Книга
← К списку книгЗагрузка разделов…
активнаАктивные записи участвуют в каталоге и синках. Неактивная книга скрыта, но не удалена из базы.
Книга
ФЕНОМЕНОЛОГИЧЕСКАЯ ТЕРМОДИНАМИКА
Термодинамика простых систем
Термодинамика устанавливает точные соотношения между различными макроскопическими параметрами системы, т.е. различными экспериментально измеряемыми характеристиками. Для вычисления таких характеристик необходимо привлекать уравнение состояния, получаемое на основе статистического подхода или данных эксперимента.
Получение термодинамических тождеств основано на использовании фундаментального равенства Гиббса, которое имеет вид
dU = TdS -pdV + iidN.(1.1)
Внутренняя энергия U, рассматриваемая как функция S, V и ?/, называется термодинамическим потенциалом. При этом говорят,
что она задана
а 2 например,
в своих естественных переменных. Поскольку, 2 2 ту
=то из (1.1) следует
На практике
бывает удобно перейти к термодинамическим
потенциалам с другими естественными переменными. Они получа-
ются с помощью
преобразований Лежандра
F(TMN) = U-TS,
B(S,p,Af) = U+ pV,
(1.3)
孰Т,р,М) = U+ pV- TS,
Й(Т,К,|1) = U-TS- g^.
Можно построить и другие потенциалы, например А = U - иМ однако практически они не используются. Из определений (1.3) с учетом (1.1) следуют равенства
dF = -SdT - pdV + MM
dW= Vdp + TdS + MN'
(1.4)
d© = Vdp-SdT+ MM
dQ = -SdT -pdV- Nd".
Из равенств (1.4) следуют аналоги равенств (1.2); напри мер, из первого равенства (1.4) имеем
二吼W
_ га
Практически переход от
одних термодинамических переменных
к другим удобно проводить, используя определители —якобианы
перехода
(1.6)(1.6)
(1.6)
(1.6)
С их помощью частные производные записываются в виде
(L7)
а переход от одних переменных к другим осуществляется следующим образом:
(1.8)(1.8)
(1.8)
(1.8)
Если три величины х, у и 2 связаны функциональной зависимостью f(x, //, г) = 0, то удобно использовать следующее
тождество:
凰闘z［凱=j(19)
Поскольку часто рассматриваются системы с фиксированным числом частиц, то соотношения (1.1)-(1.5) переписывают с учетом этого факта. Например,
dU = TdS - pdV,開卜
(LIO)
Термодинамика диэлектриков и магнетиков
При наличии электрического поля Е выражение для дифференциала внутренней энергии единицы объема системы и записывается в виде
du = Tds + ^dp + IjjErfD,(1.11)
где С = ц/m —химический потенциал, отнесенный к единице массы, /п —масса частицы, р = Nm/V, D —индукция электрического поля.
Плотность энергии и в (1.11)—это полная плотность энергии системы, изменение которой определяется теплопередачей, изменением числа частиц и изменением электрического заряда. Наряду с и можно рассматривать функцию
% = "-加，(1.12)
которая получается из и преобразованием Лежандра по переменным Е и D. Поэтому
du} = Tds + Cdp - IjjDrfE.(1.13)
Можно в явном виде выделить из и плотность энергии электрического поля
々=и - £2/(8п).(1.14)
Тогда, учитывая, что D = Е + 4пР, где Р —поляризация, имеем с помощью (1.11)
du? = Tds + gdp + EdP.(1.15)
Наконец, преобразуя 匕 по Лежандру в отношении переменных Е и Р, имеем
〃з = 〃2 - РЕ.(1.16)
Соответственно
% = Tds + ^dp - PdE(1.17)
Остальные термодинамические потенциалы получаются с помощью равенств (1.11)-(1.17) на основе общих соотношений (1-3).
Функциям 〃2 и 〃з можно дать наглядную интерпретацию в соответствии с характером описываемой ими части плотности полной энергии системы и. Например, «2 описывает плотность энергии системы за вычетом плотности энергии электрического
поля. Использование функции “] вместо и соответствует ситуации, когда полный электрический заряд системы остается неизменным, а изменяются электрические потенциалы.
Выбор функций и, 汉 у «2 и 〃з определяется тем, какая часть энергии электрически заряженной системы рассматривается в конкретной задаче.
Термодинамические соотношения для магнетиков весьма сходны с аналогичными соотношениями для диэлектриков. Выражение для дифференциала внутренней энергии единицы объема имеет
вид
du = Tds + ^dp + ^HdB.
(1.18)
Наряду
с и рассматривается также термодинамический
потенциал
и^ = и - НВ/(4п),
(1.19)
Тогда
d〃〔 = Tds +《dp - |^BdH.
(1.20)
Можно
выделить в явном виде плотность энергии
магнитного
поля в
отсутствие магнетика:
и2 = и - 〃2/(8п).
(1-21)
Тогда,
учитывая соотношение
В = Н + 4пМ,
где Н — напряженность магнитного поля, имеем
d以 2 = Tds + ^dp + HrfM.(1.22)
Преобразуем 勺 по Лежандру в отношении переменных М и Н:
“3 =勺— МН.(1.23)
Теперь для du^ имеем
d以з = Tds + ^rfp - MdH.(1.24)
Иногда в явном виде выделяют плотность энергии магнитного поля при наличии магнетика
«2 = и - В2/(8п).(1.25)
В этом случае для дифференциала и^ имеем
d% = Tds + C,dp - MrfB.(1.26)
ЗАДАЧ И
Вычислить значение выражения ran ras］付门 га si
Решение. Легко заметить, что приведенное в условии задачи выражение можно записать в виде определителя
Теперь, пользуясь указанным свойством якобианов (1.8), имеем 。(兀S)_ a(7\s)а(р,т)_ _rasi ravi
Но из d® = -SdT + Vdp следует равенство
Поэтому исходное выражение равно единице.
Выяснить, как меняется энтропия однородной системы при ее квазистатическом расширении при постоянном давлении. За-
висит ли характер изменения энтропии от коэффициента теплового расширения а = ｝［繹)？
Решение. НасРешение. Насинтересует знак производной
Решение. Нас
Решение. Нас
Выразим эту величину через коэффициент теплового расширения а. Имеем с помощью метода якобианов
С р ~ TVaС р ~ TVa(1-27)(1-27)
С р ~ TVa
С р ~ TVa
(1-27)
(1-27)
так как
ИспользованноеИспользованноесправа мы хотимсправа мы хотимС = Т
Использованное
Использованное
справа мы хотим
справа мы хотим
в (1.27) преобразование очевидно, поскольку получить производную .
_ J р
Теплоемкость при постоянном давлении неотрицательна, поэтому знак левой части (1.27) определяется знаком а. Энтропия возрастает, если а положительно, и убывает, если а отри-
цательно. Например, при изобарическом расширении до 4 °C энтропия убывает.3. Найти разность С^ - Су теплоемкостей при давлении и при постоянном объеме для системы с числом частиц.цательно. Например, при изобарическом расширении до 4 °C энтропия убывает.3. Найти разность С^ - Су теплоемкостей при давлении и при постоянном объеме для системы с числом частиц.воды от Оводы от Опостоянномпостоянномнеизменнымнеизменным
цательно. Например, при изобарическом расширении до 4 °C энтропия убывает.
3. Найти разность С^ - Су теплоемкостей при давлении и при постоянном объеме для системы с числом частиц.
цательно. Например, при изобарическом расширении до 4 °C энтропия убывает.
3. Найти разность С^ - Су теплоемкостей при давлении и при постоянном объеме для системы с числом частиц.
воды от О
воды от О
постоянном
постоянном
неизменным
неизменным
Решение. Используя фундаментальное равенство Гиббса
6Q = Тds - dU + pdV,6Q = Тds - dU + pdV,(1.28)(1.28)
6Q = Тds - dU + pdV,
6Q = Тds - dU + pdV,
(1.28)
(1.28)
имеем непосредственно
Считая в (1.28) внутреннюю энергию U функцией температуры и объема, можем записать
e厂個[開小吼 (129)
Для выражения в квадратных скобках с помощью (1.28) имеем
Из соотношения dF = -SdT - pdV следует
ПоэтомуПоэтому［乳=開у開+…鷗［乳=開у開+…鷗
Поэтому
Поэтому
［乳=開у開+…鷗
［乳=開у開+…鷗
Теперь с помощью соотношения (1.29) получаем
Cp-CV = T^\v^f]p(L30)
Используя соотношение (1.9), можно представить разность С - Су в виде
ИЛИ
Cpf 一嚼):閑；(132)
Выяснить, у каких систем теплоемкость при постоянном объеме Су не зависит от объема системы.
Решение. Нас интересует случай, когда обращается в нуль производная ЭС„/ЗК Поскольку
то необходимо исследовать величину
(1.33)(1.33)5CV _ d2U 一 乎U
(1.33)
(1.33)
зг агат - атяг-
Так как dU = TdS - pdV, тоТак как dU = TdS - pdV, то-р. Но из-р. Но изdF =dF =
Так как dU = TdS - pdV, то
Так как dU = TdS - pdV, то
-р. Но из
-р. Но из
dF =
dF =
-SdT-pdV следует 质］7 =［凱;поэтому
Т開у»Т開у»
Т開у»
Т開у»
Дифференцируя это равенство находимДифференцируя это равенство находимпо температуре, с учетомпо температуре, с учетом(1.33)(1.33)
Дифференцируя это равенство находим
Дифференцируя это равенство находим
по температуре, с учетом
по температуре, с учетом
(1.33)
(1.33)
дСу avдСу avИтак, теплоемкость % неИтак, теплоемкость % не做•зависит от объема,做•зависит от объема,еслиеслидавле-давле-ние—линейная функция температуры. В этом случаедСи Я2Л，~ 5 = оние—линейная функция температуры. В этом случаедСи Я2Л，~ 5 = о5. Выяснить, у5. Выяснить, укаких слстем тег'оемпость прикаких слстем тег'оемпость припостоянномпостоянном
дСу av
дСу av
Итак, теплоемкость % не
Итак, теплоемкость % не
做•
зависит от объема,
做•
зависит от объема,
если
если
давле-
давле-
ние—линейная функция температуры. В этом случае
дСи Я2Л
，~ 5 = о
ние—линейная функция температуры. В этом случае
дСи Я2Л
，~ 5 = о
5. Выяснить, у
5. Выяснить, у
каких слстем тег'оемпость при
каких слстем тег'оемпость при
постоянном
постоянном
Учитывая,Учитывая,(1-34)(1-34)имеемимеемС РС Р一価「一価「①旷①旷
Учитывая,
Учитывая,
(1-34)
(1-34)
имеем
имеем
С Р
С Р
一価「
一価「
①旷
①旷
давлении не зависит от давления. Решение. Задача аналогична предыдущей, что
dW = TdS + Vdp,
Составляем производную
℃р Мк _ д dw
Поскольку из (1.34) следует
то с помощью соотношения
бГФ 二-SdT + Vdp
находимнаходимТеперь дляТеперь длядС /др дСдС /др дСполучаемполучаем=1т 卜-г=1т 卜-гВидно, чтоВидно, чтоСр не зависит от р, если объем системыСр не зависит от р, если объем системыИ — линей-И — линей-ная функция температуры.ная функция температуры.
находим
находим
Теперь для
Теперь для
дС /др дС
дС /др дС
получаем
получаем
=1т 卜-г
=1т 卜-г
Видно, что
Видно, что
Ср не зависит от р, если объем системы
Ср не зависит от р, если объем системы
И — линей-
И — линей-
ная функция температуры.
ная функция температуры.
6. Найти уравнение состояния системы, для которой выполняются условия [§g) = 0,[1^) = 0 •Решение. Из уравнений, полученных в двух предыдущих задачах:6. Найти уравнение состояния системы, для которой выполняются условия [§g) = 0,[1^) = 0 •Решение. Из уравнений, полученных в двух предыдущих задачах:РРв рассматриваемом случае следуют равенствав рассматриваемом случае следуют равенстваГЭГ] _ Т l^pJv "万，ГЭГ] _ Т l^pJv "万，Отсюда получаем для дифференциала температурыОтсюда получаем для дифференциала температуры"=關严+"=關严+" =*p + ^^匕" =*p + ^^匕илиилиdT dp^dV
6. Найти уравнение состояния системы, для которой выполняются условия [§g) = 0,[1^) = 0 •
Решение. Из уравнений, полученных в двух предыдущих задачах:
6. Найти уравнение состояния системы, для которой выполняются условия [§g) = 0,[1^) = 0 •
Решение. Из уравнений, полученных в двух предыдущих задачах:
Р
Р
в рассматриваемом случае следуют равенства
в рассматриваемом случае следуют равенства
ГЭГ] _ Т l^pJv "万，
ГЭГ] _ Т l^pJv "万，
Отсюда получаем для дифференциала температуры
Отсюда получаем для дифференциала температуры
"=關严+
"=關严+
" =*p + ^^匕
" =*p + ^^匕
или
или
厂=/+厂•
Интегрируя, находим
где С — произвольная постоянная, которую нельзя определить термодинамически.7. Доказать тождествогде С — произвольная постоянная, которую нельзя определить термодинамически.7. Доказать тождество+Решение. Способ I. Подобные называть, рассматривая стоящую сложную функцию переменных р и+Решение. Способ I. Подобные называть, рассматривая стоящую сложную функцию переменных р и22равенства удобно слева функцию V(p, S) S, от которых зависятравенства удобно слева функцию V(p, S) S, от которых зависятдо-какдо-какперепереpv = ст.
где С — произвольная постоянная, которую нельзя определить термодинамически.
7. Доказать тождество
где С — произвольная постоянная, которую нельзя определить термодинамически.
7. Доказать тождество
+
Решение. Способ I. Подобные называть, рассматривая стоящую сложную функцию переменных р и
+
Решение. Способ I. Подобные называть, рассматривая стоящую сложную функцию переменных р и
2
2
равенства удобно слева функцию V(p, S) S, от которых зависят
равенства удобно слева функцию V(p, S) S, от которых зависят
до-
как
до-
как
пере
пере
менные V и Г, фигурирующие в правой части тождества
№，S) = V(p,T(S,p)).
функ-функ-(L35)(L35)Теперь, пользуясь правилами дифференцирования сложных ций, получим
функ-
функ-
(L35)
(L35)
麻Js 跳
и d© = -SdT + Vdp дляи d© = -SdT + Vdp дляРаскрывая производную (дТ/др)^
и d© = -SdT + Vdp для
и d© = -SdT + Vdp для
с учетом выражений % = T(dS/dT)^ (8T/8p)s находим
Подставляя это выражение в (1.35), получаем требуемое равенство.
Способ II. Задачу можно решить непосредственно, записывая левую часть с помощью якобиана
Теперь, учитывая, что в правой части интересующего нас тождества фигурируют переменные р к Т, имеем
Записывая определитель в явном виде, получаем
固 Js麻 J；■財J J
Раскрывая квадратные скобки и учитывая приведенные выражения для С и d^. получаем требуемое равенство.
Доказать тождество
Решение. Задача аналогична предыдущей. Используя, например» способ И, имеем
七倒倒「吼翘• Учитывая соотношение dF = -SdT - pdV, приходим к интересующему нас равенству.
Используя уравнение неразрывности
牌+ div(pv) = 0. (1.36) и уравнение движения идеальной жидкости
Р[累+(v7)v] = «О， П-37) выразить в линейном по возмущениям приближении скорость звука в такой системе через изотермический модуль всестороннего сжатия & 二 р(8р/8р)г .
Решение. Использование линейного по возмущениям приближения означает, что во всех выражениях следует пренебречь членами, содержащими квадраты и более высокие степени переменных величин 5р и Зр. Сюда же следует отнести и ско-
рость движения жидкости и, ибо в термодинамическом равнове-сии и = 0. Поэтому уравнения (1.36) и (1.37) следует перепи-
сать в виде
|уЗр + PQdiv V = 0,(1.38)
Ро芻=(1.39)
гдегдер0 ——равновесная плотность жидкости. Дифференцируя урав-р0 ——равновесная плотность жидкости. Дифференцируя урав-нение (1.38) по времени и беря дивергенцию от (1.39), приходим к равенству务р -哪=0.нение (1.38) по времени и беря дивергенцию от (1.39), приходим к равенству务р -哪=0.уравненияуравнения(1-40)(1-40)Теперь необходимо связать между собой величиныТеперь необходимо связать между собой величиныПри распространении низкочастотного звука в состоянии локального термодинамическогоПри распространении низкочастотного звука в состоянии локального термодинамическогосистемасистема6р и 8р. находится6р и 8р. находитсяравновесия, поэто-равновесия, поэто-
где
где
р0 ——равновесная плотность жидкости. Дифференцируя урав-
р0 ——равновесная плотность жидкости. Дифференцируя урав-
нение (1.38) по времени и беря дивергенцию от (1.39), приходим к равенству
务р -哪=0.
нение (1.38) по времени и беря дивергенцию от (1.39), приходим к равенству
务р -哪=0.
уравнения
уравнения
(1-40)
(1-40)
Теперь необходимо связать между собой величины
Теперь необходимо связать между собой величины
При распространении низкочастотного звука в состоянии локального термодинамического
При распространении низкочастотного звука в состоянии локального термодинамического
система
система
6р и 8р. находится
6р и 8р. находится
равновесия, поэто-
равновесия, поэто-
му, выбирая в качестве независимых переменных р и S,му, выбирая в качестве независимых переменных р и S,имеемимеем
му, выбирая в качестве независимых переменных р и S,
му, выбирая в качестве независимых переменных р и S,
имеем
имеем
6。 =匿Is*+關6。 =匿Is*+關6s. Р6s. Р(1-41)(1-41)
6。 =匿Is*+關
6。 =匿Is*+關
6s. Р
6s. Р
(1-41)
(1-41)
поэтому означает,поэтому означает,В идеальной жидкости диссипация отсутствует» все происходящие процессы являются обратимыми. Это
поэтому означает,
поэтому означает,
что энтропия системы не меняется, т.е. 6s = 0. Поэтому соотношение (1.41) принимает вид
(1.42)
Подставляя (1.42) в (1.40), приходим к волновому уравнению
臥唸=。， (В в котором производная (3p/3p)s равна квадрату скорости & распространения возмущений продольного звука. Теперь остается преобразовать адиабатическую производную (dp/dp)s в изотермическую производную (др/др)т . Используя метод якобианов, имеем
Учитывая, что
rasi __ га si _ cv
окончательно получаем
Связать изменение температуры при изменении плотности жидкости в звуковой волне со скоростью распространения
звука.
Решение. Изменение температуры приводит к необратимому характеру процессов, протекающих в звуковой волне, поскольку в системе возникает тепловой поток. Однако скорость передачи теплоты в реальной системе много меньше скорости распространения звука, поэтому в первом приближении можно считать, что процессы происходят обратимо» т.е.
3S = 0.
Итак, искомая величина —это производная (87/8р)$ • Преобразуя ее с помощью метода якобианов, сразу выделим квадрат скорости звука и = (8р/8р)$ :
幫2
麻k5(P，S)3欣5丿 3旧to! Г '
С помощью соотношения
dW = TdS + Vdp
находим
(дту _ гаю
(1-44)(1-44)явном видеявном видеПоэтому для искомой производной имеем
(1-44)
(1-44)
явном виде
явном виде
Производную (8V/8S)p преобразуем, выделяя в изобарический коэффициент теплового расширения
Имеем
^\р = ^=^^=掰。關。=
В результате выражение (1.44) для производной (dT/dp)s принимает вид
Отношение теплоемкости системы при постоянном давлении С к ее объему V есть теплоемкость единицы объема с . Поэтому окончательно результат можно записать следующим образом:
觎二
Ср
Термодинамическая система расширяется таким образом, что ее энергия U остается постоянной. Как изменяется при этом температура системы? Будет ли такой процесс обратимым?
Решение. Необходимо определить, от чего зависит значение производной (dT/dV)^ . Для этого удобно перейти к естественным переменным функций • U - V и S, поскольку при этом возникают непосредственно измеримые на опыте термодинамические параметры:
(1.45)(1.45)dU = TdS - pdV.
(1.45)
(1.45)
Поэтому преобразуем (dT/dV)^ следующим образом:
Г9?] _ 8(7\U) _ 出7\0) 3(匕 S) _ 1 贝7\0)
[叩J〃 - d(VtU) - 5(773) 5(7717) - Td(V,S)
Раскрывая определитель, находим
”]_ 1「何门 fat/] ГЭГ]何门 I _ LavJ^ = rLMsL?sJv- L^Jvl^JsJ =
J［喟4+女］7时也J［喟4+女］7时也(1.46)(1.46)
J［喟4+女］7时也
J［喟4+女］7时也
(1.46)
(1.46)
Остается вычислить производную (9T/dV)s . Учитывая соотношение (1.45), переходим к переменным 7,匕 чтобы выделить
в явном виде теплоемкость Су :в явном виде теплоемкость Су :Теперь формула (1.46) принимает видТеперь формула (1.46) принимает вид(1.47)(1-48)(1.47)(1-48)
в явном виде теплоемкость Су :
в явном виде теплоемкость Су :
Теперь формула (1.46) принимает вид
Теперь формула (1.46) принимает вид
(1.47)
(1-48)
(1.47)
(1-48)
теплоемкость системы при температуру Г и изохори давления (dp/dT)v . Знак соотношением между слатеплоемкость системы при температуру Г и изохори давления (dp/dT)v . Знак соотношением между слаИскомая производная выражена через постоянном объеме Су , давление р, ческий температурный коэффициент изменения температуры определяется
теплоемкость системы при температуру Г и изохори давления (dp/dT)v . Знак соотношением между сла
теплоемкость системы при температуру Г и изохори давления (dp/dT)v . Знак соотношением между сла
гаемыми в квадратных скобках в формуле (1.48).
Чтобы выяснить, будет ли описанный процесс обратимым, необходимо рассмотреть производную (8S/dV)u . Из соотношения (1.11) при dU = 0 имеем
Итак, происходящий с системой процесс всегда необратим независимо от того, как конкретно он реализуется: система расширяется в пустоту, не совершая работы и не получая или не
отдавая теплоты, или система совершает работу при расширении, но к ней подводится теплота для обеспечивания постоян
ства ее энергии.
Аналогично можно исследовать вопрос, как будет изменяться давление в системе. Для этого достаточно рассмотреть произ
водную (8p/3V)u • Опять переходя к естественным переменным функции U, имеем
м^4[[ад；чад- (1-49)м^4[[ад；чад- (1-49)
м^4[[ад；чад- (1-49)
м^4[[ад；чад- (1-49)
Входящую сюда производную (dp/dS)v заменяем в соответствии с формулой (1.47), а производную (dp/dV)s вычисляем, выделяя в явном виде теплоемкость С^ :
Теперь выражение (1.49) переписывается следующим образом:
Используя тождество
帆関甌-
можно придать формуле (1.50) более удобный вид, вводя изотермический модуль упругости К? = -V(dp/dV)T > 0:
Видно, что характер изменения давления определяется соотношением между слагаемыми в квадратных скобках.
Замечание. Обратим внимание на то, что у идеального газа (pV/RT) температура при рассмотренном процессе не меняется, а давление падает, в чем легко убедиться прямым вычислением по формулам (1.48) и (1.51).
Для единицы объема диэлектрика с постоянной плотностью найти разность с£ - % между теплоемкостями однородного изотропного диэлектрика при постоянной напряженности электрического поля Е и индукции D.
Решение. Задачу удобно решать, используя определение теплоемкости через энтропию. В рассматриваемом случае
имеемимеем% = Т^1]Е' CD = T^t]d% = Т^1]Е' CD = T^t]d
имеем
имеем
% = Т^1]Е' CD = T^t]d
% = Т^1]Е' CD = T^t]d
Преобразуем выражение для % с помощью метода якобианов:
г - т g(£‘ £) — Т 駕斗 £)纵工，纟1fl 52)
Раскрывая первый якобиан в правой части (1.52) и учитывая, что в изотропном диэлектрике D = eF, имеем
СЕ =走[開^ ~ [lf]D[lo]r] ■О 53)
Используя выражение для дифференциала свободной энергии единицы объема
df = -sdT + 呑 EdD, убеждаемся в справедливости соотношения
閱 7 = 4 朗°(1 54)
Подставляя равенство (1.54) в выражение (1.53), получаем
% = % +装開 QS55)
Теперь осталось вычислить производную
Подставляя это соотношение в (1.55), находим окончательно
CE~CD =駕開 °
Поскольку е > 0, то правая часть этого выражения всегда положительна при Т > 0. Поэтому с£ > %.
Для единицы объема магнетика с постоянной плотностью найти разность с” - см между теплоемкостями однородного изотропного магнетика при постоянной напряженности магнитного поля ” и магнитного момента М
Решение. Задача решается аналогично предыдущей. Используя соотношения
% =嚙)П個М，
преобразуем выражение для % :
поскольку магнитный момент М связан с напряженностью поля Н соотношением М = %Н. Раскрывая определитель, получаем
% 5圖击甌開」關m吼…
Производную (ds/dM)T вычисляем с помощью соотношения, справедливого для изотропных магнетиков:
力2 二-sdT + HdM.
Знак плюс относится к пара- и ферромагнетикам, где М II Н; знак минус —к диамагнетикам, где М и Н направлены в противоположные стороны. Отсюда имеем
随尸眼
Подставляя это соотношение в (1.56), получаем
2сн = см±Тх^т}'
Поскольку для пара- и ферромагнетиков % > 0, а для диамагнетиков % V 0, то % во всех случаях больше см .
Найти выражение для плотности внутренней энергии и
однородного изотропного диэлектрика.
Решение. В рассматриваемом случае D = еЕ и выражение (1.11) записывается в виде
d〃 = Tds + ^dp + ^^DdD.
Интегрировать непосредственно это равенство нельзя: диэлектрическая проницаемость £ не остается неизменной при фиксиро
ванных р и s, поскольку в ходе такого процесса изменяется температура системы. Но в общем случае £ = £(Г)： Поэтому исходить следует из выражения для дифференциала плотности свободной энергии f:
df = - sdf +《dp +』DdD. (1.57)
Интегрируя выражение (1.57) при постоянных Г и р (диэлектрическая проницаемость £ в линейной электродинамике при этом остается постоянной)» находим
『=f°(7，P)+ 鳥Н， (158)
где f^T, р) — плотность свободной рического поля. Учитывая, что (1.58) получаемгде f^T, р) — плотность свободной рического поля. Учитывая, что (1.58) получаемэнергии в отсутствие элект-s = -(af/a7)p 0 - с помощьюэнергии в отсутствие элект-s = -(af/a7)p 0 - с помощью
где f^T, р) — плотность свободной рического поля. Учитывая, что (1.58) получаем
где f^T, р) — плотность свободной рического поля. Учитывая, что (1.58) получаем
энергии в отсутствие элект-s = -(af/a7)p 0 - с помощью
энергии в отсутствие элект-s = -(af/a7)p 0 - с помощью
pf0(r.P)pf0(r.P)(+吕開 2Р=§о8р)+ 為開 p.D(+吕開 2Р=§о8р)+ 為開 p.D
pf0(r.P)
pf0(r.P)
(+吕開 2Р=§о8р)+ 為開 p.D
(+吕開 2Р=§о8р)+ 為開 p.D
(1-59)
Производную (Зе/9р)„ можно выразитьУчитывая, что w = (3p/3p)s , имеем 加Js - S(p,S) --Входящую в (1.60) производную (Зе/Зр),=開五.через скорость звука.關击 m。),можно преобразовать.Производную (Зе/9р)„ можно выразитьУчитывая, что w = (3p/3p)s , имеем 加Js - S(p,S) --Входящую в (1.60) производную (Зе/Зр),=開五.через скорость звука.關击 m。),можно преобразовать.
Производную (Зе/9р)„ можно выразить
Учитывая, что w = (3p/3p)s , имеем 加Js - S(p,S) --
Входящую в (1.60) производную (Зе/Зр),
=開五.
через скорость звука.
關击 m。)
,можно преобразовать.
Производную (Зе/9р)„ можно выразить
Учитывая, что w = (3p/3p)s , имеем 加Js - S(p,S) --
Входящую в (1.60) производную (Зе/Зр),
=開五.
через скорость звука.
關击 m。)
,можно преобразовать.
Здесь sQ(T, р) — плотность энтропии в отсутствие электрического поля. Теперь можно воспользоваться соотношением и = f + + Ts. Учитывая, что fQ + TsQ есть плотность внутренней энергии системы % в отсутствие электрического поля, получаем
w = %(7,р)+ 藁[1 + 階]р ° ■
Второе слагаемое в квадратных скобках дает существенный вклад в плотность энергии при сильной зависимости диэлектрической проницаемости от температуры.
В теории молекулярного рассеяния света фигурируют термодинамические производные от диэлектрической проницаемости £(з) на оптической частоте и по энтропии и давлению: (8£/8S) (8£/8р)с . В линейной электродинамике значения этих производных берутся в предельном случае обращения в нуль электромагнитного поля волны. Однако зависимость £(з) от энтропии S не может быть установлена зкснернментально. На опыте может быть выявлена только зависимость от температуры. Выразить перечисленные производные через измеримые на опыте величины
凱觎亂
переходя к переменным р ( 麻Js ~ Раскрывая первый якобианd(p, / ) кПодставляя это выражение 閱S =圈I г：步需絵%(L61)в правой части (1.61), имеем3£] f3S] 「8S]何£]в (1.61), находим尸即闌圈Р“62)переходя к переменным р ( 麻Js ~ Раскрывая первый якобианd(p, / ) кПодставляя это выражение 閱S =圈I г：步需絵%(L61)в правой части (1.61), имеем3£] f3S] 「8S]何£]в (1.61), находим尸即闌圈Р“62)Решение. Преобразуем производную (呢/дS)卩 с помощью метода якобианов, переходя к переменным Тир:
переходя к переменным р ( 麻Js ~ Раскрывая первый якобиан
d(p, / ) к
Подставляя это выражение 閱S =圈
I г：
步需絵%(L61)
в правой части (1.61), имеем
3£] f3S] 「8S]何£]
в (1.61), находим
尸即闌圈Р“62)
переходя к переменным р ( 麻Js ~ Раскрывая первый якобиан
d(p, / ) к
Подставляя это выражение 閱S =圈
I г：
步需絵%(L61)
в правой части (1.61), имеем
3£] f3S] 「8S]何£]
в (1.61), находим
尸即闌圈Р“62)
Поскольку масса системы М постоянна, то производную (87/85% можно записать следующим образом:
(1.63)(1.63)где cv — удельная теплоемкость при постоянном объеме. Производную (8S/8p)7 можно преобразовать следующим образом:где cv — удельная теплоемкость при постоянном объеме. Производную (8S/8p)7 можно преобразовать следующим образом:
(1.63)
(1.63)
где cv — удельная теплоемкость при постоянном объеме. Производную (8S/8p)7 можно преобразовать следующим образом:
где cv — удельная теплоемкость при постоянном объеме. Производную (8S/8p)7 можно преобразовать следующим образом:
(1.64)
Подставляя соотношения (1.63) и (1.64) в (1.62), имеем
鼠7亂+亡吼風" з
Здесь учтено, что р2 =序/1产.
Теперь остается только подставить выражение (1.65) в формулу (1.60):
Изменение внутренней энергии обратимого гальванического элемента в результате прохождения через него заряда е при изотермическом процессе дается выражением
U(7>)二 ЦТ) - е ^(Т),
где йу(Т') —уменьшение энергии элемента при прохождении через него единичного заряда. Найти уравнение, связывающее электродвижущую силу источника & и энергию w.
Решение. Работа dR, совершаемая элементом при прохождении через него заряда d% равна
dR = 8de.(1.66)
При малых токах джоулево тепло, пропорциональное квадрату силы тока, есть величина второго порядка малости. Поэтому процесс протекания тока в элементе можно считать термодинамически обратимым» если, конечно, изменение направления протекающего через элемент тока вызывает химические реакции, противоположные тем, которые происходят в элементе при нормальном направлении тока. Тогда при учете соотношения (1.66) фундаментальное равенство Гиббса можно записать в виде
dU = TdS - 8d&(1.67)
Вычисляя производную (dU/de)T с помощью заданного в условии задачи соотношения и с помощью (1.67), приходим к равенству
" = Т(М)7* (168)
Входящую в (1.68) производную (dS/de)T можно выразить с помощью формулы для дифференциала свободной энергии Гельмгольца 尸：
dF = -SdT - gde. (1.69)
Действительно, из (1.69) следует равенство
Подставляя (JS/Oe)， из (1.70) в равенство (1.68), приходим к уравнению, которое называется уравнением Гельмгольца:
8-7開「出・ a-71)
Отметим, что в отсутствие теплообмена между, гальваническим элементом и окружающей средой естественно было бы ожидать, что S = w. Однако слагаемое Т(9^/5Т)е в (1.71) описывает эффект, связанный с поглощением (или выделением) теплоты элементом из окружающей среды во время протекания электрического тока. Если, например, ЭДС элемента с повышением температуры увеличивается ((3^/ЗТ)е > 0), то, согласно (1.71), гальванический элемент совершает работу не только за счет уменьшения внутренней энергии при химической реакции, но и за счет теплоты, получаемой из окружающей среды. Работая адиабатически, такой элемент будет охлаждаться.
Конденсатор, заполненный диэлектриком с проницаемостью £, подсоединен к источнику питания с постоянной ЭДС. Как изменится теплоемкость единицы объема диэлектрика после отсоединения конденсатора от источника питания? Выразить начальную и конечную теплоемкости через диэлектрическую проницаемость. Изменением объема диэлектрика пренебречь.
Решение. При замкнутой цепи напряжение на конденсаторе неизменно и равно ЭДС источника. Следовательно, остается неизменной напряженность электрического поля между его обкладками. Поэтому в первом случае теплоемкость системы есть с£ . При разомкнутой цепи неизменным остается электрический заряд на обкладках конденсатора. Это соответствует не-
изменной индукции электрического поля. Итак, изменение теплоемкости системы есть cD — • Используя формулу (1.56), имеем
CDCD
CD
CD
Для вычисления cf и с° удобно воспользоваться формулой (1.59). Поскольку О?/£? = Е ? то для % немедленно имеем
%" + 召协胤，0(172)
где с0(Г) — теплоемкость незаряженного конденсатора.
Аналогично для с^ получаем
"%吵昌鼠J岁僚必吋)
Не представляет труда убедиться в том, что последние слагаемые в правых частях (1.72) и (1.73) одинаковы. Действительно, в рамках линейной электродинамики диэлектрическая
проницаемость среды определяется ее равновесными свойствами в отсутствие электрического поля. Поэтому производные от диэлектрической проницаемости по температуре при постоянной индукции поля и при постоянной напряженности поля одинаковы и совпадают с производной по температуре в отсутствие поля. Составляя разность выражений (1.72) и (1.71), получаем приведенный выше результат для .
В рамках термодинамики можно построить феноменологическую теорию релаксационных процессов. Основная идея заключается в превращении неравенства для энтропии dS > 3Q/T, справедливого для необратимых процессов, в равенство путем добавления дополнительного слагаемого:
(1.74)(1.74)dS =歹Q +竿
(1.74)
(1.74)
где последний член в правой части связан с необратимыми процессами внутри системы. Теперь фундаментальное равенство Гиббса записывается в виде
dU = TdS -pdV-屮呜dU = TdS -pdV-屮呜(1.75)(1.75)
dU = TdS -pdV-屮呜
dU = TdS -pdV-屮呜
(1.75)
(1.75)
причем при обратимых процессах 0 = 0. Предположив, что скорость изменения параметра g пропорциональна 0:
ё =她(1.76)
показать, что 6 > 0, и найти в линейном по возмущению приближении закон изменения параметра g при внезапном изменении давления и температуры в системе на Зр и ST.
Решение. Поскольку энтропия системы при релаксации к равновесию может только возрастать, то, как видно из (1.74), W£ а 0. Умножив (1.76) почленно на 0, видим, что 6 > 0, поскольку 屮 вещественно.
В линейном по возмущению приближении для 0 справедливо равенство
7凱/"開閻产
Используя (1.76) и (1.77), легко убедиться, что для обратимых процессов, когда ^ = 0, для 3^е — равновесного изменения параметра ^ — справедливо выражение
奘」』福乳皆+凰囱.(1-78)
Теперь уравнение (1.76) принимает вид
(1.79)потенциала(1.79)потенциаладля дифференциала термодинамического из (1.75), имеет виддля дифференциала термодинамического из (1.75), имеет видВыражениеФ, как следуетВыражениеФ, как следуетd6=Vdp - SdT -w龙.d6=Vdp - SdT -w龙.(1-80)(1-80)где через т обозначено т-1 = -Ь(即/3@)卩 丁 .
