ПРЕДИСЛОВИЕ

Уравнения Больцмана и Власова играли и играют огромную роль в естествознании, технике, формировании научного мировоззрения. Уравнение Больцмана, написанное в 1872 году использовалось для обоснования молекулярно-кинетической теории, второго закона термодинамики о возрастании энтропии, выводе уравнений гидродинамики. Оно в своих модификациях широко используется при описании разреженного газа, излучения, переноса нейтральных частиц типа нейтронов, в атмосферной оптике, для расчетов реакторов... Уравнение Власова, написанное в 1938 году, служит основой физики плазмы, описания галактик и крупномасштабных процессов во Вселенной, используется при расчетах плазменных приборов, токамаков, плазменных двигателей, солнечного ветра...

Книга содержит наряду с традиционным материалом много нового, как можно убедиться по оглавлению. Развернутый план книги и исторический обзор читатель найдет в первой главе. Вторая глава дает представление об уравнениях типа Власова или уравнениях самосогласованного поля, об их связях с динамикой многих тел, о лагранжевых координатах в уравнении Власова и о связи с гидродинамическим описанием, приводятся примеры точных решений.

Вывод уравнения Власова-Максвелла предлагается в третьей главе. Этому выводу предпослано рассмотрение сдвига частиц вдоль траекторий произвольной системы дифференциальных уравнений и движения системы частиц на пространствах с метрикой. В четвертой главе исследуется подстановка в виде функции от интеграла энергии, аналогичная интегралу Бернулли.

В пятой главе рассматривается уравнение Больцмана, связи его с гидродинамикой, линейный вариант уравнения Больцмана. Дискретные по скоростям модели ——предмет рассмотрения шестой главы. В шестом параграфе этой главы содержится изучение уравнений химической кинетики с помощью законов сохранения и убывающего функционала ——этот параграф написан совместно с Я.Г. Батищевой. Приложение к главе 6 ——это обоснование ненавьестоксовского (при больших пространственных изменениях скорости) закона вязкости: оно написано И.В. и О.В. Мингалевыми. Глава 7 изучает симметрии уравнения Больцмана ——в первую очередь коммутирование оператора столкновений с группой вращений. Она содержит решение задачи о моментной системе. В приложении к ел. 7 дается построение в виде сходящихся рядов суперпозиции бегущих волн для нелинейных уравнений.

66Предисловие

6

6

В восьмой главе изучаются дискретные модели для смесей газов частиц различных масс. Эта проблема очень актуальна в связи с требованиями к вычислительным алгоритмам: построение правильных моделей требует тщательного изучения законов сохранения. Девятая глава, написанная вместе с Ю.Н. Орловым, содержит исследование спектров гамильтонианов квантовой оптики. Здесь возникает та же самая математика законов сохранения, что и в дискретных моделях уравнения Больцмана и уравнениях химической кинетики. Эти законы сохранения делают задачу о спектре конечномерной, и метод уже привлек внимание физиков, которые воспользовались им для расчетов преобразователей частоты.

Автор надеется, что данная книга будет полезна в качестве учебного пособия по углубленному курсу кинетической теории, а также как руководство для специалистов по прикладной математике, физике, химии, интересующихся теорией и приложениями кинетических уравнений.

Автор выражает благодарность своим учителям М.В. Масленникову и С.П. Новикову своим коллегам И. Батту А.В. Бобылеву С.К. Годунову Ю.Н. Орлову, В.И. Оселедцу, И.П. Павлоцкому, Р. Стритеру, В.М. Суслину Д. Сузллу своим ученикам Ю.А. Волкову И.В. и О.В. Мингалевым, Ю.Ю. Архипову, С.А. Амосову и Я.Г. Батищевой за полезные обсуждения и помощь в работе. Особая благодарность Г.П. Чуркиной за помощь в оформлении рукописи.

ГЛАВА 1

КИНЕТИЧЕСКИЕ УВ4ВНЕНИЯ: ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ

Кинетические уравнения описывают эволюцию функции распределения F (3 о, х) молекул или других объектов (электронов, ионов, звезд, галактик или галактических скоплений) по скоростям о и пространству 力 в момент времени 力.Это означает, что число частиц в элементе фазового объема dvdx есть F (力,о, х) dvdx.

Простейшее уравнение ——уравнение свободного движения:

(1.1)

Цель книги ——изучить основные кинетические уравнения Больцмана и Власова.

Кинетические уравнения типа Больцмана

Первым изученным кинетическим уравнением было, видимо, уравнение Больцмана. Оно учитывает процессы столкновений добавлением интеграла столкновений в (1.1):

(L2)(L2)

(L2)

(L2)

Интеграл столкновений J [F, F]——это квадратичный оператор, учитывающий парные столкновения частиц. Уравнение (1.2) было получено Максвеллом и Больцманом для вывода максвелловского распределения по скоростям, которое тогда только что было использовано для объяснения закона Менделеева-Клапейрона (см. § 1.3).

Максвелловское распределение связано с одним из первых успехов уравнения Больцмана (1.2) — доказательством Л-теоремы.

Теорема утверждает, что функционал

H[F] = / F \nFdvdx

для уравнения Больцмана не возрастает: dH/dt < 0. Этот факт был интерпретирован Больцманом как доказательство возрастания энтропии (Н есть энтропия с обратным знаком), т.е. обоснования 2-го закона термодинамики.

Неравенство Л-теоремы верно не всегда, и мы подробно остановимся на условиях ее выполнения (см. гл. 5). Условие равенства нулю скорости роста энтропии дает максвелловское распределение, поэтому Я-теорема

обосновывает не только стационарность максвелловского распределения, но и стремление к нему, устойчивость этого распределения, а также 2-й закон термодинамики.

Однако уравнение Больцмана писалось Максвеллом для более широких целей. Программа Максвелла состояла в том, чтобы получить уравнения сплошной среды ——типа уравнений Навье-Стокса ——из уравнения Больцмана и тем самым получить коэффициенты переноса ——вязкости и теплопроводности ——и их зависимость от межмолекулярного взаимодействия. Ему это удалось для потенциала межмолекулярного взаимодействия U (г) = 厂4 (максвелловские молекулы), когда интеграл столкновений сильно упрощается. Достичь аналогичных результатов для других потенциалов не удалось ни Больцману [1], ни Гильберту (метод Гильберта [2]), однако это сделали Чэпмен и Энског [2], [3] с помощью специальной схемы теории возмущений (метод Чэпмена-Энскога). Ставки здесь были очень высоки; такое решение давало бы (и дало: оно предсказало термо- диффузию) количественные предсказания в молекулярно-кинетической теории, которая в то время подвергалась критике (в полемику включились не только ученые, например Мах и Авенариус, но и политики: см. В.И. Ленин «Материализм и эмпириокритицизм»). Чэпмен и Энског «немного опоздали»: определение разными независимыми способами числа Авогадро с близкими ответами убедило ученых, и страсти улеглись.

В наше время это уравнение со своими следствиями работает в нескольких направлениях. Одно из них ——средние слои атмосферы. Высокие слои хорошо описываются уравнением свободного движения (1.1)——газ Кнудсена или свободный газ. Низкие слои ——уравнениями газодинамики, которые выводятся из уравнения Больцмана. Сопряжение хотя бы на ЭВМ верхних и низких слоев атмосферы ——одна из актуальных задач [3] в связи с летательными аппаратами. Другое направление ——химическая кинетика: моделирование смесей. Со всем этим связаны дискретные модели уравнения Больцмана (см. гл. 6 и 8).

Широко используемым следствием уравнения Больцмана является уравнение переноса, описывающее рассеяние частиц на заданном фоне: это линейное уравнение Больцмана. Такие уравнения используются для описания переноса нейтронов в ядерных реакторах и переноса излучения в атмосфере, когда фотоны рассеиваются средой.

Предельным случаем уравнения Больцмана служит уравнение Ландау, когда наибольший вклад вносит сильное рассеянье вперед. Оно используется для описания плазмы.

Используются также квантовые аналоги уравнения Больцмана ——уравнения Улинга-Уленбека. Для этих уравнений стационарными распределениями вместо максвелловского оказываются распределения Ферми-Дирака или Бозе-Эйнштейна.

Таким образом, можно представить иерархию уравнений типа Больцмана в виде следующей схемы:

Линии с вопро сите льными знаками означают, что соответствующие уравнения еще, может быть, не выведены (например, приближение Ландау для уравнения Улинга-Уленбека).

Уравнения типа Власова

Если уравнения типа Больцмана описывают короткодействующие взаимодействия, то уравнения типа Власова описывают дальнодействие.

Уравнения Власова или уравнения самосогласованного поля имеют вид

dF / dF\ /dF / dF\ //(F)/(F)=0.=0.(2.1)(2.1)

dF / dF\ /

dF / dF\ /

/(F)

/(F)

=0.

=0.

(2.1)

(2.1)

Здесь сила / сама есть функционал от функции распределения, а уравнение (2.1) имеет вид уравнения сдвига вдоль характеристик. Простейший вид зависимости силы / от функции распределения соответствует парному потенциалу взаимодействия К (力,g):

= -V / К (х,у) F (у, о,力)dvdy. (2.2)

Такой вид взаимодействия дает систему уравнений Власова. Обычно говорят о системах уравнений «Власова плюс ещё кого-то» для того, чтобы различать виды взаимодействий. Бывают уравнения Власова-Пуассона, Власова-Максвелла, Власова-Эйнштейна и Власова-Янга-Миллса (см. гл. 3).

Уравнение Власова-Пуассона бывает двух видов ——для гравитации и для плазмы: в обоих случаях (2.2) заменяется на уравнение Пуассона действием оператора Лапласа, при условии, что К (力,g) — фундаментальное решение оператора Лапласа. Таким образом, К есть потенциал единичного

заряда в трехмерном случае, нити ——в одномерном случае и плоскости —— в двумерном.

Если в гравитационном случае мы заменяем взаимодействие по Ньютону на взаимодействие по Эйнштейну то получаем уравнение Власова- Эйнштейна.

Если в случае плазмы мы заменяем электростатику на электродинамику то получаем уравнения Власова-Максвелла. Если у нас сохраняется не заряд, а векторная величина (изотопический заряд или цвет), то вместо

электромагнитных 4-потенциалов мы должна взять матрицы, и получаем уравнения Янга-Миллса. Такие уравнения дают принятую в настоящее время теорию объединенного электро слабого и сильного взаимодействия.

Таким образом, все уравнения типа Власова дают следующую иерархию:

Данная иерархия дает нам примеры захватывающих романов между математикой и различными частями естествознания. Отдельные главы этого романа будут описаны в дальнейшем. Будут изучены следующие основные подстановки в уравнение Власова.

Уравнение динамики N тел как следствие уравнения Власова: подстановка в виде суммы дельта-функций. Подстановка в виде интегралов от дельта-функций и лагранжевы координаты. Примеры: осцилляторы и антиосцилляторы, экспоненциальное разбегание, две гамильтоновы структуры. ЭйлероЛагранжевы координаты и гидродинамическая подстановка, N- слойная и континуум-с лойная гидродинамика. Примеры: расширяющаяся Вселенная, перехлесты и границы гидродинамического описания (см. гл. 2).

Энергетическая подстановка, когда функция распределения зависит только от энергии (см. ел. 4). В этом случае уравнение (2.1) удовлетворяется, а (2.2) переходит в нелинейное уравнение для потенциала. Это уравнение аналогично уравнениям Бернулли для уравнения Эйлера. И уравнения типа Власова по своей судьбе аналогичны уравнениям Эйлера: их частные случаи стали появляться раньше, чем были написаны сами уравнения Власова. При этом в той же самой энергетической подстановке, выражающей закон сохранения энергии. В приложениях это были плазменный диод (диод Ленгмюра), уравнение Дебая для электролитов и уравнение Лэна-Эмдена в гравитации. В математике такое уравнение еще раньше было изучено в геометрии и называется уравнением Лиувилля. В двумерном случае оно имеет огромную группу симметрий (конформная группа).

Как понятие функции распределения объяснило Максвеллу газовые законы

Пусть F (3 о,力)——функция распределения молекул по скоростям о е G 2?з, пространству 力 е 2?з в момент времени 力.Это означает, что F (3 о, /) dvdx ——число молекул в элементе объема фазового пространства dvdx. Рассмотрим следующие макроскопические величины.

Плотность (момент нулевого порядка):

n (Ж, t) = J ?(方,0,力)dv.n (Ж, t) = J ?(方,0,力)dv.(3.1)(3.1)

n (Ж, t) = J ?(方,0,力)dv.

n (Ж, t) = J ?(方,0,力)dv.

(3.1)

(3.1)

Средняя скорость (первый момент), математическое ожидание скорости V：

1 /

u(力,g) = — /血.

Тензор напряжений (второй центрированный момент):

(3.2)(3.2)Pij = m （vi -汝）（办一出）F （3 °，/）血.

(3.2)

(3.2)

Здесь и далее т ——масса молекулы.

Потоком величины /(p(v)F dv будем называть величину / v ^p(y)F dv. Например, пи есть поток плотности п.

Существует легко проверяемое соотношение / ViVjF dv = riUiUj + + р^ /т, связывающее потоки скоростей и тензор напряжений.

Кинетическая энергия движущихся молекул представляется как кинетическая энергия ти2/2 движения молекул как целого плюс кинетическая энергия относительного движения:

9「， ти2v2F dv =29「， ти2v2F dv =2

9「， ти2

v2F dv =

2

9「， ти2

v2F dv =

2

Второе слагаемое может быть интерпретировано как внутренняя энергия:

(з.з)(з.з)

(з.з)

(з.з)

Давление. Посчитаем, какое давление оказывает газ с функцией распределения F (3 о, х) на единичную площадку с нормалью п. Будем предполагать, что площадка с площадью S отражает молекулы зеркально. Тогда изменение импульса молекулы, ударяющейся в площадку со скоростью о, есть 2 (о, л) т. Число молекул, которые ударятся за время △力 о площадку, есть F(o) dv V, где V ——объем параллелепипеда со стороной。△力 и основанием S:

V = (о, п) △力S.

Получаем формулу для давления

силаp =площадьсилаp =площадь2吋 口）（"W" = 血.2吋 口）（"W" = 血.

сила

p =

площадь

сила

p =

площадь

2吋 口）（"W" = 血.

2吋 口）（"W" = 血.

Интегрируя это соотношение по о, получаем формулу для давления р (п, х, t) = 2m / (v, n)2F dv.(3.4)

(o,n)>0

Закон Паскаля (независимость давления от направления) выполняется, если р не зависит от п. Достаточным условием является изотропность функции распределения, когда F зависит только от v2.

Закон Менделеева-Клапейрона (уравнение состояния):

2/

р = - еп.(3.5)

Сравнивая (3.3) и (3.2), получаем, что если положить р = (р ц + р 22 + + 夕 зз)/3, то уравнение состояния (3.5) справедливо при любой функции распределения. Сравнение этого выражения с (3.4) дает условия, при которых оно является реальным давлением: а) или средняя скорость “ равна нулю, или переопределить формулу (3.4), заменив о на о — 〃； 6) изотропность функции распределения, когда (3.4) не зависит от п.

О кинетическом подходе к 6-й проблеме Гильберта (аксиоматизация физики)

Шестая проблема Гильберта с формулирована как задача о развитии аксиоматического метода в естественных науках. Например, часть этой проблемы была решена для теории вероятностей Колмогоровым, а для физики считалась неприступной. Но актуальность ее велика с мировоззренческих позиций, с точки зрения методики преподавания, и, возможно, с научной точки зрения.

В какой-то мере все, кто выводит одно уравнение из другого, прикасаются к этой проблеме. В работе Боголюбова [8] кинетические уравнения Больцмана, Власова и Ландау выводятся из динамики N тел (см. также [2], [10], [11]). Программа С.К. Годунова, изложенная в книге [13], — классифицировать уравнения из учебника Ландау и Лифшица с точки зрения гиперболичности. Из кинетических уравнений гиперболичность получается автоматически для уравнения Эйлера из уравнения Больцмана как первое приближение в методе Чэпмена-Энскога. (см. гл. 5, а также [4], где получена специальная дважды дивергентная форма для уравнений типа Эйлера из простой дискретной модели уравнения Больцмана).

В основу физико-математического описания мира можно положить 2 лагранжиана: Власова-Эйнштейна и Власова-Янга-Миллса (см. гл. 3). Первый из них отвечает за гравитацию, второй ——за электро слабые и сильные взаимодействия. Динамика N тел получается из них стандартной подстановкой (гл. 2), и таким образом выводится механика. Надо позаботиться об описании (т.е. выводе основных уравнений) для всех агрегатных состояний вещества (плазма, газ, жидкость, твердое тело). Плазма описывается уравнением Власова-Максвелла, которое «отщепляется» от уравнения

Власова-Янга-Миллса. Разреженный газ описывается уравнением Больцмана, которое можно получить по схеме Боголюбова [2, 11,10] из динамики N тел. Из уравнения Больцмана получаются уравнения сплошной среды (Эйлера и Навье-Стокса) методом Чэпмена-Энскога.

Квантовые кинетические уравнения [12] в применении к твердым телам и жидкостям должны получаться из соответствия «квантовые гамильтонианы ——кинетические уравнения» (см. гл. 9). Это соответствие разработано слабо (см. [14] игл. 9), но явно или неявно используется в [12]. Сами квантовые гамильтонианы из 2-го лагранжиана получаются квантованием полей со связями.

Это и есть кинетический подход к построению здания физики, который получается синтезом подходов Л.Д. Ландау и Е.М. Лифшица, Н.Н. Боголюбова и С.К. Годунова. Однако уже сейчас соответствие «квантовые гамильтонианы ——кинетические уравнения» дало единое обобщение кинетических уравнений как для смесей с химическими реакциями, так и для тройных и более столкновений (см. гл. 9). Это соответствие позволило также получить простую формулу для законов сохранения (см. гл. 9), что привело к методу построения дискретных моделей для смесей с правильным числом инвариантов (см. гл. 8).

При этом важнейшим инструментом является тщательное изучение законов сохранения специального вида ——линейных по числу частиц. Именно такие законы сохранения оказываются основными как инварианты столкновений уравнения Больцмана, в теореме о единственности H-функции Больцмана, в условиях химического равновесия, в изучении множества стационаров марковских процессов и основного уравнения Паули, в исследовании спектров квантовых гамильтонианов, при установлении соответствия «квантовые гамильтонианы ——кинетические уравнения».

ГЛАВА 2

ЛАГРАНЖЕВЫ КООРДИНАТЫ

Задача N тел, континуума тел и лагранжевы координаты в уравнении Власова

Рассмотрим уравнение Власова (1.2.1-1.2.2) в форме, когда (1.2.2) под

ставлено в (1.2.1). Получаем:

Рассмотрим подстановкуРассмотрим подстановкуdF\К(*у)丽丿=0.(1.1)dF\К(*у)丽丿=0.(1.1)

Рассмотрим подстановку

Рассмотрим подстановку

dF\

К(*у)丽丿=0.(1.1)

dF\

К(*у)丽丿=0.(1.1)

N

(L2)(L2)F(t,v,x)=工 pid[y -匕⑴)b(力一X^t)).

(L2)

(L2)

г=1

Здесь 5(力)——5-функция (Дирака),匕(方)и Х〃("——функции времени (координаты и скорости частиц),勿 > 0 ——числа (веса частиц). Уже Власову было известно, что такая подстановка проходит, если Х〃 и 匕 удовлетворяют уравнениям движения N тел [5]:

(L3)(L3)N

(L3)

(L3)

IJ=1

где Vi — вектор градиента по первому аргументу.

Рассмотрим аналогичную подстановку, если сумму в (1.2) заменить на интеграл

F（3仙力）=F（3仙力）=—V(q,力))5(力—X(q,力))dq.—V(q,力))5(力—X(q,力))dq.(1.4)(1.4)

F（3仙力）=

F（3仙力）=

—V(q,力))5(力—X(q,力))dq.

—V(q,力))5(力—X(q,力))dq.

(1.4)

(1.4)

Здесь необходимо определить правое выражение как обобщенную функцию, что делается естественно: это есть линейный функционал, определяемый формулой

0(q) b(。一『(q))b(力一X(q)) dq,夕®,力)

Это довольно широкое обобщение «простого слоя» [6] для поверхностей, заданных параметрически q — (X(q,力)，『(q,力)).Параметр q может

пробегать любую область в пространстве Rk любой размерности или какое- либо многообразие. Обычно к < 6. Выводим уравнения, которым должны удовлетворять функции, чтобы подстановка (1.4) в уравнение (1.1) давала тождество. Вычисляем отдельные слагаемые в (1.1) при функции (1.4):

£ = /北)卜向。-『(G),-皆)ь(力-x(q)) dq +

и,и,+ / 0(q) MG) (▽网力―X(q)), —X(q)) dq;

и,

и,

0(q) b(o -『(g))▽力5(/ - X(q)) dq

=(『(d 力)，/0(q) 5(。一『(q))▽力b(力-X(q)) dq).

В последнем равенстве мы воспользовались свойством

V 6(V —『(g)) = u(q) ь (о —『(G)

и заменили о на V(q, t) (правило умножения функции на J-функцию [6]). Наконец,

(▽力 / К(х,叨 F^y.v.t) dv dy. =

=(/▽iK(X(q<), X(必力)

P(qN3v№ -『(G) b (力—X(q)) dqdq^ .

Здесь Vi ——градиент по первому аргументу. Мы воспользовались при интегрировании по у определением J-функции, при интегрировании по v —— тем, что интеграл от J-функции равен единице, а х заменили на X(q, t) по свойству умножения J-функции на функцию. Сравнивая три выражения, видим, что уравнения выглядят следующим образом:

[H(q,方)=『(5方)，(哈

Уравнения (1.5) естественно называть уравнениями континуума тел.

Рассмотрим подстановку (1.2) при N = 1. Получаем систему: ± = = о,力 = _pN\K(x,力).Если потенциал К(х, д) есть четная гладкая функция от разности х — у,то Vi/C(x, х) = 0. Последнее равенство есть условие отсутствия самодействия [16].

«Уравнение Власова является фундаментом физики плазмы. Нам представляется весьма существенным, что уравнение Власова имеет микроскопические решения, соответствующие точным решениям классической

механики». (Н.Н. Боголюбов. Предисловие к [15]). Функции (1.2) и являются такими микроскопическими решениями. Н.Н. Боголюбов доказал возможность подстановки (1.2) (с динамикой твердых шаров) и в уравнение Больцмана-Энскога [16].

Выводы.

Уравнение Власова допускает подстановку (1.2) и содержит в себе движение N тел с любым числом N. Это показывает его фундаментальность.

Уравнение Власова допускает подстановку (1.4), в результате чего получаются уравнения континуума тел. Если q =(Х(О), V(0))——начальные координаты точек, то q называются лагранжевыми координатами, и уравнения (1.5) есть переход к лагранжевым координатам.

Когда уравнения континуума тел гамильтоновы?

Подходящим претендентом гамильтониана для уравнения (1.5) является функционал

Этот функционал, конечно, есть обобщение гамильтониана N тел, где сумма заменена на интеграл. Выясним условия, при которых уравнения (2.5) гамильтоновы, т.е. совпадают с системой:

户（5力）=-鬪Г

(2.2)(2.2)Ff[g] h = 4f(^ + ^)Ff[g] h = 4f(^ + ^)А=0А=0Здесь справа стоит вариационная производная, аналог частной производной, которую можно определить следующим образом. Если F[g]——некоторый функционал, то его слабый дифференциал ——это выражение

(2.2)

(2.2)

Ff[g] h = 4f(^ + ^)

Ff[g] h = 4f(^ + ^)

А=0

А=0

Вариационной производной функционала F назовем функцию 由储 (если она существует), задаваемую равенством

九(/)dx.

Однако это равенство можно понимать и в смысле обобщенных функций, называя вариационной производной линейный функционал, действующий по правилу

Тогда и уравнения (2.2) следует понимать в смысле обобщенных функций (т.е. как равенство функционалов).

Задача . Получить (2.2) из (2.1).

Ответ

22дН _ 1 bX(q) = -2дН _ 1 bX(q) = -2(2.3)(2.3)

2

2

дН _ 1 bX(q) = -2

дН _ 1 bX(q) = -2

(2.3)

(2.3)

Мы видим, что эти уравнения совпадают с (1.5) в том случае, если:

слагаемые в правой части выражения (2.3) совпадают.

Первое условие ——естественная связь скорости V и импульса Р, а второе выполняется, если потенциал К симметричен по своим аргументам: К(%, у) = К(д,/)・

Вывод. Если потенциал К симметричен, то уравнения континуума тел (1.5) гамильтоновы с гамильтонианом (2.1). Это ——многочастичный гамильтониан: он дает уравнения Власова (1.5) в лагранжевых координатах в форме (2.2).

Другой гамильтониан (гамильтониан характеристик) имеет вид

Я = V2/2 + U(х, ^), где U = / К{х, y)F(y, t) dvdy, и дает характеристики уравнения (1.1): он дает уравнение Власова (1.1) в эйлеровых координатах в форме 請 + {Я, /} = 0, где {Я, /} — скобка Пуассона: {Я, /} =

JI J J OV OX OV ох

Осцилляторный потенциал

Рассмотрим случай, когда К(力,g) = (//2)(力—夕尸.

Задача допускает точное решение в лагранжевых координатах. Уравнения (2.2) приводятся к виду

又(q,力)+s20oX(q,力)=/ / X(必力)р(^)^-

Здесь 0о = / 0(q) dq.

Умножая на 0(q) и интегрируя по dq получаем для средней координаты уравнение

0 = О,

где Q(" = / X(q,力)0(q,力)dq.

2 B.B. Веденяпин

Выписываем ответ:

X(q) = 4(q) cos 力)+ 8(q) sin 力)+ ^^力 + ^^ Po Po

Рис. 2.1.Рис. 2.1.Итак, мы видим, что система частиц с осциллятор- ным потенциалом колеблется вокруг общего центра с частотой s，^. Этот центр движется со скоростью Q(O)/po- От координаты q (нумерующей частицы) зависит только амплитуда колебаний. Положим Q(0)= =Q(0) = 0. Если нарисовать фазовый портрет в одномерном случае, то получим, что все частицы движутся по эллипсам против часовой стрелки (рис. 2.1).

Рис. 2.1.

Рис. 2.1.

Соответствующие формулы дают поворот в пространстве 卜/(號)}

sig力X(q,0)cos(x方)丿〈『m①/3师)sig力X(q,0)cos(x方)丿〈『m①/3师)X（q,力） 、=（cos（x力） 『（q,方"（S师）丿-sin（x方）

sig力X(q,0)

cos(x方)丿〈『m①/3师)

sig力X(q,0)

cos(x方)丿〈『m①/3师)

где X =S师.

Антиосцилляторный потенциал

от о сцилляторного:от о сцилляторного:Будем называть антиосцилляторным потенциал, отличающийся знаком

от о сцилляторного:

от о сцилляторного:

Рис. 2.2.Рис. 2.2.K(/,g) = —^ (力一g)'

Рис. 2.2.

Рис. 2.2.

В решении тригонометрические функции заменяются на гиперболические:

X(d 力)A A ch(x力) 『(d 力"За/К)丿I - sh(x力)X(d 力)A A ch(x力) 『(d 力"За/К)丿I - sh(x力)sh（x力）、*

X(d 力)A A ch(x力) 『(d 力"За/К)丿I - sh(x力)

X(d 力)A A ch(x力) 『(d 力"За/К)丿I - sh(x力)

XXX（q,0）、

X

X

『（5。）/0师）丿'

где x =S师・

Соответствующий фазовый портрет выглядит как разбегание по гиперболам (рис. 2.2).

Асимптотически частицы приближаются к прямой X = У/ш^/р^. В дальнейшем мы сравним эти движения с реальными плазменными и гравитационными задачами.

Гидродинамическая подстановка. Многопотоковая гидродинамика и эйлеро-лагранжево описание

Гидродинамической подстановкой назовем подстановку [17]:

Смысл ее заключается в том, что в каждой точке пространства х имеется только одно значение скорости V(х, t). При этом для р и V получаются уравнения (однопотоковая гидродинамика):

(5.1)(5.1)洋 + div(『0(/)) = О,

(5.1)

(5.1)

dVdV /

万 + 匕厂 +▽笑 К® у) p(y^t) dy = 0.

otOXi丿

Обобщением служит TV-потоковая гидродинамика, когда [17]:

N

F(3 а 力)=£ pl 応力)Ь(。— ％ (х,力))•

Можно рассматривать также континуумслойную (или континуумпотоко- вую) гидродинамику когда сумма заменяется на интеграл

F(3o,/)= р(х, s^t) 6(V — V(х, s, /：)) ds.

Здесь правая часть означает обобщенную функцию, дающую для пробной функции 夕(力,о) значение

у p(x, s) V(x, s)) ds dv.

В этом случае s — лагранжева координата. Получим уравнение на р и У.

(^ХР)Ь(。—『)曲 +(^ХР)Ь(。—『)曲 +(▽ хр)(▽ хр)Для этого вычислим все слагаемые в (1.1):

(^ХР)Ь(。—『)曲 +

(^ХР)Ь(。—『)曲 +

(▽ хр)

(▽ хр)

/dF

K(x,y)F(y,v,t) dvdy,丽

NxK(x)y)p(y)s)dyds) p{x,q)\/vFdq .

Мы заменили во втором равенстве (а) о на『с использованием формулы умножения градиента J-функции на функцию

S~zb(。- V) = "▽/(о - V)-厶抄(о - V).

Получаем систему уравнений на р(х, q,力)，собрав члены при J-функции: др

U + (К ▽切 + Р divV = 0, Р = d 力).(5.2)

Второе уравнение, на V, получим, собирая все коэффициенты при градиенте J-функции:

dVdV/

м + Н X/xK(x,y)p(y,q,t) dydq.(5.3)

otOXi丿

Это и есть уравнения континуумслойной гидродинамики.

