Книга
← К списку книгЗагрузка разделов…
активнаАктивные записи участвуют в каталоге и синках. Неактивная книга скрыта, но не удалена из базы.
Книга
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие редактора перевода
Предисловие автора
Система математических обозначений
Глава 1. Введение
Осповиые черты кинетической теории ,
Основные проблемы
Глава 2. Уравнение Лиувилля
Динамика системы N частиц
Уравнение Лиувилля
Решение уравнения Лиувилля
Функции распределения для подсистем и их эволюция во времени
Функции распределения в бгмерном фазовом пространстве
Упражнения
ЧАСТЬ I
УМЕРЕННО ПЛОТНЫЕ ГАЗЫ
Глава 3. Цепочка Боголюбова — Борна ——Грииа — Кирквуда —Ивона
Вводные замечания
Предположение о симметрии функций распределения в микроскопическом смысле
Симметрия функций расмре-деления при усреднении по времени и вывод цепочки ББГКИ ...
Физическая интерпретация цепочки ББГКИ ..
Допущение о симметрии функций распределения при усреднении ло ансамблю
Уяражнелия
Глава 4. Уравнение Больцмана
Введение
Необходимые допущения
Вывод уравнения
Физич&ский смысл уравнения Больцмана ...
Упражнения
「лава 5. Вывод уравнений Навье ——Стокса
Моментные уравнения
Метод Чепмена — Энскога
6 914151522282834364349506 91415152228283436434950525255^^707476767880»9969898101105525255^^707476767880»9969898101105Интегральное уравнение, эквивалентное уравнению Больцмана, и его применение ,
6 91415152228283436434950
6 91415152228283436434950
525255^^707476767880»9969898101105
525255^^707476767880»9969898101105
Макроскопические переменные газа вблизи поверхности стенки 114
Упражнения117
ЧАСТЬ II
РАЗРЕЖЕННЫЕ ГАЗЫ
Глава 6. Предполоя;ения, необходимые для вывода уравнений Навье — Стокса118
Вводные замечания118
Критерий сходимости разложения Чепмена ——Эн- скога120
Некоторые применения разработанного критерия 123
Упражнения124
Глава 7. Кинетическая теория динамики разреженного газа 125 § 7.1. Функция распределения вблгизи стенки ...125
Граничные условия длямоментов130
Применение граничных условий для моментов 137
Другие подходы к построению динамики разреженного газа147
Свободпомолекулярныйпоток153
Упражнения157
ЧАСТЬ III
ИОНИЗОВАННЫЕ ГАЗЫ
Глава 8. Применение кинетической теории к заряженным частицаз!158
Вводные замечания158
Фоккер-плапковское представление интеграла столкновений Больцмана в случае слабых взаимо、 действий159
Расходимость интеграла столкновений Больцмана при кулоновском взаимодействии163
Причина расходимости интеграла столкновений Больцмана165
Трудности, связанныес цепочнойББГКИ..170
Уравнение Власова171
Упражнения£76
Глава 9. Кинетические уравнениядляионизованныхгазов177
Общая схема177
Вероятность того, что две частицы окажутся ближайшими соседями181
Разбиение всех частиц на пары ближайших соседей 183
Модель(приближеннаясхема)I186
Модель(приближеннаясхема)II205
Модель(приближеннаясхема)III208
Замечания о трудностяхизучения реальных систем 211
Упражнения 212
Заключительные замечания214
Приложение А. Больцмановский интеграл столкновений 215
Приложение Б. Трудности обычных способов вывода уравнения Больцмана229
Приложение В. Подходы к кинетической теории, не использующие цепочку ББГКИ234
Приложение Г. Одна математическая теорема....236
Приложение Д. Квантовомеханическиесистемы.237
Приложение Е. Об определении различимости и неразличимости одинаковых частиц в статистической механике и в кинетической теории240
Приложение Ж. Историческн1£ очерк развития кинетической теории245
Литература262
Приложения редактора перевода267
Об одном методе решения кинетического уравнения Больцмана267
П. Новый метод решения системы кинетических уравнений 268
HL Теория плотных газовых смесей:269
Обобщение кинетической теории газов .271
Структура ударных волн:272
ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА
Вниманию читателя предлагается монография Т. Kora, которая выгодно отличается по содержанию и характеру изложения от соответствующих отечественных и переведенных на русский язык зарубежных монографий. Автор монографии не увлекается математическим формализмом в кинетической теории, а стремится дать физически ясное и математически строгое, а также последовательпое изложение основных положений кинетической теории газов. При этом в ряде случаев автор вы- нуждеп делать довольно элементарные выкладки, но они всегда, впрочем, способствуют углублению понимания существа теории. Важной особенностью данной книги является также стремление автора уделить должное вни- мапие историческому ходу развития основных идей кинетической теории газа и устаповить преемственность работ ученых, сделавших фундаментальный вклад в развитие этой науки. В книге довольно подробно рассматривается обмен идеями между Больцманом и Максвеллом и, в частности, отмечается, что уравнение Больцмана первоначальпо появилось как непосредственное обобщение уравнений переноса, полученных ранее Максвеллом. Большое внимапие обращается на существенное различие методов построения кинетической теории газов в работах Максвелла, Больцмана и построения статистической механики в работах Гиббса. В конце монографии приводится также краткий исторический очерк развития основных идей кинетической теории тазов. Следует особо отметить, что в результате детального рассмотрения физической сущности основных допущений кинетической теории газов
Т. Kora показал, что при описании системы из N одинаковых частиц функция распределения в 6汽-мерном пространстве должна быть несимметричной относительно перестановки любой пары динамических координат. Эти результаты были в свое время установлены также и редактором данного перевода и были опубликованы в период 1960—1965 гг. в разных изданиях. В монографии подробно рассматривается вывод уравнения Больцмана из цепочки ББГКИ в работах Н. Н. Боголюбова, Дж. Кирквуда, М. Грина. Причем автор монографии пытается найти те причины, которые привели указанных авторов к необходимости использования предположения о симметрии функции распределения. Следует отметить, что при полном отказе от этого предположения вывод урав- пепия Больцмана становится крайне сложным и его трудно сделать в обозримом виде, поэтому сам Т. Кога
также пользуется предположением о симметрии, но в локальной форме. Отметим также, что в данной монографии большое внимание уделяется динамике электрически заряженных сред. Автор подробно разбирает несостоятельность кинетического уравнения Больцмапа для подобных систем, возможности метода Власова и делает попытку обойти все трудности и построить новые уравнения для движения заряжеппых сред. При этом автор заранее отказывается от получения таких уравнений в универсальной форме и считает целесообразным пытаться написать эти уравнения применительно к отдельным классам задач.
Из всего вышеизложенного видно, какие сложнейшие задачи поставил перед собой автор данной монографии. Вполне естественно, что в полной мере эти задачи не были им решены. В ряде случаев автор допускает значительные неточности и приводит неубедительную аргументацию. Однако в столь сложной работе эти упущения неизбежны; они ни в какой мере не снижают значения
данной монографии, и поэтому редактор не счел целесообразным делать соответствующие примечания (сделанные при переводе примечания в основном ограничивались ссылками на литературу, которая, вероятно, не была известна автору).
Некоторые из проблем, связанных с критическим анализом предположения о симметрии функции распределения, еще ждут своего решения. В связи с этим следует сказать, что основное значение даппой монографии состоит именно в постановке проблем такого рода, характерных прежде всего для кинетической теории существенно неоднородных (гетерогенных) систем. Можно надеяться, что опубликование монографии Т. Кога на русском языке послужит мощным стимулом к дальнейшему развитию этого направления кинетической теории.
Перевод книги выполнили А. Г. Башкиров (главы 1—7 и Приложения А—Е) и Н. Т. Пащенко (главы 8, 9 и Приложение Ж).
Акад. В. В. Струминский
ПРЕДИСЛОВИЕ АВТОРА
Предметом настоящей монографии является стохастический характер кинетических процессов, происходящих в неравновесных газах. Предполагается, что частицы, образующие газ, подчиняются законам классической механики, иными словами, здесь рассматриваются газы малой плотпости и высокой энергии. Краткий анализ кинетической теории квантовомеханических систем помещен в Приложении Д.
Возникновение кинетической теории связано с именами Крепига, Клаузиуса, Максвелла и Больцмана, исходивших из предположения о том, что газ состоит из дискретных частиц (молекул), поведение каждой из которых подчиняется общим законам механики. Максвелл постулировал существование демона, способного видеть отдельные частицы газа. Предположим, кроме того, наличие математического демона Лапласа, способного решить систему уравнений движения частиц, образующих газ. Тогда для этих двух демонов поведение молекул газа будет полностью детерминированным. Разумеется, мы подобными демонами не являемся. Мы даже не в состоянии точно решить задачу более чем двух тел. В то же время ясно, что нет необходимости искать точное решение этих исключительно сложных нелинейных уравнений, так как в экспериментальных ситуациях, которые должна описать теория, наблюдаются лишь чрезвычайно затрубленные величины. Напомним, что Пуанкаре в про- шлом столетии решил систему нелинейных уравнений движения планет методом «крупноструктурного» усреднения, состоящим в описании возмущающих факторов qepes загрубленные траектории. При усреднении появля- ется возможность условно ввести гипотезу о равенстве априорных вероятностей. Заметим также, что с помощью гипотезы о молекулярном хаосе (Stosszahlansatz) Мак- свеллу и Больцману удалось достичь согласования между отсутствием макроскопического упорядочения и паличи-
ем его на молекулярном уровне. Заметим, что у метода Пуанкаре в небесной механике и у метода Максвелла ——Больцмана в кинетической теории есть много общего, а именно использование методов усреднения и гипотезы о равенстве априорных вероятностей. Очевидно, что эта гипотеза была принята Пуанкаре, Максвеллом и Больцманом лишь условно, для упрощения математической формулировки проблемы.
Кинетическая теория газов, построепная Максвеллом и Больцманом, послужила основой для статистической механики ) Гиббса. Однако у Гиббса гипотеза о равенстве априорных вероятностей выступает уже в качестве одного из принципов теории, а не просто как упрощаю^ щее предположение (в то же время Гиббс не настаивает на том, что система должна состоять из дискретных аа~ стиц). Максвелл и Больцман рассматривали кинетиче^ скую теорию, включая сюда как частный случай и эргодическую теорию, как дедуктивную, в то время как Гиббс строил статистическую механику индуктивным путем.
В статистической физике, вообще говоря, невозможно обойтись без понятия вероятности. История этого понятия восходит еще к временам Аристотеля. Однако в математической теории вероятности существенный прогресс был достигнут лишь в первой половине прошлого столетия Лапласом, Лежандром, Гауссом и др. Эти основоположники стояли на принципиальных позициях детерминизма. Именно, они считали законы природы строго детерминировакными; вероятностные концепции в научном мышлении возникают лишь вследствие грубости и несовершенства наших наблюдений. Как уже отмечалось, подобные взгляды были присущи также Кренигу, Клаузиусу, Максвеллу и Больцману, -развившим во второй половине прошлого века кинетическую теорию газов. Заметим, что грубое измерение соответствует математиче-- ской операции усреднения. G другой стороны, Мах, Оствальд, Гельмгольц и Планк, так же как и Гиббс, по-ви- димому, испытывали некоторые сомнения, поддерживая
детерминистскую точку зрения. Они проявили известный скептицизм в приемлемости детерминизма классической механики при исследовании термодинамических явлении. В нашем столетии благодаря развитию квантовой механики стало очевидно, что классическое понятие вероятно- стн, введенное на базе детерминистских законов, не является единственно возможным. В соответствии с этой концепцией вероятность в квантовой механике не явля^ ется «тенью», отбрасываемой реальными явлениями, которые может точно рассмотреть некий демон; вероятность присуща самим явлениям, и нигде не существует никакого «всеведущего» демона. (Правда, хорошо известно, ито де Бройль, Эйнштейн, Бом и другие поднимали вопрос о природе квантовомеханического понятия вероятности. По-видимому, этот вопрос до сих пор остается открытым и ждет своего решения.) Следует подчеркнуть существенную разницу менаду двумя понятиями вероятности: новым, слол^ившимся под влиянием квантовой механики, и старым, введенным в теорию газов. Разумеется, на современную статистическую физику оказало существенное влияние именно первое из них.
Возникает вопрос: какое понятие вероятности — классическое или современное — лучше соответствует задачам статистической физики? Это ——серьезный вопрос. Если мы примем классическое понятие, то статистические законы можно будет получить из основных законов механики путем крупноструктурного усреднения. С другой стороны, согласно современному понятию вероятности, статистические законы следует выводить из экспериментальных данных. Я лично предпочитаю подчеркивать значение и необходимость крупноструктурного усреднения при исследовании многочастичпых систем, как это принято в кинетической теории газов. Другими словами, при изучении неравновесных процессов в (неоднородных) многочастичных системах преимущество — за старым понятием вероятности, хотя бы из чисто прагматических соображений. В этом случае гипотеза о равенстве априорных вероятностей выступает лишь как вспомогательное условие. В статистической физике вероятности являются скорее апостериорными, чем априорными. Это утверждение может показаться парадоксальным, так как в конечном счете многочастичная система состоит из кванто-
вых частиц; его разъяснение содержится в Приложении Д. (Изложение в Приложении Д, разумеется, соответствует обычной интерпретации кваптовой механики и пе затрагивает более глубоких проблем, обсуждаемых Бомом и другими.) Автор надеется, что ему удастся продемонстрировать несколько примеров путаницы, возникшей в современной кинетической теории вследствие влияния гиббсовской и квантовомеханической трактовки вероятности. В частности, современная кинетическая теория оказывается бессильной в случае таких систем, в которых микроскопическое поведение частиц описывается нелинейными уравнениями.
Тогда у читателя может возникнуть вопрос: чем обусловлен столь большой успех статистической механики Гиббса? Ответ состоит в следующем:
В статистической механике все в основном определяется энергией, являющейся интегралом движения изолироваппой системы.
Временной и пространственный масштабы явлений, изучаемых статистической механикой, бесконечно велики. Иначе говоря, статистическая механика рассматривает системы в стационарном и однородном состоянии.
Эти два условия и обеспечили успех статистической механики Гиббса. Однако этот успех не обязательно должен убедить нас в плодотворности переноса интерпретации Гиббса в кинетическую теорию, изучающую стохастическое явление в многочастичных системах. Причины этого следующие.
Кинетическая теория имеет дело с неоднородными и зависящими от времени плотностями массы, импульса и энергии системы. Эти плотности пе являются инвариантами. Системы, изучаемые кинетической теорией, выглядят более упорядоченными, чем системы, рассматриваемые в статистической механике. Иными словами, в кинетической теории мы оказываемся ближе к демону Мак- свелла •
Пространственные и временные масштабы явлений, изучаемых в кинетической теории, как правило, конечны. Кинетическая теория изучает системы в процессе эволюции, который на микроскопическом уровне описывается нелинейными уравнениями»
Кинетическая теория газов изучает лишь малую долю обширного круга явлений статистической физики. Однако, еслн нас все же интересуют именно кинетические явле- □ня, мы не должны игнорировать их конкретные особенности.
Более ста лет тому назад (в 1866 г.) Максвелл опубликовал свою статью «О динамической теории газов». Весьма интересно проследить развитие кинетической теории за последующий период. В нашем столетии судьба кинетической теории была более чем скромной, развитие ее проходило в тени блестящих успехов квантовой механики и статистической механики. В Приложении Ж я излагаю свой взгляд на ее историю.
Настоящее исследование было начато вскоре после второй мировой войны, по-видимому, под влиянием одного из моих учителей, ныне покойного профессора Такуцо Сакаи из Токийского университета. Оглядываясь назад, я вижу, сколь многим я обязан общению с многочисленными коллегами; из них назову: Р. Л. Чуана, Г. Грэда, Е. П. Гросса, Н. Маркувица, Г. Мотца, А. Папулиса, А. Рорка, Д. Скарла, Б. Зеницкого, Дж. Вейнстока и Д. Иолу. Я хочу выразить сердечную благодарность д-ру М. Блуму, директору исследовательской лаборатории им. Престопа Р. Бассета при Бруклинском политехническом институте, за проявленную им щедрость при предоставлении мне возможности завершить в его лаборатории работу, которая тогда выглядела весьма рискованной, а также д-ру У. Б. Томпсону за чтение первого варианта рукописи и комментарии, способствовавшие усовершенствованию книги. Мпе хотелось бы особо отметить великодушие д-ра Д. тер Хаара, включившего эту монографию в выходящую под его редакцией серию монографий по физике. Разумеется, заслуживает благодарности мисс Джин Тукольски за помощь в подготовке рукописи. Последние три года исследования проводились по контрактам 839(34) и 839(38) проекта «Defender» Агентства высших исследовательских проектов по заказу № 529 конторы морских исследований.
冗 Ко?。
^^гамбра, Калифорния
СИСТЕМА МАТЕМАТИЧЕСКИХ ОБОЗНАЧЕНИЙ
Для обозначения трехмерных векторов используется полулшр- пый шрифт. Например:
импульс р = Рх,尸у, Pz, координата г = гх,〜,瞑,
U= 0 1 о .
\о о V
Компоненты векторов даются в декартовой системе координат. Для обозначения компонент обычно используются индексы £, у, z. Часто через X будет обозначаться пара риг; папример, X» = рк» означает импульс н координату 八立 частицы.'
Скалярное произведение:
а・в = &% + 4耳+ 4 纥， d(p / d d d \
A•而=依玩+勺/ + 4玩丿屮ит
Векторное произведенпе:
[р，r] = PyTz — Pz^u, Pzrx —尸K「z, Pxry — Pyrx “ T. Д.
Построение диады (тензора второго ранга):
АЛ 4^\
АВ = I 4% &Ву 4/邑卜
ab：cd =，£&4cr и t. Д.
Для обозначения интегрирования будут попользоваться три эквивалентные формы:
Jd3p = j dp = J J j dp/pydpv
аналогично,
J dXj = j J j j J j dp汝^p^/p在"Г仇"Г切加汉，dX#X$ = J j dX^X.,
ГЛАВА 1ВВЕДЕНИЕ
§ 1.1. Основные черты кинетической теории
В отличие от статистической механики, занимающейся； исследованием усредненного состояния термодинамически равповеспых систем, кинетическая теория изучает временную эволюцию состояния системы. Соотношение между пими можно попять с помощью следующей эвристической аналогии. Предположим, что за интервал времени от ^ до f + т астрономическая обсерватория приняла и записала серию радиоволн. Один из способов анализа полученной записи состоит в определении суммы отрезков времени, во время которых энергия волн была между Е и Е + А笈.Величину, полученную путем деления этой суммы на тАЕ, можно назвать частотой появления. Таким образом получаем график, изображающий зависимость частоты появления от Е. Этот график несет информацию о средпей энергии сигнала, об интенсивности флуктуаций, о вероятности появления флуктуаций заданной энергии и т. п. Однако при таком подходе совершенно упускаются из виду стохастические свойства серии волн. Построенный описанным выше способом график никак не сможет помочь нам обнаружить сигнал, связанный с формой изменения волны во времени; но именно анализ этой формы составляет содержание современной теории передачи информации. Подход статистической механики как раз можно сравнить с построением графика, устанавливающего связь между энергией и частотой появления, в то время как кинетическая теория, подобно теории передачи информации, занимается исследованием стохастической эволюции системы.
Задачей кинетической теории является вывод законов, определяющих макроскопические явления в системах на основе гипотезы о молекулярном строении систем и ди-
намических законов движения отдельных молекул. Гипотеза о том, что система состоит из отдельных молекул, представляется вполне справедливой в ртношении газообразных систем. Однако для систем, не находящихся в газообразном состоянии, справедливость этой гипотезы в ее буквальном смысле не вполне очевидна. Кроме того, очень сложно провести последовательный анализ стохастических процессов в подобных системах. Ввиду этого мы вынуждены исключить из рассмотрения системы, пе находящиеся в газообразном состоянии. (Разумеется, это вовсе пе означает, что кинетическая теория занимается исключительно одними газами.) Система динамических уравнений движения молекул газа состоит из огромного числа уравнений и поэтому не поддается обычным математическим методам анализа. Однако эта на первый взгляд безнадежная ситуация существенно упрощается с помощью гипотезы о равепстве априорных вероятностей. Интерпретация этой гипотезы неоднозначна, причем различные интерпретации приводят к различным результатам. Следовательно, интерпретация гипотезы составляет существеппую часть кипетической теории. В зависимости от обстоятельств эта гипотеза принимает различные формы. Поэтому современное развитие кипетической теории представляет собой исследование возможности применения гипотезы о равных априорных вероятностях к системам, находящимся в различных газодинамических условиях.
Ансамбли Гиббса являются стациопарпыми ансамблями статистически равновесных систем. Статистическая механика позволяет предсказать термодинамические свойства реальных систем, находящихся в состоянии теплового равновесия. Это делается путем выбора соответствующего ансамбля и вычисления средних значений некоторых физических величин по ансамблю. При этом ансамбль составляется из большого числа одинаковых систем, в то время как физическое наблюдение производится над одпой системой ). Чем же в таком случае
объясняется хорошее согласие предсказаний статистической механики с результатами наблюдений? Некоторые авторы, например Толмен [85], рассматривают метод статистической механики как постулат: поскольку этот метод во многих случаях оказался справедлив, пет необходимости в его дальнейшем обосновании. Объяснение причины совпадения предсказапий статистической механики с наблюдаемыми величинами попыталась дать эргодическая теория ); Измерение термодинамических свойств какой-либо системы не может быть сделано мгновенно; оно требует некоторого промежутка времени. В эргодической теории считается, что этот промежуток времени чрезвычайно велик по сравпепию с характерным временным масштабом микроскопических процессов в системе. Исходя из этого, эргодическая теория утверждает, что средние значения физических характеристик системы по бесконечно большому интервалу времени однозначно существуют и совпадают со средними по ансамблю. Отметим следующие две особенности эргодической теории:
Эргодическая теория не интересуется характером эволюции состояния системы;
Рассматриваемая система находится в состоянии теплового равновесия; такое состояние характеризуется полной энергией системы. Полная энергия является одним из интегралов движения изолированной системы; подобными интегралами являются также полиый импульс и полный момент импульса ). Кинетические и газодинамические явления иногда рассматриваются как флуктуации, возникающие в статисти-
ко-механических равновесных системах. Подобная интерпретация ошибочна, так как здесь имеет место принципиальное различие. Поясним это на следующих примерах газодинамических явлений.
Предположим, что мы проводим эксперимент по наблюдению ударной волпы в газе, заполняющем ударную трубу. Началом эксперимента можно считать нулевой момент времегаг, когда резко открывается вентиль (или диафрагма), разделяющий весь объем газа в трубе па две области с разным давлением. Концом эксперимента будем считать момент времени т, когда фронт ударной вол- ны впервые достигает конца трубы. Если ударная труба снабжена соответствующим оборудованием: газовыми насосами, системой охлаждения, вентилялги и т. д., то подобный эксперимент можно провести повторно с тем же газом при тех же макроскопических условиях. В интервале времени от 0 до т газ находится в неравновесном состоянии, что обусловлено конкретными начальными и граничными условиями. (При уменьшении начальной раз- пицы давлений в двух частях трубы состояние газа будеа приближаться к термодинамически равновесному. Однако, если в газе происходят газодинамические процессы, хотя бы и очень слабые, газ не находится в тепловом равновесии.) Со временем состояние газа изменяется в направлении установления теплового равновесия. Если период наблюдения выбрать значительно превышающим т, то в среднем газ будет находиться в почти равновесном состоянии, поскольку длительность периода от 0 до т представляет лишь малую долю полного периода наблюдения.
Рассмотрим газ, заключенный между двумя коаксиальными круговыми цилиндрическими стенками. Внутренний цилиндр удерживается пеподвшкным, а внешний вращается вокруг оси с постоянной угловой скоростью. При увеличении скорости вращения и при уменьшении расстояния между цилиндрами отклонение состояния газа от термически равновесного будет возрастать. В этом примере неравновесное состояние газа является стационарным: энергия, затрачиваемая на вращение внешнего цилиндра, превращается в тепло, однако степки цилиндров оснащены охлаждающими устройствами, обеспечивающими стационарный режим.
Пусть в сильное магнитное поле впрыскивается поток разреженного ионизованного газа. Движение заряженных частиц поперек магнитного поля ограничено, что затормаживает процесс установления равновесного состояния (термализации). Благодаря зтому возможно довольно долго удерживать ионизованный газ в неравновесном состоянии.
Из приведенных примеров видно, что возможность обнаружить отклонение состояния системы от термически равновеспого зависит от соотношепия между прострап- ствопно-времепными масштабами процесса наблюдения и исследуемого явления. Соответствующие граничные и начальные условия, а также внешние поля увеличивают пространственно-временной масштаб установления равновесия в системе, превращая этот процесс в «макроскопический». Термически равновесное состояние системы можно определить как статистическое состояние^ сохраняющееся 6 течение сколь угодно длительного времени. Следовательно, в термически равновесных системах могут иметь место временные и пространственные неодно- родности с микроскопическим пространствепно-времеп- пым масштабом *). Неоднородность такого рода может быть как в системе, считающейся термически равновесной, так и в другой подобной системе, считающейся неравновесной. Однако в первом из этих двух случаев статистический вес неоднородности значительно меньше, чем во втором. Это обусловлено различием между масштабами времени в статистической механике и в кинетической теории. В первом из рассмотренных выше примеров ка?к- rei近 раз, когда мы открываем диафрагму, в трубе с необходимостью возникает ударная волна, которая продолжа- ет существовать в системе в течение времени т. Подоб- тшй: процесс образования ударной волны может возник- нутЕ и случайно вследствие тепловой флуктуации в тер- мически равновесном газе в ударной трубе, однако это осуществляется чрезвычайно редко и частота повторения пренебрежимо мала.
Понять различие статистических подходов ——отнюдь не тривиальная задача, ввиду использования гипотезы о равенстве априорных вероятностей. Кинетическая теория не является частным случаем статистической механики; скорее, о статистической механике применительно к газу можно говорить, как о таком частном случае кинетической теории, когда прострапствешю-вре- меппые масштабы процесса наблюдения существенно превышают масштабы релаксационных явлений в газе.
В историческом плане напомним, что Гиббс [21] отказался от гипотезы о молекулярном строении вещества, лежащей в основе кинетической теории прошлого века. При этом Гиббсу удалось установить осповы статистической механики произвольных систем. Под влиянием этого успеха многие авторы после Гиббса стали игнорировать специфику кинетической теории и рассматривать ее как побочную и эвристическую ветвь статистической механики. Такое отношение проявилось, например, в обзоре П. и Т. Эрепфестов [16] по статистической механике. В целом газодинамические явления перестали привлекать к себе внимание физиков.
В итоге может возникнуть мнение, что в случае справедливости уравнения Больцмана установление равновесия в системе, согласно Я-теореме, будет происходить чрезвычайно «быстро», так что отсутствуют какие-либо искусственные средства, с помощью которых достаточно долго удалось бы удержать газ в существенно неравновесном состоянии. Как подчеркивалось в обзоре Д. тер Хаара [32], подавляющее большинство явлений статистической физики носит статистико-механический характер. Однако вышеупомянутые газодинамические явления лежат вне рамок статистической механики Гиббса и но могут быть отнесены к категории тепловых флуктуаций. Тем не менее мы часто проявляем склонность использовать основные понятия статистической механики как единственно возможные при исследовании подобных газодинамических явлений. Заметим, что, наряду с обычным предположением о малости ) отклонения состояния газа от равновесного, на развитие кине-
тической теории, по-видимому, оказали влияние квантовомеханическое вырождение и принцип неопределенности. Очень часто у различных авторов встречаются чрезмерно упрощенные представления об обосновании и использовании в кинетической теории гипотезы о равенстве априорных вероятностей. Учитывая изложенное выше, можно сказать, что собственно кинетическая теория все еще находится на начальной стадии своего развития, несмотря на давно сделанное Больцманом замечание ) о том, что теория газов (кинетическая Теория) вышла из моды в 1895 г.
В основе кинетической теории лежат следующие предпосылки: 1) система состоит из большого числа частиц, 2) известны динамические законы движения частиц (уравнения движения и характер сил межчастичпого взаимодействия), 3) макроскопические законы, определяющие поведение системы, в принципе могут быть выведены путем формальных построений из динамических законов движения частиц.
Разумеется, эти предположения являются не более чем просто постулатами. Окончательная проверка справедливости кинетической теории осуществляется путем сопоставления ее результатов с экспериментом. К настоящему времени эргодическая теория, представляющая собой особый раздел кинетической теории, дала доказательство того, что равновесная статистическая механика не противоречит этим предпосылкам; кроме того, полученное па их основе уравнение Больцмана подтвержда- етсн экспериментальными результатами. Однако в кинетической теории получено большое количество результа- тов，которые еще не сопоставлялись с результатами соответствующих экспериментов. Можно сказать, что к настоящему времени статус кинетической теории все еще остается неопределенным. Однако, в ожидании своей окончательной, решающей проверки, кинетическая тео- Р11Я Д°лжна стремиться к достижению наибольших успе- хов в рамках исходных предпосылок.
§ 1.2. Основные проблемы
Система дифференциальных уравнений, давших падежное обоснование газовой динамике, была получена более ста лет тому пазад ). В нее входят уравнение пе- разрывпости (закоп сохранения массы), уравнение Навье — Стокса (закоп сохранения тшпульса) и уравнение энергии (закоп сохранения энергии). Всю систему обычно называют уравнениями Навье — Стокса. Первоначально опа была выведена для газа, рассматривавшегося как сплошная среда. Однако к настоящему времени успехи кинетической теории позволили вывести эти уравнения из полной системы уравнений движения Ньютона или, что то же, из уравнения Лиувилля для молекул, составляющих газ. Процедура подобного вывода состоит из следующих двух этапов: 1) вывод уравнения Больцмана из уравнения Диувилля с помощью теории Боголюбова — Борна ——Грина ——Кирквуда ——Ивона ), или теории ББГКИ, 2) вывод уравнений Навье ——Стокса ыз уравнения Больцмана с помощью теории Чепмена — Энскога. При этом используется два основных допущения: 1) на первом этапе взаимодействие между молекулами считается бипарным, 2) на втором этапе считается, что газ имеет умеренно, высокую плотность и находится в состоянии, близком к равновесному. Эти допущения делают вывод уравнений Навье ——Стокса применимым лишь в некоторой ограниченной области всех возможных режимов газовой динамики. Желательно построить теорию, охватывающую все макроскопические динамические явления в газах. Одной из основных целей данной книги и является выяснение ограничений, налагаемых этими двумя допущениями, и поиски подходов, позволяющих преодолеть их.
Существует два случая, в которых нарушается первое допущение. При увеличении плотности таза, состоящего из нейтральных молекул, предположение о бинарном характере мел^молекулярпого взаимодействия уже несправедливо. В этом случае должно быть модифицировано уравнение Больцмана, в то время как теория ББГКИ ) остается в силе. Если газ состоит из электрически заряженных частиц, то, вследствие дальнодействия кулоновских сил, это допущение также становится неверным. Имеются основания считать, что в этом случае применение теории ББГКИ весьма ограничено. Второе допущение —о близости состояния газа к равновесному ——часто нарушается при динамических процессах в разреженных газах.
Схематически перечисленные ситуации представлены па рис. 1.2.1. Двойная вертикальная линия соответствует
「ур. Ли у билля ]
I —II 1
Iцепочно ББГК И |
ур Еопьимана ।
I^1 , I
' г1теория Чепмена-Энснога
Динамика Динамика也I ''
ионизованного разреженного 勿 Надье-Стокса |Динамика 4竺耳吆也I плотного газа
Рис. 1.2.1. Схематическое изображение структуры кинетической теории. Штриховой прямоугольник охватывает вопросы, рассмотренные в настоящей книге.
процедуре вывода уравнений Навье ——Стокса из уравнения Лиувилля. Теория ионизованного газа отклоняется от этой линии в самом ее начале. Теория плотного газа отделяется от основной линии перед уравнением Eojier- мана, а теория разреженного газа ——сразу после уравне- иия Больцмана.
В этой книге не рассматривается теория плотного газа нейтральных молекул. Межмолекулярное взаимодей-
ствие в плотном газе значительно сложнее больцманов- ского механизма столкновения. Последний основан на двух предположениях: а) бинарное столкновение начинается и завершается на бесконечно больших расстояниях между сталкивающимися молекулами, б) на таких расстояниях молекулы движутся совершенно свободно. При увеличении плотности газа вероятность такого в буквальном смысле бинарного столкповепия (без участия других молекул) убывает. Кроме того, объем пространства, занятый самими молекулами, составляющими газ, перестает быть пренебрежимо малым по сравнению со всем объемом газа); в термически равновесном состоянии это приводит к модификации уравнения состояния, т. е. вместо уравнения идеального газа необходимо пользоваться уравпепием Вап-дер-Ваальса или, в общем случае, вири- альным уравнением состояния. Однако относительно сложный характер межмолекулярпого взаимодействия в плотном газе, по-видимому, пе приводит к существенному изменению динамических характеристик газа по сравнению с характеристиками, выведенными из уравнения Больцмана. Это можно объяснить следующими двумя обстоятельствами: 1) сильное и эффективное взаимодействие на малых расстояниях остается все еще бинарным, хотя начинается и завершается на конечных расстояниях между сталкивающимися молекулами, 2) состояние плотного газа стремится к термически равновесному. Многие авторы ) занимались исследованием модификаций кинетической теории для плотного газа, однако это выходит за рамки настоящей книги.
Кроме того, здесь не затрагиваются эффекты, связанные с внутренней структурой молекул, ионизацией, диссоциацией и процессами излучения. Учет этих эффектов
необходим при изучении реальных систем, на что указывалось в целом ряде работ (например, [30, 57, 61, 73]). Предполагается, что можно рассмотреть их отдельно после построения основ кинетической теории без учета явлений, связанных с внутренней структурой молекул. В принципе подобные процессы требуют кваптовомеха- пического подхода, в то время как кинетическая теория поведения газа, пе учитывающая этих процессов, основывается па классической механике. Таким образом, отделение их существенно упрощает, теорию, в то время как совместное рассмотрение порождает непреодолимые трудности. Разумеется, это усложнение само по себе не может служить оправданием дальнейшего раздельного рассмотрения. Подобное разделение справедливо лишь в том случае, если элементарные микроскопические кваитово- мехапические явления происходят как локальные и дискретные события и их можно отделить от обычных столкновений. Будем надеяться, что впоследствии при учете этих эффектов нам пе придется полностью пересматривать теорию, построенную без их учета.
Согласно вышесказанному^ будем считать молекулы материальными точками, движение которых подчиняется классической механике. Взаимодействие между ними описывается межмолекулярными силами. Сила, действующая на i-io частицу (молекулу) со стороны у-й частицы, имеет вид
夕订=乂力方у,力 5 — 2, 3, , (1-2.1)
где 1｛仃一вектор положения /-й частицы относительно Mi, 乂订—константа, зависящая от характера взаимодействующих частиц (например, для электронов 乂订=е2, где е — заряд электрона). Кулоновская сила (s = 2) представляет особый случай, который приводит к расходимости больцмаповского интеграла столкновений, и, более того, в этом случае несправедлива теория ББГКИ. Выражение (1) ) не включает в себя магнитные межчастичные
силы, играющие существенную роль при взаимодействии между заряженными частицами чрезвычайно высоких энергий; разумеется, динамика подобных частиц должна быть релятивистской и в данной книге не рассматривается.
В части I излагается основная ветвь кинетической теории, обозначенная на рис. 1.2.1 двойной линией. Тем самым мы, с одной стороны, получаем возможность дать обзор классических теорий, а с другой ——поставить ряд вопросов, ответы на которые будут даны в следующих частях. Разреженные газы изучаются в части II, а ионизованные —в части III. В каждом конкретном случае подчеркивается, что ключ к решению дается пониманием характерных временных масштабов и относительной роли каждого из физических процессов в рассматриваемой системе.
Итак, в данной книге изучаются следующие основные вопросы:
В чем состоит физический смысл теории ББГКИ?
Как правильно получить уравнение Больцмана из уравнения Лиувилля, не пользуясь предположением о слабости столкновений?
В чем особенность кинетической теории разреженных газов?
В чем особенность кинетической теории ионизованных газов?
Прежде чем отвечать па эти вопросы, укажем следующее:
любой газодинамический эксперимент проводится над одной системой;
исследуемое явление (или его поведение) в газе происходит в конечных пространственно-временных масштабах;
характерные для данного явления величины не обязательно являются интегралами движения изолированной системы;
эти величины могут существовать в системе достаточно долго благодаря заданию макроскопическим образом начальных и граничных условий и внешних сил.
Полученный в результате многочисленных допущений вид (1) силы межмолекулярного взаимодействия и основанная на нем динамика частиц газа не в состоянии
точно предсказать газодинамические свойства реальных газов. При этом остается открытым вопрос о том, когда, где и как именно происходит отклонение предсказаний, основанных па этом виде ) межмолекулярпой сплы, от реальных явлений. Этот вопрос еще ждет своего детального решения. Мы же просто считаем, что эта модель хорошо передает общие черты динамики частиц. Если окажется, что в некоторых случаях это не так, то тем самым мы получим направление выбора другого подхода.
СтендаСтендаРис. 2.1.1. Известно, что газ остается внутри объема в течение всего периода наблюдеиия. Однако при этом он может находиться в сосуде с объемом меньше У или быть в процессе свободного расширения.Рис. 2.1.1. Известно, что газ остается внутри объема в течение всего периода наблюдеиия. Однако при этом он может находиться в сосуде с объемом меньше У или быть в процессе свободного расширения.внешние поля, затрудняющиевнешние поля, затрудняющие
Стенда
Стенда
Рис. 2.1.1. Известно, что газ остается внутри объема в течение всего периода наблюдеиия. Однако при этом он может находиться в сосуде с объемом меньше У или быть в процессе свободного расширения.
Рис. 2.1.1. Известно, что газ остается внутри объема в течение всего периода наблюдеиия. Однако при этом он может находиться в сосуде с объемом меньше У или быть в процессе свободного расширения.
внешние поля, затрудняющие
внешние поля, затрудняющие
ГЛАВА 2
УРАВНЕНИЕ ЛИУВИЛЛЯ
Динамика системы N частиц )
Займемся изучением динамического поведения частиц, образующих газ (материальных точек). Будем считать, что в течение всего времени исследования газ находится в некоторой части конфигурационного пространства с объемом V (рис. 2.1.1); эту область будем далее обозначать через V. Заметим, что из
этого условия не следует, что газ заполняет всю область V. Некоторые ее части могут быть совершенно свободны от частиц; газ может находиться в сосуде, занимающем лишь часть области У; газ может быть в процес
се расширения в направлении к границам области V, причем иногда могут существовать стенки и расширение газа. При этом
предполагается конечность скоростей и ускорений всех частиц, а также конечность времени наблюдения.
巾 к стенки сосуда выполняют две функции: 1) с од- ИТа оны они просто ограничивают пространственные H^v^bi системы для удобства ее рассмотрения; 2) с дру- Р - гтопоны они обеспечивают начальные и граничные налагаемые на содержащийся в нем газ. Оши- б0ЧП0 полагать, что стенки сосуда должны быть тверды- жестко закрепленными, не проводящими тепло и т. д. р Процессе эксперимента макроскопическое поведение стенок также коптролируется, они могут быть деформируемыми, подвижными, могут проводить тепло и т. д. ЬЬличие5 таких стенок описывается с помощью силовых полей. В дальнейшем будет видпо, что излагаемая теория построена таким образом, что ее результаты справедливы дЛЯ подсистем, удаленных от каких бы то ни было стенок. При этом сложное взаимодействие между газовой подсистемой и реальной стенкой подменяется статистическим граничным условием, налагаемым (в порядке гипотезы) на функцию распределения молекул подсистедты. (Следует признать, что пока не существует кинетической теории, в которой взаимодействие между газом и стенкой рассматривалось бы последовательно в духе кинетической теории. Поэтому, к сожалению, мы вынуждены следовать установившейся традиции.)
Обозначим через N число частиц в системе. Все частицы одинаковы и представляют собой материальные точки с массой т. Поскольку предполагается, что частицы дискретны и не образуют сильно связанных устойчивых комплексов, как это бывает в жидком и (или) твердом состоянии, то совершенно неверно было бы вводить какие-либо обобщенные координаты, принятые в аналитической динамике систем многих тел ). Итак, состояние каждой отдельной частицы, папример Z-й, будем опреде- лять вектором положения 壮 и импульсом р»; часто
состояние обозначается так:
X产(门，рЗ E = l,2, N.(2.1.1)
Иногда бывает удобно использовать декартову систему координат
(2.1.2)
Pt 三(尸京,Piy, Piz) •
Время обозначается через t.•
Законы движения Ныотопа для i-й частицы имеют вид
Pi三若二乡3,(2・1・4)
где 歹以——сила, действующая на i-ю частицу:
ST窜io + 夕切 + 2 夕订，学认=0.(2.1.5)
方=i
Здесь 3^10 ——внешняя сила, источник которой находится впе области У,歹九и —сила, описывающая влияние стенок, а 夕力—сила, действующая со стороны /-宜 частицы, принадлежащей этой же системе. Предположим, что сила 笏紀 является электромагнитной или гравитационной и зависит только от ri? р» и t. Сила ^iw должна быть более сложной, поскольку стенки также состоят из молекул, подчиняющихся определенным динамическим законам. Строго говоря, стенки и газ, находящийся с ними в контакте, нужно рассматривать как единую систему. Сила ^iw зависит не только от m и р& но так?ке и от состояний всех молекул, образующих стенку. Разумеется, эти состояния зависят от времени. Одпако мы будем предполагать, что молекулярная структура стенки чрезвычайно стабильна по сравнению с состоянием контактирующего с ней газа. В результате столкновения с частицей газа стенка может получить и (или) потерять какое- то количество энергии, может измениться ее структура. Однако микроскопическое изменение настолько незначительно, что микроскопическое состояние сосуда можно
工 ать почти стационарным *). Следовательно, можно с™^тй допущение о том, что 歹九。зависит только от гъ р? М i хотя эта зависимость может быть сложной.
玩з-за сложного вида этих сил певозможло получить полное решение системы уравнений (3) и (4). Однако в принципе ft и Pi являются функциями t и начальных зна- и^нп宜 всех величин, характеризующих состояние частиц. Поскольку начальные значения каждой компоненты век- ТОрОВ положений и импульсов N частиц могут задавать- ся пезависимо от остальных, число степеней свободы всег0 газа равно 3N. Следовательно, любую переменную г. и р» можно считать не зависящей от других **). Можно ввести какие-либо ограничивающие условия, например: Pix = Ф(^-х,卩历)・ Однако подобные ограничения, по- видимому, эквивалентны введению некоторых внешних сил, а также начальных и граничных условий, выражаемых с помощью силы 夕加.Мы будем в дальнейшем считать переменные г» и р» независилтыми, поскольку на ипх не наложены подобные ограничения.
Определим вариацию Д состояния частиц в виде N
А = И А3ГгА3Р1, Д31\ = ArixAriyAr^, ...(2.1.6)
2=1
Рассмотрим изображенный на рис. 2.1.2 элемент (7, 2, 3, 4) rixriy-n^ о стр анств а в момент времени Л Здесь Аг 认 представляет собой отрезок 1—2 и т. д. К моменту вре- ме”1 y = z + A方 точка 1 переместится в 7‘，точка 2 — в 2’ и т. д. в соответствии с уравнениями (3) и (4). Тог- Да изменение за время /V отрезка А% будет равно a羽 一 △尸旣=&讪)2 А方—(МхЛ^ =
.)Однако, как объяснялось в начале этого параграфа, в мак- смысле состоянию стенки может изменяться.
)При варьировании начальных значений этпх переменных м°，кем варьировать только одагу из них, папрпмер р?*, не варь- РУ* при этом остальные (62V—1) переменных. С другой стороны, висимвд^цМЫе УРанненпем (4) переменные р^ не являются неза-
ИЛИИЛИdl 一 drixdl 一 drixАГ仪.АГ仪.
ИЛИ
ИЛИ
dl 一 drix
dl 一 drix
АГ仪.
АГ仪.
Рассматривая аналогичным образом смещение каждой компоненты, входящей в соотношение (6), получаем 豁=孑係F +£后｝(2.1.7)
Подстановка в (7) уравнений (3) и (4) приводит к следующему соотношению:
融=(?舒歹)А•(2.1.8)
В соответствии с (1.2.1) предполагается, что межчастич- иые силы зависят только от координат г. Тогда d/dpi • •舒可=0・ Если 歹紀 является силой тяжести или элек-
Рмс. 2.1.2. Представляющие точки ?, 2, 3, 4 в т^^у- подпространстве через интервал времени А力 переходят в Iх, 2', 3', 4'.Рмс. 2.1.2. Представляющие точки ?, 2, 3, 4 в т^^у- подпространстве через интервал времени А力 переходят в Iх, 2', 3', 4'.
Рмс. 2.1.2. Представляющие точки ?, 2, 3, 4 в т^^у- подпространстве через интервал времени А力 переходят в Iх, 2', 3', 4'.
Рмс. 2.1.2. Представляющие точки ?, 2, 3, 4 в т^^у- подпространстве через интервал времени А力 переходят в Iх, 2', 3', 4'.
трической силой, то также °/<?р〃•歹询=0. Если 歹郁一 магнитная сила, то она зависит от р,. Однако произвольно направленная компонента силы 歹询 не зависит от компоненты pi в том же направлении, поэтому здесь также dld^i- ^iq = 0- Влияние стенок сосуда выражается силой ^iw Если столкновение %-立 частицы со стенкой происходит упруго, а сила 歹也。 потенциальна, то производная d/dpi •声成⑦ скорее всего равна нулю. Однако если %-н частица при столкновении со стенкой приобретает или теряет некоторую энергию, то эта производная может
быть отлична от нуля. Таким образом, в общем случае (8)принимает вид
Если столкновение всех частиц со стенкой происходит упруго, то
^А = 0.(2.1.10)
Полученное соотношение представляет собой теорему
Лиувилля [55].,,
Координаты и импульсы г±, Ре, X = 1, 2, ..., N, определяющие состояние системы в момент времени Г, являются функциями координат и импульсов Гг, р{, определяющих состояние этой системы в момент времени 力
门——门(「1，「2，•…，Tn, Pi，P2，• • •, Pn；力，力)，(2 4(])
Рг 三 Pe (「i，г?, • • ., т n \ Pi j P2Pw；厶力)•
Отсюда следует, что
д (гр •・•，Pjv)
Если соотношение (10) справедливо, то
Ц ^зКАЗр； = JJ ДЗр.дзр. = △ (инвариант),
откуда
(2.1.12)(2.1.12)8&，••/%) _ [8 3，• • •, Pjv)
(2.1.12)
(2.1.12)
Представим себе 6Л^-мерпое пространство с координатамиАк, г匂,Az, Pix, Pw, 〃iz；力=1, 2, . . ., TV,
которое называют фазовым пространством. Каждая точка фазового пространства может полностью определять состояние системы. Если какая-либо точка представляет заданное состояние системы, то ее называют представляющей точкой. Рассмотрим в момент времени 厶 замкну-
тую поверхность в бМмериом фазовом пространстве ). Пусть каждая точка па этой поверхности представляет какое-либо состояние одной и той же системы ^ частиц. Со временем происходит движение и деформация представляющей поверхности в соответствии с уравнениями (3) и (4). Любая точка, представляющая состояние и расположенная в момент времени 勿 внутри замкнутой- поверхности, также будет двигаться с течением времени. Однако эта представляющая точка никогда не пересечет поверхность, если стенки сосуда упруги и производная d/dpi •旷^ равна нулю. Пусть две точки представляют в момент времени 灰 два различных состояния: одно —— лежащее внутри замкнутой поверхности, а другое ——па самой поверхности. Предпололшм, далее, что в момент 力2 > 加 обе точки оказываются па этой поверхности и, более того, слившись в одну, представляют одно и то же состояние в момент ^2. Так как в случае упругих стенок уравнения движения Ньютона для обеих частиц обратимы, то описанная ситуация соответствовала бы образованию двух различных состояний из одного начального, что невозможно. Отсюда мы вправе сделать вывод о том, что любая точка, представляющая состояние системы и находящаяся внутри замкнутой поверхности, представляющей состояние большого числа систем в момент времени 力,всегда остается внутри поверхности, независимо от того, насколько сильно деформируется эта поверхность. Если взять у систем, представляющие точки которых в момент времени 力 находятся внутри области Д, то в случае выполнения уравнения (10) должно иметь место уравпение
詬卜 °-(2413)
Уравпение Лиувилля
В предыдущем параграфе перед нами стояла задача проследить движение представляющей точки системы в бМмерном фазовом пространстве. В этом параграфе будет рассмотрена элементарная область, положение кото-
-фиксировано в фазовом пространстве, так что пред- Р^ав^ющие точки в процессе эволюции могут проходить ч1рез эту область.
Есл迈 состояния образующих ансамоль систем представляются в момент времени t совокупностью точек, распределенных по фазовому пространству, то можно ввести плотность 0（）в виде
D（N） = lim 11Axl0D（N） = lim 11Axl0AvIWAvIW（2.2.1）（2.2.1）
D（N） = lim 11Axl0
D（N） = lim 11Axl0
Av
IW
Av
IW
（2.2.1）
（2.2.1）
где ПАХ z ——объем рассматриваемой элементарной обла- стн, Av ——число представляющих точек, находящихся 'внутри нее. В общем случае плотность D{N） неоднородна. Поскольку, как показано выше, представляющая точка каждой системы движется в фазовом пространстве, плотность D{N） должна зависеть пе только от координат Х^ той точки фазового пространства, где эта плотность определяется, по и от времени t. Заметим, что совокупность этих координат определяет произвольную точку фазового пространства, а вовсе не движущуюся в этом же пространстве представляющую точку какой-либо конкретной системы. Если в момент времени t существуют производные плотности D〈n）относительно этих координат, то условие сохранения числа систем, образующих ансамбль, можно записать в виде
齐沙 ％ + А]/ ・（；刀⑺）+ *. ^iD^ = о, （2.2.2）
「ае г» и pi — скорости изменения координат представляю- ще面 точки, проходящей через рассматриваемую фиксированную точку фазового пространства. Как и при выводе （2.1.8）, имеем
д * а
而 3 =（223）
Иногда может оказаться .удобным заменить это выражение на
^••夕询=（歹；о・ *O（n）） /оз）.（2・2・3）'
Однако зависящая от D{N） сила 歹泣 неизвестна и может
иметь довольно сложный вид. Тогда получим
*^・血D(N)) = (* -Pi) D(N)十应•号J =
=(歹:” + 歹3 爲"* (2.2.4)
где
(2.2.5)(2.2.6)(2.2.5)(2.2.6)歹i =歹询 +3r iw + S ^ij-
(2.2.5)
(2.2.6)
(2.2.5)
(2.2.6)
Очевидно, что
Подстановка уравнений (4) и (6) в (2) дает
备十 e*•* + 》(歹*十夕焉)•矗"]0з)=0.
(2.2.7)
вид(2.2.8)(229)(2.2.10) прострап-вид(2.2.8)(229)(2.2.10) прострап-Поскольку полученное уравнение Лиувилля (7) является дифференциальным уравнением в частных производных первого порядка, то его характеристики имею:
вид
(2.2.8)
(229)
(2.2.10) прострап-
вид
(2.2.8)
(229)
(2.2.10) прострап-
仁_Pidt — m，
_：『=歹以 + 夕iw, %= 1, 2,,7V,
dO(N)J
\ d力 / вдоль траектории *
Здесь траектория означает линию в фазовом
стве, вдоль которой происходит эволюция состояния системы, описываемая уравнениями (8) и (9). Уравнение (10) представляет собой теорему Лиувилля в широком смысле.
Решение уравнения Лиувилля
Частное решение. Начнем изучение урав- пения Лиувилля с простейшего случая. Пусть ^ = 1, и пусть эта единственная частица 1 помещена в прямоугольный сосуд. Очевидно, что в любой момент времени
частица будет находиться в каком-то единственном состоянии, даже если это состояние, т. е. координата и импульс частицы, нам точно не известно. Обозначим это состояние X；(方).Функция распределения частицы, со- гласно введенному ранее определению, имеет вид
°⑴(X】;о = 6(Р1 - р；⑹ 6(Г] 一 г； (0)= з(X] - X；⑴)，
(2.3.1)
Где X] и t — независимые переменные, 6(р) == 6(/?х)6(^) X Xb(〃z), 3(f) = 6(公)6%)6(后).В соответствии с определением 6-фупкции
。⑴(Х1；£) = 0 при Xi^X；, (2.3.2) '刀⑴(Xi")dX] = 1,
J 屮(Х0 少⑴(К】；0 dX, =(p(X；⑺).(2.3.3)
Здесь область интегрирования должна быть достаточно велика, чтобы включать в себя весь объем сосуда и максимальное из возможных значений импульса частицы. Имеется целый ряд функций, обладающих свойствами 6-функций (см., например, [15]). Укажем, в частности, 备 exp (- a2炉)， 叫丁) и т. Д.
при а, стремящемся к бесконечности. Нетрудно доказать, ито введенные выше величины 0")удовлетворяют уравнению Лиувилля
(备+ 3 •号 +夕1•帚)。⑴=°，(234)
Доказательство: уравнения характеристик для уравнения (4)
色_ = % &dt 〃z ' d力1
представляют собой уравнения движения, которым долж- на удовлетворять X： (%). Поэтому, если X】=X；, то левая часть уравнения (4) обращается в цуль при подстановке в nee (1), а если 匕卢 X；, то обращается в пуль сама
функция О(". Следовательно, в любом случае D⑴ удовлетворяет уравнению (4).
Если имеется вторая такая же частица, скажем частица 2, помещенная в другом сосуде, то ее функцию распределения можно представить в таком же виде:
。⑴(К?; Z) = 3 (К? — X；(Z)). (2.3.6)
Обе частицы существуют одновременно н независимо друг от друга и различимы, поскольку находятся в разных сосудах. Чтобы представить расдределепие двух частиц одной функцией, введем совместную (двухчастичную) функцию распределения
0(2)(X], Х2； t^S^- X；⑴)6 (К? 一 X；(力))• (2.3.7) Поскольку Xi (力)всегда отличается от X； (%), совершенно ясно, что。⑶ пе симметрична относительно переста- повки Xj. и X?:
。⑶(X】，Х2；力 *0(2)(Х2, X；匕 (2.3.8)
Предположим, что в момент времени t перегородка между двумя сосудами убирается. Начиная с этого момента времени X：⑴ и X； (£) удовлетворяют системе уравнений движения двух взаимодействующих между собой частиц, а двухчастичная функция распределения определяется, как и ранее, выражением (7). Это связано с тем, ито состояние частицы 1 может ii3Rieu兄тьс兄 только непрерывно, с коночной скоростью изменения от исходного состояния при 力о частицы 1 в первом сосуде, а состояние частицы 2 изменяется таким же образом от исходного состояния при tQ частицы 2 во втором сосуде. Поскольку X； (0 и Х^ ⑴ различимы, обе частицы различимы по своим состояниям (вне состояния частицы быть пе может!). Если бы в какой-либо момент времени осуществлялось
X；⑺=X；⑴， (2.3.9)
то начиная с этого момента времени утверждение о различимости частиц потеряло, бы смысл. Однако, поскольку материальные точки моделируют реальные частицы, необходимо учитывать сильное взаимное отталкивание, воз-
кающее па малых расстояниях мелоду частицами. По- М；му равенство (9) не может осуществиться. Итак, в о6~ те、случае можно использовать те же аргументы и для системы, состоящей из N частиц, где"
N-
O(N) = П S (^ - X* ⑴).(2.3.10)
г=1
дта ф^чткция распределения не симметрична отпоситель- 110 перестановки координат двух одинаковых частиц системы：
〃(」Y)(Xi, ..., Х,・，...，Xj, ..., XQ*
*O(N)(x,…，Xj, Xi, XQ. (2.3.I0)'
Разумеется, нетрудно показать, что определенная таким образом функция 沙“)удовлетворяет уравнению (2.2.7), т. е. приведенная выше форма D(N) является частным решением уравнения (2.2.7). В кинетической теории неизбежно приходится исследовать это частное решение, поскольку основная цель этой теории состоит в изучении стохастических процессов, происходящих в одной системе.
