КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ

ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА»ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫМОСКВА 196 7

m i h ну

$ ЦК а.Ппоин

Михаил Наумович КоганДИНАМИКА РАЗРЕЖЕННОГО ГАЗА(кинетическая теория)

М., 1967 г., 440 стр. с илл.

Редактор Е. М. Шахов

Техч. редактор А. А. БлаговещенскаяКорректор Т. С. Плетнева

Слано п набор 14/XI 1966 г. Подписано к печати 16/Ш 1967 г. Бумага 60x90!/i6-Фчэ. нем. л. 2 7,5. Услови. печ. л. 27,5. Уч.-изд. л. 27,1. Тираж 600Э экз. Т-01824.Цена книги I р. 91 к. Заказ № 424.

Издательство «Наука»Главная редакция физико-математической литературыМосква, В-71, Ленинский проспект, 15.

Лсшппрцдская типография № 2 имени Евгеиии£околовой ГлавполиграфпромаКомитета по печати при Совете Министров СССР.

Измайловский проспект, 29.

2-4-3

127-87

Предисловие

Оглавление

5

Глава I

Введение

Молекулярная структура газа 7

Законы взаимодействия молекул 8

Столкновение частиц 14

Длина свободного пробега 19

Элементарная кинетическая теория 23

Глава II

Уравнения кинетической теории газов

Описание движения системы многих частиц 30

Уравнение Больцмана 34

Вывод уравнения Больцмана из уравнения Лиувилля . , . . 43

Некоторые свойства интеграла столкновений 58

§2,5.77-теорема Больцмана 59

Уравнения кинетической теории для смеси газов и для газа, состоящего из молекул с внутренними степенями свободы . . 66

Интегральные формы уравнения Больцмана 67

Линеаризированное и модельное уравнения Больцмана . . . 70

Постановка задач для уравнения Больцмана 76

Взаимодействие молекул с твердыми поверхностями. Коэффициенты аккомодации 79

Критерии подобия 8(9

Глава III

Общие методы решения уравнения Больцмана

Уравнения сохранения 94

Метод моментов 97

Метод моментов. Разложение функции распределенияпо

полиномам Эрмита100

Метод моментов. Разрывные функции распределения....118

Граничные условия для моментных уравнений123

Методы разложения по малому параметру126

Метод Гильберта разложения по малому параметру....132

Метод Энскога — Чепмена. Вывод уравнений гидродинамики145

Вывод уравнений гидродинамики для смеси газов163

Вывод уравнений гидродинамики с учетом внутренних сте

пеней свободы молекул. Релаксационные уравнения....176

Решение линеаризированного уравнения Больцмана.,..196

44ОГЛАВЛЕНИЕ *

4

4

Модельные уравнениядля линеаризированногоуравнения

Больцмана213

Метод дискретных скоростей218

Интегральные методы221

Методы Монте-Карло 224

Принцип максимальнойвероятности232

Кинетическая теория инеравновеснаятермодинамика.. .237

Глава IV

Решение уравнения Больцмана для вырожденных течений

Точные решения уравнения Больцмана242

Течение Куэтта .252

Течение Пуазсйля. Парадокс Кнудсена .287

Структура ударной полны .. 291

Звукопые колебания 310

Глава V

Течения при малых числах Кнудсена

Скольжение и температурный скачок . . . , 317

Пограничный слой с учетом скольжения и скачка температур 333

Глава VI Течения при больших числах Кнудсена

Свободномолекулярные течения. Обтекание выпуклых тел 345

Свободномолекулярные течения. Обтекание вогнутых тел 361

Свободномолекулярные течения по трубам371

Насадки для измерения давления в свободномолекулярном 'потоке379

Течения, близкие к свободномолекулярным381

Гиперзвуковые течения, близкие к свободномолекулярным.

'Молекулярный пограничный слой390

Теорема обратимости для течений, близких к свободномолекулярным 409

Сравнение теоретических и экспериментальныхданныхо

ниях при больших числах Кнудсена . . . . 411

Истечение в вакуум422

Приложение I. Уравнение Больцмана в криволинейных, цилиндрических н сферических координатах 431

Приложение II. Некоторые часто встречающиеся интегралы. . 432

Именной указатель 434

Предметный указатель,,.....437

Предисловие

Динамика разреженных газов или, как ее иногда называют, супераэродинамика изучает явления, имеющие место при произвольном отношении длины пробега (времени между столкновениями) молекул к характерному размеру (времени) явления. Изучаемые явления могут быть сколь угодно далекими от равновесных. Исследование таких явлений требует в общем случае учета молекулярной структуры газа, кинетического описания, применения уравнения Больцмана. В круг задач динамики разреженных газов входят, например, задачи об обтекании летательных аппаратов, движущихся на больших высотах, о движении газов в вакуумных аппаратах, ультразвуковых колебаниях в газах, структуре ударных волн, неравновесных течениях и т. д.

В предельном случае малых длин пробега мы приходим к задачам, которые могут быть решены в рамках теории сплошной среды или, точнее, с применением уравнений Навье — Стокса. По существу, это задачи обычной газовой динамики. Однако по установившейся традиции некоторые из них изучаются динамикой разреженных газов. В число таких задач входят, например, некоторые задачи о вязких течениях при малых числах Рейнольдса, о течениях с взаимодействием пограничного слоя с невязким потоком, о близких к равновесным течениях с релаксацией возбуждения внутренних степеней свободы, о течениях со скольжением и температурным скачком на стенке и т. д. К решению этих задач могут быть привлечены методы газовой динамики. В то же время эти задачи, решаемые в рамках теории сплошной среды, тесно связаны с кинетической теорией, так как только с помощью кинетической теории, из анализа уравнения Больцмана, можно обоснованно вывести уравнения Эйлера и Навье—Стокса и их аналоги для релаксирующих сред, установить область их применимости и снабдить их правильными начальными и граничными условиями и коэффициентами переноса.

В настоящей монографии рассматриваются главным образом задачи, требующие кинетического описания, для решения которых неприменимы методы газодинамики и необходимы новые методы, подходы и образы. Основное место уделено кинетическому уравнению Больцмана, изучению его свойств и методов решения. В то же время большое внимание уделено выводу из кинетического уравнения Больцмана уравнений газовой динамики и соответствующих им граничных условий (условий скольжения), установлению области их применимости.

НГ1 ДИ< ННШ) II'

It ibpiu.il ।'i.iur липы in поппые понятия кинетической теории 1.1 кш I ip.ni и ipcibii носпяще выводу кинетических урав- п, null инны мтодам их решения. Несмотря на то, что рассматри- ||,1юн>1 лини, lani.i, состоящие из нейтральных молекул, некоторые ни изложенных методов находят применение и в теории плазмы, и мы надеемся, что данная здесь трактовка общих методов будет способствовать более критическому подходу к их использованию. В четвертой главе применение изложенных методов иллюстрируется на простейших, главным образом одномерных, задачах. В пятой и шестой главах рассмотрены предельные случаи течений при малых и больших числах Кнудсена.

В выборе материала, естественно, сказались интересы автора. Известное место отведено изложению результатов работ автора и его сотрудников. Некоторые вопросы, не нашедшие отражения в книге, азиптересопашплИ читатель сможет найти в уже имеющейся литературе ’). Литературные ссылки не претендуют на полноту. Главным образом указана лишь литература, использованная при написании книги.

Чтение книги не требует предварительного знакомства с кинетической теорией газов и статистической физикой. В некоторых местах предполагается знание газовой динамики.

Основой для книги послужил курс лекций, читаемый автором в Московском Физико-Техническом институте.

Автор искренне благодарен за полезные замечания Ю. П. Райзеру, внимательно прочитавшему всю рукопись, А. А. Дородницыну, прочитавшему первые ее главы, и В. С. Галкину, просмотревшему отдельные места рукописи. Автор благодарен также Е. М. Шахову, взявшему на себя труд по редактированию книги. Особую благодарность автор хотел бы выразить И. Н. Соколовой за помощь в подготовке рукописи.

*) См., например, Чепмен С., К а у л и н г Т., Математическая теория неоднородных газов, перев. с англ,, ИЛ, I960; Г иршфельдер Дж., Кертис Ч,, Берд Р„ Молекулярная теория газов и жидкостей, перев. с англ., ИЛ, 1961; Паттерсон Г. Н., Молекулярное течение газов, перев. с англ., Физматгиз, 1960; Девиен М., Течения и теплообмен разреженных газов, перев. с франц., ИЛ, 1962; Шпдловскпй В. П., Введение в динамику разреженных газов, «Наука», 1965. Большое число работ по динамике разреженных газов имеется в собраниях трудов четырех международных симпозиумов: Dynamics of Rarefied Gases, First Symposium, ed. by M. De- viemic, Pergamon Press (русский перевод; «Газодинамика разреженных газов», ИЛ. 196,3); Second Symp., ed. by L. Talbot, Academic Press, 1961; Third Symp., ed. by J. A. Laurman, Academic Press, 1963; Forth Symp., ed. by J. H. de Leew, Academic Press, 1965, а также в сборниках «Аэродинамика разреженных газов» иод редакцией С. В. Валландера, ЛГУ 1 (1963) и 2 (1965). См. также сборники переводов: «Некоторые вопросы кинетической теории газов», «Мир», 1965; «Взаимодействие газов с поверхностями», «Мир», 1965.

Глава I

Введение

§ 1,1, Молекулярная структура газа

Кинетическая теория основывается на гипотезе о том, что все вещества, в том числе и газы, состоят из молекул. Хотя даже с помощью самых мощных микроскопов нельзя проследить за движением отдельных молекул, тем не менее молекулярная гипотеза не вызывает сомнений. В качестве молекул могут рассматриваться как сложные многоатомные молекулы, так и отдельные атомы, ионы, протоны, электроны и т. д.

Газом называется совокупность молекул, находящихся на столь больших расстояниях друг от друга, что молекулы большую часть времени слабо взаимодействуют друг с другом. Короткие промежутки времени, в течение которых молекулы сильно взаимодействуют, рассматриваются как столкновения.

Если осредненной по времени потенциальной энергией взаимодействия молекул можно пренебречь по сравнению с их кинетической энергией, то газ называется идеальным. В противном случае газ называется газом Ван-дер-Ваальса.

Ниже рассматриваются лишь идеальные газы. Если молекулы при больших удалениях друг от друга обладают слабым притягивающим потенциалом и быстро убывающим потенциалом отталкивания на малых расстояниях, то при уменьшении плотности газа (увеличении среднего расстояния между молекулами) потенциальная энергия взаимодействия быстро падает. Практически газы из нейтральных молекул при давлениях до сотен атмосфер могут рассматриваться как идеальные. До этих же давлений вероятность тройных столкновений (т. е. таких столкновений, в которых принимают участие сразу три молекулы) мала по сравнению с вероятностью двойных (или парных) столкновений.

Далее везде предполагается, что движение молекул может быть описано с помощью классической ньютоновской механики. Квантовые эффекты существенны лишь при очень низких температурах и для легких молекул (водород, гелий, электроны). Для водорода и гелия

квантовые поправки существенны уже при нормальных условиях. Большинство же газов сжижается при температуре, при которой еще нет необходимости применять квантовую теорию столкновения молекул.

Квантовые эффекты необходимо учитывать при неупругих столкновениях атомов и молекул (возбуждение внутренних степеней свободы молекул, возбуждение электронных уровней и т. п.). Потенциалы упругих взаимодействий молекул также могут быть вычислены лишь с помощью квантовой механики. Однако при известном потенциале взаимодействия упругие столкновения могут быть рассмотрены классически.

Релятттистские эффекты существенны лишь при очень больших температурах (больших скоростях молекул). Практически эти эффекты можно не учитывать при температурах порядка десятков и сотен тысяч градусов. Для водорода, например, средняя скорость молекул при температуре в 105°К равняется 0,0001 скорости света. Даже скорость электрона при такой температуре составляет тысячные доли скорости света.

Таким образом, рассматриваемая ниже теория идеального газа с учетом парных столкновений в рамках классической механики удовлетворительно описывает движение газа в широком диапазоне температур и давлений (для температур от десятков градусов Кельвина до сотен тысяч градусов и для давлений до сотен атмосфер).

Законы взаимодействия молекул

Состояние газа определяется взаимодействием молекул между собой и с граничащими с газом твердыми или жидкими телами. В этом параграфе будут приведены лишь некоторые сведения о взаимодействии молекул между собойJ). Более сложный вопрос о взаимодействии молекул с твердыми поверхностями будет кратко затронут в главе И.

Молекулы или атомы состоят из положительных и отрицательных зарядов (ядер и электронов). При рассмотрении взаимодействия двух молекул, строго говоря, можно говорить лишь о взаимодействии всей совокупности зарядов, составляющих обе молекулы. Потенциал взаимодействия этой системы зарядов зависит от положения всех ядер и всех электронов. Обозначим через г^ и гед радиусы-векторы ядер и электронов молекулы Л и через г® и гев соответствующие величины для молекулы В. Тогда потенциал взаимодействия всех зарядов имеет вид U(гаА, геА, г^, геву

*) Более подробные сведения о взаимодействии молекул можно найти, например, в монографиях: Гиршфельдер Дж., Кертис Ч., Б ер д Р., Молекулярная теория газов и жидкостей, ИЛ, 1961; Хастед Дж., Физика атомных столкновений, «Мир», 1965.

Потенциалом взаимодействия молекул принято называть величину

UAB = UkrA’ ГА' ГВ’ rB^ — UA^A- rA^UBQ-B- ГВ> I2'1)

где Uд^д, г*^—потенциал, зависящий лишь от взаимного расположения зарядов молекулы А, а ^й(^. ^) — потенциал взаимного расположения зарядов молекулы В, Функции U д и U в равны потенциальной энергии молекул лишь при бесконечном расстоянии между молекулами. Потенциал взаимодействия молекул зависит от взаимного расположения зарядов обеих молекул.

Силы, действующие между молекулами, грубо разделяют на химические, или валентные, силы отталкивания, проявляющиеся на малых расстояниях, и ван-дер-ваальсовы силы притяжения, действующие при больших удалениях молекул друг от друга. Такое разделение весьма условно.

Химические, или валентные, силы являются определяющими, когда электронные облака молекул перекрываются. Эти силы имеют квантовомеханическую природу, связанную главным образом с обменным взаимодействием. Обычно потенциал такого взаимодействия убывает экспоненциально с расстоянием:

Уд^С^ав,(2.2)

где С, и С2 — некоторые постоянные.

Силы Ван-дер-Ваальса имеют как электростатическую составляющую, так и квантовомеханическую дисперсионную составляющую.

Нейтральные молекулы могут обладать дипольными, квадрупольными и т. д. моментами. Поэтому между молекулами возникают силы взаимодействия диполя с диполем, диполя с квадруполем и т. п. Если сталкивающиеся молекулы обладают дипольным моментом, то сила взаимодействия убывает обратно пропорционально четвертой степени расстояния между молекулами. Эта сила существенным образом зависит от ориентации диполей и может быть как силой притяжения, так и отталкивания.

Часто энергию взаимодействия молекул усредняют по всем ориентациям. Если газ находится в равновесии, то вероятность обнаружения двух молекул, взаимодействующих с потенциалом Uдв, пропорциональна больцмановскому множителю е~иАв1кт t где у—температура газа и к — постоянная Больцмана. В этом случае усредненный потенциал равен

— f UABe' UAB^T sin 9д s,n 6в №A d^A d9B d^B

Г e-uAB/kT sin 0 sin 6 rf6. d^ d6 dy

IЛ В А ’ А В У

где 6 и ф—соответственно полярный и азимутальный углы, определяющие направление оси диполя относительно линии, соединяющей центры молекул. При слабых взаимодействиях (т. е. на больших расстояниях), когда величина | U дв — U дв | мала по сравнению с кТ при всех ориентациях, экспоненциальный член может быть разложен в ряд, так что получаем

ав — д4яб I UAB dto

1 / 1 f J / 1 Г У 7 л I I

kT ( 64л4 J\ 64л6 J АВ / J

где

dto — 81пОл sin 6Д йбл d<pA d9B d^B.

Так как при диполь-диполыюм взаимодействии вероятность ориентаций с притяжением и отталкиванием одинакова, то первый член равен нулю, и осредненный потенциал взаимодействия оказывается убывающим обратно пропорционально шестой степени расстояния (U дв~1(г^в^.

Следует заметить, что для типичных в теории разреженных газов состояний, далеких от равновесия, приведенный выше способ усреднения неправомерен и диполь-дипольное взаимодействие может оказаться сравнительно медленно убывающей функцией.

При взаимодействии двух молекул каждый заряд одной молекулы поляризует другую молекулу, вызывая появление индуцированного диполя. Простое электростатическое рассмотрение1) показывает, что потенциал индуцированного взаимодействия убывает обратно пропорционально шестой степени расстояния. Обратно пропорционально шестой степени расстояния убывает также и дисперсионное взаимодействие, имеющее квантовомеханическую природу.

Для большинства молекул основной вклад в потенциал взаимодействия дает дисперсионная составляющая. У некоторых молекул преобладающую роль играет диполь-дипольное взаимодействие. Индуцированное взаимодействие почти всегда мало. Хотя в принципе квантовомеханический расчет потенциала взаимодействия возможен для любых молекул, практически более или менее точные расчеты взаимодействия проведены лишь для простейших молекул.

На практике обычно пользуются эмпирическими и полуэмпириче- скими законами взаимодействия. Приведем некоторые наиболее распространенные из них).

§ 1.21

законы взаимодействия молекул

II

Упругие шары (рис. 1, а). Пусть d — диаметр шара, тогда потенциал взаимодействия двух шаров представляется в виде

U (г) = со^ (г) = 0U (г) = со^ (г) = 0при припри приг < d, ) г > d. Jг < d, ) г > d. J(2.3)(2.3)

U (г) = со

^ (г) = 0

U (г) = со

^ (г) = 0

при при

при при

г < d, ) г > d. J

г < d, ) г > d. J

(2.3)

(2.3)

Хотя эта модель грубо моделирует лишь короткодействующие силы отталкивания, она весьма часто употребляется в расчетах благодаря

aj6)6)г)

Рис. 1.

своей простоте. Эта модель также очень широко применяется для качественных рассмотрений, связанных с процессом столкновения молекул, так как для твердых шаров процесс столкновения представляется наиболее наглядно. Более того, при применении других, более сложных законов взаимодействия обычно вводят так называемые эффективные сечения столкновений (см. § 1.3), с помощью которых столкновение реальных молекул заменяется столкновением в некотором смысле эквивалентных им упругих сфер. Следует заметить, что реальную молекулу нельзя заменить какой-либо одной эквивалентной сферой. Для каждого из типов столкновений (столкновения при разных относительных скоростях, неупругие столкновения с различными переходами и т. д.) можно подобрать свою в том или ином смысле эквивалентную сферу. Даже при упругих столкновениях с заданной относительной скоростью сферы, эквивалентные реальным молекулам, например, в отношении изменения импульса в каком-либо направлении, могут отличаться от сфер, эквивалентных в отношении изменения импульса в другом направлении.

Тем не менее ниже в качественных рассуждениях часто молекулы будут рассматриваться как упругие сферы с фиксированным диаметром. Это во многих случаях допустимо, так как диаметры эквивалентных сфер для различных типов взаимодействий имеют одинаковый порядок. Однако в некоторых случаях изменение эффективного диаметра молекул имеет принципиальное значение. Например,

если относительные скорости молекул изменяются в широких пределах, то неучет изменения эффективных сфер от скорости может привести к качественному искажению реальных явлений (см., например, §§ 4.2, 4.4 или 6.6).

Диаметры молекул имеют порядок 10~8 см.

Центры отталкивания (рис. 1, б) с потенциалом

U =(2.4)

Величину s—1 (а иногда и s) называют показателем отталкивания. Благодаря чисто математическим удобствам (см. §§ 2.2, 3.3, 3.11 и т. д.) широкое распространение получили гипотетические молекулы с показателем отталкивания s = 5, называемые максвелловскими. Газ, состоящий из таких молекул, называют максвелловским газом. Ближе к реальным значения s, большие 5, например 9 или 12. Максвелловские молекулы слишком «мягкие», в то время как упругие сферы слишком «жесткие». Реальные потенциалы взаимодействия лежат между этими двумя наиболее распространенными модельными потенциалами. Следует заметить, что применение весьма удобных в математическом отношении максвелловских молекул иногда приводит к неверным эффектам. 'Гак, например, в максвелловском газе отсутствует явление термодиффузии.

Большими математическими преимуществами обладают также так называемые псевдомаксвелловские молекулы, определение которых будет дано в § 2.2.

Потенциал Леннарда — Джонса (рис. 1, в)

Первый член описывает отталкивание с показателем п, второй — притяжение; d, е — константы.

Чаще всего применяется так называемый (6- 12)-потенциал Леннарда — Джонса

(/(/•) —4е — — _.(2.6)

'/\ г / J'

Как указано выше, шестая степень убывания потенциала моделирует электростатическое диполь-дипольное и дисперсионное притяжение. Двенадцатая степень убывания отталкивающего потенциала выбрана из соображений математического удобства. В то же время она моделирует достаточно жесткое отталкивание. При r — d потенциал равен нулю. Величина е характеризует глубину потенциальной ямы.

Потенциал Морзе (рис. 1, г)

U(r) = a Ve-^V"^ — 2е-^Т"аЧ.(2.7)

Здесь величина а определяет положение минимума потенциальной ямы, е—глубина потенциальной ямы. Величина р определяет кривизну потенциальной кривой вблизи минимума. С помощью этих параметров потенциальная кривая может быть удовлетворительно аппроксимирована вблизи минимума. Однако потенциал (2.7) неправдоподобно быстро спадает при г->оо. Этот потенциал удобен во многих случаях для расчетов.

Применяются также и другие, более сложные потенциалы с ббль- шим числом свободных параметров.

Параметры, входящие в приведенные и подобные им формулы для потенциала взаимодействия, чаще всего определяются экспериментально. Для этой цели можно исследовать, например, рассеяние пучка молекул на молекулах того же или другого газа. Однако чаще пользуются косвенными методами. Для выбранного вида закона взаимодействия рассчитывают те или иные макроскопические величины. Определяя эти величины из макроскопического эксперимента, можно найти входящие в них неизвестные параметры потенциала взаимодействия. По-видимому, наиболее простым является опыт по определению второго вириального коэффициента. Как известно, для ван-дер-ваальсов- ского газа уравнение состояния имеет вид1)

pv , в.^ , вдп ,

RT — I V V2 ' ' • • ’

где р, У и Т — давление, удельный объем и температура газа, R—универсальная газовая постоянная и S2, S3 и т. д. — второй, третий и т. д. вириальные коэффициенты. Изменяя температуру газа в каком-либо сосуде и замеряя давление, можно найти зависимость вириального коэффициента от температуры. С другой стороны, в статистической физике выводится зависимость вириального коэффициента от потенциала взаимодействия. Используя экспериментальную зависимость вириального коэффициента от температуры, находим параметры взаимодействия молекул. Обычно при одном и том же законе взаимодействия выбранные параметры позволяют удовлетворительно аппроксимировать экспериментальную зависимость лишь для ограниченного интервала температур.

Зиая законы взаимодействия молекул, можно, как это будет показано в главе III, определить переносные свойства газов (вязкость, теплопроводность, диффузию и т. д.). Измеряя эти величины, также можно определить параметры, входящие в формулу потенциала взаимодействия.

Как правило, параметры закона взаимодействия, определенные по измерениям вириального коэффициента и переносных свойств.

■) См., например, Ландау Л. Д. и Лифшиц Е. М, Статистическая физика, «Наука», 1964.

несколько отличаются. Это обусловлено тем, что вириальный коэффициент в большей степени определяется дальнодействующими силами притяжения, в то время как переносные свойства в большей мере определяются отталкиванием молекул.

Законы взаимодействия молекул еще более усложняются, если при столкновении молекула переходит из одного квантового состояния в другое. Вообще говоря, для каждого состояния сталкивающихся молекул должна существовать своя потенциальная кривая. Если в процессе столкновения молекула переходит из одного состояния в другое (например, из основного состояния в какое-либо возбужденное), то в точке перехода необходимо перейти с одной потенциальной кривой на другую.

Хотя исследование законов взаимодействия молекул еще далеко от своего завершения, ниже мы будем считать законы взаимодействия заданными и для оценок и конкретных расчетов использовать лишь простейшие из приведенных эмпирических законов.

Выше приведены лишь сферически симметричные потенциалы. Вообще говоря, потенциал взаимодействия зависит от взаимного углового расположения молекул. Простейшую модель несферической молекулы можно представить в виде эллипсоида вращения. Отсутствие сферической симметрии у потенциала взаимодействия существенно усложняет исследование. Иногда можно взаимодействие таких молекул осреднить по углам, сведя рассмотрение к эквивалентным в некотором смысле сферическим молекулам. Поскольку ниже будет идти речь только О сферических молекулах, мы не будем приводить различные модельные потенциалы, зависящие От углов, отсылая заинтересованного читателя к соответствующей литературе *).

Столкновение частиц

Движение разреженного идеального газа, представляющего собой совокупность молекул, определяется в конечном счете столкновениями частиц. В дальнейшем нас будут интересовать только парные взаимодействия частиц. Напомним поэтому некоторые факты из теории столкновения двух тел ).

Пусть сталкиваются две частицы соответственно с массами тг и т2 и скоростями до столкновения ^г^ц, |12, |13) и |2 = (|21, £22- ^23)- Потенциал взаимодействия U (г) будем считать зависящим лишь от расстояния частиц друг от друга г, так что сила взаимодействия F направлена по линии центров сталкивающихся частиц.

*) См., например, Гиршфельдер Дж., Кертис Ч., Берд Р„ Молекулярная теория газов и жидкостей, ИЛ, 1961; Чепмен С. иКаулингТ. Математическая теория неоднородных газов, ИЛ, 1960.

В процессе столкновения выполняются законы сохранения массы, импульса и энергии, которые можно записать в виде

Ч’/(11)Ч-Ч’/(^2) = Фг(^)-ЬФ1 (^з) (i = 0, 1, 2, 3, 4), (3.1)

W^ = mk' ^j^k^^r ^^=тЙ’

^ = ^1 + ^2 + &6 = 1,2; j = 1,2,3,

и штрихами отмечены соответствующие величины после столкновения.

Величины ф, называются с^мматорныма инвариантами. Любая аддитивная функция скоростей является линейной комбинацией сумма- торных инвариантов. Будем предполагать, что массы частиц в процессе столкновений не изменяются. Тогда уравнения (3.1) налагают четыре условия на шесть составляющих скоростей молекул после столкновения. Для полного определения скоростей молекул после столкновения необходимо задать еще два параметра.

Движение молекул подчинено уравнениям Ньютона;

m,r, = Г, (г), m2r2 = F8(r'),(3.2)

F^ — F^ r = r2 — rv r = |y{;

точка означает дифференцирование по времени. Вычтем из второго уравнения (3.2), умноженного на mv первое, умноженное на т2. В результате получим

pr = F 2= —,(з.з)

г ’ т.Дт-,х '

т. е. задача О движении двух частиц свелась к задаче о движении одной частицы с приведенной массой Ц в центральном поле с потенциалом U (г). Найдя решение г (f) уравнения (3.3), легко находим закон движения каждой из частиц rh(t\ если учтем, что скорость центра инерции системы не изменяется при столкновении:

^з^з — const.(3.4)

В частности, в координатах центра инерции

m^i + т2г2 = О и

При движении частицы с массой р в центральном поле сохраняется момент количества движения системы Д4=р(гХИ относительно центра поля; действительно, используя (3.3), имеем

^ = ^^<rXb = \^rXh — ^rX^-7^0.

gb = g'b' или Ь = Ь!,gb = g'b' или Ь = Ь!,Рис. 2.Рис. 2.(3.10)(3.10)

gb = g'b' или Ь = Ь!,

gb = g'b' или Ь = Ь!,

Рис. 2.

Рис. 2.

(3.10)

(3.10)

। ле попа K'.iii.iiii, лвпж^ипс частицы происходит в одной плоскости. Пигчгм и .ноП плоскости полярную систему координат (рис. 2). .У pi■ иия сохранения момента количества движения и энергии приму! пил

7И = pr24 — const,(3.6)

/-', [i(r~ | /^2)4 17(4==-|-и /'М ^(3.7)

I h ключая из (3.6) время с помощью (3.7) и интегрируя, получим

;..л ,ЛГ." -тconst. (3.8)

J rV2pr2 [£ — U (г)] — /И2

Легко показать, что траектория частицы симметрична отпоси- । г/н.но линии ОЛ. Из закона сохранения энергии следует, что ситюсительпая скорость молекул не изменяется:

g = g'.

л из сохранения момента количества движения следует, что

т. е. что при столкновении сохраняется и прицельное расстояние. Обычно интересуются углом отклонения % = л—2тЭ-0, где

Ш =

J г /2рг2 \Е — U (г)] — М2 r min

(3..9)

M — gby,, Е = ^iig2.

,Л,ля молекул со степенным законом взаимодействия U = K/rs~l

получим

1s— 11s— 1

1

s— 1

1

s— 1

11 !'« ^/Omn определяется из уравнения

(3.11)

Рис. 3.Рис. 3.Р(Х- £)Р(Х- £)bsin %bsin %I db II dx |I db II dx |(3.13)(3.13)

Рис. 3.

Рис. 3.

Р(Х- £)

Р(Х- £)

bsin %

bsin %

I db I

I dx |

I db I

I dx |

(3.13)

(3.13)

Интересно отметить, что при степенном законе взаимодействия столкновение определяется единственным параметром р.

Для твердых сфер

X = 2arccos пРи b^d, I

}(3.12)

Х — 0при b>d. ]

Назовем столкновение молекул «обратным» к рассмотренному выше, если сталкиваются молекулы со скоростями |' и ^ с тем же

прицельным расстоянием Ь. Легко видеть, что в результате такого

столкновения молекулы приобретут скорости | и |р Действительно, изменим на обратный знак у координат и времени. Тогда, очевидно, уравнение (3.3), описывающее процесс столкновения, не изменится (предполагается, что потенциал обладает сферической симметрией). Скорость при этом преобразовании также не меняется. Но, так как время течет в обратном направлении, найденное выше решение опишет теперь обратное столкновение (рис. 3), в котором до столкновения скорости равны с' и ^, а после столкновения | и |р

Часто процесс рассеяния характеризуют эффективными сечения-

ми рассеяния. Рассмотрим молекулы, пролетающие через кольцо, лежащее между кругами b и ЬД-db в плоскости, перпендикулярной относительной скорости g. Все эти молекулы рассеиваются в интервал

углов между х и х + ^Х или в телесный угол

dQ = 2nsinxdX-

Предположим, что х и b однозначно связаны соотношениями (3.9)

или (3.10). Дифференциальным эффективным сечением о(х, g") называют площадь кольца, приходящуюся на единицу телесного угла Q, т. е.

о(х, g) d& = 2л6 (х) db = 2л6 (х) | ^ | dx = -^ | ^ j dQ.

Следовательно,

2 м. H. Koran

Иногда дифференциальное эффективное сечение относят не к единице телесного угла, а к единице угла %, тогда

<?х(Х. 5") = 2л6 (%) |-^ |,(3.14)

где индекс х ПРИ ° указывает на то, что сечение отнесено к единице угла X-

Полное эффективное сечение равно

яя®тах

0(5")= J <г(Х. ё")^ = 2л J <J(x, g)sinx<Zx = 2.-t J bdb, (3.

Х=ооо

где Ьтах — такое прицельное расстояние, что при b ^> Ьтах потенциал 0 = 0. Молекулы, у которых 5тах конечно, называются молекулами с конечным радиусом действия. Из приведенных в предыдущем параграфе потенциалов этому условию удовлетворяют только твердые шары. Для остальных законов взаимодействия как 5тах, так и полное эффективное сечение взаимодействия бесконечны. Если вместо одной молекулы рассматривать однородный поток молекул с плотностью п частиц в единице объема, то очевидно, что ngo (^, g)dQ есть число молекул, испытавших отклонение па углы от х ДО х + ^Х- Тогда очевидно, что для молекул с неограниченным радиусом действия число молекул, испытавших отклонения на всевозможные углы, бесконечно.

В то же время в результате столкновений часто остается конечным изменение импульса, энергии и других величин. Например, изменение продольного импульса молекулы в системе центра инерции равно mg(l— cosx). В качестве осредненной характеристики изменения импульса вводят эффективное сечение

о(!) (g') = J о(Х, £)(1 — cosx)dQ = 2n J (1 — cos х) b db, о

часто называемое транспортным сечением.

Эффективным сечением порядка v называют выражение

<jW(g-) = 2rt J (1—cos^ x)bdb.(3.16)

о

Употребляются и иные определения эффективных сечений.

Легко проверить, что для твердых сфер

Ст(=) = лсХ2, a(v) = л^! — ^Ц^^-).(3.17)

Подставляя (3.10) в (3.16), получим для молекул со степенным

законом взаимодействия

(3.18)(3.18)<j№ (g) = 2л (-^-^j^ А1^ (S).

(3.18)

(3.18)

Значения A<v)(s), полученные численным интегрированием, даны в таблице 1 !).

Важно отметить, что молекулу нельзя охарактеризовать каким-либо одним эффективным сечением, так как для различных видов взаимо

действия (по отношению к изменению импульса, энергии и т. д.) они различны. В то же время, как

видно из таблицы 1, сечения приТаблица I

разных v имеют один порядок. Поэтому при качественных рассмотрениях часто можно говорить просто

дб) (S)

ДА (s)

об эффективном сечении для данной молекулы.

5

0,298

0,308

В общем случае при увеличении

7

0,306

0,289

относительной скорости молекул эффективные сечения столкновений па- .

13

0,321

0,279

дают. Так, для молекул со степенным

законом взаимодействия б~ g"4/s~4 В частности, для максвелловских

молекул (s=5) сечение столкновений обратно пропорционально относительной скорости:

Время, в течение которого взаимодействуют молекулы, называется временем столкновения тс. Строго говоря, молекулы могут взаимодействовать на любых расстояниях, и время столкновения таких молекул бесконечно. Однако основной вклад в результат столкновения дают взаимодействия на расстояниях порядка эффективных диа

метров взаимодействия, т. е.

gg(3.19)

g

g

Длина свободного пробега

С введенным в предыдущем параграфе понятием эффективного сечения тесно связаны другие понятия, играющие фундаментальную роль в кинетической теории. Рассмотрим прежде всего газ, состоящий из молекул-шаров диаметра d, равномерно распределенных с плотностью п и движущихся с одной и той же скоростью Ip Назовем эти молекулы полевыми. Рассмотрим пробную молекулу, движущуюся в этом газе со скоростью |, так что относительно газа ее скорость

') Более подробные таблицы можно найти в монографиях; Г и р ш ф е л ь- д е р Дж., Кертис Ч.. Берд Р, Молекулярная теория газов и жидкостей, ИЛ, 1961; Чепмен С. и Каулинг Т., Математическая теория неоднородных газов, ИД 1960.

равна g . £^. Очевидно, что пробная молекула в единицу времени

i юлкшнся со всеми молекулами, центры которых лежат внутри u.iijiiuixpa с основанием nrf2 = o и высотой, равной g. Число этих молекул равно

V = agri.(4.1)

Эта величина называется частотой столкновения. Среднее время между столкновениями равно'

т = 1 /v.

За это время пробная молекула проходит расстояние, равное g/v> которое называют длиной свободного пробега, длиной пробега или просто пробегом.

Согласно (4.1) длина пробега равна

Очевидно, что введенные понятия нельзя непосредственно применить к молекулам с бесконечным радиусом действия, так как у них о = оо, Для таких молекул формально понятия длины пробега и частоты столкновения можно ввести, если в определение (4.1) и (4.2) подставить эффективные сечения типа (3.16) предыдущего параграфа. Смысл вводимых таким образом понятий можно проиллюстрировать следующим рассуждением. Рассмотрим группу молекул-шаров с плотностью п, движущихся со скоростью § в газе из таких же, но покоящихся молекул с плотностью nv Легко видеть, что в слое толщиной dx и единичным сечением, перпендикулярным |, в единицу времени произойдет

опп^ dx = nVN1 dx столкновений. Другими словами, если через сечение х проходит поток молекул со скоростью §, равный N — пЕ,, то через сечение x-^-dx—поток М(1 — X-1 dx), т. е, NX"1 dx молекул уходит из первоначального пучка в результате столкновений.

Рассмотрим теперь такие же две группы молекул, но с произвольным потенциалом взаимодействия. Через единицу площади сечения х налетающие молекулы проносят импульс, равный mNE,. Из рассмотрений предыдущего параграфа следует, что молекула, полу- чшппая в результате столкновения отклонение на угол /, теряет продольный импульс, равный !/2£(1—cos/)- Легко видеть, что на оцной стоящей молекуле налетающие молекулы теряют импульс, ранный

лм^2т J (1 — cos х) b db.о

'Гик как в слое толщиной dx имеется nxdx стоящих молекул, то

всего в слое теряется импульс

птпп^ dx j (1 — cosx) b db = -^ m^Nn^1-1' dx = ^- m£,N ^ . о

Введенное здесь эффективное сечение о(1) имеет очевидную интерпретацию. Когда молекулы с бесконечным радиусом взаимодействия пролетают через слой толщиной dx, то каждая молекула испытывает столкновения и теряет больший или меньший импульс. Если рассматриваемый газ заменить газом из шаров с сечением 0(4, то в слое толщиной dx происходит Nn^1^ dx = NX-1 dx столкновений, при каждом из которых в среднем теряется импульс, равный Vz^E,- Суммарный импульс, теряемый в слое реальным газом и газом из шаров, одинаков. Таким образом, в разобранном примере газ из шаров эквивалентен реальному газу по суммарному эффекту потери импульса. Однако если интересоваться изменением переноса какого-либо другого молекулярного признака, то эффективное сечение молекул- шаров эквивалентного по этому признаку газа может оказаться не равным о(!).

В дальнейшем, когда к нешарообразным молекулам с конечным или бесконечным радиусом действия будет применяться понятие длины пробега, то будет подразумеваться длина пробега, соответствующая тому или иному эффективному сечению. Так как во многих случаях длины пробега для переноса различных свойств имеют одинаковый порядок, то при качественных рассмотрениях будем говорить о длине пробега без указания свойства, к которому она относится.

Выше указывалось, что число dN молекул, выбывающих из пучка интенсивности N (х) в результате столкновений, в слое толщиной dx равно

dN = — N™.(4.3)

Если через сечение х —О проходит No молекул, то интенсивность потока в сечении х, очевидно, равна

N = Noe-x^.(4.4)

Число частиц, испытывающих столкновения между х и x-^dx, согласно (4.3) и (4.4) равно

dNx_x+dx = Noe-^^-,(4.5)

т. е., другими словами, вероятность того, что молекула пройдет без столкновений расстояние х и столкнется в элементе dx, равна

Г =(46)

Выше рассмотрены лишь две группы сталкивающихся молекул, сотнеic 1 пенно с плотностями п и nv Если имеется к групп молекул < нлоыюстямп Hi и скоростями "^^t—Aк), то можно ввести

.плины пробега каждой из групп относительно любой другой группы.

Длина пробега молекул z-Й группы относительно молекул /-Й группы равна

^И = Sijnjgij ’ ^Д = I ^’~ I/I'(4-7)

где oZy—сечение столкновения молекул z-ro сорта с молекулами /-го сорт.-i; а^ может зависеть от относительной скорости g^. Длина пробега /-молекул относительно /-молекул

(4-8)(4-8)Хп = —-—

(4-8)

(4-8)

,l ^AiSjl

и общем случае не равна Х^.

(4-9)(4-9)Можно ввести среднюю длину пробега молекул данного сорта, например сорта I, относительно любой совокупности групп молекул

(4-9)

(4-9)

2 °ОТ8и

где сумма 2 берется по всем группам молекул, относительно которых рассматривается длина пробега.

Наконец, для характеристики состояния газа как целого часто удобно ввести среднюю длину пробега по всевозможным столкновениям, которую можно определить, например, соотношением

х =А.(4.10)

Если все сталкивающиеся молекулы одинаковы и оЕ] = о не зависит от gtj, то средняя длина свободного пробега равна

(4.11)

где к/kх

^=42^^ ("^^(4J2)

/“1kI/

— средняя скорость молекул и Ь^МА<4-13)

— средняя относительная скорость. Обратим внимание на то, что длина пробега различна в различных инерциальных системах координат.

В заключение параграфа приведем некоторые характерные значения (по порядку величины) для введенных выше понятий.

Таблица 2

П, IjCM3

£, см/сек

X, см

т, сек

Тс, сек

Азот при давлении

100 атм и 300° К . . . .

1021

5-Ю4

ю-7

1О'И

ю-13

Воздух при нормальных условиях

1019

5 -104

ю-6

10~9

ю-13

Атмосфера Земли на высоте 100 км

1013

104

10“1

10~6

ю-15

Атмосфера Земли на высоте 300 км

ю9

105

105

1

цг13

Атмосфера Земли на высоте 3000 км

103

Как видно из приведенной таблицы, время между столкновениями т много больше времени столкновения тс даже при давлениях порядка сотен атмосфер. Поэтому можно считать, что ббльшую часть времени молекулы движутся в поле внешних сил (в отсутствие таких сил — прямолинейно), резко изменяя направление и скорость при кратковременных столкновениях.

Элементарная кинетическая теория

В этом параграфе приводится элементарное рассмотрение с кинетической точки зрения основных понятий теории газов. Рассмотрение является весьма грубым. По существу, это оценка порядков величин. Однако с помощью элементарного рассмотрения удается выяснить основные качественные закономерности. Рассматриваемые ниже элементарные подходы оказываются полезными и при анализе более сложных явлений (см., например, § 6.6).

С молекулярной точки зрения давление газа на стенки сосуда есть результат передачи импульса молекулами, ударяющимися

о стенку. Пусть газ находится в сосуде с характерным размером L, и пусть числовая плотность молекул газа равна п, а средняя скорость с. Если газ находится в равновесии со стенками, то средняя скорость молекул, отскакивающих от стенки, равна средней скорости падающих на стенку молекул. В среднем р5в единицу времени каждая молекула испытыва

ет c(L столкновений со стенкой, передавая при каждом столкновении стенке импульс 2жс. Импульс, передаваемый единице поверхности в единицу времени (давление р), следовательно, равен 'p^-mnc-,(5.1)

IОпределим температуру газа как меру сред-

-L ней кинетической энергии молекул соотношением

Рис. 4.^кТ^^,(5.2)

где к — постоянная Больцмана. Тогда соотношение (5.1) можно переписать в виде

p — kTn,'(5.3)

т. е. получаем уравнение состояния идеального газа.

Из определения (5.2) следует, что тепловая скорость молекул имеет порядок скорости звука а:

(и — отношение теплоемкостей). Этой оценкой мы будем ниже неоднократно пользоваться.

Если имеется смесь N газов, находящихся при одной и той же температуре Т, то, очевидно,

NNN

= ^р\(5.4)

где pv—парциальное давление v-компоненты смеси. Формула (5.4) выражает закон Дальтона.

Рассмотрим процесс адиабатического равновесного сжатия. Пусть газ в сосуде сжимается под действием поршня (рис. 4), скорость которого равна о. Для того чтобы процесс был обратимым, скорость у будем считать малой, в пределе равной н}глю. За время A# поршень проходит расстояние Ax = wAA За это же время молекула, двигающаяся в направлении х, столкнется с поршнем ckt]2x раз, так как между последовательными столкновениями с поршнем она Проходит расстояние, равное 2х. При каждом столкновении с поршнем молекула приобретает скорость 2v. Следовательно, за время AZ

молекула приобретает энергию

т /, сиД^Х2 тс2Кх « &п

-п-- —— = тсг— = тс2—.

2 \ 1 л /2хп

Это изменение средней энергии молекулы пропорционально изменению температуры:

3 ,9 Ая Ал

2п г п?

Вводя удельный объем V = Цм, получим хорошо известное в термодинамике соотношение:

р dV ~ — cv dT,р dV ~ — cv dT,3 кCv-"21S"-3 кCv-"21S"-(5-5)(5-5)

р dV ~ — cv dT,

р dV ~ — cv dT,

3 к

Cv-"21S"-

3 к

Cv-"21S"-

(5-5)

(5-5)

где Су — теплоемкость, приходящаяся на одну молекулу.

Рассмотренные выше явления для идеального (не ван-дер-вааль- совского) газа не зависят от законов взаимодействия молекул, а следовательно, и от длины пробега. Давление на стенку, например, не зависит от того, одна и та же молекула движется от стенки к стенке или же молекула, падающая на стенку, получила соответствующий импульс от другой молекулы в результате столкновений.

Рассмотрим теперь простейшие процессы переноса молекулярных признаков, которые существенным образом зависят от длины пробега. Предположим, что в каждой точке течения газ находится в состоянии,

близком к равновесному. В этом случае тепловые скорости молекул, т. е. скорости молекул в системе координат, движущейся вместе с газом, по всем направлениям имеют одинаковый порядок. Средняя скорость, средняя квадратичная скорость и средняя относительная скорость теплового движения молекул также одного порядка, и поэтому ниже, между ними не будет делаться различия. С этой точностью в системе координат, движущейся с газом, длина пробега 1/яо.

Рассмотрим для простоты одномерное движение газа. Пусть вдоль оси х

меняется составляющая скорости газа uz—u. Две другие составляющие скорости будем считать равными нулю (рис. 5). Плотность, температуру и давление газа будем считать постоянными. В результате теплового движения молекулы пересекают площадку 00. Число таких

молекул пропорционально плотности п и средней тепловой скорости молекул с. Молекулы, пересекающие площадку 00, испытали последнее

столкновение в среднем на расстояниях порядка длины пробега X. Поэтому молекулы, пересекающие площадку 00 снизу вверх, несут импульс в направлении оси z порядка

m ийm ийда дхда дх

m ий

m ий

да дх

да дх

а молекулы, идущие вниз, — импульс

/. да А

т ип 4-т— X ,\ и 1 дх

где «о—скорость газа при X —0. Следовательно, импульс, переносимый тепловым движением молекул через единицу поверхности в единицу времени сверху вниз, порядка

тпсхД^.(5.6)

С макроскопической точки зрения перенос тангенциального импульса через площадку 00 равносилен напряжению трения

V^,(5.6а)

где р.— коэффициент вязкости. Сравнивая (5.6) и (5.6а), имеем

^^ntncX~^_V2mT ,(57)

Следовательно, коэффициент вязкости не зависит от давления и является функцией температуры. Для газа из молекул — твердых шаров (а = const) коэффициент вязкости р~]/гТ. Для максвелловских молекул сечение столкновения (см. § 1.3) обратно пропорционально относительной скорости молекул, а следовательно, и корню из температуры; в этом случае р—Т.

Если газ покоится, а температура меняется вдоль оси х, то энергия, переносимая тепловым движением молекул, по порядку величины равна

, д / me2 X , . дТпсХ — —=— I ■—- пекк —.дх \ 2 )дх

С другой стороны, поток тепла равен

, дТ

где Хт — коэффициент теплопроводности. Следовательно,

Хт—■ гасХХ~-^-р ^ с^р.(5.8)

г) го соотношение справедливо при любом законе взаимодействия молекул.

Рассмотрим теперь смесь двух газов с плотностями п№ и nW, В каждой точке оба газа имеют одинаковую температуру Т. Давление газа будем считать однородным. Пусть плотности nw и м(2) и температура меняются только вдоль оси х. Вместе с изменением температуры меняется и средняя тепловая скорость молекул

cW=V^ (v=L 2).(5.9)

Будем считать, что площадка 00 движется вместе с газом, так что молекулы переносятся через нее только благодаря тепловому движению. Если, как и выше, нижним индексом 0 обозначить величины, относящиеся к сечению 00, то число молекул v-ro сорта, проходящих снизу вверх, порядка

V дх К

Аналогично сверху вниз переносится

(«oV)+4—(5.10а)

\’ дх / \' дх /4

молекул.

Следовательно, общее .число молекул v-ro сорта, переносимых снизу вверх через единицу поверхности в единицу времени, равно по порядку величины

^_4v>+^L.ra(v)b(v).(5Л1)

\ дх 1 дх /

Скорость v-й компоненты газа равна

zz*v* =zz*v* =nWnW ‘nWnW ‘

zz*v* =

zz*v* =

nW

nW ‘

nW

nW ‘

Для относительной скорости компонент газа или скорости диффузии согласно (5.11) имеем

uW — ц№uW — ц№д/О) дЛ2)д/О) дЛ2)Л*1* дп1' ri) дх °Л*1* дп1' ri) дх °Х<2> п^Х<2> п^ди® (2) । де*1) р (1) дс® , (2)дх ' дхдх .ди® (2) । де*1) р (1) дс® , (2)дх ' дхдх .(5.12)(5.12)

uW — ц№

uW — ц№

д/О) дЛ2)

д/О) дЛ2)

Л*1* дп1' ri) дх °

Л*1* дп1' ri) дх °

Х<2> п^

Х<2> п^

ди® (2) । де*1) р (1) дс® , (2)дх ' дхдх .

ди® (2) । де*1) р (1) дс® , (2)дх ' дхдх .

(5.12)

(5.12)

Обозначим через nW — nW,n концентрации компонент смеси. Очевидно, парциальное давление pW равно

pW=nWfeT=:№Wp.

28

Сл едовательно, dnIV1 р / 1пУ дТ \

— _"2 /с: 1 оа дх к \Т дх кТг дх Г

Подставляя это выражение в (5.12) и заменяя c(v) через Т согласно (5.9), получим для скорости взаимной Диффузии следующее выражение:

„„1 /дп^1 дТ\

КП)_Й(2)___^0 „+£)I(5 И)

гао '<хТ дх )

где

012 ~ V ^^ ^!^ v^ +/^)

—- коэффициент взаимной диффузии и

dt ~ /iSr(z<2)z<!) v^п№

— коэффициент термодиффузии.

Здесь учтено, что п^ Д- п^ — 1 и, следовательно, дир? _ ^L.

дхдх

Длина пробега Х^ по порядку величины равна

~r(V)=

nmowcw + п№ (C|v) + с^) Оуц

=1,(V, ц = 1. 2). (5.15)

^vv+Avn^ + y

где ovv — сечения столкновений v-молекул между собой и

=«=«»=^(y^+V¥T

— сечение столкновений молекул разных сортов. Из (5.15) видно, что в общем случае длины пробега Х1'1'’ и Х^11 различны.

Если У^ХУ то более тяжелые молекулы диффундируют в более холодную область. Если массы молекул равны, то в холодную область диффундируют молекулы с большим сечением столкно-

вения. Если массы молекул равны и X*1' = ^\ то термодиффузия отсутствует. Коэффициенты диффузии обратно пропорциональны давлению.

Установленные качественные закономерности подтверждаются точной теорией.

Иногда теорию, подобную только что рассмотренной, называют теорией средней длины пробега. Теория может быть уточнена путем введения нескольких длин пробега или путем более точного учета распределения молекул по скоростям. При этом уточнение результатов, естественно, достигается за счет усложнения анализа.

Глава II

Уравнения кинетической теории газов

. Описание движения системы многих частиц

Рассмотрим газ, состоящий из N одноатомных молекул. Будем считать, что состояние молекулы полностью определяется ее координатами лу (вектором х) и компонентами скорости ее поступательного движения с,{ (вектором g), где г=1, 2, 3, т. е. не будем учитывать возможного возбуждения внутренних степеней свободы (вращательных, колебательных и электронных уровней). Все молекулы будем считать одинаковыми. Если в момент времени 1=0 заданы положения и скорости всех молекул, то дальнейшее поведение системы полностью описывается системой N уравнений Ньютона

т^=Хк (А=1, 2, ..., N), (1.1)

где Хк—сила, действующая на А-ю молекулу, и т— масса молекулы.

Однако если даже предположить, что имеются вычислительные средства для решения огромного числа1) уравнений (1.1), то и и этом случае очевидно, что такое описание движения газа является излишне полным, ибо невозможно осмыслить всю информацию, получаемую в результате такого решения. Кроме того, мы не располагаем начальными данными, необходимыми для решения системы (1.1). Поэтому приходится прибегать к менее полному статистическому описанию поведения системы.

Назовем ^-фазовым пространством или просто у-пространст- пол! 6-мерное пространство, в котором состояние молекулы определяется тремя ее пространственными координатами и тремя соста- пляющими ее скорости. В у-пространстве система N молекул изображается N точками с координатами (xt, gz), где /=1, ..., N.

Часто удобно пользоваться б-М-мерным фазовым пространством нлп \'-пространством, координатами которого являются декартовы

') Напомним, что в 1 см5, при атмосферном давлении находится 1019 мо- леаул, а па высоте 300 км— 109 молекул. В самых совершенных вакуумных успиювках в 1 см1 находится 107— 108 молекул.

координаты и составляющие скоростей всех N молекул. В таком пространстве вся система из N молекул изображается одной точкой.

Вместо того, чтобы говорить об истинном состоянии системы многих частиц, будем говорить о вероятности нахождения системы в том или ином состоянии. Пусть

F Х^ • *" N’ *®n) dr N ^N ~ FnV’ ^Р • • • ’ ^n) dZ\ • • • ^ N =

= F^ (t, xp .. ., Xyy, ^, ..., E,^) <ZXj ... dxN d^x . .. dx N ^dx = dxxdx<>dxa, d^ = d^xd^2d^a, z = (x. §),

dz=dxd^, rN = (xv xN\ vN = (lx, .... ^))

— вероятность нахождения системы в состоянии со значениями rN, vN в интервале drNdvN около точки (rN, vN) в Г-пространстве, FN— функция плотности вероятности.

Если все молекулы одинаковы, то от перестановки (перемены местами) молекул в у-пространстве состояние системы не меняется. Однако каждой перестановке (перенумерации точек) в у-пространстве в Г-пространстве соответствует новая точка. Поэтому одному и тому же облаку из N одинаковых молекул в у-пространстве в Г-пространстве соответствует N\ точек. При этом N\ точек распределены так, что функция FN(t, zv .... zN) симметрична относительно переменных zv Если

f N^> -^р • • • ’ XN« Sp • • • , §/v) ^1 • • • dXN d^x • • • d^N есть вероятность нахождения системы в точках (xt, £;) у-пространства в интервалах dxt d^t, то, очевидно, с учетом перестановок

Уд, dxx . . . dxN d^x . .. d^^ — /V! F^ dr^ dv^.

Для менее детального описания системы введем функции

F$^> zi« • • •• ^^^(t, хх,xN, |р . .., ^) =

— J FN(t, zx z^ dzs+x . dzN. (1-2)

Функция Fs определяет вероятность одновременного обнаружения s молекул в состоянии (zlt ..., zs) независимо от состояний остальных N — s молекул.

Соответственно

fs^, ZV^s) = (ДГs)[ ^s(^ Z12S).

Все функции F^^O и нормированы таким образом, что

J Fn dzx ... dzN = 1 и J Fs dzx .. . dzs = 1.

В дальнейшем нас будет интересовать главным образом одночастичная функция распределения Fx(t, х, |), определяющая вероятность нахождения в момент времени t одной частицы в элементе фазового пространства dxA d^x в окрестности точки (xv gj. Как будет видно из дальнейшего, функции Рг достаточно для описания движения газов умеренной плотности, составляющих предмет настоящей книги. Состояние более плотных газов зависит от взаимного расположения двух молекул (определяется бинарной функцией распределения) и т. д.

Для идентичных молекул функция

fit, х, ^dxd'^NF^t, xv lx)dxdl(1.3)

есть ожидаемое число молекул в элементе объема физического пространства dx около точки х, обладающих скоростями в элементе пространства скоростей de, около точки |.

Функция распределения /(С х, |) является основной во всей кинетической теории газов. Однако и эта функция дает излишне детальное описание газа. В результате какого-либо эксперимента мы можем получить лишь некоторые осредненные величины, такие, как плотность газа, его скорость, тензор напряжений или поток энергии. Поэтому в подавляющем большинстве задач нас интересуют именно эти осредненные характеристики. Но, как будет показано ниже, гидродинамическое описание газа возможно лишь при достаточно малых длинах пробега молекул. В общем же случае приходится решать задачу на молекулярном уровне, т. е. отыскивать функцию распределения /(С х, §), а затем путем ее усреднения переходить к интересующим нас макроскопическим величинам.

Из определения функции / легко видеть, что число молекул в единице объема газа п равно

HF х) = J/(C х, §)^,(1.4)

где интегрирование ведется по всем возможным скоростям молекул. Аналогично средняя скорость молекул, тензор напряжений и вектор потока энергии определяются соотношениями:

и (t, Х) = ™ j y(t, х, ^d^,(1.5)

Рц = т J CjCtftt. x, ^)d^,(1.6)

qt=^; ^ c2c.J(f, x,^)d^.(1.7)

Здесь c=|— и — тепловая, или собственная, скорость молекул.

Среднюю энергию теплового движения молекул характеризуют обычно температурой, определяемой в кинетической теории газов

i «отношением-

/ ^?^ х> ^w <L.8)

|де к—постоянная Больцмана. Коэффициент при Т в соотношении (1.8) выбран таким образом, чтобы в равновесном состоянии доля энергии, приходящаяся на каждую из поступательных степеней свободы, равнялась бы Ч^кТ.

Введем также величину

Р = у(-Рп + -Р22+-Рзз)-(1-9)

совпадающую с обычным давлением при гидродинамическом описании газа. С помощью (1.6) и (1.8) соотношение (1.9) можно переписать и виде

p = nkT.(1.10)

Заметим, что тензор Рц симметричный и что введенные темпера- ।ура Т и давление р не являются независимыми параметрами, так как они представляются через компоненты тензора Ptj. Поэтому при i идродинамическом описании газа участвуют всего тринадцать независимых величин. Вместо тензора напряжений (1.6) часто удобней использовать тензор

Ptj = ptj—^HP-(Ln)

В заключение заметим, что связь между функциями распределения разного порядка не взаимно однозначна. Действительно, пусть в мо- мепт времени / ^0 задана функция Ps при 1 С s < N. Так как Fs миляется интегралом от PN, то, очевидно, существует целый класс функций {/''д/(9)Ь соответствующих одной и той же функции ^(О). И произвольный момент времени t > 0 семейству начальных состояний системы {^дг(О)) соответствует семейство состояний {^\(0)> каждому из которых соответствует своя функция Р,^, т. е. одной функции Fs^F) соответствует, вообще говоря, целое семейство функций (ДД^)), т. е. описание движения газа на уровнях s < N неоднозначно. Для того чтобы сделать это описание однозначным, необходимо ограничить класс рассматриваемых функций PN, т. е. ограничить класс рассматриваемых явлений.

Если, например,

Р^(Р ^j, . . xN, ^дг) =

= ^i (^ яр §i)^i(^ хч> §2) ••■ ^1 (^ XN* iw)’ (1-12) то начальной функции Рх (0) соответствует единственная функция Fn(0) и описание движения газа с помощью функции Рх однозначно. Условие (1.12) выполнено, если вероятности нахождения каждой из

3 М. Н, Коган

молекул системы в том или ином состоянии независимы. Это условие называют условием .молекулярного хаоса. По-видимому, реальные газы всегда удовлетворяют этому условию). Ниже рассматриваются лишь системы, удовлетворяющие предположению о молекулярном хаосе.

Уравнение Больцмана)

Рассмотрим газ, в котором время между столкновениями т много больше времени столкновения тс. Как отмечалось в § 1.4, этому условию удовлетворяют как разреженные, газы, составляющие основной предмет настоящей книги, так и весьма плотные в обычном понимании газы при давлениях порядка десятков и сотен атмосфер.

Как уже отмечалось в §1.1, нас будут интересовать лишь идеальные газы, т. е. газы, в которых объем, занятый молекулами, мал по сравнению с объемом, занятым газом. Если d—эффективный диаметр молекулы, то асимптотически в идеальном газе nd = с —> 0, где я — число молекул в единице объема. Назовем идеальный газ газом Больцмана, если отношение длины пробега молекул в этом газе к характерному размеру течения L конечно, т. е. если

Lnd3 = const при nd3 О,

гак как длина пробега обратно пропорциональна nd2 (см. § 1.4). Если одновременно

Lnd'2—>0 и ж/з^о,

то такой газ будем называть газом Кнуосена. В таком газе столкновения молекул несущественны. Ниже рассматривается больцманов- ский газ.

Движение молекулы между столкновениями полностью определяется внешними силами и не зависит от положения и скоростей других молекул. Поскольку молекулы подавляющую часть времени не взаимодействуют друг с другом, то состояние газа можно описать одночастичной функцией распределения /(/, х. |), определенной в предыдущем параграфе. Взаимное расположение молекул сказывается лишь в момент столкновения. При тс<^т, очевидно, вероятность тройных столкновений много меньше вероятности парных столкновений, и ими можно пренебречь.

Согласно определению функции / в элементе физического объема dx около точки х в момент времени t вероятное число молекул со скоростями в элементе d^, около | равно f(t, х, ^dxd^,.

Очевидно, что элемент объема dx должен быть достаточно малым, чтобы изменения функции / в пределах этого элемента были малыми.Очевидно, что элемент объема dx должен быть достаточно малым, чтобы изменения функции / в пределах этого элемента были малыми.В то же время этот элемент неВ то же время этот элемент недолжен быть слишком малым, так как относительная флуктуация функции / обратно пропорциональна корню из числа частиц в элементе. Поэтому необходимо, чтобы Уп dx^> 1, т. е. чтобы в элементе было достаточно большое число частиц.Если молекулы не испытывают столкновений, то в момент времени t^dt все эти молекулы окажутся в элементе объема dx около точки х4- ^dt и будут обладать скоростями в элементе d^ около скорости ^^r^m^dt, где X0(t, х)—внешняя сила, действующая на молекулу. (Очевидно, что сила X0(t, х) должнадолжен быть слишком малым, так как относительная флуктуация функции / обратно пропорциональна корню из числа частиц в элементе. Поэтому необходимо, чтобы Уп dx^> 1, т. е. чтобы в элементе было достаточно большое число частиц.Если молекулы не испытывают столкновений, то в момент времени t^dt все эти молекулы окажутся в элементе объема dx около точки х4- ^dt и будут обладать скоростями в элементе d^ около скорости ^^r^m^dt, где X0(t, х)—внешняя сила, действующая на молекулу. (Очевидно, что сила X0(t, х) должнаРис. 6.Рис. 6.меняться внутри элемента dxменяться внутри элемента dxи за время dt.) Следовательно, в этом случаеи за время dt.) Следовательно, в этом случае

Очевидно, что элемент объема dx должен быть достаточно малым, чтобы изменения функции / в пределах этого элемента были малыми.

Очевидно, что элемент объема dx должен быть достаточно малым, чтобы изменения функции / в пределах этого элемента были малыми.

В то же время этот элемент не

В то же время этот элемент не

должен быть слишком малым, так как относительная флуктуация функции / обратно пропорциональна корню из числа частиц в элементе. Поэтому необходимо, чтобы Уп dx^> 1, т. е. чтобы в элементе было достаточно большое число частиц.

Если молекулы не испытывают столкновений, то в момент времени t^dt все эти молекулы окажутся в элементе объема dx около точки х4- ^dt и будут обладать скоростями в элементе d^ около скорости ^^r^m^dt, где X0(t, х)—внешняя сила, действующая на молекулу. (Очевидно, что сила X0(t, х) должна

должен быть слишком малым, так как относительная флуктуация функции / обратно пропорциональна корню из числа частиц в элементе. Поэтому необходимо, чтобы Уп dx^> 1, т. е. чтобы в элементе было достаточно большое число частиц.

Если молекулы не испытывают столкновений, то в момент времени t^dt все эти молекулы окажутся в элементе объема dx около точки х4- ^dt и будут обладать скоростями в элементе d^ около скорости ^^r^m^dt, где X0(t, х)—внешняя сила, действующая на молекулу. (Очевидно, что сила X0(t, х) должна

Рис. 6.

Рис. 6.

меняться внутри элемента dx

меняться внутри элемента dx

и за время dt.) Следовательно, в этом случае

и за время dt.) Следовательно, в этом случае

Hi, х, ^)dxd^ = f^ + dt, x^^dt, l j~^d^dxdl (2.1)

Однако в действительности эти две величины отличаются друг от друга, гак как в результате столкновений часть A dxd^dt из рассмат- рпваемой нами группы молекул изменит свою скорость и в момент / | <Н не попадет в элемент фазового пространства dxd^, около точки (х ( ^dt, §4" (^о/™) dt). С другой стороны, в этом элементе в момент времени t-\-dt в результате столкновений может оказаться \v dxd^dt молекул, не находившихся в момент t в элементе dxd^ около точки (х, ^).

Таким образом,

/ (/ 4 dt, x-V^dt, §4-™dt^ dxd^, =

= /(H X, ^)dxd^, + (^—^dxd^dt. (2.2)

Определим число молекул A' dxdbdt, покидающих в результате столкновений рассматриваемую группу молекул, движущихся со скоростью £. Рассмотрим столкновение одной из молекул группы (^-молекулу) с молекулой, движущейся со скоростью ^ (с ^-молекулой). Проведем через ^-молекулу прямую (рис. 6), параллельную вектору относительной скорости §-=^—§. Примем эту линию за ось

цилиндрической системы координат 2, Ь, е. Сделанное в начале параграфа предположение о малости времени столкновения тс по сравнению с временем между столкновениями равносильно предположению о малости расстояния, на котором сказываются межмолекулярные силы, по сравнению с длиной свободного пробега. Поэтому можно считать, что на некотором расстоянии zQ от ^.-молекулы траектории gf-молекул практически не возмущены. Через элемент b db de плоскости zQ = const за время dt проходит

f(t, х, ^ gb db de dt(2.3)

gj-молекул. Для получения полного числа столкновений, испытываемых ^.-молекулой, выражение (2.3) нужно проинтегрировать по всем углам 8, по всем прицельным расстояниям b и всем скоростям ^; тогда получим

dt ^ f(t, х, Si) Kb db de d^.(2.4)

Отсюда общее число столкновений, испытываемых всеми ^-молекулами в элементе dx d^, очевидно, равно

A- dt dxd^ = dt dx d^, f (t, x, yj /^t, x, £) gb db de d%x. (2.5)

В результате столкновения, характеризуемого углом 8 и прицельным расстоянием Ь, |- и ^-молекулы приобретут соответственно скорости ^ и ^J. Будем считать потенциал взаимодействия молекул обладающим сферической симметрией. Тогда (см. § 1.3)

g = g', b = b' и 8 = 8',(2.6)

где штрихами отмечены соответственно относительная скорость и прицельное расстояние молекул после столкновения. Если |'- и ^-молекулы столкнутся с прицельным расстоянием Ь'= Ь, то, как показано в § 1.3, в результате столкновения они приобретут скорости соответственно § и ^. По аналогии с соотношением (2.5) имеем

Д + dt dxd^ = dt dxd% J f(t, x, '^fft, x, ^g'b' db' de'd^. (2.7)

В отличие от выражения (2.5) здесь функция / (t, х, §') не может быть вынесена из-под знака интеграла, так как каждому значению скорости £' соответствует такая скорость £', чтобы в результате столкновения ^'-молекула приобрела скорость £. Далее из теоремы Лиувилля о сохранении фазового объема имеем

d^d^d^d^.(2.8)

*) См., например, Зоммерфельд А., Термодинамика и статистическая физика, ИЛ, 1955. Этот факт легко также установить непосредственным вычислением якобиана преобразования.

Подставим выражения (2.5) и (2.7) в уравнение (2.2), заменим е', b', g' и d^'d^'v с помощью соотношений (2.6) и (2.8) и разложим левую часть (2.2) в ряд по dt; сокращая на dtdxd'i» получим

^=s + S'n- + 5'4=J(2.9)

где !)■

. f = f(t,x, у, h = f(t,xAxY f = f(t,xA'),

Это уравнение является основным уравнением кинетической теории газов. Его называют обычно уравнением Больцмана или Максвелла — Больцмана. Интеграл, стоящий в правой части уравнения, называется интегралом столкновений.

Следует заметить, что при выводе уравнения Больцмана мы следим за молекулами вдоль их фазовой траектории. Поэтому для вывода уравнения (2.9) необходима, лишь дифференцируемость функции распределения вдоль фазовой траектории, т. е. существование производной dfjdt, в то время как производные df)dx, df)d^ и dffdt могут и не существовать.

При выводе уравнения Больцмана мы сделали ряд существенных предположений ). Во-первых, мы ограничились учетом лишь парных столкновений, что оправдано разреженностью газа.

Очевидно, что вероятность столкновений двух молекул определяется бинарной функцией распределения F^t, xv |р х2, §г)- Второе наше предположение состояло в том, что мы считали вероятности нахождения молекулы 1 в фазовой точке (х,, |,) и молекулы 2 в точке (х,, £,) независимыми, т. е. полагали

х\, §1, Х2, ^&) — Fx(t"\? хР §[) Ft (t, х2, ^2)-

Эго предположение называют предположением о молекулярном. хаосе.

Наконец, третье предположение состояло в том, что мы считали одинаковой вероятность столкновения молекул с любым прицельным расстоянием, т. е. предполагалось, что функция f (t, xv gj) не изменяется на расстояниях порядка диаметра взаимодействия и что /(/, х„ ^^/(t х, §0.

*) Для любого вектора а = (ab а2, а3)

да 1 дах '1г да2 ' 3 5а3 ’

где <|, /2, /3 — орты декартовой системы координат.

Рассмотрим простой пример механической системы. Пусть имеются

две упорядоченные группы молекул — твердых шариков (рис. 7). Диаметры шаров d будем считать малыми по сравнению с шагом h. Легко видеть, что эта система не удовлетворяет третьему предположению. Действительно, если прицельное расстояние d<_b<,h— d.

лекулы приобрелилекулы приобрелито молекулы вообще не сталкиваются. При b <_d все молекулы сталкиваются с одним и тем же прицельным расстоянием, и поэтому после столкновения молекулы каждой из групп опять обладают одинаковой скоростью. Если бы мы рассмотрели эти же группы молекул в рамках предположений, использованных при выводе уравнения Больцмана, то каждая молекула одной группы могла бы столкнуться с-молекулой другой группы с любым прицельным расстоянием. В результате после столкновения мобы целый спектр скоростей. Очевидно, что по

лекулы приобрели

лекулы приобрели

ведение системы в этих двух случаях совершенно различно. Следо

вательно, уравнение Больцмана применимо только к неупорядоченным

системам. Теоретически упорядоченная механическая система мо.жет сколь угодно долго оставаться упорядоченной (это особенно легко видеть на примере системы, показанной на рис. 7, при 6 = 0). Однако в действительности всегда имеется некоторый разброс в начальных данных. Для молекулярных систем наличие разброса следует из принципа неопределенности Гейзенберга. Действительно, рассмотрим, например, пучок молекул, налетающий на .молекулу. Если Аб—разброс в прицельных расстояниях и А^ — разброс в поперечной скорости (AE,j_/^—расходимость пучка), то согласно принципу

неопределенности

т Аб А? >> й,

где 6= 1,054- Ю-27 эрг)сек—постоянная Планка. Для оценки примем A^j_= 104 CMjceK (при £ —' 105 см^сек) и т= 10-"3 г (масса протона равна 1,67 • 10-24 г). Тогда для разброса в прицельных расстояниях получаем оценку Аб—1О'~8 см, т. е. порядка диаметра молекул. Чем больше разброс в начальных данных, тем меньшее число столкновений необходимо для ликвидации порядка. Приведенная грубая оценка показывает, что в молекулярных системах всегда имеется значительный разброс, и поэтому можно считать молекулярные системы неупорядоченными. Более того, очевидно, что наличие разброса (неопределенности в прицельных расстояниях) должно в результате столкновений приводить и к хаосу в указанном выше смысле (к независимости), даже если молекулы коррелированы в начальный момент. Следовательно, можно ожидать, что для установления

молекулярного хаоса необходимо время порядка времени между столкновениями.

Уравнение Больцмана может быть применено для описания процессов, происходящих за время между столкновениями или меньшее, но много большее времени столкновения. В этих случаях необходимо, чтобы условие хаоса выполнялось уже в начальный момент. В подавляющем большинстве случаев реальные молекулярные системы удовлетворяют этому требованию. В тех исключительных случаях, когда условие молекулярного хаоса в начальный момент или на границах нс выполняется, можно ожидать, что молекулярный хаос установится за время порядка времени между столкновениями.

Как мы увидим дальше, основанное на обратимых законах механики уравнение Больцмана описывает необратимые процессы. Именно, вводя предположения о молекулярном хаосе и неупорядоченности (разбросе, неопределенности) в прицельных расстояниях, мы отступили от чисто механического (детерминированного) обратимого описания движения системы. Вероятностный характер описания газа обусловлен также, вероятностными начальными и граничными условиями.

Обратимся опять к примеру, приведенному на рис. 7. Если в такой системе в какой-то момент изменить знак времени, то скорости Молекул также изменят знак, и система пойдет в обратном напра- пак.чши через ту же последовательность состояний, что и на прямом нуги (изменен будет лишь знак у скоростей). Если же мы и при прямом и при обратном движении будем считать систему неупоря- .THTMt'iiiion (<>у.'юм допускать разброс), то, очевидно, прямой и обратный nvni ovayi различны, т. е. про- Щ| I I'Vici iii'oi'ipniHMbiM. В реаль-

ПЫХ мош кулирных (Ihu-m.tx мы[9

НМеьм именно пюроП случпП. иля I7

КИТорого только и имеет смысл

ypdlHHIHH I HUIbll.Mail.'l.,(

Можно несколько преоб- ту I pn.ioiiait. уравнение Больцмана для ' V / молекул и виде твердых сфер

диаметра </.

Обозначим через ф угол меж-Рис. 8.

л.у m-к юром относительной ско-

poi hi ,;> и линией центров молекул при столкновении (рис. 8). Легко пилеть, чю

b — (7зтф и db — d cos ф <7ф.

Ты да уравнение (2.9) можно переписать в виде

(2.10)(2.10)

(2.10)

(2.10)

40 УРАВНЕНИЯ КИНЕТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ГАЗОВ [ГЛ. II где & — единичный вектор вдоль линии центров в dQ = sin ф <7ф de— элемент площади единичной сферы. Интегрирование ведется по всей этой сфере. Поэтому интеграл необходимо разделить на два, чтобы не учитывать одни и те же столкновения дважды.

В § 1.3 показано (формулы (3.10), (3.11)), что для молекул со степенным законом взаимодействия угол отклонения % является функцией одного параметра

Поэтому для таких молекул целесообразно в уравнении Больцмана (2.9) заменить интегрирование по Ь интегрированием по р. Произведя замену переменных, получим

25 — 5

J (/^-//.^"р^^г(2.11)

Для максвелловских молекул 5 = 5 и уравнение принимает более простую форму, не содержащую явно g:

^ = (^Г / V'A - //1) р ^Р de ^r (2.12)

Благодаря этому упрощению максвелловские молекулы получили широкое распространение в теоретических исследованиях (см., например, § 3.3).

Еще большими математическими удобствами обладают так называемые псевдомаксвелловские молекулы, *). Это некоторые гипотетические молекулы, которым, строго говоря, не соответствует какой-либо потенциал взаимодействия. По определению псевдомаксвелловские молекулы—это молекулы, для которых уравнение Больцмана может быть представлено в виде

# (^Г J /'^Р dp da d^ -А/ \ f.d^,(2.13)

где

./ Iga: w2 Гл.

А = р dp de

\ т j J г 1

— некоторая константа. (Для максвелловских молекул А бесконечно.) Так как А = const, то интегрирование по р ведется до некоторого конечного р=ртах и первый интеграл в (2.13) ограничен.

Следует отличать псевдомаксвелловские молекулы от максвелловских молекул с «обрезанным» потенциалом, т. е. молекул с

’) Grad Н., Handbuch der Physik 12, 1958.

потенциалом вида

г^7 ПРИ Ь<Ь°'

I 0 при b > Ьо.

Для таких молекул пределы интегрирования по р зависят от g и переход от переменной b к переменной р не приводит к упрощениям, свойственным максвелловским молекулам. Псевдомаксвелловские же молекулы, обладая конечным эффективным сечением, сохраняют все удобства максвелловских молекул, что позволяет для них существенно упростить многие доказательства и расчеты.

Уравнению Больцмана можно придать несколько иную форму. Обозначим через U7(§, ^ | g', §') ^ 0 вероятность того, что в результате столкновения молекул со скоростями § и §, g-молекула приобретет скорость |', а ^-молекула— скорость g'. Тогда число молекул в единице объема, покидающих группу ^.-молекул в единицу времени, очевидно, равно

^di = dy J/.r^, ijr, ^d^d^d^.

Аналогично

A 1 d£, = d^ [ /7^ (V, g( 11, gj) d^,. d^ d^;

f.nc/iiitiiile/n.iio, уравнение Больцмана принимает вид

^J’|/7те''^Л)~/7^ ^|r.i;)HM^- (2.14)

Konupeiiii.tO вид функции W определяется свойствами взаимодействия молекул ц не зависит от вида функции распределения /.

В § 1.3 показано, что результат столкновения определяется относи н'лыюП скоростью молекул и прицельным расстоянием. Так как огпосптельпая скорость молекул одинакова до и после столкновения, то вероятность того или иного результата столкновений определяется Прицельным расстоянием. Если молекулы обладают сферическим потенциалом взаимодействия, то при столкновениях с одинаковым прицельным расстоянием молекулы со скоростями g и ^ приобретают (оответствепно скорости £' и |( и, наоборот, молекулы со скоростями £' и I' — скорости | и gP Следовательно, вероятность прямых И обратных столкновений одинакова, т. е.

«71. ijr.^)-<2J5)

Для молекул, удовлетворяющих условию (2.15), уравнение Больцмана (2.14) принимает вид.

% = J (/У;-//!)^. ^Г, ^МЧ (2.16)

Как уже отмечалось, вероятность W определяется относительной скоростью и прицельным расстоянием. Каждому прицельному расстоянию (при данной относительной скорости) соответствует определенный угол рассеяния у. Поэтому вероятность W (§, ^1^', ^Q можно заменить вероятностью рассеяния в данный телесный угол Wx (g, у). Тогда уравнение Больцмана можно переписать в виде

^= | (/У? —/Л)^!^ y)sinydydsd^. (2.17)

Между вероятностями перехода, прицельными расстояниями и дифференциальными сечениями столкновений о существует очевидная связь:'

gb db de = ga (у, g) sin у dy de =

= ^,(5-, y)sinydxde^U7(§, gjr, ^)<^- (2.18)

По существу, соотношения'(2.18) являются определениями введенных выше функций 1И и Wv

С использованием дифференциальных сечений уравнение Больцмана принимает вид

J kffx — ff^ga^L^^xxxd-LdedXx. (2.19) Часто уравнение Больцмана записывают в форме

<= j В(Д, g^f-fx-H^ded^,(2.20)

где

В^, ^) = ^|^-|(2.21)

и 2Д —л—у (см. § 1.3).

Для молекул со степенным законом взаимодействия (ср. (2. И))

25_д

В^, 8)==№=М.у-^тгг °'\ т /°1 du

В частности, для максвелловских молекул (s = 5) функция В не зависит от g, т. е. В = В (Д).

Заметим, что далеко не для всех молекул уравнение (2.14) может быть сведено к уравнениям в форме (2.16), (2.17) или (2.19). Соотношение (2.15) справедливо лишь для молекул с достаточной симметрией. Равенство (2.15) существенным образом опирается на тот факт, что при равных прицельных расстояниях в результате столк-

ВЫВОД УРАВНЕНИЯ БОЛЬЦМАНА ИЗ УРАВНЕНИЯ ЛИУВИЛЛЯ 43 новений происходят переходы g, g^>g', g' и g', ^->|, gP В § 1.3 для доказательства этого мы использовали преобразования инверсии пространства (замена х, у и z соответственно на —х, —у, —z) и времени (замена t на — t^. Легко видеть, что для молекул без достаточной симметрии нельзя сделать указанный вывод. Более того, при инверсии молекулы, не обладающие достаточной симметрией, перейдут в молекулы, которые нельзя совместить с рассматриваемыми путем поворота, т. е. перейдут в молекулы, обладающие другими свойствами, или, иными словами, в молекулы другого газа.

Вывод уравнения Больцмана из уравнения Лиувилля1)

В предыдущем параграфе дан вывод уравнения Больцмана непосредственно для одночастичной функции распределения /(#, х, g). Установим теперь связь уравнения Больцмана с общими положениями статистической механики.

Рассмотрим больцмановский газ, состоящий из достаточно большого числа N частиц. Будем описывать движение газа в бА/’-мер- ном фазовом Г-пространстве, координатами которого являются 3W декартовых координат частиц и 3N составляющих их скоростей. В этом пространстве система из N частиц изобразится точкой. Движение системы во времени изображается некоторой линией — фазовой траекторией системы. Следуя основной идее статистической механики, принадлежащей Гиббсу, будем рассматривать не одну систему, а целый ансаябль тождественных систем, распределенных по фазовому пространству в соответствии с ^-чacтичиoй функцией распределения

’ -^i ’ ■ ■ ’ ^n > ?н > ■ ■ ■ > ?а) ■

Вместо того чтобы утверждать (как это обычно делается в механике), что в некоторый момент времени t система находится в такой-то точке фазового пространства, будем говорить о вероятности нахождения в момент t системы в том или ином элементе фазового пространства, равной‘

dW = Fд, (t, Хр . . ., xN, gj, . . ., g/y) dx^ . . . dx^ dg, .. . dg/y — = FNdZ\ ... dzN = PNdz, (3.1)

где

dzt = dxt d^, dz = dz{ ... dzN.

>) Читатель, интересующийся лишь приложениями уравнения Больцмана, может выпустить этот параграф. Однако для более глубокого понимания как свойств уравнения Больцмана и области его применения, так и связи его С общими положениями статистической механики изучение этого параграфа необходимо. Подходы, примененные в этом параграфе, будут неоднократно использованы в дальнейшем.

Для краткости будем в дальнейшем применять также следующую запись:

F^ ^F Ад, . . ., xN, §j, . . ., ^дг) — FN (t, z^, . . ., Сд,) = F N (t, z\

Так как все молекулы одинаковы, то функция FN(tv г,, . .., zN) симметрична относительно N переменных zt (см. § 2.1).

Если представить ансамбль в виде достаточно большого (в пределе бесконечного) числа систем сЛ^, то плотность вероятности FN равна отношению числа фазовых точек ансамбля n(z) в единице фазового объема к e/jF.

Пусть в некоторый момент t0 фазовые точки ансамбля распределены в соответствии с заданной в этот момент времени плотностью вероятности. Каждая фазовая точка ансамбля изображает систему из N частиц, движущихся в соответствии с законами механики, т. е. се движение описывается N уравнениями Ньютона

m^^X^F zv ..., zN\ (Z = 1N\ (3.2)

где X-t — сила, действующая на /-ю молекулу.

Очевидно, что фазовые траектории различных систем ансамбля не могут пересекаться, так как если бы это случилось, то мы получили бы, что одна и та же механическая система (системы ансамбля тождественны) может двигаться различным образом при одних и тех же начальных условиях, что невозможно.

Движение ансамбля подобно движению газа с плотностью FN. Очевидно, что системы, составляющие ансамбль, не возникают и не исчезают в процессе движения. Поэтому общее число систем, входящих в ансамбль, не изменяется, т. е., на языке гидродинамики, нет источников и стоков. Следовательно, должно выполняться уравнение неразрывности, которое для А'-мерного пространства примет вид

+=(3.3)

где

d(z F ) д (dx, \ д (d^, dzt ' dxt " \ di Nj s

и x; и |г—радиус-вектор и скорость Z-й частицы системы. Очевидно, что х1=£,1 и согласно (3.2)

m^^X^F z).

Поэтому уравнение (3.3) преобразуется к виду

т + 1ь-^ + -^,№)-о.(3.0

4=1/=1

Это — хорошо известное уравнение Лиувилля.

Если сила, действующая на частицы, зависит только от координат частиц и не зависит от их скоростей, то в последнем члене Xt можно вынести из-под знака дифференцирования *); имеем:

Тг+26г^ + тг2а-^=о.(.= 1м. (3.5)

Z = 1Z = 1

Уравнение Лиувилля (3.5) утверждает, что плотность вероятности или плотность фазовых точек ансамбля постоянна вдоль фазовой траектории системы,

Боголюбовым, Кирквудом и другими авторами ) предложены общие методы, позволяющие получить из уравнения Лиувилля не только уравнение Больцмана, учитывающее лишь парные столкновения, но более общие уравнения, учитывающие тройные и множественные столкновения молекул. Эти методы служат основой для построения уравнений, описывающих плотные газы и жидкости. Следующее ниже изложение опирается на идеи работы Н. Н, Боголюбова. Мы также используем формализм метода многих масштабов ).

Как уже отмечалось в § 2.1, N-частичная функция FN дает излишне детальное описание процессов. Для получения уравнений, которым удовлетворяют функции распределения более низкого

*) Если сила перпендикулярна скорости движения молекулы, то она также может быть вынесена из-под знака дифференцирования, К таким силам относится, например, пондеромоторная сила Х= е/с (| X Н\ действующая на заряд, движущийся в магнитном поле Н.

порядка (s-частичиые функции распределения Fs при s < /V), проинтегрируем уравнение Лиувилля (3,5) по zs, р . zN:

С / дРдРX-^F м \

+\dzs + l ■ ■ ■ dzN=0. (3,6)

J I dt 1 A.4 dxtmos,i I 5 + 1x 7

\z=li = l/

Пусть газ находится в сосуде, объем которого равен V. Так как пределы интегрирования не зависят от времени, то в первом члене можно поменять порядок интегрирования и дифференцирования, и, следовательно, имеем

Г 6Р\дР,

J "дТ ^'ii ' ' ' 4zn = -T'(3J)

Точно так же можно поменять порядок действий и во втором члене при i <^ s;

\ V^r ^X-dzsVX . ..=(3.8)

jдхх 5+1 л ®г дх£х 7

z=i1=1

При t"^s--|-l имеем

Iлл Г ~ дРо+1 (Z, Zx. .Z,, Z;} ,...

J ^г " дх; dz^+l ' " ' dzN — J §z ' '^dxi d^i —-

= — J Fs+X(t, zxzs, z^- n)dS d^, (3.9) s"

где S — поверхность сосуда и n—нормаль к ней, направленная в сторону газа. Легко видеть, что последний интеграл определяет вероятность проникновения i-й частицы через стенку сосуда в то время, как s частиц находятся соответственно -в состояниях zv . . , . .., zs. Так как стенки непроницаемы, эта вероятность, а следовательно, и интеграл равны нулю.

Рассмотрим теперь последний член в уравнении (3.6). Так как энергия газа конечна, то плотность вероятности FN должна стремиться к нулю при £ — > оо. Поэтому интегралы

Г X,дР „Г д\

J "т д^" dzs« • ■ • dzN = J 5|” ' I ” Fn) dzs+l ■ • ■ dzN = 0

(3.10) равны нулю при l^-s-VX.

Для простоты будем считать, что внешних сил нет и что

N

2^;,№ = 0)-(З.И)

где Х^(хх, хр — сила, действующая на i-ю молекулу со стороны J-й молекулы.

Учитывая (3,10) и (3,11), третий член уравнения (3.6) перепишем в виде

А/» У\

+ 71•F.,,(t, z,z7dz\.

/=s+i/

Вследствие тождественности частиц это соотношение можно пере

писать в видеписать в виде(3.12)(3.12)

писать в виде

писать в виде

(3.12)

(3.12)

Собирая полученные результаты, окончательно для s-часгичной функции распределения имеем

(3.13)(3.13)

(3.13)

(3.13)

Полагая последовательно s=l, 2получим цепочку уравнений Боголюбова *). Важно отметить, что в уравнение для функции Fx входит функция F2, в уравнение для F2 входит функция F3 и, вообще, в уравнение для Fs входят функции Fs+V т. е. мы имеем зацепляющуюся систему уравнений. Силы ЛОу предполагаются быстро убывающими по мере увеличения расстояния между молекулами i и j. Поэтому стоящие в левой части уравнений (3.13) члены вида

ку dr sт Ohотличны от нуля лишь в малых областях порядка радиуса взаимо-действия молекул d. Внутри же этих малых областей эти члены

являются определяющими, гак как имеем очевидную оценку

Е2

тт(3-14)(3-14)дер

т

т

(3-14)

(3-14)

где Е,ср — средняя скорость молекул. Эти пикообразные члены входят во все уравнения, кроме уравнения для Fv Поэтому можно ожидать, что функции Fs при s 5^ 1 могут резко меняться в областях порядка диаметра взаимодействия молекул, в то время как функция Рг будет мало меняться на этом масштабе.

Приведем уравнения (3.13) к безразмерному виду, введя безразмерные величины соотношениями:

(3.15)(3.15)— ^ср t

(3.15)

(3.15)

ХцXtjd

тЕс2рт ’

Безразмерные величины |, —~ и Fs имеют порядок единицы ).

Переходя в уравнениях (3.13) к безразмерным величинам, имеем (черточки над безразмерными величинами опускаем)

Здесь мы пренебрегли s по сравнению с N. Тот факт, что мы сначала считали газ заключенным в конечном объеме V, не является существенным. Можно перейти к пределу V —>со при N—>со и п = NIV = const. При этом система уравнений (3.16) не изменится.

Естественно искать решение уравнений (3.16) в виде рядов по малому для больцмановского газа параметру г:

FAF хг ^ ^^ ^' ^П^- ^ М+ ... (3-17)

ВЫВОД УРАВНЕНИЯ БОЛЬЦМАНА ИЗ УРАВНЕНИЯ ЛИУВИЛЛЯ 49 Уравнения (3.16) можно переписать в форме

п Р

==(3.18)

где D^Dt означает полную производную по времени от функции Fs вдоль фазовых траекторий взаимодействующих лишь между собой s молекул. Пусть рассматриваемые s молекул в момент времени t = t0 находятся соответственно в фазовых точках ^(^0). Пусть, взаимодействуя лишь друг с другом, в момент времени t они окажутся в фазовых точках гД^). Тогда из уравнения (3.18) имеем

F^t, zv(t\ ..., zsO — F^t0, z^), . .., zs(t0)) = t

— f. j" 7(t, zx (t), . .., гДт))йт. (3.19)

Это уравнение утверждает тот очевидный факт, что s-частичная функция распределения вдоль фазовых траекторий s молекул изменяется лишь в результате взаимодействия (столкновений) с другими молекулами.

Подставляя ряд (3.17) в уравнение (3.19) и приравнивая коэффициенты при равных степенях 6, получим:

f°(O=f“(/o).

F'!8(t)= Fl(ta)+ J J^^dT, (v=l, 2, . . .). (3.20) t,

Из этих уравнений следует, что функции F® постоянны вдоль фазовых траекторий и что они полностью определяются их начальными значениями. Поэтому при определении F* интегралы J^F^^ являются заданными функциями, вообще говоря отличными от нуля. Безразмерная разность t—^0 = О(1) в течение времени порядка времени столкновения. Следовательно, когда время, в течение которого мы следим за молекулами вдоль их фазовых траекторий, становится много больше времени столкновения, функции Fxs неограниченно растут. Поэтому решение в виде ряда (3.17) пригодно лишь для описания процессов, происходящих в течение времени порядка времени столкновения. И это не удивительно. По существу, этот результат был уже предопределен принятой структурой функций F^, когда мы предположили, что эти функции зивисят лишь от переменных xjd и £/тс, и тем самым предположили, что d и тс являются единственными характерными масштабами явления. В действительности же функции Fs могут меняться на основную величину за времена и на длинах различного масштаба,

4 М. Н. Коган

Из физических соображении ясно, что, кроме диаметра взаимодействия d и времени столкновения тс, важную роль должны играть длина пробега А, и время между столкновениями т, а также характерный размер течения L и характерное время течения 0. Для краткости мы будем в дальнейшем называть эти масштабы d-, X- и L-масштабами соответственно.

Безразмерные уравнения (3.16) содержат лишь характерные величины d-масштаба и параметр е. Поэтому решение этих уравнений может зависеть, кроме переменных t и х^ также от переменных it, №. ..., х^, х;с? и т. д. Кроме того, через начальные и граничные условия в решение должны войти характерная длина течения L и характерное время в. Следовательно, решение конкретных задач для уравнений (3.16) должно иметь структуру

Fs=Fs^o- х№ €^ «ю- 6%. ..., ^-/0, d тс , d\

Fs (Хо» ^10* ^V *^’/1з ■ - - » ^э ^IL3 ' • ° * ^P ^)« (^' 1> - • • , ^), (3.21)

где

^=^0, /V = 6V/O,^=^/0,X.^-^X^.

Переменные /0 и хю—это переменные в d-масштабе. По определению 6=n,da и Х = \!nda = d/e. Поэтому

X:X. ,, t t

Следовательно, переменные tv Хц являются переменными в А,-мас- штабе. Переменные /.-масштаба tL и xlL можно переписать в виде

~" "q" ^о — ^1^0’

xiL — l Х№ — XL X‘° — еёЛо!

где e, ~ t/0 ~ X[L = Kn — параметр, характеризующий отношение длины пробега (времени между столкновениями) к характерной длине (характерному времени) течения. Этот параметр называют числом Кнудсена. Число Кнудсена в общем случае произвольно. Здесь мы интересуемся асимптотической теорией при с—>0 при произвольных, но фиксированных X и L. Поэтому при разложении по 6 мы должны принимать параметр бг фиксированным.

Разложим функции Fs в ряд по е:

Sq^jC^o- хю> \' xi\L' xiv ?/)£V’(3.22)

dF'1

/of'

dF’

dt

^0

61 "d?7

dF,

dF^ !/

dFxs

dF°s

dP°s \

dxt

dx ’\

lO

дхю

dx[v

rei ax > • • 0XiL /

Тогда для производных по 1 и х; имеем:

(3.23)

Подставляя ряд (3.22) и производные (3.23) в уравнения (3.16) и приравнивая коэффициенты при равных степенях е, получим:Подставляя ряд (3.22) и производные (3.23) в уравнения (3.16) и приравнивая коэффициенты при равных степенях е, получим:(3.24)(3.25)(3.25а)(3.26)(3.24)(3.25)(3.25а)(3.26)

Подставляя ряд (3.22) и производные (3.23) в уравнения (3.16) и приравнивая коэффициенты при равных степенях е, получим:

Подставляя ряд (3.22) и производные (3.23) в уравнения (3.16) и приравнивая коэффициенты при равных степенях е, получим:

(3.24)

(3.25)

(3.25а)

(3.26)

(3.24)

(3.25)

(3.25а)

(3.26)

— полная производная вдоль траекторий s невзаимодействующих молекул.

Переменные (/v, х^ и (ev-1^, 6V-1^ZL) входят в функции Fs совершенно одинаково. Поэтому для сокращения письма будем писать (Zv, xiv) вместо совокупности переменных (t^, ^v, ev-1^, ev-1x;i). Соответствующий этим переменным масштаб будем называть v-мас- штабом (v = 1, 2, . . .).

При рассмотрении эволюции комплекса из s молекул в d-масштабе, очевидно, решающую роль играет их взаимное расположение. Поэтому удобно ввести переменные

■^ю— x1Q, ги— ^10 хю.(3.2

Тогда

Fs — P's (tg, ^10- r12> • • ■ > ris’ ^p -^11’ ■ • • ’ -^sP ' ' " ’ ilis)’ И

(3.28)

Уравнение Больцмана является уравнением для функции Fv Из уравнения (3.24) при s=l имеем

dTP^digdTP^digдРЧдРЧдР® дХюдР® дХю(3.29)(3.29)

dTP^dig

dTP^dig

дРЧ

дРЧ

дР® дХю

дР® дХю

(3.29)

(3.29)

т. е. функция Fi постоянна вдоль прямолинейных траекторий х^ 4- |/0 = const в d-масштабе. Уравнение (3.25) при s = 1 имеет вид ^1^1 (^0’ -К10' ^1’ Х11’ 61) । ^1^1 Уб’ Х10’ ^Р ХП' 61)

”5|Г" У ~ln~^2^a' xio> Л'20’ ^’ л'11’

Х21 Хп, ^1> §г) ^х20 ^§2 = Л- (3.30)

Преобразуем входящий сюда интеграл. Функция Р^ в d-масштабе подчиняется уравнению (3.24); используя уравнение (3.24) в форме (3.28), получим

Л — J ~^р 1 ^ ^^^ ^2 ~ / ^! ’ ^ ’ "дг^ ^2 ^°’ Л'10’ Г12’

~ ~~-~Г ( др® д^ \

^1Х11> Х21 = Х11> ^Р ih) ^х22 ^2 Ч~ J ("^ ^ ^1 " Ух, 0 ) ^20 ^2 Ч~

+ J~^X20^2. (3.31)

Последний интеграл равен нулю по тем же причинам, что и интегралы (3.10). Как мы увидим ниже, первый интеграл при выполнении условия хаоса переходит в больцмановский столкновительный член. Второй интеграл в общем случае отличен от нуля, и, следовательно, уравнение не сводится к уравнению Больцмана.

Подынтегральное выражение второго интеграла определяется изменением функции распределения /^ за время столкновения и на расстояниях порядка диаметра молекул при неизменном расстоянии между молекулами (т. е. при r12 = const). Ниже мы ограничимся рассмотрением лишь «однородного» случая. Однородными будем называть процессы, для которых функции Р5 в d-масштабе являются функциями гхЬ но не зависят от tQ и х10. Другими словами, в d-масштабе в однородном случае функции Fs меняются лишь при изменении взаимного расположения s молекул, но не меняются при смещении неизменного комплекса s молекул на расстояние порядка d1) или за

*) В частности, функция / (t, х, §) не меняется на расстояниях порядка d, т. е. выполняется условие о равновесности столкновений с любыми прицельными расстояниями, которое мы использовали при выводе уравнения Больцмана в предыдущем параграфе.

время порядка тс. Два комплекса по s молекул, получаемые друг из друга смещением в d-масштабе на расстояния порядка d и по времени на величины порядка тс, будем называть подобными.

Легко видеть, что свойство однородности сохраняется, если оно выполнено в начальный момент и на границах. Действительно, рассмотрим в момент времени t комплекс 1 из s молекул с фазовыми координатами (хц §1), . . ., (xL §5). Пусть подобный ему комплекс 2 отличается от комплекса 1 лишь тем, что все молекулы смещены на расстояние 6 — О (d), т. е. х? = х^Д-6. Если молекулы каждого из комплексов взаимодействуют лишь между собой, то очевидно, что эти комплексы будут подобными в любой момент времени.

Рассмотрим разность

^(t^F^t. ^(ty .... z'^-F^t, z2^^(0)-

Согласно (3.19)

t s

АДО-АДО)JJ^CA.+1(T)d^+1dT.(3.32)

0 /=11

Ввиду однородности системы, если АДО) —О для всех s и любых комплексов, то и А5(/) = 0, и, следовательно, функции F^ не зависят от tQ и х10.

В однородном случае уравнение (3.24) при s Д-2 принимает вид

(3.24а)(3.24а)

(3.24а)

(3.24а)

Поэтому интеграл (3.31) можно переписать в виде

Д — J (11§2) • 7“- F“ dx20 d^ =

= / (^^l)' ~...)^21^2- (3.33)

Введем цилиндрическую систему координат /, р, е с началом координат в точке Хщ и осью Z, параллельной вектору относительной скорости g.= §2 — ^. Тогда

+ со

Д = gp dp de d|2-^— dl =

= / ^(Д"00* Д Х1Г ^21 = ^П> ^1> S2)

^г( °0" Д> -Др Да = Др ^р 1з)1 Р dp de d|2-(3.34)

Очевидно, что функция F^(—ооgp £2) есть вероятность нахождения молекул соответственно со скоростями ^ и g2 до столкновения, а функция Рг(Ч-оо§р §2)—вероятность нахождения молекул с теми же скоростями после столкновения. Если при столкновении с прицельным расстоянием р молекулы со скоростями ^ и |2 приобретают соответственно скорости |' и ^ т°. как показано в § 1.3, молекулы со скоростями |, и §', сталкивающиеся при том же прицельном расстоянии, приобретают скорости ^ и §2- Поэтому

^(+^ ^1г Ю = ^~р^’ по-

следовательно, окончательно:

Л(71’ ^11’ §1)™ J ^[^г^!’ ^П’ Л'21 = Л'1Р ^1' ^2)

— ^2(^1- хп- ^i^^n- ^1’ l2)] р «Me rfg2. (3.35)

Вернемся теперь к уравнению (3.30), заменив в нем Д согласно (3.35). В однородном случае dF^dt^ = 0 и уравнение принимает вид

— ^(Гр хи, х21=хн, gjlprfpderf^. (3.36)

Таким образом, мы получили уравнение для F® в 1-масштабе. Однако это уравнение, как и исходное уравнение (3.13) при 3=1, содержит не только функцию F®, но и функцию Ft. Но уравнение (3.36) отличается от уравнения (3.13) тем, что входящая в него функция Ло теперь также определена в 1-масштабе, т. е. когда молекулы 1 и 2 находятся вне зоны их взаимодействия до столкновения. Для замыкания уравнения (3.36) необходимы дополнительные предположения о связи между функциями Л2 и Л?-

Если предположить, что до столкновения выполняется условие хаоса

П(^ xxv ^^ К- ^-РЖ ^u- Ш' ^i- ^ (3.37)

то уравнение (3.36) переходит в уравнение Больцмана

дР\^1> ^ц- li) , g dF® (Zj, хи, ^)

Йх1 дххх

^ ^)"

-ПЬ' хи, l^F»^, хи, ^gpdpded^, (3.38)

ВЫВОД УРАВНЕНИЯ БОЛЬЦМАНА ИЗ УРАВНЕНИЯ ЛИУВИЛЛЯ 55 отличающееся от уравнения (2.9) предыдущего параграфа лишь обозначениями.

Таким образом, для получения уравнения Больцмана нам потребовалось лишь два условия-, условие молекулярного хаоса и условие однородности в указанном выше смысле.

4. Вообще говоря, трудно представить осуществление неоднородного в указанном выше смысле процесса, так как в таких процессах одним из характерных масштабов изменения макроскопических (измеримых) величин был бы размер молекулы. Если характерные масштабы граничных и начальных условий удовлетворяют выполняющимся в большинстве практических задач неравенствам

L/ 'p>> d и ОДг>тс,

то условие однородности выполнено.

Рассмотрим более подробно предположение о молекулярном хаосе. Единственным механизмом, который может приводить к установлению хаоса или нарушать его, является механизм столкновений молекул. Естественно поэтому, что хаос не может установиться за время, меньшее, времени между столкновениями. Как мы видели, уравнение Больцмана применимо и для описания процессов с характерным временем 6<^т. Следовательно, в этих случаях необходимо, чтобы условие хаоса выполнялось в начальный момент.