Каждое из полученных уравнений перестает работать, если возникает перехлест: неоднозначность функций, когда число слоев меняется от точки к точке со временем. Последнее может иметь место уже для уравнения свободного движения, когда К = 0. В этом случае работает лагранжево описание.

Пример. Свободное движение; К = 0 в (1.1), т.е. справедливо уравнение (1.1.1).

А. Нет перехлеста ни в какой момент времени (рис. 2.3).

Б. Есть перехлест в некоторый момент, когда быстрые частицы обгонят медленные (рис. 2.4).

Уравнения (5.1) и (5.2) перестают работать после перехлеста, а (1.1) и (1.5) — работают.

У пражнение 1. Для различных зависимостей V(s, 0), X(s, 0) координат и скоростей в лагранжевых координатах s найти моменты перехлеста.

Пример. Пусть F(x, v, 0) = р(х, 0)J(v — V(x, 0)) в начальный момент времени определяется условиями

0(力,0) = {[ J" ^ ；' 『(/,0) = %? (график — кусок параболы).

В лагранжевых координатах X(s, 0) = s, V(s, 0) = s2, а уравнение движения 玄(s,力)=0 решается явно:『(s,力)=s2, X(s,力)=s2t + s. Чтобы найти момент перехлеста, надо выяснить, когда dX/dV в первый раз обратится в ноль (градиентная катастрофа, эквивалентная обращению дХ/dV

в бесконечность). Для этого необходимо исключить s, после чего для левой ветви параболы получаем Х(У,力)=Vt — y/V. Дифференцируя, находим, что dX/dV =力一1/(2\/Й), и первый момент обращения функции dX/dV в ноль на отрезке 0 < V < 1 будет при V = 1, t = 1/2. После момента 力=1/2 функция V(х, t) становится неоднозначной, гидродинамическое описание невозможно, а предъявленное решение в лагранжевых координатах сохраняется. Именно перехлесты служат основой теории блинов крупномасштабной структуры Вселенной. При проекции на координату х возникает особенность плотности, и это служит основой теории лагранжевых особенностей [18].

У пражнение 2 . Найти уравнения гидродинамического типа для произвольной силы / (力,о) в (1.1) вместо самосогласованного поля.

Расширяющаяся Вселенная

Понятие это появилось после того, как Фридман построил точные решения уравнения Эйнштейна, а Хабблом был экспериментально обнаружен закон красного смещения, показывающий, что галактики разбегаются тем сильнее, чем удаленнее они расположены. Существует простой нерелятивистский аналог этих решений — самогравитирующий шар (модель Милна-Мак-Кри, см. [7]). В то же время они являются точными решениями уравнения Власова-Пуассона для тяготения. Эти уравнения имеют вид

где 7 ——постоянная тяготения.

Предлагаемые решения могут быть представлены в виде

F(3o,/) = /—『(q,力))5(力—X(q,切 dq.

Тогда X(q,力)удовлетворяют уравнениям f dqf |x(G —x(“

Рассматриваемые решения сферически симметричны, т.е. X(q,力)=(q/|q|)x xR(r, t\ r = |q|, скорости частиц направлены вдоль радиусов-векторов и зависят не от направления, а только от радиуса. Тогда уравнения движения имеют вид

7工

где М(г)——масса шара с лагранжевой координатой, меньшей г; г нумерует сферические слои.

Рис. 2.5.Рис. 2.5.|W2 - 7|W2 - 7=c кд厂.=c кд厂.(б」)(б」)Здесь мы пользуемся тем, что однородный сферический слой действует на точку внутри себя с нулевой силой, а вне себя притягивает как точка в центре с той же массой. Интегрируя это уравнение, получаем:

Рис. 2.5.

Рис. 2.5.

|W2 - 7

|W2 - 7

=c кд厂.

=c кд厂.

(б」)

(б」)

Если О > 0 (рис. 2.5), то происходит неограниченное расширение и это ——открытая модель. Если С < 0, то расширение сменится сжатием, и это ——закрытая или осциллирующая модель Вселенной (сравните с § 2.3, 2.4). Преобразуем уравнение (6.1), разделив на В?. Тогда получим уравнение

2。

e V "丿

Входящая в него величина Л (/：) называется постоянной Хаббла. Слева здесь стоит наблюдаемая ——но с очень большой ошибкой ——величина, а первое слагаемое в правой части пропорционально плотности: р = %. Слу

чай 0 = 0 соответствует критической плотности: рс = Плотность больше критической дает закрытую модель, а плотность меньше критической ——открытую модель Вселенной. Обычно полагают, что р не зависит от г [7] (однородность Вселенной). Можно пофантазировать, что будет при отказе от этого утверждения.

Заключение

Эта глава посвящена изучению схемы построения теории кинетических уравнений Власова. Мы подробно остановились на связях кинетического уравнения Власова-Пуассона с уравнениями гидродинамического типа, с гамильтоновой динамикой, что дает обоснование метода частиц. Рассмотрение уравнения Власова-Максвелла будет проведено в дальнейшем.

ГЛАВА 3

УРАВНЕНИЯ ВЛАСОВА-МАКСВЕЛЛА ИВЛАСОВА-ЭЙНШТЕЙНА

Настоящая глава посвящена выводу или/и обоснованию системы уравнений Власова-Максвелла. Эта система уравнений выписана А.А. Власовым в работах [1], [2] и широко используется для описания плазмы. Уравнения Власова-Эйнштейна обосновываются аналогично, и мы только коротко остановимся на них. Под названием уравнений Власова-Максвелла разные исследователи, строго говоря, понимают разные уравнения. Наиболее популярно уравнение с нерелятивистской зависимостью скорости от импульса для функции распределения (как, например, [3], [4]). В учебнике [5] зависимость скорости от импульса не конкретизируется. Поэтому важно связать это уравнение с классическим лагранжианом, чтобы, с одной стороны, надежно иметь «правильное» уравнение, а с другой ——понимать характер сделанных приближений. В § 3.4 мы приведем кратчайший, видимо, путь, связывая уравнения Власова-Максвелла с лагранжианом электромагнетизма из [6]. Параграфы 3.1-3.3 являются вспомогательными, т.к. процесс вывода § 3.4 является неоднозначным. В § 3.1 обосновываются уравнения для функции распределения частиц, сдвигаемых вдоль траекторий произвольной динамической системы Xi = Х〃(/). В § 3.2 изучается уравнение Эйлера-Лагранжа для случая, когда действие есть длина, а также обосновывается выбор функции распределения в переменных 力,р (пространство- импульсы). В § 3.3 выясняется вид инвариантных мер в переменных х, v (про странство-скоро сти).

3.1. Сдвиг плотности вдоль траекторий динамической системы

Рассмотрим произвольную динамическую систему т.е. систему нелинейных дифференциальных уравнений в k-мерном пространстве:

Xi = Xi{x\ i = L к.(1.1)

Пусть мы раскидали частицы с какой-то начальной плотностью /(0,力)，а в момент времени t эта плотность есть /(力,力)，так что число частиц в области G

N(G,力)= х) dx.

Какова эволюция /(力,/)?

Покажем, что соответствующее уравнение имеет вид (по повторяющимся верхним и нижним индексам предполагается суммирование):

^ + ^(九七)=0.(L2)

Способ 1 . Метод b-функций.

Рассмотрим функцию распределения N частиц, сдвигающихся по траекториям этой системы:

N

/(3%)=e6(/一伫(方))，

где для каждого / функция ◎⑴ удовлетворяет уравнениям (1.1). Тогда, дифференцируя по времени, получаем

^ = £ (s(力-©),()).

С другой стороны, имеем

N

div(/X)=工(VxJ(x -Х(/")・

i=i

Складывая полученные выражения, находим, что уравнения (1.2) для такой функции удовлетворяются. При взятии дивергенции мы воспользовались формулой

^(0(/)Ь(力-/о)) = 0(力0州’(力-/о).

Для произвольной функции / равенство (1.2) получается переходом к пределу при аппроксимации ее суммой J-функций (в слабом смысле).

Способ 2 . Баланс частиц.

Скорость роста частиц в области G есть

吧『一"Egds.(1.3)

Это следует из того, что на малом участке границы ds количество вылетевших за время dt частиц есть / ds dt(Х,п), так как все вылетевшие частицы заметают цилиндр с основанием ds и стороной X dt> а поэтому высотой(X,几) d力.Знак минус берется потому что нормаль ——внешняя, и считаются вылетевшие частицы, тогда как слева в (1.3) стоит скорость роста числа частиц в области G. Преобразуя в правой части (1.3) интеграл из поверхностного в объемный по формуле Стокса, мы получим уравнение (1.2), проинтегрированное по области G, а отсюда в силу произвольности G — и само уравнение (1.2).

Перепишем уравнение (1.2) в виде

戸卜3+/тХ = 0.(L4)

Если divX = 0, то левая часть (1.4)——это полная производная /(力,力)по времени.

Вывод. Уравнение для функции распределения частиц, сдвигающихся вдоль траекторий динамической системы (1.1), имеет вид (1.2).

3・2・ Уравнения геодезических и эволюция функции распределения на римановом многообразии

Рассмотрим метрику д^хУх，в пространстве Rn^ х Е Rn^ g叮(力)—n2 функций. Это означает, что длина кривой определяется формулой ([6], [7]):

(2.1)(2.1)

(2.1)

(2.1)

а уравнение геодезических получается из принципа наименьшего действия (принципа наименьшей длины). Если, более обще, действие записывается в виде S = f L (х, ±) d力，где L ——лагранжиан, то уравнения Эйлера-Лагранжа даются варьированием с фиксированными концами траекторий (см., например, [7]):

5S5SbLd 力=bLd 力=дх +дх +

5S

5S

bLd 力=

bLd 力=

дх +

дх +

Получаем уравнения Эйлера-Лагранжа:

dt ( дхк 丿 dxk，

В случае геодезических L =、/g叮勿?必/ имеем

必2M丿2,仇孤就3 dxk必2M丿2,仇孤就3 dxk(2.2)(2.2)

必2M丿2,仇孤就3 dxk

必2M丿2,仇孤就3 dxk

(2.2)

(2.2)

Функционал длины инвариантен относительно замены t = ^(т) для любой гладкой функции ^(т), и то же свойство имеют уравнения (2.2).

Этим свойством иногда распоряжаются так, чтобы максимально упростить уравнения. Выберем ([6], [7]) в качестве параметра 丁 длину линии (интервал, собственное время) s : ds =，g^dx% dg, после деления на ds получим、/g叮勿2力у = 19 и уравнения (2.2) превращаются в

f(2.3)

ds 田 72 dxk

Последние совпадают с уравнениями Эйлера-Лагранжа для действия с лагранжианом L = g叮行2方.

Преобразуем их к виду

4—丄 Zm 4 4〉4—丄 Zm 4 4〉(2.4)(2.4)

4—丄 Zm 4 4〉

4—丄 Zm 4 4〉

(2.4)

(2.4)

Здесь gkl ——матрица, обратная к g” , а Г^ называются символами Кристоффеля.

Запишем уравнения (1.2) для функции распределения /(/, о, s) по пространству и скоростям (с длиной s вместо времени) для уравнения (2.4), как это показано в предыдущем параграфе:

⑵5)⑵5)

⑵5)

⑵5)

Последний член в левой части соответствует тому что система (2.4) имеет дивергенцию, отличную от нуля. Переход к бездивергентному виду можно осуществить двумя способами.

Способ 1 . Переход к переменным координата-импульс и гамильтонов формализм.

Введем стандартным образом импульсы [7]. Если L = (д叮行"±J) /2 (этот лагранжиан дает те же уравнения движения, что и (2.1)), то импульсы р» = =ЭЬ/дхг = gij ±J, а гамильтониан Н =夕〃 М — L = (р^ pj g")/2. Тогда уравнения (2.3) приобретают гамильтонов вид

察=д'”’

dPk — —I 虻》A(曲—2 дхк РгРг

У пражнение . Показать, что для любой гамильтоновой системы дивергенция равна нулю.

Решение.

2 ан. ан2 ан. ан今 divF =今 divF =a2Hдхг dpia2Hдхг dpia2Hdpi дхгa2Hdpi дхг

2 ан

. ан

2 ан

. ан

今 divF =

今 divF =

a2Hдхг dpi

a2Hдхг dpi

a2Hdpi дхг

a2Hdpi дхг

Получаем уравнения для функции распределения /(s,力,夕)по координатам и импульсам (1.2) в виде

(2.6)(2.6)а/ 刃1 д9гга/ с

(2.6)

(2.6)

ds у p AM2 dxkdpk

Это уравнение имеет вид

刃/As + {Н, /} = 0, где {Н, /} — скобка Пуассона:

'办 2。方дрг дх^ •

Способ 2 . Переход к инвариантной мере в пространстве координаты-скорости.

Пусть g — определитель матрицы g叮.Вместо / в (2.5) введем новую функцию распределения

F(x,v,s)=尸(力,o,s)/g.

У пражнение . Показать, что для новой функции распределения уравнение эволюции бездивергентно и имеет вид

ds дхгds дхг7 dF7 dF

ds дхг

ds дхг

7 dF

7 dF

Решение . Воспользуемся операцией дифференцирования определителя. При этом второе слагаемое в (2.5) преобразуется следующим образом:

В (а) используется тождество

Для новой функции распределения число частиц записывается в видеДля новой функции распределения число частиц записывается в виде

Для новой функции распределения число частиц записывается в виде

Для новой функции распределения число частиц записывается в виде

力)=у F(x, t) g(x) dx dv.

G

Поэтому g dxdv есть инвариантная мера: F не растет, т.е. полная производная от нее есть ноль, и поскольку число частиц сохраняется, то мера g dxdv сохраняется тоже.

Вывод. В качестве переменных в функции распределения можно брать импульсы или скорости, а в качестве времени ——время или интервал s. В § 3.2 мы для простоты уравнений брали интервал, который в теории относительности называется собственным временем [6]. Возможность выбрать s в качестве параметра означает синхронизацию собственного времени различных частиц. С этим связан парадокс близнецов. Тот из них, чей интервал (собственное время) меньше, т.е. который «двигался больше», оказывается младше. Поэтому использование s хотя формально и возможно, но делает затруцнительным интерпретацию результатов.

У пражнение . Написать уравнения для функции распределения свободных частиц с интервалом и временем в качестве аргумента и сравнить.

3・3・ Как ведет себя мера риманова пространства припреобразованиях?

Пусть проведена замена координат М =少 ®. Как преобразуется при этом метрика? Имеем (см., например, [7]):

Поэтому р =尸仏 где J — это det {дхг/д^. Отсюда следует, что так как dx = \ J\ dg,TO y/\g\dx = y/\^\d^ т.е. y/\g\dx — инвариант преобразований.

Дифференцируя по параметру, имеем хк =国心丨改){, а поэтому dV = = \J\ dv. Отсюда следует, что рdxdv = y/\g\dxy/\g\dv —— инвариантная мера, где каждый из сомножителей инвариантен при преобразованиях.

Вывод. В качестве переменных функции распределения удобно брать импульсы. В качестве параметра т в § 3.4 возьмем время, в качестве переменных функции распределения ——t (время), х (пространственная координата), р (импульсы): / = /(3 х^р).

3・4・ Вывод уравнения Власова-Максвелла

Система уравнений Власова-Максвелла описывает движение частиц в собственном электромагнитном поле. Стартуем с обычного действия для электромагнитного поля (см. § 27 в [6]), действия Власова-Максвелла или Лоренца (по повторяющимся верхним и нижним индексам идет суммирование):

т

= SVM =—工 гпас 工 / 义也<q^义展 <q^ dt +

。。о

+ 工£ 工 / (Xa(q,方方)

。。о

+ * /= Sp + S>f +

где Sp означает действие частиц (particles), Sf ——действие полей (fields), Sp_f — действие частиц-полей (particles-fields).

Здесь а означает сорт частиц, отличаемый по массе ша и заряду еа, q нумерует частицы внутри сорта, X以q,力)(〃 = 0,1, 2, 3; q = 1,..., 7\厶; а = 1,..., т)——4 координаты q-й частицы сорта а, 4从(力)——потенциал, 勺山=дуА^ —乙丄一электромагнитные поля,呢“ 一 метрика Минковского: g^ = diag(l, —1, —1, —1), т.е. диагональная матрица с 1 на первом месте и ( —1) на остальных. Варьирование проводим специальным способом [6]: сначала получаем движение частицы в поле, потом поля с заданными движениями частиц. Однако для частиц мы перейдем к функциям распределения, что и даст искомую систему уравнений.

Варьирование Sp + Sp_f по координатам Xg(q,力)даст уравнение движения зарядов в поле. Перепишем J义卩义卩 для метрики Минковского (в дальнейшем греческие индексы 〃,沙 пробегают четыре значения: 〃 = =0,1, 2, 3; латинские г, J —три: г = 1, 2, 3):

где % — лагранжиан частиц.

Здесь х2 = V2 = х^ + ±2 + х^ = — (±i±x + ±2^2 + 行з^з) = -±^±г (г = 1, 2, 3)——трехмерный квадрат скорости, и мы учли, что 力° = с力 и вынесли с2 из-под корня. Проварьируем это выражение (опуская а):

dt = т 4 —I Gx'dt乙y^l - v2/с2 у

Варьируем Sp_f (снова опускаем а):

bSp—f = ： £ь/ ^сЛо (x(q,t)) + Л (x^t^x^q^ d 力=

е / Г 94()g 〃 dAi . • • ( d а、—

=/ / с——- 6х + ——гХ 6х — I —~Ai ) 6х d力.

с亍丿[a%? a/ \dt 丿 _

уравнение движения заря-уравнение движения заря-Отсюда из условия b(Sp + Sp_f) = 0 получаем женной частицы в поле:

уравнение движения заря-

уравнение движения заря-

d>Paidtd>Paidt

d>Paidt

d>Paidt

Уравнение для функции распределения получается как уравнение сдвига вдоль траекторий полученной динамической системы движения зарядов в поле. Видно, что удобно взять функцию распределения от импульсов, а не от скоростей. При этом надо выразить скорости через импульсы:

mvi2m2^2

Pi =/， откуда р =

J-2/e2/g

Обозначая 1 —(产/产) = 7-2, получаем 72 = 1 + р2/(ш2с2) и g = =pi/^m). Отсюда находим уравнение для функции распределения /a(/，夕，力)(аналог 1.4):

3десь^ = Йтгт^р)3десь^ = Йтгт^р)Использовано, что div°(F；吟=0.Использовано, что div°(F；吟=0.В [1, 3, 5] это уравнение записано для ионов и электронов в следующемВ [1, 3, 5] это уравнение записано для ионов и электронов в следующем

3десь^ = Йтгт^р)

3десь^ = Йтгт^р)

Использовано, что div°(F；吟=0.

Использовано, что div°(F；吟=0.

В [1, 3, 5] это уравнение записано для ионов и электронов в следующем

В [1, 3, 5] это уравнение записано для ионов и электронов в следующем

виде:

.3)(4..3)(4.сГ°-- -сГ°-- -区办也办区办也办1 - с 1 - с1 - с 1 - с- +- ++ +^/е灰苏瓦+ +^/е灰苏瓦

.3)

(4.

.3)

(4.

сГ°-- -

сГ°-- -

区办也办

区办也办

1 - с 1 - с

1 - с 1 - с

- +

- +

+ +

^/е灰苏瓦

+ +

^/е灰苏瓦

Здесь /i (3 р, х)——функция распределения ионов по пространству и импульсам в момент времени 力(i в (4.3)——первая буква слова ion, а не индекс), /е(3 Р,力)——функция распределения электронов, ге ——заряд иона, (—е)—— заряд электрона, [v, В] — векторное произведение. В [1, 3, 5] не выписано выражение о через р, однако часто его берут классическим: vaj = pj /ma (см., например, [4] или гл. 4), и тогда удобно записать уравнения через функцию распределения /(力,о, /) по скоростям вместо импульса. В записи (4.3) V надо брать различными для электронов и ионов, т.е. (4.3) требует уточнения, где。厶 а где vQ вместо о, и каковы эти функции, как функции импульса 4 (夕)и vQ (р).

Уравнение для полей. Следуем [6], но используем функцию распределения вместо плотности. Сначала надо переписать Sp_f через функцию распределения, совершив переход

工一 /歯一 //(力义)dxdp,

после чего Sp_f запишется в виде

Sp—f = £ || / A^x^f^x.p)产夕染力.

Теперь варьируем по потенциалам Лм (力)：

bSp—f = £ || / OM(x)</a(x,p) d3pd^x,

bSf =靑2 У 曰 = _l_2y dA^F^d^x.

Полагаем b (Sp_f + S^ = 0 и получаем

= —广工6。/唸fa(x,p)d3p.(4.4)

Система (4.2), (4.4) и есть система уравнений Власова-Максвелла.

Замечание 1 . Уравнения (4.4) являются второй парой уравнений Максвелла, а первая следует из равенств F^ = д^А^ — д^А^, что записывается в эквивалентном виде на языке дифференцирования кососимметрических тензоров [7] F^dx^ Л dxy = 2d(AMdxM). Первая пара уравнений Максвелла записывается в виде d {F^dx^ Л dxy) = 0.

Замечание 2. При выводе уравнений Власова-Максвелла по схеме Боголюбова [8] мы должны были бы стартовать с гамильтоновых систем с потенциалами Лиенарта-Вихерта (запаздывающие потенциалы). Для слабого релятивизма соответствующий лагранжиан называется лагранжианом Дарвина [9].

Замечание 3 . Можно таким же способом получить уравнения Вла- сова-Янга-Миллса, заменив в четырех потенциалах Ам числа на матрицы.

Вывод. Система уравнений Власова-Максвелла получается при варьировании действия электромагнетизма (действия Лоренца) с переходом к

функции распределения. Уравнение для функции распределения получается как уравнение сдвига вдоль траекторий движения частиц.

3・5・ Схема вывода уравнения Власова-Эйнштейна

Sve = / у g^Sve = / у g^= Sp + Sf. (5.1)= Sp + Sf. (5.1)Рассмотрим действие для частицы в гравитационном поле и для поля [6]：

Sve = / у g^

Sve = / у g^

= Sp + Sf. (5.1)

= Sp + Sf. (5.1)

Здесь R ——кривизна [6]; вариация по метрике производится переписыванием первого слагаемого в эйлеровых координатах:

S『e =S『e =^v^vyF(p, x)d3pd4x +^v^vyF(p, x)d3pd4x +X.X.(5・2)(5・2)

S『e =

S『e =

^v^vyF(p, x)d3pd4x +

^v^vyF(p, x)d3pd4x +

X.

X.

(5・2)

(5・2)

При этом, как и в предыдущем параграфе, получается уравнение для полей. Варьируя траектории частиц в Sp в (5.1), получаем уравнение для их движения в гравитационном поле. Уравнение для функции распределения (как и в предыдущем параграфе) есть уравнение сдвига вдоль характеристик.

Вывод. Уравнения Власова-Максвелла и Власова-Эйнштейна получаются единообразным способом варьирования соответствующих лагранжианов электромагнетизма и гравитации.

ГЛАВА 4

ЭНЕРГЕТИЧЕСКАЯ ПОДСТАНОВКА

Система уравнений Власова-Пуассонадля плазмы и электронов

Рассмотрим систему уравнений Власова-Максвелла в потенциалах Ау. Получаем волновую форму релятивистской системы уравнений Власова- Максвелла при условии дуАу = 0 (лоренцова калибровка) [6]:

fa = fa (^^,P), X,p E R3,fa = fa (^^,P), X,p E R3,1 >4 c2 dt21 >4 c2 dt2-=工 ^^ / Va 启 d3 p.-=工 ^^ / Va 启 d3 p.(LI)(LI)

fa = fa (^^,P), X,p E R3,

fa = fa (^^,P), X,p E R3,

1 >4 c2 dt2

1 >4 c2 dt2

-=工 ^^ / Va 启 d3 p.

-=工 ^^ / Va 启 d3 p.

(LI)

(LI)

Здесь уравнения Максвелла преобразованы по [6],

1+為厂1+為厂

1+為厂

1+為厂

а =启=fa(t,力,о),(力,V)е R3 X 氏3,а =启=fa(t,力,о),(力,V)е R3 X 氏3,Если мы перейдем к нерелятивистскому пределу то va = р/та. Обычно рассматривают функцию / (力,/, о) распределения по скоростям. Получим систему уравнений Власова-Пуассона:

а =启=fa(t,力,о),(力,V)е R3 X 氏3,

а =启=fa(t,力,о),(力,V)е R3 X 氏3,

(L2)

△U = — ^2 4тгеа 启(о,力,t) dv.

1 丿

Как правило n = 1 (электронная задача) или п = 2 (плазма, состоящая из ионов и электронов).

Энергетическая подстановка и интеграл Бернулли

Пусть функции распределения 启 являются функциями от энергии:启(О, X)= % (*产 + 6qU).

Здесь да ——произвольная неотрицательная функция от энергии. Тогда первые из уравнений (1.2) удовлетворяются, и мы получаем нелинейное эллиптическое уравнение на потенциал U(力)：

△U = S(U), (2.1)

гдегдеS(S)=S(S)=(2.2)(2.2)

где

где

S(S)=

S(S)=

(2.2)

(2.2)

Данная подстановка аналогична интегралу Бернулли для уравнения Эйлера. Связанные с ней частные решения уравнения Власова, появились раньше, чем было выписано само уравнение. В этом оно по своей судьбе похоже на уравнение Эйлера, а подстановка ——на интеграл Бернулли.

Например, особым вниманием пользовалось распределение Максвелла-Больцмана, когда да (石)=4 exp (―« 石).При этом получаются уравнения △[/ = е° для электронов (когда в уравнении (1.2) берется только одна компонента, т.е. п = 1) и = е~и для тяготения (фон-Лауэ). Мо- ноэнергетический случай ——когда да есть J-функции от энергии ——также рассматривался особо: так описывали диод Лэнгмюр и Богуславский (см. [15,12,22]).

Граничная задача для нелинейногоэллиптического уравнения

Рассмотрим граничную задачу для уравнения (2.1) с функцией (2.2):

(3.1)(3.1)Г &U = 2 g ,(^\dD =

(3.1)

(3.1)

Известно, что задача (3.1) корректна, если ® (U) > 0 [10].

Единственность решения получается довольно просто из следующих рассуждений. Пусть U^ и U?——два решения. Тогда A (U\ — U^) = S(Ui) — —S (U2). Умножая на Ui —历 и интегрируя по области D, получаем

У (" —U2) △(" —。2)恋=

D(3.2)

D

Правая часть этого равенства больше или равна нулю в силу монотонности функции S (U). Левую часть преобразуем по формуле Грина [11]:

/ gAhdx = — J (Vp, V/г) dx + / p^ dS.

DDdD

Применяя ее при g = h = U\ — U?, получаем, что при Ui —内卜。= =0 выражение в левой части (3.2) неположительно. Поэтому обе части равенства (3.2) равны нулю, V (“ — U2) = 0 и "—内=。・

3 В.В. Веденяпин

Поскольку на границе "—内=。，получаем, что U\ 三 U? в D.

Выводы.

Граничная задача (3.1) имеет единственное решение при Фх > 0. То же самое рассуждение применимо и для периодической задачи.

Периодическая задача

△U = S (U),

U(X + T) = U(X), Т=(Т1,Т2,Тз)

имеет единственное решение при ® (S) > 0. Если Ф(а) = 0, для некоторого действительного числа а Е R, то оно известно: U (力)=а.

Задача. Доказать, что если W (U) не обращается в нуль ни в одной точке, то периодические решения отсутствуют.

Указание . Рассмотреть точку максимума или точку минимума функции 田(U) в зависимости от знака функции W(U)・

Проверка условия Ф7 > 0

Условие Фх > 0 — ключевое, и мы подробно его рассмотрим (см. [12, 13]). Имеем

= —4开 £ * / 風(丁 + e°S)dv.(4.1)

1 Rd

Итак, если gfa < 0, то Фх > 0. Этому случаю удовлетворяют, например, экспоненты, т.е. распределение Максвелла-Больцмана.

Посмотрим, что происходит, когда % (石)не монотонны, проинтегрировав по частям (4.1). Переходя к сферическим координатам и обозначая через Bd площадь с/-1-мерной сферы, получаем (обозначая V = |о|):

®(S) = -4万 立 成以 /必(^!^ + зS)『J dV =

Все эти выкладки справедливы, если да （石）> О непрерывно-дифференцируемы и gra ^maV2）/2 + e^S）『“т <。/『1+。при V > Rc некоторыми константами。>0, К>0и£>0. Мы видим, что при d > 2 выражение для W （S） неотрицательно при неотрицательных функциях да （石）> 0.

При d = 1 рассуждение не проходит: на нижнем пределе при интегрировании по частям возникает бесконечность. И действительно, неравенство да （石） > 0 нарушается при некоторых немонотонных функциях да （石）： самым важным примером здесь являются моноэнергетические функции, когда да （石）= 人5 （巨—石 J Это дает возможность получать нетривиальные периодические решения: такие решения называют иногда волнами Бернштейна-Грина-Крускала.

У пражнение 1 . Показать, что для ра （石）=Аа6 （石—石。）функция Ф немонотонна. Получить такие периодические решения [13, 14].

У пражнение 2 . Получить решение задачи о диоде Ленгмюра.

Так называется граничная одномерная задача для моноэнергетической функции распределения в случае газа электронов. При каком соотношении между плотностью электронов и напряжением между пластинами ток будет идти? Решение см. в [15, 22].

Выводы.