(1.79)
потенциала
(1.79)
потенциала
для дифференциала термодинамического из (1.75), имеет вид
для дифференциала термодинамического из (1.75), имеет вид
Выражение
Ф, как следует
Выражение
Ф, как следует
d6=Vdp - SdT -w龙.
d6=Vdp - SdT -w龙.
(1-80)
(1-80)
Отсюда видно, что
поскольку в состоянии равновесия Ф имеет минимум. Следовательно, т > 0.
Решение уравнения (1.79) при выбранных начальных условиях5р = 0,ЗТ = 0при f V 0,
Зр = q,ЗТ = с2при f 工 0
может быть записано следующим образом:
奘⑴=奘空-"/[.(1.81)
Из (1.81) следует, что величина g релаксирует к равновесному значению с характерным временем т.
Используя результаты предыдущей задачи, выяснить, как изменяются со временем изотермическая сжимаемость 8丁 = =_}(^] и коэффициент теплового расширения а = }(聘) при внезапном изменении давления и температуры в системе.
Решение. Развитый в предыдущей задаче подход для описания эволюции во времени величины g подразумевает существование в системе по крайней мере двух сильно различающихся характерных временных масштабов изменения «медленных» и «быстрых» величин. Очевидно, что рассматриваемые в условии задачи параметры а н 8丁 ・ изменение которых определяется временем релаксации координаты, являются в этом смысле медленными величинами по сравнению с давлением и температурой,
скорость изменения которых определяется временем релаксации импульса. Поэтому описание временной эволюции этих величин допустимо вести в рамках изложенной схемы.
Рассмотрим изменение объема 8V системы. Аналогично (1.77)
имеем
乳"削，产閻产(L82)
где под W понимается некая медленная характеристика системы (например, это может быть концентрация одного из компонентов смеси реагирующих веществ). Используя выражение (1.81) для 5g и (1.78) для 3^е, получаем
("/龙)р * (即/8р)("/龙)р * (即/8р)+ [開+ [開◎V呢)7s叫£◎V呢)7s叫£Р，£Р，£1-е-"〔卜.(1.83)1-е-"〔卜.(1.83)Формула (1.83)Формула (1.83)позволяетпозволяетзависящих a(f) имеемзависящих a(f) имеемот времени величинот времени величиннаписать a(f) инаписать a(f) иявные выражения В"). В частности,явные выражения В"). В частности,длядлядлядляW)=W)=1717［臥［臥(зи/а0 P"(з〃зт)(зи/а0 P"(з〃зт)WW77WW77(1.84)(1.84)
("/龙)р * (即/8р)
("/龙)р * (即/8р)
+ [開
+ [開
◎V呢)7s叫£
◎V呢)7s叫£
Р，£
Р，£
1-е-"〔卜.(1.83)
1-е-"〔卜.(1.83)
Формула (1.83)
Формула (1.83)
позволяет
позволяет
зависящих a(f) имеем
зависящих a(f) имеем
от времени величин
от времени величин
написать a(f) и
написать a(f) и
явные выражения В"). В частности,
явные выражения В"). В частности,
для
для
для
для
W)=
W)=
1
7
1
7
［臥
［臥
(зи/а0 P"(з〃зт)
(зи/а0 P"(з〃зт)
WW77
WW77
(1.84)
(1.84)
Совершенно аналогично может быть написано и выражение для В~7). При этом следует учесть, что в силу соотношения (1.80) справедливо равенство
В результате для 即》) получим
眼圖仁繇*(1.85)
Отметим, что второе слагаемое в квадратных скобках в (1.85), описывающее запаздывающую часть сжимаемости, положительно, так как термодинамический потенциал Ф в состоянии равновесия минимален. Нетрудно видеть, что этот результат находится в соответствии с принципом Ле Шателье. Обратим внимание на то, что к а(/) приведенные соображения неприменимы.
ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
Вычислить скорость звука в идеальном газе и газе Ван- дер-Ваальса, исходя из его термодинамического определения
Газ продавливается через пористую перегородку таким образом, что давления по обе стороны перегородки постоянны и равны % и р2 соответственно (процесс Джоуля-Томсона). Показать, что для идеального газа температура в таком процессе не меняется.
Как будет меняться температура в газе Ван-дер-Ваальса?
Найти разность С^-Су для газа Ван-дер-Ваальса.
РАВНОВЕСНАЯ СТАТИСТИКА КЛАССИЧЕСКИХ И КВАНТОВЫХ СИСТЕМ
Статистические суммы
В равновесной статистической механике вычисляется статистическая сумма рассматриваемой системы в каком-либо ансамбле. Информация о свойствах системы извлекается из статистической суммы с помощью термодинамики. Наиболее широко используются два ансамбля — канонический и большой канонический.
В каноническом ансамбле статистическая сумма Q# для квантовой системы из ^ частиц имеет вид
Q = Q^ = Еехр(-ВЕ/Q = Q^ = Еехр(-ВЕ/(2-1)(2-1)
Q = Q^ = Еехр(-ВЕ/
Q = Q^ = Еехр(-ВЕ/
(2-1)
(2-1)
где В = 1 /(kT) — параметр распределения Гиббса, f^ —энергия системы в квантовом состоянии, задаваемом набором квантовых чисел и.
Для классической системы из ^ тождественных частиц стати
стическая сумма Qm дается выражением
Qn = ^Й^〕"ехр(-В〃(р,д)),Qn = ^Й^〕"ехр(-В〃(р,д)),(2.2)(2.2)
Qn = ^Й^〕"ехр(-В〃(р,д)),
Qn = ^Й^〕"ехр(-В〃(р,д)),
(2.2)
(2.2)
где Н(р, q) — функция Гамильтона системы, а интегрирование проводится по всему фазовому объему системы. Множитель 1/(2лЙ) связан с соотношением неопределенности Гейзенберга и имеет смысл элементарного объема в фазовом пространстве, при перемещении внутри которого изображающей систему точки не появляется нового микроскопического состояния. Множитель l/^! связан с квантовой неразличимостью тождественных частиц. Он обеспечивает правильную зависимость термодинамических характеристик от числа частиц ^ в системе (см. задачу 1). Свободная энергия 尸 связана со статистической суммой канонического ансамбля соотношением
(2-3)(2-3)尸=-kT InQ.
(2-3)
(2-3)
В большом каноническом ансамбле статистическая сумма £ определяется выражением со
£ = £ £exp[B(WV-£eN)],(2.4)
Л/=0 п
где р —химический потенциал, а Е^ —энергия системы из ^ частиц, находящейся в квантовом состоянии, задаваемом набором квантовых чисел и. Со статистической суммой £ связан термодинамический потенциал Q
0 = -AT Inf.(2.5)
Статистические суммы в разных ансамблях связаны между собой преобразованием Лапласа—Мелл ина. Например, плотность состояний Р(Е), которая является статистической суммой в микроканоническом ансамбле, связана со статистической суммой Q соотношением» следующим непосредственно из (2.1): со
Q 二 /р(Е) ехр(-|3£) dE.(2.6)
о
Теперь очевидно, что
• Р(Е)=击 J Q(3) exp(3f) d^(2.7)
b-ico
Далее формулу (2.4) можно записать в виде
£=玄 ехр(卽N)Q“(2.8)
Соотношение (2.8) можно рассматривать как дискретное преобразование Лапласа.
При решении задач следует избегать непосредственного вычисления искомой средней характеристики системы путем усреднения ее микроскопического аналога. Необходимо помнить, что вся информация о макроскопических свойствах системы содержится в ее статистической сумме, и извлекать ее из выражений (2.3) и (2.5) следует методами термодинамики.
Для некоторых макроскопических характеристик можно записать формулы, непосредственно выражающие их через соответствующие статистические суммы. В частности» для внутренней энергии U справедливо выражение
и = <£> =-應 lnQ) = Е.(2.9)
Для среднего числа частиц <N> в большом каноническом ансамбле имеем
應吗•(2-W)
Функция распределения
В каноническом ансамбле квантовая функция распределения (оператор плотности) определяется соотношением
Р =方ехр(-敍J,(2.11)
где "—оператор Гамильтона системы, a Q —ее статистическая сумма; Q = Sp ехр(-Я/АГ). Среднее значение физической величины Л дается формулой
A人人人
<Л> = Sp(pA) (Spp = 1).(2.12)
Часто функция распределения задается в каком-либо конкретном представлении. Например, в энергетическом представлении соотношения (2.11) и (2.12) принимают вид
wn =古 exp 卜 г?}⑵ 13)
<力> =^ГЛ(Еп) ехр[-^],(2.14)
где Л(£"п) —диагональный матричный элемент оператора Л в энергетическомпредставлении. Классическиеаналогиформул
и (2.14) записываются следующим образом:
好)=击expf畐)(2.15)
<Л> = ]dE p(£)⑵(Ё)力(£),(2.16)
где р(£) — плотность состояний в энергетическом представлении.
В классических системах часто используются функции распределения по координатам и импульсам. Написав для функции Гамильтона выражение
N р .
〃(“)= £*+U(r)，
где потенциальная энергия U(「) зависит топько от координат частиц, можно представить распределение (2.11) в виде
р(г,р) = (2пА)зл/п(г)П
/ =1
Здесь функция распределения по координатам
"(Г) = |ехр[-Цр], a Z — конфигурационный интеграл:
Z =融drexp卜絵丹
3333А.С.Кондратьев, В.П.Романов
33
33
Одночастичная функция рас пре дел ей ， по импульсам определена равенством
f(P)= -~—зт^ехр
Функция f(p) распадается на произведение трех функций:
f(P)= f(Pj f(P〃(Pz)，^ =瓦标丁严 2 exp
С помощью введенных функций средние значения физических величин, зависящих только от координат или только от импуль-
совт даются формулами
(2.17)(2.17)(2.18)(2.18)<Л> = ]d「и(г) Л(г)»
(2.17)
(2.17)
(2.18)
(2.18)
<В> = рр f(p) В(Р).
Интеграл в (2.17) вычисляется по координатам всех частиц системы. Интегрирование по р в (2.18) проводится по импульсной переменной одной частицы.
Если под U понимается только энергия взаимодействия частиц системы с внешним полем
U(r) = Е收工
то функция п(г) аналогично функции распределения по импульсам распадается на произведение функций распределения отдельных частиц:
Мг) = П双咽
нормированных условием
J dr n(r) = 1.
При этом интеграл по г в (2.17) распадается на произведение интегралов по координатам каждой частицы системы.
Использование функций распределения бывает удобным, когда требуется найти среднее значение микроскопической величины, которая не является термодинамической леременной.
ЗАДАЧИ
Найти уравнение состояния, внутреннюю энергию и теплоемкость классического идеального одноатомного газа, рассматривая его статистическую сумму в каноническом ансамбле.
P e ш e н и e. Функция Гамильтона для одноатомного идеального газа из ^ частиц имеет вид
N р 2〃(qp) = Е 読・i=i
Интеграл по фазовому объему системы распадается на произведение интегралов по пространственным и импульсным перемен ным. Интеграл по координатам каждой частицы дает объем V системы. Интеграл по импульсам распадается на произведение 3^ интегралов гауссова вида со
J exp(-otx2) dx 二 瓜凡. -со
Поэтому выражение для статистической суммы Q“ принимает вид
Свободная энергия 尸 системы определяется соотношением (2.3). Используя формулу Стирлинга
ln^! = ^ 1п^, находим
尸=T7W ［啮 + $1пТ + const}
В константу объединены члены, не зависящие от М, V н Т. Теперь с помощью термодинамического соотношения
находимнаходимkTN Jy 齐=kTN Jy 齐=dF 二-SdT - pW
находим
находим
kTN Jy 齐=
kTN Jy 齐=
kTN y_.
kN ［为 + ^InT + const) + ^hN.
Теплоемкость можно найти по формуле
Внутренняя энергия U может быть найдена с помощью любого из соотношений
U =U =F+TS =F+TS =F-T^r}v = -T2^TT］v = ^kTF-T^r}v = -T2^TT］v = ^kT
U =
U =
F+TS =
F+TS =
F-T^r}v = -T2^TT］v = ^kT
F-T^r}v = -T2^TT］v = ^kT
или непосредственно с помощью формулы (2.9).
Найти уравнение состояния» внутреннюю энергию и теплоемкость для ультрарелятивистского газа с законом дисперсии
£(p) = c|p|, где с—скорость света, рассматривая его статистическую сумму в каноническом ансамбле.
Решение. Поскольку функция Гамильтона • 〃 системы складывается из энергий отдельных частиц £(р), то выражение (2.2) для статистической суммы можно сразу записать в виде
Q =Jdp/%dpzexp 卜^■口 ■
-СО
Переходя в интеграле по импульсам к сферической системе координат, получаем сосо
J dpdpdpz exp [-眠J = 4“ dp『exp 卜統|.
-co0
Получившийся интеграл можно вычислить двукратным интегрированием по частям или с использованием интегрального представления для Г-функции
Г(г)=『dz 小广1, Re z а 0. о
В результате находим
Q$[%8n 甯『(2.19)
Свободная энергия F, определяемая с помощью (2.19), равна
尸=-NkT ^ln-у + 31nT + const j.
Внутренняя энергия U дается формулой
U =-户历习 =з^?
или вычисляется с помощью формулы (2.9). Отсюда для С имеем cv = 3^.
Уравнение состояния имеет такой же вид, как и для классического нерелятивистского газа:
Найти внутреннюю и свободную энергии и теплоемкость С^ при постоянном объеме столба одноатомного идеального газа из ^ молекул в трубе высотой 力。и площадью сечения S, находящегося в однородном поле тяжести напряженностью g. Определить Су в предельных случаях mghyihT)《1 и mgh^(kT) » 1.
Решение. В рассматриваемом случае функция Гамильтона имеет вид
〃 =£ 読+ 力 mgz ,(2.20)
где 2；—высота, на которой находится /я молекула газа. При таком виде функции Гамильтона формула (2.2) содержит произведение интегралов по динамическим переменным каждой частицы. Поэтому
Q = II dXdif J еХр[-霑)dZ j dp/pydpjxp [-嘉)]" "N • S 0-CO
(2.21)
Интегралы в (2.21) легко вычисляются. В результате имеем
Q = АТ5^1 - еХР[-喲广阊%mW严/ 2.(2.22)
Выражение для свободной энергии получается с помощью (2.22) и имеет вид
't-expl-mgh^kT)耳】
尸=-kT InQ = -^T^ln^-——+pnT+ const j .(2.23)
В константу объединены члены, не зависящие от ^, Т и hQ.
Внутренняя энергия U равна
U =炉俳孙=料7 -外而^联力.1 -⑵24)
Теплоемкость Су в данном случае удобно найти с помощью выражения для внутренней энергии (2.24):
「5^ N(mghQ/T)2exp(mgh0/kT)
% = b(2.25)
С помощью соотношения (2.25) определяем % в указанных в условии задачи предельных случаях:
при rngh^kT) « 1 Cv = ^ Nk ,
при mghyikT)》1 С^ = N机
Интересно отметить, что предельные значения Cv можно определить, не вычисляя статистической суммы. При mgh^kT)《 《1 поле тяжести не влияет на движение частиц системы, которая может рассматриваться как идеальный газ в отсутствие поля тяжести. При mgh^(kT)》1 для ответа на поставленный
вопрос можно воспользоваться теоремой вириала:
2<"> 二小分>,
где п — показатель однородности потенциальной энергии как функции координат. В рассматриваемом случае потенциальная энергия представляет собой однородную функцию первого поряд
ка координаты z.ка координаты z.2<与>z2<与>zПоэтомуПоэтомуТогда<Е > ,<£> = <£>= 2 耳旦=NkT.п гnп г Z% = %卜4> +m 4^-Тогда<Е > ,<£> = <£>= 2 耳旦=NkT.п гnп г Z% = %卜4> +m 4^-
ка координаты z.
ка координаты z.
2<与>z
2<与>z
Поэтому
Поэтому
Тогда
<Е > ,<£> = <£>= 2 耳旦=NkT.
п гnп г Z
% = %卜4> +m 4^-
Тогда
<Е > ,<£> = <£>= 2 耳旦=NkT.
п гnп г Z
% = %卜4> +m 4^-
Кстати, почему не следует использовать теорему вириала при mgh0AhТ)《1?
Вычислить электрический дипольный момент идеального газа, состоящего из линейных молекул с неизменным дипольным моментом Ь, при помещении его в однородное электрическое поле напряженностью 虞.
Решение. Функция Гамильтона рассматриваемой систе
мы имеет вид
""誌r屮）飞唱）.
Здесь первое слагаемое в правой части соответствует поступательному движению молекул, а £^(М) — классическое выражение для кинетической энергии вращения как функции момента вращения М. Последнее слагаемое описывает потенциальную энергию
дипольных молекул в электрическом поле.
Выражение для статистической суммы имеет вид
Q = %！:3n[1力 dr exp [-*^] JdM dx^ exp [-晋+ "部)]•
Здесь 0 — угол между b н 爸.Интегрирование по твр означает интегрирование по угловым переменным. В последнем интеграле
выбрав по-выбрав по-производнойпроизводнойудобно перейти к сферической системе координат, лярную ось по направлению электрического поля Поскольку электрический момент определяется
выбрав по-
выбрав по-
производной
производной
от свободной энергии по напряженности поля
(2.26)
а 尸=-ATlnQ, то для определения Р достаточно вычислить в
явном виде только интеграл по углу 0.
Итак, выражение для Q достаточно представить в виде
Q = а ^ J30 sin0 exp(6^cos0/feT)j ,(2.27)
О
где а — коэффициент, не зависящий от напряженности электрического поля 倉.Интеграл в (2.27) легко вычисляется и дает
q一圏小嘀『⑵28)
Теперь для свободной энергии справедливо выражение
尸一。一呵礙+e同別(2.29)
С помощью (2.29) соотношение (2.26) дает
p= ^[cth等-案).
Полученное выражение называется формулой Ланжевена.
Доказать, что классическая система не может обладать магнитными свойствами (теорема Бора-ван Левен).
Решение, “и наличии магнитного поля, индукция В которого определяется формулой В = rotA, где А —векторный потенциал, функция Гамильтона имеет вид
Н =金左卜+U'
где U — потенциальная энергия взаимодействия частиц системы. Записав выражение для статистической суммы в виде
убеждаемся, что интеграл по фазовому пространству системы
｛一盡吟卜厂и№♦)]｛一盡吟卜厂и№♦)]можно записать следующим образом: со "рехр -со
｛一盡吟卜厂и№♦)]
｛一盡吟卜厂и№♦)]
Теперь видно, что благодаря бесконечным пределам в интегра-
л ах по импульсам можно сделать замену переменной p「？A(Q = р；.
В результате Q оказывается не зависящей от векторного потенциала А. Следовательно, статистическая сумма Q имеет такой же вид, как и в отсутствие внешнего магнитного поля. Но это
и означает, что классическая система не проявляет магнитных свойств.
6・ Вычислить классическую и квантовую статистические сум〈 мы системы из ^ одинаковых одномерных невзаимодействующих осцилляторов с собственной частотой ох Найти внутреннюю энергию и теплоемкость такой системы.
Решение. Функция Гамильтона 〃 одномерного классического осциллятора имеет вид
Поэтому классическая статистическая сумма одного осциллятора записывается следующим образом:
0000
^КЛ = 土 Jdpdxexp(-&] = I рр exp[- ^] px exp[- ^?].
-00-00
Интегралы легко вычисляются и в результате находим
Qk;左7/伍3),где %=л/2И .(2.30)
Для квантового осциллятора статистическая сумма дается
формулой
Qk「"E产卜叫产%
Это выражение представляет собой бесконечную убывающую геометрическую прогрессию со знаменателем exp(-hb)/kT). Поэтому
Qkb = еQkb = е1-ехр(-力з/交丁) = 2sh(九厶/2々7)'1-ехр(-力з/交丁) = 2sh(九厶/2々7)'(2.31)(2.31)
Qkb = е
Qkb = е
1-ехр(-力з/交丁) = 2sh(九厶/2々7)'
1-ехр(-力з/交丁) = 2sh(九厶/2々7)'
(2.31)
(2.31)
Отметим, что при йш/(йГ)《1 гиперболический синус можно
разложить в ряд и ограничиться первым членом разложения: sh х * х. Тогда формула (1.31) переходит в классическое выражение для статистической суммы (2.30).
Очевидно» что статистическая сумма системы из N независимых одинаковых осцилляторов связана со статистической суммой одного осциллятора соотношением
Q& = Q“ = [2sh 翳「.⑵ 32)
Внутреннюю энергию системы U можно найти с помощью формулы
Дифференцируя соотношение (2.32), находим
u=%1/仃)m[sh翳)=叩嘰r).笋="肥+f®鼠7")
(2.33)
В классическом пределе 九з/(左7)《1 отсюда получаем % = NkT.(2.34)
Теплоемкость системы можно найти, дифференцируя по температуре выражение дпя внутренней энергии (2.33):
с=解]二 ^ expWW)㈱2[ехр(Йй)ДТ)-1]2
В классическом пределе 力з/(кТ)《1 отсюда находим С = Nk, что совпадает с результатом, полученным непосредственно с помощью (2.34).
Пользуясь соотношением (2.7), получить выражение для плотности состояний р(Е):
(2.35)(2.35)р(Е) = Е5(£-£.).
(2.35)
(2.35)
Решение. Подставим в формулу (2.7) выражение (2.1) для статистической суммы Q = Еехр(-ВЕ)：
ь+ ,8
Р(Е)= £盡〕exp[B(Ey)W伙
Совершаем замену переменной В = ix:
-，(Т+8
Р(Е) = Е|п J exp[ix(E-E^dx.(-2-8
Учитывая, что подынтегральная функция не имеет особенностей в нижней полуплоскости комплексной переменной х, и используя интегральное представление для S-функции, приходим к выраже
нию (2.35) для р(Е).
нерелятивистского дисперсии £ =(2.35) преды-нерелятивистского дисперсии £ =(2.35) преды-Вычислить плотность состояний для одноатомного ферми-бозе газа с законом =р2/(2т).
нерелятивистского дисперсии £ =
(2.35) преды-
нерелятивистского дисперсии £ =
(2.35) преды-
Решение. Воспользуемся соотношением душей задачи:
p(£)= £6(£-叩
частицы в расчастицы в рас勺Рг и(2.36)勺Рг и(2.36)Квантовые числа, характеризующие состояние
частицы в рас
частицы в рас
勺Рг и
(2.36)
勺Рг и
(2.36)
p(£)= e /к磺-p(£)= e /к磺-сматриваемом случае, — это проекции импульса спиновое квантовое число (Г :
p(£)= e /к磺-
p(£)= e /к磺-
Суммирование по о* дает множитель g = 2s +1, где s — значение
спина. Например, для электронов s = 1/2 н g = 2. Суммирова
ние по проекциям импульсов можно заменить интегрированием по
Р（£）Р（£）一g 2 [ %2 产.一g 2 [ %2 产.(2.37)(2.37)
Р（£）
Р（£）
一g 2 [ %2 产.
一g 2 [ %2 产.
(2.37)
(2.37)
правилу
00£ =需J也^X—00
где L -линейный размер системы по оси х. Переходя теперь в (2.36) к сферической системе координат и выполняя интегриро
вание по углам» находим
V = L L L . x у z имеемV = L L L . x у z имеемР⑹二鋳收『山心].
V = L L L . x у z имеем
V = L L L . x у z имеем
Совершая замену переменной р /(2m) = х.
Вычислить плотность состояний для нерелятивистского электронного газа в квантующем магнитном поле В, пренебрегая спиновым расщеплением энергетических уровней.
Решение. Закон дисперсии в указанном приближении при условии, что магнитное поле направлено вдоль оси z,
имеет вид
сп,р^ = 2^+Лшс[п4]>
где з = еВ/(тс) — циклотронная частота, п = 0, 1, 2,... — номер осциллятора Ландау. Энергетический спектр электрона
вырожден по квантовому числу р^ характеризующему центра осциллятора Ландау:% = p/(叫)•Используя обычное выражение для плотности(2.35), имеемвырожден по квантовому числу р^ характеризующему центра осциллятора Ландау:% = p/(叫)•Используя обычное выражение для плотности(2.35), имеемположенияположениясостояниисостоянии(2.38)(2.38)
вырожден по квантовому числу р^ характеризующему центра осциллятора Ландау:
% = p/(叫)•
Используя обычное выражение для плотности
(2.35), имеем
вырожден по квантовому числу р^ характеризующему центра осциллятора Ландау:
% = p/(叫)•
Используя обычное выражение для плотности
(2.35), имеем
положения
положения
состоянии
состоянии
(2.38)
(2.38)
Суммирование по спиновой переменной дает множитель 2. Пере-
ходя от суммирования по рг и р^ к интегрированию, следует аккуратно выбрать пределы интегрирования. Очевидно, что интеграл по р^ берется в бесконечных пределах. При рассмотрении объемных свойств пространственно однородной системы естественно предположить» что центр осциллятора Ландау лежит внутри образца:
° ■ хс ~ %
где Л^ —линейный размер системы вдоль оси х. Это приводит к условию, накладываемому на pj
О $ р ± m3 L .
Итак, для р(е) с помощью (2.38) имеем
Р（£）Р（£）
Р（£）
Р（£）
Интеграл по % вычисляется элементарно. Так как подынтегральное выражение есть четная функция р2， то
8 002
2——^・2(2叫22——^・2(2叫2Р(О =Р(О =ej也6k_爲-u咽］n=0 °'‘ jj
2——^・2(2叫2
2——^・2(2叫2
Р(О =
Р(О =
где V = L L L . В интеграле по p удобно сделать замену пе- ременной р/2т) = х.
В результате получим Ут3/2^1
Р(£)= £ 二 丄—•(2.39)
2 1 /2/力2 n / £一力з/〃+1/2)
В этой формуле суммирование проводится по таким значениям m = D, 1, 2,…， при которых под корнем стоит неотрицатель
ное число.
Легко убедиться» что выражение (2.39) переходит в формулу для плотности состояний в отсутствие магнитного поля при 3。т 0. Действительно, при 3。今 0 суммирование по п в (2.39) заменяется интегрированием
иМ/23 £/(怨)+1/2p⑻=f厶
2 "2我2力2°叫(х+1/2)
Элементарное вычисление этого интеграла приводит к формуле ⑵37) задачи 8.
Определить среднее число столкновений молекул одноатомного максвелловского газа с единичной площадью поверхно
сти сосуда, в котором он находится, в единицу времени.
Решение. Пусть ось х перпендикулярна поверхности стенки, с которой рассматривается столкновение молекул газа. Рассмотрим молекулы, проекции импульса которых на ось х лежат в интервале р*, pj dp*. Очевидно, что в единицу времени столкнутся со стенкой те из молекул, скорости которых
叱 направлены к стенке и которые успевают достичь стенки за единицу времени. Очевидно, что число таких молекул равно
du =du =nn(Р”)ехр ( -p^/2mkT)dpx(2пткТ)3,2(Р”)ехр ( -p^/2mkT)dpx(2пткТ)3,200I dp3Pz exp-oo00I dp3Pz exp-oo(2.40)(2.40)
du =
du =
n
n
(Р”)ехр ( -p^/2mkT)dpx(2пткТ)3,2
(Р”)ехр ( -p^/2mkT)dpx(2пткТ)3,2
00
I dp3Pz exp
-oo
00
I dp3Pz exp
-oo
(2.40)
(2.40)
где n — средняя концентрация молекул. Действительно, в равно
весном газе отсутствуют выделенные направления, поэтому движение молекул в направлении, перпендикулярном оси х, не влияет на столкновения молекул со стенкой, которые определя
ются только движением вдоль оси х.
Чтобы найти полное число столкновений в единицу времени,
от 0 до оо ： u = J dp =от 0 до оо ： u = J dp =следует проинтегрировать выражение (2.40) по р* в пределах
от 0 до оо ： u = J dp =
от 0 до оо ： u = J dp =
сор 2 сор 2 +р2
(2nm：7)3/2 ^dPx 二 exp 卜 ^^) j dpdp2 exp [-•
(2-41)
Выполняя интегрирование, находим
(2.42)(2.42)u = (1/4)几万,
(2.42)
(2.42)
где V — среднее значение модуля скорости в равновесном газе:
(2.43)(2.43)молекул максвелловского выходит через небольшое и среднее значение косимолекул максвелловского выходит через небольшое и среднее значение коси万=^ 8kT/(ит).
(2.43)
(2.43)
молекул максвелловского выходит через небольшое и среднее значение коси
молекул максвелловского выходит через небольшое и среднее значение коси
Определить среднюю энергию газа в веерообразном пучке» который отверстие в стенке сосуда в вакуум.
нуса угла между направлением скорости вылетающих молекул и
нормалью к стенке сосуда.
Решение. Среднюю энергию <е> молекул в пучке можно найти» поделив выносимую пучком в единицу времени энергию Е на число вылетающих молекул» равное, очевидно, р. Подсчитать значение Е можно, сообразив, что по формуле (2.41) предыдущей задачи определяется именно число вылетающих частиц. Если умножить подынтегральное выражение на р /(2m), то эта формула будет подсчитывать уже выносимую пучком энергию:
Е =Е =(2nm氏Т产(2nm氏Т产со2 оо加春exp [- 2^] 口乙也 exp [0-ooсо2 оо加春exp [- 2^] 口乙也 exp [0-oo2mkT J■2mkT J■
Е =
Е =
(2nm氏Т产
(2nm氏Т产
со2 оо
加春exp [- 2^] 口乙也 exp [
0-oo
со2 оо
加春exp [- 2^] 口乙也 exp [
0-oo
2mkT J■
2mkT J■
(2.44)
Интегрирование в (2.44) проще всего выполнить, перейдя к
сферической системе координат в пространстве импульсов.
направив полярную ось вдоль х. Тогда
2я тг/2со2
Е =3/2向 рФ sin0 cosefdp р5ехр[-嘉｝ (2.45) (ZnmRi) q qq
Интеграл по модулю импульса вычисляется с помощью интегрального представления Г-функции. В результате получаем
где и определяется формулами (2.42) и (2.43) предыдущей задачи. Поэтому
<е> = E/v = 2 АТ.
Доля «быстрых» частиц в пучке выше, чем в равновесном газе.
Аналогично можно получить ответ и на второй вопрос в условии задачи. Для этого нужно в выражении (2.41) предыдущей задачи перейти к сферической системе координат с полярной осью вдоль х и умножить подынтегральное выражение на cos 0. Полученное значение интеграла следует разделить на и. После несложных преобразований найдем
<cos0^ = 2/3.
Отметим, что приведенное решение имеет смысл только в том случае, когда выходящий пучок не нарушает теплового равновесия газа в сосуде, т.е. когда число вылетающих молекул много меньше полного числа частиц в сосуде.
Определить среднее значение высоты молекул одноатомного идеального газа, рассмотренного в задаче 3.
Решение. Поскольку координата молекулы z не является термодинамической переменной, то ее среднее значение удобно находить с помощью функции распределения. Выражение для функции Гамильтона системы имеет вид (2.20), поэтому функция распределения по координатам распадается на произведение функций распределения отдельных молекул. В результате для среднего значения координаты z оказывается справедливым выражение
<г> 二 J dz zexp(-mgz/左7) [ J dz exp(-加gz//T)]~L(2.46)
оо
Элементарное вычисление интегралов, входящих в выражение (2.46), приводит к формуле
_ kT%
■ mg exp(mgfto/0)-l '
Легко убедиться, что полученное выражение дает правильные результаты в рассмотренных в задаче 3 предельных случаях:
<z> т 五屮приmghJlkT)《1,
<z> т 0приmghyihT)》1.
Показать, что в координатном представлении оператор плотности р для системы с гамильтонианом 〃(г,р) может быть записан в виде
<г1|ехр[-|3//[г^|?]]|г2> = ехр^В"',?* 乖(『J(247)
Решение. Будем исходить из выражения для оператора плотности в координатном представлении
<r1|exp[-3//[r,|f?]]|r2> =齡*十吟)屮川)娱咽 (2-48) где собственные функции W*) и собственные значения оператора энергии Е определяются уравнением Шредингера для стационарных состояний
"К，瑞也 С = £/№)• 人 (249)
Используя понятие функции от оператора @(力)как оператора, у которого собственные функции 0 совпадают с собственными функциями оператора 力， а собственные значения g几 равны значениям функции 令(力/ от собственных значений Ап оператора 4 имеем
ехр 卜8〃值? |р]] 0n(r) = exp(-BEn)必")・(2.50)
С помощью (2.50) выражение (2.48) можно переписать в виде
行[函图/卜犒)]1г2> = eхp[一叫、犒』2⑺*).
Используя свойство полноты системы собственных функций оператора Н
Е心】)%(Г2)=出「 2)，
приходим к формуле (2.47).
Обратим внимание на то, что формула (2.47) определяет ненормированный оператор плотности.
Построить оператор плотности одномерного гармонического осциллятора в координатном представлении.
Решение. Как и в предыдущей задаче, будем рассматривать ненормированный оператор плотности. Аналогично (2.48)
имеем
<х1|ехр(-|3//(х))|х2> = £ехр(-|3纟)屮启1)屮启2)・(2.51)
Для гармонического осциллятора собственные функции 0^(х) и значения энергии Еп даются формулами
屮网=匐"(2%!)" exp出〃n®,Еп = h^\n+^
(2.52)
где //n(<7)— полиномы Эрмита, q = (m3/九) х, n = 0, 1, 2,...,
"nW) =(T)%xp『關 exp").(2.53)
Для вычисления по формуле (2.51) удобно воспользоваться интегральным представлением полиномов Эрмита
2 00 ••
〃n(g)=頁-"%^ Jd〃(-2讪)n exp(-/+2ig〃).(2.54)
—co
Теперь соотношение (2.51) пе/епишетс；. следующим образом:
<Х[|ехр(-В〃(х))|х2><Х[|ехр(-В〃(х))|х2>1/2 [ 元exp1/2 [ 元exp
<Х[|ехр(-В〃(х))|х2>
<Х[|ехр(-В〃(х))|х2>
1/2 [ 元exp
1/2 [ 元exp
x exp 卜В力з[〃+}] — / + 2iq〔u - и + 2/%，] . (2.55)
Под знаком суммы по п в (2.55) стоят слагаемые, соответствующие разложению ехр[-2〃иехр(-В 力 з)] в ряд Тейлора. Поэтому выражение (2.55) можно переписать в виде
<Х[|ехр(-В〃(х))|х2> =<Х[|ехр(-В〃(х))|х2> =1/21 元ex1/21 元ex[2о-и + 2iq^u - v +[2о-и + 2iq^u - v +du dv exp [- ^^) XZig?。- 2uu exp(-B九3)] .(2.56)du dv exp [- ^^) XZig?。- 2uu exp(-B九3)] .(2.56)
<Х[|ехр(-В〃(х))|х2> =
<Х[|ехр(-В〃(х))|х2> =
1/21 元ex
1/21 元ex
[2о
-и + 2iq^u - v +
[2о
-и + 2iq^u - v +
du dv exp [- ^^) X
Zig?。- 2uu exp(-B九3)] .(2.56)
du dv exp [- ^^) X
Zig?。- 2uu exp(-B九3)] .(2.56)
Для вычисления интегралов в (2.56) можно воспользоваться формулой 00
私]…dxnexp[4 _£ а.гЛ+1'ЬЛ]=
—со'
(2n)"2 fгде |а^| —определитель матрицы матрица. В рассматриваемом случае(2n)"2 fгде |а^| —определитель матрицы матрица. В рассматриваемом случаеik'(%，ik'(%，打二打二%-匐,%-匐,-1a (a 欣)—обратная-1a (a 欣)—обратная
(2n)"2 f
где |а^| —определитель матрицы матрица. В рассматриваемом случае
(2n)"2 f
где |а^| —определитель матрицы матрица. В рассматриваемом случае
ik'
(%，
ik'
(%，
打二
打二
%-匐,
%-匐,
-1
a (a 欣)—обратная
-1
a (a 欣)—обратная
I aik I = 4[1 - ехр(-23М].(%)I aik I = 4[1 - ехр(-23М].(%)22
I aik I = 4[1 - ехр(-23М].(%)
I aik I = 4[1 - ехр(-23М].(%)
2
2
а обратная матрица
_[]1-ехр(-В 力 з)
(%)J 开砌Е矶exp(制з)1
"2exp(制 3/2) x[l-exp(-2B 版)]I”"2exp(制 3/2) x[l-exp(-2B 版)]I”Используя сотношенияИспользуя сотношения(2-57)(2-57)Теперь получаем
"2exp(制 3/2) x
[l-exp(-2B 版)]I”
"2exp(制 3/2) x
[l-exp(-2B 版)]I”
Используя сотношения
Используя сотношения
(2-57)
(2-57)
<Х[|ехр(-В〃(х)) |电> =
方з _ ch(B%s)T — sh(節з)T~ - sh(B勿厶)-ПсЬ(№У '
можно привести (2.57) к виду
<Х[|ехр(-В〃(х))|х2> =【2п 力 s£,B 力 3)] х
х exp{-卷卜尸2尸th變+ (看』削11哨}.⑵58)
Не представляет труда вычислить нормированный оператор плотности. Полагая в (2.58) х. = х0, находим
Sp ехр(-|3〃)= J dx <х I ехр(-р//) |х> =
-00
В результате получаем
<Х[|ехр(-В〃( х)) |*2>
р(х1,х2) = —Sp exp(-07/)二
=隅th増exp{一徵寸/喳+(口削嘤]}.
