ПРЕДИСЛОВИЕ

Анатолий Александрович Власов внес весьма существенный вклад в современную теоретическую физику. Для научного творчества А. А. Власова всегда было характерно обращение к фундаментальным и актуальным проблемам, создание оригинальных методов их решения. Многие результаты работ А. А. Власова навсегда вошли в физику. Особо стоит отметить исследования А. А. Власова в области статистической механики, которые активно велись им долгие годы вплоть до последних дней его жизни.

Уравнение Власова является фундаментом теории плазмы; в работах А. А. Власова впервые возникла столь интенсивно используемая ныне концепхщя коллективных переменных. Нам представляется весьма существенным, что уравнение Власова имеет микроскопические решения, соответствующие точным решениям уравнений классической механики. Эти результаты А. А. Власова получили признание и широко используются не только в Советском Союзе, но и за рубежом.

Данная монография подытоживает долголетние исследования А. А. Власова по созданию весьма нетрадиционного подхода к описанию свойств системы многих тел. Излагается и сам метод, и ряд конкретных результатов его применения. Несмотря на то, что многое здесь представляется дискуссионным, мы полагаем, что вдумчивый читатель, несомненно, извлечет то ценное, что содержится в монографии А. А. Власова.

Стоит подчеркнуть, что работы А. А. Власова никогда не оседали мертвым грузом на библиотечных полках, приводили к оживленным дискуссиям, оказывали большое влияние на развитие статистической физики.

Мне представляется, что и данная монография послужит стимулом для дальнейших исследований.

Академик Я. Я. Боголюбов

ГЛАВА /

ОСНОВЫ СТАТИСТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ СИСТЕМЫ ЧАСТИЦ БЕЗ ПРЕДПОЛОЖЕН ИЙ ОБ НХ ЛОКАЛИЗАЦИИ И ЦЕЛОЧИСЛЕННОСТИ

Функции распределения, зависящие 9T координат, скоростей и ускорений, как первичные понятия теории

В уравнениях, описывающих систему взаимодействующих частиц в рамках классической механики, статистической механики и квантовой механики:

N

"■门к ^ -V% 2'K（lh-M）, Л = 1,2,..М

~^~0（>1,方1,…" >N? ④N,力）=

N\1+4- £'к（№-瑁），и」）N\1+4- £'к（№-瑁），и」）

N\1

+4- £'к（№-瑁），и」）

N\1

+4- £'к（№-瑁），и」）

r N N ■=%）+ 4~ £ " （E 一力 I）屮,

_K =1 К ,1=1 -

число чартиц 7V — целое.

В макроскопических случаях возможность счета обеспечивается локализахщей частиц как в отношении их положений, так и скоростей. В статистическом уравнении Лиувилля — Гиббса нет предположения о локализахщи частиц, но предположение о том, что N — целое, сохраняется.

Однако совокупность этих двух предположений не является поеледовательной и приводит к непреодолимым топологическим трудностям [11].

В квантовом случае целочисленность заряда ядра строго определяет число электронов в атомах. Однако в других случаях экспериментальные методы исследования приносят информахщю только о вероятном значении числа частиц. Например, даже в наиболее совершенных атомных структурах — кристаллах опыт дает возможность установить только целочисленность элементарных ячеек, данные о местоположении атомов в узлах решетки гаранта-

руют лишь вероятное значение этого числа, которое может быть и не целым.

В реальных ситуациях счет частиц связан с физическими условиями реализахщи счета и наличием его влияния на состояние системы частиц. Поэтому свойства целочисленности, частичной или полной локализахщи должны выводиться из статистической теории, а не постулироваться с самого начала только при известных физических ограничениях, исключающих статистические выбросы частиц из системы.

'Будем описывать частицу некоторым центром (тяжести), положением этого центра и его кинематическими характеристиками движения — скоростями и ускорениями, включая ускорения высших порядков.

Частица, таким образом, будет характеризоваться нелокальным образом, т. е. всем спектром своих геометрических и кинематических свойств:——8<>, 0,①办,•・• V 8, для каждого момента времени 九 Независимость указанных величин вытекает из независимости дифференциалов 厶«, @2%а, @з%а, . , которые можно себе представить в виде бесконечно малых отрезков, опирающихся на точку М. Эта точка находится на некоторой гиперповерхности, изображающей многообразие значений координат * где а = 1, 2, 3, и через нее можно провести несколько касательных поверхностей с разным порядком касания к исходной гиперповерхности (рис. 1).

Дифференциалы dxa, d2xa, d3xa, . . . располагаются на различных касательных поверхностях и поэтому являются независимыми отрезками как по величине, так и по направлению.

Точка и совокупность дифференциалов разных порядков в окрестности этой точки определяют специфическое пространство, которое для целей математики ввел Картан,— так называемое пространство опорных элементов [2].

При наличии часов и возможности параметризировать смещения, относя их к моменту времени t:

加=加=0;产0;产沪=沪=灌产灌产

加=

加=

0;产

0;产

沪=

沪=

灌产

灌产

мы переходим к пространству геометрических и кинематических свойств частиц, которое становится зависимым от факта существования самих частиц и наличия у них движений.

Примем в качестве исходного постулата, что физические условия, как внешние, так и внутренние, могут изменять состояние системы частиц только через сами функхщи распределения, но

не нерез аргументы этих функций. Последние являются «полем возможностей».

Функции распределения, содержащие возрастающую информа- цию о кинематических свойствах частиц, выражаются последовательностью

Р(Л 力)dr,

/(>, % 力)dr @0,

/(г, 0,也 t)dr dvd〃(1.2)

/(r, % “ “ 力 dr dv dv dv,

Члены последовательности связаны между собой теоремой сложения теории вероятности:

р (>")= $ / (г,«, t) d«,

(°0)

/(л«,0 = § /①,0,行,t)d办，

(°0)

/(%”,冇")=$(1.3)

(«О

/ (г,V, t) =，办,“方,t) &初

(«>)

Таким образом, первичным понятием теории являются функции распределения, а не понятия, постулирующие локализацию и целочисленность частиц, вакуум, а также последующие понятия: траектории, уравнения движения, взаимодействия. По указанной причине функции распределения не предполагают усреднения по времени, пространству или начальным условиям.

Число частиц в системе выражается с помощью функции распределения и, следовательно, также имеет вероятностное значение, т. е. не обязано быть только целым числом:

У，/ (г, V, г?, t) dr dv dv =/= ^, ^ ^ целое. (L4) У(8)

Предположим теперь, что функции распределения подчиняются законам сохранения. Идя тем же путем, как и при выводе уравнения непрерывности, выражающего сохранение массы и заряда, придем к следующей цепочке законов сохранения, связывающих вероятное значение плотностей частиц со средним значением

8 ОСНОВЫ НЕЛОКАЛЬНОЙ СТАТИСТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ [ГЛ. I потоков этих частиц [11]:

g 禦）.+ diVr \ «/ （г,。，t） dv = О,

'°Sj"）+ dWr 0/ + div„ \ vf （r, 0,欣 t） dv = 0,

（L5）

"案‘叫"+ divr0/ + div„勿/ + div- \ ii〃>,0,欣也力）dv = 0,

Дифференциальная форма законов сохранения определяет эволюцию функций распределения и зависимость этих функций от геометрических и кинематических характеристик частиц. Каждая строка при этом содержит две неизвестные функции, и поэтому законы сохранения не дают еще замкнутого аппарата для решения задачи. Необходимо к законам сохранения добавить информацию, обусловленную учетом взаимодействия между частицами.

Рассмотрим интеграл：во второй строке （L5），vf （г, % 仇方）dv. Он（°0）Рассмотрим интеграл：во второй строке （L5），vf （г, % 仇方）dv. Он（°0）§ 2・ Взаимодействия как связь （ограничение） вероятных значений кинематЗеских и геометрических величин, характеризующих частицы

Рассмотрим интеграл：во второй строке （L5），vf （г, % 仇方）dv. Он

（°0）

Рассмотрим интеграл：во второй строке （L5），vf （г, % 仇方）dv. Он

（°0）

выражает среднее значение ускорения частиц, причем усреднение произведено специальное — по статистическому разбросу ускорений. Если наблюдаемые ускорения частиц ——средние в указанном смысле, то, если воспользоваться результатами классической тео

рии, открывается путь связи кинематических средних с полем силовых взаимодействий.

При переносе этой связи из классической теории нужно отделить те ее черты, которые необходимо использовать для общепринятого подхода предположений локализации и целочисленности частиц. Этого мы достигнем, выражая силовые понятия также через функции распределения:

j vf（rt V, v, t）dv（8）（8）j vf（rt V, v, t）dv（8）（8）〈办〉=——* gradr U （＞,力）,〈办〉=——* gradr U （＞,力）,（1.6）（1.6）

j vf（rt V, v, t）dv

（8）

（8）

j vf（rt V, v, t）dv

（8）

（8）

〈办〉=——* gradr U （＞,力）,

〈办〉=——* gradr U （＞,力）,

（1.6）

（1.6）

где потенциальная функция должна включать коллективные взаимодействия между элементами статистического континуума без

введения указанных ограничений:

U (г, % 方)=,К (г, % “，г/,力)/ (“，0、力)dr' М,

Ядро интегральной связи не будет определяться теорией и должно быть конкретизировано посредством апелляции к опыту или к другой теории.■

В этом случае вторая строка в законах сохранения (1.5) приводит к замкнутому уравнению самосогласованного вида [3, 4]:

^^^~ + difr «/ + div. (- ^- gradrtz) / = 0,(1.7)

где U (г, 0,力 определено выше. Оно дает возможность, зная ядро К (г, 0, >', if,力)，определять функцию распределения.

В простейшем случае взаимодействий в виде парного центрального закона сил

К (г, % г\ 0’J) = К (I > — ” I),(1.8)

если воспользоваться тождествами

divrt?/ = 0 grad『/ + / dis,

divrt? = 0,(1.9)

div。gradr U (>,力)=0,

которые основываются на независимости переменных > и 0, исходное уравнение можно переписать так:

吗产+ °V"TVrW)V"/=0,(1.10)

где

U (>,力)=§ К (什一” I) / (>', 0 J) drfdv.

При учете многочастичных взаимодействий (например, трехчастичных) выражение для U (>,力)становится нелинейным:

U (г,力)=，I > — >]) 〃М 叫力)dr'dv +

+ Й&23(什一 >],什一kI, |>‘ 一 >[)/(>*忆力)X

X /(>* 0* 0 dr'dv'dr^d^. (LU)

Стандартные молекулярные потенциалы типа Морзе и Ленарда — Джонса даются формулами

К(什F)=审"尸厂 /

占: - I»•-标16， \r - rr\yr2,

8>(1-12)

где коэффициенты G§, xs, R$, F6, а также расстояния между частицами г】и г2 являются характерными параметрами взаимодействий, зависящими от природы атомов. Для аргона и гелия, например,

k(Г)=阿停у—修丹，(1.13)

где для аргона п = 12, и ^ 1,6-10~14 эрг, р = 4, г0 = 3,1 А, для гелия п = 8, и х 6,99-10~1в эрг, § = 9,48, г0 = 2,6 А. При учете взаимодействий на более близких, чем это неявно предполагается в потенциалах Ленарда — Джонса, расстояниях между атомами, ядра взаимодействий К могут сами зависеть как от скоростей, так и от функции распределения:

К^т-тг\, \ v-vf\, {/}).(L14)

соли-соли-Например, в явлениях сближения частиц, при не особенно больших энергиях сближения, играет роль «радиус непроницаемости» отталкивательных сил, зависящий от кинетической энергии жения:

соли-

соли-

(1.15)(1-16)(1.15)(1-16)K{\r — r'\,\v — v'\, {/})=

(1.15)

(1-16)

(1.15)

(1-16)

8, k —^Kro,

при этом г0 определяется требованием

где критическое значение скорости укр находится из условия на функцию распределения

/||®1>икр S(L17)

В выражении (1.15) экранированного потенхщала величина х определяется теорией Томаса — Ферми

34T = аБ-0,8853 (Z? + ^У>,

где ав — боровский радиус, Zx и Z2 — порядковые номера атомов. В предыдущих случаях ядро К выражало короткодействующие силы, которые можно охарактеризовать требованием

\ К(什一“)d“ = 4от \ K(s)Afe< сю.(1.18)

(°0)0

Кулоновские и гравитационные силы не удовлетворяют этому условию, поэтому их введение нужно рассмотреть особо.

В электростатическом случае взаимодействий суммарный потенциал в системе частиц можно выразить через вероятную плотность заряда с помощью уравнения Пуассона, и тогда основное

уравнение принимает вид

(1.19)(1.19)(1.20)(1.20)а”：'" + diVr。/ + div, (— "^ gradr© / = 0, где Д(р = — 4ле \ / @0.

(1.19)

(1.19)

(1.20)

(1.20)

&)

Для гравитирующих частиц

°’嘖'"+ 击“。/ + div, <«> / = 0, гдер

〈力〉=-graLU, AU = inGm \ / dv.

(8)

Для случая электродинамически взаимодействующих частиц аналогично

也3 0，“. + diVr 州 + diV" е〉/ = О,(1.21)

J vf (г, v, v, t)dv

而=з)，(…)=媪卜 + ^［価］)，

rot九一4■警=萼e \ 0/ d% div е = 4ле、/@0

(8)(8)

(rote + y-|— = 0,div 九=0).

В приведенных основных уравнениях электромагнитное поле возбуждается источниками статистической природы — плотностью вероятности местоположения центра тяжести заряженных частиц и вероятным значением плотности тока — и не зависит от пространственной структуры самих частиц.

В этом пункте заключается принципиальное отличие от классической злектродинамики, в которой напряженности электромагнитных полей возбуждаются не зарядом как индивидуальной величиной, а распределением заряда внутри объема заряженных частиц. Частицы, имеющие различные распределения плотности ©。в <$>

££££

Рис. 2.

заряда внутри своего объема или на поверхности, но имеющие один и тот же заряд е в целом (рис. 2), создают в нелокально-ст атисти- ческой теории одно и то же электромагнитное поле.

Наиболее важными новыми свойствами нелокально-статистических уравнений являются следующие:

Независимость их структуры от общего числа частиц в системе, так как число частиц не входит в операторы уравнения, а определяет только нормировку решений.

Это свойство позволяет получить решения, малочувствительные или совсем нечувствительные к общему числу частиц, чего нельзя добиться в классической задаче многих тел.

Например, удается найти точные решения исходных уравнений, являющиеся правомерными для любого числа частиц в системе. В классической проблеме уже трех тел до сих пор не получено точных решений, которыми можно было бы пользоваться. В этом отличии *от классических уравнений состоит наибольшее преимущество излагаемой теории.

Общность возбуждения силовых полей, независимо от их природы. Молекулярное поле определяется (возбуждается) не точными, а только вероятными местоположениями атомов, что выражается потенциальной функцией

U (г) = К (\г — г' \ ) f (>', 0“) dr'd%(1.22)

содержащей плотность вероятности частиц в коллективе. Это аналогично возбуждению электростатических или гравитационных полей

Д(р = —4ле \ fdv, AU = 4nGm \ fdv. (1.23)

(8)(8)

Характерен единый статистический механизм возбуждения полей разной природы.

В связи с указанной общностью и в отличие от механической задачи многих тел, исходные уравнения содержат член «самовоз- действия», так как производится интегрирование по всем точкам пространства, включающим области местоположения интересующей частицы. Это приводит к заключению, что эффекты «самовоз- действия» должны иметь проявление и для молекулярных и гравитационных сил.

§ 3. Случаи точных решений

нелокально-статистических уравнений

Пространственно-однородное распределение вероятностей местоположения частиц как точное решение в случае короткодействующих сил и одного сорта частиц.

К исходному уравнению (1.10) добавим дополнительные условия стационарности

筈=0(L24)

и пространственной однородности

备=0,入= 1,2,3. (1.25)

Тогда, если

р\ К (|г — г'|) dr' = const <^ сю (Р= § /&0), (1.26) (8) (8)

то пространственно-однородное и стационарное распределение является точным решением в неограниченном пространстве. Условие (1.26) соблюдается для короткодействующих сил и не соблюдается для потенциалов 〜 1/s, 1/s2. В условиях конечного объема полученное решение также остается справедливым, но только для точек, достаточно удаленных от границы в сравнении с эффективным радиусом действия потенциальной функции.

Пространственно-однородное и стационарное решение является вполне нелокальным, как в отношении времени, так и в отношении пространственных координат. И поэтому является характерным для теории.

Тот факт, что однородное распределение является точным решением в случае короткодействующих сил взаимодействия и наиболее простейшим из решений, находится в соответствии с наблюдаемым фактом, что наиболее часто встречающееся распределение плотности частиц в газах и жидкостях является пространственнооднородным и стационарным.

Решения, описывающие температурные распределения частиц. Введем гипотезу (оправдывающуюся последующим вычислением), что требованием, выделяющим температурные решения, является статистическая независимость распределения скоростей от распределения частиц по пространственным координатам.

Это требование отличается от способов введения температуры путем термостата или путем «столкновительных» механизмов, основывающихся на локальных представлениях.

(1.27)(1.27)Добавим к исходному уравнению (1.10) условия стационарности (1.24) и максимально возможной статистической независимости

(1.27)

(1.27)

/ (% ◊) = р ⑺ W (Ух) W 储)W (у1).

Подстановка (1.27) в уравнение (1.10) даетПодстановка (1.27) в уравнение (1.10) даетИ w (yj) w (и；) = 0. (1.28)3, 丫抬И w (yj) w (и；) = 0. (1.28)3, 丫抬

Подстановка (1.27) в уравнение (1.10) дает

Подстановка (1.27) в уравнение (1.10) дает

И w (yj) w (и；) = 0. (1.28)

3, 丫抬

И w (yj) w (и；) = 0. (1.28)

3, 丫抬

ар/a% _ a т(磅)/@%万 и/a%^^Г"ар/a% _ a т(磅)/@%万 и/a%^^Г"

ар/a% _ a т(磅)/@%万 и/a%^^Г"

ар/a% _ a т(磅)/@%万 и/a%^^Г"

Ввиду независимости компонент скорости друг от друга обеспечивается разделение переменных в уравнении (1.28):

g = const (а = 1, 2, 3), (1.29)

что дает

p(r) = Се-и(”е, W (建)=(扁)e-m 廊吗(1.30)

Появившаяся постоянная разделения играет роль температуры, так как определяет величину дисперсии разброса скоростей.

Полученные температурные распределения являются точными решениями исходного уравнения, которые выделяются условиями стационарности и статистической независимости. Эти решения свободны от ограничений, накладываемых на локализацию и целочисленность в классических теориях. В соответствии с развиваемой теорией экспериментальные способы измерения температуры также не требуют ни локализации частиц, ни их счета.

Присоединяя к формулам температурного распределения поле коллективных взаимодействий между частицами (1.22), приходим к следующим нелинейным уравнениям, дающим возможность вычислять молекулярный потенциал и плотность местоположения частиц в условиях температурного равновесия:

U(r) = C J^dr-^l)歹ug/电м(L31)

р (г) = Сехр[— 3、К(什一>'I)р(>') d>[ •

Полученные нелинейные уравнения лежат в основе новой нелокальной модели кристалла (см. главу II).

Во вращающихся системах взаимодействующих частиц возникает распределение Оорта, предложенное на основе анализа данных астрономических наблюдений для звездных образований [24].

Ставя задачу учесть вращение системы и условие статистиче^ ской независимости, будем искать решение в виде

/(f, 0)-= р(г,з，9)"(*)"储)"(嗡 F (Г, %, sin^),(L32)

где функция F нарушает статистическую независимость между скоростью вдоль параллелей, радиусом и азимутальным углом.

Подстановка предполагаемого решения в исходное уравнение дает возможность получить функцию F в виде [11]

F = ехр 乌。冏，/ = r%si口館(L33)

где м — произвольные постоянные. Используя естественные условия на функцию F и ограничиваясь простейшим случаем

новая постоянная, выводим расп-новая постоянная, выводим расп-гдегдеa = Лг2 sin2^,a = Лг2 sin2^,or sin 丐201 +Лг2 sin2^or sin 丐201 +Лг2 sin2^(1.35)(1.35)

новая постоянная, выводим расп-

новая постоянная, выводим расп-

где

где

a = Лг2 sin2^,

a = Лг2 sin2^,

or sin 丐

20

1 +Лг2 sin2^

or sin 丐

20

1 +Лг2 sin2^

(1.35)

(1.35)

где о» — частота вращения, Л ределение Оорта:

/ = с eхp _善一"其W' exp [-(答 + a) (% - mJ + S (r,切｝

s (r, 0)=s (r, 0)=m (0m sin2^

s (r, 0)=

s (r, 0)=

2020"

1 十—/г? siM®

Оно приводит ко второй величине дисперсии скоростей вдоль па- раллелей (второй температуре):

备一嗡+从*山2，

зависящей от радиуса вращения и азимутального угла.

Распределение Оорта включает учет классического вращения s 声 0, 4 = 0. Однако обычное представление о классическом вращении связано с трудностями. При г -> сю линейная скорость вращения и функция распределения частиц становятся бесконечно большими. Основная ценность распределения Оорта заключается в преодолении этого. Как показано выше, зто связано с установлением общности температурного распределения и эффекта вращения. Отметим, что единообразный вывод температурного распределения и распределения Оорта встречается с непреодолимыми трудностями в «столкновительных» теориях. Из уравнения Больцмана вывести распределение Оорта невозможно [11].

Заметим наконец, что отказ от требований локализации частиц и их целочисленности имеет место уже в классических теориях сплошных сред (гидродинамике и теории упругости). Молекулярное обоснование этих теорий существует, однако, только для специальных молекулярных моделей. Эти модели не соответствуют общности применения континуальных теорий, так как содержат в себе сильные ограничения.

Уравнения гидродинамики обосновываются только для больц- мановского газа, ограниченного требованием достаточно малых плотностей.

Молекулярного обоснования гидродинамики для жидкого состояния не существует. Уравнения теории упругости выводятся из динамики кристаллической решетки для длинных акустических волн, однако зтот вывод приводит к существенным трудностям при сопоставлении с опытом (см. главу VI, а также [14]).

Возникают следующие вопросы: не является ли «сплошность» в классических теориях следствием не усреднений дискретных

моделей по физическиАбесконечно малому объему, а результатом непрерывности функций распределения как первичного понятия, описывающего частицы, и уравнение теории сплошных сред — следствием законов сохранения для непрерывных функций распределения? Не является ли широкая общность практических применений гидродинамики (газы, жидкости) следствием общности функций распределения как первичного начала в описании движения частиц, справедливого вне зависимости от ограничений на плотность сред и конкретного вида молекулярных взаимодействий?

Мы продвинемся в направлении положительных ответов на поставленные вопросы, если покажем, не прибегая к усреднению по времени, пространству или начальным условиям и не накладывая ограничений на плотность среды и молекулярные взаимодействия, что уравнение гидродинамики есть автоматическое и точное следствие исходного уравнения для функций распределения.

Исходя из уравнений (1.6) и (1.7) излагаемой теории, вводя моменты от функций распределения первого, второго и высшего порядка

СJ vfdvс

p(>)= \ /d0，" =g5——,行)人2=\ ^f ^»

(8)Рб(1.36)

S入2V = \e入"\/ d0 (C = 0 - U),

(8)

умножая почленно исходное уравнение (1.7) на Ух, ^入^卩,уху^уу,... и интегрируя по всем значениям скоростей, придем [11] к следующей зацепляющейся цепочке уравнений, связывающей моменты функций распределений повышающегося порядка:

传悬%—-^^^ + ^'/认〉"%(L37)

Первые пять законов сохранения этой цепочки совпадают с гидродинамическими законами сохранения массы, импульса и энергии сплошной среды.

Вывод не предполагает какого-либо сглаживания (усреднения) или введения физически бесконечно малого объема, в связи с чем

операторыоператоры

операторы

операторы

/(储…)/(储…)О, Х = 1,2, 3.О, Х = 1,2, 3.(1.38)(1.38)не изменяются, сохраняя при переходе к гидродинамике степень своей точности. Единственным допущением является требование достаточно быстрого убывания функции распределения с ростом скорости:

/(储…)

/(储…)

О, Х = 1,2, 3.

О, Х = 1,2, 3.

(1.38)

(1.38)

Таким образом, в соответствии с опытными фактами исходная форма уравнений гидродинамики получается из излагаемой теории без ограничений на: 1) плотность среды, 2) величину физически бесконечно малого объема, 3) молекулярные взаимодействия.

Указанная общность не относится к детализации тензора натяжений 仔\卩 и теплового тензора S卩入入 через величины более низкого ранга, так как зто требует дополнительной информации о функции распределения.

Поставим задачу о выяснении возможности и условий перехода от нелокального и несчетного описания частиц к классическому локализованному и счетному способу описания.

У исходного уравнения (1.7) будем искать локальные решения в виде дельта-функций типа

/(?・，◊")= 2 &(r~rs(t))8(v — vs(t))= 8Е

N

=lim 2 力⑴一Л (0,。一然⑴)，(1.39) 8=1

где fs ——пакеты вероятностей, описывающих движение каждой частицы, ^ — произвольное целое число, га (力)и vs (力)一координаты скорости центра пакетов. Фигу ри рующий в (1.39) предел предполагает возможность стягивания пакетов в точку. Условия реализации стягивания должны быть получены из исходного уравнения.

Разобьем поле взаимодействий]

и (>“) п》，к (什 一 >])/“@0

на взаимодействие между пакетами вероятности и «самовоздейст- вие» — вз*м*ммйкш£ между элементами внутри этих пакетов. Поле аэвияютеистан豊 в районе местоположения Z-й частицы^

обусловленное всеми другими частицами, есть

и 8 片…尸 g \ к (11• — 7? ^ri Jsdr'dv.(1.40)

Г'~Г8

«Самовоздействие» для Z-й частицы выражается интегралом

3UII = § К (卜一“)％ |г〜勺 drfdv.(L41)

После умножения исходного уравнения последовательно на г и 0 и интегрирования по переменным > и 0 в области протяженности статистического пакета с номером s получим

rfsdr dvrfsdr dvofsdr dv,ofsdr dv,vfsdrdv = — ± § ^rU-fsdr dv,vfsdrdv = — ± § ^rU-fsdr dv,(1.42)(1.42)

rfsdr dv

rfsdr dv

ofsdr dv,

ofsdr dv,

vfsdrdv = — ± § ^rU-fsdr dv,

vfsdrdv = — ± § ^rU-fsdr dv,

(1.42)

(1.42)

где Q (r, 0)= Q ⑺ Q (0) — произведение пространственного и скоростного объемов, окружающих s-ю частицу. При выводе появились интегралы

，J rf^ndSndv,，，rf,Fn (г, 0 d^ndr,

，，，，。/卅n (，E) dw“d厶F{r,t) = -^rU{r,t).

Здесь dSn и dSn суть соответствующие проекции элементов поверхностей в трехмерных пространствах координат и скоростей.

Мы исключили возможность флуктуационного выброса частиц из объемов й8 (г) и й5 (0), потребовав соблюдения условий на границах этих объемов

rfa = 0,0厶=0.(1.43)

Стягивая объемы & (г) и & ®) к нулю, при условии сохранения нормировки

lim fadr dv ^=0 °s"*° (%)

переходим к уравнениям движения Ньютона для центров тяжести статистических пакетов

士 £‘К(В —3)%「О") 1=1士 £‘К(В —3)%「О") 1=1

士 £‘К(В —3)%「О") 1=1

士 £‘К(В —3)%「О") 1=1

Вывод аналогичен получению уравнений движения для центров тяжестей волновых пакетов в квантовой механике, с теми отличиями, что пакеты в излагаемой теории не расплываются с течением времени и в квантовой теории отсутствует явление «самовоздейст- вия».

Принципиально важным для вывода является возможность пренебрежения влиянием суммарной силы от элементов статистического пакета на движение его центра тяжести: h，К(什一"1)L%〜嗅dr,dv.

Для выяснения этого вопроса будем исходить из простейшего парного потенциала вида

В интеграле «самовоздействия» имеются два стягивающихся параметра: эффективный радиус действия парного потенциала и линейный размер статистического пакета:

а = 1/х,

〈г”也=「§§ r^fsdr dv / JJ f8dr dv “g) / (%). •

Соответственно двум случаям стягивания этих параметров к нулю возникают два вида разложений:

6U (г) = a2《ips (>)+ 存 а2a2Ap$ (冷 + …)，

р§ (>)= ,厶@0, S = 4nG , xe~xdx, a2 = 4nG , n%-x〃，QSWоо

△=而"十济干十苏

В случае〈产〉о

3

^U(r) = ^ ^ Рз 切)[к ⑺+ $£〈咸〉徳 аК ⑺+ •••],

Qa(r)а=1

〈％а〉= ，％аР$&> / , Ps&九%⑺/円⑺

В первом случае, при достаточно малом радиусе действия сил отталкивания, член с «самовоздействием» может быть как угодно малым.

Требуется, чтобы размер пакета превышал радиус действия сил взаимодействия на малых расстояниях. В противоположном случае, когда^размеры пакета меньше радиуса действия сил, налицо трудность: член с «самовоздействием» и его'пространственные производные не малы, так как функция К (г) при г f 0 расходится. В итоге переход к локализованным'частицам возможен, если соблюдаются неравенства

I爲一鑑I》〈咸〉明》a = ”%

для любых частиц с координатами rs и г1# Таким образом, переход к классической теории требует наличия короткодействующих сил взаимодействия между частицами как обязательного условия, при этом линейные размеры статистического пакета должны быть велики в сравнении с радиусом действия короткодействующих сил.

Существование у исходного уравнения точки бифуркации, связанной с явлением5кристаллизации.

Будем исходить из стационарного нелинейного уравнения для молекулярного потенциала

О ⑺=С § К (I »•-产 I)纭и(")節乂(1.45)

При этом плотность вероятности'местоположения атомов определяется распределением

р^г) = Се^^(1.46)

Уравнение для молекулярного потенциала имеет пространственно-однородное решение

"⑺=% = const, р (г) = Ро = Се~и^ = const. (1.47)

Поставим задачу определения точек окончания пространственно-однородного решения и возникновения пространственно-периодических решений. Математически зта задача сводится к задаче о ветвлении решений нелинейных уравнений.

Исходное уравнение (1.45) можно записать в виде

Ф (г) = X \ K(\r — rf\) e^r^drf (9=——^, X =——^. (8)

(L48)

Пусть при % = %0 и ф = ф0 имеет место окончание однородного решения, при этом % должно быть определено, а ф0 находится из уравнения

Фо = 4^(0),(1.49)

где

а*(0) = K(\r — rf [^тг = 4от，К(s)^ds.

Q]

Для выясцения поведения решения в окрестности значений 入° и фо положим

入=М + &, Ф = Фо ~Ь w (>)•(1.50)

Для определения и (г) имеем согласно (1.48) уравнение

屮о +》(>)=(入о+&) \ К (什一 >1)e5+u(N)dM

(°0)

Разлагая подынтегральное выражение в степенной ряд по и (?•), приведем его к следующему:

£ [и(г)] = то(0) + т \ К{\г — т'\)и(к)&，' +

(°0)

+(繕+т)£$ \ K^r-r'^^dT', п=2(8)

ИЛИ

£ 也(>)]=и (г) — X*，К (什一>])i?B) d>\

где

精=入()е吗 т = ее吗 и (0) = 4от § К (s) s2ds.

Исследуем линейное уравнение

и (г) = Хоеф» К (I > — >]) м (>') dM (1.51)

В соответствии с задачей о возникновении периодических структур из однородной среды ищем решение в виде

и (г) = А^.(1.52)

Имеем

戸т =入ос4*0•戸т，К (I > — >Т)e~ik^r"r^drf.(1.53)

(°0)

Вычисляя интеграл, получим

К(]> —犷 D e~ik^r，>drf = 2w、K(£)$2曲 ^e-ifc«；cos6&口行加= оо

=4n，К (s) ^i s4s： (1.54)

Таким образом, приходим к следующему критерию возникновения

периодических решений：

1 -漏е®。43r j К (s)嘤巴 s"ds = 0.(1.55)

о

Так как

*9。=— -^,а(к)=^К(8)^-82<18,(1.56)

о

критерий (1.55) можно записать как условие на температуру,

плотность среды и силы взаимодействия

(1.57)(1.57)0/р = —а (А).

(1.57)

(1.57)

Если молекулярные взаимодействия таковы, что 仃(А) V 0 в области хотя бы некоторого интервала значений к, причем внутри интервала

=0,dk |fc^k0

то при достаточно малых температурах или значительных плотностях скачкообразно возникает дей- \^(^ствительное решение уравнения с

кк = kQ (рис. 3).

、Пространственный период 2л/А:0

\ 右определяется мол е ку л я рными сила-

\ f /"*^ ми. Возникновение периодических ре- \ I / д шений из пространственно-однород- _" -4— ^^ного распределения можно отождест-

尸вить с явлением кристаллизации.

Критерий кристаллизации (1.57) дает возможность подойти к объяс- ис' *нению так называемых кривых плав

ления Симона (см. главу II).

Исходное нелинейное уравнение позволяет определить характер изменения амплитуд периодических гармоник при удалении значений р и 0 от значений, соответствующих началу кристалли- зеции.

Для определения подобного решения используем разложение

U (г) = T^/i (г) + т^/г (г) + т3/п/з (г) + ...

Полагая п = 2, можно добиться разрешения всех уравнений последовательных приближений, причем лишь случай 孔=2 приводит к периодическим решениям.

В результате получается решение в виде [7, 8]

ОО " 2)П+1 ОО

》⑺=20 k [Д 蜀齡 sin (2Z + 1)用尸 + C2m+1 Sin for] +

+ 2 tm [ 2 確砌 cos 2mkr + C2m sin kr \,(1.58)

m=i Liss。J

где коэффициенты Л^+1), B^,C2m^ С2m определяются уравнениями соответствующих приближений и условиями их разрешимости.

Полученные ряды сходятся по крайней мере в окрестности t 〜 0 и, таким образом, представляют точное решение.

6. Существование пространственно-периодического решения для случая «пологих» молекулярных потенциалов.

Трехмерные периодические решения можно представить в виде ряда Фурье для плотности частиц р (г) и молекулярного потенциала U (г)

Р (尸)=2 ашт exp (inax + ilby + imcz),

(1.59) U(2・)=\ K^r-r'^p^dr'=

(°°)

= 』^nima (w, lb, me) exp (inax + ilby + tmez)^ n, l,m

где

a (na, lb, me) = § ЛГ (j r j) exp (inax + ilby + imcz) dr. (1.60) («>)

С другой стороны, выражение для молекулярного потенциала содержит член самовоздействия

6U (>) = \ К (I > — ”|) р (“) d>\ Q = abc, (L61)

(Ь)

который представим в виде двух рядов

з

6。(г) = « К (18闷[р ⑺ + $ £ <4> 嗨р ⑺ +

3(1.62)

6U⑺=« p(s)ds)[К⑺ + А"£У〉瑜К⑺ +

(£2)a^l

где〈或〉и〈磋〉一эффективные протяженности функций р (г) и

К (г) в окрестности узлов решетки. Оба ряда удобны для случаев 卷华 И <>!(-)

соответственно.

Оба ряда указывают на значительные изменения функции 6U (>) внутри элементарной ячейки кристалла, так как в реальных условиях «〉" и <Xa>v, значительно меньше периода решетки. Назовем «пологими» молекулярные потенциалы, в которых амплитуды изменений потенциала самовоздействия внутри элементарных ячеек малы в сравнении с потенциалом взаимодействия между различными элементарными ячейками. Выразим зто требование на языке амплитуд ряда Фурье.

Ввиду наличия неравенства между пространственными интервалами изменения функций и соответствующими интервалами волновых чисел

А%аА"а > 1 (а = 1, 2, 3), можно заключить, что требование «пологости» молекулярных потенциалов должно заключаться в запрете существования больших значений волновых чисел. Поэтому в дальнейшем будем считать за выражение крайней формы «пологости» то, что величина а (А), где А2 = тг%2 _|_ 22b2 _|_ 7n2c2, отлична от нуля только в том случае, если все n, Z, т равны нулю, либо из трех чисел n, Z, т одно равно единице, а остальные два равны нулю.

В работе [18] показано, что использование «пологих» потенциалов в указанном смысле дает возможность получить точное пр остр а нств енное периодическое решение в конечном виде и в широком диапазоне температур. Рассмотрим появление периодических решений, ограничиваясь вначале простейшим случаем — одномерной задачей.

Подставляя в исходное уравнение (L45) предполагаемое решение, выбираемое по (1.59):

p(r)= Е00 a “拠女

(а = 2л/й, d — период одномерного кристалла), и приравнивая фурье-компоненты правой и левой частей, получим следующую систему уравнений для определения коэффициентов Фурье %: а“=^ jexp[— -g- £(г@)е"Е —叫竭 (1.64)

О1=3—8

где % = 0, ± 1, ± 2,...,

a(aZ)= $ Ki\r^<^laxdr.(1.65)

(8)

Постоянный коэффициент С выражается через суммарную плотность в элементарной ячейке

С = « р d叫、ехр [——~ 身 а (凉)a^lQ^ 硏丄.(1.66) (Q)(Q)l==3—oo

Для случая《пологих» потенциалов полагаем

о (па) = 0 для 孔=± 2, ± 3,・・・，(1.67)

благодаря чему все коэффициенты 0n выражаются через один:

ап= ~^ехр [^- а (а) ai cos|] cos ng d§, n = 0, +1,...,

°Лт(1.68)

C = « pd,詣{jexp [—-|-a(a)aicos|]d|} \ (П)0

при этом учтено условие вещественности плотности: а_п =威 (заметим, что постоянный множитель ехр [—а (О)ао/0] сократился). Интегралы в этих соотношениях выражаются через функции Бесселя мнимого аргумента

g 卜z cos 3 cos «■& d" 0g 卜z cos 3 cos «■& d" 0=In(Z),=In(Z),

g 卜z cos 3 cos «■& d" 0

g 卜z cos 3 cos «■& d" 0

=In(Z),

=In(Z),

поэтомупоэтомуЕсли ввестиЕсли ввестито (полагая связаннымито (полагая связаннымиan = Cln (— 2g (a) ai/0),0=(, P ^r) у [аЬсЦ (— 2a (a) ai/0)].(L69)обозначение(Й)n = 1) найдем, что амплитуды a0 и ax оказываются следующим равенством:aJQ (—2a(a)ax/0)=询厶(一2(r 伍)旬/8)・(1.70)an = Cln (— 2g (a) ai/0),0=(, P ^r) у [аЬсЦ (— 2a (a) ai/0)].(L69)обозначение(Й)n = 1) найдем, что амплитуды a0 и ax оказываются следующим равенством:aJQ (—2a(a)ax/0)=询厶(一2(r 伍)旬/8)・(1.70)Основываясь на выраженииОсновываясь на выражении

поэтому

поэтому

Если ввести

Если ввести

то (полагая связанными

то (полагая связанными

an = Cln (— 2g (a) ai/0),

0=(, P ^r) у [аЬсЦ (— 2a (a) ai/0)].(L69)

обозначение

(Й)

n = 1) найдем, что амплитуды a0 и ax оказываются следующим равенством:

aJQ (—2a(a)ax/0)=询厶(一2(r 伍)旬/8)・(1.70)

an = Cln (— 2g (a) ai/0),

0=(, P ^r) у [аЬсЦ (— 2a (a) ai/0)].(L69)

обозначение

(Й)

n = 1) найдем, что амплитуды a0 и ax оказываются следующим равенством:

aJQ (—2a(a)ax/0)=询厶(一2(r 伍)旬/8)・(1.70)

Основываясь на выражении

Основываясь на выражении

находим окончательную формулу для распределения плотности в одномерной модели кристалла:

Р ⑺=詣(\Р 协).j( 2；(吁 exp (―2 屮 cos ax) , (1.71)

где @1 определяется из соотношения

* (_盜Q р切)a (_券号.

Последнее соотношение выполняется прежде всего для случая @i = 0, что соответствует пространственно-однородному распределению частиц

р (х) = const.

Оно может иметь решение 旬=# 0 лишь в том случае, если

(г(а) =，K(\r\)eiaxdr^0,

что видно из сопоставления знаков левой и правой частей. Это неравенство есть одно из условий, накладываемых на силы взаимодействия, для существования периодического решения. Перепишем анализируемое выраженке в следующем виде:

z/o(z) = — ^^\pd"(z).(1.72)

(й)

Используя свойства функции Бесселя мнимого аргумента

/о (с)〉А (с),/0 ~ 1> Л ~х/2 при >0,

/о ⑺〉0, /Г ⑺〉0, %/；(/)〉0 при «г 力 0, можно установить, что, если

0< —а(а)-^- \ рМ

(О)

то уравнение для z имеет два действительных решения, не равных нулю. Если неравенство изменяется на обратное, то имеет место только решение 2 = 0.

Точка бифуркации соответствует прежнему условию кристаллизации (1.57). Вблизи температуры кристаллизации амплитуда периодической структуры ах мала. В этом случае можно использовать выражения функций /0 (х) и 1Х (х) при малых значениях аргумента

к=о в результате получаем приближенную формулу

d) p 加(6- 6。中+备(6 - 6。)+…],

где

6。=一。他)与\ p呪(П)

указывающую на характерную зависимость амплитуды структуры от температуры вблизи точки кристаллизации.

Исследуем случай низких температур в сравнении с темпера- турой кристаллизации 0О. При 8 f 0 аргумент функций Бессе* ля —2и (а)ах/0 велик, если считать, что период структуры мало зависит от температуры. Воспользуемся асимптотической формулой

（一及门"+4+ %）（2犷 依f（"一" + %）-，

находим

a。+石而一石石啊彳+…，"° =丽(产几

В этом приближении выражение для р (%) приобретает вид

Р ⑺。2 言 \ Р 切仔甯)А)" exp 曽醬(1 — cos ax)]

Если cos ах не равен единице, то зто выражение стремится к нулю при 8 -> 0 (напомним, что a (a) V 0). Если же cos ax = 1, то зто выражение стремится к бесконечности. Интеграл же от плотности р (х) но периоду структуры конечен и равен 2л р dr abc.

(ft) / Отсюда следует

P(22"£/一竽，(d)m=—oo

т. е. результат, который был получен ранее.

В итоге, рассматривая модель особо «пологих» молекулярных потенциалов, приходим к решению, описывающему кристаллическое состояние во всем доступном интервале температур.

Рассмотренный одномерный случай легко обобщается на трехмерный. Система уравнений для определения амплитуд Фурье

=爲 \ \ \ exp $ £ cLnnfm^ (n'a, ГЬ, тп'с) 乂

0 0 0n'l'm，

X exp (切飞1 + "& +加空8)- »呜一隔一噁8排鴻阪, n, Z, тп = 0, ± 1, ± 2,..

при условии выбора достаточно «пологих» потенциалов принимает вид

an(m = e/2° 甯В 厶2。 甯。I。) %.

[Условие «пологости» потенциалов в трехмерном случае накладывает ограничения на

а (па, lb, тс) =，К (j г j) exp (inax + ilby + imcz) dr;(«>)

предполагается, что а отлична от нуля только в том случае, если все п,厶 т равны нулю, либо из трех чисел одно равно единице, а остальные два равны нулю.

Связь между а000 и амплитудами а100, а010, а001 приводит к системе

^100-^0^100-^0a010Aa010A^001-^0^001-^02o (а) ай。02o (b) Oq100~2(5 (c) 0()010~2o (а) ай。02o (b) Oq100~2(5 (c) 0()010~=a000人(—=a000人(—=a000八(-=a000八(-=аоооЛ (—=аоооЛ (—2з (a) Oioo2s (d)旬]。0~2a (c) o0010—2з (a) Oioo2s (d)旬]。0~2a (c) o0010—(L73)(L73)

^100-^0

^100-^0

a010A

a010A

^001-^0

^001-^0

2o (а) ай。0

2o (b) Oq10

0~

2(5 (c) 0()01

0~

2o (а) ай。0

2o (b) Oq10

0~

2(5 (c) 0()01

0~

=a000人(—

=a000人(—

=a000八(-

=a000八(-

=аоооЛ (—

=аоооЛ (—

2з (a) Oioo

2s (d)旬]。

0~

2a (c) o001

0—

2з (a) Oioo

2s (d)旬]。

0~

2a (c) o001

0—

(L73)

(L73)

простойпростой(1.74)(1.74)

простой

простой

(1.74)

(1.74)

Плотность вероятности местоположения частиц имеет вид

р (>) = С ехр [1- а (а) ai00 cos ах|-а (b)初。cos by —

g- и (c) aooi cos cz .

Ценность решений, найденных на этом пути, заключается в возможности получения аналитического выражения, описывающего периодическую структуру кристалла и справедливого во всем интервале температур: от абсолютного нуля до температур плавления. Недостаток этих решений — в сильно ограничивающих требованиях «пологости» для потенциалов взаимодействия атомов, образующих кристалл.

ГЛАВА II

НЕЛОКАЛЬНО-СТАТИСТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ КРИСТАЛЛА

Пространственно-периодические решения для вероятностей местоположения частиц при достаточно низких и промежуточных температурах

[В классической динамической теории решетки Борна периодическое распределение атомов в кристалле не выводится для реальных физических условий существования кристаллов, а постулируется с самого начала развития теории.

Постулат, обосновывающий периодическую структуру кристаллов, вводится неявно, он связан с требованием локализации атомов в окрестности узлов решетки. Структура классической теории следующая.

В своем основном варианте теория исходит из уравнений механики для поведения частиц в кристалле

叫％ (：) = 7м -峭= %(：-：'')•(У)

механики приводятмеханики приводятВ стационарном случае dldt = 0 уравнения к минимуму потенциальной функции: £屮(1 一:) = min.

механики приводят

механики приводят

Возникает задача о распределении центров сил в пространстве так, чтобы в каждой точке с фиксированным значением I (номера ячейки) и к (номера атомов в ячейке) существовал минимум указанной функции.

Для сил взаимодействия, имеющих «потенциальную яму», зта задача решается положительно и приводит к определению размеров элементарной ячейки. Однако возникшая задача имеет чисто геометрический характер: она не связана ни с инерциальными, ни со с та тистичес кими, ни с термодинамическими условиями существования кристаллов.

Наиболее жесткое требование в такой постановке задачи заключается в том,; что на пути введения кристаллической решетки требуется постулировать абсолютный нуль температуры, так как в механике не имеется статистических разбросов.

Поскольку абсолютный нуль недостижим, требуется оправдание задачи и ее результатов. Задача о минимуме, взятая сама по себе, свободна от требования наличия частицы в каждой точке минимума, так как зта задача не меняется от величины множителя, указывающего на долю вероятности местоположения частицы в узле.

Оправдание реальности поставленной задачи производится путем максимального заполнения узлов решетки вероятностями местоположения частиц с тем, чтобы можно было использовать классическую или квантовую механику для иселедования поведения каждого атома около соответствующего узла. На этом пути выводятся линейные и нелинейные колебания решетки. Гамиль- тоновское описание последних при дальнейшем использовании метода Гиббса позволяет развивать термодинамику кристаллов. В этом же направлении возникли разделы молекулярного обоснования теории упругости, оптики кристаллов и другие разделы физики кристаллов.

Однако постулат, связывающий геометрическую задачу с реальными свойствами кристаллов, основывается на радикальном физическом ограничении — локализации каждого атома в окрестности фиксированного узла решетки. Таким образом, оправдание периодической структуры кристаллов производится за счет вво дения следующих физических гипотез:

Локализация атомов в окрестности узлов для любого момента времени и вследствие этого отказ от свободы перемещения атомов по кристаллу.

Совокупность атомов в кристалле есть целое число — предпосылка, которая не подтверждена экспериментальными данными.

■3. Непротиворечивость введения понятия вероятности и механического описания поведения частиц.

В работах [3——20] развивается иная модель кристалла. В этой модели, в отличие от очерченной выше, периодическая структура кристаллов не является следствием ограничений на свободу перемещения атомов по кристаллу, а обусловлена специфичностью статистических законов движения частиц, согласовывающих периодическую структуру со свободой перемещения атомов, в результате чего вероятность встретить атом в междоузлиях всегда отлична от нуля. Для описания стационарных свойств кристалла будем исходить из температурных функций распределения, характеризующихся стационарностью и статистической независимостью рао аределений по отношению к координатам и скоростям:

/ (г, V)= р (г)ш (у2). (II.2)

На этом пути (см. главу I) приходим к нелинейному интегральному уравнению для определения молекулярного потенциала

(П.З)(П.З)U (г) и функции распределения по скоростям ш (уа) и (>) = С，К (少一 I) e-u^dr\ р ⑺=Се-и”％ ш(у2) =(2^У"т”‘叫

(П.З)

(П.З)

или равноправному нелинейному уравнению для плотности р ⑺:

р (?•) = С ехр [— $ \ К (I »• — “ I)р (犷)d“] , (II.4)

где температура 0 — параметр, появившийся при разделении переменных.

Наложим на предполагаемые решения некоторые условия, выполнимость которых проверяется после получения решения.

Условие трансляционной симметрии

U ^) = U (г + ha + kb + Zc),(II.5)

где 儿"，Z = 0, ± 1, 士 2,...

Наличие потенциальной ямы для функции U (г) в точках

> =%q + "b + Zc.(II.6)

Малость эффекта самовоздействия в сравнении с взаимодействиями. Наличие самовоздействия характерно для нелокальной статистической теории. Используем условие периодичности и запишем исходное уравнение, рассматривая сначала простую кубическую решетку:

。⑺=с，Г ^ K{\r — ha — kb — lc — ”|)]е-и⑺田协，+ 8U,(r),

(abc) 1瓦 % I

(П.7)

St7a(r) = C $ К(|f 一犷J)e-^^dr',

(abc)

где выделен член 8US, который мы в дальнейшем будем называть

самовоздействием. Ядро в первом интеграле будем обозначать через 左(> —>'):

K(r-r') = ^^K(\r-ha — kb-lc-r'\).(II.8)

Перейдем к другой форме интегрального уравнения, которая приведет нас к его решению. При этом постоянную С*выразим через нормировку плотности вероятности на элементарную ячейку в кристалле

с = ( \р 加)(abc)

1

「N(个8协• (abc)

(П.9)

Разлагая ядро 度(> —>')в" ряд Тейлора относительно переменной 丁' и предполагая симметрию вероятности местоположения атомов р (г) около узлов Относительно преобразовании ха f —ха, ползаем

U⑺=(\ р协)田+3£〈琬〉應。 + (abc)аг

3

+4 £(3-2%)6端)瑜%+ ...]友⑺+ 6巩⑺，(11.10) а, 3=1

(琬〉=,^e"u('r^dr / ,⑺附>,

(abc)/ (abc)

〈况"8〉=,就嗝6-и⑺吃> / , e-u^r^dr,...

(abc)/ (abc)

Если потенциальная функция U (г) имеет яму в узлах, то используя для оценки интегралов Асимптотический метод Лапласа и полагая 9 достаточно малой величиной, получаем решение. Первые

члены асимптотического ряда конкретизируются значениями коэффициентов:члены асимптотического ряда конкретизируются значениями коэффициентов:〈或）П磊（、 р⑺协）Т，% （abc）〈或）П磊（、 р⑺协）Т，% （abc）0202嗨总%嗨总%F(S p")协厂; I (abc)F(S p")协厂; I (abc)следующими(11.11)следующими(11.11)

члены асимптотического ряда конкретизируются значениями коэффициентов:

члены асимптотического ряда конкретизируются значениями коэффициентов:

〈或）П磊（、 р⑺协）Т，

% （abc）

〈或）П磊（、 р⑺协）Т，

% （abc）

02

02

嗨总%

嗨总%

F(S p")协厂; I (abc)

F(S p")协厂; I (abc)

следующими

(11.11)

следующими

(11.11)

плотность в окрестности узла определяется так:

,(П-12),(П-12)Р ⑺=(J Р ⑺切)П (2л <4»~1/2-exp (- y^

,(П-12)

,(П-12)

где производные 度(г) берутся в центре узлов решетки. В этом случае полученный ряд для молекулярного потенциала является решением исходного уравнения. При зтом предполагается, что существуют условия/ которые должны быть определены и для которых второй членсамовоздействия 8US (г) значительно меньше первого.

Полученное решение ограничивается условием применимости асимптотического метода Лапласа, накладывающего ограничение на область (xn х2, nJ функции U (г), линейные размеры этой области должны быть порядка «радиуса влияния». Если начало координат помещено в центре узла, то

I Na j WI Na j W気(abc)if\気(abc)if\(11.13)

I Na j W

I Na j W

気(abc)if\

気(abc)if\

Вне этой области, взятой около произвольного узла, решение не

определено.

Найденное решение является только «почти» классическим, так как имеет место одновременное сосуществование вероятности местоположения атомов в разных участках пространства внутри «радиуса влияния», не вызванное усреднением, а обусловленное первичностью нелокальных представлений. Это одно из следствий теории, которое может подвергнуться экспериментальной проверке, для чего требуется точность измерения времен 〜10~14 сек при фиксировании вероятности местоположения атомов с точностью 10-9 см.

Условие существования потенциальной ямы в суммарном потенциале имеет место, если энергия взаимодействия отдельных пар атомов, т. е. К (| г — >' |), имеет потенциальную яму. Для количественных расчетов будем конкретизировать парные взаимодействия набором экранированных потенциалов, удобных для металлов, и степенных функций для диэлектрических кристаллов, даваемых (1.12).

Выражения (1.12) описывают взаимодействие на расстояниях, достаточно близких к центру потенциальной ямы. Для меньших расстояний в обоих случаях предполагается монотонный спад сил отталкивания.

К сожалению, не существует единого подхода к силовым взаимодействиям на расстояниях < Ю-8 см. Эту область следует разбить на две: а) внутри «радиуса влияния» \т — rf \^ W Г〉％ 〜10~9 ими б) промежуточную область между значениями г =〈或〉％ и г =「工，где г工 удовлетворяет условию К (г0 = 0.

Возможность проникновения частиц внутрь указанных областей зависит от кинетической энергии сближения частиц.

Можно положить, что К (\ г — rf \, {/}) дается формулой (1.15)

i7Te~^r~r，\, lr — г' |>rOj 《(”“，{/})= ""(IL14)

В, |r — rz I <r0.

где радиус непроницаемой сферы определяется из равенства ^-fdv / ^ fdv.(11.15)

О3)/ («О

Величина г0 в случае больших энергий сближения лежит в первой области (внутри «радиуса влияния»), в случае малых — во второй области, приближаясь снизу к значению порядка гх.

Интеграл в члене самовоздействия

(11.16)(11.16)60s (>) = \ К (什一М I) p(r') dM(abc)

(11.16)

(11.16)

2 А. А. Власов

представим в виде ряда в двух предельных случаях. Используя детализацию^ (| г — г' j, {/}) в виде (1.14), разложим в ряд Тейлора функцию р (>') в окрестности точки % получим

6。3 ⑺=就 pip ⑺ + ~!~ аааодр ⑺ + ...],

88(П.17)

аг = 4nG \ te^dt, а2 = 4nG § t'''e-ldt,...rojaoro|cto

Коэффициенты а】,а2» «з» • • • содержат множителем фактор е~Гп/а°, поэтому в случаях достаточно малого радиуса действия сил а0《г0 член самовоздействия оказывается экспоненциально малым.

В противоположном^случае а0》г0 самовоздействием можно пренебречь только при жестком условии

а = 1,2,3.

Во втором случае, разлагая функцию К (| г — “ |) вряд Тейлора по величине смещения получаем

з

М6 = « pd"回厂)+ % £〈冠〉成/⑺十 ...]. (IL18) (abc)a==l

Использование первых членов разложения (11.18)

правомерно вне непроницаемой сферы с радиусом, равным г0, а 丨〉％;

предполагает достаточную «пологость» потенциальной функции К (]r I): эффективный радиус действия этой функции должен быть велик в сравнении с радиусом теплового разброса

a0a0V1，V1，1«О =—1«О =—

a0

a0

V1，

V1，

1

«О =—

1

«О =—

При условии г0 另 a0 применительно ко второму случаю «само- воздействие» 8US (>*) является экспоненциально малой величиной. В обратном случае г0 -> О 6US (г) может быть как угодно большим числом, вследствие чего этим членом в исходном уравнении нельзя пренебречь. .

По последней причине полученное выше периодическое решение перестает существовать. Эта ситуация возникает при условиях

В итоге решение исходного уравнения (II.3) в виде троякопериодической функции для молекулярного потенциала имеет вид

з

0⑺=(、［1 + 备工〈:4〉& + (abc)а—1

3

+ % £ (3-2%В)%吗 + ../无6，(11.19)

а, 8=1

где К (г) дается формулой (IL8) и для плотности вероятности местоположения атомов имеем

p(>) = ( \ pd))X (2Л〈就〉.2П〈滤).2П〈務〉)Tz Х'(abe) 九，M,Ep(>) = ( \ pd))X (2Л〈就〉.2П〈滤).2П〈務〉)Tz Х'(abe) 九，M,EX ехрX ехр(/- 〃"产2(吧:(/- 〃"产2(吧:• ехр• ехрe尸pe尸p（g 一卜广 2〈唸（g 一卜广 2〈唸(11.20)(11.20)

p(>) = ( \ pd))X (2Л〈就〉.2П〈滤).2П〈務〉)Tz Х

'(abe) 九，M,E

p(>) = ( \ pd))X (2Л〈就〉.2П〈滤).2П〈務〉)Tz Х

'(abe) 九，M,E

X ехр

X ехр

(/- 〃"产

2(吧:

(/- 〃"产

2(吧:

• ехр

• ехр

e尸p

e尸p

（g 一卜广 2〈唸

（g 一卜广 2〈唸

(11.20)

(11.20)

Резюмируя, отметим, что

периодическая структура кристаллов выводится из уравнения, более приближающегося к реальной ситуации, в которой находится кристаллическое состояние, чем в подходе Борна: в последнем приходится исходить из состояния частиц с абсолютной температурой, равной нулю;

важным моментом вывода является отсутствие ограничения свободы перемещения атомов по кристаллу, так как нормировка вероятности местопоагожения атомов в элементарной ячейке

j pd尸

（山，）

остается произвольной величиной.

Как мы увидим ниже, Ъта величина является термодинамическим параметром и входит в уравнение состояния кристалла, определяя его реальный объем при заданной массе тела;

характерной особенностью полученного решения является то, что оно отображает периодическую структуру, сохраняющую строгую периодичность, независимо от значения температуры.

Температура влияет на параметры периодичности, в частности на дисперсию вероятности местоположения атомов в окрестности узлов, но не нарушает строгой периодичности.

Это также отличает рассматриваемую теорию от классической, в которой температура связывается с интенсивностью акустических шумов в кристалле, нарушающих его периодическую структуру. Может ли оказаться в эксперименте (лауэграммах) это различие, рассматривается в главе VII.

§ 2. Определение пространственного периода, температурного разброса и энергии связи атомов в кристалле

Определение периодов трехмерной структуры сводится к определению величин а, Ь, с из условия минимума потенциальной функции U (г) в точках г = ha + kb -\- 1с

,3

vru(Г)= ^ \ р [1 + 3 £〈琬〉& + (abc)а=1

3

+ 备 £ (3 -26爾〈2旣3〉礁』зВ+ ...]YГ瓮e) = 0.(11.21)

Рассмотрим частные случаи взаимодействий.

Для потенциалов Ленарда —— Джонса, выбирая в (1.13) п = = 12 и 6 и вводя число реальных соседей zm в слое с радиусом Bm^n, где Вт — структурные коэффициенты, гц — минимальное расстояние между узлами, получаем

笈н (Е) = 4“ [(^~)12 %2 — ^у Z“，(П.22)

где Z@ — эффективное число соседей:

(11.23)(11.23)分=4詰，

(11.23)

(11.23)

Требование шетки:Требование шетки:минимума дает следующую величину периода ре-

Требование шетки:

Требование шетки:

(IL24)

Для взаимодействия типа экранированных потенциалов, удерживая только ближайших соседей на расстояниях 门，находим для определения 门 уравнение

1,^2(x2r I —丄)

=In

*2 — *1Gi (%rI + 1)

решением является функция параметров взаимодействия G】；G?； &； x2：решением является функция параметров взаимодействия G】；G?； &； x2：1 In °2“2*2 — %G1"11 In °2“2*2 — %G1"1(11.26)(11.26)при условии乳2门＞ %门＞ 1, G＞仅.при условии乳2门＞ %门＞ 1, G＞仅.(11.27)(11.27)

решением является функция параметров взаимодействия G】；G?； &； x2：

решением является функция параметров взаимодействия G】；G?； &； x2：

1 In °2“2

*2 — %G1"1

1 In °2“2

*2 — %G1"1

(11.26)

(11.26)

при условии

乳2门＞ %门＞ 1, G＞仅.