При монотонно-убывающих функциях распределения имеем монотонную зависимость функции плотности W（U） от потенциала: W （U） > 0. Поэтому периодические решения отсутствуют, а граничная задача имеет единственное решение в любой размерности скоростей. Основным примером этого является да （石）= Аа ехр （—（ЗаЕ）,т.е. распределение Максвелла- Больцмана. В случае тяготения знак неравенства обратный и граничная задача некорректна; но она и не имеет физического смысла.

При d > 2 неравенство ® （U） > 0 справедливо, поэтому граничная задача （4.1） корректна, а периодические решения отсутствуют.

При d = 1 монотонность функции Ф （U） нарушается для немонотонных функций да （В）, в частности, для моноэнергетических да （石）= =4ab （石—石。）распределений, и существуют периодические решения.

Замечание . В случае энергетической подстановки траектории частиц зависят только от точки и определяют динамическую систему. В случае нестационарного уравнения Власова траектории частиц зависят от всей конфигурации и не определяют динамической системы , т.к. самосогласованный потенциал U （力，力）зависит от времени.

В заключение отметим, что в работах [16, 21] были доказаны нетривиальные теоремы существования, а в [17]——исследованы различные квантования уравнения Власова. О дальнейшем развитии теории см. [18-20], где обобщения энергетической подстановки исследовались для уравнения Власова-Максвелла.

з*

ГЛАВА 5

УВ4ВНЕНИЕ БОЛЬЦМАНА

5 порыве восхищения он (Больцман) сравнивал работу Максвелла с «могучей музыкальной драмой».

М. Планк *

Интеграл столкновений

Если уравнение Власова описывает дальнодействие, то уравнение Больцмана ——короткодействие, т.е. процессы столкновений частиц. Если уравнение Власова описывает сдвиг функции распределения вдоль траекторий динамической системы, которая сама зависит от функции распределения, то уравнение Больцмана учитывает множество столкновений в ячейке характерного размера. Это эволюционное уравнение на функцию распределения /(方,力,о) частиц по скоростям о и пространству 力,которое описывает приход и уход частиц за счет столкновений:

（i.i）（i.i）

（i.i）

（i.i）

Если бы правая часть (1.1) равнялась нулю, то мы имели бы уравнение свободного движения. Функция 1[/, /] описывает столкновения и называется интегралом или оператором столкновений: слово оператор употребляется в том смысле, что функции / ставится в соответствие функция 1[/, /]. Последняя представляет собой квадратичный оператор, который действует на функции распределения только переменной。(力 и 力 являются параметрами) по формуле [1Т]:

1[Р1,纱](綬)=у [pi (〃)92 О')-力(綬)92(W)] X

х В (\и\,dndw.

Здесь п е 52 ——вектор единичной сферы, указывающий направление относительной скорости после столкновения, и = v — w ——относительная скорость, vz и wr ——скорости частиц после столкновений:

, V + W \и\ П. V + w \и\ пс、

綬+毋=訳——2 •()

В кн.:Дж.К. Максвелл. Статьи и речи. - М.: Наука, 1968, 237 с.

Чтобы представить себе процесс столкновений, рисуют диаграмму столкновений. Для этого проводят сферу радиуса R = \и\ /2 с центром (г + w) /2 (рис. 5.1)

При заданных скоростях до столкновений v и w всевозможные противоположные точки этой сферы — vz и wr — скорости частиц после столкновений. Отметим, что соотношения о + ^ = = vf ^rwf (сохранение импульса) и ⑷尸 + (w)2 = = (v1}2 + (wz)2 (сохранение энергии) являются основой для получения (1.3). Аналогичное выражение будет получено ниже для частиц разных масс.

Функция 8(|〃|,〃) есть произведение модуля относительной скорости \и\ и дифференциального сечения рассеяния ь(|〃|,〃)： В (|и| , //) = =\и\а(\и\,^.

Для степенных потенциалов U(『)= 1/га имеет место соотношение 8 = \и\^~^^аga{fjL). Потенциал U(『) = r~^ (q = 4) дает независимую от \и\ функцию 8 и называется потенциалом максвелловских молекул. Тогда интеграл столкновений упрощается, и Максвеллу удалось вывести для данного случая уравнения на макроскопические переменные: плотность, скорость и температуру. Последнее так удивило его, что им была сделана попытка доказать, что в природе силы именно таковы, т.е. убывают как минус пятая степень расстояния. Однако оказалось, что это не так: простейшие решения не всегда соответствуют реальности.

Больцман писал: «Сначала величественно выступают вариации скоростей, затем выступают, с одной стороны, уравнения состояния, а с другой, уравнения центрального движения, и все выше вздымается хаос формул, но вдруг звучат четыре слова: «Возьмем п = 5». Злой демон о (относительная скорость двух молекул) исчезает так же внезапно, как неожиданно обрывается в музыке дикая, до сих пор все подавляющая партия басов», (см. [3], С. 485). Равенство п = 5 означает здесь зависимость силы от расстояния и соответствует случаю а = 4 для потенциала предыдущего образца.

Законы сохранения и Л-теорема

夕;dvdx +夕;dvdx +Рассмотрим, как меняются для уравнения Больцмана интегральные характеристики вида ①/ = / 夕(о,/(力,о,/)) dv dx для некоторой функции 夕(о, /). Из (1.1) имеем

夕;dvdx +

夕;dvdx +

(2.1)

[/, /] dv dx = Si + S2・

Преобразуем второе слагаемое. Обозначив 夕;=我 получаем

dwdvdndx.dwdvdndx.S2 = / 以綬)[/ (疗)/ (〃)— / О) / (綬)]8 (|u|,

dwdvdndx.

dwdvdndx.

Преобразуем тождественно это выражение, заменяя v ^ w. Получим симметричное выражение для S2, складывая два одинаковых слагаемых с коэффициентом 1/2. Далее проводим замену (v, w) j (v\ wz). При этом элемент dw dv dn перейдет в dwf dvf dnz. Учитывая, что согласно (1.3), vz и wr линейно получаются из v и w:

имеем, что якобиан J (Л) преобразования А равен определителю А: J ⑷=detA, dwf dv' = | detA| dw dv. При этом A2 = 1, следовательно (det A)2 = 1, и поэтому dwr dvr = dw dv.

Таким образом мы получаем еще два слагаемых и коэффициент 1/4:

S2 =S2 =ххX [/ (w，) /(〃)一/ О) /(綬)]В (\и\,X [/ (w，) /(〃)一/ О) /(綬)]В (\и\,(2.2)(2.2)dw dv dn dx.dw dv dn dx.

S2 =

S2 =

х

х

X [/ (w，) /(〃)一/ О) /(綬)]В (\и\,

X [/ (w，) /(〃)一/ О) /(綬)]В (\и\,

(2.2)

(2.2)

dw dv dn dx.

dw dv dn dx.

У пражнение. Посчитать det А. Указание. Записать А в виде

a一(石—夕 夕 )

А— I р Е-р 丿，

где р = ри = (n, m) m ——одномерный проектор на вектор т, т.е.

Vх = г + (u, m) m, w‘ = w — (u, m) m , и = v — w.

Это выражение полезно как еще одна форма записи столкновений (1.3). Ответ: det А = —1.

Получим следствия из выражения (2.2).

Законы сохранения. Если ^ (綬)+ 吵(w) = ^ (綬‘)+ S (wz), то S2 = 0.

Данное уравнение имеет в непрерывных функциях пятимерное проз

странство решений S(綬)=夕05 = аи? + £ 仇3 + с (см. [1, 2, 4]), где а, i = l

Ь〃 (г = 1, 2, 3), с ——произвольные постоянные. Эти решения называются сумматорными инвариантами (или аддитивными инвариантами столкновений). Их базис соответствует числу частиц / / dv dx, трем компонентам скорости / о〃/(о, х) dv dx и кинетической энергии / v2 f (о,力)dv dx.

В выражении 夕05 (о) пятерка соответствует размерности пространства сумматорных инвариантов, а ноль ——сохраняемости.

Н-теорема Больцмана. Если ^ (о) = In /, то

S2 = ； / In (北/(^')— /(綬)/ 侬)]§ dvdwdndx.

/ \ J \ J J \ / /

В этом интеграле функция 8 неотрицательна и строго больше нуля почти всюду а первые два сомножителя имеют разные знаки, поэтому получаем S2 < 0. Это первая часть Я-теоремы [1].

Вторая часть состоит в условии, при котором S? = 0. Из неотрицательности подынтегральной функции и того, что 8 > 0 строго почти всюду имеем равенство / (г/) / (wz) = / (v) / (w). Логарифмируя это равенство, получаем, что In /(о) есть сумматорный инвариант: In / (о)=夕05 (о). Отсюда получаем / = /о = 4ехр [—« (о —加[.

По физическому смыслу 4 > 0 (т.к. функция распределения неотрицательна) и « > 0 (т.к. при « < 0 возрастающая на бесконечности функция распределения дает расходящиеся выражения для локальных скорости, плотности частиц и температуры); (3 = 1/(2кТ) пропорциональна обратной температуре, к ——постоянная Больцмана, о。——средняя скорость, А удобно записывать в виде А = р [2^кТ^3^ ——тогда р ——это плотность. Все эти величины р, Г и о。могут зависеть от точки пространства х и времени 力，и такое распределение называется локально-максвелловским.

Н-теорема означает, что для функционала Н = f finfdvdx скорость его роста, связанная с интегралом столкновений, всегда неположительна: S2so• При этом S2 обращается в нуль тогда и только тогда, когда функция распределения есть локально-максвелловское распределение.

Пучки. Локально-максвелловское распределение, вообще говоря, не является точным решением уравнения Больцмана: свободное движение его «портит». Больцман тщательно исследовал такие случаи точных решений [1, 2]. Приведем еще один пример: пучки при Г = 0.

Отметим, что если температура Г стремится к нулю, а плотность р(х, t) остается постоянной, то локально-максвелловское распределение переходит в / (3 x.v) = р (力,力)b (о — о。(力,力)).

Такие распределения нами уже изучались ( см. 2.5, «гидродинамическая подстановка»). Они описывают пучки частиц. Теперь мы видим, что такие распределения зануляют интеграл столкновений, а также дают точные решения уравнения Больцмана, если р и vq удовлетворяют системе уравнений свободного движения (см. 2.5.1, 2.5.2 с К = 0). Зануление интеграла столкновений пропадает, если пучков больше, чем один (см. гл. 2, TV-слойная гидродинамика).

Условия справедливости законов сохранения и Н-теоремы. Теперь рассмотрим первое слагаемое Si в равенстве (2.1). Преобразуем его к виду интеграла от дивергенции:

（3夕）dvdx.（3夕）dvdx.Si =—Si =—

（3夕）dvdx.

（3夕）dvdx.

Si =—

Si =—

Во многих случаях это выражение оказывается нулевым.

Рассмотрим три случая.

Бесконечное пространство. Преобразуем это выражение, интегрируя каждое слагаемое по своей производной. Получаем

Si = — / V1 [ф (力 1 = +оо,力2, %з) — Ф (力1 = —оо,力2,力з)] dx^dxsdv + + два аналогичных слагаемых.

Отсюда видно, что если / (力,о,力)стремится к одной и той же функции д(3 о) независимо от 力,то Si = 0. Напротив, если / стремится к различным функциям, то возникают потоки соответствующих величин, и как неравенство Л-теоремы, так и законы сохранения могут нарушаться. Характерный пример ——ударная волна, когда функция распределения стремится при х — —±оо к различным максвелловским распределениям.

Периодическая задача . Пусть /(^, г;, х + (п, Г)) = f(t^v^x) для некоторого набора трех линейно независимых векторов Г = (Ti,耳,7^) и для всех векторов с целочисленными компонентами n = (ni,八2,八3)・ Тогда, интегрируя по периодам, имеем на основе равенства Si = 0 законы сохранения и Я-теорему. Таким образом, в периодической задаче Н-теорема и законы сохранения выполнены.

Граничная задача . Если х Е D, где D-область с гладкой границей д D, то, интегрируя по этой области и применяя формулу Остроградского, находим

Si = — /(з, © dv dx = — ] (о, п)夕 dv dS.

DdD

Отсюда получаем для глобальных законов сохранения необходимость равенства нулю потоков через границу соответствующих величин.

Самыми популярными граничными условиями [2] являются условия Максвелла:

зеркальное отражение: / (力,о,力)= / (力,v — 2п (п, о)，力)，力 е dD, (v, n) > 0, где n — вектор нормали к поверхности в точке 力；

диффузное отражение, когда при отражении получается локальномаксвелловское распределение.

Подробности можно найти в [2, 4].

5・3・ Уравнение Больцмана для смесей

Рассмотрим смесь двух газов с массами молекул Мит. Пусть / (力,q,力) и F (3 夕,x) —— функции распределения молекул легкой и тяжелой компонент по импульсам (夕 е Rd, q G Rd, d = 1, 2, 3), пространству x G R& в момент времени t. При этом из-за сохранения импульса частиц при столк-

новениях вместо скоростей удобно рассматривать импульсы. Уравнение Больцмана превращается в следующую систему:

= I[FJ]+I[fJ],= I[FJ]+I[fJ],dF dF\dt \M" dx JdF dF\dt \M" dx J= I[f,F]+I[F,F],= I[f,F]+I[F,F],(3.1)(3.1)

= I[FJ]+I[fJ],

= I[FJ]+I[fJ],

dF dF\

dt \M" dx J

dF dF\

dt \M" dx J

= I[f,F]+I[F,F],

= I[f,F]+I[F,F],

(3.1)

(3.1)

где /产,/] — имеет вид

[F^f^-F^f^] |uk[F^f^-F^f^] |ukdpdn.dpdn.

[F^f^-F^f^] |uk

[F^f^-F^f^] |uk

dpdn.

dpdn.

Здесь и = (р/М) — (q/m)——относительная скорость, р\ qf ——импульсы после столкновений:

“=+ b) + I |〃|/ш,

12(3.2)

q =——

где J = (М — т)/(М+т), 1dl = (2Мт)/{М^т)—среднее гармоническое масс (2/〃 = 1/М + 1/m); п — вектор единичной сферы: \п\ = 1, n е Rd.

Таким образом определенные 夕‘ и q‘ удовлетворяют законам сохранения импульса pf + 〃 =夕 + q и энергии ㈠]2М) + {q2/2т) = (р,2/2М) + + (q'2/2m). Покажем, как параметризация (3.2) получается из законов сохранения. Полагая 夕 + q = Q и выражая импульсы тяжелых частиц pf = =Q — qfnp = Q — q из закона сохранения импульса, подставляем их в закон сохранения энергии. После преобразований имеем

(з.з)(з.з)

(з.з)

(з.з)

где а = (М + m)/(тМ) = 2/〃. Для qf это — уравнение окружности с центром в Q/{aM) =((夕+ q)/2) (1 — b) и квадратом радиуса В?= =(Q — Q/(qM))2 = (|〃『|〃『)/4. Аналогичное выражение получаем для тяжелых частиц. В диаграмме столкновений, изображенной на рис. 5.2, это означает, что импульсы тяжелой и легкой частицы заметают сферы одинакового радиуса (|//| |и|) /2 с центрами, расположенными симметрично относительно (夕 + q) /2. Здесь 夕 и q ——импульсы частиц до столкновения, р\ q‘ ——после; А ——середина отрезка pq и p'q'; О ——центр сферы импульсов р‘ тяжелых частиц с координатой ((р + q)/2) (1 + b); О' —— центр сферы импульсов 〃 легких частиц с координатой ((夕 + q)/2) (1 — b).

Так же рассматриваются инварианты и Л-теорема с выводом максвелловского распределения для обеих компонент, для которых температуры и средние скорости оказываются одинаковыми, а плотности ——разными. Переходя к пределу Т — 0, получаем / (q, x^t) = р (力,力)b (q — mV (力,力))，

^ж ^ж ^^э^ж ^ж ^^эF （q,力，力）=〃（力，力）b （q — MV （力，力））.При этом, если функции р, 〃，V удовлетворяют системе уравнений:

^ж ^ж ^^э

^ж ^ж ^^э

+ Е（%。）= &

то они являются точными решениями системы （3.1） и системы уравнений свободного движения до перехлеста.

Метод Чэпмена-Энскога и гидродинамика в дважды дивергентной форме

Для перехода к гидродинамике рассмотрим уравнение Больцмана с большим параметром при интеграле столкновений:

Положим / = /о + ^/1 + • • • Имеем J （/о, /о） = 0 и /0 = е^^ —локальномаксвелловское распределение,夕 ——вектор из пяти инвариантов, а （力，力）—— параметры, через которые выражаются плотность, средняя скорость, энергия. （Явные формулы см. в § 5.6）. При этом положим

d0 = 1, 夕1 =力，夕2 =02 , 夕3 =03, 夕4 =产・

Метод Гильберта. В первом приближении находим

-^ + 卜'"^）=二（%’ 九），где 二（/°，/1）= J （/о, /1） + J （九 /о） •

Для решения полученного уравнения относительно /1 необходимо условие ортогональности L всем инвариантам. Это дает нам уравнения на параметры а, которые приводят к уравнениям Эйлера. Их можно написать в

следующей дважды дивергентной форме [10, 11]:

*+div^Q，=0, М = 0,...,4,(4.1)

где

/

аЗ+Е QzOz+Qo е I dv,

3

—04。+£ QzOz+QO

M= ve I dv.

Здесь &4 < 0,乙0狂 ——частная производная по а〃. Мы видим, что уравнения выписываются через функционалы L (а) и М (а). Это и есть дважды дивергентная форма (форма Годунова). Здесь и далее 〃 = 0,1,..., 4; г = = 1, 2, 3. Форма Годунова важна, так как автоматически дает гиперболичность уравнений первого приближения. Но это также можно рассматривать как основу для неравновесного метода Гиббса (см. ниже § 5.5, 5.6).

вводится два времени ——быстрое и медленное.вводится два времени ——быстрое и медленное.Метод Чэпмена-Энскога: д д . д 务=瓦+£比工ё・

вводится два времени ——быстрое и медленное.

вводится два времени ——быстрое и медленное.

Мы не будем останавливаться на этих методах, так как весь соответствующий материал имеется в многочисленных руководствах.

5・5・ Квантовые кинетические уравнения (уравненияУлинга-Уленбека)

曳 dt曳 dt++Квантовые кинетические уравнения можно записать в виде, близком к уравнению Больцмана (1.1):

曳 dt

曳 dt

+

+

ВТ (/) [h (J) h (wz) — h(v) h (w)] dw,

где как и прежде 8 = |〃| СТ Ol,(生 n) / |〃|);九(о) = / ®)/(l + Of (г;)), g = 1 для бозонов, 0 = —1 для фермионов, g = 0 для уравнения Больцмана (1.1);

丁⑺=(1 + "5) О + №))(1 + " ”))(1 + " (J))=

h(y)h(w)h (wz) h ”)'

Я-функция задается формулой Н (/) = J [/In / - (1 + ") In (1 + со стационарным распределением Бозе и Ферми, получаемым из условия /о®)/(1 + "о (о)： = е(2* т.е.

%®) = е")/(1-6»…)).(5.1)

Соответствующие уравнения гидродинамики тоже можно написать в дважды дивергентной форме. Даже в более общей ситуации, когда стацио-

нар интеграла столкновений есть произвольная функция д от (夕,а), т.е.

(5・2)(5.3)(5・2)(5.3)/о =Р (工夕4 (°) а/ ‘

(5・2)

(5.3)

(5・2)

(5.3)

имеем соответствующие уравнения Эйлера в форме (4.1) для l(Q)= / 九(£d4(。)a j dv,

где Д(А)——первообразная функции д: Ы (А) = р (А).

Для уравнений Улинга-Уленбека

乙(а) = — ^ /1п(1 —6>ехр (工玄(о) а))血.

Мы видим, что дважды дивергентная форма записи естественно следует

из кинетического уравнения как в классическом, так и в квантовом случае.

Особенности гидродинамических уравнений, получаемых из кинетических уравнений

В случае равновесных функций общего вида (5.2) мы имеем уравнения типа Эйлера в форме

频 /о 血 + " / 3 频 /о 血=0.频 /о 血 + " / 3 频 /о 血=0.(б」)(б」)

频 /о 血 + " / 3 频 /о 血=0.

频 /о 血 + " / 3 频 /о 血=0.

(б」)

(б」)

По индексу г = 1, 2, 3 идет суммирование. Эти уравнения можно переписать с использованием двух функции (вместо четырех в (4.1)):

(6・2)(6・2)dL(УaRq a

(6・2)

(6・2)

Здесь Ra^az — вторые частные производные по qm и^, L (q) определяется формулой (5.3), а

R(q)=R(q)=夕4(o)a j dv,夕4(o)a j dv,

R(q)=

R(q)=

夕4(o)a j dv,

夕4(o)a j dv,

=exp а。-=exp а。-expexp

=exp а。-

=exp а。-

exp

exp

где q ——первообразная функции Д (力)из (5.3): q‘ = Д. Такой вид уравнений получается из-за того, что 夕i =力，夕2 =。2,夕з =。3, т.е. три компоненты скорости являются инвариантами любого из рассмотренных интегралов столкновений.

В случае уравнения Больцмана R = L и уравнения (6.2) записываются с помощью единственной функции L. При этом переменные а выражаются через стандартные макроскопические величины (р, u, Г) в явном виде, что получается путем сравнения двух выражений для максвелловского распределения:

V — I/)? "I/2

%⑺=；二、3/2 exp(2私7产%⑺=；二、3/2 exp(2私7产2友7= exp* aiVi +

%⑺=；二、3/2 exp

(2私7产

%⑺=；二、3/2 exp

(2私7产

Здесь а = (м, &2, &з), а? = а? + 竭 + о^.

Таким образом имеем

113 [7

2kT，у 2、 丿 2кТ

Эти переменные, естественно возникающие в кинетической теории, могут использоваться и в газодинамике. Так, они применялись для расчета конкретных задач газодинамики М.А. Рыдалевской [12]. Кроме того, исследовалась невырожденность этой замены.

В работе [13] такие переменные использовались для восстановления формулы для энтропии по минимизирующему распределению вида (5.2). Если мы ищем стационар из условия минимума H-функции (или максимума энтропии) при условии сохранения пяти инвариантов, то эти переменные являются множителями Лагранжа.

Линейное уравнение Больцмана и марковские процессы

Линейным уравнением Больцмана называется уравнение

= J(R/) = / 产(疗)/(^)-/W 尸W)] x

丿/ ax (7.1)

x В) dwdn.

Оно описывает ситуацию, когда компонента / имеет сравнительно малую плотность и столкновениями частиц этой компоненты между собой можно пренебречь по сравнению со столкновениями с частицами компоненты F: частицы / рассеиваются на частицах F. Здесь F (о) есть некоторая заданная функция переменной о. Если мы рассматриваем пространственнонеоднородную ситуацию, то имеем уравнение

Такие уравнения нашли особенно широкое применение в теории переноса нейтронов в ядерных реакторах, а также в задачах, описывающих перенос излучения [15, 16].

В отличие от уравнения Больцмана, (7.1) имеет при положительной функции F(w) только один линейный инвариант ——число частиц. Получаем

/ 夕(о)/(о)血=/ \(рdwd/vdn.

Это выражение равно нулю, если 夕(о) постоянна. Чтобы объяснить, как ведет себя решение уравнения (7.1), перепишем его в виде

^ = У К (w,v)/(w) dw -а (о) / (о,力)=L (/) •(7.2)

Именно такой вид принят в теории реакторов и в задачах излучения. Ядро К (w, г?) и коэффициент 矶о) могут быть точно выписаны по функци-

ям F и В, но нам важно только равенство а (о) = f К (о, w) dw, которое дает закон сохранения числа частиц. Уравнение (7.2) может быть переписано в виде, характерном для марковских процессов или для химической

кинетики [17, 18]:

(7.3)(7.3)^ = / [K(w, v)f(w) - K(v. t)] dw.

(7.3)

(7.3)

В таком виде K(w, v) выражает вероятность перехода из состояния w в состояние о (скачкообразный марковский процесс).

Если § (о) — положительное стационарное решение уравнения (7.2) (т.е. L(g) = 0), то может быть доказана следующая форма Л-теоремы (см., например, [18]). Рассмотрим функцию Н (/) = J / ln[/(v)/<f(v)] dv. В силу (7.3) (dH/dt) < 0 для любого положительного ядра К (w, о). Теорема доказывается с использованием неравенства и In u —u+1 > 0, где равенство достигается при и = 1. Записывая выражение для dH/d力 и меняя во втором слагаемом v nw местами, получаем

=—/ K(wy v)/(w)— [〃ln〃 — 〃 + 1] dvdw < 0.

Здесь u = (/ (w) £ “))/(£ (w) / (и)). Мы использовали равенство

/ К (w, о) / (w) — [1 — и] dwdv = 0, которое следует из стационарности § (о).

Исходя из неравенства (7.4) следует ожидать, что решение уравнения (7.3) стремится к стационару, пропорциональному §® с тем же интегралом числа частиц. Из единственности стационарного решения следует единственность числа частиц как линейного интеграла при положительных К (w, о).

Равенство в (7.4) достигается при “ = 1, т.е.

/О) =§О)§(о)

во всех точках (о, w), где строго К®, о) > 0. Вопрос о поведении решения уравнения (7.3) свелся, таким образом, к существованию положительного стационарного решения § (о). Иногда § (о) могут быть выписаны явно. Так, если в качестве F в (7.1) взято максвелловское распределение Fq, то §(о) пропорционально Fq.

Дискретизация (7.3)

Ш = 1, . . . , П ,(7.5)

иноцца называется основным уравнением Паули (master equation). Оно подробно изучается в теории марковских процессов [17].

В этой формуле матрица Ajm получается из матрицы Kjm, имеющей смысл вероятности перехода из состояния J в состояние т. Пусть Kjm положительны при J 次 т, a Kjj = 0. Тогда Ajm получается с положительными внедиагональными элементами, отрицательными диагональными, а сумма элементов в каждом столбце равна нулю: £ 477n = 0. Такая форма

матрицы А автоматически сохраняет неотрицательность /т (力)и обеспечивает закон сохранения суммарного числа частиц: ^ (£ 力)=0. Верно и обратное ——любая линейная система с матрицей, обладающей этими двумя свойствами (внедиагональная положительность и равенство нулю суммы элементов каждого столбца), допускает представление через некоторую матрицу Kmj переходных вероятностей:

Для системы (7.5) может быть доказана Л-теорема с Л-функцией

h = E

где § — стационарное решение. Такое решение всегда существует, так как определитель матрицы А нулевой из-за закона сохранения (сумма всех строк равна нулю).

Для справедливости Н-теоремы важно найти стационарное решение § уравнения (7.5) со строго положительными компонентами &. Отметим важные случаи, коцца это можно сделать в явном виде.

Симметричность матрицы Kjm или, более обще, равенство нулю суммы элементов в каждой строке матрицы Ajm дают стационарный вектор § с равными компонентами.

Случай детального равновесия, когда существуют такие числа %, что Kmj rm = Kjmrj. Тогда стационарный вектор пропорционален вектору г.

пражнение. Показать, что условию 2 удовлетворяют все матрицы 2 х 2, а уже матрицы 3x3 — лишь при Ki2K23К31 = 百 13К32K21.

Размерность n х п матриц К есть п (п — 1), а матриц К с условием 2 — п(п — 1)/2 + п — 1.

Если вернуться к кинетическим уравнениям, то многие из них удовлетворяют и свойству положительности, и закону сохранения числа частиц: таковыми являются уравнения сдвига вдоль траекторий динамических систем, описанных в § 3.1. Очевидно, что они не показывают, вообще говоря, свойства сходимости к каким-либо стационарным решениям. Это можно попробовать понять, переходя к дискретизации соответствующих дифференциальных операторов. При этом матрица Amj получается сильно вырожденной (огромное количество нулевых коэффициентов). Последнее демонстрирует резкое отличие бесконечномерного случая, однако идея дискретизации соответствующих кинетических уравнений с помощью марковских процессов очень плодотворна, так как автоматически сохраняются важные свойства положительности решений и сохранения числа частиц. Обратно: при дискретизации возникает диссипативность.

ГЛАВА 6

ДИСКРЕТНЫЕ МОДЕЛИ УРАВНЕНИЯ БОЛЬЦМАНА

Общие дискретные модели уравнения Больцмана

Пусть 力(3 力)——функция распределения частиц в пространстве х е W Rd в момент времени 力，движущихся со скоростью о〃 е Rd. Пусть они взаимодействуют так, что скорость роста функции распределения есть 2^ (/1,, /п). Тогда имеем систему дифференциальных уравнений в частных производных:

兄, г = 1,..., n. (1.1)

Эта система называется дискретной моделью уравнения Больцмана, если Fi моделирует интеграл столкновений:

月 СA, • • •,爲)=£ ":(九力一М).(1.2)

Суммирование ведется по таким /с, /, J, которые участвуют в выбранных заранее взаимодействиях (столкновениях) (к, /) j (5,3)•

Модели Карлемана, Годунова-Султангазина и Бродуэлла

Модель Карлемана. Пусть размерность пространства d = 1, число

частиц п = 2, и частицы одного сорта, взаимодействуя с собой, дают

=/2 - /1，=/2 - /1，частицы противоположного сорта, т.е. предписано одно взаимодействие ⑵ 2) - (1, 1):

=/2 - /1，

=/2 - /1，

а/2а/2

Для этой модели нет сохранения ни импульса, ни энергии.