Спиновый гамильтониан электрона в магнитном поле
h =一u曲，(2.59)
где 仕—магнетон Вора, о; —спиновый оператор Паули, В — индукция магнитного поля. Считая ось z направленной вдоль магнитного поля, найти среднее значение ь в ансамбле с фиксированной температурой.
Решение. При указанном направлении магнитного поля гамильтониан (2.59) переписывается так:
人 人 (1 0Ч
22 [О
видевидеехр(-|3，)-ехр(-|3，)-Используя понятие функции от оператора, запишем ехр(-|3//) в
виде
виде
ехр(-|3，)-
ехр(-|3，)-
"ехр(卽8)0'
.0ехр (-卽8).
Видно, что нормированный оператор плотности можно записать:
；一 lР — 2chj即6)；一 lР — 2chj即6)”exp(BN)О”exp(BN)О
；一 l
Р — 2chj即6)
；一 l
Р — 2chj即6)
”exp(BN)
О
”exp(BN)
О
Теперь для среднего значения 0^ имеем
人人人
<%> = Sp(p%) = th(3gS).
Ответ можно получить, не находя явного выражения для оператора плотности. Поскольку / = /, то справедливо равенство ехр(В”％) = £ 牙(卽В%)"= п=0 '
=昌战(В"产， +占吊jr (卽8严(2.60)
В правой части выражения (2.60) стоят разложения в ряды Тейлора гиперболических синуса и косинуса:
ехр(В|^В%) = ch(BM) •/ + shdS/iB)。％.
Теперь легко видеть, что
Sp ехр(ВнВь) = 2ch(卽8),Sp дехр(卽В%)] = 2sh(卽8).
Из последних выражений следует, что
Sp [ст ехр(卽8ь )1
<ь > =Z<ь > =Z2二 th(|3gB).
<ь > =Z
<ь > =Z
Sp exp(卽叫)
Исходя из соображений механического подобия, определить характер зависимости от температуры и объема свободной
энергии одноатомного которого потенциальная есть однородная функцияРешение. Исходим тической суммы системыэнергии одноатомного которого потенциальная есть однородная функцияРешение. Исходим тической суммы системыклассического неидеального газа, у энергия межчастичного взаимодействия п-го порядка от координат молекул.
энергии одноатомного которого потенциальная есть однородная функция
Решение. Исходим тической суммы системы
энергии одноатомного которого потенциальная есть однородная функция
Решение. Исходим тической суммы системы
из соотношения (2.2) для статис- из N частиц в каноническом ансамбле.
которое в рассматриваемом случае записывается в виде 2 р2
Qn =exp{-吞工宙 + U(q)} •(2.61)
где (/(<?) — потенциальная энергия межчастичного взаимодейст
вия» удовлетворяющая условию
(2.62)(2.62)и(М) = ми®.
(2.62)
(2.62)
В выражении (2.61) можно выполнить интегрирование по импульсным переменным:
о _ (2тппАТ ) ЗМ/2
Qn - hZNN\(2.63)
Здесь конфигурационный интеграл
Z = J [對]exp{- Ц^}.(2.64)
Если в подынтегральном выражении произвести замены q т 入д, Г т 入"7, то вследствие свойства (2.62) подынтегральное выражение не изменится. За счет преобразования [dg] интеграл умножится на 入3", а пределы интегрирования по координатам изменятся в 入一，раз. Такое изменение пределов интегрирования сводится к подобному изменению объема рассматриваемой систе мы в 入-3 раз. Действительно, потенциальная энергия U(g) зависит от разностей координат различных молекул. Поэтому при выполнении интегрирования по координатам в выражении (2.64) возникает множитель, равный объему системы.
Чтобы оставить пределы интегрирования прежними, нужно, очевидно, подобным образом изменить объем системы в 入раз. При этом интеграл примет прежний * вид. Итак, проделанное преобразование эквивалентно переходу
причем Zn в левой части соответствует исходной физической системе, взятой при температуре Г и объеме V, а имеющий тот же функциональный вид конфигурационный интеграл Z^ в правой части соответствует той же системе, взятой в объеме 入'у при температуре 入"Т.
С помощью соотношения (2.63) видим, что при таком переходе статистическая сумма Q& преобразуется следующим образом:
если V Т 入3к 7 т ет, то(^ Т 入3m1+"2b2
Qn = Г3"%*"”)з”厂3/n),Qn = Г3"%*"”)з”厂3/n),(2.65)(2.65)Непосредственным вычислением нетрудно убедиться, что обладающую таким свойством функцию Q^ можно записать в виде
Qn = Г3"%*"”)з”厂3/n),
Qn = Г3"%*"”)з”厂3/n),
(2.65)
(2.65)
где ^»(х) — произвольная функция переменной х. Теперь с помощью выражений (2.3) и (2.65) находим
尸=一研3"假+卦n7+ In中广3/[}⑵66)
Учитывая, что свободная энергия есть аддитивная функция от числа ^ частиц в системе, можно переписать (2.66) в виде
戶…研值+計1ПТ +噺广з/")}
где 0 — произвольная функция комбинации ^/NN
от среднего(2.67)где з =от среднего(2.67)где з =Показать, что среднее значение экспоненты <ехр ф(х)>, где угловые скобки означают усреднение по различным значениям величины х, не меньше значения экспонент значения <ф(х)>:
от среднего
(2.67)
где з =
от среднего
(2.67)
где з =
<ехр ф(х)> к ехр <ф(х)>.
(2.68) воспользуемся(2.68) воспользуемсяРешение. Рассмотрим f(f) = ln<exp(^f)>,=w(x). Тогда, очевидно,产m _ <@exp(gf)>/ ⑷-<ехр(ф/)> *
(2.68) воспользуемся
(2.68) воспользуемся
<ехр(ф/)>2
Обозначим 尸=0 exp(@f/2) и Ф = exp®f/2) и неравенством Шварца-Буняковского
°2 b °
[J 尸(х)6(х) dx) $ J 尸'(Jr) dx J 辞(”)dxaaa
Имеем
<ф exp(yf)>2 w <ф2ехр(ф0><ехР(Ф0>-
что f"(f) £ 0.что f"(f) £ 0.С учетом этого неравенства из (2.68) следует. Для функции f(t)при f = 1 справедливо
что f"(f) £ 0.
что f"(f) £ 0.
f⑴=ДО) + f 40)-ь (1/2)ГЮ.(2.69)
где 0 w £ w 1. Из (2.69) теперь следует, что
f⑴三 f(o)+ r(o).
Но это эквивалентно неравенству
1п<ехр ф(х)> А <ф(х)>, или <ехр ф(х)> n ехр <ф(х)>.
Используя неравенство (2.67), доказать вариационную теорему Боголюбова: при разделении функции Гамильтона системы на две части
н = 3 +储
свободная энергия 尸 удовлетворяет условию
尸三f。+<"1>0，
где ^ — свободная энергия системы с функцией Гамильтона Н°, а < ... >0 означает среднее значение соответствующей величины по ансамблю с функцией Гамильтона 仆.
Решение. Запишем очевидное равенство для статисти
ческой суммы системы, опуская для краткости множитель (庐为!尸：
Q =Q =JdT expJdT expxxJdT expJdT expxxJ” exp [-寻]exp [-寻][f“ exp 卜寻口J” exp [-寻]exp [-寻][f“ exp 卜寻口
Q =
Q =
JdT exp
JdT exp
x
x
JdT exp
JdT exp
x
x
J” exp [-寻]exp [-寻][f“ exp 卜寻口
J” exp [-寻]exp [-寻][f“ exp 卜寻口
Видно, что это равенство можно записать следующим образом:
Q = Q(0)<exp[-^]>0.(2.70)
Из (2.67) следует, что
"ХР 卜刷％ 三 ехр<--^>0.
Поэтому (2.70) можно заменить таким неравенством:
QzQ(°)exp<-人〉kT °
откуда
InQ 生 EQ⑻一%<%>。，или f=一々TlnQ < F。 + <"1)。
ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
Используя выражение для функции распределения по координатам, найти среднее значение квадрата дипольного момента единицы объема газа, рассмотренного в задаче 2.4.
Определить плотность состояний электронного газа в квантующем магнитном поле, учитывая спиновое расщепление энергетических уровней.
Используя выражение для максвелловской функции распределения классического идеального газа, определить среднее значение n-й степени модуля скорости молекул.
С помощью ЭВМ построить графики зависимости плотности состояний электронного газа в квантующем магнитном поле без учета и при учете спинового расщепления энергетических уровней.
РАВНОВЕСНАЯ КВАНТОВАЯ СТАТИСТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА
ЗЛ. Ферми-газы и бозе-газы
При рассмотренииПри рассмотренииквантовых систем, вквантовых систем, водночастичные состояния, удобно с самого метрию волновой функции системы: частицы (фермионы) описываются антисимметричнымиодночастичные состояния, удобно с самого метрию волновой функции системы: частицы (фермионы) описываются антисимметричнымикоторых определены начала учесть сим-с полуцелым спином волновыми функциякоторых определены начала учесть сим-с полуцелым спином волновыми функция
При рассмотрении
При рассмотрении
квантовых систем, в
квантовых систем, в
одночастичные состояния, удобно с самого метрию волновой функции системы: частицы (фермионы) описываются антисимметричными
одночастичные состояния, удобно с самого метрию волновой функции системы: частицы (фермионы) описываются антисимметричными
которых определены начала учесть сим-
с полуцелым спином волновыми функция
которых определены начала учесть сим-
с полуцелым спином волновыми функция
ми, частицы с целым спином (бозоны) — симметричными. Для фермионов справедлив принцип Паули: в каждом квантовом состоянии может находиться не более одной частицы. Для бозонов
числа заполнения 川入 квантовых состояний произвольны.
Функции распределения для фермионов и бозонов легко получить в рамках большого канонического ансамбля, выбрав в качестве подсистемы совокупность всех частиц, находящихся в данном квантовом состоянии 入. Энергия системы в этом состоянии есть Е入=£入〃入.Выражение для термодинамического потенциала С入 имеет вид
以=-Gn£ exp[(f )№入/(仃)]•
Для фермионов ” = 0, 1; поэтому
Q入=-kT In 卜 + exp[(u-e入)/(々7)]) .(3.1)
Для бозонов N^ = 0, 1, 2, ... Находя сумму бесконечной геометрической прогрессии, получаем
以=kT In [1- ехр[(ц-еА)/(^)]] .(3.2)
причем 口 V 0. Средние числа заполнения (или функции распределения) получаются с помощью термодинамического равенства
入＞三*€入)=一融院
Поэтому с помощью (3.1) и (3.2) имеем
f陷)=ехр[(£入⑷兀7』土 1 •(ЗВ
Знак плюс относится к фермионам, знак минус — к бозонам. Хи мический потенциал g определяется из условия нормировки функций распределения:
* ехр[©-⑴九 7)匸ГТ = М* ехр[©-⑴九 7)匸ГТ = М(3.4)(3.4)
* ехр[©-⑴九 7)匸ГТ = М
* ехр[©-⑴九 7)匸ГТ = М
(3.4)
(3.4)
где ^ —полное число частиц в системе. Вводя плотность состояний р(е), можно переписать равенство (3.4) в виде
^ = ре р(е) f(e).(3.5)
Термодинамический потенциал всей системы G дается формулой
йй=р 入=彳叮 1п{1 土 exp[(f )/g]}.=р 入=彳叮 1п{1 土 exp[(f )/g]}.(3.6)(3.6)
й
й
=р 入=彳叮 1п{1 土 exp[(f )/g]}.
=р 入=彳叮 1п{1 土 exp[(f )/g]}.
(3.6)
(3.6)
которую аналогично (3.5) можно записать так:
Й =必屮£ р(е) 1п{1 + expttg-eyC^T')]}.(3.7)
Термодинамические характеристики системы определяются с помощью С по обычным формулам термодинамики.
Статистические свойства фермионов и бозонов резко различаются при низких температурах. При расчете низкотемпературных свойств фермионов используются асимптотические разложения интегралов
8и2
J^otMjTT = "е 限)+ ^ g2叫0 + ...(3.8)
Оо
При произвольных температурах удобно использовать интегралы Ферми-Дирака:
8卜СО
乙⑺=1 + 2；р£—》「⑶二 №(3.9)
оо
Интегралы Ферми-Дирака обладают удобным свойством
f较))=f1(砂(3.10)
При рассмотрении свойств бозе-систем при температурах, меньших точки 7。 бозе-эйнштейновской конденсации, удобно использовать соотношение
Г 吟今=「⑶ С(2)(2 > 1),где Г(г) — гамма-функция, а С(2) — дзета-функция Римана
У) = g 宀
Смешанное представление в квантовой статистической механике
Переход к смешанному представлению осуществляется следующим образом. В матрице плотности, взятой в координатном представлении, совершается переход к новым пространственным переменным, равным полусумме и разности старых переменных. Для одночастичной матрицы плотности такому переходу соответствуют соотношения:
R = (1/2)(^+^), г = rt-r2 ,<r1，(r1|p|r2，(r2> т <R+r/2,^IрIR-r/2,(r2>.
Здесь % и (г2—спиновые переменные. Далее совершается преобразование Фурье по переменной г:
fb&(P，R)= Jdr ехР(- ярг^ < R+2' ^! Iр I R_2' (г2> • (311) Функция /^ (р, R) называется равновесной квантовой функцией распределения Вигнера. Формула обратного преобразования имеет вид
<r1，a-1|p|r2，a-2> = 伕
В общем случае квантовая функция распределения Вигнера не является положительно определенной и поэтому не может рассматриваться как вероятность реализации определенных состояний. Однако проинтегрированная по импульсной переменной функция распределения Вигнера дает распределение по пространственным координатам. Проинтегрированная по пространственной переменной она дает распределение по импульсу.
Функция распределения Вигнера позволяет записать основные соотношения квантовой статистической механики в виде, формально аналогичном соотношениям классической статистики. Это не относится к спиновым переменным, для которых нет классического аналога.
Все фигурирующие величины в смешанном представлении остаются матрицами в спиновом пространстве. Спиновые индексы при использовании функции распределения Вигнера обычно в явном виде не выписываются.
ЗАДАЧИ
нерелятивист- вы разить егоферми-системнерелятивист- вы разить егоферми-системНайти термодинамический потенциал G для ского ферми-газа при произвольной температуре и через интеграл Ферми—Дирака.
нерелятивист- вы разить его
ферми-систем
нерелятивист- вы разить его
ферми-систем
Решение. Используя формулу (3.7) для и выражение (2.37) для плотности состояний
р(е)=仆 2"2加3/2£1/2人/方 3)
2 8-Jde e" In [1 + ex ои интегрируя по частям, приходим2 8-Jde e" In [1 + ex ои интегрируя по частям, приходимполучим
2 8
-Jde e" In [1 + ex о
и интегрируя по частям, приходим
2 8
-Jde e" In [1 + ex о
и интегрируя по частям, приходим
I/. 9 1/23
Й = -kT V 2 弋
Совершая замену переменной к следующему соотношению:
С23/2 m3/2g3/2：dx *3/2
=Зпй3 J exp[(r)/(/O + 1 •
Используя определение интеграла Ферми-Дирака (3.9), этому выражению можно придать вид
2忒廳;3(砲"2尸в/怡(3」2)
Уравнение для определения химического потенциала 口 с помощью (3.12) записывается следующим образом:
心醤%(々7产尸1/2陶・
Найти теплоемкость Су при постоянном объеме нерелятивистского ферми-газа с законом дисперсии е 二 p?/(2m) при низких температурах.
Решение. Искомую теплоемкость можно определять с помощью соотношения
Выражение для энергии Е системы можно записать в видесо
Е = Jd£ ер(е) f(s).
о
Используя низкотемпературное разложение (3.8), можно на
писать с точностью до квадратичных по температуре членов
В выражении (3.14) химический потенциал ц зависит от температуры, поэтому при вычислении теплоемкости по формуле (3.13) необходимо учесть эту зависимость. Проще всего это сделать следующим образом. Запишем первое слагаемое в правой части (3.14) так:
Jefe ер(е) = J de ep(£) + (什％)% P(%), о0
где р0~энергия Ферми. Второе слагаемое в правой части этого выражения представляет собой зависящую от температуры поправку; поэтому значение подынтегральной функции ер(е) можно взять в крайней точке промежутка (%,卩).Теперь все выражение (3.14) запишется так:
Н)2
Е = J de ер(е) + (卩-因)％ р(%) + g (ЛТ)2 ^(MjjJ+m^' (%)]. О
(3.15) Запишем выражение для среднего числа ^ частиц системы и преобразуем его аналогичным образом:
82
N = Jefe р(е) f(e) = J de р(е) + (g-|i0) p(|i0) + | (ЙТ)2 р^^). оо
Первое слагаемое в правой части равно ^t ибо оно представляет собой выражение для числа частиц ^ системы при нулевой температуре. Поэтому
(U-%) р(П0) + ^ (々7)2 1(%) = 0.(3.16)
С учетом (3.16) равенство (3.15) переписывается в виде
f = ре £Р(е) +『(々7)2 р(ц0).(3.17)
о
Теперь для теплоемкости С^ получаем
S，= fk2P^T-(3 18)
Видно, что значение теплоемкости определяется плотностью состояний на уровне Ферми.
Используя известное соотношение квантовой статистической механики Q = -(2/3)Е, можно провести вычисление теплоемкости Су ферми-газа при постоянном объеме таким образом. Найдем энтропию системы S, для которой справедливо равенство
о _ _ ЗЙ _ 2 3F
з 打•
С помощью приближения (3.17) для энергии Е, найденного в предыдущей задаче, получим для S выражение
s = ^扌庐仪氏".
Теперь для теплоемкости Су находим
% =嚼=财庐叫)冗
Как согласовать этот результат с формулой (3.18) предыдущей задачи?
Решение. Формула для энтропии S = -8Q/37 предполагает выполнение дифференцирования при фиксированном химическом потенциале системы - р:
s 一叫
Поэтому, используя результаты предыдущей задачи, следует дифференцировать не выражение (3.17), а выражение (3.14), содержащее химический потенциал J при конечной температуре Т, а не при 7 = 0. Тогда получим
S = -開丛=謂丸=冢必［р(|1)+№ЗР(3-19)
Для нерелятивистского газа плотность состояний р(£) пропор- 1/2 циональна е
р(е) = Ze"?.
Поэтому справедливо равенство
p(fi)+ ^ (fl) = I р(ц).
Подставляя это соотношение в (3.19) и учитывая, что 卩 можно положить равным энергии Ферми %, приходим с помощью выражения для теплоемкости Су = TdS/dT к правильному результату:
Су =『dp(Mo)T.
В зонной теории собственных полупроводников и полуметаллов термодинамический потенциал Q электронной системы дается выражением со
с = №7 £ J d£ р/е) 1п(1+ехр號)，(3.20)
f —co
где суммирование производится по электронным зонам. Рассматривая приближение двух зон — валентной зоны и и зоны проводимости с, выяснить, как запишется термодинамический потенциал G после перехода к «дырочному» представлению, когда вместо
электронов в валентной зоне рассматриваются положительно заряженные дырки.
Решение. Рассмотрим для определенности случай собственного полуметалла, зонная схема которого показана на рис. 1. Энергию отсчитываем от дна зоны проводимости; перекрытие зон равно Д. В случае полупроводника А < 0 — это ширина запрещенной зоны. Будем считать валентную зону ограниченной снизу значением энергии £ = -3» хотя в приближении только двух зон в конечных результатах следует положить 3 -» оо.
Рис. 1. Зонная схема полуметаллаРис. 1. Зонная схема полуметаллаВводим число состояний 2庐) превосходящей е, так чтоР/е) = dN .(£)/d£Тогда, интегрируя (3.20) по частям.Вводим число состояний 2庐) превосходящей е, так чтоР/е) = dN .(£)/d£Тогда, интегрируя (3.20) по частям.в i-前 зоне с энергией, нев i-前 зоне с энергией, неи = ", С).и = ", С).получаемполучаем> %（£）М %（£）> %（£）М %（£）°1 + ехр|^ *1+ехр|^°1 + ехр|^ *1+ехр|^(3.21)(3.21)-kTN^c) In 卜+expg^j 也 (3.22)-kTN^c) In 卜+expg^j 也 (3.22)
Рис. 1. Зонная схема полуметалла
Рис. 1. Зонная схема полуметалла
Вводим число состояний 2庐) превосходящей е, так что
Р/е) = dN .(£)/d£
Тогда, интегрируя (3.20) по частям.
Вводим число состояний 2庐) превосходящей е, так что
Р/е) = dN .(£)/d£
Тогда, интегрируя (3.20) по частям.
в i-前 зоне с энергией, не
в i-前 зоне с энергией, не
и = ", С).
и = ", С).
получаем
получаем
> %（£）М %（£）
> %（£）М %（£）
°1 + ехр|^ *1+ехр|^
°1 + ехр|^ *1+ехр|^
(3.21)
(3.21)
-kTN^c) In 卜+expg^j 也 (3.22)
-kTN^c) In 卜+expg^j 也 (3.22)
Вводим величину
” =N - 纥(О， (3.23) где ^ —число электронов в целиком заполненной валентной зоне, равное полному числу электронов в собственном полуметалле в модели двух зон: ^ (Д) = ^. Последнее слагаемое в (3.22) на нижнем пределе интегрирования обращается в нуль; поэтому с учетом (3.23) выражение (3.22) записывается следу-
ющим образом:
产 ”(£)%；(£)ol+exp詁 _51+ехр|^
(3.24)
Переходим к дырочному представлению. Делаем замену £‘ =
=Л-е, вводим цЛ = Д-pt и определяем число дырочных состояний с энергией, меньшей е: ^(е) = ^(Д-е). Тогда второе слагаемое в (3.24) принимает вид
，厶 ％：(£)^.(e)
Г ——= Г ——.(3.25)
-§1+ехр~^° i+exp!^
Учитывая равенство
используя (3.25) и вычисляя интеграл в третьем слагаемом виспользуя (3.25) и вычисляя интеграл в третьем слагаемом в(3.24), перепишем (3.24) следующим образом:(3.24), перепишем (3.24) следующим образом:产 ％(£)О 1+ехр 皆产 ％(£)О 1+ехр 皆^.(e)-J —W+ 口叫⑹-Sn[l+exp隅.о ]+ехр"j1Ttо(3.26)^.(e)-J —W+ 口叫⑹-Sn[l+exp隅.о ]+ехр"j1Ttо(3.26)Третье слагаемое в этом выражении является постоянной величиной и может быть отброшено. Учитывая необходимость предельного перехода 6 т 8 в модели двух зон, можно перепиТретье слагаемое в этом выражении является постоянной величиной и может быть отброшено. Учитывая необходимость предельного перехода 6 т 8 в модели двух зон, можно переписать последнее слагаемое в (3.26) в видесать последнее слагаемое в (3.26) в виде
используя (3.25) и вычисляя интеграл в третьем слагаемом в
используя (3.25) и вычисляя интеграл в третьем слагаемом в
(3.24), перепишем (3.24) следующим образом:
(3.24), перепишем (3.24) следующим образом:
产 ％(£)
О 1+ехр 皆
产 ％(£)
О 1+ехр 皆
^.(e)
-J —W+ 口叫⑹-Sn[l+exp隅.
о ]+ехр"j1Ttо
(3.26)
^.(e)
-J —W+ 口叫⑹-Sn[l+exp隅.
о ]+ехр"j1Ttо
(3.26)
Третье слагаемое в этом выражении является постоянной величиной и может быть отброшено. Учитывая необходимость предельного перехода 6 т 8 в модели двух зон, можно перепи
Третье слагаемое в этом выражении является постоянной величиной и может быть отброшено. Учитывая необходимость предельного перехода 6 т 8 в модели двух зон, можно перепи
сать последнее слагаемое в (3.26) в виде
сать последнее слагаемое в (3.26) в виде
СлагаемоеСлагаемоеNkT\n 1 + exNkT\n 1 + exг ^|1+8).г ^|1+8).^5, являющееся постоянной величиной.^5, являющееся постоянной величиной.можноможно
Слагаемое
Слагаемое
NkT\n 1 + ex
NkT\n 1 + ex
г ^|1+8).
г ^|1+8).
^5, являющееся постоянной величиной.
^5, являющееся постоянной величиной.
можно
можно
отбросить. Теперь видно, мического потенциала Qотбросить. Теперь видно, мического потенциала Qчто выражение (3.26) для термодина- электронной системы кристалла приоб
отбросить. Теперь видно, мического потенциала Q
отбросить. Теперь видно, мического потенциала Q
(3.27)(3.27)ретает структуру
(3.27)
(3.27)
Q = @ + % - UM
(3.28)(3.28)где & н ”， определяемые первым и вторым слагаемыми в (3.26), имеют смысл потенциалов электронов проводимости и дырок соответственно. Соотношение (3.27) удовлетворяет условию сохранения полного числа электронов в системе. Действительно, определяя число электронов ^ в системе по обычной формуле ^ = -ЗП/Зц и учитывая, что 8/8卩=-3/9ц^ , получаем из (3.27) выражение
(3.28)
(3.28)
где ^e и ^h —числа электронов в зоне проводимости и дырок в валентной зоне. Например, дифференцируя по g первое слагаемое в (3.26), имеем
8一[ 81
-J曲 ”£)矗[1 + exp詁)=\deN^)^ 0 + exp詁)三 /.
Оо
Интегрируя теперь по частям и учитывая (3.21), получаем
/ =捶 р,(£)[1 + exp斜=纥•о
В собственном полуметалле ^e = %в соответствии с формулой (3.28). Вычисление других термодинамических характерис
тик производится дифференцированием термодинамического потенциала С при фиксированном значении химического потенциала d так что последнее слагаемое в (3.27) не будет давать вклада. Итак, если при расчетах явно учитывать условие ^e = ^h, то последнее слагаемое в (3.27) можно отбросить и записать термодинамический потенциал в виде
8С 3Q.
С = & + йь* причем 好=阪•
Найти термодинамический потенциал С для нерелятивист
ского электронного газа в квантующем магнитном поле при произвольной температуре. Получить выражения для энтропии системы S, магнитного момента М и среднего числа частиц ^.
Решение. Используя общее выражение (3.7) для термодинамического потенциала ферми-системы и формулу (2.39) для плотности состояний р(£)в квантующем магнитном поле
p⑹=„1/2-••三^f1——,
2 元冇 n / е-йшс(п+1/2)n /е-Йшс(п+1/2)
получим 00
G = -kTA Jd£ £ [In [1 + exp置.
0 " / £-叫(〃+1/2)
Суммирование проводится по таким значениям п = 0, 1» 2, ...»
при которых подынтегральное выражение вещественно. Меняя
выполняя ннтегрнро”выполняя ннтегрнро”порядок интегрирования и суммирования и
выполняя ннтегрнро”
выполняя ннтегрнро”
вание по частям.
00
С = -24 £ п=0
приведем это выражение к 00
виду
J dE J £-力％(〃+1/2) [ 1 + exp|^j . ’叫(n+1/2)
(3.29)
Здесь суммирование по я, как легко убедиться, осуществляется в указанных пределах. Совершая замену переменных £ -方з х х (〃+1/2) = kTx, переписываем (3.29) следующим образом:
3/2 8 7/ г гg-ftu (n+1/2
С = -2Л(ЛГ)% 妆』+ expj}.
Используя определение (3.9) интеграла Ферми-Дирака и подставляя значение А, получим
“/2%g3/21/2)
◎ -21/2лЗ/2а2 己0耳/2 [ ST JО 30)
С помощью термодинамического равенства dC = -SdT - ^ф -MdB
находим
S = ~^T~ A^ ^75昌戶-1/2 [hr][M-hwc(n+l/2)],
M =M =先*-A普侬少/2 订"[??±^^（“+1/2）,
M =
M =
00 rg-ftw (n+1/2)^
N 二 4陋产昌 J/2()
(3.31)
Теперь, используя полученные формулы, можно убедиться в справедливости равенства
(3.32)(3.32)(5/2)G +TS + 11N + MB = П.
(3.32)
(3.32)
Это соотношение является аналогом хорошо известного равенства квантовой статистической механики
С = -(2/3)Е, справедливого в отсутствие внешних полей. Действительно, запишем энергию системы £ как сумму энергии магнитного момента в поле, равной -МВ, и оставшейся части 方，которая, очевидно, представляет собой энергию хаотического движения частиц при наличии магнитного поля:
Е =佇-力В.(3.33)
Используя термодинамическое определение потенциала G:
С = E-TS-jN(3.34)
и равенство (3.33), с помощью формулы (3.32) получаем
Й = -(2/3)占
Подчеркнем, что при наличии внешнего магнитного поля средняя энергия хаотического движения зависит от магнитного поля. Отметим, что соотношение (3.32) остается справедливым и при учете спинового расщепления энергетических уровней в магнитном поле.
Показать, что средняя энергия 片 хаотического движения
частиц в квантующем магнитном поле делится поровну между тремя поступательными степенями свободы.
Решение. Вычислим средние значения энергии попе
речного и продольного движения в магнитном поле:
Е 丄=<hb>c(n+l/2)>.Е|| = <p^/(2m)>.
Выражение для Е丄 можно записать непосредственно с помощью соотношения (3.4):
р^/(2т)+力з (n+l/2)-g]-1
£丄=£П^п+\/2)- 1+ехр-^-^.(3.34)
Действуя так же, как и в задаче 2.9, посвященной вычислению плотности состояний в квантующем магнитном поле, приведем это выражение к виду
Vm^ оо °° Г砌+施(п+1/2)-Ш-1
Е「^Jo(n+l/2)pP2 Ьехр-^——^
9
Совершая замену переменной р = 2mkTx и учитывая определение интегралов Ферми-Дирака (3.9), получим
Vm3/2w2m Г卩-方3 (〃+1/2)、
4 =4 =戸F唸(SJ/-1/2〔 一W] S+l/2) •
4 =
4 =
Выражение для энергии продольного движения Е^ можно запи
сать в виде々I =сать в виде々I =_厶 2т6”产2_厶 2т6”产2■ 1 + exp■ 1 + expp^/(2m)+ha)c(n+l/2)~iip^/(2m)+ha)c(n+l/2)~ii
сать в виде
々I =
сать в виде
々I =
_厶 2т
6”产2
_厶 2т
6”产2
■ 1 + exp
■ 1 + exp
p^/(2m)+ha)c(n+l/2)~ii
p^/(2m)+ha)c(n+l/2)~ii
Преобразуем это соотношение аналогично (3.35). Получим
Рз « 7р〃2т)+%з (〃+1/2%『
马马^Joj^^1 + eXp-—〜•
马
马
ц-Йшс(п+1/2)ц-Йшс(п+1/2)
ц-Йшс(п+1/2)
ц-Йшс(п+1/2)
Используя полученные выражения для Е丄 и Е^ и выражение (3.31) для магнитного момента М в квантующем магнитном поле, убеждаемся в справедливости равенства
МВ = 2£ц - Ег(3.36)
Но это равенство как раз и означает, что средняя энергия хаотического движения 片 поделена поровну между всеми тремя поступательными степенями свободы. Действительно, энергию системы Е можно представить в двух видах:
Е = Е丄 + Er = £ - М8.
Но равенство (3.36) можно получить отсюда только при выполнении условия
Ё = 3*.
Показать, что термодинамический потенциал С электронного газа в квантующем магнитном поле, даваемый формулой (3.30), переходит в обычное выражение в отсутствие магнитного поля при з т 0.
Решение. Записав выражение для термодинамического потенциала С в квантующем магнитном поле в виде
严)3/21/2)
口 -9l/2“3/2%2Vl/2[H"J， (3・37)
/
перейдем от суммирования по я к интегрированию по непрерывной переменной х. Прибавляемая к п величина 1/2 меньше самого п, и поэтому она выбрасывается при переходе от суммирования к интегрированию. Учитывая свойство интегралов Ферми-Дирака (3.10), получаем
(3.38) На верхнем пределе это выражение в силу определения (3.9) обращается в нуль. Действительно,
厶⑺)=ЦШ7 Jl+exp(x-7)) tF^ ЦК!} /[dx e~x^ = ^ ^^ 0.оо
Подставляя значение функции (3.38) в соотношение (3.37), приходим к выражению для Q:
С= -倘*(")叫3/2附・
Показать, что магнитный момент М системы в квантующем магнитном поле (3.31) пропадает при выключении магнитного
поля.
Решение. Прежде всего отметим, что первое слагае
мое в правой части формулы (3.31) при з г 0 расходится как 1/й>с, поскольку термодинамический потенциал Q, как было выяснено в предыдущей задаче, стремится при % 少 ° к конеч
ному пределу:ному пределу:е Q_ е__Тпс й"— /лссе Q_ е__Тпс й"— /лссОчевидно, чтоОчевидно, чтовторое слагаемоевторое слагаемое〃％二 0)в правой〃％二 0)в правойчастичастивыражениявыражения
ному пределу:
ному пределу:
е Q_ е__
Тпс й"— /лс
с
е Q_ е__
Тпс й"— /лс
с
Очевидно, что
Очевидно, что
второе слагаемое
второе слагаемое
〃％二 0)
в правой
〃％二 0)
в правой
части
части
выражения
выражения
должно стремиться к такому же пределу, взятому с противоположным знаком. Убедимся, что именно так и происходит:
”一叫(n+1/2)]
Итак,9.Итак,9.Vm"23:^-"?7^^ [dXXF-V2Vm"23:^-"?7^^ [dXXF-V2МЫМЫпоказали, что Мпоказали, что М晒°,晒°,Найти зависимость от температурыНайти зависимость от температуры卩-叫X] _ e徵"=0)химического потенциа卩-叫X] _ e徵"=0)химического потенциа
Итак,
9.
Итак,
9.
Vm"23:
^-"?7^^ [dXXF-V2
Vm"23:
^-"?7^^ [dXXF-V2
МЫ
МЫ
показали, что М
показали, что М
晒°,
晒°,
Найти зависимость от температуры
Найти зависимость от температуры
卩-叫X] _ e徵"=0)
химического потенциа
卩-叫X] _ e徵"=0)
химического потенциа
ла бозе-газа.
Решение. Химический потенциал бозе-газа обращается в нуль при температуре бозе-эйнштейновской конденсации 7°,
которое следует из (3.5) (Л = 1):_,1/23/2 г ,1/2f dz г = лг Г “ м 00которое следует из (3.5) (Л = 1):_,1/23/2 г ,1/2f dz г = лг Г “ м 00определяемой условием,
которое следует из (3.5) (Л = 1):
_,1/23/2 г ,1/2
f dz г = лг Г “ м 00
которое следует из (3.5) (Л = 1):
_,1/23/2 г ,1/2
f dz г = лг Г “ м 00
(3.39)(3.39)N (『)3/2 0 一g2" 2n2方3
(3.39)
(3.39)
Ниже этой температуры химический потенциал тождественно
равен нулю вплоть до абсолютного нуля температуры. При температурах 7 ¥ 7。химический потенциал отрицателен и мал по модулю. Выше Т。выражение для концентрации N/V можно записать в виде
F =炉/2,哉證言:「(3.40)
0
Прибавляя к (3.40) и вычитая из него такое, же выражение при ц = 0, получаем 0000.
学Н炉"血产鳥宀厂冷卜炉勻合辞丁
о0
6565(3.41)
65
65
3. А.С.Кондратьев, В.П.Романов
Последнее слагаемое в правой лети (3.41) равно, как следует из (3.39), (N/VjiT/T^2. В первом слагаемом в правой части (3.41) основной вклад в интеграл дают малые значения 2^0. Поэтому экспоненты можно разложить в ряды, ограничиваясь линейными членами. После этого выражение (3.41) прини-
мает вид
N V
"200
dzz"2(z+|M|/T)
(3.42)
Интеграл в (3.42) легко вычисляется:00
Г dz =
Подставляя это выражение в (3.42), получаем химического потенциала бозе-газа при температуре Т
формулу для а Г ■
973/2 9
10. Получить формулу для нахождения средних значений с
помощью квантовой функции распределения Вигнера.
Решение. Среднее значение любого одночастичного оператора А дается формулой (2.12). Запишем ее в координат-
ном представлении:
<Л> = Spp,^dv'dv" <rz |p|rzzXrzz j Л |rz>,
(3.43)
где Sp, означает взятие шпура по спиновым переменным.