С другой стороны, очевидно, что столкновения нарушают условия хаоса. Действительно, положение и скорости только что столкнувшихся молекул коррелированы. Однако вероятность вторичного столкновения этих же молекул стремится к нулю при А/->со. Прежде чем молекулы столкнутся вторично, каждая из них испытает огромное число столкновений с другими молекулами. Поэтому можно ожидать, что условие хаоса сохраняется, если оно выполнялось в начальный момент.

Как мы видели выше, для получения уравнения Больцмана необходимо выполнение условия хаоса лишь до столкновения молекул. Покажем'), что это «одностороннее» условие хаоса сохраняется, если в начальный момент корреляции отсутствовали. Введем корреляционные функции

g\a=F,Xzv z2) — F^z^F^, ]

Дьзз^^з^н ^2- ^з)™ F^F^, z3\ [ (33g) g2,ta = F3(zX1 z2, z3)— F^z^F^z^ z^), ' '

*) Grad H., Handbuch der Physik 12, 1958. См. также Кас M., Probability and Related Topics in Physical Sciences, 1957 (русский перевод: Кац M., Вероятность и смежные вопросы в физике, «Мир», 1965); П р иг о ж и н И., Неравновесная статистическая механика, «Мир», 1965.

Полагая в цепочке Боголюбова (3.16) последовательно s = 1, 2, . . . и заменяя Fs функциями Fg_x и корреляционными функциями согласно (3.39), получим цепочку уравнений для корреляционных функций. Выпишем одно из них:

5^1,2 । е , dgY12 । »dg» , 1 „ dF^z^z^ .

dtдхх । =2 дХг \ т 1,2 •5^~Т"

I 1 V . dF <zx, z^ . д f Х13|

' m 21д|2' d^t J т ^2,13 з~Г

+ ^ ^^ J 6), 2з ^з = 0.(3.40)

Это уравнение записано в безразмерных переменных (3.15). Когда молекулы 1 и 2 сближаются на расстояние |х2— xj^ 1, члены, определяющие их взаимодействие, становятся в этих переменных порядка единицы. До их сближения изменение корреляционной функции ^1|2 определяется интегральными членами столкновений с третьими молекулами, перед которыми стоит малый для больцмановского газа

параметр е.

Аналогичное уравнение можно написать для gx> 23, ^13 и т. д. В уравнение для трехчастичных корреляционных функций войдут интегралы от чстырехчастичной корреляционной функции и т. д.

Пусть в начальный момент все корреляционные функции равны нулю. Если бы к моменту времени t — tx=FO ни одна молекула

не столкнулась, то во всей последовательности уравнений можно было бы пренебречь большими (порядка единицы) членами взаимодействия молекул, и уравнения были бы однородными. Тогда, очевидно, все функции g были бы равны нулю для f^^. Однако

за сколь угодно короткое, время

при А/—з-со происходят столкновения, и в цепочке уравнений для корреляционных функций появляются большие неоднородные члены.

Нас интересует сохранение условия хаоса до столкновения молекул

на конечном интервале времени (в 1-масштабе, т. е. в принятых безразмерных переменных при t — ■—• 1/с^> 1). Пусть молекулы 1 и 2 сталкиваются в момент времени t = tx со скоростями ^ и |2 соот

ветственно. Проведем траектории этих частиц (рис. 9). Значение

функции gXi 2 в момент времени t = tx определяется интегралами от трехчастичных корреляционных функций, которые в свою очередь определяются подобными же интегралами от четырехчастичных функций, и т. д. При вычислении, например, интеграла от трехчастичной

ВЫВОД УРАВНЕНИЯ БОЛЬЦМАНА ИЗ УРАВНЕНИЯ ЛИУВИЛЛЯ 57 функции ^j 23 в какой-либо момент времени t' всегда найдется траектория третьей молекулы (рис. 9), которая пересеклась с траекторией молекулы 1 в некоторый момент времени t" < V. Для таких траекторий основную роль будут играть большие неоднородные члены столкновений молекул 3 и 1 и функция gIj23 будет порядка единицы, даже если в начальный момент она была равна нулю. Однако легко видеть, что при интегрировании по g3 область значений g3, для которых g^as порядка единицы, будет порядка d или е. Следовательно, за время порядка е~! функция gI]2 может стать порядка 6 (при gL 2(0) = 0). Для получения уравнения Больцмана в 1-масштабе нам потребовалась лишь функция F9., и мы не учитывали функцию срф. С этой же точностью мы можем не учитывать и корреляционную функцию g'1,2=0(c) и считать условие молекулярного хаоса до столкновения молекул 1 и 2 выполненным.

Выше мы не различали X- и /.-масштабы, объединив их под общим названием 1-масштаба.

Вспоминая, что согласно (3.26)

dFtdFx.„ dFx।[dFx। gdFx \dFx . dF,

dtdt1 dx'1 ( dt.1 Sidx Idt 'ei dt ’

1111* Z#*1Z*

уравнение Больцмана можно переписать в виде

^х^у ■Kir t L' "K1Z.’ ^1) 1 ,xii’ и xw ^1) __

dtv1dt L

= / [^1(^1’ ХИ’ ^’ Xli’ ^1)^1(^1’ XW ^v ххс ^2)

— FxM-v xii' ^l* xxl* §2) ^i(^i' -^ш t l> Xxy ?i)l £P dpde d^. (3.41)

При £j = Kn <CL 1 мы теперь имеем два существенно разных масштаба: малый ^-масштаб и большой Z-масштаб.

Важно отметить, что для существования уравнения Больцмана необходимо, чтобы выполнялось условие хаоса лишь в ^-масштабе, когда молекулы находятся в одной точке в /.-масштабе.

Если же частицы находятся в разных точках (tL, xlL) в Z-масштабе, то условие хаоса может не выполняться. Хаос в ^-масштабе и есть собственно молекулярный хаос.

Классическим примером течения, в котором имеется хаос в А,-мас- штабе (на молекулярном уровне) и отсутствует хаос в Z-масштабе (на макроскопическом уровне), является гидродинамическая турбулентность, так как масштаб гидродинамической турбулентности L "^> X и 0)>>т.

Именно благодаря наличию /.-масштаба, много большего Я-мас- штаба, собственно говоря, и возможны упорядоченные (турбулентные) гидродинамические движения, несмотря на то что практически всегда

начальные и граничные условия удовлетворяют условию молекулярного хаоса ]).

Если же А<Д и @^т, то течение может быть турбулентным только тогда, когда начальные и граничные условия не удовлетворяют условию молекулярного хаоса. Однако такие условия трудно осуществить на практике в газе низкой плотности (при е—>0), а следовательно, трудно осуществить и турбулентные течения с характерными масштабами и О^т.

Некоторые свойства интеграла столкновений

Рассмотрим свойства симметрии интеграла столкновений, которые будут неоднократно использованы в дальнейшем.

Входящий в правую часть уравнения Больцмана (2.9) интеграл столкновений

Ж х, ^= ^f^-ff^gbdbdBd^(4.1)

является функцией от t, х и |. В дальнейшем часто придется интегрировать ] с какой-либо весовой функцией ф(§) от скоростей:

^ J Ф©Ж х, §М = J Ф©^ — H^gbdbdBdV^- (4.2)

Этот интеграл, очевидно, равен интегралу

= / Ф ^ Цк - /70 g'b' db'da' dV d^.(4.3)

Используя (2.6) и (2.8), последний интеграл можно переписать в виде

/^ = - / Ф^/'^ - //0 gb db de d^ d^.(4.4)

Производя почленное сложение (4.2) и (4.4), получим

/<Р=^/ 7-^(f'f'i — ff^gbdbdB d^d^.(4.5)

Интеграл (4.2) симметричен относительно § и |Р Поэтому

7 = j TiSiVO1, х, 10^1 = 7 =

4 J № “ ф0 V'A ” ^1)§b М d6 d^ d^v (4-6)

Складывая (4.5) и (4.6), получим

J J (ф + Ф, — ф' — Ф^ (/7^ — //i) gb db de d^ d^.(4.7)

Если в качестве весовой функции <р взять какой-либо из сумма- торных инвариантов фг (см. § 1.3), то, очевидно,.

/ф =0,(/ = 0, . . ., 4).(4.8)

Уравнения (4.8) выражают собой физически очевидные свойства столкновений: суммарные масса, импульс и энергия столкнувшихся молекул не изменяются при столкновении. Этот результат играет важную роль при выводе из уравнения Больцмана уравнений для макроскопических величин (см. § 3.1).

Из симметрии следуют также очевидные соотношения:

J (ср — ср') //! gb db de d^ d^x =

= { (ф' — ^f'f^g'b'db'da' d^d^'p (4.9) f (Ф + Ф1ф' — Ф^) ffxgb db da d^ d^x =

= J (ф' + Ф^ — ^-"^f'fxg'b' db' dad^' d^p (4.10)

Подставляя эти соотношения соответственно в (4.5) и (4.7) и используя равенства (2.6) и (2.8), получим:

/ф = J (ф' — Ф) ff\gb db de d^d^,(4.11)

7 = 4 [ (ф' + ф! — Ф — ^ffxgbdbdedldlp(4.12)

Благодаря отмеченным свойствам симметрии интегралов /^ их фактическое вычисление для того или иного конкретного потенциала взаимодействия оказывается проще вычисления исходного интеграла столкновений J.

• § 2.5. //-теорема Больцмана

Разобьем 6-мерное фазовое у-пространство (см. § 2.1) на элементарные ячейки объема йу, равные йхгй|г. Пусть имеется N молекул, распределенных в у-пространстве в соответствии с функцией распределения /(х, |). Тогда, согласно определению функции распределения,

число молекул в какой-либо i-й ячейке N, равно f (xh ^bv, где xb lz—координаты центра г-й ячейки. В бАГ-мерном Г-пространстве вся система изображается одной точкой. Если каждую из N молекул в у-пространстве перемещать внутри своей элементарной ячейки объема би, то изображающая систему в Г-пространстве точка будет перемещаться внутри объема (бу/С Следовательно, каждому расположению N точек в у-пространстве в Г-пространстве соответствует объем (69)4 Если при неизменной функции распределения поменять местами две молекулы, то в Г-пространстве система изобразится новой точкой и ей будет соответствовать новый объем (bv)N. N молекул могут быть переставлены N\ способами. Но так как перестановка Nt молекул внутри каждой из ячеек не меняет объема, соответствующего системе в Г-пространстве, то различных будет

перестановок. Следовательно, объем Г-пространства, соответствующий заданной функции распределения или данным числам заполнения NP равен

(dv)4(dv)4

(dv)4

(dv)4

Вероятность обнаружения системы в том или ином состоянии пропорциональна объему Г-пространства, соответствующему данному состоянию (данным числам заполнения N^. Следовательно, вероятность того, что в первой ячейке у-пространства окажется N^ молекул, но второй — N2 и т. д., будет

Возьмем логарифм от вероятности (5.1), имеем

In IF = In N ^ 1п(6у) — 2 in ^!.

Используя известную формулу Стирлинга N! ~ NNe~N, получим

In IF = N In N — N -h N In (dy) — 2 ^z !n Nt + 2 ^.

Учитывая, что 2'4 = 4, имеем

Подставляя

и устремляя 6у к нулю, получим для вероятности данного распределения (несущественную константу, определяющую лишь начало

отсчета вероятности, опускаем)

In W = — J flnfdxd^.(5.3)

Величину

HD W J / ln / dx d^><5-4)

D

называют H-функцией для области пространства D, по которой ведется интегрирование в (5.4). Аналогично функция

Н^, х) = j/ln/d|Н^, х) = j/ln/d|(5.5)(5.5)

Н^, х) = j/ln/d|

Н^, х) = j/ln/d|

(5.5)

(5.5)

есть //-функция для единицы объема или просто Н-функция Больцмана. Из определений (5.4), (5.5) и выражения (5.3) видно, что //-функция, взятая с обратным знаком, с точностью до несущественной постоянной равна логарифму вероятности данного распределения /(/, х, I),

Умножим уравнение Больцмана (2.9) на (1Ц-1П/) и проинтегрируем по g1):

J О+^Л^ + б-^ + ^И- / О+^Л^^ (5.6)

(i= 1, 2, 3).

Легко видеть, что

(1+1п/)^. = ^.(/|„/), (1+1пЛЬ^._^(Ь/1пЛ, )

а/7 аI (^.7)

и что на основании свойства симметрии (4.7)

Л1 + 1п/)= J С1 +1п/)/</8 =

= — J J ln ~^ (ffi — ffi) gb db de d^ d^Y (5.8)

Подставляя (5.7) и (5.8) в (5.6) и интегрируя, получим

дН . дН; , dt ' дХ[ (1 + 1^/)

= — J / In ^Т^С^ — ff^gb dbd&d^d^, (5.9)

*) Ниже всюду предполагается суммирование по повторяющимся индексам.

гдегде

где

где

Hi= $ Ц^.

Интеграл от третьего члена левой части уравнения (5.6) равен нулю, так как предполагается, что / достаточно быстро стремится к нулю при Е,, стремящемся к бесконечности.

^(1-ЩП/) ^^ ^’^(1-ЩП/) ^^ ^’Интегрируя уравнение (5.9) по области D физического Х-про- странства, получим

^(1-ЩП/) ^^ ^’

^(1-ЩП/) ^^ ^’

(5.10)

где интегрирование во втором члене слева ведется по поверхности, ограничивающей область D, и Н„ — проекция на внешнюю к области D нормаль вектора И = (НЪ Н2, Н^.

Если этот поверхностный интеграл равен нулю, то

dHn

-dT = G-С5'11)

Но согласно (5.8) интеграл /(1+1п/)<С0, так как /'/'— /Д и In^/J///,) всегда имеют одинаковые знаки; отсюда

dHn

-^<0.(5.12)

Следовательно, функция HD убывает (вероятность состояния возрастает), если ОфО. Этот результат составляет основное содержание так называемой Н-пеоремы Больцмана. Легко видеть, что О— 0, т. е. система находится в равновесии только тогда, когда ffl — frf{ или

Гп / + In Д = In /; -|- In fv

Таким образом, для того чтобы G = 0, необходимо, чтобы 1п/ был сумматорным инвариантом столкновения молекул.

Как известно из механики, любой сумматорный инвариант может быть представлен в виде линейной комбинации сумматорных инвариантов, приведенных в § 1.3, т. е.

In / = ат, -ф- Ьрп^ -ф- dmV,(5.13)

где. a, bi и d — функции от t и X.

Подставляя представленную таким образом функцию / в выражения (1.4), (1.5) и (1.8), можем выразить пять величин a, bt и d через пять физических величин п, ut и Т. Проделав несложные

§ 2.5]Н-ТЕОРЕМА БОЛЬЦМАНА63

квадратуры !), окончательно получим

/ (^ х, |) = /о (t, х, I) = Ц 2л£г) ехр { ” 2JF с2 ((5-14)

(с3 = с; + с2 Л сз) = (§ —И)2).

Распределение (5.14) называется распределением Максвелла^ или, точнее, локальным распределением Максвелла, так как входящие в (5.14) макроскопические величины зависят в общем случае от t и х.

Таким образом, для того чтобы газ в области О находился в равновесии, необходимо, чтобы функция распределения была локальномаксвелловской. С другой стороны, равновесное состояние должно описываться уравнением Больцмана

Очевидно, интеграл столкновений J равен нулю, так как для максвелловского распределения ffx = ffv Однако легко видеть, что уравнение Больцмана накладывает определенные условия на зависимость функций п, U; и Т от t и xv Очевидно, что максвелловское распределение удовлетворяет уравнению (5.15), когда макроскопические параметры п, ut и Т постоянны. Имеются также локально-максвелловские решения уравнения Больцмана, в которых гидродинамические переменные п, и; и Т зависят от координат (см, § 4,1), Однако эти решения не удовлетворяют принятому выше условию отсутствия потока //-функции через границу области D.

Следовательно, газ находится в равновесии только при абсолютном максвелловском распределении, т. е. максвелловском распределении, не зависящем от координат. При этом необходимо, чтобы на границе области молекулы, идущие от границы, имели то же максвелловское распределение. Очевидно, что в этом случае поверхностный интеграл, входящий в (5.10), равен нулю. Если газ заключен в сосуд, то указанное условие на границе будет выполнено как тогда, когда молекулы отскакивают от стенки зеркально, так и тогда, когда газ находится в равновесии со стенкой3). Если же через границу имеется

*) Правую часть (5.13) для интегрирования удобно представить в виде

-liny-^ + Aj + <фз + у +

Вс тречающиеся здесь интегралы даны в приложении II.

Maxwell J . С., Phil. Mag. (4) 19, 22 (1860).

Подробнее о граничных условиях см. §§ 2.9, 2.10.

поток частиц, импульса или энергии, то поверхностный интеграл в общем случае не равен нулю, и газ в области D не находится в максвелловском равновесии.

В том, что максвелловское распределение является наиболее вероятным, можно убедиться непосредственно. Для этого необходимо отыскать экстремум функционала

H=J/ln/^(5.16)

при условии сохранения числа частиц, импульса и энергии:

Г / ti?§ = «, т [ fl dl = mrtu, ]

т с3 mil- I^17)

J^M = |A7+2^_.|

Вводя множители Лагранжа, сведем задачу к отысканию экстремума функционала

= j V *п / 4“ ^1/4“ ^21^/4~ ^22^2/ + ^-гз^з/ 4~4з^2/) d^. (5.18)

Уравнением Эйлера для этого функционала будет

In/4-1+^, + ^ + ^2 = 0.(5.19)

Подставляя / в виде (5.19) в условия (5.17), выразим 4 через п, и{ и 7 и снова придем к распределению Максвелла (5.14).

В главе III будет показано, что уравнения гидродинамики Эйлера, Навье — Стокса и Барнетта для максвелловских молекул получаются из уравнения Больцмана, если функцию распределения приближенно представить в виде

f = №x, |)(5.20)

для уравнения Эйлера и

+ 2^7" cicl~ "f^fciV 5^4/](512 )

для уравнений Навье — Стокса и Барнетта. Здесь р^- и qt — соответственно тензор напряжений и вектор потока тепла.

Вычислим Н и Н, для функций распределения (5.20) и (5.21); имеем:

для максвелловского распределения (5.20)

т

2лЛТ

Д2

Н = п

In п

(5.22)

(5.23)

Я-тЕоРЕМА БОЛЬЦМАНА65

и для распределения (5.21)

2okT PrsPrs"V йр^гуг QrQf (5.24)

Н-,=^и^Н^7 5( -H"5 pkT PirQr’(5.25)

или, оставляя лишь главные члены, соответствующие приближению Навье — Стокса (см. главу III),

^1^,(5.24а)

„ тп „ тх

Hl = — — ul<y—TFqi.(5.25а)

Здесь

— удельная термодинамическая энтропия макроскопической частицы газа, ^Рй— постоянная, определяющая начало отсчета энтропии.

Полученные формулы показывают, что для находящегося в локальном равновесии газа //-функция Больцмана пропорциональна отрицательной энтропии. Поэтому в терминологии, предложенной Бриллюэном'), //-функцию можно рассматривать как меру негэнтро- пии. В то же время для неравновесного газа, согласно (5.24), энтропия не пропорциональна //-функции и, следовательно, не определяет вероятность состояния системы. //-функция является обобщением понятия энтропии и негэнтропии на случай неравновесного газа.

Заметим, что в навье-стоксовском приближении, т. е. для состояний, близких к равновесным, энтропия пропорциональна //-функции и, следовательно, сохраняет смысл вероятности состояния. Этот факт существенным образом используется в термодинамике неравновесных процессов (см. § 3.17).

Для газов, находящихся в локальном максвелловском равновесии, движение которых описывается уравнениями Эйлера, энтропия, согласно (5.23), переносится вместе с газом, т. е. энтропия макроскопических частиц газа сохраняется постоянной. В течениях неравновесного газа перенос //-функции (негэнтропии) обусловлен, кроме того, теплопередачей, тензором напряжений и в случае функции распределения более общей, чем (5.21), другими факторами.

Рассмотрим вновь некоторую область течения D. Как видно из уравнения (5.10), столкновения молекул ведут к непрерывному увеличению энтропии или уменьшению негэнтропии в рассматриваемом объеме. Столкновения стремятся нарушить упорядоченность движения молекул. Для того чтобы течение было стационарным, т. е. dHD[di — 0,

*) Бриллюэн Д, Наука и теория информации, Физматгиз, 1960.

5 М. Н. Коган

необходимо, чтобы возрастание энтропии (беспорядка) в объеме компенсировалось притоком негэнтропии (упорядоченности) через границы области.

(5.27)(5.27)Из (5.10) легко следует известный факт возрастания энтропии в ударных волнах. Действительно, рассмотрим две контрольные плоскости, параллельные плоскости скачка, одну — в области равновесного течения до скачка (плоскость 1) и другую — в области равновесного течения за скачком (плоскость 2). Примем ось, перпендикулярную плоскости волны, за ось х. Тогда из (5.10) следует

(5.27)

(5.27)

^2-^1 <0.

В области равновесного течения вне ударной волны для потока //-функции справедливо соотношение (5.23). Поэтому

Р2«х2^2Pl^rlS^ 1 > 0.(5.28)

Но так как в волне поток массы сохраняется, т. е. р2«х2 = р^р т0

(5.29)(5.29)^2 > ^-

(5.29)

(5.29)

Уравнения кинетической теории для смесигазов и для газа, состоящего из молекул с внутреннимистепенями свободы

При выводе уравнения Больцмана в § 2.2 предполагалось, что газ состоит из одного сорта молекул и что молекулы обладают только поступательными степенями свободы (одноатомный газ). Для описания поведения смеси газов необходимо ввести для каждой из компонент газа свою функцию распределения f^t, х, |), где 1=1, . ... N и N—число сортов молекул.

Изменение функции распределения молекул сорта I вдоль траектории частицы в фазовом пространстве обусловлено столкновениями как с молекулами того же сорта, так и с молекулами всех остальных сортов. Поэтому интеграл столкновений в уравнении (2.9) следует заменить на сумму подобных интегралов, каждый из которых учитывает столкновения молекул i-го сорта с молекулами сорта /:

(6.1)

где X1 — внешняя сила, действующая па молекулы Z-ro сорта. Таким образом, изменение состояния Д7-компонентной смеси описывается системой N уравнений для N функций распределения /;, причем в каждое из уравнений (6.1) входят все N функций /;.

К системе уравнений для смеси газов можно свести и описание поведения газа, состоящего из молекул с внутренними степенями свободы !). Рассмотрим газ, состоящий из молекул, обладающих внутренними степенями свободы. Под внутренними степенями свободы можно понимать вращательные и колебательные степени свободы для многоатомных газов и возбуждение электронных уровней. Будем рассматривать поступательные степени свободы классически, а внутренние— квантовомеханически. Тогда состояние молекулы может быть описано заданием ее скорости g и квантового числа I— 1, 2, . .., характеризующего возбуждение внутренних степеней свободы. Все молекулы, находящиеся в каком-либо г-м квантовом состоянии, составляют газ Z-го сорта. Таким образом, исходный газ с внутренними степенями свободы заменен смесью реагирующих газов, так как при столкновении молекулы в г-м состоянии с молекулой в состоянии / молекулы могут перейти соответственно в состояния к и I. Обозначим через Ощ(|', g^; g\ gZ) вероятность (эффективное сечение) того, что в результате столкновения молекулы в состоянии I, движущейся со скоростью g', с молекулой в состоянии j и скоростью g7" первая молекула перейдет в состояние к и приобретет скорость ^, а вторая — соответственно в состояние / со скоростью g7. Тогда, предполагая вероятности прямых и обратных переходов равными и повторяя рассуждения § 2.2, получим

^/г __ <?Л । у- 6Jt 1 xi д^ dtdt "T~ дх nd dV

- 2 f (f^-W^Tj^- V; l\ ^Wdt dt- (6.2)

Аналогичные уравнения можно выписать для смеси, в которой происходят химические реакции, если под о¥. понимать соответствующие вероятности (эффективные сечения) реакций.

Интегральные формы уравнения Больцмана

Сравнивая уравнения (2.9), (6.1) и (6.2), легко заметить, что во всех случаях (для однокомпонентного газа или смеси, для стационарного или нестационарного состояния, для одноатомного газа или газа с внутренними степенями свободы и химическими реакциями) уравнение Больцмана имеет одинаковую структуру:

^=J^t, х, S)-f(t, х, х, g),(7.1)

*) См. Гиршфельдер Дж., Кертис Ч., Берд Р., Молекулярная теория газов и жидкостей, ИЛ, 1961.

где дифференцирование ведется вдоль траектории рассматриваемой молекулы в фазовом пространстве и

Л (Л х, g)= { f'fxgb db da d^, ]

J2 (t, x, |) = j Д gb db de d^x | для одноатомного газа или сумме подобных интегралов для реагирующей смеси и многоатомных газов:

(7.2a)(7.2a)A (t- ХЛ) - 5 J Wu &’ ^’ ^' ^ М d^ dt d^

(7.2a)

(7.2a)

Mt- x- D= S f fj0M^- ^g^d^11 d^1. L i

Для молекул с неограниченным радиусом взаимодействия интегралы (7.2), очевидно, расходятся, так как они включают в число столкнувшихся молекулы, взаимодействующие па сколь угодно больших расстояниях со сколь угодно малыми результирующими изменениями состояния. В дальнейшем всегда, когда будут фигурировать раздельно интегралы Jx и L,, будет предполагаться наличие ограниченного радиуса взаимодействия. Так как при достаточно быстро спадающем потенциале взаимодействия далекие столкновения не дают существенного вклада, то с известным приближением для таких молекул истинный потенциал можно заменить некоторым «обрезанным» потенциалом с конечным радиусом взаимодействия. Однако в общем случае правильный выбор эффективного радиуса взаимодействия представляется далеко не тривиальным.

Интеграл столкновений J сходится даже и в том случае, когда каждый из интегралов Jx и J2 расходится, так как для больших прицельных расстояний ^->|,и —

Интегро-дифференциальное уравнение (7.1) можно рассматривать как обыкновенное дифференциальное уравнение относительно / вида или

.П.(7.3а)

Полагая временно функцию /, входящую в J, Jx и J2 известной, легко записать решение линейных уравнений (7.3) и (7.3а); имеем

t

№ х, |) = Ж, X— Ut-M l) + J J(s,x - ^t-^ds (7.4) Al

или')

/(/, X, §) =

= /(^0- ^—^(t — tQ), I) exp

+ [ ^ (т, х — £ (7 — т), |)ехрt — J Д(s, х — §(t — s), I)ds 1 dx.

ItI

(7.5)

Так как правые части уравнений содержат искомую функцию /, то эти уравнения можно рассматривать как интегральные уравнения для /.

Уравнения (7.4) и (7.5) выписаны для частного случая движения в отсутствие внешних сил X(t, х) = 0. В этом случае вдоль траектории частицы § = const, и траектория частицы, приходящей со скоростью § в точку х в момент времена t, дается уравнением прямой x(s)— ^(t—s) = x(7). Если бы не было столкновений, то, очевидно, число частиц со скоростью § в точке х в момент t равнялось бы числу этих же частиц в точке х— §(7—t^ в момент 70, т. е. /(7, х, ^ = /(1, х —1(7 — 70), Е). Входящие в (7.4) и (7.5) интегралы определяют изменение числа частиц в результате столкновений на пути молекул от точки х—|(7—70) до точки х.

Если X(t, х)=7=0, то траектория частицы будет более сложной, так как вдоль траектории меняется скорость |. В этом случае в уравнениях (7.4) и (7.5) выражение х—|(7—s) и | = const нужно заменить соответственно на x(s) и |(s), определяемые уравнением движения частицы

при условии, что при s = l частица находится в заданной точке х(7) и имеет заданную скорость § (7).

Вообще говоря, по аналогии с (7.4) и (7.5) можно выписать бесконечное множество различных форм интегральных уравнений. Действительно, к правой части уравнения (7.1) можно прибавить и вычесть произвольную функцию от /. Разбивая затем различным образом правую часть уравнения (7.1) на известную и неизвестную части, получим различные дифференциальные уравнения, решение которых ведет к различным интегральным уравнениям. Выбор той или иной интегральной формы уравнения Больцмана определяется удобством его применения для той или иной задачи.

•) Enskog D., Ark. Mat. Astronom. Phys., Ser. A21 1 (1928); Or ad H., Handbuch der Physik 12, 1958; Коган M. H., Прикладная математика и механика, вып. 4 (1958); Вал ландер С. В., Доклады АН СССР 131, № 1 (1960). В последней работе дан непосредственный вывод уравнения (7.5), минуя уравнение Больцмана. '

Функция распределения каждой из компонент смеси многоатомных реагирующих газов (см. § 2.6), очевидно, удовлетворяет тем же интегральным уравнениям (7.4) или (7.5), но в которых интегралы Jv и У3 заданы формулами (7.2а).

Линеаризированное и модельное уравненияБольцмана

Благодаря сложной нелинейной структуре интеграла столкновений уравнение Больцмана очень трудно решать и анализировать. Естественно желание исследовать, хотя бы качественно, свойства решений этого уравнения на упрошенных модельных уравнениях. Ниже будут рассмотрены два приближенных уравнения Больцмана. Первое из них — линеаризированное уравнение — естественным образом получается из уравнения Больцмана для слабо возмущенных течений. Второе же — модельное уравнение—является уравнением, обладающим многими свойствами полного нелинейного уравнения Больцмана, но не следует из него строго.

Линеаризированное уравнение. Если известно частное решение какого-либо нелинейного уравнения, то можно линеаризировать задачу, исследуя решения, близкие к имеющемуся частному решению. Для уравнения Больцмана известно (см. §4.1) лишь небольшое число весьма специальных частных решений. Поэтому наиболее универсальной представляется линеаризация от абсолютного максвелловского распределения, являющегося решением уравнения Больцмана для газа, находящегося в равновесии в отсутствие массовых сил (Jf=O) (см. § 2.5).

Для слабо возмущенного движения функцию распределения можно представить в виде

f^ х, §) = /0(1+<р),(8.1)

где

) еХр( 2АГ0М’ Ф —Ф^’1

и индексом 0 отмечены величины, относящиеся к невозмущенному состоянию. Так как га0 и То не зависят от t и х, то, подставляя (8.1) в уравнение Больцмана (2.9) при отсутствии массовых сил и пренебрегая квадратами и более высокими степенями ф, получим

^^^r + ^lT^ J /о^ф' + фНФ— ^gbdbd&d^. (8.2)

При выводе уравнения (8.2) учтено, что /„/„! = /0/01 и что функция /о© не зависит от переменной интегрирования ^ и может быть вынесена из-под знака интегрирования.

Уравнение (8.2) является довольно сложным иптегро-дифферен- циальным уравнением, но оно в силу линейности много проще полного уравнения Больцмана. Этим уравнением, в частности, описываются малые звуковые и ультразвуковые колебания (см. § 4.5), а также очень медленные движения газа. Однако в большинстве практически интересных случаев течения не являются слабо возмущенными. Например, обтекание тонких тел или даже плоской пластины, установленной параллельно потоку, сопровождается сильным возмущением функции распределения. Тем не менее исследование решений линейного уравнения позволяет выяснить ряд особенностей, свойственных и полному уравнению Больцмана (см. § 4.2).

Запишем линейное уравнение Больцмана (8.2) в виде1) (см. § 2.2)

= / Ai у+ф; - ф - фо г (^ ^i I ^- ю ^i^' <v <8-3) Уравнение (8.3) можно переписать в более симметричной форме: f^ = L^ =

= / М.ОД^У + Ф^Ф-Ф,)^ ^ W^ = = J ®(t ^1^. ^(ф'+ф^ ф —ф^^ ^б'^,(8.4)

где

Легко проверить равенства

J^, ^', ^ф'^^'^— J w^, £%, ^ф,^^^, (8.5) j тф |,|^, ^^<<6,; = J ®(|, ГЦр ^d^d^

= J ®(B, VIB^ ^ф^^ d^,'.(8.6)

получающиеся изменением обозначений.

Используя эти равенства, приведем интеграл столкновений к виду

£(ф) = -<Р f ®(l, Ijr. ^)^^^+ J К(|, ^Фт^н (8.7) где

к а. ^)= j[-^(§, gjv §9+^, ^1У ^)+

+ ®(1. ^1^. ^J6^'^-

^Waldman L„ Handbuch der Physik 12. 1958.

Так как функция w обладает свойствами симметрии (см. формулу (2.13)):

i;|i, 10-®(1.^)-

gj^ 10=®(1р ШЗ 10-(8-8)

TO

^d 10-J[-®(ip 1110 10+®(1p i;|i 13+

+ ®(^, Vjr. lpr+0 (8.9)

Меняя местами |' и §0 получим

к 6, Ю = J [-®(1р §1^. 10+®(1р 101. 10 +

+w(1p iqg{. ipi+i;=^(ip i). село)

е. ядро К (|, |0 симметрично.

Интеграл от К(|, |0 по ^ перестановкой переменных интегрирования можно привести к виду

Jk(§, §0^ = _[[-®ф 1J1C 10+®(1. ГИр 10+

+ ®(1. г 110 ^)]^^^1 =

= П-^’ 1013 10+®(1, 10 1310+

+ ®(1, 10Г, ^d^'d^ J w(g, ^1^, ^^d^'d^. (8.11)

Следовательно, интеграл столкновений (8.7) равен

£(ф)=--.[К^Ш-ф)^.(8.12)

Таким образом, интегральный оператор линеаризированного уравнения Больцмана является оператором фредгольмовского типа с симметричным ядром. Часто этот оператор записывают с выделением ф:

+Ф) = -К©Ф+ J К ft, ^ф^,(8.13)

где

К©= J?<(1, 10^р(8.14)

Стандартный путь отыскания решений интегральных уравнений с симметричным ядром состоит в разложении решения по собственным функциям интегрального оператора А(ф). Однако к этому вопросу удобнее вернуться несколько позже (см. § 3.11).

Модельное уравнение. Наряду с этим математически корректным для малых возмущений приближением, широкое применение нашло

ЛИНЕАРИЗИРОВАННОЕ И МОДЕЛЬНОЕ УРАВНЕНИЯ БОЛЬЦМАНА 73 модельное уравнение1), не имеющее строгого математического обоснования, но, как будет видно из дальнейшего, дающее качественно правильные результаты для широкого круга задач при произвольной длине пробега и возмущениях любой интенсивности.

Запишем уравнение Больцмана в форме (7.1):

=(8.15)

где

Л= / f'fxgbdbdzdlx, J2 = J fxgbdbdad^x.

В § 2.2 показано, что для максвелловских молекул уравнение Больцмана можно записать в форме, не содержащей явно относительную скорость в интеграле столкновений:

f /7Нр^р ■/2=(^У/2 Г fiMpded^. (8.16)

Как уже отмечалось, при столкновениях молекул с большими прицельными расстояниями импульс и энергия сталкивающихся частиц изменяются мало. Поэтому в уравнении Больцмана можно приближенно интегрировать по прицельным расстояниям не до бесконечности, а до некоторого конечного расстояния, равного эффективному диаметру столкновений. Чем больше относительная скорость молекул, тем, очевидно, меньше эффективное сечение столкновений. Для псевдомакс- велловских молекул (см. формулу (2,13))

7^(^)№ J 7^i f pdpde=A J ^сП^Аа, (8.17) где и ■ число молекул в единице объема и.

А = — I pdpde.

Интегрирование здесь ведется до некоторого конечного р, т. е. до некоторого прицельного расстояния Ь, обратно пропорционального корню из относительной скорости g, так как

Следовательно, эффективное сечение столкновения обратно пропорционально g.

•) Bhatnagar Р. L., Gross Е. Р., К rook М., Phys. Rev. 94, 511 (1954); Welander Р., Arkiv for Fysik 7, Hafte 6, 507 (1954); Коган M. H., Прикл. матем. и мех., вып. 4 (1958).

Таким образом, псевдомаксвелловская молекула со скоростью g в единицу времени в единице объема столкнется с Ап молекулами со всевозможными скоростями gP Следовательно, всего в единице объема в единицу времени столкнется

N = J Anf (g) 7g = An1(8.18)

частиц.

Интеграл J2(t, х, g) определяет число частиц, имеющих после столкновения скорость g, т. е. J2 есть функция распределения столкнувшихся молекул после столкновения.

Как следует из 77-теоремы, в результате столкновений функция распределения стремится к наиболее вероятной. Предположим, что функция распределения молекул после столкновения J2 является наиболее вероятной при заданных числе сталкивающихся частиц, их импульсе и энергии. Это предположение в какой-то мере оправдывается тем, что свободная система частиц стремится к равновесию по экспоненциальному закону (см. §§ 3.3, 4.1) и характерным временем затухания является время между столкновениями. Уже в результате одного столкновения система с произвольной начальной функцией распределения переходит в состояние, близкое к равновесному. Частица со скоростью g участвует в Ап столкновениях, принося с собой импульс шАпй,. Следовательно, импульс Р всех столкнувшихся молекул равен

Р = J mAriV d% = Апгти, -(8.19)

где й(/, х)— средняя скорость газа (см. § 2.1).

Аналогично энергия сталкивающихся молекул Е равна

Е= J ^m^Anfd^ = An^lfeT-V^y (8.20)

где Т (t, х)— температура газа.

Легко видеть, что выражения (8.18) — (8.20) отличаются от соответствующих выражений (5.17) лишь тем, что число частиц равно не п, а Ап1. Поэтому наиболее вероятной функцией распределения при N, Р и Е, заданных формулами (8.18) — (8.20), будет

Ji^An1 ( &^г)3/2ехР { —^гс2 } = Anfo- <8'21)

Таким образом, при сделанных предположениях уравнение Больцмана принимает вид

^. = Ап(/0-П.(8.22)

Уравнение (8.22) является нелинейным интегро-дифференциальным уравнением, так как в /0 функция распределения / входит нелиней-

(8.23)(8.23)ным образом (п, а и Т—интегралы от функции /). Величина \]Ап имеет размерность времени и равна времени между столкновениями т= (raaCpg)-1 = 1/Ля. Записанное в виде

(8.23)

(8.23)

dt т

уравнение Больцмана по форме совпадает с уравнениями теории релаксационных процессов и поэтому иногда называется релаксационным уравнением.

Уравнение (8.22) можно представить в интегральной форме). Для этого достаточно в уравнения (7.4) и (7.5) подставить конкретные значения интегралов Jv и Л, а именно:

Имеем:Имеем:Jx=Anf0 и J^ = Ап.Jx=Anf0 и J^ = Ап.

Имеем:

Имеем:

Jx=Anf0 и J^ = Ап.

Jx=Anf0 и J^ = Ап.

f ^> х, I) — / (^о>1(^ ^о)’ 1)4"

+ Л J «[у, х — | (t — s)I [/0 (s, х — Х^ — s), s) —

"— /(s, x—Ut-s\ Ш (8.24)

/V. x, l^f^, x-^-^, |)X

; x — l(t — s))ds > + ^J n^. x — ^(t — x))X

X /o(T' x- l^ — T)- l)exPj — A J n(s, x—|(£— s))ds vdx. (8.25)

Рассмотрим газ, состояние которого в момент времени ^о = О описывается функцией распределения / (0, |), не зависящей от пространственных координат. Из сохранения массы, импульса и энергии следует, что п, и и Т постоянны во времени и пространстве, а следовательно, постоянна и функция /0. Тогда из уравнения (8.25) имеем

Ж §)=/0 + е т [/(О, §)-/0], (8.26)

где T—XiAn— время между столкновениями.

Таким образом, функция распределения стремится к равновесной функции /0 по экспоненциальному закону с характерным временем релаксации т, равным времени между столкновениями, т. е. чем плотнее газ, тем быстрее достигается равновесие).

Из уравнения (8.23) видно, что в данный момент времени в данной точке пространства время релаксации для молекул с любыми скоростями одно и то же. Это является следствием сделанных при выводе уравнения грубых предположений.

Для состояний, близких к равновесию, уравнение (8.22) или (8.23) утверждает очевидное положение, что скорость стремления к равновесию пропорциональна отклонению от равновесия. Приведенные выше соображения позволяют при известных допущениях считать это уравнение применимым и для качественного описания течений, далеких от равновесия. Справедливость этого утверждения ниже (см. §§ 4.1, 4.2, 4.4) будет подтверждена путем сравнения с решениями полного уравнения Больцмана.

В §§ 3.12 и 6.8 будут приведены более сложные модельные уравнения.

Постановка задач для уравнения Больцмана

Пусть движение газа описывается уравнением Больцмана

dt dt дх£ т ди

Для построения конкретного решения этого уравнения необходимо задать начальные и граничные условия.

Функция распределения / ((0, х, |) > 0 в начальный момент времени t = ta может быть задана произвольным образом.

На ограничивающих область течения поверхностях S необходимо задать функцию распределения молекул, летящих от границы в сторону течения. Если х—некоторая точка границы и п^— направленная в сторону течения нормаль к граничной поверхности в точке х, то необходимо задать функцию f(t, х, |)^>0 для скоростей |, удовлетворяющих условию 6 •0. Тогда функция распределения во всех

внутренних точках течения и в точках граничной поверхности для g . п ^ 0 определится из решения уравнения Больцмана.

Возможна и смешанная задача, когда на части граничной поверхности Sj задана функция распределения f^t, х, |) О 0 для всех g. Тогда на оставшейся части поверхности S2=S— Sj может быть задана функция f^t, X, g) > 0 для | ■ я > 0 и тех направлений вектора скорости двигаясь вдоль которых из точки х на S2 мы не пересекаем Sv

Поверхность S может быть как односвязной, так и многосвязной.

В задаче об обтекании конечных тел безграничным потоком на бесконечности функция распределения, очевидно, должна стремиться к решению уравнения Больцмана, описывающему состояние газа, не возмущенное обтекаемыми телами. Чаще всего изучается движение тел в газе, находящемся в равновесии. Тогда, рассматривая течение в

координатах, связанных с обтекаемыми телами, имеем

/111\ 3/2(

Нх->еа, ^у= пД-^-^Д ехр |____ [(^ _/у^.^.

-^(Ь-и^Наз-и^, (9.1)

где U = (иг, U2, U3)— скорость набегающего потока, п^ и Т^— соответственно число частиц в единице объема и температура газа на бесконечности.

Рассмотрим несколько подробнее условия, которым должна удовлетворять функция распределения на ограничивающих течение твердых поверхностях. Рассмотрим газ, атомы которого не претерпевают на поверхности каких-либо химических превращений. Молекула, падающая на поверхность со скоростью ^, отражается от нее с некоторой скоростью |г Обозначим вероятность того, что молекула, падающая на поверхность со скоростью ^z в интервале скоростей d.^, отлетит от нее со скоростью су в интервале скоростей d£r, через W (|z, Xr)dXt d^r Число молекул, падающих в единицу времени на единицу площади поверхности со скоростью |z в интервале d^ в точке х, равно

где п—нормаль к поверхности, направленная в сторону газа. Часть из этих молекул, равная

отразится со скоростями в интервале d^r около точки gr. Полное же число молекул, отраженных от единицы поверхности со скоростями в интервале d^,r около точки |г, равно

/ (л, 5Г) (^. п) d^r - d^r J (|г • n) / (x, |z) W &, |r) d^, (9.2)

X-n < 0 где. интегрирование ведется по всем скоростям молекул, летящих к стенке: § • п < 0. Так как число падающих молекул должно равняться числу отраженных молекул, т. е.

/ /(хЛг)(1г'«Ж=- J at-nM^^d^, (9.3) 6-«>0Vn<0

то функция W (^ £,) должна удовлетворять очевидному условию нормировки

/ 4UX, = l(9.4)

Сокращая на d^r, условие (9.2) можно переписать в виде

/Дх)агп) = ™ / ^.nVi (х) W (|z, ^d^(9.5)

X-n < 0

или

W = J К (У '^f^^(9.6)

1-и < О

ДЛ(^) = /(^ ^), fr W = / И- 1г)

К^, y = -W(y у

Из (9.6) видно, что функция распределения отраженных молекул /г может иметь совершенно иной характер, чем функция распределения падающих молекул /г, т. е. функция распределения в общем случае разрывна по § вблизи поверхности (при У 0).

Функция W (или К) зависит от физических и химических свойств поверхности и падающей частицы, обработки поверхности и ее температуры Тти. В общем случае, например, при наличии адсорбированных слоев функция 157 может зависеть также от общего числа падающих на элемент поверхности частиц, от их суммарных импульса и энергии (см. следующий параграф).

Если поверхность движется со скоростью Uw(t\ то, очевидно, граничное условие в любой момент времени в системе координат, связанной со стенкой, также будет иметь вид (9.6), т. е. имеем: f(t,x, y(^r — U^.n)d^rdt =

= d^rdt J ^УУМУ x- Ш (.W<0

(9.7) И

ку uw, §z, y_wy 1-UW, —^Ец^-

При выводе этого соотношения молчаливо предполагалось, что время пребывания молекулы на поверхности 6 (время адсорбции) много меньше характерного времени задачи. Если это условие не выполнено, то необходимо знать вероятность

W(t, V~UW, ^ — Um, t—^dtdQd^d^ того, что молекула, попавшая на поверхность со скоростью относительно поверхности ^ — Uro в момент времени t— 6 в интервале </6, покинет поверхность со скоростью £г—Uw в момент времени t в интервале dt; тогда

/ V, х (t), у [(§г - и^ У) - п (01 dy dt =

= dt dy pe J wu^(t-0)-§z). n\ x

° (^yw)-”<°

X/K-0, xtt-ty l\W{t, y~Uw, /-9, y-Uydy (9.8)

Вероятность 117 и время адсорбции 6 зависят как от физикохимических свойств поверхности и падающей молекулы, так и от скоростей и количества падающих на поверхность молекул, так как от последних зависит состояние адсорбированных слоев *).

Имея указанные начальные и граничные условия, тем или иным методом можно в принципе строить решение уравнения Больцмана. Однако вопрос о существовании и единственности решения в столь общей постановке в настоящее время еще не решен.

Проблема существования решений уравнения Больцмана изучена лишь для задачи с начальными условиями в безграничной области и для молекул с конечным радиусом взаимодействия (с обрезанным потенциалом взаимодействия). Для пространственно-однородного случая теорема существования доказана как для молекул-шаров), так и для псевдомаксвелловских молекул) для полного нелинейного уравнения Больцмана. Для линейного уравнения доказана теорема существования и изучено асимптотическое поведение решений для задачи с начальными условиями, зависящими от пространственных координат). Пространственно-неоднородная задача для нелинейного уравнения Больцмана рассмотрена Градом). Однако существование решений доказано для времен тем меньших, чем больше начальная функция распределения отличается от равновесной. Таким образом, для времен макромасштаба существование доказано лишь для малых начальных возмущений.

Взаимодействие молекул с твердыми поверхностями.Коэффициенты аккомодации

Из сказанного н предыдущем параграфе ясно, что для расчета течений с границами, включающими твердые поверхности, необходимо знать вероятность отражения молекул с данной скоростью от поверхности тела. В настоящее время теория взаимодействия молекул с твердыми или жидкими поверхностями начинает лишь развиваться

*) Де Бур Я. X., Динамический характер адсорбции, ИЛ, 1962; Филиппов Б. В., сб. «Аэродинамика разреженных газов», ЛГУ, I (1963) и И (1965).

Экспериментальных данных также совершенно недостаточно. Трудности теоретического исследования взаимодействия обусловлены прежде всего незнанием структуры поверхностных слоев твердых тел, а следовательно, и потенциалов взаимодействия налетающей молекулы с молекулами тела. Попав на поверхность, молекула адсорбируется, вступая в физические и химические связи с молекулами поверхности. На поверхности молекула может диссоциировать, потерять или приобрести электрон. Падающие с большими энергиями молекулы могут выбивать молекулы поверхности или молекулы, адсорбированные на поверхности. В зависимости от этих взаимодействий молекула, покидающая поверхность по истечении времени адсорбции, будет обладать различными импульсом и внутренней энергией.

Состояние поверхности зависит от обработки поверхности (шероховатости), чистоты поверхности, ее температуры и т. д. Характер взаимодействия молекул с поверхностью одного и того же помещенного в вакуум образца может меняться со временем из-за обезгажи- вания поверхности. Предварительное нагревание поверхности также способствует очищению поверхности от адсорбированных молекул.

Вообще говоря, характер взаимодействия данной молекулы с поверхностью зависит от числа и скоростей других молекул, падающих на тот же элемент поверхности.

Представим себе чистую от посторонних молекул поверхность. В зависимости от потенциалов взаимодействия молекул поверхности с молекулой газа время взаимодействия последней с поверхностью может варьироваться в очень широких пределах. Если та—время адсорбции, то доля поверхности, занятая адсорбированными молекулами, очевидно, равна у = NtTao, где IV,— число молекул, падающих в единицу времени на единицу поверхности, и о — сечение молекулы газа. Время адсорбции та зависит от энергии падающих молекул. Если у не близко к нулю, то характер взаимодействия каждой налетающей молекулы зависит от общего числа и энергии падающих молекул. В условиях глубокого вакуума (например, в условиях спутника) Y<^ 1, даже если время физической адсорбции порядка 10 6 сек. В этом случае каждая падающая молекула взаимодействует с поверхностью независимо от других. В другом предельном случае, когда у= 1 (например, при химической адсорбции, когда время та может быть очень большим, или в плотном газе), отражение также может быть независимым, если не образуется второй адсорбированный слой. В этом случае молекула взаимодействует с адсорбированным монослоем с меньшим временем адсорбции.

Для экспериментального исследования взаимодействия молекул с поверхностью наиболее широкое распространение получил метод молекулярных пучков. Методика получения пучков молекул с тепловыми скоростями (порядка 104—105 см/сек) достаточно хорошо разработана, однако задача получения монохроматических хорошо кон-

тролируемых пучков достаточной для измерений интенсивности со скоростями порядка 106—107 см/сек (для азота и кислорода для энергий 10—100 эв) представляется в настоящее время весьма сложной. Вторая трудность связана с контролем условий на поверхности тел, в частности с анализом адсорбированных пленок. По-видимому, последней причиной объясняется большой разброс экспериментальных данных даже для теплового диапазона скоростей *).

Отсутствие надежных экспериментальных данных приводит к тому, что в настоящее время пользуются более или менее правдоподобными предположениями о виде функции распределения отраженных молекул или простейшими теоретическими моделями взаимодействия молекул с поверхностью 2).

Из тех или иных соображений задается вид функции, аппроксимирующей истинную функцию распределения отраженных молекул и содержащей некоторое число свободных параметров, т. е, полагаем.

/(Л х, lr)==fr(t, x) = F(^r, Av .... AN), (ЮЛ)

где A^t, х) зависят от свойств поверхности и налетающих молекул, температуры поверхности и т. п. Функция F должна удовлетворять очевидному условию равенства числа падающих и отраженных молекул:

/ F((, х, |г)(|г ■»)<=- { /(t, х, §,Ж •«№ (Ю-2) $-я>0 $-л<0

Это условие определяет один из параметров А;, Остальные параметры Аг могут быть подобраны, например, так, чтобы функция F правильно определяла суммарные импульс, энергию и какие-либо еще макроскопические характеристики отраженных молекул. Связь последних с соответствующими характеристиками падающих молекул задастся o6i»i’ino с помощью необходимого числа параметров, так

’) Дев иен М, Течение и теплообмен разреженных газов, ИЛ, 1962; W а с h m а п И. Y,, ARS Journal 32, № 1 (1962); Hartnett J. Р„ Rarefied Gas Dynamics, Second Symp,, Acad. Press, 1961; Hurlbut F. C., Dynamics of Manned, Lifting Planetary Entry, Wiley, 1963.

2) См., например, Baule B„ Ann. Phys. 44, 145—176 (1914); Френкель А. И., УФН 20, № 1 (1938); Goodman F. O., J. Phys. Chem. Solids 23, 1269 (1962); 24, 1451 (1963); 26, 85 (1965); Goodman F. O., Rarefied Gas Dynamics, Forth Symp., Academic Press, 1966; Trilling L„ W a c h- man H. Y., Scott P. B., Proc. 6th Symp. Fluid Meeh. Pol. Acad. Sc. Zakopane, Poland, (1963); Trilling L., Journal de mecanique 3, № 2 (1964); Oman R. A., Bogan A., Weiser G. H., Li С. H., AIAA Journal 2, № 10 (1964); О m a n R. A., В og a n A., L i С. H., Rarefied Gas Dynamics, Forth Symp. Acad. Press, 1966; Баранцев P. Г., сб. «Аэродинамика разреженного газа» 2, ЛГУ, 1965; Ерофеев А. И„ Инженерный ж. 4, в. 1 (1964); 5, в. 5 (1965); Леон а с В. Б., ПМТФ, № 3, 71 (1965). Ряд теоретических и экспериментальных работ последних лет можно найти в сб. «Взаимодействие газов с поверхностями», «Мир», 1965-.

6 М, Н. Коган

называемых коэффициентов аккомодации. В свою очередь коэффициенты аккомодации определяются экспериментально или с помощью упоминавшихся выше теоретических моделей взаимодействия молекул с поверхностью.

Одна из наиболее старых и распространенных аппроксимаций функции распределения отраженных молекул вслед за Максвеллом ') строится в предположении, что часть молекул 1—ат отражается от поверхности зеркально, а часть ат—диффузно с максвелловским распределением

/ Ь X 3/2 г2 fr х, §J = (1 - аг) /г x. §r - 2 (gr • n) n) 4- a Ae

(10.3)

t. e. ядро в интеграле (9.6) предыдущего параграфа имеет вид

^г^ пу (10.3а)

Здесь д(х)—дельта-функция, /; — функция распределения падающих на поверхность молекул, о^, пТ и Тт— свободные параметры. Во втором члене (10.3а) учтено условие (10.2).

Легко видеть, что параметр ат характеризует долю тангенциального импульса, передаваемую падающими молекулами стенке. Действительно, тангенциальный импульс, приносимый на стенку падающими молекулами, равен

pix= — m / №ix ^i ' пШь(10 ■4)

Vn<0

где |/т—тангенциальная составляющая скорости падающей молекулы. Тангенциальный импульс, уносимый отраженными молекулами, согласно (10.3) равен

PTt=m J /ЛХ'«)< = (1-«Х.(Ю.5)

5-п>0

т. е. о^Р^ есть тангенциальный импульс, переданный молекулами стенке. Параметр ат можно назвать коэффициентом аккомодации тангенциального импульса-.

«-^-Ргх..(10.6)

XT

’) Maxwell J. С., On the Stresses in Rarefied Gases. The Scientific Papers 2, Paris, 1890.

Очевидно, при полностью зеркальном отражении аг = 0, а при полностью диффузном отражении аг=1.

Аналогично можно ввести коэффициент аккомодации энергии’.

(Ю.7)

где Et— энергия, приносимая падающими молекулами, Ег— энергия, уносимая отраженными молекулами, и Е^— энергия, которую уносили бы отраженные молекулы, если бы газ находился в равновесии со стенкой, т. е. когда в формуле (10.3) параметр ТТ равен температуре стенки Tuv

Коэффициент аккомодации ае = 0, если молекулы не отдают энергию стенке, и 0^=1, если налетающие молекулы приходят в термическое равновесие со стенкой (полностью аккомодируют). В соответствии с общими законами механики энергия, отданная поверхности, тем меньше (тем меньше аД чем меньше отношение массы налетающей молекулы к массе молекул поверхности.

Энергия отраженных молекул равна

Г тЙ.тп,

Ег= —— (|г • «) /г dlT = (1 aT)Ei-A-at,(10.8)

v«>o 2

где E(—энергия падающих молекул, равная

Г тЙ

Et = — J• п) ft dip(10.9)

Х-п <0 Аналогично

Е^ф-афЕ^о.,^^.(10.10)

Число молекул, отраженных в единицу времени от единицы поверхности, равно

Nr= /(10.11а)

£.«>0' т

где

Nt = - J (lfft)ftdlt

V" <0

— число молекул, падающих на ту же поверхность в единицу времени.

Аналогично, если бы молекулы отражались, находясь в равновесии со стенкой, т. е. при Tr = Tw, то

^ = (l-at)^4-aT-fe-(Ю.Пб)

2 у ^h-yy

Из условия (10.2) следуетNt = Nr, илиИз условия (10.2) следуетNt = Nr, илиNt = Nw, илиNt = Nw, илиNt =Nt =Nt =Nt =nr 12 р^л/г^, jnr 12 р^л/г^, j(10.12)(10.12)

Из условия (10.2) следует

Nt = Nr, или

Из условия (10.2) следует

Nt = Nr, или

Nt = Nw, или

Nt = Nw, или

Nt =

Nt =

Nt =

Nt =

nr 1

2 р^л/г^, j

nr 1

2 р^л/г^, j

(10.12)

(10.12)

Если температура стенки и коэффициенты аккомодации заданы, то, используя соотношения (10.8)—(10.11), из уравнений (10.7) и (10.12) можно найти параметры nr, nw и Тг, входящие в функцию распределения отраженных молекул (10.3).

Очевидно, что аппроксимация (10.3) может оказаться удовлетворительной лишь для ограниченного класса задач не только благодаря частному виду аппроксимирующей функции, но и благодаря тому, что коэффициенты аккомодации предполагаются не зависящими от функции распределения падающих молекул. Более того, аппроксимирующая функция (10.3) с заданными коэффициентами аккомодации в форме (10.6) и (10.7) противоречива. Действительно, пусть, например, аг= 1 и ае ф 1. Рассмотрим два пучка молекул, падающих на поверхность соответственно со скоростями |, и §2. Если плотность падающих пучков молекул не очень велика, то функция распределения отраженных молекул для каждого из пучков молекул не должна зависеть от присутствия молекул другого пучка (речь идет о пучках молекул, достигших стенки, и об отраженных молекулах непосредственно у стенки, так что столкновения молекул между собой не могут изменить наших рассуждений). Функция распределения отраженных частиц при падении на стенку сразу двух пучков должна быть равна сумме функций распределения отраженных молекул каждого из пучков. Однако легко видеть, что функция (10.3) при ае Ф 1 не удовлетворяет этому условию аддитивности. Во всех трех случаях функция распределения отраженных молекул имеет вид

о

^=4^л.ехр{-Мг} (й=1, 2, з),

где к = 1 и к = 2 относятся к пучкам со скоростями ^ и g2, а индексом к = 3 отмечены соответствующие величины при падении обоих пучков сразу, hrit отвечают соответствующим температурам отраженных молекул. Очевидно, N в = Ntl -j- Nn. Из (10.7) имеем

^ = >(1-«е) + /-(к=1, 2),

^3^3^чй + лд^— 2Ni3^чй + лд^— 2Ni3(1 —«»)(1 —«»)

^3

^3

^чй + лд^

— 2Ni3

^чй + лд^

— 2Ni3

(1 —«»)

(1 —«»)

Непосредственной подстановкой убеждаемся, что

/гЗ ^ Л1 + /г2-

Аппроксимация (10.3) с условиями (10.6) и (10.7) приводит к правильной функции распределения, когда газ приходит в равновесие со стенкой, что является некоторым ее оправданием.

Из физики явления легко видеть—и это подтверждается экспериментом ’), — что вероятность отскока молекулы с той или иной скоростью в том или ином направлении зависит от скорости и угла

Рис. 10.

падения налетающей молекулы. Можно усовершенствовать формулу (10.3), предположив, например, что ат и ае зависят от угла падения молекул и скорости. Имеющиеся экспериментальные данные показывают, что чем больше угол падения 9г (угол между вектором скорости и нормалью к поверхности), тем в большей мере сохраняется тангенциальный импульс отраженных молекул, т. е. тем меньше аг При ат = 1 функция отраженных молекул симметрична относительно нормали. Если изобразить число молекул, отражаемых в каком-либо направлении, в виде вектора, то конец вектора в этом случае, согласно (10.3), опишет сферу {закон косинусов). По мере увеличения угла наклона падающих молекул эпюра отраженных

*) См. работы, цитированные на стр. 81.

молекул начинает все больше походить на эллипсоид со все возрастающим углом наклона. В формуле (10.3) этот факт может быть учтен уменьшением аг. Однако, например, при падении монохроматического

Рис. 11Рис. 11пучка картина отраженных молекул будет состоять из двух частей: из молекул, отраженных по закону косинусов, и параллельного пучка (на эпюре 6-функция). Чем меньше at, тем больше будет пик, обусловленный зеркально отраженными молекулами.

Рис. 11

Рис. 11

По-видимому, экспериментальные

функция распределения является кроскопической скоростью ’)функция распределения является кроскопической скоростью ’)данные можно аппроксимировать лучше, если вместо введения зеркального отражения молекул считать, что максвелловской, но с некоторой ма-

функция распределения является кроскопической скоростью ’)

функция распределения является кроскопической скоростью ’)

(10.13)(10.13)/г = tvhf exp {— hr (g — U^.

(10.13)

(10.13)

На рис. 10 приведен заимствованный из работы Ночилла пример обработки (подбора параметров hT и U по этой формуле результатов эксперимента по отражению азота на чистом кристалле LiF при тепловых скоростях молекул.

Имеющиеся экспериментальные данные могут быть также аппроксимированы функцией распределения)

9г — 6 \ £z cos 0Z , „ е0 ) cos orпри 0r — 0 < 0О,9г — 6 \ £z cos 0Z , „ е0 ) cos orпри 0r — 0 < 0О,Vn <0

9г — 6 \ £z cos 0Z , „ е0 ) cos or

при 0r — 0 < 0О,

9г — 6 \ £z cos 0Z , „ е0 ) cos or

при 0r — 0 < 0О,

(10.14)

sin 0 = (sin 0Z)V,

где 0z и 0r — углы падения налетающей и отраженной молекул, 0 — наклон оси конуса рассеяния отраженных молекул, 0О — предельный угол конуса рассеяния (рис. 11). Три параметра 0О, V и Тг для заданных поверхности и налетающих молекул являются функциями

*) Grad Н„ Handbuch der Physik 12, 1958; Nocilla S., Rarefied Gas Dynamics, Third Symp., 1963.

£z и 0Z. Четвертый параметр пг связан с условием (9.4) предыдущего параграфа:

J W (^, 2,r) d^r J пт л j е ^т cos ^"2*

Х-п > 0Х*п > 0

(10.15)

Если 0о = л/2, 0 = 0 (т. е. v = oo) и пг и Тг не зависят от ^ь то функция (10.14) переходит в распределение Максвелла

где согласно (10.14) и (10.15)

• и < о• и < опг = пг j ^ cos Qifi d^ = 2 V^h-r J ^соз0г/г^

• и < о

• и < о

Е-л <0

Параметры 0О(^, 0,), v(£z, 0() и ТД^, 0Z) в формуле (10.14) могут быть найдены, если заданы три какие-нибудь макроскопические характеристики отраженных молекул, например, доля нормального и тангенциального импульса и энергия, передаваемые поверхности молекулами, падающими со скоростью cz под углом 0;.

Долю передаваемых импульса и энергии удобно характеризовать коэффициентами аккомодации, представленными в форме

(10.16)(10.16)«г &. еа=, ап &, 0а=

(10.16)

(10.16)

г- =

гдеPZT = A7zm^zsin0z, Ри = N^h cos 0Z,

— соответственно тангенциальный и нормальный импульс и энергия, приносимые молекулами, падающими со скоростью |; под углом 0; с нормалью к поверхности; Nt — число молекул, падающих на единицу поверхности с этой скоростью;

PTx = m j ^cos OrsinOr/r4Z|r, Prn = m j ^c®s20r/r^r, j t-n>0$-»>0I

Er = ^ J fcrCOS0r/r^r

5-n>0j

(10.17)

— импульс и энергия, уносимые молекулами с поверхности. Если at(^z, 0Z), a„(£;, 0Z) и a^(|z, 0Z) известны, то, подставляя в (10.16)

функцию распределения (10.14) для падающего пучка молекул с одинаковой скоростью, получим три уравнения для определения трех параметров: v(^, 0;), е0(^, 9Z) и Тт^ь 9;).

Коэффициенты аккомодации, заданные в форме (10.16), удобны также при расчете обтекания выпуклых тел свободномолекулярным потоком (см. § 6.1). При расчете обтекания выпуклых тел свободномолекулярным потоком не интересуются функцией распределения отраженных молекул. Необходимо лишь знать импульс и энергию, передаваемые падающими молекулами поверхности. В этом случае знание коэффициентов аккомодации (10.16) полностью решает задачу, так как aTPh, а^Р^ и ай£г дают как раз импульс и энергию, переданные молекулами со скоростями £z стенке. Тогда полные импульс и энергия, передаваемые, стенке падающими молекулами всех скоростей и направлений, равны

Рт = т J атЙ;, 0z)|Zt^cosOz/;d^,

Х-п <0

р« = т J «Д^г W00820/*(10.18)

t-ЖО

s-ЖО

Выше шла речь лишь об энергии поступательного движения молекул. При столкновении многоатомной молекулы со стенкой ее внутренняя энергия может как уменьшаться, так и увеличиваться. Внутреннюю энергию й-го вида отраженной молекулы в общем случае можно представить в виде

E^VWH^(Ю.19)

у

Здесь коэффициенты йу6 определяют долю внутренней энергии J-сорта, переходящей при столкновении со стенкой в энергию A-сорта. Коэффициент р6 определяет долю поступательной энергии молекулы, переходящей во внутреннюю энергию й-сорта. Наконец, коэффициент Ys определяет долю энергии стенки, идущей на возбуждение й-типа внутренней энергии. При единичном столкновении легче всего молекула отдает и приобретает вращательную энергию.

В отличие от рассмотренных выше коэффициентов аккомодации, введенные только что коэффициенты могут быть как положительными, так и отрицательными.

В качестве 'грубых осредненных характеристик можно ввести по аналогии с (10.7) еще два коэффициента аккомодации:

ЕГ- Е^ + “I (Et - ^)-(Ю-20)

Верхним индексом «в» отмечена величина внутренней энергии; а3 и aj — новые коэффициенты аккомодации.

Хотя коэффициенты аккомодации ат, ап, о,, а тем более а”, ате и вероятности отражения IF(^, ^ изучены еще далеко не достаточно, тем не менее в дальнейшем мы везде будем предполагать характер взаимодействия молекул с поверхностью заданным, а для конкретных расчетов будем применять одну из приведенных выше аппроксимаций.

Критерии подобия

Приведем уравнение Больцмана

—= f U'A — fh^gbdbdad^ (11.1)

ot 1 oxt 1 m o8,t j J 11

к безразмерному виду, отнеся входящие в уравнение (11.1) переменные к соответствующим характерным величинам, положив

(И.2)(И.2)t = t^, х^х^,^. = ^.U, b = bR, g = gG,

(И.2)

(И.2)

Xt = XiX, / = /Ф, е = ел.

Здесь ©—характерное время течения; L — характерная длина; U — средняя скорость молекул, определяемая выражением

G — средняя относительная скорость:

X — характерная внешняя сила, действующая на молекулы; R—характерный линейный размер столкновения молекул, разный, например, для твердых шаров диаметру молекул, и Ф — характерное значение функции распределения, равное

с3

где го0 — характерное число молекул в единице объема и с — средняя тепловая скорость молекул, так как характерный объем пространства скоростей, в котором функция распределения имеет основной порядок, очевидно, не зависит от скорости газа как целого. Очевидно, что с3 является характерным объемом пространства скоростей, по которому ведется интегрирование в интеграле столкновений. Обычно G и с одного порядка.

Подставляя безразмерные величины (11.2) в уравнение Больцмана (11.1), получим (черточки над безразмерными величинами

опускаем)опускаем)0/ . , ^ । AL X д/ ие dt dxt -г т1Р 1 0^ —= ^g— J (ГД - /Г) gb db ded^ (11.3) или0/ . , ^ । AL X д/ ие dt dxt -г т1Р 1 0^ —= ^g— J (ГД - /Г) gb db ded^ (11.3) илиdt dxt + Fr ; dXt= (ГД-f^gbdbd^, (11.4)Легко видеть, что ’)Sh--^■О1-5)dt dxt + Fr ; dXt= (ГД-f^gbdbd^, (11.4)Легко видеть, что ’)Sh--^■О1-5)есть аналог числа Струхаля, аFrесть аналог числа Струхаля, аFrmlPXLmlPXL(И.6)(И.6)— числа Фруда. Если течение происходит в поле X/ni — g^— ускорение силы тяжести, и число обычный для гидродинамики вид— числа Фруда. Если течение происходит в поле X/ni — g^— ускорение силы тяжести, и число обычный для гидродинамики видсилы тяжести, тоФруда принимаетсилы тяжести, тоФруда принимаетFrFrU2 gd- 'U2 gd- 'Третий параметр подобия, входящий в уравнение Больцмана, называется числом Кнудсена:Третий параметр подобия, входящий в уравнение Больцмана, называется числом Кнудсена:Так как л/?2=о есть сечение столкновения, то (см. § 1.4)Так как л/?2=о есть сечение столкновения, то (см. § 1.4)кК^пД! = an0G = vкК^пД! = an0G = vравно числу столкновений, испытываемых молекулой в единицу времени, а V-1 —т равно времени между столкновениями. Следовательно, число Кнудсена можно представить в видеравно числу столкновений, испытываемых молекулой в единицу времени, а V-1 —т равно времени между столкновениями. Следовательно, число Кнудсена можно представить в видеКпКпtULtULXL ’XL ’(И.8)(И.8)

опускаем)

опускаем)

0/ . , ^ । AL X д/ ие dt dxt -г т1Р 1 0^ —

= ^g— J (ГД - /Г) gb db ded^ (11.3) или

0/ . , ^ । AL X д/ ие dt dxt -г т1Р 1 0^ —

= ^g— J (ГД - /Г) gb db ded^ (11.3) или

dt dxt + Fr ; dXt

= (ГД-f^gbdbd^, (11.4)

Легко видеть, что ’)

Sh--^■О1-5)

dt dxt + Fr ; dXt

= (ГД-f^gbdbd^, (11.4)

Легко видеть, что ’)

Sh--^■О1-5)

есть аналог числа Струхаля, а

Fr

есть аналог числа Струхаля, а

Fr

mlPXL

mlPXL

(И.6)

(И.6)

— числа Фруда. Если течение происходит в поле X/ni — g^— ускорение силы тяжести, и число обычный для гидродинамики вид

— числа Фруда. Если течение происходит в поле X/ni — g^— ускорение силы тяжести, и число обычный для гидродинамики вид

силы тяжести, то

Фруда принимает

силы тяжести, то

Фруда принимает

Fr

Fr

U2 gd- '

U2 gd- '

Третий параметр подобия, входящий в уравнение Больцмана, называется числом Кнудсена:

Третий параметр подобия, входящий в уравнение Больцмана, называется числом Кнудсена:

Так как л/?2=о есть сечение столкновения, то (см. § 1.4)

Так как л/?2=о есть сечение столкновения, то (см. § 1.4)

кК^пД! = an0G = v

кК^пД! = an0G = v

равно числу столкновений, испытываемых молекулой в единицу времени, а V-1 —т равно времени между столкновениями. Следовательно, число Кнудсена можно представить в виде

равно числу столкновений, испытываемых молекулой в единицу времени, а V-1 —т равно времени между столкновениями. Следовательно, число Кнудсена можно представить в виде

Кп

Кп

tUL

tUL

X

L ’

X

L ’

(И.8)

(И.8)

где X — средняя длина свободного пробега молекул.

Характерные скорости молекул U и О введены так, чтобы соответствующие безразмерные величины были порядка единицы. Если рассматривается газодинамическое течение с числом Маха M = F/a^l, то характерной скоростью молекул будет тепловая скорость, т. е. U — G ~ с ~ а. При М > 1 следует принять U -—V, а О ~ с—■ а.

*) См., например, Седов Л. И., Методы подобия и размерности в механике, «Наука», 1965.

Числа Кнудсена (так же как и длины пробега) различны в различных инерциальных системах координат. Пусть рассматривается обтекание тела в системе координат, связанной с телом, при числе М > 1. Тогда естественным параметром, определяющим относительную величину членов уравнения Больцмана, будет число Кнудсена (11.7), в котором U ~V, а следовательно, и длина пробега к в системе координат, связанной с телом. Однако обычно для характеристики набегающего потока применяют число Кнудсена Knm, построенное по длине пробега в системе координат, связанной с набегающим потоком (длина пробега ^ю на данной высоте). В этой системе координат

Кс 1Кп

“ n°° "n^GL n0oL L М '

Число Кнудсена можно связать с числом Рейнольдса. Как показано в § 1,5, коэффициент вязкости равен

Тогда

01-9)

Если молекулы взаимодействуют со степенным потенциалом Klrs~}, то характерный линейный размер процесса столкновения равен (см. § 1.3)

п_ (4(8 — MV/Mк — I, mG2 ) •

В этом случае число Кнудсена принимает форму

КпКп(11.10)(11.10)2-1ои

Кп

Кп

(11.10)

(11.10)

4(s — l)^\2/(^-l)

т /

Точно так же находятся критерии подобия для смеси газов и для газов с внутренними степенями свободы. В общем случае каждая компонента смеси имеет разные характерные сечения столкновения с молекулами разного сорта. Поэтому для соблюдения подобия для смеси необходимо соблюсти равенство нескольких чисел Кнудсена.

Для газа из твердых шариков при изменении масштаба L подобия течения (равенства чисел Кнудсена) можно добиться изменением диаметра шариков о (изменением сорта газа), изменением плотности газа го0, а также изменением отношения U/G. В частном случае при моделировании течения в том же газе (т. е. при неизменном сечении столкновения о) и при фиксированном U/O необходимо, чтобы произведение Lna в обоих течениях было одинаковым. Очевидно, что этого

92 УРАВНЕНИЯ КИНЕТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ГАЗОВ [ГЛ. II условия достаточно для подобия течений произвольной смеси при моделировании в газе того же состава.

В течениях с макроскопическими скоростями газа, меньшими или порядка тепловых скоростей (до- и околозвуковые течения), U — О. Поэтому в таких течениях нельзя воспользоваться изменением скоростей для сохранения подобия. В гиперзвуковых течениях (U (5> Q) и некоторых других течениях, которые будут подробнее рассмотрены в главе VI, возможно независимое регулирование U и О. В таких течениях для достижения подобия можно пользоваться изменением масштаба скоростей (например, изменять скорость и температуру набегающего потока).

В газе, состоящем из молекул, взаимодействующих по степенному закону, соблюдения условий подобия течений можно добивагься не только изменением масштаба течения L, плотности я0 и сорта газа (изменением К\ но и изменением масштаба скоростей молекул газа О и U на всех режимах течений. На практике для моделирования труднодостижимых режимов течений при очень низких давлениях часто пользуются уменьшением масштаба течения.

Число Кнудсена характеризует степень разреженности газа. При очень больших числах Кнудсена роль столкновений молекул становится пренебрежимо малой и в пределе при Кп->со интегралом столкновений можно пренебречь. Течения, в которых можно пренебречь столкновениями молекул, называются свободномолек^ляряыми. Для свободномолекулярных течений уравнение Больцмана принимает вид

= (11.11)

dt dt 1 ы дх; 1 т ду

т. е. функция распределения сохраняется вдоль фазовой траектории молекул. В другом предельном случае, при Кп—>0, функция распределения в основном определяется столкновениями. Как будет видно из дальнейшего, в этом случае течение поддается гидродинамическому описанию (см. главу III).

Выше при выводе критериев подобия мы не рассматривали начальных и граничных условий. При наличии границ для сохранения подобия течений необходимо удовлетворить дополнительным критериям. Рассмотрим, например, обтекание тела с характерным размером L безграничным газом, находящимся в равновесии и движущимся со скоростью U. Тогда функция распределения на бесконечности равна (ср. формулу (9.1))

/ h \з/2 , ,

(11.12)

Выбирая в качестве характерной скорости скорость Лф,1" = (2йТоэ/т)1/2 и в качестве характерной плотности молекул пт, находим, что в (11.12) входят три безразмерных параметра: U^ и два угла,

определяющих направление скорости набегающего потока. Первый параметр с точностью до постоянного множителя совпадает с числом Маха.

На границе тела должно выполняться условие (9.6):

^KiMt'Mi-(U-13)

Функция К зависит от координат точки тела хта, скоростей падающей ^ и отраженной §г молекул, температуры тела Тт, массы молекул тела тта, шага кристаллической решетки /, эффективного диаметра столкновения молекул газа с молекулами поверхности d и других параметров, характеризующих физико-химические свойства и состояние поверхности:

К=1Гм,х2 ^-^I -22 .V (11.14)

\ L«1 QQ Lt Til гуу/

где Hf—безразмерная функция.

Таким образом, для подобия течений необходимо, чтобы при подобной геометрии течений были равны числа Маха и Кнудсена (или, что то же самое, числа Маха и Рейнольдса), отношения температур TwjTm и т. д. Если состав газа и свойства поверхности тела одинаковы, то для подобия течений достаточно соблюсти лишь равенство чисел Маха, Рейнольдса и отношений температур Т^Т^ как и в гидродинамическом приближении.

Глава Ш

Общие методы решения уравнения Больцмана

3.1, Уравнения сохранения

Выведенное в предыдущей главе уравнение Больцмана определяет поведение функции распределения / (t, х, §), являющейся функцией семи независимых переменных. Известно, что трудности решения уравнений резко возрастают с увеличением числа независимых переменных. С другой стороны, как уже отмечалось в § 2.1, микроскопическое описание с помощью функции распределения в большинстве задач излишне детально. Поэтому естественно попытаться перейти к менее детальному описанию с помощью макроскопических гидродинамических величин, введенных в § 2.1 (см. формулы (1.4) — (1.10)).

Умножим правую и левую части уравнения Больцмана (уравнение (2.9) главы И) на некоторую функцию скорости ф(§) и проинтегрируем по всем возможным скоростям молекул (—оо^^^схэ):

f ф(Ы^ + ^'+ ~=(1-1)

J 1\ dt 1 dxt 1 т д^ ) ъ'

где /ф—интеграл, введенный в § 2.4. Преобразуем левую часть уравнения (1.1). Поскольку пределы интегрирования по § не зависят от времени, то, меняя порядок операций интегрирования и дифференцирования, получим

Аналогично

JvSS,^-^/*/^(1.3)

И

j <Р©-^^/^У^= f Ф/ Р_ ^У^-/ /<^- О-4) (со

Очевидно, что при конечной энергии газа должно быть очень мало молекул с очень большими скоростями. Поэтому функция / должна стремиться к нулю по крайней мере быстрее, чем ^-2 при

с,—>со. При максвелловском распределении f е~'АЧ2. В дальнейшем везде будет предполагаться, что величина <р/ достаточно быстро стремится к нулю, так что первый член правой части (1.4) следует опустить. Тогда уравнение (1.1) можно переписать в виде

(LS|

Это — общее уравнение переноса.

Возьмем в качестве функций ср сумматорные инварианты т, т^ и 4amV- В § 2.4 показано, что для сумматорных инвариантов/ф = 0. Учитывая определения гидродинамических величин, преобразуем входящие в (1.5) интегралы:

m J U/^£= J (сг+«z)(^ + «z)/^ = ^7 + P^(L6)

^ / U4 dl ~ j (rz + «,) (c2 + 2c A + zz2) / d^ =

-q^UjPt^pUi^RT + L^Y (1.7)

где R = klm — газовая постоянная; по повторяющимся индексам производится суммирование.

При ф = т получаем уравнение неразрывности dp , dput „

'dt ' dx, "

При ц> = тЧ получаем уравнения сохранения импульса

Ь— ^-р=0(1.9)

или, используя (1.8),

5 \1 dPtj Xt

at 11 dxj) 1 p dXj 1 m

И, наконец, при ср = 1/2*и^2 получаем уравнение сохранения энергии

тр(тст+т"’)+АЫтст+т"') +

—(1.10)

или, учитывая (1.8) и (1.9),

( й л \ „ да, ди,

" \ dt 1 ) dx; )dxj Ч dXj-7

Таким образом, для определения тринадцати гидродинамических величин р, иЕ, PEj- и qE мы имеем только пять уравнений (температура Т выражается через Р£у, см. § 2.1), т. е. система уравнений (1.8) — (1-Ю) не замкнута. Чтобы замкнуть систему, необходимо найти дополнительные связи между входящими в уравнения величинами.

В гидродинамике тензор напряжений p(j и поток тепла qL выражают через компоненты скорости, плотность, температуру и их первые производные, предполагая, что тензор напряжений пропорционален тензору скоростей деформаций, а вектор потока тепла — градиенту температуры. Это позволяет замкнуть систему уравнений (1.8)—(1.10). Однако, как мы увидим ниже, линейная связь тензора напряжений и потока тепла с градиентами от гидродинамических величин является весьма частной и справедлива лишь для течений при малых числах Кнудсена, т. е. для течений, близких к локальноравновесным. В общем же случае течение не может быть описано с помощью одних только гидродинамических величин и система уравнений (1.8)—(1.10) не может быть замкнута. Поэтому необходимо вводить новые описывающие течение функции и строить уравнения, которым они должны удовлетворять при заданных условиях. Вообще говоря, для любого течения можно найти конечную или бесконечную совокупность макроскопических функций, с большей или меньшей точностью описывающих течение, и построить управляющие ими уравнения или, другими словами, построить соответствующую макроскопическую модель некоторой сплошной среды, которая в тех или иных отношениях ведет себя подобно газу, состоящему из молекул. (Так как молекулярный газ является системой с бесконечным числом степеней свободы, то соответствующая ему сплошная среда, которая моделировала бы поведение газа во всех отношениях, должна определяться бесконечным числом параметров.)

Ниже будут рассмотрены методы построения моделей сплошных сред, т. е. методы отыскания необходимого числа определяющих течение параметров и построения управляющих ими уравнений, с помощью кинетического уравнения Больцмана. В принципе соответствующие уравнения для макроскопических величин можно построить и из феноменологических (макроскопических) рассмотрений, минуя кинетическую стадию ). Однако входящие в эти уравнения кинетические коэффициенты (коэффициенты вязкости, теплопроводности, диффузии и т. п.) не могут быть найдены из феноменологических теорий и для их определения требуются дополнительные соображения или эксперименты. Так, например, при феноменологическом выводе уравнений Навье—Стокса, предполагая пропорциональность компонент тензора напряжений компонентам тензора деформаций, мы должны ввести 81 неизвестный коэффициент пропорциональности. Вводя дополнительные предположения об изотропности и однородности среды, все эти коэффициенты удается выразить через два коэффициента вязкости, кото-

рые в конечном счете должны быть найдены экспериментально или с помощью кинетической теории. Как будет видно из дальнейшего, в отличие от феноменологических теорий, кинетический подход с использованием уравнения Больцмана позволяет получить не только макроскопические уравнения движения среды, но и выразить входящие в них коэффициенты через свойства молекул газа. В то же время благодаря своей общности феноменологические теории позволяют построить уравнения (модели) для сложных сред, для которых кинетическая теория еш.е не развита.

Метод моментов

Наиболее универсальным методом, позволяющим в принципе замкнуть систему макроскопических уравнений при произвольных числах Кнудсена, является метол, моментов.

Моментом ^-гo порядка от функции распределения называют компоненты тензора N-ro порядка вида

NN

f>.= l

(ср — 1> 2, 3; с^ = ^Пр Mag)'

Очевидно, что 7И-моменты порядка N могут быть выражены через o^-моменты порядка N и ниже, и наоборот:

= Mij — «4й/’

<^цк = Mijk — чДjk — и5Мк1 икМм + Чшци jiih,

^Ijkl " *4jkl " ui^jkl llj^kll — uk^ilj ul^ljh +"(2 2)

n^jM^ -у и^Мц 4- u^M^ 4ruiukMu +

ttj4tMlk -f-— Зпщи ^и^.

Введенные в § 2.1 гидродинамические величины также являются моментами:

n(t, х) = ЛР = [ fdl,(2.3)

nu^t, х) = М^ = j ^^(/= 1, 2, 3),(2.4)

Pq^t, х) = т@%^ = т J c^jfd^,,(2.5)

Qi = ^ ^y = ^ (^., + G«m + <33) = J ^ Cic4 d^. (2.6)

В уравнение неразрывности (1.8) входят моменты нулевого и первого порядков, в уравнения движения (1.9) входят моменты пулевого,

98 ОБЩИЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ БОЛЬЦМАНА [ГЛ. III первого и второго порядков, и, наконец, в уравнение энергии входят все моменты (2.3)—(2.6), включая свертку моментов третьего порядка

Vz = "2 т^Ш — "2 т ^п ~Ь' ^£22 + ^гзз)-

Легко составить уравнения для Р^, qt и всех остальных моментов Л1(3), моментов ТИ(4) и т. д. Для этого в общее уравнение переноса (1.5) достаточно вместо ф подставить соответственно ^;-. XS У^и и т- Д- При этом в левую часть уравнений для моментов порядка /V входят моменты (AZ-j-l)-ro порядка. Следовательно, уравнение Больцмана может быть заменено лишь бесконечной системой совместных уравнений. При выводе уравнений (1.8)—(1.10) в качестве функции гр(|) выбирались сумматорные инварианты ф;. В этом случае интегралы / обращались тождественно в нуль. При построении же уравнений переноса для моментов более высокого порядка интегралы /^ в общем случае в нуль не обращаются и в уравнение моментов ^-гo порядка входят не только неизвестные моменты (jV-j- 1)-го порядка, но и неизвестные интегралы 1^. Поэтому необходимо прежде всего выразить интегралы Ц через моменты.

Функцию распределения можно искать в виде *)

/ (Л х, §) = F(g, /И™, Л1(1), . . .), (2.7)

где моменты Л1(^—функции от t и х. Тогда, заменив в интегралах /q, функцию распределения / по формулам (2.7), получим бесконечную систему совместных уравнений для бесконечного числа моментов. Для некоторых весьма специальных течений и частных законов взаимодействия система уравнений обрывается и течение описывается конечным числом моментов (см. § 4.1). В общем же случае уравнение Больцмана эквивалентно лишь бесконечной системе макроскопических уравнений. Для решения практических задач столь сложные системы уравнений, очевидно, неприемлемы.

Для приближенного решения уравнения Больцмана из тех или иных соображений можно аппроксимировать функцию распределения с помощью конечного числа моментов. Пусть, например, для данной задачи функцию распределения можно аппроксимировать выражением

/ (t. х, |) = F Й, Др . .., А^, (2.8)

где At(t, X) — некоторые макроскопические величины, зависящие от / и х. Конкретный вид функции F определяется характером рассматриваемого течения, граничными условиями и необходимой точностью

аппроксимации. В §§ 3.3, 3.4, 4.2 и 4.3 будут даны примеры построения таких аппроксимаций. С помощью аппроксимирующей функции (2.8) можно выразить моменты любого порядка через функции Аг. Пусть какие-либо N моментов *) 7Иа или о^а мы выразили через N функций Аа. В принципе можно обратить эту зависимость и выразить функции Аа, а следовательно и /, через N выбранных моментов:

/(Л х, 1)=^, Mai, ТИ^, .... MaN). (2.9)

Тогда через эти N моментов можно выразить любые другие моменты и интегралы /ф. Возьмем любые N уравнений моментов и выразим все входящие в них моменты и интегралы Г^ через выбранные N моментов 7Иа. Таким образом, мы получаем N совместных дифференциальных уравнений для N моментов.

Из способа получения этой системы уравнений видно, что здесь имеется большой произвол как в выборе аппроксимирующей функции, так и в выборе моментов и уравнений, которым они удовлетворяют, ибо при выбранных N моментах можно воспользоваться любыми N уравнениями моментов.

Так как в конечном счете обычно интересуются лишь гидродинамическими величинами (первыми тринадцатью моментами), то удобно, чтобы в число определяющих N моментов входили и эти гидродинамические величины. В число уравнений моментов естественно включить пять уравнений сохранения массы, импульса и энергии (уравнения (1.8) — (1.10)). Выбор дополнительных моментов и уравнений обычно производится более или менее произвольно из соображений простоты решения.

Еслн аппроксимирующая функция, содержащая N моментов, яв- ляегси точным решением уравнения Больцмана, то, очевидно, решения любых спечем, составленных из произвольно выбранных N уравнений моментов, тождественны. Поэтому, чем точнее выбранная функция аппроксимирует точное решение уравнения Больцмана, тем меньше должны расходиться между собой решения различным образом выбранных систем моментных уравнений. Указанным обстоятельством можно воспользоваться для оценки точности выбранной аппроксимирующей функции. Для этого достаточно получить два решения с одной и той же аппроксимирующей функцией, но при различном выборе моментных уравнений. Разность полученных таким образом решений характеризует их точность.

Указанной неоднозначности в выборе моментных уравнений можно избежать, используя метод, предложенный И. Е. Таммом). Метод аналогичен методам Ритца и Галеркина.

’) Среди этих N моментов могут быть моменты любого порядка.

Рассмотрим функционал

(2.10)

Функционал S’ положителен и обращается в пуль, если функция / удовлетворяет уравнению Больцмана. Выбрав форму аппроксимирующей функции, мы можем потребовать, чтобы входящие в нее моменты А1;(х) или коэффициенты А^х) обращали в нуль первую вариацию функционала (2.10):

6^ = 0.(2.11)

Можно надеяться, что функции УИ^ или А(, соответствующие минимуму функционала .,2'. обеспечивают наилучшую аппроксимацию решения в среднем при выбранной форме аппроксимирующей функции.

Метод моментов. Разложение функциираспределения по полиномам Эрмита

Функцию распределения / (t * х, §) можно, например, представить в виде (2.7), если в каждой точке течения разложить / в ряд по § с коэффициентами, зависящими от t и х, установив связь между этими коэффициентами и моментами.

Как известно, широкий класс функций можно разложить, например, по полиномам Эрмита). Следуя Граду), представим функцию распределения в виде ряда)

/ =+■ +4 <^«44^+ • 4 (3.1)

где а-а^...^—коэффициенты, зависящие от t и х,

4 '-2^4 = 44 й(у) (3-2)

— локальная функция Максвелла,

“(^=444 =С3-3)

§ 3.3] МЕТОД МОМЕНТОВ. РАЗЛОЖЕНИЕ ПО ПОЛИНОМАМ ЭРМИТА Ю1 и Н^...а (у^ Уг, Уз) — полиномы Эрмита от трех независимых переменных, определяемые соотношением

.(3.4)

Ряд (3.1) сходится в среднем, если существует интеграл

Это условие выполняется для функций, стремящихся к нулю при у, стремящемся к бесконечности, быстрее, чем е"®2/4. В дальнейшем в явном виде потребуются лишь полиномы низших порядков:

/А =У/,

Н^ = vIV6и,

А3/» = ^У/У& —(У/б^-Ч-У/б»+ у66;Д^3'5^

Н'^м= ViVjVfcVt— (ViVjbH-VvtVkbjt + vtVibjh^-

+ VjVkbtl + VjVtbik + yftyz6Zy) -]- (6ij6kl -]- 6z6dyz + 6zz6y6),

Так как при изменении порядка дифференцирования в (3.4) ре- ауль1лг in- меняется, то полиномы Н^..^, получаемые друг из .apyi.-i иерееi.iiioiiKofl индексов, тождественны. Из определения (3.4) легко инден, также, что

Полиномы Эрмита ортогональны с весом а:

J а (у) Н^\..^ (у) H^.^^^dv = 0 npn44=^N (3.8)

to(v)H^...a,NQo') H'^...?,NQoAdv = b^ при M = N, (3.9)

оЫЦИП МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ БОЛЬЦМАНАоЫЦИП МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ БОЛЬЦМАНА[ГЛ. III[ГЛ. III10?

оЫЦИП МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ БОЛЬЦМАНА

оЫЦИП МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ БОЛЬЦМАНА

[ГЛ. III

[ГЛ. III

। ж ^ф - - Iенпор порядка 2N:

*\i|l — бар, 6^—OcnftOc^fe 4“ ^a^^CbPi Н-^Иг^РА И T. Д.

Компоненты тензора dw) содержат (2^)I/2Л^! членов, представляющих собой всевозможные, но различные произведения символов Кронекера, получающиеся при перестановке 2N индексов, причем каждое произведение входит один раз. Поэтому полиномы Н^\..о и Я^)..р ортогональны, если только а, ... aN и р, ... Рд, не могут быть получены друг из друга перестановкой.

Пользуясь ортогональностью полиномов Эрмита, найдем

(3.10)

Коэффициенты alN1 могут быть выражены через моменты; подста

вляя (3.5) в (3.10), получим:

й(о)=1 йц)=о = 'Ир

} (3.11)} (3.11)(3.12)(3.12)Ик р V кТ ’

} (3.11)

} (3.11)

(3.12)

(3.12)

т=Жци т 1

3z)h = р "kf ~~^(Pij\r^ Pi^n”V Pifijk^

"4" Р рД.1 + Piftik + Pkl^ij) — (^i j^M 4' ^t^jl "T” ^П^р:)’

где введен тензор

Pij = Pij — ^p.

Чтобы получить уравнения для aW, умножим уравнение Больцмана (в отсутствие внешних сил) на Н^. ,,aN и проинтегрируем по всевозможным скоростям §. Имеем

d/H^d/H^JdH^J ( dtJdH^J ( dtdt ' У r,ГкТ" dVjHW}m dx(dt ' У r,ГкТ" dVjHW}m dx(кТ dvtll^fкТ dvtll^fdxtdxt==IH№, (3.13)==IH№, (3.13)

d/H^

d/H^

JdH^

J ( dt

JdH^

J ( dt

dt ' У r,ГкТ" dVjHW}m dx(

dt ' У r,ГкТ" dVjHW}m dx(

кТ dvtll^f

кТ dvtll^f

dxt

dxt

==IH№, (3.13)

==IH№, (3.13)

гдегде

где

где

(3.14)(3.14)d д дIt — "dt + ui"a^

(3.14)

(3.14)

Произведение иiH^\.. aN во втором члене заменим через H!'N4Vl и H'N~1'> с помощью (3.7). Преобразуем производные от моментов;

из (3.4), (3.6) и (3.7) имеем

dHW _ дН^ „ dv

dtdyav dt

,pV-l)fl/" m Д_тУ^ d (kT\

ai ■•• av-iav + iV kT dt 2kT dt \mj

V кТ«АГ dt

m (mh’n'i л M'V-2)) d ( kT \

a' -аМ~ГОаА ax ...cv_|av+I ...a^,^,—

АналогичноАналогичнодт^Н^ _ dHwdxt У; dx;дт^Н^ _ dHwdxt У; dx;dxtdxt(3.15)(3.16)(3.15)(3.16)гдегдеOH^ a°1 . ClNOH^ a°1 . ClN*V j 11 п П fl(Г /X*V j 11 п П fl(Г /X

Аналогично

Аналогично

дт^Н^ _ dHwdxt У; dx;

дт^Н^ _ dHwdxt У; dx;

dxt

dxt

(3.15)

(3.16)

(3.15)

(3.16)

где

где

OH^ a

°1 . ClN

OH^ a

°1 . ClN

*V j 11 п П fl(Г /X

*V j 11 п П fl(Г /X

^"'‘y mU"v й ('^У' UT dxi267 dxt \ m /

VкT ^И^Л• av- iav +1 ' •' “V + 6ia/ai • • ■/-iav +1 • • -“ц-i^h-i • • • X

^-^~Wr^NH^--aNi"JrNbi%H“\ •••4-i%+i“лг +

х д tkT\ aN* дх; \ m )х д tkT\ aN* дх; \ m )+ 4%^ 1'--%-1% + 1 •••«ц-Нц+t •••«^+ЧоЛат: Х

х д tkT\ aN* дх; \ m )

х д tkT\ aN* дх; \ m )

A nC4 ...<^_1% + | ... а^-.и^н •••«.t-|aT + I

И

,W) dvt т Г m hn 9ut avaNdxi— V кТ ax---aN dxt

m_ (гг^ч-!)। e rrAr—1\ 9( kT

Подставляя полученные выражения в уравнение (3.13), интегрируя по § и деля на п, получим

1 ‘ N 1 AN)1 ‘ N 1 AN)“v-iS+i ••■CV дх; 1“v-iS+i ••■CV дх; 1। Nmd ( kT \ , ^ffeT,IhT ai "•“n dt \ m V tn dx;। Nmd ( kT \ , ^ffeT,IhT ai "•“n dt \ m V tn dx;

1 ‘ N 1 AN)

1 ‘ N 1 AN)

“v-iS+i ••■CV дх; 1

“v-iS+i ••■CV дх; 1

। Nmd ( kT \ , ^ffeT,

IhT ai "•“n dt \ m V tn dx;

। Nmd ( kT \ , ^ffeT,

IhT ai "•“n dt \ m V tn dx;

При выводе уравнений (3.17) использованы соотношения вида

а также уравнение неразрывности (1.8)

dnди:

= — п .atoxt

Используя соотношение симметрии (4.12) главы II, стоящий справа в уравнении (3.17) интеграл можно переписать в виде

^(ДУ = j Н^ (f'f, ~ f/,) gb db d^ dlx dl =

J f f ^H(Ngb db d& dl dlx, (3.18)

§ 3.3] МЕТОД МОМЕНТОВ. РАЗЛОЖЕНИЕ ПО ПОЛИНОМАМ ЭРМИТА 105 где для сокращения письма введено обозначение

[Л] = Л (у') + Л (у,') — Л (у) — Л (у,).(3.19)

Подставляя сюда вместо / разложение (3.1), получим

(3-20)

S = 0 где

X1<L ] <\, (^gbdbdadMV). (3.21)

Таким образом, правые части уравнений (3.17) содержат бесконечное число коэффициентов а^№ или моментов любых порядков. Левая часть уравнений (3.17) содержит наряду с моментами порядка N моменты порядка (N -|- 1).

Следовательно, если функция распределения представима в виде ряда (3.1), то уравнение Больцмана можно заменить бесконечной системой совместных уравнений для макроскопических величин а^ или моментов.

Ряд (3.20) обрывается для максвелловских молекул. Действительно, согласно уравнению (2.11) главы II в этом случае выражение (3.21) можно записать в виде

R,S)_1 ZlCV(V/2

'“i"1 «^ l^v, ...у$X

X J/„№/.,(-,)|»X

x ^...vs^OPdp de d^d^ (3.22)

ИЛИ

rW, R, S)__ hV^ R- S'/Q 94^

“i - ^Pj ... ^ ... vs — « S ... C^ ... P/?V] ... vs. (3.23)

где

R, S) 1 ( 16^ у/2

U“1-"“лА •••#151 т )

х j co^W^t^"-^7^ PrW^i-" Vs(®i)P^P^^h (3,24)

Коэффициенты С^^’5-1 зависят лишь от закона взаимодействия молекул (от величины К, входящей п закон взаимодействия).

В подынтегральное выражение (3.24) не входит относительная скорость |у— yj. В выражение [Н^У, Ндг] входят как полиномы степени N по у и ур так и полиномы по у'" и у'. Однако, как показано в § 1.3 (формулы (3.10) и (3.11)), для молекул со степенным законом взаимодействия при столкновении частиц с заданным параметром р угол отклонения % одинаков при любых относительных скоростях. Поэтому при интегрировании по у или ут при фиксированном р в выражении (3.24) скорости после столкновения у' и у' выражаются линейно через у и Уг Следовательно, Hw (у'), Hw (у') и [H(jv'| суть полиномы степени N от у и У,. Произведение полиномов <>(у)77^(у[) можно рассматривать как полином Эрмита от шести независимых переменных порядка 7? -|-S с весовой функцией ы(у)ы(у1). Этот полином ортогонален с весом ю»! к любому полиному от у и У! степени, меньшей 7?-|-S. Поэтому С^ ^ S) = 0 при 7V</?-|-S. С другой стороны, если разложение (3.1) подставить в первую форму интеграла (3.18), то, очевидно,

C“iJ ю(у)а>(у1)Х

X (77W (у')Я(5) (у') — /7(/?' (y)H(s) (у,) ^W (у) р dp de du dv^ (3.25)

Теперь выражение в скобках является полиномом степени /? —f— S, и, следовательно, С^^’S) — 0 при 7?-|-S<N. Таким образом, коэффициенты ТЗ^^’ S) Для максвелловского газа отличны от нуля лишь при /?-|-S = W и интеграл 1 н^ является конечной квадратичной суммой коэффициентов а^ степени не выше N.

Однако и для максвелловских молекул бесконечная система совместных уравнений (3.17) в общем случае не обрывается, так как в левую часть уравнения для а^ входят коэффициенты а^+х\ Чтобы получить замкнутую систему с конечным числом уравнений, приходится аппроксимировать функцию распределения конечным числом членов ряда. Ограничиваясь членами третьего порядка, представим функцию распределения в виде

/=/0{l+la(2^^^ <3-26)

Выражая коэффициенты aIN> через моменты, а функции Эрмита через скорости соответственно по формулам (3.11) и (3.5), получим

/ Ри т/ Ри тCi-Mб7~Ci-Mб7~m \2q, / т \ ■Тг) ClCjCk — -y\^f]Clm \2q, / т \ ■Тг) ClCjCk — -y\^f]Cl(3.27)(3.27)

/ Ри т

/ Ри т

Ci-Mб7~

Ci-Mб7~

m \2q, / т \ ■

Тг) ClCjCk — -y\^f]Cl

m \2q, / т \ ■

Тг) ClCjCk — -y\^f]Cl

(3.27)

(3.27)

ди,дх.ди,дх.2 6 9 г _3 дх,2 6 9 г _3 дх,(3.28)(3.28)(3.29)(3.29)d^iji, ди^^к /in '—Н ’И 1Г mdt1дх,1._д_! ИЛ , д / дх, \Р Р m / дх, v ZAd^iji, ди^^к /in '—Н ’И 1Г mdt1дх,1._д_! ИЛ , д / дх, \Р Р m / дх, v ZAди,ди,ди^ \дхт 1 LfR дхг 1дхг / 1fe7\ ,д /kT\m / ' дх^ \РЧ тпди,ди,ди^ \дхт 1 LfR дхг 1дхг / 1fe7\ ,д /kT\m / ' дх^ \РЧ тп

ди,

дх.

ди,

дх.