На примере модели Карлемана хорошо видна суть уравнения Больцмана. Оно описывает смесь «конкурирующих» процессов: релаксации и свободного движения. Релаксация стремится сделать /1 равной 於 ——«макс- веллизовать». Свободное движение гонит эти две функции распределения в разные стороны. Приближение Чэпмена-Энскога соответствует очень быстрой релаксации, когда /1 почти равна /2, и движение описывается через р = /1 + /2- Противоположная ситуация ——медленная релаксация (малое

число столкновений) называется кнуцсеновским газом. Она соответствуетчисло столкновений) называется кнуцсеновским газом. Она соответствуетбольшому числу Кнудсена Кп. (Числом Кнудсена называется отношение средней длины свободного пробега / к характерной длине d: Кп = Z/d.)большому числу Кнудсена Кп. (Числом Кнудсена называется отношение средней длины свободного пробега / к характерной длине d: Кп = Z/d.)Модель Бродуэлла. Пусть с/ = 2, п = 4, направ-Модель Бродуэлла. Пусть с/ = 2, п = 4, направ-ления скоростей (рис. 6.1).ления скоростей (рис. 6.1).задаютсязадаютсякрестомкрестомПервый сорт частиц сталкивается со вторым и получаются третий и четвертый: при этом законы сохранения импульса и энергии выполнены. Имеем систему уравнений:Первый сорт частиц сталкивается со вторым и получаются третий и четвертый: при этом законы сохранения импульса и энергии выполнены. Имеем систему уравнений:Рис. 6.1.Рис. 6.1.空5Ж而而而+ - + -空5Ж而而而+ - + -=/з『4 — /2/1,=/з『4 — /2/1,=/3/4 — /2/1,=/3/4 — /2/1,=/1/2 — /з『4,=/1/2 — /з『4,=/1/2 — /зА-=/1/2 — /зА-Модель Годунова-Султангазина. Пусть d = 1, п скоростей задаются схемой, показанной на рис. 6.2.Модель Годунова-Султангазина. Пусть d = 1, п скоростей задаются схемой, показанной на рис. 6.2.%岁2%%岁2%Рис. 6.2.= 3. НаправленияРис. 6.2.= 3. НаправленияПри взаимодействии первого и третьего сортов получается второй. Имеем систему:При взаимодействии первого и третьего сортов получается второй. Имеем систему:Г % + dt十 刃2 _dtГ % + dt十 刃2 _dt窘"=点一力力， 2 （Л/з -尤）,幾"=尤-л/з-窘"=点一力力， 2 （Л/з -尤）,幾"=尤-л/з-

число столкновений) называется кнуцсеновским газом. Она соответствует

число столкновений) называется кнуцсеновским газом. Она соответствует

большому числу Кнудсена Кп. (Числом Кнудсена называется отношение средней длины свободного пробега / к характерной длине d: Кп = Z/d.)

большому числу Кнудсена Кп. (Числом Кнудсена называется отношение средней длины свободного пробега / к характерной длине d: Кп = Z/d.)

Модель Бродуэлла. Пусть с/ = 2, п = 4, направ-

Модель Бродуэлла. Пусть с/ = 2, п = 4, направ-

ления скоростей (рис. 6.1).

ления скоростей (рис. 6.1).

задаются

задаются

крестом

крестом

Первый сорт частиц сталкивается со вторым и получаются третий и четвертый: при этом законы сохранения импульса и энергии выполнены. Имеем систему уравнений:

Первый сорт частиц сталкивается со вторым и получаются третий и четвертый: при этом законы сохранения импульса и энергии выполнены. Имеем систему уравнений:

Рис. 6.1.

Рис. 6.1.

空5Ж而而而+ - + -

空5Ж而而而+ - + -

=/з『4 — /2/1,

=/з『4 — /2/1,

=/3/4 — /2/1,

=/3/4 — /2/1,

=/1/2 — /з『4,

=/1/2 — /з『4,

=/1/2 — /зА-

=/1/2 — /зА-

Модель Годунова-Султангазина. Пусть d = 1, п скоростей задаются схемой, показанной на рис. 6.2.

Модель Годунова-Султангазина. Пусть d = 1, п скоростей задаются схемой, показанной на рис. 6.2.

%岁2%

%岁2%

Рис. 6.2.

= 3. Направления

Рис. 6.2.

= 3. Направления

При взаимодействии первого и третьего сортов получается второй. Имеем систему:

При взаимодействии первого и третьего сортов получается второй. Имеем систему:

Г % + dt十 刃2 _

dt

Г % + dt十 刃2 _

dt

窘"=点一力力， 2 （Л/з -尤）,

幾"=尤-л/з-

窘"=点一力力， 2 （Л/з -尤）,

幾"=尤-л/з-

Импульс при этом сохраняется, а энергия ——нет.

Далее будут рассмотрены свойства описанных моделей.

Я-теорема и законы сохранения

Модель Карлемана. Пусть Н = J [Д In /1 + /2 In /2] dx. Более обще, пусть ф (/)——некоторая функция, а функционал определен формулой

Нф =][。(九)+。(/2)] dx.

Вычисляем скорость роста:

+ /(/1) — " (了2)] [/2 — /1 ] dx = Н^+ H2.

4 В.В. Веденяпин

Первое слагаемое преобразуется в интеграл от полной производной:

который равен нулю в тех же трех случаях, что и для уравнения Больцмана. Второй интеграл равен нулю, если ф‘ = const. Таким образом это — закон сохранениях числа частиц. Второй интеграл меньше или равен нулю, если фп > 0, т.е. если ф ——выпуклая функция. Функция / In / ——выпуклая, поскольку (/1п/)，/ = 1// > 0, поэтому Я-теорема справедлива. Здесь имеются нетривиальные аналоги Л-функции: кроме / In / годится любая выпуклая функция.

Модель Бродуэлла. Для Н = £ / 力 In 力 d/ имеем

dHdtdHdt(3力 In 力)dx+ (/3/4 — /2/1) In(3力 In 力)dx+ (/3/4 — /2/1) Indx.dx.

dHdt

dHdt

(3力 In 力)dx+ (/3/4 — /2/1) In

(3力 In 力)dx+ (/3/4 — /2/1) In

dx.

dx.

Здесь второе слагаемое меньше или равно нулю, однако выпуклую функцию вместо / In / с сохранением этого неравенства не подставишь.

Точно так же Л-теорема доказывается и для модели Годунова-Султан- газина.

Правая часть общей дискретной модели получается из этих трех основных путем суммирования, и К-теорема для (1.1), (1.2) следует из этого факта. Уравнение Больцмана можно рассматривать как «континуальную сумму» моделей типа Бродуэлла.

Класс убывающих функционалов для дискретных моделей. Теорема о единственности //-функции Больцмана

Рассмотрим вопрос: какие из функционалов вида

Hg= G(九•••，％)恋

убывают для дискретных моделей уравнения Больцмана? Скорость роста таких функционалов

Мы хотим, чтобы это выражение было неотрицательным при всех функциях {力(力)} = / (力),т.е. при всех периодических либо равных нулю вне некоторого шара начальных данных:

(4.1)(4.1)Я1 + Я2 < 0.

(4.1)

(4.1)

Рассмотрим функцию /а (力)=/ (qx). Делая замену ах = д, мы ви-

дим, что первое и второе слагаемые преобразуются по-разному:

Я2 (尸)=•

Следовательно Н± (/) должно равняться нулю, иначе мы можем взять а столь большим и такого знака, что неравенство (4.1) нарушится. Поэтому %(/) = 0 для всех / (х) > 0, / е。？(％), / — финитна.

Изучим условие Н^ (/) = 0, т.е. найдем функционалы, которые сохраняются для свободного движения.

Это условие:

в одномерном случае есть условие равенства нулю работы в поле сил F(力=VidG/dfi по любому замкнутому контуру (периодичность / либо равенство нулю при больших по модулю значениях х означает замкнутость контура).

Последнее выполняется, если поле сил потенциально:

или вторые частные производные G равны при 5 * 九 Отсюда dG/dfi =

=也(力)一функция одной переменной, а поэтому G (/) = £ 仇(力)一

сумма функций одной переменной.

Исследование интеграла столкновений для различных моделей показывает [5]:

для модели Карлемана ф\ = ф? = ф 0 годится любая выпуклая функция;

для модели Бродуэлла и модели Годунова-Султангазина имеет место единственность Л-функции;

аналогичное рассуждение можно провести и для уравнения Больцмана. Исследование интеграла столкновений показывает, что и здесь имеет место единственность /f-функции Больцмана [5].

Задача о релаксации

Задачей о релаксации называется задача о пространственно-однородном стремлении функции распределения к максвелловскому распределению. Для дискретных моделей уравнения Больцмана имеем систему обыкновенных дифференциальных уравнений:

* = £ %(九力-力力)•

k4/

При Н = ^2 fi\n fi имеем неравенство (Н-теорема):

呈= )E*(九力-(雋卜0.

Из Л-теоремы следует, что любое неотрицательное начальное распределение стремится к равновесному конусу, задаваемому равенствами 力 fj = =fkfb

Проиллюстрируем это на примере модели Карлемана.

木Закон сохранения для нее имеет вид Д + /2 =

ТУ2= р. Получаем следующее решение: (/1 — /2) =

/= (/i — /2) (0) e~pt. Таким образом, имеет место

干干стремление к конусу «максвелловских распределений»

/1 = h (рис. 6.3).

Упражнение. Решить пространственно-одно- /、а родные модели Бродуэлла и Годунова-Султангазина и

〃 рассмотреть релаксацию на их примерах.

рис 6 зДля уравнения Больцмана можно доказать, что лю

бое пространственно-однородное распределение некоторого класса сходится к максвелловскому. Первые результаты такого рода были получены Т. Карлеманом [4]. Современное состояние этого вопроса см. в [5-7], а также для дискретных моделей ——в [9, 5] и следующем параграфе настоящей работы.

Уравнения химической кинетики и Я-теорема. Условия химического равновесия

В общем виде уравнение для сложных химических реакций записывается в виде [19]:

=-工 加(К月产一к各尸)， г =(6.1)

Здесь через 尸 обозначено произведение 尸 =/^1 /^2 ... /黑,суммирование ведется по некоторому конечному симметричному множеству мультииндексов (а,«), а = (а】,@2, • • •，&九)и /3 = (队，決，...，Вп)— векторы с целочисленными неотрицательными компонентами. Слагаемое (а, «) соответствует элементарной реакции:

Q].Si + a2s2 + • • • +(y,nSn 二 B\S\ + «2S2 + • • • + (3nSn^ (а, /3) e R,

S〃 一 химические символы реагирующих веществ, К^ — коэффициенты скоростей реакций. Коэффициенты а〃，氏 называются стехиометрическими коэффициентами. Без ограничения общности считаем множество R симметричным относительно перестановок а п «, причем некоторым парам (а,«) могут соответствовать нулевые сечения: К^ = 0, при том, что воз-

можно К貝 > 0 (допускается необратимость реакций). Например, для реакции 2Н2 + 02= 2Н2О имеем q = (2,1, 0), /3 = (0,0, 2), и пара симметрична.

Пример 1. Реакция Михаэлиса—Ментен [14] задается двумя реакциями

S + EHQ Q 二 Р + Е.12

Здесь буква S обозначает начальное вещество или субстрат, которое взаимодействует с ферментом 石，образуя фермент-субстратный комплекс Q. Он в свою очередь обратимо распадается на продукт F и на тот же фермент. Такой схеме соответствует система уравнений:

dsdedqdp

元元=一01+02,元=力一02, atatatat

где s, e — концентрации соответствующих веществ S и Е; v± = K^se — —К—iq,。2 = K?q — K_?ep ——разности прямых и обратных скоростей соответствующих реакций.

При составлении таких реакций применяется «закон действующих масс », который выражен в общем виде системой (6.1) и гласит: «скорость элементарной стадии химической реакции при постоянной температуре пропорциональна концентрациям реагирующих веществ в степенях, равных их стехиометрическим коэффициентам в уравнении этой стадии... Установлен норвежскими учеными К. Гульдбергом и П. Вааге в 1864-67 гг.» *

Остановимся на следующих вопросах. Когда система (6.1) имеет Н- функцию — функционал типа энтропии, убывающий на нестационарных решениях? Какие выводы из этого можно сделать?

Простейший случай, когда функционал Н = £ 力(In 力一1) убывает для системы (6.1) — это симметричный случай (Kg = К貝 для всех реакций (а, «) G R). Множество таких систем обозначим через S (симметричный).

Еще один важный случай ——это системы, в которых возможно детальное равновесие. Для них выполнено следующее условие детального равновесия. Пусть существует хотя бы одно решение системы из т уравнений (ш — число реакций):

黒尸=Kg*・(6.2)

Его можно переписать в виде

"(6.3)

Иногда именно это равенство называют «законом действующих масс» [20]. Логарифмируя, мы получим систему линейных уравнений на переменные In fi (5 = 1,..., n).

Действующих масс закон 〃 Советский энциклопедический словарь. - М. 1982.

Множество систем с условием детального равновесия обозначим буквой D. Поведение решения может быть описано с помощью Л-функции

Н =工力(in"}(6.4)

где § — одно из положительных решений системы (6.2) (подробнее см. в работе [19] со ссылкой на [21]). Пример 1 принадлежит этому классу D, но, как показано в предыдущей главе, уже линейные системы, обладая /f-функцией, этому классу не принадлежат. Введем более общее условие наличия /f-функции у системы (6.1) (см. [33, 34]).

Условие динамического равновесия. Пусть существует хотя бы одно положительное решение § следующей системы уравнений:

工畤•学= £к£・/(6.5)

Здесь а такие, что (а, «) 6 J с некоторым 伏 суммирование ведется только по тем мультииндексам «, для которых К^ * 0 или Kg * 0. Такие системы будем относить к классу Е (динамического равновесия).

Теорема. Пусть для системы (6.1) коэффициенты К^ таковы, что существует хотя бы одно решения § системы уравнений (6.5).

Тогда:

Я-функция (6.4) не возрастает на решениях системы (6.1), т.е. dH/dt < < 0. Все стационарные решения системы (6.1) удовлетворяют равенствам (6-5)；

система (6.1) имеет п — г законов сохранения вида £〃?力(力)= = Ak = const (k = 1,..., n — г), где 丁 ——размерность линейной оболочки векторов а — «, а вектора 必 ортогональны всем а —伏 £ 〃？ @ —乱)=0. Стационарное решение системы (6.1) единственно, если зафиксировать все постоянные 4k этих законов сохранения, и дается формулой

九exp(6.6)

где Ak определяется по 4k единственным образом;

такое стационарное решение существует, если Ак определяется по положительному начальному условию /(0), Ak = £〃?力(0). Решение/(力) с этим начальным условием существует при всех 力 > 0, единственно и стремится к стационарному решению (6.6).

Доказательство, а) Рассмотрим, как меняется Л-функция (6.4).

Преобразуем dH/dt к виду

(а,/3) = ^5(6 7)

+ 1] < О, •

где yi =力/&. Здесь мы один раз поменяли а п « местами в одном из слагаемых, а потом воспользовались условием (6.5), прибавив нулевое слагаемое. Неравенство (6.7) справедливо, поскольку 〃1п〃一 〃 + 1 > 0, где равенство достигается при и = 1. Поэтому и равенство в (6.7) достигается при тех /о, при которых

(6・8)

(для них К^ 老 0 или К貝 老 0). Из (6.8) следует, что /0 удовлетворяет тому же условию (6.5), что и &

То, что функционал £ 〃〃力(力)есть закон сохранения при ортогональности 〃 всем а — (3, получается из следующей эквивалентной записи

системы (6.1):

(6・9)(6・9)—工｛ai -⑶• К各•尸，г = 1,..., n. (а,/3)е^

(6・9)

(6・9)

Такая форма следует из симметричности множества R по перестановкам а и

Логарифмируя (6.8), получим, что вектор с компонентами 1п(/ог/€г) ортогонален всем а — «, следовательно формула (6.6) верна для любого стационарного решения системы (6.1) с некоторыми постоянными Хк. В свою очередь коэффициенты Хк определяются единственным образом по постоянным 4k законов сохранения, так как они могут быть найдены из системы уравнений:

dL .

京一= oXk

где

является выпуклой функцей.

Решение уравнения (6.1) существует для любых положительных начальных данных, так как функция Н выпукла и, следовательно, множество точек /, таких, что Н (/) < Н (/ (0)), компактно. Вследствие выпуклости Н существует единственная точка минимума функции Н с заданными константами Ак = ^2 〃夕力(0) линейных законов сохранения £ 〃夕力(力)=Ак.

Решение стремится к точке минимума /f-функции вследствие строгости неравенства (6.7) в других точках.

Теорема доказана.

Итак, мы получили следующую классификацию уравнений химической кинетики (6.1) по энтропийному принципу: S С D С Е С С. Через С мы обозначили класс всех систем (6.1) с конечным числом реакций; Е — класс систем, для которых имеется положительное решение системы уравнений (6.5), и это гарантирует возрастание энтропии; D — класс систем (6.1) с детальным равновесием (6.2); S — класс систем с симметричными константами реакций, т.е. систем, для которых К^ = К貝.

Пример 2 . Линейные системы.

Если множество R содержит только единичные векторы (т.е. векторы, у которых одна из компонент равна единице, а остальные равны нулю), то система (6.1) является линейной и принадлежит к классу рассмотренных в предыдущей главе. Линейную систему (6.1) называют основным уравнением Паули. Она используется также для описания марковских процессов с конечным числом состояний и непрерывным временем. Л-теорема (об убывании /f-функции) для линейных систем (6.1) известна (см., например, [18]), однако доказанная теорема полезна хотя бы с точки зрения законов сохранения и описания множества стационарных состояний для очень разреженных матриц.

Подкласс линейных систем с детальным равновесием играет важную роль в физике, и говорят, что для них имеет место принцип детального баланса.

Пример 3 . Уравнения коагуляции-дробления.

Для описания процессов коагуляции-дробления используются уравнения вида

i=i

—£ [К& m)/(0/(m) - FQ, m)f(m + /)]. i=i

Здесь /(m)——числовая плотность частиц, состоящих из т мономерных единиц, К(/, тп)——ядро (константа) коагуляции, F(/, m)——ядро (константа) дробления (fragmentation). Соотношение между ядрами, соответстую- щее условию детального равновесия, имеет вид

для некоторой положительной по следовательно сти §(/) / = 1,2,... Это условие было получено в работах [22, 23].

Заключение

Общим требованием к дискретным моделям является сохранение ими основных свойств исходного уравнения. Одно из таких свойств ——консервативность, т.е. наличие законов сохранения [25, 26]. Полная консервативность [26] требует выполнения всех законов сохранения. Однако естественно возникает вопрос, а что значит «всех»? Для рассмотренных уравнений типа Больцмана и их обобщений особую роль играют линейные законы сохранения, так как именно через них пишутся уравнения сплошной среды. Отсюда следует, что при построении дискретных моделей надо заботиться о том, чтобы не было лишних инвариантов («spurious invariants»). (Построение таких моделей для смесей описано в гл. 8). Это можно назвать прин-

ципом точной консервативности. С такими вопросами приходится сталкиваться всем, кто производит расчеты с помощью кинетических уравнений [27-30].

Формально-математическую ситуацию проясняет теорема о единственности /f-функции Больцмана [5]. Она показывает, что любой функционал вида / G (/) dx, где G ——произвольный нелинейный функционал д(о) — —G [р], из условия сохранения для уравнения Больцмана оказывается линейным; это стандартный сумматорный инвариант:

G [g] = / 夕05 g (0)血.

Можно попытаться расширить класс функционалов, как сделано В.А. Рыковым [31], и рассмотреть класс зависящих от времени функционалов вида

/ g(/一0力,0, /) dvdx^

где 夕 ——функция семи переменных. Получается еще 8 инвариантов (инварианты Рыкова). Для модели Бродуэлла показано, что инвариантов такого вида значительно больше ——вместо конечного числа 8 появляется зависимость от произвольных функций [32].

Еще один важный вопрос — соответствие получающихся из уравнения Больцмана гидродинамических уравнений физическому эксперименту. Он рассматривается в приложении к этой главе, в котором выводится зависимость вязкости от градиента скоростей.

Еще раз подчеркнем важность второго закона термодинамики (см. § 6.6 и гл. 9), процитировав слова Роберта Эмдена: "Условия нашего существования требуют известной температуры, и чтобы ее поддерживать, используется не увеличение энергии, а понижение энтропии". Иными словами мы уменьшаем энтропию, и подогревая комнату, и питаясь, и даже смеясь.

Р = —pl + т, к = 2〃£.Р = —pl + т, к = 2〃£.(П.1.1)(П.1.1)

Р = —pl + т, к = 2〃£.

Р = —pl + т, к = 2〃£.

(П.1.1)

(П.1.1)

Приложение к главе 6

ОБОБЩЕННО-НЬЮТОНОВСКИЕ ЖИДКОСТИ ИТУРБУЛЕНТНЫЕ ТЕЧЕНИЯ

В настоящее время стало понятно, что при больших градиентах скоростей в усредненном течении вязкость ведет себя не так, как в уравнениях Навье-Стокса, т.е. нарушается реологическое уравнение Ньютона [1, 4, 6-8]. Здесь излагаются результаты работ [2, 3], где на основе изучения экспериментальных данных об одномерных течениях выводится зависимость вязкости от градиентов скоростей.

П.1. Обобщенная ньютоновская реологическая модель

Реологической моделью или уравнением состояния среды называют уравнение, определяющее тензор напряжений в среде через поле скорости. Обобщенная ньютоновская реологическая модель является обобщением модели Ньютона, допускающим нелинейную зависимость между компонентами тензора напряжений и тензора скоростей деформаций. Реологическая модель Ньютона в случае равенства нулю второго коэффициента вязкости, а также в случае несжимаемой жидкости имеет вид

Р = —" + f, f = 2〃(S)C,Р = —" + f, f = 2〃(S)C,(П.1.2)(П.1.2)

Р = —" + f, f = 2〃(S)C,

Р = —" + f, f = 2〃(S)C,

(П.1.2)

(П.1.2)

Здесь Р ——тензор напряжений, р ——давление, / ——единичный тензор, т —— тензор вязких напряжений, 〃 ——динамический коэффициент вязкости, не зависящий от поля скорости, в ——девиатор тензора скоростей деформаций, компоненты которого в декартовых координатах ж = (力 1,力2,力3)имеют

вид

где 5叮一символ Кронекера, Vi — компоненты гидродинамической скорости в декартовых координатах:綬=(力，。2, °з)・

Обобщенная ньютоновская реологическая модель имеет вид

33S = 2T壮2) = 2 工=-£33S = 2T壮2) = 2 工=-£2 2-g( div綬)2,2 2-g( div綬)2,

33

S = 2T壮2) = 2 工=-£

33

S = 2T壮2) = 2 工=-£

2 2

-g( div綬)2,

2 2

-g( div綬)2,

где S ——удвоенный второй момент тензорам, равный удвоенному следу его квадрата и в декартовых координатах принимающий вид

a 〃(S)——функция параметра S, имеющая размерность динамического коэффициента вязкости 〃 и называемая кажущейся вискозиметрической вязкостью среды (сокращенно КВВ). Её неотрицательность в случае несжимаемой жидкости вытекает из условия диссипации кинетической энергии, а

в случае сжимаемой среды ——из условия возрастания энтропии. Отметим, что КВВ 〃(S) помимо S может также зависеть от температуры.

Общий вид модели (П.1.2) вытекает (см. [4]) из трех предположений:

гипотезы Стокса, согласно которой тензор вязких напряжений является симметричной тензорной функцией девиатора тензора скоростей деформаций: f = 0(€);

принципа объективности поведения материала, согласно которому тензорная функция 6(C) должна быть изотропна, то есть для любого поворота системы координат, задаваемого ортогональной матрицей Q, должно выполняться равенство @@(9@т = @G@T);

предположения о том, что реологическое уравнение состояния среды однозначно определяется одномерным полем скорости в сдвиговых течениях.

Подстановка реологического уравнения состояния (П.1.2) в уравнение динамики сплошной среды в напряжениях приводит к системе обобщенных уравнений Навье-Стокса:

р (* + (叫▽)綬)=pg - NР + 〃(S) (△綬 + |v divv^ + 2£X7〃(S), (П.1.3)

где g ——ускорение внешних массовых сил, р ——плотность среды, V —— оператор градиента, через 6X7〃(S) обозначено произведение тензора 6 на вектор а через △ — оператор Лапласа.

Мы рассмотрим обобщенные ньютоновские реологические модели, которые при малых величинах градиента скорости совпадают с моделью Ньютона (П.1.1). Для таких моделей КВВ 〃(S) должна удовлетворять условию

〃(S) = 〃 при 0 < 5 < 50, (П.1.4)

при некотором So > 0, где 〃——динамический коэффициент вязкости. Для дальнейших действий будет удобно, выбрав некоторый масштаб напряжения к, ввести в рассмотрение неотрицательную безразмерную функцию 以力)от безразмерного аргумента, определённую на R^ = [0, +оо) формулой

以/)=用(師加1 (П.1.5)

и представить КВВ 〃(S) в виде

(П.1.6)

В обычной модели Ньютона 〃(S)=从,矽(力)=力.

Подстановка формулы (П.1.6) в (П.1.2) дает следующие выражения для тензора вязких напряжений и его компонент:

т =噂(П.1.7)

Из (П.1.7) и очевидного неравенства |2е“ | <，^ следует оценка

I 7泳 1工友以仙，^/友).(П.1.8)

Из оценки (П.1.8) вытекает, что величина вязкого напряжения в точке не может превышать значения функции kS(〃V^/k) в этой точке. Отметим, что подстановка (П.1.4) в формулу (П.1.5) дает условие

以力)=x при 0 < ж < Ж0 = 儿\/^/к.(П.1.9)

Таким образом, обобщенная ньютоновская реологическая модель (П.1.2), удовлетворяющая условию (П.1.4), однозначно определяется динамическим коэффициентом вязкости 〃, выбором масштаба напряжения к и соответствующей этому масштабу функцией ^(х).

П.2. Кажущаяся вискозиметрическая вязкость воды и воздуха

Безразмерные профили скорости в установившихся турбулентных течениях воды и воздуха по круглой трубе или плоскому каналу очень близки, причем как при скоростях течения, когда сжимаемостью воздуха можно пренебречь, так и при очень больших скоростях. Этот факт говорит о сходстве реологического поведения воды и воздуха.

Если предположить, что вода и воздух подчиняются реологическому уравнению (П.1.2), то можно определить вид КВВ, исходя из требования, чтобы одномерное решение обобщенных уравнений Навье-Стокса (П.1.3), описывающее течение в круглой трубе, согласовывалось с экспериментальными данными о профиле скорости в этом течении. Проведенный в работах [2, 3] анализ показывает, что такое согласие может иметь место в том и только том случае, если КВВ зависит от параметра S следующим образом (на рис. П.6.1 показан качественный вид кажущейся вискозиметрической вязкости 〃(S)). То есть при малых S выполняется закон Ньютона, при дальнейшем увеличении S величины градиента скорости КВВ резко возрастает, достигает своего максимального значения и начинает плавно убывать, вы-

ходя при больших S на зависимость 〃(S) Tm/y/S, где тт ——постоянная, имеющая размерность напряжения. Подставляя последнюю зависимость в (П.1.5) и в (П.1.8) получим, что тт является максимально возможной величиной вязких напряжений в среде. Величину тт удобно выбрать в качестве масштаба напряжения в формулах (П.1.5), (П.1.6). В этом случае (П.1.6) переходит в формулу

(П.2.1)(П.2.1)

(П.2.1)

(П.2.1)

а функция S(%) имеет вид, изображенный на рис. П.6.2.

Найденное поведение КВВ воды и воздуха существенно отличается от закона Ньютона и от всех рассматривавшихся ранее обобщенных ньютоновских моделей (см. [4, 5]), для которых при неограниченном росте величины градиента скорости неограниченно возрастает величина вязких напряжений, в то время как для найденной КВВ воды величина вязких напряжений в этом случае стремится снизу к конечному значению тт.

П.З. Численный вид КВВ воздуха. Расчет переходного теченияв пограничном слое

Рассмотрим плоское стационарное течение несжимаемой обобщенной ньютоновской жидкости в пограничном слое на плоской пластине. Введем размерные декартовы координаты с началом координат на передней кромке: X ——вдоль потока, а У ——перпендикулярно пластине. Пусть U и『 —— размерные компоненты скорости вдоль осей X и У соответственно, L —— масштаб длины, Uq = U(Xq, +оо) — скорость набегающего потока вдали от пластины при некотором X = Х(), Р ——размерное давление, р —— плотность воздуха. Введем число Рейнольдса Re = ри』]卩,безразмерные координаты, скорости и давление:

XУл/RiUVv^eР

LLUqUqpU°

Полностью аналогично выводу системы уравнений Прандтля из системы уравнений Навье-Стокса [6, 7] из системы обобщенных уравнений Навье- Стокса (П.1.3) при больших числах Рейнольдса можно вывести систему уравнений двумерного пограничного слоя на плоской пластине для несжимаемой обобщенной ньютоновской жидкости. В стационарном случае эта система имеет вид:

ди dv дх + дуди dv дх + ду=О,=О,

ди dv дх + ду

ди dv дх + ду

=О,

=О,

3TmLТт3TmLТт以力）=以力）=1 + (5/严1 + (5/严0,04-0,04,0,04-0,04,

3

TmLТт

3

TmLТт

以力）=

以力）=

1 + (5/严

1 + (5/严

0,04

-0,04,

0,04

-0,04,

——безразмерный параметр, а безразмер-

ное давление р зависит только от 力 и должно быть задано.

Система (П.3.1) вместе с начальными и граничными условиями

“(/о, g) = 〃o(g),。(力о, g) = v0(y^ x0 = Xo/L,(П.3.2)

0)=。(力,0) = 0, +оо) =，1 + 2夕(/()) - 2夕(力), (П.З.З) где 〃o(g) и oo(g)——заданные начальные профили скоростей, определяет поле скорости при х > хо, у > 0.