Используя выражение для матричного элемента оператора плотности через квантовую функцию распределения Вигнера (3.11), найдем
3叫伕Р(「№，汨•(3 44)
Совершаем замену переменных
R = (1/2)(г'+г〃)， г = гУ.
Теперь выражение (3.43) принимает вид
"> =Sp/^^exp^pOfgRARf/IR+A.
Вводя определение
4P，R) = Jdr exp 伽rj<R子|4|R+?>,
(3.45)
(3.46)
переписываем соотношение (3.45) следующим образом:
<4> = Sp J 迎鼻 f(p,R)4(P，R).
(2 叫з
(3.47)
Соотношение (3.46) называется преобразованием Вейля квантовомеханического оператора А. Формула (3.47) определяет пра вило вычисления средних значений в смешанном представлении.
Найти явный вид преобразования Вейля для произвольной функции оператора импульса @(р).
Решение. Исходим из выражения (3.46). Имеем
3(P，R) = fdr exp 伕prj<R-fm")|R+f>.(3.48)
Используя дираковские обозначения для векторов состояния и учитывая свойство
рр1|р1><р1| = 1,
можно переписать (3.48) в виде
@(p,R) = Jdrdpjdpg exp^prj<R-^|P1> <р,|Ф(р)|р2> <p2|R+J>-
(3.49)
Величина <R-r/21 Pj> представляет собой собственную функцию оператора импульса в координатном представлении:
<Rf Р?=就豆/xp伕虱R用]-(3.50)
Величина <p21 R+r/2> представляет собой комплексно сопряжен- ную собственную функцию оператора импульса. С учетом (3.50) выражение (3.49) переписывается следующим образом:
"CR)= 筹箒 exp{^pr+P[{RW]-p2k+^]}pi2(S)|P2>.
(3.51)
Поскольку оператор в собственном представлении диагоналей: р|р> = р|р>， ТО <Р[|р|Р2> = Р 产(Р「Р2)，
и для <pj^(/?) |р2> справедливо равенство
<Р[|0(Р)|Р2> = 0(Р[)改Р「Р2“(3 52)
Подставляя (3.52) в (3.51) и учитывая интегральное представление для 3-функции
5(Р)=盡/ехр 阿 получаем
v(p.R) = w(p).
т.е. преобразование Вейля любой функции оператора импульса равно классическому значению этой функции от импульсной переменной.
*
Построить квантовую функцию распределения Вигнера для свободных частиц со спином 1/2.
Решение. Исходим из выражения, задающего вид матрицы плотности в координатном представлении:
<5.01 IpI^.V = Z13^^^^^' В") где 0^(г, а) — волновая функция в состоянии» задаваемом набором квантовых чисел {£}. Для свободных частиц < П = р*, "式 卩纟， s, где s —спиновое квантовое число. Считая, что частица помещена в <ящик> объемом 匕 запишем 0^^(г,а) в виде
嚷「")= 2 exp(ipr) X (о*), (3.54)
где Х$(ь) — двухкомпонентный спинор. В рассматриваемом случае энергия не зависит от спмнз, все состояния двукратно вырождены по спиновой переменной» а матрица плотности диагональна
в спиновом пространстве.
Вероятность Р. реализации чистого состояния i определяется фермиевской функцией распределения. Найти ее явный вид
можно с помощью условия нормировки
Spp = Sp^pr <r,(r|p|r,cr> = 1.
квантовымквантовымПереходя в (3.53) от суммирования по дискретным числам р. к интегрированию по обычному правилу
квантовым
квантовым
и учитывая» чтои учитывая» чтор (271力严
и учитывая» что
и учитывая» что
E49)x；b) = 6g，，
получаемполучаемpi т 2T?vKp)*pi т 2T?vKp)*(3.55)(3.55)
получаем
получаем
pi т 2T?vKp)*
pi т 2T?vKp)*
(3.55)
(3.55)
где ^ —число частиц системы.
Теперь (3.53) записывается в виде
<rvcr1|p|r2，cr2> =<rvcr1|p|r2，cr2> =謁 f(P)exp 僚(「/謁 f(P)exp 僚(「/(3.56)(3.56)
<rvcr1|p|r2，cr2> =
<rvcr1|p|r2，cr2> =
謁 f(P)exp 僚(「/
謁 f(P)exp 僚(「/
(3.56)
(3.56)
Используя формулу (3.11), получаем с помощью (3.51)
3々а卅3 一3々а卅3 一°■严2 r drdp］°■严2 r drdp］7W7W(2пй)3(2пй)3f(P“ хf(P“ х
3
々а卅3 一
3
々а卅3 一
°■严2 r drdp］
°■严2 r drdp］
7W
7W
(2пй)3
(2пй)3
f(P“ х
f(P“ х
%卡f(p)・
Итак, диагональный матричный элемент функции распределения Вигнера для свободных частиц с точностью до мКЪжителя l/(2^) совпадает с функцией Ферми—Дирака.
Построить равновесную квантовую функцию распределения Вигнера для электронов, находящихся в однородном квантующем
магнитном поле, учитывая спиновое расщепление энергетических уровней.
Решение. Исходим из выражения (3.53) для матричного элемента одночастичного оператора плотности в координатном представлении, явно указывая спиновые переменные:
<r1，(r1|p|r2，tr2> = £戶两q,%) %(%,%).(3.57)
Выберем векторный потенциал А однородного магнитного поля в виде A(r) = (-8д,0,0). Набор квантовых чисел, определяющих состояние электрона, есть < Л =卜父 k^ п, ст, где cr означает z-компоненту спина и принимает значения ст = ±1/2, а волновая функция представляет собой двухкомпонентный спинор. Координатная часть ① волновой функции 屮 имеет вид (力 二 1) %,%,%⑴=[寸] 处! “J exp[%x+%)] exp 卜刁小"，
*(3.58)
где s = m3c[у+左JmcaJ] , Я^ —полином Эрмита порядка n;
Лг —линейные размеры образца по осям х и г. Вероятность Р. определяется функцией распределения Ферми—Дирака. В принятом приближении, когда учитывается спиновое расщепление энергетических уровней, имеем
1 1 Г贬/(2т)+з (〃+l/2+tr)-u『
〃•=扌齐 1 + ехр*沃 三 W(n,a,k^ (3.59)
где ^ —число частиц в системе. С помощью (3.57) и (3.59) имеем, переходя к новым переменным R = (1/2)(\+%), г = =q-% следующее выражение для матричного элемента функции распределения Вигнера в спиновом пространстве:
fa о-(Р-Ю = prexp(-Zpr) £ Г(п,(тД2)х
Г 2k .
X 脸储」R+£ bj %,吟/"£ %) (3.60) Переходим от суммирования по /н 左к интегрированию с помощью обычного правила
Используя формулу (3.58) для волновой функции электрона и интегральное представление для 3-функции 00
6(х)= 2й JdWexp(i%x),
-00 приводим после выполнения интегрирования по х и z и суммирования по о* выражение (3.60) к виду
1 гти^ 1/2 _
kg(P，R)=口川勺県 £ 叩,咽)ехр(7р*)х
X S(Px~kx)8(Pz-kz)exp{- }[(〃+и)2 + («-n(u+") H^u-V),
(3.61)
u2 = mh)JY + k /mcjjf,u‘ = mb)出^/4.
Отметим, что в отличие от вычисления плотности состояний
в квантующем магнитном поле (задача 2.9), где интегрирование
по проекции импульса, характеризующей положение центра ос
циллятора Ландау, проводилось в конечных пределах, здесь
интегрирование по 勺 проводится от -оо до +8. Это связано с тем, что вигнеровская функция распределения определена при всех значениях импульса. Напомним, что квантовая функция распределения Вигнера не может рассматриваться как вероят
ность реализации определенных состояний, и поэтому данное обстоятельство не приводит к каким-либо недоразумениям.
0000-00-00Для интегрирования по у воспользуемся соотношением
00
00
-00
-00
do ехр{- J[(P[+t/)2 + (р,-у)2]} exp(2tp2t>)勺旧+办 〃*厂。)=
=(-1产2%! п"2ехр(-@2)4(2д2),
4 =(叫)1/2h+版} & =瀛"常，g2 =小以
L —полином Лагерра порядка п. После замены переменной 卄= =(тт^ i//2 и вычисления интеграла по и выражение (3.61) записывается следующим образом:
(3.62)от R,(3.62)от R,Ьь(P，R)= 2 £ (-1)п1Г(п,(г,р ) ехр(-М) %(2#). 1 2п"
(3.62)
от R,
(3.62)
от R,
Формула (3.62) дает функцию f(p,R), явно зависящую
хотя очевидно, что в однородном магнитном поле рассматриваемая система является пространственно однородной. Причина этого заключается в использовании канонического импульса р. Если перейти к кинетическому импульсу Р = р -(e/c)A(R), то в
силу выбранной калибровки векторного потенциала имеем
Р = р +Р = р , Р = р .
Вигнера коорди-выраже- электро-Вигнера коорди-выраже- электро-Теперь w2 = (Р j+pj)/(/n%) и функция распределения f(P,R) оказывается не зависящей от пространственных нат: f = f(P).
Вигнера коорди-
выраже- электро-
Вигнера коорди-
выраже- электро-
Выполнить переход к классической статистике в нии для квантовой функции распределения Вигнера для
на в квантующем магнитном поле:
(3.63) М+р2 тз с(3.63) М+р2 тз сf(P) = 2 £ <-l)n W(n,(rtP^ ехр(-№2) L^), п=0
(3.63) М+р2 тз с
(3.63) М+р2 тз с
取 5aPJ =务т + ехр^^.
Решение. При переходе к классической статистике
следует прежде всего отбросить единицу в знаменателе вы раже ния для функции распределения Ферми-Дирака. При этом появля
ется возможность в явном виде выполнить суммирование по спиновой переменной а = ±1/2. В результате получаем
*戶)=希[exp疗 + ехр(-疗)]£ (-l)n x n=0
「P J^m)+bi (n+\ x expг「P J^m)+bi (n+\ x expгexp(-的2) /(2宗).(3.64)exp(-的2) /(2宗).(3.64)
「P J^m)+bi (n+\ x expг
「P J^m)+bi (n+\ x expг
exp(-的2) /(2宗).(3.64)
exp(-的2) /(2宗).(3.64)
Теперь можно выполнить суммирование по п, воспользовав
шись выражением для производящей функции полиномов Лагерра(1т)-ат ехр^ = £ L^x)2n,|z| < 1,
ап=°
где L —присоединенный полином Лагерра. В результате формула (3.64) переписывается следующим образом:
f(P)=玲[exp办 + exp [_ 2т]]ехР(-^2)exp [- "约?‘ / “] x 「1-2t£/2exp(-wc/7')
义 Lexp-exp(℃-l •
После элементарных преобразований это* дает
P 2 p 2十p2 g
f(P)=希 expjlexp 卜赤厂-^th疗卜(3-65)
Соотношение (3.65) можно переписать в несколько иной форме, если воспользоваться условием нормировки квантовой функции
распределения:
[簪 f(p,R) = 1.
(3.66)
Вычисление интеграла в (3.66) после подстановки f(P), даваемой формулой (3.65), приводит к результату
ехР^ =V '
С
после чего формула (3.64) переписывается в виде
*p)=畸開吗h療.eхр(一為厂脸，th計(3.67)
Формула (3.67) показывает, что равновесная функция распределения электронов в квантующем магнитном поле в пределе классической статистики является <двухтемпературной>, ибо ее можно записать в следующем виде:222
*Р)= V 儲]"2 т #2 ехр [-万击—Ft^}
где «продольная» температура Гц —это обычная температура 7, а «поперечная» температура Т丄 определяется соотношением
、=^th^T).
Таким образом, существование двух температур для системы электронов в квантующем магнитном поле в пределе классической статистики может быть объяснено проявлением квантовых свойств при высоких температурах, когда статистика уже становится классической.
ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
Показать, что соотношение (3.32) остается справедливым при учете спинового расщепления энергетических уровней в
квантующем магнитном поле.
Используя выражение для энтропии в квантующем магнитном поле (первая из формул (3.31)), найти выражение для теп
лоемкости электронного газа и исследовать характер осцилляций при изменении магнитного поля.
Показать, что в двумерном бозе-газе бозе-эйнштейнов- ская конденсация отсутствует.
Используя формулы (3.31), построить графики зависимо
сти энтропии и магнитного момента от магнитного поля при разных значениях температуры. Продумайте, как рациональнее организовать вычисление интегралов Ферми—Дирака с помощью ЭВМ.
ТЕОРИЯ ФЛУКТУАЦИЙ
Гауссова квазитермодинамическая
теория флуктуаций
Флуктуациями называются отклонения термодинамических величин от их средних значений, обусловленные тепловым движением частиц системы. Различают термодинамические и квантовые флуктуации физических величин. Условием того, что флуктуация параметра х имеет термодинамический характер, является неравенство
kT》方/т,(4.1)
где т — характерное время изменения параметра х. В этом случае плотность вероятности отклонения величины х от своего среднего значения, полагаемого равным нулю, имеет вид
м/(х) = %/2п ехр(-ах2/2).(4.2)
Распределение вида (4.2) называется гауссовым; оно нормировано на единицу:ю
J 啾 х) dx = 1,
—00 а средний квадрат флуктуаций <^> равен со
</> = J x^w(x) dx = а-1.(4.3)
-со
При рассмотрении одновременного отклонения от равновесных значений нескольких термодинамических величин х「хп выражение для плотности вероятности имеет вид
^72 ^-W^),(4-4)
где а — определитель» составленный из элементов симметричной матрицы а於 = % . Распределение (4.4) также нормировано на единицу:8
dx х ) = 1.
1 n v 1
-00
Для средних значений флуктуаций справедливо равенство
(4-5)(4-5)при учете в ряд Тей-а.. имеютЭти форму- отклонениямпри учете в ряд Тей-а.. имеютЭти форму- отклонениям<хх> 二 а二 1, где а~! — элемент матрицы, обратный а„ .
(4-5)
(4-5)
при учете в ряд Тей-
а.. имеют
Эти форму- отклонениям
при учете в ряд Тей-
а.. имеют
Эти форму- отклонениям
Распределения Гаусса (4.2) и (4.4) получены только квадратичных членов в разложении энтропии лора около равновесного значения. Коэффициенты смысл вторых производных от энтропии по х. и х.. лы позволяют вычислять только квадратичные по
термодинамических величин комбинации, например <(AV)2>, <AV АТ> и т.д.
Рассмотрим флуктуации в системе, которая может обмени
ваться с термостатом энергией в форме теплопередачи и совершения работы (в статистической физике она описывается изо
термо-изобарическим ансамблем). В этом случае средние значения давления р и температуры Т определяются термостатом. В
гауссовом приближении формула для плотности вероятности в
ЧИСЛОМ(4.6)ЧИСЛОМ(4.6)отсутствие внешних полей в системе с фиксированным
ЧИСЛОМ
(4.6)
ЧИСЛОМ
(4.6)
〜ехр鸣百""〜ехр鸣百""частиц ^ может быть записана следующим образом:
〜ехр鸣百""
〜ехр鸣百""
При расчетах с помощью выражения (4.6) необходимо приводить экспоненту к гауссовой форме, содержащей любую пару термодинамических переменных, например V и Т или р и S и т.д.
Общая формула для вероятности флуктуаций неизолированной системы, контакт которой с термостатом может быть произвольным (термическим, материальным и т.д.), имеет вид
…АрА1/ - ATAS - A4
w exp .(4.7)
В гауссовой теории флуктуаций выбор переменных состояния системы, как и обычно в термодинамике, произволен, предполагается только малость относительных флуктуаций. В случае, когда относительные флуктуации не малы (например, в окрестности точек фазовых переходов II рода), гауссово приближение становится неприменимым.
Статистическая теория флуктуаций
В статистической теории флуктуаций средние значения квадратов флуктуаций, как и любые средние значения физических величин, можно вычислять непосредственно с помощью статисти-
ческих сумм или функций распределения. Например, в канониче-
квадратаквадратаском ансамбле удобно вычислять среднее значение
квадрата
квадрата
флуктуации энергии системы. Используя формулу для статисти-
ческой суммы Qческой суммы QQ干ВQ干В
ческой суммы Q
ческой суммы Q
Q干В
Q干В
получаем в соответствии с правилом вычисления средних
<Е> = Е =分衿/4=古露/一阳=-方器=-fplnQ,
Теперь для <{А£)2> = <£^> - <£>^ имеем
<(аe产>=分謬一出器了 一分。 (4・8) Аналогично изложенному в рамках большого канонического ансамбля удобно вычислять средний квадрат флуктуации числа частиц <(A^)2>:
<(Л^2> = ">一<%>2 = |р^^・ (4.9) В изотермо-изобарическом ансамбле удобно находить средний квадрат флуктуации объема:
<(AV)2> = - p^f^- (4.10)
Статистический ансамбль определяется набором параметров, зависящих от физических условий, в которых находится система. Эти параметры при заданных условиях по определению флуктуировать не могут, поэтому флуктуирующие параметры нельзя выбирать произвольно. В результате в некоторых случаях гаус сова теория флуктуаций приводит к расхождению со статистической теорией.
Описание динамических систем с флуктуирующими параметрами
При рассмотрении броуновского движения взвешенной частицы используется метод Ланжевена, в котором проекция уравнения
(4.11)(4.11)движения на некоторое направление записывается в виде 团暴一分需尸⑴илиm需一分+尸⑴'
(4.11)
(4.11)
где m —масса броуновской частицы, v/B—сила трения, пропорциональная скорости, F(0 — случайная (стохастическая) сила.
обладающая свойствами
(4.12)(4.12)<F(/+t) F(f)> = С 3(т).<F(/+t) F(f)> = С 3(т).(4.13)(4.13)
(4.12)
(4.12)
<F(/+t) F(f)> = С 3(т).
<F(/+t) F(f)> = С 3(т).
(4.13)
(4.13)
<F(/)> = О,
Здесь угловыми скобками обозначено усреднение по ансамблю реализаций функций 尸.Функция <Г(/+т) Г(/)> определяет степень статистической независимости величин 尸(f+т) и 尸(/) и
называется 】 также в виденазывается 】 также в видекорреляционной функцией. Ее можно представитькорреляционной функцией. Ее можно представить<Г(/+т) F(f)> = 1 i m 748<Г(/+т) F(f)> = 1 i m 74800；J 尸(f+т) F(f) dt. о00；J 尸(f+т) F(f) dt. о(4.14)(4.14)Соотношение (4.13) соответствует простейшему приближению для корреляционной функции (так называемый белый шум), когдаСоотношение (4.13) соответствует простейшему приближению для корреляционной функции (так называемый белый шум), когда
называется 】 также в виде
называется 】 также в виде
корреляционной функцией. Ее можно представить
корреляционной функцией. Ее можно представить
<Г(/+т) F(f)> = 1 i m 748
<Г(/+т) F(f)> = 1 i m 748
00
；J 尸(f+т) F(f) dt. о
00
；J 尸(f+т) F(f) dt. о
(4.14)
(4.14)
Соотношение (4.13) соответствует простейшему приближению для корреляционной функции (так называемый белый шум), когда
Соотношение (4.13) соответствует простейшему приближению для корреляционной функции (так называемый белый шум), когда
При этомПри этом(4-15)(4-15)尸(/) и F(t+T)статистически независимы при т * 0.
При этом
При этом
(4-15)
(4-15)
C = 2kT/B.
Стохастическую величину 尸(f) можно представить в виде интеграла Фурье8
尸(f) = f 舞尸(з)е®.(4.16)
-00
При этом формула для обратного преобразования, определяющая спектральную плотность величины 尸，имеет вид
尸(з) = J 或 F(0 е^ .-00
В силу вещественности физической величины 尸(/) справедливо
尸(з) = Г(-й)).(4.17)
Для однородного во времени стационарного процесса
"(Q 尸《2)> = о«「％)・
При этом функция /)(/), соответствующая физически осмысленному поведению корреляционной функции случайного процесса, имеет вид
D(t) = D(0)e-y|/| (г > 0).(4.18)
Для стационарного случайного процесса справедливо
"(з)尸(а,〉= 2山(з) 6(3 + 3]).
В этом случае спектральная плотность」(з), даваемая формулой 00
%)= J 雾，(3)厂丝(4.19)
-00
есть2
/(3)= /(0)仔^, где /⑼=吗Д1：(4.20)
Из (4.20) видно, что при увеличении времени корреляции (у ^ 0) в спектральной плотности /(з) остается одна линия з=0:
"3斗才*"3斗才*6 2nD(0) 6(з).6 2nD(0) 6(з).(4.21)(4.21)
"3斗才*
"3斗才*
6 2nD(0) 6(з).
6 2nD(0) 6(з).
(4.21)
(4.21)
В противоположном случае у -> оо спектральная плотность для конечного интервала частот Аз《才 превращается в константу:
(4.22)(4.22)《з) * /(0).
(4.22)
(4.22)
ЗАДАЧИ
Вычислить флуктуации термодинамических величин <(ДТ)2>, <(ДУ)2>, <(AS)2>, <(М)2>, <AVAT>, <АТАр>, <АРМ>, <ApAS>, <ASAV>, и <ASAT〉，считая независимыми переменными параметры V и Т.
Решение. Выразим в формуле (4.6) величины AS и Ар через флуктуации независимых переменных V и 7:
AS =闌严+假丹严 m =朋严+開严 (4.23)
С помощью равенства dF = -SdT - pdV имеем (dS/dV)T = =(dp/dT)v . Далее, (3S/3T)^ = Cy/T. Подставляя эти значения в (4.23), имеем「
AS =朗严+卢工
Теперь выражение для плотности вероятности (4.6) после подстановки найденных выражений для AS и Ар принимает гауссов вид в переменных V и Г:
5 ~ еХР卜気^("' +由制严丹。(4 24)
Из (4.24) видно, что плотность вероятности распалась на произведение множителей, зависящих только от АТ и AU. Это означает» что флуктуации температуры и объема статистически независимы:
<АУА7> 二 0.(4.25)
Сравнивая (4.24) с соотношением (4.3), находим
<(打产> =女产/e .(4.26)
<(ЛЮ2> = W 關丁(4-27)
Для вычисления средних значений комбинаций, содержащих одну из выбранных независимых переменных, удобно выразить флуктуации второй величины через AV и АТ. Тогда получим, на пример, для <А7Ар>
<Д7Лр> = 開 <A7AV> + 開 <(AT)2>.
Подставляя сюда соотношения (4.25) и (4.26), найдем
(4.28)(4.28)(4.29)(4.29)ЗАР> =岩即у
(4.28)
(4.28)
(4.29)
(4.29)
Аналогично
<АРАр> =制 <(AV)2> + 囲 <AVA7> .
Подставляя (4.25) и (4.27), имеем
<AI/Ap> = -S
Далее,
心必=開户а片> +即片3> =田關/吼
(4.30)
Для вычисления флуктуаций <(Д5)2>, <(Др)2> и <ApAS> можно
<(AS尸>="解］AU +<(AS尸>="解］AU +выразить их через AV и АТ. Например,
<(AS尸>="解］AU +
<(AS尸>="解］AU +
Раскрывая квадрат Суммы и учитывая формулы (4.25)-(4.27), найдем
<(AS)2> =-
Учитывая соотношение0
一個丄乳(4.31)
окончательно получаем
<(AS)2> = kcp.(4.32)
Аналогично
<(Ag =，［制严+開严卜=h闌/〔吼晋.
(4.33)
С помощью (4.31) имеем
Подставим это выражение в (4.33) и приведем подобные члены：
<(М论 …京即了…嚼)s(4 34)
Наконец»
<ApAS> = <
［制产 制闸［即严+%吁=
=制7開:(A限+^開j(⑺%
Подставляя сюда (4.26) и (4.27), приходим к равенству
<ЛрЛ5> = 0.(4.35)
Вычислить флуктуации <(Ар) >, <(AS) > и <Др AS>, считая независимыми переменными параметрами р н S.
Решение. Выразим в (4.6) величины AV и АТ через флуктуации независимых переменных р н S:
С помощью соотношения dH = TdS + Vdo имеем (dV/dS)p = =-(8Г/8р)с . Далее, (87/8S) = Т/С . Поэтому второе равен- ство из (4.36) перепишется в виде
м = [as]pAp + r^AS-
Подстановка полученных выражений в (4.6) дает
зехр 陽開]s(M)2-力於丹.(4.37)
Из (4.37) следуют равенства
<Л5 Лр> = 0,<(Лр)2> =-盯懈],<(AS)2> = kCp.
Вычислить флуктуации <(AV) >, <(AS) > и <AUAS>, считая независимыми переменными V и S.
Решение. Как и раньше, выразим в (4.6) величины Ар и ЛГ через флуктуации независимых переменных V и S:
m=開sА用闊尸"=隔坡+
Используя фундаментальное равенство Гиббса dE = TdS - pdV и соотношение (dT/dS)v = 7/% перепишем выражение для АГ в виде
S =-闊严+
Теперь для w с помощью (4.6) получаем
~ eхр战圈严产+ + 圈严AV -扁产丹.(4.38)
В отличие от предыдущих задач выражение для w в данном слу
чае не распадается на произведение множителей, зависящих
только от АР и AS, поскольку показатель экспоненты содержит
слагаемое, пропорциональное AS AV. Это означает, что флук-
формулойформулойтуации <AS АТ> не равны нулю. В соответствии с (4.5) в данном случае необходимо обратить матрицу
формулой
формулой
「卷即「卷即4關S
「卷即
「卷即
V S
Обычное вычисление дает для обратной матрицы ｛吗｝
阕｝…化亂関丁：
Используя (4.39), в соответствии с (4.5) имеем
"人仍一同開s+闊丁®
<(AS产 > =左7即$七凰+閲丁，(4.40)
<^>一関褊闕/网亂
Видно, что «неудачный» выбор независимых переменных при
водит к довольно громоздким выражениям, которые, естественно, приводятся к (4.27), (4.32) и (4.30) тождественными термодинамическими преобразованиями. Прежде всего обратим внимание на то, что знаменатель в этих формулах может быть записан в виде якобиана
в чем легко убедиться, раскрывая это равенство справа налево й учитывая, что (8T/8U)s = -(3p/3S) ^ . Теперь, например, для <(AV)2>, получаем выражение, совпадающее с (4.27):
<(АУ)2> = -^|^||^||] kT2= -3D%t” =出7!貌 т Совершенно аналогично преобразуются н остальные два выражения (4.40).
Одной из основных причин молекулярного рассеяния света являются флуктуации плотности. В спектре рассеянного света
наблюдается триплет, центральная компонента которого обусловлена флуктуациями энтропии, а боковые (дублет Мандельштама-Бриллюэна), связанные с доплеровским смещением в звуковой волне — флуктуациями давления. Флуктуации энтропии при постоянном давлении не распространяются в нормальной (не сверхтекучей) среде и затухают лишь благодаря теплопроводности. Найти отношение интенсивности центральной компоненты к интенсивности компонент дублета.
Решение. Интенсивность рассеянного света в рассматриваемом случае пропорциональна среднему квадрату флуктуаций плотности:
/ ~ <(Др)2> .
Для выполнения расчетов удобно выразить ее через флуктуацию объема. Поскольку
Ар =то /〜(ДУ)2>.
Выразим флуктуацию объема через флуктуации и давления:a展闕也關аР.
Возводя все члены равенства в квадрат и учитывая, что
<ASAp> = 0, получаем для среднего значения квадрата флуктуации объема выражение
<(AV)2> =関%AS 尸>+ 開%心.
В соответствии со сказанным в условии задачи имеем для отношения интенсивностей центральной компоненты к интенсивности компонент дублета /口 выражение
/ (av/as)2 <(as)2>
T- = 0•(4・41)
Д (av/ap)2 <(Др)2>
Для <(AS) > и <(Др) > в задаче 1 получены выражения
<(Д5)2> = kC ,<(Др)2> = -ЩЗр/а1/)_
Производную (3P/8S)p удобно преобразовать следующим образом:
臨h^柴…出•
Аналогично для (dV/dp)s имеем
恥腮=將絵稿HP飕住可關
Подставляя приведенные выражения в соотношения (4.41), полу
чаемчаем%7("/叱7； = р(ЗУ/吟%7("/叱7； = р(ЗУ/吟(4.42)(4.42)
чаем
чаем
%7("/叱
7； = р(ЗУ/吟
%7("/叱
7； = р(ЗУ/吟
(4.42)
(4.42)
Входящее в (4.42) отношение производных, как следует из задачи 1.3, выражается через разность теплоемкостей %-%:
产/喇
/厶 окончательно по-/厶 окончательно по-Поэтому для отношения интенсивностей
/厶 окончательно по-
/厶 окончательно по-
лучаем
Это соотношение называется формулой Ландау-Плачека.
Вычислить средний квадрат флуктуации энергии в рамках гауссовой теории флуктуаций и сравнить полученный результат с формулой (4.8).
Решение. Выберем в качестве независимых переменных V и Г. Тогда для ДЕ имеем
АЕ =開严+開尸
Возводя это выражение в квадрат и учитывая, что флуктуации объема и температуры независимы (<ДУДТ> = 0), получаем
22
<(Af)2> =開华厅> +掰J打产>.(4.43)
Учитывая, что <(AP)?> = -kT(9V/dp)T ,<(ДТ)2> = ^Г2/С^ , и
используя соотношения
胤j關厂個广入
получаем для <(АЕ) >
匹> -矶親個「了+ kT2Cv .(4.44)
Перепишем формулу (4.8) тождественно следующим образом:
<(АЕ)2> =丸72 1T<£> = ^T2CV ,(4.45)
поскольку производная по В в (4.8) вычисляется при фиксированном объеме в соответствии с определением канонического ансамбля.
Видно, что формула (4.44) содержит лишнее слагаемое по сравнению с формулой (4.45). Дело в том, что соотношение
определяет флуктуацию энергии системы в результате
как флуктуации температуры, так и объема. В формуле (4.45) флуктуации объема не фигурируют вследствии того, что в каноническом ансамбле объем системы фиксирован. Чтобы в рамках такого подхода прийти к формуле (4.44), следует использовать изотермо-изобарический ансамбль.
Полученный в задаче результат имеет общий характер. Флуктуации, вычисляемые в рамках определенного ансамбля стати стической физики, соответствуют условиям, в которых находится рассматриваемая система в данном ансамбле. В этом смысле формула (4.6) соответствует изотермо-изобарическому ансамблю, так как в ней не учитываются только флуктуации числа
частиц в системе.
Получить соотношение (4.44) для флуктуации энергии, используя изотермо-изобарический ансамбль.
Решение. В рамках изотермо-изобарического ансамбля выражение для <Е> дается формулой
<Е> = 1е Е. e~^Ei+Pv\(4.46)
где статистическая сумма 7 есть
т = £ e-B(&+pV)
Дифференцирование выражения (4.46) для <£> по В н Р приводит к соотношениям
-<(АЕ尸〉-р<Д£ДУ>,(4.47)-<(АЕ尸〉-р<Д£ДУ>,(4.47)=- <七2> - p<EV> + <£#+ p<E><V> = ^|^ = - B<EU> + *Е> <V> = - |3<Д£ЛГ>.
-<(АЕ尸〉-р<Д£ДУ>,
(4.47)
-<(АЕ尸〉-р<Д£ДУ>,
(4.47)
Умножая второе из уравнений (4.47) на р/В и вычитая получен
ное произведение из первого уравнения, получаем
<(Аe尸>=+自噺之
Вводя обозначение <F> = Е и переходя к 7 = 1/(傑)，получаем
<(А£)2> =炉嚴I +丸研猊 7 (4-48) Используя фундаментальное равенство Гиббса для системы с постоянным числом частиц dE = TdS - pdV, перепишем (4.48) в виде
<(g2> ―丸产"開 j k^]~kTP2^ 泊嚅L (4/9)
Воспользуемся формулой С = T(dS/dT) и соотношением (4.31) между % н % н учтем равенство {^S/dp)T = ~(dV/dT)p , следующее из соотношения d6 = -SdT + Vdp. Тогда (4.49) перепишется следующим образом:
<(Л£)2> =<(Л£)2> =В последнем записываем вВ последнем записываем в叩尸甌關「働胤.слагаемом в правой части производную (dV/9T)виде 「-關7 開 У В результате для叩尸甌關「働胤.слагаемом в правой части производную (dV/9T)виде 「-關7 開 У В результате дляфлуктуации энергии имеем 2<(ДЕ诊=kT2Cv-kT^]^^]v-p],флуктуации энергии имеем 2<(ДЕ诊=kT2Cv-kT^]^^]v-p],
<(Л£)2> =
<(Л£)2> =
В последнем записываем в
В последнем записываем в
叩尸甌關「働胤.
слагаемом в правой части производную (dV/9T)
виде 「-關7 開 У В результате для
叩尸甌關「働胤.
слагаемом в правой части производную (dV/9T)
виде 「-關7 開 У В результате для
флуктуации энергии имеем 2
<(ДЕ诊=kT2Cv-kT^]^^]v-p],
флуктуации энергии имеем 2
<(ДЕ诊=kT2Cv-kT^]^^]v-p],
что совпадает с формулой (4.44).
Вычислить среднее значение <(АЕ) >.
Решение. Прежде всего отметим, что искомую величи-
ну нельзя находить в рамках квазитермодинамической теории
в этой теории гауссов ин- квадратичных отклонений значения. Поэтому вычис- функции распределения вв этой теории гауссов ин- квадратичных отклонений значения. Поэтому вычис- функции распределения вфлуктуаций, поскольку фигурирующий теграл соответствует учету только энтропии системы от ее равновесного ление следует проводить с помощью
в этой теории гауссов ин- квадратичных отклонений значения. Поэтому вычис- функции распределения в
в этой теории гауссов ин- квадратичных отклонений значения. Поэтому вычис- функции распределения в
подходящем ансамбле равновесной статистической физики.
Каким же ансамблем воспользоваться? Проще всего вычисления будут выглядеть в каноническом ансамбле: в микроканони- ческом ансамбле флуктуации энергии отсутствуют, а во всех остальных ансамблях флуктуирует большее число параметров, чем в каноническом ансамбле. Итак, нас интересует величина <(Е - <Е>) >, которая в каноническом ансамбле вычисляется следующим образом. Перепишем формулу (4.8) в виде
-<(А£)2> = |д<£> = - g 产丁沁們 + 位 е「В*『产产 W
и продифференцируем это выражение по В・ Учитывая, что получающиеся выражения соответствуют средним значениям разных степеней энергии, можно записать результат так:
二<Е> = <^> - <Е2><Е> - 2<£><Е2> + 2<Е>3.
Легко видеть, что правая часть этого выражения равна
<(£■ - <Е>) >. Поэтому можно написать
<(Е-<Е>)3> =臨£> .
ЗВ
Разумеется, при вычислении <(ДЕ) > в различных ансамблях будут получаться разные результаты.
Показать с помощью уравнения Ланжевена (4.11), что J = Вт есть время, в течение которого средняя скорость частиц <v(t)> уменьшается в е раз по сравнению с начальной скоростью %. Найти (f)> и показать справедливость формулы (4.15) при выполнении условий (4.12) и (4.13).
Решение. Интегрируя уравнение (4.11) при начальном условии 〃(0) = %, имеем
u(f) = vQe~t/Tl + 1J е〃％ F(u) du .(4.50)
о
Производим усреднение по ансамблю реализаций случайных сил 尸(/). Учитывая свойство (4Л2), находим г
<U(O> = vQe~t/T} + е-//т1 ^J ей/т1 <F(u)> du = %6一"弓.
о
(4.51) Из выражения (4.51) следует приведенное в условии задачи утверждение о величине 弓=Вт.
Теперь рассмотрим <u*(f)>. Возведем (4.50) в квадрат; тогда, снова учитывая свойство (4.12), получаем
<v2(/)> = ^е-2//т1 + е-2</Т1 ~^dudv е(й+и)/Т1 <F(u)F(u)>.
m0
(4.52) Фигурирующий в (4.52) двойной интеграл легко вычисляется при использовании свойства (4.13) корреляционной функции:
fГт
C\dudv е(м)/У(〃 - и) 胃口“ 一 i] о
Теперь для </«)> имеем
<Л0> = *产人 +.(4.53)
и 2 m* I J
При достаточно большом времени (f 今 со) влияние начальных ус ловий сглаживается. При этом <u'(f)> принимает равновесное значение, равное kT/m. Поэтому с помощью (4.53) находим
<〃《)> йЗ <"> = Ст/2т2 = kT/m.
Отсюда получаем
С = 2 盯 m/q = 2kT/B.
Подставляя найденное значение С в соотношение (4.53), имеем
</«)> = & 2"% + 粤卜-У/%) .(4.54)
Из этого выражения следует, что равновесное значение среднего квадрата скорости броуновской частицы установится лишь по прошествии времени, значительно превышающего т〔 ： f》т〔 •
9. Пользуясь уравнением Ланжевена (4.11), определить характер зависимости координаты броуновской частицы от времени.