2 6 9 г _

3 дх,

2 6 9 г _

3 дх,

(3.28)

(3.28)

(3.29)

(3.29)

d^iji, ди^^к /

in '—Н ’И 1Г m

dt1дх,1

._д_! ИЛ , д / дх, \Р Р m / дх, v ZA

d^iji, ди^^к /

in '—Н ’И 1Г m

dt1дх,1

._д_! ИЛ , д / дх, \Р Р m / дх, v ZA

ди,ди,ди^ \

дхт 1 LfR дхг 1дхг / 1

fe7\ ,д /kT\

m / ' дх^ \РЧ тп

ди,ди,ди^ \

дхт 1 LfR дхг 1дхг / 1

fe7\ ,д /kT\

m / ' дх^ \РЧ тп

Это—так называемое двадцатимоментное приближение, так как аппроксимирующая функция содержит двадцать моментов п, ub Т, р^ и o^ij^. При подстановке (3.26) в (3.10) из ортогональности полиномов Эрмита получим, что все aW = 0 при ^>3,

Уравнения, которым удовлетворяют указанные двадцать моментов, можно получить, выписав уравнения (3.17) для л(2) и а®, положив входящие в них моменты aW при ^ > 3 равными нулю и выразив коэффициенты <zw> при N ^ 3 через моменты согласно (3.11). В результате имеем:

Ф + ^(Р“г) = °-

dui । duj . 1 dPlT dt ' т дх, р дх,

др । д ,, , 2 п

дГ + "д^^Р^ 3 ’-

др,;, ддЛи,2 dq, du, дщ

dt1dx,х Г1 ч' дх,3Ч дх,1 дх,г м дх,

2ди, / ди£ duj2 ди, \р

3 ^рРндхх। Р \ дх,"^ дх,3^ч dx,)а ^И^’

+ (Pir^jk + Р jAh + PfeAj) ~^ (~^"J

1 / dPfe, dPj, dP£,\

p v 4 dx, Piii dx, P)6 dx, )

.d . s d . d \ kT p

1 r \ dxi 1 lR dxj 1 dx^) m n

Здесь для полноты выписаны уравнения сохранения (3.28).

Так как коэффициенты aW) = 0 при N > 3, то интегралы /^(2) и 7^(3) являются квадратичными формами, содержащими произведения а^а^ порядка /?-|-5<С6. Для максвелловского газа, как

отмечалось выше, интегралы ^ Hw содержат лишь произведения a(s)tt(R), для которых S-(^^ = ^- Поэтому для максвелловских молекул, поскольку й№=0, сумма (3.20), входящая в выражение для I ^, может содержать лишь члены вида д(0)а^, а сумма для 7^з)— лишь члены вида а® а1-3.

После проведения соответствующих выкладок для максвелловских молекул получены следующие выражения *):

г r л I V'2 2 (2)1

/^ = -6^ —) naU|

Iд / 8^ V/2(3)(3), (ЗЦ (3). \ I (З.оГ)

нТ1к = ~~А П ^ai jh ai — ai blh

где at'1 = ат^--аш-\-айй—свертка по двум индексам и А = 0,343.

При выводе уравнений (3.29) и (3.30) не обязательно исходить из уравнений (3.17), полученных для функции распределения, представляемой рядом по полной системе- функций (полиномам Эрмита). Вообще говоря, после того как мы задали аппроксимирующую функцию (3.26), можно получить уравнения (3.29) и (3.30) методом, изложенным в предыдущем параграфе, путем замены Alw>-моментов в последовательности уравнений (1.5) о^^^-моментами с помощью формул (2.2).

Аппроксимация (3.26) содержит двадцать моментов (все моменты первого, второго и третьего порядков). С практической точки зрения предпочтительнее иметь систему уравнений, содержащую только имеющие ясный физический смысл и поддающиеся измерению тринадцать моментов п, и^, Т, р^ и qt. Представим поэтому функцию распределения в виде

/ = /о(1 A-^^Wj-VbtH^y(3.32)

где Н^ = vi(v2— 5) — свертка H^jk по двум индексам. Как ясно из изложенного в предыдущем параграфе, вообще говоря, можно использовать любую аппроксимирующую функцию. При этом, конечно, нужно знать, для каких задач выбранная аппроксимация функции распределения может обеспечить желаемую точность. В конце пара-

графа мы проанализируем точность, обеспечиваемую двадцати- и тринадцатимоментным приближением при малых числах Кнудсена.

Умножая (3.32) на Н^ (э) и интегрируя по У, найдем, что

Поэтому аппроксимацию (3.32) можно переписать в виде

/ = Л(1(3.33)

или, заменяя aW через моменты,

/о[1 4/о[1 45 йТ1)^]-(3-34)5 йТ1)^]-(3-34)

/о[1 4

/о[1 4

5 йТ1)^]-(3-34)

5 йТ1)^]-(3-34)

Как и при аппроксимации (3.26), все а^№ при 7V > 3 равны нулю в силу ортогональности. Однако так как функция (3.33) или (3.34) содержит не все моменты третьего порядка, то последние должны быть выражены через моменты, входящие в (3.33) и (3.34).

Подставляя (3.33) в (3.10), получим

а?.р = ^ V^Jk + aj^ 4" 4^^(3.35)

или, выражая через моменты,

m-e^tjh = 4 ^ц + <?Afc + ЧА)")-(3-36)

Заменяя входящие в уравнения (3.29) и (3.30) моменты а/И^^ по формуле (3.36), получим:

дРи , д , , 2 / Рщ Oq, 2 dqr \

—7/ ~ Щ (»rPi Р 1“ Ж iУД ^Ч i "Л / 4"

dt 1 dxT v ч 5 \ дх-j ox, 3 dxT / 1

d«ydu; 2 dur

—P D:r "5 ”|— p :♦ TI"

1 dxrdx, 3 4yrs dxs

(3.37;(3.37;I du,dii:2 dur \ A / %K

(3.37;

(3.37;

+ Ph— +6— 9Рц = 0,

1 1 \дх/ 1 dxt3 ч dxr ] ' m \ m J v

da:.d ,. . 7 ди.[.2dur, 2 duT.

dt1dxr vТЧг 5vr dxr15 4rdXj 541 dxr1

1kTdpir. 7d \pu dPrs

'mdxr 2dxr\ m-)p dxs

,5 d / kT \ . . A (%R \„/0 oo\

+ "2+P^=0. (3.38)

Уравнения (3.37), (3.38) вместе с уравнениями сохранения (3.28) составляют так называемую тринадцатимоментную систему уравнений Града. Эта система проще системы (3.28)—(3.30) и содержит

лишь измеримые величины.

Заметим, что, вводя аппроксимацию (3.27) или (3.34), мы не накладывали каких-либо ограничений на отношение длины пробега молекул к характерному размеру течения или времени между столкновениями к характерному времени течения. Предполагалось лишь, что истинная функция распределения течения достаточно хорошо аппроксимируется зависимостями вида (3.27) или (3.34). Течения, достаточно хорошо или даже точно описываемые функциями распределения (3.27) или (3.34), можно построить при любых числах Кнудсена, однако для весьма специальных граничных и начальных условий.

Перепишем уравнения (3.37) и (3.38) в виде

дрц1

-5г+Ло+~А-; = 0,(3.37а)

^ + 5- + 1 ^^ = 0,(3.38а)

где тр—величина, имеющая размерность времени и равная

1 г А (%К АР— = 6 — р,

тр т \ т )

и А^ и Bt заменяют остальные члены уравнений, содержащие пространственные производные.

Считая Ац, В, и тр известными функциями времени, можно записать решения уравнений (3.37а) и (3.38а) в виде

Qi = Qi (°) ехР jQi = Qi (°) ехР j(3.39)(3.40)(3.39)(3.40)

Qi = Qi (°) ехР j

Qi = Qi (°) ехР j

(3.39)

(3.40)

(3.39)

(3.40)

Интегрируя последовательно по частям, получим следующее асимптотическое разложение для тр-»0:

Г dr |

| о р j

/dAt ,-Тр\ I

<ЗЛ1)

/ 39 dSZTD) I— (тгTpS/ — -4 Тр yt Н •••Ц^<-(3.42)/ 39 dSZTD) I— (тгTpS/ — -4 Тр yt Н •••Ц^<-(3.42)

/ 39 dSZTD) I

— (тгTpS/ — -4 Тр yt Н •••Ц^<-(3.42)

/ 39 dSZTD) I

— (тгTpS/ — -4 Тр yt Н •••Ц^<-(3.42)

Из (3.41) и (3.42) видно, что по истечении времени порядка нескольких тр начальные условия уже не сказываются, и тензор напряжений р15 и вектор потока тепла qt полностью определяются состоянием газа в момент времени t. Поэтому время тр есть время релаксации процесса.

В § 1.3 показано (формула (3.18)), что эффективные сечения столкновений для максвелловских молекул равны

0М = 2л.

\ т / g

Следовательно, l^p~(Kjm?)ll'2n~ oga, т. е. время релаксации тр имеет порядок времени между столкновениями (см. § 1.4).

При малых числах Кнудсена, когда характерное время течения 0 много больше времени между столкновениями (а следовательно, и времени релаксации тр), влияние истории процесса из-за быстрого убывания экспоненты пренебрежимо мало. Ограничиваясь в этом случае первым членом разложения, имеем:

Рц = ~ трАЦ’(3-43)

9z = ”' ту(3.44)

Считая гидродинамические величины р, ut, р и 7 и их производные величинами основного порядка, из (3.43) и (3.44) и определения Лгу- и В; видим, что Pt; и qt порядка тр. Оставляя в А[; и В, величины основного порядка и пренебрегая членами, содержащими рц и q^ получим:

/ ди:2 ди, \

= TnP НI,(3.45)

Р \dxj 1 дх,- 3 4 дх, /-'

15 д (кТ\._ . _.

(ЗЛ6)

Легко видеть, что если положить

1 ( т > т15 к5 кЧ

^ = tnP = -z-r отг^ =Рто =7=(3.47)

р 6А \8К )4 т р 8А V8Кт ’ ''

где р и X — соответственно коэффициенты вязкости и теплопроводности, то выражения (3.45) и (3.46) дают связь тензора напряжений и вектора потока тепла с тензором скоростей деформаций и градиентом температуры, принимаемую обычно в уравнениях Навье — Стокса. Подставляя выражения (3.45) и (3,46) в уравнения сохранения (3.28), получим обычные уравнения Навье — Стокса.

Напомним, что рассматривается максвелловский газ. Поэтому полученные выражения для вязкости и теплопроводности пригодны

лишь для газа, состоящего из молекул, взаимодействующих но закону Максвелла. В § 1.5 из элементарных кинетических соображений показано, что коэффициенты вязкости и теплопроводности максвелловского газа пропорциональны температуре. Теперь этот факт подтвержден строгой теорией.

Сохраняя в (3.41) и (3.42) два члена, получим так называемое барнеттовское приближение:

Р1) = -хрАч 4-тр^^,(3.48)

39 dT„Bt

Здесь в Ац и Вг в первых членах справа следует сохранить величины порядка тр, содержащие р^ и %, заменив последние по формулам (3,45) и (3.46). Во вторых же членах справа в At- и Bt членами, содержащими Рц и q-v следует пренебречь, так как они имеют уже порядок Тр. Частные производные по t с точностью до тР можно исключить с помощью уравнений Навье — Стокса. В результате получается зависимость р^ и q, от гидродинамических величин р, Up р и Т и их пространственных производных до второго порядка:

_о,, ди; | Р М dut

P‘i ^ дх; 11 р drk dxj

А-К.А-К.р2ргр2ргд2Ти2дх; dxj V’- ррТд2Ти2дх; dxj V’- ррТдТдТ\дик du-jdtii duk 1/дх, dxkдх1г dxj J +dp dT , K jvy dT dT _. dx; dxj ° p7'2 dxt dxj '1° p dxk dxj x 7\дик du-jdtii duk 1/дх, dxkдх1г dxj J +dp dT , K jvy dT dT _. dx; dxj ° p7'2 dxt dxj '1° p dxk dxj x 7ц2 dUj ОТ ।рТ dXj dxeрТ L 3 dxtц2 dUj ОТ ।рТ dXj dxeрТ L 3 dxtda, дТ dxt dxjda, дТ dxt dxj

А-К.

А-К.

р2

рг

р2

рг

д2Ти2

дх; dxj V’- ррТ

д2Ти2

дх; dxj V’- ррТ

дТ

дТ

\дик du-jdtii duk 1

/дх, dxkдх1г dxj J +

dp dT , K jvy dT dT _. dx; dxj ° p7'2 dxt dxj '

1° p dxk dxj x 7

\дик du-jdtii duk 1

/дх, dxkдх1г dxj J +

dp dT , K jvy dT dT _. dx; dxj ° p7'2 dxt dxj '

1° p dxk dxj x 7

ц2 dUj ОТ ।

рТ dXj dxe

рТ L 3 dxt

ц2 dUj ОТ ।

рТ dXj dxe

рТ L 3 dxt

da, дТ dxt dxj

da, дТ dxt dxj

!l12 dp ii2 d p.2 dT \ du;

^"V^^d^ + ^'t'VdFj+^s-^-q^j-^--(3.51)

Здесь для сокращения письма введено обозначение:Atj = "2(Aij ± Ajd ~^>1}АМ!.

Постоянные К; и 0Z для максвелловских молекул имеют следующие значения П:. , п т , .

/<,-0. /<5_зДД^. К,-8.

«.—^-^У «>=-т- е- = 3'

Отметим, что для молекул с иными законами взаимодействия также можно получить, пользуясь другими методами (см. §§ 3.7 и 3.8), выражения (3.50) и (3.51), но с другими коэффициентами K-L и 0;. Так, для упругих сфер имеем:

Кс1=1,014К,, КгЧ = 1,014К„ А4, = 0,806Л4 Кс4 = 0,681,

4с5 = 0,806/С5 — 0,990, Кс6 = 0,928К6,

9с1= 1,0359р 0^= 1,0350,, 9с3=1,ОЗО63, 0с4 = О,8О604,

0- 0,9184-0,806 — ^.^—0,160.

ю \ 4у аТ /

К уравнениям Навье — Стокса, Барнетта и т. д. можно прийти также с помощью полных уравнений моментов.

Рассмотрим бесконечную цепочку моментных уравнений. Первые пять уравнений — это уравнения сохранения (1.8) — (1.10), в которые кроме пяти гидродинамических величин п, uL и Т входят моменты второго и третьего порядков р^ и qt. Для построения уравнений Навье—Стокса, Барнетта и т. д. необходимо выразить последние через гидродинамические величины и их производные.

Для нахождения р^ и qt воспользуемся моментными уравнениями более высокого порядка. Эти уравнения удобно записать не непосредственно для моментов, а для коэффициентов aW „ разложе- ния функции распределения в ряд по полиномам Эрмита. Коэффициенты aW связаны с моментами соотношениями (3.11). Функ- ции aW удовлетворяют уравнениям (3.17), которые (для N)>2 и максвелловских молекул) можно записать в следующей структурной форме:

= 7ЛаУ...Од4аУ—<3-52)

*) См. Чепмен С. и К а у л и н г Т, Математическая теория неоднородных газов, ИЛ, 1960.

8 М. Н. Когда

где €—отношение тр к характерному времени течения. Оператор 1^ является линейным относительно функций a(;v+i:i, аУУ . . ., «(7V“3) с коэффициентами, зависящими от гидродинамических величин и их первых производных. В линейный относительно aVN) оператор .ЭУ^ входят все коэффициенты порядка N, отличные от <z(m . Оператор D^...^—линейная форма от аУШ1), где A, Z<N— 2, k4~l=N и Л^...^— коэффициенты, не зависящие от aW.

Проинтегрируем уравнения (3.52), приняв временно L, S, D, Л и тр за известные функции t; имеем

aw (t) = а^'1 (0) exp ' — J —-— dt } —

I о 6 J

ГI Г AW I

— J QW (s) exp ( — j dt I ds. (3.53)

Здесь

■QW = LW -|- — Sw + — DW>

и для сокращения письма опущены индексы ар . . ., aN у Ук\ 2,(лг) и т. д.

Проинтегрируем последовательно А раз по частям входящий в правую часть уравнений (3.53) интеграл; имеем

^(0=^ + ^^(0=^ + ^к-Iк-Iе 6PW dt ~е дР^те 6PW dt ~е дР^тdtdtk 1 AW dtk 1 AW dtоо6 бРк.AW dt6 бРк.AW dtexp { — j —— dt ) —= дРУ2Л ,' AW dt )s„tfp{—dx^ds, (3.54)exp { — j —— dt ) —= дРУ2Л ,' AW dt )s„tfp{—dx^ds, (3.54)

^(0=^ + ^

^(0=^ + ^

к-I

к-I

е 6PW dt ~

е дР^т

е 6PW dt ~

е дР^т

dt

dt

k 1 AW dt

k 1 AW dt

о

о

6 бРк.

AW dt

6 бРк.

AW dt

exp { — j —— dt ) —

= дРУ2Л ,

' AW dt )s„t

f

p{—dx^ds, (3.54)

exp { — j —— dt ) —

= дРУ2Л ,

' AW dt )s„t

f

p{—dx^ds, (3.54)

где

_ 6 dpln2\ p<N) _ 6 wn " л^) at ’1aw

Если производные dP^i/dt ограничены, то при стремлении к нулю отношения Тр к характерному времени течения функции aw

§ 3.3] МЕТОД МОМЕНТОВ. РАЗЛОЖЕНИЕ ПО ПОЛИНОМАМ. ЭРМИТА Ц"> представляются отрезками асимптотически сходящихся рядов:

4 + AW dt\AWQ /

Заметим, что в уравнениях для а^ и л(3’, т, е. для pLj и qb операторы S и D равны нулю, а в операторы L входят члены, содержащие я(°)™1.

При ^ > 3 выражение О№ имеет структуру (по порядку величин)

1^М)_|_1(Й(М-2)Й(2)_|_ . , .л(2)л(М-2)) + (л^-3)+ _ . ^^W+l)).

Так как определитель системы

в общем случае не равен нулю, то легко видеть, что

а® О (ё), а® ~ О (ё) и л(лг)^ё2 при N > 3. (3.56) Поэтому, если раскрыть значения QW в выражениях (3.55) для ар и а(р, то увидим, что коэффициенты я<4) могут дать вклад лишь в члены порядка ё3 для тензора напряжений и потока тепла. Следовательно, в навье-стоксовском и барнеттовском приближениях двадцатимоментные уравнения, которые получаются из точных при а<4> = О, совпадают с точными.

Рассмотрим теперь подробнее уравнения (3.17) для л)3^. Запишем их в виде

€ / дТ .дТ . дТ \ . Ас

~ИЗГ Ж^)к+”^/ + ~ ' Ьи + ^(ё2).(3,57)

\ dxt Jдхд дхк

Образуя свертку, легко убеждаемся, что

= — -= л<3) + О (е2).(3.58)

дх[ 56<17х 7

Подставляя (3.58) в (3.57), имеем

4 W ^ + ^\к + ^ бо.) - «^ = о (е2).(3,59)

При выводе тринадцатимоментных уравнений из двадцатимоментных было сделано единственное дополнительное предположение (3.35), связывающее aC3js с а^\ Сравнивая (3.35) с (3.59), мы видим, что это предположение выполняется с точностью до величин О(е2). Так как в уравнение для а^ и акр коэффициенты akpjk входят лишь в L,

го замена аАк по формуле (3.35) может привести к ошибкам в выражениях для рц и qt лишь порядка с. Следовательно, для максвелловских молекул выражения для р1; и qL в навье-стоксовском и барнеттовском приближениях, получаемые из тринадцатимоментных, двадцатимоментных и точных моментных уравнений, одинаковы. Другими словами, решения уравнения Больцмана асимптотически стремятся к решениям уравнения Навье— Стокса или Барнетта при стремлении числа Кнудсена к нулю1).

Положительная информация, которую могут, дать двадцати- или тринадцати моментные уравнения при малых числах Кнудсена, содержится в уравнениях Барнетта. Вся дополнительная информация, содержащаяся в двадцати- и тринадцатимоментных уравнениях, имеет тот же порядок, что и отброшенная при их получении, т. е. О(е3).

Этот результат получен нами для максвелловских молекул. Для произвольных немаксвелловских молекул в оператор Dw входит бесконечная сумма произведений а№-а^ при R, S= V, 2, . . . В частности, входят члены вида а^ а^ = а^ при всех к. Используя свойства коэффициентов B'N'R,S^ (см. сноску на стр. 105), найдем, что система моментных уравнений имеет следующий структурный вид (коэффициенты порядка единицы не выписываем):

/ ди; ди; 2 ди.\'

£‘+еО(й(2>, а^\ =

(дх, г dxt 3 дхг / 11'

— p£jA- а^ Д- а№ + . .. Д- aW1' Д- .. .,

Д- cO(ato, а^, а(4)) =

— QiA”Ч2)а(3) Д- . ..,

,,'(3.60)

сО(й(2), а®, а^, . ... а'2й+’>) =

= а№ Д- а(4) Д- ... Д- а^а^ д_ . . ., tiCHa^, а^, а^, ..а<м>) =

= а(3) Д а<5) Д- .. . Д- а(2Д<3) -Д .. .

(к = 2, 3, . . .).

Отсюда видно, что для немаксвелловских молекул коэффициенты aW) ~ с при любых ^ > 0. Для нахождения связи между ptj и производными от скоростей, а также между q£ и производными от температуры необходимо решить бесконечные системы уравнений. В конечном счете при данной структуре уравнений мы придем к

соотношениямРц4 а(4> 4- 461 4соотношениямРц4 а(4> 4- 461 4/ du; diij2 диг \

соотношениям

Рц4 а(4> 4- 461 4

соотношениям

Рц4 а(4> 4- 461 4

’ ' ' Ц дх} + 4x73 ^‘у йхг /

/ дщ ди, 2 биЛ

чг-= -(-т v’ + «(5) + «(7)+(3-61)

(как и выше, а^, 45>, . . . стоят вместо всей совокупности коэффициентов 4-го, 5-го и т. д. порядка).

В двадцати- и тринадцатимоментном приближении всеми aW при N > 3 пренебрегают. Так как в общем случае все а^№—6 (для максвелловских молекул a(,v)c<£ при N > 3), то в двадцатимоментном приближении мы определяем р и X с ошибкой 0(б), т. е. с ошибкой того же порядка, что и сами эти величины. Можно показать, что получаемые в тринадцатимоментном приближении коэффициенты р и X соответствуют первому приближению [р], и [Аф к значениям коэффициентов вязкости в методе Энскога — Чепмена (см. § 3.8).

Таким образом, в общем случае при б->0 из двадцати- или тринадцатимоментных уравнений нельзя получить уравнения Навье — Стокса с точными значениями коэффициентов вязкости и теплопроводности. Однако, как уже отмечалось, тринадцати- или двадцатимоментные уравнения могут быть получены методом моментов, если постулировать вид функции распределения (например, (3.34)). Поэтому эти уравнения могут оказаться достаточно точными при произвольных числах Кнудсена для течений, для которых постулированная функция распределения будет хорошо аппроксимировать истинную функцию распределения. Более того, по-видимому, имеется некоторый класс течений, для которого выбранная аппроксимирующая функция является точным решением уравнения Больцмана *).

Интересно отметить, что тринадцатимоментные уравнения для нестационарных течений имеют гиперболический тип2), в то время как уравнения Навье—Стокса параболичны. Точно так же стационарные тринадцатимоментные уравнения в зависимости от скорости течения имеют эллиптический (при малых скоростях) или гиперболический (при больших скоростях) тип, в то время как стационарные уравнения Навье—Стокса всегда эллиптического типа.

■) См. § 4.1. в котором приведены точные решения уравнения Больцмана, имеющие вид локально-максвелловского распределения. Аналогично можно отыскивать точные решения, имеющие функцию распределения более общего вида (например, вида (3.34)). Однако трудно представить, сколь широк будет класс соответствующих течений.

I i8 общие Методы решения уравнения больцмана цщ. ш

Метод моментов.

Разрывные функции распределения

В предыдущем параграфе был рассмотрен один из возможных методов представления функции распределения в виде ряда (2.7). Функцию распределения можно искать в виде разложения не только по полиномам Эрмита, но и по любым другим функциям. Выбор того или иного представления для функции распределения определяется прежде всего быстротой сходимости выбранных рядов, так как для получения практически приемлемой системы уравнений моментов необходимо получить наилучшую аппроксимацию при оставлении минимально возможного числа членов ряда. Однако, как мы увидим в дальнейшем (см. §§ 4.2, 5.1, 6.5), очень часто функция распределения разрывна по скоростям в каждой точке течения. В этом случае ряды (в частности, и ряд (3.1) по полиномам Эрмита), представляющие функцию распределения, если и сходятся, то сходятся медленно.

Введем сферические координаты так, что

^ — ^cosO, ^у — ^ sin 9 cos ф, g2= ^ sin9 5!Пф,(4.1)

где Е, — абсолютная скорость молекул. Пусть поверхность разрыва дается уравнением

0 = Т (ф, х, ty(4.2)

Коническая поверхность (4.2) в каждой точке пространства х в момент времени t разделяет пространство на две области. Функцию распределения можно представить в виде

( в области А,

/ = 1(4.3)

[ /в в области В.

Если в областях А и В нет больше поверхностей разрыва, то каждую из функций /А и fв можно разложить в ряд соответственно в областях А и В, которые, вообще говоря, должны сходиться быстрее, чем ряд, представляющий полную функцию распределения /$).

Поскольку в областях А и В функция распределения в общем случае имеет разный характер, то в каждой из них легче построить хорошо аппроксимирующую функцию, чем во всей области. Функции /л и /в можно записать в виде (2.8):

J А = FА (§, HjЛт) в области А, 1

/ с rD i, (т, п)<оо. (4.4)

/в = рв^- Bv •••■ Sn) в Области В j

‘) Если внутри областей Л и В имеются еще поверхности разрыва, то функцию распределения следует разложить в свой ряд в каждой из областей непрерывности.

Функции Рд и Рв непрерывны соответственно в областях Лий и учитывают разрыв на границе областей (4.2): РА 4= F в. Подставляя аппроксимации (4.4) в определения моментов, можно установить связь коэффициентов Дг и Bt с моментами. Дифференциальные уравнения для моментов (или коэффициентов Лг и Вр можно строить двумя путями аналогично изложенному в §§ 3.2 и 3.3. Умножая уравнение Больцмана на соответствующие степени скоростей, можно интегрировать либо по всему пространству скоростей, либо в областях Л и В раздельно. При интегрировании по области Л (или 5)

интегралы столкновений не исчезают даже при умножении уравнения Больцмана на сумматорные инварианты. Поэтому применим и сме

шанный метод, когда уравнения для первых моментов строятся интегрированием по всему пространству скоростей, а для более высоких моментов— по полупространствам. Все эти подходы представляются равноценными, и лишь конкретный вид аппроксимирующих функций и специфика задачи позволяют Отдать предпочтение одному из них (см. §§ 4.2, 4.4),

Простейшим видом разрывной функции является так называемое

двухстороннее максвелловское

приближение *), Это приближение состоит в том, что в областях Л и В в каждой точке течения функция распределения заменяется своим максвелловским распределением. Для области А

/а — пА (f- ^) ^ктд (£ х) ) ехр{ 2кТд(<,х)^“а(^ ^)12]-

’(4.5)

Соответствующее выражение для области В получается заменой индекса А на В.

Функция распределения в виде (4.5) может дать точное решение для свободномолекулярного течения, если молекулы отражаются от стенки диффузно с максвелловским распределением. Пусть, например, рассматривается теплоотдача (рис. 12) между неподвижными поверхностями Фл(-«, у, z) и Фд(х, у, z), имеющими соответственно температуры отраженных молекул ТтА и ТгВ. Тогда функция распределения (4.5) дает свободпомолекулярное решение, если положить ^а — ^га и "^а — ^гА для векторов скоростей молекул, лежащих

') См. Liu С., Lees L., Rarefied Qas Dynamics, Second Symp, Acad. Press, 1961.

внутри телесного угла йл, и пв — пгВ кТ в — ТгВ для скоростей, лежащих внутри телесного угла йв, равного 4л — йл, и если иА = ив = 0. Точно так же, если поверхность Фл (х, у, г) обтекается безграничным потоком с температурой Тю и скоростью U = (UV U^, U3) на бесконечности, то внутри телесного угла йд (т, е. для молекул, приходящих в данную точку х из бесконечности) в свободномолекулярном случае нужно положить пв = п_, Тg — T^ nulg=Ut.

В другом предельном случае очень малых длин пробега пА может стать равным пв, ТА — ТВ и и1А = и1В, и функция распределения переходит в локально-максвелловскую функцию эйлеровского приближения (см. §§ 3.7 и 3.8).

С помощью функции (4.5) можно точно удовлетворить граничным условиям с максвелловским распределением отраженных молекул (подробнее о граничных условиях — в следующем параграфе).

К более точной и универсальной (но в то же время значительно более сложной) аппроксимации для функции распределения можно прийти из следующего наводящего рассмотрения модельного уравнения Больцмана ■).

Рассмотрим формулу (8.25) главы II для стационарного течения при п - const; имеем

/(^, ^ = f^№ §)exp^--y-(s—sw)} +

+ -у J/o(/, §)exp{--^(s-/)}rf/, (4.6)

где xw—точка границы, с которой пересекается прямая, проведенная из точки х в направлении —|, и s и /—параметры, характеризующие положения точки на этой прямой (Z = s в точке х и I = sm в точке х^). Входящий в правую часть (4.6) интеграл проинтегрируем дважды по частям:

/(х Е)-№. У-т ^'ti 9 + №.• ?)-/»<*•• 0 +

') S h е n S. F., Rarefied Gas Dynamics, Third Symp., Acad. Press, 1963,

Перепишем это выражение в виде

/ (л, g) = / (хю, g) exp { ~ 4~ О ~ «J } +

> Г / .чS)T /.( An. ,. ) \ ,

+ [/о(^—Д1-ехР{- —(S-Sj[) +

। ! Г т /гх 6 ^/о (X, 6) 1 Г z />6 ^/о (Х№ 6)1] ч /

X ехр ^ - — (s — s№)} + J -уу ехр |— (S _ /) j. dl. (4.8)

В свободномслекулярном течении функция распределения не меняется вдоль траектории частиц, и третий и четвертый члены правой части (4.8) равны нулю. В другом предельном случае малых длин пробега, т. е. при Ап.—> эо, последние члены также много меньше второго. Поэтому в грубом приближении можно пренебречь этими членами и аппроксимировать функцию распределения выражением

/(х, ^) = Нх№ |)ехр| г" (s —sro)^ +

4 \ш ^"^^^^W"^-"!^(4'9)

Как будет показано в § 3.6, выражение, стоящее в квадратных скобках, есть не что иное, как функция распределения /н. с, соответствующая навье-стоксовскому приближению. Таким образом, аппроксимация (4.9) для больших длин пробега (Ап —>0) переходит в точное решение для свободномолекулярных течений, а для малых длин пробега (Ап—>оо)—в функцию распределения Навье — Стокса. Функция распределения (4.9) в общем случае разрывна и имеет различный характер в различных областях скоростного пространства в соответствии с характером граничных условий.

Формула (4.9) получена с помощью приближенного уравнения Больцмана. Однако в квадратные скобки вместо приближенной навье- стоксовской функции распределения можно подставить точную, соответствующую полному уравнению Больцмана. Сохранив общую структуру аппроксимации, можно в квадратные скобки подставить какую- либо иную подходящую функцию, например двухстороннее максвелловское распределение

f(x, 1) = /^, g)exp{ - -4^1

/I An\ \

-VfA.B^x, Ц1 — exp^g-(s—(4-Ю)

где f A, в—двухстороннее максвелловское распределение (4.5), равное /д в области А и /в в области В.

Функция (4.9) обладает одним существенным преимуществом; в нее входят лишь пять гидродинамических величин в точке х. Поэтому, подставив эту аппроксимацию в выражения для тензора напряжений и вектора потока тепла, входящие в уравнения сохранения (1.8)—(1.10), получим замкнутую систему из пяти уравнений для пяти гидродинамических неизвестных, учитывающую в то же время граничные условия. Эти уравнения являются как бы обобщенными уравнениями Навье — Стокса. Аппроксимация же (4.10), так же как и (4.5), содержит большее число неизвестных параметров и требует поэтому привлечения, наряду с уравнениями сохранения, дополнительных моментных уравнений, в выборе которых имеется известный произвол.

В общем случае получающиеся макроскопические уравнения весьма сложны. Однако некоторое представление о даваемой ими точности можно получить, даже не выписывая их. Рассмотрим, например, структуру ударной волны. Так как в этом случае граничные условия ставятся на бесконечности, то экспоненциальные члены равны нулю, и при аппроксимации (4.9) приходим к навье-стоксовскому описанию волны. Как было показано в § 2.8, величина ^Ап пропорциональна длине пробега. Поэтому экспоненциальные члены существенны лишь на расстояниях порядка нескольких длин пробега от границ. При малых длинах пробега подавляющая часть течения описывается при такой аппроксимации уравнениями Навье—Стокса. В частности, в задаче об обтекании тела в этом случае уравнениями Навье — Стокса описывается и структура ударной волны. Однако уравнения Навье — Стокса удовлетворительно описывают структуру ударной волны лишь при числах Маха, близких к единице (см. § 4.4).

В показатели экспонент входит значение плотности частиц в точке х. Можно, однако, учесть изменение плотности на всем пути молекул от границы до точки х. Для этого при выводе формулы (4.8) необходимо отбросить предположение о том, что п— const. В этом случае вместо формулы (4.9) получим

Нх, =

= /(^Л)ехр{ — т р^| + /н.с(^. §) l—expj— — /щШ.

(4.Н)

При сильном изменении плотности в потоке эта аппроксимация должна, по-видимому, давать лучшие результаты. Однако неясно, окупается ли получаемым уточнением значительное усложнение соответствующих макроскопических уравнений.

Аппроксимации, подобные приведенным выше, применены до сих пор лишь к одномерным течениям, главным образом к задаче Куэтта. Некоторые примеры таких решений даны в главе IV.

Граничные условия для моментных уравнений

В §§ 2.9 и 2.10 были сформулированы микроскопические граничные условия для уравнения Больцмана. Моментные уравнения для конкретной задачи с большей или меньшей точностью заменяют уравнение Больцмана. Необходимо, также приближенно, заменить граничные условия для функции распределения некоторым числом макроскопических условий для моментов. Можно построить бесчисленное множество граничных условий для моментов. Действительно, выпишем общее микроскопическое граничное условие (9.6) главы II:

fT^= / (5.1) х-п <0

Пусть моментные уравнения, для которых отыскиваются граничные условия, построены с помощью аппроксимирующей функции

nt, х, D^Fa, А- An^F^, Mv . .., Ay. (5.2)

Умножим левую и правую части уравнения (5.1) на некоторую функцию фг (gr) и проинтегрируем по gr, подставив вместо /Ге t аппроксимирующую функцию (5.2). В результате этих операций получается некоторое соотношение между функциями Aj или моментами М^ Число функций фг может быть выбрано конечным или бесконечным. В соответствии с этим может быть получено конечное или бесконечное число условий для моментов на границе. В качестве функций фг могут быть выбраны, например, полиномы по §г или какие-либо другие удобные для данной задачи функции. Семейство функций фг может быть выбрано полным в пространстве |-я>0.

Возникает вопрос, сколько и каких условий нужно поставить для данной задачи при данных моментных уравнениях на каждом из участков границы. Очевидно, нельзя взять число условий просто равным числу моментов или порядку уравнений. Хорошо известно, например, что граничные задачи для уравнений Эйлера ставятся по-разному при до- и сверхзвуковых скоростях. Поэтому невозможно дать какой-либо универсальный рецепт. Необходимо для каждой аппроксимации функции распределения, для каждой новой системы моментных уравнений исследовать возможные постановки граничных задач. Так как моментные уравнения в подавляющем большинстве случаев сложнее уравнений Эйлера или Навье—Стокса, то легко представить сложность такого исследования.

В общем случае аппроксимирующая функция (5.2) или разрывные функции не совпадают с функцией распределения отраженных молекул ни при каких значениях входящих в них макроскопических параметров. В этом случае граничное условие может быть удовлетворено лишь приближенно — в среднем,

Будем называть аппроксимирующую функцию приспособленной к граничным условиям, если в каждой точке границы при некотором выборе входящих в нее макроскопических параметров она совпадает с функцией распределения отраженных молекул. Пусть, например, рассматривается обтекание тела равновесным потоком газа со скоростью ию, плотностью пю и температурой То. И пусть от поверхности тела молекулы отражаются с максвелловским распределением с температурой, равной температуре стенки:

m )m )(5.3)(5.3)

m )

m )

(5.3)

(5.3)

Тогда в качестве приспособленной к граничным условиям аппроксимирующей функции можно выбрать, например, обобщенное двухстороннее распределение Максвелла (рис. 12):

/а. х, §)=(/а. х, §)=(/ Л X 3/2/ Л X 3/2+ • • •) в области А,+ • • •) в области А,ехР{~ М§ —«д)2} (М'^/Н"ехР{~ М§ —«д)2} (М'^/Н"(5-4)(5-4)

/а. х, §)=(

/а. х, §)=(

/ Л X 3/2

/ Л X 3/2

+ • • •) в области А,

+ • • •) в области А,

ехР{~ М§ —«д)2} (М'^/Н"

ехР{~ М§ —«д)2} (М'^/Н"

(5-4)

(5-4)

+ Bij^&j + •••) в области В.

Если на бесконечности положить пд=пв = псо, Тд — Тв-=Тю, uA = uB = Uoa и At = Atj = ... = Bt = Bt) = ... =0, то функция (5.4) будет точно удовлетворять условиям на бесконечности. Аналогично, если на теле положить ид = 0, At = Atj = . . . =0 и TA = TW, то функция (5.4) для молекул, идущих от стенки, точно перейдет в функцию распределения отраженных молекул (5.3), в которой пт определяется из условия непротекания

J (§г • п^Д = — J ^.п)/^. (5 5) >Ю Х*п < 0

Это условие связывает на границе пд с функциями пв, Тв, uR, Bt, Btj и т. д. Заметим, что граничные условия на стенке не требуют обращения в нуль функций Bt, В^, . . .

С помощью приспособленной к граничным условиям аппроксимирующей функции граничные условия могут быть удовлетворены точно. Однако вид функции распределения отраженных молекул определяется свойствами поверхности. Удовлетворяя точно граничным условиям с помощью приспособленной к этим граничным условиям функции распределения, мы полностью определяем граничные значения входящих в аппроксимирующую функцию моментов, т. е., по существу, формулируем граничную задачу независимо от самих моментных дифференциальных уравнений, получаемых из уравнения Больцмана с помощью этой аппроксимирующей функции. Очевидно, что

в общем случае моментные уравнения могут не иметь решения при таких граничных условиях. Возникает естественный вопрос, при какой приспособленной аппроксимирующей функции граничная задача оказывается корректной для дифференциальных моментных уравнений, соответствующих этой функции ■).

Во всяком случае справедливо следующее утверждение. Для аппроксимирующей функции типа (2.7) или (4.4), приспособленной к граничным условиям и дающей точное решение уравнения Больцмана в свободномолекулярном пределе, получающаяся граничная задача является корректной для соответствующих этой функции моментных уравнений независимо от их выбора. При этом, конечно, предполагается, что при заданных микроскопических граничных условиях уравнение Больцмана имеет решение и что аппроксимирующая функция не вносит в интеграл столкновений особенностей, несвойственных этому интегралу. К числу функций, удовлетворяющих поставленным условиям, относится, например, обобщенное двухстороннее максвелловское распределение (5.4).

Моментные уравнения, получаемые с помощью аппроксимирующих функций (2.7) или (4.4), являются в общем случае неоднородными квазилинейными дифференциальными уравнениями первого порядка. Зависящая от интеграла столкновений неоднородная часть уравнений представляет собой алгебраическую функцию искомых моментов. Тип системы уравнений, а следовательно, и характер соответствующей этой системе граничной задачи, очевидно, определяются дифференциальными частями моментных уравнений, получающихся из дифференциального оператора уравнения Больцмана. Очевидно, что дифференциальная часть моментных уравнений одинакова при любых числах Кнудсена. По предположению аппроксимирующая функция при определенном выборе входящих в нее моментов дает точное решение уравнения Больцмана при Кп — со, т. е. когда правая часть равна нулю. Следовательно, входящие в нее моменты должны точно удовлетворять любой системе однородных (без интегральной части) моментных дифференциальных уравнений, полученных с помощью этой аппроксимирующей функции. При этом граничные значения моментов выбираются так, чтобы аппроксимирующая функция точно удовлетворяла микроскопическим граничным условиям. Но так как при Кп = оо однородная система моментных уравнений при этих граничных условиях имеет решение, то и для неоднородной системы (т. е. при произвольном числе Кнудсена) справедлива та же постановка граничной задачи, что обосновывает сделанные выше утверждения.

') Напомним, что с помощью одной и той же аппроксимирующей функции можно построить бесконечное число различных систем моментных уравнений, получаемых различным выбором системы функций от скоростей, на которые умножается уравнение Больцмана при построении моментных уравнений. '

В приведенном выше примере функция (5.4), являясь приспособленной к микроскопическим граничным условиям, дает в то же время решение задачи для свободномолекулярного режима. Легко видеть, что при Кп = ею все коэффициенты А, = Ai; = ... = Bt~ В^ = ... — О во всем течении. Однако граничные условия на теле требуют обращения в нуль на границе лишь коэффициентов А. = А^ = ... Поэтому в общем случае при Кп ¥= сю коэффициенты А и В не равны нулю в поле течения и обращаются в нуль при Кп—оо лишь в силу решения моментных уравнений.

Следует заметить, что сделанные утверждения неверны для аппроксимирующих функций, содержащих явно в качестве одного из параметров число Кнудсена, так как при Кп —> со оно выпадает из уравнений, и моментные уравнения при Кп = сю могут иметь иную дифференциальную часть, а следовательно, иную постановку граничных задач, чем при Кп + 0. К таким аппроксимирующим функциям относятся, например, функции (4.9) — (4.11), рассмотренные в предыдущем параграфе.

Методы разложения по малому параметру

В § 2.11 показано, что в уравнение Больцмана входит число Кнудсена, характеризующее степень разреженности газа. В предельных случаях при Kn^l и Кп <С 1 в уравнении Больцмана появляется малый параметр, равный соответственно с=Кп-1 и е=Кп. Естественно при больших и малых числах Кнудсена искать решение уравнения Больцмана в виде разложения по малому параметру:

(6.1)(6.1)/(^- X, 1)=^/^({, X, g).й-0

(6.1)

(6.1)

Прежде чем перейти к изложению методов разложения по малому параметру для полного уравнения Больцмана, рассмотрим некоторые качественные особенности таких разложений на примере модельного уравнения (8.22) главы II.

Запишем это уравнение в безразмерных координатах в интегральной форме (8.25) главы И:

Н^ X, g) =

= /(^0, X= /(^0, X§ (^ — ^о)" I) ехР —§ (^ — ^о)" I) ехР —, х— g(Z— s')) ds -|-, х— g(Z— s')) ds -|-

= /(^0, X

= /(^0, X

§ (^ — ^о)" I) ехР —

§ (^ — ^о)" I) ехР —

, х— g(Z— s')) ds -|-

, х— g(Z— s')) ds -|-

) «(Б X — g (t — т)) /0 (т, х — g (£ — т) g) X

х — g (t — s))ds

dr. (6.2)

Здесь плотность частиц отнесена к характерному значению Пд время — к некоторому времени 6, скорость — к характерной скорости молекул U и х—к расстоянию, проходимому молекулой, движущейся с характерной скоростью U, за время 0, т. е. к £70. В качестве 0 выбирается меньшее из двух времен: характерного времени течения и времени, за которое молекула, летящая с характерной скоростью U, проходит характерную длину L. В стационарном течении © = L[U. Параметр с = (ЛаДГ1 = т/0 = Кп, где т —время между столкновениями.

Интегрирование ведется вдоль траектории молекул, летящих со скоростью |. Максвелловское распределение /0 зависит от t и х через посредство входящих в него макроскопических величин n(t, х), и Vt. х) и Т (t, х}.

Интеграл, содержащий /0 в правой части уравнения (6.2), проинтегрируем N раз по частям; тогда ')

Ж х- ^^У^ЧХ х, §)+ /(£0, x—Ut-tQ\ g) —

x 5 (^^o) exP | j й ($> x ^ (£ — s)) ds } -(--

n(s, x—§(f—s^dsWx, (6.3)

y(0y(0( -1) ,/#-!)( -1) ,/#-!)я d.tя d.t

y(0

y(0

( -1) ,/#-!)

( -1) ,/#-!)

я d.t

я d.t

П»=П

Исследуем, когда решение уравнения Больцмана представимо рядом (6.1) или первым членом формулы (6.3):

nt, X, ^^ПЧХ X, у.nt, X, ^^ПЧХ X, у.(6-4)(6-4)

nt, X, ^^ПЧХ X, у.

nt, X, ^^ПЧХ X, у.

(6-4)

(6-4)

Пусть в начальный момент t = tQ задана функция распределения / (t0, х, |) = / (^о). Решение (6.3) содержит два ряда типа (6.4): один в точке (t, х), другой в точке (/0, х—^(t— /0)). В квадратных скобках уравнения (6.3) стоит разность функции распределения

‘) Коган М. И., Прикл. матем. и мех., в. 4 (1958).

в начальный момент в некоторой точке и ее разложения в ряд (6.4) в той же точке. Для того чтобы ряд (6.4) сходился в точке (t, XV необходимо, чтобы остаток ряда стремился к нулю с увеличением N и чтобы функция распределения / (^0) в начальный момент также была представима рядом (6.4). Так как произвольный момент может быть принят за начальный, то необходимо, чтобы функция распределения была представима рядом (6.4) в любой, момент времени и в любой точке области течения.

Остаток ряда выражается через максвелловское распределение /0, которое зависит от гидродинамических величин п, и и Т, зависящих в свою очередь от функции распределения /. Так как нам заранее свойства искомой функции распределения не известны, то в общем случае оценить' остаток ряда, а следовательно, и установить сходимость в обычном смысле невозможно.

В то же время, ограничиваясь конечным числом членов ряда и устремляя г—>0, можно ожидать асимптотическую сходимость ряда (6.4), т. е.

Для асимптотической сходимости достаточно потребовать ограниченности N -|- 1 производных от гидродинамических величин. Влияние начального момента, т. е. члена с квадратными скобками в (6.3), экспоненциально затухает при с —> 0 и фиксированных t и х. При фиксированном е влияние начального момента экспоненциально затухает по мере возрастания t—£0. Поэтому при с—>0 и при удалении от начального момента решение уравнения Больцмана асимптотически стремится к решению вида (6.4). Однако, по-видимому, могут представиться специальные случаи, когда ряд (6.4) сходится в обычном смысле.

Пусть ряд (6.4) сходится в обычном или асимптотическом смысле. Если мы ограничимся первым членом разложения в ряд, то вдали от начального момента или границы можно положить

М X, ^) = f№ It, X, ^ = ^1- X, §) =

= пexp { -.

Легко проверить, что в этом случае

Р^^пкТ^р и ^=0.(6.5)

Подставляя эти значения в уравнения сохранения (1.8) — (1.10), которые для модельного уравнения, очевидно, имеют тот же вид, что и для точного уравнения Больцмана, так как интеграл столкновения

выпадает, получим обычные уравнения Эйлера:

(6.6)

др । дри,- _ 0 dt dxtд , д \1, дрdt И/ dxj )l р dxtдр । дри,- _ 0 dt dxtд , д \1, дрdt И/ dxj )l р dxtОграничиваясь двумя членами ряда, в размерных величинах имеем

др । дри,- _ 0 dt dxt

д , д \1, др

dt И/ dxj )l р dxt

др । дри,- _ 0 dt dxt

д , д \1, др

dt И/ dxj )l р dxt

Входящие сюда частные производные по / от гидродинамических величин можно исключить с помощью уравнений Эйлера (6.6). В уравнениях Эйлера отброшены величины порядка е. Поэтому, исключая производные по t из (6.7), мы отбрасываем величины порядка е2. Проделывая несколько громоздкие, но несложные выкладки, получим, что функция распределения имеет вид

Г Pi i I nt \ q, I т \ ! с2 т ) ]

Ht, х, g) =/ор)ctCj — —(6-8)

где „i дьц ди; 2 диАдТ

= Рц — ЬцР ™(б-)

ч1 \dxj 1 dxi 3 ч дхк]dxi х /

/ kT ,5 к2Т \

^ — Л ’— 2 Ат)1

Выражения (6.9) соответствуют приближению Навье — Стокса. Оставляя три члена ряда и исключая производные по t из второго члена с помощью уравнений Навье — Стокса и из третьего с помощью уравнений Эйлера, получим функцию распределения барнеттовского приближения. Подставляя ее в выражения для тензора напряжений и вектора потока тепла, входящие в уравнения сохранения (1.8)—(1.10), получим уравнения Барнетта, и т. д.

Легко видеть, что решение в виде бесконечного или оборванного ряда (6.4), сходящегося в обычном или асимптотическом смысле, не может представлять общее решение. Действительно, согласно (6.4) функция распределения в какой-либо точке (t, x^ полностью определена гидродинамическими величинами «, и и Т в той же точке. Но значения гидродинамических величин в любой момент времени определяются в зависимости от приближения с помощью уравнений Эйлера, Навье — Стокса и т. д. по значениям гидродинамических величин при t = t0. Так как гидродинамические величины являются интегралами по | от функции распределения, то очевидно, что к одним и тем же начальным гидродинамическим данным приводит

бесконечное множество различных начальных функций распределения. Поэтому решение в виде (6.4) может в лучшем случае представлять какое-либо одно из бесконечного множества решений, соответствующих различным начальным функциям распределения.

С другой стороны, общее решение модельного уравнения (6.3) асимптотически стремится к решению (6.4) при возрастании t —10 и с—>0. Таким образом, можно ожидать, что решения вида (6.4), а следовательно, уравнения Эйлера, Навье — Стокса и т. д., применимы при =->0 во внутренних точках области течения на некотором удалении от границ или начальных условий (при t— ^о^*6)- Вблизи границ или начальных условий, т. е. при t—t0^.t, второй член решения (6.3) имеет тот же порядок, что и первый.

Естественно, возникает вопрос, каким начальным и граничным условиям должны удовлетворять справедливые во внутренних точках уравнения Эйлера, Навье — Стокса и т. п. Легко видеть, что решение гидродинамических уравнений, полученное по начальным гидродинамическим данным, вычисленным по истинной начальной функции распределения, отличается на величину порядка с от асимптотического решения, к которому стремится при t—t0 > 6 и б->0 решение модельного уравнения Больцмана, хотя эго последнее решение асимптотически удовлетворяет тем же гидродинамическим уравнениям. Действительно, запишем (6.3) и (6.4) соответственно в виде:

N

/ = /о + ™-^2/№ + 6,(6.3а)

N

/=/»+±?-4S/m-<т-ы

А =0

Умножая уравнение (6.4а) на функции ФД^) и интегрируя по § при ^ = 0, 1 получим соответственно уравнения Эйлера,

Навье — Стокса и т. д. При интегрировании же по £ общего решения (6.3а) получатся те же гидродинамические уравнения, в правых частях которых будут стоять интегралы по | от 6. Так как д~>0 при t — tQ'^>t, то вне некоторого начального слоя точные неоднородные уравнения асимптотически стремятся к однородным уравнениям гидродинамики.

Если бы функция д была известна, то решение неоднородных гидродинамических уравнений с начальными гидродинамическими данными, вычисленными по заданной начальной функции распределения, представляло бы во внутренних точках решение уравнения Больцмана.

Так как 6>~/ + 0 в области порядка с, то решения обычных однородных гидродинамических уравнений с теми же граничными условиями будут отличаться от точных на величины порядка 6. Следовательно, при достаточно малых г, т. е. при малых числах

Кнудсена, во внутренних точках течения применимы гидродинамические уравнения, но с граничными условиями, отличающимися на величину порядка е от истинных гидродинамических величин, заданных в начальный момент. Для получения правильных начальных данных необходимо исследовать структуру начального слоя. Точно так же обстоит дело и с граничными условиями. К формулировке граничных условий для уравнений Навье — Стокса, т. е. к исследованию граничного слоя, мы вернемся в главе V.

Выше (см. формулу (6.9)) были введены следующие из релаксационного уравнения выражения для коэффициентов вязкости и теплопроводности. Сравнивая эти выражения с соответствующими выражениями, полученными для максвелловских молекул в § 3.3 (формула (3.47)), легко заметить, что при соответствующем подборе входящей в релаксационное уравнение постоянной А можно получить правильную зависимость от температуры для вязкости или для теплопроводности, но не для обеих величин вместе. Отношение вязкости к теплопроводности, согласно релаксационному уравнению, в 1,5 раза меньше точного. Соответственно число Прандтля Рг=рср/Л для газа, описываемого модельным уравнением, равно единице вместо Рг = 2/3 для максвелловского Газа. Этот факт служит известной оценкой точности модельного уравнения. По-видимому, лучшую точность модельное уравнение может дать в задачах, в которых имеют место либо только процессы, обусловленные вязкостью, либо только процессы, обусловленные теплопроводностью, по не те и другие процессы вместе.

Рассмотрим теперь другой предельный случай, соответствующий большим числам Кнудсена. Естественно попытаться разложить функцию распределения в ряд по Кп-1 = 6. Обратимся опять к модельному уравнению (8.22) главы И, записанному в безразмерной форме:

^-=6n(f0-n = 6J.(6.10)

Будем искать решение этого уравнения в виде1)

/ = /(о» + е/т+€2/(2)+ .. .(6.11)

Подставляя разложение (6.11) в уравнение (6.10) и приравнивая коэффициенты при равных степенях е, получим:

^ = 0,(6.12)

^- = 4(6.13)

*) Jaffe <3., Ann. der Phys. 6, 195 (1930).

где /;,_; — правая часть уравнения после подстановки в нее функций jd1-^, j№-^ и т. д. Построение решения сводится к последовательному решению линейных дифференциальных уравнений. Хотя независимыми переменными в этих уравнениях являются t и х, в функцию распределения как параметр входит X.

Если при малых числах Кнудсена в результате разложения по малому параметру получаются сложные уравнения для макроскопических величин, то в рассматриваемом случае больших чисел Кнудсена, разлагая по малому параметру, приходим к рекуррентной системе сравнительно простых по структуре дифференциальных уравнений для самой функции распределения. Однако фактическое решение этих уравнений представляет весьма сложную вычислительную задачу, так как при решении уравнения для /<*> нужно помнить функцию от семи переменных /<*-’) (или одновременно решать всю цепочку до /(*) включительно) и вычислять весьма сложный интеграл столкновений. Исключение составляет решение для /(°\ т. е. для свободномолекулярных течений. Общее решение этого уравнения тривиально и имеет вид:

X, 6) = Ж- х-^-^ 6).(6.15)

Методы решения приведенных уравнений будут подробно рассмотрены в главах IV и VI при изучении свободномолекулярных и близких к ним течений. На каждом шаге решения можно удовлетворить произвольным начальным и граничным условиям. В этом смысле можно ожидать, что полученное в виде ряда (6.11) решение дает общее решение уравнения Больцмана, однако вопрос об области сходимости метода (если отвлечься от трудностей его практического осуществления) в настоящее время остается открытым. Более того, как будет показано в главе IV (§ 2), в некоторых случаях вообще разложение вида (6.11) не имеет места.

В двух последующих параграфах будет рассмотрен метод малого параметра для течений при малых числах Кнудсена. К методу же малого параметра для больших чисел Кнудсена при изложении общих методов решения полного уравнения Больцмана больше возвращаться не будем, так как специальный вид интеграла столкновений модельного уравнения при изложении метода пе имеет какого-либо значения. В § 6.5 будет показана эквивалентность этого метода некоторому методу последовательных приближений.

Метод Гильберта разложения по малому параметру

Рассмотрим теперь методы отыскания решений точного уравнения Больцмана в виде рядов по малому параметру (числу Кнудсена).

Запишем уравнение Больцмана в безразмерных переменных § 2.11 и § 3.6:

(It 6^\ dt dt + ^' дх;) ’( • )

§ 3.7] МЕТОД ГИЛЬБЕРТА РАЗЛОЖЕНИЯ ПО МАЛОМУ ПАРАМЕТРУ 133 где квадратичная форма

Д/, <Р) = у j Ц'^\ + /У ~ /Ф1 — Лф) gb db de d^

и 6—малый параметр порядка числа Кнудсена.

В уравнении (7.1) размерные время f и длина х отнесены соответственно к характерному времени течения О и характерной длине течения L. Эти характерные масштабы определяются граничными и начальными условиями задачи. Ни уравнение (7.1), ни граничные условия не содержат других характерных масштабов, кроме 0 и L и параметра С. Поэтому1) из соображений размерности ясно, что решение уравнения (7.1) может зависеть лишь от следующих переменных: x=x*jL, t = t*IQ, х[6, t[c, xt, ti и т. п. Ниже мы не будем интересоваться движениями в больших масштабах Цб, Т/( и т. д. Поэтому функцию распределения можно представить в виде

/ = /У xv tL, xL, 6),

где tL = t, xL = x, tt = tlc = te’/x, x1 = xje = x*jX, X и т — длина свободного пробега и время между столкновениями соответственно. Как и в § 2.3, будем переменные (ф, х^ называть переменными L-масштаба, а переменные Д, х^ — переменными ^-масштаба.

В соответствии со структурой функции распределения для производных имеем

д! d.д d__ 1 д, д d_ 1 d,d

dt6 St'St,’ dx 6 dx dx.’ dt £ dt'dt '

IZz1XL#

Будем искать решение уравнения (7.1) в виде ряда по малому параметру с.

Ж- X], tL, xL, 6) = /№(tv xv lL, x^ + c/Wy *i. tf ^)+ •••

Подставим эго разложение в уравнение (7.1); учитывая приведенные выражения для производных, приравняем нулю коэффициенты при равных степенях е:

dt^dt^d^Т" dtLd^Т" dtLЖГ /(D),ЖГ /(D),(7.2)(7.2)

dt^

dt^

d^

Т" dtL

d^

Т" dtL

ЖГ /(D),

ЖГ /(D),

(7.2)

(7.2)

Эта бесконечная последовательность уравнений описывает движение как в /.-масштабе, так и в ^-масштабе. Легко видеть, что производные df^dt^ могут быть отличны от пуля лишь в тонких областях с характерным размером порядка X или в течение времени

порядка г. В противном случае функции fW будут безгранично расти. Эти тонкие области, которые называют слоями Кнудсена, всегда имеются вблизи границ и начального момента. К ним принадлежат и ударные волны.

Нашей первой задачей является построение решения в /.-масштабе, т. е. вне слоя Кнудсена. К рассмотрению слоя Кнудсена мы вернемся позже (см. п. 2 настоящего параграфа, а также § 5.1), Вне кнудсеновского слоя, т. е. при 1^->со, имеем:

/Л xv tL, xL, ^-^ftt^ xL, e)

И

Ж- xL,х,Ж . .. = /(0)(l+^+. ■ .).

(7.3)

Для того чтобы при /]—>оо функции /W не росли безгранично (чтобы не появлялось секулярных членов), необходимо потребовать выполнения условий (теперь у нас остаются лишь переменные tL, xL, поэтому для сокращения письма индекс L опустим):

7(/(0)(7, ж), /(0)(^ х))=0,(7.4)

PJ^to), /0)ср(1))=_^_1(7.5)

2J(/<°), y(o)(pW) = ±Z_4L2}j(/((Vz), /<о)(р(й-»). (7.6)

Таким образом, мы получили систему уравнений (7.4) — (7.6), описывающую течение в /.-масштабе вне кнудсеновских начальных и граничных слоев и ударных волн !).

В главе II показано, что единственным решением уравнения (7.4) является функция распределения Максвелла

1 /о Ь^^ч

Все уравнения, за исключением первого, являются линейными неоднородными интегральными уравнениями. Однородному уравнению / (/(°), /(0)<p(fe)) = J /(о)Д0) ^ьу _]_ ^(S)' — ф^) — q^ g^ д^ дь ^ _ q, (7.7) очевидно, удовлетворяют пять сумматорных инвариантов. Легко видеть, что уравнение (7.7) не имеет других решений. Действительно, умножим

•) Далее в трактовке методов Гильберта и Энскога—Чепмена мы в основном следуем Граду (Grad Н., Handbuch der Physik 12, 1958).

3.7] /МЕТОД ГИЛЬБЕРТА РАЗЛОЖЕНИЯ ПО МАЛОМУ ПАРАМЕТРУ 135 интеграл (7.7) на некоторое решение ф,й) и проинтегрируем по §. Повторяя рассуждения § 2.4, найдем, что

/^ = 4 [ «У + <PW' — <’Ф№)2 ЯЯ^Ь db ds d^ <7^ = 0.

Следовательно, решение должно обращать в нуль содержимое скобок. Но столкновения не имеют других инвариантов, кроме пяти, приведенных в § 1.3. Поэтому общее решение уравнения (7.7) имеет вид

4

^-3<’фг.(7.8)

г-0

где фг— сумматорные инварианты (ф0 = т, фь 2> 3 = м^ 2>3 и Фт" = ^т^2). Коэффициенты yW являются функциями t и х. .

Из теории интегральных уравнений известно, что неоднородное уравнение имеет решение только в том случае, если правая часть уравнения ортогональна к собственным функциям однородного уравнения. Если условия ортогональности выполнены, то решение можно представить в виде

<pW^^)+2Y№i|)(7.9)

где <р(й) — частное решение неоднородного уравнения. Чтобы сделать выбор функций <pW однозначным, наложим пять условий:

J ЯЯЯ dl = 0.(7.10)

Условие ортогональности правой части интегрального уравнения для <р(!) собственным функциям уравнения (сумматорным инвариантам) имеет вид

|фг^-^=.°.(7.11)

В § 3.1 из таких же условий были получены уравнения сохранения. Если в уравнения сохранения подставить / —/<0>=/0, то, как показано в предыдущем параграфе (см. (6.5) и (6.6)), эти уравнения сведутся к уравнениям Эйлера (6.6) для пяти макроскопических величин, входящих в /0, т. е. для п^ (или р<°>), и^ и 7’(°). Вообще говоря, эти величины не совпадают с гидродинамической плотностью в данной точке п, скоростью иь температурой Т.

Аналогично условия совместности для Я^ сводятся к

J=(7.12)

так как интегралы

J фг7(/(0)Ф(г), /<0)ф(*-^) </^ = 0

в силу свойств симметрии, аналогичных рассмотренным в § 2.4.

Условия (7.12) суть не что иное, как уравнения переноса (1.5), в которых Ф = фг и / = /(0)ф(6):

- J W№<^^-V--^ J Ш.^Ч>№^0(7.13)

(/= 1, 2, 3; r = 04).

Подставляя сюда функцию ф(й) из (7.9) и учитывая условия (7.10), получим

f ГX/ Г\

(J W(”«)^-+(J »*/■»«) J- +

+ (f ♦Лтг^’+е; [»Лф,и«=о. (7.14)

Введем обозначения:

rr = jiiv^ и if> = /VV^^S^ Sw^- Р-15) где

Г^2еЩй)(7.16)

и/г=о

. у<°^Г<°>, Г0 = р, Г^рйг и Г4 = р(|«2+-| | 4

Согласно (7.15) между П6) и "^W существует взаимно однозначная связь с детерминантом, отличным от нуля. Используя соотношения (7.15), можно переписать уравнения (7.14) для LW вместо yW. Таким образом, для yW или № при к ^> 1 получаются линейные дифференциальные уравнения.

Если заданы начальные и граничные условия для всех yW (или №)), то можно последовательно найти эти величины в любой момент времени с помощью дифференциальных уравнений Эйлера (7.11) и линейных неоднородных уравнений (7.14), а также ф(й>— с помощью интегральных уравнений (7.5), (7.6), т. е. можно построить все ф(й\ а следовательно, полностью решение (7.3).

Таким образом, если решение уравнения Больцмана представимо рядом (7.3), то построение этого решения сводится к решению

нелинейных уравнений Эйлера и рекуррентной системы линейных дифференциальных и интегральных уравнений. Решение полностью определяется заданием функций -у(/г> (0, х) или Г</г)(0, х) в начальный момент времени.

Пусть отыскивается решение уравнения Больцмана при заданной функции распределения в момент ?=01). В безразмерных переменных в уравнение Больцмана и в начальную функцию распределения входит для конкретной задачи фиксированное значение числа Кнудсена (параметра б0)2). Отыскивая решение уравнения Больцмана в виде ряда по 6, в конечном счете необходимо положить е равным его фиксированному значению е0. Легко видеть, что параметр е можно ввести в начальную функцию распределения бесконечным множеством способов, подчиненных единственному условию, чтобы при с = со начальная функция /(О, х, £, 6) совпадала с заданной. Введя тем или иным путем в начальную функцию распределения малый параметр с, ее можно представить в виде ряда:

/(О, х, §, 6) = ЖО, х, §)(1+бф(1)(О, х, §)+ ...). (7.17) Соответственно

Гг (0, х, е) = J фг/(0, х, g, с)^ =

= Г<0)(0, .xO+elf^O, л;)+е2Г‘2)(0, _к) + ... (7,18)

Следовательно, начальные значения гидродинамических величин Гг могут быть более или менее произвольно распределены между функциями Г**) (или yWy В частности, можно положить все Г(й)=0 при к > 0, т. е. считать, что в начальный момент Г(о) (0, х) = Г(0, х). Но этим начальным данным с помощью описанной выше процедуры можно полностью построить представимое в виде ряда (7.3) решение уравнения Больцмана. В этом случае решение целиком определяется заданием в начальный момент гидродинамических величин Гг.

") Система уравнений (7.4) — (7.6) описывает течение вне кнудсеновских слоев. Следовательно, решение (7.3) непригодно внутри этих слоев и с его помощью нельзя подойти к границам или к начальному моменту. Решение (7.3) отыскивается лишь при начальных и граничных условиях, заданных мне киудсеновского слоя, например на его границе. Поэтому сейчас мы подразумеваем именно такие условия. Как связать эти условия с истинными условиями задачи на границах и в начальный момент, мы увидим несколько позже. Очевидно, что для этого необходимо решить уравнение Больцмана ипутрп кнудсеновских слоев.

■') В истинную начальную функцию распределения длина пробега X, а следовательно и б0. не входит. Однако в рассматриваемую начальную функцию распределения вне слоя Кнудсена б0 может входить, так как эта функция получается в результате решения содержащего Л уравнения Больцмана и слое Кнудсена.

Возникает естественный вопрос: в какой мере такие гидродинамические начальные условия являются особыми и как связаны между собой решения, построенные по начальным гидродинамическим величинам Гг, различным образом «размазанным» по функциям Г^? Ответ на этот вопрос дает теорема Гильберта о единственности решения, утверждающая, что все решения, полученные при различном распределении по Г(г6) одних и тех же начальных гидродинамических данных Гг, тождественны для фиксированного с = £0.

Действительно, рассмотрим уравнение, отличающееся от уравнения (7.1) лишь обозначениями:

Найдем решение этого уравнения в виде ряда по ц при следующих начальных условиях:

Г^ = Гг (0, х, с), Г№ = 0 при й>1. (7.20)

Решение является функцией двух параметров — р и 6, т. е. F = F(t, х, |, С, ц). Это решение построено по гидродинамическим условиям (7.20) и справедливо, в частности, при ц = е. Полагая ц равным фиксированному значению с и разлагая F(t, х, £, 6, «) и Гг(0, х, е) в ряд по 6, найдем, что, как функция 6, найденное решение удовлетворяет начальным условиям, в которых Г^* Ф 0 при к^Х, что доказывает теорему.

Таким образом, представимое в виде ряда (7.3) решение уравнения Больцмана f (t, х, £) однозначно определяется заданием гидродинамических величин Гг(0, х) в начальный момент. Поскольку начальный момент ничем не отличается от других моментов времени, то и при ^ = 0 функция распределения однозначно определяется заданием пяти гидродинамических величин Гг(0, х). Но любой момент времени можно принять за начальный, и, следовательно, в любой момент времени /+ 0 функция распределения однозначно определяется значениями гидродинамических величин в тот же момент времени.

Пять гидродинамических величин представляют собой пять интегралов по | от функции распределения. Очевидно, существует бесконечное множество функций распределения, интегралы от которых равны одним и тем же гидродинамическим величинам, т. е. в общем случае функция распределения не определена заданием пяти гидродинамических величин. Следовательно, представимые в виде ряда по малому параметру решения уравнения Больцмана являются в этом смысле особыми. По-видимому, лишь достаточно узкий класс решений уравнения Больцмана может быть представлен в виде ряда по е. Этот класс решений уравнения Больцмана называют гильбертовым классом нормальных решений. Принадлежащие к этому классу реше-

§ 3.7] МЕТОД ГИЛЬБЕРТА РАЗЛОЖЕНИЯ ПО МАЛОМУ ПАРАМЕТРУ 139 ния будем обозначать /н. При этом, если функция распределения принадлежит к этому классу в какой-то момент времени t, то она принадлежит к этому классу и во все последующие моменты времени.

То, что решение уравнения Больцмана может быть представлено в виде ряда (7.3) лишь для специального класса функций, видно и из следующего. Пусть ищется решение уравнения (7.1) при начальной функции распределения /(0, х, g), не зависящей от е. Тогда при / = О все функции Г^’ = 0 для й > 0. Но так как уравнения (7.14) неоднородны, то при t > 0 функции Г/г) + 0 и решение f(t, х, §, с) является функцией с. В общем случае решение останется функцией с и для /=0, т. е. полученное решение не равно исходной начальной функции распределения. Для того чтобы решение при t = 0 совпадало с заданной начальной функцией, на последнюю необходимо наложить ограничения, выделяющие класс решений, представимых в виде ряда (7.3).

Таким образом, вне кнудсеновского слоя представимое рядом по е решение уравнения Больцмана стремится к решению Гильберта, полностью в каждой точке течения определяемому значениями гидродинамических (термодинамических) величин.

Как мы уже отмечали, решение Гильберта строится по некоторым начальным и граничным условиям вне слоя Кнудсена, отличным от истинных условий для функции распределения в начальный момент и на границах. Рассмотрим теперь, каким образом решение уравнения Больцмана, удовлетворяющее истинным граничным и начальным условиям, переходит в решение Гильберта по мере удаления от границы или начального момента, т. е. исследуем решение внутри кнудсеновского слоя. Ограничим рассмотрение задачей с начальными условиями для линеаризированного уравнения Больцмана.

Рассмотрим линейное уравнение Больцмана (см. (8.2) главы II)1)

= ~L№,(7.21)

dt dt 1 ы dxt 6 r '

где линейный оператор L равен

£ (Ф) = J /^ (<₽' + <P^ — Ф — Ф,) gb db d&dlv

Будем искать решение уравнения (7.21) в виде

со

^t,x,^ = e" 6 ^^(t, хЛУ (7.22)

') Излагаемое здесь исследование принадлежит Граду (Grad Н., Phys. Fluids 6, № 2 (1963)). Русский перевод см. в сб. «Некоторые вопросы кинетической теории газов», «Мир», 1965. См. также работу Сировича (S 1 г о -

140ОБЩИЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ БОЛЬЦМАНА [ГЛ. И1

Как и выше, подставим решение (7.22) в уравнение Больцмана и приравняем коэффициенты при равных степенях с; имеемт)

Ц^-М^ = °-(7-23)

—= —)(^=1, 2, . ..), (7.24)

V т) tn*т.\ dt 1 ®> Qxi / vv /

где Xm— собственные значения уравнения (7.23). Собственную функцию, соответствующую Хт, обозначим через фт2)- Функции фт будем считать нормированными, т. е. положим

J ^/(о)^=к

Введем новые макроскопические переменные

о mV- х, £) = е е J фт<?т/№ ^ = S<7-25)

где

<№ х) = j^JWd^.(7.26)

Решения уравнений (7.23) и (7.24) можно представить в виде

ср(О) = а№ф ф(*) = m(t)(7.27)

где 4т—частное решение уравнений (7.24), подчиненное условию

J 4^J^^ = ^.

Для разрешимости неоднородных уравнений (7.24) правые части уравнений должны быть ортогональны собственной функции фт. Умножая (7.24) на <£т/(0) и интегрируя по |, получим да®до^ Гд<№

—^L = 0,_ U ф fO1) _22L d^,(&=1, 2, ...), (7.28)

где учтено, что собственные функции оператора L обладают следующим свойством3):

*) Сравните с уравнениями (7.2); t и х—координаты /.-масштаба.

Для простоты рассмотрим лишь случай невырожденных собственных значений, т. е. когда каждому Хт 2= 0 соответствует одна собственная функция. Более общий случай см. в оригинальной работе Града.

См. цитированную на предыдущей странице работу Града.

§ 3.7| МЕТОД ГИЛЬБЕРТА РАЗЛОЖЕНИЯ ПО МАЛОМУ ПАРАМЕТРУ 141 Из первого уравнения следует, что <Ф°) не зависит от t. Следова- тельно, а\п имеют вид

<\t, х) = ^А^\х)^В^\х\(7.29)

т. е. вблизи t = 0 разложение по е равносильно разложению по t. Если в начальный момент времени 7 = 0 заданы все 0^(0, х), то, как и в методе Гильберта, можно .последовательно найти все ^т и ^т для ^ ^ О, т- е- построить решение (7.22) для каждого собственного значения Кт. Решение Гильберта соответствует X = 0. Как и в методе Гильберта, решение <рт является функцией 6 (в частности, для ^=0).

Пусть при 6 = 0 задана функция распределения, не зависящая от с:

Ф(О, х, g) = T(x, g).(7.30)

Считая, что система собственных функций фт полная, будем искать решение уравнения (7.21) при граничном условии (7.30) в виде суперпозиции решений (7.22):

ср = 2 cpm = 2 8 6 S6^-(7-31)

ттк

Необходимо по заданной функции ф(х, g) найти начальные условия для функций ф<й>, т. е. связать ф(х, g) и о^ЧО, х). Изменим в (7.31) порядок суммирования и введем обозначения:

T = SeVft), Ф№> = 5е 6 ф^.(7.32)

кт

Так как при ^=0 функция распределения не зависит от е, то ф№)(0) = 0 при k > 0. Следовательно, равны нулю и все интегралы

J ФиФт^т dl = Q при &>0.(7.33)

Условия (7.33) позволяют установить искомую связь ф(х, g) и Om^O, X). При ^ = 0

Ф№-2ф(”> = 2а^т.(7.34)

Используя ортогональность собственных функций фт с весом /W, отсюда получим

J/<°^mcp»Wg = аФ).(7.35)

Преобразуем условия (7.33). Согласно (7.27) и (7.32) имеем

/ ЯФ„Ч>№ ^ = 2 J f^m^ ^ + ^(7-36)

Для нахождения частного решения ф® нужно знать функции ф^> для / < к. Пользуясь условиями (7.35), из (7.28) можно найти o^(t, х\ а следовательно, согласно (7.27) и ф№. Решая уравнение (7.24), найдем фб). Тогда условия (7.36) позволяют установить начальные условия для о1Р, при которых необходимо решить уравнение (7.28), а следовательно, по (7.27) найти фб). Решая (7.24), находим фй, из (7.36) находим о^> и т. д.

Хотя каждое ф;в-решение при 7 = 0 является функцией от с, комбинируя их, оказывается возможным удовлетворить начальным условиям, не зависящим от с. Приведенная процедура позволяет, в принципе, удовлетворить произвольным начальным условиям, и поэтому решение (7.31) дает общее решение уравнения (7.21), в то время как процедура Гильберта позволяла удовлетворить лишь специальным начальным условиям и построить лишь специальный класс решений уравнения Больцмана. Но из (7.31) видно, что при t"^>£ общее решение экспоненциально стремится к ф0, т. е. к решению Гильберта. Однако это предельное гильбертово решение отлично на величину порядка € от решения, которое получилось бы при непосредственном отыскании решения Гильберта с теми же начальными условиями. Действительно, так как начальная функция распределения (7.30) не зависит от е, то в методе Гильберта необходимо принять, что о<й)(0, л) = 0 при k > 0, в то время как при построении решения (7.31) в общем случае сг^> =А 0 1). Для нахождения правильных начальных условий для решения Гильберта необходимо найти c^6j по описанной выше процедуре, для чего фактически требуется построить все решение (7.31).

Выше все операции над рядами выполнялись формально, так как их сходимость не доказана. По-видимому, как и для модельного уравнения, ряды сходятся лишь для некоторого специального класса задач. Однако для линейного уравнения Больцмана для молекул с достаточно быстро убывающим потенциалом с конечным радиусом взаимодействия (s (> 5) удается доказать, что оборванный ряд дает асимптотическое решение уравнения Больцмана при с—>0).

Пусть ф — решение линейного уравнения Больцмана, удовлетворяющее начальному условию (7.30). Это решение можно представить

в виде

Ф = ФН(^ х, 5, О + фц^, х, £, е),(7.37)

где

фн=2 (t х, §)

— решение Гильберта,

Ф^Е^^н х, ^

— экспоненциально по tx убывающий остаток и tx=t^. В силу линейности уравнения функция ф^ также является решением уравнения Больцмана. Асимптотическая сходимость решения понимается в том смысле, что

iim —(7138)

6->0 \ 6/

где фв — решение уравнения Больцмана и qjW = ф^)-|-ф(^; индекс N указывает на то, что в каждой из сумм, входящих в (7.37), оставлены лишь члены до CN включительно. Асимптотическое решение ф^) должно удовлетворять тому же начальному условию, что и точное решение фв.

При t^>€ экспоненциально затухающие члены стремятся к нулю, и любой отрезок ряда Гильберта является асимптотическим решением уравнения Больцмана. Ограничиваясь одним членом ряда, получим приближение Эйлера, двумя — приближение Навье—Стокса. Однако вблизи t = 0 экспоненциальные члены имеют тот же порядок, что и члены ряда Гильберта. Поэтому для установления правильных начальных условий для эйЛеровского, навье-стоксовского или более высокого приближения необходимо исследовать структуру начального слоя, т. е. найти ф^.

По-видимому, аналогичными свойствами обладают решения уравнения Больцмана и при наличии границ. Как и для модельного уравнения, вдали от границ решение должно стремиться к решению Гильберта или асимптотически при «->0 к приближению Эйлера или Навье—Стокса. Для установления граничных условий необходимо исследовать структуру пристеночного слоя толщиной 0(e)1). Однако строго эти положения в настоящее время не доказаны даже для линеаризированного уравнения Больцмана.

Для полного нелинейного уравнения Больцмана решение, с помощью которого можно удовлетворить произвольной начальной функции распределения, можно искать в виде, аналогичном

144 ОБЩИЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ БОЛЬЦМАНА [ГЛ. Ш выражению (7.37) ’):

f(t, х, §) = /на, х, §, 6) + /fl(^, х, §, е), (^ = 4). (7-39) где первый член правой части /н есть решение Гильберта, зависящее лишь от координат А-масштаба t и х, и Д — добавка, зависящая от времени ^-масштаба tv Функция /н, как решение Гильберта, сама удовлетворяет уравнению Больцмана. Поэтому функция / удовлетворяет уравнению

В это уравнение наряду с < через посредство /н входит также переменная t. Чтобы исключить ее, заменим в /н переменную t на Ц-.

/Н(Л х, §, £)=/н(^€, х, £, 6).

Разложим функции /н и /^ в ряды по е:

/н = 5 ^ ^ ЛЛ И / = 2 W (tv х, |).(7.41)

$=-04И S=0 И Х7

Легко видеть, что приведенное разложение /н по 6 отлично от разложения Гильберта. В частности, первый член разложения /^(х, |), являющийся первым членом разложения по t члена /^(t, х, |) в ряде Гильберта, есть не зависящее от времени локальное распределение Максвелла. Подставляя разложения (7.41) в уравнение (7.40) и приравнивая коэффициенты при равных степенях е, получим:

/Й-Д/'". /™) = о.(7.42)

^r-J№ т-П^ ^--^.^r+W #'$> (7ЛЗ>

Однако уже решение первого уравнения этой рекуррентной системы представляет собой самостоятельную проблему.

Задача существенно упрощается для частного случал начальных условий, когда начальная функция распределения / (0, х, |) локальномаксвелловская /0 (х, |). В этом случае /^(0, х, |) = 0, а так как уравнение (7.42), которому удовлетворяет функция /^(^ Я, ^> однородно, то функция /И тождественно равна нулю во все мо-

§3.8]МЕТОД ЭНСКОГА-ЧЕПМЕНА145

менты времени. Функции /^(t, х, |) при 6 > 0 удовлетворяют линейным уравнениям:

-sr+W-CW'<7-44)

W /И = - Sz 1W + Л^ f^Y (7-45)

Анализ граничного слоя представляет собой еще более трудную задачу.

В проведенном выше анализе важную роль играет введение различных масштабов. Если бы мы, например, в задаче с начальными условиями искали функцию распределения вида

f^v х, §, e) = f.°>(tv х, §)4-e/(1)(zf1, xv £) + • ■(7.46)

(7.47)(7.47)(7.48)(7.48)то, так как функции /№ зависят лишь от одного времени, мы, очевидно, имели бы:

(7.47)

(7.47)

(7.48)

(7.48)

”г дх; 6

д/°)dttд/№д/д/°)dttд/№д/W\ /(°>) = о,

д/°)dttд/№д/

д/°)dttд/№д/

2/(/(0), /Н)) =2^2 ,

Очевидно, что ряд (7.46) может сходиться лишь при г?^ё. При /~1 и больше /т неограниченно растет, т. е. в разложении появляются секулярные члены.

Иногда именно разложения (7.46) называют решением Гильберта и о методе Гильберта говорят как о методе, пригодном лишь для описания процессов, происходящих в 1-масштабе.

§ 3.8. Метод Энскога— Чепмена.

Вывод уравнений гидродинамики

В предыдущем параграфе показано, что решение Гильберта уравнения Больцмана в виде ряда по малому параметру с (числу Кнудсена) полностью определено заданием в начальный момент гидродинамических величин Гг(0, х). Но если функция распределения / (А х, В) в произвольный момент времени t выражается через гидродинамические величины при ^ = 0, то и гидродинамические величины ГГ(А X), являющиеся интегралами по ^ от функции распределения, определены заданием. Гг(0, х"). Следовательно, можно исключить из рассмотрения функцию распределения и установить прямую связь

|() М. Н. Когач

между гидродинамическими величинами в различные моменты времени. Тензор напряжений и вектор потока тепла также являются интегралами от функции распределения. Поэтому Рц и qt могут быть в конечном счете выражены через гидродинамические величины Гг (t, х). Если Р^ и qt выражены через гидродинамические величины, то, подставив эти зависимости в уравнения сохранения (1.8)—(1.10)’ получим замкнутую систему из пяти уравнений для пяти гидродинамических величин.

Цель метода Энскога—Чепмена состоит в установлении указанной связи и получении замкнутой системы гидродинамических уравнений. Установим вначале искомую связь, несколько изменив рассуждения метода Гильберта, приведенные в предыдущем параграфе. Вывод уравнений гидродинамики методом, близким к оригинальному методу Энскога — Чепмена, приведем позднее.

Как было показано в предыдущем параграфе, в начальный момент 7 = 0, не уменьшая общности, можно положить1)

Г<0)(0, я) = Гг(0, х),Г^(0, х) = 0 при & > 0.(8.1)

Поэтому при 7 = 0 в функцию f® = /0 входят гидродинамические величины Г*ГО) = ГГ.

Функции (или, что то же, у^Ч) удовлетворяют неоднородным дифференциальным уравнениям (7.14). Поэтому при t > 0 функции Г^ уже не будут равны нулю и Г1^ не будут равны гидродинамическим величинам Гг. В частности, производная dY^dt при t = 0 не равна нулю.

Для нахождения функции /И необходимо решить интегральное уравнение (7.5), в правую часть которого входит производная от fW.

df^ df^ df^ df^dr*°4

dt dt 1 dx{ dr№ \ dt ~ ' dxt )4'

Производные по времени можно исключить с помощью уравнений Эйлера, которым должны удовлетворять функции Г^?\ как условиям разрешимости. Тогда правая часть уравнения (7.5) будет выражена через Г*®* и их пространственные производные. Так как в интегральное уравнение (7.5) координаты х; входят как параметры, то, очевидно, решение этого уравнения /(1) будет функцией Гг0) и их пространственных производных. Общее решение этого уравнения можно представить в виде выражения (7.9), в котором величины yW заменим на Г^ согласно (7.15).

’) Напомним, что речь идет не об истинных начальных условиях, а об условиях вне слоя Кнудсена.

В правую часть интегрального уравнения (7.6) для /И, очевидно, войдут первые временные и пространственные производные от Г^ и вторые производные от Г^\ Частные производные по t от Г(г0) и Г^ можно исключить соответственно с помощью уравнений Эйлера и уравнений (7.14) для Г(г!\ Тогда общее решение уравнения (7.6) для f^ будет выражено через Г*о), Г^ и их пространственные производные и, согласно (7.9), — через Г$2). Продолжая процесс далее, можно /л) выразить через Г,0'ГгЛ> и их пространственные производные до (я— &)-го порядка соответственно для функций Г^\ Но при £ = 0 все V^'1 для к > 0 и их пространственные производные равны нулю, а Г^ = Гг. Следовательно, при t — 0 функции /'^ выражаются через гидродинамические величины и их пространственные производные до я-го порядка включительно. Но момент ^ = 0 не является исключительным. Любой момент может быть принят за начальный. Следовательно, полученная зависимость fW от гидродинамических величин справедлива в любой момент времени. Подставляя эту зависимость в определения Рц и qt через /, выразим последние через гидродинамические величины и их производные до я-го порядка. Тогда, выражая в уравнениях сохранения Ptj и q; через Гг и их производные, получим замкнутую систему уравнений для гидродинамических величин.

Если ограничиться одним членом ряда и потребовать, чтобы = п, Т№ — Т и = ит, то получим:

f=f№=f»=n^rY^Vw сА <8-з) и

Ри=Р&Ч и ^ = 0.

Уравнения сохранения (1.8) — (1.10) принимают вид уравнений Эйлера (см. (6.6)).

Если ограничиться двумя членами ряда, т. е. положить

f = fW 4-e/l1) = /i°)(l 4-t(pW),(8.4)

то необходимо решить интегральное уравнение (7.5) для (pt1). Подставляя в правую часть уравнения (7.5) функцию /^ (в которую входят Гг0), а не Гг), исключая производные по времени с помощью уравнений Эйлера для Г^и полагая затем я(0)=я, Tm = Т и и^ = иг, получим

\ дьц . Ч) dxj ' , 1 дТ IV ш \ о УП .о _.

27 dxt Ат) с j1^-S)

148 опции методы решения уравнения больцманА [гл. ш

Следовательно, интегральное уравнение (7.5) принимает вид

J /(||)У У^ (ф<1|)' + ф(1)' — ф)9 — Ф*^) 8^ ^ ^в ^»1 = 1( 1 т \ „ Л дТ .

+д—V(8-6)

Легко видеть, что решение этого уравнения должно иметь вид

^ = _Д 8Т_(8.7)

1 dxt Ч dxjv '

где коэффициенты At и В^— функции сг, я и Т.

Подставляя (8.7) в уравнение (8.6) и приравнивая коэффициенты при одинаковых градиентах, получим интегральные уравнения для At и Вм-.

— f (0) У1 Г Сс2 _ 5I _.

J ЧТУукТ ) J

= - J ^fv\AitA-A\ — Аи — A^gbdbdtd^ (8.8)

_L (0) и (1 2. \ _

J кТ \ClC) 3 С "

= -J ^/^(Buj + Btj-Buj-Bt^gbdbded^. (8.9)

Таким образом, интегральное уравнение (8.6) заменено двенадцатью уравнениями: для трех компонент вектора At и девяти компонент тензора В^.

Вектор А зависит от с,, п и Т. Единственный вектор, который может быть образован из этих величин, есть вектор с. Поэтому

А( = ctA (с, п. Ту(8.10)

Сложим диагональные уравнения (8.9), т. е. три уравнения с индексами l=J. Левая часть обращается в нуль, и

/[/№, /(°)(В11 + 522 + В33)]=0.(8.11)

Используя свойства симметрии § 2.4, легко находим, что интеграл (8.11) равен нулю только тогда, когда

£„£522 + ^3 = 0.(8.12)

Аналогично вычитая ;у-е уравнение (8.9) из уАго, получим

Л/Ю), /(O)(S.._S.a] = o,(8.13)

и, следовательно,

В1; = В51.(8.14)

§3.8]МЕТОД ЭНСКОГА- ЧЕПМЕНА149

Следовательно, тензор Bjj есть симметричный бездивергенгный тензор. Но из величин с, я и Т, от которых зависит этот тензор, можно образовать единственный симметричный бездивергенгный тензор c(Cj — c^tp поэтому

Таким образом, общее решение уравнения-(8.6) имеет вид

Ф*1) = — Act ЛДВ (сгс,с^Д угфг, (8.16)

где угфг— общее решение однородного уравнения и фг— сумматор- ные инварианты. Для определения коэффициентов уг функцию (8.16) нужно подчинить условиям (7.10). Для выполнения квадратур несколько удобнее переписать (8.16) в эквивалентной форме:

ф(0 — _ACl^~ — В (с,с,— 1-с2б0)-^- + а + Ргсг+ус2, (8.16а) и вместо умножения на фг = т, т|г и -^-т^2 умножим на 1, ct и с2. Так как все интегралы (7.10) равны нулю, то эти операции эквивалентны. Имеем:

при умножении на единицу

J (а+ус2)/(°) d% = 0,(8.17)

при умножении на сг

J (-^^- + ₽^7<0)^=0,(8.18)

при умножении на с2

J (а 4- Yc2) с2/(°> d^ = 0.(8.19)

Здесь учтено, что интеграл функции от с, умноженной на с2, равен интегралу от этой функции, умноженной на 7з с2-

Из условий (8.17) и (8.19) следует, что а и у равны нулю, а из условия (8.18), что Рг = Р dTjdxt и р может быть включено И А, т. е. А можно заменить на А4 = А—р, для которого выполняется условие

J(8-20)

Таким образом, для / во втором приближении имеем следующее выражение (не меняя обозначений, переходим к размерным переменным,

так что £ из формул выпадает, но А* и В имеют порядок 4):

/ = /№ J 1 — А^с^ — вкс, — lC2d(8.21)

Подставим выражение (8.21) в определение вектора потока тепла; имеем

J f^H — ^-^ f W/^—xg;. (8.22)

Сравнивая (8.22) с обычным иавье-стоксовским представлением для вектора потока тепла, находим, что X есть коэффициент теплопроводности, равный

Х~~ J A^f^dl. (8.23)

Аналогично для тензора напряжений имеем

Bcici ^-^^Ц^^^-Bcici ^-^^Ц^^^-

Bcici ^-^^Ц^^^-

Bcici ^-^^Ц^^^-

со 2лсо 2ло оДалее, очевидно,о оДалее, очевидно,

со 2л

со 2л

о о

Далее, очевидно,

о о

Далее, очевидно,

Если А (с)—произвольная функция с, то1) со 2л л/2

У F (с) c^d^,— У У У F (с) с6 cos4 6 sin 6 de dtp d6 = ООО

У F (с") с8 sin 0 de dtp d^ = -g- j F^c^d^,.(8.24)

о

откуда, учитывая

(8.24), имеем

(8.25)

Учитывая равенства (8.24) и (8.25), получим

- РЬи ™ 11+ ^ — у бг, у^-

(8.26)

Где

И=^У Bf^d^

*) В сферических координатах

dt, = с2 sin 6 de dQ dtp.

Легко видеть, что (8.26) есть обычное навье-стоксовское выражение для тензора напряжений и ц — коэффициент вязкости. Для получения численных значений коэффициентов вязкости ц и теплопроводности X необходимо еще решить интегральные уравнения (8.8), (8.9) для Д и В. Для решения этих уравнений функции А (с) и В (с) разлагают в ряд по полиномам Сонина1):

Л (О = У . 8(0-2■

\ 4, К 1 ]j j

r=lr=0

Введем обозначения:

k=2 f /№ w Фо -1 «^ ^ ^.

[ф, ф] = — J /(0) ^ (ф( 4- ф' _ Ф] _ ф) Ф (У gb db d& d^, d^.

Умножая уравнения (8.8) на C;S^ (тс2/26Т) и складывая их, после замены Аг = сгА(с) выше приведенным рядом получим

«л = 3 ar S [с/5^, czS$] (s= 1, 2, ...). г I

Таким образом, для определения коэффициентов разложения ат получается бесконечная система уравнений. Аналогично для нахождения коэффициентов Ьт получаем систему

Р. = S S Wcici ~ У ^Ц S^' ^j - 1^М ^] (5=1,2,...). г I, j'

Практически бесконечные ряды по полиномам Сонина для А (с) и В (с) заменяют конечными суммами. При этом для определения коэффициентов ат и Ьг получаются конечные системы линейных

*) Полиномы Сонина определяются выражением s№r^)=V_Jz-2OH22)!_.

<m) ti р\ {ri — />)!(/« + />)!

д-0

В частности, 5^=1, S^) = m Д-1 — х.

Полиномы Сонина удовлетворяют условиям ортогональности

J А-^ (4 ^ (4 dx = I1^>L s№

уравнений. Однако решение этих систем довольно громоздко. Наиболее просто коэффициенты вязкости и теплопроводности находятся, если в разложениях по полиномам Сонина оставить лишь по одному члену. Найденные таким образом коэффициенты переноса называют коэффициентами первого приближения и обозначают обычно через [ц], и [Х]Р Приведем значения этих коэффициентов для простейших моделей молекул ’).

Твердые шары с диаметром 4;

. ,15 V ктТ,5. .

су — теплоемкость газа при постоянном объеме.

Максвелловские молекулы:

1 ( т \1/215, ,

[|i]j g^ у 8К /1^112 £^[141

Заметим, что в первом приближении для любых молекул

Ш =2"^ ИР

Из приведенных выражений видно, что зависимость коэффициентов переноса от температуры в строгой теории та же, что и установленная в § 1.5 из элементарных кинетических соображений. Коэффициенты вязкости и теплопроводности чистого газа определяются в первом приближении достаточно точно. Хуже определяются эти коэффициенты для смеси. Еще хуже определяются коэффициенты диффузии и особенно термодиффузии.

Сравнивая приведенные для максвелловских молекул выражения коэффициентов переноса первого приближения с точными значениями этих коэффициентов, полученными в § 3.3 (см. формулу (3.47)), замечаем, что они совпадают. Легко показать, что это не случайно. Действительно, в § 3.3 мы видели, что в тринадцатимоментном приближении функция распределения имеет вид

ГРа т2 а; тme2 XT

y y LP 2kT t 15 p kT «\22^T/J’

где

dTf dut . duj2 6ur\

^*dxi ’ ^iy ^ \ dxj dxt 3 ^4 dxT )"

Сравнивая это выражение с функцией распределения (8.21) и приравнивая коэффициенты при равных степенях сг, найдем, что

А (с) = const 1^"9^7 С 11 о (с) = const.

Следовательно, функция распределения тринадцатимоментного приближения получается из функции распределения (8.21), если в разложениях функций А (с) и В (с) по полиномам Сонина сохранить лишь по одному члену. Следовательно, для произвольных молекул тринадцатимоментное приближение приводит к уравнениям Навье — Стокса с неточными коэффициентами вязкости и теплопроводности, получаемыми лишь в первом приближении.

С другой стороны, в § 3.3 мы видели, что для максвелловских молекул функция распределения тринадцатимоментного приближения отличается от точной на величины порядка с2. Следовательно, с этой точностью функция распределения (8.21) должна совпадать с тринадцатимоментной, т. е. для максвелловских молекул ряды для А (с) и В (с) по полиномам Сонина должны содержать лишь первые члены. В справедливости этого утверждения можно также убедиться непосредственной подстановкой оборванных рядов в уравнения (8.8) и (8.9).

Продолжая описанный выше процесс дальше, аналогично можно найти /<2) и вывести уравнения Барнетта и т. д. Однако, не говоря о чрезвычайной сложности этих уравнений, следует иметь в виду, что к методу Чепмена — Энскога применимы выводы, полученные в предыдущем параграфе для метода Гильберта. Сходимость метода в общем случае является асимптотической при б->0. Поэтому уравнения Барнетта уточняют решение в той области, где хорошей точностью обладают и уравнения Навье — Стокса, но в общем случае нет уверенности в том, что с помощью уравнений Барнетта можно продвинуться в сторону больших с т. е. в сторону более разреженного газа, в тех случаях, когда уравнения Навье—Стокса уже оказываются непригодными1). Как уже указывалось, могут, конечно, представиться случаи, когда ряд Гильберта, а следовательно, и ряд Энскога—Чепмена сходятся в обычном смысле и когда уравнения Барнетта и более высокие приближения позволяют продвинуться в сторону больших чисел Кнудсена, однако такие случаи являются весьма специальными.

Как и метод Гильберта, метод Энскога — Чепмена не позволяет решить задачу с произвольной начальной функцией распределения /, так как эта теория учитывает лишь начальные гидродинамические величины (первые моменты от /). В то же время решение уравнения

*) Напомним, что у асимптотических рядов всегда имеется максимальное число членов ряда, дающее наилучшую аппроксимацию при заданном значении аргумента. При дальнейшем увеличении числа членов аппроксимация не улучшается, а ухудшается.

Больцмана стремится к некоторому решению Энскога — Чепмена при /^>6, гидродинамические начальные условия для которого отличаются па величину порядка 6 от начальных гидродинамических величин, вычисленных по начальной функции распределения /. Для установления правильных начальных и граничных условий необходимо исследование структуры начального или граничного слоев: 0 <^/ <^ ^О(е)1).

К выводу гидродинамических уравнений можно подойти несколько иначе.

Так как выше показано, что функция распределения зависит от координат я времени лишь через посредство гидродинамических величин и их производных, функцию распределения можно представить в виде

/ = /(о)^_ гг)+е/Ф(|, i;, vrr)+ey(2)(^rr, vrr, v2rr)+.... (8.27)

где символами 7Гг, 72ГГ и т. д. обозначены пространственные производные от Гг соответственно первого, второго и т. д. порядков. Смысл нижнего индекса «э» у функции распределения будет ясен из дальнейшего. Кроме того, можно положить

-^ = <>(Гг) + еФ1 >(ГГ, VFJ + (Гг, 7ГГ, V2rr)-ф- ... (8.28)

Согласно этим определениям входящая в уравнение Больцмана производная по времени равна

Щг, rт№Ггт-0Щг, rт№Ггт-0(8.29)(8.29)

Щг, rт№Гг

т-0

Щг, rт№Гг

т-0

(8.29)

(8.29)

Подставляя это выражение и (8.27) в уравнение Больцмана и приравнивая коэффициенты при равных степенях е, получим

у (^ ф™ + <> 70» + М™ w>+ ) + Е 8/?""--

2а \дг,г +dvrrWrr ++ dXl —

{A + V = ^-l

= s JW> ^}У <8-30)

Эти уравнения подобны уравнениям (7.4) и (7.6). В частности, для к = 0, 1 и 2 имеем:

J(/<0), /<0))=0,(8.31)

dfWdf^

2Д/™. Д") = ^-®">+^ту.(S'32)

w?- дч - 4г ф™+т$7 +

f^> (8-33)

Из (8.31) следует, что /® есть максвелловская функция от пяти макроскопических гидродинамических величин:

Л —еХр1 2АТСР(8.34)

Jt|>;/<o)^=r;,|ф/№^ = 0 при к>0.(8.35)

Отсюда следует, что

Г аД0'Г dfWГ df^

J ^‘ ~аГД ^= ^tr» J Фг ~др~ ^~ ®’ J Ф< dvrr ^ ” Q' (8.35а)

Для разрешимости уравнений (8.32), (8.33) и т. д. их правые части должны быть ортогональны к ф,. Учитывая (8.35) и (8.35а), получим следующие условия разрешимости:

ГI т 1 Э ”\7

Подставляя эти значения для Ф^ в разложение (8.28), получим

Легко видеть, что эти уравнения—не что иное, как общие уравнения сохранения (уравнения (1.8) — (1.10)). ■

Из условия разрешимости (8.36) по f№ находим функции Ф(°). Подставляя их в правую часть линейного интегрального уравнения (8.32) и решая это уравнение, найдем fto- Зная /№, из (8.36) находим функции Ф?\ подставляя которые в уравнение (8.33) найдем /<2) и т. д. Получаемые таким образом функции f№ будут зависеть от Гг и их пространственных производных до /г-го порядка включительно.

Подставляя последовательно полученные таким образом функции /<п\ f№, /№ и т. д. в уравнение сохранения (8.37), получим соответственно уравнения Эйлера, Навье—Стокса, Барнетта и т. д.

Необходимо отметить, что входящие в разложения (8.27) функции /W отличны от функций fW, входящих в разложение (7.3) Гильберта. Действительно, функции /<*2 являются функциями от полных Гг и их производных. Но последние в свою очередь являются рядами по 6. Для того чтобы перейти к гильбертовским функциям f№, необходимо разложить функции fW по £ и после этого собрать в разложении (8.27) члены при равных степенях е. Коэффициенты при е равны гильбертовским функциям fh\ Различие между функциями /№ и jW очень важно для понимания связи методов Гильберта и Энскога — Чепмена. Именно благодаря тому, что функции /№ являются функциями от полных гидродинамических величин Гг, можно наложить условия (8.35), в то время как в методе Гильберта, согласно (7.15), Гг =Д Г*г0' и Г*/'=7= 0. Поэтому

д/(0)

Д°)(Гг) = /(°)(Г(о))^ (8.38)

Wr- 7Г)=/«(Г(о), v№)4(еГОД- ...) +

Г дУГг

f^(Tr, vrr, Г2Гг) = /№(№, VTW, 72Г(0))+ ....(8.40)

Подставляя эти выражения в разложение (8.27) и собирая члены при равных степенях е, получим следующие выражения для функций fW-—коэффициентов при ек:

(8.41)(8.42)(8.43)(8.41)(8.42)(8.43)/<о) = /(0) (Г<_о>),

(8.41)

(8.42)

(8.43)

(8.41)

(8.42)

(8.43)

/(О = /0) (Г№, vrm) + ^ДД1 гт,

.Я = /И (Г(о), ?№, ^№) + -~Д^- ф +

+ дГ, r + dvr, v r ■

Гильбертовские функции f№ удовлетворяют уравнениям (7.6), в то время как функции Энскога — Чепмена /э удовлетворяют уравнениям (8.30). Покажем, что определяемые формулами (8.41), (8.42), (8.43) и т. д. функции J№ удовлетворяют уравнениям (7.6), если

] МЕТОД ЭНСКОГА - ЧЕПМЕНА 157 функции /№ удовлетворяют уравнениям (8.30), т. е. покажем, что /^—действительно функции Гильберта.