при условии

乳2门＞ %门＞ 1, G＞仅.

(11.27)

(11.27)

Определение периодов молекулярного потенциала приводит к требованию

"г 2 “[尸 一 (hd 十 kb + Zc)] \r=h'a~{-ftrb-\-i'c =。・(11.28)

Это условие не включает температуру кристаллов, и, следовательно, периоды в статистической теории не зависят от температуры. Зависимость наблюдаемых размеров тел от температуры вытекает из термодднамики кристаллов, которая строится в главе IV.

Перейдем к рассмотрению потенциальной энергии коллективного взаимодействия атомов в кристаллическом состоянии.

В нелокальной теории эта энергия есть

£ =扌\\区(|> — >])р ⑺ р(М)如 dk =皆 \ U (г) р (г) dr. (11.29) Используя полученные выше выражения для молекулярного потенциала и плотности распределения, имеем

е = } N ( \ р dr^ * ^ \ 宜(г) р (г) 0” + (ab:)(abc)

3

+ $£〈或〉，④宜(，)p6d，・+(11.30)

■ а—1(аЬс)

где N — число ячеек в кристалле. Удерживая в каждом интеграле первые степени по температуре

£ = -}%( \ Р“')[( g pdf) £ К(|无a + 紡 + 2с|) +30 +…], (abc)(abc) h,KJ

замечаем, что, поскольку полное число частиц в кристалле есть

N \ pdr,(11.31)

(abc)

то на каждую частицу приходится энергия связи

4-( , pd，)・ У^ K{\ha+kb + lc\) (11.32) (abc)h,KJ

и тепловая энергия 3/20. Присоединяя к потенциальной энергии среднюю кинетическую энергию кристалла

т = \ \ "^ / dr dv, / = Р (г) w (у2),

"(卢)=备0-^"29； T = N \ pd沙学，(П.ЗЗ)

(abc)

получаем известное значение для теплоемкости кристаллов, при температурах, недостаточно близких к температуре плавления 39, в расчете на одну частицу, при постоянном числе частиц в кристалле

Nчаст =Nчаст =Nhh \ pd'=県 g Р切(abc)(abc)

Nчаст =

Nчаст =

Ранее это значение теплоемкости выводилось из наличия акустического поля в кристалле и усреднения по времени кинетической и потенциальной энергии акустических осцилляторов.

В излагаемой теории та же самая величина получилась без акустического поля и без временного усреднения.

Выше рассматривалась простая кубическая решетка. Развиваемая теория остается справедливой и в приложении к сложным ячейкам. Исходное уравнение и метод решения основываются на положениях, остающихся неизменными и для других случаев. К этим положениям принадлежат следующие:

Наличие потенциальных ям молекулярного потенциала в узлах решетки.

Разбиение области интегрирования в исходном уравнении на ячейки, в каждой из которых имеется лишь один атом.

Использование асимптотического метода Лапласа оценки интегралов, требующего малых температур по сравнению с температурой плавления.

Эти положения остаются справедливыми в применении к кристаллам с более сложной структурой элементарных ячеек.

Рассмотрим для примера объемно-центрированную решетку. Исходным является нелинейное уравнение для молекулярного потенциала

U(r) = C、宜(尸一Ое-и(")吃尸，(II.7')

(堂)

К (г) = ^ К(р — hdx — kdy —以z),

где мы опустили член с самовоздействием и приняли кубическую элементарную ячейку.

Для случая объемно-центрированной решетки разобьем появляющийся в (IL7‘)интеграл на 9 областей интегрирования так, чтобы на каждую область приходился один узел.

Пусть в начале координат находится узел решетки, ближайшие 8 узлов расположены в узлах ячейки, в этих узлах функция К (г) имеет минимум. Появляющиеся в (117) 9 интегралов сводятся только к двум:

\ K&-Oexp[—U(O/6]dM

、宜卜一等一产)exp [-U {rn + 〃/2)/0] dr", (11.34) (О)

где вектор &/2 имеет компоненты (d/2, d/2, d/2), объем Q равен d*d/2*d и единственные узлы находятся в первом интеграле в точке 丁' = 0, вок втором —— в точке 丁" = 0.

Исходное уравнение (II7) принимает вид

U ⑺)=С \ К (г — “) ехр[— U (к)/©]协'+ (П)

+ с \ 宜(—М-@/2).ехрК"+告)/е] d*.(11.35)

Оно имеет структуру, вполне аналогичную структуре уравнения для простой решетки, и решается аналогично. Разложение функций

К (г - М), К (г - к - &/2)

в узлах в ряд Тейлора и использование метода Лапласа оценки появляющихся интегралов приводит к решению

и （尸）Н（、 p . [1+牙 工〈冠〉煦 + （С）a=i

+ 3 ](疝嗝〉(3 - 26呻)& ，陶+…][宣⑺+宜卜 9], а, 6=1

(11.36)(11.36)оогде

(11.36)

(11.36)

о

о

碌/8

〈冠卷〉=〈冠卷〉=е a + 23邓)е a + 23邓)(11.37)(11.37)

〈冠卷〉=

〈冠卷〉=

е a + 23邓)

е a + 23邓)

(11.37)

(11.37)

(煮⑺=直⑺+宜什一a/2)).

При этом производные в выражениях для тепловых разбросов берутся в узлах решетки.

В случае кристалла с гранецентрированной кубической решеткой интеграл в исходном нелинейном уравнении по основному периоду необходимо разбить на 13 областей, каждая из которых должна иметь один узел решетки.

Нетрудно видеть, что в этом случае мы приходим к четырем интегралам

、宜(г —犷)exp [ — U (rz)/0J dr\⑴)

g 度(/•一!•'一心/2 + 〃3/2) exp [- tz (M + a2/2 + <?3/2)/9] dr,, 8)

j 宜《一《一心"^屯)exp [- U 化 + % y /е]d”，(11.38)

卜卜 _ ^^1)exp Г- U 卜 + 曳戶)/е]加，

где векторы сдвига начала координат определяются компонентами (d/2, d/2, 0), (d/2, 0, d/2), (0, d/2, d/2) соответственно, объем малой ячейки Q с одним узлом равен Q = d/2・d/2・d, он составляет четвертую часть объема элементарной ячейки. Таким образом, число частиц и число элементарных ячеек связаны соотношением

Nчаст = NRq * 4 \ р dr.

(О)

Аналогично предыдущему случаю решение для молекулярного потенциала дается формулой (IL19), в которой К (г) заменяется на R (г):

Н3

K(r) = R (r) + 2 京(L一九)

5=1(IL39)

(%=("1 + "2)/2，无2 = ("1 + "3)/2,九3 = ("2 + "3)/2).

Для тепловых раябросов имеют место вполне аналогичные выражения, с измененным значением производных в узлах решетки. Например,

吼资⑺=电[左(T) + g产少一①(.

В результате во всех трех случаях: простой, объемно-центрированной и гранецентрированной решетки ——молекулярный потенциал и соответственно плотность местоположения частиц отличаются между собой только видом потенциала в окрестности узлов решетки и соотношением между числом элементарных ячеек и числом частиц в кристалле.

Анизотропия распределения вероятностей местоположения атомов в междоузлиях

Выше рассматривалось распределение плотности вероятности местоположения частиц в окрестности узла в приближении малого радиуса окрестности по сравнению с расстоянием между узлами («радиуса влияния», определяемого асимптотическим методом Лапласа). В этом приближении для простой кубической решетки получилось сферическое распределение

Р 少)=(\ Р 协)，П (2п〈电)Т" -ехр,

'fabc)а=1\

〈#：〉—〈/；〉=〈/〉，d = b = Ct(11.41)

При перемещении от центра узла становится заметной анизотропия распределения плотности вероятности, обусловленная различием в расположении ближайших узлов.

Анизотропия плотности р (г) видна из формул (11.19), (П.8). Потенциальная энергия взаимодействия атома с соседями, находящимися в узлах, отрицательна и монотонно убывает по модулю при приближении к середине расстояния между узлами в ячейке. В трех точках, максимально удаленных от узлов,— центре ребра, центре грани и центре куба — модуль потенциальной функции К (г) убывает；

|^(4,о,о)|>|^(4,4-,о)|>|/?(4,4,4)|,⑴的

и поэтому ввиду зависимости р (г) ^- exp f—К (i*)/0J имеем

р (d/2, 0, 0) < р (d/2, d/2, 0) < р (d/2,以/2, d/2).(IL43)

Таким образом, в кристалле вероятность местоположения атома, будучи отлична от нуля во всех точках элементарной ячейки, минимальна в центре куба и возрастает с приближением к граням. На гранях она минимальна в центре грани и возрастает с приближением к ребрам, на ребрах — минимальна в центре ребер и максимальна на их концах. Изменения потенциальной энергии входят в показатель экспоненты, и поэтому градиенты анизотропного распределения велики. С увеличением температуры имеется тенденция к сглаживанию вероятности местоположений во внутренних точках элементарной ячейки.

При температуре плавления плотность вероятности расположения атомов становится пространственно-однородной величиной. Количественную детализацию анизотропного распределения плотности местоположения атомов внутри объема элементарной ячейки удается аналитически проследить в модели кристалла с сильно пологими молекулярными силами, которые мы рассматривали в первой главе.

Отыскиваем решение исходного уравнения для распределения плотности

р (г) = С • ехр [——^- \ К (Q — " I) р (“)dr^,(11.44)

(8)

в виде тройного ряда Фурье с основным вектором обратной решетки, равным по модулю | а | == 2n/d 三 а:

р(г) =2 耿 к/ exp (ihax + ikay + ilaz), (11.45)

h, k, ?=一8

Привлекая

условие сильной «пологости» парного молекулярного потенциала взаимодействия:

a(*) = 4n^(s)^isMs = 0,(11.46)

О

、к = аУ^+ F + Z2

для всех Л, ",厶 кроме значений

о, 0, 0,0, ±1, о,

±1, 0, 0, о, 0, ±1,

очевидность наличия во взаимодействии атомов сил, удовлетворяющих условию

а (0, 0, 0) > 0, а (0, ±1, 0) < О,

(П.47)

。(士1,0, 0)V0, а (0, 0, ±1) < О,

получим, что все амплитуды ат выражаются только через амплитуды нулевой и первой гармоники с помощью функций Бесселя от мнимого аргумента:

研=d厶[-2屮可厶[-秋•/；[- 2〃"『叫,(11.48)

无丿£」=0, 土 1, 土 2,C = C exp [— a()ooO (O)/0J.

Постоянная составляющая

«ООО = ^0 [—2о (а)а1оо/0]/о [—2а(а)ао1о/0]/о [—2о (а)аоо1/0] (11.49) есть средняя плотность частиц в элементарной ячейке

〃ооо = $• \ р dvt(11.50)

Зная амплитуды 纵底 и используя соотношение из теории бесселевых функций

exp (z cos ср) = 2 7m (z) 2 cos тпср,m=o

просуммируем (11.45). Тогда распределение плотности вероятности местоположения частиц внутри элементарной ячейки кубического кристалла выражается так:

р"')= Q产声就^р"')= Q产声就^X ехрX ехр2a (R 〃]00 (cos ах _|_ cos ау _|_ cos ©)],2a (R 〃]00 (cos ах _|_ cos ау _|_ cos ©)],(11.51)(11.51)

р"')= Q产声就^

р"')= Q产声就^

X ехр

X ехр

2a (R 〃]00 (cos ах _|_ cos ау _|_ cos ©)],

2a (R 〃]00 (cos ах _|_ cos ау _|_ cos ©)],

(11.51)

(11.51)

при этом учтено, что в силу кубической симметрии а100 = а010 = =«оо1- Для установления связи первой гармоники а100 со средней плотностью вероятности а000 внутри ячейки необходимо выполнение равенства

〃1оМо [—2о (〃)〃100/6] = fl()ooli [•—2а (а)а1оо/0].

Это уравнение имеет решение для а100, отличное от нуля, только в том случае, если

(&)

что совпадает с полученным ранее условием (1.56) существования кристаллического состояния при рассмотрении перехода пространственно-однородного распределения в периодическое.

Формула для распределения р (г) дает возможность количественно определить значения плотности во всех точках внутри элементарной ячейки. Изменение плотности в главных кристаллографических направлениях [111], [110], [100] приведено в табл. 1. За меру анизотропии в указанных направлениях взято отношение

Таблица 1

Анизотропия распределения плотности в зависимостиот кристаллографических направлений и температуры

®пл

Pmin I ₽ср |[100]

Pmin 1 ₽ср 1 [110]

Pmin 1 ₽ср 1[111]

0,9988

1,097

0,8981

0,7353

0,9950

1,185

0,7947

0,5326

0,9089

1,262

0,6928

0,3802

0,9805

1,325

0,5952

0,2675

0,9700

1,371

0,5042

0/855

0,9434

1,409

0,3476

8,570-Ю-з

0,8928

1,339

0,1813

2,453-10-2

0,8546

1,226

0,1113

1,009.10-2

0,7948

1,004

4,997.10-3

2,525.10-3

0,6978

0,6238

1,142-10~2

2,093-10~4

0,6120

0,3422

2,305.IO'3

1,553.10~5

0,5400

0/727

4,282.10~4

1,062.10-в

0,4806

8,245*10-2

7,518.10-6

6,856 • (О-

0,4318

3,782.10-2

1,269 /0т

4,256-10-»

0,3574

7,342.10-3

3,333・10т

35310-и

0,3041

1,327.10~3

8,156*10-8

5,01.10~14

0,2644

2,289 ・g

1,90.10~10

1,58.Ю-16

0,2338

3,814・10т

4,29*10-12

4,83.10-19

0,1897

9,867.10т

2,03.10-15

4,19.10-24

0,09747

5,87・(0Т5

2,49.10-»2

306

0,04937

7,12-10-82

1,29-10-««

2,2d0T0i

минимального значения плотности к средней плотности в кристалле. Температура кристалла в таблице взята по отношению к температуре плавления

@)@)

@)

@)

Таблица указывает на наличие

значительной анизотропии в распределении плотности частиц по направлениям главных осей; при этом получается, что

Pmin 、Pmin 〉Pmin

Pep [100] Pep [110] Pep [in]

зависимости анизотропии от температуры,

«шнуров», связанных с уплотнением вероятности местоположений атомов вдоль основных кристаллографических направлений. Начиная со значений относительной температуры 〉0,7948 в направлении [100], минимальное значение плотности превышает среднее значение. Кроме того, из таблицы видно, что

аналогичный эффект уплотнения имеет место в основных кристаллографических плотностях, но он выражен значительно слабее, чем в кристаллографических осях. Это уплотнение в атомных плоскостях ни при каких температурах не превышает среднее значение плотности;

при относительно малых температурах плотность в междоузлиях становится очень малой величиной. Например, при 0/0ПЛ ~ 0,05

РтМ 〜[OR

Рср [100]

4. Подход к теории кривых плавления Симона

Рассмотрим изложенную ранее молекулярную теорию кристаллизации (см. главу I, § 3) с точки зрения экспериментальных кривых плавления Симона [25]. Для большинства веществ определена зависимость внешнего давления от температуры в условиях плавления — это эмпирическое уравнение Симона

ааР —РоР —Ро(11.52)(11.52)

а

а

Р —Ро

Р —Ро

(11.52)

(11.52)

где а и с — постоянные, 00 — температура плавления при атмосферном давлении р0.

Уравнение Симона описывает линию квазиравновесного фазового перехода жидкость — кристалл,

Будем следовать работе [21] и попытаемся вывести уравнение Симона из критерия кристаллизации

ооsin ks / 曲ks 'sin ks / 曲ks '(11.53)(11.53)

о

о

sin ks / 曲ks '

sin ks / 曲ks '

(11.53)

(11.53)

При этом воспользуемся для энергии взаимодействия формулой Ленарда — Джонса, дополняя ее требованием наличия «непроницаемой сферы», радиус которой должен зависеть от кинетической энергии частиц при их сближении:

(4e[(a0/r)«-(a0/r)m],r>r0,

оо,у； б")

「о находится из условия

)—fdv

⑴・55)

(8)

При вычислении интеграла (11.53) используем следующие приближения.•

Будем учитывать только силы отталкивания, силы притяжения введем позднее как дополнение.

Вместо интегрирования от радиуса непроницаемости г0 до оо будем интегрировать от нуля, вводя обрезывающий фактор, приближенно передающий наличие непроницаемой сферы радиусом г0:

ехр [—4е (а0/г)п/9].

Тогда выражение (11.53) для о (А) примет вид

。依) = 4« 4Е(?『ехр[—等(？)口中产 dr. (11.56) О

Примерная зависимость о (А), определяемая этим выражением, показана на рис. 3.

Переходя к безразмерной переменной

получим

а (А) = 16леа®а (А) = 16леа®sin [/са/‘ (4g/e)un] ка^г1 (4е/0)1/пsin [/са/‘ (4g/e)un] ка^г1 (4е/0)1/п而'・而'・

а (А) = 16леа®

а (А) = 16леа®

sin [/са/‘ (4g/e)un] ка^г1 (4е/0)1/п

sin [/са/‘ (4g/e)un] ка^г1 (4е/0)1/п

而'・

而'・

(11.57)

Для достаточно высоких температур синус можно разложить в ряд, и после интегрирования будем иметь, ограничиваясь четырьмя первыми членами разложения:

。® = 16*借尸[人一%厶词等户A +

+ 4依若传厂Л-4к^4倚广л] '(П.58)

где

Начало процесса кристаллизации определяется одновременным соблюдением условий:

о("о)<0,

-^ — о%),(IL59)

I = о；

при этом учтено, что р = NIV.

Определим 麻 из условия 3), и используя вышеуказанное представление и (〃), имеем

,2/п,2/п(11.60)(11.60)

,2/п

,2/п

(11.60)

(11.60)

Подстановка этого выражения в формулу для о (А) при 巾=% дает

гдегдеО ("о)=—О ("о)=—25十砲25十砲16л 8^616л 8^6(11.61)(11.61)р / 孔一3р / 孔一3р / w — 3р / w — 3

где

где

О ("о)=—

О ("о)=—

25

十砲

25

十砲

16л 8^6

16л 8^6

(11.61)

(11.61)

р / 孔一3

р / 孔一3

р / w — 3

р / w — 3

Из критерия кристаллизации (11.53) находим выражение предельного объема

N 16n£吟匕 / в и-з/пN 16n£吟匕 / в и-з/п(11.62)(11.62)

N 16n£吟匕 / в и-з/п

N 16n£吟匕 / в и-з/п

(11.62)

(11.62)

Для получения линии фазового перехода в переменных р и 0 необходимо в осп ол ьз ов аться уравнением состояния. Для этой цели воспользуемся модификацией метода Гиббса применительно к нелокальной теории, не вводя понятий, связавных с локализацией и целочисленяостыр системы частиц.

Определим свободную энергию Т,；прихедящуюся на тицу, с - помощью уравненияОпределим свободную энергию Т,；прихедящуюся на тицу, с - помощью уравненияодну час-одну час-гдегде\ \ ехр (*大竺)drdp= 1,\ \ ехр (*大竺)drdp= 1,н=^+и^н=^+и^(11.63)(11.64)(11.63)(11.64)U (竽)=\К(I I)exp [— K( I > j > J)] p(“)&犷=-”Q).U (竽)=\К(I I)exp [— K( I > j > J)] p(“)&犷=-”Q).Представление потенциальной энергии в виде функционала (11.64) отличает эту статистическую термодинамику от классической теории. Из исходной формулы для нормировки получаемПредставление потенциальной энергии в виде функционала (11.64) отличает эту статистическую термодинамику от классической теории. Из исходной формулы для нормировки получаем田=乂屮=_ М6]ц{р(2м6)%ехр [— ^^]}(11.65)田=乂屮=_ М6]ц{р(2м6)%ехр [— ^^]}(11.65)ии〜3¥ 一 NO ,1 N%(0)p= 而=~ 十 ~2V2—〜3¥ 一 NO ,1 N%(0)p= 而=~ 十 ~2V2—(11.66)(11.66)(при интегрировании по г перед U (г) в гамильтониане нужно писать множитель %).Подставляя ранее полученное выражение для предельного объема в уравнение состояния, а такн；е формулу для а (А) при 巾=0 и добавляя поправку а на силы притяжения частиц, получим(при интегрировании по г перед U (г) в гамильтониане нужно писать множитель %).Подставляя ранее полученное выражение для предельного объема в уравнение состояния, а такн；е формулу для а (А) при 巾=0 и добавляя поправку а на силы притяжения частиц, получимРР132/新132/新F(中)F(中)+2Ь］噺传? “П住广_（Н,67）+2Ь］噺传? “П住广_（Н,67）

Определим свободную энергию Т,；прихедящуюся на тицу, с - помощью уравнения

Определим свободную энергию Т,；прихедящуюся на тицу, с - помощью уравнения

одну час-

одну час-

где

где

\ \ ехр (*大竺)drdp= 1,

\ \ ехр (*大竺)drdp= 1,

н=^+и^

н=^+и^

(11.63)

(11.64)

(11.63)

(11.64)

U (竽)=\К(I I)exp [— K( I > j > J)] p(“)&犷=-”Q).

U (竽)=\К(I I)exp [— K( I > j > J)] p(“)&犷=-”Q).

Представление потенциальной энергии в виде функционала (11.64) отличает эту статистическую термодинамику от классической теории. Из исходной формулы для нормировки получаем

Представление потенциальной энергии в виде функционала (11.64) отличает эту статистическую термодинамику от классической теории. Из исходной формулы для нормировки получаем

田=乂屮=_ М6]ц{р(2м6)%ехр [— ^^]}(11.65)

田=乂屮=_ М6]ц{р(2м6)%ехр [— ^^]}(11.65)

и

и

〜3¥ 一 NO ,1 N%(0)

p= 而=~ 十 ~2V2—

〜3¥ 一 NO ,1 N%(0)

p= 而=~ 十 ~2V2—

(11.66)

(11.66)

(при интегрировании по г перед U (г) в гамильтониане нужно писать множитель %).

Подставляя ранее полученное выражение для предельного объема в уравнение состояния, а такн；е формулу для а (А) при 巾=0 и добавляя поправку а на силы притяжения частиц, получим

(при интегрировании по г перед U (г) в гамильтониане нужно писать множитель %).

Подставляя ранее полученное выражение для предельного объема в уравнение состояния, а такн；е формулу для а (А) при 巾=0 и добавляя поправку а на силы притяжения частиц, получим

Р

Р

1

32/新

1

32/新

F(中)

F(中)

+2Ь］噺传? “П住广_（Н,67）

+2Ь］噺传? “П住广_（Н,67）

Сравнивая это уравнение с эмпирической кривой Симона, получим при р 登Ро, с = 1 + 3/п

。二函标卜（中）+ 2Н破传尸"。二函标卜（中）+ 2Н破传尸"(H.fiS)(H.fiS)

。二函标卜（中）+ 2Н破传尸"

。二函标卜（中）+ 2Н破传尸"

(H.fiS)

(H.fiS)

Заметим, что коэффициент пропорциональности между р и 01+3/п не зависит от температуры 0О, которая введена для удобства сравнения с экспериментом. Так как для благородных газов' п = 10 -н 12, а экспериментальное значение с ~1,5 т-1,6, то для константы с мы имеем довольно хорошее согласие с опытом. Подставляя в выражение для а известное значение констант 0Р

и е для случая и = 12, можно провести сравнение с экспериментальными результатами [27], приведенное в табл. 2.

Таблица 2

Вещество

Аг

Кг

Хе

Ne

№

“еор，^Г1см^

2644

2974

3053

1308

1571

2087

2345

2576

1024

1586

Таким образом, теоретический критерий крист алл изации правильно описывает эмпирические кривые плавления Симона.

ГЛАВА III

НИТЕВИДНЫЕ И ПЛАСТИНЧАТЫЕ СТРУКТУРЫ _В КРИСТАЛЛАХ

Существование и свойства нитевидных структур

В этой главе излагается доказательство того, что выведенная в предыдущей главе троякопериодическая структура кристаллов является только одним из его состояний. Имеются другие решения статистических уравнений, равноправные с троякопериодическим. Эти решения представляют структуры, в которых атомы располагаются периодически только в одном или двух измерениях, а в остальных имеет место пространственно-однородное распределение. Направление «нитей» и «пластин» совпадает с направлением кристаллографических осей и плоскостей, отличающихся максимальной заселенностью атомов. В «нитях» и «плоскостях», в отличие от «решеточно-точечного» состояния кристалла, атомы расположены с одинаковой вероятностью. Это указывает на существование нового типа структур, где «непрерывность» не является следствием усреднений, а обусловлена первичностью функций распределения в теории.

Выясняются свойства «нитевидных» и «пластинчатых» структур ——эффективные толщины, размеры элементарных ячеек, энергия связи.

Поскольку, как правило, внутренняя энергия «нитевидных» и «пластинчатых» структур оказывается по величине больше внутренней энергии троякопериодического кристалла, то новые состояния необходимо рассматривать как состояния возбуждения кристалла. Таким образом, кристалл по меньшей мере может находиться в трех состояниях —«решеточно-точечном», «решеточно-нитевидном», <(решеточно-пл астинчатом».

Несмотря на нелинейность исходных уравнений, описывающих кристалл, все три состояния могут одновременно сосуществовать при одной и той же температуре, при условии пространственной разобщенности тех областей, в которых они имеют место.

Нитевидные и пластинчатые структуры, как и кристаллические, являются равноправными решениями одного и того же уравнения с одним и тем же молекулярным взаимодействием между атомами.

Исходя из уравнения для молекулярного потенциала (1.45), поставим задачу отыскания решений, характеризующихся равномерным распределением потенциала U (г) (и плотности р (г),

которая задается формулой (1.46)) вдоль основных кристаллографических осей.

Направляя координатную ось х3 = х вдоль выбранного кристаллографического направления и полагая, что

(1П.1)

приходим к уравнению

(Ш.2)(Ш.2)。(丁丄)—。，友(I 丁丄-尸丄 I) e^^^dr^,左(I 才丄-丁i I) Н % ， k (I 丁 - " I)",0 = Cd

(Ш.2)

(Ш.2)

где d — период решетки исходного кристалла в направлении оси х. ■

Уравнение для нитевидных структур отличается от исходного уравнения для трехмерного случая не только уменьшением числа измерений, но и видом ядра интегрального уравнения. Если соблюдаются все условия для существования периодических решений при малых 0 для нового ядра, то и решения будут вполне аналогичны. К числу этих условий относятся:

наличие потенциальной ямы для функции U (丁丄)внутри каждой плоской ячейки, обусловленной действием всех остальных нитей на данную;

условия, при реализации которых можно пренебречь «само- воздействием» по сравнению с членами взаимодействия между нитями.

При выполнении этих требований решение для нитевидных структур получается вполне аналогично трехмерному случаю.

Используя условие периодичности U (丁丄),исходное уравнение (Ш.2) можно записать так:

U （г丄）=0 \ （』'冗（I г丄一ha - kb — 丁丄 I）） 6一""丄）%），丄十

（abc）儿左

+ 6%（2,丄），（П1.3）

6必①丄）=0，左（力丄一亢I丄"%心

(abc)

完（丁丄一El）.完（丁丄一El）.ядро в первом интеграле будем обозначать в дальнейшем через

完（丁丄一El）.

完（丁丄一El）.

Разлагая ядро К (丁丄——丁 j) в ряд Тейлора относительно переменной 丁 учитывая симметрию р (丁丄)относительно преобразования /а丄一＞ ——Na丄 и используя для оценки интегралов при достаточно малых температурах асимптотический метод Лапласа, при-

2守（丁丄）=（\ р （rx） dr^ f1 + 4г £ ^ ^а +2守（丁丄）=（\ р （rx） dr^ f1 + 4г £ ^ ^а +а=1а=1（ZBc）2（ZBc）2ходим к решению. Для молекулярного потенциала, теплового разброса й плотности вероятности местоположения атомов получаем

2

守（丁丄）=（\ р （rx） dr^ f1 + 4г £ ^ ^а +

2

守（丁丄）=（\ р （rx） dr^ f1 + 4г £ ^ ^а +

а=1

а=1

（ZBc）

2

（ZBc）

2

+ % £＜冠脸（3 - 26еф）嗨喝 + …］К （丁丄）， （IIL4） а=1

2/2

P 少丄）=（j P ①丄）切）4- n （2n （忌〉尸/* exp （- y^-）,

p （丁丄）一объемная плотность вероятности местоположения частиц. Учитывая члены до второго порядка по температуре включительно, получим

х{Т［唸标亂（解…）（m・5）

Подсчитывая энергию взаимодействия частиц в нитевидных структурах по формуле

ё = ^-^£7（гх）р（rx）dr = -|- ^ \。（丁丄）0（丁丄）@〃 （HI.6） （息）

где N — число ячеек, получим с точностью до членов, содеря;а- щих квадрат температуры:

g = }n（ \ 0（2•丄）协）［（、 0（?•丄）协）工 左（1/1a +初1）+ 20 - （abc）（abc）儿而

22（-1产+8（-1产+8%天I。%部%天I。%部+，..].（III.7）+，..].（III.7）

2

2

（-1产+8

（-1产+8

%天I。%部

%天I。%部

+，..].（III.7）

+，..].（III.7）

Присоединяя сюда кинетическую энергию частиц

т = ^^-fdrdv = N § 0(?•丄)协偿,

(abc)

находим в приближении линейной зависимости энергии от температуры естественное значение теплоемкости, приходящейся на одну частицу, в случае нитевидных структур (%").

Теплоемкость при высоких температурах будет увеличиваться с ростом температуры, если

у(_ 1)«+₽ -1Л^ <0у(_ 1)«+₽ -1Л^ <0(IIL8)(IIL8)

у(_ 1)«+₽ -1Л^ <0

у(_ 1)«+₽ -1Л^ <0

(IIL8)

(IIL8)

Для двух типичных видов взаимодействия (1.12) ядра, входящие в исходное интегральное уравнение

女(廿丄一Zl I)=』\ К (什一«I)协'， имеют вид

爲(I 2•丄一 <L I) = £ (一 l)s 警 К。(％ 廿丄一八 I )，(1П.9)

京口 （I 丁丄-丁丄 I） = 2 ли京口 （I 丁丄-丁丄 I） = 2 ли方「63 / г0 \и亍皿\1>丄_«|/方「63 / г0 \и亍皿\1>丄_«|/

京口 （I 丁丄-丁丄 I） = 2 ли

京口 （I 丁丄-丁丄 I） = 2 ли

方「63 / г0 \и

亍皿\1>丄_«|/

方「63 / г0 \и

亍皿\1>丄_«|/

где К。(х I тх — ^11) — функция Макдональда. Во втором слу- чае мы исходили из потенциала Ленарда — Джонса для степеней 12 и 6.

Вводим для степенного вида взаимодействий по аналогии с трехмерным случаем представление о кольцевых слоях. Тогда

京口（办）= 2П吟［爲信）" 2ii _ v （許J2,

(III.10)

где Zn ——эффективное число нитей, zm ——реальное число нитей в слое с радиусом на плоскости^ равным 脇尸口，脇—структурные коэффициенты, и общий видХц (^п) гарантирует наличие потенциальной ямы.

Для первого случая % (戸i) легко заключить, что потенциальная яма имеет место без дополнительных условий, если таковая существует в случае «решеточно-точечного» состояния.

Из условий минимума находим характерное расстояние между нитями '

(Мн)= (』】唸 ММ「° 鬪期(IIL11) Сравнение с трехмерным случаем указывает, что в обоих случаях расстояние между соседними нитями меньше, чем постоянная решетки в трехмерном кристалле, это указывает на уплотнение среды при переходе решеточно-точечного состояния в решеточнонитевидное.

Отношение размеров длин элементарных ячеек есть

^ =(2 雯芻gw

что составляет для кубической решетки приблизительно уменьшение на четыре сотых А; это одно из указаний для экспериментального выявления нитевидных структур.

Уменьшение расстояния между нитями, при сохранении суммарной вероятности местопребывания атома в элементарной ячейке, указывает на уплотнение среды при переходе решеточно-точечного состояния в решеточно-нитевидное.

Обозначая р = 1/г3, р = l/f2r, Др = р — р, получаем

(智I еn保舒)加偿/^)Г-1>0.

(胃)口 =(芻 ZiMUZaZ；；) /‘一 1〉0.

Для простой решетки Др/р приблизительно равно 8%.

Подсчитаем изменение энергии связи в нитевидных структурах по сравнению с кристаллическими. Первый член в выражении потенциальной энергии нитевидных структур (для первого из двух видов взаимодействий (1.12) удержим только влияние ближайших соседей) есть

圆=-4^(J 0(川切)令^一哂辽 /^(1-^). (IIM4) (abc)

碎 碎碎 碎In等斤丿%•In等斤丿%•Сравнение с аналогичным выражением для кристалла дает

碎 碎

碎 碎

In等斤丿%•

In等斤丿%•

(III.15)

Отсюда заключаем, что при достаточной близости параметра F к 1

国 Ml VI.

Таким образом, появление нитевидных структур связано с увеличением энергии в системе, где они возникают.

Для второго случая взаимодействий (1.12)

品=一 N"( \ 0佇丄)曲.)2符穹第(需务1Z払硝% (HI. 16) 而e)

Сравнение с

(*Бс)

показывает, что отношение I eii/en | составляет около 80%. В этом случае появление нитевидных структур также связано с увеличением энергии. Заметим, что в первом случае имеет место особое поведение энергии связи; при достаточно большом значении параметра F возникает изменение последовательности энергетических состояний.

Выше мы опускали член с самовоздействием

6% (3=0 [ Z(| rx-rl|)p(rjdrl.

(abc)

Для того чтобы оценить его величину, разложим функцию р (丁j) в окрестности 尸丄 в ряд Тейлора, получаем

6办(7•丄)=ао [ctlP⑴丄)+}a2就△丄自 (?丄)+•■■],

(III.17)

а】=4冗手~ \ tK^ (Z) dt, 。2 = 4冗学-\ t^KQ (t)dt,...

г。7ao

Здесь мы учли, что для малых расстояний

左($) =左($) =-к0(8),$Ar0丄,-к0(8),$Ar0丄,<%丄，<%丄，(IIL18)(IIL18)

左($) =

左($) =

-к0(8),$Ar0丄,

-к0(8),$Ar0丄,

<%丄，

<%丄，

(IIL18)

(IIL18)

где 尸。丄 определяется из условия

“J %〃，〃2/〃 U

(IIL19)(IIL19)子k。(以b丄)= f=0,

(IIL19)

(IIL19)

(у)

Коэффициенты 电，а2 экспоненциально зависят от отношения roj_/ao, поэтому в случае

尸0丄а0

член самовоздействия оказывается экспоненциально малым.

Оценим роль само во зд ействия в п ротивоположном случае

Сравнивая выражение самовоздействия с энергией взаимодействия одной нити с ближайшими соседями

^ (I г L ha - I) 〈建〉

亠I(III.20)

__2G_ , /~ % I eX‘I

9z丄 С】2л 1 — а/%?'

заключаем, что если радиус сил отталкивания достаточно мал по сравнению с линейными размерами области теплового разброса, то и в этом случае самовоздействием можно пренебречь, так как 1]〜1 ч-Ю.

§ 2： Существование и свойства пластинчатых структур

Перейдем к рассмотрению решений в виде решеточно-пластинчатых структур.

Для существования подобных решений требуем независимости молекулярного потенциала от /】,х2:•

а”71) = д„ =0, U (г) U (х),. M 工(П1.21)

Тогда основное уравнение (1.45) приобретает вид

万⑺=百、京(In一叫)l"加M,(III.22)

где

Ki\x — n[) = -^-\К (I 萨一rr I)dxidx^ C = Cab, (III.23) здесь 〃 и b — размеры элементарной ячейки исходного кристалла в направлении осей /】и х2. Если для нового ядра также соблюдается условие наличия потенциальной ямы и сохраняется существование условий малости члена с самовоздействием, то решение таково:

方(%) = ( \ 0 ⑺协)[1 +^ S〉策 + ^ 5〉破 + …]京(х), (III.24) (abr)

貪⑺=^K(\x-lc\),

00—4~( \ оз)协)1(abh)—4~( \ оз)协)1(abh)а熏а熏(а/2(а/2++• • •],• • •],302302(а#|°)2(а#|°)2(、节 Q)如)2 , (abc)(、节 Q)如)2 , (abc)

0

0

—4~( \ оз)协)1(abh)

—4~( \ оз)协)1(abh)

а熏

а熏

(а/2

(а/2

+

+

• • •],

• • •],

302

302

(а#|°)2

(а#|°)2

(、节 Q)如)2 , (abc)

(、节 Q)如)2 , (abc)

0 估)=(\ р (х) d，. -i- (2л〈/2〉尸％ е-х2/2<х2>, (ab^

Для энергии взаимодействия частиц в пластинчатых структурах получаем

е = 守(х) р(х) dr =

= ^N(\ 万⑺协)，[、左⑶3(z)d^ + ~^" 、 aТ彳(/)0估)d?• + (abF)(abf)(捻

+ * \ a索⑺出z)切+…].(UL25) (abf)・

Вычисление с точностью до членов, квадратичных в температуре, дает

е = 4~%(\ 03)协)[(\ P(x)dr)^K(\lc\) +

(abF)(卷 F)'

+ e -等r.中亜—+…卜(m.26)

° (^к |о)2 \ В 3)切 」

(abF)

Добавляя к потенциальной энергии среднюю кинетическую

f=\哈拉q \加力=等0,

(°0)

находим, что теплоемкость определяется в соответствии с числом степеней свободы при наличии пластинчатых структур.

Ввиду того, что энергия в потенциальных ямах растет медленнее параболы, имеет место неравенство

а僉 |°<о,

поэтому теория приводит к возрастанию теплоемкости с увеличением температуры, если учитывать в выражении для энергии член, зависящий от квадрата температуры.

Определим другие параметры пластинчатых структур. Для прежних двух видов взаимодействий получаем, после вторичного

интегрирования по / и х2:

爲(I -叫)=黑£ (一 1)‘糸 e

S>15

京口(12 一 叫)=4皿*[条(1二,|广-4-(|J"1 )? (ш・27) Полагая

■^-е К("历 i)= o,

определим расстояние между плас工инами. Для первого случая взаимодействий (1.12) находим

& 元，в = ^Г （1П族，】п* /*，】п 匿許）•（т.28）

Для второго случая (1.12), вводя эффективное число соседей для пластин

£备=2

находим小口,产m尸口）находим小口,产m尸口）(III.29)(III.29)

находим

小口,产m尸口）

находим

小口,产m尸口）

(III.29)

(III.29)

Таким образом, в обоих случаях происходит дальнейшее уменьшение характерного периода структур. Укорочение периода приводит и для пластинчатых структур к увеличению средней плотности среды. Полагая р = 1/г3, j = l/r2r, Др = р — р, находим

倒Tп(鲁智八吟_1>0,

)二(Ш.ЗО)

件， =-lyZizZjZioZj - 1〉0.

В условиях второго вида взаимодействий Др/р ~ 10%.

При рассмотрении пластинчатых структур мы опустили член с самовоздействием

6瓦 з)= J 京(|z-叫)вз)&/.(Ш.31)

(аЬё=)

И в этом случае, как и ранее, его можно представить в виде

/2兀 Gcti — 4эт г — - ab х/2兀 Gcti — 4эт г — - ab х/ 2兀 G С 2 =4л \ Л^ах,..,/ 2兀 G С 2 =4л \ Л^ах,..,Го/doГо/do(IIL32)(IIL32)

/2兀 G

cti — 4эт г — - ab х

/2兀 G

cti — 4эт г — - ab х

/ 2兀 G С 2 =4л \ Л^ах,..,

/ 2兀 G С 2 =4л \ Л^ах,..,

Го/do

Го/do

(IIL32)

(IIL32)

Конкретизируя формулеКонкретизируя формулепарное взаимодействие атомов в пластинах попарное взаимодействие атомов в пластинах по/ 2л G左(s)=I ОО,/ 2л G左(s)=I ОО,8> Г0,8<Г0,8> Г0,8<Г0,(Ш.ЗЗ)(Ш.ЗЗ)2л ab2л abGGе-к「° = _|_,е-к「° = _|_,X 1 = 〃о,X 1 = 〃о,

Конкретизируя формуле

Конкретизируя формуле

парное взаимодействие атомов в пластинах по

парное взаимодействие атомов в пластинах по

/ 2л G

左(s)=

I ОО,

/ 2л G

左(s)=

I ОО,

8> Г0,

8<Г0,

8> Г0,

8<Г0,

(Ш.ЗЗ)

(Ш.ЗЗ)

2л ab

2л ab

G

G

е-к「° = _|_,

е-к「° = _|_,

X 1 = 〃о,

X 1 = 〃о,

получаем, что аналогично трехмерному и двумерному случаям, коэффициенты 出，&,…Э1；спонепциалыю малы, если г0 ^> «0*

В случае го/^о ^ 1» сравнивая член самовоздействия со взаимодействием частиц ме?кду блия^айшими соседями

咆 _ G Ф1 К )К：勺 1П 4л-

及I (1a1 — 21) + 笈工(WI) Gi a”％ \><2 /'

(Ш.34)

заключаем, что при достаточно малом значении параметра 〃()в сравнении с величиной теплового разброса самовоздействием можно пренебречь.

Сравним энергию связи всех трех состояний кристалла — решеточно-точечного, решеточно-нитевидного и решеточно-пластинчатого.

Для последнего из перечисленных состояний, на основании полученной формулы для энергии 5, получим, если в (1.12) воспользоваться первой формулой:

5 =^-N ( 、 而，)-

(abc)

-号 е*г专丄 3 寮 е-々「А (1 - ^) .(III.35)

Сравнивая (III.35) с аналогичной формулой для нитевидных структур； получаем

之=J而上之=J而上Z丄Z丄^伊一”e儀")/］修儀叩F%^伊一”e儀")/］修儀叩F%

之=J而上

之=J而上

Z丄

Z丄

^伊一”e儀")/］修儀叩F%

^伊一”e儀")/］修儀叩F%

(III.36)

(F = x2/xx〉1).

Заметим, что при достаточно близких значениях 歹 к 1 J ej/ei | < 1. Для второго случая энергии взаимодействия в (1.12) имеем

良 I = —(2Nu)(\ 03)扑乂哥豆仔 ZQB圖蜀『).(IIL37) (abc)

Соотношение энергий всех состояний таково:

еп： ёп：电=(一2,84) : (-2,71) : (—1,89);(Ш.38)

при этом учитывалось, что для кубической решетки

侈2加 2*1；為*2)= (8,389; 5,091; 2,165);

(6,202; 4,09; 2,002), т = 3,6.(III.39)

В итоге рассмотрения нитевидных и пластинчатых структур приходим к следующим результатам:

Нитевидные и пластинчатые структуры, как и кристаллические, являются равноправными решениями одного и того же исходного уравнения с одним и тем же молекулярным взаимодействием между частицами.

Новые структуры требуют большей внутренней^энергии и большей средней плотности для своего существования. Эти свойства обосновывают заключение об этих структурах как о состояниях возбуждения кристалла.

Несмотря на нелинейность исходных уравнений, реализуется принцип суперпозиции частных решений в том смысле, что все три состояния могут одновременно сосуществовать при условии пространственной разобщенности тех областей, к которых они имеют место.

Для взаимодействий в виде экранированных потенциалов и при специальном значении параметров (достаточно большие значения в формулах для энергий взаимодействия в нитевидных и пластинчатых структурах) возникает изменение энергетической последовательности состояний. В этом случае появление нитевидных структур не требует предварительного существования троякопериодического кристалла, поэтому в особых случаях новые структуры могут возникать и в жидкостях.

§ 3. Устойчивость возбужденных состоянии кристалла

Перейдем к вопросу об устойчивости новых состояний. Будем рассматривать устойчивость трех видов: а) по отношению к временным изменениям функции распределения, описывающей структуры; б) по отношению к изменениям формы нитей и пластин; в) по отношению термодинамических вариаций средней плотности в структурах.

Временные изменения функции распределения будем описывать спектром звуковых волн в возбужденных структурах.

Будем рассматривать устойчивость пластинчатых структур, плотность которых зависит только от одной координаты.

Пусть звуковая волна распространяется по нормали к структурам. Проинтегрируем функцию распределения по несущественным переменным и” и и?; получившаяся в результате функция распределения должна удовлетворять уравнению

争=0 (ШЛО) dt汲 m dx dv'

U (х, Z) = \ К (I 炉一丁' I) / (" и") dr'dv.(III.41)

Полагаем, что временные возмущения функции распределения являются малыми:

/ = /о (怎 и) + ①(х, и, 0,19 1V /о-(П1.42)

Функция распределения /0 (х, и) в (III.42), описывающая стационарное состояние, есть

/о(/, и) = /м(№)史 \ Р (^) dr -^-(2я <х2»-*/2ехр [- - ^^

n=_8 (嗝

где

筛(吟=(為)/‘S(-%).(III.43)筛(吟=(為)/‘S(-%).(III.43)

筛(吟=(為)/‘S(-%).

(III.43)

筛(吟=(為)/‘S(-%).

(III.43)

В линейном приближении уравнение для ср (х, р, t) примет вид

雾需-4•屮樂一3峥需=。，（UL44）

U {叫=\ k (I 丁 - ") ф (认 / t) drrdv,

U {/о} = \ К (I 丁一丁]) /о 侬,и") dr'dv.

Как отмечалось в первой главе, парная энергия взаимодействия между частицами зависит от функции распределения:

" "，" (卜尸 一 "I)，I I > 声。，

(I г — г I) - I 8, I г — rz I < r0；

(III.45)

1 f HW2

T \ 丁 仰，

К 00)=(8)

f 〃必21 C mv2 , л . 1 f тг?2 ,,【

'(8)(8)(8)

причем разложение приспособлено для задач, в которых функция распределения представима в виде ряда последовательных приближений

/ = /о + /1 + /2 + . . •(П1.46)

Возникающие члены в выражении для средней кинетической энергии частиц определяются с помощью плотностей частиц, участвующих в создании соответствующих приближений. Приведем пример, в котором поясняется возникновение плотностей ро, pi, р2,・・• Рассматривая задачу о распространении звуковых волн в достаточно плотных статистических средах, находим стационарную добавку к плотности кинетической энергии, обусловленной наличием звукового поля во втором приближении по степеням амплитуд звука (см. главу V):

, 吟％加=等 Ро；(^『・(Ш.47)

При этом существует также стационарное значение потока частиц в звуковом поле («акустический ветер»)

\ 班彰=0фРо.；偿у,(П1.48)

(8)

где 0$ — фазовая скорость звука, определяемая формулой

(III.49)

(0 (g) = 4n \ k (s) "^^ S2曲)；о

по условию приближения р|〉30/тп.

Выражения для стационарных значений энергии и потока частиц указывают, что эффективное число частиц в единице объема, определяющее значение энергии и потока, имеет одну и ту же величину, равную

(III.50)(III.50)PT得L

(III.50)

(III.50)

поэтому средняя добавка к кинетической энергии частиц при наличии акустического поля определяется формулой

р2 = Ро—^"(^) •(Ш・51)р2 = Ро—^"(^) •(Ш・51)

р2 = Ро—^"(^) •(Ш・51)

р2 = Ро—^"(^) •(Ш・51)

Определенная величина средней кинетической энергии превышает тепловую кинетическую энергию от первого члена разложения, равную 3/20, вследствие того, что фазовая скорость звуковых волн в плотных средах превышает тепловую скорость частиц.

Воспользуемся указанным результатом для определения «радиуса непроницаемости» г0, фигурирующего в (III.45), в случае звуковых волн, распространяющихся в пластинчатых структурах: 宜⑷= 3§К5一启玩=

(«О

（8）（8）

（8）

（8）

=吟 63[@Ь(2门〈/2〉)%]Т.=吟 63[@Ь(2门〈/2〉)%]Т.Предположим, что г0 лежит в области значительных сил отталкивания, так что силами притяжения можно пренебречь (это предположение оправдывается результатов расчета). Воспользовавшись выражением (III.52) для К (s), 7% (s), имеем

=吟 63

[@Ь(2门〈/2〉)%]Т.

=吟 63

[@Ь(2门〈/2〉)%]Т.

(III.53)

Удерживая главный член, находим

(III.54)

(abc)

Для сравнения вычислим величину радиуса непроницаемой сферы (го)о в случае температурного равновесия без наличия акустического поля.

Величина этого радиуса определяется из условия

左低)9)= 网械『=^.(Щ.55)

Она равна

(啕9 =Г。"~協 11y 丿•(HL56)

Констатируем, что имеет место разная зависимость обоих радиусов 声0 и (г0)9 от температуры. Для относительно низких температур радиус непроницаемости в акустическом поле оказывается значительно меньшим, чем в условии температурного равновесия:

при этомпри этом^0 V (戸о)。；(声о)е〉％.^0 V (戸о)。；(声о)е〉％.(III.57)(III.58)(III.57)(III.58)

при этом

при этом

^0 V (戸о)。；

(声о)е〉％.

^0 V (戸о)。；

(声о)е〉％.

(III.57)

(III.58)

(III.57)

(III.58)

Таким образом, при переходе от стационарного случая к нестационарному, хотя функциональный вид парного молекулярного потенциала взаимодействий остается прежним, изменяется радиус непроницаемой сферы. В условиях акустических волн радиус непроницаемости оказался значительно меньше в сравнении со случаем температурного равновесия.

Рассмотрим четвертый член, фигурирующий в уравнении (III.44) для функции распределения q> (х, q 力)：

Выделим из него член с самовоздействием3t7/(才)=，Ki\r— rf I)p(/')drf = ab，~K｛\x — xr |)p侬)dx\ (娠)(不)Выделим из него член с самовоздействием3t7/(才)=，Ki\r— rf I)p(/')drf = ab，~K｛\x — xr |)p侬)dx\ (娠)(不)i疗｛7。｝需=备， k行一" I)3。3)加' #• (IIL59)

Выделим из него член с самовоздействием

3t7/(才)=，Ki\r— rf I)p(/')drf = ab，~K｛\x — xr |)p侬)dx\ (娠)(不)

Выделим из него член с самовоздействием

3t7/(才)=，Ki\r— rf I)p(/')drf = ab，~K｛\x — xr |)p侬)dx\ (娠)(不)

= (III.60)

Ввиду более медленного изменения функции К (\ х — х \) ъ сравнении с р (х) (радиус непроницаемости 九 на порядок больше радиуса теплового разброса), член с самовоздействием можно представить в виде ряда

阻⑺二研,р⑺协)[左⑺+皆守〉上警L +

(a加)

+ $S〉^^- + ..J.(ш.61)

Внутри радиуса непр оницаемости

|"W『o = 9( \ 自⑺d/*) 1 У2л<^;2>,^(т) = const

и, следовательно,

@3。8 (%)/〃 = 0,(III.62)

Таким образом, в исходном уравнении член с самовоздействием, входящий в выражение

备 u 伍}=基 k (口 一 ь I)，。 з,p, 0 dr,dv, выпадает для значительной окрестности около центра элементарной ячейки.

На основании указанного исходное уравнение для описания акустического поля в пластинчатых структурах можно записать так:

"需一；备)к(什一门)叭"。，t)加'加筹一

一 4 言"(4一门)% ①。，.)"彰 # = 0- (UL63) Это уравнение для акустических колебаний в одномерном кристалле отличается от такового для случая пространственно-однородной среды в двух пунктах:

В третьем члене имеет место пространственно-периодическое изменение параметра, вследствие того, что

/о(2,и) = /м(и2)冗[\ В 3)饲 占(2п 9尸/, X

n=—00 (abg

Хехр[—-^^^].(Ш.64)

Имеется четвертый член, содержащий производную функцию распределения по скорости d^/dv^ тогда как в пространственно-однородном случае этот член выпадает из рассмотрения:

备，《(什一«1)3=0.(III.65)

Наибольшую сложность вносит последний (четвертый) член уравнения для ср (х, и, X). Однако существуют причины, по которым он может рассматриваться как малый. В узлах решетки невозмущенный потенциал

и {/о} =，К (I " I) /о 3, и") dr'dv (III.66) имеет минимум, поэтому акустическое поле в кристаллической структуре в счетном количестве точек описывается уравнением без четвертого члена.

Интеграл, имеющийся в четвертом члене, распространен по области теплового разброса, невозмущенная функция распределения /0 (х, и) заметно отлична от нуля в точках

I&IW[請-(! p(x)dryY^(abc)'K (III.67)

В указанной области имеет место отрицательное значение молекулярного потенциала — по абсолютной величине значительно меньшее положительных значений молекулярных взаимодействий, которые фигурируют в третьем члене исходного уравнения. Это обстоятельство позволяет ввести малый параметр е сомножителем у четвертого члена и искать решение в виде ряда

ср (х, q 0 =(р0 (х, р, 0 + ecpi + 评⑦ + . . .(Ш.68)

В нулевом приближении уравнение приобретает вид

争+0嚮一"^_备\"(1—"1)5期，u")d"du.察 X

ОО「= 1

X £ ( \ 0⑺协)^(2nS〉)T2exp -■*?]= 0・(IIL69) 计一8 (盛)

Будем искать решение уравнения (III.69) в виде акустических волн, модулированных периодической структурой кристалла:

фо (爲 и") = L(3t+kx)2 bn (и)声ак,〃 — 2л/С. (III.70)

Выражение для периодической плотности распределения частиц удобно записать в виде ряда Фурье

e ( - 小⑺а力亲з押〉)“〃eхр|-黑誤汇!= е aпe吟

н-8 (а 炉)n=-8

(III.71)

Коэффициенты разложения ап даются формулой

а” = 4~( \ 万⑺协)£ 营(2仆2〉)-% X

(abc)fc=—oo

X\exp<j%f?‘2戒二n d〃 (III.72) о

Вводя в интегралах для ап замену переменных интегрирования % = z + тс и учитывая, что e2nin = 1, получаем

ОО

On = 4-( \ 0(2)协)£ 亲33〉尸/,义

(abc)fc=—oo

(一M~D с&

・х \ ехр 卜-g^- —2n：zgz)dz. (Ш.73)

3 А, А, Власов

Распространяя пределы интегрирования до бесконечности, имеем окончательно

"尸责(”0 d'exp (—空笋1).(III.74)

(abc)

Подстановка предполагаемого решения в виде модулированных волн в исходное уравнение дает

纟①现 + i (па — А) Ь(1— ~~ ^^— 2) а — А] х

х о |(汽一2)а — ZJ. \ 仇—伍)"и =(),(111.75)

где

а(/»：)=，区("• 一 “I)#(Ax')dN.(III.76)

Разделим обе части уравнения на i 心 + (па — А) и] и проинтегрируем по и от —оо до 十8：

,Ьп (и) dv —

-ТГ \ з + -(，Км £ а“т“ (ma — А) о (ma — 厶)\ bm ⑺出=0. .—ООТП='~ОО—ОО

(III.77)

Рассмотрим случай малых температур. Так как при 9 -> 0

% (。, X)=/м (卢)£ ( \ 0(2)d尸)$6(2 —咽，(III.78) *(a 京)

то am_,t -> 1, и условием разрешимости системы уравнений для

\ Ьп (и) du является равенство

一士 Ё(図—储叩―*)i ^ГЙ^Ц7 = °・ (UL79) k= — оо—ОО

Это соотношение представляет собою дисперсионное уравнение для волн в одномерном кристалле при 9 -> 0. Оно должно дать ответ на вопрос о действительности частот со и привести к доказательству устойчивости рассматриваемой конфигурации. Исследование устойчивости можно проводить, основываясь на методе годографа

. Этот метод заключается в анализе поведения функции е в зависимости от комплексного числа z при перемещении z по контуру G, где эта функция определена. В нашем случае

Е⑶=1 士 £(極-3。*小z一爬研•一加(III.80)

На основании известного результата теории аналитических функций число нулей функции е (z) внутри контура G, изображенного на рис. 5, а и 6, определяется формулой

GG(III.81)

G

G

если функция е (z) не имеет полюсов внутри контура. В пашем случае на основании аналитичности интеграла Коши в верхней

полуплоскости, если N 声 0, существует по крайней мере один корень уравнения

е (г) = 0.(III.82)

Выражение (III.81) для числа нулей можно переписать в виде

N =爲 Aq In е (z)—言 4G arg e (z),(III.83)

где символ Aq обозначает приращение какой-либо функции от z при обходе переменной z контура G. Как видно из этого равенства, % # 0, если годограф функции е (z) хотя бы раз обходит начало координат (рис. 5, б). Годографом здесь мы называем кривую, которую вычерчивает конец вектора, направленного в точку е (г) на плоскости комплексного переменного Im е, Re е при движении z по контуру С Значение функции е при 2, находящемся на полуокружности, как известно из теории интеграла Коши, равно единице.

При стремлении же z к действительной оси

6(®)= 1 — ■^г £ о (%а —")[卜— к)—у•加+ i脸/m]試方 71=—00—О0

(III.84)

как следует из формул Племеля — Привалова. Интеграл здесь понимается в смысле главного значения, со = Re z・ Годограф пересекает второй раз действительную ось в точке, в которой распределение /м (у2) имеет максимум, т. е. при со = 0.

Это пересечение происходит в точке с координатами

1+号(爲0 y1+号(爲0 y£ о (па — А), о]£ о (па — А), о]1+号 £。传-")<" П=—ОО 、丿1+号 £。传-")<" П=—ОО 、丿В том случае, когдаВ том случае, когда(III.85)(III.85)(III.86)(III.86)

1+号(爲0 y

1+号(爲0 y

£ о (па — А), о]

£ о (па — А), о]

1+号 £。传-")<" П=—ОО 、丿

1+号 £。传-")<" П=—ОО 、丿

В том случае, когда

В том случае, когда

(III.85)

(III.85)

(III.86)

(III.86)

контур обходит начало координат, что ведет к существованию корней уравнения е(2)= 0 в верхней полуплоскости. Таким образом, критерием существования действительных значений со, т. е. критерием устойчивости решеточно-пластинчатых структур, является требование

(III.87)(III.87)

(III.87)

(III.87)

Учитывая, что наибольшим членом в сумме является член с 7П = О

о (А) = \ К (I 丁 一 >[) етк(ш &£(III.88)

и что возникающий здесь интеграл включает силы отталкивания на расстояниях наибольшего сближения точек г и заключаем, что

。电 > 0,

по крайней мере для длинных волн.

Таким образом, требование устойчивости для решеточно-пластинчатых структур по отношению к звуковым волнам в структурах вьшолняется.

Аналогичный результат имеет место для нитевидных и кристаллических состояний.

К устойчивости пластинчатых структур по отношению к распространению звуковых волн в них можно прийти, непосредственно вычисляя дисперсию и затухание звуковых волн.

Будем исходить из полученного выше уравнения (III.63) для амплитуд акустического поля первого приближения. Опустив последний член в уравнении, ограничиваясь информацией о звуковом поле только в точках, находящихся внутри областей теплового разброса атомов, в окрестности узлов решетки (в этих областях куполообразное распределение плотности можно заменить пространственно-однородным р асп р ед ел ен ием) и применяя к исходному уравнению (III.63) для ф (х, у,力)преобразование Лапласа относительно 力 и преобразование Фурье относительно приходим к следующим дисперсионным соотношениям для звуковых волн в направлении нормали к пластинам:

<X^>1/2о (к) = 2аЪ \ К (s) cos ks ds, о<X^>1/2о (к) = 2аЪ \ К (s) cos ks ds, о(III.89)(III.89)

<X^>1/2

о (к) = 2аЪ \ К (s) cos ks ds, о

<X^>1/2

о (к) = 2аЪ \ К (s) cos ks ds, о

(III.89)

(III.89)

= (ехР •

Полученные соотношения и метод их вывода вполне аналогичны рассмотренным в главе IV. В этих формулах % и у ——фазовая скорость и затухание волн. Так как уф оказывается действитель* ным числом и у〉0 — заключаем об устойчивости пластинчатых структур по отношению к временным изменениям функции распределения по аналогии ^устойчивостью, полученной по методу годографа.“

Заметим, что механизм распространения звука в<рассматривае- мой модели статистических структур отличен от классической теории. Во-первых, он связан с учетом самовоздействия. Соответствующий член получился при учете взаимодействий внутри элементарной ячейки каждой из пластин:

U｛中｝ = \ к(\г - 丁'1)屮(/‘, y,方)dr du.