Решение. Воспользуемся соотношением (4.50) для скорости броуновской частицы, получаемом при итегрировании уравнения (4.11). Интегрируя выражение (4.50) для 。«) по времени при условии х(0) = 0, получаем
х(0 = J v(u) du.0
Возведя это равенство в квадрат и усреднив по ансамблю реализаций случайных сил F(f), найдем
</(/)> = ^duds <d(u)> <(s)>.(4.55)
о
Выражение для корреляционной функции скоростей получается с
помощью (4.50). Учитывая свойство (4.12), получаем
<u(u)v(s)> = с館(“+s)/q + e-(“+s)/j *
Учитывая (4.13) и<u(〃)u(s)> =Учитывая (4.13) и<u(〃)u(s)> =(4.56)(4.56)х Ч J id^。母屮7 <F(E)尸(C)>m о о
Учитывая (4.13) и
<u(〃)u(s)> =
Учитывая (4.13) и
<u(〃)u(s)> =
(4.56)
(4.56)
(4.15), переписываем (4.56)в виде
碌-(“+§)/% +ДГ[е-|“г|/Т1 -е-(Е)/т1]
(4-57)
При получении (4.57) мы перешли к новым переменным
Е-С = а, (1/2)(Е+С) = В,(4.58)
так что dgd《=dad|3. Подставляем (4.57) в (4.51) и делаем замену переменных типа (4.58) при вычислении интеграла, содержащего ехр(-|w - s|/т〔). Для этого интеграла получаем
ff В
粤[duds еТ “—s I /% =粤]dB pa eT 061 /% =
оо -B
;幣广響咐/匀
Остальные два интеграла вычисляются элементарно. В результате находим
</")> =絹 0 - е*冃2 + 幫寸[-3 + 4e-"l - 户勺 + 2BkTt.
(4.59) Интересно проанализировать эту формулу в случае больших (t》Т[) и малых (f V J)времен. В первом случае из (4.59) получаем
</«)> = 2BkTt, что соответствует стохастическому движению броуновской частицы. Во втором случае система обнаруживает динамическое поведение.
Разлагая в (4.59) экспоненту в ряд Тейлора и удерживая квадратичные по t члены, получаем
</«)> = и#.
Определить, как изменится спектральная плотность 」(з) случайного стационарного процесса x(t), если показание прибора, измеряющего значение хизм(0， соответствует среднему значению этой величины за время каждого измерения т:
f+T/2
%М«)= f J №')必'•(4.60)
t-T/2
Решение. Подставим в формулу (4.60) спектральное представление (4.16) для величины х(0: г+т/28
%М«)是上 J "№>x(s)eT"(4.61)
f-T/2 -8
Меняя в (4.61) порядок интегрирования и вычисляя интеграл по 尸 приходим к соотношению 00
^^к^^21^(4.62)
-00
С другой стороны, непосредственно применяя к %нзм") Ф°РМУЛУ (4.16), имеемм
%M(f)= k f曲 Хнзм(з)е-К(4.63)
-00
Сравнивая (4.62) и (4.63), получаем
%зм®)= х®)^Ш^・(464)
Так как процесс х(0 и, следовательно, хизм(/) стационар
ный, то вследствие (4.19)
<%м(3)%м(，)> = /нзм(3)6®+、)・2п.
ПоэтомуПоэтому/(s) и，3M(s)связаны соотношением
Поэтому
Поэтому
1ом®) = "矶迎經]21ом®) = "矶迎經]2(4.65)(4.65)
1ом®) = "矶迎經]2
1ом®) = "矶迎經]2
(4.65)
(4.65)
Таким образом, прибор, усредняющий показания по интервалу
т, обрезает частоты |s| > 2п/т в спектральной плотности ис
ходного случайного процесса, т. е. обладает определенной «полосой пропускания». Если ширина спектральной плотности /(w) исходного процесса “(f) намного превышает 2п/т, то в
формуле (4.65) можно произвести замену /(о) + /(0). При этом структура / (s) определяется только параметрами прибора. От исходного случайного процесса остается только /(0); вся остальная информация теряется.
Прибор, усредняющий показания по интервалу т, дает «правильные» значения измеряемой величины и в случае достаточно большого времени корреляции, когда у -* 0: 1/у » т.
Какую среднюю тепловую скорость броуновской частицы
мы обнаружим при визуальном измерении за промежутокмы обнаружим при визуальном измерении за промежутоктRтRЛЛ=0,1 с? Масса частицы т ~ 10-4 см, температура среды ~ 10-2 г/(см-с).Решение. В соответствии=0,1 с? Масса частицы т ~ 10-4 см, температура среды ~ 10-2 г/(см-с).Решение. В соответствии~ 10-12 г, линейный7 ~ 3-Ю-12 К, вязкость~ 10-12 г, линейный7 ~ 3-Ю-12 К, вязкостьвремени размер 卜 средывремени размер 卜 средынего измеряемого квадрата скорости 00него измеряемого квадрата скорости 00и (4.65) 2[<и > имеем изми (4.65) 2[<и > имеем измдлядлясред-сред-<у >изм<у >изм=2й=2й22(4.66)(4.66)Подставляя в (4.66) ности /(з)Подставляя в (4.66) ности /(з)выражениевыражениедля спектральнойдля спектральнойплот-плот-J(s) = /(0)才2/d+*J(s) = /(0)才2/d+*
мы обнаружим при визуальном измерении за промежуток
мы обнаружим при визуальном измерении за промежуток
т
R
т
R
Л
Л
=0,1 с? Масса частицы т ~ 10-4 см, температура среды ~ 10-2 г/(см-с).
Решение. В соответствии
=0,1 с? Масса частицы т ~ 10-4 см, температура среды ~ 10-2 г/(см-с).
Решение. В соответствии
~ 10-12 г, линейный
7 ~ 3-Ю-12 К, вязкость
~ 10-12 г, линейный
7 ~ 3-Ю-12 К, вязкость
времени размер 卜 среды
времени размер 卜 среды
него измеряемого квадрата скорости 00
него измеряемого квадрата скорости 00
и (4.65) 2
[<и > имеем изм
и (4.65) 2
[<и > имеем изм
для
для
сред-
сред-
<у >изм
<у >изм
=2й
=2й
2
2
(4.66)
(4.66)
Подставляя в (4.66) ности /(з)
Подставляя в (4.66) ности /(з)
выражение
выражение
для спектральной
для спектральной
плот-
плот-
J(s) = /(0)才2/d+*
J(s) = /(0)才2/d+*
и вводя обозначения и = шт, s = ут, получаем 8о
<吸М> =綜华1 W上炉力。(4.67)
—00
Интеграл в (4.67) вычисляется.
В результате, учитывая, что <v2(Q> = kT/m = /(0)у/2, получаем
(4.68)(4.68)《>/<"«)> =(2Дт)[1 - (1-е-ут)/(ут)].
(4.68)
(4.68)
Отметим, что при заданных в условии задачи значениях параметров время релаксации составляет 1/才=Т[ = т/(6тп)К) ~ ~ 5-107 с. Поэтому ут = t/Tj ~ 2-106, и в формуле (4.66) сразу можно заменить /(о) на /(0) = {kT/m) (2/у). Опуская в (4.68) второе слагаемое в скобках, находим
4M«)>/<」(仍=2/U - Ю-6
Итак, измеряемое значение тепловой скорости броуновской частицы оказывается в 103 раз меньше истинного равновесного значения.
Рассмотреть тепловые флуктуации в замкнутой цепи, состоящей из сопротивления R и индуктивности L, помещенной в термостат с температурой Т. Определить спектральную плотность теплового шума ЭДС 8 и тока / в цепи. Найти выражение для корреляционной функции </(/+т) /(/)>.
Решение. Закон Ома для рассмотренной цепи можно записать в виде
U + /R = 8.(4.69)
помощьюпомощьюЭто уравнение имеет такой же вид, как и уравнение для одномерного броуновского движения (4.11). Поэтому, предполагая, что флуктуации ЭДС & имеют характер белого шума, можно с соотношений (4.15) непосредственно написать
помощью
помощью
СогласноСогласно<8(f+T)8(f)> = 2ОТ 5(т).(4.70)
Согласно
Согласно
определению (4.19) имеем со"
(&2)s = 2kTR\dt e^6(t) = 2kTRt(4.71)
г〃е(е\г〃е(е\00 определяется соотношением
г〃е(е\
г〃е(е\
<8(s)g(sJ> = 2n他2)3 6(он%).(4.72)
Уравнение (4.69) в представлении Фурье может быть записано в виде
(-心 L+R)/(s) = &(з).
Теперь с помощью формулы (4.72) можно написать
(产)3 =(國)J(R2+dZ).
(产厶=2hTR八№+//).(产厶=2hTR八№+//).Используя (4.71), перепишем это соотношение следующим образом:
(产厶=2hTR八№+//).
(产厶=2hTR八№+//).
(4.73)
Для вычисления корреляционной функции </(f+T) /(/)> воспользуемся формулой (4.19) и соотношением (4.73). Имеем со
</(f+T)/(f)> = L ,曲毗
2n 」R +L s
Вычисляя интеграл по теории вычетов, находим
</(/+т)/«)> =华 ехр(-先).
Получить функцию распределения по флуктуациям энергии в гауссовом приближении, исходя из классической функции распределения в каноническом ансамбле.
Решение. С помощью соотношений (2.11) и (2.3) выражение для классической функции распределения записывается в виде
р(д,р) = ехр&"(?21.(4.74)
Для перехода к функции распределения по энергии необходимо выполнить суммирование по тем элементам объема фазового про
странства системы, значением энергии домножив (4.74) на пространству:странства системы, значением энергии домножив (4.74) на пространству:которые реализуют состояние с заданным Е Такое суммирование можно выполнить, б[Е-〃(д,р)] и проинтегрировав по фазовому
странства системы, значением энергии домножив (4.74) на пространству:
странства системы, значением энергии домножив (4.74) на пространству:
p⑹=阳J"乖一 "9间
峭二焉峭二焉Благодаря наличию 6-функции множитель, содержащий экспоненту, можно вынести за знак интеграла, заменив в нем 〃(％р) на Е:
峭二焉
峭二焉
Оставшийся интеграл соответствует статистической сумме системы в микроканоническом ансамбле и равен полному числу состояний с энергией Е. Учитывая, что безразмерная энтропия определяется как логарифм числа состояний, перепишем последнее равенство в виде
р(Е) = ехр^^ехр^^.
Далее, учитывая термодинамическое определение свободной энергии 广=Е - TS(E), где £ —среднее значение энергии системы в каноническом ансамбле, и раскладывая S(E) в ряд Тейлора около значения Е:
S(E) = 5(左)+ ^*七-后)七;吗e-后)+ ...,дЕ
получаем для р(Е) в квадратичном по АЕ приближении следующее
выражение:выражение:р(£)=р(£)=ехрехр(g2](g2](4.75)(4.75)
выражение:
выражение:
р(£)=
р(£)=
ехр
ехр
(g2]
(g2]
(4.75)
(4.75)
3s _ 1 a2s'Е 一 7 ' дЕ23s _ 1 a2s'Е 一 7 ' дЕ2С尸С尸При получении (4.75) учтены соотношения
3s _ 1 a2s
'Е 一 7 ' дЕ2
3s _ 1 a2s
'Е 一 7 ' дЕ2
С尸
С尸
Формула (4.75) представляет собой искомую функцию распределения по флуктуациям энергии в гауссовом приближении. Об - ратим внимание на то, что эту функцию необходимо заново нор
мировать, ния была S(E)：мировать, ния была S(E)：поскольку нормировка исходной функции распредел е- нарушена при обрыве тейлоровского разложения для
мировать, ния была S(E)：
мировать, ния была S(E)：
р(Е) = 4 ехрр(Е) = 4 ехр,\dE р(Е) = 1.,\dE р(Е) = 1.
р(Е) = 4 ехр
р(Е) = 4 ехр
,\dE р(Е) = 1.
,\dE р(Е) = 1.
ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
Для системы с фиксированным объемом вычислить флуктуации термодинамических величин <(AS)2>, <(Лц)2>, <(АТ)2>, <(АМ?>，<ANAT>, <А7'Лм>. <ANAQ, <ЛцД5>, <ASAN> и <ASAT>, используя функцию распределения (4.7).
Вычислить флуктуацию энергии <(Л£')2>, используя функцию распределения (4.7) при фиксированном объеме.
Вычислить флуктуацию энергии <(АЕ)2> в большом каноническом ансамбле и сравнить ответ с результатом, полученным в предыдущей задаче.
ФАЗОВЫЕ ПЕРЕХОДЫ
Фазовые переходы I и II рода
Превращение, при котором первые производные от химического потенциала по давлению и температуре испытывают скачок, называется фазовым переходом I рода. Условия фазового перехода 1 рода имеют вид
修-%=°，(5.1)
где & и ц2 —химические потенциалы разных фаз, и 如［8出 如［如2 ar * Е аг *
Условиями фазового перехода II рода являются 如 J羯如 卽
& f 2 =仇旷=gЗр" = W '
что касается производных второго порядка, то они в разных фазах различны.
Для количественного описания поведения системы вблизи точки фазового перехода II рода вводится дополнительная величина Т)—параметр порядка, среднее значение которого равно нулю в симметричной фазе (обычно при температурах Т > > 乙， где ^ — критическая температура) и отлично от нуля в несимметричной, низкотемпературной фазе. Зависимость термодинамического потенциала от 7)имеет вид
力(р,Т,7))=力 о(р,Т) + а(р)切2 + В(Р'Т)法(5.2)
где а(р) и В(р.Т) — слабо зависящие от давления и температуры положительные функции f = 7-丁^・
Эта формула позволяет вычислить среднее значение параметра порядка, рассчитать скачки теплоемкости, сжимаемости и т. д. Аналогичного вида разложения используются также для описания фазовых переходов I рода, если теплота перехода очень мала.
В подобных случаях в разложении термодинамического потенциала по степеням параметра порядка, кроме членов» содержащих четные степени ”, возникают члены с нечетными степенями. В частности, вводят кубический член» коэффициент при котором остается конечным в точке фазового перехода.
При более детальном описании фазовых переходов вводится плотность термодинамического потенциала Ф(г) так, что полный термодинамический потенциал имеет вид
@п = % + 口V [а(р)疗(г) + 6(р,Г)т)4(г) + q(VTXr))2], (5.3) где последний член в прямых скобках учитывает вклад в Ф за счет градиентов параметра порядка. С помощью этой формулы можно, в частности» вычислять флуктуации параметра порядка» учитывая, что вероятность флуктуации при заданных р и Г пропорциональна ехр[-(Фп-Ф0)/^Т], находить корреляционную функцию» вычислять флуктуационные вклады в теплоемкость и т.д.
Численные методы
при рассмотрении фазовых переходов
Интенсивное развитие электронно-вычислительной техники позволило широко использовать численные методы при рассмотрении фазовых переходов. Существует два основных подхода — метод Монте-Карло и метод молекулярной динамики. Первый в основном используется при исследовании равновесных свойств, а второй — как для изучения равиовесных свойств, так и для исследования кинетики. Описание обоих методов дается в соответствующих задачах.
ЗАДАЧИ
Определить температурное поведение равновесного значения параметра порядка Т) в несимметричной фазе в модели, где зависимость термодинамического потенциала Ф от параметра порядка имеет вид (5.2).
Решение. Равновесное значение 力 параметра порядка 7) определяется из условия минимума термодинамического потенциала Ф» задаваемого формулой (5.2). Таким образом,万 находится из уравнения
箫=2a(Т-7；)т)+487)3 = ° (5.4)
Это уравнение имеет триЭто уравнение имеет трирешения:решения:
Это уравнение имеет три
Это уравнение имеет три
решения:
решения:
力=0,» = ^(Г-ТУ^В^2.(5.5)
Первое решение (Т) = 0) относится к симметричной фазе, а второе и третье — к несимметричной. Отсюда получаем, дифференцируя (5.5) по температуре:
務=不 В【28(£-7 J(5・6)
Температурная зависимость равновесного значения параметра порядка тХЛ определяет характер приближения системы к точке фазового перехода. Обратим внимание на то, что вследствие (5.6) производная от 万 по температуре имеет разрыв второго рода в точке перехода» в то время как сама 亓 непрерывна.
Пусть разложение термодинамического потенциала в ряд по степеням параметра порядка имеет вид
6(р,ТЕ)= ^Р，Т) + а(Т~Г)^ - Ст)3 + Вт^,(5.7)
где а» С и В — положительные константы. Найти равновесное значение параметра порядка; показать, что в такой системе имеет место фазовый переход I рода; определить температуру фазового перехода.
Решение. Условие минимума термодинамического потенциала по переменной Т) (ЗФ/Эт) = 0) дает
2Лт)-ЗСт)2 + 45т)3 = 0,(5.8)
где 4 = а(Т-Т*).
Уравнение (5.8) имеет три решения:
”。，砲二/к『體门・ 69)
Обратим внимание, что решение со знаком минус перед квадратным корнем не соответствует условию минимума термодинамического потенциала, поскольку в этом случае вторая производная от Ф оказывается отрицательной, в чем можно убедиться подстановкой этого корня в выражение
^/df? = 2а(Т-Г) - 6Ст)+ 12бт)2.
Решение Т) = 0 соответствует симметричной фазе, а I)* 0 — несимметричной фазе.
Существование отличного от нуля коэффициента при 1)3 в (5.7) допускает возможность равенства термодинамических по-
тенциалов обеих фаз при некоторой температуре 7^, т.е.
研乙7)胃-С": + 8壮=0.(5.10)
где значение Т)с = Т)+1 г=г определяется формулой (5.9):
% = /[1+卜32。8^『2].(5.И)
Поскольку % * 0，то вместо (5.10) имеем
仪乙一厂)一 С% + 8胃=0.(5.12)
Сравнивая уравнения (5.8) и (5.12) при 刀=т)с， имеем
2а(Т-Г) = С% •
Отсюда, подставляя выражение (5.11) для Т) , получаем уравнение для определения температуры фазового перехода
丁 一尸 2T -Г
16aB上…方-1= 1 - 32a8上飞.
I 3C2 J9c2
Решая это уравнение, получаем
Гс =戸+
Таким образом, температура фазового перехода I рода оказывается выше 广
Вычислить теплоту фазового перехода в модели, где за висимость термодинамического потенциала Ф от параметра порядка 7)имеет вид (5.7).
Решение. Теплота Q фазового перехода определяется изменением энтропии системы S при переходе:
(5.13)(5.13)Q f AS.
(5.13)
(5.13)
В симметричной фазе энтропия системы S = -дФ/дТ при учете (5.7) равна
SCBM = S0 - - 8久/"・(5М)
В несимметричной фазе аналогично имеем
Si = 一”7一而(5-15)
Для изменения энтропии AS на основе (5.14) и (5.15) получаем
AS =- S = ат)2.(5.16)
сим несим''
Теперь с помощью (5.13) имеем
Q = Тса^.(5.17)
Для окончательного определения Q в (5.17) необходимо подставить значение Т) в точке фазового перехода 7)1^ . Для этого можно воспользоваться формулой (5.17) предыдущей задачи. В результате находим
Показать, что в модели, принятой в задачах 2 и 3, симметричная фаза абсолютно неустойчива при температурах Г V Г*. Найти температуру 7**, при которой теряет устойчивость несимметричная фаза.
Решение. Симметричная фаза становится неустойчивой при таких температурах, когда вторая производная от термодинамического потенциала Ф по параметру порядка Т) отрицательна. Граничная температура Г возникновения неустойчивости соответствует равенству нулю второй производной. Поскольку в симметричной фазе 7)= 0, то температура Г, соответствующая потере устойчивости, согласно (5.7) определяется равенством
経小/8* = 2а(Т-Г) = 0.(5.18)
Отсюда следует, что потеря устойчивости симметричной фазы происходит при Т =广
Для определения температуры 7**, при которой теряет устойчивость несимметричная фаза, следует таким же образом ис- следовать выражение для 8 Ф/Зт) при Т) * 0. Однако результат можно получить и проще, если использовать полученное в задаче 2 явное выражение для равновесного значения параметра порядка 力 в несимметричной фазе (5.9). Поскольку 力 вещественно, то подкоренное выражение в (5.9) должно быть неотрицательно. Отсюда немедленно получаем
1 - 32(Т-7*)аВ/9С2 ^ 0.(5.19)
Предельное значение температуры, удовлетворяющее соотношению (5.19), есть
广=Т + 9C2/(32aS).(5.20)
В системах, размеры которых сравнимы с радиусом корреляции, при больших флуктуациях нельзя пренебречь членом порядка "Г)' в разложении (5.3) для термодинамического потенциала. Вычислить среднее значение квадрата флуктуации параметра 9 порядка <т)> в симметричной фазе для таких систем.
Решение. Прежде всего отметим, что в выражении (5.3) можно пренебречь градиентным членом, поскольку характерный размер области однородности системы, определяемый радиусом корреляции, в данном случае оказывается одного порядка с линейными размерами системы. Поэтому вероятность флуктуации параметра порядка 刀 записывается в виде
w ~ ехр[(-атп2-5т)4)/(")].
Записав условие нормировки плотности вероятности в виде 00
А = JdT) ^^[-атт^-В^У^кТ)} = 1,
-82
получим следующее выражение для <т)>:
〈科:m才eXр卜叫削)/ jgexp卜丝陰旦耳.(5.21)
-00-00
Интегралы легко вычисляются с помощью формулы 00
产 М ехр(—8/н) = (2|3)-р/2Г(р) ехр总 0“ [爲}(5.22)
где D —функция параболического цилиндра. В результате
〈廿〉= 丄 М О-з/2(°т/£28 育7)
一 2V2％/2(ат/Е1Т) •
При постоянном объеме и температуре вероятность флуктуации может быть записана следующим образом:
w ~ exp(-AF/AT), где AF —изменение свободной энергии, связанное с флуктуациями. Пусть
AF = JdV[a“2(r)+ 6(VTXr))2] .(5.23)
Вычислить среднеквадратичные флуктуации фурье-компонент т) величины тХг) в разложении
"г) = £% exp(iqr) .(5.24)
Решение. Коэффициенты % в разложении (5.24) опре- деляются соотношением
% = 3 JW7)(r) exp(-iqr) .(5.25)
Подставляя разложение (5.24) для т)(г) в (5.23), получаем для изменения свободной энергии выражение
(5.26)(5.26)9797AF = £ JdV (a-bqqj D I) exp[i(q+q )г].
(5.26)
(5.26)
97
97
q,q〔
Интегрирование соотношения (5.26) по объему приводит к равенству
JdV expEitq+q^r]=卜飞,門, где 久 一q —символ Кронекера.
Теперь для
AF имеем
2 где ДЛЯ I T)q I
AF =V£9 + 如2)|%|2,q7
二"q"； справедливо
равенство
О
RI = V-Ч
Так как тХг)
вещественно, то в
силу (5.25) “_q = % Записав
7) в виде суммы вещественной и мнимой частей: "q = "； +，"；‘ получим
■122„//2
RI = % +% •
(5-27)
Вероятность
флуктуации w окончательно определяется формулой
如 ~ eXр[-1/£(a+ь02)⑺ 12/伐7)]q 4
(5.28)
Видно, что
в соответствии с (5.27) она распадается на произ-
ведение вероятностей флуктуаций для вещественной и мнимой
частей каждой
где для w(T)q) (5.28) дважды
фурье-компоненты
3=Пw⑺)，q 4
с учетом того, что 口| входит в сумму по q в (+q и -q), имеем
崛)~ expг货严2)⑴;2 +
Флуктуации 7)； и “； вычисляются независимо, и в соответствии с формулой (4.3) находим
<|T)q|2> = <%2> + <%2> = kTA2V(a+b^)}.
7. Существуют системы, в которых линия фазовых переходов II рода (на диаграммах ptT) переходит в линию фазовых переходов I рода. Точка перехода одной кривой в другую называется трикритической (丁丁「)・ Вблизи трикритической точки разложение термодинамического потенциала по степеням параметра порядка имеет вид
力(p,7\ 叫=Ф^р,Т) + А(р,Т)т? + В(р,Т)т^ + D(ptT)i^t
(5.29)
где функция О(р,Т) больше нуля и считается постоянной. Линия фазовых переходов II рода определяется условиями А(Т ^р))=
=0, 8 Ao. На линии переходов I рода В < 0, так что в три- критической точке 4 = 0, 8 = 0.
На линии фазовых переходов I рода & найти среднее значение параметра порядка в несимметричной фазе и определить связь между коэффициентами А, В и D.
Решение. Как мы знаем, на линии фазовых переходов I рода находятся в равновесии симметричная и несимметричная фазы, т.е. выполняется условие
А(叫)+ В(р,Тс^ + М = °(5.30)
Поскольку в несимметричной фазе 力 ± 0, мы произвели сокраще- ние на п . Второе условие состоит в том, что в равновесии термодинамический потенциал минимален. Дифференцируя (5.29): Л(р,Гс|) + 25(",厶内2 + ЗМ)4 = 0,(5.31)
и вычитая (5.31) из (5.30), получаем
“2 = -B(ptT^/D.(5.32)
Подставляя это выражение в условие фазового равновесия (5.30), находим
^A{ptT^D = В%,%).(5.33)
Соотношение (5.33) представляет собой уравнение линии переходов 1 рода.
В гауссовом приближении вычислить флуктуации параметра порядка в симметричной и несимметричной фазах на линии фазового перехода I рода.
Решение. При фиксированных р н Т вероятность флуктуации определяется фактором
(5.34)(5.34)ехр(-ЛФДГ).
(5.34)
(5.34)
В гауссовом приближении в симметричной и несимметричной фазах
ЛФ = А 61)2СИМ'
(5.35)(5.35)АФнесим = А8^ + 12Вт^8^ + 30^8тр.
(5.35)
(5.35)
Подставляя сюда значение 7)2 из формулы (5.32), получаем
%еснм
=(" + £ 弁К”"
△Фиесим△Фиесим
△Ф
иесим
△Ф
иесим
или с учетом уравнения линии
фазового равновесия (5.33) =7А8т^.
Вычисляя флуктуации в соответствии с правилами, изложенными в разд. 4, получаем
<(51])2>сим = ^/(2Д),<(61))2>неснм = ^/(НЛ).
Видно, что в симметричной фазе флуктуации параметра порядка в семь раз больше.
При фазовом переходе II рода теплоемкость % испытывает скачок. В низшем по,刀 приближении найти величину скачка и исследовать, как она меняется при приближении к трикрити ческой точке.
Решение. Прежде всего вычислим изменение энтропии при фазовом переходе II рода. В несимметричной фазе с помощью (5.29) имеем
s = -(аФ/ат)р = So-a“2 一打£(5.36)
где а = (дА/дТ)^, b = (дВ/дТ)^, S。—энтропия в симметричной фазе.
Равновесное значение параметра порядка можно найти из требования минимума термодинамического потенциала 36/3т)二 0. С помощью (5.29) получаем
А + 23т)2 + 3£>т)4 = о.(5.37)
Решая это уравнение относительно U , находим равновесное значение
吟二打卜3 + /炉-340]-(5.38)
Подставляя (5.38) в (5.36) и дифференцируя по Т. получаем
длядляскачка теплоемкостискачка теплоемкости岭岭产(S-S。)产(S-S。)[=-Т(а+2,喻辞][=-Т(а+2,喻辞]
для
для
скачка теплоемкости
скачка теплоемкости
岭
岭
产(S-S。)
产(S-S。)
[=-Т(а+2,喻辞]
[=-Т(а+2,喻辞]
ПриПри(5.39)зависи(5.39)зависи
При
При
(5.39)
зависи
(5.39)
зависи
/ B2-3ADвычислении (5.39) пренебрегается температурной
мостью коэффициентов а и & по сравнению с более сильной зависимостью величин А и В, входящих в выражение для 喏.
Поскольку вычисляется скачок теплоемкости, то все величи
ны надо брать на линии фазового перехода II рода, где / = 0. При этом из (5.39) следует
леp = 7\?/(25).
По мере приближения к трикритической точке со стороны фазовых переходов II рода положительный коэффициент В убывает, причем 8(7 ) = 0. Следовательно, скачок теплоемкости в три- критической точке обращается в бесконечность.
В теории фазовых переходов, основанной на модели эффективного гамильтониана, оказывается удобным представление термодинамического потенциала системы Q в виде со
Q =-々Tin Jrf7)exp[-^1] ,(5.40)
-со где Q[ 7)] —термодинамический потенциал системы, представляющий собой функционал от параметра порядка т/, взятый при фиксированном значении этого параметра. Опираясь на обычное определение термодинамического потенциала (2.4),(2.5), пока
зать возможность представления его в виде (5.40).
Решение. В рассматриваемом случае формулы (2.4), (2.5) позволяют записать выражение для термодинамического потенциала в виде
Q = mn{£exp眯[Зр[-吗門} '(5.41)
"(2п方严N!
Интегрирование по фазовому пространству системы можно провести в два этапа: сначала перебрать все возможные состояния при фиксированном значении параметра порядка 恥 а затем вы
полнить интегрирование по т)-
〃M(g，p|iXg，p))]l Jr(5-42)〃M(g，p|iXg，p))]l Jr(5-42)88
〃M(g，p|iXg，p))]l Jr
(5-42)
〃M(g，p|iXg，p))]l Jr
(5-42)
Q = -/Т ln{ Jrfi) £ ехр^*]""!)) exp [
—00
где //"да I r)(dp))— гамильтониан при фиксированном значении Т), в котором допустимы только те значения динамических пере
менных q н р, которые реализуют заданное значение порядка Т). Технически такое двухэтапное вычисление термодинамического потенциала удобно осуществить, введя допол н ител ьное интегри^
рование с S-функцией вида 6(i)-iXg，P))：
н N(q，p”q，p))н N(q，p”q，p))(5.43)(5.43)оо 8
н N(q，p”q，p))
н N(q，p”q，p))
(5.43)
(5.43)
Q = -kT ln| J對 £ exp胖 j%y 6(巾1Xg,P)) exp [—co
Р^тХN 6(巾^Р)) ехр [- "%，"]卜Р^тХN 6(巾^Р)) ехр [- "%，"]卜0[т)] = -kT In0[т)] = -kT InВведя обозначение со £ ех л/=о
Р^тХN 6(巾^Р)) ехр [- "%，"]卜
Р^тХN 6(巾^Р)) ехр [- "%，"]卜
0[т)] = -kT In
0[т)] = -kT In
(5.44) видим, что выражение (5.43) приводится к формуле (5.40).
При рассмотрении конкретных физических систем на основе соотношения (5.40) для ПГт)] обычно используется какое-либо модельное выражение.
・ Вычислить термодинамический потенциал системы, для которой
曜刀]=% +e才+ GlA
где g и G —константы» т = (Г-Т^/Тс , SQ —слагаемое, не зависящее от параметра порядка.
Решение. Используя формулу (5.40) предыдущей задачи, имеем для термодинамического потенциала
О = £2。-々Т In [ Jdi) exp [- *工"々｝。&]] .(5.45)
—8
Входящий в соотношение (5.49) интеграл выражается через функцию параболического цилиндра аналогично тому, как это было сделано в задаче 5. Используя соотношение (5.22), приводим выражение (5.45) к виду
g = о0rCnQ鋼"b[/2(爲^]]一龍.
Вычислить термодинамический потенциал системы, в которой функционал от параметра порядка П[т)] имеет вид
賓帀=Jrfr [aT7)2(r) + b(VWr)沟.(5.46)
Решение. Для вычисления & воспользуемся формулой (5.40), учитывая, что интегрирование по параметру порядка “ удобно выполнить с помощью фурье-разложения
М「)= £ Л exp(zqr).(5.47)
q 4
Поступая так же, как в задаче 6, приходим к соотношению
SIH]二 Р£ (ат+^2)|т)а|2(5.48)
<14
Теперь выражение для G (5.40) принимает вид
Q =—々Т Е Г| Jd7)；dT)； ехр[-У(аг+Ьд2)(7)；+7)；2)/^Г].(5.49)
При получении (5.49) использовано соотношение (5.27) и учтено, что интегрирование по 7) в (5.40) в рассматриваемом случае должно пониматься как интегрирование по всем независимым фурье-компонентам параметра порядка. Действительно, в отличие от формулы (5.40) здесь необходимо перебрать всевоз можные пространственные конфигурации распределения параметра порядка, что после перехода к фурье-представлению соответствует интегрированию по всем фурье-компонентам. После выполнения интегрирования по т/； и 7)； выражение (5.49) принимает вид2
Q =盯 Е1п&。留 £工(5.50)
q
Суммирование по q следует проводить, введя так называемый параметр обрезания — некоторое значение 毋 малое по сравнению с обратным атомным размером, поскольку говорить о параметре порядка имеет смысл только на расстояниях, где еще применимо понятие о макроскопических свойствах вещества. Переходя от суммирования к интегрированию в (5.50) и вычисляя интеграл в сферической системе координат, находим
° 二 kT^fdq г Е 练2 = ^q^^[q> 俨+圖一 0 一"+驾伊
Обратим внимание, что интегрирование производится только пополовине q-пространства, поскольку * и 7)^ независимы.
Исследовать методом Монте-Карло температурную зависимость намагниченности» восприимчивости и теплоемкости в двумерной квадратной решетке Изинга в окрестности точки фазового перехода II рода. В этой модели гамильтониан системы записывается в виде
〃 =(5.51)
где 出 и、принимают только два значения: +1 и -1, а суммирование проводится по ближайшим соседям выделенного узла.
Решение. Описанная модель может быть достаточно просто рассчитана и проанализирована на ЭВМ. Задается квадратная плоская решетка с числом узлов ^ = £ х £. Можно рассматривать либо конечную решетку, либо решетку с периодическими граничными условиями, чтобы устранить влияние границ.
Второй способ предпочтительнее, поскольку при этом результаты значительно точнее. При периодических граничных условиях считается, что решетка окружена точно такими же копиями системы. Поэтому, если каждый спин задавать парой индексов х и у (рх>у). где 1 V X V 厶 1 V у V 厶 то
“X士 L,y - ^х,у • ^x,y±L - "*,， ^x±L,y±L - &, Спины, находящиеся на границе» взаимодействуют с соседями основной решетки и с окружающими копиями.
Процедура, проводимая на машине, состоит в следующем. Произвольно задается начальная конфигурация спинов. Можно либо считать все р равными +1 или -1, либо использовать подпрограмму случайных чисел (для машины серии ЕС это подпрограмма RANDU), когда величина g меняется случайным образом на промежутке [0, 1]. Нетрудно для каждого узла реализовать программу типа бросания монеты:
при С $ 0,5 &g = 1, при £ А 0,5 匕g = 4
Далее полезно напечатать начальное состояние, чтобы иметь возможность следить за его эволюцией. Параметрами, которые вычисляются для такой системы, будут: намагниченность М 二 = £口； (полезно также иметь модуль этой величины |Л11 二 i
=|£勺|), энергия системы, рассчитываемая по формуле (5.29) (ее удобно вычислять в единицах 々Т). Для этого вводится параметр К = //(々Т) или К-1 —<безразмерная температура». При вычислениях следует иметь в виду, что при / > 0 система ферромагнитная, а при / < 0 антиферромагнитная. Восприимчивость % определяется из формулы для флуктуации намагниченности
% = К(<М2> - <М>2).
И наконец, зная энергию как функцию температуры, можно вычислить теплоемкость С = dE/dT.
Обратим внимание, что в точке фазового перехода при вычислении на ЭВМ % и С должны иметь максимумы, а <М> — обращаться в нуль, если двигаться со стороны низких температур.
Вычисление средних значений проводится методом Монте-Карло. Он позволяет построить марковскую цепь так, чтобы конфигурации появлялись с весом 鼠瞑吟.Как альтернативный ва- ант можно было бы осуществить перебор всех возможных конфи-
гураций (их будет 2”). Но при больших ^ такая процедура нерациональна.
Аппарат марковской цепи позволяет организовать последовательную процедуру перебора конфигураций с выбранными специальным образом переходными вероятностями от одной конфигура ции к другой так, чтобы конфигурации после некоторого начального участка уже имели вероятности ?一"/("').