Общее решение. Представим X* (/) в виде суммы
X：⑴=Х｛幻+ Х；(力(2.3.11)
где
X «о)=。，
=歹；(функция от всех X* (力))，
砧 Р* (i)(2.3.12)
dt — m '
a食生) может быть выбрана произвольно. Подставляя такую форму X* (力)в (10), получаем
^-Пб^-х* (2 一 X； (Z)).(2.3.13)
Пустьл
屮=中(X] (%), Х?(力°),…，X^(%))(2.3.14)
~ произвольная функция от X；隔),X；(幻,… Тогда
с ее помощью можно определить величину
N
①(X], Х2, Хм") = / ^DW П dX 汽幻= 2=1
—ф(Xi — X]⑴,X? — X? О ..., Xn — Xn (力))，(2.3.15)
где X* i = 1, 2, ..., ^ и i являются независимыми переменными.
Этот набор независимых переменных может быть задан произвольно, по после его задания величины X* (力°) выбираются таким образом, чтобы в соответствии с (11) выполнялись соотношения
爲= Xl9；力=1,2, ・.・，N・(2.3.16)
При этом предполагается, что функция <р определена в достаточно большой области фазового пространства. При условии (16) функция O(n)в виде (13) и ^D^ X X Ц dA* (%) удовлетворяют уравнению Лиувилля. Следовательно, функция Ф, определенная формулой (15), представляет собой общее решение уравнения Лиувилля. Заметим, что, согласно (12) и (16), р{ и 白 являются решениями уравнений
"Р；_ Реdt —*' dt — m，
правые части которых не зависят от t. Тогда из (17) получаем
р成 =(方一方0)歹厶 门=(方一方0) -^-.
Очевидно, эти решения по соответствуют реальной траектории j-й частицы, что па первый взгляд может показаться парадоксальным. В действительности, однако, при заданном X» необходимо учитывать изменение со временем величины X； (%), с помощью которой определяется (в соответствии с (И)) величина Х^ (方),входящая в (16). Иными словами, в разные моменты времени величины X* (方)и X；(力) определяются для разных траекторий i-й частицы, что проиллюстрировано на рис. 2.3.1.
Дополнительные замечания. В связи
отметим, что уравнение характером начального определяет только законотметим, что уравнение характером начального определяет только законXXООРис. 2.3.1. Х^ и 力 являются независимыми переменными. Сплошные линии изображают возможные траектории г-й частицы, вдоль которых может быть отличной от нуля D(N) в форме (13). Каждая траектория ха- рактеризуется своими 吊(力°) и X» ⑴，Пронумеровав траектории, получим для них X* (%)1，占(/)i，X；(力о)2，xi ⑴2,…° другой стороны, аргумент X^ (/) функции ф в формуле (15) не принадлежит ни одной конкретной траектории, его значения принадлежат различным траекториям в точках их пересечения линий X» =const, проходящей параллельно оси времени. Штрихпунктирная линия соответствует решению уравнений (17).Рис. 2.3.1. Х^ и 力 являются независимыми переменными. Сплошные линии изображают возможные траектории г-й частицы, вдоль которых может быть отличной от нуля D(N) в форме (13). Каждая траектория ха- рактеризуется своими 吊(力°) и X» ⑴，Пронумеровав траектории, получим для них X* (%)1，占(/)i，X；(力о)2，xi ⑴2,…° другой стороны, аргумент X^ (/) функции ф в формуле (15) не принадлежит ни одной конкретной траектории, его значения принадлежат различным траекториям в точках их пересечения линий X» =const, проходящей параллельно оси времени. Штрихпунктирная линия соответствует решению уравнений (17).LibLibс найденными выше решениями Лиувилля никак не связано с условия для 0(N). Это уравнение
отметим, что уравнение характером начального определяет только закон
отметим, что уравнение характером начального определяет только закон
X
X
О
О
Рис. 2.3.1. Х^ и 力 являются независимыми переменными. Сплошные линии изображают возможные траектории г-й частицы, вдоль которых может быть отличной от нуля D(N) в форме (13). Каждая траектория ха- рактеризуется своими 吊(力°) и X» ⑴，Пронумеровав траектории, получим для них X* (%)1，占(/)i，X；(力о)2，xi ⑴2,…° другой стороны, аргумент X^ (/) функции ф в формуле (15) не принадлежит ни одной конкретной траектории, его значения принадлежат различным траекториям в точках их пересечения линий X» =const, проходящей параллельно оси времени. Штрихпунктирная линия соответствует решению уравнений (17).
Рис. 2.3.1. Х^ и 力 являются независимыми переменными. Сплошные линии изображают возможные траектории г-й частицы, вдоль которых может быть отличной от нуля D(N) в форме (13). Каждая траектория ха- рактеризуется своими 吊(力°) и X» ⑴，Пронумеровав траектории, получим для них X* (%)1，占(/)i，X；(力о)2，xi ⑴2,…° другой стороны, аргумент X^ (/) функции ф в формуле (15) не принадлежит ни одной конкретной траектории, его значения принадлежат различным траекториям в точках их пересечения линий X» =const, проходящей параллельно оси времени. Штрихпунктирная линия соответствует решению уравнений (17).
Lib
Lib
эволюции 0(n)во времени и не носит, таким образом, статистического характера. Гиббс [21] называл величину
фазовым объемом и интерпретировал теорему Лиувилля как теорему о сохранении фазового объема элемента фазового пространства, движущегося вместе с совокупностью представляющих точек ансамбля. Часто величину фазового объема рассматривают как меру микроскопиче- ск°й неопределенности состояния реальной системы, при зтом уравнение Лиувилля принимает смысл закона сохранения плотности вероятности. Подобная интерпрета- 口ня с практической точки зрения вполне приемлема в статистической механике, имеющей дело с термически равновесным состоянием. Однако в кинетической теории, занимающейся изучением эволюции состояния системы,
опа, как будет показано ниже, может ввести в заблуждение. Действительно, рассмотрим первый из трех экспериментов, перечисленных в § 1.1. В этом эксперименте изучалось образование ударных волн в ударной трубе. Если в этом эксперименте каждый раз используется один и тот же газ, состоящий из N молекул, то его состояние в каждый момент времени удобно представлять точкой в бМмерпом фазовом пространстве (рис. 2.3.2). Разумеется, точное положение этой точки нам неизвестно, но
Рис. 2.3.2 Овал, изображенный сплошной линией, охватывает область фазового пространства, занятую каноническим ансамблем. Сплошные линии, пачхшающиеся при 力=0 и заканчивающиеся при /=т, представляют эволюцию микроскокического состояшгя газа в различных повторениях 1, 2, з, . . . эксперимента по образованию ударной волны в ударной трубе. Штриховая линия, продолжающая линию 1, представляет микроскопическое состояние газа в процессе релаксации к равновесному состоянию после эксперимента 工
яспо, что оно существует, так как система имеется в одном экземпляре. Измепехше состояния газа, начиная с момента t = 0 открытия диафрагмы и до момента времени т, изображается траекторией в фазовом пространстве. Заметим, что эта траектория едипственна, хотя нам и неизвестно ее точное расположение. Повторяя многократно этот эксперимент с одним и тем же газом при тех же самых макроскопических условиях, мы получим группу траекторий в фазовом пространстве. Поскольку контроль над условиями эксперимента проводится на макроскопическом уровне, траектории будут отличаться друг от друга в микроскопическом смысле, а заполненная этими траекториями область фазового пространства определяется макроскопическим состоянием газа.
Функции распределения для подсистеми их эволюции во времени
В дальнейшем для удобства всегда будем считать, что функция Dm нормирована следующим образом:
N
J даД^г= 1.(2.4.1)
Полное число систем может быть или равным единице пли больше), по оно является инвариантом. Отсюда следует, что если Dg была нормирована в начальный момент времени, то в дальнеййтем ее нормировка сохраняется. Иормпровка всегда возможна. Действительно, пусть 〃(N)/ еще це нормирована. Тогда можно ввести функцию
N
刀(N) =°(N)//J 刀(N)，口 dXf,
которая нормирована. Известно, что система заключена в конечной! объеме V конфигурационного пространства. Поэтому
O(n)= о ПрИ [rj = оо.(2.4.2)
Кроме того, полная энергия системы конечна, вследствие чего
O(n)= 0 при IpJ = 8.(2.4.3)
Введем следую!цпе определения 巾уш;耳口ii F: F^^l^^D^JJidX^
胃(芻4") =/0⑺up爲，,.三八足片" Q/.4)
/fW网…,N (X],X., X… …，Xn; %) = j O(N)dXz.
37nlecь интегрирование ведется по всему фазовому пространству. Отметим, что нижние индексы функций расположены в таком же порядке, что и аргументы этих функ-
ций, помеченные теми же индексами, например индексы V и аргументы Х〃，X)у 歹段.Это соответствие указывает на то, что не производилось перестановки координат частиц. Согласно такому определению
内汽为，羽；方)=耳肾(芻Xj；Z), но
耳胃(Xi, X；; /)方耳伊(％,羽；力 (2.4.5)
Поскольку O(n)нормирована,
^F^(Xi； t)dXL = L(2.4.6)
Величина
N WAX
/ (X;力)AX/絞=2 f 网D (芻力)d爲 (2.4.7) i=l i
определяет число частиц системы, состояния которых находятся между X и Х+ АХ, при этом / является функцией распределения, зависящей от скорости и координаты; эта функция и входит в уравнение Больцмана.
\Х/т3 = Др Дг/тп3 = ДсДг.
Запишем уравнение (2.2.7) в виде
备+工今•号+n 歹订.*+2歹
+ 士/夕=°，(2.4.8) г咽_
где оператор д/д^ стоящий слева от 夕电磔,действует не только на ^iw, но также и на D{N\ Проинтегрируем это уравнение сначала по координатам всех частиц, кроме 力-近,затем ——кроме i-й и j-й и так далее, увеличивая на единицу число выделенных частиц. Ниже приводятся примеры интегрирования отдельных членов:
SI---J夕外击刀⑺屮芻=工唳匕, f J夕。。•击6% 口 dXj =歹词•贵内）：
J (歹沦+蜜加)含少N)dpjx = 0,
I j帚夕加0⑺0?爲=о.(2.4.9)
Таким образом, в первом случае интегрирования по всем хтстицам, кроме i-й, получаем
+ Jj 夕ъ・霜彻X$ = 0 (2.4.10)
(всего N подобных уравнений; Z = 1, 2, ..., N), во втором случае —
/+ 亲•号 + (歹i。 +歹+
+ (歹6。+歹力帚+* 等诃+缁•窜。」W?+
+ 2j (歹请•帚 +夕浊•為)耳歌dXh = 0 (2414)
(всего N^N — 1)/2! подобных уравнений) и в последнем случае-
侪+**•*•+А『^+?А“・*+
+ ? 1^ •歹加)Fn…N + ^^'ii^D^dX^ 0
(2.4.12)
(всего NIN — 1) ... 2/W— 1)! подобных уравнений)1. Общее число уравнений равно
N(N—£)"(%-£)••• 2 —
2 Г(TV —1)! 一
=(1 + 1)N—2 = 2N —2・(2.4.13)
В общем случае все эти (2" — 2) уравнений, определяющих эволюцию различных функций распределения 碎),開),..• ,отличаются друг от друга. В случае упругих стенок они обратимы во времени (см. § 2.1).
Качественный анализ этих дифференциальных уравнений в частных производных проводится аналогично уравнению Лиувилля. Рассмотрим в качестве примера уравнение (10)1. Так как оно является неоднородным дифференциальным уравнением первого порядка, его
уравнения характеристик имеют вид
=旦，(2.4.14)
警=乡\。十夕浪+夕:g(2.4.15)
f = 6(2.4.16)
где
歹;“ * 履° = F^ *••窜23(2.4.17)
R = 一 £ j 歹于* F^dXr(2.4.18)
В отличие от функции D{N\ являющейся вследствие теоремы Лиувилля инвариантом движения вдоль траектории системы в 6Л^-мерпом фазовом пространстве, функция F^ не инвариантна вдоль траектории подсистемы, состоящей из одной j-й частицы. Из (14), (15) и (16) следует (рис. 2.4.1), что в 6-мерном фазовом пространстве
内)(方)=碎)(幻+ J①以或.(2.4.16)"
В действительности траектория, определяемая уравнения-
ми (14) и (15), не есть реальная траектория i-й частицы, •цтобы определить реальную траекторию, необходимо yqu- ТЬ1Вать все силы, действующие на i-ю частицу:歹紀十 卜 歹浓 + 歹^ + N 歹订.Поэтому она будет отличаться от
фиктивной траектории, построенной с учетом лишь 歹询 + 歹训；+歹泣・ Невозможно пытаться решать одно лиШь уравнение (10), так как входящую в подыптеграль^ цое выражение в правой части функцию 理)следует ис-
Рис. 2.4.1. Прямые линии соответствуют траекториям уравнений (14), (15). Эволюция функции F^ имеющей форму 6-функции, при Ф j=0 происходит вдоль какой-либо из этих траекторий, например помеченной индексом 0. Если Ф^О, то эволюция происходит вдоль извилистой линии, флуктуации которой имеют масштаб т2.
кать из уравнения (И). Одпако и одно лишь уравнение (11) невозможно решить, так как в него входит функция 网弘 которую нужно искать из уравнения более высокого ранга. То же справедливо далее；, вплоть до уравнения (12), которое можно решить только в том случае, если известна функция D^〉как решение исходного уравнения Лиувилля. Иными словами, система уравнений (10), (11), (12) пе замкнута. Если бы нам был известен яв口ы宜 вид 0(n)как функции от X, &, Х^, то было 6垃 проще найти сразу функции 力 из соотношений (4) вместо решения системы уравнений (10), (И) и т. д.
Если рассматриваемая Z-я частица достаточно удалена от всех степок сосуда, то в полученных выше уравнениях можно пренебречь силой ^iw.
Заметим также, что вместо уравнения (10) из уравнения Лиувилля можно получить
十Z卜歹订+夕加•*■磯(爲,Xj,爲;方)dX初爲=0.
，(2.4.19)
Здесь каждая из отдельных (N — 1) частиц (кроме %-й) учитывается только один раз или как /-я, или как к-я, а £/ означает суммирование по (N—4)/2 парам частиц (если ^— 1 нечетно, то одну из 7V — 1 частиц можно просто игнорировать, что несущественно для поведения Х-й частицы). Возможно также записать интегральный член в форме
2卜歹讶+夕泣+歹g• 双九z(羽，X力X,; Z) X ''X dXjdXkdXi. (2.4.20)
Вообще, вместо уравнепий (10), (11), ..., (12) можно вывести другие уравнения, в которых иптегральпые члены будут содержать функции более высоких порядков, па- пример:
2 f(歹力• +乡^ +…+夕俞理K・・・,m x
X dXjdXh ….dXm、 (2.4.21)
Таких групп, состоящих из у частиц, будет (N—4)/у. Способ разбиения N — 4 частиц на подобные группы пе- однозпачен, число возможных разбиений равпо
(2.4.22)(2.4.22)(ТУ - 1)!
(2.4.22)
(2.4.22)
“!)(Nt)/V[(N — 1)/叨!
Например, уравнения (10) и (49) взаимно эквивалентны до тех пор, пока они рассматриваются в микроскопически точном смысле.
Функции распределенияв 6-мерном фазовом пространстве
Вместо того, чтобы задавать состояние каждой отдельной частицы в своем 6-мерном фазовом пространстве, можно рассматривать суперпозицию состояний всех одинаковых частиц в одном общем 6-мерпом фазовом пространстве, которое будем называть родовым пространством. При этом
方) = Nb⑴(Xj7) = m
=2 f 耳屮(畐；方)dXh (2.5.1)
где
АХ. = NpaxNpgNpazNY ax'丫aqNTaz(2.5.2)
—элементарный объем родового пространства. Аналогичным образом можно определить
(N - 1)尸年(X〃，Xb；Z)a冗={ J 理)(芻 匕；力)dX^
$ Xb
(2.5.3) В 12-мерпом родовом пространстве введем
N (N _ 1) “2)(Ха,Хь") АХаАХь =
Ха+АХ。ХЪ+АХЬ
=N£ J f明)(羽 XMd爲 dg,(2.5.4)
Xb
в 18-мерпом родовом пространстве введем
N(N-1)(N—2)歹(з)(Ха, Хь, Xc；办AX.AXoAXc =(2.5.5)
и т. д.
Функция /(Ха；方),определяемая соотношением (1), представляет собой плотность числа одинаковых частиц в 6-мерпом пространстве скоростей и координат, она почти эквивалентна функции распределения, удовлетворяю- 叫3阮 уравнению Больцмана. Функции №, F^ и т. д., согласно их определению, точечно локализованы в фазо-
вом пространстве. В，отличие от них введенные в этом параграфе функции от X% Хь и т. д. могут стать непрерывными в фазовом пространстве при увеличении плотности числа частиц в системе.
Упражнения
Полагая, что
窮 го =窜 г iv = °, А 叮=@j，
и введя
докажите, что
0(n)= const • exp (― 〃 W E^ является решением уравнения Лиувилля, если
дР^dtдР^dt—0.—0.
дР^dt
дР^dt
—0.
—0.
Совокупность одинаковых систем, описываемая этим решением, называется каноническим ансамблем Гиббса [21]. Очевидно, что это решение стациопарно.
Взаимодействие между двумя материальными точками описывается силой, не зависящей от их импульсов. Докажите, что их движение обратимо во времени. (Если направление импульсов в момент времени 厶 изменить па противоположное, то в момент fi + т частицы окажутся в том же положении, в каком они были в 力一тг.)
Введем
GGАХ» = ^Тix^Tiy^T{z ^.p^x^Piy^Piz = W AXjg, &=1АХ» = ^Тix^Tiy^T{z ^.p^x^Piy^Piz = W AXjg, &=1X dp诂 (разрывный множитель Дирихле [15]),X dp诂 (разрывный множитель Дирихле [15]),
G
G
АХ» = ^Тix^Tiy^T{z ^.p^x^Piy^Piz = W AXjg, &=1
АХ» = ^Тix^Tiy^T{z ^.p^x^Piy^Piz = W AXjg, &=1
X dp诂 (разрывный множитель Дирихле [15]),
X dp诂 (разрывный множитель Дирихле [15]),
тогда
'1 щш XfgVX话 VXM + AX；e，
Di^ = ' -j- при X诧—X；g или X话=Х；е + AX；g, О в остальных случаях.
Пусть зависимость всех X* от времени определяется уравнениями движения частиц, а АХ^ представляет собой смещение (вариацию) координаты X,；, обусловленное ее сме工цепнем в начальный момент времени. Докажите, что при этом
N 6*)=ип 齊г—1 Е=1
является решением уравнения Лиувилля.
ЧАСТЬ I
УМЕРЕННО ПЛОТНЫЕ ГАЗЫ
ГЛАВА 3
ЦЕПОЧКА
БОГОЛЮБОВА — БОРНА — ГРИНА — КИРКВУДА — ИВОНА
Вводные замечания
В дашюй части книги мы проследим весь путь вывода уравнений Навье ——Стокса из уравнения Лиувилля, обозначенный па рис. 1.2.1 двойной вертикальной линией. Исторически изучение различных этапов этого пути проходило в обратном порядке: сначала были получены [64, 70, 75, 79] уравнения Навье—Стокса для сплошной среды, затем Максвелл [58] па базе качественных соображений предложил уравнения переноса, из которых он вывел уравнения Навье — Стокса, используя гипотезу о молекулярном строении газа. Уравнения переноса Максвелла в свою очередь побудили Больцмана [7] к выводу в 1872 г. получившего его имя кинетического уравпе- ния, имеющего значительно более общий характер, чем уравнения переноса Максвелла. И наконец, многочисленные авторы предложили различные способы вывода уравнения Больцмана из уравнения Лиувилля.
Эту часть мы начнем с проведения некоторой статистической операции над полученной из уравнения Лиувилля системой уравнений (2.4.10) — (2.412). Далее, введя предположение о преимущественно бинарном характере взаимодействия между частицами, мы получим уравнение Больцмана из этой системы уравнений. И на последнем, третьем этапе методом Чепмена — Энскога будут выведены уравнения Навье — Стокса.
Первый из этих этапов был разработан независимо друг от друга Ивоном [94], Борном и Грином [9], Боголюбовым [6] и Кирквудом [41]. Предложенная ими статистическая интерпретация и модификация системы урав-
ненИй (2.4.10)—— (2.4.12) получили название цепочки Боголюбова —.Борна ——Грина ——Кирквуда ——Ивона или, сокращенно, ББГКИ. Необходимо, однако, отметить, что их подход к цепочке ББГКИ не вполне убедителен, в результате чего дальнейший вывод уравнения Больцма- 11a непоследователен. Проблема связана с неправильной интерпретацией этими авторами допущения о симметрии функции распределения в фазовом пространстве относительно перестановки фазовых координат любых двух одинаковых частиц. Боголюбов, по-видимому, считает, что подобная симметрия является одним из основных свойств функции распределения; Кирквуд полагает, что симд!ет- рия достигается при усреднении функции распределения вдоль траектории эволюции системы в фазовом пространстве; остальные авторы связывают симметрию с крупноструктурным усреднением функции распределения по одному из ансамблей Гиббса ).
Можно выдвинуть предположение, что мнение о симметрии функции распределения основано либо па гипотезе о вырождении, хорошо известном для кваптовоме- хапических систем, либо па неявном усреднении по какому-либо ансамблю Гиббса. Заметим, что кваптовоме- ханическое вырощдепие не является результатом установления теплового равновесия в классическом смысле, а является характерным свойством, присущим самой системе. Доказано, например, наличие вырождения для связанных электронов в атомах и в металлах. Однако при рассмотрении обычного газа не может появиться квапто- вомеханическое вырождение. Симметрия функции распределения, строго говоря, не совместима с больцмановской моделью классических (не квантовых) столкновений (см. Приложения Д и Е).
Утверждение Кирквуда на первый взгляд выглядит вполне убедительно, поскольку любое экспериментальное наблюдение производится над, одной системой в течение некоторого отрезка времени. Однако, согласно Кирквуду, вибор этой системы из совокупности систем, образующих
некоторый ансамбль Гиббса, производится случайным образом. Одпако ансамбле Гиббса определены для статистически равновесных систем, поскольку они задаются энергией системы. В связи с этим система, выбранная случайным образом из ансамбля Гиббса, не может обладать макроскопическими динамическими характеристиками, присущими рассматриваемой: системе. Поэтому, несмотря па правильное понимание значения усреднения по времени, Кирквуду не удалось последовательно придерживаться этого при выводе уравнения Больцмана; по- видимому, здесь сказалось сильное влияние метода ансамблей Гпббса.
Каждое газодинамическое наблюдение проводится в течение конечного интервала времени над единственной системой, пе находящейся в состоянии теплового равновесия. Поэтому кинетическая теория, изучающая газодинамические явления, должна быть отделена от гиббсовского понятия ансамбля, определение которого связано с энергией (интегралом движения изолированной системы), причем неявно подразумевается бесконечно большое время наблюдения. При построении статистической механики Гиббс рассматривал уравнение Лиувилля как уравнение, управляющее «облаком» плотности вероятностей совокупности одинаковых систем. Такая интерпретация уравнения Лиувилля представляет собой один из вариантов круппоструктурного усреднения. Существует и много других вариантов, причем выбор какого-либо из них определяется пе аксиоматически, а из разумных соображений, связанных с конкретной постановкой задачи. (Выбор, произведенный Гиббсом, оказался приемлемым для систем, находящихся в состоянии теплового равновесия.)
Некоторые авторы полагают, что неравновесные газодинамические явления следует интерпретировать как тепловые флуктуации в термически равновесной системе. Подобная интерпретация неверна, поскольку (как указывалось в § 1.1) газодинамические явления вызываются начальными и граничными условиями, а также внешними силами.
Как отмечалось в главе 2, само по себе уравнение Лиувилля пе имеет статистического характера. Применяя соответствующее крупноструктурное усреднение уравнения Лиувилля, мы получим в главе 3 правильное пред-
ставлепие цепочки ББГКИ. После этого в главе 4 будет нетрудно вывести из полученной цепочки уравнение Больцмана, не используя допущения о слабости столкно- вепий. Затем, в главе 5, из уравнения Больцмана методом Чепмена ——Эпскога выводятся уравнения Навье —— Стокса; этот этап является наиболее обоснованным во всей развиваемой теории. В § 5.3 представлен непривычный, по очень четкий итерационный метод вывода уравнений Навье ——Стокса из уравнения Больцмана; преимущества этого метода проявятся в части II.
В уравнении Лиувилля и в выведенных па его базе уравнениях пренебрегаем силами ^iw, обоснование зто- му будет дано в § 5.3.
§ 3・2・ Предположение о симметрии функцийраспределения в микроскопическом смысле
Как было показано в § 2.4, уравнения （2.4.10） — （2.4.12）, несмотря па их более простой вид по сравнению с уравпепием Лиувилля, пе дают нам никаких преимуществ. Однако эти уравпепия чрезвычайно упрощаются, если есть разумные основания предположить, что функция O（n） симметрична относительно перестановки координат любых двухл^стиц. При этом под симметрией подразумевается, что
D^{Xh X?,...,不・，...，乂・，...，Xn；力=
=O（n）（X|,爲，...，爲…，Х,・，...，Xn； t）.（3.2.1）-
В качестве простейших примеров укажем
①1（/2 +沙2 +炉）=①152 +炉+乃）；
恥（/弘/+沙）=屮2（协4，+ /）,屮3（//沙）*w3匂//）.
Из проведенного в конце настоящей главы исследовапия зтого предположения будет видно, что оно налагает очень существенные условия па дипамическио процессы, протекающие в системе. Пока что, одпако, будем считать, что зто предположение справедливо. Тогда из пего следует, что
网 1）=必 1）,麓;）=R2）, F^ = 〃⑶.（322）
С учетом соотношений (2) из (2.4.10) получаем
(备 + * * + 歹1。*)歹⑴(Xi； 9 +
+ (N — 1) j 歹 12,4；歹⑵(Xi, x2; 9 dX? = 0. (3.2.3)
Исследование влияния стенок па поведение газов умеренной плотпости будет проведепо в § 5.4. Ввиду этого здесь мы ограничимся рассмотрепием только таких частиц, которые достаточно удалены от стенок сосуда, что позволяет исключить силы 歹iW из системы уравнений (2.4.10), '(2.4.11), ... Тогда из уравнения (2.4.11) с учетом свойств симметрии (2》получаем
+ *隔 + F号 + (歹 1。+ 夕12)* +
+ (歹 2。+^鳴+
+ (N - 2) J (歹 13 * + 夕23 *)心(第,芻,Хз") dX^ 0.
(3.2.4)
Аналогичным образом находятся уравнения для 歹⑶,・.・ При этом мы вместо N уравнений (2.4.10) имеем только одно уравнение (3), вместо N(N —1)/2! уравнений (2.4.11) — одно уравнение (4) и т. д. Полное число новых уравнений равно N — 1 вместо 2^ — 2 исходных уравнений. Кроме того, во всех уравнениях вместо суммирования Wj,工儿,...стоят просто множители (N—1), (TV—2), ... Это значительно упрощенная система уравнений называется цепочкой ББГКИ по именам авторов, получивших ее независимо друг от друга.
Хотя окончательная форма цепочки ББГКИ у всех этих авторов одинаковая, они по-разпому обосновывают введение предположения о симметрии функции распределения:
Боголюбов считает его само собой разумеющимся.
Кирквуд утверждает, что при исследовании эволюции системы необходимо проводить усреднение по времени.
Ивон, а также Бори и Грип рассматривают сред- jjjj© по ансамблю.
Остановимся сначала па интерпретации Боголюбова, исследование интерпретации этого допущения Кирквудом, Ивоном, Борном и Грином будет проведено в последующих параграфах. Боголюбов пе привел в явном виде никакого обоснования, однако другие авторы интерпретируют его позицию следующим образом: наблюдаемые свойства исходного состояния и состояния, полученного из пего перестановкой фазовых координат двух частиц, совпадают, поэтому функция распределения должна быть симметрична относительно такой перестановки. Однако при рассмотрении классических (пе квантовых) частиц такое утверждение приводит к противоречию. Действительно, поскольку эксперимент (наблюдение) проводится над одной системой, то функция распределения должна быть некоторым частным решением уравнения Лиувилля типа (2.3.10). Разумеется, X；(力)(i == 1, 2, . . ., ^) совершенно неизвестны. Однако очевидно, что функция Dm пе симметрична относительно перестановки фазовых координат двух одинаковых частиц. Если допустить подобную симметрию в микроскопическоА! смысле, то из (2.3.10)1 получим
碎)区;£) = 6(爲 —X；⑴)，
где / независимо от i может иметь значения 1, 2, ..., N. Иначе говоря, Z-я частица в одно и то же время существует во всех возможных состояниях. Такая ситуация характерна для полностью вырожденных квантовомеханических систем. Однако известно, что квантовомеханическое вырождение никак не проявляется при изучении обычных газов (оно существенно для электронов в молекулах или в металлах, см. Приложение Д). Отметим, что из уравнений (3), (4) и других, полученных из уравнений (2.4.10) — (2.4.12〉с помощью предположения о симметрии, невозможно вывести уравнение Больцмана, пе привлекая допущения о слабости столкновений. Этому вопро- СУ посвящено Приложение Б. Поскольку предположение 0 симметрии допускает существование более чем одной частицы одновременно в одной точке пространства, необходимо предположить, что взаимодействие между этими частицами очень слабое. Кроме того, поскольку при этом
каждая частица находится одновременно во всех возможных состояниях, предположение о симметрии эквивалепт- по основному допущению теории статистических ансамблей Гиббса )■ (см. подстрочное примечание па стр. 173, а также стр. 174).
Отметим, что такая интерпретация идей Боголюбова весьма произвольна, однако имеет под собой некое оспо- вапие. Боголюбов хорошо известен как соавтор двух книг [5, 52] по нелинейным колебаниям. В этих книгах в ос； повпом разрабатывается асимптотический метод решения нелинейных дифференциальных уравнений, ведущий свое начало от анализа динамики планет, данного Пуанкаре (метод возмущений)1. Этот метод включает в себя крупноструктурное усреднение п использование гипотезы о равенстве априорных вероятностей. Боголюбов пе указал явно па необходимость крупноструктурного усреднения при выводе уравнений (3), (4) из уравнений (2.4.10)—— (2.4.12). Отметим, что замела суммирования £j, Na, • • • множителями (N — 1), (N —2), ... представляет собой применение гипотезы о равенстве априорных вероятностей. После вывода цепочки Боголюбов применяет ее к анализу газообразной системы и вводит допущение о существовании иерархии временных масштабов динамических процессов в системе. Однако оно делается пе при выводе цепочки ББГКИ, а при ее использовании для получения уравнений газодинамики. По Боголюбову, цепочка ББГКИ справедлива независимо от допущения о временных масштабах. Единственно возможной интерпретацией такой позиции является неявное предположение о вырождении.
Симметрия функций распределенияпри усреднении по времени
II вывод цепочки ББГКИ
Как известно, метод усреднения по времени был впервые разработан Пуанкаре [68, 69] при изучении движения планет. Планета движется вокруг Солнца под дей-
ствпем сильного гравитационного притяжения к Солнцу. Однако на это движение налагаются флуктуации, обусловленные различными причинами, например движением спутников планет. Если характерный масштаб времени 匕 основного движения значительно превышает временной масштаб т2 флуктуаций, то можно определить движение в большом масштабе, проведя усреднение движения по времени ). Масштаб усреднения ” должеп быть меньше т(, но больше 七2, благодаря чему результаты усреднения оказываются практически не зависящими от Т12. Во втором приближении на базе результатов первого приближения получим более детальное описание быстрого движения в масштабе времени т2. Эта процедура представляет собой применение гипотезы о равенстве априорных вероятностей. Метод Пуанкаре получил дальнейшее развитие в различных областях, например в теории броуновского движения, теории турбулентности, теории связи, теории нелинейных колебаний и т. д. L5, 52, 81, 93]. Заметим, что при условии Ti》т2 быстрые процессы с характерным масштабом т2 могут, согласно Виперу, образовывать стационарный временной ряд. Максвелл и Больцман в неявном виде испо.пьзовали, по сути дела, этот же метод (плп принцип) при введении гипотезы Stosszahlan- salz (гипотезы о числе столкновений)'. Позднее этим методом явпо воспользовался Кирквуд [41]. Одпако в его теории выбор системы, эволюция которой усредняется по времени, производится случайным образом из ансамбля систем, так что в его теории функция。⑷)с самого начала приобретает вероятностный смысл, и теп самым умаляется роль усреднения по времени.
Поскольку экспериментально в каждый данный момент может изучаться лишь одна конкретная система, соответствующая теория также должна начинаться с исследования одной системы. Функция D{N) становится симметричной после операции круппоструктурного усредне- нтн (по времени). Начнем с уравнения (2.4.10). Если рассматривать интегральный член как источник флуктуаций, то можно, естественно, предположить, что се ку л яр-
ные свойства 网° определяются главным образом уравнением
信 +冬* 十夕2。*)砂(&；力)=0.(3.3.1)
Соответствующий этому уравнению характерный масштаб времени изменения функции F^ зависит от масштаба времени внешней силы 歹询,который обозначим через т。 Предположим, что интегральпый член в (2.4.10) порождает флуктуации с масштабом времени т2. Если ri много больше 工2, то можно усреднить уравнение (2.4.10) по времени порядка и, удовлетворяющему условию
Т1》т12》R. (3.3.2)
Лишь при таком позначным и не рии Z-й частицыЛишь при таком позначным и не рии Z-й частицыусловии результат усреднения будет од- зависящим от Ti2. Рассмотрим траекто-условии результат усреднения будет од- зависящим от Ti2. Рассмотрим траекто-в интервалев интервалеPi(s) = Pi + Ap%(s),0 W s V Xu,Pi(s) = Pi + Ap%(s),0 W s V Xu,времепи между t и r»(s)=立 + Art(s), dA/ (s) p- (s)времепи между t и r»(s)=立 + Art(s), dA/ (s) p- (s)力+ и：力+ и：(3.3.3)(3.3.3)dsinг = 1, 2, 3 ...,dsinг = 1, 2, 3 ...,
Лишь при таком позначным и не рии Z-й частицы
Лишь при таком позначным и не рии Z-й частицы
условии результат усреднения будет од- зависящим от Ti2. Рассмотрим траекто-
условии результат усреднения будет од- зависящим от Ti2. Рассмотрим траекто-
в интервале
в интервале
Pi(s) = Pi + Ap%(s),
0 W s V Xu,
Pi(s) = Pi + Ap%(s),
0 W s V Xu,
времепи между t и r»(s)=立 + Art(s), dA/ (s) p- (s)
времепи между t и r»(s)=立 + Art(s), dA/ (s) p- (s)
力+ и：
力+ и：
(3.3.3)
(3.3.3)
dsin
г = 1, 2, 3 ...,
dsin
г = 1, 2, 3 ...,
с начальными условиями
ДГг-(О) = 0,ДГг-(О) = 0,(3.3.4)(3.3.4)ApQ) = 0,
ДГг-(О) = 0,
ДГг-(О) = 0,
(3.3.4)
(3.3.4)
где р», Гг и i — независимые переменные. Отметим, что эти траектории аналогичны траекториям (2.3.12) переменной Хз Поскольку нас интересуют масштабы времени порядка ri, можно считать
Pi (^12)= Pi，乡*W (^12)=芥*汕
Тогда
а IT
=住■ + 与肃味卜砂（以"）〉”2,
где
т12
〈睞)(Х〃;方)〉口2 = ^『壮(X〃(s); t + s) ds. (3.3.5) 0
Определив Ji и <Л>т12 в виде
А = I J歹订.^小?(爲，匕；0 dg, (3.3.6)
〈J1〉口2
J 2[j歹幫停」段(左，%;0%L+s "S, (3.3.7)
и усредняя уравнение (2.4.10), получаем
传十 ^ *+歹彳。*卜冰)(％")〉%+〈厶〉= 0.
(3.3.8)
Подобное усреднение по времени имеет следующий статистический смысл:
Интегрирование no s в уравнении (7) должно проводиться после суммирования по /. Для перестановки двух операций необходимо ввести следующие допущения: (1) взаимодействие между частицами слабое; (2)金если взаимодействие сильное, то время т^ должно быть достаточно малым, чтобы i-я частица за это время успевала провзаимодействовать не более чем с одной из остальных частиц; (3》в случае (1) взаимное влияние между двумя частицами, сталкивающимися за время т^ с i-й частицей, пренебрежимо мало; это условие излишне, если характерное время такого влияния много меньше Ti2. При выполнении условий (1)——(3)〈・/宮〉口2 мойкно представить в виде
〈人〉口2 =
т12
J [卜dp〃“U (X?, Xj, X) dX(~力+s ds. (3.3.7)
3 о
Поскольку мы наблюдаем 〈歹?)(Х^;力)〉口？, у нас нет ни возможности, ни необходимости точно знать состояние /-й частицы и начальный момент ее взаимодействий с Z-й частицей в интервале между % и 力 + Ti2. В этом смысле все у-е частицы, находящиеся в локальной области конфигурационного пространства, оказываются неразличимы. Объем этой области, вследствие конечности скорости каждой частицы, будет ограничен некоторой конечной величиной Агь. Предполагается, что в каждой подобной области функция распределепия вероятности для j-x частиц одинакова. В соответствии с таким предположением, эквивалентным больцмаповской гипотезе Stosszahlan- satz, и с учетом определения (2.5.3) можно заменить (7‘) на
〈厶〉口2 = т12
-2 J ［歹询 * /喘(Xj,芻；Х) dXk , 源(3.3.7)〃 о丁
Здесь интегрирование по каждой координате гь ограничено объемом А〃，в то время как область интегрирования по р^ пе ограничена; суммирование £加％ производится по всем локальным объемам, в каждом из которых функция распределепия частиц Ъ симметрична. Так как сила 歹仍 убывает с увеличением расстояния между i-й и &-й частицами, существенную роль может играть взаимодействие z-й частицы лишь с темп ^-частицами, которые расположены в Агь вблизи i-й частицы. Правда, здесь все зависит от характера межчастичпых сил: возможно, как, например, в случае ионизованного газа, что слабые силы взаимодействия с большим числом ft-частиц в сумме дадут существенное силовое поле. Следовательпо, нельзя сразу полностью игнорировать влияние взаимодействия па больших расстояниях. Подчеркнем также статистический характер определения (2.5.3), позволивший нам в уравнении ⑺〃 записать
g看雨区石 вместо
乡%『^耳^ (Х〃，Хь；»
К обоснованию этого шага мы еще вернемся па стр. 65 прп обсуждении соотношения (12). В отличпе от 霜? функция ^Г симметрична относительно Хъ. Для обеспе- чеипя условия локализации в Дгь всех групп неразличимых между собой частиц вся область интегрирования по "X разбита па элементы Дгь.
Уравнения (7)" и (8) записаны для j-й частицы. В соответствии с (2.5.1) их можно представить в виде
〈/〉口 2
加召0 ［3% a丄一方+ s
(3.3.7)”
(导 + *^； + 歹"。*［〈"⑴(x“；方)〉3 +〈力"2 = °-
'(3.3.8)，
Если Ti2 удовлетворяет условию (2), результат усреднения по времени пе должен зависеть от х^ В про- тавном случае этот результат физически бессмыслен. Здесь ситуация зависит от распределения частиц в Дгь и в интервале т12. Если распределение однородно, все в порядке. Если же газ очень сильно разрежен и распределение в локальной области Дгь существенно неоднородно, то результат может зависеть от т12. Тогда кинетическая теория неприменима, ибо этот случай эквивалентен нарушению условия Т! > т2.
Для вычисления <Л>т12необходимо знать функцию/?^, входящую в подынтегральное выражение. Она определяется уравнением (2.4.11). Если отбросить в пем интегральный член, то оно примет вид
次■ ++•石；+(第询+歹力而；+
+ (歹m +夕力・^］方段(爲，Х?・;方)=0. (3.3.9)
Определяемая таким уравнением эволюция функции F^
имеет масштаб времени т2. Когда эволюция F^ определяется полным уравнением (2.4.11), то, благодаря ип- тегралыюму члену, па нее налагаются флуктуации с масштабом времени т3. Для подстановки в подынтегральное выражение уравнения (7) необходимо точно определить функцию 歹胃 в масштабе времени 七・ Если т2 > у, то можно выбрать т23, удовлетворяющее условию
R》Т23》%,
и провести усреднение уравнения (2.4.11) по этому интервалу. Тогда, подобно тому как это имело место для /；, взаимодействие "-х частиц с i-й и у-й частицами проявляется таким образом, будто бы к-е частицы распределены локально однородно. В этом случае, как и при усреднении Л, можно заменить суммирование £儿 умножением на N —2. При этом (2.4.11) переходит в
备+ ¥言 + 与号 + (歹*。+歹抄* +
+ (歹jo +舒川，系卜尸亨(Xi, Xj；力〉久3 +
т23
X 歹親(爲,Xj,Xc") dXc ds = 0. (3.3.10) _ f —f+s
Из-за сильного различия временных масштабов, ri2 > т23, элемент объема Дгс должен быть значительно меньше
Т，6，А几》Аа.(3.3.11)
Интегрирование по s производится вдоль траекторий i-й и у-й частиц, эти траектории определяются характеристическими уравнениями (9). Они представляют собой уравнения движения двух частиц. Что касается совместимости уравнений (7) и (10), то начнем с того, что /-я частица может одновременно взаимодействовать с двумя частицами. Если ее взаимодействие с одной частицей имеет масштаб времени 0, то взаимодействие с другой части-
дей должно иметь масштаб т3 < т2. Только при таком условии уравнения (7) и (10) совместны. Если т2 ^ т3, то невозможно выбрать масштаб т2з, позволяющий получить (Ю) аз уравнетшяЕ (2.4.44). Решив уравнение (10), находим 歹(2)(Ха, Хь；方)в подынтегральном выражении соотношения (7). Необходимо отметить, что
歹卅^ 弾瓦石石抬歹而・^m2)(x。，ХЬ；4).
(3.3.12)
Это связано со следующим обстоятельством: масштаб элементов Дга и (или) Дгь ——порядка ир/т. Очевидно, что этот масштаб значительно больше протяженности области, В которой 夕аЪ ^а,ХЪ) Эквивалентна ^ab(Xa + AXa, Хь + АХ/. Поэтому в (12) не может быть злака равенства. Однако при наблюдении в течение времени ri》Ti2 различие между правой и левой частью в (12))исчезает, так как многочисленные у-е частицы, проходящие через элемент Агь, в умелом (в среднем по интервалу ri),распределены в △& однородно, хотя каждая из них присутствует в нем в различные моменты времени.
Один из важных выводов этого анализа состоит в том, что, согласно уравнению (9), функция F^ инвариантна вдоль траекторий, олредепнемих характеристиками: уравнения (9). С другой стороны,歹⑶(Ха, Хь； 0 не инвариантна вдоль этих траекторий.
Продолжая анализировать подобным образом третье и последующие уравнения системы, полученной в § 2.4, мы приходим к цепочке уравнений. При этом необходимо, чтобы существовала иерархия масштабов времени:
G》r》у》...， (3.3.13)
т^е Т1 ——характерное время внешних и макроскопических полей сил, т2 ——характерное время двухчастичпого взаимодействия, Тз — характерное время возмущения двухчастичного взаимодействия со стороны третьей частицы и т・ Д. В реальных системах подобная иерархия масштабов динамических процессов может и не существовать. В следующем параграфе этот вопрос будет подробно разобран.
Итак, мы приходим к утверждению, что цепочку ББГКИ можно получить только путем построений, подобных проделанным выше. Следовательно, цепочка имеет совершенно ипой смысл и иную область применимости, чем, по-видимому, полагали авторы, получившие ее впервые. В дальнейшем будем рассматривать цепочку ББГКИ в новом смысле. Заметим в заключение, что набор траекторий, вдоль которых производится усреднение уравнений движения каждой подсистемы, не обязательно должен быть единственным. Например, вместо траекторий, определяемых уравпепием (3), можно взять ипой набор траекторий при условии, что опи эквивалентны в масштабе времени 工八 Это замечание приобретает особую ва?к- ность в различных приложениях.
Физическая интерпретация цепочки ББГКИ
Необратимость. Как показано в предыдущем параграфе, при выводе цепочки ББГКИ из уравнения Лиувилля неизбежно приходится проводить усреднение. Уравпения (2.4.10) —(2.4.12) инвариантны относительно обращения времени, если начальные условия для всех функций 尸 заданы в один и тот же момент време- ни. Цепочка становится необратимой вследствие избранного нами способа усреднения каждого уравнения. В первом уравнении цепочки ББГКИ (3.3.8)' время Ti2 значительно меньше т{ и значительно больше т2. Начальное условие для эволюции функции 歹肾 в интервале от t до t + 匕2 определяется па основе допущения о симметрии функции 0(n)относительно j-х частиц в каждой локальной области 厶几.Иными словами, неопределенность обусловлена начальными условиями. По своей природе она не отличается от неопределенности, вводимой Больцманом с помощью гипотезы Stosszahlansatz. Действительно, согласно этой гипотезе начальное условие для любой частицы, сталкивающейся с выделенной, выбирается случайным образом из всевозможных начальных условий частиц, находящихся в состоянии молекулярного хаоса. Однако после задания начальных условий само столкновение двух частиц происходит строго в соответствии с уравнениями движения Ньютона. Здесь мы ввели, по существу, такое же предположение о молекулярном хаосе /-х частиц, как
3Hlне, когда вместо уравнения (3.3.7)' записали уравнение (3.3.7)〃・ При этом, несмотря на то, что траектории 力-遊 и 6-й частиц точпо задаются уравнениями движения, условия взаимодействия b-й частицы с i-й в интервале от 力 до 方 + 七12 выбираются статистическим образом из различных возможных условий. Поскольку Т12 значительно меньше ть то (с точки зрения наблюдателя во временном масштабе а) наложение граничных условий на i-ю частицу производится непрерывно. Таким образом, в описываемую уравнением (3.3.8)' эволюцию функции 〈歹⑴〉 непрерывно вносится неопределенность за счет члена 〈/〉勺2・ В результате эта эволюция становится статисти- гтеской и необратимой. Такая же ситуация наблюдается и в эволюции функции〈歹胃)〉т；2з, определяемой уравпепи- ем (3.3.10). Здесь состояние частицы с в подынтегральном выражении выбирается случайным образом среди всех возможных состояний, достижимых в интервале времени от t до t + Т23. Аналогичным способом исследуются и другие уравнения.
Локализация симметрии. При замене в уравнении (3.3.7)" суммы2j на множитель N — i предполагается, что D(n)симметрична относительно перестановки частиц, расположенных вблизи Z-й частицы. Скорость и ускорение каждой частицы конечны. Кроме того, известно, что частицы занимают объем V конфигурационного пространства. При этом имеются частицы, удаленные от ^-й частицы, причем в течение интервала времени 口2 такие частицы будут отличимы от любой частицы, находящейся в окрестности i-й. Следовательно, мы вправе по крайней мере утверждать, что функция D{N) симметрична только относительно частиц, находящихся в одних и тех же локальных объемах Дгй. При выводе уравнения Вольцмапа из цепочки ББГКИ без подобного утвержде- шш, как будет показано, обойтись невозможно. Заметим, нт。в интеграле столкновений Больцмана пространственное интегрирование в направлении относительной скорости "вух сталкивающихся частиц ограничивается расстояпи- ен, равным произведению относительной скорости па еди- 1 口Щу времени. Если допустить, что функция D{N) пол- ностыо симметрична относительно всех частиц, то это интегрирование придется проводить по всему объему V
конфигурационного пространства. Этого недоразумения невозможно избежать, если при выводе пользоваться предположением о симметрии функции /)(')в микроскопическом смысле (см. Приложение Б). Аналогичное предостережение будет справедливо для каждого уравнения цепочки. Как следует из (3.3.11), с ростом кратности столкновения объем локальной области конфигурационного пространства, внутри которого допускается симметрия, убывает. Совместно с (3.3.13) это указывает, что, возможно, уравнения цепочки ББГКИ, за исключением первых двух, пе имеют определенного физического смысла.
Следствия. Рассмотренные выше необходимые условия вывода цепочки ББГКИ налагают ряд ограничений па возможность ее применения. Перечислим важнейшие из этих условий:
Масштабы времени, использованные при выводе цепочки, должны совпадать с масштабами времени динамических процессов в реальной системе. Вследствие этого физическим смыслом, по-видимому, обладают, в лучшем случае, только первые два уравнения цепочки.
Газ должен быть достаточно разрежен, чтобы две частицы, последовательно взаимодействующие с i-й частицей в интервале времени т2, не взаимодействовали бы между собой в том же интервале.
Газ должен быть достаточно плотным, чтобы распределение частиц в окрестности i-й было однородным и можно было использовать предположение типа гипотезы Stosszahlansatz.
Масштаб времени внешней силы^询 должен быть значительно больше ©・
Возможность построения кинетической теории на базе цепочки уравнений зависит как от свойств реальной исследуемой системы, так и от ожидаемой точности результата. Например, при изучении разреженного газа нейтральных молекул, благодаря чрезвычайно малой вероятности более чем двухчастичных столкновений, можно отбросить из второго уравнения цепочки интеграл с трехчастичным взаимодействием. Тем самым цепочка обрывается па втором уравнении. Основными масштабами времени будут ri и т2； такую теорию можно применить к реальным системам. На базе предположения о бинарных столкновениях из первых двух уравнений цепочки
ББГКИ выводится уравнение Больцмана. Следует заметить, что такой вывод не может быть последовательным, если предполагается наличие симметрии у D{N) в микроскопическом смысле (см. Приложение Б). В жидкости при низких температурах две ближайшие соседние частицы могут сильно взаимодействовать между собой с характерным временем т2. На это взаимодействие могут оказывать слабое влияние третьи частицы, характерное короткое время этого влияния т3; при этом третья частица может иметь своего ближайшего соседа, время взаимодействия с которым порядка т2, причем т3 может быть меньше т2. Если именно такой случай имеет место, то цепочка уравнений оказывается полезной для изучения жидкости: интегральный член во втором уравнении - цепочки можно учитывать приближенно таким образом, чтобы оборвать цепочку па втором уравнении.
Отметим кстати, что Боголюбов L6] при выводе уравнения Больцмана из цепочки ББГКИ ввел предположение о существовании в разреженном газе трех масштабов времени. В этом частном случае такое допущение физически совершенно справедливо и согласуется с допущением (3.3.13). Однако в принципе между этими двумя до^ пущениями имеется существенное различие. Допущение Боголюбова не связано с вопросолг о справедливости цепочки ББГКИ. По Боголюбову, эта цепочка остается справедливой даже в тех случаях, когда имеет место соотношение между временными масштабами, противоречащее условию (3.3.13). Наше утверждение состоит, однако, в том, что сама цепочка ББГКИ пе существует без выполнения условия (3.3.13). Физический смысл этого утверждения может быть продемонстрирован на примере классического электронного газа. Действительно, вследствие дальнодействия кулоновских сил трудно представить себе, чтобы в обычном электронном газе могло выполняться второе условие, приведенное в начале этого подраздела. Скорее можно ожидать, что взаимодействия больших кратностей будут столь я^е существенны, как л бинарные, а их характерные времена т3,七幻...будут того же порядка, что и т2. Цепочку ББГКИ можно приме- инть к классическому электронному газу лишь на таком же уровне точности, как и уравнение Власова. Но тогда в электронном газе пе следует ожидать дебаевского эк-
ранирующего эффекта. В то же время, как будет показано в § 9.6, тяжелый ион с большим электрическим зарядом может быть экранирован (в смысле Дебая) электронным облаком.
3.5. Допущение о симметрии функций распределения при усреднении по ансамблю
В предыдущих двух параграфах мы убедились в том, что па основе уравнений (2.4.10), (2.4.14), ... можно строить газодинамику лишь после их загрубления путем соответствующего усреднения по времени. При этом рассматривалась одна система. Как будет показано ниже, к такому же результату приводит соответствующее усреднение по ансамблю. Тем самым вовсе пе отрицается утверждение относительно временного загрубления. Напротив, это означает, что поведение модельной (воображаемой) системы, полученное путем подходящего усреднения по ансамблю, эквивалентно поведению реальной системы, усредненному по соответствующему интервалу времени, при условии выполнения соотношений (3.3.13). (Без такого доказательства усреднение по ансамблю пе имеет физического смысла.) Рассмотрим ансамбль одинаковых систем. Если система, которую предполагается моделировать средним по ансамблю, пе находится в состоянии теплового равновесия, то область соответствующего фазового пространства, заполненная представляющими фазовыми точками, будет меньше области, занимаемой ансамблем Гиббса. Эта область должна быть ограничена, как отмечалось ранее в § 3.2 при обсуждении процедуры усреднения по времени.
Предположим, что мы построили соответствующий ансамбль. Тогда можно подсчитать число входящих в пего систем с X», лежащей в интервале между X и X + АХ. Обозначим это число через w?'. Среди этих систем могут быть такие, в которых не происходит существенного взаимодействия i-й частицы ни с какой другой частицей. Обозначим число подобных систем через v^)・ Кроме того, могут быть такие системы, в которых /-я частица существенно взаимодействует с i-й. Число подобных систем обозначим через *)• Здесь j может принимать значения
, . • ., N、по не %. Таким образом, имеем
'也1)=%)+2需).(3.5.1)
В этом построении возникает очевидное затруднение. Если, например, в некоторой системе частицы 九 и % взаимодействуют с Z-й частицей одновременно, то такая система учитывается дважды. Ниже будет показало, что это затруднение удается обойти в случае, когда условия (3.3.13) выполняются (пли предполагаются). Поэтому цока просто не будем обращать па эту трудность внимания. Спроектируем все системы ансамбля па одпочастичное фазовое 6-мерное рг-пространство таким образом, чтобы Z-я частица всех систем оказалась в одной точке. Тогда, интерпретируя степень наложения состояний каждой частицы как вероятность ее появления, получаем некую воображаемую систему, в которой i-я частица с большой вероятностью находится в определенном состоянии, в то
Р
ОГ'
Рис. 3.5.1. Состояния частиц i: 1, 2, 3, .；. —в одинаковых системах проецируются на одно 6-мерное рг-пространство. При этом состояние г-ча- стицы во всех системах считается одинаковым, так что в этом фазовом пространстве оно представляется точкой, в то время как состояния частиц 1 оказываются размытыми по области I, состояния частиц 2 — по области 2 и т. д.
время как остальные частицы, взаимодействующие с i-й, распределены вокруг нее с малой плотностью вероятности. Схематическая иллюстрация такого построения приведена па рис. 3.5.1. Таким образом, путем крупнострук- турпого усреднения по ансамблю мы получим модель двухчастичного взаимодействия. Осповные свойства этой модели:
Плотность вероятности i-й частицы скопцентрирова- на в определенном состоянии.
Плотность вероятности каждой другой частицы распределена подобно облаку вокруг 力-й частицы.
Между другими частицами, окружающими %-ю, пет взаимодействия.
В качестве i-й частицы можно выбрать любую из N частиц.
Модель является воображаемой системой. Однако ее характеристики осуществляются в действительности частицами реальной системы, если временной масштаб и, одночастично соответствующий точному наблюдению «в секулярном смысле», много больше временного масштаба т2 парного взаимодействия. (Здесь под секулярным подразумевается наблюдение таких величин, как плотность массы, плотность импульса и моменты одночастичной функции распределепия более высокого порядка, через которые достаточно точно выражаются уравнения секулярной эволюции реальной системы.) Иными словами, одночастичиая функция распределепия реальной системы должна быть почти стационарной по сравнению с парными взаимодействиями, а на ее секулярную эволюцию в каждый момент времени влияют многочисленные взаимно независимые парные взаимодействия, происходящие как бы одновременно.
Для изучения двухчастичных взаимодействий пересчитаем в ансамбле число таких систем, в которых выделены две частицы f и /, находящиеся- в определенных состояниях. Это число обозначим через 需)：
礴)《也D. (3.5.2)
Среди перечисленных систем имеются такие, в которых третьи частицы к существенно взаимодействуют с i-й и /-Й частицами, их число обозначим через 礴?• Тогда
嘴)= *? +〉＞開 (3.5.3) h
где vijo — число систем, в которых нет такой третьей частицы. Как и ранее, мы можем заключить, что условие т2》Тз является необходимым для того, чтобы модель,, полученная усреднением по ансамблю, соответствовала реальной системе в смысле описания такого рода взаимодействий. Здесь Тз ——временной масштаб влияния третьей частицы.