Подставим fW, представленные в виде (8.41), (8.42) и т. д., в уравнения (7.4), (7.5) и (7.6); имеем:

(8.44)(8.44)2/(Г(°)), /(^(Г^, ?Г(°))42/(Г(°)), /(^(Г^, ?Г(°))4д^ 1—Г*1) = '5ГГ г Jд/^ЧЧ) дГ^ аг; агд^ 1—Г*1) = '5ГГ г Jд/^ЧЧ) дГ^ аг; ага/^Сг^)dx;а/^Сг^)dx;(8.45)(8.45)27 /№)(№), /^2)(Г<°), ?№, 72Г(°))4-27 /№)(№), /^2)(Г<°), ?№, 72Г(°))4-, ^Чг^го) , «XJ drr + dVFr vb —, ^Чг^го) , «XJ drr + dVFr vb —W)r?.+W)r?.+dfW^- ^*г?) дГг0>dfW^- ^*г?) дГг0>д/^ЧЧ- Vr<4) dVr<0) д2/<э°Чг<°>) ^Г1/д/^ЧЧ- Vr<4) dVr<0) д2/<э°Чг<°>) ^Г1/dVTdVTдГг dt д/^ЧЧ) дгЧдГг dt д/^ЧЧ) дгЧdt ЗГгдГ5 dt т ~ 5ГГ dtdt ЗГгдГ5 dt т ~ 5ГГ dt

(8.44)

(8.44)

2/(Г(°)), /(^(Г^, ?Г(°))4

2/(Г(°)), /(^(Г^, ?Г(°))4

д^ 1

—Г*1) = '

5ГГ г J

д/^ЧЧ) дГ^ аг; аг

д^ 1

—Г*1) = '

5ГГ г J

д/^ЧЧ) дГ^ аг; аг

а/^Сг^)dx;

а/^Сг^)dx;

(8.45)

(8.45)

27 /№)(№), /^2)(Г<°), ?№, 72Г(°))4-

27 /№)(№), /^2)(Г<°), ?№, 72Г(°))4-

, ^Чг^го) , «XJ drr + dVFr vb —

, ^Чг^го) , «XJ drr + dVFr vb —

W)r?.+

W)r?.+

dfW^- ^*г?) дГг0>

dfW^- ^*г?) дГг0>

д/^ЧЧ- Vr<4) dVr<0) д2/<э°Чг<°>) ^Г1/

д/^ЧЧ- Vr<4) dVr<0) д2/<э°Чг<°>) ^Г1/

dVT

dVT

дГг dt д/^ЧЧ) дгЧ

дГг dt д/^ЧЧ) дгЧ

dt ЗГгдГ5 dt т ~ 5ГГ dt

dt ЗГгдГ5 dt т ~ 5ГГ dt

П1) ,

(8.46)

Очевидно, что (8.44) совпадает с (8.31). Следовательно, функция /<°) удовлетворяет уравнению (7.4), если функция f^ удовлетворяет уравнению (8.31).

Согласно определению (7.2) квадратичной формы

^(/> ^1Ф1 Ч-C2q>2)—CxJ{f, ф[)Ч~Сз*^/" Фг) (8-47)

J{f, ф) = /(ф, /).(8.48)

Тогда

и, следовательно.

df^ _2— Г(О дГ, г ,df^ _2— Г(О дГ, г ,) ^ггоу /<0)(Г(°)),) ^ггоу /<0)(Г(°)),d/W"дГг .d/W"дГг .(8.49)(8.49)Функции 1Ч0) в методе стности (7.13):аг<4Функции 1Ч0) в методе стности (7.13):аг<4Гильберта удовлетворяют условиям совме-Гильберта удовлетворяют условиям совме-дд

df^ _2— Г(О дГ, г ,

df^ _2— Г(О дГ, г ,

) ^ггоу /<0)(Г(°)),

) ^ггоу /<0)(Г(°)),

d/W"дГг .

d/W"дГг .

(8.49)

(8.49)

Функции 1Ч0) в методе стности (7.13):

аг<4

Функции 1Ч0) в методе стности (7.13):

аг<4

Гильберта удовлетворяют условиям совме-

Гильберта удовлетворяют условиям совме-

д

д

Тогда из (8.37) и (8.36) следует, что

^ф(0)(Г(0)).(8.50)

Подставляя (8.49) и (8.50) в уравнение (8.45), убеждаемся, что оно совпадает с уравнением (8.32). Следовательно, функция JW удовлетворяет уравнению (7.5), коль скоро функции и /W удовлетворяют уравнениям (8.31) и (8.32). Проделывая аналогичные, но более громоздкие выкладки, можно показать, что уравнение (8.46) или (7.6) удовлетворяется, коль скоро Д°\ JW и /№ удовлетворяют уравнениям (8.31), (8.32), (8.33) и т. д.

Таким образом, определенные выражениями (8.41), (8.42) и т. д. функции /W действительно являются членами ряда Гильберта.

Процедура перехода от разложения Гильберта к разложению Энскога — Чепмена, данная в начале этого параграфа, несколько отличалась от только что изложенной. Там использовались решения уравнений (7.6), из которых исключались производные по времени с помощью условий совместности (7.13) и полагалось затем Г^ —0 при & > 0, что было законно, так как рассмотрение велось в некоторый выбранный момент времени 7—0. Легко проверить, что при этом решения /W уравнения (7.6) тождественны с решениями уравнений (8.36). Действительно, если выразить функции /W через fW по формулам (8.41), (8.42) и т. д. и подставить в уравнение (7.6), то, как было показано выше, приходим к уравнениям (8.44), (8.45) и т. д. Заменяя в этих уравнениях производные по 7 с помощью уравнений совместности (7.13), используя (8.37) и (8.36) и полагая затем Г$?г)=0 при к + 0, получим уравнения (8.30). Но, как показано выше, ряд, построенный из решений уравнений (8.30), есть ряд Энскога — Чепмена. Таким образом, процедура, изложенная в начале параграфа, приводит к тому же ряду Энскога-—Чепмена, а следовательно, и к тем же уравнениям гидродинамики: к уравнениям Эйлера, Навье—Стокса, Барнетта и т. д. Именно в этом смысле и понимается эквивалентность методов Гильберта и Энскога — Чепмена. В самом же методе Гильберта (если не ставить целью получение замкнутой системы из пяти гидродинамических уравнений для пяти гидродинамических величин)'величины Г^ удовлетворяют уравнениям, которые могут быть получены из уравнений гидродинамики, если входящие в них гидродинамические величины разложить по £ и приравнять коэффициенты при равных степенях е. Если, например, ограничиться учетом величин порядка 6, то

и гг=№+<;№.(8.51)

]метод энскога-Чепмена15g

Уравнения гидродинамики в этом приближении, т. е. уравнения Навье — Стокса, можно записать в виде (см. (8.37))

+ ^ J ФДf^J dl = 0,(8.52)

где f№ и /W — функции полных Г .

Заменим fW и fW по формулам (8.38) и (8.39); пренебрегая величинами порядка е2, получим

+ ' ^ J AWW,«-о. <s-53)

Учитывая связь (8.41) и (8.42) гильбертовских функций jW с функциями /№ и приравнивая нулю коэффициенты при 6° и б1, получим:

дГ<°) д ГсТ™ д Г

-гг + ^J W™^-0. (8.54)

Эти уравнения, очевидно, совпадают с уравнениями (7.13) или (7.14) для уС?) и уС) (или Пф и ГЧ^ в методе Гильберта.

В методе Энскога — Чепмена параметр с входит в решение более сложным, вообще говоря, не аналитическим образом. Решение, получаемое в том же приближении (при одинаковом числе членов разложения) по методу Энскога — Чепмена, может оказаться более точным, чем в методе Гильберта.

В то же время имеются примеры того, что уравнения высших приближений по методу Энскога — Чепмена не имеют решений, в то время как метод Гильберта позволяет построить решение в любом приближении.

Методу разложения по малому параметру можно придать несколько более геометрически наглядный вид т). Запишем безразмерное уравнение Больцмана в интегральной форме (7.4) главы II:

/(С х0+§(7-70), §)-/(70, х0, ^

= 4 J J(s, x0+^(s — t0\ ^ds. (8.55)

Если t = 7— t0=O(6), то в левой части уравнения стоит разность функций распределения в точках, расстояние между которыми порядка С. Пусть в окрестности точки (70, х0) течение таково, что

') Коган М. Н„ Журнал прикл. механики и техн, физики, № 1 (1965).

функцию распределения можно представить для всех | в виде

/<<« + *■ ,о + £г. В = Ж,У + Щ| т + 1ДЕ|1о1=+

(8.56)

Пусть на длине или за время порядка 6 изменением функции распределения в первом приближении можно пренебречь. Тогда функция распределения в этом приближении должна удовлетворять условию: t

J Jds = O, или J=0.(8.57)

^0

Легко видеть, что условие (8.57) тождественно уравнению (7.4), а следовательно, если течение таково, что на длине порядка е изменением функций распределения можно пренебречь, то в первом приближении функция распределения должна быть максвелловской: / = /0. Во втором приближении представим функцию распределения в виде

/ = /о(1+ф), (8-58)

где ф—малая добавка, и сохраним в разложении (8.56) второй член. Вновь полагая т=О(с) из (8.55) и пренебрегая квадратами <р, имеем

Z

/ + Х = Т ^ds- (8-59) мIt—о 6 J

Отсюда видно, что ф— 0(6), т. е. ф —б/б). Пренебрегая величинами О (е2), получим уравнение, тождественное (7.5):

=(8.60)

Так как момент t0 произволен, то это условие выполняется в любой точке.

В третьем приближении

/ = /0(1+е/б)+ф),(8.61)

где ф—малая добавка, квадратами которой можно пренебречь. В левой части уравнения (8.55) сохраним третий член разложения. Имеем

^/о I ।^/о/(1) I । ^/оФ I । 1 ^2/o I 9dt L 1 dt , dt ,2 dt» L*0*0*01^/о I ।^/о/(1) I । ^/оФ I । 1 ^2/o I 9dt L 1 dt , dt ,2 dt» L*0*0*011 6?2/o/(I)2 dP1 6?2/o/(I)2 dP|,_ ’’+4^|/=J [w«. /,/">> I, + +<да /д1,%+42д/г ш>-|,_ ’’+4^|/=J [w«. /,/">> I, + +<да /д1,%+42д/г ш>-(8.62)(8.62)

^/о I ।^/о/(1) I । ^/оФ I । 1 ^2/o I 9

dt L 1 dt , dt ,2 dt» L

*0*0*01

^/о I ।^/о/(1) I । ^/оФ I । 1 ^2/o I 9

dt L 1 dt , dt ,2 dt» L

*0*0*01

1 6?2/o/(I)

2 dP

1 6?2/o/(I)

2 dP

|,_ ’’+4^|/=J [w«. /,/">> I, + +<да /д1,%+42д/г ш>-

|,_ ’’+4^|/=J [w«. /,/">> I, + +<да /д1,%+42д/г ш>-

(8.62)

(8.62)

§ 3.8]

Согласно (8.60)

27(Л, /о/(О)|5=^|27(Л, /о/(О)|5=^|

27(Л, /о/(О)|5=^|

27(Л, /о/(О)|5=^|

Подставляя это выражение в (8.62), найдем, что <р — е2/®; пренебрегая величинами порядка е3, получим

J(Mm, JJw) = 2J(f0, М®у (8.63)

Это уравнение, очевидно, совпадает с уравнением (7.6) для А = 2. Продолжая аналогично далее, можно построить функцию распределения в любом приближении.

Приведенная интерпретация метода малого параметра показывает, что возможность представления функции распределения в виде разложения по 6 является следствием представления функции распределения в виде разложения (8.56) по пространству и времени для т—О (е).

Необходимо отметить, что для построения решения необходимо лишь существование производных вдоль траектории молекул d[dt, в то время как частные производные d/dt и д[дх£ могут и не существовать.

Из приведенного выше вывода уравнений Навье-—Стокса может создаться впечатление, что эти уравнения применимы лишь тогда, когда навье-стоксовские (вязкие) члены малы по сравнению с эйле- ровскими. Тогда исследования, например, течений в пограничном слое или течения Стокса при малых числах Рейнольдса с помощью уравнений Навье—Стокса были бы незаконными. Покажем, однако, что это не так.

Выше функция распределения разлагалась в ряд по малому параметру, равному отношению длины пробега к характерному размеру течения (числу Кнудсена). В стационарном пограничном слое имеется два характерных размера течения: продольный L и толщина пограничного слоя 6, равная

Kn.

/Re Г PLU г рш I M F

Здесь U — характерная макроскопическая скорость течения и а—скорость звука; вязкость р заменена по формуле (5.7) главы I; числа Кнудсена Kn = ^L и Маха М — Ufa определены по характерным параметрам ?« и а внутри слоя.

Из приведенной только что трактовки метода малого параметра ясно, что существенным является характер изменения функции

11 М. Н. Коган

распределения вдоль траектории частиц. Для подавляющего большинства траекторий (за исключением траекторий, составляющих малый угол порядка b'L с пластиной) характерная длина, на которой изменяется функция распределения, имеет порядок 6. Поэтому в этом случае малый параметр е = Х(Ь = У Кп- Решение уравнения Больцмана ищется, как и выше, в виде разложения по 6. Поэтому тензор напряжений р^ и вектор потока тепла q£, определяемые функцией /Р*, будут, как и выше, порядка е, т. е. в рассматриваемом случае порядка }УКп- Полученные для ptj и qt значения, согласно методу Энскога— Чепмена, должны быть подставлены в обш.ие уравнения сохранения (1.9) и (1.10). Выпишем для примера уравнение сохранения продольного импульса:

ди ди _1 др1 / дрхх дрху

11 дх ' V ду р дхр у дх' ду

Так как производная д/дх^ \(L, а д'ду ~ 1/6, то члены и du/dx^u^lL и дрху1ду ^ е/Ь одного порядка. Таким образом, несмотря на то, что, как и в общем случае, функция /(1) мала по сравнению с /0, в пограничном слое член, обусловленный функцией У®*, оказывается того же порядка, что и члены, определяемые функцией /10).

Другими словами, если в уравнении Больцмана и уравнениях сохранения перейти к безразмерным координатам, отнеся х и у к характерной длине 6, то все рассуждения методов Гильберта и Энскога— Чепмена остаются без изменения. Уравнения Навье—Стокса будут иметь обычный вид, и член с вязкостью будет пропорционален малому параметру б = ^/б=]УКп- Равенство этого члена эйлеровским членам, перед которыми нет малого множителя, обусловлено малостью продольной производной, имеющей в этих переменных порядок е. Применимость уравнений Навье—Стокса при этом не должна вызывать сомнений, как не возникает сомнений в применимости этих уравнений при рассмотрении течения Куэтта, в котором одна из производных вовсе равна нулю, а характерное расстояние между пластинами может быть как порядка L, так и порядка b^tV^lL-

Более того, характерный размер течения может быть порядка Ха t где а< 1. Тогда c^Z,1-0 и, очевидно, разложение по £ будет сходиться при равных X тем хуже, чем а ближе к единице.

Аналогичное положение и в течении Стокса при малых числах Рейнольдса. Здесь также у(11 в 6 раз меньше у<® и остаются в силе все рассуждения, приводящие к уравнениям Навье—Стокса. Однако инерционные члены оказываются малыми по сравнению с вязкими вследствие малости макроскопических скоростей.

Вывод уравнений гидродинамики для смеси газов

В § 2.6 указано, что поведение смеси А/ газов описывается совместной системой N уравнений Больцмана для N функций распределения /!г<4 х, ^l каждой из компонент смеси1)

dt dt дхг mk д^*

NN

- T S J d'J I - d^ ^ bdb de d^ =42 J(Jk, /,) (9.1) z-iz-i

(&= 1A/).

Будем считать, что уравнения записаны в безразмерной форме, так что в иих вошел малый параметр С. В окончательных гидродинамических уравнениях, не оговаривая этого особо, вновь перейдем к размерным величинам, так что в уравнения гидродинамики малый параметр явно входить не будет.

Прежде чем перейти к выводу уравнений гидродинамики, введем определения основных гидродинамических величин для смеси газов.

По аналогии с § 2.1 (формулы (1.4)—(1.11)) введем следующие обозначения:

^=.[л<(9.2)

для числа частиц (концентрации) й-й компоненты газа в единице объема,

N

P=S m4R(9.3)

k = \

для массовой плотности газа,

(9.4)

для средней скорости ^-компоненты газа,

ю= —2«6mV(9.5)

для средней скорости смеси,

^ = г^ н = 4 [ (I» _ и) д < = 4 [ с^к d^!(9.6)

/гп’1 а

') По индексу к суммирование не производится.

II*

164ОБЩИЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ БОЛЬЦМАНА [ГЛ. Ш

для скорости Диффузии /г-компоненты газа, ск = ^г—и — тепловая, или собственная, скорость молекулы ^-компоненты,

4^=i21(й=2й^ <9-7)

к\6 = 1 /

для температуры смеси,

(9.8)

для парциального тензора напряжений ^-компоненты,

РМ=^РИ- Рц = Рц-^1Р. р^_^РпЛР^Р^ (9.9) 6=1

для тензора напряжений смеси,

для парциального потока тепла ^-компоненты и

q=^q^(9.И)

для потока тепла в смеси.

Интегралы столкновений, стоящие в правых частях уравнений (9.1), обладают свойствами симметрии, аналогичными установленным в §2.4. Действительно, рассмотрим интеграл

^6= J фб Wt — ^тД Skfi db da dlk d^,(9.12)

где фй = ф(|й), Очевидно, что интеграл (9.12) не изменится, если поменять местами скорости до и после столкновения, т. с.

^ = J Фб М - ДЛ) ёД db’ da' d^' d^’.(9.13)

Но при упругом столкновении частиц

ён = ё'№ b = b'> е:=е,> d^d^=d^' d^'.(9.14)

Складывая (9.12) и (9.13) и учитывая соотношения (9.14), получим ^=^ h^”W^-f^^Mbdbd6<d^- (9.15) Индексы к и I входят в это выражение несимметрично1). Однако если просуммировать такие интегралы по к и /, то к и I будут

") Функции dkH=lv

входить симметрично, и очевидно следующее равенство:

NNNN(9.16)(9.16)

NN

NN

(9.16)

(9.16)

или в развернутом виде

N

SI (^ фУ Wi - лл)g^db da d^ ^l=

N

= S (ф/ “ ф9 W'» — W gMb db d6 ^ d^* (9‘16a^

откуда

nN

^ ^ = T ^ J (ф& + фг ф* ф0 W't ЛЛ)gmb db ^ d^1-

k, ik, i

(9.17)

Пользуясь полученными соотношениями симметрии, легко вывести

уравнения сохранения для смеси. Интегрируя й-е уравнение (9.1) по gfe, имеем

(9.18)(9.18)дпк I дпкиг „

(9.18)

(9.18)

dt ' дх.

Интеграл столкновений пропадает в соответствии с соотношением (9.15), в котором следует положить фй=1. Исчезновение правой части понятно и физически, так как интеграл по от суммы интегралов столкновения частиц й-го сорта с частицами всех других сортов выражает собой полное изменение числа й-частиц в единице объема в результате столкновений молекул. Однако так как при столкновениях частицы не претерпевают химических изменений, то Общее число частиц данного сорта не изменяется в результате столкновений.

Умножая й-е уравнение (9,18) на тк и суммируя по й, получим уравнение сохранения массы смеси газов:

(9.19)(9.19)др , дриг п"дГ* дл~—U

(9.19)

(9.19)

Если умножить й-е уравнение (9.1) на тк^к и проинтегрировать по Is, то интеграл от интеграла столкновений в нуль не обратится, так как суммарный импульс й-молекул может быть при столкновениях передан молекулам других сортов. Однако если полученные уравнения сложить, то правая часть обратится в нуль, так как общий импульс молекул всех сортов сохраняется при столкновениях. Этот факт следует и из соотношения симметрии (9.17). В результате

166 ОБЩИЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ БОЛЬЦМАНА [ГЛ. III несложных выкладок получаем следующие уравнения сохранения импульса для смеси:

(/=1,2,3). (9.20) dt 1 т дхГ р дхг 1 р Al ' 4 \ /

Аналогично, умножая к-й уравнение (9.1) на -^-/«^2, интегрируя по |6 и складывая все уравнения, получим уравнение сохранения энергии для смеси: •

Система 5-|-Л/ уравнений (9.18) — (9.21), кроме пяти гидродинамических величин для смеси р, ur, Т и N плотностей п\ содержит еще ^N неизвестных -и*, компоненты тензора напряжений 4V и вектора потока тепла q.. Скорости ^ = ^4-^, по определению.

Для того чтобы замкнуть эту систему уравнений, необходимо найти зависимость Р^, q. и у^ от 5 -]- Л/ гидродинамических величин р, ur, Т и и6. Как было показано выше, уравнение (9,19) есть следствие уравнений (9.18), но и входящая в него неизвестная п выражается через nfe: п = ^пк. Поэтому имеется 4-j-iV независимых уравнений и 4 4- N неизвестных.

Для отыскания искомых зависимостей необходимо найти решение уравнений Больцмана (9.1). Как и в предыдущем параграфе, будем искать решение в виде

4(4 х, ^f^tP, й., Т, ^у^Ф^, й., Т, W, ^ ^т, |)+ .

(9.22) и, кроме того, положим

^=^Ж- "ь Т^еФ^, ut, Т, Vn\ Ущ, V7')4-.,„ (9.22a) ^.^ф^, uu Г)^^^, ttb T, ^n, 4uu V7)4-..., (9.226) ^^ф^^11, Uu 7)-|_€ф^(га6, Uii T, ^n*1. 4nif V7')4-..., (9,22b)

где символ ^A указывает на зависимость от производных по координатам dAjdx^.'

и при-и при-Подставляя, выражения (9.22) в уравнения Больцмана (9.1) равнивая коэффициенты при равных степенях с, получим;

и при-

и при-

N

NNдГц И дхг + mte d^ ’дГц И дхг + mte d^ ’(9.23)(9.23)(9.24)(9.24)

N

N

дГц И дхг + mte d^ ’

дГц И дхг + mte d^ ’

(9.23)

(9.23)

(9.24)

(9.24)

df^ ф(1) Iф® |^ 7ф(0) ,

d/7 Xfcr dj^

+ £r-—4(9.25) dxr

Здесь для сокращения письма совокупность макроскопических величии й6, ut и Т обозначена через Гц.

Уравнения (9.23) удовлетворяются распределением Максвелла

л^ий -«4 <9-26)

Так как в /№ входят полные гидродинамические величины, то

J/<°)c?|ft —«* и J/^^^O ПРИ v > 0,(9.27)

NN

J me^/(0) d7? = Р“; и S f ^Vif^ ^У1 = 0 при v>0, fc-ift=i

(9.28)

S (=7 д"«=16«T - S .1' 47 f? v=о -г-»> o. k =“ 1й =•!

'(9.29)

Функции /<7 представим в виде

f^=/fcW-(V^l,...).(9.30)

Тогда уравнения (9.24), (9.25) и т. д. можно переписать в симметри- зованной форме (для сокращения письма индекс v опускаем):

N

2 J f^f?\^-V4>,t-4>k-^gklbdbtedy=P!i. (9.31) z-i

Легко видеть, что система однородных уравнений имеет решение: Фй = айтй -|- РгтА^й + ^т.^112

или

Ф/; = а1гт,г 4-Prmkc^ Tym'-’c^2.(9.32)

Легко также показать, что других решений нет. Действительно, умножим А-е однородное уравнение (9.31) на его решение фй(^) и проинтегрируем по Iй, тогда по аналогии с (9.15)

7^ = S J WOT (ф'й + Ф/ - Фй — Ф/) ОТ db ds dW d^ =

= L J Wff (Фй + Ф/ — Фй ~ Ф/') ОТ* db'd6 < d^’ =

^ 2" 2 J (Фй ~ Ф») WW (Фй + ф/ ~ Фй ~ ф/) ОТ db de d^ d^1' (9'33)

Суммируя интегралы (9.33) по А и используя симметрию получающихся при этом выражений по к и I, получим аналогично (9.17)

N

= 12/ ^ОТ (Фй — Фй) (Фй + Ф/' — фй — ф<) g»b db ds dll dZk =

N

= 4 S J fOT (ф/ — ф/') (Фй + (p; — Фй — Ф/) 8kib db da d^ d^ =

N

= -7rS//^ПФй + ф;-Фй-Ф,)2^^(9.34)

Й, I

Квадратичную скобку обращают в нуль лишь сумматорные инварианты, входящих в решение (9.32). Поэтому решение (9,32) является общим решением однородной системы уравнений (9.31).

Совершенно так же, умножая неоднородные уравнения на сумма- торные инварианты фй ^ = тА, ткск и тксм, получим:

2 И №. и - ^, J от №+ф; - ф, - фо) х

1=1

b de d^t d^1 = J ф6, J\ d^, N

21J {<x и+% в - x к - ф1 J м+^ - ^ - ф,) /от х

к, I

N

Xghlbdb de d^1 ^ = 2 J X чРк d^'

Следовательно, неоднородные уравнения разрешимы только в том случае, если их правые части удовлетворяют следующим уравнениям:

NN

J ткРк dlk — О, 2 J "ОТ к < = °’ 2 / ^Г”Рк < = °-

(9.35)

Если ограничиться первым членом разложения (9.22) функции распределения в ряд по 6, т. е. положить f =f^, то

“г = ^ J =<9-36)

ри=2 дач от^ d^=ьиР’ <9-з7> к = 1

^ = 2^1 сЮс1^ d^ = °-(9-38)

В этом приближении диффузии компонент нет, как нет потока тепла и составляющих тензора напряжений, отличных от давления. Подставляя эти значения в уравнения сохранения (9.18) — (9.21), получаем следующую систему уравнений Эйлера для смеси:

^ + Т^=°-<9'39)

(9.40)

dt 1 дхТ'

+ „(9.41)

dt 1 r dxT p dxr*

где

/г = 1

— сила, действующая на единицу массы смеси. Если смесь находится, например, в поле силы тяжести, то Gt есть ускорение тяготения, и уравнения для смеси (9.40) — (9.42) совпадают с уравнениями для однокомпонентного газа. Концентрация компонент смеси пк может быть найдена независимо с помощью уравнений (9.39) после определения картины течения газа как целого.

Для определения функций f^, /№, ... необходимо последовательно решить уравнения (9.24), (9.25) и т. д. или, что то же самое, уравнения (9.31). Для разрешимости этих уравнений их правые части должны удовлетворять условиям (9.35). Из первого условия (9.35), используя (9.27) для правой части уравнения (9.24), имеем

ф£° -X- f Ло) d^ 4- -5— f Е/»> d^ = Ф(„°б + 4~ [ ^Д0) ^ = 0.

|i дГц j J к ”1 дхг J ®гу к ” п 1 дхг J к в

(9.43)

Из второго условия (9.35) с помощью (9.28) имеем

фц Р 2 J ™1ЭД « + Р f ™* J ет it*+

8 = 16 = 1

+ р S ™* J<ЛС - £ Щ«‘ - 0. (9.44)

И, наконец, из третьего условия (9.35) с помощью (9.29) получаем

Ф^ Р 2 J P^aw+Р S J ^wt «+

+S J 4 4dV=S ф,-Р ег+4 е'‘ф‘?’+

J 3.9] ВЫВОД УРАВНЕНИИ ГИДРОДИНАМИКИ ДЛЯ СМЕСИ ГАЗОВ 171 Отсюда после несложных преобразований

ф$ = - ^7 J W d^>(9-43а)

/г = 1/г -1

^ = -3^^ = -3^A=1। d XI fA=1। d XI f(9.45a)(9.45a)

^ = -3^

^ = -3^

A=1

। d XI f

A=1

। d XI f

(9.45a)

(9.45a)

Аналогично для правой части уравнения (9.25) условия разрешимости дают:

(9.46)

^--^li”*<9-47>

ф^ =2. 4 кТ ~ у. I с* № d^k +

N

-^Х/ТСД11^. (9.48)

Тогда согласно определению ^9.22).

(9-49)

(9'50>

Легко видеть, что уравнения (9.49), (9.50) и (9.51) суть не что иное, как уравнения сохранения (9.18), (9.20) и (9.21).

Таким образом, для того чтобы правые части уравнений (9.31) для v = 1, 2, . . . удовлетворяли условиям разрешимости, необходимо подставить в них вместо функций Ф®, Ф? соответственно их выражения (9.43а) — (9.45а), (9.46) — (9.48). Тогда правая часть уравнения (9.31) для v= 1 примет вид

(9.52)(9.52)гдегде

(9.52)

(9.52)

где

где

,k d / n6 \ . / n6\ 5 In p nh „и , nPn18 VI i

(9.53)

Легко видеть, что к этому же выражению для Р^ мы пришли бы, если бы формально записали

dtdtдГц dt 6ГЦ dxtдГц dt 6ГЦ dxtXt д^m дуXt д^m ду

dt

dt

дГц dt 6ГЦ dxt

дГц dt 6ГЦ dxt

Xt д^m ду

Xt д^m ду

и исключили затем частные производные dV^dt с помощью уравнений Эйлера (9.39)—(9.42). При этой формальной операции были бы автоматически выполнены условия разрешимости. На практике при выводе уравнений Навье — Стокса именно так и поступают. Приведенные же выше рассуждения служат обоснованием этой формальной процедуры.

Эта операция формальна потому, что в действительности гидродинамические величины Г^ во всех приближениях, кроме нулевого, не удовлетворяют уравнениям Эйлера. Может показаться, что исключение частных производных по t с помощью уравнений Эйлера справедливо лишь с точностью до е2, т. е. при оставлении в разложении для / только двух членов. В этом последнем случае достаточно найти /^ с точностью до е. Так как решения точных гидродинами-

ВЫВОД УРАВНЕНИЙ ГИДРОДИНАМИКИ ДЛЯ СМЕСИ ГАЗОВ 173 ческих уравнений высших приближений отличаются от решений уравнений Эйлера на величины порядка с, то, исключая производные по t с помощью уравнений Эйлера, мы делаем ошибку порядка 6. Однако приведенный выше метод получения правой части показывает, что это не так и полученное выражение для правой части справедливо с любой точностью. Найденное отсюда /С1) будет одним и тем же при оставлении в разложении / любого числа членов.

По виду правой части (9.52) рассуждение, аналогичное приведенному в предыдущем параграфе, позволяет заключить, что решение уравнения (9.31) для v= 1 должно иметь вид

А Lr дхг \Cscr 3 5r ) дхг г

+ 4 2 Cv< + а* + Prcr + /• (9-54) v-l

где Л*, 5* и С* — функции 7, cfe и всех п1. Из определения d^ видно, что

24 = 0.

Поэтому один из коэффициентов С® может быть задан произвольно, например положен равным нулю. N-^-4 неизвестных ай, рг и у определяются условиями:

J /fe d^ = J /^ d^ nk или J/^^^O,(9.55)

NN

2 е - v j dV=

или

S/mW^< = °-(9-56)

£ J f„ - s //1"^*=4 т

или

2(9.57)

Из условия (9.55) имеем

J (ай+усм)/^й'|й = 0.(9.58)

дастдаст'Гак как одновременно должны быть выполнены и условия (9.55) и (9.56), то в последних можно заменить |* на с^. Тогда условие (9.56)

даст

даст

N/N\

S J Г д* ТГ + S с*"'+IS, «”/?’ "У - О- (9-59) й = 1хv=l/

Аналогично из условия (9.57) имеем

(9.60)(9.60)S 'IT J^ ^^^ сМ^ d^ °’

(9.60)

(9.60)

й-1

Из (AZ-|- 1)-го однородного уравнения (9.58) и (9.60) следует, что ай и у равны нулю. Согласно (9.59) постоянную pz можно представить в виде $dTjdxt и включить ее в переменные Лй.

Таким образом, функцию распределения в навье-стоксовском приближении можно представить в виде

— до) 1 -~-п-——1 А сг дХг— до) 1 -~-п-——1 А сг дХгВк Uc, — 1+ С? 2 G^r I ’

— до) 1 -~-п-—

—1 А сг дХг

— до) 1 -~-п-—

—1 А сг дХг

\3 л> / дх.

' Г №1 J

(9.61)

Подставляя эти функции распределения в интегральные уравнения (9.31) и приравнивая нулю коэффициенты при д\пТ/дхг, dujdxr и dk- получим интегральные уравнения для Аь, Вк и Ск. Эти уравнения несколько более громоздки, чем интегральные уравнения для А и В предыдущего параграфа для одного газа. Но принципиально они аналогичны и к ним применимы те же методы решения. Функции .4, В и С ищут в виде рядов по полиномам Сонина, сводя задачу к решению систем алгебраических уравнений (см. предыдущий параграф). Детали расчетов и полученные для различных законов взаимодействия молекул значения этих величин можно найти, например, в монографиях Гиршфельдсра, Кертиса и Берда и Чепмена и Каулинга.

Предполагая коэффициенты Afe, Bft и Ск известными, можно выразить тензор напряжений, вектор потока тепла и скорость диффузии через гидродинамические величины и их первые производные и тем самым замкнуть систему уравнений сохранения (9.18)—(9.21).

Подставляя решение (9.61) в определение скорости диффузии (9.6), имеем

у» —у» —Dk din?* дхгDk din?* дхг(9.62)(9.62)

у» —

у» —

Dk din?* дхг

Dk din?* дхг

(9.62)

(9.62)

где

D*D*О*О*p3nmxmfe3 1p3nmxmfe3 1кк(9.63)(9.63)(9.64)(9.64)

D*

D*

О*

О*

p3nmx

mfe

3 1

p3nmx

mfe

3 1

к

к

(9.63)

(9.63)

(9.64)

(9.64)

— соответственно коэффициенты диффузии и термодиффузии.Аналогично для компонент тензора напряжений имеем

n „

т!1т!1NN6-16-1L А гю\ dUsЛ^КLsS 3 rs ) dxr% •L А гю\ dUsЛ^КLsS 3 rs ) dxr% •УчитываяУчитываяравенства (8.24) и (8.25), получим/ ди: ди: 2равенства (8.24) и (8.25), получим/ ди: ди: 2pij = P^tj — Нpij = P^tj — НдХ; 3дХ; 3дий X ы dxs/дий X ы dxs/(9.65)(9.65)гдегдеN1 V^ = 15 1N1 V^ = 15 1йй(9.66)(9.66)

т!1

т!1

N

N

6-1

6-1

L А гю\ dUsЛ^К

LsS 3 rs ) dxr% •

L А гю\ dUsЛ^К

LsS 3 rs ) dxr% •

Учитывая

Учитывая

равенства (8.24) и (8.25), получим

/ ди: ди: 2

равенства (8.24) и (8.25), получим

/ ди: ди: 2

pij = P^tj — Н

pij = P^tj — Н

дХ; 3

дХ; 3

дий X ы dxs/

дий X ы dxs/

(9.65)

(9.65)

где

где

N

1 V

^ = 15 1

N

1 V

^ = 15 1

й

й

(9.66)

(9.66)

— коэффициент вязкости.

Наконец, для компонент вектора потока тепла имеем:

4141NNdin T Vdxt Ь fc = iNdin T Vdxt Ь fc = iNin.lzcfein.lzcfe^ (9.67)^ (9.67)

41

41

N

N

din T V

dxt Ь fc = i

N

din T V

dxt Ь fc = i

N

in.lzcfe

in.lzcfe

^ (9.67)

^ (9.67)

(9.68)(9.68)гдегдеNNг= уNNг= у(9.69)(9.69)С6 (cfe> cMf® d^.V \дС6 (cfe> cMf® d^.V \д(9.70)(9.70)

(9.68)

(9.68)

где

где

N

N

г= у

N

N

г= у

(9.69)

(9.69)

С6 (cfe> cMf® d^.V \д

С6 (cfe> cMf® d^.V \д

(9.70)

(9.70)

ИЛИ

, din Г qt — — XT дх.

Подставляя выражения (9.62), (9.65) и (9.67) в уравнения сохранения (9.18) — (9.21), получим замкнутую систему уравнений для гидродинамических величин р, и,, Тип?.

Интересно отметить, что явление термодиффузии было впервые обнаружено Эпскогом и Чепменом из аналогичного вывода и позднее подтверждено экспериментом. Отметим также, что для максвелловских молекул коэффициент термодиффузии равен нулю.

Вывод уравнений гидродинамикис учетом внутренних степеней свободы молекул.

Релаксационные уравнения 9

В предыдущих параграфах предполагалось, что молекулы обладают лишь поступательными степенями свободы. Однако в действительности при столкновениях молекулы могут обмениваться поступательной, вращательной, колебательной и другими видами энергии. Как показано в § 2.6, рассмотрение газа с квантованными внутренними степенями свободы можно свести к рассмотрению реагирующей смеси газов, каждый из которых состоит из молекул, находящихся в данном квантовом состоянии v.

Если /v(^, X, §v)—функция распределения молекул, находящихся в v-м квантовом состоянии с внутренней энергией Е\ то уравнения Больцмана принимают вид (см. § 2.6; для простоты поле внешних сил не рассматривается)

dt dt I dxr

= 2 J^ ^' ^^^<- (ЮЛ)

к, Г

Так как все компоненты образованной таким образом смеси состоят из химически одних и тех же молекул, отличающихся лишь внут-

’) Строгому выводу из уравнения Больцмана уравнений гидродинамики для газов с внутренними степенями свободы посвящено много работ. Укажем лишь некоторые из них: Wang Chang С. S., Uhlenbeck G. F., University of Michigan Engineering Research, Rep. № CM-681 (1951); см. также Studies in Statistical Mechanics 2, 1964; Taxman N., Phys. Rev. 110, 1235 (1958); Самуилов E. В., сб. «Физическая газодинамика», Изд-во АН СССР, 1959; Monchick L, Mason Е. A., J. Chern. Phys. 35, 1676 (1961) и 36, 1622 (1962); Жигулев В. Н., Инженерный журнал, № 1 (1963); Валла н д е р С. В., Н а г н и б е д а Е. А., Вестник ЛГУ, № 12 (1963); Валлан- дер С. В., Егорова И. А., Р ы д а л е в с к а я М. А., сб. «Аэродинамика разреженного газа» ЛГУ, 2, 1965; Коган М. Н„ Журнал прикл. механики и техн, физики, № 1 (1965).

В монографиях Чепмена и Каулинга и Гиршфельдера, Кертиса и Берда приведены ‘результаты ранних работ, в которых наличие внутренних степеней свободы учитывается путем замены молекул шероховатыми сферами, овалоидами и т. п.

Ниже мы следуем цитированной только что работе М. Н. Когана.

ренней энергией, го массы всех молекул одинаковы. Поэтому опре деления (9.2)—(9.11) предыдущего параграфа примут вид:

(10.2)(10.2),^ = J/v<

(10.2)

(10.2)

— число частиц в единице объема, находящихся в v-м состоянии,

р = т S rV = тп ■(ю.з)

плотность газа,

(10Л)

скорость v-й компоненты газа,

M = A"V„vMv(10.5)

V — средняя скорость газа,

Tv=„v_B=J_ J Д(^-й)<=± J ^д^т (10 6)

— скорость диффузии компоненты в v-м состоянии,

(10.7)(10.7)

(10.7)

(10.7)

поступательная температура газа, являющаяся мерой энергии поступательных степеней свободы,

V

тензор напряжений и

V

вектор потока тепла.

Кроме этих величин необходимо еще ввести среднюю внутреннюю энергию молекул:

e=l2>V£V-<10-10)

Уравнения сохранения в рассматриваемом случае отличаются от уравнений (9.19), (9.20) лишь тем, что в уравнение энергии вместо средней энергии поступательного движения молекул sl<2,hT нужно

12 М. Н. Коган

подставить полную среднюю энергию ^feT-ф-е; имеем:

(10.11) dt 1 дхг'

/ д , d \1 dPir, „ .

\"dt + Ur дхJ Ul ~пт дхТ ’(10.12)

И(10.13)

\ dt 1 г дхг / \ 21 / дхт ,r дхг v '

Внешние силы не учитываются. Сумма

Уравнения (9.18) в рассматриваемом случае не имеют места, так как при столкновениях молекулы переходят из одного состояния в другое, так что число молекул в v-состоянии при столкновениях с молекулами всех других «сортов», т. е. с молекулами в других состояниях, не сохраняется. Общее же число молекул всех сортов не меняется.

Чтобы замкнуть систему уравнений (10.11) — (10.13), необходимо выразить Р^, qt и е через гидродинамические величины п, иг и Т. Однако внутренняя энергия в общем случае не является функцией одной температуры, а, согласно (10.10), зависит от распределения частиц по состояниям. Поэтому необходимы еще уравнения для определения функций пР. Каждое v-состояние молекулы может быть охарактеризовано одним или несколькими квантовыми числами vb v2, v3 и т. д., характеризующими соответственно состояния вращательных уровней энергии, колебательных уровней энергии и т. д.

Вероятности переходов при столкновениях молекул различных уровней энергии могут иметь различный порядок. Для характеристики скоростей перехода различных видов энергии сечения столкновения запишем в виде

VU ц тц ’

где о* — величины порядка единицы, а сг—параметр, характеризующий порядок вероятности перехода, пропорциональный отношению времени релаксации для данного вида переходов 0( к характерному времени течения 0. Пусть 0, ^ 62 <( 93 ^ . . . Обычно наибольшей вероятностью обладают переходы поступательной энергии от частицы к частице без изменения внутренней энергии. Поэтому будем полагать, что 9j относится к этому виду переходов и равно по порядку величины времени между столкновениями. Далее при не очень высоких температурах следуют вероятности обмена поступательной и вра- щятельной энергией молекул.

По мере увеличения температуры вероятность возбуждения вращений молекул падает, и при температурах порядка 25— 30- 103 °К вероятность вращательных переходов становится одного порядка с вероятностями возбуждения колебаний. Для возбуждения вращений необходимо лишь несколько столкновений. Для возбуждения колебаний при малых температурах нужно несколько тысяч и даже десятков тысяч столкновений. Наряду с обменом поступательной и колебательной энергией между молекулами иногда существенную роль играют так называемые резонансные переходы, при которых молекулы обмениваются между собой колебательными квантами, не изменяя суммарной поступательной энергии сталкивающихся молекул. Возможны случаи «зацепления» нескольких процессов, когда с близкой вероятностью происходят различные типы переходов. Ниже предполагается, что переходы можно разбить на группы так, что можно записать неравенства

<02<<02<7г-17г-1

<02<

<02<

7г-1

7г-1

где О — характерное время задачи.

Разобьем интегралы столкновений в уравнениях (10.1) на группы, соответствующие различным характерным временам релаксации. В безразмерных переменных можем записать

^ ==^_S0) + V^2)+(£г = "1")’(Ю.14)

где под суммами S^, S^2) и т. д. объединены интегралы столкновений с коэффициентами et одного порядка !).

Проинтегрируем уравнения (10.14), введя новую переменную

1 = ^/^ (см. конец § 3.8):

/v(M -МГ^Р ^)—/v(^,|V) =

= j ^d-x j ^d-x Д . ... (10.15) о0

где т = О (1).

*) Если 06[ < 9Й2 < 06д < ..., то при А2-переходах могут иметь место также ^-переходы, при &3-переходах Яр и й2-переходы и т. д. Но при &,- переходах уровни энергии, соответствующие &2, А3 и т. д., не меняются. Пусть, например, 02 — характерное время возбуждения вращений, а 03 ^> ^> 02 — характерное время возбуждения колебаний. Тогда очевидно, что при столкно'вениях, приводящих к изменению колебательных уровней молекул (0з-переходы), могут меняться и вращательные уровни (02-переходы). Но в сумму с коэффициентом ej 1 объединены лишь столкновения с изменением вращательных уровней.

Вывод уравнений Эйлера. Предположим, что в первом приближении изменением функции распределения за время между столкновениями или на длине порядка длины пробега можно пренебречь (см. § 3.8).

Пусть, например, ^ <^(е2~ 1 <^ 63 ■). Если ег~1, то характерное время Z-ro типа переходов порядка характерного времени течения. Тогда третьим типом переходов можно пренебречь, т. е. считать, что т3-состояния заморожены. Суммируя уравнения (10.1) по всем м3-состояыиям, принадлежащим к одному и тому же состоянию v2, получим систему уравнений того же вида для функций распределения по поступательным скоростям / молекул в различных у2-состояниях2).■

Из уравнения (10.15), пренебрегая величинами порядка ер в этом случае получим, что в первом приближении 2ц=0 и, следовательно,

А£хр( "2кТ С ) ’(10.16)

е. поступательные степени свободы каждого из v-газов находятся в равновесии при одной и той же температуре Т. Диффузия v-kom- понент в этом случае отсутствует, т. е. и? = и . Подставляя в определения (10.8) и (10.9) для тензора напряжений и вектора потока тепла функцию распределения в виде (10.16), получим:

Pij^bijP и —0.

Тогда уравнения сохранения (10.11) — (10.13) примут вид:

^. + ^ = 0,(10.17)

di 14 J

р = »кТ,(10.18)

(4+“^)(4sr+')=-ьт^-<№Л9>

Это—система уравненийЭйлера для газасучетом внутренних сте

пеней свободы молекул. Однако эта система уравнений не замкнута,

■) Этот случай рассмотрен в цитированной выше работе С. В. Валлан- дера и Е. А. Нагнибеда.

2) Удобно ввести обозначения f f- Щг2&зЩз

V - V2V3’ v|TV ~ ЦЬЦа'Ж

Предполагается, что х2-переходы не зависят от т3-состояний, т. е. что

ЦТ MMzVj Ц2Т2

независимо от ц3 и v8. Так как ниже мы интересуемся лишь т2-состояннями, то вместо v2 будем писать т.

так как кроме пяти гидродинамических величин п, иг и 7' (давление р связано с п и Т уравнением состояния p = knT) входит еще внутренняя энергия молекул, для определения которой необходимо знать распределение частиц по v-уровиям энергии, т. е. все ravl). Для нахождения последних проинтегрируем уравнения (10,1) по ^v. Интеграл от 2(1), очевидно, равен нулю, так как в эту сумму входят лишь интегралы столкновений, учитывающие обмен поступательной энергией, при котором состояние молекул не меняется. Подставляя вместо /v равновесную функцию распределения (10.16), получим следующие полумакроскопические уравнения для числа частиц, находящихся в данном v-состоянии (индекс 2 при v, р, к и I опущен):

п^Ч^ (10.20)

к, I где

—осрсдпснная по скоростям вероятность перехода соответственно V- и р-молекул в состояния к и I.

Коэффициенты а зависят лишь от поступательной температуры Т. Следовательно, равновесность газа по поступательным скоростям позволяет для нахождения rev обойтись менее детальными сведениями о вероятностях перехода. Так как с2—1 по предположению, то числа заполнения уровней п41 меняются в течении на свой основной порядок. Поэтому в общем случае систему уравнений (10.17) — (10.19) необходимо решать совместно с уравнениями (10.20), т. е. в общем случае нельзя выписать одно дополнительное уравнение для внутренней энергии е.

Для упрощения системы уравнений (10.20) или сведения ее к одному уравнению для внутренней энергии необходимо сделать дополнительные предположения о вероятностях перехода а^.

Рассмотрим, например, газ, вероятности перехода в котором обладают следующими свойствами ). Наибольшей вероятностью обладают переходы с изменением квантового числа на единицу, т. е. переходы вида дт+Т ц = дч+1. Вероятность дезактивации, в соответ-

*) nV2— это число молекул, находящихся в т2-состоянии при всевозможных состояниях v3. Так как т3-состояния заморожены, то число молекул, находящихся в том или ином vs-состоянии, определяется начальными и граничными условиями.

ствии с принципом детального равновесия, в е^Л'/лг раз больше вероятности возбуждения уровня, т, е, «у-^йу mew,

VV-l’

где

AEV = EA’ — Е^1.

Предположим, кроме того, что

ov-1 = V«?v1

и что уровни энергии расположены, как у гармонического осциллятора, т. е.

Ev = vft®,

где го — частота. Пренебрегая переходами с изменением квантового числа на два и более, получим

дгЕ । дгЕиг

Qt ' дхт

[V/ZvTV j jГЪ CL\в 11*

Суммируя в правой части пори учитывая, что '^п"‘ = п, найдем

®п UL = п.сй\»п',"1е"к®1кт — vrav 4-

dt 1 дхг 111

+ (v+ l)^^1 —(v4- l)^-^'^. (10.21)

Умножая каждое из уравнений (10.21) на E''’ = vh® и суммируя по v, получим

d + “^)е = па" 1 ^^ ^<0> ^ - еЬ °-22) где

^(T) = h^ehalbT 1)'1

— равновесная энергия системы осцилляторов при температуре Т, Это — так называемое релаксационное уравнение, которое чаще всего записывают в виде

/ д . д \I "37г ^г "75 ^\ dt 1 т дхг // д . д \I "37г ^г "75 ^\ dt 1 т дхг /8f0) (Z) — 8т (я, 7)8f0) (Z) — 8т (я, 7)(10.22а)(10.22а)

/ д . д \

I "37г ^г "75 ^

\ dt 1 т дхг /

/ д . д \

I "37г ^г "75 ^

\ dt 1 т дхг /

8f0) (Z) — 8т (я, 7)

8f0) (Z) — 8т (я, 7)

(10.22а)

(10.22а)

где т(й, Т) — время релаксации.

Таким образом, уравнения Эйлера (10.17) — (10.19) замыкаются релаксационным уравнением вида (10.22а) лишь при весьма специальных предположениях о вероятностях перехода.

На практике чаще всего пользуются именно такими релаксационными уравнениями для внутренней энергии. Однако из сказанного выше ясно, что при произвольных вероятностях перехода они являются приближенными.

Рассмотрим теперь газ с тремя видами переходов fj ^ е2 ^ ^63—1. В этом случае из уравнений (10.15) в первом приближении следует, что Зщ + Е^^0- откУДа

гдегдеV2V2(10.23)(10.23)

где

где

V2

V2

(10.23)

(10.23)

Входящие сюда макроскопические функции должны удовлетворять уравнениям Эйлера (10.17)—-(10.19), в которых внутренняя энергия равна

т.

Поступательные степени свободы и ^-уровни находятся в равновесии; релаксируют Vg-состояния. у2-состояния могут соответствовать, например, вращательным уровням энергии, а у3-состояния — колебательным. Очевидно, что все рассуждения останутся в силе, если будет несколько типов переходов с 6;<^€3.

Для определения числа частиц nvi для v3-rasa, т. е. газа, молекулы которого находятся в у3-состоянии и в произвольных состояниях v2, проинтегрируем уравнения (10.1) по §v и сложим уравнения, относящиеся к данному у3-состоянию. Так как суммы 2(р и 5(2) не включают переходов Vg-энергии в другие виды энергии, то при суммировании они тождественно пропадают. Тогда

— а^Ч^е -^ +e^W\ ( ю.24) где учтено, что

= nx’»8"EV2hT ^ е-Е^гу1 (

так как каждый из м3-газов имеет равновесное распределение, по v2-ypoBHHM энергии,'

Суммируя в правой части по v2, придем к уравнениям типа (10.20), в которых индексы v, р, к и I заменены соответственно на у3, р3, k3 и Z3 и где

— /V p-e^IhA V ак2и3У3 ехр ((Ю 24а)

\ V2/УоЦ'2^2^2

Дальнейшее упрощение этой системы уравнений или сведение ее к одному уравнению для внутренней энергии возможно лишь при наличии дополнительных предположений о вероятностях перехода Д3^

Если е2-переходы включают резонансные переходы у3-энергети- ческих уровней и б2<СДз’ т0 Для внутренней энергии можно получить одно дополнительное уравнение при любых предположениях о вероятностях перехода у3-энергии в поступательную. Действительно, в этом случае у3-уровни имеют равновесное распределение и

/№) = п/№) = п3/2 -^Cv2 -E^hT g-E4^T, . е ги ———.—, (10.25)

/№) = п

/№) = п

У -E^InT XI .-Е^кТ, V 7

Vs

где Т3— температура, характеризующая среднюю м3-энергию, в общем случае не равная Т. Температура Т3 является единственной дополнительной неизвестной. Среднюю внутреннюю энергию е можно представить в виде

е = е2 + е3 = 1 2 № +1 2(10126)

v2v3

Умножая уравнения (10.24) соответственно на EVs и суммируя, слева получим

д 2 «Va£v’

dt дхг I тда дхг \ да г дхг) 3‘

\ Vs/

Подставляя в правую часть (10.24)

л-е^«/ат, е ‘ 3

V, получим, что она зависит лишь от Т, п и Д: "(т+'-Д)«з=2£" S(10.27)

Vs И, к, I

Таким образом, получается уравнение для единственной дополнительной неизвестной Д.

Если вероятности нерезонансных переходов таковы, что для внутренней энергии получается отдельное уравнение, то наличие резо-

нансных переходов, очевидно, не изменит этого уравнения, так как при резонансных переходах внутренняя энергия не меняется. В частности, если для резонансных переходов е2~ 1, а все остальные вероятности переходов внутренней энергии много меньше, то

<10.28>

При приближенных расчетах обычно . для внутренней энергии пользуются релаксационным, уравнением типа (10.22а) с эмпирическими или полуэмпирическими зависимостями времени релаксации от п и 7'. Поэтому в таких расчетах резонансные переходы не фигурируют.

Вывод уравнений Навье — Стокса. Перейдем теперь к построению уравнений Навье — Стокса для газа с внутренними степенями свободы. В этом случае уже нельзя пренебречь изменением функции распределения на длине порядка длины пробега или за время порядка времени между столкновениями. В то же время изменения будем считать малыми, так что функцию распределения можно представить в виде (см. конец § 8)

+-Н-^, Ю = /(^ х, §)+<^1Т.(10.29)

Рассмотрим прежде всего случай, когда все ег<^1!)' Тогда согласно (10.15) в первом приближении

2|^)=°-(10'3°)

i

Решением этого уравнения является, очевидно, функция распределения, соответствующая равновесию между поступательной и внутренней энергией:

V

Легко видеть, что в этом приближении средняя внутренняя энергия равна

(10.32)

и гидродинамические величины удовлетворяют уравнениям Эйлера (10.17) — (10.19), в которых нужно подставить е = е°(7') согласно (10.32).

*) Именно этот случай рассматривается в подавляющем большинстве работ, посвященных выводу уравнений Навье — Стокса с учетом внутренних степеней свободы молекул. '"

^ = ~Ас.^ = ~Ас.д In Тдхгд In ТдхгГ с.Г с.дщ дхгдщ дхг

^ = ~Ас.

^ = ~Ас.

д In Тдхг

д In Тдхг

Г с.

Г с.

дщ дхг

дщ дхг

Наличие резонансных переходов, очевидно, в этом, случае не изменяет функции распределения.

При учете изменения функции распределения за время или на длине порядка с, функция распределения должна мало отличаться от равновесной функции (10.31):

/^•W+^v)-(1°'^

Подставляя (10.33) в (10.15) и отбрасывая члены порядка ej, по аналогии с (8.60) получим

где

Vf- = J W № + Ф/ - % - Фр) d^ dr.

Подставляя в левую часть уравнения (10.34) равновесную функцию (10.31) и исключая частные производные по времени, с помощью уравнений Эйлера имеем

df^ Нт 5 ЕУ — е^ (Г)\ din Т

dt2 r kT ) г дхг

, m [1\ ди, . Г 1 ш 9

+w \Х - з1 -

I « rvz 3£v-6(°)(n\l d«r ]

(10.36)(10.36)Dv^r+a + p v_^дхг 1 I 1 г г 1 г

(10.36)

(10.36)

где Hv, Sv и Dv — функции cv, Т и Ev.

Для определения произвольных функций а, рг и у потребуем, чтобы

SfA< = SfA0)

VV

dr = n

или 2 J" f^K dV = °'

(10.37)

VvV

(10.38)

у f 4- еА < = У f—Н И /® dV =

(10.39)(10.39)= пЦкТ4-е№ (Г)] или

(10.39)

(10.39)

S

r /\ Ziv

Важно отметить, что при этих условиях входящая сюда температура Т уже не является мерой средней энергии поступательного движения молекул, определяемой формулой (10.7). Из условий (10.37) — (10.39) следует, что а, р, и у можно представить в виде

а —а*а —а*диТ дхг ’диТ дхг ’р = р*1 г 1 дхгр = р*1 г 1 дхг* ди,v = v ^7* ди,v = v ^7

а —а*

а —а*

диТ дхг ’

диТ дхг ’

р = р*

1 г 1 дхг

р = р*

1 г 1 дхг

* ди,

v = v ^7

* ди,

v = v ^7

Это позволяет включить а, р, и у в /Г и Dv, положив

Ах’*\с\ Т, E^ = — ^-VA4c\ Т, Е^,

Dvt (с\ Т, Ev) = Dv — a — у[^- + Е^.

Функции А4' и D^ подчинены условиям (10.37) — (10.39). Так как ниже фигурируют только эти новые функции, для упрощения записи будем писать их без звездочки.

Подставляя решения в виде (10.36) в интегральные уравнения (10.34) и приравнивая коэффициенты при д1пТ(дхг, dujdx,, диг)дхг, получим интегральные уравнения для определения А\ Bv и D\ для решения которых необходимо знать конкретный вид законов взаимодействия молекул и вероятности перехода о^Е Однако некоторые качественные выводы можно сделать, не решая уравнений.

Чтобы получить уравнения Навье. — Стокса, нужно входящие в уравнения сохранения (10.11) — (10.13) тензор напряжений Р^, вектор потока тепла qt и внутреннюю энергию в выразить через п, щ и Т и их производные с помощью полученного решения (10.36).

Из условия (10.39) следует, что входящая в уравнение энергии (10.13) комбинация ^ kT Ц-е может быть заменена на -| kT + е(0) (Г), где е^СГ) определено формулой (10.32).

Подставляя решение (10.36) в определения тензора напряжений и вектора потока тепла, получим: ■

„/ dui ди,-2 диь \ди<,

Р j = pi5ti — pUj_—£._ ._Л бх (10.40)

v\дх^1 дХ(,3 дхкн]дх^ П’1

.(10.41)

где

и=^Ер”Х’^ e-^Sj'dvvs-^

^1 = -^ S f А^ч <; ^ = ^ IE" J А^ d^.

Заметим, что входящая в (10.40) величина р равна пкТ, но не равна -^ фп +-Р22 +-^эз). Появление наряду со сдвиговой вязкостью р второй вязкости £ обусловлено наличием внутренних степеней свободы. Для газа из одноатомных молекул £=0. Коэффициенты р и X зависят от вероятностей перехода. Поэтому в общем случае р и X для многоатомного газа отличны от соответствующих коэффициентов одноатомного газа или того же газа, но с невозбужденными молекулами.

Если е^ — ctz <^ 1 при z ^> 2 и е1—>0, то коэффициенты вязкости и теплопроводности могут быть приближенно определены без знания уровней £v и эффективных сечений о. Действительно, запишем уравнения Больцмана в виде

я / vxiv

Clt «еекар)

Разложим функции Д в ряд

/v = /‘0) + eI(/10 + ci/11+

При определении коэффициентов переноса учтем член е^10, отбрасывая члены порядка е^/11 и выше. Для определения функций fw = /™<pv вместо (10.34) получаем уравнения

-гХ-Х^ /|,)=

где функции /^ являются решением уравнений

2m ^ Г) = о. '

Последние уравнения требуют лишь, чтобы функции f® были равновесными по скоростям при произвольных пб, и поэтому задача опре-

деления функций <pv свелась к задаче для смеси, рассмотренной в предыдущем параграфе. Левые части уравнений (10.34а) принимают вид (9.52), где для равновесной смеси молекул равной массы

дх.дх.п4 Ev — е° (7) d In 7 я кТ дхг "п4 Ev — е° (7) d In 7 я кТ дхг "

дх.

дх.

п4 Ev — е° (7) d In 7 я кТ дхг "

п4 Ev — е° (7) d In 7 я кТ дхг "

После подстановки этих выражений в (9.52) левые части уравнений (10.34а) принимают вид (10.35), в которых отсутствует член с даг)дхг. Из вида полученных таким образом уравнений следует (и это нужно было ожидать для смеси молекул, отличающихся только внутренней энергией), что с рассматриваемой точностью перенос импульса и поступательной энергии молекул должен быть тем же, что и для одноатомного газа (т. е. те же ц и ^ и £ = 0). Для определения Z2 заметим, что А можно представить в виде

Л^ЛДс, Т^А^с, Т^-^Т^

= const (Г)™х-= const (Г)™х-где Л, и Л2 не зависят от v. Используя условие (10.38) для Z2< имеем

= const (Г)™х-

= const (Г)™х-

cvl const (Г),

где Ср,—теплоемкость внутренних степеней свободы; Хг дает nonpar к Эйкена1) к теплопроводности одноатомного газа, учитывающую наличие внутренних степеней свободы молекул.

Рассмотрим теперь более общий случай, когда наряду с рассмотренными (£,<^1, г<^/г—1) имеется еще вид внутренней энергии с временем релаксации порядка характерного времени течения, т. е. £„^1, или, что то же, примем характерное время течения равным наибольшему из времен релаксации 0Л для газа, рассматриваемого в предыдущем случае. Для простоты будем считать, что имеется всего три характерных времени: fi^^*^^—1- Это не уменьшает общности, так как все £г =^ 1 или £„ можно включить в £2.

Как и в аналогичном случае, разобранном выше, каждое v-co- стояние характеризуется двумя квантовыми числами: v2 и v3. В первом приближении поступательные степени свободы и У2-состояния

находятся в равновесии, и функция До) дается формулой (10.23). Представляй в следующем приближении функцию распределения в виде (10.33), получим уравнение для ф^.

(4-^SK=v3)/v. -й+^Хеь 'й- й».^

Здесь 5^ (/v0)) — сумма интегралов столкновений в уравнении для Д, включающих только столкновения с переходами т3-энергии, в которые вместо Д подставлены функции /№. Интегралы J(/, ф) имеют то же значение, что и в (10.34), с той лишь разницей, что теперь фу и фй относятся к одному и тому же у3-состоянию, а ф^ и ф; — к другому Vg-состоянию, так как суммы S^ и S^ не включают интегралов столкновений с переходами Vg-энергии в другие виды энергии. Отсюда следует, что <pv = a где а^ — любая константа, зависящая от v3 и макроскопических параметров потока, есть решение однородного уравнения. Поэтому в рассматриваемом случае имеется не пять собственных функций, как в предыдущем случае, a М^ + 4 функций ф.— aVs, |У, -^-т^2-)-^; ^—число v3-состояний. Макроскопические величины nv\ ur и Т в первом приближении удовлетворяют уравнениям Эйлера (10.17)— (10.20). В уравнениях (10.20) нужно индексы v, р, к и I заменить на v3, Нз> ^з и Z3. Подставляя функции f^ в виде (10.23) в левые части уравнений (10.42) и исключая частные производные по / с помощью уравнений Эйлера, получим

<1d.t<1d.t_ /0) j ( m 2JV Y\2kT^-|vv2)S+|_ /0) j ( m 2JV Y\2kT^-|vv2)S+|5£V2 — si5£V2 — si3 kT3 kTкТкТdin Гдхгdin ГдхгCv2_ 4Cv2_ 4Е?1 — е!Е?1 — е!кТкТd^ "di"d^ "di"да, d / n?^— _J_ gV — |д Idx, 1 T dx, \ nда, d / n?^— _J_ gV — |д Idx, 1 T dx, \ n

<1

d.t

<1

d.t

_ /0) j ( m 2

JV Y\2kT

^-|vv2)S+|

_ /0) j ( m 2

JV Y\2kT

^-|vv2)S+|

5£V2 — si

5£V2 — si

3 kT

3 kT

кТ

кТ

din Гдхг

din Гдхг

Cv2_ 4

Cv2_ 4

Е?1 — е!

Е?1 — е!

кТ

кТ

d^ "di"

d^ "di"

да, d / n?^

— _J_ gV — |д I

dx, 1 T dx, \ n

да, d / n?^

— _J_ gV — |д I

dx, 1 T dx, \ n

Е41 — е!Е41 — е!кТкТ

Е41 — е!

Е41 — е!

кТ

кТ

— Sv= (д) — (— Cv2 — - n^ (3) \2kT 2

-^№- <10-43)

Здесь для сокращения записи символом ^(о) обозначена правая часть уравнения (10.20) для п?».

Такой вид девой части позволяет искать .решение в следующей форме;

.v д In Т v r>v / v v 1 «v2\ ди? .~у ди» .

=ycrCt-^^c+

2^7H~hH + G +%з + РА + ^ -^~ + ^ . (10.44)

Функции А, В, D, F и О зависят от Т, уровней энергии, состава смеси у3-газов, т. е. от всех rav=, и скоростей молекул cv. Величины же ctVi, рг и у от cv не зависят. Решение подчиним условиям, определяющим ctVi, рг и у--

2/ Д,<=2 /Щ^^^’ или 2 J №< = °« (Ю.45)

V2V2v2

2Д7Ж™2ПХ"'1Г "" №«Л’=1 (10.46) VVV

2 J (-^—^e j ^ ^v=S J ^ +£ j ^d^=

Эти условия, как и условия (10.37) — (10.39), вводят температуру Т, не равную средней энергии поступательного движения молекул, определяемую формулой (10.7).

Условия (10.45) и (10.47) показывают, что av и у могут быть включены в D1 и Gv, а условие (10.46) позволяет включить рг в Hv и F^,s.

При условиях (10.45)-—(10.47) уравнения сохранения (10.11) — (10.13) не изменяют своего вида. Входящая в (10.13) внутренняя энергия определена условием (10.47а). Изменятся лишь выражения для Р^ и ^;. По сравнению с предыдущим случаем в выражение для потока тепла войдет член, зависящий от диффузии компонент у3-газа, пропорциональный дгР^дх,. Кроме того, коэффициенты вязкости р, и £ и теплопроводности Д и %2 в общем случае будут отличны от рассмотренных выше даже для того же газа, но при меньшем характерном размере явления.

Так как в общем случае Gv =^0, то в диагональные составляющие тензора напряжений войдут члены, содержащие Gv и не зави-

ние равнымние равнымсящие от градиентов скоростей. Эги члены можно присоединить либо к членам с объемной вязкостью, либо к давлению, положив давле

ние равным

ние равным

р = fenT^.1^ j mc^Gvf№ d^.

Эго дополнительное давление назовем релаксационным давлением , так как оно имеет место лишь тогда, когда время релаксации одной из внутренних степеней свободы порядка характерного времени течения (в пашем случае 93~0 или ё3—1). Дополнительное давление отсутствует как тогда, когда указанная внутренняя степень свободы находится в равновесии (т. е. с3<^1), так и тогда, когда она заморожена (т. е. е3^>1). Более того, релаксационное давление равно нулю и в том случае, когда имеется лишь одна релаксирующая степень свободы (т. е. в нашем случае, если Е^ — оУ так как в этом случае Dv=0 и вместо (10.476) мы бы имели условие

и, следовательно, релаксационное давление пропадает1).

В уравнениях движения члены, содержащие релаксационное давление, имеют тот же порядок, что И члены, содержащие сдвиговую и объемную вязкости. Релаксационное давление может проявляться, например, когда вращательные степени свободы находятся в равновесии, а релаксируют колебательные степени свободы.

Система уравнений (10.11) — (10.13) незамкнута, так как кроме переменных п, ut и Т в них входит еще N^ неизвестных п^». Для построения уравнений для rav» проинтегрируем уравнения (10.14) по |v и просуммируем полученные уравнения по всем состояниям v2, принадлежащим к одному у3-состоянию; имеем

V2V2V2V2(10.48)(10.48)

V2V2

V2V2

(10.48)

(10.48)

Суммы S'1' и S*2") исчезают, так как в результате обмена трансляционной и т^-энергией число молекул, находящихся в данном у3-состоянии, не меняется.

■) По-видимому, впервые на релаксационное давление обращено внимание в работе Л. И. Мандельштама и М. А. Леонтовича (ЖЭТФ 7, № 3 (1937)). Однако примененный в этой работе феноменологический подход не позволяет делать выводов о величине этого давления или даже отличить те случаи, когда оно фактически равно пулю. Эти сведения могут быть получены только из кинетической теории (см. цитированную выше работу М. Н. Когана).

Преобразуем стоящую в левой части уравнения сумму:

V2

Подставляя сюда (pv согласно (10.44), найдем

У га^^Х-'5 4-Zv,-^4-y 44V3^f—4(10.49)

Aoi r г 1 дхг 1 Ad дхг \ п ) v '

v2Vg

где Z?’3 и М^' зависят от Т, уровней энергии и локального состава смеси у3-газов.

Правую часть уравнения (10.48) можно записать в виде

S j км - w Укв <^l < <=

= 2 Лдт’+л+^-лчт+т.+ч.^^^ у..^ d^ d^d^1^ рТг^РТЛ3;^) Л£Е!+£,‘>Дг.-

- л-(»“ + с 4g) «О'«м/.г].

Здесь при интегрировании учтено, что вероятности перехода не могут зависеть от ориентации и являются функциями относительной скорости сталкивающихся молекул. Коэффициенты б^1 отличны от соответствующих коэффициентов л^ в уравнении (10.24), так как в них включен вклад Gv.

Суммируя в последнем выражении по у2, окончательно получим

dn^ , durnV3dt ' дхгdn^ , durnV3dt ' дхгддТ у ^v, д (nv>)

dn^ , durnV3dt ' дхг

dn^ , durnV3dt ' дхг

дхгдхг 'дхг \ п /

LVs

(10.50)(10.50)[Л^<+<^)-

(10.50)

(10.50)

П n ^van3 + «V3H3 J] ’

где bu^i” и d,^ связаны с Ь"и и dlS соотношениями вида (10.24a). Эти уравнения замыкают систему (10.11) — (10.13) с указанными выше значениями е, qt и Р^.

Дальнейшие упрощения системы (10,50) возможны лишь при специальных предположениях о вероятностях перехода.

13 М. Н. Коган

Если к <2-переходам относятся также резонансные переходы v3-co- стояний, то функцию распределения /№ можно записать в виде (10.25). В сумму 2^ в уравнении (10.42) в этом случае включены резонансные переходы. Левую часть уравнения можно записать в виде

cltcltf / m5— f(0) 1 rv2 (\2й7С21 tn+ "3 kT “ 1 ~ ‘^v=_e№> д?зf / m5— f(0) 1 rv2 (\2й7С21 tn+ "3 kT “ 1 ~ ‘^v=_e№> д?зFF — ^\ din ТFF — ^\ din ТкТкТ32 А +5V= —32 А +5V= —/ дх,~dF)E™ d Ti/ дх,~dF)E™ d Timm/-V I„V/.VA „v2 г Г hT\ibr 3 it0 ,/-V I„V/.VA „v2 г Г hT\ibr 3 it0 ,3 Ev" — в!3 Ev" — в!^3^3дх,дх,2кТ2кТ22кТкТда,дГг +да,дГг +1mГ \2kTL1mГ \2kTL3"23"2L й^ rfE30)С^-А/Зdt.^kT / (2^TL й^ rfE30)С^-А/Зdt.^kT / (2^T(10.51)(10.51)

clt

clt

f / m5

— f(0) 1 rv2 (\2й7С2

1 tn

+ "3 kT “ 1 ~ ‘

^v=_e№> д?з

f / m5

— f(0) 1 rv2 (\2й7С2

1 tn

+ "3 kT “ 1 ~ ‘

^v=_e№> д?з

FF — ^\ din Т

FF — ^\ din Т

кТ

кТ

3

2 А +

5V= —

3

2 А +

5V= —

/ дх,

~dF)

E™ d Ti

/ дх,

~dF)

E™ d Ti

m

m

/-V I„V/.VA „v2 г Г hT\ibr 3 it0 ,

/-V I„V/.VA „v2 г Г hT\ibr 3 it0 ,

3 Ev" — в!

3 Ev" — в!

^3

^3

дх,

дх,

2кТ

2кТ

2

2

кТ

кТ

да,

дГг +

да,

дГг +

1m

Г \2kTL

1m

Г \2kTL

3

"2

3

"2

L й^ rfE30)

С^-А/Зdt.^

kT / (2^T

L й^ rfE30)

С^-А/Зdt.^

kT / (2^T

(10.51)

(10.51)

Здесь под 2^Va2 \a) подразумевается правая часть уравнения (10.27).

Это выражение является функцией Т3.'

Из сравнения выражений (10.51) и (10.43) видно, что решение уравнения (10.42) с упомянутыми выше изменениями в рассматриваемом случае должно отличаться от решения (10.44) лишь наличием члена с дТ3/дхг и отсутствием члена, пропорционального дп^дх.

Число произвольных постоянных в данном случае уменьшается, так как функция <pv = av при произвольном av не является решением однородного уравнения, включающего резонансные переходы. Решением в этом случае будет cpv = оЕ43, так как при резонансных и других Cj- и е2-переходах у3-энергия сталкивающихся молекул сохраняется. Поэтому общее решение однородного уравнения имеет вид

/ v2 х

Vv = «4-^c^4-'YoEv‘.(10.52)

Наличие шести произвольных постоянных позволяет наложить на cpv шесть условий так, чтобы

га,га,(10.53)(10.54)(10.53)(10.54)

га,

га,

(10.53)

(10.54)

(10.53)

(10.54)

£ J (< + 4 ДДГ = £ / (<4 £-) Л” -

VV

_й[1АЕ + е(0)(Г)4-е(0)(^(10.55)

2^’2 J fX =^Е^ J ^d^=X^Tay(10.56)

V, v2v3 v2

где'

E(0) = У Е^^/^/у е-^.^т,у\

Vs\ Vs/

Здесь, как и выше, температура Т не является мерой средней энергии поступательного движения молекул.

При условиях (10.53)—(10.56) уравнения (10.11)—(10.13) остаются без изменения. В выражение для q,, как упоминалось выше, войдет член, пропорциональный дТ3[дхг. Выражение для PtJ по форме останется тем же, что и в предыдущем случае. Внутренняя энергия

е — ^кТ 4-8^°) 4- е?).

Величины коэффициентов переноса в общем случае имеют другие значения.

В уравнения (10.11) — (10.13) входят две температуры: Т и Т3, Интегрируя уравнения (10.14) по £v, умножая на Ev’ и складывая, получим (см. вывод уравнений (10.27) и (10.50))

п 4- иХ-\ = b-VdX, (10.57)

\ dt 1 г дхг) 35^г ( QXr । дхг /1 дхг v '

где b и d зависят от п, Т и Т3. Это уравнение замыкает систему (10.11)—(10.13).

Если имеются лишь у3-состояния '), так что в е2-переходы входят лишь резонансные переходы у3-энергии, то е№)(Е) = 0 и температура Т имеет обычный смысл меры поступательной энергии молекул, р = пкТ и объемная вязкость и релаксационное давление отсутствуют.

Важно отметить, что в общем случае для одного и того же газа коэффициенты переноса имеют различное значение в зависимости от отношения характерного времени течения к характерным временам релаксации, т. е. в зависимости от того, какое из е„=1. Коэффициенты вязкости, теплопроводности и т. д. газа в некоторой точке течения зависят не только от температуры и давления в этой точке, но и от характерного размера или времени течения.

Выше получен лишь структурный вид уравнений релаксирующего газа. Для нахождения конкретных значений коэффициентов перехода

необходимы знание вероятностей перехода и огромная работа по решению соответствующих интегральных уравнений для функций А, В, D и т. д. Решение этих интегральных уравнений усложняется тем, что их ядра являются функциями не только скоростей молекул с, но и дискретных уровней энергии Е^. Поэтому функции А, В и т. д. должны быть разложены не по полиномам Сонина от с2, а по более сложным функциям, содержащим уровни энергии').

Во многих практически важных случаях с достаточной точностью можно упростить эти интегральные уравнения. Поскольку вероятности обмена внутренней энергии обычно примерно на порядок меньше вероятностей обмена поступательной энергии, т. е. ^^^ при г=2, 3 то в интегральных уравнениях для А, В, D и

т. д. можно оставить лишь сумму 5(1), опустив все интегралы, содержащие вероятности перехода внутренней энергии (см. вывод поправки Эйкена па стр. 188). Получаемые при этом интегральные уравнения отличаются от интегральных уравнений одноатомного газа лишь неоднородной частью. Решение этих уравнений значительно проще. Функции А, В и т. д. могут быть представлены, как и в § 3.8, полиномами Сонина по с2. В этом приближении коэффициенты вязкости, теплопроводности и диффузии не зависят непосредственно от вероятностей перехода внутренних видов энергии, находящихся в равновесии. Для определения коэффициентов переноса необходимо знать лишь эффективные сечения для релаксирующей степени свободы. Неоднородные части уравнений будут по-прежнему различны в зависимости от того, какое из е„—-1, и, следовательно, коэффициенты переноса будут различны при описании процессов с различным характерным временем, происходящих в одном и том же газе.

Решение линеаризированного уравнения Больцмана

Рассмотрим линеаризированное уравнение Больцмана

/oi^' — Ф1'~Ф~ Ф1)5(^’ Д)^дЙе^ = Z.(ф), (11.1) / = /0(i +ф)-

Как показано в § 2.8, интегральный оператор /.(ср) является оператором фредгольмовского типа с симметричным ядром. Естественный путь решения этого уравнения состоит в разложении решения по собственным функциям интегрального оператора. Собственные

функции этого оператора являются решениями уравнения

%Ф=А(ф).(11.2)

Легко указать несколько общих свойств интегрального уравнения (11.2).

Собственные функции ортогональны с весом /0. Рассмотрим интеграл

Z<Py = У/0ФуЧф/)^ =

= | МОТЧ>5 ^ + Ф'п — Фг — Фл)в ^' *) ^ de d^ d%. где фг и фу — собственные функции, соответствующие собственным числам Xt и Хр

Рассуждениями, аналогичными проведенным в § 2.4, легко показать, что

S = - т f Vo! (ф! + ф!1 - Ф,- - Фп) (фу + фр — фу - фр) X

XB^g, ^ d^ de d^ d^,. Следовательно,

^t J /оФ;Фу dl = J L^ f^dl^. J L (фу) /офг dl = X} J /0ФАМ1. откуда при Xt =^ Xj сразу следует ортогональность собственных функций.

Собственному числу Х = 0 соответствует пять собственных функций — сумматорных инвариантов. Это утверждение очевидно.

Собственные числа отрицательны. Умножим уравнение (11.2) на /оф и проинтегрируем по £. Тогда согласно полученному только что соотношению имеем

X J ср2^=: J фЛ(ф)/о d^ =

= — I У /о/о1(ф; + ф' —ф, —ф)2£(§", ^Wdedc^.

Более полно свойства интегрального оператора исследованы лишь для максвелловских и твердых сферических молекул!). Молекулы,

*) По-видимому, теория собственных функций для линеаризированного уравнения Больцмана создана в работах Ван Чанга и Уленбека (1952) и Мотт-Смита (1954). Однако эти оригинальные работы не были доступны автору. Изложение некоторых результатов этих работ можно найти, например, в работах: Уленбек Дж., Форд Дж., Лекции но статистической механике, «Мир», 1965; Waldman L, Handbuch der Physik 12, 1958; Sirowich L, Physics of Fluids 6, № 1 (1963) (русский перевод в сб. «Некоторые вопросы кинетической теории газов», «Мир», 1965); О г о s s Е. Р., Jackson Е. A., Phys, of Fluids 2, № 4 (1959) (русский перевод в сб. «Механика», № 5, 1960).

потенциал взаимодействия которых спадает быстрее, чем у максвелловских молекул (s > 5), будем называть «жесткими», а молекулы с более медленным спаданием потенциала «мягкими». Для псевдомакс- велловских молекул линейный оператор имеет дискретный полный спектр собственных значений. Для молекул с конечным радиусом взаимодействия, немного более жестких и немного более мягких, чем максвелловские, оператор L обладает непрерывным спектром собственных значений1).

Действительно, для молекул с конечным радиусом взаимодействия оператор L (ср) можно переписать в виде (см. § 2.7)

Л(ф)^-фЛ© + /1®.

Очевидно, что уравнение

ФЛ®=^2ф

имеет в общем случае непрерывный спектр собственных значений

^2 —Л ® ■

Если даже уравнение

Л (ф) = М

имеет дискретный спектр, то полный оператор L (ф) обладает непрерывным спектром собственных чисел 7=71Д-72:

Z. (ф) = — ф/2 Ч- Jv = 72ф7^ = 7ф.

Для псевдомаксвелловских молекул (см. формулу (2.13) § 2.2) оператор

J2 (g) = const — An

не зависит от g. В этом случае, если оператор ^ имеет дискретный спектр, то дискретным спектром обладает и полный оператор.

Для жестких молекул спектр простирается от некоторого конечного значения v0 до бесконечности, а для мягких — от v0 до нуля. Последний факт существен для доказательства асимптотической сходимости общего решения уравнения Больцмана к гильбертовому нормальному решению (см. § 3.7). Именно благодаря тому, что для мягких молекул собственные значения доходят до нуля, оказывается невозможным показать, что при t—>со общее решение уравнения Больцмана стремится к решению, соответствующему собственному значению 7 — 0 (к нормальному решению).

*) Grad Н., Rarefied Gas Dynamics, Third Symposium, Academic Press, 1963 (русский перевод в сб. «Некоторые вопросы кинетической теории газов»' «Мир», 1965). " ’

Для молекул с бесконечным радиусом взаимодействия спектр собственных значений исследован лишь для максвелловских молекул, для которых спектр является дискретным и полным. О характере спектра собственных значений для молекул с другими законами взаимодействия можно судить лишь по упомянутым результатам для соответствующих молекул с конечным радиусом взаимодействия.

Собственные значения и собственные функции могут быть найдены, например, следующим образом).

Введем обозначения § 3.3:

[ф]=ф/ + Ф^ — ф — Фг

В этих обозначениях уравнение (11.2) принимает вид

Хф — п0 J «(fj) [ф] gb db de dv^(11.3)

Умножим обе части уравнения на «((■v)^^,,. aN и проинтегрируем по у; имеем .

aN = nQ J (£>(■»)(£>(■»!) [ф] gb db de do dOp (И.4) где

0^,..^ = J to^epH^.., aNdo = -^- j MftiyL aN d^,. (11.5)

Это определение коэффициентов а5№ разложения функции ф и© полиномам Эрмита, очевидно, совпадает с определением (3.10). Представим ф в виде ряда по полиномам Эрмита подобно ряду (3.11):

т— V 1 „("О mWi'll

Если этот ряд подставить в интеграл, стоящий в правой части уравнения (11.4), то интеграл также будет в общем случае предл ставлен в виде бесконечного ряда по aw с известными для данного закона взаимодействия молекул коэффициентами. Таким образом, получается бесконечная система совместных уравнений для определения о(лг\

Как показано в § 3.3, для максвелловских молекул представляющий интеграл ряд содержит лишь конечное число членов, содержащих

200ОБЩИЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ БОЛЬЦМАНА[ГЛ. 111

коэффициенты aw при m. = N; в этом случае имеем

. 13^,(U.7)

где

B^-cVi ₽w= J <0 <т0 m C^'i) ^ар.<zvV [77ц^^ PJ gbdbde.dD dDv

Зная значения B'xN), получаем системы однородных уравнений для определения компонент aW) каждого из тензоров порядка N отдельно. Каждая такая система определяет свои собственные значения X. Каждому такому собственному значению соответствуют определенные значения а^Х дающие решения системы (11.7), подстановка которых в (Н.6) дает соответствующую собственную функцию. Следовательно, собственные функции можно разбить на группы, в каждой из которых собственные функции выражаются только через полиномы Эрмита порядка N.-

В приложениях чаще пользуются не декартовыми координатами в скоростном пространстве, а полярными. В соответствии с этим собственные функции выражаются не через полиномы Эрмита, а через полиномы Сонина).

В полярных координатах собственные функции (prZm уравнения

(*PrZm) ^rlrrSrlm

для максвелловских молекул имеют вид)

(■^jl'/V (cos 9) exp(imx),

(И.8)

где Sr t—полиномы Сонина, Р™ — полиномы Лежандра и 0 и % — 1

полярный и азимутальный углы сферических координат в пространстве скоростей.

В дальнейшем будут рассмотрены лишь одномерные задачи для линеаризированного уравнения Больцмана. Выберем полярную ось сферических координат в пространстве скоростей параллельной единственной существенной пространственной координате, скажем хР Так как функция распределения в одномерном случае симметрична относительно полярной оси, то зависимость от угла х нас интересовать не будет.

В этом случае уравнение Больцмана для максвелловских молекул принимает вид

(^ + ^1^-)ф= I /oi№5W^&^,.(11.9)

Для дальнейшего удобно перейти к безразмерным переменным:

( = С "ч=^Уж' 4-Y^.b-vb. |

/ т \ 3/2[

/О1 = »о(^) й^).I

Здесь т — некоторое характерное время. Оставляя за безразмерными переменными те же обозначения, что и для размерных величин, перепишем уравнение (11.9) в виде

(-^" + li 1^)ф = j ® [ф] В (^) dO-de d|( = £. (ф). (11;11)

Собственные функции оператора А(ф) равны)

*rz =(iH^osO)^. (11.12)

где cos0 = ^]/^. Собственные функции ортогональны с весом и:

|<офггфгТ d| = drr,6„,.(11.13)

Соответствующие собственные значения равны

Г Г/ ft/ а л /ft\2r+^

^гг = 2л J 5 W Цсоз 4jJ P^cos-^j + ^siny ] X

(11.14)(11.15)(11.14)(11.15)X?i (s’n х) — ^ +6r06z0)j d^.

(11.14)

(11.15)

(11.14)

(11.15)

Из (11.14) следует, что

У-t У о и Уо = У-1,1-

Значения Хг([Хт для максвелловских молекул приведены в таблице 3 ).

Собственные значения возрастают (по абсолютной величине) при увеличении г-\~1. Очевидно, что собственное число Л = 0 должно быть в общем случае пятикратно, а в одномерном случае трехкратно

Таблица 3

г

0

1

2

3

4

5

6

0

0

0

1

1,5

1,8731

2,1828

2,4532

1

0

0,6667

1,1667

1,5704

1,9106

2,2066

2,4703

2

0,6667

1

1,3422

1,6670

1,8633

2,2415

2,4936

3

1

1,2281

1,4915

1,7631

2,0288

2,2824

2,5215

4

1,2281

1,4037

1,6193

1,8533

2,0917

2,3262

2,5525

5

6

7

1,4037

1,5475

1,6698

1,5475 1,6698 1,7767

1,7310 1,8302

1,9371 2,0148

2,1533

2,3710

вырожденным, а соответствующие собственные функции должны быть сумматорными инвариантами. Заметим также, что трижды вырожденным является собственное число Z02 = Z30 = Z21 и что собственные числа /o = /-i,i являются дважды вырожденными. Первые собственные функции в одномерном случае имеют вид

Фоо™!' Фо!"/’ Фю = ^ ф^ 3 ^2) ’

*„=/|(1ф,.

Возмущенная функция распределения может быть разложена по собственным значениям:

Ф=2Мф(И-

г. I

где

ап = j ^’п ^-(11.18)

в определения (11.18) собственные функции (11.в определения (11.18) собственные функции (11.Подставляя

в определения (11.18) собственные функции (11.

в определения (11.18) собственные функции (11.

_ V зЯ02 2^11’_ V зЯ02 2^11’получим:

_ V з

Я02 2^11’

_ V з

Я02 2^11’

ао: — uv а10 —ао: — uv а10 —(11.19)(11.19)аоо= п\-

ао: — uv а10 —

ао: — uv а10 —

(11.19)

(11.19)

где nv их, Тх, рп и S; — безразмерные возмущенные плотность, скорость, температура, тензор напряжений и вектор потока тецла,

определяемые соотношениями:

п = п0 (1 + nv\ uv = и

тх = т0(1 + тг).

Рп = ~~ Ро

Кт (*К)3/2 4V

' (11.20)

22Мг/ —(;+ 0 Фг,/+1_ (2/ 4-1) (2/ 4-3)Мг/ —(;+ 0 Фг,/+1_ (2/ 4-1) (2/ 4-3)г+’[(2/ + 3) (2/4-1)]г+’[(2/ + 3) (2/4-1)]— Ф,— Ф,22-1/2-1/2( Vr,/-i_ (2/4-1) (2/ — 1)_( Vr,/-i_ (2/4-1) (2/ — 1)_2(г+1)2(г+1)(11.22)(11.22)Подставим теперь функцию распределения в виде (11.17) в уравнение Больцмана и, учтя соотношения (11.21) и (11.22), приравняем нулю коэффициенты при одинаковых фгг. В результате несложных выкладок получим бесконечную систему совместных уравнений для функций ат1<1, х);Подставим теперь функцию распределения в виде (11.17) в уравнение Больцмана и, учтя соотношения (11.21) и (11.22), приравняем нулю коэффициенты при одинаковых фгг. В результате несложных выкладок получим бесконечную систему совместных уравнений для функций ат1<1, х);

2

2

Мг/ —(;+ 0 Фг,/+1_ (2/ 4-1) (2/ 4-3)

Мг/ —(;+ 0 Фг,/+1_ (2/ 4-1) (2/ 4-3)

г+’[(2/ + 3) (2/4-1)]

г+’[(2/ + 3) (2/4-1)]

— Ф,

— Ф,

2

2

-1/2

-1/2

( Vr,/-i_ (2/4-1) (2/ — 1)_

( Vr,/-i_ (2/4-1) (2/ — 1)_

2(г+1)

2(г+1)

(11.22)

(11.22)

Подставим теперь функцию распределения в виде (11.17) в уравнение Больцмана и, учтя соотношения (11.21) и (11.22), приравняем нулю коэффициенты при одинаковых фгг. В результате несложных выкладок получим бесконечную систему совместных уравнений для функций ат1<1, х);

Подставим теперь функцию распределения в виде (11.17) в уравнение Больцмана и, учтя соотношения (11.21) и (11.22), приравняем нулю коэффициенты при одинаковых фгг. В результате несложных выкладок получим бесконечную систему совместных уравнений для функций ат1<1, х);

Подстановка ряда (11.17) в интеграл столкновений, очевидно, дает

L^=^KiWrt-(11.21)

г, i

Непосредственной подстановкой можно убедиться в справедливости соотношения

1/2

Выпишем первые три уравнения, соответствующие H00 = Z10 = = Х0] = 0; используя соотношения (11.19), получим:

dpt।Out _

dtдх,’

(11.24)(11.24)+ ^LL _|_ JL (p 4. Г,) = 0,dt1dx!dxt v 1

(11.24)

(11.24)

dS1।2^“1—- n

dt'3 dXj13dx,"

Очевидно, что эти уравнения—не что иное, как линеаризированные уравнения сохранения, записанные в безразмерной форме.

Для того чтобы качественно представить характер решений линеаризированного уравнения, рассмотрим изменение функции распределения, заданной в начальный момент времени. Проведем спектральный анализ решения.

Будем искать решение в виде1)

arl = aTle '(11.25)

где art — постоянные, о—частота колебаний, k = 1n!L — волновое число и L—длина волны.

Подставляя (11.25) в уравнения (11.23), получим бесконечную систему алгебраических уравнений для определения аг1\

(о — 1^ аг1 — Ш(о — 1^ аг1 — ШI а.I а.33— а.— а.1)(2/+1) J1)(2/+1) JГ, 1 + 1Г, 1 + 1V (2Z + 3) (2/+1)V (2Z + 3) (2/+1)0. (11.26)0. (11.26)

(о — 1^ аг1 — Ш

(о — 1^ аг1 — Ш

I а.

I а.

3

3

— а.

— а.

1)(2/+1) J

1)(2/+1) J

Г, 1 + 1

Г, 1 + 1

V (2Z + 3) (2/+1)

V (2Z + 3) (2/+1)

0. (11.26)

0. (11.26)

Дисперсионное уравнение, определяющее зависимость частоты колебаний о от волнового числа, дастся детерминантом этой системы:

(11.27)(11.27)О (о, 6) = 0.

(11.27)

(11.27)

Выпишем часть этого детерминанта в виде таблицы 4.

(11.28)(11.28)Легко видеть, что при 6 = 0 и О = Кг1 система (11.26) имеет нетривиальные решения, следовательно,

(11.28)

(11.28)

являются корнями дисперсионного уравнения. При этом корни о = 0 и о = Z02 = Z30 = Z21 являются трижды вырожденными, а корни o = ^r0 = Xr_Vi, — дважды вырожденными.

Рассмотрим поведение корней дисперсионного уравнения при малых волновых числах (для длинных волн). Рассмотрим прежде всего поведение корней вблизи трижды вырожденного корня о = 0. Представим о в виде

о= Za,^-)- а262-|-/а363-|-а464 + icts^5 + ...(11.29)

*) См. Sirowich L., Phys. Fluids 6, № 1 (1963).

Таблица

о

О

о

о

|га|8

о

У

У

-

о

о

о

О

о

|га

1st

о

У

о

О

О

О

О

О

'7

У

о

о

о

О

кк

О

I

У

У

"7

1

Со

ко |ео

|оо |S

о

о

к4 й

У

о

4

о

1

О

о

О

II, а

а

7

Iм 1«

|N |m

|м |га

|ю |т

S У

е

7

О

1

О

о

о

о

0— Ik0— ik° у3 1к= 0.(11.30)0/ jitа0— Ik0— ik° у3 1к= 0.(11.30)0/ jitао— ik0— 1кv>0002 -, К 3000-УУко— ik0— 1кv>0002 -, К 3000-УУко— ikО— Ik°1^ ТZ'^Оу/ -|- ИгоОIkОК 3° ° -Vvkо— ikО— Ik°1^ ТZ'^Оу/ -|- ИгоОIkОК 3° ° -Vvk002V 300Vvk= 0(11.31)^0200^11002 -А — ik00--Vvk= 0. (11.32)^02V ^-lk1 15002V 300Vvk= 0(11.31)^0200^11002 -А — ik00--Vvk= 0. (11.32)^02V ^-lk1 15/ 15 ^к ° ^и/ 15 ^к ° ^и

0

— Ik

0

— ik

° у

3 1к

= 0.(11.30)

0

/ jit

а

0

— Ik

0

— ik

° у

3 1к

= 0.(11.30)

0

/ jit

а

о

— ik

0

— 1к

v>

0

0

0

2 -, К 3

0

0

0

-УУк

о

— ik

0

— 1к

v>

0

0

0

2 -, К 3

0

0

0

-УУк

о— ikО

— Ik°1^ ТZ'^

Оу/ -|- Иго

ОIkО

К 3

° ° -Vvk

о— ikО

— Ik°1^ ТZ'^

Оу/ -|- Иго

ОIkО

К 3

° ° -Vvk

0

0

2

V 3

0

0

Vvk

= 0(11.31)

^02

0

0

^11

0

0

2 -А — ik

0

0-

-Vvk

= 0. (11.32)

^02

V ^-lk

1 15

0

0

2

V 3

0

0

Vvk

= 0(11.31)

^02

0

0

^11

0

0

2 -А — ik

0

0-

-Vvk

= 0. (11.32)

^02

V ^-lk

1 15

/ 15 ^к ° ^и

/ 15 ^к ° ^и

206 ОБЩИЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ БОЛЬЦМАНА [ГЛ. III Легко видеть, что а, определяется коэффициентом при й3 в детерминанте

Аналогично а2 и а3 определяются коэффициентами при &4 и й5 соот

ветственно в детерминантах

Легко проверить, что если решение в виде (11.25) искать для уравнений Эйлера, Навье — Стокса и тринадцатимоментных уравнений Града, то дисперсионные уравнения приводят соответственно к детерминантам (11.30), (11.31) и (11.32). Две последние строчки в детерминанте (11,31) появляются из уравнений, определяющих связь между тензором напряжений р1г и вектором потока тепла Sp соответственно с градиентами скоростей и температур. При этом коэффициенты вязкости и теплопроводности обратно пропорциональны ^02 и ^1Г 1

§ 3.11] РЕШЕНИЕ ЛИНЕАРИЗИРОВАННОГО УРАВНЕНИЯ БОЛЬЦМАНА 207

Находя с помощью (1 1.30) — (11.32) значения ар а;, . ... получим;

° =^^"0^’(И.ЗЗ)

ЮЛ?, + 15Л=2 5Л,Ао2

+ 4,(эЬ+зУ + 0<"‘>- (,L34>

Выражения (11.33) и (11.34) определяют три ветви корней дисперсионного уравнения, называемых гидродинамическими. Член О (&) в (11.34) определяет незатухающие звуковые волны в эйлеровском приближении. С учетом членов О (й2) выражения (11.33) и (11.34) определяют затухающие волны в навье-стоксовском, а с учетом членов О(й3)—в тринадцатимоментном приближении (собственные числа отрицательны).

Аналогично могут быть найдены и другие ветви корней дисперсионного уравнения вблизи корней o=XrV Следует заметить, что в тринадцатимоментном приближении кроме гидродинамических ветвей (11.33) и (11.34) имеются еще две ветви, получаемые из детерминанта (11.32):

0 = l“-TrR + w^b5-] + °<64)'<1L35)

"=л"-£[4+т5ДД^-]+о<6,>Щ'36’

Качественная картина корней дисперсионного уравнения показана на рис. 13. В комплексной о-плоскости вдоль каждой ветви направление возрастания параметра & показано стрелкой. Таким образом,

имеется последовательность волн со все возрастающей скоростью затухания (по мере возрастания абсолютной величины Kft). Следовательно, решение уравнения Больцмана для рассматриваемой нами задачи с начальными условиями можно представить в виде суммы

решений, стремящихся с различной скоростью к нулю. При этомрешений, стремящихся с различной скоростью к нулю. При этоммедленнее других выравниваются гидродинамические возмущения (примедленнее других выравниваются гидродинамические возмущения (прик =0 декремент затухания гидродинамических возмущений равен нулю; о=0). Характерное время затухания для остальных возмущений—порядка времени между столкновениями.Приведенный анализ относился лишь к малым волк =0 декремент затухания гидродинамических возмущений равен нулю; о=0). Характерное время затухания для остальных возмущений—порядка времени между столкновениями.Приведенный анализ относился лишь к малым волдлинам волн). Интересно рассмотреть дисперсионныедлинам волн). Интересно рассмотреть дисперсионныеновым числам к (к большимновым числам к (к большимсоотношениясоотношениядля произвольных волновых чисел. Для того качественную картину, найдем асимптотические значения при к—>оо.Для уравнения Больцмана в целом сделать это весьма трудно. Однако естественно ожидать, что при к^-оо затухание должно увеличиваться, т. е. в комплексной о-плоскости звуковые ветви при к —> оо должны уходить в бесконечность вдоль отрицательной действительной оси.В эйлеровском приблидля произвольных волновых чисел. Для того качественную картину, найдем асимптотические значения при к—>оо.Для уравнения Больцмана в целом сделать это весьма трудно. Однако естественно ожидать, что при к^-оо затухание должно увеличиваться, т. е. в комплексной о-плоскости звуковые ветви при к —> оо должны уходить в бесконечность вдоль отрицательной действительной оси.В эйлеровском приблипредставитьпредставитьчтобычтобыжении, как уже отмечалось, затухания нет. В навье-стоксовском приближении из (11.31) при к -> оо имеем:жении, как уже отмечалось, затухания нет. В навье-стоксовском приближении из (11.31) при к -> оо имеем:4£24£2370237020(1).0(1).15^02 + 4^1!15^02 + 4^1!+ 0(1). |+ 0(1). |(11.37)(11.37)

решений, стремящихся с различной скоростью к нулю. При этом

решений, стремящихся с различной скоростью к нулю. При этом

медленнее других выравниваются гидродинамические возмущения (при

медленнее других выравниваются гидродинамические возмущения (при

к =0 декремент затухания гидродинамических возмущений равен нулю; о=0). Характерное время затухания для остальных возмущений—порядка времени между столкновениями.

Приведенный анализ относился лишь к малым вол

к =0 декремент затухания гидродинамических возмущений равен нулю; о=0). Характерное время затухания для остальных возмущений—порядка времени между столкновениями.

Приведенный анализ относился лишь к малым вол

длинам волн). Интересно рассмотреть дисперсионные

длинам волн). Интересно рассмотреть дисперсионные

новым числам к (к большим

новым числам к (к большим

соотношения

соотношения

для произвольных волновых чисел. Для того качественную картину, найдем асимптотические значения при к—>оо.

Для уравнения Больцмана в целом сделать это весьма трудно. Однако естественно ожидать, что при к^-оо затухание должно увеличиваться, т. е. в комплексной о-плоскости звуковые ветви при к —> оо должны уходить в бесконечность вдоль отрицательной действительной оси.

В эйлеровском прибли

для произвольных волновых чисел. Для того качественную картину, найдем асимптотические значения при к—>оо.

Для уравнения Больцмана в целом сделать это весьма трудно. Однако естественно ожидать, что при к^-оо затухание должно увеличиваться, т. е. в комплексной о-плоскости звуковые ветви при к —> оо должны уходить в бесконечность вдоль отрицательной действительной оси.

В эйлеровском прибли

представить

представить

чтобы

чтобы

жении, как уже отмечалось, затухания нет. В навье-стоксовском приближении из (11.31) при к -> оо имеем:

жении, как уже отмечалось, затухания нет. В навье-стоксовском приближении из (11.31) при к -> оо имеем:

4£2

4£2

3702

3702

0(1).

0(1).

1

5^02 + 4^1!

1

5^02 + 4^1!

+ 0(1). |

+ 0(1). |

(11.37)

(11.37)

Дисперсионное соотношение для этого случая показано на рис. 14. Как видно, звуковые ветви дают правильную качественную картину (увеличение затухания) при уменьшении длины волны (при к—>оо).

В тринадцатимоментном приближении при к—>оо имеем:

(11.38)(11.38)о = |+ + о(^), о - ± /4,54 Ik-V 0,33+ + О (+1),

(11.38)

(11.38)

а= ± /0,66/& + 0,22++О/ ').

Соответствующая дисперсионная картина показана на рис, 15. Следовательно, в этом приближении декремент затухания звуковых волн при &->оо стремится к некоторому конечному значению. .

Эйлеровское приближение соответствует выделению в таблице 4 матрицы а, р< 1, тринадцатимоментное приближение — матрицы а, [3 < 2. Выделение матрицы а, р < 3 соответствует «26-моментной теории» и т. д.

Можно показать1), что при любых сколь угодно больших а=р дисперсионная картина соответствующей «обрезанной» системы будет подобна тринадцатимоментной в том смысле, что действительная часть корней дисперсионного уравнения ограничена:

0 > аг > кг.

где kf—некоторые значения, возрастающие по абсолютной величине вместе с г.

Из сказанного следует, что дисперсионная картина при больших к, даваемая уравнениями Навье—Стокса, качественно представляется более правильной, чем картина, даваемая тринадцатимоментными уравнениями. Тринадцатимоментные уравнения (и более высокие приближения) уточняют навье-стоксовскую картину лишь при малых к. Общая дисперсионная картина дана на рис. 16.

Изложенная выше теория собственных функций относилась к максвелловским молекулам. Для пемаксвелловских молекул с конечным радиусом взаимодействия, как уже отмечалось в начале параграфа, полный оператор А (ср) имеет непрерывный спектр собственных значений. Однако можно преобразовать этот оператор так, что спектр нового оператора оказывается дискретным.