Авторами были проведены расчеты по численному решению задачи (П.ЗЛ)-(П.З.З) с различными функциями 砂(力)，имеющими качественный вид, изображенный на рис. П.6.2. Эти расчеты показали, что если в качестве начальных профилей скоростей 〃o(g), оо(д) взять профили Блазиуса, характерные для ламинарного течения, то при наличии ускоряющего поток градиента давления 也 < 0 профиль скорости и(у) при движении вниз по течению становится более выпуклым, чем начальный профиль, и при-

При этом длинаПри этом длинанимает форму, характерную для турбулентного течения.

При этом длина

При этом длина

переходной области и скорость нарастания толщины пограничного слоя сильно зависят от функции ^(х) и величины градиента давления.

На рис. П.6.3 изображены экспериментальные данные Шубауэра и Клебанова из [8] о профилях скорости в течении воздуха в пограничном слое на плоской пластине в переходной области. Кривая 1 ——профиль Блазиуса, кривая 2 ——степенной профиль U(У)/U^ = (У/Ь)】/? с толщиной погран- слоя b = 1,8 см. Скорость внешнего течения U^ = 27 м/с, а степень его тур булентно сти 0,03 %. При такой скорости сжимаемостью воздуха можно пренебречь.

На рис. П.6.4 изображены в размерном виде результаты численного решения задачи (3.1 )-(3.3) при использовании функции

(П.3.4)

где 九(/)где 九(/)1,04

где 九(/)

где 九(/)

1 + 15,8754 (14力-12,5хе-10ж-200^

при значении параметра D = 0,022, градиенте давления 赤^ = —86,6 Па/м, Uo = 27 м/с, р = 1,24 кг/м3,儿=1,810-5 кг/(м-с), тт = 0,875 Па. Кривая 1 —— тот же профиль Блазиуса, что и на рис. П.6.3, взятый в качестве начального условия.

Видно, что изображенные на рис. П.6.4 результаты расчетов неплохо соответствуют экспериментальным данным на рис. П.6.3 как по форме

Рис. П.6.5

профилей скорости, так и по длине перехода. На рис. П.6.5, изображены график функции (П.3.4) (кривая 7) и прямая ^(х) = х (кривая 2).

Пробные расчеты показали, что для воздуха значения тт, по-видимому, лежат в пределах 0,05-1 Па. При известном тт КВВ воздуха можно вычислить по формуле (П.2.1), в которой качестве ^(х) следует взять выражение (П.3.4).

Таким образом, использование в расчетах предложенной аппроксимации КВВ воздуха, позволяет получить для двумерного течения в пограничном слое переход от ламинарного профиля скорости к турбулентному, хорошо согласующийся с экспериментальными данными.

П.4. Затухание плоского вихря с резкой границей

Предложенная в данной работе обобщенная ньютоновская реологическая модель при больших градиентах скорости существенно отличается от обычной ньютоновской модели. Поэтому представляет интерес сравнение результатов, полученных с использованием этих моделей в случае течений, в которых имеются большие градиенты скорости.

Рассмотрим затухание сильно закрученного плоского вихря с резкой границей в рамках модели несжимаемой обобщенной ньютоновской жидкости с КВВ, определяемой формулами (2.1), (3.4), и сравним его с затуханием такого же вихря в рамках модели обычной ньютоновской несжимаемой жидкости. Введем цилиндрическую систему координат (凡 夕，/) и рассмотрим плоское вращение среды, при котором vz = vr = 0, % = %(力,R)= =Rs(3 R), где s(3 R)——угловая скорость, с начальным условием вида

R) = so ехр(—(R/Ro)71), Rq > 0, n > 0, (П.4.1) которое при достаточно больших ш()и п соответствует начальному вихрю

радиуса Rq с большим градиентом скорости на границе вихря.

Перейдем к безразмерным времени s = 〃力/(/zR^), радиусу г = R/Ro и угловой скорости w(s, г) = ^(。氏訖/也 R()r)/s(). Тогда из системы (1.3) с учетом (2.1) получается уравнение

dw1 1 ЭdsА г3 дгdw1 1 ЭdsА г3 дг(П.4.2)(П.4.2)

dw1 1 Э

dsА г3 дг

dw1 1 Э

dsА г3 дг

(П.4.2)

(П.4.2)

где А = 4so/т7n ——безразмерный параметр, а начальное условие (4.1) примет вид

w(0,r) = ехр(—rn), п > 0.(П.4.3)

5 В.В. Веденяпин

Численное решение задачи Коши (4.2), (4.3) показало, что если в начальном условии (4.1) достаточно велики число п и угловая скорость s(), то картина затухания вихря в несжимаемой обобщенной ньютоновской жидкости с КВВ, определяемой формулами (2.1) и (3.4), качественно отличается от таковой для классической ньютоновской жидкости (когда ^(х)=力).На рис. П.6.6 а приведены результаты численного решения задачи (4.2), (4.3) при п = 3000 в моменты безразмерного времени s = 0,0005, 0,001, 0,002, 0,003,0,004,0,005, для функции ^(^)9 заданной равенством (П.3.4), при значении параметра А = 0,04, а на рис. П.6.6 6 — при А = 0,1. На рис. П.6.6 е приведены для сравнения результаты численного решения задачи (4.2), (4.3) для ньютоновской жидкости с тем же динамическим коэффициентом вязкости при том же п и в те же моменты безразмерного времени.

Сравнение рис. П.6.6 а, бив показывает, что в обычной ньютоновской жидкости резкая граница вихря при г = 1 быстро размывается, в то время как в обобщенной ньютоновской жидкости резкая граница сохраняется намного дольше. Численные расчеты показывают, что с увеличением параметра А, то есть с увеличением начальной угловой скорости, безразмерное время существования резкой границы вихря быстро увеличивается.

Отметим, что длительное наличие резкой границы вихря характерно для реально наблюдаемых в атмосфере сильных вихрей с большим отношением высоты к радиусу — смерчей, тромбов и торнадо. Эти вихри имеют радиус от 0,5 м до нескольких десятков метров, большую скорость вращения (до 150-300 м/с) и сохраняют большой градиент скорости на границе в течение почти всего времени существования, которое может длиться от нескольких минут до нескольких часов. Проведенные расчеты показали, что реально наблюдаемое длительное наличие резкой границы у указанных выше атмосферных вихрей не может быть объяснено в рамках плоского течения обычной ньютоновской жидкости с постоянным коэффициентом турбулентной вязкости, но может быть объяснено с помощью предложенной нами реологической модели.

Заключение

Мы вывели закон зависимости вязкости от градиента скоростей усредненного течения, который согласован с экпериментальными данными для всех значений градиентов. При этом получилось, что при малых градиентах он ведет себя классическим образом (как в уравнениях Навье-Стокса, т.е. совпадает с реологическим законом Ньютона). Для больших градиентов поведение резко отличается от этого закона. С ростом величины градиента скоростей вязкость возрастает, достигая максимального значения, а затем убывает до значения во много раз меньшего первоначального.

ГЛАВА 7

МЕТОД СФЕРИЧЕСКИХ ГАРМОНИК И РЕЛАКСАЦИЯМАКСВЕЛЛОВСКОГО ГАЗА

Если линейный оператор в трехмерном пространстве коммутирует с вращениями, то он кратен единичному. Два квадратичных оператора, определенных в трехмерном пространстве и коммутирующих с группой вращений, хорошо всем известны ——это скалярное и векторное произведение. А есть ли еще? Ответ будет получен в конце второго параграфа. Оказывается, есть только еще один такой оператор, отображающий трехмерное пространство в пятимерное.

Линейные операторы, коммутирующиес группой вращений

Пусть С(S2) — пространство комплексных непрерывных функций на сфере S2 и пусть L ——линейный оператор, отображающий С(S2) в себя:

L : С(S2) 一 С(S2).

Пусть L коммутирует с вращениями Tg, g 6 SO(3): T^L = LT^, где (Tg/)(S) = f(g-'S), S e S?——вектор двумерной сферы, д ——любое вращение, a SO(3) — ортогональная группа с определителем, равным единице.

Тогда L обладает следующими свойствами [8]:

сферические гармоники Yim являются собственными функциями оператора L:

L(匕壮)=为匕壮；(1.1)

собственные числа % не зависят от числа т.

Подобная ситуация очень часто встречается в приложениях. Примером служит угловая часть оператора Лапласа.

Такие формулы связаны с тем, что для каждого / сферические гармоники Yim(m = —/,...,/) образуют базис неприводимого представления группы вращений (размерность пространства представления равна 2/ + 1).

Определение. Пусть G — группа. Представлением группы G назовем пару (Н, Т), где Н 一 линейное пространство, а Т = Т(р) 一 совокупность линейных операторов из Н в Н, зависящих от элементов g G G, такая, что соответствие д — Т(д) — гомоморфизм группы G в группу

линейных обратимых операторов L(H) пространства Н. Иными словами Т — это гомоморфизм G в L(H): G — L(H).

Представление называется неприводимым, если в Н не существует линейных подпространств, инвариантных относительно всех операторов Т(д) (отличных от нулевого и самого Н).

Независимость собственного числа А/ от т формулируется в лемме Шура.

Лемма Шура [8]. Пусть G — группа; (Н, Т) —неприводимое представление G; L ——линейный оператор, коммутирующий со всеми операторами Т. Тогда L кратен единичному оператору: L = ЛЕ.

У пражнение. Доказать лемму Шура.

Применяя лемму к группе вращений и пользуясь тем, что Yim — базис неприводимого представления, мы получаем формулу (1.1) и независимость А/ от т. Назовем это представление (匕，Т\) в соответствии с определением, где 匕一(2/ + 1)-мерное пространство с базисом 匕7n.

Билинейные операторы, коммутирующиес группой вращений

Применим теорию представлений к квадратичным операторам В, коммутирующим с группой вращений. К таким операторам относится интеграл столкновений с любым центральным законом взаимодействия между частицами. Пусть В ——билинейный оператор на пространстве непрерывных функций на сфере S2:

В : C(S2) X C(S2) — C(S2).

Пусть В коммутирует с вращениями:

В(Т,/,Т^)=Т,В(/,Д).

Рассмотрим, по каким сферическим гармоникам раскладывается выражение

b (himi，匕2g) •

Ответ дает следующая формула [5, 8, 24, 35, 36]:

В(Н皿=£〈 fl ^2 ТП1 I 加2〉Е"2Hg+g・(2・1)

Это означает, что суммирование происходит только по конечному числу сферических гармоник с m = mi + m2, |/i — /2I < / < /1 + %2・ Вся зависимость от т заключается в коэффициентах Клебша-Гордона / /1 /2 I \ 爪 а

〈 ),а информация об операторах заключается в числах

8，工2, не зависящих от т. Числа В；、^ удобно называть билинейными собственными числами: как мы увидим, они являются собственными числами некоторого линейного оператора, связанного с В.

Поскольку формула отражает общую ситуацию, для простоты проведем доказательство методами теории представлений. Пусть (Н〃，Т/, г = =1, 2, 3 ——три представления некоторой группы G, два первых из которых неприводимы. Пусть прямое произведение Hi х Н? отображается в Нз билинейным оператором В, коммутирующим с G. Продолжим В до линейного оператора В из тензорного произведения Hi 0 Н2 в Н3. Напомним, в чем заключается различие между прямым Hi х Н2 и тензорным Hi 0 Н2 произведениями. Если 白一базис в Hi, a fj — базис в Н2, то в Hi х Н2 базисом являются ei = (е^, 0) и fj = (0, fj\ поэтому размерность dim(Hi х Н2) равна сумме размерностей dim Hi + dim Н2. Базисом в Hi 0 Н2 являются е^ 0 /у и размерность dim (Hi 0 Н2) = dim Hi dim H2 ——т.е. произведению размерностей. Продолжение строится по формуле В(е^ 0 fj) = В(е^, fj) и продолжается по линейности. Однако в Hi 0 Н2 определено тензорное произведение Ti 0 Т2 представлений Ti и Т2.

Таким образом, мы приходим к задаче о разложении тензорного произведения Ti 0 Т2 представлений на неприводимые представления. Коэффициенты разложения и в общем случае называются коэффициентами Клебша-Гордона. Для сферических гармоник имеем

Yiimi 0 Yhm2 = 工〈f2 ⑵ 2) |/1-/2|</</1+/2 、 /

Оператор В линеен и действует mYim по формуле В (У/,т) = 8，也 匕7n. Зависимость чисел В；、^ от /1 и /2 связана с тем, что мы ограничиваем оператор В на 丫厶 0 Y/2.

Отметим, что суммирование в формулах (2.1) и (2.2) ведется по тем же /, что и в теореме о сложении момента количества движения в квантовой механике. В формуле (2.1) содержится и ответ на поставленный в начале главы вопрос об операторах в трехмерном пространстве. Если для трехмерного пространства представлений положить 厶=/2 = 3, то получаем, что суммирование в (2.1) и (2.2) ведется по / = 0,1, 2. Это соответствует в размерностях тождеству 9 = 1 + 3 + 5. Скалярное произведение представляет собой след матрицы 3x3 произведений a^aj. Векторное произведение ——это ко со симметриче ская часть. Еще один оператор в пятимерное пространство —бесследовая часть симметризации:(电电 + aja^)/2 — (ацац + + a2a2 +a303)/3.

Вычисления собственных чисел

Можно вычислить А/ в (1.1), используя Но, пропорциональную полиному Лежандра Q. Подставляя его в формулу (1.1) и используя равенство Q ⑴=1, имеем

А/ =Ь(Л(со8^)(0,0,1).

Вычислить 8[ 2 2 можно с использованием соотношения ортогонально-

сти для коэффициентов Клебша-Гордона:

h %2

\ Ш1 Ш2

/ \ / /1/2m / \ mi m2/ \ / /1/2m / \ mi m2т1т1=^И'^тт' •=^И'^тт' •(-h,-/2)<(mi,m2)<(Zi,Z2)

/ \ / /1/2

m / \ mi m2

/ \ / /1/2

m / \ mi m2

т1

т1

=^И'^тт' •

=^И'^тт' •

Получаем

В^ =(2гЬУХ

х 工 「—max(Zi ,Z2)<^<max(Zi ,^2)х 工 「—max(Zi ,Z2)<^<max(Zi ,^2)%2 т%2 то 尸(IV,7n)((W)・о 尸(IV,7n)((W)・

х 工 「

—max(Zi ,Z2)<^<max(Zi ,^2)

х 工 「

—max(Zi ,Z2)<^<max(Zi ,^2)

%2 т

%2 т

о 尸(IV,7n)((W)・

о 尸(IV,7n)((W)・

В дальнейшем мы применим эти рассуждения для уравнения Больцмана. Но сначала для облегчения вычислений сделаем преобразование Фурье интеграла столкновений по скорости. Оно было найдено как метод упрощения интеграла столкновения А.В. Бобылевым [7].

Преобразование Фурье интеграла столкновений

Рассмотрим пространственно-однородное уравнение Больцмана в виде

/1(^)/2(W)]B/1(^)/2(W)]B(4.1)(4.1)

/1(^)/2(W)]B

/1(^)/2(W)]B

(4.1)

(4.1)

Умножим его на ехр(—泳о) и проинтегрируем по dv. Пусть

夕〃(k)=夕〃(k)=

夕〃(k)=

夕〃(k)=

Получаем уравнение на 玄(友)：

S(夕 1,夕2)=S(夕 1,夕2)=В dwdvdn.В dwdvdn.Здесь мы воспользовались свойством замен (о, w) — ”，wz) из § 5.2. Вынося exp (—5 仏 吗^))，получим, чтоЗдесь мы воспользовались свойством замен (о, w) — ”，wz) из § 5.2. Вынося exp (—5 仏 吗^))，получим, что粤=S(夕i“2)= //[/i,/2]血.粤=S(夕i“2)= //[/i,/2]血.Наша задача ——найти выражение, зависящее только от 夕】и ^2- Преобразуем этот интеграл следующим образом:Наша задача ——найти выражение, зависящее только от 夕】и ^2- Преобразуем этот интеграл следующим образом:

S(夕 1,夕2)=

S(夕 1,夕2)=

В dwdvdn.

В dwdvdn.

Здесь мы воспользовались свойством замен (о, w) — ”，wz) из § 5.2. Вынося exp (—5 仏 吗^))，получим, что

Здесь мы воспользовались свойством замен (о, w) — ”，wz) из § 5.2. Вынося exp (—5 仏 吗^))，получим, что

粤=S(夕i“2)= //[/i,/2]血.

粤=S(夕i“2)= //[/i,/2]血.

Наша задача ——найти выражение, зависящее только от 夕】и ^2- Преобразуем этот интеграл следующим образом:

Наша задача ——найти выражение, зависящее только от 夕】и ^2- Преобразуем этот интеграл следующим образом:

S(夕 1,夕2)= / dvdw /i(v)/2(w)exp (—5 (k,F(% k) = S+—S~,

(4・2)

где F(u, k) = J dn [exp (—i(k, n)n/2) - exp (-5(k, ”)/2)] В (|〃| , (u, n)/2).

Полагаем 8(", s) = / exp (г(р, 〃))以夕,s) dp.

Имеем F(〃, к) = J dp exp (г(р, u)) G(k^ u, |p|), где G(k^ u, |p|) = =f dn [exp (—5(k, n)/2) |〃| — exp (—5(k, 〃)/2)] (|p| , (“, ")/l〃l)・

У пражнение. Доказать, что функция G(k, и, |р|) симметрична относительно аргументов к и 〃： G(k,", |夕|) = G(〃，友，|夕|).

Решение. Если мы повернем векторы к и 〃 на один и тот же угол, то функция G не изменится. Значит, она зависит только от \к\, \и\ и (к, 〃). При этом от \к\ и \и\ она зависит симметрично.

Итак, меняя кии местами, получаем для F выражение

F(〃,k) = / dndp [exp (勿⑦ и) - i\к\ (u, n)/2) -(4 3)

-exp (—5(. “)- 5(% n)/2)] S ⑦ ⑺,友)/肉)•

Собираем члены при vhwb показателе экспоненты. В члене S+из (4.2) и (4.3) имеем:

ехрехр+ г(р, о) — г \к\ (n, V)I = ехр+ г(р, о) — г \к\ (n, V)I = ехрк ^г\к\п 、к ^г\к\п 、

ехр

ехр

+ г(р, о) — г \к\ (n, V)I = ехр

+ г(р, о) — г \к\ (n, V)I = ехр

к ^г\к\п 、

к ^г\к\п 、

к — \к\п 、к — \к\п 、при о,

к — \к\п 、

к — \к\п 、

ехр (—2 WJ)—“夕,初 ^ 2 \к\ (n, w) j = ехр

при w.

В члене S~ имеем оттуда же:

ехр (—5(к, о)/2 + г(р, о) — i(k)о)/2) = ехр (—5(。, к —夕)),

ехр (—5(k, w)/2 — г(р, w) + i(k, w)/2) = ехр (―5(斗夕)).

Интегрируя no dv и dw, получаем, что

S(Di,D2)= /dndp2 (1夕1,X '(к+\к\п、 (к - \k\n 、

XD1 (—2夕)夕—2一一夕)夕2(夕)•

Наибольшего упрощения достигаем, если В(\и\ , s) не зависит от \и\ — здесь содержатся максвелловские молекулы. Тогда S(夕,S) = b(夕)g(S), и мы имеем [7]:

S*l“2)=S*l“2)=-+Р ) - 9^1 (友)夕2 (0)-+Р ) - 9^1 (友)夕2 (0)

S*l“2)=

S*l“2)=

-+Р ) - 9^1 (友)夕2 (0)

-+Р ) - 9^1 (友)夕2 (0)

Моментная система и релаксация максвелловского газак равновесию. Симметрия Бобылева

Мы получили уравнение Больцмана для максвелловских молекул в случае, когда функция распределения / (о,力)не зависит от пространственной переменной в фурье-представлении:

，=S(d“)，(5.1)

где интеграл S определяется формулой (4.4).

Для изучения релаксации полагают

夕=夕0 (1 + /г),(5.2)

где 夕о = ехр (―友2/2)——фурье-образ максвелловского распределения, Д —— отклонение от максвелловского распределения.

Имеем для Д уравнение

百=L『SH(5.3)

где L ——линеаризованный оператор столкновений в фурье-представлении:

Упражнение. Получить (5.3) из (5.1) при замене (5.2).

Операторы L и S оба коммутируют с группой вращений. Это ——общее свойство для всех интегралов столкновений. Особое свойство для максвелловских молекул заключается в том, что они коммутируют еще с одной абелевой группой: свертка решения с максвелловским распределением также является решением. В фурье-представлении последнее выражается особенно просто: оба оператора коммутируют еще и с группой растяжений [7]. Это и есть симметрия Бобылева:

Ь (ЛО (友)=Ь (/) (ак) , где 启(к) = / (ак) •

То же самое имеет место для S.

Благодаря этому свойству \k\r 匕7n являются собственными функциями оператора L [7]:

L(\k^Ylm {k/\k\)) = Xrl\k^Ylm{k/\k\).

cos『I n 卜os + Sid I 乃卜os 0-1- Ьн^оcos『I n 卜os + Sid I 乃卜os 0-1- Ьн^оДействительно, растяжения имеют собственными функциями \k\r, а сферические гармоники связаны с вращениями. Из формул § 7.3 для собственных значений получаем

cos『I n 卜os + Sid I 乃卜os 0-1- Ьн^о

cos『I n 卜os + Sid I 乃卜os 0-1- Ьн^о

入爪=入爪=х

入爪=

入爪=

х р (cos^) sin 3d3.

Для билинейного оператора имеем

S(\k\riYlimi.\k\r2 匕沙2)= |友尸+「2х

|/1-/2|</</1+/2 '/7 "

Для А/｝：" можно выписать точные значения, аналогичные (5.5) [5].

На основе этих формул можно получить моментную систему для уравнения Больцмана. Пусть

h = ^Crlm ^\k\rYlm(k/\k\).

Такая моментная система соответствует разложению функции распределения по полиномам Лагерра, умноженным на сферические гармоники:

方)=е m"二比:/2俨/2)m(。/碎мг1т⑴.

Получаем для моментов Crim (力)следующую систему уравнений:

С rim (力)=^rl^rlm + 2 rlm (°) , ^rlm (°)=

Особенностью данной системы является то, что в 2т1т входят моменты, низшие по индексу г, и поэтому она рекуррентно разрешима.

Именно этот факт позволил Максвеллу решить задачу о выводе уравнений сплошной среды из уравнения Больцмана. Однако и решение Чэпмена- Энскога для произвольных потенциалов существенно опиралось на приведенное решение для максвелловских молекул. Для метода Максвелла- Чэпмена-Энскога достаточно первых моментных уравнений. Окончательное решение моментной системы было получено сравнительно недавно (см. [5, 7]).

Приложение к главе 7

РЯДЫ ЭКСПОНЕНТ И СУПЕРПОЗИЦИЯ БЕГУЩИХ ВОЛН

В известных работах, посвященных методу обратной задачи теории рассеяния, было найдено много уравнений, для которых строятся суперпозиции бегущих волн (n-солитонные решения) в виде явных формул (см. [1]). В то же время для очень общих уравнений были придуманы формулы, дающие суперпозицию в виде рядов [2-11]. В работах [2, 3, 6] было показано соответствие этих рядов точным формулам для уравнений типа КДВ. Препятствием к существованию таких формальных рядов служат специальные соотношения между собственными числами ——резонансы. В работах [2, 3, 6] было показано отсутствие резонансов для точно решаемых уравнений типа КДВ, в [4, 10]——для нелинейных эллиптических уравнений, в [5-7]——для изотропного уравнения Больцмана. В [8-9] было показано их наличие для анизотропного уравнения Больцмана. В работах [4, 10] изучалась сходимость таких рядов в малом для нелинейного эллиптического уравнения. В работах [5-9, 11] такие ряды построены для уравнения Больцмана и доказана их сходимость в целом.

Здесь мы рассматриваем очень общие эволюционные уравнения, класс которых описан в § П.7.1. В § П.7.2 мы предлагаем для них разложения в формальные экспонентные ряды ——ряды взаимодействия бегущих волн. В § П.7.3 исследуется возможность резонансов. В § П.7.4 приводятся условия сходимости в малом построенных рядов, а также примеры расходимости. Сходимость в малом построенных рядов означает, что мы имеем функцию, задающую суперпозицию бегущих волн (функцию взаимодействия), которая дает решение исходного уравнения в некоторой области. Отметим работу [15], автор которой численно показал для гиперболического нелинейного уравнения быструю сходимость рядов на всей плоскости: ряды как бы не замечают резонансов.

Исследование резонансов и сходимости представляется актуальной задачей, так как ряды могут дать быструю процедуру численного решения задачи о взаимодействии волн независимо от размерности пространства для любого нелинейного уравнения.

П.7.1. Класс уравнений du/dt = F (“)

Рассмотрим уравнения вида

du/dt = F (и), (П.7.1) где и (х内 ——функция аргументов х е R1, I е R1; F ——нелинейный оператор, коммутирующий с группой сдвигов g (а):力—力 + a, [F, g (а)]= =0. Пусть F (“)= L (“)+ 8 (u) + ... , где L ——линейный, 8 ——билинейный, ...,операторы, коммутирующие с группой сдвигов. Этот класс содержит любое уравнение с частными производными по 力 с постоянными коэффициентами. Мы будем обычно ограничиваться вторым порядком

нелинейности: переход к высшим порядкам не представляет труда. Основными примерами будут уравнения du/dt =乜⑺ + ихи (при m = 2 это —уравнение Бюргерса, при m = 3 — уравнение КДВ) и их обобщения du/dt = и^ + u(p)u(G.

П.7.2. Формальные ряды взаимодействия волн

Пусть а = (di,..., Qn), /3, 7 ——векторы с действительными или комплексными компонентами. Пусть

и =，2 以 ехр [(к, сих + /3力 + 7)] .(П.7.2)

Здесь суммирование ведется по векторам к с неотрицательными целочисленными компонентами, где хотя бы одна компонента ненулевая: к е G (厶厂 \0,厶一неотрицательные целые числа.

Подставляя ряд (П.7.2) в уравнение (П.7.1), получаем систему, которая по следовательно определяет коэффициенты 以：

[的万)—入((k, a))] dk = ^ A ((r, a), (k — r, a)) drdk_r. (П.7.3) 0<r<k

Суммирование здесь ведется по векторам г, где г < к означает, что все компоненты первого вектора меньше или равны соответствующих компонент второго, но хотя бы для одной из компонент неравенство строгое.

Коэффициенты А(р) и Л (р, q) определяются формулами L (ехр (夕力))= =А (夕)ехр (夕力)，В (ехр (夕力),ехр (q/)) = Л (р, q) ехр ((夕 + q) х). Они справедливы из-за того, что L и В коммутируют со сдвигами.

Рассмотрим систему (П.7.3).

Пусть 体| = ki + ... + кп. При I川 =1, т.е. для векторов к = е。), у которых J-я компонента равна единице, а остальные равны нулю, имеем из (П.7.3) при 厶(力 * 0:

/3j = А (%•).(П.7.3а)

При |fe| > 1 коэффициенты dk определяются по следовательно формулами (П.7.3), если не равны нулю множители (к,/3) — А ((к, а)) в левой части равенства (П.7.3) при 仿 = А (%).

Итак, препятствием к построению решений в виде (П.7.2) служат следующие соотношения (резонансы):

A (的 a)) - £ kj\ (%•) = 0.(П.7.4)

Если n = 1 в (П.7.2), т.е. векторы а, /3 , ? и к одномерны, то мы получаем решение в виде бегущей волны:

и = f (х ct) = ^2 dk ехр [ка (力 + Е + 7)].

1<к<оо

Мы получаем из первого уравнения (П.7.3) соотношение с = А (а) /а для скорости бегущей волны. Это показывает, что cj = А (с^ ) /с^ явля-

ется скоростью J-й бегущей волны при любом п в (П.7.2). Все сказанное мотивирует следующее определение.

Определение. Пусть А (夕)такова, что соотношения (П.7.4) отсутствуют для некоторого вектора а е Сп и для всех k е {Z^Y с |fe| > 1.

Формальным рядом V взаимодействия (нелинейного сложения, наложения) п бегущих волн для уравнения (П.7.1) будем называть ряд

% =『(F; п, а; г) =^ ⑶=

⑵=工点#(口.7.5)

где "左 =1 при |k| = 1, d^ определяются формулами (П.7.3), (П.7.За) при \к\ > 1, а суммирование в (П.7.5) ведется по целочисленным к G (Z+)n с |k| > 1. Соотношение & = exp (а〃/ + 凤t + 7/ связывает (П.7.5) с (П.7.2).

Наша цель ——исследовать возможность резонансных соотношений (П.7.4) и сходимость рядов (П.7.5).

П.7.3. Исследование резонансных соотношений

Обозначим через а = (м,…，а九)G R，一 вектор с положительными компонентами.

Лемма 1. Пусть А (夕)——полином степени большей или равной двум.

Тогда (П.7.4) не выполняется для достаточно больших |к|.

Доказательство. Пусть 0 < а^ < а^ < ... < &九.Тогда при г > 1 имеем

м ап > (52^^) 2 肉

Значит, знак разности в левой части (П.7.4) совпадает со знаком коэффициента при старшей степени полинома А (夕)при |к| — оо:

еслитоеслитоА (р) = а0 + aip + ... + adpd (d > 2,。& # 0),入侬a)一工 kjX (%) = ad (£ 电•%) + 0 (体『),

если

то

если

то

где。(力)—0 при 力—оо.

Лемма 1 доказана.

Лемма 2. Пусть А (夕)——полином степени, большей или равной двум, с неотрицательными коэффициентами и нулевым свободным членом.