Последовательно рассматривая по аналогии взаимодействия все большего порядка, мы приходим к выводу, что условие (3.3.13) является необходимым для того, чтобы модель, полученная усреднением по ансамблю, могла служить эффективной имитацией реальной системы. Тогда, применяя разработанную выше схему усреднения по ансамблю к системе уравнений (2.4.10), (2.4.11), .. ., получим цепочку ББГКИ.
Вернемся теперь к ранее поднятому вопросу относительно повторного учета одной и той же системы в сумме £喏)，если в этой системе г-я частица одновременно взаимодействует с частицами 九 и /2. Ответ па этот вопрос состоит теперь в следующем: сумма 工夕胃)есть число систем, в которых i-я частица, находящаяся в определенных условиях, взаимодействует со вторыми частицами, по крайней мере с одной второй частицей в каждой системе с характерным временем т2； взаимодействие 力-宜 частицы с третьей частицей системы, если оно существует, должно иметь характерное время т3. Если же существует много систем, в каждой из которых одновременно происходит взаимодействие между тремя частицами %, 八 и /2 c одним и тем же характерным временем r, то, вследствие указанной выше трудности, цепочку ББГКИ нельзя применять к подобным системам. Естественно было бы надеяться построить кинетическую теорию на базе ансамблей, подобно тому как это сделал Гиббс в равновесной статистической механике. Однако рассмотрение соответствующих ансамблей, хотя и теоретически мыслимо, по-видимому, не дает особенного удобства. Подобный ансамбль должен определяться не только интегралами движения изолированной системы, но также и другтш величинами, не являющимися интегралами движения, и их эволюцию во времени неизбежно придется принимать во внимание. Поэтому такой ансамбль нужно будет заново определять в каждый момепт времени. Более того, для каждого вида микроскопических процессов понадобится свой вид ансамбля, причем в общем случае время жизни каждого ансамбля будет различно. Помимо всего про- qero, для обоснования с точки зрения эргодической теории усреднения по ансамблю в каждый момент времени нужно проводить усреднение по времени с учетом вре-
менпых масштабов. Использование таких ансамблей не входит в методы кинетической теории ). Напротив, именно их определение является целью кинетической теории.
Упражнения
Колебания обычного маятника описываются урав
也 d产也 d产нением
也 d产
也 d产
где 0 ——угол отклонения от вертикали, g ——ускорение поля тяжести, I ——длина маятника, t — время. Если g = go, то период колебаний равен
Полагаяg = go + gi (力Полагаяg = go + gi (力gi«) = g‘ sin (^z + cp)gi«) = g‘ sin (^z + cp)g'/go < l^i > “』g'/go < l^i > “』
Полагая
g = go + gi (力
Полагая
g = go + gi (力
gi«) = g‘ sin (^z + cp)
gi«) = g‘ sin (^z + cp)
g'/go < l^i > “』
g'/go < l^i > “』
исследовать движение маятника. Рассмотреть также случай т产Q.
Докажите, что
计工12Г
亡J M="sin仔方)+ 0[謚 t
при
屮=a sin (^ 力)+ b sin ^ и
Т[》Т12 > 0.
Функция 2 определяется в виде
гр (/; а, b) = j 5 (/ — у) dy,а V b.
Докажите, что
2=1 при а V % V Ь,
“ =0 при / V а и: (или) / > Ь.
Функция 3 определяется в виде
W(力,")=目6 оW(力,")=目6 о/ — а sin (」(U + s)) ds,/ — а sin (」(U + s)) ds,
W(力,")=目6 о
W(力,")=目6 о
/ — а sin (」(U + s)) ds,
/ — а sin (」(U + s)) ds,
гдегде[конечна屮(”，0 |q[конечна屮(”，0 |q
где
где
[конечна
屮(”，0 |q
[конечна
屮(”，0 |q
Ti》R, а > 0.
Можно ли считать, что 2(/,力 не зависит от у и
при а > % > — а,
при 胃 V ——а и (или) / > а?
ГЛАВА 4
УРАВНЕНИЕ БОЛЬЦМАНА
Введение
Уравпение Больцмана было получено в 1872 г. [7]. Можно отметить, что эта работа Больцмапа была стимулирована уравнениями переноса Максвелла [581. Уравнение Больцмана описывает эволюцию плотности одинаковых частиц, аналогичной функции /, введенной в соотношении (2.5.4 )・ Оно имеет вид
係+ e.f (e, г, 0 =
=j [广(с；, г;力)广(с', г; 0 — /'©, г;力)厂(с, Г；力)1 X
XI Cjl — с I d^h dh dc「 (4.1.1)
Согласно Больцману, с, с15 с' и с】 представляют собой скорости частиц в состоянии свободного пробега, поэтому，‘ следует понимать определенной таким образом, что она дает плотность лишь таких частиц. Угол ср и длина h характеризуют геометрические соотношепия между двумя частицами, участвующими в столкновении; столкновение начинается с начальными (асимптотическими) скоростями с и Ci двух частиц на большом расстоянии перед столкпо- вением (рис. 4.1.1), с' и сг——конечные (асимптотические) скорости двух частиц на большом расстояпии после столкновения. В уравнении Больцмана с, Ci и h являются независимыми переменными. Однако, согласно уравнениям движения двух частиц, столкновение может начаться как со скоростей с, сн так и со скоростей с', с，а оканчиваться скоростями с', с】, или с, Ci соответственно. По уравнению Больцмана, эволюция функции /' происходит под
но перед столкновениемно перед столкновениеммежду двумя частицами одна из них, со скоростью с, находится в точке О, а другая, со скоростью и,— в точке I. Относительная их скорость равна С] — с. Проекция вектора 01 на плоскость, проходящую через О перпендикулярно Cj — с, равна 九.Величину h обычно называют прицельным параметром.между двумя частицами одна из них, со скоростью с, находится в точке О, а другая, со скоростью и,— в точке I. Относительная их скорость равна С] — с. Проекция вектора 01 на плоскость, проходящую через О перпендикулярно Cj — с, равна 九.Величину h обычно называют прицельным параметром.
но перед столкновением
но перед столкновением
между двумя частицами одна из них, со скоростью с, находится в точке О, а другая, со скоростью и,— в точке I. Относительная их скорость равна С] — с. Проекция вектора 01 на плоскость, проходящую через О перпендикулярно Cj — с, равна 九.Величину h обычно называют прицельным параметром.
между двумя частицами одна из них, со скоростью с, находится в точке О, а другая, со скоростью и,— в точке I. Относительная их скорость равна С] — с. Проекция вектора 01 на плоскость, проходящую через О перпендикулярно Cj — с, равна 九.Величину h обычно называют прицельным параметром.
действием многочислеппых столкновений, вклад каждого из которых представляет собой интеграл по всему фазовому пространству столкновения. С другой стороны, согласно уравнению (2.4.10), эволюция функции 歹?' обусловлена членами, заданными в данной точке Х〃 причем 爲 может оказаться состоянием ；
частицы как во время столкновения, так и во время свободного пробега. Введенная соотношением (2.5.1) функция / является не только плотностью частиц, находящихся в состоянии свободного пробега, но и плотностью частиц, находящихся в процессе столкновения. Следовательно, она отличается от функции /', удовлетворяющей уравнению Больцмана. Пусть, однако, часть принятого за единицу интервала времени, в течение которой частица взаимодействует с другими частицами, значительно меньше той части времени, в течение которой она находится в свободном пробеге. Тогда можно исключить малые вне-
запные флуктуации /, связанные с частицами, находящимися в процессе столкповепия, путем усреднения функции / по времени от J до t+ т:
</>о = 4" J/(c, г (s); t + s) ds, (4.1.2) о
где
* = с, г(0) = г(4.1.3)
11 предполагается, что
工型^工时《1.(4.1.4)
с ds cm
Еслн т и г(т) — г пренебрежимо малы в макроскопиче- ском смысле, но велики в микроскопическом смысле, то в
макроскопическом отношении функции </>0 и / эквивалентны, в то время как в микроскопическом отношении функция〈/〉о, в отличие от /, является гладкой функцией времени t и представляет лишь плотность частиц в состоянии свободного пробега. Поэтому в качестве фупкцшг распределения, удовлетворяющей уравнению Больцмана, более естественно выбрать </>0, а не /:
/' = </>о. (4.1.5)
Уравнение Больцмана является результатом интуитивных, но чрезвычайно изобретательных теоретических построений Максвелла и Больцмана. Несмотря па интуитивный характер вывода этого уравнения, его справедливость была проверена и подтверждена многочисленными приложениями. Следовательно, его можно считать фундаментальным, хотя и эмпирическим законом. Поэтому последовательный вывод уравнения Больцмана из уравнения Лиувилля пе следует рассматривать как доказательство справедливости уравнения Больцмаиа. Напротив, такой вывод (при определенных ограпичепиях) скорее служит доказательством справедливости общей схемы кинетической теории.
§ 4,2. Необходимые допущения
Предположение о бинарности столк- н о в е п и й. Необходимо предположить, что исследуемый газ достаточно разрежен. Тогда образующие его частицы большую часть времени двигаются свободно, пе испытывая влияния со стороны других частиц газа. Однако иногда одна частица настолько сближается с другой, что начинает существенно сказываться влияние силы межчастичпого взаимодействия (1.2.1). Вероятность того, что какая- либо частица будет одновременно взаимодействовать более чем с одной частицей, пренебрел^имо мала. Это справедливо для любой из частиц, составляющих газ. Вследствие этого, если в уравнении (3.3.10) силы 5r仃 и 3r幫 играют существенную роль, то силы 歹历 и 歹％ в нем пренебрежимо малы. Тогда уравнения (3.3.8)' и (3.3.10) дают
замкнутую систему:
优十託十歹。厂謚)〈"⑴(Х。；力)〉0 +〈J>0 = 0, (4.2.1) 〈J〉o =
=f 窜耳⑶(Ха，Хь；力)dXb ds, (4.2.2)
齐^*+冬号+6°+歹")*+(歹м+歹j*帛卜
xb*(XaXj") = 0・ (4.2.3)
Здесь опущены индексы у t^ (из 3.3.8)', а т23 в (3.3.10) считается настолько малым, что 〈歹|里〉т23 эквивалентна 恋)；индекс 0 в (1) вместо т указывает, что средние берутся вдоль траекторий (3.3.3)( при условии (4.1.4).
Столкновения. Столкновения какой-либо одной частицы с другими происходят редко. Вследствие этого: а) вероятность того, что какая-либо выделенная частица в произвольный момент времени окажется в состоянии столкновения с любой другой частицей, пренебрежимо мала; б) при этом возможно выбрать интервал времени т такой, что вероятность столкновения выделенной частицы в интервале от ^ до ^ + т не пренебрежимо мала, по вероятность столкновения с двумя и более частицами в этом интервале пренебрежимо мала.
Предположение относительно〈歹⑴〉о・ Будем считать, что <F(i)>0 в (1) описывает только состояния частиц, не зависящих от других частиц. Это предположение отвечает случаю а) раздела 4.2.2. Его точный смысл в том, что состояние частицы, описываемое переменными Ха,力，имеет место не только во время ее свободного пробега, ио и столкновений с другими частицами.
Предположение относительно Fw. Предполагается *), что всегда выполняется соотношение
7?(2)(Ха, ХЬ；力* =〈耳⑷(Ха；方)〉式方⑴(ХЬ；方)〉:.(4.2.4)
Считается, что столкновения частицы с другими происходят редко. Вероятность сильной корреляции между двумя выделенными частицами в интервале времени между t :и 方 + 工 очень невелика.
Пространственный и временной масштабы столкновения. В макроскопическом смысле ст и 歹оТ пренебрежимо малы, однако величина
Ар = J ^ijdt
не мала даже в макроскопическом смысле.
Вывод уравнения
При выводе из (4.2.2) столкновительного интеграла Больцмана следует иметь в виду следующие три обстоятельства, обычно играющие важную роль при статистическом рассмотрении:
В уравнении (3.3.7) сначала производится суммирование по /, а затем полученный результат усредняется по s・ Для того чтобы проводить усреднение по времени каждого у-го слагаемого отдельно, необходимо либо выбрать т настолько малым, чтобы в интервале от 力 до 力 +1 i-я частица взаимодействовала самое большее один раз с какой- либо из /-Х частиц, либо предположить, что взаимодействие очень слабое. (Пусть i-я частица за период от 力 до 力 + + т испытывает два сильных столкновения. Влияние одного столкновения зависит от того, происходит оно первым или вторым. Заметим, что X» является пезависимой переменной и в обоих случаях имеет одно и то же значение, но функция W?)в первом случае иная, чем во втором.) Мы еще раз вернемся к необходимости этого условия в связи с соотношением (4.3.15).
Поскольку наблюдаемой является 〈露°(丫若方)〉。； Z = 1, 2, 3, ..., у нас пет ни возможности, пи необ- ходимостп точно знать момепт времени и состояния /-й частицы, характеризующие начало ее существеппого взаимодействия с i-й частицей. Таким образом, относительно состояния, в котором /-я частица начинает в интервале от t до % 十 т существенно взаимодействовать с i-й, можно
ввести предположение, аналогичное гипотезе Stosszahlan- satz Больцмана: частица у является одной из частиц, расположенных в момент времени t вблизи %-й частицы, причем относительно этих частиц функцию D{N) можно считать симметричной. Область конфигурационного пространства, в которой существуют подобные /-частицы, обозначим через Дгь. Поскольку нам известно, что Больцман рассматривал короткодействующие межчастичные силы, область Дгь считаем ограниченной окрестностью частицы 〃，вследствие чего (4.2.2) принимает вид, аналогичный (3.3.7):
dXbdst (4.3.1)力—力+ sdXbdst (4.3.1)力—力+ s^i^ j J [^аЪ * / 心阳,Хь； “
dXbdst (4.3.1)
力—力+ s
dXbdst (4.3.1)
力—力+ s
Результат крупноструктурпого- загрубления не должен зависеть от т. В противном случае этот результат не имеет физического смысла. Здесь все определяется поведением распределения частиц в области Дгь и в интервале т. Если распределение однородно, то поставленное условие выполняется. По мере увеличения разреженности газа распределение в Дг6 п в т становится все более неоднородным и результат загрублепия начинает зависеть от т. При этом уменьшается возможность построения кинетической теории.
Вместо〈А〉。в форме (3.3.7) можно построить <Л\ путем усреднения 厶 по времени от до ^ + т вдоль траекторий I, определяемых соотпошепиями
"%(S)= ds —Pi⑻dPi ⑶_ ds多万⑹,勺⑻_ dsin 'dPj (s)=歹戸⑶"%(S)= ds —Pi⑻dPi ⑶_ ds多万⑹,勺⑻_ dsin 'dPj (s)=歹戸⑶(4.3.2)(4.3.2)
"%(S)= ds —
Pi⑻
dPi ⑶_ ds
多万⑹,
勺⑻_ ds
in '
dPj (s)=
歹戸⑶
"%(S)= ds —
Pi⑻
dPi ⑶_ ds
多万⑹,
勺⑻_ ds
in '
dPj (s)=
歹戸⑶
(4.3.2)
(4.3.2)
с начальными условиями
心(0)=也 巧(0)=必心(0)=也 巧(0)=必рКО) =1〃Pj(O)= Pj.рКО) =1〃Pj(O)= Pj.(4.3.3)(4.3.3)
心(0)=也 巧(0)=必
心(0)=也 巧(0)=必
рКО) =1〃
Pj(O)= Pj.
рКО) =1〃
Pj(O)= Pj.
(4.3.3)
(4.3.3)
5〉1 =5〉1 =Тогда будем иметь )
5〉1 =
5〉1 =
X 耳彩(羽⑹力 Xj (s);方 + s) dXjds. (4.3.4)
Уравнения (2) представляют систему характеристик уравнения (4.2.3), если заменить в нем d/dt на d/ds и f на t + s. Следовательно, интегрируя (4.2.3) вдоль траекторий I, определяемых системой (2), получим
J^W?(爲(s),Xj(s)" + s) ds =
=I 歹段(爲(s), Xj (S)" + 5否=0г (4.3.5)
где
У — £ I MS) 3 I 吗⑻@
ds — ds ' ds • dri (s) '~ 吗(s)十
十ds办弋⑶十ds dp^sy
XX・通(s) +・通(s) +Усредняя 〈A〉i по частицам таким же образом, что и в (337产，получаем
X
X
・通(s) +
・通(s) +
'о Ard
X 歹⑶(X。(s), Xb (s); % + s) dXbds, (4.3.7)
где Дгь имеет такой же смысл, как и в (1). Определив [d/ds\ab в виде
@ I Ра($), 3 J Pb(s) 3 J
一ds」ab — ds ' m * dra (s)十 m ' d% (s)'
+歹。Ь⑹•詰j +夕Ь。⑶.謠亍GJ*)
вместо (7) находим
77> т = f f f Г ]。Pa(s)О Е^・_±X
〈'(底'Ь一莅—m 鸣(s)丿
X /2) (X。(s), Xb (s)； t + S) dXbds. (4.3.9)
В отличие от (5) производная [d/ds]abF{2) в подынтегральном выражении не дает пуль. Причина этого состоит в том, что, аналогично соотношению (3.3.12),
A。Ь.為加2)(Х。,ХЬ；方)*歹册•謚戸声mМ
Объем Аг。в выражении (7) охватывает область конфигурационного пространства, значительно превышающую область действия силы, индуцированной одной частицей. Поэтому в действительности пе все частицы из двух групи, одна из которых находится в состояниях между Ха и Ха Т- + АХа, а другая — в состояниях между Х& и Хъ + АХ°, участвуют в бинарных столкновениях типа, определяемого уравнением (6); многие из них участвуют в столкновениях иного типа и (или) находятся в состоянии свободного пробега. Поэтому (9) можно представить в виде
〈/〉工=
=? J [小2)(X.⑺,爲⑺;％ + t) —小)(Х。,爲;切4芻一
т
X 耳⑶(X。(s), 乂匕(s);力 + s) dXbds. (4.3.10)
Далее будет показало, что первый из интегралов в этом выражении дает интеграл столкновений Больцмана, в то время как второй ——несуществен, если плотность числа частиц низка (последнее обычно выполняется).
Частицы в состоянии Хь могут взаимодействовать с частицами в состоянии Ха в интервале времени от 力 до 方 + + т только в том случае, если точка г6 в момент t выбирается так, что она лежит в области конфигурационного про-
странства между точками гь и гь, определяемыми соотношениями
(г； — r”(Pb — Ра) = О,
(】” D(Pb — Pa) 一(АЗ.”)
I Pb - Ра『加
Эта область схематически изображена на рис. 4.3.1. Используя цилиндрическую систему координат с началом в Рис. 4 3.1. Частицы а и Ъ, находящиеся в момент 力 в состояниях (Гд, Ра) и (%, рь), в момент i+т будут на наименьшем расстоянии друг от друга, если
工 |Pb-Pa 丨—m
точке ra и осью в направлении рь — pa, имеемточке ra и осью в направлении рь — pa, имеем(D -「a)，(Pb - Pa)= IPb - Pa I •
точке ra и осью в направлении рь — pa, имеем
точке ra и осью в направлении рь — pa, имеем
где ср — азимутальный угол, h — радиус в плоскости нулевой высоты. Будем считать также, что как до, так и после столкновения двух частиц корреляция между ними достаточно слаба, так что
必2)(X。,爲；方)=方⑴(X。； 力)项)(%；)
川 2)(Xa«),Xb«)" + Q =
=歹⑴(Xa(t),方—卜工)歹⑴(Хь⑺，方+ ?)・(4.3.13)=歹⑴(Xa(t),方—卜工)歹⑴(Хь⑺，方+ ?)・(4.3.13)С учетом (12) второе слагаемое в правой части (10) по порядку величины равноС учетом (12) второе слагаемое в правой части (10) по порядку величины равноX dpbt № 加-咀 ^ф^ dh =X dpbt № 加-咀 ^ф^ dh ==号~^佼+醬瓦）ь⑴（儿；力（4314）=号~^佼+醬瓦）ь⑴（儿；力（4314）
=歹⑴(Xa(t),方—卜工)歹⑴(Хь⑺，方+ ?)・(4.3.13)
=歹⑴(Xa(t),方—卜工)歹⑴(Хь⑺，方+ ?)・(4.3.13)
С учетом (12) второе слагаемое в правой части (10) по порядку величины равно
С учетом (12) второе слагаемое в правой части (10) по порядку величины равно
X dpbt № 加-咀 ^ф^ dh =
X dpbt № 加-咀 ^ф^ dh =
=号~^佼+醬瓦）ь⑴（儿；力（4314）
=号~^佼+醬瓦）ь⑴（儿；力（4314）
Заметим, что представленный в виде (12) объем Дг6 являетсЯ объемом области конфигурационного пространства, где в момент t находятся те частицы, которым предстоит поздпее (в интервале времени от 力 до 力 +1) взаимодействовать с частицами, находящимися в состоянии Ха. Поэтому естественно предположить, что *)
° [J ^Ф^ d无]а2 5 • 10~"16 см2,
гдс о?——величина порядка сечения рассеяния, так что а представляет собой максимальное расстояние между двумя частицами, на котором становится заметным их взаимодействие. Кроме того, естественно предположить, что
(N/U)T3 <О[Т (РЬ- Ра)/М] < 九=研叁少，
где X ——средняя длина свободного пробега. Выбирая зна- чеппс т, как п ранее, в соответствии с (12) имеем
/ М 2/з N Дг. [
丿й《"^Г^°2(£3.15)
если N/V = 10", то 62(N/W/3 = 5 • 10~2. В этом случае вполне возможно выбрать t так, чтобы удовлетворить условию (15). Если N/V = 1024, то。2(%/卩产3 = 5, и неравенство (15) пе выполняется.
Заметим, что условие N^rb/V《1 является тем самым ограничением, которое обеспечивает достаточно малое значение т, чтобы за период от / до ^ +• т Z-я частица взаимодействовала. с другими частицами не более одного раза. (Сравните с утверждениями, приведенными в начале этого параграфа.) При условии (15) выражение (14) прене- (4.2.1). Таким образом, с помощью (12) и (13) соотноше- брежимо мало по сравпепшо с остальными членами в иие (10) принимает вид
〈」〉工=
=一 N \ 仍⑴仇(t)，勿(T)； t + T)ь⑴(Pb (t),％(T)； ^ + T)-
—歹⑴(Ра, %; t)耳⑴(Pb, rb； o]也％乌」d(p九 dh dpb・ (4.3.16)
[ые здесь численные оценки даются в книге Джин-
Поскольку т, Га(т)— га и г6(т) — г6 представляют собой микроскопические величины, то в масштабе времени т】 должно иметь место
耳⑴(Ра, Га(т)；方 + t)=〈歹⑴(Ра, %； %» И Т. Д., (4.3.17)
откуда окончательно получаем
〈J〉I = — N J [<F(1) (Ра «), Га；力)〉0〈少⑴(pb(T), %；力)〉° —
—〈歹⑴(Ра, Га；力)'〉о〈少⑴(Pb, Г。； Z)>o]-X
X ®焉"Jep/z dh dp>(4.3.18)
Так как 〈/不〉。и <Л\ вычисляются соответственно вдоль траекторий 0 и I, эти средние пе эквивалентны. В дальнейшем, о диако, будет показано, что после круппострук- турного усреднения по частицам, типа проделанного в (2.5.1), имеет место
〈〃Ха；力〉° = 〈/(Ха；力〉I.〈〃Ха；力〉° = 〈/(Ха；力〉I.(4.3.19)(4.3.19)
〈〃Ха；力〉° = 〈/(Ха；力〉I.
〈〃Ха；力〉° = 〈/(Ха；力〉I.
(4.3.19)
(4.3.19)
Величины Ji являются функциями от X» и 方.На рис. 4.3.2, а сплошной линией показана кривая в Х^-про- странстве, па которой задана Ji. В рамках предположения
X/ X/
/+г/+г力，〈С%，</>5)
/+г
/+г
Рис. 4.3.2. / и〈/〉工 выглядят как б-фушщпи, в отличие от 〈/〉()，ко
торая похоя^а на функцию ошибок.
о бинарности столкновений эта кривая совпадает с одно!( из траекторий. Поскольку мы рассматриваем единственную систему, то Л обращается в нуль, если i-я частица нс взаимодействует ни с одной у-й частицей так, что 歹仃 существенна. Фактически прямые штриховые линии на этом
рисунке соответствуют траекториям типа 0. На рис.4.3.2, 6 изображены Л,〈厶〉о и 〈厶〉【в момент времени t. При этом Ji выглядит как 6-функция, так как опа задана лишь на одной из траекторий I. С другой стороны, среднее <Л>0, полученное путем усреднения по траекториям О, изображено в форме, близкой функции ошибок. Очевидно, что
〈厶〉° ¥= <Л>ь(4.3.20)
Одпако столь же очевидно, что
^〈厶(&; ^.dX, = J〈厶(Xi； ^dX^ (4321)
Это равенство обусловлено тем, что обе величины представляют собой отнесенную к т полную интенсивность величины Ji на интервале времени от i до i + т. Если в состояниях от Ха до Ха + АХа находится достаточно большое число частиц, то можно предположить наличие равенства
〈J(Xa；方)〉о =〈〃Ха；力〉I,(4.3.19)
где
ка+△襄а
<J(Xa- /)>0 =2 J〈几(第;力°d爲，(4.3.22)
〈J (Xa； %)〉工=訳厂？J〈几(羽;Z)〉工dX‘i・(4・3・23)
Нет необходимости говорить о том, что условие (21) совместно с (19).
В итоге уравнение (4.2.1) пришшает вид
长 + 譽為)〈"⑴(爲:"〉。+〈j〉1=°，(4.3.24)
(4.3.25)(4.3.26)(4.3.25)(4.3.26)Для того чтобы получить из (24) уравнение >(4.1.1), необходимо заменить <^(1)>0 на /' в соответствии с определением
(4.3.25)
(4.3.26)
(4.3.25)
(4.3.26)
/'(с, г; /) = Nm3<F{^{p, г; i)>0,с = р/т.
Теперь остается только отбросить индекс а, заменить индекс й на 1 и записать выражения тс' и mci соответственно вместо 卩Kt) ii j?b(t), что и завершает вывод уравнения (4.1.1).
Перечислим наиболее существенные пункты проделанного вывода:
Вместо траекторий 0 можно взять траектории любого другого типа, лишь бы они были эквивалентны траекториям 0 в масштабе времени ti・
Точно так же траектории I можно заменить траекториями II и т. д., если они эквивалентны в масштабе времени т2.
Х» ——независимая переменная, a F^ (Х^;力)——раз- равная: функция, имеющая вид 6-функции. Однако 尸⑴(Ха；力)является непрерывной функцией, если N/V и АХа достаточно велики. Аналогичная ситуация имеет место и для функций более высокого порядка W肾(Х^,匕；t) и т. Д.
Хотя в уравнении (5)
^琛)(&(s),修⑶；力+ s) = 0,
однако в уравнении (8)
^аъ F^(Xa(s),Xb^t + 5)，0.
Область интегрирования по 4ть в (12) имеет конечную протяженность в направлено! р& — ра. Этот факт при- обретает ваасное значение после замены /1? (Х^, Х^; %) на 尸(2)(Ха, Хь；方)・ Именно он позволяет учесть то обстоятельство, что частица с конечной скоростью локализована в ограниченной области конфигурационного пространства в течение короткого интервала времени t. Заметим, нт。 F^^X^t) сама по себе имее丁 разрывную локализацию, в то время как 歹⑶(Ха, X&; t) является непрерывной функцией. Если бы Dm была симметрична в микро- скопичееком смысле, то подобное ограничение области интегрирования по 〃也 стало бы совершенно необоснованно. Тогда значение интеграла столкновений всегда было бы бесконечно велико. 一
§ 4.4. Физический смысл уравнения Больцмана
Уравнение Больцмана, согласно (4.1.1), для функции / имеет вид
債+ е•糸+ ?■岗/ =(4・4」)
гдо
-J-Щ^^У (с；) — ”с) / Q)] hv dh d(p "3%, (4.4.2)
v = I Ci — с|,(4.4.3)
歹——внешняя сила, действующая па каждую частицу.
(4.4.4) Оно является ицтегродифферепциальным уравнением, описывающим эволюцию функции /(с, г,力.Величина /(с, % £)бГс 〃3f равна числу частиц со скоростями менаду с и с + + 〃с в элементарном объеме конфигурационного пространства d3r в момент времени t.
生^竺或竺^生^竺或竺^Поведение / вдоль траектории. Рассматривая (1) как дифференциальное уравнение в частных производных, запишем его уравнения характеристик в виде
生^竺或竺^
生^竺或竺^
(4.4.5)
(4.4.6)
(4.4.7)
Отсюда следует, что вдоль траектории, представляющей решение уравнений (6) и (7), функция / имеет вид
/ (с, r,Z) = /(с0, г0,力о) — [ J d力
(4.4.5)，
где
с = % + J ~ d 力
(4.4.6),
г = r0 + f с 或.
(44.7/
Разумеется, J тоже зависит от с н г, выраженных в форме (6)' и (7)' и представляющих решение уравнений (6) и (7). Функция / в виде (5)' есть частное решение уравнения Больцмана. В формуле (5)' заданы с0, г0 и 力о, а величины с и г зависят от времени 力.Можно получить решение, в котором независимыми переменными будут с, г и 力.При заданных с, г и tQ можно выбрать с0 и г0 таким образом, чтобы соотношения ⑹'и ⑺'выполнялись в момент Л Пусть
Со = С — с\ Го = Г — Г’，где с' и г' удовлетворяют уравнениямтп* =夕(力,г), г фиксирована,dr丿
—=с, с фиксирована.
Тогда (5)' принимает вид
/(с, г") = / (с — с', г — У"°) ~ ^ J dt. (4.4.5)"
При интегрировании J по времени необходимо иметь в виду условие постоянства г и с. Функцию / в форме (5)" можно считать общим решением (см. раздел 2.3.2).
Если J равен нулю, то, как следует из (5)', функция / неизменна вдоль траектории. Функция / изменяется от одной точки траектории к другой лишь благодаря наличию J. Задаваемую уравнениями (6) и (7) траекторию можно для наглядности сравнить с автотрассой, в каждой точке которой задано определенное значение скорости движения. Для наблюдателя, движущегося по трассе, плотность автомобилей / будет меняться со временем вследствие того, что некоторые автомобили сходят с трассы, а некоторые —выезжают па пее. Такие процессы описываются членом 厶 в газе они обусловлены столкновениями.
Интеграл столкновений. Изучим подробнее свойства интеграла столкновений
Согласно определениям, введенным в предыдущем разделе, с' и с】 представляют собой асимптотические значения скоростей двух частиц до столкновения, а с и Ct ——асимптотические значения скоростей после столкновения. Следовательно, с и Ci зависят от с' и Ci и, наоборот, с' и с】 зависят от с и &. Более того, как будет показано ниже, если в качестве асимптотических скоростей до столкновения взять с и С[, то асимптотическими скоростями после этого же столкновения будут с' и с】.
Рассмотрим динамику столкновения двух частиц, взаимодействующих между собой по заколу (4.2.4), Уравнение движения частицы 1 с массой т{ имеет вид
^1Г1 ~ 歹 12，
(4.4.8)
а уравнение движения частицы 2 с массой 恤一
7712r2 =—争 12，
(4.4.9)
ar — м %%R 丄 2
(4.4.10)
Если К > 0, то межчастичпое взаимодействие отталкивает частицы друг от друга, а если К V 0, то притягивает. Здесь
R12 = 1*2 — к・ (4.4.11)
Легко убедиться, что из (8) и (9) следует
——一一（г。— I J =—歹 12，
(4.4.12)
а если ввести определение приведенной массы
(4.4.13)
仅12 一吗、
ТО
^12^12 =一歹 12・
(4.4.14)
Умножив векторно обе части этого уравнения на лУчаем
RjL2, ПО-
М[2 (.Ri?,衣 12] ~ [ — R_12‘ 窮 12】'
(4.4.15)
откуда вследствие (10) вытекает
[R12, R12] — 0
или после интегрирования
(4.4.16)(4.4.16)[R12, R12] = т] (константа).
(4.4.16)
(4.4.16)
(4.4.17)(4.4.17)Заметим, что М12n — момент импульса системы. Положение центра масс системы Rg определяется вектором
(4.4.17)
(4.4.17)
g _ 7nl十〃气
Если представить себе плоскость, проходящую через RgЕсли представить себе плоскость, проходящую через Rg
Если представить себе плоскость, проходящую через Rg
Если представить себе плоскость, проходящую через Rg
перпендикулярно вектору 刀，находиться в этой плоско
Рис. 4.4.1. Центр масс Rg двух сталкивающихся частиц 2 и 2 движется по прямой линии с постоянной скоростью R^. Обе частицы всегда лежат в плоскости, проходящей через R g перпендикулярно вектору 4
I обе частицы всегда будут [(рис. 4.4.1). В результате уравнение (14) можно рассматривать в этой плоскости, выбрав начало вектора R^ совпадающим с частицей 1 (см. Приложение А).
Решение уравнения (14) было получено много лет тому назад, в дальнейшем ограничимся основными его результатами. Начальные асимптотические условия при 力匸=—* задаются в виде
h = С" г2 = с2, (4.4.17)'
.刀=无V]2,
R12 = ¥12 =。2 — ©I.
Асимптотические конечные условия при 方=十8 имеют вид
(4.4.18)(4.4.18)
(4.4.18)
(4.4.18)
Решение уравнения (14) дает勿-/г,I 丫12 I I v12 I = %2，(Vis) И = ^12 COS(Л — 2心в), (v；2)•上=% 2 sin(Л - 208),Решение уравнения (14) дает勿-/г,I 丫12 I I v12 I = %2，(Vis) И = ^12 COS(Л — 2心в), (v；2)•上=% 2 sin(Л - 208),(4.4.19)(4.4.20)(4.4.21)(4.4.19)(4.4.20)(4.4.21)где скобки ( )ц означают компоненту в паправлепии вдольскорости V12,( )丄一перпендикулярно скорости v12, какгде скобки ( )ц означают компоненту в паправлепии вдольскорости V12,( )丄一перпендикулярно скорости v12, какРис. 4.4.2. Траектория частицы 2 относительно частицы Z на плоскости, изображенной на рис. 4.4.1, для случая с-илы отталкивания.Рис. 4.4.2. Траектория частицы 2 относительно частицы Z на плоскости, изображенной на рис. 4.4.1, для случая с-илы отталкивания.
Решение уравнения (14) дает
勿-/г,
I 丫12 I I v12 I = %2，
(Vis) И = ^12 COS(Л — 2心в), (v；2)•上=% 2 sin(Л - 208),
Решение уравнения (14) дает
勿-/г,
I 丫12 I I v12 I = %2，
(Vis) И = ^12 COS(Л — 2心в), (v；2)•上=% 2 sin(Л - 208),
(4.4.19)
(4.4.20)
(4.4.21)
(4.4.19)
(4.4.20)
(4.4.21)
где скобки ( )ц означают компоненту в паправлепии вдольскорости V12,( )丄一перпендикулярно скорости v12, как
где скобки ( )ц означают компоненту в паправлепии вдольскорости V12,( )丄一перпендикулярно скорости v12, как
Рис. 4.4.2. Траектория частицы 2 относительно частицы Z на плоскости, изображенной на рис. 4.4.1, для случая с-илы отталкивания.
Рис. 4.4.2. Траектория частицы 2 относительно частицы Z на плоскости, изображенной на рис. 4.4.1, для случая с-илы отталкивания.
изображено па рис. 4.4.2. Величина 仆8 дается выражением
心8 - J I ； ;三 / e т_1卩72,(4422)
гДс а。一 решение уравнения
告佟厂=0，(4423)
(4.4.24)(4.4.25)(4.4.26)(4.4.27)следую-(4.4.24)(4.4.25)(4.4.26)(4.4.27)следую-
(4.4.24)
(4.4.25)
(4.4.26)
(4.4.27)
следую-
(4.4.24)
(4.4.25)
(4.4.26)
(4.4.27)
следую-
причем
「 у2 "/st
l(mi + ^2) А］
Кроме того, имеют место соотношения
(7^1 + m2) Hg= 7及］0丄 + 7712c2 = 7及］С； + ТТ^С；,
^"л。1 -Ъ" ^2^2 ~" ^"^普］-Ь" 7〃2'2 , откуда находим
Cl = Rg -勺 + % %2, C2 = Rg + %+% V12,
•m•m
J = Rg -疋乔;％， с2 = % + 瓦鼻®■
Соотношения i(19), (20) и (21) позволяют сделать щие выводы:
если начальные условия столкновения были (с1? с2, 无),то конечными условиями после столкновения будут (с；, с；, %);,
если начальные условия (с^, с2г^)» то конечные — (&, с2,无)；,
столкновение обратимо во времени: (—с；, —с?,无) приводит к (-&, —с2, h) и т. д.;
согласно теореме Лиувилля для двухчастичной системы имеет место равенство
7及j/n2dЗезене2d3门&3［2 = /пр?22d%；&3©証3Kd3［； (4.4.28) (здесь в левой части стоит элемент фазового объема начального состояния системы, а в правой части — конечного состояния).
Частный случай: s = 5. В этом случае можно решить уравнение (23):
部=—冉 十(а8 + 2a《у/?.(4.4.29)
Молекулы с таким видом взаимодействия называют максвелловскими.
Частный случай: s = 8. Представив (10) в виде
歹 12 =忆仰太『R12, к > о, (4.4.30)
где о — константа, видим, что,
歹 12 = 0 при Т?12> ст,
S^~ I? ^^ ОО X Rj[2 UP®^ 氏12 *^ 5
Подобные частицы прп столкновении ведут себя как упругие шары с радиусом и.
jff-теорема Больцмана и распределе- л и е Максвелла. Следуя Больцману, введем величину
Н= J /1п/й3с.(4.4.32)
Если предположить, что функция / пространственно однородна, по зависит от времени, то
% =『备(〃п/)0с = /(1 + 1п/)*аЗс =
=J (1 + In /) (/71 — /А) I Cj — с I 2nh dh 0с d3cH
где /i = /(cj и т. д. Вследствие симметрии интеграла столкновений относительно перестановок обозначений с, с15 с', Ci имеет место тождество
J 0i(/7i — /А) I ci — с I 2/ dh d% d3cl =
=}](0+01 -0‘- 01) (/z/i - //1)义
XI 5 — с I 2m2 d^d3c d3c15 (4.4.33)
где 。— произвольная функция с. Тогда, положив 0(c)= =1 + 1п /, получаем
礬= }jln 升 (/7i — /А) I ct — с I 2лй dh d3c d3cr
(4.4.34)
Если //i >/'/；, то, согласно этому выражению, dH/dt < 0, а если /Д < /71, то также dH/dt < 0. Следовательно, в любом случае функция Я убывает со временем, и этот процесс необратим. И наконец, если dH/dt = 0, то одновременно
协=/片协=/片(4.4.35)
协=/片
协=/片
iiiZ + lnA^inZ + in/^
Последнее равенство совместно с условиями сохранения импульса и энергии
加 с + Tn” = тс' + пгс；,
12 丨(21/2 [1/2
2 тс2 Т—^ ^Ci — ~2* тс -^—^ ^с 1
указывает вид функции распределения:
(4.4.36)(4.4.36)ааи Ь паи Ь паIn / = а + 6加с + Y 扌 me2 =号 〃z (c — u)2 + &,
(4.4.36)
(4.4.36)
а
а
и Ь па
и Ь па
где а, Ь и и — константы. Замепяя х^онстанты 72 п кТ, запишем / в виде
=M為「。xp「龄"明•=M為「。xp「龄"明•(4437)(4437)
=M為「。xp「龄"明•
=M為「。xp「龄"明•
(4437)
(4437)
смыслу 72 импульса,смыслу 72 импульса,(4.4.38)(4.4.38)Можно показать, что по своему физическому есть плотность числа частиц, пти — плотность а (-^%7 Т- у-ттг^ 八一плотность энергии:
смыслу 72 импульса,
смыслу 72 импульса,
(4.4.38)
(4.4.38)
пт = J mf d3c, nmu = J me/ d3c,-|- nkT + 皆 nmu2 = [ 4* we2/ d3c.
Подробнее этот вопрос будет рассмотрен в главе 5. Функция / в форме (37) называется максвелловской функцией распределения, к ——постоянная Больцмана, Т — температура. [Обобщение на плотные смеси см. в Приложении III.]
Упражнения
Очевидно, что
где область интегрирования охватывает все конфигурационное пространство. Полагая, что координаты г» распределены почти однородно в объеме V конфигурационного
пространства, докажите, что
fe6（-工*）厶=0［岁¥
Дг г=1L J
Происходит N одинаковых событий 1, 2, ...,%..., N, Событие % с вероятностью w^t происходит в интервале времени между t и t + А方.Вероятность реализации лишь одного события в интервале А方 равна
S（1） = N % = ? wvjj（l —WjAt）.
i=l i=lj卢电
Какова вероятность осуществления п событий в AZ?
Ответ:,
s （孔）= £>••• £ s〃, j,..., k G v / v v k）,
Si,j,…/ = 3切3… ^（A上）"U（1一例A力2抬工九…，"
Полагая в предыдущем упражнении wAt《1, покажите, что
s（1）= 2з力г
S（П）= О, П > 1.
Пусть в упражнении 2 в качестве Z-ro события будет приобретение броуновской частицей импульса р». Полисе приращение импульса броуновской частицы за А力 обозначим через Др:
Ар = «2 s〃Pe・
Полагая 恭公方《1, докажите, что
Ар Ар = Ws^W
ГЛАВА 5
ВЫВОД УРАВНЕНИЙ НАВЬЕ 一 СТОКСА
Моментные уравнения
В действительности мы не имеем возможности определить непосредственно саму функцию /, однако можем измерить некоторые макроскопические величины, связанные с /・
Моменты. Так как fd% представляет собой число молекул со скоростями в интервале между с и с + + de в единичном объеме конфигурационного пространства в момент времени t, то плотность массы газа имеет вид
р = пт = тп J J J / dcxdcydcz. (5.1.1)
Здесь п ——плотность числа частиц газа. Плотность импульса определяется как
pu = J J J mef d3c,(5.1.2)
d'e ；— dc^ deyde^»(5.4.3)
Плотность энергии:
Тензор напряжений (тензор потока импульса):
Р = J j J тпсс/ d3ct(5・1.4)
где
СхСу C/z %Cr СуСу CyCz %С 爲 CzCy %%/
Поток энергии:
Q = J jJ-Lmc2c/d3c.(5.1.5)
Подобным образом можно определить моменты более высоких порядков.
C = c~u, d3C =成 е, пз (2) получимC = c~u, d3C =成 е, пз (2) получим(5.1.6)(5.1.6)Введя
C = c~u, d3C =成 е, пз (2) получим
C = c~u, d3C =成 е, пз (2) получим
(5.1.6)
(5.1.6)
pU = J J Jm(C + u)/d3C = j J J 〃сС/ d3C + pu. (5.1.7)
Отсюда
J J JmC/d3C = 0.
Из определения (3) получаем
* = J JJ扌〃 2 (C+u)2/d4； =
7 H戈心/^+『仃加.5底+!丫皆nш吁不&
Второе слагаемое равно нулю в силу (7), поэтому
(5.1.8)(5.1.8)Е =君+ 3 р吟
(5.1.8)
(5.1.8)
где / 一 внутренняя, или тепловая, энергия. Точно так же
Р = J J J "©с/ d3c = J J J m (С + u)(C + u) / 0С = р + puu,
гдегдер== J J J^CC/d3Cр== J J J^CC/d3C(5.1.10)(5.1.10)(5.1.9)
где
где
р== J J J^CC/d3C
р== J J J^CC/d3C
(5.1.10)
(5.1.10)
—папря?кение, с которым обычно приходится иметь дело в гидро- и газодинамике. Очевидно, что
Рхх + руу + pzz = 2齒.(5.1.11)
Аналогичным образом получаем
Q = q + 齒U 十 ~-pu2u + p-u, (5.1.12)
где
q= J)J}7心学加(5.1.13)
——вектор потока тепла. Можно таким же образом ввести моменты более высоких порядков, например:
R(v)= ^mC...Cf d3C.(5.1/14)
Моментные уравнения. Проинтегрируем почленно уравнение Больцмана
偿+ с 十^ 嗅)/ = _ J (5.1.15)
по скорости с, умножив его на т. Тогда, с учетом сохранения массы при столкновении, получим
需十系，(pu) = 0.(5.1.16)
Далее, умножив уравнение! (15) слева на тпс и вновь проинтегрировав по скорости с, находим
/(Pu) + ^・(puu +р)—孔歹 °—|mi,U] = 0.(5.1.17)
Здесь использовано предположение о том, что
夕=笏0 + e叫，(5.1.18)
и учтено сохранение импульса при столкновении. Уравнение (16) в газодинамике! называется уравнением неразрывности, а (18) представляет собой уравнение для плотности импульса, на базе которого выводится уравнение Навье — Стокса *). Уравнение для энергии получается аналогично путем интегрирования по скорости с уравнения Больцмана, умноженного на -у- тс2:
基(器 + 4" Р〃2) + 糸• (q + Р • U + 尚U + -у ptAl)—
—u・(72歹о + [mi, И ]) = 0. (5.1.19)
Таким же образом выводятся уравнения и для моментов более высоких порядков. Система моментных уравнений,
полученных выше, всегда не замкнута. В (16) входит не только р, но и скорость и, которую можно было бы определить из (17), но туда входит р. Тензор напряжений р определяется в свою очередь уравнением (19), однако туда входит q, и так далее. Метод замыкания цепочки моментных уравнений не единствен ). В следующем параграфе будет рассмотрен метод Чепмена —— Энскога, дающий обычные основные уравнения газодинамики. [Болес общий подход см. в Приложениях I, II.]
Метод Чепмена — Энскога
Функция распределения молекул газа, содержащегося в замкнутом объеме*, защищенном от каких бй то ни было внешних воздействий, стремится к максвелловской форме )
产"(為 rёXp[一舟(一叫(5.2.1)
Для функции /(0) имеют место следующие соотношения )：
— o0W •乙•乙)
告=^/仃^^(e- U)2产%Зe = 4也
где Т — температура, Л — постоянная Больцмана. Интеграл столкновений для функции распределения /(0) обращается в нуль, в чем нетрудно убедиться путем рассмотрения законов сохранения массы, импульса и энергии
при столкновении. Это означает, что
(5.2.3)(5.2.3)八严(с), U)(cJ]=0・
(5.2.3)
(5.2.3)
Предположим теперь, что функция распределения / молекул газа почти максвелловская:
/ =产。)十/⑴+ ・.. + /(「)+ ..・(5.2.4)
При этом параметры n, и и Т, входящие в определение функции /(0), определяются из условий
и = Шс^Зс = иНс#%Зс,ikT = T^<\^m<e-^d4-(2切
= ^Штт(с-и^(0，ЙЗс>
откуда следует набор условий
(5.2.6)(5.2.6)Ш 产汉=0, J 口 川%3。= огf J J (С - U)2产^ = 0,
(5.2.6)
(5.2.6)
г = 1, 2,...
Подставляя / в форме (4) в уравнение Больцмана, находим
借+e•备+ WK)()⑹+严+产+…)+
+ /(0) + J⑴ + /⑶ + ・..=о, (5.2.7)
где
力。)=八产。)(叨(。)(g]=0,
J")=八产。)(明⑴3)] +八产⑹产。)&)],
(5.2.8)
J(2)=八/в)")/⑶(&)] + J 匕⑴(в/⑴(&)] +
+7[/(2)(с)'/(0)(С1)] и т. д.
Предположим теперь, что входящие в /(0) параметры n, и и 7* являются функциями от ^ и г, и разобьем
уравнение (7) на систему уравнений*)
自+ e•备+ •备)卅+ J⑴=。，(529) 後 + с'^ +严 + J⑶=0 н т.屏
Одним из достоинств метода Чепмена — Энскога является его математическая строгость. Подробный анализ основан прежде всего на первом из уравнений (9). Запишем в нем d/dt в виде
а =I a°u ©〃
dt — dt dn ' dt du 十 dt dt
и выразим, далее, с помощью уравнений (5.1.16), (5.1.17) и (5.1.18), в которых положено р=р(0)=пкТЬ^=q(0)== О, 6 ——единичный тензор, производные плотности, скорости и температуры в виде
~~дГ~~дГ-亲(〃U),-亲(〃U),3°u dt3°u dtаа1 31 3й•而u 一7■不.pй•而u 一7■不.p(о)(о)+ W+ 士 u，口，+ W+ 士 u，口，771771dtdtдТ 27 3дТ 27 3
~~дГ
~~дГ
-亲(〃U),
-亲(〃U),
3°u dt
3°u dt
а
а
1 3
1 3
й•而u 一7■不.p
й•而u 一7■不.p
(о)
(о)
+ W+ 士 u，口，
+ W+ 士 u，口，
771
771
dt
dt
дТ 27 3
дТ 27 3
Тогда первое из уравнений (9) дает
"［傣"月一那•警+
+ 2陽(CC — 扌改)：^+ 产=0. (5.2.10)
Полученное уравнение является интегральным уравнением относительно неизвестной функции /(1), входящей в J"). После того, как мы получим в явной форме /(1) как функцию скорости С, можно будет вычислить р⑴ и q(1). Тензор р(1) представляет собой сдвиговое напря-
*) Здесь это разбиение выглядит совершенно произвольно. В действительности в методе Чепмена ——Энскога .разложение (4) производится по степеням малого параметра 8, так что уравне- ннн (9) получаются путем приравнивания членов уравнения (7) одинаковой степени по 8.— Прим, перев.
жение в первом приближении, с его помощью определяется коэффициент сдвиговой вязкости %, а вектор потока тепла q(1) позволяет определить коэффициент теплопроводности 九.Пусть
产=产。)①⑴. (5.2.11)
Из структуры уравнения (10) с учетом (6) следует, что Ф(1) должна иметь следующую форму:
①⑴①⑴丄 п丄 пa hi 7Згa hi 7Зг(5.2.12)(5.2.12)
①⑴
①⑴
丄 п
丄 п
a hi 7
Зг
a hi 7
Зг
(5.2.12)
(5.2.12)
где А и В — неизвестные вектор и тензор соответственно. Подстановка этой формы Ф(1) в уравнепие (10) приводит к двум интегральным уравнениям:
⑷=叫爲)訊嘉厂С,(5.2.13)
п/ (В) = 2/(。)号(СС — 4•叫，(5.2.14)
где'
/ (А) = % J J /(0)© /(0)G)[A (S + A (G -
—А(е)—А (с^] 2nhv dh d3c1. (5.2.15)
Аналогичным образом выглядит интегральный оператор /(В)・ Тензор р⑴ выражается черев ①⑴ в виде
Р(1)= j ^ee/⑻①⑴因=一卩惜+需一 § (div u) б], (5.2.16)
где дм/дх ——тензор, сопряженный к du/0r,
卜1 = ±力7『В：/(В)0С(5.2.17)
—коэффициент вязкости. Аналогичным образом
q⑴=『^ тпС2c产①⑴ВС = - 福，(5.2.18) где2' '
^ = ^『/(А)・А0С(5.2.19)
—коэффициент теплопроводности. Для вычисления ц и 九 необходимо решать уравнения (13) и (14). Решения были получены Чепменом и Энскогом с помощью разложения А и В по полиномам. Для максвелловских молекул с
они получили
，326 二 北- 加о,"，326 二 北- 加о,"4 -Зя5-24 -Зя5-2(5.2.20)(5.2.20)
，32
6 二 北- 加о,"
，32
6 二 北- 加о,"
4 -Зя5-2
4 -Зя5-2
(5.2.20)
(5.2.20)
а для модели твердых сфер, | 歹 121 =力 ^-^-j i
5 (kmT屮2.55 (kmT屮2.575 （川7尸倉75 （川7尸倉64 (j2(皿)1/264 (j2(皿)1/2(5.2.21)(5.2.21)
5 (kmT屮2.5
5 (kmT屮2.5
75 （川7尸倉
75 （川7尸倉
64 (j2(皿)1/2
64 (j2(皿)1/2
(5.2.21)
(5.2.21)
Свойства этих решений будут рассмотрены в следующей части книги. Одно из простых, но важных свойств решения следует из (8) и (10k
/⑴〜(5.2.22)
Дальнейшие исследования показывают, что
产〜聲/⑵〜?
Следовательно, для сходимости решения необходимо,
чтобы плотность была достаточно ведика.
Интегральное уравнение, эквивалентноеуравнению Больцмана, и его применение
Введем функцию
@ = J J J /(CiM〃 dh 屮 &迎1,5.3.4
U = I C] — C |.
Поскольку v зависит от с, © есть функция от с. Произведение /0 является частью интеграла столкновений
Больцмана. Так как
/0 d%
есть число столкновений, происходящих за единицу времени в единице объема с частицами, имеющими скорости между с и с + йс, то величина 0 представляет собой вероятность столкновения частицы со скоростью с за единицу времени. Другую часть интеграла столкновений Больцмана обозначим через
[f@Y = J J j / О / (c；)九и dh d(p d3cl.
(5.3.2)
Тогда
—J = [/©]z — /0.
Запишем функцию /(c, r, t) в виде
(5.3,3)
/(&*%) = ] [fs®sY exp (—『@sds) ds» 0\0/
(5.3.4)
где
/з=/(с + с(£), r + r(S), t — S)
(5.3.5)
—^^ = с, Г (0) = 0,
一= £ с (0) = о.
dsm，
(5.3.6)
Заметим, что в правых частях уравнений (6) с
л歹не
доказать, что функция /
зависят от 5. Тогда нетрудно
удовлетворяет уравнению Больцмана dt 十 с dr 十 7n de—
Действительно, для произвольной функции ”(s) = W(e+. + c(s), r + r(s),力一s) имеем
д^ (s) Gt
_9屮(s)
勿0少(S)_
72be 一
d 屮(s)
—de (s) ds
0w(s) dc(s)，
dr (s) d屮(s) ds dr (s) r
(5.3.7)
где
'ds^ds-
a
.c dr (s)
m
a
de(s)・
С помощью уравнений (7) легко показать, что
加一^［询+ о I
' о' о
' о
' о
Доказательство завершается следующим образом:
=[/®]s=o — ®s=of (с, т,力).(5.3.8)
Уравнение (4) для функции / лишь на первый взгляд может локазаться простым. Однако его можно решать методом итераций. В качестве нулевого приближения возьмем
(о><о> /"2\3/2小ехр(о><о> /"2\3/2小ехр^(с-и^)2]. (5.3.9)^(с-и^)2]. (5.3.9)
(о><о> /"2\3/2
小ехр
(о><о> /"2\3/2
小ехр
^(с-и^)2]. (5.3.9)
^(с-и^)2]. (5.3.9)
Тепловое равновесие. Если газ однороден и находится в состоянии теплового равновесия, то n<0\ и<0> п 7〈°〉не зависят от 力 п г. Тогда /〈°〉является точным решением интегрального уравнения (4). Действительно, так как
/〈。〉= /〈。代) и
тото[/<o>0<o>]，=[/<o>0<o>]，=fo〉（c）o〈。〉fo〉（c）o〈。〉产 С)/叫С；) =(С)产(с)
то
то
[/<o>0<o>]，=
[/<o>0<o>]，=
fo〉（c）o〈。〉
fo〉（c）o〈。〉
Следовательно,
j [於°〉@叫'ехр( —『Osds)ds = о\ о /
=J /sO>0sO> exp ( — J ds = о\ о /
(5.3.10)(5.3.10)
(5.3.10)
(5.3.10)
H e однородное состояние. Запишем / в виде
〜〈。〉72 = J 加3储 (5.3.11) u = ^『с/ 谈储"I■力7 = -^ J у m (с — u)2/ d3c. (5.3.12)
Следует подчеркнуть, что в общем случае
?г 喚办。〉，u^u<0>, 7#7〈。〉(5.3.13)
и 孔〈°〉, u〈°〉, 7〈°〉являются функциями от ^ и г.