‘) Si г о wi ch L., Phys. Fluids 6, № 1 (1963).

14 M. H. Коган

210ОБЩИЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ 'бОЛЬЦМАПА [ГЛ. 111

Рассмотрим уравнение Больцмана для твердых сферических молекул (см. § 2.2, формулу (2.10))

или для возмущенной функции распределения

А®(> + Ь^) =

= ПГ J I^'^I/o/oiW^'"»] —ф)6®^!^7-^)- (И-ЗЭа)

В § 2.8 для произвольного закона взаимодействия молекул показано, что интеграл L(q>) можно привести к виду

L (ф) = — к (|) ф + | К (§, 5,) ф1 d^v(11.40)

Найдем конкретные выражения функций к(^) и К(|, §,) для твердых сферических молекул ’).

Обозначим через а112,3 направляющие косинусы единичного вектора к. Ч'огда

g. й = 2 a-i(lu — £Д(11.41)

Введем, кроме того, безразмерную скорость

и перепишем оператор L(tp) уравнения (11.39а) в виде

л (Ф) = —-^Г-/ М(ф+Ф1 — ф' — Ф^’^ +^^d»r (11.42) где

= h^h^^R . k= 2 a-i^u — fi). (R = ^—v). i-i

Функция к(Х\ как легко видеть, равна

\ e~v^w\dQ dv^^e^ f d-ur (11.43) 2л3 J1 л J

*) Hilbert D., Grundziige einer allgemeinen Theory der linearen Inte- gralgleichungen, N. Y., 1953.

§ ЗЛЦ РЕШЕНИЕ ЛИНЕАРИЗИРОВАННОГО УРАВНЕНИЯ БОЛЬЦМАНА 211 Рассмотрим теперь интегралы

О' = J | w | ср'е "’liQiiT, и G' = J | w i ф^е”1”1 dQ d<ov (11.44)

Так как при столкновении твердых сферических молекул

g^l + ^Cgr.^) и §; = §, — &(§•• Й),(11.44а)

то и функции ф' и ф' входят в L совершенно симметрично (интегрирование по й ведется по всей сфере), и, следовательно,

О'=О\.(11.45)

Далее, легко проверить тождество

1

О' = 3 j G'^ dr,(11.46)

о

где г—некоторая новая переменная. Если г—радиус, то r'drdQ — = da, tfa2 dc^ — элемент объема в пространстве 0 ^ а2 — а2~|- а2 _р_ + аз^ 11

Тогда (11.46) можно переписать в виде

G'=3 j |™—[е^’ф'd<cA da, (da= daxda2da^, (11.47) 0 < о? < 1

где ф ' = ф«) =ф+•

Введем вместо переменных -у,г новые переменные

^~^-(11-48)

Тогда

G' — 3 J | (а • 1) | а7 ехр (— [(у, -J- ^а2)2 Ц- (у2 + ^2«2)2 +

0<№<1

+ ('узЧ-^за2)2]} ф'^Ма, (11.49) где.

q/ = ф [^ Ц-а, (а • К), у2-|-а2(а ■ ^), у3 + а3(а • 1)].

Введем, наконец, вместо аг переменные pz по формулам

рг = аг(а-1).(11.50)

В новых переменных после несложных, но громоздких выкладок имеем

+ (уз + ^з ’(/.pj)] |ф (^t + Pt) d^ dK. (11.51)

В этом интеграле можно провести интегрирование по Л:

О' = 2л J j ехр | —(Р ' (Рр+‘°— } Ф ^i + Pt) d^.(11.52)

Обозначим vz +Р/ = Уи* тогда окончательно имеем

О'= 2л J ехр |—(11.53)

Учитывая (1 1.42), (11.43), (11.45) и (11.53), получим следующее выражение для L;

‘nXd2 -v2 С — у2

L =^е Ф J ^ '^г~

— е1 — -^е‘j^d^. (11.54)

Таким образом, линеаризированное уравнение Больцмана (11.39а) для твердых сферических молекул можно записать в виде

^Г 5 + ^ -^ = — V2 У я {№ е - ^ф (и) +

+ 4J Ф^)^1 (^ —^eD^d-ovY (11.55) где

^(9) —f Де-®1 йч^ — 1 ++ — \е° erfy,

„ОООоp(11.56)

„22 (?vRy yiy —(®i-®)/y^sinev

D =»1^5- = I;

и 0 — угол между © и -о,.

Вместо функции ф удобно ввести новую неизвестную функцию ’)

ф(и) = е^®2 У М(и)ф (и),ф(и) = е^®2 У М(и)ф (и),(11.57)(11.57)

ф(и) = е^®2 У М(и)ф (и),

ф(и) = е^®2 У М(и)ф (и),

(11.57)

(11.57)

!) Pekeris С. L., Alterman Z., Finkelstein L., Fran- kowski К., Phys. Fluids 5, № 12 (1962).

которая удовлетворяет уравнению

/, 1,-2 д-ф . дф \

31 (у) \ 0 dt '' дх; /

= —^/л [ф^) + ^ J Ф^М («, •»!)<fo!] , (11.58) где

к(». ■9!) = ^ -^е°)(/ИW -^(^(Г1"-

Решение уравнения (11.58) удобно искать в виде разложения по собственным функциям интегрального уравнения

Ф(®) = -£ J Ф^А'С'», i)xWv(11.59)

В соответствии со сделанными в начале параграфа замечаниями стоящий справа оператор уравнения (11.55) имеет непрерывный спектр, в то время как оператор правой части уравнения (11.58) обладает дискретным спектром.

Для нахождения собственных значений и собственных функций уравнения (11.59) можно воспользоваться, например, методом Галер- кина, разлагая для этой цели функцию ф(ю) по некоторой полной системе функций, скажем по полиномам Эрмита или по собственным функциям (11.8) больцмановского интегрального оператора для максвелловских молекул.

Значительное число собственных функций получено в цитированных выше работах ’).

§ 3,12. Модельные уравнения для линеаризированногоуравнения Больцмана

В § 2.8 из физических соображений было получено приближенное модельное уравнение для полного (нелинеаризированного) уравнения Больцмана. Изложенная в предыдущем параграфе теория собственных значений позволяет развить некоторый регулярный процесс построения подобных моделей для линейного уравнения Больцмана2).

Рассмотрим для простоты линейное одномерное уравнение Больцмана, записанное в безразмерных переменных (11.10) предыдущего параграфа:

Ж + ^’ ^=Л(Ф)=2^Мгг, (ф = 2 ^Л (12л) г, г \ г, г /

*) См. работу Альтерман и др., цитированную на стр. 201, и работу Пекериса и др., цитированную на предыдущей странице.

Линейный интегральный оператор в правой части для максвелловских молекул представлен в виде ряда по собственным функциям по формуле (11.21).

Для дальнейшего удобнее перейти от суммирования по двум индексам к суммированию по одному индексу (см. работу Сировича и Тарбера):

Ф = 2= 2 «/Ф;-(12.2)

rjI

где

r=r(i),1 = 1 (Г), ^rWiW = ^ »i = / юфф; dt (12.3)

Выбор конкретного вида зависимостей (12.3) определяет последовательность членов в ряде (12.2). Тогда для максвелловских молекул

^Чаду(12.4)

Для произвольных молекул функцию распределения также можно представить в виде

Ф = 2 a$t’ (й< = J “^ ^) ’(12-5)

где ф;—собственные функции максвелловского оператора £(Д). Однако в этом случае

4V)=^W к^ /«Ф^АИ)'(12.6)

Для максвелловских молекул

М/ = 0 при i + j.

Один из путей построения моделей состоит в приближенной замене L выражением

Nсо

L^«Ln= 2 А«Ж + С S' «А. C=const. (12.7)

Прибавляя к правой части (12.7) и вычитая сумму

NN

с S «А = С 2 а^^,2 = 0I, у=0

приведем разложения (12.7) к виду

N

LN= ^ (^-^а^Су.(12.8)

Тогда модельные уравнения можно записать в виде

N

4 + ь 4 - ^+2 q<12 ■ 9>

Этим способом может быть построено бесчисленное множество моделей путем надлежащего выбора постоянных С и N и соответствующей последовательности членов в ряде (12.2), 7. е. путем выбора зависимостей г(/) и ЦГ).

Собственные функции фгг суть полиномы степени 2г -]-/. Выберем, например, r(f) и / (t) таким образом, чтобы в ряде (12.2) члены располагались по возрастающим степеням полиномов, а все члены с полиномами одной степени 2r -j-I располагались по возрастающим значениям индекса I.

При таком расположении членов ряд (12.2) запишется в виде

S

/ £29 \О /£2 \

a^t=nx + ^zz, 4-j Ри

+ (i-^гЛ4 .... (12.10)

где Я; и ф; заменены согласно (11.16) и (11.19). Если при этой последовательности членов в уравнении (12.9) положить N = 3, то для максвелловских молекул получим уравнение

так как для этих молекул Zoo = A,0I = Z!0 = 0.

Легко видеть, что уравнение (12.11) есть линеаризированный вариант модельного уравнения (8.22) главы II.

Из таблицы 4 предыдущего параграфа видно, что эта модель может быть получена заменой всех входящих в таблицу Х^ на С. При этом детерминант (11.30), соответствующий уравнениям Эйлера, не изменяется. В навье-стоксовском детерминанте (11.31) положено ^02= ^ц = С. Как мы видели в предыдущем параграфе, А,о2 и А.и обратно пропорциональны соответственно коэффициентам вязкости и теплопроводности. Так как Xu/\)2 = 2/3 (см. таблицу 4), то, полагая Z02=Zn=C, мы должны получить в уравнениях Навье — Стокса отношение коэффициентов вязкости и теплопроводности искаженным па коэффициент 2/3, т. е. число Прандтля Рг = 1 вместо Рг = 2/3,

как это должно быть для одноатомного газа. К этому результату мы уже пришли при выводе уравнений Навье — Стокса из нелинейного модельного уравнения в § 3.6.

Если в уравнении (12.9) положить N=5, то получим модельное уравнение, у которого остается неискаженным тринадцатимоментный детерминант (11.32): Sep . dtp dt 61 дхх

= С [ср - щ - 1Л - (1V - 41 л] + 4 (\2 - С) fe -f)p„ + + (^i-C)[l-f)^S,.(12.12)

Из этого уравнения могут быть получены неискаженные уравнения Эйлера, Навье — Стокса, Барнетта и тринадцатимоментные уравнения.

Уравнение (12.12) иногда называют трехрелаксационным, так как оно содержит три времени релаксации ^ог1, ^ц1 и С-1, в отличие от уравнения (12.11), содержащего всего одно время релаксации С-1.

-Поскольку однорелаксационное уравнение (12.11) благодаря своей относительной простоте получило широкое распространение, интересно рассмотреть его дисперсионную картину ’). Для определенности положим C=Z02.

Будем искать решение уравнения (12.11) вида

(12.13)(12.13)Ц1(1, хх, |) = <р(|)eat~ikx\ пх = nxe9t-lkx', ux = uxeat-lkx^ Тх = Тхе"1-№хч

(12.13)

(12.13)

где стоящие справа величины пх, их и Тх — постоянные, равные соответственно

пх= Jtotp©^. «^Р^ф©^, 71 = J^- 1)<оф(1Ж (12.14)

Подставляя решение (12.13) в уравнение (12.11), имеем

(ст (А^Л02) ф= — Z32 [«j -(-^«i -|- [-| gj 7^ ,(12.15)

откуда

3 \

Умножая это уравнение последовательно на ю, ^ю и [у^2—4 и интегрируя по g, получим сис-гему трех однородных уравнений для

’) См. Si г owl ch L., Т h и г b е г J. К., Rarefied Gas Dynamics, Third Symp., Acad. Press, 1963.

«!, «, и 7',, приравнивая нулю детерминант которой, получим дисперсионное уравнение уравнения (12.11). Не останавливаясь на анализе этого весьма сложного уравнения ’), укажем на одни наиболее интересный для нас результат, видный непосредственно из уравнения (12,16). Из уравнения (12.16) видно, чго действительная часть о ограничена при &—>оо (в противном случае ср—>0 во все времена, в том числе и при / = 0). Более того, к такому же заключению можно прийти для модельного уравнения, образованного при любом конечном N. В то же время, если из уравнения (12.11) вывести уравнения Навье — Стокса, то они будут отличаться от уравнений Навье—Стокса, получаемых из уравнения Больцмана, лишь тем, что в последних нужно положить Zn = Z02. Поэтому дисперсионная картина для уравнений Навье — Стокса, полученных из модельного уравнения, будет качественно той же, что и для уравнений Навье — Стокса, полученных из точного уравнения (см. формулы (11.33), (11.34), (11.37) и рис. 14 предыдущего параграфа).

В предыдущем параграфе мы видели, что уравнения Навье — Стокса дают при к—>оо качественно более правдоподобную дисперсионную картину, чем тринадцатимоментные уравнения и более высокие приближения. Казалось, что уравнения Навье — Стокса в какой-то мере отражают поведение полного уравнения Больцмана при к-^оо. Однако теперь мы видим, что при й->оо навье-стоксовское приближение модельного уравнения дает качественно иную картину, чем само модельное уравнение. Следовательно, поведение решений уравнений Навье—Стокса при к->оо представляется случайным.

В то же время и модельное уравнение искажает дисперсионную картину уравнения Больцмана при к—>со. Однако представляется, что модельное уравнение порядка N гораздо лучше аппроксимирует решение, чем соответствующая система моментных уравнений.

Действительно, обратимся к таблице 4. Как уже отмечалось, уравнения Эйлера соответствуют детерминанту а, р < 1, тринадцатимоментные уравнения — детерминанту а, р < 2 и т. д. Следовательно, моментные уравнения учитывают лишь элементы соответствующих детерминантов, не учитывая вовсе остальную бесконечную часть таблицы. Модельные же уравнения соответствующего порядка образуются путем замены в таблице Хц на С, начиная с некоторого значения. Следовательно, модельное уравнение правильно учитывает элементы соответствующего детерминанта и приближенно (чем больше t и j, тем хуже) остальную часть таблицы.

Так при 77=3 точно учитывается эйлеровская часть таблицы и приближенно остальная часть. Приближенный учет остальной части таблицы позволяет с помощью однорелаксационного уравнения хотя бы

•) Этот анализ приведен в только что цитированной работе Сировича и Тарбера.

качественно учесть диссипативные процессы и рассматривать свободномолекулярные течения, в то время как уравнения Эйлера не позволяют этого сделать.

Следовательно, можно ожидать, что при одном и том же N с помощью модельных уравнений можно получить лучшее качественное описание явления для широкого диапазона волновых чисел (чисел Кнудсена), чем с помощью соответствующих моментных уравнений. Это подтверждается исследованием звуковых воли (см. § 4.5).

Точность модельного уравнения в каждой конкретной задаче может быть повышена соответствующим подбором зависимостей г (Г) и Ц1\ определяющих последовательность членов рядов (12.2) и (12.4).

Метод дискретных скоростей

Рассмотрим уравнение Больцмана в отсутствие внешних сил:

4г=4г4 ^44=/(/vw/o^^.^7®- (13J)

Выберем некоторое множество значений скоростей §\ где v=l, . .., N. Выразим с помощью какой-либо аппроксимационной формулы функцию распределения через значения этой функции, соответствующие скоростям §v, т. е. положим

№ X, l)=F^, f\ .... /(Л^ /(V, = /C. x, О- (13.2)

Если подставить эту аппроксимацию в интеграл столкновений, то последний также будет зависеть от /v и §:

ja)=m, йи. fw\(1з.з)

В дифференциальный оператор уравнения (13.1) скорость g входит как параметр. Поэтому для выбранного множества скоростей E,v можно записать уравнения

+/(1>-2- Ny (13'4)

Таким образом, интегро-дифференциальное уравнение Больцмана заменено системой совместных нелинейных дифференциальных уравнений первого порядка для N функций /<v).

Общее граничное условие (9.6) главы II также может быть заменено N1 (Г x)^.N условиями:

Л СО = J К ^, О F (£., /с . . .,d^,(13.5)

где v принимает значения, соответствующие тем скоростям из множества ^v, которые в данной точке границы направлены в сторону течения.

В качестве аппроксимирующих функций (13.2) могут быть выбраны, например, полиномы Лагранжа или Чебышева.

Как и в методе моментов, вместо отыскания функции распределения, зависящей от семи переменных t, х и |, задача свелась к отысканию системы функций от четырех переменных t и х. Однако уравнения, получающиеся в методе дискретных координат, всегда обладают простым линейным дифференциальным оператором, в то время как в методе моментов, как правило, получаются квазилинейные уравнения. В методе дискретных координат не возникает трудностей с установлением граничных условий для получающихся уравнений (ср. § 5 настоящей главы). Правые же части моментных уравнений часто (особенно для максвелловских молекул) проще, чем в методе дискретных скоростей. В обоих методах, в принципе, могут быть использованы одни и те же аппроксимирующие функции. Пусть функция распределения представлена через моменты аппроксимацией

(1=1,2N\

Задавая § выбранные N значений, получим N уравнений, из которых можно выразить N моментов М, через N значений функции распре- деления

Методу дискретных скоростей можно придать также несколько иную форму *). Можно считать, что имеется всего N групп молекул, в каждой из которых все молекулы (п^ в единице объема) обладают одной скоростью §\ При столкновении молекул группы v с молекулами группы и можно считать допустимыми только такие дискретные прицельные расстояния 6(v, ц) и такие дискретные азимутальные углы е (v, ц), что в результате столкновений молекулы принимают только скорости из выбранного множества скоростей ^v.

В этом случае уравнение Больцмана (13.4) заменяется системой дифференциальных уравнений вида

т+^^-=2»'»'л<»й'. да-£»'»ад>ад). (1з.б) где о(§*, ^г| §v) — эффективное сечение столкновения молекул V и |/, при котором одна из молекул принимает скорость §v, и o(ght) = = 2°(^, §1|§V) — полное сечение взаимодействия.

’) К г оо k М., Astrophys. J. 128, 488 (1955); Чандрасекар С., Перенос лучистой энергии, ИЛ,‘М., 1953.

220ОБЩИЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ 'БОЛЬЦМАНА[ГЛ. III

Граничное условие (13.5) в этом случае принимает вид

<=2^(1;.^)^.(13.7)

где суммирование ведется по всем скоростям |и, направленным в данной точке к границе; функции К удовлетворяют условию нормировки

По-видимому, второй вариант метода удобен при расчетах на вычислительных машинах с большим числом дискретных скоростей. Метод моментов и первый вариант метода дискретных скоростей могут при удачной аппроксимирующей функции обеспечить хорошую точность при небольшом числе моментов или дискретных скоростей.

Метод моментов, по-видимому, предпочтительнее при малых числах Кнудсена, а метод дискретных координат — при больших. Однако в настоящее время еще невозможно с уверенностью выделить классы задач, для которых предпочтительнее те или другие методы. Методом дискретных скоростей решены до сих пор в весьма грубой постановке лишь простейшие задачи.

Например, в задаче о течении Куэтта при малом числе Маха') принималось, что молекулы могут двигаться лишь по восьми направлениям с одинаковой по величине скоростью. В задаче о структуре ударной волны) дозволенными принимались шесть направлений с одинаковыми скоростями. По существу, грубые методы элементарной кинетической теории (см. § 1.5 и § 6.6) являются простейшими примерами применения метода дискретных координат. Для получения грубых результатов часто оказывается достаточным очень небольшое число дискретных скоростей. Однако для проведения уверенных расчетов с достаточной точностью необходимо решить огромное число совместных уравнений.

Действительно, пусть решается трехмерная стационарная задача. Если взять хотя бы по десять точек (что, очевидно, слишком мало) по каждой скоростной координате, то задача сведется к решению тысячи совместных уравнений в частных производных.

Для одномерных стационарных задач уравнения сводятся к обыкновенным.

Broadwell J. Е., J. Fluid Meeh. 19, 401 (1964). В более точной постановке линеаризированное течение Куэтта с помощью метода дискретных координат рассмотрено в работе: Hamel С., W а с h m a n М., Rarefied Gas Dynamics, Forth Symp., Academic Press, 1965.

Интегральные методы

Интегральными мы будем называть методы, использующие ту или иную интегральную форму уравнения Больцмана.

Как уже отмечалось в § 2.7, можно построить бесчисленное множество интегральных уравнений, эквивалентных уравнению Больцмана. Однако наибольшее распространение получили два из них (см. § 2.7):

t

f(t, х, ^ = .f(t0, x-Ut-Ч), |) + J J(s, x-^M. ^ds (14.1)

И

X. |) =

—/4o- x — §4 — tg), |)expj—J J2(s, x —§4 —s), g)^|4-

J J^t, x — l(t — r), g)expj — J J2(s, x — |4 — s), l)ds 1 dT,

(14.2) где

J = Jx — fJ2,

M1- x, l)=j f fxgb db de. dt,v

J^Ct, x, £) = [ fxgbdbdzdl}.

Интегралы Jx и J2 сходятся лишь для молекул с конечным радиусом взаимодействия. Поэтому и интегральное уравнение (14.2) применимо только для таких молекул.

Естественный путь отыскания решений интегральных уравнений — это метод итераций. Этот метод применялся к обеим приведенным формам интегральных уравнений для доказательства существования решений уравнения Больцмана при заданной в начальный момент времени функции распределения1). Как уже отмечалось, сходимость метола для конечного интервала времени доказана лишь для пространственно-однородного случая и молекул с конечным радиусом взаимодействия (для сфер — Карлеманом и для псевдомаксвелловских молекул — Моргенштерном). Если начальная функция распределения зависит от х, то сходимость последовательных приближений удается доказать лишь для малого интервала времени (Град).

*) См. работы Карлемана. Моргенштерна и Града, цитированные на стр. 79.'

Интегральным методом итераций решен также ряд задач для течений, близких к свободномолекулярным (см. § 4.2 и § 6.5).

Легко видеть, что решение стационарных и нестационарных задач с помощью уравнений (14.1) и (14.2) совершенно одинаково. Поэтому можно вместо последовательных приближений рассматривать нестационарный процесс установления ’).

Пусть отыскивается решение некоторой стационарной задачи. Зададим в момент /=0 некоторую функцию распределения /(0, х, £), которая в общем случае может не удовлетворять граничным условиям. Из физических соображений ясно, что с течением времени функция распределения должна стремиться к некоторому стационарному решению уравнения Больцмана, удовлетворяющему заданным граничным условиям (однако, это строго не доказано, как нс доказана и единственность такого процесса установления).

Выберем достаточно малый интервал времени А/, такой, чтобы за это время интеграл столкновений изменился лишь на величину порядка At Тогда, пренебрегая величинами порядка (А/)2, уравнение (14.1) можно переписать в разностной форме:

/0V х, ^ = fVn_x, x — SM ^) + 4-i(^-i, х, £)At (14.3) Как и в методе дискретных скоростей (см. предыдущий параграф), счет можно вести для некоторого множества значений |v (v=l, .., . .., т). Выбранные т направлений можно рассматривать как характеристики и строить решение подобно тому, как это делается для гиперболических дифференциальных уравнений.

Два процесса ведут к изменению интеграла столкновений. С одной стороны, в данную точку пространства приходят молекулы из других областей течения. Если L — характерный размер течения и £—характерная скорость молекул, характерным временем этого процесса будет 0, = L^. С другой стороны, если бы даже функция распределения была однородной по пространству, то она изменялась бы в результате столкновений молекул. Характерным временем этого процесса является время релаксации, или время между столкновениями молекул, 02—тр=Х/^, где X—характерная длина пробега молекул. Поэтому А/ должно быть меньше минимального из времен ©j и 02, и вычислительный процесс, определяемый формулой (14.3), практически применим лишь при не слишком малых числах Кнудсена. Процесс (14.3) аналогичен простейшему методу Эйлера численного интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений. Используя более сложные аппроксимации интеграла столкновений, легко построить аналоги более точных методов, типа, скажем, Рунге—Кутта.

Практическая реализация подобных вычислительных процессов наталкивается на две трудности. Во-первых, вычисление интеграла

*)" К о г а н М- Н.. Журнал прикл. механики и техн, физики, № 3 (1963)

столкновений представляет собой весьма сложную задачу, так как необходимо не только выполнять квадратуры, но и попутно рассчитывать результат столкновения молекул. Во-вторых, и это принципиальная трудность, на каждом шаге необходимо запоминать функцию распределения, зависящую, в общем случае, от семи независимых переменных (число т выбранных скоростей для получения хорошей точности должно быть очень велико).

Сокращения потребной памяти можно добиться введением удачной аппроксимирующей функции

М х, l)=F^, Лр . . ., A^F.a, М.MN\ (14.4).

Как и в методе моментов (см. § 3.2), умножая уравнение (14.3) на некоторые функции скоростей ф(|) и интегрируя по £, получим уравнения типа

М^, х) = J Л-дФ^НЛ. п-1 ■ АД (14.5)

Для максвелловских молекул, как показано в § 3.3, интегралы / могут быть сравнительно просто выражены через моменты. Заменяя f п-1 через моменты с помощью аппроксимирующей функции (14.4) и применяя некоторую подходящую квадратурную формулу, мы в конечном счете находим зависимость моментов на п-м шаге в точке х от моментов на (я—1)-м шаге в той же точке и некотором множестве соседних точек.

Легко видеть, что если положить

/„-,(/„_!. х — ^М У = /(^-1, X, ^-^^-м,

то мы перейдем к дифференциально-моментному методу § 3.2. Вообще всегда можно установить переход от интегрально-моментного метода к дифференциальному. В различных ситуациях может оказаться предпочтительнее тот или иной "подход. При интегральном подходе мы следим за эволюцией функции распределения вдоль траектории молекул, и при построении вычислительной схемы легко правильно учесть физику явлений (области влияния, разрывы функции распределения и т. п.). При дифференциальном подходе получающиеся дифференциальные уравнения различны для различных аппроксимирующих функций и при различном выборе функций ф(§), используемых для построения моментных уравнений. Для построения корректной вычислительной схемы необходимо исследование свойств (отыскание характеристик) сложных систем дифференциальных уравнений для каждой аппроксимирующей функции.

При интегральном подходе естественным образом входят граничные условия (точка (/„-j, X—§ М, |) может лежать на границе). В § 3.5 мы уже упоминали о трудностях, связанных с формулировкой

224 ОБЩИЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ БОЛЬЦМАНА [ГЛ. Ill граничных задач для дифференциальных моментных уравнений. Поскольку всегда можно найти переход от интегрального подхода к дифференциальному, то с помощью интегральных методов можно установить корректные граничные условия для дифференциальных моментных уравнений.

Использование метода установления для решения стационарных задач представляется удобным, но не является обязательным. С помощью уравнений (14.3) или (14.5) можно завязать значения функций распределения или моментов в узлах некоторой сетки. Метод установления фактически является простейшей явной вычислительной схемой решения получающейся сложной системы алгебраических уравнений. Сходимость метода должна быть установлена в каждом конкретном случае.

Описанные подходы могут быть также применены к уравнению (14.2)').

Методы Монте-Карло

Под методами Монте-Карло в приложении к задачам кинетической теории будем понимать экспериментальные методы исследования, в которых вместо проведения реального физического опыта производится математическое моделирование исследуемых явлений на быстродействующих вычислительных машинах. Реальные молекулы заменяются их статистическими моделями, и на вычислительных машинах прослеживается движение одной или нескольких выбранных частиц. Соответствующий математический эксперимент может быть поставлен множеством способов. Ниже мы рассмотрим два типа экспериментов.

Одна из возможных реализаций метода Монте-Карло состоит в следующем.

Пусть требуется, например, найти функцию распределения некоторого стационарного течения. Пусть граница рассматриваемой области течения частично состоит из твердых поверхностей, а частично из поверхностей, через которые газ может втекать или вытекать. На твердых границах задана вероятность отражения со скоростью |г частицы, падающей со скоростью |; (см. §§ 2.9, 2.10). На остальных частях границы будем считать заданной функцию распределения молекул, скорости которых направлены внутрь области течения.

Пусть в начальный момент времени, скажем / = 0, функция распределения задана. Необходимо проследить за изменением функции распределения в процессе установления стационарного течения, предполагая, конечно, что при заданных граничных и начальных условиях такое предельное состояние существует. Однако не представляется

]) Баранцев Р. Г., Доклады АН СССР 151, № 5 (1963); Ку к с ен ко Б. В., Доклады АН СССР 151, № 5 (1963).

возможным проследить одновременно за движением огромного числа (порядка числа Авогадро) молекул газа. Вместо этого выберем некоторую частицу, которую будем называть пробной, и будем следить за ее движением.

Разобьем фазовое пространство па ячейки, число которых является результатом компромисса между требуемой точностью и располагаемой памятью вычислительной машины. Каждую ячейку можно занумеровать шестью числами (vp v2, v3, Нд. 1ф. ИзХ Первые три числа определяют координаты, например, центра ячейки в физическом пространстве, а последние три числа — центра ячейки в пространстве скоростей.

Если в точке x = (vP v2, v3) функция распределения известна, то легко найти число частиц Nv v v „ и ^ ==МЧ.Ц. в ячейке

12 3 12 3 4 4

Vz — 7г А^ < ^ < V/ + 7г обладающих скоростями в интервале

нг-72^<^<ш + 72ди

г'де Nxt и А£г —длины ребер ячеек соответственно в физическом и скоростном пространствах. Если внутри ячейки функцию распределения /(4, х, |) можно принять постоянной, то, очевидно,

^^ = /(4, vz, pz)AxA§, (АД = АА, АД2АД3). (15.1)

Задание чисел N во всех ячейках фазового пространства равносильно приближенному заданию функции распределения. Будем считать, что в начальный момент все числа N^^ заданы.

Выберем теперь случайным образом пробную частицу. Для этого необходимо разыграть шесть случайных чисел с плотностью вероятности, пропорциональной функции распределения т). Другими словами, плотность распределения случайных чисел должна быть такой, чтобы в результате достаточно большого числа розыгрышей количество точек, попадающих в каждую из ячеек фазового пространства, было пропорциональным заданным в них числам N.

Проследим за движением пробной частицы среди частиц с заданным распределением (полевые частицы). Будем считать, что характерный размер ячеек физического пространства Ах много меньше средней длины пробега молекул. В своем движении пробная молекула одни ячейки проходит без столкновений, в других испытывает столкновения, изменяя скорость. Когда пробная частица переходит из

*) Обычно стандартные программы дают случайные числа с равномерным законом распределения в интервале 0 <;§<!. Методы получения случайных величин с заданным распределением описаны в руководствах по методу Монте-Карло (см., например, Б у с лен ко Н. П. и Шрейдер Ю. А., Метод статистических испытаний, Физматгиз, М., 1961).

одной физической ячейки в другую, она также переходит в другую ячейку фазового пространства, соответствующую той же скорости. Когда пробная молекула испытывает столкновение, она переходит в другую ячейку фазового пространства, соответствующую той же ячейке физического пространства, но другой скорости.

Молекула, входящая в некоторую физическую ячейку со скоростью (Цр ц2, ц3), имеет вероятность пройти расстояние L без столкновения, равную (см. § 1.4)

Г£ = ехр( —у-1,(15.2)

где Х^— длина пробега пробной молекулы со скоростью Ц Относительно всех других групп молекул, имеющихся в ячейке (vp v2, v3),

VИ? + Мд + Из

Л= —■■——• fl 5.3)

5 м-г^М-зМ^^зviv2v3^i^2^3

При разыгрывании случайной величины L с плотностью вероятности (15.2) возможны два исхода. Если окажется, что ^/У"м i + М2 М3 больше времени нахождения молекулы в рассматриваемой ячейке ^V;|1, то молекула переходит в соседнюю ячейку, не изменив скорости, и вновь разыгрывается вероятность пробега L. Если же окажется, что АУм?+мНм1 <_t^ , то в рассматриваемой ячейке произошло столкновение. (Молекулы с данной скоростью, проходящие ячейку в разных местах, имеют различное время пролета. Поэтому под ^ц понимается среднее время.)

Для того чтобы определить скорость молекулы Цу, с которой произошло столкновение, необходимо разыграть случайное число с плотностью вероятности

И^пуД — g'ir/irffiiyM.^vzny-(15.4)

После этого разыгрываются два случайных числа, определяющих параметры столкновения (прицельное расстояние, и плоскость столкновения). Когда все эти числа выбраны, можно по законам механики рассчитать результат столкновения.

Числа заполнения ячеек фазового пространства ^xi\v очевидно, пропорциональны вероятности нахождения в соответствующей ячейке (Vp v2, v3) физического пространства молекулы со скоростью (ц,, ц2, ц3) в интервале A^z. С другой стороны, Очевидно, вероятность нахожде-

ния молекулы с данной скоростью в данной ячейке физического пространства пропорциональна числу попаданий молекул с такой скоростью в ячейку и времени пребывания в ней молекулы. Поэтому, если, следя за пробной молекулой, мы будем суммировать время, проведенное пробной частицей в соответствующей физической ячейке при соответствующей скорости, ю отношение этого времени к полному времени испытания определит некоторую функцию распределения.

Возникает естественный вопрос: в течение какого времени следует следить за выбранной пробной молекулой?

Как видно из сказанного выше, статистическая модель пробегов и столкновений в рассматриваемом методе точно та же, что и при выводе уравнения Больцмана. Поэтому можно ожидать, что если бы заданная функция распределения полевых частиц была решением уравнения Больцмана для рассматриваемой задачи, то, наблюдая за пробной молекулой достаточно долго и запоминая время ее пребывания в ячейках фазового пространства, мы в пределе получили бы ту же функцию распределения.

В рассмотренной же выше задаче заданная начальная функция распределения не является решением задачи. Истинная функция распределения начнет перестраиваться. Поэтому естественно ограничить время слежения за выбранной пробной молекулой временем, в течение которого функция распределения меняется мало. Следовательно, для моделирования физического процесса время слежения А^ должно удовлетворять неравенству

~C^t < min (р у), (15.5)

где | — характерная скорость молекул, L— характерный размер течения и X—средняя длина пробега, По истечении времени слежения А/ нужно тем же путем выбрать новую пробную молекулу и повторить описанный процесс.

Однако опыт расчетов (см., например, §§ 4.2 и 4.4) показывает, что условие (15.5) является излишне, жестким и что процесс сходится и при значительно большем времени слежения. Очевидно, что время слежения может быть увеличено, если начальная функция распределения близка к искомой.

Назовем процесс слежения за одной пробной молекулой циклом. Время, проводимое каждой из пробных частиц в ячейках, суммируется. Когда отношение этого времени к полному времени испытания (время всех циклов) установится во всех ячейках, можно принять эти установившиеся величины за новую начальную функцию распределения и повторить весь процесс сначала. Расчет заканчивается, когда получаемая функция распределения не отличается с необходимой точностью от функции распределения предыдущего приближения.

Скорость сходимости процесса, конечно, в существенной мере зависит от того, насколько удачно выбрана начальная функция1 распределения.

Выше мы оставили в стороне возможность попадания пробной частицы на границу области. Если пробная частица попадет на границу, то слежение за ней прекращается и выбирается новая пробная частица, идущая от границы. Если молекула попала на твердую стенку, то новая молекула выбирается в точке падения с плотностью вероятности, соответствующей закону отражения.

Если пробная молекула падает на проницаемый участок границы, то разыгрывается (с плотностью вероятности, соответствующей заданной функции распределения входящих в объем частиц) не только скорость входящей частицы, но и точка входа. Суммарное число входящих и выходящих частиц при такой процедуре одинаково. Однако в каждой точке границы потоки частиц в ту и другую стороны в общем случае не равны.

Описанный выше метод построен по аналогии с процессами, происходящими в реальном газе. В его основе лежат те же статистические гипотезы, что и в уравнении Больцмана. Однако строгая теория метода, основанная на последовательном рассмотрении имеющих здесь место марковских процессов, еще не создана. В имеющихся к настоящему времени реализациях метода оправданием выбранной постановки математического эксперимента служило правдоподобие полученных результатов (см. §§ 4.2, 4.4, 6.6). Сходимость метода для каждой задачи проверялась в процессе расчетов.

Результаты расчетов по методу Монте-Карло являются осреднениями некоторого множества случайных величин. Как и всякие средние статистические величины, результаты метода Монте-Карло подвержены флуктуациям, тем большим, чем меньше число осредняемых величин. Точность метода растет обратно пропорционально корню квадратному из числа розыгрышей. Поэтому для получения большой точности может потребоваться практически неприемлемый объем вычислений. На результаты метода Монте-Карло следует смотреть как на результаты эксперимента, всегда подверженные определенному разбросу, обусловленному ошибками измерений.

Одним из основных препятствий для широкого применения метода является малая оперативная память современных вычислительных машин. Действительно, необходимо в каждой фазовой ячейке помнить как искомую функцию распределения, так и функцию распределения предыдущего приближения. Кроме того, целесообразно (чтобы при каждом попадании частицы в ячейку не считать заново) для данного приближения заранее рассчитывать во всех ячейках величины t^ и ^ц,- Если взять на каждой пространственной и скоростной координатах хотя бы по десять точек, то число ячеек для трехмерной

§ 3.15] МЕТОДЫ МОНТЕ-КАРЛО 229 задачи окажется порядка 10®. Практически при расчетах количество запоминаемых чисел еще в 10 или 100 раз больше. Поэтому в настоящее время расчеты осуществлены лишь для одномерных задач, когда имеются одна пространственная и две скоростных координаты.

Потребную память можно существенно сократить для псевдомакс- велловских молекул или, точнее, для молекул, сечения столкновения которых изменяются обратно пропорционально относительной скорости сталкивающихся молекул т).

Действительно, так как в этом случае о' = cogo[g, то длина пробега, согласно (15.3), будет определяться выражением

и для определения вероятного свободного пробега пробной молекулы необходимо в каждой геометрической ячейке помнить лишь полное число находящихся в пей молекул NV1V2Vs, а не распределение этого числа молекул по различным скоростям (т. е. числа ^VlV3V|tl№)-

Вероятность столкновения ц-пробной молекулы с Туполевой молекулой для рассматриваемых молекул равна

^v(.|iy|i= ^v^^/(v<> Ц/)АхД^у. (15.4а)

Если движение пробной частицы происходит в соответствии с функцией распределения /, то частота ее попадания в ячейку, очевидно, пропорциональна У (и)Р- Время же ее пребывания в ячейке пропорционально l/|i, и, следовательно, вероятность обнаружения молекулы в ячейке пропорциональна

/(ц)ц(1/р.) = /(ц).

Пусть в данной пространственной ячейке мы запомнили скорость ц*. Пусть при следующем, (&+1)-м попадании пробной молекулы в ячейку она имеет скорость ц. Тогда, если мы запомним в ячейке с вероятностью g= 1/р скорость ц, т. е, положим ц^ + = ц и с вероятностью 1—g положим ц^+Ч = pW, то в среднем (при достаточно большом числе попаданий пробной молекулы в ячейку) вероятность обнаружения молекулы со скоростью р^ будет пропорциональна функции /(ру). Но последней, согласно (15.4а), пропорциональна и вероятность столкновения р-молекулы с румолекулой. Поэтому в каждой геометрической ячейке достаточно запоминать

230 ОБЩИЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ БОЛЬЦМАНА [ГЛ. III лишь одну скорость цЛ по указанному рецепту. Если при (fe-|- 1)-м попадании пробной молекулы в данной ячейке произойдет столкновение, то оно произойдет с молекулой, обладающей скоростью рЛ.

Таким образом, для молекул с сечением столкновения, обратно пропорциональным относительной скорости, в каждой геометрической ячейке достаточно запоминать лишь общее число молекул в этой ячейке и одну скорость, в то время как в общем случае нужно запоминать всю функцию распределения. Если в трехмерном случае для произвольных молекул вдоль каждой скоростной координаты запоминать лишь по 10 скоростей, то в каждой пространственной ячейке нужно запомнить 103 чисел. Следовательно, для псевдомакс- велловских молекул потребную память можно понизить примерно на три порядка. Это делает реальным расчет сложных двух- и трехмерных течений методом Монте-Карло на современных вычислительных машинах.

Простейшие реализации метода Монте-Карло даны в §§ 4.2, 4.4, 6.6. ' '

Рассмотрим теперь другую возможную схему расчетов, в которой одновременно следят за движением большого числа молекул.

В § 2.11 мы видели, что для сохранения подобия течений необходимо сохранение числа Кнудсена, Подобие может быть соблюдено при сохранении произведения числа частиц на сечение столкновения. Другими словами, рассматривая газ с небольшим числом больших шаров, мы моделируем движение газа с большим числом малых частиц. Однако уменьшение числа частиц не беспредельно. Во-первых, при уменьшении числа частиц увеличиваются флуктуации. Во-вторых, при сохранении произведения ло' - const и уменьшении числа частиц возрастает объем, занятый молекулами, и представляемый ими газ с некоторого момента уже нельзя считать идеальным. В-третьих, заменяя одной большой молекулой несколько малых молекул, мы фактически заменяем непрерывную функцию распределения ступенчатой. В частности, пропадают молекулы с очень большими скоростями.

Представим себе, что все пространство разделено на кубические ячейки, в каждой из которых еще. содержится достаточно большое число молекул. Выберем некоторую ячейку и будем ее считать центральной. Пусть в начальный момент положения и скорости молекул во всех ячейках одинаковы, т. е. функция распределения периодична. Если в начальный момент распределение молекул отлично от максвелловского, то представленный себе газ в результате столкновений начнет приближаться к равновесию. Будем следить за движением молекул в центральной ячейке. Если какая-либо молекула выходит из этой ячейки, то вследствие периодичности через противоположную грань войдет частица с той же скоростью. Движение молекул в центральной ячейке полностью определит движение во всем пространстве.

В работах Олдера и Вайнрайта *) на вычислительной машине проводился расчет для 32 и 100 молекул в ячейке. В начальный момент все молекулы в виде сферических твердых шариков имели одинаковую по величине скорость. Направление скорости выбиралось случайным, С помощью проведенных расчетов можно проследить про

цесс установления равновесия.

Ниже приведены результаты расчетов для 100 шаров, занимавших менее 1/14 объема. На рис. 17 приведено отношение числа частиц

Начальное состояниеНачальное состояниеН^оН^оN No и

Начальное состояние

Начальное состояние

Н

^о

Н

^о

/О

9898После 60 столкновенийПосле 60 столкновений7766442 -2 -дд44ООПосле /50 столкновенийПосле /50 столкновенийд2 Л 6д2 Л 622Рис. 17.Рис. 17.1,31,3100100200200Число столкновенииЧисло столкновенииРис. 18.Рис. 18.

9

8

9

8

После 60 столкновений

После 60 столкновений

7

7

6

6

4

4

2 -

2 -

д

д

4

4

О

О

После /50 столкновений

После /50 столкновений

д

2 Л 6

д

2 Л 6

2

2

Рис. 17.

Рис. 17.

1,3

1,3

100

100

200

200

Число столкновении

Число столкновении

Рис. 18.

Рис. 18.

С данной скоростью N^ в рассматриваемом процессе к числу частиц А^об) с той же скоростью в равновесии. По оси абсцисс отложено отношение энергии частиц к средней энергии молекул. Когда разыграно 150 столкновений, каждая молекула в среднем испытала всего три столкновения. Из приведенного графика видно, что после двух-трех столкновений распределение молекул уже весьма близко к равновесному. Однако, вследствие малого числа рассматриваемых частиц, в ячейке еще имеются значительные флуктуации.

Имея функцию распределения, можно в каждый момент времени рассчитать //-функцию Больцмана и проследить за ее стремлением к равновесию. На рис. 18 показано изменение отношения /7-функции к ее равновесному значению во времени. Когда каждая молекула

') Alder В., Wainwright Т., J. Chern. Phys. 27, 1208 (1957); Wainwright Т., Alder В., Nuovo cimento 9, Suppl. 1, 116 (1958).

232 ОБЩИЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ БОЛЬЦМАНА [ГЛ. III испытывает два столкновения, //-функция уже весьма близка к равновесной, однако предельное значение //-функции несколько выше равновесного. Это объясняется упоминавшимся выше пропаданием молекул с очень большими скоростями (скоростями в 4 — 5 раз больше средней).

Флуктуации //-функции значительно меньше флуктуаций функции распределения. Этот факт является естественным и типичным для метода Монте-Карло. Суммарные характеристики (в данном случае //-функция) появляются в результате осреднения значительно большего количества случайных чисел, чем локальных (в данном случае число частиц с данной скоростью). Поэтому методы Монте-Карло особенно экономичны для расчета суммарных характеристик. В частности, приведенный пример показывает, что замена огромного числа молекул в реальном газе сравнительно небольшим их числом позволяет получить удовлетворительную точность для суммарных величин.

Принцип максимальной вероятности

В § 2.5 показано, что максвелловское распределение является наиболее вероятным при заданных числе частиц, их импульсе и энергии. В результате решения соответствующей простейшей вариационной задачи была получена функция распределения для равновесного случая. Естественно попытаться отыскивать функцию распределения как функцию наиболее вероятную и для неравновесных процессов •).

Вероятность какого-либо распределения определяется //-функцией Больцмана (см. § 2.5)

Н = J /ln/dg.(16.1)

Будем отыскивать экстремум функционала (16.1) при некотором множестве дополнительных условий (моментов):

М^... “лг= J ^«j ‘ ■ ^aNf ^’ (ai> ‘ ‘ ‘ ’ а№ 1’ 2. 3). (16.2)

Условия (16.2) могут включать как равновесные ^п, ub Г), так и неравновесные (Р^-, Qi и т. д.) свойства течения.

Как и в § 2.5, введем множители Лагранжа, образуя функционал

f = J (/inZ + zS^v-^(16.3)

!) Epstein Р. S., Verhan. der Deutsch. Phys. Ges. 21, 96 (1919); Einstein Z., Ann. der Physik 69, H. 4, № 20 (1922); Epstein P. S., Phys. Rev. 23, 710—733 (1924) (русский перевод в сб. «Газовая динамика», ИЛ, 1950; Коган А. М., Доклады АН СССР 158, № 5 (1964); Guiraud J. Р„ Rarefied Gas Dynamics, Third Symp., Acad. Press, 1963.

Уравнение Эйлера вариационной задачи принимает вид

inz + i + S^-^A •••Ч = о- (16Л)

Следовательно, наиболее вероятная функция распределения имеет форму

/ = ехР |^1 Ч~2 ^а^... а^сц • • • ^«^ | ■(16.5)

Для нахождения входящих сюда множителей Лагранжа необходимо подставить найденную функцию распределения в условия (16.2). Получающиеся связи позволяют выразить множители через заданные моменты Ж™.

Имея функцию распределения, выраженную через определяющие задачу моменты, можно далее воспользоваться методом моментов (см. §§ 3.2 и 3.4) для построения системы уравнений, которым должны удовлетворять моменты или множители Лагранжа %^\

Как указывалось ранее, точность метода моментов определяется правильностью выбора формы функции распределения. Описанная формальная процедура дает возможность для каждой конкретной задачи отыскать наиболее вероятную при заданных определяющих задачу макроскопических параметрах функцию распределения. Однако формальное применение метода сразу же наталкивается на известные трудности.

Первая трудность—математического свойства. Пусть рассматривается задача, в которой наивысшим определяющим задачу моментом является нечетный момент, например поток тепла q^ Тогда при подстановке функции распределения / в виде (16.5) в условия (16.2) мы получим расходящиеся интегралы типа

+со

J £ ехР { (a0 + al£1а2я + 1^ ^ ) } ^£«

и задача не имеет решения.

Если наивысшие моменты четные, как это было в § 2.5 при построении равновесной функции распределения, то обусловленные нечетными моментами расходимости подавляются более высокими четными моментами.

Более принципиальная вторая трудность состоит в выборе необходимого конечного числа моментов. Очевидно, что если, например, при описании течения с отличным от нуля потоком тепла не включить qt в число определяющих параметров, то полученная функция распределения не только не сможет обеспечить достаточную точность, но может привести к качественно неверным результатам. Вообще же

234 ОБЩИЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ БОЛЬЦМАНА [ГЛ. III говоря, в любой не вырожденной задаче имеется бесконечное число отличных от пуля моментов.

Если бы найденная при выбранном конечном числе определяющих моментов наиболее вероятная функция распределения являлась истинной функцией распределения задачи, то, очевидно, она должна была бы удовлетворять уравнению Больцмана точно, а не в среднем — конечному числу моментных уравнений. Если же наиболее вероятная функция распределения нс является точной и не удовлетворяет уравнению Больцмана, то необходимо выяснить даваемую ею степень приближения, т. е. выяснить, каков вообще смысл выбора наиболее вероятной функции.

Рассмотрим около точки х, в которой отыскивается функция распределения /(#, х, |), некоторый физический объем с таким наибольшим характерным размером д, чтобы внутри этого объема с известной точностью можно было еще считать определяющие моменты постоянными.

Если ббльшая часть молекул пролетает- выделенный объем без столкновений, то, очевидно, функция распределения в точке х определяется процессами (столкновениями) вне рассматриваемого объема. Следовательно, вероятность состояния в точке X в этом случае ни в коей мере не определяется параметрами течения в этой точке. Имеется бесчисленное множество функций распределения, соответствующих одним и тем же макроскопическим определяющим параметрам (если число последних конечно). Поэтому приходящие в объем молекулы при заданных в точке х определяющих параметрах могут обладать распределением с произвольной вероятностью, а не с максимальной.

Столкновения внутри рассматриваемого объема являются тем единственным механизмом, который может сделать функцию распределения наиболее вероятной при заданных в этом объеме определяющих макроскопических параметрах. Следовательно, для того чтобы можно было говорить о наиболее вероятной функции распределения, число молекул, входящих в объем за время порядка времени между столкновениями, должно быть много меньше числа молекул в объеме. Число молекул со скоростями в интервале б?§ около скорости g в рассматриваемом объеме по порядку величины равно f(t, х, |) d^, д3, а число молекул, вошедших в объем с той же скоростью за время между столкновениями, пропорционально /</|д2§т или f^dt,, где X — средняя длина пробега. Следовательно, сформулированное выше требование сводится к условию

б;>к (16.6)

Если некоторая молекула, скажем со скоростью Е,, вышедшая из объема, замещается другой молекулой с той же скоростью, то процесс установления наиболее вероятного распределения не изме-

нится (при выполнении условия (16.6) и предположения о хаосе). Изменение в объеме числа молекул со скоростью | за время т равно т J (§• и)М$~Е,тд2^-д,(16.7)

s

где интегрирование ведется по поверхности объема 5.

Эта величина должна быть много меньше числа молекул с той же скоростью внутри объема /д3, т. е.

Следовательно, можно говорить о функции распределения как о наиболее вероятной лишь для течений при малых числах Кнудсена, т. е. для течений, близких к локально-равновесным. В этом случае все моменты, за исключением гидродинамических, можно считать малыми и линеаризировать выражение (16.5) относительно равновесной функции распределения, т. е. записать его в виде

/ = п (^)3/2 ехр [- № (§ - и)2} (А + ВД. + №^ +...).(16.9)

После линеаризации уже не возникает расходящихся интегралов, о которых речь шла выше.

Возьмем, например, в качестве определяющих параметров тринадцать моментов п, «г, Т, Рц и qt. Для упрощения выкладок удобно перейти к системе координат, движущейся со скоростью газа в точке X. Тогда и,-= О, Е, = су и условия (16.2) принимают вид п = к f de, ut — 0 = I с J de, -|- к T = J ™™ / de, i

J2I <16-10)

PH = m J cicjf dc< Яi = J cj de. j

Выражение (16.9) для рассматриваемого случая можно переписать в виде

/= я ^^6"^ ^ + BlCi + ?^ciCj + ЭД. (16.11)

Подставляя (16.11) в условия (16.10), после несложных выкладок получим:

Тогда наиболее вероятная функция (16.11) принимает вид

/ к \3/2 Г р, , / m ) а. ( m \ (с2 m \ 1

f=n —И • (16.12)

JL ' 2р \кТ j 1 J р \kT}\5 кТ) ‘J -7

Полученное выражение совпадает с функцией распределения тринадцатимоментного приближения Града (см. формулу (3.34)). Подстановка его в моментные уравнения приводит к тринадцатимоментным уравнениям и, следовательно, и ко всем следующим из них выводам (см. § 3.3). Однако следует заметить, что при выводе тринадцатимоментных уравнений в выражении (16.12) величины ptj и qt произвольны, в то время как в приведенном выводе их следует предполагать малыми. В §3.3 для максвелловских молекул при малых ptj и qt из тринадцатимоментных уравнений (3.27) и (3.28) были получены выражения для р1; и q, в навье-стоксовском и бар- неттовском приближениях. Однако, как мы видели, более высокие приближения для ptj и q^ полученные из тринадцатимоментных уравнений, отличны от соответствующих приближений, получаемых из полных моментных уравнений. Поэтому следствия, получаемые с помощью принципа максимальной вероятности при тринадцати определяющих параметрах п, щ, Т, р^ и qt, для максвелловских молекул не выходят за рамки барнеттовского приближения метода Энскога. Все прочие результаты, которые могут быть получены из соответствующих тринадцатимоментных уравнений, являются внепорядковыми.

Более того, в §§ 3.3 и 3.8 мы видели, что для произвольных немаксвелловских молекул из тринадцати- и двадцатимоментных уравнений нельзя получить даже уравнения Навье — Стокса с правильными значениями коэффициентов переноса (значения коэффициентов вязкости и теплопроводности могут быть найдены лишь в первом приближении в смысле Энскога, см. § 3.8). Как показано в § 3.3, максвелловские молекулы являются исключительными, так как для них при малых числах Кнудсена (Кп = с * 0) высшие моменты (точнее, коэффициенты aW разложения функции распределения в ряд по полиномам Эрмита, являющиеся линейной функцией моментов) имеют порядок t2 и выше. Для произвольных же молекул вся бесконечная цепочка моментов (точнее, коэффициентов а№) имеет порядок е, как и Ptj и qt. Поэтому, хотя в практических приложениях обычно интересуются лишь первыми тринадцатью моментами, мы не имеем права при выборе определяющих параметров ограничиться только этими моментами, а необходимо учитывать бесконечное число определяющих параметров даже для получения функции распределения в навье-стоксовском приближении, и, следовательно, в скобку выражения (16.11) необходимо добавить бесконечное число членов вида ^а^\.. а С^ . . . са^.

В то время как равновесное состояние газа определяется конечным числом макроскопических параметров, состояния, близкие

КИНЕТИЧЕСКАЯ теория и неравновесная ТЕРМОДИНАМИКА 237 к равновесным, в общем случае определяются бесконечным числом макроскопических параметров.

Таким образом, для произвольных молекул результаты, которые могут быть обоснованно получены с помощью принципа максимальной вероятности (энтропии), при учете бесконечного числа моментов равноценны учету членов порядка € в ряде Энскога, т. е. приближению Навье — Стокса. Результаты, получаемые с учетом лишь тринадцати моментов, не позволяют получить даже точные уравнения навье- стоксовского приближения.

Использование наиболее вероятной функции распределения при произвольных числах Кнудсена представляется не многим более обоснованным, чем применение произвольно выбранной функции.

По-видимому, в некоторых случаях принцип максимума энтропии может быть использован для приближенного вычисления коэффициентов переноса, входящих в уравнения типа Навье—Стокса для сложных систем, для которых строгая теория еще не создана.

К рассмотренному вопросу тесно примыкает проблема, выдвинутая еще П. и Т. Эренфестами *). Рассмотрим некоторый неравновесный процесс, скажем передачу тепла газом, расположенным между пластинами с различной температурой. Если в начальный момент функция распределения молекул газа между пластинами задана произвольно, то, очевидно, начнется процесс установления, и при t—>oo установится стационарное состояние. Возникает вопрос, является ли стационарная функция распределения в некотором смысле наиболее вероятной. Для ограниченного круга задач, к которым применима термодинамика необратимых процессов, ответ в известной мере дается так называемым принципом минимума возникновения энтропии). Однако при произвольных числах Кнудсена аналогичный принцип еще не установлен. В общем случае можно говорить лишь о вероятности для всей системы, а не для функции распределения в точке. Во всяком случае из соответствующего вариационного принципа, пригодного при всех числах Кнудсена, должно вытекать уравнение Больцмана, т. е. решение вариационной задачи должно удовлетворять и уравнению Больцмана.

Кинетическая теория и неравновесная термодинамика

В термодинамике для характеристики состояния макроскопической системы фундаментальное значение имеет понятие энтропии ^.

Энтропия может изменяться как в результате притока ее через границы системы, так и в результате ее возникновения внутри системы:

=(17.1)

^Ehrenfest Р., Ehrenfest Т., Encyk. d. math. Wissenschaft. 4, № 32, Leipzig, 1911.

где йУе—приток энтропии извне и АУ* t—производство энтропии внутри системы. Второй закон термодинамики утверждает, что

^■>0.(17.2)

Термодинамика и статистическая физика изучают обратимые процессы, для которых d^ = 0, т. е. процессы, в которых система переходит из одних равновесных состояний в другие равновесные состояния через последовательность равновесных же состояний. Неравновесная термодинамика (или термодинамика необратимых процессов, квазитермодинамика), как и кинетическая теория, изучает неравновесные процессы. Цель настоящего параграфа — показать соотношение этих дисциплин.

Основные положения неравновесной термодинамики1) схематизи- рованно рассмотрим на примере смеси идеальных одноатомных газов в отсутствие внешних сил и химических реакций.

(17.3)(17.4)(17.6)(17.6)одно-(17-7)(17.3)(17.4)(17.6)(17.6)одно-(17-7)Термодинамика неравновесных процессов является наукой феноменологической и имеет дело с макроскопическими величинами. Для смеси идеальных нсреагирующих газов должны выполняться уравнения сохранения (9.18) — (9.21), которые запишем в виде дпь дп^и, " дхт = °’

(17.3)

(17.4)

(17.6)

(17.6)

одно-

(17-7)

(17.3)

(17.4)

(17.6)

(17.6)

одно-

(17-7)

<Zp । диг „/ d д , д \

\dt — т дхг)*

dut = 0Р1г9 dtдхт ’

dU dqT р dutdtдхг 1г дхг ’

где U — внутренняя энергия единицы массы газа, равная для атомного газа энергии поступательного движения молекул:

,г 3 кпТU — 2 р ‘

В неравновесной термодинамике делается существенное положение о том, что энтропия системы, в которой происходят необратимые процессы, является той же функцией состояния, что и для равновесной системы. В соответствии с этим считается, что изменение энтропии вдоль траектории макроскопической системы определяется

') Систематическое изложение термодинамики неравновесных процессов можно найти в монографиях: Пригожим И., Введение в термодинамику необратимых процессов, ИЛ, 1960; де Гроот С., Мазур П., Неравновесная термодинамика, «Мир», 1964.

§ 3.17] КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ И НЕРАВНОВЕСНАЯ ТЕРМОДИНАМИКА 239 формулой Гиббса:

т d^ dU . dV V к dck

T^F=ir^P-dr-V ^F'<17'8)

где V = p-1— удельный объем, ц* — термодинамический потенциал и сь = рк(р—массовая концентрация &-й компоненты газа. Для идеального газа термодинамический потенциал равен

ц6=^1пгаЧ—) (h.h=FL_Y(17.9)

(л /\ 2kT/

Можно принять выражение (17.8) за определение энтропии в неравновесной термодинамике.

Для энтропии можно записать очевидное уравнение сохранения:

^ + div^=a,(17.10)

где <7^— полный поток энтропии и о—интенсивность источника энтропии, или производство энтропии в единице объема в единицу времени.

С помощью уравнения неразрывности (17.4) это уравнение приводится к виду

p^ = -div^+o,(17.11)

где

Js” = ^5” — pud’ ■

Для потока энтропии Jy постулируется, что он обусловлен лишь потоком тепла J = q и диффузионными потоками вещества

<17-12)

\k /

где

1к = рк^ик— е)(17.13)

— диффузионные потоки.

Подставляя это выражение для потока энтропии в уравнение (17.11), заменяя в последнем d&Fdt из соотношения Гиббса (17.8) и исключая полные производные от U, р и ск с помощью уравнений сохранения (17.3) — (17.6) для смеси идеальных газов, получим

a = J grady- — ^^grad^- —у-р ^-.(17.14)

Следовательно, производство энтропии можно записать в виде а = 2^/.(17-15)

где J£— потоки и Х£— сопряженные им термодинамические силы Соотношение (17.14) или (17.15) позволяет определить термодинамические силы, сопряженные соответствующим потокам. Потоки, принимаются линейно связанными с сопряженными термодинамическими силами, т. е.

Jl=^LljXi U=Xп).(17.16)

В качестве потоков Jt могут быть потоки тепла, диффузионные потоки и т. д., а термодинамическими силами Х£— градиенты температуры, концентрации, скоростей и т. д. Соотношение (17.16) предполагает, что любые градиенты в общем случае могут вызвать любой поток.

(17.17)(17.17)Для систем, удовлетворяющих перечисленным предположениям, доказывается, что феноменологические или кинетические коэффициенты Ц5 удовлетворяют соотношениям симметрии Онзагера:

(17.17)

(17.17)

Ц) — Ljt.

Заметим, что соотношения Онзагера выполняются лишь тогда, когда в (17.16) входят сопряженные потоки и термодинамические силы в соответствии с выражением (17.15).

Сравнивая постулаты квазитермодинамики с полученными в предыдущих параграфах кинетическими результатами, легко заметить, что предположение о линейной связи потоков с градиентами справедливо лишь для навье-стоксовского приближения. Следовательно, неравновесная термодинамика применима лишь для описания состояний, близких к равновесным, а извлекаемая с ее помощью информация не может превосходить информацию, даваемую учетом первого члена разложения по отклонению от равновесия.

Часто к этому же результату приходят, сравнивая приведенные выше выражения для энтропии, потока энтропии и производства энтропии с соответствующими выражениями, полученными из кинетического определения энтропии (см. § 2.5)

к

Однако это сравнение неправомерно, так как соотношения (17.8) и (17.11) можно рассматривать как определения энтропии и производства энтропии в неравновесной термодинамике, не зависимые от кинетического определения энтропии.

Важнейшим и, по-видимому, единственным результатом термодинамики неравновесных процессов являются соотношения Онзагера, позволяющие связать различные явления. Легко проверить, что соотношения Онзагера выполняются и в кинетической теории в рамках приближения Навье — Стокса. Для этого достаточно в выражениях (9.62), (9.65) и (9.67) выделить коэффициенты при термодинамических силах, определенных соотношением (17,14).

В отличие от кинетической теории, термодинамика необратимых процессов не дает никаких сведений о величине кинетических коэффициентов. В то же время методы термодинамики необратимых процессов применимы к весьма широкому классу явлений (химические реакции, фазовые переходы, кристаллы, тела в присутствии магнитных полей и т. д.). Кинетическая же теория в настоящее время удовлетворительно развита лишь для разреженных газов.

Глава IV

Решение уравнения Больцманадля вырожденных течений

Точные решения уравнения Больцмана

Ввиду сложной структуры интеграла столкновений в настоящее время получено очень небольшое число точных решений уравнения Больцмана. Несмотря на то, что большая часть этих решений описывает весьма искусственные ситуации, они представляют большую ценность как эталонные решения для апробации приближенных методов расчета, а также дают ценную информацию о качественном поведении решений уравнения Больцмана.

,/ т \3/2^”п\мг) ехр,/ т \3/2^”п\мг) ехрНаиболее важным точным решением является абсолютное максвелловское распределение, характеризующее газ, находящийся в равновесии в отсутствие поля сил:

,/ т \3/2

^”п\мг) ехр

,/ т \3/2

^”п\мг) ехр

(1.1)

Эта функция обращает в нуль как интеграл столкновений, так и левую часть уравнения Больцмана, так как входящие в нее макроскопические величины п и Т не зависят от координат.

Естественным обобщением этого решения является барометрическая формула Больцмана. Запишем уравнение Больцмана для газа, находящегося в стационарном состоянии в поле сил, обладающем потенциалом ф:

П' °'2)

Будем искать решение этого уравнения в виде

f=A^e-BW^.(1.3)

Подставляя (1.3) в уравнения (1.2), имеем

— —= °-<1Л)

\ длу 1 m дх^ )ox;7

так как функция (1.3) обращает интеграл столкновений в нуль.

Так как скорость g является независимой переменной, то из (1.4)

следует, что.

В = const и 1п Д 4~-^~ Ф — 1н С = const. (1.5)

Следовательно,'

2В

f=C^VK?.(1.6)

Для определения констант В и С используем соотношения: /•3/9 2В

п=у^ = С^е(1.7)

22— „ вз/2 2B’

откуда

и C'~ По\,2л,кТ) ’

где «0—плотность газа в точке нулевого потенциала сил <р = 0. Окончательно имеем:

ЧТО)

и

п=пое кГ.(1-11)

В частности, в поле тяготения Земли <$= gh, где g—ускорение силы тяжести и h — высота, получаем известную барометрическую формулу Больцмана:

п=пое кг, (1-12)

где «о — плотность у поверхности Земли.

Следует, однако, заметить, что решение (1.10) является точным решением уравнения Больцмана либо в безграничном пространстве, либо при наличии границ, не нарушающих этого распределения. Отметим, что условия (1.5) и (1.9) требуют, чтобы температура была постоянной. Полученное решение является частным случаем локальномаксвелловского распределения.

Общее локально-максвелловское распределение

/о=п (гл^г) ехР { "гп^2} (с = ^ в)’(М3)

е. распределение, в котором гидродинамические величины п, и и Т зависят от координат и времени, также обращает в нуль интеграл столкновений. Однако левая часть уравнения Больцмана налагает

16* М. Н. Коган

244 РЕШЕНИЕ УР-НИЯ БОЛЬЦМАНА ДЛЯ ВЫРОЖДЕННЫХ ТЕЧЕНИЙ [ГЛ. IV на изменение гидродинамических величин по t и х условия, выделяющие класс точных решений1).

Перепишем уравнение Больцмана в присутствии поля сил в виде

< ++(1.И)

где g^X^m— ускорение молекулы.

Будем искать локально-максвелловские решения уравнения (1.14). Локально-максвелловскую функцию удобно переписать в виде

1п/ = Уо + УЛН^2.(i=l, 2,3),(1.15)

где

(V^Yi+Ys + Mi).(V^Yi+Ys + Mi).

(V^Yi+Ys + Mi).

(V^Yi+Ys + Mi).

Поделим уравнение (1.14) на / и подставим в него решение (1.15). Тогда, приравнивая члены при различных степенях £, получим:

54 +g'Xi — 0,

(1.17)

(1.18)

1 / d\i_

dt Ч 2 (дх} 1 dxj-

(1.19)

ох.

(1.20)

Вернемся в этих уравнениях к физическим переменным р, ut и Т. Из уравнения (1.20) имеем

(1.20а)

во времени.Так как у4 нимает формуво времени.Так как у4 нимает формут. е. температура постоянна по пространству, но может изменяться

во времени.

Так как у4 нимает форму

во времени.

Так как у4 нимает форму

или Т не зависит от xt, то уравнение (1-Ю) при-

(1.21)(1.21)д In Т /OUj

(1.21)

(1.21)

dt1 (dxjdxt

*) Кар леман Т., Математические задачи кинетической теории газов, ИЛ, 1960; Grad Н., Comm. Pure and Appl. Math. 2, № 4 (1949); Фридлендер О. Г., Прикл. матем. и мех. 29, №5 (1965).

Сложим уравнения для i = j=l, 2, 3. Очевидно, эта свертка дает:

д In Т2 duj,

dt3 dx^ '

Тогда условие (1.21) принимает вид du£duj2 du^

dxj + dx£3 ^Ч дхк

Уравнение (1.18) в физических переменных переходит в

du£ д In Т RT dp dtij

и, —1ги , g ■ = 0. dt 1 dt 1 р dx£ ) dx£ °!

Умножим (1.21) на Uj и просуммируем по j; имеем d In Т du,£du j

Ul St ^“j"d^ + Uj"d^ = 0'

(1.22)(1.19а)(1.22)(1.19а)(1.23)(1.23)(1-24)(1-24)По определению p = pRT, и так как Т не зависит от х(, то

(1.22)

(1.19а)

(1.22)

(1.19а)

(1.23)

(1.23)

(1-24)

(1-24)

(1.25)(1.25)д р 1 дрР др 1 дрRT др ^

(1.25)

(1.25)

dx£ рр dx£р2 dx£р дх£р дх£ '

du£du£ди£ди£dt ~ f dXjdt ~ f dXj1 dp ।р dx£ + ^1‘1 dp ।р dx£ + ^1‘(1.18а)(1.18а)Подставляя (1.24) и (1.25) в уравнение (1.23), получим

du£

du£

ди£

ди£

dt ~ f dXj

dt ~ f dXj

1 dp ।

р dx£ + ^1‘

1 dp ।

р dx£ + ^1‘

(1.18а)

(1.18а)

(1.17):(1.17):Перепишем, наконец, в физических координатах уравнение

(1.17):

(1.17):

1 др3 din Г м2 din Ги£ди£и£ „ j

р dt2 dt' 2RT dtRTdtRT

Используя (1.22) и (1.18a), преобразуем это уравнение к виду

dp диь dp р / и2 du;, и; du2\

Легко проверить, что содержимое скобок равно нулю. Действительно, умножая уравнения (1.19а) на и^и£ и суммируя по I и j, получим

0. (1.28)(1.17a)0. (1.28)(1.17a)[ du£ 6иД 2duj, ди2 2 ди^

0. (1.28)

(1.17a)

0. (1.28)

(1.17a)

v ( dxj ' dx£ /3 . Ч 1 1 dxb 1 dxj 3 дхк

Следовательно, уравнение (1.27) можно записать в виде dp dpuj dt + dXj ~ °'

Нетрудно заметить, что уравнения (1.17а) и (1.18а) суть не что иное, как уравнения неразрывности и уравнения движения в приближении Эйлера. Уравнение энергии в эйлеровском приближении

имеет вид (см. § 3.6)

;Т = —(1.29)

2\ <?/ 1/ дхд /дх1гv '

что, очевидно, совпадает с уравнением (1.22) при температуре, не зависящей от пространственных координат. Условия (1.20а) и (1.19а), очевидно, совпадают с требованием равенства нулю вектора потока тепла и тензора напряжений в навье-стоксовском приближении.

Таким образом, решения уравнений Эйлера, удовлетворяющие условию равенства нулю вектора потока тепла и тензора напряжений, а следовательно, являющиеся одновременно и решениями уравнений Навье — Стокса, являются точными решениями уравнения Больцмана с локально-максвелловской функцией распределения.

Проанализируем теперь характер возможных локально-максвелловских течений, определяемых системой уравнений (1.17)—(1.20).

Продифференцируем уравнение (1.19) по хк; так как д'\^дхь = 0, то

dXjdxk + ~дх( дхк ^ °’(1.30)

Прибавляя к (1.30) и вычитая из него уравнения, полученные из (1.30) циклической перестановкой индексов, получим

Следовательно, у, имеет вид

Yz(^ x') = ai(t)JrbZj(_t)xj.(1.32)

Подставляя выражение (1.32) в уравнение (1.19), найдем, что

| — btj при i=pj,Ьц(<)=\д\4

ПРИ l =

Поэтому (1.32) можно переписать в векторной форме:

V(C x) = a(t)^р X-\-(®^)Х X),(1.33)

где <в(/)—вектор угловой скорости вращения газа как твердого тела.

Так как вектора;, согласно связям (1.16), пропорционален скорости и, то из (1.33) следует, что возможные движения являются суперпозицией поступательного движения, радиального расширения и вращения как твердого тела.

Перепишем уравнение (1.18) в векторной форме:

-^■4“2y’4g-4-gradY0 = 0,-^■4“2y’4g-4-gradY0 = 0,(1.186)(1.186)

-^■4“2y’4g-4-gradY0 = 0,

-^■4“2y’4g-4-gradY0 = 0,

(1.186)

(1.186)

Применив к этому выражению операцию ротора и представив у в виде (1.33), получим

гоШЛ х)= —(1.34) откуда

g(t, х^ =7ф —X ^ ■(1.35)

ь vm т 2 \ у4 dt /4

где ф(7, х)—потенциал.

Заменяя в уравнении (1.186) функции g и у соответственно их выражениями (1.35) и (1.33), получим после интегрирования следующее выражение для у0(Л х):

YO(Z, х^ — Ч^Ш^ xW^^x^-^-x^-VHtY (1.36) где b(t)—произвольная функция интегрирования.

Подставляя теперь найденные выражения для g и у0 в уравнение (1.17), получим

2у4 ^~^ ' Xad Ф) + 2 ДТГ Т

1 dy4 , . I д^а \ db № . 1 (Г 1 й®., ) .Д') ,.

< (1-37)

Уравнение (1.37) можно рассматривать как дифференциальное уравнение в частных производных первого порядка, определяющее потенциал, совместимый с локально-максвелловскими течениями при произвольно заданных функциях времени у4, a, to и Ь, так как на последние уравнения (1.17)—(1.20) не налагают условий.

Наоборот, если считать потенциал заданным, то уравнение (1.37) накладывает связи на функции у4. a, to и Ь. После нахождения потенциала или функций у4, a, to и b плотность и скорость потока находятся по формулам (1.36) и (1.33).

В стационарном течении из (1.33) и (1.37) имеем у = ®Хл, (у • grad ф)—0, т. е. газ может вращаться как целое (перенос с постоянной скоростью несуществен), а сила должна быть направлена перпендикулярно скорости. При to — у = 0 потенциал произволен, и мы возвращаемся к барометрической формуле,

Локально-максвелловское распределение тождественно обращает в нуль интеграл столкновений. Поэтому, оставаясь в классе локально-максвелловских решений, нельзя получить представления о поведении решений уравнения Больцмана для диссипативных процессов. Рассмотрим класс точных решений с не равным нулю интегралом столкновений ]).

248 РЕШЕНИЕ УР-НИЯ БОЛЬЦМАНА ДЛЯ ВЫРОЖДЕННЫХ ТЕЧЕНИЙ [ГЛ. IV Будем искать решения уравнения Больцмана

Чг~^^ = ^ГД-ff^gbdbded^(1.38)

в виде

/(.t, ХД) = Р^,(П. t^-^y(1.39)

где /(ф— пока неизвестная функция. Подставляя (1.39) в уравнение (1.38), получим

-ф. /(|-|)]ф, ф-^)]}^^^. (1.40)

Введем новые переменные:

A^t^-^.(1.41)

Будем считать газ состоящим из молекул-шаров. Очевидно, что молекулы-шары, сталкивающиеся со «скоростями» t%— хи 1^ — х, после столкновения будут иметь скорости /|'—X и /|{— X, где §' и |' — скорости молекул после столкновения, сталкивающихся со скоростями | и ^ при тех же параметрах b и е.

Поэтому уравнение (1.40) можно переписать в виде

х,^Л)=ф J^^, л')^ a^-FV, Л), F(t, ло]х

XIA—А | b db de dAv (1.42) Полагая

/ = ф.(1.43)

окончательно получаем

^= J (f'Fi — FF^\Ay—A\bdbdedAv(1.44)

Таким образом, соотношение (1.39) выделяет класс решений полного уравнения Больцмана, в котором функции распределения в каждой точке сопоставляется некоторое однородное по пространству решение уравнения Больцмана (1.44).

Согласно (1.43)

где С—некоторая константа. Следовательно, решение уравнения Больцмана (1.39) можно переписать в виде

f(t,x,^)=F^C — ^^r>t^—xy(1.46)

К сожалению, в настоящее время мы не располагаем решениями однородного по пространству уравнения (1.44) при отличном от нуля интеграле столкновений.

Однако можно получить одно интересное следствие и не имея решения.

Пусть, скажем, в момент времени /=1 функция распределения задана соотношением

Н<, х, ^ = F^C — 1, g-x),(1.47)

где F (С—1/3, Л) — отличное от равновесного однородное по пространству состояние газа в момент времени % = С—1/3. Согласно /7-теореме предоставленное само себе равномерное по пространству состояние стремится к равновесному максвелловскому, т. е. при %->оо функция F стремится к абсолютному максвелловскому распределению. Но из (1.45) и (1.46) следует, что при изменении / от 1 до со переменная у меняется лишь от С— 1/3 до С, и, следовательно, заданное соотношением (1.47) состояние газа за бесконечное время / не приходит к максвелловскому равновесию. Конечно, полученный результат ни в коей мере не противоречит 77-теореме. Действительно, рассмотренный класс решений описывает разлет газа. Если выделить произвольную область в пространстве, то через ее границу непрерывно идет поток //-функции, т. е. условия, необходимые для //-теоремы, не выполняются (см. § 2.5).

В главе III отмечалось, что полученная с помощью полной системы функций бесконечная система моментных уравнений эквивалентна уравнению Больцмана. К числу таких систем относится, в частности, система уравнений Града, построенная в § 3.3 с помощью полиномов Эрмита. Один из путей построения точных решений уравнения Больцмана состоит в отыскании решений эквивалентной ему системы уравнений для макроскопических величин (моментов).

Рассмотрим в момент времени 7 = 0 однородное по пространству состояние газа, макроскопическая скорость которого равна нулю, плотность р и температура Т *). Пусть в то же время все более высокие моменты отличны от нуля, в частности, р^ =/= 0 и qt=F 0. Очевидно, что скорость, плотность и температура газа не меняются при / > 0. Изменения во времени тензора напряжений рц и вектора потока тепла qL для максвелловского газа можно получить

Grad Н., Comm. Pure and Appl. Math. 2, № 4 (1949). Русский перевод в со. «Механика», № 4, 5 (1952).

250 РЕШЕНИЕ УР-НИЯ БОЛЬЦМАНА ДЛЯ ВЫРОЖДЕННЫХ ТЕЧЕНИИ [ГЛ. IV непосредственно из формул (3.39) и (3.40) § 3.3. Действительно, в этом случае все производные по пространственным координатам равны пулю, а следовательно, равны нулю и величины Atj и В,. Поэтому, учитывая, что Тр в рассматриваемой задаче постоянно, имеем:

/£ t

PijV) = Pij^e tp-Qi^ = Qt (°)e(1.48)

Аналогичные выражения получаются для высших моментов. Эта же задача рассматривалась нами в § 2.8 для модельного уравнения. Там мы получили (см. формулу (8.26) главы II), что функция распределения стремится к равновесной по экспоненциальному закону. Следовательно, по этому же закону с одним и тем же временем релаксации затухают и моменты. В точной же постагювке мы получили, что тензор напряжений затухает со временем релаксации т , вектор потока тепла—со временем релаксации 3/2тр и т. д., т. е. время релаксации для различных процессов различно. Поэтому модельное уравнение часто обоснованно называют однорелаксационным уравнением.

В работе В. С. Галкина !) предложен более общий класс решений, также позволяющий оборвать бесконечную систему уравнений и получить замкнутую систему уравнений для конечного числа моментов.

Для удобства вновь выпишем уравнения для моментов до третьего порядка включительно (см. § 3.3):

(1.49)(1.50)(1.51)(1.52)(1.49)(1.50)(1.51)(1.52)до , д . х . dt + dxr

(1.49)

(1.50)

(1.51)

(1.52)

(1.49)

(1.50)

(1.51)

(1.52)

ди. ди, 1 др 1 др.

dt 1 dxf 1 3 ir dxr 1 3 dxr dp, , d2 dq, du,

'—S (urPi i) + m — ' + Pit "5 +

dt ” dxfr li gXf3I) gXrI kit gXf Г

du;d'U:

d „„. du^du;

di(Ur^ljk + ^Ijkr} + jr+

dut 1 /dP(ir dP:r dPtr \■

7747 ^Ри ~d^y+pik "di; + pp= 77) +

4-|(9^-2dy^-26^;- 26^ = 0. (1.53)

>) Г а л к и н В. С., Прикл. матем. и мех. 22, № 3, 1958.

Здесь

и—11

а=Д7’ Но =-у-= const, Ам= ^(А,;Л- А^у- -^А^.

Будем искать решение, в котором все моменты, кроме и^ зависят лишь от времени t, a ut линейно зависит от ху.

tti = A4j^Xj-(1-54)

Поскольку четвертые моменты ty#^ (^) входят в уравнения (1,53) лишь под знаком дифференцирования по координатам, то они выпадают из этих уравнений, и выписанная система уравнений становится замкнутой. В то же время, как это видно из уравнений (3.17) главы III, в уравнениях высших порядков скорости ut входят лишь в производные по координатам, и, следовательно, пространственные координаты исключаются из этих уравнений. Выпадают из уравнений порядка /V )> 4 также моменты порядка А7 —|— 1. Для максвелловских молекул скорости uL и моменты более высокого порядка не входят также в члены, определяемые интегралом столкновений. Таким образом, моменты порядка выше третьего для рассматриваемого класса течений могут быть последовательно найдены из рекуррентной системы обыкновенных дифференциальных уравнений по t.

Остановимся на отыскании низших моментов с помощью системы (1.49) —(1.53),

Из уравнения неразрывности (1,49) имеем

Р = роехр J I^atY (/(О = Фп + 1!)22 + Фзз).(1.55)

\ о /

Подставляя (1,55) в уравнения импульсов (1.50), получим:

-^ + ФгА = 0.(1.56)

Наконец, уравнения (1.51)—(1.53) дают

Tr+yP' + lftA-o.о-ТО

X

У/^) = о

о 7

—^Л1_ aAt.ijT\^T -\-a4tiT1!\\ijT ~yo4lrjkx^ir Л- ^tjk^ 3~

4-la0exp f — У / ^(9^гул—2Sz^y—2бл^ —26^(1.59)

Таким образом, для рассматриваемого класса течений система уравнений (1.49) — (1,53) распалась на ряд систем. Уравнения (1,56) определяют фгу. Когда функции фг?- найдены, из уравнений (1,57), (1.58) можно найти р и ptj, а из системы уравнений (1,59) — независимо o4tvjt.. Уравнение (1.55) определяет плотность.

Простейшими решениями рассматриваемого типа являются сдвиговое течение *)

ил = const • а2, «2 = «з = 0, р= const (1.60) и одномерный разлет )

«1= у-, «2 = «3 = 0, р=-^-. (1-61)

Сравнение этих точных решений с соответствующими решениями уравнений Навье—Стокса и Барнетта показало, что во многих случаях уравнения Барнетта оказываются значительно точнее уравнений Навье — Стокса при увеличении чисел Кнудсена. При больших числах Кнудсена разложения около свободномолекулярных течений (т. е. по 1/Кп) оказались достаточно точными в гораздо более широкой области, чем это можно было ожидать (вплоть до чисел Кп ■— 1).

Найденные из приведенных уравнений моменты не позволяют восстановить соответствующую им функцию распределения, являющуюся решением уравнения Больцмана, так как функция распределения определяется в общем случае бесконечным числом моментов и моменты более высокого порядка не равны нулю.

Течение Куэтта

Одной из простейших задач, для которой, однако, до сих пор не 'получено точное решение уравнения Больцмана, является задача Куэтта о течении и теплопередаче между параллельными бесконечными пластинками, движущимися друг относительно друга. На этом сравнительно простом течении опробованы почти все известные методы решения уравнения Больцмана. С другой стороны, задача имеет и самостоятельный интерес, так как позволяет прояснить характер течения вблизи поверхностей тел, обтекаемых разреженным газом.

Естественным обобщением этой задачи является задача о течении и теплопередаче между вращающимися коаксиальными цилиндрами. Опыты с цилиндрами позволяют сравнить результаты теории с экспериментом при различных давлениях газа между цилиндрами.

') Галкин В. С., Прикл. матем. и мех. 20, № 3 (1956); Truesdell С., J. Rational Meeh, and Anal. 5 № 1 (1956).

Основной целью настоящего параграфа является сравнение различных методов решения уравнения Больцмана на простом примере течения Куэтта1). Следует, однако, иметь в виду, что при апробации какого-либо метода, предназначенного для реальных трехмерных течений, на течении Куэтта могут проявиться особенности, несвойственные реальным течениям. Эти особенности обусловлены тем, что в сколь

угодно разреженном газе для молекул, движущихся под малыми

22Рис. 19.Рис. 19.углами 0 к стенке, число столкновений пропорционально 1/0.

2

2

Рис. 19.

Рис. 19.

Свободномолекулярный режим течения (Кп~>оо). Для выяснения некоторых качественных особенностей течения начнем с рассмотрения свободномолекулярного течения.

Л—средняя длина пробегаЛ—средняя длина пробегаНаправим ось х перпендикулярно пластинкам (рис. 19), и выберем начало координат так, чтобы пластинки были расположены в плоскостях х = Д d/2. Пусть скорость пластинок соответственно + ^з® и температура Тщ±. Течение между пластинками будет свободномолекулярным при h/d-^-oo, где

Л—средняя длина пробега

Л—средняя длина пробега

молекул. В уравнении Больцмана в этом случае можно пренебречь

интегралом столкновений, и уравнение принимает вид

(2.1)(2.1)(2-2)(2-2)(2.3)(2.3)df V, х, I) пdt — и

(2.1)

(2.1)

(2-2)

(2-2)

(2.3)

(2.3)

или для рассматриваемого одномерного стационарного течения

д/ кх, £) пдх

Уравнения (2.1) и (2,2) имеют соответственно решения:

Ж х, |) = Ж, х-Л((-^, В) и f(x, |) = /©,

е. функция распределения постоянна вдоль траектории молекул.

Примем простейшую модель взаимодействия молекул с пластинками (см. § 2.10). Предположим, что часть ат молекул отражается

*) Ниже рассмотрено лишь течение между бесконечными пластинками. Изложение результатов для течения между коаксиальными цилиндрами и соответствующую библиографию читатель может найти в книге В. П. Шид- ловского (Шидловский В. П., Введение в динамику разреженного газа. «Наука», 1965).

254 РЕШЕНИЕ УР-ННЯ БОЛЬЦМАНА ДЛЯ ВЫРОЖДЕННЫХ ТЕЧЕНИИ [ГЛ. IV (в системе координат, связанной с пластинкой) с максвелловским распределением и часть (1—ат)—зеркально:

/(±4- В- L-^o)=(i-aT)/±(±4’^- Ц) +

+^ (4г) ехр {—дТ [^+ц+(l + 4) ]} <2-4)

+ т \

А =— ,

/

где температуры отраженных молекул Т* связаны с температурами стенок Тщ± через коэффициенты аккомодации ае и at; f^1 — функция распределения для молекул со скоростями ^^0 соответственно.

Решим вначале задачу, считая заданными температуры отраженных молекул Т* и одну из величин п^. Для определенности зададим пГ. Этим определяется уровень плотности.

Согласно (2.3) функция распределения скоростей одинакова во всех точках потока х и равна

гч*. d^/^ 4’ б)=/(+4’ ^°)=

= (1-«т)Г (+4’^- ^)+

+ехр -А* ^ + 4 +f • (2.5)

Единственную неизвестную величину ^+ необходимо выбрать из условия непротекапия

= J ^+ J= J ^+ JXxf (хЛ)Д = 0. оXxf (хЛ)Д = 0. о

= J ^+ J

= J ^+ J

Xxf (хЛ)Д = 0. о

Xxf (хЛ)Д = 0. о

Число частиц N , проходящих в единицу времени через площадку, перпендикулярную оси х, сверху вниз, равно числу частиц ^ l, проходящих через нее снизу вверх. Так как коэффициенты аккомодации ат на обеих пластинках предполагаются одинаковыми, то равны между собой в отдельности числа идущих вверх и вниз зеркально

и диффузно отраженных частиц, т. е.

J) ехр{ —7г+ ^z + —)+

£ >0

+ j ^п (пг) ехр{ —А [^ + ^ + ^г —у) ]рё = о ^<0

или

.(2.6)

В правой части формулы (2.5) заменим /+ на /± по этой же формуле. Тогда

^(х, g, ^2=0) =

При чисто зеркальном отражении /+(^) = /-(—^), причем эта функция может быть задана произвольно. Однако достаточно сколь угодно малого количества диффузно отражаемых частиц (at<^l), чтобы распределение скоростей состояло из двух максвелловских функций.

Из (2.7) видно, что функция распределения в каждой точке течения разрывна по скоростям при ^=0.

Найдем теперь связь между температурами отраженных молекул Т+ и температурами стенок ^w±. Рассмотрим, например, нижнюю пластинку. По формуле (10.7) главы 11 в системе координат, связанной со стенкой,

£t=(l-«e)T:-+aA-(2-8)

где Е* и Е —соответственно энергия отраженных и падающих

молекул и Е -— энергия, которую уносили бы молекулы, если бы

они отражались с максвелловским распределением, соответствующим температуре стенки Т -. Уносимая с единицы площади энергия равна (ср. формулу (10.8) главы II)

E+=(l-at)E-+aT—•(2-9)

2/г У ah'

Аналогично

тп _тп _27г _ ч/л/г _ i W27г _ ч/л/г _ i W(2.Ю)(2.Ю)

тп _

тп _

27г _ ч/л/г _ i W

27г _ ч/л/г _ i W

(2.Ю)

(2.Ю)

Для Е согласно (2.7) имеем (в системе координат, связанной

с нижней стенкой)

1 <ХТ ТИП [ hГ 1 . I 4+ [,.2 । ^9 । 5.211 ,5. ,2^7 ~2~ k”/ J ехР1-й 1^ + ^+У1^ +£ <01 <ХТ ТИП [ hГ 1 . I 4+ [,.2 । ^9 । 5.211 ,5. ,2^7 ~2~ k”/ J ехР1-й 1^ + ^+У1^ +£ <01—тп* .1 тп, гмг\75—т=- 4- 75 7= 1 Ч •(2.11)2 —ат 2Л+уЛл/г+ 2-ctt 2Л“]/лЛ“ \46Г /1—тп* .1 тп, гмг\75—т=- 4- 75 7= 1 Ч •(2.11)2 —ат 2Л+уЛл/г+ 2-ctt 2Л“]/лЛ“ \46Г /

1 <ХТ ТИП [ hГ 1 . I 4+ [,.2 । ^9 । 5.211 ,5. ,

2^7 ~2~ k”/ J ехР1-й 1^ + ^+У1^ +

£ <0

1 <ХТ ТИП [ hГ 1 . I 4+ [,.2 । ^9 । 5.211 ,5. ,

2^7 ~2~ k”/ J ехР1-й 1^ + ^+У1^ +

£ <0

1—тп* .1 тп, гмг\

75—т=- 4- 75 7= 1 Ч •(2.11)

2 —ат 2Л+уЛл/г+ 2-ctt 2Л“]/лЛ“ \46Г /

1—тп* .1 тп, гмг\

75—т=- 4- 75 7= 1 Ч •(2.11)

2 —ат 2Л+уЛл/г+ 2-ctt 2Л“]/лЛ“ \46Г /

Для определения гия- необходимо вычислить еще число N падающих на нижнюю стенку молекул (см. формулу (10.12) главы II):

2/44“2/^’2/44“2/^’(2.12)(2.12)

2/44“2/^’

2/44“2/^’

(2.12)

(2.12)

Подставляя выражения (2.9)—(2.11) в уравнение (2.8) и используя соотношения (2.6) и (2.12), получим

1/41/4(1-«е)(1-«е)1 — «I 1 2^4/7 й+1 — «I 1 2^4/7 й+1 —«е 12 — at h~11 —«е 12 — at h~11 —а.1 —а.“г^-2—ат 2“г^-2—ат 2

1/4

1/4

(1-«е)

(1-«е)

1 — «I 1 2^4/7 й+

1 — «I 1 2^4/7 й+

1 —«е 1

2 — at h~

1

1 —«е 1

2 — at h~

1

1 —а.

1 —а.

“г^-2—ат 2

“г^-2—ат 2

Это уравнение содержит две неизвестные величины: Г*. Очевидно, что совершенно такое же уравнение, в котором нужно лишь поменять местами индексы плюс и минус, выполняется на верхней пластинке. Эти два уравнения позволяют выразить 7+ через 7та±. Решение этой системы не представляет труда. Однако ввиду громоздкости выписывать его для общего случая не будем.

При ae = 1 отраженные молекулы принимают температуру стенки 7± = 7^. При чисто зеркальном отражении (at = 0) температура молекул, очевидно, произвольна. При равных температурах стенок (7^- = 7^+ = 7w^ равны и температуры отраженных молекул:

(2.14)(2.14)71— v г v ।1 ^л mis)^

(2.14)

(2.14)

= ™ + ac(2 —атУ ’

В случае ае = 0 энергия отраженных молекул в системе координат, связанной со стенкой, равна энергии падающих молекул. Поэтому на первый взгляд факт возрастания температуры газа при ае—>0

кажется странным. Однако легко видеть, что при диффузном отражении и любом ае стенки совершают работу над газом. При ае, отличном от нуля, увеличение энергии газа за счет этой работы компенсируется утечкой энергии через стенки. Чем меньше коэффициент аккомодации ай, тем более затруднена передача энергии стенкам и тем выше температура газа. При ай->0 температура газа Т+—>оо.

Вычислим теперь плотность, скорость и температуру газа между пластинками, а также напряжение трения Pxz и поток тепла qx. Эти величины не зависят от х и равны

Таким образом, скорость и температура газа (в том числе и у стенок) не равны скорости и температуре стенок. Напряжение трения и теплопередача не зависят от расстояния между пластинками, т. е. определяются соответственно разностью скоростей и температур, а не их градиентами.

Выше (формула (2.7)) показано, что в свободномолекулярном течении (т. е. при средней длине свободного пробега Z—>оо) функция распределения разрывна по скоростям при ^=0. Покажем на

17 М. Н. Коган

примере модельного уравнения (8.22) главы II, что для рассматриваемой вырожденной одномерной конфигурации при любом конечном X функция распределения должна быть непрерывной при g_r = 0. Рассмотрим молекулы, вектор скорости которых составляет малый угол с плоскостью х = const. Сколь бы ни были велики длина пробега X (или время между столкновениями т) и скорость молекулы, всегда можно выбрать столь малое ^, чтобы за время 7 порядка нескольких т молекула прошла расстояние ^7 в направлении оси х, много меньшее расстояния между пластинками d, испытав некоторое число столкновений. На столь малом расстоянии можно считать, что макроскопические величины, входящие в /0 уравнения (8.22) главы II, постоянны, т. е. постоянна и функция /0. Тогда для траекторий с малым углом наклона к плоскости х =const справедливо решение (8.2б) главы II:

f(t, х, ^)=/0(х, ^^-е^Ч!^, х, l) — f0(x, |)].

Следовательно, для модельного уравнения при ^—>0 функция распределения стремится к максвелловскому распределению, соответствующему параметрам потока в данной точке х. В то же время молекулы, летящие под большими углами к стенкам, т. е. при ^>^/2. = ^/Кп, испытывают при X > d мало столкновений, гак что функция распределения молекул, идущих вверх и вниз, близка к функциям распределения молекул, соответственно отскочивших от нижней и верхней пластинки. Переход от закона распределения, заданного стенками, к локально-равновесному происходит в интервале скоростей 0 < ^ < ^/Кп, т. е. толщина зоны размытия разрыва порядка 1/Кп. Именно потому, что для рассматриваемой задачи при больших числах Кнудсена функция распределения резко меняется в малом интервале скоростей порядка 1/Кп, ее трудно аппроксимировать. Благодаря этому моментные методы обладают меньшей точностью при Кп )Э> 1. Появление указанной особенности связано с вырожденной геометрией задачи. Например, в задаче о теплопередаче между концентрическими сферами эта особенность исчезает, и при больших конечных числах Кнудсена функция распределения разрывна.

Легко видеть, что теми же свойствами обладает и решение полного уравнения Больцмана для молекул с конечным радиусом взаимодействия. В этом случае при ^—>0 функция распределения стремится к J[/J2 (см. § 2.7).

Слабо возмущенное течение (линейная теория, 0^Кп<^оо). Рассмотрим теперь течение Куэтта при произвольном числе Кнудсена, но при малых относительных скоростях пластинок и малых отношениях температур пластинок 7" ±. При этих предположениях задача линеаризируется. Однако даже для линеаризированного уравнения Больцмана задача оказывается сложной. Поэтому прежде всего рассмотрим задачу с помощью модельного уравнения. Можно надеяться.

что качественные выводы, полученные с помощью этого уравнения, будут справедливы и для уравнения Больцмана. Модельное уравнение можно трактовать как уравнение Больцмана для молекул со специфическим законом взаимодействия, близким к максвелловскому.

Модельное уравнение (8.22) главы II для рассматриваемого одномерного стационарного течения имеет вид

L^ = ^«(/0-/).(2.20)

Если да мало и Т* и Т~ мало отличаются друг от друга, то функция распределения / мало отличается от некоторого максвелловского распределения

/ = /со(1+ф). /оо = «о(4гГ е*^’(2-21)

где ср(д:, §)— малая добавка. Для удобства записи введем безразмерную скорость

O=WKy(2.22)

Согласно (2.21) плотность частиц и температура могут быть представлены в виде

«(x) = «0[l+v(x)], Г(х) = Г0[1+т(х)],(2.23)

где

vto=-^- J /ооФ^б- т W = "| "D^" / "^-/ооФ^ —v(x). (2.24)

Скорость потока по определению равна

<2-25)

В этих обозначениях для /0 в линейном приближении имеем

/o^/oofM-v^.^v^^^(2.26)

где ux = uz"\[ кй— безразмерная макроскопическая скорость.

Подставляя / из (2.21) и /0 из (2.26) в уравнение (2.20), запишем его в следующей линеаризированной форме:

^^=-ф+v+2vг//i+^2—(2.27)

где_

Здесь использовано соотношение у,0 = kT0(A из § 3.6, где Ц— коэффициент вязкости. Величина а обратно пропорциональна числу Кнудсена.

Предположим для простоты, что отраженные от стенки молекулы в системе координат, связанной с пластинкой, имеют максвелловское распределение, соответствующее температуре стенки (коэффициенты аккомодации равны единице):

= ±2-,=ехр{— h fe — ®^)). (2.28)

Заметим еще раз, что п- не равно n(:yi2d) и Т^ = Т* не равно ^(zp1^). Полагая

n± = n0(l H-v^ и Г± = Г0(1 + т±)(2.29)

и линеаризируя выражение (2.28), получим

Ф ^Xj = ± -^ ; чу.§г о) — vT ± чу-яу ф-^2 — j) тт, (2.30)

где чту = w У h0.

Легко видеть, что рассматриваемая задача может быть разбита на две: на задачу о чистом сдвиге при Т +=Т -, для которой v = t = 0, и задачу о передаче тепла приду —0, для которой s1 = 0.

Рассмотрим задачу о сдвиге1). Уравнение (2.27) для этой задачи принимает вид

Будем искать решение в виде

ф(^1- ^- Уу, ^)=tWl’GKp Чг)-

Вспоминая определение макроскопической скорости (2.25), получим уравнение

J 6 Ф(хр•

Граничные условия для ф принимают вид

ф^! = ±1, ^^0^=:±1.(2.33)

Обозначим через ф+ (xv чу.) часть функции распределения, соответствующую чу. > 0, и через ф- (хь г^) функцию распределения

!) См. Gross Е. Р., Jackson Е. A., Z i е г i n g S., Ann. of Phys. 1, № 2 (1957) (русский перевод в сб. «Механика», № 5 (1958)); Willis D. R., Rarefied Gas Dynamics, First Symp., Pergamon Press, 1960 (русский перевод в сб. «Газодинамика разреженного газа», ИЛ, 1963).

для ^<0. Рассматривая g^) как известную функцию, проинтегрируем уравнение (2.32) соответственно от верхней и нижней границ до произвольной точки xv учитывая граничное условие (2.33):

фт <хг, uj = + exp [— -^ (Х1 ^ ^.^ 4.

+[ g (s) exp (Xj - 5)1 ds. (2.34)

Это интегральная форма уравнения (2.32), которую, очевидно, можно получить также линеаризацией уравнения (8.25) главы II.

В свободномолекулярном потоке, т. е. при а—>0, имеем очевидное решение

ф~(х1)=1,ф+(Х1) = —1(2.35)

и соответственно

ф~ (Xj) = У^рф+(Х!) = ^г^р(2.36)

Решение в каждой точке Xj разрывно по скоростям молекул. Как и должно быть, в потоке без столкновений функция распределения одинакова во всех точках между пластинками. Следовательно, должны быть постоянными и все макроскопические величины. Согласно (2.25) скорость равна 0со

“■=^г<х')=7Т J^"-^--j7=J'"'^ = °- <2-37>

— со0

т. е. скорость между пластинками равна среднему арифметическому скоростей стенок. В частности, скорость газа у стенки не равна скорости стенки.

Напряжение трения равно

= «^х & - «J / ^ = ^ J W"^ dv. (2.38)

Подставляя вместо ф его значения из (2.36), имеем

Р„ (Кп = оо) = - -= - р^ V-(2.39)

Этот простой результат, который можно получить и из (2.18), важен для понимания физики явления. Легко проверить, что в гидродинамическом навье-стоксовском приближении для рассматриваемой линейной задачи

причем коэффициент вязкости р, не зависит от давления. Следовательно, в гидродинамическом приближении (т. е. при больших а) напряжение пропорционально градиенту скорости и не зависит от давления. При предельно низких же давлениях градиент скорости в газе равен нулю, но, несмотря на это, имеется напряжение трения, пропорциональное давлению и относительной скорости пластинок.

Наличие напряжения в течении с постоянными гидродинамическими величинами еще раз показывает, что в общем случае тензор напряжений и поток тепла не могут быть выражены через пять гидродинамических величин и их производные любого порядка, а следовательно, общие уравнения сохранения (уравнения (1.8)—(1.10) главы III) не могут быть замкнуты.

' Построение решения для течений, близких к свободномолекулярным, т. е. для малых а, можно вести методом последовательных приближений, беря за первое приближение полученное свободномолекулярное решение.

Метод последовательных приближений можно строить двояко.

Во-первых, можно воспользоваться интегральной формой (2.34), подставляя в правую часть свободномолекулярное значение g(s) = 0; тогда

фт = ±ехр[— -^(*1+4)]-(2.41)

Наряду с интегральной формой (2.34) можно ввести интегральную форму, являющуюся линеаризацией уравнения (8.24) главы II:

фт=±1+-^- J [— ф(5, ■nj + g^lrfy. (2.42) ' ± 1/2.

Подставляя в правую часть уравнения свободномолекулярные значения (2.35), получим

фт=±1 + ^-к + -1).(2.43)

Вторая схема последовательных приближений равносильна разложению функции распределения в ряд по а. В этом случае проявляется особенность, о которой говорилось выше. Эта особенность связана с вырожденной геометрией течения, п из ее существования не следует делать вывод о неприменимости разложения по о, для близких к свободномолекулярным течений с иной геометрией. Из (2.43) видно, что особенность не позволяет найти следующее приближение или вычислить скорость течения. В то же время можно вычислить напряжение трения Рхг, так как в этом случае ф умножается на vx и особенность исчезает:

= —Л.(2.44)

Легко видеть, что напряжение трения, вычисленное с помощью (2.41), совпадает, с точностью до величин высшего порядка, с только что полученным.