(ab?)

Он оказался принципиальным при ^установлении устойчивости

70 НИТЕВИДНЫЕ И ПЛАСТИНЧАТЫЕ СТРУКТУРЫ В КРИСТАЛЛАХ [ГЛ. Ш структур, определяя знак квадрата частоты колебании

<X2>V2

со2 =兴 ± 2аЬ \ К (s) cos ks ds〉0.

Во-вторых, рассматриваемый механизм связан с отказом от сохранения нормировки на одну элементарную ячейку, так как

* \ ^ Ф (х, у, t) dr dv 声 0.

(a 忘)(8)

Указанные обстоятельства являются причиной того, что общеизвестный вывод о неустойчивости одномерных периодических структур неприменим к излагаемой теории.

Рассмотрим теперь устойчивость по отношению к изменению формы самих возбужденных структур.

Осуществим вариацию формы через изменение плотности у поверхности самих структур. Так как толщина структур мала в сравнении с периодом решеток, то ответственным за устойчивость является изменение энергии только внутри структур при учете потенциальной ямы, в которой они находятся. По этой же причине основную роль играют силы отталкивания между деформированными элементами. Изменение потенциальной энергии подсчитаем по формуле

呪 + 品=扌 \ (О。+ 6U) (ро + 6р) dr,

6[7 = \ К(I 丁 一 “ I)6р (丁') d>'.

Заменим вариацию объемной плотности поверхностной плотностью, как это делается при анализе устойчивости гравитационных фигур.

Используя экранированный потенциал (1.12) при подсчете взаимодействия между элементарными объемами нитей, для изменения суммарного молекулярного потенциала вне и внутри нитевидной структуры получим

6U⑴(г, х, ф) = ^panRGIn (，乂2 + 依闻 к//乂2 + A2r) cos kx cos 叫, (Ш.90)

6U(2)(r,爲 ф) = 4廊anRGKn (/"◎ + 兴冗)/"/乂2 + 贬"cos kx cos n^^ где обозначено R =〈炉〉上 an — максимальная деформация средней толщины нитей, к — волновое число поверхностных волн, р — средняя плотность структур до деформации (усредненная по радиусу нити).

На основании выражений для потенциалов 6U(* и 8U^ можно подсчитать изменение потенциальной энергии нити при деформации, рассчитанной на единицу длины. Получаем

65„ = 4-丫依2a節 m證 + 4rtGp/n (I/^TFr) Kn (К^Т^Л)],

(III.91)

Г 门/2,孔=#0,

Отсюда заключаем, что при произвольных значениях величин 孔 м А： 65也〉0, что доказывает устойчивость нитей по отношению к изменению их формы.

Учет сил притяжения вдоль нити, а также учет изменения потенциальных ям в энергии взаимодействия самих нитей не изменят результата об их устойчивости, так как эти взаимодействия проявляются на больших расстояниях, где они являются малыми относительно сил отталкивания.

Вполне аналогичные результаты получаются при рассмотрении устойчивости по отношению к изменению формы в случае пластинчатых структур. При деформации пластин толщиной 2h = =〈/2〉乜 изменение молекулярного потенциала таково:

6讐〃内а。依

, (III.92)

02 丄十ID /几

где 從=М乂2 + 欣 для случая симметричных (относительно центральной плоскости) деформаций поверхности пластины. Вполне аналогичные выражения получаются для антисимметрических деформаций —с заменой sh на ch.

Изменение потенциальной энергии определяется формулой 腿二等从彝p素+ 4П笳可金新]；(m，93)

для антисимметрических деформаций выражение аналогично. Заключаем, что 6屯〉0 при любых значениях kz.

В качестве дополнения отметим следующее. Для достаточно большой совокупности нитевидных структур, расположенных в одном направлении, полученный выше вывод об их устойчивости неверен. Если толщина совокупности нитей превышает толщину поверхностного слоя, в котором возникает поверхностное натяжение, то за счет его возникновения цилиндрическая конфигурация совокупности нитей становится неустойчивой при учете' кривизны ограничивающей поверхности. Толщину перепада концец-

траций, которая обеспечивает появление поверхностного натяжения, мы определим ниже — она оказывается порядка нескол ь- ких сотен ангстрем.

Для пластинчатых структур наличие поверхностного натяжения не изменяет их устойчивости.

Рассмотрим теперь вопрос о термодинамической устойчивости блоков из пластинчатых (или нитевидных) структур, считая их вкраплениями в другую кристаллическую фазу. Для этого необходимо знать свободную энергию структур, выраженную через потенциальную энергию взаимодействия частиц в структурах. Имеем

eхР (- 1) = [，eхp (-嚣一箱争f，е=三аа6办., U (г) ^ \ К(I 丁一 “ I) р (М)力》', р(г) = С ехр [——“ j)] . (IIL94) Используем для конкретизации U (г) и р (г) их выражения, полученные выше без учета термодинамических возмущений. Внутреннюю структуру нитей и пластин будем считать неизменной при изменении блоков из них, поэтому опустим член с самовоздейст- вием. Для пластинчатых структур получим

屮=N [— e in (響)卩gT + 齐],(П1.95)

N = Nra ) p (x) dr,S宓)

Вполне аналогичные выражения получаются для нитевидных и решеточно-точечных структур.

Введем плотность вероятности местоположения пластин р (х) путем сглаживания плотности вероятности частиц, находящихся в структурах. За удельный объем примем V = 1/р (х). Молекулярный потенциал в точке х представим в виде

£ 天(I с —郁 I) =，К 0 % —叫)р (%')"%'. (III.96) h

Плотность свободной энергии внутри блока определяется так:

Для свободной энергии блока имеемДля свободной энергии блока имеем

Для свободной энергии блока имеем

Для свободной энергии блока имеем

〜

+等，反(|n一叫)Р3)彰]也 (HI.97)

1 где предельные значения относятся к пластинчатой и соответственно кристаллической среде.

Задача на устойчивость сводится к определению минимума 4f для всех вариаций р (х), совместимых с постоянством температуры, и массы всей системы:

2

\ р (z) dx = const, 9 = const.

1

Предельные значения х не должны подвергаться варьированию — в исходном аппарате можно накладывать физические условия только на функции распределения.

Если ограничиться плавными изменениями р (х) по сравнению с протяженностью действия молекулярных сил, то вариационная задача близка к той, которая решена в термодинамической теории капиллярности Ван-дер-Ваальса [26]. Отличие заключается в объекте рассмотрения, перенормировке термодинамических функций и особенно в значениях появляющихся интегралов молекулярного потенциала.

Условия равновесия и устойчивости вкрапленной структуры приводятся к минимуму функционала /:

6/ = 0, 84 > О,

一点⑺一昜警一卩｝办；(Ш.98)

здесь c2n = — 2g 京(S)S2"&S, П = 0, 1;卩 一 постоянная, которая о

может быть вычислена. Первая вариация приводит к отличию

внутреннего давления в переходном слое от внешнего давления, условие на вторую вариацию содержит два интеграла:

у/=h友⑹О

d/〉0,

(III.99)

где t (x) — некоторая функция, производная которой не равна тождественно нулю. Это условие накладывает ограничение на знак первого интеграла. Необходимо, чтобы в указанном смысле силы притяжения превалировали над силами отталкивания. В результате отсутствия области интенсивного отталкивания последнее требование осуществимо. Поэтому условия равновесия и устойчивости оказываются вьшолненными.

Толщина перепада приближенно определяется формулой

<s2>^^241nl0<s2>^^241nl0[，友(s)«ds/，頁(s)ds] ： (III.100)[，友(s)«ds/，頁(s)ds] ： (III.100)0000

<s2>^^241nl0

<s2>^^241nl0

[，友(s)«ds/，頁(s)ds] ： (III.100)

[，友(s)«ds/，頁(s)ds] ： (III.100)

0

0

0

0

здесь по указанной причине，耳(s) ds〉0, 穹относительное оР

изменение средней плотности при переходе из блока структур в кристаллическую или аморфную фазу, которое определялось в § 2 настоящей главы. Величина〈s?〉％ превышает молекулярные размеры приблизительно в шестьсот раз.

Таким образом, нитевидные и пластинчатые структуры оказываются устойчивыми по отношению к временным изменениям функции распределения, описывающей структуры, т. е. по отношению к звуковым волнам в структурах, по отношению к изменению формы нитей и «пластин», а также по отношению к термодинамическим вариациям средней плотности в блоках из указанных структур, вкрапленных в другую фазу.

ГЛАВА IV

НОВЫЙ МЕХАНИЗМ РАСПРОСТРАНЕНИЯ ЗВУКА В КРИСТАЛЛ АХ ^)

В статистической модели кристалла первичным понятием является вероятность местонахождения частиц в узлах, не требующая какого-либо процесса усреднения по времени или начальным условиям. Рассмотрена связь динамической теории решетки с теорией упругости, выявлена трудность перехода динамической теории решетки в теорию упругости, построена термодинамика (особая) для статистической модели кристалла, с помощью которой указанная трудность устраняется. Получено термодинамическое выражение для скорости звука. Рассмотрен механизм распространения звуковых волн в статистической модели кристалла на основе кинетического уравнения и получено выражение для скорости и затухания звуковых волн. Кинетическое рассмотрение приводит к пространственной модуляции звуковых волн периодической структурой кристаллов.

Новый механизм распространения звука связан с изменением нормировки вероятности местоположения атомов в окрестности узлов решетки, при этом не происходит изменения размеров и формы элементарной ячейки.

Напомним, что в общепринятом подходе исходят из сохранения нормировки вероятности местоположения атомов в объемах, содержащих размах колебаний.

Связь теории упругости с динамической теорией решетки

В динамической теории решетки выводятся уравнения теории упругости и упругие постоянные сопоставлением решения механических уравнений для длинноволновых колебаний в решетке с решением феноменологического волнового уравнения теории упругости.

Исходные уравнения динамической теории в гармоническом приближении и волновое уравнение теории упругости следующие:

П 戒 а(：)=£@сф(： ；)"(')，PSa = J^ 5«y3X д~^ . (IV. 1)

*) Расширенное изложение доклада на Всесоюзной акустической конференции [15] (см. также [14]).

Уравнения теории решетки получены из точных уравнений движения разложением около положения равновесия, при условии, что отклонения атомов от положения равновесия ua (；) малы по сравнению с периодом решетки (гармоническое приближение). Для длинноволновых колебаний решение исходных уравнений ищется в виде

"(：) = [% (/) + 唠 @『)+磅)("：)+ …卜2"vit,

Ua(X)= Ua.^*^,(I V.2)

27nк27nк…⑴…⑴что приводит к следующим соотношениям для амплитуд колебаний атомов решетки и для амплитуд смещений упругого континуума:

27nк

27nк

…⑴

…⑴

：)『％о)=

=4л;2 £ {£ ([aPyXj + (ayPX)勿力)} iZp (/),

P®2«a = 4r2 2j {』Сау^ууух\贏.° V・3)

В Y入

Соотношение для амплитуд колебаний атомов нулевого (по модулю волнового числа) приближения получено как условие разрешимости уравнения для второго приближения. Квадратные и круглые скобки с индексами в этом уравнении выражаются через коэффициенты

(IV.4)(IV.4)

(IV.4)

(IV.4)

где индекс 0 означает, что производные берутся в несмещенном положении.

Сопоставление полученных уравнений для амплитуд дает

Г /Р=Т—,®2 = [®(1)( у)],

(IV.5)

入Y3人=eзВ 人=[aP7X] +[0?0入]-[pXavl + (a?队)，

и кроме того:

恥(/) = 4 嗨а,Л2 = const.

Таким образом, нулевое приближение смещения атомов и величина смещения упругого континуума отличаются постоянным коэффициентом пропорциональности. Для получения численного значения безразмерного коэффициента воспользуемся выражениями

§ 1] ТЕОРИЯ УПРУГОСТИ И ДИНАМИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ РЕШЕТКИ 77 для плотности энергии в обеих теориях:

彳 L(IV-6)

rB人

При этом учитываем, что выражение для плотности энергии в случае длинноволновых колебаний тождественно совпадает с выражением для случая однородных деформаций. Параметры деформации следующие:

и^ = 2叫泅 0),£7«р « 2叫前х.(iv.7)

Используя выражения для плотности энергии и параметров деформации, а также соотношение для амплитуд смещений, находим'

卩=；£ £ ^эхС«^Эх =(IV.8)

aY^X

Но поскольку выражение для плотности энергии не должно зависеть от способа рассмотрения, получаем, что Л2 = 1 или Л = =± 1, т. е.

I иа (/) I I 乳 |.(IV.9)

Таким образом, динамическая модель кристалла приводит к равенству амплитуд смещений атомов решетки и амплитуд смещений в упругом континууме. Однако этот результат приводит к трудности, поскольку смещения атомов ограничены условием 》а (J) V 10~8 см, а упругие смещения, описывающие опытные данные, лежат в широком интервале значений 倉《 〜10~13 十 10~6 см.

В экспериментальных работах определяют смещения среды через пересчет подводимой мощности к пьезокварцу на изменение объема при колебаниях, пользуясь соотношениями теории упругости. В излагаемой теории величина объема системы всецело определяется функцией распределения, включая его изменение под влиянием акустических колебаний:

з

(L +.AL)3 = П (§，窃仇 + 中)孙&◊)/(§，｛to + ^drdv^. (IV. 10) а=1 (oo)(oo)

В тех случаях, когда экспериментальные методы гарантируют непосредственный сдвиг вещества твердого тела, теория подобных сдвигов также должна быть непосредственно (без перехода к теории упругости) связана с изменением функции распределения.

Термодинамика дпя статистической модели кристалла.

Определение скорости звука.

Связь между микро- и ма крое иещения >ш

Поставим задачу приспособления метода Гиббса к статистической модели кристалла. Выразим свободную энергию для одной частицы через нелокальное выражение энергии взаимодействия частиц в кристалле:

e"= "i岁^,〃 =粤+齐，

澀)

в = + \ U (/*) p(r) dr,U (/•) = С \ К (什一“ I) е-н(吟旧 dr\

(IV.ll)

p(r) = CL ⑺”^ = \ p⑺协，齐=£.

Эти формулы являются исходными для построения термодинамики. К особенностям метода относятся: 1) аналог функции Гамильтона Н является нелинейным функционалом от плотности вероятности р ⑺；2) этот функционал зависит от температуры; 3) полное число частиц N в системе определяется плотностью вероятности, а поэтому не обязательно должно быть целым.

В нелокально-статистической модели кристалла полная вероятность местоположения атома в узле решетки ， р (г) dr остается в теории произвольной.

Целочисленность относится только к числу элементарных ячеек, но не- к общему числу частиц ^ = ^)1Ч , p(r) dr. Поэтому в термо- (abc)

динамике величину \ р (г) dr можно принять за непрерывный •(abc)

внешний параметр, по которому в дальнейшем будет производиться дифференцирование.

С л е д с т в и е. Даже в случае, koi71a a be — const, N = const, имеет место изменение объема всего кристалла:

У 4- ДИ = N (abc) I , (р + Ар)йг,

(abc)

вследствие изменения заполняемости ячеек.

Для внутренней энергии и, приходящейся на одну частицу, и обобщенной силы /匕 соответствующей внешнему термодинами-

ческому параметру。加 имеем

4 —4 —成（5。手=『。答+ ё嘉,成（5。手=『。答+ ё嘉,gg3屮3屮(IV.12)(IV.12)

4 —

4 —

成（5。手=『。答+ ё嘉,

成（5。手=『。答+ ё嘉,

g

g

3屮

3屮

(IV.12)

(IV.12)

Член 0 дё/дВ，0 в выражении (IV.12) для внутренней энергии не появляется в общепринятом подходе. С помощью выражений (IV.12) для и и Л^ находим следующую форму второго начала термодинамики:

九 + y,人也每=e （-器）+ ""， a=6需，（iv.13）

Таким образом, выражение для энтропии S = — Лр/59 не изменяется. Перенормированные значения других термодинамических функций, аналогичных внутренней энергии, находятся из (IV.12) и (IV.13). Для термодинамического потенциала Ф (р, 9) имеем

①(A 6) = " 一 8s + ^^ 4集-6 需，

(IV.14) d①=-s d6 + $(1生dAk.

Развитая на этом пути термодинамика может быть применимой и для статистических структур, отличных от кристаллических.

Для статистической модели кристалла конкретизируем внешние термодинамические параметры ак и выражение энергии взаимодействия частиц е с помощью решений для невозмущенного состояния кристалла. При этом надо учитывать следующее.

Во-первых, все величины, характеризующие кристаллическое состояние, выражаются через нормировку вероятности на одну ячейку \ p(*)d*, которая остается в стационарной теории произ- (abc)

вольной. Именно эту величину необходимо принять за внешний термодинамический параметр.

Во-вторых, в стационарной теории параметры элементарной ячейки а, Ь, с определяются из условий минимума функции

X К (I 丁一 (ha + Ab + 2с) I) и ее производных в узлах решетки, ввиду чего эти параметры не могут зависеть от величины , р(г) dr.

(abc)

Выбирая за удельный объем, т. е. объем, приходящийся на одну частицу:

и — abc J \ р (丁)@丁 = a*b*c*,(IV.15)

(abc)

заключаем, что изменение удельного объема будет определяться изменением нормировки вероятности на узел решетки.

Потенциальную энергию взаимодействия е разобьем на энергию взаимодействия элементарных ячеек между собой и энергию взаимодействия элементов облака вероятности внутри одной элементарной ячейки (энергию самовоздействия). Для подсчета первой части можно воспользоваться р аспр ед ел ением вероятности р (г) без учета термодинамических возмущений, т. е. используя решение для стационарного случая. Энергия же самовоздействия чувствительна к малым изменениям плотности р (г) в узлах ввиду быстрого изменения парного потенциала на малых расстояниях. Таким образом, имеем

Е = % \\ К(什—门)р ⑺ р (产)&F dM — 6с + Евз，

呪=^^( \ Р(炉)协 J、、/^ (I ^ — г' I)р (г) р (г') dr dr\ (abc)(abc)

eB3 =eB3 =(IV.16)(IV.16)字(S p⑺协)X

eB3 =

eB3 =

(IV.16)

(IV.16)

(abc)

X [( , p⑺汨 X K(\ha-i-kb i-lc^ 4-30 + <?(0)J,

(abc)拉，k，，

P (*•) = ( ^ p ⑺ M)0 ⑺.

(abc)

Используя исходное выражение для свободной энергии, получаем

▽=-61n/^y NugT + -|-\、к(什一川 |)0 ⑺p(“)曲t“ +

+ 亭4" ^K(\ha + kb + lc[)++(IV.17)

откуда для давления и скорости звуковых волн имеем

p =一需=箒传 8 k (忻一“ I)0⑺0(")dr 协' +

+4- £К (]ha -{- kb + lc I)] + -~)

(IV.18)

喘=亲=黑["(什一 ""°⑺6 (“)孙"" +

+ £ К (他饵 + "b + 2c I)] +, p =曰•

Заключаем, что наличие звука в статистической модели (у|〉 〉0) определяется не взаимодействием между ячейками, а самовоздействием внутри одной элементарной ячейки.

Перейдем к вопросу о соотношении между микро- и макросмещениями при распространении звука в статистическом континууме, описывающем кристалл. Рассматривая звук как термодинамический процесс, мы должны за смещения принять соответствующие изменения удельного объема (IV.15), приходящегося на одну частицу, т. е. величину a*b*c*. В случае распространения продольной волны вдоль а*

а* = а* + Ux exp (ikx — imt). (IV.19)

С точки зрения упругого континуума тот же процесс описывается уравнениями

рйх = — др!дх^近a = йа exp (ikx — i硝，(IV.20)

где р в нашей модели должно быть отождествлено с (IV.12). В этой формуле их ——макросмещения, в предыдущей формуле 峻一микросмещения. Учитывая, что

(IV.21)(IV.21)а*Ь*с*,а*Ь*с*,др — др 1 За* дх — dv а" да

(IV.21)

(IV.21)

а*Ь*с*,

а*Ь*с*,

формулы для удельного объема у, для макро- и микросмещений, а также термодинамическое определение скорости звука, имеем

р 炉龟=(一放)意；：(IV.22)

j результате приходим к уравнению

(IV.23)(IV.23)

(IV.23)

(IV.23)

отвечающему на поставленный вопрос о связи микро- и макросмещений. Амплитуды смещений упругого континуума превышают амплитуды смещений в статистической модели кристалла в Л/2ла* раз. Полученный результат устраняет трудность динамической теории, рассмотренной в § 1.

Механизм, скорость и затухание звука на основе временного уравнения для функции распределения

В случае звуковых волн малой амплитуды (линейное приближение) будем искать решение уравнений (1.10) в виде

/ = /о (，0)+ 9 (〃 也 X),19 1y /о，

где /0 = р0 (у)/м (у2) — функция распределения в отсутствие звуковых волн, воспроизводящая периодическую структуру кристалла, /м (у2) — максвелловская функция распределения скоростей. Для возмущения ср (г,也 力)имеем уравнение

需 + vVrT - -i- V刀{叫 V«/o 一V刀{/о} V"屮=0，(IV.24)

где

U {(р} =，к (I 丁—丁' I)9(产,叫方)drf d0, и{/о} = \к(а-"|)/о(К v)drfdv.

Молекулярный потенциал возмущения U {ср} представим в виде суммы самовоздействия и взаимодействия:

U {ср} = ，К{\ г~ ?г |)ф(^\ V)t)drf dv + (abc)

十 才 ，^(|)--(ha+kb + lc)-r']) x (IV.25) 九，R, I (ab,)

X cp(M + ha-^-kb + 2q v, t)drf dv,

U {q>} = U^ {ср} + Ю {哂

Микронеоднородности кристалла входят в уравнение для ср посредством функций 2' K(Q — (ha + & b + 2с) |), К (Q — ?г |), р0 (г).

Ограничимся малыми пространственными изменениями в звуковом поле по сравнению с микронеоднородностями кристалла:

таед, (IV. 26)

<4>8/^<Д <ate,

и усредненной информацией о поведении решения по области Д. При усреднении последний член в уравнении для ср U {/0} дает практически исчезающий результат:

4"，V』t7 {/о (г + s)} V°(p (г + s, 0") ds = 0,(IV.27)

ввиду сформулированных условий и наличия симметрии функции

U (г) вблизи узла. Операция усреднения практически не изменяет величины производных возмущения:

4" 5 +=^(r,

A(IV.28)

£ !患夕 + "' °")d"=訪 6 °")・

Остальные члены, фигурирующие в исходном уравнении, после усреднения дадут

4 \ %+卩⑴，⑵{ф (/• + S, /)} Ро (Г + s) ds =

=Vrt7(D, (2){(p(r, О)ро, (IV.29)

0о = 4~, ро 夕+ s)ds = 4~ У p0(r)dr = const.

△(abc)

При тех же ограничениях молекулярный потенциал возмущения С7 {ср} = С7⑴ + U^ приобретает вид

U {ср (г, /)} = о (倉)，①(г,叫力)du +

+ 3 ，①(丁 + 无a + &b + 2с, 0")d0 A■(什一X无a + &b + 2с)|)•施,

‘8(IV.30)

где abc — область сосредоточения функции ф в узлах, а и (巾) дается (1.56).

Используя результат усреднения отдельных членов и представляя возмущение в виде разложения типа Фурье по координатам:

9(芻0,方)=』5(0，方)产Т，к

получаем уравнение

-^— + ikv^k —_■浓[и(左)+ о(^^ %, &/ \ 9"&0・ V"m = 0,

о (% %儿)=(IV.31)

=abc』К (\ha -^- kb + lc\)2 ccs ЛЛЛа*2 ccs kykb*2cc^ kjc.

Применяя в свою очередь к этому уравнению преобразования

Лапласа по времени, получим решение для волн, распространяющихся вдоль оси х, в следующем виде:

Рк «) = \ % (ь, /)加=pMz) eiztdz, (°°)

Pk(z)= Z%**^•加(IV.32)

e+ 侬,z) = 1 — ^ [a (曾 + о (A, 0, 0)] \ ■^^ dv

他三%, y -:⑷;

здесь

0к е，о)= % е，/)卜=0,/м = ("^)”ехр(--^), Imz <0.

Скорость и затухание волн определяются дисперсионным уравнением е (к, z) = 0. Для решения дисперсионного уравнения введем предположение (оправдывающееся результатом вычислений), что существует полюс, близко расположенный к действительной оси

z = кх0 (") + iky0 ("), у (")ко f о； (IV.33) физически это предположение соответствует малому затуханию волн.

Разложим дисперсионное уравнение в ряд но | % ] и, используя формулу Племеля — Привалова, получим

]—学_ 0。{司i 切+或%% (的)+

+ %。俨 t ^^ 加 + 8&倒(喇 +。%)} = 0.(IV.34)

Разделяя действительную и мнимую части, получим

(IV.35)

лМм^о)]+ у靜 j L^^~ dv = 0, ст (砂=о (砌 о + (к, 0, 0).

Эти уравнения дают возможность определить & = co/力 и %.

В приближении достаточно больших фазовых скоростей волн по

сравнению с тепловой скоростью частиц имеем

1 +1 +тта#м ®)1 -g隔а#м ®)1 -g隔dv =dv ==i+噜。。;%了mе 巾+^+(22+•••m=i+噜。。;%了mе 巾+^+(22+•••m(IV.36)(IV.36)

1 +

1 +

т

т

а#м ®)

1 -g隔

а#м ®)

1 -g隔

dv =

dv =

=i+噜。。;%了mе 巾+^+(22+•••m

=i+噜。。;%了mе 巾+^+(22+•••m

(IV.36)

(IV.36)

или, удерживая первые члены разложения,или, удерживая первые члены разложения,

или, удерживая первые члены разложения,

или, удерживая первые члены разложения,

党=込荷+也+ .и т г т党=込荷+也+ .и т г т(IV.37)(IV.37)

党=込荷+也+ .

и т г т

党=込荷+也+ .

и т г т

(IV.37)

(IV.37)

Находим основную формулу для фазовой скорости волн в кристаллической среде:

端三(*) =2(府)+ 0的。,。)1 р。 + 謂 + (IV.38)

здесь

八% = 4小 К (R) ^^~ R汨R,

6。=二"、 Р。⑺协，

(abc)

о 的 0,0) = abc 2' К ([ha + &b + 2с |) • 8 cos kha.

Без предположения о значительной фазовой скорости волн та часть дисперсионного уравнения, которая определяет фазовую скорость, выражается через специальную функцию I (со/施).

Полагая

驴W 3?羲初=吧手（i匸寡石血+1 方二需_力，加） —ОО—ОО—ОО

и дважды интегрируя по частям, имеем

dv = j, d/m dv《^("一3修+以"d*— i)=

Т •8т

=\ е*з/а+汝)у, dvfMeMdv (— i) = (— i), e"-3/q+⑺t%-吃尼团丸 оо0

Проводя аналогичные преобразования для второго интеграла и устремляя 78 и а 0, получаем

88 /88

争 \ 1^~ du = — \ te~Qmm co^ — tdt = — "^" \ «ге-碎 cos vx de.

)沙一硒)q8 )

—oo00

В итоге дисперсионное уравнение, определяющее фазовую скорость волн, приобретает вид

■^Ьг = —「L'M^三К)，仁号，历=(亲厂

“(IV.39)

Асимптотическое поведение функции I (v) таково (рис. 6):

Для случая w 史 1 дисперсионное уравнение приводит к прежнему

значению величины фазовой скорости волн

14 T14 T<7(/加т<7(/加ттт

14 T

14 T

<7(/加т

<7(/加т

т

т

Общий вид зависимости со (巾)характеризуется максимальным значением волнового числа, частоты и наличием двух ветвей: верхней и нижней. Обе ветви смыкаются в точке к = йтах (рис. 7).

Перейдем к рассмотрению затухания акустических волн, величина которого определяется мнимой частью комплексной

переменной z = кх^ (А) + iky^ (Л), введенной формулой (IV.34); величина % входит и в уравнение

8

叫/м(2о) + ?/о \? dv = 0.

Продифференцируем по к дисперсионное уравнение для фазовой скорости акустических волн:

0。驴t T*加=°，0。驴t T*加=°，7小) m7小) mИнтегрирование по частям даетИнтегрирование по частям дает

0。驴t T*加=°，

0。驴t T*加=°，

7小) m

7小) m

Интегрирование по частям дает

Интегрирование по частям дает

At 匸8 = 0-At 匸8 = 0-

At 匸8 = 0-

At 匸8 = 0-

так как

Учитывая, что

孕W т也7加=一击脸Jm他),

当彰=等十），

получаем выражение для интересующей нас величины

…需 °"м 的)醬•(IV.40)

Перейдем от величины у。к коэффициенту затухания амплитуды волн » Ввиду того, что

е” z2 e±.i!ixoMyoi 2 е土@з£т\Y〉0,

заключаем, что

丫 =-"九， g =①/" = %.

Таким образом, формула для коэффициента затухания имеет вид

гО,(/с)2т7 (Уф/Ут) »Ф'М〈％'7

Знак коэффициента затухания зависит от знака производной dv^/dk.

Для двух ветвей дисперсионной кривой — «верхней» и «нижней» —этот знак различен. Верхняя ветвь соответствует затуханию, нижняя — возрастанию амплитуды волн с течением времени.

Таким образом, задача с начальными условиями, в которых предполагается отсутствие в среде акустического поля для всех времен, меньших начального (для X V 0), и существование акустических волн для X》0 (задача Коши), приводит к распространению волн и их затуханию с течением времени.

Мы увидим ниже (см. главу 9, § 2), что другая задача — о существовании и свойствах акустических шумов, имеющих место для любых t:

—8 V%V + 8, приводит к возрастанию амплитуд волн с течением времени для t < 0.

Вычислим коэффициент затухания волн в задаче Коши для случая, когда фазовая скорость волн превышает тепловую скорость частиц (%%%)・ Если воспользуемся асимптотическим поведением функции /(V)：

то дисперсионное уравнение дает」—>J • +…

Для коэффициента затухания получаем

Y = 一府专唸0绅九(~^~)〉0.Y = 一府专唸0绅九(~^~)〉0.(IV.42)(IV.42)

Y = 一府专唸0绅九(~^~)〉0.

Y = 一府专唸0绅九(~^~)〉0.

(IV.42)

(IV.42)

Ввиду наличия максвелловской функции распределения, зависящей от отношения 必)/% 発 1, декремент затухания 丫 оказался малым по абсолютной величине и существенно зависящим от волнового числа к.

Механизм распространения звука в статистической модели кристалла отличен от динамической теории, он связан： 1) с изменением нормировки вероятности местоположения на ячейку, так как

dt \ \(р(г, и, t) drdv^>0,(abc) (оо)

с наличием энергии самовоздействия в окрестности узла, которая должна превышать энергию взаимодействия между ячейками кристалла

4л ^ (Я) si^fl Д^Д +施 £' К(|无。+ 杨 + 岳|)8cos破а〉0.

При этом кинетическая и термодинамическая скорости звука совпадают друг с другом, если отождествить объемы Д и аЬс и пренебречь дисперсией для длинных волн.

Перейдем к рассмотрению эффектов модуляции акустических волн периодической структурой кристалла.

§ 4. Пространственная модуляция акустических волн периодической структурой кристалла

В нелокально-статистической теории кристалла, при наличии акустических волн, происходит с течением времени изменение нормировки вероятности местоположения атомов в произвольном объеме около каждого узла решетки, период же кристалла при этом остается неизменным. В этом параграфе указанная теория развивается в направлении решения следующих вопросов.

Приводит ли периодическая структура кристаллов к модуляции статистических функций распределения, описывающих акустические волны, типа

ф(Г, 0, t) = ^t-ikrф(Г, 0, t) = ^t-ikr2 "2切皿3(0, s) e"mar+712a2廿+%0^)

ф(Г, 0, t) = ^t-ikr

ф(Г, 0, t) = ^t-ikr

111112^3

i = 1, 2, 3),i = 1, 2, 3),

i = 1, 2, 3),

i = 1, 2, 3),

где df — ребра элементарной ячейки кристалла? Острота поставленного вопроса определяется тем, что предполагаемое решение изменяет нормировку вероятности местоположения атомов внутри объемов, меньших элементарной ячейки, поэтому оно выводит

нас из класса решений дельтообразного типа:

ф (г, 0, /)① 2 6 (г — % (/)) 6(0 —佻(/)),

S=1

в связи с чем классическая динамическая теория колебаний решетки не имеет модулированных решений указанного вида.

Модулированное волновое образование ф (г, 0, %) имеет право на существование, если оно сохраняет свою индивидуальность с течением времени, т. е. если существует одна фазовая скорость для всего образования в целом. Выводится ли это свойство из общих нелокально-статистических законов сохранения?

Возникновение модуляции акустических волн обусловлено параметрическим воздействием трехмерной периодической структуры кристалла на статистические уравнения акустического поля. В случае наличия анизотропии внутри элементарных ячеек естественно ожидать появления асимметрии акустического поля в плоскостях, перпендикулярных направлению распространения волн. Приводит ли эта асимметрия к моменту сил, действующих на атомы кристалла со стороны акустического поля, т. е. к существованию акустического спина как важной характеристики воздействия акустических волн на кристалл?

dt V drdt V drОбозначая через % (г, 0)стационарную функцию распределения атомов в невозмущенном кристалле и через ф (г, 0, %)— изменение, обусловленное наличием звукового поля, имеем в качестве исходного уравнения для определения этих функций систему

dt V dr

dt V dr

m dr v f dv

n— U —U — = о, m dr ' r0v indv

U {ср} = ^ К (\r — rf \) ср(г\ v, t) dr'dv + UR*,力)， (IV.43)

U {%} = C^K(\r- rr\) e~u^dr\

% (厂,0)= P (L)fM (叫，p (r) = C exp (- 一斗川).

Здесь /м (№) — стационарная максвелловская функция распределения скоростей, S (г,力)一потенциал внешнего источника звукового поля.

Решение для /0 (г, 0)и U{fG} получено в главе II и дается формулами (11.36) и (11.37). Функции р (*) и U {%} являются пространственно-периодическими и поэтому могут быть разложены

в ряд Фурье:

(IV.44)(IV.44)р (г) = 2 aieilar. и {%} = J aiGfo (® /%а，= (\ Р (»*) ^) Ц а%ехр(—п〈冠〉俣)，"=(厶,"2, "3),

(IV.44)

(IV.44)

Of0(la) =： ^ K(\r — r' \ ) eUa^r~r，＞drf,m=(需,警,警)•

Здесь учтено, что решение получено при условии малости сил самовоздействия.

Применяя к нелинейному уравнению для ср (г, 0, t) преобразование Лапласа относительно переменной 力 преобразование Фурье относительно переменных ха (а = 1, 2, 3) и используя теорему о свертке, получим уравнение

"、1。7 、"生一甸又九俨).

ср (fc, 0, р) = ^工 “Q (历一 la, p)^^^+

,1 V /7 X HaVv^(k — la, % p),

+ ~2_i "旧。(m)FT^+

.i X dq a°^°° dp' i^k-q)U(k-q,p-p') p

(8)00—i*

(IV.45)

U (к, р) = ст (I fc I) ^(p(fc, v, р) dv + UK(k,p),(°0)

。(1础= \k4。(1础= \k4Г — т' I)£-馄(r-k) d“.Г — т' I)£-馄(r-k) d“.

。(1础= \k4

。(1础= \k4

Г — т' I)£-馄(r-k) d“.

Г — т' I)£-馄(r-k) d“.

Представим функцию 〃и (г, р), описывающую источник, и искомую функцию распределения ср (г, 0, р) в следующем виде:

.ei(niaix+nta2i/+n3a3z).ei(niaix+nta2i/+n3a3z)(IV .46)(IV .46)/ U”（у, Р）） = Q-ikr V^ / Un#2n$（Р））

.ei(niaix+nta2i/+n3a3z)

.ei(niaix+nta2i/+n3a3z)

(IV .46)

(IV .46)

、中⑴，0，Р）丿一為МПЕз（0，Р）丿

Переходя к фурье-компонентам и производя линеаризацию уравнения относительно ср (弘 0，р), для определения амплитуд

&П1п2п3(0, р) получим уравнение

P)= ^■厶 “Qi (p)f с%)© —十

H—— )： di ，％」(0, p) d* • и (I на — к — %。I) X 『(8)

+ 小…D 導*.(IV.47)

Парное взаимодействие между атомами кристалла входит через коэффициенты а и о% и дается формулой (1.12). Фигурирующая в (1.12) величина т\ — условная величина, численное значение которой близко к корню уравнения К (| тх |) = 0. Перед второй формулой (1.12) можно ввести коэффициент 8, указывая на относительную малость взаимодействия в окрестности потенциальной ямы, в сравнении с силами отталкивания при близких взаимодействиях частиц.

При решении уравнения (IV.47) примем следующие упрощения:

Будем отыскивать решения в виде ряда по малому параметру 8

ъп = 6第 + Е成)+ 吟皐 +(IV.48)

и удержим в дальнейшем только первый член. Это не будет находиться в конфликте с ролью потенциальных ям в образовании стационарных решений, так как применяемое разложение используется только для акустических возмущений. По той же причине в механизме образования акустических волн играет роль эффект самовоздействия.

Поставим задачу определить только амплитуды &П1п3^3 с п2 = «з = 0, ограничиваясь минимальной информацией о других членах в виде условий симметрии (антисимметрии) относительно индексов п2т 孔з・ Для указанной группы имеет место равенство

(ё (па — 7с — la) Vr/M (г?2)(力(?"旬一"i 一 厶4)^Jm (吸)

\Р十"""一例)00)P + "孔14 - 储)%*

(8)(8)一 、丄丄

(/м 候)=U /м (吟 dvv du).

(«О

Распорядимся свойствами внешнего источника, приписав компонентам Un-i специальные условия асимметрии относительно индексов & и п3, физический смысл которых выясним позднее:

Естественно, что коэффициенты &П1п,п3 должны также удовлетворять подобным условиям. Это ведет к исключению следующих членов:

),aiM3 ^(п, о, он；., ；2. ；з)(V, p)dv-a(\.. . Z2a2, Z3a31) = 0

Z2Z3(оо)

3

• n expf — rt<Xa>

В обычных условиях существования кристаллов〈冠〉V V 或 для достаточно большого числа членов, вследствие изменения 厶，можно считать

切то ~ '。。。 = 価石\ Р协三育.

(С)

Учитывая эти условия для определения &П1оо> получаем уравнение

,%oo dv —(°0)-鳥£ 5 b^oodv-a(\s1a1 — k1\)81(00),%oo dv —(°0)-鳥£ 5 b^oodv-a(\s1a1 — k1\)81(00)р i (S1G1 — A) °D Jm(磋)р i (S1G1 — A) °D Jm(磋)Р + % (п1а1 — ”1) vxР + % (п1а1 — ”1) vx=志工a81=志工a81И С 8100 \И С 8100 \(IV.50)(IV.50)

,%oo dv —

(°0)

-鳥£ 5 b^oodv-a(\s1a1 — k1\)

81(00)

,%oo dv —

(°0)

-鳥£ 5 b^oodv-a(\s1a1 — k1\)

81(00)

р i (S1G1 — A) °D Jm(磋)

р i (S1G1 — A) °D Jm(磋)

Р + % (п1а1 — ”1) vx

Р + % (п1а1 — ”1) vx

=志工a81

=志工a81

И С 8100 \

И С 8100 \

(IV.50)

(IV.50)

решение которого есть

I 1一后)а%/m(吗)一

^100 (%, Р)= 7^ ~^； / . 05100(Р)~7；-Т

£(自，P)L£P+&(L№ —储)％ 」

(®7?too (^х» P)=，^Tiioo (t^j p) dvy dv^.(IV.51)

Функция 8 (自，p), являющаяся аналогом коэффициента диэлектрической проницаемости, имеет вид

е(Е, Р)= 1

与 £0（|九№-句）\

成（％例一瓦）%/M （理）Р+ "办iai —及）%

Полученное решение указывает на существование модуляции амплитуды акустических волн периодической структурой кристалла. Оно приводит к существованию одного дисперсионного уравнения для всех 孔1 = 0, ±1, ±2, ... вида 8 （“力 р） = 0, что оправдывает предположение о модулированных волнах, сохраняющих свою индивидуальность в процессе распространепия.

Перейдем к уяснению смысла асимметрии коэффициентов bnmtm относительно индексов 孔2 и п3? которая определила решение задачи о существовании модуляционных акустических воли в кристаллах:

6忆仪2%=_-b%一仪2仪3，

b"贝2仪3 = _-b%m一仪丿

При этом необходимо допустить, что ЬптгПз，0 при п2：孔з 卢 О, так как в противном случае трехмерная периодичность сведена была бы к одномерной, что неприемлемо при рассмотрении волн в троякопериодическом кристалле.

Рассмотрим изменение плотности вероятности местоположения частиц, вызываемое модулированной звуковой волной, движущейся вдоль оси х:

6р⑴（％р）= \（р（/也 р）@0 = е-肃芯£（ \ ^moo^^einiaiX + （«О%（8）

+ e-i^（—4） £ « 6ng21nl df）户gx sin I 九21 a2g sin | %з | a3z. n“n211nsl （8）

（IV.53）

Образуем среднее значение момента сил внутри элементарной ячейки кристалла, возникающего, возможно, под влиянием акустической волны.

В линейном приближении

〈》（р）〉к= У （［咽）％6р（1）+夕6尸⑴кро）协丄，（iv.54） （dida）

где сила 尸°+ 6尸⑴ описывает молекулярное поле в стационарном состоянии кристалла с поправкой, вносимой акустической волной:

尸。=尸。=V,K(1一门尼⑺山，,V,K(1一门尼⑺山，,（IV.55）（IV.55）

尸。=

尸。=

V,K(1一门尼⑺山，,

V,K(1一门尼⑺山，,

（IV.55）

（IV.55）

6F。）= - V，К （I 尸一尸‘ I） 6p（D （“，р） d，' + 6尸".

Описание • потенциальной ямы гармоническим приближением дает

\夕%kg⑴d/•丄=

(d2dз)

=e-加工(一 4) £ ( S“,明 阿(0曲甸 Xnt|n2| |т?з|(8)

X ein^x (x2 — x-3)，yz sin (I n21 a^y)• sin (| n31 a32)dy dz =/= О, (IV.56) (必如)

здесь x2 и x3 — упругие постоянные, характеризующие потенциальную яму в направлении у и z.

Второй член

У [MJ?⑴k pod厂丄

(公网)

выра?кается более сложно, по он также отличен от пуля и не компенсирует первый член.

В итоге условие асимметрии коэффициентов 匕心^心 приводит к наличию момента сил, действующего на облако распределения вероятности частиц внутри каждой элементарной ячейки кристалла.

Естественно, что указанный момент определяет момент количества движения внутри ячеек, поэтому можно говорить о существовании акустического спина, который вызывается и переносится звуковой волной. В следующем (втором) приближении относительно амплитуд волн нужно ожидать стационарной составляющей акустического спина, по аналогии с наличием акустического ветра (см. гл. V) в кристаллах.

Перейдем к анализу дисперсионного уравнения волн (IV. 53). Вводя обозначения

р =— iz (Re р〉0, Im z < 0),

z = s - W =(孔 1。1-自)g - * (孔1。1 - ^1) у0 (孔 1),

где J'о и у。— действительные величины, вычислим интеграл. Следуя предыдущему параграфу, предполагая малость коэффициента затухания и используя теорему Племеля — Привалова, получим

1—爲■£ о( I 孔i〃i —自 D ｛争 \ ；¥入"и + М°х(/м (的)—

-/ M j ^^― dv + 市鳴筛(％)卄• • = 0,(IV.57)

откуда для действительной и мнимой частей имеем

I -鳥m0(^1"1一及| 设 i %'二：*以=°，

П，к(IV.58)

胃^ 7м

几力步mз0)+丸争\-- dvx = 0.

j 〃 一 ％

Для определения фазовой скорости волн (иф = со%) получаем уравнение

(IV.59)(IV.59)I-鳥 £。(|n1^1 - @ I) / (办1。1 一 自)=0?

(IV.59)

(IV.59)

П1

где

/ (办1。1 -自)=-\ /ё-*' cos vnix dx,о

"小=^六-т("1a1 一自)%"小=^六-т("1a1 一自)%0 \%0 \%2т2т

"小=^六-т

("1a1 一自)%

"小=^六-т

("1a1 一自)%

0 \%

0 \%

2т

2т

Из уравнения (IV.57), содержащего у。，определяется величина коэффициента затухания

У FTF^f『мУ FTF^f『м0)0)

У FTF^f『м

У FTF^f『м

0)

0)

(IV.60)(IV.60)（女加=孔id -瓦）.

(IV.60)

(IV.60)

Формула для фазовой скорости указывает на независимость от номера гармоники п1? в то время как величина коэффициента затухания у (АП1) оказывается функцией 孔1・ Введение у связано с новым моментом по сравнению с частотой со — с аналитическим продолжением функции, определенной на действительной оси, в комплексную плоскость. Коэффициент затухания оказался экспоненциально малой величиной для всех случаев, в которых I Zkn№ I > 1.

Как видно из дисперсионного уравнения, частота со является периодической функцией волнового числа "】с периодом, равным 2冗7@1・ Известно, что в подобных случаях для получения различных независимых решений достаточно ограничиться изменением "1 в интервале —л/2《"i & 冗/@厂 Заметим, что поскольку силы отталкивания монотонно убывают, то

0 ( I 办1。1 -自 I ) < 0( I。1 -自 I )

для всех 孔1〉1. Если учесть два первых члена суммы в дисперсионном уравнении, то кривая зависимости со от "i зеркально-сим-

метрична относительно середины интервала 2冗他 и проходит через точйу со = 0, 自=0.

В случае, когда величина n/办 меньше максимально возможного значения волнового числа | "тах|, определяемого дисперсионным уравнением, волновые числа заполняют весь промежуток —门他《 《后久 门/@1・ В обратном случае появляется «щель» в спектре значений А1? внутри которой не существует акустических волн.

К следствиям дисперсионного уравнения относится наличие одной фазовой скорости распространения всего модулированного волнового образования:

匕加仪2% （%①）國％5料仪2a2"也女）匕加仪2% （%①）國％5料仪2a2"也女）(IV.61)(IV.61)

匕加仪2% （%①）國％5料仪2a2"也女）

匕加仪2% （%①）國％5料仪2a2"也女）

(IV.61)

(IV.61)

ng?%

в целом.

Удерживая в дисперсионном уравнении только первый член суммы

―кг- = — \ хе~^ cos vxdx I (v),2s 也 I J' "

v — 31kx%% = J 9/2m,v — 31kx%% = J 9/2m,(IV.62)(IV.62)

v — 31kx%% = J 9/2m,

v — 31kx%% = J 9/2m,

(IV.62)

(IV.62)

и учитывая, что о (|孔1。1 — "i |) V о (| &i |), можно утверждать о существовании аморфного приближения для акустических волн в кристалле. При этом коэффициент затухания переходит в следующий:

Y =Y =瓦仃（IAI） 工'（IM）瓦仃（IAI） 工'（IM）02m『仇/%)02m『仇/%)

Y =

Y =

瓦仃（IAI） 工'（IM）

瓦仃（IAI） 工'（IM）

0

2m『仇/%)

0

2m『仇/%)

В случае болыпих фазовых скоростей по сравнению со средними тепловыми скоростями атомов и для одночленного приближения получаем прежний результат:

。(丽 I) I 36 I

Y =—后扌唸％筛(Уф/^J).

Новый механизм распространения звука в кристаллах характери-. зуется:

изменением нормировки вероятности местоположения атомов в окрестности узлов элементарной ячейки

@\ \ ср(〃 叫力)d*d0#O,ДУ^/<Ха>3/2；

4 А. А. Власов

изменением объема, приходящегося на одну частицу. Размер элементарной ячейки кристалла при распространении звуковых волн не изменяется;

dj = const, j = 1, 2, 3;

объем, приходящийся на одну частицу,

\ (Ро 4-Ар) dr

(d)

изменяется при наличии воли, так как

\ Др dr 丰 0;

(П)

изменением объема всего тела при прохождении акустических волн. При заданном числе частиц 7V4aCT = const объем тела определяется степенью заполняемости элементарных ячеек

N

(V = M】qd回2dз)，

)(Ри+Ар)м

(C)

которая изменяется при наличии волн.

ГЛАВА 卩

СУЩЕСТВОВАНИЕ АКУСТИЧЕСКОГО ВЕТРА В КРИСТАЛЛАХ )

Постановка проблемы и метод решения

Акустический ветер, сопровождающий распространение звука в газах и жидкостях, в принципе невозможен в обычном варианте динамической теории решетки из-за содержащегося в этой теории требования локализации атомов в районах около узлов кристаллической решетки. В нелокально-статистической теории кристалла имеет место новый механизм распространения звука, связанный с изменением нормировки вероятности в элементарных объемах, с течением времени, изменения же размеров элементарной ячейки при этом не происходит. Этот механизм является общим как для жидкостей, так и для кристаллов, поэтому естественно ожидать наличия акустического ветра и в кристаллах.

Возникают следующие задачи:

Доказать общность механизма распространения акустического поля в кристаллах и в средах с пространственно-однородным распределением частиц, прежде всего в рамках линейного приближения, и уяснить также различие в свойствах этого поля в обоих случаях.

Выяснить, сохраняется ли общность механизма распространения в кристаллах и в аморфных средах в нелинейной области и обеспечивает ли эта общность существование акустического ветра и в кристаллах. Определить его величину и зависимость от основных величин.

Теория волнового ветра для поверхностных волн и акустического ветра в однородных средах и в кристаллах вблизи температуры плавления или кристаллизации развивалась в ряде работ [17, 9].

Однако сильные ограничения, связанные с условием близости к температуре плавления, не давали возможности утверждать о наличии акустического ветра в обычных условиях существования кристаллов.

Обозначая через /0 (г, 0)стационарную функцию распределения в невозмущенном кристалле и через ф (г, v, t)——изменение, обусловленное акустическим полем, имеем следующие исходные

уравнения для этих функций:

^Ф + v ^ф /и {叫 _^_ -_ _( ди 仇} а(р dt dr т dr dv т dr dv

m dr dv '

U {屮} =，К (I 夕一夕'I) <p (?•',。, t) dr' dv + Uw (r, t),

U {M = ^ (I г — rz I) /о (r\ «) dr' dv,(V.l)

%(%0)= p⑺/mS), /м V (^-)%exp(—-^-),p ⑺=C exp (Q^-)

(〃{%} = 4K(Q — k|)exp(一 •£抖)g.

Здесь С7И (r, Z) — внешний источник возбуждения акустического поля.

Структура кристаллов влияет на акустическое поле через модуляцию вероятности местоположения атомов и через модуляцию молекулярного потенциала. Последний член в уравнении для ф выражает нелинейность статистического происхождения, включая в себя производные функции распределения по скоростям.

Решение стационарной части уравнений для р (г) и /м (炉?) получено в главе II и дается формулами (11.36) и (11.37). Ряды Фурье функций р (г) и CZ {/0} таковы:

(Р (г), и {%}) = (¥ aie^, ^aiaf.(\la\)e^ где

« Pdrjri^expf- 2^21),(fl) a=i'a

%(|Za|) =，K(Q —%(|Za|) =，K(Q —r' I) e~la^r-r^ drf,r' I) e~la^r-r^ drf,

%(|Za|) =，K(Q —

%(|Za|) =，K(Q —

r' I) e~la^r-r^ drf,

r' I) e~la^r-r^ drf,

以=（丁九丁2, D；以=（丁九丁2, D；%i, “2, “3 = 0, 士 1 j 士 2,….%i, “2, “3 = 0, 士 1 j 士 2,….

以=（丁九丁2, D；

以=（丁九丁2, D；

%i, “2, “3 = 0, 士 1 j 士 2,….

%i, “2, “3 = 0, 士 1 j 士 2,….

В выражениях a/o и R (г) отражено, что эффект самовоздействия в образовании стационарной периодической структуры является малым в сравнении со взаимодействием атомов (см. гл. II). Применяя к уравнению (V.1) для ф (尸,0,力)преобразование Фурье для

переменной г и Лапласа относительно t

Ф (fc, 0") = \ ф (г, 0,力尸"т dr?

(8)

ср (fc, V, р) = ^ ф (fc, 0") 6田 dpо

и используя в обоих случаях теорему о свертке, получаем

屮(也叫p)=元方"便一р)+

,1 V / г 7 HaV^(k — la,v,p)

十 ^г *"'%( I 历 I)FT^ +

C da ап^ ^£2 i(『£ —q)U (左一q, p—p') V* (% 办 p')十？n ) (2n)3 } 2njp + 工儿&，(')

(oo)ae—too

tz (fc, p) = CT (I fc Iф (fc, «, p) dv + UK (Jte, p).

Это уравнение содержит производные только по скоростям, оно также нелинейно и подлежит решению методом последовательных приближений.

Заметим, что форм-фактор взаимодействия о (&) в отличие от о九(А) содержит полное взаимодействие между частицами, включающее учет взаимодействий на малых расстояниях:

о® = \ к (\г — rf \ ) e-ik^r~r^ dr\ (8)о® = \ к (\г — rf \ ) e-ik^r~r^ dr\ (8)К ( I 2・一“ I )=К ( I 2・一“ I )=I г — г' К Г1,I г — г' К Г1,(V-3)(V-3)

о® = \ к (\г — rf \ ) e-ik^r~r^ dr\ (8)

о® = \ к (\г — rf \ ) e-ik^r~r^ dr\ (8)

К ( I 2・一“ I )=

К ( I 2・一“ I )=

I г — г' К Г1,

I г — г' К Г1,

(V-3)

(V-3)

где т\ — условная точка, в которой К (т\) ~ 0.

§ 2. Первое приближение для акустического поля при наличии источника акустических волн

Звуковые волны в кристалле модулированы периодической структурой кристалла (глава IV, § 4):

(р(%0,р) = е』г』^^(V, Ti)^,П1П2П3(р(%0,р) = е』г』^^(V, Ti)^,П1П2П3

(р(%0,р) = е』г』^^(V, Ti)^,

П1П2П3

(р(%0,р) = е』г』^^(V, Ti)^,

П1П2П3

Амплитуды ЬП1П2п8（V, р） определяются при учете следующих приближений:

малости внешнего возмущения и соответственно малости вызываемых им амплитуд акустического поля;

малости молекулярных сил, образующих потенциальную яму, в сравнении с силами отталкивания （малость параметра п в формуле （V.3） для К （\г — г1 |）;

малости отношения〈冠〉/或 < 1, что дает возможность даже для относительно больших значений 2a в амплитудах &“2G положить

Указанные ограничения приводят к результату

м 、11 V ч ； （S№ —后 1） а/м （歩）

гдегде屈。。（q p）=而 ^7^丁 ga 仙（P）亦（仆j）j

где

где

乳то （。, Р）= \\ ^п）оо（0, Р）d% d%,

（8）

九紡）=“九（。2）d%d%

（8）

?тц=—oo—oo?тц=—oo—oodv. （V.4）dv. （V.4）i（"1 —%' a 義（讲）p + i （加1旬一瓦）y

?тц=—oo—oo

?тц=—oo—oo

dv. （V.4）

dv. （V.4）

Заметим, что функция 8 （自，р） играет роль коэффициента диэлектрической проницаемости для акустического поля. Дисперсионное уравнение акустических волн определяется уравнением & （任 р）= =0. Форм-фактор о（I т^х —自 |） включает в себя только силы отталкивания （на основании ограничения 2）.

Важную роль в акустическом поле играет немодулированная компонента 5000 （р, р）・

Теорема 1. Акустическое поле в кристалле содержит компоненту 5000, которая переходит в известном пределе в соответствующую амплитуду для аморфных сред.

Из всех амплитуд первого приближения наибольшей является амплитуда ё000 для всех длин волн, больших периода ре

шетки.

Номера высших гармоник входят в знаменатель правой части выражения для 5П100, что и определяет вторую часть теоремы.

В случае, когда амплитуды внешнего потенциала, содержащие

модулированные компоненты, малы:

區00 （51。1 - &） W 囁00 （-自）,

方о。。отличается от амплитуды волн в пространственно-однородных средах только значением коэффициента пропорциональности.

Для этого случая получим

屮⑴值％ p)=鳥攵&1&吧，

^8 (Zc, р) р + ikv

(V.5)(V.5)办嗝 p)= C&L.

(V.5)

(V.5)

£(儿 P)

Специфичность кристаллического состояния входит в уравнение для функции распределения только через 8 (А, р).

Формула для диэлектрической проницаемости акустических волн упрощается при дополнительных условиях, т. е. при наличии

длин волн, больших периода решетки,

короткодействующих форм-факторов:

Тогда имеемТогда имеем8 (%, Р) = 1 — 需~8 (%, Р) = 1 — 需~F (—爲)а/м"2)F (—爲)а/м"2)p — ikvp — ikvdv.dv.(V.6)(V.6)0(|&a1-%1)у0(1%1).

Тогда имеем

Тогда имеем

8 (%, Р) = 1 — 需~

8 (%, Р) = 1 — 需~

F (—爲)а/м"2)

F (—爲)а/м"2)

p — ikv

p — ikv

dv.

dv.

(V.6)

(V.6)

Как показано в главе IV, полюса подынтегральной функции лежат в левой полуплоскости р и имеют вид р± = is — у, где со — частота и у — затухание волн. При указанных условиях специфичность кристаллического состояния выпала из конечных формул.

Значение теоремы заключается в положительном решении первой из задач, поставленных в § 1.

Для выявления дальнейших свойств акустического поля конкретизируем источник возбуждения в виде двух возмущений в моменты 力=0 и 力=

〃н (х, t) = Фх cos к^х 6 ®1") + Ф2 sin к2х8 (со2 (力一т)), (V.7)

где амплитуды ①】，Ф2, а также волновые числа % и 卷 задаются внешними условиями.

Суперпозиция подобных возмущений может отобразить реальные способы возбуждения акустических колебаний. В переменных х, % р отклик от первого импульса будет

Ф±к(^> %Р)= 士Ф±к(^> %Р)= 士浓 13/м"2)浓 13/м"2)2Пгd3(рI8 (月，p) Р ± 讪止2Пгd3(рI8 (月，p) Р ± 讪止е±4к〔н.е±4к〔н.t/樓,(爲 р)= 士t/樓,(爲 р)= 士2й)# 色,p)2й)# 色,p)g+i?CiXg+i?CiX(V.8)(V.8)

Ф±к(^> %Р)= 士

Ф±к(^> %Р)= 士

浓 13/м"2)

浓 13/м"2)

2Пгd3(рI8 (月，p) Р ± 讪止

2Пгd3(рI8 (月，p) Р ± 讪止

е±4к〔н.

е±4к〔н.

t/樓,(爲 р)= 士

t/樓,(爲 р)= 士

2й)# 色,p)

2й)# 色,p)

g+i?CiX

g+i?CiX

(V.8)

(V.8)

泳2@Jm （叫 е~”・е士'&к泳2@Jm （叫 е~”・е士'&к屮乳（2, % Р）=屮乳（2, % Р）=и соответственно для второго импульса

泳2@Jm （叫 е~”・е士'&к

泳2@Jm （叫 е~”・е士'&к

屮乳（2, % Р）=

屮乳（2, % Р）=

（V.9）（V.9）нали- полу-нали- полу-2^30）2 р ± 沽2沙 8 （+ 〃2, Р），

（V.9）

（V.9）

нали- полу-

нали- полу-

4①28 （土用2, Р）

Переходя к представлению х, р,力 необходимо учитывать чие нулей функции е （к, р）, расположенных в левой части плоскости р.