Докажем, что в нулевом приближении величины 八〈о〉, u〈。〉и т〈о〉удовлетворяют соответственно уравнению неразрывности, уравнению Эйлера и адиабатическому уравнению. Подставляя /〈°〉в [/0]s, получаем
[/0]；^[/<0>0<0>]；=代或。〉.(5.3.14)
Разлагая все функции в подынтегральном выражении уравнения (4) по степеням (—s), находим
f^ +df^{_s)+
®”= 0<о> +^^(- $)+・••，(5.3.15)
ехр(—J@”ds) =ехр (— 0<o>s) ^1 + у ^^-s2 + •・•}
где
(5.3.16)(5.3.16)d д .8 I 歹 d
(5.3.16)
(5.3.16)
dt dt^ dr'm 3c
При этом уравнение (4) принимает виц
8Гj/〈o〉@〈o〉exp (— 0<o>s) 1 +оL8Гj/〈o〉@〈o〉exp (— 0<o>s) 1 +оL<0> dt+<0> dt+++1 d®〈°>1 d®〈°>日⑹ dt日⑹ dt(—s) + ^^2~ S + . . . ds =(—s) + ^^2~ S + . . . ds =Rl-蒜 У)・(5317)Rl-蒜 У)・(5317)
8Г
j/〈o〉@〈o〉exp (— 0<o>s) 1 +
оL
8Г
j/〈o〉@〈o〉exp (— 0<o>s) 1 +
оL
<0> dt+
<0> dt+
+
+
1 d®〈°>
1 d®〈°>
日⑹ dt
日⑹ dt
(—s) + ^^2~ S + . . . ds =
(—s) + ^^2~ S + . . . ds =
Rl-蒜 У)・(5317)
Rl-蒜 У)・(5317)
Здесь использованы следующие определенные интегралы: jexp(-@〈％) ds=^ О'
Jsexp(_0<o>^^ = _l7_.? о
js2exp(—®〈％)ds=誌7・ о
Уравнение (17) можно переписать в следующей форме:
学=日〈。〉(/〈。〉一/).(5.3.18)
Если в нулевом приближении положить
/ = /?(5.3.19)
то получим
絹=0.(5.3.20)
Рассматривая тг〈°〉, и〈°〉, Т〈°〉как функции от г и 力 легко вывести из (20) уравнение неразрывности, уравнение Эйлера и условие адиабатичности, подобно тому как это сделано в § 5.1.
В первом приближении запишем / в виде
/<1> = /<°> + ф<1>./<1> = /<°> + ф<1>.(5.3.21)(5.3.21)
/<1> = /<°> + ф<1>.
/<1> = /<°> + ф<1>.
(5.3.21)
(5.3.21)
Подставим это выражение вместо / в левую часть уравнения (4), в то время как в правой части вместо / подставим /〈°〉. Повторяя предыдущие построения, вновь получаем уравнение (17):
<1> — г<0><1> — г<0>I 1 d In@〈 о〉d£I 1 d In@〈 о〉d£(5.3.22)(5.3.22)
<1> — г<0>
<1> — г<0>
I 1 d In
@〈 о〉d£
I 1 d In
@〈 о〉d£
(5.3.22)
(5.3.22)
Однако здесь считается, что f ” = /. Отсюда получаем ) 产=/〈。〉+屮3〉=
— /〈0〉/〈°〉Г/ ^<о>25\г〈о〉01пТ I
+ ^(С<О>С<О>- |с<0>26):^], (5.3.23)
где
С〈о〉= с-и〈°〉・(5.3.24)
Для моментов функции /“〉 находим следующие выражения:
р<1> = J/n/⑴ &3с = р〈。〉，(5.3.25)
р⑴и产=Jmcj/a>d3c = p"[u{c — у ^y "萨-} (5.3.26)E ~ 力，у, z,
где
А=^^С(МС{^(5327)
Тензор напряжений получаем в виде
р 然=J mc^f<iyd3c = р“〉+ р”％!。〉?—
■у div u〈。，) — -|>。⑹〃!。％■у div u〈。，) — -|>。⑹〃!。％OlnK。〉(5.3.28)OlnK。〉(5.3.28)尸^ = J mcic^f^d^c = р"，*〉*〉一尸^ = J mcic^f^d^c = р"，*〉*〉一(5.3.29)(5.3.29)戸。〉=(g厂旧/⑺^^=戸。％^。＞, 产=j爲階*旷諜四.戸。〉=(g厂旧/⑺^^=戸。％^。＞, 产=j爲階*旷諜四.ГД®ГД®(5.3.30)(5.3.30)
■у div u〈。，) — -|>。⑹〃!。％
■у div u〈。，) — -|>。⑹〃!。％
OlnK。〉
(5.3.28)
OlnK。〉
(5.3.28)
尸^ = J mcic^f^d^c = р"，*〉*〉一
尸^ = J mcic^f^d^c = р"，*〉*〉一
(5.3.29)
(5.3.29)
戸。〉=(g厂旧/⑺^^=戸。％^。＞, 产=j爲階*旷諜四.
戸。〉=(g厂旧/⑺^^=戸。％^。＞, 产=j爲階*旷諜四.
ГД®
ГД®
(5.3.30)
(5.3.30)
Для средней энергии и потока энергии находим
Е^^^ + с1 + 团产％3。=彳(尸變 + Р^+Р^}= =|/0> +|p<0V0>2_|p<0^u<0>. aln^ (5 3 31)
叁窘T (…宀陪，(5.3.32)叁窘T (…宀陪，(5.3.32)
叁窘T (…宀陪，(5.3.32)
叁窘T (…宀陪，(5.3.32)
где
4 = J ^〈叱《。〉2 (從厂。〉2 一芍諜a%.(5333)
Эти выражения для моментов отличаются от полученных в теории Чепмена — Энскога. Если, однако, подставить в них
p〈i〉= р<0 ,
〃产=盛，一4今战4 （5334） ?〈1〉— ?〈。〉
то они принимают такой же вид, как и в теории Чепмена —Энскога. Разница между представленным здесь итерационным методом и теорией Чепмена — Энскога состоит в том, что на каждом этапе значения величин р, и и Т даются в соответствующем приближении ）. После замены переменных имеем
<=0⑴+ p⑴喈- 2卩⑴（算-4 div屮>} 嘴=p⑴卡*> -卩⑴（替+嗒），
E⑴=扌（30⑴+ p⑴*〉2）,
Q” =*〉（尸常一P⑴忌底鉀）+
+咪（喀-产/%『）+伊（唄-严守啜）+
p⑴ p⑴-1 = ^7〈1〉，（5.3.35）
心=尸=蔡/奩七产券也
I [_ ^厂。〉j 厂。〉2 誅 0。 + 5〃zjc〈。气〈。〉2^风一
Необходимо отметить, что р⑴，и⑴ п 7⑴ равны р, и н Т, фигурирующим в теории Чепмена —— Энскога, лишь в первом приближении. Напомним, однако, что у Чепмена —- Энскога р, u, Т получаются путем решения уравнений Навье — Стокса, т. е. в конечном итоге тоже в первом приближении.
Во втором приближении / представляется в виде /2〉=今〈。〉+屮？(5.3.36)
Чтобы получить выражение для /<2>, подставим /“〉в правую часть уравнения (4). Тогда
f〈2> = j [/』>@8>]' exp (- j ©^^s^ ds. (5.3.37)
Дальнейшие выкладки должны производиться так же, как и при выводе вьгражения для г\ При этом необходимо определить р<2>,Т”〉в виде
р<2> = J тп/⑶ 0с,
р〈2〉и⑵=J mc/<2>d3c,(5.3.38)
R 犷2〉+ I р〈2〉〃〈2〉2 = J ^_ 〃必/〈2〉&3с.
Можно продолжить итерации и получить приближения более высоких порядков. Необходимо отметить, что подстановку (14) невозможно применить к выражениям 疗⑴后⑴js, [у<2>@<2>]^ поскольку функции /(1>, /<2>, ... не являются максвелловскими. Здесь нужно воспользоваться методом разложения, основанным на неравенствах
I屮⑴|V/。〉，|ф<2>|<：/<°>ИТ. д.
Если итерационный процесс сходится, то можно утверж-
дать, что в первом приближении функция / равна /“〉+(p(i>. Вследствие соотношений (26) динамические характеристики этого приближения совпадают с получаемыми в теории Чепмена ——Энскога. Необходимо отметить, что 〃а〉, u<i> и у7"〉равны n, u, Т теории Чепмена ——Энскога в первом приближении. При правильной интерпретации результатов нет никакой существенной разницы между настоящим методом и методом Чепмена ——Энскога. Преимуществом данного метода является то, что в нем /"〉= =/<0> +(р〈" получается в виде явной функции от перемен- Hbix, описывающих состояние системы ).
§ 54 Макроскопические переменные газавблизи поверхности стенки
Всякий сосуд ограничен стенками. В главе 2 для учета влияния стенок мы ввели в уравнение Лиувилля силы 歹的・ Однако в дальнейшем, начиная с главы 3, мы пренебрегали этими силами, полагая, что рассматриваемые молекулы достаточно удалены от всех стенок. Наконец, в § 5.2 и § 5.3 были получены уравнения, определяющие макроскопическое поведение газа, причем эти уравнения справедливы только во внутренней области газа, удаленной от стенок. Для решения этих уравнений нужны граничные условия на поверхности стенок. Однако, к сожалению, сами уравнения здесь уже теряют применимость. Ниже мы исследуем этот вопрос и найдем его решение.
Предполагается, что поверхность стенки шероховатая, с характерным размером шероховатости 〃• Расстояние от стенки, на котором можно пренебречь силой 歹讪,обозначим через %笋・ Средняя длина свободного пробега 2m определяется как
где 0 дается формулой (5.3.1). Если молекулы электрически нейтральны, то можно уверенно положить
⑷ V Ю"6 см,(5.4.2)
откуда естественно считать, что
(5.4.3)
На рис. 5.4.1 штриховой линией изображена плоскость, проведенная на расстоянии бу параллельно усредненной
夕夕
夕
夕
_1„
Рис. 5.4.1. Поверхность стенки является шероховатой. Масштаб шероховатости обозначен через %, а средняя длина свободного пробега — через /т. Рассматривается воображаемая плоскость, проходящая параллельно стенке на расстоянии би,
6? > 2r, I?九，
В области над воображаемой плоскостью справедливы уравнения Навье — 'Стокса.
поверхности стенки. Эта воображаемая плоскость называется эквивалентной поверхностью стенки. Предположим, что
8у > 厶，Zw.(5.4.4)
Благодаря этому условию уравнения Навье — Стокса 'будут справедливы на эквивалентной поверхности. Значения переменных и граничные условия на эквивалентной поверхности будем отмечать индексом 6:
р = Рб, u = U6, Т = %,
* =他)6，黑=(乳 (545)
дТ (дТ\而=處)6 ит•工
Будем считать, что значения переменных на поверхности стенки и на эквивалентной поверхности связаны следующими соотношениями:
р6 = p^ +喘)6切出，
U6 =uw+ (~j66z/a2,(5.4.6)
Тб = Тз + 党s 匆 ％ и т. д.,;
где индексом 恭 обозначены переменные на поверхности стенки, аь о^, аз,...——числа порядка единицы. Фактически тем самым предполагается, что состояние газа в области между поверхностью стенки и эквивалентной поверхностью не слишком сильно отличается от равновесного состояния благодаря частым межчастичиым столкновениям в этой области (см. условие (4)).
Предположим теперь, что
喲 6 бу aS《1,；
(乳6…自《1,(5.4.7)
. (乳
где U — характерная скорость газового потока. Отсюда следует:
Рб н Рги? № = u^ — 0, Тб = ^w?-
Таким образом, установлена система граничных условий для уравнений Навье ——Стокса в той области, где гарантирована применимость этих уравнений. Необходимыми условиями этого являются неравенства (4) и (7), для выполнения которых должны быть: а) достаточно малы значения 1т и Z,- и б) достаточно малы градиенты р, u, Т.
К этим граничным условиям мы еще вернемся в части II. А пока будем считать, что для умеренно плотного газа можно построить эквивалентную поверхность, удовлетворяющую этим условиям.
Упражнения
Доказать,, что функция
*九exp [-备(e _ U)2]
является решением уравнения Больцмана, если тг, и ее Т постоянны r歹=0. Указание: использовать законы сохранения
ТПС 丄 + 77ZC = 7ПС1 + 771СЛ,1 о ,121/212
у тс^ + у т^ = у тс +утс
Доказать соотношения
J J d^c = 0, J mcJ й3с = 0,f 侬?2Jd3c = 0.
Для произвольных функций скоростей ^, F и G доказать равенство
『屮(с)尸(с) G (с；) I с丄一с I йсрД dh d3c d3cl =
=J 屮。)歹(c) G(cJ I с】一с I d(p^ dh 0c d3cl.
Функция / зависит от двух независимых переменных с и.力
/(с；方)=“(с —и⑴；t) и
j / d?c =孔⑴，J с/ d3c =孔 «) и (力
В качестве независимых переменных можно взять t и С = с —и&). Доказать, что
叫(С) _ 3/(с)du d/(c)
dt — dtdt du
П
f(C + u)噌〉阳一黎曙卜.
ЧАСТЬ II
РАЗРЕЖЕННЫЕ ГАЗЫ
ГЛАВА 6
ПРЕДПОЛОЖЕНИЯ, НЕОБХОДИМЫЕ ДЛЯ ВЫВОДАУРАВНЕНИЙ НАВЬЕ — СТОКСА
Вводные замечания
На основе материала, изложенного в предыдущей части, у нас могло создаться убеждение, что в газе пе может возникнуть ни сдвиговых напряжений, пп потока энергии, если нет пространственных градиентов. Подобное убеждение совершенно справедливо только в том случае, когда состояние газа настолько близко к равновесному, что можно использовать метод Чепмена ——Энс- кога. Как показано в Приложении Ж, метод Чепмена —— Энскога представляет собой развитие динамической теории газов, предложенной Максвеллом в 1866 г. [58]. Максвелл вывел и решил уравнения переноса ), подобные моментным уравнениям, полученным па основе уравнения Больцмана. Максвелл использовал метод итераций, на каждом этапе которого получались более высокие приближения для членов с интегралом столкновений; при этом в качестве первого приближения исполь-
зовалось локально равновесное. Способ получения приближений более высокого порядка в интеграле столкновений, как будет показано в следующем параграфе, оправдан, если средняя частота столкновений достаточно велика. Сам Максвелл вполне понимал частный характер своей динамической теории и дополнил ее другой теорией [601, в которой он рассмотрел напряжения в разреженном газе. Под впечатлением математического совершенства метода Чепмена — Энскога мы иногда забываем об этой теории Максвелла, разбирающей специфику динамики разреженных газов. Как будет показано в § 7.3, иногда возможно появление существенных сдвиговых напряжений и в однородном потоке.
потоков. Особоепотоков. ОсобоеУравнение Больцмана справедливо для газов, разреженных до такой степени, что становится приемлемым предположение о бинарности столкновений ). Область применимости уравнений Навье ——Стокса, получаемых из уравнения Больцмана, ограничивается другим условием. В настоящей главе мы изучим необходимое условие сходимости разложения Чепмена ——Эпскога функции распределения. Критерий сходимости, служащий также критерием справедливости уравнений Навье ——Стокса, позволяет нам провести классификацию газодинамических явлений, разбив их на три класса: 1) обычная газодинамика, 2) переходная область, 3〉свободномолекулярный режим. Предлагаемый нами критерий более конкретен, чем обычный критерий, основанный только на числе Кнудсена. В главе 7 результаты, полученные в главе 6, будут
потоков. Особое
потоков. Особое
использованы для изучения различных
внимание обращается на влияние стенок. Однако мы не будем пытаться решить какую-либо конкретную задачу с граничными (или начальными) условиями.
Важность динамики разреженного газа проявляется при изучении взаимодействия между газовым потоком и стенкой, а также между двумя потоками газа, разделенными областью с большим градиентом (скачком) состоя-
ния. Подобные потоки характеризуются сильным отклонением состояния газа от равновесного. Они представляют большой интерес с точки зрения кинетической теории. Однако до настоящего времени не разработана общая теория таких состояний. Следовательно, по крайней мере в настоящее время, описание явлений динамики разреженных газов строится ad hoc, т. е. отдельно для каждого случая, а не в общем виде. Динамика разреженных газов не может обойтись без решения конкретных граничных (или начальных) задач. Тем не менее существуют некоторые основные проблемы, требующие использования общего подхода.
Критерий сходимости разложенияЧепмена — Энскога
При решении уравнения Больцмана методом Чепмена ——Энскога функция распределения разлагается в ряд
/ = /(0) + /(1) + /(2) + ...,(6.2.1)
Ф(1) = /(1)//(0)〜1/п,产)/产。)〜“废，(622)
где /(0)——максвелловская функция распределения, дающая такие же значения плотностей массы, импульса и энергии, как и сама функция /. Уравнения Навье ——Стокса выводятся на основе первых двух членов ряда /(0) +/(1). Справедливость этих уравнений обеспечивается условиями
1/(2)//(0)1<1, 1/(37/(0)1<1,
что практически сводится к условию
|/(1)//(0)[<1.(6.2.3)
В методе Чепмена — Энскога не ищется явный вид функции /(1). Однако в § 5.3 была найдена функция(р(1), которая эквивалентна функции /(1) метода Чепмена —— Энскога при соответствующей интерпретации входящих в нее параметров (макроскопических переменных。
и〈°〉и Т〈°〉. Условие (3) приводит тогда к
|Ф(1)| =.|(р<1>//<0>| <1,(623)'
где, согласно (5.3.23),
+ 券C'。®":嘴］,(6.2.4)
C〈o〉=c — u〈。〉，
Согласно (5.3.34) параметры 孔〈“,u〈°〉, Т〈°〉эквивалентны n, u, Т (если пренебречь производными последних). Следовательно, с точностью до второй и более высоких степеней первых производных (а также вторых и высших производных) этих параметров можно заменить n, u, Т в屮⑴на层。＞,山。＞,7〈。〉 соответственно. В этом приближении, подставляя (4) в (3)', можно показать, что условие (3) эквивалентно условию
+ 務阮闱I VI, (625) где
О⑹=J J /0)(С1) 2nhv dh d3c1?(6.2.6)
h—o
U = I C — c J
a %’ ——значение прицельного параметра, при котором叫с；)/(0) (%).
Функция 0(о) зависит от с и представляет собой среднее число столкновений, происходящих за единицу времени с одной частицей, имеющей скорость с. Тогда среднее число столкновений любой частицы за единицу времени равно
；J /°)e(Vc = Aj 卅 ®) /(0\с) 2nhv dh d% =
=2〃勿2佟严・(6.2.7)
Если теперь считать молекулу упругой сферой с диаметром о, то
力=о.(6.2.8)
Тогда максвелловская средняя длина свободного пробега (5.4.1) с функцией /(0) вместо / будет равиа
lm =(6.2.10)
J /(о)®(о%3с/?г21/2щш“
Среднее значение <©(0)> можно определить так:
〈@(о)〉=^<(6.2.11)
Подставляя в (5) <0(о)> вместо 0(о\ с учетом оценок пю- порядку величин
plnZI ATI I du I A〃
получим *) для среднего значения функции |Ф(1) |
4①⑴|〉=陪等+ ^生・(6.2.12)
Здесь а и Ъ — числа порядка единицы, ДГ — изменение температуры на характерной длине 厶丁，\U — изменение скорости на характерной длине Lu. Отметим), что АТ
〈С?〉= С С》"％%/^ = 4冗 f C^f^dC/n = -у (-~).
не обязательно меньше Г, а Д С/ не обязательно меньше (2"Т/曲"?・ В общем случае ДГ/Г и AU/(2乃Т/加产 не зависят от 1т/LT и (или) lm/LUt
§ 6・3・ Некоторые применения разработанного критерия
Рассмотрим газ в сосуде, разделенном на две части теплоизолирующей стенкой. Температура Т± в одной части сосуда выше температуры Г2 в другой части (рис. 6.3.1).
1
1
1
Рис 6 3.1. Сосуд, наполненный газом, разделен на две части. Давления в обеих частях одинаковы, а температуры разные, Ti>T2.
Пусть при £ = 0 стенка мгновенно и полностью убирается. В течение некоторого времени, начиная с этого момента, будет
Zm/Lt》1»
(6.3,1)
Можно задать \Т/Т либо в виде
А777 = （Л 一 资）/，，
либо
А77Т = (Л - Т^/Т2.
В обоих случаях
А777 > 1 при Т,》IV
(6.3.2)
Однако
NTIT <Л при Т, & 爲.
(6.3.3)
Если имеет место ⑵，то
《①叫〉=^,学》1，
(6.3.4)
поэтому нет никакой надежды на применимость к этой задаче метода Чепмена ——Энскога. Однако в случае ус-
ловил (3), несмотря на неравенство (1), возможно выполнение условия
〈I①⑴ I〉＜ 1,(6.3.5)
что позволяет применять уравнение Навье ——Стокса.
Упражнения
Полагая давление газа равным 5 • 104 дн/см\ а коэффициент вязкости 卩=2 • 10~4 в СГС-единицах, вычислить градиент скорости du/dy, приводящий к значению сдвигового напряжения, равному давлению. Напом- du
ним, что сдвиговое напряжение есть 卩西.
На какой высоте давление атмосферы равно 5 • 104 дн/см2?
ГЛАВА 7
КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ДИНАМИКИРАЗРЕЖЕННОГО ГАЗА
Функция распределения вблизи стенки
На рис. 7.1.1 схематически изображено поведение частиц вблизи стенки. Шероховатость поверхности имеет характерный размер (. В отличие от случая, представленного на рис. 5.4.1, будем считать
1уП ^^ //••1уП ^^ //••(7.1.1)
1уП ^^ //••
1уП ^^ //••
Маловероятно, что молекула, попавшая в область %加 > у > > 〃 из внешней области, столкнется здесь с какой-либо
Рнс. 7.1.1. Средняя длина ба шероховатости стенки то в области 1т> у > 1ГРнс. 7.1.1. Средняя длина ба шероховатости стенки то в области 1т> у > 1Гсвободного пробега 1т много больше масшта- Zr. Если 1т имеет макроскопический масштаб, состояние газа может существенно отличаться от равновесного.свободного пробега 1т много больше масшта- Zr. Если 1т имеет макроскопический масштаб, состояние газа может существенно отличаться от равновесного.
Рнс. 7.1.1. Средняя длина ба шероховатости стенки то в области 1т> у > 1Г
Рнс. 7.1.1. Средняя длина ба шероховатости стенки то в области 1т> у > 1Г
свободного пробега 1т много больше масшта- Zr. Если 1т имеет макроскопический масштаб, состояние газа может существенно отличаться от равновесного.
свободного пробега 1т много больше масшта- Zr. Если 1т имеет макроскопический масштаб, состояние газа может существенно отличаться от равновесного.
другой молекулой. Поэтому можно считать, что молекула свободно движется к поверхности стенки. Затем она отражается от стенки и покидает рассматриваемую область. Траектория ее движения обозначена линией 1——2‘, причем отражение от стенки пе обязательно зеркальное.
Траектория другой молекулы обозначена линией 2——2‘. На поверхности стенки функция распределения имеет вид
/ = /(-)+ /(+),(7.1.2)
где /(~) — распределение молекул с %VO, a fw — распределение молекул с су > 0. При су = 0 функция / может иметь произвольное конечное значение. Если на поверхности не происходит накопления молекул, то из условия сохранения массы следует,
十80*4*00+оо*4*00+©О
J J J с/-%3с = J j J d/(+%%・
Cpg=—00 Су=—ОО Cz=—8сх——ооCy—QCz=—8
(7.1.3)
Определим вероятность отражения ф на стенке с помощью интегрального соотношения
/(+)(с) = j 屮(с; d) /㈠(d) &з*(7.1.4)
где область интегрирования определяется условиями
—ОО & с； & + 8, — 8 V С； V 0，一 8 & С； & + 8・
Частный с луча й 1. Если отражение всех падающих молекул происходит зеркально, то
Ф1 = 3 & — 4) 3 (— % — с；) 6 (& — S (7.1.5)
откуда
戸)(%, - %，%)=/㈠(%, /,吩 (7.1.6)
Частный случай 2. Если отражение происходит случайным образом и отраженные частицы имеют максвелловское распределение с температурой стенки Tw, то Ф =屮2, причем ф2 удовлетворяет соотношению .
尸=代(奇广exp (一款可=J % @ ")尸c) d3
Тогда с учетом равенства (3) получаем )
仃=卜产）（寻广exp （一 武可卜;x
(7.1.7)
где nw/2 — плотность молекул с су > 0.
Частный случай 3. Если стенка является идеальным теплоизолятором, то не должно быть обмена энергией между стенкой и сталкивающимися с ней молекулами. Тогда )
J —• mc2cyf^d3c ==『-^ тс2су/^(13с.(7.1.8)
Отражение молекул может происходить случайным образом, а может быть симметричной функцией относительно сх п Cz・ Допустимо предположить, что
户=户(侖『%Р(-謂J屮产C№3 (7.1.9) %vo
Кроме того, должно выполняться соотношение (3). Поскольку )
J А тс2cd+)d3c=击*
*0
то в соответствии с (8) Т определяется в виде
/71 П/71 П(7.1.10)(7.1.10)Отсюда получаемОтсюда получаем%<о%<оДля реальной стенки уместно считатьДля реальной стенки уместно считатьФ = %0 + a2q)2 + а3ф3,Ф = %0 + a2q)2 + а3ф3,(7.1.11)(7.1.11)(7.1.12)(7.1.12)
/71 П
/71 П
(7.1.10)
(7.1.10)
Отсюда получаем
Отсюда получаем
%<о
%<о
Для реальной стенки уместно считать
Для реальной стенки уместно считать
Ф = %0 + a2q)2 + а3ф3,
Ф = %0 + a2q)2 + а3ф3,
(7.1.11)
(7.1.11)
(7.1.12)
(7.1.12)
соотношению(7.1.13)соотношению(7.1.13)где все а положительны и удовлетворяют ai + а2 + сс3 = 1.
соотношению
(7.1.13)
соотношению
(7.1.13)
В области Zm > ?/ > Zr как f~\ так и /(七)一 почти однородны, так как здесь происходит очень мало столкновений, способных повлиять на форму этих функций. Точнее, 产+)и (или) /(-)являются инвариантами вдоль траекторий
drde 歹 о质=3 不=元drde 歹 о质=3 不=元(7.1.14)(7.1.14)
drde 歹 о
质=3 不=元
drde 歹 о
质=3 不=元
(7.1.14)
(7.1.14)
(7.1.15)(7.1.15)E = j ^侬?2/(+,d30 -]-^A fnc2j一)d3зP =『mccf^d3c + J тпсс/㈠ &3储E = j ^侬?2/(+,d30 -]-^A fnc2j一)d3зP =『mccf^d3c + J тпсс/㈠ &3储
(7.1.15)
(7.1.15)
E = j ^侬?2/(+,d30 -]-^A fnc2j一)d3з
P =『mccf^d3c + J тпсс/㈠ &3储
E = j ^侬?2/(+,d30 -]-^A fnc2j一)d3з
P =『mccf^d3c + J тпсс/㈠ &3储
где 歹°——внешняя сила, действующая на каждую частицу; часто ее влиянием можно пренебречь. С помощью функции / в виде (2) выводим плотности массы, импульса и т. д. в окрестности поверхности стенки:
p = j mf^d3c + J 〃2/")d33pu = J mcf^dsc + f тис/㈠ 0c,
Здесь область интегрирования по су для 产+)от 0 до +°° и для 产-)от —8 до 0, а по остальным переменным
0T —8 до +оо. Эти макроскопические переменные уже были определены ранее, в § 5.1. Характерная особенность изучаемого потока таза состоит в том, что в нем, вообще говоря, возникают сдвиговое напряжение и (или) поток тепла и т. и., несмотря на то что состояние газа почти однородно и столкновения в рассматриваемой области очень редки. Напомним, что в методе Чепмена — Энскога
сдвиговые напряжения возникают только вследствие столкновений между частицами при наличии неодпород- ности газа. Кажущееся противоречие объясняется следующим образом: в методе Чепмена ——Энскога считается, что газ находится в почти равновесном состояпии. В дан
ном случае это допущение не всегда справедливо, и даже в нулевом приближении функция распределения может существенно отличаться от максвелловской. Разумеется, разложение Чепмена ——Энскога пе сходится, если отклонение от равновесия слишком велико. Рассмотрим подробнее это утверждение.
При изучении потока газа в области, изображенной па рис. 7.1.1, будем считать, что скорость газа в направлении оси х при у =為 равна и^. Тогда в соответствии ) с (6.2.12)
〈①⑴〉^*］辽h71产. (7416)
Если
<Ф(1)> V 1, или
%v(2 ⑺吩/2,(7.1.17)
то в этой области еще можно применять уравнения Навье — Стокса. В противном случае
〈①⑴〉21, пли
ичА&кТЕ”(7.1.18)
так что уравнения Навье ——Стокса неприменимы.
Аналогичным о.бразом рассматривается распределение энергии (температуры).
Граничные условия для моментов
В § 5.4 было показано, что при использовании уравнений Навье — Стокса для изучения потока газа, огра- ничеппого стенкой, обычно на поверхности стенки полагают-
и = 0. (7.2.1)
Однако в предыдущем параграфе мы видели, что в случае buj
(27сГ/т)1/2
уравнения Навье ——Стокса все еще можно использовать, даже если и пе обращается в нуль на стенке. Следовательно, граничное условие (1) не является a priori единственно возможным. В общем случае приходится исследовать граничное условие пе только для уравнений Навье ——Стокса, по также и для уравнения Больцмана, так как если уравнения Навье — Стокса несправедливы, то приходится рассматривать непосредственно уравнение Больцмана.
Граничные условия в кинетической теории. Граничные условия для соответствующих дифференциальных или интегральных уравнений, описывающих поведение потока газа, можно построить с помощью определенных экспериментальных измерений вблизи стенки. Это — один из способов задания граничных условий. Например, можно измерить массовую скорость вблизи степки. Существует несколько других наблюдаемых величин, перечисленных в (7.1.15). Если измерить какую-либо из них, например
Р = j mccf^dsc + J тссf㈠©с,(7.2.2)
то полученную величину следует рассматривать совместно с уравнением (7.1.4):'
/(+)=,屮(с, с‘)/(一)G) d3c.(7.2.3)
Если характеристика стенки ① известна, то, подставив 产+)из (7.1.4) в (2), получим интегральное уравнение для
Таким путем можно использовать любую из величин ), перечисленных в (7.1.15).
В принципе такого подхода вполне достаточно для постановки граничных условий, необходимых для решения уравнения Больцмана, а уж тем более для выводимых из него уравнений Навье — Стокса.
Попробуем получить из этих общих граничных условий некоторые частные граничные условия, удобные именно для уравнений Навье — Стокса. Их можно получить с помощью обобщения условия «скольжения», впервые предложенного Максвеллом [60].
Граничное условие Максвелла для скорости. Как уже отмечалось, граничное условие их = 0 не является единственно возможным условием на стенке, даже в случае справедливости уравнений Навье —— Стокса вблизи стенки. Чтобы получить удобные граничные условия, модифицируем найденные в разделе 7.2.1
Рис. 7.2 1. Максвелл предполагал, что сила сдвигового напряжения, действующая на элемент поверхности стенки dS, уравновешивается силой, действующей на такой же элемент ds на высоте у = Zm.
общие граничные условия, следуя в основном работам Максвелла [60], Милликена [62], Эпштейна [17], Крамер- са【49], Кога [45] и др.
Рассмотрим элемент поверхности dS стенки. Представим себе элементарный цилиндр с осью, параллельной оси у и основанием dS, как изображено на рис. 7.2.1. Ци-
линдр пересекает воображаемую плоскость, помещенную параллельно поверхности на расстоянии у = Zw. Предполагается, что сила сдвигового напряжения, действующая на dS при у = 0, уравповешивается аналогичной силой, действующей па dS при у = 1т. Сила сдвигового папря- жепия прп у = Zm имеет вид
(Pxy)y=im dS= \тс/岭 + /(1)) Й3С dS =
=严即/一卩儿=幫5，(7.2.4)
так как в этой области справедлив метод Чепмена ——Эп- скога. Сила сдвигового напряжения при у = 0, т. е. нормальная компонента потока импульса, приходящаяся на элемент dS поверхности стенки, равна
(Р%у)у=о dS =
=(1 — ccj Г £ (/(о)+ /⑴)mcxcyd3c + I f^mcxcyd3e dS. [cyV。％>o
(7.2.5)
Это соотношение написапо с учетом того, что при зеркальном отражении частица пе передает стенке импульса вдоль оси 力.Поэтому вклад частиц в касательное напряжение пропорционален (1 — aj. При случайном отражении отрал^еппые частицы в среднем не дают вклада в касательное напряжение. Поэтому третье слагаемое в правой части соотношения (5) равно пулю:
J f^mcxcyd3c = 0.%>о
Первое слагаемое вычисляется следующим образом:
(° 冲)У=0 = (1 — &) У 7TLCxCyf^d3C =
= (1 _ %) J *//(-^T广ехр{-»^-[a_"%)2 + Су VO
十W+研风=-a -出)2；%广2
где их — скорость газагде их — скорость газана поверхности стенки. Посколькуна поверхности стенки. Посколькутото〈С〉=〈С〉=J 67（。）热J 67（。）热2/ 2кТ \1/2с I л7c I1,С = с — u冗1/2 Im丿12/ 2кТ \1/2с I л7c I1,С = с — u冗1/2 Im丿1
где их — скорость газа
где их — скорость газа
на поверхности стенки. Поскольку
на поверхности стенки. Поскольку
то
то
〈С〉=
〈С〉=
J 67（。）热
J 67（。）热
2/ 2кТ \1/2с I л
7c I1,С = с — u
冗1/2 Im丿1
2/ 2кТ \1/2с I л
7c I1,С = с — u
冗1/2 Im丿1
(7.2.6)
Второе слагаемое в правой части (5) имеет вид
(Р %/=0 = (1 — %) J 771cx电/⑴&%・(7.2.7)
cy<0
Известно, что
Тогда для случая
диу/дх = 0, 〃у = О, предположив, что
——ГН-^- = j f^mcxcyd3c = f f^mcxcyd3c, (7.2.8) CyVOСу>0
получим
(%$=。= - 4" (4 一 册)卩栄•(7.2.9)
Поскольку мы полагаем, что силы сдвиговых напряжений при у = lm н при у = 0 равны, т. е.
(^ху)у=1т — (PQn=o,(7.2.10)
то
卩(崇)f = Q1j) [｝卩(崇)+ 2 "К дL
Вследствие того, что
_ 2(( + %) м 8%_ 2(( + %) м 8%(7.2.11)(7.2.11)(°4х/°д)и=%г = (дих/ду)у=о) из (10) следует
_ 2(( + %) м 8%
_ 2(( + %) м 8%
(7.2.11)
(7.2.11)
При выводе этого результата наиболее сомнительным местом является предположение (8); дело в том, что /(1) не
есть четная функция от с“. Однако можно рассматривать (11) как полуэмпирическую формулу.
Если заменить
где L может быть, например, порядка толщины пограничного слоя, то (11) принимает вид
(7.2.12)(7.2.12)_ 2 0 + %) 山
(7.2.12)
(7.2.12)
Ux — —£ — % — p <C> L *
Так как число р〈О〉£/仇(подобное числу Рейнольдса) обычно много больше единицы, то их много меньше U. Однако с уменьшением плотности р и средней тепловой скорости <С> скорость скольжения их может стать существенно отличной от пуля. Заметим, что из самого условия (11) невозможно получить оценку границ его применимости. Область его применимости, как обсуждалось выше, ограничивается условием
(7.2.13)(7.2.13)<Ф(1)><1.
(7.2.13)
(7.2.13)
Граничное условие для те мперат у- р ы. Попробуем теперь вывести граничное условие для температуры таким же образом, как это было проделано в предыдущем разделе для скорости. С этой целью рассмотрим баланс потока энергии через основания элементарного цилиндра, изображенного па рис. 7.2.1.
Из трех типов отражения молекул от стенки, введенных в § 7.1, лишь второй тип, описываемый(р2 из (7.1.7), обеспечивает обмен энергией между стенкой и молекулами. Энергия, переданная газу от единичной площадки поверхности, в первом приближении метода Чепмена ——Эп- скога равна
(Qu)u=o ~
=仪2「J g mc2Cyf^d3c + J -у- тс2су (/(0> 十 /⑴)d3c .
CyVO-
(7.2.14)
Здесь в соответствии с (7.1.7)
尸」｛^~Г еХР (—蚩 4(7215)
где Tw — температура стенки, а п〈+)определяется из закона сохранения массы
J mcyfWd^c + J тп% (/(。)+ /⑴)d8c = 0. (7.2.16) Cy>。CyVO
В том же смысле, что и (8), введем предположение )
J 电/⑴d3cJ 喇⑴Вс = 0.
%V0—8<%<+оо
С его помощью из (16) получаем
n = nM.(7.2.16)'
Тогда первое слагаемое в (14) принимает вид
J -у- mc^Cy^d^Q =
^4^1 (电+或+也)〃(啜戸户exp (一武可x
9 =黯(学r(7217)
а второе слагаемое —
При вычислении третьего слагаемого нам снова придется прибегнуть к предполо?кеншо, аналогичному (8). С его
помощью получаем
%vo%vo-—-mc2Cy^d3Q>-—-mc2Cy^d3Q>+°°+°°m^Cyf^d^c =m^Cyf^d^c =1 а дТ(7.2.19)1 а дТ(7.2.19)Просуммировав эти выражения, находимПросуммировав эти выражения, находим(7.2.20)(7.2.20)
%vo
%vo
-—-mc2Cy^d3Q>
-—-mc2Cy^d3Q>
+°°
+°°
m^Cyf^d^c =
m^Cyf^d^c =
1 а дТ
(7.2.19)
1 а дТ
(7.2.19)
Просуммировав эти выражения, находим
Просуммировав эти выражения, находим
(7.2.20)
(7.2.20)
(&)у=2?九—(Qu)片 о(&)у=2?九—(Qu)片 оmm
(&)у=2?九—(Qu)片 о
(&)у=2?九—(Qu)片 о
m
m
Поток энергии через сечение цилиндра при у = lm имеет вид
+ оо
(&)片Gn - J 4•侬%(/(0) + /⑴)d% = 一 M崇)匕^ .
(7.2.21)
накоплениянакопленияПоскольку внутри цилиндра не происходит энергии, то
накопления
накопления
и
откуда nm
1^
Итак, граничное условие для уравнений Навье ——Стокса имеет форму (23). В общем случае скорость их на степке много меньше «кТ/тУ、поэтому (23) можно приближенно заменить на
(7.2.24)
Рис. 7.3.1. Передняя кромка пластины параллельна оси z. Набегающий поток U параллелен оси х, лежащей в плоскости пластины.Рис. 7.3.1. Передняя кромка пластины параллельна оси z. Набегающий поток U параллелен оси х, лежащей в плоскости пластины.
Рис. 7.3.1. Передняя кромка пластины параллельна оси z. Набегающий поток U параллелен оси х, лежащей в плоскости пластины.
Рис. 7.3.1. Передняя кромка пластины параллельна оси z. Набегающий поток U параллелен оси х, лежащей в плоскости пластины.
§ 7・3； Применение граничных условий для моментов
В качестве характерных примеров реализации изученных выше течений здесь будут рассмотрены два типа потоков разреженного газа вблизи стенки.
Течение параллельно плоской пластине. Предположим, что существует однородный поток газа со скоростью U. В этот поток помещается полубеско- нечная плоская пластина с заостренной кромкой таким
образом, что эта кромка перпендикулярна направлешпо потока, а сама пластина параллельна потоку (рис. 7.3.1). Через некоторое время установится стационарный поток. Поместим начало координат на кромку пластины, направив ось х вдоль потока, а ось у перпендикулярно пластине. Газ настолько разрежен, что
1т > 1г, (7.3.1)
где Zr — характерный размер шероховатости поверхности пластины. Исследуем состо-
яние потока вдоль пластины между ее поверхностью у = =0 и воображаемой плоскостью, параллельной пластине, на высоте у = 1т. Будем считать, что скорость невозмущенного потока U значительно больше средней тепловой скорости молекул, так что
bU/(2友777n尸/2 > 1. (7.3.2)
Смысл этого условия понятен из сопоставления его с (6.2.12). Функция распределения молекул в потоке, не
возмущенном пластиной, имеет вид
/ = 72 (^^Г~)3/ ехР {—為［& — О)? + су + 園}• (7.3.3)
Вследствие условия (2) ^-компонента скорости любой частицы с подавляющей вероятностью равна U. Рассмотрим молекулу, находящуюся в некоторый момент в элементарном объеме ДУ на передней кромке пластины на вы-
соте у = 2т/2. Количество таких молекул равно п АТ. Скорость каждой из них равна
(U, 0, 0)(7.3.4)
с небольшой тепловой флуктуацией
С =(源一U, &, “・(7.3.5)
Так как <|С|> много меньше U, эти молекулы движутся как в молекулярном пучке, почти точно в ^-направлении параллельно пластине. Однако существует еще одна группа молекул, отраженных от поверхности после столкновения с нею. Скорости этих молекул имеют значительные компоненты в у- и z-паправлепиях, определяемые формой ср из (7.1.2). Молекулы первой и второй групп сталкиваются между собой. Поэтому па расстояпии 力 от края пластины количество молекул первой группы (пе испытавших ни одного столкновения па пути от кромки пластины) приближенно можно представить в виде
(ДУп/ = AVn exp (——法「，<0/ 汲｝
где )
〈日〉，=〈0〉//爲
или
^VnV = АТ^гехр(—力/院).(7.3.6)
Предположим, что молекула, налетающая со скоростью U в направлении 力,в результате столкновения теряет свою скорость. Если плотность газа в / пе слишком сильно отличается от плотности па передней кромке, то молекулы, испытавшие столкновение, как бы заменяются молекулами со случайным распределением скоростей, так что они уже пе дают вклада в массовую скорость. Тогда средняя массовая скорость молекул в ДУ на расстоянии х равна
4 = ”S乳“ =° ехр (- %/&)• (7.3.7)
Так как и несущественно изменяется при переходе от у = 1г к У = %也 можно для и при у = 1т взять такое же значение:
и1m = U ехр (―矶Q.и1m = U ехр (―矶Q.(7.3.7)'(7.3.7)'
и1m = U ехр (―矶Q.
и1m = U ехр (―矶Q.
(7.3.7)'
(7.3.7)'
В таблице 7.3.1 приведены значения 227n/°, соответствую-
Т а б л и и; а 7.3.1
叩Пг
匕/u т
1
3
0,050
0,5
0,606
3,5
0,030
0,367
4
0,018
1,5
0,223
4,5
0,011
0,135
5
0,007
2,5
0,082
6
0,002
щие различным значениям х/1т. Например, если
гтг- = 20 (число Маха равно 10), (2/сТ/®1/2в，
ТО
ЪЪUlmUlm(2〃77тп)1/2 —(2〃77тп)1/2 —11(предполагается, что b = 4)(предполагается, что b = 4)
Ъ
Ъ
Ulm
Ulm
(2〃77тп)1/2 —
(2〃77тп)1/2 —
1
1
(предполагается, что b = 4)
(предполагается, что b = 4)
при / = 3Zm.
(7.3.8)(7.3.8)Согласно (7.1.17) это условие является критическим в смысле возможности применения уравнений Навье —— Стокса. При дальнейшем увеличении х начинает выполняться неравенство
(7.3.8)
(7.3.8)
&кТ g产
так что уравнения Навье ——Стокса становятся применимы. Однако при этом либо 〃^, либо и при 沙=2山 не равно нулю. При дальнейшем увеличении / эти величины в конечном итоге обращаются в нуль. Разумеется, это
лишь качественная картина основных свойств потока вблизи пластины ).
Результаты проделанного весьма несложного исследования схематическп представлены па рис. 7.3.2, где изображены различные режимы течения вблизи переднего
Рис. 7.3.2. Поток набегает на переднюю кромку пластины так, как это изображено на рис. 7.3.1. В области (а) уравнения Навье ——Стокса непригодны, в области (Ь) ими можно пользоваться, дополнив их граничными условиями скольжения Максвелла, найденными для области (с). Не исключено образование в области (Ь) ударного фронта. В общем случае следует всюду пользоваться уравнением Больцмана. Выделение отдельных областей является просто техническим приемом.
края обтекаемой плоской пластины. В области между / = 0 и 力=%! функция 产-)почти совпадает с функцией распределения молекул в основном потоке:
/㈠=〃 ("sSf*『” exp {-蚩［(& - U)2 + 右 + 岗}'
cy < 0,
/(+) = j(p(c; с) /(-)(d) d4r.(7.3.9)
В области от / =力1ao 力=8 функция распределения определяется с помощью метода Чепмена ——Энскога. Одна-
ко в области от 力=0 до / = /【ситуация чрезвычайно сложная. Разумеется, при этом функция распределения удовлетворяет уравнению Больцмана. Следовательно, если граничное условие задается функцией распределения па поверхности пластины, то возможно найти решение для любой из рассматриваемых областей.
「7.3.2. Куэттовский поток. Рассмотрим стационарный поток между двумя бесконечными плоскими пластинами. Пластины параллельны друг другу, и одна из них движется относительно другой в направлении х (рис. 7.3.3). Расстояние между пластинами обозначим че-
и
УУООРис. 7.3.3. Нижняя стенка покоится, в то время как верхняя движется с постоянной скоростью U в направлении оси х. Состояние газа между стенками существенно отличается от равновесного, если U достаточно велика, а отношение L/lm существенно меньше единицы.Рис. 7.3.3. Нижняя стенка покоится, в то время как верхняя движется с постоянной скоростью U в направлении оси х. Состояние газа между стенками существенно отличается от равновесного, если U достаточно велика, а отношение L/lm существенно меньше единицы.
У
У
О
О
Рис. 7.3.3. Нижняя стенка покоится, в то время как верхняя движется с постоянной скоростью U в направлении оси х. Состояние газа между стенками существенно отличается от равновесного, если U достаточно велика, а отношение L/lm существенно меньше единицы.
Рис. 7.3.3. Нижняя стенка покоится, в то время как верхняя движется с постоянной скоростью U в направлении оси х. Состояние газа между стенками существенно отличается от равновесного, если U достаточно велика, а отношение L/lm существенно меньше единицы.
рез L. Температуры плоских пластин с помощью соответствующих устройств поддерживаются равными Т. Пусть средняя длина свободного пробега в газе Zm порядка L. 広3 выражения
〈①⑴〉="普+%2 黑严,a? = 0,(7.3.10)
замечаем, что характер потока зависит от параметра 07(2加77现)'/2. Если
U/{2kT/mY/z V 1,
то поток можно изучать с помощью уравнений Иавье —— Стокса с граничными условиями типа рассмотренных в § 7.2. При увеличении U уравнения Навье ——Стокса становятся непригодными, поэтому нам приходится решать непосредственно уравнение Больцмана, граничные усло- втн для него также рассмотрены в § 7.2.
В предельном случае Zm》L вероятность столкновений между частицами снановптса ничтожно мало立，Предцопр-
жим, что молекулы, налетевшие на любую из двух стенок, после отражения от нее имеют максвелловское распределение по скоростям с температурой стенки. Будем, далее, считать, что с обеими стенками взаимодействие происходит подобным образом. Путем многократных отражений от обеих пластин молекулы переносят импульс в направлении 力 от верхней к шжней пластине, т. е. верхняя пластина тормозится, а нижняя увлекается в направлении движения верхней. Следовательно, в потоке должно существовать однородное сдвиговое напряжение ) рху. Значение рху вычисляется следующим образом. Функция распределения частиц с & > 0 имеет вид
尸』"Ы^гГ ехр (—贵 с) ,2 = е 曰 (7.3.11) в то время как функция распределения частиц с с^ V О имеет вид'
/㈠=八("2^『2 ехр {— 昜［(% — U)2 + 4 + 司.
(7.3.12)
Отсюда получаются следующие выражения для интересующих нас моментов: массовая скорость —
〃у '— 〃Z 。，〃у '— 〃Z 。，тензор напряжений ——тензор напряжений ——(7.3.14)(7.3.14)Pxz н Pyz — °,Pxz н Pyz — °,и,и,
〃у '— 〃Z 。，
〃у '— 〃Z 。，
тензор напряжений ——
тензор напряжений ——
(7.3.14)
(7.3.14)
Pxz н Pyz — °,
Pxz н Pyz — °,
и,
и,
Е (плотность полной энергии)=方 пкТ + 父 nmU2t плотность энергии движения массы = -g- nmU2^
8 (плотпость энергии, обусловленной случайным дви*
жением)!=жением)!=~ пкТ + -|- nmU^.~ пкТ + -|- nmU^.
жением)!=
жением)!=
~ пкТ + -|- nmU^.
~ пкТ + -|- nmU^.
Отметим, что здесь в однородном поле течения суще
ствует однородное сдвиговое напряжение (14).7.3.3. Ударная в о л- н а. Рассмотрим одномерную (нормальную) ударную волну (рис. 7.3.4). Согласно Ранкину и Гю- гонио, имеют место следующие соотношения между параметрами газа до и после фронта ударной волны:ствует однородное сдвиговое напряжение (14).7.3.3. Ударная в о л- н а. Рассмотрим одномерную (нормальную) ударную волну (рис. 7.3.4). Согласно Ранкину и Гю- гонио, имеют место следующие соотношения между параметрами газа до и после фронта ударной волны:АА〃/〃/PiPiРис, 7.3.4. Стационарная плоская ударная волна.Рис, 7.3.4. Стационарная плоская ударная волна.
ствует однородное сдвиговое напряжение (14).
7.3.3. Ударная в о л- н а. Рассмотрим одномерную (нормальную) ударную волну (рис. 7.3.4). Согласно Ранкину и Гю- гонио, имеют место следующие соотношения между параметрами газа до и после фронта ударной волны:
ствует однородное сдвиговое напряжение (14).
7.3.3. Ударная в о л- н а. Рассмотрим одномерную (нормальную) ударную волну (рис. 7.3.4). Согласно Ранкину и Гю- гонио, имеют место следующие соотношения между параметрами газа до и после фронта ударной волны:
А
А
〃/
〃/
Pi
Pi
Рис, 7.3.4. Стационарная плоская ударная волна.
Рис, 7.3.4. Стационарная плоская ударная волна.
「。1 =「2°2 (сохранение массы),
Pi峭 + nJ^T^p^Ul + 孔2办点 (сохранение импульса),U1 传孔 1及7\ + 扌 pQ, =(7.3.15)
=“2 伍孔2”T2 + } P2U?)=“2 伍孔2”T2 + } P2U?)(сохранение энергии),(сохранение энергии),
=“2 伍孔2”T2 + } P2U?)
=“2 伍孔2”T2 + } P2U?)
(сохранение энергии),
(сохранение энергии),
где индексом 1 фронта ударной ввестигде индексом 1 фронта ударной ввестиобозначены параметры газа слева от волны, а индексом 2 — справа. Если
где индексом 1 фронта ударной ввести
где индексом 1 фронта ударной ввести
м U
Mi = ；~77г =ттг (число Маха),
(YPi/Pj (МУ (2"7W)U2'丿，
Y =步=可 (для одноатомного газа),
то с учетом уравнения состояния р = пкТ из соотношений
(15) следует
p2 = (y +()M；% = 2+(Y一1) m:
К = 2 + (Y一1) m； '可= (y + 1)M；
Q _ (空上士)/ 2 + (y — 1)M；)
Ti \ Y + 1/ \(Y~M)M；/
Так как (y/2)1/2 = 0,92, то Mi почти равно UJlZkTJттС)^. Известно, что отношепие средней длипы свободного пробега в потоке после фронта ударной волны к толщине ударного слоя равно 0,1 при Mi=l,5. Одпако при увеличении Mi это отношение возрастает песуществеппо. Так, при Mi = 6 оно порядка 0,2, т. е.
乙/£^0,1+ 0,2, (7.3.18)
где L — толщина ударного слоя. Одпако степень неодно
родности системы, определяемая соотношениями
(7.3.19)(7.3.19)△7?2 -4 AU %- %
(7.3.19)
(7.3.19)
У = ~7\' 2кТ/т =「2忆〃几
быстро возрастает с ростом М1? как показано в таблице 7.3.2.
Возможность описания ударной волны с помощью
веденных в (19). Известно, что результаты расчетов на базе уравнений Навье — Стокса согласуются с экспериментальными данными вплоть до значения числа Маха 1,7. Однаковеденных в (19). Известно, что результаты расчетов на базе уравнений Навье — Стокса согласуются с экспериментальными данными вплоть до значения числа Маха 1,7. ОднакоMl△ Г/Г 1 Ml△т/г4,5ИДMl△ Г/Г 1 Ml△т/г4,5ИДуравнений Навье — Стокса определяется пе только отношением (18), по и зна- Таблица 7.3.2 чениями величин, при
веденных в (19). Известно, что результаты расчетов на базе уравнений Навье — Стокса согласуются с экспериментальными данными вплоть до значения числа Маха 1,7. Однако
веденных в (19). Известно, что результаты расчетов на базе уравнений Навье — Стокса согласуются с экспериментальными данными вплоть до значения числа Маха 1,7. Однако
Ml
△ Г/Г 1 Ml
△т/г
4,5
ИД
Ml
△ Г/Г 1 Ml
△т/г
4,5
ИД
при дальнейшем увеличении числа Маха уравнения Навье ——Стокса уже непригодны. Далее приходится интегрировать уравнение Больцмана с соответствующими граничными условиями для ударной волпы.
Всякий, кто пытался вычислить структуру ударной волпы путем интегрирования уравнения Больцмана, зна-
ет, что одна из трудностей этой проблемы заключается в асимптотическом характере граничных условий. Ины- ми словами, если ось х параллельна потоку и имеет начало координат внутри ударного слоя, то граничные условия определяются через значения переменных при ①士 8. На рис. 7.3.5 схематически изображено распре-
Рис. 7.3.5. Профиль скорости потока внутри ударной волны: между х{ и Хо и между х4 и х2 справедливы уравнения Навье — Стокса. Для изучения ударной волны удобно задавать граничные условия не на —оо и +«> а в точках & и х4.
деление массовой скорости U внутри ударной волпы. Покажем, что существует метод задания граничных условий при 力=/з и 力=力4, т. е. па конечных расстояниях от центра ударного слоя.
Асимптотическая функция распределения слева от ударной волпы имеет вид
（7.3.21）
Пусть точка х = х3 расположена вблизи от начала ударного слоя, так что отклонение от равновесного состояния в этой точке невелико. Тогда между 力=—8 и g справедлив метод Чепмена ——Энскога. При этом функция распределения 虫力=аз имеет вид
% =瘵 + 舟）. （7.3.22）
Согласно закону сохранения массы в стационарном одномерном потоке будет иметь место соотношение
или
Р1〃 = Рза.(7.3.23)
Закон сохранения пмпульса имеет вид
J m&hd% = j mcxf3d3c = J тс^ (/g0) + 岩))d3c, (7.3.24)
Здесь
J mcxf±(Pc = 72i"T\ 十々znU；. (7.3.25)
Так как'
岁=% (^S?；『 exp {- ^^ [(% - "У + S + 团卜
то
『7П或宵％3с =孔3^3 + mn3ul (7.3.26) Для функции 査)из (5.2.16) находим )
「必似/зe = 一等闷(黑卜 (7.3.27)
После подстановки (25), (26) и (27) в закон сохранения импульса (24) получаем
©"А + Pi^i =孔з"?з + Рз〃^^ № (^"卜(7.3.28) где 卩з — коэффициент вязкости при 力=力з・ Аналогичный закон сохранения справедлив и для потока энергии:
J 等 mc^xf^c = J у тс2c/з(Рс.(7.3.29)
Выполнив интегрирование в этом соотношении в соответствии с результатами § 5.2, получим
U1 ("I"孔也Т1 + } Pi。, = 〃з 昼 ПзкТз + -|- Рз。；)—
пли с учетом (23)
4^+4^=
哂Ез, (7.3.30)哂Ез, (7.3.30)='"2 丄 5 忆 4 Р^з( du \
哂Ез, (7.3.30)
哂Ез, (7.3.30)
где 入з — коэффициент теплопроводности при 力=/з・ Соотношения (28) и (30) позволяют проверять результат интегрирования уравнения Больцмана с граничными условиями при х — х3 вместо 力=—8. Аналогичным образом исследуется постановка граничного условия при % = +оо. Разумеется, пе существует простого соотношения, связывающего УСЛОВИЯ при 况=%з и при 力=力4・ Его нужно выводить путем интегрирования уравнения Больцмана. Отметим также, что уравнения (23), (28) и (30) сами по себе не замкнуты. Иными словами, в них входит более трех независимых переменных. [См. также Приложение V.]
