном комитете

Совета Министров СССР по деламиздательств, полиграфии и книжной торговли

Москва К-1, Трехпрудный пер., 9

б) Если легкая частица сталкивается с тяжелой (в системе координат, связанной с тяжелой частицей), то энергия легкой частицы сохраняется. Следовательно, а-частицы, которые после столкновения приходят в интервал скоростей d3^ около |, должны до столкновения быть в интервале d3*^ около V с I V 1 = I I I- Чтобы учесть все вклады для данной скорости |, мы должны просто проинтегрировать да (1) по всем направлениям, т. е. по телесному углу 4л. С другой стороны, если а-частица испытывает столкновение, то вектор | изменяется и частица «выбрасывается» из элемента объема d3^ около |.

Список литературы

А. Вопросы, связанные с обращением времени

Голд (Gold Т.)

N

Дифференцирование обеих частей по § дает

Р ЯИБОВ