При образовании средних

p⑴（名方），j⑴（%，方）=；（i,p）中⑴（爲r, 0dv

подынтегральную функцию （р 土 Мт?）т разлагаем в ряд по отношению р/рф, так как фазовые скорости волн в кристаллах превышают среднюю тепловую скорость частиц. Далее, пренебрегая аддитивно входящими малыми членами, пропорциональными у, получим

С7 ⑴⑵ t）=① ©W sin со/cosmic + ① 2eT"sins2 （力一T）sinZc2x,

p⑴（n,力）=$ （傻号 1 L" sin 0V cos 自n +

+寸口例（力一T）sin&2N）,（V.10）

/

j⑴（怎力）=事（①e-vn cos coiZ-sin 瓦n +

d \飞

гдегде色=『£ 2 （2m 十 1）! （-^）2mm=l2色=『£ 2 （2m 十 1）! （-^）2mm=l2

где

где

色=『£ 2 （2m 十 1）! （-^）2mm=l2

色=『£ 2 （2m 十 1）! （-^）2mm=l2

瑞三仔卜5+^瑞三仔卜5+^

瑞三仔卜5+^

瑞三仔卜5+^

Yt =—小 曇或％内（Т2-） ] •

Акустическое поле является затухающим уже в первом приближении по амплитудам, в отличие от классической теории. Коэффициент затухания для %J%〉1 экспоненциально мал. Функции UQ、（х, %）, p（i）（х, Z）, /В） （х, %） при определенном значении параметров содержат бегущие волны, например, при кг = Л2 ①心屮= =①2, Y1 = ?2，8！ = w2-

§ 3. Особенности нелинейного механизма в акустическом поле. Второе приближение для акустического поля

В исходном статистическом уравнении, описывающем поведение акустического поля в кристалле, появляется нелинейный член 00 +too

1 Г dq Гi (儿 _q)Uq、p_ p‘)V 廿 <p (如明 p)—

m J (2 л)3\ 2冗力p + 〃c&—

(oo>Oq—loo

三歹(20,p), (V.ll) где

〃伊,p) = o(|"|)g他 р) + 〃н(儿 р),

6р (例 р)= \ q)(fc, v, p)dv.

(8)

Теорема. Существует универсальный механизм нелинейности, не зависящий от ограничений, связанных со структурой сред. Этот нелинейный механизм включает молекулярное взаимодействие между элементами изменения плотности статистического континуума в пространстве координат, вызванное акустическим полем, а также изменения в распределении скоростей частиц за счет фактора

Y"(p ©,。, Р").

В нелинейный член не входят структурные параметры сред и, в частности, кристалла.

Значение теоремы заключается в констатации существования причины общности нелинейных эффектов в кристаллах, жидкостях и газах.

Нелинейный член в исходном уравнении для функции распределения ф (А?, 0,р) входит в третий член этого уравнения. Обратимся к первому члену уравнения (V.11):

“1 V 77/77、"儿一⑷ V/m”)

屮(他也 p) n iT * aiU (fc - 〃，P)乔而•

Учитывая малость параметра т], входящего в фактор а/0 (| %@|), и интегрируя исходное уравнение для ф (fc,明 р) по скоростям, имеем

6р (", р)— ^^«д『и (fc -1 Za, р) +

+ о(|"-〃|)6р("-м,р) \ 不熊⑦dv =

=\ F (fc, v, p)dv. (V.12)

Общий вид зависимости 6р от F позволяет сформулировать теорему.

Теорема. Существует опосредствованный способ влияния нелинейного механизма на акустическое поле, зависящий от структуры сред.

Действительно, нелинейный механизм F (fc, 0, р) возбуждает изменение плотности в среде 6р (fc, р), которое через посредство молекулярного потенциала воздействует на акустическое поле, описываемое функцией распределения ф (fc, 0, р). Путь влияния нелинейности характеризуется явной зависимостью от параметров кристалла. В этом случае зависимость от скоростей частиц предопределена температурным р асп р ед ел ением в невозмущенном кристалле.

Теорема указывает на наличие в кристаллах специфических нелинейных эффектов, которые отсутствуют в аморфной среде.

Уравнение второго приближения по амплитудам волн имеет вид

Ф(2)(fc, у,р) = ~у }aio(\k—la\) \ 屮⑵佈一丸明 р)@0Х 『(8)

i(fc —«a)Ve/M(w2)!,. 7 .. ila^v<f^(k —la,v,p)

x7T而a^fA\ia\)斤而+

十？n \ (2л)3 J 2лip + ikv'

(00)

(V.13)

Оно не содержит источника возбуждения волн и всецело определяется нелинейным механизмом, выраженным через первое приближение. Дальнейшее использование разложения по параметру т] исключает член, пропорциональный о%, что позволяет все члены справа выразить через F (fc, 0, р). Это и определяет решение уравнения второго приближения:

ф(2)(й,也 Р)=

=^ £ "e( I友一"叫6р⑶(友一如P)廿誓;"叫- +

1 r dqdp "儿一a) U⑴(儿一％ p —p')V廿<p⑴(％5P‘)

十？n \ (2jr)3\ 2jrip + ikv，

(00)во—io©

(V.14)

6р（2）（从 р）=

=★口E（俨一阮|）6Р⑼修一山,p）, "竺/；%mе）切= £（8）

Сз 1 （ dq 0f dp 力（儿一q）U（D（A; — % P — P'）厂廿屮（％&, P'）

=\ "昨）両r ）詞宀无力

（oo）（oo）eo—too

Ограничиваясь здесь случаем длин волн, ббльших периода решетки, наличием короткодействующих форм-факторов, а также достаточно низких температур （см. § 2）, получаем

萨）佛,0, p）=鳥萨）佛,0, p）=鳥讷V/m"）g（ I 论1）p + ikv 8 （儿，p）讷V/m"）g（ I 论1）p + ikv 8 （儿，p）（oo）（oo）

萨）佛,0, p）=鳥

萨）佛,0, p）=鳥

讷V/m"）g（ I 论1）

p + ikv 8 （儿，p）

讷V/m"）g（ I 论1）

p + ikv 8 （儿，p）

（oo）

（oo）

〈dq。。豊空_ i （儿一q） u⑴（A; — q, P — p） V廿<p⑴（％ & p）

X j （2л）3 j 2nip + ikv十

（oo ）во—io©

i （儿一q） U⑴（生一%尸一"）V廿（p⑴（如V, p'）p + ikv

（V.15）

где 8 （fc, p） определяется из первого приближения. В формуле для Ф<2）（fc, 0, р） прямой и опосредствованный способ влияния нелинейного механизма на амплитуду акустического поля представлен явно.

Второй способ влияния исчезает в пределе длинных волн |fc|->0, ПОСКОЛЬКУ при ЭТОМ 8 （fc, р） |]fc|_>0=^= 0. Формула ДЛЯ 屮（2） не содержит параметров кристалла — этим доказывается существование аморфного приближения в кристалле и во втором приближении. Переходя к представлению х, р,力 получим следующую суперпозицию акустических возбуждений:

。"+t8似м（“，＞，'）=/丁鳥小Г』。"+t8似м（“，＞，'）=/丁鳥小Г』XX

。"+t8似

м（“，＞，'）=/丁鳥小Г』

。"+t8似

м（“，＞，'）=/丁鳥小Г』

X

X

где по волновым числам к、к — q, q, пробегающим значения

"=0, ±2"i, ±2“2, ±("i + “2), 土(“2 — "i)；" 一 g = 土瓦，土卷； g = ±&, 土卷，

производится суммирование. Таким образом, акустическое поле, вызванное источником, характеризуется дискретным набором комбинационных волновых чисел и непрерывным набором частот (интеграция по р) при наличии затухания.

Существование акустического ветра в кристаллах и его свойства

Слагаемые в решении (V.16) для 屮曜)(х, q Z), соответствующие волновым числам ±2自，±2卷，±(自 + 卷)，приводят к прост- ранственно-осцилляторным членам в акустическом поле, которые при усреднении дают нуль. Слагаемые с £ = 0 и 鱼一瓦 при 卷 f 自 характеризуются пространственной однородностью и должны включать в себя эффект акустического ветра при условии, если

,V麻)dv =/=

Возможные изменения фона (плотности числа частиц) и плотности тока для компоненты с А: = 0 определяются формулами:

Нетрудно убедиться, что за счет интегрирования по скорости интегралы обращаются в нуль в обоих случаях. Таким образом, если и существует пр остр анственно-однор одная компонента акустического ветра, она должна принадлежать членам с Л2—自-> 0:

中整^ & S 力)=(干 C) e甘gk" X中整^ & S 力)=(干 C) e甘gk" XXX,oo+too 「dp ept£dpr©-(PF )Ta2欣P 士 i(”2— 〃i)沙｝2nie (/сц p — p') e (кърг)dvne—iooL十 е(〃2，Р —Р')£(”2，У) 制 р'土 故2沙.,oo+too 「dp ept£dpr©-(PF )Ta2欣P 士 i(”2— 〃i)沙｝2nie (/сц p — p') e (кърг)dvne—iooL十 е(〃2，Р —Р')£(”2，У) 制 р'土 故2沙.0KM Ipf 土儿仅十(V.18)0KM Ipf 土儿仅十(V.18)

中整^ & S 力)=(干 C) e甘gk" X

中整^ & S 力)=(干 C) e甘gk" X

X

X

,oo+too 「

dp ept£dpr©-(PF )Ta

2欣P 士 i(”2— 〃i)沙｝2nie (/сц p — p') e (кърг)dv

ne—iooL

十 е(〃2，Р —Р')£(”2，У) 制 р'土 故2沙.

,oo+too 「

dp ept£dpr©-(PF )Ta

2欣P 士 i(”2— 〃i)沙｝2nie (/сц p — p') e (кърг)dv

ne—iooL

十 е(〃2，Р —Р')£(”2，У) 制 р'土 故2沙.

0KM Ipf 土儿仅十

(V.18)

0KM Ipf 土儿仅十

(V.18)

При этом мы учли, что первый член в выражении (V.18) для 屮(2)(%, % t) обращается в нуль при “2 — "i = 0. При вычислении q)，Lki поставим задачу выделить и удержать только те члены, которые при 限 f "1 не исчезают при усреднении по времени, либо при t оо.

Такими членами являются следующие:

P田P田(干 С)е土M&-kR氐斗”k2-ki)u(f-。)x

P田

P田

[dv 8 (月,士 ik^) £ (〃2, + i”2“)[dv 8 (月,士 ik^) £ (〃2, + i”2“)_| x

[dv 8 (月,士 ik^) £ (〃2, + i”2“)

[dv 8 (月,士 ik^) £ (〃2, + i”2“)

£' ("i, ?i~) 8 ("& 干沙(k2 - "i)—戸f)

(V.19)(V.19)a aR S） a力m （声）干如8。九（叫飞

(V.19)

(V.19)

愚 P：干询" ~pf± ikiv （— P^ 土》2）2 D

Отсюда получаем при 卷—自=0

（2）N"2） е七'kg。

中к2一粒=0 Ь g〃 8的，土泳正）6他,干泣仅）.（.）

Этим доказывается существование пространственно-однородной и стационарной анизотропии в распределении скоростей частиц среды, вызванное акустическим полем во втором приближении.

Так как

p^-/ci=o = \ 碗4=о dv = 0,

то из полученной формулы непосредственно следует отсутствие изменений в средней плотности среды.]

Для плотности потока частиц имеем

j也]=о = — 2С \j也]=о = — 2С \%/m(济)eTkMd沙в (—[— к】,—讪1 沙)8 (— /с】, -J- i/tjV)%/m(济)eTkMd沙в (—[— к】,—讪1 沙)8 (— /с】, -J- i/tjV)(V.21)(V.21)

j也]=о = — 2С \

j也]=о = — 2С \

%/m(济)eTkMd沙

в (—[— к】,—讪1 沙)8 (— /с】, -J- i/tjV)

%/m(济)eTkMd沙

в (—[— к】,—讪1 沙)8 (— /с】, -J- i/tjV)

(V.21)

(V.21)

Замыкая контур интегрирования в нижней полуплоскости, учитывая, что неограниченный рост числителя на комплексной полуокружности компенсируется ростом дисперсионной проницаемости на основе теоремы Привалова — Племеля, и определяя вычеты в нулях 8 (+自，一优г), для интеграла (V.21) имеем

（-2叫8办［（哼再（-2叫8办［（哼再e，（冲）e （一咛）e，（冲）e （一咛）у±_ 土 心 1 - Y1у±_ 土 心 1 - Y1

（-2叫8办［（哼再

（-2叫8办［（哼再

e，（冲）e （一咛）

e，（冲）e （一咛）

у±_ 土 心 1 - Y1

у±_ 土 心 1 - Y1

Раскрывая диэлектрические проницаемости в приближении длинных волк, получаем следующее значение для акустического

ветра в кристаллах:

Ж,=о= 縹3-sin GT • е-а.(v.22)

Для максимальной амплитуды ветра, используя выражение плотности частиц в первом приближении, имеем

max 您 2 = роиф・4~(^^У， ро = ±.(V.23)

Аналогичное вычисление для постоянной составляющей плотности кинетической энергии волн дает

=* sin 电те-”。，(V.24)

Ш=04 md”

или, выражая полученное значение через амплитуду первого приближения:

Таким образом, существует пространственно-однородный акустический ветер, являющийся следствием анизотропии в распределении скоростей, которая вносится акустическим полем в исходную максвелловскую функцию распределения скоростей атомов в кристалле.

Величина акустического ветра в кристаллах отличается от случая газов и жидкостей значением средней плотности среды и величинами, входящими в выражение фазовой скорости акустических возмущений (см. рис. 8 и 9).

Формулы, выражающие стационарные плотности переноса массы и плотность кинетической энергии в звуковой волне, имеют 1——).Этот параметр нельзя отнести к фазовой скорости волн, так как величина % фигурирует в выражени-

ях и для потока числа частиц, и для плотности энергии. Малый параметр можно отнести только к средней плотности среды р0. Таким образом, на частицу, участвующую в стационарном пере

Рис. 9.Рис. 9.носе, приходятся следующие величины импульса и энергии: т%,力皿喑.в плотных средах эти величины значительно превышают среднетепловые значения тех же величин 仇〉％ = =(8/2/п)%). Число подобных частиц в единице объема, участвующих в переносе, однако весьма мало и составляет величину

Рис. 9.

Рис. 9.

I/2P0 (6р/р)2.

Резюмируя изложенное, можно утверждать, что существует акустический ветер в реальных кристаллах, в акустическом поле имеют место аномально большие скорости частиц.

Оба следствия теории могут подвергнуться экспериментальной проверке.

Акустический ветер в пространственно-однородной среде, без наличия источников

В пр остр анственно-однор одной среде существует точное решение исходного статистического уравнения, удовлетворяющее условиям стационарности и независимости от пространственных переменных. Будем искать решение, мало отличающееся от однородного:

/什，0, 0 = /о (№) + ф1 (г, 0, /), I ф К/о.

Для плоской волны, распространяющейся вдоль оси х, вводя функцию распределения, зависящую от трех переменных, а, и,力

Ф1 (±, и") = “ Ф1 (г, 0, /) dvv &比，

(ОО)

имеем в качестве исходного уравнения

8中,卢，). + u零—工耳\к(17. _ m)中I(X',v,t)dr, du 第一 -3M\K(m-k)屮iMu，» 曲''而需'(V・26)

U 三厶，/о ®)=内 /о (f) d% dvz.

(00)

В линеаризованном приближении получим

6 (а, % 力)=g (и) cos (со力一к矶,

ge)= *#^6p,(V.27)

о (左)=\ К (I 尸一M I) cos k(x —胃')dr\ 6p = \ g (и) dv.

(ОО)

Дисперсионное уравнение имеет вид

4 G ⑻ C f1\4 G ⑻ C f1\

4 G ⑻ C f

1\

4 G ⑻ C f

1\

/о = ро/м (и),/о = ро/м (и),Если полагать затухание малым,Если полагать затухание малым,(V.28)(V.28)\ /м du = 1.(8)то, как показано в главе IV, ин-\ /м du = 1.(8)то, как показано в главе IV, ин-

/о = ро/м (и),

/о = ро/м (и),

Если полагать затухание малым,

Если полагать затухание малым,

(V.28)

(V.28)

\ /м du = 1.

(8)

то, как показано в главе IV, ин-

\ /м du = 1.

(8)

то, как показано в главе IV, ин-

теграл в дисперсионном уравнении и интегралы для величин надо понимать в смысле главного значения:теграл в дисперсионном уравнении и интегралы для величин надо понимать в смысле главного значения:среднихсредних

теграл в дисперсионном уравнении и интегралы для величин надо понимать в смысле главного значения:

теграл в дисперсионном уравнении и интегралы для величин надо понимать в смысле главного значения:

средних

средних

=4'曹it %力+必=4'曹it %力+必у — со//с — taу — со//с — tadu]・du]・(V.29)(V.29)

=4'曹it %力+必

=4'曹it %力+必

у — со//с — ta

у — со//с — ta

du]・

du]・

(V.29)

(V.29)

Если функцию распределения по скоростям выбирать ловской, то получимЕсли функцию распределения по скоростям выбирать ловской, то получиммаксвел-максвел-

Если функцию распределения по скоростям выбирать ловской, то получим

Если функцию распределения по скоростям выбирать ловской, то получим

максвел-

максвел-

—~^~ \ хе~^ cos vx 弱о—~^~ \ хе~^ cos vx 弱о(V.30)(V.30)со气 = 丁，со气 = 丁，

—~^~ \ хе~^ cos vx 弱о

—~^~ \ хе~^ cos vx 弱о

(V.30)

(V.30)

со

气 = 丁，

со

气 = 丁，

Таким образом, дисперсионноеТаким образом, дисперсионноеуравнение приобретает видуравнение приобретает вид

Таким образом, дисперсионное

Таким образом, дисперсионное

уравнение приобретает вид

уравнение приобретает вид

(V.31)(V.31)^^ = - \ “ет cos vz 麻三 / (v),6

(V.31)

(V.31)

где /(V)табулирована в [7].

В следующих приближениях необходимо учитывать не только высшие члены разложения по амплитуде волн, но и по частоте. Если Q обозначает точное значение частоты, то Q = со + 仰 +

+ со2 + …，где о)1, о)2, 6,… 一 члены более высокого порядка малости по сравнению с со.

Используя первое приближение, для второго получаем следующее уравнение:

=3 ~^~о (")・6р sin 2 (Q力一кх) — o)ig (и) sin (Q力一kx). (V.32)

Решение этого уравнения ищем в виде [17]

ф2 (/, % 力)=ф20(U)+ ф2Х (О COS (Q% —女①)+

+ Ф22 (и) cos 2 (Qi — кх) + …(V.33)

Как увидим ниже, во втором приближении(р2о 声 0, п поэтому существует стационарная добавка к равновесной функции распределения.

Для того чтобы определить функцию q)2o, поступим следующим образом [17]: предположим, что амплитуда волны является медленно меняющейся функцией времени. Тогда(р2о должна зависеть от времени таким же образом. Зависимость амплитуды волны от времени должна быть такой, чтобы удовлетворялось линеаризованное уравнение. Такую зависимость можно получить, если предположить, что частота со имеет малую мнимую добавку iy. Решение линеаризованного уравнения можно записать при этом в виде

АI.

屮上(а, и")= 彳g(u)炉倒印他+ 彳g+(u)e~W+认к, t а /М34)

p = ® + i?,g®) =RO伯)po 二p •

Используя подобное представление нулевого приближения, для уравнения второго приближения получаем

豕+ 。噜-齐备) к (11•一门)中2 (犷，小)协'而=

=霖。帆警\g+®)du - W\g®闽eft + Q(z, % /),(V.35)

где Q (%, и, t) —— осциллирующие члены. Решение этого уравнения будем искать в виде

Ф2 (±, и") = Ф20 (и) eTYt +。(ер,).(V.36)

Подстановка (V.36) в (V.35) дает следующую формулу для(р2о (и)：

中 20e)=一券。伯)^■[祭\g+(D)而一备、g®)du].

а затем устремляя уа затем устремляя уИспользуя выражение (V.34) для g (и), к нулю, получаем [17]

а затем устремляя у

а затем устремляя у

(V.37)(V.37)屮2。（。）= 矗 d他）Р*"^）言（「 勺,炉

(V.37)

(V.37)

Таким образом, существует и пр остр анственно-однор одная стационарная добавка к равновесной функции распределения, вызванная волновым процессом. Эта добавка вносит анизотропию в распределение скоростей, обусловленную наличием звуковой волны. Вычислим плотность потока частиц и плотность кинетической энергии, вызываемых этой добавкой:

Учитывая, что

С а*м)“—® iRС а*м)“—® iR)沙一co/k)沙一co/k

С а*м

)“—® iR

С а*м

)“—® iR

)沙一co/k

)沙一co/k

j 卫粉彰=(筹『jsinvxdx,j 卫粉彰=(筹『jsinvxdx,k (w2泪)5k (w2泪)5получаемполучаем

j 卫粉彰=(筹『jsinvxdx,

j 卫粉彰=(筹『jsinvxdx,

k (w2泪)5

k (w2泪)5

получаем

получаем

И

V =

В приближении

Уф >> у? = e/2zn (V >> 1),\ х^е~^ sin zxdxf — 2/v3

акустический ветер и плотность кинетической энергии в потоке ветра приобретают вид

67=^0.4'管y,*=粤р。■4'偿y；(V.40)

при этом необходимо учитывать, что средняя плотность среды при наличии волн остается неизменной, так как

6р = \ 屮2()du — О*

Приходим к следующим выводам:

Сравнивая выражения для акустического ветра в кристаллах (§ 4) и жидкостях, находим, что они вполне аналогичны. Это указывает дополнительно на общность механизма возникновения акустического ветра. Разница проявляется только в численных значениях параметров средней плотности сред, скорости звука и величине амплитуд звука в обоих случаях.

Если фазовая скорость акустических волн в среде превышает среднюю тепловую скорость частиц, то в акустическом ветре преобладают скорости частиц, равные фазовой скорости волн, но с малым значением их концентрации.

Проведенное рассмотрение применимо и к электронной плазме. Специализация относится только к значению фазовой скорости электроакустических волн. Для плазмы

поэтому появление аномально больших скоростей особенно сильно выражено. Теория указывает значение концентрации «вторичных» электронов: % р0 (бр/ро)* определяемое амплитудой электроакустического поля.

ГЛАВА VI

ЕДИНАЯ ТЕОРИЯ ЯВЛЕНИЙ КАНАЛИРОВАНИЯ, ЭФФЕКТА ТЕНЕЙ И ПЯТЕН ВЕНЕРА, ПРИ ПРОХОЖДЕНИИ ЧАСТИЦ ЧЕРЕЗ МОНОКРИСТ АЛЛЫ

Постановка проблемы и метод решения

Четко выраженные эффекты каналирования и теневые эффекты [30, 31], воспроизводящие структуру кристаллов в рассеянии тяжелых заряженных частиц, наблюдаемые экспериментально, могут явиться мощным средством для проверки правильности теоретических воззрений на молекулярный механизм кристаллического состояния. Теоретические работы в этой области основываются на классической модели кристалла и локальном способе описания движения частиц через кристаллическую решетку.

Однако подобный подход приводит к трудностям. Во-первых, не дается аналитического описания распределения интенсивности рассеянных частиц (производится только оценка порядка характерных углов каналирования). Во-вторых, не охватываются две стороны явления — собственно каналирование и теневые эффекты. И, в-третьих, приходится вводить гипотезу о возможности усреднения потенциала действующего на частицы пучка со стороны атомов цепочки, вдоль которой пролетает частица, что приводит к сильным ограничениям. К тому же требуется, чтобы радиус действия экранированного потенциала был велик по сравнению с радиусом теплового разброса атомов в кристалле. В теории налицо практическая независимость углов каналирования от упругих коэффициентов кристалла.

Введение непрерывного потенциала не только для атомных цепочек, но и для кристаллографических плоскостей до сих пор не поддается строгому теоретическому оправданию. Модель кристалла со свободно перемещающимися атомами (см. главу II) характеризуется непрерывностью местоположения атомов в кристалле, вызванной не процессом усреднения, а первичностью понятий статистической нелокальности температурного происхождения. Особо отчетливо эта непрерывность проявляется в метастабильных возбужденных состояниях кристалла в виде решеточно-нитевидных и решеточно-пластинчатых структур； направления нитей и плоскостей совпадают с направлениями кристаллографических осей и плоскостей, отличающихся максимальной заселенностью атомов. В нитях и плоскостях атомы расположены с одинаковой вероятностью. Возникает предположение, что экспериментально наблюдаемая непрерывность распределения интенсивности рассеянных частиц в пятнах и особенно вдоль линий протонограмм

обусловлена сплошностью нитевидных и пластинчатых структур. При этом указанные возбуждения должны возникать под влиянием пучка быстрых частиц.

Энергия одной быстрой частицы достаточна для возникновения блока из исследуемых структур таких размеров, чтобы играть роль в рассеянии. Полагая высоту блока порядка толщины металлических фольг в эксперименте (〜IO-* ом), а ребро основания 〜102 атомных слоев и энергию перехода кристаллической фазы в нитевидную, рассчитанную на один атом, порядка 0,1 з% получаем энергию возбуждения блока —1 Мэв^ совпадающую по порядку величины с энергией частицы в опытах по каналированию.

В рассматриваемой модели кристалла не требуется условий корреляции отдельных пролетов ввиду исходной непрерывности местоположения атомов в направлении нитевидных и пластинчатых структур; поэтому явления каналирования и блокировок должны существовать и для быстрых нейтронов, отличаясь от подобных явлений для заряженных частиц только численным значением параметров, которые теория должна определить.

Существуют следующие основания для постановки вопроса об общности механизма явлений распыления атомов монокристаллов, приводящего к пятнам Венера [32, 33], с одной стороны, и эффекта блокировки («теней»)——с другой. В обоих случаях существует находящийся внутри кристаллов центр излучения (или рассеяния) частиц. В обоих случаях основную роль играют отталкивательные силы взаимодействия между движущимися частицами и атомами кристалла.

Естественно возникает вопрос: не являются ли качественные различия между пятнами Венера и лунками блокировок следствием лишь количественного различия в параметре взаимодействий, характеризующем силы отталкивания между атомами кристалла и движущимися частицами при сохранении в обоих случаях механизма трансляции частиц через кристалл?

Исходная система уравнений опирается на статистическое описание движущихся через монокристалл частиц (в дальнейшем будем называть эти частицы частицами пучка), нелокальную теорию кристалла, взаимодействие каждой частицы пучка со всеми атомами кристалла одновременно, взаимодействие частиц пучка между собой [13]:

°勺：」)+ divrV； + div” \ 勿(尸，”，v, t)dv = Q (г, 0, t),

，«/ (r, v, v, t) di

;r = — 士 grab [Uf ⑺ + Zieq) (% ：办 (VI.l)

\ / (力，％ 0, t)d@m

(oo)

U/ (г) = \ К"| > — ” I) р (>') dr1, Дф = — 4nZie \ / (г, v, t) dv, У)(8)

р ⑺=Се-u")/* U ⑺=С \ К (I “ I) e-u"' )/Mr；

Здесь правая часть в первом уравнении учитывает роль источника частиц, каким может являться инжектируемое в кристалл радиоактивное ядро или ядро самого кристалла, на котором произошло рассеяние на достаточно большие углы, Uf (г) — потенциал поля, действующего на данную частицу пучка со стороны всего кристалла, ф (г, t)——потенциал поля, действующего на частицу пучка со стороны всех частиц пучка, Zxe — заряд иона пучка, Kf ( \ г — rf \ ) — парный потенциал взаимодействия заряженной частицы пучка с атомом кристалла, К ( \ г — гг \ ) — потенциал парного взаимодействия двух атомов кристалла и U (г) — потенциал поля, действующего на рассматриваемый атом кристалла со стороны всего кристалла.

Для частиц, имеющих центр излучения внутри монокристаллической фольги, Q (г, 0,力)丰 0. В этом случае решение исходной системы внутри фольги будет решением в виде《Отклика», вызванного источником Q, который можно представить в следующем виде:

Q (г, 0)=①(10 М靄『ехр (-警冷 (VI.2)

Здесь ①(I 0 I ) — некоторая изотропная функция распределения скоростей частиц у источника этих частиц. Конкретный вид этой функции несуществен для дальнейшего, так как она будет определять интенсивность почернения на фотопластинке и не будет влиять на ширину пятен и линий на протонограммах; (ша(1/2л0)3*2 — множитель, нормирующий вероятность местоположения центра источника на единицу, (^仇仪)％ — дисперсия координат центра источника, 0 — температура источника, waa — упругий коэффициент, характеризующий потенциальную яму, в которой находится источник.

Для заряженных частиц пучка, а также для нейтронов можно пользоваться конкретизацией функции 修(| > — г' | ) в виде экранированных потенциалов

Kf(\r-r'\) = (J^Te-^, —1T^7re-V") (VI.3)

где Zx и Z2 — порядковые номера заряженных частиц пучка и атомных ядер кристалла, G — коэффициент, зависящий от атомного веса ядер в кристалле,

X-1 = ав・0,8853 (Z? + Z^\h^ р 10~18 см.

Изменение во взаимодействии, в случае движущихся через монокристалл атомов, будет рассмотрено ниже в специальном параграфе.

Из опыта известно, что интенсивности рассеянных частиц,

прошедших через кристаллические области, находятся в прямой пропорциональности к интенсивности источников этих частиц; известно также, что по крайней мере для легких частиц, эффекты каналирования и блокировки меняются местами при изменении знака заряда частиц в пучке （рис. 10）.

Эти свойства подсказывают, что решение надо искать в виде ряда

по параметру, пропорциональному заряду частиц. Полагая Uf -> eC/力 е（р -> ее（р,

/ = /о + е/л + £% + • •.；屮=e（pi + е2（р2 + *屮з + …，（VL4）

получаем следующую систему последовательных приближений:

（VI.5）（VI.5）粤 + vVr/o =①（10 D （舞丁 exp （-零

（VI.5）

（VI.5）

e2 禦 + e2vVr/2 = W NrU戸/ + 早 VMiq/i,

（△屮1 = — 4ле \

Вышеупомянутые свойства указывают, что для описания явлений каналирования и теней достаточно ограничиться первым порядком по е. Высшие приближения учитывают отклонения от свойств аддитивности концентрации рассеянных частиц по отношению к источнику.

Будем отыскивать сначала решение, вызванное малым объемом источника, представляя источник и решение в виде

eхр （一eЦ6夕一小）eхр（一翁产）电，m6） Pf ⑴，力）=\ / （Л 0,力）d0 =

=\ p"%九,弘嘉）% exp （ 一 皆若）切0.

После получения решения его необходимо усреднить по объему источника. В нулевом и первом приближениях находим

р『(1•，九，/)=小」％ 产 \Е①(Е)优，6р/ (г, го, 0 =

IZ-^opt

ОО1

=4- ，"①(自)叫 AU/k-九)(1 -叫十九ga一n)dn + I r-rQ\lt(l

81

I r-r0]/t0

S(>)=\/(|L —M|)P(QW,(VI.7)

где A — оператор Лапласа, причем дифференцирование производится по всему аргументу функции U^〈就〉％ — радиус теплового разброса атомов в кристалле,

% 1(П)% 1(П)(VI.8)

% 1(П)

% 1(П)

Заметим, что формула для р； (г, г0, %) указывает на существование стационарного распределения концентрации в рассеянном пучке при 力一> 8. Второй член в полученной формуле пропорционален не первой, а второй пространственной производной от рассеивающего потенциала Uf (г). В случае монотонного убывания Uf от центра сил, А% — немонотонная функция расстояния и меняет при этом знак. Таким образом, имеется основание ожидать, что формула для р/ (г, r0, Z) содержит как эффект каналирования, так и эффект затенения, а также непрерывный переход этих эффектов друг в друга.

Благодаря фактору (1 — т]) как множителю у координат в аргументе функции 力 изменение концентрации в пучке имеет характерную особенность, а именно: поле рассеянных частиц имеет пространственную структуру, геометрически подобную структуре рассеивающей неоднородности. При этом параметр, определяющий изменение пространственных масштабов, непрерывно изменяется от 0 до 1.

Пространственная структура

в распределении концентрации рассеянных частиц, прошедших через кристалл

Распределение плотности вероятности местоположения центров атомов около узлов кристаллической решетки, если пренебречь анизотропией теплового разброса в узлах, такое:

p⑺=(")£ (鋼% х

(R) 瓦kJ

xexp{— ^" [(z — ha# + (“ —^«y)2 + (z — %尸](,P 如)} (VL9) 亿…圾宣I。).

Действующий на частицы пучка потенциал Uf (г) как функционал плотности р (г) воспроизводит периодическую структуру этой ПЛОТНОСТИ.

Предположим, что кристалл вырезан в виде пластины с координатами границ z = vaa2, z =—旷匕口力 где 〃％ — ребро элементарной ячейки вдоль того из кристаллографических направлении, роль которого в рассеянии мы хотим исследовать. Представим Uf (г) и р (г) в виде ряда Фурье по переменным х и у и интеграла Фурье по z:

и/(『)=X产丄Т丄f (』6旬生%%) р" к %ё也

X”-oo 喝—b

"丄三(号一旬)；%，办?=°，士 1, ± 2,…

\ ax <ly /

PK丄％ = 4 P 切)2^ exp [-說陷十必)(\ P 如)T], (VI.10) 9)(0)

(伯+砲+ m'/吐+

где о結丄々—фурье-образ функции Kf (| г — rf |).

Подставим полученное выражение для функции Uf (г) в виде ряда (интеграла) Фурье в формулу для 6р； (г, г0, » Меняя порядок интегрирования по /с2 и т], а затем производя интегрирование по т], получаем

6р〃 —％, /)=二 I :二;X X

ОООО °О

X \ 等我 £ J 风Рк丄勿.О/к丄％ • eikr«(ik) X

I r-ro|/t% n =—oo -OP

XX1111егк{т-т^егк{т-т^ifc (r — г。) [ik (r — r0)]2ifc (r — г。) [ik (r — r0)]2[ik(r — r^]3[ik(r — r^]3} £ 宀 +} £ 宀 ++оо+ооinin\ -*(E)dE £、麻zpk丄勿• O衣丄 У1"。(旅)2I T—Tn| t\ -*(E)dE £、麻zpk丄勿• O衣丄 У1"。(旅)2I T—Tn| tXXXX1 + 产 Ст。)1 + 产 Ст。)[讷⑴一"0*[讷⑴一"0*%，g尸%，g尸十带弾誥} t宀5 (VimV=-Vb十带弾誥} t宀5 (VimV=-Vb

X

X

1

1

1

1

егк{т-т^

егк{т-т^

ifc (r — г。) [ik (r — r0)]2

ifc (r — г。) [ik (r — r0)]2

[ik(r — r^]3

[ik(r — r^]3

} £ 宀 +

} £ 宀 +

+оо

+оо

in

in

\ -*(E)dE £、麻zpk丄勿• O衣丄 У1"。(旅)2

I T—Tn| t

\ -*(E)dE £、麻zpk丄勿• O衣丄 У1"。(旅)2

I T—Tn| t

X

X

X

X

1 + 产 Ст。)

1 + 产 Ст。)

[讷⑴一"0*

[讷⑴一"0*

%，g尸

%，g尸

十带弾誥} t宀5 (Vim

V=-Vb

十带弾誥} t宀5 (Vim

V=-Vb

Вычисляя интегралы no kz (см. § 3 этой главы) и пренебрегая при этом всюду малыми членами 长 cos2 仆< 1 (это есть следствие значительного удаления экрана от рассеивающей фольги), получим, оставляя второй член как главный, основное выражение:

6死ь丄,2,/)= _±①⑹比 X 也)I叩

x£(普).£ -^-^ exp (_ 2- <rl> *1 + ik^r^^

々=1%,%=-oo 丄

(VI.12)

Применяя к этой формуле метод суммирования Пуассона и сводя появляющийся при этом интеграл к специальной функции (см. § 3 настоящей главы), получим окончательную формулу для плотности распределения концентрации в рассеянном пучке:

6р“》•丄，Z, /)=

潦、誓①位鹏（暫

m

+8

Е

m?l

& (a, X)x2, (VL13)

S1 (a, X)= _[； exp (-备)-eg exp (-/—%芹]О

Специальная функция S】(а, X), выражающаяся через цилиндрическую функцию Макдональда, определяет ственную структуру рассеянного пучка в плоскости обладает следующими свойствами:

$ St (a, X)2nXdX = О, О

неполную простран- экрана и

S1(。，X)f

S№ X)-

—>

-』eхp (一爲

2е^0(Х)

при

при

— 2[6*(Х) — Ко(Х)] (g 6*(X)XdX=l

2

[Ко(Х)/2(Х) — &(Х)А(Х)] ехр

X —о,

X 7 ОО,

при

X2 \

F、п₽и

При получении асимптотических выражений удобно

зовать теорию неполных интегралов Вебера.

Общий вид функции Si (а, X) (рис. 11) соответствует «лунке с ореолом», известной из экспериментальных картин распределения интенсивности внутри областей каналирования. При малых X функция Si (а, X) V 0, при больших значениях X функция Si (а, X)〉0 (табл. 3). Таким образом, имеет место непрерывный переход теневого эффекта в каналирование. Оба эффекта выступают как равноправные.

“+勿

(VI.14)

а —> О,

Q —-> оо.

исполь-

■Фон

4。

Рис. 11.

Функция 2 Si (а, X) является периодической функцией %，т『一8

координат точек на экране (尸丄)с основными периодами

&н ~ а*

|z|

п2а2

,I 3 I

dy =甸随，

(VL15)

воспроизводящими периоды кристалла, увеличенными на фактор подобия I z |/孔Z&Z， где номер п2 определяет положение кристаллической плоскости как одной плоской решетки. Каждая подрешетка создает периодическую систему пятен на экране. Радиус пятен на экране определяется формулами:

0зат =〈近〉"

|z|

〃z〃z

Таблица 3

Значения функций £式@, X)

X

Si(0,5, X)

s 仆3 X)

X

Si(0,5, X)

s】((M, X)

0

-1,077

—7,985

2,2

0,085

0,196 0,154

0,1

—1,070

-7,759

2,4

0,102

0,2

—1,049

—7,112

2,6

0,105

0,122

0,3

—1,014

—6,14()

2,8

0,100

0,096

0,4

—0,966

-4,975

3,0

0,090

0,076

(),5

—0,907

—3,7(50

3,5

(),060

—

(),6

—0,840

—2,623

3,8

U,()44

—

0,7

—0,765

—1,636

4,（）

—

0,024

0,8

—0,685

-0,865

4,1

0,032

0,9

—0,603

—0,298

£4

0,023

—

1,()

—0,520

0,083

4,7

0,017

—

1,2

—0,359

0,423

5,0

0,012

0,008

4,4

—0,216

0,462

5,3

0,009

—

—0,099

0,397

5,6

0,006

1,8

—0,011

0,318

6,（）

一

0,003

2,0

0,049

0,250

Радиус пятен приблизительно на порядок меньше периода плоской решетки на экране;

(VI.17)(VI.17)

(VI.17)

(VI.17)

На основании этого неравенства пятна от каждой под решетки не сливаются. Однако пятна от отдельных подрешеток с различными номерами %, накладываясь друг на друга, приводят к слиянию пятен. Координаты слившихся пятен характеризуются одинаковым отношением обертонов тх и ту с номером подрешеток %・ Координаты пятен с наибольшим периодом и с периодом, в 5 раз меньшим, выражаются следующим образом:

胃(max d*)=外-=2ax ^丿—• • • = "а%，丿,

max dxmax dxnssaznssaz(VI.18)(VI.18)3 = %s + О (1? 2,..3 = %s + О (1? 2,..-I))--I))-

max dx

max dx

nssaz

nssaz

(VI.18)

(VI.18)

3 = %s + О (1? 2,..

3 = %s + О (1? 2,..

-I))-

-I))-

Относительные интенсивности этих пятен определяются соответствующим членом в формуле для 6р『(г, z,力)

v」$а

2 %•

2%ат min А/ к2%ат min А/ к(S—1)〉1(S—1)〉1Если расстояние между соседними пятнами от разных подрешеток будет достаточно мало, то пятна будут перекрываться и образовывать сплошные линии. Для этого необходимо:

2%ат min А/ к

2%ат min А/ к

(S—1)〉1

(S—1)〉1

(VI. 20)

\ зат 、丄/ б% , \ § , s — 1 / к % s(s — 1) / Полученное условие осуществляется для £ 力 5.

Перечисленные свойства поля рассеяния, диктуемые формулой для 6р『，приводят к следующим особенностям явления каналирования и явления затенения:

Наличие на экране системы периодически расположенных пятен с минимальной концентрацией частиц, непрерывно переходящей к максимуму концентрации. Максимум концентрации естественно отождествить с каналированием, а минимум концентрации — с явлением блокировки или «тени».

Наличие на экране, кроме изолированных пятен с максимально возможными интенсивностями (малые значения £ в выражении (VI.19)), сплошных линий, в сечении которых также происходит чередование теневого эффекта и каналирования. Сплошные линии возникают за счет слияния пятен с достаточно большими значениями 龜 соответственно условию (VI.20). Интенсивность сплошных линий, получающихся в результате слияния пятен от разных подрешеток, имеет достаточную величину в сравнении с интенсивностью главных пятен. Для слияния пятен необходимо, на основании (VI.20), чтобы s 〜5. Но на основании (VI.19) эти пятна имеют следующие относительные интенсивности:

& > $),& > $),(VI.21)(VI.21)/ max dx \

& > $),

& > $),

(VI.21)

(VI.21)

J (max dx) — va 1 s ~ 5

что соответствует экспериментальным данным.

Кроме того, распределение концентрации частиц внутри пятен и линий, отображаемое единой функцией, объединяет явления каналирования и блокировки, которые обычно рассматриваются разрозненно.

Приведенные характерные свойства соответствуют наблюдению, однако развиваемая теория рассеяния в кристалле противоречит опытным данным в следующих отношениях.

Теоретическая величина угловой ширины пятен

g奇=?3 &〜з)(VI.22)

значительно меньше опытного значения и не зависит от энергии частиц пучка, что также противоречит эксперименту.

Теоретическая ширина пятен увеличивается с ростом температуры:

〈&〉= т^— \ \ р dr\ +;(VL23)

uaa L J J ^аа

(R)

данные же опыта указывают на обратную зависимость.

Теоретическая кривая распределения интенсивности внутри пятен и линий всегда симметрична относительно центра пятен или сплошных линий, так как S* (а, X) = S】(а, | X |). На опыте же замечена асимметрия этих кривых.

Выявленные противоречия между опытом и теорией, основанной на трехмерной периодической структуре кристалла, мы постараемся полностью устранить в следующих параграфах, а пока рассмотрим встретившиеся интегралы.

Вычисление некоторых интегралов

Приведем подробный вывод вида специальной функции S* (а, X). Применим к сумме в формуле (VI.12) для 6р/ (г丄，z,力)

2 F之Т exp [-%〈尸1〉"1十及丄尸丄 (VL24) VxT'^ 丄

формулу суммирования Пуассона + 8°0 卞

n=—8m=—8 一8

имеем

Ё福三eхp(一之〈近〉旗十出也晋)= + oo+oo о

+ 浓丄丘丄 J ； j) dkxdky] (VI.25) здесь

丄三一——办?) , И± = ＞丄+(乙@十m必y)|J .

\ «Xяу /〃z“z

При вычислении интеграла по кх и ки введем цилиндрическую систему координат; используя выражение бесселевой функции

о

приходим к следующему интегралу:

который сводится к сумме двух:который сводится к сумме двух:

который сводится к сумме двух:

который сводится к сумме двух:

В результате исходная двойная сумма (VI.24) равнаВ результате исходная двойная сумма (VI.24) равна/(/•-/•о)十[兀(/• 一 ％)]2 ) Х/(/•-/•о)十[兀(/• 一 ％)]2 ) Хeifc(r-ro)田&一小)]?eifc(r-ro)田&一小)]?

В результате исходная двойная сумма (VI.24) равна

В результате исходная двойная сумма (VI.24) равна

/(/•-/•о)十[兀(/• 一 ％)]2 ) Х

/(/•-/•о)十[兀(/• 一 ％)]2 ) Х

eifc(r-ro)田&一小)]?

eifc(r-ro)田&一小)]?

Воспользуемся представлением

(VL26)(VL26)——=С e(^^sds.

(VL26)

(VL26)

丄о

Изменяя порядок интегрирования во втором интеграле, находим

d丄 \z\ds

exp\ exp[——J —.

Вычислим интеграл

X *厂"4/.(VI.28)

Подынтегральная функция не имеет особенностей. Для вычисления 厶 разобьем интеграл на части, подынтегральные функции в которых имеют особенности. Условимся полюс обходить снизу, хотя окончательный результат не зависит от способа обхода полюса. Имеем

［儿s一入)］2［儿s一入)］2eik(r~r0)eik(r~r0)а工а工nz=—%nz=—%dQdQаа"с (力—r0)"с (力—r0)££++dkzdkz［论①一/•())『［论①一/•())『££e-inzaz kze-inzaz kz2兀2兀(-J(-J2n2n2л2л££++(Z — Z°)2(Z — Z°)2£ (z — z0 —九z&) eT"z"z£ (z — z0 —九z&) eT"z"z

［儿s一入)］2

［儿s一入)］2

eik(r~r0)

eik(r~r0)

а

工

а

工

nz=—%

nz=—%

dQ

dQ

а

а

"с (力—r0)

"с (力—r0)

£

£

+

+

dkz

dkz

［论①一/•())『

［论①一/•())『

£

£

e-inzaz kz

e-inzaz kz

2兀

2兀

(-J

(-J

2n

2n

2л

2л

£

£

+

+

(Z — Z°)2

(Z — Z°)2

£ (z — z0 —九z&) eT"z"z

£ (z — z0 —九z&) eT"z"z

，=、风｛[[法(力 一 %)]2 -[讷(力一力0)]3卜 ^ F -

[/с (» — 7・о)]2 十 №— >・o)F J 乙 e—

=777^/。e (z-Zo -乙%) 一£ (z-Zo 一山每)2 一

-W “z +74V £ 圏 e

『一%％=一匕

2лG-彳2лG-彳

2л

G-彳

2л

G-彳

Здесь мк учли еще, что

/眼(т-т*LM* 二％)]2/眼(т-т*LM* 二％)]21浙（* 一九）1浙（* 一九）[兀①二。)fm =a[兀①二。)fm =a

/眼(т-т*

LM* 二％)]2

/眼(т-т*

LM* 二％)]2

1

浙（* 一九）

1

浙（* 一九）

[兀①二。)fm =a

[兀①二。)fm =a

если

lim I "z「尸("z) = 0, e〉0. 隐f

В дальнейшем потребуется усреднение функции S】(а, X) по тепловому разбросу скоростей и丄：

,Si(a,X(L — (8),Si(a,X(L — (8)d0丄,d0丄,0 丄 t)) w0 丄 t)) w

,Si(a,X(L — (8)

,Si(a,X(L — (8)

d0丄,

d0丄,

0 丄 t)) w

0 丄 t)) w

где

zzuu

z

z

u

u

Имеем

S1 (a, x (i•丄—£'丄p)) w±S1 (a, x (i•丄—£'丄p)) w±譌-,切血 exp [- 嗡-(峻+%)W \ exp x±(8$±a譌-,切血 exp [- 嗡-(峻+%)W \ exp x±(8$±aXX偿一丁几5* — г?хТр -|- (у — mydy — Уут)2 / nzazn \21 dt4i ：\\^T / J-偿一丁几5* — г?хТр -|- (у — mydy — Уут)2 / nzazn \21 dt4i ：\\^T / J-— ；exP [-— ；exP [-(厘 一 mxdx 一 ％t)2 + ® — mydy —沙屮＞(厘 一 mxdx 一 ％t)2 + ® — mydy —沙屮＞expaexpa/ TnzazK \2 8丄/ TnzazK \2 8丄4〃4〃（早河｝=（早河｝=信一"名户+ ® -屮疗/乙廿、2]信一"名户+ ® -屮疗/乙廿、2]expexpXX(大一ZH/Q2 + (g _ TH屈y)2 / 孔z，Z% )2]Г / Tn,a,x \2 6丄"I \ I z I / J …(卄)爲(大一ZH/Q2 + (g _ TH屈y)2 / 孔z，Z% )2]Г / Tn,a,x \2 6丄"I \ I z I / J …(卄)爲/ TnzazK \20a + hVT 丿 ^T/ TnzazK \20a + hVT 丿 ^T

S1 (a, x (i•丄—£'丄p)) w±

S1 (a, x (i•丄—£'丄p)) w±

譌-,切血 exp [- 嗡-(峻+%)W \ exp x

±(8$±a

譌-,切血 exp [- 嗡-(峻+%)W \ exp x

±(8$±a

X

X

偿一丁几5* — г?хТр -|- (у — mydy — Уут)2 / nzazn \21 dt

4i ：\\^T / J-

偿一丁几5* — г?хТр -|- (у — mydy — Уут)2 / nzazn \21 dt

4i ：\\^T / J-

— ；exP [-

— ；exP [-

(厘 一 mxdx 一 ％t)2 + ® — mydy —沙屮＞

(厘 一 mxdx 一 ％t)2 + ® — mydy —沙屮＞

exp

a

exp

a

/ TnzazK \2 8丄

/ TnzazK \2 8丄

4〃

4〃

（早河｝=

（早河｝=

信一"名户+ ® -屮疗/乙廿、2]

信一"名户+ ® -屮疗/乙廿、2]

exp

exp

X

X

(大一ZH/Q2 + (g _ TH屈y)2 / 孔z，Z% )2]

Г / Tn,a,x \2 6丄"I \ I z I / J …(卄)爲

(大一ZH/Q2 + (g _ TH屈y)2 / 孔z，Z% )2]

Г / Tn,a,x \2 6丄"I \ I z I / J …(卄)爲

/ TnzazK \20

a + hVT 丿 ^T

/ TnzazK \20

a + hVT 丿 ^T

= e°+ \ exp (- p-±)+—击exp (-去)三&(%, X), °+(VI.30)

(% = a 十-^ (a2n2x)2, Eo =」^).

5 А. А. Власов

Таким образом, усреднение по тепловому разбросу частиц не изменяет вида специальной функции S】(а, Н), изменяется только параметр а.

Найдем аналитические выражения для специальной функции при крайних значениях обоих ее параметров. Для этого используем аппарат неполных интегралов Вебера от модифицированных функций Бесселя [29]

(VL31)(VL31)Qv (a,/)=* e"，v ⑴ 6中/4% d方，о

(VL31)

(VL31)

X

部、(а,胃)=* ea \ Kv (方)e-犷整方阳о

для которых имеет место соотношение

ааexpexp4t4tdtdt=2=2传y e-a [Kv⑺Q (a,/)+八(X)宛(a,/)].传y e-a [Kv⑺Q (a,/)+八(X)宛(a,/)].(VI.32)(VI.32)

а

а

exp

exp

4t

4t

dt

dt

=2

=2

传y e-a [Kv⑺Q (a,/)+八(X)宛(a,/)].

传y e-a [Kv⑺Q (a,/)+八(X)宛(a,/)].

(VI.32)

(VI.32)

Используя свойства цилиндрических функций Бесселя 八(х) и & (х) и асимптотические разложения неполных интегралов Вебера Q、(а, х) и 斤v (а, х), получаем следующие асимптотические представления для специальной функции:

邑(а, X)—邑(а, X)—-2 [6* (X) - К。(X)] при а = 0,2еа^0(Х) при а —0,

邑(а, X)—

邑(а, X)—

2 传)2 • е*叫& (X)厶(X) _ & (X)厶(X)] при а .

(VL33)

Здесь 6* (X) — двумерная дельта-функция, для которой выполняется соотношение

J 6* (X) XdX = 1, о

причем

——!еа Ei (— а) при X = 0,

S№X)f — gexp (—勤 при X —。， ММ

、2eaKo(X)при

Здесь Ei (—a) — интегральная показательная функция.

При рассмотрении рассеяния на пластинчатых структурах (см. § 4) появляется следующая сумма:

£)謹7吧堂1eхр (一受比〉磅十%千H，(VI.35) ** 2 I z I

ГДе <Г1> = <X2> + В/%。.

Применяя формулу суммирования Пуассона, приходим к следующему выражению (VI.35):

X ехр [^-〈殷〉磯 + »(/ —ppX ехр [^-〈殷〉磯 + »(/ —pp+ axmx)A:x 也.+ axmx)A:x 也.(VI.36)(VI.36)

X ехр [^-〈殷〉磯 + »(/ —pp

X ехр [^-〈殷〉磯 + »(/ —pp

+ axmx)A:x 也.

+ axmx)A:x 也.

(VI.36)

(VI.36)

Отметим, что в отличие от первого пункта, где появлялся двойной интеграл по кх и Ау, здесь имеется простой интеграл по Ах. Это дает возможность провести дальнейшие вычисления по аналогии со случаем рассеяния на невозбужденной структуре кристалла. Используя тождество

и меняя порядок интегрирования по кх и 5, получаем, что анализируемый интеграл сводится к разности двух неполных цилиндрических функций Макдональда:

十8

(VI.37)(VI.37)(VI.38)(VI.38)где новая специальная функция 5з/, (а, х) равна S3/2 (а, n) = S3/2 (а, -У~) — S% 伍，Х+).

(VI.37)

(VI.37)

(VI.38)

(VI.38)

Эти функции определены следующим образом:

6% (а, Х±) = ® 土 4") J^ ~ еа \ ехр (- t.

Параметры функций равны

X土X土_ ах I 2 I 1 (勺 土 ％) az

X土

X土

—S (〃z 士 ％)"z . Й

S = 1/2 <F1> x2.

Теория кана лирова ния и эффекта теней

на возбужденных состояниях кристалла

В предыдущих параграфах развивалась теория каналирования и эффекта теней в трехмерной модели кристалла на основе нелокально-статистического описания частиц пучка и частиц кристалла. На этом пути удается понять как общую картину возникновения пятен и линейных теней на протонограммах, так и функциональную зависимость распределения интенсивности частиц внутри пятен и сплошных линий.

Однако были вскрыты трудности в количественном описании ширины пятен и линий, в зависимости этих ширин от энергии падающих частиц и от температуры кристалла, а также в объяснении случаев асимметрии в распределении интенсивности почернения внутри пятен и сплошных линий. Кроме того, при рассмотрении рассеяния на кристаллических структурах отсутствует спектр энергии рассеянных частиц, падающих на фотопластинку. Эти трудности нельзя объяснить характером приближения исходной системы уравнений, так как высшие приближения учитывают отклонение прямой пропорциональности интенсивности рассеянных частиц от заряда частиц. Опыт же указывает на такую пропорциональность.

Для преодоления трудностей, с которыми мы встретились при анализе структуры поля рассеянных частиц, прошедших через кристалл, привлечем к рассмотрению нитевидные и пластинчатые структуры (см. главу III), предполагая, что они возбуждаются в кристалле самим пучком быстрых частиц. Сосуществование этих структур одновременно с кристаллом возможно в разобщенных областях, что не противоречит исходным нелинейным уравнениям в рассматриваемой модели кристалла.

Изменения результата рассеяния на нитевидных и пластинчатых структурах можно ожидать вследствие появления новых потенциалов, действующих на частицы пучка.

Рассмотрим сначала рассеяние на пластинчатых структурах, расположенных вдоль фиксированного направления невозмущенного потока частиц. Возбужденные пластинчатые структуры образовались из кристаллографических атомных плоскостей, отличающихся максимальной заселенностью атомов.

Потенциал структуры, действующий на частицы пучка, определяется аналогично § 2 следующей формулой:

Ut{x,z)=^^ $ ( £ 宀…居仙.^評zZd& (VI.39)

гдегдеsin (打％/2) ~1R2~sin (打％/2) ~1R2~1 2%%1 2%%с4 兀 Z]Z“e2с4 兀 Z]Z“e2exP -+-( \ P"L a。(Q)—^G^', 們+%+ %♦exP -+-( \ P"L a。(Q)—^G^', 們+%+ %♦Как и для случая троякопериодической структуры кристалла, получим в качестве главного члена рассеянияКак и для случая троякопериодической структуры кристалла, получим в качестве главного члена рассеяния了詼修成？ 1了詼修成？ 1XX〃2|z| а )〃2|z| а )nz=lnz=l+■+■[5%(a, Х-) — S% (а, Х+)] х, (VI.40)[5%(a, Х-) — S% (а, Х+)] х, (VI.40)+85% ® X土)=(办z ± %)着2-枝 \ exp'* |%=o?+85% ® X土)=(办z ± %)着2-枝 \ exp'* |%=o?dtdtx± =x± =7,7,X — ^x^xX — ^x^x(阳 士 %) %(阳 士 %) %lzllzlx, a =号〈近〉乂久x, a =号〈近〉乂久

где

где

sin (打％/2) ~1R2~

sin (打％/2) ~1R2~

1 2%%

1 2%%

с4 兀 Z]Z“e2

с4 兀 Z]Z“e2

exP -+-( \ P"

L a。(Q)

—^G^

', 們+%+ %♦

exP -+-( \ P"

L a。(Q)

—^G^

', 們+%+ %♦

Как и для случая троякопериодической структуры кристалла, получим в качестве главного члена рассеяния

Как и для случая троякопериодической структуры кристалла, получим в качестве главного члена рассеяния

了詼修成？ 1

了詼修成？ 1

X

X

〃2|z| а )

〃2|z| а )

nz=l

nz=l

+■

+■

[5%(a, Х-) — S% (а, Х+)] х, (VI.40)

[5%(a, Х-) — S% (а, Х+)] х, (VI.40)

+8

5% ® X土)=(办z ± %)着2-枝 \ exp'* |%=o?

+8

5% ® X土)=(办z ± %)着2-枝 \ exp'* |%=o?

dt

dt

x± =

x± =

7,

7,

X — ^x^x

X — ^x^x

(阳 士 %) %

(阳 士 %) %

lzl

lzl

x, a =号〈近〉乂久

x, a =号〈近〉乂久

Специальная функция S% (a, X) имеет следующие свойства:

ГNTГNT1/ Г1f叫『1/ Г1f叫『X-*8X-*82 传戶a&/,(X).2 传戶a&/,(X).

Г

NT

Г

NT

1/ Г

1f叫『

1/ Г

1f叫『

X-*8

X-*8

2 传戶a&/,(X).

2 传戶a&/,(X).

Формула (VI.40) для 隔(х, z, i) приводит к системе периодически расположенных параллельных сплошных линий — следов минимума и максимума концентрации рассеянных частиц. Сплошность этих линий является следствием не перекрытия пятен, а обусловлена непрерывностью вероятности местоположения атомов в пластинчатых структурах.

Существенным отличием картины рассеяния частиц на пластинчатых структурах по сравнению с рассеянием ионов в кристалле является наличие асимметрии в распределении интенсивности почернения внутри линий, что обусловлено сдвигом специальных функций.

Рассмотрим вопрос о ширине сплошных линий. В кривой распределения интенсивности удобно ввести ширину двух областей — области каналирования и области затенения. Пользуясь асимптотическим представлением специальной функции, находим

—|z|_ 1|Z|.

“енн- % % +%н-五暖刁7

Величина этих ширин слишком мала, чтобы объяснить наблюдение. Кроме того, возникает противоречие между теорией и опытом в отношении зависимости ширин линий от энергии частиц пучка. Остается не снятым также противоречие в отношении отмеченной выше зависимости ширин линий от температуры.

Рассмотрим простейший случай поведения функции S%應,х) в зависимости от х для центральной линии (тх = 0). В центре этой линии

5зд(а, х) |х=о = — *■(VI .42)

имеет место почернение. На больших удалениях от середины центральной линии

6%(a,切е = 4履殻sh(黯 x) . (VI.43)

Следовательно, на фотопластинке центральная линия, темная внутри, будет по краям окаймлена светлым ореолом.