Другие подходы к построению динамикиразреженного газа
До настоящего времени мы занимались в основном анализом области применимости метода Чепмена — Энскога, имея в виду динамику разреженного газа. Мы пытались расширить границы этой области, однако оказалось, что для этого расширения существует предел. Прототипом метода Чепмена ——Энскога являются уравнения переноса Максвелла, совпадающие с моментными уравне- ниями, полученными нами в § 5.1 из уравнения Больцмана ). Максвеллу не удалось получить функцию распределения, но он нашел ее моменты, например тензор напряжений, в который дает вклад интеграл столкновений. Расчет этого вклада был сделан Максвеллом в рамках предположения о том, что сила межмолекулярного взаимодействия является отталкивающей и обратно пропорциональна пятой степени расстояния между молекулами. С нашей точки зрения существенно, что при вычислении производных по координате от моментов он предполагал
максвелловскую форму функции распределения /. Это допущение точно совпадает с соответствующим допущением метода Чепмена — Эпскога. Тем самым обеспечивается появление сдвиговых папряжепий лишь в пространственно неоднородном газе. Усилиями Больцмана, Гильберта, Чепмена, Энскога и др. идеи Максвелла были разработаны далее и легли в основу метода Чепмена — Энскога ).
Особенность итерационной процедуры в методе Чепмена —Энскога (или в теории Максвелла) состоит в том, что на каждом этапе итераций неизвестное возмущение функции распределения попадает в интеграл столкновений, поэтому решение имеет вид разложения по обратным степеням плотности газа. Заметим, что интеграл столкновений пропорционален тг?, в то время как остальные члены уравнения Больцмана пропорциональны п. Это обстоятельство, очевидно, затрудняет построение теории разреженных газов. Тринадцатимомеитные уравнения ) Грэда [22] были получены с целью приложения к динамике разреженного газа, однако Грэд не решал уравнение Больцмана. Он разлагал функцию распределения по полиномам Эрмйта (полному набору ортогональных функций), т. е. в конечном итоге по степеням сКкТImYk причем пулевым членом разложения служила максвелловская функция распределения. В этом разложении степени плотности не фигурируют, что делает эту теорию по виду пригодной для разреженного газа. Слабым ее местом является, по-видимому,- замыкание системы уравнений путем простого отбрасывания моментов более высоких порядков. При этом остается совершенно неясным, сколь существенны «отброшенные» моменты. Айкенбери и Трусделл [36] исследовали уравнения переноса методом, близким методу Максвелла, с учетом моментов высших порядков.
Автором была получена [43] система моментных уравнений для взаимно независимых величин р, u, Т и 卩订. При этом был использован итерационный метод типа метода Чепмена — Энскога.
Ни в одном из этих подходов не было достигнуто существенного успеха. Основную трудность, свойственную всем итерационным методам, в общих чертах можно описать следующим образом. Запишем уравнение Больцмана в виде
где член в правой части соответствует интегралу столкновений Больцмана, 0 ——частота столкновений. Если 0 велика, a df/dt имеет не слишком большое значение, то ь[力=善%-40■
Решение уравнения F[f] = 0 представляет собой максвелловскую функцию распределения / = /(0).
Таким образом, в случае достаточно большой величины 0 в качестве нулевого приближения для / можно взять /(0).
В другом предельном случае, когда © стремится к нулю, что соответствует разреженному газу, имеем
даже при малом (но все же отличном от нуля) значении dj/dt.
Иначе говоря, здесь уже нельзя определять нулевое приближение для / из уравнения )
Flfl = 0.
Вместо этого будем исходить из уравнения
% = 0・(7.4.1)
Предположим, что d/dt имеет вид
演' =毎+ e+元.而，(742)
где 歹一внешняя сила, которая может зависеть от г, с Й方：
歹=夕(Г, e;力
Предположим, далее, что г и с как функции t определяются уравнениями
drldt = с, dcldt =笋［т(7.4.3)
в виде
г = г。+ j е d力 е = с° +，(歹/ттг) dt,
где г0, Со,力° е［力——независимые величины.
Нетрудно показать, что функция
/ = /(0)(с, г;力)=/(0) (с0,г0; %)(7.4.4)
представляет собой решение уравнения (1) (см. § 4.4). Затем первое приближение для / находится из решения уравнения
1 = {@方5"(7.4.5)
где при вычислении столкновительного члена в правой части в качестве / берется /(0).
Куэттовское течение. Вернемся к изучению стационарного куэттовского потока, рассмотренного в разделе 7.3.2. В качестве функции /(0) в (4) будут служить функции (7.3.11) и (7.3.12). В соответствии с (5.3.3) представим уравнение Больцмана в виде
系=【把Г - /®.(7.4.6)
В данном случае
母(747)
поэтому уравнение (6) принимает вид
%黑=［把］’一坦・(748)
В общем случае 0 является функционалом от /. Поэтому, согласно изложенной выше общей идеологии, первое приближение /(1) для функции / находится из уравнения
Су = ［/0］Ло) 一 /⑴€)(。).(748)'
Здесь [/©],(0) и 0(°) представляют собой, соответственно, [/@]‘, 0, в которых вместо / подставляется/(0). Решая (8)7 относительно /(1), получаем
/⑴=/ ехр/⑴=/ ехр8°)8°)力+^力+^(7.4.9)(7.4.9)
/⑴=/ ехр
/⑴=/ ехр
8°)
8°)
力+^
力+^
(7.4.9)
(7.4.9)
где Л ——функция от с, определяемая граничными условиями
/⑴=/(»+)=科(3广 ^р (一 疆 可(7.4.10)
& ＞ 0)
при z/ = 0 и
/⑴"⑴㈠=九⑴(贵Г exp (一舟旬(7・4制
CU = (& — U)2 + W + C* (% V。)
при у = L.
С помощью (10) и (11) находим
m = 4*。)=九⑴(*户ехр(_寻可一鶴,
(7.4.12)
4㈠=4%＜。) = 「⑴(金•广exp (-嗡^)-嶋b X
X exp ( ®：")・ (7.4.13)
Здесь плотность п(1) нужно рассмотреть или при у = L. ПриЗдесь плотность п(1) нужно рассмотреть или при у = L. Припока неизвестна, для ее определения закон сохранения массы при у = 0 у = 0 он принимает вид
Здесь плотность п(1) нужно рассмотреть или при у = L. При
Здесь плотность п(1) нужно рассмотреть или при у = L. При
J《№』*№+ J “(％㈠十用卜с=°・ 电＞0、/%V0、/
(7.4.14)
(Разумеется, условие на границе у=£ оказывается эквивалентно (14).)
В приведенном примере предполагается, что столкновения пе оказывают существенного влияния на резуль-
тат. (При (^) < @俨ситуация может измениться, что необходимо иметь в виду.) Между рассмотренным течением и гидродинамическим куэттовским потоком, описываемым уравнениями Навье ——Стокса, лежит широкая область промежуточного режима.
А/ето^ Ван- Чанг и Уленбека. При изучении потока разреженного газа вблизи стенки Ван-Чанг и Уленбек [90] ввели предположение о том, что функция распределения газа представляет собой суперпозицию функции распределения падающих молекул (%v0) и функции распределения отраженных молекул (& >0) (здесь ось у направлена по нормали от стенки с началом координат на стенке). В окрестности стенки полная функция распределения имеет разрыв при су = 0. При увеличении у она, в соответствии с уравнением Больцмапа, должна переходить в максвелловское распределение. Суть метода состоит в нахождении соответствующей функции от z/ и с, удовлетворяющей уравнению Больцмана и граничному условию на бесконечности.
Необходимо знать в явном виде зависимость этой функции от е, это дает возможность вычислить интеграл столкновений. Тогда уравнение Больцмана переходит в обыкновенное дифференциальное уравнение, независимой переменной которого является у. Различные варианты этого метода были разработаны в статьях Гросса и Зиринга [29], Такао и Фудзимото [80] и др. Подробности этих исследований выходят за рамки настоящей книги.
Теория ударных воли Мотт-Смита. Мотт-Смит [63] предположил ), что функция распределения в ударной волне представляет собой суперпозицию функций распределения газа перед и после фронта ударной волны, каждая из которых входит с весовым множителем, зависящим от положения внутри фронта волны. Таким образом, по обе стороны от фронта волны полная функция распределения, непрерывно переходит в соответствующие максвелловские функции распределения:
/==/« + /р,
/а = 〃а(%)(加/2兀及Та)"? СХр [—(加/2"Та)(С — Uj] И Т. Д.,
厶"£》1.厶"£》1.Рис. 7.5.1. Макроскопическое тело находится в разреженном газе, L《，m・ Свободномолекулярное приближение справедливо в области г V 2?九.Рис. 7.5.1. Макроскопическое тело находится в разреженном газе, L《，m・ Свободномолекулярное приближение справедливо в области г V 2?九.
厶"£》1.
厶"£》1.
Рис. 7.5.1. Макроскопическое тело находится в разреженном газе, L《，m・ Свободномолекулярное приближение справедливо в области г V 2?九.
Рис. 7.5.1. Макроскопическое тело находится в разреженном газе, L《，m・ Свободномолекулярное приближение справедливо в области г V 2?九.
где индексом а помечены переменные, относящиеся к потоку газа от фронта, а индексом § — к потоку, направленному к фронту волны. Параметры Т, и являются константами, а &（力）,孔式力）一функциями координаты. Подстановка этой функции распределения в уравнение Больцмана позволяет получить моментные уравнения, представляющие собой обыкновенные дифференциальные уравнения для неизвестных функций 加（力）и 壘（/）. Несмотря па простоту такого подхода, оп, по-видимому, позволяет правильно отразить основные особенности этой задачи.
Свободиомолекулярный поток
Предположим, что в разреженном газе с длиной свободного пробега lm движется твердое тело с характерным размером £, удовлетворяющим соотпошелшо
（7.5.1）
Это условие означает, что для большинства молекул, налетающих на твердое тело, предыдущее столкновение с
другими молекулами происходит на расстоянии порядка Zw от тела. Точно так же большинство молекул, отраженных от твердого тела, впервые столкнутся с другими мо - лекулами на расстоянии Zm от тела. Отсюда ясно, что именно па этом расстоянии от тела происходит возмущение функции распределения молекул, движущихся по направлению к телу, столкновениями с молекулами, отраженными от тела. На рис. 7.5.1 приведено схематическое изображение этой картины. На-
чало координат находится внутри твердого тела. Ниже мы рассмотрим влияние подобных столкновений на функцию распределения молекул на расстоянии г = lm от тела. Для наблюдателя, находящегося на таком расстоянии,
твердое тело занимает телесный угол порядка
а3 =冗（上/2）2/原.а3 =冗（上/2）2/原.(7.5.2)(7.5.2)
а3 =冗（上/2）2/原.
а3 =冗（上/2）2/原.
(7.5.2)
(7.5.2)
Предположим, что за единицу времени с поверхностью тела соударяется число молекул, равное
у = 4 冗(£/2)2/2。,у = 4 冗(£/2)2/2。,(7.5.3)(7.5.3)
у = 4 冗(£/2)2/2。,
у = 4 冗(£/2)2/2。,
(7.5.3)
(7.5.3)
Вследствие условия единицы:Вследствие условия единицы:п In《1.п In《1.(7.5.5)(7.5.5)где U ——средняя скорость молекулы относительно твердого тела. После отражения от твердого тела эти молекулы пересекают со скоростью U поверхность воображаемой сферы с радиусом Zw и центром в начале координат. Следовательно, плотность подобных молекул вблизи поверхности этой сферы равна
Вследствие условия единицы:
Вследствие условия единицы:
п In《1.
п In《1.
(7.5.5)
(7.5.5)
nf=-^- = n{Ll^ll^
или
~ = к*(7.5.4)
(1) это отношение много меньше
Таким образом, мы приходим к заключению, что па этом расстоянии от тела функция распределения молекул газа возмущается твердым телом несущественно.
Функция распределения налета ю- щих частиц в отсут ствие внешнего поля. Если газ находится в состоянии теплового равновесия и внешние силы отсутствуют, то в системе координат, связанной с твердым телом, распределение молекул на расстоянии г = 1т от центра описывается функцией
= reo (^7)3/2 ехр [~ (с - и)2]- (7・5・6)
Здесь и — скорость тела относительно газа. В области между поверхностью воображаемой сферы и поверхностью тела можно пользоваться бесстолкновительным уравнением Больцмана
輕+ с・* = 0, (7.5.7)
так как столкновения здесь крайне редки. Тогда
df/dt = О
вдоль траекторий, определяемых уравнениями
dr/dt = с, dc/dt == 0.(7.5.8)
Иными словами, функция / инвариантна вдоль траекторий, начинающихся па поверхности воображаемой сферы радиуса г = Zm и закапчивающихся па поверхности твердого тола. Следовательно, функция распределения налетающих Аюлекул имеет вид
/㈠=仆 В^7 户 exp ［一危(с —叫(7.5.9)
(нормальная к поверхности тела компонента скорости с меньше нуля).
Функция распределения отраженных молекул, согласно соотношению (7.1.4), представляется в виде
/(+) =『(р/(-)С)0(/.(7.5.10)
Если задана форма ср, то отсюда можно определить /(+), а затем найти обмен импульсом и энергией между атмосферой и твердым телом. Эти расчеты могут быть весьма сложными. Однако они существенно упрощаются, если lu| значительно превосходит <с>.
Налетающие молекулы в поле силы т я ж е с т и. При паличии однородпого поля силы тяжести g максвелловская функция распределения принимает вид )
Г/ /П \3/2〃2
^°П° \2nkT) еХР~2кТ^
+ 备-g・r 一 吞-g・u} (7.5.11)
где п0 ——плотность числа молекул газа в центре твердого тела ) г = 0 в момент 方=0. Поскольку начало вектора
г фиксировано внутри твердого тела, будем рассматривать молекулы, налетающие на поверхность твердого тела, для которой г = R. Плотность налетающих молекул имеет вид / т\з/2「, т »
=(с — u)
—^~g・"] (7.5.12) (нормальная к поверхности тела компонента скорости с меньше нуля). Здесь учтено, что функция распределения налетающих молекул не зависит от возмущения, вносимого телом. Если g 丄 и, то
тг = %ехр (新 g・R).(7.5.13)
Если же g II и, то
тг = 72。ехр (而 g・R —危 gu^. (7.5.14) Иначе говоря, если твердое тело поднимается в атмосфере, так что направление скорости 'газа относительно тела совпадает с направлением g, то плотность газа со временем убывает.
Решение уравнения Больцмана. В рассматриваемом случае уравнение Больцмана можно представить в виде
Если 6 момент времени 备 функция распределения была задана 6 видеЕсли 6 момент времени 备 функция распределения была задана 6 виде4г + с，4г += °・(7.5.15)
Если 6 момент времени 备 функция распределения была задана 6 виде
Если 6 момент времени 备 функция распределения была задана 6 виде
(7.5.16)(7.5.16)(7.5.17)(7.5.17)(7.5.18)(7.5.18)九=/(& т),то ко времени t она перейдет 6力=/(с-с\ г - /),где с' 乂 г' удовлетворяют уравнениямde' __ 歹(г, с;%) dr' _dt —77i' d— С'
(7.5.16)
(7.5.16)
(7.5.17)
(7.5.17)
(7.5.18)
(7.5.18)
e‘(力0) = °, Т‘(力0)= °・
Доказательство. Нетрудно убедиться, что 力 удовлетворяет уравнению (15) и начальному условию
Д = /%. Рассмотрим, например, электроны в сильном однородном магнитном поле. Если пе учитывать взаимодействие между электронами, то кинетическое уравнение принимает вид
* + 際® 岩一 &豈)=°' (7・5・19)
где В — напряженность магнитного поля, которое будем считать однородным и направленным вдоль оси z, т —— масса электрона, е — его заряд. Общее решение уравнения (19):
/ = /(с —U, е-Р),(7.5.20)
где
警= *【В,с], * = с. (7.5.21)
Форма функции /(с, г) определяется начальными и (или) граничными условиями. Она может зависеть, папример, от того, как производится инжекция электронов в магнитное поле. При этом нет никаких оснований полагать, что функция / должна быть максвелловской [47].
Упражнения
Докажите, что
/ - / 或 + 心力-У請~ @ + e/ z - czt
является решением уравнения (7.5.19).
Докажите соотношение
Е = j 等 тс2 (/(+)+ /㈠)0с = ~|" пкТ 十 告 nmU?,
где /(+)и 产一)определяются равенствами (7.3.11) и (7.3.12).
Уравнение сохранения импульса в (7.3.15) выводится путем установления баланса сил, действующих на поверхности 1 и 2. Проделайте этот вывод,
Выведите третье уравнение системы уравнений (7.3.15).
Обсудите разницу между силой и напряжениелг.
ЧАСТЬ III
ИОНИЗОВАННЫЕ ГАЗЫ
ГЛАВА 8
ПРИМЕНЕНИЕ КИНЕТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИК ЗАРЯЖЕННЫМ ЧАСТИЦАМ
Вводные замечания
Если составляющие газ частицы взаимодействуют друг с другом с кулоновской силой 歹仃，определяемой формулой (1.2.1) при s = 2, то интеграл столкновений Больцмана расходится, когда интегрирование по dh (прицельному параметру) распространяется до А = °°. Следовательно, предположение о бинарных столкновениях, на котором основано построение интеграла столкновений Больцмана, не выполняется для газа, состоящего из заряженных частиц. Сама цепочка ББГКИ, вообще говоря, не годится для ионизованных газов. Предположим, что три электрона 1, 2 и 3 взаимодействуют одновременно. Вследствие дальнодействия кулоновской силы довольно трудно представить собе, что временной масштаб взаимодействия между электронами 1 и 2 много больше временного масштаба взаимодействия между электронами 1 и 3 и т. д. Более вероятно, что оба временных масштаба одинаковы. Это условие несовместимо с условием (3.3.13), при котором в § 3.3 выводится цепочка ББГКИ. Если газ состоит из ионов и электронов, где масса одного иона много больше массы электрона, временной масштаб иоп-иопного взаимодействия много больше временного масштаба элек- трон-электрошюго взаимодействия и иоп-электроппого взаимодействия. Тогда частично может быть использована цепочка ББГКИ. Эти вопросы исследуются в главе 8, а в главе 9 рассматривается трактовка ионизованных газов с точки зрения кинетической теории.
Особенность динамики ионизованных газов состоит в том, что не существует стандартной системы макроскопи-
веских уравнений, полностью описывающих эту динамику во всех режимах. Даже в пределах одного потока ионизованного газа каждое уравнение может оказаться справедливым лишь в локальной области. В этом смысле используемые здесь методы — это методы ad hoc, как и в динамике разреженных газов (т. е. каждый метод разрабатывается для решения конкретной задачи и не имеет общности).
Фоккер-планковское представлениеинтеграла столкновений Больцманав случае слабых взаимодействий
Прежде чем исследовать расходимость интеграла столкновений Больцмапа для ионизованного газа, преобразуем ) часть интеграла, представляющую слабые взаимодействия, в выражение Фоккера ——Планка. Предположим, что рассматриваемый газ состоит из частиц двух сортов. Функцию распределения частиц сорта 1 обозначим через h(cj, а сорта 2 — через jWq). Уравнения Больцмана для этих функций даются в виде
(8.2.1)(8.2.2)(8.2.1)(8.2.2)
(8.2.1)
(8.2.2)
(8.2.1)
(8.2.2)
где —7ц — интеграл столкновений Больцмана для частиц сорта 1; —/12 — для столкновений между частицами разных сортов и т. п.:
一 Ju = J J J [九 G) /i (с；‘)一九(％)九(©]岬 dhvn 〃3с：,
(8.2.3)
u11 = I % - % I,
一八2 = J J J [/l(cl) /2 (С2)- fl (cl)/2(3)]"吸"八。12 "%2>
%2 — I ci — с? I,(8.2.4)
И T. Д.
В дальнейшем мы детально рассмотрим —Ji2. Остальные слагаемые будут рассмотрены таким же образом.
Разобьем —7i2 на две части: одна ——в пределах интегрирования по h от 0 до 1г , а другая ——от 无'до °°; тогда (8.2.5) 了о а, 2)=
=} J J [九 &)厶(&；) — /1 (&) /2 (&)]"哂 d^12d3c2, (8.2.6) 九=o
犷 8 (1, 2)=
=J J f [九 &)厶(с；) — /1 (%) /2 (&)] de從 dhv12d3c2. (8.2.7) h=hf
Здесь Л/ выбирается таким образом, чтобы величины I с；——с/ и I с；——с21 были достаточно малы для 无 > 7/ и чтобы разложения функций по степеням сг ——сг и (или с2 一 с2 можно было выполнить таким образом, при котором выражение 夕® (1, 2) приводится к фоккер-планков- скому представлению взаимодействия.
В качестве переменных вместо Ct и с2 выберем импульсы pi и р2:
pt = т^ь(8.2.8)
P2=== 7712e2.(8.2.9)
Тогда
Zoo (1,2) =
=J J J (Л «)/2 (К) — /i (Pi) /2 (卩2)]"屮万 dhv12d3p2/ml h=hf
(8.2.10)
Разность
Ар = Р-2 — Р2 = — Р； + Р1,(8-2.11)
как показано в § 4.4, является функцией от р】,р2,无,屮・ Поэтому в качестве независимых переменных, описывающих столкновение, мо;кно взять
Др, pi,儿 <р(8.2.12)
вместо
Р2, Pi,儿 ф.(8.2.13)
Следовательно, р2 не является независимой перемен
ной, аной, аР2 = Р2(Ар, Р1,瓦屮)・Р2 = Р2(Ар, Р1,瓦屮)・(8.2.14)(8.2.14)С учетом соотношения (см. Приложение А) между (р15 р2)и (р；, р；) можно сказать следующее. Если определить /2 в виде
ной, а
ной, а
Р2 = Р2(Ар, Р1,瓦屮)・
Р2 = Р2(Ар, Р1,瓦屮)・
(8.2.14)
(8.2.14)
/：(р1；Др)^/2(р2) (8.2.15)
и подставить сюда выражение (14), то получим с учетом (И) и (14)
/2(Р2)= /： (р；； — Др) = /2(Р1 -- Ар; Ар). (8.2.16)
Разло?ким правую часть вышеприведенного пия в ряд Тейлора:
/2(Р；) = /2 (Pi； — Ар) — Ар-"“ 耍二厶" +
+ 击 аР аp：麻+
Кроме того, имеет место соотношение
/1(Р；) = /1 (Pi — Ар)=
=九(Pi) - ap朵+击曲频与* -
Определив
018 e28, &少p22)
一嘴、12八А…3八)，
запишем
加£3 〃屮九 d/ггл12dЗр? = В d(p无 dh 0Ар.
выра?ке-(8.2.17)(8.2.18)(8.2.19)(8.2.20)выра?ке-(8.2.17)(8.2.18)(8.2.19)(8.2.20)Подставляя (17), (18) и (20) в выражение (10), получим
выра?ке-
(8.2.17)
(8.2.18)
(8.2.19)
(8.2.20)
выра?ке-
(8.2.17)
(8.2.18)
(8.2.19)
(8.2.20)
久8 (1, 2) = j『[([/2(Pi； — Ар) — /2(Pi； Ар)] (Pi)—
71=九，I
- /1(P1) Др • ~fi ^^ --- + /* (Pl； - Ар) Ар • 4^] +
11т Кога
4 4- [f^ аp аp : £怨:/州 +
+ 2АрАр:篇飞出U
+ /* （Pl； - Др） Др Ар:皆甯
— 备[•・」+・・・]5 ^屮无d无d3Ap. （8.2,21）
Из соотношенияИз соотношения—/2 （Pl； Ар） й3Др =—/2 （Pl； Ар） й3Др =
Из соотношения
Из соотношения
—/2 （Pl； Ар） й3Др =
—/2 （Pl； Ар） й3Др =
+оо
=f /2 （Pl； Др） ^3Др
следует, что
J J J [/2 （Pi； — Ар） А 一 成（Pi； Ар） fi]Bh dh dcp d?Ap = 0.
Определяя
<Др>12 =『『『Ap/；（Pi； — Ар） §历 d无 dcp d3Ap,
<Др Др>12 = J j j Ар Ap /；（Pi；——Др） Bh dh d（p c^Ap （8.2.22）
и подставляя эти выражения в уравнение （21）, получим
夕。О （1,2） =
- "4г <Др>12 九（Р1）+ 4г ・ д；風…:〈Ар Ар〉12 九（P1）-
-击飞而]：<Др Ар Ap〉i2 A （Pl） + …（8223）—
Это ——типичный оператор взаимодействия в форме Фоккера — Планка. Мы можем получить 夕 g（l, 1）, 夕8 （2, 1） и т. д. с помощью простой замены соответствующих индексов.
§ 8・3・ Расходимость интеграластолкновений Больцманапри кулоновском взаимодействии
Если заряженные частицы при столкповениях взаимодействуют по закону Кулона
(8.3.1)
то оказывается, что Zoo, определенное уравнением (8.2.23), расходится. Действительно, перепишем снова выражение (8.2.22) для <Др> через р2 с учетом уравнения (8.2.15):
〈Ар〉= J [ J Др/2 (Pi； — Ар) Bh й(р dh 0Ар = ф if др〈Ар〉= J [ J Др/2 (Pi； — Ар) Bh й(р dh 0Ар = ф if др=—j j j (Pl — Р2) /2 (Р2) ^^%2倉夕2 成р &3р2・=—j j j (Pl — Р2) /2 (Р2) ^^%2倉夕2 成р &3р2・(8.3.2)(8.3.2)
〈Ар〉= J [ J Др/2 (Pi； — Ар) Bh й(р dh 0Ар = ф if др
〈Ар〉= J [ J Др/2 (Pi； — Ар) Bh й(р dh 0Ар = ф if др
=—j j j (Pl — Р2) /2 (Р2) ^^%2倉夕2 成р &3р2・
=—j j j (Pl — Р2) /2 (Р2) ^^%2倉夕2 成р &3р2・
(8.3.2)
(8.3.2)
Из уравнения (4.4.27) имеем
К — Р2 = ^2С2 — 7722c2 = ^^Г "^ 一 V12),(8.3.3)
где,，，
Vi2 — с2 — % V12 =出一Cl(8.3.4)
Как видно из рис. 4.4.2, величина V12 разделяется на две компоненты: одну, параллельную V12 и обозначаемую через (V12) 11, и другую, перпендикулярную V12 и обозначаемую через(V12) j.. Направление последней совпадает с направлением отсчета угла ср:
(^12)_ь = (%2)(р・(8.3.5)
Как вновь показано на рис. 8.3.1, направление (и%)(р+л противоположно направлению (г?12)ф； следовательно,
2严
j (《2)上 d(p = O・(8.3.6)
о
Рассмотрим теперь (z；i2) 1(. Согласно рис. 8.3.1 имеем ("12) к ===以2 cos (л — 28qq) = — %2 cos (26оо)==
=—〃i2 (2 cos2 9qo — 1)力
и, следовательно,
(Р2 — Р2) и = — -^鶴;N cos2 0oo. (8.3.7)
Из уравнения (А.1.28) (см. Приложение А) имеем
COS2 0оо =COS2 0оо =X2九2端十К2)X2九2端十К2)
COS2 0оо =
COS2 0оо =
X2
九2端十К2)
X2
九2端十К2)
M12 = т1md (加1 + z?z2);
следовательно, 00°0?
(р2 — р2) \\ hdh = — \ …5•户 - Y — h dh =
=-- |ln (力2喧+ 衣2)將=。[ln 8]. (8.3.8) 2%2
Что касается величины 〈Ар Ар〉(тензор второго ранга), то мы ограничимся тем, что покажем расходимость
Рис. 8.3.1. Траектория г)2 частицы 2 относительно, частицы 1； V12 — относительная скорость частицы 2 до столкновения; V12 —относительная скорость после столкновения; (У12)ц — компонента V12, параллельная V12, а (丫12)山—компонента, перпендикулярная Vi2. Угол 屮 указывает ориентацию плоскости, в которой происходит столкновение.
выражения
〈（Ар）2〉=〈（А〃“）2+（Ар/2 十（А“）2〉・
Запишем
（Р2 — Р2）2 —（Р2 — ₽2）!i +（Р2 — P?）i・（8.3.9）
Так как
（沙；2）丄="12 sin （л ——20оо） = 2〃丄2 sin 8g cos 0oo и
（"12）丄=0,
ТО
（Р； - Р2）丄=加；北2 [（^2）± -（У12）±]=
=2Ml2%2 sin 9оо cos 6g Следрвателыю,
（p； 一 P.2）l = 脸力2。；+般一（庐吟2；炉）2 •
Аналогично,
（p: - Ps）ll = 4儿直脸 &脸;片）2 •
После подстановки этих величин в выражение
（Ар）2 = j『J （р； — P2）i /（Р2" d历 d（p%2d3卩2/欣 +
+ j J J（P2 — P2X1 /（P2） % dh dcpz;12dзр?/樞 видим, что
J（P2 — p2）± hdh-^ 00.（8.3.10）
Причина расходимости интеграластолкновений Больцмана
Чтобы избежать расходимости интеграла столкновений, некоторые авторы в уравнении （4.2.3） сохраняют интегральный член, содержащий F^\ Отметим, однако, что, поступая так, мы должны предположить, что возмущение
бинарного взаимодействия третьей частицей происходит па временном масштабе т3, много меньше временного масштаба основного бинарного взаимодействия т2. Если частицы одипаковы, то такое соотношение между временными масштабами трудно аргументировать. Тогда для заряженных частиц мы должны полностью отказаться от метода интегрирования уравнения Лиувилля, основанного па подходе ББГКИ и приводящего к уравнению .(3.3.8) и всем его следствиям; пужно заметить, что существуют различные способы рассмотрения уравнения Лиувилля. Один из них, основанный на предположении об иерархии временных масштабов (3.3.13), приводится в главе 3. Путем усреднения, например, уравнения (2.4.19), а не уравнения (2.4.11) мы можем получить другую систему уравнений, отличающуюся по своему смыслу от уравнений (3.3.8) и т. д. Чтобы выбрать соответствующий подход, мы долдоны попять причину расходимости шггеграла бинарных столкновений.
Предположим сначала, что вклад многократных столкновений между выделенной (пробной) частицей 1 и остальными (полевыми) частицами 2, 3, 4,... разделяется на три части: (1) действие на пробную частицу одновременно со стороны многих полевых частиц, (2) обратное действие пробной частицы на полевые, (3) влияние взаимодействия между полевыми частицами. Так как мы пе знаем, как в общем случае учесть полный вклад этих частей, т. е. пе знаем решения задачи многих тел, вышеприведенная классификация кажется искусствеппой, не имеющей определенного физического смысла. Отметим, однако, что можно представить себе копкретпые условия, при которых допустимо полностью или частично пренебречь эффектами (2) II (3), и все же взаимодействия останутся многократными. Изучая такие конкретные случаи, мы можем получить некоторые статистические аспекты многократных взаимодействий. Тогда можно надеяться найти ключ к правильному рассмотрению многократных взаимодействий заряженных частиц. Для указанных выше целей рассмотрим следующие модели столкновений.
Модель I. Предположим, что плоская упругая пластина А помещена перпендикулярно оси х. Имеется также N одинаковых упругих шаров. Все шары обладают одинаковым импульсом р/2, параллельным оси 力,и все
тары одновременно сталкиваются с пластиной А: тъ из них—с правой стороны пластины Л, (N — п) — с противоположной, как показано па рис. 8.4.1. Пластина в результате приобретает импульс
Ар = (TV—72)р-72р = (N- 272)p. (8.4.1)
импульса достаточноимпульса достаточноРис. 8 4.1. (^ — п) шаров слева и п шаров справа в некоторый момент времени сталкиваются с пластиной А и отражаются; импульс каждого шара — р/2.Рис. 8 4.1. (^ — п) шаров слева и п шаров справа в некоторый момент времени сталкиваются с пластиной А и отражаются; импульс каждого шара — р/2.Если величина приобретенного мала, а масса пластины достаточно велика, пластина может совершать броуновское движение вдоль оси 力 благодаря многократным повторяющимся столкновениям с N шарами. Как известно, статистическое распределение состояния пластины Fa описывается уравнением Фоккера — Планка:
импульса достаточно
импульса достаточно
Рис. 8 4.1. (^ — п) шаров слева и п шаров справа в некоторый момент времени сталкиваются с пластиной А и отражаются; импульс каждого шара — р/2.
Рис. 8 4.1. (^ — п) шаров слева и п шаров справа в некоторый момент времени сталкиваются с пластиной А и отражаются; импульс каждого шара — р/2.
俏 + Р 碉 F'a=-〈АР〉含 ^ + ^ <ДР Ap〉g^^ 厶一
-^ <Др Др Ap> ——_ Fa +(842)
где Pa — импульс пластины 4. Предполагается, что скорость пластины / достаточно мала и Др пе зависит от Ра・ Мы многократно повторяем подобную бомбардировку N шарами, причем в каждый момент выбор п полностью случаен. Так как все шары неразличимы, вероятностный вес в каждом случае зависит от значения п. Для п == О вероятностный вес равен 1, а для п > 0 вероятностный вес равен N(N — 1).. AN — п + 1)/п\. Поскольку Др == = (N—2zz)p (в единицу времени), то для 〈Ар〉получим “Р〉=责卜不 + (N — 2) Np + (N—4) “④戸)P +
+ .一Np] = 0, (8.4.3)
где учитывается биномиальная формула
[十 у + % (% — 1) +.十 % (N — 1)…(N — " + 1) +
十• . • + 1 = (1 十 1)N = 2~
Кроме того, с помощью теоремы, доказанной в Приложении Г, имеем
<Ар Др> =
=為{(MO? + N[{N^ 2) р]2 + f-D [(N — 4) pF + …
+ 丝D •『-+)} 0 - 2 力 pP+...
・・・ + (№叫=责[2nNP^] = NpZ (8.4.4)
На основе полученных выше результатов можно заключить, что для <Др> и <Ар Др> данная модель многократных столкновений эквивалентна бинарным столкновениям, где каждое столкновение происходит независимо. (Пока еще не известно, сохраняется ли эта эквивалентность и относительно величины <Др Др Др>, а также величин более высокого ранга. Однако, ввиду слабости воздействий столкновений на А, мы можем пренебрегать величинами более высокого ранга, как мы поступали в случае столкновений между заряженными частицами на больших расстояниях.) Таким образом, можно сделать вывод, что расходимость интеграла столкновений Больцмана для заряженных частиц должна быть следствием нашего пренебрежения эффектами (2) и (3), а не ранее упомянутым эффектом (1), т. е. одновременностью столкновений. Известно, однако, что эффект (2) для столкновений на больших расстояниях незначителен. Тогда мы должны рассматривать следствие пренебрежения эффектом (3).
Модель II. В модели I мы используем предположение, подобное Stosszahlansatz и состоящее в том, что выбор п от 0 до N полностью произволен. Предположим, однако, что между N шарами есть некоторое взаимодействие и выбор п не может быть вполне произвольным. Предположим, что вследствие этих взаимодействий шары стремятся распределиться более равномерно по обе стороны и величина {N — п)/п стремится к единице. В результате <Др Др> становится много меньше значения, определяемого уравнением (4).
Распределение частиц в реальной газовой системе отличается от распределения, соответствующего равномер-
ному распределению вероятностей. В случае равномерного распределения вероятностей, например, не исключено, что все частицы окажутся вместе в малой области пространства, как бы пи была мала вероятность этого события. Но практически ожидать этого не следует. Причина здесь состоит в следующем: скорость и ускорение частицы всегда конечны, поэтому конечна также скорость изменения состояния частицы. Изменение положения и скорости любой частицы происходит постепенно, в некотором временном масштабе. С другой стороны, чисто вероятностное рассмотрение предполагает, что изменения мгновенны, или, другими словами, изменение состояния частицы происходит бесконечно быстро. Рассматривая этот вопрос, мы понимаем, что накоплению частиц в системе в одном месте должно предшествовать некоторое предварительное расположение частиц, результатом которого явилось бы такое накопление. Создание таких расположений должно согласовываться с динамическими законами. Другими словами, эта задача не решается в рамках одной лишь теории вероятностей. Мы понимаем, что Stosszahlansatz справедлив только условно.
Следует отметить также, что в реальной системе корреляция между двумя конкретными частицами на больших расстояниях не может продолжать существовать в течение бесконечно длинного интервала времени, поскольку взаимодействие каждой из этих двух конкретных частиц с другими частицами может оказаться намного сильнее их взаимодействия друг с другом. Разумеется, такая нереалистическая ситуация бинарных взаимодействий не может приводить ни к каким серьезным трудностям, если радиус сил взаимодействия мал. Однако для заряженных частиц ситуация сложнее. Для иллюстрации существа проблемы рассмотрим случай, когда пробной частицей является покоящийся электрон, а полевые электроны распределены на отдалепном расстоянии от него. Полевой электрон, проходящий мимо пробного электрона с координатой г в ближайшей точке и скоростью с, отдает пробному электрону следующий импульс:
P =▲（产十。2产）3/2 = （845）
Вклад полевого электрона в член диффузии <Др Др> уравнения Фоккера — Плапка для пробного электрона (сходного с уравнением (2)) равен 4е4/(г2с2). Просуммируем вклады от всех полевых электронов, проходящих в единицу времени мимо пробного и имеющих координату г в интервале между i\ и 必.При этом получим
〈Ар Др) — "I"冗礙 J J J-£ d3c J y- U, (8.4.6)
где U ——единичный тензор; / — функция распределения электронов по с, которая, согласно Slosszahlansatz, предполагается не зависящей от г. Очевидно, когда г2 растет до бесконечности, результат расходится. Однако при этом выражение (5) теряет смысл, поскольку полевая частица не может пройти такое большое расстояние, пе испытав возмущения от других полевых частиц, находящихся вблизи нее ).
Для анализа многократных (более чем бинарных) взаимодействий важно учитывать влияние взаимодействия между полевыми частицами, что ограничивает применение Slosszahlansatz, как и предполагалось в модели II. Как было показано выше, пространственно-временные масштабы молекулярно-упорядоченного движения полевой частицы также ограничены взаимодействиями с полевыми частицами. Эти ограничения, которые следует наложить на Stosszahlansatz и на молекулярно-упорядоченные столкновения, не учитываются интегралом столкновений Больцмана.
Трудности, связанные с цепочкой ББГКИ
Трудности, связанные с расходимостью интеграла столкновений Больцмана, показывают, что предположение, на котором базируется интеграл столкновений, не реализуется в случае заряженных частиц с дальнодействием. В предыдущем параграфе было показано, что
трудности возникают из-за пренебрежения взаимодействием между полевыми частицами. Чтобы учесть этот эффект, рассмотрим сначала приведенную в § 3.3 цепочку ББГКИ. Продемонстрируем возникающие при этом трудности на следующем примере ). Предположим, что частица 1 взаимодействует одновременно с частицами 2 и 3, Временной масштаб взаимодействия частиц 1 и 2 обозначим через т(1, 2), между частицами 1 и 3 — т(1, 3) и т. д. Если частицы одинаковы и обладают одними и теми же массой и зарядом, то наиболее вероятно, что т(1,2) «т(1,3) ^т(2,3).(8.5.1)
Но в этом случае цепочка ББГКИ неприменима, поскольку она выводится в предположении, что т(1,2)»т(1.3) ^М2,3), или
К2,3)》М4,2)^М1,3),(8.5,2)
или
т(1, 3)》т(2, 3) «т(1, 2).
Если частицы 1 и 2 являются ионами, а частица 3 —— электроном, то ситуация благоприятна для применения цепочки ББГКИ: массы ионов велики, приблизительно в 2000 раз больше массы электрона. Следует ожидать, что скорости ионов будут меньше скорости электрона. Тогда
т(1,2) »т(1,3) М2,3).
Медленное взаимодействие между ионами 1 и 2 воз^ мущается электроном 3, быстро пролетающим через ок^ рестность ионов. Возможность применения цепочки ВБГКИ ограничивается таким специальным случаем. Детально это положение будет обсуждаться позднее.
Уравнение Власова
Ввиду полной пезавпеимости каждой полевой частицы от других полевых частиц предположение о бинарных столкновениях, сопровождаемое гипотезой Stoss- zahlansatz, является очень сильным предположением. Су
ществует другое столь же сильное предположение, которое относится к другому крайнему случаю. Предположим, что в подынтегральном выражении в уравнении (2.4.10)
F^ = F^Ff.(8.6.1)
Это предположение допустимо, если взаимодействие между частицами 力 и / является крайне слабым. Соотношение (1) сводит уравнение (2.4.10) к следующему:
6 + ^ М)野 + J 2 歹，"橋眯；0, (8.6.2)
где i = 1, 2, 3, ..., N.
Существует N подобных уравнений, причем они являются замкнутыми. Если мы рассмотрим одну систему и определим функции F{i\ то они выражаются через •б-функции. Усредним уравнения по времени и по частицам таким же образом, как в § 3.3:
信+ ^书〈尸⑴(X)〉" +
+(N - 1)( j 笏1 J⑴阳)也 ^歹⑴(匕))"2 = 0. (8.6.3)
Здесь у нас только одно уравнение, содержащее функции <F(1)> и 歹(D. Если предположить, что отдельные частицы движутся почти свободно, то легко показать, что эффект взаимодействия между частицами 1 и 2 в уравнении (3) приводит к расходимости. Конкретно: <Др> = 0 и <Др Др> = 8. Власов [88] пренебрег такой длительной автокорреляцией по времени F{i) и переписал уравнение (3) в виде
伍+^卜吸匕)〉+
+ (N — 1) J 歹 12〈歹⑴(XJ〉％ ^〈尸⑴(X》=0. (8.6.4)
Оказывается так, что частица 2, представленная (функцией 〈歹⑴(Х?)〉，как бы «размазана» по большой области пространства, даже когда О(%), из которой выводится 尸“)， определена для одной системы. Следовательно, в урав-
непии (4) не надо больше учитывать микроскопического взаимодействия, и результат сходится. Такое поведение частицы 2 не является следствием взаимных реакций полевых частиц, оно вызвано просто нашим конкретным способом усреднения. Но в конечном счете усреднение дает тот же желаемый эффект, что и взаимодействие между полевыми частицами, резко уменьшающее время автокорреляции функции F{i\
Теория Власова не имеет ничего общего ни с боль- цмановскими столкновениями, ни с ансамблями Гибе- са ). Для обоснования своей теории Власов рассмотрел в цитируемой книге [88] следующие постулаты:
Отказ о т строго точечного описания микрочастиц. Представление о частице как о точке, сохраняющей это свойство вне зависимости от связи со средой и остальными частицами, является только приближенным отражением реальности. В настоящее время как опытные факты, так и внутренние трудности существующих теорий диктуют необходимость создания теории, в основе которой лежала бы новая трактовка понятия частицы. В частности, такая теория должна отобразить зависимость степени протяженности частицы от тех физических условий;, в которые она попадает.
Новый подход к понятию замкнутой физической системы. Нам кажется, что и в су- ществз^ющих теориях, фактически, уже имеет место отход от понятия замкнутости в смысле классической механики (аппарат статистической и квантовой механики). Для динамики частицы, развиваемой в книге А. А. Вла-
сова, характерен особый способ учета связи частицы с окружающей средой. Благодаря этому понятие замкнутости приобретает новый смысл. Переход к классическим теориям связан при этом с введением определенных ограничений па эту связь.
Стремление построить такую теорию, в которой движение являлось бы неотделимым свойством объекта, а не результатом действия некоторых «источников» (сил — в классической механике, термостата ——в статистике, нарядов и токов ——в электродинамике). При помощи таких источпиков движение, по существу, вводится в физическую систему извне. Рассматриваемая идея реализуется в данной теории тем, что каждая частица описывается протяженной функцией распределения в пространстве координат и скоростей.
Вышеприведенная аргументация Власова основана па иптуиции: он -стремится сравпивать явления различного происхождения, пользуясь аналогиями. Как будет рассмотрено позднее (с. 178, 198), уравнение Власова нужно объяснять с помощью временных масштабов корреляции. Отметим, одпако, что Власов, очевидно, сознавал трудности построения ансамблей Гиббса для описания подобных систем.
Дополнительные замечания: о микроскопической симметрии и молекулярном б е с- порядке. Если предположить, что определенная в главе 3 величина D(N} микроскопически симметрична, то
硅)(占,%;力) = 理)(ХаХ3")
при условии, что
& = Хз = X. .
Отаетнм, что если Х2 может быть равна X в момент времени 力 то, согласно микроскопической симметрии, Хз также может быть равна X. В то же время это утверждение, очевидно, противоречит нашим физическим представлениям, пока мы не предположим, что взаимодействие между частицами очень слабое. При этом предположении уравнение (4) сразу получается из уравнения (2.4.10), причем можно снять в нем символы < >. Фактически столкновений в смысле Максвелла ——Больцмана не существует. Результат оказывается ‘ в точности тем
же, что был получен Власовым путем отказа от понятия дискретных частиц.
В прошлом веке Максвелл, Больцман и другие ввели понятие молекулярного беспорядка. Это понятие подразумевает симметрию。(“) вследствие усреднения в вероятностном смысле. Очевидно, гипотеза Stosszalilansatz Больцмана является инструментом^ посредством которого молекулярный порядок частиц, сталкивающихся на микроскопическом временном масштабе, асимптотически связывается с молекулярным беспорядком па большом временном масштабе. В то время Бербери ) считал, что распределение частиц в газе всегда молекулярно упорядочено. Он, по-видимому, прав, если рассматривать все явления на микроскопическом уровне. (Очевидно, он не согласен с предположением о микроскопической симметрии функции 力(N).)Ответы на вопросы, поднятые Бербери, состоят в рассмотрении различных временных масштабов явлений, что обсуждалось в главе 3 ).
Отметим, что существует большая разница между микроскопически однородным распределением ) и однородным распределением вероятностей. При микроскопически однородном распределении подразумевается, что частицы в пространстве распределены однородно, как если бы они образовывали континуум в микроскопическом смысле. Флуктуаций в таком распределении нет; к этой категории принадлежит и распределение Власова. С другой стороны, однородное распределение вероятностей подразумевает, что каждая частица распределена с однородной вероятностью. При этом реальное распределение в микроскопический момент времени может быть неравномерно. К этой категории принадлежит молекулярнонеупорядоченное распределение.
Между этими двумя крайними- предположениями: о молекулярном беспорядке и о микроскопически однородном распределении (Власов) —— следует искать разумное
предположение, на котором может быть основана теория заряженных частиц.
Упражнения
В эксперименте, проиллюстрированном на рис. 8.4.1, имеют место соотношения
<Др> = 0, <АрДр> = Np2.
Покажите, что
<Др Др Др> = 0, <(Др Др Др> * Np*
К условию упражнения 1 добавим ограничивающее условие
N—2^N 1.
Вычислите <Др> и <Др Др>. Если появятся затруднения в решении упражнения в общем виде, предположите Л" ^ 3, 4, 5 и т. д.
Теперь каждый может посетить любое место в мире. Предположим, вы обратили внимание на некоторого незнакомца па улице Нью-Йорка 17 марта 1967 г. в 9 ч утра. Позднее один из ваших друзей сообщил, что встретил того же незнакомца в тот же день на улице Вашингтона в 11 ч утра. Вы вполне можете поверить этому сообщению. Другой ваш друг сообщил, что он встретил того же незнакомца в тот же день на улице Лондона в 12 ч утра (по нью-йоркскому времени). Вы верите этому? Если нет, то объясните почему.
ГЛАВА 9
КИНЕТИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ ДЛЯ ИОНИЗОВАННЫХ ГАЗОВ
Общая схема
Как обсуждалось в §§ 8.3 и 8.4, расходимость больц- мановского интеграла столкновений в случае кулоновского взаимодействия означает необоснованность предположений о бинарности столкновений и о молекулярном хаосе. Для устранения расходимости необходимо учитывать взаимодействие между полевыми частицами. Один из способов рассмотрения этого эффекта основан на применении цепочки ББГКИ. Но предположение о временном масштабе, необходимое для получения цепочки, налагает дополнительное ограничение на вид взаимодействия и, вообще говоря, не выполняется, кроме специального случая, приведенного в § 8.5 ).
Поэтому необходимо найти другой путь учета этого эффекта; этот путь должен быть приемлемым при достаточно общем виде взаимодействия. При этом следует помнить, что наши возможности рассмотрения точной динамики взаимодействия ограничиваются задачей двух тел. Поэтому наши усилия должны быть направлены на то, чтобы свести задачу многих тел к суперпозиции задач двух тел.
Предположим, что частица 1 является пробной частицей, и главный интерес для нас представляет ее эволюция во времени. Одну из полевых частиц обозначим индексом 2. Каково воздействие частицы 2 на пробную частицу? Если частица 2 окажется вблизи пробной, то они будут взаимодействовать друг с другом так, как если бы других полевых частиц не существовало, поскольку взаимодействие между ними много сильнее, чем с другими полевыми частицами. Но такое сильное и определенное взаимодействие существует лишь в течение короткого промежутка времени. Частица 2 скоро удалится от пробной частицы и начнет сильно взаимодействовать со своим новым ближайшим соседом, частицей 3. Конечно, частица 2 будет еще продолжать оказывать воздействие на пробную частицу, но поведение частицы 2 почти не зависит от поведения частицы 1, и, следовательно, сила воздействия частицы 2 на частицу 1, как функция времени, изменяется в зависимости от вида взаимодействия между частицами 2 и 3; с точки зрения частицы 1, поведение частицы 2 выглядит случайным. Несмотря на такие флуктуации в поведении частицы 2, в большем масштабе времени ее состояние сохраняется локализованным, поскольку скорость ее конечна. Поэтому среднее значение флуктуирующей силы, вызываемой частицей 2 за* соответствующий период времени, отлично от нуля; частица 2 действует на частицу 1 со слабой, но почти постоянной силой. Такие слабые силы, вследствие большого числа полевых частиц в подобным образом локализованных состояниях, дают в результате силу власовского типа, действующую на частицу 1 (рис. 9.1.1).
Согласно вышеприведенному рассмотрению для силы, действующей на частицу 1 со стороны частицы 2, есть по крайней мере три различных временных масштаба: (1) временной масштаб ближнего взаимодействия между пробной частицей 1 и частицей 2; (2) временной масштаб ближнего взаимодействия между другой полевой частицей и частицей 2; (3) временной масштаб среднего пролета частицы 2. Если все частицы одного и того же сорта, временные масштабы (1) и (2) имеют один и тот же порядок. С другой стороны, если рассматриваемая система состоит из частиц более чем двух сортов, временной масштаб взаимодействия между пробной части-
простеишем случае, когда си-простеишем случае, когда си-Рис. 9.1.1. Полевая частица 2 взаимодействует с находящейся вблизи от нее пробной частицей ? с масштабом времени т; после взаимодействия частица 2 взаимодействует с частицами 3, 4 и т. д. Временной масштаб этих близкодействий тот же, т. Область, где локализована частица 2 в течение длительного периода времени, заштрихована. Сила, действуРис. 9.1.1. Полевая частица 2 взаимодействует с находящейся вблизи от нее пробной частицей ? с масштабом времени т; после взаимодействия частица 2 взаимодействует с частицами 3, 4 и т. д. Временной масштаб этих близкодействий тот же, т. Область, где локализована частица 2 в течение длительного периода времени, заштрихована. Сила, действуненпи (2.4.21) взять зна~ чение V, равное по крайней мере 2, чтобы было возможно описывать ближ~ лее взаимодействие между двумя соседними полевыми частицами в том же временном масштабе, что и ближнее взаимодействие между пробной и полевой частицами. Это условие существенно при усреднении по времени уравнения (2.4.8).Теперь, когда мы уяснили, сколь существенно рассмотрение временных масштабов взаимодейст-ненпи (2.4.21) взять зна~ чение V, равное по крайней мере 2, чтобы было возможно описывать ближ~ лее взаимодействие между двумя соседними полевыми частицами в том же временном масштабе, что и ближнее взаимодействие между пробной и полевой частицами. Это условие существенно при усреднении по времени уравнения (2.4.8).Теперь, когда мы уяснили, сколь существенно рассмотрение временных масштабов взаимодейст-
простеишем случае, когда си-
простеишем случае, когда си-
Рис. 9.1.1. Полевая частица 2 взаимодействует с находящейся вблизи от нее пробной частицей ? с масштабом времени т; после взаимодействия частица 2 взаимодействует с частицами 3, 4 и т. д. Временной масштаб этих близкодействий тот же, т. Область, где локализована частица 2 в течение длительного периода времени, заштрихована. Сила, действу
Рис. 9.1.1. Полевая частица 2 взаимодействует с находящейся вблизи от нее пробной частицей ? с масштабом времени т; после взаимодействия частица 2 взаимодействует с частицами 3, 4 и т. д. Временной масштаб этих близкодействий тот же, т. Область, где локализована частица 2 в течение длительного периода времени, заштрихована. Сила, действу
ненпи (2.4.21) взять зна~ чение V, равное по крайней мере 2, чтобы было возможно описывать ближ~ лее взаимодействие между двумя соседними полевыми частицами в том же временном масштабе, что и ближнее взаимодействие между пробной и полевой частицами. Это условие существенно при усреднении по времени уравнения (2.4.8).
Теперь, когда мы уяснили, сколь существенно рассмотрение временных масштабов взаимодейст-
ненпи (2.4.21) взять зна~ чение V, равное по крайней мере 2, чтобы было возможно описывать ближ~ лее взаимодействие между двумя соседними полевыми частицами в том же временном масштабе, что и ближнее взаимодействие между пробной и полевой частицами. Это условие существенно при усреднении по времени уравнения (2.4.8).
Теперь, когда мы уяснили, сколь существенно рассмотрение временных масштабов взаимодейст-
цей и частицей 2 может отличаться от временного масштаба взаимодействия между частицей 2 и другой пробной частицей; этот последний может зависеть от сорта другой частицы. Наконец, временной масштаб (3) является почти макроскопическим.
Отсюда следует, что в стема состоит из частиц одного сорта, нужно в урав~
ющая на частицу 1 со стороны частицы 2, классифицируется следующим образом: (1) сила в период ближнего взаимодействия частицы 2 с частицей 2; (2) сила в период ближнего взаимодействия частицы 2 с частицами 3, 4 и т. д.; (3) средняя сила за все время пребывания <, частагцы 2 в заштрихованной обла- вия между двумя олижаи-стн.
шими соседними части
цами, последуем порядки величин таких временных масштабов для типичных частиц. Предположим, что полностью ионизованный газ состоит из ионов и электронов. Предположим также, что все ионы одного сорта. Заряд электрона обозначим через ——е, массу ——через те, полное число электронов в системе ——через Ne, заряд ионов ——через 6, массу ——через тТ и полное число ионов ——через М.
В общем случае можно предположить, что
Мы
—Me + Me = О,
т1/тс > 2000.
предполагаем также,
что
(9.1.1)
(9.1.2)
Из соотношения (2) следует, что скорость электрона обычно значительно превышает скорость иона, причем не только тогда, когда газ находится в состоянии теплового равновесия, но и в неравновесном состоянии. Можно легко показать, что в состоянии теплового равновесия выполняется неравенство
срепншт скорость злектрона° 4 公 средняя скорость иона ' ' • •'
Для неравновесного газа ситуация не столь проста. Однако если ускорение электрона и иона вызвано одним и тем же внешним электромагнитным полем, то можно ожидать, что оценка (4) будет справедлива, поскольку в таком поле ускорение иона будет в ^г/е)^те/т^ раз меньше, чем ускорение электрона.