Тогда при 向 > 1 справедливо неравенство X ((k, а)) > £к§ 入 Q).

Доказательство. Для одночленов А (夕)= 夕『при г > 1 и |^| > 1 имеем следующие неравенства:

入(的а)) =(£&%•)&£衣网 > 工%%=£%入(学).

Пусть г > 1 и 肉 > 1. Тогда, если к имеет больше одной ненулевой компоненты, то первое из неравенств ——строгое, а если ненулевая компонента единственная, то строгое второе из неравенств. Складывая эти неравенства

с разными 丁 с неотрицательными коэффициентами, получаем утверждение леммы.

Лемма 3. Пусть А (夕)一полином степени d > 2 с комплексными коэффициентами и нулевым свободным членом. Пусть все ненулевые коэффициенты лежат по одну сторону от прямой в комплексной плоскости, проходящей через точку нуль. Тогда резонансы (П.7.4) отсутствуют.

Доказательство. Пусть А (р) = а。+ 肉夕 + ... + а^ (d > 2, ad 老 0), где а『=b『+ 5 с『.

По условию леммы АЬГ + Всг > 0, если аг * 0, где Ах + By = =0 уравнение прямой, проходящей через нуль. Используя неравенство, доказанное в лемме 2 для А (夕)=рг, суммируя по г с неотрицательными коэффициентами АЬГ + 8с『，а также учитывая, что при г = d неравенство строгое, получаем:

Re (А - г В) А (к, а)=工(Abr + 8с「) (к, а)『>

> 工(4Ь「+ Всг)(工 & ,叫)=Re (4 - 58)工kjX (%•).

Это неравенство исключает равенство (П.7.4).

Лемма 3 доказана.

Теорема 1. В условиях лемм 2 или 3 формальные решения вида (П.7.2) уравнения (П.7.1) существуют для всех a G А72 с положительными компонентами и любых 7 е Сп. В условиях леммы 1 этого можно добиться малым шевелением коэффициентов оператора L.

П.7.4. Сходимость ряда взаимодействия п бегущих волн

Имеет место следующая теорема.

Теорема 2. Пусть уравнение du/dt =乙(〃)+ B(u, и) таково, что

отсутствуют резонансные соотношения (П.7.4);

существует такая постоянная С = С (n, q) > 0, что для некоторого а е 2?п и для всех к при 向 > 1 имеет место неравенство

sup|A[(T,a),(^ — T,a)]|

人<。(П.7.6)

只((汽 а)) —

Тоща функция 唄(г) для суперпозиции п бегущих волн определяется сходящимся в некоторой окрестности нуля рядом (П.7.5).

Доказательство. Покажем индукцией по \к\, что при \ к\ > 1 имеет место неравенство

При 向=1 неравенство (П.7.7) выполнено, т.к. de^ = 1.

Далее используем следующее тождество для полиномиальных коэффициентов:

(加1 + ... + 7T1n)!(Т]_ + ... + rn)!(友1 + ... + kn)!

(mi! m2! ... mn! ri! Г2! ... rn!) 的！后！'

где суммирование ведется по векторам гите целочисленными неотрицательными компонентами, для которых г ^г т = к. Последнее равенство доказывается приравниванием коэффициентов при одинаковых степенях t в полиномиальном разложении отдельных сомножителей равенства

(力1 + . . . + 力九丿"(力 1 + . . . +1 + . . . + tn)^ .

В предположении, что для векторов к с меньшими 肉 неравенство (П.7.7) уже доказано, имеем следующую оценку для 点：

丁体一丁1!0(的一川T)网！0m_

卜* (饱—勺|! ...\kn- rn\\ |ri|!|rn|!)—

=向!0(肉7 (饱|! ...1做1!)Т.

Учитывая оценку (П.7.7) для коэффициентов, немедленно получаем абсолютную сходимость ряда Тейлора для функции Vn с помощью полиномиальной формулы и геометрической прогрессии в малой окрестности точки нуль.

Теорема 2 доказана.

В качестве примеров рассмотрим конкретные уравнения.

Теорема 3. Рассмотрим уравнение

du/dt = uM+u^u^.du/dt = uM+u^u^.(П.7.8)(П.7.8)

du/dt = uM+u^u^.

du/dt = uM+u^u^.

(П.7.8)

(П.7.8)

Тогда

при m > р + q ряд 暇(П.7.5), задающий суперпозицию п-бегущих волн, сходится в некоторой окрестности нуля для векторов а с положительными компонентами;

те же ряды для этих уравнений расходятся (радиус сходимости ряда (П.7.5) равен нулю уже при п = 1), если max (夕,q) > m + 1.

Доказательство. 1) Покажем, что в случае т > р -\- q выполнены условия теоремы 2. Действительно, в этом случае резонансы отсутствуют в силу леммы 2. Имеем следующую оценку:

|А[(т,а),(к —т,а)]| = |[(т,а 尸(к — т,а)『| <

А (к, а) — £&〕(％•)〔 \(к,ос)т -^kja^\ -

5 (Ц"「

Последнее неравенство получается вычислением с помощью обычного дифференцирования максимума функции (г, ci)p (к — г, а:)9 по аргументу (г, а) при 0 < г < А;. Он равен ppqq (р + q)-"+。)(к, а)(°+°).

При m>p + q правая часть неравенства (П.7.9) ограничена некоторой постоянной О (а), что показывает выполнимость второго условия теоремы 2 при этих т, р, q. Применение теоремы 2 доказывает первую часть теоремы 3.

Докажем вторую часть.

Рассмотрим сначала уравнение du/dt = и"1)— “⑺“⑷.Оно отличается от уравнения (П.7.8) знаком одного слагаемого в правой части, и при этом выборе все 点 положительны. Покажем, что при max (р, q) > т, m > 2, для рядов 吋(П.7.5), соответствующих этому уравнению, имеет место оценка

dk > bkk\(П.7.10)

для некоторого 6 > 0 при п = 1на>0(в этом пункте a G R+ — положительные числа, ak Е Z+ ——целые положительные).

Пусть р>^ир>т + 1. Доказываем неравенство (П.7.10) индукцией по к. При к = 1 получаем, что b < 1.

Выберем b таким малым, 0 < 6 < 1, чтобы для каждого к > 2 выполнялось неравенство

a^q~m (к - 1)р к-1 (кт - к)т > Ь.(П.7.11)

Это можно сделать, если р > m + 1.

Из рекуррентного соотношения для d^ имеем

dk = ^-т (кт -ку1 ^2 гР (^ - ГУ drdk-T >

> q"lе (к - 1)。к-1 (кт - к)т 友点—1 > bkdj > bkk\ .

В первом из неравенств мы уменьшили выражение, оставив только одно слагаемое с г = 1 и учтя, что все остальные слагаемые неотрицательны. Второе есть применение (П.7.11), а последнее — индукционное предположение (П.7.10).

Ряд£Ь”" имеет радиус сходимости равный нулю при любом Ь. Следовательно, в данном случае радиус сходимости ряда (П.7.5) равен нулю. Чтобы перейти к уравнению (П.7.8), заметим, что коэффициенты 点 будут для него знакопеременны и отличаются от рассмотренных только знаком при четных к. Значит и радиус сходимости этого ряда для (П.7.8) тоже равен нулю.

Теорема 3 доказана.

Теорема 4. Рассмотрим уравнение

〃力=L (〃)+ / (“,〃(*).

Здесь L ——линейный оператор L (и) = А {д/дх) и, где А ——полином:

м

入(")=工电I?.

i=0

Пусть

для L отсутствуют резонансы (П.7.4);

/ (0) = 0, V/ (0) = 0, / — аналитична в нуле, т.е. / (го,..., rm)= =£ 九丁卜 абсолютно сходится в некоторой окрестности нуля;

М > т.

Тогда для каждого п ряд 暇=£八丿 сходится в некоторой окрестности нуля при q^ > 1.

Доказательство. Воспользуемся идеей мажоранты (см. [4, 10]). Рассмотрим вспомогательное уравнение

aWM+ (工 а}@)а

и для него — ряд W^ = £^左2卜 с теми же (ci, п). Здесь W^ — m-я производная по х, /〃 = еагХ. Покажем, что посредством выбора а и / можно сделать W^ мажорантным рядом для 哪,т.е. Wk > |d",a ряд W^ аналитичен в нуле. Положим / заданной сходящимся рядом / = £ \fk\rk^ Выберем а > 0 таким, чтобы выполнялось неравенство

卜((к, а))—工偽入(电)| > а (к,а)т .

Это возможно из-за отсутствия резонансов, оценок леммы 1 и условия М > т. Ряд W^ при таком выборе мажорирует ряд 喷,поскольку

все коэффициенты полинома, выражающего 耿 через wr (г < к) стали положительными;

замена в / аргументов высшими производными только увеличивает эти коэффициенты, так как (к, а)。есть монотонно неубывающая функция аргумента 夕 при % > 1;

выбором а мы уменьшили знаменатели, т.е. коэффициенты при Wk, происходящие из линейного члена уравнения.

Уравнение на TV^m^ является алгебраическим и имеет вид

F(W^m\y^ = 0, где д = £а?/1.

По теореме о неявной функции оно разрешимо, так как dF/dW^ = =а > 0. Значит 1y(* ——аналитическая функция в нуле. Она дается рядом Wn^ = ISw (友，а)т /卜 и переход к ряду W^ = £ WkZk только

улучшает сходимость.

Теорема 4 доказана.

П.7.5. Заключительные замечания

Для уравнения Бюргерса du/dt = ихх + 2ихи справедливо равенство

+ . . . + Zn vn =二j二

1 + 21&九 + . . . + Zn(ln

Для уравнений типа КДВ функции 啜 рациональны по г, но степени полиномов числителя и знаменателя растут с ростом п [1].

Построенные в теоремах 1-3 функции 暇 ⑶ дают решения уравнения (П.7.1) по формулам и (力,力)= % (е&, е°2,…,&%), где % = а^х + + А (% )力+ % в области сходимости. Теоремы 2, 3 гарантируют сходимость, если все qj > 0, ах достаточно мало, т.е. решения построены на левом конце. Из работ [2, 3,4, 6] вытекает, что n-солитонные решения уравнений типа КДВ совпадают с теми, которые даются рядами взаимодействий (П.7.5).

Теоремы 1-3 можно рассматривать как бесконечномерный аналог теоремы Пуанкаре-Горна для обыкновенных дифференциальных уравнений. Эта теорема (см. [12, 13, 14]) дает построение в виде сходящихся рядов частных решений для системы уравнений:

dxj/dt = Fj (х), j = 1,..., m ,

в окрестности стационарной точки 0 при Fj (0) = 0. Пусть в (П.7.12) линейная часть L оператора F имеет п собственных значений, которые лежат по одну сторону от проходящей через нуль прямой. В этих условиях теорема утверждает, что существует аналитическая (т.е. в виде сходящихся в некоторой окрестности нуля рядов) подстановка, которая сводит исходную систему к линейной на n-мерном инвариантном подмногообразии, и, таким образом, дает n-параметрическое семейство частных решений.

Теорему 1 можно рассматривать как формальную часть теоремы (о существовании формальных рядов). Теоремы 2-3 дают условия сходимости. При этом ситуация в неформальной части значительно отличается от конечномерной. Пункт 2 теоремы 3 показывает, что даже в случае Пуанкаре (т.е. когда все выбранные действительные собственные значения одного знака [12-14]), соответствующие ряды могут расходиться уже при n = 1.

Все вышеизложенное без труда обобщается на случай, когда пространственная переменная х многомерна.

6 В.В. Веденяпин

ГЛАВА 8

ДИСКРЕТНЫЕ МОДЕЛИ ДЛЯ СМЕСЕЙ

Дискретные модели с импульсами на решетке

В последние годы исследования дискретных моделей уравнения Больцмана (сокращенно ДМУБ) ведутся очень активно [1, 24-31]. В литературе широко обсуждаются модели для смесей, допускающие обмен энергией между разными компонентами, и построение таких моделей ——актуальная проблема, имеющая большое прикладное значение. Читаем в [28]: «In fact no model (except trivial ones) has appeared before. The simplest models are given by Monaco and Preziosi in their book [27]. They are not satisfactory (as indicated by the authors [27], p. 74), because no exchange of energy between the species occurs. It is just what we mean when we say that they are trivial». В переводе это звучит так: «На самом деле не было создано моделей (кроме тривиальных). Простейшие модели предложены Монако и Прециози в их книге [27]. Они не удовлетворительны (как указано авторами [27], с. 74), потому что нет обмена энергией между компонентами смеси. Именно это мы имеем в виду, когда говорим, что они тривиальны».

Построение правильной модели хотя бы для случая двух компонент связано с преодолением трудности так называемых лишних инвариантов (например, энергии отдельных компонент) [27-29], которые присутствуют в дискретной модели, но отсутствуют в исходном кинетическом уравнении. Последнее при проведении численных расчетов приводит к неправильной гидродинамике, поскольку локально-равновесное распределение будет в этом случае отличаться от максвелловского. Ниже мы опишем метод, позволяющий эффективно разрешить эту проблему и построить дискретные модели с правильным числом инвариантов (нормальные модели).

Рассмотрим смесь частиц г сортов с массами mi,..., тг. Обычное уравнение Больцмана (с непрерывными скоростями) имеет вид (см. § 5.3):

где Fi (ж,р, t)——функция распределения г-й компоненты смеси по координатам ж и импульсам р в момент времени 力.Интеграл столкновений Qij определяется следующим образом (для краткости положим F% 三 F, F§ 三 f, mi = M, mj = m; M > m > 0, и в аргументах функций распределения

будем писать только импульсы):

Qij [F，/] =/ dqdQх

RdxSd-1k 丿

X 产(》)/(q/)—F(m/(q)]・

Здесь и = р/М — q/m — относительная скорость, aij — сечение столкновений, /У и q‘ ——импульсы частиц после столкновения:

» = ^^ О + б + ； |〃| qf = ^^ (1 — b) — ； |闾闷)

где 〃 = 2mM/(т + М) 一 приведенная масса, b = (М — ш)/(М + тп), Q е %, |П| = 1.

Для частиц одного сорта часто используется класс моделей Голдстейна- Стюртеванта-Бродуэлла [30], когда скорости берутся на целочисленной решетке. В [31] предложена теорема об аппроксимации уравнения Больцмана в трехмерном случае, а в [28] дано ее обобщение на случай смеси. В [28] были рассмотрены также две двумерные ДМУБ для случая смеси двух сортов, между компонентами которых происходил обмен энергией. Однако, первая из них (с 13 дискретными скоростями) имела один лишний инвариант, а вторая (с 25 скоростями)——два лишних инварианта. Если же строить нормальные ДМУБ, опираясь на пространство линейных инвариантов модели, базис которого определяется по заданному множеству J векторов а — {3 (см. § 6.6), то приобретения лишнего инварианта с увеличением числа дискретных импульсов можно избежать.

Введем равномерную сетку в пространстве импульсов с шагом Д так, чтобы узлы сетки отвечали значениям импульсов pm = mh, m ——векторы с целочисленными координатами. Записывая законы сохранения импульса и энергии:

夕+ q = " +必

夕 2—夕/2 — 〃2 —q2(L3)

2M ='

получаем, что в случае обмена энергией между рассматриваемыми двумя компонентами отношение масс М/т должно быть рациональным. Если же обмена энергией нет, то отношение масс может быть любым, и инвариантами являются также энергии отдельных компонент.

Формально дискретная модель с импульсами на решетке — это набор масс mi,..., тп (среди них могут быть совпадающие), векторов pi,..., рп и реакций (叮)j (kZ), т.е. четверок целочисленных индексов, разбитых на пары. Обозначим это множество четверок ((г, J), (/с, /)) через S. Оно указывает ненулевые сечения столкновений а^. Этой совокупности {mi,..., т^； 夕1,...,夕九；S; og ((叮),(к/)) e S} ставится в соответствие система диффе-

ренциальных уравнений (дискретная модель столкновений):

咽i =(1.4)

Суммирование ведется по четверкам из множества S, в которых есть индекс г, т.е. по тем реакциям, для которых 用 * 0. Подчеркнем, что запись (1.4) с совпадающими массами удобна тем, что позволяет избежать двух- индексных обозначений: реальное количество разных масс г значительно меньше п. В дальнейшем г = 2.

Описанная модель столкновений называется дискретной моделью уравнения Больцмана, если выбранные реакции таковы, что удовлетворяются законы сохранения импульса и энергии:

Pi +Pj = Pk +夕厶

Pi + JPj_ = Pk +(L5)

2m^2 m j2mk 2次

Для уравнения Больцмана (1.1) существует т + d + 1 инвариантов, отвечающих сохранению г сортов частиц, d компонент импульса и интеграла полной энергии. Именно такую ДМУБ, которая имеет ровно т + d + 1 инвариантов, будем, следуя [28-29], называть нормальной. Функционал

/ = £也力(L6)

г=1

называется лишним инвариантом, если он сохраняется в силу дискретной модели, но не является одним из этих т + d + 1 инвариантов, т.е. не представляется в виде линейной комбинации инвариантов уравнения Больцмана (8.1).

Инварианты

Когда в силу уравнения (1.4) функционал / = £〃〃% сохраняется? Для пространственно-однородной версии уравнения (1.4) имеем

^ = £ Мг^ (九力-力力)=g£0^九力(〃k +他一也一出)•

Мы видим, что условие 〃〃 + /^ = 〃左 + 〃％ для всех столкновений из S является необходимым и достаточным условием того, чтобы I был интегралом. Условие «/ = £ 也力 есть интеграл уравнения (1.4)» эквивалентно условию ортогональности вектора 〃 векторам 唱=白 + ⑦一〃一勺(白 ——базисный орт с единицей на г-м месте и нулем на остальных), для которых (7^ > 0. Будем использовать следующие обозначения: J ——линейная оболочка векторов 唱，丿丄一ортогональное дополнение, т.е. пространство инвариантов, d (J) и % (J丄)一их размерности: d(J丄)=тг — d(J). Векторы 鸣 будем называть векторами столкновений.

Пример . Двумерная модель с шестью скоростями, расположенными в вершинах правильного шестиугольника.

В этом случае (т + d + l) = 1 + 2 + 1 = 4. Однако для данной модели модули скоростей равны единице, следовательно, число частиц совпадает с энергией, и правильное число инвариантов снижается до 3. Число столкновений равно трем, но в силу существующего между ними соотношения d (J) = 2. Поэтому d(J丄)=6 — 2 = 4, и мы имеем один (кстати, очень известный) лишний инвариант. Именно такие лишние инварианты существуют и в более общих моделях со скоростями в вершинах правильных 2п-угольников [24].

Упражнение. Подсчитать их число.

Индуктивная процедура

Любая дискретная модель может быть шаг за шагом построена присоединением частиц (с новым импульсом) и столкновений из множества S. Как меняется при этом d (J) и d (J丄)?

Если мы прибавляем частицу с новой скоростью, то п — п + 1, поэтому d (J) — d (J), и мы имеем новый инвариант d (J丄)—d (J丄)+ 1.

Если прибавить столкновение с вектором е%, и последний

линейно независим от предыдущих, то мы «убиваем» один инвариант: d (J丄)—d (J丄)—1;

линейно зависим от предыдущих, то мы имеем то же число инвариантов: d (J丄)一d (J丄).

Покажем по индукции, что двумерная модель с достаточно малым числом импульсов на решетке не имеет лишних инвариантов. Это утверждение неявно использовалось в [28, 30, 31], однако, видимо, оно неверно в одномерном случае.

Начнем с классической модели Бродуэлла для легкой компоненты смеси, когда имеется всего четыре дискретных импульса:夕2,4 = (0, ±1) и 夕 1,з = (±1,0). Допустимое столкновение между этими частицами единственно: соответствующий вектор столкновения в обозначениях § 8.2 есть е^^. Поскольку сумма размерностей пространства, натянутого на векторы столкновений d(J) и его ортогонального дополнения d(J丄)，отвечающего количеству линейно независимых инвариантов, равна числу степеней свободы системы п, то в данном случае d (J丄)=4 — 1 = 3.

Если мы добавим теперь к имеющимся четырем легким частицам еще четыре тяжелые, имеющие те же импульсы (отмечаемые волной над индексом), и введем вектор столкновения е~|, то получим 6 инвариантов (3 для легких и 3 для тяжелых). Добавляя векторы столкновений между этими двумя сортами частиц е~^, е|； понижаем число инвариантов до четырех. Наконец, помещая в центр (0, 0) легкую частицу, доводим число инвариантов до пяти. Дальнейшее увеличение количества дискретных

импульсов не должно приводить к новым инвариантам, т.е. для каждой новой частицы надо строить линейно независимый вектор столкновения. Для легких частиц это можно сделать следующим образом. Добавляем симметрично четыре частицы с импульсами 夕5,6 = (1,干1) и 夕7,8 = ( — 1, ±1) и устраиваем столкновения с помощью центральной частицы: е?^, е?$, е^з, €34. Новых инвариантов не появилось. Затем аналогично вводим далее частицу с импульсом 夕9 = (2, 0) и столкновение 噥，а также симметричные ей относительно осей координат и диагоналей, и так далее, заполняя в итоге легкими частицами всю плоскость. Для того, чтобы сделать то же самое с тяжелыми частицами, мы должны поместить в центр частицу (б, б), увеличивая число инвариантов до шести. Дальнейшее добавление тяжелых частиц проводится так же, как и легких, и в результате мы имеем один лишний инвариант. Чтобы его ликвидировать, надо ввести еще хотя бы одно столкновение между легкой и тяжелой частицами, которое имело бы вектор, линейно независимый от предыдущих. Такое столкновение, строящееся с учетом выполнения (1.3), будет фиксировать отношение масс М/т. Таким образом, мы доказали утверждение об отсутствии в рассматриваемой модели лишних инвариантов.

О решении диафановых уравнений законов сохранения и классификации столкновений

Как решать систему уравнений (1.3)? Удобная параметризация получается, если мы решим первое из уравнений (1.3), вводя вектор а так, что

(4.1)(4.2)(4.3)(4.1)(4.2)(4.3)"=g + а,夕=q‘ + а.

(4.1)

(4.2)

(4.3)

(4.1)

(4.2)

(4.3)

Подставляя (4.1) во второе из уравнений (1.3), получаем

(鼠2 —。2)_ I)= 2 (a, q' -q).

Или, при Q，2 - Q2 0:

竺=]|—G

т —『2 _齡.

Последнее соотношение показывает, какие возможны отношения масс с заданными импульсами qnqf легких частиц.

Отметим, что равенство q,2 — q2 = 0 соответствует столкновениям без обмена энергией: из (1.3) следует, что тогда р2 — р,2 = 0, т.е. равно нулю приращение энергии.

Отметим, что (а, 〃 一 q) = 0 соответствует или одинаковым массам, или случаю без обмена энергией (см. (4.2)): в этом случае параллелограмм qqfppf превращается в прямоугольник. Поэтому столкновения для двух сортов тяжелых и легких частиц можно классифицировать следующим образом:

столкновения между тяжелыми частицами;

столкновения между легкими частицами;

столкновения между разными сортами частиц без обмена энергией;

столкновения между разными сортами частиц с обменом энергией.

В одномерном случае (4.2) даст после сокращения на 〃 — q * 0 (при 〃 一q = 0 столкновение отсутствует):

(宀)=2а.(宀)=2а.(4・4)(4・4)

(宀)=2а.

(宀)=2а.

(4・4)

(4・4)

Уравнение Больцмана для смеси в одномерном случае.

В одномерном случае сфера ——это две точки, и закон столкновений (для тяжелой частицы) имеет вид

公М ±也

Верхний знак (плюс) приводит к тождественному преобразованию, а нижний дает нетривиальное искомое преобразование. Имеем

"=(夕 + q)"=(夕 + q)q‘ =(夕 + q)q‘ =(夕 + q)Мт + ММт + ММт + ММт + М++тМm + МтМm + МтМm + МтМm + М(5.1)(5.1)

"=(夕 + q)

"=(夕 + q)

q‘ =(夕 + q)

q‘ =(夕 + q)

М

т + ММ

т + М

М

т + ММ

т + М

+

+

тМ

m + М

тМ

m + М

тМ

m + М

тМ

m + М

(5.1)

(5.1)

_ Р qи =~----.М т

Если т = М, то pf = q и qf = р,н происходит обмен импульсами. Следовательно, интеграл столкновений J (/, /) для частиц одного сорта равен нулю, и для смеси в одномерном случае мы имеем уравнение Больцмана без такого интеграла:

^ = J^ F)= f w^/З) — F①)/(q)U(〃) hl歯，

где pf и qf определятся формулами (5.1).

Модели в одномерном случае

При рассмотрении одномерного случая столкновений используем формулу (4.4). Пусть М/т = 3. Тогда из (4.4) следует уравнение а = q + qf. Простейшее нетривиальное решение этого уравнения с а = 1, q = 0, qf = =1 дает 夕=2,夕‘ =1. В результате симметризации получаем следующую модель, изображенную на рис. 8.1.

Модель / [33, 34]: М/т = 3, 3 легкие и 4 тяжелые частицы.

Импульсы легких частиц обозначены темными кружками, тяжелых — светлыми. Легкие частицы имеют импульсы — 0, ±1, а тяжелые — ±1,

丄с D02 0(-2)1(-1)

±2. В модели возможны три реакции с сечениями \ J ％ отличными от нуля. Здесь пронумерованы импульсы частиц, а волнами обозначены импульсы тяжелых частиц.

Проверим, имеет ли данная модель правиль-°

ное число инвариантов: т + d + l = 1 + 2 + 1 = 4.^-^

Используя индуктивную процедуру, начнем с частиц (1, i, — 1, — i) и реакции между ними 匸;；рис 〔

Имеем 4 — 1 = 3 инварианта. Добавляя частицы

0 и 2 и реакцию а^~, получаем 3 + 2 — 1 = 4 инварианта. Добавляя частицу (—2) и оставшуюся реакцию, получаем то же число инвариантов — 4.

Выпишем соответствующую систему уравнений. Если легкие частицы описываются функциями /^ (г = 0, ±1), а тяжелые —兄(5 = ±1, ±2), то

^^ =。深(/1^1 - /о^2)+ b：；!.] (/-1^-1 - /о^-2)•

Отсюда видно, что /о участвуют в двух реакциях. Имеем

=。一；： (/-i^i — /i^-i) + о^ (/о乃—•

dt m ox -丄丄

Аналогичное уравнение справедливо и для /_i.

Уравнения для тяжелых частиц выписываются аналогично:冃 имеет скорость 1/М = 1/(Зт) и участвует в двух реакциях, F? имеет скорость 2/М = 2/(3m) и участвует в одной реакции.

Данная модель является единственной одномерной симметричной нормальной моделью, построенной до сих пор.

Модели в двумерном случае

Первый пример модели в двумерном случае (рис. 8.2) может быть получен симметризацией одномерной модели.

Модель 2. [33, 34]: М/т = 3, 5 легких и 8 тяжелых частиц (т.е. число уравнений 5 + 8 = 13).

Упражнение. Записать набор столкновений, доказать, что модель нормальна и выписать соответствующую систему уравнений.

В принципе в двумерном случае (в отличие от одномерного) можно, используя индуктивную процедуру, сконструировать модель с любым отношением масс, симметричную и нормальную. Если мы хотим построить модель с малым числом уравнений, то следует взять одно из решений дио- фанова уравнения (4.2) с обменом энергии (базовая реакция), симметри- зовать его, добавить возможные столкновения и доказать, что полученное множество импульсов и реакций дает нормальную модель.

Модель 3 [33, 34]: М/т = 7, 6 легких и 6 тяжелых частиц. Модель симметрична относительно осей, но не относительно диагоналей (рис. 8.4). Базовая реакция с обменом энергией (рис. 8.3):

q = (。, 一1), q' = (—夕=(。,3), p' = (1,1).

О

ООороро ® л® оо ® л® о® • ®.О® • ®.О(У о(У о® • ®® • ®ооqqооРис. 8.2Рис. 8.2Рис. 8.3Рис. 8.3Рис. 8.4Рис. 8.4

О

О

ор

ор

о ® л® о

о ® л® о

® • ®

.О

® • ®

.О

(У о

(У о

® • ®

® • ®

о

о

q

q

о

о

Рис. 8.2

Рис. 8.2

Рис. 8.3

Рис. 8.3

Рис. 8.4

Рис. 8.4

Симметризуя относительно осей, получаем следующую картину, изображенную на рис. 8.4.

Упражнение. Написать все реакции, доказать, что модель нормальна и выписать уравнения.

Модель 4: М/т = 7, 8 легких и 8 тяжелых частиц. Получается симметризацией предыдущей модели относительно диагоналей.

Коротко рассмотрим многомерный случай, обобщая модели 1 и 2 с М/т = 3. Можно построить модель с количеством частиц 6d + 1, из которых 2d + 1 — легкие с импульсами 無，…，q2d и 4d — тяжелые с импульсами 夕i,...,夕4d, где d ——размерность физического пространства. Компоненты импульсов легких частиц:

РО,г = °； P2k—\,i = P§i,k； P2k,i =—夕设左；iy к = 1, . . . , d.

Компоненты импульсов тяжелых частиц:

夕 4k —3,〃 =夕 b〃,k； P4k — 2,i =—夕否*； P4k—l,i = 2p^i,k； P4k,i = ~^P^i,k-

Для них имеются следующие линейно независимые столкновения: d — 1 столкновений типа е^З^；^*' между легкими частицами; 2d — 1 аналогичных («бродуэлловских») столкновений между тяжелыми частицами; 2d + 1 столкновений между тяжелыми и легкими:и е：^；?"匕 Чис

ло инвариантов этой модели равно 6d + l — (5d — 2) = d + 3. Отметим, что в одномерном случае (d = 1) описанная модель является до настоящего времени единственной нормальной.