Специальная функция S% (а,Х) для центральной линии про- табулирована при и2 = 1 для трех значений параметра а: 0,1; 0,5; 1,5 (табл. 4). Параметр X этой специальной функции определен

—Таблица 4

Значения функции S%依 羽

Г

Г

о,1

0,5

1,5

0,1

0,5

1,5

0

—3,760

—0,974

-0,310

1,4

0,739

0,009

—0,123

—3,6(2

-0,964

—0,309

1,8

0,649

0,175

-0,050

0,2

-3,199

—0,934

-0,305

2

0,577

0,216

-0,018

0,3

—2,603

-0,887

—0,299

2,2

0,504

0,238

0,009

0,4

—1,931

—0,823

—0,290

2,4

0,436

0,246

0,032

0,5

—1,276

—0,747

—0,280

2,8

0,322

0,237

0,063

0,6

—0,702

-0,661

—0,267

3

0,276

0,225

0,073

0,7

—0,240

—0,569

—0,252

4

0,130

0,1-48

0,085

0,8

0,110

—0,474

—0,236

5

0,064

0,086

0,070

0,9

0,359

—0,380

-0,219

6

0,032

0,047

0,051

1

0,529

—0,289

—0,201

7

0,007

0,025

0,035

1,2

0,701

—0,(24

—0,163

8

0,009

0,013

0,023

следующим образом:

hl

Он выбран с таким расчетом, чтобы удаление от середины центральной линии, получающейся при рассеянии на пластинчатых структурах кристалла, в радиальном направлении равнялось удалению от центра главного центрального пятна, получающегося при рассеянии на невозбужденном кристалле.

Из приведенной таблицы следует, что общий вид специальной функции S% (а, X) для центральной линии соответствует «'лунке с ореолом».

Перейдем к рассмотрению рассеяния на нитевидных структурах. В полной аналогии со случаями рассеяния на кристаллической и пластинчатой структуре ползгчаем, удерживая главный член:

斗 ％立也 + mydyky^ dk^dky(VI .44)

%, a = 4<rl>x2).

Двойной интеграл в (VI.44) не поддается дальнейшему упрощению.

Рассеяние на нитевидных структурах приводит к системе периодически расположенных пятен в плоскостях, перпендикулярных оси 2. Несмотря на строгую симметрию самих нитевидных структур, наиболее удивительным свойством является сложная зависимость распределения интенсивности внутри пятен от азимутального угла, что могло бы служить указанием для эксперимента.

Максимальная интенсивность почернения в пятнах, получающихся при рассеянии на нитевидных структурах кристалла, превышает только в несколько раз максимальную интенсивность почернения в сплошных линиях от пластинчатых структур. Одцако для шцрдн пятен, получающихся прц рассеяниц от стол-

биков, сохраняется несоответствие с опытом (по порядку величины) зависимости ширин пятен от энергии частиц пучка и от температуры.

Устранению этих противоречий, имеющих место и для рассеяния на пластинчатых структурах, будет посвящен следующий параграф.

§ 5. Температурные распределения в пучке при наличии возбужденных структур

Отказываясь от использования локальных образов в поведении частиц в явлениях каналирования и теней и переходя на язык непрерывных вероятностей местоположений и кинематических свойств частиц как первичных понятий теории, удается единообразно описать явления каналирования, блокировки и прото- нограммы, полностью устраняя ранее возникшие трудности.

Нелокально-статистическое описание частиц в пучке, атомов в кристалле и взаимодействий между ними опирается на систему уравнений для функций распределения

叱严 + ^rf ~^r[Uf(r) + Z^ (r)] VJ = О,Uf(r) = ^Kf(] r — r' Dp^^dr7, Аср = —4irrZie \ /d 也и(°0)

P(re (abc)^]=

\ p dr^ •(我伊А+砌-i n(2n 3)e))-%exp.2::)而(abc)S)“

(VI.45)

Здесь Л = 3, 2, 1 — число измерений для кристалла и его возбужденных состояний (трехмерные, двумерные и одномерные периодические структуры),

勺(|г-，'1)=^^еТ-1,

= ± =aB.0,8853(Z：/' + z2y%."丿"

Рассмотрим сначала явление каналирования ионов в монокристаллических фольгах (на прострел), ставя задачу отыскания адекватных решений у системы для /,力，р.

Наложим естественные условия на решение:

Условие гладкости — для произвольного объема АР в пучке вероятное число частиц

\ \ /drdv

(№)岗

не обязано принадлежать множеству целых чисел.

Отказ от целочисленности позволяет нам выйти из класса локальных решений типа

/(r, %/)=$6 [r -爲(016 [。一然⑼. $=1

Условие стационарности df/dt = 0.

Выполнение принципа статистической независимости

/ (г, 0)= Р (尹)W (№)・

Наличие трансляции частиц в пучке, совместимое с предыдущими условиями:

/ (г, 0)= р (г) w ([0 —跳卩)，м = const.(VI.47)

Теорема 1. Решений указанного вида не существует в трехмерном кристалле. Это вытекает из невозможности удовлетворить системе уравнений для / (г, 0,力)，Ut (г) функцией типа (VI.47) при и 丰0. В самом деле, используя (VI.47), получим условие разрешимости в виде

2

©2= - iu^rU\ (VI .48)

где

”=初(言丽，U^^Uf^ + Z^ir). (VI.49)

Этому условию невозможно удовлетворить, так как 0 является независимой переменной.

Теорема теряет силу в случае независимости действующего потенциала U от одной или двух координат.

Теорема 2. В случае наличия в фольге нитевидных или пластинчатых структур возникает точное решение, удовлетворяющее предыдущим условиям:

/ 俨，。)=Cw mm - %]2)exp - -0/?丄)^iё电力丄)-計],

± (VI.50)

U八1•丄)=\ % (I »•—犷 I) p (r'^dr^z', Дгр (1•丄)=—nZie，/ dv.

(°0)

Средняя скорость потока направлена вдоль структур. Параметр разделения переменных 6丄 является поперечной температурой в пучке. Функция 力口 теорией не определяется.

Одномерные и двумерные структуры должны возбуждаться в кристалле ионами пучка. Один ион с энергией в 1 Мэв в состоянии создать блок из подобных структур в 300 А3.

Теорема 3. Стационарные решения имеются и у нестационарных уравнений, связывающих функцию распределения частиц пучка % с функцией распределения атомов указанных структур /2, вследствие чего не реализуется процесс выравнивания температур между пучком и структурами даже в случае 0г》02.

Система уравнений

■^~ + vVr/i —Vr (U12 + Ziecp) Vv/i = 0,

Д(р = — 4nZie，fidv,(°°)

■^~ + VVr/2 Vr (U21 +。22)Vv/2 u °，(VI.51)

U^ = ^KaSi(\r-r' ^Udr'dv, ^~ = Q, a,p = l,2, имеет точное стационарное решение для /х и /2 с 0Х =# 02. Эти параметры оказываются независимыми.

Сохраняемость «ядер» 区珅(| > — >' |) при наличии трансляции ионов обусловлена тем, что система

口方 % + "^7 А — f^f + (— е)(% + 5 + 6)] 5 ⑻=。，дфе = - 4nZ2(-e)屮：⑻屮Т⑻，дф1 = -4必1e，/將也(VI.52)(°0)

Дср2 + х2ф2 = — 4nz2^，f2dv,(°0)

имеет стационарные решения и для электронных состояний атомов в структурах.

Следствия теорем. 1. Верхняя граница для 6丄.Условие стационарности распределения требует выполнения неравенства 0j_《 max Uf (г±). Действующий на частицы пучка потенциал Uf определяется через плотность р (г). Для случая нитевидных структур имеем

0 俨丄)=(% Q 切);П (2пУ〉)"/，ехр (—(VI.53)

Рассмотрим два предельных случая: низких и не слишком низких температур в структурах:

1)^>1 И 2)翁<丄

Возникает два вида разложений. Для первого случая имеем

ир ⑴丄)=(、 。 切)(I+4_ е y 丄〉臨+…)е(I ?•丄 I)，

(abc)а==1

y 丄〉(VI.54) 丄)协

豆(什丄一八 1) = ； \ ^/ (I r - ^ I) dz' = ^^ ко (% I r± - r； I),

(°0)

где К。⑴ 一 цилиндрическая функция Макдональда, d — период исходного кристалла в направлении нитей.

Для второго случая получается аналогичное разложение. Максимальная величина потенциального барьера для ните

видных структур имеет вид

(VI.55)(VI.55)(abc)

(VI.55)

(VI.55)

吃硝叩)罕(赤产(一今).

(abc)/

В случае пластинчатых структур получаем

(VI.56)(VI.56)禮《（］呵罕传）ехр（-岑）, （abc）

(VI.56)

(VI.56)

*Q产）等气用（占广хР（

Для случая вольфрама и протонов, полагая

d = 3-10-8 см,d = 3-10-8 см,(1) = 3,(1) = 3,11

d = 3-10-8 см,

d = 3-10-8 см,

(1) = 3,

(1) = 3,

1

1

имеем для поперечных температур пучка в нитевидных структурах

理 < 780%, 吃 < 253%.理 < 780%, 吃 < 253%.(VI.57)(VI.57)

理 < 780%, 吃 < 253%.

理 < 780%, 吃 < 253%.

(VI.57)

(VI.57)

Для пластинчатых структур значения для поперечных температур пучка приблизительно на порядок меньше соответствующих значений для нитевидных структур.

Сплошность и значительная высота потенциальных барьеров обеспечивают эффективность процесса каналирования ионного пучка между возбужденными структурами.

Угловой спектр. После выхода частиц из фольги потейци- альные барьеры перестают действовать на них. Поперечный температурный разброс скоростей приводит к спектру углов, наблюдаемых экспериментально.

Ограничиваясь малыми концентрациями пучка и используя теорему 2, с учетом и丄伍=tg 屮 получаем

/ (尸,1М) = Civ II ([% —陰)/『)/ (尸,1М) = Civ II ([% —陰)/『)exp「_ 診 tg2 屮].(VI.58)

/ (尸,1М) = Civ II ([% —陰)/『)

/ (尸,1М) = Civ II ([% —陰)/『)

L J

Здесь Ео — кинетическая энергия частиц в направлении центра пятна.

Г \ "L59)丿，аналогичный ве-Г \ "L59)丿，аналогичный ве-Имеем для случая нитевидных структур

Г \ "L59)丿，аналогичный ве-

Г \ "L59)丿，аналогичный ве-

(adj

m屮〉⑼=娶《 \ 0 黃exp ((abc). ■

В случае пластинчатых структур получаем

зультат для углового распределения частиц пучка, но «поперечная» температура определяется формулами для 6£) и ◎£)•

Энергеттеский спектр. Для каждой частицы пучка р2 = =近 + % = % (1 + tg2^), поэтому спектр по энергиям тесно связан с угловым спектром:

/(*叫/ -侶-得幷)ехР卜也『-計(与制.

(VI.60)

Среднее отклонение в энергии частиц и связь энергетического спектра с угловым таковы:

Е = Ей (1+tg2^).(VI.61)

Функция распределения по энергиям оказывается асимметричной, так как всегда Е》昂.

Устранение возникшее противоречия. Развитая в §§ 1—3 теория рассеяния частиц с центром излучения внутри кристалла находилась в противоречии с опытом в отношении полуширин пятен и сплошных линий, так как отсутствовала зависимость полуширин от энергии частиц пучка и получалась неправильная зависимость от температуры кристалла.

Нелокально-статистическая теория кристалла позволяет снять это противоречие, привлекая к рассмотрению возбужденные состояния кристалла в виде блоков из нитевидных и пластинчатых

структур, на которых происходит дополнительное рассеяние частиц. Переход частиц пучка из области троякопериодического кристалла в блок из возбужденных структур, ориентированных вдоль направления движения частиц, характеризуется, во-первых, ослаблением влияния условий в источнике частиц, во-вторых, сохранением пространственной структуры пучка при прохождении его через указанные структуры и, в-третьих, возникновением поперечного температурного разброса частиц пучка, движущихся внутри структур, на основании теоремы 2.

После выхода частиц из кристалла температурный разброс, оформившийся внутри возбужденных структур, приводит к дополнительному рассеянию частиц, значительно превышающему разброс, обусловленный только троякопериодической структурой кристалла. Получающееся новое значение полуширины пятен и сплошных линий полностью устраняет оставшееся противоречие теории с экспериментом.

Количественное описание указанного механизма опирается на функцию распределения частиц вне кристалла, учитывающую вышеуказанные -особенности при прохождении частиц через блоки из возбужденных структур. Вблизи анализатора функция распределения частиц пучка принимает вид

/о (Л 也 0 = 6р/ ⑴丄—。丄Т, Z — %Т, Т) Wj.II (Wz —啲2),

丄(VI.62)

где 6р/ определена в § 2. В 6р『координаты входят только в специальную функцию S] (а, X), даваемую (VI. 27).

Температурный разброс, проявляющийся в сдвигах аргументов у функции 6р/, приводит к усреднению функции S】(а, X). Результат усреднения специальной функции Sr не изменяет ее вида, а только меняет значение параметра а (см. § 3):

Si (а, X 田丄-0丄В) /丄(凉^ @0 = Si (%, X),

aw®

(f = z/%, Eq = 771Pq/2),

Изменение параметра а приводит к новому значению для угловой полуширины пятен и линий:

(VI.63)(VI.63)<tg 纯〉=6 丄/2%,

(VI.63)

(VI.63)

где 6丄 определяется полученными выше формулами,

Формула (VI.63) снимает указанное противоречие как в отношении зависимости полуширин от энергии частиц, так и в отношении температуры кристалла и порядковых номеров Z* и Z2- Эта формула точно совпадает с аналогичной формулой для случая каналирования на прострел.

Полученные значения для угловых полуширин пятен и линий существенно зависят от упругих постоянных структур кристалла. С увеличением коэффициента упругости, входящего в 〈尤〉,ширина пятен и линий возрастает.

Распределение частиц по энергиям внутри пятен и линий в явлениях блокировки и протонограммах рассматривается вполне аналогично явлениям на «прострел». При перемещении вдоль радиуса пятен и поперек сплошных линий знертгия частиц меняется. На периферии пятен и сплошных линий энергия частиц больше, чем в центре. Средняя энергия частиц в пятнах больше, чем в сплошных линиях.

Необходимость существования в трехмерном кристалле блоков из нитевидных или пластинчатых структур, обеспечивающих важные детали рассеяния частиц в явлениях каналирования, блокировки и протонограммах,— предсказание единой теории этих явлений.

Общность природы пятен Венера и блокировочного эффекта (при прохождении части д через монокристаллы)

Существуют три обстоятельства, являющиеся основанием гипотезы об общности механизма явления распыления атомов монокристаллов, приводящего к пятнам Венера, с одной стороны, и эффекта блокировки движения ионов в направлении главных кристаллографических осей, с другой.

В обоих случаях существует находящийся внутри кристалла центр излучения (или рассеяния) частиц.

В обоих случаях основную роль играют отталкивательные силы взаимодействия между движущимися частицами и атомами кристалла.

Имеется замкнутый аппарат, описывающий перемещения произвольных частиц в заданном периодическом поле кристалла и развитый в предыдущих параграфах. В этом аппарате конкретизация природы частиц (атомы, ионы) сказывается только на законе их взаимодействия с кристаллом, т. е. на потенциальной энергии взаимодействия К (\г — г' |). Статистический механизм, описывающий перемещение частиц, является общим.

Естественно возникает вопрос, не являются ли качественные различия между пятнами Вейера и лунками блокировок следствием лишь количественного различия в параметре, характеризую-

щем силы отталкивания между атомами кристалла и движущимися частицами в обоих случаях.

Если указанный параметр определяется кинетической энергией частиц, то при изменении энергии частиц, проходящих через кристалл, должен существовать непрерывный переход пятен Венера в лунки блокировок.

Возникает задача о распространении теории, развитой выше для явлений блокировок и каналирования, на объяснение явлений пятен Венера.

Для решения этой задачи необходимо прежде всего выяснить возможность получить формулы для рассеяния частиц монокристаллическим слоем, освобождаясь от ограничивающих предположений, связанных с конкретизацией сил взаимодействия между движущимися частицами (ионами) с атомами кристалла.

Исходная система уравнений для функции / распределения

частиц в пучке, вероятности р местоположения атомов в кристалле и взаимодействия между частицами пучка и атомами кристалла дается формулами (VI.1), (VI.2).

Фигурирующие в (VI.1) К『(| > — >' |)и К (| > — М |) — потенциалы парного взаимодействия движущейся частицы с атомами кристалла, находящимися в точках г и и двух атомов кристалла (друг с другом) в условиях равновесного состояния.

Конкретизация природы п ер вмещающихся частиц всецело определяется энергией взаимодействия Kf (| г —— г' |), поэтому исход-

ные уравнения правомерны для движения через заданную кристаллическую структуру как ионов, так и нейтральных атомов.

Зависимость взаимодействия К『 от кинетической энергии частиц будет конкретизирована ниже.

заданной функцией распределениязаданной функцией распределениякристаллической пластины,кристаллической пластины,Источник частиц (заряженных или нейтральных) описывается

заданной функцией распределения

заданной функцией распределения

кристаллической пластины,

кристаллической пластины,

в первом уравнении справа ①(I 0 I) скоростей частиц у источника и гауссовским распределением своего положения в окрестности начала координат.

Исходная система уравнений позволяет определить функцию распределения движущихся через кристалл частиц по заданным характеристикам источника, структуре кристалла, по виду взаимодействия всех частиц между собой. Геометрическое положение

центра расхождения пучка и положение коллектора представлено на рис. 12.

Если а2 ——длина элементарной ячейки в направлении оси 2, то толщина кристалла в направлении выхода частиц есть vaa2, где va — максимальное число плоских подрешеток в кристалле, через которые проходит частица. Аналогично vba2 определяет расстояние от центра расхождения до задней границы кристалла.

Распределение плотности вероятности р （г） местоположения атомов в кристалле определено в § 2. Применительно к ограниченной пластине оно определяется формулой （VI.10）.

Решение для функции / （г, 0,力）распределения частиц пучка, движущегося через кристалл, будем искать в виде ряда последовательных приближений по параметру, пропорциональному интенсивности атомных и атом-ионных взаимодействий （в последнем случае пропорциональному заряду ионов пучка）, Uf-> eUf, е（р -> ее（р:

/ = /0 + 叩 1）+ е2/（2）+ . . ., ср = ер。）+ е2（р（2）+ . . . （VL64）

Основания отыскивать решение в виде ряда по 8 изложены в § 1. Здесь мы ставим задачу получения решения распределения концентрации в пучке частиц, прошедших через кристалл, не специализируя энергию парного взаимодействия К/ с целью выяснения чувствительности картины рассеяния к изменению энергии частиц пучка, входящей, по основному предположению, в функциональную форму Kf（I г ——>；|）・ Идя прежним путем （аналогично § 1）, получаем

，/⑴（＞,0"） dv = p⑴（瑞方）,

（8）

Р ⑴（>"）=—%Xn2=lгдеР ⑴（>"）=—%Xn2=lгде〈近〉=~—h〈R〉〈近〉=~—h〈R〉

Р ⑴（>"）=—

%

X

n2=l

где

Р ⑴（>"）=—

%

X

n2=l

где

〈近〉=~—h〈R〉

〈近〉=~—h〈R〉

Удобно преобразовать полученную формулу для р⑴（叫 力），используя для двойной суммы по пх и пу формулу суммирования

Пуассона:

р(1)(1•丄,z, t)=

£ 6(%),

(П)\г\ц%Н1 тнуШу—8

(VI.66)

E丄=I»•丄 + (mxax + myay)抬--占-,

%Z“Z I 2 I

где фигурирующая в (VI.66) функция S (R丄)определяется формулой

5便丄）=一5便丄）=一"丄d/c丄."丄d/c丄.(VI.67)(VI.67)

5便丄）=一

5便丄）=一

"丄d/c丄.

"丄d/c丄.

(VI.67)

(VI.67)

Отметим характерные черты полученной формулы для распределения концентрации частиц в пучке, прошедшем через кристалл.

Полученная формула выведена при условии, когда радиус г丄 эффективности зоны сосредоточения пучка в плоскости сечения мал в сравнении с расстоянием z до коллектора, т. е.

什丄1w口，7>1,(VI.68)

где у ——эмпирический коэффициент, определяющий особенность экспериментальной установки. Численное значение этого коэффициента может определить максимально возможное число пятен Венера.

Из выражения для Н丄 видно, что двойная сумма

£6 [»•丄+(%%+乙两)呆 昔

m*, my—x2 2」

представляет собой периодическую функцию в плоскости (%, у). В точках г± = — (тпд + туау), где тх, ту = 0, ±1, ±2, функция S (Н丄)имеет экстремумы. В случаях, когда расстояние между соседними экстремумами

(d/J = (&, лу) ■—

превышает эффективную ширину функции S (Н丄)，двойная сумма описывает систему изолированных периодически расположенных в плоскости коллектора пятен.

Тройная сумма в （VI.66）』％』§（区丄）представ-

nz=l m*, my=-8

ляет результат наложения пятен от разных подрешеток, полное число которых равно va. Каждая из этих подрешеток дает пятна с различным периодом, шириной и интенсивностью.

Специальная функция S （Н丄）связана с распределением интенсивности в пятне, обусловленным одним атомом, находящимся

в подрешетке с номером п2 и удаленным от оси z на расстояние （^х^х + ^у^у）- Фактор I z I lnzaz указывает на увеличение масштабов при проектировании пучком плоских подрешеток на плоскость коллектора.

Специальная функция S （Н丄）содержит информацию об основных параметрах явления рассеяния частиц кристаллом: силовом взаимодействии между частицами пучка и атомами кристалла, включающем зависимость от кинетической энергии частиц пучка, периоде кристалла ах, ау, а2, величине суммарного теплового разброса атомов около узлов кристалла и гауссовском разбросе центра расхождения пучка

где и&а и waa — упругие коэффициенты, характеризующие потенциальные ямы в окрестности узлов кристалла и центра источника соответственно.

Таким образом, функция S （Н丄）содержит основную информацию о распределении плотности вышедших из кристалла частиц в окрестности главных кристаллографических направлений, а также включает в себя параметр, зависящий от кинетической энергии частиц. При условии зависимости S （Н丄）от параметра г0 возникает, в принципе, возможность получения качественного различия в картинах рассеяния при непрерывном изменении кинетической энергии частиц, движущихся через кристалл.

В следующем параграфе доказывается, что указанное качественное различие соответствует непрерывному переходу пятен Венера в блокировочные лунки.

Непрерывный переход явления пятен Венера

в эффект блокировки （при увеличении кинетической энергии частиц, проходящих через монокристалл）

Для учета отталкивательного взаимодействия движущихся частиц （нейтральных или заряженных） с атомами кристалла воспользуемся экранированным потенциалом, вводя в него непроницаемую сферу с крутым подъемом потенциала и с эффективным радиусом, зависящим от кинетической энергии частиц. Такое

представление является правомерным для кинетических энергий сближения, превышающих энергию связи движущихся частиц с атомами кристалла:

Kf (r)=-^e~w при г〉小，

lim д^К/ (г)—> оопри г > г0» п = 1,2,

Г-*+Го

? е-к。= тп№/2,

где для ионов (на основании теории Томаса — Ферми) G = ZXZ2^2» х"1 = аБ-0,8853 (Z；$ + Z0)-%; для атомов указанные параметры справедливы только по порядку величин.

Поведение функции распределения движущихся частиц определяется интегральной формой взаимодействия частиц пучка с атомами кристалла, которое описывается размытым распределением местоположения атомов р (г):

Uf (г) =，К/ (I ” I) р (rz) df.(VI.69)

Рассмотрим это взаимодействие с одной из элементарных ячеек кристалла номера (пх, пу, %). Для этого случая Uf (г) выражается так:

3

力⑺=(\ Pd叫к« 一咽 + 4~£〈总〉&修(?* -咽+ •••］， (Q)а=1

(VL70)

)xlpdr ) pd>, па = пхах + «у^у + ^z^z-

(О)/ (Q)

Сопоставляя условие на К/ (г) и выражение для Uf (г), находим

▽г。/ (>) ||т-па|-*+т8・

Это условие, в свою очередь, накладывает ограничение на поведение функции / (>, 0, t) при I — па I -> + г0. Из исходного уравнения для этой функции

f + 啖"~^rUt V./ =①(I ◊ D 傷)% exp (—籌 N)

вытекает

Vт/ j|r-na|-*+ro °,，/(*，"，')"°8*

(°0)

Второе условие является условием нормировки, которое должно выполняться для произвольных г и L

Наложим дополнительное условие на функцию ①(| 01) и, как следствие, на / (г, 0,力)；потребуем существования верхней границы спектра скоростей движущихся частиц:

|.|<|г,кр|,字千尸；

указанным требованиям можно удовлетворить одновременно, если f(r,V, 0||r-naH+ro-»0 И / (г, «, t) ||r-na|<r., = 0.

В аппарате статистических функций распределения это позволяет учитывать непроницаемость сфер путем исключения из области интегрирования в пространственных интегралах объема, приходящегося на непроницаемую сферу. Внутри этой сферы устраняются все величины, связанные с движущимися частицами.

В частности, взаимодействия должны содержать обрезывающий параметр так что

a/(^±) = 4nZxZ2e2 'ex 产2?s” sd$・ (VI.71)

Подставив выражение для 叮("丄)в специальную функцию

S(&) =S(&) ="丄 d"j_."丄 d"j_.

S(&) =

S(&) =

"丄 d"j_.

"丄 d"j_.

(VI.72)(VI.72)приходим к двойному интегралуприходим к двойному интегралуS (r 丄)=S (r 丄)=-4nZiZd \lsJs\аieXр(|-〈近〉"1) X ГоО-4nZiZd \lsJs\аieXр(|-〈近〉"1) X ГоО

(VI.72)

(VI.72)

приходим к двойному интегралу

приходим к двойному интегралу

S (r 丄)=

S (r 丄)=

-4nZiZd \lsJs\аieXр(|-〈近〉"1) X ГоО

-4nZiZd \lsJs\аieXр(|-〈近〉"1) X ГоО

X Jo G丄E丄-pp)X Jo G丄E丄-pp)sin "丄 s d"丄,sin "丄 s d"丄,(VI.73)(VI.73)

X Jo G丄E丄-pp)

X Jo G丄E丄-pp)

sin "丄 s d"丄,

sin "丄 s d"丄,

(VI.73)

(VI.73)

являющемуся функцией расстояния Н丄 и двух параметров, г0 И〈近〉.

В излагаемой теории эта функция является основной, она определяет распределение интенсивности внутри пятна на коллекторе от одной подрешетки с номером %• Координаты центров пятен

г^-{тхах+т^^1г^-{тхах+т^^1ТПХ, Tfly = 0,2t 1，zt 2, *ТПХ, Tfly = 0,2t 1，zt 2, *

г^-{тхах+т^^1

г^-{тхах+т^^1

ТПХ, Tfly = 0,2t 1，zt 2, *

ТПХ, Tfly = 0,2t 1，zt 2, *

входящие в выражение аргумента Н丄 функции S (Н丄)

Н丄Н丄1•丄+(2%+2嗚盟1•丄+(2%+2嗚盟

Н丄

Н丄

1•丄+(2%+2嗚盟

1•丄+(2%+2嗚盟

являются точками пересечения осей кристалла с плоскостью кол

KN）0—0,5—4）,2861,5708—0,0822亠0,0432,5H-0,1213,0+U,M24,0+0,1055,0+0,0596,0+0,0327,854+0,01710+0,0103KN）0—0,5—4）,2861,5708—0,0822亠0,0432,5H-0,1213,0+U,M24,0+0,1055,0+0,0596,0+0,0327,854+0,01710+0,0103Таблица 5Значения функции Т（ц）Таблица 5Значения функции Т（ц）новой функции S （Н丄）новой функции S （Н丄）s=卩『近〉广s=卩『近〉广

KN）

0

—0,5

—4）,286

1,5708

—0,082

2

亠0,043

2,5

H-0,121

3,0

+U,M2

4,0

+0,105

5,0

+0,059

6,0

+0,032

7,854

+0,017

10

+0,0103

KN）

0

—0,5

—4）,286

1,5708

—0,082

2

亠0,043

2,5

H-0,121

3,0

+U,M2

4,0

+0,105

5,0

+0,059

6,0

+0,032

7,854

+0,017

10

+0,0103

Таблица 5

Значения функции Т（ц）

Таблица 5

Значения функции Т（ц）

новой функции S （Н丄）

новой функции S （Н丄）

s=卩『近〉广

s=卩『近〉广

лектора. При % = 0 ход функции S （Н丄）определен в § 2 этой главы, В центре пятна и его окрестностях S （Н±） V 0, что указывает на уменьшение интенсивности вышедших из кристалла

частиц по сравнению с интенсивностью диффузионного фона. При г0 = 0 имеет место явление блокировки в направлении кристаллографических осей.

Возникает вопрос: существуют ли достаточно большие значения параметра %, при которых функция S （Н丄）меняет знак и, следовательно, блокировочная кривая «переворачивается» и определяет увеличение интенсивности над фоном в направлениях кристаллографических осей? В этом случае это указывало бы на переход блокировочных лунок в пятна Венера при достаточном увеличении параметра г0. В центре пятна （Н丄=0）

Jo G丄e丄 1r丄=。 1

и внутренний интеграл в полученной сводится к^ специальной функции / （卩）：

Y G；〉切 sin A丄s d/c丄="：,,

（VI.74）

Z（[i） = — \ xe~^ cos 卩胃 dx. .

о

Асимптотическое поведение функции I （卩）при [л -> 0 и оо имеет следующий вид:

/（吁I]/隐卩….（VL75）

Ее значения приведены в табл. 5, а на рис. 13 изображены кривые функций / （卩）и Г （卩）.Как видно из рисунка, функция / （卩） положительна для всех значений 卩〉1,5彳，а ее производная отрицательна для всех 卩己 3.

Значение функции S （Н丄）при R^ = 0 выражается через интегрирование функции Г （卩）с некоторым весом:

.V（0）= -4rtZ1Z2e2（-^|y\\ е—М*Г（卩）印，（VI. 76）

' 丄/Г。（2/5）产

а = % <rl>x2.

На основании этого вида и отрицательности функции Г (卩)при 卩己 3 заключаем, что условием положительности функции S (0) является требование

力己声<4> •

При выполнении этого условия получаем следующую формулу для превышения интенсивности пятна над фоном:

р 黑(％ /)=

00%

=(^协)河*翡，善①⑹我£2(0)〉0. (VI.77)

I Г 1/(% = 1

Таким образом: 1) если в силах взаимодействия между частицами пучка и атомами кристалла доминирующими являются

силы отталкивания, при наличии непроницаемых сфер вокруг атомов кристалла, и 2) если радиус непроницаемых сфер удовлетворяет полученному выше условию, то имеет место не блокировка, а усиление интенсивности частиц на коллекторе в тех местах, которые приходятся на центры лунок.

Доказательство изменения знака интенсивности проведено только для центра пятна (рис. 14), однако оно остается справедливым и в некоторой окрестности этого центра, окрестности достаточно большого радиуса, чтобы играть роль в эксперименте. В самом деле, для этого необходимо, чтобы в интеграле

〈心〉及1） Jо （论丄R丄'I； j ） sin "，s "k丄

функцию* Бесселя Jo （"丄Н丄孔20z/|z|） можно было бы аппроксимировать единицей даже в областях, где ее аргумент отличен от нуля. Это возможно, если эффективная ширина другого множителя в подынтегральном выражении — гауссовой функции

ехр （—%〈「；〉"；）一 будет находиться внутри первого максимума бесселевой функции.

Таким образом, необходимо одновременное выполнение двух неравенств

（；〈近〉户丄〉1, 4丄6Г丄普 W2,405, （VI. 78） что возможно при достаточно малом значении радиуса окрестности вокруг центра пятна 6г丄.

Находим

gw传〈汽〉广瑞.（VI.79）

Полагая （“〈г；〉）"/。％ ~ Ю'1, z ~ 10 см, nz ~ 5, получаем6rL W 0,5 см,

что является достаточным для того, чтобы играть заметную роль в эксперименте.

Что будет происходить при уменьшении радиуса непроницаемых сфер? Как видно из хода функции Г （卩）,значение S （Н丄） будет уменьшаться по модулю, переходя через нуль, и изменит знак при дальнейшем уменьшении г0. Поскольку функция Г （卩） является непрерывной, то процесс изменения величины 5（Н丄） будет происходить непрерывно при уменьшении радиуса г0.

Вычислим прямым образом функцию S （Н丄）для случая малого радиуса непроницаемых сфер

гоу3 （%〈近〉卢，

что соответствует значительным кинетическим энергиям движущихся частиц в кристалле. В этом случае

。, ("丄九一。=(4修必02『e-хЗу嘗 s曲)，/ f單:(VI.80)

и в пределе

S (-R±)|ro->O =

^〈近〉磕"0 G丄R丄警卜丄孤丄.(VI.81)^〈近〉磕"0 G丄R丄警卜丄孤丄.(VI.81)= —4RZiZ2e2j 羽* exp

^〈近〉磕"0 G丄R丄警卜丄孤丄.

(VI.81)

^〈近〉磕"0 G丄R丄警卜丄孤丄.

(VI.81)

Интеграл в (VI.81) принадлежит к типу интегралов Вебера и сводится к неполным цил ин др ическим функциям (см. § 3 настоящей главы):

S (r丄)儿=0 = 2冗2留20乂2s 3, X), (VI.82) где

X = r丄-^十 x,a = %〈近〉乂2.

При этом асимптотическоэ периферии пятна таково:При этом асимптотическоэ периферии пятна таково:поведение в окрестности и наповедение в окрестности и на

При этом асимптотическоэ периферии пятна таково:

При этом асимптотическоэ периферии пятна таково:

поведение в окрестности и на

поведение в окрестности и на

при X —> 0, при X —> 8.при X —> 0, при X —> 8.(VL33)(VL33)

при X —> 0, при X —> 8.

при X —> 0, при X —> 8.

(VL33)

(VL33)

S(a, Х,0)=2a2

I 2еаК0(Х)

Функция S (Н丄)исследована и табулирована в § 2. Она описывает характерную для явлений блокировки ионов «лунку с ореолом».

Результат численного интегрирования функции S (a, X, %) при наличии конечного радиуса непроницаемой сферы

S(a, Х/о) = — ^j e-^d 力、У2е~^^ ^г/ yj-^ sin yt dy (VI.84) ro

представлен в табл. 6 для значений г* = г0 (“〈近〉)-% равных 3 и 0, при a = 0,5.

Численный расчет иллюстрирует полученный выше вывод об изменении знака интенсивности вышедших из кристалла частиц в центре пятен, получающихся на экране.

В итоге теория приводит к заключению, что при непрерывном изменении радиуса г0 непроницаемых сфер в отталкивательном потенциале, зависящем от кинетической энергии движущихся

*Т а б лица 6

Значения функции S(a, X, >()*)

X

S(o,5, X, 3)

X

S(0,5, X, 3)

X

S(0,5, X, 3)

0

0,023

0,8

0,007

2,2

-0,042

0,1

0,023

0,9

0

2,4

—

0,2

0,022

1

—0,004

2,6

—

0,3

0,021

1,2

—(),016

2,8

—0,019

0,4

0,019

1,4

—0,028

—0,009

0,5

0,016

1,6

—

3,5

—

0,6

0,012

1,8

—0,041

3,8

—

0,7

0,010

2

—0,043

4,1

0,017

частиц, пятна Венера переходят в блокировочные лунки при переходе г0 через критическое значение г。~ 3 (%〈「；〉)％•

При этом в обоих случаях полностью сохраняется статистический механизм трансляции частиц через кристалл.

ГЛАВА VII

ПРИМЕНЕНИЕ

НЕЛОКАЛЬНО СТ АТ ИСТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ К ГЕНТ ГЕНОСТРУКТУРНОМУ АНАЛИЗУ КРИСТАЛЛОВ

§ 1. Объединение полей — дифрак ц ионно го для рентгеновск о го рассеяния и статистического для функций распределения атомов в кристалле

Пусть, как обычно, s0 является единичным вектором, направленным по нормали к фронту падающих волн, s — к фронту рассеянных волн.

Разность хода волн, излученных атомом, находящимся с некоторой вероятностью в начале координат, и атомом, находящимся в точке г с другой (или с той же) вероятностью, есть (& — s0)r. Разность фаз между ними будет

-^(8一团)1•三4l，1回=祭2s山也 (VII.l)

Обозначим амплитуду рассеяния волн от одного атома, на расстоянии R от кристалла, через С. В простейшем случае неполяри- зованного излучения

(VH.2)(VH.2)с е2 У1 + сое2 2-0-不

(VH.2)

(VH.2)

c =;尸w0,

meV2R

где 2心一угол рассеяния, R — расстояние точки наблюдения от кристалла, Фо — сила осциллятора соответствующей спектральной линии.

Пусть, далее, / (г, 0,力)一функция распределения, описывающая состояние атомов в кристалле. Плотность вероятности местоположения атомов есть

Р什“)=\…,/)du(VII.3)

(°0)

Амплитуда рассеянного поля от всего кристалла, имеющего объем V, будет

С \ р (>") ехр 业г) dr.(VII.4)

Удобно, для дальнейшего, распространять интегралы по бесконечной области, вводя вспомогательную разрывную функцию а (г)

。6= [0：。6= [0：f匕f匕(VII.5)(VII.5)

。6= [0：

。6= [0：

f匕

f匕

(VII.5)

(VII.5)

тогда амплитуду рассеяния можно выразить так:

С \ р (г, Z) а (г) exp (ikr) dr,(VII.6)

(ос)

Интенсивность излучения определяется через квадрат модуля амплитуды рассеяния волн:

/("") = С2 ^ р(г) р (г') а(г) a (r') exp [ik (г — ”)] d丁 dr', (VII.7) (8)

или, вводя новые переменные интегрирования

”—乎=х, dr' = dX,

' '(VII.8)

0 =(偽)"'+嚣2' ф0， p ⑴)=\ / (L，0,0df■

(8)

Присоединяя к этим формулам основное уравнение для функции распределения (1.7), мы учитываем наряду с функцией распределения, описывающей положение и скорости атомов в кристалле, дифракционное поле, характеризующее интенсивность рассеяния в точке наблюдения, далеко отстоящей от кристалла. В объединении этих полей не учитывается обратное влияние излучения на функцию распределения атомов в кристалле.

Объединенные уравнения представляют замкнутый аппарат для теоретического анализа рентгенограмм.

Перейдем к рассмотрению двух, взаимно исключающих друг друга, следствий.

1. Объединенные уравнения содержат в себе классическую теорию дифракции рентгеновских лучей кристаллами.

В первой главе мы узнали, что при известных условиях функция распределения как одно из решений исходного уравнения описывает состояние частиц, характеризующееся локализацией в пространстве координат, скоростей и времени:

/ (»•, 0, /)=』6 (?♦ — >” (/)) 6(0 — 0” (/)). (VII.9)

Центры тяжести дельта-функций находятся в точках

>n (方)—^*П (。)+ ^П (方)，

(i).

0tt (力)- 不-^n (力)，

где векторы r« (0) проведены к узлам решетки:

гп (0) = nd, nd = %1厶 + nad2 + 加3dз,

仆，&г, % = 0, ±1, ±2, • • п =(孔° 孔2, /),

и ип (力)обозначает величины смещения атомов относительно узлов. В гармоническом приближении из основного уравнения получаются механические уравнения движения

где упругие коэффициенты представляют собой вторые производные потенциальной энергии взаимодействия частиц

UaB(m,m‘)=UaB(m,m‘)=林0mf Io，林0mf Io，

UaB(m,m‘)=

UaB(m,m‘)=

林0mf Io，

林0mf Io，

индекс 0 означает, что они берутся в посмещоппых положениях. Для плотности вероятности местоположения атомов имеем

Р(М)=』3{?・一 [,•”(()) + «„(/)]}.

Подставляя это выражение в формулу для интенсивности, получаем информацию о рассеянии в локальной модели кристалла:

/ (左,力)=e2 2』eхp {- Ik \pn (0) - T(0)]-洗 f^n (力)-nnf (方)]}。

(VII.10)

В общепринятом подходе требуется усреднение (VII.10) по времени для получения сведений о влиянии на рассеяние теплового движения атомов кристалла. Доказывается, что в известном приближении [34]

eхp {- 旅［跳；（力）一现從（力）/}=eхp {- 旅［跳；（力）一现從（力）/}=

eхp {- 旅［跳；（力）一现從（力）/}=

eхp {- 旅［跳；（力）一现從（力）/}=

成7 = {友也"上)-""，(/)}}" = 2М, m =自符-Sid生

При этом

尸〜e-2M.(VII.И)

Фактор М (фактор Дебая — Валлера) определяет уменьшение Интенсивного дифракционного рассеяния в зависимости от средней амплитуды колебаний атомов около узлов решетки, длины волны X и угла рассеяния 心.При этом максимумы двойной суммы возникают при наличии определенной связи между вектором рассеяния " = —jj— (& — s(j) и вектором обратной решетки

Za = (厶,•^,为-^-,为-^"),厶,为4 = 0, 土 1,土2,…

В точках дифракционных максимумов соблюдается условие Брегга — Вульфа: к = Za.

Классическая теория правильно передала основные черты явлений дифракции рентгеновских лучей, а именно

дала объяснение положения главных дифракционных максимумов;

объяснила основную особенность влияния температуры на главные максимумы: температура уменьшает амплитуду главных максимумов, не изменяя их положения и их ширину;

привела к объяснению наличия слабых диффузных максимумов, исходя из механической природы теплового движения.

Однако с точки зрения нелокально-статистической теории переход к локализации в условиях кристалла практически невозможен, так как нельзя удовлетворить основным условиям локализации частиц, которые рассматриваются в первой главе.

Наличие общей природы изменения как главных максимумов в зависимости от температуры, так и диффузных, обусловленных доплер-эффектом на упругих волнах, трудно считать экспериментально строго доказанным, несмотря на то, что каждый из эффектов в отдельности и существует.

Эксперимент приводит к наличию так называемых «штабов» при изображении картины рассеяния в пространстве обратной решетки, после облучения некоторых кристаллов нейтронами. Появление «штабов» не получило последовательного объяснения с классических позиций.

Рассмотрим дифракционное поле с точки зрения нелокальностатистической теории.

В условиях стационарного состояния кристалла (df/dt = 0) и независимости распределений частиц по координатам и скоростям (/ = р (r)w (р2)), в случае наличия трансляционной симметрии (р (г) = р (г + и1dl + п2^2 + 乳3dз)), решение для вероятности местоположения центров атомов выражается так:

р (>)=』а『exp (liar),

(см. гл. II).

Строгая периодическая структура кристаллов не нарушается наличием температуры, изменяются только амплитуды гармоник ряда Фурье

р(г) = 3ai(9) exp(iZar),

но некратные гармоники не появляются.

В этом состоит одно из существенных отличий нелокальной теории кристалла от классической теории.

Непрерывность местоположения атомов в кристалле не требует временного интервала, обеспечивающего усреднение,— оно обусловлено первичностью понятий непрерывных функций распределения, которое не связано с каким-либо усреднением по времени, пространству или начальным условиям. В этом пункте также существует важное отличие от классической теории.

В связи с имеющейся разницей локального и нелокального способов описания поведения атомов в кристалле возникают следующие задачи:

Приводит ли нелокальное понимание механизма теплового движения частиц к объяснению уменьшения главных дифракционных максимумов по закону (VII.И), который получен Дебаем — Баллером в рамках общепринятой теории?

К какому результату приводит учет акустических «шумов» в нелокальной теории? Акустические колебания в этой теории приводят к пространственной модуляции акустических волн, не имеющей места в теории механических колебаний (см. главу IV);

/ = /о (僞0)+屮⑴⑴，0,力)，I屮⑴I < %,

屮⑴(储%方)=epi*1'多瓦(叫p)eмa,

где связь р =庙一丫 с | к | описывается дисперсионным уравнением

£ (I " I，Р)= 0.

Объясняет ли учет «шумов» подобного вида особенности диффузных максимумов и их анизотропию?

Одним из характерных отличий нелокальной модели кристалла от классической динамической теории решетки является существование решеточно-нитевидных и решеточно-пластинчатых структур —— равноправных решений в сравнении с троякопериодическими решениями статистических уравнений. Эти структуры являются состояниями возбуждения кристалла. Имеют ли они отношение к явлению «штабов», получающихся при возбуждении кристаллов быстрыми заряженными частицами?

Рассмотрим возникающие вопросы.

2. Условия Брегга — Вульфа, фактор Дебая — Валлера и диффузное рассеяние в нелокальной модели кристалла

Формулу для дифракционного поля (VII.8) при учете периодического распределения в пространстве плотности вероятности местоположения частиц

р(г) = За« (G)eilar

можно записать так:

/(") = ,名叫,\ "*)Х[§ ei (Ca+i^ ra ^ a(r + X) dr] dX.

(VII.12)

Введем вспомогательную функцию [34]

Q(X)= J o(r)o(r + X)dr,(VII.13)

(°0)

где

f 1, еслиX

a(r)a(r + X) =

—[0, если >, > + X V.

Функция Q (X) отлична от нуля только в общих точках сдвинутых объемов всего кристалла на вектор X и обладает свойствами

Q(x)= |o,Q(x)= |o,|X|f о,|X|〉|Xmax 卜|X|f о,|X|〉|Xmax 卜(VII.14)(VII.14)

Q(x)= |o,

Q(x)= |o,

|X|f о,

|X|〉|Xmax 卜

|X|f о,

|X|〉|Xmax 卜

(VII.14)

(VII.14)

Интенсивность рассеяния можно записать в виде

I^^C^ atat^ e^l，a^ xdX J е^1а^г(1г, (VII.15) 1,1(8)С(Х)

где

=\ Р 切)П ехр(二 2" У J(VII.16)

Формула (VII.15) для интенсивности получена без усреднения по времени, поэтому она указывает на строгую когерентность дифракционного поля даже при 0 =# 0, чего нет в классической теории.

Формула включает информацию о параметрах кристалла, содержит границы кристалла через посредство функции Q (X) и зависит от температуры.

Воспользуемся 6-образным характером интеграла

\ ег (1а+Га) г^г

П(Х)

при малых значениях сдвига X (Q (X) -> 7):

\ eia+^rd^pQsM'Ba(VII.17)

a(X)

Используя это выражение, имеем

』卅 \ e“s+『a)『协Q』寄Q(X)Mx，a = aT，S"X)・ (VII.18)

Формулу для интенсивности I (А) можно записать так:

/侔)=02,展一寄，§ e"订4)xQ(X)dX =

'(8)

= С2?|а*『\ о ⑺ еТ(『*)「切 \ o^ + XbWggSRdX —

=c^^\аu^^ \ 0(>)6北丄'叶左)以>] (VII.19)

Рассмотрим кристалл в виде параллелепипеда:

В этом случае

)а (г)e^l，a^rdr = ) ^^，a^rdr.

У

Выражение для дифракционного поля принимает простейшую форму:

зKji^CW^a^ [Jа=1зKji^CW^a^ [Jа=1^l(laaa+ka)Nada/2]%+ %%)ma(2户^l(laaa+ka)Nada/2]%+ %%)ma(2户(VII.20)(VII.20)

з

Kji^CW^a^ [J

а=1

з

Kji^CW^a^ [J

а=1

^l(laaa+ka)Nada/2]

%+ %%)ma(2户

^l(laaa+ka)Nada/2]

%+ %%)ma(2户

(VII.20)

(VII.20)

В качестве следствий этой формулы получаем:

Выполнение условий Брегга — Вульфа для положения максимумов интенсивности /("). В точках максимумов

max/(fc) = Ca7a3|at|a6la+k

имеем fc = — Za, что и является указанным условием. При этом ширина дифракционных максимумов всецело определяется размерами кристалла:

в случае М》1.

Фактор Дебая — Воллера 6 нелокальной теории. Интенсивность в центре дифракционных максимумов есть квадрат амплитуды разложения в ряд Фурье плотности вероятности местоположения центров атомов в кристалле и дается формулой

р(г)=

где

(Q)a=l “

Воспользовавшись условием Брегга — Вульфа, имеем

F等〈或〉=毎依=(學2sin^

таким образом,

W F =[姦(，Р协ГТ ехр (-sin2^),(VII.21)

(С)

где показатель степени точно соответствует фактору Дебая — Валлера в классической теории.

Итак, два различных представления о механизме температурного движения атомов в кристалле приводят к одному и тому же результату. Однако эти представления требуют разных исходных предпосылок и различия точности измерения во времени рентгеновского излучения, поэтому в принципе два описания должны быть различимы с точки зрения эксперимента.

Классическое представление получается после усреднения по времени, нелокальное же правомерно для сколь угодно малых времен. Исследование коротких рентгеновских импульсов (меньших периода колебаний атомов) могло бы, возможно, привести к правильности только одной из теорий.

Заметим, что влияние температуры только на амплитуду дифракционных пятен, а не на их ширину, находит в нелокальной теории более непосредственное объяснение, чем в классической теории.

Температура в нелокальной теории не изменяет строгой периодичности кристалла, а изменяет только величины амплитуд в фурье-разложении периодической функции для р (г).

Перейдем к рассмотрению влияния «шумов» на дифракционное рассеяние рентгеновских лучей в нелокальной модели кристалла.

«Шумы» акустического происхождения обусловлены суперпозицией продольных волн вида (см. гл. IV, § 4)

6р (г, 0 = е'з^Кг』瓦(应)声叫

Характерный интеграл в формуле интенсивности (VII.8) имеет вид \ (р (г) + 6р(г, О)(р(^' + х, /) + 6р (г + X, /)) 0 (г) Ст (г + X) х

(8)

X eikxdr.

Используя выражение

р (г) +6р (г,力)=^aieilar +』瓦，(")е"『а5)т,

6 А. А. Власов

рассматривая акустические волны в адиабатическом приближении и ограничиваясь членами первого порядка, получаем следующую добавку к интенсивности, обусловленную амплитудами bi (fc):

6/(4) = 0毁非血，(初/+州盘、 炉(『a+"a-") т@炉卜

+ avbi (fc)、&«'a+K)xdx J #с，а+&，5)нМ.(VII.22)

Выявим волновые числа в спектре акустических волн, имеющие максимальное влияние па интенсивность рассеяния 6/("). Условием этого будет требование

Z'a + Za — fc = 0.

Заменяя для 6/ (fc) сумму волновых векторов повой суммой в первом члене

Z'a — к + А? —> — Za + 7с,

во втором члене

Z'a + <fc = — Za + <fc + 7c

siMKQ —%%)"/./21 I l% — //a)MA/2]2—十siMKQ —%%)"/./21 I l% — //a)MA/2]2—十и идя прежним путем, получаем шах 6/® =

siMKQ —%%)"/./21 I l% — //a)MA/2]2—十

siMKQ —%%)"/./21 I l% — //a)MA/2]2—十

叩222卜也,(应)□

(VII.23)(VII.23)_з sig(* 一厶%+ %)n儿/2]

(VII.23)

(VII.23)

-[-(ifbi (A?) TTг

a=l 【(也一//a + Q)YA/2]?

(Га = — Za + к).

В этом выраукопии первый член имеет максимумы в точках, удовлетворяющих условию Брегга для педеформировапиого кристалла:

7c = Za.

Второй член имеет максимумы при новых значениях волнового числа

“ =—

Приводим к следующим результатам:

Учет «шумов» в нелокальной модели криста开ла приводит к сплошному ореолу вокруг основных дифракционных пятеп,

соответствующих условию Брегга, так как волновое число упругих воли I к I практически пробегает непрерывный спектр значений.

Существование диффузного ореола получается более последовательно и при меньшем числе 'ограничивающих допущений, чем в классической теории.

Радиус диффузного ореола в пространстве волновых чисел меньше периода обратной решетки:

max Д I fc — ^а I = max | fc | < 2n/d

для случая «шумов», в спектре которых слабо возбуждены гиперзвуковые волны, и превышает период обратной решетки для обратного случая.

Диффузный ореол зависит от длины волны рентгеновских лучей и температуры, но более сложным образом, чем это следовало бы при переносе фактора Дебая — Валлера на диффузные максимумы, так как коэффициенты а『и 瓦 в максимумах интенсивности зависят по-разному от волнового вектора к:

^1,aa-Za+" a-"， 仇а -b"+"，

Диффузный ореол вокруг основных пятен в большей мере анизотропичен, чем брегговские максимумы, вследствие дополнительной зависимости коэффициентов bi от направления звуковых волн и зависимости дисперсии от анизотропии кристалла.

В классической теории кристалла анизотропия при абсолютном нуле температуры отсутствует, при 0=#О имеет одну природу как для главных, так и для диффузных максимумов.

В нелокальной теории анизотропия имеется для главных максимумов и дополнительная — для диффузных.

3. Теоремы о «штабах»

Наиболее отчетливые экспериментальные результаты о «штабах» получены на кристаллах LiF, подверженных облучению нейтронами (с интенсивностью 1,5-1017—1019 нейтрон!с^).

В этих кристаллах содержится приблизительно 7,5% атомов Li* ядра которых участвуют в ядерной реакции

Li6 + 鼠 _> Не4 (2,1 Мэв) + Н3 (2,7 Мэв).

Результаты дифракции рентгеновских лучей после облучения нейтронами этих кристаллов приводят к следующим выводам:

После перево/1,а дифракционной картины в пространство обратной решетки, кроме главных дифракционных пятен,

расположенных в точках

(。1, 0室 03)= f-^-,(。1, 0室 03)= f-^-,"1, ”2, “3 =。，土 1, 土 2,...,"1, ”2, “3 =。，土 1, 土 2,...,(厶旬)；("2a2)； ("3a3)； 2л

(。1, 0室 03)= f-^-,

(。1, 0室 03)= f-^-,

"1, ”2, “3 =。，土 1, 土 2,...,

"1, ”2, “3 =。，土 1, 土 2,...,

появляются перемычки в виде прямолинейных штрихов, расположенных в одном направлении и проходящих через несколько главных пятен. Подобные перемычки называются «штабами». Если I (fc) обозначает интенсивность внутри «штабов», то в идеальном случае узких, строго прямолинейных «штабов», с одинаковой интенсивностью вдоль прямых, можно считать, что

~ 6 (自一厶a1).(VIL24)

Замечено, что повышение температуры кристалла способствует увеличению протяженности штабов.

Зафиксированы не только штрихи, но и плоскостные следы в обратной решетке, составляющие одномерную периодическую структуру с периодом между плоскостями, равным 2п/%, если плоскости направлены вдоль осей 22a2, %。3・ Можно считать, что в этом случае

д!(砌6篇=0,/他丄)~ 6 (友一旬4)6 (& 一做切.(VII.25)

Теорема 1. Специальная форма трехмерных кристаллитов (дискообразная или игольчатая) не может быть причиной образования «штабов».

Неоднократно высказывалось предположение, что под влиянием облучения в монокристаллах возникают блоки неоднородностей в виде дисков или игольчатых кристаллических уплотнений (или разряжений), дифракция на которых и приводит к появлению протяженных рефлексов типа «штабов».

Предположим, что появившийся кристаллит имеет форму параллелепипеда, который может быть сжат или вытянут, смотря по значению числа кристаллических периодов, в разных направлениях.

Тогда формула в нелокальной теории для интенсивности рассеяния имеет вид

0 ® sin2 一心)/%/2]

V = N\d\・Nz%N 小, (VII.26)

你=^hT(\Р")口 exp(一 2" ：「" )，4=筝(8 - 8。), 厶& =子-〃， 2a = 0, 士 1, 土 2,一•

Дифракционные максимумы функции I (fc) имеют место при выполнении условия Брегга — Вульфа 自=Zaaa, a = 1, 2, 3.

Выясним, в каком случае могли бы появиться «штабы» двух измерений в виде штрихов, соединяющих дифракционные пятна в пространстве обратной решетки. На штрихах должно соблюдаться условие

6/ (右)/6储=0, I (fc)丰 0,

если штрихи параллельны оси к3.

Из формулы для I ㈣ видно, что для этого необходимо

/м d )2 sin? [(〃з + »з〃з) “3呢/2] _ г / о(”3甸[(禽 + 2з〃з) N3dз/2]2 - const ' и

при произвольных значениях Л3, по это невозможно ни при каких значениях параметра N3, включая предельное значение 7V3 оо и N3 -> 0.

Теорема 2. Акустические шумы в трехмерном кристалле могут быть причиной образования «штабов», однако при этом требуются исключительные условия.

Рассмотрим рассеяние, обусловленное акустическими «шумами», типа

^e^ikr^bl ^eilar

и именно ту часть в интенсивности рентгеновского рассеяния, которая приводит к диффузным максимумам. Обозначим эту часть через 62 / (")：

G 〜 з sin2 [(к — 7 а, — Лг/) NadfJ2\

62/(fc) = CW』ai瓦㈣ 口 J “ "匕 2 - •(VIL27)

应,t/ KQ -— %)"儿/2]

Для существования «штабов» двух измерений необходимо

8к3 |любые 依8к3 |любые 依=0 при 6?/便)=# О,=0 при 6?/便)=# О,

8к3 |любые 依

8к3 |любые 依

=0 при 6?/便)=# О,

=0 при 6?/便)=# О,

(VII.28)(VII.28)в акустическом спектре которой удовлетворяет0в акустическом спектре которой удовлетворяет0

(VII.28)

(VII.28)

в акустическом спектре которой удовлетворяет

0

в акустическом спектре которой удовлетворяет

0

что требует одновременного соблюдения двух условий：

=°, любые 融=°, любые 融% @ 8 sin?[(儿3 ——》з«з —— 石з) N3dз/2]°"з[(儿3 —)з〃з — 后 3)N3dз/2]?

=°, любые 融

=°, любые 融

-^- [йк-labl (Й!)]любые 检=°・

Первое требование выполнимо, если найдется гармоника, волновой вектор условию

"3 + "3。3 - "3 =

при произвольном значении % Это условие требует существования гиперзвуковых частот в спектре шумов. Если оно выполняется, то в формуле для интенсивности рассеянного излучения появляются резонансные члены, которыми можно было бы объяснить появление «штабов», одпако при соблюдении условий:

амплитуды гиперзвуковых частот должны быть того же порядна, как и звуковых частот;

требуется постоянство амплитуд для всего диапазона гиперзвуковых частот.

Рассмотрим сначала второе условие. Ввиду независимости амплитуд at и Ь『оно представимо в виде

-2 兀(klgy〈ос；〉

■^" a/cim = —4n2 (&з — 2заз)〈а；〉еJ = О, (VII.29)

любые кз

dbi (fc)/^^3 = 0, "з + %。3 —储=。・

Условие на амплитуды недеформированного кристалла выполнимо только асимптотически — при температуре абсолютного нуля:

&〉Т 0.

Теорема 3. Дифракция на возбужденных состояниях кристалла в виде нитевидных и пластинчатых структур

приводит к появлению новых «точечных» рефлексов в пространстве обратной решетки.

дает естественное объяснение《штабов» при учете шумов в виде поверхностных волн в нитевидных и пластинчатых структурах.

Распределение плотности вероятности местоположения центров атомов в возбужденных состояниях кристалла определяется формулами

百少丄),0⑺=』仰丄e "丄м丄，$a步%

при этом периоды решеток для трех состояний кристалла и энергия связи, рассчитанная на один атом, различны：

(d : W ： 0 = (1,066 : 1,025 : 0,986),

(е : е : е) = (—2,84: — 2,71： — 1,89)

(см. II и III главы).

Возбужденные структуры характеризуются, кроме того, более сильной анизотропией шумов в сравнении с трехмерным кристаллом. Природа волн, изменяющих вероятности местоположения атомов в двух крайних случаях распространения — перпендику-

лярно структурам и вдоль структур,— различна. В первом случае плотность вероятности описывается модулированными (объемными) продольными волнами

6р (丁丄")=产一'"丄』加丄(瓦)丄

с законом дисперсии е (со, А) = 0, полученным в главе IV.

При распространении возмущений вдоль возбужденных структур возникают поверхностные волны (симметричные и антисимметричные).