Скорость же, согласно (2.41), конечна и равна при а—>0

2и,/ х 1 Г 7 Г / М 7 Г / 1 ! Ml

—L = g'(x1) = -7=r- Jo а - — хх — Jo а -+^!

r /1 M Г Z1 MМ Г Z1 , Ml

~ lax, In ax, — a —H x, In a —H x, 1,

\27 L \271(27 [ \2 7JJ

(2.45) где

Jm(x) = { о

При x —> 0

Jo (x) —> -^- 4- x In x.

Следовательно, зависимость.скорости от а (числа Кнудсена) при a<^ 1 не аналитическая.

Для нахождения скорости при произвольном а можно составить интегральное уравнение непосредственно для скорости их (или g\ минуя функцию распределения. Действительно, подставляя (2.34) в определение g(xx), получим интегральное уравнение

Ул g (Xj) = Jo [a (1 —— Jo Га -I-+

L \/J L \/J

1/2

+ aJ У-Ма^,— s)] — /-i [a(Xi-ys)]} g(s)ds. (2.46) о

Это уравнение решено численно. На рис. 20 приведены результаты численного решения, а также дано сравнение со значениями скорости, посчитанными по формуле (2.45), полученной для малых а.

Процесс последовательных приближений можно продолжить. Можно показать), что процесс сходится при любом конечном а. Однако сходимость ухудшается по мере увеличения а. Практически этот метод приемлем лишь при a< 1, так как при больших а требуется слишком много приближений.

Можно искать решения уравнения (2.20) для рассматриваемой задачи и в виде ряда Гильберта (см. формулы (6.3) и (6.4) главы III):

f । (-1) dfo i (-1)2 d ( X

J J °' An dt ' An dt \ An dt *

В нашем случае согласно (2.26)

dfodt

и для ф получится ряд по г'х с коэффициентами, зависящими от х(. ф = 2 —(2.47)

Если ряд (2.47) сходится по vx при всех г'х, то из граничных условий (2.33) при vx ~ 0 следует, что

«J ± -g 1= ± -у- или

т. е. на стенке выполняется условие прилипания газа, что может в действительности иметь место только при а—>оо.

Гоч ное значение Аппроксимация (2.63) Ло формуле (2.54) Поформуле (245)

§ 4.2]ТЕЧЕНИЕ КУЭТТА265

К тому же выводу приводит рассмотрение и общего ряда по у,: ф = а0(^1) + а1(^1)^+ •••

Более того, можно пытаться удовлетворить уравнению (2.32) и граничным условиям, отыскивая решение в виде рядов по vx для каждой из функций

ф± = at (хО + а?(2.48)

т. е. отыскивая разрывные по у^ решения, Если эти ряды сходятся, то, подставляя их в уравнение (2.32) и приравнивая коэффициенты при равных степенях ■их, получим

ао =no=S = Jo (0) (а- 4- о+)+^ (0) (а+ — 0,-) +

+Л (0) (аг 4~ °2") 4~ • • • •

(-1) da*(-1) da*_.(-1)" dX

а dxA п а dxx ап dx®

Jn(0)= J у^-^у.

о

Таким образом, функции а+ равны а~, и снова приходим к ряду Гильберта (2,47), с помощью которого, как уже отмечалось, нельзя удовлетворить граничным условиям.

Тем не менее, если не пытаться удовлетворить уравнению (2,32) точно, то функцию распределения в виде полиномов типа (2.48) можно с успехом использовать для отыскания решения в среднем с помощью метода моментов.

Рассмотрим простейшую аппроксимацию

ф+ — at (х),(2.49)

соответствующую линеаризации двустороннего максвелловского распределения

Г = "о (^f exp {- /,„ [^ + ^ + (^ - «*)2]} •

Для нахождения двух функций а^ необходимо составить два уравнения моментов. Обозначим через ЛТ„ момент порядка tv.

Мп=-™ J фу”еd-ux.(2.50)

-9°

Умножая уравнение (2,32) последовательно на л~1/2е ^ и лГ1^^ и интегрируя по ^ от —со до -ф-оо, получим:

= — Мр(2.51)

dx^а ах{

Следовательно,

7M](Xi) = Ci и Л12(х1) = ас1х1-|-с2,(2.52)

где с1; с2— постоянные,

С другой стороны, подставляя ф в (2.50) при п= 1 и п =2. имеем:

^i= ^уу(°°°0 )’^2 = ф (°^ + so )•

Следовательно,

ф1 = ад = ( + |/л — 2axi)ci + 2с2,

и, определяя Cj получим:и, определяя Cj получим:и с2 из граничных условий (2.33), окончательнои с2 из граничных условий (2.33), окончательноФ±Ф± Sax] q: Ула -фУл Sax] q: Ула -фУл(2,53)(2,53)

и, определяя Cj получим:

и, определяя Cj получим:

и с2 из граничных условий (2.33), окончательно

и с2 из граничных условий (2.33), окончательно

Ф±

Ф±

Sax] q: Ула -фУл

Sax] q: Ула -фУл

(2,53)

(2,53)

При а—>0 решение стремится к точному свободномолекулярному решению ф1 = zp 1. При а->оо решение стремится к точному навье- стоксовскому решению ф=2хР

При произвольных числах Кнудсена имеем:

№ Ро® VАр№ Ро® VАр(2.54)

№ Ро® VАр

№ Ро® VАр

(2.55)

В формуле (2.55) входящая в модельное уравнение постоянная А выражена через р согласно формуле р = kT^A, полученной в § 3.6. В предельных случаях имеем:

Рхг (а —> 0) = -№, Р (а->ос)=—р-^.Улd

т. е. точные значения соответственно для свободномолекулярного течения и сплошной среды.

На рис. 21 дано сравнение значений Р^Ри- гДе Р^— значение Рхг при Кп = оо, и 1—g(l/2), полученных численным решением интегрального уравнения (2.46) и по формулам (2,54) и (2.55),

соответствующим простейшей аппроксимации (2.49). В последнем

случае

Рхг __ росРхг __ росНа рис. 20 приведены также профили скоростей, подсчитанные по формуле (2.54).

Рхг __ рос

Рхг __ рос

Из приведенного сравнения видно, что уже эта простейшая аппроксимация удовлетворительно дает значения напряжения (с максимальной ошибкой 7%). Значения скоростей аппроксимируются хуже (с ошибкой до 25%).

Более точные решения могут быть получены с помощью более сложных аппроксимаций типа (2.48)’) либо путем последовательной подстановки найденного решения для g(x) в правую часть уравнения (2.46)).

При а->оо функция распределения должна стремиться к распределению Энскога—Чепмена (2.47). Аппроксимация (2.49) позволяет учесть лишь первый эйле- ровский член этого раз- 4s ложсния. Для того чтобы при а—>оо функция распределения переходила в ; навье-стоксовскую, необ- ^(г) ходима четырехмоментная аппроксимация

ф1 = ад -]- ai^.

(2.48а)

В этом приближении для нахождения четырех неизвестных величин а* и а* необходимы четыре моментных уравнения. Эти уравнения можно полу

чить интегрированием

умноженного на-некоторые степени ух уравнения (2,32) либо по всему пространству скоростей, либо по полупространствам. Не при

водя здесь соответствующие выкладки, приведем лишь некоторые результаты вычислений ).

') Gross Е. Р., Ziering 8., Phys. Fluids 1, № 3 (1958). Русский перевод в сб. «Механика», № 6 (1959).

В таблице 5 цифрами обозначены следующие методы:

1—точное решение, 2—четырехмоментное приближение, 3—решение, полученное итерацией четырехмоментного приближения, 4—двухмоментное приближение (2.49), 5 — проитерированное двухмоментное приближение.

Таблица 5

Как видно из таблицы 5, приближение (2.48а) значительно точнее двухмоментного. Аналогично строится и шестимоментное приближение, которое, как показывают расчеты), уже мало отличается от четырехмоментного. Следует также отметить, что простейшая аппроксимация (2.49) приводит к линейному профилю скоростей при всех числах Кнудсена, т. е. с помощью этой аппроксимации не удается обнаружить пристеночный кнудсеновский слой, удовлетворительно ухватываемый четырехмоментным приближением.

Лучшую точность можно получить с помощью также двухмоментной, но более правильно учитывающей неаналитическую зависимость / от а аппроксимации (4.10) главы III).

Для рассматриваемой линейной задачи эта аппроксимация принимает вид

, ± Г а ( । 1\1 , . | , Г а / , 1 \1 )ф = + ехр — — ^ ± у ±а±р—ехр — — ± -к к

' (2.56)

При малых а основным является первый член этого выражения, совпадающий с решением (2.41), достаточно точно ухватывающим неаналитический характер функции распределения для течений, близких к свободномолекулярным.

Для нахождения функций а± можно воспользоваться моментными уравнениями (2.51) и их решениями (2.52). Задача отличается от ранее рассмотренной лишь иной связью моментов Л^ и М2 с функциями а±. Чтобы установить эту связь для рассматриваемого случая, подставим выражение (2.56) в определение (2.50) моментов Л4г, имеем:

Функция ф1 в форме (2.56) автоматически удовлетворяет гранич- •ным условиям (2.33). Постоянные q и с2 находятся, как собственные значения.

При ^,= 1/2 согласно (2.57) и (2.58) имеем:

(«) + 4(0)1,(«) + 4(0)1,

(«) + 4(0)1,

(«) + 4(0)1,

= — — ас?! -ф- с2 -ф -= \J2(а) — J2 (0)].

2У л

Исключая а^, получим

^= _12Ь—.(2.59)

S-+/2 (а)—aci + с2 + .—- Pi (а)— Л (0)1

4'2у л

Аналогично при хх =— 1/2

= с,+--кр! («)+ ■/, (0)1,

— о o^i ~+ ^2—Рг(®) 4(0)1

2ул

И

1, , X

- — л (а)

с, +-^[J, («) + ■/, (0)]

V Л

j2^— -1 ас, — C2 + -7L [Л (а) — Л(0)] 42Ул

(2.60)

11 4-'о а тт=11 4-'о а тт=(2.61)(2.61)

1

1 4-'о а тт=

1

1 4-'о а тт=

(2.61)

(2.61)

Из (2.59) и (2.60) следует, что с2=0 и с, =

(«)

завершаем решение. Послезавершаем решение. ПослеВ приведенных соотношениях учтено, что 4(0)=^,Л(0) = |,

завершаем решение. После

завершаем решение. После

Зная С] и с2, находим а± и тем самым

несложных выкладок получаем окончательные выражения для напряжения и скорости:

w.

где

^ ='

р _Р»™1

4

А,

— ай

A K^

(а)

(2.62)

*1

2

А/л.

Легко видеть, что при а—>0 эти формулы переходят соответственно в формулы (2.44) и (2.45), полученные методом последовательных приближений. Результаты расчета поля скоростей по формуле (2.63) нанесены на рис. 20. Как и ожидалось, точность аппроксимации (2.63) выше точности аппроксимации (2.49). Это окупает некоторое усложнение расчетов.

При малых а (т. е. при больших числах Кнудсена) решение может быть существенно улучшено с помощью итераций. Например, если найденное с помощью аппроксимации (2.49) решение для §' = 2и1/-щ1 подставить в правую часть интегрального уравнения (2.34), то получаемое после выполнения квадратур решение оказывается значительно точнее, что видно из таблицы 5.

Выше для простоты различные моментные методы и их точность продемонстрированы на модельном уравнении. Все эти методы применимы и для линеаризированного уравнения Больцмана. Принципиально решение строится, как и для модельного уравнения. При произвольном законе взаимодействия молекул основная трудность состоит в вычислении моментов от интеграла столкновений. Ниже будут рассмотрены лишь максвелловские молекулы, для которых эта трудность легко преодолевается.

Уравнение Больцмана для рассматриваемой одномерной задачи имеет вид

X^=J(xAY(2-64)

Аппроксимируем функцию распределения двухсторонним максвелловским распределением или, в линеаризированной постановке, формулой (2.49). Эта аппроксимация содержит две неизвестные функции, а следовательно, необходимы два уравнения моментов. Первые пять моментных уравнений (уравнения сохранения массы, импульса и энергии (1.8) — (1-Ю) главы Ш) для рассматриваемой задачи, очевидно, дают

„ —const = 0, Pvv=const, Prv — const, —const, or = const.

(2.65)

Легко видеть, что при аппроксимации (2.49), т. е. когда

^^/ool^^i^W]’<2'49а)

условия их = Рх^ = qx = 0 и Рхх=р0 удовлетворяются тождественно. Пятое условие имеет вид

е„=™ J/4,(6,-«,)4$=^^-(«t^v)=«,. (2.66) где сг — постоянная интегрирования, которая должна быть найдена Из граничных условий.

272 РЕШЕНИЕ УР-НИЯ БОЛЬЦМАНА ДЛЯ ВЫРОЖДЕННЫХ ТЕЧЕНИИ [ГЛ. IV

Для определения двух функций а+ и а~ необходимо еще одно моментное уравнение более высокого порядка. Выбор этого у.равне- ния произволен. Умножим уравнение (2.64) на ^|г и проинтегрируем по |; имеем:

^/«/ж^=^/ Ш^-(2.67)

Это уравнение эквивалентно второму уравнению (2.51). В обозначениях § 3.3 стоящий справа интеграл для максвелловских молекул равен

т Г ХхХг-1^=т Г ^(^— a^Jd^ — kTI № =

= — 6-0,343 — ^р ^—Кр

где [I—коэффициент вязкости. Тогда уравнение (2.67) принимает вид

4«/лХ^ = -^Л,..<2-68)

а следовательно,

J №Л,<к,—^р„>= + ч.<2-69)

где с2—постоянная интегрирования. Стоящий слева интеграл для функции распределения (2.49а) равен

/ М = ^$Н>(2-70)

Тогда соотношение (2.69) принимает вид

+=(2.71)

Находя постоянные сг и с2 из граничных условий а (— dl2) — — 1 и rz”(<Z/2)=l, после несложных выкладок снова приходим к решению (2.53):

Ф^^ = и4-Й*( '53а)

в котором, как и выше,

a pod //4

Аналогичное рассмотрение для упругих сферических молекул ’) приводит к этим же соотношениям, но так как значения коэффи-

циента вязкости для молекул с различным законом взаимодействия различны, то и течения не тождественны.

Как показано в § 3.6, зависимость вязкости от температуры, получаемая из модельного уравнения, та же, что и для максвелловских молекул. Поэтому в данном случае можно так подобрать постоянную Л в релаксационном уравнении, чтобы решение уравнения Больцмана для максвелловских молекул и решение модельного уравнения полностью совпадали. Для этого необходимо положить А=кТ!\х..

Выше мы подробно рассмотрели в линейном приближении задачу о сдвиге. Все рассмотренные методы в равной степени применимы и к задаче о передаче тепла между пластинками в линейном приближении. Для этой задачи аппроксимирующая функция, переходящая в предельных случаях в функцию распределения свободномолекулярного и навье-стоксовского течений, имеет несколько более сложный вид (ср. с формулой (2.48а)):

Ф — яу Д-яр® + я^т^. (®2 —(2.72)

Решение линейной задачи о передаче тепла методом моментов дано в работах Гросса и Циринга1). Поскольку в линейном приближении методы решения задачи о передаче тепла отличаются лишь деталями от рассмотренных выше методов решения задачи о сдвиге, мы не будем на них останавливаться и перейдем к рассмотрению нелинейных задач.

3. Нелинейные задачи. Моментный метод. Рассмотрим прежде всего решение задачи Куэтта при произвольных числах Кнудсена методом моментов. Будем рассматривать полное уравнение Больцмана. Чтобы упростить вычисления моментов от интеграла столкновений, будем считать газ максвелловским. В нелинейном приближении задача о сдвиге не отделяется от задачи о потоке тепла между пластинками.

Возьмем простейшую аппроксимирующую функцию в виде двухстороннего максвелловского распределения 2)

Л^. §. L^0) =

= п., 2 (X) йз/22 (X) ехр {- кг 2 (X) [^ + |2 +(|2_ й1> 2 ЭД, (2.73) где п1>2, /г12 и и1]2 — шесть неизвестных функций; индексы 2 и 1 относятся к функциям распределения для ДД=0 соответственно (см. § 3.4).

Для определения шести неизвестных функций необходимо построить шесть моментных уравнений. Из первых пяти уравнений моментов

') См. только что цитированную работу Гросса и Циринга и работу Ци- рннга (Zlerlng S„ Phys. Fluids 3, № 4 (I960)).

(1.8) —(1.10) § 2.1 имеем:

рих = const, P^ = const, Р^ = const, РХ2 — const, I qx — P„a2 = const.I (2,74)

Так как на стенках пх=0, то

(2.75)(2.75)«Дх)гО.

(2.75)

(2.75)

Уравнение Р^у = const =0 удовлетворяется тождественно. Образуем два дополнительных уравнения моментов, умножив уравнение Больцмана на т?,Д2 и ^ т^х и проинтегрировав по всем скоростям. Для максвелловских молекул имеем (см. § 3.3, формулы (3.31) и (3.47)):"

(2.76)

4jf=+(2-77)

Подставляя во входящие сюда интегралы и в определения их, и2, Рхх, Р Х2 и qx аппроксимирующую функцию (2.73), получим шесть уравнений для определения шести неизвестных функций.

Уравнение неразрывности

п.У^^У^.(2.78а)

Уравнения количества движения

«! («2—а^Утх = а.х,(2.786)

nvTx -)- п2Т2 = аг.(2.78в)

Уравнение энергии

Й1 Vтх [г2 - 7) + ^ № ух - «?)] = “2“з-(2- 78г)

Уравнение тензора напряжений

(2.78д)(2.78д)(2.78е)(2.78е)-5^7 W^vV «2“2^2) + y=^«l(ral+"2)=0.

(2.78д)

(2.78д)

(2.78е)

(2.78е)

Уравнение потока тепла

^- № + я2^) + ^ ^- УиТш^пУ^ -

_ I zM2 A-^tL^L(у у у + Я2 г2и2) -

°Л1 + л2dxx

-4 /4 (т)_м’". а-,+-*>+

. 4 _ / 2 / Re \п

ЧГЕ"I I СЬ,Щ> (fit Я2) О,

1 15 г лх \ М ) 2 в \।

где а,, а2 и а3 — постоянные интегрирования, % — cp'cv.

В уравнениях (2.78) введены безразмерные величины (обозначенные черточкой вверху) и Xy=x[d. В качестве характерных величин выбраны п+, Т*, w и d. Кроме того, введены числа Маха и Рей

нольдсанольдсаМ =М =WV uRT*WV uRT*ИИRe =Re =mn+wdр(7+)mn+wdр(7+)(2.79)(2.79)

нольдса

нольдса

М =

М =

W

V uRT*

W

V uRT*

И

И

Re =

Re =

mn+wdр(7+)

mn+wdр(7+)

(2.79)

(2.79)

Одно граничное условие («^.= 0) уже использовано. Для функции распределения отраженных молекул в форме (2.4) при ат = «е=1 имеем еще пять граничных условий:

7'1=7'1=- _ 1

7'1=

7'1=

прих^ —-|. (2.80)прих^ —-|. (2.80)2 ’

прих^ —-|. (2.80)

прих^ —-|. (2.80)

^2=1,

«2= 1

Легко видеть, что параметр M/Re пропорционален числу Кнудсена, так что Re/M = 0 отвечает свободномолекулярному течению, a Re/M—>оо— течению Навье — Стокса.

При малых числах Маха (М2<^ 1) система (2.78) распадается на две. Из уравнений (2.78г) и (2.78е) выпадают скоростные переменные «1>2, так что система уравнений (2.78а), (2.78в), (2.78г) и (2.78е) дает решение задачи о передаче тепла при любом отношении Т~/Т'~- После решения этой задачи из уравнений (2.786) и (2.78д) определяются функции «ь2. При произвольном числе Маха все уравнения (2.78) должны решаться совместно.

На рис. 22 приведены результаты расчетов трения, полученные с помощью уравнений (2.78). Из рис. 22 видно, что кривые, соответствующие различным отношениям температур, сильнее всего расходятся при больших Re/M, т. е. вблизи навье-стоксовского режима. Для течения по Навье— Стоксу легко получйть (см,, например, цитированную работу Лю и Лиса)

/^-/т^Р+^+щг1™’]' <М1)J " I 1 U j

где Pxz— соответствующее свободномолекулярное значение, получаемое при тех же п*, Т* и Т ; Рг=срц,)Х — число Прандтля.

Очевидно, что при больших значениях Re/M кривые рис. 22, соответствующие различным отношениям температур стенок и различным числам Маха, должны сблизиться, если их построить по переменной

Перестроенные по этой переменной кривые рис. 22 приведены на рис. 23. Корреляция данных значительно улучшилась. На рис. 24 и 25 приведены профили скоростей для числа М = 3 и двух отношений температур: Т~]Т* = 4 и 1. Интересно отметить, что при равных температурах стенок профили скоростей близки к линейным. При всех числах Кнудсена (кроме Re/M = оо) наблюдается скачок скоростей на стенке. Однако принятая аппроксимация для функции распределения, по-видимому, является слишком грубой для выявления структуры пристеночного кнудсеновского слоя (см. § 5.1).

Таким образом, метод моментов с простейшей аппроксимирующей функцией (2.73) позволяет выяснить качественную картину течения между пластинками при произвольных числах Кнудсена и отношении температур пластинок и числах Маха порядка единицы *). Однако точность полученных результатов полностью определяется тем, насколько удачно выбрана аппроксимирующая функция. При анализе линейных задач мы видели, что двухмаксвелловская аппроксимация не ухватывает целый ряд эффектов. Нет никаких оснований ожидать большей точности при применении этой аппроксимации к нелинейным задачам. Для получения точных решений необходим некоторый алгоритм последовательного уточнения функции распределения. Но

') В работе Лю и Лиса показано, что при больших числах Маха система (2.78) не имеет решения при малых Кэ/М.

дальнейшее продвижение на этом пути, естественно, сопряжено с дальнейшим существенным усложнением получающихся моментных уравнений и увеличением их числа. Рассматривая течение Куэтта как

и ш

j/ ш

Рис. 24.

простейшую схематизированную модель для апробации методов, предназначенных для решения сложных практических задач, легко представить трудности, которые возникают при решении этих задач моментным методом с достаточно точной аппроксимирующей функцией.

Нелинейные задачи. Метод Монте-Карло. Весьма перспективным для решения сложных задач с достаточной для практики точностью представляется метод Монте-Карло (см. § 3.15). Возможно множество схем применения метода статистических испытаний. Приведем одну из них для задачи О передаче тепла между пластинками]). Функция распределения для этой задачи зависит От трех переменных: X, и

^=(^+91/2-

Разобьем это трехмерное фазовое пространство на ячейки, каждая из которых соответствует определенным значениям xit ^ и £№

Рис. 25.

Задание в каждой ячейке чисел N^ определяет функцию распределения, для которой Ntjk—число молекул в элементе Az около точки х, со скоростями ^ и ^ в элементе скоростного пространства А^А^.

Пусть задано некоторое исходное распределение, т. е. заданы соответствующие числа N^. Молекулы этого распределения будем называть полевыми. Рассмотрим движение частицы, которую будем называть пробной. Пусть пробная частица входит в некоторую ячейку фазового пространства. Частица с определенной вероятностью, зависящей от закона взаимодействия молекул и функции распределения полевых частиц, может либо испытать-столкновение в ячейке, либо пройти ее без столкновения. В первом случае частица в результате столкновения приобретает другую скорость, т. е. попадает в ячейку с другой скоростью, но с той же координатой xt. Во втором случае частица входит в соседнюю по х, ячейку, ио с той же скоростью.

*) Haviland J. К., Lavin М. L„ Phys. Fluids 5, № 11 (1962).

В первом случае время пребывания пробной частицы в ячейке т < Ах/^, во втором т — Ах/^. Разыгрывая на вычислительной машине распределенные с плотностью, пропорциональной вероятности столкновений, случайные числа, определяем то или иное «время жизни» т пробной молекулы в данной ячейке. Слежение за пробной молекулой начинается, когда она покидает одну из стенок, и заканчивается, когда она возвращается на стейку. После этого выбирается новая пробная молекула, скорость которой определяется разыгрыванием случайных чисел с плотностью, зависящей от закона взаимодействия молекул со стенкой. Прослеживая движение достаточно большого числа пробных молекул и запоминая время, проведенное этими молекулами в каждой ячейке, тем самым запоминаем новую функцию распределения. Молекулы, соответствующие новой функции распределения, принимаются за полевые молекулы, и начинается расчет следующего приближения.

На рис. 26 приведены результаты расчета теплопередачи, проведенного для максвелловских молекул, при отношении температур пластинок 4:1. Здесь р — средняя плотность, Кп = ^/<7— число Кнудсена, где длина пробега X определена по формуле

116 тр.

— 1,203 ' 5р‘

Для максвелловских молекул возникает затруднение, связанное с тем, что молекулы взаимодействуют на сколь угодно большом расстоянии друг от друга. Поэтому приходится ограничивать радиус взаимодействия молекул. Отбрасывая столкновения, приводящие к отклонениям, меньшим некоторого малого угла.

За исходную функцию распределения принималось распределение, соответствующее свободномолекулярному течению. Если учи

Л

1,4 -

1,2

1,0

0,6

0,4

Кп=0,53

0,8

1-ое приближение 2-ое приближен ив 3-е приближение

Двухстороннее макс- ~ веллоескоераспределе

ние

0,2-

О

Л и ней моя теория

О

Рис. 26.

0,5 а/О

тывать неизбежные флуктуации, свойственные методу статистических испытаний и убывающие обратно пропорционально корню из числа испытаний, то можно считать, что итерации сходятся. Для получения более убедительных результатов необходимо уменьшить статистический разброс. Но для уменьшения флуктуаций на порядок нужно увеличить число розыгрышей на два порядка. Однако для этого нужно увеличить на два порядка время счета. Для сравнения на

280 РЕШЕНИЕ ур-ния БОЛЬЦМАНА ДЛЯ ВЫРОЖДЕННЫХ ТЕЧЕНИЙ [ГЛ. IV рис. 26 нанесены результаты расчетов с помощью описанного выше метода моментов для нелинейного уравнения Больцмана при двухсторонней максвелловской аппроксимирующей функции и для линейного

уравнения при аппроксимирующей функции с восемью искомыми функциями!)"

Ф = й^ (х) -}- а^ (х) ч)х -}- а^ч? -j- а^ (х) ч^чУ1.

Как видно из этого сравнения, монте-карловские данные несколько ближе к решению линейного уравнения с более детальной функцией распределения, чем к решению нелинейного уравнения с более грубой

') Последние результаты взаимствованы из работы Циринга (Z i е- ring S., Phys. Fluids 3, № 4 (I960))."

§ 4.2] двухсторонней максвелловской функцией. Возможно, что в рассматриваемом случае при Т~/Т+ =4 влияние нелинейных эффектов еще не столь велико, так что решающим является выбор аппроксимирующей функции.

В рассматриваемой одномерной задаче функция распределения осесимметрична. Пространство между пластинками разбивалось на десять полос. В каждой полосе пространство скоростей разбивалось на 288 ячеек. Таким образом, всего имелось 2880 ячеек. Так как нужно помнить как функцию распределения предыдущего приближения, так и новую функцию распределения, то минимальный объем памяти, необходимый для расчета, равен 5760. Как уже указывалось в § 3.15, для псевдомаксвелловских молекул необходимый объем памяти можно значительно уменьшить. Эта задача решена В. И. Власовым). Как указывалось в § 3.15, принципиально для псевдомаксвелловских молекул достаточно запоминать лишь скорость одной молекулы в геометрической ячейке (полосе). Однако опыт расчетов показал, что счет идет значительно лучше, если в каждой геометрической ячейке запоминать несколько скоростей. Результаты В. И. Власова, приводимые на рис. 27, получены при запоминании скоростей 7 молекул в каждой геометрической ячейке. Всего запоминалось 350 чисел. Как видно из графика, совпадение результатов Власова с результатами Хевиленда и Левина вполне удовлетворительное.

Нелинейные задачи для модельного уравнения. Относительную точность различных методов можно оценить с помощью модельного уравнения Больцмана, для которого гораздо проще получить точное решение). Модельное уравнение для задачи Куэтта можно записать в виде

«(Si)/o(«. Т, иг.«(Si)/o(«. Т, иг.ЮехрЮехрds1,ds1,(2.83)(2.83)гдегдеГ^. х, ^) — /(q: 1, ^)ехр

«(Si)/o(«. Т, иг.

«(Si)/o(«. Т, иг.

Юехр

Юехр

ds1,

ds1,

(2.83)

(2.83)

где

где

(2.84)

Подставляя эти выражения в определения п, их и Т через функцию распределения, получим следующие интегральные уравнения:

Ул п(ю) = nvJQ [со] + п-1й [S_ (а — со)] -|-

4" / и(ti') ^(o') [S (со) | со — со7|] da/, (2.85а) о

2 Ул uzti (о) = — h^Jq (о) 4- п-'Jq [S- (« — «)] +

+ 2«2 J zt (o') S(со') V_, [S (со') | со — со'| ] с/со', (2.856) о

! S^=с+"+^ ^+"^/о [s- <а -ю)]+

Г /2 (oV)

4-J У(5) J-i I5 (®4 I ® — to' | ] da/. (2.85в)

О

Здесь введены следующие обозначения:

с — ^+Л (^Н--^- ^21^- (а to)l +

а _

'^/iSS1П^' (2.86)

о

п0—средняя плотность газа между пластинками, С — постоянная, пропорциональная Рхх. Интегралы V„(x) определены в (2.45).

Это три совместных интегральных уравнения для трех макроскопических переменных п, S и их. В них входят также три постоянные п+, п~ и Пд, задание одной из которых определяет степень разреженности газа между пластинками. Будем считать заданной

*) Это преобразование аналогично преобразованию Дородницына в теории пограничного слоя (Дородницын А. А., Прикл. матем. и мех. 6, № 6 (1942)).

величину п0. Тогда для определения двух других постоянных имеется два условия:

условие равенства нулю скорости «^

о = п+А (to) --^А [5- (Ct — й)] +

а

+ J sign (со — со1') п (to') JQ [S (го') | со — to' | ] dto' (2.87) о

и определение средней плотности d

п0=4 f n(x)dx или а= [ 4® .(2.88)

(со)

d,О

Соотношения (2.86) и (2.87) также являются интегральными уравнениями. Однако эти уравнения являются следствием уравнения (2.85а), которое получается дифференцированием по о уравнения (2.87). Последнее в свою очередь может быть получено дифференцированием уравнения (2.86).

Двухстороннее

максвелловское

Полученная система интегральных уравнений в общем случае может быть решена только численно.

На рис. 28 и 29 приведены результаты расчета теплопередачи (при w = 0) между пластинками для широкого диапазона перепадов температур. Величина теплового потока qx отнесена к свободно-

молекулярному значению q”, подсчитанному при том же значении п0:

q” - ?^(Кп — оо)q” - ?^(Кп — оо)пш, VК* — Vпш, VК* — V(2.89)(2.89)

q” - ?^(Кп — оо)

q” - ?^(Кп — оо)

пш, VК* — V

пш, VК* — V

(2.89)

(2.89)

Следует заметить, что сравнение течений при равных Пд, т. е. при одинаковом числе молекул между пластинками, представляется более физически обоснованным, 'чем сравнение при равных пЛ, данное на рис. 22 и 23.

Имея точное решение модельного уравнения, можно оценить точность приближенных методов решения уравнения Больцмана, применив эти методы к модельному уравнению и сравнив полученные

результаты с точным решением. Применим метод моментов с двухсторонней максвелловской аппроксимирующей функцией (2.73) к модельному уравнению. Так как у первых пяти моментных уравнений правая часть обращается в нуль как для точного, так и для модельного уравнения Больцмана, то соотношения (2.74) справедливы и в рассматриваемом случае. Умножая модельное уравнение (2.20) на т^2 и ум^2 и интегрируя, получим вместо (2.76) и (2.77):

^mf^d^-AnP^, (2.90)

f f ^2 ^ = " А^+аРму (2.91)

Выше при рассмотрении линеаризированной задачи о сдвиге при двухсторонней максвелловской аппроксимации мы видели, что подбором постоянной А можно было сделать решения модельного урав-

нения и уравнения Больцмана тождественными. Как видно из сравнения уравнений (2.76), (2.77) и (2.90) и (2.91), в нелинейном случае этого сделать нельзя.

В задаче о передаче тепла, так как uz и Р xz равны нулю, достаточно одного уравнения (2.77) или (2.91). В этом случае решения вновь могут быть сделаны тождественными соответствующим выбором константы А. Однако если в задаче о сдвиге необходимое для этого значение А равнялось кТ^, то в задаче о передаче

2

тепла А нужно положить равным -^kTjy,, что находится в соответствии со сказанным в § 3.6. Этот факт, в частности, показывает точность, которую можно ожидать от замены уравнения Больцмана модельным уравнением в тех случаях, когда существенны и вязкость и теплопроводность одновременно. Таким образом, в задаче о передаче тепла для модельного уравнения можно непосредственно воспользоваться решением уравнений (2.78) для точного уравнения Больцмана. Решение уравнений (2.78) строилось по безразмерному параметру Re/M. Легко установить связь между этим параметром и входящим в решение модельного уравнения параметром а. Действительно, полагая Л =-|-А7' ь/ц(7'+), имеем

а = = =

На рис. 28 и 29 дано сравнение решения модельного уравнения, полученного моментным методом, с точным. Как видно из графиков, точность моментного метода уменьшается по мере увеличения перепада температур. На этих же рисунках приведены результаты расчета теплопередачи методом последовательных приближений. Приведенные результаты получены путем подстановки свободномолекулярного решения в правую часть уравнений (2.85а) и (2.85в) и выполнения соответствующих квадратур. Совпадение этих результатов с точным решением при больших а гораздо лучше, чем можно было ожидать.

Следует обратить внимание на интересную особенность течения при больших перепадах температур или большой разности скоростей. Рассмотрим, например, теплопередачу при достаточно большом числе Кнудсена между пластинками с температурами 7^ и 72, и пусть 7'2^>7']. Будем различать два сорта молекул. Молекулы, идущие от «горячей» пластинки будем считать молекулами сорта 2, а молекулы, идущие от холодной пластинки,—-молекулами сорта 1. Пусть ■Пр По и Пу, п2—средние скорости и плотности молекул соответственно 1-го и 2-го сорта. Очевидно, ^^>^1- Из непрерывности течения имеем -

(2.92)(2.92)■ихпг = ^n-a-

(2.92)

(2.92)

286 РЕШЕНИЕ УР-НИЯ БОЛЬЦМАНА ДЛЯ ВЫРОЖДЕННЫХ ТЕЧЕНИИ [ГЛ. IV Молекулы каждого сорта испытывают столкновения как между собой, так и с молекулами другого сорта. Обозначим через Х^ длину пробега молекул сорта i на молекулах сорта у. Пусть сечение столкновения при относительной скорости молекул порядка и, равно о. Рассмотрим максвелловский газ. Как отмечалось в гл. I, у максвелловских молекул- сечение столкновений меняется обратно пропорционально относительной скорости молекул. Поэтому при относительной скорости молекул порядка t»2 сечение столкновения будет равно ог>1(г>2<^_о. Учитывая это и соотношение (2.92), для соответствующих длин пробега получаем оценки:

X У| = 12 ^1^2 _ 1 _ 1 уа '

11 ПхОУх ПхО ’“12 «гО-у^г п^а пха гд ’

у2у2 1 ®2у2у2 1 у2(2.93)

Х2т ' ' , Хо2 ' ' •

«[О’ yj/^av,^ п^а yjJ

Таким образом,

^22 -5^ ^12 ~ ^21 5^ ^1Р(2.94)

Следовательно, медленные молекулы, прежде чем столкнуться с быстрыми молекулами, сталкиваются много раз между собой.

При очень больших отношениях температур может, например, оказаться, что

Х22^> Х]2 = Х2] ^> d и Xu<^d.(2.95)

В этом случае молекулы, идущие от горячей стенки, достигают холодной стенки без столкновений, как в свободномолекулярном потоке. Холодные молекулы также не сталкиваются с горячими, но многократно сталкиваются между собой.

При ХН<^<У на расстояниях в несколько длин пробега Хп от холодной стенки функция распределения холодных молекул (сорта 1) должна стать близкой к локально-максвелловской. В то же время горячие молекулы могут либо вовсе не испытывать столкновений (как в случае (2.95)), либо испытывать очень мало столкновений с молекулами 1-го сорта. Поэтому функция распределения горячих молекул близка к распределению молекул, отраженных от стенки. В приведенном на рис. 28 и 29 сравнении в моментном методе применено двухстороннее максвелловское распределение. Из проведенного только что качественного анализа видно, что это распределение может удовлетворительно аппроксимировать лишь функцию распределения горячих молекул (идущих от горячей стенки) и плохо аппроксимирует функцию распределения молекул, идущих от холодной стенки, близкую, как показано выше, к локально-максвелловскому распределению. Этим, по-видимому, и объясняется отмеченное выше большое расхождение точных расчетов с результатами, полученными методом моментов при больших перепадах температур.

Как следует из самого вывода модельного уравнения, оно соответствует максвелловскому газу (см. § 2.8). Поэтому при использовании модельного уравнения проявляется разобранное выше явление. Если бы рассматривался газ из твердых сфер (о = const), то

XX(2.96)(2.96)

X

X

(2.96)

(2.96)

В этом случае отмеченное явление наблюдаться не будет. Однако соответствующие расчеты могут быть получены лишь с помощью полного уравнения Больцмана.

§ 4.3. Течение Пуазейля. Парадокс Кнудсена

Рассмотрим течение между двумя бесконечными параллельными неподвижными пластинками (рис. 30) •).

Пусть температура пластинок постоянна и равна Tw. Предположим, что течение происходит под действием малого градиента давления и что стенки отражают молекулы по максвелловскому закону с температурой, равной температуре стенки (т. е. что коэффициент аккомодации а6=1).

Течение будем описывать модельным х уравнением, которое для рассматриваемой задачи принимает вид

,,,, ш-0, Tw

(3.1)‘

На стенках при сделанных предположениях- dг

( , d\ "2

/ ±о | = /0§) =~ '377——

v \2)J и 4ш^и, Tw

=<2^ (-^)3/2 V. (3.2)Рис. 30.

Будем искать решение уравнения (3.1) в следующем виде:

(3.3)(3.3)/ = /оо(Н"Ф)./оо=«о(-^-)3/2е ^

(3.3)

(3.3)

где <р(х, 2, §) — малая добавка и п0 — постоянная.

Подставляя (3.3) в уравнение (3.1), после линеаризации получим

-Г- = — ф + V 4-+ И2— т- (3.4)

охх ' a dzx 1 112 / х '

Здесь введены те же обозначения, что и при выводе уравнения (2.27) в предыдущем параграфе:

=x^xfd, z^zjd, Ul = u2Vh^

a=AnQdV"h^, Т = Тт,(1+т), ra = n0(l+v), v = -L J e-^tpdv.

2т — 32т — 3-L^ f е-Уф d^ - v, uz = j e^4<P-L^ f е-Уф d^ - v, uz = j e^4<P(3.5)(3.5)Давление можно представить в видеДавление можно представить в видеВеличинаВеличина1 = 10(1 — Kz) (Po^hT^g).1 = 10(1 — Kz) (Po^hT^g).(3.6)(3.6)dPdPесть градиент давления.С другой стороны, по определениюI = 4 j ^^ d^ = Ру + 4 j т^ооФ ^-Отсюда видно, что функция <р должна иметь вид<р = — Kz -j- г»гф (х, г, -ох, vr -и^.После подстановки решения (3.8) в уравнение (3.4) мает видесть градиент давления.С другой стороны, по определениюI = 4 j ^^ d^ = Ру + 4 j т^ооФ ^-Отсюда видно, что функция <р должна иметь вид<р = — Kz -j- г»гф (х, г, -ох, vr -и^.После подстановки решения (3.8) в уравнение (3.4) мает вид(3-7)(3-7)(3.8)(3.8)онооноприни-прини-а дх1 1 а дгх а1а дх1 1 а дгх а1(3.9)(3.9)

2

т — 3

2

т — 3

-L^ f е-Уф d^ - v, uz = j e^4<P

-L^ f е-Уф d^ - v, uz = j e^4<P

(3.5)

(3.5)

Давление можно представить в виде

Давление можно представить в виде

Величина

Величина

1 = 10(1 — Kz) (Po^hT^g).

1 = 10(1 — Kz) (Po^hT^g).

(3.6)

(3.6)

dP

dP

есть градиент давления.

С другой стороны, по определению

I = 4 j ^^ d^ = Ру + 4 j т^ооФ ^-

Отсюда видно, что функция <р должна иметь вид

<р = — Kz -j- г»гф (х, г, -ох, vr -и^.

После подстановки решения (3.8) в уравнение (3.4) мает вид

есть градиент давления.

С другой стороны, по определению

I = 4 j ^^ d^ = Ру + 4 j т^ооФ ^-

Отсюда видно, что функция <р должна иметь вид

<р = — Kz -j- г»гф (х, г, -ох, vr -и^.

После подстановки решения (3.8) в уравнение (3.4) мает вид

(3-7)

(3-7)

(3.8)

(3.8)

оно

оно

прини-

прини-

а дх1 1 а дгх а1

а дх1 1 а дгх а1

(3.9)

(3.9)

и1 = ^ J e-^dD

Ha стенках (х, = ± 1/2) согласно (3.2)

<р(±-^; ^^0^=¥ =— Кг, ф^±у; ^^0^ = 0. (3.10)

Так как ни уравнение (3.9), ни граничные условия (3.10) не содержат г, то ф не зависит от г. Тогда уравнение (3.9) можно записать в виде

пгй- = -’1’+-^+2й>^-(ЗЛ1)

Запишем это уравнение в интегральной форме:

Ф^.^зеО)^ J [_^ +2^(5)]/“^ ^L.(з.12)

Tl/2Х

ТЕЧЕНИЕ ПУАЗЕИЛЯ. ПАРАДОКС КНУДСЕНА289

Умножая на л-з/г^-ги и интегрируя по и, получим

+ 1/2

«1 (^1) = J [/^ ММ^р-^К"^)^(3,13)

V Я -1/2

где /„(х) — интегралы, введенные в предыдущем параграфе.

Функция /„^«1^—s|) имеет логарифмическую особенность при s = xv Поэтому в грубом приближении в правой части уравнения (3.13) можно «! (s) заменить на uY(xx). Тогда, учитывая, что

без труда получимбез труда получимdin-ух (х)dxdin-ух (х)dxА (Л) —А (Л) —

без труда получим

без труда получим

din-ух (х)dx

din-ух (х)dx

А (Л) —

А (Л) —

Функция JQ(x) обладаетФункция JQ(x) обладаетследующими асимптотическими свойствами *):следующими асимптотическими свойствами *):

Функция JQ(x) обладает

Функция JQ(x) обладает

следующими асимптотическими свойствами *):

следующими асимптотическими свойствами *):

Jq(x)—§х п хJq(x)—§х п хпри х-> Опри х-> О

Jq(x)—§х п х

Jq(x)—§х п х

при х-> О

при х-> О

и

X -> со.X -> со.J6 (х) -> е 2 V4 ^ + -р j/1) при

X -> со.

X -> со.

Следовательно, согласно грубому приближению (3.14) скорость их стремится к бесконечности как при а->0 (т. е. при Кп —>оо), так и при а—>со (т. е. при Кп~>0). Таким образом, скорость минимальна при некотором значении а. Аналогично ведет себя и объемный расход, равный

+ 1/2

Q — d J uv (xv) dxv

-1/2

(скорость измеряется в единицах тепловой скорости молекул А^1/2).

Наличие минимального расхода при некотором давлении (при 0 < а < со) получается и из численного решения уравнения (3.13)).

*) Abramowitz М., J. Math, and Phys. 32, 188 (1953).

Это явление впервые обнаружено экспериментально ') и известно как парадокс Кнудсена. На рис. 31 приведено изменение величины 2Q/№2 по и, а па рис. 32 даны профили скоростей, полученные ио формуле (3.14).

При больших давлениях (при а^> 1) справедливо решение Пуа- зейля, согласно которому расход растет пропорционально давлению:

2Q а"6 -

При малых давлениях Кнудсен обнаружил логарифмический рост расхода с уменьшением давления.

Качественно те же результаты дает и решение уравнения (3.13). Количественное сравнение затруднено, так как опыты Кнудсена проведены в круглых трубах, в то время как приведенное решение относится к плоской конфигурации.. Более того, для рассмотренной вырожденной геометрии расход стремится к бесконечности при « ->0

*) Knudsen М., Ann. Physic 23, 75 (1909); Knudsen М., Theory of Gases, 1934. '

в то время как в трубе с ограниченной площадью поперечного сечения в свободномолекулярном пределе расход остается конечным. Поэтому даже для очень узкой щели конечной ширины при а->0 величина расхода будет отходить от полученного выше решения, стремясь к конечному свободномолекулярному пределу.

Структура ударной волны

Задача о структуре ударных волн, как и задача о течении Куэтта, относится к числу классических. Течение Куэтта и течение в ударной волне являются простейшими представителями характерных типов течений, возникающих около тел, обтекаемых газом. Течение, подобное течению в ударной волне, возникает при обтекании тупых тел при малых числах Кнудсена. Толщина зоны сжатия при достаточно малых числах Кнудсена может быть соизмерима с характерным размером тела. Однако изучение структуры ударной волны весьма актуально и в тех случаях, когда толщина ударной волны пренебрежимо мала по сравнению с характерным размером тел. В сильных ударных волнах разыгрывается целый ряд процессов, существенным образом влияющих на все течение. Изучению структуры ударных волн с учетом диссоциации, ионизации, излучения, релаксации возбуждения внутренних степеней свободы молекул и тому подобных процессов для многоатомных газов и газовых смесей в рамках теории Навье—Стокса посвящено большое число работ, результаты которых суммированы в монографии Зельдовича и Райзера1). В то же время известно, что уравнения Навье — Стокса, строго говоря, неприменимы к описанию структуры сильных ударных волн, толщина которых порядка длины пробега молекул. Ниже будет рассмотрена структура ударных волн с кинетической точки зрения с помощью уравнения Больцмана для одноатомных газов.

Пусть ось х направлена вдоль потока перпендикулярно ударной волне. Пусть av nv Тх и «2, п2, Т2—средние скорость, плотность и температура газа соответственно до и после ударной волны.

На бесконечности до и после волны газ находится в равновесии, так что соответствующие функции распределения являются максвелловскими:

/ (х -> — оэ) = /, (|) = п^ =

=Ш3/2 ехр 44 к^ _ й‘)2 44 ■1 а)

/ (х -> со) = /2 (!) = пгРг =

=(™)3/2 «Р {- h, [(^ - и^ + + ^.(4.16)

!) Зельдович Я. Б., Райзер Ю. П., Физика ударных волн и высокотемпературных гидродинамических явлений, «Наука», 1966.

292 РЕШЕНИЕ УР-НИЯ БОЛЬЦМАНА ДЛЯ ВЫРОЖДЕННЫХ ТЕЧЕНИЙ [ГЛ. IV Так как в волне масса газа, его импульс и энергия сохраняются, то

m / Ш? = m /m / Ш? = m /или р1И1 = р2и2 = /,или р1И1 = р2и2 = /,(4.2а)(4.2а)

m / Ш? = m /

m / Ш? = m /

или р1И1 = р2и2 = /,

или р1И1 = р2и2 = /,

(4.2а)

(4.2а)

m J ^/1 d^ = т / ^2d^ или Juy + kt4T\ = jui + fen2Ty (4-26)

Это — хорошо известные условия Гюгонио— Ренкина.

задачи(4.3)задачи(4.3)Уравнение Больцмана для рассматриваемой одномерной принимает вид

задачи

(4.3)

задачи

(4.3)

дх v

Исследование структуры ударной волны требует решения уравнения (4.3) при граничных условиях 0.1). Как и для задачи Куэтта, для этой задачи нет пока точного решения. Для приближенного решения задачи естественно применить метод моментов.

Представим аппроксимирующую функцию распределения в виде’)

/0, ^ = aA(x)Fx(^-a2(X)F2^^a3(x)F3^(4.4)

где Fb2(£) определены формулами (4.1),

- «3) «Р Я3 [(^ - «3) + ^ + ^}(4 -5)

и и3 и Т3 — некоторые постоянные. При а3=0 распределение (4.4) переходит в бимодальное распределение Тамма—Мотт-Смита2).

Из граничных условий (4.1) следует:

«Д—ca)=n,v а3 (0- со) = п^, a1(0-co) =

= а2(—оэ)=д3(—оэ) = а3 (4-оэ) = 0. (4.6)

Уравнения сохранения (1.8)—(1.10) главы III для рассматриваемой задачи принимают вид:

m J ^xf (и = тлш (х) = тпхих = j,m / ^/ ^& = Я W + рхх W = А + ktixTv

(4-7а)(4.76)(4-7а)(4.76)т(м=М = У(АА7- + Д,А) +

(4-7а)

(4.76)

(4-7а)

(4.76)

. + „Р„ + ,, = /(1А Т, +4»]). (4.7.)

Подставляя в левую (4.4), получим:Подставляя в левую (4.4), получим:часть уравнений (4.7) функцию распределения

Подставляя в левую (4.4), получим:

Подставляя в левую (4.4), получим:

(4.8а)

11- о ■1И т,2/Л3 31 1- о ■1И т,2/Л3 31 1(4.86)(4.86)(4.8в)(4.8в)Из граничных условий (4.6) и соотношений (4.8) следуют условия Гюгонио — Ренкина (4.2). Используя условия (4.2), соотношения (4.8)

1

1

- о ■1И т,

2/Л3 31 1

- о ■1И т,

2/Л3 31 1

(4.86)

(4.86)

(4.8в)

(4.8в)

11ХС1Х —]— ZZ2^2 П1иХ11ХС1Х —]— ZZ2^2 П1иХт / 1«[ \ 2Л[т / 1«[ \ 2Л[12УТ3 312УТ3 3)- «И («хах + «2^2) = 7И1 + kuxTx)- «И («хах + «2^2) = 7И1 + kuxTx«3.«3.НmVTНmVT5 1^•)(«Хах + и»а^ =_ /5 к\ 2 т5 1^•)(«Хах + и»а^ =_ /5 к\ 2 т«1 \тТ/4ут3«1 \тТ/4ут3(4.9а)(4.96)(4.9в)(4.9а)(4.96)(4.9в)можно переписать в виде

11ХС1Х —]— ZZ2^2 П1иХ

11ХС1Х —]— ZZ2^2 П1иХ

т / 1

«[ \ 2Л[

т / 1

«[ \ 2Л[

1

2УТ3 3

1

2УТ3 3

)- «И («хах + «2^2) = 7И1 + kuxTx

)- «И («хах + «2^2) = 7И1 + kuxTx

«3.

«3.

Н

mVT

Н

mVT

5 1

^•)(«Хах + и»а^ =

_ /5 к

\ 2 т

5 1

^•)(«Хах + и»а^ =

_ /5 к

\ 2 т

«1 \т

Т/4ут3

«1 \т

Т/4ут3

(4.9а)

(4.96)

(4.9в)

(4.9а)

(4.96)

(4.9в)

Для того чтобы эти уравнения были разрешимы, должны выполняться следующие условия совместности:

1( о , ЬТ, \-67,( п _ кТх \ о 9

ZZ9 = —— I и, —I] и 5 — I и, —|— 5) — Зи-, (4.10)

d 21Z) \ 1 1 m / m \ 1/” /3

определяющие до сих пор произвольные параметры «3 и Т3.

Если условия совместности (4.10) удовлетворены, то уравнения (4.9) сводятся к одному уравнению, например к уравнению (4.9а). Поэтому

для определения трех неизвестных функций Др й2 и аа необходимо образовать еще два моментных уравнения. Как уже неоднократно отмечалось, о точности выбранной аппроксимирующей функции можно судить, сравнивая между собой решения, полученные с помощью одной и той же аппроксимирующей функции, но с применением различных моментных уравнений. Будем рассматривать три группы дополнительных моментных уравнений, образованных умножением уравнения Больцмана (4.3) соответственно на Qt = ^, ^, ^ и Q2 = ^, ^2, ^§2- Левую дифференциальную часть моментных уравнений для функции распределения (4.4) можно записать в виде

^JW№S)<i8 = y,(Q)5.(4.11)

где

4(Q) = / WA

— интегралы, вычисление которых для выбранных функций F{ и Q не представляет труда.

Несколько сложнее вычисление моментов от интегральной части уравнения Больцмана. Преобразуем правую часть, воспользовавшись свойством симметрии (4.11) главы II:

IQ= J (Q'—QHfigbdbd£d^d^ =^^Q) а^^ (4.12)

i, /=•

где

^■(Q^ J (Q' — Q) F^jgbdbds d^ d^.(4.13)

Следовательно, искомые моментные уравнения имеют вид 33

(4.14)

i ™ II, } = 1

Для нахождения трех функций аг(х) необходимо решить систему двух нелинейных дифференциальных уравнений (4.14) совместно с алгебраическим уравнением (4.9а).

Для максвелловских молекул интегралы (4.13) можно выразить через интегралы, значения которых нам уже известны. Действительно, функции Q могут быть выражены через полиномы Эрмита. В обозначениях §3.3 имеем, например,

= 2г№+1Н2».у^«+«=.

Поскольку интегралы от интеграла столкновений, умноженного на сумматорные инварианты 1 и -их, равны нулю, то соответствующий интеграл может быть выражен через известный интеграл (3.31) главы III:

, кТ тк А !8К \1/2-Л 1 КХ

— пр”- ^4Л5)

Входящие сюда величины п и рхх могут быть представлены в виде интегралов от функции распределения, а следовательно, в виде линейных функций от яг(х) с коэффициентами, зависящими от п^ их и ht. Таким образом, интеграл (4.15) будет квадратичной функцией а-г Приравнивая коэффициенты при равных a^j в (4.12) и (4.15), найдем значения интегралов ^-(Q)). Имея значения интегралов Jij(Q), можно численно решить систему уравнений (4.14) и (4.9а). Мы не будем приводить детали решения, но, прежде чем привести результаты расчетов для распределения (4.4), остановимся несколько подробнее на частном случае бимодальной функции распределения (<z3 = 0)). В этом случае уравнения (4.9) сводятся к уравнению

ип = ихах + и2а2 = пхих.(4.16)

В качестве единственного дополнительного моментного уравнения примем уравнение с Q = ^. Используя (4.15), имеем:

„ (о кТх,dax, „ (Q kl\,das _

\ m1dx'2 \ m1dx

6 m ( m ) ПРхх- (4.17)

Преобразуем правую часть уравнения:

*ipхх = пРхх ~пр = mn j с2 / d^ — -"- J с2/ (К, =

— у mn J ^2/ d% — -| m (ап)2 ~^тп^ (Ц-+ ^2) / ^ = 2

= у тахай (их —■ и2)2.

Исключая из (4.17) функцию а2(х) с помощью (4.16) и подставляя в правую часть только что полученное выражение, получим

уравнениегдеуравнениегде5(М1Л2П“1\21Г190М(М2—1)2

уравнение

где

уравнение

где

2\и2 J L\ ^2 / J ~ 3 + М2 16М4—(3+М2)2

X — —11— 4

— 5 р /Зл^Т) — 15 Апх /4лК

—■ длина пробега молекул до волны и

М = “1 V "5Щ"

(4.18)(4-19)(4.20)(4.21)(4.18)(4-19)(4.20)(4.21)— число Маха набегающего потока.

(4.18)

(4-19)

(4.20)

(4.21)

(4.18)

(4-19)

(4.20)

(4.21)

Решение уравнения (4.18) легко находится и равно

й W = _2^.(4.22)

1 + ^

Тогда_

1 + (2^L^1 +

и я, -J- tz2_(4 23)

nv— /z="14-^1 + ^7'

И

«! ti Тх \) пТх \1 4] п У \ “i /

(4.24)

(М2=“2 ]Л^77) •

Структура волны при распределении (4.4) и при бимодальном распределении показана на рис. 33 и 34.

Точку, в которой профиль той или иной величины в волне имеет максимальный наклон, принято считать центром профиля. Центр профиля будем обозначать лгг, где индекс Г указывает ту гидродинамическую величину (плотность, скорость, температуру и т. д.), профиль которой рассматривается.

Из приведенных кривых видно, что центр температурного профиля сдвинут вперед по отношению к скоростному центру, а последний расположен впереди центра профиля плотности.

Как видно из формул (4.23) и (4.24), скоростной и плотностный профили при бимодальной функции распределения обладают симметрией инверсии относительно своего центра. Для характеристики

§ 4.4]симметрии профиляSr =Очевидно, что для§ 4.4]симметрии профиляSr =Очевидно, что дляможно ввести величину [Г (со) Г (Ар)] [Г (Ар) Г (— оо)] Г (оо) — Г (— со)'

§ 4.4]

симметрии профиля

Sr =

Очевидно, что для

§ 4.4]

симметрии профиля

Sr =

Очевидно, что для

бимодального распределения 5„=5й = 0, в то

Рис. 34.Рис. 34.время как соответствующие профили для распределения (4.4) обладают слабой несимметрией S„~3,5% и 5Й—1,2%.

Рис. 34.

Рис. 34.

Интересно отметить, что профиль температуры, соответствующий распределению (4.4), имеет максимум. При этом расчеты показывают, что при изменении знака градиента температуры знак потока тепла не изменяется. Очевидно, что подобных эффектов не может быть

в рамках теории Навье—Стокса. В то же время нельзя с уверенностью утверждать, что обнаруженный слабый максимум не обусловлен неточностью аппроксимации.

Одной из осредненных характеристик волны, удобной для сравнения с экспериментальными данными, является ее толщина. Конечно, понятие толщины условно. Примем определение толщины волны, данное Прандтлем:

\ dx /max

Определенные таким образом толщины волны для различных Г, вообще говоря, различны. Так, для бимодального распределения температурная толщина волны несколько меньше равных между собой плотностной и скоростной толщин.

Рис. 35.

На рис. 35 приведено изменение толщины волны (отнесенной к длине пробега молекул до фронта) по числам Маха как для бимодального распределения, так и для распределения (4.4) при различном выборе Q(y. Согласно обеим теориям толщина волны порядка длины пробега. При увеличении чисел Маха толщина волны сначала падает, а затем растет пропорционально числу Маха.

При малых числах Маха решения, соответствующие распределению (4.4), достаточно хорошо согласуются между собой и с нанесенным для сравнения решением, полученным по теории Навье —

Стокса для максвелловских молекул. При больших числах Маха расхождение кривых выбранных моментных уравнений (для различных Q) значительно меньше, чем для бимодального распределения. Следовательно, добавление одного члена к распределению Тамма—Мотт- Смита позволило повысить точность. Однако оставшееся расхождение кривых еще значительно. Увеличения точности можно добиться либо добавлением еше одного члена, либо более удачным выбором функции F3.

Лучшей точности можно добиться и в бимодальном приближении, варьируя функции Рх и Л2. Результаты, близкие к найденным с помощью распределения (4.4), получены, например, с бимодальной функцией распределения, вводящей различный масштаб скоростей молекул в различных направлениях, в которой !)

(4.26)(4.26)Л ~ ^3/2 ^’^ еХР (— А1 fe* «l/ + Й + ^]}.

(4.26)

(4.26)

^3 = -^ WSf exp { - hu [(^ - Qf + Ь3 (Й + d)]}.

где Q, hu и Л22— три функции, подлежащие определению наряду с й,(х) и а^хУ Толщина волны, рассчитанная при этом распределении для максвелловских молекул, приведена на рис. 35. При этой функции распределения также получается максимум в температурной кривой.

Выше структура волны рассмотрена лишь для максвелловских молекул. При других законах взаимодействия ход решения остается тем же, но усложняется вычисление моментов от интеграла столкновений. При бимодальном распределении сделанные выше качественные выводы справедливы и для других законов взаимодействия).

Толщина волны неограниченно растет при М->со при любом s в степенном законе взаимодействия молекул. Лишь при s->oo (т. е. для твердых сфер) толщина волны стремится к конечному пределу. Качественно этот результат можно обосновать следующим образом. Грубо толщину волны можно принять пропорциональной длине пробега молекул набегающего потока в газе за скачком уплотнения. Обозначим эту длину через %i2. Тогда (см. § 1.4)

12 пгахгихг ’

где и12—скорость молекул набегающего потока относительно молекул газа за скачком и о12 — сечение столкновений при относительной скорости молекул «12. При больших числах Маха

и12 «s их

*) Но 1 w а у L. Н., Rarefied Gas Dynamics, Forth Symp., Acad. Press, 1965.

и выражение для длины пробега можно записать в виде

Если молекулы жесткие, то их можно моделировать твердыми сферами и о12=ог В этом случае

^”12 ' " ' ^ ^со *

При числе Маха волны М >со в совершенном газе отношение плотностей е стремится к

х— 1

е = —

х+ 1

где х— отношение удельных теплоемкостей. Следовательно, для твердых сфер толщина волны меньше длины пробега в набегающем потоке и стремится к конечному пределу при М—>ос.

В предельном случае мягких молекул, моделируемых максвелловскими молекулами (см. § 1.3),

Здесь с,— средняя тепловая скорость молекул, примерно равная скорости звука ах в набегающем потоке. В этом случае толщина волны

^12 еМ1 * А-со,

т. е. растет пропорционально числу Маха.

Заметим, что длина пробега молекул друг относительно друга Х2г за волной пропорциональна Х12. Следовательно, при М—>со для всех молекул, кроме твердых шаров, длина пробега молекул за волной становится больше, чем до волны, несмотря на увеличение плотности в волне.

Как уже отмечалось, большое число эффектов (излучение, диффузия компонент смеси и т. д.), возникающих в ударных волнах (особенно сильных), широко изучаются в рамках теории Навье — Стокса. Поэтому важно знать область применимости полученных таким образом результатов и оценить их точность. Возможность описания структуры ударных волн с помощью уравнений Навье — Стокса весьма заманчива также и потому, что во многих случаях ударные волны занимают сравнительно узкую зону течения, во всех других частях которого навье-стоксовское описание вполне оправдано.

Расчет структуры волны по теории Навье — Стокса сводится к решению уравнений (4.7), в которых в соответствии с рассматри-

§ 4.4] СТРУКТУРА УДАРНОЙ ВОЛНЫ 301 ваемым приближением следует положить (см., например, формулы (3.45) и (3.46) главы III)

где н и X являются различными функциями от Г в зависимости от закона взаимодействия молекул. В общем случае эта система уравнений решается лишь численно ). Система (4.7) с граничными условиями

«(—оо)=«1, Т —oo) = T-i, и (—оо) = и1,п(оа) = пг, Т(оо)=Т2, я(оо) = «2

имеет решение при любых числах Маха волны. Однако, согласно теории Энскога — Чепмена, сами уравнения Навье — Стокса применимы лишь для течений, характерный размер которых много больше длины пробега, т. е. в рассматриваемом случае лишь к слабым ударным волнам. Из приведенного на рис. 35 сравнения видно, что навье-стоксовское решение удовлетворительно согласуется с решением, соответствующим распределению (4.4), при малых числах Маха и сильно расходится с ним при больших числах Маха. Естественно ожидать, что при больших числах Маха более точным является решение, соответствующее распределению (4.4). Однако без точного решения окончательного вывода сделать нельзя. Поэтому приходится обратиться к сравнению с экспериментом.

При сравнении теории с экспериментом следует иметь в виду, что наряду с погрешностями, связанными с приближенным характером сравниваемых теоретических результатов, расхождение между теоретическими и экспериментальными данными может быть обусловлено также плохим соответствием принятого в теории закона взаимодействия молекул с истинным законом взаимодействия молекул в опыте. Константы, входящие в теоретические законы взаимодействия молекул, берутся обычно из каких-либо макроскопических опытов. Толщина волны очень чувствительна к выбору модели взаимодействия молекул. Поэтому экспериментальные данные о толщинах волн весьма удобны для определения законов взаимодействия молекул. Для сравнения же теоретических и экспериментальных данных о структуре волны необходимы законы взаимодействия, взятые из независимых испытаний, например из опытов по определению вязкости. Однако экспериментальные данные по вязкости имеются лишь для температур, меньших температуры в сильных ударных волнах.

^ = НхЛЛхЭД = J-^exp^ = НхЛЛхЭД = J-^expdx.dx.(4.27)(4.27)

^ = НхЛЛхЭД = J-^exp

^ = НхЛЛхЭД = J-^exp

dx.

dx.

(4.27)

(4.27)

В приводимом на рис. 36 сравнении) для аргона в теоретических расчетах принят закон Леннарда — Джонса с коэффициентами, взятыми из опытов, проведенных до температуры 1100° К. Эта температура соответствует ударным волнам до М = 3. Для М > 3 принятый закон взаимодействия следует рассматривать как экстраполяцию. Экспериментальные данные получены с помощью зонда в виде тонкой нити в аэродинамической трубе разреженного газа до М = 2 ) и оптическим методом, основанным на отражении волной направленного под некоторым углом к ней луча, в ударной трубе). Толщина волны отнесена к длине свободного пробега, определенной по формуле (4.20), в которой ц соответствует закону взаимодействия молекул Леннарда — Джонса.

Учитывая сделанные выше замечания, из приведенного сравнения можно все же сделать вывод, что при малых числах Маха теория Навье —

Стокса согласуется с экспериментом. При больших числах Маха экспериментальные данные гораздо ближе к теории Тамма —Мотт- Смита. Навье-стоксовские профили плотности и скорости обладают значительной несимметрией (5—10 — 20%), в то время как несим- метрия профиля температур меньше, чем по Тамму — Мотт-Смиту.

Относительную точность решения Навье—Стокса можно оценить также с помощью модельного уравнения, для которого можно построить точное решение).

Запишем релаксационное уравнение для рассматриваемой одномерной задачи в интегральной форме (см. формулу (8.25) § 2.8):

Так как интегрирование ведется от «-)-» и «—» бесконечности, то экспоненциально затухающий член, содержащий начальную функцию распределения, пропадает.

Проинтегрируем уравнение (4.27) по всем §; имеем

I Ап?

где!)где!)V л J

где!)

где!)

о

Аналогично, умножая уравнение на |х и Ч^тс? и интегрируя по g, получим уравнения для и и Т;

Таким образом, получается три интегральных уравнения для трех макроскопических величин п, и и Т. Эти уравнения решались методом

*) Свойства этого интеграла и таблицы его значений даны в работах: Chahine М. Т., Naraslmha R., J. of Math, and Phys. 43, № 2 (1964) и JPL tech. rep. № 32-459, California Inst, of Technology, Pasadena, 1963. В последней работе даны более подробные таблицы.

304 РЕШЕНИЕ УР-НИЯ БОЛЬЦМАНА ДЛЯ ВЫРОЖДЕННЫХ ТЕЧЕНИЙ [ГЛ. IV последовательных приближений. За исходное принималось решение Навье — Стокса. Навье-стоксовские значения п, и и Т подставлялись в правую часть, и находились новые значения этих величин, которые вновь подставлялись в правую часть, и т. д. Анализ десяти последовательных приближений) показал достаточно быструю сходимость этого процесса. На рис. 37 дано сравнение профилей температуры и скорости, рассчитанных по Навье — Стоксу, с описанным «точным» решением. Использовались уравнения Навье — Стокса, получаемые из модельного уравнения (см. § 3.6), т. е. уравнения, соответствующие числу Прандтля, равному единице. Расчеты проведены для сазерлендовской зависимости вязкости и теплопроводности от температуры. В § 3.6 показано, что из релаксационного уравнения следует:

кт ,5 кгТ

Ц=-д- и Л =.

Л2 Аш

Для того чтобы решение модельного уравнения (4.27) также соответствовало закону Сазерленда, величина А считалась функцией температуры.

Из рассмотрения приведенных кривых можно сделать те же выводы, что и выше: теория Навье — Стокса достаточно точно определяет структуру волны при числах Маха, близких к единице, и точность теории падает по мере увеличения чисел Маха. При этом наибольшие отклонения наблюдаются у температурного профиля. Точное решение модельного уравнения не дает отмеченного выше максимума в температурной кривой.

Интересно отметить, что в области высоких давлений в структуре ударной волны и при больших числах Маха теория Навье—Стокса хорошо согласуется с точной). Отметим также, что полученный в точном решении при больших М пологий профиль на стороне, обращенной к набегающему потоку, обнаружен экспериментально А. В. Ивановым).

Чтобы получить большую, чем п,о теории Навье — Стокса точность, были сделаны попытки применить уравнения Барнетта и тринадцатимоментные уравнения Града. Однако оказалось, что уравнения Барнетта при числах М>2,1 и уравнения Града при числах М > 1,65 не имеют решений).

M=Z?

Рис. 37,

20 M- И. Коган

Можно было бы пытаться получить более точное решение, сохраняя все большее число членов ряда по полиномам Эрмита. Однако для молекул с конечным радиусом взаимодействия можно показать !), что вообще ряд по полиномам Эрмита, представляющий функцию распределения в волне, не сходится.

Действительно, разложение по полиномам Эрмита (см. § 3.3)

(4.29)

сходится в среднем, если функция / (|) стремится к пулю при ^—>со быстрее, чем e~toH Покажем, что функция распределения в волне не удовлетворяет этому условию при числах Маха волны, больших М = 1,851.

Для молекул с конечным радиусом взаимодействия уравнение Больцмана можно записать в интегральной форме (см. формулу (7.5) § 2.7; в формуле проведена замена Z = х/^):

Их. l) = f(x0, I) exp —

(4.30)(4.30)Xo

(4.30)

(4.30)

J Jv (t, I) exp

Рассмотрим функцию распределения / (x, g) в некоторой точке х внутри фронта волны для молекул, движущихся вверх по потоку (|л < 0); выбрав точку х0 в бесконечности, получим

Их, £, L<0) =Их, £, L<0) =expexpdx.dx.(4-31)(4-31)

Их, £, L<0) =

Их, £, L<0) =

exp

exp

dx.

dx.

(4-31)

(4-31)

Так как подынтегральная функцияТак как подынтегральная функцияположительна, тоположительна, то

Так как подынтегральная функция

Так как подынтегральная функция

положительна, то

положительна, то

№ §)№ §)expexp(4.32)(4.32)

№ §)

№ §)

exp

exp

(4.32)

(4.32)

для хА > х. При X) -> до функция распределения / стремится

к равновесной функции распределения за скачком

/<)2 И2/<)2 И2( ^2 У/а е~й2С2\ Л /’( ^2 У/а е~й2С2\ Л /’

/<)2 И2

/<)2 И2

( ^2 У/а е~й2С2

\ Л /’

( ^2 У/а е~й2С2

\ Л /’

*) См. Н о 1 w а у L. Н., Phys. Fluids 7, № 6 (1964).

а интеграл Jx стремится к /02У2(со, У- Так как интеграл J2 конечен, то согласно (4.32)

/ (х, |, ^ < 0) > С е.хр (— /г^),(4.33)

где С—некоторая положительная постоянная.

С другой стороны, для точек х, лежащих вверх ио потоку от центра волны, / стремится к

при х-эоо. Для того чтобы для этих точек решение могло быть представлено в виде сходящегося в среднем ряда (4.29), необходимо, чтобы

lim f(x, I) < Сх exp 1 hx Й ,(4.34)

где Cx > 0. При наличии неравенства (4.33) условие (4.34) может быть выполнено лишь при

или ^2^27!.(4.35)

Согласно условиям Гюгонио T^=t2Tx при числе Маха волны, равном 1,851.

Следовательно, решение в виде сходящегося в среднем ряда (4.29) существует лишь при М< 1,851.

Конечно, из того факта, что при М> 1,851 решение не может быть представлено в виде ряда (4.29), еще не следует, что, например, тринадцати- или двадцатимоментные уравнения или уравнения еще более высокого порядка не должны иметь решений при этих числах Маха. Так, уравнения Навье—Стокса имеют решение при любом числе Маха волны, в то время как соответствующая им функция распределения для максвелловских молекул тождественна тринадцатимоментной функции распределения. Однако из доказанного следует, что нельзя надеяться на получение все более точного решения путем сохранения все большего числа членов ряда в разложении по полиномам Эрмита.

В той области, где решения уравнений Града существуют, они хуже согласуются с опытом, чем решения уравнений Навье — Стокса и Барнетта *).

В принципе точные решения для структуры волны можно получить методом Монте-Карло (см. § 3.15)2). Однако этот метод требует слишком много времени при расчете на существующих вычислительных машинах. Поэтому полученные результаты носят предварительный

*) См. работу Шермана и Толбота, цитированную на стр. 302.

308 РЕШЕНИЕ УР-НИЯ БОЛЬЦМАНА ДЛЯ ВЫРОЖДЕННЫХ ТЕЧЕНИИ [ГЛ. IV характер. Метод расчета аналогичен описанному в § 4.2 для задачи о потоке тепла между двумя бесконечными стенками. Для рассматриваемой одномерной задачи фазовое пространство вновь можно характеризовать всею тремя координатами: геометрической координатой х, продольной скоростью молекул s^ и радиальной скоростью молекул £д (функция распределения имеет ось симметрии ^г). Фазовое пространство разбивается па ячейки путем деления каждой из указанных координат на равные части \х, А^, А£д. Каждая ячейка, отмечаемая тремя индексами I, j, k, соответствует определенным значениям хь ^х) и £д6. Функция распределения во всем пространстве полностью определена, если в каждой ячейке заданы некоторые числа N^, равные числу молекул, находящихся в элементе пространства \х с центром в точке хг со скоростями ^ и £,кк соответственно в интервалах А^ и teR.

Хотя область, занятая волной, бесконечна, для применения метода Монте-Карло условия Гюгонио— Ренкина необходимо ставить на некотором конечном расстоянии, которое путем проб можно выбрать таким, чтобы решение не изменялось при дальнейшем раздвижении границ. Приводимые ниже результаты получены для границ, расположенных друг от друга на расстояниях трех толщин волны, определяемых по формуле (4.25).

Пусть задана некоторая функция распределения, т, е. заданы числа Nufl во всех ячейках фазового пространства. Молекулы заданного распределения являются полевыми. Возьмем теперь некоторую пробную молекулу, входящую в область течения через одну из границ со скоростью (ёл, §д). Число молекул, входящих через переднюю и заднюю границы, должно быть выбрано пропорциональным числу молекул, входящих через эти границы согласно распределениям /г и /2 на бесконечности. Числа ^ и £,R определяются случайными числами, выбираемыми с плотностью, соответствующей максвелловским распределениям /, и /2. Входя в область течения, пробная молекула пересекает границу некоторой ячейки. При этом у нее имеется две возможности: или она пройдет эту ячейку и пересечет границу следующей, или испытает столкновение. Вероятность обоих исходов определяется законом взаимодействия молекул и плотностью полевых молекул. С плотностью, соответствующей этой вероятности, выбирается случайное число, определяющее время т свободного полета молекул до столкновения. Если т > Ах/^, то имеет место первый из упомянутых исходов. В этом случае время пребывания молекулы в рассматриваемой ячейке равно Ах/^. Молекула входит в следующую (по х) ячейку, где вновь разыгрывается время свободного пролета т. Если т < Ах/^, то столкновение произошло в первой ячейке. В результате столкновения пробная молекула приобретает новую скорость, т. е. попадает в ячейку с другими скоростными индексами.

В этой ячейке снова разыгрывается время свободного пробега и т. д. Выбранная пробная молекула прослеживается таким образом до тех пор, пока опа не выйдет через одну из границ. Тогда выбирается

новая пробная молекула, и процесс начинается сначала. Запоминая время, проводимое пробными молекулами в ячейках, определяем тем

самым новую функцию распределения. Необходимое число пробных молекул определяется из условия, чтобы функция распределения не изменялась при увеличении их числа. После этого молекулы, соответствующие новой функции распределения, принимаются за полевые, и расчет начинается снова. Получение новой функции распределения составляет одну итерацию. Для этих расчетов требуется большая

оперативная память, так

как необходимо одновременно помнить исходную и рассчитываемую функции распределения.

Приводимые расчеты проведены на вычислительной машине IBM-709 для молекул в виде упругих сфер. За исходную функцию распределения принималось соответствующее бимодальное распределение

310 РЕШЕНИЕ УР-НИЯ БОЛЬЦМАНА ДЛЯ ВЫРОЖДЕННЫХ ТЕЧЕНИЙ [ГЛ. IV Мотт-Смита. Выбиралось 25 ячеек по х и 180 скоростных ячеек при каждом х, т. е. для одной функции распределения необходимо запомнить 4500 значений.

На рис. 38 показан типичный профиль плотности, а на рис. 39 дано сравнение толщины скачка, рассчитанной по методу Монте- Карло, с результатами других методов.

Расчетные точки, в соответствии со сделанными ранее выводами, лежат ближе к навье-стоксовской кривой при числах М, близких к единице, и ближе к кривой Мотт-Смита при больших М. Однако слишком ограниченное число расчетов без доказательства сходимости метода не позволяет рассматривать полученные решения как точные. Тем не менее полученные результаты показали возможность статистического моделирования сложных молекулярных течений. Использованная схема счета до некоторой степени аналогична методу последовательных приближений, в котором в правую часть уравнения Больцмана подставляется функция распределения предыдущего приближения. Сходимость метода в существенной мере зависит от удачного выбора исходной функции распределения.

Звуковые колебания

До сравнительно недавнего времени звуковые колебания одноатомного газа изучались в гидродинамическом приближении. Однако такое рассмотрение справедливо лишь для длин волн, значительно больших длины свободного пробега молекул, или для частот, много меньших частоты столкновения молекул. Для описания высокочастотных (ультразвуковых) колебаний в широком диапазоне частот необходимо исходить из линеаризированного уравнения Больцмана:

1г + ^"^Г= /ю(ф1 + ф'~Ф1~ф)5^)^^8^^ ^(ф)- С5’)

Уравнение записано в безразмерных координатах, употреблявшихся в §§ 3.11 и 3,12, а именно:

/ = /о(1+ф). /о = Цтт;У »©• = — ]z ’^ — У "кт; ^’ в~пй/ = /о(1+ф). /о = Цтт;У »©• = — ]z ’^ — У "кт; ^’ в~пйL 1

/ = /о(1+ф). /о = Цтт;У »©• = — ]z ’^ — У "кт; ^’ в~пй

/ = /о(1+ф). /о = Цтт;У »©• = — ]z ’^ — У "кт; ^’ в~пй

т ’ I

(5.2)

т5. ]

Для упрощения письма черточки над безразмерными величинами в уравнении (5.1) опущены.

Дисперсионные уравнения уже рассматривались в §§ 3.11 и 3.12.

Рассмотрим два метода исследования звуковых волн 1). В первом из них возмущенная функция распределения ф представляется в виде

отрезка ряда по собственным функциям оператора L (ф) для максвелловских молекул:

Подставляя ф в виде (5.3) в уравнение Больцмана (5.1), умножая его последовательно на ©ф^ и интегрируя по §, получим систему N линейных уравнений для N моментов ац:

(«>

Z-lZ-1

где

А»1 = f № ^, Ч = / ®v Ш

Для максвелловских молекул Хг = 0 при I + Ц и система (5.4) упрощается

Для твердых сферических молекул удобнее использовать уравнение Больцмана в виде (11.58) § 3.11.

Отыскивая решение вида

°t—atc •(5.5)

получим систему линейных однородных уравнений для определения постоянных а{. Приравненный нулю детерминант этой системы (дисперсионное соотношение) определяет связь между а и к.

Этим путем были исследованы звуковые колебания для максвелловских молекул с использованием до 483 моментов *) и для твердых сфер с использованием до 105 моментов).

Второй метод состоит в использовании модельных уравнений (см. § 3.12, формулу (12.9)):

N

("57 "4" ^1 "д^.^^+l, W + 1) ф = 5 °&1$Р(5-6)

j где

(4/ = Ч fy^N-H, W+f

*) Pekeris С. L., Alterman Z., F 1 nk с 1 st c i n L., Symp. on the Numerical Treatment of Ordinary Diff. Equations, Burhauser-Verlag, Basel, 1960.

Решение для ф ищем в виде

4>=g®e. at = ate(5.7)

где. at — постоянные. Тогда уравнение (5.6) приобретает вид

N

С^ + ^ — ^у+ьа^й^ 2 ^М’л(5-8)

I, j

откуда

^Р^/Ф/

Умножая это уравнение последовательно на <офА и интегрируя по §, получим систему уравнений для определения а^

NN

ГГ ®ФуФй~

«й = J <»g © Фй dl = ^ а$и J 73-^437^-^ = Д a$tjCjh- (5.10) Приравненный нулю детерминант этой системы дает дисперсионное уравнение!).

Заметим, что, подставив разложение (5.3) в интегральный член уравнения Больцмана, можно вместо системы уравнений (5.4) получить для максвелловских молекул уравнение

N

аналогичное уравнению (5.6). Представляя решение этого уравнения в виде (5.7), придем тем же путем, что и выше, к системе уравнений типа (5.10). Следовательно, рассматриваемые методы отличаются лишь исходными уравнениями.

Поскольку аналитическое Отыскание корней дисперсионного уравнения представляется весьма сложным, была составлена программа для вычислительной машины и найдены корни дисперсионного уравнения для N =й, 5, 8 и II2). Исследовалась лишь гидродинамическая ветвь (ем. §§ 3.11 и 3.12).

В § 3.12 отмечалось, что можно выбирать различную последовательность членов ряда (5.3). В приведенных расчетах порядок следования собственных функций в ряде (5.3) был выбран таким, чтобы соответствующие им Хц располагались в порядке возрастания величины.

’) Таблица величин Сн дана в работе: Slrowlch L., Т h u г b е г J. К., Rarefied Gas Dynamics, Tnlrd Symp., Acad. Press, 1963.

Sirowich L., Thurber T. K., J. of Acoustical Soc. of America 37, № 2, 329—339 (1965).

В §§ 3.11 и 3.12 мы интересовались зависимостью а от к, т. е. зависимостью частоты колебаний от длины волны. Такой подход закономерен при решении задачи о затухании начального возмущения. В экспериментальных исследованиях обычно изучаются вынужденные колебания. Поэтому для сравнения с экспериментом необходимо считать а заданной действительной величиной, а к искомой комплексной величиной:

= а + ф.

Величина а характеризует затухание волны (декремент затухания), а р — длину волны (волновое число). Скорость распространения волны а равна

В качестве параметра, определяющего режим течения, естественно взять отношение частоты столкновений к частоте колебаний.

В § 1.5 мы видели, что коэффициент вязкости р, и давление р пропорциональны соответственно

р ~ птсК и р ~ nine2'.

Следовательно, частота столкновений

ср

тЯ1.1 '

Поэтому введем параметр

г = 2_.(5.Ц)

На рис. 40—43 приведено сравнение результатов расчета различными методами скорости звука а и декремента затухания а с экспериментальными результатами !). Скорость звука отнесена к адиабатической скорости звука а0 = (%р/р)*/2, а декремент затухания — к соответствующему волновому числу р0 = а[а0.

Опыты проводились в аргоне, гелии, неоне, криптоне и ксеноне. Приведенное сравнение показывает, что уравнение Навье — Стокса обладает удовлетворительной точностью лишь при низких частотах колебаний. Решение, полученное с помощью разложения в ряд (5.3), оказывается более точным, чем решение Навье—Стокса, вплоть до чисел г~\. Однако при еще меньших числах г оно также резко расходится с экспериментом.

Для каждого модельного уравнения (для каждого N) существует некоторая критическая частота a0(N) такая, что при o>ff0(N) модельное уравнение не имеет решения в виде плоских волн (ср.

') Oreenspen М., J. Aeons. Soc. 28, 644 (1956); М е у е г Е., S е s s 1 е г G. Z., Z. Phys. 149, 15 (1957).

с § 3.12). Критическая частота возрастает вместе с N. Для максвелловских молекул критические частоты соответствуют г = 0,701 при N = 3 и г = 0,413 при ^=ll. Для твердых сфер соответствующие критические значения равны г = 0,701 и г=0,290. Однако

Максвелловский газМаксвелловский газ-0,5-0,5-0,2-0,2Нибое-Стокс МоЗелонмеуро бн екалНибое-Стокс МоЗелонмеуро бн екала3 о-1,0а3 о-1,0М=ЛМоментнме урс/биелилОМби*Эксперимент ГринспенаЭксперимент Мей ер о и СеслераМ=ЛМоментнме урс/биелилОМби*Эксперимент ГринспенаЭксперимент Мей ер о и Сеслера10 20 5010 20 500,0020,01 0,02 0,05 0,10,0020,01 0,02 0,05 0,1Рис. 40.Рис. 40.-01-01Эксперимент Мейера и СеслераЭксперимент Мейера и Сеслера0,002 0,0050,01 0,02 0,05 0,1 г 12510 20501 1—I—I1_L I I I(Il_L_JI Illi I Illi0,002 0,0050,01 0,02 0,05 0,1 г 12510 20501 1—I—I1_L I I I(Il_L_JI Illi I IlliРис. 41.Рис. 41.

Максвелловский газ

Максвелловский газ

-0,5

-0,5

-0,2

-0,2

Нибое-Стокс МоЗелонмеуро бн екал

Нибое-Стокс МоЗелонмеуро бн екал

а3 о

-1,0

а3 о

-1,0

М=Л

Моментнме урс/биелилОМби*

Эксперимент Гринспена

Эксперимент Мей ер о и Сеслера

М=Л

Моментнме урс/биелилОМби*

Эксперимент Гринспена

Эксперимент Мей ер о и Сеслера

10 20 50

10 20 50

0,0020,01 0,02 0,05 0,1

0,0020,01 0,02 0,05 0,1

Рис. 40.

Рис. 40.

-01

-01

Эксперимент Мейера и Сеслера

Эксперимент Мейера и Сеслера

0,002 0,0050,01 0,02 0,05 0,1 г 12510 2050

1 1—I—I1_L I I I(Il_L_JI Illi I Illi

0,002 0,0050,01 0,02 0,05 0,1 г 12510 2050

1 1—I—I1_L I I I(Il_L_JI Illi I Illi

Рис. 41.

Рис. 41.

в комплексной ^-плоскости соответствующие ветви решений дисперсионного уравнения могут быть аналитически продолжены в область больших частот1). Аналитическое продолжение решения модельного

*) См. работу Сиров и ча и Тарб ера, цитированную на стр. 312.

уравнения для меньшего N близко к решению (в области между соответствующими критическими частотами) модельного уравнения для большего N. Поэтому можно предполагать, что аналитические

ааНааое-СтоксНааое-СтоксМодемное уравнение, N-3Модельноеуравнение, М=П Моментные уравнения,0305 Эксперимент ГринспенаЭксперимент Мейера и Сеспера 5 10 20 30_ .1 ।I——Модемное уравнение, N-3Модельноеуравнение, М=П Моментные уравнения,0305 Эксперимент ГринспенаЭксперимент Мейера и Сеспера 5 10 20 30_ .1 ।I——

а

а

Нааое-Стокс

Нааое-Стокс

Модемное уравнение, N-3

Модельноеуравнение, М=П Моментные уравнения,0305 Эксперимент Гринспена

Эксперимент Мейера и Сеспера 5 10 20 30

_ .1 ।I——

Модемное уравнение, N-3

Модельноеуравнение, М=П Моментные уравнения,0305 Эксперимент Гринспена

Эксперимент Мейера и Сеспера 5 10 20 30

_ .1 ।I——

Рис. 42.

продолжения определяют с точностью, возрастающей вместе с N, звуковые волны. Однако если это предположение и правомерно, то, как легко видеть из самого способа построения модельных уравнений, при каждом конечном N можно указать столь большие частоты,

31 6 РЕШЕНИЕ УР-НИЯ БОЛЬЦМАНА ДЛЯ ВЫРОЖДЕННЫХ ТЕЧЕНИИ [ГЛ. IV для которых можно надеяться лишь на получение качественно правильной картины.

На рис. 40—43 при значениях г, меньших критических, нанесены аналитические продолжения соответствующих решений.

Построенные таким образом решения модельного уравнения при N = И вполне удовлетворительно совпадают с экспериментом в широком диапазоне частот, что в известной мере оправдывает сделанное выше предположение.

Как и следовало ожидать, решение модельного уравнения с одним временем релаксации (N = 3) расходится с остальными решениями и экспериментом в навье-стоксовской области, так как оно соответствует искаженному числу Прандтля. Однако оно дает удовлетворительную качественную картину во всем диапазоне частот.

Вполне понятно также несколько лучшее совпадение с экспериментом расчетов для сферических молекул, чем для максвелловских. Действительно, зависимость коэффициента вязкости, например, для гелия (ц,-~ Г0-647) ближе к зависимости, даваемой сферическими молекулами (ц—■ Т0-5), чем к зависимости, соответствующей максвелловским молекулам (рю—-Т).

Наиболее разительной является разница между результатами, полученными с помощью разложения в ряд (5.3) и с помощью модельных уравнений. Несмотря на то, что в первом методе учитывалось гораздо больше моментов (до 483 для максвелловских молекул и до 105 для твердых сфер), чем в модельных уравнениях (до 11), первый метод оказался совершенно непригодным в переходной и кнудсеновской областях (при больших частотах колебаний). В то же время при низких частотах точность возрастает с увеличением числа членов ряда (5.3). Это заставляет думать (хотя это строго и не доказано), что ряд (5.3) сходится лишь при числах г, больших некоторого критического значения. ’

Как и для других задач, отсутствие точных решений уравнения Больцмана не позволяет сделать окончательных заключений о характере звуковых колебаний при г —> 0. Следует при этом иметь в виду трудности экспериментального исследования этих режимов. Обычно звуковые волны генерируются колеблющейся пластинкой. Как видно из рис. 41 и 43, при малых г характерное расстояние затухания порядка длины волны:

- 2Л 2ЛИд

которая становится меньше длины пробега при а —>• сю. С другой стороны, на расстояниях, меньших длины пробега от возмущающей пластинки, звуковые волны еще сформироваться не могут и могут быть замерены возмущения, вызванные молекулами, испытавшими последнее столкновение с пластинкой.

Г л а в а V

Течения при малых числах Кнудсена

§5.1. Скольжение и температурный скачок

В главе III (см. §§ 3.6—3.8) показано, что разложение Гильберта— Энскога—Чепмена во внутренних точках течения дает решение, асимптотически сходящееся к решению уравнения Больцмана при числах Кнудсена, стремящихся к нулю. Однако при любом сколь угодно малом числе Кнудсена вблизи границ имеется область, в которой этот ряд не представляет мы видели в §§ 3.6—3.8 (и это несколько иначе будет вновь показано ниже), толщина этой области, названной слоем Кнудсена, порядка длины пробега X.

Рассмотрим течение вне слоя Кнудсена в навье-стоксо- вском приближении, т. е. ограничимся двумя членами ряда Гильберта или Энскога — Чепмена. Нашей целью является установление таких фиктивных макроскопических граничных условий для уравнений Навье — Стокса на твердой стенке, при выполнении кото

рых решение уравнений Навье — Стокса вне кнудсеновского слоя совпадало бы (с точностью навье-стоксовского приближения) с решением уравнения Больцмана с заданными истинными кинетическими условиями на стенке.

Характер взаимодействия молекул со стенкой определяет граничные условия для функции распределения на нижней границе кнудсеновского слоя (рис. 44). Поскольку навьс-стоксовская функция распределения представляет решение уравнения Больцмана лишь на некотором расстоянии от стенки, то для установления граничных условий для уравнений Навье— Стокса необходимо исследовать слой Кнудсена.

Пусть скорость стенки равна нулю. Очевидно, что присутствие покоящейся стенки при любом законе отражения молекул (кроме полностью зеркального) должно приводить к затормаживанию газа. С другой стороны, у нас нет никаких оснований считать скорость газа у стенки равной скорости стенки. Точно так же у нас нет оснований считать температуру газа у стенки равной температуре стенки.

Пусть сплошной кривой на рис. 44 изображено изменение истинной скорости газа у стенки. Пусть, скажем, линия SS на рис, 44 находится в области, где решение уравнения Больцмана уже с необходимой точностью аппроксимируется навье-стоксовским приближением. Если бы мы знали скорости и температуру газа на этой линии, то, решая уравнения Навье — Стокса, мы могли бы построить решение во всей внешней (вне слоя Кнудсена) области. Тогда, продолжая решение уравнений Навье—Стокса внутрь слоя Кнудсена (пунктирная линия на рис. 44), мы можем определить некоторые фиктивные значения скорости и температуры у стенки, В общем случае полученные таким образом скорость и температура не равны ни истинной скорости и температуре газа у стенки, ни скорости и температуре стенки. Разность между фиктивной скоростью и скоростью стенки называют скоростью скольжения, а соответствующую разность температур— температурным скачком.

Из описанного способа получения фиктивных скорости и температуры видно, что, принимая их в качестве граничных условий на стенке для уравнений Навье—Стокса, мы получим решение, совпадающее вне слоя Кнудсена с истинным, Поскольку при рассмотрении течений при малых числах Кнудсена нас, как правило, не интересуют детали течения в кнудсеновском слое1), то скорость скольжения и температурный скачок — это, собственно, все, что необходимо для расчета течения в навье-стоксовском приближении. Но, как мы видели, для нахождения этих величин необходимо знать значения истинных скоростей и температуры на границе слоя Кнудсена (грубо на линии SS), для определения которых нужно решить уравнение Больцмана внутри слоя при заданном законе отражения молекул на стенке, В настоящее время эта задача решена лишь для модельного уравнения.

Однако прежде чем перейти к построению этого решения, заметим, что часто делаются попытки установления условий скольжения без решения уравнения Больцмана. Можно было бы пытаться отыскивать условия скольжения, используя законы сохранения, подобно тому как это делается при выводе условий Гюгонио в ударных волнах. В качестве контрольных поверхностей можно взять, например, линию SS и стенку. Однако легко видеть, что этот вывод не может

*) Подробнее об общей картине течения при малых числах Кнудсена см. следующий параграф.

§ 5.1] " скольжение и температурный скачок 319 быть завершен. Так как на линии SS и выше (рис. 44) справедливы уравнения Навье—Стокса, то из решения внешней задачи можно выразить потоки массы, импульса и энергии на линии SS через пока неизвестные значения скоростей и температуры на этой линии. Однако на второй контрольной поверхности (на стенке) мы эти потоки найти не можем, так как нам задан лишь закон отражения молекул, т. е. связь между функцией распределения отраженных молекул и функцией распределения налетающих молекул, по последняя без решения уравнения Больцмана в слое найдена быть не может. Поэтому здесь поступают следующим образом1). Продолжают решение уравнений Навье — Стокса до стенки, т. е. полагают, что линия SS совпадает со стенкой и скорость и температура на ней равны искомым фиктивным скоростям и температуре на стенке. Так как из решения уравнений Навье — Стокса мы можем через эти величины выразить и производные от гидродинамических величин на этой линии, то тем самым мы можем выразить через них и функцию распределения в навье- стоксовском приближении. Принимая эту функцию распределения за функцию распределения падающих на стенку молекул и пользуясь законом отражения молекул, можно записать теперь потоки массы энергии и импульса на нижней контрольной поверхности — на стенке. Приравнивая эти потоки потокам через верхнюю контрольную поверхность (через линию SS), получают уравнения для определения неизвестных гидродинамических величин на линии SS т. е. условий скольжения, которые затем и закладываются в решение внешней задачи в навье-стоксовском приближении.

Легко видеть, что такая схема течения у стенки существенно искажает описанную выше действительную картину. Кроме того, эта схема противоречива. Принимая функцию распределения падающих молекул той же, что и на линии <S5', мы как бы предполагаем, что в кнудсеновском слое функция распределения не меняется. В то же время принимается, что, какова бы ни была функция распределения отраженных молекул, молекулы, приходящие от стенки на линию 5S, приобретают навье-стоксовское распределение. Схема приводит к переопределенной системе уравнений (имеем уравнение сохранения массы, три уравнения сохранения импульса и уравнение сохранения энергии и только четыре неизвестных: их, и^, их и Т — на линии S5), что в свою очередь ведет не только к количественным, но и качественным ошибкам. Так, например, из-за переопределенности задачи приходится вводить скачок давления на стенке (пятую неизвестную), хотя, как мы увидим ниже, давление в пределах рассматриваемого приближения постоянно поперек кнудсеновского слоя.

') См., например, изложение этого вопроса в монографиях: Патер- с о н Г. Н., Молекулярные течения газов, Физматгиз, 1960; Ш и р о к о в М, Ф, Физические основы газодинамики, Физматгиз, 1958; Шидловский В. П„ Введение в динамику разреженного газа, «Наука», 1965.

Иногда пытаются улучшить дело, принимая функцию распределения падающих на стенку молекул не в навье-стоксовском, а в бар- неттовском или тринадцатимоментном приближении. Однако очевидно, что это не может исправить положения, так как сама схема течения, не учитывающая изменений функции распределения в кнудсеновском слое, неверна, и для нахождения правильных условий скольжения необходимо решить уравнение Больцмана в слое Кнудсена.

Рассмотрим эту задачу для модельного уравнения. Ограничимся рассмотрением плоского случая).

ItoItoЗапишем модельное уравнение в безразмерных переменных в следующих интегральных формах (см. формулу (6.3) главы III):

Ito

Ito

f(x,Ю + ехР'

iW

—/оОч)]— J ^ехР

/(Jr,)

f<x, g) — f^x, g) —^ pexpj —- J /гр —

- 1 (Z (X) - Z)] ^-} [/ (XD - /о (X!) + <- 1 (Z (X) - Z)] ^-} [/ (XD - /о (X!) + <(1.2)(1.2)l t ^x!)

- 1 (Z (X) - Z)] ^-} [/ (XD - /о (X!) + <

- 1 (Z (X) - Z)] ^-} [/ (XD - /о (X!) + <

(1.2)

(1.2)

S df0 (xQ 1 n (Xi) dl J

где x отнесено к характерной длине L течения вне кнудсеновского слоя, § отнесено к характерной скорости молекул U ~ {kT^m)'^, п — к характерной плотности «0, Z—длина, отсчитываемая вдоль траектории молекулы, и

€ = Кп= мт-

Первый член в этих уравнениях соответствует приближению Эйлера). В навье-стоксовской области функция распределения представляется двумя первыми членами формулы (1.2). Если обе точки х и Xi лежат в навье-стоксовской области, то содержимое квадратных

скобок в (1.2) с точностью до величин порядка е2 равно нулю, а отношение остаточного члена к навье-стоксовскому — порядка е. Пусть теперь точка xv расположена на стенке (у, = 0); рассмотрим молекулы, движущиеся от стенки (gy > 0). Тогда

f(xv ^fAxv |)

есть функция распределения отраженных от стенки молекул. Так как внутри слоя Кнудсена навье-стоксовское представление функции распределения несправедливо, то содержимое квадратных скобок не равно нулю. Однако благодаря стоящему перед скобкой экспоненциальному члену вклад стенки в функцию распределения убывает по мере удаления от стенки.

Определим толщину слоя Кнудсена 6Й из условия, что внутри слоя член, определяющий влияние стенки, и навье-стоксовский член имеют одинаковый порядок. При у > bk можно считать справедливым представление Навье — Стокса.

(1-3)(1-3)Предположим, что закон отражения молекул от стенки имеет вид (см. §§ 2.9, 2.10)

(1-3)

(1-3)

fr=fr^. ^ ^>0,

е. предположим, что молекулы отражаются диффузно с максвелловским распределением. Температура отраженных молекул связана с температурой стенки коэффициентом аккомодации

Er=Et~ аЛЕ1~ ЕА-Er=Et~ аЛЕ1~ ЕА-(1-4)(1-4)

Er=Et~ аЛЕ1~ ЕА-

Er=Et~ аЛЕ1~ ЕА-

(1-4)

(1-4)

Величина пг находится из условия непротекания.

Сделаем также естественное предположение, что производные по х и у от гидродинамических величин, а следовательно, и от /0 внутри слоя имеют тот же порядок, что и вне его. Это предположение оправдывается решением, получаемым для слоя.

Возьмем точку хг на расстоянии 6* от стенки и рассмотрим молекулы, идущие к стенке (|у < 0). Тогда содержимое квадратных скобок в (1.1) — порядка €dfojdy, и функция распределения падающих на стенку молекул при у = 0 имеет вид

Л=/о(0. §) + о(^).Л=/о(0. §) + о(^).(1.5)(1.5)

Л=/о(0. §) + о(^).

Л=/о(0. §) + о(^).

(1.5)

(1.5)

е. функция распределения падающих молекул близка к равновесной функции распределения, соответствующей гидродинамическим величинам у стенки л(0), «^(0) и Т (0).

21 М. Н. Коган

Легко видеть, что в этом случае близка к равновесной и функция распределения отраженных молекул /г Действительно,

f^(0)«(0) = ^ J с2/г^^- J c4rd^

= lbT(0)n(0)+^kTrnr + O^yAy (1.6в)

Из этих соотношений видно, что пг и Тг отличаются на величины порядка с от «(0) и Т (0). Из соотношения (1.66) видно, кроме того, что яДО) = О (£). Так как Тг отличается лишь на величину порядка £ от Т (0), то из (1.4) при а8 4= 0 следует, что Т (0) отличается на величину порядка £ от температуры стенки Тщ.

Пусть теперь точка xv находится на стенке, а точка х—произвольная точка внутри слоя. Рассмотрим молекулы, летящие от стенки ^ > 0). В соответствии со сделанными оценками содержимое квадратных скобок в (1.2) имеет порядок edf^dy. Приравнивая член с квадратной скобкой к навье-стоксовскому, получаем

(И*)1'

£—е —-4Аехр{ndlV,п dl п dl r е J j

откуда следует, что д^ = О(£). При этом остаточные члены в уравнениях (1.1) и (1.2) также имеют тот же порядок, что и член Навье — Стокса.

Тогда из (1.1) и (1.2) следует, что функция распределения везде внутри слоя имеет вид

/(X, §) = /о(Х, g)+O(£).

Так как входящие в /0 гидродинамические величины изменяются поперек слоя на величину порядка £ (производные от а, п и Т— порядка единицы), то функция распределения внутри слоя может быть представлена в виде

/(х, |) = /оэ(х, §)(1+ф), (ф = О(£))(1.7)

где f^x, |) — некоторая постоянная поперек слоя равновесная функция распределения. Хотя функция распределения внутри слоя близка к максвелловскому распределению, опа непредставима рядом Энскога,

и для ее определения необходимо решить уравнение Больцмана внутри слоя.