Существует гипотеза о том, что не существует других симметричных одномерных нормальных моделей.

В работах [32-37] приведены также и некоторые симметричные ДМУБ в А? для отношений масс, равных 2, 5, 7 и др.

В них же реализована следующая схема построения дискретных моделей для смесей с малым числом скоростей.

Взять одну (базовую) реакцию с обменом энергией между компонентами.

Симметризовать ее относительно координатных осей. Тогда получаем полусимметричную модель.

Симметризовать ее относительно диагоналей. Получается симметричная модель.

Проверить количество инвариантов и выбрать модели с правильным их числом.

Возникает задача о классификации таких моделей [32-37].

В двумерном случае приведенная выше модель с тринадцатью импульсами ——минимальная симметричная. Среди полусимметричных (т.е. симметричных только относительно осей) моделей минимальной является модель с девятью скоростями из [36]. Дальнейшая классификация двумерных моделей и построение более сложных моделей дано в [35-37].

Выводы. Чтобы построить дискретные модели для смесей с правильным числом инвариантов, надо уметь решать систему диафановых уравнений законов сохранения импульса и энергии (1.3). Даже одно решение с обменом энергии дает возможность построить дискретную модель по следующей схеме: а) симметризация; б) подсчет инвариантов; в) добавление в случае необходимости частиц и реакций для того, чтобы избавиться от лишних инвариантов; г) выписывание системы уравнений.

ГЛАВА 9

КВАНТОВЫЕ ГАМИЛЬТОНИАНЫ И КИНЕТИЧЕСКИЕУРАВНЕНИЯ

В этой главе будет рассмотрено соответствие между квантовыми гамильтонианами и классическими кинетическими уравнениями типа химической кинетики. Это соответствие будет устанавливаться, в частности, на основе законов сохранения, которыми обладают как квантовые гамильтонианы, описывающие процессы рождения и уничтожения частиц, так и кинетические уравнения, моделирующие аналогичные классические системы.

Особую роль в кинетических уравнениях играют законы сохранения, линейные по плотностям частиц. В частности, для уравнения Больцмана именно они являются основными макроскопическими величинами при переходе к сплошной среде, когда выписываются уравнения гидродинамики для средних значений плотности, импульса и энергии (см. главы 5, 6, 8 настоящей книги, а также [1, 9]). С другой стороны, для пространственнооднородного уравнения Больцмана эти законы сохранения полностью определяют качественное поведение системы: Л-теорема обосновывает стремление системы к стационарному распределению, параметры которого определяются соответствующими законами сохранения. Для классического уравнения Больцмана это стационарное распределение называется максвелловским.

Предлагаемая нами в качестве принципа соответствия аналогия между законами сохранения для КГ и КУ позволяет написать обобщение дискретных моделей уравнения Больцмана как на случай распадов и рождений частиц, так и для включения в рассмотрение столкновений более высокого порядка (тройных и далее). Это обобщение выделяет класс уравнений химической кинетики, для которых также справедлива Л-теорема (класс S, см. § 6.6).

В настоящей главе мы сначала определим пространство линейных законов сохранения по оператору числа частиц для полиномиальных квантовых гамильтонианов и рассмотрим их классические аналоги. Затем мы рассмотрим аналогичные законы сохранения для кинетических уравнений, устанавливая тем самым соответствие КГ—Ку и докажем для них Л-теорему. Следующие параграфы посвящены использованию этих законов сохранения в квантовом и в классическом случаях ——для исследования спектра по

92 Гл. 9. Квантовые гамильтонианы и кинетические уравнения линомиального гамильтониана, описывающего процесс комбинационного рассеяния, при больших числах заполнения в случае стандартных и нестандартных коммутационных соотношений.

Законы сохранения для полиномиальных гамильтонианов

Рассмотрим тензорное произведение F = Fp (пространство Фока) р гильбертовых пространств с базисом еП1 0 еП2 ... 0 еПр, где еПг — вектор, имеющий единицу на п^-м месте и нули ——на остальных (по поводу определения тензорного произведения см. [3] или гл. 7), п^ = 0, 1,... Рассмотрим операторы а鼠,а^, сопряженные друг другу и действующие в F по правилу

1八2〉…|八夕〉=I八2〉. . .- 1) . . . |np),

砧 hl) 1八2〉…％〉= 7门卜 + 1 |ni) |n2) ...\nk + l)... \n^ •

Они удовлетворяют стандартным бозонным правилам коммутации:

[%■ ^аь] =(L2)

Эти операторы называются операторами уничтожения и рождения, а оператор 砧。鼠 =^к — оператором числа частиц, т.к. его собственные значения ——целые числа п^, а собственные векторы ——приведенный выше стандартный базис.

Многие задачи квантовой оптики описываются гамильтонианами, полиномиальными по операторам рождения и уничтожения. Например, классическая модель комбинационного рассеяния одномодового излучения на возбуждениях (фононах) кристаллической решетки, обобщение которой исследуется ниже в § 9.3, имеет вид

2

Я =+ 8 Sjа]呵 + а”時。))，

k=0

где Sk и 8 ——действительные постоянные. Уже для такой простейшей нелинейной модели необходимо знание законов сохранения для исследования спектра гамильтониана и его асимптотических свойств. Рассмотрим полиномиальные эрмитовы операторы общего вида

Я = Яо + 工 6^0+%-户 + h.c.(1.3)

Здесь 方о = Hq(П1,..., пр)——оператор, диагональный в данном базисе:

方о |"1〉• • • I"夕〉=Но ("1, • • •,"夕)|"i〉• • • I"夕〉；

b@0 —— действительные коэффициенты;。。 = а；】...арр, (а,«) 6 J С С Z^ — неотрицательные целочисленные мультииндексы, т.е. векторы из некоторого подмножества J целочисленной 2р-мерной решетки Z^ ； буквы h.c. означают эрмитово сопряжение. Будем также обозначать через

厶 множество векторов а — « е Z。，а через L — их линейную оболочку. Каковы должны быть условия на множество J значений мультииндексов, чтобы оператор (1.3) обладал законами сохранения, линейными по числу частиц? Ответ на этот вопрос был получен в [2]: оператор

夕

(1.4)(1.4)/ =〉: Nk^k

(1.4)

(1.4)

k=l

коммутирует с гамильтонианом (1.3), если вектор 〃 =(〃…..，〃夕)ортогонален линейной оболочке L векторов а — «, т.е. принадлежит ортогональному дополнению 乙丄 в Rp. Действительно, поскольку из (1.1), (1.2) следует:

[Л я]= 工 £〃k(Qk —以)° — h.c.), (1.5)

то для любого вектора 〃 G 乙丄 получаем [/, Н] = 0. Таким образом, гамильтониан (1.3) имеет 夕一d (d 三 d (厶)=dim L) линейно независимых законов сохранения вида (1.4). Что соответствует этим законам сохранения в случае классической функции Гамильтона? Оператору (1.3) сопоставляется функция 2夕 переменных:

Я = Я0 (|^|2) + 工 ba^Z^ + С.С.,(1.6)

где с.с. означает комплексное сопряжение, а канонические переменные г, г удовлетворяют уравнениям Гамильтона:

. .дН 一 .дН

Тогда выражение

夕

/ = £⑷(L7) k=i

для тех векторов 〃，которые при всех ненулевых индексах а, « из (1.6) удовлетворяют условию (〃, а — «) = 0, является первым интегралом системы (1.6). Законы сохранения (1.7) хорошо известны в классической механике (см. [4, 5]): они использовались при изучении устойчивости решений и исследовании проблемы интегрируемости.

Законы сохранения для кинетических уравнений

Кинетические уравнения описывают изменение функции распределения частиц в химических реакциях, столкновениях и т.п. Простейшим примером таких уравнений являются уравнения баланса плотностей частиц при бинарных столкновениях, переводящих частицы из одного сорта в другой, в предположении, что вероятность перехода пропорциональна плотности

сталкивающихся частиц. Такова, например, четырехкомпонентная модель Максвелла-Бродуэлла:

М_ „ dn2 £ dn3 dn^ „

—7Г =八3八4 -八2八 1 = /1,—7Г =九 —7Г = —= _九・

d力d力d力d力

Ее обобщением являются дискретные модели уравнения Больцмана (ДМУБ) (см. [1, 24], а также главы 6, 8 настоящей работы):

(1п^dt(1п^dt〉:-^krn ^k^m —电电) 分=1,...,夕.〉:-^krn ^k^m —电电) 分=1,...,夕.(2.1)(2.1)

(1п^dt

(1п^dt

〉:-^krn ^k^m —电电) 分=1,...,夕.

〉:-^krn ^k^m —电电) 分=1,...,夕.

(2.1)

(2.1)

Здесь n G R& ——вектор р-мерного линейного пространства с положительными компонентами, 8為=石俨=В^ > 0 — положительные константы (сечений столкновения) для реакции вида (г, J) — (к, т). Суммирование в (2.1) ведется по всем реакциям, в которых участвует г-е вещество. Для этой системы, как и для уравнения Больцмана, справедлива N

Л-теорема: функционал Н = £ 电 In 电 убывает в силу системы (2.1), т.е. i = l

dH/dt < 0.

Легко проверить, что для системы (2.1) £ 〃〃тг〃 сохраняется, если для всех ненулевых сечений столкновений выполняется равенство 〃/^ + 儿壮= =也 + % . Каждой реакции с ненулевым сечением В^ сопоставим два вектора е^ и е^ е Z。，у которых на местах, отмеченных индексами, стоят единицы, а остальные элементы ——нули. Тогда условие существования линейных законов сохранения 〃左 + 4m = 〃〃 + /^ записывается в виде (也 е” — е^т) = 0. Эта формула имеет тот же вид, что и для законов сохранения (1.4) и (1.7) квантовых и классических систем. Таким образом, между квантовыми гамильтонианами и кинетическими уравнениями может быть установлено соответствие, основанное на существовании одинаковых по форме законов сохранения. Заметим, что квантовый гамильтониан, моделирующий точечное столкновение двух частиц (типов к и т), в результате которого получаются частицы типов г и J (и обратно), имеет вид

方—"。+〉: ^km^k出 + h.C.

ijkm

Обозначая a = e^, 0 = 6左壮，получаем запись этого гамильтониана в виде (1.3), причем из (1.5) следует, что (1.4) коммутирует с Н при (也 ekm — 期)= = 0 для всех индексов (k, т), (г, j), для которых 6^ > 0.

Отсюда следует естественное сопоставление кинетических уравнений типа (2.1) и квантовых гамильтонианов (1.3), приводящее также к обобщению ДМУБ на произвольные степенные реакции. Каждому гамильтониану вида (1.3) поставим в соответствие систему уравнений (типа химической кинетики), имеющую те же законы сохранения:

T= e(QL 伙)8乳川一乃.(2.2)

Видно, что для этой системы имеют место законы сохранения того же вида, что и (1.4):

夕

I = ^2 l^k^k = Const, /1 G 乙丄.(2.3)

k=l

Однако система (2.2) является именно кинетическим аналогом квантовых уравнений эволюции операторов числа частиц (или соответствующих классических динамических систем), поскольку у нее есть убывающий функционал Н = £ W In^k — n/с), для которого справедлива Я-теорема: к

'(2.4)

Распространим сопоставление (1.3) j(2.2) на непрерывный случай.

Рассеянию частиц с энергией Е (夕)на потенциале

U(/) = ； / ey^(ipx)V(р) dp отвечают гамильтониан

方=/ Е(р)п(р) d夕 + J J V(p — pz)a+ (夕)Q- (“)dpdpf

и уравнение переноса:犷①)и уравнение переноса:犷①)/。⑦“)(/(") - /(P)) dpf./。⑦“)(/(") - /(P)) dpf.

и уравнение переноса:

犷①)

и уравнение переноса:

犷①)

/。⑦“)(/(") - /(P)) dpf.

/。⑦“)(/(") - /(P)) dpf.

Четырехчастичному гамильтониану

八八Г

Н = Hq +dp、dp2dp3dp4X

x (w(l,23,4) a+(p4)a+(p3) a~ (p2) a~ (pi) + h.c.)

отвечает уравнение типа Больцмана:

犷3)dt犷3)dt/ dp2dp3dpem…• ,P4)x/ dp2dp3dpem…• ,P4)x

犷3)

dt

犷3)

dt

/ dp2dp3dpem…• ,P4)x

/ dp2dp3dpem…• ,P4)x

X (/(P3)/(P4)- /(P2)/(P1)) •

Гамильтонианы квантовой электродинамики выписаны в удобной форме в книге [6]. Им также можно сопоставить кинетическое уравнение по правилам, описанным выше. Задача определения коэффициентов 8各 кинетических уравнений по константам взаимодействия Ь。。квантовых гамильтонианов весьма актуальна: например, в химической кинетике задача определения скоростей химических реакций является одной из основных.

Пример квантовой электродинамики хорош тем, что там предлагается приближенное решение по теории возмущений. Кинетические уравнения переноса излучения широко используются, однако вычисление сечений рассеяния по формулам теории возмущений требует дальнейших обоснований.

Химическая кинетика. Уравнения (2.2) являются уравнениями, описывающими химические реакции для совпадающих скоростей прямых и обратных реакций. Однако в действительности прямые и обратные реакции часто имеют разные скорости, поэтому интересно было бы рассмотреть и их с точки зрения Л-теоремы и законов сохранения (см. § 6.6).

Квантовые кинетические уравнения требуют дальнейших обобщений. В [7, 8] приводятся дискретные модели квантового уравнения Больцмана (уравнения Юлинга-Уленбека). В [9] аналогия между кинетическими уравнениями и квантовыми гамильтонианами используется при описании свойств диэлектриков. Общие дискретные модели уравнения Юлинга- Уленбека введены и изучены в [10-12]. В частных случаях [13] такие модели появлялись при моделировании химической кинетики. Дадим необходимые обобщения вышеописанных результатов, позволяющие получить аналог закона (2.4).

Пусть Н(п)——некоторая функция и 兀=ехр(9Н/а电).Пусть также В^(п) — набор положительных функций. Рассмотрим систему дифференциальных уравнений:

е(a「向8乳解-的.(2.5)

Она также обладает законами сохранения вида £ 也电，где (也 /3 — а) = 0.

Функционал Н является убывающим:

dH/dt = — £ 8》(VH а —万)(ехр(Х7Н, а) - exp(V^ 万))< 0.

Таким образом, по любому набору стационарных точек можно построить функционал Н с минимумом в них, и получить много примеров уравнений типа химической кинетики с заданными точками притяжения. Например, положим в (2.5) N = 3. Пусть первое вещество — бозон, а второе и третье — фермионы. При этом второе вещество обозначает фермион в возбужденном состоянии: он испускает фотоны (бозоны), и получается третье вещество —— невозбужденный фермион. Тогда получаем систему:

с/п1 _ g 2 П1 Пз \ _ dn2 _ dn3 _

dt (1 —八2 1 + th 1 —八3 丿—'' dt dt

8 = 8跄=b (1 + ni) (1 - n2) (1 - n3), b > 0.

Динамическая система (2.6) рассматривается в полуцилиндре Р: ni > 0, 0 S 八2 SI, 0S 八3sL Эти ограничения сохраняются со временем, /f-функция выпукла в Р. Система имеет два закона сохранения: ni + П2 = =。1,八2 + 八3 =。2・ Последний выражает сохранение числа фермионов.

Гамильтониан из § 9.1, отвечающий системе (2.6), имеет вид Н = Hq + + 8 (а+幷方 + /2b/「а)，где а± относятся к бозону, а /^2 — к фермионам. Таким же способом можно сопоставить каждому квантовому гамильтониану (1.3) для бозонов или фермионов релаксационную модель типа (2.5) с Я-функцией вида (см. § 5.5)

Н = £н% (力)，Но ⑺=/1п/-^(1 + ")1п(1 + 订), з

где 夕=+1 для бозонов, 0 = —1 для фермионов и 夕=0 для случая больцмановской статистики.

Асимптотика спектра гамильтониановкомбинационного рассеяния

В этом параграфе мы рассмотрим задачу об асимптотике спектра гамильтониана вида (1.3) для случая, когда законы сохранения (1.4) делают задачу конечномерной.

Стоксово рассеяние. В квантовой оптике при описании комбинационного рассеяния одномодового излучения частоты so на возбуждениях (фононах) нескольких сортов, возникающих в среде, используется следующая модель (см., например, [14]):

夕/ р\

方=工以砧然+ В若口a員+h.c. ,(3.1)

k=o\ k=i/

где s& 8 ——действительные постоянные. Согласно (1.5), эта система имеет р законов сохранения, записываемых в виде

/о = По + 介夕， 厶=^к —介夕， k = 1,...,夕一1 •(3.2)

Будем искать собственный вектор гамильтониана в виде разложения по стандартному базису в тензорном произведении одночастичных фоковских пространств:

IS〉{A} = ，2 %伉〉…办〉•(3.3)

jo …jp e a

Поскольку операторы (3.2) коммутируют с гамильтонианом, пространство собственных значений этих операторов инвариантно при действии гамильтониана (3.1). Следовательно, при действии гамильтониана на каждое слагаемое в (3.3) величины Jo +Jp ^jk ~jp не меняются. Для простоты выберем эти постоянные так, что в (3.3) Jo + Jp = N, j\ = J2 = • • • = Jp = J. Законы сохранения обеспечивают ограниченность области изменения индексов 标, поэтому А в (3.3) — конечное множество допустимых значений чисел заполнения при заданных значениях постоянных в законах сохранения (3.2). При таком выборе множество А определяется одной постоянной N, и (3.3)

7 В.В. Веденяпин

переписывается в виде

N

|S〉n = £%|N —з〉о|猫 …⑺夕.(3.4)

j=o

Тогда задача на собственные значения для гамильтониана (3.1) на этом подпространстве запишется в виде уравнения для определения 入不 方砂〉N =石^ЫИЛИ

у/N — j 0 + ]产2%+i + \/N — j + 1 0产2 Aj-1 =

_j S、] \(3.5)

=+ 万+

Систему (3.5) относительно Aj, где J меняется от 0 до N, можно записать в матричном виде

ЛA = жa,力三力(n)=里:(3.6)

где D ——симметричная трехдиагональная (N + 1) х (N + 1) матрица с элементами (суммирования по J нет):

Djk =，带-1%,k+1 +cg 5汴 +，^6水-\)4(k)=kР(N - 友 + 1),

—k ( A \(3.7)

Нашей первой задачей является исследование поведения собственных значений матрицы Djk при N — +оо: это покажет область применимости таких моделей в квантовой оптике [14]. Пусть 力;")——собственные значения матрицы D при фиксированном значении N. С целью выделения главной асимптотики по N мы перейдем к матрице D с элементами 力^左 = =。汴N~(。+D/2. Введем соответствующие собственные значения:

Е =х8、Е/2,(3.8)

и рассмотрим следы 〃九 n-х степеней матрицы D.

N /(^) \ п

== F+TTr ■(工9)

Из (3.7) при N — оо, полагая Q (/) = гр (1 — г) (подробные вычисления

приведены в [15]), получаем

М2п =М2п =1

М2п =

М2п =

M2n+1M2n+1где Огде О1N1N(рп)! п![(р + 1)п + 1(рп)! п![(р + 1)п + 1У (Q(n)厂 dz + o о

M2n+1

M2n+1

где О

где О

1

N

1

N

(рп)! п!

[(р + 1)п + 1

(рп)! п!

[(р + 1)п + 1

Таким образом, при N — +оо моменты надлежащим образом нормированных собственных значений (3.8) существуют и конечны. По теореме о спектральном радиусе отсюда следует, что

R = sups(N)= lim(Mn)1/n =(З.П)

九一 00V]严十1

Согласно теореме Хелли [16] (о существовании предельной точки последовательности распределений), функция распределения нулей s『:

ON(s) =£ b (s -,(3.12)

k=0

имеет предельную точку 〃(s), причем из (3.10) следует, что моменты функции имеют предел при N — +оо:

+оо+оо

/ pN^sjs71 ds> 〃九=lim °户)=/ P(s)sn ds. (3.13)

Из (3.11) следует, что теорема Карлемана [16] об однозначной восстановимости распределения по своим моментам применима и в нашем случае. Поэтому существует предел (в слабом смысле) 0(s) = lim "(s). Применяя теорему Карлемана к нечетной части p(s), получаем, согласно (3.10), что нечетная часть p〈s) равна нулю. Поэтому мера /)(s) симметрична относительно нуля. Возвратимся теперь к матрице D. Из (3.8) получаем существование таких ее собственных значений, что 力(^) ~ ±8RN(°+D/2. Тогда из (3.6) следует, что при р > 1 спектр гамильтониана (3.1) не отделен от минус бесконечности при любом знаке постоянной В. Этот результат является важным, поскольку он ограничивает область применимости моделей полиномиального типа в квантовой оптике при описании взаимодействия излучения с веществом.

Комбинационное рассеяние с учетом антистоксовой компоненты. Рассмотренная выше р-мерная система (3.1) имела р — 1 дополнительных законов сохранения (3.2). Однако и в случае меньшего числа законов сохранения система допускает аналогичное исследование асимптотики спектра. Решающим фактором здесь является то, что фиксация

констант законов сохранения делает систему уравнений на собственные функции конечномерной. Рассмотрим, например, гамильтониан, обобщающий модель так называемого стоксова и антистоксова рассеяния [14]:

р+1夕р-1

Н =+ Bsa^ 口曝 + BAsa^ 口曝 + h.c.

k=0k=lk=0

Этот гамильтониан, описывающий взаимодействие 夕 + 2 квазичастиц, имеет р законов сохранения:

hk + np+i - пp = Л = const, 友=1,...,夕一1;

介о + 力ф + np+i = Jq = const.

Аналогично п. 9.3.1 вводятся нормированные собственные значения s『 = = 或、N"DI2 и рассматривается асимптотика моментов

Мп =Мп =

Мп =

Мп =

при N — оо, где г (N) — число целых точек на многоугольнике, выделяемом фиксацией законов сохранения. Обозначим эти константы ——собственные значения операторов в (3.14) — соответственно N^ и N. Будем исследовать асимптотику моментов в пределе

N —> + оо, N% > + оо, N% /№ —> Ai, i = 1,..., p — 1.

С2пС2пM2n =M2n =Действуя так же, как и в предыдущем пункте, получаемДействуя так же, как и в предыдущем пункте, получаем从2九+1 = °从2九+1 = °Р~ 1xkyn~k(l — х — у)п JJ (Ai + / — g) dxdy.г=1Р~ 1xkyn~k(l — х — у)п JJ (Ai + / — g) dxdy.г=1(3.15)(3.15)X + у <\у — х < АгX + у <\у — х < Аг

С2п

С2п

M2n =

M2n =

Действуя так же, как и в предыдущем пункте, получаем

Действуя так же, как и в предыдущем пункте, получаем

从2九+1 = °

从2九+1 = °

Р~ 1

xkyn~k(l — х — у)п JJ (Ai + / — g) dxdy.

г=1

Р~ 1

xkyn~k(l — х — у)п JJ (Ai + / — g) dxdy.

г=1

(3.15)

(3.15)

X + у <\у — х < Аг

X + у <\у — х < Аг

Поскольку число законов сохранения (3.14) на 2 меньше размерности системы, мы получили в (3.15) двукратный интеграл вместо однократного в (3.10). Теперь, как и в п. 9.3.1, теоремы Хелли и Карлемана дают существование предельной меры и ее финитность для нормированных собственных значений.

Системы специальных полиномовв задачах квантовой оптики

В этом параграфе мы исследуем систему собственных функций спектральной задачи, рассмотренной в предыдущем параграфе для гамильтони-

ана (3.1). Аналогичные вычисления могут быть проведены и в более общем случае.

Согласно § 9.3, собственный вектор гамильтониана (3.1) имеет вид (3.4). Для определения его компонент 入储 к = 0)…)N, воспользуемся системой (3.5). Ее можно упростить, вводя 以(力)по формулам

以⑺=RN)⑺=(4.1)

где 〃k+i = Uk，qk+\； qk = kp {N — к + 1), согласно (3.7). Тогда из (4.1), (3.5) получаем для 以(力)систему (верхний индекс для краткости будем опускать):

以+1(%)=(力一以)几(力)一以几—1(力), Лэ = 0,pi = 1.(4.2)

Отметим, что R；；(力)={ — V)kМ^{х\ где М^{х) — главный минор порядка к матрицы \\D — xl\\ из (3.6), т.к. (4.2) представляет формулу разложения (к + 1)-го минора по строке. Таким образом, задача нахождения собственных функций спектральной задачи свелась к рекуррентным соотношениям (4.2), известным из теории ортогональных полиномов [17]. Отличие (4.2) от классических полиномов состоит в том, что числа 象 могут принимать нулевые и отрицательные значения, а вычисления заканчиваются на шаге 7V + 1, поскольку qw+i = 0. Поэтому собственные значения являются корнями полинома Pn+\ (力),совпадающего с определителем матрицы в (3.6). Отметим, что при р = 1 (случай квадратичного гамильтониана) корни полиномов ——целые числа:

NN

В?т)(/)=力 Ц (* - 4k2), ^w-f(^) = И (* - (2友-l)2).

к=1к=1

Представления общих соотношений коммутации

В § 9.1 мы рассмотрели вопрос о законах сохранения для квантовых гамильтонианов в случае классических бозонных соотношений коммутации (1.2). Было показано, что количество законов сохранения, линейных по оператору числа частиц, определяется размерностью линейной оболочки векторов а — «, составленных из показателей степеней полиномов. Как эти результаты зависят от вида соотношений коммутации между сопряженными друг другу операторами рождения и уничтожения? Как от них зависит спектр и его асимптотика?

Сначала рассмотрим, какими могут быть представления обобщений стандартных соотношений коммутации. Вопросы теории представлений неканонических коммутационных соотношений исследовались во многих работах (см., например, [18-23]). Рассмотрим коммутационные соотношения вида

q-q+ = /(q+q-).(5.1)

Построим представления соотношений (5.1), в которых а~ и а+ взаимно сопряжены в некотором гильбертовом пространстве, и (5.1) выполняются

на базисе собственных векторов операторов а+а~ и а~а+. Их собственные значения неотрицательны. Итак, пусть на неотрицательной полуоси задана некоторая действительная функция /. В зависимости от ее поведения построим пять типов представлений соотношений (5.1). Обозначим через {еп} некоторый ортогональный базис линейного пространства (конечномерного или бесконечномерного) из собственных векторов оператора а+。-. Действие операторов а± на этом базисе определим следующим образом:

а =、/еп = ,/X^+ie^+i,(5・2)

где набор индексов п зависит от типа представления.

Подставляя (5.2) в (5.1), получаем рекуррентное соотношение, позволяющее определить собственные значения Ап:

%+i = /(%)•(5.3)

В зависимости от поведения по следовательно сти (5.3) получаем следующие представления соотношений (5.1).

Представление бозонного типа. Оно дается формулами (5.2), (5.3) при п > 0, если Ло = 0 и функция / такова, что Ап > 0 для всех п > 0.

Представление антибозонного типа. Оно также дается формулами (5.2), (5.3), но при п < 0, причем 入。=0 и функция / такова, что Ап > 0 для всех п < 0.

Двустороннее представление задается формулами (5.2), (5.3) при всех целых п, если функция / такова, что Ап > 0 для всех целых п.

Представление фермионного типа. Это представление строится в конечномерном пространстве Rn+1 по тем же формулам (5.2), (5.3) при 0 < n < т. Здесь т ——такое натуральное число, что выполнены условия 入0 = °；入九 > 0, 1 S S т; А772+1 = °・

Периодическое представление возникает в случае, если существует такое ш, что Aq = Am+i > 0- Тогда можно построить представление в конечномерном пространстве 2^+1, дополнив формулы (5.2), (5.3) условиями

^т = \/ ^т+1^0, ^ ^0 = а/ ^О^т-(5・4)

Методы исследования спектра полиномиальных гамильтонианов, изложенные в § 9.3, остаются в силе и для нестандартных коммутационных соотношений, когда частицы из разных гильбертовых пространств коммутируют между собой (обобщенные паулионы). Примеры такого исследования содержатся в [18-20], где также получен критерий отделимости спектра от минус бесконечности.

Схема построения здания математической физики

В гигантской фабрике естественных процессов принцип энтропии занимает место директора, который предписывает вид и течение всех сделок. Закон сохранения энергии играет лишь роль бухгалтера, который приводит 6 равновесие дебет и кредит.

Роберт Эмден Мы получаем следующую схему построения здания математической физики:

Если мы в качестве лагранжиана возьмем лагранжиан Лоренца (Власова-Максвелла, см. гл. 3), то мы в принципе должны получить «почти всю» физику. «Почти всю» означает, что микромир все-таки описывается лагранжианом Власова-Янга-Миллса (и его обобщениями), а макромир —— лагранжианом Власова-Эйнштейна. Чтобы получить «почти всю» физику надо, кроме плазмы (гл. 3), получить разреженный газ, жидкости и твердые тела.

Разреженный газ хорошо описывается уравнением Больцмана. Ясно, что оно нормально работает в случае короткодействующих сил. Уравнения типа Больцмана (гл. 5-7) в случае переноса излучения и переноса нейтронов (гл. 5) линейны, и «проблема сечений» для них весьма актуальна. Очевидно, что это связано с соответствующими квантовыми гамильтонианами. Соответствие «квантовые гамильтонианы ——кинетические уравнения» (гл. 9) в принципе должно хорошо работать в некоторых вопросах химической кинетики (§ 6.6).