О дисперсионном уравнении поверхностных волн в нитевидных структурах информацию можно получить, исходя из уравнения для моментов функции распределения:

传 + "證)"人=一^ 六时-4-%/(储’)，(VIL30) 曾入卩= \ c^fdv, c = v — и,

(8)

U (r,t) = ^ К (\r — rf \ ) f (r\ 0“) d“d”

В равновесную конфигурацию, характеризуемую уравнениями

以=0, 沪釈=Ро&м

Ро ⑺=С ехр [— ^ \ х (I г — r; I) р0 (тЭ 协'],

(8)

введем вектор смещения среды |, полагая

自(％С) =睁)e『 "=鲁+("刃自〜需， (VII.31)

Это возмущение вызовет изменение в плотности, тензоре натяжений и молекулярном потенциале:

Р = Ро ⑺ + 6р 俨,/),恥(Л = W机(г) + 6恥!Л 少“)，(VII.32)

U = U0(r) + ?>U (М).

Умножая исходное уравнение для моментов на 厶 и интегрируя по всему объему рассматриваемого образования, получим

一 ^炉m 、 PJ2协=^ 、 厶[崙一 mg 器+ mp 赛]dr.

(VII.33)

Можно показать, что правая часть выражается через изменение потенциальной энергии системы, так что дисперсионное уравнение

для поверхностных колебаний приобретает простой вид [35, 36]:

со2со2tn j ^drУtn j ^drУ(VII.34)(VII.34)

со2

со2

tn j ^drУ

tn j ^drУ

(VII.34)

(VII.34)

Потенциальную энергию поверхностных волн подсчитаем аналогично тому, как это сделано в главе III, вводя для малых расстояний внутри сплошных нитей экранированный потенциал сил отталкивания. Тогда

»=^ ?п7?^р0 m家 + 4nGp0Zn U乂2 +福К) кп (у^ + 方飘)],

(VIIL35)

где R ——эффективный радиус нитей, ^0 ——амплитуда поверхностных волн, "з — волновое число поверхностных волн, р0 — средняя плотность структур до деформации, 乂-丄一радиус экранированного потенциала, К ——глубина потенциальной ямы, в которой находится рассматриваемая нить,

f л/2, если 办卢 О,(л, если и = О,

G — амплитуда экранированного потенциала. Существование шумов с непрерывным спектром частот обеспечивается дисперсионным уравнением, так как для произвольных А3 и и 6W〉0.

Рассмотрим сначала интенсивность дифракционного поля от нитевидных структур без наличия шумов. Если длина нитей равна то

7体）=拆2』aj п"丄a=17体）=拆2』aj п"丄a=1Sт2[(厶а丄a一儿丄a)%%/2]Wa“U —〃丄 а)"сА/歼—Sт2[(厶а丄a一儿丄a)%%/2]Wa“U —〃丄 а)"сА/歼—V = Nтi • N2d2 ♦ L§.V = Nтi • N2d2 ♦ L§.「siW⑸质⑵]「的工3/2)2」'(VII.36)「siW⑸质⑵]「的工3/2)2」'(VII.36)

7体）=拆2』aj п

"丄a=1

7体）=拆2』aj п

"丄a=1

Sт2[(厶а丄a一儿丄a)%%/2]

Wa“U —〃丄 а)"сА/歼—

Sт2[(厶а丄a一儿丄a)%%/2]

Wa“U —〃丄 а)"сА/歼—

V = Nтi • N2d2 ♦ L§.

V = Nтi • N2d2 ♦ L§.

「siW⑸质⑵]

「的工3/2)2」'

(VII.36)

「siW⑸质⑵]

「的工3/2)2」'

(VII.36)

Замечаем следующее: 1) ширина рефлексов в направлении оси Z3a3 весьма мала, так как

Констатируем, однако, что само наличие сплошных нитевидных (и пластинчатых) структур не приводит к протяженным рефлексам, которые можно было бы отождествить со «штабами».

Имея в виду последний вывод, перейдем к выяснению влияния «шумов» в возбужденных структурах на рентгеновское рассеяние.

Рассмотрим наиболее типичные случаи «шумов» в нитевидных структурах: звуковые волны, распространяющиеся нормально к нитям, и поверхностные волны вдоль нитей. Имеем

p (r) + 6p⑺=*例/阿丄1•丄+ »e-3』b (否户"也Г丄+ ‘丄*3"丄

+』e-保丄Т丄』%г± (瓦)声吗)丄Т丄，(VII.37) 应丄丄

где 匕粧丄("з) и bm丄("j_) — амплитуды поверхностных и продольных возмущений с волновыми векторами "з и 右丄.

Подставляя эти выражения в исходную формулу (VII.8) для интенсивности дифракционного поля, в которой еще не специализирован тип структур,

Цк) = С^^ [р (г) + 6р (г)] [p(r + X) + 6р (Г + X)] х

；X [и (г) а (г + X)\eiHXdr dX,(VII.38)

получим шесть групп интегралов. Комбинации амплитуд

Р (丁) 6р (г + X), р (г + X) 6р (г),

каждая из которых содержит по две группы членов соответственно поверхностным и продольным «шумам», не приводят к появлению рефлексов, которые можно было бы сопоставить со «штабами».

Например, в группе, содержащей поверхностные «шумы» в нитевидных структурах, с амплитудами Ьп± (&з),

6厶(友)=(?』aitbn.dx

‘丄，"丄丄丄威

X 、理⑷丄一底"z+("G丄h•切+ 0 3你丄%丄X n(Х)‘丄，"丄

X \ e'WG丄+修X dX \ ei[(ia)±+(na)±-fc,nz]r dr； (vil.39)

a(x)

интегралы имеют максимальное значение, если соблюдаются условия

(%а)丄 + (ш0 丄=0, к3 = 0.

При этом зависимость обеих сумм (VI 1.39) от компоненты волнового вектора 储 рентгеновского излучения не исчезает.

В этом случае оставшиеся интегралы принимают вид、/К”。)丄+k]Xq(X)dX = \^ ”М丄+%財2 =В этом случае оставшиеся интегралы принимают вид、/К”。)丄+k]Xq(X)dX = \^ ”М丄+%財2 =2=па—12=па—1Vsin2 {[(”〃)丄& + QI N/a/2} siW (腺LJ2)Vsin2 {[(”〃)丄& + QI N/a/2} siW (腺LJ2){[(”〃)丄a + Q) N/a/2}2(k3L3^{[(”〃)丄a + Q) N/a/2}2(k3L3^7%(VIL40)7%(VIL40)откуда следует, что при произвольных значениях А3@6厶(")/泌з =# 0при 6厶(А?) =# 0;для объяснения же «штабов» требуется况：[')I =опри 6厶(左)*0.дк3 Iлюбые “L，Рассмотрим интегралы, содержащие квадраты амплитуд поверхностных шумов:fi/e(fc) = C2』％丄篠3叫，匐 \ e"五"z+5”)丄+"%Х X"丄，"i"丄 У)откуда следует, что при произвольных значениях А3@6厶(")/泌з =# 0при 6厶(А?) =# 0;для объяснения же «штабов» требуется况：[')I =опри 6厶(左)*0.дк3 Iлюбые “L，Рассмотрим интегралы, содержащие квадраты амплитуд поверхностных шумов:fi/e(fc) = C2』％丄篠3叫，匐 \ e"五"z+5”)丄+"%Х X"丄，"i"丄 У)*\ /[-焉州z+⑺a)丄一к唄+(Wa)丄行d竽.П(Х)Второй интеграл имеет максимальное значение при(т^а)丄 + (?!■ a)丄—=0，"з + &0,Используя их, имеемS/e(fc) = C2(^i^2^3)2 £ 力"丄(焉)Ь"丄(一友)X*\ /[-焉州z+⑺a)丄一к唄+(Wa)丄行d竽.П(Х)Второй интеграл имеет максимальное значение при(т^а)丄 + (?!■ a)丄—=0，"з + &0,Используя их, имеемS/e(fc) = C2(^i^2^3)2 £ 力"丄(焉)Ь"丄(一友)X(VII.41)(VII.41)условияхусловиях"丄，к3ГГ Sin2 {[%-("a"a]Nadg/2} sin? [% 一 ％)厶/2]£ {% - (fa】 NR% [(k3-k3)L3/2y"丄，к3ГГ Sin2 {[%-("a"a]Nadg/2} sin? [% 一 ％)厶/2]£ {% - (fa】 NR% [(k3-k3)L3/2y(VII.42)(VII.42)откуда следует, что если в спектре поверхностных волн существуют волновые числа, удовлетворяющие требованиюоткуда следует, что если в спектре поверхностных волн существуют волновые числа, удовлетворяющие требованию=0,=0,то условия появления «штабов» выполняются, так как при этомто условия появления «штабов» выполняются, так как при этом9&IeW о I8"з Iлюбые ks9&IeW о I8"з Iлюбые ksпри 67e(fc)=/=0.при 67e(fc)=/=0.

В этом случае оставшиеся интегралы принимают вид

、/К”。)丄+k]Xq(X)dX = \^ ”М丄+%財2 =

В этом случае оставшиеся интегралы принимают вид

、/К”。)丄+k]Xq(X)dX = \^ ”М丄+%財2 =

2

=п

а—1

2

=п

а—1

V

sin2 {[(”〃)丄& + QI N/a/2} siW (腺LJ2)

V

sin2 {[(”〃)丄& + QI N/a/2} siW (腺LJ2)

{[(”〃)丄a + Q) N/a/2}2(k3L3^

{[(”〃)丄a + Q) N/a/2}2(k3L3^

7%(VIL40)

7%(VIL40)

откуда следует, что при произвольных значениях А3

@6厶(")/泌з =# 0при 6厶(А?) =# 0;

для объяснения же «штабов» требуется

况：[')I =опри 6厶(左)*0.

дк3 Iлюбые “L，

Рассмотрим интегралы, содержащие квадраты амплитуд поверхностных шумов:

fi/e(fc) = C2』％丄篠3叫，匐 \ e"五"z+5”)丄+"%Х X

"丄，"i"丄 У)

откуда следует, что при произвольных значениях А3

@6厶(")/泌з =# 0при 6厶(А?) =# 0;

для объяснения же «штабов» требуется

况：[')I =опри 6厶(左)*0.

дк3 Iлюбые “L，

Рассмотрим интегралы, содержащие квадраты амплитуд поверхностных шумов:

fi/e(fc) = C2』％丄篠3叫，匐 \ e"五"z+5”)丄+"%Х X

"丄，"i"丄 У)

*\ /[-焉州z+⑺a)丄一к唄+(Wa)丄行d竽.

П(Х)

Второй интеграл имеет максимальное значение при

(т^а)丄 + (?!■ a)丄—=0，"з + &0,

Используя их, имеем

S/e(fc) = C2(^i^2^3)2 £ 力"丄(焉)Ь"丄(一友)X

*\ /[-焉州z+⑺a)丄一к唄+(Wa)丄行d竽.

П(Х)

Второй интеграл имеет максимальное значение при

(т^а)丄 + (?!■ a)丄—=0，"з + &0,

Используя их, имеем

S/e(fc) = C2(^i^2^3)2 £ 力"丄(焉)Ь"丄(一友)X

(VII.41)

(VII.41)

условиях

условиях

"丄，к3

ГГ Sin2 {[%-("a"a]Nadg/2} sin? [% 一 ％)厶/2]£ {% - (fa】 NR% [(k3-k3)L3/2y

"丄，к3

ГГ Sin2 {[%-("a"a]Nadg/2} sin? [% 一 ％)厶/2]£ {% - (fa】 NR% [(k3-k3)L3/2y

(VII.42)

(VII.42)

откуда следует, что если в спектре поверхностных волн существуют волновые числа, удовлетворяющие требованию

откуда следует, что если в спектре поверхностных волн существуют волновые числа, удовлетворяющие требованию

=0,

=0,

то условия появления «штабов» выполняются, так как при этом

то условия появления «штабов» выполняются, так как при этом

9&IeW о I

8"з Iлюбые ks

9&IeW о I

8"з Iлюбые ks

при 67e(fc)=/=0.

при 67e(fc)=/=0.

Таким образом, поверхностные шумы вдоль нитевидных (и аналогично вдоль пластинчатых) структур образуют рефлексы, которые можно отождествить со «штабами».

Остается выяснить возможность физической реализации полученного условия.

Если ф ——угол рассеяния, отсчитываемый от нитевидных структур, то

= -гcosq)= — cos ф；^рентгс

при этом волновое число поверхностных волн в нитевидных структурах есть

"з = 0)/% = 2 л/Хд0В.

Для реализации равенства 储=Л3 необходимо

сссосо”®”®сосо'рентг'рентг^пов^пов《1・《1・(VII.43)(VII.43)

с

с

со

со

”®

”®

со

со

'рентг

'рентг

^пов

^пов

《1・

《1・

(VII.43)

(VII.43)

Заключаем, что полученное неравенство практически всегда выполнимо.

Резюмируя содержание этой главы, заключаем:

получено объединение двух полей — дифракционного для рентгеновских лучей и статистического для вероятностей местоположения и скоростей атомов в нелокальной модели кристалла. Это объединение дает новый теоретический аппарат для рентгеноструктурного анализа кристаллов;

показано, что основные результаты общепринятого подхода (условие Брегга, наличие фактора Дебая — Валлера, существование диффузных максимумов) вытекают также и из нелокальностатистической теории. Тем не менее, имеются принципиальные возможности различия физических условий, при которых эти результаты являются правомерными;

показано, что объяснение рентгеновских рефлексов в виде так называемых «штабов» в общепринятом подходе не представляется возможным;

появление «штабов» получает естественное объяснение при учете шумов в виде поверхностных волн в нитевидных (и пластинчатых) структурах как состояний возбуждения кристалла.

ГЛАВА VIII

ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ИОНОВ В ХОЛОДНОЙ ПЛАЗМЕ ЧЕРЕЗ ПРОМЕЖУТОЧНУЮ СИСТЕМУ (НЕЙТРАЛЬНЫЙ ГАЗ} *

МатричныЗ элемент взаимодействия через промежуточную систему

Рассмотрим поведение ионов, находящихся в нейтральном газе и взаимодействующих с полем акустических волн в газе.

Уравнение Шредингера для двух ионов, совместно с акустическим полем, имеет вид

(% + Я2 + Нз + 匕3 + 几з) 2 (1, 2, 3)=访 а吗广 3).,

(VIII.1)(VIII.1)卩13 = \ к (旧—^31) 6pt 夕3)协3,卩23 = \ К (I 小一△ I) St 少3)dr3,M ⑺=』6pqe-X+y

(VIII.1)

(VIII.1)

Здесь К i\r — rl \) — энергия взаимодействия иона, находящегося в точке г, с атомом в точке 丁'； 6Pt (г) ——изменение плотности нейтрального газа под влиянием акустических волн, представленное рядом Фурье.

Исходное описание не учитывает взаимодействия ионов с фоном нейтрального газа. В нелокально-статистической теории фон описывается пространственно-однородным распределением нейтральных атомов. Как мы видели в главе I, это распределение

f(r, 0, /) = /о (у2),\ /о (у2)加=Ро = const

(8)

есть точное решение основного уравнения нелокальной теории (L7).

Подобное отображение «фона» нейтрального газа приводит к важному следствию: для взаимодействия иона с фоном получается постоянная величина, не зависящая от координат иона:

Uia = \ Kia(\r — rr \ )pQ drr = 4лр0 5 Kia (s) s2 ds = const, (8)0

которую можно не учитывать в общем гамильтониане системы.

♦) Вопросы в этой главе рассмотрены совместно с М. А. Яковлевым.

В уравнение Шредингера мы не включили кулоновское взаимодействие между ионами, так как оказалось (см. ниже), что взаимодействие через промежуточную систему на несколько порядков

сильнее электростатического.

Мы предполагаем вначале, что гамильтониан, описывающий акустическое поле в нейтральном газе и в нелокальной теории, может быть описан суммой энергий осцилляторов волн.

В дальнейшем анализируются условия, обеспечивающие эту возможность. В последнем случае взаимодействие свободных ионов с фононами в первом приближении отсутствует; отличными от нуля являются эффекты, начиная со второго порядка. По аналогии со случаем, когда промежуточной системой является мезонное поле, мы пренебрегаем многофононными обменами, выступающими в высших приближениях.

Матричный элемент энергии взаимодействия двух свободных частиц, каждая из которых взаимодействует с промежуточной системой (совокупностью волн), определяется формулой [37]

〈к、1fcl КIZ? — q, к + q〉=〈к、1fcl КIZ? — q, к + q〉=2方4 1 "也 fc_g I2!ё (砌二8 (儿二夕)]2 一 (龙0J2方4 1 "也 fc_g I2!ё (砌二8 (儿二夕)]2 一 (龙0J(VIII.2)(VIII.2)

〈к、1fcl КIZ? — q, к + q〉=

〈к、1fcl КIZ? — q, к + q〉=

2方4 1 "也 fc_g I2

!ё (砌二8 (儿二夕)]2 一 (龙0J

2方4 1 "也 fc_g I2

!ё (砌二8 (儿二夕)]2 一 (龙0J

(VIII.2)

(VIII.2)

Здесь е =方2“2/27n»； (0q, q — частота и волновой вектор соответствующих волн, 加电先_q ——матричный элемент энергии взаимодействия каждой частицы порознь с промежуточной системой

m*,1 = \竝什)6。⑺21 ⑺如，2*⑺= ^j^•声 r. (VIII.3)

В этих формулах характер волн промежуточной системы не специализирован. В нашем случае

6。(Г)=匕а ⑺=\ &а (什一浊)咕 5) dr', (VIII.4) где Kfa (I г — r' I) — энергия взаимодействия иона с атомом. Учитывая фурье-представление для 3Pt (г), получаем

м&, I = £ Мд% (д') е-2"皆 \ 抑7)乜叫(VIII.5) W(Й)

где

Sa (g) = 4л j Kia (s)屮 s2 ds,(VIII.6)

0

откуда следует

\Mk,^q |2=(6pe)2a?a(?).(Vin. 7)

Таким образом, квадрат матричного элемента энергии взаимодействия иона с акустическим полем выражается через две характерные величины — интенсивность акустического поля и

фурье-образ взаимодействия иона с этим полем, зависящий от волнового числа акустических волн.

Определим энергию взаимодействия ионов как функцию расстояния между ними.

Преобразуем знаменатель в исходной формуле для матричного элемента:

[е (fc)-Е(к — а» -(%з j и (變丁 g2 (g - g+) (д + g+),

3g = %(g)・g, _^w|ql, g =——• (VIII.8)

Пренебрегая зависимостью взаимодействия от скоростей ионов, замечаем, что матричный элемент выражается только через модуль волнового вектора акустических волн q = \ Q \.

Учитывая, что выражение энергии взаимодействия в пространстве волновых векторов и вид этой энергии в пространстве координат связаны трансформацией Фурье, имеем

/^廿一犷)=晶 ，〈网问к五 I友一%友+ <7〉两6")dq =

Qmax

=备 g*]宅I 4畋2歯,(VIII.9) *0

где введена граничная частота акустического спектра ,тах； интеграл в (VIII.9) понимается в смысле главного значения и

〈. I К” I * …〉=〈. I К” I * …〉=2(Sq)2%a«)气2(Sq)2%a«)气q? (q — q+)(q + u+)q? (q — q+)(q + u+)(VIII.10)(VIII.10)

〈. I К” I * …〉=

〈. I К” I * …〉=

2(Sq)2%a«)气

2(Sq)2%a«)气

q? (q — q+)(q + u+)

q? (q — q+)(q + u+)

(VIII.10)

(VIII.10)

Возникает вопрос о конкретизации функций (bpj 3, о?« (q), Уф (q)・

Заметим, что поскольку^ <. .. |《讥|.. .〉= 0,то и Кц (| г — ——rf I) не зависит от времени —— это свойство взаимодействий через промежуточную систему замечательно, так как акустическое поле, вызывающее это взаимодействие, явно зависит от времени.

Взаимодействие ионов через промежуточную систему определяется двумя характерными свойствами акустического поля: интенсивностью (Зр«) 2 и дисперсией, входящей посредством равенств

3q = %(g)g,? =к必(О3q = %(g)g,? =к必(О(VIII.11)(VIII.11)

3q = %(g)g,? =к必(О

3q = %(g)g,? =к必(О

(VIII.11)

(VIII.11)

2. Характеристики акустического поля в нейтральном газе в нелокально-статистической теории

Распространение акустических волн в нейтральном газе в случае пространственно-однородного распределения частиц определяется следующим уравнением:

空+ 0V> -+ V，{叫 7„ф -仓 %0 {/0} 元T -

一^"Y卩和}%/。",(VIII.12)

где

。{$} = \ 尤0 (I I)屮夕‘,0, 0 dr' dv,

U{f0}=[Kaa(\r-r'{)f0(V^drfdv

(/ (% 0, /) = /о (у2) + 屮(г, 0, /)).

Полагая нелинейный член малым и учитывая, что для «фона» %U {/о} = 0, применяя далее преобразование Фурье по координатам и преобразование Лапласа по времени (см. главу VI, а также работы [7] и [17]) и предполагая, что волны распространяются вдоль одной из осей координат (х), получим в первом и втором приближении следующие формулы:

т⑴的 у, t) = 6p„ ———二硒-COS (з/ - gz)

(fо (歩)=* \ /о 储+ % + 吟也也)，(VIII.13)

О(8)

2 Q，% о=б/ ^^ 糸 h^d + Q(小)+Q (小嘅

где слагаемые, обозначенные через Q、пропорциональны осциллирующим членам.

В качестве условия разрешимости первого приближения имеем дисперсионное уравнение

(VIIL14)(VIIL14)\ нет cos vxdx^I (v), о\ нет cos vxdx^I (v), о

(VIIL14)

(VIIL14)

\ нет cos vxdx^I (v), о

\ нет cos vxdx^I (v), о

связывающее(о и q.

蛔 Указанные формулы имеют место для слабого затухания волн. В этом случае, при переходе к средним величинам, интегралы можно понимать в смысле главного значения.

Общий характер зависимости со = со (д), представляющий решение дисперсионного уравнения, соответствует рис. 6, а.

Характерным для дисперсионной кривой является наличие максимального значения волнового числа и частоты и отсутствие дисперсии для длинных волн (при g —> 0). В последнем случае

唸т唸т%Jg)p。%Jg)p。+ ^ +…+ ^ +…(VIII.15)(VIII.15)

唸т

唸т

%Jg)p。

%Jg)p。

+ ^ +…

+ ^ +…

(VIII.15)

(VIII.15)

Рассмотрим вопрос о возможности представления энергии акустического поля в виде суммы энергий акустических осцилляторов. Квантовомеханические формулы для взаимодействия через промежуточную систему основываются на подобном представлении.

Это свойство акустического поля не является очевидным в статистической теории.

Усредненные по времени значения плотности кинетической и потенциальной энергии воли таковы:

dr dr', (VIIL16)dr dr', (VIIL16)

dr dr', (VIIL16)

dr dr', (VIIL16)

Имеет место качественная разница интегралов, появляющихся в общепринятом подходе, и интегралов в (VIII.16), поэтому характерное свойство осцилляторов: Е» = Е)——в нелокальной теории, вообще говоря, места не имеет. Выясним количественное различие между указанными величинами.

/S、，曦(g)Po E W° %.- бq)— 夕 仅- 3/仆一初/S、，曦(g)Po E W° %.- бq)— 夕 仅- 3/仆一初Первое приближение 屮⑴ гармонически меняется с течением времени, поэтому оно не вносит вклада в среднюю величину кинетической энергии волн. Во втором приближении имеется постоянная составляющая функции распределения(р(2\ которая и определяет 或：

/S、，曦(g)Po E W° %.

- бq)— 夕 仅- 3/仆一初

/S、，曦(g)Po E W° %.

- бq)— 夕 仅- 3/仆一初

(VIII.17)

唸(?) Ро唸(?) Ро4%4%ИЛИ

唸(?) Ро

唸(?) Ро

4%

4%

б。)* [J 7^% 切 + ^■工 ®M/g)2 甸.

КУ (VIII.18)

Воспользовавшись дисперсионным уравнением в форме

初=0

^а J & — ®lq

и интегрируя по частям

8 а 7)(J— о)/д)28 а 7)(J— о)/д)2dv =dv =

8 а 7

)(J— о)/д)2

8 а 7

)(J— о)/д)2

dv =

dv =

получаем

視=—学传％)屮+ T^^gv^ 飼• (VIIL19)

Вычислим интеграл в (VIII.19):

# о —з/g dv ~ a™ ~2~ \ \ 9—3/g + ia 切 + \^'OO-^—OO-^—OO

Дважды интегрируя по частям в первом члене, имеем

п2Г00Т

"Лй。 初=\ 晰切 J eU，f 也一)=

ТОО

=\ e"-3/q+W d力 \ 6犷о“Уи(— %)= 0—8

=I ^ еЦ-^1д+1а^е~^та dt(VIII.20)

Проводя аналогичные преобразования для второго члена и полагая в конечном результате Г —> оо и a —> 0, получаем окончательно

V =V =瓦瓦/%寸 sin vx dx,/%寸 sin vx dx,(VIII.21)(VIII.21)

V =

V =

瓦

瓦

/%寸 sin vx dx,

/%寸 sin vx dx,

(VIII.21)

(VIII.21)

средней кинетической энергии всредней кинетической энергии вТаким образом, выражение (VIII.16) принимает вид

средней кинетической энергии в

средней кинетической энергии в

或=_屮限叩+ 号* (等河"sin V同. о

(VIIL22)

Интеграл в правой части выражается через ранее введенную специальную функцию I(V)

/(V)= — \ xe~xZ cos vx da, Г (v) = \sin vx de.

оо

Перейдем к вычислению средней потенциальной энергии акустиче

ских колебаний. Используя первое приближение 屮。)，имеем

& = } (bpd \ Каа (I)♦ — ?，' I) cos q(x —立')协'=乌竺(6pJ.

(VIII.23)

Убеждаемся, что

或卢 k.(VIII.24)

Однако рассмотрим область достаточно больших фазовых скоростей звуковых волн

В этом случае w発 1 и можно воспользоваться асимптотическим выражением функции I (v) для больших значений v

/(w)卜》1一亲，

и, следовательно,

\ /%*■*2 sin vx dx |v》i —>■ —^"; о

при этом дисперсионное уравнение (VIII.14) принимает вид

2Р。％⑺贵 L %2Р。％⑺贵 L %(VIII.25)(VIII.25)

2Р。％⑺贵 L %

2Р。％⑺贵 L %

(VIII.25)

(VIII.25)

Подставляя асимптотические значения величин в формулу средней кинетической энергии, получаем

或=战"（3%）2,或=战"（3%）2,(VIII.26)(VIII.26)

或=战"（3%）2,

或=战"（3%）2,

(VIII.26)

(VIII.26)

что совпадает со средним значением потенциальной энергии волн. В результате при условии

(VIII.27)(VIII.27)%а(0)Р。、0

(VIII.27)

(VIII.27)

та 2%

имеет место равенство

Таким образом, для достаточно больших плотностей нейтрального газа и малых температур акустическое поле представимо суммой осцилляторов.

Проведенное рассмотрение предполагало (неявно) специальный способ возбуждения акустического поля с помощью начальных возмущений среды, вызывающих волновые процессы для 力〉О, причем требовалось, чтобы для 力 < 0 акустическое поле отсутствовало. Это требование необходимо при использовании преобразования Лапласа, которое приводит к затуханию волн (см. главу IV).

Однако указанное условие исключает акустические шумы в среде, для которых требование их отсутствия при 力 < 0 является неестественным, так как «шумы» существуют как в «будущем»

，4％...) 木夕"力

t=0

Рис. 15.

(для t 〉 0), таки в «прошлом» (для 力 <0) (рис. 15). Для выяснения роли «шумов» в задаче о возможности представления акустических колебаний в виде суммы осцилляторов присоединим к задаче на «отклик» системы на начальное возмущение другую задачу, в которой

中⑴(/%力)*。№h"< °,/уттт 2Q]

中⑴(X,%方)=о для方〉0.1；

Сумма обоих решений может претендовать на отображение реальных《шумов» в нейтральном газе. В отличие от первой задачи, во второй задаче возникает не затухание амплитуд волн, а их роз- растание с течением времени.

Уравнения, отображающие рассматриваемые два процесса, должны переходить друг в друга при замене знака у времени t —> —— 九 Для интересующей нас области (отрицательных времен) исходное уравнение (VIII.12) имеет вид

一号■ + vV^ -/ М в｝ %/。一 ^ VQ ｛中｝%中=0,

аа(VIII.30)

。｛叫=§ К аа ( I " I )屮俨,f, 0 dr'dv.

Решение первого приближения можно записать в случае волн, распространяющихся по оси х, в виде

屮⑴(х,у，0 = -|-g (и) eTpt-%x + 4~ g+ (у)亦+t+5, (VIII.31)

卩=8+"，ge) = -或 7~^6pg.

Для определения второго приближения получаем уравнение

Зф(2) , „ 即⑶

-专■£■ А "аа( W - " I )屮叫"％')" &Н 第 Р。=

=磊 /а(0)[雾 \ g+ @)初一警 \ g (0 甸 6 + Q(X, У, t),

(VIII.32)

где Q (x,匕 t) — осциллирующие члены.

Будем интересоваться пространственно-однородной частью акустического поля во втором приближении. Положим

(р(2)依 t) =(р(2)产I у I(viii.33)

подстановка дает

屮⑶⑵=-盡/a⑷*偌\ g*⑻dv-

(VIII.34)(VIII.34)(8)

(VIII.34)

(VIII.34)

Если преобразовать эту формулу с использаванием выражений для g (р) и р, а затем учесть малость коэффициента » то получим

萨 №)= -^^(^^[-^^]-(VHL35)

Эта формула отличается знаком от аналогичной формулы исследованной выше задачи на «отклик» системы на начальное возмущение для 力〉0.

Дисперсионное уравнение для второй постановки задачи имеет вид8

" —(VIII.36)

оно приводится к тому же виду (VIII.14).

Хотя форма дисперсионного уравнения не изменилась, однако роль различных ветвей дисперсионной кривой со = со (д) для обоих рассматриваемых процессов существенно различна.

Верхняя ветвь (см. рис. 6) соответствует затуханию волн, поэтому она описывает первый случай. Мы убедились выше (см. главу IV, § 3), что в случае сред, которые можно рассматривать находящимися в аморфном состоянии, для нижней ветви дисперсионной кривой коэффициент затухания 丫 изменяет знак и имеет место возрастание амплитуд акустических волн с увеличением времени.

Подсчитывая кинетическую энергию волн (для t < 0), на основе второго приближения 萨)получим

"=\ -2一中⑵初=

(8)

=^£L(6pJ [1 + ^^ T (警丹 S cos vzdz] . (VIII.37) a0

Это выражение отличается от аналогичного для первой ветви знаком перед квадратной скобкой и значением интеграла в правой части, поскольку значение v относится к другой ветви дисперсионной кривой.

Заметим, что для рассматриваемого второго случая величина средней потенциальной энергии акустического поля осталась неизменной.

Потенциальная энергия определяется через квадрат амплитуды первого приближения; после усреднения по времени знак направления времени не оказал влияния на конечный результат:

ё* =飞"。(“У(VIII.38)

Исследуем специальную функцию в окрестности v 〜3, которая соответствует случаю малых плотностей или высоких температур. Специальная функция

\ sinvxdx = о

изменяет знак при переходе v через точку v 3; в окрестности этой точки возможно представление функции в виде ряда Тейлора

号=r(v) + r(v)(v-v) + 4^(v)(v

причем Г (v) = 0. Используя это разложение в выражении 訖 заключаем, что в окрестности v 〜 v второй член в квадратных скобках (VIIL37) является малым в сравнении с первым (т. е. с единицей). В этом случае

^ = ^L(i>p^(VIII.39)

и, таким образом, средняя кинетическая энергия волн совпадает со средней потенциальной энергией в районе малых плотностей и высоких температур. Условием применимости полученного результата является неравенство

2冤少。v(v — C)/”(管у ] (VIII.40)

при условии, что значение v есть решение дисперсионного уравнения (VIIL14). Район значений фазовой скорости Рф » 3 рт одновременно удовлетворяет обоим условиям.

Таким образом, представление энергии акустического поля в нелокально-статистической теории в виде суммы осцилляторов оказывается возможным в двух случаях:

И. В условиях, когда акустическое поле создается возмущениями в начальный момент времени и рассматриваются волны для 力〉0, при наличии затухания волн.

2. В условиях, когда акустическое поле выступает в качестве «шумов» в системе для всех времен в интервале —оо < 力 < +оо.

Обе задачи отличаются значениями параметров сред (плотностью и температурой), для которых они применимы. Они характеризуются также различием дисперсии акустических волн. Фазовые скорости волн для g —> 0 в первой задаче стремятся к значению

端 f %а (q) Ро/тПц,

во второй —— к другой величине:

Уф -* 4,5 е/та.

Перейдем к определению полной энергии акустических колебаний в условиях температурного равновесия. Полная энергия системы акустических осцилляторов не должна зависеть от способа рассмотрения, поэтому имеем

е= £4а-(д)(М炉Q = £(人 + 4~)力0V(vin.41)

Отсюда

(Зр )2 =《 , ne =—. (VIII.42) %%a(g)R q exp (tog/0) — 1 、 J

Полученная формула для квадрата амплитуды изменения плотности нейтрального газа в акустическом поле, в указанной общей форме, остается справедливой для обоих рассмотренных выше случаев плотности и температур этого газа. .

В исходную формулу для взаимодействия ион — ион： входит фурье-образ взаимодействия ион — атом (а(а (,)). Для детализации этого коэффициента рассмотрим два крайних случая — малых и больших кинетических энергий сближения этих частиц.

Для малых энергий сближения преобладает эффект электрической поляризации атома кулоновским полем иона. Энергия поляризации определяется коэффициентом поляризации 0 = а3, где а — эффективный радиус атома, а также наименьшим расстоянием сближения иона с атомом.

К известному выводу энергии поляризации кулоновским полем точечного заряженного центра присоединим дополнение.

В реальных условиях кулоновское поле иона в плазме экранировано дебаевской поляризацией электронов. Учитывая поляризацию атома экранированным кулоновским центром, получим для энергии поляризации следующую формулу:

K，a(s) = -е20』(1 +%璋)2广綻，(VIII.43)

где

s> а, хд = 4л^2/0е.

Фурье-образ этого взаимодействия есть

Sa (g) = - ^q [醬 + 窄 + Si (ga)] , (VIII.44) с учетом, что 叫хУ 1.

При больших кинетических энергиях сближения взаимодействие иона с атомом описывается экранированным потенциалом Томаса —Ферми.

Введем поправку к указанной энергии взаимодействия в виде наличия «непроницаемой сферы», зависящей от кинетической энергии сближения ион — атом, тогда имеем

Kea(s)= $(VIII.45)

岑，％т =你• 0,8853 (Z? +

s04

Фурье-образ этого взаимодействия выражается формулой

6a (g) = 4》Т娉(C0S "。+ V sin 發0)e-f.(VIII.46)

Перейдем к оценке фурье-образа взаимодействия атом — атом, входящего в выражение средней амплитуды акустических колебаний (VIIL42), в условиях температурного равновесия. В случае достаточно плотной нейтральной среды и при достаточно невысоких температурах фазовая скорость акустических волн определяется формулой

4= ^^+-^+...,(VHI.47)

откуда* интересующий нас фурье-образ aaa (q) определяется через эмпирическое значение фазовой скорости звука в газовой среде.

§ 3. Определение функционального вида энергии взаимодействия ион——ион через акустическое поле в нейтральном газе

Рассмотрим прежде всего случай достаточно высоких плотностей и невысоких температур нейтрального газа, который анализировался в § 2 в отношении дисперсии звука и возможности описания его энергии с помощью осцилляторов.

В § 1 этой главы была получена следующая формула, определяющая энергию взаимодействия двух ионов, находящихся в поле звуковых волн:

Отах

(VIII.48)(VIII.48)* I К а I • ••〉=* I К а I • ••〉=оо2(М2 ^а(яУ^2(М2 ^а(яУ^

(VIII.48)

(VIII.48)

* I К а I • ••〉=

* I К а I • ••〉=

о

о

2(М2 ^а(яУ^

2(М2 ^а(яУ^

где (6pq)2 дается (VIII.42). Мы видим, что налицо зависимость взаимодействия от интенсивности акустического поля, дисперсии акустических волн и взаимодействия ион — атом, атом — атом. Необходимо учесть, конечно, наличие дисперсионного уравнения (VIII.14).

Принимаем во внимание только верхнюю часть дисперсионной кривой: для рассматриваемого случая четность подынтегрального выражения (VIII.48) относительно знака q позволяет представить его в виде

(VIII.49)(VIII.49)尸(g) sin gs

(VIII.49)

(VIII.49)

T7二"*(?)] [g +/(巾

где

/g)T中了/g)T中了(% + %)唸(g) g噎(0)(% + %)唸(g) g噎(0)

/g)T中了

/g)T中了

(% + %)唸(g) g噎(0)

(% + %)唸(g) g噎(0)

G помощью (VIII.49) приходим к следующим четырем интегралам, вычисляемым с помощью теории вычетов:

我⑺ё士，般\Yaxg干丁"巾⑺我⑺ё士，般\Yaxg干丁"巾⑺dq =±nidq =±ni员(g+) e±‘m员(g+) e±‘m(VIII.50)(VIII.50)

我⑺ё士，般

\

Yaxg干丁"巾⑺

我⑺ё士，般

\

Yaxg干丁"巾⑺

dq =±ni

dq =±ni

员(g+) e±‘m

员(g+) e±‘m

(VIII.50)

(VIII.50)

При этом предположено, что

(VIII.51)(VIII.51)д+干咨％ (д+) = о,

(VIII.51)

(VIII.51)

2т. dv. ((?+)

1 干 Y

B)9maK〉q+,

(VIII.5r)(VIII.5r)где 土 q+ здесь и в дальнейшем будут обозначать корни уравнения (VIIL51a). Существование действительного корня уравнения

(VIII.5r)

(VIII.5r)

g+= -^уф(?)

видно из наличия пересечения кривых, изображающих функции ^Ф (q) и д. При этом условие 9тах + Т будет автоматически выполняться, если

2勺、

-為 уф (?max) & ?max*

(VIII.52)(VIII.52)Для выяснения справедливости этого неравенства используем графическое представление условия разрешимости дисперсионного уравнения (см. рис. 5). Учтем, что так как для больших значений q нет решений в виде волн, ^тах должно удовлетворять требованию

(VIII.52)

(VIII.52)

V~^~~Г = °，伍 2Pо°аа(，так)

В точке максимума функции / (v) значение v равно 3, следовательно,

%(9так) Q 3 Ут«

С другой стороны, если определять величину gmax из критического условия (VIII.52), используя простейший отталкивательный потенциал взаимодействия атомов

'Kaa(s) = -^^,

Оаа (g) = 4n \ Каа(S)貶* S2ds =,翠咨,о

получаем уравнение для определения gmax

'2Po4jtG 隘* + 炉)=°,14, откуда

(VIII.53)

Таким образом, существование действительного корня д+ уравнения (VIIL51a) обеспечивается условием

2叫/、/4лСР(!2.0,14 八用

F~%(9max)=^ —& 乂(g^ ])・(VIII.54)

Знак неравенства осуществляется при достаточной плотности газа, малой температуре и малом атомном весе ионов.

Возникает вопрос: накладывает ли дополнительные условия на параметры среды требование в (VIII.516)? Из дисперсионного уравнения следует

легко видеть, что, поскольку Г (v) < О,

1干畫圆(士Г)〉°・

Таким образом, требование, накладываемое на Уф (土 q+), выполняется без дополнительных ограничений.

Поставим вопрос о взаимодействии ион — ион на достаточно малых расстояниях между ними.

В интеграле

Umax

K"(s)=夕〈…阳小..〉^L4讨歯，

0

если 7гпах^ V л, осциллирующий синус можно приближенно заменить единицей; в этом случае К”(s) = const и взаимодействие между ионами выключается (grad$ Кц (s) = 0).

Получаем окончательный результат: взаимодействие между ионами через промежуточную систему (нейтральный газ) выражается следующей функцией расстояния между ними:

КМ§)=

1 — 2加产j «+)/為 const

sЛЛЯ s〉，

s'max

ДЛЯ s < ,

"max

(VIII.55)

где

俨q+ + %) ?+Ча(?+)

Y л

%a（#），

a q+ есть корень уравнения (VIII.5Г). Оценим порядок фигурирующих в (VIII.55) величин.

В области малой дисперсии акустических волн

2/п.,

—^ф(?+)<1

закон взаимодействия между ионами (VIII.55) принимает более простую форму:

2 cos g+s2 cos g+s%(£)=，const%(£)=，constдляДлядляДляS〉S〉S <S <'max?max'max?max

2 cos g+s

2 cos g+s

%(£)=，

const

%(£)=，

const

для

Для

для

Для

S〉

S〉

S <

S <

'max

?max

'max

?max

где 丫2 играет роль квадрата «заряда» в новом взаимодействии.

Значение д+ можно оценить, заимствуя величину фазовой скорости волн из опытных данных.

На основании формулы (VIII.5Г) имеем, полагая % 〜 〜105 0%/比/ Тn/v a "。1,7 ・10~24 2,

q+ 〜109 елTl

что соответствует гиперзвуковым длинам волн, причем оценка д+ основывается на экстраполяции значений обычных фазовых скоростей звука на области высоких частот.

В коэффициент у® входит фурье-образ взаимодействия атом- атом Оаа®+)・

В рассматриваемой области достаточно больших плотностей и не очень высоких температур мы видели выше, что величину фазовой скорости можно описывать формулой

4 Q Оаа (д+) Ро/^а,

отсюда определяется коэффициент 県①)по известным значениям U&, ро,

Оценим величину ng + 1/2, которая содержится в формуле для у®. Исходя из равенств ①卢=Уф^+, д+ = 2 тп”巾(g+)/%, имеем

亢(0g+/8 = 2 тп^Уф/0.

В нашем приближении

端〉靑端〉靑температурный член является малой добавкой:

端〉靑

端〉靑

откуда следует

Наконец, взаимодействие ион ——атом входит через фурье- образ:

% ") = — 4Пе削[需 + 炉 + Si (%)].

На основании оценки l/q+ 〜109 с%」можно считать, что д+ 〜1/а, где а — наименьшее расстояние при сближении иона с атомом. Таким образом, получаем возможность выразить величину ^ia (q+) через известные величины:

Gia Q — 4л：呷g+・0,8・

В результате определения порядка величин, фигурирующих в пунктах 1—5, численное значение параметра 寸 оказывается равным

У 工 5,7-10'16 эрг • см.

Сравним величину у2, играющую роль квадрата эффективного «заряда» во взаимодействии через промежуточную систему, с электрическим элементарным квадратом заряда

е2 工 23-10~20 эрг • см}

приходим к заключению, что взаимодействие через промежуточную систему превышает кулоновское на несколько порядков.

Перейдем к детализации взаимодействия ион ——ион в условиях низких плотностей нейтрального газа и достаточно высоких температур. Ранее предполагалось при вычислении интегралов

匾(s)= ；£ у

(士)гтак C + -^-伍⑺

что имеется особенность в виде простого полюса

1干竿圆(d)*°・

Теперь рассмотрим случай, когда имеется кратный полюс

9+干翼％(9+) = 0,

2 …(VHL56)

1 干寸巾(g+) = o.

Последнее условие указывает на наличие касания биссектрисы q ко второй ветви зависимости 2m^ (q)/方(рис. 16, 6). Вторая ветвь,

как мы видели ранее, соответствует акустическому спектру в случае низких плотностей и высоких температур.

Применяя теорию вычетов, получаем

3 q十2勺编⑺伍 d對干"I夠,(q+)(g -q+尸偵+

—Umax

(VIII.57)

Здесь использовалось разложение в ряд Тейлора знаменателя в окрестности g = g+:

0 干寸％(g) = g+十(g-g+)干

干争％ (q+)十 уф (q+) (q — ?+) + -|~ 血①)匂一Г)]=

=干寸 ％ (g+) (g — g+y.

Возникает вопрос: какие ограничения на физические свойства системы вносит наличие кратного полюса в интегралах?

Определим для этой цели д+ из условия касания. Это условие есть

I^УФ(9+) = 0・

Ввиду того, что q+ близко к gmax, определим Уф (д+), аппроксимируя функцию /(V)вблизи ее максимума (v 〜3), в той ее (левой)

части (рис. 17), которая определяет вторую ветвь дисперсионной кривой (см. рис. 6):

/ ⑺=/ ⑹ + Г (v)(v-v) + % Г (v)(v-v)2 + ...

(/(» = 0,r(v)<0, v^3).

Из дисперсионного уравнения (VIII.14) следует

—= r(V)(V — 5)； Уф(?).(VIII.58)

2рМ% (?)%

Для относительно высоких температур, когда скорости сближенияДля относительно высоких температур, когда скорости сближения%（户）%（户）атомов превышают их энергию связи, можно учитывать только отталкивательные силы взаимодействия между ними. Применяя простейший потенциал отталкивательных силатомов превышают их энергию связи, можно учитывать только отталкивательные силы взаимодействия между ними. Применяя простейший потенциал отталкивательных силК】а (*) = ~~имеем矶《)=—£2g+・(VIII.59)К】а (*) = ~~имеем矶《)=—£2g+・(VIII.59)Учитывая также, что vУчитывая также, что v力q十2〃％%力q十2〃％%圆S)圆S)=加，находим=加，находим

Для относительно высоких температур, когда скорости сближения

Для относительно высоких температур, когда скорости сближения

%（户）

%（户）

атомов превышают их энергию связи, можно учитывать только отталкивательные силы взаимодействия между ними. Применяя простейший потенциал отталкивательных сил

атомов превышают их энергию связи, можно учитывать только отталкивательные силы взаимодействия между ними. Применяя простейший потенциал отталкивательных сил

К】а (*) = ~~

имеем

矶《)=—£2g+・

(VIII.59)

К】а (*) = ~~

имеем

矶《)=—£2g+・

(VIII.59)

Учитывая также, что v

Учитывая также, что v

力q十2〃％%

力q十2〃％%

圆S)

圆S)

=加，находим

=加，находим

ISV亏再ZnGpo + "(* I (А%% )ISV亏再ZnGpo + "(* I (А%% )(VIII.60)(VIII.60)Подставим это значение д+ в условие существования кратного корняПодставим это значение д+ в условие существования кратного корня2 ?и.一^一 Уф(9 так)〉92 ?и.一^一 Уф(9 так)〉9и учтем, что в рассматриваемом случае %(9так)工 ЗУт*и учтем, что в рассматриваемом случае %(9так)工 ЗУт*Тогда находим следующее ограничение параметров, выражающее условие наличия кратного корня:Тогда находим следующее ограничение параметров, выражающее условие наличия кратного корня:

ISV亏再

ZnGpo + "(* I (А%% )

ISV亏再

ZnGpo + "(* I (А%% )

(VIII.60)

(VIII.60)

Подставим это значение д+ в условие существования кратного корня

Подставим это значение д+ в условие существования кратного корня

2 ?и.

一^一 Уф(9 так)〉9

2 ?и.

一^一 Уф(9 так)〉9

и учтем, что в рассматриваемом случае %(9так)工 ЗУт*

и учтем, что в рассматриваемом случае %(9так)工 ЗУт*

Тогда находим следующее ограничение параметров, выражающее условие наличия кратного корня:

Тогда находим следующее ограничение параметров, выражающее условие наличия кратного корня:

6吋т6吋т硒力/"（矶石苫）硒力/"（矶石苫）(VIIL61)(VIIL61)

6吋т

6吋т

硒力/"（矶石苫）

硒力/"（矶石苫）

(VIIL61)

(VIIL61)

Ойо выполняется тем лучше, чем выше температура нейтрального газа и меньше значение его плотности.

Окончательно взаимодействие ион ——ион через промежуточную систему для случая низких плотностей и достаточно высоких температур имеет вид

К i(s)=К i(s)=勺%?+）优勺%?+）优

К i(s)=

К i(s)=

勺%?+）优

勺%?+）优

const,const,1(^а + V2) ^ia^ *?+21(^а + V2) ^ia^ *?+2лл

const,

const,

1(^а + V2) ^ia^ *?+2

1(^а + V2) ^ia^ *?+2

л

л

'max

(VIII.62)

где

%“(#)

и q+ удовлетворяет условиям

д+干竿％ д+) = 0,

2?n.,

1 干-^%(g+)=°・

Оцепим порядок величин:

Второй член в формуле взаимодействия приблизительно в q+s раз меньше первого члена.

Для определения значения д+ воспользуемся ранее полученным соотношением*

min q+ Q 缥2° I 7ff(v)| v U—.

Полагая G 〜Z%® (Z ——порядковый помер атомов нейтрального газа), Т 〜3*103°К, для ?пг — массы атома азота, в условиях ашосферной плотности имеем

min q+ q 1 *10(i см'1.

Таким образом, во втором случае характерные пространственные периоды в формуле взаимодействия значительно больше, чем в первом случае высоких плотностей.

Учтем, что в рассматриваемом случае

а значит,

Для температур порядка ЗЛО3 °К еще можно пользоваться поляризационным механизмом взаимодействия иона с атомом нейтрального газа и, таким образом, воспользоваться формулой для фурье-образа этого взаимодействия:

0讪①)=-4出阳+ [彳粽 +号号+ Si (g+a)] •

В рассматриваемом случае q+a V 1 и, следовательно, Gia ①)Q — 4ne2a2, a ~ 10~8 c%・

В принятом выше экранированном потенциале отталкивания между атомами, фурье-образ которого есть

4Л後2" +产4Л後2" +产

4Л後2

" +产

4Л後2

" +产

параметр экранирования х 〜108 cm^j Z a 14.

В итоге учета численного значения величин с помощью пунктов 1—5, входящих в величину эффективного «заряда» у, получаем

?2 —發?2 —發,02仆專用尸。5,6.io-3e2.,02仆專用尸。5,6.io-3e2.

?2 —發

?2 —發

,02

仆專用尸。5,6.io-3e2.

,02

仆專用尸。5,6.io-3e2.

Определим величину взаимодействия

задавая расстояние s.

Полагая для знаменателя по порядку величины

и воспользовавшись условием существования кратного корня

*5 д+, имеем

*>(#)〜1

Таким образом, если расстояние s между ионами удовлетворяет неравенству

5,6*10~3 q+s〉1, то взаимодействие через промежуточную систему превышает кулоновское взаимодействие.

Учитывая значение д+, получаем для расстояний s〉2*10~4 см.^

В заключение этой главы отметим некоторые особенности взаимодействия через промежуточную систему:

Значительная величина этого взаимодействия, в сравнении с кулоновским, обосновывает исходное допущение о малости кулоновских сил между ионами, в сравнении со взаимодействиями через промежуточную систему.

Характерной чертой этого взаимодействия является пространственная осцилляция потенциала с весьма малым периодом. В теории с непрерывным распределением вероятности местоположения частиц не накладывают каких-либо ограничений на величину пространственных периодов в среде, вопреки классической модели газа, в которой столь малые периоды (меньшие среднего расстояния между атомами газа) являются нереальными.

В обоих рассмотренных выше случаях учитывалось только взаимодействие между ионами, а не электронами через промежуточную систему.

Наиболее сильная зависимость от массы частиц определяется фактором

g ： ~я- Уф,

стоящим в числителе выражения для коэффициента у2, что приводит к следующим отношениям взаимодействий для рассмотренных выше двух случаев (I и II):

В следующей главе анализируется роль рассмотренного взаимодействия ионов в проблеме существования и устойчивости плазменных образований, удерживающихся собственными силами, без участия стенок.

7 А. А. Власов

ГЛАВА /X

ТЕОРИЯ СУЩЕСТВОВАНИЯ И УСТОЙЧИВОСТИ ПЛАЗМОИДОВ, УДЕРЖИВАЮЩИХСЯ СОБСТВЕННЫМИ СИЛАМИ *)

Постановка задачи и метод решения

Решение проблемы существования статистического роя частиц1 удерживающегося собственными силами, без участия стенок, открывает возможность объяснения ряда известных наблюдаемых явлений: искусственных и естественных плазмоидов, явления страт, атмосферных сферических слоев планет [30 — 32].

При решении указанной задачи методами классической статистики возникает трудность: предположение о конечности массы образования совместно со свойствами квазистационарности, температурное™ в распределении частиц, изотермичности и дифференцируемости функций, описывающих состояние системы,— приводит к внутреннему противоречию. Действительно, используя распределение Больцмана, имеем для массы каждого сорта частиц

М{ = \ &ехр(——^■，己1*〉\ &exp(>^)4n；r2df = оо「(IX.1) где ф (?)——собственный электростатический потенциал системы. Если R ——предполагаемый эффективный радиус, то при г > /? Ф (г) ~ 1/г, в результате чего масса каждого сорта расходится.

Аналогично, статистическая механика Гиббса также приводит к расходимости нормировки многомерной функции распределения в бесконечной области: предполагая, что 左(闻)同一8-> 0, имеем

N

^. . ДехрГ--^---$2^(1^-Г> 1)1П^= °°-

Отказ от изотермичности, без дополнительных условий, не дает замкнутого аппарата. Широко распространенные политропные модели атмосфер сами по себе не приводят к появлению собственных электрических полей, особенно необходимых для процессов ионизации в плазмоидах.

В настоящей главе проблема существования роя частиц, удерживающегося собственными силами, связывается с существованием

♦) Вопросы этой главы рассмотрены совместно с М. А. Яковлевым.

сил взаимодействия между ионами в неполностью ионизованной плазме посредством обмена фононами, имеющимися в нейтральном газе.

Эффект притяжения между ионами оказывается весьма значительным. Энергия связи ионов достигает величин порядка энергии связи атомов в твердой фазе. Энергия связи выделяется при уменьшении радиуса образования — она оказывается достаточной для поддержания процессов ионизации. Механизм процессов ионизации заключается в образовании собственных неоднородных электростатических полей, являющихся следствием осцилляторного изменения в пространстве потенциала взаимодействия ионов через промежуточную систему.

Для описания системы трех сортов частиц: атомов, электронов и ионов ——будем исходить из основных уравнений теории.

Для атомов

- + fVP/a 一 ^力[Uaa + Un + Uae] V 小=0,

Uaa(r) Каа(\Г - Г' \)fadr' dV,

Uai (r)> J^idr-^DA^^, .(IX.2)

uae (r) = \ Kae (I f — MI)九 dr' do.

В условиях холодной плазмы концентрация электронов и ионов на несколько порядков меньше, чем концентрация нейтральных частиц:

I力丨〜М1</а,

поэтому влиянием заряженных частиц на состояние нейтрального газа в ряде задач можно пренебречь.

Для ионов df. (г, % i)]

~+(О,。+ 乙 + Ф) %/尸 0,

uia(г) = 5 Kla(\r — r'\)fadr' dv, Uu (r) = \ 隔(|r—r' j)/j"'dv,

(IX.3)

АФ = — 4ne2 (厶—/е) dv,

(°0)

где Кц (|r — rf I) — взаимодействие ионов через промежуточную систему — акустическое поле в нейтральном газе, определенное в VIII главе.

Для определения взаимодействия ионов с фоном нейтральных атомов и акустическим полем подставим в функционал U±a (г)

196 ТЕОРИЯ СУЩЕСТВОВАНИЯ И УСТОЙЧИВОСТИ ПЛАЗМОИДОВ [ГЛ. IX функцию распределения, описывающую нейтральный газ:

九=/аО (У2) + Ф(Г, ◊, /),\ 标(吟 d,V = Ро = const,

$中加=6%(%/) =』6p©%+吗

(8)а

находим

UiaQ = po，Kia (\Г — Г' I) dVf = COnst,

(°0)

60亿=\ K(6 -k|)6pt (")dM

(8)

Используя переход от суммы к интегралу

и вводя фурье-образ энергии взаимодействия ион — атом, приходим к интегралу

Umax 2я п

8Ula = — \ ^ J ai0 (?) брв е-^Мяг cos ^2 dq d(p sin ^ d^.(IX.5)

о о 0

Применим к этому интегралу известную теорему теории интегралов Фурье

lim \ F (х) cos dx->Q,

入一8 f

lim 、 ь(/)si口入胃da—>0.

入 У -оо

В нашем случае роль параметра 九 играет время 力.и, так как о)д = =Уф?, то

lim bUia (г, t) -> 0.(IX.6)

Таким образом, влияние нейтрального газа на стационарное состояние ионов сказывается только на взаимодействии их между собой путем обмена фононами нейтрального газа.

Для электронов, так же как и для ионов, исходное уравнение имеет вид

沙；*2.+ 叭力一靑% 亿。 + U典-①)▽小=0，

Uea=^Kea(\r-r'l)fadr', Uee=\Kee(\r-r'\)fedr', (1X3)

Дф = -4ле2 J (А-/е)^，

(°0)

при этом*, аналогично вышеуказанному,

иеа0 = Рео ^К^Т — г' I) dr' = const, lim 8Uea(% t) f 0.

Заметим также, что взаимодействие электронов через промежуточную систему мало по сравнению со взаимодействием ионов:

соответственно для первого и второго случаев взаимодействий.

Окончательно статистическое описание поведения ионов и электронов в холодной плазме сводится к системе уравнений

■+ 0% 力——14$ + Ф] = о,

“彳=J к^(\г - ”|)九"'d。，a①=一4憧2 \ (九一/e)dv (IX.7) (°0)

(“(，一门)=卜儿友1马仲一 q,友+ q〉加-')g).

Возникает дальнейшая задача: выделить, опираясь на естественные условия, плазмоидальные решения этих уравнений, которые описывали бы шаровые скопления частиц, удерживающихся собственными силами.

К естественным дополнительным условиям нужно отнести следующие:

Условие стационарности

■У т0・

Условие независимости распределений по г и у2:

九e (%。)=Pi.e 6) S,e (吟，

§ Wite^) dV = 1.

(°0)

Условие шаровой симметрии

Pi,e (尸)=Pi,e (!»• I)-

Условие квазинейтральности

г-Hid

М \ (р* —Pe)dr = O, d = ^,п>1,

т. е. объемный заряд (в среднем) вдоль радиуса в плазмоиде должен отсутствовать.

Используя перечисленные условия, получим

при этом потенциальные энергии взаимодействия ① и U должны удовлетворять системе основных нелинейных уравнений

(IX.9)(IX.9)ДФ = — 4ле2 Q ехр (— "^ ①)—Се ехр 母 , и (r)= ^i{(|r —^DCjexp —"(力竺①g 切‘,

(IX.9)

(IX.9)

泰 \ e(p{ — pe)dr=O,

где К» (I г — r' I) — энергия взаимодействия ионов через промежуточную систему, Ф —— электрический коллективный потенциал, U ——коллективный потенциал взаимодействия через промежуточную систему.

В полученной системе уравнений неизвестными являются Ф, °, С,, С©, но уравнений всего три, однако постоянную Сг можно задать заранее как степень предварительной ионизации,— тогда три величины, Ф, U, Се, определяются уравнениями.

Возникает задача нахождения решений, передающих основные черты пространственно-ограниченных плазмоидов, и вопрос об их устойчивости.

§ 2. Существование ионной конденсации.

Устойчивость по отношению к объемным вариациям плотности

Поставим следующую задачу: какие видоизменения в состояние плазмы вносит наличие взаимодействия между ионами через акустическое поле нейтральной среды, окружающей ионы?

В этом параграфе будем решать данную задачу в бесконечной области, т. е. достаточно далеко от внешних границ плазмы. На ос-

новании предыдущего параграфа потенциалы с/ (г) и Ф (г) в стационарном случае удовлетворяют нелинейной системе (IX.9). Указанные уравнения, при известных условиях, допускают решение в виде пространственно-однородного распределения.

Полагая

U = Uq = const, Ф = Фо = const, (IX.10) имеем

&ехр(—乌К^г-г'^г' = -*оо

=Ci exp /- ^+-51\.4п J к., (s)S2ds. (IX.ll) В нашем случае

Км(什 _”)= I 力 2al■[ cosg+什 _“|,

(IX.⑵

\ Kn (s)s2 ds = у2 \ s cos g+s ds = y2 lim \ e-^s cos g+s ds =

0兀/Qmaxa~*° n^max

cos 卜 fsin g. ^так 夕 ^так^так /

Поскольку 5maX > ^+ (см. главу VIII), можно использовать приближенное равенство

R&i(S)s2dSQ —步.