Итак, у нас есть основная плоская ячейка размером L х £. Прежде всего, с вероятностью 1/L для каждой из двух координат {元，у} выбираем узел. Координаты каждого узла выбираем по формуле
Р二驻十1,
где £厶 округляется до меньшего из двух целых чисел Л < ^£ < у Л + 1. Пусть номер этого узла равен ^(х, у). Совершаем пробный переворот спина этого узла, т.е. заменяем /1悶 на
О
-|iw . Подсчитываем изменение энергии при таком перевороте:
При вычислении изменения энергии, естественно, принимаются
во внимание только ближайшие соседи. Если AU 三 0, то перево-
рот осуществляется, и мыAU > 0, то переворот которая лежитрот осуществляется, и мыAU > 0, то переворот которая лежитприходим к новойосуществляетсяв интервале 0 <приходим к новойосуществляетсяв интервале 0 <конфигурации. Еслис вероятностьюе-AU/財)у 1. Дляконфигурации. Еслис вероятностьюе-AU/財)у 1. Для
рот осуществляется, и мы
AU > 0, то переворот которая лежит
рот осуществляется, и мы
AU > 0, то переворот которая лежит
приходим к новойосуществляется
в интервале 0 <
приходим к новойосуществляется
в интервале 0 <
конфигурации. Если
с вероятностью
е-AU/財)у 1. Для
конфигурации. Если
с вероятностью
е-AU/財)у 1. Для
О < ^ < 1 и сравнивается с то переворот осуществляется;нет, и система остается вО < ^ < 1 и сравнивается с то переворот осуществляется;нет, и система остается вэтого берется случайное число "△и/(喲.Если w у е-А"(⑺， если £ а е""(⑺，То перехода
О < ^ < 1 и сравнивается с то переворот осуществляется;
нет, и система остается в
О < ^ < 1 и сравнивается с то переворот осуществляется;
нет, и система остается в
прежнем состоянии, еще раз в счетчикепрежнем состоянии, еще раз в счетчикеНо это состояние учитывается фактически числа конфигураций, и оно принимается во
прежнем состоянии, еще раз в счетчике
прежнем состоянии, еще раз в счетчике
внимание при вычислении средних значений
где G —полное число конфигураций.
Поскольку начальное состояние задается произвольно, то с вероятностью, близкой к единице» оно сильно неравновесно. Для того чтобы его не учитывать» а также не рассматривать переходный процесс, надо задать определенное число шагов отсекания, когда процедура выполняется, но ничего не заносится в сумматор.
На каждом шаге вычислений определяются значения момента, квадрата момента и энергии. При анализе окрестности точки фазового перехода следует задать начальную температуру и затем двигаться с определенным шагом. В качестве опорной точки можно использовать критическую температуру 7 , которая известна из точного решения Онзагера
2th2抬=1.
С
Даже для систем порядка 6x6 или 10 х 10 «машинное^ решение уже близко к точному, особенно если применять описанные выше периодические граничные условия.
Составьте программу в соответствии с описанной процедурой расчета и проведите вычисления на ЭВМ.
Методом молекулярной динамики исследовать свойства системы из ^ частиц, взаимодействующих между собой посредством потенциала Леннарда—Джонса» помещенных в куб с ребром L, проверить установление в системе максвелловского распределения по скоростям, вычислить корреляционную функцию скорости <v(0)v(f)>, рассчитать радиальную функцию распределения, вычислить энергию и теплоемкость С^ и исследовать поведение теплоемкости вблизи критической точки.
Решение. Для системы из ^ частиц записываются уравнения движения
тг.二 J, i 二 1, 2,^ • (5.52) Fj = -E ^(|r.-r.|)
есть сила, действующая на z-частицу со стороны остальных частиц. Для устранения влияния стенок на систему накладываются периодические граничные условия, согласно которым счи тается, что куб находится в центре системы, состоящей из точно таких же кубов с тем же распределением частиц. При этом, если частица уходит из исследуемого куба, необходимо учесть, что из соседнего куба в него войдет частица. При вычислении сил F； необходимо учитывать только несколько ближайших соседей, т.е учитывать взаимодействие в области с фиксированным радиусом R. Потенциал межмолекулярного взаимодействия в форме Леннарда-Джонса имеет вид
В начальный момент положения частиц задаются произвольно. Скорости выбираются таким образом, чтобы средняя кинетическая энергия соответствовала определенной температуре и £ V. = 0, т.е. отсутствовали направленные потоки. Параметры f 1 * интересующей системы можно найти по справочникам. Например, для жидкого аргона при температуре Г = 95 К и плотности р 二 =1,374 г/см они равны
^ = 1,26,^,/3 = 0,934,Г-^11/2 = 4,65-10й с"1.
Численное интегрирование системы (5.52) проводится следу
ющим образом. После Лго шага по времени известны совокупно- сти координат {/')}, скоростей {v‘)} и ускорений {а')}.
Тогда скорости и координаты» спустя промежуток времени
虫川=屮+ af）M
式•俨）=当）+貝小＜俨）+担］•
Этот результат обычно уточняется следующим образом. По значениям {г,；*。} находятся новые ускорения [а，'*"}. Затем
скорости и координаты снова пересчитываются в предположении,
что ускорение изменилось на этом шаге линейно:
V严=V? + }囲 + а”]м Г用=限+冲严/)网2
Число частиц выбирается равным 10-20, интервал времени Af ~ 10 с. Максвелловское распределение по скоростям, которое должно установиться через некоторое число шагов, проверяется по известным значениям моментов максвелловской функции распределения
</>, CubCt/2、“ = 4, 5.
Если значения, полученные на /м шаге, совпадают с точно вычисляемыми с помощью функции распределения Максвелла с погрешностью порядка 10 % , то распределение по скоростям можно считать установившимся. Необходимо также проверить, выполняется ли закон сохранения энергии. Если он начинает заметно нарушаться, то надо уменьшить временной шаг △/.
Автокорреляционная функция скоростей <v(0)v(/)> вычисляется путем усреднения по всем частицам с начальным моментом
% с последующим усреднением по разным начальным моментам 晶，％，・・」о“N
<v(0)v«)>花£ 結"。) %。广"
Радиальная функция распределения g(r), которая имеет физический смысл плотности вероятности нахождения частицы на расстоянии г от данной, вычисляется следующим образом. Вокруг каждой частицы проводятся шаровые слои толщиной примерно 0,1-0,2 диаметра частицы g ~ и Измеряется среднее число частиц в каждом слое. Функция g(r) определяется как отношение этого числа частиц к числу частиц при средней плотности ^/£3. Таким образом, при больших г величина g(广)стремится к единице.
Энергия системы вычисляется по формулеe =:ё典1--屮)+ ;ёm,•hi '£
Для вычисления теплоемкости необходимо выполнить расчеты энергии при разных температурах.
Для исследования окрестности критической точки необходимо задать в системе критическую плотность и выполнить расчеты при температурах, близких к критической, но несколько превосходящих ее. Составьте программу в соответствии с описанной процедурой и проведите расчеты на ЭВМ.
Нарисуйте графики зависимости автокорреляционной функции скоростей от времени, радиальной функции распределения от расстояния и теплоемкости Су от температуры.
ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
Сравните результаты, полученные в задаче 7, с точным решением Онзагера для двумерной решетки Изинга (см.: Ландау Л.Д. и Лифшиц ЕМ. Статистическая физика. —М.: Наука, 1976. ■—С.541). Насколько отличается получившееся поведение теплоемкости от логарифмического закона С ~ | In \Т-Т | |? Согласуется ли температурная зависимость магнитного момента с выражением 7)二 const・(T-7)?
При расчетах методом молекулярной динамики (задача 8) определить число шагов, через которое устанавливается максвелловское распределение по скоростям.
ДИНАМИЧЕСКИЙ ПОДХОД
К ТЕОРИИ НЕРАВНОВЕСНЫХ ЯВЛЕНИЙ
Уравнения Лиувилля и Неймана
Основу динамического подхода к описанию статистических свойств систем многих частиц составляют уравнения Лиувилля и Неймана для классических и квантовых систем соответственно. Уравнение Лиувилля, которому удовлетворяет и частичная функция распределения р"〔，「八,р?...,/?门，f) имеет вид
調+ [〃，р] = 0，(6.1)
где Я —функция Гамильтона, а [Я,р] — классические скобки Пуассона:
Y吃鋼囁對⑹2)
Уравнение (6.1) удобно записывать в виде
調+tZp = 0,(6.3)
где £ = ~4//»] — самосопряженный оператор Лиувилля: L =
Основу описания свойств квантовых систем составляет уравнение Неймана
露+ М，Р] = 0，(6.4)
где р —оператор (матрица) плотности системы л частиц, Н — оператор Гамильтона» а [〃,р]二 Яр - pH — коммутатор операторов // и р.
Уравнения Лиувилля и Неймана соответствуют полному статистическому ансамблю, они обратимы во времени и обеспечивают стационарность энтропии системы S = -Sp(plnp):
dS/dt = 0.
Переход к сокращенному описанию приводит, вообще говоря, к появлению макроскопической необратимости во времени. Оно осуществляется редуцированной функцией распределения р〔 (оператором плотности), которая соответствует неполному ан-
самблю. Основная проблема неравновесной статистической механики —получение и решение управляющих уравнений, т.е. замкнутых уравнений для p[(f)・ Уравнения для редуцированных функций распределения часто называются кинетическими уравнениями.
Приближение самосогласованного поля
Простейшее приближение для n-частичной функции распределения —это мультипликативное приближение
Р(Г],…,％, Р[，…,Рп，0 = f(qp/) f(r2P2‘)^rnpn^* (6・5)
которое приводит к приближению самосогласованного поля, когда каждая частица с «стемы движется в поле, создаваемом частицами системы и приложенным внешним полем. Уравнение, которому удовлетворяет одночастичная функция распределения fa(rp/) частиц сорта а, называется уравнением Власова:
df df df о г
升а + v#x 一 а 乔 £ Jdrfcdpb t/(ra-rb) fb(rbpbt) = 0.(6.6)
Здесь (/ — энергия взаимодействия частиц сорта а и 6.
Уравнение Власова обратимо во времени. Иногда в правой части уравнения (6.6) оставляют «след» интеграла столкновений в приближении времени релаксации и записывают ее в виде -£ (f@-f@0), где £ > +0, а faQ —равновесная функция распре деления.
В случае системы заряженных частиц уравнение Власова записывается в виде
df df r . ^df
升° + 侪喙 e/E+^vB]]*1 = 0.(6.7)
Здесь p = mv — кинетический импульс, а E и В определяются из системы уравнений Максвелла
divE = 4прз〃， divB = 0,
rotErotE1 ав 一万升,1 ав 一万升,rot Вrot В4n•丄 1 ЗЕ4n•丄 1 ЗЕ(6.8)(6.8)
rotE
rotE
1 ав 一万升,
1 ав 一万升,
rot В
rot В
4n•丄 1 ЗЕ
4n•丄 1 ЗЕ
(6.8)
(6.8)
Плотность заряда р^厶 и плотность тока j выражаются через од
ночастичные функции распределения:
Рэл(г.о = * Jdp f/rpf)，j(rj)= £е Jdp %(rp/)・(6.9)
aa
Приближение самосогласованного поля особенно удобно для определения спектра коллективных возбуждений в системе. Он
находится из дисперсионного уравнения, получаемого с помощью уравнения Власова и системы уравнений Максвелла после перехода к фурье-представлению (~ exp(ikr-io)/)) и имеющего вид
A(k,Q) = 0.(6.10)
Здесь О = 0)+ /у, причем 牙/з《1. Закон дисперсии колебаний “к) находится из уравнения
ReA(k,3)= 0,(6.11)
а величина у, соответствующая затуханию колебаний при у < 0 и нарастанию при у > 0, определяется соотношением
牙=一 Im А(к,з)(6.12
五jRe А(к,з) з = “k)
Определяемое из уравнения Власова затухание 牙 называется затуханием Ландау. Оно соответствует взаимодействию волна- частица типа взаимодействия Вавилова-Черенкова и не приводит к необратимой диссипации энергии волны.
ЗАДАЧИ
Среди полного набора динамических переменных системы можно выделить группу переменных Х^ .... Хп и Y^ У^， характерные временные масштабы изменения которых резко различаются («медленные» и «быстрые» переменные). Обосновать возможность перехода к сокращенному описанию такой системы и получению управляющих уравнений» описывающих эволюцию во времени медленных переменных.
Решение. Для полного набора динамических перемен ных системы существует замкнутая система уравнений (например, уравнения гамильтонова типа)
黯=f(X,y,f), 窮=g(X,yj), (6.13)
где X и У— векторы соответственно, f игде X и У— векторы соответственно, f иИ 匕Ym компонентамиИ 匕Ym компонентамис компонентами X” …，Xg — векторные функции с
где X и У— векторы соответственно, f и
где X и У— векторы соответственно, f и
И 匕Ym компонентами
И 匕Ym компонентами
fr ...» fn и gy …，gm- Медленность изменения величин X по сравнению с изменением величин У позволяет решать вторую группу уравнений (6.13) для У, рассматривая в них X как фиксированные параметры. Такое положение оправданно, напри
мер, в случаях, когда время изменения величин У оказывается
существенно меньше времени изменения величин X, которые в
этом случае являются квазиинтегралами движения по отношению к переменным У. При этом получаем
У = G(XJ). (6.14)
Подставляя выражения (6.14) в первую группу уравнений (6.13), получаем замкнутую систему уравнений для величин X:
If = f(M G(X,f), f) = y(X，0. (6.15)
Система уравнений (6.15) — это и есть управляющие уравнения, определяющие медленную эволюцию системы. Фактическое использование выражений (6.14) требует знания начальных условий для величин У, которые, разумеется, взять неоткуда. Поэтому для величин У берутся квазиравновесные значения, со ответствующие решениям уравнений (6.14) при f -> 8： величины У успевают релаксировать и прийти в квазиравновесное состояние, не зависящее от начальных условий, при фиксированных значениях величин X. Для величин X это означает переход к новому огрубленному масштабу времени. Поэтому фактически систему (6.15) следует понимать в смысле
If = 3(XJ), (6.16) где Af макроскопически мало, но все-таки много больше характерного времени «забывания» исходных значений У. Величина Af и играет в рассматриваемом случае роль времени корреляции { в иерархии временных масштабов Боголюбова. Для применимости управляющих уравнений (6.15) необходимо, чтобы время релаксации т величин X было много больше времени корреляции J ■
Таким образом, проблема получения управляющих уравнений в рамках динамического подхода заключается в нахождении квазиинтегралов движения в рассматриваемой системе, которые и играют роль медленно изменяющихся во времени величин X.
Получить уравнение для редуцированной функции распределения p〔(f) = 7p(f), где 7 —некоторый оператор проектирования, с помощью точного уравнения Лиувилля для полной функции распределения р и обсудить возможность перехода к управляющему уравнению, замкнутому относительно р,/).
Решение. Введем функцию р2(/) = (l-尹) p(f) и получим уравнения для р1 и р2， действуя операторами 尹 и (1-Т) на уравнение Лиувилля
(6-17)(6-17)部 + iLp = 0.
(6-17)
(6-17)
ИмеемИмеемдр
Имеем
Имеем
'言=孔(Р[+Р2)，，产=(1-Т)〃Р[+р2)・(6-18)
Запишем второе уравнение из (6.17) в виде
^ = Мр2 + ^(0，(6.19)
где использованы обозначения
М = (1-7)厶ф(0 = (I-/)”#).
Ищем решение уравнения (6.18) в виде
р#) = e~itM^t).(6.20)
Подставляя это выражение в уравнение (6.19), получаем 謂=-/%«), где 0(0) = р2(0).
Интегрируя по времени в пределах от нуля до /, находим
0(/)二 0(О)-г рте^ФСт).(6.21)
О
Подставляя (6.21) в (6,20) и совершая замену переменной s 二 f 一 т, приходим к следующему выражению для р2(/):
Р2(0 = е"М р2(0) - tjrfs e~isM(p(t-s),О
или после подстановки выражений для Л4 н 令
Р2(0 = exp[-it(l-?)L] р2(0)-« Jds ^p[-is(l-?)L] (1-?)L p^-s). О
Подставляем найденное значение p?(f) в первое уравнение из (6.18) для p〔(f). Имеем
api(f)
»—^―=孔pg + TL ехр[-£1(1-?)Л] p2(0)-
-i^ds 7厶 exp[-£s(l-?)L] (1一尹)厶 p/t-s). (6.22) 0
Уравнение (6.22) —это точное уравнение, ибо при его выводе на основе использования уравнения Лиувилля (6.17) не делалось никаких приближений. В отличие от уравнения (6.17) уравнение (6.22) для 「〔(/) имеет нелокальный во времени характер, т.е. обладает памятью. Стоящее под знаком интеграла перед функцией p^-s) ядро называется функцией памяти.
(6.22)обра-(6.22)обра-Для получения управляющего уравнения в уравнении необходимо исключить (или задать в явном виде) р2(0) и % 5. А.С.Кондратьев, В.П.Романов
(6.22)обра-
(6.22)обра-
тить в нуль функцию памяти за то время s, за которое функция p](f-s) не меняется существенно. Физической основой замыкания уравнения эволюции на уровне сокращенного описания является иерархия временных масштабов Боголюбова, позволяющая ввести для 「〔(Г) новую огрубленную временную шкалу, в кото рой указанные выше условия выполняются в каждый момент вре мени. Другими словами» система успевает «забытье о начальном распределении быстро меняющихся параметров за время, малое по сравнению с характерным временем изменения функции р^(/). Из приведенного рассуждения видно, что основная трудность в получении управляющих уравнений на основе динамического подхода —выбор проектирующего оператора 尹.
В приближении самосогласованного поля функция Гамильтона для системы заряженных частиц записывается в виде
” =£^；[р,Та(1)) 2(6.23)
где (А,ф) — четырехмерный потенциал самосогласованного элект
ромагнитного поля, с помощью которого определяются напряженность Е электрического поля и индукция В магнитного поля：
e = T 磊一熊，B = Зa，e = T 磊一熊，B = Зa，(6.24)(6.24)
e = T 磊一熊，B = Зa，
e = T 磊一熊，B = Зa，
(6.24)
(6.24)
р(. —канонический импульс t-й частицы системы с зарядом е. и массой т. . В представлении канонического импульса уравнение Лиувилля имеет обычный вид:
翳£吃鋼一瑞览）二。■翳£吃鋼一瑞览）二。■(6.25)(6.25)
翳£吃鋼一瑞览）二。■
翳£吃鋼一瑞览）二。■
(6.25)
(6.25)
Записать уравнение Лиувилля в представлении кинетического
импульсаимпульсаР,・=Р厂？ A(rJ),Р,・=Р厂？ A(rJ),(6.26)(6.26)
импульса
импульса
Р,・=Р厂？ A(rJ),
Р,・=Р厂？ A(rJ),
(6.26)
(6.26)
「/ воспользуемся「/ воспользуемсяформулойформулой[a^otb] + [b^ota].[a^otb] + [b^ota].
「/ воспользуемся
「/ воспользуемся
формулой
формулой
[a^otb] + [b^ota].
[a^otb] + [b^ota].
вводя в него в явном виде векторы Е и В.
Решение. Вычислим входящие в (6.25) производные от функции Гамильтона (6.23) по г и р, выразив результат через определяемый формулой (6.26) кинетический импульс Р . Имеем
請=^卜「/A(rJ)) = ^P,.(r J).(6.27)
Для вычисления производной по векторного анализа
^(ab) = (a|j；)b + (b|j；)a +
Получим
歌=WJ[p厂? A(r J)闹)饪№J)一
-^[[РГ 7 ^ri^ roi7 ^ri^] + 屮(屮)
С учетом второй формулы из (6.24) это выражение можно переписать в виде
吃一詣生生卜（i）一訂в，в（г" +谓叫,）.
''（6.28）
Теперь нужно преобразовать производные от функции распределения р по г,, н f в (6.25), вычисляемые при фиксированных р„ в производные, вычисляемые при фиксированных Р「 Для
этого запишем р в виде
Р(Р,・，、，f) = Р[р( + с' А(г」)• 7“•
Прежде всего видно, что 阻=躯
Далее,
隔 =[吼 齡如?),(629)
Pi”,н(.,rI
так как, дифференцируя р no f при фиксированных Р., мы учитываем и зависимость от времени и величины A(rJ), которая отсутствует в левой части равенства при вычислении про
изводной по / приизводной по / прификсированных р, . Аналогичнофиксированных р, . АналогичноС помощью приведенных равенств (6.27)-(6.30) переписываемС помощью приведенных равенств (6.27)-(6.30) переписываем(6.30)(6.30)
изводной по / при
изводной по / при
фиксированных р, . Аналогично
фиксированных р, . Аналогично
С помощью приведенных равенств (6.27)-(6.30) переписываем
С помощью приведенных равенств (6.27)-(6.30) переписываем
(6.30)
(6.30)
уравнение (6.25) следующим образом:
启с & е. а с 8 A(г I) ^ «-Р . д 1 ^ в. Р . aQ А у
一 £/第鋒.' + £]号剧 _ e / 号 e 看 开?] +
1 = 1E t t=l' £ J f=l ^ lOL=X( ytZ (Ct J
+3碓断1P關A（i）+昌能隔［P,・, By」）］］*e甑諸，二0.
Здесь все производные по / н % вычисляются при фиксированных Р『Второе и последнее слагаемые в правой части объединяются и выделяют напряженность электрического поля в соответствии с первой формулой из (6.24). Четвертое и пятое слагаемые, как нетрудно видеть, различаются только знаком.
Поэтому окончательно имеем
需二绘旣+乐回MW? 8M攤Нo- (63)
Это уравнение Лиувилля для системы заряженных частиц, рассматриваемой в приближении самосогласованного поля и записанное в представлении кинетического импульса. Выбрав р в мультипликативном виде (6.5), с помощью (6.31) легко прийти к уравнению Власова (6.7).
Определить электрическое поле покоящегося точечного заряда q в однородной равновесной плазме в приближении самосогласованного поля.
Решение. Потенциал поля неподвижного заряда в равновесной плазме дает система уравнений, состоящая из кинетического уравнения в приближении самосогласованного поля, в котором обращен в нуль член с производной по времени:
df R小成
Va升“тa詳跋=°， (632) и уравнения Пуассона, которому удовлетворяет скалярный потенциал ф самосогласованного поля:
Мг)二-4п Е 9а frfp fa(r,p) - 4п<7 3(г). (6.33)
В этих уравнениях % —функция распределения частиц сорта Q, 0^—заряд частицы сорта а. Равновесная плазма в целом элект- ронейтральна в отсутствие внешнего заряда» который помещается в точку с г = 0.
Решением уравнения (6.32), как можно убедиться непосредственной подстановкой, является выражение
f*,P)=乙晾「0」(可, (6.34) где % — произвольная функция указанного аргумента. Учитывая» что при г = 8 потенциал электрического поля равен нулю» а равновесная функция распределения — это максвелловская функция» зависящая только от импульса, найдем
%у р)= ^^h^ еХР ［一 +若a 7”(叩• (6。35) где пд — концентрация, а Г —температура сорта а. Поскольку плазма в отсутствие внешнего заряда электронейтральна» то
Е = °' (6-36)
Подставляя выражение (6.35) в уравнение (6.33), получаем
(6.37)(6.37)Дф = - 4п £ qna exp (-挈)-4nq 5(г).
(6.37)
(6.37)
На больших расстояниях | q^ | 《кТ@. Поэтому, разлагая экспоненту в ряд Тейлора и ограничиваясь линейными членами, находим при учете условия (6.36) выражение
Аф - (1/г2 ) ф = - 4тг^ 6(г), (6.38)
где радиус экранирования ределен соотношениемгде радиус экранирования ределен соотношениемкулоновского взаимодействия г。 опкулоновского взаимодействия г。 оп94па п1/294па п1/2
где радиус экранирования ределен соотношением
где радиус экранирования ределен соотношением
кулоновского взаимодействия г。 оп
кулоновского взаимодействия г。 оп
9
4па п1/2
9
4па п1/2
Уравнение (6.38) можно решать разложением вУравнение (6.38) можно решать разложением винтеграл Фурье:интеграл Фурье:
Уравнение (6.38) можно решать разложением в
Уравнение (6.38) можно решать разложением в
интеграл Фурье:
интеграл Фурье:
W(k) №W(k) №(6.39)(6.39)В этом случае имеем вместо (6.38) имеем(一庐-1"》ф(к) = -4nq, откуда 0(к)В этом случае имеем вместо (6.38) имеем(一庐-1"》ф(к) = -4nq, откуда 0(к)4 nq4 nqууС помощью (6.39) получаем для потенциала ф(г) формулу =(ЯЛ) exp(r/rD ).5. Рассмотреть возможность существования продольныхС помощью (6.39) получаем для потенциала ф(г) формулу =(ЯЛ) exp(r/rD ).5. Рассмотреть возможность существования продольныхФ(г)=Ф(г)=коле-коле-
W(k) №
W(k) №
(6.39)
(6.39)
В этом случае имеем вместо (6.38) имеем
(一庐-1"》ф(к) = -4nq, откуда 0(к)
В этом случае имеем вместо (6.38) имеем
(一庐-1"》ф(к) = -4nq, откуда 0(к)
4 nq
4 nq
у
у
С помощью (6.39) получаем для потенциала ф(г) формулу =(ЯЛ) exp(r/rD ).
5. Рассмотреть возможность существования продольных
С помощью (6.39) получаем для потенциала ф(г) формулу =(ЯЛ) exp(r/rD ).
5. Рассмотреть возможность существования продольных
Ф(г)=
Ф(г)=
коле-
коле-
баний в электрон-ионной ной плазмы. Определитьбаний в электрон-ионной ной плазмы. Определитьсистеме классической двухкомпонент-
баний в электрон-ионной ной плазмы. Определить
баний в электрон-ионной ной плазмы. Определить
собственные частоты колебаний и их
затухание.
кинетические уравнения Власова компонент плазмы в линейном по возкинетические уравнения Власова компонент плазмы в линейном по возРешение. Запишем для электронной и ионной
кинетические уравнения Власова компонент плазмы в линейном по воз
кинетические уравнения Власова компонент плазмы в линейном по воз
мущению приближении» удерживая «след» интеграла столкновений в приближении времени релаксации
%№)+ 丫辅⑷ + e/E+|{vB]诲倒=_£ 祁a) (6.40) Здесь e 今 +0, E и В — соответственно напряженность электрического поля и индукция магнитного поля» создаваемых частицами системы. Если равновесная функция распределения f^ является изотропной функцией импульса» то магнитное поле выпадает из уравнения (6.40).
Действительно, в этом случае
Йр}^оа)V， (6.41) и смешанное произведение [vB]v обращается в нуль вследствие ортогональности векторов, фигурирующих в скалярном произве-
дении. В силу линейности уравнения (6.40) по возмущению достаточно рассмотреть только одну фурье-компоненту. Поэтому» подставляя в уравнения (6.40) возмущения всех величин в виде
Е(г Л = Е(кз)产1 吗
перепишем их следующим образом:
2424(s +，£ - kv) 6/(а)(р, кз)二-ie Е(кз)
2
4
2
4
Продольные колебания в плазме соответствуют потенциальному полю: Е = 7р Потенциал 诊 удовлетворяет уравнению Пуас сона, которое в (к,ш)-представлении имеет вид
庐 @(кз) = 4тгр(кз). (6.43)
Плотность заряда р(кз) выражается через функции распределе
ния частиц:
(6.44)(6.44)р(кз) = {ejdp 耳(а)(р,кз).
(6.44)
(6.44)
Выражая из уравнения (6.41) 8f^ и учитывая потенциаль-
ный характер электрического поля, получаем с помощью (6.43) и (6.44) дисперсионное уравнение для спектра продольных колебаний двухкомпонентной плазмы, состоящей из электронов
纥纥-е) и однозарядных ионов (е. = е):-е) и однозарядных ионов (е. = е):1+贤Jdp1+贤Jdpk"P/8p 4nek"P/8p 4neGnie-kv +Gnie-kv +庐庐ВзявВзявв качестве равновесных функций распределенияв качестве равновесных функций распределения(6.45)максвел(6.45)максвел
纥
纥
-е) и однозарядных ионов (е. = е):
-е) и однозарядных ионов (е. = е):
1+贤Jdp
1+贤Jdp
k"P/8p 4ne
k"P/8p 4ne
Gnie-kv +
Gnie-kv +
庐
庐
Взяв
Взяв
в качестве равновесных функций распределения
в качестве равновесных функций распределения
(6.45)
максвел
(6.45)
максвел
ловские функции
俨P)二(2nmaK%)3/2 expf ^^)
и использовав формулу (6.41), можно записать дисперсионное уравнение (6.45) в таком виде:
2f(e)1 -聲快jdP J氾器+打力2f(e)1 -聲快jdP J氾器+打力(о£/(о£/QHze-kvQHze-kv0.0.(6.46)(6.46)
2f(e)
1 -聲快jdP J氾器+打力
2f(e)
1 -聲快jdP J氾器+打力
(о£/
(о£/
QHze-kv
QHze-kv
0.
0.
(6.46)
(6.46)
Рассмотрим высокочастотные колебания» фазовая скорость которых много больше характерных значений тепловых скоростей электронов и ионов, существенно представленных в системе <и/, <v>《 “А. В этом случае, удерживая вещественную часть в (6.46), вычисляем интегралы следующим образом:
阿三 Jdp 俨品 ^ ^^\}^ = h^^T^
Вводим сферическую систему координат в пространстве импульсов с полярной осью, направленной вдоль вектора к. Интеграл по модулю импульса приводит к Г(5/2), и в результате находим
(6-47)
Теперь с помощью (6.46) получаем уравнение для частоты колебаний:22
12— и,
откуда с учетом неравенства m/勺《1 имеем
f = W，4 H 4ппе2/те.(6.48)
Очевидно, что такой же результат получится в модели однокомпонентной электронной плазмы» электронейтральность которой обеспечивается однородным положительно заряженным фоном. В двухкомпонентной плазме есть еще одна ветвь продольных коле- баннй, причем фазовая скорость волны ц/氐 лежит в промежутке между характерными тепловыми скоростями электронов и ионов:
<и. >《з/h《<% > .
Для #) можно по-прежнему воспользоваться соотношением (6.47), а для /(')имеем
=1力守磊=一/dp伊［ /ку)=-血偉==1力守磊=一/dp伊［ /ку)=-血偉=-п.-п.
=1力守磊=一/dp伊［ /ку)=-血偉=
=1力守磊=一/dp伊［ /ку)=-血偉=
-п.
-п.
Теперь дисперсионное уравнение принимает вид
откудаоткудаПри о)При о)-=仇二1' mi l+4nne2/(k2KTe )' ^ипе^/т. формула (6.49) дает ш2 = Q2, Й2 = (кГ^т. )й2 .-=仇二1' mi l+4nne2/(k2KTe )' ^ипе^/т. формула (6.49) дает ш2 = Q2, Й2 = (кГ^т. )й2 .(6.49)(6.49)(6.50)(6.50)
откуда
откуда
При о)
При о)
-=仇
二1
' mi l+4nne2/(k2KTe )' ^ипе^/т. формула (6.49) дает ш2 = Q2, Й2 = (кГ^т. )й2 .
-=仇
二1
' mi l+4nne2/(k2KTe )' ^ипе^/т. формула (6.49) дает ш2 = Q2, Й2 = (кГ^т. )й2 .
(6.49)
(6.49)
(6.50)
(6.50)
Это так называемый ионный звук. Акустический закон дисперсии обусловлен динамическим экранированием электронами кулоновского взаимодействия ионов. При k > "7 = /KT/dn/Ve?) из (6.49) имеем
На малых расстояниях, когда длина волны 入 ~ 1/А возмущения меньше дебаевского радиуса экранирования, экранировка отсутствует и ионы совершают плазменные колебания с частотой % .
Для определения затухания найденных ветвей колебаний еле дует воспользоваться формулой Сохоцкого
咽小(х)
при вычислении интегралов в (6.46). Тогда, используя формулу Ландау (6.12), найдем для ветви колебаний (6.48)
牙词旷訐吁(2%円
Для ветви акустических колебаний указанная процедура приводит к результату
у = fi(nm J8mj/2
Получить уравнение для одночастичной квантовой функции распределения Вигнера /(「，р, f), используя уравнение Неймана для одночастичной матрицы плотности р
調 +扛〃,р] = 0,(6.51)
где // — одночастичный оператор энергии.
Решение. Раскрывая в явном виде коммутатор [〃,р]= =Нр - pH, запишем (6.51) в координатном представлении:
^<г\р\е> + ^(<r\Hp\e> - <r\pH\rf>) = 0.(6.52)
Учитывая полноту базиса разложения
jdr" |г//><г//| = 1,
где |г^> — дираковский вектор состояния, перепишем (6.52) в виде
第<r|p|rz> + 打dr" [<r|〃|r〃><r//|p|r/> - <г|р|г">3|〃Г>) = 0.
(6.53)
В силу эрмитовости оператора энергии <г"|〃Г> = 3|〃*|产>, где звездочкой обозначено комплексное сопряжение. В собственном представлении любой оператор диагоналей. Поэтому справедливо равенство
<г\Н\г,> = /7(г) 5(г-г?).
Теперь уравнение (6.53) переписывается следующим образом:
I礁-"(г)+ 〃*(「)卜 г |р Г > = 0.(6.54)
В подробной записи имеем
〔，偽 + 騎U-%)-U(r)+ U(i)卜|РГ> =。’
где С/ — оператор потенциальной энергии (например, потенциал самосогласованного поля). Подставляя сюда выражение для <г|рIг7> через квантовую функцию распределения Вигнера:
<г|р|г/> = Jdp，exp［春p，(r-l)J f［展,pj), совершая замену переменных г-У =力直(г+г* )/2 = R и учитывая равенство F - V； = 2%吟/力，получим
同同7 +跳吟一小+夠+小一制"力便卩」)=0.
ИЛИ
网［碟+ i唱%-"R+夠+U［R一夠］*力(3⑴ = 0.
Умножая это уравнение на ехр(-гр:?)/(2п)3 и интегрируя по 艺 найдем
历+飘Jf(R'pJ): U 需［叩+到У"弟］х
xeMP'-P^ARpU). (6.55)
Уравнение (6.55) —это квантовое кинетическое уравнение в приближении одночастичного гамильтониана (например, в приближении самосогласованного поля). Это квантовый аналог уравнения Власова. Уравнение (6.55) особенно удобно для получения разложений по степеням й. В низшем приближении» ограничиваясь линейными по йт членами в разложении потенциальной энергии U в ряд Тейлора» приходим к классическому уравнению Власова.
Действительно, в этом случае правая часть уравнения (6.55) равна
к［詳盜戒№叫R，pf = J筹君隅抻〜月Rp”)= =-Jdp'諾»(P-P’)f(R'P，")二晶露
Уравнение (6.55) принимает вид
協 + *%一諾^) f(R'P")= 0-
121121Используя линеаризованное по возмущению квантовое кинетическое уравнение для функции распределения Вигнера в
121
121
приближении самосогласованного поля
[部 + Д %"f(R，р") Т J 黯 № "斤 ®р，)х
х [%[R+r^]-%[^-r^]]> (-56)
где
Jb(R，f)=u(R-R')讦(R'，p，f)，(6.57)
эф J (2n九/
。一потенциал межчастичного взаимодействия, рассмотреть спектр коллективных возбуждений в вырожденной ферми-системе. Сравнить результаты для кулоновской системы» когда u(R)二 =//R, и системы нейтральных частиц, взаимодействующих посредством короткодействующего потенциала.
Решение. Для определения спектра коллективных возбуждений системы необходимо с помощью (6.56) и (6.57) получить дисперсионное уравнение. Отметим, что в случае системы нейтральных частиц это будут продольные колебания, характерные для пространственно однородной системы. Для системы за ряженных частиц это также будут продольные колебания» поскольку соотношение (6.57) при подстановке в него выражения u(R) = //R превращается в решение уравнения Пуассона.
В силу линейности уравнений каждую фурье-компоненту возмущения можно рассматривать независимо. Поэтому выберем воз мущение в виде
讨(R,pJ)=砲 р,к,з)е‘1cR-‘侦
Уравнение (6.56) теперь переписывается следующим образом:
3-網讨(PW)=电(р 喲 7訴 +笋口％ф(кз)-(6.58)
В выражении (6.57) стоит свертка по R' величин o(R-R') и 6f(R'), которая приводит к произведению их фурье-образов:
(Р，кз).(6.59)
(23)3
Выражаем 3f(p, kw) из (6.58) и подставляем в соотношение (6.59). Приходим к дисперсионному уравнению
(6.60)(6.60)1 - и(к) Р(кса) = О,
(6.60)
(6.60)
где поляризационный оператор Р(к,з) определен выражением
如 /°(Р<к/2)丁(р+力к/2)如 /°(Р<к/2)丁(р+力к/2)(6.61)(6.61)
如 /°(Р<к/2)丁(р+力к/2)
如 /°(Р<к/2)丁(р+力к/2)
(6.61)
(6.61)
Для вырожденной ферми-системы равновесная функция распределения —это фермиевская ступенька. При этом
fo[p-笋)7。(p +明。喏6隘需]•
Интеграл в (6.61) легко вычисляется. Для w = w+ iet где е -> +0, получаем
РЗ)—烹訥 + J?^[ln 卜;;+由/ + 加 8(初 fF3)]},(6.62)
где Др —импульс Ферми, а 0(х) —ступенчатая функция:
П,尤 А 0,畋)=； e0, х < 0.