Временной масштаб взаимодействия между двумя ближайшими соседними электронами по порядку величины равен
мё =孔й/3/〈霆〉， (9.1.5)
где пе ——плотность числа электронов, 〈с^〉— средняя скорость электрона. Средняя скорость иона много меньше средней скорости электрона; ион кажется покоящимся, а электрон ——быстро движущимся. Временной масштаб взаимодействия между электроном и ближайшим к нему соседним ионом ——порядка
%/=時 из/。〉， (9.1.6)
где 〈Се〉一 средняя скорость электрона и "【——плотность числа ионов. Так как предполагается, что пт и пе ——величины одного порядка, то имеем
t“ ^ tee・
С другой стороны, временной масштаб взаимодействия между двумя ближайшими соседними ионами — порядка 皿=72 严/©〉，(9.1.7)
(9.1.8)(9.1.8)что много больше, чем 备1 и (или) тее благодаря тому, что 〈4〉< <се>. Итак,
(9.1.8)
(9.1.8)
Ты》tel ^ Рее・
Рис. 9.2.1. Если две частицы г и j являются бли- я^айшими соседями друг друга, то в пространстве, ограниченном двумя сферами радиуса 五订(одна — с центром в г, другая — с центром в J), нет других частиц. Объем этой области равен 9ПК^/4・Рис. 9.2.1. Если две частицы г и j являются бли- я^айшими соседями друг друга, то в пространстве, ограниченном двумя сферами радиуса 五订(одна — с центром в г, другая — с центром в J), нет других частиц. Объем этой области равен 9ПК^/4・V частиц в одно и тоV частиц в одно и тоже время в объеме би обозначается через wv(8v). Тогдаже время в объеме би обозначается через wv(8v). Тогдаимеемимеем
Рис. 9.2.1. Если две частицы г и j являются бли- я^айшими соседями друг друга, то в пространстве, ограниченном двумя сферами радиуса 五订(одна — с центром в г, другая — с центром в J), нет других частиц. Объем этой области равен 9ПК^/4・
Рис. 9.2.1. Если две частицы г и j являются бли- я^айшими соседями друг друга, то в пространстве, ограниченном двумя сферами радиуса 五订(одна — с центром в г, другая — с центром в J), нет других частиц. Объем этой области равен 9ПК^/4・
V частиц в одно и то
V частиц в одно и то
же время в объеме би обозначается через wv(8v). Тогда
же время в объеме би обозначается через wv(8v). Тогда
имеем
имеем
ВЕРОЯТНОСТЬ ОКАЗАТЬСЯ БЛИЖАЙШИМИ ООСВДЯМИ 18]
§ 9.2. Вероятность того, что две частицыокажутся ближайшими соседями
Как и в § 9.1, предполагаем, что две ближайшие соседние частицы взаимодействуют друг с другом по схеме больцмановских бинарных столкновений, поэтому нужно ввести вероятность того, что две выделенные частицы 力 и j окажутся ближайшими соседями (рис. 9.2.1).
Если N частиц, составляющих систему, равновероятно распределены в сосуде, то вероятность того, что ни одна частица не появится в области объема и, дается
выражением
妙(u) = ехp (一孔少), ть = N/V.
(9.2.1)
Это доказывается следующим образом. Вероятность появления одной частицы в элементарном объеме 6у равна 6“/匕 Следовательно, вероятное число частиц в объеме 3。дается соотношением где суммирование вдет по всем частицам.
Вероятность появления любых
N
2 ”队(3力=孔 6?2.(9.2.2)
v=i
Вероятность появления в объеме Еи любого (пе равного нулю) числа частиц дается выражением
2 队(б。)，
V=1
а вероятность того, что в би не окажется ни одной
частицы, обозначается через 队(би); тогда
wQ (3》)+ w 访*(")=1.(9.2.3)
V=1
Так как шу(6р) пропорциональна (6^)v прп 6q стремящемся к нулю *), то соотношение (2) дает
lim % = пби, lim wv 〜(")1
6。-*06。-0
Следовательно, согласно уравнению (3), имеем
^о(бР)+ n，8v = 1 (би f 0).(923)'
Очевидно, вероятность ш0(р + 6р) того, что в объеме и + + би пе окажется ни одпой частицы, равна произведению ш0(р) и 〃о(6и):
zg(u + би) = q(u)仇(би).(9.2.4)
Разлагая Мо(и + би) в ряд Тейлора п учитывая уравнение (3), получим из уравнения (4)
dwn (у)
%⑺" = %⑴(1 -孔6办
или
Интегрируя последнее уравнение и считая zz；o(O) = 1, получим
ir(u) = ехр (—加.(9.2.5)
Вероятность 恭订 того, что конкретная частица / будет ближайшим соседом частицы Z, равна вероятности отсутствия какой-либо другой частицы в сфере с центром в % и радиусом Rij == |匕一г/; объем такой сферы равен
*) Обозначим через Pi вероятность нахождения частицы i в объеме 5и. Тогда, например, “з дается выражением
N N N
% = n X £ Р円匕□ G 一 匕)，％ 声»，7，”； i j kI
% = 4 = 4 =…=尸 (％ V / V 3・
Следовательно, “з 〜(6。/卩)',если 6。/卩一＞ 0. В общем случае 2〃v 〜(6〃/P)v.
(4/3)几五舍.Следовательно,
Wij = exp ( — 4 冗尺凯/3).
Вероятность W^ того, что две частицы i и / являются ближайшими соседями,— это вероятность того, что ни одна другая частица не попадает в ту часть пространства, которая, как показано на рис. 9.2.1, вырезается двумя сферами радиуса 笈仃：одна ——с центром в i, а другая —— с центром в у. Объем такой области равен (9/4)冗R舍. Следовательно,
卜九=ехр (— -J 冗碣/г). (9.2.6)
В приведенном анализе полностью игнорировались как взаимодействие между частицами, так и конечность скорости частицы. Предполагалось, что событие сближения частицы z с частицей / определяется вероятностью, а не динамикой. Поэтому полученный результат имеет физический смысл только в приближении полного хаоса частиц, что соответствует наблюдению в бесконечно большом временном масштабе. (Применяется гипотеза равных априорных вероятностей, которая считается безусловно справедливой.) Однако, как станет ясно далее, данный результат используется лишь для качественной классификации взаимодействий между частицами, которая, в свою очередь, понадобится для классификации приближенных методов рассмотрения задач многих тел. Введенная выше вероятность W^ дает возможность свести задачу многих тел к суперпозиции задач двух тел и, кроме того, определяет возможный приближенный метод решения каждой из задач двух тел.
Разбиение всех частиц на пары блиясайших соседей
Рассмотрим сначала три частицы i, j н к. Опре-
деляемая уравнением (2.4.4) функция распределения 歹£仪(X厶 X力 X* i) разделяется на части следующим образом:
川з) (〃％)=歹歌(爲 Xj, X" 0，(9.3.1)
网〃〃乃)-(1-叩灯)(1 一 WihKi - WQZKjk),
方⑺/场)=W^l - w^a -%川)*3)(泌)，
歹(技/力=(1 — W^Wih{l 一 WQF⑶(ijk),
歹("狄)=(1 一取队1 - WM^\ijk\
(9 3 2)
方⑺/流)=取MM1 一吗Q户3)(淤)，…
FUk/jk) = (1 -忆»W讯W点⑶⑴к),?⑴/於)=Йу 1 - WQWF)(泌),F{ij/ik/jk) = WijWihWjkF^(ijk').
Можно показать, что сумма членов в правых частях является самой функцией 歹⑶(讶及).Отметим следующее: если Wij = 1, то другие Wt и (или) W^ обращаются в нуль. Если любая из других функций 愿 и И^ равна единице, то W^ обращается в нуль. Следовательно, предполагается, что
W^Wik《1,еслик *
(9.3.3) W^Wjh < 1,еслик^ i.
Учитывая неравенства (3), сводим систему (2) к следующей:
凤〃 "к) = (1 — w^-W^-W^F^Hijkl
ь⑴/加)=呼尸3)(泌)，
(9.3.4) 网泳〃•)= WikF^(ijkl
F^jk) = WjhFwWt
Отсюда очевидно следует
歹(〃/7k) + F^/k) + 歹(就〃)+ FWjk) ^F^(ijk\ (9.3.5)
Представляемые этими функциями F соотношения между i, 7 и Л схематически изображены на рис. 9.3.1. Рассматривая пять частиц Z, /,加 I, т, получим
Р^П/кЛ/т)=
=(1 — Wdj — Wik — Wn — Wim — Wjh — Wji~ Wjm —
-必—恥,| — Wlm + W^J + %%m
〃(%〃k/〃加)=用虱1 一 明,-Wkm - WtJF^Ujklm),
3223
"/ I「
八/ \\1
/I/ *I/
<3—<56—68
/2/3/
Рис. 9.3.1. Частица 1 является пробной, а частицы 2 л 3 полевые. Возможны 4 типа их расположения относительно друг друга: а) все три частицы удалены друг от друга; б) частицы z и 2 являются ближайшими соседями; в) частицы I и 5 являются ближайшими соседями； а) частицы 2 и 3 являются ближайшими соседями.Рис. 9.3.1. Частица 1 является пробной, а частицы 2 л 3 полевые. Возможны 4 типа их расположения относительно друг друга: а) все три частицы удалены друг от друга; б) частицы z и 2 являются ближайшими соседями; в) частицы I и 5 являются ближайшими соседями； а) частицы 2 и 3 являются ближайшими соседями.б)б)г)
Рис. 9.3.1. Частица 1 является пробной, а частицы 2 л 3 полевые. Возможны 4 типа их расположения относительно друг друга: а) все три частицы удалены друг от друга; б) частицы z и 2 являются ближайшими соседями; в) частицы I и 5 являются ближайшими соседями； а) частицы 2 и 3 являются ближайшими соседями.
Рис. 9.3.1. Частица 1 является пробной, а частицы 2 л 3 полевые. Возможны 4 типа их расположения относительно друг друга: а) все три частицы удалены друг от друга; б) частицы z и 2 являются ближайшими соседями; в) частицы I и 5 являются ближайшими соседями； а) частицы 2 и 3 являются ближайшими соседями.
Рнс. 9.3.2. Частица 1 является пробной, частицы 2, 3, 4, 5 полевые, из них частицы 2 и 3 — ионы, а 4 и 5 — электроны. Возмояшы 26 типов их расположения относительно друг друга. Сплошные короткие линии соединяют ближайших соседей, а длинными штриховыми линиями соединены удаленные друг от друга частицы. Цифры в скобках указывают число одинаковых случаев.
(всего десять подобных функций),
F{ij/kl/m) = W^^kiiklm) (9.3.6) (всего пятнадцать подобных функций).
Отметим, что здесь величина WijWki может быть порядка единицы. Имеет место соотношение
FU/j/k/l/m) + F{ij/k/l/m) +.. . = F^\i]klmY (9.3.7) На рис. 9.3.2 проиллюстрированы связи между этими частицами, представленные функциями F.
Модель (приближенная схема) I
Общая схема. Первая модель представляет собой систему, состоящую из одинаковых частиц и однородного фона ——электрического заряда, компенсирующего полный заряд частиц. Данная модель позволяет продемонстрировать общий ход рассуждений, типичный для нашей схемы. Слишком опрометчиво предполагать, что эта модель описывает систему электронов или ионов в реальной плазме (ионизованный газ). Нужно исследовать модель II, которая приводится в следующем параграфе, чтобы точнее оцепить влияние возможных взаимодействий па эволюцию как электронного, так и ионного распределений. Взаимодействия пробной частицы (конкретной непрерывно наблюдаемой частицы) с полевыми частицами могут относиться к одному из трех типов:
Сильное взаимодействие с ближайшей соседней частицей.
Взаимодействие с частицами, которые пе являются ближайшими соседями, но достаточно близки к пробной; у каждой из таких полевых частиц есть своя собственная ближайшая соседняя частица, со стороны которой на пробную частицу действует флуктуирующая сила.
Взаимодействие с удаленными полевыми частицами. Сила, действующая со стороны каждой полевой частицы, тривиальна, но сумма их дает в результате макроскопическую силу власовского типа.
Чтобы отразить эти эффекты в кинетическом уравнении, нужно рассмотреть подсистемы, состоящие из не
менее чем трех частиц, причем эволюция трех частиц должна происходить в одном п том же временном масштабе. В качестве исходного уравнения вместо (2.4.10) возьмем (2.4.19) и уравнение эволюции для 耳糅(Е,Х?・, Хм Z)：
+ e [(歹U + a/為"懐(&, x?.,爲;方)dXjdXh = 0,
(9.4.1)
0/ 十 /n d〃 十 m 办j1 ?" dxh 十
+ (歹仃+ 歹/^ + (歹外+ 歹用).^ +
+ (夕翫+夕，/^]尸微(爲，匕，X丽=0. (9.4.2)
Уравнение (1) является уравнением в частных производных с независимыми переменными Х^ и 力.Можно, вообще говоря, определить 歹?)(Х^;方)вдоль некоторой траектории Х^ за период времени от ^ до i + s. Если траектория дается соотношением
X； = X〃(s)=羽 + 厶畐(s), AXe(O) = 0,(9.4.3)
то вдоль траектории
F^ = F^ (Xi,t + sl(9.4.4)
Отметим, что эта траектория не обязательно совпадает с действительной траекторией частицы I. Пока выполняется соотношение АХ^О) = 0, можно взять в качестве X； произвольную функцию s. Мы усредняем уравнение (1), интегрируя его по s от 0 до т вдоль траекторий, определенных соотношениями
X» = рг,厂储 pi = Р"
—=—(траектория 0).(9.4.5)
Отныне траектории, определяемые уравнениями (5), будут называться траекториями класса 0, и мы предпо-
ттооложим, что t много меньше макроскопического временного масштаба и много больше временного масштаба взаимодействия между двумя соседними частицами. Усреднение первых двух членов уравнения (1) приводит к выражению
т
т
о
о
^ + ^*^ ^l)(^； t + s) ds =
= 4j^”)(H； t + s) ds =о
^" + ^'U )〈箱"〉。(интегрирование вдоль 0), (9.4.6)
где
<F^\ = ^^F^(Xit + s)dSо<F^\ = ^^F^(Xit + s)dSо(интегрирование вдоль 0).(интегрирование вдоль 0).(9.4.7)(9.4.7)
<F^\ = ^^F^(Xit + s)dSо
<F^\ = ^^F^(Xit + s)dSо
(интегрирование вдоль 0).
(интегрирование вдоль 0).
(9.4.7)
(9.4.7)
При том же усреднении интегральный член в уравнении (1) дает
〈/〉。=^(雷工十夕；Jx
X 乌网丸(M, X；, Х[;力 + s) dXjdxJ ds. (9.4.8)
По тем же самым причинам, по которым при выводе уравнения Больцмана в § 4.3 использовалась гипотеза равных априорных вероятностей, знак ,£^рзнааает, что суммирование должно производиться по [N — 1)/2 парам частиц (см. также § 2.4). Отметим, что, вследствие усреднения по времени, каждое слагаемое в подынтегральном выражении в (8) не может быть разложено на две части, каждая из которых относилась бы к одной полевой частице. Это связано с тем, что взаимодействие между тремя частицами 厶 / и 及 в одном временном масштабе нелинейно. Уравнение эволюции для 〈歹!"〉。 имеет
видвид(^ +景訂卜川% +〈心=。・(^ +景訂卜川% +〈心=。・(9.4.9)(9.4.9)
вид
вид
(^ +景訂卜川% +〈心=。・
(^ +景訂卜川% +〈心=。・
(9.4.9)
(9.4.9)
Чтобы получить функцию F^k, входящую в выражение 〈J，o, нужно рассмотреть уравнение (2), т. е. за^ дачу трех тел. Решение должно быть дано вдоль траекторий 0, определяемых уравнениями (5). Одиако в дальнейшем методом последовательных приближений мы получаем частные решения уравнения (2), проинтегрированные вдоль нескольких различных классов траекторий частиц 厶 / и к. Позднее различия менаду результатами, связанные с выбором разных траекторий, устраняются при рассмотрении соответствующих представлений функций распределения в фазовом пространстве. Чтобы определить F^ в интервале времени между t к t + s, перепишем уравнение (2) следующим образом:
+ ^^ + (w + "J* + (吟 +歹入味 +
+ (夕Z + ① G • Л| 尸歌(元,爲,х； i + s) = 0. (9.4.10)
инвариантна, если (10) определяемых характе-инвариантна, если (10) определяемых характе-Как легко видеть, функция 歹!旦 интегрируется вдоль траекторий, ристическими уравнениями
инвариантна, если (10) определяемых характе-
инвариантна, если (10) определяемых характе-
此一曲勺一叱唾公歹夕歹+ + +歹歹歹一一 一一 -萼，>>此一曲勺一叱唾公歹夕歹+ + +歹歹歹一一 一一 -萼，>>(9.4.11)(9.4.11)
此一曲勺一叱唾公歹夕歹+ + +歹歹歹一一 一一 -萼，>>
此一曲勺一叱唾公歹夕歹+ + +歹歹歹一一 一一 -萼，>>
(9.4.11)
(9.4.11)
Так как решбпде уравнений (11)Так как решбпде уравнений (11)丄.丄представляет собой
Так как решбпде уравнений (11)
Так как решбпде уравнений (11)
проблему трех тел, мы сводим эту задачу к задачам двух
тел, которые, при различных обстоятельствах, являются
приближениями к задаче трех тел. Для каждого приближенного случая мы берем вместо уравнений (11) различные системы дифференциальных уравнений. Для каждого случая начальные условия имеют вид
爲=Х^, Х$ = Х“ Х& = Х^ (при s = 0). (9.4.12)
Каждая из различных систем дифференциальных уравнений, заменяющих уравнение (11), определяет свое множество траекторий. Вдоль этих траекторий F雜 больше не является инвариантом: она зависит от s. В каждом случае 网翼 получается путем решения уравнения (10) различными методами последовательных приближений. Чтобы ввести вместо уравнений (11) соответствующие системы дифференциальных уравнений, рассмотрим выражение歹縊 в форме (9.3.5), считая, что Wn обозначает вероятность частицам Z и / быть ближайшими соседями, например,歹(%/〃友)есть функция совместного распределения частиц, среди которых ни одна, вероятно, не является ближайшим соседом других частиц. Для решения уравнения (10) и нахождения функции 歹⑻((/友)， т. е. 歹獵(Х〃，Xj, X"方), появляющейся в уравнениях (9.3.4) и (9.3.5), у нас есть четыре различных приближенных метода. Например, для вычисления функции 必з)(炉從，содержащейся в 歹(力/〃友)，мы можем предположить, что взаимодействия между тремя частицами всегда являются слабыми, и, следовательно, можно в нулевом приближении считать, что все три частицы движутся свободно. С другой стороны, ДЛЯ функции 歹⑶(讶出 в F(ij/k) существенно предположить, что взаимодействие между частицами % и j является сильным, хотя с частицей к эти две частицы взаимодействуют только слабо. При вычислении функции F^\ijk') в четырех различных случаях (соответственно четырьмя различными методами) результаты представляются в следующем виде:
I.必з)(〃％)= F(i/j/k^+FU/j/k^
(9.4.13)(9.4.13).歹⑶(力%)=少(方"從(°)+耳⑵〃С)⑴+...
(9.4.13)
(9.4.13)
1Г.必 3)(泌)=方励//)(。)+耳("С〃)⑴
.耳⑶(〃用 MW方//)") +方(〃/尸 +...
Определив функции F^djk') для четырех различных случаев, подставляем каждое решение на соответствующее ему место в уравнении (9.3.4). Таким образом, для функции 歹⑶(讶宓)，представлепноп выражением (9.3.5), получаем
尸⑶⑴ ％)= 7?(з)(〃％)(。)+ 必з)(〃％)⑴(9.4.14)
где
F⑶⑴%)(。)= (1 -吵"—Wik - W^Fd/i/k)^ +
+ W^FUj/7^ + WikF(ik/j^ + 叱小伪")(。)，(9.4.15)
歹(3)(泳)⑴=(1-w^-W^-W^Fd/j/k)^ +
+ W^^ij/kY^ + WihWjY + WjhF(i/jk) и т. д. (9.4.16)
На следующем этапе подставляем функцию F^}{tjk) в форме (14) в интегральный член уравнения (1):
几=J f f (歹订•+歹3总耳⑶5%) dXjdXh =
=/(。)+j⑴ + j⑶ + …，(9.4.17)
где член J(°) получается при подстановке функции *)(〃％)(。)в виде (15):
心 = ?J卜"% +夕/盡月⑶(〃%严岡а爲=
=&)+底)+ J吵 + 恵)，(9.4.18) 壮=审打(歹戸歹QX
X ^ (1 — W^ - W访一 W^ F (i/j/k^dX^ (9.4.19) 壮=?J"歹#歹济)味叫川⑴"£严阳GJ (9.4.20) 野=二 J 卜•时 + ^n>^WikF (ik/j^dX^ (9.4.21) j①=孑］卜歹幻+窜请).^ W/Fgljk)⑥dX5dXh. (9.4.22)
Аналогично,
丿⑴=J^ + J^ + J^ +J^\ (9.4.23) где
X 0 -叩仃-wih - WG 'F("j〃G⑴dXjdXh, (9.4.24) d = § N(% +歹/詣吗ь⑴®⑴阳通，(9.4.25) JW = § j 卜夕切 + 歹/ ^ WikF {ik/j^dX^ (9.4.26) ^^Sff^ + 窮/ ^ W/F (i/jk^dX^ (9.4.27) и T. Д.
Усреднение J по времени на интервале от ^ до ^ + т можно произвести несколькими способами. В уравнении (8) величина Хг зависит от s, в то время как X/ и X瓦 остаются за время усреднения инвариантами. Если выбрать для X；, Х；0 Xk другой класс функций от s, то усреднение дает другой результат. В дальнейшем мы получим четыре различных решения для 噓(Х；,Х；・Х, 方 + s), интегрируя уравнение (10) вдоль четырех классов траекторий. Эти траектории отличаются также от траекторий, определяемых уравнениями (5). Результат усреднения J и (или) части J вдоль одного класса траекторий отличается от результата, получающегося при усреднении вдоль другого класса траекторий. Одпако далее будет показано, что при соответствующих операциях усреднения по одинаковым частицам (при построении функци11 распределения в фазовых пространствах) устраняются различия между результатами, вызванные различиями между классами траекторий, вдоль которых производится усреднение по времени. В дальнейшем мы получим для функции F⑶ четыре различных функции от s, отвечающих соответственно четырем различным разпоже- ниям (13).
Уравнения для подсистем. Рассмотри?^ функцию 户⑶«/к) в выражениях (9.3.4) для FU/j/k), 尸(〃・"С),ь(/〃)m尸(〃汴)•
функция F{3\ijk） в выражении для F{i/j/k）. В соответствии с （13） функция 歹（〃厂//; t+ s）^ получается из F{i/j/k； £ + s）（Q путем замены X” X；, Х^ 広力 на X% Xj,； Xh в［力 + s соответственно. Здесь, как будет ниже определено, величины Х^, Xj и Xh являются функциями s. Предполагается, что функция 歹（％7/7"‘；力+ s）（°）удовлетворяет уравнению
（3丄Р: 3丄p；^ V
I — ，— —|一 к I — • ■・・m ・■，，［——，— • —I ・―，卜■ i ・—•・i・'・f I \<
I齿；［m Jr； 丁 m @г；丿
义方（，/"我；方 + s）（°）= 0, （9.4.28）
а функции 尸（力7/7乃‘；力+ s）⑷ для pi = 1, 2, ... удовлетворяют уравнениям
（д . Pi 8 ［ Pj d I Р^ 3 \、
（JT +二祝+茫•鬲+ /•诚■丿耳（〃〃忙t + S严=
=_I （歹订+ 9r氾）•二+ （等% +歹浊）二+
L如明
+ （歹^十夕Q •乌 b ^Ifll^. t + s）⑴T）, （9.4.29）
卩=1, 2, 3, • •
где Aij является функцией от 厂；——厂；, а не от q — rh и т. д. С учетом соотношения
尸（尸"7/；力+S）（。）=
=网产；力+ s）（°/『； t + sY^Fikr}方+ s）（。）（9.4.30）
из уравнения （28） получим
夕+"卜忆+…。，
长 + g号「0"；+严=0，（9431）
Интегрируя уравнения ленных уравнениямиИнтегрируя уравнения ленных уравнениями(31) вдоль траекторий,(31) вдоль траекторий,3 =左ds 〃2 'Pi = Pi,г； (0)=心，г-(0)=巧，3 =左ds 〃2 'Pi = Pi,г； (0)=心，г-(0)=巧，若=显 空=风ds — m、 ds — m，Pj = P 力 Pk = P/t,r； (0) = 17t (траектория I),若=显 空=风ds — m、 ds — m，Pj = P 力 Pk = P/t,r； (0) = 17t (траектория I),опреде-(9.4.32)(9.4.33)опреде-(9.4.32)(9.4.33)
Интегрируя уравнения ленных уравнениями
Интегрируя уравнения ленных уравнениями
(31) вдоль траекторий,
(31) вдоль траекторий,
3 =左
ds 〃2 '
Pi = Pi,
г； (0)=心，г-(0)=巧，
3 =左
ds 〃2 '
Pi = Pi,
г； (0)=心，г-(0)=巧，
若=显 空=风
ds — m、 ds — m，
Pj = P 力 Pk = P/t,
r； (0) = 17t (траектория I),
若=显 空=风
ds — m、 ds — m，
Pj = P 力 Pk = P/t,
r； (0) = 17t (траектория I),
опреде-
(9.4.32)
(9.4.33)
опреде-
(9.4.32)
(9.4.33)
имеем
FW;t+s)B=F也力⑻，
〃(『； t + s^=FQ;力⑻，(9.4.34)
歹(〃；t+s)^=F(k;力叫
Следующий этап состоит в получении функции F{i/j/k] t + s)(1) путем решения уравнения (29) для 卩 =1. Подставляя соотношения (34) в правую часть уравнения (29), имеем
+歹氾）県十（若+以・^ +
+ (夕/ + 九)•盍]F (" W;力 + s)(。). (9.4.35)
Так как член в правой части уже известен, мы можем получить функцию F^Jf/k'^ t + s)(1) вдоль траекторий I, определенных уравнениями (32) и (33). Чтобы получить функцию FWf /К; t + sY^ для ц > 1, можно повторить ту же самую процедуру. Очевидно,
尸（*/7加；力+ s»）= 0,尸（*/7加；力+ s»）= 0,(9.4.36)(9.4.36)
尸（*/7加；力+ s»）= 0,
尸（*/7加；力+ s»）= 0,
(9.4.36)
(9.4.36)
если 卩# 0, s = 0, поскольку мы предполагаем, что
风""月力(°)=必‘)(工；力耳⑷(及；力ь⑴(Х"办 (9.4.37)
Функция 必з)(〃％) 6 выражении для Fdj/k)三 曰叩力产(з)(炉加).в этом случае частицы i и / находятся в области близкодействия. Беря второе разложение функции 歹⑶(〃％) (13) и определяя функцию F^i'/k'} t + s)(0),
получаем
I _:. ^■ 一,I - ， - - • 1 . ■，- ." [ - —' " • I -]一 ■， •' ' -]—
\ds I ^ 勿；〃z Jr； " M
+ 次公^ + 歹乐^ "仃‘/"" + S严=0 (9.4.38)
и
福十茄・^｛十7#・3m十7n・石匕十
+①嗚E喘修仔仗+严=
5r氾.力+歹沦.尸+
+ (歹踐 + 夕 Q •樹 FWrMt + 严I (9.4.39)
вдоль тра-вдоль тра-卩==1, 2, 3, •・•
вдоль тра-
вдоль тра-
，pi一个，曳公 一一 = 现一曲，勺肃，pi一个，曳公 一一 = 现一曲，勺肃歹切歹切Эти уравнения последовательно интегрируются екторий II, определенных уравнениями
，pi一个，曳公 一一 = 现一曲，勺肃
，pi一个，曳公 一一 = 现一曲，勺肃
歹切
歹切
=歹^(9.4.40)
^ =嵩 Pl = P/t (траектории II)
с начальными условиями при s = 0 в виде
гг —彩，Рг ~ Рг?
门=巧，Pj = Pj,(9.4.41)
r九=г»
Можно предположить, что
FUfj7kr^ t+sY^=FUrjr\ 方+ s)⑻歹(/；方+s)(°),(9.4.42)
где функции 歹(仃'；方+ s)(°) и 歹(/; t + s)(0) являются
решениями уравнений
(9.4.43)(9.4.43)+ "3 ^7 + *"表)'+ S)(°)==0
(9.4.43)
(9.4.43)
ии卧¥京）歹們宀产）=0,卧¥京）歹們宀产）=0,(9.4.44)(9.4.44)
и
и
卧¥京）歹們宀产）=0,
卧¥京）歹們宀产）=0,
(9.4.44)
(9.4.44)
опреде-опреде-где интегрирование ведется вдоль траекторий И,
опреде-
опреде-
ленных уравнениями (40) и (41). Так как мы предполагаем, что
(9.4.45)(9.4.45)歹(产厂/А/;力+ s)(Q=0,卩 >0, при s = 0, то легко видеть, что
(9.4.45)
(9.4.45)
歹（厅;耳（/;歹（厅;耳（/;力+ s）（°）=歹⑴5）力+ s）（°）=歹⑴5）(9.4.46)(9.4.46)
歹（厅;
耳（/;
歹（厅;
耳（/;
力+ s）（°）=歹⑴5）
力+ s）（°）=歹⑴5）
(9.4.46)
(9.4.46)
(43) есть решение(43) есть решениезадачи двухзадачи двухпри s = О.
(43) есть решение
(43) есть решение
задачи двух
задачи двух
Решение уравнения
тел; мы можем следовать методу Больцмана, принимая гипотезу Stosszahlansatz в качестве начального условия бинарного столкновения. Конечно, следует ожидать, что при увеличении расстояния между двумя частицами Z и j решение потеряет смысл. Однако при этом Wa стремится к нулю, и, следовательно, такие бессмысленные решения не влияют на окончательное выражение для функции FUj/k).
Функция 歹⑶(炉及)с выражении для F(ik/j)三 WikF{^ {ijk), С помощью простой замены индексов этот случай сводится к предыдущему случаю для функции 歹(Zj/加)； при этом траектории, соответствующие траекториям П, обозначаются через 1Г.
Функция F{3}(ijk) в выражении для F(i/jk)三 ^ Wj^F^^ijk). Траектории, вдоль которых производятся операции усреднения, назовем траекториями III. Рассмотрение аналогично рассмотрению двух предыдущих случаев с учетом сильного взаимодействия между частицами у и Л.
Рассматривая функцию 歹⑶(х；, X；, Х^;力 + s), полученную выше для четырех случаев, можно усреднить по времени величины J$), J^\ J^ и 丿驴 вдоль траекторий I, II, 1Г и III соответственно.
Усреднение. С учетом соотношений (19), (30) и (37) получаем
т
6% = W f(歹力.十歹；(4一忆,一呼泣一吵加х
%F(if;t + s)⑹ F (『；t + s)⑹ F W； i + s 严 dX-dXi ds =
=-^〈J (4 - Wi} - W访 一 W^ ^^ + 歹用少⑴(/) X
X方⑴(回・^方⑴©dXjdX:г
=("T)( j(1 一%)歹疗⑴⑺阳点方⑴⑴〉1.
(9.4.47)
В вышеприведенном выражении £沌 означает сумму по всевозможным наборам пар, составленным из всех на- стиц^ за исключением частицы 厶 следовательно, число пар равно (N—1)/2. После усреднения по времени функция распределения становится симметричной (гипотеза равных априорных вероятностей). Предполагается также, что величина
wj JWM⑴⑺耳⑴/)dX^Xk
пренебрежимо мала по сравнению с другими членами. Член 〈/1°)〉工 соответствует самосогласованному полю Власова. С необходимыми мерами предосторожности, подобными тем, которые предпринимались при выводе уравнения (47), получим
<40)>П = 号1〈J歹引%毒必2)(炉)喝)口 +
+ 中(^^ ® dXk^F^ ⑴)/賜)□ s 、1(9448)
〈呪匸=占^對^^^F^ (流)d爲〉匸+
+ 号1好歹产⑴(7)阳.* "⑵(论)WikdX^iir
(9.4.49)
Заметим, что J 歹⑴(X) dX = 1 и в выражении (48) 丨歹可1》1a访1, а в выражении (49) |歹仃|《|歹源|・По- атому в каждом из них можно пренебречь вторым членом, так что сумма этих выражений имеет вид
<^20)>и +〈/8)〉п‘ =
=(N — 1)〈J 歹严и 矗 F^ (⑺ dX,n. (9.4.50)
В дальнейшем опа будет преобразована в интеграл столкновений Больцмана. Сходимость этого выражения обеспечивается здесь наличием W^, Кроме того, имеем 5°)〉m = 注1〈m外 +歹说)吗歹⑶的阳齒，口［х x徐尸⑴⑴〉"(9.4.51)
Это выражение похоже па〈J”. Различие состоит в том, что〈/，)〉ш включает в себя Wjh. Поэтому
<Л0)>1п<<40)>1.(9.4.52)
Следовательно, вкладом (51) можно пренебречь. Усреднение выражений (24), (25), (26) и (27) для /(')производится тем же самым образом, что и усреднение соответствующих членов J(°)・ Траектории, вдоль которых эти функции усредняются,——это те же траектории, вдоль которых усредняются соответствующие члены /(0).
Член 〈/，)〉］：. В этом приближении существуют корреляции между тремя частицами i, у и Л. Однако легко видеть, что частицы эти удалены друг от друга. Соглас-
ыо уравнению （35） имеем
+ （次訂+歹+ （次訂+歹ь（，/〃忙方+ s严 ds.（9.4.53）ь（，/〃忙方+ s严 ds.（9.4.53）
+ （次訂+歹
+ （次訂+歹
ь（，/〃忙方+ s严 ds.（9.4.53）
ь（，/〃忙方+ s严 ds.（9.4.53）
Так как
方（尸〃7/;方+ s）（°）=方⑴（方；力方⑴（7;力ь⑷（用t）
и те траектории, вдоль которых производится усреднение, взаимно независимы, в результате суммирования Е;在 влияние этих частиц взаимно уничтожается. Следовательно, данным членом мы пренебрегаем.
Сумма членов 〈」6"〉口 +〈/£）〉］：『， Легко показать, что интегрирование уравнения （39） и аналогичного уравнения для функции 歹（*47广；％ + s）3） вдоль траекторий II и 1Г приводит к следующему выражению:
〈jf）〉n +〈/+）〉工「=
00（ff 歹％•川2）（方，；t + s）x
0
0
J J 3Pj 丁 Ар»
X 耳⑴（勿；t + s） ds dX-dXi ds —
^•Д w⑦（仃/; t + s）X^•Д w⑦（仃/; t + s）X
^•Д w⑦（仃/; t + s）X
^•Д w⑦（仃/; t + s）X
xF^^k^t^s^dsdX^dXi 曲.（9.4.54）
В вышеприведенном выражении первый член в правой части описывает диффузионный эффект в пространстве импульсов частиц i, а второй член ——трение. Существенной чертой этих членов является то, что длительность корреляции определяется величиной W^ вероятностью сильного взаимодействия между X-立 и у~й частицами.
Член {J^}m- Аналогичным способом получаем Т рS
〈冷〉m = 一号1胃IJ鳴叫1 J歹:喘X
X 歹⑵（/%';方+ s）歹⑴（匕 t+s）dsdXfjdXi ds —
X Л 歹⑶（/%'； 方+s）歹⑴（订方 + s） ds dX^dXi ds. （9.4.55）
Действительно, между〈底〉口，〈/£〉口，и〈/?）〉口工 нет существенного различия. Суммируя все эти члены, можно записать
V Г
〈j⑴〉=-_J（N—7/ ff歹）.第必义
0 Lz
X f乡噎•乌耳⑶（厅；t + S）方⑴（我；方+ s） ds dX^dX^ ds -
0 叫
X 歹⑵（仔；t + s）耳⑴（火；t + s） ds dX^dX^ ds. （9.4.56）
Отметим при этом, что мы пренебрегли различием между траекториями, на которых рассматривались операции усреднения. Однако, как показано ниже, на окончательном результате это различие не отражается. Выражение （56） имеет вид столкновительного оператора Фоккера — Планка.
До сих пор различные функции, составляющие J, усреднялись вдоль различных классов траекторий. Однако в общем случае уравнение （9） следует усреднять по конкретному классу траекторий 0, определяемых уравне-
ниями （5）. Нужно показать, что различие между этими классами траекторий не влияет на окончательный результат. Для этой цели сравним, например, результаты усреднения функции 歹⑴（Xt； t） вдоль различных классов траекторий. Согласно уравнению （2.3.10） имеем
N
歹⑴（芻力）=J 0（N）n dXj = 6 （爲一 x『«））・（9457）
Здесь функция X* （办 довольно сложно зависит от времени вследствие взаимодействия частицы i с другими （N — 1） частицами.
Сначала усредним функцию 歹（幻 вдоль траекторий, определяемых уравнениями （5）, за период времени от t до 方上T:
〈网1）（爲;Х）〉。 = £ j ь⑴（X:;方 + s）曲，（9.4.58） о
где X； = X% + %； （s）・ Эти траектории, согласно уравнениям （5）, не зависят от других частип. При рассмотрении во временном масштабе t ни одна из этих траекторий не совпадает с траекторией X* （力 + s）・ Следовательно, 〈歹“）（Xi；力〉° распространяется на довольно широкую область Х「Ситуация подобна той, которая показана на рис. 4.3.2, а в связи с Л. Там сплошная кривая есть точная траектория Х*（力+ s）, на которой задана функция 歹а）（Х;力；штриховые прямые — это 0-траектории, вдоль которых производится усреднение 〈 >0. Для иллюстрации рассматриваемой ситуации на рис. 4.3.2, 6 величины
Л,〈厶〉0,〈厶〉1
должны быть заменены соответственно на
必 1）,〈歹и）〉。，〈歹⑴〉（вдоль траектории）.
Может существовать группа V» частиц &,为,...,для которых
（殴）（x;聆。г噌仆⑺〉。〜..
Они локализованы в узкой области значений X. Опреде-
лим〈歹⑴（X;力）〉° с помощью соотношения
N〈WD（X;力）〉o = 4〈WD（X;方）〉。=
=虫，〈方伊（X;方）〉0 + 巩〃〈耳伊（X;方》+ ..., （9459）
V" + ”〃〃 + • • • = N.（9.4.60）
В отличие от 〈7（Х"）〉0 функция〈MMX; i）＞0 распределена более равномерно по всей области X.
Можно также усреднять 歹?）（Х〃；力）вдоль другого набора траекторий:
X； = X； + W（s）「
который определяется, папример, уравнениями （40）. Тогда
〈RD （芻 ％）〉口 = ； J 歹？）（X；;力 + s） ds. （9.4.61） о
Согласно уравнениям （40） подобные траектории определяются с учетом взаимодействия ближайших соседних частиц. Поэтому па временном масштабе т траектория совпадает с Х^ （方 + s）. Следовательно, как показано на рис. 4.3.2 *）, функция {F^ （Xi； i）＞n локализована значительно больше, нем〈歹。）（Хе；力）〉°. Следовательно,
〈川）（芻方»*〈碎）（羽;方）〉口.（9.4.62）
Тем пе менее очевидно, что
『〈网1）（爲;方）〉。 dX{ = J〈方？）（爲;方）〉ud羽.（9.4.63）
Можно определить 〈歹"）（Х;力〉口 с помощью соотношения
〈歹⑴（X"）〉口 = y2〈“D（X；力）〉口・（9464）
Если N достаточно велико, то усреднение в смысле (59) и (64) может в результате дать
〈歹⑴(X; Ь〉° =〈*)(Х;力〉％ (9.4.65)
Итак, мы убедились в том, что операции усреднения в смысле уравнений (59) и (64) существенны для согласования двух классов усреднения по времени. Другими словами, средних по времени недостаточно для получения соответствующих кинетических уравнений; нужно, кроме того, проводить усреднение по многим частицам.
Применяя те же соображения, что и выше, мы усредняем уравнение (9) по частицам так, что операции усреднения </>, проводимые по различным классам траекторий, эквивалентны усреднению по траекториям 0. С помощью этой процедуры усреднения по частицам мы получим, в сущности, ту же функцию, что и функция /, введенная соотношением (2.5.1). (Уравнение Больцмана определяет эволюцию функции / в газе, где столкновения предполагаются бинарными.) После такого усреднения по одинаковым частицам выражение (50) становится равным интегралу столкновений Больцмана; вследствие того, что в подынтегральное выражение входит вероятность Wij, эффективное взаимодействие быстро спадает с ростом расстояния между частицами i и у.
Оценка эффектов взаимодействия. Вследствие того, что в интегралы взаимодействия входят вероятности W, интегралы эти всегда сходятся. Согласно уравнению (9.2.6) мы берем W в виде W = =ехр (—9лпг3/4), где п ——локальная плотность числа частиц и г — расстояние между двумя рассматриваемыми частицами. Протяженность пространства близкой корреляции (почти бинарное взаимодействие) по порядку величины равна Rn = (9яп/4)_1/3, а временной масштаб t = = 7?п/(〈尸〉/^)・ Здесь </?> — средняя величина импульса частицы, {рУ/т = О[^кТ/т]1/2.
Если г > Rn, то ТУ < 1. Член больпмаповского типа 〈jg°)〉+〈/$)〉по порядку величины равен
。[〈"〉+〈岁八=n瑞給储⑴⑴=m開穿户⑴g)•
Как показано, порядок члена〈以‘〉+〈以)〉равен
。［<Л1}> +〈店〉］=。［<Л1}> +〈店〉］=%沱%沱(3"77ml'/2 J(3"77ml'/2 J4ле4/?24 小丁」dr j必】)«) =—4лпе&百 m2 (3"77/n)3/24ле4/?24 小丁」dr j必】)«) =—4лпе&百 m2 (3"77/n)3/2必 1)(»必 1)(»
。［<Л1}> +〈店〉］=
。［<Л1}> +〈店〉］=
%沱
%沱
(3"77ml'/2 J
(3"77ml'/2 J
4ле4/?24 小
丁」dr j必】)«) =
—4лпе&
百 m2 (3"77/n)3/2
4ле4/?24 小
丁」dr j必】)«) =
—4лпе&
百 m2 (3"77/n)3/2
必 1)(»
必 1)(»
Следовательно,
(9.4.66)(9.4.66)。［〈展）〉+〈］。『
(9.4.66)
(9.4.66)
Если взять Т = 104, п = 1019, то *)
10 •
<Л0)> совпадает e〈成‘〉+<Л0)> совпадает e〈成‘〉+нием п. По порядку величинынием п. По порядку величины+〈虐〉. Данное+〈虐〉. ДанноеЗначение {e2ni/3/kTY падает с ростом Т и уменьше-
<Л0)> совпадает e〈成‘〉+
<Л0)> совпадает e〈成‘〉+
нием п. По порядку величины
нием п. По порядку величины
+〈虐〉. Данное
+〈虐〉. Данное
выше отношение основано на предпо-
ложении, что в обычных случаях, когда Т > 104 и п< V 1019, можно пренебречь эффектом дальнодействия. Оказывается, что этот вывод отличается от выводов, полученных другими авторами на основе первоначальной интерпретации разложения ББГКИ. Отметим, что данное нами определение близкодействия, основанное на понятии ближайших соседей, отличается от обычного определения близкодействия через поляризационный эффект типа Дебая — Хюккеля.
Читатель, знакомый с теориями, базирующимися на цепочке ББГКИ, может спросить: почему в данной теории столь незначительно влияние полевых частиц, не являющихся ближайшими соседями пробной' частицы? Ответ — в следующем. В теориях, основанных на цепочке ББГКИ, пробная и полевая частицы могут взаимодействовать с бесконечно большим временем корреляции, несмотря на наличие возмущений, вносимых третьими частицами. С другой стороны, в данной теории поведение частицы на микроскопическом уровне определяется ее взаимодействием с ближайшими соседними частицами
лишь в течение короткого периода времени. Другими словами, временные масштабы взаимодействия на микроскопическом уровне всегда конечны. (Заметим, что вышеприведенное утверждение достоверно только постольку, поскольку законы силового взаимодействия являются нелинейными функциями расстояния между частицами.)
Справедливость модели. Согласно результатам раздела 9.4.3, временной масштаб ближнего взаимодействия между двумя ионами много, больше временного масштаба ближнего взаимодействия с участием электрона. Поэтому данная модель оказывается подходящей для приближенного описания эволюции распределения ионов в реальной системе, если число ионов равно числу электронов (при этом заряд иона равен заряду протона). Это так, поскольку оказывается, что электроны составляют почти однородный фоп по сравнению с движением иона. Но в то же время мы не можем с определенностью утверждать, что влияние электронных (ближних) взаимодействий на эволюцию ионного распределения пренебрежимо мало: хотя средняя величина импульса электрона много меньше средней величины импульса иона (около 1/50 от импульса самого легкого иона), частота электрон-ионных (ближних) столкновений приблизительно в 50 раз больше частоты ион-ибнных (ближних) взаимодействий. Если мы хотим точнее и разумнее рассмотреть ситуацию, то нужно и электроны и ионы считать дискретными частицами. Поэтому в следующем параграфе будет анализироваться модель И.
Модель (приближенная схема) II
Как утверждалось в разделе 9.4.5, справедливость модели I для описания реальной системы довольно сомнительна. По-видимому, было бы правильнее считать, что смысл этой модели состоит только в том, чтобы дать пример сведения уравнения Лиувилля к усредненным кинетическим уравнениям, описывающим эволюпию подсистем. В данном параграфе мы рассмотрим более реалистичную модель. Плазма, для описания которой предназначается эта модель, та же, что и в предыдущей главе: газ полностью ионизован, и число ионов равно числу электронов.
Рассмотрим четыре полевых частицы: два иона и два электрона. Здесь .нужно рассматривать эволюцию пятичастичных функций распределения 咿凶,Xj, Х^, X， Хщ；力),где одна из пяти частиц — пробная. Однако в качестве более простого приближения рассмотрим трехча- стичпые распределения
必з)(о,厶 у), *)(0,儿凯必3)(0, % ?, (9.5.1) где частица о — пробная, ион или электрон, частицы 北 /, к — электроны, представляющие N/3 групп полевых электронов, а частицы 邑 п,匕一ионы, представляющие N/3 групп полевых ионов, 2N—полное число полевых частиц (N электронов и N ионов). Уравнение, описывающее эволюцию функции распределения F(1)(o) пробной частицы, получается путем интегрирования по переменным полевых частиц уравнения Лиувилля для системы (2N + 1) частиц:
+ W最［»h舒g+雷。"*心力必圏+
十 J卜歹。在+夕。E).^/⑶(0,力，9dxе4 +
+ J J (Ag + 夕。0 •設川 3)(0, %。dX^dxA = 0. (9.5.2)
После усреднения суммы 22 заменяются множите- 2泳自唯
лем 2N/6. Уравнение (2) соответствует уравнению (9.4.1) для модели I. Имеем три следующих уравнения, соответствующих уравнению (9.4.2):
+ (歹ao +歹加•謚+ (歹Bo +歹阿)，^］方⑶(0,% P) = 0,
(9.5.3)
(a, 8) = &/),(力『)，(％《),
где mi == mj == mh ——массы электронов, т^ = mq = т三一 масси ионов.
В нулевом приближении взаимодействие описывается выражением
* =（歹^ + 歹力 U №）（о, iJ^dXidX^
JPo
+ J "争％ + 歹。0 • ^；方⑶（0, /£，鸟⑹dXhdX自 +
+ f卜歹g+石。力為"叫0，% 0（。%芻dz=
=J⑹（oee）i + J（°）（oee% + J⑹（o^）2,十 J⑻（oee% +
+ 小（。"）丄十 J⑻（。"）2 + J⑻（。*2, + J⑻（。〃）3 +
+ J⑹（。//）1 + J⑻（。"）2 + J⑻（。"）2, + J⑻（。〃）3，（9.5.4）
где, например, член J（°）（oe/）i описывает влияние полевых частиц 友 и 自,при этом частицы к представляют собой полевые электроны, а частицы 自——полевые ионы. Эти члены в вышеприведенном выражении могут быть получены тем же образом, что и члены J（°） в предыдущем параграфе. При усреднении этих членов нужно обращать внимание па различие во временных масштабах ион-иоп- лого взаимодействия 七门 и взаимодействия с участием электронов те. Тогда, согласно анализу, проведенному в § 9.1, справедливо соотношение
Ты》Те.
Если макроскопический масштаб тт больше т^, можно выбрать т такое, что
工他》т》七门》те.（9.5.5）
Масштаб т 一 именно тот масштаб, по которому мы можем усреднить члены в уравнении （4）. Все процедуры усреднения те же, что были продемонстрированы в § 9.4.
Беря в качестве пробной частицы о ион, получим, что сумма
〈J（°”ee，〉+〈*）（/〃*〉+〈不°）（7〃）丿（9.5.6）
описывает взаимодействие типа самосогласованного поля Власова. Больцмановское взаимодействие между ближай-
шими соседними частицами представляется суммой чле^ нов
</0)(厶叽〉+〈 J® (7光)2a +〈/⑹(/*2〉+
+〈J⑹(厶/)2，〉+ </0) (〃/)2〉+〈 J⑻(/〃)2) (9.5.7) Значительный эффект можно получить также в следующем приближении:
〈J⑴(м2> +〈 J⑴(М2<> +〈 J⑴(厶/)2〉+
+〈)⑴(/〃)"〉+〈J⑴(й/)2〉+〈J⑴(〃/)2，〉.(9.5.8) Сравнивая, подобно тому как мы делали в уравнении (9.4.66), величину суммы (8) с величиной суммы (7), можно видеть, что в обычных случаях выражение (8) пренебрежимо мало. Ситуация объясняется следующим образом. (1) Сначала в качестве пробной о-частицы возьмем ион. Затем возьмем электрон в качестве ближайшей соседней частицы к пробной частице о. Влияние взаимодействия (часть вклада нулевого приближения) больше влияния силы, действующей между двумя соседними полевыми частицами, одна из которых есть электрон. Отметим, что временные масштабы этих двух взаимодействий одинаковы. Пусть теперь ближайшей соседней частицей будет ион. Тогда влияние взаимодействия с ним будет больше вклада силы, действующей между двумя соседними полевыми частицами — ионами. (2) Ситуация аналогична, если в качестве пробной частицы взять электрон.
Модель (приближенная схема) III
Предположим, что ионизованный газ состоит из N электронов и Nr == N/v ионов одного сорта; заряд одного иона Q дается соотношением
Q=、e, е — заряд электрона. (9.6.1) Если у много больше единицы и мы хотим исследовать эволюцию распределения ионов, то предыдущие две модели не годятся. Модель I не годится, поскольку вследствие больших и локализованных зарядов ионов плотность электронов в данном газе не обязательно однородна; модель II не адекватна, так как N》^,. Благодаря
большой массе и большому заряду иона два ближайших соседних иона, разделенных расстоянием, превышающим среднее расстояние между двумя ближайшими соседними электронами, могут обладать сильной корреляцией, п времепной масштаб этой корреляции значительно превосходит временной масштаб взаимодействия электронов. Это условие вполне благоприятно для законпости применения первых двух уравнений, (3.3.8) и (3.3.10), цепочки ББГКИ. Здесь частицей 1 должен быть пробный ион, эволюцией которого мы главным образом и иптересуем- ся, частица 2 представляет полевые ионы и частица 3 —— электроды. Решение для этого случая было дано Боголюбовым [6], Ченом [82], Ростокером и Розепблютом [72] п др. ). В результате экранирующего влияния электронов, окружающих иопы, сила взаимодействия между иопами описывается законом Дебая — Хюккеля, а пе Ку- лопа. Ситуация здесь объясняется следующим образом ).
Рис. 9.6.1. Ион 1 с большим зарядом и большой массой взаимодействует с таким же ионом 2. Точками обозначены электроны, модифиццр уго щие ион-ион- ное взаимодействие.Рис. 9.6.1. Ион 1 с большим зарядом и большой массой взаимодействует с таким же ионом 2. Точками обозначены электроны, модифиццр уго щие ион-ион- ное взаимодействие.Так как временной масштаб полного взаимодействия много больше временного масштаба, характеризующего поведение электронов, а также вследствие того, что расстояние между двумя соседними иопами много больше среднего расстояния между двумя соседними электронами, ипдуциро- вапное иопами электрическое поле оказывается, по своему воздействию па электроны, пе только почти стационарным во времени, по и почти однородным в прост- рапстве (рис. 9.6.1). При движении
Рис. 9.6.1. Ион 1 с большим зарядом и большой массой взаимодействует с таким же ионом 2. Точками обозначены электроны, модифиццр уго щие ион-ион- ное взаимодействие.
Рис. 9.6.1. Ион 1 с большим зарядом и большой массой взаимодействует с таким же ионом 2. Точками обозначены электроны, модифиццр уго щие ион-ион- ное взаимодействие.
электрона из окрестпости одного иона в окрестность другого велика вероятность взаимодействия этого электрона с другими электронами. Поэтому при паблюдепии во временном масштабе ион-иопного взаимодействия электроны
кажутся находящимися в состоянии локального термодинамического равновесия в поле, индуцированном ионами. (Если V « 1, то электрон должен претерпевать резкие изменения состояния в индуцированном ионами поле; вследствие таких резких флуктуаций в поле электроны не могут достичь локального равновесного состояния *).) Плотность термодинамически равновесных электронов в потенциальном поле 屮 дается соотношением
= % ехр [—(—е)“/(кТ)」^ 〃о +&叫/(乃7). (9.6.2)
Так как плотность & пространственно однородна, она не дает вклада в потенциал 也 который, по предположению, порождается ионами:
Лф = ^пе{п — %) == xhp (уравнение Пуассона), (9.6.3)
冗2冗2《ле%кТ *《ле%кТ *(9.6.4)(9.6.4)
冗2
冗2
《ле%кТ *
《ле%кТ *
(9.6.4)
(9.6.4)
Координата каждого иопа является особой точкой функции яр. Решение имеет вид
2=工會^^^,(965)
а%
здесь Га——расстояние между точкой, где измеряется потенциал 2, и положением иона а. Теперь уравнение (3.3.10) заменяется на
(9.6.6)(9.6.6)
(9.6.6)
(9.6.6)
где
1
屮％ = Q】Q2^^^,(9.6.7)
Г12 = I Г2 — Г1 I*
*) Здесь следует отметить, что если во взаимодействие двух ионов «вклинивается» электрон, то с той же самой вероятностью в это взаимодействие должен «вклиниваться» и еще один ион. Таким образом, не может быть взаимодействия между двумя ионами, в которое бы «вклинивались» только электроны.
В конечном едете 笋;2 есть сумма ^ i2 и силы, действующей на полевые электроны, представленные в уравнении (3.3.10) частицей.
Хорошо известно, что величина 1/х является длиной дебаевского экранирования. Приведенное выше объяснение является эвристическим. Точные исследования вышеупомянутых авторов показывают, что эффект экранирования более динамичен и значительно отклоняется от рассмотренного выше статического эффекта вследствие движения электронов и ионов. Однако во всех случаях эффект экранирования, динамический или статический, обеспечивается следующим соотношением между временными масштабами:
q》r》q,которое подтверждает справедливость первых двух урав-нений цепочки ББГКИ.
Для исследования эволюции распределения электронов нам нужно изменить подход. Как и ранее, цепочка ББГКИ не может быть положена в основу теории. Возможный подход состоит в использовании методики, примененной для модели I и модифицированной путем учета силового поля, индуцированного ионами. Это поле почти секулярно в сравнении с временным масштабом эволюции электронов. При этом нужно одновременно рассматривать кинетику электронов и ионов; практически получается своего рода итерационный подход. В этом методе существенно рассмотрение временных масштабов, управляющих поведением частиц,
Замечания о трудностях изученияреальных систем
Из приведенного анализа видно, насколько сложно было бы пытаться развить единый аксиоматический подход к динамике ионизованных газов. Для каждой частной системы приходится разрабатывать свой метод, подобное положение имеет место в динамике разреженных газов.
До сих пор временной масштаб индуцированного извне электромагнитного поля (если только оно есть) предполагается много большим временных масштабов
взаимодействий частиц. Если же временной масштаб внешнего поля сравним или меньше временного масштаба взаимодействия частиц, то развитые здесь подходы должны быть модифицированы. Если временной масштаб внешнего поля совпадает с масштабом нашего наблюдения, нужно изменить использованные ранее методы усреднения. Различие между микроскопическими и макроскопическими явлениями не всегда очень велико. В этом отношении положение очень похоже па имеющее место в динамике разреженных газов. Даже в тех случаях, когда временной масштаб наблюдения много больше временного масштаба внешней силы, ситуация пе становится проще. Согласно Оберману и др. [65J *), в таких случаях не может быть использовано важное орудие статистической механики — гипотеза о равенстве априорных вероятностей.