Для однородных потенциаловДля однородных потенциаловUQ и Фо получаемUQ и Фо получаемуравнения:уравнения:&ехр (--^J^&ехр (--^J^следующие(IX.13)следующие(IX.13)

Для однородных потенциалов

Для однородных потенциалов

UQ и Фо получаем

UQ и Фо получаем

уравнения:

уравнения:

&ехр (--^J^

&ехр (--^J^

следующие

(IX.13)

следующие

(IX.13)

Вследствие нейтральности среды электрический потенциал можно нормировать на нуль (Фо — 0). Вводя обозначения

一，/4=中，4吋2&/g+2仇=X,

для определения ф получаем трансцендентное уравнение

Ф —入吟入〉0,(IX.14)

где предполагается, что & как концентрацию ионизации можно

задавать извне. Концентрация электронов определяется решением

ДЛЯ ф：ДЛЯ ф：Се = &е、Се = &е、(IX .15)(IX .15)

ДЛЯ ф：

ДЛЯ ф：

Се = &е、

Се = &е、

(IX .15)

(IX .15)

Рис/ 18.Рис/ 18.

Рис/ 18.

Рис/ 18.

Уравнение для ф имеет действительное решение, если 入 меньше или равно 1/е, причем существуют два действительных решения, одно из которых с приближением 入 к критическому значению увеличивается от нуля, другое уменьшается от +8. В точке 入 =1/е оба решения совпадают (рис. 18). Точка касания находится из условия

1 =觇、 (IX.16) что дает совместно с исходным уравнением

Ф = 1, X = 1/е*

Спонтанное образование пространственно-однородного распределения при достижении критических значений макроскопических

параметров (температуры и плотности) естественно интерпретировать как ионную конденсацию, к которой приводит учет взаимодействия ионов через промежуточную систему. В отличие от конденсации нейтральных атомов и молекул ионная конденсация возникает не с увеличением и уменьшением температуры, а при условии

4лу1

т. е. при достаточно больших температурах или малых плотностях.

Исследуем устойчивость конденсированного состояния по отношению к стационарно-пространственным и пространственно- временным возмущениям. Для этой цели произведем линеаризацию системы нелинейных уравнений для потенциалов U и ①， отправляясь от решения, соответствующего равномерному распределению：

U = Uo + 8U (г), Ф = Фо+ 6Ф (г), Фо 三 0.

Ограничиваясь линейными членами, имеем

W I) [6t7 g + 6Ф "')] dr',(IX.17)0. \1W I) [6t7 g + 6Ф "')] dr',(IX.17)0. \16о=(一今)旳(-昔)\凡(什一М"(-告)m + « +

W I) [6t7 g + 6Ф "')] dr',

(IX.17)

0. \1

W I) [6t7 g + 6Ф "')] dr',

(IX.17)

0. \1

Поставим вопрос о существовании у линейной системы решений в виде суперпозиции пространственных гармоник

.(8U, 6Ф)= 3 (8Ua, 6Ф,)产mа

с действительным значением (значениями) модуля волнового числа. Комплексные значения указывали бы на неустойчивость однородного распределения. Подстановка приводит к дисперсионному соотношению, определяющему к^ = \к^ |：

=-甘 St (儿)e-и”比 f5F ,(IX.18)

где

状=4л2егС</0о О"(砌=4n W К" (s)幾丁。s2 曲.О а

В нашем случае

&t(s) = -y-cosg+s,

(IX.19)

—St (儿)=—\ L" [sin (儿—g+)s + sin 偽 + g+)s] ds =

a-*0 J

0

4л y2

Присоединяя к дисперсионному соотношению (IX.18) условие существования пространственно-однородного распределения, которое появляется в нулевом приближении относительно амплитуд %, Фо 三 0:

получаемполучаем10<w<~,10<w<~,0.囲+『>AQ0.囲+『>AQ斩骰-1-増/g+з 吟+ （（ + »/%）煜e4Л 附上е ^^С.屮。=工^叫 y =『"^-斩骰-1-増/g+з 吟+ （（ + »/%）煜e4Л 附上е ^^С.屮。=工^叫 y =『"^-〉е,〉е,(IX.20)(IX.20)

получаем

получаем

1

0<w<~,

1

0<w<~,

0.

囲+『>AQ

0.

囲+『>AQ

斩骰-1-増/g+з 吟+ （（ + »/%）煜e

4Л 附上е ^^С.

屮。=工^叫 y =『"^-

斩骰-1-増/g+з 吟+ （（ + »/%）煜e

4Л 附上е ^^С.

屮。=工^叫 y =『"^-

〉е,

〉е,

(IX.20)

(IX.20)

Этим соотношениям можно удовлетворить действительным значением 鳥=I 瓦 I в интервале от | % [〜0 до | % | 0 ".

Таким образом:

В конденсированном состоянии ионной среды возникают пространственно-периодические решения для потенциалов 6U и 6Ф и соответственно для плотности распределения ионов и электронов. Период возникающей структуры стремится к предельному значению 2n/q+ с увеличением температуры 仇 и уменьшением плотности ионов &• Естественно эти решения интерпретировать как ионную кристаллизацию.

Появление ионной кристаллизации указывает на устойчивость исходного распределения, так как вблизи пространственнооднородного состояния хотя и возникает неоднородное, но оно сохраняет однородность в смысле усредненных характеристик по пространственному периоду.

Перейдем к вопросу об устойчивости конденсированной ионной среды по отношению к временным возмущениям. Ограничимся рассмотрением распространения продольных волн с длинами волн, превышающими период структур. В этом случае возможно усреднение плотности и потенциалов по периоду структуры. Дисперсионное уравнение в усредненной среде ионной компоненты (при наличии слабого затухания волн) имеет вид

2Po产"的——2Po产"的——\ ze-" cos vz dx, о\ ze-" cos vz dx, о(IX.21)(IX.21)V ^ Уф/^т, Уф == (0/巾,V ^ Уф/^т, Уф == (0/巾,% = (0/2 矶)％,% = (0/2 矶)％,в ионной средев ионной среде0也侬）=0也侬）=4лд2/са — g+24лд2/са — g+2для длинных волн имеем приближенное решение дисперсионного уравнениядля длинных волн имеем приближенное решение дисперсионного уравнения4吋紀02打勺-炉一/2十справедливое, если4吋紀02打勺-炉一/2十справедливое, если43^043^0m,m,+ * + ...〉0,(IX-.22)+ * + ...〉0,(IX-.22)厶Yd亲，Присоединяя условие ионной厶Yd亲，Присоединяя условие ионной0, Pot、0, Pot、4ле24ле2конденсации, получаем следую-конденсации, получаем следую-щее ограничение на параметры среды, обеспечивающее ее устойчивость:щее ограничение на параметры среды, обеспечивающее ее устойчивость:

2Po产"的——

2Po产"的——

\ ze-" cos vz dx, о

\ ze-" cos vz dx, о

(IX.21)

(IX.21)

V ^ Уф/^т, Уф == (0/巾,

V ^ Уф/^т, Уф == (0/巾,

% = (0/2 矶)％,

% = (0/2 矶)％,

в ионной среде

в ионной среде

0也侬）=

0也侬）=

4лд2

/са — g+2

4лд2

/са — g+2

для длинных волн имеем приближенное решение дисперсионного уравнения

для длинных волн имеем приближенное решение дисперсионного уравнения

4吋紀02

打勺-炉一/2十

справедливое, если

4吋紀02

打勺-炉一/2十

справедливое, если

43^0

43^0

m,

m,

+ * + ...〉0,(IX-.22)

+ * + ...〉0,(IX-.22)

厶Yd亲，

Присоединяя условие ионной

厶Yd亲，

Присоединяя условие ионной

0, Pot、

0, Pot、

4ле2

4ле2

конденсации, получаем следую-

конденсации, получаем следую-

щее ограничение на параметры среды, обеспечивающее ее устойчивость:

щее ограничение на параметры среды, обеспечивающее ее устойчивость:

4可2 / 力 / 4ле2

где длины волн ограничены требованием

х >-^/3 _Г _2-10-в см.

Помимо указанных условий на ионную температуру и конденсацию, требуется, чтобы температура нейтрального газа не превышала некоторой верхней границы для реализации закона сил взаимодействия через промеж уточную систему (в первом из двух случаев взаимодействий):

%< %。?。。,瓦〜仇.

Это неравенство указывает на необходимость достаточно высокой плотности нейтрального газа ра0.

Таким образом, в этом параграфе доказано существование ионной конденсации и последующей ионной кристаллизации при достаточно высоких температурах или малых плотностях ионов.

Конденсация возникает только в определенном интервале температур

*eOY 吋。。，(IX.23)

где

Оаа (О*) = 4“ f Каа 6)兰S2ds —

о

фурье-компонента атомного взаимодействия и роЬ рОа — соответственно концентрация ионов и атомов.

Перейдем к анализу существования и устойчивости пространственно-ограниченных плазменных образований, находящихся в условиях ионной конденсации.

Определение свойств шарового плазмоида

во внутренней области

Приближенный метод, который мы разовьем для указанной цели, будет связан с ограничением — наличием достаточно высоких температур ионного газа:

где постоянная G, характеризующая плотность ионов, связана с постоянной р/ соотношением-

pt = С^и^ = Сге^с^+^ > ©・

Здесь мы использовали решение для постоянной составляющей потенциала между ионами (через промежуточную систему), которое получим ниже. Введем малый параметр ^е ~ 1/仇 и будем

искать решение исходных уравнений в виде рядов

и и0 + гиг + 歯2 + • • •,

ф = еФх + е2Ф2 +. . .,(IX.24)

Q = с ео + еСе1 + 82Се2 + •..

В нулевом приближении получаем

& = а。， А①о = 0,

U«{r) =\^Кц{\г— r'[)Cidr'.(IX.25)

Постоянную электростатического потенциала во внутренней области можно принять равной нулю. Для вычисления появляющегося в (IX.25) интеграла воспользуемся требованием шаровой симметрии.

Введем сферическую систему координат

dr = u2du sin " d" d(p, s2 = ra + u2 — 2ur cos *&,sds = ur sin;

，ur ，

при 0 = 0 s = r — и, при О = л s = г + u. Тогда

r卄"Rr+u弋

Uo(r) =萼口&〃九 \ Кц (s)sds + ^ CiUdu \ K,t (s)sds] • (IX.26) 0r—urr—u

Подставляя в полученное выражение коллективного потенциала парное взаимодействие ионов через промежуточную систему, для первого случая этого взаимодействия (см. главу VIII) имеем

К〃(s)=К〃(s)=cos g+scos g+s"一2勺% (g+)焦"一2勺% (g+)焦(IX.27)(IX.27)

К〃(s)=

К〃(s)=

cos g+s

cos g+s

"一2勺% (g+)焦

"一2勺% (g+)焦

(IX.27)

(IX.27)

и отделяя постоянные члены от осциллирующих % (г) = Го + Го ⑺，

находим

°[1 — 2т^ф(д+)僖]尸'

% = Го [е sin g+E 生卢 + 0 (箱I;

здесь О (l/g+) включает члены, содержащие в знаменателе большое число д+* В постоянной составляющей потенциала Uo знаменатель не может обращаться в нуль, так как % (q+)《0.

Для второго случая взаимодействия

Kit(s) = —sin g+s(IX.29)

叫%(g+)/方

постоянные члены и осциллирующие слагаемые в выражении потенциала UQ (г) имеют следующий вид:

".8吋44

b，(ix.30)

Uq^-^-Oq ^R cos q+R —^+r + r sin q+r 产广 + О (亲)]q*R・

В обоих случаях фигурирует энергия связи % иона со всем коллективом ионов в объеме шара.

Энергия связи в первом случае (в условиях сильной ионизации Ct а 2,7 *1018 сл^-3), принимая ранее вычисленное значение величин]

У q 5,7*10~16 эрг-см, q+ q 109 см-1,равнаl^olr|-o,i 兆.

Для второго случая (при той же степени ионизации), учитывая

у2 |ц q 5,6-10~3 е2, q+ а 104 см-1, получаем

|办1口 I ~ 0m 兆.

Столь значительные величины энергии связи вскрывают причину сцепления частиц в плазмоидах, не имеющих аналога среди нейтральных частиц, находящихся в газовой фазе.

Теперь рассмотрим первое приближение. Для первого приближения (по параметру е) имеем

& (Pi — Ре)1 = &^" (。0 + 九)—(Go + eCei). (IX.31)

Так как & = Се0, то для среднего значения разности плотностей зарядов получаем

6 (Pi - ре)1 =。0 - 日a1 = 0.(IX.32)

Таким образом, постоянная составляющая объемной плотности заряда отсутствует по крайней мере в первом приближении. Отсюда вытекает связь для осциллирующих выражений

е~(рг Ре)1 =0^* Uо,(IX.33)

а также следующие уравнения для электростатического потенциала:

必①1 =4MCtEsin g+E -彳。期了必①1 =4MCtEsin g+E -彳。期了(IX.34)(IX.34)

必①1 =4MCtEsin g+E -彳。期了

必①1 =4MCtEsin g+E -彳。期了

(IX.34)

(IX.34)

для первого случая и

払①I = 4信& 帯(Е cos g+E ^^- + r sin g+E ^^) g+E (IX.35)

—для второго,

Для потенциала U («стороннего» потенциала) в первом приближении имеем

*1 = 一 \隔（什 一"|）d［巨员f。俨）dM（IX.36）

Удерживая главные члены в решении уравнений для электроста

тического потенциала, получаем

(IX.37)(IX.37)4ле2csing+r %

(IX.37)

(IX.37)

eGQ-^Esmg+E—— -^

для первого случая и

皿。警奇(Е cos g+E 用 + r sin 開卓匕)(IX.38)

—для второго. Для потенциальной функции взаимодействия через промежуточную систему в первом приближении получаем

/£(IX.39)

St (q*) = 4n \ K^ (s) ,{s ^dsо

и для разности концентраций между ионами и электронами

е (Pi - Pe)i = - &Е sin g+E争，

i (IX.40)

Е (Pl Pe)u = — &(Е cos g+E 用 + r sin g+E 中)* g+艮

Констатируем:

Возникновение слоистости в распределении заряда, электростатического и стороннего потенциала с малым периодом и с различием в амплитудах для обоих случаев.

Во втором случае, ввиду особого да л ьно действия сил, в первом приближении появляется сомножителем большое число д+7?〜IO?. Это накладывает жесткие ограничения на возможности применения разложения по е в сравнении с первым случаем взаимодействия.

Для сильной ионизации рассматриваемое приближение неприменимо* Для первого же случая при концентрации ионов Ct 〜 〜2,7・l°i8 c№3 критерий малости e приобретает вид 整7・'

это накладывает условие на значение температур:

0/〉0,1 эв.

Для второго случая имеем

при том же значении температуры получаем ограничение на кон* центрацию ионов:

Ci <4- 1012

Перейдем к вопросу о сравнении величин электростатической энергии плазмоида и энергии взаимодействия ионов через промежуточную систему.

Величина электростатической энергии определяется формулой

(IX.41)(1Х.4Г)(IX.41)(1Х.4Г)R we =4~5 е(р»_ о что дает

(IX.41)

(1Х.4Г)

(IX.41)

(1Х.4Г)

Для энергии стороннего поля сил имеем

叩£ ii = -g- \ р"о^лг2 dr =—о叩£ ii = -g- \ р"о^лг2 dr =—о8л / 吃 \28л / 吃 \2¥； (IX.42)¥； (IX.42)

叩£ ii = -g- \ р"о^лг2 dr =—о

叩£ ii = -g- \ р"о^лг2 dr =—о

8л / 吃 \2

8л / 吃 \2

¥； (IX.42)

¥； (IX.42)

здесь введено обозначение

[• • -li.n = 1[• • -li.n = 12mtibj (g+)2mtibj (g+)罕成团）6罕成团）6

[• • -li.n = 1

[• • -li.n = 1

2mtibj (g+)

2mtibj (g+)

罕成团）6

罕成团）6

Сравнение величин электростатической и сторонней энергии

приводит к неравенству

I ^ I > I IFE |.

Зависимость энергии стороннего поля сил от радиуса конфигурации при постоянном числе ионов в плазмоиде:

N = ^- В^С^ = const,

—(IX.43)

обратно пропорциональна кубу радиуса конфигурации. Таким образом, уменьшение радиуса ведет к выделению внутренней энергии в системе. В этом можно видеть механизм перекачки энергии от его источника к процессам излучения и ионизации в плазмоидах.

Величина полной энергии сил притяжения в плазмоиде при Н 〜10 см и прежних значениях коэффициентов у2, &, д+ составляет 〜50 дж.

Таким образом, основной вопрос о природе и величине энергии в естественных плазмоидах решается развиваемой теорией.

§ 4・ Определение состояния плазмоида во внешней области, в окрестности границы

Перейдем к выяснению состояния среды во внешней области, по отношению к плазмоиду. Целью рассмотрения является уяснение влияния сильного поля сил притяжения на ионы внешней среды со стороны внутренней области.

Наложим естественные условия на решение соответствующих уравнений во внешней среде.

Эта область должна характеризоваться меньшей ионизацией, меньшей температурой и давлением в сравнении с внутренней областью:

(Р‘，％ P')t,e V (р, 0, P)i,e

(для всех г〉Н)・

Во внешней области могут существовать поля скоростей перемещения среды по отношению к внутренней области плазмоида. Количественно характеристики перемещений определяются моментами функций распределения нейтральной и ионной компоненты:

跳=，vfdv, 争珅= \ (Уа — иа) (Ур — Up) / dv.

(8)(ОО)

Нужно ожидат^важную роль сил притяжения, действующих на ионы внешней области, источниками которых являются ионы, расположенные во внутренней области плазмоида.

Поле сил притяжения характеризуется потенциальной функцией

Rгфи

U (г) = §~\ Gu du，К^ (s)sds, r> R.

0r—U

Под влиянием этого поля сил должна возникнуть ионная поляризация в среде, окружающей плазму. Задача теории ——уточнить, насколько эта поляризация является существенной в балансе электростатических и сторонних сил.

Исходным уравнением для ионов является

亲 +。研 一 ^" %0+ ①)V/ = 0(IX.44)

и аналогичное для электронов. Переходя от функций распределе- пия к моментам, находим

[тр ^-^- + 跳 V,跳 + Vp — ре^] = 0,

Г^+а^Ц е = о,

(IX.45) div e^ = 4ne2(p—Ре), ?-Еи = -^r(U+ U'), [р - Р0];,е = 0,

昨 “№-М|）р«）ЗМ0 =i氏：（匕一门）生（力卜沁协‘.

В этой системе неизвестными являются 跳订 ие, р», ре — всего 8 величин, при этом & и 0е должны быть заданы извне. Число уравнений для определения 8 величин ——оказывается тоже 8. Три последних соотношения конкретизируют уравнения состояния и напряженности стороннего поля сил, входящих в первые уравнения системы.

Сделаем предположение, оправдывающееся вычислением, что ионная поляризация под влиянием сил притяжения, исходящих из внутренней области конфигурации, велика в сравнении со средним значением концентрации в среде. Это позволяет и во внешней среде ввести малый параметр, характеризующий малую концентрацию электронов в областях значительной ионной поляризации (ре ере), и положить

Рг РгО + 叩杜 + е2Рг2 + • • • »

Ре = 6pel + е2Ре2 + …， (IX.46) Е? = Е^ + еЕ% + 日叨^ + .…

В первом приближении получаем

^iPio ("^" + 跳Vr)跳 + Vrp — pjo (yE^ 十 eEo)t

div e_E° = WPl0, 同=—©+ Us),

2л『审(IX.47)

U (г) =^г-\ CiUdu \ Ka^sds,

Ог—и

u3 = \(m々一m)師 С) dr|.

Будем рассматривать решение этой системы в частном случае: 1) слабых потоков перемещений во внешней среде; 2) слабых градиентов давления, за счет меньших температур ионов во внешней среде; 3) малости самовоздействия ионов в областях ионной поляризации, обусловленной малой толщиной поляризационного слоя, в котором перестают действовать сторонние силы.

Последнее ограничение должно быть оправдано вычислением толщины слоя поляризации ионной компоненты. При соблюдении этих условий уравнения для внешней области сводятся к следующим:

咨^ + еЕго = 0,

div еЕ0 = 4ne2pi0,——桌=уЕ^ (IX.48)

Rt~|~u

и = -^-^ CiUdu j Ku(s)sds.

o qr—u

Полученная система дает возможность определить:

поле сил притяжения во внешней среде,

напряженность электрического поля,

концентрацию и плотность заряда в областях ионной поляризации.

Рассмотрим стороннюю потенциальную функцию и соответствующую ей напряженность сил притяжения во внешней среде; имеем*

и (г) h =——5~竺^产什 E cos g+E + О ,

(IX.49)

О(r)In =

=-川[；^；+)/方]М [(中 Е sin g+E + sin+

+ 3 cosfr cos g+ E — sin q+r sin q+B + О ^-^-^j .

Напряженности полей сил притяжения усредним по различным значениям радиуса конфигурации в интервале, большем характер-Напряженности полей сил притяжения усредним по различным значениям радиуса конфигурации в интервале, большем характер--|- q+ sin q+6 + /- q+ cos q+3),-|- q+ sin q+6 + /- q+ cos q+3),4n沁 1*叫力#)/用#4n沁 1*叫力#)/用#где положено г = 7? + 6.

Напряженности полей сил притяжения усредним по различным значениям радиуса конфигурации в интервале, большем характер-

Напряженности полей сил притяжения усредним по различным значениям радиуса конфигурации в интервале, большем характер-

-|- q+ sin q+6 + /- q+ cos q+3),

-|- q+ sin q+6 + /- q+ cos q+3),

4n沁 1

*叫力#)/用#

4n沁 1

*叫力#)/用#

Замечаем, что в обоих случаях напряженности полей сил притяжения, действующих на ионы, направлены вглубь конфигурации (рис. 19) и поэтому приводят к

«захвату» ионов из внешней среды к границе конфигурации.

Напряженности поля не изменяют своего направления в интервале значений толщины слоя 6, д+6《 л. Эта толщина слоя оказывается весьма малой: 6卜~ 几。10-9e加，6)п^Л-10~вел^,

ато, однако, является допусти-рис> <9

мым в нелокальной теории.

Заметим, что приведенные выше расчеты не учитывали члена самовоздействия Vs, обусловленного «захваченными» ионами. Основанием этого является малая толщина области поляризации 6.

Ранее мы видели, что силы взаимодействия через промежуточную систему исчезают на малых расстояниях $V 硒max； можно не учитывать при условии W gmax*

Перейдем к рассмотрению важного свойства среды в окрестности конфигурации — наличия аномально высокой плотности

ионов и ионного заряда на границе плазмоида.

Из соотношений (IX.48), (IX.49), где выбрано г = Н 十 6,

следует

(IX.51)(IX.51)= 一而一2飞；;而+)伍]，[cos产+cosQg+E+户)], 化|п= м£；+)/用 3 [-cos °* 便+fl)sin °F • e—

(IX.51)

(IX.51)

—sin+ 6) • cos q+R — 3 盘-cos q+ (R + 6) cos q+R +—sin+ 6) • cos q+R — 3 盘-cos q+ (R + 6) cos q+R ++ sin q+ (R + S) sin g+dj .

—sin+ 6) • cos q+R — 3 盘-cos q+ (R + 6) cos q+R +

—sin+ 6) • cos q+R — 3 盘-cos q+ (R + 6) cos q+R +

Для значений плотностей р» 卜 и рг (ционов, после усреднения по радиусу R конфигурации, получаем

8“1 — 2m~3 (д+)/用8“1 — 2m~3 (д+)/用cos q+6,cos q+6,(IX.52)(IX.52)

8“1 — 2m~3 (д+)/用

8“1 — 2m~3 (д+)/用

cos q+6,

cos q+6,

(IX.52)

(IX.52)

叫勺% S+)值1 /

Относительное уплотнение ионов по отношению к концентрации их внутри конфигурации &для пер-

I、Rвого случая увеличивается прибли-

4gзительно в ?%? ~ 104 раз.

IПлотности вероятности местопо-

г*—*^ложения ионов не могут быть отри-

^Кцательными величинами, поэтому,

\ Iрассматривая их как функции рас-

\ jстояния 6, отсчитываемого от грани-

\|цы конфигурации, мы должны огра-

Н^Г ничиться максимальным значением

Z夕+интервала 6, внутри которого эти

плотности положительны, т. е. велж- Рн" 2°.ЧИНОЙ бтак =冗/2@+ (рИС. 20). ПОС

КОЛЬКУ толщина слоев с аномально высокой плотностью ионов мала, введем понятие поверхностной плотности о:

1一2叫脸（9+）传1一2叫脸（9+）传———(IX.53)%% (g)值J———(IX.53)%% (g)值J

1一2叫脸（9+）传

1一2叫脸（9+）传

———(IX.53)

%% (g)值J

———(IX.53)

%% (g)值J

Напряженность электрического поля, создаваемая поверхностным слоем ионного заряда, и сила, действующая на единицу поверхности слоя, равны

е?о = 4门66，居•()=纥宙?()/2 = 2n (со0汽

От локального уравнения, описывающего состояние ионной среды, [тр (-|^ 十 и^^ 跳 + Vrp — р (诵° + еЕ)( = 0, (IX.54) справедливого в каждой точке ионного слоя и вне его, нужно отличать интегральное условие равновесия на поверхности, ограничивающей конфигурацию.

Интегрируя почленно локальное уравнение по толщине слоя высокого уплотнения ионов, имеем

岁Т4+冗

\ Vrp db = р' — р, \ eEop do = е^仇，

咨r+6 й(IX.55)

\ yEopd8 = yEoait

где Gt — поверхностная плотность ионов: % = Нт (рЛ), рz- • /if)九

При переходе к интегральному условию инерциальные члены мы опустили, вследствие стационарного состояния конфигурации.

Ввиду малой толщины слоя £ Vn/qmax, собственное поле сторонних сил, создаваемое слоем, исчезает, так как в этом случае К и ⑸=const.

При указанных предпосылках граничное условие на поверхности плазмоида принимает вид

р' — р = %уЕ^ + F* ^ "° е%.(IX.56)

Присоединяя полученное выше условие локального равновесия между £^ и Er。(IX.48) и выражения для ErQ, Ег0 в случае шаровой конфигурации: Ег0 = О, Ег0 = 4леай граничное условие можно записать так:

р' — р = — 4л:(呐)2 十 2л (е%У =g^- <0. (IX.57)

Таким образом, притяжение слоя внутренней областью конфигурации

yE^i = — 4л (ео»)2

превышает отталкивательные электростатические силы в поверхностном слое

"rо + 约'0分一/ \2

,= 2л (呐尸

на величину плотности электростатической энергии на поверхности слоя. В результате условие равновесия компенсирует это различие перепадом давления. Давление внутри конфигурации превышает внешнее давление на величину £雜8冗・ Для ； использо-

ванных выше значений перепад давления может составлять величину порядка 10 атм.

Перейдем к рассмотрению состояния электронной компоненты вне плазмоида.

Пренебрегаем средними значениями скоростей и ускорений перемещения электронов относительно конфигурации, подобно перемещениям нейтральных частиц, т. е. членами

т^Ре (%£ I-观〃т)观伊

На достаточно большом расстоянии от области поляризации ионной и электронной компоненты плазму, окружающую плазмоид, будем считать нейтральной:

Ре = Pi = р (0) = const.

Воспользуемся уравнением состояния для электронного газа в форме

Ре = вере-

Тогда исходное уравнение для электронов принимает вид

0eVpe + ре б-®0 = 0(IX.58)

(div eEQ = 4门済(р, — ре)).

Отсюда в линейном приближении получаем

“А (Ре 一 р (0)) + 4戒2P (0) (Ре 一 р (0)) = 0,(IX.59)

ато совпадает с уравнением дебаевской поляризации электронного газа при наличии положительного фона.

Сферически-симметричное решение этого уравнения есть

Ре ⑺一Р(0) =%2= 4ле；Р(0).

Если р (0) ~ 2,7 -101в с№3, Те ~ 300 °К, то толщина области электронной поляризахщи Хд составляет ^10~б см.

Дебаевская поляризация вокруг ионного слоя уплотненной концентрации создает двойной электрический слой. Электростатическая энергия внутри двойного слоя равна

Wa =入Д4П¥ =等一4Мд

"\ 8Л丿 42 叫 2 — 2勺% (g+)/方]2 g+24

и аналогично — для второго из рассмотренных выше случаев взаимодействий.

Резервуаром энергий в плазмоиде является поле взаимодействий через промежуточную систему

жи = |жи = |81t丫臂

жи = |

жи = |

з g+2 H — 2加产 j (g+)/用

одним из проявлений которого является наличие ионного слоя и электростатической энергии внутри двойного слоя.

Необходимо существование неравенства Wu〉Жд, что приводит к условию, накладываемому на величину радиуса конфигу

рации:

(IX.60)(IX.60)Е 卜〉而 е? 口一 2；* (g+)/用 Хд，

(IX.60)

(IX.60)

Используя ранее введенные оценки коэффициентов, получаем (в обоих случаях взаимодействий) Н》1 см.

Перейдем к выяснению возможности ионизации атомов внутри слоя дебаевской поляризации электронами, прошедшими разность потенциалов внутри этого слоя, для чего необходимо

、 2U2c

где w — энергия ионизации атома, &()— напряженность электростатического поля на поверхности уплотненного слоя ионов.

Полагая Хд ^ 10~б см, у2 〜5,7-10~16 эре • см в условиях атмосферы и & ~ 2,7； 1018 смГ3, получаем еЕ?満д ~ 20 эв. Для атомов азота 出〜15 эв.

Таким образом, в рассматриваемой модели плазмоида имеется фактор, ведущий к самоподдерживанию процессов ионизации и возбуждения атомов.

§ 5. Устойчивость конфигурации по отношению

к изменению формы ее поверхности

Устойчивость ионной среды по отношению к объемным возмущениям анализировалась в § 2. Устойчивость шаровой конфигурации по отношению к малым изменениям формы, ограничивающей поверхности, будем рассматривать, допуская:

возможность использования аппарата первых моментов от функции распределения ионов

р &,t)= ^ f(r,v,t)dv, p(r,t)u(r, 0 = ^ «/ (Г,«, о dv,

(8)(ОО)

砂*Р = ^ (ух — Их) (% — Мр) fdv = рбмх； (°°)

исключение объемных деформаций плотности

p е，0 = ро ") + 6р ("，0, бр (г,力)三 0 н« только далеко от поверхности, но и вблизи нее.

Это предполагает следующее:

(Ро + бр) 6м Q роЗм, (ро + g) 6_Е Q роЗЕ,

明6р У роб砚，Робр V робр,

где 6% 5Е, 6_Е^, 6р — характерные величины, зависящие от деформации поверхности;

плавные изменения величин, вызываемые деформацией поверхности, в сравнении с пространственным периодом 2л/^+ стационарного состояния:

аз% 廿 + абе^ 廿 + аз% + 况P ％ +

В этом случае возможно усреднение невозмущенного состояния по пространственному периоду 2л:/д+, так что

Зоб)〉= Ро = const;

допустим также, что собственным полем сторонних сил, вызванным поверхностным слоем, можно пренебречь. В стационарном состоянии собственное поле частиц внутри слоя повышенной ПЛОТНОСТИ отсутствует ВВИДУ малой ТОЛЩИНЫ слоя бтах = л72д+ (см. § 2 главы IX). Наличие деформаций с радиусом кривизны на поверхности, превышающим толщину слоя, не может вызвать изменения этого факта.

Поверхностную плотность ионов, которая характеризует уплотненный слой, при наличии деформации можно представить в виде

s = So + 6。戸・(ix.61)

Соответствующий электростатический потенциал удовлетворяет уравнению Лапласа вне и внутри конфигурации

Д6Ф = 0;

решение его для внешней и внутренней области таково:

6①；=Е〉《+1)吗(cos О), Г > Е,qx 62)

6ФП = %产明 (cos 今)， r《凡

где 明(cos 仆)—функция Лежандра, при этом потенциал непрерывен при переходе через деформированную поверхность:

6 ①/r+o = 6 ①n |r+o・

Возмущенные значения электростатических полей вне конфигурации имеют вид

^Епг = — (*^~6①Jr = 3润《+2)(孔 + 2)孑也(cos ®), [х 63)

6Ka =-(鳥 6Ф；)Й = е涵％•«野俨(cos 8)..

ЗдесьЗдесь孥？）（cos 分）=—孥？）（cos 分）=—a% (cos 9)a% (cos 9)

Здесь

Здесь

孥？）（cos 分）=—

孥？）（cos 分）=—

a% (cos 9)

a% (cos 9)

и аналогично для внутренней области

(IX.64)(IX.64)6斗г = — ennRn~^n (cos 分),6晶6 = %RE理)(cos 分).

(IX.64)

(IX.64)

Баланс всех сил выражает условие равновесия деформированной заряженной поверхности; к нему необходимо присоединить кинематическое уравнение для изменения со временем формы самой поверхности [40] и уравнение поверхностной дивергенции электрического поля:

U-Eq ^Л

mya^ro +21- жр = mp\ -^- = fm fmVr (mv)]|,

(IX.65) m (Ef — E) = 4ле%・

Здесь m — единичная нормаль к деформированной поверхности, 0 — скорость перемещения точек поверхности, та^Е^—поверхностная сила, создаваемая полем сторонних сил от источников, находящихся внутри конфигурации.'

В балансе сил мы опустили инерционный член mm dv/dt, ввиду его малости по сравнению с другими членами, что оправдывается последующими результатами.

В равновесии (при отсутствии деформаций) вектор ж направлен вдоль радиуса (& = 0); учитывая, что при этом Е = 0, имеем:

Ро —卩=SoY 笈 X H—g- eSoErm

Его = 4лестго.

Присоединив сюда выражение для ?£%

?廓=_4标60,(IX.48')

получаем

Po — Po = 2л (e%o)2 =—急 E：q,

что совпадает с условием равновесия недеформированной шаровой поверхности.

При наличии деформаций для получения решения векторного уравнения

器=[т [mV(m«)]](IX.66)

полагаем

ж = ж0 + бяг/з 叫

где т0 имеет компоненты по осям г,仆，а:

w^o = (1, 0, 0)・

Тогда

Г_ _ dv '

[mV [mv]] = 0-mr,ma

[m [mV [mv]]] = 0-mr, — ^^та, 0»ma Если учесть, что

(芻次俑0，

решение для бтп принимает вид

6тПг = 0, 6тпа = 0,

(IX.67)(IX.67)(IX.68)(IX.68)Допустим, что изменение радиуса при деформациях описывается шаровой гармоникой

(IX.67)

(IX.67)

(IX.68)

(IX.68)

6г = — апГ^тг^п (cos 仆)с'"叫

тогда радиальная компонента скорости есть

% = - an心必严J為(cos "产叫

и, следовательно, компонента 6тп^ такова:

8тп^ = — аптгНп-2д^п^ (cos ^).(IX.69)

В итоге уравнения для возмущенных значений напряженности полей, величин давлений и изменения проекций единичного вектора ж приобретают следующий вид:

丫后^6(1冗 + е%<)—^^—™ Н—^- Er@e60n = 6/?п — 6pn,

yE^oiQ8mn^ + eai0"^。斗& = ® — p0)6侬& (IX.70)

ЗтПпб = — %孔区1 務° (cos 仆)，6E；r — 8Enr = 4ne6an.

Эти уравнения и должны определить устойчивость или неустойчивость конфигурации, по отношению к поверхностным деформациям. Из первого и последнего уравнения системы, учитывая (IX.48'),

получаем

ео,о ЬЕпг = 5рп — 6Рп・

Выразим разности давлений, обусловленных деформацией, через амплитуды шаровых гармоник.

Возникшее изменение давления бр^ от наличия деформации поверхностного слоя передается в окрестные точки конфигурации.

Ранее мы исходили из приближения, что в окрестности границы конфигурации можно пренебречь сжимаемостью среды при описании поверхностных возмущений. В этом приближении изменение объемных электрических и сторонних сил не имеет места, поэтому появление давления бр^ в точках, близких к поверхности, может компенсироваться только инерционными силами:

mpf - = брп，Абфп = 0, г < Е,

тр，=^^ = 6р；, Дфп =0,

где тир и тир'——материальные плотности сред, 6屮也 и 6(рк ——потенциалы скоростей перемещения, которые на основании предыдущего выр аж аются так:

6(рп = оц^сОпМ砂n (cos 仆)*叫

6(pn = аЬсо/Е。吗(cos 仆)^如乙

Условие непрерывности нормальных компонент скорости при переходе через границу раздела

dr в-о — dr R+o

приводит к связи между коэффициентами 0n и 咪

Учитывая связь изменения потенциалов скоростей с изменением давления, получаем

брп = — тпрап(оХй^п (cos "),

6р； = — 7пр/ап(оХй_(п+1) ^nj(cos ")•

Возвратимся теперь к полученному выше критерию устойчивости

ВобЕтгг = 6р^ — ^Рп и учтем, что

8Епг = — еппЛ^т崛(cos ");

тогда имеем

—%00初严一1 呼n (cos О) = an —^ ^ [пт^' + 仇 + 1)тпр]為(cos 今). Это соотношение позволяет определить знак квадрата частоты поверхностных колебаний. Для определения знака необходимо знать соотношение между амплитудами еп и an. Будем исходить из полученного выше выражения для 仇компонент

OjoY 段/т^б + ест；。—吧-^—— =(Ро — Ро)6тп®.

Используя соотношения

?Е% = —4ле2а^0, р0 一Ро = —2л (eai0)2, получаем

3£"g + 341G9 2 2 с

ео$о2=

Привлекая выражения для величин 8En^t ВЕп&, Smn^ и связь между коэффициентами е.п и еп

еп =%?计1,

которая получается из непрерывности электростатических потенциалов 6ipn и 6屮К находим

2ле(з,0п®п =%^"

Это соотношение позволяет оценить роль инерционных членов, которыми мы выше пренебрегли. Сравнение с электрическими силами дает

msiodvr/dtm礴 ％_ а Я

Используя полученное значение частоты, имеем

^dvrldt 1 h(n + 1)^.

吟 об* = FЯ — 0，

где Л — толщина поверхностного слоя: а^0/р^0 = Л.

Воспользуемся связью между еп и an:

孔2(孔+ 2)孔2(孔+ 2)七2七2(IX.71)(IX.71)—Ene%onR"T承* (cos 令)=an ^7y [mp'n + mp(n + 1)] ^ (cos ")； тогда приходим к дисперсионному соотношению для поверхностных колебаний

孔2(孔+ 2)

孔2(孔+ 2)

七2

七2

(IX.71)

(IX.71)

8л R2[mpfn + /пр (п -|- 1)]'

Оно указывает на абсолютную устойчивость рассматриваемой конфигурации по отношению к изменению ее формы, так как при любом значении номера к > 1 磋〉0・

ГЛАВА X

СТАТИСТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ «САМОСБОРКИ» АНИЗОТРОПНЫХ СТРУКТУР ИЗ ИЗОТРОПНОЙ СРЕДЫ

§ 1. Постановка задачи и метод решения

Образ «самосборки» введен биологами для объяснения процесса образования оболочек простейших вирусов из разрозненных белковых субъединиц при отсутствии прямого влияния нуклеиновых кислот на этот процесс. Это явление близко к процессу кристаллизации и должно подчиняться законам статистической физики [411..

产 Е Возникает вопрос: может ли молекулярно-статистическая теория, основывающаяся на сферически-симметричных взаимодействиях, не постулируя наличия каких-либо анизотропных зародышей или манипулируя какими-либо граничными условиями, привести к выводу о спонтанном появлении анизотропных структур из однородной и изотропной среды при повышении ее плотности или понижении температуры? Целью настоящей главы является получение положительного ответа на поставленный вопрос. Причиной появления анизотропии является специфическая нелинейность исходных нелокально-статистических уравнений, описывающих статистическую динамику частиц, участвующих в самосборке.

Пусть / (г, 0, t)——функция распределения, определяющая поведение центров тяжести некоторых субъединиц, сохраняющих свою индивидуальность в процессе фазового перехода от пространственно-однородного распределения к анизотропным структурам. Для этой функции исходным является уравнение

竺：')+ fVJ - 4 Vrt； {/} VJ = о,(X.i)

U {f}= ^ &2 (|r —r,|)/(r,, ◊, t)dr' dv +

+ \§ &аз (I »* — M I，\r' — r"\, ”一*|)/5, ◊', 0 X

X /(rff, if, t) drf"“ M dv\

В условиях стационарного состояния (dldt = 0) выделим класс температурных распределений, определяя их требованием статистической независимости распределения по скоростям от распределения частиц по координатам:

/(г, t?) = ш(у2)р(г),，ш(у2)dv = 1.

После подстановки в исходное уравнение находим

0 (或)=(备 『 exp (一需)，p(r) = Po exp[-安], где 0 ——параметр, появляющийся при разделении переменных. Для молекулярного потенциала U (г) получаем основное нелинейное уравнение

и(**) = Ро \ К12 ехр [—■^^]d" +

+ Ро * К123 ехр [— -^^j exp [— ^^]协'dr" (X.2)

(°0)

или, переходя к безразмерной величине 屮(>)=——U (r)/0:

q)(r) = X § &2毋5以，'一九汨 $ K^r'^(^dr'drf, (X.2‘) (°°)(«>)

где A = —po/8・

В дальнейшем предположим, что трехчастичное взаимодействие не нарушает центрального закона сил

&23(|> 一 门，Q->I b - >"|) = K123(什一门，屮一产|).(X.3) Нелинейное уравнение имеет пространственно-однородное решение

屮(>)=С = const,

при этом постоянное значение С удовлетворяет трансцендентному уравнению

С = Хеса12(0) 一 Х20е2^а12з(О),(Х.4)

где обозначено

3(0)=，&仆一“|)切‘，

(°0)

。123 (0) = К &23 (々一门，々一 * I)切‘切”・

(00)

Трансцендентное уравнение разрешимо при любых значениях температуры и плотности в случае

J2(O) > 0 и а123 (0) < 0.

В обратном случае имеется граница существования этого решения, которое определяется из условий касания кривых

у】=С, % = М° J2(。)一 ^婚为^⑼(Х.6)

как функций параметра С.

Пространственно-однородное решение должно быть устойчиво по отношению к изменениям плотности. Это требование приводит к следующему условию на^фазовую скорость распространения продольных волн в системеГ

陪+^+・・〉。，

выведенному для длинных волн (см. гл. IV). Отсюда заключаем, что необходимо рассматривать первое условие а (А) как более предпочтительное.

Возникают следующие задачи:

Определить характер новых состояний, в которые пространственно-однородное распределение при определенных условиях на параметры задачи может перейти.

Определить условия на температуру, плотность среды и силы молекулярного взаимодействия, при которых возникают структурные решения.

С помощью анализа нелинейных уравнений выявить, какие именно математические задачи приводят к появлению тех или иных структур из изотропного и однородного распределения.

Первые две задачи решаются путем линеаризации исходного уравнения около однородного распределения.

Положим

:屮⑺=С + 6ф ⑺，|6ф ⑺ I У С. (Х.7)

Ограничиваясь линейными членами в (Х・2‘)，имеем

С + 6ф(г) = Хст12(0)ес + ^ес，К掃屮俨)d“一

—炉呢2c J J К1236cp b) dr' dr"—

—V9 $$ &1236tp(N)dr'dr' — X20ct123(O)его.(X.8)

(8)

Вводя обозначения

2 = xec,к(\г-т'\)= &a - x*e(K 風 + 片2§),

К施=S S23(々一円，\r-T^dr,, (°0)

к面=, &23(々一"1, \r-r"\)dr",

линейное уравнение (Х.8) для 3屮(г) можно записать так:

3屮(>)=入第，К(|> — ^ |)^Ф (r^dr9.(Х.9)

Будем искать решение этого уравнения в виде суммы пространственных гармоник

+N

где Cm = C：m・ Числа N и Cm в линейном приближении остаются произвольными.

Подстановка дает условие разрешимости (дисперсионное уравнение) для этого класса функций

- in^ к (s) ^^- s2 ds = О(Х.10)

О

или

1 - Х*а (%) = 0.(Х・10‘)

При наличии значительных сил отталкивания на малых расстояниях и меньших сил притяжения на больших — функция о (А) имеет вид, указанный на рис. 3. Наличие минимума функции в области отрицательных значений и (А) обеспечивает существование решения дисперсионного уравнения при достаточно малой величине V.

Два критических значения: для волнового числа и параметра 入* — определяются условиями

警卜』=О' 5 = mino3)|f. (Х11)

Для нейтральных атомов при К^з = 0 мы конкретизировали К12 (I г — “)двумя типами формул (см. гл. II, § 4 и гл. VI, § 7), что позволяет конкретизировать связь между температурой, плотностью и силами молекулярного взаимодействия на границе перехода между бесструктурными и структурными состояниями среды, если воспользоваться тем или иным представлением для k12(|L一"|)■

Линейное уравнение определяет только модуль волнового вектора, но не фиксирует его направление в пространстве. Между тем комбинация гармоник с разным направлением векторов кт определяет различные структуры.

Возникает вопрос: не накладывает ли «нелинейность» каких- либо ограничений на эти направления, а также на соответствующие амплитуды Ст? Ниже покажем, что структурные решения у нелинейных уравнений возникают в двух различных задачах.

Задача 1. Рассматривая температуру и плотность как внешние параметры, поставим задачу о возникновении структурных состояний среды как задачу на ветвление решений нелинейного уравнения от исходного решения, с однородным и изотропным

распределением плотности. Если е — малое изменение параметра 入*, то полагаем

入* =結+ e,

6ф = е1//16ф1 + £2,力3屮2 4- е3，,,6ф3 + ・.・，(Х.12)

где п ——число «ветвей», которое теория должна определить, так же как и молекулярный потенциал (и плотность) в структурах. Задача 2, Будем предполагать существование прямого и обратного влияния между значениями плотности среды и температуры, с одной стороны, и самими структурами ——с другой, и искать появление структур как решение задачи на собственные значения параметра X* и собственные функции 6ср, полагая в основу другое представление решения:

% = К + 办：+ &2播 + . . .,(Х.13)

Зср = e3,i + е26ф2 + е3^Фз + ・・•，(Х.14)

где коэффициенты 入:，入；и т. д. являются новыми степенями свободы в задаче 2, по сравнению с первой задачей.

Каждая из задач приводит к структурам различных типов. Для обеих задач будем искать решение первого приближения в виде

= e⑴+ 1 爲廿%"，(X.15)

в точке возникновения самих структур модуль вектора | кт | должен удовлетворять дисперсионному уравнению (X.IO*), которое при простейших предположениях о функции а (А) имеет только один корень

碌三 а? = const.(Х.16)

С возрастанием числа N гармоник в предполагаемом решении возрастают усложнения самих структур. Рассмотрим, какие именно структуры соответствуют простейшим случаям (N = 1, 2, 3,4);

N = 1; это соответствует периодически расположенным слоям в одном измерении, с простейшим распределением молекулярного потенциала в них

3屮1(尸)=& cos />, I % I =。；(X.17)

N = 2, в этом случае возникают слои в двух направлениях 6фх(г) = А2 cos 的> + А3 cos®，(Х.18)

I % I I “21 =。

и однородные прямоугольные призмы

3屮式尸丄)=4 cos kyX cos куу,"； + 屛=吟 (Х.19)

1/а8 А. А. Власов

N = 3, комбинируя случаи а) и б), получаем прямоугольные призмы с периодической структурой по оси z

3q)i (戸)=』5 cos kxx cos "иу + A6 cos kzz, (X.20)

kz = aMkx + 欣，

слои в трех направлениях

3屮1(>) = 4 cos %> + Л8 cos 期> + 4 cos "з*(X.21)

"1 +电+仆户。，就=雇=7c? = a2

и гексагональную призму, однородную по оси 2,

3中1(力=/ m(cos 左口 + COS 右2г + cos k3r), 电 + 期 + % = 0；()

TV = 4; гексагональная призма с периодической структурой по оси z

6ф1(7,) = ЛПСО8 "zZ + ^12(cos 电矛 + cos 施> + cos k3r), (X.23)

"1 + “2 + 右3 = 0, "z = I "1 I I “2 I I “3 I = a

и прямоугольная решетка

3屮i(>) = /iscos 汽步 cos kxy cos "zZ,

届 + 德 + E = a2.(X・24)

Тригонометрическая форма представления гексагональных призм, с замкнутым треугольником волновых векторов, использована, в связи с другой задачей, в работах [42].

В рамках линеаризованного уравнения все указанные решения правомерны и равноправны. Возникают, однако, вопросы:

Поддерживает ли учет нелинейности существование подобных решений?

Выделяет ли этот учет определенные решения (структуры) как особо предпочтительные?

§ 2. Теоремы о <(самосборке»

Теорема 1. Разложение вида

# =储 + %(Х.25)

6(р = £%3ф1 + е6(р2 + еэ/г^Фз + ・•・

приводит к решению, описывающему возникновение структур из пространственно-однородной среды. Эта задача относится к математической проблеме ветвления решений у исходного нелинейного интегрального уравнения. Условия ее разрешимости приводят

к возникновению структур простейших типов, но появление гексагональной структуры (N = 3, "1 + Л52 4- Л'3 = 0) запрещено.

Подставляя указанные разложения (Х.25) в уравнение (X.2J (Ф (г) = С + Зср (г)), приходим к следующей системе последовательных приблюкепий:

С -爲。12(0)-炉汨。123(0) = 0,

бф! - х* \《(々一М|)6б(М)如' = 0,(Х.26)

6ф2-Х* J К(]г-”I)6б(”)dM = 012(0)-2储е%з(0) +.

*

+ 諸 У K("-“)-|-36gdM —

—精％ ㈠ /Г1236ф1 (rz) 6cp2 (r") dr' dr",

Из второго уравнения следует отсутствие постоянной составляющей потенциала

С(^ 三 О,

так как из дисперсионного уравнения при km^Q следует

1 —储о (0)声 0.

Замечаем, что однородные части уравнений каждой строки имеют одинаковый вид:

% {询方=6*⑺一帰，《 (I»• - " I) 60(")dr'= 0. (X.27) (8)

Поскольку ядро в (Х.27) зависит от модуля разности, интегральный оператор Z {6q)j} является самосопряженным, т. е.

У2 {/}> = 6 {g+廿〉，(Х.28)

где угловые скобки обозначают интегрирование по координатам во всей области определения, g+ и / — любые комплексные функции.

Выберем вместо g+(尸)решение однородного уравнения

4 (g+) = 0, т. е. g+ (г) = ^^ ^ Шп (г), а вместо функции / (г) — решение неоднородных уравнений нашей системы. Тогда

〈加t ⑺，％ {бф((^)}> = <^+{шп(г)}6ф^г)> = 0.(Х.29)

Это условие самосопряженности оператора £ одновременно является условием разрешимости неоднородных уравнений системы, так как оно включает в себя условие ортогональности правах частей неоднородных уравнений к решениям однородного уравнения.

Рассмотрим условие разрешимости порядка е2. Общая структура решений состоит из следующих гармоник:

= 6⑴十』明产

限=宀+ 2嘘产"j+ 2啕（x.30）

При этом &D = 0.

Условие разрешимости порядка е2 принимает вид

<ш；.Ж{6ф2}> =［52（0）一2精8523（（））］〈底〉+

+ ^^ ［货 0r（I 翫也 + 句）-九;0Ol23（Un I，I 心 I）］= 0,

（X.31）

где обозначено

。（1% + 句）=J k（|7， 一 叫）/（%+*a'a?•'，（ос）

-（Х.32）

0】23 （I % I，I 也 I） = " &23 （I r 一门，I 2, 一 厂"1）产'）吸6Г%，0"'.

（8）

Разобьем область интегрирования па целое число кубиков, ребра которых кратны периоду 2л/| кт |. Тогда

〈評『）=〈加）=0.

Для оставшегося члена в выражении （Х.31） возникают две возможности:

Геометр ическ а я сумма векторов

^n + f^m + 的=0, I fc/i I = I Mn I I A; J — a обращается в пуль при произпольпых значениях n, т, I; тогда 〈WA©?n⑵〉=# 0 и для выполнения условий разрешимости <Шп.Ж {6（р2}> = 0 необходимо обращение в нуль коэффициентов при амплитудах С\¥С「：

~^~ О （I 州п +向 I） — ^0 9^123 （I "m I，I 危 I） = S

Последнее равенство, однако, является новым ограничением па волновые векторы (новым дисперсионным уравнением), которое, вообще говоря, несовместимо с (Х.10') (где 入工储).

Приходим к заключению, что появление структур, для которых волновые векторы образуют треугольник, запрещено ужо вторым приближением исходной системы уравнений.

На основании сказанного в § 1 этой главы запрещенными структурами являются гексагональные призмы.

Геометрическая сумма векторов отлична от нуля; кп + кт + Т-左!卢 0, тогда условие разрешимости выполняется без каких- либо дополнительных условий, так как

О；〉= 0,〈叫"т”》= 0.

В этом случае появление простейших структур (периодические слои в одном, двух, трех измерениях, прямоугольные призмы, прямоугольные решетки) оказывается возможным.

Смысл первой теоремы заключается в утверждении, что появление указанных структур является фазовым переходом, поскольку нарушается аналитичность функции 3屮(尸)в точке бифуркации 入* =蹴 ввиду наличия ветвления решений. Конкретизация неаналитичности требует определения величины малого параметра е путем разрешения высших приближений. Наличие конечного значения малого параметра при решении нелинейных уравнений известно из некоторых нелинейных задач гидродинамики и теплопроводности [42].

Если окажется, что разрешимость высших приближений потребует не равного нулю значения е, то налицо фазовый переход первого рода, в противном случае могут иметь место фазовые переходы высших порядков.

Мы ограничились рассмотрением только второго приближения. Получение высших приближений в близкой задаче рассматривалось в [7, 8]. Заметим, что в высших приближениях амплитуды гармоник С^\ 爲)，… определяются через температуру, плотность и силы молекулярного взаимодействия. Заметим также, что в условиях теоремы свобода внешнего вмешательства в образование структур относится к изменению плотности и температуры как внешних параметров, входящих в коэффициенты 入* и 0.

Теорема 2. Разложение типа

' %*=%： + e%t + б2%* + ...,

“ 6ф = е6фх + е26ф2 + £绪屮3 + …

приводит к появлению решений, описывающих гексагональные структуры, возникающие из пространственно-однородной среды. В этом случае возникновение простейших структур, разрешаемых теоремой 1, запрещено.

При указанном разложении система уравнений последовательных приближений приобретает вид

С =入：О12(。)一储260rl23(。)，

6収⑺一储 S K(\ г-t^)^^)dr' = ^［a12(0)-2X*ea123 (0)］, (в)

(Х.ЗЗ)

6cp2 (厂)一精 \ к(1 г — ?1)6屮2俨)协'=

(в)

=后 \ 宜6(Pi(“)d?J 斗毋 \ ^(6ф1(Н)Мг,-

一 х*2е J J &2збб 5)3%(产)办J dr" +

+ 精［б? (。) 一 2Х*9а12з (0)1 —入；()Oi23 (0),

где

左三太(I ?.f，I) = &2 一 2入泡K应十к血).

Условие разрешимости порядка е1 автоматически выполняется:

〈*£ {%(，)}〉=入：［а12(0) - 2%*0а12з (0)1 <«;,；> = 0, (Х.34)

так как〈*〉= 0, постоянная С。)определяется через коэффи

c⑴=九:c⑴=九:о】2 (。)一 2Х*0з12з (0)о】2 (。)一 2Х*0з12з (0)(Х.35)(Х.35)циент 入::

c⑴=九:

c⑴=九:

о】2 (。)一 2Х*0з12з (0)

о】2 (。)一 2Х*0з12з (0)

(Х.35)

(Х.35)

знаменатель в нуль не обращается, так как решение задачи проводится в окрестности решения дисперсионного уравнения (Х<0‘) С % = %о И I I I "m I 卢 °・

Появившаяся степень свободы 入:определяет «постоянную составляющую» потенциала и средней плотности в первом приближении и ей пропорциональна.

Условие разрешимости порядка е2 таково:

血£ {6T2}> = £甯0两%) + e⑴諸［0(%) - 储0(。应%) +

+ %式必n))］} <WnWm> + X C*?C尹［-J- О (% + &)—

—入：00123 (I 1^1 I? I ^m I)］〈“l^m叫〉=。(X.36)

((2 伟),° (%)) = 4n J宜,К) ^^ s2 ds).

Рассмотрим и здесь два случая;

.期 + "т + 加=о, тогда <шпштш/> 卢 0.

Система уравнений для неизвестных амплитуд 爲〉и новой степени свободы 入扌 содержит неизвестных больше, чем уравнений. Число неизвестных равно (2N + 1), число уравнений 2M так как 几=—N, . . ., —1, +1, . ■* А\ Таким образом, задача становится определенной, только если одна из амплитуд—С^ или 擋 一 дополнительно фиксирована.

На основании вышеуказанного естественно связывать параметр 崎 со средней плотностью среды при наличии структур и задавать его из экспериментальных данных.

«.Условие треугольника» для волновых векторов (при N = 3) является выражением гексагональных структур, возникающих из пространственно-однородной среды.

. Если кп + кт + А?】# 0, то 〈必岡皿必〉==0, и поскольку <г^пШт> в нуль не обращается для любых значений т, необходимо, чтобы коэффициент при <ШпШт> равнялся нулю:

入 *6(%) + С(1)締3 m) - С ⑴時 0 ［。匠(％) + %3(%)1 = 0

(Х.37)

C(D = X*C(D = X*。12⑼一2片9 S曲⑼1 一蹴（0）。12⑼一2片9 S曲⑼1 一蹴（0）

C(D = X*

C(D = X*

。12⑼一2片9 S曲⑼

1 一蹴（0）

。12⑼一2片9 S曲⑼

1 一蹴（0）

Это приводит к новому ограничению на значение модуля волнового числа кт, т. е. новому дисперсионному уравнению, которое не обязано иметь общих решений с прежним, получающимся из условий разрешимости первого приближения 1 —入訂(％) = 0.

Таким образом, уже второе приближение приводит к запрещению появления структур, разрешаемых теоремой 1.

Отличие условий теоремы 2 от условий теоремы 1 заключается в наличии прямого и обратного влияния самих структур на значения температур и плотностей среды, в которой эти структуры

возникают.

Обратное влияние структур на собственное значение параметра осуществляется за счет новых степеней свободы 入?, Л*,..・：

纣=嚼 + e^i + е2%? + ...纣=嚼 + e^i + е2%? + ...(Х.38)(Х.38)

纣=嚼 + e^i + е2%? + ...

纣=嚼 + e^i + е2%? + ...

(Х.38)

(Х.38)

которые сами зависят от собственных функций, т. е. от амплитуд 陪，…

Теорема 3.

Теоремы 1 и 2 распространяются и на заряженные субъединицы (ионы), взаимодействующие через акустическое поле в окру- я;ающей нейтральной среде, с тем отличием, что самосборка» ионных структур происходит в определенном интервале темпера-

тур, нижняя грань которого пропорциональна концентрации ионов, верхняя —— концентрации нейтральной среды.

На основании главы VIII энергия взаимодействия двух ионов через промежуточную систему (акустическое поле в нейтральной среде) выражается формулой

g+忻一"I，!»•-^|>-—

%(| — “)=%(| — “)=I力пах

%(| — “)=

%(| — “)=

const,II <5 ―—

11 Umax

Эффективный заряд и пространственный период определяются через параметры взаимодействия иона с частицами нейтральной среды о打(д+) и нейтральных субъединиц между собой aua(g+)；

2 . ｛尹%仇(尹)丫 21t % о2 . ｛尹%仇(尹)丫 21t % о(o(q) =(o(q) =4门 \ К (s)包洋* s2 dsj . о4门 \ К (s)包洋* s2 dsj . о

2 . ｛尹%仇(尹)丫 21t % о

2 . ｛尹%仇(尹)丫 21t % о

(o(q) =

(o(q) =

4门 \ К (s)包洋* s2 dsj . о

4门 \ К (s)包洋* s2 dsj . о

Фазовая скорость акустических волн зависит от плотности нейтральной среды и слабо зависит от ее температуры:

屮wa% I

На основании § 2 гл. VII коллективные потенциалы электрических сил и сил взаимодействия ионов через промежуточную систему определяются уравнениями

(()(?•) =(—余)\ &М勿一犷 I) ехр [ф (М) + 屮 5)] dr',

(Х.39)

a"(?‘)=-4пе[-* eхp w(?)+ 屮(Г)]十* eхр 一屮(冷 扌]卜

Мы перешли от U (г) и Ф (г) к

学、e)=-号2,屮(冷=—虫把；

С&, 0е — концентрация и температура электронной компоненты.