Таким образом, имеется две области: одна — с характерным размером L (в безразмерных переменных — единица) и другая—с характерным размером tL (в безразмерных переменных — е) в направлении, перпендикулярном стенке, и размером L вдоль стенки. Необходимонайтиасимптотическое(при €—>0)решениеуравнения

Больцмана

+=<1.8>

В кнудсеповском слое удобно ввести переменную у1 = у/е:

'(1-9)

В обеихобластяхрешениеищется соответственнов видерядов

по с. Внешнее разложение:

f=F^Hx, у, ^W^tx, у, §)+...,(МО)

внутреннее разложение:

f=f4x, УоУ„ §)+•••(1.И)

Разложение (1.10) есть не что иное, как ряд Гильберта (см. § 3.7).

Граничные условия для функций /(й)(лг, ур §) внутреннего разложения на стенке (У; = 0) непосредственно следуют из условия непро- текания

/ W^. °- ^й^ J Ш*- о, |М = 0,(1.12)

которое при законе отражения молекул от стенки (1.3) принимает вид

где hr определяется соотношением (1.4):

(ае-1) [=Л. (1.13)

JУ ийг \hw hr)

Разлагая ft, пг и hr в ряды по е и приравнивая члены при равных с, находим связь между f^\ п^ и h^V

Граничные условия для внешнего разложения при у—>0 и для внутреннего разложения при у^->оо находятся из условия склейки решений.

Запишем внешнее разложение в координатах внутреннего разложения (т. е. заменим у на у,):

f-F^x, ^, ^W^4^ 6У1. !)+••■(1.14)

и разложим функции F^(x, бу,, |) в ряд по б при у, = const; имеем f = Fw(x, 0, ^б^Сг, 0, |) + ^g^yj+-.. (1.15) Очевидно, что при у,—>оо внутреннее разложение должно совпадать с внешним разложением (1.15), т. е.

/<0> (у,со) = F<0) (0), /*> (у,00) = F^° (0) + У, -^у^ 1 и т. д.

(1.16)

Конечной целью настоящего параграфа является установление граничных условий для уравнений Навье — Стокса.

Если в разложениях Гильберта (1.10) и (1.15) ограничиться двумя членами (навье-стоксовское приближение), то с точностью до членов порядка с2 их можно заменить соответствующими разложениями Энс- кога—Чепмена с помощью формул (8.41) и (8.42) главы III:

f^^Xx, у, ^) + ^\х, у, l^F^x, у,

(1.10а) и

f = F^(x, 0, ^[/’«(г, 0, |)4 ^Х^ у,] =

= F№(x, О, |) + 6(y,^^3L_^^^^(1.15а)

Здесь и далее гидродинамические величины без индексов относятся к внешнему (навье-стоксовскому) течению. Гидродинамические величины в слое будем отмечать нижним индексом 1.

В навье-стоксовском приближении в разложении (1.11) также можно ограничиться двумя членами. Вместо того чтобы отыскивать функции /<0) и /(1) с граничными условиями (1.16), можно, опираясь на приведенные выше оценки, отыскивать функцию ф(х, у,), определенную выражением (1.7), в котором можно положить, например,

/oo = re4> °)4“J ехр{—й(0, х)|2].

Подставляя функцию распределения (1.7) в уравнение (1.9) и линеаризируя его, получим

1 L, дф ।. dlnrakO)

п (х, 0) У h (х, 0) I J ду 1 х \ дхдх

+= -<p+v + 2^«, (у,) + Uт, (1.17)

где приняты обозначения, близкие к введенным в § 4.2:

^х^хУМ^-У, У = sy Vh Iх* °) ■пх (^, Vi) = «(X, 0) [1 +v (х, 0) ],Т^х, Ух) = Т(х, 0)[1 +-т(х, у,)],и^х, 0) = k^(x, 0)й!/2(х, 0), «j(x, у,) = ил (х, у,) hv\x, 0),

1 Г}(1 18)

v<x'^)=-^r ГооФ^’

т и- =4 44441 ^фd^ -v-

но пе-можноно пе-можно«I(х, yD= -^оГ /^00^фd^‘

но пе-можно

но пе-можно

Производные д(р[дх и дф/ду, одного порядка (порядка с), ред ду/дх стоит малый параметр с. Поэтому членом с дудх пренебречь.

Уравнение Больцмана (1.9) записано в безразмерных переменных, в которых переменные х и у отнесены к характерному размеру течения L вне слоя Кнудсена.

Если течение происходит при больших числах Рейнольдса (но малых числах Кнудсена 6 = X]Ly то внешним будет течение в пограничном слое с характерным размером L, равным толщине пограничного слоя д в направлении у, и характерным размером L^^ L^Re™ в направлении х. Так как

Z. 6, р — рак,

KRera Р

Re=Re=_ Р^со^со VroLbeo М т^ДТ”

Re=

Re=

^ у Квоо ,

то в этом случае Z-co^AM/t и производные д1пп/дх и dln/z/dx порядка с/М и ими можно пренебречь.

Если же Recoil, то во внешнем навье-стоксовском течении характерные размеры в направлении х и у одинаковы и L — L^. В этом случае производные dlnn/dx и dlnft/dx порядка единицы и их следует сохранить. Но в таком течении из уравнений Навье—Стокса

имеем

1 др д In Т . д 1п п |л / д*и . д2« \,,

р дх ' дх * дх р \ дх2 * dy2 J £"

Поэтому с рассматриваемой точностью можно положить

<91пп(х, 0) д in Т (х, 0) й!пЛ(х, 0)дхдхдх

и производную от Inn из уравнения (1.17) исключить. Таким образом, уравнение для <р принимает вид

о,dtp

г ' — ф -р V 4 2-у^И] (у^ 4- п (х, 0) КА (х, 0) ду.

6 (5/2 — и2) иЛ. d 1 п h (х, 0) п (х, 0) Кh (х, 0) dx

Это уравнение аналогично уравнению, описывающему течение Куэтта (уравнение (2.27) главы IV).

Граничное условие на стенке (1.3) для функции ф принимает вид

(1.20)(1.20)Фг (х, 0) = vr + (-и2 — ^ тг.

(1.20)

(1.20)

При у1->оо, пренебрегая членами порядка е2, согласно (1.16) и (1.15а) имеем

/ Vy\1 dF° (х< 0)

Ф (Ут -* 00) = 2и (х, 0) -и,— еу— — у,

\п(х, 4)Vh(x, 0)7Л4х) ду

£^х5/70 (х, 0). । 21) п (х, 0) К А (х, 0) /„ (х) дх

Представим ф в виде суммы:

Ф = Х(Х> Ур l) + ^(^> Ур !)•(1-22)

Тогда для х и ф из (1.19) получаем уравнения

21 = —v-j-v-j- Мт (1.23) п (х, 0) Vh (Л, 0) ду!\2/

и уу дф

п (х, 0) V h (х, 0) ду,

, । п6/5In h (х, 0)

= — ф 4- 2м,. |д2 -—— . (1.24)

п (х, 0) У h (х, 0) \ 2/ dx

Соответственно граничные условия принимают вид

(1.25)(1.26)(1.25)(1.26)Xr(x, -D) = Vr+^2 — фг (х, -о) ™ Q

(1.25)

(1.26)

(1.25)

(1.26)

на стенке и

/иу\ / 5\ d In h (х, 0)

7= — elт:3^11 (^2)“ (1-27)

\ n(x,0)/h(x, 0)) dy’

/ им\ ди (х, 0)

ф = 2а (х, 0) — 2е I— у. )

\ п (х, 0) Vh (х, 0)/ ду

6 /А _ а 1П 11°) и .28)

п ^х, 0)/ft (х, 0) \2/ dx

при Vi —> °°-

Уравнение (1.23) имеет тот же вид, что и в линейной задаче о передаче тепла между бесконечными пластинками (см. § 4.2). Задачи об определении скачка температуры и скачка скорости раз

делились.

Начнем с последней задачи. Перепишем уравнение (1.24) в интегральной форме:

Ф (у2. ^ > о) = ^3_ Уз — Д/Уг \

= 2 [^(3)6 "у —— И d V~T'X’ °™ U — е " "у Л (1.29)

0

ф(у2, -иу < 0) = —2 I u/s^e ——(1.30)

т уJ 1 х-Uy (2) dXi

У2

где

у2 = ухп(х, 0)]Л(х, 6У, .— (1. о 1)

х2 = е~1хп(х, 0) у h (х, 0).

Переменная х входит как параметр.

Умножим уравнения (1.29) и (1.30) на л;-3/2-и^(г"г'! и проинтегрируем по скоростям молекул; используя определение (1.18) для их (х, у,), получим:

Узсо

«1 (Уг) = у=- / “1 (7 <i (Уг — s) ds -( ~ J их (s) J_x (s — у2) ds 4~

,1 Г 1 > / ,1 d In ft tx, 0) о

2 У« L 2J dxi

где

J,Ax^ = ^Xne-^*^dX и ^i = -(x).

0

Из условия (1.28) следует, что при у—>оо

«1 (Уг) = и 0) +- у2 -V(1.33)

С другой стороны,

1’2 и^^и^х, 0)4- [У-) d^_(1.34)

о

Скорость «(х, 0), являющаяся граничным условием иа стенке для уравнений Навье — Стокса, называется скоростью скольжения.. Она не равна истинной скорости газа у стенки их (х, 0). Согласно (1.33) и (1.34) скорость скольжения равна

и(х, О^и^х, 0)4-J(^^--^)^-2.(1.35)

о

Удобно ввести новую переменную

О(у2) = «=(у3) —-^-у2.(1.36)

Тогда (1.35) запишется в виде

»U, O) = G(O) + J -^ dy2 = О (оо).(1.37)

о

Уравнение (1.32) для переменной G принимает вид

о (У2) Ул = J О (s) J_x (у2 — s) ds 4- j* G (s) J_x (s — y2) ds + 0У2

■T4 (y2) ®! 4- [4 Л>(y2) — y 4 (y2)j 92, (1.38) где обозначено:

n du (x, 0) Q d In h (x, 0)

Ui — X И vo — r.

Входящие в (1.38) интегралы проинтегрируем по частям; имеем

О (0) 4(У2)h (У2) 912 ["? ^^^ Л(Уг)] 92 =

= -/ ^^-^(Уг-^^-т/^^-^^-Уг)^. (1.39) 0У2

Несколько более удобную форму уравнению можно придать, проинтегрировав его по у2:

о (0) /, (0) — о (0) 4 (у2) — 9,4 (0) 4- 9,4 (у2) —

- 92 [4 Л (0) - 4 4 (0)] 4- е2 [4 у1 <Уз) - 4 уз (у2)] =

= J4r7^ly2— sl )^— J -^-Ji(s)ds.

оо

При у2—>оо все члены, содержащие у2, стремятся к нулю, поэтому — О (0) JA (у2) + @1^2 (уз) + ®3 [^Л (Уз) — ту Л (Уз)] =

= ^A(\V2-s\W. (1-48) о

Представим функцию О в виде суммы:

О (у2) = 9,0, (у2) + 92G2 (у2),(1-41)

так что функции G, и О2 удовлетворяют соответственно уравнениям -С1(О)Л(У2) + Л(У2)= /^-Л(|Уз-5|)^(1-42)

И

-^(OM^+^W-^W^J $Л(|У2-5|)^. (1.43) о

Уравнение (1.42) впервые получено в цитированной выше работе Веландера. Имеются различные методы аналитического решения уравнения (1.42)1). Однако решение дается в столь сложных квадратурах, что более простым представляется прямое численное решение методом итераций. При этом 0,(0) и О2(0) могут быть найдены квадратурами из (1.38) при у2— 0.

Согласно (1.37) и (1.41) для скорости скольжения имеем

/\ ди (х, 0) , ~ , . <1 In h (х, 0),. ...

«Ос 0)=G,(oo)-. ^ ? +О2(оо)^ (1.44)

Для входящих сюда коэффициентов в результате численного решения получены значения2)

О, (оо) — 1,012, О2 (оо) = — 0,42.(1.45)

Переходя к размерным величинам и заменив входящую в с величину А по формуле А = kT0/n0, получим (ср. § 4.2) «х (я, 0) =

ц (х, 0) Г 2/1012 д“^°) 4-0 421 -^ДИЦдД) .

п (х, 0) ' ткТ (х, 0) \ ’ Эу ’ Kh (х, 0) дх /

(1-46)

') См. Willis D. R., Phys. Fluids 5, № 2 (1962): Cercignani C., Ann. of Physics 20, 219 (1962); A I b e r t о n i S., С e r c i g n a n i С., О о t u s s О L., Phys. Fluids 6, № 7 (1963).

Численное решение интегрального уравнения для О2 проведено по просьбе автора М. Истоминой. Расчеты проведены со сравнительно небольшой точностью. Для оценки точности решено также уравнение для С?,. При этом получено значение G, (со) = 1,009 вместо значения Gx (со) = 1,012, полученного в указанных в сноске *) работах.

Это—так называемое условие скольжения на стенке. На рис. 45 приведен профиль скоростей в кнудсеповском слое.

Если внешним по отношению к слою Кнудсена является пограничный слой Прандтля, то вторым членом в формуле (1.46) можно пренебречь, так как производная по у в ]/Re^*l раз больше

Рис. 45.

производной по х. Второй член может стать соизмеримым с первым, когда число Кнудсена мало, а число Рейнольдса порядка единицы, т. е. при малых числах Маха. В этом случае переменные х и у равноправны.

Если в разреженный газ поместить неравномерно нагретое тело, то, согласно (1.46), газ начнет двигаться от холодных частей тела к более горячим.

Для построения профиля температур в слое и определения скачка температур необходимо решить уравнение (1.23) с граничными условиями (1.25) и (1.27) !). Аналогично (1.29) и (1.30) имеем:

Х^г- Уу > 0) =

= [v2+(v2 — 4)тг]б +J [ч + (д2—|)т]е ^ ^’(1.47)

оу -

Х^г. Уу < 0)= J [v-h^2— |)т]еО-48)

’) См. цитированную выше работу Веландера.

§ 5.1]- скольжение и температурный скачокS3j

Интегрируя по скоростям, получим интегральные уравнения для макроскопических величин v и т:

14л т = v, ^-g- J2 (у2) д' 4 (Уг)] 4~ "Ч [уЛ (Уз) з Л (Уз) 4" у 4 (Уг)]4~

4~ J v [у Л (I Уз 4) у ^-i (I Уз s Ij ds -]- о

4- j* ^[у 4(|Уз — 4) — у Л(|Уг— »|)4-у^-1(|У2-»|)]^, (1-49)

О

]/л V= VrJ0 (у2) + тг р2 (у2) у /0 (Уз)] 4" J ^-1(|Уг—4)^4’ О

4- J т[л(IУ2 -sl) — y^-id Уг — 4)ps- (1.50) о

Из условия (1.27) на бесконечности имеем:

т = уиО-51)

Введем новые переменные

~д In Т (а:, 0)„, д In Т (х, 0)..

°г = т-у2и Ov=v + y2(1.52)

В новых переменных вместо уравнений (1.49) и (1.50) получим:

V^ = vr [| J2(у2)- | Jo (у2)] 4-тг [|Л(у2)-1 у2(у2) 4-|Л(Уз)]4-

4- J ^[уЛ(|У2— 4)~ у^-1(1У2— s|)]^s4-

О

4* J ^т[у4(|Уг 4) yAd^s sl)4-y-/-1(^2 4)] ds 4-

0

, d In Т-(а:, 0) Г2 ,.4 , , х

4~^— 1_з"^5 ^2"з"^3 ^2 4" у Л (Уз)]' (1-53)

]/л Gv= vr/0(y2)4" тг рг(Уг)у Л (Уз)] 4"1

4- J OvJ_i(|y2-s|)rfs+ j* Ог[Л(|у2-s|) — у^-1(|Уз — s|)]d»4-

4"[4 (Уз) - j Л (Уз)] • (1-54)

Температурный скачок по определению равен

М=Т(х, О')-Тта(х^-Т(х, 0)т„, (Т„=Т(х, OHI+tJ). (1.55)

Для определения тг, тю и vr можно воспользоваться условием не- протекания, соотношением (1.4) и условием постоянства потока энергии поперек слоя:

vr + 4тг = ™2 j A^ds-S [ Tp2(s)—-^J0(s)^s, (1.56) оо

£r _£-_ ^уИ[£А(т, - ,,) = 1=^ (£, - Е,). (1.57) У 4viL у) v

E;-Er = L^^L,(1.58)

где К — коэффициент теплопроводности. Из соотношения (1.57) для температурного скачка имеем

ЬТ = — Т (х, 0)^ = ^К52-^21—Т(х, 0)тг. (1.59) 47 ® кп (х, 0) ае ду\/ г \/

Из вида уравнений (1.53) видно, что-г /дТ (х, 0)Т (х, 0)чг=СЩду2Из вида уравнений (1.53) видно, что-г /дТ (х, 0)Т (х, 0)чг=СЩду2и (1.54) и условий (1.56) — (1.58)

Из вида уравнений (1.53) видно, что

-г /дТ (х, 0)

Т (х, 0)чг=СЩ

ду2

Из вида уравнений (1.53) видно, что

-г /дТ (х, 0)

Т (х, 0)чг=СЩ

ду2

_ £ С дТ (х, 0)

п (х, 0) VА (х, 0) ду

где С — постоянная, получаемая в результате решения интегральных уравнений (1.53) и (1.54). Выражая входящую в с величину А через Л по формуле (см. § 3.6)

л Д ^(^ °) L и )

Хпг ’\An0L ) ’

получим

Т(х, СПт =га/^(^ °) dTU, 0)

гкп^х. 0) ду

где Сг — новая постоянная. Поэтому выражение для температурного скачка можно переписать в виде

. „ Т^лА (х, 0) 2 — аае . дТ (х, 0),.

= 2Ап (х, 0)' 55''(

где постоянная а связана очевидным соотношением с коэффициентом С1. В работе Веландера в результате решения интегральных уравнений (1.53) и (1.54), записанных несколько в иных переменных, для а найдено значение а = 0,827.

Заметим, что формула (1.60) непригодна при ае—>0, так как при этом теряют силу оценки, сделанные при формулировке задачи о слое Кнудсена в начале параграфа (см. анализ соотношений (1.6)).

Таким образом, при решении задачи обтекания тела при малых числах Кнудсена в рамках уравнений Навье — Стокса на стенке должны быть поставлены условия скольжения (1.46) и температурного скачка (1.60). Отметим еще раз, что температура Т (х, 0) и скорость их(х, 0), являющиеся условиями на стенке для уравнений Навье—Стокса, не равны истинной температуре Тх(х, 0) и скорости ихх^х, 0) газа у стенки на дне кнудсеновского слоя.

Величины р, аг и Т, получаемые с помощью уравнения Навье — Стокса при граничных условиях скольжения на стенке («>ф = 0, аху) = их (х, 0), Tw = Т (х, 0)), отличаются от соответствующих величин, подучаемых с помощью уравнения Больцмана при кинетическом граничном условии (1.3), на величины порядка е2 вне слоя и на величины порядка с внутри слоя Кнудсена.

Иногда считают, что течение около тела при малых числах Кнудсена можно представить в виде слоев: внешний слой, описываемый уравнениями Эйлера, под ним слой, описываемый уравнениями Навье—Стокса, далее — уравнениями Барнетта и т. д. В действительности же, если рассмотреть течение в барнеттовском приближении, то, как легко видеть, слой Кнудсена будет иметь толщину порядка cine, т. е. больше, чем в навье-стоксовском приближении, так как, естественно, влияние стенки соизмеримо с барнеттовскими членами на больших расстояниях от стенки.

Граничные условия для уравнений Барнетта могут быть установлены подобно тому, как они были выше установлены для уравнений Навье — Стокса. При этом только в разложениях (1.10) и (1.11) необходимо сохранить по три члена.

Пограничный слой с учетом скольженияи скачка температур

В предыдущем параграфе были выведены условия (условия скольжения), которые необходимо ставить на твердых границах при решении уравнений Навье — Стокса. В гидродинамике обычно принимают так называемые условия прилипания, т. е. считают, что скорость газа у стенки и его температура равны скорости и температуре стенки. Рассмотрим, к каким изменениям приводит учет скольжения и температурного скачка в теории пограничного слоя.

В предыдущем параграфе показано, что гидродинамические величины р, ut и Т вне кнудсеновского слоя, получаемые с помощью уравнений Навье — Стокса с граничными условиями скольжения (1.46) и (1.60), отличаются от соответствующих больцмановских (точных) значений на величины порядка е2. Напомним, что когда внешним по отношению к кнудсеновскому слою является пограничный слой Прандтля, то характерным размером, входящим в 6, является толщина пограничного слоя 6, пропорциональная по порядку величины

334

течения при малых числах кнудсена

[гл. v

корню из Длины пробега X. Поэтому e = Xj6 тоже порядка ]/Х, т. е. разложение в ряде Энскога — Чепмена ведется по }/X.

При исследовании пограничного слоя Прандтля в конечном счете интересуются силами, действующими на стенку, и передаваемой стенке энергией.

Импульс и энергия, передаваемые стенке, равны

т J V/ d^ = т J c2yf dl = Руу,

(2.1)(2.1)т J ^xfd^ — пг J cycxf dl=Pxy,

(2.1)

(2.1)

f ^y^~7 d^ = -y f cyc^f d^ —|- tYitix f CyC xf d^ = Qy -|— uxPXy.

Эти величины на стенке могут быть найдены непосредственно из решения уравнений Навье — Стокса с граничными условиями скольжения. С другой стороны, с помощью уравнений Навье — Стокса их можно найти вне кнудсеновского слоя (где решение этих уравнений отличается от точного на величины порядка е2) и продолжить решение внутрь слоя (где с помощью уравнений Навье — Стокса гидродинамические величины р, и и Т находятся с ошибкой порядка е) с помощью уравнения Больцмана. Сравнивая между собой результаты, полученные этими двумя путями, оценим ошибки, возникающие при вычислении трения и теплопередачи на стенке непосредственно из уравнений пограничного слоя с условиями скольжения.

Рассмотрим общие уравнения сохранения (см. § 3.1), справедливые при любом числе Кнудсена, а следовательно, справедливые и внутри слоя Кнудсена в любом приближении:

(2.2)(2.3)(2.2)(2.3)ди-хдих1 1дРХудРхх

(2.2)

(2.3)

(2.2)

(2.3)

Ux дх с иУ QyР \ ду дх

ди-удиу1 fdPyyдР ху

х дх 1 У дур \ ду' дх

3 D (2 ^р3 D (2 ^рдТ дТ\ _“х дх + “у ду / ~

3 D (

2 ^р

3 D (

2 ^р

dqx dqyдиудхдудуdqx dqyдиудхдудудим ди,ди,

dqx dqyдиу

дхдуду

dqx dqyдиу

дхдуду

р —— р Д — Р £

УУ дх ХУ ду хх дх • 11

Внутри слоя Кнудсена их~ О (У X) и дих)дх ~ О (]/ X). Тогда, так как толщина слоя Кнудсена О (X) ’), то из уравнения неразрывности

Ч В предыдущем параграфе показано, что размерная толщина слоя Кнудсена 6^ ~ eL. Но так как все величины были отнесены к характерной длине течения, которая в рассматриваемом случае L ~ д~ У X, и 6 ~У"к, то толщина слоя Кнудсена порядна X. '

следует, что

Далее,

МдТл / 1 \дТ ~

ду \ УН /ду \ К Z, /дх ( ' ’

руу = О(1), P„ = O(1),рх,~о^,

qy^O{yx\ qx^O^.

Учитывая эти оценки, из (2.2)— (2.4) имеем:

(2.2а)

(2.3а)

(2.4а)

Из соотношений (2.3а) и (2.4а) следует, что Руу и 9У + «х^ху изменяются поперек слоя Кнудсена на величину порядка А,3'2. Величина Рхх внутри слоя Кнудсена, полученная с помощью уравнений Навье — Стокса, отличается от соответствующей точной на величину порядка У X. Поэтому согласно (2.2а) значение напряжения Рхх на стенке, полученное с помощью уравнений Навье — Стокса, отличается от соответствующего больцмановского значения на величину порядка А,3'2, если на границе кнудсеновского слоя значения Рху одинаковы. Точно так же Руу и qy-yuxPXY с помощью уравнений Навье—Стокса определяются с ошибкой, не большей А,3'2, если они найдены с этой точностью вне слоя Кнудсена.

Вне слоя Кнудсена справедливы уравнения Навье — Стокса и оценки пограничного слоя Прандтля. Если считать справедливым барнеттовское представление для тензора напряжений и вектора потока тепла, то

^y^^^ + oW + О (Л- (2.5) где О(А,3/2) — оценка барнеттовских членов в пограничном слое Прандтля (см. § 3.3)!).

') Величины их и Т находятся вне слоя с ошибкой Р^л. Поэтому ошибка в дих!ду и дТ/ду порядка Ка,. Но ц~А,, и следовательно, ошибка в Pjy и gy порядка А,3^?

Таким образом, находя Рху, qy и qysr ихРху па стенке с помощью уравнений Навье — Стокса, решаемых при условиях скольжения, мы совершаем ошибки порядка А,3''2, т. е. ошибки того же порядка, что и опуская барнеттовские члены, в уравнениях гидродинамики.

Давление р — 0(1) находится вне слоя с ошибкой е2—X. Согласно (2.3а), с той же точностью оно находится и на стенке. В некоторых работах вводится скачок давления на стенке порядка |/К, что, как указывалось в начале предыдущего параграфа, является следствием неправильной схемы течения.

Скорость скольжения и температурный скачок имеют порядок УХ— Re™1'2 !)- Поэтому, заменяя условия прилипания условиями скольжения, мы получим поправки порядка У X к скорости их и температуре Т, что, согласно (2.5), должно привести к поправкам порядка X в Рху и qy. Так как теория Навье — Стокса обеспечивает получение этих величин с ошибкой порядка А,3'2, то в рамках этой теории правомерен учет условий скольжения и обусловленных ими поправок к Рху и qy.

Следует заметить, что величина ихРху также имеет порядок X и поэтому должна включаться, согласно (2.1), в выражение для потока энергии на стенку в рамках теории пограничного слоя с учетом скольжения.

При выводе уравнений пограничного слоя Прандтля на плоской пластинке в уравнениях Навье—Стокса пренебрегают величинами порядка Ре™'~'А по сравнению с единицей. Так как учет скольжения приводит к поправкам порядка УX, то при расчете пограничного слоя на плоской пластинке с учетом скольжения можно пользоваться обычными уравнениями пограничного слоя.

При выводе обычных уравнений пограничного слоя для криволинейной поверхности пренебрегают как величинами порядка Re™\ так и величинами порядка Re™1/2K, где К — кривизна поверхности. Однако последние при конечной кривизне имеют порядок УX и, следовательно, дают тот же вклад, что и учет скольжения. Поэтому в уравнениях пограничного слоя на криволинейной поверхности при учете скольжения необходимо сохранять члены порядка Re™i/2, учитывающие продольную и поперечную кривизну стенки.

Точно так же необходимо учитывать и другие эффекты второго порядка в теории пограничного слоя Прандтля, вклад которых имеет тот же порядок, что и скольжение. Поскольку толщина погранич-

■) Число Рейнольдса, как обычно в теории пограничного слоя, определяется по параметрам набегающего потока и характерной длине L^ течения вне пограничного слоя Прандтля (длине пластинки).

ничного слоя имеет порядок ]/X, то вытесняющее действие пограничного слоя приводит к изменениям того же порядка во внешнем потоке, а следовательно, и к соответствующим изменениям в граничных условиях на внешней границе пограничного слоя. При обтекании тупых или затупленных тел гиперзвуковым потоком возникают также эффекты второго порядка, обусловленные резким градиентом энтальпии и энтропии (вихревое взаимодействие) па границе пограничного слоя. Однако объем настоящей монографии не позволяет остановиться на всех эффектах второго порядка). В соответствии с общим планом книги из всех эффектов второго порядка мы рассмотрим скольжение и температурный скачок, наиболее тесно связанные с кинетической теорией.

К числу эффектов второго порядка следует отнести также явления, имеющие место вблизи передней кромки пластинки (на расстояниях порядка к от носика), которые не могут быть правильно учтены в рамках теории Навье — Стокса и для исследования которых также необходимо решать уравнение Больцмана. Как будет показано в конце настоящего параграфа, вклад в сопротивление и потоки тепла, даваемый этой малой областью, того же порядка, что и вклад от скольжения.

Взаимодействие пограничного слоя с внешним потоком существенным образом зависит от числа Маха. Толщина пограничного слоя пропорциональна некоторой степени числа Маха, зависящей от законов изменения вязкости от температуры. Характер взаимодействия пограничного слоя с внешним потоком зависит от формы тела. Для тупых тел в рамках применимости уравнений пограничного слоя при любых числах Маха имеет место только слабое взаимодействие. На топких телах, если при фиксированном числе Рейнольдса увеличивать число Маха, взаимодействие становится сильным, носит существенно нелинейный характер, и раздельное рассмотрение различных эффектов второго порядка невозможно. В этом случае взаимодействие становится эффектом первого порядка и влияние скольжения, особенно на охлажденных телах, много меньше влияния взаимодействия). Если же при фиксированном числе Маха стремить к бесконечности число Рейнольдса или, что то же, стремить, как мы это делали при выводе условий скольжения, к пулю число Кнудсена, то всегда можно достигнуть условий, при которых взаимодействие пограничного слоя с внешним потоком будет слабым, задача может быть линеаризирована, и каждый из упомянутых эффектов второго порядка может быть

изучен отдельно. Имея в виду именно этот асимптотический случай, рассмотрим влияние скольжения и температурного скачка, не учитывая взаимодействия пограничного слоя с внешним потоком, кривизны тела и других вторичных эффектов.

Таким образом, рассмотрим задачу о течении газа в пограничном слое, отличающуюся от классической лишь тем, что условия прилипания на стенке заменены условиями скольжения (1.46) и (1.60):

и (х,(2-6)

А ’PwW Г кТ^ дуPty ду7

Т (vI 1 ^е -1 Г^Г ^> 0) /о

(@W-T 2„е у 7кТщ крщ1 dy ■)

где р. , Лтк)—вязкость и теплопроводность, вычисленные при температуре стенки Tw. В такой постановке задача рассмотрена в ряде работ *).

Условие (2.7) можно переписать в виде

Т(х, 0) = TTO(xW^-^4"-(2'7а)

где_

~3 2 — аае /л х / ср\

8" с^ ТоТ2"р7’ V-

Геометрический смысл условий скольжения состоит в том, что скорость их становится равной нулю, а температура газа равной температуре стенки не на истинной стенке при у = 0, а на эффективных границах соответственно при

.._ _ Р WPW

УэФФ — Pty ^“ УэФФ —° Pty (*) '

Так как в общем случае С + 1, а р и р зависят от х, то эффективные стенки для температуры и скорости различны и криволинейны, т. е- Уэфф = У(А0- Однако для интересующего нас здесь качественного рассмотрения можно положить С=1. При числе Прандтля Рг = 2/3, ае=1, а = 0,827 для одноатомного газа С =1,9, т. е. в действительности сдвиг «тепловой» эффективной стенки почти в два раза больше сдвига «скоростной» стенки. При С=1 обе эффективные стенки совпадают. «Волнистость» эффективной стенки (т. е. зависимость уЭфф от х) обусловлена изменением по х плотности р№ и отношения ^wfyTw- Если р~]/7\ как для молекул — твердых

сфер, то последнее отношение, а следовательно, и р не зависят от х. Величина р постоянна также для изотермической стенки. Что касается волнистости эффективной стенки, обусловленной переменностью плотности, то от нее легко избавиться, перейдя к переменным Дородницына *):

XV

l=^p(x)dx, ^= ^ р(х, y)dy.(2.8)

Оо

В этих переменных условия скольжения при С=1 примут вид

и^х, 0) = р—^(^. °)=^ + Р-—S = °- (2.9)

При р= const в этих переменных сдвиг эффективной стенки постоянен: т] = — р.

Как известно, уравнения пограничного слоя имеют вид (см., например, монографию Л. Г. Лойцянского))

(2.10)(2.10)(2.11)(2.11)(2.12)(2.12)дрихдри-у

(2.10)

(2.10)

(2.11)

(2.11)

(2.12)

(2.12)

Охду

/ дих , дах \др . д / дих\

\ х дх 1 у ду /дх 1 ду V ду /

д /д ( иД

9чх ДГ4рГ+^/^рЯу V

д f, дТ\. О f дих\

или, в переменных Дородницына (2.8),

дрих <4 дра, др«у р —дг——дд—’Р —д— == И*(2.10а)

/ ди, , дт1 ди, . дих\ др , д ( дих\,

р\и„р -ч4 4- их-дХ—~ -4 tup -~ =ж-4-Рдг РН - (2.11а) н \ Х1 4 х дх дт] 1 dt] / дх 1 ! дц V дц ) v 7

д / и2Д di] д / иД д ( иД

U у р I С пТ —I I —I— U х -чт—IC п Т —I о” I 4™ I И о-)

д^ \ Р 12 / 1 х дх От] \ р 1г х от] \ р 2 /

д ОТ \ , д (duy\1 о х

= *д— Р'тР-д— Н—•(2.12а)

dr, \ От] / 1 di] \di] /

Если Д^,, 11), чД^, Л) и T*Q^, т]) есть решение уравнений пограничного слоя при граничных условиях прилипания а*(^, 0)=0, иД^, 0) = 0h7's(L 0)=7'w©, то, очевидно, и функции я* (^, л + Р)> Дй> Л + Р) и ^*(^ Л + Р) также являются решением уравнений

Ч Дородницын А. А., ПММ 6, № 6 (1942).

(2.10а) — (2.12а), удовлетворяющим условиям прилипания при т] =—р. Так как нас интересует обусловленная скольжением линейная добавка к основному решению порядка р~е~"|/Х, то указанное решение можно разложить в ряд по р, сохранив лишь первые члены:

„ ди (g, гр , да., (Е,

т=т*&, W + ^P- }

При т]=0 по определению а’== а’= О и T*=Tw. Из уравнения неразрывности (2.10) следует, что ди* [ду = 0. Поэтому решение (2.13) удовлетворяет при т]=0 условиям скольжения (2.9) и тем же условиям, что и и^, и* и Г* на бесконечности.

Таким образом, при С=1 и р = const решение уравнений пограничного слоя с условиями скольжения может быть непосредственно выражено по формулам (2.13) через решение тех же уравнений без скольжения. Это позволяет легко выяснить влияние скольжения на

трение и теплопередачу.

Трение при т] = 0 равно

р,у = И (Г) ^^21 = р (Г) р (Г)

/ да* (х, 0)д^и* (х, 0) \

$ =н(Т)р(Т)(-4г- + ₽-^-2) =

(2.14)(2.14)дах (х, 0)/ д^х Vх* 0)йр*^* дТ* дах (х, 0) \

(2.14)

(2.14)

■ u p ч - I Р I р U т «| . —... - г з I

от]V дт]2 1 дТ дт] от, /

Здесь обозначено р* = р (Т*) и p*=p(g, Т*у Из уравнения движения (2.11а) следует, что содержимое скобок равно dpjdx, т. е.

да*(^, 0) дрди*(х,0) др

PXv = р*р*+ р -L = р (Т^+р .(2.15)

■'У‘‘I gx гуда/ Qy I I дх х '

Следовательно, если др)дх = 0, то наличие скольжения не изменяет трения. При положительном градиенте давления трение возрастает, при отрицательном — падает. Заметим, что полученный результат является точным при р = const и теплоизолированной поверхности (т. е. если Р7'/ду=0 при у = 0), так как в этом случае величина С выпадает из рассмотрения.

Поток энергии к стенке, как отмечалось выше, в течении со

скольжением равен

?У =а 4г+UxP^=^р4^+й^ (Г) р^=

(2.16)(2.16)дхУ (dT*V

(2.16)

(2.16)

^тР дЧ +р[Чр дт]2 + ат* \ +ilP'

Но из уравнения энергии (2.12а) следует, что при т]=0 содержимое квадратных скобок равно нулю и

* дТ* . ™ . дТ*

Ч? дт] Ч(^ш) йу ’(-17)

т. е. наличие скольжения и температурного скачка не влияет на теплопередачу.

Этот результат получен при существенном предположении, что С=1. Однако в цитированной работе Маслена показано, что он верен для плоской пластинки и при С + 1.

Предложен ряд методов расчета трения и теплопередачи пластинки при любых числах Кнудсена1). Однако методы эти носят сугубо приближенный, интерполяционный характер. Согласно этим методам коэффициенты трения и теплопередачи монотонно растут с увеличением числа Кнудсена (уменьшением числа Рейнольдса), достигая свободномолекулярного значения при Кп = со- Однако в действительности при больших числах Маха при уменьшении числа Кнудсена сопротивление и теплопередача сначала растут от их свободномолекулярных значений, достигают максимума, а уже затем уменьшаются до значений, соответствующих сплошной среде2).

Течение, близкое к сбободномолеку-Течение, близкое к сбободномолеку-лярному СбобоВномолекуляр- ныб предел 'лярному СбобоВномолекуляр- ныб предел 'Переходный Пограничный слой режим со скольжениемПереходный Пограничный слой режим со скольжением/Гаграми чный слой/Гаграми чный слой

Течение, близкое к сбободномолеку-

Течение, близкое к сбободномолеку-

лярному СбобоВномолекуляр- ныб предел '

лярному СбобоВномолекуляр- ныб предел '

Переходный Пограничный слой режим со скольжением

Переходный Пограничный слой режим со скольжением

/Гаграми чный слой

/Гаграми чный слой

Течение, описыго- емоекинетЗ^ ческой теориейТечение, описыго- емоекинетЗ^ ческой теориейСплошной средаСплошной среда

Течение, описыго- емоекинетЗ^ ческой теорией

Течение, описыго- емоекинетЗ^ ческой теорией

Сплошной среда

Сплошной среда

Рис. 46.

Конечно, уравнения пограничного слоя неприменимы вблизи передней кромки. Часто картину течения около пластинки при больших числах Рейнольдса представляют следующим образом (рис. 46)).

') Schaaf S. A., Unhersity of Michigan. Heat Transfer Symposium, 1953; Schaaf S. A., Scherman F. S., J. of Aeron. Sci. 21, 85 (1959) (русский перевод в сб. «Механика», № 1 (1955)); Паттерсон Г. Н., Молекулярное течение газов, Физматгиз, 1960; Сухнев В. А., Изв. АН СССР, Механика и машиностроение, № 3 (1962).

Считают, что в той области, где число Рейнольдса, построенное по расстоянию от передней кромки, Re^-^-l, справедливы с точностью Re”1,2 уравнения пограничного слоя с условиями скольжения. Вблизи передней кромки, где. Rex<C^l, имеет место свободномолекулярное или близкое к свободномолекулярному течение. Между двумя этими предельными областями осуществляется какой-то промежуточный режим течения.

Однако легко показать, что эта картина не точна. Картину течения при малых числах Кнудсена около любого тела, в том числе и около пластинки, можно представить состоящей из двух частей

Область Набье - Стокса_

।IПограничный слои

Рис. 47.

(рис. 47): из области течения, описываемой уравнениями Навье — Стокса, и дискретного числа областей, ширина которых порядка длины свободного пробега X, в которых течение описывается лишь уравнениями Больцмана1).

Действительно, пусть L—характерный размер течения. Тогда в формуле (1.2) предыдущего параграфа e = X)L=Kn— число Кнудсена течения, где X— характерная длина пробега. Вообще говоря, длина пробега Х-^(ио)~1 может быть различной в разных точках течения. Изменение длины пробега зависит от изменений плотности и, если сечение столкновений зависит от относительной скорости молекул, — от изменений температуры. В свою очередь изменение р и Т зависит от числа Маха М набегающего потока и отношения удельных теплоемкостей х. Однако при фиксированных Мих можно считать длину пробега во всем течении одного порядка.

Рассмотрим картину течения около тела при с>0. Пусть точка х^ в формуле (1.2) лежит в области, в которой уравнения Навье — Стокса неприменимы. Оценим порядок членов в этом уравнении для некоторой точки х. Если точка х отстоит от точки х, на расстоянии нескольких длин пробега, то очевидно, что член, содержащий квадратную скобку, пренебрежимо мал по сравнению с первыми двумя членами, соответствующими приближению Навье — Стокса.

Пусть (^Р^йР^ — среднее значение второй производной от /0 на интервале М от точки хА до некоторой точки х. Тогда остаточный член в (1.2) имеет порядок б2 (cP/]dPXp. Предположим, что

*) Коган М. Н„ Доклад на 7-й конференции по проблемам и методам гидродинамики, Польша, Юрата, 1965.

в рассматриваемом интервале остаточный член порядка или больше навье-стоксовского, т. е.

Но

dl\ dl /сР '

И следовательно, £/> А/. Таким образом, остаточный член может быть одного порядка с павьестоксовским лишь в областях порядка или меньше длины пробега. Вне этих узких зон течение может быть описано уравнениями Навье — Стокса.

Очевидно, что к числу таких узких зон относятся скачки уплотнений и слой Кнудсена у стенки. Так как при Кп->0 при фиксированном числе Маха число Рейнольдса Re->cx?, внутри навье-сток- совской области образуется пограничный слой Прандтля. При этом на пластинке на расстояниях, больших к, от передней кромки справедливы условия скольжения. То, что в пограничном слое и вне его производные имеют разный порядок и что вследствие этого в пограничном слое разложение фактически ведется по ^А, а не по А, очевидно, не меняет справедливости сделанных выше утверждений, Структура течения вблизи передней кромки пластинки при гиперзвуковых скоростях набегающего потока в рамках приближения Навье — Стокса рассмотрена в целом ряде работ *). В работах Богдо- нова, Нагаматцу и др. проведено экспериментальное исследование таких течений 2).

Из описанной выше картины течения ясно, что участок пластинки длиной порядка X от передней кромки не может быть рассчитан в рамках теории Навье — Стокса. С другой стороны, нельзя ожидать, что трение и давление у передней кромки пластинки будут равны соответствующим свободномолекулярным значениям).

Как будет показано в § 6.6, даже в близком к свободномолекулярному гиперзвуковом потоке давление и трение у передней кромки могут быть больше, чем в свободномолекулярном потоке.

Пристеночный кнудсеновский слой присутствует всегда на любых телах. В рамках теории Навье—Стокса он может быть учтен введением условий скольжения (исключение составляют отмеченная выше

•) Р г о b s t е i n R., Pan Y. S., Rarefied Gas Dynamics, Third Symp., Acad. Press, 1963; Oguchi H., там же; см. также работы, цитированные на стр. 341 в сноске3).

344 ТЕЧЕНИЯ ПРИ МАЛЫХ ЧИСЛАХ КНУДСЕНА [ГЛ. V область вблизи передней кромки пластинки, угловые точки и т. п.). Скольжение может не учитываться лишь в рамках теории пограничного слоя Прандтля, когда в уравнениях Навье — Стокса пренебрегают не только членами порядка Re-1, но и членами порядка Re-1/2.

Из теории пограничного слоя следует, что коэффициент сопротивления трения Сх—1/y^Re- Учет слабого взаимодействия пограничного слоя с внешним течением, скольжения и других эффектов второго порядка добавляет члены порядка 1/Re- Выше мы видели, что течение около элемента пластинки у передней кромки длиной порядка X может быть описано только с помощью уравнения Больцмана. С другой стороны, вклад этого элемента в сопротивление пластинки как в рамках теории пограничного слоя, так и в свободномолекулярном пределе порядка 1/Re. Поэтому можно ожидать такого же результата и из уравнения Больцмана.

Следовательно, корректно член порядка 1/Re не может быть получен ни в рамках теории Навье — Стокса, ни в рамках теории Барнетта, ни в более высоких приближениях. Теория пограничного слоя второго, третьего и т. д. порядков учитывает члены того же порядка, что и отброшенные. Единственной замкнутой в рамках уравнений Навье —Стокса теорией является, теория Прандтля *).

Как мы уже отмечали, при гиперзвуковых скоростях эффекты сильного взаимодействия пограничного слоя с внешним потоком становятся эффектами первого порядка и поэтому также могут замкнуто рассматриваться в рамках уравнений Навье — Стокса.

Заметим, что применение уравнений Барнетта и более высоких приближений не позволяет выяснить структуру или как-то продвинуться в глубь указанных выше тонких областей порядка Л (слой Кнудсена, ударные волны). Наоборот, если пытаться рассчитать все течение в рамках барнеттовского приближения, то, как указано в предыдущем параграфе, толщина слоя неприменимости этих уравнений станет не тоньше, чем в навье-стоксовском случае, а толще (порядка XlnX). Уравнения Барнетта позволяют получить более точное описание течения в области, где применимы и уравнения Навье — Стокса, но не позволяют продвинуться в область, где последние неприменимы.

') То есть теория пограничного слоя без учета эффектов второго порядка. Теория второго приближения дает правильные поправки лишь к местным Значениям трения и теплопередачи при х ~^> X от передней кромки.

Глава VI

Течения при больших числах Кнудсена

. Свободномолекулярные течения.

Обтекание выпуклых тел

Свободномолекулярным течением называют течение, реализующееся в пределе, когда число Кнудсена Kn—>co. В этом случае уравнение Больцмана принимает вид (см. также §§ 2.11 и 4.2)

dt' dt дх ' т дб('

В таких течениях основную роль играет взаимодействие молекул со стенками, в то время как столкновениями молекул между собой можно пренебречь. Газ, в котором молекулы не сталкиваются, называется газом Кнудсена. При заданном характерном размере течения газ Кнудсена можно представить как газ, в котором по->0, т. е. либо плотность, либо диаметр молекул стремится к нулю. При этом длина пробега стремится к бесконечности.

Общее решение уравнения (1.1) в отсутствие внешних сил имеет вид

/(t, х, & = f(t0, x — ^t — t^, §),(1.2)

т. е. функция распределения сохраняется вдоль прямолинейной траектории частиц. В поле сил X(х) функция распределения также сохраняется вдоль траектории частиц:

Rt, x^.l^^f^, х0, So),(1.3)

где функции x^t), §(#) являются решениями уравнений Ньютона с начальными условиями

X(tQ) = X0 И ^0) = £0.(1.5)

Рассмотрим обтекание выпуклого тела безграничным потоком кнудсеповского газа в отсутствие внешних сил. Пусть fm^t, х, |)— функция распределения набегающего потока. Поскольку столкновениями молекул пренебрегаем, то, помещая в поток выпуклое

неподвижное тело, мы не изменяем функции распределения налетающих на тело молекул1), т. е. функция распределения падающих иа тело молекул /, равна

Mt. хш, ^^/^(t, хш, §Д(1.6)

где xw— точка на поверхности тела.

Обычно интересуются суммарным потоком молекул, их импульсом и энергией, приносимыми молекулами па тело. Так как молекулы, отраженные от одних частей выпуклого тела, в отсутствие внешних сил не попадают на другие его части, то каждый элемент поверхности можно рассчитывать отдельно. Если п (хш)— внешняя нормаль к телу, то

Ntю(t. xw, £)d%,

t-n<0

Pi(t. — J m(^. itO; хтаЛ)^^, .(L7)

^*n <0

Et (t. xw) = - j ^ (1 • и; M (t, хта. g) d^,

где М[, PL и Et—число молекул, импульс и энергия, приносимые на единицу поверхности в единицу времени. Для определения полного импульса и энергии, передаваемых элементу поверхности, необходимо еще учесть реактивный импульс и энергию отраженных молекул:

Р, (t, Xw) = J (£ ■ я) /г (t, xw, £) § db^•n > 0Er ((, xw) = J -^ (§ ■ n) /r (t, x^, g) d^.^•n > 0Р, (t, Xw) = J (£ ■ я) /г (t, xw, £) § db^•n > 0Er ((, xw) = J -^ (§ ■ n) /r (t, x^, g) d^.^•n > 0(1-8)(1-8)

Р, (t, Xw) = J (£ ■ я) /г (t, xw, £) § db

^•n > 0

Er ((, xw) = J -^ (§ ■ n) /r (t, x^, g) d^.

^•n > 0

Р, (t, Xw) = J (£ ■ я) /г (t, xw, £) § db

^•n > 0

Er ((, xw) = J -^ (§ ■ n) /r (t, x^, g) d^.

^•n > 0

(1-8)

(1-8)

Функция распределения отраженных молекул fr(t. xw, |) определяется законом взаимодействия молекул с поверхностью (см. § 2.10) и должна удовлетворять условию непротекания

Nr (t, xj = j^^Mt. xw ^) dX = Nt (t, xm). (1.9)

V» > 0

Рассмотрим в качестве примера стационарное обтекание тела однородным равновесным потоком со скоростью V, плотностью п„ и температурой Т . Функция распределения такого течения, оче-

') Если тело меняет свою геометрию во времени, то даже на выпуклое тело могут попадать молекулы, отраженные от 1бла в более ранние моменты времени. (См., например, Пащенко Н. Т., ПММ, № 4 (1959).)

ВИДНО,

равна

/„ = п (-^Д * ехр {— h , (I — V)2), v со СО I д )г ( СО '”' )

h

т

SkT^ ‘

(1.Ю)

Рассмотрим (рис. 48) элемент поверхности тела, расположенный под углом атаки 0 к потоку (вектор V образует угол л/2—0 с внутренней нормалью к поверхности).

Подставляя функцию распределения (1.10) в выражения (1.7), после несложных квадратур получим:

^ = ~^=-X(Se). (,Х(х)= ^ -Ц/лх(1 ■+ erf х)),(1.11)

Ati=iy^^[s6e~S9 + ]/n(l + S9)(l + e^(1.12)

2 у Л о2 L\/J

pti=^^-x(S6\(1.13)

2 У Яо

Et =[(S2+ 2) е" S° + /л (s2 +Se(l + erfS0)1 - (1 -14)

2 У л/г^ L\^ /J

Здесь S — так называемое скоростное отношение:

S=1/K^ = ^;="|/tM-’ Se = Ssin0. Мю = ^, (1.15)

где Мео—число Маха, уГоо = й”1/2 — наиболее вероятная скорость в распределении Максвелла, х— отношение удельных теплоемкостей, и

У .

е-^сР. (1.16)

9erf х = —==Кл

В частности, при V = 0, т. е. для тела, погруженного в покоящийся газ, имеем:

псо

2]У

mNt

Рх[ = 0, Et =

(1-17)

Если нас не интересует поле течения, а задача состоит лишь в определении действующих на тело сил и передаваемой ему энергии, то в свободномолекулярпом течении нет необходимости знать функцию распределения отраженных частиц. Как уже отмечалось в § 2.10, импульс и энергия, переданные поверхности, полностью

определяются, если заданы коэффициенты аккомодации (ср. формулы (10.16) § 2.10)

где Pni, Рх1 и Е; — импульс и энергия, приносимые молекулой пучка молекул, движущегося со скоростью £ под углом О' к поверхности, а Рпг, Рхг и Ег — соответственно импульс и энергия, уносимые в среднем одной отраженной молекулой, Тто — температура стенки.

Пр X В nt Ч~ ^п г 1 wр.r nt1 w)р.т ч Bi—ET1 w)р.’Пр X В nt Ч~ ^п г 1 wр.r nt1 w)р.т ч Bi—ET1 w)р.’(1.19)(1.19)Когда функция распределения молекул набегающего потока однородна (как в рассматриваемом случае, когда она задана выражением (1.10)), определяемые соотношениями (1.18) импульс и энергия отраженных молекул могут быть для каждого элемента поверхности проинтегрированы и вместо (1.18) введены новые осрсднснные коэффициенты аккомодации, зависящие от V, Тт и 9:

Пр X В nt Ч~ ^п г 1 wр.

r nt

1 w)р.

т ч Bi—ET

1 w)р.’

Пр X В nt Ч~ ^п г 1 wр.

r nt

1 w)р.

т ч Bi—ET

1 w)р.’

(1.19)

(1.19)

ап (9, V, Т^, Мб- V. Т^ М9- V, Тю,

где теперь Pni, Рх1 и Е; — импульс и энергия, приносимые на единицу поверхности тела всеми падающими на данный элемент молекулами, а Рпг, Рхг и Ег — импульс и энергия, уносимые этими молекулами при отражении. Введенные таким образом коэффициенты аккомодации определяют непосредственно долю импульса и энергии падающих молекул, переданную стенке. Форма коэффициентов аккомодации (1.19) удобна, когда течение далеко от равновесия со стенкой, например при больших S- Когда газ находится в равновесии со стенкой, т. е. V = 0 и 7,СО=7'Щ|, импульс и энергия отраженных частиц должны быть равны импульсу и энергии падающих молекул независимо от величины коэффициентов аккомодации. Поэтому часто коэффициенты аккомодации вводят в форме

«„(0, V, Т^, nt г

(1.20)(1.20)«г (6, V, Т^, Tw^^^t

(1.20)

(1.20)

рр

<Ш V, тад, =

где Рпта и Ещ— нормальный импульс и энергия отраженных молекул, если бы они отражались с максвелловским распределением, соответствующим температуре стенки:

(1.21)(1.21),3/2 -А V

(1.21)

(1.21)

О>

, mNt р mN,2V hw, mNt р mN,2V hw(1.22)(1.22)Выражение для Р^ и Е№ очевидно, можно получить из формул (1.17), заменив в них 7 на Т-

, mNt р mN,

2V hw

, mNt р mN,

2V hw

(1.22)

(1.22)

Как уже указывалось в § 2.10, характер взаимодействия молекул с поверхностью зависит от времени адсорбции молекул на поверхности. Доля поверхности, занятая адсорбированными молекулами, пропорциональна времени адсорбции и числу падающих на поверхность молекул. Если эта доля не пренебрежимо мала, то коэффициенты аккомодации могут зависеть еще от п , т. е. от давления.

Величина коэффициентов аккомодации (1.20) может колебаться между нулем и единицей. Значения этих коэффициентов связаны друг с другом. Эта связь определяется конкретным законом взаимодействия.

Зная коэффициенты аккомодации, заданные, например, в форме (1.20), используя (1.Н) — (1-14) и (1.22), для полного импульса и энергии, передаваемых единице поверхности, получим:

/2(0, V^, Тю, T^ = Pni + Pnr = (2-ttn)Pni-V-anP№ = ^^X^CT^^ + ^V У^ + [(2-а,.)(81 + 1) +

+ ^-^^kS6](HerfS6)^ (1.23)

т(9, V, Tm, Tw) = Pxl-Pxr = axPxl = ^g^X(Se), (1-24) 9(0. V, T^, TT^=:El — ET = ae(Ei — ET^ =

=а'^{(8!+Т“2^)х(ЗД4"’Г (L25)

Коэффициенты аккомодации (1.19) или (1.20) являются в общем случае функциями тех же переменных 0, V, Т^, п^., Т^, что и р, т и q. Введение коэффициентов аккомодации было бы совершенно бесплодным, если бы они не были более консервативными. Представляется, что коэффициенты аккомодации являются сравнительно медленно меняющимися функциями своих аргументов. Поэтому часто принимают, например, коэффициенты аккомодации постоянными по поверхности тела (не зависящими от 0) или постоянными в широком диапазоне скоростей и температур набегающего потока и т. д.

Формула (1.25) определяет поток энергии, передаваемый стенке поступательными степенями свободы молекул. Если молекулы

набегающего потока находятся в равновесии при температуре Тт, то на каждую внутреннюю степень свободы приходится энергия, равная Vz^^m- Средняя внутренняя энергия молекулы, обладающей Ув степенями свободы, равна 7а ркТ^. Для совершенного газа j® = = (5 — Зи)/(и—1). Следовательно,

Е^-Д', К^^ и Eb=N^^.(1.26)

Во многих работах поток внутренней энергии молекул учитывают, заменяя в формуле (1.25) энергию Е, на Е^-^-Е^ и Ew на Е^-^Е^; тогда

Я — ^еЯ — ^епсрк. Тю /с 2 2/Нй^ Опсрк. Тю /с 2 2/Нй^ ОXх — 1Xх — 1127+1_М (д )_1Й seL(1.27)2 и — 1 Гю/ 62)!127+1_М (д )_1Й seL(1.27)2 и — 1 Гю/ 62)!

Я — ^е

Я — ^е

псрк. Тю /с 2 2/Нй^ О

псрк. Тю /с 2 2/Нй^ О

X

х — 1

X

х — 1

127+1_М (д )_1Й seL(1.27)

2 и — 1 Гю/ 62)!

127+1_М (д )_1Й seL(1.27)

2 и — 1 Гю/ 62)!

Другими словами, предполагается, что обмен внутренней энергией молекул со стенкой можно охарактеризовать коэффициентом аккомодации

(1.28)(1.28)EBt-Earа® = —

(1.28)

(1.28)

е рв рв

и, кроме того, а"—«е. Однако формула (1.27) не учитывает возможного перехода поступательной энергии молекул во внутреннюю при столкновении со стенкой. Например, если 7'СО~ТЮ, то согласно (1.28) внутренняя энергия молекул при столкновении не изменяется при любом коэффициенте аккомодации а®. Но если трансляционная энергия молекул много больше внутренней энергии (например, в гиперзвуковом течении, т. е. при S 2> 1), то очевидно, что при столкновении со стенкой внутренним степеням свободы молекул может быть передана известная доля поступательной энергии. Грубо возможность переходов можно учесть, введя дополнительный коэффициент аккомодации и положив (ср. § 2.10)

Е" = Ent — a.e(J?i -Е^ — аД5!-5у. (1.29)

где Е" — Еt-\--Еь и Е" = Ег -\-Ев — полная энергия падающих и отраженных молекул.

Каждый из входящих сюда коэффициентов аккомодации состоит из двух частей. Коэффициент ае, например, можно представить в виде а =ау— «у, где «у определяет долю поступательной энергии молекул, переданную стенке, а коэффициент «у— долю трансляционной энергии, пошедшей на возбуждение внутренних степеней свободы отраженных молекул. Аналогично ав=авв— авГ, где авв определяет долю внутренней энергии, переданной стенке, и «вГ —

долю внутренней энергии, идущей на увеличение трансляционной энергии отраженных молекул.

В этом случае для q получается выражение

q = Е'} - Enr = а6 (Ej — Е^ + а= (Е? — Е^ =

(1.30)(1.30)= Г Га /дз + _ 2 М +2]/лЛсо Ц Ч 21_

(1.30)

(1.30)

Ч а> 2 (и-- 1) \"Т^Х^б)— 2

При гиперзвуковых скоростях, когда поступательная энергия налетающих молекул много больше их внутренней энергии, членом, содержащим а®, в (1.30) можно в первом приближении пренебречь, и формула (1.30) переходит в формулу (1.25) для одноатомного газа. Однако коэффициент аккомодации ае в этом случае должен быть уменьшен за счет доли энергии, идущей па возбуждение внутренних степеней свободы.

Если ci =а®, то формула (1.30) совпадает с формулой (1.27) для многоатомного газа, по также с уменьшенным коэффициентом аккомодации. Можно думать, что, как и для свободно сталкивающихся молекул, при однократном столкновении со стенкой легче всего возбуждаются вращательные степени свободы молекул ■).

При выводе формул (1.23) — (1.25), (1.27) или (1.30) не предполагается какой-либо конкретный вид функции распределения отраженных частиц. При таком подходе невозможно рассчитать поле течения или произвести учет столкновений молекул между собой. Поскольку вероятности отражения молекул еще изучены слабо, обычно пользуются простейшими схемами отражения.

Наибольшее распространение получила схема зеркально-диффузного отражения (см. формулу (10.3) § 2.10). В этом случае

Р = (2 — at) Pni -ф- a_Pnr =

(1.31)(1.32)(1.33)(1.31)(1.32)(1.33)=" S® ++ Se) (1 + erf Se)l (2 - at) 4-

(1.31)

(1.32)

(1.33)

(1.31)

(1.32)

(1.33)

, = £z„£r = aT2^{[(S24.2),-s2e +

+ /«(s2+ y) Se(l + erfS9)]-2y.

') См. Ерофеев А, И., Журнал прикл. механики и техн, физики, Ха 3 (1966).

Температура Тг может быть определена через коэффициент аккомодации энергии а/

ЕТТ=Е1 ай (5/ ЕеУ(1-34)

В этом случае даже для тела с постоянной температурой поверхности Тта = const и ае= const температура отраженных молекул различна в различных точках.

Вообще говоря, Т, и ае определяются одними и теми же параметрами (см. выше), и можно непосредственно установить связь между Тг и V в виде 7'г = |3(0, У, Т^, Тю). Предпочтение должно быть отдано более консервативной величине.

В ряде работ считают заданной величину Тг или принимают ее постоянной по поверхности тела. Если 7^ = const, то положенную постоянной величину Т, находят из уравнения (1.34), в котором Et, Ег, Ew—соответствующие суммарные по всему телу потоки, а ае — некоторый осредненный коэффициент аккомодации. Подобные предположения позволяют существенно упростить расчеты.

Определение суммарных аэродинамических характеристик обтекаемых тел сводится к весьма сложным квадратурам. В настоящее время при тех или иных моделях взаимодействия или предположениях о коэффициентах аккомодации рассчитаны аэродинамические коэффициенты значительного числа различных тел1).

Приведем формулы лишь для простейших из них.

Для пластинки (одноатомный газ):

Х = -pV2A I [ 2 (2~ an) sin2 0 -4- cos2 б1 S6 +

2 Ц K^S1 /nS J

+ -^ l^^ sin2 0 + 2 sin 6 [(2 - «„) (sin20 +-^) +

-j-aTcos2 0^ erf Se|> (1.35) к = 2/ l@zzXc^ cos 6 sin 0e- s| । д« t/2Ll sin 6 cos0+

-|- cos 0 ^2 (2 — aT — a„) sin2 0 -|- 2 g2~] erf Sg ^ .(1.36)

Q =- к (T - T^ [^ S9 +/л S0 erf S6] •d-37)

tn V

*) См. T s i e n H. S., J. Aeronaut. Sci. 13, № 12 (1946) (русский перевод в сб. «Газовая динамика», ИЛ, 1950); St alder J„ Goodwin G., Creager M., NACA, Report № 1032 (1951) и № 1093 (1952); Talbot L., JASS26, № 1 (1959); Schaaf S. A., Talbot L., Handbook of Supersonic Aerodynamics, Sec. 16, Meeh, of Raref. Gases, Washington, 1959; Баранцев P. Г., У Изжень-гой, Вестник ЛГУ, № 13 (1961); Monti R., L’aerotecnica 41, № 6 (1961); Sir in an M. D., Missil 3, № 5 (1961); Schaaf S. A., Mechanics Raref. Gases, Handbnch der Physik 8/2, 1963; Паттерсон Г. H., Молекулярное течение газов, Физматгиз, i960; Шидловский В. П., Введение в динамику разреженного газа, «Наука», 1965.

Здесь X— сопротивление пластинки, Y— ее подъемная сила, Q— суммарный тепловой поток, А—площадь одной стороны пластинки, 6 — угол атаки и Те —температура теплоизолированной пластинки CQ= 0):

ii

-s2'

1 + V« S6e 8 erf Sg -

(1.38)

Для сферы диаметра D (одноатомный газ):

лД2рk(Te„—Tw)1'

Ч S2 + SierfcS+-erfS ,

T —T h I S2 2S(2S2+l)(S + ierfcS) + (2S2 —l)erfS ' eg — 7 co ~T 42S2 (S + ierfc S) + erf S

(1.39)

(1.40)

(1.41)

Здесь

ierfc x

Кл

e~;2 dt.

Для многих приложений интересно обтекание бесконечного цилиндра свободномолекулярным потоком, перпендикулярным оси цилиндра. В лабораторных условиях весьма трудно получать свободномолекулярные потоки больших размеров. Поэтому для получения потоков с большим отношением длины пробега к характерному размеру модели приходится идти по пути уменьшения последней. В этом отношении идеальным объектом исследования являются цилиндры — тонкие проволочки, диаметром до сотых долей миллиметра. Зная аэродинамические характеристики тонких проволочек (термоанемометров) в свободномолекулярном течении, можно с их помощью определять параметры потоков разреженных газов ■)•

Принимая схему полностью диффузного отражения (ar —1), для цилиндра, перпендикулярного потоку, имеем:

Х^-^п^С^С^,(1.42)

*) Т s i е n Н. S., JAS 15, № 10 (1948) (русский перевод в сб. «Газовая динамика», ИЛ, 1950).

23 м. Н. Коган

где

sl2 H\ Шаг

r ■ "3/2 ■

xr 4VVhr ’

9 = "' 5fe {-^ V. + ^ + i [(S’ + 2) ^ Г A) Z,J}. (1.43a)

для одноатомного газа и

Q —л?/2 Гйк— 2"+22) + "2 |_(S'+3) 4 + ^S2-|--J) ^z] [

”(1.436)

для двухатомного газа.

Здесь D—диаметр цилиндра, L—evo длина, /„(^—модифицированная функция Бесселя порядка п,

gv = Tte"s,p и д2 = л82е 82/2 р0 ("|rj+Л (^i-)]"

При получении формул (1.42) и (1.43) предположено1), что r^^const и Tr = const по всей поверхности цилиндра. Величина Тт определена через коэффициент аккомодации из формулы (1.34) по суммарным потокам к цилиндру. Считалось также, что внутренняя энергия двухатомного газа равна кТ^ и аккомодирует с тем же коэффициентом аккомодации, что и поступательная энергия, т. е. с^ —а°.

Из (1.43) следует, что при сделанных предположениях температура теплоизолированного цилиндра (т. е. при Q = 0) не зависит от коэффициента аккомодации. Так как суммарная энергия отраженных молекул Ет должна быть равна энергии падающих молекул, то согласно (1.34) и Е;=Ега, т. е. Tr = Tw = Teq. Но именно Тт является единственным неизвестным параметром, входящим в выражение (1.42) для сопротивления. Следовательно, в рассматриваемой схеме и сопротивление цилиндра также не зависит от коэффициента аккомодации. Это позволяет провести экспериментальную проверку выбранной схемы, которая (так как коэффициент аккомодации из рассмотрения выпадает) содержит для одноатомного газа предположения о полностью диффузном отражении и о постоянстве температуры Тг по поверхности. На рис. 49, 50 приведено сравнение расчетных значений сопротивления и равновесной температуры цилиндра с экспериментом. Учитывая возможные экспериментальные ошибки, совпадение можно признать удовлетворительным.

О См. цитированные выше работы Стоддера и др.

Отметим, что равновесная температура цилиндра выше температуры торможения (рис. 49). Это интересное свойство характерно не только для цилиндра1).

Действительно, рассмотрим теплоизолированный элемент поверхности тела. Его температура для одноатомного газа согласно (1.25) не зависит от коэффициентов аккомодации и равна

{я2 1 г 1{я2 1 г 11-- s2 l-f-Kn:Se^ 0 (1-ф erf S0) .1-- s2 l-f-Kn:Se^ 0 (1-ф erf S0) .

{я2 1 г 1

{я2 1 г 1

1-

- s2 l-f-Kn:Se^ 0 (1-ф erf S0) .

1-

- s2 l-f-Kn:Se^ 0 (1-ф erf S0) .

Величина, заключенная в квадратных скобках, всегда положительна, и, следовательно,

тв(1>тД\ 44Н-

Температура же адиабатически заторможенного газа равна

То TooТо Too1 41 4X— 12X— 12О \/99\<,) = 7Ц1 ^<Teq,О \/99\<,) = 7Ц1 ^<Teq,

То Too

То Too

1 4

1 4

X— 1

2

X— 1

2

О \/99\

<,) = 7Ц1 ^<Teq,

О \/99\

<,) = 7Ц1 ^<Teq,

*) См. Хейз У. Д., Пробст ин Р. Ф, Теория гиперзвуковых течений, ИЛ, 1962 и указанные выше работы Столдера и др-

т. е. равновесная температура любого (6 ^ л/2) теплоизолированного Элемента поверхности в свободномолекулярном потоке выше температуры торможения.

Этот факт очевиден при S~>co. Действительно, в этом случае вся энергия набегающего потока достигает стенки. Каждая налетающая молекула приносит энергию Ч2тУ2. Эту же энергию в среднем должна уносить каждая отраженная молекула. Для этого температура стенки должна быть согласно (1.22) равна

гр гр Гр lit

1 w 1 г 1 eq 4^ '

При адиабатическом же торможении часть энергии налетающих молекул расходуется на работу против сил давления и

— mV1

При уменьшении S не вся энергия набегающего потока достигает стенки, так как молекулы, летящие с большими тепловыми скоростями против потока, не достигают стенки. Поэтому разница между Teq и 70 при уменьшении S должна уменьшаться.

Эти выводы полностью согласуются с приведенными на рис. 49 экспериментальными данными.

Экспериментальная проверка применимости выбранной схемы для теплопередачи затруднена, так как в формулы (1.43) для потока тепла входит неизвестный коэффициент аккомодации. Измерения, проведенные при числах М = 1,6 -4-2,0 для проволочек из платины, никеля и некоторых других материалов, достаточно хорошо согласуются с теорией при ае = 0,91).

Для иллюстрации влияния коэффициента аккомодации па рис. 51 и 52 приведены значения аэродинамических коэффициентов для пластинки и ракетоподобного тела. Расчет проведен в схеме полностью диффузного отражения при S™7.

Особенно наглядными становятся результаты при S->c<>, т. е. либо при V —>са, либо при 7^-^С. В этом случае можно считать, что на тело налетает моноэнергетический пучок молекул со скоростью V. Если тело холодное (т. е. vVh^-xDo) и ас~1, то скорость отраженных молекул также мала и ею можно пренебречь. В этом предельном случае

р = p^V2sin2 6, т = рюУ2 sin 6 cos 6, q = ■^•pcoV3sin 6. (1.44)

Для любого тела сопротивление и поток тепла, отнесенные к лобовой

*) См, работы Столдера и др.

проекции (миделю) тела А, равны

с — 2Хс — 2Х2Qр^УМ2Qр^УМ1.1.(1-45)(1-45)

с — 2Х

с — 2Х

2Qр^УМ

2Qр^УМ

1.

1.

(1-45)

(1-45)

Подъемная сила равна нулю. В свободномолекулярном потоке подъемная сила появляется в результате реактивного действия отраженных молекул и теплового движения молекул набегающего потока.

Рис. 51.Рис. 51.Рис. '52.Рис. '52.

Рис. 51.

Рис. 51.

Рис. '52.

Рис. '52.

Поэтому при 8)^1 величина подъемной силы очень чувствительна к изменению коэффициента аккомодации. При уменьшении ае возрастает импульс отраженных частиц, а следовательно, и подъемная сила (рис. 51).

Сравним характеристики холодной пластинки, обтекаемой гиперзвуковым свободномолекулярным потоком при а„—1 и потоком сплошной среды, рассчитанным для простоты по методу Ньютона. В методе Ньютона предполагается), что после встречи с телом газ

движется вдоль его поверхности, отдав телу свой нормальный импульс. В рассмотренном же выше предельном случае гиперзвукового свободномолекулярного течения пластинке передается не только нормальный, но и весь тангенциальный импульс. Поэтому сила, нормальная к пластинке, в обоих течениях одинакова, но в свободномолекуляр

ном течении имеется еще тангенциальная сила.

Теория Ньютона не учитывает вязкости жидкости, в то время как при кинетическом расчете учитываются все эффекты. Поэтому к силам, подсчитанным по теории Ньютона, следует добавить еще

силы трения, рассчитанные, например, по теории пограничного слоя. Однако ясно, что в пограничном слое поглощается лишь часть тан

генциального импульса. Следовательно,генциального импульса. Следовательно,и с учетом трения сопротивление в свободномолекулярном потоке должно быть больше, чем в сплошной среде, и соответственно аэродинамическое качество (т. е. Y/X) меньше.

генциального импульса. Следовательно,

генциального импульса. Следовательно,

Если предположить, что молекулы отражаются зеркально, то, очевидно, нормальная сила будет в два раза превосходить ньютоновскую, а касательная будет равна нулю, как и в теории Ньютона.

Для гиперзвуковых свободномолекулярных течений, как и для гиперзвуковых течений сплошной

среды, характерны независимость аэродинамических характеристик от числа Маха (от S). Точнее, при S ^> 1 И s0^> 1 течение зависит лишь от скорости набегающего потока V и его плотности р^, но не зависит от его температуры. Для иллюстрации этой стабилизации аэродинамических характеристик на рис. 53 и 54 приведены значения коэффициента сопротивления и числа Стантона для пластинки, цилиндра и сферы. Число Стантона определено соотношением

StSt2%Q

St

St

x-f-l АрссУ (Teq— Туае

На рис. 54 в качестве характерной площади А выбрана площадь поверхности тела. Коэффициент сопротивления на рис. 53 отнесен для цилиндра и сферы к миделю, а для пластинки — к площади одной ее стороны. Принято Тг = Тт = Т^ или, что то же самое.

ат — а„ = ае = 1. Практически для холодного тела при S ^- 5 сопротивление равно своему асимптотическому значению при 8->со.

Для тонких тел, т. е. при SgCL стабилизация, естественно, не наблюдается.

Температура тела устанавливается в результате баланса тепловых потоков к поверхности тела. Наряду с теПлом, передаваемым поверх

ности падающими на нее молекулами, поверхность может получать

тепло от источников тепла внутри тела, теплопроводностью от других частей тела и излучением. В условиях полета по близкой к Земле

орбите значительная часть тепла уносится излучением и обычно Т'.щ/'/^.^], т. е. тело можно считать холодным ■)•

Выше приведены выражения для аэродинамических характеристик лишь для простейших тел. В общем же случае расчет сводится к весьма трудоемким квадратурам, особенно если не делать предположения о постоянстве Тг по поверхности тела.

Для упрощения расчетов при S Д5> 1 предложено ряд приближенных методов), и с

их помощью рассчитаны

аэродинамические характеристики ряда тел. Если тело таково, что доля поверхности тела, где Sg^ 1, мала, то, пренебрегая в (1.23) и (1.24) членами порядка выше Sf2, приближенно получим:

(1-46)(1-46)д = ^-{2(2-ал)8^ + ^8вУ л]/ -^+2-а„},

(1-46)

(1-46)

т = атр^У2 sin 6 cos 6.

В этом приближении для аэродинамических характеристик осесимметричного тела, обтекаемого под углом атаки а, после интегриро-

>) Abarbanel S., JASS 28, № 4 (1961).

вания р и т по поверхности получаем:

| [(2 ——от)+

х Л J v1 +£2 sin2 а 1

4 2ат j "CH sina4 2ат j "CH sinar dx.r dx., anV^-^fT^ g2sin2a ^ , /2 — o„

4 2ат j "CH sina

4 2ат j "CH sina

r dx.

r dx.

i(L47)

Cy = C, ctg a — л cos a J [2 (2 — an — «4 -^“^g 0 +

I 2 Од ^ ДД , ( ^‘H 1^4 -g /" ТЩ ^2 sin Ct ( П 9 ^ Г fl 1 4-4- V >— 4- 2aT cos2 aU л r dx,

S2\ s ^co /14-£2tg2a x

(1.48)

2л f |У sin2 a . „„ ,

Cm — лГ J U2(2 —Gn~ ^T+^Tg2^^ "~°)4~

апуи Г24;2sina

S v Г„ K14-S2tg2a v 1

^=^ (H - Ж)] (rs tg a + X) 4-

2ot $ sin2 a [^— ^4) H + -^ °]} r dx. (1.49)

Здесь принята цилиндрическая система координат, ось х которой направлена вдоль оси тела, начало координат выбрано в носике тела, момент

Mz=Lcm^Al

берется относительно начала координат, г (х)—уравнение тела, a — угол атаки, £= (dr/dx) ctg а и

^^Hf1 +4^)™S(-o4-|(4+^у1-^] при ^<ь

f=14--^2 ПРИ ^>!-

°=-^ [(! +2^2-) агсс08(—94--^-У1 — ^2 j при £<1,

Q~X"^"^ при ^1>

H = -^arccos(—-О +-^У1 — S2]при £<1,

H=1при ^>1,

Л4=-^ arccos(—9 при CC 1, 4i=l при ^^>1.

СВОБОДНОМОЛЕКУЛЯРНОЕ ОБТЕКАНИЕ ВОГНУТЫХ ТЕЛ 351 Отсюда, например, для сопротивления конуса с углом полураствора б и сферы соответственно имеем (отнесено к миделю тела):

Сх = 2 (2 — ая — а^ Fsin2 б cos3 «4™ и"^л' j/"^h G sin б cos2 а + + (^r^+2ot) н cos а, (1.50)

О D О у 1

Для сферы при 8>1 формула (1.51) хорошо согласуется с точной. Однако рассмотренное приближение не обеспечивает необходимой точности для вытянутых вдоль потока тел.

Выше предполагалось, что тело обтекается равновесным равномерным потоком. Однако в ряде случаев представляет также интерес обтекание тел с иными граничными условиями на бесконечности. Как уже отмечалось, тонкие проволочки (термоанемометры) могут служить инструментом для измерения параметров потока. В частности, термоанемометры могут использоваться для определения параметров потоков, в которых имеются градиенты скоростей или температур. Для течений, близких к равновесным, в качестве функции распределения набегающего потока /т может быть взята функция распределения навье-стоксовского приближения. Обтекание цилиндра таким неоднородным потоком рассмотрено в работах Белла и Шаафа1). Проведенный анализ показал, что наличие неоднородности существенно лишь при очень малых скоростях потока или для очень сильных градиентов.

• § 6.2. Свободпомолекулярные течения.

Обтекание вогнутых тел

В предыдущем параграфе рассмотрено обтекание свободномолекулярным потоком выпуклых тел. На каждый элемент поверхности выпуклого тела падает столько же молекул, сколько их падало бы на этот элемент в отсутствие других частей тела. При рассмотрении обтекания свободномолекулярным потоком тел, обладающих вогнутостями (а также групп тел), необходимо учитывать затенение одних частей тела другими, а также падение на одни части тела молекул, отраженных от других частей.

Рассмотрим некоторую точку Мх на поверхности тела. Обозначим через й(уИ]) телесный угол, под которым из точки Мг видна остальная часть тела или другие тела (рис. 55). Примем закон отражения

’) Bell S., Schaal S. A., J. Am. Roc. Soc. 23, 314 (1953), Jet Propulsion 25, 168 (1955).

молекул (9.6) главы II:

(2.1)(2.1)/г(хр gr) = j K(xv lh WM. ^d^,

(2.1)

(2.1)

^'"<0

где К ^, gr) —заданная функция, зависящая от свойств поверхности, п—внешняя нормаль и ху— радиус-вектор точки Mv Тогда функцию распределения падающих молекул в точке Л4, можно представить в виде

/z№. li) = J К (х2, §2- li) / (,х2’ 1г) ^г- Bi • ii <С 0. (2.2а) ^•п, <0

если скорость gj лежит внутри Q (Afj), и

fM, 1,) = /„(§,).(2.26)

если |] лежит внутри телесного угла й = 2л—Q(Af,). Точки Ж2—это точки поверхности тела, в которые можно попасть из точки AI,, двигаясь вдоль вектора (—g,). Уравнение (2.2а) связывает между собой функции распределения в разных точках поверхности тела. Аналитическое решение этого уравнения в общем случае чрезвычайно сложно.

X. / В приложениях чаще всего принимают за- X. / кон полностью диффузного отражения (ат=1) Ху с максвелловским распределением, т. е. полагают (см. (10.3) и (10.3а) главы II) м.,

^42Zz/ZZZZzzzzzzZ/v2z99-Л. txA 5 Г

^^22222222222^ к ^ ие l I (g2 _ п^

Рис. 55./О О'.

В этом случае вместо (2.2а) для падающих молекул в точке Му имеем внутри й

hU- gi^/V^^^KMX)^ li-«i<0,(2.4)

где N (х^) — число молекул, падающих в единицу времени на единицу поверхности около точки Л1г(х2).

Аналогично для отраженных молекул (gj ■ пг > 0) в точке .Му имеем

/(xi, gO^wMl^He^^^.(2.5)

Вообще, если вид функции распределения отраженных молекул не зависит .от конкретного вида функции распределения падающих молекул, то можно записать

^( (Xg, 1г- 11) — — ^(^2- 11)(12'в?)-Р'б)

Функция F может зависеть от одного или нескольких макроскопических параметров налетающих молекул (от их суммарной энергии, импульса и т. п.). Для такого ядра

}(2.7)}(2.7)/№, ^) = N (х2) F (х^, ^) при §!-»!< О, £] внутри Й,

}(2.7)

}(2.7)

И^, Ю = N (х^ F (xv li) при ^-В^О.

Число молекул, падающих на поверхность в точке Mv равно

N^-N^xO- j N (х2) F (х2, ^(lx-nOd^, (2.8)

§i ■ tt] < о,

где Nrco(x1)— число молекул невозмущенного потока, падающих на рассматриваемый элемент поверхности, равное

^=о№=-f/codadr».)^!.§1-«1<о.(2.9)

2л

Введем полярные координаты £, 9 и ф, где 9 — полярный угол, отсчитываемый от нормали п, и ф—азимутальный угол. Тогда

N(х^ = N^ (х^ + j А^ (Л72)/^ (а:2) sin 6] cos б^Э^ф, (2.10) где

F W = j F (х2, |]) ^х .о

Интегральное уравнение (2.10) можно переписать также в виде

(2.Н)(2.Н)N (хх) = ^ (Х1) 4- j N (х2) О (х2, хО ал2,

(2.Н)

(2.Н)

G^.x^F^^^,Г12

Здесь dA2— элемент площади поверхности, 0; и 02— углы между линией, соединяющей точки Мх и Л42, и нормалями пх и п2 соответственно, г12—расстояние между точками Л^ и Л12 и интегрирование ведется по всей поверхности, видимой из точки М^.

В частности, для ядра (2.3) интеграл Д=л-1 и

О (х2, xi') = -^^~^- = 0(x1, х2\(2.12)

В этом случае уравнение (2.11) является уравнением Фредгольма с симметричным ядром.

Заметим, что при сделанных предположениях в уравнение (2.11) не входит ни температура поверхности, ни коэффициенты аккомодации, т. е. число молекул, падающих на различные элементы поверхности тела, зависит лишь от функции распределения набегающего потока и геометрии тела. Отметим также, что ядро интегрального уравнения (2.11) имеет вид (2.12) при любой функции F, зависящей лишь от модуля £, или, еще общее, если J Fb^d^t не зависит от 9 И ф.

Действительно, согласно (2.7)

N(x^=-+ J Л№- ^Ж-лМ^л^/^,^^ $1.«1>0

а следовательно,

1= j F(xv I]) (li- В])^^ j'fgi^j j j sin 6 cos 9 d0 d^ =

I1.«1>O00 0

= л j F^ d^ = nF.

о

Отражение, удовлетворяющее этим условиям, называют отражением по закону косинусов, так как число молекул, покидающих единичную площадку поверхности в направлении 9, пропорционально cos 9.

Приведенные рассуждения показывают, что в случае отражения по закону косинусов число молекул, отраженных от элемента поверхности dA^ и падающих на элемент поверхности dAt, равно

N(X2)Q(x2, x^dA^dAp

Аналогично число молекул, отраженных от элемента dA, и падающих на элемент dA^, равно

N (х^) Q (xv x2)dA1dA2.

При этом

O(xv х2') = О(х2, хх\

Функцию О (xv Х2) можно рассматривать как функцию влияния элемента dA, на элемент dA2 или ОdAxdA2—как вероятность того, что молекула, отраженная от элемента dAv попадает на элемент dA2, Отметим, что рассмотренная картина свободномолекулярного течения аналогична рассеянию света на поверхностях по закону Ламберта1). Эта аналогия может быть использована для моделирования свободномолекулярных течений.

Э Лариш Э., Изв. АН СССР, Механика и машиностроение, №3 (1960).

§ 6.2) Свободномолекулярное обтекание вогнутых тел 365 Пусть известен коэффициент аккомодации энергии

Энергия падающих на единицу поверхности молекул равна

^i (^i)= Е ico (хД J ет (I]) N (х2) F (Xg, g]) (|j • В]) й|р (2.14)

11 • »i < о,

где Е1оо — энергия, приносимая молекулами, приходящими из бесконечности, и ет (^) — энергия, уносимая с поверхности молекулой, имеющей скорость gP

Аналогично

ЕДхД = J еДбДМДДЕДр ^Ж- nyd^. (2.15) li-«i>0

Для Ew, как и в предыдущем параграфе, получим

Ew(x1) = N(x1')^h2w / еД^е^^а, -пД^. (2.16) 5r"i>0

Если F и ег зависят лишь от модуля скорости |, то во входящих в (2.14)—(2.16) интегралах можно выполнить интегрирование по |:

AtГ12(2.1')

Er — nN (х,) F (xj, где

Е(хД = / еДДР^ ^^d^.(2.18)

о

Подставляя найденные выражения в (2.13), получим интегральное уравнение для F'.

nN (хДРДД^аД^хД-^Ь^ДД J еД^Де""^^^-^

Н^-аДЕьДхДД-Д-аД ( N^F^^l^-dA,, (2.19)

Замечая, что Er (х2) = nF(х2) N (х2), уравнение (2.19) перепишем в виде

Er (^i)= ^еЕ® + (1 cte) Eio3 -]- (1 аД J Ег (хД О (х2, ху) dA2.

(2.20)

Следовательно, если функция F не зависит от ф и 9, то лР(х,) есть энергия, приносимая в среднем одной молекулой, отраженной от элемента йАг, и Ег (х2)О(х1, х2) dAtdA2— доля энергии отраженных от элемента dA^ молекул, приносимая на элемент dAv Другими словами, вместо реальной схемы отражения можно считать, что все молекулы отражаются равномерно во все стороны с одинаковой энергией. Если молекулы не несут внутренней энергии и отражаются с максвелловским распределением, то энергия, приходящаяся на молекулу, равна mlhr. В этом случае можно считать, что все молекулы как бы летят с одной скоростью, равной (2/^r)V2, Таким образом, задача сводится к решению интегральных уравнений (2.11) и (2.19) или (2.20). Если ядро К задано в виде (2.3), то, имея решение для F, с помощью (2.18) можно найти 1гДх^. Имея N(х^) и hr(x{)> с помощью очевидных квадратур можно рассчитать все аэродинамические характеристики.

Рассмотрим адиабатическую стенку, т. е. положим, что в каждой точке тела Е;™Е,. В этом случае из определения ае следует, что Et = Ew = Ег. Заменяя в уравнении (2.20) энергию Ещ наЕг, получим Er С^) = Е^ (х^ + j Er (х^ G (х^ х^ dA^.

Аз

Легко видеть, что это уравнение аналогично уравнению (2.11). Следовательно, если Eiy(x-V') = constN00(x1), то

Er (^1) Ew (X[) Elo3 (X[)9 Щ

Если принять, что отраженные молекулы обладают как поступательной, так и внутренней энергией, соответствующей температуре стенки Tw, то получим (см. § 6.1)

Л№ (Х[) , 1 х -|- 1 ^ ЕZoo^(X1) — 2 И —1Nq3 •

Таким образом, равновесная температура стенки вогнутого тела равна 7 %^Z<x>/л лох

k И + 1 Nm '

Наиболее просто записывается это выражение для гипертермического потока (S —>• оо); в этом случае условие пропорциональности и выполнено и

Teq =^ = ¥Чср-^.(2.23)

Интересно отметить, что в этом случае равновесная температура одинакова как для участков поверхности, на которые попадают молекулы непосредственно из бесконечности, так и для затененных участков, на которые падают лишь молекулы, отраженные другими частями

тела. Этот результат не зависит от коэффициента аккомодации и формы Фела.

В качестве простейшего примера рассмотрим обтекание бесконечной цилиндрической поверхности (рис. 56) гиперзвуковым потоком

газа. Тепловыми скоростями молекул набегающего потока будем пренебрегать (гипертермическое течение). Будем считать, что а < со, так что затенение одних участков другими отсутствует.

Используя обозначения рис, 56, имеем!)

лл Р ,Р, . гр do, аф

cos и, = coscos ф, r19=:——-,dA™= ——

2 2r12 cos ф 2 cos2 ф I

61—62 Icose, cos e2 _ cos4 Ф '

p 2rsin| 2U <XV X2)^^4ЯГ2 .

(2.24)

В этих же обозначениях уравнение (2.11) запишется в виде

М(Ху) = Vn^ cos (6,—a)+'2^'J 'V(x2)cos2Tsinp^-^—| <А)2йф. (2.25)

Так как N(x2) не зависит от ф, то можно провести интегрирование по ф:

+ С0

^01) = ^coc°s(61-a) + | J ^(б2)sш|-^l|rfб2.(2.26)

С h a h 1 n е М. Т., Rarefied Gas Dynamics, Second Symp., Acad. Press, 1961; Pratt M. T., AIAA Journal 1, № 7 (1963); Sparrow E.W., Jonsson V. K., L u n d g r e e n T. S., C h e n T. S., Transactions of the ASME, J. of Heat Transfer 86, № 1 (1964).

Продифференцируем это уравнение дважды по др имеем

У«оо cos (д, — а) —У«оо cos (д, — а) —— ^ J TV(d2) sin |— ^ J TV(d2) sin |д] — 62д] — 6222h+^F-h+^F-(2.27)(2.27)

У«оо cos (д, — а) —

У«оо cos (д, — а) —

— ^ J TV(d2) sin |

— ^ J TV(d2) sin |

д] — 62

д] — 62

2

2

h+^F-

h+^F-

(2.27)

(2.27)

Умножая уравнения (2.26) на 1/4 и складывая с (2.27), получим

— А -- = — -т Vn^ cos (д, — а).(2.28)

Общее решение этого уравнения

N (д]) = А -j-^д] +-J У«со cos (д]—а)(2.29)

содержит две произвольные постоянные, зависящие от геометрии течения, т. е. от а и со. Для их определения подставим (2.29) в интегральное уравнение (2.26) и приравняем коэффициенты при одинаковых функциях б. В результате имеем

3

, У«со/ 1 , о\ Д У«оо .C0S \ 2

Д = —T^cosct l-4-2sin2-7T , £> = —!£. sin а:——■—;—-.

2 cos Isin I1

Таким образом, число молекул N (х^, падающих на поверхность, полностью определено. Вычислим теперь силу, действующую на тело, предполагая для простоты ае=1, т. е. hr = hw.

Нормальный и тангенциальный импульсы, передаваемые молекулами единице площади поверхности тела, можно представить в виде

Р № = Рп«Л Рпг + рпЬ, Ч^Р^ + Рхь- (2.30)

где рпЪ и рхЬ—соответственно нормальный и тангенциальный импульсы, передаваемые данному элементу поверхности молекулами, отраженными от других частей тела, и рпг— реактивный импульс.

Для рпоо, рпг и рХю, очевидно, имеем:

Рп^т^УЧо^^а — ^,Рпг = ^шЫ^У^-, |

zI (2.31)

рХсо = zn«coV2sin(a— б) cos (а—б).j

Несколько сложнее вычисляются рпЬ и рхЬ. По аналогии с (2.10) можно записать:

Рпъ = ™/ N(X) А (х2, §]) ^ cos2 0] ^,

pxb = — m J N (x^ F^ (xy I,) g2 cos ф cos 6, cos 01 й|г

§ 6.2] СВОБОДНОМОЛЕКУЛЯРНОЕ ОБТЕКАНИЕ ВОГНУТЫХ ТЕЛ 369 Подставляя F = 2л”1&1,ехр(—h^^ и интегрируя по |ь получим:

=Г N(x2)G(x1, х^ cos 9^А?.

Pxb^—°(х1- ^F(^ COSфsin6] dA2. 4

При подсчете импульса можно считать, что все молекулы движутся с одинаковой скоростью, равной 3/4 й^1/2. Используя переменные (2.24) и интегрируя по ф, окончательно получим:

+ С0

Рпь = 2у^Г~ /^(^sin^Cd] — б2)^б2,(2.32)

w -со

-ко

р,ь=—^= Г ^(б2)sinT(бI-б2)cos-2-(дI-б2)йб2. (2.33)

Подставляя сюда найденное ранее выражение для N(б) и проводя квадратуры, можно вычислить распределение нормальных и тангенциальных сил по поверхности тела.

Если необходимо найти только суммарные аэродинамические характеристики, то вычисления этих интегралов можно избежать, так как суммарные силы, действующие на тело, обусловлены лишь импульсом, передаваемым телу молекулами, пришедшими из бесконечности и уходящими на бесконечность. Силы, создаваемые молекулами, движущимися от одних участков тела к другим, являются внутренними. Точно так же можно рассчитать суммарный поток энергии. Импульс и энергия, уносимые уходящими на бесконечность молекулами, можно записать в виде

Лю= mN (х^) J F (Хр §])(§] • й]) §]^§р

(2.34)

Ег_ = mN ^Ху) J F (д:р §]) er (|j) (§] • я,) d^y.

Расчет аэродинамических сил, действующих на вогнутый цилиндр, проведен в ряде работ 1). В работе Сперроу и др. расчеты проведены

*) См. цитированные выше работы.

24 М. Н. КогаЧ

с учетом затенения и для произвольного ае. В работах Лариша, Пратта и Шахина рассмотрено обтекание вогнутой сферы. Некоторые результаты проведенных расчетов Сперроу и др. приведены на рис. 57—59.

На рис. 57 и 58 приведены значения осевой и поперечной сил, действующих на внутреннюю поверхность цилиндра (рис. 56). Через F^ и Fy0 обозначены силы, действующие на ту же поверхность,

§6.3] свободномолекулярные течения rto трубам 371 без учета повторных ударов отраженных молекул. На рис. 59 приведен полный поток тепла на изотермическую внутреннюю поверхность

тела, отнесенный к потоку без учета энергии, приносимой молекулами, отраженными от других частей тела.

Свободномолекулярные течения по трубам

Рассмотрим теперь задачу о течении газа по трубе, соединяющей два сосуда. Исторически это одна из наиболее старых задач динамики разреженных газов ).

Рассмотрим прежде всего два сосуда, разделенных бесконечно тонкой перегородкой с отверстием, диаметр которого много меньше длины пробега молекул в обоих сосудах. Пусть в каждом из сосудов газ находится в равновесии соответственно при давлениях рх и рг и температурах Тх и Т2. Сосуды будем считать достаточно большими, так что молекулы, проникающие из одного сосуда в другой через малое отверстие, не изменяют состояния газа в сосудах. Попавшая через отверстие в сосуд молекула сталкивается с другими молекулами или со стенкой на большом расстоянии от отверстия

и может снова оказаться около отверстия, лишь испытав много столкновений и придя в равновесие с. газом в сосуде.

При максвелловском распределении молекул в сосудах число молекул, проходящих из сосуда 1 в сосуд 2 через единицу площади отверстия в единицу времени, очевидно, равно

л,1г = ]-(Е.»)/,«-^.<3.1)

где п — нормаль к плоскости отверстия. Аналогично число молекул, проходящих через отверстие из сосуда 2 в сосуд 1, равно

^21^21«22 V"л-кг«22 V"л-кг(3.2)(3.2)

^21

^21

«2

2 V"л-кг

«2

2 V"л-кг

(3.2)

(3.2)

Следовательно, полный поток частиц из сосуда 1 в сосуд 2 равен

N = N12 ^21N = N12 ^2112 1/Лл12 1/Лл«2 )ГаГ/«2 )ГаГ/(3.3)(3.3)

N = N12 ^21

N = N12 ^21

1

2 1/Лл

1

2 1/Лл

«2 )

ГаГ/

«2 )

ГаГ/

(3.3)

(3.3)

Как известно, для того чтобы газ не перетекал из одного сосуда в другой (^=0), в классической газодинамике (т. е. когда длина пробега много меньше диаметра отверстия) необходимо и достаточно, чтобы давление в обоих сосудах было одинаковым. Из

(3.3) видно, что в кнудсенов- ском газе расход через отверстие равен нулю, если

«1 у Кг = п2 Vhi ИЛИ

(3-4)

VTX Утг

так как

Pi~kniTt и

Уравнение (3.3) экспериментально проверено Кнудсеном1), который исследовал поток газа через пористую перегородку. Расхождение между теорией и экспериментом оказалось в пределах точности эксперимента.

Пусть теперь сосуды соединены цилиндрической трубкой диаметром 2r = d и длиной L (рис. 60). Диаметр трубки много меньше длины пробега. Если бы внутри трубки молекулы отражались зеркально, то, очевидно, каждая молекула, попавшая в трубку с одного конца, вышла бы с другого конца. Поэтому расход газа был бы тем же, что и в рассмотренном выше случае течения через отверстие. При диффузном же отражении часть молекул может в ре-

*) См. цитированную монографию Кнудсена.-

зультате одного или нескольких столкновений со стенкой выйти из трубки с того же конца, с которого она туда попала. При этом расход газа, очевидно, должен уменьшиться.

Так как молекулы не сталкиваются между собой, то поток молекул можно разбить на два не взаимодействующих друг с другом

потока: поток из левого резервуара и поток из правого резервуара.

Эти потоки можно рассматривать отдельно.

Рассмотрим, например, истечение газа из резервуара 1 !).

Пусть хг — некоторая точка внутренней поверхности трубы (рис. 61). Пред

положим, что молекулы

рассеиваются поверхностьюРис. 61.

трубы диффузно по закону

косинусов. Тогда для числа молекул N (х^, падающих на единицу поверхности, вновь, очевидно, получим интегральное уравнение (2.11), в котором теперь Noa(x1)— число молекул, падающих на единицу поверхности непосредственно из резервуара 1 без столкновений:

N1(x1) = Nm(x1)-Jr- j N (х^) Q (x^ x^dA^, (3.5)

Ai

где Д2—внутренняя поверхность трубки и tM2 = г dtp dx. Так как N (х) не зависит от ф, то

i2л

J N (х2) О (х2, х^ rdtpdx — г ^ N (х^) dx J C° ^C0S — ^ф2- Аоо

Без ограничения общности угол ф можно отсчитывать, например, от точки xv так что ф] = 0. Из рис. 61 легко видеть, что

cos 61 cos 62лг12cos 61 cos 62лг124r2 sin4 -^-4r2 sin4 -^-

cos 61 cos 62лг12

cos 61 cos 62лг12

4r2 sin4 -^-

4r2 sin4 -^-

■ а Ф

S1 п "г

4лг2 Г № — Xty + sin2 ^-Г

!) Clausing D., Ann. d. Physlk 12, 5 rep. (1932); Patterson 0. N., UTIA Review., № 18 (1962); Sparrow E. M., Jonsson V. K., Heat Transfer Transactions of ASME, № 2 (1963).

где Х = х)2г. Тогда

2л

1-^2-А^1-^2-А^О* (хх, х2) = 2 г2 J G (х2, хх) <Z<p2 = о

1-^2-А^

1-^2-А^

(3.6)(3.6)2(АГ2-^)= + 32[1+№-А,)2]3/2'

(3.6)

(3.6)

Вычислим теперь Neo(x1). Пусть теперь й/12—элемент поверхности входа. Тогда число молекул, прошедших через элемент dA^ и попавших на элемент поверхности трубки dAx, равно

—О (х2, х.) dA2 dAv [й, = , (3.7) гулл, \ 2яТх ]

где /г,— числовая плотность молекул в резервуаре 1. Интегрируя это выражение по площади входа, равной лг2, после громоздких, но не сложных выкладок получим

/^, = -2^=.), (3.8) ,2 у n,hx //^, = -2^=.), (3.8) ,2 у n,hx /1 Г 14- 2А;

/^, = -2^=.), (3.8) ,2 у n,hx /

/^, = -2^=.), (3.8) ,2 у n,hx /

^со (^i) ~ 2" ^oi ч г — ^ 2А j 1У1+^

где Nox — число молекул, входящих в трубку из сосуда 1 через единицу площади входа.

Заметим, что если в (3.7) заменить N01 на N (х^, то выражение (3.7) будет определять число молекул, стартовавших с элемента dAx и вышедших из трубки через элемент dA2. Поэтому число молекул, отраженных от площадки dAx и выходящих без столкновений со стенкой через левый конец трубки (в сосуд 1), равно

1 Г 1 I -NX[ ^.i dAx = N (х^-й —===1 Г 1 I -NX[ ^.i dAx = N (х^-й —===2Xx dAx=N (x^Xx^idAv (3.9)2Xx dAx=N (x^Xx^idAv (3.9)

1 Г 1 I -

NX[ ^.i dAx = N (х^-й —===

1 Г 1 I -

NX[ ^.i dAx = N (х^-й —===

2Xx dAx=N (x^Xx^idAv (3.9)

2Xx dAx=N (x^Xx^idAv (3.9)

Аналогично число молекул, выходящих через правый конец трубки, равно

NX1 „2 dAx = N(x^- 2 (У - X,)] dAx =

2 L |/ 1(L —Aj2J

-N№xx^dAv (З.Ю)

Функции % j и X, .>2 0ПРеДеляют вероятности выхода молекулы, стартовавшей с элемента dAx, соответственно через сечения 1 и 2 без столкновений. Учитывая (3.6) и (3.8) и вводя новую переменную

х^ш^Жд, запишем уравнение (3.5) в форме (L = Lld)

1 Г 1 4-2X2-1

11 -1 I}х (х2) аху (з.Н)

Это уравнение называют уравнением Клаузинга. Если уравнение (3.11) решено, то расход газа из резервуара 1 через единицу площади входа определяется выражением

2Х] dXx2Х] dXx(3.12)(3.12)

2Х] dXx

2Х] dXx

(3.12)

(3.12)

Совершенно так же рассчитывается поток частиц из резервуара 2. Функция хМ обладает интересным свойством симметрии:

Х(£-^)=1~хШ.(3.13)

Запишем уравнение (3.11) в виде

L

^ = 4^M^G\Xv Х№ <3-14) о

Обозначим через g(Xx) = N (X^[N02 удельный поток на элемент dAv обусловленный потоком молекул с плотностью Мю из правого сосуда. Тогда

2

^(XiWA.,^+/f (^2)(Г(Х,, X^dX,. (3.15)

О

Очевидно, что_

g(X^ = X(b — х^.(3.16)

Кроме того,

L

WWHxv x^dx2 = \.(3.17)

о

так как суммарная вероятность того, что молекула, стартующая с элемента d.Ax, либо выйдет через концы, либо стукнется о стенку трубки, очевидно, равна единице. Складывая уравнения (3.14) и (3.15)

и учитывая соотношения (3.16) и (3.17), получим

L

уХХ^+^-х^-х^ Мхгу^а-х^- 1]G* dX^.о

Единственным решением этого интегрального уравнения является тривиальное решение (3.13). Свойство (3.13) позволяет рассчитывать функцию у лишь для половины трубки. При этом всегда

££

£

£

Расчеты показывают, что зависимость / от А’ близка к линейной. На рис. 62 приведено изменение расхода газа между двумя резервуарами, полученное численным интегрированием уравнения (3.11)).

Для сравнения нанесено решение Клаузинга, получаемое при замене % линейной функцией xG*) = а-|-(1— 2а)(х/А).