В случае ионизованного газа стопка играет совсем иную роль, чем в случае нейтрального газа. Стенка, контактирующая с ионизованным газом, может быть электродом, может обладать электрическим зарядом, па нее может действовать дальнодействующая сила кулоновского поля, стенка может поглощать и испускать электроны или нейтрализовать ст а л кивающиеся с ней ионы. Эти эффекты нельзя изучать без учета возможности изменения состояния частиц на стенках.
Если заряженные частицы движутся со скоростями, сравнимыми со скоростью света, их взаимодействия управляются не только электростатическими, по и магнитными силами. Если эти частицы при взаимодействиях друг с другом ускоряются (или замедляются), они неминуемо испускают или поглощают электромагнитные волны. Как показали Саймон и Харрис [78J, это может привнести дополнительные трудности.
Упражнения
Покажите, что сумма членов в правой части уравнения (9.3,2) равна функции Р^{1]1^)9
來)Их интерпретация временного масштаба трехчастичного взаимодействия не всегда возможна, но характер задачи о высокочастотной внешней силе лее ледов ад хорошо.
Покажите, что
2П(^ + ^-^^ (芻匕，爲М) dXjdXh =
Величину е?忆"з/("т), введенную в (9.4.66), можно записать в виде 材『Е4к、где
X2 =X2 =4neF4neFkT •kT •
X2 =
X2 =
4neF
4neF
kT •
kT •
Покажите, что величина 乂-i имеет размерность длины. Эта величина называется длиной Дебая ——Хюккеля.
В разделе 9.4.4 мы оценивали взаимодействие больц- маповского типа, предполагая, что две частицы при столкновениях ведут себя, как жесткие упругие шары радиуса Rn. Это грубая оценка сверху. Если заменить Rn па R% определяемый уравпепием
死=e2/力7,
то результат будет оценкой снизу. Как при этом изменится отношение (9.4.66)? Отметим следующее: величина 済/Е^ является потенциальной энергией, когда расстояние между двумя электронами равняется 7?е； кТ — средняя тепловая энергия; следовательно, по порядку величины Re равно расстоянию между двумя частицами при возможном столкновении.
ЗАКЛЮЧИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ
Главной темой исследования была возможность применения гипотезы о равенстве априорных вероятностей событий. Как было многократно показано, применение этой гипотезы варьируется от одного случая к другому в зависимости от временных масштабов рассматриваемых явлений. Такие оценки явлений по временному масштабу требуют исчерпывающего описания рассматриваемых явлений, полученного в результате повторяющихся проб и ошибок, проводимых одновременно или последовательно. В этом смысле пам может понадобиться время для того, чтобы судить о справедливости некоторых предложенных и описанных здесь исследований.
Другой темой, которая может быть важной и еще недостаточно изучена как в этой книге, так и в других, является рассмотрение взаимодействия между стенкой и газом с точки зрения кинетической теории. Что касается этой темы, то принятые в этой кпиге методы являются главным образом статистико-механическими и часто применяются ad hoc. В частности, при рассмотрении явлений в разреженных и ионизованных газах для исследования влияния стенки ощущалась необходимость подхода с точки зрения настоящей кинетической теории.
ПРИЛОЖЕНИЕ А
БОЛЬЦМАНОВСКИЙ ИНТЕГРАЛ СТОЛКНОВЕНИЙ^)
Л.1. Динамика двухчастичного взаимодействия **). Запишем (4.4.14) в виде
г=笈蟲，(А.1.1)
где
г = R12, К = —乂/〃12,(А.1.2)
% V 0 в случае отталкивания, х > 0 в случае притяжения.
Как было показано в § 4.4, вектор г при столкновении остается в плоскости столкновения. Это позволяет воспользоваться изображенной на рис. 4.4.2 полярной системой координат, в которой (1) принимает вид
r — r^ = K/rs,(А.1.3)
^卜啲=°・(AS)
Проинтегрировав (4), получаем
产 В = П (инвариант).(А.1.5)
Из рис. 4.4.2 очевидно, что при 方=—8
limrN = 0 (прицельный параметр).
2 о
Следовательно, в этом пределе имеет место соотношение沁 + rG = О,
*) В работе Грэда [22] дается весьма строгое математическое исследование этого вопроса.
**) Решение уравнения (4.4.14).
ИЛИ
г=—g (^8).(А.1.6)
Таким образом, находим
1] = г2/& = г^р12 == hvi2 (力 f —°°).(А.1.7丿
Подстановка в (3) выражения для О, полученного из (5),
дает уравнение
(А.1.3/
(А.1.8)(А.1.9)(А.1.10)(А.1.11)(А.1.12)(А.1.13)(А.1.8)(А.1.9)(А.1.10)(А.1.11)(А.1.12)(А.1.13)
(А.1.8)
(А.1.9)
(А.1.10)
(А.1.11)
(А.1.12)
(А.1.13)
(А.1.8)
(А.1.9)
(А.1.10)
(А.1.11)
(А.1.12)
(А.1.13)
интегрирование которого приводит к
；2[] 2К
В пределе г ->■ °° оно, вследствие (6), переходит в
С помощью тождеств
* dr * dr ri
；：=过而=上色包= 21!/(一口 dO и r2 d^ \r2 d&) 戸 dO?〈 厂丿
из (8) получаем
(dry 2r4「优 к ■
Если ввести новую переменную 三=h/r.
то (И) примет вид
где
(А.1.15)
Заметим, что условие ^ = 0 эквивалентно условию г = оо. Вдоль линии апсиды расстояние г минимально:
訖=0 (行=跟).
Вследствие (11) это условие эквивалентно уравнению
4-凸一^]偿)1 = 0.(A.1.16)
Решая уравнение (16), находим 自°, для которого
Заметим, что при г f 8 имеются два значения г, получаемые как решения уравнения (8):
户=干内2・(А.1.18)
Верхний знак дает относительную скорость перед столкновением, а пижпий знак — относительную скорость после столкновения. Расстояние 无'между асимптотической траекторией частицы 2 и линией, проходящей через частицу 1 параллельно этой траектории, найдем путем сопоставления с формулой (7):
lim г® = %’ = —1]/р12 =—九(力-> 十8). (A.1.19)
Отрицательный зпак при 九 означает, что относительно наблюдателя, находящегося в начале координат, частица 2 после столкновения оказывается по другую сторону от линии, проходящей через частицу 1 (см. рис. 4.4.2).
Поскольку уравнения Ньютона этих двух частиц инвариантны относительно изменения знака времени, их движение обратимо. Это означает, что если в некоторый Момент времени после столкновения внезапно изменить направление скоростей обеих частиц на противоположные, то обе частицы будут двигаться назад по тем же траекториям. Такая ситуация изображена на рис. А.1.
Рассмотрим теперь столкновение, при котором начальные скорости частиц равны 力 и с2 соответственно, а прицельный параметр равен 无.Графическое изображение этого столкновения получается путем поворота па 180°
Рис. А.1. Три родственных типа парных столкновений: а) исходное столкновение; б) столкновение, обращенное во времени; в) обратное столкновение. Принципиальные параметры всех столкновений одинаковы.Рис. А.1. Три родственных типа парных столкновений: а) исходное столкновение; б) столкновение, обращенное во времени; в) обратное столкновение. Принципиальные параметры всех столкновений одинаковы.
Рис. А.1. Три родственных типа парных столкновений: а) исходное столкновение; б) столкновение, обращенное во времени; в) обратное столкновение. Принципиальные параметры всех столкновений одинаковы.
Рис. А.1. Три родственных типа парных столкновений: а) исходное столкновение; б) столкновение, обращенное во времени; в) обратное столкновение. Принципиальные параметры всех столкновений одинаковы.
диаграмлгы 6) на рис. А.1, оно представлено диаграммой 6). Таким образом, мы получаем следующее правило: если начальным условиям столкновения (с1? с2,无) соответствуют конечные величины (с] с；?——九),то начальным условиям (с；, с；,九) соответствуют (сь с2, —Л).
Частный случай 1.
夕 12 = -"М 謠，s = 2・
G помощью (10) из уравнения (3) для этого частного случая получаем
畜芻+е+筒=。，(—2。)
где Е определяется равенством (12). Интегрируя (20) по 也 находим
Р — инвариант.Р — инвариант.(А.1.21)(А.1.21)1 及
Р — инвариант.
Р — инвариант.
(А.1.21)
(А.1.21)
7 + 戸=В cos (8 — ®8),
Тогда из (10) следует
Г = Y]^ sin (0 - 0&).Г = Y]^ sin (0 - 0&).(А.1.22)(А.1.22)
Г = Y]^ sin (0 - 0&).
Г = Y]^ sin (0 - 0&).
(А.1.22)
(А.1.22)
Здесь 心,Здесь 心,представляетпредставляетсобой значение 6, присобой значение 6, приСогласно (17) имеемО-=Согласно (17) имеемО-=г = 0, г = г0, ^ = йоо.г = 0, г = г0, ^ = йоо.^о ~ h/rQ^о ~ h/rQкотором (А.1.23)(А.1.24)котором (А.1.23)(А.1.24)гдегде
Здесь 心,
Здесь 心,
представляет
представляет
собой значение 6, при
собой значение 6, при
Согласно (17) имеем
О-=
Согласно (17) имеем
О-=
г = 0, г = г0, ^ = йоо.
г = 0, г = г0, ^ = йоо.
^о ~ h/rQ
^о ~ h/rQ
котором (А.1.23)
(А.1.24)
котором (А.1.23)
(А.1.24)
где
где
представляет собой решение уравнения (16):
1 — 2詆=0.
Решив это уравнение, получаем
г。」士吃^产;(А.1.25)
脅2
ввиду требования г° > 0 берется решение со знак@м плюс. Из (21) и (22) следует
(A.1.26)
Значение 0 можно получить также и из (21):
弔=力 + 侖 (令=今8),(А.1.27)
где г0 определяется соотношением (25). Поскольку r==©® при 屯=0, из (21) находимгде г0 определяется соотношением (25). Поскольку r==©® при 屯=0, из (21) находимcos Ngcos Ngа из (22)а из (22)阿2阿21111/211/2№ +庐脸、№ +庐脸、(А.1.28)(А.1.28)sin 行8 =加?;2sin 行8 =加?;21r2+户避2 .1r2+户避2 .1/21/2(А.1.29)(А.1.29)
где г0 определяется соотношением (25). Поскольку r==©® при 屯=0, из (21) находим
где г0 определяется соотношением (25). Поскольку r==©® при 屯=0, из (21) находим
cos Ng
cos Ng
а из (22)
а из (22)
阿2
阿2
1
1
11/2
11/2
№ +庐脸、
№ +庐脸、
(А.1.28)
(А.1.28)
sin 行8 =加?;2
sin 行8 =加?;2
1
r2+户避2 .
1
r2+户避2 .
1/2
1/2
(А.1.29)
(А.1.29)
Разумеется, (24) эквивалентно (28) или (29). Действительно, из (24) следует
限=3⑷切沁f sm ЛХ
Подставив сюда
自0 -无/r0, e =斤*2/k、
нетрудно показать, что
也2+于/2 -'
[1/g2+(卩/厂=居2+庐喧二2.
Отсюда
С冗•К
= arcsm [炉+瓦牙Е
из этого соотношения вытекает (28).
Частный случай 2. Максвелловская модель:
歹 12 = - М 12£—^-,$ = 5.
В этом случае (17) принимает вид
где go — решение уравнения
1 — ^2("I") = 0, или
剧=一0+(皆 + 2步1/2.(a.1.31)
Из (15) следует
*1/2
hdh = ——之筑(А.丄 32)
%2
ИЛИ
vi2h dh = К1/2^ d^(А.1.33)
Частдый случай 3. Модель упругих жестких сфер:
歹 12 = — М12К-^^-,S=8,(А.1.34)
К = K'gs~\ К' > 0 (отталкивание).
Поскольку 白 определяется соотношением (15):
脸 丫/f 7」唸Y")
—方…丿—~丿 ,;
то в данном частном случае опо принимает вид limW = ±.(А.1.35)
8->ОО°
Уравнение (16) можно представить в следующей форме:
告厂堂=。；(A436)
при г > ст его левая часть в пределе s f g переходит в1 - (%/г)2.
В случае отталкивания (К‘ > 0) 1г/г меньше единицы, поэтому определяемое выражением (13) приращение dO действительно. С другой стороны, при г V о левая часть уравнения (36) в пределе s -> °о переходит в
1 — (б")? — 8,
т. е. отрицательна. Следовательно, решение уравнения (35) должно иметь вид
o/分=1 + 8,(А.1.37)
где 8 — бесконечно малая положительная величина. Тогда
& =无/го = (4 + 8)Д/а.
В области значений g от 0 до 自。一А&/о имеет место соотношение
откуда следует, что
Следовательно, выражение (17) принимает вид品一九e/0
ИЛИ
sin 88 ==无(4 一 £)/0.(A.1.38)
Практически можно положить е = 0. Тогда
откудаоткудаcos 令8 &今8 — dh/б,
откуда
откуда
(A.1.39)(A.1.39)мягких(А.1.40)мягких(А.1.40)h dh = d sin ©8 cos 屯》d®0c.
(A.1.39)
(A.1.39)
мягких
(А.1.40)
мягких
(А.1.40)
упругихs = 8,及A0房упругихs = 8,及A0房Частный случай 4. Модель сфер:
упругих
s = 8,
及A0房
упругих
s = 8,
及A0房
夕 12 = - M12K 加?1，
/ J \(D/2
где 口力——инвариант. Как и в предыдущем частном случае 3, получаем
=(A/D
Повторяя рассуждения, проделанные в случае 3, на
ходимходим(А.1.42)(А.1.42)
ходим
ходим
(А.1.42)
(А.1.42)
откудаоткуда
откуда
откуда
%2无 dh = и?”％ sin За, cos 仆8 d®8・(A. 1.43)
Благодаря тому, что в подынтегральном выражении интеграла столкновений отсутствует 内2, дальнейшее ис- следожаиие этой модели существенно упрощается. Более
Таблица А.1
и
X
2
Максвелловские молекулы (х<0)
Жесткие сферы
Мягкие сферы
一2ткТ
寸％ 今％
3 "
3
4
0,436X3冗允 5(加加7)1/2 16а2 л1 /2
2/сТ
2 m
3 к
2 m
3 к_
2 m
того, каждое столкновение происходит так же, как между двумя твердыми сферами, но диаметр их (сечение рассеяния) зависит от р12. При увеличении р12 сечение рассеяния убывает. В таблице А.1 приводятся значения коэффициентов вязкости 卩 и теплопроводности % для каждой модели, вычисленные в первом приближении методом Чепмена — Энскога. Отметим, что эти коэффициенты для максвелловской модели и модели мягких сфер практически совпадают.
А.2. Моменты интеграла столкновений. Рассмотрим столкновение между частицей 1 с массой тп】и частицей 2 с массой т2. Скорость частицы 1 перед столкновением обозначим 'через с1? скорость после столкновения ——через ci; скорость частицы 2 перед столкновением — через с2, скорость после столкновения ——через с2. В силу теоремы Лиувилля должно иметь место равенство
再口不必^汨3clzтг 飘 Зс? = 0Г；0Г；7П；0С；7П 飘气；，(А.2.1)
где d3rH ~3工；——вариации коордипат частицы 1 до и после столкновения соответственно, й3г2, й3г2 — то же для частицы 2. Аналогичным образом определены и вариации скоростей d3c1? d3Ci и d3c2, d3c2. Поскольку центр масс
Rg =(〃力/1 + т 滤 2)/(mi + Tn?)
движется равномерно, имеет место соотношение
d3Rg = 0R](А.2.2)
Так же как и в § 4.4, имеем
г = г2 — Г1, d% = hdh d(p vl2 dt
до столкповения и
Р = г； — г] 〃з* _ 勿山丿 dq/ 儿 dM
после столкновения.
Согласно результатам раздела А.1, имеют место следующие соотношения:
I 无 I I 无' b 。12 = "12,①=(P .
Тогда очевидно, что
dx =机二
Иными словами, задержка dt начала столкновения приводит к такой же задержке его конца. Таким образом, получаем d3R^d3r = ^氏再”
Поскольку Rg и г являются линейными функциями от Г[ и г2з отсюда следует
d3f®3r2 =济工唠芯.(А.2.3)
Подставив это равенство в (1), находим
d3^3^ = d3Cid3C2.(А.2.4)
Пусть G(cx, с2) и Жс1? с2) — произвольные функции с4 и с2. Если заданы прицельный параметр h и плоскость столкновения ср, то должно иметь место соотношение
J j G (с；? с；) Н (с】,с2) d3Cid3C2 =
=J J G (а с2) Я (с；, с；) d3c®3c2・ (А.2.5)
Его доказательство проводится следующим образом: из диаграммы в на рис. А.1 видно, что если столкновение
с начальными условиями с【и с2 приводит к конечным условиям с】и с2, то возможно столкновение, у которого
начальное и конечное условия переставлены местами по сравнению с исходным столкновением. Поэтому интеграл по d3Cid3C2 по всей области эквивалентен интегралу по
Подставив (4) в (5), получаем еще одно соотношение:
J j G (с；, с J Я (%, с2) ^с^Сз =
=J jG(C],C2)E(c；,硝 0力叫・(А.2.6)
Теперь мы готовы перейти к изучению моментов интеграла столкповеппй Больцмана
=j J j [A (d) /2 (4) — /1 (сО /2 (с2)] h dh d吵 12 "Зе?. (А27) Рассмотрим выражение
—J。(с】) Ji2d3 cl =
=J J j J 0(%) [/1 (Cl) /2 (C2)— /1 (Cl) /2 (c2)] X
X h dh dcpu 12d3c2 d3cl, (A.2.8)
времени,(А.3.2)(А.3.3)времени,(А.3.2)(А.3.3)
времени,
(А.3.2)
(А.3.3)
времени,
(А.3.2)
(А.3.3)
где 0(ct)— произвольная гладкая функция с「 Согласно (6) его правую часть можно представить в виде
И П ^ (с；) —0 (C1)]/1 (Ci)/2 (с2) fe dA dcp%2 d302 d3cL.
(А.2.9)
Если частицы 1 и 2 одного сорта, тп^ = т^ то для трех форм функции Фг (с, : 1, т^^ т^ — получим
一『。'©)厶2dз% = 0,(А.2.10)
что соответствует законам сохранения массы, импульса и энергии. В общем случае многокомпонентной системы это равенство следует заменить па
J 0/ (С丄)厶2d3力十 J 0/ (cj J21d3% = о. (A.2.11)
Скорость с； в (9) зависит не только от сь с2,瓦 по также и от вида межчастичпого взаимодействия. Поэтому значение интеграла (9) изменяется при изменении модели этого взаимодействия. В динамике разреженных газов часто оказываются существенны пе только основные мо- мепты
j / (с) d3c, \ incf (с) c/c, j тс2/ (с) d3c,
по п моменты более высоких порядков, поэтому даже для одпокомпопептпого газа имеет значение выбор модели взаимодействия <модели столкновения).
А.З. Модель Батнагара — Гросса — Крука [4, 28, 50].
Вместо исследования механизма столкновения, связанного с определенной моделью взаимодействия, предположил!, что
—J = 9(f— /), (Л.3.1)
где 0 — константа с размерностью обратного a f выбирается в виде
гдегде-^- пкТ =-^- пкТ =7272『=72ехр [—赛(С 一 u)2],
где
где
-^- пкТ =
-^- пкТ =
72
72
Определенный такилт образом столкновительный член — J обладает следующими основными свойствами больцмаповского интеграла столкновений:
Выполняется Я-теорема *).
j Jd3c = 0) JmcJd3c =0, J тс2Jd3c = 0. (A.3.4)
Возьмем произвольную функцию 0(c) и рассмотрим выражение
—『0(c) Jd4 = @^ (с) /d3c-0 J 0(c)/d3c.(А.3.5)
Для сравнения укажем, что аналогичное выражение (А.2.9) для точного уравнения Больцмана можно пред-
*) Больцман ввел
откудаоткуда⑴(ii)⑴(ii)Н = J/ln/d3c,^- = J(l + ln/)_|ld3c.
откуда
откуда
⑴
(ii)
⑴
(ii)
В пространственно однородном случае модельное уравнение Больдмана имеет вид
（叫（叫餐=日0一力
（叫
（叫
Подстаповка (iii) в (ii) приводит к
дНdtдНdt0 (1 + ln0 (1 + ln
дНdt
дНdt
0 (1 + ln
0 (1 + ln
Согласно определению (2) In / является линейной функцией •от (с — и)2, откуда
j (in/) (/ — /) cZ3c = 0.
Следовательно,
Из этого_ выражения следует, что производная dH/dt отрицательна при / > /, но при f < f она также отрицательна. Если
дН/dt = 0,
ставить в виде
—J 0 (с) J d$c =
匸 j [ j j J 0 6)/(ci)^ dhv12 d ad%] / (c) d?c —
— J 0(c)[f f J / (ci) ^ dhv12 й(р d3cj / (c) d3c. (A.3.6)
Значение выражения (5) состоит в том, что для функций 0(c), нечетных относительно (с — и), первый член в правой его части обращается в нуль:
j 0 (с)河Зс = 0.
Например,
J (с — и)2 (с — и) / 0с = 0.
С другой стороны, в общем случае первый член в правой части (6) остается отличным от нуля. Поэтому нужно соблюдать осторожность при применении данной модели столкновений к существенно неравновесному газу, для описания свойств которого могут иметь значение нечетные относительно (с — и) моменты функции /.
При попытке применить к данной модели метод Чепмена ——Энскога возникает недоразумение, проясняющее некоторые свойства этой модели. Ниже мы рассмотрим этот вопрос.
Модельное уравнение Батнагара ——Гросса ——Крука (БГК) имеет вид
簪=❷仔—/),(А.3.7)
где
В качестве первого приближения для / выберем
у<1> = у + ①⑴.'(А.3.8)
Согласно методу Чепмена — Энскога (см. § 5.2) ср⑴ находится из уравнения
薯=@ 仔—仔 + ф<1>)] = 一 ф<1>0.(А.3.9)
Уравнение (9) совпадает с соответствующим уравнением (5.3.18) этого метода. Следовательно, относительно
определяемой этим уравнением функции ，〈'〉нужно повторить все рассуждения, проведенные в § 5.3 относительно 屮⑴ (см., например, уравнение (5.3.34)).
В следующем приближении представим / в виде
/⑵=f + 屮⑵(А.3.10)
и согласно методу Чепмена ——Энскога получим для пее
力1〉一%- =@炉一产】力1〉一%- =@炉一产】(А.3.11)(А.3.11)
力1〉一
%- =@炉一产】
力1〉一
%- =@炉一产】
(А.3.11)
(А.3.11)
Однако из (5.3.3) очевидно, что соответствующее уравнение в случае больцмаповского интеграла столкновений имеет совершенно иной вцд. Начнем с того, что в § 5.3 нельзя положить
[fsiy®s1}Y (с)❷产〉.
Если предположить, что
[*〉&】〉],*〉go㈡ где с'——скорость частицы после столкновения, то вместо (5.3.17) получим
/⑵⑹=/⑴(бгI 一叫,0<1>dt
ИЛИ
= @⑴(尸〉(d) _/〈2〉(с)),,
что соответствует (И).
Следовательно, при использовании вместо уравнения Больцмана модельного уравнения БГК необходимо соблюдать осторожность. Ошибка может быть особенно велика в случае применения какого-либо приближенного метода решения, подобного методу Чепмена —Энскога, когда число Кнудсена пе мало, а состояние газа существенно отличается от равновесного. Конечно, как отмечалось в части II, и сам метод Чепмена ——Энскога при таких обстоятельствах становится менее убедительным, даже при применении его к исходному уравнению Больцмана. Однако в пределах применимости этого метода в полученном с его помощью решении проявляются недостатки уравнения БГК. Можно рассмотреть другие методы решения уравнения Больцмана, учитывающие специ-
фику течения разреженного газа (см. § 7.4), заключающуюся в том, что его свойства зависят главным образом от граничных и начальных условий, а не от релаксационного столкновителыюго механизма. Применение подобных методов к уравнению БГК дает, в отличие от метода Чепмена — Энскога, вполне разумные результаты. В этом случае приближенный характер столкновительного члена уравнения БГК не оказывает существенного влияния на результат, поскольку в конечном итоге столкновения дают лишь слабое возмущение решения. Интересное приложение этого уравнения к изучению образования ударной волны содержится в работе [131. В статье автора [48] отмечается, что обобщение этой модели неизбежно приводит к ее усложнению ).
ПРИЛОЖЕНИЕ Б
ТРУДНОСТИ ОБЫЧНЫХ СПОСОБОВВЫВОДА УРАВНЕНИЯ БОЛЬЦМАНА
Существует несколько способов вывода уравнения Больцмана, предложенных различными авторами. Один из них, разработанный Боголюбовым, подробно рассмотрен в основном тексте. Здесь мы кратко изложим теории Кирквуда — Росса и Грэда. В этих теориях возникают одни и те же трудности, поскольку они основаны на предположении о симметрии функции Dm в микроскопи-
ческом смысле.
Теория Кирквуда и Росса 142]. Отметим четыре трудности при выводе этими авторами уравнения Больцмана из цепочки ББГКИ.
Усредняя по времени уравнение (3.2.3), получаем (备+2•号)〈砂)(з;С)%=
(Б.1)(Б.1)=一 -^^-jy ^if^F^ (芻芻方 + s)阳曲， о -
(Б.1)
(Б.1)
где
(Б.2)
а силу 夕io не учитываем. В соответствии с допущением о симметрии можно заменить
耳户(爲;方)на歹⑴(占;方)，
耳胃(芻匕;方)на必2)(%,爲；力
На следующем этапе вводим функцию 笈⑶：
F^^X^t + s)^
=J 区⑵(к】, XJX； X；; s)歹⑶(x；, X；;力)dX；dX；. (Б.4)
Так как в явном виде К{2} задается в форме
М(Х],Х2/Х；,Х；; s)=
=6(X] 一 X； — АХ] (s)) 6(Х2 — X； — AX?⑻)，(Б.5)
то нетрудно показать, что
川2)(X], Х2；力 + S)=歹⑶阳—AX] (s),芻-AX? (s);力
(E.6)
Согласно Кирквуду и Россу, AX^s) = Api(s)A『i(s) и AXzS) = Ap2(s)Ar2(s) представляют собой приращения импульса и координаты частиц 1 и 2, которые находятся путем решения уравнений движения двух частиц:
^^ =夕]2(5)(е.7)
dsт ' ds丄2' 丿 '/
и аналогичных уравнений для частицы 2. При этом авторы заявляют, что функция Н⑶ в форме (6) представляет собой решение уравнения (3.2.4), в котором отброшен интегральный член и d/dt заменена на d/ds:
債+券/+醬М+货^* +^^)ь⑶=°.田・8)
Здесь не учитывается внешняя сила, a s, р】,р2, & и г2 считаются независимыми переменными. Однако очевидно, что F(2) в форме (6) при условии (7) не удовлетворяет уравнению (8). Более того, яспо, что Fw будет удовлетворять (8), если Xi(s) и X2S) являются решениями
уравнений小(s) _厶 ds — 〃z 'уравнений小(s) _厶 ds — 〃z '弘也⑶ s ds12弘也⑶ s ds12и T. д.,и T. д.,(Б.9)(Б.9)
уравнений
小(s) _厶 ds — 〃z '
уравнений
小(s) _厶 ds — 〃z '
弘也⑶ s ds12
弘也⑶ s ds12
и T. д.,
и T. д.,
(Б.9)
(Б.9)
а не (7). Отметим, что в (9) р“ р2,门 и г2 пе зависят от s, поэтому эти уравнения не являются уравнениями движения двух частиц. Только в случае чрезвычайно малых AX[(n), AXz(s) уравнения (9) будут совпадать с (7). Укажем, что в § 4.4 приводится частное решение уравнения (8), проинтегрированное вдоль траекторий, определяемых уравнениями (7).
Несмотря на то, что AX^s) и AXz(s), удовлетворяющие уравнениям (9), не являются истинными траекториями двух взаимодействующих частиц, как предполагалось Кирквудом и Россом, функция 歹⑶ в форме (6) все же представляет собой точное решение уравнения (8) при условиях (9). Следовательно, если последующий анализ этих авторов корректен, то он может привести к правильному результату. Одпако при подстановке в интеграл столкновений уравнения (1) функции 歹⑶ в форме (6) мы сталкиваемся со следующей трудностью. Поскольку Х{ п Х2 являются независимыми переменными, область интегрирования по dr? должна охватывать все конфигурационное пространство, а силы 歹12 н 歹21 зависят от ri и г2 и совершенно пе зависят от Ah(s) и Дг2(5), определяемых уравнением (9). Следовательно, значение разности ДгДт) — Дг2(т) не влияет на величину силы ^12. Даже при очень больших ДгДт) — Дг2(т) сила 歹 12 может быть отлична от нуля, если мала разность г{ — г2, и наоборот. Поэтому здесь пе может возникнуть никаких причин для ограничения области интегрирования по dr? в паправлепии р2 — ₽i функцией тН?2 —?//^, зависящей от т.
Это недоразумение, по-видимому, является результатом уверенности авторов в том, что все X и i всегда должны быть независимыми переменными. Эту уверенность можно объяснить как следствие принятого ими допущения о том, что введенная в § 2.2 функция D(n)всегда симметрична относительно перестановки координат двух одинаковых частиц. Действительно, при таком допущении бессмысленно утверждать, что каждая отдельная частица движется вдоль непрерывной траектории, по-
скольку не существует таких индивидуальных частиц, которые бы отличались от других своими непрерывными траекториями. Несмотря на вышеупомянутые технические трудности, представляется, что подход Кирквуда и Росса по крайней мере внутренне согласован с их уверенностью в симметричности D{N). Однако это пе обязательно так. Вопреки предположению этих авторов,必2)(Х[ — —AX[(s), Х2 —AXz(s); i) в виде (6) пе симметрична, как будет показано ниже. Рассмотрим 歹⑷ при X = АХД^), X2 = AX2(s). Тогда, в соответствии с допущением о симметрии, должно иметь место равенство
“2)(0, 0;力=*2)(AX2(s) —А風(s), А風(s) —AXz(s);办
Так как разность AXz(s) — AX[(s) может возрастать при возрастании s, то из этого равенства следует, что функция 耳⑶(X, Х2； 0 постоянна вдоль линии Х( = —Х2. Если теперь смещать начало системы координат, сохраняя направления осей параллельно исходному их положению, то мы увидим, что функция 歹(2)остается постоянной по всему фазовому пространству. Этот явный парадокс является результатом попытки описать микроскопическое столкновение с помощью симметричной функции W.
Для описания микроскопических столкновений необходимо начать построение теории с задания D{N) для одной системы в форме (2.3.10), которая пе симметрична. Полагая X% = X* (s), мы наблюдаем D{N) вдоль траектории Z-й частицы. Следует отметить существование различных решений дифференциальных уравнений в частных производных (8) в зависимости от того, как зависят от s импульсы и координаты частиц:
Р1 = Pl (s)2 Г1 = г； (s)2 р2 = Р2 (s)z г2 = Го(5). (Б.10)
В частном случае, когда эти функции удовлетворяют характеристическим уравнениям уравнения (8), т. е., по существу, уравнениям движения двух частиц, функция F(2) инвариантна относительно s; в противном случае она не инвариантна.
В результате проведенного исследования остается впечатление, что Кирквуд и Росс считали, что функция Dm сил!метричпа в микроскопическом смысле. Это их пред-
положение ставит под сомнение всю их теорию, несмотря на разумное использование усреднения по времени. Следует сказать, что во всех теориях, использующих исходное допущение о симметрии D{N\ встречаются те же трудности, что и в теории Кирквуда и Росса.
Теория Грэда [24]. Теория Грэда необычна в том смысле, что его вывод уравнения Больщгапа внутренне непротиворечив, несмотря па допущение о симметрии функции O(n) в микроскопическом смысле. Столь парадоксальная ситуация объясняется следующим образом. Грэд вводит «оборванную функцию распределения». Например, функция 歹;(X。представляет собой вероятность пе обнаружить молекулу па расстоянии о от молекулы 1 при условии, что молекула 1 находится в состоянии Х{, При этом также предполагается, что область влияния молекулы 1 ограничена сферой радиуса о. Грэд вывел из уравнения Лиувилля уравнение для 歹；(Х0, а пе для 力⑴(XJ, что эквивалентно изучению функций распределения молекул в состояниях свободного пробега, как это подразумевается в уравнении Больцмана. Кроме того, введение сферы влияния фактически приводит к тому, что в дальнейшем рассматриваются столкновения между упругими (твердыми) сферами с диаметром о, а пе между молекулами, представляющими собой силовые центры. Поэтому пространственная область интегрирования в интеграле столкновений по координате второй частицы обязательно должна быть вне сферы влияния частицы 1. Тем самым Грэду удалось избежать обычной трудности, связанной с рассмотрением траекторий частиц во время их столкновения. В завершение вывода этому уравнению должен быть придан тот же смысл, какой имеет уравнение Больцмана. Для этого необходимо предположить существование «молекулярного упорядочения» в поведении двух частиц па расстоянии о. Подобное предположение пе совместимо с постулатом симметрии функции D{N) и вытекающим из пего утверждением о справедливости цепочки ББГКИ в микроскопическом смысле. Это обстоятельство выпало из поля зрения Грэда. Схему Грэда следует признать изобретательной, поскольку в пей удалось избежать изучения столкновителыюго механизма, пе совместимого с допущением о симметрии функции DC
В заключение отметим следующее:
Больцмановский интеграл столкновений можно получить из уравнения Лиувилля, лишь учитывая несимметричность функции O(n)в микроскопическом смысле.
Микроскопическая симметрия D{N\ прп которой частицы не отличимы друг от друга, не совместима с интегралом столкновений Больцмана, в котором частицы отличаются друг от друга во время столкновения своими непрерывными и упорядоченными траекториями.
Признав справедливость уравнения Больцмапа, мы должны согласиться, что при построении кинетической теории следует исходить из несимметричной функции Z)(2V).
ПРИЛОЖЕНИЕ В
ПОДХОДЫ К КИНЕТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ,НЕ ИСПОЛЬЗУЮЩИЕ ЦЕПОЧКУ ББГКП
Метод Пригожина — Балеску [71]. Существует совершенно иной подход к изучению систем многих частиц, предложенный Пригожиным и Балеску ). В основе их метода лежит разложение функции распределения системы N частиц в ряд Фурье по плоским бегущим волнам: Dm = Ро + S S pl exp [%k ♦(巧一p?“] +
+ £2W±pK，expHk.m — p“)+ 削.(门一 p冉]+ ・・・， 左 hf j Z
где k, k[ ... — волновые векторы, индексами у, Z,... обозначаются частицы, Z — мнимая единица (i2 = — 1), г — координата и р — импульс частицы. Если частицы не взаимодействуют между собой, то амплитуды р этого разложения не зависят от времени, но при наличии взаимодействия в системе р следует считать функциями от времени. Подставляя разложение D{N) в уравнение Лиувилля и интегрируя по координатам г, получаем систему уравнений, определяющих эволюцию во времени амплитуд р.
Закон сохранения импульса частиц при взаимодействии между ними принимает форму закона сохранения волновых векторов, при этом появляется возможность представить взаимодействия различных типов в виде диаграмм. Подобное представление очень наглядно и в то же время является столь же строгим, как и само уравнение Лиувилля.
Однако для приложения этого формализма к решению конкретных задач систем многих тел необходимо провести круппоструктурное усреднение (загрубление) исходных уравнений, которое позволяет представить мно- гочастичпую задачу как суперпозицию некоторых двухчастичных задач. При этом суммирование£，£z, . •. заменяется умножением на (N — 1),—2), ... Эта операция совершенно эквивалентна той, что используется при выводе уравнения (3.2.3) из (2.4.10) и (3.2.4) из (2,4.11) и т. д. В этом отношении теория Пригожина ——Балеску основана на таком же предположении о симметрии, как и теории, использующие цепочку ББГКИ. Следовательно, полученные в пей результаты должны быть эквивалентны результатам теорий, исходящих из цепочки ББГКИ.
Например, Балеску [2] использовал этот подход для анализа необратимых процессов в ионизованных газах. Если перевести ход его рассуждений на язык теории, основанной на уравнениях ББГКИ, то онп будут выглядеть следующим образом.
В первое уравнение цепочки ББГКИ
俏十冬长卜里+(" j)k1?*磴也=。
Балеску подставляет разложение
方^ =(月12)1+(/2)2 + (з2)2，十.・・
Первый член разложения (Fi2)i он находит, решая уравнение
I 8力十/n a1*]十7n方2十 12 dPi+21卽2丿人12"
представляющее собой часть второго уравнения цепочки ББГКИ. Второй член разложепия (瓦2)2 находится из
системы двух уравнений
位 + * ё!；+^ ♦為）（乙2% +
+（" —2）]歹 23・^（%3）回4=0,
（@丄厶•且丄也.且上必.上 I \dt~^in' 仆十 m * 叫十 m % '
+歹13・^十歹31。^卜尸123）1=0，
одно из которых представляет собой другую часть второго уравнения цепочки ББГКИ, а второе ——часть третьего уравнения цепочки. В дальнейшем, разумеется, в этой теории приходится использовать некое приближение, позволяющее свести мпогочастичпую задачу к суперпозиции двухчастичных.
Отметим, что Вейцсток [91] предложил другой метод, аналогичный приведенному выше, поскольку он также основан па круппоструктурпом усреднении.
ПРИЛОЖЕНИЕ Г
ОДНА МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ТЕОРЕМА
Теорема:
…+*N（N — 1） ・・・（№ —72 +1）（N—2〃）2+・..+ № =
—N2n, （Последнее слагаемое для п = М） Доказательство:
S = %2 + %（“2 一《дг 十 4）+ 扌％（汽一[）（产 一 8N+16）+
+=№ [1 + % +谷N（N—i）+-
—■[十（N—i）+ g（N—i）（N — 2）+ ・.・] +
+ 4N[1 + 2(N — D + ^(N—1)(N — 2)+ ・・・]=
= 81 + 82 + 83, где
Si = №(1 十 1严 _ “22%,
S2 = - 4%22NТ = - 2产2匕
S3 = 4N[l + (/V —1)+康(N—1)(汽一2) + •••] +
+ 4N(N — 1) р+^-(^-2) + ^(^-2) (Л<-3)+...]-
=4N2"t + 4N (N — 1) 2^2 = 2N2” + N (N — 1) 2叱 Отсюда получаем
S = №炉—2^22“ + 2N2n- N(N — 1 )2n = N2N.
ПРИЛОЖЕНИЕ Д
КВАНТОВОМЕХАНИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ
Расслютрим систему связанных электронов в атоме. Согласно Ферми и Дираку, собственные функции оператора энергии этой системы аптисилтлтетричпы. С другой стороны, собственные функции системы фотонов в замкнутой полости, согласно Бозе и Эйнштейну, должны быть симметричны. Для обеих систем функция распределения плотности будет симметрична в микроскопическом смысле. В этих системах в предположении о симметрии изменение состояния частицы происходит мгновенно, хотя и чисто статистически. Заметим также, что функции, описывающие эти собственные состояния, не зависят пи от пространственных координат, пи от времени. В этом отношении ситуация напоминает статистико-механическое описание состояния классической (не квантовой) системы в состоянии теплового равновесия. Однако в действительности эти ситуации существенно различны, поскольку в классической макроскопической системе подобное состояние реализуется как следствие усредпеиия по бесконечно большому интервалу времени, а кваптовомехапическое состояние, по-впдимому, существует в микроскопическом
смысле. Иначе говоря, существование статистико-механи^ ческого состояния классической системы объясняется в асимптотическом смысле эргодической теорией, в отличие от симметричного или антисимметричного вырожденного квантовомеханического состояния, которое просто постулируется ).
Полное вырождение состояний в квантовых системах может привести нас к мысли о том, что в любой системе должно иметь место вырождение, поскольку частицы (атомы или молекулы) в конечном итоге являются квантовыми. И действительно, некоторые авторы именно на этом основании поддерживают предположение о микроскопической симметрии функции D{N) для классических частиц.
Однако следует иметь в виду, что частицы (которые предполагаются полностью вырожденными) образуют плотно упакованную систему. Рассмотрим, например, систему, образованную связанными электронами атома аргона и атома гелия. Если эти' два атома находятся достаточно далеко друг от друга, то распределение электронов не может быть симметрично относительно перестановки состояний двух электронов, один из которых принадлежит атому аргона, а другой ——атому гелия. В этом случае можно говорить об отсутствии вырождения состояний электронов, принадлежащих разным атомам ). Это — крайний случай. Если мы рассмотрим почти свободные электроны, как, например, в высокотемпературном разреженном газе, то и здесь трудно представить себе вырождение, поскольку состояние любого электрона, описываемое волновым пакетом, отличимо от состояний других электронов. В этом отношении для нас особое значение приобретает следующее утверждение Ландау и Лифшица [54] об измерении ) в квантовой механике:
«Необходимо, однако, отметить, что из невоспроизво- димости измерений существует важное исключение ——
единственной величипой, измерение которой повторимо, является координата. Два измерения координаты электрона, произведенные через достаточно короткий промежуток времени, должны дать близкие значения; противное означало бы, что электрон имеет бесконечную скорость».
К этому утверждению следует добавить ремарку «с очень большой вероятностью». Если характерный размер волнового пакета электрона меньше или одного порядка с характерным размером силового поля, в котором движется электрон, то изменение его состояния пе может происходить мгновенно. Тем самым мы приходим к тому же выводу, к которому мы пришли, рассматривая классические механические системы, а именно: функция распределения одинаковых частиц в фазовом пространстве пе симметрична относительно перестановки координат двух одинаковых частиц.
Рассмотрим в качестве примера свободные электроны в металлической проволоке, один конец которой имеет температуру 7\, а другой — температуру Т2. Функция распределения системы не симметрична относительно перестановки фазовых координат двух электронов из разных концов проволоки. Аналогичная ситуация будет иметь место и в случае проволоки, спаянной из двух кусков разного металла, например серебра и меди, даже если ее температура постоянна. Согласно теории сверхпроводимости [3], при низкой температуре «свободные электроны» в металле могут образовывать устойчивые пары, что обусловлено их взаимодействием с фононами ——колебаниями атомов, образующих кристаллическую решетку металла. Ввиду сильного взаимодействия между атомами и «свободными электронами» можпо полагать, что эти электроны столь же вырождены, как и электроны в атоме. Иными словами, квантовомеханическое вырождение в случае сверхпроводимости может проявиться в макроскопическом масштабе. При этом возникает следующий парадокс: поскольку проводник имеет макроскопические размеры, мы можем сделать его неоднородным, но тем самым будет частично снято вырождение.
ПРИЛОЖЕНИЕ Е
ОБ ОПРЕДЕЛЕНИИ РАЗЛИЧИМОСТИ И НЕРАЗЛИЧИМОСТИ ОДИНАКОВЫХ ЧАСТИЦ В СТАТИСТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКЕ
И В КИНЕТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ
В статистической механике часто обсуждают вопрос о различимости и неразличимости одной частицы от другой такой же частицы (см., например, Толмеп [85], § 87). Однако при этом зачастую бывает трудно попять, что именно подразумевается под различимостью. Иногда предлагают считать, что частица отличается от другой подобной частицы каким-либо своим свойством, которое является паблюдаелгым, по пе влияет па динамические (физические) характеристики частицы. На наш взгляд, пе имеет смысла приписывать частицам подобные воображаемые свойства, поскольку любая частица может быть определена с помощью внешнего поля, а ее взаимодействие с полем описывается динамическими уравнениями (Ньютона или Шредингера). В классической механике материальная точка характеризуется своей координатой и импульсом, а также массой.
Хорошо известно, что для статистически равновесных систем существует три различных метода вычисления функции распределения частиц. Первый из них, Бозе —— Эйнштейна, пригоден для бозонов, метод Ферми ——Дирака —для фермионов, а метод Максвелла — Больцмана — для классических частиц. Практически в равновесном состоянии одинаковые частицы можно рассматривать произвольно: как различимые или как неразличимые, независимо от того, квантовые они или классические. На результаты это пе оказывает существенного влияния. В этом заключается, в частности, разъяснение парадокса Гиббса. В принципе в равновесной статистической механике одинаковые частицы следует считать неразличимыми, поскольку интервал времени, по которому производится усреднение состояния частиц, в этом случае бесконечно велик. С другой стороны, при изучении процесса эволюции системы, находящейся в неоднородном состоянии, те же самые частицы необходимо считать различимыми. Равновесное состояние рассматривается в разделе 1, а неоднородное состояние ——в разделе 2.
Статистическое равновесие. Предполагается, что система состоит из N одинаковых частиц. Число собственных состояний с энергией &丸 обозначим через g^ а число частиц в состояниях &九——через nk. Полная энергия системы Е представляет собой инвариант:
n = 2X(е.1)
Е = 2 £“?九.(Е.2)
Если аастидами являются одинаковые бозоны, то число частиц в собственном состоянии с энергией &儿 может быть любым — от 0 до N、Следовательно, все частицы могут быть распределены по собственным состояниям (?БЭ способами, где
=(Е.З)
V/做一4)!、丿
Напомним, что при этом частицы считаются неразличимыми. Если же они различимы (со статистической точки зрения), то вместо (3〉получим
Geo = N!Ge9.(Е.З)'
Если частицы — одинаковые фермионы, то в каждом собственном состоянии может быть по более одной частицы. При этом число различных способов распределения частиц по состояниям равно
G砧(Е・4)
Здесь частицы считаются неразличимыми. Для различи- Mbix частиц это выражение переходит в
G① д； = 7V!G ① н(Е.4)'
Для классических частиц можно предположить, что
g/,》a 5-0).(Е.5)
При этом и Ge? и G①д переходят в
Gme = П £j …2(Е.6)
а Свэ и G①д переходят в
^мб = N!Gme・(Е.бу
Далее с помощью обычного метода вариации с дополнительными условиями (1) и (2) из (3), (4) п (6) получаем три наиболее вероятных распределения:
для бозонов
(Е.7)(Е.8)(Е・9)(Е.7)(Е.8)(Е・9)—1 + ехр (а + р%)， для фермионов
(Е.7)
(Е.8)
(Е・9)
(Е.7)
(Е.8)
(Е・9)
h — + 4 十 ехр (а 十 6%) '工 для классических частиц
Заметим, что Gg3, Сфд и Смб также приводят к выражениям (7), (8) и (9) соответственно. Это обусловлено тем, что множитель NI представляет собой константу н не влияет на результат применения вариационного метода. Физически эту ситуацию можно объяснить следующим образом. Предположим, что система состоит из двух одинаковых частиц. Частица 1 имеет фазовую координату Х^ а частица 2 — координату X?. Положение представляющей точки Л в фазовом пространстве определяется значениями
Х[ = &, X? = &.
Схематически это изображено па рис. Е.1. Другая точка. 4‘, определяется значениями
Х[ = &, X?= 〃].
С точки зрения наблюдателя невозможно отличить состояние / от А\ Одно наблюдаемое состояние является суперпозицией обоих состояпий Л и А1, Если система состоит из N одинаковых частиц;- то каждое ее наблюдаемое состояние представляют N\ точек фазового пространства. На первый взгляд может показаться, что подобная многократность представления одного состояния может
Рис. Е.1. Фазовое пространство системы двух одинаковых частиц. Состояние, представленное точкой А, эквивалентно состоянию, п,редставленному точкой А', а состояние В — состоянию В'. Однако динамический процесс перехода Л — В и А' — В' отличается от динамического процесса А ——В и А' — В.Рис. Е.1. Фазовое пространство системы двух одинаковых частиц. Состояние, представленное точкой А, эквивалентно состоянию, п,редставленному точкой А', а состояние В — состоянию В'. Однако динамический процесс перехода Л — В и А' — В' отличается от динамического процесса А ——В и А' — В.ществешюй. Некоторые авторы, напримерществешюй. Некоторые авторы, напримери Гуггеигейм [201, — не су- Тол меп [851,и Гуггеигейм [201, — не су- Тол меп [851,
Рис. Е.1. Фазовое пространство системы двух одинаковых частиц. Состояние, представленное точкой А, эквивалентно состоянию, п,редставленному точкой А', а состояние В — состоянию В'. Однако динамический процесс перехода Л — В и А' — В' отличается от динамического процесса А ——
В и А' — В.
Рис. Е.1. Фазовое пространство системы двух одинаковых частиц. Состояние, представленное точкой А, эквивалентно состоянию, п,редставленному точкой А', а состояние В — состоянию В'. Однако динамический процесс перехода Л — В и А' — В' отличается от динамического процесса А ——
В и А' — В.
ществешюй. Некоторые авторы, например
ществешюй. Некоторые авторы, например
и Гуггеигейм [201, — не су- Тол меп [851,
и Гуггеигейм [201, — не су- Тол меп [851,
привести к увеличению вероятности этого состояния. Однако точно таким же образом должна была бы возрасти вероятность любого другого возможного состояния. Поэтому, вследствие нормирования общей плотности вероятно
стей, разлпчилгость илистей, разлпчилгость илинеразличимость одинаковых час
стей, разлпчилгость или
стей, разлпчилгость или
тиц не оказывает влияния патиц не оказывает влияния парезультат. Этим, как хоро-
тиц не оказывает влияния па
тиц не оказывает влияния па
шо известно, и объясняется парадокс Гиббса.
Эти рассуждения и сделанный из них вывод могут не удовлетворить читателя. Многие авторы обсуждали проблему «различимости» и «неразличимости» в равновесной статистической механике (см., например, книгу Д. тер Хаара [31J). Значение энтропии, вычисленное для
«различимых» частиц, отличается от энтропии «неразличимых» частиц. Их разность является константой, характерной для данной системы. Некоторые авторы, в том числе тер Хаар, считают разность существенной, а другие, например Фаулер
полагают, что одипаковые классические частицы различимы, а одипаковые квантовые частицы неразличимы. Автор настоящей книги утверждает, что как квантовые, так и классические одипаковые частицы являются неразличимыми, покуда система находится в равновесном состоянии. Это обусловлено тем, что в равновесии состояние любой частицы представляет собой состояние, усредненное по бесконечно большому промежутку времени. Од- па ко в неравновесном состоянии частицы должны быть различимы, как будет показано ниже.
Неоднородные состояния. Рассмотрим снова ту же самую систему из двух частиц. Предположим, что, как и ранее (см. рис. Е.1), Л и А' — две точки, представляющие одно наблюдаемое состояние а. Рассмотрим теперь
■другую пару точек В и 3‘, представляющую другое наблюдаемое состояние В・ Будем считать эти состояния нестабильными, так что система переходит со временем из а в В・ Эволюция может быть изображена двумя возможными наборами траекторий. В первом из пих одна траектория начинается в Л и заканчивается в 5, а другая —— начинается в Л' и заканчивается в В'. При этом обе траектории представляют один и тот же наблюдаемый процесс изменения состояния системы. Во втором наборе траекторий одна начинается в Л и закапчивается в В', а другая — начинается в 4’ и заканчивается в В. Эти две траектории также представляют наблюдаемый процесс. Однако два набора траекторий представляют два разных процесса. Разумеется, только один из наборов будет соответствовать динамическим законам эволюции ). Выбор правильного набора должен проводиться при динамическом исследовании системы частиц. Существенным критерием является условие непрерывности траекторий, поскольку скорости и ускорения частиц всегда конечны. При этом мы неизбежно приходим к выводу, что одинаковые частицы должны быть различимы вследствие непрерывности изменения их динамических переменных.
Дополнительные замечания. В равновесной системе перестановка состояний двух частиц не является динамическим процессом. Но при изучении неравновесных состояний переход от Л к 5 или Вг и от А' к 3’ или В должен осуществляться как динамический процесс. Чтобы признать такое различие, достаточно заметить, что в равновесном случае наблюдение производится в масштабе бесконечно большого времени, а в неравновесном случае ——в масштабе времени конечной длительности. В первом случае нас не интересует, когда именно осуществляется конкретное состояние. Нам достаточно знать относительную частоту его реализации. А во втором случае мы должны проследить временную последовательность переходов от одного состояния к другому.
В квантовых системах не всегда возможно установить подобную последовательность. Это обстоятельство налагает ограничение па- кинетическую теорию квантовых си- стем^ .
ПРИЛОЖЕНИЕ Ж
ИСТОРИЧЕСКИЙ ОЧЕРК РАЗВИТИЯКИНЕТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ
Введение
Мы выделяем следующие три эпохи： (1) 1856—1900. Крепиг, Клаузиус, Максвелл, Больцман и другие положили начало развитию кинетической теории газов. (2) 1900-1935. Основной интерес физики сосредоточивается на квантовой механике, равповеспой статистической механике общих систем, квантовых и классических, и других разделах, по пе па кинетической теории. Кинетическая теория газов в классическом смысле продолжала существовать лишь как математическая задача решения уравнения Больцмана. (3) 1935— . Мы видим возрождение кинетической теории при зпачительпом влиянии на нее квантовой и статистической механики. Прикладные интересы стимулировали переоценку традиционного подхода к решению уравнения Больцмана.
1856-1900
Среди многочисленных, разнообразных, интересных статей, опубликованных Максвеллом, есть десять статей, прсвящеппых кинетической теории газов. Следующие две особенно интересны с газодинамической точки зрепия:
«О динамической теории газов» (1866).
«О напряжениях в разреженных газах, возникающих от неравномерности температуры» (1879).
Относительно первой статьи можно сделать три утверждения: (1) Теория была итогом предшествующих исследований Крепига L51J, Клаузиуса [14] и самого Максвелла, посвященных выводу газодинамических свойств газов из гипотезы, состоящей в том, что «их мельчайшие части находятся в состоянии быстрого движения, причем скорости их растут с ростом температуры» [58J. (2) Больц- мап, очевидно, под влиянием этой теории предложил свое уравнение, более общее и исчерпывающее, чем представлеппые в этой статье уравпепия переноса Мак* свелла. (3) В то же самое время теория Максвелла ука-
зала путь получения уравнений Навье ——Стокса, что было позднее выполнено Чемпеном (1916) и Энскогом (1917). (Уравнения переноса, предложенные Максвеллом, подобны моментным уравнениям, полученным в § 5.1, и метод их анализа подобен методу Чемпепа — Энскога.)
Оценивая максвелловскую динамическую теорию газов с газодинамической точки зрения, следует отметить, что теория основана па предположении, что состояние газа, по крайней мере локально, является близким к термодинамически равновесному и, следовательно, распределение молекул является почти максвелловским, предложенным ранее (в 1860 г.) самим Максвеллом. Казалось, оп полностью сознавал значение этого предположения п дополнил теорию второй статьей, упомянутой выше. (Детальную разработку теории Максвелла и ее применение последующими авторами можно найти в книге Кеннарда «Кинетическая теория газов» [38].)
В 1872 г. Больцман предложил уравнение, получившее название уравнения Больцмана. Существовала тенденция рассматривать уравнение Больцмана просто как тщательно разработанное или абстрактное представление максвелловских уравнений переноса. Такая оценка урав- пепия Больцмана несправедлива. Уравнения Максвелла могут быть эквивалентны уравнению Больцмана, если мы возьмем бесконечное их число. Так как это невозможно, число их должно быть ограничено несколькими первыми уравнениями. Поступив так, мы ограничиваем общность решения, что свойственно решению Чепмена ——Энскога. Иными словами, рассматриваемый газ должен быть близким к термодинамически равновесному. Область применимости уравнения Больцмапа значительно шире: оно справедливо для описания явлений газодинамики разреженных газов. Как отмечено Максвеллом во второй из упомянутых статей, в этих явлениях состояние газа может значительно отклоняться от термодинамического равпове- .сия, п максвелловские уравнения переноса перестают быть сираведливьши. После того как было пред.иожепо уравнение Больцмапа, физика, казалось, потеряла всякий интерес к кинетической теории как к основе газовой динамики. Кинетическая теория продолжала существовать как прикладная математическая теория решения уравнения Больцмана по пути, указанному Максвеллом в первой
статье. Один из методов был разработан Чепменом (1916) II Энскогом (1917). (До Чепмена п Эыскога в этом направлении были проделаны фундаментальные математические исследования Гильбертом и другими; см. книгу Чепмена 11 Каулпнга [12].) Метод Чепмена — Эпскога даст точное математическое решение уравнения Больцмана при условии, что плотность газа и, следовательно, частота молекулярных столкновений велики, так что состояние газа, по крайней мере локально, является близким к термодинамически равповеспому. Отклонение локально равновесного состояния от термодинамически равновесного зависит от степени макроскопической неоднородности газа. Теория основана на итерационном методе получения решения в виде ряда по обратным степеням плотности газа, первым членом ряда является максвелловская функция. Ограниченные возможности рассмотрения таких сложных итераций позволяют пам произвести лишь несколько первых шагов итераций; поэтому чрезвычайную важность приобретает не просто сходимость, по быстрая сходимость разложений. Справедливость решения Чепмена ——Энскога зависит от выполнения условия, состоящего в том, что состояние рассматриваемого газа только слабо отличается от теплового равновесия, как это было в случае уравнений переноса Максвелла.