При известных условиях существует пространственно-однородное распределение потенциалов (и плотности распределения ионов и электронов). Полагаем

(X.40)(X.40)屮=00 = const,屮=屮0 = const.

(X.40)

(X.40)

Учитываем, что если ограничиться случаем ^皿工》g+, то

j К^ (s) 41182 ds = — 響.(Х.41)

Условие qmax〉?+ осуществляется (см. § 3, гл. VIII), условие ^тах》?+, не нарушая порядка основных величин и связей между ними, упрощает результаты. Подстановка (Х.40) и (Х.41) в исходную систему уравнений дает

4лу2c

Фо = 7^exp(q)o + 5)),j 7 е \(Х42)

—&ехр((ро +业)= Qexp( —业吊).

Вследствие нейтральности среды, которая получилась как следствие пр остра нственной однородности, электрический потенциал 屮() можно нормировать на нуль (屮()三 0). Для определения(р0 и Се имеем

4冗俨7金

Се = С^ехр фо, Фо = %ехрсро, 入= ^^〉0.

Действительное значение для ф0 получается из решения трансцендентного уравнения только для случая, когда

儿《 1/e,

при этом 9о〉0 (см. гл. VII, § 2).

Присоединим сюда требование на достаточно большую величину концентрации нейтральных частиц, которое необходимо для существования используемого вида взаимодействия между ионами (см. гл. VIII):

Приходим к существованию интервала температур, внутри которого возможно существование пространственно-однородного решения:

е〉е〉 哽"丿?+2/rna

Поставим вопрос о возможности образования структур в этом конденсированном состоянии ионно-электронной среды.

Полагаем

$⑺=то + 6ф (L)，2 (L)=W + 62(r),20 三 0,

(Х.43)

9： А. А. Власов

тогда неоднородные потенциалы удовлетворяют системе

Фо + 6(р (г)=Фо + 6(р (г)=кп(\г -кп(\г -Д&ф (T) = - 4门済(一亲)尹。[т2湃屮⑺-不屮⑺叩%].Д&ф (T) = - 4门済(一亲)尹。[т2湃屮⑺-不屮⑺叩%].(Х.44)(Х.44)

Фо + 6(р (г)=

Фо + 6(р (г)=

кп(\г -

кп(\г -

Д&ф (T) = - 4门済(一亲)尹。[т2湃屮⑺-不屮⑺叩%].

Д&ф (T) = - 4门済(一亲)尹。[т2湃屮⑺-不屮⑺叩%].

(Х.44)

(Х.44)

В условиях теоремы 1 решается задача на ветвление решений, поэтому исходим из разложений

%* = %* + е> 储= __^е 吗

6q)= в'%% + е6(р2 + e3/26q)3 + ・・•，(Х.45)

6 屮=e%3 屮 1 + e6 屮 2 + £%6 屮 з + • •・

Система уравнений последовательных приближений принимает вид

Фо =入0msi (0)三儿：5i(0),

6q)i —储，Кц (6q)i + 6屮 1) drf = 0,

л/ 0 ч(Х.46)

Абб + 4ле2%о (1 + -А)6屮 1 = — 4ле2Х0бф1,

6q)2 一睛，KW (帆 + 3屮J dr =

=6i(°) + 入ос"%» 4~(6q)； + 6唠 + 26q)2屮 1)3,

Аб屮2 + 4ле2%о (1 + ?) 6屮2 =

=—4ле2%о [} (6屮:+ 3屮;+ 26q)i6屮 1) + } (— 6屮i -g^)

Решения первого приближения, как и ранее, отыскиваем в виде

6б= 1 С^г, 6屯=三 cVk^,

подстановка их в уравнения приводит к условию, накладываемому на модуль волнового вектора | % |：

0.

厶2 丄 L v2pc₽o

<7+20.彳十 8

ФоФо4ле2С^4ле2С^4 吋 2qt—%iqp 喙 + a + %”)喝产

Фо

Фо

4ле2С^

4ле2С^

(X.47)

Эти соотношения удовлетворяются действительным значением | "/1 в интервале от | кт | ^ 0 до | fcm | ^ g+. С увеличением температуры & или уменьшением плотности С, | кт | стремится к предельному значению д+・

Обозначим произвольную гармонику, являющуюся решением однородных уравнений второго приближения, через * (г):

Wn ⑺=е",wm (г) = ек^г.

Условие ортогональности неоднородных частей второго приближения к произвольному решению однородных уравнений имеет вид

о紹(0)〈冲〉+ 儿心^^)%t(I加 + 財I)^■(CiCp -\- C'iC'p -\- C^C^ x

X (WnWi^p) = 0,(X.48)

口 4(1) (1)/0? \ (1),(1),(1) (1).,

4ne%e=^g 告(С 2 ^ + 2 (1 + 前)С ?% + C f骑 <шп。网〉=0.

Эти условия выполняются, если

〈u^u^u^〉= О

при любых значениях n, I, р, т. е. в случае

"п + “I + к^ 声 О,

и не выполняются — для противоположного случая

^WnWjW^ =#0,

либо потому, что требуется новое дисперсионное соотношение о〃(I “I + 財 I)=。，

либо число условий превышает число степеней свободы, которыми можно распорядиться. Число условий на С^ и С$)равно 47V2, тогда как число степеней свободы равно 4ZV.

Таким образом, теорема 1 в применении к образованию плазменных структур доказана.

В условиях теоремы 2 решается задача на определение собственных значений и собственных функций у исходных нелинейных уравнений, поэтому полагаем

炉=睛+ 8х* +遵觴+.…

6q)= ебфх + e26q)2 + е2бфз + •…(Х.49)

帥=86屮1 + 826屮2 + 8%屮8 + ...

Система уравнений последовательных приближений имеет видФо =(—а/仇(о)咽

6% 一储，时(6(pi + 66)dk =店0仙(0),g

(°°)%)=g— N*,

A6屮 1 + 4ле2%о (1 + 4/仇)6屮 1 = — 4几済储6q)i .'

65 — ^o \ К/ (6屮2 + 6屮J 切‘ =(X.50)

(оо)

=入彳 \ К仙 _g~(6屮;+ 6啮 + 26q)i6屮 1) d" + 入：\ K* (6(pi + 6屮О dM, (00)(8)

A6 屮 2 + 4ле2%* (1 + 仇/4) 6屮 2 =

=-4лё2x* [6% + %◎Р：十 6屮:+ 26%6屮1) + %(6屮020?/硝,

Решение первого приближения ищем в виде

6中1 = e⑴+ 2彼产吃 %=2隗%.

Модуль волнового числа удовлетворяет прежнему дисперсионному уравнению из теоремы 1 для плазменных структур, постоянная С。)определяется через коэффициент %*:

c ⑴=后—— .(Х.51)

—磔“(Q)

Знаменатель не должен обращаться в нуль, что накладывает условие на решение нулевого приближения

屮о ="三 "■ Т"(°)3 =入о，

а именно необходимо, чтобы q)0^= 1,а именно необходимо, чтобы q)0^= 1,4m у/ f

а именно необходимо, чтобы q)0^= 1,

а именно необходимо, чтобы q)0^= 1,

——и не могло g+电、е

равняться 1/е.

Условия разрешимости уравнений порядка е2 таковы:

£ У[ (С ^ + С *) О《* (%)〈必幽т〉+

+ 储 Si О* ( I кт 十 7& I ) -^- ((^тС f + С тС ? + 2СтС?) 8MmS〉=。， е(Х.52)

-4Пе需[4 4-爆普+声盘+热器w而mS〉= 0.

Если кп + кт + ki ^ 0, то 〈必п必mS〉=。\ н0 поскольку ^Wn, шт> в нуль не обращается для любых значений п, необходимо.

чтобы коэффициент при <и'А^т> равнялся нулю: 修"次”"(％) = о.

На основании решения первого приближения имеем

но это равенство невозможно при Ст =# 0・

Таким образом, решение задачи на собственные значения запрещает появление структур, разрешаемых теоремой 1.

Если кп + А*тп + “！ = °，а <шпштш/> 声 0, то в этом случае система уравнений для амплитуд Ст и(С? и новой степени свободы %； содержит (2N + 1) + 2N неизвестных величин, число же уравнений 2N + 2N, так как индексы киту функций ш,；, wm пробегают значения п, т = —N, . . ., —1, +1, . . ., +N. Задача становится определенной, если дополнительно известен коэффициент 入;. Поскольку постоянная составляющая потенциала оп- (1)

ределяется через С®, то задание этого коэффициента естественно, так как этим определяется средняя плотность среды при наличйи структур. Таким образом, теорема 2 доказана.

В итоге приходим к следующим заключениям:

Поставленный вопрос о возможности возникновения анизотропных структур из однородной и изотропной среды, без участия анизотропных факторов в молекулярных силах и граничных условиях, получает положительный ответ. Анизотропию структур обусловливает «статистическая нелинейность» теории.

При непрерывном изменении скалярного параметра, из пространственно-однородного распределения спонтанным образом возникают структуры.

Две задачи приводят к явлению «самосборки»: задача на ветвление решений нелинейного уравнения при непрерывном изменении температуры и плотности как внешних параметров и задача на определение спектра собственных значений и собственных функций. Каждая из этих двух задач ведет к возникновению структур, запрещаемых другой задачей.

Условия «самосборки» плазменных структур, при взаимодействии ионов через промежуточную систему, особенно характерны для биологических сред, так как в эти условия входят: а)жналичие достаточно плотной нейтральной среды, окружающей ■ ионы, и б) наличие вполне определенного интервала температур, при которых могут существовать плазменные структуры.

ГЛАВА XI

КОВАРИАНТНЫЕ СТАТИСТИЧЕСКИЕ

УРАВНЕНИЯ И ТЕМПЕРАТУРНЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ ОПОРНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ ВОСЬМИ ИЗМЕРЕНИЙ

§ 1. Пространство опорных элементов

Рассмотрим совокупность положений частиц и времени. Эти величины зависят от координатной системы и хода лабораторных часов. Если не предполагать ограничивающих условий галилеевого времени, естественно ввести четырехмерное пространство-время.

Если с есть постоянная размерность скорости, которую пока не будем фиксировать, то d = 或,ж1, ж2, х3 суть четыре величины одинаковой физической размерности: обозначим их через жа, а = 0, 1, 2, 3. В разных системах наблюдения они могут меняться с сохранением аналитической связи

№ =⑶"до, ж1, ж2, a:3), (XL1) здесь индекс а' одновременно обозначает как отличие новых координат от старых, так и изменение самого индекса а,联’一произвольные функции, ограниченные только условием

det 咼丰 0. (XI.2)

Пусть т есть собственное время — показание часов, связанных с частицами, и, следовательно, инвариантное по отношению к преобразованию * зависящему от состояния движения и хода часов экспериментатора. Вопрос о связи между лабораторным и собственным временем требует конкретизации физических усло- вий$ и мы его оставим пока открытым. Эта связь должна раскрываться теорией на соответствующем этапе ее развития. С помощью собственного времени введем четырехмерную скорость. Так как в процессе движения частиц 严 = ха (t), то можно ввести м。= =&a/dt, при этом нулевая компонента u° = dWI肌=cdtldx указывает на существование новой, дополнительной степени^сво- боды частиц, исключение которой заранее, без ограничивающих условий не является очевидным. Поэтому связь между 土 и т оставим пока не конкретизированной в той же мере, как и связь между Мит при Z = 1, 2, 3.

Обратим внимание на следующий факт: координаты и скорости не являются равноправными величинами, понятия скоростей содержат дополнительную информацию по сравнению с координа-

тами. Скорости включают новый элемент —— время т —— и связаны с ним предельным переходом

lim芈=竽■三"а, Ay Ат drlim芈=竽■三"а, Ay Ат dr(XL3)(XL3)

lim芈=竽■三"а, Ay Ат dr

lim芈=竽■三"а, Ay Ат dr

(XL3)

(XL3)

Собственное время, предельный переход — дополнительные понятия, содержащиеся в определении скорости, по сравнению с координатами.

По отношению к законам преобразований координаты и скорости ведут себя также по-разному. Для координат имеем

=у' (х°, . . ., с，,

= у^Ldxa = d^—(xi.4)

厶I дха厶I дхадха ''

или, деля на d% где т = Inv, получим

В итоге формулы преобразования координат и скоростей таковы:

(XI.5)

В то время как координаты преобразуются по любому закону, в том числе и нелинейно, скорости преобразуются всегда по линейному закону.

В евклидовом пространстве основными преобразованиями координат являются перенос начала и вращение. Эти преобразования являются линейными, вследствие чего не возникает указанной разницы в координатах и скоростях. Это позволило ввести фазовое пространство координат и скоростей, в котором заключена равноправность указанных величин.

Указанная разница проявляется в так называемом пространстве опорных элементов (это пространство ввел Е. Картан и другие геометры). Пространство опорных элементов включает в себя следующие понятия: 1) координатное пространство, 2) касательное пространство и порядок касания, 3) систему векторов, опирающихся на точку касания и лежащих в касательном пространстве. Пространство опорных элементов объединяет координатное пространство как пространство возможных значений центров тяжести частиц и пространство возможных значений кинематических свойств частиц, например скоростей частиц (а также может содержать в себе векторы ускорений сколь угодно большого порядка в зависимости от порядка касания).

Ценность пространства опорных элементов состоит в точном оформлении нового понимания частицы, которая характеризуется континуумом возможных значений координат и скоростей (а также и ускорений произвольного порядка), в отличие от классического образа локализованной частицы с определенным значением координат и скоростей. Подобное понимание возникло в результате преодоления трудностей объединения механики и статистики, так как в механике точек нет понятия меры, лежащей в основе статистики.

Введение понятия фазового пространства, отображающего одновременно классический образ частицы и набор различных состояний системы подобных частиц, сталкивается с трудностями топологического происхождения, которые подробно рассмотрены в [И].

Оказалось, что с точки зрения пространства опорных элементов как исходной основы статистики только в частных случаях можно оперировать классическим образом частицы.

По сравнению с понятием фазового пространства пространство опорных элементов отличается: 1) наличием касательного пространства, 2) степенью касания, 3) центрированностью опорных векторов, 4) отсутствием трудностей топологического происхождения в изображении образа частицы, 4) возможностью включать в качестве независимых признаков частицы не только ее координаты и скорости, но и ускорения всех порядков.

Как мы видели в [11], развитие статистических понятий на основе пространства опорных элементов позволило рассматривать концепцию сил не как причину движений, а как ограничение возможных движений, потенциально включенных в самый образ частицы.

Таким образом, с помощью пространства опорных элементов категория движения (центров тяжести частиц) включается на одном уровне первичности с категорией пространства и времени. .

Перейдем к определению векторов и тензоров в пространстве опорных элементов. Как всегда, векторы и тензоры определяются по отношению к определенным преобразованиям. Пространство опорных ? элементов характеризуется преобразованиями (XI.5). 亠

Пусть аа = аа (х°, . . ., х3; и0, . . ., и3) = аа (ж6, и6), причем каждый элемент зависит, вообще говоря, от всех восьми переменных. Эти элементы будем называть контравариантным вектором, если они будут преобразовываться так же, как вектор скоростей иа:

"=炉受， (XI.6) 耳 ковариантным вектором, если формулы преобразования цмеют

видвид(XL7)

вид

вид

Составляя простейший тензор ааар, получаем следующий закон преобразования:

某(XI.8)

или, распространяя этот закон на любые величины Т^= Гр (ж6, и6), получим

嚐券， gЗ

что позволяет ввести общее определение тензора:

Т&1…_ СИ…(X/生二空f■匹上/q/XI 10)

Констатируем следующее обстоятельство: в определении векторов и тензоров не проявляется отличие пространства опорных элементов от координатного пространства обычного тензорного анализа. Это обусловлено тем, что опорные элементы имеют сами тензорную природу, т. е. они логически могут быть введены не до тензоров, а по крайней мере, одновременно с ними. Опорными элементами могут быть не только векторы, но и тензоры любого ранга. Ясно, что в этом случае пространство опорных элементов может быть введено не «до», а «после» введения тензоров. Поэтому естественно, что законы преобразования тензоров связаны только со свойствами координатного пространства. Кроме опорных векторов (и тензоров), могут быть векторы и тензоры, зависящие не только от координат, но и от опорных элементов. В этом случае возникают новые вопросы по отношению к обычному тензорному анализу, о дифференцировании векторов и тензоров по опорным элементам.

Если тензоры вводятся в пространстве опорных элементов так же, как и в координатном пространстве, то иное имеет место для операций дифференцирования.

Лемма 1 (о дифференцировании по «опорным элементам»). Дифференцирование по составляющим опорного вектора, в отличие от дифференцирования по координатам, является тензорной операцией.

Пусть задан Тензор 爲三爲 侑，ue), элементы которого зависят от координат и скоростей. По определению

舞；=北空胃. (XI.ll) ° ° дха M '

Продифференцируем по скорости

(XL12)(XL 13)(XI.14)(XL12)(XL 13)(XI.14)"卜—"^ а〃 丫 а# а/ . ди1' а〃丫 а〃у' @严 ad''

(XL12)

(XL 13)

(XI.14)

(XL12)

(XL 13)

(XI.14)

но согласно (XI.6) имеем

а〃丫 — а/'— а*丫

а〃* а/ а声 a4 "

Пользуясь этим, получаем

a霆，_"^ a/' a/ a勺丫

что и указывает на то, что производные тензора по опорному вектору являются также тензором.

Обобщение этой леммы на многократное дифференцирование по элементам опорного вектора и дифференцирование любого тензора —элементарно.

Отметим, что, в принципиальном отличии от дифференцирования по элементам опорных векторов, дифференцирование по координатам не является тензорной операцией. Пусть, для простоты, мы имеем опорный вектор Дифференцирование по №' дает

空一空生_艺_a a2Ga' adхт

Первый член в (XL15) является тензорным слагаемым, но второй член — не тензорная добавка, что видно из того, что выражение ат/НхВ' не исчезает во всех системах отсчета, если 6》。/" = =0 в одной из систем координат. Добавка в (XL 15), зависящая от системы координат (функций фа，), не содержит производных иа по координатам и поэтому не обязана обращаться в нуль.

Выясним значение леммы 1 для статистики. В дальнейшем придется иметь дело:

с четырехмерным координатным пространством

ж0 =诡 с* А: = 1, 2, 3;

с 4-вектором скорости

公=警，冰=综，"=1，2,3，

причем все восемь величин будут считаться независимыми между собой, описывающими весь спектр возможных значений геометри- чески-временных и кинематически-временных степеней свободы частиц;

с функциями распределения / (吟 ua) в пространстве восьми переменных, которые будут играть роль скаляров.

Применяя лемму 1, образуем важный для законов сохранения инвариант

divMF/= -^r/=Inv,(XI.16)

ди

где F —— произвольный 4-вектор.

Таким образом, указанное выражение оказывается ковариантным выражением, т. е. сохраняющим свое определение при преобразованиях вида (XI.5), чего нельзя сказать о дивергенции в пространстве координат

divrw/ = ^-ua/^=Inv.

Лемма 2 (ковариантное дифференцирование в пространстве опорных элементов по Е? Картану). Если4 вектор скорости определен вдоль кривой и является опорным элементом, то ковариантный дифференциал и производные вектора Т" (ж0, иа), опорного вектора иа, скаляра / (ж6, и6) определяются специальным образом, отличным от обычного тензорного анализа Риччи.

Ковариантный дифференциал вводится аксиоматически:

Операция дифференциала D является инвариантной относительно преобразований (XI.5).

Ковариантный дифференциал D является линейной функцией относительно приращений dx° и du6.

Дифференциал суммы и произведения подчиняется обычным правилам.

Из этих аксиом следует

D穴=dQ +邛丫乃出风(XL17)

в частности,

D/ =九 a + 1^и丫出风(XI.18)

Если ограничиться римановой метрикой в пространстве координат и времени (d), то коэффициенты Г% будут функциями только ж6 и не зависят от скоростей и°. Эти коэффициенты удовлетворяют формулам преобразования

Ра/ 「а @4 дх^ Нн、 .№ дха，/VT 4П\

'(XL19)

а в остальном произвольны.

Форма ковариантного дифф ер енциал а определяет выражения ковариантных производных.

Коеариантные производные опорного вектора. Представим 瓜。в виде

Dua = d》a + 璋丫乂丫而卩鼻 u^dx^ + 乂^仇в.(XI.20)

Отсюда получаем

(XL21)(XL21)

(XL21)

(XL21)

е. выражения для ковариантных производных опорного вектора. Отметим, что эти производные существенно отличаются от ковариантных производных обычного тензорного анализа:

по Картану

力冲=嗚=«^ = О,

по Риччи

”2 = а^ + 邛丫〃丫 * °，

Причиной различия является разная природа вектора скорости в обоих исчислениях. У Картана вектор скорости определен вдоль линии, у Риччи вектор скорости является полевым вектором, т. е. определен в окрестности точки * * * 不・

Ковариантные производные вектора 央(* ue). Представим ковариантный дифференциал произвольного вектора, являющегося функцией координат ж6 и скоростей и6, в виде

DTa = %dd + Т：в%А(XI.22)

Сравнивая его с исходным представлением (XL17) и используя выражения полного дифференциала

d穴=霁d濟 +霁 du。，(XI.23)

приходим к выражениям для ковариантных производных вектора ТУ*, и。)：

新一新В +好"，新一新В +好"，(XI.24)(XI.24)

新一新В +好"，

新一新В +好"，

(XI.24)

(XI.24)

Ковариантный дифференциал скаляра и ковариантные производные. Пусть ф (а:0, м°)——скалярная функция восьми переменных. Будем исходить из выражения ковариантного дифференциала (XI.17):

力(фГ) = d (фТ2) + Г&фТ 仏牝(XI.25)

На основании аксиомы 3

D(^T ") = ГЛ(р + 中加“ =Т^ + 屮(@穴.+ V^rdx»). (XI.26)

Отсюда имеем

Т。力ср = Та&р,(XI.27)

или, ввиду произвольности вектора Та,

Z5(p = &р・(XI.28)

Это дает возможность написать

D/ — df 宓 е . df dua —

右一~^~^~十請"岳"一

=夂疗+崇(弈粤).(XL29)

Таким образом, ковариантные производные скаляра определяются формулами

’-В =泰—珠u、*，з=m。(XL30)

В законах сохранения для функций распределения в евклидовом пространстве появляется дивергенция в пространстве координат: divr"/, ее ковариантным обобщением является выражение

Div uf = uaDaf + /&叫(XI.31)

где на основании леммы 2

瓦了 =兴一冗m整，4ua = 0.(XI.32)

дхди

Следовательно, 協 и/ = иа^_ 兀也”丫 % •(XI.33)

ди

Полученное выражение и является ковариантной дивергенцией в четырехмерном пространстве координат с учетом четырехмерности вектора скорости.

Элементом объема в пространстве опорных элементов восьми измерений, инвариантным относительно преобразований (XI.5), является величина

У— g б^б^^^р^^^ diA①1di?d*(XI.34)

где g — определитель матрицы || g” || (— tfc2 = gaed"d^)・

Ковариантные статистические уравнения и восьмая степень свободы у частиц

Поставим задачу сформулировать основное статистическое уравнение для функции распределения, зависящей от координат и скоростей частиц, в пространстве опорных элементов, привлекая леммы 1 и 2.

В евклидовом пространстве, в декартовой системе координат и при наличии одного (абсолютного) времени исходные уравнения для электромагнитных взаимодействий, гравитирующих частиц и системы с короткодействием выписаны в главе I и даются формулами (1.19) — (1.21).

На основании лемм 1 и 2 фигурирующее в предыдущих главах уравнение непрерывности

"'联"'+ divr «/ + div, <«> / = О

в пространстве опорных элементов восьми измерений приобретает ковариантную форму

Di^r uf + div, \-^/ / = О,(XI.35)

где

Divruf = uaDaf + fDaua. 4/ =— F；y〃丫"^；, (XI,36)

- °' divС〈赛〉/ =為〈型〉/>

или в развернутом виде

диа \/ '

В отсутствие действия сил (〈^^~〉三 °) 中一忆*=°；(XL37)

если gap —— фундаментальный метрический тензор римановой геометрии, то

等 g“°(礬 + 譬一礬)•(XL37，)

Ковариантное уравнение для функции распределения в случае электромагнитных взаимодействий приобретает вид

бТ^г”/； + diVw〈岩〉/ = о,

〜一【(XI.38)

〈得〉=爲理*i=乎 e^fV^g^u.

Ввиду независимости величин Fa^ от опорных векторов, ковариантная дивергенция тензора в пространстве Картана совпадает с ковариантной дивергенцией в обычном тензорном анализе.

Для гравитационных взаимодействий, привлекая основное уравнение общей теории относительности и выражая правую часть в уравнении гравитации через функцию распределения, имеем

Divr uf = ua ——F：yM 丫 = О,

№ - Ц- gaBR = i \ U®UBf V^g^U (XI.39)

(x = 8nG?n/c4).

Необходимо отметить разную природу включения в статистические уравнения электромагнитных и гравитационных взаимодействий.

Электромагнитные взаимодействия входят через средние значения ускорения частиц и поэтому требуют наличия функций распределения, зависящих от ускорения, как принципиального момента.

Гравитационные взаимодействия не выходят из рамок инерционных движений в том смысле, что не требуют выхода в пространство ускорений. Их влияние на движение частиц осуществляется параметрически, через метрические коэффициенты gap (ж6). Уравнения гравитации выражают эти коэффициенты через моменты функций распределения, которые зависят только от координат и скоростей.

Характерным для ковариантных уравнений является восьмимерное пространство, обязанное новой степени свободы и0 = =dctldx.

В релятивистской механике однозначная связь между лабораторным и собственным временем

血=(< -歩便尹阳В(XL40)

в более общем случае статистической метрики

dx = /—goo /1 — g^ViV^iedt(XI.41)

и в наиболее общем случае

dr = ds/с, 曲2 =—且叩叁吋讲(XL42)

обеспечивается неявным отказом от статистического разброса центров тяжести наблюдаемых частиц и их скоростей.

При выводе формулы

dr =b(1 -讲/炉产必

допускается строгая пространственная локализация положений частицы в исходной системе координат и строгое значение ее скорости в этой системе.

Дальнейшие обобщения не снимают геометрической и кинематической локализации рассматриваемой частицы.

Из определения 4-вектора скорости》《 = 办/d* собственного времени dt = ds 1с и фундаментального интервала —ds2 = ga^dxadx^ вытекает ограничение на компоненты 4-скорости

ga 叫也° = — с2.(XL43)

Естественно, что формула (XL43) также включает в себя предпосылку о локализации положения частицы и ее скорости.

Обычно строят ковариантную статистику на пути сохранения определения собственного времени dt = ds/c и ограничивающей связи 严①气3 =—務 рассматривая ансамбль из начальных условий частиц в семимерном пространстве.

Однако такое построение приводит к непреодолимым трудностям топологического происхождения, так как число начальных условий представляет собой счетное множество, фазовое же пространство представляет собою многомерный континуум. На основании известной топологической теоремы Брауера между множествами разного числа измерений нельзя установить взаимно однозначного и взаимно непрерывного соответствия. Применяя зту теорему к множеству начальных условий и фазовому пространству, необходимо констатировать противоречие в обычном способе 《вывода» статистических уравнений типа Лиувилля — Гиббса из механических уравнений движения, в котором основываются лишь на разбросе начальных условий.

Отказ от геометрической и кинематической локализации частиц как первичных понятий теории снимает указанную трудность.

Введение статистического разброса координат и скоростей как определение самого образа частицы содержит функции распределения безотносительно к требованию существования уравнений движения, основанных на обязательном сохранении локализации.

Отказ от локализации ведет к отказу от связи собственного времени со скоростями частиц и, соответственно, к отказу от двух формул:

dt = dsd、gapuau₽ = — с2.

Зависимость между собственным и лабораторным веременем становится неопределенной, вследствие чего четыре величины, м°, и1,吟 * становятся равноправными и независимыми степенями свободы, а собственное время освобождается от связи с фундаментальным метрическим интервалом.

Новая степень свободы проявляется в ковариантных уравнениях дополнительным членом.

В выражении ковариантной дивергенции (XI.35) для uf таким членом является Го^и°иУд//ди°.

В условиях статической метрики

(XI.44)(XI.44)■^^ = о, ^Ог = ^0{ = 0) i = 1)2,3,

(XI.44)

(XI.44)

новый таен не исчезает во всех случаях, в которых @goo/a?羊 0,

причем метрика трехмерного пространства может быть произвольной.

Новый член не исчезает и в четырехмерных пространствах с плоской^метрикой. Например, для вращающейся системы отсчета 或2；= d — 82r2) dM - 2(0产d中或一d22 一产出p2 一办2j

Гот 丰 0,

тогда как тензор кривизны Н；, ар = 0. ”

Появление новой степени свободы dct/dx может быть обусловлено не только отказом от локализации частиц по отношению к координатам и скоростям, но и иными причинами. Например, в области высоких температур можно ожидать нарушения предположения о взаимно однозначном и непрерывном соответствии между показаниями часов лабораторных и собственных на частице. «Часы» на частице могут подвергнуться настолько сильным возмущениям, что ни о какой синхронизации показаний часов лабораторных и собственных уже не может идти речь. В этом случаё можно предположить существование статистической независимости в показаниях этих двух типов часов. Возникает задача изучения распределений частиц в случаях реального существования новой степени свободы, не зависящей от значений остальных степеней свободы частиц.

Наличие верхней: границы температур

Возникают вопросы:

В каких явлениях степень свободы det Id% играет существенную роль?

При каком предельном переходе новая степень свободы может исключаться?

Для решения первой задачи рассмотрим решение ковариантного уравнения (XI.35) в условиях

стационарности по отношению к лабораторному (но не собственному) времени

@f/@d = 0, dga战ж° = 0, g()t = gOi _ q^ i = 1, 2, 3; (XI.45)

возможности пренебрежения действием сил, включенных в выражение »〃/dt〉；

изотропности распределений в пространстве скоростей.

Из условий стационарности и определения Г^ — тензора Кристоффеля (XI. 37') — следует

i嗑= n = it = o,端== 优咎•

(XL46)

Подстановка в уравнение Dvvruf = 0 дает

便(* - 2%德 %) 一 (*内m + 时 3。户)* = 0. (XI.47) Удобно вывести следующие трехмерные компоненты скорости: ^ — 笳 —dx^/dt

了一 goM с /=^о *

и искать решения (XI.47) в виде

〃*》a)->〃"*D・(XI.48)

Компоненты скоростей g не зависят от собственного времени, последнее входит только в и0. При переходе к новым переменным z\ g\ u° необходимо учесть

а/ — а/ а/ 狩= 广 2g。。

(XI.49)(XI.49)а/ _ а/ а^空=6，

(XI.49)

(XI.49)

亓=砂■牙超两"=产嬴Г

— 冠十同"而"，祝^ —.-№.

■ После подстановки в исходное уравнение новых переменных получаем

1 a m goo1 a m gooa in gooa in goo=0.=0.兆兆(Х1.50)(Х1.50)

1 a m goo

1 a m goo

a in goo

a in goo

=0.

=0.

兆

兆

(Х1.50)

(Х1.50)

Будем искать решение в виде функции распределения, изотропно зависящей от скоростей F：

/3, К 吟-> 故‘，g^,吟，gk君甘=F・(XI.51)

При этом необходимо учесть:

也_生 也丝 旦 也圾 ^1_ 9 严

8/ = aе 十1 痴"=丽"比1'ag = gm .

(XL52)

Так как2ГЗ 酰km^m =：：幫氈歓,то имеет место равенство следующих членов в уравнении:

F备 礬醜旧 ^^-^2Si^.(XI.53)

嗤=部^既"嗤=部^既"Далее

嗤=部^既"

嗤=部^既"

Окончательно получаем

?(靑+号(丁一今备一等淤爲)=°.(XL55)

Это уравнение оказалось нечувствительным к метрике трехмерного пространства координат, так как элементы метрического тензора g^, i, к = i, 2, 3, выпали при переходе к новым переменным.

Оно позволяет получить информацию о распределениях частиц по F и м° при условии

—等丰0,

хотя амплитуда этой зависимости может быть сколь угодно малой.

Для получения решения применим принцип максимальной статистической независимости распределений по отношению к входящим трем группам величин * * * * и》о Этот принцип, как мы видели ранее, выделяет температурные распределения.

Полагаем

/ (* I2, U°) = р (Г) Ш 偌2)必 QI)).(XI.56)

Учитывая, что u° является независимой переменной, имеем

力 in р/аМ%“а in goo/aE力 in р/аМ%“а in goo/aE+代2-1)*+代2-1)*22 a In 缈о 0me2 wc2 a我。" "22 a In 缈о 0me2 wc2 a我。" "(XI.57)(XI.57)

力 in р/аМ%“а in goo/aE

力 in р/аМ%“а in goo/aE

+代2-1)*

+代2-1)*

22 a In 缈о 0

me2 wc2 a我。" "

22 a In 缈о 0

me2 wc2 a我。" "

(XI.57)

(XI.57)

i = l,2, 3,2!<(XL58)7^ —"ё际•i = l,2, 3,2!<(XL58)7^ —"ё际•при этом мы умножили все члены на фактор (тс2/2)-1. Разделяя переменные и вводя постоянные 0 и 0кр, получаем

i = l,2, 3,

2!<(XL58)

7^ —"ё际•

i = l,2, 3,

2!<(XL58)

7^ —"ё际•

刃2川©2a in g()o/a/° '

м 一隔，《 -丄丿死2

Решениями этих уравнений являются

P(k=Po(-goo)F吗 me* (11 )

IP 代2)= ” (О) d —資 丁 '丁 一际，(XL59)

WO(U°) = WO (0) mc./29Kp •

Вводим ритм времени лабораторных часов, зависящий от коэффициента g^

或'=V^g00dt,(XI.60)

тогда

三=g'* K5U=N = c"(或¥ = F ' (XL61)

где у ——скорость частиц в лабораторной системе отсчета; распределение частиц по скоростям, воспринимаемое наблюдателем, с указанными часами есть

吧(工

以№) = 0(0m1一m)29 9кp .(XI.62)

Это распределение уже не зависит (явно) от метрического коэффициента g^, и поскольку оно не зависит также и от остальных коэффициентов, оно приобретает универсальный характер, равноправный с классическим распределением по скоростям Максвелла.

Предполагая

£yi, 0<0Кр

и пользуясь известным пределом, определяющим число е:

lim (1 — |ж|)罔=flim (1 + с)"“ = е,

имеемимеем|х|-н)эсТ-о

имеем

имеем

тс* /11 \ти* /11 \

吧而丿=6一丁"一而丿(XI.63)

2(0КР > 0),

что дает - максвелловское распределение с поправкой на температуру

Если 8〉8кр, показатель ~^"丿 меняет знак,

функция w (у2) становится не убывающей, а возрастающей с ростом скоростей.

Нарушение нормировки распределения частиц по скоростям, при достижении параметром 0 критического значения 0кр, естественно интерпретировать как «взрыв» системы частиц.

Следующие теоретические предпосылки привели к наличию взрыва:

существование новой степени свободы у частиц и0 = dct/dx, так как при 0Kp f оо зависимость от и0 функции распределения

叫 3。) = ш0 (0)(“。)，кр(XI.64)

пропадает;

существование температурных распределений вида (XI.56) как результата статистической независимости между распределениями по координатам, скоростям и по значениям новой степени свободы;

существование метрического коэффициента g00 как функции координат:

昨丰0.

От метрики трехмерного пространства коордират наличие взрыва не зависит.

Функция распределения по координатам в (XI.59) р (г), если предположить, что

-goo = l+~^，(XI.65)

где U —потенциальная энергия частицы, при 2U/mc2 V 1 также переходит в больцмановское распределение

р (г) = Ро е・и®(XI.66)

Функция распределения по "значениям новой переменной и0 в (XI.59) ш0 (и0) выпадает из рассмотрения при переходе к классическому распределению, если предположить, что поправка, зависящая от 0кр, стремится к нулю:

й► 1 при 0кр-> оо.

Возникают вопросы: какие наблюдаемые явления связаны с разбросом и0 и существованием критической температуры? Можно ли оценить значение критической температуры?

Распределение частиц по энергиям в космических лучах при достижении верхней граниды температур

lim”(№) = 】im “⑼(<—?)lim”(№) = 】im “⑼(<—?)Рассмотрим функцию распределения частиц в состоянии взрыва, когда температурный параметр 0 достигает критического значения 0Кр. В этом случае скоростная часть функции распределения, зависящая от скоростей, становится постоянной величиной:

lim”(№) = 】im “⑼(<—?)

lim”(№) = 】im “⑼(<—?)

= “(0), (XI.67)

и, таким образом, перестает быть нормированной.

•В этих условиях частицы распределяются только по оставшимся степеням свободы * и0, А: == 1, 2, 3:

〃* 炉,喇吵=С (一 g°°)M喔р —J^ •(XI.68)

Возникает вопрос: каково будет поведение частиц, описываемых этой функцией, если они, покинув область взрыва, попадают в условия взаимодействия с веществом, не находящимся в состоянии взрыва? Переход должен сопровождаться редукцией от крайнего состояния статистической независимости новой степени свободы и0 от остальных степеней свободы частиц к другому крайнему случаю ——пространственной и энергетической локализации частицы, обеспечивающей аналитическую независимость между лабораторным и собственным временем.

Аналитическая связь между всеми компонентами 4-вектора скорости определяется формулой

ga^U^ = — С2, откуда

и0 = ,2—(61? + Md + О 读》％k),

y —(XI.69)

6 =j Sic = gWK + ^i^fc (厶巾=1, 2, 3).

У — goo

В случае статической метрики got = О

Для редукции необходимо перейти от спектра значений степени свободы и0 в формуле (XI.68) к вполне определенному значению и0:

“0= У£±Е〉о.(XI.70)

У— goo

Эта процедура осуществляется интегрированием функции /1,1?)с использованием 6-функции Дирака:

穹"。•(XI.71)

После редукции представляется возможным использовать выражение энергии частицы из релятивистской механики

EM/n^-go。)^.；(XI.72)

интеграция приводит к степенному спектру энергий

?=鑑，(XI.73)

который можно отождествить с распределением энергии частиц в космических лучах. Здесь /0 — постоянная, которая должна определиться из дополнительной нормировки, у ——характерный показатель распределения. Степенной спектр выводился как решение ковариантных уравнений в работах [21, 22]. Здесь вывод основан на теории взрыва системы частиц при достижении температурного параметра верхней критической границы.

Численная оценка верхней границы температур

При переходе от функции распределения / (е) к гидродинамическим величинам

при интегрировании надо учитывать связь между и0 и 酒巾= =1, 2, 3, gapwaw3 =—居 которая использовалась при выводе самой функции распределения (XI.73). Элемент «объема» гиперсферы в пространстве скоростей есть

ds =勺У Uodi^du^di^,ds =勺У Uodi^du^di^,(XI.74)(XI.74)

ds =勺У Uodi^du^di^,

ds =勺У Uodi^du^di^,

(XI.74)

(XI.74)

поскольку в статической метрике uQ = У — gooUс2 + и2

с2y с? _|_ и2с2y с? _|_ и2(XI. 75)(XI. 75)

с2y с? _|_ и2

с2y с? _|_ и2

(XI. 75)

(XI. 75)

где о ——детерминант метрического тензора трехмерного пространства. На основании изотропности функции распределения по скоростям введем сферическую систему координат

、(・•・)pjd便diAh? = 4л$ (・.・)歩九， (XL76) где м = М?£к毋冰一длина трехмерного вектора 优.Благодаря изотропности распределения скоростей отличными от нуля компонентами 尸 и Гр являются следующие величины:

J。= N, Т： = Е, Т{ = Т^= Tl =承, (XI.77) т・ е. концентрация, плотность энергии и давление. Используя выражение для степенной функции распределения, выражение «объема» четырехмерной псевдосферы в пространстве скоростей и сферические координаты, получаем:

N = —^-(-goortv+1V2 /"^(l +Q)f 2 成,

ОС

Е =請у (—gooL mc-ia^ (1 + E『/2+"2竭(xi.78) Jо

oo

个=試旷(-配。厂Т'2加2 •粤，f (1 +第T，"+“"施.

Используя интеграл из теории Г-функций

2 f ⑺《-А2 f ⑺《-АГ (?) Г (и)г (® + У)Г (?) Г (и)г (® + У)反〉0,反〉0,国〉0,国〉0,

2 f ⑺《-А

2 f ⑺《-А

Г (?) Г (и)г (® + У)

Г (?) Г (и)г (® + У)

反〉0,

反〉0,

国〉0,

国〉0,

получаем

” /о /-、一(丫+1)/2 z- ^「/3\ F(Y/2 — 3/2)

" = 岛(Г。。L/2吁4“广侍恋忆詣(XL79)

护—(〃炉)丫( g°°) me 4П 6 丄⑴ Г (y/2 + 1/2)*

Сходимость интегралов требует выполнения условия

у=* — 2〉0 (丫 =孤力(XI.80)

§ 5]§ 5]ОЦБННА ВЕРХНЕЙ ГРАНИЦЫ ТЕМПЕРАТУР257

§ 5]

§ 5]

зто дает верхнюю границу для критической температуры *

0Кр < тс?/8,(XI.81)

где m — покоящаяся масса частиц, с — скорость света; для электронов 7\р V 7,4-108 °К, для протонов Ткр = 13,3*10и°К.

Попробуем получить оценку величины 0Кр из других соображений. До перехода к редукции функции распределения, связанной с локализацией частиц, мы имеем wQ (u°) согласно (XI.59). Для температур 0 V % функция распределения по переменным 少2 и м° должна быть нормированной, что ведет к ограничению значении 8кр.

Величина u° = dct/dx с ростом《хаоса» может только увеличиться по сравнению со случаем идеальной синхронизации (dr =山); так как с ростом хаоса величина области Дт, внутри которой существует определенное значение производной, может только уменьшаться, то с《 i? V 8.

В пространстве восьми измерений инвариантный объем равен К — gd%/ — g &%； в переменных F и u°:缺= ,」，—,u°,

У— ^оом° объем в пространстве скоростей пропорционален 瞋(u°)3du°.

Требование нормировки по и0 приводит к неравенству

□о2

\ (u°r^du° <8, Т=竜，(XI.82)

С

которое имеет место, если 0кр ■< тс2/8, что совпадает с прежним результатом.

Поставим задачу вывести из экспериментальных данных по энергетическому спектру космических лучей величину 0Кр.

Экспериментальные наблюдения интенсивности космических лучей дают возможность определить их концентрацию. На основании релятивистского выражения абсолютной величины скорости частиц и = с 了1 — (тпс2/е)2 имеем

ос

N = 4jt, ；/(е)@е,(XI.83)

mN

где / (е) — опытная функция интенсивности космических излучений.

Теоретическую формулу для концентрации частиц

8

= 4л / (и)(XL83‘) о

/ (е) = %/叭 е = тс^У 1 + и^!^у

которая дается нулевой компонентой 4-вектора плотности тока

й=\叫写沁，й=\叫写沁，(XI.84)(XI.84)

й=\叫写沁，

й=\叫写沁，

(XI.84)

(XI.84)

можно представить в форме, которую используют экспериментаторы, основываясь на связи между величиной модуля трехмерной скорости частиц и2 = а^^и^ и^зне.ргией частиц в условиях локализации:

》2 _ с2 [(е/тпс2)2 — 1], du = d^lvm^

где и = с 了1 — (тпс2/е)2. Имеем

N=^i6MT 九 (XL85)

Сопоставляя (XI.85) с формулой (XI. 83), содержащей выражение интенсивности, находимСопоставляя (XI.85) с формулой (XI. 83), содержащей выражение интенсивности, находимУчитывая, что для космических частиц е 史 тпе2, и удерживая главный член, получаемУчитывая, что для космических частиц е 史 тпе2, и удерживая главный член, получаем/(£)=•£■(备方⑻=子，彳=<• - 2,(XI.87)/(£)=•£■(备方⑻=子，彳=<• - 2,(XI.87)(XI.86)(XI.86)

Сопоставляя (XI.85) с формулой (XI. 83), содержащей выражение интенсивности, находим

Сопоставляя (XI.85) с формулой (XI. 83), содержащей выражение интенсивности, находим

Учитывая, что для космических частиц е 史 тпе2, и удерживая главный член, получаем

Учитывая, что для космических частиц е 史 тпе2, и удерживая главный член, получаем

/(£)=•£■(备方⑻=子，彳=<• - 2,(XI.87)

/(£)=•£■(备方⑻=子，彳=<• - 2,(XI.87)

(XI.86)

(XI.86)

где постоянная Л пропорциональна концентрации частиц. Из экспериментальных данных для протонов следует ?а2,5, это приводит к оценке величины 0кр:

8кр у тпс2/9, (XI.88)

что оказывается близким к верхней теоретической границе

% < ^с2/8.

В итоге рассмотрения этой главы приходим к следующим заключениям:

Наиболее естественным способом описания поведения частиц, свободным от ограничений локализации и целочисленности, является^ аппарат статистических функций распределения в так называемом пространстве опорных элементов, приспособленном для координат времени, скоростей и ускорений.

Ковариантные статистические законы сохранения для этих функций в указанном пространстве удается сформулировать, используя дифференциальное исчисление Картана. Законы сохранения и сами функции распределения приспособлены для произ^ вольной метрики пространства-времени.

Отказ от локализации частиц как первичного понятия ведет к новой кинематической степени свободы частиц, так как остается произвольной связь между лабораторным и собственным временем У частиц. Пространство опорных элементов является принципиально восьмимерным, если не привлекать зависимость от ускорений.

Новая степень свободы в температурных распределениях частиц приводит к обобщению классического распределения Максвелла —Больцмана.

Характерным свойством полученного распределения является наличие критической температуры, при достижении которой нарушается нормировка распределения по скоростям. Преобладание в спектре больших значений скоростей частиц естественно интерпретировать как наличие взрывного процесса в системе частиц особой природы, связанного с существованием четвертой кинематической степени свободы частиц.

Для существования взрывных процессов (соответственно критической температуры) требуется, помимо новой степени свободы, наличие определенной неоднородности: зависимости метрического коэффициента ——g00 (у временной переменной) от пространственных координат. Но зта зависимость необходима лишь в принципе,— от степени неоднородности существование и величина критической температуры не зависят.

Другие метрические коэффициенты не участвуют в выводе температурного распределения, поэтому результаты остаются в силе и в пространствах с плоской трехмерной метрикой.

Решается вопрос: каково будет поведение системы частиц при достижении критической температуры, если часть из них, покинув область взрыва, попадает в условия взаимодействия с веществом, не находящимся в состоянии взрыва?

Естественный переход исходных функций распределения без локализации в новые функции с кинематической локализацией частиц исключает четвертую кинематическую степень свободы частиц. Этот процесс редукции приводит к степенному распределению частиц по энергиям, соответствующему энергетическому спектру космических лучей.

Из требования конечности первых моментов от функции распределения после редукции получается определение верхней границы для критической температуры взрыва (0Кр V znc2/8). Эта величина определяет эмпирическое значение показателя степенного спектра энергий космических лучей. С другой стороны, теория позволяет вычислить 0кр из экспериментальных данных. Полученная величина тпс2/9 близка к теоретической верхней границе.

М. Борн, X. Нумь, Динамическая теория кристаллических решеток, ИЛ, 1958,

Е. Cartan, Les espaces de Finsler, Paris, 1934.

А, А, Власов, Обобщение концепции электронной плазмы, Изв. АН СССР 8, № 5, 248 (1944).

4・ 4・ В^ас。% К теории твердого тела, Уч. зап. МГУ, часть физ., бып. 75. -3 (1945).

А. А, Власов, К обобщенной теории плазмы и теории твердого тела, Вести. МГУ, часть физ., № 3—4 (1946).

А, А. Власов, Новое содержание задачи многих частиц, ЖЭТФ 18, 840 (1948).

А. А, Власов, Теория многих частиц, Гостехиздат, 1950.

А. А, Власову В. А, Яковлеву О теории кристаллического состояния, ЖЭТФ 20, 1109 (1950).

А. А. Власову О переносе массы и заряда поверхностными волнами, ЖЭТФ 27, вып. 2, 224 (1954).

А. А, Власову О пространственно-неоднородных распределениях системы гравитирующих частиц, Вести. МГУ, физ., астр,, № 4, 95 (1957).

А. А. Власову Статистические функции распределения, 《Наука», 1966.

А, А, Власов, Нитевидные и пластинчатые структуры в кристаллах и жидкостях» ТМФи5, вып. 3, 388 (1970).“

А. А, Власов, В. Я. Кураев, Теория каналирования и эффекта теней в статистической модели кристалла, Вести. МГУ, физ., астр., № 3, 328 (1972)； № 4, 471 (1972); № 4, 431 (1972).

А, А, Власов, К. И, Волянский, О теории звуковых волн в динамической и статистической моделях кристалла, Вести. МГУ, № 4, 467 (1973).

А, А. Власову Е* И. Волянский^ А. Б. Моволъков^ Новый механизм распространения звука в кристаллах, Труды Всесоюзн. акустической конференции, Москва, 1973.

А, А, Власову К. И, Волянский^ В. Г. Трофимов, Существование акустического ветра в кристаллах, Труды Всесоюзн. акуст. конф., 1973, Москва, 1974,

В. А. Головко^ Нелинейные эффекты при распространении волн в статистических средах, ЖЭТФ 47, вни・ 5, 1975 (1964),

В. А, Головко^ Некоторые вопросы статистической теории кристалла, Вести. МГУ, физ., астр., № 4, 62 (1967).

В, А. Головко^ Исследование волн в кристаллах при условиях, близких к условиям кристаллизации, с помощью уравнения Власова, Вести. МГУ, физ., астр., № 2, 85 (1967),

Я. Я. 2ря1Kоб. А, Б. Мозолъкоб, Границы устойчивости пространственнооднородного распределения в системе частиц для потенциала взаимодействия, имеющего яму, Вести. МГУ, физ., астр., № 2, 116 (1970).“

Л. Я. Гордееву Степенной энергетический спектр космических лучей как решение общековариантного кинетического уравнения, Астр. ж. 43, бып. 5, 1030 (1966).

Я. Б, Подосенков, О степенной и экспоненциальной функциях распределения, Вести. МГУ, физ., астр., № 2, 195 (1970).

Р. Балеску, Статистическая механика заряженвых частиц, «Мир», 1967.

J. Н, Oort, Dinamics of the Galactic System in the vicinity of sun, Bull. Astron. Netheri. 4, № 159, 269 (1928).

凡 E. Simon9 G. Catrer^ Z. anorg. u, allgem. Chem. 178, 309 (1929).

告 Д. Ван дер Ваалъс9 К. Констамм^ Курс термостатики, ч, I, ОНТИ,

S. Е. Babb, Parameters in the Simon equation, Rev. Mod. Phys. 35, 400 (1963).

«Discussion on the first and second viscosities of fluids», Proc. Roy. Soc. A226, 1 (1954).

M. И. Агрест^ M. 3. Максимову Теория неполных цилиндрических функций и их приложения, Атомиздат, 1965.

М. Томпсон, Каналирование частиц в кристаллах, УФН 99, вып. 2, 297 (1969).

А, Ф, Туликову Влияние кристаллической решетки на некоторые атомные и ядерные процессы, УФН 4, 585 (1965).

G. К. Wehner, J. Appl. Phys. 26, 1056 (1955).

33・ В, Е. Дубинский, С. Я. Лебедев, Особенности углового распределения [распыляемого материала при бомбардировке монокристаллов ионами, ФТТ 12, вып. 7, 1906 (1970).

А, Гинъе, Рентгенография кристаллов, Физматгиз, 1961.

35・ J. В, Be尸zistei% Е・ A. Frimen^ М. D. Kruskely В. М. Kulsrud, Proc. Roy. Soc. A224, 17 (1958).

В. А. Варданян, Некоторые вопросы теории устойчивости пространственно-ограниченных образований, канд. дисс., МГУ, 1965.

37・ Дж. ЗаймаНу Современная квантовая теория, 《Мир», 1970; Принципы теории твердого тела,《Мир», 1966.

S・ Singer. The nature of ball lightning, Plenum press, New York, 1971.

Л. Л, Капица, Свободный плазменный шнур в высокочастотном поле при высоком давлении, ЖЭТФ 57, 1801 (1969).

М. Kruskely М. Schwarzschildу Some instabilities of a completely ionised plasma, Proc. Roy. Soc. A223, 348 (1954).

D. D. Caspar. A. Klugt Cold spring Harbor simposia on quantiative biology, vol. XXVIII, 1971.

4. J. Schluter^ Fluids mech. 23, 129 (1965).

От Издательства 3

Предисловие 4

Глава I. Основы статистической механшси системы частиц без предположенийоб их локализации и целочислен-5

ности

Функции распределения, зависящие от координат, скоростей и ускорений как первичные понятия тео- 5 рии

Взаимодействия как связь (ограничение) вероятных значений кинематических и геометрических величин, характеризующих частицы 8

Случаи точных решений нелокально-статистических уравнений 12

Г л а в а II. Нелокально-статистическая модель кристалла . . . .29

. Пространственно-периодические решения для вероятностей местоположения частиц при достаточно низких и промежуточных температурах 29

Определение пространственного периода, температурного разброса и энергии связи атомов в кристалле . . .36

Анизотропия распределения вероятностей местоположения атомов в междоузлиях 40

Подход к теории кривых плавления Симона 44

Глава III. Нитевидные и пластинчатые структуры в кристаллах 49

Существование и свойства нитевидныхструктур . ..49

Существование и свойства пластинчатыхструктур . ..55

Устойчивость возбужденных состоянийкристалла ..60

Г л а в а IV.Новый механизм распространения звукав кристаллах75

Связь теории упругости с динамической теорией решетки 75

Термодинамика для статистической модели кристалла. Определение скорости звука. Связь между микро- и ма кр осмещениями 78

Механизм, скорость и затухание звука на основе временного уравнения для функции распределения . . .82

Пространственная модуляция акустических волн периодической структурой кристалла 89

Глава V. Существование акустического ветра в кристаллах . . . .99

Постановка проблемы и метод решения 99

Первое приближение для акустического поля при наличии источника акустических волн 101

Особенности нелинейного механизма в акустическом поле. Второе приближение для акустического поля 105

Существование акустического ветра в кристаллах и его свойства 108

Акустический ветер в пространственно-однородной 'среде, без наличия источников 111

Глава VI. Единая теория явлений каналирования, эффекта теней и пятен Венера, при прохождении частиц через монокристаллы 116

Постановка проблемы и метод решения 116

Пространственная структура в распределении концентрации рассеянных частиц, прошедпшх через кристалл 121

Вычисление некоторых интегралов 126

Теория каналирования и эффекта теней на возбужденных состояниях кристалла 132

Температурные распределения в пучке при наличии возбужденных структур 136

Общность природы пятен Венера и блокировочного эффекта (при прохождении частиц через монокристаллы) 142

Непрерывный переход явления пятен Венера в эффект блокировки (при увеличении кинетической энергии частиц, проходящих через монокристалл) 146

Глава VII. Применение нелокально-статистической теории к рентгеноструктурному анализу кристаллов 154

Объединение полей — дифракционного для рентгеновского рассеяния и статистического для функций распределения атомов в кристалле 154

Условия Брегга — Вульфа, фактор Дебая— Валлера и диффузное рассеяние в нелокальной модели кристалла 158

Теоремы о] 《штабах» 163

Глава VIII. Взаимодействие ионов в холодной плазме через промежуточную систему (нейтральный газ) 172

Матричный элемент взаимодействия через промежуточную систему 172

Характеристики акустического поля в нейтральном газе в нелокально-статистической теории 175

Определение функционального вида энергии взаимодействия ион — ион через акустическое поле в нейтральном газе 184

Глава IX. Теория' существования и устойчивости плазмоидов, удерживающихся собственными силами 194

Постановка задачи и метод решения 194

Существование ионной конденсации. Устойчивость по отношению к объемным вариациям плотности 198

Определение свойств шарового плазмоида во внутренней области 203

Определение состояния плазмоида во внешней области, в окрестности границы 208

Устойчивость конфигурации по отношению к изменению формы ее поверхности 215

Глава X. Статистическая теория «самосборки»анизотропных структур из изотропной среды 221

Постановка задачи и метод решения 221

Теоремы о «самосборке» 226

Глава XI. Ковариантные статистические уравнения и температурные распределения в пространстве опорных элементов восьми измерений 238

Пространство опорных элементов 238

Ковариантные статистические уравнения и восьмая степень свободы у частиц 245

Наличие верхней границы температур 249

Распределение частиц по энергиям в космических лучах при достижении верхней границы температур....254

Численная оценка верхней границы температур....255

Литература 260

2) возникают новые «точечные» рефлексы, периодически расположенные в плоскости 仏％, 22a2)пространства обратной решетки с расстояниями между ними, равными 2 n/乙(a = 1, 2), где 2a — периоды решеточно-нитевидной структуры. Эти периоды меньше периодов трехмерного кристалла, поэтому появляющиеся рефлексы могут быть объектом опытного обнаружения.

4 4 ВШОВ

НЕЛОКАЛЬНАЯ СТАТИСТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА

А. А. ВЛАСОВ

НЕЛОКАЛЬНАЯ СТАТИСТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА

В囤В囤

В囤

В囤

«НАУКА»

ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫМОСКВА 1978

УДК 539.1

Нелокальная статистическая механика. А. А. Власов, монография, Главная редакция физико-математической литературы издательства «Наука», 1978.]

Монография посвящена развитию нового подхода к статистической теории и некоторым конкретным результатам, полученным в его рамках. В основу подхода кладется описание системы многих тел с помощью функций распределения, зависящих от координат, скоростей, ускорений, первых производных от ускорении и т. п. На единой основе описываются нитевидные и пластинчатые структуры как возбужденные состояния кристалла, явление каналирования, эффекты теней и пятен Венера. Последняя глава монографии посвящена построению ковариантных статистических уравнений и некоторым методам их решения.

Табл. 6, рис. 20, библ. иаэв. 42,

Анатолий Александрович Власов

НЕЛОКАЛЬНАЯ СТАТИСТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА

М., 1978 г., 264 стр. с илл.

Редактор В. К. Федянин

Техн, редактор Н. В. Кошелева

Корректоры О. А. Бутусова, Л. Я. Боровика

ИБ № 2459

Сдано в набор 28.10.77.

Подписано к печати 24.01.78, Т-01303.

Бумага 60XS0V16, тип. № 1. Обыкновенная гарнитура.

Высокая печать. Условн. печ. л, 16,5.

Уч.-изд. л. 16,98. Знраж 4000 екз. Заказ № 299<

Цена книги 2 руб.

Издательство «Наука»

Главная редакция физико-математической литер^туцы

417071, Москва, В-71, Ленинский проспект, 15

2-я типография издательства «Наука».

Москва, Г-99, Шубинский пер., 10.

20402 039© Главная редакция

053(02)-78 丄JTQфизико-математической литературь

/издательства «Наука», 1978

ON ИЗДАТЕЛЬСТВА

Монография А. А. Власова содержит изложение развитого им нового подхода к системе многих частиц и некоторые конкрет^ ные результаты его применения (в основном к явлениям в кристаллах).

При рецензировании было сделано довольно много серьезных замечаний принципиального характера, касающихся и самой нелокальной статистической теории, и, в особенности, конкретных выводов, к которым она приводит. С рядом замечаний А. А. Власов был согласен, однако ему не удалось учесть их при подготовке рукописи к печати. К сожалению, вся основная работа по подготовке рукописи к изданию была проведена после кончины А. А. Власова, и в рукопись были внесены лишь исправления чисто стилистического характера, часть которых были отмечены рецензентами. Поскольку большинство замечаний по материалу рукописи могло быть учтено лишь в процессе авторской ее переработки, редакция сочла возможным издать монографию А. А. Власова практически в первоначальном ее варианте.