Для исследования дисперсионного уравнения (6.60) удобно ввести безразмерные переменные
x =左勺/(m3),4 = mpv/^t?}.
Теперь вещественная часть уравнения (6.60) записывается следующим образом:
[2 +鳥卜=ё|碧|.(6.63)
Уравнение (6.63) удобно представить графически. График логарифма выходит из нуля с тангенсом угла наклона касательной, равным двум, а тангенс угла наклона прямой [2 + 2/(и(氏jg)] х при и(左)> 0 (что соответствует отталкиванию частиц друг от друга) больше двух и становится равным двум при v(fe) г оо. Как видно из рис. 2, уравнение (6.63) имеет три корня. Корень х = 0 физического смысла не имеет. Корень, обозначенный
Рис. 2. Графическое решение уравнения (6.63)
точкой 2, соответствует затухающим по Ландау колебаниям, ибо при х > 1 в уравнении (6.60) отлична от нуля и не мала мнимая часть. Корень, обозначенный точкой /, соответствует не затухающим по Ландау колебаниям в системе. Рассмотрим его поведение в зависимости от вида потенциала взаимодействия о(&). Если v{k) стремится к положительной константе при 月-> 0 (короткодействующий потенциал) и v(k) q s 1, то пересечение графиков логарифма и прямой происходит в непосредственной близости х = 1.
Из уравнения (6.63) в этом случае находим для частоты колебаний
Эта ветвь спектра коллективных возбуждений вырожденной ферми-системы нейтральных частиц представляет собой нулевой звук Ландау, который существует в системах с отталкивательным взаимодействием между частицами. Подчеркнем, что исходное уравнение соответствует приближению зт》1 (т —время релаксации), когда столкновения не играют существенной роли в процессе распространения колебаний, в то время как в обычном звуке (при wt 《1) столкновения успевают устанавливать
термодинамическое равновесие в каждом малом по сравнению с
В случае кулонов-В случае кулонов-длиной волны 入 элементе объема жидкости.
В случае кулонов-
В случае кулонов-
ского потенциала и(&) = 4пе /& -> 8 при Хг -» 0. Точка / при этом смещается в область х 三 0. Проводя в (6.63) разложение логарифма, получаем
(6.65)(6.65)4пе 3.2
(6.65)
(6.65)
т э…2
где Рр =力 З.з/儿 Формула (6.65) определяет квадрат частоты
плазменныхплазменныхтаким же*таким же*пересечения показывает,пересечения показывает,колебаний, главное значение которой оказывается как и у классической системы. С ростом k точка поднимается вверх. Исследование уравнения (6.63) что при выполнении условия^4m^/(nhpF )j1/2《&/昨 w 1колебаний, главное значение которой оказывается как и у классической системы. С ростом k точка поднимается вверх. Исследование уравнения (6.63) что при выполнении условия^4m^/(nhpF )j1/2《&/昨 w 1
плазменных
плазменных
таким же*
таким же*
пересечения показывает,
пересечения показывает,
колебаний, главное значение которой оказывается как и у классической системы. С ростом k точка поднимается вверх. Исследование уравнения (6.63) что при выполнении условия
^4m^/(nhpF )j1/2《&/昨 w 1
колебаний, главное значение которой оказывается как и у классической системы. С ростом k точка поднимается вверх. Исследование уравнения (6.63) что при выполнении условия
^4m^/(nhpF )j1/2《&/昨 w 1
в системе возможны колебания с практически линейным по вол-
новому числу законом дисперсии
3号｛3吋2"岁可卜
Таким образом, плазменные колебания в системе заряженных частиц соответствуют нуль-звуковой моде колебаний в нейтральных системах. При А т 0 линейный спектр» характерный для нейтральных систем, заменяется практически постоянной частотой. Математически это различие обусловлено сингулярным характером кулоновского потенциала.
Используя уравнение (6.4) для одночастичной матрицы плотности в координатном представлении, получить квантовое кинетическое уравнение для функции распределения Вигнера для электронной системы металлических пленок в условиях кванто во го размерного эффекта, когда движение электронов поперек пленки квантуется размерами образца.
Решение. В рассматриваемом случае система не является пространственно однородной в направлении поперек пленки, поэтому определенная обычным образом функция Вигнера бу дет зависеть от поперечной координаты даже в равновесии. Представим оператор потенциальной энергии электрона в пленке в виде суммы двух частей:
(6.66)(6.66)U(d) = U(z) + GU("),
(6.66)
(6.66)
где U(z) — эффективное поле, действующее на электрон в равновесном состоянии, складывающееся из кристаллического пленочного потенциала и самосогласованного равновесного поля электрона, а 36/ — неравновесная добавка к эффективному полю.
Уравнение для одночастичной матрицы плотности <г|р|г7> в координатном представлении (6.4) теперь можно представить в виде
卜编 + 城［?2制-°(2)+U(2，)_60(f/) + 6u(一)］<「21-> = 0 .
(6.67)
В равновесии движение электронов поперек пленки описыва ется уравнением Шрёдингера с потенциалом U(z):
22
卜镰为+ ""］弘⑵=q弘(z)・.(6.68)
Вводим новые двумерные переменные в плоскости пленки:
R = }(『 + ▼),应=г - r\
где г = (г, z). Представим матричный элемент <г|р|г*> в виде интеграла Фурье по переменным, лежащим в плоскости пленки, и
двойного ряда Фурье по функциям 屮尸)из (6.68):
<г1р|г/> = £ ^^}^)^ exp［紋(f)) f;传й口,,.
(6.69)
Здесь pz —двумерный вектор импульса, параллельного плоскости
пленки. Подставляем выражение (6.69) в (6.67). Умножаемпленки. Подставляем выражение (6.69) в (6.67). Умножаемпо-по-лучившееся интегрируем получившееся интегрируем посоотношение насоотношение наtt吟(z) %z')exp(-ipt)/(2n)2吟(z) %z')exp(-ipt)/(2n)2z и z\ С учетом уравнения (6.68) получаемz и z\ С учетом уравнения (6.68) получаем
пленки. Подставляем выражение (6.69) в (6.67). Умножаем
пленки. Подставляем выражение (6.69) в (6.67). Умножаем
по-
по-
лучившееся интегрируем по
лучившееся интегрируем по
соотношение на
соотношение на
t
t
吟(z) %z')exp(-ipt)/(2n)2
吟(z) %z')exp(-ipt)/(2n)2
z и z\ С учетом уравнения (6.68) получаем
z и z\ С учетом уравнения (6.68) получаем
(37+mVR+i<GrGn)］ fJ^P-0 = %Jf|^eKp'-P)hх ?［吗s［R+ 算力sn(R，p'，f)-h(R，p'J)叫」R-£川，(37+mVR+i<GrGn)］ fJ^P-0 = %Jf|^eKp'-P)hх ?［吗s［R+ 算力sn(R，p'，f)-h(R，p'J)叫」R-£川，гдегде64。依")=\dz^(z) 8U(R,z,t) ^n(z).64。依")=\dz^(z) 8U(R,z,t) ^n(z).Рассмотрим уравнение, получающееся из (6.70) зации по отклонению от равновесия:f 伍(R,p,f)=厶 n(P)+ %n(R,P」)-В нулевом приближении из (6.70) имеемРассмотрим уравнение, получающееся из (6.70) зации по отклонению от равновесия:f 伍(R,p,f)=厶 n(P)+ %n(R,P」)-В нулевом приближении из (6.70) имеем(6.70)(6.71) при линеари-(6.70)(6.71) при линеари-
(37+mVR+i<GrGn)］ fJ^P-0 = %Jf|^eKp'-P)h
х ?［吗s［R+ 算力sn(R，p'，f)-h(R，p'J)叫」R-£川，
(37+mVR+i<GrGn)］ fJ^P-0 = %Jf|^eKp'-P)h
х ?［吗s［R+ 算力sn(R，p'，f)-h(R，p'J)叫」R-£川，
где
где
64。依")=\dz^(z) 8U(R,z,t) ^n(z).
64。依")=\dz^(z) 8U(R,z,t) ^n(z).
Рассмотрим уравнение, получающееся из (6.70) зации по отклонению от равновесия:
f 伍(R,p,f)=厶 n(P)+ %n(R,P」)-
В нулевом приближении из (6.70) имеем
Рассмотрим уравнение, получающееся из (6.70) зации по отклонению от равновесия:
f 伍(R,p,f)=厶 n(P)+ %n(R,P」)-
В нулевом приближении из (6.70) имеем
(6.70)
(6.71) при линеари-
(6.70)
(6.71) при линеари-
откудаоткуда（4』）L（P）=。， 必（p）=小）%（4』）L（P）=。， 必（p）=小）%(6.72)(6.72)
откуда
откуда
（4』）L（P）=。， 必（p）=小）%
（4』）L（P）=。， 必（p）=小）%
(6.72)
(6.72)
В линейном по возмущению приближении из (6.70) с учетом равенства (6.72) имеем
佈+ /% +肛厂喇讨加(R，p# /1鬻肾加一p)，
x ［吗小+£巾出)7w)吗代£川.(6.73) Рассматривая одну фурье-компоненту возмущения
吗П（R/）=吗仙3） *"吗
что соответствует плоской волне в направлении вдоль пленки и произвольной зависимости от поперечной координаты» получим с помощью уравнения (6.73)
(з-帮-4+ £ j %п(Р'кз) = ［f」P - 笠I - 4P + 對］吗n(k'3)
(6.74)
В приближении самосогласованного поля величина 8Ulr^k,b)) при кулоновском потенциале межчастичного взаимодействия представляет собой решение уравнения Пуассона. Поэтому ана-
логично (6.57) и (6.59) в выбранном здесь представлении ее можно записать в следующем виде:
吗*№)= £ %』k)J台％CMS)，(6 75)
г, s(/П〃)
где Blnr^k) — матричный элемент двумерного фурье-образа кулоновского потенциала межчастичного взаимодействия u(|z|,k):
%」k)= 口2 乌弘⑶ 0*(z) u( Iz-2] I，k)也(2[) W；(z>
(6.76) Двумерный фурье-образ потенциала взаимодействия определен равенством 2
。(Iz I,k) = JdR е-'к%( Iz I,R) = JdR е^ ? ：2、"2 •(6-77)
Система уравнений (6.74) вместе с равенствами (6.75)(6.77) может служить основой для описания неравновесных яв лений в тонких пленках, в частности для определения ветвей продольных колебаний спектра коллективных возбуждений системы.
Определить спектр продольных колебаний электрон-ионной системы (ионный звук) размерно-квантованной металлической пленки.
Решение. Для получения дисперсионного уравнения воспользуемся квантовым кинетическим уравнением (6.74). При учете ионной системы кристалла действующее на электроны эффективное поле состоит из двух вкладов — электронного и ионного. Поэтому для 6U伍(к,з) имеем
6Um(k,3)= 6U；：(k,3)+ 6U；：H(k,3).(6.78)
Разумеется, движение ионов не квантуется даже в самых тонких пленках. Однако для единообразия выкладок при изучении двухкомпонентной системы удобно рассматривать электроны и ионы в одинаковом представлении. В этом случае, считая ионы для определенности однозарядными, будем иметь формулы типа (6.74)(6.77) как для электронных, так и для ионных характеристик системы.
Дисперсионное уравнение для определения спектра продольных колебаний в системе получается с помощью соотношений (6.74)-(6.77) и соответствующих выражений для ионов в виде условия существования нетривиальных решений у бесконечной
однородной системы линейных алгебраических уравнений
叫,(к,з) =$£,[疇/к)啜кз) + 嚨幽 П7(м] 6UstM，
S'(6.79)
где, например, выражение для электронного поляризационного оператора Пэл(кш) имеет вид
『；(ks)『；(ks)”『加 〃(Pfk/2 )-%(p+力k/2)
『；(ks)
『；(ks)
叫2 3- kp/飞 f + £「•
Решение дисперсионного уравнения в общем виде сводится к исследованию определителя бесконечного порядка и представляет собой сложную задачу. Эта задача существенно упрощается в длинноволновом приближении, когда kL《1, где / — толщина пленки.
Вычислим прежде всего двумерный фурье-образ кулоновского
потенциала межчастичного взаимодействия, определяемый формулой (6.77). Фигурирующий там интеграл вычисляется с помощью интегрального представления функций Бесселя / (а):
271"
/*)= &向 e%sin『呻
и формулы преобразования 00' dxx I^xy)и формулы преобразования 00' dxx I^xy)ОГанкеля первого порядкаОГанкеля первого порядкаJ (/ + с2)"2J (/ + с2)"2「eg, Re с > 0, у а 0.「eg, Re с > 0, у а 0.ОВ результате имееми(|2|,к)ОВ результате имееми(|2|,к)I 2 I =пгеI 2 I =пге(6.81)(6.81)
и формулы преобразования 00
' dxx I^xy)
и формулы преобразования 00
' dxx I^xy)
О
Ганкеля первого порядка
О
Ганкеля первого порядка
J (/ + с2)"2
J (/ + с2)"2
「eg
, Re с > 0, у а 0.
「eg
, Re с > 0, у а 0.
О
В результате имеем
и(|2|,к)
О
В результате имеем
и(|2|,к)
I 2 I =пге
I 2 I =пге
(6.81)
(6.81)
При &L 《1 экспоненту в формуле (6.81) можно заменить единицей. Тогда при любом выборе равновесного потенциала в пленке
U(z) (и, следовательно, волновых функций W((z)) имеем, например, с помощью (6.76)
,(к) =3 ,.
nrsr 丿 к nr st
Теперь бесконечная система уравнений (6.79) приводит к дисперсионному уравнению 2
誓 Е 闻3) + 曙(кз)] = 1.(6.82)
Фазовая скорость ионного звука з/h лежит в промежутке между характерными скоростями движения электронов и ионов р/т 《b>/k《р/т . ион 丿ЭЛ
При вычислении ионного поляризационного оператора H"°H(ks) раскладываем равновесные ионные функции распределения % в ряд Тейлора по степеням 々 и учитываем, что средняя равновес-
ная концентрация электронов 〃$ , находящихся на s-м пленочном уровне, равна
(6.83)
£П；：н（кз）=£П；：н（кз）=При выполнении условия кр/(тион(<>)《1 получаем
£П；：н（кз）=
£П；：н（кз）=
(6.84)
где п — концентрация заряженных частиц» одинаковая для элект
ронов и ионов.
Вычисление электронного поляризационного оператора при условии kp/(m з)》1 приводит с учетом равенства (6.83) к следующему результату:
?咚(кз)―厶闌7， (6.85) где ^ — химический потенциал системы электронов. Концентрация электронов п при абсолютном нуле температуры определяется соотношением, следующим из (6.83) после вычисления интеграла по импульсной переменной:
〃 =Т г (f )， (6.86) TtLh n= 1
где Пр — число заполненных энергетических уровней в планке. Поэтому с помощью (6.85) получаем
£咤(砌=-тэлпрДи^). (6.87)
Закон дисперсии ионно-звуковых колебаний, получаемый при подстановке выражений (6.84) и (6.87) в дисперсионное уравнение (6.82) имеет вид
d = ^nLAm^m^ )］庐. (6.88) Скорость распространения таких колебаний в условиях размерного квантования движения носителей оказывается, как видно из (6.88), осциллирующей функцией толщины пленки. Действительно, с ростом L скачками увеличивается число заполненных при абсолютном нуле температуры пленочных энергетических уровней 作.
ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
Показать более аккуратным вычислением поляризационного оператора (6.61), что спектр нульзвуковых колебаний в фер- ми-системе нейтральных частиц лежит выше верхней энергетической границы спектра квазичастичных возбуждений
w 二 kp^/m + Ы^/(2т)
и дается выражением
3=〔伴+赛卄+2екр『2 0+^^)]}.
Рассмотреть двухкомпонентную электронейтральную в целом вырожденную ферми-систему (например, электронно-дырочный газ в полупроводнике) и показать, что при hh s р^ в системе существует ветвь колебаний с акустическим законом дисперсии. Убедиться, что происхождение этой ветви колебаний связано с
динамическим экранированиемжелых частиц в системе, чтодинамическим экранированиемжелых частиц в системе, чтокулоновского взаимодействия тя- делает ее похожей на ферми-сис-кулоновского взаимодействия тя- делает ее похожей на ферми-сис-
динамическим экранированием
желых частиц в системе, что
динамическим экранированием
желых частиц в системе, что
кулоновского взаимодействия тя- делает ее похожей на ферми-сис-
кулоновского взаимодействия тя- делает ее похожей на ферми-сис-
гему частиц, взаимодействующих посредством короткодействую
щего потенциала.
Найти закон дисперсии для плазменных колебаний электронов в размерно-квантованной пленке.
ОПИСАНИЕ НЕРАВНОВЕСНЫХ ЯВЛЕНИЙ
С ПОМОЩЬЮ УПРАВЛЯЮЩИХ УРАВНЕНИЙ
Кинетическое уравнение Больцмана
В кинетическом уравнении Больцмана учитываются только столкновения двух частиц друг с другом и пренебрегаете я влиянием на такое соударение остальных частиц газа:
^Г+УаБГ Fa^ =时仃 (7〔)
Индекс а указывает сорт частиц газа, F —внешняя сила, действующая на частицы а, /а(р, г, f) — одночастнчная функция распределения. Интеграл столкновений Больцмана (3/д/9/)ст в случае упругих соударений частиц записывается в виде
Й =卩林小]=^idPbdVab(fafb-faf^ (72) 工 J СТ 6 L 」 6
где dcr^^ — дифференциальное сечение рассеяния частиц сорта а и Ь; D^ — модуль их относительной скорости; /[ и /^ —функции распределения частиц а и 6, зависящие от импульсов р； и р； после соударения: { = %(р》％ = ffe(p；); fa и ^-функции импульсов рд и Рь до соударения. Координаты частиц при столкновениях не меняются.
Интеграл столкновений Больцмана применим в случае короткодействующих потенциалов взаимодействия. Для кулоновского потенциала полное сечение рассеяния оказывается расходящим* ся. При применении уравнения Больцмана к газу заряженных частиц от этой расходимости избавляются путем учета экранирования кулоновского взаимодействия.
Уравнение Больцмана (7.1) — это уравнение баланса. Описываемые им переходы идут с соблюдением микроскопической обратимости и законов сохранения числа частиц» импульса и энергии. Это нелинейное интегродифференциал ьное уравнение марковского типа.
Уравнение кинетического баланса Паули
Уравнение Паули, называемое часто уравнением кинетического баланса или master equation, имеет вид
dw.疗=s (Р产厂Pj吗).dw.疗=s (Р产厂Pj吗).(7.3)(7.3)
dw.
疗=s (Р产厂Pj吗).
dw.
疗=s (Р产厂Pj吗).
(7.3)
(7.3)
Здесь ^.—вероятность нахождения системы в состоянии, харак теризуемом набором квантовых чисел & Р^ — вероятность перехода в единицу времени из состояния / в состояние 亡
% ' 0.% ' 0.Микроскопическая обратимость переходов в замкнутойМикроскопическая обратимость переходов в замкнутойсистеме выражается соотношениемсистеме выражается соотношением
% ' 0.
% ' 0.
Микроскопическая обратимость переходов в замкнутой
Микроскопическая обратимость переходов в замкнутой
системе выражается соотношением
системе выражается соотношением
Р.. = Р...(7.4)
Величины w. могут трактоваться как диагональные элементы редуцированного статистического оператора в представлении.
диагонализующем этот оператор:
w. = <"р|» , или Р = Е |Ds<i| .
Уравнение Паули сохраняет нормировку распределения вероятностей, обеспечивает монотонный рост энтропии системы и является уравнением релаксационного типа.
Уравнение Фоккера-Планка
Уравнение Фо кке ра-Пл анка используется для статистического описания динамических систем с флуктуирующими параметрами (например, броуновского движения). Рассматривается нелинейная динамическая система, описываемая величиной *f)二 ={£[«)，…,2n(f)}, удовлетворяющей системе динамических уравнений 亠 亠
自#)=。店,f) + f店,f). (7-5)
Здесь и； —определенные (заданные) функции, а {. — случайные функции со свойствами <〃г」)> =0, где угловыми скобками обозначено усреднение по ансамблю реализаций функций f.. Статистические характеристики f 居 f) определяются заданием корреляционного тензора
纥7(rf;r/)= <%」)/产,尸)> . (7.6)
В теорий, основанной на уравнении Фоккера-Планка, различаются два характерных временных параметра: TQ — радиус корреляции случайных сил f. по временной переменной и Г —время корреляции величин §. . Для большого класса физических сис- 132
тем Т 》工。и существует малый безразмерный параметр Tq/Л который может быть использован для построения приближенного решения. В простейшем приближении TQ = 0 и величина В.. выбирается в виде
В^П-гЧ1) = 26(/-Г) F..(r,r\0-(7.7)
Такое Приближение называется приближением диффузионного случайного процесса. Оно приводит к уравнению Фоккера—Планка для плотности вероятности 〃(г) реализации решения 声⑴ системы уравнений (7.5):
〃(г) = <6(г - ?(0)> ,(7.8)
где ^(f) — решение системы (7.5) для какой-либо определенной реализации случайных сил 〃r,f)：
犷僧=-Z^^(rJ) +^(r,/)]p/r)}+feE |I^[FJr,n .
(7-9) r "i\Л Ak =碇尸drr,f)ir=j •
Уравнение (7.9) решается с начальным условием PQ(r)= =S(r-^Q) или с условием более общего вида PQ(r) = ITJr), где 已 соответствует определенным значениям переменной */) в начальный момент времени.
Если поле случайных сил стационарно, то 尸献 и Ak не зависят от времени. Если к тому же f. однородны и изотропны по всем пространственным координатам, то 尸鼠=const, а 纵=0.
ЗАДАЧИ
Показать, что интеграл столкновений Больцмана обладает свойством
SpPa(a0+aiP« + Va)H] =°，О」。)
aI J ст
где a. = a{r，0 —произвольные функции г н f.
Решение. Возьмем интеграл столкновений Больцмана
и рассмотрим интеграл
/ = ?Pa @(Pa)爾=Ndp/pW% %@(p,(明j),
(7.И)
где ф(р) — произвольная функция импульсов. Модуль относительной скорости vab и сечение рассеяния ^аЬ одинаковы для прямых и обратных соударений, а фазовый объем при столкновении сохраняется:
dP/Рь = d^a d^b .
Чтобы убедиться в справедливости этого соотношения, перейдем к новым переменным: Р = (Р「Рь)/2 р = рд - pfe*
Элементарным вычислением якобиана преобразования убеждаемся в том, что
dPqdPb = dP dp •
Аналогично можно записать выражение
dp； dpj = dP，dp<
причем P = P‘， так как импульс при столкновениях сохраняется. Таким образом» дело сводится к доказательству соотношения dp = dp'. Вследствие закона сохранения энергии при упругих соударениях справедливо |р| - |р‘| и связь между р и pz осуществляется обычным преобразованием поворота в пространстве. Отсюда следует» что dp' = dp.
В силу указанных свойств выражение (7.11) можно переписать в симметризованном виде:
с N(712)
Выберем 3 в виде
@ = а+ %р + a2pz.(7.13)
Поскольку при соударении двух частиц выполняются законы сохранения импульса и кинетической энергии:
„22 с，2
пРа . Р Ь Р а У Ъ
PJPb = Pa + Pb， 2TL 砧=师-+亦* а о a b
ТО
Ф(Ра) + 3(Р/ = @(Р)+ Ф(РР •
Таким образом, выражение (7.12) при выборе ф в виде (7.13) одновременно и симметрично, и антисимметрично по отношению к замене р& 之 р) рь 之 pj. Значит, оно равно нулю, что и доказывает соотношение (7.10).
Исходя из уравнения Больцмана получить систему уравнений гидродинамики для плотности p(r,f)：
Р(М) = Е пата， пд(г，0 = Jdpfa(P，r,f),(7.14)
и гидродинамической скорости и(г,/):
u(r.O = i^w^/v^ . ^^ = 7iidPvaf^r^ (715)
Решение. Проинтегрируем уравнение Больцмана (7.1) по импульсу. Учитывая определения (7.14), (7.15) и свойство (7.10) интеграла столкновений Больцмана, получаем дП д 状+ *(%%>)= °-(Кб)
поскольку fq(p)二 0 при |р| = со . Удобно ввести скорость локального теплового движения V^(p,rJ):
(7.17)(7.17)V/p,r,f)=匕一//).
(7.17)
(7.17)
(7-18)- переписыва-(7.19)получаем с(7.20)(7-18)- переписыва-(7.19)получаем с(7.20)Тогда <V^> 二訂如^ VJ (p, г, /) и справедливо равенство
(7-18)- переписыва-
(7.19)
получаем с
(7.20)
(7-18)- переписыва-
(7.19)
получаем с
(7.20)
Vn т <V > = Vn т <v > - uYn т = 0. a a aa a aa a
aaa
Подставляя в (7.16) соотношение <v > = u + <V >, ем его в виде дп jy^ + div (门@11+门窑<\<0>, = 0.
Умножая (7.19) на 加^ и суммируя по сортам частиц, учетом определений (7.14) и (7.15) и свойства (7.18) 調 + div (pu) = 0.
Соотношение (7.20) представляет собой уравнение непрерывно-
сти гидродинамического потока газа.
умножим кинетиче- проинтегрируем по Учитывая свойствоумножим кинетиче- проинтегрируем по Учитывая свойствоДля получения уравнения движения газа ское уравнение (7.1) на 加 >@ = zna(vfl-u), импульсам и просуммируем по сортам частиц.
умножим кинетиче- проинтегрируем по Учитывая свойство
умножим кинетиче- проинтегрируем по Учитывая свойство
(7.10), результат можно записать в 加 ％%%> +鼠 £ “J%” -(7.10), результат можно записать в 加 ％%%> +鼠 £ “J%” -видевидеaa，a，aav37b +av37b +av加<0■才^° a at О Г .av加<0■才^° a at О Г .+ F/=0.(7.21)+ F/=0.(7.21)Рассмотрим отдельные слагаемыеРассмотрим отдельные слагаемыев соотношении (7.21).в соотношении (7.21).Вво-Вво-дим тензор давленийдим тензор давленийР 庆(г,/)：Р 庆(г,/)：ка」)=^-л/^лг-ка」)=^-л/^лг-(7.22)(7.22)
(7.10), результат можно записать в 加 ％%%> +鼠 £ “J%” -
(7.10), результат можно записать в 加 ％%%> +鼠 £ “J%” -
виде
виде
a
a
，a
，a
av
37b +
av
37b +
av
加<0■才^° a at О Г .
av
加<0■才^° a at О Г .
+ F/=0.(7.21)
+ F/=0.(7.21)
Рассмотрим отдельные слагаемые
Рассмотрим отдельные слагаемые
в соотношении (7.21).
в соотношении (7.21).
Вво-
Вво-
дим тензор давлений
дим тензор давлений
Р 庆(г,/)：
Р 庆(г,/)：
ка」)=^-л/^лг-
ка」)=^-л/^лг-
(7.22)
(7.22)
В силу свойства (7.18) это выражение можно записать и так:
p"В) = e%%<。/以> ■
(7.23)(7-24)учитывая гидроди-(7.23)(7-24)учитывая гидроди-
(7.23)
(7-24)
учитывая гидроди-
(7.23)
(7-24)
учитывая гидроди-
Далее, используя (7.17), находим
£ таПа<БТа> = -£ тапа 謂* " = ~ ^37 '
Наконец, снова учитывая (7.17)» имеем
^man^Vai 37“> —請.£%%<%•> = №气絹.
Подставляя соотношения (7.22)-(7.24) в (7.21) и свойство (7.18), получаем уравнение движения газа в намическом приближении:
Используя кинетическое уравнение Больцмана, получить
уравнение баланса энергии» вводя локальную температуру Г(г/)
с помощью равенства
^冰Т = ^Yman<vb,(7.25)
где Уд определяется формулой (7.17), а 〃 = £〃优
Решение. Умножим кинетическое уравнение (7.1) на mJ：/2, проинтегрируем по импульсам и просуммируем по всем сортам частиц. Учитывая свойство (7.10) интеграла столкновений Больцмана, запишем результат в виде l?^ nama<Vl> + I? g - аа
+ Fj 近：>} = °-(726)+ Fj 近：>} = °-(726)1 г av2 av2
+ Fj 近：>} = °-(726)
+ Fj 近：>} = °-(726)
一 2 Е narnJc^ra'> + <vfl Y>
Преобразуем отдельные слагаемые в (7.26). Вводим тепловой поток q относительно гидродинамического течения:
q = Eq.=以"几"汶>，(7-27)
где
們、> =^v^jp^t).
Тогда в силу (7.25) и (7.27) имеем
^^^ = 1EW(U+V,陰=q + u・^ 咏 7.(7.28)
Далее с учетом (7.17) и (7.18) имеем
死3V а
一亦％%每〉=^Пат^а^Та> = ~^пат^г = °*(7.29)
Аналогично, учитывая (7.22) для тензора давлений, найдем
й а а а иг0 Г. а а ak ai ОГ. tk ''
ан аr
И наконец, вследствие (7.17) и соотношения р = /л v , имеем
av2
土£小 F <^> = <V > .(7.31)
a a a dp J а а а'，
Подставляя соотношения (7.28)-(7.31) в (7.26) и учитывая определение (7.25), получаем уравнение баланса энергии в гидродинамическом приближении:
部务kт +m5寸加a}+启心一e%吃<、> =0.(7.32)
Учитывая, что вследствие (7.16) и (7Л7) справедливо 靜=-div [ли+ £%%>),
можно переписать уравнение (7.32) в виде
赤圈 + 明=-divq - ^Pik + J nF<V> + 如 div g %<Vfl>]
4・ Показать, что кинетическое уравнение Больцмана приводит к возрастанию плотности энтропии системы
S = -Ejdpf/nfa(7.33)
при любом неравновесном начальном распределении.
Решение. Запишем уравнение Больцмана в виде
能+第+也部+像*(7.34)
Вычислим производную по времени от выражения
將=-Ejdp(l+lnf,*.
Подставляя сюда выражение для BfJ3t из (7.34), получаем
If = "p(1+明r亲+吃*一餘]」 亿35)
Рассмотрим отдельные слагаемые в правой части этого соотношения. Непосредственной проверкой легко убедиться в справедливости равенств
Jdp(l + l%)V 乔а = "pv 黯(f/nj),
dfя(7-36)
Fjdp(l+1%哧唄 F」dp 齡⑦％ = 0,
так как 厶=。при |р| = оо. Как мы видели ранее, интеграл столкновений Больцмана обладает свойством
(7.37)(7.37)"р 曲L = °*
(7.37)
(7.37)
Вводим величину Аь, называемую производством энтропии:
Ab = N [dpi"。併].(7.38)
С учетом соотношений (7.36)-(7.38) выражение (7.35) для dS/dt переписывается следующим образом:
需=divEjdpv/lnfa + Ab.(7.39)
Первое слагаемое в правой части этого выражения представляет собой плотность потока энтропии Т:
т = Vjdpvf/nfa .(7.40)
Теперь соотношение (7.39) переписывается в виде
將+divT = Au(7.41)
Уравнение (7.41) представляет собой уравнение баланса энтропии. При равной нулю правой части соотношение (7.41) имеет форму закона сохранения. Нетрудно показать, что производство энтропии А(т 三 0 для интеграла столкновений Больцмана равно
Действительно, для А(г имеем
м — ЕJdp/p 抻％* п 匕(f 力 一 W〉abIJ
Это выражение можно переписать в симметричном виде по отношению к сортам частиц а и 6 и импульсам частиц до соударения (нештрихованным) и после соударения (штрихованным) вследствие одинаковости относительной скорости 办^七 и сечения рассеяния (1%6 口力兄 прямых и обратных соударений и равенства dP/Ps =希飙：
М t Еj办/唳% %(咽7/)E片人•ab，a，b
Знак правой части этого выражения определяется знаком функции
(х- у) 1 畤-0,
причем знак равенства достигается при х = у. Итак,
Лег > 0,(7.42)
и из соотношения (7.41) с учетом (7.42) следует, что
静+ divT 三 0.
Наконец, для пространственно однородной системы divT = 0 и. следовательно, справедливо неравенство
If - °-
Показать, что уравнение кинетического баланса Паули (7.3) сохраняет нормировку вероятности
(7.43)
Решение. Рассмотрим производную по времени от выражения от суммы вероятностей (7.43):
лdw.
Подставляя сюда производную 3t0/8/ из уравнения Паули, получаем
%沁」'严广々卅)=о
вследствие свойства = Р* Поэтому £а^ = const, и при выполнении условия нормировки (7.43) в начальный момент времени оно остается справедливым и в последующие времена.
Показать, что уравнение Паули (7.3) приводит к возрастанию энтропии системы при любом неравновесном начальном распределении.
Решение. Энтропия системы
S = -<1пьу> = 1пьу..
Вычислим производную по времени от S: я、dw.
^7 = _ 37 Е%」11% = -E(1 + Inq) gy1 .(7.44)
В силу сохранения условия нормировки (7.43) ^dw^dt = 0.
i
Поэтому, используя (7.44) и уравнение Паули, имеем jodw.
Н7 = -^111^^ = -^Р^TР^)^1 =泸/®厂屮吗•
Симметризуем это выражение по индексам ( и /:
翁=:%勺［(叮,)1吗+ (,•-叫闻 =:2勺3-%) 1召.
Полученное выражение неотрицательно, поэтому dS/dt 三 0. Знак равенства имеет место при 5, = w. для любых г и /. Этот случай соответствует равновесному состоянию в микроканониче- ском ансамбле, описывающем замкнутую систему. Итак, при любом начальном неравновесном распределении, когда w.. имеем
dS/dt > 0.
Показать, что при любом начальном распределении вероятностей 侬厶0) уравнение Паули (7.3) является уравнением релаксационного типа.
Решение. Введем вектор состояния W с компонентами w. и запишем уравнение Паули в матричном виде
弹=AW,(7.45)
где Л —матрица перехода с элементами
(7・46)
Из вещественности вероятностей переходов Р^ и микроскопической обратимости следует, что матрица Л эрмитова:
Л+ - Л.
Это свойство позволяет утверждать, что собственные значения матрицы Л вещественны, а собственные векторы ортогональны:
ЛФ - Л Ф , Л* = Л ,п п п п пгде Фп —вектор с компонентами 少!п). Записав формальное реше-ние уравнения (7.45) в виде
г(о = Мв(о),
где 1^(0) — начальный вектор состояния» можно разложить W(0) по собственным векторам матрицы Л:
/0) = Е%% или 吗⑼=^ CnHn)-пп
Теперь вектор W(t) можно представить в следующем виде:
呼«) = £%0п J"n, или w^t) = ^СФ^е^п. (7.47) пп
Покажем, что все 人门 < ° н % = 0. Для собственных функций Фп и спектра А〃 справедливы равенства
(Ф ,Ф ) = 3 , Л = (Ф ,ЛФ ),
' n т, пт п 、п п'
где символом (4, В) обозначено скалярное произведение Л и В,
определенное равенством
(4 В) = £4：В「
Найдем знак выражения (Ф,ЛФ), где Ф —произвольный вектор:
Ф = {Ф^}. Имеем
(Ф.ЛФ) = £Ф*(Р..Ф. - Р.^ ==
卜泸/•[%小門 +恥厂军]=-k. P，7漳用1 w °-(7.48)
Знак равенства имеет место при Ф.=小/ . Этот случай соответствует собственному значению % = 0 и собственному век-
тору % Все имеем вместотору % Все имеем вместоТеперьТеперьЛп при и * 0 в силу (7.48) отрицательны. (7.47) выражение
тору % Все имеем вместо
тору % Все имеем вместо
Теперь
Теперь
叭 f) = С^^СФ^Ю,(7.49)
п*0
где (п = Л"1 —спектр времен релаксации системы. Видно, что с течением времени система необратимо релаксирует к не завися
щему от времени равновесному состоянию:
Решить уравнение кинетического баланса Паули (7.3) для двухуровневой системы с начальным условием 叫 0) = 1, ~(0) = 0.
Решение. Обозначим вероятность перехода через Р[2 = Р?[ = "• Матрица перехода Л в рассматриваемом случае с учетом соотношения (7.46) записывается в виде
Л =''.
"-Р.
Для нахождения собственных значений матрицы Л приравниваем нулю определитель:
—р —入 口
=0,
р р -Л
раскрывая который находим % = 0, А〔 = -2р.
Л,Л,принадле-принадле-Нормированный собственный вектор @。 матрицы жаший собственному значению А。= 0, есть
Л,
Л,
принадле-
принадле-
Ф
о
1/V2
1/v^
а собственный вектор 小「 принадлежащий значению ' = -2р, равен
% = 1 1/^
Начальный вектор 1Г(0) распределения вероятностей по условию равен
»(0) = 1 . [о, Раскладывая вектор /0) по собственным векторам матрицы перехода Л:
/0)=софо + q*,
находим С。= С[ = 1/V2.