Уравнения для жидкости типа Навье-Стокса могут быть получены из уравнения Больцмана, хотя становится все яснее, что и те, и другие во многих вопросах беспомощны (см. множество парадоксов в шестом томе Ландау и Лифшица). Так, для больших градиентов скоростей формулы для вязкости восстановлены Мингалевыми (см. [45] и приложение к гл. 6). С другой стороны для описания жидкостей все чаще используют дискретные модели уравнения Больцмана в форме автоматов решетчатого газа (lattice gazes automata, LG А). Отметим, что сфера приложений LGA гораздо шире: это и твердые тела, и магнитная гидродинамика, и любые объекты, где взаимодействие происходит по законам столкновений (взаимодействий) с

104 Гл. 9. Квантовые гамильтонианы 辽 кинетические уравнения какой-то вероятностью. Однако к этому надо подходить с осторожностью, т.к. возможны неадекватные применения, в частности, связанные с лишними инвариантами (ср. с § 5.7, 6.6 и гл. 9).

В работах [38^43] рассматриваются другие приложения законов сохранения в кинетических уравнениях. В [38] рассматривается связь кинетических уравнений с гидродинамическим приближением. В [39-43] изучается классификация сохраняющихся и убывающих функционалов для кинетических уравнений. В [39-40] рассматривался вопрос о восстановлении формул для энтропии по равновесному распределению. В [39] было показано, что восстановление единственно, если законов сохранения больше, чем один. В [40^1] рассматривалась классификация законов сохранения для бесстолкновительного кинетического уравнения: в [40]——для свободного движения частиц, а в [41]——с произвольной внешней силой. В [42ТЗ] исследовались законы сохранения и убывающие функционалы, зависящие от времени: в [43] было показано, что для уравнения Больцмана таких законов сохранения еще восемь (кроме классических пяти), а в [42] для модели Бродуэлла показано, что их набор ——континуальный. Эти исследования показывают, что законы сохранения играют основную роль как при переходе к гидродинамическому описанию, так и при обосновании второго закона термодинамики (например, при получении формулы для энтропии).

Отметим также работу [44], в которой были продолжены исследования по диагонализации квантового гамильтониана для модели преобразователя частоты.

Мы получили для химической кинетики уравнения типа (2.2), удовлетворяющие второму закону термодинамики с энтропией в стандартном виде: это реакции с равными сечениями прямых и обратных процессов (класс S в терминах § 6.6). Последнее является следствием эрмитово- сти квантового гамильтониана, что также указывает на фундаментальность именно таких реакций. В то же время большинство реальных химических реакций имеют различные сечения прямых и обратных взаимодействий, и не имеют правильной формулы для энтропии. Это показывает, что такие реакции могут (и должны) быть получены из фундаментальных с помощью предельных переходов, учитывающих различную скорость протекания этих реакций.

Из принципа соответствия мы также получаем, что элементарным актом роста энтропии в природе является рождение-уничтожение частиц (преимущественно фотонов): директор-эрнтропия именно так "играет в костин(по А. Эйнштейну).

Выводы. В этой главе указано соответствие между квантовыми гамильтонианами и кинетическими уравнениями, при которых законы сохранения, линейные по операторам числа частиц, переходят в законы сохранения, линейные по функциям распределения. При такой аналогии получается широкое обобщение кинетических уравнений, включающее уравнения химической кинетики, дискретные модели уравнения Больцмана, тройные и более столкновения, уравнения коагуляции-дробления, удовлетворяющие Я-теореме.

Список литературы

К главам 1 и 2

Больцман Л. Лекции по теории газов. - М.: Гостехиздат. 1956.

Черчинъяни К. Теория и приложения уравнения Больцмана. - М.: Мир. 1978.

Коган М.Н. Динамика разреженного газа. - М.: Наука. 1960.

Годунов С.К., Султангазин У.М. Дискретные модели уравнения Больцмана // Успехи математических наук. 1971. Т. 26. № 3. СС. 3-51.

Власов А.А. Статистические функции распределения. - М.: Наука. 1966.

Владимиров В.С. ^фавнения математической физики. - М.: Наука. 1967.

Зельдович Я.Б., Мышкис А.Д. Механика сплошной среды. - М.: Наука. 1973.

Боголюбов Н.Н. Проблемы динамической теории в статистической физике. -М.: Гостехиздат. 1946.

Арсеньев А.А. Лекции по кинетической теории. - М.: Наука. 1992.

Добрушин Р.Л., Маслова Н.Б., Синай Я.Г., Сухов Ю.М. Динамические системы статистической механики и кинетические уравнения // Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. -М.: Наука. 1985. Т. 2.

Павлоцкий И.П. Начала слаборелятивистской статистической механики.- М.: Высшая школа. 1983.

Ландау Л.Д., Лившиц Е.М. Теоретическая физика. Т .10; Лившиц Е.М., Пи- таевский Л.П., Физическая кинетика. - М.: Наука. 1979.

Годунов С.К., Раменский Е.И. Элементы механики сплошных сред и законы сохранения - Новосибирск: Научная книга. 1998.

Веденяпин В.В., Орлов Ю.Н. Законы сохранения для полиномиальных гамильтонианов и дискретных моделей уравнения Больцмана // Теор. Мат. Физ. 1999. Т. 121. № 2. СС. 307-315.

Власов А.А. Нелокальная статистическая механика. - М.: Наука, 1978.

Боголюбов Н.Н., Боголюбов Н.Н. (мл.) Введение в квантовую статистическую механику. - М.: Наука. 1984.

Силин В.П. Введение в кинетическую теорию газов. - М.: Наука. 1971.

Арнольд В.И. Теория катастроф. - М.: Наука. 1990.

К главам 3 и 4

Власов А.А. О вибрационных свойствах электронного газа // ЖЭТФ. 1938. Т. 8. Вып. 3. СС. 291-318.

Власов А.А. Теория многих частиц. - М.-Л.: Госиздаттехн-теоретич. лит. 1956.

Климонтович Ю.Л. Статистическая физика. - М.: Наука. 1982.

Арсеньев А.А. Лекции по кинетической теории. - М.: Наука. 1992.

Ландау Л.Д., Лившиц Е.М. Теоретическая физика. Т. 10; Лившиц Е.М., Пи- таевский Л.П. Физическая кинетика. - М.: Наука. 1979.

Ландау Л.Д., Лившиц Е.М. Теоретическая физика. Т. 2. Теория поля. - М.: Наука. 1967.

Дубровин Б.А., Новиков С.П., Фоменко А.Т. Современная геометрия. - М.: Наука. 1979.

Боголюбов Н.Н. Проблемы динамической теории в статистической физике. -М.: Гостехиздат. 1946.

Павлоцкий И.П. Начала слаборелятивистской статистической механики.- М.: Высшая школа. 1983.

Курант Р. ^фавнения с частными производными. - ИЛ. 1957.

Владимиров В.С. ^фавнения математической физики. - М.: Наука. 1967.

Веденяпин В.В. О стационарных решениях уравнения Власова-Пуассона // ДАН. 1986. Т. 290. № 4. СС. 1001-1006.

Веденяпин В.В. О классификации стационарных решений уравнения Власова на торе и граничная задача. // ДАН. 1992. Т. 323. № 6. СС. 1001-1006.

Архипов Ю.Ю., Веденяпин В.В. О классификации и устойчивости стационарных решений уравнения Власова на торе и в граничной задаче // Труды МИРАН им. В.А. Стеклова. 1994. Т. 203.

Зельдович Я.Б., Мышкис А.Д. Механика сплошной среды. - М.: Наука. 1973.

Арсеньев А.А. Существование обобщенных решений уравнения Власова // ЖВМиМФ. 1975. № 1.

Маслов В.П. Комплексные марковские цепи и континуальный интеграл Фейнмана. -М.: Наука, 1976.

Рудых Г.А., Сидоров Н.А., Синицын А.В. О некоторых нестационарных решениях системы Власова-Максвелла // ДАН. 1989. Т. 307. № 6. СС. 1354-1357.

Rein G. Existence of stationary collisionless plasma in bounded domains // Math. Methods Appl. Sci. 1992. V. 15. PR 365-374.

Markov Yu.A., Rudykh G.A., SydorovN.A., Sinitsyn A. V., TolstonogovD.A. Steadystate solutions of the Vlasov-Maxwell system of plasma physics // Acta Appl. Math. 1992. V. 28. PR 253-293.

Pfaffelmoser K. Global classical solutions of the Vlasov-Poisson system in three dimensions for general initial data // J. Diff. Eq. 1992. V. 95. PR 281-303.

Морозов А.И. Физические основы космических электрореактивных двигателей. -М.: Атомиздат. 1978.

К главам 5, 6 и 7

Больцман Л. Лекции по теории газов. - М.: Гостехиздат. 1956.

Черчинъяни К. Теория и приложения уравнения Больцмана. - М.: Мир. 1978.

Больцман Л. Избранные труды. - М.: Наука. 1984.

Карлеман Т. Математические вопросы теории газов. - М.: ИЛ. 1960.

Веденяпин В.В. Дифференциальные формы в пространствах без нормы. Теорема о единственности Я-функции Больцмана // УМН. 1988. 43:1. С. 159179.

Добрушин Р.Л., Маслова Н.Б., Синай Я.Г., Сухов Ю.М. Динамические системы статистической механики и кинетические уравнения 3. Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. Динамические системы-2. - М.: ВИНИТИ. 1985. Т. 2.

Бобылев А.В. Точные решения нелинейного уравнения Больцмана // Теоретическая и математическая физика. 1984. Т. 60. № 2. СС. 280-310.

Кириллов А.А. Элементы теории представлений. - М.: Наука. 1972.

Султангазин У.М. Дискретные нелинейные модели уравнения Больцмана. Алма-Ата: Наука. 1985.

Годунов С.К., Султангазин У.М. Дискретные модели уравнения Больцмана // Успехи математических наук. 1971. Т. 26. № 3. Сс. 3-51.

Годунов С.К., Раменский Е.И. Элементы механики сплошных сред и законы сохранения // Новосибирск: Научная книга. 1998.

Рыдалевская М.А. Модели расчета изоэнтропических квазиодномерных течений //Математическое моделирование. 2000. Т. 12. № 6. С. 102-108.

Arhipov 匕 Klar A., Vedenyapin V. On the connection of the formula for entropy and stationary distribution // Journal Stat. Phys. 1994. V. 72, № 5/6.

Марри Дж. Нелинейные дифференциальные уравнения в биологии. Лекции о моделях. - М.: Мир. 1983.

Владимиров В.С. Математические задачи односкоростной теории переноса частиц // Труды МИАН им. В.А. Стеклова. 1961. Т. 61.

Масленников М.В. Проблема Милна с анизотропным рассеянием // Труды МИАН им. В.А. Стеклова. 1968. Т. 27.

Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения. ТТ. 1, 2. - М.: Мир. 1984.

Николис Л, Пригожин И. Познание сложного. - М.: Мир. 1990.

Вольперт А.И., Худяев С.И. Анализ в классах разрывных функций и уравнения математической физики. - М.: Наука. 1975.

Ландау Л.Д., Лившиц Е.М. Статистическая физика. (Сер.: «Теоретическая физика») - М.: Наука. 1976. Т. 5. Ч. I.

Зельдович Я.Б. Доказательство единственности решения уравнений закона действующих масс //Ж. Физ. Химии. 1938. Т. 11. Вып. 5.

Carr J. Asymptotic behaviour of solutions to the coagulation-fragmentation equation. I. The strong fragmentation case // Proc. Royal Soc. Sect. 1992. V. A 121. PR 231-244.

Carr J, da Costa EP. Asymptotic behaviour of solutions to the coagulationfragmentation equation. I. Weak fragmentation // J. Stat. Phys. 1994. V. 77. № 1/2. PR 89-244.

Ландау Л.Д, Лифшиц Е.М. Квантовая механика. Нерелятивистская теория.- М.: Наука. 1974.

Годунов С.К., Рябенький В. С. Конечно-разностные схемы. - М.: Наука. 1972.

Самарский А.А., Попов Ю.П. Конечно-разностные схемы газодинамики.- М.: Наука. 1975.

Аристов В.В., Черемисин Ф.Г. Решения одно- и двумерных проблем для уравнения Больцмана. // Труды по прикладной математике вычислительного Центра РАН. - М. 1987.

Елизарова Т.Г., Четверушкин Б.Н. Кинетические алгоритмы для расчета газодинамических течений. 1985. Т. 25. СС. 1526-1533.

Shahov Е.М. Kinetic model equations and numerical results. Rarefied Gas Dynamics. Oguchi H. ed. 1984. Tokyo. University of Tokio Press. PR 137-148.

Yanitskii V.E. Operator approach to direct Monte Carlo simulation theory in rarefied gas dynamics algoriths. Rarefied Gas Dynamics. A. Beilich ed. Weinheim. VCH. PR 770-776.

Рыков B.A. Макроскопические законы сохранения в кинетической теории // ЖВМ и МФ. 1985. Т. 25. № 12. СС. 1902-1906.

Arhipov Yu., Klar A., Mingalev О. and Vedenyapin V. A class of invariants for the Boltzman equation and for the Broadwell model // Eur. J. Meeh. В / Fluids. 1997. V. 16, №3, PR 387-399.

Орлов B.H., Розоноэр Л.И. Вариационный принцип для уравнений макроскопической динамики и его применение в химической кинетике // ЖВМ и МФ. 1981. Т. 21. № 5. СС. 1192-1205.

Горбань А.Н. Обход равновесия. - Новосибирск: Наука. 1984.

Гельфанд И.М., Минлос Р.А., Шапиро З.Я. Представления группы вращений и группы Лоренца. - М.: Физматгиз. 1958.

Годунов С.К., Михайлова Т.Ю. Представление группы вращений и сферические функции. - Новосибирск: Научная книга. 1998.

К приложению к главе 6

Ю.П. Головачев. Численное моделирование течений вязкого газа в ударном слое. - М.: Наука, Физматлит. 1996. 376 с.

И.В. Мингалев, О.В. Мингалев, В.С. Мингалев. Закон вязкого трения для ламинарных и турбулентных гидродинамических течений. Препринт ПГИ-97- 03-103 - Апатиты: изд. КНЦ РАН. 1997. 50 с.

И.В. Мингалев, О.В. Мингалев, В.С. Мингалев. Обобщенная ньютоновская реологическая модель для ламинарных и турбулентных течений. // Математическое моделирование. 1999. Т. 11. № 11. СС. 39-63.

Дж. Acmapuma, Дж. Марручи. Основы гидромеханики неньютоновских жидкостей. -М.: Мир. 1978. 309 с.

В.①.Зайцев, А.Д. Полянин. Справочник по нелинейным дифференциальным уравнениям. - М.: Наука. 1993. 462 с.

Л.Г. Лойцянский. Механика жидкости и газа. - М.: Наука. 1970. 904 с.

Л Шлихтинг. Теория пограничного слоя. - М.: Наука. 1969. 528 с.

Л Шлихтинг. Возникновение турбулентности. - М.: Изд-во иностр, лит-ры. 1962. 203 с.

К приложению к главе 7

Захаров В.Е., Манаков С.В., Новиков С.П., Питаевский Л.П. Метод обратной задачи. // М.: Наука. Физматлит. 1980.

Bogayevsky V., Mazur N., Povzner A. Nonlinear transformation-operators and explicitly solvable differential equations (KdV etc.) // Int. Journ. Non-linear Meehan. 1978. V. 13. PR 61-70.

Rosales R. Exact solutions of some nonlinear evolution equations. // Studies in Appl. Math. 1978. V. 59. P. 117.

Маслов В.П. Комплексный метод ВКБ в нелинейных уравнениях. // М.: Наука. 1977.

Бобылев А.В. 0 структуре общего решения и классификации частных решений нелинейного уравнения Больцмана для максвелловских молекул. // ДАН СССР. 1980. Т. 251. №6.

Бобылев А.В. Теорема Пуанкаре, уравнение Больцмана и уравнения типа КДФ.// ДАН СССР. 1981. Т. 256. № 6.

Бобылев А.В. Точные решения нелинейного уравнения Больцмана и теория релаксации максвелловского газа. // Теор. мат. физ. 1984. Т. 60. № 2.

Веденяпин В.В. Анизотропные решения нелинейного уравнения Больцмана для максвелловских молекул. // ДАН СССР. 1981. Т. 256. № 2.

Веденяпин В.В. Дифференциальные формы в пространстве без нормы. Теорема о единственности Н-функции Больцмана. // У МН. 1988. Т. 43. Вып. 1.

Доброхотов С.Ю., Маслов В.П. Многомерные ряды Дирихле в задаче об асимптотике спектральных серий нелинейных эллиптических операторов. // «Современные проблемы математики», Итоги науки и техники. ВИНИТИ АН СССР. - М. 1983. Т. 23. СС. 33-78

Мищенко А.В., Петрина Д.Я. 0 линеаризации и точных решениях одного класса уравнений Больцмана. // ТМФ. 1988. Т. 77. № 1.

Брюно А.Д. Аналитическая форма дифференциальных уравнений. // Труды ММО. 1972. Т. 26. СС. 199-230.

Horn /〃 Journ. Reine Angew. Math. 1896. V. 116. PR 265-306; V. 117. PR 104-128; V. 117. PR 254-266.

Арнольд В.И. Дополнительные главы теории обыкновенных дифференциальных уравнений. // М.: Наука. 1974.

Хуснутдинова К.Р. Кандидатская диссертация. - М. 1995.

К главам 8 и 9

Годунов С.К., Султангазин У.М. Дискретные модели уравнения Больцмана //УМН. 1971.Т. 26.№3. С. 1-51.

Веденяпин В.В., Орлов Ю.Н. О законах сохранения для полиномиальных гамильтонианов и для дискретных моделей уравнения Больцмана // ТМФ. 1999. Т. 121. №2. С. 307-315.

Березин Ф.А. Метод вторичного квантования. - М.: Наука. 1986.

Мозер Ю. Лекции о гамильтоновых системах. - М.: Мир. 1973.

Брюно А.Д. Ограниченная задача трех тел. - М.: Наука. 1990.

Фейнман Р. Статистическая механика. - М.: Мир. 1978.

Streater R. Statistical Dynamics. London: Imperial College Press. 1995.

Sewell G.L. Quantum Theory of Collective Phenomena. - Oxford: Clarendon Press. 1986.

Ландау Л.Д., Лифшиц E.M. Теоретическая физика, T.X: Физическая кинетика. -М.: Наука. 1979.

Веденяпин В.В., Мингалев И.В., Мингалев О.В. О дискретных моделях квантового уравнения Больцмана // Математический сборник. 1993. Т. 184. № 11. СС. 21-38.

Мингалев О.В. О решениях в форме бегущей волны в дискретных моделях уравнения Юлинга-Уленбека // Докл. АН СССР. 1992. Т. 323. № 6. СС. 10291033.

Мингалев И.В. О разрешимости в целом задачи Коши для дискретных моделей уравнения Юлинга-Уленбека. // Докл. АН СССР. 1992. Т. 324. № 1. СС. 42T5.

Rondoni L., Streater R.E The Statistical Dynamics of the Brussellator // Open systems. 1994. V. 2. № 2. PR 175-194.

Perina Ja. Quantum Statistics of Nonlinear Optics. Dordrecht: Reidel publishing company. 1984.

Orlov Yu.N., Vedenyapin V.V. Special polynomials in problems of quantum optics // Modern Phys. Lett. B. 1995. V. 9. № 5. PR 291-298.

Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения. - М.: Мир. 1984.

Szego G. Orthogonal polynomials. - N.-Y: The American Mathematical Society. 1959.

Mingalev O.V., Orlov Yu.N., Vedenyapin V.V. Conservation laws for polynomial quantum Hamiltonians // Phys. Lett. A. 1996. V. 223. PR 246-250.

Веденяпин B.B., Мингалев О.В. Представления общих соотношений коммутации // Докл. РАН. 1997. Т. 352. № 2. СС. 155-158.

Веденяпин В.В., Мингалев О.В., Мингалев И.В. Представления общих соотношений коммутации // ТМФ. 1997. Т. 113. № 3. СС. 369-383.

Вайслеб Э.Е., Самойленко Ю.С. Представление операторных соотношений неограниченными операторами и многомерные динамические системы // Украинский математический журнал. 1990. Т. 42. № 8. СС. 1011-1019.

Вайслеб Э.Е. Представление соотношений, связывающих набор коммутирующих самосопряженных операторов с одним несамосопряженным // Украинский математический журнал. 1990. Т. 42. № 9. СС. 1258-1262.

Vaisleb Е.Е., Samoilenko Yu.S. Representation of the relations AU = UF(A) by Unbounded Sel^adjoint and Unitary Operators // Selecta Mathematica Formaly Sovietica. 1994. V. 13. № 1. PR 35-54.

Султангазин У.М. Дискретные нелинейные модели уравнения Больцмана.- Алма-Ата: Наука. 1985.

Гуревич Б.М., Оселедец В.И. Некоторые математические задачи, связанные с неравновесной статистической механикой бесконечного числа частиц. В сб. «Теория вероятностей. Мат.статистика. Теор. Кибернетика.» (Итоги науки и техники ВИНИТИ АН СССР). - М.: Наука. 1977. Т. 14. С. 5-39.

Piatkowski Т., Illner R. Discrete velocity models of the Boltzmann equation: a survey on the mathematical aspects of the theory // SIAM Rewiew. 1988. V. 30. №2. PR 213-255.

Monaco R., Preziosi 厶 Fluid Dynamic Applications of the Discrete Boltzmann Equation. World Scientific: Singapore. 1991.

Bobylev A. V., Cercignani C. Discrete velocity models for mixtures // J. Stat. Phys. 1998. V. 91. № 1/2. PR 327-341.

Cercignany C. Temperature, entropy and kinetic theory // J. Stat. Phys. 1997. V. 87. PR 1097-1109.

Goldstein D., Sturtevant B., Broadwell J.E. Investigations of the motion of discrete velocity gases, in Rarefied Gas Dynamics: Theoretical and Computational Techniques, E.P. Muntz, D.P. Weaver and D.H. Campbell, AIAA, Washington. 1989.

Bobylev A. V., Palczewski A., Schneider J. On approximation of the Boltzmann equation by discrete velocity models // C.R. Acad. Sci. Paris. 1995. Ser. I. V. 320. PR 639-644.

Vedenyapin V.V. Velocity inductive construction for mixtures // Transport theory and Stat. Phys. 1999. V. 28. № 7. PR 727-742.

Веденяпин B.B., Амосов C.A., Тоскано "Инварианты для гамильтонианов и кинетических уравнений // УМН. 1999. Т. 54. № 5. СС. 153-154.

Веденяпин В.В., Амосов С.А., Тоскано Л. Дискретные модели уравнения Больцмана для смесей // Мат. моделирование. 2000. Т. 12. № 7. СС. 18-22.

Веденяпин В.В., Амосов С.Л.Дискретные модели уравнения Больцмана для смесей // Дифференциальные уравнения. 2000. Т. 3 6. № 7. СС. 925-929.

Cornille Н., Cercignani С. A class of planar discrete velocity models for gas mixtures //J. Stat. Phys. 2000. V. 99. № 3/4. PR 967-991.

Cercignani C, Bobylev A. V. Discrete velocity models: the case of mixtures // Transport Theory and Statistical Physics. 2000. V. 29. № 1/2. PR 209-216.

Добрушин Р.Л., Маслова Н.Б., Синай Я.Г., Сухов Ю.М. Динамические системы статистической механики и кинетические уравнения. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. Итоги науки и техники ВИНИТИ АН СССР. - М.: Наука. 1985. Т. 2. СС. 233-307.

Arkhipov 匕 Klar A., Vedenyapin V. On the connection of the formulas for entropy and Stationary Distribution // Journal of Statistical Physics. 1994. V. 77. Nos 5/6. PR 1027-1037.

Веденяпин B.B. Дифференциальные формы в пространстве без нормы. Теорема о единственности Я-функции Больцмана // Успехи математических наук. 1988. Т. 43. № 1. СС. 159-179.

Bobylev А. V., Victory H.D. Additive invariant functionals for dynamical systems I I Journal of Statistical Physics. 1998. V. 92. № 1/2. PR 269-299.

Arkhipov 匕 Klar A., Mingalyov O. and Vedenyapin V. A class of invariants for the Boltzmann equation and the Broadwell model // Eur. J. Meeh. В/ Fluids. 1997. V. 16. №3. PR 387-399.

Рыков B.A. Макроскопические законы сохранения в кинетической теории. // ЖВМиМФ. 1985. Т. 25. № 12. СС. 1902-1906.

Miranowitcz A., Matsueda Н., Wahiddin M.R.B., Bajer J. Quasidistributions for frequency converter model // Acta Physica Slovaca. 1988. V. 48. No. 3. PR 293300.

Мингалев И.В., Мингалев O.B., Мингалев И.В. Обобщенная ньютоновская реологическая модель для ламинарных и турбулентных течений. // Математическое моделирование. 1999. Т. 11. № 11. СС. 39-63.

Научное издание

ВЕДЕНЯПИН Виктор Валентинович

КИНЕТИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ БОЛЬЦМАНАИ ВЛАСОВА

Редактор О. А. ПенинаОригинал-макет: Д. Пудовиков

ЛР № 071930 от 06.07.99.

Подписано в печать 23.11.01. Формат 60x90/16.

Бумага офсетная № 1. Печать офсетная.Усл. печ. л. 7. Уч.-изд. л. 7,5. Тираж 400 экз.

Издательская фирма «Физико-математическая литература»МАИК «Наука/Интерпериодика»

117864 Москва, Профсоюзная, 90

УДК 517

В26 ББК 22.311

二#三

Издание осуществлено при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований по проекту 01-01-14021д

Веденяпин В. В. Кинетические уравнения Больцмана и Власова. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2001. - 112 с. - ISBN 5-9221-0187-0.

Уравнение Больцмана описывает разреженный газ, его линейные варианты —перенос излучения и нейтронов. Уравнение Власова описывает плазму, электронный газ, галактики, крупномасштабную Вселенную. Изучаются вывод этих уравнений, связь с гидродинамикой, химической кинетикой, квантовой оптикой. Рассматриваются частные решения и дискретные модели этих уравнений, различные приложения.

Для специалистов по математической и теоретической физике, прикладной и вычислительной математике, кинетическим уравнениям и квантовой оптике, физической и химической кинетике.

Может быть использована как учебное пособие для студентов и аспирантов математических, физических и химических специальностей.

ISBN 5-9221-0187-0

© ①ИЗМАТЛИТ, 2001

ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие 5

Г лава 1. Кинетические уравнения — основные понятия 7

Кинетические уравнения типа Больцмана 7

равнения типа Власова 9

Как понятие функции распределения объяснило Максвеллу газовые законы 11

О кинетическом подходе к 6-й проблеме Гильберта (аксиоматизация физики) 12

Г лава 2. Лагранжевы координаты. Основные подстановки в уравнение Власова 14

Задача N тел, континуума тел и лагранжевы координаты 14

Когда уравнения континуума тел гамильтоновы? 16

Осцилляторный потенциал 17

Антиосцилляторный потенциал 18

Гидродинамическая подстановка. Многопотоковая гидродинамика, эйлеро- лагранжево описание 18

Расширяющаяся Вселенная 21

Заключение 22

Г лава 3. Уравнения Власова-Максвелла и Власова-Эйнштейна .... 23

Сдвиг плотности вдоль траектории динамической системы 23

Уравнения геодезических и эволюция функции распределения на римановом многообразии 25

Как ведёт себя мера риманова пространства при преобразованиях? . . . 27

Вывод уравнения Власова-Максвелла 28

Схема вывода уравнения Власова-Эйнштейна 31

Г лава 4. Энергетическая подстановка 32

Система уравнений Власова для плазмы и электронов 32

Энергетическая подстановка и интеграл Бернулли 32

Граничная задача для нелинейного эллиптическогоуравнения 33

Проверка основного неравенства 34

Г лава 5. Уравнение Больцмана 36

Интеграл столкновений 36

Законы сохранения и Я-теорема 37

равнение Больцмана для смесей 40

Метод Чэпмена-Энскога и гидродинамика в дважды дивергентной форме 42

Квантовые кинетические уравнения (уравнения Улинга-Уленбека) .... 43

Особенности гидродинамических уравнений, полученных из кинетических уравнений 44

Линейные уравнения Больцмана и марковские процессы 45

Г лава 6. Дискретные модели уравнений Больцмана 48

Общие дискретные модели 48

Модели Карлемана, Годунова-Султангазина и Бродуэлла 48

//-теорема и законы сохраниния 49

Теорема о единственности 77-функции Больцмана 50

Задача о релаксации 51

равнения химической кинетики и Я-теорема. Условия химического равновесия 52

Приложение. Обобщенно-ньютоновские жидкости и турбулентные течения 58

Г лава 7. Метод сферических гармоник и релаксация максвелловского газа 67

Линейные операторы, коммутирующие с группой вращений 67

Билинейные операторы, коммутирующие с группой вращений 68

Вычисление собственных чисел 69

Преобразование Фурье интеграла столкновений 70

Моментная система и релаксация максвелловского газа. Симметрия Бобылева 72

Приложение. Ряды экспонент и суперпозиция бегущих волн 74

Г лава 8. Дискретные модели уравнения Больцмана для смесей 82

Дискретные модели с импульсами на решетке 82

Инварианты 84

Индуктивная процедура 85

О решении диофантовых уравнений законов сохранения и классификация столкновений 86

равнение Больцмана для смесей в одномерном случае 87

Модели в одномерном случае 87

Модели в двумерном случае 88

Г лава 9. Квантовые гамильтонианы и кинетические уравнения .... 91

Законы сохранения для полиномиальных гамильтонианов 92

Законы сохранения для кинетических уравнений 93

Асимптотика спектра гамильтонианов комбинационного рассеяния . . . 97

Системы специальных полиномов в задачах квантовой оптики100

Представление общих соотношений коммутации 101

Схема построения здания математической физики103

Список литературы105