Расход газа N отнесен к расходу газа XQ, который имел бы место, если бы сосуды были соединены непосредственно (А = 0).

Величина у (й/Z,)^ дает расход для очень длинных труб).

Если функция х найдена, то с помощью очевидных квадратур можно найти изменение расхода газа по сечению канала. Некоторые результаты таких расчетов показаны на рис. 63 *) (р—расстояние от оси трубы). На рисунке видно скольжение у стенки.

Рис. 63.

Для трубы с переменным сечением также легко составить интегральное уравнение, аналогичное уравнению (3.11)).

Уравнения типа уравнения Клаузинга получаются также при рассмотрении течений в сложных каналах с перегородками, подобных ловушкам в вакуумных аппаратах. Важно отметить, что расход газа через такие каналы, при отражении по закону косинусов зависит, лишь от температуры и давления газа на входе и на выходе из канала и не зависит от температуры стенок канала. Поэтому охлаждение стенок ловушек, например высоковакуумных насосов, не может дать эффекта, если их температура недостаточно низка для вымораживания газа (при вымораживании молекулы «прилипают» к стенкам).

Для не очень длинных труб эффективным представляется применение метода Монте-Карло. Расход газа через трубку с входным сечением Д] и выходным Д2 равен

^=:^01PI_>2—М^Рг-э-ь(3.18)

где Not— число молекул, входящих в трубку через сечение Ар, Ру^г — вероятность того, что молекула, вошедшая через сечение 1,

*) Sparrow Е. М., Haij-Sheikh A., Phys. Fluids 7, № 8 (1964).

3'78 ТЁЧЕНИЯ ПРИ БОЛЬШИХ ЧИСЛА'Х КНУДСЕНА [ГЛ. VI выйдет через сечение 2, и Рг-»!— вероятность того, что молекула, вошедшая через сечение 2, выйдет через сечение 1.

Если распределение молекул газа в обоих сосудах максвелловское, то

AiPi^.2 = (3.19)

Действительно, когда давление и температура газа в обоих сосудах равны, то N=0, a Nm и N02 пропорциональны сечениям Аг и Д2. В то же время вероятность пролета одинакова для подобных функций распределения молекул па входе. Соотношение (3.19) позволяет ограничиться расчетом только вероятности Ра^.2-

При произвольных функции распределения молекул на входе и законе отражения молекул от стенки канала вероятность Ра ^2 может быть определена следующим образом. Разыгрываются с постоянной плотностью вероятности две случайные величины, определяющие некоторую точку (у, z) входного сечения канала. Далее с плотностью вероятности, соответствующей функции распределения входящих в канал частиц, в точке (у, г) разыгрываются еще три случайные величины, определяющие направление и скорость входящей в канал частицы. Если выбранное направление оказывается таким, что частица выходит через сечение 2, то в запоминающее устройство посылается единица. В противном случае находится точка падения частицы на стенку. В этой точке разыгрываются направление и скорость отраженной частицы в соответствии с законом отражения частиц (плотность вероятности К(^,£, ^г), § 6.2). Возможны три исхода:

Молекула выходит через сечение 2, в память посылается единица.

Молекула выходит через сечение 1, в память посылается 0.

Молекула вновь ударяется о стенку канала. В этом случае разыгрываются новое направление и скорость частицы. Этот процесс продолжается до тех пор, пока частица не выйдет через сечение 2 (результат 1) или сечение 1 (результат 0). Обозначая через М£ число положительных исходов (сумму всех единиц) и через N общее число розыгрышей, очевидно, имеем

Для частных конфигураций канала и законов отражения процедура может быть упрощена. В частности, если молекулы отражаются по закону косинусов, то нет надобности разыгрывать величину скорости отраженной частицы ’).

') См., например, Davis D. И., Levenson L. L, М i 11 е г о n N., Rarefied Gas Dynamics, Second Symp., Acad. Press, 1961. См. также предыдущий параграф.

Насадки для измерения давленияв свободномолекулярном потоке

Наиболее простой насадок для измерения давления в свободномолекулярном потоке представляется в виде резервуара с малым отверстием (рис. 64), диаметр которого должен быть много меньше длины пробега молекул как в набегающем потоке, так и в сосуде’). Если этот насадок (резервуар) помещен в движущийсяу _ Д \

поток, его размеры также должны быть ' "Д/ \' у

Рис. 64.Рис. 64.меньше длины пробега молекул набегающего потока, так как в противном случае поток молекул, попадающих в отверстие,

Рис. 64.

Рис. 64.

будет возмущен насадком. Давление в ре

зервуаре (приемнике давления) установится, когда число молекул набегающего потока, проникающих через отверстие в резервуар, станет равным числу молекул, выходящих из резервуара. Если нормаль к плоскости входа резервуара составляет угол ]/2л — 6 с вектором скорости V однородного равновесного потока, то согласно формуле (1.11) число молекул, проходящих через единицу площади отверстия в единицу времени, равно

2 V я.1гт2 V я.1гте Se+]A7Sg(l +erfSe)].е Se+]A7Sg(l +erfSe)].(4.1)(4.1)

2 V я.1гт

2 V я.1гт

е Se+]A7Sg(l +erfSe)].

е Se+]A7Sg(l +erfSe)].

(4.1)

(4.1)

Число молекул, выходящих через единицу площади отверстия, очевидно, равно

Nг =- -,(4.2)

г/лЛ, УЪипкТх где индексом 1 отмечены параметры газа в резервуаре.

Приравнивая число входящих и выходящих молекул, получим следующее выражение для давления в резервуаре:

(4.3)(4.3)

(4.3)

(4.3)

Если измерить рх при трех значениях 6, то можно определить скоростное отношение S, не зная температуры и давления набегающего потока и температуры резервуара. Обозначим, например, показание насадка полного давления (т. е. при 0 = л/2) через р'о, показание насадка при 0=—л/2 через р3 и показание насадка

') См., например, Patterson О. N., UTIA Review № 18 (1962).

статического давления (0 — 0) через рс. Тогда

(4.4)(4.4)P'^P^V -^-k^+^SO + erfS)], ^ = ^1/^, ' со' J со

(4.4)

(4.4)

Ps-P^V^ kS!-/nS(l-erfS)].

откудаоткуда8 —8 —Рр — Рз 21^ рсРр — Рз 21^ рс(4.5)(4.5)

откуда

откуда

8 —

8 —

Рр — Рз 21^ рс

Рр — Рз 21^ рс

(4.5)

(4.5)

Рис. 65.Рис. 65.

Рис. 65.

Рис. 65.

При больших скоростях (больших S) давлением р3 можно пренебречь по сравнению с давлением />' и для определения 8 достаточно

двух измерений:

S = —. (4.5а)

Отметим, что давление, показываемое насадком, не равно давлению, действующему на элемент поверхности твердого тела, расположенный так же, как отверстие.

Рассмотренный простейший тип насадка, когда приемное отверстие находится непосредственно на приемнике давления, удобен для измерений в свободномолекулярных потоках

больших размеров (например, в полете). Резервуар может служить одновременно и манометром, например манометром типа Пирани. Однако область применения его ограничена требованием, чтобы длина пробега набегающего потока была больше и отверстия и насадка.

Рассмотрим поэтому насадок полного давления традиционного типа, выполненный в виде трубки, диаметр которой много меньше длины пробега (рис. 65). Длина трубки должна быть выбрана так, чтобы

§ 6.51 ТЕЧЕНИЯ. БЛИЗКИЕ К СВОБОДНОМОЛЕКУЛЯРНЫМ 381 возмущение потока, создаваемое резервуаром, не сказывалось вблизи открытого конца трубки.

В установившемся режиме давление в резервуаре должно быть таким, чтобы поток молекул из резервуара через трубку был равен потоку молекул через трубку в резервуар. Так как молекулы внутри трубки не сталкиваются между собой, оба потока могут быть вычислены независимо.

Истечение из сосуда через трубку рассмотрено в § 6.3. Задача о движении по трубке молекул набегающего потока отличается от задачи об истечении из сосуда лишь функцией распределения молекул на входе в трубку. Поэтому, не останавливаясь па деталях, приведем лишь интересный для приложений результирующий график (рис. 66), заимствованный из работы Ротте и Лю1). Здесь р0—давление, которое было бы в резервуаре при тех же параметрах набегающего потока, если бы L = 0. Эти результаты получены в приближении Клаузинга, т. е. при линейной аппроксимации функции Х(АЭ-

Течения, близкие к свободномолекулярным

Рассмотрим течения при больших числах Кнудсена с учетом столкновений. Запишем уравнение Больцмана для стационарного течения в отсутствие внешних сил в безразмерной форме (см. § 2.11):

=€j(f,f),Л, 5

OX;уKn (JJ \ z

Здесь координаты физического пространства отнесены к характерному размеру течения или обтекаемого тела L, скорости молекул—■ к характерной скорости U. Как будет показано ниже, в общем случае в одной и той же точке х отношение U к Q — характерной относительной скорости молекул—для различных групп молекул может иметь различный порядок. Поэтому течение в общем случае нельзя характеризовать одним параметром или одним числом Кнудсена. Однако в этом параграфе для простоты будем считать, что рассматриваемое течение может быть охарактеризовано одним параметром с или, другими словами, будем считать, что все молекулы имеют в среднем одинаковую длину свободного пробега А..

J) Rotte D. Е., Leew J. Н., AIAA Journal 1, № 1 (1963). См. также Chambre D. L., Schaaf S. A., JASS 15, № 12 (1948); Ивановский А. И., Труды Центральной аэрологической обсерватории, вып. 56 (1984); Whang J. С., AIAA Journal 1, № 8 (1963); Townsend S. J., Patterson G. N,, Sinclair S. R. M., Rarefied Gas Dynamics, Forth Symp,, Acad. Press, 1965. В двух последних работах рассмотрены конические насадки. Свободномолекулярное течение в насадке, установленном под углом атаки к потоку, рассмотрено в работе: Н u g n е s Р. С,, L е е w J. Н., Rarefied Gas Dynamics, Forth Symp., Acad. Press. 1965.

Решение уравнения (5.1) естественно отыскивать либо в виде ряда по е, либо методом последовательных приближений, приняв за исходное решение для свободномолекулярного течения (е—>0 или Кп ->оо).

Представим функцию / в виде ряда (см. § 3.6):

/ (X, 6) = /(0) (х, 9 + c/d) (^ I) + . ..(5.2)

Подставляя это разложение в уравнение (5.1) и приравнивая члены при равных степенях t, получим

==/(D),

(5.3) Первое из этих уравнений есть уже знакомое нам уравнение для свободномолекулярных течений. Таким образом, решение нелинейного интегро-дифференциального уравнения Больцмана сведено к решению рекуррентной системы линейных дифференциальных уравнений.

Легко видеть, что к системе уравнений, эквивалентной (5.3), приводит и метод последовательных приближений, если за первое приближение взять свободномолекулярное решение и для получения каждого последующего приближения подставлять предыдущее решение в правую часть уравнения Больцмана.

Действительно, обозначим через F^ N-e приближение функции распределения. Пусть F®— свободномолекулярное решение задачи. Тогда

ар®ар® , ,

= FW>*

(5.4)

Сравнивая уравнения (5.3) и (5.4), легко найдем, что с точностью до величин более высокого порядка

р(о)_ yto). p(i) = y(O)_j„£y(l)j р® — у«й _|_£/(1) -|- £2/(2) _|_ ...

Метод последовательных приближений можно несколько видоизменить, применив его к одной из интегральных форм уравнения Больцмана.

Запишем уравнение Больцмана в виде (ср. формулу (7.1) главы II)

^=£J^6[J,(^ ^-f(x, ^W, I)].(5.5)

Здесь дифференцирование ведется вдоль траектории молекул со скоростью |. Перепишем это уравнение в интегральных формах (ср.

(7.4) и (7.5) главы II):

/(^2- B)=/(-^p ^“b'g’j 1Л СВ 5) /(Т- §) ^2 (t- ^)] dT, (5.6)

5

/№• D^/C^p 6) exp |/№• D^/C^p 6) exp |

/№• D^/C^p 6) exp |

/№• D^/C^p 6) exp |

^(т, g) exp^(т, g) exp

^(т, g) exp

^(т, g) exp

(5.7)

где x^— любая точка на прямой, проходящей через точку Xj в направлении вектора |, а /, т и s координаты, отсчитываемые вдоль этой прямой.

Последовательные приближения строятся, как и выше, путем подстановки предыдущего приближения в правую часть уравнения. При этом имеется известный произвол в выборе функции /(х^ g). Можно в каждом приближении при вычислении функции / (х2, I) интегрировать от границ области, т. е. точки хх выбирать принадлежащими границе. Можно однако идти и более мелкими шагами, выбирая, например, Xj—х2— ^А^, где А/— некоторый временной интервал. Чем меньше интервал Nt, тем большее число приближений необходимо для получения искомого решения. В то же время можно ожидать, что при уменьшении Nt процесс будет сходиться в тех случаях, когда при ббльших Nt или при выборе хг на границе процесс не сходится.

Хотя характер сходимости ни для одной из упомянутых вычислительных схем не выяснен, тем не менее можно думать, что для расчета течений в конечной области с характерным размером порядка L все они примерно эквивалентны1).

Однако легко показать, что для бесконечной области схема последовательных приближений, основанная на уравнениях (5.3), (5.4) и (5.6), приводит к появлению секулярных членов.

Рассмотрим обтекание тела с характерным размером L безграничным однородным равновесным потоком с характерной длиной пробега к^> L. Предположим для определенности, что молекулы отражаются от поверхности тела диффузно. В нулевом (свободно - молекулярном) приближении функция распределения молекул в произвольной точке течения отлична от функции распределения набегающего потока лишь для молекул, приходящих от тела (внутри

В Мы уже пользовались подобными схемами при рассмотрении течений Куэтта в § 4.2.

телесного угла Q, (рис. 67). Поэтому интеграл столкновений J(x, £) убывает при удалении от тела пропорционально й~1/г2 для всех скоростей |, лежащих вне й. Вдоль же траекторий, идущих от тела, интеграл столкновений не убывает. Поэтому функция распределения первого приближения F^ или /(1> неограниченно растет при удалении от тела вдоль этих траекторий.

££Рис. 67.Рис. 67.По существу, этого результата следовало ожидать, коль скоро мы приняли, что решение уравнения (5.1) дается рядом (5.2), в котором функции /<v) зависят лишь от переменной x = X*)L и не зависят от е1). В действительности в функции f№ переменная х может входить в комбинациях х = хо, ех = х1, £2х = х2 и т. д. Поэтому вместо (5.2) в общем случае следует искать решение в виде (см. §§ 2.3 и 3.7)

£

£

Рис. 67.

Рис. 67.

/ (х, tx, Ас, .. ., |, е) =

— / (-^О’ -^Р Х2^> £) =

—/(0> C^O- X], х2, .... §)-]-

_|_ eyW (х0, X], х2, ..., ^) -ф- . .. (5.2а)

Тогда для производных имеем

«У =. «У , с У , с2 У дх дх0 ' дХ) ' дх2 "

Подставляя это выражение для производных и ряд (5.2а) в уравнение (5.1) и приравнивая коэффициенты при равных степенях е, получим вместо уравнений (5.3)

” дха dxt дх2 J J ’

Легко видеть, что х, — сх = ex*]L — х*/к, т. е. координаты X] — это координаты ^-масштаба. Из второго уравнения (5.3а) видно, что /Ч) не будет расти безгранично при Хэ - >оо, если в Х-масштабе функция /(0) удовлетворяет уравнению

т. е. опять уравнению Больцмана. Устремляя теперь в этом уравнении Xj к бесконечности, мы видим, что функция /(0) (х2) в Х/е-мас-

’) Здесь х*— размерные координаты.

штабе удовлетворяет уравнению

/(/«», /(о)) = о.

Из третьего уравнения (5.3а) следует, что /(1) в этом масштабе удовлетворяет уравнению

Легко видеть, что последние два уравнения принадлежат рекуррентной системе интегральных уравнений для функций JW в теории Гильберта — Энскога). Следовательно, на расстояниях, много больших X, т. е. при x* = O(X(^, решение уравнения Больцмана стремится к решению Гильберта, и если ограничиться двумя членами ряда (5.3а), то течение может быть описано уравнениями Навье — Стокса (см. § 3.8). Вблизи тела, т. е, в /.-масштабе, решение уравнения Больцмана при малых е также упрощается, так как сводится к решению рекуррентной системы дифференциальных уравнений: (5.3а). Однако в промежуточной области, т. е. на расстояниях порядка X от тела, течение описывается интегро-дифференциальными уравнениями (уравнением Больцмана для /10) и линейными уравнениями для /(v) при v>l), и, следовательно, исследование течения в целом не упрощается.

Ограничим нашу задачу получением лишь первой поправки к свободномолекулярному значению для функции распределения на теле.

Рассмотрим модельное уравнение, которое запишем в тех же безразмерных координатах, что и уравнения (5.1) и (5.2):

(5-8)

Запишем решение этого уравнения в виде

/fe ^^/(Х!, g)exp/fe ^^/(Х!, g)exp+ т «/о(т- Юехр(+ т «/о(т- Юехр((5.9)(5.9)

/fe ^^/(Х!, g)exp

/fe ^^/(Х!, g)exp

+ т «/о(т- Юехр(

+ т «/о(т- Юехр(

(5.9)

(5.9)

Пусть требуется, например, найти функцию распределения в некоторой точке х2~хш на теле.

Рассмотрим траекторию, приходящую в точку х2 из бесконечности. Выберем на этой траектории точку х,, расположенную на достаточно большом расстоянии R от тела. Легко видеть, что на

(5.10)(5.10)

(5.10)

(5.10)

больших расстояниях от тела гидродинамические величины п, ut и Т отличаются от значений на бесконечности на величины порядка 1/г2. Следовательно, на больших расстояниях

। ЧТ (I) I с Ч>2 (I)

Будем считать, что при г > R справедливо разложение (5.10) и аналогичные разложения для гидродинамических величин. В то же время, так как мы интересуемся асимптотическим решением при б->0, всегда можно выбрать X столь большим, что R<^X.

Функция распределения в точке х2 определяется выражением (5.9), в котором интегрирование ведется из бесконечности. При этом первый член в (5.9), очевидно, обращается в нуль, и мы имеем

где предел 1^ указывает на интегрирование из бесконечности и индексом ту отмечены величины, относящиеся к точке х2 на поверхности тела.

Перепишем (5.11) в виде

J(xw, Ю=|] »/=о©ехр{ —|

Разобьем последний интеграл на три интеграла:

f j ^ (7о —-/со) ехР { " "j- J nds '"'^

= | J [ \dT /| J [ W/-|- J [ \dx, (5.13)

где для сокращения письма стоящее слева подынтегральное выражение заменено квадратными скобками, Ц — значение переменной т,

соответствующее точке пересечения прямой интегрирования со сферой r=R, и 1К — значение т, соответствующее пересечению со сферой радиуса г — 1/е, т. е. со сферой с радиусом, равным длине пробега X.

Точно так же легко видеть, что второй интеграл равенТочно так же легко видеть, что второй интеграл равенВ первом и втором интегралах с точностью до величин порядка 1/г2 можно заменить интегрирование по т интегрированием по г. Так как при г > R разность /0— /ю можно представить в виде (5.10), то легко получаем, что первый интеграл имеет порядок е2. Действительно,

Точно так же легко видеть, что второй интеграл равен

Точно так же легко видеть, что второй интеграл равен

exp 1 g ndy } dx =

c w 5

, П (7?)(E, RA I / 6 \ ,, 9 . x zr- л r-x

= £—- + O^jH-O(62lne). (5.15)

Заметим, что замена стоящей под интегралом экспоненты единицей вносит погрешность порядка е2.

В последнем интеграле (5.13), очевидно, экспоненту также можно заменить с той же точностью на единицу, так как интегрирование ведется на расстояниях порядка единицы. Таким образом, функцию распределения на теле можно представить в виде

HXW, ^/UlHyj «(/o-yj^+O^lne).(5.16)

Следовательно, функция распределения на теле f (xw, |) отличается от функции распределения свободномолекулярного течения /ю(|) на величину порядка е. Совершенно так же можно показать, что в любой точке х2 внутри сферы радиуса R

(5-17)(5-17)(5.18)(5.18)/№■ У = /со®+°(£) при g вне й

(5-17)

(5-17)

(5.18)

(5.18)

/№, ^ = ^'4^4»- §)+О(б) при В внутри й.

Здесь /<°>—свободномолекулярное значение функции распределения отраженных молекул на теле.

Аналогично вне сферы радиуса /?, учитывая (5.10), имеем:

/ (Х2, §) = ©© +О ^j при I вне 2(5.19)

И

© 6 "^j+O I ©). (5.20)

при § внутри й. Экспонента в первом члене учитывает затухание потока отраженных молекул на набегающих.

Для нахождения функции распределения на теле по формуле (5.16) необходимо вычислить функцию /0(§). Используя оценки (5.17)—(5.20), легко найдем, что, отбрасывая члены порядка е21пс, функцию /0 можно заменить ос свободномолекулярным значением /о*1 без учета затухания отраженного и набегающего потоков. Поскольку формула (5.16) учитывает столкновения молекул лишь внутри сферы с радиусом, равным длине пробега, то вероятность вторых столкновений мала, и вносимые ими поправки имеют порядок е2.

Аналогичный анализ порядков величин легко провести и для плоских тел. Очевидно, что гидродинамические величины в плоском случае убывают, как 1/г, а следовательно, и /0— J^~(t'li-. В соответствии с этой оценкой рассуждения, аналогичные приведенным выше, показывают, что функция распределения на теле содержит поправочные члены как порядка еше, так и порядка 6z). Первая поправка может быть, как и в пространственном случае, получена с учетом лишь первых столкновений внутри сферы с радиусом, равным длине пробега. Однако для получения поправки порядка г необходимо учитывать как затухание, отраженных молекул, так и столкновения вне сферы радиуса г = X, т. е. необходимо учитывать многократные столкновения. '

Перенося результаты, полученные для модельного уравнения, на уравнение Больцмана, можно утверждать, что в трехмерном случае первая поправка к функции распределения на теле порядка с может быть получена как с помощью уравнения (5.6), так и с помощью уравнения (5.7) путем подстановки свободномолекулярной функции распределения без учета затухания в их правую часть. В то же время первая итерация ст свободномолекулярного течения нс дает правильной поправки порядка 6 на больших расстояниях от тела. Сходимость неравномерна по пространству. При фиксированном числе Кнудсена, по-видимому, последующие итерации исправляют решение и на больших расстояниях. Однако интервал чисел Кнудсена, для которого итерационный процесс сходится, еще не выяснен.

') Ирошников Р. С„ Инж. ж. 1, № 3 (1961).

В плоском же случае для получения решения последовательными приближениями с учетом членов порядка 6 можно воспользоваться лишь уравнением (5.7), справедливым, строго говоря, только для молекул с конечным радиусом взаимодействия. Схему расчета в этом случае можно представить следующим образом •). Рассчитывается функция распределения набегающих молекул /;0) с учетом затенения телом. Очевидно,

для траекторий вне Q и

внутри Q. По /ЧЧ^) на теле и закону отражения находится функция распределения отраженных молекул на теле /^(Х^, й). Далее по формуле (5.7) находится функция распределения отраженных молекул /(°>(х, Ю. При этом в (5.7) интегралы 7] и 72 вычисляются по функции /Фд a f (Xv §) полагается равной /^(х^,, §). После этого вновь по формуле (5.7) рассчитывается функция распределения на теле. Так как интегрирование ведется из бесконечности, то первый член выпадает. Интегралы 7, и 72 рассчитываются по функции J^ вне Q и функции JW внутри Q.

Чаще всего пол теорией первых столкновений понимают теорию, в которой учитываются лишь столкновения между набегающими и отраженными молекулами. Выше показано, что в пространственном случае учет лишь первых столкновений достаточен для получения поправки порядка с па теле. Однако в общем случае необходимо учитывать как столкновения отраженных молекул с набегающими, так и столкновения молекул обеих групп между собой. По мере увеличения чисел Маха набегающего потока роль двух последних видов столкновений уменьшается. В предельном случае гипертермического течения (М=со) столкновения набегающих молекул отсутствуют. Если при этом скорости отраженных молекул много меньше скорости набегающих молекул, то импульс и энергия, приносимые на тело в результате столкновения отраженных молекул между собой, малы по сравнению с импульсом и энергией, приносимыми па тело в результате столкновения отраженных молекул с набегающими.

Получение первой поправки к функции распределения как с помощью формулы (5.6), так и с помощью формулы (5.7) сводится к вычислению многомерных интегралов с громоздким ядром. Расчеты упрощаются для гипертермического набегающего потока, так как сокращается кратность интегралов, а также существенно упрощается расчет столкновений.

') См, например, работу Виллиса: Willis D. R, Rarefied Gas Dynamics, First Symp., Pergamon Press, 1960.

Вычисление■многократных интегралов удобно выполнять методом Монте-Карло. Однако проще рассчитывать одностолкновительные течения непосредственно методом Монте-Карло, не выписывая интегралов. -Как и выше, рассчитывается функция /^(х, |). Зная /^0,'(^, ’^ на теле, по закону отражения молекул находим функцию ‘J^ (xw, g). Из равномерно распределенных по поверхности случайных чисел выбираем два числа, определяющих точку xw поверхности. Далее, выбирая три случайных числа с плотностью вероятности, соответствующей /^(х^, §), выбираем некоторую отраженную молекулу, т. е. определяем ее скорость и направление. Разыгрывая далее случайные, величины, соответствующие вероятностям свободного пробега отраженной молекулы и параметрам столкновения, рассчитываем результат столкновения отраженной и набегающей молекул. Если после столкновения одна или обе молекулы попадают в какие- либо Ячейки на поверхности тела, то в этих ячейках запоминаются приносимые ими импульс и энергия. После этого выбирается новая отраженная -молекула, и расчет повторяется. Здесь, как и выше, расчет существенно упрощается для гипертермического течения. Примеры расчетов методом Монте-Карло приведены в следующем параграфе.

Гиперзвуковые течения, близкие к свободномолекулярным. Молекулярный пограничный слой

- В предыдущем параграфе предполагалось, что течение может быть, охарактеризовано одной длиной пробега X. При обтекании тела при умеренных числа Маха (М -—■ 1) в качестве такой единственной характерной длины пробега может быть выбрана длина пробега молекул на бесконечности (см. § 2.11).

'Для того чтобы течение было свободномолекулярным при умеренных числах Маха, достаточно потребовать, чтобы число Кнудсена X jL"^> 1 *). Как показывают эксперименты, в некоторых случаях свободномолекулярный режим достигается при Кп~2-щЗ.

Как будет показано ниже, при гиперзвуковом обтекании нельзя указать одного критерия, определяющего область свободномолекулярных течений или близких к ним. Эти критерии оказываются зависящими от формы тела и законов взаимодействия молекул между собой и с поверхностью тела (коэффициентов аккомодации).

Рассмотрим особенности гиперзвуковых течений ). Для получения качественных результатов ограничимся рассмотрением в рамках эле

*) Tsien Н. S., J. Aeronaut. Sci. 13, № 12 (1946), русский перевод в сб. «Газовая динамика», ИЛ, 1950.

ментарной кинетической теории (см. § 1.5). Пусть тело обтекается невозмущенным равновесным гиперзвуковым потоком со скоростью V, плотностью п^ и температурой Тю. Длина пробега молекул в системе координат, связанной с газом, равна

сс(6.1)(6.1)

с

с

(6.1)

(6.1)

где с — средняя тепловая скорость, g—средняя относительная скорость и о,о—-сечение столкновения молекул. Так как при максвелловском распределении скорости с и g одного порядка, то (6.1) можно переписать в виде

Если движение газа рассматривается в неподвижной системе координат, например в системе координат, связанной с соплом или обтекаемым телом, то путь, проходимый молекулами между столкновениями вдоль потока, очевидно, равен

Xn V ~ М^ при МД> 1.(6.3)

Если L — характерный размер течения, то

^~^М~КпМ.(6.4)

Следовательно, в гиперзвуковом потоке молекулы проходят между столкновениями вдоль потока путь в М раз больший, чем в поперечном направлении. Благодаря этой анизотропии наличие сравнительно небольших продольных градиентов делает несправедливыми уравнения сплошной среды ), в то время как последние остаются справедливыми при наличии больших поперечных градиентов (например, в гиперзвуковом пограничном слое).

В определение длины пробега входит сечение столкновения молекул. Как мы видели в первой главе, в общем случае эффективное сечение столкновения зависит от относительной скорости молекул. Для оценки изменения сечения столкновений используем связь длины пробега с вязкостью:

J.I — тпсХ^ — раХт ~ р ~.(6.5)

Принимая закон Сазерленда изменения вязкости от температуры, получим

о = д(1+^’),(6.6)

где S^-постоянная Сезерленда и А— некоторая постоянная. Постоянная S для таких газов, как азот, кислород, гелий и водород, лежит в диапазоне 80140.

Если о^— сечение столкновения при температуре Тт и относительной скорости с— а=о~У'7’со, т0 ПРИ относительной скорости V сечение столкновения будет равно

^ аю у у । 5 1 (6-7) где Т— T^^a^—T^W.

При нормальных условиях в воздухе относительная скорость молекул порядка 5- 104 см]сек (так как Тт — 300° К)- При увеличении относительной скорости молекул сечение максимально может измениться на одну треть (при 7—>со). Сравнительно слабое изменение сечения столкновения обусловлено тем, что уже при комнатной температуре относительная скорость молекул оказывается достаточно большой, так что взаимодействие молекул определяется крутым участком потенциальной кривой. Если же температура Тш достаточно низка, так что столкновения молекул определяются дальними пологими участками потенциальной кривой, то при увеличении относительной скорости молекул эффективное сечение может измениться во много раз. С таким явлением можно встретиться, например, в гиперзвуковых аэродинамических трубах, работающих на гелии. Температура потока в рабочей части трубы может равняться 5—10°К, в то время как скорость набегающих молекул относительно молекул, отраженных от помещенного в поток тела, может соответствовать температуре Т’^ЗООЖ-

Ниже для иллюстрации влияния изменения сечения столкновения в зависимости от относительной скорости рассмотрим два предельных случая: «жестких» молекул с О —const и «мягких» молекул с с, обратно пропорциональным относительной скорости молекул. Последний случай соответствует максвелловскому газу.

Отражение молекул будем считать диффузным с максвелловским распределением. Средняя скорость отраженных молекул V2 определяется температурой стенки Т^ и коэффициентом аккомодации ае.

При рассмотрении обтекания тела необходимо рассматривать несколько характерных длин пробега; длину пробега набегающего потока в поле отраженных от тела молекул К№ длину пробега отраженных молекул на набегающих молекулах Х21, длину пробега Отраженных молекул на отраженных Х№ а также введенные выше длины пробега Хи и Хю. Заметим, что в общем случае ^2 + A^i-

Рассмотрим два характерных случая: обтекание гиперзвуковым потоком пластинки, перпендикулярной и параллельной набегающему потоку. Ниже будет также кратко рассмотрено обтекание конуса и клина.

Пластинка, перпендикулярная потоку. В этом случае наличие тепловых скоростей у молекул набегающего потока для качественного рассмотрения несущественно (так как скорость звука а <^ V). Поэтому можно считать, что на тело налетает моноскоростной пучок молекул со скоростью V. Длина пробега молекул До в этом случае характеризует лишь плотность молекул набегающего потока.

Определяющим безразмерным параметром течения является отношение Мг — ^/^2- так как скорость У2 определяет плотность отраженных молекул л2' Из условия непротекания имеем

М?. (б.8)

Если температура тела Тта порядка Тт («холодное» тело), как это бывает, например, при полете па больших высотах, и коэффициент аккомодации ае—1, то У2—аю и М2^> 1- Если же коэффициент аккомодации мал (практически, скажем, меньше 0,5), то скорость отраженных молекул одного порядка с V, т. е. Мг— 1- Если тело «горячее», т. е. его температура порядка температуры торможения, то М2~ 1 и при ае— 1. Заметим, что гиперзвуковой режим Мг^> может быть реализован и при М — 1- Это может быть достигнуто, например, сильным охлаждением тела при ае—1.

Пусть М2^>1, a=aoo = const и М2=М1). Из (6.8) следует, что га2 — ^-о^г^’ п=. т- е- 0к0л0 тела образуется «подушка» из отраженных молекул. Так как в этом случае относительные скорости У,,— 172! — 17, а V22—^2, то для характерных длин пробега имеем оценки:

12 n^V ' М2 ’21n,J3.„V ' М2 ’22 Ла^ооПа М2 ’

(6.9) т. е. все длины пробега одного порядка.

Для того чтобы течение было свободномолекулярным или близким к нему, необходимо, чтобы

^12^21LL^12^21LLХ22 Кп~ М2Х22 Кп~ М2(6.10)(6.10)

^12^21

LL

^12^21

LL

Х22 Кп~ М2

Х22 Кп~ М2

(6.10)

(6.10)

где L — характерный размер пластинки.

Таким образом, в рассматриваемом течении характерным критерием разреженности является Кп/М2, а не Кп-

В свободномолекулярном потоке число молекул, падающих на пластинку, приносимый ими импульс и энергия соответственно равны:

N^ — n^VD, Py~mN0V, Q = mN0V2. (6.11)

Молекула, идущая к телу, испытывает .— n^p^L столкновений (по порядку величины). Поэтому число молекул, импульс и энергия, теряемые из-за столкновений, по сравнению со свободномолекулярным потоком соответственно равны:

N_~N0ti2oa3L~N0^_, P_~N_inV, Q~N_mV2. (G.12)

Наряду с этим на пластинку в результате столкновений дополнительно попадают молекулы, которые в свободномолекулярном потоке пролетали мимо пластинки. Легко видеть, что число молекул N+, импульс Р и энергия Q+, дополнительно приходящие на поверхность, имеют тот же порядок, что и М_, Р_ и Q_.

Действительно, выделим около тела полусферическую область с радиусом Рис центром в середине пластинки. Внутри этой области плотность отраженных молекул грубо можно считать по порядку величины равной п2. При расстояниях от центра пластинки г, больших L, плотность отраженных молекул убывает, как ^{Lirf. Внутри полусферы происходит Vnoan2oLa столкновений молекул набегающего потока с молекулами, отраженными от пластинки. Так как для точек внутри сферы телесный угол, под которым видна пла

стинка, порядка единицы, то число молекул, падающих на пластинку после столкновений, будет также порядка Vti^n^cL3, а приносимые ими импульс и энергия — соответственно mti^n^LSV2 и тп^п^рзу3, В шаровом слое толщиной dr вне сферы, очевидно, происходит п«Уn2Wг)2 o^r2 dr столкновений. Так как число молекул, падающих на пластинку, после столкновения пропорционально телесному углу.

под которым видна пластинка, то число таких частиц равно n^V^^PIr)4 o^r2 dr. Интегрируя от Р до оо, очевидно, получим, что из пространства вне сферы радиусом -~ Р приходит на пластинку после столкновений молекул по порядку величины столько же, что и из сферы радиусом Р. Сравнивая с (6.12), видим, что их число

и приносимые ими импульс и энергия того же порядка, что и теряемые вследствие Столкновений.

Изменение приносимых на пластинку энергии и импульса, обусло

вленное столкновением отраженных молекул между собой, мало

ввиду малой их скорости.

Поэтому

(6.13)(6.14)(6.13)(6.14)г о Ро-Р+Р+ г , ЛМ

(6.13)

(6.14)

(6.13)

(6.14)

Кп

о Со— Q- Q+ „ । ЛМ2^V4?90+^.

где индекс 0 относится к свободномолекулярному течению, А — константы.

Из геометрии течения видно, что большая часть столкновений происходит вблизи тела и ббльшая часть столкнувшихся молекул

после столкновения попадает на пластинку, принося те же импульс и энергию, что и без столкновения. Поэтому для пластинки, перпендикулярной потоку (и вообще для тупых тел), коэффициент Л должен быть мал. Расчеты показывают, что он отрицателен, т. е. сопротивление и тепловой поток меньше, чем в свободпомолекуляр- ном потоке.

На рис. 68 приведены результаты расчета сопротивления в рамках теории первых столкновений для круглой ') и прямоугольных ) пластинок, а также для сферы ) и конуса ). Расчеты приведены для газа из твердых сфер в предположении полностью диффузного отражения.

На графике представлена величина

Г Г Q ®2

КП™ ^on^R. ’ ' л / о—-л^2— сечение столкновения молекулы, 72 — температура отраженных молекул и Л — площадь миделя; 9 — угол полураствора конуса; отношение сторон прямоуголь

ника 1 :5. Как и ожидалось, отличие от свободномолекулярного случая невелико.■

Рассмотрим теперь то же течение, но предположим, -'что эффективное сечение столкновений меняется обратно пропорционально относительной скорости сталкивающихся молекул. Как и выше,

°2 '°12°21 ~ °оо'

Тогда

12 л2а2У “21 л^СгУn2aaV2 М2

Легко видеть, что если меньшая из длин пробега л.'';,,- т. е. если Кп/М» 1, то течение может быть рассмотрено точно так же, как и в случае. 1.1. Однако в рассматриваемом случае число столкновений отраженных молекул между собой в М раз больше числа столкновений с молекулами набегающего потока. Поэтому приносимый на пластинку импульс в результате столкновений отраженных молекул между собой имеет тог же порядок, что и импульс, приносимый в результате столкновений отраженных и набегающих молекул. В то же время энергия, приносимая в результате отраженно-отраженных столкновений, в М раз меньше энергии, приносимой в результате столкновений отраженных молекул с набегающими.

С помощью оценок, аналогичных проведенным выше в случае 1.1, имеем:

^ = ^0+^. 7 = ^ + ^,(Кп»М).(6.16)

Если Xm^>L, но ^22 <2 L, то течение не является близким к свободномолекулярному, так как отраженные, молекулы на расстояниях порядка L испытывают много столкновений. Однако движение молекул набегающего потока в поле отраженных молекул может рассматриваться как близкое к свободномолекулярному.

Действительно, рассмотрим предельный случай 'K,22<^,L или 1 <К <^Кп<С(М. В этом случае на малом расстоянии от стенки, порядка нескольких длин пробега Z22, поток отраженных молекул можно уже рассматривать как истечение сплошной среды в вакуум. При столкновении отраженной молекулы с молекулой набегающего потока она приобретает скорость порядка V, т. е. скорость ее возрастает примерно в М раз. Следовательно, в М раз возрастает и ее длина пробега на отраженных молекулах, г. е. она становится порядка Х23М~,.(оа. При таком столкновении отраженная молекула как бы перерождаете я в молекулу другого сорта с в М раз меньшим сечением столкновения. Молекула набегающего потока как бы вырывает молекулу из сплошно-среднего потока отраженных молекул, после чего обе молекулы уже обладают большой длиной пробега Хю"^> L. Следовательно, если течение отраженных молекул известно, то взаимодействие отраженных и набегающих потоков может быть рассчитано как. близкое к свободиомолскулярному течению. Основную трудность

представляет расчет потока отраженных молекул. Расчет такого течения представляет и самостоятельный интерес1).

Пусть теперь М2-—Ни о = const = от. Как уже отмечалось, такое течение может иметь место при cte^) 1 и Т^.— Т^ или при сильно нагретой стенке, когда ее температура порядка температуры торможения. Последний случай часто встречается при исследованиях, в аэродинамических трубах.

Легко видеть, что в рассматриваемом случае «2 — пю и

^12 ~ ^21^22 '—’4о'(6.17)

Течение аналогично рассмотренному в случае 1.1, с той лишь разницей, что теперь течение свободномолекулярно или близко к нему при Kn)^ 1, а не при Kn/M 1.

Подобно случаю 1.1 получим:

7==7о + _±(6.18)

при Кп 1 •

.1.4. Если М2— 1 ио меняется обратно пропорционально скорости, то о2— о^М. В этом случае о22 также равно о2. Так как п^ — яю, и меем

^11~^Г2414гМ^.(6.19)

Поэтому при М Кп ^> 1

^ = ^o+m4f--(6.20)

Отметим, что это течение при достаточно больших числах Маха может реализоваться и при ^<^7- или Кп <4 1, т. е. в плотной среде. При М Кп 4> I характер течения будет близким к свободномолекулярному, даже если набегающий поток рассматривать как сплошную среду.

Течение в рассматриваемом случае можно представить следующим образом. Представим себе, что пластинка поглощает все падающие на нее молекулы, а затем испускает молекулы нового сорта, обладающие в М раз меньшим сечением, а следовательно, и в М раз большей длиной пробега. Так как характерная длина пробега для взаимодействия новых молекул между собой и с молекулами набегающего потока теперь порядка X^M^-L, то столкновения редки и течение близко к свободномолекулярному. Отраженные молекулы, сталкиваясь с молекулами набегающего потока, как бы выхватцвают из этого потока молекулы, превращая их в молекулы нового сорта. Выбивание из набегающего потока молекул вызывает возмущения, распространяющиеся в набегающем потоке со скоростью звука аш,

’) Подобное течение возникает, например, при испарении в вакууме. См. также конец § 4.2.

Однако эти возмущения за время пролета газом расстояния порядка L распространяются на расстояние ^-/М ^^ ^v Поэтому газодинамической перестройкой набегающего потока можно пренебречь. Это особенно ясно в предельном случае, достаточно плотного пучка параллельно летящих молекул.

Интересно отметить, что в зависимости от условий критерий подобия меняется в М2 раз от Кп/М в случае 1.1 до М Кп в случае 1.4. Если в первом случае при сколь угодно малой плотности набегающего потока неограниченно увеличивать его скорость, то течение стремится к течению сплошной среды. Во втором же случае при сколь угодно большой плотности течение стремится к свободномолекулярному при неограниченном увеличении скорости.

В соответствии с этим смещается и граница свободномолекулярных течений. Очевидно, например, что в случае 1.1, т. е. при ае-—• 1, свободномолекулярное течение реализуется при гораздо меньшей плотности (на гораздо большей высоте), чем в случае 1.3, т. е. при

Пластинка, параллельная потоку. В этом случае молекулы попадают на пластинку либо вследствие теплового движения, либо в результате столкновений. В свободномолекулярном потоке на пластинку падает No — I^V^ молекул, где скорость звука а^ характеризует скорость теплового движения.

Рассмотрим те же четыре случая, что и для пластинки, перпендикулярной потоку.

Пусть M^M2Z^>1 и ст = const = о^. В этом случае, из условия непротекания следует, что п^ — п^, так как 1/2~ а^. Для характерных длин пробега имеем Оценки:

«соОсоР “’ 21 «соОоо^ М ’ 22 Вр.Д7,

(6.21) ■Следовательно, при гиперзвуковом обтекании пластинки наименьшей длиной пробега обладают отраженные молекулы на молекулах набегающего потока.

Пусть Х^"^> L, т. е. Кп^М^>1. Каждая молекула набегающего потока испытывает вблизи тела mpiL столкновений или в рассматриваемом случае n^oL столкновений. Поэтому из NQ — L^^co молекул набегающего потока на тело не попадает

N — N п aL — ri1 a aL3 —— О со оо оо К П

молекул. Всего около тела происходит n^VaL3 столкновений, и, следовательно, число молекул, падающих на пластинку в результате ■столкновений,

N+~nLVaL3~

r ° Kn

т. е. в результате столкновений па пластинку падает в М раз больше молекул, чем теряется из-за столкновений. Так как в среднем молекулы после столкновения имеют скорость порядка V, то импульс и энергия, приносимые в результате столкновении на установленную параллельно гиперзвуковому потоку пластинку, больше теряемых, т. е. сопротивление пластинки и тепловой поток больше, чем в свободномолекулярном потоке1.

Сх = Схй^^~сД\4-Аг-^у Cz0~A. (6.22)

Особенно сильно возрастает нормальный импульс (давление). В свободномолекулярном потоке каждая молекула приносит нормальный импульс порядка та^, а каждая молекула, попавшая на пластинку после столкновения, приносит импульс порядка mV, т. е. в М раз больший. В свободномолекулярном потоке р = р^. В рассматриваемом же случае

(6.23)

Течение около пластинки обладает интересным свойством; оно остается близким к свободномолекулярному и в том случае, когда 121 порядка или даже меньше L. Дело в том, что при столкновении отраженной молекулы с молекулой набегающего потока первая приобретает скорость порядка V, а следовательно, ее длина пробега возрастает в М раз, так что второе столкновение она может испытать лишь на расстоянии 1^, много большем L.

Очевидно, что чем меньше Х2], тем большее число отраженных молекул будет испытывать столкновения на малых расстояниях от тела и, следовательно, тем большее их число будет возвращаться на пластинку. Поэтому число падающих на пластинку молекул N^ будет все больше отличаться от No, а следовательно, будет возрастать и плотность отраженных молекул пг.

Рассмотрим предельный случай Х21 <^ L или 1 <^Х Kn <CZ М. В этом случае все отраженные молекулы испытают столкновения на расстояниях порядка Х2Г—• 1^/М <С L. Так как после столкновения длина пробега молекул имеет порядок Х^, то внутри слоя толщиной д — XJM молекулы могут испытать лишь по одному столкновению.

В единицу времени пластинку покидает Nw молекул. Все эти молекулы испытывают столкновения внутри слоя с Nm молекулами набегающего потока. Так как скорость отраженных молекул порядка тепловой скорости e^^^V, то грубо можно считать, что при столкновении налетающая молекула не имеет тепловой скорости, а отраженная стоит. Тогда в среднем при столкновении половина молекул пойдет к пластинке, а половина—к верхней грани слоя. Таким образом, на стенку возвращаются почти N^ молекул. Утечка молекул

из слоя может происходить только через его торцы. Число таких молекул пропорционально отношению площади торцов слоя к площади пластинки, т. е. равно

N -Лг —.™ L ™ м

С другой стороны, в слой попадает No — N_ -|- Nn частиц, где. NCT— число частиц, попадающих в слой в результате столкновений вне слоя, и N_ — число молекул, выбывающих из потока No в результате столкновений. Как отмечалось выше, из слоя через его внешнюю грань выходит ~ Мта молекул со скоростью V. Поэтому плотность этих молекул «2— ^^ILW. Следовательно, число молекул, попадающих в слой в результате столкновений с этими молекулами, будет порядка

Vn^L2п=УпМ3 —.

=° 2 Кп Кп

Убыль молекул N_ складывается из убыли из-за столкновений вне слоя и внутри слоя. Первая равна N0n2aL — -^/М Кп- Вторая же определяется числом столкновений молекул набегающего потока в слое n'oL, где n^^N^a^L2 — плотность отраженных молекул в слое. Для того чтобы течение было близким к свободномолекулярному, необходимо наложить условие, чтобы

^oZ-CL(6.24)

Поэтому

N^N/^L ~ ^ C2V0.(6.25)

Учитывая (6.25), условие баланса молекул в слое можно записать в виде

NO~NW^-.(6.26)

Следовательно,

^w' ^о~к)7 и У ^оо-кД'(6.27/

Условие (6.24) теперь можно записать в виде

Кп25Кп25КпКп)> 1-)> 1-(6.28)(6.28)

Кп25

Кп25

Кп

Кп

)> 1-

)> 1-

(6.28)

(6.28)

Условия (6.28) есть условия существования слоя. Очевидно, что эти условия могут быть выполнены лишь при очень больших числах Кнудсена и Маха. Таким образом, при соблюдении условий (6.28) в сильно резреженном гиперзвуковом потоке около пластинки может существовать тонкий слой толщины d^Z-Kn/M с плотностью частиц

в М/Кп раз большей, чем в набегающем потоке (рис. 69). Такой слой будем называть молекулярным пограничным слоемЛу

Подавляющее большинство отраженных от пластинки молекул

испытывает первое столкновение с набегающими молекулами внутри

М»Кп»7М»Кп»7Рис. 69.Рис. 69.слоя. После столкновения они либо возвращаются на стенку, либо уходят из слоя и испытывают второе столкновение вдали от тела (на расстояниях порядка X^y^L). Так как вклад этих далеких соударений несуществен, то молекулярный пограничный слой может быть рассчитан

М»Кп»7

М»Кп»7

Рис. 69.

Рис. 69.

в рамках теории первых столкновений, несмотря на то что одна из длин пробега (Л.21) много меньше характерного размера течения L.

Легко проверить, что сопротивление и давление при наличии слоя вновь определяются формулами (6.22) и (6.23). Однако так как в случае молекулярного слоя М 5>> Кп, то вклад, вносимый столкновениями, много больше соответствующих свободномолекулярных значений. Для режимов, промежуточных между Кп 5в> М и Кп)^ ^М^Кп, сопротивление и давление также определяются формулами (6.22) и (6.23).

Приведенное рассмотрение легко обобщается на случай, когда МзЗ^ Д н0 не равно М. Легко проверить, что в этом случае

^2 ^со ’ ^12 ^со Тя ’ ^21 ' ' Тй— ’^с^ ТЧ— •(6.2.^)

200 М 12 м2 м2м2 v 7

Соответственно вместо (6.22) и (6.23) имеем:

Сх = ^^0^1 + А -^2-^ и р = р^ ^1 -ф- Л—^-j.(6.30)

Условия существования молекулярного пограничного слоя примут вид

^Кп2»М2»Кп » 1.^Кп2»М2»Кп » 1.(6.31)(6.31)

^Кп2»М2»Кп » 1.

^Кп2»М2»Кп » 1.

(6.31)

(6.31)

Сделанные оценки хорошо согласуются с расчетами.

На рис. 70—72 приведены примеры расчета обтекания пластинки в рамках теории первых столкновений с учетом затухания плотности отраженных молекул из-за столкновений с молекулами набегающего потока. Молекулы рассматривались как твердые шары. Отражение, от стенки диффузное. Расчет проведен методом Монте-Карло2).

*) См. цитированную выше работу М. Н. Когана.

Число Кнудсена Кп^ — Ух = (оп^ху1, где х— расстояние, отсчитываемое от передней кромки пластинки.

В соответствии с приведенными оценками энергия и импульс, приносимые на пластинку в результате столкновений, тем больше.

Рис. 70.

чем больше отношение М2/Кп^- Особенно сильно возрастает давление р = Ру Обусловленное столкновениями давление в несколько раз превосходит соответствующее свободномолекулярное значение. Давление в случае молекулярного слоя возрастает в десятки раз (рис. 72). Интересно отметить, что течение около пластинки практически обладает свойством параболичности, т. е. увеличение длины

пластинки мало изменяет течение вверх по потоку. Однако следует заметить, что параметры, течения у переднего края пластинки не равны соответствующим свободномолекулярным значениям. Это указывает на то, что свойство параболичности устанавливается лишь на некотором расстоянии от передней кромки ').

Отметим также, что трение, давление и поток тепла растут по длине пластинки, в то время как по теории пограничного слоя с учетом взаимодействия с внешним потоком эти величины падают

по длине пластинки. Теория пограничного слоя является асимптотической при х —>оо. Приведенные же расчеты в известной мере (вследствие отмеченной параболичности) отражают поведение потока в малой окрестности переднего края пластинки).

По-видимому, трение, давление и теплопередача по мере возрастания х вначале возрастают, достигая некоторого максимума, а затем падают, стремясь при больших х к значениям, определяемым теорией пограничного слоя.

В соответствии с этим и сопротивление пластинки при заданном числе Маха имеет максимум при некотором числе Рейнольдса. При уменьшении числа Рейнольдса сопротивление вначале возрастает в соответствии с предсказаниями теории пограничного слоя. При

*) Для выявления процесса перехода к параболичности необходим более детальный расчет течения у носика пластинки.

некотором числе Рейнольдса оно достигает максимума и затем уменьшается до свободномолекулярного значения.

К явлению молекулярного пограничного слоя можно подойти несколько иначе. Рассмотрим обтекание пластинки потоком параллельно летящих частиц со скоростью V и плотностью пт.

Пусть этот поток падает на пластинку под малым углом 0. Пусть, Кроме того, скорость отраженных молекул V2<^V, т. е. М2^>1- В этом случае, около пластинки образуется молекулярный пограничный слой толщиной L Кп/М2, условия существования которого определяются неравенствами Кп <^ М2 и Кп2^>0М2. Эти условия могут встретиться в различного рода разгонных установках типа молекулярных лучей.

Рассмотрим теперь течение, отличающееся от только что рассмотренного лишь тем, что о обратно пропорционально относительной скорости, т. е. положим М — М2^-1 и а2—о^М-1.

Так как при этом И2 ■—■ аю и п2 п^, то

2 V м х ч (6.32) ясо°2Р ^.кРУ 22 ЯЩТсо^

Рассмотрим три случая: KnD^l, Кп~1 и Кп<^1. Если A^^-Z., т. е. Кп^> 1, то вблизи пластинки происходит пУ/СоУ^Л-1 столкновений молекул набегающего потока с отраженными, и, следовательно,

Р ~ Рт (1 А . (6.33) х М 1 МКп г Кп / х 2

Поправка к сопротивлению, обусловленная столкновением отраженных молекул между собой и потерей импульса набегающими молекулами на отраженных, имеет порядок (Кп М2)^1. Здесь сопротивление и особенно давление опять больше, чем в свободномолекулярном потоке. Если Кп У М, то следует учитывать импульс, уносимый отраженными молекулами, порядка М-2.

При Ага—L, т. е. при Kn^l, все отраженные молекулы испытывают столкновения между собой и с молекулами набегающего потока на расстояниях порядка L от пластинки. Столкновения отраженных молекул между собой не меняют порядка плотности и скорости отраженных молекул. Столкновение же отраженной молекулы с молекулой набегающего потока как бы превращает отраженную молекулу в молекулу другого сорта с в М раз большей длиной пробега, равной А^М-

Легко видеть, что в этом случае для сопротивления и давления справедливы формулы (6.33), которые при Kn^'-'l можно переписать в виде

С^^ + Л)^, р = рю(1 + ЛМ). (6.34)

В предельном случае ^^^^i, т. е. при Кп<^1, все отраженные молекулы сталкиваются с молекулами набегающего потока в тонком слое толщиной Хю. Рассуждения, аналогичные приведенным выше в случае 2.1, показывают, что в молекулярном пограничном слое Мщ, ~ Nn Кп-1, «’2 ~ п.^ Кп- т- Поэтому для характерных длин пробега з молекулярном сдое имеем:

?н-2 — ^КпМ, 4~^. ^-^.Кп.

Для того чтобы набегающий поток мало ослабевал в молекулярном слое, необходимо потребовать, чтобы Ai2^> L или Кп2М^-1. В противном случае приводимые оценки должны быть изменены.

В рассматриваемом случае вновь справедливы выражения (6.33), ио так как Кп<^1, то можно ожидать значительного увеличения сопротивления, теплопередачи и особенно давления при учете столкновений.

Как и в случае 2.1, вследствие «перерождения» молекул отраженные молекулы испытывают в молекулярном слое не более одного столкновения с молекулами набегающего потока. Но так как длина пробега отраженных молекул на отраженных Х22 много меньше толщины слоя к^, то отраженные молекулы испытывают большое число столкновений между собой, прежде чем столкнутся с молекулой набегающего потока. Поэтому это течение нс может быть рассчитано с учетом лишь первых столкновений.

Рассмотрим теперь случай высокоскоростных отраженных молекул V2~V, т. е. М2—■!. Положим 0=0^. В этом случае »2^гешМ-1 и

^-1^ ^22~MV(6.35)

Этот случай подобен случаю 2.1 в том отношении, что наименьшей длиной пробега является Х21. Однако здесь все молекулы имеют одинаковый порядок скорости ~У, и перерождения молекул не происходит. Поэтому течение будет близким к свободномолекулярному лишь при Xoo"2§>L, т. е. при Кп^-1- В этом случае

+р = р(6.36)

Постоянные А > 0.

Если М2.-- 1 и о обратно пропорциональна относительной скорости, то '

ZI2 ~ м2^, Z2I ~ м^, х22 — М2лт.

Этот случай подобен предыдущему. Течение будет близким к свободномолекулярному, если1. В этом случае

^ = ^0 + ^^-.Р^Рсо^+Л-^).(6.37)

Течение может быть близким к свободномолекулярному и при Kn<d 1. если Кп М^» 1 •

Обтекание пластинки под углом атаки. Здесь, как и в теории гиперзвуковы^. течений сплошной среды, необходимо различать течения при Msin^^^^ 1 и М sin О' <^2 1, где О’—Угол атаки. В первом случае характер течения близок к течению около пластинки, перпендикулярной потоку, во втором — к течению около пластинки, параллельной потоку.

Пусть М sin 0 )^-1 и М = М2^>1- Рассмотрим только случай О — om = const. Так как No ~ Vn^L2 sin О и п2 ~ и^Мг sin О, то

<6-38)

Если Х2г^> L, то течение близко к свободномолекулярному. Легко видеть, что '

N ~ га2 ИМ,a A3sin2O и N ~ п2 V М9а A3sinO. (6.39) - — СО 2 со+ со со 2 сок z

Поэтому сопротивление и подъемная сила, отнесенные к L\ равны

Сг = Ло5шО-— А, sin2^ + A4^— sin О,

(6.40)(6.40)1 кп 1- Кп |

(6.40)

(6.40)

Подъемная сила при М2^> 1 в основном определяется столкновениями. Аэродинамическое качество К = С^]С х много больше, чем в свободномолекулярном потоке. Это положение характерно не только для пластинки. В § 6.1 мы видели, что в гипертермическом свободномолекулярном потоке подъемная сила любых тел создастся реактивным импульсом отраженных молекул и, следовательно, Су~1/М2. Поэтому обычно принято считать аэродинамическое качество при Кп^>1 малым. Однако учет столкновений при М2^* 1 приводит к радикальному изменению подъе мной силы и моментных характеристик тел, в то время как сопротивление сравнительно мало отличается от свободномолекулярного. Эти выводы получены для течений, близких к свободномолекулярным (при М2/Кп <<^ 1). При дальнейшем увеличении М2 и фиксированном числе Кнудсена течение стремится к течению сплошной среды, и аэродинамическое качество тел продолжает расти. .

Выше мы видели, что Лт > Л2 > 0 при О ~ т/2 л и сопротивление пластинки меньше, чем в свободномолекулярном потоке. Из формул (6.40) видно, что при 0-^-0, но Msinfl^>l сопротивление пластинки становится больше, чем в свободномолекулярном потоке. При дальнейшем уменьшении О', когда МО~>0, в пределе приходим к обтеканию пластинки, параллельной потоку.

Обтекание конуса. При обтекании конуса с углом полураствора 9 также следует отличать режимы Msin0^> 1 и Msin9<^ 1.

Рассуждения, подобные только что проведенным для пластинки, показывают, что сопротивление, отнесенное к миделю конуса (при

М sin 91, М = М2 1 и о = oj, дается формулой (для малых 9)

г л м л м1 Кп 2 КпО ’г л м л м1 Кп 2 КпО ’(6.41)(6.41)

г л м л м

1 Кп 2 КпО ’

г л м л м

1 Кп 2 КпО ’

(6.41)

(6.41)

где Кп = XJR и R — радиус основания конуса.

' При М9 <=^ 1 молекулы попадают на поверхность конуса главным образом за счет теплового движения. В этом случае No~ LRn^a^, где L — Rfd—длина конуса и п2 ~ пю. Легко видеть, что при стремлении 9 к нулю при фиксированном диаметре 2R сопротивление конуса будет безгранично расти. Однако для того, чтобы течение можно было рассматривать как близкое к свободномолекулярному,

необходимо, чтобы длина конуса L^^^k^. При выполнении этого условия сопротивление, отнесенное к миделю, будет

~г Кп 02 =\1 кТГб Г

(6.42)

Интересно отметить, что мри стремлении 0 (или, что то же, диаметра основания конуса) к. нулю при фиксированных L и ксо течение около конуса при нулевом угле атаки не стремится к свободномолекулярному. В то же время течение около конуса, обтекаемого под углом атаки а, при Ма^> 1 стремится к свободномолекулярному при стремлении к нулю диаметра конуса.

На рис. 73 приведены некоторые результаты расчетов конуса метолом Монте-Карло!) для гипертермического течения (М = со). Приведенные кривые полностью подтверждают сделанные качественные выводы. По мере уменьшения угла 9 отрицательная добавка к свободномолекулярному значению в формуле (6.41) убывает, а поло-

!) К огаи М. Н., Дегтярев Л. М., Astronautica Acta, № 1 (1965),

жительная возрастает. На графике N — число испытаний в методе Монте-Карло, соответствующее приведенным результатам. Отметим, что силы, действующие на тело, заметно отличаются от свободномолекулярных значений, хотя число Кнудсена

Kn-=(2/2oReo=r1 ~ И.

На рис. 74 приведены результаты расчетов для усеченных конусов. Расчет также проведен методом Монте-Карлох).

§ 6.7. Теорема обратимости для течений,близких к свободномолекулярным 2)

xz и составляет угол уxz и составляет угол уПусть плоская пластинка произвольной формы, расположенная в плоскости ху, обтекается потоком разреженного газа, вектор ско

xz и составляет угол у

xz и составляет угол у

рости которого V лежит в плоскости с осью х (рис. 75). Пусть характерный размер пластинки равен L.

В свободно молекулярном потоке на любой элемент пластинки площади dS падает одинаковое количество молекул, передающих этому элементу одинаковые импульс и энергию. В результате взаимодействия молекул с поверхностью пластинки 3) каждый элемент создает одинаковое поле отраженных молекул. Функция распределения молекул набегающего потока вблизи пластинки отлична от фуик-

ции распределения на бесконечности, так как часть молекул экранируется пластинкой. Очевидно, что все элементы пластинки экранируют течение одинаковым образом.

Рассмотрим в первом приближении влияние столкновений молекул

на число частиц, импульс и энергию, приносимые молекулами на пластинку. В § 6.5 показано, что при расчете столкновений в первом приближении можно не учитывать затухания набегающего потока на отраженных молекулах. Столкновения отраженных молекул с отраженными существенны лишь внутри сферы радиуса Но на расстояниях, много меньших X, затуханием можно пренебречь. Таким образом, существенно лишь затухание потока отраженных молекул па набегающих молекулах. Благодаря этому поле набегающих

*) Перепухов В. А., Журнал вычисл. математики и матем. физики, № 2 (1967).

К о г а н М. Н., Доклады АН СССР 144, № 6 (1962).

Конкретный закон взаимодействия здесь несуществен. Важно лишь чтобы все элементы пластинки отражали молекулы одинаково.

27 м. Н. Коган

и отраженных молекул, создаваемое каждым элементом поверхности, не зависит от присутствия других элементов. Очевидно, что в этом случае картина рассеяния молекул после первого столкновения является суперпозицией рассеяния молекул на молекулах, отраженных отдельными элементами пластинки.

Как отмечалось выше, в свободномолекулярном течении все элементы пластинки равноправны, так что нормальный и тангенциальный импульсы и поток тепла, приносимые на пластинку молекулами, одинаковы для пластинок произвольной формы заданной площади. При наличии столкновений число частиц, импульс и энергия, падающие на какой-либо элемент пластинки, отличны от соответствующих величин в свободномолекулярном потоке. Изменение количества молекул и приносимых ими на данный элемент импульса и энергии, очевидно, зависит от поля отраженных молекул, которое, как указано выше, представляет собой суперпозицию полей отдельных элементов. В зависимости от взаимного расположения элементов меняются аэродинамические характеристики элементов пластинки, а следовательно, и аэродинамические характеристики всей пластинки заданной площади зависят от формы.

Обозначим через «'/-/(Х;—xjt yt— у,) функцию влияния z-ro элемента на у-й. Величина ®^. dS. dS есть изменение й-го свойства, приносимого на элемент dSj, в результате столкновений набегающих молекул и молекул, отраженных от у-го элемента, с молекулами, отраженными от z-ro элемента.

Индекс к указывает свойство, о котором идет речь (нормальный или тангенциальный импульс, поток тепла, число частиц и т. д.).

Полное изменение й-го свойства в результате столкновений, очевидно, равно

(7.1)

где интегрирование ведется по всей пластинке.

Вектор скорости набегающего потока лежит в плоскости xz и составляет угол у с нормалью к пластинке (рис. 75). Наряду с прямым потоком рассмотрим течение, вектор скорости которого также лежит в плоскости xz, но составляет угол —ус нормалью. Этот <-

поток назовем обратным. Скорость обратного потока |V| равна ско- роста прямого потока |У|.

Для рассматриваемого течения имеет место теорема обратимости, утверждающая, что на пластинку произвольной формы в прямом и обратном потоках падают один и тот же нормальный импульс, энергия и число частиц и противоположный по знаку тангенциальный импульс.

<

Введем функцию влияния в обратном потоке -w’^.. Легко видеть, что

=(7.2)

для числа частиц, нормального импульса и энергии и

= —чю^(7.3)

для составляющих тангенциального импульса.

Полное изменение числа частиц, нормального импульса и энергии в обратном потоке равно

/ / / ; iys.ds^ / / / / .$Ws, = / / / Z^ds^s,.

(7.4)

Аналогично для тангенциального импульса имеем

= — j / / / ^.dS^S.. (7.5)

Таким образом, аэродинамические характеристики пластинок в прямом и обратном потоках одинаковы.

Выше предполагалось, что все элементы отражают одинаково. Однако принцип суперпозиции справедлив и тогда, когда различные элементы отражают различным образом. В общем случае, например, различные элементы поверхности могут иметь различную температуру.

Наличие суперпозиции позволяет один раз найти функцию влияния и затем простыми квадратурами определять характеристики пластинок разной формы. Эта возможность использована в ряде работ ’), а также при расчетах обтекания пластинки под нулевым углом атаки, результаты которых приведены в предыдущем параграфе.

Сравнение теоретических и экспериментальных данныхо течениях при больших числах Кнудсена)

В настоящее время как теоретических, так и экспериментальных данных об обтекании тел при больших числах Кнудсена еще очень мало. Теоретические исследования ограничиваются главным

*) См., например, работы: Фридлендер О. Г., Журнал прикл. механики и техн, физики, № 3 (1963); Перепухов В. А., Инж. ж. № 5 (1965).

412 ТЕЧЕНИЯ ПРИ БОЛЬШИХ ЧИСЛАХ КНУДСЕНА {ГЛ. VI образом приближением первых столкновений для твердых сферх). Проведено также небольшое число расчетов с помощью модельных уравнений). Экспериментальные данные в широком диапазоне чисел Кнудсена получены лишь для цилиндра (тонкие проволочки) и полосы, перпендикулярной потоку.

При сравнении результатов расчетов с экспериментальными данными наряду с погрешностями метода вычислений возможны также погрешности, обусловленные недостаточным знанием законов взаимодействия молекул со стенкой и между собой.

Если тело теплоизолировано, то энергия, уносимая отраженными молекулами, равна энергии, приносимой падающими молекулами, и не зависит от коэффициентов аккомодации. Если теплоизолирована каждая точка поверхности тела (абсолютно нетеплопроводная стенка) и если импульс отраженных молекул и температура стенки однозначно связаны с энергией, уносимой отраженными молекулами, то, очевидно, и сопротивление каждого элемента тела и распределение температуры по его поверхности не зависят от коэффициентов аккомодации. В другом предельном случае — случае абсолютно теплопроводного тела имеет место независимость сопротивления и температуры тела от коэффициента аккомодации энергии, если последний определять в среднем по всему телу (ср. § 6.1). Таким образом, сравнивая теоретические и экспериментальные результаты по сопротивлению и температуре теплоизолированного тела, можно исключить из рассмотрения коэффициент аккомодации.

Как уже отмечалось выше, имеющиеся теоретические результаты получены либо для твердых сферических молекул, либо с помощью модельных уравнений. Поэтому необходимо найти связь между свойствами реальных молекул и диаметром шаров или параметрами взаимодействия молекул, входящими в модельное уравнение. Напомним, что модельное уравнение лучше всего аппроксимирует уравнение Больцмана для максвелловского (точнее, псевдомаксвелловского) газа).

Как показано в § 6.5, основную роль в течениях, близких к свободномолекулярным, особенно при гиперзвуковых скоростях, играют столкновения набегающих и отраженных молекул. Следовательно, диаметры твердых сфер или другие параметры теоретических моделей молекул должны выбираться так, чтобы наилучшим образом аппро-

§ 6.8] СРАВНЕНИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИХ И ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ДАННЫХ 413 ксимировать характер взаимодействия молекул именно при этих столкновениях.

Как экспериментальные, так и теоретические результаты в конечном счете необходимо выразить через параметры набегающего потока. При переходе от параметров взаимодействия молекул, соответствующих набегающему потоку, к параметрам взаимодействия при столкновении молекул необходимо учитывать, что этот переход у выбранной математической модели может отличаться от действительного изменения взаимодействия реальных молекул. Так, например, если в расчетах принята модель твердых сфер, то, по самому определению модели, сечение столкновения остается одним и тем же как в набегающем потоке, так и при столкновениях набегающих молекул с отраженными.

Однако в реальном газе сечения столкновений уменьшаются при увеличении относительной скорости молекул. Очевидно, что сопоставимые данные можно получить только в том случае, если сечение столкновения модельных молекул-шаров принять равным действительному сечению при столкновениях отраженных и набегающих молекул, а переход к параметрам набегающего потока производить в обоих случаях в соответствии с реальным законом изменения взаимодействия молекул. При этом надо иметь в виду, что для одного и того же газа переход к параметрам набегающего потока в условиях трубного эксперимента (особенно в гиперзвуковых трубах) и в натурных условиях может оказаться различным. Как уже отмечалось в § 6.6, в аэродинамических трубах при больших числах Маха температура набегающего потока Т^ часто много ниже температуры набегающего потока в условиях натурного полета при тех же числах Маха. В соответствии с этим и относительные скорости молекул в набегающем потоке в трубных условиях много меньше, чем в натуре. Но при меньших относительных скоростях сечение столкновений изменяется .гораздо быстрее при изменении относительной скорости сталкивающихся молекул, Чем при больших относительных скоростях. В результате, например, может оказаться, что в условиях аэродинамической трубы молекулы ведут себя подобно максвелловским молекулам, .в то время как в условиях натурного полета их сечение изменяется мало и, следовательно, их поведение удовлетворительно аппроксимируется молекулами-шарами. Поэтому расчет, проведенный для молекул-шаров при определенных числах Маха и Кнудсена, будет согласовываться с результатами натурных исследований при тех же числах Маха и Кнудсена, в то время как этот же расчет соответствует трубным испытаниям при другом числе Кнудсена набегающего потока.

Примем, например, грубо, что в аэродинамической трубе сечения столкновений молекул изменяются, как и у максвелловского газа, обратно пропорционально относительной скорости сталкивающихся молекул. Так как относительная скорость молекул в набегающем

потоке порядка скорости звука а, а относительная скорость молекул при столкновении набегающей молекулы с отраженной порядка скорости набегающего потока V, то сечение столкновений молекул в набегающем потоке в М раз больше сечения молекул в момент столкновения набегающей молекулы с отраженной. Обозначим через Кпш — число Кнудсена расчета, проводимого с молекулами-шарами, а через КпсоТр—число Кнудсена, определенное по параметрам набегающего потока в трубе. Из сказанного выше ясно, что результаты расчета могут быть сопоставимы с результатами эксперимента лишь в том случае, если выбрать

КПи^Кп^трМ.(8.1)

Наоборот, расчет, проведенный для максвелловских молекул, сопоставим с результатами трубного эксперимента при одинаковых числах Маха и Кнудсена набегающего потока. Однако для сравнения с результатами натурного эксперимента (для которого мы положили о = const) расчет должен быть проведен при числе Кнудсена

^пм= м ’^’2^

где КПсон—число Кнудсена натурного эксперимента.

Следует заметить, что при переходе от трубного эксперимента к натурному в общем случае также нельзя сравнивать данные при одинаковых числах Маха и Кнудсена набегающего потока. По существу, эксперименты, проведенные при существенно разных температурах набегающего потока, можно рассматривать как эксперименты, проведенные в разных газах, так как при низких температурах вязкость изменяется примерно пропорционально температуре, а при высоких — пропорционально корню из температуры. В разбираемом примере трубный эксперимент проводится в максвелловском газе, а натурный — в газе из молекул-шаров. Их данные будут сопоставимы, если

КаюТР--^.(8.3)

Формулы (8.1) — (8.3) носят, конечно, лишь оценочный характер. При фактическом сравнении экспериментальных и теоретических данных необходим более аккуратный расчет. Так, выше относительная скорость молекул в набегающем потоке принималась равной скорости звука а = YnkT^m, в то время как более точно средняя относительная скорость молекул при максвелловском распределении равна

—

ёотн —пт •_

В качестве средней скорости отраженных молекул можно принять, например, наиболее вероятную скорость или скорость молекул, при которой уносимый ими импульс равен импульсу, уносимому молекулами, обладающими максвелловским распределением.

Если молекулы отражаются диффузно с максвелловским распределением, соответствующим температуре Тг, то средняя скорость, определенная первым способом, равна

а вторыма вторымГ лкТг _V 2mГ лкТг _V 2m

а вторым

а вторым

Г лкТг _

V 2m

Г лкТг _

V 2m

Для холодного тела vr <^ V и различие между этими определениями средней скорости несущественно.

Реальный закон изменения сечения столкновений можно найти, например, из закона изменения вязкости в зависимости от температуры.

Приведем пример сравнения экспериментальных и теоретических данных для сферы. Качественно обтекание сферы подобно разобранному в § 6.6 обтеканию пластинки, перпендикулярной потоку. При данном числе Маха величина Сх— Сх0 изменяется пропорционально Кп-1 независимо от закона взаимодействия молекул с поверхностью и между собой. На рис. 76 дано сравнение экспериментальных

данных с результатами различных теорий'у Кривая 1 получена по теории первых столкновений для молекул-шаров). Кривая 2 получена с помощью модифицированного модельного уравнения)

= Л («?Ф;. + 2МгФг; 4- п^,) - АЧ-(8.4)

Здесь

= (&т4Г “Р {-6 - } ■ (Ь ' = ').

т« = т^ $<б-“-^+^

Индексом г обозначены величины, соответствующие молекулам, скорости которых лежат в телесном угле Qr, под которым из данной точки видно тело (молекулам, идущим от тела). Индексом I обозначены величины, соответствующие всем другим направлениям скоростей молекул. Такая форма столкновительного члена позволяет более полно учесть взаимодействие отдельных групп молекул (отраженных с набегающими rt, набегающих с набегающими и и отраженных с отраженными г г).

Все расчеты проведены в предположении диффузного отражения. Расчеты для модифицированного модельного уравнения проведены методом итераций. При рассмотрении течения Куэтта (см. § 4.2) мы видели, что в линейном приближении результаты расчетов для модельного уравнения совпадали с соответствующими решениями уравнения Больцмана, если коэффициент А выразить через вязкость:

(8.5)(8.5)А —•

(8.5)

(8.5)

И (Тю)

Диаметр молекул-шаров также можно (см. § 3.8):Диаметр молекул-шаров также можно (см. § 3.8):выразить через вязкостьвыразить через вязкость[ mhTW 1 О — Ш/2 = —.\ л / ц (Гю)[ mhTW 1 О — Ш/2 = —.\ л / ц (Гю)(8.6)(8.6)

Диаметр молекул-шаров также можно (см. § 3.8):

Диаметр молекул-шаров также можно (см. § 3.8):

выразить через вязкость

выразить через вязкость

[ mhTW 1 О — Ш/2 = —.

\ л / ц (Гю)

[ mhTW 1 О — Ш/2 = —.

\ л / ц (Гю)

(8.6)

(8.6)

Число Кнудсена Кп^. выраженное через М^ и Re^ набегающего потока, равно

.,, /"Т- Мю

КПЮ = ]/ 2^^'

Как видно из приведенного графика, построенные по этому параметру результаты расчетов, полученных с помощью модельного уравнения и по теории первых столкновений для сфер, существенно расходятся). Однако, как говорилось выше, такое сравнение неправомерно, так как сравниваются результаты расчетов, выполненных не только двумя различными методами, но и для двух различных газов. Чтобы данные для шаров стали сопоставимы с результатами, полученными с помощью модельного уравнения, т. е. для максвелловских молекул, данные для шаров нужно построить по числу Кнудсена, измененному согласно формуле (8.1). С учетом указанных выше поправочных коэффициентов ее можно переписать в виде

ь4 К п

Кп„ = Кп_„=Кпш-^ =. " , .<8.1а)

\•

(зю=кУъ sr=^).

Пересчитанная таким образом кривая 1 показана на рис. 76 пунктиром. Если учесть приближенный характер расчетов, то после перестроения согласование результатов расчетов, выполненных различными методами, можно признать удовлетворительным. Тот факт, что и экспериментальные результаты теперь ближе к расчетным, показывает, что поведение реальных молекул в условиях указанного эксперимента ближе к поведению максвелловских молекул, чем к поведению твердых шаров. К этому же выводу приводит приведенное на рис. 77 и 78 сравнение экспериментальных данных с результатами, полученными с помощью модифицированного модельного уравнения для цилиндра и полосы).

Часто для корреляции теоретических и экспериментальных результатов в вязком газе используют число Рейнольдса, в котором вязкость соответствует температуре за скачком уплотнения или температуре торможения. На языке кинетической теории это равносильно выбору характерной относительной скорости молекул, равной относительной скорости молекул при температуре торможения ^,ота(Т^.

Как мы видели, относительная скорость молекул при первых столкновениях несколько больше У. Легко видеть, что относительная скорость молекул ^ОТн(^о) несколько меньше У для одноатомного газа,

3,5

3,0

2,5

2,0

Сбабодномолекулярное течение.диффузное отре- жение

о——- Эксперимент

Расчет, модифицированное ”” модельное уробнение

Рис. 77.

Эксперимент

Сдободномалеку/ырное течение, диффузное отражение

до счет, модифицированное модельное урабнение

Ф 246 8 10204060 80100

Кп^

Рис. 78.

тем более для двухатомного, для которого при больших числах Маха справедлива оценка

SothC^q) 4х—I

§ 6.8] СРАВНЕНИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИХ И ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ДАННЫХ 419

При этом вместо формулы (8.1а) очевидно, имеем

Кпм = КпЮ1.р = Кп,„)/-^.(8.16)

Пересчитанные по этой формуле данные для твердых сфер показаны па рис. 76 штрих-пунктиром.

Следовательно, применяя для корреляции данных число Рейнольдса, построенное по параметрам торможения, мы несколько занижаем относительные скорости молекул при первых столкновениях. Однако при уменьшении числа Кнудсена роль столкновений молекул набегающего потока с отраженными молекулами падает и корреляция данных по температуре торможения становится более правомерной. Поэтому корреляцию данных в широком диапазоне чисел Кнудсена можно вести, например, по параметру !)

(8.7)(8.7)1 / П \ ц (Тю)Kn \ Tj р^о) ’

(8.7)

(8.7)

который для максвелловских молекул переходит в 1/Кп, а для твердых сфер соответствует формуле (8.16).

Выше коррелировались данные для «холодного» тела (Sr^D- Если тело «горячее» или ае мало, то скорость отраженных молекул порядка V и, следовательно, относительная скорость молекул при первых столкновениях будет более чем вдвое превышать скорость ^отн(^о)- В этом случае пересчет по температуре торможения (по формуле (8.16)) значительно менее оправдан, чем пересчет по формуле (8.1а). С такой ситуацией можно часто встретиться в аэродинамических трубах непрерывного действия, где температура тела порядка температуры торможения, а в близких к свободномолекулярным течениях, как отмечалось в § 6.1, и больше температуры торможения.

Для сравнения теории с экспериментом при больших числах Кнудсена весьма интересным объектом исследования является истечение газа через малое отверстие в вакуум. Характеристики течения не зависят от взаимодействия молекул со стенками, и тем самым исключается элемент неопределенности, связанный с незнанием законов отражения молекул от твердых поверхностей. В то же время расход газа через отверстие при не слишком низких давлениях является хорошо измеряемой величиной.

В § 6.3 уже было рассмотрено свободномолекулярное истечение через отверстие. Влияние столкновений можно учесть методом итераций, используя, например, интегральную форму уравнения Больцмана

') Ср. с аналогичным параметром в работе: Sherman F. S., Willis D. R„ Masi ас h G. J., Доклад на 11-м Международном конгрессе по прикладной механике, Мюнхен, 1964.

(см. § 2.7 и § 6.5)

■^'Чх, l) = f(x0, |)ехр■^'Чх, l) = f(x0, |)ехрdl' ) +dl' ) +^0^0«'. 1)1«'. 1)1-у. (8.8)-у. (8.8)

■^'Чх, l) = f(x0, |)ехр

■^'Чх, l) = f(x0, |)ехр

dl' ) +

dl' ) +

^0

^0

«'. 1)

1

«'. 1)

1

-у. (8.8)

-у. (8.8)

Напомним, что это интегральное уравнение справедливо лишь для молекул с конечным радиусом взаимодействия.

Так как измеряемой величиной является расход газа, то достаточно определить функцию распределения в плоскости отверстия. Для траекторий молекул, приходящих в плоскость отверстия из сосуда высокого давления, функцию / (Xq, g) в формуле (8.8) следует положить равной равновесной максвелловской функции распределения молекул в этом сосуде, так как предполагается, что размеры сосуда столь велики, что функция распределения на достаточном удалении от отверстия не возмущена процессом истечения. Для траекторий, идущих из сосуда низкого давления (теоретически из вакуумной камеры), функцию / (х0, g), очевидно, следует положить равной нулю. За нулевое приближение для функции распределения можно принять, например, функцию распределения свободномолекулярного истечения. Легко видеть, что на достаточном удалении от отверстия при сколь угодно низком давлении функция распределения будет существенно отличаться от свободномолекулярной. Это должно, очевидно, привести к неравномерной сходимости последовательных приближений, подобно тому как она появляется при расчете обтекания тел потоком, близким к свободномолекулярному (см. § 6.5). В то же время можно надеяться, что первая итерация, как и при вычислении функции распределения на теле, дает правильный результат вблизи отверстия. Фактически даже первая итерация для полного уравнения (8.8) до сих пор не выполнена и для простейших моделей молекул.

В работе Виллиса1) вычислена первая итерация для модельного уравнения, т. е. для уравнения (8.8), в котором интеграл J2 заменен на Ап, а интеграл Jx— на AnfQ, где /0—локальное максвелловское распределение и А—коэффициент, определяющий взаимодействие молекул. При проведении расчетов предполагалось, что доля молекул, возвращающихся в результате столкновений в сосуд высокого давления, мала, и ею пренебрегали. Следовательно, локальный массовый расход определялся выражением

™ =(8.9)

> О

J) Wil 1 is D. R., Fluid Meeh- 21, 1 (1905).

значение Л =0,083.значение Л =0,083.Предел, аналогичный (8.11), дает для АПредел, аналогичный (8.11), дает для АНа рис. 80 приведено сравнение кривойНа рис. 80 приведено сравнение кривойM=MQ (1 +0,083 Re)M=MQ (1 +0,083 Re)(8.13)(8.13)

значение Л =0,083.

значение Л =0,083.

Предел, аналогичный (8.11), дает для А

Предел, аналогичный (8.11), дает для А

На рис. 80 приведено сравнение кривой

На рис. 80 приведено сравнение кривой

M=MQ (1 +0,083 Re)

M=MQ (1 +0,083 Re)

(8.13)

(8.13)

СРАВНЕНИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИХ И ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ДАННЫХ 421 где ^ — составляющая скорости вдоль осн течения; при этом + >0 для молекул, вылетающих из сосуда высокого давления.

Для круглого отверстия при достаточно больших числах Кнудсена или достаточно малых числах Рейнольдса массовый расход можно представить в виде

/и =/и0(1+ « Re+ • ■ •), IRe = 2Rp —) —), (8.10)

где R—радиус отверстия, т0—расход в свободпомолекуляриом потоке, Т — температура газа в сосуде.

Вообще говоря, первая итерация дает не только значение коэффициента а, но и значения части членов более высокого порядка,

учет которых лежит вне точности приближения. Поэтому обоснованной является лишь величина

lim 1-^- —1') = а. (8.11) Re->0 \ т0 /

На рис. 79 приведено изменение локального расхода по отверстию при разных давлениях или разных числах Re (начало координат выбрано в центре отверстия). Кривая, соответствующая Re = 0, определяет местное значение коэффициента а. Все остальные кривые учитывают внепорядковые члены и служат лишь для оценки области применимости первого приближения.

Полный расход через отверстие /Й также можно представить в форме (8.10):

^=^0(l+/lRe+ ■■•)■ (8.12)

с результатами измерений расхода, сделанных Липманом Jj для гелия, азота и аргона. На рисунке нанесена также кривая, соответствующая полному первому приближению. Результаты опытов качественно

*) L i е р m а n п И. W., J. Fluid. Meeh. 10, 65 (1961).

422 ТЕЧЕНИЯ ПРИ БОЛЬШИХ ЧИСЛАХ КНУДСЕНА [ГЛ. VI согласуются с кривой (8.13), единственной обоснованной в рамках первого приближения.

К сожалению, разброс экспериментальных точек еще слишком велик при Re < 1, где можно ожидать удовлетворительной точности от первой итерации.

Истечение в вакуум

Ряд практических задач требует создания высокоскоростных потоков сильно разреженного газа. Необходимость в таких потоках возникает, например, при создании струйников для управления космическими аппаратами или при создании установок, моделирующих условия полета на больших высотах. Последняя задача является особенно сложной, так как для проведения аэродинамических испытаний не достаточно выбросить газ с нужным удельным импульсом, но необходимо получить хорошо контролируемые (уверенно рассчитываемые или легко экспериментально измеряемые) потоки с равномерным ядром достаточных размеров.

Один из простейших путей получения хорошо рассчитываемых потоков сильно разреженного газа (молекулярных пучков) был уже рассмотрен в §§ 6.3 и 6.8. Это свободномолекулярное истечение газа в вакуум через отверстие, диаметр которого много меньше длины свободного пробега молекул в сосуде. Однако этот способ обладает двумя существенными недостатками: малой скоростью потока и малой его интенсивностью. Действительно, молекулы вылетают из сосуда

с тепловыми скоростями, пропорциональными корню из температуры газа в сосуде и обратно пропорциональными массе молекул. Для азота, например, при нормальной температуре газа в сосуде средняя тепловая скорость молекул £ср < 105 слЦсек. Следовательно, для получения молекул со скоростями, скажем, соизмеримыми со скоростью спутника Земли, т. е. — 106 алфек, необходимо нагреть газ на несколько десятков тысяч градусов. Создание и длительное удержание такого газа выливается в самостоятельную проблему. Однако если бы даже удалось получить столь высокотемпературный газ, то его молекулы обладали бы совершенно иными свойствами, так как произошла бы их диссоциация и ионизация.

Интенсивность потока, т. е. число молекул, проходящих через единицу площади отверстия в единицу времени, пропорциональна плотности и скорости молекул, а следовательно, корню из температуры. Увеличение температуры связано с трудностями, о которых уже говорилось выше. Увеличение плотности газа ограничено, так как длина пробега должна быть много больше диаметра отверстия. В противном случае течение становится трудно рассчитываемым и определение параметров потока весьма сложным. Однако и ограниченную этими условиями интенсивность пучка нельзя реализовать. Так как вылетающие молекулы распределены по закону косинусов, то интенсивность потока убывает обратно пропорционально квадрату расстояния от отверстия. Поэтому в месте установки испытуемой модели интенсивность потока еще во много раз (на порядки) меньше.

Для увеличения интенсивности потока интересная схема предложена Кантровицем и Греем1). Их идея состоит в том, чтобы забирать свободномолекулярный поток не из покоящегося газа, а из газа,

Рис. 81.

разогнанного в сопле (рис. 81). Известно, что скорость газа, разогнанного в сопле до больших чисел Маха, близка к максимальной скорости и примерно в два раза больше тепловой скорости молекул в форкамере.

■) К a nt г о witz A., G г е у J., Rev. Sci. Instr. 22, 328 (1951).

При больших числах Маха скорость направленного движения молекул много больше их тепловой скорости, т. е. молекулы летят почти параллельным пучком J).

Поэтому, если газ перед скиммером разогнан до больших чисел Маха (практически М-—5ж-8), то при том же диаметре отверстия скиммера, что и в описанном выше простом источнике, и при той же плотности газа перед скиммером расход газа будет в несколько раз больше не столько из-за увеличения скорости потока, сколько за счет направленного движения молекул. Но основной эффект направленности потока проявляется в том, что интенсивность пучка между скиммером и испытываемой моделью изменяется сравнительно мало. Однако эта идеальная схема может быть реализована лишь в том случае, если все молекулы, попадающие на поверхность скиммера, будут ею поглощаться (как на криогенных панелях). В противном случае отраженные от скиммера молекулы будут искажать течение у входа в отверстие скиммера, нарушая его направленность. Для увеличения интенсивности пучка стараются иметь максимально возможную плотность газа перед отверстием, а следовательно, минимально возможную длину пробега молекул. Обычно ее выбирают соизмеримой с диаметром отверстия. Поэтому по отношению к характерным размерам скиммера длина пробега оказывается малой. Перед скиммером возникает уплотненная зона (или скачок уплотнения), течение существенным образом отличается от идеальной схемы, его направленный характер нарушается и интенсивность источника уменьшается во много раз. Иногда это уменьшение объясняют недостаточным заострением стенок отверстия скиммера. Однако на самом деле оно связано с общей картиной обтекания скиммера газом и имеет место при любой сколько угодно малой толщине стенок). Течение вблизи отверстия скиммера становится весьма сложным, проходя через все режимы от сплошной среды до почти свободномолекулярного. Как мы видели в предыдущих главах, методы расчета переходных течений еще лишь отрабатываются на одномерных задачах. Поэтому сложное переходное двухмерное течение около отверстия скиммера пока интенсивно изучается лишь экспериментально ).

Вообще говоря, расчет и исследование течения вблизи отверстия скиммера представляют собой проблему, по сложности соизмеримую с проблемами, для изучения которых и создаются подобные установки.

*) Подробнее о структуре газодинамического истечения в вакуум смотрите ниже.

Как мы видели выше, интенсивность истечения из отверстия увеличивается при увеличении плотности газа в сосуде. В предельном случае мы приходим к условиям, когда длина пробега молекул становится много меньше Диаметра отверстия и происходит газодинамическое истечение в вакуум.

Теоретически при идеальном (без учета диссипативных процессов) газодинамическом истечении в вакуум через отверстие или с помощью сопла можно разогнать поток до любых чисел Маха при любой сколь угодно малой плотности. Однако в действительности при получении потоков разреженного газа с помощью сопел быстрое нарастание пограничного слоя в расширяющейся части сопла препятствует реализации режима, рассчитанного по идеальной схеме. Чтобы избежать этой трудности, в последние годы уделяется большое внимание изучению свободно расширяющейся струи т). В этом течении нет стенок сопла и, следовательно, нет и мешающего реализации режима пограничного слоя. Однако оказывается, что и в этом течении наличие диссипативных процессов не позволяет получить сколь угодно большие числа Маха.

Рассмотрим это интересное явление.

Истечение струи в вакуум представляет собой сложное двухмерное течение, в котором имеются все режимы от сплошной среды до почти свободномолекулярного. Отыскание решения уравнения Больцмана для этой задачи представляется в настоящее время слишком сложным. Однако задача может быть упрощена, так как течение от цилиндрического или сферического источника в известной мере моделирует течение вдоль оси соответственно плоской или осесимметричной струи). Таким образом, исследование сводится к решению одномерной задачи для уравнения Больцмана. Однако, точное решение уравнения Больцмана, соответствующее точечному или линейному источнику, не найдено.

Можно надеяться построить приближенное решение задачи, рассматривая течение от звуковой линии до некоторого достаточно большого числа Маха с помощью обычного невязкого гидродинамического источника и лишь далее вниз по потоку с помощью уравнения Больцмана (рис. 82). Линия склейки должна находиться в той области, где диссипативными процессами еще можно пренебречь и где решение уравнения Больцмана на некотором участке еще совпадает с решением уравнений Эйлера. В такой постановке задача рассмотрена в работе

’) См., например, Sherman F. S., Archiwum Mechaniki Stosowanej 2, 16 (1964); Гусев В. Н., Механика жидкости и газа, № 1 (1967).

Брука и Омана1) для модельного уравнения Больцмана, которое, как мы неоднократно убеждались выше, позволяет получить удовлетворительные качественные результаты.

Строго говоря, решение уравнений Эйлера и кинетического урав

нения склеить нельзя.

Действительно, в соответствии с постановкой задач для уравнения Больцмана (см. § 2.9) на линии склейки можно задать лишь функцию

распределения для молекул, у которых скорость £г > 0.

Рис. 82.Рис. 82.Значения функции распределения для молекул со скоростями £г < 0 должны быть получены из решения уравнения Больцмана при условии, что на бесконечности давление стремится к нулю.

Рис. 82.

Рис. 82.

Если бы во внутренней (гидродинамической) области решение было точным решением кинетического уравнения, то найденные из решения внешней задачи значения функции распределения для ^г < 0 совпали

бы с соответствующими значениями, полученными для внутренней задачи. Однако газодинамическое решение соответствует приближенной замене функции распределения локальным максвелловским распределением. Поэтому строгую склейку произвести нельзя.

В излагаемой работе эта трудность обходится дальнейшим загруб- лением схемы течения. Так как линия склейки находится в области

больших чисел Маха, то большая часть молекул имеет скорости £г > 0 и лишь небольшая их часть возвращается обратно. Поэтому молекулами, летящими обратно, вообще пренебрегают, считая функцию распределения отличной от нуля лишь при |г > 0. Далее, проводя грубую оценку членов модельного уравнения и опуская большую часть

его членов, приходят к уравнению

^^7(^/) = Л«^ (/„-/),^^7(^/) = Л«^ (/„-/),(9.1)(9.1)

^^7(^/) = Л«^ (/„-/),

^^7(^/) = Л«^ (/„-/),

(9.1)

(9.1)

где v = 2 для сферического источника и v=l для цилиндрического источника.

Это уравнение, переписанное в интегральной форме, решалось численно методом последовательных приближений.

Расчеты показали, что скорость и плотность потока как в цилиндрическом, так и в сферическом источнике мало отличаются от ско-

') Brook J. W., О m an R. A., Rarefied Gas Dynamics, Forth Symp., Acad. Press, 1965.

роста и плотности идеального источника. Наиболее интересным оказалось изменение температуры. При расширении газа температура сначала падает, как и у идеального источника, ио затем резко изменяется и стабилизируется (па рис. 83 приведены результаты расчетов

для сферического источника; для цилиндрического источника картина аналогична). Место стабилизации температуры зависит от числа Рейнольдса Re* или Кнудсена в критическом сечении (на линии М=1). Чем выше Re*, тем дольше реальное течение следует идеальному источнику, тем при больших числах Маха начинается стабилизация1).

’) На рис. 83 нанесено несколько кривых, соответствующих одному и тому же числу Re*. Каждая кривая отвечает несколько иному месту склейки (г0) или, что то же, несколько иному числу Маха или скоростному отношению So до начала кинетического расчета. Интересно отметить, что сдвиг г0 сопровождается соответствующим сдвигом замороженной температуры, несмотря на то что температура, полученная из кинетического расчета, на большом протяжении совпадает с температурой для идеального источника. Причина столь «хорошей памяти» у решения до конца не выяснена.

Так как скорость стремится к некоторому предельному значению, близкому к максимальной скорости истечения, и температура стабилизируется, то происходит стабилизация и чисел Маха').

Таким образом, диссипативные процессы препятствуют получению сколь угодно больших чисел Маха и в свободной струе. Можно сказать, что препятствующее возрастанию чисел Маха нарастание пограничного слоя на стенках сопла обусловлено действием «поперечной вязкости» (диссипативными процессами, вызванными градиентами параметров потока, перпендикулярными направлению потока). Тогда описанное выше явление замораживания температуры и чисел Маха можно считать обусловленным действием «продольной вязкости» (продольными градиентами).

Рис. 84.

Проведенный анализ благодаря предельной схематизации задачи может претендовать лишь на качественные результаты.

Более тщательный анализ проведен в работах Эдвардса и Ченга) и Гамеля и Виллиса). В этих работах используются моментные уравнения. Для сферического источника качественные результаты совпадают с описанными выше. В работе Гамеля и Виллиса, в которой проведена строгая склейка асимптотических решений моментных уравнений во внешней и внутренней областях, показано, что во внешней области можно получить те же результаты, если представить

') Стабилизация температуры и чисел Маха обнаружена экспериментально. См. Anderson J. В., Anders R. Р., F е n n J. В., Maise G., Rarefied Gas Dynamics, Forth Symp., Acad. Press, 1965.

функцию распределения в виде

2лТц j2лТц j

2лТц j

2лТц j

соображений (т. е. пропорционально г 2). Это объясняется, по-видимому, столкновениями. Хотя столкновениясоображений (т. е. пропорционально г 2). Это объясняется, по-видимому, столкновениями. Хотя столкновения

соображений (т. е. пропорционально г 2). Это объясняется, по-видимому, столкновениями. Хотя столкновения

соображений (т. е. пропорционально г 2). Это объясняется, по-видимому, столкновениями. Хотя столкновения

(9.2)

Это — эллипсоидальное распределение, аналогичное введенному Холвейем для исследования структуры скачка уплотнения (см. § 4.4).

Распределение содержит две температуры: 7ц — параллельную температуру, характеризующую разброс по скоростям ^ц = и 7,—поперечную температуру, характеризующую разброс по поперечным скоростям ^. Поперечная температура определяется столкновениями молекул. По мере расширения потока столкновения становятся все более редкими. Течение все более приближается к радиальному разлету. Поэтому параллельная температура стабилизируется (рис. 84), в то же время поперечная температура падает почти так же, как и у идеального источника (рис. 85). Однако это падение более медленное, чем этого можно было ожидать из геометрических

и редки, при каждом столкновении поперечная температура получает существенную (по отношению к 7^) «подпитку». Так как Т^"^>Ту, то эта «перекачка» энергии не сказывается на параллельной темпе

ратуре.

В противоположность работе Брука и Омана, работы Эдвардса Ченга и Гамеля и Виллиса показали, что в цилиндрическом источнике не происходит замораживания температуры.

Стабилизация температуры в цилиндрическом источнике была уже ранее обнаружена М. Д. Ладыженским'), который исследовал течение в плоском и сферическом источниках с помощью уравнений Навье— Стокса. Принимая степенной закон изменения вязкости от температуры

’) Ладыженский М. Д., Прикл. матсм. и мех. 26, № 4 (1962).

ц—-Т'1 (п — 1 для максвелловских молекул, я=0,5 для сферических молекул), М. Д. Ладыженский показал, что при n и0 (n0 = 1 для плоского случая и n0 > 1 для сферического) вязкость не искажает течения идеального источника. При п < п0 в плоском случае происходит стабилизация температуры, а в сферическом—стабилизация температуры и падение скорости до нуля.

Кинетический анализ работы Гамеля и Виллиса также показывает, что при п > па реальное течение не отличается от идеального источника.

Однако при п < «0, т. е. в той области, где проявляются диссипативные процессы, результаты, полученные с помощью кинетического анализа и с помощью уравнений Навье — Стокса, расходятся. Навье- стоксовский анализ приводит к завышению влияния диссипации.

Для рассматриваемой задачи уравнения Навъе—Стокса позволяют правильно определить границу той области, в которой необходимо уже учитывать диссипативные процессы, однако они приводят к качественно неверным результатам при оценке самого влияния этих процессов. Как отмечено еще М. Д. Ладыженским1), диссипативные процессы становятся существенными в той области, где, строго говоря, уравнения Навье — Стокса уже несправедливы.

*) См. цитированную выше работу.

Приложение I

Уравнение Больцмана в криволинейных координатах1)

df ,

1 ^ б/ 1

£2 df (

б/ 1

(?1Ъ 6НХ

^ib 6НХ .

dt

1 Нх дЧ1 1

Н2 dq2 '

1 Н3

dq3

\ HVH2 dq2

Нхна dqa 1

,$2 дН,

дНД

С Й 6НХ

£2^3 dH2

1 Н2НХ дЧх

1 иапх

dqi /

уН^Нз д^2

Н2На dqa

41 дН2

днз'

( Й дНх

^ dH2

Н2НХ dqx

1 Н3Н2

dq2 у

' д12 1

\HVHS dq2 1

Н2На dqa

63^1 дН3ЧЧ ^Т73\ df

НаНх dqvНаН2 dq2 / д^3

Qv 9ч- 9s—криволинейные ортогональные координаты, ^, |2, £3 — проекции вектора скорости молекулы на криволинейные оси координат, Нх, Нг, Н3 — коэффициенты Лямэ.

Уравнение Больцмана в цилиндрических координатах

9i = г,9г = <р,q3 =z,

Я) = 1, Нг = г, Я3=1,^1=^.^2=^-^=U

df,рdf, )ф df,? д/ ,^df^df

otr -rdr" г dtp +dz +гд^ггд^<р

Уравнение Больцмана в сферических координатах

91= г,

Я,= 1,

9г = ф. Я9 = г8ш6,

‘7з = 8.

Н3 = г,

^1 = 4

^2 = ^ф>

^3 = ^0'

^6 df ! 5ф 4“ ^О

df

dt ' ^r dr ' г sin 6 дер ' г 69 ' г д^т

\ Г" г / дёф 1 \ г s г J die

■) Вывод уравнения Больцмана в криволинейных координатах можно найти, например, в монографии А. А. Власова (Власов А. А., Статистические функции распределения, «Наука», 1966) или в работе Е. М. Шахова (Шахов Е. М., Механика жидкости и газа, № 2, 1967).

J х2" у-Р-*1 c/,vJ х2" у-Р-*1 c/,vJ хЧ.е-рЛ2 ДХ _- ^J хЧ.е-рЛ2 ДХ _- ^СО2. \ xe-^xldx=^5-, осоJх^еdx = -^-» оJ хпе оСО2. \ xe-^xldx=^5-, осоJх^еdx = -^-» оJ хпе оJx3e dx— 2р2 , ОГ хгпчле-№дх = _ЛЦ.J2рл+1Jx3e dx— 2р2 , ОГ хгпчле-№дх = _ЛЦ.J2рл+1

J х2" у-Р-*1 c/,v

J х2" у-Р-*1 c/,v

J хЧ.е-рЛ2 ДХ _- ^

J хЧ.е-рЛ2 ДХ _- ^

СО

2. \ xe-^xldx=^5-, о

со

Jх^еdx = -^-» о

J хпе о

СО

2. \ xe-^xldx=^5-, о

со

Jх^еdx = -^-» о

J хпе о

Jx3e dx— 2р2 , О

Г хгпчле-№дх = _ЛЦ.

J2рл+1

Jx3e dx— 2р2 , О

Г хгпчле-№дх = _ЛЦ.

J2рл+1

Приложение II

Некоторые часто встречающиеся интегралы

(2л — 1) (2л — 3) ... 5 ■ 3 • 1