С точки зрения общего развития физики уравнение Больцмана является полезным средством прояснения статистического смысла теплового равповоспя, тепловых флуктуаций, энтропии, необратимых тепловых явлений и т. д., что было показано в 1912 г. в обзоре Эрепфестов [161. Основываясь на своем уравнении, Больцмап предложил Я-теорему, которая утверждает, что распределение частиц пространственно однородного газа всегда, независимо от начального распределения, в конечном итоге переходит в распределение Максвелла — Больцмана. Возражение Лошмидта (1876, 1877) против Я-теоремы основано па том, что поведение изолированной газообразной системы должно быть обратимо, откуда следует обратимость процесса, рассмотренного Я-теоремой. Цермело (1896), основываясь на теореме Пуанкаре из аналитической механики, утверждал, что поведение системы многих тел должно быть почти периодическим. Отметим, что эти возражения против 77-теоремы базируются на микроскопы-
ческом рассмотрении изолыровапной системы, в то время как ^-теорему следует оценивать в статистическом смысле. В ходе этих дискуссий был прояснен статистический смысл гипотезы Stosszahlansatz, на которой основан вывод интеграла столкновений Больцмана. Можно сказать, что построение Биркгофом, Хипчиным и другими современной эргодической теории является следствием этих дискуссий. Правда, эта теория (см. обзор [181) относится в основном к равновесной статистической механике. Естественно, при более глубоком проникновении в существо дела аргументы Лошмидта и Цермело можно оценить с точки зрения кинетической теории, имеющей дело со стохастическими процессами в неравновесных газовых системах.
Основатели кинетической теории газов, например PJpouiir, Клаузиус, Максвелл и Больцмаи, были полны энтузиазма и желания объяснить термодинамические и газодинамические явления на основе гипотезы, заключающейся в том, что газ состоит из большого числа мельчайших частиц, каждая из которых ведет себя согласно точным законам механики (законы Ньютона). Об отношении Максвелла к этой гипотезе можно судить по его утверждению о демоне (в работе «Теория теплоты» (1871), цитируется но книге Джинса [37]):
«Один из наиболее достоверно установленных фактов термодинамики состоит в том, что в системе, заключенной в оболочку, пе допускающую пи изменения объема, пи притока тепла, и в которой температура и давление всюду одинаковы, нельзя создать какую бы то пи было пе- равпомерпость температуры или давления без затраты работы. Это — второй закон термодинамики, и он, без сомнения, справедлив, пока мы имеем л дело только с те- “анн в целом, а не пытаемся рассматривать отдельные молекулы, из которых состоят эти тела. Но если мы придумаем существо, способности которого столь обострены, что оно может проследить за движением каждой молекулы, то такое существо, свойства которого все еще почти столь же ограничены, как и наши собственные, смогло бы делать то, что в настоящее время для пас невозможно. Мы видолп, что молекулы в сосуде, заполненном воздухом, при постоянной температуре движутся со скоростями, которые никоим образом не являются одинаковыми, хотя средняя скорость любого большого числа произволь-
но выбранных молекул почти постоянна. Предположим теперь, что такой сосуд разделен на две части, А и Б, перегородкой с отверстием и что существо, могущее видеть отдельные молекулы, открывает и закрывает это отверстие, позволяя проходить в направлении от А к Б только быстрым молекулам, а от Б к А — только медлон- ньглг. Таким образом, опо будет без затраты работы повышать температуру в Б и поштжатъ в А, в противоречии со вторым законом термодинамики».
В интеграле столкновений Больцмана осуществляется остроумное объедипешге модели континуума) и молекулярной гипотезы: из попрерывпого облака вероятпостп появляется пара изолированных молекул, они сталкиваются ;(руг с другом, подчиняясь динамическим законам Ньютона, а затем снова исчезают, как бы растворяясь в атом скоплоппи.
В 1895 г. Больцдгап пишет: «Теория газов вышла из лгоды в Германии».
В 1898 г. он пишет: «Я отдаю себе отчет в том, что являюсь только индивидуумом, слабо борющимся с течением времени. Но в моей власти еще остается возможность делать такие вклады в пауку, благодаря которым при возрождении теории газов не придется слишком многое открывать вповь».
Отметим,叮то О, Е. Мейер создал довольпо интуитивный метод рассмотрения явлений переноса, отличающийся от метода Максвелла. (Подход Мейера был ближе к теории Клаузиуса.) По-видимому, очевидный прямолинейный метод привлекал в то время мпогих авторов для вычисления значений коэффициентов переноса. Эти авторы, однако, были поставлены в тупик противоречивостью своих результатов. Это положение хорошо описано в «Динамической теории газов» Дждаса и в «Теории газов» Больцмана. Наконец, Больцман заявил: «Следовательно, мы получялрх ясное доказательство петолпости всех этих расчетов». Как объяснялось, однако, в § 5.3, эти расчеты были правильны, ошибка была в их интерпретации. (Интуитивные соображения Мейера были восприняты
Батнагаром, Гроссом и Круком в 1954 г., предложившими простую замену уравнения Больцмана. Благодаря своей простоте БГК-уравнение стало популярно, особенно среди газодинампков. Следует, однако, предостеречь от воз- Агожпостей его неверного применения или интерпретации.)
В итоге кинетическая теория газов преуспела в объяснении различных явлений в газах. Все же в этот период было еще много физиков, выступавших против кинетической теории. Основные причины недоверия заключались в следующем:
В то время физические и динамические характеристики молекул не были хорошо известны. С точки зрения классической динамики движущаяся одноатомная молекула должна иметь шесть степеней свободы, по из экспериментальных результатов по удельной теплоемкости следовало, что число степеней свободы равно трем. Остальные три степени свободы не существовали бы только в том случае, если бы одноатомная молекула была идеальной материальной точкой, что невероятно. Кроме того, из эксперимепт а льпых результатов по удельной тепло- екгкости следует, что у двухатомных молекул пет внутренних колебательных степеней свободы.
Больцман получил свое уравнение в достаточной степени интуитивным способом. Еще оставалась широкая и туманная брешь между уравнениями движения Ньютона для составляющих газ молекул и уравнением Больцмана. Вот почему Цермело, Лошмидт и другие поднимали вопросы, па которые можно было бы ответить только после решения радикальной проблемы вывода уравпепия Больцмана из уравнений движения Ньютона управляющих микроскопическим поведением молекул.
1900-1935
В 1902 г. Гиббс заложил основы статистической механики, рассматривая общие механические системы в состоянии теплового равновесия на базе уравнений Гамильтона.
Гиббс отказался от усилий своих предшественников добиться единства между молекулярной гипотезой и термодинамическими явлениями. Он пишет: «Хорошо известно, что, хотя теория приписывает каждой молекуле (двух-
атомного) газа шесть степеней свободы, паши опыты с теплоемкостью приводят к учету не более пяти степеней. Конечно, тот, кто основывает свою работу па гипотезах, касающихся строения материи, стоит па ненадежном фундаменте. Затруднения этого рода) удержали автора от попыток объяснения тайп природы и заставили его удовлетвориться более скромной задачей вывода некоторых более очевидных положений, относящихся к статистической отрасли механики. При этом здесь уже не может быть ошибки с точки зрения согласия гипотез с фактами природы, ибо в этом отношении ничего и не предполагается. Единственной ошибкой, в которую можно впасть, является недостаточное согласие между предпосылками и выводами, а этого, при некоторой осторожности, можно надеяться в основном избежать».
Эта философия Гиббса, выраженная в предисловии к его «Основным принципам статистической механики», не была повой в то время. Его утверждение напоминает пам Оствальда и Маха, которые в прошлом столетии настаивали па том, что теории, постулирующие скрытые явления, должны быть изгнаны из пауки. Что касается науки о теплоте, то в прошлом веке было три главных метода рассмотрения термодинамических явлений. Первый (Клаузиуса, Максвелла, Больцмана и др.) основывался па гипотезе о молекулярном строении вещества. Второй, подобный методу Гиббса, развивался Гельмгольцем и др., а третий метод, как подчеркивал Плапк,— чисто термодинамический.
Ввиду вышеприведеппого заявления Гиббс, очевидно, ограничился областью, более безопасной с точки зрения ошибок, которые могли быть порождены припятием гипотезы о молекулярном строении вещества. Таким образом, его усилия сосредоточиваются па рассмотрении стационарных состояний и энергетических соотношений. Он вводит понятие ансамбля и постулирует, что среднее, полученное в результате последовательных проведений одного и того же эксперимента с одной системой, будет
согласовываться со средним по ансамблям ). (Отмотпм, что временный масштаб ого экспоримепта бсскопочпо велик.) Гиббс поступал так, чтобы устранить возможные ошибки, по, возможно, он полагал, что за кулисами ого теории все же оставалось еще что-то пеопредолеппое. В его статистической механике практически нет кинетической теории газов в буквальном смысле, скорое ее следует считать эвристическим введением в статистическую механику общих динамических систем, образующих различные ансамбли. Гиббс пачипаот теорию с иптерпрета- цш! уравнения Лиувилля как уравнения, описывающего эволюцию распределения вероятности одинаковых систем в фазовом пространстве). На этом основании Гиббс делает вывод, что распределение одинаковых систем, принадлежащих одному ансамблю, характеризующему реальную систему в тепловом равновесии, остается неизменным. В связи с этим он получает стационарное решение уравнения Лиувилля, похожее на функцию распределения Максвелла. Существенная черта этой теории состоит в том, что из рассмотрения полностью устраняется индивидуальность частицы; если опа существует, то это учи-
тывается числом степеней свободы всей системы, абстрактно описываемой с помощью обобщенных коордппат. Основное внимание в этой теории сосредоточепо на рас- пределопии энергии. (В противоположность этому в интеграле столкновеппй Больцмана мы видели остроумное введение индивидуальности частицы.) Однако благодаря препебрежопию ипдивидуалыюстыо частицы Гиббс преуспел в абстрактном аксиоматическом построении равпо- воспой статистической механики. Но теория Гиббса пе касается вопроса, который представляет главный интерес для кинетической теории, имеющей дело с дипамическои эволюцией (стохастическим поведением) системы.
Позднее, однако, достаточно скромный метод Гиббса, казалось, стал позитивным принципом. В 1938 г. Толмон [85] говорит: 《На первый взгляд могло показаться, что более старая точка зрения, основанная па эргодической гипотезе, дает более удовлетворительное обоснование статистической механики, чем точка зрения, принятая в этой книге. Во-первых, более старые исследования базировались главным образом на гипотезе, которая могла бы быть действительным следствием точных законов механики, в то время как наше исследование основывается на определенном постулате об априорных вероятностях, который может быть подтвержден только в том случае, если его следствия будут соответствовать статистическим закономерностям. Следовательно, нужпо признать, что точка зрения первооткрывателей не полностью отражает статистический характер рассматриваемых задач. Находясь под впечатлением точного характера принципов классической механики, а также регулярности макроскопического поведения систем, составленных из многих молекул, они, очевидпо, надеялись обосновать действительно точные результаты для таких систем, введя временно гипотезу, которая сама могла быть, в конечном счете, обоснована исходя из принципов самой механики. При этом опи недостаточно понимали необходимость дополнительного существенно статистического предположения».
Хотя в ранее цитированном утверждении Гиббса мы фактически видим тот же смысл, позиция Толмопа более увереггпая и позитивная. Различие может быть следствием нового развития квантовой мехапики, происшедшего за время между выходом кпиг Гиббса (1902) и Толмепа
(1938); неопределенность и вырожденность являются основными принципами квантовой механики. Вероятно, выраженные Толменом мысли были общими для многих ученых того времени. Конечно, следует отметить, что га- зодиналшческие явления представляют лишь малую часть обширного мира явлений статистической физики. Утверждение Толмепа может быть справедливо, по пе для газодинамических явлений (см., например, приложение 1 в кпиге тер Хаара [31]).
В 1900 г. Планк предложил свою теорию излучения, в которой он ввел гипотезу кванта действия. Следует отметить, что Планк использовал функцию распределения Максвелла — Больцмана, хотя и своеобразным путем, для получения распределения энергии излучения, известного теперь как распределение Бозе ——Эйнштейна.
Последующее развитие квантовой теории пролило свет па динамические характеристики корпускул (электроны, атомы и молекулы) и, следовательно, па загадку уделыюй теплоемкости: 1) Моменты импульса электрона и атомов относительно внутренних осей, епппы, имеют порядок плапковского кванта действия h. Следовательно, ими можно пренебречь в том ириближеппи, в котором пренебрегают величиной 无，т. е. эти частицы могут быть моделированы идеальными материальными точками (Уленбек и Гаусмит (1925)). (2) Внутренние колебания двухатомной молекулы не возбуждаются до тех пор, покуда энергия возбуждающего возмущения пе достигнет некоторого достаточно высокого уровня (Эрепфесты [16]).
Эти открытия Эйнштейна, Эрепфестов, Улепбека, Гаус- дптта, Паули и других в первой четверти этого века были благоприятными для кинетической теории, так как эти факты нетрудно учесть в прежних рамках кинетической теории. Одпако в то же время было доказано: в различных системах существует кваптовомехапическое вырождение, а это может поставить uoq вопрос классическую ки- петическую теорию.
Отметим, что вырождение появляется пе в результате установления теплового равновесия (термализации) в классическом смысле, оно характерно для самого существования системы. Однако позднее Юлинг и Уленбек [871 и Месси и Мор (1933) показали, что среднее действие в газах обычно много больше квапта действия Планка и,
следовательно, модель столкновений Больцмана остается справедливой. Кроме того, можно полагать, что квантовомеханическое вырождение состояния, которое характерно для связанных электронов в молекулах и металлах, не является существенным для молекул газа при обычных условиях.
Хотя точка зрения Гиббса — Толмена является преобладающей, некоторые авторы, по-видимому, склоняются в пользу молекулярной гипотезы ) (см., например, статью Эренфеста L16J). После описания применения метода кинетической теории к электронам в металлах Лоренц (1909) высказал свое утверждение в следующем виде:
«Этого краткого обзора достаточно, чтобы показать, что электронную теорию следует рассматривать как распространение па область электричества молекулярной и атомной теорий, которые уже вполне оправдали себя во многих отраслях физики и химии. Как вся атомистика, так, в частности, и электронная теория, естественно, встречают неблагоприятное отношение со стороны некоторых физиков, которые предпочитают прокладывать свой путь через повью и неисследованные области, следуя широким, торным научным путем в виде заколов термодинамики, или приходят к важным и красивым результатам, ограничиваясь простым описанием явлений и их взаимных соотношений при помощи системы подходящих уравнений. Никто пе может отрицать, что эти методы имеют свою прелесть и что, следуя им, мы все время чувствуем под собой твердую почву, тогда как в молекулярных теориях слишком предприимчивый физик часто p?ic-
кует потерять дорогу или отклониться от нее в погоне за каким-нибудь обманчивым призраком успеха.
Мы не должны забывать, однако, что эти молекулярные гипотезы могут гордиться некоторыми такими результатами, которых никогда нельзя было достигнуть методами чистой термодинамики или при помощи уравпеппй электромагнитного поля в их самой общей форме. Эти результаты хорошо известны всем, изучавшим кинетическую теорию газов, теорию слабых растворов, электролитическую теорию и теорию возникновения злектрического тока путем переноса ионов. Равным образом плодотворности этих гипотез пе может отрицать тот, кто следил за великолепными исследованиями Дж. Дж. Томсона и его сотрудников в области электрической проводимости газов».
1935-
После разработки основ квантовой и общей статистической механики возродилось прежнее стремление вывести кинетическую теорию на базе классического уравнения Лиувилля для системы (как и ожидал Больцман в 1898 г.). Исходя из такой предпосылки, Ивон, Кирквуд, Борп и Грип и Боголюбов независимо друг от друга опубликовали сходные теории. (Ивон и Борп и Грип, по-видимому, интересовались больше жидкостями, чем газами.) В отличие от Гиббса, который в своей теории также исходил из уравнения Лиувилля, эти авторы интересовались эволюцией состояния газа, обусловленной взаимодействием между молекулами газа. В этих теориях мы видим возрождение старых представлений Крепига, Клаузиуса, Максвелла и Больцмана, по в то же самое время чувствуем сильное влияние Гиббса и квантовой механики, проявившееся, в частности, в использовапии предположения о симметрии плотности подобных систем в фазовом пространство относительно залшпы координат фазового пространства у пары одинаковых частиц.
Боголюбов считает само собой разумеющимся, что плотность в фазовом пространстве всегда симметрична относительно замены координат любой пары одинаковых частиц. Кстати отметим, что кваптовомеханическая плотность вероятности вырожденной системы всегда симметрична. Вследствие этого предположения вывод Боголю-
бовым уравнения Больцмана не вполне последователен. Строго говоря, абсолютная симметрия и классическая (пе квантовая) модель столкновений Больцмана несовместимы.
Кирквуд подчеркивает, что состояние системы следует усреднять вдоль ее траектории в фазовом пространство. Оп отдавал себе отчет в том, что период времени, по которому проводится усреднение, должен быть коротким в макроскопическом смысле, чтобы неоднородность газа по сглаживалась операцией усреднения. Тем не менее оп утверждает, что система, подлежащая усредпепию, выбирается случайным образом среди систем, составляющих ансамбли Гиббса. Так как апсамбль Гиббса определяется главным образом по энергиям (интеграл движения изолированной системы), то нельзя ожидать, что система, выбранная наудачу из ансамбля Гиббса, будет обнаруживать собственно макроскопические дипамичоскио характеристики, такие, как касательные напряжения, теплопроводность п т. д. (В общем случае такие величины по являются интегралами движения изолированпой системы.) Несмотря па соответствующий метод усреднения по времени, Кирквуд допустил ошибку, нс следуя ему достаточно последовательно и настойчиво (по-види- мому, вследствие сильной привязанности к ансамблям Гиббса).
Для дальнейшего развития кинетической теории газов, в ее буквальном смысле, совершенно необходимо выяснить, к чему приводит влияние па пео идеологии ансамблей Гиббса и принятие предположения о симметрии (тесно связанное с гипотезой о равенстве априорных вероятностей). Ввиду серьезности этого утверждения проиллюстрируем его смысл на следующем примере. Предположим, что с газом, содержащимся в сосуде, проводился некоторый эксперимент. (Не будем предполагать, что стенки сосуда являются твердыми, пеподвижпыми, адиабатическими и т. д. Состояние стопок регулируется в макроскопическом смысле как часть процедуры эксперимента, они могут быть гибкими, деформируемыми, могут проводить тепло и т. д.) Эксперимент начинается по секундомеру в момент времени 0 и оканчивается в момент Т. Очевидно, макроскопическое состояние газа в некоторой фазе эксперимента в момент 灰 должно представлять-
ся одной точкой в соответствующем фазовом пространстве, даже если ее положение нельзя указать с микроскопической точностью. Если макроскопически один и тот же эксперимент повторяется много раз, точка в фазовом пространстве, представляющая микроскопическое состояние газа в момент времени 厶 во время одного эксперимента, может отличаться от фазовой точки, представляющей микроскопическое состояние газа в тот же люмепт во время другого эксперимента. Однако путем многократного повторения одного и того же макроскопического эксперимента получается некоторое соотношение между начальным и конечным состояниями. При этом вводятся следующие предположения:
Средний результат повторных экспериментов эквивалентен результату единственного воображаемого эксперимента с газом, состояние которого представляется пе единственной точкой в фазовом пространстве, а облаком плотности вероятности.
Плотность вероятности описывается уравнением Лиувилля.
Макроскопические параметры газа, через которые выражаются макроскопические законы, получаются путем усреднения по облаку плотности вероятности. При проведении этой операции используется предположение о симметрии облака плотности вероятности относительно замены фазовых координат любой пары одинаковых частиц.
Допустимость этого предположения совершенно пе- определенна и сомнительна по следующим причинам:
Очевидно, что всякий эксперимент проводился с одной системой, даже если точное положение системы- в фазовом пространстве в кал^дый момепт времени неизвестно. Эволюция системы происходит определенным образом, несмотря па микроскопическую неопределенность, существующую для макроскопического наблюдателя.
Даже если считать само собой разумеющейся допустимость рассмотрения облака плотности вероятности, существует пе один способ операции усреднения. В общем случае каждый способ может дать свой результат. Предположим, например, что есть десять вращающихся волчков, у каждого из которых нарушено распределение массовой плотности около ожидаемой оси симметрии.
Предположим, что, найдя геометрическое и статистическое (арпс^метичоское) среднее распределение масс, получим идеально симметричный воображаемый волчок. В общем случае среднее поведение десяти волчков и поведение воображаемого волчка различны, так как соответствующий динамический закон пе линеен относительно рсюиределопия масс.
Операция усреднения, основанная на предположении о симметрии плотности вероятности в фазовом пространство, является одной из многих допустимых различных операций усреднения. Обоснование того пли иного выбора является долом пе аксиоматического построения, а разумного исследования.
Конечно, мы не забываем о громадном успехе Гиббса в установлении его статистической механики, основанной на предположении симметрии. Но есть большая разница между теорией Гиббса и кинетической теорией. В теории Гиббса основной рассматриваемой величиной является энергия — интеграл движения изолированной системы (однородный интеграл, по Фаулеру), причем полная энергия системы является арифметической суммой энергий иастмп, составляющих систему. В теории Гиббса пе рассматриваются динамические процессы, которые в общем случае описываются уравнениями, нелинейными относительно физических параметров частиц. С другой стороны, в кинетической теории такие нелинейные процессы, как столкновения, существенны. (Недостаточно рассматривать просто полные энергии каждой частицы до и после столкновения, надо рассмотреть еще и импульсы.) Кроме того, такие величины, как напряжения, скорость теплопередачи, пе являются интегралами движения изолированной системы. Поэтому a priori пет никаких причин взять ансамбль Гиббса за основу кинетической теории и считать само собой разумеющимся предположение" спмметриц. Нужно более серьезно исследовать даже саму допустимость этих подходов.
Короче говоря, предположение симметрии является неким воплощением гипотезы равных априорных вероятностей. Совсем без этой гипотезы мы пе сможем подойти к изучению систем многих частиц, но применение ее должно определяться конкретными условиями. Если мы имеем дело с газодипамическими явлениями (состояния
в процессе эволюции) в системах, пе находящихся в тепловом равновесии, то сущоствошю при примоиопии этой гипотезы рассматривать прострапствеппыс и времеппые масштабы, характериыс для этих явлений. (Отмстим, что ансамбли Гиббса представляют равновесные системы, для которых временной масштаб наблюдения бесконечно велик.) Применение гипотезы определяется пе постулатом, а исследованием.
В технологических процессах происходят различные газовые явления, которые пе охватываются кинетической теорией. Например, известно, что интеграл столкновений Больцмапа расходится в случае ионизованных газов, поэтому пужеп более радикальный подход, осповаппый па уравпепии Лиувилля или па уравнениях Гамильтона. Но допустимость теории, основанной па цепочке ББГКИ, очепь сомнительна; даже в простом случае предположе- пия о бинарности столкповепий для попизоваппых газов не удается последовательно получить уравпепие Больцмана. (Конечно, нот доказательства полной корректности уравпепия Больцмапа, но известно, что уравпение это справедливо, по крайней мере, как эмпирическое. Кроме того, соответствующее уравнение, последовательно полученное в теории ББГКИ, оказывается пе лучше уравпепия Больцмана; см. § 4.3.)
Что касается ударных воли и пограничных слоев в гиперзвуковых течениях нейтральных газов, то в общем случае уравнение Больцмапа считается .справедливым： Однако там часто средние длины свободных пробегов молекул являются макроскопическими величинами, а градиенты изменения параметров ——очень большими, вследствие чего метод Чепмена ——Энскога решения уравпепия Больцмана не годится. В своей ранее цитированной статье Максвелл сознавал, что возможны явления, для описания которых его уравнения переноса, равно как и решение Чепмена ——Энскога, не справедливы. Но в его время эти явления не были столь обычными, как сегодня. Максв ел лов ский подход, разработанный в вышеупомянутой статье, был унаследован Милликеном, Эпштейном и другими исследователями движения объектов малых размеров в разреженных газах, а позднее теми, кто исследовал гиперзвуковые течения. Обзор этих работ приводится в учебнике Кепнарда [381.
Грэд [22] и другие пытались вывести из уравнений Больцмана общие макроскопические уравпопия, падсясь, что результаты будут справедливы для тех явлений, для которых не справедливы пи уравнения переноса Максвелла, ни метод Чепмена — Энскога. Но, видимо, никто из них но добился успеха. В данный момент мы должны быть удовлетворены методами ad hoc, вроде, паиримор, метода Мотт-Смита [63] решеппя урависшш Больцмана в задаче об ударных волнах.
Подчеркпем в заключение, что вопрос о применении кинетической теории газов в газовой дипампке должен решаться с учетом следующих соображений:
Нельзя ожидать, что существует кваптовомсхапи- ческое вырождение состояний частиц в обычных газах, особенно в случае малой плотности и большой температуры.
При протекании газодинамических явлений газ нс является термодинамически равновесным. Качсствсппое отличие его состояния от равновесного определяет правильный выбор между методами статистической механи- кн и кипетической теории.
Сходные результаты экспериментов, повторяемых при макроскопически подобных условиях, могли бы стать основой для предположения о форме возможного опроде- лятощего ансамбля. Но нужно отметить, что ансамбли, способные представить специфические газодинамические явления, отличаются от апсамблсй Гиббса.
Состояние газа не всегда близко к тепловому равновесию. При этом фупкция распределения Максвелла пе имеет преимущества при выборе первого приближспия.
ЛИТЕРАТУРА
Allis W. P. Motion of ions and electrons.— Handbucli Phys., 1956, v. 21, p. 430.
Balcscu R. Irreversible processes in ionized gases.— Phys. El, 1960, V. 3, № 1.
Б a p д и и Д ж., Купер Л., Ш p и ф ф e p Д ж. Теория сверхпроводимости: Перев. с англ.——В кп.: Теория сверхпроводимости.— М.: ИЛ, 1960.
Bhatnagar Р. L., Gross Е. Р. and К г о о k М. Model for collision processes in gases — Phys. Rev., 1934, v. 94, p. 511.
Боголюбов IL H., M п т ])о n о л ь с к и й 10. А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний.— М.: Гос- техиздат, 1955.
Боголюбов Н. Ы. Проблемы динамической теории в статистической физике.——М.——Л.: Гостехиздат, 1946.
Boltzmann L. Weitere Studien iiboi das Warmcgleichge- wicht unter Gasmoleculen.— Wien В er., 1872, Bd 66, S. 275.
Больцман Л. Лекции по теории газов: Перов, с нем.— М.: Гостехиздат, 1956.
Born М. and Green Н. S. A general kinelic theory of liquids.— Proc. Roy. Soc. (London), 1946—1947, v. A 188, p. 10; v. A 189, p. 103; v. A 190, p. 455.，
В u r b u г у S. H. Boltzmann^ minimum function.— Nature, 1895, V. 51, p. 78.
Чандрасекар G. Стохастические проблемы в физике и астрономии: Перев. с англ.— М.: ИЛ, 1947.
Ч е м п м е п С., К а у л и н г Т. Математическая теория неоднородных газов: Перев. с англ.——М.: ИЛ, 1960.
С h u С. К. Kinetic-theoretical description of shock wave formation.—Phys. FL, 1965, v. 8,卩.12; v. 8, p. 1450.
Clausius R. Uber die Art der BcAvcgung, welclie wii War- mc nennen.— Ann. Phys., 1957, Bd 100, S. 353.
К у p а п т Я., Гильберт Д. Методы математической физики: Перев. с аигл.——М.: Гостехиздат, 1951.
Е h г е n f е s t Р., Ehrenfest Т. Begrifflicke Grundlagen der statistische Auffassung in der Mechanik.— Encyklopedie d. mathematischen Wissenschaften (Leipzig), 1912, № 2, Bd 11, Heft 6.。
Эпштейн П. G. О сопротивлении сфер при движении в газах: Перев. с аигл.— В кн.: Газовая динамика,— М.: ИЛ. 1950.
F а г q u 11 а г I. Е. Ergodic Theory in Statistical Mechanics.— London: Interscience Publishers, 1964.
Fowler R. H. Statistical Mechanics, 2nd ed.— Cambridge: Cambridge University Press, 1936.
Фаулер P., Гуггенгейм E. Статистическая термодинамика: Псрев. с апгл.— М.: ИЛ, 1949.
Г и б б с Дж. Основные принципы статистической механики: Перов, с апгл.— М.: Гостехиздат, 1946.
Трэд Г. О кинетической теории разреженных газов: Перев. с англ.— В сб.: Механика, 1952, № 4, 5.
Grad Н. Statistical mechanics, thermodynamics and fluid dynamics of systems with an arbitrary number of integrals.— Comm. Pure Appl. Math., 1952, v. 5, p. 455.
Трэд Г. Принципы кинетической теории газов: Перев. с англ.——В кп.: Термодинамика газов.——М.: Машиностроение, 1970.
Green Н. S. Molecular Theory of Fluids.— Amsterdam: North-Holland Publishing Company, 1952.
Green H. S. The structure of liquids.— Handb. Phys., 1960, v. 10, p. 1.
Green M. S. Statistical mechanics and the Bolzmann equation.— Proc. Int. Symp. Transp. Proc, in Stat. Meeh. (Brussels, 1956).—New York: Interscience Publishers Inc., 1958.
Gross E. P., К г о о k M. Model for collision processes in gases: small-amplitude oscillations of charged two-component systems.— Phys. Rev., 1956, v. 102, № 3.
Gross E. P., Z i e r i n g S. Heat flow between parallel plates.— Phys. Fl., 1959, v. 2, № 6.
Gross R. A. Strong ionizing shock waves.— Rev. Mod. Phys., 1965, v. 37, p. 724.
Ter Haar D. Elements of Statistical Mechanics.— New York: Holt, Rinehart and Winston, 1954.
Тер X a a p Д. Осповапия статистической мехапикп: Перев. с англ.— УФН, 1956, т. 59, вып. 4.
Гиршфельдер Д ж., Кертис Ч., Берд Р. Молекулярная теория газов и жидкостей: Перев. с апгл.— М.: ИЛ, 1961.
Holtsmark J. Uber die Verbrciterung von Spektrallinien.— Ann. Phys., 1919, Bd 58, S. 577; Phys. Z., 1919, Bd 20, S. 162; 1924, Bd 25, S. 73.
Hubbard J. The friction and diffusion coefficients of the Fokker — Planck equation in a plasma.— Proc. Roy. Soc., 1961, v. A 260, p. 114; V. A 261, p. 371.
I k ел b с г г у S. and Truesdell C. On the pressure and the flux of energy in a gas according to Maxwell's kinetic theory.— .T. Rat. Mec. Anal., 1956, v. 5, p. 1.
Jeans J. H. The Dynamical Theory of Gases, 4tli edCambridge: Cambridge University Press, 1925.
Kennard E. H. Kinetic Theory of Gases.—New York: McGraw-Hill, 1938.
X и н ч и н А. Я. Математические осповаппя статистической механики.— М.: Гостехиздат, 1947.
Kihara Т., Aono О. and I I i к a w a Y. Unified theory of relaxations in plasma, I, II.— J. Phys. Soc. Japan, 1963, v. 18, p. 837, p. 1043.
Kirkwood J. G. The statistical mechanical theory of transport processes.— J. Ghem. Phys., 1946, v. 14, p. 180; 1947, v. 15, p. 72.
Kirkwood J. and Ross J. The statistical mechanical basis of the Boltzmann equation.— Proc. Int. Symp. Transp. Proc, in Slat. Meeh. (Brussels, 1956).— New York： Interscioncc Pub- lisliers Inc., 1958.
Koga T. A proposal for fundamental equations of dynamics of gases under high stresses.— J. Ghem. PJiys., 1954, v. 22, № 10.
Koga T. Extended interpretation of the Boltzmann — Maxwell equation.— J. Ghem. Phys., 1955, v. 23, № 42.
Koga T.— Memoirs of Faculty of Engineering Nagoya University, 4 957, V. 9, p. 274.
Koga T. Model of molecular binary collisions — Pliys. Fl., 1959, v. 2, № 5.
Koga T. Transport plicnomena in a fully ionized gas confi~ nod in a strong magnetic field.— Phys. FL, 1961, v. 4, № 7.
Koga T. Reconsideration of Lhc collision model proposed by Bhatnagar, Gross and Krook.— Nuovo Gim., I9G5, v. 2(), № io.
Kramers IT. S. On the behaviour of a gas near a wall.— Nuovo Gim., 1949, v. 6, Suppl. № 2.
Krook M. Conlinuum equations in the dynamics of rarefied gases.— J. Fl. Meeh., 1952, v. 6, № 41.
К p c ii и г А. Основания теории газов: Псрев. с апгл.— В кн.: Некоторые задачи современной аэродинамики,— М.: ИЛ, 1961.
Крылов Н. М., Боголюбов II. II. Введеипе в нелинейную механику.— Киев: АН УССР, 1937 (см. также: Боголюбов IL II. Избранные труды в 3-х томах, том I.— Киев: Наукова думка, 1969).
Л а м б Г. Гидродинамика： Перов, с англ.— М.: Гостехиздат, 1947.'
Ландау Л. Д., Л и ф ш и ц Е. М. Квантовая механика.— М.: Наука, 1974.
Liouville J.— J. Math. Pures Appl., 1838, v. 3. p. 348.
Lorentz H. Л. The Theory of - Electrons.— New York: Dover Publications Inc., 1909.
Месси Г., Б a p x о п E. Электронные ti потшые столкпо- вештя: Перов, с аш.— М.: ИЛ, 1958.
Maxwell J. С. On the dynamical theory of gases.—Phil. Trans., 1866, V. 157.
Maxwell J. G. On Boltzmann's theorem on the average distribution of energy in a system of material points.— В кн.: Scientific Papers of Maxwell.— New York: Dover Publications Inc., 1876.
Maxwell J. C. On stresses in rarefied gases arising from inequalities of temperature.— In.: Scientific Papers of Maxwell.—New York: Dover Publications' Inc., 1879.
M а й e p Дж. Теория реальных газов: Перев. с англ,— В кн.: Термодинамика газов.— М.: Машиностроение, 1970.
Милликен Р. А. Коэффициенты сколь?коппя в газах н закон отражения молекул от поверхности твердых тел и жидкостей: Псрев с аигл.——В ки.: Газовая динамика.——М.: ИЛ, 1950.
М о т т - С 虱 и т Г. М. Решепне уравнения Больцмапа для ударпой волны: Псрев. с англ.— В сб.: Механика, 1953, № 1.
Wavier С. L. М.. IL Memoire sur les Lois clu Mouvernent des Fluides.— Mem. Acad. Sci., 1822.
Oberman C., Ros A. and Dawson J. Higli-frcqucncy conduclivily of a fully ionized plasma.— Phys. Fl., 1962, v. 5, p. 1514.'
Ono S. The Boltzmann equation in quantum slalislical mechanics.— Proc. Int. Symp. Transp. Proc, in Sial. Mecli. (Brus- -seis, 1956).— New York: Intersciencc Publishers Inc., 1958.
G7. План к M. Термодинамика.— М.— Л.: ОНТИ, 1925.
Poincare Н. Memoire sur les courbcs defines par une equation dil'ferentielle.— J. Math. Purcs Appl., 1881, scr. 3, p. 375; 1882, scr. 8, p. 251.
Poincare Ы. Les Methodes Nouvcllcs de la Mechaniquc Gelelc, v. 1, chap. 6.—~ Paris, 1892.
Poisson S. D. Memoirs sur les Equations Generalcs de 1'Equilibre ct du Mouvernent des Corps Solides Elastiques et des Fluides.— J. TEcolc Polytcclin., 1829, v. 13, p. 1.
Prigogine I. and В a 1 e s c u R. Irreversible processes in gases, I, II.— Pliysica, 1959, v. 25, p. 281; v. 25, p. 302.
R о s t о k о r N. and Rosenbluth M. N. Test particles in a completely ionized plasma.— Phys. FL, 1960, v. 3, p. 1.
P о у л и ц с о и Дж. Свойства реальных газов: Псрев. с аш\ч.— В кн.: Термодинамика газов. — М.: Машиностроение, 1970.
Ruark А. Е. The limits of accuracy in physical measurements.— Proc. Nat. Acad. (U. S. A.), 1924, v. 14, № 4.
De Saint-Venant B.— Gomplcs Rendus, 1845, v. 17, p. 4240..
Schaaf S. A. and G h a m b r e P. L. Flow of rarefied gases.—In: High Speed Aerodynamics and Jet Propulsion, v. 3, sec. Il/EcL 11. W. Emons.— Prince Lon University Press, 1958.
Schaaf S. A. Mechanics of rarefied gases.— Handb. Phys., 1963, v. VIT1/2.
Simon A. and Harris E. G. Kinetic equations for plasma and radiation.— Phys. FL, 1960, v. 3, p. 245.
Stokes G. G. On the theory of the internal friction of fluids in motion — Camb. Trans., 1845, v. 8, p. 287.
Takao K. and Fujimoto T.— Memoirs of Faculty of Engineering Nagoya University, 1956, v. 8, p. 379.
Taylor G. I. Diffusion of continuous movements.— Proc. London Math. Soc., 1912, scr. 2, p. 20, 196; Statistical Theory of Turbulence — Proc. Roy. Soc. London, 1935, v. A 151, p. 421.
T c li с n С. M. Kinetic equation for a plasma with unsteady correlations.— Phys. Rev., 1959, v. 114, p. 394.
Thompson W. B. and II u b b a r d J. Long-range forces and the diffusion coefficient of a plasma.— Rev. Mod. Phys., 1960, V. 32, p. 714.
Сили II В. П. Введение в кинетическую теорию газов.— М.: Наука, 1971.
Tolman R. С. The Principles of Statistical Mechanics.— Oxford: Oxford University Press, 1938.
T 3 я п X. Ш. Аэродинамика разреженных газов: Перев. с англ.— В кн.: Газовая динамика.— М.: МЛ, 1950.
Uehling Е. A. and Uhlcnbeck G. Е.— Phys. Rev., 1932, v. 108, p. 1175.
Власов А. А. Теория многих частиц.— M.: Гостехиздат, 1950.
В а л ь д Л1 а п Л. Уравнения переноса в газах при умеренных давлениях: Перев. с нем.— В кп.: Термодинамика та- зов.—М.: Машиностроение, 1970.
Wang Chang С. S. and Uhlenbcck G. Е. Reports of University of Michigan: Eng. Res. UMII-3-F, 1948; Rep. CM-579, 1949; Eng. Res. M988; Rep. 1991-1-T, 1954; Eng. Res. 2457-2-T, 1956.
Weinstock J. Theory of irreversible processes in a plasma.— Phys. Rev., 1964, v. 133, p. A6 73.
У п т т e к e p Э. T. Аиалптнческая динамика: Перев. с аигл.—— М.—Л.: ОИТИ, 1937.
Wiener N. The Extrapolation, Interpolation and Smoothing of Stationary Time Series.— New York: John Wiley, 1950.
Yvon J. La Theorie Statistique des Fluides et FEquation d'Etat.— Paris: Hermann, 1935.
Zahm A. F. Super aerodynamics.— J. Franklin Inst., 1934, v. 217, p. 153.
Z i e r i n g S. Plane Poiseuille flow.— Proc. 2nd I nt. Symp. Ra- ref. Gas. Dyn., 1960, California.— New York — London: Academic Press, 1961.
97*. Стру мине кий В. В. О некотором обобщении кинетической теории Больцмана.— ДАН СССР, 1966, т. 171, № 3.
98*. Зубарев Д. Н. Неравновесная статистическая термоднна- мика.— М.: Наука, 1971.
99*. Ф е р ц и г е р Д ж., Капер Г. Математическая теория процессов переноса в газах: Перев. с аигл.— М.: Мир, 1976.
100* G т р у м и п с к и й В. В. Об одном методе решения кинетического уравнения Больцмана.— ДАН СССР, 1964, т. 158, № 2.
101*. Черчиньяни К. Теория и приложения уравнения Больцмана: Пер. с апг.— М.: Мир, 1978.
102*. Пригожин И. Неравповеспая статистическая механика: Перев. с англ.— М.: Мир, 1964.
103*. Б а л е с к у Р. Равновесная п неравновесная статистическая механика: Перев. с англ,— М.: Мир, 1978.
*) Звездочкой помечена литература, добавленная при переводе——Прим, перев.
ПРИЛОЖЕНИЯ РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА
I. Об одном методе решения кинетического уравнения Больцмана
Этот метод основан па дальнейшем развитии и обобщении метода Пуанкаре для решения непериодических задач. При этом наряду с искомой функцией представляется в виде степенного ряда по малому параметру время 片 или некоторые функции от 方.В кинетической теории этот метод позволяет учесть роль быстрых и и медленных процессов, описываемых уравпепием Больцмана. Запишем это уравнение в виде
dF 0ь
J (孔ь)=而+ 2%灰，⑴
где e — малый параметр, а т = 〃£. Из (1) видно, что функция распределения должна явпо зависеть от «быстрого» времени п иеявпо от «медленного». Зависимость F от времени представим в виде 尸= =耳(q г, V, р(г, £), u(r, /),，(厶 ％)). Относительно совокупности пока пе известных функций р, и,力 предположим, что они определяются выражениями
?2=o九=0九=0
где 4?i(% 力)，Ba (г, %), Cn (r, t) подлежат определению. В каждом приближении вводится совокупность из пяти пеизвестпых функций. Разлагая функцию распределения в ряд по малому параметру, получим теперь следующую рекуррентную систему интегральных уравнений:
J (% 〃о) = Т，(2а)
尸(/，С) =%十综忌 + С° ^5)(26)
Если F явно не зависит от т, то система уравнений (2) будет зк- Бивалентна системе уравнений Чепмена ——Эпскога. “
В общем случае необходимо рассматривать систему уравнений (2). Первое уравнение этой системы является пространственно однородным уравнением Больцмана. Решение этого уравнения для
力 > 0 может быть представлено в виде 耳° =耳^。(£ —①。^ °«丿， где Foo — локально-максвелловская функция распределения, t九 —— время свободного пробега, 3o(r, v,力)< М ——наперед заданное число. Уравпенпе (2а) обладает свойством быстрой потерп начальной информации, заданной начальными данными. Как видно из (2), для первого и последующего приближений будем иметь неодпород- пые системы уравнений. На базе рекуррентной системы урав- пений (2) можно построить решение задачи Коши для уравнения Больцмана. Результаты могут быть представлены в виде F〕= =/0 (1 — J е尸1。J + О (б2). Как видно, в на
чальный момент эта функция распределения будет принимать наперед заданное значение. Однако по истечении небольшого отрезка времени при 力》工九 функция распределения быстро приближается к ряду Чепмена ——Эпскога, аппроксимирующего решение уравнения Больцдгапа.
Литература
Стру минский В. В. Об одном методе решештя кинетичв' ского уравнения Больцмана.——ДАН СССР, 1964, т. 158, № 2, с. 298—301.
Новый метод решения системы кинетических уравнений
Движение газовой смеси описывается спето агой уравнений Больцмана
而=w£ J(%，％)，⑴
т=1
где e — малый параметр.
Обычно принимается, что в пулевом приближении 2 J (尸s， Т—1
Ьт) = 0. Это справедливо в одном крайнем случае движения, когда равновесие устанавливается для всей смеси. В другом крайнем случае в пулевом приближении только один из интегралов будет равен пулю; только для одного компонента установится равновесие, а именно J (Wg,尸;)=0, а остальные интегралы соударений отличны от -нуля. При этом W? будет также локально-максвелловской фупкцпей распределения
Одпако теперь м$, 7s ——средние значения параметров потока только для s-й компопепты газовой смеси. В пулевом приближении из (1) получим следующую систему уравнений газовой динамики: dPs , д
"+五叫=°‘
竺+賜竺+丄也=竺e-PsP—0家)(% — %)"，
⑵⑵办 дг^ 十 Ps 0% 3Ps £ % + %〈
⑵
⑵
дТ&« дТ&2。吋
说分a3刃。
n
◎!?)[% — ?s — WST (气一〃s)2] •◎!?)[% — ?s — WST (气一〃s)2] •32 у PsPt
◎!?)[% — ?s — WST (气一〃s)2] •
◎!?)[% — ?s — WST (气一〃s)2] •
3/z 4 тп.十 mr
Эта система уравпепий обобщает систему уравпеппй Эйлера на мпогокомпонептпые газовые и жидкие смеси. Как видно из (2), между компонентами газовой смеси возникает обмен количеств движения и энергии.
Литература
Струминский В. В. О методе решения системы кинетических уравпеппй для газовых смесей.——ДАН СССР, 1977, т. 237, № 3, с. 533—536.
Теория плотных газовых смесей
Первые важные результаты, касающиеся учета суммарного объема молекул и эффекта экранирования их друг другом, были получены Клаузиусом и Больцманом посредством введения фупк- 5 з
цпи % = 1 + р 冗720 , где 72 ——плотность молекул, а п — их диаметр.
В дальнейшем этот результат использовал Эпског в 1921 г., рассматривая молекулы в виде жестких упругих сфер, время взаимодействия практически равно пулю. Поэтому Эпског пренебрег тройными и более высокого порядка столкповениями. Прп этом общий вид уравнений переноса пе отличается от уравнений перспоса для разреженного газа, однако коэффициенты вязкости и теплопровод- постп имеют более сложную структуру. Кроме того, в уравпеиии состояния появляются новые члены, связанные с функцией %:
Р = пкТ ^1 + ~ л/па3^.(1)
Учет конечного размера молекул привел к поправкам в урав- пепии состояния эквивалентным учету первых двух вариальных коэффициентов. В статистической механике эти поправки к уравнению состояния выражаются через парную корреляционную
функцию
р = пктG (к)元咛 2%2・⑶
Для однокомпонентного газа парпая корреляционная функция может быть представлена формулой
сЫ=〕也2〃仃(1+q {е-^_^{-^仆).(з)
Подставляя выражение (3) в формулу (2), для потепцпала твердых сфер будем иметь
Сравнивая формулы (1) и (4), убеждаемся, что % = G(o+).
Сложные рассуждения, проведеппые Клаузиусом, Больцманом и Энскогом при создании теории плотных газов, фактически эквивалентны учету корреляций в физическом пространстве с помощью парной корреляционной функции. При этом двухчастичная 巾унк- ция распределсппя представляется в виде
”2)([], г?, Pl, Р2), 0 = G^'^F^Y^ Pi,力)歹2(必，Р2, 0.
Осповаппая па кппетпчсском уравнении Энскога теория плотных газов блестяще совпала с экспериментальными данными в широком диапазоне давлепий (до 1000 атм).
Для газовой смеси, состоящей из молекул ра злых диаметров, в качестве обобщения выражения (3) для парпой корреляционной функции можно принять
G订⑴，Г,=
Используя (5), получим кинетическое уравпепие для смеси плотных газов в виде [1]
*=W 略 j j { % (r，Г + %户)F\ (г)珞(Г + %声)一
-%j (F，r 一 ％jk) F.l (r) Fj (r- %jk)} (gj〃・k) dk dVj. (G)
Легко видеть, что в кинетическом уравнении (6) парная корреляционная функция зависит от координат обеих сталкивающихся частиц. Кроме того, решения уравнения (6) методом Чепмена ——Энскога в первом приближении полностью удовлетворяют соотношениям Онсагера.
Литература
С т р у м п н с к п й В. В., Курочкин В. И. К кинетической теории плотных газов.— ДАН СССР, 1981, т. 257, № 1, с. 60—63.
Обобщение кинетической теории газов
В [1. 2] было показано, что динамическое поведение систем в бЛ^-мерпом фазовом пространстве, состоящих пз N тождественных частиц, существеппо зависит от свойств симметрии функции распределения 歹」、（力 Х【，...，Xn）, удовлетворяющей уравнению Лиувилля, в частности по отпошеппю к перестановке любых пар дипампческпх координат Х【,...,XN. При этом были выделены два крайних случая. Первый ——случай Гамильтона^ в котором сохраняется возможность точного задания пачальных данных динамических координат, а функция распределения является несимметричной по отношению к перестановкам любых пар динамических ко- ордппат. Второй ——случай Больцмана, в котором полностью утрачена возможность задания пачальных данпых, так как система длительное время находилась в термостате, в состоянии, близком к равповеспому; функция распрсделепия симметрична по отпоше- пшо к перестановкам любых пар динамических переменных.
Рассмотрим теперь некоторый промежуточный случай. Пусть динамическая система в течение некоторого времени находилась в состоянии взаимодействия, и только частично утрачена возмо;к- ность задания ее начальных дипамических координат. Поэтому функция распределения FN всей системы будет симметричной по отпошеппю к одной группе координат и несимметричной по отношению к другой [2]. Следовательно, в этом промежуточном случае могут рассматриваться более псравповесные и неоднородные системы по сравнению с классической теорией Больцмана.
Mn=iMn=i审=t（喂喂一咪畤）｝ gne71=1 ”审=t（喂喂一咪畤）｝ gne71=1 ”Рассмотрим это обобщение классической теорпп газов более подробно. Из функции распределения FN теперь можно так же получить ровно N одночастичных функций распределения 尸（『）, среди которых имеется некоторое число равных, относящихся к одной и той же группе молекул [1, 2]. Для определения этих групповых функций распредслспия получена система кинетических уравнений, подобная системе уравнеппй для газовых смесей, по не имеющая с пей ничего общего:
Mn=i
Mn=i
审=t（喂喂一咪畤）｝ gne
71=1 ”
审=t（喂喂一咪畤）｝ gne
71=1 ”
Решение этой системы может быть представлено в виде （2） из приложения II. Появившиеся в правой части системы новые члены обобщают классическую систему уравнений Эйлера. В обобщенной кинетической теории эти члены учитывают взаимодействия между отдельными группами молекул. В следующем, первом приближении получается подобным же образом обобщенная системы урав- пеппй Навье — Стокса.
Литература
Струминский В. В. О некотором обобщении кинетической теории газов — ДАН СССР, 1966, т. 171, № 3, с. 541—544.
Струм пне к ий В. В. К теории систем одинаковых частиц.— ДАН СССР, 1980, т. 252, № 6, с. 1345-1349.
Структура ударных волн
Исследовацие структуры ударных воли имеет больпюе научное и практическое значение. Попытки решить эту проблему па основе континуального подхода, т. е. с помощью уравнепий Навье —— Стокса (Прандтль, Беккер и др.), по дали удовлетворительных результатов. Даже па основе уравнения Больцмана (Мотт-Смит и др.) не удалось получить приемлемые результаты без существенных допущений. Видимо, это связано с тем, что течения с большими градиентами и неоднородностями не описываются пи уравнениями Навье ——Стокса, пи уравнениями Больцмана. Попытки модифицировать уравнение Больцмана (Глапдсдорф и др.) также требуют принятия целого ряда дополнительных допущений. Для решения задачи о структуре скачка уплотнения была использована обобщенная кинетическая теория газов, где показано, что функция распределения системы в целом формируется из функций распределения отдельных групп молекул. Эти групповые функции удовлетворяют системе кинетических уравнений (2) из приложения II. Из них была получена система гидродинамических уравнений, описывающих движение и взаимодействие указанных выше групп молекул. Было показано, что в ударной волне должно быть по крайней мере две группы. В данном случае вышеупомянутая система гидродинамических уравнений запишется в виде [4]
Р 此 + Р2〃2 = 4， PR； + % + Р2 呜 + 卩2 = °2，
Pl"； I 5, p2噂丨 5— Q
Г ^1и1кТ1 + р2Н2кТ 2} + Р/% 芻 + Р2% 翳=
=gр卫2编尸)(％一 〃2/
Средние параметры потока выражаются через pi(%) и Р2(%)・ Поэтому можно в качестве основных неизвестных принять pi, р2, а также профили скорости [/(%) и температуры 7(%), предполагая, что 〃ь 〃2, 71, % — постоянные; тогда система (1) будет замкнута. Из нее легко найти плотности групп, при этом необходимо учесть граничные условия: pi (+00) = 0, р2(——оо) =0, а плотности Pi(—8)и Р2( + °°) — известные величины. Решение системы (1) сводится к решению обыкповепного дифференциального уравнения и изложено в [1].
Литература
1. Струм и некий В. В., В е л и к о д н ы ii В. 10. О структуре ударных волн,— ДАН СССР, 1982 г., т. 266, № 1, с. 28—31.
••) Эти неоднородности могут быть заданы с помощью различ- НЬ1Х величин, которые не обязательно должны быть интегралами двиячения изолированной системы.
*) J 疗)持=0, J %ad热=0.
工 К0Г4
ВВЕДЕНИЕВ КИНЕТИЧЕСКУЮ
ТЕОРИЮСТОХАСТИЧЕСКИХПРОЦЕССОВвгтх
Т. КОГА
ВВЕДЕНИЕ
В КИНЕТИЧЕСКУЮ
ТЕОРИЮ
СТОХАСТИЧЕСКИХПРОЦЕССОВ
В ГАЗАХ
Перевод с английского
А. Г. БАШКИРОВА и Н. Т. ПАЩЕНКО
Под редакцией
академика В. В. СТРУМИНСКОГО
0
МОСКВА «НА-УКА»ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
198 3
22.253К 67УДК 53322.253К 67УДК 533Koga Т.
22.253
К 67
УДК 533
22.253
К 67
УДК 533
INTRODUCTIONТО KINETIC THEORY
Stochastic Processes in Gaseous Systems
Oxford Pergamon Press, 1970
Kora T. Введение в кинетическую теорию стохастических процессов в газах: Перев. с англ./Под ред. В. В. Струминского.—М.: Наука. Главная редакции физико-математической лз^тературы. 1983 — 272 с.
Книга посвящена построению кииегической теории газов.
Автор исходит из уравнения Лиувилля для системы ^ молекул, на базе которого выводит уравнение Больцмана и уравнения гидродинамики и динамики разреженного газа, а также кинетические уравнения для ионизованных газов. Особенность разрабатываемой в этой книге теории состоит в отказе от общепринятого предположения о полной симметрии N-частчной функции распределения относительно перестановки частиц. При атом частичная симметрия возникает лишь в результате временного или фазового огрубления исходного уравнения Лиувилля.
Книга предназначена для механиков, физиков и химиков, занимающихся кипетическо!! теорией газов, а также для аспирантов и студентов, спегсиализирующихся в этой области.
Рис. 31, табл. 3, библ. 103 назв.
Т. НОГА
ВВЕДЕНИЕ В КИНЕТИЧЕСКУЮ ТЕОРИЮСТОХАСТИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ В ГАЗАХ
Редактор И. М. ОвчинниковаТехн, редактор Е. 3. Морозова
Корректоры Т. С. Плетнева, Г. С. Вайсберг
ИБ № 11704
Сдано в набор 12.05.82. Подписано к печати 11.01.83. Формат84х108*/з2. Бумага тип. № 2. Обыкновенная гарнитура. Вы-сокая печать. Условн. печ. л. 14,28. Уч.-изд. л. 14,34. Тираж200 0 экз. Заказ № 167. Цена 2 р. 4 0 к.
Издательство «Наука»Главная редакция физико-математической литературы117071, Москва, В-71, Ленинский проспект, 15
4-я типография издательства «Наука».630077, Новосибирск, 77, Станиславского, 25.
1703040000 — 025 93 83Н ~053(02)-83'1703040000 — 025 93 83Н ~053(02)-83'©Перевод на русский язык. Издательство «Наука». Главная редакция физико-математической литературы, 1983
1703040000 — 025 93 83
Н ~053(02)-83'
1703040000 — 025 93 83
Н ~053(02)-83'