Итак, в соответствии с формулой (7.49) вероятность заполнения состояний в произвольный момент времени f определяется выражением
W)= с0Ф0 + С]Ф[М.
или
叫')=-(1 + 产")，52(f) = -(1 - e~2pt).
Видно, что предельные значения вероятностей при f 〉8 одина
ковы:
叫 8)= %(оо) = ?.
Решить уравнение кинетического баланса Паули (7.3) для
п-уровневой системы с начальным распределением вероятностей
,(0) = 1, 侬&(0) = 0 (Л = 2, 3 и), считая для простоты, что все вероятности переходов между различными состояниями одинаковы: Р.. = рб*. . Считать, что “》1, однако произведение пр конечно.
Решение. Матрица перехода Л в соответствии с (7.46) имеет вид
■-(п-1)р р р ... р
А = Р -(〃Т)Р р … Р
Симметрия матрицы позволяет легко найти ее собственные значения:
Aq = 0, А& =-叩， Л = 1, 2, .... п-1.
Таким образом, есть одно невырожденное собственное значение % = 0 и (п-1)-кратно вырожденное собственное значение
А] = -пр. Нормированный собственный вектор Фо есть
ф*0ф*0\/Vn1/Vn\/Vn1/Vn
ф
*0
ф
*0
\/Vn
1/Vn
\/Vn
1/Vn
Собственные векторы, соответствующие (п-1)-кратно ному собственному значению А〔 - -пр, можно записатьСобственные векторы, соответствующие (п-1)-кратно ному собственному значению А〔 - -пр, можно записатьвырожден- в видевырожден- в видеФ1Ф1[п(и-1)]-1/2-[(и-1)/и]1/2[〃g)]"2[п(и-1)]-1/2-[(и-1)/и]1/2[〃g)]"2[n(n-l)][«(«-!)][n(n-l)][«(«-!)]-1/2 '-1/2-1/2 '-1/2ф*2ф*2-[g)/〃]-[g)/〃]1/21/2.[п(п-1)],/2.[п(п-1)],/2[…7)]Т/2[…7)]Т/2[〃g)「/2 'S”l)「"2[〃g)「/2 'S”l)「"2
Собственные векторы, соответствующие (п-1)-кратно ному собственному значению А〔 - -пр, можно записать
Собственные векторы, соответствующие (п-1)-кратно ному собственному значению А〔 - -пр, можно записать
вырожден- в виде
вырожден- в виде
Ф1
Ф1
[п(и-1)]-1/2
-[(и-1)/и]1/2[〃g)]"2
[п(и-1)]-1/2
-[(и-1)/и]1/2[〃g)]"2
[n(n-l)]
[«(«-!)]
[n(n-l)]
[«(«-!)]
-1/2 '
-1/2
-1/2 '
-1/2
ф
*2
ф
*2
-[g)/〃]
-[g)/〃]
1/2
1/2
.[п(п-1)],/2
.[п(п-1)],/2
[…7)]Т/2
[…7)]Т/2
[〃g)「/2 '
S”l)「"2
[〃g)「/2 '
S”l)「"2
「[(“-[)加 Т/2
Эти векторы нормированыЭти векторы нормированына единицу, ортогональнына единицу, ортогональнывектору Фовектору Фо
Эти векторы нормированы
Эти векторы нормированы
на единицу, ортогональны
на единицу, ортогональны
вектору Фо
вектору Фо
и ортогональны друг другу с точностью до членов порядка 1/^й. В соответствии с формулой (7.47), учитывая вырождение 々(i * 0), можно записать выражения для 叫f) в виде
叫')=С° 三 + С[ e~npt,
11 力г(〃-1)
-—>- с. Г —"…？—丛 0^”V5rg7-—>- с. Г —"…？—丛 0^”V5rg7W]ef"，左=2,3,…，〃W]ef"，左=2,3,…，〃
-—>- с. Г —"…？—
丛 0^”V5rg7
-—>- с. Г —"…？—
丛 0^”V5rg7
W]ef"，左=2,3,…，〃
W]ef"，左=2,3,…，〃
или, вычисляя выражение в квадратных скобках, wAt) = Сп ^- + С. 1 - е~пр\ 左= 2,3,
Коэффициенты С° и Q находятсяКоэффициенты С° и Q находятсяиз начальных условийиз начальных условийСо %g).vn ，成)eРешая эту систему, находимС - 1-0 ■Со %g).vn ，成)eРешая эту систему, находимС - 1-0 ■1,1,сосо^- = 0.^- = 0.
Коэффициенты С° и Q находятся
Коэффициенты С° и Q находятся
из начальных условий
из начальных условий
Со %g).
vn ，成)e
Решая эту систему, находим
С - 1-0 ■
Со %g).
vn ，成)e
Решая эту систему, находим
С - 1-0 ■
1,
1,
со
со
^- = 0.
^- = 0.
Итак»
пп叩)=^лn-^е-П^,%") = %1—吗，汽=2, 3，…,
п
п
(7.50)
При “》1 отсюда находим
叫f) = р е~吗％(f) = ^(l-e-npf),走=2, 3，…，几
Эту задачу можно, разумеется, решить, непосредственно обращаясь к уравнению (7.3). Поскольку все w. равны w. при /,/ # 1, то это уравнение преобразуется к виду
&«) = Р("Т)(、-、)，М«) = Р®「％)，走=2, 3, .... и.
(7.51) Ищем решение в форме
%")=С产吗5*)=%e吗k = 2, 3,…，儿
Подстановка этих выражений в уравнения (7.52) приходит к следующему условию существования нетривиальных решений:
а + р(п-1) (九一1)
=О,Р а - р
откуда ct[ = 0, а2 = -пр. Найденные значения а позволяют за писать выражения для вероятностей 叫f) в виде
切*)="+乌е一吗 、a)=结-皆e-n"(7.52)
Использование начальных условий дает следующие значения в[ и 约：
В[二 1/% б2 二 1 -1/п,и выражения (7.52) совпадают с (7.50).
Записать уравнение Фоккера-Планка для маятника с одной степенью свободы» помещенного в термостат, состоящий из молекул газа, непрерывно бомбардирующих маятник.
Решение. Уравнение движения маятника имеет вид
/ф + Кф + mgl sin^ = N + %(f),(7.53)
где У —момент инерции, т —масса маятника, / — расстояние от точки подвеса до центра масс. Угол @ характеризует отклонение маятника от вертикали, к описывает сопротивление движению маятника, пропорциональное скорости» N и N^t) — соответственно заданный момент внешних сил и момент случайных сил, действующих со стороны молекул.
Корреляционная функция случайных сил аналогично (7.7) записывается следующим образом:
<N^t) МГ)> =弊 б(Т').(7.54)
Вводим обозначения
宗=mgl/J, 1/т = к/Л
Теперь уравнение (7.53) переписывается в виде
@+% + cAin3 = ；(% + %«))•(7.55)
Перейдем от (7.55) к системе уравнений первого порядка. Вводим момент импульса L как производную от кинетической энергии по угловой скорости движения ф:
L = dEJd。= /ф.
Теперь вместо (7.55) имеем
0 =夕， А = - I-/о2созф + ^ + Np).(7.56)
Если ввести функцию Гамильтона
/2
Н = Е「Е^ = 27 - mg/cos@ - М@,(7.57)
то системе уравнений (7.56) можно придать вид системы уравнений Гамильтона:
而=裟，L—^T+Ng.(7.58)
Соответствующее системе (7.58) уравнение Фоккера-Планка, согласно (7.57), записывается в виде
%Pt(L6 +4瑞P山⑴-體lr PQe) 一
Y舐厶P任即))=攀奈平0)■亿59)
Рассмотреть броуновское движение маятника, описываемое уравнением (7.59), в отсутствие внешних сил (£口 = =const). Считать, что в начальный момент имеется равномерное распределение по углу p Р^Ц ф) =「°(。
Решение. Уравнение Фоккера-Планка (7.59) в рас-
по углу 3 сохранится м%(厶，W)= P,(L)・ Теперь имеемЭТтс[ во все последующие времена: вместо (7.60)ГТ = т а,2 •(7&)по углу 3 сохранится м%(厶，W)= P,(L)・ Теперь имеемЭТтс[ во все последующие времена: вместо (7.60)ГТ = т а,2 •(7&)
по углу 3 сохранится м
%(厶，W)= P,(L)・ Теперь имеем
ЭТтс
[ во все последующие времена: вместо (7.60)
ГТ = т а,2 •(7&)
по углу 3 сохранится м
%(厶，W)= P,(L)・ Теперь имеем
ЭТтс
[ во все последующие времена: вместо (7.60)
ГТ = т а,2 •(7&)
сматриваемом случае принимает вид dPtLdPt厶"，
團吧，
т- at2 •
(7.60)
Из уравнения (7.60) видно, что
равномерное
распределение
Тепловое движение молекул в конце концов приведет к установлению максвелловского распределения по скоростям. Поэтому ищем решение уравнения (7.61) в виде
〃(厶)=記 ехр^а%)/?〕•〃(厶)=記 ехр^а%)/?〕•(7.62)(7.62)
〃(厶)=記 ехр^а%)/?〕•
〃(厶)=記 ехр^а%)/?〕•
(7.62)
(7.62)
Предэкспоненциальный множитель в (7.62) выбран таким образом, чтобы в любой момент времени было выполнено условие нормировки плотности вероятности Р (L): 0000
\dL P^L) = ^Q Jd£ exp[-a2(0L2]工 1.
-co灰-co
Подставляя выражение (7.62) для P,(L) в (7.61), получаем уравнение для a (f):
圻±+空红с? = 0.(7.63)
Стационарное (а = 0) решение уравнения (7.63) а(оо)= =\/VTnJWr дает равновесное максвелловское распределение по моменту импульса L:
=鳥严 р[-57^)・664)
Нестационарное решение уравнения (7.63) следует искать с
учетом вида начального распределения %(厶)・ Если, например, 戶 0(厶)=6(厶)，то уравнение (7.63), как видно из (7.62), нужно решить с начальным условием а”/) = 0 при f = 0. Такое решение имеет вид
= 2JkT\\ - е-2//т1 .(7.65)
a2(f) I J
Действительно, переписав уравнение (7.63) в виде 丄+皿=o а3 та2 т '
убеждаемся, что оно эквивалентно уравнению
(7.66)легко реша(7.66)легко решаПри подстаПри подста玄山+三屮+ -- = 0, где 屮=-1/а2, причем ф(0) = 0. Уравнение (7.66)
(7.66)
легко реша
(7.66)
легко реша
При подста
При подста
ется; в результате приходим к выражению (7.65).
новке выражения (7.65) в (7.61) получившееся решение описы
вает установление максвелловского распределения. Характерное время установления такого распределения составляет т/2.
Рассмотреть броуновское движение маятника, описывае мое уравнением (7.59), считая, что при f = 0 имеется равно-
весное максвелловское распределение по моменту импульса 厶, но неравновесное распределение по углу ® 7^(厶,令)=Рю(£) х х 5(ф). Внешние силы отсутствуют.
Решение. В рассматриваемом случае уравнение Фоккера-Планка имеет вид (7.60). Ищем его решение в виде
a(厶⑴=戶*)- в⑴ eхр｛一В%) [ф-方式川｝•(7.67)
Такое выражение выбирается для выполнения условия сохранения
момент вре- зависящегомомент вре- зависящегоэкспонентыэкспонентынормировки плотности вероятности 〃(L，3)в любой мени, так как для входящего в (7.67) множителя,
момент вре- зависящего
момент вре- зависящего
экспоненты
экспоненты
от ф, справедливо равенство
ВС)4ВС)482
ВС)
4
ВС)
4
рФ ехр|-|32(0 [ф -知牙(川｝ = 1
—00
Выражение в квадратных скобках в показателе
соответствует тепловому развитию 3-образного начального рас-
пределения по углу за счет движения молекул термостата. Оче видно, что при / = 0 должно быть выполнено условие 牙(0)二 0, 1/8(0) = о.
Подставляем (7.67) в уравнение (7.59). После несложных алгебраических преобразований получим
d +学42丹[1- 2們[u ")2] + 2枝知一知小6+11) = 0.
Отсюда следует, что |3 и у удовлетворяют уравнениям
В/3 = - (2т^Т//)у2 ,(7.68)
才 + У/т = 1/т.(7.69)
Соответствующее начальному условию 牙(0) = 0 решение уравнения (7.69) записывается в виде
才(f) = 1 - с"/'.(7.70)
Подставляя (7.70) в (7.68) и выполняя интегрирование по t от нуля до f, получаем при учете начального условия 1/8 = 0:
就一笠3 - 4eT/Je-2勺].(7.71)
С помощью выражения (7.67) можно найти среднее значение квадрата угла поворота маятника из положения ф = 0, существовавшего при f = 0, к моменту времени /:
оосо2
<Ф2> = \dLp^L)рФ ^-ехр｛-32(0 [ф-/Т у(о] ｝ф2 —00—со
Интеграл по ф вычисляется после замены переменной «'= = ф - (L//)T зг(/). После этого легко вычисляется интеграл по L. В результате, подставляя выражение (7.70) для 才(f), имеем
<ф2> =当^["帀-0一勺]. (7.72)
При малых временах f, когда f《т\ поведение системы имеет динамический характер. Действительно, в этом случае из (7.72), раскладывая экспоненту в ряд Тейлора и ограничиваясь квадратичными по f членами, имеем
При больших временах, когда f 》т, средний квадрат углового смещения пропорционален первой степени времени, что характерно для случайных блужданий.
Рассмотреть броуновское движение маятника, описываемое уравнением (7.60), считая, что начальное распределение плотности вероятности имеет вид
Р° 亿 ®) = 6(厶)6(⑺，(7.73)
что соответствует неподвижным, вертикально расположенным маятникам.
Решение. Будем искать решение уравнения Фоккера- Планка (7.60) в виде
P*L® = ia(0 eV ⑺厶 В⑴ ехр"") [ф-方牙(f)] },(7.74)
причем вследствие начального условия (7.73) при / = 0 должны обращаться в нуль 1/а(0), 1/В(0) и 牙(0). Подставляя выражение (7.74) в (7.60), получаем после несложных алгебраических преобразований
悟一 n1-2№嗚](1-2a2厶2)+信+竽留]卜2华[Ф-方明+
X 2b%[а，甸[ту -(1公辰7后-1] = 0.
Отсюда следуют уравнения для функций а, |3 и у：
^一^+给%2 = 0，(7.75)
与+红件2才2 = о,(7.76)
т^ + (4/^Та2-1)зг - 1 = 0.(7.77)
Уравнение (7.75) совпадает с уравнением (7.63). Его решение, соответствующее начальному условию (7.73), имеет вид 148
(7.65). Таким образом, и в этом случае за время т/2 происходит установление равновесного максвелловского распределения по моменту импульса. Это распределение устанавливается независимо от характера начального распределения по углу ф. Подставляя а(/) из (7.65) в (7.77), получаем следующее уравнение для 牙(f):
ту + ycth(//T) - 1 = 0. (7.78)
Его решение, удовлетворяющее условию 牙(0) = 0, записывается следующим образом:
牙⑴=cth(f/r)-研力可.(7.79)
Отметим, что 牙(f) т 1 при / » т. Используя выражение (7.79), легко проинтегрировать уравнение (7.76) для (8(f)：
誅丁护卜2咖*(7.80)
Соотношения (7.79) и (7.80) соответствуют медленной диффузии
в координатном пространстве.
Показать, что при произвольной потенциальной энергии Еп(ф) броуновское движение маятника приводит к установлению стационарного распределения по моменту импульса независимо от вида начальных условий.
Решение. Будем искать установившееся при f т 8 стационарное решение Р点L*) уравнения Фоккера-Планка (7.59) в факторизованном виде:
(7.81)(7.81)p“6 =戶(厶)8⑴.
(7.81)
(7.81)
Подставляя выражение (7,81) в уравнение (7.59) и интегрируя по углу ф, получаем, считая функции Р(厶)и о{^) нормиро
ванными:
(7.82)(7.83) импульса.(7.82)(7.83) импульса."脸 Р⑷ + К)先Р(4 + RL) = 0,00
(7.82)
(7.83) импульса.
(7.82)
(7.83) импульса.
"=h體＞=Т J^ "力)體
-оо
представляет собой усредненный по углу 0 момент
соответствующий «дрейфу» под действием момента силы ~дН/д(р. Непосредственной подстановкой в уравнение (7.82) можно убедиться, что решением (7.82), ограниченным при 厶 т +со, явля
(7.84)(7.84)ется функция
(7.84)
(7.84)
尸(厶)=--. exp•
Это распределение максвелловского вида, центрированное около значения L = L。， определяемого дрейфом в поле внешних сил. Очевидно, что стационарное среднее значение L равно L' сои
<L> = JdL P(L)L =儿.
-00
Таким образом, для нахождения среднего значения момента импульса % (или среднего значения ф = L/J) необходимо знать стационарное распределение по углу 『令). Напротив, средний квадрат флуктуации момента импульса L можно определить, не решая уравнения для о(ф). С помощью (7.84) находим
论=^?"厶 eхр[-^^]亿.%)2 ; JkT.
—CO
ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
Пользуясь уравнением Больцмана, получить равновесную функцию распределения для системы, находящейся в постоянном во времени внешнем поле.
Показать, что уравнение Больцмана необратимо, т.е. если f(x,f)— решение, то f(-x,-f) не обязано быть таковым.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
Ахиезер А. И., Пелетминский С. В. Методы статистической физики. — М.: Наука, 1977. —367с.
Базаров И./7., Геворкян Э.В., Николаев /7.Н. Термодинамика и статистическая физика. Теория равновесных систем.— М.: Изд-во МГУ, 1986. -310с.
Балеску Р. Равновесная и неравновесная статистическая механика. Т. 1. — М.: Мир, 1978. —405 с.; Т.2. М.: Мир, 1978. -399с.
Боголюбов Н. Н. Избранные труды по статистической физике. —М.: МГУ, 1979. —342с.
Гуров /С". Основания кинетической теории. — М.: Наука, 19бб. -351с.
Зубарев Д.Н. Неравновесная статистическая термодинамика. —М.: Наука, 19/1. —415с.
Исихара А. Статистическая физика. — М.: Мир, 1973. —471с.
Квасников И. А. Термодинамика и статистическая физика. Теория неравновесных систем. — М.: Изд-во МГУ, 1987.— 559с.
Хуанг Керзон. Статистическая механика. — М.: Мир, 1966.— 520с.'
Киттель Ч.Статистическая термодинамика — М.:Наука,
1977. -336с.
И. КлимонтовичЮ.Л. Статистическая физика. — М.:Наука,
1982. -608с.
Куни Ф.М. Статистическая физика и термодинамика. — М.: Наука, 1981. —351с.
Леонтович М.А. Введение в термодинамику. Статистическая физика. — М.: Наука, 1983. —416с.
Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Статистическая физика. 4.1.— М.: Наука, 1976. —584с.
Лифшиц Е.М., Питаевский Л.П. Физическая кинетика. — М.: Наука, 1979. —528с.
Силин В. /7. Введение в кинетическую теорию газов. — М.: Наука, 1977. —331с.
Уленбек Дж., Форд Дж. Лекции по статистической механике. —М.: Мир, 1965. —307с.
Фейнман 尸.Статистическая механика. — М.: Мир, 1975 — 407с.
FIZMATL1T. NAUKA PUBLISHERS 15 Leninski prospekt, Moscow 117071 USSR
A.S. KONDRATYEV, V.P. ROMANOV
PROBLEMS IN STATISTICAL PHYSICS
1992, 152 pages. ISBN 5-02-014682-X
Readership: Students of universities, pedagogical institutes and high schools with advanced courses on physics» postgraduate students, high school teachers and scientific workers.
The book: The book consists of more than one hundred problems. The most part of them is original. The problems reflect all main directions in statistical thermodynamics and the methods used. The solving of these problems will provide the development of an active usage of the statistical thermodynamics methods. The main attention is paid to the maximal connection with the modern scientific problems.
Contents: Part 1 of the book is devoted to the phenomenological thermodynamics. The properties of simple systems, dielec tries and magnetics are investigated. The following two parts deal with the equilibrium properties of classical and quantum systems. Statistical integrals, distribution functions, properties of Fermi and Bose gases and mixtured representation in quantum statistics are revealed. Part 4 is devoted to the fluctuation theory. Quasi thermodynamical and statistical fluctuation theories, the foundations of the theory of dynamical systems with fluctuating parameters are presented. Part 5 deals with phase transitions. The modern approach to the theory of phase transitions of the first and second order and the numerical methods (Monte-Carlo and molecular dynamics) '«ге considered. The last two parts are devoted to the non-eauilibrtum statistical mechanics. The equations exposed are Liouville and Neumann equations, the self-consisted field approximation and kinetic equations of Boltzmann, Pauli and FoKker-Planck.
The authors: A. S. Kondratyev. Professor of Leningrad State University and Pedagogical Institute, a specialist in quantum theory of many-body systems, author of fwo monographs 《The Electron Liquid of Normal Metals》and «The Electron Liquid of Magnetoordered Metals» and the textbook «Physics in Examples anti Problems». V. P. Romanov, Professor of Leningrad State University, a specialist in the theory of condensed matter, the author of a large number of works published in Soviet Physics —JETP.
Е = ре ер(е) + 墓伐丁产[p(U) + №z(⑴].(3.14)
С. КОНДРАТЬЕВ
П. РОМАНОВ
Задачи по статистической физике
Допущено Государственныж комитетом СССР по народному образованию в качестве учебного пособия для студентов физических специальностей вузов
МОСКВА <НАУКА>
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
19 9 2
ББК 22.31
К64
УДК530.145(075.8)
Рецензенты:
кафедра теоретической физики Ленинградского института точной механики и оптики (заведующий кафедрой доктор физико-математических наук, профессор В. П. Смирнов);
доктор физико-математических наук В. /7. Силин
КОНДРАТЬЕВ А.С., РОМАНОВ В.П. Задачи по статистической физике: Учеб, пособие для вузов.—М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1992.—152 с.— ISBN 5-02-014682-Х
Представлено около ста оригинальных задач с решениями по статистической физике и термодинамике» которые отражают все основные направления современной статистической физики и используемые в ней методы. Задачи подобраны таким образом, чтобы их решение способствовало развитию навыков самостоятельной исследовательской работы у студентов. Решение некоторых задач подразумевает активное использование вычислительной техники.
Для студентов, аспирантов и преподавателей физических специальностей университетов, педагогических институтов и вузов с углубленным изучением физики
Ил. 2
Учебное издание
КОНДРАТЬЕВ Александр Сергеевич, РОМАНОВ Вадим Петрович
ЗАДАЧИ ПО СТАТИСТИЧЕСКОЙ ФИЗИКЕ
Компьютерный набор выполнен в редакции литературы по общей и прикладной физике
Заведующий редакцией Л. И. Гладнева. Редактор Л. /7. Русакова
Редактор-организатор В. Л. Кузнецова. Художественный редактор Г.М. Коровина Корректор 〃. С. Сомова
ИБ № 41314
Подписано в печать с орнгинал-макета 26.12.91. Формат
60x90/16. Бумага книжно-журнальная. Гарнитура литературная.
Печать офсетная. Усл. печ. л. 9.5. Усл. кр.-отт. 10J5.
Уч.-изд. л. 10,10. Тираж 5 990 экз. Заказ 26% С~ 021.
Издательско-производственное
н книготорговое объединение «Наука».
Главная редакция физико-математнческой литературы
117071 Москва В-71, Ленинский проспект, 15
Отпечатано во Второй типографии ИПКО «Наука»
121099 Москва Г-99, Шубинский пер.( 6
»1604030000—0 21
ISBN 5-02-014682-ХISBN 5-02-014682-ХК 053(02)-92“В "1
ISBN 5-02-014682-Х
ISBN 5-02-014682-Х
© <Наука>. Физматлнт, 1992
СОДЕРЖАНИЕ
Предисловие4
Список обозначении7
Феноменологическая термодинамика
LL Термодинамика простыхсистем9
Термодинамика диэлектриковн магнетиков11
Задачи13
Равновесная статистика классических и квантовых систем
Статистические суммы31
Функция распределения33
Задачи34
Равновесная квантовая статистнческая механика
Ферми-газы и бозе-газы53
Смешанное представление в квантовой статистическоймеханике55
Задачи56
Теория флуктуаций
Гауссова квазитермодинамическая теория флуктуаций73
Статистическая теория флуктуаций74
Описание динамических систем с флуктуирующими параметрами75
Задачи77
Фазовые переходы
.1. Фазовые переходы I иII рода92
Численные методы прирассмотрениифазовых переходов93
Задачи93
Динамический подход к теории неравновесных явлений
6」.Уравнения Лиувилля нНеймана109
Приближение самосогласоваиногополя110
Задачи111
Описание неравновесных явлений с помощью управляющих уравнений
7」.Кинетическое уравнение Больцмана131
Уравнение кинетического балансаПаули132
Уравнение Фоккера—Планка132
Задачи133
Список литературы151
При изучении наук примеры полезнее правил.
И. Ньютон
ПРЕДИСЛОВИЕ
Основная задача совершенствования системы образования — повышение качества знаний, развитие способностей к самостоятельной работе и умение применять полученные знания на практике. Уверенное владение методами современной статистической физики составляет неотъемлемую часть полноценного физического образования. В последние годы статистическая физика переживает как бы второе рождение —с одной стороны, совершенствуясь в плане идейного содержания и, с другой стороны, все активнее вторгаясь в самые разнообразные разделы современной науки, не только в физике, но и в химии, биологии, социологии и т.д.
Изложение статистической физики в университетах, педаго гических институтах и технических вузах с углубленным изучением теоретической физики осуществляется на завершающем этапе обучения —как правило, на IV курсе. Практические занятия по решению задач проводятся в течение одного семестра. Перед студентом стоит весьма сложная проблема —за короткий промежуток времени овладеть современными методами решения конкретных задач по весьма широкому кругу вопросов. Имеющиеся к настоящему времени многочисленные учебные пособия («Термодинамика» и «Статистическая механика» Р. Кубо, «Сбор ник задач по статистической физике» под ред. П.Ландсберга и др.) не могут обеспечить решение проблемы, ибо не удовлетворяют главному принципу — отбору относительно небольшого коли чества материала, на котором можно уверенно отработать необ ходимые навыки использования наиболее важных из существующих методов. Кроме того, за время, прошедшее с момента выхода этих пособий, содержащийся в них материал в некоторой степени устарел.
Настоящее пособие подготовлено на основе многолетнего опыта чтения лекций по статистической физике и проведения семинарских занятий на физическом факультете Ленинградского университета. Тщательно отобран сравнительно небольшой по объему материал (около ста задач, большинство из них оригинальные), овладение которым возможно примерно за 32 учебных часа, отводимых на семинарские занятия по статистической физике и термодинамике. Пособие составлено таким образом, чтобы решение задач не только способствовало развитию навыков самостоятельной работы студентов, но и являлось источником новых знаний. В пособии отобран материал, овладение которым является обязательным для всех студентов-физиков независимо от узкой специализации. По мнению авторов, этот материал должен составлять основу того общего языка (тот «ринг>), на котором возможно общение между теоретиками и экспериментаторами. В то же время для теоретиков этот материал представляет фундамент» на котором основывается их дальнейшее специальное образование, а для экспериментаторов —минимум представлений современной теоретической физики систем многих частиц, без которого невозможно понимание сути физических процессов.
Пособие состоит из семи разделов. Раздел 1 посвящен феноменологической термодинамике. В отличие от обычного подхода, когда последовательно решаются задачи на использование первого и второго законов термодинамики, в настоящем пособии решение задач основывается на использовании всей совокупности термодинамических законов. Особое внимание уделяется технике наиболее рациональных и компактных термодинамических преобразований. Рассматриваются также такие задачи, в которых методы термодинамики применяются для описания слабонеравновесных процессов типа распространения звука в среде.
Разделы 2 и 3 посвящены основам равновесной статистической механики классических и квантовых систем. В разделе 2 рассматривается вычисление статистических сумм и использова ние функций распределения. В разделе 3 рассматривается квантовая статистика ферми- и бозе-газов. Особое внимание уделяется свойствам систем в квантующих магнитных полях и смешанному (вигнеровскому) представлению в квантовой статистике,
которое в последнее время становится все более и более популярным в научной литературе.
Раздел 4 посвящен теории флуктуаций. Рассматривается как квазитермодинамическая (гауссова) теория флуктуаций, так и статистический подход к расчету флуктуаций в рамках разных ансамблей статистической физики. Завершается этот раздел рассмотрением свойств динамических систем с флуктуирующими параметрами.
Наиболее компактным по объему, но весьма трудоемким является раздел 5, посвященный описанию фазовых переходов. Наряду с традиционными задачами, основанными на аналитических преобразованиях с использованием эффективного гамильтониана, в нем предусмотрено решение задач с использованием электронно-вычислительной техники на основе двух современных подходов —метода Монте-Карло и метода молекулярной динамики. Эффективность использования подобных задач в учебном процессе в значительной степени определяется уровнем соответствую щей подготовки студентов и наличием материальной базы.
Последние два раздела (разделы 6 и 7) посвящены современным подходам к теории неравновесных явлений. В разделе 6 рассматривается динамическое описание неравновесных явлений, основанное на использовании уравнений Лиувилля и Неймана. Особое внимание уделяется приближению самосогласованного поля, позволяющему эффективно учитывать коллективные эффекты при описании системы с помощью одночастичной функции распределения. В разделе 7 рассматриваются задачи на использование широко употребляемых при описании неравновесных свойств кинетических уравнений Больцмана, Паули и Фоккера-Планка.
Каждый раздел заканчивается задачами, условно называемыми задачами для самостоятельного решения, которые решаются методами, разобранными в соответствующем разделе. Они могут служить средством эффективного контроля степени усвоения материала.
В пособии не затрагивается диаграммная техника для расчета равновесных и неравновесных свойств систем многих частиц. Изложение этих вопросов проводится в рамках специальных курсов и семинаров для студентов, специализирующихся по теоретической физике.
СПИСОК ОБОЗНАЧЕНИЙ *)
U,<E〉, Е — внутренняя энергия
S — энтропия
У ——объем
р — давление
Р ——химический потенциал
N — число частиц
Г — температура
戶—свободная энергия Гельмгольца
W — тепловая функция (энтальпия)
Ф——термодинамический потенциал (свободная энергия Гиббса)
С ——большой термодинамический потенциал
〃 —внутренняя энергия единицы объема (а = U/V)
$一энтропия единицы объема ($ = S/V)
р — плотность (р = Nm/V)
《——химический потенциал единицы массы
т — масса частицы
Е — вектор напряженности электрического поля
D — вектор электрической индукции
Р — вектор поляризации
Н — вектор напряженности магнитного поля
В — вектор магнитной индукции
М — вектор намагниченности
(X 二 ?—коэффициент теплового расширения (изотермический)
Ср — теплоемкость при постоянном давлении
Су — теплоемкость при постоянном объеме
3Q — количество теплоты
) Обозначения величин, встречающихся только одни раз, приведены в соответствующих задачах.
и ——скорость движения
%
"[^^) —изотермически前 модуль всестороннего сжатия
и — скорость распространения продольного звука
с теплоемкость единицы объемас теплоемкость единицы объема(СР =(СР =“ЕCD“ЕCD—теплоемкость единицы объема—теплоемкость единицы объема—теплоемкость единицы объема—теплоемкость единицы объемаприприприприС —диэлектрическая проницаемость f — свободная энергия единицы объемаС —диэлектрическая проницаемость f — свободная энергия единицы объемаМ — масса системыМ — масса системыпостоянном Епостоянном Епостоянном Dпостоянном D(F = "Ю(F = "ЮСр 一теплоемкость системы при постоянномСр 一теплоемкость системы при постоянномзотермическая сжимаемостьзотермическая сжимаемостьk ——постоянная Больцманаk ——постоянная Больцмана£门—энергия системы в состоянии с квантовым числом п Q — статистическая сумма канонического ансамбля£门—энергия системы в состоянии с квантовым числом п Q — статистическая сумма канонического ансамбляQ# — статистическая сумма канонического ансамбля, системы из N частиц Н( % р) — функция Гамнльтонаh ——постоянная Плаика (h = Л/2П)Q# — статистическая сумма канонического ансамбля, системы из N частиц Н( % р) — функция Гамнльтонаh ——постоянная Плаика (h = Л/2П)£_£_fn^fn^статистическая сумма большого канонического ансамбляг ——энергия системы V частиц, находящейся в квантовом состоянии пстатистическая сумма большого канонического ансамбляг ——энергия системы V частиц, находящейся в квантовом состоянии пР( Е)——плотность состоянийР( Е)——плотность состоянийН — оператор ГамильтонаН — оператор ГамильтонаР —статистический операторР —статистический оператор皿口—квантовая функция распределения皿口—квантовая функция распределенияw{E)—функция распределения в V(r) —потенциальная энергия п(г)—функция распределения по Z ——конфигурационный интеграл f(p) —функция распределения поw{E)—функция распределения в V(r) —потенциальная энергия п(г)—функция распределения по Z ——конфигурационный интеграл f(p) —функция распределения поэнергетическом представленииэнергетическом представлениикоординатамкоординатамимпульсамимпульсам
с теплоемкость единицы объема
с теплоемкость единицы объема
(СР =
(СР =
“Е
CD
“Е
CD
—теплоемкость единицы объема
—теплоемкость единицы объема
—теплоемкость единицы объема
—теплоемкость единицы объема
при
при
при
при
С —диэлектрическая проницаемость f — свободная энергия единицы объема
С —диэлектрическая проницаемость f — свободная энергия единицы объема
М — масса системы
М — масса системы
постоянном Е
постоянном Е
постоянном D
постоянном D
(F = "Ю
(F = "Ю
Ср 一теплоемкость системы при постоянном
Ср 一теплоемкость системы при постоянном
зотермическая сжимаемость
зотермическая сжимаемость
k ——постоянная Больцмана
k ——постоянная Больцмана
£门—энергия системы в состоянии с квантовым числом п Q — статистическая сумма канонического ансамбля
£门—энергия системы в состоянии с квантовым числом п Q — статистическая сумма канонического ансамбля
Q# — статистическая сумма канонического ансамбля, системы из N частиц Н( % р) — функция Гамнльтона
h ——постоянная Плаика (h = Л/2П)
Q# — статистическая сумма канонического ансамбля, системы из N частиц Н( % р) — функция Гамнльтона
h ——постоянная Плаика (h = Л/2П)
£_
£_
fn^
fn^
статистическая сумма большого канонического ансамбля
г ——энергия системы V частиц, находящейся в квантовом состоянии п
статистическая сумма большого канонического ансамбля
г ——энергия системы V частиц, находящейся в квантовом состоянии п
Р( Е)——плотность состояний
Р( Е)——плотность состояний
Н — оператор Гамильтона
Н — оператор Гамильтона
Р —статистический оператор
Р —статистический оператор
皿口—квантовая функция распределения
皿口—квантовая функция распределения
w{E)—функция распределения в V(r) —потенциальная энергия п(г)—функция распределения по Z ——конфигурационный интеграл f(p) —функция распределения по
w{E)—функция распределения в V(r) —потенциальная энергия п(г)—функция распределения по Z ——конфигурационный интеграл f(p) —функция распределения по
энергетическом представлении
энергетическом представлении
координатам
координатам
импульсам
импульсам
с — скорость света£(р) —энергия частнцыс — скорость света£(р) —энергия частнцыкак функция импульсакак функция импульса
с — скорость света
£(р) —энергия частнцы
с — скорость света
£(р) —энергия частнцы
как функция импульса
как функция импульса
(Г ——спиновый(Г ——спиновыйоператороператорПаулиПаулиО* ——спиновоеО* ——спиновоеквантовоеквантовоечислочислор — магнетонр — магнетонБораБора'^—матрица'^—матрицаПаулиПаули^д — число заполнения^д — число заполненияквантового состояния Xквантового состояния X%(Т?) — интеграл Ферми—Днрака J。，С^ —энергия Ферми 7) — параметр порядка%(Т?) — интеграл Ферми—Днрака J。，С^ —энергия Ферми 7) — параметр порядка
(Г ——спиновый
(Г ——спиновый
оператор
оператор
Паули
Паули
О* ——спиновое
О* ——спиновое
квантовое
квантовое
число
число
р — магнетон
р — магнетон
Бора
Бора
'^—матрица
'^—матрица
Паули
Паули
^д — число заполнения
^д — число заполнения
квантового состояния X
квантового состояния X
%(Т?) — интеграл Ферми—Днрака J。，С^ —энергия Ферми 7) — параметр порядка
%(Т?) — интеграл Ферми—Днрака J。，С^ —энергия Ферми 7) — параметр порядка